بسم الله الرحمن الرحيم المحاضرة السابعة مساق تحليل
النهاري 2 اللي طلبت كلية العلوم بالجامعة الإسلامية
قسم الرياضيات اليوم
هيكون عندنا استكمال ل .. اللي هي قواعد أو قاعدة
L'Hôpital اتحدثنا المرة الماضية عن الحالة اللي بتحدث
صفر على صفر وكيف انعالجها وتم اللي هو برهان
النظريات المعنية في ذلك، الآن بدنا نتحدث على الحالة
اللي بتحدث عندنا أيضًا 0 على 0 ولكن the limit ال X
بتروح إلى ما لا نهاية أو سالب ما لا نهاية وقلنا عنها
صحيحة برضه، وبعد ذلك هنتحدث عن الحالة infinity على
infinity، نيجي الآن لنظريتنا اللي وصلنا عندها
suppose that
F and G are continuous and differentiable على
الفترة من A إلى ما لا نهاية ونفترض أنه limit لل F
of X لما X تروح إلى ما لا نهاية هي نفس limit the G of
X لما X تروح إلى ما لا نهاية تساوي إيهاش صفر يعني
هذه هتخلقلي حالة اللي هو صفر على صفر ومن ثم نشوف
كيف انعالجها، العنوان G of X ذاته ساوة صفر نفترض، وG
prime of X ذاته ساوة صفر لكل X أكبر من مين؟ من اللي
هو المقصود هنا بيه اللي هي أيش؟ A، يعني هذه اللي هي
مين اللي هي المقصود أنه A؟ يا ما نخلي هذه A، يا ما
هذه A، then limit F of X على G of X لما X تروح لما
النهاية هتكون بالظبط أيش بتساوي؟ limit F prime على
G prime of X as X goes to infinity provided that
هذا ال limit بتساوي قيمة معينة أو تساوي infinity
أو سالب infinity، الآن احنا في الواقع اللي هنسوي
وكأنه يعني عملية تحويل اللي نخلّي بدل X تروح إلى
ما لا نهاية نخلّي اللي هو متغير وروح لصفر يعني بدنا
نعيد تعريف الدالة بحيث أنه يروح هذا المتغير يعني
وكأنه نقول 1 على T ويروح لـ .. اه 1 على X
يروح لصفر لما X تروح لما لا نهاية ومن ثم نطبق
النظريات اللي أخدناها المرة الماضية، دعونا نشوف إيش
اللي بنحكيه الآن عند ..الـ الـ function F و G F و
G معرفات من A وما لا نهاية لعند اللي هو R، الآن
عندي اللي هو بده أعرف اللي هو عشان أقدر أستخدم
نظرية المرة اللي فاتت المرة الماضية بده أعرف
دالتين F capital و G capital من اللي هو عندي من
Zero لعند اللي هو 1 على A لعند اللي هو صفر، واضحة
الصورة تقريبا اكيد هنقول define F of G as F of اللي
نسميها اللي هو T بتساوي اللي هو G أو F of 1 على T
لما T اللي هي لا تساوي صفر، وطبعا T أنا معرفها
اللي هي في الفترة من Zero لعند 1 على A، وده
بيدعرف عند Zero بقول صفر إذا كان T أيش بدها تساوي
بتساوي صفر، الآن الـ الـ G of T بتساوي نفس الأسلوب
G of 1 على T لما T لا تساوي 0، وصفر إذا كانت T
أشمالها بتساوي 0، الآن واضح العلاقة بين الدالتين اللي
هو F و F اللي هو على أساس أني أحول the limit
المعطاة عندي limit F of X لما X تروح إلى ما لا نهاية
تصير عندي ال limit بالنسبة لهذه اللي هي الـ 1 على X
بتاعتنا هتروح لمين؟ في هذه الحالة للصفر، وبنستخدم ومن
ثم بنكون حصلنا على المتغير لإن أنا T بروح للصفر as
X بتروح لما لا نهاية ومن ثم بنستخدم النظريات اللي
أثبتنا صحتها في حالة T بتروح إلى A من اليمين لإن
احنا هنروح لـ Zero من اليمين، هذه اللي هي الخطة اللي
هنمشي عليها، بنشوف أول شيء واضح أن الـ F والـ G الـ F
والـ G are differentiable على مين؟ على الفترة من
صفر لعند 1 عليه A، 1، 2، ومدام
differentiable ده يعني continuous عليها ومش هيك كمان
لو جيت أخدت أنت هذه بتحسبها لحالك limit F of T as
T بتروح للصفر اللي هي بتساوي limit F of 1 على T as
T بتروح للصفر وهتلاقيها إيش هتساوي؟ هتساوي صفر
فصارت اللي هي الـ F ال capital is continuous على
الفترة من 0 لعند 1 على A، similarly limit G of T لما
T تروح للـ Zero، طبعا كل الـ Zero من وين؟ طبيعي من
اليمين لأنه احنا عالمنا اللي بنشتغل عليه اللي هي
من عند Zero لعند 1 على A، من المنطقة الموجودة بقى
إذن هروح للـ Zero من جهة اليمين هيساوي نفس الشيء
limit F of 1 على T لما T تروح للـ Zero من
اليمين ويساوي اللي جيها برضه أشمالها بتساوي صفر
الآن صارت الآن الـ F والـ G أشمالين are continuous
على الفترة اللي عندنا و differentiable على الفترة
الـ open و .. و .. و .. و .. و .. و .. و .. و .. و
.. و .. و .. و .. و .. و .. و .. و .. و .. و .. و
.. و .. و .. و .. و .. و ..
