بسم الله الرحمن الرحيم الآن نتحدث عن الجزء الثاني
من المحاضرة الخامسة لطلبة قسم رياضيات في كلية
العلوم بالجامعة الإسلامية بغزة الجزء الثاني طبعا
زي ما وعدناكم في البداية قلنا اللي هو هنكمل فيه
اللي هو 6.2 اللي هي تطبيقات على الـ mean value
theorem أو applications on mean value theorem
هيكون في عندنا two applications اللي هو الـ
application الأول على الـ Mean Value Theorem هو
عبارة عن اللي هو Bernoulli's Inequality، هنبرهن
Bernoulli's Inequality، وبعدين هنتحدث عن اللي هو
Darboux's Theorem، تشوف كيف اللي هو بيصير الأمور،
نبدأ الآن في الجزء الأول، اللي هو عبارة عن
Bernoulli Inequality Bernoulli's Inequality اللي هي
بتقولنا لو كانت عندي Alpha عبارة عن real number
أكبر من واحد هيكون عندي الواحد زائد X to the Alpha
أكبر أو يساوي واحد زائد Alpha X لكل X أكبر من من
ناقص واحد with equality if and only if عند X مين
عند X بيساوي صفر عندنا الـ equality عند X أيش
بتساوي بتساوي صفر شوف زي ما عملنا المرة الماضية
اللي هو E to the X اللي هي لما أخذناها وثبتنا إنها
أكبر أو يساوي اللي هي الواحد زائد Alpha X
والمساواة if and only if الـ يساوي اللي هو واحد الآن see
Bernoulli's inequality Bernoulli's inequality اللي
هي كما يعني عندي خذ Alpha أكبر من واحد فـ Alpha أكبر
من واحد then لو واحد زائد X to the Alpha أكبر أو يساوي
واحد زائد Alpha X لكل X أكبر من ناقص واحد والشغل
الثاني إن الـ equality الـ equality بتحدث if and
only if X بتساوي صفر طبعا الآن لو X بتساوي صفر
automatically automatically بيصير عندي واحد بيساوي واحد لو
X بتساوي صفر Conversely هيطلع من خلال البرهان
باقي البرهان نشوف كيف plan approved صلوا على
النبي عليه الصلاة والسلام نسجلها الأولى if X
بتساوي صفر it is clear that واحد زائد X تقريبا
Alpha اللي هي بتساوي واحد بتساوي واحد زائد Alpha X
هذه ده case X أيش بتساوي بتساوي صفر طيب الآن بدأ
أثبت الـ inequality هذه هأثبت لك في الواقع اللي هو
strict inequality أكبر strictly من واحد زائد Alpha
X لكل X أكبر من ناقص واحد ولا تساوي صفر في هذه
الحالة بيكون أمامنا أثبتنا الاتجاه الثاني طيب،
نشوف كيف، الآن خذ X for X أكبر من صفر الآن احنا
بنحكي عن تطبيقات للـ Mean Value Theorem إذا أنا
متوقع إن أنا أطبقها الـ Mean Value Theorem طبعا
لاحظ إن الـ 1 زائد X to the Alpha هذه اللي هي
الدالة اللي بدي استخدمها اللي بتطبق عليها الـ Mean
Value Theorem وهذه أصلا is differentiable
everywhere it is defined قابلة الاشتقاق لكل X أكبر
من ناقص واحد ولكل Alpha أكبر من 100 من 1 ماشي الحال
إذا الآن for x أكبر من صفر we apply the mean value
theorem on .. مين هو؟ on f of x بيساوي 1 زائد x to
the alpha على الـ interval .. on the interval مين هي
نتوقع؟ اللي هي صفر و X زي ما عملنا المرة الماضية
لأننا مهتمين بمين بالمنطقة 0 و X على أساس إن نحصل
على هذه الـ inequality زي ما هنشوف كيف واضح اه؟ إيش
الـ mean value theorem بتقول إذا كانت F
