بسم الله الرحمن الرحيم المرة الماضية بدأنا فيها
تطبيقات على استخدام التكامل في حساب الحجوم واخدنا
على ذلك طريقتين الطريقة الأولى كانت طريقة ال disk
وهذا للمجسم المصمد ثم أخدنا طريقة ال washer وهذا
للمجسم اللي فيه تجويف من الداخلاليوم ناخد الطريقة
الثالثة وهي طريقة القشرة الأسطوانية يبقى
cylindrical shell قشرة أسطوانية أعطيك مثال هات
واحد يعطيني دفتر ويعطيني دفترك أشوف
الدفتر هذا لو عملناه على شكل أسطوانة بهذا الشكل
طبعا يبقى أيه أسطوانة بهذا الشكل زي ما انتوا
شايفين الفكرة ما الموضوع بدي أجيب حجم المجسم اللي
قدامي هذه فلو أخدت ورقة من الورق تبع الدفتريبقى
هذه الورقة تعتبر قشرة أسطوانية القشرة الأسطوانية
لو جبت المساحة الجانبية لها و كملت عليها بيعطيني
مقدار الحجم تبقى الأسطوانة داير ميدور
المساحة الجانبية للأسطوانة هو اتنين طهنق محيط
القاعدة اللي هو الكوندارة في الارتفاع تبع
الأسطوانة الدائرية القائمةيبقى اتنين طعنق هو
المساحة الجانبية للاستوانة بدي اكامل عليها بيعطيني
ايه بيعطيني جداش حجم المجسم او الاستوانة اللى
عندنا هذه واضح اضح لان هذه على الطبيعة بدنا نشوفها
من خلال الكلام اللى قدامنا هنا فضليبقى بنانيه
الكلام اللي احنا كاتبينه volumes by cylindrical
shells الحجوم باستخدام القشر الأسطوانية
الـ Y تساوي F of X about the line X يساوي L X
يساوي L قد يكون محور Y وقد يكون خط موازي لمحور Y
لأن X يساوي رقم تمام سواء كان هذا الرقم موجب أو
سالب بهم ليش بهم انه في عند دوران حوالين هذا
المحور ال volume V يساوي تكمل من A لB لاتنيننق في
الارتفاع تبع الأسطوانة اتنين تهشيل ريض يصيب نصف
قطر القشرة الأسطواني القاعدة تبعتها فشيلها عيد في
الارتفاع تبع مين؟ تبع الأسطوانة تمام؟ او اختصر ما
قلت اكمل ايه لبلا اتنين باي اكس في ال F of X DX
تعالى نشوف هذا الكلام على الطبيعةأنا عندي ملحنة زي
ما انت شايفين Y تساوي F of X وخليته أعلى محور X
ممكن يتقاطع مع الله ينقله وممكن مايتقاطعش يبقى أنا
جبتك ال general form الشكل عام سواء تقاطع مع ال أو
لم يتقاطع هذا الملحنة حصرلي مساحة المساحة اللي
بينه و بين محور X اللي هي المساحة المظللة اللي
قدامنا هذه ما لها هذه هذه جامد دارت حوالين الخط
الخط اللي عندنا هذا يبقى هيجيني شكل في الناحية
التانية تماما زيك وجيني بالشكل هذا تمام يبقى هذا
المنحنة اللي هيجيني فوق بالشكل اللي عندنا هذازي
اللي هناك بالضبط و ال b اللي هناك هتيجيني ب زيها
هنا بس بإشارة مين سالم و ال a اللي هناك هيجيني a
زيها بس بإشارة سيبجي هذه سالم a و سالم bيبقى هذه
عند دورانها بدها ترسم لي محيط دائرة تمام؟ وهذه عند
دورانها كذلك بدها ترسملي محيط دائرة زي ما انتوا
شايفين بالشكل هذا يبقى هذا الشكل المجسم الناتج من
الدوران لسه ما اتكلمتش في الشلة انا اعطيتك شكل
المجسمهذه الشجرة التانية كمان بتكون برضه مظللة زي
اللي هناك بالضبط تماما يبقى هذا شكل المجسم الناتج