بنجي بنحصل على ما يلي، خليني بس اسمحولي أمسح هذه
الdata في الذاكرة عندي، بدي أحسب أنا غاية أن أوجد مين
يا جماعة limit اللي هو F of X على G of X لما X
تروح إلى وين؟ إلى ما لا نهاية، لأن limit F of X على G
of X لما X تروح إلى ما لا نهاية بتساوي عبارة عن الآن
الـ X بتروح إلى ما لا نهاية، F and والـ F الـ 1 على X
وين بتروح؟ اللي هو الصفر بتساوي limit F of 1 على
T خلينا نسميها على G of 1 على T لما T تروح إلى
مين؟ إلى الصفر من اليمين، أو إذا كان عندك اضطراب
confusion شيء والتكن X مافي مشكلة، X لما X تروح لـ 0
من اليمين اللي هي بتصير عند أسف الـ 1 على X بتروح
لـ 0 من اليمين if and only if الـ X بتروح لمين؟ إلى
ما لا نهاية ومن ثم بخطوة ثانية بترجعها للي كتبته
قبل بشوية limit اللي هو عبارة عن F of T على اللي هو
G of T لما T تروح لـ 0 من وين؟ من اليمين، باشي
الحال أنا الآن بدي أفضل في الواقع بالنسبة لمن؟
بالنسبة له اللي هو الـ X عندي اللي هو وديت واحدة
الـ X من اليمين وصارت عندي اللي هي مكان لأ لأ يا
جماعة هاد نظام هي بتضلها آسف أه؟ X X وهنا بتصير
أننا مين؟ 1 على T وهنا 1 على T، واضح ليش
استبدلنا هنا احنا الـ 1 على X كله بـ T فصارت هذه
اللي هي 1 على T وهذه 1 على T، الآن صارت
النظرية السابقة مطبقة لأن الـ T بتروح لمين؟ لـ Zero
من لمين؟ لأن هدف الواقع مين هي اللي قلنا عنها شيء
هذه بتساوي limit F of T على G of T لما T تروح إلى
Zero من وين؟ من اليمين، وهذا متطبق لأن هذا Zero
وهذا Zero زي ما عملنا قبل بشوية إذا صار أيش بيساوي
تفاضل الأول على تفاضل الثاني في الـ 100 بالنسبة لعن
نظرية السابقة إذا بيصير limit التي هي التفاضل هادي
من هنا F prime of T أيش بيساوي يا شباب؟ تفاضل
هادي، عن T بتروح للـ 0، إذن هي عبارة عن ناقص 1 على
T تربيع في F prime of 1 على T تفاضل F of T، F of T
هيها، يعني T لا تساوي صفر تفاضلها F prime بساوي ناقص
اللي هو F prime الـ 1 على T فتفاضل اللي جوا اللي
هو عبارة عن أيش؟ ناقص 1 على T تربيع، واضح، على
similarly ناقص 1 على T تربيع في G prime of 1
على T لما الـ T تروح لمين؟ إلى الـ 0 من اليمين، النقص 1
دلت الـ T تربيع، النقص 1 دلت T تربيع بروحن مع بعض
نرجع لأصلنا بيصير limit F prime بده استبدل الآن الـ
1 على T بالـ X على G prime برضه نفس الشيء على X، والـ
T تستبدل بمين؟ اللي هو عبارة عن 1 على X بده تروح للـ
0 من اليمين، يعني الـ X بده تروح لمين؟ إلى ما لا نهاية، بيصير
عندي اللي هو limit F of X على G of X بساوي limit F
prime of X على G prime of X وهو المطلوب، نيجي
للنظرية بعدها، النظرية اللي بدها شغل، خلينا نشوف
النظرية، اطلع لفوق ونركز نشوف أيش هو النظرية بتحكي
ومن ثم نذهب إلى برهان النظرية
عشان مساحة اللوحة شوية خلينا نتبع على التلخيص ومن
ثم بنبرهن theorem 636 اللي هي باختصار هي حالة ما لا
نهاية على ما لا نهاية، نفترض أن الـ F والـ G are
differentiable على الفترة من A و B، يعني إحنا شغلنا
الآن على الفترة أي إن كانت هذه الفترة من عند A لعند
ما لا نهاية لعند B، لأننا مفترضين أن الـ F والـ G اللي هو
قابل للاشتقاق على الفترة A و B، و limit F of X لما
X تروح إلى ما لا نهاية .. إلى Zero من اليمين ..
