1
00:00:00,000 --> 00:00:01,700
سلام عليكم ورحمة الله الرحمن الرحيم اليوم ان شاء

2
00:00:01,700 --> 00:00:04,520
الله راح نكمل في chapter عشرة اللي هو ال infinite

3
00:00:04,520 --> 00:00:09,060
sequence and series حكينا بالأول section عشرة واحد

4
00:00:09,060 --> 00:00:12,650
عن ال infinite sequence عرفنا إيش هي ال sequenceهو

5
00:00:12,650 --> 00:00:17,630
عرفنا أمتى بتكون الـ sequence converge and diverge

6
00:00:17,630 --> 00:00:22,550
الماء الشبطر راح نشوف اللي هو الـ series طبعا الـ

7
00:00:22,550 --> 00:00:25,390
infinite series راح نتعرف في section عشرة أثنين

8
00:00:25,390 --> 00:00:28,850
على ال infinite series إيش هي و تعريفها و كيف ممكن

9
00:00:28,850 --> 00:00:31,410
نشوف بعض أنواع من ال series ده هي converge أو

10
00:00:31,410 --> 00:00:37,550
divergeأولا ماهي ال infinite series المتسلسلة

11
00:00:37,550 --> 00:00:43,110
اللانهائية المتسلسلة اللانهائية definition given a

12
00:00:43,110 --> 00:00:46,890
sequence of numbers a n لو أخدنا sequence من

13
00:00:46,890 --> 00:00:51,130
الأعداد الحقيقية a n an expression of the form a1

14
00:00:51,130 --> 00:00:55,830
زائد a2 زائد a3 زائد a n زائد إلى آخرى هذا المجموع

15
00:00:55,830 --> 00:00:59,470
الحدود ال sequence هدول حدود ال sequence مجموعة هم

16
00:00:59,470 --> 00:01:04,010
هي بنسميها ال infinite seriesالان طبعا هذه الان

17
00:01:04,010 --> 00:01:07,750
لما نضع هنا ان يعني نسميها انث تيرم الانث تيرم

18
00:01:07,750 --> 00:01:12,450
لهذه ال series بنعرف sequence من ال series هذه

19
00:01:12,450 --> 00:01:15,750
بنسميها sequence of partial sums ايش ال sequence

20
00:01:15,750 --> 00:01:20,450
of partial sums هي عبارة عن S1 S2 SN إلى اخرى إلى

21
00:01:20,450 --> 00:01:24,910
مال نهاية S1 هي اول حد من ال series S2 هي مجموع

22
00:01:24,910 --> 00:01:29,850
اول حدين S3 هي مجموع اول تلت حدود يعني SM هي مجموع

23
00:01:29,850 --> 00:01:34,480
M من الحدوداولا اولا اولا اولا اولا اولا اولا اولا

24
00:01:34,480 --> 00:01:35,380
اولا اولا اولا اولا اولا اولا اولا اولا اولا اولا

25
00:01:35,380 --> 00:01:39,980
اولا اولا اولا اولا اولا اولا اولا اولا اولا اولا

26
00:01:39,980 --> 00:01:45,420
اولا اولا اولا اولا

27
00:01:53,160 --> 00:01:56,300
يعني أول أشهر من عمود K2 1 تطلع A1 ونضع A

28
00:01:56,300 --> 00:02:00,700
summation يعني بين الحدود فيه زائد K2 2 من عمود

29
00:02:00,700 --> 00:02:05,800
هنا K2 A K2 2 تطلع A2 و هكذا A1 زائد A2 زائد إلى

30
00:02:05,800 --> 00:02:09,740
آخر حد اللي هو ال N طبعا هذه ال sequence ماشية بعد

31
00:02:09,740 --> 00:02:19,780
ذلك إلى مالة نهاية من ال sequences فبالتالي

32
00:02:19,780 --> 00:02:22,680
ال sequence اللي بنسميه sequence of partial sums

33
00:02:22,960 --> 00:02:28,880
الـ SN هذه هي الـ N partial sum يعني الحد اللوني

34
00:02:28,880 --> 00:02:33,080
للـ partial sum هذه لأن لو أخدنا sequence of

35
00:02:33,080 --> 00:02:38,300
partial sum الـ SN هذه وكانت هذه ال limit لها

36
00:02:38,300 --> 00:02:41,360
يساوي L فبنقول في هذه الحالة أن ال series

37
00:02:41,360 --> 00:02:45,420
converges وكمان its sum is L يعني مجموعة هذه ال

38
00:02:45,420 --> 00:02:49,520
series يساوي L الأعلى هي ال SN لما N limit ل N ل

39
00:02:49,520 --> 00:02:53,850
SN لما N تقول إلى ما لنهايةيعني هنا A ماله نهاية

40
00:02:53,850 --> 00:02:57,310
يعني وصلنا مش لعند الحد النوني لأ هذه رايحة الى A

41
00:02:57,310 --> 00:03:01,010
ماله نهاية هي نفس ال series هذه هي نفس ال K بقى

42
00:03:01,010 --> 00:03:04,150
limit لل SN لما أنت قولها ماله نهاية تطلع نفس ال

43
00:03:04,150 --> 00:03:07,630
series هذه إذا كان المجموعها ده له مجموع يساوي L

44
00:03:07,630 --> 00:03:11,290
يعني limit لل SN يساوي L فبكون ال series هذه

45
00:03:11,290 --> 00:03:18,850
converge ومجموعها يساوي L يعني بتعبير آخرA1 زي A2

46
00:03:18,850 --> 00:03:26,030
زي A1 زي A2 زي A1 زي A2 زي A1 زي A1

47
00:03:26,030 --> 00:03:28,470
زي A1 زي A1 زي A1 زي A1 زي A1 زي A1 زي A1 زي A1 زي

48
00:03:28,470 --> 00:03:28,770
A1 زي A1 زي A1 زي A1 زي A1 زي A1 زي A1 زي A1 زي A1

49
00:03:28,770 --> 00:03:28,770
زي A1 زي A1 زي A1 زي A1 زي A1 زي A1 زي A1 زي A1 زي

50
00:03:28,770 --> 00:03:28,770
A1 زي A1 زي A1 زي A1 زي A1 زي A1 زي A1 زي A1 زي A1

51
00:03:28,770 --> 00:03:29,470
زي A1 زي A1 زي A1 زي A1 زي A1 زي A1 زي A1 زي A1 زي

52
00:03:29,470 --> 00:03:34,650
A1 زي A1

53
00:03:34,650 --> 00:03:45,110
زي A1 زي A1 زي A1 زي A1 زيالـ limit للاسئلة فهذه

54
00:03:45,110 --> 00:03:49,970
طريقة من طرق إيجاد ال convergence أو ال divergence

55
00:03:49,970 --> 00:03:55,250
لل series ونشوف كيف نستخدمها طبعا تستخدم في حالات

56
00:03:55,250 --> 00:04:00,010
خاصة مش دايما لإن الطريقة مش بسيطة example show

57
00:04:00,010 --> 00:04:02,690
whether the series converge or diverge summation

58
00:04:02,690 --> 00:04:06,030
ماقص واحد أسئلة زائد واحد من n تسوى واحد إلى ما

59
00:04:06,030 --> 00:04:10,590
لنهاية لو جينا لل series هذه و استخدمنا الطريقة ال

60
00:04:10,590 --> 00:04:11,890
partial sum في إيجاد

61
00:04:16,390 --> 00:04:19,930
نخد S1 هي عبارة عن الحد الأول واحد طبعاً لما N

62
00:04:19,930 --> 00:04:23,990
ساوي واحد بس نقف واحد تربيه S2 اللي هو الحد الأول

63
00:04:23,990 --> 00:04:27,610
زي الحد التاني مجموعهم سفر S3 الحد الأول زي الحد

64
00:04:27,610 --> 00:04:31,650
التاني زي التارد مجموعهم واحد S4 المجموع أول أربع

65
00:04:31,650 --> 00:04:36,490
حدود مجموعهم يساوي سفرطبعا ممكن نكمل كمان لكن لو

66
00:04:36,490 --> 00:04:41,110
هنا اتطلعنا S1 و S3 المجموع واحد S2 و S4 المجموع

67
00:04:41,110 --> 00:04:44,510
سفر يعني ال S in إذا كانت ال in تبعتنا even

68
00:04:44,510 --> 00:04:48,730
مجموعها سفر ال S in تساوي سفر إذا كانت ال in odd ف

69
00:04:48,730 --> 00:04:52,770
S in تساوي واحد طيب إيش limit ال S in هذه لما أنت

70
00:04:52,770 --> 00:04:56,010
قول إلى مالة نهاية طبعا في المالة نهاية ال in مالة

71
00:04:56,010 --> 00:04:58,710
نهاية هل هي even ولا odd مش معروفة even ولا odd

72
00:04:58,710 --> 00:05:01,610
وبالتالي ال S in ال limit لها في المالة نهاية

73
00:05:01,610 --> 00:05:05,150
يابتكون واحد يابتكونيعني ال limit في هذه الحالة

74
00:05:05,150 --> 00:05:07,950
does not exist لما دلوقتي مدام ال limit does not

