موسيقى
بسم الله الرحمن الرحيم نواصل ما ابتدأنا به في
المرة الماضية اخر حاجة كنا بنتكلم فيها المرة
الماضية لل infinite series المتسلسلات اللانهائية
ووصلنا الى ال geometric series اللى هى المتسلسلة
الهندسيةوذكرنا في المرة الماضية ان المتسلسلة
الهندسية على شكل summation ل A R أس N minus one
حيث A الحد الأول والR هو الأساس تبع المتسلسلة
واخذنا على ذلك أربعة أمثلة، الآن بنذهب إلى المثال
رقم خمس اللي عم نسميه اتنين لأن الأربعة كانوا
مجموعة متآلفةنجيب نقطة تانية لأول واحدة كأنه يظهر
انه مالوش علاقة بالمتسلسلة الهندسية بيقول لي
اكسبرس دي number عبرلي عن ال number واحد صحية
وتمانية وعشرينمن مية و تمانية و عشرين فوقها شرطة
هذه نسميها الكسور العشرية دائرة او الكسور العشرية
الدورية في المرحلة التانوية هي نفس الكسور العشرية
ذراسة في التانوية هي نفس هذه طيب الان بيقول يعبرلي
عن هذا الكسر العشر الدائر as a ratio of two
integers كخاري قسمةرقامين على بعض او رقامين على
بعض او رقامين على بعض او رقامين على بعض او رقامين
رقامين على بعض او رقامين على بعض او رقامين على بعض
او رقامين على بعض او رقامين على بعض او رقامين على
بعض او رقامين على بعض او رقامين على بعض او رقامين
على بعض او رقامين على بعض او رقامين على بعض او
او رقامين على بعض
او رقامين على بعض او رقامين على بعض او رقامين على
بعض اطبعا؟ يبقى هذا الكثير حاطنيه على الشكل لأن
هذا. بدي أحاول أحطه بصيغة أخرى. يبقى هذا الكلام
بدي أساوي. هذه الواحد الصحيح الزائد. بدي أجي
للتمانية وعشرين الأولى. هذه تمانية وعشرين من جداشر
.يعني تمانية وعشرين عالمية. يبقى هذه تمانية وعشرين
عالمية.بالداخل ال 28 التانية 28 من عشرة آلاف يبقى
هي 28 على عشرة آلاف زائد بالداخل ال 28 التالتة
يبقى هي 28 على كتير على مليون زائد إلى آخرىيبقى
روحت كتابة الكسر العشر الدائر على شكل متسلسلة، لكن
المتسلسلة دي لسه بعرفش إيه شكلها الحقيقي، على شكل
متسلسلة، لأ form معينة مالهاش، يجب نقول الله أعلم
الواحد هو ده لحاله مستقل مالوش دعوة في باقي الكثور
يبقى هذا رقم صحيح فباجي بقوله يا واحد خليك زي ما
انت زاد ايش بتلاحظه على كل الحدود اللي بعد ذلك؟ في
عامل مشترك اللي هو التمانية وعشرين على بدي اخده
عامل مشترك من الكليبقى هاي 28 عالمية عام المشترك
بظل واحد زائد واحد عالمية زائد واحد على عشرة آلاف
زائد زائد إلى آخرى اش رايكوا في المقدار بين
القوسين لو جيت جسمت الحد التاني على الحد الأول كده
اش بطلعبدي اقسم الحد الثاني على الحد اللي هو الجدش
بيطلع واحد على مية بدي اقسم الحد التالف على الحد
التاني واحد على مية واحد على مية يبجي هذه نسبة
ثابتة يبجي اللي بينجه السنة عبارة عن متسلسل هندسية
geometric seriesال ratio تبعتها هي واحد عالمية و
الأثار و الحد الأول هو واحد صحيح طب ال series
هاسمها يا نايم يبقى هاد ال series converge ولا
diverge؟
Converge ليه؟ لأن R أقل من واحد صحيح ال absolute
value تمام يتجلبين جثين هذه كلها Converge
Geometric Series
Convert geometric series because absolute value لR
يسوى واحد عالمية أقل من الواحد الصحيحتمام يبقى هذه
converge بالسبب انه الاساس تبع المتسلسلة اقل من
واحد صحيح بناء عليه بنقدر نجمع هذه المتسلسلة اذا
لو جمعناها بنجمها نقول الواحد اللي برا مالوش دعوة
وتمانية وعشرين عالمية كمان خليك برا احنا بدنا