إلى A من اليمين إيش بيساوي؟ Infinity، و limit G of X
لما X تروح إلى ال A من اليمين برضه إيش مالها؟
Infinity، يعني بمعنى آخر صار لما عرضت علينا limit F
of X على G of X لما X راحت إلى الـ A من اليمين
وجدنا limit اللي فوق ما لا نهاية و limit اللي تحت
ملا نهاية يعني حصلنا على الكمية غير المعينة
Infinity على Infinity إذا هذه النظرية ستعالج هذه
الحالة طبعا الآن اللي هي بطريقة مشابهة للسابقة
والآن احنا طبعا هنقوم ببرهان هذه النظرية نكمل النص
الآن فرضنا أيضًا أن اللي هو الـ g of x لا تساوي
صفر والـ g prime of x لا تساوي صفر لكل x وإما لها
في الفترة a و b يعني مفترض أن الـ g of x لا تساوي
صفر على كل الفترة a و b نأتي إلى الجزئية الأولى من
النظرية if limit f' على g' يساوي L element in R
إذا فlimit f على g برضه أيضًا أيش هتساوي؟ L اللي هي
نظريات اللي قبل بشوية بنفس.. بنفس.. خلّيني أقول
بنفس المنطق ونفس النصوص بس مبدل 0 على 0 عمالة
نهاية فلان limit f prime على g prime صارت مالها
نهاية أو سالب مالا نهاية، برضه النظرية بتظبط، سير
limit اللي عندنا هذه هي بالظبط limit الـ F على G as
X وتروح لـ M من اليمين يساوي Infinity وسالب
Infinity يعني في النهاية اللي ببحث عنه هذا هو في
الحالة هذه أو في الحالة اللي فوق يساوي limit مين
الـ F prime على G prime اللي هي الطريقة المحدودة
بنفضل اللي فوق و بنفضل اللي تحت و بنوجد limit هين
بيكون هين limit اللي هي الأصل اللي احنا بدنا إياها
الآن نيجي اللي هو in Berlin اللي هو a و b طبعا
بنفس الأسلوب الآن
قبل ما نبدأ احنا لو اجينا و قلنا limit f of x لما
x تروح لأي شيء مثلا a من اليمين يساوي L
وقلنا اللي هو for every epsilon تعريفها for every
epsilon أكبر من صفر there exists a delta أكبر من
صفر such that if x element in A طبعا من اليمين
معناته A و A زائد دلتا then اللي هو هيكون عندي f
of x ناقص الـ L أصغر من مين؟ من إبسيلون الآن لو كانت عندي
الـ epsilon أثبتت أنا هذا الكلام لـ epsilon لـ
epsilon لو أثبتت لكل epsilon element in مثلا in
صفر و نص أو نص ربع أو نص تلت لو أثبتت أن
لكل إبسيلون لجهة دلتا بحيث أن هذا الكلام أصغر من
مين؟ من إبسيلون برضه بيكون يجزئ عن الـ limit ليش؟ لأن
المقدار اللي بيكون أصغر من إبسيلون اللي هي أصغر من
النص أكيد بنفع لمين؟ للدلتا بنفع للمقدار اللي الـ
إبسيلون أكبر من مين؟ من النص لأنه أصلا اللي هي مشكلة
أو خلينا نقول الـ limit في حد ذاتها أنه لما الـ A
تروح الـ X تروح إلى الـ A من اليمين، بدنا نجمع أن
الـ F of X تقترب من مين؟ من الـ L من اليمين، يعني التعجيز و
كأنه بعجزني أنه يقول لي إنك تلاقي الـ Delta في
حالة الـ Epsilon أكاش اللي بيكون صغيرة فالـ Close
اللي هو تمين to Zero، لإنه أصلا المفهوم اللي
بتقيله هذه المسافة تضيق، تضيق، تضيق، بحيث أن F of
X تقول إلى الـ مين اللي بتعبر عنها؟ الـ Epsilon،
لأن بعطيك Epsilon صغيرة جدًا جدًا بدك تلاقي لي Delta
أنا الآن الـ Epsilon بين صفر و نص لقيت لك الـ
Delta اللي طلعت هنا معناته اللي نفع للـ Epsilon
الصغيرة أكيد بيكون أصغر من مين؟ من الأكبيرة إذا هذا
يجزئ بس هذا قبل ما نبدأ لأنه هسأخدم شغلة اللي هو
في هذا الاتجاه نيجي الآن عندي أول شيء المعطى
ماتيني LimitF prime of X على G prime of X as X
بتروح للـ A من اليمين أيش يساوي؟ يساوي أقل تعريف
الـ Limit for every Y أكبر من 0 اللي هتاخد for
every Y element in 0 ونص اللي هي لزوم حسابات، بعد
شوية هنشوفها الآن لكل y تنتمي إلى 0.5 وهذا مشروع
حسب ما حكيت قبل بشوية there exist delta أكبر من 0
such that اللي هو if x element in a و a زيادة دلتا
لإن رايح لل a من وين؟ من اليمين لجيت اللي هو دلتا
بحيث أنه لكل x في الفترة من a لعند a زائد دلتا بصير
عندي لكل x المتنية زائد دلتا بتطلع عندي then f
prime of x على g prime of x ناقص ال L أصغر من مين؟
من ال epsilon إذا الآن من هذه ال limit حصلت على أن
لأي إبسلون بين الـ 0 و نص بقدر ألاقي Delta بحيث
