كل واحد يفتحلي على رسمة الـ trigonometric
functions اللى رسمناها المرة الماضى مينحاول نستفيد
او نطلع من خلال الرسم بعض الشغلات الأساسية
المتعلقة بالـ trigonometric functions طلعلي في
الرسمة كويس طلعلي في رسمة cos X وsec X في الأول
كوصين ال X وكذلك مقلوبة ليسك ال X شو رايك في رسمة
كوصين ال X؟ هل هي متمثلة بالنسبة لمحور Y؟ يعني هل
الرسم اللي على يمين محور Y زي الرسم اللي على شمال
محور Y؟ بالضبط يعني طيب ممتاز لو كان المنحنة متمثل
بالنسبة لمحور Yيبقى دمشت بنسميها even function
بناء عليه cosine ال X is an even function طلالي
لسك X اللي هي مقلب ال cosine برضه الرسمة اللي على
يمين محور Y زي الرسمة اللي على شمال محور Yيبقى
بناء عليه كذلك سك ال X is even function تمام تمام
اللي هنضايق المين عندنا الأربع نسبة الأخرى اللي هي
مين؟ سين ال X تان ال Xكتان ال X كوسيكانت ال X
الأربع نسب الأخرى فالله عليه في الرسمات تبعتهم شوف
ليه هل هي متمثلة بالنسبة لنقطة الأصل ام لا بمعنى
لو رسمت أي خط يمر بنقطة الأصل بيكون بعد أي نقطة
على الناحية دي إزاي البعد من الناحية التانية ام
لا؟ مين
اللي بتعترض عليها؟
أخر واحدة، مظبوط؟ ارسم أي خط يمر بنقطة الأصل، خط
اللي عجبك، وشوفها متمثلة بالنسباله ولا لأ، أي نقطة
على منحنى الـ cosecant من الناحية دي، و أي نقطة
على منحنى ال cosecant من الناحية المناظرة لها، نفس
البعد ولا لأ؟يبقى عندك الأربعة نسب أو الأربع نسب
الأخرى كلها are odd functions تمام؟ يبقى النسب
المثلثية الستتين تين منهم even و أربعة odd الكلام
اللي بنقوله بدنا نسجله و نشوف ما هو المعنى الرياضي
له يبقى باجي بقول from the graph of the
trigonometric functions we haveالنقطة الأولى
cosine ال X and Sec X او
graph R symmetric about
the Y axis
اي ان لما تبقى ال cosine even يبقى cosine لسلب x
شو بده تساوي تعريف ال even function cosine ال x
and second لسلب x
هذا النقطة الأولى النقطة الثانية
الشيء اللي قلناه هو symmetric about the y-axis
يعني هذا بدي اعطيك انه cosine ال x and sec ال x
are even functionsيبقى هدول دوال زوجية الان بدنا
نيجي لامام ل sign ال X و كذلك تان ال X و كذلك كتان
ال X and cosecant ال X are symmetric about
the origin
يبقى هدول symmetric about the origin that is صين
ال X و تان ال X و كتان ال X and ال cosecant X are
odd functions هذا شو بده يعطيلك؟هذا بده يعطيك
مياتي sign لسلب x بده يسوي sign ال x tan لسلب x
بده يسوي tan ال x cotan لسلب x يسوي cotan ال x and
cosecant لسلب x يسوي cosecant ال x
سين الاكس يساوي سالب سين الاكس وتان الاكس يساوي
سالب تان الاكس وكتان لسالب اكس يساوي سالب كتان
الاكس وكسيكنت لسالب اكس يساوي سالب كسيكنت الاكس
هذا معناه ال odd functionيبقى النسب المثلثية ستةين
تان even وأربعة odd يبقى cosine لسلب X هو cosine X
second لسلب X هي second X sin لسلب X بسالب sin X
tan لسلب X هو سالب tan X cotan لسلب X هو سالب
cotan X cosecant لسلب X هو سالب cosecant Xالان
بدنا نربط القديم بالجديد، يعني بدنا نعطي أمثلة على
المثائل اللي وقتاش بتكون الدالة even ووقتاش بتكون
الدالة odd وبدنا ندخل فيها النسب المثلثية اللي
عندنا، يبقى بدنا نعطي مثال توضيحي على ذلك، يبقى
example المثال
بيقول ما يأتيdetermine whether
the following functions
are even, odd or neither
هل هي even ولا odd و الله لا even ولا odd نمرى a
بدنا ناخد الدالة f of x يساوي x تربيع cosine 2x
مشان نحكم على هذه ال function يبقى بنيجي بنشيل كل
X و بنحط مكانها مين؟ سالب X يبقى بنا نيجي ناخد F
of سالب X يبقى هذه سالب X لكل تربيع Cos 2 في سالب
Xهذه بدها تساوي اكس تربيع itself وهذه cosine لثالث
اتنين اكس الان ال cosine even يبقى ثالث بالزاوية
وهذه تطير و تبقى باسمين الزاوية يبقى هذا الكلام
يعطينا اكس تربيع في cosine اتنين اكسلأن الـ cosine
هي عبارة
عن رأس المسألة اللي عندنا يبقى هذا بده يساوي ال F
of X itself يبقى معناه هذا الكلام ان الدالة هذه
معناها is even functionالـ F of X يساوي X تربيه
فيه Cos 2X is an even function طيب نيجي ناخد كمان
function أخرى نمرى بيه ال F of X يساوي يساوي مين؟
absolute value ل X زائد sine square X كله مقسوما
على الجذر التالت ل X
هذه بدها تساوي او بدي اخد ال F of سالب X يبقى سالب
اللي هو ال X كله ك absolute value زائد sin تربية
لسالب X على الجذر التالت لسالب X
هذا الكلام بده يساوي اظن من خلاص ال absolute value
هذا بتعطينا absolute value ل X كما هي هذه باجي
بقول هيكطلع ليه كويس، لما أقول sin²x أليست هي sin
x لكل square؟ تمام تمام، يبقى هذه الـsin odd، يبقى
لما أقول sinلسالب x الكل تربيع يبقى سالب sin x
الكل تربيع اذا هذه مربعها شو بدي اعطيني sin تربيع
ال x يبقى هذه زائد سالبلصين X الكل تربية على هذه
الجذر التالت السالب واحد هذه أليست هي السالب واحد
الكل تكيف X
سكت الشعب مش شيا بالظبط بس هذا مين الجذري التالت
طب كتبت هيك ليش؟ كتبت عشان بس بده اوضحلك ان السالب
هذه تبقى كما هي طيب هذا الكلام بده يساوي absolute
value ل X هذه لما ربيعها بيطير السالم بيصير sine
square X هذه يساوي السالب الجذري التالت ل Xسالب
واحد لكل تكيير طلعه برا الجذر تطلع السلب برا الجذر
بظل الجذر التالت لمهم ل X ممكن أخد هذه السلب عامل
مشترك من الكل و يبقى عندي في الداخل absolute value
ل X sign تربيع ال X و هنا الجذر التالت ل Xسؤال هو
المقدار بين القوسين مش هو عبارة عن أصل المثل اللي
فوق يبقى بده أشيله و أحط بداله F of X و شرط السلب
هي ضارة يبقى سالب F of X يبقى بناء عليه F of سلب X
سارة تانية مياه سالب F of X معناه هذا الكلام نداله
F معناه odd function يبقى سؤال F is M
F of X يساوي واحد زائد تان X زائد اتنين باى على
مين على سك ال X ناقص اتنين باىمش عارف
اكتب الدالة بشكل ألطف من الشكل اللي قداميباجي بقول
هذه عبارة عن واحد زائد هذه X زائد اتنين باي قداش
ال period تبعت التان باي طيب يبقى بقدر احذف باي
ومضاعفات اتنين باي و تلاتة باي و عشرة باي كله بقدر
احذفهماعنديش مشكلة ان هذه ال period تبعتي التام
اذا هذه بالضبط هي واحد زائد تاني ال X على ال
period لسك كده؟ اتنين باي يبقى احذف و الله اضيف لن
تغير في القيمة اذا هذه لو اضفت لها اتنين باي كده
ستبقى ال ..سكل X فقط لغير يبقى هذه صارت سكل X يبقى
صارت مسألتي بالشكل قدامنا هذا يبقى أنا لسه الخطوة
الأولى حطيت المسألة في شكل جديدمكافئة للشكل الأول
بروح أخد f of سالب x يسوى واحد زائد تان لسالب x
على second لسالب x ويسوى واحد التان قد والله even
يعني السالب هذا ماله؟ اطلع برا، يبقى هنا سالب تاني
ال X، السك
يبقى هذا لا
يساوي f of x
باخد إشارة سالب من البسط عام المشترك يبقى لو أخدت
إشارة سالب من البسط عام المشترك بضل ناقص واحد زائد
