diff --git "a/PL9fwy3NUQKwb1GEXKToPBRkVqqPyEiz9Z/HP5sWDWTp34_raw.srt" "b/PL9fwy3NUQKwb1GEXKToPBRkVqqPyEiz9Z/HP5sWDWTp34_raw.srt"
new file mode 100644--- /dev/null
+++ "b/PL9fwy3NUQKwb1GEXKToPBRkVqqPyEiz9Z/HP5sWDWTp34_raw.srt"
@@ -0,0 +1,3580 @@
+1
+00:00:19,350 --> 00:00:25,850
+بسم الله الرحمن الرحيم محاضرة رقم 27 وهي عبارة عن
+
+2
+00:00:25,850 --> 00:00:34,950
+مناقشة لـ Chapter 6 سنناقش اليوم موضوعين الموضوع
+
+3
+00:00:34,950 --> 00:00:39,910
+الأول اللي هو number and sum of divisors والموضوع
+
+4
+00:00:39,910 --> 00:00:43,530
+التاني اللي هو Mobius inversion formula نبدأ ب 6
+
+5
+00:00:43,530 --> 00:00:50,470
+واحد اللي هو number and sum of divisorsأذكركم في
+
+6
+00:00:50,470 --> 00:00:56,450
+بعض اللي هي النتائج في هذا الفصل أو في هذا ال
+
+7
+00:00:56,450 --> 00:01:00,470
+section لو كانت عندي N أكبر من 1 و N كتبناها على
+
+8
+00:01:00,470 --> 00:01:05,210
+صورة الـ prime factorizations اللي بي واحد ألف
+
+9
+00:01:05,210 --> 00:01:11,950
+واحد لعند PR ألف R عندي بيكون ال sigma of N أو ال
+
+10
+00:01:11,950 --> 00:01:18,800
+tau of N جبل بتساويبارة عن Alpha 1 زي 1 لما نصل
+
+11
+00:01:18,800 --> 00:01:25,460
+لعند Alpha R زي 1 مضربات في بعض هو Sigma of N
+
+12
+00:01:25,460 --> 00:01:31,360
+Sigma of N في هذه الحالة عبارة عن كتبناها على صورة
+
+13
+00:01:31,360 --> 00:01:38,500
+ل product بي واحد Alpha واحد بي آي Alpha I زي واحد
+
+14
+00:01:38,500 --> 00:01:45,910
+ناقص واحد على بي آي ناقص واحدمظبوط I من عند واحد
+
+15
+00:01:45,910 --> 00:01:53,590
+لعند R وكتبناها أيضا وكتبناها أيضا في أثناء برهان
+
+16
+00:01:53,590 --> 00:01:57,510
+سيجموغان هذا بساوي هذا اللي هو إيه ده بتتذكر هو
+
+17
+00:01:57,510 --> 00:02:05,450
+عبارة عن ال product ل 1 زائد bi زائد bi تربيع لما
+
+18
+00:02:05,450 --> 00:02:13,230
+أصل لآخر واحد bi Alpha I I من عند واحد لعند Rهذا
+
+19
+00:02:13,230 --> 00:02:19,050
+هو النتيجتين اللي حكينا عنهم وحكينا عن نتيجة ثالثة
+
+20
+00:02:19,050 --> 00:02:28,150
+انه لو كانت F is multiplicative بيعطيني F of N
+
+21
+00:02:28,150 --> 00:02:33,490
+بتساوي ال summation لل F of D D بتجسم N برضه
+
+22
+00:02:33,490 --> 00:02:42,810
+اشمالها is multiplicativeمعايا؟ طيب نيجي الآن ناخد
+
+23
+00:02:42,810 --> 00:02:48,790
+السؤال اللي هو رقم 6 السؤال رقم 6 بقول ما يلي
+
+24
+00:02:48,790 --> 00:02:58,610
+بقولنا لأي integer n أكبر من 1 سؤال 6 if n أكبر أو
+
+25
+00:02:58,610 --> 00:03:04,710
+سوى 1 thenالـ Sigma of N أو الـ Tau of N له أصغر
+
+26
+00:03:04,710 --> 00:03:12,410
+أو يساوي 2 في جدر الـ N الـ Proof أول ملاحظة طبعا
+
+27
+00:03:12,410 --> 00:03:16,310
+الـ Proof كامل مكتوب هناك هنخلنا نبرهن يعني مش شرط
+
+28
+00:03:16,310 --> 00:03:21,070
+نكتب كل البرهان ولكن نتحدث البرهان بشكل تفصيل أساس
+
+29
+00:03:21,070 --> 00:03:26,210
+اختصارا للوقت بدنا نثبت أن عدد الـ Divisors للـ N
+
+30
+00:03:26,210 --> 00:03:31,490
+أكبر يساوي 200 جدر الـ Nأصغر أو ساوى اتنين جذر
+
+31
+00:03:31,490 --> 00:03:36,170
+الان الان لاحظ اول ملاحظة الحالية ان لو كان عندي
+
+32
+00:03:36,170 --> 00:03:44,870
+ال D بقسم N لو ال D من قواسم ال N اذا اكيد اكيد ال
+
+33
+00:03:44,870 --> 00:03:50,460
+N على D بيصير integer و برضه بيقسمينالان لسبب بسيط
+
+34
+00:03:50,460 --> 00:03:55,960
+لأن الان في هذه الحالة هتساوي ان على دي في مين في
+
+35
+00:03:55,960 --> 00:03:59,700
+دي بما ان هذا فرضنا ان دي بتجسم ان يعني هذا ان على
+
+36
+00:03:59,700 --> 00:04:03,180
+دي انتجر اذا انصار عند الان بساوي هذا في هذا اذا
+
+37
+00:04:03,180 --> 00:04:07,460
+هذه بتوحي ان دي بتجسم ان وان على دي بتجسم مين ان
+
+38
+00:04:07,460 --> 00:04:11,140
+يعني وكأنه بقولك انا انه
+
+39
+00:04:13,420 --> 00:04:17,920
+القواسم تحدث أزواجا يعني واحد بيكون D والتان اللي
+
+40
+00:04:17,920 --> 00:04:22,580
+عاجباله على طول ايش بيكون N على D ماشي الحال مافيش
+
+41
+00:04:22,580 --> 00:04:28,140
+غير هدول اللي هو القواسم بيحدثون اللي هي لـ N يعني
+
+42
+00:04:28,140 --> 00:04:30,920
+لو كان D بيكسب N على طول الـ N على D بيكسب مين الـ
+
+43
+00:04:30,920 --> 00:04:34,500
+N وقد يكون ان N على D يساوي في حالات ايش بيساوي
+
+44
+00:04:34,500 --> 00:04:38,040
+بيساوي D ماشي الحال خ��ّي هذا الملاحظة أولا
+
+45
+00:04:38,040 --> 00:04:47,970
+الملاحظة التانيةلو جينا بدنا نشوف اللي هو الـ D
+
+46
+00:04:47,970 --> 00:04:52,430
+والـ N على D واحد من الاتنين هذوله سواء الـ D أو
+
+47
+00:04:52,430 --> 00:04:57,430
+الـ N على D واحد منهم .. واحد منهم هيكون أصغر أو
+
+48
+00:04:57,430 --> 00:05:03,170
+يساوي جذر الـ N واحد
+
+49
+00:05:03,170 --> 00:05:08,160
+هيكون أصغر أو يساوي مين؟جذر الأن واحد على الأقل
+
+50
+00:05:08,160 --> 00:05:12,640
+حيكون أصغر أو يساوي جذر الأن الإدعاء عشان تسمعوا
+
+51
+00:05:12,640 --> 00:05:16,840
+الإدعاء وبعدين هقولكم ليش الإدعاء إن واحد من هذولة
+
+52
+00:05:16,840 --> 00:05:21,940
+على الأقل حيكون أصغر أو يساوي جذر الأن ليش لسبب
+
+53
+00:05:21,940 --> 00:05:26,620
+بسيط إنه لو كان الاتنين أكبر strictly من جذر الأن
+
+54
+00:05:26,620 --> 00:05:31,260
+معناته بيصير حاصل ضربه أكبر من الأن بينما حاصل
+
+55
+00:05:31,260 --> 00:05:37,150
+ضربه مش مساوى كمان مرةالأن الـ D و الـ N على D
+
+56
+00:05:37,150 --> 00:05:45,410
+واحد منهم على الأقل أصغر أو يساوي جذر الـ N لأنه
+
+57
+00:05:45,410 --> 00:05:50,630
+لو كان الاتنين هذا و هذا يعني الـ D أكبر strictly
+
+58
+00:05:50,630 --> 00:05:53,770
+من جذر الـ N و الـ N على D أكبر strictly من جذر
+
+59
+00:05:53,770 --> 00:05:58,430
+الـ N هذا بيؤدي إلى أن الـ N في الـ D على N اللي
+
+60
+00:05:58,430 --> 00:06:02,330
+هو بساوي N أكبر strictly من مين؟ من الـ N وهذا
+
+61
+00:06:02,330 --> 00:06:07,070
+مستحيل Contradictionإذن المعلومة التانية عندك الآن
+
+62
+00:06:07,070 --> 00:06:15,030
+واحد من هذول على أقل هيكون أكبر أو يساوي مين أصغر
+
+63
+00:06:15,030 --> 00:06:20,750
+أو يساوي جذر الآن إذن .. إذن الآن لو بدي عدة
+
+64
+00:06:20,750 --> 00:06:30,050
+divisors اللي من واحد لعين جذر الآنللان يعني بتعد
+
+65
+00:06:30,050 --> 00:06:36,190
+قواسم الان اللي أصغر أو يساوي جذر الان يعني اللي
+
+66
+00:06:36,190 --> 00:06:40,450
+من واحد لان جذر الان هيكون عددهم عال أكتر عال أكتر
+
+67
+00:06:40,450 --> 00:06:43,310
+عال أكتر جديش جذر الان جذر الان جذر الان جذر الان
+
+68
+00:06:43,310 --> 00:06:52,070
+جذر الان جذر الان جذر الان جذر الان جذر الان جذر
+
+69
+00:06:52,070 --> 00:06:56,090
+الان جذر الان جذر الان جذر الان جذر الان جذر الان
+
+70
+00:06:56,090 --> 00:06:57,170
+جذر الان جذر الان جذر الان جذر الان جذر الان جذر
+
+71
+00:06:57,170 --> 00:06:57,230
+الان جذر الان جذر الان جذر الان جذر الان جذر الان
+
+72
+00:06:57,230 --> 00:06:58,510
+جذر الان جذر الان جذر الان جذر الان جذر الانماشي
+
+73
+00:06:58,510 --> 00:07:03,250
+الحال ما هو كل divisor فيه لعقباله divisor تحدث
+
+74
+00:07:03,250 --> 00:07:08,570
+أزواجا إذا صار عندي مجموع ال divisors كلهم على
+
+75
+00:07:08,570 --> 00:07:18,510
+الأكثر اتنين جذر و هو المطلوب كمان مرة النقطة هذه
+
+76
+00:07:18,510 --> 00:07:24,550
+نلخص السؤال على السريع لأنكم الان النقطة الأولى أن
+
+77
+00:07:24,550 --> 00:07:30,640
+ال divisors تحدث أزواجاالنقطة الثانية أنه الآن في
+
+78
+00:07:30,640 --> 00:07:34,360
+واحد من هذول على الأقل أصغر أو يساوي 100 جدر الأن
+
+79
+00:07:34,360 --> 00:07:37,680
+في كل زوج في على الأقل واحد منهم أصغر أو يساوي 100
+
+80
+00:07:37,680 --> 00:07:42,400
+جدر الأن عدد الـ divisors للأن اللي أصغر أو يساوي
+
+81
+00:07:42,400 --> 00:07:46,240
+100 جدر الأن على الأكتر يساوي 100 جدر الأن وفي
+
+82
+00:07:46,240 --> 00:07:51,750
+عجبالهم اللي هو أشمالهماللي هو الجدر الأن فبصير
+
+83
+00:07:51,750 --> 00:07:54,530
+على الأكتر على الأكتر اللي هو جداش عدد الـ
+
+84
+00:07:54,530 --> 00:07:58,490
+divisors اتنين جدر الأن مع أنه ممكن ينقص لأنه ممكن
+
+85
+00:07:58,490 --> 00:08:01,590
+يكون اللي هو الـD والأن ع دي في حالة إيش بيساوي ..