لكل الإكسات في المنطقة هذه هذه الـ Inequality إيش
مالها تتحقق الآن بس خلّيني أكملها دي شوية عشان
بستخدمها لشغلات أخرى عند A زائد Delta هذا بس مجرد
تعريف الـ Limit F' على الـ G' لما X تروح للـ A من
اليمين الآن
بدي أختار.. بدي أسهل على حالي بدل من كل مرة أقول
a زي الـ delta وبعد شوية ألاقي delta prime وأخد
الـ minimum بينهم الآخر أجدف عليه عشان اللي بحكيه
بدي أخد اللي هو أقول choose c1 element in a و a زي
الـ delta الآن اختار لي c1 من ال a لعند مين؟ لعند الـ
a زي ال delta سميّه c1 يعني مجرد اختيار أنا اخترته
الآن choose.. choose C1 element in A و A زائد
دلتا يعني C1 وين موجود؟ موجود في المنطقة التي
تتحقق فيها F' ع G' ناقص أصغر من ميل من إبسل عشان
تستخدمها بعد شوية واضح طيب هذه من جهة الآن من الجهة
الثانية عند limit f of x لما x تروح إلى مالا نهاية
آسف للـ a من اليمين بسوء أيش هو معطيني إياها هي النظرية
هي limit f of x لما x تروح إلى ال a من اليمين بسوء
limit g of x لما x تروح إلى ال a من اليمين بسوء
أيش ماله؟ مالا نهاية من تعريفها هذا إيش يعني؟ لكل K
اللي هو element in R there exists Delta A' أكبر من
0 such that اللي هو F of X أكبر من اللي هو الـ K
لكل X و N موجودة في الـ A و A زائد مين؟ Delta
Prime، مظبوط ولا لا؟ ماشي الحال الآن لكل x element
in A و A زي الـ delta prime هذه ال F of X أكبر من
مين؟ من K الآن لو كانت ال A و ال A.. الآن عندي
لكل subset من هذه.. لكل subset.. لو كان عندي A و
C2 مثلا subset من ال A و ال A زي ال delta prime
برضه ال F of X أكبر من K هذه بتحققها بتحقق إيش؟ لكل X
وين موجودة في الفترة من A لعند مين؟ لعند C2 الآن لو
كانت ال Delta اللي لجيتها برا ولا جوا بقدر أختار
جوا اللي هو C2 بحيث أنه لو الـ C2 هذه هي اللي
اخترتها جوات من الـ A والـ A زائد دلتا بتظل الـ F
of X A شمالها أكبر من مين؟ من الـ K، واضح؟ إذا من
هذه بدي أستفيد شغلتين بدي أطبق التعريف هذا لـ K
محددة مين الـ K اللي بدي أطبقها؟ اللي عبارة عن F
عند مين؟ عند C1 واضح؟ إذا الآن بما أنه limit f of X
ثم X تروح إلى الـA باليمين يساوي Infinity إذا for
K.. إذا for f of C1 there exists Delta Prime أي
Delta Prime معينة بحيث أن f of X أكبر من 100 من f
of C1 لكل X موجودة بين الـA والـA زائد Delta Prime
أنا بدي أختار في مين؟ لكل X الموجودة بين الـ A و
الـ C2 حيث الـ C2 موجودة في الفترة هذه و بدي إياها من
C1 ولجاي إذا عشان هيك بقدر أقول then we can
choose C2 بين A و C1 الـ C2 بقدر أختارها فعلًا
بختارها بس طبعًا وين تشتري تشريع اللي اختيارها أنها
تكون بين الفترة A و A زائد Delta Prime وبدي إياها
تيجي في داخل الـ A و الـ C1 إذا then we can choose
C2 element A of C1 بحيث أن ال F of X أكبر من مين؟
من F of C1 لكل X وينفي الفترة بين A و C2 طيب
هذه معناته أن ال F of X هذه لكل الـ Xات اللي هان الـ
F of X أكيد أي شمالها لها تساوي أيش؟ F of C1 هل
جد تعرف ليش بدي إياها هذه؟ عشان لزوم تعريف شغل معينة
بنفعش تكون ال F of X أيش بتساوي؟ F of C1 الآن
similarly Similarly اللي هو بما أنه limit G of X
يساوي مالا نهاية as X بتروح للـ A من اليمين إذا
بقدر ألاقي اللي هو C1 برايم بحيث أنه G of X أكبر أو
لا تساوي طبعًا أكبر الـ thrifty يعني لا تساوي G of
C1 لكل X موجودة في الـ A و C1 إيش إبراهيم اه G C1
إبراهيم اه G C1 إبراهيم الآن
الـ..الـ..الـ.. الباخد الـ Minimum عشان طبعًا هذا
اللي لجهة N C1' ممكن اللي هي لكل X في الـ A و C1'
و لكل X element in A و C2' بط مانش.. مش عارف مين
الأكبر من هذول فباخد الـ Minimum من الجهتين و
بسميها C1 مثلا أو C2 الـ minimum من التنتين C2
فبتصير عندي لأن لكل X في ال A و الـ minimum بينهن
هذه بتظبط وهذه بتظبط يعني ال G of X لا تساوي F of
C1 والـ F of X لا تساوي مين؟ F of C1 برايم ومنه
بعرف اللي بدي إياه أو بعمل زي ما هو عامل في الكتاب إيش
اللي بقوله؟ نشوف اللي بعدها إذا الآن اللي اتفجنا