من الدوران هذه اللي جوا هيك هذه الصغيرة هذه بتكون
بالشكل هذه يعني كأنه في تجويف، كويس؟ الآن المجسم
اللي يعني يسيبك من التجويف، المنطقة هذه داير ميدور
حواليها وكله مصمدالان بناروح نعمل cylindrical
shell بدنا ناخد مقطع أو المقطع عادى على شكل
أسطوانة يبقى بالدادى في الحالة هذه بعكس من ما كنا
نعمل المرة اللى فاتت في ال disk و كذلك في ال
washerبجرب نفسي خط يقطع منطقة التكامل و عمودي على
محور الدوران، مظبوط؟ اليوم بدنا نعمل خط يقطع منطقة
التكامل وموازي لمحور الدوران، على عكس المرة اللي
فاتت، يبقى بدي اقول لو كان عندي هذا الخط بالشكل
اللي انه هذاوالحظون شايفينه؟ تمام يبقى هذه النقطة
عند ورا عنها بدها ترسم لمحيط دائرة بدها تجين هيك
بالشكل اللي عندنا هذا، هذا هيك، و هذا بده يجين
هيك، و هذا الخط الراسي هيه، و من هنا بدها تعمل
لمحيط دائرة بالشكل اللي عندنا هنا تمام؟طيب لو جيت
هذه نقطة الأصل على سبيل المثال يبقى هذا البعد لحد
هنا جداش بده يكون X يعني X البعد من نقطة الأصل هذه
لغاية النقطة هذه يبقى هذا هو X شايفين الأسطوانة
الخضر هذي الأسطوانة الخضر هذي اللي هي الشل زي ما
وريتكوا توي ساحية إحدى الورقات من الدفتر اللي
عملناه على شكل أسطوانةيبقى الخضرة هذه هو الـ
cylindrical shell القشرة الأسطونية، بدّى تجيب قداش
المساحة الجانبية لها، هذا نصف القطرة مقداش X،
المساحة الجانبية اتنين طهنق، يبقى اتنين by Xفي من؟
في الارتفاع، الارتفاع هو F of X هذا، صحيح ولا لأ؟
يبقى هذا هو الارتفاع اللي عندنا اللي هو F of X،
يبقى هذا بيعطينا المساحة الجانبية للوسط، وانا من
هنا قلنا ال volume يبدو يساوي تكامل 2 باي X في F
of XDX ان كامل عليها بطلعلي قداش حجم المجسم المصمد
داير مايدور اللي عندنا هذا يبقى واضح شكل الـ
cylindrical shell هذا لو كان التكامل بالنسبة لـ X
يبقى هنا بفرج عن المرتين الماضيتين ان المقطع اللي
هو الخط المستقيم اللي بنرسمه بدل ما كنا نرسمه
عمودي على محور الدوران اليوم نرسمه موازن لمحور
الدورانهذا الخط الموجود هو f of x
هذا الدوران حوالي الخط يكون محور Y أو موازي لمحور
Y ممكن يكون الدوران حوالي الخط موازي لمحور X تمام؟
يبقى الحدث ذلك يصير التكمل بالنسبة إلى Y يبقى يصير
التكمل اتنين by Y F of Y Dy طبعا هذي كامتلة على
الشجتين كيف هذه وكيف هذه يبقى الفكرة في الأساس بس
تعرف اللي هو شكل النص في القطر تبع الـ cylindrical
shell وتعرف الارتفاع، ضروري كل مرة ارسم و مرة ارسم
هذا؟ لا مش ضروري، بس ارسملي منطقة التكامل، ارسملي
خط يوازي محور الدورانو حدد لقداش بقى الطرف الخط عن
المركز اللى عندك بيكون هذا هو نصف الخطر والخط اللى
رسمت بيكون هو الشيل هايت هو الارتفاع او الارتفاع
الجانبي للقصانة بعد هيك حدود التكامل ممكن تكون
محددة عندك ممكن انت بدك تحددها من حال مستقيمات مع
منحنيات او منحنيات مع بعضها الى اخرى كما سنراه بعد