+
+86
+00:08:01,590 --> 00:08:07,230
+بيساوي واحدة في النهاية اللي هو دائما توف أن أظل
+
+87
+00:08:07,230 --> 00:08:12,290
+سوى اتنين جدر الأن اللي بعده السؤال اللي بعده
+
+88
+00:08:18,440 --> 00:08:24,740
+و prove the following Tau of N is an odd number or
+
+89
+00:08:24,740 --> 00:08:29,580
+odd integer if and only if N is a perfect square
+
+90
+00:08:29,580 --> 00:08:33,820
+كمان
+
+91
+00:08:33,820 --> 00:08:45,240
+مرة السؤال عندي سؤال سبعة A Tau of N is odd if and
+
+92
+00:08:45,240 --> 00:08:50,760
+only ifN is a perfect square perfect square معناته
+
+93
+00:08:50,760 --> 00:08:55,760
+إيش ماله مربع كامل يعني هيكون على صورة N تربيع for
+
+94
+00:08:55,760 --> 00:09:05,220
+some M باشي الحال ال N دائما
+
+95
+00:09:05,220 --> 00:09:10,160
+في حالة ال Sigma أو حتى حالة ال number theoretic
+
+96
+00:09:10,160 --> 00:09:17,960
+functions بصورة عامة أسهلني أن أحسب للي برايموبعد
+
+97
+00:09:17,960 --> 00:09:21,300
+ما أحسب للـ prime بحسب لمين للـ function نفسها
+
+98
+00:09:21,300 --> 00:09:23,740
+خصوصاً إذا كانت الـ function is multiplicative
+
+99
+00:09:23,740 --> 00:09:32,350
+بتصير الأمور سهلة نشوف أشي المقصودالان بس خلوني
+
+100
+00:09:32,350 --> 00:09:35,710
+مادام بتحكي عن ال prime factorization للان إذا
+
+101
+00:09:35,710 --> 00:09:40,870
+لازم الان تبقى تكون أكبر من مين؟ من واحد معايا؟
+
+102
+00:09:40,870 --> 00:09:43,270
+إذا نخليني أنا أخد حالة الواحد حالة الواحد is a
+
+103
+00:09:43,270 --> 00:09:48,590
+trivial case ليش؟ لإن تاو of واحد بسوء واحد واحد
+
+104
+00:09:48,590 --> 00:09:52,510
+مربع كامل إذا انت تتحقق اللي هي الطرفين هذه ان تاو
+
+105
+00:09:52,510 --> 00:09:56,150
+of ان is odd فاندول اف اش مالها ان is a perfect
+
+106
+00:09:56,150 --> 00:10:01,740
+squareنأتي الآن ناخد حالة مين الـ N أكبر من 1
+
+107
+00:10:01,740 --> 00:10:08,980
+بتاخد proof حالة الـ N أكبر من 1 إيش بدأ أقول؟ بدأ
+
+108
+00:10:08,980 --> 00:10:13,100
+أقول suppose that
+
+109
+00:10:13,100 --> 00:10:22,360
+N is a perfect square ماشي؟
+
+110
+00:10:22,360 --> 00:10:29,040
+يعني N إيش مالها؟ مربع كامل يعني Nبتساوي M تربية
+
+111
+00:10:29,040 --> 00:10:33,480
+الـ M نفسها أكيد هتكون أكبر من واحد مدام الـ M
+
+112
+00:10:33,480 --> 00:10:37,060
+أكبر من واحد مدام الـ M أكبر من واحد اذا اللي هو
+
+113
+00:10:37,060 --> 00:10:40,040
+بقدر اكتبه على صورة اللي هو product of the primes
+
+114
+00:10:40,040 --> 00:10:44,200
+فبتكون على صورة بي واحد Alpha واحد canonical form
+
+115
+00:10:44,200 --> 00:10:51,870
+لعند بي R Alpha R لكل أشماله تربية واضح؟هك مفترضين
+
+116
+00:10:51,870 --> 00:10:54,910
+إنه هنا perfect square يعني بمعنى آخر إلا إنه على
+
+117
+00:10:54,910 --> 00:11:00,270
+صورة بي واحد اتنين ألف واحد لعند بي ار اتنين ألف
+
+118
+00:11:00,270 --> 00:11:08,230
+ار واضحة الصورة إذا الأن إذا صار عندي ال sigma آسف
+
+119
+00:11:08,230 --> 00:11:13,070
+ال Tao of N هيساوي حسب اللي ال Tao of N إيش هتكون
+
+120
+00:11:13,070 --> 00:11:20,600
+اللي هو اتنين ألف واحد زائد واحدلما أصل عند 2 α R
+
+121
+00:11:20,600 --> 00:11:25,580
+زائد 1 هذه زوجي هذه كلها على بعض إيش مالها فردي
+
+122
+00:11:25,580 --> 00:11:28,500
+إذا فردي مضروب فى فردي مضروب فى فردي مضروب فى فردي
+
+123
+00:11:28,500 --> 00:11:33,020
+إذا إيش كدا كلها على بعض إذا صارت T of N إيش مالها
+
+124
+00:11:33,020 --> 00:11:38,440
+متى لما كانت ال N is a perfect square إذا المهم في
+
+125
+00:11:38,440 --> 00:11:42,340
+الموضوع أن أنا أعرف أعمل representation as a
+
+126
+00:11:42,340 --> 00:11:46,640
+product of primes لل N واضح؟ conversely
+
+127
+00:11:53,590 --> 00:12:02,010
+Conversely Suppose that sigma of n is a odd بدا
+
+128
+00:12:02,010 --> 00:12:06,270
+تثبت لك أن n إيش ما لها perfect square تاو of n is
+
+129
+00:12:06,270 --> 00:12:11,730
+odd بدا تثبت لك أن n إيش ما لها perfect square
+
+130
+00:12:13,960 --> 00:12:16,900
+الان احنا مفترضينها من رأس الدور انها اكبر من 100
+
+131
+00:12:16,900 --> 00:12:22,060
+من 1 اذا الان تابعتنا بقدر اكتبها على صورة by
+
+132
+00:12:22,060 --> 00:12:24,900
+unique by unique factorization theorem على صورة
+
+133
+00:12:24,900 --> 00:12:28,460
+اللي هو product of power of primes بي واحد بيتا
+
+134
+00:12:28,460 --> 00:12:36,940
+واحد لعند بي ار بيتا ار واضح؟ طيب احسب للتاولة هذه
+
+135
+00:12:36,940 --> 00:12:46,610
+اذاTau of N بساوي Beta 1 زائد 1 في Beta 2 زائد 1
+
+136
+00:12:46,610 --> 00:12:53,100
+لما أصل لآخر واحدة في Beta R زائد 1الان ماعطيلي
+
+137
+00:12:53,100 --> 00:12:58,220
+هذا يشماله التوفان is odd مدام التوفان is odd
+
+138
+00:12:58,220 --> 00:13:03,600
+وعندي product of numbers لازم كل واحد فيه يكون odd
+
+139
+00:13:03,600 --> 00:13:06,160
+مانفعش واحد يكون زوجي لو واحد زوجي معناه تصار
+
+140
+00:13:06,160 --> 00:13:13,240
+ضرباش زوجي إذا حيكون عندي بي واحد زائد واحد أو بي
+
+141
+00:13:13,240 --> 00:13:20,700
+اي زائد واحد is odd for every mean iما دم بي اي
+
+142
+00:13:20,700 --> 00:13:23,240
+زائد واحد الزدد ده اكيد ال بي اي اللي حالها اي
+
+143
+00:13:23,240 --> 00:13:27,280
+شمالها is even بي اي even معناته ال بي اي اي
+
+144
+00:13:27,280 --> 00:13:32,120
+شمالها هتكون على صورة اتنين Alpha I for some Alpha
+
+145
+00:13:32,120 --> 00:13:39,060
+I معايا ما دم بي Beta I is even اذا على صورة اتنين
+
+146
+00:13:39,060 --> 00:13:45,940
+Alpha I اذا صار عند ال N تبعتنا ال N تبعتنا بتساوي
+
+147
+00:13:47,370 --> 00:13:52,430
+ب1 اتنين الفا واحد فاهمين لعند ب ار اتنين الفا ار
+
+148
+00:13:52,430 --> 00:13:57,170
+اللي هي بتساوي ب واحد الفا واحد لعند ب ار الفا ار
+
+149
+00:13:57,170 --> 00:14:02,390
+الكل تربيع اذا صارت اللي هو n is a perfect square
+
+150
+00:14:02,390 --> 00:14:08,770
+اذا لما كانت ال ال tau of n is odd طلعت ال n عند a
+
+151
+00:14:08,770 --> 00:14:15,730
+شمالها is a perfect square نيجي الآن لسؤال b
+
+152
+00:14:26,720 --> 00:14:33,480
+شوف عندي صلى الله عليه وسلم جزء بيه ايش بقول ليه
+
+153
+00:14:33,480 --> 00:14:39,500
+اللي هو لو كان عندي بقولي sigma of n is odd if and
+
+154
+00:14:39,500 --> 00:14:46,340
+only if n is a perfect square رقص or twice perfect
+
+155
+00:14:46,340 --> 00:14:51,450
+squareيعني بيقول لي أن الـ N يا هتكون على صورة N
+
+156
+00:14:51,450 --> 00:14:56,670
+تربيع اللي هي perfect square أو اتنين N تربيع for
+
+157
+00:14:56,670 --> 00:15:03,810
+some M ثمان مرة السؤال السؤال اللي بيقول لي prove
+
+158
+00:15:03,810 --> 00:15:09,810
+that sigma of N is odd if and only if N is a
+
+159
+00:15:09,810 --> 00:15:17,170
+perfect square or twice perfect square واضح؟ نيجي
+
+160
+00:15:17,170 --> 00:15:24,110
+البرهنA proof Suppose that
+
+161
+00:15:24,110 --> 00:15:31,670
+N is a perfect square or twice perfect square
+
+162
+00:15:31,670 --> 00:15:43,090
+بيثبتلك
+
+163
+00:15:43,090 --> 00:15:49,040
+إن sigma of N في الحالتين أزدادطيب شو N بتساوي N
+
+164
+00:15:49,040 --> 00:15:54,500
+تربيع نعملها قبل بشوية يعني N بتساوي B1 اللي هو
+
+165
+00:15:54,500 --> 00:16:04,520
+20001 لعين PR 2000R مظبوط و ال R في الحالة اللي N
+
+166
+00:16:04,520 --> 00:16:10,300
+بتساوي 2N تربيع اللي هو ركزوا معاه فN بتساوي اللي
+
+167
+00:16:10,300 --> 00:16:16,580
+هو 2B1 بدي أغير الآن الـ B1 بدي أغير الان الـ B1
+
+168
+00:16:16,580 --> 00:16:17,180
+بدي أغير الان الـ B1 بدي أغير الان الـ B1 بدي أغير
+
+169
+00:16:17,180 --> 00:16:19,380
+الان الـ B1 بدي أغير الان الـ B1 بدي أغير الان الـ
+
+170
+00:16:19,380 --> 00:16:25,200
+B1 بدي أغير الان الـ
+
+171
+00:16:25,200 --> 00:16:27,320
+B1 بدي أغير الان الـ B1 بدي أغير الان الـ B1 بدي
+
+172
+00:16:27,320 --> 00:16:27,340
+أغير الان الـ B1 بدي أغير الان الـ B1 بدي أغير
+
+173
+00:16:27,340 --> 00:16:27,860
+الان الـ B1 بدي أغير الان الـ B1 بدي أغير الان الـ
+
+174
+00:16:27,860 --> 00:16:27,860
+B1 بدي أغير الان الـ B1 بدي أغير الان الـ B1 بدي
+
+175
+00:16:27,860 --> 00:16:30,800
+أغير الان الـ B1 بدي أغير الان الـ B1 بدي أغيرأه
+
+176
+00:16:30,800 --> 00:16:35,360
+ممكن تكون اتنين وممكن تكون odd أصلا ماشي الحل عشان
+
+177
+00:16:35,360 --> 00:16:39,440
+أكتب الحالتين في كتابة واحدة بدي أكتبها على صورة
+
+178
+00:16:39,440 --> 00:16:46,320
+هذه بيساوي 2 أس 2 ألف واحد زائد واحد في B2 أس 2
+
+179
+00:16:46,320 --> 00:16:55,720
+ألف اتنين لعين B R 2 ألف Rأيش اللي كتبته هذه و
+
+180
+00:16:55,720 --> 00:17:02,160
+Alpha 1 عندي أكبر أو ساوي 0 و Alpha 2 عند Alpha R
+
+181
+00:17:02,160 --> 00:17:06,120
+أكبر أو ساوي 1 شوف
+
+182
+00:17:09,650 --> 00:17:14,850
+الان انا عندى twice perfect square هى مربع كامل
+
+183
+00:17:14,850 --> 00:17:19,090
+هذا المربع الكامل قد يكون ان هو اول prime له في ال
+
+184
+00:17:19,090 --> 00:17:23,230
+prime factorization اتنين وممكن يكون ايه اش مفيش
+
+185