عليه أنه في الفترة من A لعند A زائد Delta هذه
متحققة هاي واحد واللي اتفجنا عليه أن F of X لا
تساوي F of C1 في الفترة من A لعند C2
أشمالها متحققة يعني بمعنى آخر الـ Inequality هذه
وهذه التنتين محققات من أين؟ من A لعند C2
واضح؟
الآن وصلنا لمرحلة أنه نقدر نعرف الدالة اللي بتديها
اللي هي F of X بتساوي 1 ناقص F of C واحد على F
of X و1 ناقص G of C واحد على G of X لكل X وين
موجودة بين A وC اثنين و F of C واحد لا تساوي F of X
مظبوط؟ هيّا اعملها أه لإن وين بدي أعرف هذه الدالة F
من A لعند مين اللي هي بتتحقق عليها خاصية F of X ده
تساوي مين؟ F of C واحد وبتتحقق عليها مين اللي هي
الخاصية اللي عندي هذه لإن كله هيلزمني هذا إذا الآن
اتفقنا عليها دي أه عشان بدي امسح أنه عندي f prime
على الـ g prime نقصها الأصغر من إبسلون لكل الـ Xات
من A لعند A زائد دلتا لكل الـ Xات اللي هنا
واتفقنا أن F of X لا تساوي F of C one برضه في
الفرق في المنطقة من إيش؟ من A لـ C2 اتفقنا عليه الآن
نيجي نعرف الدالة اللي هتوصلني لهدفي خذ الآن f of x
بتساوي اللي هو 1 ناقص f of c واحد على f of x
على 1 ناقص g of c واحد على g of x الآن g of c
واحد مستحيل تساوي g of x من أي أسباب اللي حكيناها
وليس سبب آخر أيضا اللي هو ليش أنه عندي الـ g prime
الـ g prime of x ده يساوي صفر إذا حسب Rolle's
theorem مستحيل الـ g of c واحد اللي هو تساوي g of
x ليش؟ عندي g continuous
on a .. طبعا الـ x واللي موجودة جواها منها الآن من x
لعند c واحد صح؟ و g is differentiable on x لعند
اللي هي c واحد open واضحة؟
لأنه أثر هذا continuous و differentiable من a لعند
b العلمي إذا في الجزئية هذه إذا أكيد اللي هم تتحقق
هذه الآن لو زي ما بنقول أن g prime لو لو عندي بدي
يكون g of x بسوء g of c واحد معناته حسب role
theorem هيعطيني there exist cx element in x و c1
such that g prime of cx هي ساوي صفر وهذا مستحيل
لإن هو معطيني الـ g prime of x لا تساوي صفر لكل x
element من a وb معناته معناه الحديث إنه الـ G of C
واحد والـ G of X مستحيل يكون متساويات لكل الـ Xات
اللي في الفترة من A لعند مين؟ لعند C اثنين واضحة إذا
المقام لا يساوي صفر إذا اللي هو هذه is well
defined على مين؟ على الفترة A مظبوط وC2 خليها في
الذاكرة طيب اطلع لفوق وحسب لل limit الآن هذا
عرفناها حفظناها بنضطر أن امسح الآن احسب لل limit
للي فوق limit F of X لما X تروح الي وين؟ الي a من
اليمين بساوي 1
ناقص limit F of C1 عدد على F of X لما X تروح للـ A
من اليمين اتجرأت لأنه عارف أن ال limit موجودة
على التوزيع اتجرأت عليه لأنه عارف limit G of C1
على G of X لما X تروح لوين؟ للـ A من اليمين واضحة
جدش هذه ال limit صفر لأن الـ F of X وين بتروح؟ إلى مالانهاية
نهاية هي بداية الموضوع مش بداية الموضوع كان عندنا
أن ال limit F of X على G of X لما X تروح الى A من
اليمين اللي هو سبب لكل القصة أن هذه ال limit
مالانهاية وهذه مالانهاية صارت مالانهاية مالانهاية
نهاية وهي اللي خلتني اروح بهذا الاتجاه إذا هذه
بتروح إلى مالانهاية إذا هذه بتروح إلى صفر وهذه
المال انهاية بتروح إلى صفر إذا هذا كله على بعض إيش
بيساوي؟ بيساوي 1 واضح طيب الآن for every
epsilon أكبر من صفر اللي هي اللي فوق خلاص بدنا
فيها الآن بيبقى أن ال limit بيساوي 1 إذا there
exists Delta أكبر من صفر أي إن كانت الـ Delta أكبر
من صفر Such that F of X ناقص 1 أصغر من مين؟ من
الـ Epsilon الـ Epsilon اللي بدنا فيها من الأول هذا لو
يعني لكل الـ X اللي في الفترة من a ل a زائد الـ delta
هذه الـ delta الجديدة مش صارت تكون الأولى فأنا
عشان أريح حالي بدي اخذ اللي هو أصغر delta بلاقيها
وأقول حطها كمان جواها هادي حر أنا مدام بتنفع لي
كبيرة أيضا كده بتنفع لمن؟ للصغيرة فاهمين أنا إيش
بقول؟ هذه اللي هي نسميها C3 معايا؟ فبيصير عندي الآن
F of X لكل X element in A لعند مين؟ C3 أي
سؤال؟ F of X ناقص 1 أصغر من Y أكبر من سالب Y
تلزمني هذه المنطقة اللي اللي جاي لأن F of X هذه