قليلهذا كل جزء النظر اللي موجود في هذا الsection
بس الكلمتين اللي قدامك على اللوحة دول حدا اللي هو
اي تساؤل طيب نبدأ في الأمثلة نجي لأول مثال على هذا
الموضوع يبقى examples
أول مثال من هذه اللي ألمتله بوليفي ال volume of
the solid find the volume of the solid generated
by
revolving
Generated by the region revolving
the
region
between the
region
بين اتنين بيوندد والمغلقة
بيه by the curves المنحنات Y تساوي X تربيعو Y
يساوي اتنين ناقص X and X تساوي زيرو for X greater
than or equal to zero about the Y axis
خلّينا نرسم المنطقة
المحدودة بالمنحنات اللي عندنا نقول المنحنة
الأولاني Y تساوي X تربيع إذا لو جيت رسمت هذا
المنحنة هذا محور X هذا محور Y هذه نقطة الأصل يبقى
هذا Y تساوي X تربيعبعدها قال الخط المستقيم y تساوي
اتنين ناقص x إذا لو كانت ال x ب zero y يبقى دي اش
ب اتنين يبقى هذه اتنينوإذا كان الـ Y بـ Zero و X
باتنين يبقى باتنين هذه الاتنين اللي عندنا هذه يبقى
هذه كمان اتنين يبقى هتان النقطتان تقعان على الخط
المستقيم اللي عندنا يبقى أروح نرسمنا هذا الخط
المستقيم بالشكل هذا دوام يبقى هذا هو الخط المستقيم
يبقى هاي المنطقة اللى موجودة وين اللى موجودة أنا
يبقى باقي المنحنى هذا كله مش لازم ليه المهم هاي
المنحنى رسمناها وهذا الخط اللى همين Y يساوي اتنين
ناقص X هاي المنطقة المضلنة المنطقة المضلنة اللى
بدها تدور حوالين مين؟أو للمحور Y. إذا أنا بادر
أرسم خط يقطع منطقة التكامل وموازن لمحور Y. يبقى
بالدقج أقول له هذا خط يقطع منطقة التكامل وموازن
لمحور Y.النقطة هذه نصف
القطر يعني لو جيت من هنا رسمت نصف دائرة بيكون هذا
هو نصف قطر الدائرةطب والارتفاع تبع الدائرة الجزء
اللي في المنطقة المظلة للي تحت مالوش دعوة تمام؟
اذا انا بدي اعرف جداش هذا طول الخط الأخضر جداش؟
اتنين ناقص اكس اتنين ناقص اكس اللي هو بُعد الخط
اللي عندنا هذا عن محور X بدي اشيل هذا البُعد هذا
البُعد جداش؟هذا الخط أو هذا الجزء هو عبارة عن
اتنين ناقص X ناقص X تربيع يبقى هذا هو الذي يمثل
عندي هنا main ال F of X اللي هو الارتفاعتبع من؟
تبع الاستوان او تبع الـ cylindrical shell يبقى
كويس يبقى بدي اكمل بالنسبة ل X اذا بدي اعرف X
ستتغير من و لا وين طبعا X ستتغير من Zero لغاية اخر
نقطة هنا اخر نقطة هنا جدوش انا مش عارفبنحل معادلة
الخط المستقيم مع مين مع منحنى ال parabola Y تساوي
X تربية
الشباب لو كملت هذا هيك بدي يحصل تقابل عن مين سالب
اتنين ماليش دعوة فيها هذه برا المنطقة يبقى انا
عندي بس اكس يسوي كدهش واحد اذا بدي اجي اقوله ال
volume V بدي يسوي تكامل من Zero لواحدللإتنين by X
في ال F of X F of X التفاجنا اللي هو البعد هذا
اللي هو مام اللي هو ال X اتنين ناقص X اتنين ناقص X
ناقص X تربية كله بالنسبة لمين؟ لل X أوهذا اتنين
باي برا تكامل من Zero لواحد ده لاتنين X ناقص X
تربية ناقص X تكييب كله بالنسبة الى DX النتيجة