75
00:05:07,950 --> 00:05:11,630
exist يبقى ال series دلوقتي دي نقول عنها die

76
00:05:11,630 --> 00:05:12,130
various

77
00:05:15,510 --> 00:05:19,110
سؤال آخر summation ل1 على 2 الأسئلة مانقس واحد من

78
00:05:19,110 --> 00:05:22,590
N تساوي واحد إلى ما لنهاية برضه نفس الشيء بإننا

79
00:05:22,590 --> 00:05:26,330
نستخدم ال sequence of partial sum في إيجاد ال

80
00:05:26,330 --> 00:05:29,810
series converge او diverge وذا كانت conversion وجد

81
00:05:29,810 --> 00:05:33,890
مجموعة S1 طبعا اللي هو أول حد لما معوض ب N تساوي

82
00:05:33,890 --> 00:05:37,250
واحد اللي هي واحدS2 هي عبارة عن مجموع الحد الأول

83
00:05:37,250 --> 00:05:41,850
زائد الحد الثاني 1 زائد نص لي 3 على 2 S3 مجموعة

84
00:05:41,850 --> 00:05:46,290
أول تلت حدود تطلع 7 على 4 S4 مجموعة أول أربع حدود

85
00:05:46,290 --> 00:05:50,510
15 على 8 طب لو من هنا بدنا نوجد صيغة لـ Sn طبعتنا

86
00:05:50,510 --> 00:05:54,130
الـ Sn الحد النوني كيف بدنا نوجدها فعلا نشوف مع

87
00:05:54,130 --> 00:06:00,410
بعض مثلا S2 بنلاحظ على أن المقام هو آخر مقام وجد

88
00:06:00,680 --> 00:06:04,940
لأن المقام هذه أربعة هي هو آخر مقام موجود آخر مقام

89
00:06:04,940 --> 00:06:07,600
موجود اتنين او تلاتة هنا ياش تمانية يبقى المقام

90
00:06:07,600 --> 00:06:11,820
اللي هنا في المجموع هو نفسه المقام لآخر حد هي أول

91
00:06:11,820 --> 00:06:16,280
شغل اتنين اربعة تمانية يعني SM المقام تبعها هو

92
00:06:16,280 --> 00:06:21,100
عبارة عن آخر مقام طبعا هذا اللي هو اتنين تكييب

93
00:06:21,100 --> 00:06:24,420
وهذه أربعةيعني أقل من الأربعة بواحد يعني N ناقص

94
00:06:24,420 --> 00:06:27,960
واحد 2 أس N ناقص واحد إذا هي المقام كتبناه ديجي

95
00:06:27,960 --> 00:06:31,520
نشوف البسط كيف تلاتة سبعة خمس عشر إشر علاقة بينهم

96
00:06:31,520 --> 00:06:35,900
وبين ال SN تبعتناها طبعا هي تلاتة على اثنين لأنها

97
00:06:35,900 --> 00:06:41,260
دي 2 أس واحد لو أخدنا اثنين لاثنين هاد اثنين تربية

98
00:06:41,260 --> 00:06:45,320
لو أخدناها اثنين تربية لاثنين اثنين تربية اثنين

99
00:06:45,320 --> 00:06:49,010
تربية أربعة ناقص واحد تلاتة هي تلاتةالان ناخد

100
00:06:49,010 --> 00:06:52,430
الاتنين هذه مش ترويه ناخدها تكييب يعني ال M هذه

101
00:06:52,430 --> 00:06:56,470
اتنين أس M ال M تبعتنا تلاتة اتنين تكييب تمانية

102
00:06:56,470 --> 00:07:00,410
ناقص واحد سبعة اتنين مش تكييب ناخدها أس أربعة

103
00:07:00,410 --> 00:07:03,910
اتنين أس أربعة ستاشرة ناقص واحد خمس تاشرة يبقى ايش

104
00:07:03,910 --> 00:07:07,710
يعملنا البسكو عبارة عن اتنين أس N و بعدين ناقص منه

105
00:07:07,710 --> 00:07:12,610
ايش واحد فهيك وجدنا صيغة لل SN صيغة لل SN بهذا

106
00:07:12,610 --> 00:07:16,720
الشكلالان لو بدنا نوجد limit لان لل SM لما انت قول

107
00:07:16,720 --> 00:07:19,980
لما لنهاية بدنا نوجد limit هذا المقدر اللى احنا

108
00:07:19,980 --> 00:07:23,160
وجدناه طبعا لو اجينا وزعنا ال bus على المقام هذا

109
00:07:23,160 --> 00:07:25,880
على هذا بطلع اتنين وبعدين ناقص واحد على اتنين أسن

110
00:07:25,880 --> 00:07:29,200
ناقص واحد ال limit لهذا المقدر لما انت قول لما

111
00:07:29,200 --> 00:07:32,600
لنهاية بيصير واحد على ما لنهاية سفر يعني بيطلع ال

112
00:07:32,600 --> 00:07:36,880
limit هنا ايش اتنين اذا limit موجودة معنادلك ان ال

113
00:07:36,880 --> 00:07:40,800
series تبع في convergeوكمان المجموع هذه ال series

114
00:07:40,800 --> 00:07:44,920
تبعتنا يساوي اتنى يبقى مجموع هذا المقدار كله يساوي

115
00:07:44,920 --> 00:07:50,740
اتنى الآن بدنا نشوف بعض أنواع من ال series اللي

116
00:07:50,740 --> 00:07:54,560
بدنا نستخدم لها طريقة ال SM في إيجاد مجموعة أو

117
00:07:54,560 --> 00:07:58,040
إيجادها اللي هي converge أو diverge من أنواع هذه

118
00:07:58,040 --> 00:08:00,900
ال series اللي هو ال geometric series ال geometric

119
00:08:00,900 --> 00:08:05,510
series اللي هي المتسلسلة الهندسيةهي عبارة عن

120
00:08:05,510 --> 00:08:10,070
series of the form A ذأد AR ذأد AR تربيع ذأد AR

121
00:08:10,070 --> 00:08:13,490
أسن ناقص واحد ذأد إلى مال نهاية يعني ممكن نكتبها

122
00:08:13,490 --> 00:08:17,610
بشكل summation أو stigma notation اللي هي ال

123
00:08:17,610 --> 00:08:21,350
summation من N تساوي واحد للمال نهاية AR أسن ناقص

124
00:08:21,350 --> 00:08:24,790
واحد طبعا أول حد تهد لما N تساوي واحد واحد ناقص

125
00:08:24,790 --> 00:08:29,190
واحد سفر R أسفر واحد يعني A يبقى أول حد تبع نقاش A

126
00:08:29,190 --> 00:08:34,750
طبعا ال A لحظة مكررة في كلالحدود لو أخدنا A عامل

127
00:08:34,750 --> 00:08:37,910
مشترك يعني السيرة السابقة هتبدأ من واحد بعدين R

128
00:08:37,910 --> 00:08:41,790
بعدين R تربيع وR تكييب إلى آخرين يعني R كل مرة

129
00:08:41,790 --> 00:08:45,610
بيزيد الأسئلة واحد لكن ال R هنا اللي هو الأساس

130
00:08:45,610 --> 00:08:50,230
ثابت R R R و ال R هذه عدد حقيقي طبعا هي و ال A و

131
00:08:50,230 --> 00:08:52,850
ال A كمان إنها لا تساوي سفر لإن لو سافت السيرة

132
00:08:52,850 --> 00:08:58,050
السابقة تسفرالان في ال series هذه ال geometric

133
00:08:58,050 --> 00:09:01,030
series هذي بيسميها ال geometric series بتكون هذي

134
00:09:01,030 --> 00:09:06,090
ال series ممكن نكتبها بشكل آخر نبدأ لو بدأناها من

135
00:09:06,090 --> 00:09:11,410
N تساوي سفر من N تساوي سفر بيصير AR أقص N هذي مش N

136
00:09:11,410 --> 00:09:14,630
ماقص واحد بتصير N لإنه لما N تساوي سفر بتصير هذي R

137
00:09:14,630 --> 00:09:17,970
أقص سفر واحد لما N تساوي واحد بتصير R أقص سفر اللي

138
00:09:17,970 --> 00:09:21,830
هي واحديبقى ممكن نكتبها بشكلين إما نبدأها من N

139
00:09:21,830 --> 00:09:25,510
تساوي واحد أو نبدأها من N تساوي سفر بتكون هذه R أس

140
00:09:25,510 --> 00:09:32,310
N طبعا ال A تابعالـ R هذه ممكن تكون أي عدد ممكن

141
00:09:32,310 --> 00:09:36,410
يكون موجب أو ممكن يكون سالب يعني أمثل على ذلك على

142
00:09:36,410 --> 00:09:38,610
الـ Geometric Series اللي هي زي هذه الـ Geometric

143
00:09:38,610 --> 00:09:42,350
Series واحد زائد نص زائد ربع زائد طبعا الربع هي

144
00:09:42,350 --> 00:09:46,490
اثنين تربيع و هكذا يعني واحد الحد اللوني تبعها

145
00:09:46,490 --> 00:09:50,970
اللي هو نص أثنين ناقص واحدطبعا في هذه ال series ال

