بسم الله الرحمن الرحيم عزيزي الطلاب السلام عليكم
ورحمة الله وبركاته في فيديو جديد سنشرح فيه إن شاء
الله سيكشن ثلاثة ستة بعنوان chain rule قاعدة
مهمة في الاشتقاق سأل علينا عملية
اشتقاق ندرس القاعدة من خلال أول مثال عندنا لو
فرضنا أنه عندنا الدالة الآتية 3x تربيع زائد واحد
زي واحد لكل تربيع ونشتقها لو أنه بنشتغل بالطريقة
العادية المفروض أن تفكر في التربيع و بعد ذلك نشتغل
طب لو كانت القوة مش تربيع و في عشرة أو عشرين فهي
عملية صعبة معقدة chain rule بتسهل علينا العملية نفترض
أنها نواة هي function في U وU نفسها function في 3X
تربيع زائد واحد ففي الحالة الـ Y هي تساوي U تربيع وU
تساوي 3X تربيع زائد واحد هكذا أصبح الوضع كمبوزيت بين
الـ two functions f of u تساوي u تربيع والـ u هي u
of x تساوي 3x تربيع زائد واحد في هذه الحالة مشتقة
بذلك السلسلة مشتقة الـ y بالنسبة للـ x هتتجه عن
طريق أن مشتقة الـ y بالنسبة لـ الـ u ضرب مشتقة الـ u
بالنسبة للـ x مشتقة الـ y بالنسبة لـ الـ u هتساوي اثنين
u عند مشتقة الـ U بالنسبة لـ X التي هي 3 X تربيع زائد واحد
مرتفع وتضربها في 6 X فتصبح مشتقة 2 U في 6 X
ونرجع الـ U لأصلها التي هي 3 X تربيع زائد واحد فتصبح
المشتقة 2 في 3 X تربيع زائد واحد مرتفع نضربها في 6 X ويصبح
36 X تكعيب زائد 12 X
طب لو كانت حتى مش تربيع قوة أكثر من تربيع مثل عشرة
أو مثل عشرين هتكون العملية صعبة لكن في الحالة هذه
مش هيفرق المعنى الخطوات هي نفسها تكون نظرة
اتنين بتدي ليه هو القاعدة سلسلة chain rule بيقول أن لو كان
عنده f function في الـ U و U function في الـ X عن
طريق المبيوت تساوي U في X في الحالة هذه الـ
Composite of Circle G للـ X يسمى f of G في X مشتقت
الـ Composite أن أنا ببدأ اشتغل من الخارج f of G' GX
ومشتقة اللي في الداخل G' X عشان يسمى قاعد السلسلة
نبدأ اشتغال من الخارج للداخل طبعا هنا ربطانا حتى
نعمل اشتغال بصورة ثانية يوجد رقم y هو function في
الـ u والـ u هو function في الـ x عن طريق أن الـ y
تساوي f of u والـ u تساوي u في x ومشتقة الـ u بالنسبة
للـ x الـ dy dx تساوي dy du مشتقة الـ y بالنسبة للـ u
ضرب مشتقة الـ u du بالنسبة للـ x dx فأنا هنا عشان
أتسلم قاعدة السلسلة المثال اثنين هو الـ an object
moves along the x-axis so that its position at any
time t greater than or equal zero is given by x of
t equal cosine t ترمز الواحد هنا في جسم متحرك على
محور السينات بحيث أنه موضعه في أي زمن t يكون في
هذه المعادلة أن x كفاءة مسافة مكتسبة بعد زمن t
تساوي cosine t ترمز الواحد Find the velocity of the
object as a function of T أو جزء سرعة الجسم
كفانكشن of T أنتم عارفين أن الفيزياء أن الفلوسة T
اللي هو السرعة تساوي عند مشتقة المسافة بالنسبة
للزمن فالمفروض هنجيب DX بالنسبة لـ DT هنستخدم الـ
chain rule إذا فرضنا X تساوي Cos U
مشتقة الـ X بالنسبة لـ U تساوي سالب sin U ومشتقة الـ U
بالنسبة لـ T تساوي اثنين T فـ DXDT تساوي DXDU في DUDT
بال chain rule ومشتقة الـ X بالنسبة لـ U تساوي سالب sin U
ضرب اثنين T ونرجع الـ U لأصلها بيطلع سالب sin T
تربيع زائد واحد
الـ outside inside rule قاعدة بتقول أنه من الخارج
إلى الداخل فالعند اللي هو الـ composite of function في g
of x هو الاشتغال بالنسبة لـ x مبدأ من الخارج اشتغل
مستقل في البرامج g of x مستقل في الداخل
مثلًا، نحن نحضر مشتقة الـ sin x تربيع زائد واحد من
الخارج اللي هو sin مشتقة الـ cos كل ما بضرب في x تربيع