مجموعة المتسلسلة اللي جوا الحد الاول واحدعلى واحد
ناقص الأساسي لواحد عالمية يبقى النتيجة تساوي واحد
زائد تمانية وعشرين عالمية فيهفلّع لي واحد ماقص
واحد على مية، بيقول قداشر تسعة وتسعين على مية يعني
مية على تسعة وتسعين يبقى اللي جوا بين جثين هي مية
على تسعة وتسعين تعالى نشوف، في اختصارات؟ نعم في
اختصارات، يبقى المية هذه بتروحنا على المية هذهبظل
عندنا واحد زائد تمانية وعشرين على تسعة وتسعين في
اختصارات بين البصف والمقام؟ لا مافيش، مافيش بلاش،
يبقى هذا الكلام بده يساوي المضاعف المشترك للاثنين
تسعة وتسعين بصير تسعة وتسعينزائد تمانية وعشرين
يبقى مية وسبعة وعشرين على تسعة وتسعين بالشكل اللي
انا انا اذا الكثر العشر دائر واحد و تمانية وعشرين
من مية الحقيقة القيمة العددية as a ratio هي مية
وسبعة وعشرين على تسعة وتسعينيبقى الكثور العشرية
دائرة معناته ممكن أخلق منها متسلسلة هندسية و أروح
أشوف المتسلسلة الهندسية هذه شو شكلها و أستخدمها في
تحويل الكثر العشر الدائر إلى كثر اعتيادي طب بدأ
أسألكوا بعض الأسئلة الهامشية بس لمجرد التذكير احنا
هيك سؤالنا انتهىلو جيت قلتلك في عندي كسر عشري
بالشكل اللي عندك، ايه هذا؟ هاي اتنين، تلاتة، اربعة
وحطيتلك شرطة على اتنين وحطيتلك شرطة على الأربعة
بالشكل هذا وقلتلك اكتبلي هذا شو بده يساوي، ايش
معنى هذا؟ حد بيقدر يقولي؟ كدس الأربعة كدس الأربعة،
مش سامع
اللي بيعرف يرفع عيده، بدنا نتفهم بس علي شكلها، مش
هاد كله يستفيد، احكي
يعني التلاتة بتطير؟ كمها ملاقاش وجود؟ يعني بيظل بس
اتنين و اربع .. يعني اربع و عشرين؟ اتنين سفر اتنين
سفر اتنين سفر اتنين سفر اتنين سفر اتنين سفر اتنين
سفر اتنين سفر اتنين سفر
يعني صورة هي خطأ وجهة نظر وقد تكون وجهة نظر صحية
وقد تكون ليست وجاها في النظر من
أين لك السفر هذا؟ من أين جبته؟مش دوري يعني؟ طيب،
ان شوفت رقم بهذا .. بهذا الشكل تماما مادام فيه
إشارة على الحد الأول والأخر اللي في المصر قد ما
يكون ان شاء الله مية حد بيكونوا بالشكل كلهم ككتلة
واحدة يعني هذا معناه إيه؟ معناته Zero اتنين تلاتة
أربعة شرطة على الكل در بالك، هاي معناه؟خويف طيب
خدشغلة تانية اللي هيجيها تقولتلك على سبيل المثال
هاي Zero وهذا اتنين ثلاثة وهي اربعة الشرطة على
الأربعة اربعة اربعة كويس؟ يبقى هذه الشرطة فقط على
الأربعة يعني لو بدي اكتبه بدي اكتب الشكل هذا هاي
هاي Zero
4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4
طبعا عندك في التمرين في الكتاب مجموعة مثال بيجي
خمس، ست مثال بشكل هذا طبعا ممكن تجده كثر عشري فقط
ممكن تجد عدد صحيح مع كثر عشري و هكذايبقى الكثور
اللى للعشرية الدائرة دى بدك تعملها بنفس التكييف أو
نفس المفهوم اللى عملته لك هنا وكل واحد بدك تخلق
فيه متسلسل هندسية زى ما خلقنا هنا ونجمعها وبالتالي
بنحول الكثر العشر الدائر إلى كثر اعتيادىيوجه هذه
الصيرة أخرى لاستخدام المتسلسلة الهندسية غير
الأربعة أمتلا المرة اللي فاتت هذا بيختلف كليا عنه
طيب زي ما واحد فيهم المرة اللي فاتت كان cosine m
pi على خمسة دتار mشكله بيقولش متسلسلة هندسية لكن
لما انفكت واتعرفت على الحدود لجيتها متسلسلة هندسية
صميش ل-1 أس N على 5 أس N وروحنا جمعناها المرة
الماضية طيب نعطيك كمان نوع آخر من أنواع الأسئلة
على الـ Geometric Series يبقى example ثلاثة
بيقوللي الفاعل
Find the values of x for which the series
summation
ن ناقص
نص أس N X ناقص تلاتة كله to the power N convert