تساوي اتنين باي هيها برا وتكامل هذا اللي هو X
تربية على اتنين مع الاتنين الله يسهل عليها ناقص X
تكييب على تلاتة ناقص X أس أربعة على أربعةكله من
أندي الـ0 لغاية الـ8 لغاية الـ1 يبقى يساوي 2πي
ناقص تلت ناقص ربع ناقص كل الباقي بقداش بـ0 هذا
الكلام بده يساوي 2πيالمضاعف المشترك كلهم كم؟
أتناش، يبقى هنا أتناش، أتناش على تلاتة فيها أربعة،
و أتناش على أربعة فيها التلاتة، هذا الكلام بده
ساوي
تلاتة واربعة السبعة من اتناشر بطول جداش خمسة على
اتناشر يعني خمسة باي على ستة هذا قيمة الحجم تبع
المنطقة اللي هنا نعطي كمان مثال example twoأيضًا
يقول إنه يجد كمية الصليب على أي حال المثال الأول
يا شباب هو سؤال تسعة من الكتاب ومثال اتنين هو سؤال
واحد وعشرين من الكتاب يقول إنه يجد كمية
الصليب
Generated by revolving the region bounded
the
region bounded by the curves Y تساوي جذر ال X والY
تساوي Zero and
الـ y تساوي x ناقص اتنين about the
x axis حوالي المحور من؟ حوالي المحور اللي هو x
بنرجع الكلام اللي احنا كاتبينه مرة تانية تقدر
تحل بطريقتين يعني هذه انا بقدر أحلها بال
cylindrical shape بقدر أحلها بالوشة، بالشمتين بقدر
أحلها تمام؟ الحين اعطيك مثال، الحين اعطيك مثال
ونحله بالطريقة ونقول انه بيعطينا نفس النتيجة
وبالتالي اذا انا قيّدتك بطريقة انك تلتزم فيهاما
قيبتك خلاص لك الحرية. طبعا؟ سؤاله جيه السؤال يعني.
يعني انا اذا السؤال بالحل .. هذا السؤال بالحل بال
washer بسهولة كمان، غير أكيد لذا. طيب، على أي حال،
نرجع لمين؟ نرجع لسؤالنا ده.قال هاتلي حجم المجسم
المتولد بدوران المنطقة المحدودة بالمنحنى Y تساوي
جذر ال X معروف بالنسبالنا Y تساوي Zero محور X Y
تساوي X ناقص اتنين فبنرسمه والدوران بدي يكون
حوالين مين حوالين محور X إذا ليس بضرورة نرسم
الرسمة كاملة بدي نرسم بس المنطقة اللي بدها الدور
أذا انا لو روحت و قلت هذه المحور اللي عندنا هذا
محور X هذا محور Y هذه نقطة الاصل اللي هي Zero Y
تساوي جذر ال X يا ما رسمناه خلال الفصل هذا كله
بيعرف رسمه يبقى هذا Y تساوي جذر ال Xبعد ذلك يقول
لي Y تساوي زيرو Y تساوي زيرو هو ميان محور X Y
تساوي زيرو هو محور X بعد ذلك قال لي الخط Y تساوي X
ناقص اتنين بحدد النقطتين عليه و بوصل فيه ما بينهما
لو كانت ال X بزيرو ف Y بسالب اتنين يبقى I سالب
اتنينلو كانت Y بزيرو X باتنين يبقى انا من اتنين
بيأتي بوصل فيما بينهما و بمد الخط على استقامته
يبقى الآن المنطقة اللي احنا بدناها هي هذه المنطقة
والباقي كله مش لزملي تمام؟طيب، هذه المنطقة بدها
دور حوالين مين؟ حوالين محور X، بدى أروح أهلى
بالـCylindrical Shell، مش بالوشرة، يبقى موضوعنا
الـCylindrical Shell، يبقى بدأ أروح أرسم خط يقطع
هذه المنطقة وموازن لمحور الدورانيبقى باجي بقول لو
جيت أخد هذا الخط الأوفقي، الشكل أن هذا، قطع منطقة
التكامل وموازي لمحور الدوران، يبقى هذا يعتبر