continuous على هذه و differentiable على الـ open و
هذا كله متحقق إذا then there exists C element in 0
X such that اللي هو F prime of C بيساوي اللي هو F of
X ناقص F of Zero على X minus Zero اللي مضروبة وين
وكأنه في X على X minus Zero يعني وكأنه هذه مضروبة
في X واضح اه؟ الآن الـ F prime للدالة هذه اللي
أخدتها الـ F prime إلها أكيد كلكم بتعرفوا كام إلها
على جهة الـ F prime بتحسبها عند مين عند C فبيصير X
في الـ F prime إلها Alpha في واحد زائد X أس Alpha
ناقص واحد لكن بتحسبها عند مين عند C إذا هذه بتكون
C بيساوي اللي هو f of x قد إيش اللي هي واحد زائد x to
the alpha وهي اللي بدي إياها أنا f of zero أيش بتساوي
f of zero بتساوي واحد ناقص واحد اللي صار عندي إذا
اللي هو واحد زائد x to the alpha بيساوي واحد زائد
x في Alpha في واحد زائد c أس Alpha ناقص واحد معايا
يا شباب هذه سميها واحد واضح
اه؟ الآن عندي الـ Alpha أكبر من مين؟ من واحد لأن
but Alpha ناقص واحد أكبر من مين؟ من صفر لأن الـ
Alpha أكبر من واحد وعندي هذه الـ C أمامها بين الـ
0 والـ X يعني أكبر من 0 and C أكبر من 0 إذا صار
عندي المقدار هذا 1 زائد C نفسه أكبر من 1 ولما ترفعه
لأس موجب، هيظل أكبر من مين؟ و strictly أكبر من
واحد، والمساواة بس عند مين، عند الـ C بيساوي صفر،
واضح اه؟ طيب الآن صار هذا المقدار أكبر من واحد إذا
عندي X موجبة و Alpha موجبة مظبوط ولا لأ لأن X هي
أكبر من 0 و Alpha أكبر من 1 إذا أضرب الجهتين في
Alpha في X بيصير عندي Alpha في X and so Alpha في X
بالضرورة أكبر من مين Alpha X في الـ 1 زي الـ C plus
Alpha minus 1 بيبقى أكبر من 100 من Alpha في x
واضح اللي سويناه ضربنا Alpha x في الجهتين والـ
Alpha x موجبة ضلت الـ inequality زي ما هي طبعا لا
تساوي الصفة بالألف ولا الـ X إذا من 1 ومن 2 we
have done from 1
and 2 من واحد واثنين بيطلع عندي اللي هو واحد
زائد X طول Alpha اللي هو بيساوي المقدار هذا اللي
هذا الجزء منه أثبتنا إنه أكبر من مين من Alpha في X
لذا صار هذا أكبر من واحد زائد Alpha X أي سؤال؟ إذا
في حالة الـ X أكبر من 0 وجدنا الـ 1 زائد X أو أكبر من
1 زائد Alpha X لأن هنعمل نفس الشيء بس في الحالة مين؟
في حالة الـ X أصغر من 0 وطبعا أكبر من مين؟ من سالب
1 إذا بدي اخذ الـ X أكبر من 0 وأكبر من ناقص 1 وأصغر
من مين؟ من 0 لاحظ لما تكون X أكبر من ناقص واحد أصغر
من صفر برضه نطبق الـ mean value theorem على هذه
نفس الدالة الآن on the interval الآن X وصفر
لأن X هي مالها الصغيرة على الـ interval X وصفر لأن
X سالبة طيب إذا برضه there exists C element الـ
mean in X وصفر is نفس البرهان such that X فـ F
prime of C بيساوي F of X ناقص F of Zero نفس الحاجة
بيصير الـ X في Alpha في هذا المقدار وهذا المقدار
ما تغيرش ولا شيء بيصير واحد زائد X وده Alpha بيساوي
واحد زائد X في Alpha في واحد زائد C أس Alpha ناقص
واحد الآن بيجي الأسباب هنا الـ Alpha ناقص واحد
أمامها أكبر من صفر زي ما هو لكن الـ C الآن اللي
لجيناها وين موجودة في المنطقة السالبة ده الـ C أيش
هتصير معاينتوش يا بابا هتصير الـ C أصغر من مين من