زائد واحد في x ده المشتقة اللي داخلها x تربيع زائد واحد
مشتقة 2x زائد واحد
تكرار الـ chain rule استخدامها طبعًا لما يكون أكثر
من الـ function لو أنا عند g of t تساوي tan لـ خمسة
نقص sin tan t تبقى عندنا في اندر tan في الخارج و
تجيجي هو خمسة نقص sin tan t كمان نقص sin tan t
نجي نشتغل هي g بالنسبة لـ TG برقم T هنشتغل من
الخارج مشتقة tan في الأول 6 تربيع كل ما في الجوز
دار مشتقة اللي جوا
مشتقة الـ sin 2t برضه
سنستخدم أول حاجة الخارج عند الـ sin مشتقتها cos
فمضروب في سالب cos 2t ضرب مشتقة اللي بداخلها 2T مشتقتها
2 فأنتوا لاحظوا أن استخدام لدي عدة مرات لأن عندي
أكثر من function في ال composite الـ chain rule
with power of a function، لو كانت function مرفوعة
قوة يعني أنا عندي function U مرفوعة قوة N ومشتقتها
N في U أس N نقص واحد ضرب مشتقة الـ U نفسها
بالنسبة لي X كأمثلة، انظروا لو أنا بدي اشتغل خمسة
x أس 4 زائد 7، طبعًا المعقول أن اروح
أفكر أضرب نفسي سبع مرات لكن ال chain rule
بيسهل علينا عمل اشتغال هتساوي سبعة في الجوز نفسه
فالقوة بتنقص واحدة تصير الستة وظهر مشتقة من داخل
الجوز خمسة X تكعيب نقص أربعة مشتقتها هتصير خمسة عشر X
أس اثنين في نقص أربعة X تكعيب
مشتقة واحد على ثلاثة X نقص اثنين في الصورة هذه
ممكن نعملها كقوة ثلاثة X نقص اثنين على ثلاثة X
نقص اثنين على ثلاثة X نقص اثنين على ثلاثة X
نقص اثنين على ثلاثة X نقص
مشتقة القيمة المطلقة هو جذر التربيع الموجب لـ X
تربيع الجذر
معروف مشتقة 1 أو 2 في الجذر
و1 على جذر X تربيع نفسها 1 على قيمة المطلقة ل X
فتصبح اثنين تروح مع اثنين تصبح X على قيمة المطلقة
ل X و X ده تساوي Zero فهذه مشتقة اللي هو القيمة
المطلقة تساوي X على قيمة المطلقة ل X وتلاحظوا أن
عند الصفر غير معرفة وده الأسمة بناجة بالهجة أنه
القيمة المطلقة مشتقتها عند الـ Zero غير موجودة
مشتقة من اليمين هيكون واحد ومن اليسار هيساوي سالب
واحد لكن عند الصفر غير موجودة وغير ذلك عند النقطة
الأخرى موجودة وقيمتها تساوي X على قيمة المطلقة ل X
مثال 8 show that the slope of every line tangent
to the curve y equal 1 على 1 نقص 2x تكعيب is
positive طبعًا أنا معروف أن الـ slope الـ tangent
line هو عبارة عن المشتقة الأولى فأنا صار السؤال
أوجد المشتقة الأولى بس ما عدا بالنسبة أنه دائمًا
المشتقة الأولى هذه اللي هو slope كون positive أجيب مشتقة
الأولى في المقام 1-2x-3 في المقام رفعناه لفوق
الأس سالب ثلاثة لتسهيل عمل اشتغال باستخدام بتشتغل سالب
ثلاثة في الجهة الأس سالب أربعة نطرح من سالب ثلاثة سالب
واحد تصبح سالب أربعة ده المشتق في الجهة الأس اثنين
تلاحظ في المشتقة تلاحظ دائمًا هذا أكبر من صفر لأن
هذا positive والتحت دائمًا positive فهيكون دائمًا
أكبر من صفر بناخد أسئلة على chain rule نختار سؤال
واحد في استخدام chain rule عدة مرات سؤال 51 تانوس
أربعة تانوس أربعة تانوس
تانوس تانوس تانوس تانوس تانوس تانوس تانوس تانوس
تانوس تانوس تانوس تانوس تانوس تانوس تانوس
تانوس تانوس تانوس تانوس تانوس تانوس تانوس تانوس
ثلاثة يعني ثلاثة في الـ loss التي
هي T على 12 في مشتقة التان نفسها التي هي sector P
التي هي T على 12 ظهر مشتقة الـ T على 12 ومشتقة الـ
1 على 12 هنستخدم الـ chain أقول عدة مرات بهذا
المثال يكون أنا هنا وهو section ثلاثة سبنة اللي
بتتكلم عن الـ chain هو القاعدة السلسلة القاعدة
المهمة وبساعد علينا عملية اشتقاق أتمنى لكم في
نهاية الفيديو أصحى والسلامة والسلام عليكم ورحمة
الله وبركاته