طيب نأخذ أمثلة
كيف نجيب الـ supremum والـ infimum لمجموعات جزئية
من مجموعة الأعداد الحقيقية، فلو أخذت الفترة المغلقة
من صفر لواحد، فعايز أفت claim هنا، أدعي أن الـ
supremum للست هو واحد، البرهان لذلك حسب تعريف الـ
supremum اللي هو least upper bound لازم أثبت شرطين
أول شيء الواحد upper bound للـ S، وهذا صحيح، واضح، واحد
is upper bound لمجموعة S لأن الواحد أكبر من أو
يساوي كل العناصر اللي في الفترة، صح؟ إذًا واحد upper
bound، الآن لإثبات أن واحد هو أصغر upper bound الـ
supremum، يعني لازم أثبت إنه واحد أصغر من أو يساوي
أي upper bound، فلو أخذنا V، V any upper bound، فالـ V
أكبر من أو يساوي كل العناصر اللي هنا، من ضمنها
الواحد، إذًا الـ V أكبر من أو يساوي الـ واحد، الآن واحد
upper bound والواحد أصغر من أو يساوي أي upper bound
V، إذًا الـ واحد هو الـ supremum، إذًا هيك أثبتنا إن
واحد هو الـ supremum، بالمثل ممكن إثبات إن العنصر أو
العدد صفر هو الـ infimum للفترة المغلقة من صفر إلى
واحد، طيب مثال ثاني لو أخذت T هي الفترة المفتوحة من
0 لـ 1، فبرضه كمان لو
أخذت T هي الفترة المفتوحة من 0 لـ 1، فممكن إثبات أن
الـ supremum لـ T هو 1، واضح إن الواحد upper bound
للست، للفترة المفتوحة، لأن واحد أكبر من أو يساوي كل
الـ X اللي هنا، هذا واضح، الآن لإثبات أن الواحد هذا
هو الـ supremum، في لمّة واحد اتناش خدناها المرة
اللي فاتت، بتقول عشان الـ upper bound واحد يكون هو
الـ supremum لازم أثبت إنه في شرط لكل ابسلون أكبر
من الصفر يوجد عنصر S، Y في الست S أو T هنا، بحيث إنه
واحد سالب الـ epsilon أصغر من S، epsilon، فهنثبت
الكلام هذا، إذًا هنا هينبدأ let epsilon أكبر من
الصفر be given، لأن الـ epsilon هذا ممكن يكون أصغر
من أو يساوي الواحد أو أكبر من أو أكبر من الواحد
الإبسلون هذا عدد موجب، ممكن جدًا يكون أصغر من أو
يساوي الواحد أو أكبر من واحد، نأخذ الحالة الأولى، لو
إبسلون أصغر من أو يساوي الواحد، فحأخذ S إبسلون، أعرف
S إبسلون، واحد سالب إبسلون على اتنين، هذا العدد
بيطلع عدد أكبر من صفر وأصغر من واحد، وبالتالي ينتمي
للتين، الآن
لو أخذت واحد وطرحت منها إبسلون، فهذا بيطلع أصغر يعني
لو أخذت واحد وطرحت منها epsilon فهذا أصغر من واحد
سالب epsilon على اتنين، هذا طرحت منه عدد أكبر من هذا
لذا هذا أصغر من الثاني، وبعدين ليش يقصر؟ طب
ما هذا هو S إبسلون، هذا هو سإبسلون، إذا
في الحالة هذه لأي إبسلون أكبر من الصفر، هين أثبتت
إن يوجد S إبسلون في T، وهذا الـ S إبسلون أكبر من
واحد سالب إبسلون أو واحد سالب إبسلون أصغر من S
إبسلون، هذا هو الشرط اللي في لمّة واحد اتناش، هينتقل
الحالة الثانية، لو كان إمسنان أكبر من واحد فأكيد
واحد سالب إمسنان هيطلع عدد سالب، يعني أصغر من صفر،
والـ X هذا .. الـ X هذا لو أخذت أي X في T فأي X في T
موجب، أي X في T موجب، إذًا هين أثبتنا في الحالة
الثانية إنه لو كان epsilon أكبر من واحد فبطلع مش
يوجد S epsilon واحد في T، كل عناصر الـ T بتحقق إنه