146
00:09:50,970 --> 00:09:55,390
a تساوي واحد و ال r تساوي نصف ممكن تكون برضه

147
00:09:55,390 --> 00:09:58,790
negative مثال على ذلك ال series هذه واحد ماقص تلت

148
00:09:58,790 --> 00:10:02,810
زائد تترع ماقص زائد الاخرين لحد اللون يلها ماقص

149
00:10:02,810 --> 00:10:07,050
تلت قس ان ماقص واحد طبعا هذه كمان ال a تساوي واحد

150
00:10:07,050 --> 00:10:12,770
و ال r تساوي سالب تلتهذه ايش امثلة على الـ

151
00:10:12,770 --> 00:10:15,230
Geometric Series طب تعالوا مع بعضنا نشوف الـ

152
00:10:15,230 --> 00:10:17,970
Geometric Series تبعاتنا هذه امتى بتكون converge و

153
00:10:17,970 --> 00:10:22,130
امتى بتكون diverge راح ناخد حالات لل R إذا كانت R

154
00:10:22,130 --> 00:10:25,950
تساوي واحد و R تساوي سالب واحد وإذا كانت لا تساوي

155
00:10:25,950 --> 00:10:29,930
لا واحد ولا سالب واحد إذا كانت ال R تساوي واحد ال

156
00:10:29,930 --> 00:10:34,490
inf ال inf term ال SN ال inf partial sum يساوي A

157
00:10:34,490 --> 00:10:37,550
زائد A في واحد زائد A في واحد تربيع زائد A في واحد

158
00:10:37,550 --> 00:10:41,050
واثنين نقطة واحد يعني ال A مجموعة N من المرات

159
00:10:43,940 --> 00:10:50,380
ن في a لان نوجد limit للاسم لما تقول ما لنهاية

160
00:10:53,470 --> 00:10:57,730
تعتمد الإشارة على الـ A إذا كانت موجبة أو سالبة،

161
00:10:57,730 --> 00:11:00,570
طب الآن ال limit لل أسئلة ان طلع مالا نهاية أو

162
00:11:00,570 --> 00:11:02,730
سالب مالا نهاية يعني ال limit بالظبط exist

163
00:11:02,730 --> 00:11:06,350
وبالتالي ال series في هذه الحالة die there يبقى ال

164
00:11:06,350 --> 00:11:09,810
limit ال series die there لإن ال limit لل أسئلة

165
00:11:09,810 --> 00:11:13,230
يساوي موجب أو سالب مالا نهايةطيب لو أشوف إيه ده

166
00:11:13,230 --> 00:11:16,710
كانت ال R تساوي سالب واحد، ال R تساوي سالب واحد،

167
00:11:16,710 --> 00:11:20,510
إيش ال Sn بدي تكون شكلها؟ A زائد A في ناقص واحد،

168
00:11:20,510 --> 00:11:24,130
زائد A في واحد، زائد A في ناقص واحد يعني ناقص A، و

169
00:11:24,130 --> 00:11:27,650
بعدين زائد A، و هكذا، يعني A في ناقص واحد قص N

170
00:11:27,650 --> 00:11:31,770
ناقص واحد، الآن هذا المجموع ال Sn هذا، يعني لو

171
00:11:31,770 --> 00:11:36,250
أجينا وقفنا واحد حدين، لو أخدنا حدين، مجموع حدين،

172
00:11:36,450 --> 00:11:40,230
بطلع مجموعهم سفر، اتلت حدود مجموعهم A، اربع حدود

173
00:11:40,230 --> 00:11:44,050
سفر، خمس حدود مجموعهم A، يبقى كل مرة يا بطلع

174
00:11:44,050 --> 00:11:47,490
المجموع سفر، يا بطلع المجموع A، يبقى المجموع ده يا

175
00:11:47,490 --> 00:11:50,830
بكون سفر، يا بكون A، معناه ذلك أنه limit ال SN

176
00:11:50,830 --> 00:11:56,730
تبعتنا اما سفر او ايه، اما سفر ايه او سفر، فالمعنى

177
00:11:56,730 --> 00:11:59,590
ذلك ان ال limit لل SN does not exist لأنها بتاخد

178
00:11:59,590 --> 00:12:04,710
قيمتين، سفر و بتاخد قيمة ال Aوبالتالي ال limit

179
00:12:04,710 --> 00:12:07,650
does not exist إذا ال series تبعنا برضه diverse

180
00:12:07,650 --> 00:12:11,270
يبقى في حالة ال 1 R تساوي واحد وR تساوي سالب واحد

181
00:12:11,270 --> 00:12:15,970
ال series diverse طيب نشوف في حالة ال R لا تساوي

182
00:12:15,970 --> 00:12:19,170
واحد ولا سالب واحد يعني absolute ال R لا يساوي

183
00:12:19,170 --> 00:12:23,850
واحد القبل نشوف طريقة عشان نوجد صيغة لل SM ال SM

184
00:12:23,850 --> 00:12:27,050
طبعا هي كيف شكلها ال SM ال E A زائد E R زائد E R

185
00:12:27,050 --> 00:12:30,770
تربية زائد لحد آخر الحد النوني اللي هو E R أسئلة

186
00:12:30,770 --> 00:12:34,450
ناقص واحدالان عشان نشوف صيغة لـ Sn رح نستخدم

187
00:12:34,450 --> 00:12:37,930
الطريقة الجابرية التالية ان انا Sn هادي اروح

188
00:12:37,930 --> 00:12:42,210
اضربها في R R Sn يساوي مضرب هدي في R تصير Ar هدي

189
00:12:42,210 --> 00:12:47,210
تصير R تربيع بعدين R تكيب بعدين هدي تصير R أس N

190
00:12:47,210 --> 00:12:51,190
طبعا الحد اللي قبله رح يكون R أس N ماخص واحدالانها

191
00:12:51,190 --> 00:12:57,010
دا أول سطر والتاني بدنا نطرحهم من بعض Sn-rsn يساوي

192
00:12:57,010 --> 00:13:02,350
a بظلها a ar-ar بروح مع بعض ar تربيه ماقص ar تربيه

193
00:13:02,350 --> 00:13:03,010
بروح مع بعض

194
00:13:08,820 --> 00:13:12,700
يبقى هنا هذا يساوي هذا الان من هنا بناخد Sn عامل

195
00:13:12,700 --> 00:13:16,180
مشترك بضال واحد ناقص R ومن هذا الطرف بناخد ال A

196
00:13:16,180 --> 00:13:20,580
عامل مشترك بضال واحد ناقص R أس N إذا من هنا Sn

197
00:13:20,580 --> 00:13:24,640
تساوي A في واحد ناقص R أس N على واحد ناقص R هيك

198
00:13:24,640 --> 00:13:28,540
بهذه الطريقة العملية الجبرية هذه روحنا وجدنا اللي

199
00:13:28,540 --> 00:13:33,710
هي صيغة لل Sn اللي هي ال partial sumالـ N partial

200
00:13:33,710 --> 00:13:37,870
sum طبعا هذه الـ S N موجودة إذا كانت الـ R لا

201
00:13:37,870 --> 00:13:42,430
تساوي 1 لأن المقام هنا يساوي سفر وهي أصلا ال

202
00:13:42,430 --> 00:13:46,250
absolute R لا تساوي 1 طيب الان بدنا نوجد limit ال

203
00:13:46,250 --> 00:13:49,130
S N لما N تقول إلى مانه نهاية طبعا ال N يعني هذا

204
00:13:49,130 --> 00:13:52,170
مافيش غير هذه اللي فيها ال N لما N تقول إلى مانه

205
00:13:52,170 --> 00:13:55,190
نهاية R أُس N يعتمد عليها والباقي كلهم أعداد

206
00:13:55,190 --> 00:13:58,690
حقيقية مش مشكلة يبقى بدنا نوجد فقط limit للـ R أُس

207
00:13:58,690 --> 00:14:03,230
Nالأن R أُس N يعني R أُس مالة نهاية، طبعا هذا R

208
00:14:03,230 --> 00:14:06,670
أُس مالة نهاية، يعني حسب قيمة الـR، إذا كانت الـR

209
00:14:06,670 --> 00:14:11,330
كسر بين الـ-1 وال-1، بتروح هذه للـ0، إذا كانت الـR

210
00:14:11,330 --> 00:14:16,630
بين الـ أكبر من الواحد أو أقل من السالب واحد،

211
00:14:16,630 --> 00:14:19,960
بتكون هذه بتروح لويا للمالة نهايةطبعا هذا الكلام

212
00:14:19,960 --> 00:14:22,600
أخدناه في section عشرة واحد و أخدناه قبل هيك لما

213
00:14:22,600 --> 00:14:28,160
قلنا مثلا نص أثمان لنهاية بطلع سفر لكن اثنين أثمان

214
00:14:28,160 --> 00:14:31,760
لنهاية بطلع مانة نهاية يبقى حسب قيمة ال R إذا كانت

215
00:14:31,760 --> 00:14:34,740
ال absolute R أقل من واحد يعني ال R تبعتي من ناقص

216
00:14:34,740 --> 00:14:39,480
واحد واحد ال R أسن تقول السفر و إذا كانت ال

217
00:14:39,480 --> 00:14:43,160
absolute R أكبر من واحد يعني ال R أكبر من واحد و

