بسم الله الرحمن الرحيم هذه المحاضرة الخامسة في
مساق رياضيات منفصلة لطلاب وطالبات الجامعة الإسلامية
كلية الـ IT قسم الحوسبة المتنقلة اليوم سنحكي عن
سيكشن الثاني في شابتر أربعة اللي هو 4.2
اللي هو الـ integer representations أو اللي هو
اللي بنسمي اللي هي كيف نعبر عن الأعداد أو التعبير
عن الأعداد أو تمثيل الأعداد بأنظمة العد المختلفة
الآن عشان ندخل لأنظمة العد خلنا في الأول نتذكر إيش
اللي حكيناه أو بعض اللي حكيناها المرة الماضية في
المحاضرة الرابعة في ال congruence relation قلنا
أيه تطابق P modulo عشرة؟ الـ A لو قسمت على عشرة و الـ
B لو قسمت على عشرة بيكون له نفس الـ Remainder و
الـ Remainder في هذه الحالة من صفر لعشرة أكبر
أو يساوي صفر وأصغر strictly من عشرة يعني الـ
Remainder هيكون يا صفر يا واحد يا اثنين يا ثلاثة
يا أربعة يا خمسة يا ستة يا سبعة يا ثمانية يا تسعة
هدول الـ Remainders هم اللي احنا بنستخدمهم في نظام
العد العشري الآن modulo عشرة يعني مقياس عشرة هذا
اللي هو اللي بده يعمله نظام العد العشري احنا كيف
كنا اللي هو نكتب اللي هو ال .. ال .. ال .. ال ..
في نظام العد العشري 256 مثلاً بتساوي اللي هو قداش
كمية فيها 200 وقداش فيها عشرات اللي هو خمسة وقداش
فيها واحد ستة فكنا نيجي نكتب اللي هو الست رقم
الأحد هي ستة في خانة الأحاد، الصفر الخمسة في رقم
اللي هي العشرات خمسة في خانة العشرات، والاثنين في
خانة المئات، اللي هو رقم مين أو خانة المئات يعني
هذه الخانة اللي بيكون فيها العشرة أس صفر هذه
الخانة اللي بيكون فيها العشرة أس واحد، هذه
وهذه الخانة الثالثة اللي العشرة أس اثنين فيها
بيكون ضرب عشرة أس اثنين الآن نجي لمثال آخر هذا احنا
النظام العد اللي احنا بنشتغل فيه عادة وبنتعلمه في
المدارس هو نظام العد العشري الآن اللي هي يعني
منزلة العدد هنا اللي هو ستة اللي هي منزلة العدد
هنا خمسين هذا منزلة العدد اثنين الآن نجي لمثال آخر
أيه تطابق بيه modulo خمسة modulo خمسة اللي هي يعني لما
نقسم هذا على الخمسة تطلع Remainder وهذا لما نقسمه
على خمسة بيطلع Remainder عشان يكونوا المتطابقين لازم
الـ Remainder هنا والـ Remainder هنا يكونوا إيش؟
متساويين زي ما قلنا المرة الماضية الـ Remainder
عادة اللي هو عبارة عن صفر وواحد واثنين وثلاثة و
أربعة لإن اللي هو الخمسة بيصير الـ Remainder له صفر
وهكذا يعني any integer is congruent modulo خمسة
to one of the following remainders يعني أي عدد في
الدنيا هيكون بطابق واحد من هدول ليش؟ لأن هذا لما
يكون الـ Remainder له صفر بيصير بطابق الصفر لما يكون
الـ Remainder له مع الخمسة واحد بطابق اللي هو
الواحد لو كان اللي هو الـ Remainder له اثنين بطابق
الاثنين لو كان الـ Remainder ثلاثة بطابق الثلاثة ولو
الـ Remainder لما نقسم الـ A على خمسة طالع أربعة
بيكون بطابق الأربعة إذا أي عدد في الدنيا الـ
Remainder اللي هو يا صفر يا واحد يا اثنين يا ثلاثة
أربعة يعني بمعنى آخر الـ A هيطابق واحد من هدول
هدول الآن من صفر لأربعة زي ما كان من صفر لعشرة هم
اللي هو الـ digits تبعات اللي هي نظام العد العشري
هيكون في نظام العد الخماسي اللي هي الـ digits صفر
وواحد واثنين وثلاثة وأربعة يعني الآن لو بدنا الـ 56
نكتبها على صورة اللي هو نظام العد اللي هو الخماسي،
ده مش عشرة، هذه خمسة، هي الـ 56 في العشرة، بنكتبها
على صورة إيش؟ نظام عد خمسة، هذه الآن الـ 56
في نظام العد العشري، اللي هي إحنا عادة إنت في نظام
العد العشري، بنكتبش لا عشرة ولا خمسة ولا كده ولا
كده، على طول بنكتب 56، لأنه متعارف عليه بين إنه
نظام العد العشري، بدي أحول الـ 56 إلى نظام العد
الخماسي شوف كيف الآن الـ 56 عندي اللي هي الـ 56 فيها
الآن خمسة في خمسة 25 يعني 50 وبيضل
ستة الآن الخمسين هذه اللي هي عبارة عن اثنين في
25 يعني خمسة تربيع في اثنين بطلع 50
زائد الآن بعد شوية هنقول لكم طريقة الكتابة بس خليني
الآن بس ناخد المثال عشان نشوف إيش اللي بنجزله في
نظام العد الخماسي زائد واحد في مين في خمسة أس واحد
زائد واحد في خمسة أس صفر قدرنا نكتب الـ 56 على هذه
الصورة يعني بدلنا نكتب العشرة بنكتب مين ونستخدم
بدلها الخمسة وبنسميه نظام العد الخماسي لاحظوا الآن
خانة اللي هي الأحاد بالنسبة لهذه واحد، خانة اللي هي
اللي كنا نسميها العشرات اللي هي اللي مضروبة في