and
find the sum of the series
طيب ندى المثال مرة تانية تقولى هاتلى قيم x بحيث أن
المتسلسل اللى قدامنا هادي convert يعنى ماهى القيم
اللتي تاخدها x حتى تكون المتسلسل هادي convertو
بعدها اكتر المجموعة تبع هذه ال series بعد ما تثبت
انها converted بقوله بسيطة بطلع في ال series هذه
بقوله ال series هذه بدي احاول اكتبها بشكل اخر بشكل
اخر كيف؟ هذا الأسئل و هذا الأسئل يبقى هذا عبارة عن
كيميتين مضربتين في بعض كله to the power nيبقى بقدر
اقول المثال هذه على الشكل التالي summation من N
equal zero to infinity لناقص نص في X ناقص تلاتة كل
هذا to the power N او ان شئتم فقولوا summation من
N equal zero to infinity لمين لتلاتة على اتنين
بالموجب ناقص X على اتنين كله to the power N
هل هذه جيومتريك سيريز؟ كمية بين جثين مرفوعة للقس M
هو جيومتريك
سيريز
واضحة وضوحة الشمس في ردعة انها Geosys ان يبقى
Geometric عقوبة الخط تمام؟ حط ان بيزير وبصير الحد
الأول بواحدحط ان بواحد بصير الجث نفسه حط ان باتنين
بصير الجث تربيه حط ان بتلات الجث تكييب وهكذا اجسم
اي حد على السابق له بطلع نفس النسبة اللي هي مين
تلات على اتنين ناقص x على اتنين يبقى هذه convert
إلى الأساس تبعها هذا كان محصور بين واحد وسالب واحد
يبقى this isA geometric series تمام؟يبقى بقى دي
بقوله the series اللي هي summation من n equal zero
to infinity للتلاتة على اتنين ناقص x على اتنين to
the power n converge if اذا كانت التلاتة اذا كان
absolute value ل R اللي هو absolute value لتلاتة
على اتنيننقص x على 2 أقل من 1 معناه
أننا نروح نحل ال inequality هذه و نطلع قيم x اللي
هو طلبها لإنها جالي هاتلي قيم x اللي بتخلي ال
series هذي convertبقول له الآن يبقى تلاتة على
اتنين ناقص x على اتنين اقل من واحد و اكبر من مين
من سالب واحد يبقى فكير ال absolute value طيب بدأ
اتخلص من الكسور و بروح بدرب الطرفين في مين في
اتنينيبقى هذا الكلام بده يطينا مين؟ بده يطينا سالي
باتنين أقل من تلاتة نقص X أقل من مين؟ من اتنينطبعا
التلاتة هذه ليست لازمالة أنا بدي اكس بسيطة بقول
ضيف سالب ثلاثة لثلاثة اطراف يبقى هدف يعطيك ما يأتي
سالب تلاتة و سالب اتنين بصير جداش سالب خمسة اقل من
سالب اكسأقل من سالب واحد لما أضيف سلب تلاتة زائد
اتنين بيظهر لنا من سالب واحد طب انا مابديش سلب X
بدي X يفجأة بروح بضغط ثلاثة أطراف ثمين في سالب
واحد يفجأة لو ضربت في سالب واحد بصير هنا خمسة وهنا
X وهنا واحدمضبوط مدام ضربت في كمية سالفة إذا تجلب
100 لانكولات بدل ما كانت أقل من بيصير أكبر من يبقى
X أكبر من واحد و أقل من 100 من خمسة هذا معناه ان
ال X موجودة في ال interval واحد و خمسةأكبر من
الواحد و أقل من مين من الخمسة يبقى اجابناله على
مين على السؤال الأول يبقى كل القيم اللي بتاخدها X
في الفترة من واحد إلى خمسة بحيث لا بتسوي واحد ولا
بتسوي خمسة كل القيم اللي بتاخدها بتخلي ال series
الأصلية هذه معاها converge طيب خلال الفترة هذه
اللي الفترة عليها convergeجالي هاتلي مجموع ال
series بدي أعرف ما هو شكل المجموع بقوله بسيطة its
sum المجموع تبعها بدي أديله رمز S يسوى الحد الأول
الحد الأول لما حط اندرز ساوي Zero بقداش بواحد على
واحد ناقص الأساسي الأساسي اللي هو تلاتة على اتنين
ناقص X على اتنينيبقى هذا بده يساوي واحد على واحد
ناقص ثلاثة على اتنين زائد X على اتنين او ان شئتم