218
00:14:43,160 --> 00:14:47,310
أقل من السالب واحد يكون ال R أسن تقول الماله نهاية

219
00:14:47,310 --> 00:14:51,150
في هذه الحالة لما نقرع S N تقول إلى صفر سيصبح S N

220
00:14:51,150 --> 00:14:55,710
يساوي A على 1 ناقص R او limit ال S N A على 1 ناقص

221
00:14:55,710 --> 00:14:58,590
R وهي يعني معناه دارس بتكون ال series تبعتنا

222
00:14:58,590 --> 00:15:02,850
converge و converge كمان مجموعة يساوي A على 1 ناقص

223
00:15:02,850 --> 00:15:06,990
R يبقى S N تقول إلى A على 1 ناقص R وهو مجموعة ال

224
00:15:06,990 --> 00:15:09,910
geometric series في هذه الحالة لكن في حالة

225
00:15:09,910 --> 00:15:14,920
absolute R أكبر من 1 بتكون ال series عنا إيهيعني

226
00:15:14,920 --> 00:15:18,940
ملخص الكلام في حالة ال geometric series إذا كانت

227
00:15:18,940 --> 00:15:23,400
ال absolute R أقل من 1 بتكون ال geometric series

228
00:15:23,400 --> 00:15:27,460
هذي ال geometric series هذي بتكون convergeمجموعة A

229
00:15:27,460 --> 00:15:31,880
على 1 ماقص R يعني مجموعة يعني بمعنى آخر الـ

230
00:15:31,880 --> 00:15:34,260
geometric series سواء كانت هذه الصيغة أو هذه

231
00:15:34,260 --> 00:15:38,660
بدناها من السفر أو بدناها من الواحد مجموعة يسوي A

232
00:15:38,660 --> 00:15:42,920
على 1 ماقص R إذا كان absolute R أقل من 1 لكن إذا

233
00:15:42,920 --> 00:15:46,360
كان absolute R أكبر أو يسوى 1 يكون ال series die

234
00:15:47,700 --> 00:15:53,180
ناخد أمثلة على الـ Geometric Series ال ملاحظة

235
00:15:53,180 --> 00:15:57,040
الموجودة في المربع هذا نكتب الـ Geometric Series

236
00:15:57,040 --> 00:16:03,530
with A تساوي 9R تساوي 3عن طريق الوصول للصم يشبه A

237
00:16:03,530 --> 00:16:08,290
R أُس N A تسعة في R تلف أس N ناقص واحد لو حطينا

238
00:16:08,290 --> 00:16:11,330
هنا أس N ناقص واحد لازم نبدأ ال N من واحد لو حطينا

239
00:16:11,330 --> 00:16:15,570
هذه أس N لازم نبدأ ال N من السفر الأن هذا المقلوب

240
00:16:15,570 --> 00:16:18,870
بس ممكن إزيادة أنه كتبنا كمان مجموعة هذه ال series

241
00:16:18,870 --> 00:16:22,730
طبعا مجموعة ال series اللي هي A A إيش هي A من هنا

242
00:16:22,730 --> 00:16:26,670
كتكم ممكن نطلعها لما نعوض ب N تساوي واحد لما N

243
00:16:26,670 --> 00:16:33,230
تساوي واحد بيصير هذه R أس تفر بتروح بضل تسعةالـ A

244
00:16:33,230 --> 00:16:35,390
تساوي تسعة على واحد ناقص R

245
00:16:41,190 --> 00:16:45,130
مثال اتنين بت remind whether the series ناقص واحد

246
00:16:45,130 --> 00:16:49,470
أس إن في ستة أس إن على أربع أس إن زائد واحد

247
00:16:49,470 --> 00:16:53,050
converges or diverges وإذا كانت converges أو جديد

248
00:16:53,050 --> 00:16:56,970
مجموعة طبعا ال summation هذه بدنا نجمعها نفط ال R

249
00:16:56,970 --> 00:17:00,250
تبعتها لكل الأس إن بنفطه مع بعض يعني ناقص واحد

250
00:17:00,250 --> 00:17:04,350
والستة والاربع وبيضل أربع أس واحد لحالي ناقص ستة

251
00:17:04,350 --> 00:17:09,180
على أربع أس إن وبيضل ربعالانهي تلاتة ناقص تلاتة

252
00:17:09,180 --> 00:17:14,020
عتنين قصتين ربع سواء كانت جوا او برا عادي المهم ان

253
00:17:14,020 --> 00:17:17,880
ال R تبعتنا او ال absolute R يتساوي تلاتة عتنين

254
00:17:17,880 --> 00:17:20,180
التلاتة عتنين اكبر من واحد وبالتالي ال series

255
00:17:20,180 --> 00:17:27,360
تبعتنا دايفير مثال تلاتة بيحكي على ال repeating

256
00:17:27,360 --> 00:17:31,580
decimals يعني العدد الدوري اللي هو الكسر العشري

257
00:17:31,580 --> 00:17:41,070
هذا بكون مكررمقرر 51% 51 51 51 51 51 51 51 51 51

258
00:17:41,070 --> 00:17:45,530
51 51

259
00:17:45,530 --> 00:17:47,410
51 51 51 51 51 51 51 51 51

260
00:17:58,120 --> 00:18:01,580
الان كيف بدنا نستخدم الـ Geometric Series في تحويل

261
00:18:01,580 --> 00:18:07,460
هذا الرقم الدوري إلى كسر اعتيادي؟ الآن بدنا نستخدم

262
00:18:07,460 --> 00:18:10,320
الـ Geometric Series في ذلك الان 2 و 51 من 100

263
00:18:10,320 --> 00:18:15,160
عبارة عن 2 زي 51 على 100 لأن 51 هذا مقرر ال 51

264
00:18:15,160 --> 00:18:19,800
التانية اللي 51 عمية تربية ال 51 التالتة هي 51

265
00:18:19,800 --> 00:18:24,440
عمية تكعيب إلى اخرى إلى ملن يعنيالانهاد من 51 عمية

266
00:18:24,440 --> 00:18:28,860
الى اخرى هي جيومتريك سيريز لو كنا نحصل اش هي ال a

267
00:18:28,860 --> 00:18:32,780
هي 51 عمية لانها مقررة في كل الفدور يعني لو

268
00:18:32,780 --> 00:18:36,400
أخدناها برا عام المشترك بيظل هنا واحد زي واحد عمية

269
00:18:36,400 --> 00:18:40,020
زي واحد عمية تربيع الى اخرين الانهاد ال series هي

270
00:18:40,020 --> 00:18:43,380
عبارة عن جيومتريك سيريز ال a تساوي واحد هو اول حد

271
00:18:43,380 --> 00:18:47,560
بما انه طلعنا هذه عام المشترك مرة او بنعتبر هذه هي

272
00:18:47,560 --> 00:18:52,850
ال a عاديوالواحد عالمية هي عبارة عن ال R طبعا ال R

273
00:18:52,850 --> 00:18:54,970
واحد عامية أقل من ال واحد وبالتالي ال series

274
00:18:54,970 --> 00:18:59,330
converge نكتب المجموع هذا، ايش يساوي المجموع هذا

275
00:18:59,330 --> 00:19:03,350
اللي هو A 51 عامية أو واحد إذا كنا نجمع هذا

276
00:19:03,350 --> 00:19:08,390
المجموع فقط على واحد ناقص R نجمع هذول كلهم مع بعض،

277
00:19:08,390 --> 00:19:13,110
بيطلع 213 على 99، إذا حولنا ال repeating decimal

278
00:19:13,110 --> 00:19:15,790
إلى ratio of two integers

279
00:19:20,590 --> 00:19:25,430
مثل الأربعة أو الـ GD القيم X for which الصماش

280
00:19:25,430 --> 00:19:29,430
اللي X أسن على تلاتة أسن converges and find the

281
00:19:29,430 --> 00:19:32,370
sum of the series لأن هذه عبارة عن Geometric

282
00:19:32,370 --> 00:19:35,930
Series ليش؟ لإنه بنقدر نكتبها على شكل الصماش اللي

283
00:19:35,930 --> 00:19:39,530
R أسن بإنه مصطفى X على تلاتة كله أسن وبالتالي هذي

284
00:19:39,530 --> 00:19:42,790
بتكون هى R لأن عشان تكون هذي ال series converge

285
00:19:42,790 --> 00:19:47,760
لازم يكون R هاي absolute R أقل من 1يعني converges

286
00:19:47,760 --> 00:19:51,500
if absolute x على 3 أقل من 1 او absolute x أقل من

287
00:19:51,500 --> 00:19:56,680
3 يعني x من ماقص 3 إلى 3 يبقى x محصورة في ال open

288
00:19:56,680 --> 00:19:59,940
interval أو تنتمي لل open interval ماقص 3 و 3

289
00:19:59,940 --> 00:20:03,300
بتكون هذه ال series تبعتنا converge converge هو

290
00:20:03,300 --> 00:20:06,640
المجموعة تبعها يساوي a, a قلنا هي عبارة عن أول حد