عشرة هنا هنا بتكون مضروبة في خمسة بدلها خمسة أس
واحد واحد
الخانة الأولى مضروبة في خمسة أس صفر والخانة
الثانية مضروبة في خمسة أس واحد والثانية مضروبة
في خمسة أس اثنين الآن ندخل للنظام الثاني وتطابق
الـ B modulo اثنين اللي يقودنا لنظام العد الثنائي
الآن لما نقسم الـ A على الـ 2 يكون المتبقي يا صفر
يا إيش يا واحد بناء عليه هيكون عناصر الـ D أو الـ
digits تبعات نظام العد الثنائي يا اثنين يا صفر يا
واحد لو بدنا نيجي الآن الـ 56 نكتبها على صورة اللي
هو نظام عد اثنين شماله الـ 56 طبعاً اللي هي النظام لعدد
ثنائي معناته اثنين أس واحد، اثنين أس اثنين، اثنين أس ثلاثة، اثنين أس أربعة، اثنين
أس خمسة إلى آخره، لو أجينا للـ 56 كيف بنكتبها على
صورة اللي هو نظام لعدد الثنائي الآن الـ 56 اللي هو
عندي اثنين أس خمسة 32 لو قلنا اثنين أس ستة بيصير 64 بيصير أكثر
منها دي إذا أنا ماقدرش أستخدمها إذا بدي أخد اثنين أس
خمسة، اثنين أس خمسة هي 32 في واحد بيصير 32، 32 من 56 بيظل
اللي هو قداش؟ 24، إذًا دل فيه أرقام إذا بدنا ناخد
الخانة اللي بعدها اثنين أس أربعة، اثنين أس أربعة إيش؟ 16، 16 زائد 32
48، 48 من 56 بزيد 8، 8 لحسن حظنا طلعت اثنين أس ثلاثة فعشان
كتبنا واحد في اثنين أس ثلاثة فطلعت هذا على بعض كلها 56 الآن
الخانات اللي بعدها لازم نكملها الآن هذه بتصبح خانة
صفر × اثنين أس صفر، صفر × اثنين أس واحد، صفر × اثنين أس اثنين، ليش؟ على أساس إننا الآن نكتب
الرقم التالي، الخانة اثنين أس صفر صفر، خانة اثنين أس واحد صفر، خانة اثنين أس اثنين صفر،
خانة اثنين أس ثلاثة واحد، خانة اثنين أقصد أربعة هو واحد، خانة اثنين أقصد خمسة هو واحد
فهذا الآن كتبنا العدد على صورة عدد في صورة نظام
العدد الثنائي هذه اثنين يا شباب وبنات مش اللي هو خمسة
اثنين هذه اه هذا نظام هذا العدد اللي هو واحد واحد
واحد ثلاثة أصفار اللي هو بيمثل الرقم 56 هذا بنظام
العد الثنائي طيب الآن نيجي لمثال آخر لسه احنا
بنشتغل شغل بدائي بعد شوية بيصير لعنا عملية
الحسابات أسرع إن شاء الله الآن 965 في نظام العد
العشري هذه الخانة الأولى اللي هي في عشرة أس صفر
هي اللي خمسة يعني عشرة أس صفر يعني واحد يا جماعة
عشان هيك مكتبناش عشرة أس صفر مع قصد واحد وخمسة
أس صفر واحد واثنين أس صفر واحد عشان هيك الخانة
الأولى دائماً قيمتها في كل أنظمة العد زي ما هي طيب
الآن ستة اللي هي الخانة الثانية اللي عبارة عن ستة
في عشرة أس واحد تسعة اللي هي في الخانة الثالثة
اللي هي تسعة في عشرة أس اثنين هذه الآن قيمتها
اللي هي قيمة اللي هي اللي هي تسعمائة وخمسة وستين
بنظام العد العشري اللي احنا أصلاً ما بنعرفه طيب
الآن لو بدنا نيجي نحسب 245 في نظام
العد الثماني كيف بنحسبها يا جماعة الخانة الأولى
اللي هي خمسة في ثمانية أس صفر يعني خمسة زائد أربعة
في ثمانية أس واحد الخانة الثانية الآن الثالثة اللي
هي اثنين في ثمانية أس اثنين بالضبط زي ما كنا نعمل في اللي هو
نظام العد العشري زمان الآن هي قيمته هذا بنحسبها
فبتطلع عندي هذه القيمة هي هذه الآن كيف بدنا نحسبها
بنظام العد اللي هو يتمثل بنظام العد اللي هي العشري
هذه الرقم لو ضربناها في بعض هيطلع لنا 165 في نظام
العد العشري إذا قيمة الـ 245 في الثماني هي 165 في
العشري وهنا حولناها من نظام العد الثماني اللي
مكتوب فيه هي وضربنا الرقم اللي طلع هذا الرقم اللي
طلع هذا اللي مجموعه عادي هو أعدادنا اللي احنا
بنتعامل معها اللي هي 165 الآن هذا نظام العد الثماني
لأن فيه the hexadecimal expansion اللي هو إيه ال
hexadecimal expansion هو نظام العد الست عشر هدول
النظام اللي بتعد بتهمكم أنتم في الحاسوب لأن ضام
العد اللي هو في ال 16 إيش هيكون اللي هي الأرقام
اللي بنستخدمها the digits اللي فيه صفر و واحد و
اثنين و ثلاثة و أربعة و خمسة و ستة و سبعة و ثمانية
و تسعة و عشرة و أحد عشر لما أصل لخمسة عشر لأن
الستة عشر برجع للصفر لكن احنا لو ده نيجي نكتب خمس
عشرة و أربعة عشر بنصير نخربط إذا بدنا الرموز بعد
التسعة يعني بدنا نستخدم في الست عشر صفر واحد
و اثنين و ثلاثة و أربعة و خمسة و ستة و سبعة و ثمانية
و تسعة بعد هيك بدنا نستخدم حروف أبجدية مين هي الـA
عشرة الـB عشرة الـB عشرة الـB عشرة الـC عشرة الـC
عشرة الـC عشرة الـC عشرة الـD عشرة الـD عشرة الـD
