بسم الله الرحمن الرحيم ننتقل الآن إلى section
ثلاثة اثنين في الـ derivative المرة اللي فاتت كنا
بناخد المشتقة عند نقطة واحدة فقط، الآن بدنا نعممها
عن جميع النقاط اللي الدالة معرفة عليها، فباجي بقول
الـ derivative as a function، المشتقة كدالة يعني
المشتقة الـ function هذه بتطلع عندنا دالة جديدة
التعريف يقول: معناه الـ derivative of the function
f of x with respect to x is the function f prime
of x، يبقى المشتقة in general ليس عند نقطة وإنما
على كل ديمان تبع الدالة f، بدي أسميه f prime of x
حيث الـ f prime of x هي الـ limit لما الـ h بتروح ل
zero، فالـ f of x زائد الـ h تنقص الـ f of x على h
المرة الماضية لما كنا بقول المشتقة عند نقطة بجينا
نقول f prime of
بشرط أن الـ limit تبقى موجودة، الـ domain للـ f' كون
صارت عندي function جديدة f' حصلنا عليها من هذه الـ
limit، إذا هذه الدالة الجديدة لها domain، بدي أعرف شو
الـ domain تبعها، فالـ domain تبع الـ f' هو نفس الـ
domain تبع الدالة f، بس بدي أشيل منه النقاط اللي
بتخلي الـ limit هذه مالها does not exist، يعني إذا
في إن عندي نقطة أو نقطتين أو ثلاثة بتخلي المشتقة
غير معرفة، بدي أشيلهم من domain ده الـ F، وإذا ما فيش
عندي ولا نقطة بتشيل domain الـ F prime هو من؟
النقطة التالية: لو كانت الدالة مشتقتها موجودة عند
النقطة X تساوي a، يبقى بروح بقول إن الـ F is
differentiable عند النقطة X يساوي a، دي أيضا بالـ
F اختصار لكلمة differentiable
Differentiable قابل الاشتقاق بختصرها إلى DIW، يبقى
بقول إن الدالة قابل الاشتقاق عند النقطة X يساوي A
النقطة البعدة: لو المشتقة تبع الدالة F exist عند كل
نقطة في ديمانها، يبقى بقول إن الدالة differentiable
على الـ domain تبعها كله، بش بدنا نرمز المشتقة بأحد
الرموز التالية: يا إما f prime of x، يا إما dy على
dx، يا إما df على dx، يا إما d على f dx، هذا يعني
d على dx، بعض الكتب تعطيها الرمز لأن هذا يا إما الـ
y prime، لكن الرموز لدرجة
الرمز الآخر الرمز الأول الرمز الثاني، هذه هي الرموز
الدارجة في الغالب، لكن لو فتحت أي كتاب كالقلص و
لاقيت الرمز هذا من حد ما تشوفه هذا رمز يدل المشتقة
الأولى لدالة F، طيب لو دي F على دي X بدي أحسبها عند
نقطة X يساوي A، يبقى بيعطيها الرمز التالي F prime
of A، يا إما دي F على دي X عند X يساوي A، يا إما دي
Y على دي X عند X يساوي من؟ يساوي A، لأن النقطة
الأخيرة، التعريف اللي فوق هذا بدي أعيد صياغته
بطريقة أخرى، فباجي بقول هنا لو حطينا z تساوي x زائد h
في التعريف اللي فوق، يبقى بدي أعرف التعريف اللي فوق
شو بدي يكون شكله نظرا لوجود الـ H عندي، من هنا بدي
أجيب الـ H، يبقى الـ H هتساوي z نقص الـ X، يبقى الـ H
تساوي Z نقص الـ X، وبالتالي التعريف اللي فوق هيأخد
الشكل التالي، الـ F prime of X يساوي limit الـ H اللي
عندها ده بده يشيله ويحط متى ليه الـ Z نقص X بده
يروح لوين؟ لـ Zero، X زائد H اللي هي بـ Z، F of X زي ما
هي H اللي هي Z نقص الـ X، يبقى التعريف اللي فوق هنا
هو نفس التعريف اللي تحته بس غير شكل مين؟ الرموز أو
بمعنى آخر هنا لو اضفت X للطرفين بصير الـ Z بدأ تروح
لمين؟ للـ X، يبقى بصير التعريف الـ F prime of X هو الـ
limit لما Z بدأ تروح للـ X للـ F of Z ناقص الـ F of X
على Z ناقص الـ X، يعني أصبح عندي شكلاني للتعريف هذا
هو الشكل الأول، المشتقة عند أي نقطة، وهذا كمان تعريف
المشتقة عند أي نقطة، والاتنين هدول are equivalent
استخدم المناسب بالنسبة لك، وكله هيعطيني نفس
النتيجة سواء استخدمت الصيغة اللي فوق أو الصيغة
اللي تحت، الاتنين are the same، نبدأ ناخد أول مثال
من هذه الأمثلة كتطبيق على الكلام اللي احنا قلناه
هنابقول: لو كانت دي الـ F of X يساوي 1 ناقص X على
2 X، بدنا نوجد شغل ثاني، بدنا نوجد المشتقة عند
أي لحظة أو عند أي نقطة، بعدين بدي أجيب المشتقة عند
X يساوي سالب واحد، طيب يبقى أنا بروح هطبق التعريف
الأول على سبيل المثال، طبعا هطبق مرة التعريف الأول