+00:17:23,230 --> 00:17:28,210
+اتنين ممكن يكون ايه اش ادت الان انا كتبته على
+
+186
+00:17:28,210 --> 00:17:35,130
+الصورة هذه على صورة 2001 زي 1 في الباقي الان لو
+
+187
+00:17:35,130 --> 00:17:40,760
+الان ال 1100أنا كتبت ألف واحد أكبر سوى إيش؟ لو
+
+188
+00:17:40,760 --> 00:17:44,760
+الألف واحد سفر معناه صار اتنين بس واحد وخلاص اه
+
+189
+00:17:44,760 --> 00:17:49,840
+يعني هي الأتنين لو الآن ألف واحد صارت واحد بيصير
+
+190
+00:17:49,840 --> 00:17:54,440
+اتنين زائد واحد وبتبقى لها twice perfect square
+
+191
+00:17:54,440 --> 00:18:01,440
+واضح؟ طيب نيجي الآن نحسب مين؟ sigma of n إذا sigma
+
+192
+00:18:01,440 --> 00:18:09,760
+of n في الحالتينما هتساوي ال product واحد
+
+193
+00:18:09,760 --> 00:18:13,220
+زائد بي اي زائد بي اي تربيع لما يقصى الاخر واحدة
+
+194
+00:18:13,220 --> 00:18:21,180
+اللي هو ال product لأ واحد زائد بي اي زائد بي اي
+
+195
+00:18:21,180 --> 00:18:27,200
+أُس اتنين الف اي اي من عند واحد لعند ار هذا في
+
+196
+00:18:27,200 --> 00:18:35,140
+الحالة الأولىلاحظ .. لاحظ ان هذولا عددهن زوجي صح
+
+197
+00:18:35,140 --> 00:18:39,560
+ولا لأ معايا؟
+
+198
+00:18:39,560 --> 00:18:44,380
+اه هاي اتنين الفاية اه من عند واحد عند اتنين
+
+199
+00:18:44,380 --> 00:18:47,780
+الفاية إذا العدد هنا إشمال، هنا زوجي إذا كانت
+
+200
+00:18:47,780 --> 00:18:56,320
+اتنينات، هاي زوجي إذا كانت فرديات عددها زوجي
+
+201
+00:18:56,320 --> 00:19:02,300
+ومجموعات لبعض، برضه زوجيإذا صار هذا كله مجموع زوجي
+
+202
+00:19:02,300 --> 00:19:08,540
+مع واحد صار فردي إذا صار هذا فردي product of فردي
+
+203
+00:19:08,540 --> 00:19:15,000
+إيش حيطلع إذا حيطلع product حالة
+
+204
+00:19:15,000 --> 00:19:23,980
+تالية اللي هي اللي بعد هذه or خليني
+
+205
+00:19:23,980 --> 00:19:32,430
+بس أكمل or areSigma of n بتساوي في الحالة التانية
+
+206
+00:19:32,430 --> 00:19:39,870
+Twice perfect square هيصير بتفصلها product هذه في
+
+207
+00:19:39,870 --> 00:19:40,710
+product هذه
+
+208
+00:19:44,470 --> 00:19:49,310
+للأساس اتنين بيصير واحد زائد اتنين زائد اتنين
+
+209
+00:19:49,310 --> 00:19:54,630
+تربيع لم أصل آخر أُس اتنين ألف واحد زائد مضروب في
+
+210
+00:19:54,630 --> 00:20:00,670
+الباقي الباقي مين هو هذا الاند عبارة عن واحد زائد
+
+211
+00:20:00,670 --> 00:20:08,690
+بي اي زائد بي اي أس اتنين ألف اي الآن اي من وين مش
+
+212
+00:20:08,690 --> 00:20:15,220
+من واحد من اتنين لعند الاربنفس اللي فوق بالظبط
+
+213
+00:20:15,220 --> 00:20:21,240
+هدول عددهم زوجي وهنا اللي هي فرديات فمجموحا هيكون
+
+214
+00:20:21,240 --> 00:20:26,840
+زوجي زائد واحد مش هيطلع فردي معايا ال product
+
+215
+00:20:26,840 --> 00:20:32,780
+الفردي بيطلع اي اسم اذا هذا هيطلع عند اطيب
+
+216
+00:20:32,780 --> 00:20:38,780
+ماخلصناش نيجي لهذا هدول مهمة مجموحين زوجي وفي واحد
+
+217
+00:20:38,780 --> 00:20:42,780
+إذا صار فردي فردي مضلوب في فردي إذا هذا صار odd
+
+218
+00:20:42,780 --> 00:20:50,080
+برضه في odd إيش هيساوي odd إذا في كل الحالتين ال
+
+219
+00:20:50,080 --> 00:20:54,700
+sigma of n سواء في حالة ال perfect square أو twice
+
+220
+00:20:54,700 --> 00:20:59,580
+perfect square ال sigma of n إيش طلعت is odd اسألي
+
+221
+00:20:59,580 --> 00:20:59,980
+محمد
+
+222
+00:21:06,450 --> 00:21:10,430
+الان عندى high perfect square وهنا twice perfect
+
+223
+00:21:10,430 --> 00:21:14,510
+square twice perfect square يعني اتنين في high
+
+224
+00:21:14,510 --> 00:21:21,460
+perfect squareالان هذا ال factorization ال P1 يمكن
+
+225
+00:21:21,460 --> 00:21:26,800
+تكون اتنين ويمكن تكون odd ماشي الحال الان انا عساس
+
+226
+00:21:26,800 --> 00:21:31,140
+ان احمد ظهري واخد الحالتين كتبت اول واحد اللي هو
+
+227
+00:21:31,140 --> 00:21:35,240
+هذا هو عبارة عن اتنين اقصد اتنين اد الف واحد زائد
+
+228
+00:21:35,240 --> 00:21:40,580
+واحد والباجي اللي هي ال odd prime اللي وجدت الان
+
+229
+00:21:40,580 --> 00:21:46,750
+هذا هل بحتمي للحالتين ان يكون اللي هو twiceسواء
+
+230
+00:21:46,750 --> 00:21:51,470
+كانت الـ 2 لحالها أو بـ 2 أُص غير الـ 2، أه
+
+231
+00:21:51,470 --> 00:21:54,990
+بيختمل، ليش؟ لإن أخدت الـ Alpha 1 أشمالها أكبر
+
+232
+00:21:54,990 --> 00:22:00,150
+بساوية 0 لما Alpha 1 بـ 0، بيصير 2 في هذا لما تصير
+
+233
+00:22:00,150 --> 00:22:05,770
+Alpha 1 بتساوي 1 مثلا أو 2 أو 3، بيصير 2 زائد 1
+
+234
+00:22:05,770 --> 00:22:12,190
+ثلاثة، بيصير برضه 2 في Perfect Square، واضح؟ نيجي
+
+235
+00:22:12,190 --> 00:22:12,450
+الآن
+
+236
+00:22:18,810 --> 00:22:25,170
+ماذا جعلنا نكتبها 1 zpi؟ قالي أين؟ أول لحظة sigma
+
+237
+00:22:25,170 --> 00:22:31,890
+هذا؟ هذا شرحناه في المحاضرة ماعرفش أشرح المحاضرة
+
+238
+00:22:31,890 --> 00:22:35,370
+من جديد أنا كتبت لك من رأس الدورة عشان الان sigma
+
+239
+00:22:35,370 --> 00:22:39,870
+of n أيش بيساوي؟ بيساوي ال product هذا هذا للنظرية
+
+240
+00:22:39,870 --> 00:22:46,500
+في شرح النظرية بدأنا وقلنا ليش سبب هيك؟المجموع الـ
+
+241
+00:22:46,500 --> 00:22:49,240
+divisors دي مش هنتيجي على الموضوع لإنه فيه تفاصيل
+
+242
+00:22:49,240 --> 00:22:52,220
+مجموع الـ divisors بساوي اللي هو عبارة عن ال
+
+243
+00:22:52,220 --> 00:22:54,860
+product واحد زائد بي آي زائد بي آي تربيع زائد بي
+
+244
+00:22:54,860 --> 00:22:58,520
+آي ألف آي سببه البسيط لإنه أصلا ال divisors للبي
+
+245
+00:22:58,520 --> 00:23:03,840
+آي ألف آي هيها فلما الآن أضربهم في بعض بيصير عندي
+
+246
+00:23:03,840 --> 00:23:07,780
+بيجيب كل ال divisors و بيجمحل لبعض فبتطلع إياه
+
+247
+00:23:07,780 --> 00:23:11,600
+شماله sum of divisors وهذا شرحناه سابقاً طيب
+
+248
+00:23:14,750 --> 00:23:19,990
+نأخد الان الـ conversely نفترض
+
+249
+00:23:19,990 --> 00:23:23,610
+ان
+
+250
+00:23:23,610 --> 00:23:33,210
+sigma of n is odd برضه
+
+251
+00:23:33,210 --> 00:23:38,130
+هتلاقوا اللي هو تقاطعات البرهان الكتيرة هنكرر كلام
+
+252
+00:23:38,130 --> 00:23:40,930
+حكي لان suppose that
+
+253
+00:23:43,830 --> 00:23:51,950
+that sigma of N is odd ماشي الحل N أكبر من واحد
+
+254
+00:23:51,950 --> 00:23:59,030
+إذا الـ N عندي هتصير عبارة عن بي واحد بيتا واحد
+
+255
+00:23:59,030 --> 00:24:04,390
+لعند بي ار بيتا ايش ار حيث بي واحد و بي اتنين و بي
+
+256
+00:24:04,390 --> 00:24:12,570
+ار ار distinct primes معاياالآن بتاخد حالتين عندي
+
+257
+00:24:12,570 --> 00:24:18,830
+الـ B1 إما هتكون odd أو هتكون even مظبوط ولا لا؟
+
+258
+00:24:18,830 --> 00:24:27,910
+الآن الحالة الأولى case 1 B1 is odd الحالة التانية
+
+259
+00:24:27,910 --> 00:24:38,960
+B1 is even في حالة الـ B1 is oddهيصير ان كله نود
+
+260
+00:24:38,960 --> 00:24:42,980
+لان هدول ايش كاتبلن في ال canonical four بي واحد
+
+261
+00:24:42,980 --> 00:24:45,540
+اصغر من بي اتنين اصغر من بي تلاتة لو انت اصغر من
+
+262
+00:24:45,540 --> 00:24:51,740
+بي ار اذا ال sigma of n تبعتي لما بدى احسبها في
+
+263
+00:24:51,740 --> 00:24:54,860
+الحساب العادى اللى عندى هذه او هذه التانية اللى
+
+264
+00:24:54,860 --> 00:25:00,520
+هتوصلنا هو عبارة عن ال product للواحد زائد بي اي
+
+265
+00:25:00,810 --> 00:25:09,790
+لما أصل لعند بي أس آي أس بي أس بي ل .. اللي هو ايه
+
+266
+00:25:09,790 --> 00:25:18,150
+او Beta I I من عند واحد لعندها، بصجوط؟ طيب الآن
+
+267
+00:25:18,150 --> 00:25:23,990
+احنا مفترضين Sigma of N إيه اش مالها؟ is odd إذا
+
+268
+00:25:23,990 --> 00:25:27,730
+هذا ال product يعني اللي طلع عندي مفترض ليه أنه
+
+269
+00:25:27,730 --> 00:25:34,790
+إيه إيش؟ oddما دام ال product is odd عندي أعداد
+
+270
+00:25:34,790 --> 00:25:41,150
+��ضروبة في بعض odd لازم يطلع كل واحد إيهاش لأنه و
+
+271
+00:25:41,150 --> 00:25:44,410
+لو واحد فيه even زي ما قولنا بده يطلع even إذا صار
+
+272
+00:25:44,410 --> 00:25:50,350
+عندي هذا واحد زائد بي اي زائد بي اي بيتا اي is odd
+
+273
+00:25:50,350 --> 00:25:55,670
+for every iعندي الان هذا واحد الانصار المتبقي
+
+274
+00:25:55,670 --> 00:26:04,790
+اشماله زوجي ماشي هذا المتبقي مجموع زوجي معايا الان
+
+275
+00:26:04,790 --> 00:26:11,370
+كل واحد منهم odd إذا لازم يكون عددهم even حشان
+
+276
+00:26:11,370 --> 00:26:16,990
+يطلع زوجي لإن لو كان عددهم odd ومجموعات لبعض هيطلع
+
+277
+00:26:16,990 --> 00:26:25,730
+odd لإن كلهم odd تات كمان مرة عندي الآنالعدد الكل
+
+278
+00:26:25,730 --> 00:26:29,930
+odd معطينيا وهي
+
+279
+00:26:29,930 --> 00:26:36,630
+العدد كله هذا عبارة عن product of numbers إذا each
+
+280
+00:26:36,630 --> 00:26:42,470
+number must be odd عشان نحصل على النتيجة odd إذا
+
+281
+00:26:42,470 --> 00:26:50,670
+صار عندي واحد زائد bi زائد bi أس beta i كل term من
+
+282
+00:26:50,670 --> 00:26:56,570
+هذول is oddماشي الحال إذا بدون الواحد صار الـ even
+
+283
+00:26:56,570 --> 00:27:03,130
+طيب الآن هذول مجموعات إلى بعض و هم even المجموع
+
+284
+00:27:03,130 --> 00:27:09,370
+even ماشي الحال و كل واحد فيه نقض عشان يكون مجموح
+
+285
+00:27:09,370 --> 00:27:16,560