تان ال X على المقام اللي هو سك X كما هويبقى هل
المقدار بين القوسين هو الدلة الأصلية اللي هناك؟ لأ
برضه ما هو شهوة يبقى كمان لا يساوي سالب F of X
يبقى الدلة ما لها not، odd بناء عليه الدلة هذه is
neither even nor odd يبقى سواء ال F is neithereven
nor odd يبقى لا هذا ولا ذاك
الان بدنا نجي لاخر نقطة في هذا ال section و اللي
هي عبارة عن الـ trigonometric identities
المتطابقات المثلثية وهذه غالبكم كانوا بتضايقوا
منها و هم في المرحلة الثانوية و هنعرضها لك ان شاء
الله بطريقة سهلة و مبسطة و يسيرة خلّي بالك معناه
يبقى بداجي لأول متطابقة من هذه المتطابقات أظن فش
واحد يكون بجهلها زاد cosine تربيع ال X بواحد كله
بعرفها هذه مظلوم فش واحد بعرفهاش طيب يبقى لو جيت
للمتطابق الأولى cosine تربيع ال X زائد sine تربيع
ال X يساوي واحدمش رايك هذه هطلع منها متطابقتين
أخرين منها مرة بده اقسم عليكوا science تربية و مرة
بده اقسم علي science تربية بطلعتين تانية يبقى
بيصيروا جديشتلاتة لكن تلاتة هو في الحقيقة هما
واحدة في الشريرة تمام إذا لو جسمت على cosine تربية
جداش بطلع عندي هنا واحد sine تربية على cosine
تربية ليهيمين تان تربية ال X واحد على cosine تربية
دي مقلوب ال sick يبقى sick تربية ال X تمام ماحدش
أحسن من حد زي ما جسمت على cosine تربية بدك تروح
تجسمعلى الـsin تربيع بيصير الـcos تربيع على الـsin
تربيع بكتان تربيع الـx زائد واحد سواء على الـsin
تربيع اللي كسكن تربيع الـx يبقى هي عندي صار عندي
ثلاث متطابقات مثلثية لكن في الحقيقة هذه واحدة بس
تنتهي ان بجيبهم بسهولة الباقية اجسم ان اجت معاك
دغري طيبننتقل إلى المتطابق الثاني كنت زمان أعلمكم
ما هو جاء ألف زائد با جاء ألف زائد با، جاء ألف
جتابا زائد جتة ألف جابا نبدأ بجاء وجتة، وبعد كده
نقلب، اللي كانت جة بنخليها جتة، و اللي كانت جتة
بنخليها جا مش هيك أعلمكم؟ احنا نفس القصة، بس هنقول
صين وكوصينيبقى بالداجلة ميم لصينة
الـ X زائد الـ Y يساوي Sine الأولى Cos التانية
يبقى هي Sine X في Cos Y الشارع هذه الزائد اللي
بعدها زائد اللي كانت Sine بدخلها Cos و اللي كانت
Cos بدخلها Sine يبقى Cos X في Sine Yطبعا يبقى sin
x زائد y يسمى sin x cos y زائد cos x في main في
sin y هذه لو كان زائد طب لو كانت ناقص بصير هذه
ناقص زي ما يبقى الزائد بقبلها زائد والناقص بقبلها
ناقص في حالة main ال sin طب لو جيت لcos x زائد y
يبقى هنا كوصين ال X في كوصين ال Y ناقص سين ال X في
سين ال Yالإشارة هذه عكس الإشارة هذه تماما في حالة
ال cosine مش زي ال sine الصين الإشارة توافقية في
حالة ال cosine الإشارة مخالفة تماماطب لو كانت هذه
ناقص بيصير هذه زائد طبعا طيب نيجي بعد هيك تان ال X
زائد ال Y ضالف زائد ب يساوي ضالف تان ال X زائد تان
ال Y على واحد ناقص تان ال X في تان ال Yضالف زائد
با يسوي ضالف زائد ضابا على راحة ناقص ضالف مضروبة
في ضابا يبقى هدول مضروبات في بعض ضرب طلال هنا زائد
زائد المقام ناقص طب لو كانت هذه بالناقص بيصير هذه
ناقص وهذه زائدطبعا يبقى هذه المتطابقات الأساسية
اللى اتعلمناها في المرحلة الثانوية او في المراحل
الثانوية الثلاث سنوات واحنا بنكرر نفس الكلام هو هو
فش غيره ومن هنا انا بقولك ان حساب المثلثات مثل ملح
الطعام لا يستغنى عنه في كل فروعة الرياضياتالمختلفة
كما أن الملح لا يستغنى عنه بالنسبة للطعام طيب من
هذه هاه بده يطلع أشياء كتيرة جدافبدي اروح الان
لنمرة تلاتة او قبل تلاتة بدي اجي اقوله لو كان ال X
يساوي ال Y عشان بيحصل لو كان الزاوية لأن هذه جت
الزاوية هذه بالضبط تماما نحصل
على ما يأتي بدي اجي لنمرة تلاتةالان اكس تسوى يبقى
مجموعة مقداش اتنين اكس يبقى بصير عندي صين اتنين
اكس يساوي صين ال اكس كسين ال اكس زاد كسين ال اكس
صين ال اكس هذه هي هذه يبقى مقداش اتنين يبقى بصير
اتنين صين ال اكس كسين ال اكس يبقى بناء عليه هذه
القاعدةSin 2X يساوي 2Sin X Cos X اللي بيحصل عند
الشباب انه بيفهم هذه فهما جامدا كيف يعني فهما
جامدا يعني بقولك هذا انا مش حافظ غيره لكن هذا انا
بقدر اطوّعه حسب المثل اللي عندي ازاي مابدي فمثلا
لو كانت هذه Sin 6Xست اكس مش اتنين اكس طلع اتنين
هذا القاعدة تبعت القانون والزاوية اللى جوا هنا
النص الزاوية اللى برا يعني لو كانت هذه ال sign ست
اكس بقوله اتنين sin تلاتة اكس cosine تلاتة اكسعادي
جدا، لو كان sin 10x، يبقى بقوله 2sin 5x cos 5x، طب
لو كانت هذه sin X فقط، يبقى بصير 2 زي ما هي sin X
ع 2 cos X ع 2، يعني sin نص ال X في cos نص ال X،
الزاوية اللي جوا، نص في الزاوية اللي برا، تفضل
ما لها؟ هذه زائد
يبقى هذه زائد اللي تحت ناقصهذه ناقص يبقى هنا ناقص
هذه زائدة عكسها تماما ال bus زي بعضه المقام مخالف
في الإشارة تمام طيب اروح نكمل باقى شغلنا يبقى انا
بدى استخدم هذا القانون او هذه القاعدة متى لازم
الأمر يعني حسب طبيعة المثل اللي عندى بدى احور هذا
زي ما بدىحسب نوع المثلة اللى موجودة عنه مش هذا
جامد مالوش لحلحة لابد لحلحة زى ما بدك حسب طبيعة
المثلة يبقى هذا النقطة اللى هي sin 2x بدنا نروح
لcos 2x يعني لو ال X ساوة ال Y يبقى ايش بيصير عندي
هنا cos 2x شوف ايش بيصيربصير cosine x cosine ال y
يعني cosine x في cosine ال x يعني cosine تربيع ال
x sine x sine x يبقى sine تربيع ال x إذا نهديها
بصير cosine تربيع ال x ناقص sine تربيع ال x تمام
أصلا صبر شوية راجعيبقى الآن الصيغة الأولى لـcos 2x
باجي على الصيغة لأن هذه بشيل كل y و بحط مكانها x
بصير cos تربيه ناقص sin تربيه ال x
هشام اسماعيل ياغي ياغي ياغي ياغي ياغي ياغي
ياغي ياغي ياغي ياغي ياغي ياغي ياغي
بقولك يا اف قال ال sign تربية هذه بدي اجي من فوق و
اكتبها بدلالة ال cosine اذا انا بقدر اشيل ال sign
تربية و اكتب دلالة واحد ناقص cosine تربية طيب هي
مسبوقة ناقصبصير cosine تربية بالموجب والواحد
بالثاني إذا بصير هذه اتنين cosine تربية ال X ناقص
واحد يبقى هذه بصير اتنين cosine تربية ال X ناقص
واحد من وين جبته هذا from واحد من الأولى هذا from
بس اصبر علينا شوية واحدة واحدة احنا جاينا يبقى
الان هذه صارت cosine اتنين X لها صيغتان الصيغة
الأولى cosine تربيه ال X ناقص sine تربيه ال X
الصيغة الثانية اتنين cosine تربيه ال X ناقص واحد
اجى صاحبنا هذا المستعجل اقول شو اسمك انت؟أدم زايد
زايد زايد زايد زايد زايد زايد زايد زايد زايد زايد
بيقول لي هذه يستوي، قلّي بالداجي لل cosine تربية
هذه و اتخلص منها بقول لها بيكتب واحد ناقص sin
تربية ال X بيصير ناقص sin تربية و ناقص sin تربية
بناقص اتنين sided يعني بيصير هذه واحد ناقص اتنين
sin تربية ال Xيبقى أسعار cosine 2x لها ثلاث صيغة
الصيغة الأولى cosine تربيه ال X نقص sin تربيه ال X
الصيغة التانية اتنين cosine تربيه ال X نقص واحد
الصيغة التالتة واحد نقص اتنين sin تربيه ال Xيبقى