ومرة التعريف الثاني عشان نعرف كيف نستخدم هذا
التعريف، يبقى لو بده أجيب الـ F prime of X هذا الـ
limit لما الـ H بده تروح للـ zero للـ F of X زائد الـ
H نقص الـ F of X على H، يبقى الـ limit لما الـ H بده
تروح للـ zero، تمام؟ يبقى بيقول F of X زائد H يبقى
بدي أشيل كل X هنا وأحط مكانها X زائد الـ H، يبقى
بيصير 1 ناقص X زائد الـ H على الـ 2 في X زائد
الـ H ناقص F of X كما هي على 2 X، وكل هذا مقسومًا
على مين؟ مقسومًا على H، يبقى هذا الكلام بده يساوي الـ
limit لما الـ H بدها تروح للـ zero، بتوحد المقامات
لدالة اللي فوق، الاتنين مشترك في ما بينهما، الـ X
مافيش غيرها، الـ X زائد الـ H ما فيش غيرها، يبقى وحدة
المقامات بالنسبة للبسط، لو جسمت المقدار هذا على
المقدار هذا بيظل كدهش؟ بيبقى X فقط لا غير، يبقى هذا
عبارة عن X في 1 ناقص X ناقص H، وصلنا للناقص اللي
عندنا هذه بدنا نجسم هذا المقدار على هذا، بيبقى
لأن دي قداش؟ X زائد H مضروبة في من؟ في الـ 1 ناقص X
يبقى قالت الـ limit اللي عندي إلى الشكل التالي هي
limit لما الـ H بدها تروح للـ zero، وهذا الـ H وهذا 2X
هتنزل في المقام، وهذا الـ X زائد الـ H، والبسط بيصير x
ناقص x تربيع ناقص hx، فكيت الجوّث الأول، بدي أفك
الجوّث الثاني، يبقى هنا ناقص x ناقص فناقص بيزيد x
تربيع، بعدها ناقص h ناقص فناقص بيزيد hx، هذا الكلام
بده يساوي limit لما الـ H بدها تروح لـ zero، تعالى
هنا عندي اللي هو سالب X تربيع وموجب X تربيع مع
السلامة، سالب H X وموجب H X، موجب الـ X وسالب X مع
السلامة، لم يبقى عندي إلا من سالب H في البسط، يبقى
هاي سالب H، المقام H في 2X، X زائد الـ H، نختصر الـ H مع
الـ H كذلك، يبقى النتيجة limit لما الـ H بدأ تروح
للـ 0 لـ -1 على 2X، X زائد الـ H، بص مقدار ثابت، يبقى
نهاية المقدار الثابت بالمقدار الثابت itself، الآن
هذا ليهاش X، ليهاش دلع، يبقى 2X اللي بين قوسين
polynomial من الدرجة الأولى، يبقى تعويض مباشر عن H
بـ 0، يبقى لدي كده X، يبقى النتيجة سالب 1 على 2X تربيع
هذا مقدار مشتقة الدلع، يبقى الـ F prime of X يبقى
يساوي 1 على 2X تربيع، طيب هذا اللي هو
المطلوب الأول، كل اللي اشتغلنا من البداية هذا كان
نمرة A، بداجي الالة نمرة B، نمرة B قال يحسب لمقدار
هذه المشتقة عند سالب واحد، إذا باجي بقول له F
prime of سالب واحد يساوي، المشتقة موجودة هي في prime
of X يساوي النتيجة هذه، يبقى ما علي اللي أشيل الـ X
وأحط مكانها سالب واحد، يبقى إيه؟ سالب واحد على
2 في سالب واحد تربيع، يبقى الجواب قداش؟ سالب نص
يبقى قيمة المشتقة عند السالب واحد تساوي قداش؟ تساوي
سالب نص، نروح ناخد كمان مثال آخر مثال
رقم 2 بيقول: في الـ F of X يساوي جذر الـ X
أول جدلنا اللي هو الـ F prime of X والـ F prime
of 81
يبقى بدنا من؟ بدنا الـ F' of X والـ F' of 1.80
بقول له: كويس، يبقى بدنا نيجي نطبق التعريف تبع الـ F'
of X، بعدين بقول له: solution
حسب التعريف، بدأ أزال كل X وكتب مكانها X زائد H
في الدالة المعرفة، يبقى الجذر التربيعي للـ X زائد H
ناقص الـ F of X اللي هو جذر الـ X على H، لما الـ H بدأ
تروح للـ Zero، تعويض المباشر هجيب لي Zero على Zero، كون
عندي جذور إذا هروح عشان أضرب في المرافق، يبقى هذا
الكلام لو ضربته بدي أضربه في جذر التربيع لـ X زائد
الـ H زائد جذر الـ X وأقسم على جذر الـ X زائد الـ H
زائد جذر الـ X بالشكل اللي عندنا هذا
يبقى آلة المثل للشكل التالي، f prime of x يساوي الـ
limit لما الـ h بدها تروح لمين؟ لـ Zero، الـ bus هو الفرق
بين المربعين، يبقى مربع الأولى ناقص مربع الثانية
مربع الأولى هو الـ x زائد الـ h ناقص الـ x، هذا اللي
هو الـ bus على المقام h في الجذر التربيعي لـ x زائد
الـ h زائد جذر الـ X، سالب H وموجب بـ H مع السلامة
يبقى ألت المسألة limit لما الـ H بدأ تروح للـ Zero
للـ H على H في الجذر التربيعي لـ X زائد الـ H زائد
جذر الـ X، برضه الـ H مع الـ H اللي ساعد عليها يبقى
ألت إلى limit لما الـ H بدها تروح لمين؟ للـ 0
للـ function اللي عندنا، 1 على الجذر التربيعي لـ X