+نقض لازم يكون عددهم عددهم زوجيلأن لو كنا عند ادهين
+
+286
+00:27:16,560 --> 00:27:20,060
+فردي تلاتة و خمسة و سبعة بطلع odd لكن تلاتة و خمسة
+
+287
+00:27:20,060 --> 00:27:24,300
+even تلاتة و خمسة و سبعة و تسعة even و هكذا إذن
+
+288
+00:27:24,300 --> 00:27:30,240
+حيكون عددهين even عددهين bi إذن ال bi إيش هتكون
+
+289
+00:27:30,240 --> 00:27:37,230
+على صورة اتنين Alpha Ieven طبعا 2000I إذا صارت
+
+290
+00:27:37,230 --> 00:27:43,010
+عندي بي اي بيساوي 2000I for every I بمعنى صار عندي
+
+291
+00:27:43,010 --> 00:27:47,470
+الآن الان اللي فوق إذا الان اللي عندي فوق هتسوي
+
+292
+00:27:47,470 --> 00:27:51,970
+على صورة بي واحد اتنين الف واحد لعين بي ار اتنين
+
+293
+00:27:51,970 --> 00:27:58,560
+الف ار وهذه ايش بتساويB1 ألف واحد لعين بي آر ألف
+
+294
+00:27:58,560 --> 00:28:03,920
+آر لكل تربية يعني لما كانت الـ Sigma of أنيا محمد
+
+295
+00:28:03,920 --> 00:28:08,880
+is odd أعطتني في هذه الحالة انه ايش الآن is a
+
+296
+00:28:08,880 --> 00:28:13,940
+perfect square هذه الحالة الأولىهذا كله في حالة بي
+
+297
+00:28:13,940 --> 00:28:18,600
+واحد إيش ما لها بدنا الآن نشوف بي واحد إيش ما لها
+
+298
+00:28:18,600 --> 00:28:26,160
+is even هذي هتطلعلي إما اللي هو perfect square أو
+
+299
+00:28:26,160 --> 00:28:33,940
+twice perfect square ماشي الحالة بتنشوف كيف بي
+
+300
+00:28:33,940 --> 00:28:39,960
+واحد is even معناته صارت عندي وين أكتب صارت عندي
+
+301
+00:28:39,960 --> 00:28:40,360
+خليني
+
+302
+00:28:44,150 --> 00:28:48,530
+معلش خلّيني أكتر هنا، أه؟ نحفظناها دي، و الـOnly
+
+303
+00:28:48,530 --> 00:28:55,980
+بتستخدمها بعد شويةعند الآن يا جماعة نيجي نشتغل بي
+
+304
+00:28:55,980 --> 00:29:01,200
+واحد is إياش is even علم النفس مهم طيب بي واحد is
+
+305
+00:29:01,200 --> 00:29:05,380
+إياش is even طيب صلوا على النبي عليه الصلاة
+
+306
+00:29:05,380 --> 00:29:10,820
+والسلام كمان مرة عند الآن صارت الان الان عبارة عن
+
+307
+00:29:10,820 --> 00:29:14,200
+بي واحد بيتا واحد و هاد ال بي واحد بيتا واحد
+
+308
+00:29:14,200 --> 00:29:19,220
+اتنينات اه يعني صارت الان عند عبارة عن اتنين أس
+
+309
+00:29:19,220 --> 00:29:26,760
+بيتا واحدمعايا في B2 أُس Beta 2 لعند B R أُس Beta
+
+310
+00:29:26,760 --> 00:29:33,760
+R اتفجنا؟ هذه الحالة التانية إذا صارت عندي الـ B1
+
+311
+00:29:33,760 --> 00:29:40,580
+even صار عندي الآن Sigma of N بتحسبها، بتساوي طبعا
+
+312
+00:29:40,580 --> 00:29:45,180
+هو ماعطينا الـ Sigma of N is odd وبدنا نستنتج إنه
+
+313
+00:29:45,180 --> 00:29:48,900
+N يا perfect square يا twice perfect square عشان
+
+314
+00:29:48,900 --> 00:29:52,250
+ما تنسوش أشي اللي بدنا يقعالآن حسب الحسبة هذا
+
+315
+00:29:52,250 --> 00:29:57,090
+بيصير عبارة عن واحد زاد اتنين زاد اتنين تربيع لما
+
+316
+00:29:57,090 --> 00:30:02,510
+أصل لتنين أس بيط واحد مضروبة في البجيات فاهمين
+
+317
+00:30:02,510 --> 00:30:08,530
+البجيات مين هم اللي هو بي واحد زاد بي اي زاد بي اي
+
+318
+00:30:08,530 --> 00:30:14,630
+تربيع لما أصل لعند بي اي أس بيط اي اي من عند اتنين
+
+319
+00:30:14,630 --> 00:30:19,430
+لعند مين لعند ار معايا شباب
+
+320
+00:30:22,540 --> 00:30:26,840
+الان متفجرين ان الـSigma of N is Odd إذا الهادي
+
+321
+00:30:26,840 --> 00:30:31,160
+على بعض أكيد إيه شمالها؟ Odd وعملناها قبل بشوية
+
+322
+00:30:31,160 --> 00:30:36,740
+عملناها و طلعتلنا إن هادي هتكون على صورة B2 2
+
+323
+00:30:36,740 --> 00:30:41,220
+Alpha 2 لعين بي R 2 Alpha R طلعناها من اللي قبل صح
+
+324
+00:30:41,220 --> 00:30:45,960
+ولا لأ؟ طيب الآن هادي وبرضه هادي غصب عنها هتطلع
+
+325
+00:30:45,960 --> 00:30:53,150
+إيش؟ Oddمزام odd طب ما هن هدوء لكل ينقش مال هن
+
+326
+00:30:53,150 --> 00:31:00,650
+اللي هو even اه و هذه واحد اذا هذا odd من ذاتها
+
+327
+00:31:00,650 --> 00:31:07,870
+odd من ايش من ذاتها سواء beta واحد even ولا odd
+
+328
+00:31:07,870 --> 00:31:17,380
+اذا بتصير هذه لحالتينB1 is even وB1 is odd إذا B
+
+329
+00:31:17,380 --> 00:31:22,000
+يعني بتساوي هذه عبارة عن هيصير عبارة عن هذه يعني
+
+330
+00:31:22,000 --> 00:31:27,160
+الأم تبعتنا هذه هتصير عبارة عن اللي هو أوجد نص هنا
+
+331
+00:31:27,160 --> 00:31:34,590
+ماشي بيصير اتنين أس بيتا واحدبيتنين أس اتنين ألف
+
+332
+00:31:34,590 --> 00:31:39,870
+اتنين لعند بي ار اتنين ألف ار هدولة جذبنا ان هي
+
+333
+00:31:39,870 --> 00:31:44,330
+اكسرتهم الاهالي ماجذبناش بيت واحد ممكن تكون even
+
+334
+00:31:44,330 --> 00:31:48,990
+ممكن تكون ايش قد دا نفيه لحالتين حالة انها تكون
+
+335
+00:31:48,990 --> 00:31:56,090
+even يعني حصورة ايش مع الها اتنين ألف واحد او حالة
+
+336
+00:31:56,090 --> 00:32:00,680
+انها تكون odd اللي هي اتنين ألف واحد زادفى بي
+
+337
+00:32:00,680 --> 00:32:05,960
+اتنين الف اتنين الف اتنين لعند بي ار اتنين الف ار
+
+338
+00:32:05,960 --> 00:32:13,580
+الاولى هتطلعلي perfect square الاولى هتطلعلي
+
+339
+00:32:13,580 --> 00:32:17,460
+perfect square اللى هو اتنين بي اتنين لعند بي ار
+
+340
+00:32:17,460 --> 00:32:23,540
+الكل تربيع الف اتنين الف ار التانى ايش هتطلعليه
+
+341
+00:32:24,590 --> 00:32:29,930
+تنين perfect square twice perfect square هتطلع
+
+342
+00:32:29,930 --> 00:32:37,110
+للتاني اللي هو تنين في تنين أس
+
+343
+00:32:37,110 --> 00:32:43,290
+الف واحد بي اتنين الف اتنين لعين بي ار الف ار لكل
+
+344
+00:32:43,290 --> 00:32:53,000
+تاريخ لما كانت sigma n is oddSigma n is odd طلعتني
+
+345
+00:32:53,000 --> 00:32:58,100
+الان يا بتطلع perfect square يا twice ايهاش
+
+346
+00:32:58,100 --> 00:33:09,740
+perfect square اي سؤال اللي بعده يلا لا
+
+347
+00:33:09,740 --> 00:33:13,200
+اللي بعده اللي بعده اطلع سؤال تمانية ايوة اكبر اي
+
+348
+00:33:13,200 --> 00:33:16,500
+سؤال تمانية ايوة اطلع لفوق اطلع السؤال ايش بدك فيه
+
+349
+00:33:16,500 --> 00:33:23,030
+سؤال تمانية ماشي الحالالأسئلة عموما كلها محلولة بس
+
+350
+00:33:23,030 --> 00:33:26,590
+خلينا ناخد الأسئلة اللي احنا طلبناها منكم لان مش
+
+351
+00:33:26,590 --> 00:33:33,330
+هنلاحق الان بدنا نثبت ال summation واحد على دي دي
+
+352
+00:33:33,330 --> 00:33:37,990
+بتكسب ان بسوا sigma of n على مين على ان نطلع عليها
+
+353
+00:33:37,990 --> 00:33:39,950
+و نشوف كيف نتعامل مع حياتك أسئلة
+
+354
+00:33:57,320 --> 00:34:02,620
+هقولنا يا شباب السؤال اللي هو تمانية show that
+
+355
+00:34:02,620 --> 00:34:09,400
+اللي هو summation واحد على دي دي بتكسب n هذه ال
+
+356
+00:34:09,400 --> 00:34:12,580
+summation واحد على دي دي بتكسب n دي هو ال replic
+
+357
+00:34:12,580 --> 00:34:16,320
+اللي هو أنات زي ما بدك في الدار هتلاقيها دايما
+
+358
+00:34:16,320 --> 00:34:25,760
+بتساوي sigma of n على n ال proofأحنا حكينا المرة
+
+359
+00:34:25,760 --> 00:34:29,720
+الماضية و قبل شوية حكيتها عشان أستخدمها أنه لو
+
+360
+00:34:29,720 --> 00:34:41,120
+كانت F is multiplicative then F of N على صورة F of
+
+361
+00:34:41,120 --> 00:34:46,000
+D دي بتجسم N برضه أشمالها multiple
+
+362
+00:34:48,130 --> 00:34:54,510
+إذا لما نكون في عندي summation على دي بتقسم ان لا
+
+363
+00:34:54,510 --> 00:35:00,290
+إش جوا أول ما أخطر بالي أروح باتجاه ان ال
+
+364
+00:35:00,290 --> 00:35:04,030
+summation كله مع ال function اللي جوا اني أقول
+
+365
+00:35:04,030 --> 00:35:09,410
+عنها رايحة باتجاه ال multiplicative ومن ثم إيجادها
+
+366
+00:35:09,410 --> 00:35:13,990
+بيصير سهل باستخدام ال multiplicative إيش اللي
+
+367
+00:35:13,990 --> 00:35:17,900
+بقوله؟ خليني أشوفبس على الحالة سؤال قبل الـ 1 على
+
+368
+00:35:17,900 --> 00:35:19,840
+D لما أخد فانشين F of D بيسوي 1 على D
+
+369
+00:35:19,840 --> 00:35:23,780
+multiplicative برضه اللي هو شعوري ان هو
+
+370
+00:35:23,780 --> 00:35:27,100
+multiplicative و هتلاقي انه فعلا multiplicative
+
+371
+00:35:27,100 --> 00:35:30,420
+وسادف بقى انها multiplicative اذا اول اشي بدي
+
+372
+00:35:30,420 --> 00:35:37,360
+احاول اجايف هذه للصورة هذه بدي اقول له let F of D
+
+373
+00:35:37,360 --> 00:35:43,440
+بيسوي 1 على D ماشي الحالة الان F بتدعي انها
+
+374
+00:35:43,440 --> 00:35:49,070
+multiplicativeليش Multiplicative؟ تستسهل Let D1
+
+375
+00:35:49,070 --> 00:35:51,930
+وD2 element in Z بحيث الـ Greatest common divisor
+
+376
+00:35:51,930 --> 00:36:00,230
+بينهما يكون 1 وحسبني F of D1 في D2 بساوةاللي هو
+
+377
+00:36:00,230 --> 00:36:05,470
+حسب القانون هو 1 على D1 في D2 صح ولا لأ اللي هي
+
+378
+00:36:05,470 --> 00:36:11,330
+بيساوي 1 على D1 في 1 على D2 ويساوي F of D1 في F of
+
+379
+00:36:11,330 --> 00:36:16,790
+D إذا واضح أن F is a multiplicative function ماشي
+
+380
+00:36:16,790 --> 00:36:22,850
+الحال طيب مدام F multiplicative بتشجعني أن أقول
+
+381
+00:36:22,850 --> 00:36:31,820
+let F of Nبساوية الـ summation للـ F of D دي
+
+382
+00:36:31,820 --> 00:36:36,720
+بتجسمها اللي يمين اللي عبارة عن summation واحد على
+
+383
+00:36:36,720 --> 00:36:43,120