ياغي وزايد قالولنا فيه صغتين غير الصيغة الأولى
قلنا ماشي تمام وكتبنا الصيغة الثلاث بدنا كوان واحد
تالت غير اتنين ويقترح علينا اقتراح اخر في حد بده
يقترح ايوة فارق من المفضل ايوة طبعا فارق من المفضل
يعني بصير جدر اتنين cosine ال X ناقص واحد جدر
اتنين cosine X زاد واحدلأ بنأتي بجديد انا بدي جديد
استعمله واني بشتغل فيه؟ اذا مافيش انا باجيب ها
ايوة هاي احنا الساعة بها دول يا راجل ماوصلاش ال 10
فيها ها دي انا بحكي ها
ماهي فيه
جديد؟طيب انا من هدول بدي اطلعلك شغلة جديدة واسميها
رقم اربعة رقم اربعة شوف يا سيد اطلعلي في هذه
cosine اتنين اكس وهذه شايف فاهم؟ بدي اودل واحد على
الشجة التانية ايش بيصير؟ واحد زيد cosine اتنين اكس
بدي اقسم كله على اتنينبصينا عند مين؟ cosine تربيع
ال X يساوي النص في واحد زائد cosine اتنين X يعني
جبت مربع النسبة المثلثية بواسطة النسبة المثلثية بس
ضعف الزاوية الزاوية اللي جوا جد الزاوية اللي برا
مالها مرتين بعكس ال sign كانت ال signالزاوية اللي
برا جد اللي جوا مرتين تمام هذه اللي جوا جد اللي
برا مرتين على عكسها تماما طيب كويس ماحدش أحسن من
حد زي ما جيبت هذه جيبنا تانية زي ما جيبنا cosine
تربيع ال X يبقى بدنا نروح نجيب sin تربيع ال X يبقى
نص في واحد
لغاية هنا هذول أهم المتطابقات المثلثيةفي Calculus
A و Calculus B و Calculus C و المعادلة التفاضلية و
الفيزيا و اللي مش عارف ايه كل الشغلة تتعلق
بالرياضيات هدول هم الأساس طبعا في أخريات طبعا لكن
هدول أهم حاجة بتقابلنا أثناء الشغل طب نكمل ها بدنا
نروح نيجي لمن لتانزي ما جبت sin2x وcos2x بدنا تان
اتنين اكس رغم انها نادرة الاستعمال عندنا في ال
calculus أهم حاجة مين اللي هي ال sin و ال cos لكن
بدنا نقولها إذا لو جيت هنا خمسة و روحت قولت بدي
تان اتنين اكس يساوييبقى شيلنا واي وحطينا مكان X
بيصير تان اتنين X بيصير تان X زائد تان ال X باتنين
تان ال X يبقى باتنين تان ال X على واحد ناقص تان
ترابيع ال X مش ده تهمية كتير ماهياش مهمة علنا كتير
هذه خمسة ابني جي الا ستة ستة شباب في ان حاجة اسمها
قاعدة جيوب التمام ال law of cosine يبقى ال law of
cosine ايش قاعدة جيوب التمام قاعدة جيوب التمام
تقول لو عندك تلت أضلاف المثلث و بدك تجيب تلت زوايا
انت ماعندكش لطلاء، من خلال اللاء بقدر اجيب
الزوايا، الزوايا هي هذه القاعدة اللي بيسميها قاعدة
جيب تملة، لو كان عندك اي مثلث شو ما يكون شكله
هذا مثلث سمت الضلع هذا A سمت الضلع هذا B سمت الضلع
هذا C ونفترض ان هذا محور X وهذا محور Y وهذه نقطة
الأصل اللي هي Zeroأخدنا الضلعين A وB حصروني بينهم
زاوية زاوية هذه سميتها إيش؟ ثيتا، لو بدي أعرف كده
الزاوية ثيتا، بقول له هذه القاعدة بتقول لي cosine
ثيتا يساوي، بدي أعلمك الطريقة وبتصير بعد هيك فارغة
بسيطة ولا حاجة، أين الزاوية ثيتا هي؟ أين ضلعيها؟ A
وBمش هنجيب كوساين الجيبة تمام بقول مربع الضلع
الأول للزاوية زائد مربع الضلع التاني للزاوية ناقص
مربع الضلع التالت اللي هو قبل الزاوية على اتنين
حاصل ضرب ضلعيها يعني ايش باجي بقول ا تربيه زي بي
تربيه ناقص اي تربيه على اتنين بي بس سبعيبقى جيب
تمام أي زاوية باطل على الضلعين اللي يتكونوا
للزاوية مربع الأول زاد مربع التاني ناقص مربع الضلع
التالت اللي بيقفل المثلث اللي بيقفل المثلث على
اتنين حاصل ضرب ضلعيها بناء عليه لو بدى اجيب جيب
تمام الزاوية اللي فوق بقول له A تربية زاد C تربية
ناقص B تربية على اتنين ACلو بدى اجيب جيب تمام
الزوايا هذه بقول بيه تربية ZC تربية مقصية تربية
على اتنين بيه C وبالتالي بجيب تسموه في التنمية حل
المثلث بيعطيك تلت معلومات و الله معلومتين و بدك
تجيب باقى المعلومات تبع المثلث يعني بدنا نجيب
الأضعف كلها وبدنا نجيب الزوايا كلها ده اسم بجيب
تسموه حل المثلث تمام؟طب لو حصل ان الزاوية هذه كانت
تسعين درجة تسعين درجة بيصير جتا تسعين بجدل صفر
بيصير هذا بصفر اه لان في المثلثة القائمة الزاوية
مربع الضلة هذا زاد مربع الضلة هذا بيساوي مربع
الضلة تبقالة فيه ثورت اذا بيصير البصر جدل صفر على
اي رقم يساوي صفر كلام صحيحيبقى سواء كان قائم ولا
حاد ولا منفرج ما عندنا مشكلة في هذه الحالة طيب هذا
كله كان موجود في الطبعات من الطبعة الأولى وحتى
الطبعة الحادية عشرة أجى في الطبعة الثانية عشرة
اللي بين إيدنا وحطنا الخاصية رقم سبعة الخاصية رقم
سبعة بتقول ما يأتي بتقول for any
أنقل theta لأي زاوية theta major مقاسة
بالتقدير الدائري major in radians بالتقدير
الدائري we have
النقطة الأولى
والكلام هذا رايح مثل و تقن باريه هنا في صفحه
التمانية و عشرين بدك البرهان مر عليه في الكتاب،
بدكش بلاش، لكن هل لها استعمالات خلال الأسلة أو
خلال الشغل من شغله؟ ملاقش استعمالات بالمرة، أهم
حاجة قلتلك لحد هنا، من الأول لحد هنا، هذا أهم ما
يأتيطبعا في بعض المعلومات أخرى عن حساب المثلثة مش
كده بس بتلزمناش زي قاعدة الجيم ألف شرط على جه ألف
يسوي بقى شرط على جه باقي يسوي جيم شرطة على جه جيم
في أي مثلة تلزمنا في شغلنا؟ تلزمناش احنا يبقى احنا
هذه اهم حاجة بتمر علينا في قواعد حساب المثلثةالان
بدنا ناخد أمثلة على كل ما سمعته عندنا بدل المثال
أربعة أمثلة و بدنا نيجي نشوف هذه الأمثلة قبل ما
نشوف، حد بيحب يسأله يتساؤل هنا؟ أيوة؟ كيف؟ مالهاش
استخدامات عندنا حاليا، بعد ما تتطور ان شاء الله
بصير الاستخدامات تانية، هذا، اهتالتة في الـ T نقص
هذه الإشارة بالزائد يبقى هذه بالزايد اللي تحت
بالناقص بيدك هي بالناقص تصير ناقص و اللي تحت زائد
مخالفة على طول الخط
كيف؟ كيف استنتجها يعني؟ احنا هذا كله مراجعة اللي
انت خدته في الثانوية، هم لازم تستنتج من جديد هذا
كله من الأول و ده راح ارسملك دائرة و اقولك هي
المحاور و اخد نقطة على محيط الدائرة و اقولك هذا X
و هذا Y و هذا نصف القطر و يلا ربع ال cosine و ال
sine بيطلع عندك جداش، مابديش هذا الكلامفانا ما
بضيعوتي في معلومات عتيجة أو بيتة بالنسبة لك، انا
كل بذاكرك هي تذكير، اه، ايش لازمان؟ كده؟ بسيطة،
لسه مش بقول، نمرا ورا احد، نمرا اتنين، غريب جدا،
اه، ايوة، مالها؟
خلاص؟ ايوة
سؤال وجيه جدا، بيقول افترض هذه أندا كانت cosine
أربعة X بيصير cosine تربية اتنين X ناقص sine تربية
اتنين X ويساوي اتنين cosine تربية اتنين X ناقص
واحد واحد ناقص اتنين sine تربية اتنين X و هكذا
يعني انت بتقدر تشتغل بالقاعدة هذه زي ما بدهاطيب
نبدأ ناخد أمثلة على كل ما سبق و
هعطيك أمثلة حتى في الكتاب مافيش زيها
يبقى example one example
one
بيقول find the domain and range of the following
functions
نمر A F of X يساوي الجدرى التربيعى لكوسين تربيع ال
X نمر B F
of X يساوي واحد ناقص كوسين ال X نمر CF of X يساوي
واحد زائد تان تربيع ال X فالسؤال
بيقول معطيني مجموعة من الدوال و طلب ال domain و ال
range كل دلة من هذه الدوالوهذا ربط بهذا الموضوع
بأول موضوع أخدنا له section 11 أول كلمتين بعد ما