واحد سالب epsilon أصغر من S أو S epsilon، وبالتالي
في كلتا الحالتين الـ both cases الشرط تبع لما واحد
اتناشر تبع الـ supremum اللي بكافئ الـ supremum متحقق
وبالتالي واحد هو الـ supremum لـ T، مثال
ثالث، احنا شفنا قبل شوية في بداية المحاضرة إن كل
عدد حقيقي هو upper bound وكذلك lower bound
للمجموعة الخالية Φ، وبناء على ذلك Φ does not
have a supremum ولا infimum
هي برهان Φ has no .. Φ has no supremum، البرهان
proof، assume
that
u belong to R is supremum Φ، الـ least upper bound
لـ Φ
then u سالب واحد أصغر من u، and u سالب واحد هاد عدد
حقيقي is upper bound
of الـ Φ، كمان مرة نفرض إن U جد U، نفرض
إن U جد U جد U بالنمط R وهو Supremum لـ Φ، طيب U
سالب واحد أصغر من U، وقبل شوية كنا ملاحظة إن أي عدد
حقيقي زي هذا عبارة عن upper bound لـ Φ، فـ K في الـ
U .. K في الـ U هو الـ supremum، K في الـ U هو الـ
supremum هو أصغر upper bound، وفي upper bound أصغر
منه، هذا بدّيني تناقض which
.. which is a contradiction
إن هذا بدّيني تناقض، وبالتالي هذا إثبات أن الـ Fi
مالهاش Supremum، بالمثل ممكن إثبات أن الـ Fi أو
المجموعة الخالية ليس لها Supremum، طيب
نيجي للـ completeness property
الـ completeness property of R بتنص على إنه كل
مجموعة غير خالية .. كل مجموعة غير خالية S من R و
bounded above .. و bounded above محدودة من أعلى
has supremum، لازم يكون فيه لها supremum، يعني مثال
على ذلك لو أخذنا S بسبب الفترة المغلقة 0،1 أو الفترة
المفتوحة من صفر، واحد فهي هذي set و bounded above، إذا
الـ property بتقولي بتضمنلي، تضمن إن هذي الـ set لها
supremum اللي هو الواحد اللي اثبتناه قبل شوية، إذا
الـ property بتضمن وجود supremum، لكن ما بتجيبليها
ولا بتقولي إيش هو؟ عشان نجيبه لازم نعمل برهان زي ما
شفنا في الأمثلة السابقة، هد هي الـ supremum أو الـ
completeness property، خاصية التمام للأعداد
الحقيقية، الآن زي ما قلتلكم قبل هيك في توقع ما بين
الـ upper bounds والـ lower bounds، الـ supremums والـ
infimums، فالـ .. الـ .. أي خاصية صحيحة للـ supremum
بتكون في مقابلها خاصية صحيحة للـ infimum، ففي نتيجة
هنا على completeness property، corollary بنسميها الـ
infimum property of R، لإن في supremum property of
R وفي بقبلها infimum property of R، فالـ infimum
property of R بتقول إن every non-empty subset S of
R which is bounded below has an infimum، يعني كل
مجموعة غير خالية من العداد الحقيقية ومحصورة من
أسفل لازم يكون لها infimum أو أكبر حد أدنى
وهي البرهان .. نشوف البرهان تبع الـ .. الـ corollary
أو النتيجة هذه، بنعرف set .. بنعرف الـ set E على
أنها كل العناصر W اللي بتكون lower bound للمجموعة
S، طيب by hypothesis حسب الفرض الـ E مجموعة غير
خالية، يعني فيها على الأقل عنصر، ليه؟ لإن احنا
فرضين إن المجموعة S، المجموعة S هذه bounded below،
يعني إلها lower bound، وبالتالي إذا في على الأقل
عنصر واحد، W في E، إذا الـ E مجموعة غير خالية،