+D دي بتجسم اللي أنا بدور عليها بما أن F is
+
+384
+00:36:43,120 --> 00:36:47,200
+multiplicative إذا ال summation هذا إشماله is
+
+385
+00:36:47,200 --> 00:36:50,380
+multiplicative حسب النظرية اللي عندنا إذا صارت ال
+
+386
+00:36:50,380 --> 00:36:56,170
+F كابتنة إشمالها is multiplicativeالآن أنا بستخدم
+
+387
+00:36:56,170 --> 00:36:59,470
+الـ Multiplicative عشان تسهّل عليّ عملية الحسابات
+
+388
+00:36:59,470 --> 00:37:02,370
+طب عملية الحسابات كيف تسهّل في حالة الـ
+
+389
+00:37:02,370 --> 00:37:05,690
+Multiplicative أنه أنا بكتبها على صورة Product of
+
+390
+00:37:05,690 --> 00:37:10,130
+Primes فبصير إيجاد اللي هي الـ Function للـ Primes
+
+391
+00:37:10,130 --> 00:37:14,370
+في الغالب الأسئلة اللي بالشكل هذا أسهل من نوجد للـ
+
+392
+00:37:14,370 --> 00:37:17,410
+N in general طب مدهن بدي أروح باتجاه الـ Product
+
+393
+00:37:17,410 --> 00:37:21,030
+of Primes لأن الـ N التابعتي بتكون أكبر من مين؟ من
+
+394
+00:37:21,030 --> 00:37:24,930
+واحدأذا بدي أعالج حالتي الواحد لحالة مثل ما علجنا
+
+395
+00:37:24,930 --> 00:37:29,270
+قبل قليل حالتي الواحد معالجة و خالصة يعني من رأس
+
+396
+00:37:29,270 --> 00:37:54,600
+الدهر لو كتبناإذا N أكبر من 1 إذا N
+
+397
+00:37:54,600 --> 00:38:03,520
+أكبر من 1 إذا N أكبر من 1إذاً by unique
+
+398
+00:38:03,520 --> 00:38:07,700
+factorization theorem N can be written as N بساوية
+
+399
+00:38:07,700 --> 00:38:15,740
+P1 Alpha 1 لعين PR Alpha HR معايا يا شباب؟ إذا صار
+
+400
+00:38:15,740 --> 00:38:22,520
+عندي F of N حسب تسهلة بساوية F of P1 Alpha 1 لعين
+
+401
+00:38:22,520 --> 00:38:27,040
+PR Alpha R بساوية F is multiplicative إذاً by
+
+402
+00:38:27,040 --> 00:38:30,180
+induction one can easily show that اللي هو بساوية
+
+403
+00:38:30,180 --> 00:38:39,610
+Fof b1 α1 عن bA F of bR αR ليش؟ لأن كل واحد منهم
+
+404
+00:38:39,610 --> 00:38:43,290
+بي واحد ومع الـ B التاني بي اتنين مع بي تلاتة R
+
+405
+00:38:43,290 --> 00:38:47,770
+Relatively Primes in Pairs فأكيد اللي هو بتتوزع
+
+406
+00:38:47,770 --> 00:38:52,110
+الـ F إذن الآن صارت التحول للسؤال إن بس أودد مين؟
+
+407
+00:38:52,110 --> 00:38:56,990
+F of bI αI بدي أوددهم، بضربهم في بعض، بطلع اللي هو
+
+408
+00:38:56,990 --> 00:39:01,580
+المطلوب تمشيوف كيف، إذن استراتيجية الحل سهلةبتظهر
+
+409
+00:39:01,580 --> 00:39:07,680
+عملية عملية اللي هو مهارات حسابات لان احسب f of bi
+
+410
+00:39:07,680 --> 00:39:14,540
+αi بساوي ايش اللي القانون عنده اللي هو f of n
+
+411
+00:39:14,540 --> 00:39:17,500
+بساوي ال summation واحد على دي يعني بيساوي ال
+
+412
+00:39:17,500 --> 00:39:24,500
+summation واحد على دي دي بتجسمين الان bi αi وهنا
+
+413
+00:39:24,500 --> 00:39:31,710
+سهولة ال prime اللي هو قواسم ال bi αi كتليا واحد،
+
+414
+00:39:31,710 --> 00:39:35,750
+يا بي آي، يا بي آي تربيع، يا بي آي تكعيب، لعند ما
+
+415
+00:39:35,750 --> 00:39:40,510
+أصل لعند مين؟ بي آي ألف آي، كل إن هدولة قواصم للبي
+
+416
+00:39:40,510 --> 00:39:45,710
+آي ألف آي، يعني القواصم مش او، و، و، و، يعني
+
+417
+00:39:45,710 --> 00:39:49,330
+القواصمة هي واحد، وبي آي، وبي آي تربيع، وبي آي
+
+418
+00:39:49,330 --> 00:39:54,170
+تكعيب لعند ما أصل بي آي ألف آي، إذا صار عندي
+
+419
+00:39:54,170 --> 00:39:59,880
+ويساوي، هذا صار summation، واحد على واحد،زائد واحد
+
+420
+00:39:59,880 --> 00:40:07,880
+على بي آي زائد واحد
+
+421
+00:40:07,880 --> 00:40:13,520
+على بي آي تربيع لما أصل عند واحد على بي آي ألف آي
+
+422
+00:40:15,110 --> 00:40:20,810
+هذه المتتالية أساسها مين واحد على بي آي ايش
+
+423
+00:40:20,810 --> 00:40:24,810
+قانونها زي ما كنا نقول زمان ريح أسن ونقص واحد علي
+
+424
+00:40:24,810 --> 00:40:29,210
+ريح نقص واحد نون اللي هو عدد مين عدد الحدود لأن
+
+425
+00:40:29,210 --> 00:40:34,470
+عدد الحدود هنا أشماله Alpha I زائد واحد لأن هنا
+
+426
+00:40:34,470 --> 00:40:38,270
+عندنا Alpha I وهي عندي كمان term بيصير Alpha I
+
+427
+00:40:38,270 --> 00:40:44,860
+زائد واحد بيصير اللي هو مجموحة ولا بساوياللي هو
+
+428
+00:40:44,860 --> 00:40:54,620
+واحد على بي آي الأساس أس الف آي زائد واحد ناقص
+
+429
+00:40:54,620 --> 00:41:00,300
+فاهمين عليها واحد على واحد على بي آي ناقص واحد
+
+430
+00:41:00,300 --> 00:41:08,140
+ماشي الحالالان اضرب فوق و تحت اضرب فوق و تحت عشان
+
+431
+00:41:08,140 --> 00:41:14,040
+ابسطها بي آي الف آي زائد واحد على بي آي الف آي
+
+432
+00:41:14,040 --> 00:41:21,760
+زائد واحد بصير عندي هذا المقدار بعد اذا كنت بدأ
+
+433
+00:41:21,760 --> 00:41:22,460
+امسحه
+
+434
+00:41:41,940 --> 00:41:47,860
+شوفوا يا شباب بدّي صارت عندي F of F of P I Alpha I
+
+435
+00:41:47,860 --> 00:41:57,060
+F of P I Alpha I بتساوي اللي هو هذا المقدار ضربته
+
+436
+00:41:57,060 --> 00:42:01,420
+فوق P I Alpha I زائد واحد وتحت نفس الاشي هذا بيصير
+
+437
+00:42:01,420 --> 00:42:09,980
+عبارة عن واحد ناقص P I Alpha I زائد واحد علىبي أس
+
+438
+00:42:09,980 --> 00:42:17,380
+ألف آي ناقص بي أس ألف آي زائد واحد، مظبوط؟ طلّع لي
+
+439
+00:42:17,380 --> 00:42:28,860
+اللي هو واحد على بي آي ألف آي كعامل مشترك زائد
+
+440
+00:42:28,860 --> 00:42:33,640
+واحد، لأ لأ بدون زائد واحد، خلّي واحد ده، بيضل
+
+441
+00:42:33,640 --> 00:42:37,910
+اللي جوا مين هو؟وبدي أضرب بالمرة فوق بناقص و تحت
+
+442
+00:42:37,910 --> 00:42:44,930
+باش بناقص بعد أذنكم بيصير بي آي ألف آي زائد واحد
+
+443
+00:42:44,930 --> 00:42:49,190
+ناقص واحد على لما أخد عامل مشترك بي آي ألف واحد
+
+444
+00:42:49,190 --> 00:42:53,270
+بيصير واحد ناقص بي آي لما أضربه في ناقص في السيرة
+
+445
+00:42:53,270 --> 00:43:00,370
+الشمالها بي آي ناقص واحد واضح ها واضح اللي سويته
+
+446
+00:43:00,370 --> 00:43:06,920
+لأن هذه ال F of واحدة منهمالأن F of N إيش مالها؟
+
+447
+00:43:06,920 --> 00:43:11,520
+حاصل ضربهم كلهم، مظبوط؟ إذا الـ F of N هي ال
+
+448
+00:43:11,520 --> 00:43:15,120
+product للـ F of P واحد Alpha واحد لعند F of P R
+
+449
+00:43:15,120 --> 00:43:21,780
+Alpha R إذا صار عندي F of N بساوي له product لهذه
+
+450
+00:43:21,780 --> 00:43:26,780
+اللي هو عبارة عن ال product لواحد على P I Alpha I
+
+451
+00:43:27,860 --> 00:43:33,680
+معايا يا شباب في بي آي ألف آي زائد واحد ناقص واحد
+
+452
+00:43:33,680 --> 00:43:39,840
+على بي آي ناقص واحد I من عند واحد لعند مين R الآن
+
+453
+00:43:39,840 --> 00:43:44,300
+ال product لهذه بي واحد ألف واحد بي اتنين ألف
+
+454
+00:43:44,300 --> 00:43:48,140
+اتنين بي تلت ألف تلت لعند بي R ألف R من هي الان
+
+455
+00:43:48,140 --> 00:43:53,120
+إذا صار هذا ال product عبارة عن واحد علان مضروب
+
+456
+00:43:53,120 --> 00:43:59,020
+فيهالـ product هذا هو عبارة عن sigma of N إذا صار
+
+457
+00:43:59,020 --> 00:44:03,380
+عبارة عن 1 على N في sigma of N of N أخر sigma of N
+
+458
+00:44:03,380 --> 00:44:10,120
+على N وهو المقبول إذا صار عندي اللي هو sigma of N
+
+459
+00:44:10,120 --> 00:44:14,900
+على N بساوي اللي هو F of N F of N مين هي أصلا اللي
+
+460
+00:44:14,900 --> 00:44:19,240
+عبارة عن فرضناها اللي هو summation 1 على D D بتكسب
+
+461
+00:44:19,240 --> 00:44:19,420
+N
+
+462
+00:44:27,090 --> 00:44:32,150
+هدولة مين هنا؟ هدولة مين هنا؟ هدول ال product اللي
+
+463
+00:44:32,150 --> 00:44:38,310
+هنا 1 على B1 Alpha 1 في 1 على B2 Alpha 2 لما 1 على
+
+464
+00:44:38,310 --> 00:44:44,990
+B R Alpha R عصر ضرب ان هدولة مين هنا؟ لأ مش ال
+
+465
+00:44:44,990 --> 00:44:50,770
+factorization للأن مش هي الأن اه و يساوي 1 على N
+
+466
+00:44:50,770 --> 00:44:53,630
+أي سؤال؟
+
+467
+00:44:55,560 --> 00:45:04,400
+بعد تبانية نيجي لسؤال 12 12 .. 12 .. 12 الأسئلة ..
+
+468
+00:45:04,400 --> 00:45:10,340
+الأسئلة .. الأسئلة جزء مهم من المادة خصوصا في الـ
+
+469
+00:45:10,340 --> 00:45:15,340
+Chapter هذا لأن الأسئلة بتحمل فكرة عديدة إن ما
+
+470
+00:45:15,340 --> 00:45:19,660
+حلتهاش هتحس حالك اللي هو في عندك نقص كبير في الفهم
+
+471
+00:45:19,660 --> 00:45:28,380
+للمادة نيجي ل .. بدنا نحلاللي هو المعادلة أو الـ
+
+472
+00:45:28,380 --> 00:45:35,900
+possible solutions for tau of n بتساوية عشرة طبعا
+
+473
+00:45:35,900 --> 00:45:38,480
+ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال
+
+474
+00:45:38,480 --> 00:45:39,140
+.. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال ..
+
+475
+00:45:39,140 --> 00:45:39,780
+ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال
+
+476
+00:45:39,780 --> 00:45:39,780
+.. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال ..
+
+477
+00:45:39,780 --> 00:45:39,800
+ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال
+
+478
+00:45:39,800 --> 00:45:39,880
+.. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال ..
+
+479
+00:45:39,880 --> 00:45:39,980
+ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال
+
+480
+00:45:39,980 --> 00:45:40,080
+.. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال ..