عرفنا ال function وروح نجيب ال domain و ال range
احنا بدنا نجيب ال domain و ال range للدوال
المثلثية المختلفة زي ما انت شايف كل سؤال من هذه
الأصل يحتوي على دالة مثلثيةإذا بدنا نمرى إيه؟ F of
X بدي أحاول أكتبها بشكل جديد الجذر التربية لكوسين
تربية ال X هو عبارة عن absolute value لكوسين X لأن
الجذر التربية ل X تربية بتطلع ل absolute value
لكوسين X إذا هذا absolute value لكوسين X بدنا ال
domain بتابع الدالة Fالسؤال هو هل هناك قيمة بتخلي
هذه الدالة ماهياش معرفة؟ لأ يبقى هذه من عند سالب
infinity إلى infinity بدنا ال range لدالة F ويسافر
ال cosine من سالب واحد إلى واحد أخدنا absolute
value يبقى عندي سالب يبقى من صفر
ممكن اجيب لك سؤال زي هذا في الخيارات المتعددة اقول
لك بد ال range ل absolute value لك قصين ال X منقدع
انت في ذهنك ان القصين من سالب واحد لواحدبتروح و
بحطها من ضمن الإجابات طبعا اللي فاهمه كويسه بيقول
الكابسيلوته بيطلعليش قيمة سالبة دائما وابدا بيطلع
قيمة موجبة يبقى من سالب واحد لغاية ال zero بيطير
بيصير موجبة و بيبقى موجود من اين لو اين من zero
لواحدوالله هذا خلّى فى بالى يترقى بالى سؤال هذا
السؤال جبناه اعتقد العام الماضى او اللى جابله
السؤال بيقول بدى ال period ل absolute value ل
cosine ال X اللى بيعرف يرفع يده فوق خلينى اعرفه في
المحاضرة الماضية في المحاضرة بدى قداشى ال period ل
هذه الدالة ايوة
باي على اتنين يعني نص باي وجهة نظر باي
و نص باي باي و نص على الوسط او كما قال ايوة اللي
بقى عاوز يرفع أيضا فوق ايوة ايضا في الآخر كده ايش؟
مش سامعأي عدد على اتنين؟ اي عدد سالب تردي؟ يعني
تلاتة باية على اتنين او خمسة باية على اتنين؟ يعني
ال period هذه بتم غطي زي ما بدي؟ والله ال period
قيمة ثابتة دايما انا بسأل period بتم غطي هذي كل
يوم تبقى في لون؟ والله لون واحد يبقى صاحبي إجابتك
هذه لما حللها من عشو اسمك انت؟مش سامع مهندس يبقى
ال period ل ال cosine باي فقط لغير رسمة ال cosine
اللي عندك لما ناخدله ال absolute value كل اللي
كانت تحت تنجلي بيصير فوق وبالتالي ال cosine بيصير
كله فوقماعنديش رسمات تحت طبعا يبقى ال period بصير
قداش باي فقط زي ما قال هشام ياغي هذا طبعا و زي ما
قال صاحبنا هناك يبقى ال period تبقى هيو ساوي باي
فقط بحط بكل امتحانجبت أجابة باية على اتنين و باية
و تلاتة باية على اتنين و اتنين باية او باية على
اتنين و باية و اتنين باية و none of the above و
اللي حط لخط تحت الإجابة الصحيحة يبقى دير بالك من
هذا الكلام هذا يدل على الذكاء و على الفهم اه مش
ليه يقول ال cosine خلاص ما احنا عارفين هاتنين باية
يبقى اتنين باية ويمشي طيب هذا كلام خاطر نجل و نمر
بيهنمر بيه بدي ال domain لدالة F سؤال هو هل هناك
قيمة دالة هذه ماهياش معرفة عندها في نهاية طيب يبقى
هذه من سالب infinity إلى infinity واحد مهندس يعني
مخنضي فكر وقال لي انا بدي أطلع الإجابة هذه بقولك
يعنيقال له هذا الواحد يعتبر function ثابتة قلت له
صحيح ال domain تبعها من وين لوين كل ال real line و
هذه ال cosine ال domain تبعها منين كل ال real line
والدلتين هدول مطروحتين من بعض طريقةواحنا اخدنا ان
ال domain الفرق بين دلتين هو domain المجموعة بين
دلتين هو domain حاصل ضرب دلتين وهو ال intersection
between two domains مظبوط يبقى من سالب infinity
لإنفنتي تقاطع مع سالب infinity لإنفنتي هيبقى 200
سالب infinity لإنفنتي اللي احنا قلنا عليها يبقى
ماعندي مشكلة واحد فكر زي هيك بطريقة ثانيةبتدهش
اقوله بدي ال range لدالة F يساوي يبقى بدنا الواحد
ناقص cosine ال X قديش ال range من وين لوين من صفر
لتان متاكدين طب ال cosine تاخد قيمة سالم
لو اسكساين أخدت أقل قيمة لها جداش سالب واحد مع
السالب مش بيصير موجة واحد واحد نام لو أخدت أقصى
قيمة لها جداش واحد بيصير واحد واقص واحدبظل باقي
القيم كلها تتأرجح ما بين الـ0 و2 يبقى ال range من
عند الـ0 لغاية من الـ2 بدنا نيجي لنمرة C بدنا
domain الدلة F ويساوي في قيمة هنا الدلة ماهياش
معرفة عندها؟ في؟ اللي هي مين؟ممتاز يبقى .. يبقى
خليني أطرح السؤال بطريقة أخرى هل domain التان
تربية يختلف عن domain التان؟ في اختلاف؟لا يوجد
اختلاف في المرة الـ domain أنا لا أتكلم عن الـ
range أنا أتكلم عن الـ domain domain الـ 10 هو
domain الـ 10 تربية لأن 10 تربية تعني domain الـ
10 intersection domain الـ 10 حصل ضرب دلتين يبقى
domain تبع ال intersection ما بين الاتنين يعني ال
domain ال intersection مع نفسه يبقى نفسه تمام؟ طيب
جبنا domain ال 10 و احنا عندنا كمان واحد الواحد من
سالب infinity ل infinityدومين الثاني احنا عارفين
واخدناه قبل هيكل انت رستريكشن من حياطيني دومين
الثاني يبقى هذا بتعطيني كل ال real line ماعدا in
by على اتنينحيث ان odd مش شكل اخدناها من هناك يبقى
هذا بدي يعطيني كل ال real line بدي اشيل منه زائد
او ناقص in by على اتنين و ال in is odd الشكل اللي
عندنا هنا طيب هذا من هذا ال domain بدي ال range
بتابع الدالة F
ممكن يأخذ قيمة سالبة range الدالة هذه؟ ممكن في يوم
الأيام يأخذ سالب؟ لأنه تان تربية المربع زائد واحد
يقول عمره ما هياخد قيمة سالبة طب التان تربية يعني
بياخد سفر؟تان تاربية بياخد زيرو؟ اه بياخد زيرو
المنحنة التانية مربع نقطة أصل مربع زيرو بزيرو زائد
واحد يبقى فيها واحد يبقى أقل قيمة تاخدها الدالة دي
قداش واحد و أكبر قيمةلأن التان تربية بتاخد كل
التان بتاخد من سالب infinity إلى infinity لما
تربعها بتبطر تصير سالب بيصير كله موجب من zero إلى
infinity زائد واحد بيصير من واحد إلى infinity يبقى
هذا ال range بده يصير من عند الواحد closed و لغاية
infinity مش زي الثلاثية اولتين من zero لا واحد من
zero لاإتنين وإنما من واحد لغاية infinity هذا هو
المثال الأول بدنا نيجي للمثال رقم اتنين الشكل اللي
قلناه شوفوا يا سيدي المثال رقم اتنين بيقول ما يأتي
write the following write the following
functions in terms of in terms of sign ال X and
cosine ال X اكتبلي الدلالة اللي التالية بدلالة ال
sign و ال cosine نمرة A بدنا sign
لتلاتة باية على اتنين نقطة sin X إذا
بتقدر تكتبها بدالة sin X لحالها ماعنا مشكلة قصين X
لحالها ماعنا مشكلة بدالة sin والقصين مع بعض برضه
مافي مشكلة هاللي تقدر عليه اكتبلي هذه الدالة ايه
بقى ماجي بقول مولاك واسم تلاتة باية على اتنين هذي
اتنين وسبعينيعني أقل من ال period بتابعة ال sign
مظبوط أقل منها بقوله بسيطة إذا هذه بقدر أفكها دوري
و أجي و أقوله ال sign تلاتة by على اتنين cosine ال
X لشيء عادي بالناقص يبقى بالناقص cosine تلاتة by
على اتنين في sign ال Xهذا الكلام يساوي قداش جيب ال
270 سالب واحد في cosine ال X يبقى سالب cosine ال X
جت ال 270 ب Zero يبقى راحة يبقى ضلي الجواب بس سالب