زائد H زائد جذر الـ X، لما الـ H بدها تروح لـ 0 يبقى
الـ term هذا بيروح لوين؟ للـ 0، يبقى 1 على جذر الـ X
زائد جذر الـ X، يبقى 1 على مين؟ على الـ 2 جذر
الـ X، طب ليش احنا جبنا هذا السؤال؟ جبناه متعمدين؟
ليش؟ بديك تعرف من الآن فصاعدا إن مشتقة جذر الـ X هي
عبارة عن 1 على 2 جذر الـ X، من الآن فصاعدا،
2، لو كان الجذر هذا polynomial من الدرجة الأولى
ومعامل X هو الواحد الصحيح زي جذر X، زي 10 جذر X
ناقص 50 شو مشتقته؟ برضه 1 على 2 نفس
الجذر، لكن لو كان المعامل تبع X فيه رقم، طبق اللي
قعدت السلسلة لسه بدي أضرب في هذا الرقم، يبقى انسى
لسه ما خدناش قاعدة السلسلة تمام، أو chain rule، يبقى
احنا بس بنقول لك لو كان عندك جذر والمعامل تبعك هو
الواحد الصحيح يبقى مشتقته 1 على 2 الجذر، إذا
بلزمش إنه نعمل خطوات هذه، إنه نعمل خطوات حتى نصل
للقانون هذا، لكن لو جاب لك هذا السؤال في الامتحان
ما كنتش تشتغل الشغلات هذه، مظبوط، لكن هذا إذا كان
قال لك بالتعريف، لكن ما قالش لك التعريف تكتبوا 2
جذر الـ X، ليش؟ لأن جذر الـ X هذي أصلا X أس نص، مش تقتل
أنا أخدها المرة الجاية نص X أس ناقص نص، يعني 1
على 2 جذر الـ X، مصبوح، وبالتالي بصير القصة
retrieval، بس لشان التعريف يبقى روحنا اشتغلنا ببين
بالتعريف، المطلوب الثاني بدنا الـ F prime of 1 و
80، يبقى هذا الكلام 1 على 2 الجذر التربيعي
الـ 1 والـ 80، 1 على 2 في 9، يبقى قداش؟ 165
كله على Z ناقص X هذا الكلام بده يساوي يبقى ال
F prime of X يساوي هذا بده يروح أحلله الفرق بين
المربعين يبقى هاي Z ناقص X في Z زائد X ناقص ثلاثة
في Z ناقص X على Z ناقص X
يساوي واضح أن Z ناقص X ممكن أخدها عامل مشترك من
الطرفين يبقى هذا Z ناقص X
زائد X ناقص ثلاثة كله على مين؟ على Z ناقص X وهذا
بدي أخد له ال limit لما Z بدها تروح لمين؟ للـ X يبقى
النتيجة هذا الجوز هيروح مع مين؟ مع المقام وتصفى ال
limit على الشكل التالي limit لما Z بدها تروح للـ X
لـ Z ناقص X ناقص تلاتة يبقى أصبحت الـ F prime of X
يساوي Z زائد X ناقص ثلاثة لما Z بدأت تروح للـ X
يعني معناته بده يشيل كل Z ويعوض معناه بـ X ليش؟
لأن هذه دالة خطية يبقى بصير عندي X زائد X ناقص
ثلاثة يعني 2X ناقص ثلاثة هذه مشتقة مين؟
الدالة اللي عنها طب المشتقة هذه عبارة عن إيش؟
المنحدر ممتاز، المنحدر تبع مين؟ التانجنط عند أي لحظة
يبقى هذه في نفس الوقت بدها تساوي المنحدر of the
tangent عند أي X في دومين الدالة اللي عندنا هو راح
إيش قال لي؟ قال لي هاتلي الـ tangent عند X يساوي
تمام عشان أجيب له المماس بدي X node و Y node يعني
بدي إحداثيات نقطة يكمل هو ما أعطاني X وما أعطانيش Y
أو ما أعطانيش F أو V2 لذلك بروح أخد له من الـ F أو V2
F أو V2 بترجع اتعود في الدالة الأصلية يبقى 2 تربيع
ناقص 3 في 2 زائد 4 Y يساوي 8 ناقص 6 يساوي 2 يبقى
بناء عليه أصبحت the point of Tangency as X node و Y
node بدها تساوي 2 و 2 الـ X بتنين طلعت Y بتنين كذلك
إذا باجي بقول له the equation of the tangent as الـ Y
يساوي الـ middle في الـ X ناقص الـ X node زائد الـ Y
node إذا مشان أجيب معادلة المماس للمنحنى بدي
شغلتين بدي ميل المماس المماس للمنحنى اتنين بدي
إحداثيات نقطة واقع عليه إحداثيات النقطة موجود المين؟ المين
ممكن أجيب من وين؟ من هنا and the F prime of اتنين
يساوي 2 في 2 ناقص 3 اللي هو قداش؟ 1
يبقى هذا الـ slope of the tangent صار قداش؟ صار 1
يبقى بناءً عليه بدي يصير Y يساوي 1 في الـ X
ناقص 2 زائد
تعريف جديد يقول ما يأتي Definition
فترة مفتوحة على فترة
مفتوحة if it has a derivative
عند كل نقطة موجودة
في هذه الفترة
زي ما أخذنا الاشتقاق على فترة مفتوحة، فبناخد
الاشتقاق على فترة مغلقة يبقى Definition the
function if is differentiable على الفترة المغلقة
if it
is differentiable on الفترة المفتوحة إذا كان
the limits إذا النهايات للاثنين limit لما الـ H بدها
تروح لـ Zero من جهة اليمين للـ F of A زائد الـ H
ناقص الـ F of A زائد الـ H ناقص الـ F of A كل هذا على