صفر سالبة مدام الـ C سالبة إذا واحد زائد C هتصير
أصغر من مين من واحد واحد زائد C أصغر من واحد واضح
طيب مدام واحد زائد C أصغر من واحد هيكون عندي and so
أضرب الجهتين الآن في اللي هي Alpha Alpha Alpha
بتظل زي ما هي لما نضرب في Alpha لأن Alpha إيه
معناها موجبة ده لو ضربت في Alpha هنا و Alpha هنا
بتظل زي ما هي لأن بدنا نضرب في مين؟ في X و X
أمامها سالبة فهتنجلي بالإشارة كمان مرة بيصير and
so X في Alpha في واحد زائد C أس Alpha ناقص واحد
هتصير أكبر من Alpha في X لأن X سالبة إذا صار عندي
هذا المقدار أكبر من هذا لأن من واحد ومن اثنين زي
ما عملنا قبل بشوية بتصير المقدار هذا اللي هو أكبر
من واحد زائد Alpha X strictly لاحظوا إنه في
الجهتين سواء X أكبر من صفر أو أصغر من صفر لجينا إن
الـ inequality هذه متحققة أو strictly متحققة
الآن المساواة وين صارت؟ عند الصفر فالآن عشان ناخذ
بعين الاعتبار الحالة اللي هي x أكبر من ناقص واحد و
أصغر من صفر وحالة x أكبر من صفر وحالة x بتساوي
صفر بيصير هذا المقدار أكبر أو يساوي لكل x لكل x
ماله أكبر من ناقص واحد لأن الاتجاه الثاني من هذا
أثبتناه في الواقع إيش هو إنه لو كان فيه equality X
بتساوي 0 أو بمعنى آخر X لا تساوي 0 بيعطي إيش
أمامها non equality is not equal وهذا حدث كيف حدث
أثبتنا إنه لما X أكبر من ناقص واحد وأصغر من 0 أو X
أكبر من 0 لجينا إنه هذه strictly أكبر يعني بتساوي
hash إذا صار عند الـ equality تحدث if and only if X
بساوي صفر أي سؤال؟
طيب نيجي الآن نيجي الآن للـ intermediate value of
property of derivative خلّيني ألقى في عينتها إذا
بتتذكروا في الـ intermediate value of property اللي
هو for a continuous function إذا بتذكروا فيه اللي
هو real واحد اللي كانت تقول إذا كانت تقول إنه لو
كانت الـ F function continuous على a closed open على
closed interval من A لعند B continuous على الفترة
هذهو إجيت أخدت أي نقطة K بين الـ F of A و بين الـ F
of B إجيت أخدت أي نقطة .. خد مثلا نقطة K بين F of
A .. هي F of A و هي F of B .. هي F of A و هي F of
B لو إجيت أخدت أي K بينهم هتلاقي .. هو خلي ناخد K
هنا مثلاهتلاقي على الأقل نقطة في الفترة A وB بتكون
اللي هو صورتها عبارة عن مين؟ عن الـ K يعني بمعنى
آخر there exists C element in A و B such that F of
C هي مين الـ K و لا أصلا مش هتلاقيها continuous لو
مافشلها فئلة و جينا مدينا خطنا هلجيت و مالجيناش
ولا واحدة من هذه النقاط اللي هو تقطع الخط معناته
أنه صار فيه jump مش هيكون في continuity الان هنا مش
في نقطة هي نقطة هي نقطتين هي تلاتة كلهم صورتين هي
C1 هي C2 هي C3 كلهم F of C1 K F of C2 K F of C3 K
المهم على الأقل في C element in A وB اللي هي بحيث
F of C بالساوة K هذا لو كان اتقفز continuous على
closed اللي هي bounded interval اللي عندك الآن
الحديث بيقول لي في شيء مشابه في حالة أن الـ F' is
differentiable الآن بيقولك لو كانت K بين الـ F' لل
A و الـ F' لل B برضه هنلاقيها بتتحقق اللي هو there
exists C بحيث أن F prime of C بتساوي اللي هو الـ K