cosine ال X نمرى B
بنضله كوساين تلاتة باي زائد X بقول له ال period ل
الكوساين قداش يبقى انا بقدر اشيل اتنين باي من
مسالتي بالمرة بقدر اتخلص منها يبقى هذه عمليا هي
كوساين بايزكس السبب ان ال period لل cosine اتنين
باي يبقى اهمل ال period هذه اللي هي الاتنين باي
بضال عندي بس باي بقول هذه بفكها زي اللي فوق يبقى
cosine باي cosine ال X ناقص sin بايفى الـSin الـX
واحد وسبع كوصين مية و تمانين هذه بقداش سالب واحد
فى كوصين الـX بسلب كوصين الـX سين المية و تمانين
بزيرو يبقى طار الزيرو طلع الإجابتين هذا المالهمزي
بعض كان بإمكاني أعصير السؤالين بسؤال واحد و أقول
لك show that ان الـsin تلاتة بي عتنين نقص ال X
يساوي ال cosine تلاتة بي زائد X
الإشارة اللي هنا في حالة الـ cosine عكس الإشارة
اللي هنا بالضبط تمام في الـ sine زي بعض طالع عندك
كتبناها قبل قليل تمام يبقى النتيجة يسمي سالب
cosine ال X نجي نمر ال C نمر ال C بدنا واحد على
تان ال X زائد كتان ال Xعشان نعرف كم تساوي بدلالة
main الـ sine و ال cosine يبقى
هذه تساوي واحد على sine ال X على cosine ال X زائد
cosine ال X على sine ال X هذا واحد علىبدا واحدة
لها المقامات يبقى بالصيرة sin X في cos X على هذه
بيبقى sin في sin بsin تربيع X زائد هذه على هذه
بيبقى cos بcos تربيع Xتمام يبقى هذه لو قلبتها ايش
بصير؟ سين ال X في كوسين ال X سين تربيه زاد كوسين
تربيه لقداش بواحد يبقى النتيجة سين ال X في كوسين
ال X هيها كتبتها بدلالة ال سين والكوسين واحد قال
لي انا بدأ اكتب بدلالة مش سين X سين اتنين X بقوله
مافيش مشكلةأضرب في اتنين و اجسم على اتنين يبقى
بصيان نص اتنين sin x cos x اللي بصين اتنين x يبقى
نص sin اتنين x بس مش هذا المطلوب المطلوب جالي
اكتبها بدلالة مينا ال sign و ال cosine يبقى
بيخليها زي ما هي بالضبط تماما طيب هذا نمرة c بدأجي
لنمرة d يبقى نمرة d بيقولي cosine تربيع x على
اتنينيعني انا بدى اتخلص من مين من ال X على 2 و
اكتبها بدلالة من cosine ال X او sine ال X اللى
تقدر عليه اللى تشوفه بقوله هذا الكلام يساويطلعلي
في نمرة 4 عندك من المتطابقات قبل شوية يبقى هذه
بقدر اكتب عليها نص في واحد زائد cosine جد هذه
مرتينيبقى اتنين في اكس على اتنين تمام يبقى هذه
صارت نص في واحد زائد cosine ال X يبقى هاي كتبناها
بدلال اتنين cosine ال X طيب نمرة E بيقول ليه sign
لتلاتة X
Sin لتلاتة X احنا قلنا بنا نكتبها بدالة Sin X وCos
X مظبوط يبقى هذي فكر كويس باجي بقوله هذي Sin X
زيدي اتنين X مظبوط وبعد هيك صارت هذي Sin لمجموع
قيمتينيبقى بقدر أفكها باستخدام الـSin يبقى هذه
الـSin X في Cos 2Xزائد cos x في sin 2x لماذا انا
بدى وصلها الى cos x و sin x يعني بدىش اشوف في
المثلة خلقت 2x بالمرة ووصلها ان شاء الله توصلها ال
sin تربيه و cos تربيه ماعنديش مشكلة يبقى باجي
بقوله هذا الكلام يساوي sin x مطلوبةبس cosine اتنين
اكس هذه معلها مش مطلوبة اذا cosine اتنين اكس لها
بدل الصيغة تلصيح حط الصيغة اللي تعجبكبقول له كويس
و الصيغة بديها بدلالة cosine X و sine X او اي
واحدة فيهم سيانة بتفريقش عندنا يبقى باجي بقول له
هاي جوس و cosine 2X مين الصيغة اللي بدكيها؟
إتنين كوصين تربيه ال X ناقص واحد هاي معناه كوصين
إتنين X طيب نيجي يدي الزائد كوصين ال X في يدي
إتنين ساين ال X في كوصين ال X هاي خلصتها كل ابداع
الكوصين بس بدي عملية ترتيب وتهذيب يبقى هذا الكلام
بده ساوي
طيب ايش رايك هذه؟وهذه في بينهم sin X cos X و 2
عامل مش هي يبقى 4 صح؟ يبقى بيظل عندي 4 sin X cos X
ناقص sin Xممكن تحويلها بدل الصين الواحد ناقص صين
تربية ال X وبالتالي كلها بتصير بدل ال اثمين الصين
خلها زمان
وانتهت مسألتنا تحطها بشكل آخر ما عندها مشكلة
خلّيتها بهذا الشكل برضه ما عندها مشكلة لإن هي
كتبتها له بدلات ال sign و ال cosine سواء كان مربع
مكعب ما عندها مشكلة يعني أنا في الصورة ماعنديش إلا
sign X و cosine X يبقى هذا المثال رقم اتنين نجي
لمثال رقم تلاتةيبقى مثال رقم تلاتة بيقول ما يتيه
solve for theta علما بإنه where ال theta هذه أكبر
من أو يساوي zero وأقل من أو يساوي اتنين by نمرا a
بدنا جذر تلاتة في six theta يساوي اتنين نمرا b
سؤال مرة تانيةبقول الـ Sol for θ يعني حل المسألة
بالنسبة لـ θ يعني هاتلي قيمة θ التي تحقق من
المعادلة لأننا علما بأن θ دائما أقبل دورة كاملة من
صفر لإتنين باي يعني زي السؤال اللي بيبعتلك الله
بدي زاوية مجبة تمام؟ بقوله بسيطة جدا نجي للسؤال
الأول اللي هو نمرة Aنم رأيه بقدر أخل الأرقام في
ناحية والنسبة المثلثية في ناحية ثانية يبقى هذه سك
ثيتا يساوي اتنين على جذر تلاتة السك بقلب مين؟ قصين
يبقى هذا معناته ان قصين ثيتا يساوي جذر تلاتة على
اتنين هذا معناه
خلاصنا؟ خلاصنا ولا لسه؟ نطلب ايه؟ خلاصنا؟استنى
شوية هيك انت جبت مص الحل مص الحل ليش؟ لإن هنا قصين
تيتا يسوى جذر تلاتة على اتنين والإشارة هنا موجبة
يعني القصين أخد قيمة موجبة باجي بسأل نفسي في
الأربعة الأربعة القصين ما اكتشف ياخد قيمة موجبة
معناته في زاوية في الرابع الرابع جيب التمام اللى
يسوى جذر تلاتةعلى اتنين بدنا هذه الزاوية اسمع شوية
بس اسمع شوية بيجي واحد بفكر ثاني بقولي طب ما انا
ال cosine هذي even لو حطيت ناقص بي على ستة بتيجي
في الرضع الرابع بقوله والله كلامك مظبوطناقص بايع
الستة بتجي في الرابع الرابع و ال cosine تبعه هو
cosine بايع ستة وهو جدر تلاتة يقوله تفكير سليم
مائة بالمائة بس يا صاحبي سالب بايع ستة مش موجودة
في ال interval هادي لإن هذه الزاوية سالب بايع ستة
موجة بقى سالبة و هنا عندنا زاوية موجة بقوله بسيطة
جدا هاتل الزاوية اللي بتكملها تلت مية و ستين بتكون
هي الزاوية المطلوبة في الرابع الرابعيبقى لما أقول
تلاتين شو اللي بيكملها تلاتمية و تلاتين يعني
احداشر باي على ستة باي على ستة بتلاتين في احداشر
بتلاتمية و تلاتين درجة يبقى الزاوية الأخرى هي
احداشر باي على ستة وثيتا يساوي احداشر باي على ستة
هذا حل المسألة نمرأي
لربالك، لو كانت الإشارة هذه بالسالب، لأصبح الحل في
الربع الثاني والربع التالت، يعني إزاي بتطلع في
الربع التاني والرباع التالت؟ طيب، نمر بيه؟نمرى بيه
بيقول ياصين اتنين ثيتا ناقص كتير اه الزاوية هذه
غير الزاوية هذه مظبوط إذا يبدأ أخلي الزاوية كلهم
بدلالة اتنين ثيتا يبدأ أخلي الزاوية كلهم بدلالة
ثيتا يبقى الأسهل إن أخليها بدلالة اتنين بدلالة
ثيتا إذا صين اتنين ثيتا اللي هي اتنين صين ثيتا
كوصين ثيتا ناقص كوصين ثيتا يسوى قداشيساوي Zero في
عمل مشترك اللي هو Cos Theta بيظل اتنين Sin Theta
ناقص واحد يساوي Zero هذا معناه انه Cos Theta بده
يساوي Zero و اتنين Sin Theta ناقص واحد يساوي Zero
او ان شئتم فقولوا Cos Theta يساوي Zero و Sin Theta
يساوي نصيبقى θ تساوي.الان بدى ادور مين الزاوية
اللى جيب تمامها يساوي الصفر والزاوية موجودة من صفر
لاتنين بايم.