تمام؟ هذا من الفرض
كذلك من الفرض أي X في S ثبار عن upper bound لـ E
لو كان X ينتمي إلى S فهذا بيقدّي إنه W أصغر من أو
يساوي X لكل W في E
ليه هذا الكلام صحيح؟ لأن كل W في E عبارة عن lower
bound لـ S، وبما أن W lower bound لـ S فأي عنصر في S
بيكون أكبر من أو يساوي الـ lower bound، صح؟ إذًا هذا
معناه إن X upper bound، هي X أكبر من أو يساوي كل
عناصر الـ E، وبالتالي أي X في S هو عبارة عن
أي x في s هو upper bound للست
خاصية التمام، إذا الـ .. الـ set E هذه is bounded
above وبالتالي يوجد إلها supremum، الـ supremum تبعها
لو سميته small s exists in R، هذا .. وجود الـ supremum
مضمون باستخدام الـ supremum property، الآن بدنا نثبت إن
هذا العدد small s هو الـ infimum، هو الـ infimum
للست S، وهيك بنكون كملنا البرهان، إذا الإثبات
للادعاء هذا إن عندي الـ S هنا بساوي supremum E
وبالتالي الـ S هذا upper bound لـ E، يعني S أكبر من
أو يساوي كل الـ X في E
الآن بناء على المتباينة هذه أو الجملة هذه لإثبات
أن S هي الـ infimum لـ Capital S يبقى إثبات إن S
عبارة عن lower bound، S is a lower bound of S، ليش
هذا يكفي لإثبات إن S هو الـ infimum لـ S؟
تعال نشوف ليش هذا يكفي، يكفي
إثبات إن الـ S is a lower bound للـ Capital S، يعني بدنا
نثبت إن الـ X عفوا
الـ S أصغر من أو يساوي كل العناصر Y
يعني بدنا نثبت إن S ينتمي
للست E يعني
لإثبات أن S is the lower bound of S معناه بدّ أثبت
أن S عنصر في E لأن E is the set of all lower
bounds of S صح؟ فلو أثبتت أن S تنتمي إلى E
فالمفروض هذا معناه أن الـ S .. آه هايه .. لو هذا الـ
S .. لو هذا الـ S أثبتت أنه .. لو أثبتت أن الـ S هذا
ينتمي إلى E؟
فمعناه أن كل العناصر اللي في E أصغر من أو يساوي الـ
S طيب كل العناصر X اللي في E هي عبارة عن lower
bounds لـ S وإذا كان S موجود في E بيكون أيضًا lower
bound لـ S لكن الـ S هذا يتمتع بالخاصية أنه أكبر من
أو يساوي كل عناصر الـ set A إذا هو أكبر lower bound
يعني هو الـ infimum صح؟ تمام؟ مرة ثانية احنا وصلنا
أن الـ X كل العناصر X في E أصغر من أو يساوي S الآن
لو أثبتت أن الـ S هذا ينتمي لـ E يعني lower bound لـ
S معناه أن الـ S هذا أكبر من أو يساوي كل عناصر الـ E
وبالتالي هو أكبر lower
bound يعني هو الـ infimum إذا فعلاً يكفي أو يبقى
إثبات أن الـ S اسمه الـ S lower bound للـ S فلبرهان
ذلك بنعمل برهان بالتناقض افترض أن اللي احنا
بنثبته خطأ يعني اسمه الـ S ليس lower bound للـ set S
هذا معناه بقدر ألاقي عنصر Y في S وهذا الـ Y أصغر
من S لأن S ليس lower bound فهذا بيؤدي .. لاحظوا أن
الـ S هو الـ supremum لـ E .. S هو الـ supremum لـ E و
Y أصغر منه إذن Y هذا مش ممكن يكون upper bound للـ set
E الـ Y أصغر من S و S يساوي supremum E إذا Y مش ممكن
يكون upper bound لـ E لأنه ما يجوز هذا يكون upper
bound لـ E وهذا أصغر upper bound لـ E صح؟ طيب إذا
الـ Y مش ممكن يكون upper bound لـ E إذا بقدر ألاقي X