نحكي عنها بالرغم أنه مش مفترضين احنا في النظرية
اللي هو الـ continuity الـ continuity للـ F prime
فضبجنا على الـ F' لكن مش .. لأنهم افترضينا على طول
تتطبق الـ Intermediate Value Theorem بس على الدالة
الـ F' لكن لأ ما هو مخزون في دالة .. خلال الـ F'
من معلومات أهلها أنه في حالة F is differentiable
على الـ interval I و الـ F ب .. و لجينا .. وفي عندي
أخدت أي K بين الـ F' of A و الـ F' of B هتلاقي C
في الـ A و الـ B بحيث انه اللي هي F' of C هي هذه
الـ K هنشوفها هذه اللي بنسميها Daraboxes theorem
قبل ما نروح للـ Daraboxes theorem خلينا نيجي لللمة
اللي جابلة اللي هنستخدمها في إثبات الـ Daraboxes
theorem الآن النظرية هذه أو اللمّة هذه اللي هو
خلّينا نستذكرها من خلال الرسم ممكن يكون أسهل لكم
من خلال الرسم بتقولّي إنه لو كانت عندنا function F
is differentiable على اللي هو interval معينة
و لجينا عند C معينة هي F prime عند C موجبة F prime
عند C موجبة يعني F prime at some C أكبر من 0 يعني
مين المماس إيه اللي شماله اللي هو زاوية حادة عامل
زاوية حادة ماشي الآن بقولي هتلاقي الآن بده يبحث عن
نقاط تكون أكبر من مين من F of C الآن هتلاقي اللي
هو هذا C اللي بتحكي عنها وهنا اللي هو في جوار حوالي
هذين there exist إذا كان f of rank of c أكبر من
صفر there exists delta أكبر من صفر such that f of
x هنلاقيها أكبر من F of C لكل X وين متوقع أنا هان
لإنها الميل هيه إذا في الوين عشان C ل C زائد Delta
مش في الفترة اللي جابلة، في الفترة اللي جابلة
هتلاقي اللي هي النقطات أشملها أجل لأنا الآن ببحث
.. ببحث لم تبعت هيك بدها اللي هو there exist دلتا
أكبر من صفر ساشداد F of X أكبر من F of C لكل X
و اللي موجود من الـ C للـ C زائد دلتا معايا؟ الآن
بقولك لو لجينا F prime للـ C عند نقطة ما F prime
للـ C هي الـ C التانية لو لجينا F prime للـ C أصغر
من صفر عشان .. عشان ما تحفظهاش حفظ عشان لو انسيتها
تستنتجها لحالك لو كان F' للـ C أصغر من صفر يعني ميل
المماس سلب يعني زاوية منفرجة الآن هتلاقي Delta
أكبر من صفر يعني تمثل جوار بحيث أن F of X برضه أكبر
من F of C لكل X وين موجودة هي وارحة منها لكل X
موجودة وين جابلها من C نقص دلتة لعند مين؟ لعند C
من C نقص دلتة لعند C هذه بس اللممة للاستذكار، إيش
بتقول اللممة؟ تعالى نشوف بالظبط اللي بتقوله اللي
حكيته أنا بقول اللممة let I subset من R be an
interval and let F من I ل R و let C element in I
and assume that F has a derivative at C نفترض أن
الـ F الهياشق مشتقة عند النقطة C مقولي إذا F prime
أكبر من 0 عند الـ C هاي اللي قلته هان إذا يوجد
دلتة أكبر من 0 بحيث أن F of X أكبر من F of C لكل
الـ X وين موجودة بين الـ C و C زائد دلتة اللي هي
الجبل هنا
الثانية، إذا كانت F' أصغر من 0، حلاقي Delta بحيث
أن F of C أصغر واحدة في الجوار، يعني F of C أو في
الجزء من الجوار، هذا الجزء اللي لجاي، F of C أصغر
من F of X، وين هاي الـ F of X هنا؟ أكبر من F of C،
واضح؟ لكل X وين موجودة في الـ C minus Delta و الـ C