قصائد صفر بصفر لا بواحد يبقى هذا كلام مش صحيح يبقى
مين الزاوية اللي جيتها مهما يساوي صفر تساعد يبقى θ
تساوي باية على اتنين و كذلك θ يساوي قداش تلاتة
باية سهل جدا لو قلبت هالرسم بتلاقي كلامنا صحيح
بدون حسابات ولا تحسب على calculator ولا غيرهنجي
للتاني هو θ تساوي من الزاوية اللي جيبها يساوي نص
تلاتين يعني باي على ستة و ثيتا يساوي استنى شوية ال
جيب موجب يعني في الرابع الأول والرابع الثاني بقوله
بسيطة هذه باي على ستة مكملتها لمية و تمانين بتكون
هي اللي باي على ستة لإنه جيب أي زاوية قادة يساوي
جيب الزاوية المكملةلأ مش المتممة، المتممة بتكون
تسعين مكملة بتكون مية وتمانين يبقى theta تساوي مية
و خمسين درجة اللي هو خمسة by على ستةيبقى كل قيمة
منهم أو كل معادلة منهم إلها حلين يبقى مسألتنا هذه
إلها أربعة حلول زي ما أنت شايف وليس حالين بعض
الشباب بحط على الكمبيوتر تطلع الزاوية الحادة بحطها
و بيجي ماشي وبالتالي بيضيع نص السؤالهذا هو المثال
رقم ثلاثة بدنا نروح للمثال رقم أربعة وما أدرك
مالمثال رقم أربعة بيقول لي show that بيلي انه نمر
ايه؟ sign thetaزائد cosine اتنين ثيتا ناقص واحد
على مين على cosine ثيتا ناقص sin اتنين ثيتا يساوي
تاني الزاوية ثيتا نقولها solution
في مثل هذا النوع من المسائل اللي بقيت سموها
المتطابقات المثلثية بقيت كثير من الشباب من حد يطلع
في المسألة بسيطة النبض يرفع عندهتمام؟ خاصة في
المرحلة الثانوية، ليش؟ لأنه مش عارف يدير القوانين
اللي أخذها بها تخدمه في المثلة، تاو قبل قليل لما
شرحنا القوانين قولنا بدك تقبل أنت الشاطر وتحرك
القوانين يمين وشمال بحيث تتناسب طبيعة المثلة اللي
عندكبعدين انا بسأل بقول تان ثيته صعبة فاكفكها
ووصلها للشجة هذه لكن هذه بقدر اشتغل فيها وربما تصل
الى مين الطرف اليمين اذا لو جيت مسكت الطرف الشمال
يبقى بالداجي اقول له هاي sine ثيته زائد cosine
اتنين ثيته ناقص واحد على cosine ثيته ناقص sine
اتنين ثيته يساويطيب ايش يساوي سين تيتا انا بديها
لان تان تعني سين على كوسين يبقى هذه خليها ماعندي
مشكلة فيها اذا مشكلتي تكمن في وين في كوسين اتنين
تيتا ناقص واحد في عندي اكتر من مقترح المقترح الاول
انه اخد اشارة سالب عام المشترك
مصبوط؟ هذا المقترح الأول المقترح الثاني cosine
اتنين ثيتا هذه إليها ثلاث صيغة أشيلها و أحط الصيغة
اللتي أعجبني من التلاتةبقول لها بده حط صيغة طيّر
لمين سالب واحد يعني بده اخاف اللي واحد ناقص ناقص
ايش؟ نين ساين تربية ثيتا يعني المقترح هذا انا
مابديش اه ساين ثيتا هي هذه بدي اقول زائد واحد ناقص
اتنين ساين تربية ثيتا ناقص واحد
لكن اول ما يجي في بالك مش ما يجي تفكيري الأولاني و
اول ما يجي تفكيري الثاني ان اشيل cosine اتنين ثتا
و احط احدى القيم الثلاثة هذا اول ما سيطرق على من؟
على ذهنكفهيبدأ جهدك كوصين تيتا ماعنديش فيها مشكلة
ناقص هذه مالهاش اللاصيقة واحدة يبقى انا مجبر عليها
اتنين صين تيتا كوصين تيتا يبقى بقل يصير عندي في
البسط والمقام اتنين تيتا كله بدلالة 8بدلالة θ هذا
الكلام يساوي ناقص واحد وزايد واحد مع السلامة وبقدر
اخد sin θ عامل مشترك من الكل بظل واحد ناقص اتنين
sin الزاوية θ علىهنا كمان بقدر اخد main cosine
theta عام المشترك يبقى هي cosine theta عام المشترك
واحد ناقص اتنين sin theta هذا ما هذا الله سهل عليه
يبقى صار عندي sin theta على cosine theta اليومين
بسيط جدا طيب هذا يعتبر سؤال سهل very easy انت قلك
شوية تضحكوا ليش انا حاطيت بس قيمة ال cosine و ال
sine تنتيجة و بس و بقى كله لعاله راح طبيعي مدوش
تفكيرطيب نيجي ناخد كمان سؤال واحد ناقص cosine θ
على sin θ يساوي sin θ على واحد زائد cosine θ يساوي
tan θ على اتنين
هذا قصة طويلة، هذول تلت شغلات مش شغلتين كمان،
مظبوط؟ يبقى بنهيجي للحل، solution يلا فاكرولي كويس
كيف التفكير الأول اللي بنخلي بس أول two terms
يسووا بعض، و بعدين بنفهم على باقي المسألة اللي
يبقى
فتح كويس عينك و خلّيك دقيق النظر انا عندي بدي اثبت
ان ال term هذا يساوي ال term هذا لاحظ ال sign كانت
في المقام صارت في البسط واحد ناقص cosine صارت تحت
واحد زائد cosine بمعنى لو جيت أخدت الطرف الشمال
واحد ناقص cosine theta على ال sign theta بتقدر
تخلق في المثلة واحد زائد cosine theta
اللي هو المنافسة صحيح ولا لأ؟ يبقى انا لو ضربت في
المرافق معناته ضربت في واحد صحيح معناته خلقت في
المقام واحد زي ال pusatita اللي هي مطلوبة عندي و
بعدين الله بفرجها يا أخي زي الليشيبقى باجي بقوله
بدروح اضرب هذه واحد زائد cosine ثيتا على واحد زائد
cosine ثيتا هذه اعتمدت عندك على مين على دقة النظر
انا عندي هذا term بده اواصل ال term هذا واحد زائد
cosine ثيتا هو المرافق لواحد ناقص cosine ثيتا فعلا
هيوصر في المقام يبقى انتهيته بعد هيك نتحاسب مش
مشكلة وبنشوف وين متوصلبقوله كويس هذا الكلام بده
يساوي ايش رأيك في البراصنة؟ فرق بين المربعين؟ بدي
ارجعه الى الاصل اللي ابتباه يبقى الاصل اللي ابتباه
هو واحد ناقص cosine تربيه ثيته على sin ثيته في
واحد زائد cosine الزاوية ثيتهواحد يقول بدي احلل
هذه و اختصر و بقوله رجعت لرأس المسس لا ممتاز اه
واحد ناقص cosine تربية ثيتا من اول متطاقم مثل هذه
sin تربية يبقى هذا بيصير sin تربية ثيتا على sin
ثيتا في واحد زائد cosine الزاوية ثيتا ابن اختصر
التربية مع ال sin بيظل sin ثيتاعلى واحد زائد
cosine هه غير هو طلعت لحالها بسهولة، مظبوط؟ يبقى
ولا في .. بس ضربت في المرافق غير هو طلعت يعني أنت
بتحيط بمفاتحة كويس بتلاقي أجت معاك فكل المتطابقات
اللي كانت بتزهجكوا في الثانوية و بتستنوا المدرس
يحلها اللي كنت تنسخه من ورا بسيطة بتشغل مخك حاجة
بسيطة مش كتير، بنعشه عميق في تفكيري، بس تفكير
بسيط، طيبما دام هيك تعالى نفكر انا وصلت ال term
الأول الى term التانى اذا وصلت ال term الأول الى
التالت او التانى الى التالت ابنك بحلنا الاشكالية
صحيح ولا لأ طب تعالى افكر كده اذا وصل ال term
التانى الى التالت بقولك بس طلعي كويس في المثلة
الطرف الشمال هذا كله بدلالة مين theta الجواب هنا
بدلالة مينحول مثلك بدلالة θ على اتنين تبقى حلية
الإشكالية ولا حاجة بصير بس حول المثلة كلها بدلالة
θ على اتنين بقوله والله كويس يبقى باجي بقوله and
هذا sin θ على واحد زائد cosine θ يسمى بدي احول
البصمة والمقام كله بدلالة θ على اتنين يبقى sin θ