يعني F of X يعطينا F of X أكبر من 1 ناقص Y
واضحة؟ لأن هذه جلبها .. اللي هذه طبعا 1 ناقص
إبسلون اللي هي بيصير عنده ال .. ال .. ال إبسلون
أصغر من مين؟ من نصف الـ 1 ناقص إبسلون أكبر من مين؟
اللي هي بيصير أكبر من نصف واضحة؟ اللي هي بيصير 1
على f of x اللي هو أصغر من مين؟ هذا لمين؟ لكل
الـ Xات اللي من A لعند مين؟ C3 وطبيعي الـ
inequalities كلها اللي قبل تتحقق هنا لإنها بتتحقق
من هنا لهنا بعضها وبعضها بتتحقق من هنا لهنا فأكيد
كلها هتتحقق للإكسات اللي مين؟ في الـ A وC3 أصلا أنا
رايح باتجاه مين؟ رايح باتجاه أثبت لكم أنه limit of
of x على g of x لما x تروح لل a من اليمين بساوي
limit f prime of x على g prime of x as x تروح لل a
من اليمين اللي هو إيش نسميه احنا؟ قال إذا أنا بهمني
مين الـ Xات اللي جنب الـ a لإن أنا رايح للـ a من وين؟
من اليمين فأنا بهمني الجوار القريب جدا من الـ a لإن
أنا رايح له أصلا من هنا فالإكسات اللي فيها هي اللي
بتلزمني عشان أصل للي بديها خلي هذه في الذاكرة
فصار عندي الآن صار
عندي هذا كله حكيناه وخلصنا منه الآن نيجي بدنا نصل
للي بدنا ياها بتتذكروا المرة الماضية أنا أصلا جبت
هذه جبت هذه أطلع فيها وقارن لي إياها مع الـ F of X على
الـ G of X اللي أنا بديها لها الـ F of X على الـ G of X
لو جيت قارنتها F of X على الـ G of X إيش هتلاقيها؟
لو جيت ضربت هذه في F of X وهذه في G of X
بنرجع لـ F of X ناقص F of C واحد و G of X ناقص G of
C واحد طب إيش دخلنا فيه هذه F of X ناقص F of C
واحد و G of X ناقص G of C واحد هذه اللي بالكوشي
mean value theorem اللي هتجيب للـ F prime و G prime
اللي أنا أصلا موجودات limited فبحصل على اللي بديها
بالضبط الشيء اللي بقوله أنت يعني ليش هو فكر في هذه
بالسبب اللي حكيته F of X على D of X بالساوي F of X
على D of X في F of X على D of X على F of X مظبوط؟
ما عملش شيء الآن اسحب لي هذه خليها وحط لي إياها هذه 1 على
f of x ماهي الحالة هذه؟ مين هي في الواقع؟ هي اللي
فوق اللي هي عبارة عن اضرب f of x هذه في هذه بيصير
1 ويساوي 1 اللي هي ناقص f of c صح؟ f of x
ناقص f of c على g of x نقص g of c هذا مين هي اللي
هي f of x على g of x في f of x عوضت هذه وحطيتها و
طلع عندي هذا مضروب في كله في مين؟ في واحدة الـ f of
x الآن عندي خليني أطبق اللي هو مين؟ الـ Cauchy mean
value theorem على الفترة من a لمين؟ لـ c تلاتة ماشي
اللي هو there exist طبعا كله متحقق اللي هو الـ F و
الـ G continuous و differentiable على الـ A و الـ C 3
إذا there exist اللي هو إيه؟ اللي بدكي اسميها اللي
هي مثلا there exist gamma أو زي ما هو مسميها في
الكتاب there exist xi element in A و C تلاتة such
that f prime of xi على g prime of xi بساوي بس إن
أنا عشان بتطبقها على مين؟ على الفترة f of x لعند
مين؟ عشان تطلع عندي f of x of مين؟ و f of c واحد
معايا لـ Xات اللي وين؟ اللي موجودة من a لعند c
تلاتة بعد اذنكم بتطبقها الكوشي mean value theorem
ما هي أصلا continuous و differentiable على الفترة
دي كلها من ضمنها مين؟ الفترة A وC تلاتة ومن ضمنها
الفترة A وC واحد اللي أنا بدي أطبق عليها بال end
point مين الـ end point C واحد هيها والـ end point
الـ X اللي موجودة بين A و B مين؟ C3 واضحة واضحة اللي
بدي .. إذا الآن الآن there exists x i الآن بالضبط
بدي أطبق الميكوشي main value term على الفترة اللي هي
X و C1 اللي الـ F والـ G differentiable عليها من
وين الـ X هذه؟ الـ X اللي فوق هذه اللي بشتغل فيها
اللي هي من A لعند مين؟ لعن C3 إذن there exists xi
element in x و c واحد such that f prime of xi على
g prime of xi في إيش بتساوي؟ f of c واحد أو f of x
ناقص f of c واحد فاهمين؟ طبعا على g of x ناقص g of
c واحد بس ضربت في ناقص فوق وناقص صحيح تتعدى زي ما
هي لأن هذه هي هذه إذا صارت عندي F of X على G of X
بسوء F prime على G prime في 1 على مين؟ على F of
X وهو اللي بده يوصلنا للي بدنا هي معليش امسح اللي