+
+481
+00:45:40,080 --> 00:45:40,500
+ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال
+
+482
+00:45:40,500 --> 00:45:40,560
+.. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال ..
+
+483
+00:45:40,560 --> 00:45:40,560
+ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال
+
+484
+00:45:40,560 --> 00:45:51,360
+.. ال .. ال ..
+
+485
+00:45:51,360 --> 00:45:53,300
+ال .. ال ..
+
+486
+00:45:54,890 --> 00:45:59,150
+البرمجة النايه اللي بيكون تمنيها طيب لنتشوف سؤال
+
+487
+00:45:59,150 --> 00:46:04,570
+12 find the form of the positive of all positive
+
+488
+00:46:04,570 --> 00:46:08,650
+integers and satisfying tau of n بساوة عشانها
+
+489
+00:46:08,650 --> 00:46:13,230
+بقوللي أوجد كل ال positive integers اللي بيحقق إن
+
+490
+00:46:13,230 --> 00:46:19,130
+tau of n إيش بساوة بساوة عشانها و بقوللي بعدين
+
+491
+00:46:19,130 --> 00:46:25,510
+أوجد أصغر واحدمن هنا What is the smallest integer
+
+492
+00:46:25,510 --> 00:46:33,970
+لهو for such ends ناشي؟ بده نوجد أصغر واحد فيهم هو
+
+493
+00:46:33,970 --> 00:46:38,670
+الجزء الأول هو خلّيني أقول هو اللي فيه الفكرة
+
+494
+00:46:38,670 --> 00:46:41,490
+الجزء الثاني على طول بطلع لإنه بيصير أصغر واحد
+
+495
+00:46:41,490 --> 00:46:44,890
+تعرف أصغر واحد سهل يجده صلى على النبي عليه الصلاة
+
+496
+00:46:44,890 --> 00:46:48,530
+والسلام solution إحنا
+
+497
+00:46:49,500 --> 00:46:53,820
+جابل بشوية لما جينا كتبنا Tau of N لـ N بتساوي P1
+
+498
+00:46:53,820 --> 00:46:58,380
+α1 لعند PR αR من وجه الفكرة Tau of N إيش بتساوي
+
+499
+00:46:58,380 --> 00:47:03,060
+عبارة عن الف واحد زائد واحد لعند Alpha R زائد إيش
+
+500
+00:47:03,060 --> 00:47:07,640
+واحد إذا Tau of N هي عبارة عن اللي هي جاية من مين
+
+501
+00:47:07,640 --> 00:47:13,500
+من أسس الـ Primes تبعات اللي هي ال factors لمين لـ
+
+502
+00:47:13,500 --> 00:47:19,350
+N مظبوط ولا لأ طيبالان الفكرة في الحل ان هذه
+
+503
+00:47:19,350 --> 00:47:23,710
+العشرة بتشوف .. طبعا ال product توفر ان عبارة عن
+
+504
+00:47:23,710 --> 00:47:29,070
+product of أسس بتشوف كل productات الممكنة للعشرة
+
+505
+00:47:29,070 --> 00:47:34,710
+ماشي الحالالـ Product الممكن للأول عشر أيش هي؟
+
+506
+00:47:34,710 --> 00:47:38,110
+اتنين و تلاتة و خمسة سيبك من الواحد لأن الواحد مش
+
+507
+00:47:38,110 --> 00:47:40,830
+هيكون له قيمة لأنه بيصير Alpha واحد زاد واحد
+
+508
+00:47:40,830 --> 00:47:43,910
+بيساوي واحد بيطلع Alpha واحد بيساوي سفر بيصير و
+
+509
+00:47:43,910 --> 00:47:46,470
+كأنه الواحد احنا نقول الـ unique factorization
+
+510
+00:47:46,470 --> 00:47:52,950
+theorem خلاص ما هو احنا الواحد الواحد neglected اه
+
+511
+00:47:52,950 --> 00:48:00,700
+طيببناء عليه إنه انسى جثة الواحد ك factor إلى أن
+
+512
+00:48:00,700 --> 00:48:03,660
+نقول عشر في واحد واحد كله ما هو عشر في واحد في
+
+513
+00:48:03,660 --> 00:48:06,660
+واحد في واحد في واحد وكله مش عامل غلب حالك كل اللي
+
+514
+00:48:06,660 --> 00:48:10,240
+هيطلع إن إيش حاجة واحدة لإن الألفات تبعتك هيطلع إن
+
+515
+00:48:10,240 --> 00:48:13,020
+إيش وما هي اللي تبعت الواحد سفر هل جيت تفهم شو
+
+516
+00:48:13,020 --> 00:48:17,540
+معناته؟ حتفهم؟ طيب، إذا الآن الفكرة العشر ميل
+
+517
+00:48:17,540 --> 00:48:20,960
+الـdivisors لها لإن بتكتبها على صورة ال product
+
+518
+00:48:20,960 --> 00:48:25,440
+عشرة، بقدر أكتبها على صورة عشرةهو عشرة بقى قدر
+
+519
+00:48:25,440 --> 00:48:30,940
+اكتبها على سورة 2؟ في غير هيك؟ لأ طبعا أكيد لأ
+
+520
+00:48:30,940 --> 00:48:37,960
+طبعا نيجي الآن بنقول العشرة الـ tau of N العشرة
+
+521
+00:48:37,960 --> 00:48:43,100
+هذه عبارة عن .. هتعملني عبارة عن tau of N بساوي
+
+522
+00:48:43,100 --> 00:48:50,380
+Alpha 1 زي 1 يعني الحالة الأولى F اللي هو او case
+
+523
+00:48:50,380 --> 00:48:59,190
+1الفا واحد زائد واحد بيساوي عشرة case two الفا
+
+524
+00:48:59,190 --> 00:49:04,810
+واحد زائد واحد في الفا اتنين زائد واحد بيساوي
+
+525
+00:49:04,810 --> 00:49:09,830
+اتنين في مين؟ مظبوط ولا لا؟ في غير هيك؟ لأ اللي
+
+526
+00:49:09,830 --> 00:49:12,290
+فيجيبني العشرة بس ان اتنين في الخمسة هو العشرة
+
+527
+00:49:12,290 --> 00:49:17,070
+وقول لي ليش هذه بتعطيني إذا الفا واحد ده إيش
+
+528
+00:49:17,070 --> 00:49:26,780
+بيساوي إذا انتبعتنا هتصير عبارة عن بيأُس تسعة ماشي
+
+529
+00:49:26,780 --> 00:49:30,240
+الحال من وين هذه اللي قد جاية ما احنا قلنا أصل
+
+530
+00:49:30,240 --> 00:49:33,320
+الموضوع أن بسوء بي واحد ألف واحد أن بي أر ألف أر
+
+531
+00:49:33,320 --> 00:49:38,080
+التوقف عن هو عدد ال devices اللي هي حاسن product
+
+532
+00:49:38,080 --> 00:49:44,040
+of الأسس لأن بما أنه product of numbers عندي بدي
+
+533
+00:49:44,040 --> 00:49:47,920
+أوجد هذول الاحتماليات اللي بيولدن العشرة التوقف أن
+
+534
+00:49:47,920 --> 00:49:51,970
+تولد العشرة هي اما بعشرة لحالهايا أما بـ2×5 في حال
+
+535
+00:49:51,970 --> 00:49:55,870
+تولد بـ10 لحالها وهذا قيمة التوف أن إذا قيمتها على
+
+536
+00:49:55,870 --> 00:49:58,870
+صورة ألف واحد زائد واحد أخدتها كمية واحدة أول شيء
+
+537
+00:49:58,870 --> 00:50:02,390
+إذا الألف واحد ايش صارت بالساوية تسعة إذا الأن
+
+538
+00:50:02,390 --> 00:50:08,430
+تبعتها عبارة عن بي واحد أس تسعة يعني تبعتها بي أس
+
+539
+00:50:08,430 --> 00:50:14,430
+تسعة نجي الآن التانية عبارة عن ألف واحد بالساوية
+
+540
+00:50:14,430 --> 00:50:20,870
+اتنين أسف واحد فاهمين أه؟ألف اتنين بيساوي اياش
+
+541
+00:50:20,870 --> 00:50:32,270
+اربع معايا يعني عندي اللي هو ال M عندي هتصير بي
+
+542
+00:50:32,270 --> 00:50:41,830
+وحد في Q او بي واحد بي اتنين اص اياش اص اربع
+
+543
+00:50:45,110 --> 00:50:49,470
+و بيه واحد و بيه اتنين انا بـ Primes انا Distinct
+
+544
+00:50:49,470 --> 00:50:57,310
+Primes اه و بيه هذي و هذي يعني الآن .. يعني كلهم
+
+545
+00:50:57,310 --> 00:51:00,970
+هذولة و كلهم هذولة هذولة Infinite و هذولة Infinite
+
+546
+00:51:00,970 --> 00:51:05,760
+دي البالةهؤلاء أي برايم في الدنيا ترفع إلى تسعة
+
+547
+00:51:05,760 --> 00:51:09,600
+تطلع الـ tau van الواش بتساوي عشرة وأي برايم في
+
+548
+00:51:09,600 --> 00:51:14,420
+الدنيا بي واحد في بي اثنين واسة أربعة تطلع برضه
+
+549
+00:51:14,420 --> 00:51:21,750
+جداش عشرةإذا the set of all such ands are the set
+
+550
+00:51:21,750 --> 00:51:28,230
+of all such numbers in the form b9 where b is any
+
+551
+00:51:28,230 --> 00:51:36,730
+prime and بتسوى b1, b2 to the 4 where b1 and b2
+
+552
+00:51:36,730 --> 00:51:42,090
+are any distinct primes الآن طلب اللي بعيد هي إيش
+
+553
+00:51:42,090 --> 00:51:48,310
+هو find the smallestFind the smallest من الـ
+
+554
+00:51:48,310 --> 00:51:52,210
+smallest الآن أصغر واحد في الـ Formة هذه أصغر واحد
+
+555
+00:51:52,210 --> 00:51:58,210
+في الـ Formة هذه اللي هو 2 أُس 9 أصغر واحد في الـ
+
+556
+00:51:58,210 --> 00:52:06,750
+Formة هذه على طول بيجي عبالك أنت 2 في 3 أُس 4 أو 3
+
+557
+00:52:06,750 --> 00:52:13,750
+في 2 أُس 4واضح مين الأصغر هذا أصغر من اللي فوق صح
+
+558
+00:52:13,750 --> 00:52:18,430
+ولا لأ الان الان هذا برضه أصغر من اللي فوق لإن هذا
+
+559
+00:52:18,430 --> 00:52:21,390
+في لسه ذاك هذا مضروب في تلاتة وذاك مضروب في اتنين
+
+560
+00:52:21,390 --> 00:52:26,810
+أس خمسة اذا مين the smallest one اللي هو تلاتة في
+
+561
+00:52:26,810 --> 00:52:36,850
+اتنين أس أربع واضح ها حل السؤال اتناش طيب الان
+
+562
+00:52:36,850 --> 00:52:45,280
+التانيبقول لك ممكن اقول لك find the solution if
+
+563
+00:52:45,280 --> 00:52:52,320
+exists for sigma of n بتساوى عشان اه sigma of n
+
+564
+00:52:52,320 --> 00:52:57,660
+بتساوى عشان اه
+
+565
+00:52:57,660 --> 00:53:03,360
+فكرة فكرة السيجمات انه ال sigma هي عبارة عن ايش
+
+566
+00:53:03,360 --> 00:53:08,410
+مجموع ال divisorsمثلما تموّع الـ divisors إذا الـ
+
+567
+00:53:08,410 --> 00:53:11,530
+N اللي نفسها اللي بوديت لها الـ Sigma واحدة منهن
+
+568
+00:53:11,530 --> 00:53:18,130
+آه فالآن لما أقول sigma of N بساوي اللي هو مية إذا
+
+569
+00:53:18,130 --> 00:53:24,530
+أنا قطعاً قطعاً قطعاً ببحثش عن الحلول من مية وطالع
+
+570
+00:53:24,530 --> 00:53:33,780
+ليش؟ لأن sigma of اللي هي ميةهتصير أكبر من مية
+
+571
+00:53:33,780 --> 00:53:38,140
+يعني أكيد و هذا الكلام صحيح لكل و مية و واحد و مية
+
+572
+00:53:38,140 --> 00:53:39,860
+و اتنين و مية و تلاتة و مية اتنين و تلاتة و مية
+
+573
+00:53:39,860 --> 00:53:39,880
+اتنين و تلاتة و مية اتنين و تلاتة و مية اتنين و
+
+574
+00:53:39,880 --> 00:53:40,040
+تلاتة و مية اتنين و تلاتة و مية اتنين و تلاتة و
+
+575
+00:53:40,040 --> 00:53:40,380
+مية اتنين و تلاتة و مية اتنين و تلاتة و مية اتنين
+
+576
+00:53:40,380 --> 00:53:41,420
+و تلاتة و مية اتنين و تلاتة و مية اتنين و تلاتة و
+
+577
+00:53:41,420 --> 00:53:44,720
+مية اتنين و تلاتة و مية اتنين و تلاتة و مية اتنين
+
+578
+00:53:44,720 --> 00:53:48,790
+و تلاتة و مية اتنين وماشي احنا بنشتغل على اشي ع
+
+579
+00:53:48,790 --> 00:53:52,490
+جدنا اللي هو ع جد المعلومات اللي حتى الان بنيت هنا
+
+580
+00:53:52,490 --> 00:53:57,390
+جهلنا انه sigma of n بسوء عشرة find all solutions
+
+581
+00:53:57,390 --> 00:54:06,380
+if exist اذا بدي اقوله we investigate onlyon n
+
+582
+00:54:06,380 --> 00:54:13,400
+less than عشرة او less than or equal تسعة why?