291
00:20:06,640 --> 00:20:10,700
لما نعوض ب n تساوي 0, x على 3 أقل 0 اللي هي 1 على

292
00:20:10,700 --> 00:20:15,950
1 ماقص r اللي هي x علىبتوحيد المقامات تظهر تلاتة

293
00:20:15,950 --> 00:20:20,350
على تلاتة ناقص X يبقى هذا Geometric Series هنا

294
00:20:20,350 --> 00:20:24,710
Series تانية برضه بنستخدم فيها ال partial sum في

295
00:20:24,710 --> 00:20:28,770
إيجاد مجموعها أو إيجاد ان هي converge او diverge

296
00:20:29,630 --> 00:20:33,810
السيرة ده نسميها telescoping series لأن

297
00:20:33,810 --> 00:20:36,390
telescoping series تبعتنا راح ناخدها من خلال

298
00:20:36,390 --> 00:20:39,410
الأمثلة لإن مافيش صيرة محددة زي ال geometric

299
00:20:39,410 --> 00:20:44,750
series لكنها إلها صفة معينة الصفة هذه راح نتعرف

300
00:20:44,750 --> 00:20:48,670
عليها من خلال الأمثلة ال summation ل 1 على n في n

301
00:20:48,670 --> 00:20:51,610
زا إزا 1 ملاحظة على إن المقام هذا هو الحد و الحد

302
00:20:51,610 --> 00:20:55,140
اللي بعده الحد هذا و هذا الحد إيش اللي بعدهلو جينا

303
00:20:55,140 --> 00:20:58,600
هذا المقام نوزعه إلى مقامين باستخدام ال partial

304
00:20:58,600 --> 00:21:02,240
fraction نعرف ال partial fraction بما أنه هذا

305
00:21:02,240 --> 00:21:06,400
اتنين من الدرجة الأولى فبنوزع N وN زائد واحد ونحط

306
00:21:06,400 --> 00:21:10,760
في ال bus A وB constantنوجد الـ A و B بطريقة cover

307
00:21:10,760 --> 00:21:13,840
-up زي اللي أخدناها في chapter 8 تطلع أن الـ A

308
00:21:13,840 --> 00:21:16,700
تساوي واحد والـ B تساوي سالب واحد يعني ال series

309
00:21:16,700 --> 00:21:20,540
تبعتنا صارت بشكل ال summation واحد على N ناقص واحد

310
00:21:20,540 --> 00:21:23,740
على N زائد واحد يبقاش هذا الحد و هذا الحد اللي

311
00:21:23,740 --> 00:21:27,500
بعده بس بالسالب الآن لو أجينا نوجد ال partial sum

312
00:21:27,500 --> 00:21:33,280
Sn بدنا ال Sn يعني مجموع N من الفجود دعنا نفكه

313
00:21:33,280 --> 00:21:37,110
مجموع N من الفجود يعنيالفكرة عندما نضع N تساوي

314
00:21:37,110 --> 00:21:41,990
واحد تصبح واحد نقص نص N تساوي اتنين نص نقص تورت و

315
00:21:41,990 --> 00:21:46,890
N تساوي تلاتة و N تساوي اربعة و N قبل الأخر وهي

316
00:21:46,890 --> 00:21:51,050
هذا الحد النوني وهي هذا الحد النوني اللي هو الان

317
00:21:51,050 --> 00:21:57,110
لما نعوض بالان الان لو لاحظنا على هذا المحكومة

318
00:21:57,110 --> 00:21:59,810
نلاحظ أن الحد التاني من هنا بالسالد يروح مع هذا

319
00:21:59,810 --> 00:22:02,950
بالموجةوالحد التاني من هنا بيروح مع الحد الأول و

320
00:22:02,950 --> 00:22:06,090
الحد التاني بيروح مع الحد الأول و هكذا يعني هذا

321
00:22:06,090 --> 00:22:09,890
الحد التاني بيروح مع الحد الأول من هنا إيش بيظل

322
00:22:09,890 --> 00:22:14,030
ككل هذه ال partial sum بيظل الحد الأول و الحد

323
00:22:14,030 --> 00:22:18,670
الأخير يعني واحد ماقص واحد على N لأن هذه .. هذا

324
00:22:18,670 --> 00:22:22,890
الإختصار اللي صار و المفكوك لما أفكر Sn و يختصر و

325
00:22:22,890 --> 00:22:28,300
كل الفدوط فقط يبقى حدينأو يبقى عدد محدود من الحدود

326
00:22:28,300 --> 00:22:32,160
حدين و لا تلاتة و لا أربعة بنسميها هذا ال series

327
00:22:32,160 --> 00:22:36,000
بهذا الشكل إذا كان مفتوقة بهذا الشكل و بيختصره

328
00:22:36,000 --> 00:22:40,320
بنسميها telescoping series لأن ال limit لل SN لما

329
00:22:40,320 --> 00:22:42,600
أنت قول لما هنا نهاية يعني لو واحد عمل هنا سفر

330
00:22:42,600 --> 00:22:45,560
بيظل إن ال limit يساوي واحد، يبقى ال SN ال limit

331
00:22:45,560 --> 00:22:48,860
اللي لها exist و يساوي واحد و هو مجموعة ال series

332
00:22:51,040 --> 00:22:54,460
نوع آخر برضه مش نوع يعني مثال آخر من الـ

333
00:22:54,460 --> 00:22:58,060
telescoping series برضه هيتحمل نفس الصفة ولكن

334
00:22:58,060 --> 00:23:01,740
بصيغة مختلفة summation tan inverse N- tan inverse

335
00:23:01,740 --> 00:23:06,000
N زائد 1 برضه بنلاحظ أن هذه الحد و هذا الحد اللي

336
00:23:06,000 --> 00:23:11,000
بعده بينهم إشارة سالبة لو أجيت أنا فكيت ال Sn لهذه

337
00:23:11,000 --> 00:23:14,820
هي لما ال N تسوى 1 tan inverse 1- tan inverse 2

338
00:23:14,820 --> 00:23:19,880
زائد N تسوى 2 زائد و هيلاقمة N تسوى 3 و أخر حد

339
00:23:19,880 --> 00:23:23,840
اللي هو لل Nبنلاحظ على أنه برضه الحد هذا بيروح مع

340
00:23:23,840 --> 00:23:26,980
هذا و هذا بيروح مع هذا و هذا بيروح مع اللي بعده و

341
00:23:26,980 --> 00:23:30,240
هذا بيروح مع اللي قبله، بضل عندنا فقط الحد الأول و

342
00:23:30,240 --> 00:23:34,400
الحدالأخير هي الأول والأخر ال unlimited SM هذي لما

343
00:23:34,400 --> 00:23:37,720
انت قول لمالة نهاية بطلع 10 inverse الواحد ناقص 10

344
00:23:37,720 --> 00:23:41,240
inverse المالة نهاية اللي هو pi على 2 طبعا 10

345
00:23:41,240 --> 00:23:44,320
inverse الواحد هو pi على 4 ناقص pi على 2 بطلع ناقص

346
00:23:44,320 --> 00:23:48,300
pi على 4 يعني ال limit تبعي exist وبالتالي ال

347
00:23:48,300 --> 00:23:52,600
series تبعتي converge ومجموعة يساوي ناقص pi على 4

348
00:23:52,600 --> 00:23:56,070
مجموعة ال seriesهدف telescoping series بيكون كلها

349
00:23:56,070 --> 00:23:59,930
بهذا الشكل، بنلاحظ لو فكناها، بروحوا يختصروا ال

350
00:23:59,930 --> 00:24:06,310
term مع بعضها و بنقدر نوجد ال S10 بسهولةهذا نوع من

351
00:24:06,310 --> 00:24:10,430
أنواع الـ Series اللي بتعتمد على الـ Sn تعتمد على

352
00:24:10,430 --> 00:24:13,970
ال partial sum أني أجيب الـ Sn و بعدين أجيب ال

353
00:24:13,970 --> 00:24:16,770
limit لها و أقرر هل هي ال series converge او

354
00:24:16,770 --> 00:24:20,630
diverge طريقة أخرى لإيجاد أن ال series تبعتنا

355
00:24:20,630 --> 00:24:25,230
diverge فقط تستخدم لل divergence series و لا تخبط

356
00:24:25,230 --> 00:24:29,590
ال converge test معين اختبار بدنا نسميه بسمى هذا

357
00:24:29,590 --> 00:24:32,590
الاختبار ال «int term test» ال «int term» ال «int

358
00:24:32,590 --> 00:24:35,850
term» اللي هو ال «an» يعنيالان فتعرف يعني بدنا

359
00:24:35,850 --> 00:24:38,890
نعمل test على الان ايش ال test اللي بدنا نعمله على

360
00:24:38,890 --> 00:24:47,430
الان هذا الكتاب بدنا نعرفه الأول

361
00:24:47,430 --> 00:24:51,510
شي بدنا نشوف نظرية، نظرية بتقول إذا كانت summation

362
00:24:51,510 --> 00:24:55,670
للان converges then الان تقول للصفر يعني limit

363
00:24:55,670 --> 00:25:00,350
الان يساوي صفر كل convergence series limit الان

364
00:25:00,350 --> 00:25:04,810
لحد أنه يتبعها دائما صفرولكن عكس النظرية غير صحيح،

