السلام عليكم و رحمة الله بسم الله الرحمن الرحيم
اليوم ان شاء الله هنكمل الجزء التالت من مناقشة
اللي هو الشبتر الرابع chapter ال cyclic groups
المرة الماضية أنهينا سؤال عشرين و اتوقفنا عن سؤال
واحد و عشرين سؤال واحد و عشرين سؤال تطبيقى مش صعب
كتيرلو جينا نقرأه let g be a group and let a be an
element of j لو ال a قص 12 بيساوي ال identity what
can you say about the order of a نفس الفكرة في فرع
بي لو ال a تقام بيساوي ال identity what can we say
about the order of a طبعا الجواب على السؤالين هو
جواب واحد ان order ال a في الأول هيقسم ال 12 في
الفرع a و في بي هيقسم مين
فى الفرع c suppose that ال order لجيب يسوي 24 جيب
is cyclic و ال a أُس تمانية لا يساوي ال identity و
ال a أُس اتناش لا يساوي ال identity show that ان
order ال a او ال generated by a هو الجيب فرع c
order الجيب يساوي 24 ال a أُس تمانيةلأ يساوي ال
identity و ال a أُس 12 لأ يساوي ال identity طبعا
في معلومة أخرى ان ال j is cyclic مدام
ال j is cyclic و
ال a ينتمي لل j هذا معناته ان order ال a هيقسم
order منالـ J هذي احدى الكورلرز على النظرية الاولى
انه اي عنصر في الـ cyclic group ال order له بيقسم
order ل group في حالة ال finite case هذا معناته
order ال A بيقسم ال 24 وبالتالي order ال A يا 1 يا
2 يا 3 يا 4 يا 6 يا 8 يا 12ياربع وعشرين تقال نرفض
بعضهم since
ا ال تمانية لا يساوي ال identity هذا معناته order
ال ا لا يساوي واحد لا يساوي اتنين لا يساوي اربع
ولا يساوي تمانية اشطب الواحد اشطب الاتنين اشطب
الاربع اشطب التمانيةنفس الفكرة also ال a أُس 12 لا
يساوي ال identity معناته order ال a لا يساوي تلاتة
ولا يساوي ستة ولا يساوي اتناش اشطب التلاتة اشطب
الستة اشطب الاتناش ايش حيضل عندك؟ اربع وعشرين
وبالتالي order ال a بدي يساوي اربع وعشرين اللي هو
order ال jيكبر جيه الانصار
اللي اسمه a موجود في الجروب جيه اللي هي cyclic و
هي finiteهي group ال order لها 24 يكبر order ل A
بيخسم ال 24 يكبر يا واحد يا اتنين يا تلاتة يا اربع
يا ستة يا تمانية يا اتناش يا اربع عشرين هيجيت ال A
و ال تمانية و ال A و ال اتناش لا يساوي ال identity
بستثني ال واحد و التنين و الأربع و التمانية في
الأول بعدين بستثني التلاتة و الستة و الأتناش من
حيضلان دي خلص السؤال السؤال
ال 22Any group of order 3 must be cyclic هذا
هيناخدله تعاميم في chapter 7 لما ناخد ال grand
theorem ان اي group of prime order لازم تكون
cyclic لو كان ال J ال order إيه لها تلاتة ف J is
cyclic
let جيه بيه فيها تلت عناصر اكيد واحد منهم مين اخد
ال a اخد ال b with ا لا يساوي ال a ا لا يساوي ال b
ا لا يساوي ال b عشان اقول انه تلت عناصر اشمالهم
distinct مختلفات
هذا معناته ان a و b وين هيكون في الـ j كم حالة
عندك تلاتة cases هذا معناته case واحد ان ال a و b
بدت ساوي ايه؟ لو ال a و b بدت ساوي ايه؟ يبقى b بدت
ساوي ال identity وهذا مستحيل الحالة التانية
إن ال A بيبقى تساوي ال B في هذه الحالة سيصبح ال A
بيبقى تساوي ال identity وهذا مستحيل كيس
ثلاثة إن ال A بيبقى تساوي ال identity وبالتالي ال