عشرة الـD عشرة الـD عشرة الـD عشرة الـD عشرة الـD
عشرة الـE عشرة الـE عشرة الآن a,b,c,d,e و ال F 15
ماشي الحال و 16 طبعا ترجع للصفر إذا هنستبدل
الأعداد من 10 ل 15 ب a,b,c,d,e,f على الترتيب هذا
الآن عدد مكتوب بنظام العدد الست عشر كيف أحسبه
بنسبه
للست عشر؟ أول حاجة
اللي هو جدّاش بيبني عرف اللي هو بعد الـ A مباشرة
الـ A عشرة و الـ B 11 هي 11 في 16 أس صفر نكتبهش زي
ما احنا انتهينا إذا هذا قيمته هو نفسه في أي ذاك
اللي هو B 11 زائد الآن صفر في 16 أس واحد هي صفر
في 16 زائد الثاني اللي هو مين E اللي هي إيش قيمته
أربعة عشر فستة عشر إيش منزلته الخانة الثالثة هذه
تربيع لأن بعده ال A قيمته عشرة مضروب في الخانة
الرابعة اللي 16 أس 3 زائد آخر واحد اللي هو في
الخانة الخامسة هي واحد، اثنين، ثلاثة، أربعة، خمسة،
اثنين في الخانة الخامسة ستة عشر أس أربعة يعني
الخانة الخامسة ناقص واحد إذا هذا الآن بنحسبه
بالحسبة العادية على آلة الحاسبة بيطلع لنا الرقم هذا
هذا الرقم هو الرقم بالنظام العشري عشان هي كانت مش
كاتبها أنا عشرة عشان احنا متفقين مع بعض اللي
ما نكتبلهوش عشرة أو اثنين أو ثلاثة يعني بنقصد بنظام
العد من العشري هي حولنا نظام العد الست عشري العد
من عد ست عشري إلى نظام العد العشري نيجي الآن
للنظرية اللي بتقولنا بتشرح لنا لشغلنا إيش النظرية
بتقول be an integer greater than 1 يعني بي عبارة عن
عدد أكبر من واحد then لو كان عندي n is a positive
integer يعني n كان عندي أي positive integer بقدر
أكتبه على صورة n بتساوي a k b k زائد a k minus
واحد b k minus واحد زائد لما أصل a واحد b زائد a
صفر a صفر هي ده في الواقع a صفر ضرب b
و الصفر الآن هذه بت هي اللي بتشرح لنا نظام العد يعني
لو كان عندي الآن هذه الـ B هي اللي بنقصد فيها مرة
اثنين مرة خمسة مرة عشرة مرة كده كده الأخرى و ال A
note A1 A2 AK-1 لAK هي اللي بتمثل الأعداد اللي
بدنا نكتبها عندنا اللي هنا مثلا الخمسة أو ستة واحد
و الـ B هنا هي العشرة أو هنا مثلا اثنين A E A O
Zero A Zero B هذه هي اللي هي A نوت A واحد اللي عند
A كي في هذه الحالة الـ K اللي هي بتساوي عبارة عن
اللي هي العدد اللي هو خمسة عشر ده هو ستة عشر ناقص
واحد هدول بيكونوا هن من صفر لعند خمسة عشر في حالة
الستة عشر و هدول اللي جوا هن الأعداد من صفر لعند
ستة عشر الآن ال B هو رقم 16 اللي هي بيمثل اللي هو
نظام العد ال 16 واحد بيطبق على الاثنين هذا بيصير
ال B2 و هدول بيصير العددين بس اللي هو ال 0 و ال 1
إذا هذه اللي هي بتشرح عملية اللي هو أنظمة العد
الآن نكمل representations of integers نشوف عملية
تمثيل العدد بنحط أنظمة العدد اللي حكينا عليها
و الآن نشوف كيف نكتب العدد بنظام العدد الثنائي
الحسابات هتلاقوها مرتبة وسهلة أسهل من المقدمة و كيف
نحول من ثنائي إلى ثماني و إلى ستة عشر و العكس اللي هي
عملية التحويل احنا هنركز في أنظمة العد اللي عندنا
على نظام العد الثنائي نظام العد الثماني نظام العد
اللي هو الستة عشر بالإضافة للنظام العد اللي احنا
بنشتغل فيه عادة في المدارس اللي هو نظام العد
العشري الآن binary expression expansion نشوف كيف بدنا
أن نعمل expansion ل binary expression
أو binary expression
Example نشوف مرحلة الـ Example نفهم إيش نقول what
is the decimal expansion of the integer that has
اللي هو واحد صفر واحد صفر واحد واحد إلى آخره اثنين
as its binary expansion و قول لي odd قيمة هذا العدد
هذا المكتوب بنظام العدد الثنائي مكتوب بنظام العد
الثنائي نظام العد الثنائي يا صفر يا واحد في
الخانات الآن الخانة الأولى اللي هي عبارة عن واحد
في اثنين أس صفر الخانة الثانية واحد في اثنين
الخانة الثالثة واحد في اثنين تربيع الخانة الرابعة
واحد في اثنين أس أربعة الخانة الخامسة واحد اثنين
أس أربعة اللي بعدها صفر في اثنين أس خمسة اللي
بعدها واحد في اثنين أس ستة وهكذا لما نصل لهدول
لما نصل لآخر خانة اللي هي واحد في اثنين أس
ثمانية عدّهم هتلاقيه تسعة واحد اثنين ثلاثة أربعة
خمسة ستة سبعة ثمانية تسعة اللي هي تسع خانات آخر
واحدة بتكون ثمانية لأن أول واحدة بدأت من صفر فلما
نبدأ المصطلح من صفر لعند ثمانية بيصير تسع أرقام
هي التسع أرقام الآن لو جيت ضربت هدول في بعض
و جمعتهم هيطلع لي 351 إذا هيك
بنحول من نظام العد الثنائي إلى نظام العد العشري
