بسم الله الرحمن الرحيم، today إن شاء الله we
continue with chapter 9, at the last lecture we
talked about hypothesis testing and we said that
there are two cases when I will deal with the
hypothesis tests. There are two cases, the first one
we said, and it depends on the existence of sigma
which is the population standard deviation. We said
that the first case is when sigma is known and we
took it in details at the last lecture. We said
that we will use the z test, and under the z test there are
two approaches: ال critical value approach and الـ P value approach, and we learned how we
calculate the P value, and we said that we have to
compare the P value with alpha, which is the level of
significance. Today we will focus on the second
case, which is when sigma is unknown. Okay, so the
first slide says, "Do you ever truly know sigma, الـ"
لي هي population standard deviation؟ يعني هل احنا هل
فعلا دائما تكون ال sigma معروفة عندي ولا لأ؟ بحكيلك
حين probably not. يعني perhaps انه ممكن ما تكونش
معروفة ال sigma عندي. فبحكيلك ان virtually all
real-world business situations, sigma is not known.
يعني بالحياة practically, يعني بالحياة بالواقعية
مثلا نحكي في ال business situations بالأغلب بتكون
ال sigma مش معروفة. Okay, الـ بعد بحكيلك if there is
a situation where sigma is known, then mu is also
known, since to calculate sigma, you need to know mu.
يعني بقولك في situation لما بتكون اللي هو ال
sigma معروفة، فأكيد اللي هو ال mu معروفة ليش؟ لأنه
ال sigma لما أجي أحسب ال sigma في القانون تبع حساب
ال sigma، ايش موجود؟ ال mu. فبما اني انا طلعت ال
sigma او كانت معروفة أكيد ال mu معروفة، لأن بستخدمها
في حساب ال sigma. Okay, بسمك بتحكي للهاتف خانون ال
sigma، اللي هو ال summation x minus mu square أو
ورقين under square root. اذا لو حكينا sigma is non
known
يعني انا انا انا انا انا
انا انا انا انا انا انا انا انا انا انا انا انا
أنا مظبوط يا عزيزي، لو الـ mu معروفة، فأقدر أحصل
على ال sigma. لكن لو كانت ال sigma غير معروفة،
فال mu غير معروفة، مش هي؟ أنا كل شغل بيقدس،
فبالتالي ما يفهاش تكون عندك ال mu مش معروفة، و
ال sigma. فبالتالي إذا كانت ال mu غير معروفة، أكيد
ال sigma غير معروفة. Is it a real practice,
problems؟ في ال business situations, is always sigma
is unknown.
الـ بعد هو بيحكيلك if you truly know mu, there
would be no need to gather a sample to estimate it.
يعني بيحكي إن لو مثلا في ال situation اللي عندي
اللي هو ال mu، اللي هو ال population mean كان موجود
عنده فما فيش داعي إن أنا أعمل أجيب sample عشان
أحسب اللي هو ال sample mean عشان يعني خلاص يعني
بتكفي اللي هو ال population mean إذا كان موجود
خلاص بيكفي بيستخدمه هو. الموضوع اسمته تحكي نقطة
مهمة. إذا ال mu معروفة من الأصل، أو ال mu is given، ما
كنت بـ يشجع أعمل testing إذا ال hypothesis test اللي
بنعمل. المهم هو لما تكون ال mu is unknown. طالما
ال mu is unknown، أكيد أنا هعمل sample. لكن لو ال mu
is given، بيشجع أعمل sample. واضح؟ يعني افترض واحد
بيحكي عمر طالب جامعة استميه 22 سنة. عمر طالب
الجامعة كلها. بيشجع أخد sample أو أعمل estimation
أو أعمل test. إذا if the true mean is given, then
there is no need. تجارب تجارب تجارب تجارب تجارب
تجارب تجارب هلقيت. Okay, هلقيت ال hypothesis
testing when sigma is unknown. هلقيت هناخد ال
differences between اللي هو ال case لما يكون ال
sigma known و ال sigma unknown. ركزوا معايا. أول
difference بيحكيلك if the population standard
deviation is unknown، اللي هو ال sigma وما كانت مش
معروفة، you instead use the sample standard
deviation. أصلا يعني اختلاف بسيط. بما أن ال
population standard deviation اللي هو ال sigma مش