B بيبقى تساوي ال A inverse طبعا صارت ال J عبارة عن
ال identity و A و A inverse
cyclics جيناتك ضايق من انتوا يك ب جيه is cycling
وخلص
واضح
السؤال هذاواضح السؤال هذا طيب سؤال تلاتة عشرين
اتكلمنا عنه في سياق الشرح اللي ابقى كنت اشرحه في
ال chapter بقولك ال z of ليه عبارة عن ال integers
مع الجامع هل كل subgroup من ال z cyclic؟ هل كل
subgroup من ال z cyclic؟ لو أخدت H subgroup من ال
z ال integers مع الجامع أكيد ال H cyclic
ليش؟ since z itself is cyclic مدام الـ z is a
cyclic group فكل sub group منه ايش هيكون؟ Cyclic
طبعا ال H هتكون generated by some element مثلا M و
ال M ينتمي ل z هدا مش معناته هدا معناته هي عبارة
عن ال zero موجة بسالب M موجة بسالب اتنين Mموجب
سالب تلاتة M الاخرى هذا
السؤال
23 السؤال 24 find
for any element A in any group J prove that انه
generated by A is a subgroup من ال centralizer A
هذه تريفيال since a في a بيبقى تساوي a في a يكبر
ال a أشماله كميوت مع نفسه مادامه كميوت مع نفسه
يكبر a موجود في ال centralizer لل a يكبر generated
by a sub group من ال centralizer وخلص اثبات خلص
خلصوها ال 24 بسرعة أربع
أسئلة اللي حليناها واضحة، في أي مشكلة فيها؟ في أي
مشكلة في الأسئلة اللي حليناها؟ أي نقطة غير مفهومة؟
هو يبدأ بالجنرالتر الـ A بالساقية هذي السبب بقى
تبدأ في answer انت بتاخد A تقام بعدين تدبط ان A
تقام commute مع ال A عارف تلات تسطر ليش تجي ع راسك
بعدين كده بدأت ك A تقام بساقية مش ال A commute مع
نفسه فموجود في ال centralizer تبع نفسه و بعدين
موجود في ال centralizer تبع نفسه ال centralizer
subgroup فال generated by Aهيكون subset من ال
centralizer لأنه مدام ال a موجودة يعني فكل powers
ال a موجودة يعني
سؤال 25 أنا ما طلبتوش لكن هو محلول في الخلف و سهل
انت بتشتغل في ال DN ال DN عبارة عن جزءين جزء مكونا
من N من العناصر بتكون لل cyclic subgroup generated
by R 360 على N و الجزء التاني عبارة عن مجموعة من
ال reflections اللي ال order لكل واحد اش في ساوي
تنين فعندك صحب الجروب ال order اللي هان فلو كان دي
يقسم الان هتلاقي عدد من العناصر ال order اللي هم
دي يساوي في الدي بالنسبة لسؤال ستة و عشرين
generator ال z قلناهم موجة بسالب واحد generator اي
group infinite و cyclic هيكون ال a و a inverse
يعني في ال z السؤال ستة و عشرينالـ z ال generator
إليها موجب سالب واحد طب لو كان عندك generated by a
و order ال a بدي يسوي مالة نهاية مين ال generator
هان؟ a و a inverse لأنه أصلا كل .. هنكتشف لاحقا أن
كل cyclic group و infinite هتكون copy من ال z
السابع و عشرين الـ c star the group of non-zero
complex number under multiplication has a cyclic
subgroup of order c star عبارة عن اللي هي كل ما
عدا ال zero اللي هي ممكن نكتبها زي هيك black c كل
ما عدا ال zero مع عملية الضربهذا ما نثبت أنه موجود
فيها Cyclic group أو
Cyclic subgroup في أوردر n لت ان ينتمي لإنه يشغل
number بخط
Complex analysis
طيب هجيت أي polynomial ال coefficient اللي لها من