H and limit لما الـ H بدأت تروح للـ Zero من جهتي
الشمال لمين؟ للـ F of B زائد الـ H ناقص الـ F of B
كله على H الـ two limits هذه بقول عنها معلها exist
خلي بالك الـ two definitions التعريف الأول
بيتكلم على المشتقة على open interval التعريف
الثاني بيتكلم على مشتقة على closed interval نجيب
التعريف الأول الـ Y تساوي F of X is
differentiable on an open interval if it has a
derivative إذا إلها مشتقة at each point of the
interval عند كل نقطة من هذه الفترة.يعني بالداجة على
الفترة المفتوحة، لو كانت الدالة قابلة للاشتقاق عند
كل نقطة من نقاط الفترة المفتوحة، بقول الدالة قابلة
الاشتقاق على كل هذه الفترة. طب لو كانت الفترة
مغلقة، بدي أخد الفترة المفتوحة وبعدين أخد من طرفي
الـ interval فبقى بقول الدالة if قابلة للاشتقاق على
الفترة المغلقة اللي عندنا if it is differentiable
على الفترة A و B إذا كانت قابلة للاشتقاق على الفترة
المفتوحة A و B وإذا كانت قابلة للاشتقاق على الفترة
المفتوحة A و B يبقى أنا بدي أذهب إلى A من جهة اليمين
و بدي أذهب إلى B من جهة اليسار
هذا بنسميه right hand derivative at
X يساوي A هذا بنسميه left hand derivative at
X يساوي B تمام؟ يبقى إذا الـ right-handed derivative
و الـ left-handed derivative under peripheral
interval exist زائد الـ function قابلة للاشتقاق على
كل الفترة المفتوحة يبقى في هذه الحالة بقول الدالة
قابلة للاشتقاق على كل الفترة المغلقة اللي عندنا
طبعًا الآن بناخد بعض الأمثلة على ذلك هذا التعريف
كيف نستخدمه؟ مثال واحد مثال
واحد
مثال واحد
مثال واحد مثال واحد مثال واحد مثال واحد مثال واحد
قول X أم لا هذا السؤال هل
الدالة قابلة للاشتقاق لجميع قيم X للـ absolute
value ولا لا؟
من سالب infinity إلى infinity فهو بيسأل هل الدالة
قابلة للاشتقاق على كل الـ domain تبعه يعني كل الـ real
line ولا لأ؟ فنقول والله ما احنا عارفين، هو
بيسأل سواء احنا نقول له يا إما قابلة للاشتقاق، يا
إما على الأقل بدي أجيب له نقطة دالة غير قابلة
للاشتقاق عندها وبالتالي الجواب أنها ليس قابلة
للاشتقاق for all X، يعني لو جبحالة واحدة الدالة غير
قابلة للاشتقاق عندها بيكون اللي هو الدالة غير قابل
الاشتقاق على الفترة اللي عندنا يعني بكافة نجيب
counterexample واحد يعني مثال واحد يثبت أنها ليست
قابلة للاشتقاق على كل الفترة اللي عندنا بيقولوا
ماشي هذا الـ absolute value ممكن أرجع لتعريفه وأقول
هي X ناقص 3 بالشكل أن هذا العبارة عن جزئين
الجزء الأول هو عبارة عن X ناقص 3 لما الـ X أكبر
من أو تساوي كم؟ 3 طيب يلا
3 وهنا ناقص X ناقص 3 يعني 3 ناقص X لما
الـ X مالها؟ أقل من 3 تمام؟ بدي بقول له والله كويس
إذا أنا بدي آجي أخد F prime of X وين؟ عند الـ 3
تمام بس لما تبقى أكبر مني 3 يعني كأنه أنا
رايح لها 3 من وين؟ من جهة اليمين بدي أقوله F
prime من جهة
اليمين يبقى هذا الكلام بيساوي الـ limit لما الـ H
بدها تروح لـ Zero من جهة اليمين بيجي للدالة اللي
عندنا هنا اللي هي عبارة عن مين؟ الـ X زائد الـ H ناقص
الـ 3 ناقص الـ F والله أكتبها لك نظري وبعدين
بنعوض تعملاش تقولي كيف هاد يجي يبقى هادي بدنا
نقوله F of X naught زائد الـ H ناقص الـ F of X
naught على H بتاخد الـ limit لما الـ H بدها تروح لـ
Zero من جهة اليمين يبقى هذه الـ limit لما الـ H
بدها تروح لـ 0 من جهة اليمين، مش لـ 3 إذا X راحت
لـ 3 معناه أن H راحت لين؟ لـ Zero هاي المقصود
فيها يبقى الـ H بتروح لـ Zero من جهة اليمين يبقى
باجي للـ X node X node عندي بقى درجة 3 يبقى
3 زائد H ناقص 3 هاي الدالة الأولى ناقص F
of X node اللي هو 3 ناقص 3 كله هذا على مين؟
على H يبقى هذا الكلام بده يساوي الـ limit لما الـ H
بدها تروح لوين؟ لـ Zero من جهة اليمين بيصير عندنا
مين؟ 3 وسالب 3 مع السلامة يبقى بضل قداش
عندنا H وهنا H وهذه كلها بـ Zero اللي هو الجواب
قداش بده يعطينا؟ 1 صحيح بتروح أخد المشتقة للدالة
من جهة مين؟ من جهة الشمال يعني هذا الـ limit لما الـ
H بدها تروح لـ Zero من جهة الشمال للـ F of 3