معروفة، هستخدم بدلها مين؟ اللي هو ال S، اللي هو ال
sample standard deviation. هاي أول اختلاف. تاني إشي
because of this exchange, you use the T
distribution instead of use… instead of the Z
distribution to test the null hypothesis about the
mean. يعني بدل اللي احنا كنا نستخدم اللي هو Z
distribution أو Z test, هلأ هنستخدم إشي اسمه T
distribution أو T test. هلأ هنشوف كيف يعني بيكون
الخطوات. تالت اختلاف when using the T distribution,
you must assume the population you are sampling
from follows a normal distribution. يعني لما أستخدم
ال T test لازم يكون عندي فيه assumption أنا أفترضه
أو حتى من السؤال هو بيكون مفترض لك يا إنه تكون ال
population follows normal distribution، توزيع طبيعي
ال population. وبعدين بيحكيلك all other steps,
concepts, and conclusions are the same. باقي الخطوات
as we took when sigma is known. يعني نفس الخطوات بس
basically نحكي لو تكون sigma is not given هي انت
هتلاقي شغلتين. رقم واحد بي replace sigma which is
unknown by S. إذا نشيل sigma ونطلع الـ … ال
simplicity عبارة عن مين؟ ال sample standard
deviation. هذا رقم واحد. رقم اثنين بدل ما كنا نستخدم
z for distribution في عندنا new test called T
distribution. إذا احنا نستخدم T وهوريكوا بعد شوية
table تبع ال T و how can we compute the critical
values using T distribution. النقطة الأخيرة مهمة
جدا انه لازم يكون عندنا ال normal assumption
satisfied. يعني فرضية التوزيع الطبيعي تكون ما لها
is okay. أي حاجة تانية ال steps اللي حكينا عليهم
still the same. تبتدوا نفس الشيء سواء من ناحية ال
concepts أو ال conclusions are still the same. Any
questions? هذا مقدمة لموضوع ال sigma is unknown.
Okay. هلأ إذا بحكيلك الآن بنشوف اللي هي خطوات ال
test. أول إيش بيحكيلك؟ Test of hypothesis for the
mean when sigma is unknown. إيش بدنا نحول اللي هو
convert sample statistic x bar to a t state. يعني
هناك كنا نحول ل z state, تي statistic. Okay, اللي هو
هنشوف ايش القانون ال t state أو statistic equal ال
x bar - mu divided by S over square root of N. زي ما
احنا شايفين بشبه اللي هو ال Z statistic بس ال
difference الوحيد احنا حكينا بدل السيجما اللي هي
population standard deviation راح نستبدلها ب S
بالـ S اللي هي السم بال standard deviation بس وهي
هنا حطت لك المخطط. Hypothesis test test for the mean
sigma known, Z test. أما sigma unknown هنستخدم ال T
test. The test statistic is a T statistic equal هيو
X bar minus الـ mu divided by S over square root of
N. بس اللي بعد هه؟ هلأ هناخد example. ركزوا معاه لإنه
في اشياء جديدة هنتعرف عليها فنقرأ مع بعض ال
example. خلنا ال example واحدة منكم تقرأه وواحدة
تطلع المعلومة اللي فيه. خلنا مشاركة منكم. تعال هنا.
The average cost of a hotel room in New York is
said to be $168 per night. To determine if this is
true, a random sample of 25 hotels taken and
resulted in an x-bar of $172.50 and an s of $15.40. ال
standard sample standard deviation 15. This is the
appropriate hypothesis at alpha 0.05. طلع زميلتك
حكت في شغلتين مهمات في ال example. بتحكي ال average
cost of a hotel room is said to be $168. الـ 168
sample mean ولا ال population mean؟ الـ 168 هو بيحكيش
ال average cost of a hotel room in New York بلد
كلها population. إذا ال 168 هي mu. إذا ال mu 168. هذا
نقطة مهمة. النقطة التانية بتأكد إذا كان هذا صحيح، بدي
أحدث كلمة صحيحة ولا لأ؟ خمسين وعشرين خمسين وعشرين
إن … ايه هذه؟ x-bar. صلحوها، مش X. x-bar of $172.5
يعطى x-bar. Average مين اللي يعطي ال average لـ 25
الـ 25 sample. مظبوط؟ فهذه عبارة عن ال sample mean ولا
ال population mean؟ ال sample. طالما حكيت random
sample لـ 25 resulted in. مع كده عند ال sample mean
إذا ال x-bar equal 172.5