فقولوا هذا الكلام بده يساوي1-3 على 2 بضل جداش ناقص
نص يبقى 1 على ناقص نص زائد x على 2 يبقى بناء على
المجموعة S في الدرسلو حدت البقامات كله على التاني
بتنقلب لاتنين بيصير فوض على مين على اكس ناقص واحد
يبقى هذا بجموع ال series في الحالة اللي عندنا هذا
يبقى هذا نوع ثاني من أنواع الأسئلة على مين على ال
geometric series
بننتقل الى سيريز تاني اسمه telescoping series
discuss
the convergence او example
discuss the convergence of
the following series
if
the series converge find
الصم التليسكوفيش فيديته في الفيزيا هذا بيجرب اللي
بعيد، مظبوط؟والشغل اللى لا نستطيع رؤيتها بالعين
المجردة بنشوفها من خلال التليسكوب تمام؟ واحنا هنا
بنقول telescoping series يعني كأن الشغل إلها علاقة
في الموضوع في حكاية التليسكوب بنقول أه إلها علاقة
فيه تعالى نعطيك بعض الأمثلة على ذلك أول مثال بيقول
لي نمرأ إيه؟Summation من N equal one to infinity
للاربع عالمين على الأربع N ناقص تلاتة في أربع N
زائد واحد بلعني
في ال series هذه هل هي geometric seriesلأ يعني
مالهاش شكل ال geometric بتاتا ولا حتى بتقرا بالها
تمام؟ إذا هذه series منفصلة تماما عن ال geometric
series بدنا نشوف نشوفها هل هي converge والله
diverse وإذا كانت converge بدنا المجموع تبعها
بقوله كويسطب خليني اتعرف على شكل الحدود تبعها
فباجي بقوله هذي عبارة عن اربع عالة حط n بواحد بصير
هنا كده؟ واحد هنا بصير كده؟ خمسة يبقى هذا واحد في
خمسة زي اربع بدي احط n باتنينتمنية ناقص ثلاثة
الخمسة في تمنية واحد تسعةزاد اربعة على حط اني
بتلاتة في اربعة باطماش اطماش ناقص تلاتة بتسعة في
حط تلاتة في اربعة باطماش واحد تلاتاش وهكذا يعني
اربعة اخماس اربعة على خمسة واربعين اربعة على تسعة
في عشرة بتسعين ومية وسبعتاشمافيش علاقة بتربط بين
أي حد و اللي بعده بهذا الشكل اللي احنا كاتبينه
يبقى هذه لا هندسية ولا تجربة لها ولو طرحنا اتنين
من بعض بيعطينا نتيجة ولو جسمنا اتنين من بعض
بيعطينا نفس النتيجة اذا هذه الكلام مش قادرين نتلح
لح فيهاطيب نحطها تحت التليسكوب كيف تحطها تحت
التليسكوب؟ التليسكوب بده يروح اكتب هذي بشكل جديد
طبعا احنا في ال chapter 8 اخدنا ال partial
fractions الكثور والجزيين، بده يعمل هذي عصر ضرج
كثرين ولا جث فيهم زي الثاني، جثين مختلفينأذا بقدر
أعمله partial fraction بسهولة فباجي بقوله هاي
الأربعة على اربعة ان ناقص ثلاثة اربعة ان زائد واحد
هاي الكثر الأول اربعة ان ناقص ثلاثة زائد اربعة ان
زائد واحد يبقى هذا من الدرجة الأولى و الدرجة
الأولى يبقى بقوله a وbبنجيب الثابت a و b بروح أضرب
الطرفين في المقام تبقى ال term اللي على الإشمال
يبقى لو ضربت فيه بصير أربعة تساوي a في أربعة n
زائد واحد زائد b في أربعة n ناقص ثلاثة هذا لو جيت
فكتهبدي اعطينا اربعة A N زائد ال A زائد اربعة B N
ناقص تلاتة B كله بده يساوي اربعة بدي اجمع يبقى هذا
اربعة A زائد اربعة B كله في N زائد A ناقص تلاتة B
ليه ثوابت؟نقرن المعاملات في الطرفين لو احنا قررنا
المعاملات في الطرفين شوفاش اللي بده يحصل يبقى لما
نقرن المعاملات في الطرفين بيصير عندي اربعة a زائد
اربعة b يساوي كده؟ Zero لو جسمت علىاربع يبقى بصير
ايه A زائد B بده يساوي من Zero المعادلة التانية
هذه لو قارنتها بيصير A ناقص ثلاثة B بده يساوي كم؟
بده يساوي أربعة الان انا عندى معادلتين بيه مجهولين