+
+583
+00:54:13,660 --> 00:54:20,060
+because sigma of n is always greater strictly than
+
+584
+00:54:20,060 --> 00:54:25,700
+ten او sigma of n is strictly greater than n
+
+585
+00:54:25,700 --> 00:54:31,860
+فاهمين علينا بقولها احنا بنبحث في الأجل من الـ n
+
+586
+00:54:32,940 --> 00:54:37,580
+اللي ماعطيها، اللي هي العشرة لأجل من عشرة لأن الـ
+
+587
+00:54:37,580 --> 00:54:42,060
+Sigma of عشرة واللي بعيدها دايماً أكبر من عشرة
+
+588
+00:54:42,060 --> 00:54:48,900
+للحقيقة اللي بتقولك Sigma of N أكبر من N for every
+
+589
+00:54:48,900 --> 00:54:52,620
+N بناقل
+
+590
+00:54:52,620 --> 00:55:02,090
+عليه لما بيقول Find a solutionof sigma of n بساوية
+
+591
+00:55:02,090 --> 00:55:11,990
+عشرة if exist بدي بقوله sigma of واحد solution
+
+592
+00:55:11,990 --> 00:55:16,690
+sigma of واحد بوجده بساوية واحد sigma of اتنين
+
+593
+00:55:16,690 --> 00:55:26,110
+تلاتة sigma of اربعة اللي هو لأ شو خمسة اتنين قصة
+
+594
+00:55:26,110 --> 00:55:31,890
+اللي هو بطلع سبعة لأ2 أُس 2 سيجما of 4 2 أُس 2
+
+595
+00:55:31,890 --> 00:55:37,790
+ناقص 1 على 2 أُس ناقص 1 ماشي الحالة مظبط 2 أُس 2
+
+596
+00:55:37,790 --> 00:55:43,410
+ناقص فاهمين ايش بقولها عقل ناقص 1 على 2 أس 1 و
+
+597
+00:55:43,410 --> 00:55:50,910
+يساوي 2 أس 1 زائد 1 و يساوي 8 ناقص 1 ناقص 7 ناقص 7
+
+598
+00:55:50,910 --> 00:55:59,960
+مظبط سيجما of 5 6خمسة درجة واحد ستة البرامج سهلة
+
+599
+00:55:59,960 --> 00:56:04,680
+Sigma of ستة اللي هي اتنين في تلاتة اتنين جداش
+
+600
+00:56:04,680 --> 00:56:10,220
+تلاتة و Sigma of تلاتة ماجيبنهاش Sigma of تلاتة
+
+601
+00:56:10,220 --> 00:56:17,200
+اربع هذا اربع في تلاتة اتناش Sigma of مين؟ of ستة
+
+602
+00:56:17,200 --> 00:56:22,220
+فاهمين عليش بقولها Sigma of سبعة تمانية Sigma of
+
+603
+00:56:22,220 --> 00:56:27,830
+تمانيةاللي هي 2 أس 4 ناقص هو يساوي 15 سيجما of 9
+
+604
+00:56:27,830 --> 00:56:34,110
+تلاتة تربيع تلاتة تكعيب ليه؟ اه ليه 26 ع 2 13
+
+605
+00:56:34,110 --> 00:56:41,510
+مظبوط طيب سيجما of 10 قولنا بلاش سيجما of 10 او
+
+606
+00:56:41,510 --> 00:56:45,530
+سيجما of N أكبر من 10 for every N أكبر يساوي 10
+
+607
+00:56:45,530 --> 00:56:56,860
+therefore no such N existsبالظبط؟ مافيش ولا واحدة
+
+608
+00:56:56,860 --> 00:57:03,280
+طلعت عشانها اللي بعده؟ إيش السؤال اللي بعده اللي
+
+609
+00:57:03,280 --> 00:57:09,120
+إحنا طالبينه؟ إحسابات السؤال
+
+610
+00:57:09,120 --> 00:57:15,280
+اللي بعده نحسب .. خليني بس أكمل هذا show that أو
+
+611
+00:57:15,280 --> 00:57:19,640
+show each of the followingعندي N .. طبعا الـ K
+
+612
+00:57:19,640 --> 00:57:22,800
+أشمخد أكبر يساوي 2 عشان .. اللي هو اختصار الوقت
+
+613
+00:57:22,800 --> 00:57:26,100
+لإنه خلص المحاضرة N بيساوي 2 أسكت Minus 1
+
+614
+00:57:26,100 --> 00:57:30,120
+satisfying the equation Sigma of N بيساوي 2 N ناقص
+
+615
+00:57:30,120 --> 00:57:36,760
+إيهاش 1 بدنا نثبت إنه Sigma of هذه الـ N بيساوي 2N
+
+616
+00:57:36,760 --> 00:57:41,950
+ناقص مين؟ ناقص 1 إحسابات و بس إحساباتماشي ال sigma
+
+617
+00:57:41,950 --> 00:57:46,990
+of n بيساوي sigma of 2 أُس k-1 أُس 2 2 أُس k-1
+
+618
+00:57:46,990 --> 00:57:51,630
+اللي هو معروفة اللي هي قيمتها بتضيف 1 وناقص 1 على
+
+619
+00:57:51,630 --> 00:57:56,810
+2 ناقص 1 حيث الأساس إيش 2 معايا الان هذي بيصير
+
+620
+00:57:56,810 --> 00:58:02,370
+عبارة عن 2 أُس k ناقص 1 خد ال 2 برا هذي بيصير 2 في
+
+621
+00:58:02,370 --> 00:58:10,460
+2 k-1 ناقص 1 اللي هي عبارة عن 2 n ناقص 1 واضح؟الان
+
+622
+00:58:10,460 --> 00:58:14,920
+اللي بعضه بيه برضه similarly اتنين أسكيه ماينس
+
+623
+00:58:14,920 --> 00:58:17,760
+واحد is a prime ماعطيك انه اتنين أسكيه ماينس واحد
+
+624
+00:58:17,760 --> 00:58:20,200
+كله عكت على بعض ايه ايه ايه ايه ايه ايه ايه ايه
+
+625
+00:58:20,200 --> 00:58:22,540
+ايه ايه ايه ايه ايه ايه ايه ايه ايه ايه ايه ايه
+
+626
+00:58:22,540 --> 00:58:22,960
+ايه ايه ايه ايه ايه ايه ايه ا��ه ايه ايه ايه ايه
+
+627
+00:58:22,960 --> 00:58:23,320
+ايه ايه ايه ايه ايه ايه ايه ايه ايه ايه ايه ايه
+
+628
+00:58:23,320 --> 00:58:23,360
+ايه ايه ايه ايه ايه ايه ايه ايه ايه ايه
+
+629
+00:58:37,630 --> 00:58:41,550
+يعني sigma of n طلعت لك هنا اتنين n نقص واحد هنا
+
+630
+00:58:41,550 --> 00:58:45,970
+وطلعت لك اياش اتنين n و أحيانا تطلع sigma of n ايش
+
+631
+00:58:45,970 --> 00:58:51,730
+بالساوية n زائد واحد إذا مافيش role معينة معايا لأ
+
+632
+00:58:51,730 --> 00:58:55,790
+يعني انه بدلالة n مباشرة أما ال role موجودة لياك
+
+633
+00:58:55,790 --> 00:59:02,970
+طيب عندي sigma of n اللي هي n هيهابساوي sigma of
+
+634
+00:59:02,970 --> 00:59:05,610
+الأول في sigma of التاني لإن الاتنين أشماليا
+
+635
+00:59:05,610 --> 00:59:09,650
+relative ال prime و sigma is multiplicative sigma
+
+636
+00:59:09,650 --> 00:59:14,110
+للتاني اللي هو أشماله التاني عبارة عن ال prime هذا
+
+637
+00:59:14,110 --> 00:59:19,930
+إذا إيش قيمته هو زائد واحد في sigma لهذا بيصير
+
+638
+00:59:19,930 --> 00:59:26,370
+عندي الآن sigma of n بساوي اللي هي اتنين sigma of
+
+639
+00:59:26,370 --> 00:59:28,950
+n بساوي اتنين أسكت minus واحد
+
+640
+00:59:31,860 --> 00:59:39,720
+نقص واحد نقص واحد زائد واحد المفروض اه اتنين
+
+641
+00:59:39,720 --> 00:59:47,410
+سيجموفران سيجموفران بيسوي اتنين اوس كي2-k-1 prime
+
+642
+00:59:47,410 --> 00:59:53,930
+أه زائد واحد المفروض و هذه أيش القيمة إلها بحسبها
+
+643
+00:59:53,930 --> 00:59:58,890
+أه اللي هي عبارة عن 2k-1 على 2-1 اللي هي نفسها
+
+644
+00:59:58,890 --> 01:00:06,060
+فمين أه هذه هذه هي هذه كيف هذه موجودةلا اصبر عليها
+
+645
+01:00:06,060 --> 01:00:11,600
+هذه ايش قيمتها اتنين اتنين أُس الأُس زائد واحد
+
+646
+01:00:11,600 --> 01:00:15,800
+الأُس هنا K ناقص واحد زائد واحد بيطلع K بيصير
+
+647
+01:00:15,800 --> 01:00:19,140
+اتنين أس K ناقص واحد على الأساس ناقص واحد اتنين
+
+648
+01:00:19,140 --> 01:00:24,160
+ناقص واحد اللي هو ايش إذا صارت sigma of هذه هيها
+
+649
+01:00:27,900 --> 01:00:32,200
+أه الآن بدي أجيبها على ال form اللي عندي صارت عندي
+
+650
+01:00:32,200 --> 01:00:36,880
+لأن sigma of n بساوي هذا المقدار في هذا المقدار
+
+651
+01:00:36,880 --> 01:00:40,820
+أخد الآن زي ما بتقول أخد التنين عامل مشترك بيصير
+
+652
+01:00:40,820 --> 01:00:44,180
+اتنين K minus واحد أو خلّيني أقول سحب التنين مش
+
+653
+01:00:44,180 --> 01:00:46,140
+عامل مشترك سحب التنين يا عزيزي بيصير اتنين في
+
+654
+01:00:46,140 --> 01:00:50,380
+اتنين K minus واحد هذا كله مين هو؟ الآن صارت اتنين
+
+655
+01:00:50,380 --> 01:00:56,340
+اثنان فعلا اطلع لفوق اطلع
+
+656
+01:00:56,340 --> 01:01:01,680
+لبعدلأ ضايل .. ضايل .. ايه ضايلة هذه ايوة ضايل
+
+657
+01:01:01,680 --> 01:01:09,660
+سؤالين لسه يلا خليني اكمل .. خليني اكمل عندي الآن
+
+658
+01:01:09,660 --> 01:01:16,740
+اللي جابله .. السؤال اللي جابله عندي Cنفترض أن
+
+659
+01:01:16,740 --> 01:01:22,020
+اتنين أس كيه ناقص ثلاثة أشمالها prime وماخد n
+
+660
+01:01:22,020 --> 01:01:28,060
+بتساوي هذا في ال prime مشابه للي قبل بنفس السلوب
+
+661
+01:01:28,060 --> 01:01:32,360
+sigma of n sigma لهذه لها sigma لهذه في sigma لهذه
+
+662
+01:01:32,360 --> 01:01:36,860
+اللتي في ال prime sigma للأولى اللي هي عبارة عن
+
+663
+01:01:36,860 --> 01:01:40,640
+هذا ال prime إذا صار اتنين كيه ناقص ثلاثة زائد
+
+664
+01:01:40,640 --> 01:01:44,460
+واحد بس انتم كيف عملوا هذه في اتنين أس كيه ناقص
+
+665
+01:01:44,460 --> 01:01:52,180
+واحدالآن وزّع اثنين أسكيه على هذه مكة كتلة واحدة
+
+666
+01:01:52,180 --> 01:01:58,010
+طلعت هذهبعدين اتنين أسكيه ضربها في هذه هيها بعدين
+
+667
+01:01:58,010 --> 01:02:01,850
+الان ناقص واحد ضربها في هذه كلها هذه عبارة عن
+
+668
+01:02:01,850 --> 01:02:05,230
+اتنين أسكيه ناقص اتنين صارت فناقص الها بيصير ناقص
+
+669
+01:02:05,230 --> 01:02:08,150
+اتنين أسكيه زاد اتنين ليش عمل هيك؟ بدي يحافظ على
+
+670
+01:02:08,150 --> 01:02:12,150
+هذه عشان يحصل على اتنين ان زاد اتنين الان هذه مع
+
+671
+01:02:12,150 --> 01:02:16,270
+هذه بتروح بيصير هذا المقدار زاد اتنين هذا المقدار
+
+672
+01:02:16,270 --> 01:02:23,330
+هو هذاأخدت 2 من الأولى صارت عبارة عن 2N زائداش 2
+
+673
+01:02:23,330 --> 01:02:30,670
+اطلع لفوقه الآن السؤال اللي بعده على السريعه اللي