و S 15.4. هذا ال S لل samples standard deviation و
ال S 15.4. طالعش بيسأل ال test the appropriate
hypothesis. بدوا ال hypothesis المناسبة. هو ايش …
ايش اللي اعطاني ان ال average overall 168? We are
testing this average, this null hypothesis against
do you think mu should be … does not equal to or
greater than or smaller than؟ اللي ميحكموا اللي
أقل ولا أكبر؟ هل حكى في المثلة direction معين؟ لأ
لأ لأ لأ لأ لأ لأ لأ لأ لأ لأ لأ لأ لأ لأ لأ
لأ لأ
لأ لأ لأ لأ لأ لأ لأ لأ لأ لأ لأ لأ لأ لأ لأ لأ
لأ
الآن هتطلعنا ال information اللي لازمة من المثلة،
ماشيين؟ ببدأ أكمل؟ أكمل أنا؟ بما أن كتبنا احنا اللي
هي null hypothesis و اللي هو ال alternative
hypothesis، اللي هو إن ال mu equal 168 وإن ال
alternative hypothesis إن ال mu not equal 168. أول
شغل بنطلع فيها بالسؤال، زي ما كنا ماخدينه قبل كده، بنشوف
إذا ال sigma known ولا unknown. طبعا عندك السؤال احنا
كتبنا كل المعطيات، معطيني ال sample standard
deviation أما ال sigma مش معروفة. So بنحكي إنه …
so عندك اللي هو ال sigma is unknown. So
we will use … إيش هنستخدم؟ T test … T test. وبما
أننا هنستخدم ال T test وهو كتب له you assume the
population distribution is normal. احنا حكينا إنه
عشان نستخدم ال T test لازم نفترض إنه ال population
follows normal distribution. يعني التوزيع طبيعي.
طبعا في ال T test بدنا نجيب إشي اسمه T statistic
اللي قبل شوية كتبنا قانونه هيها. أول إشي بنجيب ال T
statistic.
divided by ال S على a square root of n. وهي
الموضوعات طلعناهم دغري. مو ببقى شبكة. Minus اللي هو
168 divided by ال S اللي هي
sample standard deviation 15.4 على
اللي هو a square root of n 25. بيطلع عندي
ال T statistic 1.46. الحمد لله اهو
هلاقيتها بعد ما جبنا ال T statistic بدنا نج
أنتوا شايفين في عندهم T-table hands إيش اسمه؟ اللي
هو DF صح؟ هذا الـ DF is equal DF هي degree of
freedom اللي هي بالعربي درجة الحرية يعني اللي هي
قانون ثابت اللي هي الـ N نقص واحد اللي هو الـ sample
size minus one okay بنجيب الدقيقة فأول إشي طبعا
لإننا الـ N قداش 25 minus one قدش بطلع 24 هلأ واحنا
بنجيب اللي هو عندي أنا two sides okay هلأ لو طلعنا
على الجدول بيحكي لي معطلك إنه table entry for B and
C is the critical value T star with probability B
lying to its right and probability C lying between
minus T star and T star معطلكي الجدول إن أول شي
هين الـ DF اللي احنا حسبناها اللي هي الـ N minus one
يعني لازم تجيبي ليها الـ DF N minus one و بيحكيلك
إما بتروحي تستخدمي الـ .. الـ upper tail probability
الـ B هذيك يعني هذا الـ B أو ممكن نستخدم اللي هو الـ
احتياط أو إذا كان عندك موجة بسالب T زي ما احنا
عندنا موجة بسالب T ممكن نستخدم اللي هي الـ hand
المساحة اللي hand اللي موجودة بأخر الجدول تحت
ممتاز الآن زميلتي كانت حاكية كانت تالية الـ table
اللي عندي اسمه T table وبيعطي الـ area to the right
شايفة الصفراء هذه اللي هنا هذه الـ area to the right
المنطقة اللي هنا الـ Z table كان يعطي الـ area لوين
to the left الـ T table to the right إذا ننسى الآن
الـ Z الـ Z area to the left الـ T table الـ area to
the right الـ rows represent degrees of freedom
درجات الحرية زي ما حكت degrees of freedom equals n
minus one in this case we have sample size of
twenty five so degrees of freedom of twenty five
minus one which is twenty four so now two steps
just locate the row of twenty four because degrees
of freedom of twenty four and column of this
probability which is point zero two five
الـ degrees of freedom بعمله across مع مين مع الـ
probability which is point zero to five اعمل
across اللي هون بطلع الجواب بطلع الجواب هاي اللي
هو two point zero two zero six four إذا
الجواب طلع two point zero six four طبعا