الآن بدنا نحكي على octal and hexadecimal
expansions ال octal اللي هو نظام العد الثماني ال
hexadecimal expansions اللي هو نظام العد اللي هو
اللي أساسه 16 ال octal هو نظام العد اللي أساسه
ثمانية الآن نشوف كيف يقول لي what is the decimal
expansion of the number with octal expansion يعني
بده يحول لنا الرقم هذا من نظام العد الثماني إلى نظام
العد العشري العادي نشوف كيف يا جماعة الآن سبعة صفر
واحد ستة الشغلة صارت ليه سهلة ستة في ثمانية أس
صفر زائد واحد في ثمانية أس واحد زائد صفر في ثمانية أس
اثنين زائد سبعة في ثمانية أس ثلاثة أين الأرقام
نجمحل مع بعض نضرب هذه على الآلة و نضرب هذه و نضرب
هذه و نجمحل لبعض بيطلع لي عندي 3598 بنظام العدد العشري نأخذ مثال
آخر بيقول لي what is the decimal expansion of the
number with hexadecimal expansion؟ بده اللي هو هذا
الرقم اللي مكتوب بنظام العد الستة عشر ال
hexadecimal نكتبه على صورة نظام عد مين اللي هو
العشري العادي اللي احنا بنعرفه رقمنا العادي خلّينا
نأخذ الآن P التي هي جدّاش P التي هي 11 احفظوها A 10
B 11 C 12 D 13 E 14 و F 15 طيب P هذا في نظام مين
بنكتبها ال 16 اللي بلزمنا 16 رقم 16 رقم من 0 ل 15
إذا و احنا قلنا من 10 ل 15 مش معقول نكتبهن زي كده
بنصير نخربط بيننا و بين الأعداد الأصلية فعشان
نكتبها بالحروف طيب شوفوا الآن B اللي هو في 16 أس 0
بيه ال 11 يعني هيها لحالها 11 تقعد لحالها قلنا
أول خانة في أي نظام عد تقعد منزلته بقيمتها طيب
صفر ف16 أس 1 هيها E ف16 أس 2 A ف16 أس 3 اتنين ف16
أس 4 ماشي الـ A بيحط قيمة العشرة و الـ E بتحط قيمة
الاربعتاشر و بتحسب مع بعض بيطلع عندك هذا الرقم الآن
لو اجينا بس لهالملاحظة الآن خلينا نشوفها each
hexadecimal digit can be represented using four
bits الآن ايش الـ bit؟ الـ bit اللي هي اللي منازل أو
اللي هي الأعداد اللي بنستخدمها في نظام العدد في
نظام منازلته الواحد صفر واحد صفر واحد واحد هذه كل
واحدة منهم بتسميها ايش bit؟ هدول بنسميهم ايش bits
الآن بقول لي أي hexadecimal digit طبعًا الـ
hexadecimal digit يعني ايش؟ ما هو نظام العد 16؟ لاحظ
نظام العد 16 هو عبارة عن 2 أس 4 ماشي الحال؟ في
علاقة بينه وبين نظام العد الثنائي اللي هو 2 ماشي
هدا اثنين أقصد أربعة في علاقة بتربطها بتقول لك أن
كل اللي هو hexadecimal digit كل واحد من الـ
hexadecimal digit بنقدر نكتبه على صورة اللي هو
أربعة bits هي واحد اثنين ثلاثة أربعة يعني لو اجي
تأخذ مثال الـ E الـ E اللي هي E عشرة B أحد عشر C اثنا عشر
D ثلاثة عشر E أربعة عشر الـ E أربعة عشر هذه الـ E هي قيمتها
14 و للضامن العدد السداسي هي نكتبها على صورة 0 1
1 1 تعرفوا كيف تحسبوها؟ صفر اللي هو صفر واحد اللي
هو في اثنين يعني اثنين و هذا في اثنين في أربعة هي
اثنين و أربعة ستة هذا ثمانية ستة و ثمانية أربعة
عشر اذا هذا صار كله على بعض و ليش أربعة عشر اللي
هو E إذاً هذا العدد الـ hexadecimal بقدر أكتبه على
صورة 01111 الآن بدي اخذ الخمسة في نظام العدد الست
عشر برضه بقدر أكتبها على صورة أربع أرقام كيف؟ هي
عند أول شيء فردي، مدام فردي هذه اللي هنا فردية إذاً
أول عدد فيه واحد الآن الباقي من الخمسة أربعة أربعة
هذا اثنين الأربعة دندا بيصير صفر وهذا هو الأربعة
الآن هي عندك واحد زائد صفر في اثنين في اثنين بيطلع
صفر زائد واحد في أربعة بأربعة وهذا صفر اللي هو في
اثنين قصة ثلاثة اللي هي ثمانية بيطلع صفر يعني هذا
العدد عبارة عن خمسة ولو جيت أخذت أي عدد من
الواحد للخمسة عشر هتلاقيك بتقدر تكتبه على صورة أربع
أرقام اللي هو على صورة bits أربعة bits بنظام العد
الثنائي طيب الواحد كيف بدنا نكتبه على صورة الواحد
بالنظام العادي 16 واحد قيمته كيف بدنا نكتبه هنا؟
واحد صفر صفر صفر و هكذا جرب لي في باقي الأعداد من
واحد لخمسة عشر أو من صفر لخمسة عشر شوف كيف نكتبها
على صورة أربعة bits طيب اللي هنا بدنا نعرفها حاجة
اسمها bytes الـ bytes هي عبارة عن ثمانية bits يعني
هدول وكمان كانت جنبهم أربعة بنسميهم byte كل
واحدة بنسميها ايش byte؟ إذا الـ byte بتتكون من 8 bits
الآن بناء عليه اللي هو أي .. قلنا أي عدد .. أي
عدد لحاله اللي هو في ال .. في ال .. في الـ
hexadecimal بكتبه على صورة 4 الآن عددين في ال ..