ارتفاع الـCylindrical Shell، مظبوط؟ بدي نص القطر،
يبقى باجي بنزل عمود من هنا، بيكون هذا نصف القطر
طيب، هنا التكمل بيكون على عكس اللي جابله، اللي
جابله كاملة بالنسبة لمن؟ هنا بيكمل بالنسبة إلى Y،
إذا هذا البعد لو جيت goal taken أفقي، هذا Y،
الارتفاع Y يبقى بيكون نصف القطر، هذا هو Yيبقى طول
اللي عندي اعرف قداش الطول اللي عندنا هذا بدلالة
مين؟ بدلالة Y هذا Y تساوي جذر ال X يعني X يساوي Y
تربية يبقى X يساوي Y تربية اللي همين الجزء المنقطة
اللي عندنا هذا مصبوب يبقى هذا الجزء فقط هوX يساوي
Y تربية ربعنا الطرفين اللي هنا هذا الخط اللي هو
معادلة كانت ايش كانت Y تساوي X ناقص اتنين او X
يساوي Y زائد اتنين طبعا اذا ان باجي بقول البعد
الكبير ناقص البعد الصغير يبقى هذا الطول يمثل البعد
هذا كله ل Y زائد اتنيننقص البعد هذا اليومين Y
تربيه، ضالت عند ال Y ستتغير من عند Zero لعند بصر
جداش، لحد هنا تمام؟ يبقى بدي اعرف جداش الاحداث تبع
Y هذا، مشان هيك بروح احل المعادلة هذه بالنسبة لمين
الى Y هذه النقطة تقع وين؟ على المنحنيينيبقى بدي
أروح أسوي المعادلتين ببعض اللي هو Y تربية يسوي Y
زائد اتنين او بمعنى اخر لو عملت معادلة صفرية بيصير
Y تربية ناقص Y ناقص اتنين بدي يسوي قداش Zero او لو
حللتها اقواس بالشكل هذا بدي يسوي Zero يبقى هاي Y
هذا واي واي واحد وهذا اتنين وهذا ناقص وهذا زائد
زائد واي وناقص اتنين واي بناقص واي يبقى تحليلنا
سليم مائة بالمائة يبقى بناء على هدف يعطينا ان واي
تساوي سالب واحد والواي تساوي قداش اتنين ايش رأيك
في واي تساوي سالب واحد؟ مرفوض او لا؟هذا لو كملت
هكذا كملت المنحنة و بدى تقاطعني و تسلب واحد ماليش
علاقة فيها يبقى Y تساوي اتنين اللى هو البعد اللى
عندنا هذا يبقى بدى يصير التكمل عندي من Zero لغاية
قداش اتنين طيب هذه لو كانت Y تساوي اتنين يبقى ال X
تساوي قداش
أربعة يبقى النقطة هذه اللي احداثي تبعها اللي هو
أربعة و اتنين طبعا كيف أربعة و اتنين؟ شو المنحنة
هذا؟ يبقى اكس بقداش. أربعة بتتربع الطرفين. وين
اتنين؟ هذا اتنين البعد الأفق يا راجل. هذا البعد
رأسي.مش احنا طلعنا Y بإتنين، حط فيه أي معادلة
بدكيها، حط Y بإتنين، بصير X باربعة، حط Y بإتنين،
بصير X باربعة، لأن النقطة تقع على المنحنين، بتحقق
كل منهما، إذا إنت ال volume V، بده يسوى تكامل من
Zero لغاية كداشر لغاية إتنين، للإتنين by oneفي نصف
القطر اللي عندنا هذا نصف القطر اللي عندنا وهو Y زي
دي اتنين ناقص اللي هو مين هذا هذا Y زي دي اتنين
ناقص Y تربية يبقى في Y زي دي اتنين ناقص Y تربية كل
هذا الكلام بالنسبة لمين له دي Yيبقى ال volume V
يبقى يساوي 2Y برا تكامل من 0 لغاية 2 يدخل ال Y جوا
يبقى Y تربيه زائد 2Y ناقص Y تكييب كله بالنسبة
لمين؟ لـDY يبقى هذا الكلام يساوي 2Y VY تكيب على
ثلاثة زائد Y تربيع اتنين مع اتنين مع السلامة Y
أربع على أربع من Zero لغاية اتنينيساوى اتنين باى