عندي موجب سالب Tلمين الـ DF 24 والـ probability
كانت 0.025 قيمتها طبعا قيمة واحدة بس هم نفس القيمة
هتكون لإنه normal distribution بس واحدة بالـ
negative وواحدة بالـ positive موجة بالسالب 2.064
6 4 صح؟ لأ لأ أقل 2 صحيح بس هيك صح يعني بس حط الـ
point واضح لأن الأولى two point zero six four والـ
تانية زيها negative two point zero six four هدول
هم عندي طبعا هاي الموجة بسالب اتنين point zero six
four هم إيش الـ critical values هدول هي
كل أي عصرهلأ عند .. بنرجع للي جيبنا .. اللي هي الـ
T statistic اللي إحنا جيبناها هي one point four
six بنشوف إذا هي موجودة بـ rejection region ولا بالـ
non rejection region حسب مين؟ حسب الـ critical
values وين موجودة؟ اللي هي one point four six وين
هتكون موجودة؟ في rejection .. في rejection region
ولا non rejection region؟ non .. non rejection
region لأنها هتكون هذه تقريبا one point four six
هتكون في الـ non rejection region فبما إنه هي في الـ
non rejection region so we will ash don't reject
اللي هو ash الـ null hypothesis بنحكي
هذه عند اللي بيأتي stat
one less than اللي هو two point between them is
six part so four point major
point
وبما إنه الـ .. أما لما نيجي نعمل proof للـ .. الـ
alternative hypothesis هنحكي إنه there is .. اللي
هو insufficient evidence that the true .. the true
mean is different .. different from the given mean
اللي هو 168 ممتازة طلع زميلتك اللي عملته الشغلتين
ورا بعض رقم واحد حسبت الـ T statistic one point four
six حسبت الـ critical values من الـ T table والـ T
table استخدامه سهل ووردكي يا بن شوية مش هيك اللي
هو إيه الـ T table في الـ T table زي ما حكيت مرة
تانية برطلع degrees of freedom at one four وبدور
على الـ probability of one zero two five طلعت الـ
critical value two point zero six four إذا انتظر
إيه الـ 2.064 الليفتش هتكون negative 2.064 We
reject if this statistic fall either to the upper
side I mean greater than 2.064 أو أقل من الـ
negative 2.064 Now is this value fall in the
rejection region الـ 1.46 أقل من 2.064 لأنه يتجاوز
بين هذه الاثنين القيم. هذا يعني أننا لا نتجاوز
الـ hypothesis. إذا قرارنا إيش؟ لا تتجاوز، فهو صحيح.
لا يكفي لحاله، عايز يشتغل من النجارية إلى النتيجة.
النتيجة، كلمتين بحكيهم دائما، مكررات. طالما حكيت
لا تتجاوز، مع كده، لا يوجد دليل كافي لإظهار أن الـ
true mean Cost is different from 168 يعني الإدعاء
اللي بيحكي إنه يختلف عن 168 ما يدعب، ما فيش دليل
كافي يدعب في أي سؤال؟
في الـ T-test، الـ T-test depends on a new term
called degrees of freedom درجات الحرية، أنت مش
مطلوب منك في الـ course of basic statistics تعرف إيه
أكثر من degrees of freedom equals n-1
وأنا بإمكاني استخدامها فقط لكتابة القيم
الـ critical إذا عشان تعمل location للقيم
الـ critical بلزمني شغلتين وقررت بقى تالت مرة
بلزمني مين الـ degrees of freedom اللي هي 24 اللي
هي n-1 والـ probability اللي أنا عايزها in this
case Alpha is 5% إذا الـ probability هتكون بقى جسمها
على اتنين zero to five على اليمين و zero to five
على الشمال اه الـ alpha بتكي يعني لو ما قضنش الـ
alpha we assume alpha to be five percent any
question أي سؤال ممكن الدكتور برضه هي non
rejection لأن هنا 95 في تحت اللي هو الـ minus تشوف
الـ table من تحت خالص يعطينا اللي هو Z star الـ Z
star هدول الـ Z اللي خدناها في الأول طبعا الـ T والـ
Z close to each other for large sample size يعني
when the sample size gets bigger and bigger T
becomes very small to Z يعني لما N بتكبر كتير
بتصير قيمة الـ T وقيمة الـ Z مالهم حوالي بعض تلاحظ
هنا لما الـ degree of freedom 1000 طلع على قيمة T
السطر اللي جابني الأخير والسطر الأخير الفرق بينهم
ماله بسيط الأول قيمة 0.675 لتحت كده؟ 0.674 هذا