اللي هو رقم مكون من عددين في الـ 16 بقدر أكتبه على
صورة byte يعني بقدر أكتب على صورة 4 و 4 الخمسة هي
أربعتها وهي الخمسة هي أربعتها والـ E هي أربعتها إذا
عملية كتابة الرقم هذا سهلة كيف بكتبها؟ باجي بكتب هذا
بالأربعة bits وهذا أربعة bits بستبعدهم و بحطهم جنب
بعض بيطلع عنده اللي هو الرقم هذا اللي بنظام العد
16 بيساوي اللي هو الرقم اللي اسمه byte بنظام العد
الثنائي طيب نيجي الآن نأخذ اللي هو اللي هي
نحكي الآن عن الـ Base Conversion اللي هي عملية
التحويل من وإلى انتبهوا الآن لعملية التحويل عشان
ما تتغلبوش عشان الآن الحسابات تصير سهلة خالص في
عملية التحويل إلى نظام العد اللي بدنا إياه الآن لو
جاءنا find the octal expansion of اللي هي 1245 في
نظام العد العشري هذا مكتوب في نظام العد العشري و
بدي أحوله للـ octal كنا .. كنا من نظام الـ octal
للعشري أو من الـ binary للعشري أو من أي شيء للعشري
سهل و قلنا كيف نحوله الآن العكس .. العكس شوف كيف
هنلاقيها أسهل الآن بمسك العدد اللي هو الـ .. اللي
هو ألف و اثنين و خمسة و أربعين آسف فهذا مش مت .. ألف
و اثنين و خمسة و عشرين .. ألف و اثنين و خمسة و أربعين
أحولها لنظام العددين الـ octal الثماني باجي أقسمها على
ثمانية بيطلع عنده ثمانية في 155 زيادة 5 هذا اللي هو
ناتج القسمة وهذا الـ remainder انتبهوا اللي غامق
ناتج القسمة واللي بالأزرق هو الـ remainder الآن
نعيد العملية نقسم الـ 155 على 8 كمان مرة نقسم مين؟
اللي هو ناتج القسمة اللي نتج في الأول 155 طلع 8 في
19 زائد remainder جديد اسمه ثلاثة الآن هذا الـ 19
اللي هو ناتج القسمة تبع الـ 155 على 8 بعمل نفس
الشيء هنا بأقسم الـ 19 على 8 بتيجي 8 زيادة 2 في 3
هذا ناتج القسمة برضه بعمله نفس الشيء باجي بقول 2
بساوي 8 بأقسمه على 8 طبعًا ما فيش 8 ما فيش فيه ولا 8
فبنكتبه على صورة 8 في 0 والـ remainder هو 2 يوم ما
نصل لهذه الخطوة بقى جاف يعني يوم ما نصل أن ناتج
القسمة طلع اللي هو صفر بقى جاف ماشي الحال؟ طيب الآن
ايش هذا؟ ايش هو اللي عملته هذا أنا؟ تعال نشوف مع
بعض الآن ألف و اثنين و خمسة و أربعين بيساوي هذا زائد
هذا شايفينه؟ هيد نزلته بقى الآن الآن المية و خمسة و
خمسين هيها بدي ازيل الـ 155 و اعوض مكانها قيمة
تليها زائد دي أحوالها هيأني صار هي الرقم وعكت
ضربهم في بعض بدلالة الثمانية لإنه أنا بدور على
نظام العد الثماني الآن هذه بيصير ثمانية ضرب
ثمانية يعني ثمانية تربيع في 19 هي الأولى و 8×3 هي 2
زائد الخمسة ويساوي الآن بدي أشيل الـ 19 و أضع قيمة
هي الـ 19 8×2 زائد 3 شيلت و وضعت قيمة ها هان أتيت
حسبتها صار 8 تربيع اللي هو مضروبة في 8 بيصير 8
تكعيب في اثنين زائد ثمانية تربيع برضه مضروبة في مين؟
في ثلاثة زائد ثمانية في ثلاثة هيها زائد خمسة هيها
الآن هذا الناتج اللي طلع عندي تلاحظ من وين جبته من
اللي هو اللي عملته في القسم هنا وفي الآخر عوضت فيه
إذا كتبت الرقم اللي عندي 1245 اللي تحته خط هذا
كتبته بالصورة هذه فصار هذا اللي هو خانة الآحاد إذا
صح التعبير بنظام العد الثماني وهذه خانة اللي هي
اللي بنسميها العشرات اللي هي الثمانيات يعني وهذه
خانة الثمانيات تربيع وهذه خانة الثمانيات تكعيب
يعني بيصير عندي العدد هذا بنظام العد الثنائي هو
عبارة عن هي الخمسة هي الثلاثة هي الثلاثة هي الاثنين
إذا صار عند العدد الأصلي الـ 1245 نظام العد العشري
هي قيمته هتقولوا ليه وإحنا كل مرة بدنا نقعد نعمل
هيك و نعوض ومش عارف ايش و الله بتلخبط منها هذا الآن
أنا شرحت لكم العملية شغل المكان كمان ايه شغل
المكان القسمة بتصور سهلة هي اتقسمت و طلعت اللي هو
متبقي قسمة or remainder ايش هذا الرقم بيكون؟ هو
عبارة عن الـ remainders شوف الـ remainders انسى
هذه .. هذول الخطوات انساها ايه جاف عند الهن؟ شو
جفنا عند الهن؟ احنا بيصير أول remainder الـ .. الـ
.. الـ .. الـ .. الـ .. وين جفنا؟ عند الـ .. قسمنا
عند الهن مظبوط؟ هذه قسمنا عند الهن وهذه قسمنا
عند الهن وهذه عند الهن لما وصلنا لعند هذه آخر
واحدة ماشي الحال .. باجي .. لو وين وصلنا هيها ..