زائد الـ H ناقص F of 3 على H يعني الـ limit لما
الـ H بدها تروح لـ Zero من جهة الشمال 0 من جهة الشمال
يعني كأنه احنا رايحين ليه 3 من جهة من الشمال
يبقى الدالة 3 ناقص X يبقى بروح بقول له 3 ناقص
X زائد الـ H ناقص 3 ناقص 3 كله على مين؟ على
H يبقى هذا الكلام بده يساوي الـ limit لما الـ H بده
تروح لـ 0 من جهة الشمال لمن؟ لـ 3 ناقص X ناقص H
لأن الـ X حطينا مدالها 3 عن الـ X non تمام؟
يبقى 3 ناقص 3 ناقص الـ H وهذه كما هي ناقص
بـ Zero على مين؟ على H هذه هتروح مع هذه يبقى الـ
limit لما الـ H بتروح لـ Zero من جهة الشمال لسالب H
على H اللي هو كده؟ سالب واحد يبقى إيش رأيك؟ المشتقة
موجودة؟ يبقى بصير عندنا F prime of 3 does
not exist مش موجودة هذا يعني أن الـ F is not
differentiable at X يساوي 3 يعني الدالة غير
قابلة للاشتقاق عند X يساوي 3 طيب سؤال لو روحنا وقولنا
هذا المحور هذا محور X وهذا Y وهذه أصلًا
الدالة اللي هي الـ absolute value لـ X عملنا لها shift
جهة اليمين بمقدار 3 يبقى صارت الـ function
بالشكل اللي عندنا هذا يبقى هذا absolute value لـ X
ناقص 3 المشكلة وين؟ المشكلة عندي الـ 3 صارت،
عندي الـ 3 الدالة غير قابلة للاشتقاق، طب هنا
الرسم هذه، إيش بنقول عن النقطة هذه بالنسبة للرسم؟
حرجة critical point ماشي موافقة حرجة لكن هل احنا
إيش بنقول؟ طيب لما تلاقي شغلتين أو لما تلاقي حيطة
من هنا أو حيطة من هنا أو حيطة من هنا أو حيطة من
هنا أو حيطة من هنا أو حيطة من هنا أو حيطة من هنا
أو حيطة من هنا أو حيطة من هنا أو حيطة من هنا أو
حيطة من هنا أو حيطة من هنا أو حيطة من هنا أو حيطة
من هنا أو حيطة من هنا أو حيطة من هنا أو حيطة من
هنا أو حيطة من هنا أو حيطة من هنا أو حيطة من هنا
أو حيطة من هنا أو حيطة من هنا أو حي
يبقى هذا اللي عندنا corner يبقى أول حالة من
الحالات اللي الدالة عندها غير قابلة للاشتقاق لو
كان عندي corner الـ Limit من اليمين لا تساوي الـ
Limit من الشمال، لماذا؟ لأن المماس هنا لل
F prime of X نمرة C بدي domain الـ F prime solution
بدي احسبله domain الدالة F فبجي بقوله domain
الدالة F كل العناصر X بحيث N و اجتشد دالة هذه
معرفة إذا كل القيمة اللي تحت الجذر كانت سالبة يعني
مش صحيح كلامي يبقى إذا كل القيمة اللي تحت الجذر
كانت موجبة أو صفر يبقى إذا كان الـ X ناقص سبعة
greater than or equal to zero يعني هذه كل العناصر
X بحيث أن الـ X greater than or equal to seven يعني
هذا الكلام closed interval من سبعة لغاية infinity
تمام؟ طيب هذا كله نمرة A جيبنا domain الدالة، بدأ
أجي لنمرة B، نمرة B قال لي هات لي المشتقة، أروح أبدأ
من جديد، والله جاهز هيعملها في المثال اللي جاب لي
شوية، يبقى باجي بقوله from the
اللي قبل هذا from a previous
example من مثال سابق اللي
هو الـ F prime of X يسوى واحد على اتنين الجذر
التربيعي لـ X ناقص سبعة ليش؟ لأن معامل X هو الواحد
الصحيح يبقى تفاضل الجذر واحد على اتنين الجذر بدنا
عشان نقعد نكرر ما كنا في المثال قبل السنة يبقى هذا
نمرة B نمرا C نمرا C قال لي هت لي domain الـ F prime
يبقى domain الـ F prime هو domain الـ F ما عدا النقاط
اللي بتخلي لي المشتقة غير معرفة، المشتقة غير معرفة
عند من؟ عند السبعة، لكن غير هيك غير السبعة معرفة،
يبقى باجي بقوله الـ domain بتبع الـ F prime هو عبارة
عن domain الدالة F، بدي أطرح منه فقط الرقم سبعة
الرقم سبعة ليش؟ لأن عند الرقم سبعة المشتقة
undefined غير معرفة يبقى هذا الكلام بده يساوي الـ
interval من سبعة لغاية infinity بده أشيل منه الرقم
سبعة يبقى بده يعطيني الـ open interval سبعة و
infinity
طيب بدنا نجي نشوف الأماكن اللي الدالة عندها تكون
غير قابلة للاشتقاق عندنا
أربعة أماكن على الرسم البياني للدالة الدالة عندها
تكون غير قابلة للاشتقاق ماشي الحالات الأربعة بنقول
ما يأتي لو كان الرسم البياني فيه corner زي ما قلنا
توف المثال السابق تمام؟ الحال الثاني لو كان في
عندي sharp turn رجوح حد بنسميه كسب يعني المنحلة