ال C حلولها وين موجودة؟ اي polynomial ال
coefficient اللي هي المعاملات تبعتها من ال complex
number ال coefficient تبعتها وين؟ او ال solution
تبعتها وين؟برضه في ال complex طبعا هذا سببه ان ال
.. ال .. ال .. ال C مع الضرب و الجمع تملي حاجة
احنا بنسميها algebraically closed field of
characteristics zero طبعا هو اكمل تقريبا اللي هو
اكمل ال .. ال .. ال هيئة الجبرية لإن كل ال
polynomials بتكون محلولة داخله هجيت السؤال انا بدي
اجيب subgroup ال order L, H, N و تكون cyclic في ال
C فبدي أنصر يولدهاthe answer يولد هذه ال subgroup
طبعا consider the
equation x to n بساوي واحد هذه
المعادلة we know that
this equation
أو the solution أو the roots of this أو of this
polynomial أو equation are
all lies in C ولا
واحد منهم يساو Zero none
of them is zero ولا واحد منهم
ساو صفر let a,n بكل ال X في ال C اللي X أس N بده
يساوي واحد
بتعلم معايا احنا هن فى ال C و لو واحد منهم صفر
فأول هنتقل لل C star using the
concepts of
complex analysis we
can write
الان عبارة عن الواحد و و تغبيه لإن و أس ان ماينس
واحد where
و
is a primitive root
of unity primitive and root of unity طبعا
لو رجعت لل complex analysis احنا بتعرف ان هذه
المعادلة كيف بنحلهاهنا x اثنان بدى يسوى واحد او
انا بدي احلي المعادلة اللى عبارة عن z اثنان بدى
يسوى واحد بروح بجيب الواحد على شكل اللى هو ال ال
polar form و بتطلع ال theta تبعته صفر فبجمع صفر
زاد اتنين k πاي على n ف ال w عبارة عن اللى هو
cosine اتنين πايعلى n زاد i sin 2pi على n هذا من
ال complex analysis هيتلاحظ أن باقي العناصر عبارة
عن مين هنا
unity النتيجة أن a n generated by w
and since w أُس n بدأ تساوي واحد طبعاً لما ابدأ
أجي أكمل أجيب w أُس n هترجع لمين للواحد w أُس n
زاد الواحد هتروح لمين لل w بعدين ال powers تبعين
ال w بصير اشمالهم يتكرر النتيجةان ان subgroup من
الـ black sea تبعا black sea لما اشهد منصة صفر ده
C star و ال order لان بدى يساوي ان and ان is
cyclic مشكلة هنا ان اللي بدأ يجيح حل السؤال يكون
عنده خلفية عن ال complex analysisلأ لأ مش .. هذه
القاعدة انت خدتها في الثانوية المعادلة اللي هي كيف
.. كيف .. كيف كنت تجيب جذور ال .. ال .. ال ..
الواحد الصحيح ال .. الواحد الصحيح هو بده إجاوب أو
صرف إجاوب الوردر لها فاشتغلت علي هذه المعادلةأنا
مش هقدر أخد أنصر عشوائي و أضل أرفع فيه الأساس و
بعدين أجيبه بواحد إلا لما أكون عارف واحد معين بعرف
أنه لما بعرفه هو لأنه بيعطيني واحد عشو
فيه بعد 27؟ أو 26؟ 27؟عندي سؤال تسعة و عشرين list
all the elements of O أخضر تمانية ان زد تمانتلاف
محلول .. محلول السؤال هذا ورا تحلي السؤال اللي
بعدهأو حتى لو مش تمانية و تمانية ترليون نفس الفكرة
list all elements of order تمانية عشان تشتغل على
order تمانية بدك تجيب واحد ال order له تمانية و
تكمل بعد هيك عشان تشتغل عشان تشتغل عشان تشتغل عشان
تشتغل عشان تشتغل عشان تشتغل عشان تشتغل عشان تشتغل
عشان تشتغل عشان تشتغل عشان تشتغل عشان تشتغل عشان
تشتغل عشان تشتغل عشان تشتغل عشان تشتغل عشان تشتغل