لها باجي باخد أول .. آخر واحدة وصلتي لها هي اثنين
الـ remainder اثنين الأزرق هيهم هي أول واحد الـ
remainder اللي بعده الثلاثة هيها باخد الـ
remainders الـ remainder اللي بعده ثلاثة هيها الـ
remainder اللي بعده هدول هي خمسة ماشي الحال؟ طيب
اللي .. اللي .. اللي .. اللي .. اللي شوية مضايق من
هذا يتبع معايا السؤال اللي بعده عشان يفهم بالضبط
شيء اللي بقول اللي عم بقول find the octal
expansion of هذا الرقم هذا بنظام العد العشري بده
حوله لنظام العد الثماني الموضوع سهل يا جماعة هذا
لمين بده يحوله لنظام العد الثماني إذا القسم على
ثمانية باجي الرقم الأصلي باجي اسمه على ثمانية بضل
المتبقي واحد ناتج القسمة هو ناتج القسمة بقسمه على
ثمانية هنا قسمت على ثمانية طالع 192 والمتبقي 7
الآن باجي بقسم الـ 192 على ثمانية بيطلع ناتج القسمة
24 المتبقي 0 الـ 24 بقسمها على ثمانية بيطلع الناتج
ثلاثة والمتبقي صفر عندنا خلصنا مدام اللي هو ناتج
القسمة طلع أصغر من ثمانية بكون وصلت للخطوة الأخيرة
ايش الخطوة الأخيرة اللي هو ناتج القسمة هذا ثلاثة
بساويه ثمانية ضرب صفر لأنه أصغر من ثمانية زائد
ثلاثة هنا بقف لأنه طلع عندي ناتج القسمة جداش صفر
يعني ثلاثة بساويه ثمانية في صفر زائد ثلاثة الآن
ايش نظام العد الثماني على طول زي ما قلنا أخ .. أخ
.. و أنا وصلت ثلاثة هو reminders هي reminders
ثلاثة هيو اللي جابله صفر هيو كتبته هيو الـ reminder
اللي جابله صفر هيو الـ reminder اللي جابله سبعة هيو
الـ reminder الأول هيو واحد اللي بده يبدأ بالعكس
ويحضر اللي بده بالعكس ويجي من هنا واحد ومن هنا سبعة
اللي بعيدها ومن هنا صفر ومن هنا صفر ومن هنا صفر
إذا ما هي العملية قسمها وتاخد في الآخر الـ
remainders وترتبها بالترتيب اللي موجود بتطلع عندك
هذا نظام العد الثماني طيب الآن خلينا .. بدناش
ثمانية بدنا ستاشر الـ gate عمال لنا حاضر مثال لبعده
find the hexadecimal expansion of الرقم هذا ماذا
يعني hexadecimal expansion؟ يعني بدنا نظام العد
الست عشري لهذا الرقم ايش بسوي؟ بمسك الرقم اللي جوا و
بجسمه على اللي هو اللي بدي نظام عده مين نظام عده؟
الـ 16 باجي بجسم الـ 11070 ع 16 بيطلع الناتج هذا
بالقائلة يا جماعة بيطلع الناتج هذا و بزيد 14 الآن
الناتج هذا بجسمه على 16 كمان مرة بيطلع الناتج 43 و
بيزيد 3 ناتج القسمة برضه بجسمها 16 بيطلع الناتج 2 و
بيزيد 11 لما يطلع العدد أقل من 16 أقل من اللي بشتغل
عليه نظام العد برتاح بقول آخر خطوة عندي خلصتها
اللي هي 2 ايش هيساوي 16 في 0 زائد 2 لأن الـ maximum
على 16 ما فيش هذا أصلا 16 فبيطلع 16 في 0 زي 2 هنا بدف
بيصير عندي الآن ايش نظام العد اللي .. ايش .. ايش
اللي .. اللي .. اللي هو ال .. العدد بنظام العد الـ
16 هي .. الـ reminders .. الـ reminders هي 2 هي أول
واحدة 11 هي اللي هو الـ B ثلاثة هي التلاتة 14 اللي
هي الـ E إذا سهل الموضوع ما هي إلا عبارة عن أخذ من
اللي هي reminders واصفها جانب بعض بالترتيب من
الشمال لليمين عندما انتهيت بيكون هذا نظام العد الـ 16
ويكون خارب طوق في اللي هو تبدأ من اليمين أو
من الشمال من هنا من عند آخر ما وصلت بتبدأ من اللي
هو الشمال وبتتجه باتجاه اليمين طيب نجي لإن بعدهم
سؤال آخر عشان نكبّت الفكرة find the binary
expansion of 120 اللي هو مكتوب بالعشرة إذا الآن
بدي أحول اللي هو من نظام عد عادي عشري إلى نظام
العد ثنائي برضه بنفس الطريقة بقسم الـ 120 على 2
بيطلع 120 بساويه 2 في 60 زي 0 الآن هي ناتج
القسمة 60 بقسمها على 2 بيصير 60 في 30 زي 10 الآن
طلع عندي تلاتين برضه طول روحك في التلاتين نجسمها
على التنين برضه التنين مين هو نظام العد اللي بدي
اشتغل عليه الآن بيساوي 15 في 2 بيطلع 15 الناتج و 0
remainder طبعاً 15 مدام 15 اللي هو ناتج برضه وده
جسمه 15 بيساوي 2 في 7 زائد 1 يعني السابعة الآن هي
الناتج السابعة بقى جسمها 2 برضه بيساوي 2 في 3 زائد
1 الآن التلاتة برضه باقسمها بيساوي ثلاثة في اثنين