بيكون فيه زي رأس مدبب الحالة الثالثة و اجتشد
عندي vertical tangent يبقى
الظل تبقى بقداش بـ infinity يبقى الأصبع تتدلة غير
المشتقة غير معرفة الحالة الرابعة لو عندي
discontinuity
الاربعة هحط لك في صيغة الـ remark التالية يبقى
remark the
function f of x is not
differentiable at a point x يساوي c in the
following cases
في الحالات التالية نمرة واحد if the graph إذا
الرسم البياني has a corner because
زي ما شوفنا في المثال السابق قبل قليل they one
sided derivative
differ
يعني بيختلف المشتقة من اليمين على المشتقة من
الشمال
The graph is الرسم البياني has a cusp كسب يعني
sharp turn رجوع
حاد للمنحنة الحالة الثالثة
إذا كانت الكرافة لديها تجنب
رقمي مماسا رأسيا
إذا كانت الصورة مستمرة
يبقى فيها عندي أربع حالات الأربع حالات هدول بيكون
عندي المنحنة أو الدالة غير قابلة للاشتقاق معادلة
المنحنة بتبقى عندها غير قابلة للاشتقاق مين هي
الأماكن أو النقط اللي الدالة عندها بتكون غير قابلة
للاشتقاق حالة الأولى لو الـ graph has a corner يبقى
فيه corner زي اللي توقف absolute value لمن؟ للـ X
ناقص ثلاثة because the one sided derivative differ
لأن المشتقة من اليمين غير المشتقة من الشمال وهذه
الحالة أشرنا إليها قبل قليل يبقى هذا X، هذه Y، هذه
Zero، يبقى هنا هذا ما نسميه corner
بالتالي المشتقة من اليمين لأو المشتقة من اليمين
لاتساوى المشتقة من الشمال الحالة الأولى لو كان
عندي corner يبقى الدالة غير قابل اشتقاق الحالة
الثانية بيقول if the graph has a cusp رجوع حاد
للمنحنة طبعا احنا خدنا function قبل ذلك اللي هي الـ
function التالي هذا X وهذا Y فكانت رسمة الدالة
بتنزلك و بتطلع هيك عندي الـ zero حد ماذا ذكرها يا
شهود؟ Y تساوى X أُص تلاتة على اتنين والله اتنين على
تلاتة 2 ع 3 طولتين كويس يبقى هذي Y يساوي X أس
طولتين هذا A اللي هو كسب كسب يعني إيه؟ يعني لو جيت
مماس من اليمين و مماس من الشمال اتنين are
different اتنين لو بدي ارسم مماس عند هذه النقطة
برسم لنهاية من من المماسات ليس بالضرورة أن يكون
الرأس المدبب إلى أسفل ممكن يكون الرأس مدبب إلى
أعلى، يعني لو جينا و قلنا هذه المحاور و قلنا هذا
محور X و هذا ممكن المنحنة يجي لكيك و يجي نازلك،
يبقى كمان هذا كاسب يبقى عند النقطة هذه لـ X يساوي C
بيكون في عندي كاسمة يبقى هذا الشكل كذا سواء كان
الرأس المدبب إلى أسفل أو الرأس المدبب إلى أعلى طيب
الحالة الثانية بقول ثالثة بقول لو كان عندي
vertical tangent أظن المحاضرة الماضية أخذنا الـ
vertical tangent و قلنا القوة ده مش موجود في الجزء
النظري لكن موجود في التمرين و كان عندنا دالة زي
من؟ زي الدالة هذي X و Y و المنحنة جينا رسمناها و
أجا نازل هيك بالشكل هذول هو من؟ Y تساوي X أسطلهذا
محور Y هذا vertical tangent
عند الـ Zero طبعا السؤال اللي أتناه كل مرة فتخلنا
فيه إزاحة جهة اليمين بمقدار واحد ممكن أجرب لك ياه
شوية و أقول لك هاي المحاول هذا محور X هذا محور Y
أجانبه انحنى هكذا وجهت عند النقطة دي بدي أرسم مماس
فكان المماس على الشكل التالي
يبقى هذا مين vertical tangent كمان هذا vertical
tangent تمام
يبقى عند x يساوي c الدالة كذلك غير قابلة للاشتقاق
الحالة الرابعة لو عندك discontinuity الدالة غير
متصلة عند هذا النقطة تقدر تلص مماس عندها في المنحنة
توجد ثقوب في المنحنة يبقى لو جينا قولنا افترض عندك
أي منحنة بالشكل اللي عندنا هذا محور X و هذا محور Y
و اخترسمت المنحنة فكان المنحنة جاي بالشكل هذا و
عند X يساوي C في عند هنا اياش ثقب تقدر عند هذا
الثقب ترسم مماس يبعت لك الله لأن المماس بده احداث
نقطة عند هذه النقطة لا تقع على المنحنة إذا لن تصير
أنت رسم ماسك وبالتالي لا يمكن أن يكون في عندك هنا
الدالة قابلة لا continuity ولا differentiability
لكن اتطلع في الحالات اللي عندنا هذه كلها، الدالة
متصلة، لكنها غير قابلة للاشتقاق، لكن في الحالة
الأخيرة، لا دالة متصلة ولا حتى قابلة للاشتقاق، ما
علينا، يبقى هدول الأربع حالات بتكون ملم فيهم تماما