هان بيصير عندي
بيصير عندي الـ F of X على مين؟ F of X على G of X
بساوي
اللي هو هدى شلناه وحطينا مكانها مين بساوي F prime
of X على G prime of X في مين في واحد على ايه
ايش على F
واضح أه؟ الآن نمحى هنا هدول الـ Xات اللي هنا هما
الـ Xات اللي وين موجودة بين A وC3 ماشي الحال بدي
الآن غايتي أني أوجد F of X على G of X ناقص مين؟
ناقص L واضحة إذا نلخص كل اللي اخذناه for every
epsilon element in zero نص there exists delta أكبر
من صفر such that if اللي هو x أكبر من a أصغر من c3
أصغر من c2 أصغر من c1 أصغر من a زي ال delta اللي
لجناها فاهمين عليها وكون عندي اللي هو قيمة العوض f
of x على g of x ناقص ال .. بدي أقبل لك يميها هذا
اللي هو أصغر من epsilon في something مش مشكلة و
epsilon is arbitrary أيضا بيصير limit زي ما بدنايا
واضح هذا الآن بالظبط بيساوي اللي هو العوض اللي هو
f of x اللي هي عبارة عن واحد
أف برايم of x i على جي برايم of x i في واحد على أف
of x ناقص اللي
واضح لحتى الان ناخد هذه عامل مشترك برا يصبح واحد
على أف of x في أف برايم of x i على g prime of xi
ناقص L في F of X صح؟ أخدت
الواحد على F of X عامل مشترك positive أه positive
اللي هو F of X هي أكبر من 2 طلعت اللي هو ايش ماله
هذا؟ هنا ده بدي أضيف term وأطرح term عشان أحصل على
هذه اللي بدياها أصلا اللي هي الجد تفهموه مش مقصودة
1 على f of x في f prime of xi على g prime of xi
ناقص L زائد اللي هو L ناقص L F of X ايش سويت استخدمت
ال triangle inequality بإضافة L وطرح L هذا كله
مضروب 100 في 1 على F of X هذا الآن ال F of X أكبر
من 2 حصلناها مظبوط بصير أصغر من نص واضحة
الآن F' على G' لـ XI الـ XI وين لاجيناها؟ في
الفترة بين A وC1 ينطبق عليها اللي هو من رأس الدور
اللي هي F' على G' of X ناقص
L أصغر من الـ Y من أول ما بدينا يعني إنه هذا أصغر
من إبسلون لكل الـ Xات اللي موجودة من A لعند مين؟
لعند الـ A زاد دلتها من ضمنهم مين؟ لك فيبراين كلام
دقيق هذه في إبسلون زاد الآن هذا ال بطلعه برا عن
المشترك ال اللي هي في مين؟ في واحد ناقص F of X
واحد ناقص F of X الآن وهذا أصغر من نص في إبسلون
زائد absolute value لـ L واحد ناقص F of X هذه ال
Xات اللي موجودة بين A وC تلاتة وهذه اللي هي قبل
بشوية أصغر من مين من اللي هو إبسلون أصغر من إبسلون
واحد ناقص F of X أصغر من مين؟ من إبسلون مش هثبتنا
limit F of X بيساوي واحد قبل بشوية اللي هو واحد
ناقص F of X اللي هي أصغر من ايش من إبسلون في
إبسلون صار عندي الان هذا المقدار اللي هو بيساوي
epsilon على اتنين في واحد زائد absolute value
لـ L لأن ال epsilon مضروبة فيه إذا as لأن هذا ال
epsilon arbitrary وهذا الكلام صحيح for every
epsilon epsilon بين zero و نص إذا هذا المقدار بقدر
اصغره جد ما بدي بتصغير epsilon لانه مضروب فيه ضرب
إذا صار عندي لكل epsilon أكبر من zero و نصلـ G الـ
Delta بحيث أنه الـ Xات اللي هنا بيقدّي لي أن هذا
المقدار أصغر من أي قيمة بديّها إذا هذا مفهوم limit
F of X على G of X as X بتروح لين؟ للـ A من اليمين
بساوي الـ L وهو المطلوب الثيورم اللي حكينا عنها
برضه صحيحة في حالة اللي هو the same .. under the
same conditions for the calculation of limits as x
goes to infinity or x as goes mean to سالب infinity
بس بورهان يعني بدون modification عن اللي موجود
بتصلي اللي بدكيها نيجي ناخد أمثلة الأمثلة هذه طبعا
أمثلة سهلة ومثلة calculus نمر عليها اللي هو ونشوف
كيف نطبق نظريتنا أو نظرياتنا كيف نوظفها الحساب هذه
النهايات عندي شوفوا صلى النبي عليه الصلاة والسلام
Find Limit log sin x على log x as x بتروح للـ 0 من
وين؟ من اليمين واحنا عارفين .. مشتغلين على الفترة
0 or by يعني فترة بجوار مين؟ الصفر من اليمين و
بدنا نروح للـ 0 من اليمين هذا طبعا لو جينا عوضنا
هتطلع اللي هو sin 0 0 و أنا 0 فبصير ماله نهاية على
مين؟ على ماله نهاية ك limits الآن صارت عندي ماله