365
00:25:04,810 --> 00:25:08,050
يعني لو كان limit الان سفر، لا يؤدي إن ال series

366
00:25:08,050 --> 00:25:11,950
converge، معنى هذا الكلام بمعنى آخر إن كل ال

367
00:25:11,950 --> 00:25:16,050
convergence series limit الان اللي هيساوي سفر، لكن

368
00:25:16,050 --> 00:25:20,890
ال divergence series بعضها limit هيساوي سفر وبعضها

369
00:25:20,890 --> 00:25:27,370
لا، يعنيإذا كان limit الان يساوي سفر فهذا لا يؤدي

370
00:25:27,370 --> 00:25:30,990
إن ال series converge ممكن تكون converge وممكن

371
00:25:30,990 --> 00:25:37,210
تكون divergeإذا هذا يؤدي لهذا بعلم المنطق نعرف إن

372
00:25:37,210 --> 00:25:41,490
نفي هذه الجملة يؤدي إلى نفي هذه الجملة لكن العلاقة

373
00:25:41,490 --> 00:25:46,510
العكسية غير صحيحة ولكن نفيها يؤدي إلى نفيها يعني

374
00:25:46,510 --> 00:25:50,630
إذا كان limit الان لا يساوي سفر فال series diverge

375
00:25:50,630 --> 00:25:54,350
وهذه اللي بنسميها ال end term test for divergence

376
00:25:54,350 --> 00:26:00,110
فقط لل divergence إذا كانLimit if it fails to

377
00:26:00,110 --> 00:26:03,290
exist غير موجود أو لا يساوي 0

378
00:26:07,650 --> 00:26:12,070
فبتكون ال test تبعتي divergent ولكن إذا كان limit

379
00:26:12,070 --> 00:26:16,330
الان موجود ويساوي سفر لا يؤدي إنها converge إذا

380
00:26:16,330 --> 00:26:20,370
العكس هذه عكس هذا ال test غير صحيح ال test هذا فقط

381
00:26:20,370 --> 00:26:24,290
لل divergence series إذا كان limit الان لا يساوي

382
00:26:24,290 --> 00:26:30,130
سفر أو غير موجود فبتكون ال test تبعتي divergent

383
00:26:30,130 --> 00:26:35,500
يبقى ال test هذا فقط لل divergence seriesبس لإتباع

384
00:26:35,500 --> 00:26:38,780
ال diverge ولا يثبت ال converge مثلا ال summation

385
00:26:38,780 --> 00:26:42,400
لل N تربيع هذي diverge لإنه limit ال N تربيع مالة

386
00:26:42,400 --> 00:26:45,800
نهاية وبالتالي مالة مالة موجودة أو حتى المالة

387
00:26:45,800 --> 00:26:49,940
نهاية لو قلنا فقط لا يساوي سفر يكفي لإنه لأ لإن

388
00:26:49,940 --> 00:26:53,800
المالة نهاية لاتساوي سفر وبالتالي سيرى ال diverge

389
00:26:53,800 --> 00:26:56,880
summation N زائد واحد على N ال limit لل A M هنا

390
00:26:56,880 --> 00:27:00,660
يساوي واحد لإن درجة البط تساوي درجة المقامفبناخد

391
00:27:00,660 --> 00:27:04,040
المعاملات limit هي يساوي واحد برضه الواحد لا تساوي

392
00:27:04,040 --> 00:27:06,860
سفر يبقى ال limit لا يساوي سفر إذا ال serious ده

393
00:27:06,860 --> 00:27:10,260
يعني diverse ال summation ناقص واحد أس إن زائد

394
00:27:10,260 --> 00:27:14,140
واحد برضه هدي diverse ليش؟ لإن ال limit لناقص واحد

395
00:27:14,140 --> 00:27:17,820
أس إن زائد واحد يا واحد يا سالب واحد لإن في المالة

396
00:27:17,820 --> 00:27:21,560
نهاية يا ناقص واحد بتبقى عدد زوجي أو عدد فردي

397
00:27:21,560 --> 00:27:24,920
وبالتالي يا واحد يا سالب واحد إذا ال limit تبعي

398
00:27:24,920 --> 00:27:26,900
does not exist وبالتالي ال serious diverse

399
00:27:27,770 --> 00:27:31,250
Summation ناقص n على 2n زي 1 برضه limit لهذا

400
00:27:31,250 --> 00:27:35,430
المقدار الان يساوي ناقص نص المهاملة ناقص نص لا

401
00:27:35,430 --> 00:27:40,050
تساوي سفر وبالتالي ال series تبعتنا برضه diverge

402
00:27:40,050 --> 00:27:44,370
هي استخدمنا ال test الان في إيجاد ان ال series

403
00:27:44,370 --> 00:27:47,430
تبعتي converge او diverge وهذا أسهل test ممكن

404
00:27:47,430 --> 00:27:53,600
يستخدمه لإنه بمجرد النظر بنقدر نوجد ال limitالان

405
00:27:53,600 --> 00:27:56,340
في بعض خواص ل ال series اللي هو ال combining

406
00:27:56,340 --> 00:28:03,260
series كيف ممكن احنا نجمع series او نطرحها لان لو

407
00:28:03,260 --> 00:28:06,280
كانت ال series submission على ال AN طبعا هنا في من

408
00:28:06,280 --> 00:28:10,860
1 لما لنهاية من 0 لما لنهاية المهمفي index لكن بغض

409
00:28:10,860 --> 00:28:14,300
النظر عن ال index المهم هى infinite series طبعا ال

410
00:28:14,300 --> 00:28:17,220
a ان اذا كانت summation على a يساوي a يعني ال

411
00:28:17,220 --> 00:28:20,080
series هى تبعت converge لإن ال summation موجود و

412
00:28:20,080 --> 00:28:23,540
يساوي a و ال a عدد حقيقي and summation لل bn يساوي

413
00:28:23,540 --> 00:28:27,040
d يعني برضه ال series تبعت ل bn برضه converge are

414
00:28:27,040 --> 00:28:31,760
convergence even thenالـ summation لان زائد bn

415
00:28:31,760 --> 00:28:35,100
بقدر اوزع ال summation على الان والبن يساوي ال

416
00:28:35,100 --> 00:28:37,740
summation للان زائد ال summation للبن يعني يساوي a

417
00:28:37,740 --> 00:28:41,700
زائد b يبقى بنقدر نوزع على الجمع إذا كانت كل من ال

418
00:28:41,700 --> 00:28:45,040
summation للان و ال summation للبن كل there و

419
00:28:45,040 --> 00:28:48,460
الطريح كمان بقدر اوزع ال series على الطريح بقول ال

420
00:28:48,460 --> 00:28:51,560
summation للان ناقص ال summation للبن يعني a ناقص

421
00:28:51,560 --> 00:28:56,360
bوبرضه لو كانت ال series a and a converged فلما

422
00:28:56,360 --> 00:29:00,640
أضربها في k فبرضه بتظلها converged بصير k في a إذا

423
00:29:00,640 --> 00:29:04,180
ال a and a converged لو ضربها في أي constant k

424
00:29:04,180 --> 00:29:08,600
طبعا لا يساوي سفر أو ساوة سفر ما هي تطلع ال series

425
00:29:08,600 --> 00:29:13,700
سفر أي constant k بتظلها ال series تبعنا converged

426
00:29:13,700 --> 00:29:17,900
فعشان الحلقة كيف تبدأ بتكون diverged تعالوا شوف في

427
00:29:17,900 --> 00:29:22,280
هذه الملاحظات الملاحظتينبتقول المتحققين every non

428
00:29:22,280 --> 00:29:25,200
zero constant multiple of a divergence series

429
00:29:25,200 --> 00:29:29,380
diverges يعني أي series diverse لو ضربتها

430
00:29:29,380 --> 00:29:33,200
بconstant بتظلها diverse زي ما برضه ال series لو

431
00:29:33,200 --> 00:29:36,520
كانت convergent ضربتها بconstant بتظلها convergent

432
00:29:36,520 --> 00:29:40,460
لو ال series diverse ضربتها بconstant بس عدى السفر

433
00:29:40,460 --> 00:29:46,020
بتظلها diverse طيب هذه أول واحدة نمر اتنين إذا

434
00:29:46,020 --> 00:29:50,450
كانت الصممش للان convergentلكن ال summation للبيئة

435
00:29:50,450 --> 00:29:55,810
دا diverse فالجمع أو الطرح both diverse يبقى لو

436
00:29:55,810 --> 00:29:59,550
كانت واحدة converge والتانية diverse فجمعناها

437
00:29:59,550 --> 00:30:05,420
واطرحناها بيبقى ال series بتكون die variousطيب لو

438
00:30:05,420 --> 00:30:08,160
كانت التنتين .. طبعا النظرية اللى قبل بتقول أن

439
00:30:08,160 --> 00:30:12,740
التنتين converge فالمجموع والطريح converge وعلى

440
00:30:12,740 --> 00:30:15,420
الضرب ال constant لو كانت هذه converge ضربها ب

441
00:30:15,420 --> 00:30:18,280
constant بناله converge لو كانت ال two series

442
00:30:18,280 --> 00:30:21,760
converge مجموعهم converge وطريقهم converge لو كانت