عند الـ Cusp أو الـ Corner تقدر ترسم مالا نهاية من
المماسات عند الـ Discontinuity ماقدرش ارسم ولا
مماس على الإطلاق طيب نبدأ نأيجي ناخد بعض الأمثلة
أول مثال example بيقول
ما يأتي example one بيقول لي show that
the function بييلي إن الدالة f of x يساوي أحد أمرين
يا إما الـ X تربيع في sign واحد على X لما الـ X لا
تساوي Zero يا إما Zero لما الـ X تساوي Zero is
differentiable
at X يساوي Zero and فاين f prime of zero
السؤال اللي قدامنا بيقول يبين لإن هذه الدالة قابلة
للاشتقاق قويا عند X يساوي Zero وبيجيب قداش قيمة
هذه المشتقة بيقول له بسيطة احنا عندنا الـ F prime
of Zero بتجيب المشتقة عند الصفر يبقى هذه بدها تساوي
limit لما الـ H بدها تروح للـ zero للـ F of zero زائد
الـ H ناقص F of zero على H يبقى هذه المشتقة عند
الصفر يبقى بدها تجيب الـ F prime of zero أشوف هل هي
exist و الله ماهياش exist إذا طلعت does not exist
يبقى خلاص الـ F prime زيرون لا يمكن نجدها و إذا
طلعت مانا مانت الدالة قابلة الاشتقاق عند زيرون و
قيمتها القيمة لمن اللي بتطلع بقوله كويس يبقى هذه
الـ limit لما الـ H بدها تروح لزيرون بتداجي للدالة
بدي أشيل كل X و أكتب بدلها من Zero زائد H يبقى هاي
Zero زائد H لكل تربيع Sine واحد على Zero زائد الـ H
ناقص F of Zero قيمة الدالة عند Zero بجداش بـ Zero
كل هذا الكلام مقسوم على جداش على H يبقى هذا بده
يساوي الـ limit لما الـ H بدها تروح للـ zero للـ H
تربيع في الـ sign واحد على H كله مقسوم العالمين على
H والباقي كله طار طبعا في اختصارات عندنا وبتالي الـ
limit لما الـ H بدها تروح لـ 0 للـ H في الـ sign 1
على H أظن هذه حسبناها قبل ذلك بدل المرة مرتين يبقى
النتيجة تساوي 0 وهذا previous example
مثال سابق معناته اللي limit هذه exist وتساوي zero
يبقى
الـ F is differentiable at X يساوي Zero and الـ F
prime of Zero بده يساوي قداش بده يساوي Zero طيب
هذا مثال بسيط و مباشر نعطيكم مثال و نشوف شو رأيكم
فيه يبقى example to
بقول ما يأتي for what values
of a and b will the function
f of x يساوي أحد أمرين يا إما اللي هو AX لما الـ X
أقل من اتنين يا إما AX تربيع ناقص B X زائد تلاتة
لما الـ x greater than or equal to two ماله هذا بـ
differentiable at x يساوي اتنين
سؤال مرة ثانية بقول لي ما هي القيم التي تأخذها كل
من أو كل من a و b بحيث الـ function هذا تبقى قابل
للاشتقاق عند x يساوي اتنين هذا النوع من المسائل مر
علينا قبل ذلك مرتين مرة في الـ limit و مرة في الـ
continuity في الـ derivative و كله في كل الأمور
بيقول هات لي قيمة الثابت ايه تمام؟ يبقى ادير بالك
من الحكاية هذا بدك تكون دقيق لأنه لا يكاد يخلو
ممكن يجيك على الـ limit ممكن يجيك على الـ continuity
ممكن يجيك على الـ differentiability وقد قتينا بهذه
النوعية من الأسئلة قبل ذلك عدة مرات يبقى السؤال
بيقول بدي قيم ايه و بيه بحيث الدالة تبقى ايه قعب
الاشتقاق قعب الاشتقاق معناته المشتقة من اليمين بدت
تربية
ناقص اتنين B ناقص H في B زائد ثلاثة نجي للقصة
التانية ناقص أربعة A زائد اتنين B ناقص ثلاثة كل
هذا الكلام مقسوما على H مين اللي بيسأله؟ ايه؟ هذا
الطواريب الباشر. ليه؟ يقول A اتنين زائد H ناقص A
تبين T. هذا الأولى؟
الـF prime عند الـA limit لما الـH بتروح لـ0 للـF
of A زائد الـH ناقص الـF of A على H كيف؟
هو اللي فوق هي
ماختلفناش مش احنا جزئين الان رايحين لاتنين من جهة
الشمال يعني هذه مش موجودة عني مش موجودة هنا اللي
فوق، مظبوط ولا لا؟ يبقى انا بشتغل على اللي فوق
دونها، هي اجي الدور على اللي مين، على اللي تحت،
اصبحت خربط من الشجتات، انا قلت لك رايح لاتنين من جهة
الشمال، أخذت ال F Prime من جهة الشمال، تمام؟ طيب
نجي نكمل هنا كل علاج نجي نختصر أظن الأربعة ا
والسالب أربعة A مع السلامة عندك هنا سالبي
اتنين B وزيدي اتنين B موجبة بتلاتة وسالب تلاتة
يبقى هذا كله راح كل ما فيش غير كده تمام؟ يبقى هذا
الكلام بده يساوي ال limit لما ال H بده يروح ل zero