برا يبقى تمانية
على تلاتة زائد اربعة ناقص ستاشر على اربعة اربعة
مع اربعة نصير يبقى هذا ستاشر باى على تلاتة هذا
حجمين حجم هذه المنطقة
ما رأيك تجي هنا على اللوحة نشوفك شوية ايه اللي حد
تعالي شو؟ عالي بالكوا يمكن نجاوب على بعض أسئلتكوا
اه تفضل انا
بكمل بالنسبة ل .. انا بكمل بالنسبة ل Y لو بالنسبة
ل X طيب انت من الصفر اللي هو اربعة ليه X؟مالك؟ طيب
اضحكوا زيه لأ لو كان لو ال .. لو ال قصد من Y تسوّر
من X لو كانتش فلال Y جدر ال X أبسوليوت ال X
أبسوليوت فلال X طيب هتكون على الجهتين؟ كيف حالك
انت بصيا بصيك الدورة .. استنى شوية بصيك الدورة
حواليها نفسها مش ايه؟ اه اه لإن على يمين محورك
زيهم ماجيبتش جديد طيب
نعطي كمان مثال
مثال تلاتة تلاتة
هي سؤال تسعة و عشرين من الكتاب يقول احصل على كمية
المجسم احصل على كمية المجسم
نحتاج حجم المجسم
تحول إلى المنطقة المنطقة
مجموعة من مجموعة
من Y تساوي X و Y تساوي X تربيع
the y axis حوالي المحور y by using باستخدام
نمرا a the shell method نمرا b the washer method
قولناها برسمها
سؤال مرة ثانية بيقول هات الحجم المجسم المتولد من
دوران المنطقة المحدودة بالخط Y تساوي X بالمنحنى Y
تساوي X تربيع والدوران حوالين محور Y بطريقتين
الطريقة اللي هو طريقة shell method اللي طريقتنا
قبل قليل والتانية ال washer method طريقتنا اللي هو
يوم أمس الأول
بنرسم و بعد ذلك بيصير خير يبقى هذا محور X هذا محور
Y هذا نقطة الاصل اللي هي Zero في ان المنحنة Y
تساوي X تربيع يبقى Y تساوي X تربيع المنحنة هجيلك
هيك
الخط التاني Y تساوي X يبقى Y تساوي X اللي هو الخط
اللي عندنا هذا يبقى هذا Y تساوي X هذا Y تساوي X
تربية حصروا المنطقة فيما بينهم اللي المنطقة
المضللة ديهذه المنطقة المظلة لابدها تدور حوالين
محور Y تمام؟ مدان بدها تدور حوالين محور Y يبقى
احنا بدنا نروح نرسم خط يقطع منطقة التكامل وموازن
لمحور Yيبقى لو جيت من هنا رسمت خط موازي لمحور Y
ويقطع منطقة التكامل يبقى هذا يعتبر الارتفاع
الجانبي للـ cylindrical shell بدي أعرف قداش طول
الخط الأخضر هذا بقوله تمام من هنا لهنا هذا Y تسوى
Xومن هنا لهنا هذا Y تسوى X تربيع، إذا هذا الخط
يكون الفرق بينهم اللي هو مين؟ X ناقص X تربيع، هذا
البعد، هذا البعد بيكون X نصف قطر من اللي هو
cylindrical shellبدلة ال X ستتغير من Zero لغاية
ابصر قداشيبقى بدي اعرف هنا اخر حاجة لذلك بدي احلي
المعادلتين هدول مع بعضهم يبقى انا عندي Y تساوي X
تربية وعندي Y تساوي X يبقى هذه ها بقدر اقول X
تربية ناقص X يساوي Zero او لو اخدت X عامل مشترك
بصير X ناقص واحد يساوي Zero يبقى X يساوي Zero و X
يساوي واحديبقى نقطة التقاطع الأولى عند الـ0 ونقطة
التقاطع التانية عند الـ1 يبقى بصير الـVolume V بدى
يسوى تكامل من 0 لغاية 1 للإتنين باي X في ال F of X
اللى همان X ناقص X تربية
يبقى X ناقص X تربية كل هذا الكلام بالنسبة إلى مين؟