بده احل المعادلتين مع بعض واطلع قيمة المجهولين
الاتنين هدول هذه تلاتة Bيبقى من الاتنين هذول بقدر
اقول ما يأتي بده اضرب المعادلة الأولى في السالب
بصير سالب a سالب b بده يسوى zero وال a ناقص ثلاثة
b بده يسوى من اربعةلو جمعت الاتنين هدول مع بعض
بروحوا معاه السلامة بقول عندي هذا قداش هذا بدي
يعطيك سالب اربعة بيه بدي ساوي اربعة يبقى بيه تساوي
قداش سالب واحد لما بيه تساوي سالب واحد يبقى ايه
بقداش ايه بواحد وال ايه تساوي واحديبقى أصبحت
المسألة اللي عندي على الشكل التالي summation من N
equal one to infinity ال A عندى بواحد يبقى واحد ع
تلقى على أربعة N ناقص تلاتة ناقص لنبيب سالم واحد
على أربعة N زائد واحد بالشكل اللي عندنا
الشكل الجديد هذا سيحللنا مشكلة عويصة كنا لم نعرفها
قبل قليل هنا نشوف كيف سيحلل الإشكالية هذهمن هذه ال
series انا خدت المرة اللى فاتت انه اذا ال series
صعبة بنروح نحولها ل sequence او بنكوّل ال sequence
of partial sums و من خلال ال sequence اذا كانت
converge يبقى ال series converge و اذا ال sequence
diverge يبقى ال series diverge اذا مابدي مش هروح
اكتب حدود ال sequence كلها لأ بدي اكتب لحد انه
need ofلأن هو اللي بيهمني ال S in يبقى لو جيت قلت
the interim of the sequence of partial sums S قبل
ما كتبوا بعض الشباب بيسألوا الخطر شوف إيه الشكل
اللي صارمادام حطها تحت التليسكوب ده شبهش شكلها
بقولها بسيطة هاي شكلها القوس الأول بدي أحط اني
بواحد يبقى قدش ال term الأول واحد ناقص خمسالـ
course الأولى اللى حصلت عليه اللى ما كانت N بقداش
بواحد حط N باتنين بيصير تمانية ناقص ثلاثة قداش
خمسة يبقى خمس ناقص اتنين فاربعة بتمانية واحد تسعة
يبقى ناقص تسعة ال term اللى بعدهحط N بثلاثة في
أربعة باطمعاش ناقص تلاتة بتسعة يبقى تسع ناقص أربعة
في تلاتة باطمعاش واحد تلتاش زاد وضلك ماشي لما توصل
للحد النون اللي هو واحد على أربعة N ناقص تلاتة
ناقص واحد على أربعة N زائد واحد زائد إلى آخرهميبقى
الان انا بدى اعرف الشكل الحدى النونى اللى يديله
الرمز مين SM يساوي واحد ناقص خمس زائد خمس ناقص
تسعة زائد تسعة ناقص واحد على تلتاشزائد زائد إلى ما
شاء الله لغاية ما نوصل لمين لواحد على أربع ان ناقص
ثلاثة ناقص واحد على أربع ان زائد واحدهيروح جمعة N
من حدود ال series جمع N من هذا الحدود يمثل الحد
النوني في ال sequence of partial sums يعني زي ما
قدرنا في أول ال section اللي بين أدينا اللي
عملناها المرة اللي فاتت جيبنا S1 S2 S3 مجموحات
مجموحات دين مجموعة تلات حدود لغاية ما وصلنا لل S N
اللي هو مجموعة N من حدود ال series طب تعالى نجمع
سالب خمس أموجة بخمس مع السلامة سالب تسعة أموجة
بتسعة الحاجهم سالب واحد ع تلاتاش وواحد ع تلاتاش مع
السلامة هذا مع اللي جابله بقلش عندي الا term الأول
وtermالاخير يبقى أسار شكل ال SN هو واحد ناقص واحد
على أربعة N زائد واحد هذا مجموعة N من حدود ال
series اللي هو يمثل الحد النوني في ال sequence of
partial sum طب كويس بدنا نجي نشوف هل ال sequence
هذي convergent او divergent
1-1 على 4n زائد 1 الباقية كلها في المصرع لا تبقى
إلى الحد الأول و الحد الأخير تمام؟ يمكننا أن نذهب
و نأخذ limit لـ Sn لما الـN tends to infinity يبقى
limit لما الـN tends to infinity ل1-1 على 4n زائد
1 الترم هذا كله مقدشيبقى النتيجة كم؟ واحد يبقى
بناء عليه ال sequence of partial sums convert يبقى