عشان تشتغل عشان تشتغل عشان تشتغل
بتجيب واحد منهم اللي هو عبارة عن واحد قص تمانية
مليون ع تمانية يعني واحد قص مليون عن المليون بترفع
على القصص اللي بتكون relative to prime ع تمانية
واحد و تلاتة و خمسة و سبعة فهي الأرقام اللي او
العناصر اللي في زيد تمانية مليون اللي ال order
اللي تمانية هتكون المليون و التلاتة مليون و الخمسة
مليون و السبعة مليون نفس الفكرةلو كان ال .. ال
يعني copy من ال z تمانية مليون generated by a و ال
order ل a تمانية مليون هل السؤال تلاتين؟ ساعات
عشرين بتقول ساعات عشرين أحله بحله مع أنه سهل يعني
بدك
ال .. ال .. ال order لل a بيبقى تساوي تمانية و a
ينتمي ل z تمانية مليون أول شي ده number
of elements in زد تمانية مليون with order تمانية
is five تمانية له بيساوي أربعة because أو since
the group is cyclic to find one of them
we have that واحد اص تمانية مليون على تمانية اللي
واحد اص مليون اللي عبارة عن مليون has order تمانية
sure
هو بده الارض بده العناصر بلاش اخدها ايه وهنا بقولك
find الارض على بيبن ساوة تمانية و ال بي ينتمي بزية
تمانية مليون اوجد العناصر بي اللي الارض اغلى
تمانية بزية تمانية مليون باق العناصر هالجيتها
شهدكون these
elements
R مليون أس واحد مليون أس ثلاثة مليون أس خمسة و
مليون و السبعة اللي هما يبقى عن المليون و التلاتة
مليون و الخمسة مليون و السبعة مليون
طب انت تكمل السؤال بنفس الطريقة بس بدل الواحد مش
هتاخد A فهيصير A أُس مليون A أُس ثلاثة مليون A أُس
خمسة مليون أو A أُس سبعة مليون سؤال
تلاتين order
ال A قد تنين N زي الواحد وA B A inverse بيساوي P
inverse show that P
تربيع بيساوي ال identity السؤال
التلاتين سؤال حلو بيشغل
عشان اقول ان ال P تربيه بدي ساوي ال identity لازم
اطلع ال P من العلاقة اللي قدامك يعني P A في B في A
inverse بدي ساوي P inverse تعالى نخربش على جدب
عشان نعرف كيف نبدأ نحل السؤال عشان يكون ال P تربيه
بدي ساوي ال identity فP بدي ساوي ايش؟بإنفارس
بإنفارس
بإنفارس بإنفارس بإنفارس بإنفارس بإنفارس بإنفارس
بإنفارس بإنفارس بإنفارس
بإنفارس
بإCommute تبقى ده ليه طيب فى شفى معضلة لحد تلان ما
استعملتوش اللى هو إيش order ال A بدي ساوي odd لما
يكون order ال A بدي ساوي odd ف generated by ال A
ال order اللي هي إيش تانين إيه أن زاد ال واحد
فمعناته generated by ال A هى نفسة generated by ال
A تربية
طيب لما يكون ال A P بدي ساو P A معناته ال A أنصر
وين؟ في ال centralizer ال P ال A أنصر في ال
centralizer ال P ف generated by ال A subset من
centralizer ال P طب generated by ال A هنافسة
generated by ال A تربية فA تربيةأنصر في الـ
centralizer الـ P فأنا لو أثبتت أن A تربيع P بيكون
حصلت
المطلوب بس بي .. A تربية P بيكون حصلت المطلوب بس
بي .. A تربية P بيكون حصلت المطلوب بس بي .. A
تربية P بيكون حصلت المطلوب بيكون حصلت المطلوب
بيكون حصلت المطلوب بيكون حصلت المطلوب بيكون حصلت
المطلوب بيكون حصلت المطلوب بيكون حصلت المطلوب
بيكون حصلعبارة عن A P A inverse لكل inverse اللي
يشبه تساوي A P inverse A inverse طيب