بساويه اثنين في واحد زائد واحد ثلاثة باقسمها ع اثنين
القسمة كلها ع اثنين ناتج القسمة ع اثنين و
remainder ناتج القسمة ع اثنين و remainder لما في
الآخر بيصير ناتج القسمة واحد اللي هو أصغر من اثنين
على طول برتاح بقول آخر عنده وصلت لآخر خطوة الآن
الواحد ايش بيساوي اثنين في صفر زائد واحد الآن الـ 120
بنظام العد العشري هتساوي بنظام العد ثنائي يلي
هاي واحد من اللي هو اليمين الثاني واحد والثالث
واحد والرابع واحد والخامس صفر والسادس صفر و
السابع صفر هاي الآن بنظام العد الثنائي إذا
هذه هي طريقة التحويل الآن من نظام العد العشري إلى
أنظمة العد المختلفة وفي الأول احنا أخذنا اللي هو
العكس من التحويل من نظام العد الثنائي أو الثلاثي
أو الرباعي أو الخماسي أو اللي هو أو السداسي أو
الثماني أو الست عشري للعد العشري أو هنا تبقوا إن
احنا خلصنا الاتجاهين نعود الآن لآخر دُزُق نحكي
فيه Conversion between binary, octal and
hexadecimal expansion نحن مركزين على ثلاثة أنواع من
العدد العشري اللي بنشتغل فيه الآن العد الثنائي
والثماني الـ octal والـ hexadecimal اللي هو الست
عشر حولنا من الـ decimal هدول كلهم التلاتة وحولنا
بعدين من التلاتة اللي بنحكي عنها لمن للعشري ظل
إن نحولهم بين بعض الآن بدنا نشوف كيف نحول الـ octal
ونحول الـ hexa إلى ash إلى binary ونشوف كيف اللي
أنا بقول find the octal and hexadecimal expansion
of هذا الرقم مكتوب بالـ ash مش بالتمانية هذه اثنين
آسف هذه اثنين من نظام العد الثنائي and the binary
expansion of 7,6,5,8,d,16 يعني بدنا نحول اشي من
الثنائي إلى الثماني والست عشري ونحول اللي هو من
الثماني والست عشري إلى اللي هو الثنائي خلينا أول
شيء نيجي هي الرقم اللي هو اللي هو هذا اللي هو
مكتوب بالنظام العددي الثنائي الآن لما بدي احول لنظام
العد الثماني شوفوا يا جماعة الثنائي اثنين الثماني
اثنين أو ثلاثة الآن في الثماني باجي مادام ثمانية
يعني اثنين أو ثلاثة بجسم خانات الثنائي إلى ثلاث خانات
ثلاث خانات بعدد الأس تبع الثمانية الثمانية هو عُضار
عن اثنين أس ثلاثة في علاقة بينهم مش مجالنا
لاستنتاج العلاقة أما كيف أحول من الثنائي للثماني
باجي بجسمهم الآن ببدأ عندي لأن صفر صفر واحد آخر
واحدة هي الآن واحد واحد واحد هيها الآن اللي بعدها
صفر واحد صفر واحد واحد واحد واحد واحد صفر من وين
جبت الصفر الأخير هذا إذا كان هدول عددهم بيقبل الجسم
على ثلاثة خلاص بيسير اللي حالين بيطلع اللي حالين
إذا ناقص العدد بحط ايه صفر لأن العدد على الصفر على
الشمال العدد ما بيأثرش إذاً اللي عملته ايش يا جماعة
بيجي يقول هاي أول مجموعة هايها التلاتة الأولانيات
بعدين هي التلاتة التانيات بعدين هي التلاتة
التالتات وهي التلاتة الرابعات والتلاتة الأخرات
اللي هي واحد واحد وايه صفر هو بعد بالعكس الآن
كاتب لك صفر واحد صفر اللي هي صفر واحد واحد بعدين
واحد واحد واحد بعدين صفر واحد صفر ومكمل لعندها ايه
دا اللي هي هذه جسمها إلى ثلاث خانات ثلاث خانات تعني
ثلاثة bytes أو ثلاثة bits ماشي كل ثلاث بتات مع بعض
الآن لو خسر علينا بتات من الشمال بضيف على الشمال
لأنه بضيف على الشمال أصفار لأن الأصفار اللي على
الشمال لا تؤثر في العدد بضل العدد زي ما هو زي ما
انتم عارفين في العادي برضه بنعملها الآن احنا خسرنا
عدد فكتبنا صفر واحد واحد هذا الـ bit تلك بتات
الأولى تلك بتات الثانية هي تلك بتات الثالثة
الأخرى خليهم بنفس الترتيب دير بالك الآن جداش قيمته
هذا العدد هذا اثنين وهذا اللي هو واحد في منزلته
واحد هذا واحد في اثنين إذا واحد واثنين ثلاثة إذا
أول واحد قيمته ثلاثة نيجي للي بعده هذا اللي هو
واحد منزلته الأولى هذا المطمئن اللي عدت تونية
جايت بحسبهم واحد في اثنين قُص واحد زائد اثنين قُص
اثنين يعني واحد واثنين وأربعة سبعة طيب نيجي للي
بعده صفر زائد اثنين زائد صفر زائد اثنين ايه اللي بعده
هذا حسبناه اللي هو واحد واثنين وأربعة وسبعة هي جلته