باقي بقول له so the sequence of partial sums
اللي هي واحد ناقص واحد على أربع n زائد واحد
convert هذا بده يعطيلك انه the series اللي عند
مينهي اللي هي summation من n equal one to infinity
لواحد على أربع n ناقص ثلاثة ناقص واحد على أربع n
زائد واحد converge andits sum is مقدار
ال limit للحد النون الى ال sequence مكتوب معاك هذا
المرة اللي فادة يبقى النتيجة يساوي 1 صحيح
بناخد مثال على التليسكوب يبقى هذا كان المثال رقم A
نذهب لرقم B يبقى
بيجي لـ B summation من N equal one to infinityتان
انفرس ان ماقص تان انفرس ان plus one اتاني سؤال
بالشكل هذا وقال لي شوف لهذه ال series converge و
الله diverge وإذا كانت converge بدنا نعرف قداش
المجموعة تبقى طبعا بقوله كويس يريد نتعرف على شكلها
يعني هبقىو فصلة و خالصة مش زي السؤال اللي جابله
بدي أعمله partial fraction و بعدين هذا partial
fraction نعمله خالص تمام؟ يبجى هذه تعويض مباشر على
طول الخط نقوله أه هذا الكلام بده يساوي نعرف شكلها
يبجى tan inverse one ناقص tan inverse two حطينا ان
بواحد هذا ال term الأولTerm 10 نضع N ب 2 يبقى 10
inverse 2 مقص 10 inverse 3 زائد ونبقى الماشيين
لغاية ما نوصل ل 10 inverse N مقص 10 inverse N plus
1 زائد إلى ما شاء اللهبالمثل بدي أروح أجيب الحد
النوني في ال sequence of partial sums فبجي بقوله
the nth term of the sequence of partial sums اللي
حديله الرمز sn is
بتكتب فوق هنا هيس ان بده يساوي tan inverse one
ماقص tan inverse two زائد tan inverse two ماقص tan
inverse three زائد tan inverse three ماقص tan
inverse four
زائد tan inverse n ناقص tan inverse n plus oneيبقى
هذا مجموع N من حدود ال series اللي هو يمثل الحد
النوني في ال sequence of partial sums لما نحسبهم
يبقى هذا سالب و هذا موجب هذا سالب و هذا موجب هذا
سالب و هذا موجب هذا موجب و اللي قبله سالب يبقى
مضالش الا الحد الأول اللي هو 10 inverse 1ماقص tan
inverse N plus one يساوي كم تان انفرس وان؟ لا يا
راجل ضل الخمسة واربعين هو واحد يبقى ماقوس ضل
الواحد هو الخمسة واربعين يبقى اللي هي مين؟ باية
على أربعة ماقص tan inverse N plus oneيبقى بنروح
ناخد limit لل S N لما ال N tends to infinity يبقى
limit لما ال N tends to infinity لل I على أربعة
ناقص تاني inverse N plus one نهاية المقدار الثابت
بالمقدار الثابت itself
يبقى ناقص by على أربعة نتيجة يبقى بناء عليها
sequence of partial sums converged يبقى
ساعة ال sequence of partial sumsمين هي باي على
أربع ناقص ten inverse n plus one converge هدا بده
يعطيك the series اللي هي summation من n equal one
to infinity ل ten inverseاللي هو n-10 inverse n
plus one كل هذا convert and its sum المجموع تبعها
is ال is بده يساوي سالب باي على أربعة المجموع تبع
هذه ال seriesطيب احنا لما بدأنا ال section اول ما
بدأنا ال section قلنا في ال section هذا بدنا ناخد
series مشهورة وقد برثناها ليها ال geometric series
وقلنا بدنا ناخد اول اختبار من الاختبارات الستة
وحتى الان لم نتكلم عن هذا الاختبار الاختبار اسمه
اختبار الحد النونيبنروح نكتب الاختبار هذا ونوقف
معاه نطرح قد التساؤلات ونحاول الإجابة عليها يبقى
باجي لنظرية theorem if
the series summation
من n equal one to infinity لل a nconverge then