لتحت Z ففي حالة تبعتنا إذا تذكر لما كانت الـ Z star
1.96 هنا job 1.962 فالصلاة الأخيرة بيبين لي قد إيش
قريب التوزيع الطبيعي الـ Z من توزيع الـ T إذا as N
gets bigger and bigger بيكون الـ T ماله قريب من الـ
Z يعني لما N كبيرة بيكون قيمة الـ T تقريبا نفس قيمة
الـ Z بس في أي سؤال؟ أي سؤال؟
كم لها ده؟ البعد هو to use the t-test must assume
the population is normal زي ما حكينا إنه في لازم
إنه نفترض إنه الـ population is normal
distribution, follows normal distribution بيحكي لك
على إشي as long as the sample size is not very
small and the population is not very skewed, the t
-test can be used سبق وحكينا احنا قبل هيك إنه كل ما
الـ sample size كبرت كل ما كان عندي حجم العينة أكبر
كل ما قربت إن هي بيكون شكلها بيبدأ يتوزع أكثر
فبالتالي بتقرب إن هي تصير normal distribution
أكثر فبيحكي لك إن احنا كل ما حجم العينة كبر فالـ
population هيكون أكثر أقرب لـ الـ normal
distribution فبنقدر إن نستخدم الـ T test وبعد هيك
حكى لك اللي هو .. أنا واضحها دي أكثر الشرط الأساسي
عشان استخدمتيه إن يكون عنده normal distribution is
satisfied عشان أضمن normal distribution لازم الـ
sample size يكون not very small يعني إيش عكس not
very small؟ large .. large .. هذه واحد، الحالة
التانية and the population is not very skewed
ما يكونش ملتوي يمين أو شمال بدرجة كبيرة يعني ممكن
يكون فيه التواء شوية لكن ما يكونش التواء بدرجة
كبيرة، لذا في حالة sample size is large enough or
population is not very skewed either to the right
or to the left in this case we can assume the
population is normal and go ahead using T test إذا
بستخدم T في هدول الحالتين how can we evaluate
normality as we did before in section 6.3 either
by using histogram or normal probability plot we can
evaluate if the data is normally distributed خدنا
جبل هيك الآن في نقطة أنا هشرحها اللي هي .. اللي
هشرحها في زميلتي الـ critical value approach طريقة
الـ critical value قيمة الحرجة في طريقة ثانية اسمها
ياش الـ P value approach قيمة الـ P value زي ما
استخدمناها المرة الماضية الآن بدي أكيد أنت لحالك
معاكي دقيقتين تطلعي لي قيمة الـ P value من الـ table
هذا
الـ slide مش عندك .. مش في الكتاب موجودة هذا الـ
slide مش موجودة في ضمن الـ slides اللي معاك هذا الـ
slide بتحكي عن الـ P value approach أنت حسبي ليه هي
بيدك الآن بحكي للكل طلعي ورقة صغيرة واحسبي قيمة الـ
P value للـ test اللي طلعت قيمته one point four six
حاولي هتطلعي الجواب للـ P value approach
أول ما يخبر الطالب بأن P-Value هو one point فهناك
شيء غلط لأن P-Value بين 0 و1 طبعا
P-Value هي probability بين 0 و1 طيب،
هل يمكن أحد أن يريني كيف أخرج اللوحة؟
طيب خليني أحلها وأشوف الخطأ عندك بين الموضوع
ركزي معايا الميو مالها ما تساويش 168 يعني one-tailed
ولا two-tailed؟ two-tailed إذا
الـ P value
نحن نبحث عن اعتقاد T إما أن يسقط في هذا الجانب
الصحيح، الآن قيمة تاعتقاد T هي 1.46، لذلك أكبر من
1.46. الآن بما أننا نتحدث عن تجارب 2D تكون هناك
اتفاقين من المناطق واحد على اليمين من 1.46 والآخر
على اليسار من 1.46 إلى اليسار من 1.46 إلى اليسار
من 1.46 إلى اليسار من 1.46 إلى اليسار من 1.46 إلى
اليسار من 1.46 إلى اليسار من 1.46 إلى اليسار من 1
.46 إلى اليسار من 1.46 إلى اليسار من 1.46 إلى
اليسار من 1.46 إلى اليسار من 1.46 إلى اليسار من 1
.46 إلى اليسار من 1.46 إذا في الـ two-sided أو ال
أكثر من Alpha من 5% لذلك لا نقفز
بإمكانك استخدام برامج حاسوبية جاهزة تعطيك الـ exact
result
around point one five seven point one five seven
هذه الـ exact answer نحن مش هتطلع الـ exact نهائيا،
هتطلع الـ approximate value خلاص؟ إذا هاي الـ two
approaches to reject or don't reject the null
hypothesis طيب اللي قال جاي باخد الـ one tip،
ذاكرين إيه بو؟ خلاص؟
مش مشكلة، بكرا بنكمل إن شاء الله