بجداش
نجي ل 1 زائد cosine الزاوية ثيتاهذه لو كانت لو
كانت واحد زائد cosine اتنين ثيتا كان قلنا له هذه
اتنين cosine تربية ثيتا صح ولا لا يبقى انا عندي في
القانون هيك بفكر في الهامش بقول انا عندي cosine
تربية ثيتا يساوي النص في واحد زائد cosine اتنين
ثيتا
بقول له تمام يبقى هذه لو قلت لك cosine تربية theta
على اتنين ايش بدك تقوله نص في واحد زائد cosine جد
هذه مرتين الييمينثيتا هى وان واحد زائد كوساين ثيتا
اللى بدنا ياها هى موجودة يبقى اش اعمل بس اضرب في
اتنين يبقى خلصت القصة هذه يبقى لو ضربتها في اتنين
بصير اتنين كوساين تربيع ثيتا على اتنين يساوي واحد
زائد كوساين الزاوية ثيتا تمام؟ اذا في الهامش هذا
اللى اشتغلتهبعدين بشيل 1 ذات cos θ و بحط قيمته
طبعا انا اشتغلت في الاندوسينما حالي مش عارف بس انا
قادر احطها لكم و امشي دوري لكن جبت للك من وين كيف
فكرت فيها اذا بقدر اشيلها واكتر بدالها اتنين
cosine ترابية ثيتا على اتنين يبقى هاي حولت مسألتي
كلها بدالت الزاوية ثيتا على اتنين اظن بقدر اقوليا
اتنين مع اتنينو cos مع التربية بيظل قداش عندي sin
θ على 2 على cos θ على 2 قداش هذا بيعطيني tan θ على
2 اذا و هو المطلوب خلصنا ايوة
مش مشكلة عادي جدا حول زي ما بدك بالطريقة اللتي
تراها مناسبة لحد هنا stop انتهى ال section اليكم
أرقام المسائل المطلوبة من هذا ال section هذا
section واحد تلاتة مش هيكيبقى هنا ما اقولكوا
هاكتبالكوا فوق مش هي الكل يشوفها يبقى exercises
واحد تلاتة المسائل التالية من واحد لخمسة وعشرين
الاد واحد لخمسة وعشرين الادومن واحدة و تلاتين
لتلاتة و خمسين تلاتة و خمسين كمان القدر ومن خمسة و
خمسين لتسعة و خمسين وزياد عليهم سؤال اربعة و ستين
خاص مش اكتر و بدنا نحط عليهم كمان شغلة بسيطة اللي
هو شبطر اتنين اللي هو limits and continuity
و section اتنين واحد اللي بيقول ال rateRates of
exchange and tangents
to
curves
وأول نقطة من هذا ال section اللي هو ال rates of
exchange definition
the
average speed
سرعة المتوسطة تساويالـ distance traveled على الـ
time interval كمان definition تاني الـ
average rate
of changeمعدل التغير او متوسط معدل التغير of y
تساوي f of x with respect
to x بالنسبة للمتغير x over the interval
الان بدنا ننتقل لشبتر اتنين وهو limits and
continuity يبقى النهايات والاتصالاللي هنمهد هذا ال
chapter بأول section section where rates of it
change معدلات التغير and tangents to the curves
والممثات للمنحنيات يبقى هذا ال section اللي هنكمله
خلال الربع ساعة القادمة هذه في نقطتين النقطة
الأولى اللي هومعدل التغير والنقطة التانية المماس
للمنحنة نبدأ أولا بال rates of change اللي هو
النقطة الأولى لمعدلات التغيرالتعريف الأول the
average speed يعني السرعة المتوسطة شباب Velosti
معناته السرعة مقدارا واتجاها، speed مقدار السرعة
بس، دي بقى احنا بنتكلم عن مقدار السرعة دون الاتجاه
الـ Average Speed السرعة المتوسطة يساوي الـ
Distance Travel، Travel مسافر أو يسافر، يبقى
المسافة اللي سافرناها على الـ Time Interval، على
الفترة الزمنيةوانت في الصف السابع اعتقد بيقولوا
الصرعة المتوسطة تساوي المسافة على الزمن تمام؟ هي
هذه المسافة على الزمن يعني المسافة المقطوعة على
الزمن المستغرق في قطع هذه المسافة طبعا هنا الحركة
without acceleration بدون عجلة هي الصرعة المتوسطة
تمام؟ طيب تلزم انسى الموضوعالمعادل التغير هو
متوسط معدل التغير
The average rate of exchange متوسط معدل التغير
الدالة Y تساوي F of X with respect to X يعني
بالنسبة للمتغير X over the interval على الفترة X1
و X2 is Delta Y على Delta X وين Delta Y و Delta X
هذه خلي بالك معايا كويسة الآن انا لو جيت للمحاورة
و روحت قلت هذا محمور Xوهذا محور Y وهذا نقطة الاصل
اللي هي Zero رسمنا منحنى لدالة F of X فكانت بقدر
الله الدالة بالشكل هذا هيك يبقى هذا منحنى الدالة
هيك Y تساوي F of Xاخدنا نقطتين على المنحنة مثل
النقطة هذه و مثل النقطة اللى عندنا هذه أو النقطة
هذه و النقطة قريبة شوية النقطة هذههذه النقطة جت
نازل رأسك اللي جت أحداثي هو X1 ومن هنا جت نازل
عمود تاني اللي جت هذا من X2 هذه النقطة سميتها P
اللي أحداثي تبع X1 وF من X1 او X1 وY1 النقطة هذه
سميتها QX2و F of X2 بالشكل اللي عندنا هذا بدي اشوف
جداش مقدار التغير في X و جداش مقدار التغير في Y
باجي بقوله البعد هذا هو عبارة عن مين؟ F of X1 ايه
الاحداث؟ رقم Y بالنسبة لمن؟ للنقطة هذهبالدالي
للنقطة التانية لأن هذه الخطة المنقطة اللي احنا
رسمينه كله هو F of X اتنين يبقى كل هذا F of X
اتنين لو جيت من هنا رسمت خط أوفقي موازي لمحور X
إذا هذا يعتبر الفرق ما بين الاتنين اللي هو 100ف
اكس اتنين بدي اشيل منه ف اكس واحد يبقى هذه ف اكس
اتنين ناقص ف اكس واحد هذه اللي بدي اسميها Delta Y
الفرق في ال Y يبقى Delta Y هذه ف اكس اتنين ناقص ف
اكس واحد علىهذه كلها المسافة من هنا إلى هنا هي X2
هذه لحالها كلها المسافة X1 يبقى الفرق بينهم X2-X1
يعطينا المسافة X2-X1 المسافة من هنا إلى هنا يبقى
على X2-X1
هذا الكلام يساوي، بدي أحاول أصيغ هذا الكلام بصياغة
أخرى، لو جيت المسافة هذه من هنا لهنا سميتها H،
يبقى هذه هي Hيبقى x2 ناقص x1 هي h إذا صارت x2 هي
عبارة عن x1 زائد مين؟ زائد h إذا صارت x2 هذه x1
زائد h إذا هذه ممكن أصيرها صياغة أخرى و أقول f of
x1 زائد h ناقص f of x1 على مين؟على x واحد زائد h
ناقص x واحد يبقى بضال جداش h وبشرط ان ال h هذه
does not equal to zero لان لو كانت هذه ب zero بصير
ماعنديش هنا المتوسط معدل التغير يبجي هذا اللي
كتبته هو متوسط معدل التغير خليني أسألكوا السؤال
التالي هذه كلها اللي هي delta yو هذه كلها اللي هي
مين Delta X طب لما نقسم هذا على هذا أليس هو ميل
الخط المستقيم اللي عندنا هذا هيك صح ولا لأ يبقى
هذا ميل الخط المستقيم اللي عندنا هذا اللي بسميه
second قاطع وليس مماس قاطع للمرحلة قطع في النقطتين
P و لQيبقى هذا الكلام بالضبط بيساوي ال slope of
the second اللي هو PQ يبقى هذا ميل القطع او ميل
الخط المستقيم اللي هو main PQ طيب كويس احنا ان شاء
الله بعد شهر و شويةو تسير فيها النعيد الأضحى
والناس بيروح يزوروا بعض و يسلموا على بعض حبت
النقطة Q هتروح تسلم على مين؟ على النقطة بيبدأ تمشي