أي سؤال البرهن هو A خلّينا نبرهن به نحنا به
خلّينا نبرهن مع بعض به
الآن
بدنا نقول نفترض أن F برايم به
approved الآن ماعطينا F برايم of C أصغر من صفر،
مظبوط؟ لأن بتقول since f prime of c أصغر من صفر
then limit f of x ناقص f of c على x minus c لما x
تروح لل c إشماله أصغر من صفر ماشي، مدام أصغر من صفر
عند .. قلنا قبل هيك في نظرية إذا كان اللي هو
المقدار هذا أصغر من صفر إذا بقدر ألاقي جوار
حواليها بتكون القيم كلها إشمالها أصغر من صفر إذا
then there exist V Delta of C اللي هو جوار جوار من
عند C minus Delta لعند C زائد Delta ماشي؟ اللي هو
احنا أخدناها من هذا المنطقة من C نقص دلتا ل C زائد
دلتا such that اللي هو F of X نقص F of C على X
minus C أصغر من صفر لكل X وين في V دلتا of C أنا
غرضي أني أخلي اللي هو أوجد mean أن F of X أكبر من
F of C بدا وجد المنطقة اللي بتكون فيها F of
X أكبر من مين من F of C لاحظ انه هذا بديها وكأن F
of X ناقص F of C بديها أكبر من 0 صح عشان أحصل F of
X أكبر من مين من F of C لذن عشان أحصل على هذا
المقدار أكبر من 0 و أنا بعرف ان هذا كله أصغر من 0
بدي المنطقة هذه تكون أصغر من 0 وين هتكون أصغر من
0؟ في المنطقة هذه، ماشي الحال؟ الآن but for every x
element in c نقص delta و c ال x minus c أصغر من
صفر واضحة؟ إذن الآن من هذه و من هذه hence F of X
ناقص F of C اللي هي بتساوي X minus C في F of X
ناقص F of C على X minus C هذا سالب وهذا سالب لذا
حصل ضرب بين أشماله هكون أكبر من صفر سالب في سالب
موجه مظبوط لهذا الكلام لكل X وين موجودة في الـ C
- Delta OC وهذا معنى أن F of X أكبر من F of C لنقطة
المذكورة لنقات المذكورة واضح؟ أي سؤال؟ نيجي الآن
اللي هو انبرهن الـ Drabowski's theorem اللي حكينا
عنها وقدمنا لها قبل بشوية إيش الـ Drabowski's
theorem بتقول أنه عندي الـ F هو مستخدم للتحدي في بعض
الانترالين
A و B
اللي هي أي K بين F' و F'
of A و F' of B إذا نحن نلاقي الـ C بقيت أن F' of C
هي الـ K كمان مرة Drabowski's theorem بتقول if F
is differentiable on A و B و if K is any number
between F' of A و F' of B then there exists at
least one point C في الـ A و الـ B بحيث أن الـ Alpha
Prime of C أيش بتساوي؟ بتساوي K ماشي يا شباب طيب
اللي زي ما علقنا قبل بشوية بالرغم إنه إحنا ماحدش
جاب سيرة إن الـ Alpha Prime هتكون continuous لأ،
قلنا ما في الـ F' من مخزون، derivative من مخزون في
داخلنا المعلومات أهلها إنها تقدر تصل أنه لأي K بين
الـ F A و الـ F' A و الـ F' B بالـ Legacy، بحيث أن
F' اللي عند الـ C هي الـ K. إيه المرحلة دلوقتي؟
شوف، نفترض أنه Proof نفترض أن G of A أصغر من K أصغر
من مين من G أو F prime of A أصغر من F prime of B
ماشي الحال واضح
هذا فرضناه الآن بدنا نلاقي C بحيث انه F' للـ C هو
الـ K الآن define هالجيه تعرف ليش اعرفت defining
function G of X بساوي K في الـ X ناقص F of X عندي
اللي هي هذه الدالة هي الدالة اللي هتوصلني للي
بديها الآن واضح أن الـ g of x بيساوي kx ناقص f of x
أنها differentiable اللي هو هذه وين ما كان و هذه