limit لل a n لما ال n tends to infinity بده يساوي
زيرو نيجي بعد هيك the nth term test for divergence
for divergence بنص على ما ياتي the series the
series اللي هو ال summation من n equal one to
infinity لل a n diverge
diverge if limit لل a nلما ال in tends to infinity
لا يساوي zero or fails to
exist
كل واحد يقرأ الكلام اللى كتبناه على اللوح ويتماعن
فيه كويس لإنه هتطرح عدة أسئلة من خلال النص اللى
موجود قدامنا على اللوح ونشوف إيش ممكن تجاوبه على
هذه الأسئلة
طبعا اجرى نظرية و اجرى ال test for divariance اجرى
تنين
طلع لانكاتب ال test for divariance يعني هذا
الاختبار يقيس التباعد ولا يقيس التقارضما لهش علاقة
بالتقارب يبقى بيقيس بس تباعد المتسلسلة ولا يقيس
تقاربها تعالى نقرأ من أول و جديد نقرأ لإتنين و
نشوف إيش قصده يقول النظرية الأولى بتقول the series
summation على a and convergeلو كان ذلك صحيحا يبقى
then limit a n لما ال n بده تروح للمعنى نهاية بده
ساوي zero يعني لو كانت ال series converge إذا ال
limit اللي هيبده ساوي zero ال instagram مش بيقول
ال series اللي عندنا هذه diverged واجتاش لو روحت
أخدت limit للحد النوني لل series ولا جاته لا يساوي
zeroلا يساوي zero يعني انه بدى يساوي رقم غير الصفر
اتنين تلاتة اربعة نص تلات تربع تمام or fails to
exist او النتيجة بدى تساوي infinite او سالب
infinite تمام يبقى اذا ال limit لل a n كان لا
يساوي zero او does not exist بقول ال sequence ال
series هذه معناها by where دى بالكدقق معايا
واتخليش الخطوط أو الأسلاك تخش على بعضها طبعا
ماتتفرق بين المعلومات ال sequence ومعلومات ال
series كل واحدة قائمة بذاتها السؤال اللي بده أطرحه
خليه بالكم معايا كويس انا بعد ما قرأت النصين اللي
اتنين اللي عندنا هذا فاهمت ما يأتي وشوفولي فاهمي
هذا صح ولا خطأ إذا كان خطأ بدنا نصحه وإذا كان صحيه
نعتمد ونمشيأعطاني series summation على n وقال يشوف
لهذه ال series هل هي converge و لا diverse بيقول
لطيب ما بروح باخد ال limit للحد النوني لهذه ال
series إذا ال limit للحد النونيساوة صفر بقوله إذا
ال series converged ما ساوة صفر يبقى ال series
diverged عشان نتفاهم بقول كمان مرة أعطاني series
وقال لي شوف ليها converge ولا diverge بقوله مافيش
مشكلة هذا الحد نوني وختم ال limitإذا والله ال
limit سوى zero بقوله إذا ال series convert ال
limit لا يسوى zero بقوله ال series diverge ونكون
خلصة من هذه الشغلة تمام؟ إيش رأيك؟ إذا كان ال
limit سوى zero بيكون ده converge إذا ما سواش zero
ممكن يكون diverge أو الاختبار فشل مش بالضرورة يكون
ده جد ع ربي كلامك اللي بتقوله فيه غلطتينمش واحدة
كمان بيقول ازميل كواش بيقول ازميل كو باخد ال limit
للحد النوني إذا limit للحد النوني سوى ال zero إذا
ال convert هاي اللي قاله النقطة الأولى النقطة
التانية بقول إذا ال limit
هذا لا تساوي زيرو يبقى ايه يا اما diverge يا اما
احنا مش عاقبينه يا اما diverge يا اما بفشل
الاحتبار تبعنا انا بقوله الكلام في غلطتين حد بيقدر
يكتشف الخطأ الاولإنه مش سرط لكن لو ال series
convert لازم نطلع ل limit 0 لكن لو طلعت ل limit 0
مش سرط أيوة يبجي هذا التصحيح الأول لو أخدت ال
limit للحد النوني لل sequence و طلع u ساوي zero لا
بقدر أقول convert ولا بقدر أقول divert يبقى هذا