443
00:30:21,760 --> 00:30:25,360
واحدة converge والتانية divergeمجموعهم diverse

444
00:30:25,360 --> 00:30:29,400
وطريقتهم برضه diverse لو كانوا التنتين diverse هل

445
00:30:29,400 --> 00:30:33,280
بقدر اوزع الصماشة؟ لأ نقدرش نوزعها امتى وزعنا

446
00:30:33,280 --> 00:30:36,240
الصماشة؟ وزعنا الصماشة في حالة واحدة على الأقل

447
00:30:36,240 --> 00:30:39,060
تكون converge يعني يا التنتين converge يا واحدة

448
00:30:39,060 --> 00:30:42,040
converge واحدة diverse بنوزع الصماشة وبنعرف

449
00:30:42,040 --> 00:30:45,860
المجموع ايش بيطلع اذا كانت واحدة منهم diverse

450
00:30:45,860 --> 00:30:49,500
بتكون diverse اذا كانوا التنتين converge بتكون

451
00:30:49,500 --> 00:30:52,550
المجموع او الطريق convergeطب لو كان التمتين

452
00:30:52,550 --> 00:30:55,870
diverge هل هذا يؤدي انها diverge او diverge؟ لأ

453
00:30:55,870 --> 00:30:59,450
هذا لا يؤدي انها diverge يبقى ولا بنقدر نوزع

454
00:30:59,450 --> 00:31:03,130
الصماش اللي يبقى الصماش للان زي ال bn او الطريح

455
00:31:03,130 --> 00:31:07,770
can converge when الصماش للان and الصماش لل bn

456
00:31:07,770 --> 00:31:12,950
both diverge يعني ممكن يكون converge المجموع و لما

457
00:31:12,950 --> 00:31:16,390
يكون التمتين diverge لما يكون ال both diverge ممكن

458
00:31:16,390 --> 00:31:20,250
المجموع يكون convergeوممكن المجموع يكون diverse،

459
00:31:20,250 --> 00:31:23,890
يبقى ما نعرفش في هذا الكلام ومثل على ذلك، لو أخدنا

460
00:31:23,890 --> 00:31:27,550
summation لل-AN 1 زائد 1 زائد 1 إلى ما لنهاية وال

461
00:31:27,550 --> 00:31:31,770
-BN ناقص واحد ناقص واحد ناقص واحد إلى ما لنهاية،

462
00:31:31,770 --> 00:31:35,370
الآن ال summation لل-AN طبعا diverse

463
00:31:45,260 --> 00:31:50,000
بالتالي اذا استخدمنا ال S N من المجموعات S N من

464
00:31:50,000 --> 00:31:55,980
المجموعات مجموعهم Nال limit لل N يساوي ماله نهاية

465
00:31:55,980 --> 00:31:59,860
ناقص 1 ناقص 1 ناقص 1 N من المرات مجواها ناقص N

466
00:31:59,860 --> 00:32:03,900
ناقص N ال limit هسالب ماله نهاية وبالتالي التنتين

467
00:32:03,900 --> 00:32:08,280
هدولة diverse لكن لو جمعتهم الصماش ال An زائد Bn

468
00:32:08,280 --> 00:32:12,460
يصير 1و ناقص واحد واحد مع ناقص واحد بيروحوا مع بعض

469
00:32:12,460 --> 00:32:15,220
واحد مع ناقص واحد بيروحوا واحد مع ناقص واحد

470
00:32:15,220 --> 00:32:18,320
بيروحوا ايش بيبقى السفر زائد سفر زائد سفر بيبقى ت

471
00:32:18,320 --> 00:32:21,840
converge to zero يبقى ايتنتين in the serial كل

472
00:32:21,840 --> 00:32:25,500
واحدة منهم diverge ولكن مجموعهم converge المجموع

473
00:32:25,500 --> 00:32:31,410
تبعهم convergeإذا في حالة التنتين diverse ليجوز

474
00:32:31,410 --> 00:32:35,430
توزيع ال series بالمرة لازم نجمعهم التنتين مع بعض

475
00:32:35,430 --> 00:32:40,630
نعتبرهم term واحدة دولة ونشوف إيش بيطلع هل هي

476
00:32:40,630 --> 00:32:45,570
converge او diverse نشوف هذه الأمثلةعلى هذه

477
00:32:45,570 --> 00:32:50,150
النظرية show that summation 2 على 4 أقصين ناقص

478
00:32:50,150 --> 00:32:53,190
واحد على 8 أقصين ناقص واحد convergence alpha and

479
00:32:53,190 --> 00:32:59,670
find its sum الان هذه aN ناقص bN امتى بتكون هذه ال

480
00:32:59,670 --> 00:33:02,490
series converge اثبت انها امتى بتكون converge اذا

481
00:33:02,490 --> 00:33:05,650
كان هذه ال series عليها دى لحالها converge وال

482
00:33:05,650 --> 00:33:10,630
series عليها دى لحالها convergeالان لو ايدينا

483
00:33:10,630 --> 00:33:13,330
وزعنا ال series هاد ال series عبارة عن 2 في ربع

484
00:33:13,330 --> 00:33:17,770
أسئن 4 أسئن اللي هي ربع يعني كلها أسئن ناقص هاد

485
00:33:17,770 --> 00:33:21,250
عبارة عن 8 أسئن ناقص 1 الان هاد عبارة عن geometric

486
00:33:21,250 --> 00:33:25,570
series ال A تساوي اللي هي أول حد لما N تساوي 1

487
00:33:25,570 --> 00:33:31,170
قلنا دايما ال A هي بعوض الأول حد2 في ربع يبقى 2 في

488
00:33:31,170 --> 00:33:35,170
ربع هي عبارة عن ال A و ال R تساوي ربع يبقى الربع

489
00:33:35,170 --> 00:33:37,850
أقل من 1 وبالتالي Converged يبقى هذه Geometric

490
00:33:37,850 --> 00:33:41,090
Series لأن هذه كمان Geometric Series ال A طبعا

491
00:33:41,090 --> 00:33:45,490
تساوي لما ال N تساوي واحد ثمون أست ستر يعني واحد

492
00:33:45,490 --> 00:33:48,670
يبقى ال A تساوي واحد ال absolute ال R أو ال R اللي

493
00:33:48,670 --> 00:33:51,270
هي تساوي ثمون أقل من واحد وبالتالي ال Series برضه

494
00:33:51,270 --> 00:33:53,630
Converged يبقى هذه ال Series Converged و هذه ال

495
00:33:53,630 --> 00:33:56,530
Series Converged عشان هيك اقدرنا نوزع ال summation

496
00:33:56,530 --> 00:34:00,930
على هذه و هذهوزعناهم هي نقدرنا هذه تساوي هذه ليش

497
00:34:00,930 --> 00:34:04,330
وزعنا تقاماشا لإن هذي converge و هذي converge

498
00:34:04,330 --> 00:34:08,750
قدرنا نوزعهم وبالتالي طريق حاصل طريحهم converge

499
00:34:08,750 --> 00:34:13,730
فبقدرش بنوجد مجموعهم الآن اللي هي مجموعة ميساوي a

500
00:34:13,730 --> 00:34:17,950
على واحد ناقص R اقولنا a هي برعن اتنين في ربع على

501
00:34:17,950 --> 00:34:21,390
واحد ناقص R اللي هي ربع ناقص ال a اللي هنا واحد

502
00:34:21,390 --> 00:34:24,250
على واحد ناقص R اللي هي في ال series التانية تماما

503
00:34:24,640 --> 00:34:31,040
نجمع هذه وهذه يظهر أن الجواب ناقص 10 على 21 السؤال

504
00:34:31,040 --> 00:34:35,640
التاني في هذا الموضوع اللي هو summation ل a n زي b

505
00:34:35,640 --> 00:34:39,020
n مجموعة two series اثنين أثنين زي اثنين ع تلاتة

506
00:34:39,020 --> 00:34:42,080
أثنين لأن هذه ال series هي عبارة عن geometric

507
00:34:42,080 --> 00:34:45,760
series الارتو ساوي اتنين اكبر من واحد diverse يبقى

508
00:34:45,760 --> 00:34:48,840
انا طالما ماعملتش القطة اني اوزع ال summation على

509
00:34:48,840 --> 00:34:52,520
هذه وهذه ليش لأن هذه ال series ماقدرش نوزعها إلا

510
00:34:52,520 --> 00:34:57,180
إذا كانت تلتانموجود مجموعة كل واحدة لحاله و بعدين

511
00:34:57,180 --> 00:35:00,540
نجمعهم لكن هذه ال series تبعاتنا هيش die verge

512
00:35:00,540 --> 00:35:03,760
مافيش مجموعة لها لأن اتنين ع تلاتة هذه برضه

513
00:35:03,760 --> 00:35:06,100
geometric series الأكسى و اتنين ع تلاتة أقل من

514
00:35:06,100 --> 00:35:09,360
واحد ال series تبعتيه converge لأن هذه die verge

515
00:35:09,360 --> 00:35:12,880
وهذه converge و قد أن مجموعهم له die verge لذلك