differentiable على ال I إذا صار أن التنتين
differentiable على مين؟ على ال A و ال B و طبيعي
continuous على ال A و ال B إذا بما أن هذا الدالة
is continuous على closed bounded interval then it
attains its maximum and its minimum on this
interval بتشتغل عليه ال maximum و لو حد بده
يشتغل عليه المنهج ما بنفع برضه الآن then g of x
attains its maximum on mean on a و b لأن إيش اللي
بيثبت لك هي بيثبت لك إن الـ G هيكون ال maximum
إلها لا عند ال A ولا عند ال B إذا هتكون وين؟ في
نقطة داخلية مدام في نقطة داخلية وإحنا عارفين إن
الـ G differentiable على كل المنطقة هذه إذا صارت
غصب عني إنه لازم مدام عندها maximum و interior
point إذا الـ G prime إيش هتساوي؟ هتساوي 0 واضح؟
مدام جي برايم ما هتساوي صفر هتصير ال F prime of X
ال F of some C بتساوي ال K و بيكون خلصنا البرهان
تشوفوا اللي بقوله طيب صلوا على النبي عليه الصلاة
والسلام الآن عندي ال G prime of X هتساوي K ناقص F
prime of مين؟ of X صح ولا لأ؟ طيب الآن لو جينا
حسبنا الـ G' عند ال A إيش هتلاقيها؟ K ناقص F' عند
مين؟ عند ال A صح ولا لأ؟ K ناقص F' عند ال A هتكون
أكبر من مين؟ من 0 واضح مدام ال G' على ال A أكبر من
0
K-F' أكبر من صفر بما أن J' بسوء K-F' أكبر من صفر
يعني هذا أكبر من صفر حسب اللي قبل قليل حكينا عنها
ثم هناك دلتا أكبر من صفر such that G' of X أكبر من
G of A اللي كنا بسمينا C فاهمين عليها الـ G of X
أكبر من G of A for every X element in متذكرين اللي
قبل بشوية لما كانت جي برايم لما كانت الجي برايم
أكبر من صفر كانت اللي هي وين لجاي X element لغاية
أسف X element in C اللي هي A هنا و A زائد دلتا اللي
ما اللي قبل بشوية إذا صارت عند جي of X أكبر من
من الـ G of A واضح لمين؟ لكل الإكسات اللي هي في نص
الجوار هذا صارت عندي اللي هي الـ G of A مش maximum
لأن في قيم أكبر منها واضح؟ إذا أكيد then G does
not have a maximum at A إذا الفش مش maximum عند
مين؟ عند الـ A أي
سؤال؟
Similarly .. Similarly G' عند ال B معايا يا شباب
G' عند ال B بيساوي K نقص F' عند ال B و K ناقص F
prime عند الـ B أصغر من مين؟ أصغر من 0 إذا بنفس
اللّمة بس على الجهة الثانية then there exists
Delta أكبر من 0 such that G of X أكبر من G of B
لكل X وان الآن من عند B ناقص Delta لعند الـ B صح؟
وهنا end points هذول فمش هتكون برضه مين ال b مش
هتكون عندها maximum لأنه منها ولا جوا ال b end
point منها ولا جوا ال g of x أكبر من ال g of b إذن
مش maximum إذن hence g does not have a maximum at
b from هنا و from هنا from here and here we have g
has
the maximum inside a و b، مظبوط؟ يعني بمعنى آخر،
مدام احنا أكيد attained its maximum there exists c
element in a و b such that جي هز ا maximum مدام جي
هز ا maximum و interior point إذا جي برايم عند ال
C إيش بتساوي؟ بتساوي صفر مدام جي برايم عند ال C
بتساوي صفر إذا صار عندي hence
وهنا اكتب جي برايم عند الـ C إيش بيساوي؟ بيساوي
صفر إيش جي برايم بيساوي؟ K ناقص F برايم إذا that