نهاية على ماله نهاية إذا ايش بتنسوه؟ ايش نسوي؟
راحين لـ 0 من اليمين بيصير عنده اللي هو بالفاضل
هذه وبالفاضل هذه بيصير تفاضلها هذه واضحة وهذه
تفاضلها هيك مافيش داعي لنا ندخل في التفاصيل لأن كل
بعرفها الآن بنبسط الأمر بيصير X Cos X على Sine X
الآن لو جيت اتطلعت لهذه ال limit و لهذه ال limit
هذه موجودة وهذه موجودة هذه موجودة لأنه تعويض
مباشر واحد هذه موجودة لأنه بيصير صفر على صفر بتعملها
global rule بيصير واحد على cosine بتطلع واحد برضه
إذا قدرت اوزع لأنه عارف الليمتين الموجودة فبيصير
عبارة عن واحد في واحد بيساوي ايه؟ واحد الآن خد على
الفترة من Zero لعند مين لعند باي على اتنين limit
واحد على X ناقص واحد على sign ال X ثم X تروح ل Zero
من وين؟ من اليمين وهذه طبعا شغلات اللي هو درجنا
عليها في ال calculus بنوحد المقامات وبصير مكتوبة
على صورة sign ال X ناقص X على X في sign ال X ماشي
الحل برضه 0 على 0 بنفضلها بيصير cos X ناقص 1 على
اللي هو sin X زائد X فcos X لو جينا عوضنا هتطلع
برضه 0 على 0 بنشتق كمان مرة بتطلع ناقص sin X على
هذا المقدار هذا المقدار هنا بتصفر وهنا بيصير 2
وهنا 0 0 على 2 مش بيساوي بيساوي 0 نأتي لهذا المثال
معهود ال let I بيساوي من 1 إلى ما لنهاية الـ
interval اللي عليها بدنا نشتغل وبدنا ناخد ال
limit لما X تروح إلى وين إلى ما لنهاية المقدار 1
زائد 1 على X والكل أُس X هذا المقدار الآن بدي
استخدم اللي هو احوله ل exponential to the len ما
احنا عارفين ال exponential وال len اللي هو n
versus لبعض فبصير عندي E to the X لن ال 1 زائد 1
على X هذا المقدار بدي اشغل على هذاك خطوة أولى بقول
limit ال X لما واحد زائد واحد على X لما X تروح إلى
مال نهاية بيصير هذا المقدار limit لما واحد زائد X
على واحد على X ليش عملت هيك لأن لما X تروح إلى مال
نهاية هذا صفر ولما X تروح إلى مال نهاية هذا صفر و
هذا لما واحد فبصير صفر على صفر بقدر استخدم ال loop
تالذرول اللي انا برهنتها بقي فاضل اللي فوق وفاصل
اللي تحت .. فضلنا اللي فوق هي وفضلنا اللي تحت
هي .. بروح هذا المقدار مع هذا المقدار .. بظل
limit 1 زي 1 على X ناقص 1 لما X تروح لمدة نهاية ده
بروح لصفر بطلع جداش 1 لأن 1 بنرد بنعوض وينها لأن
ال exponential is a continuous function لذا نصحي
عن عند limit ال 1 زي 1 على X لما X تروح لمدة نهاية
to the X وعبارة عن E to the limit لأن ال
exponential عبارة عن continuous function فبصير E
to the 1 ويساوي E هذا اللي هو بيكون هيك احنا انهينا
اللي هي lobitals rules أو قواعد lobital أو صرنا
الآن ندخل
على اللي هو ال chapter ال section الأخير اللي هو
ال section عبارة عن ستة أربعة اللي هو taylor's
theorem أو tailors اللي هي .. هنحكي عن tailors
polynomial أو tailors أيضا اللي هو approximation
كيف اللي هو .. إن مرة جاية إن شاء الله كيف بنقرب
بعض الدوال اللي هو المحترمة اللي بتكون
differentiable first derivative و second
derivative و third derivative لأ عند ال derivative
اللي بدنا .. اللي .. اللي هي ما قبل اشتقاق عندها
بنقربها ب polynomial وطبعا انتوا عارفين جداش ال
polynomial من الدوال السهلة سهلة التعامل سواء في
تفاضل أو في تكامل أو حتى لو بدنا نحلها ونجيب
جذورها ونجيب كذا في شغل عليها كثير فالناس ترغب في
إنها تجيب بعض الدوال اللي بتكون أحيانا معقدة و
صعبة التكامل أو خلنا نقول بتغلب شوية في التفاضل أو
في وجود الجذور أو كده ونحولها إلى اللي هي
polynomial طبعا في مقدار خطأ الخطأ هن .. إن شاء
الله ال Taylor's theorem بتقولنا كيف إن هو نوجد
هذا الخطأ أو ايش هو الخطأ وايضا Taylor's theorem
زي ما انتوا عارفين هنوضح كيف هي عبارة عن تعميم لل
main value theorem هي تعميم لل main value theorem
في حالة اللي هي n بتساوي صفر بتطلع هي بالظبط ال
main value theorem كيف؟
الـ Main Value Theorem عبارة الـ Taylor's Theorem
عبارة عن تعميم للـ Main Value Theorem خذ الآن
بتساوي صفر بتطلع لك الـ Main Value Theorem بيشحمها
و لحمها وإلى لقاء