في E وهذا الـ X أكبر من الـ Y هذه المتباينة بتعطيني
تناقض
تتناقض مع تعريف الـ set E كيف X تنتمي لـ E كيف الـ X
تنتمي لـ E وفي نفس الوقت X أكبر من عنصر ما اللي
هو Y في S يعني الـ X هذا ليس lower bound هذا تناقض
okay إذا نصل إلى تناقض وبالتالي هذا التناقض بيقول
لي أن الفرض الفرض تبعنا هذا
أن s is not lower bound كان فرض خطأ إذا لازم
يكون s lower bound وهذا بيكمل برهان الـ claim تمام؟
في
الـ section القادم
هناخد تطبيقات على الـ supreme property والـ infimum
property فالتطبيقات
هذه هتكون على شكل أمثلة فمثلاً
أول تطبيق لو أخدت أي subset من R و bounded above و
A أي عدد حقيقي فبنعرف A زائد S على أنه
مجموعة كل العناصر على الصورة A plus X حيث X ينتمي
لـ S الآن ممكن أثبت أن الـ supremum للمجموعة هذه هو
عبارة عن A زائد الـ supremum لـ S
و هذا يعني البرهان مش صعب أيه بسيط وسهل نشوف مع
بعض نفترض أن U هو الـ supremum لـ S الـ set S is bounded
above، إذن لها supremum هذا مضمون حسب الـ supremum
property وبالتالي الـ U هذا اللي هو الـ supremum هو
upper bound لـ S إذا U أكبر من أو يساوي كل عناصر الـ
S إذا لو ضفت A على الطرفين فبيطلع A زائد X أصغر من
أو يساوي A زائد U لكل X في S وبالتالي العدد هذا عبارة
عن upper bound لمن؟ لـ set A زائد S اللي عرفناها قبل
شوية لأن هذا العدد أكبر من أو يساوي كل عناصر الـ set
هذه اللي على الصورة A زائد X لذلك هي اللي أثبتت أن
A زائد U is upper bound للـ set هذه لأن نريد أن نثبت
أن A زائد U هو أصغر upper bound للـ set هذه فبناخد أي
upper bound آخر للـ set A plus S فطبعًا الـ V Upper
Bound للـ set هي U أكبر من أو يساوي كل عناصرها الآن
انقل الـ A عن ناحية الثانية فبيصير X أصغر من أو يساوي
V ناقص A لكل X في S طيب
الآن احنا عندنا الـ U هو الـ supremum لـ S الـ U هو الـ
supremum لـ S والآن هذا العدد هذا عبارة عن upper
bound of S لأن U أكبر من أو يساوي كل عناصر الـ S
وهذا أصغر upper bound لـ S إذن الـ supremum بيطلع
أصغر من أو يساوي الـ upper bound V ناقص A لـ S إذن
بيطلع عندي U أصغر من أو يساوي
أن أنا بيطلع عندي U أصغر من أو يساوي V ناقص A ودي A
عن ناحية الثانية فبيصير A زائد U أصغر من أو يساوي V
إذا هنا أثبتنا حاجتين أول شيء إنه العدد هذا upper
bound للـ set هذه أخذنا أي upper bound عشوائي للـ set
هذه فبيطلع العدد A زائد U أصغر من أو يساوي أي upper
bound لـ set A زائد S إذا من تعريف الـ supremum بيطلع الـ
supremum لـ set A زائد S exist وبيساوى A زائد U أن الـ
supremum للـ set هذي هو A زائد U وبالتالي وهذا بيساوي
A والـ U هي الـ supremum لـ S أننا هيك بنكون أثبتنا
أن supremum الـ set A زائد S هو A زائد supremum S،
تمام؟ لو كانت الـ set هذي bounded below فممكن أيضًا
نثبت أن الـ infimum لـ A زائد S بيساوي A زائد infimum
S، تمام؟ طبعًا في أمثلة أخرى هنا ممكن تقرؤوها و
تحضروها ونوقف هنا نكتفي بهذا القدر وبنكمل إن شاء
الله يوم السبت المحاضرة القادمة