516
00:35:12,880 --> 00:35:16,260
مافيش مجموعة لهم المجموعة تبعنا die verge لأن

517
00:35:16,260 --> 00:35:18,500
واحدة die verge والتانية converge

518
00:35:22,740 --> 00:35:27,620
الان باقي ال section بس يعني كيف بنتعامل بعض حواص

519
00:35:27,620 --> 00:35:31,660
من ال series adding on or deleting terms الان من

520
00:35:31,660 --> 00:35:35,320
خاصية ال series يعني إذا كانت ال series تبع ال AM

521
00:35:35,320 --> 00:35:40,440
مثلا هاي series روحت شيلت منهم بعض ال terms يعني

522
00:35:40,440 --> 00:35:41,360
روحت

523
00:35:43,630 --> 00:35:48,130
بعد عشر ترمات مثلا شيلت منهم عشر ترمات زائد هذه

524
00:35:48,130 --> 00:35:50,910
series هل الآن ال series هذه اللي شيلت منها عشر

525
00:35:50,910 --> 00:35:54,390
ترمات ال series هذه إذا كانت ال summation على هذه

526
00:35:54,390 --> 00:35:57,710
convert فلو شيلت منهم terms بتظلها convert هذه

527
00:35:57,710 --> 00:36:01,310
بتظلها convert طب هذه ال series بتطلها هدولة طلعت

528
00:36:01,310 --> 00:36:04,750
هذه ال series إذا كانت هذه ال series convert وضفت

529
00:36:04,750 --> 00:36:08,090
عدد محدود من ال terms بتظلها ال series هذه convert

530
00:36:09,460 --> 00:36:14,080
عدد محدود من ال terms أو طرح عدد محدود من ال terms

531
00:36:14,080 --> 00:36:17,340
من ال series لا يؤثر على ال convergence لل series

532
00:36:17,340 --> 00:36:19,780
إذا كانت converge بتظلها converge وإذا كانت

533
00:36:19,780 --> 00:36:21,960
diverge بتظلها diverge

534
00:36:27,220 --> 00:36:30,560
الان هنا بقولنا use ال summation ل 2 ع 3 أسنين سوا

535
00:36:30,560 --> 00:36:33,720
1 مجموعة هدف سوا 1 to find the sum of the series

536
00:36:33,720 --> 00:36:37,720
من N تساوي 4 الان شوف هذه ال series converge لت

537
00:36:37,720 --> 00:36:40,640
واحد الان طبعا هنا ال series هذي بدلناها من أربع

538
00:36:40,640 --> 00:36:44,460
يعني شيلنا من هذه أول تلت فدود بتضلها هذه ال

539
00:36:44,460 --> 00:36:47,100
series برضه converge مدام هذي converge شيلنا منها

540
00:36:47,100 --> 00:36:50,660
فدود بتضلها convergeالان بدنا احنا نطلع المجموع من

541
00:36:50,660 --> 00:36:54,840
N تساوي 4 المجموع اللى سيرى انها من N تساوي 4 هي

542
00:36:54,840 --> 00:36:59,440
المجموع من N تساوي 1 و بدنا نطرح أول 3 فضول لإن

543
00:36:59,440 --> 00:37:04,100
هذى من 4 من 4 بقى فبدنا المجموع من 4 باخد الكل

544
00:37:04,100 --> 00:37:08,760
ناقص أول 3 فضول بنعوض ب N تساوي 1 بعدين 2 بعدين

545
00:37:23,660 --> 00:37:32,060
أخر خاصية هي re indexing يعني إعادة إيش

546
00:37:32,060 --> 00:37:35,480
هيكلة ال index تبع ال summation إيش ال index تبع

547
00:37:35,480 --> 00:37:38,750
ال summation ليها هذا ال indexالبداية هذه n تساوي

548
00:37:38,750 --> 00:37:42,190
واحد بدناها من اشي تاني يعني وانحافظ على نفس ال

549
00:37:42,190 --> 00:37:45,570
serial تكون هي هي ال serial بس بده اغير ال index

550
00:37:45,570 --> 00:37:48,850
يعني بدل ما ابدها من n تساوي واحد بده ابدها من n

551
00:37:48,850 --> 00:37:53,050
تساوي عشرة مثلا كويس فبس احافظ ان ال serial هذه

552
00:37:53,050 --> 00:37:57,370
تساوي هذه تطلع نفس المفكوك تبعها بالشكل هذا الان

553
00:37:57,370 --> 00:38:00,090
اذا كانت هذه من واحد وبده ابدها من واحد زائد H

554
00:38:00,090 --> 00:38:04,030
زائد H يعني بدي اضيف على الواحد مثلا بدي اضيف كمان

555
00:38:04,030 --> 00:38:06,950
واحد يعني انت بدي ابدها من n تساوي اتنينبدي أضيف

556
00:38:06,950 --> 00:38:09,910
كمان بعد الواحد ثلاثة يعني كإن ابدا بام انت ساوية

557
00:38:09,910 --> 00:38:13,610
أربعة لأن إذا كان ضيفة اللي بضيفه هنا ال H بضيفها

558
00:38:13,610 --> 00:38:17,390
على ال index بروح باترحها من ال N اللي جوا بتصير A

559
00:38:17,390 --> 00:38:22,790
N ناقص H لأن لو عوضت ها دي بطلع نفسه و لو عوضت بها

560
00:38:22,790 --> 00:38:29,510
دي بطلع نفسهالان وإذا .. إذا كان واحد طرحت واحد ال

561
00:38:29,510 --> 00:38:33,110
N طبعا من N ثواب واحد وانا بتبدأها من رقم آخر بدي

562
00:38:33,110 --> 00:38:36,230
أطرح واحد ناقص H بروح ال N هنا و بضود H يبقى

563
00:38:36,230 --> 00:38:40,250
العملية لهنا بتكون عكس هذه طرحت هنا هنا بضود ذوّدت

564
00:38:40,250 --> 00:38:43,130
هنا هنا بقى أطرح وبتطلع في هذه الحالة نفس ال

565
00:38:43,130 --> 00:38:48,370
Series يعني مثلا لو احنا بدنا نكتب ال summation 3

566
00:38:48,370 --> 00:38:54,120
على 9 و S N in the form ال summation ل A Kمن كتسة

567
00:38:54,120 --> 00:38:58,500
واحد، بدل ما هي مبدوية من خمسة بدنا نبدأها من واحد

568
00:38:58,500 --> 00:39:03,060
لحيث اننا نحافظ عليها تطلع نفس ال series لأ من

569
00:39:03,060 --> 00:39:05,540
خمسة بدأ أبدأها من واحد يعني من الخمسة بدأ أطرح

570
00:39:05,540 --> 00:39:09,040
منها أربعة طرحنا أربعة يبقى هنا على ال N اللي هنا

571
00:39:09,040 --> 00:39:13,040
بدنا نزود ال N ونقول N ذائد أربعة يبقى بس بنحط هنا

572
00:39:13,040 --> 00:39:16,820
N ذائد أربعة وهنا بننقص ايش أربعة يعني بتبدأ ال

573
00:39:16,820 --> 00:39:21,970
series من واحدطبعا هذا اللي باقي زيادة انه انا جبت

574
00:39:21,970 --> 00:39:26,390
ال .. ال .. هذه عرفتلها geometric series زيادة هذا

575
00:39:26,390 --> 00:39:30,670
الكلام تلاتة على تسعة اقصى اربعة في تسعة اقصى N

576
00:39:30,670 --> 00:39:35,050
فعملناها ايه؟ فهذه ال A N تساوي واحد اه لما N

577
00:39:35,050 --> 00:39:39,350
تساوي واحد يعني ال A تبعتي تسعة تلاتة على تسعة

578
00:39:39,350 --> 00:39:42,470
اقصى خمسة يبقى ال A هي تلاتة على تسعة اقصى خمسة

579
00:39:42,470 --> 00:39:45,570
وطبعا ال A عبارة عن تسعة اقل من ال واحد يعني ال

580
00:39:45,570 --> 00:39:49,520
series تبعتنا كلهطبعا هنا ممكن برضه ال series هذه

581
00:39:49,520 --> 00:39:52,420
نبدأها من سفر لو إجينا بدناها من سفر إيش يعني بدنا

582
00:39:52,420 --> 00:39:56,120
نعمل؟ يعني بدنا نطرح واحد، يبقى بدنا نطرح إيش؟

583
00:39:56,120 --> 00:39:59,580
واحد، لما أطرح واحد ماقص واحد تصير سفر، إيش بدنا

584
00:39:59,580 --> 00:40:02,340
نعمل في ال N اللي هنا؟ بدنا نزود واحد، فبتصير N

585
00:40:02,340 --> 00:40:06,460
ذائد واحد، فهذه عملية أخرى مش مطلوبة بالسؤال، بس

586
00:40:06,460 --> 00:40:10,990
عملنا على نفس السؤالهنا الخمسة طرحنا أربعة هنا

587
00:40:10,990 --> 00:40:15,210
الواحد طرحنا واحد عشان نبدأ من سفر وبهيك بنكون

588
00:40:15,210 --> 00:40:17,850
خلصنا ال section الأول من ال series