اللي بعده والأخير صفر وصفر وأربعة لأنها دخلت الصفر
اللي هو في اثنين وصفر دخلت الصفر في اثنين واس واحد
وهذا دخلت الواحد في اثنين واس اثنين يعني أربعة إذا
هاي الأعداد هذول بشيل هذول كل ثلاثة وبحط مكانها
قيمتها بصير عندي هذا العدد بساوى اللي هو الآن بدأنا
من وين؟ من الشمال هدول من الشمال ثلاثة اللي بعدها
سبعة اللي بعدها اثنين سبعة أربعة ثلاثة سبعة اثنين
سبعة أربعة ثمانية إذا هذا صار بساوى هذا بالـ
اللي هو من نظام العد الثماني نظام العد الثماني
قلنا اثنين أس ثلاثة كل ثلاث بتات برقم من الثماني
الآن في الـ hexadecimal كل أربع بتات لأن الستة
عبارة عن اثنين أس أربعة فبصير عندي كل أربع بتات
أبجد هـ و ز واحد من الـ hexadecimal بناء عليه أنا
لو أعطاني هاي هذا الرقم في نظام العد الثنائي بدي
يعني أحوله للـ hexadecimal عشان أحوله للـ
hexadecimal بدي أجسمه لأربعات هاي الأربعة الأولى
وهي الأربعة الثانية وهي الأربعة الثالثة وهنا
الأربعة الأخيرة لها بيصير 11 و11 و0 و0 نحسب الأربعة
هذه الأربعة هذه وعلى طول بدك تكتب العدد هذا صفر
وهذا صفر وهذا ايش اثنين plus اثنين يعني أربعة وهنا
ثمانية
عشان تحفظوا على السريع هذا في اثنين هذا في واحد في
اثنين في أربعة في ثمانية إذا صفر صفر أربعة و
ثمانية اثنا عشر أربعة ثمانية اثنا عشر اثنا عشر اللي هو مين
هي الـ C كتبته لأن واحد واثنين ثلاثة وصفر ثلاثة و
ثمانية أحد عشر اللي هو الـ B خلصنا هذا شفا وبنسير صفر
اثنين وأربعة ستة وثمانية أربعة عشر هذا صار
أربعة عشر اللي هو الـ E لأن هذا واحد واثنين ثلاثة
والباقي الأصفار يعني ثلاثة ايه هذا إذا صار الآن
التحويل من hexa من من ثنائي لhexa سهل أربعات وبنحط
مكان كل أربعة قيمتها في الثماني نظام العد الثماني
ثلاثات وكل ثلاثة بنحط ايش قمت هذه الثلاث الأول هذه
الثلاث الثانية هذه الثلاث الثالثة الثلاث الرابعة
ثلاثة الخامسة وقلنا إذا خس علينا ثلاثات من الآخر
بنحط هناش صفر لإنه بأثر ناش على العدد إذا هذا
عملية التحويل من الثنائي للثماني أو إلى الستة عشر
سهلة وهيني جميعا عنها الآن بدنا نحول العكس بدنا
نحول سبعة ستة خمسة للثماني برضه بدحولها ليش into
binary notation الآن convert هذا ل binary notation
يعني بدحولها من نظام العد الثماني إلى نظام العد من
الثنائي وقمر sale خالص الخمسة ايش بتساوي ثنائي
الخمسة
الخمسة عبارة عن واحد
الستة زوجي عبارة عن اثنين زي أربعة
آسف هاي السبعة السبعة ايش قيمتها واحد واثنين و
أربعة واحد واثنين ثلاثة وأربعة سبعة عملتها ده
بالليل هاي حطيت مكان مين السبعة يعني باختصار أكيد
فانتوا الخمسة بحط قيمتها في الثنائي وبعرف وجودها و
الستة بحط قيمتها في الثنائي والسبعة بحط قيمتها في
ايش؟ في الثنائي بتطلع عندي اللي هي القيمة اللي أنا
بديها الآن أكيد كلكم قال الـ 16 انحولها لثنائي بنفس
الأسلوب يعني حوللي هذه للثنائي بتقوللي الـ D بحط
قيمتها أربع بتات الـ 16 أربع بتات كل واحدة
بأربع الـ D لها أربع والـ 8 لها أربع والـ A لها
أربع الـ D اللي هي جداش الـ D الـ D اللي هي A B C
D يعني ثلاثة عشر ثلاثة عشر ثلاثة عشر فردي مزام ثلاثة عشر
فردي إذا أول خانة ايش بتطلع واحد واحد وصفر أو
أربعة خمسة وثمانية ثلاثة عشر فعلاً هي إذاً الـ D بتحط
قيمتها هي .. هي الآن الثمانية .. الثمانية زوجي
اللي هي اثنين وستلاتة يعني الأولى أنها صفر صفر صفر
وهي Aش الثامنة لأنها بتنظر في واحد وبتنظر في
اثنين وبتنظر في أربعة وبتنظر في ثمانية أكيد
الثمانية اللي هي بس واحد واللي قدامها ثلاث أصفار
إذاً هي الثمانية الآن الـ A اللي هي العشرة اللي هي
اثنين وثمانية يعني هي اثنين وهي ثمانية وهدول
أصفار كتبناها هنا إذا حولنا من اللي هو ستة عشر اللي
هو hexa إلى ايش؟ إلى binary كيف كل دي و اي و ثمانية
و اي بأربع بتات بقيمهن اللي قلناهن هيك بإحنا بنكون
أنهينا المحاضرة اللي هي الـ five أو هي عند الـ
homework المطلوب لهذه المحاضرة وإلى لقاء آخر
والسلام عليكم ورحمة الله وبركاته