إلى DX يبقى هذا الكلام بيساوي 2π تكمل من 0 ل1 لل X
تربية ناقص X تكييب كله بالنسبة إلى DX يبقى 2π وهذه
عبارة عن X تكييب على 3
نرجع لسؤالنا هذا مرة تانية وهو آخر مثال في هذا ال
section قال هاتلي حجم المجسم المتولد من دوران
المنطقة المحصورة بالمنحنى Y يساوي 2X ناقص X تربية
والخط المستقيم Y تساوي X والدوران بدي يكون مرة
حوالين محور Y ومرة حوالين خط موازي لمحور Y الهمين
X يساوي Yنعود للخط المستقيم Y2SWX نعود لهذا
المنحنى هذا المنحنى طبعا parabola انه Y دل في X و
X من الدرجة الثانية يبقى parabola بس معمولة لها
shift اذا بدى اعرف وين ال vertex بالضبط تبع هذه ال
parabola اذا بتروح اعمل اكمال للمربعيبقى هذه لو
جيت قلت Y تساوي بدنا نكمله مربع يعني قداش مضيف و
نطرح اربعة ولا واحد يعني انت بتحذر تحذير طيب مشان
تعرف قداش و ماحدش يولد تاني برنامج مضيف مربعمعامل
x على أربع أمثال معامل x تربية
بقول مربع معامل X كداش؟ أربعة أربعة أمثال معامل X
تربية أربعة في واحد تمام؟ اما هو واحد جد و ارمى
أربعة يبقى أربعة على أربعة في كداش؟ يبقى بضيف واحد
و بطرح واحد يبقى هذا Y بدي ساوي واحد ناقص واحد
زيدي اتنين X ناقص X تربيةهذا بدي اكتبه بالشكل اللي
انه هذا هذا ال Y ناقص واحد هذا كله بدي اخد منه
ناقص عامل مشترك مضال X تربيه يعني ناقص اتنين X
زائد واحد هذا معناه ان Y ناقص واحديساوي الناقص X
ناقص واحد لكل تربية يبقى هذه Parabola و ال vertex
واحد و واحد يبقى هذه Parabola open Down ولا Up؟
Down بسبب الإشارة السالبة يبقى open down with
vertex
يبقى H و K يبقى واحد و واحد يبقى لو جيت قلت هذه
القيمة اللي عندنا واحد و جيت طالع هنا هذه واحد
يبقى أسارة النقطة هذه واحد و واحد يبقى واحد و واحد
تقع على الخط المستقيم و في نفس الوقت
السؤال هو هل ال Parabola تمر بنقطة الأصل؟نعم ليش؟
ان لو حطيت ال X ب Zero و Y ب Zero يبقى ال parabola
هذه لو جيت رسمتها هتاخد الشكل التالي الشكل اللي
عندنا هذا هيك يبقى هذا ال parabola يبقى المنطقة
اللي محصورة فيما بينهما للمنطقة هذه تمام؟ يبقى من
هنا بدأنا الحل نمر أيه؟الدوران يكون حوالين محور Y
جل المطلوب الأول يبقى بدرح أرسم خط يقطع منطقة
التكامل وموازن لمحور الدوران يبقى هذا خط يقطع
منطقة التكامل وموازن لمحور الدورانيبقى هذه لو جيت
هنا إلى أسفل هذا البعد بدي يكون X اللي هو من نصف
القطر تبع دائرة cylindrical shell يبقى بدي أجي
أشوف ال X ستتغير من وين لوين أول قيمة Zero و أخر
قيمة كدهش واحد يبقى باجي بقوله ال volume Vبدي
أساوي تكامل للإتنين by X وهذا الكلام من Zero لغاية
واحد لل F of X F of X اللي هي المسافة اللي عندنا
هذه، هذه من هنا لهنا، اللي هي mainنقص X تربيه نقص
X تربيه
يبقى هذا في اتنين اكس ناقص اكس ترابية ناقص اكس كله
بالنسبة لمين الى دي اكس يبقى هذا الكلام يساوي
اتنين باي تكامل من زيرو لواحدهذا الـ X خلّيها برا