هذه عبارة عن A A P A inverse في A inverse اللي
عبارة عن A P inverse A inverseوبالتالي هذه هي
نفسها طبعا أنا بدأت من تحت عشان أفهم نقطة البداية
تبعتي مين هي لازم أبدأ بهذه و بهذه هعيد تشكيل الحل
و أصل للمطلوب since
a
p a inverseبدي سوى P inverse خد inverse الطرفين A
P A inverse بدي تسوى P inverse ولكل inverse هذه
هتصير A P inverse A inverse بدي تسوى P
طيب خلّيه على جانب اتذكر ايش الكون اللي بنجيبه
احنا بنثبت ان a تربيه b a inverse ايش ده تساوي بي
بقى دي اي سالب اتنين هقعد
امسك ال a تربيه بي a inverse كيف ده تيجيه also a b
inverse a inverse ده تساوي مين بي انفرس
أنا أنا أخدت A P Inverse A Inverse ماشي
هجيت أضرب A A A B A Inverse A Inverse هد يبقى عنين
A P Inverse A Inverse الي مين الي B هي فوق هي
فوق Pهذه عبارة عن a تربيع بي a سالب اتنين ايش
بيساوي بي يعني a تربيع بي بتساوي بي a تربيع ايش
يعني a تربيع بي بتساوي بي a تربيع يعني a تربيع
ينتمي ل centralizer ال بي وبالتالي generated by ال
a تربيعsome group من الـcentralizer الـB Now order
الـA بيساوى 2N زي الواحد odd ايش يعني؟
ايش يعني؟ يعني generated by الـA تربيةبدي اساوي
generated by الـ A أُس common divisor للتانين
والتانين N زاد الواحد اللي هو A أُس واحد يعني
generated by الـ Aأحنا خدنا قاعدة انه ال generated
by a to m هو نفس ال generated by a أصل grease
common divisor لm و order ال a حط ال m اتنين و
order ال a اتنين n زادي ال واحد هدولة relatively
prime فال grease common divisor له مقداش واحد
فgenerated by ال a تربيع هي نفس ال generated by ال
a طيب اش يعنييعني generated by ال A صارت sub group
من مين؟ من ال centralizer ال B إيش يعني؟ يعني AB
بدت ساوي PA AB بدت ساوي PA يعني ABA inverse إيش
بدت ساوي؟B بس ABA inverse إيش بتساوي أصلا؟ B
inverse يعني B inverse بتساوي B و الخلاصة اللي
احنا مطلوب نجيبها أنه B تغبيا بتساوي ال identity
واضح؟
واضح السؤال يا شباب؟
بس وقت فيه .. فيه أفكار يعني طلعت كيف فكرنا في حل
و بدأنا من وين؟ من اللي مطلوب نثبته، اشتغلنا
ووصلنا لمين؟ للشغل اللي المطلوب احنا نشتغل عليها
عشان نصلّى المطلوب بصراحة
كتب
سنة واحدة و تلاتين على السريع بقولك
لو كانت ال order لل J مثلا بيساوي M finite بقولك
أثبت أنه يوجد يوجد
N such that أن A أُس N بدت ساوي ال identity لكل A
في ال J طبعا انا بقولكالـ N هي عبارة عن ال least
common multiple ل order A حيث A في الـ G مش شغل
على هذه القاعدة خد ال N المطلوبة هي least common
multiple ل order العناصر الموجودة فين في الـ G
سؤال 32 تبع ال lattice 32 33 34 35 تكلمنا عنهم فضل
31 يقولك اثبت انه يوجد عدد بترفع كل عناصر الجي الو
بيعطيك ال identity انا بقولك العدد هذا هو ال least
common multiple لكل ال orders وبالتالي اي عنصر ال
n هذا multiple لل order تبعهفلما ترفع ال a to n
هسير ال a او order ال a في رقم ال a مع order ال a
بيعطيك ال اد ان انت بتخلص الموضوع طبعا انت عشان
تشغل في finite case فالعناصر تبعتي ال a finite
يعني عددها محدود وال order الها برضه محدود وبتالي