من جهة اليمين بده ياخد H عام المشترك بيبقى عندي 4A
زائد A H ناقص B كل هذا الكلام على مين؟ على H يبقى
بتروح الـH هذه مع الـH هذه يبقى ال limit لما الـH
بدها تروح للـ0 من جهتي اليمين للـ4A زائد A H ناقص
B لما الـH بدها تروح للـ0 هذا ال term كله بيروح
بجداش بـ0 بظل الناتج 4A ناقص B جلد دالة قابلة
للاشتقاق عندي اتنين إذا ما دام دالة قابلة للاشتقاق
عندي اتنين بدأ يكون المشتقة من اليمين تساوي
المشتقة من أين؟ من الشمال يبقى
باجي بقوله since بما أن يعني ال F is differentiable
at x يساوي اتنين we have ان المشتقة من الشمال
للاتنين بدي يساوي المشتقة من اليمين للإتنين هذا
معناه إيش؟ معناه إن الـA اللي طلعناها في الأول بدي
يساوي أربعة A ناقص الـB هذا معناه إن B يساوي تلاتة
A من اللي بيسأل؟
خدنا ال term الأول والثاني ال term الثاني يا
راجل أخذنا اللي فوق لحالها وأخذنا اللي تحت لحالها
جزئين مظبوط وهنا اشتغل نفس الشغل
يعني لما جيت اشتغلت في اللي فوق مثلا جيبت الدال
اللي تحته وحطيتها مع اللي فوق طلع
فيها كويس
طيب ليش استغلت التنتين في أن عندنا نفس النقطة؟
لأنه الاتنين ملتجيات على نفس النقطة، النقطة موجودة
على المنحنات والله
هو صح يا راجل، عشان امتحان فيزيا، عشان امتحان
فيزيا، خلي بالك، خلي بالك وصح صح، كويس طيب، على
أي حال، أنا عندي هذه معادلة في كام مجهول؟ فيه
مجهولين، بدي كمان معادلة تانية مش هنقدر أحلها،
أيوه، قول إذا
قابل الاشتقاق، يجب أن تكون متصلة، مظبوط
طب جالها ليه؟ يعني
لو أخدنا اتصاله فقط، بيكون حالينا المشكلة؟ طب أنا
الحين ما هو اللي ضايل علينا، إيش بيستخدم قرار
سياسي الاتصال؟ بس أنت استعجلت، لو صبرتك دقيقتين،
فانتهت الشغل هذه، شوف ال CD الآن أنا من الاشتقاق
جبت معادلة بمجهولين تمام؟ إذا بدي كمان معادلة مش
هنجب احل المثل أو المعادلة بتربط المجهولين أيضا
فما عنديش إلا مين إلا ال continuity لهذه الدالة
فباجي بقوله since بما أن ال F is differentiable at
X يساوي اتنين نحن لدينا ان ال F is continuous at X
يساوي اتنين مش امكانية كويس يبقى بده أروح أجيب له
F of اتنين خاصية الاتصال قيمة الدالة عند نقطة يساوي
نهاية الدالة عند نفس النقطة
زائد تلاتة تمام طب هدى قداش تساوي بيب تلاتة A
إذا بقدر أقول هدى تساوي أربعة A ناقص اتنين في
تلاتة A زائد تلاتة مظبوط هيك يبقى شلت الـB وحطيت
بدالها اللي هو تلاتة A من فوق يبقى هذا بده يسمى
قداش اللي هو أربعة A ناقص ستة A زائد تلاتة
يعني بيبقى قداش ناقص اتنين A زائد تلاتة هذا
قيمة الدالة عند اتنين بدي أروح أجيب limit لل
function يبقى أنا بدي limit لل F of X لما ال X بدي
أروح لل اتنين على سبيل المثال من جهة الشمال لأن من
جهة اليمين هتعطيني النتيجة هذه مظبوط ولا لأ؟ و
كونها continuous يبقى ال limit من اليمين بدها تساوي
ال limit من الشمال يبقى بتكفيني بس ال limit من
الشمال من جهة الشمال للدالة يبقى هاي ال limit لما
ال X بده يروح للاتنين من جهة الشمال اتنين من جهة
الشمال يبقى X بالعكس من الدرجة الأولى يجب التعويض
مباشر يبقى هذا بتعطيك اتنين A الآن since بما أن
ال F is continuous at X يساوي اتنين we have إذا
القيمتين هدول لازم مالهم يساووا بعض يبقى بدي يصير
ناقص اتنين A زائد تلاتة بدها تساوي اتنين A تمام
يبقى بناء عليه الأربعة A بدها تساوي تلاتة يبقى
ال A بدي يساوي قداش تلاتة أرباع and
الـ B يساوي تلاتة في تلت أرباع يعني ان الـ B يساوي
تسعة أرباع يبقى لو كانت الـ A بتلت أرباع و الـ B
بتسعة أرباع بصير الدالة قابلة للاشتقاق عن
الاتنين وبالتالي بيصير continuous عند وين؟ عند
الاتنين أيضا لحد هنا انتهى هذا ال section ويلا لكم
أرقام
المسائل exercises تلاتة اتنين يبقى exercises تلاتة
اتنين المسائل التالية
من واحد لغاية واحد وثلاثين القد وبنضيف عليهم سبعة
وثلاثين وتسعة وثلاثين واتنين واربعين وتلاتة
واربعين وخمسة واربعين وسبعة واربعين وتسعة واربعين
وثلاثه وخمسين وأربعة وخمسين وخمسة وخمسين وثمانية
وخمسين
المرة القادمة إن شاء الله بنبدأ في قواعد الاشتقاق
اللي أنتم استعجلين عليها