is K
إن هي بدل جي برايم ناقص F' عند C بيساوي صفر أو بمعنى
آخر F' عند C إيش بيساوي؟ بيساوي K فعلا لقينا C في ال
A و ال B بحيث أن F' عند C إيش بتساوي؟ بيساوي K كما
هو مطلوب هيها أي سؤال الآن
عندي المثال الأخير بقول لي use Darboux's theorem
هو في الواقع مثال على Darboux's theorem بقول لي
the function g من
ناقص واحد و واحد لعند ال R defined by معرفة g of x
إيش بيساوي واحد إذا كانت x أكبر من صفر وأصغر
بساوى واحد 0 إذا كانت X بيساوي واحد و ناقص واحد إذا
كانت X أكبر من ناقص و أكبر بيساوي ناقص واحد و
بيساوي صفر بقول لي أثبت أن هذه الدالة is not the
derivative is not a derivative of any function
يعني مافيش function في الدنيا بتكون مشتقتها هي هذه
الـ G هذه الـ G is not a derivative of any function
نبدا نقول suppose not ونصل لـ contradiction ماشي
الحال إذا الآن ال
... النظرية ... ال ... المثال بقول mainly المثال
بقول example example show that
G من ناقص واحد لعند الواحد لعند ال R Defined by G
of X بيساوي واحد إذا كانت X أكبر من صفر وأصغر يساوى
واحد صفر X بتساوي صفر ناقص واحد X أكبر يساوى ناقص
واحد وأصغر من صفر is not a derivative of any
function on ناقص واحد واحد solution أو proof اللي
قاعد تقول suppose that
there exist f من ناقص واحد واحد لعند ال R such that
f prime of x بيساوي g of x لكل x element ناقص واحد
و واحد ماشي الحال إيش هذه الدالة هي في الواقع
الدالة هي ال g of x هذه عندي صفر و أنا عند الواحد
عند الواحد و أنا سالب واحد
لعند اللي هو سنة واحد هيدّه ده اه لأن افترض انه F
بين ناقص واحد واحد such that F prime of X بيساوي G
of X واضح انه F is differentiable مدةن اذا قلت F prime
of X بيساوي G of X لكل X اللي من ناقص واحد واحد
صارت ال F إيش مالها is differentiable مظبوط ولا لأ
is differentiable و اثنين لأن but النص ينتبه إلى
الفترة ناقص واحد و واحد اللي هي إيش بتساوي؟ اللي هي
عبارة عن الفترة هذه عبارة عن اللي هي F prime of
ناقص واحد و F prime of واحد واضح
اه؟ هذه F' هي مين؟ G صح ولا لا؟ فمين؟ وهذه إيه؟ F'
G لأن G of واحد واحد، G of ناقص واحد ونص في الفترة
هذه
أصلًا كل قيم الـ F' أو الـ G هي واحد صفر و ناقص واحد
هذا هيسبب لك الخلل مش نص بس تقدر تختار ربع تلت خمس
أي حاجة غير الـ Zero و الواحد و السالب واحد إيش ال
... إيش الشد في الأمر but نص element كده and D
F is differentiable on ناقص واحد واحد صح؟ then by
Darboux's theorem there exist c element ناقص واحد
و واحد such that اللي هو g of c أو f prime of c
بيساوي إيش؟ نص صح؟ i.e بمعنى آخر F prime of C اللي هو
G of C بيساوى نص Which is impossible Therefore
our first assumption is not true that is there is
no F من ناقص واحد لعند واحد ... من واحد ناقص واحد
لواحد لعند ال R بحيث أن F' بيساوي G أو بمعنى آخر G
is not a derivative of any function وهكذا
نكون خلصنا ستة اثنين والمرة اللي جاي إن شاء الله
بنكمل في ستة ثلاثة ويوم الأحد القادم بنناقش ستة
اثنين أسئلة 6