زي ما هي و عندك اتنين X و ناقص X بيبقى X واحدة
يبقى هذا X ناقص X تربية كله بالنسبة إلى DX أو ال
volume V بده يساويهي اتنين باي برا وهي تكامل من
Zero لغاية واحد لل X تربيه ناقص X تربيه X تكييب X
تربيه ناقص X تكييب كله بالنسبالي ديكت يبقى هذا
اتنين باي في X تكييب على تلاتة ناقص X أربع على
أربعة كله من Zero لغاية واحد يبقى اتنين بايفي تلت
ناقص ربع عملناها قبل شوية واحد على اتناش يبقى
النتيجة باي على ستة الآن بدنا نيجي للمطلوب التاني
نمرا V نمرا V بدا عيد الرسم تاني يبقى لو جينا
قعدنا الرسم تاني وقولنا هذا محور X هذا محور Y
تمام؟الخط Y تساوي X هذا الخط Y تساوي X جينا عنده
النقطة اللي هي واحد و واحد هذه واحد و رسمنا
المنحنة فمر بنقطة الأصل بهذا الشكل تمام؟ يبقى هاي
المنطقة اللي عندناالدوران بدي يكون حوالين الخط
اللي عندنا هذا main اللي هو x يساوي واحد، كويس،
يبقى بدي ارسم خط يقطع منطقة التكامل وموازن لمحور
الدورانيبقى هذا يعتبر مين؟ الـ cylindrical height،
بدي نص القطر، يبقى هذا لو جيت نزلت من هنا و قلت
هذا البعد كله X لأن هذا نقطة الأصل هي Zeroالدوران
حوالين محور Y حوالين للخط X يساوي واحد يبقى أين
نصف القطر؟ واحد ناقص X ممتاز هذه المسافة كلها وهذا
هو نصف القطر تمام؟ يبقى هذا واحد ناقص Xكويس يبقى
بدي يصير ال volume دي بدي يساوي تكمل لاتنين by
واحد ناقص six هذا اللي همين نصف القطر فاهمين؟ فيه؟
الـ Height هذا الارتفاع هل اختلف عن الارتفاع اللي
هناك؟ هو هو يبقى 2X ناقص X تربية يبقى 2X ناقص X
تربية ناقص X كله بالنسبة ل X والـ X ستتغير من Zero
لغاية واحد كما هييبقى النتيجة تساوي أي اتنين باي و
أي تكامل من zero لفاية واحد وهنا واحد ناقص x
فاهمين؟في الـ x ناقص x تربيع كله بالنسبة الى dx
هذا الكلام يساوي 2πي تكمل من zero ل1 يبقى
x ناقص x تربيع ناقص x تربيع وزائد x تكييبكله
بالنسبة الى DX يبقى هذا الكلام بده يساوي اتنين باي
تكمل من Zero لاحق عن DX مافيش غيرها ونقص اتنين X
تربيع وزائد X تكييب كله بالنسبة الى من؟ الى DX
يبقى هذا الكلام بده يساوي اتنين باياكس تربيه عالى
اتنين ناقص تلتين اكس تكيب او هنا زائد اكس أس اربع
عالى اربع من زيرو لغاية واحد يبقى هذا الكلام بده
يساوي اتنين by فيه نص ناقص تلت زائد رابعكيف؟ اه
تلتين هذا ولا يما يبقى نص ناقص تلتين زي ربع في
اتنين باي يبقى هذا الكلام بده يساوي اتنين باي
المضاعف المشترك كله لهم له قداش اتناش12 على 2 هي 6
في 1 ب 6 نقص 12 3 في 4 في 2 8 12 على 4 هي قداش 3
يبقى تلاتة أو ستة تسعة يبقى اتنين باي في واحد على
اتناش يبقى باي على ستة كذلك يبقى هذا الحجم اللي
موجود هنا لحد هنا stop انتهى هذا ال section اللي
هو ستة اتنين وعليكم أرقام المسائل
يبقى exercises ستة اتنين المسائل التالية من واحد
للاحداشر القد ومن خمستاشر لتسعة وتلاتين القد كذلك
مين اللي قال ليس بالضرورة لأ لإن هاجر نضل على
الشجر نضل على الشجر تاني