في الطريق المرسوم إليها وهي المنحنة Y تساوي F of X
أجتت كاسدر هك على المنحنة كل ما تقرب Q من PالـH
هذه بتكبر ولا بتصغر؟ يعني لما وصلت هنا صارت الـH
أصغر فلما نيكيوتة كانت تقترب من P يبقى الـH وان
بدها تروحبتروح لـ 0 يبقى في هذه الحالة القاطع إيش
بده يصبح؟ مماس، على طول القاطع يبقى بده يصبح أيش؟
مماس، يبقى إذا اقتربت النقطة Q من النقطة B فإن ال
second يصبح tangent واحنا الموضوع اللي كاتبينه
tangent to the curve يبقى القاطع للمنحنة بده يصير
مين؟ بده يصير مماس للمنحنةبدنا نكتب هالكلمة هذه
اللي حكيناها بالعربي فبروح بقول ما يأتي if
the point if the point EQ approaches
إذا اقتربت أو approach إذا اقتربت the point P
إذا الـ Q اقتربت من P along the
curve على المنحنىY تساوي F of X then the
second PQ second PQ becomes a tangent بده يصبح
مماس to the curve
يصبح مماس للمنحنة at the point P نصيح مماس لمنحنة
عند P هذا يعني ان ال slope of the curve
طيب فاجب اقول ما ياتي لو النقطة QApproach the
point P إذا النقطة Q اقتربت من النقطة P يعني صارت
المسافة بينهم ضئيلة جداً بس بتقترب مش عشوائيا
ماشية على المنحنى Y تساوي F of X نازل على المنحنى
على Pاذا اقتربت منها along the curve Y يستوي فى
VIX then the second PQ يبقى القاطع هذا بيصبح ايه؟
بيصبح مماس للمنحنة بهذا الشكل يبقى
هذا tangent
بنصبح مماس للمنحنة عند نقطة P عند نقطة P وفي هذه
الحالة ميل المنحنة عند نقطة P يسوى ميل المماس
للمنحنة عند نقطة P يبقى المنحنة ميله عند نقطة P هو
ميل المماس للمنحنة عند نفس النقطة تماماطب حد بيعرف
يقولك كيف بدنا نوش ده؟لكل بساطة طبعا هناخد ال
section الجاي بروح باخد ال limit لهذا المقدار لما
ال H بده يروح ل zero وهو اللي بسميه إيش؟ معدل
التغير يبقى معدل التغير هو ال limit لما ال H بده
يروح ل zero يعني لو ال H راحت ل zero بحصل على مين؟
على معدل التغير أول مثال بسيط جدا على هذا الموضوع
example
بقول find the average rate of exchange of the
function f of thetaيساوي الجذر التربيعي ل 4 theta
plus one over the interval على الفترة من عند ال
zero لغاية اتنين تحكي
اشيله خلي الجلم يحكي مدوش يسمع حكي
اللي هبقى بيقوللي هاتلي جديش متوسط معدلية تغير
للدالة هذه على الفترة هذهيبقى احنا نذهب نحسب له
قداش ال F of Zero يبقى الجدر التربية ل Zero زائد
واحد يساوي واحد بدنا كمان ال F of اتنين اول الفترة
و اخر يعني F of X اتنين و F of X واحديبقى F of
اتنين يساوي الجذر التربيه اللى اربعة فى اتنين زائد
واحد يعني الجذر التسع اللى هو بجداش تلاتة الان ال
average rate of exchange اللى هو دلتا F على دلتا
ثيتا Delta Y على Delta X هنا دلتا F على دلتا ثيتا
بده يساوي مين F of اتنينناقص f of zero على الاتنين
ناقص ال zero كتاب من التعريف يبقى هذا الكلام بده
يساوي تلاتة ناقص واحد على اتنين ويساوي كده واحد
صحيح مثال تاني كمان واخير بيقول ما يأتي example
two
consider the curve اعتبر
المنحنة y تساوي x تربية ناقص أربعة x المطلوب الأول
find the slope of
The curve للمنحنة at the point عند النقطة P1 وسلب
تلتة نمر بـ Find an equation بدنا معادلة of
the tangent line خط التماس at the point P1
سؤال مرة تانية اعتبر المنحنة f of x او y يساوي x
تربية ناقص 4x مطلوب ان يقول لي هاتي ال slope
للمنحنة عند النقطة وهاتي معادلة المماس للمنحنة عند
نفس النقطةيبقى انا اقول ال slope لل curve بتساوي
ال slope تبع من؟ تبع ال tangent بدنا نجيب لل slope
تبع من؟ تبع ال curve يبقى بدنا نجيب للمثل اللي
عندنا و نشوف كيف بدنا نجيب ال slope ل ال curve
اللي عندنا يبقى كتبنا قبل اقل اللي هو delta Y على
delta X يساوي F of كداش X واحد عندىيعني f of x
واحد زائد ال h ناقص f of x واحد على h، مظبوط؟ يبجى
هذا الكلام بده يساوي، بده اجي على الدلة، بده أشيل
كل x و أحط مكانها x واحد زائد ال h ال x واحد عندى
بجداش اللي هو واحد، يبجى بده أشيلبدي أشيل واحد
زائد اتش بدي أشيل كل X و أحط مكانها واحد زائد اتش
لكل تربية ناقص أربعة في واحد زائد اتش هذا لسه كل
ال term الأول ناقص F of X اللي عندنا هذا يبقى ناقص
F of واحد F of واحد اللي هي مين؟واحد تربية ناقص
أربعة في واحد كل هذا الكلام على كده؟ على H تمام
يبقى هذا الكلام بده يساوي واحد زائد اتنين H زائد
ال H تربية ناقص أربعة ناقص أربعة H طلعلي هذه سلب
أربعة وزائد واحد سلب تلاتة و عندك سلب يبقى موجة
بتلاتةكله على اتش، تلاتة بالموجب و واحد بالموجب
أربعة و سالب أربعة مع السلامة، ضال عندي هنا اتش
تربيع، عندك اتنين اتش و ناقص اربعة اتش بناقص اتنين
اتش، كله على اتشلو أخدنا اتش عامل مشترك بيبقى
الاتش ناقص اتنين على اتش يسوى الاتش ناقص اتنين هذا
مين ال average rate of exchange هذا بده يسوى ال
average rate of exchangeيعني مين؟ the slope of the
second مظبوط احنا قولنا لما ال Q تيجي نازلة رايحة
على P إذا H بده تروح لوين؟ ل Zero إذا H راحت ل
Zero بيصبح ال second معله tangent يبقى بصير مماس و
بصير ميل المماس هو ميل مين؟ ميل المنحنة يبقى بيجي
بيقوله هنا Fأتش راحت لـ Zeroget the slope of the
curve اللي هو المطلوب الأول من هنا نمرا a مطلوب
الأول تبع المثلة يبقى لما ال H بده تروح لل zero we
get the slope of the curve اللي هو بده ساوي قداش
سالب اتنين سالب اتنين بالضبط هو الإسلوبthe tangent
at main at P واحد مسالم تلاتة صحيح ولا لا؟ قال له
ال اسلوب of the curve هو الاسلوب of main of the
tangent قال له المطلوب التاني عندك بدي معادلة
المماس المماس خط مستقيمصحيح ولا لا؟ يبقى بدنا نجيب
معادلة الخط المستقيم بدلالة ميلو ونقطة واقعة عليه
صحيح ولا لا؟ يبقى باجي بقوله هنا the question of
the tangent
Y يساوي M في X ناقص X node زائد Y node مش هذه
معادلة الخط المستقيم يبقى بدنا نعوض فيها ونجيب
معادلة ال tangent
بعدين بقوله يبقى Y يساوي الميل سالب اتنين X ناقص X
naught كداش ال X naught اللي هو واحد زياد Y naught
يبقى ناقص تلاتة يبقى بصير Y تساوي ناقص اتنين X
زياد اتنين ناقص تلاتة يبقى Y ناقص اتنين X ناقص
واحد هذه ال equation of the tangentالمقلوبة بناء
عليه وصلنا ل exercises اتنين واحد المسائل التالية
من واحد لغاية اربعة عشر القدر اعطيكوا العافية