انت بتشغل ال least common multiple العدد محدود من
العناصر وكل رقم داخل في الحسبة ايضا محدود فالنتيجة
ان رقم اللي هيطلع معاك هو رقمأو عدد طبيعي مش هيكون
infinity هان واضح؟
طب مش نستفيد منه order ال J بسوا M نستفيد منه هان؟
لأ يعني المعضلة أن أنت بتشتغل في finite case فكل
ال order تبعت ال J الكبير تبعهم M بفطوش ال M طيب
سؤال 36 في شغل برضه
ثم اثبت ان الـ j عبارة عن union of a proper صحيح
بيجيبوا اركزوا على كلمة proper if and only if j is
not cyclic اثبت
ان الـ jبارة عن اتحاد proper subgroup if and only
if J is not cyclic طب أنا ده الإثبات اتجاهين
assume that we can write J بارة عن union H حيث و H
proper subgroup من الـ Jان احنا بنقدر نكتب ال j
على شكل اتحاد ل subgroups عشان انا اميزها خليها
اصغر من ال j ل
subgroups proper من ال j ايش بدي اثبت انا ان ال j
not cyclic كيف بدي استعمل او اي طريقة بدي استعملها
ايش افضل طريقة بدي استعملها
شباب كيف بنثبت ان الجروب ليس Cyclic نثبت
ان ولا عنصر ال order له بيساوي order للجروب طب
انت لا تنساش ان ال j finite ال order لل j بيساوي n
finite طب هذه العملية سهلة ولا صعبة؟انت بتاخد عنصر
عشوائي بتثبت ان ال order إله لا يساوي n مين
الأسهل؟
مين الأسهل؟ أستعمل الأسطوب المباشر ولا الغير
مباشر؟ أستعمل ال direct ولا ال indirect؟ الأسهل
هان أستعمل ال indirect assume that
J is cyclic
هذا معناته ان الـ J is generated by some A هذا
معناته الـ A ينتمي للـ J اللي هي ال union لـ H
subgroup من الـ J لـ H لأن الـ G عبارة عن اتحاد
بربر subgroups والـ A في الـ J يقبل A موجود في
الاتحاد هذا معناته الـ A ينتمي ل some H for someH
proper subgroup من الجيه ال A عنصر في proper
subgroup من جيه من الجيه هذا معناته انه generated
by ال A صارت subgroup من مين من ال H مين generated
by ال A يا شباب جيه
J subgroup من الـH و الـH أصلا subgroup من مين من
الـJ صارت الـJ subgroup من بوبر subgroup منها يعني
المبنى اللي انت فيه صار جزء من الغرفة تخيل كيف
المبنى طيبة صار جزء من الغرفة اللي انت فيها هناطب
و الناس اللي برا الغرفة وين موجودين؟ صارت تناقض
لإنه حاسيب معاك ال J بوبر sub group من نفسها و هذا
مستحيل تناقض contradiction so J is not cyclic
و
أصلا ال H بوبر صحيح
طيب الجزء التاني لسه شوف
قارط سؤال كويس احنا بنثبت ان ال J اتحاد مجموعات
جزئية proper منها if and only if هي مش cyclic فلو
كانت اتحاد ل proper subgroup اثبتت انها مش cyclic
لان لو كانت cyclic هسي في مشكلةيقبل جيه not cyclic
حاجة تنتج الاتجاه العكسي نقول assume that
جيه is not cyclic اش يعني يعني
لكل a في الجيه generated by ال a لا يساوي الجيه اش
يعنييعني generated by ال A ال proper subset من
مين؟ من ال J هذا
معناته الاتحاد A في ال J مش
كلهم subset من ال J فالاتحاد تبعه مش هيكون
كل واحد من هدول subset من ال j فاتحادهم هيظل
subset من ال j طبعا
انا بتكلم عليهم كاتحاد ك set مش ك subgroup لإن لو
عندك two subgroup الاتحاد تبعه مش ضرر يكون
subgroup اعطيها واحد now if a في ال jف a ينتمي ل