الخطأ الأول في الكلام اللي جاله يعني لو روحت خدت
limit للحد النونيولقيت ان نتيجة تساوي الصفر بيفشل
الحد اللوني في الحكم على ال series هل هي converge
او divergeفمش أسوي، روح دبر حالك بأي طريقة أخرى
وسأعطيك بعد قليل أمثلة و أخل الاختبار يفشل و نشوف
كيف هنحل الإشكالية هذه، تمام؟ يبقى النقطة الأولى
هو التصحيح الأول يعني الكلام اللي أنا قلته في
الأول غلط و صاحب هذا أثر على الخطأ تبعي كمان،
كويس؟ يبقى الصحيح أنه إذا ال limit كانت تساوي zero
للحد اللونيلا بقدر اقول converge ولا بقدر اقول
diverge قد يكون converge وقد يكون diverge اه ده
قطع الاول صلحناه اتنجل التاني لما تاخد limit للحد
انه نهو الطلع لا يساوي zero سواء ا كان الناتج رقم
او كان الناتج على كل الأمرين ال serious diverse
وليس الاختبار بيفشر بيفشر فقط إذا كان ال limit
للحد النوني يساوي zero تمام يبقى أروح وأخد ال
limit للحد النوني ساوى رقم يبقى ضايق ضايق اه استنى
شوية طب احنا في ال sequence نقابله في مكان يقول
لما ناخد limit للحد النوني ويساوي رقم ال sequence
converts مظبوط لذا أقول لك قبل خليل S هتخلي
الأسلاك تخش على بعضبصير short في مخك بعدين، يبقى
ال series يا شباب هي جامع عناصر ال sequence،
جامعة، بس ال sequence لأ بنتقل من عنصر إلى تاني،
من التاني إلى التالت و هكذا دون جامعةومن هنا صار
فيه فرق ما بين الاتنين، هيقول واحد طب ما أنت لما
كنت ال series بتعرفها إيش كنت فيها واحد، بتجيبلي
ال sequence، أه أقولك صحيح بقيت أجيب ال sequence
of partial solve، بولدها من مين؟ من ال series اللي
موجودةمش بستخدم ال sequence الاصلية في الحكم على
ال sequence لأ بستخدم ال sequence اللى ولدناها من
ال series في الحكم على ال series يبقى ما ينطبق على
ال sequence لا ينطبق تماما على ال seriesهذا
الاختبار اسمه اختبار الحد دي النوني وهو اول اختبار
من الاختبارات الست اللي بدنا نستخدمها في الحكم على
series هل هي converge او bivariate حد ايه له تساول
قبل ما ناخد أمثلة على الكلام اللي قدامنا على اللغة
طيب احنا طرحنا أسئلة كتيرة يبقى نجي لأمثلة
examples
مثالات ناخد مثال واحد بكافي مليش نكتب test the
convergence of
the following series
اختبرلي ال convergence تبع كل من المتسلسلات
التالية نمر واحد summation من n equal zero to
infinity لل N factorial عالمين على الف to the
power N
أذا أعطاني سيريز بشكل هذا بقوله والله ما انا عارف
خد ال limit واتوكل على الله نشوف يبقى بجي بقوله
solution بدي
أخد limit للحد انهي لما ال n بدها تروح لما لا
نهاية يبقى ال limit لما ال n بدها تروح لما لا
نهاية لل n factorial على الف to the power nأظن هذه
ال standard معروفة من ال section اللي قبله 6 ال
limits المشهورة هذه رقم 6 فيهم قداش النتج هنا على
نهاية لأن كانت هنا x to the power n على n
factorial ب zero قلنا لك لو جلبناها بيصير infinity
يبقى دي part 6 من some basic limits من النهايات
المشهورة، هذا رقم 6 فيهم مادام سوت infinity يعني
fail to exist، مظبوط؟ اللي هو النص من عندنا هذا،
كويس؟ يبقى ال sequence diverges، أخ العرب والكلام
لسه ميزة يبقى باجي بقوله by the interim test
السيريز اللي هي مين؟ summation من N equal zero to
infinity لل N factorial على الف to the power N
divergence تانية من المثلة لا يزال هناك المزيد من
الأمثلة للمرة القادمة ان شاء الله تعالى