generated by ال a ف a ينتمي لل union يعني
ال j صارت subset من ال union و
اعطيها اتنين واحد و اتنين هتصير ال j هي الاتحاد
صارت الجي عبارة عن اتحاد subgroup منها وكل واحدة
منهم هدولة اشملها with generated
by ال a is a proper subgroup of
جي لكل a في الجي صارت عبارة عن اتحاد proper
subgroup
واضحة؟ لأن اثبات السؤال لها .. لأ لها .. هذا ال F
and only F لها .. لها .. لها .. لها ال F و لها ال
only F
37 show that the group of positive rational number
under multiplication is not cyclic يعني Q زائد مع
ضرب not cyclic Q
زائد يعني الأعداد النسبية الموجبةهأقول assume الـ
Q generated by some a على b with
the greatest common divisor ل a و b بدي يسوي واحد
حيث ال a و ال b موجودين في ال initial number طب
علشان ماخدتهمش في ال z لإن أنا بتعامل مع مين؟ مع
positiveهي التنين بدا تساوي a على b قص
أن طبعا .. طبعا clearly أن لا يساوي zero لأن
التنين لا يساوي a على b قص صفر ليها واحد also
if n بدت ساوي واحد فالتنين بدت ساوي a على b هذا
معناته ان ال q star generated by تنين او
q زاد generated by تنين هذا معناته ان التلاتة بدت
ساوي تنين أسام for someم في الـ z وهذا مستحيل
التلقى
تلقى تسوى power للتنين طيب if n بدت ساوى سالب واحد
يعني ال a على b بدت ساوى نص وبالتالي التلت بدت
ساوى نص أُص م والم من ال z يعني التلقى تبدى ساوى
تنين أُص م والم من ال z وهذا تناقضيكبى الان لا صفر
ولا واحد ولا سالب واحد يكبى يا أكبر من واحد يا
أصغر من سالب واحد if n أكبر من الواحد يكبى اتنين
بدت ساوي a على b أس n بدت ساوي a أس n على b أس n
وبالتالي a أس n بدت ساوي اتنين b أس n
هذا معناته تنين تقسم ال a أُس n وبالتالي تنين تقسم
ال a يكبر a بدت ساوي تنين k و ال k من ال n يكبر
اتنين p أُس n بدت ساوي تنين k أُس n بدت ساوي تنين
أُس n k أُس n يكبر p أُس n بدت ساوي تنين n minus
واحدك اص ان تنساش ان الان اكبر من الواحد يكبر الان
ماينوس الواحد على الاقل واحد يكبر هنا فيه اتنين
موجود وبالتالي اتنين تقسم ال بي اص ان يكبر اتنين
تقسم ال بي اعطي هذه star وهذه double star هيعطيك
ان الجيس common divisor ل a و b اكبر او يسوى اتنين
وده مستحيلليش؟ لإن أنا جالي اللي جيزكوا مدفع
زورجات دي إيش؟ واحد طبعا لا صفر ولا واحد ولا أكبر
من الواحد ولا سالب واحد إيش بيضال عندي؟ if n أقل
من سالب واحد نفس الفكرة هسي معاك a على b أسنة بدت
ساوي إيش؟ تنين يعنيطبعا ال N أقل من سلب واحد فسلب
ال N أكبر من ال واحد معناته A على B طبعا
مش هجلبها لغاية هتصير B على A السلب N بدت سوى 2
وبالتالي B السلب N بدت سوى 2 A السلب N
يكبر تنين تقسم ال B والسالب N يكبر تنين تقسم ال B
Similarly تنين
هتقسم ال E والسالب N يكبر تنين هتقسم ال A وهذا ما
هيعطيك تناقض يكبر لا صفر ولا واحد ولا أكبر من
الواحد ولا سالب واحد ولا أصغر من سالب واحد مين
ضال؟ So Q
زائد is not cyclic
يعطيكوا العافية بنجا فان السؤال هذا وحضرة القادمة
ان شاء الله هنكمل من سؤال تمانية وتلاتين بس هنحاول
انه ننهي المناقشة يعني لن مش هحل كل الأسئلة اللي
ضايلة مطلوبة هعطيك فقط هنتائج إليها