+
+674
+01:02:30,670 --> 01:02:35,140
+هو F و G multiplicative functionsF و G
+
+675
+01:02:35,140 --> 01:02:37,520
+Multiplicative Functions وقال لك أن الـ Two
+
+676
+01:02:37,520 --> 01:02:41,280
+Multiplicative Functions بتتساوى بس عند مين؟ عند
+
+677
+01:02:41,280 --> 01:02:44,700
+الـ Power of the Primes يعني قال لك F of BK بيساوي
+
+678
+01:02:44,700 --> 01:02:50,580
+D of BK معناته أن الـ F و G أشمالهم متساويات وقال
+
+679
+01:02:50,580 --> 01:02:59,420
+لك إذا كان الـ F of GK بيساوي D of BK عند الـ
+
+680
+01:02:59,420 --> 01:03:12,560
+Prime هتكون F هي نفس من الـ Gفي عنديا شباب أنتم
+
+681
+01:03:12,560 --> 01:03:20,880
+مساجلين؟ خلاص بدأ أمشي بشواش من زمان شوف سؤال 18
+
+682
+01:03:20,880 --> 01:03:27,840
+معطيني f و g multiplicative ماشي الحاجة
+
+683
+01:03:27,840 --> 01:03:35,150
+multiplicative functions ومعطيني أن fof bk بيساوي
+
+684
+01:03:35,150 --> 01:03:39,690
+g of bk for every prime بيساوي g of bk for every
+
+685
+01:03:39,690 --> 01:03:39,910
+prime بيساوي g of bk for every prime بيساوي g of
+
+686
+01:03:39,910 --> 01:03:40,450
+bk for every prime بيساوي g of bk for every prime
+
+687
+01:03:40,450 --> 01:03:46,850
+بيساوي g of bk for every prime بيساوي g of bk for
+
+688
+01:03:46,850 --> 01:03:48,090
+every prime بيساوي g of bk for every prime بيساوي
+
+689
+01:03:48,090 --> 01:03:48,090
+g of bk for every prime بيساوي g of bk for every
+
+690
+01:03:48,090 --> 01:03:49,070
+prime بيساوي g of bk for every prime بيساوي g of
+
+691
+01:03:49,070 --> 01:03:49,070
+bk for every prime بيساوي g of bk for every prime
+
+692
+01:03:49,070 --> 01:03:50,690
+بيساوي g of bk for every prime بيساوي g of bk for
+
+693
+01:03:50,690 --> 01:03:53,470
+every prime بيساوي g of bk for every prime بيساوي
+
+694
+01:03:53,470 --> 01:03:59,450
+g of bk for every prime بيساوي g of bk for
+
+695
+01:04:02,940 --> 01:04:10,240
+الـ F بتساوي سفر أو الـ G بتساوي سفر على طول إذا F
+
+696
+01:04:10,240 --> 01:04:16,460
+بتساوي سفر صار G of B كي بيساوي سفر لكل Prime إذا
+
+697
+01:04:16,460 --> 01:04:21,000
+الـ G هتساوي إيش؟ سفر عارفين ليش؟ لإن الـ G of N
+
+698
+01:04:21,000 --> 01:04:23,620
+multiplicative أو الـ G multiplicative بتبصير G of
+
+699
+01:04:23,620 --> 01:04:27,160
+N بيساوي G of B واحد ألف واحد G of B اتنين ألف
+
+700
+01:04:27,160 --> 01:04:29,400
+اتنين وG of B أر الف أر كل واحدة من هنا سفر لإن
+
+701
+01:04:29,400 --> 01:04:36,330
+إيش بيبقى هنا سفر فاهمين؟الآن لو كانت الـ F مش صفر
+
+702
+01:04:36,330 --> 01:04:46,550
+أكيد الـ G أيش معلها؟ مش صفر لأنه صفر لو F مش صفر
+
+703
+01:04:46,550 --> 01:04:50,650
+و G بيساوي صفر معناته الـ F أيش معناه صفر ومن ثم
+
+704
+01:04:50,650 --> 01:04:53,830
+هتطلع عندي الـ F في واحد بيساوي G في واحد أيش
+
+705
+01:04:53,830 --> 01:05:01,880
+بتساوي؟ بتساوي واحد ماشي الحالالذي يصل إلى أنه في
+
+706
+01:05:01,880 --> 01:05:04,080
+حالة الـ الـ الـ الـ الـ الـ الـ الـ الـ الـ الـ
+
+707
+01:05:04,080 --> 01:05:04,080
+الـ الـ الـ الـ الـ الـ الـ الـ الـ الـ الـ الـ
+
+708
+01:05:04,080 --> 01:05:04,260
+الـ الـ الـ الـ الـ الـ الـ الـ الـ الـ الـ الـ
+
+709
+01:05:04,260 --> 01:05:05,400
+الـ الـ الـ الـ الـ الـ الـ الـ الـ الـ الـ الـ
+
+710
+01:05:05,400 --> 01:05:07,120
+الـ الـ الـ الـ الـ الـ الـ الـ الـ الـ الـ الـ
+
+711
+01:05:07,120 --> 01:05:08,560
+الـ الـ الـ الـ الـ الـ الـ الـ الـ الـ الـ الـ
+
+712
+01:05:08,560 --> 01:05:17,200
+الـ الـ
+
+713
+01:05:17,200 --> 01:05:17,740
+الـ الـ الـ الـ الـ الـ الـ الـ الـ الـ الـ الـ
+
+714
+01:05:17,740 --> 01:05:17,760
+الـ الـ الـ الـ الـ الـ الـ الـ الـ الـ الـ الـ
+
+715
+01:05:17,760 --> 01:05:27,780
+الـ الـ الـ الـ الـ الـ الـ الـ الـ
+
+716
+01:05:28,090 --> 01:05:33,520
+بتثبتها لكل N من ضمنها Nاش بتساوي واحدلو كانت الـ
+
+717
+01:05:33,520 --> 01:05:36,880
+F هي الـ Zero function Automatically الـ G هتصبح
+
+718
+01:05:36,880 --> 01:05:40,940
+Zero function وخلصنا منها بيصير F عند الواحد وغير
+
+719
+01:05:40,940 --> 01:05:43,300
+الواحد و الـ G عند الواحد وغير الواحد، كلها نصفار
+
+720
+01:05:43,300 --> 01:05:47,700
+لكن لو كانت الـ F مش السفر و الـ G مش السفر، طبيعا
+
+721
+01:05:47,700 --> 01:05:54,220
+هتتبعها، بدي أحسب لكم الـ F of واحد إنها لازم
+
+722
+01:05:54,220 --> 01:05:59,520
+تساومين الـ G of واحد، ماشي الحال، عندي الآن
+
+723
+01:06:03,600 --> 01:06:11,920
+F of واحد F is multiplicative اذا هتساوي F of واحد
+
+724
+01:06:11,920 --> 01:06:18,860
+عملها قبل ايه؟ هتساوي F of واحد تربيع مظبوط؟ جيبها
+
+725
+01:06:18,860 --> 01:06:22,880
+على الجهة الثانية بيصير F تربيع of واحد ناقص F of
+
+726
+01:06:22,880 --> 01:06:27,880
+واحد بيساوي سفر عملتها قبل ايه؟ F of واحد في F of
+
+727
+01:06:27,880 --> 01:06:35,130
+واحدنقص واحد بيساوي سفر و F أصلا مش السفر أه إذا
+
+728
+01:06:35,130 --> 01:06:40,130
+عندي ال F في واحد إيش بتساوي؟ بتساوي واحد معايا؟
+
+729
+01:06:40,130 --> 01:06:46,150
+خلصنا و زيها ال G ما هي Multiplicated و مش سفر إذا
+
+730
+01:06:46,150 --> 01:06:49,190
+ال G بتساوي واحد طيب خلصنا من هذه ناخد إذا ال N
+
+731
+01:06:49,190 --> 01:06:54,270
+إياش N أكبر من واحد إذا ال N بتساوي بي واحد ألف
+
+732
+01:06:54,270 --> 01:07:01,270
+واحد لأن بي R ألف إياشالف ار معايا إذا صارت
+
+733
+01:07:01,270 --> 01:07:06,190
+multiplicative إذا صارت f of n بساوي f بسؤال سهل
+
+734
+01:07:06,190 --> 01:07:11,470
+بي واحد الف واحد لعند بي ار الف ار ويساوي f of بي
+
+735
+01:07:11,470 --> 01:07:17,470
+واحد الف واحد لعند f of بي ار الف ار ويساوي من
+
+736
+01:07:17,470 --> 01:07:24,030
+المعطى g لو مultiplicative التانية ترجع زي ما كانت
+
+737
+01:07:24,030 --> 01:07:33,360
+بساوي gof P1 ألفة واحد لعين PR ألفة R ويساوي GE of
+
+738
+01:07:33,360 --> 01:07:39,740
+R واضح؟ طيب إيه اللي بعده؟
+
+739
+01:07:39,740 --> 01:07:47,800
+خلاص اطلع اللي على ال .. ال section اللي بعده لأ
+
+740
+01:07:47,800 --> 01:07:48,400
+جابل ال section
+
+741
+01:07:55,560 --> 01:07:59,900
+أيوة خلّيني .. الأسئلة الستة اللي هو .. بس هنا تلت
+
+742
+01:07:59,900 --> 01:08:03,860
+أسئلة اللي أعطيكم إياها .. واحد و تلت و أربع ظنني
+
+743
+01:08:03,860 --> 01:08:09,540
+شوف .. الآن
+
+744
+01:08:09,540 --> 01:08:13,160
+بدنا نحكي عن Mobius inversion formula ال Mobius
+
+745
+01:08:13,160 --> 01:08:17,540
+inversion formula أو الأول إيش هي ال .. M U of N
+
+746
+01:08:17,540 --> 01:08:23,680
+عارفينها، مذكرينها، بدنا نراجع
+
+747
+01:08:26,530 --> 01:08:36,770
+MU of N بساوي واحد أو سفر أو ناقص واحد أُس R مش
+
+748
+01:08:36,770 --> 01:08:43,050
+ذاكرين؟ MU of N بتساوي واحد لما N بتساوي واحد و
+
+749
+01:08:43,050 --> 01:08:48,990
+بساوي سفر إذا كان في B تربيع بكسم مين الـ N و
+
+750
+01:08:48,990 --> 01:08:52,970
+بساوي ناقص واحد أُس R إذا كانت M على صورة B واحد
+
+751
+01:08:52,970 --> 01:08:57,230
+لعند PRو بي واحد و بي اتنين و بي اتنين و بي اتنين
+
+752
+01:08:57,230 --> 01:08:57,510
+و بي اتنين و بي اتنين و بي اتنين و بي اتنين و بي
+
+753
+01:08:57,510 --> 01:08:59,010
+اتنين و بي اتنين و بي اتنين و بي اتنين و بي اتنين
+
+754
+01:08:59,010 --> 01:09:02,230
+و بي اتنين و بي اتنين و بي اتنين و بي اتنين و بي
+
+755
+01:09:02,230 --> 01:09:06,830
+اتنين و بي اتنين و بي اتنين و بي اتنين و بي اتنين
+
+756
+01:09:06,830 --> 01:09:10,630
+و بي اتنين و بي اتنين و بي اتنين و بي اتنين و بي
+
+757
+01:09:10,630 --> 01:09:18,970
+اتنين و بي اتنين و بي اتنين و بي اتنين و بي اتنين
+
+758
+01:09:18,970 --> 01:09:22,870
+و بي اتنين و
+
+759
+01:09:22,870 --> 01:09:32,970
+بالان السبب بسيط ان اي اربع ارقام متتالية لازم
+
+760
+01:09:32,970 --> 01:09:40,150
+واحد فيه نكون على صورة 4K مظبوط؟
+
+761
+01:09:40,150 --> 01:09:47,470
+لأن لو كان هذا 4K خلصنا لو هذا 4K زائد واحد بطلع
+
+762
+01:09:47,470 --> 01:09:52,780
+هذا 4K زائد 4 اللي هو 4Mلو كان اربعة كيه زائد
+
+763
+01:09:52,780 --> 01:09:55,780
+اتنين بيطلع هذا الاعلى اربعة كيه اربعة كيه زائد
+
+764
+01:09:55,780 --> 01:10:01,700
+تلتة بيطلع هذا واضح اذا any number any اللي هو
+
+765
+01:10:01,700 --> 01:10:07,160
+four consecutive numbers must have one of the four
+
+766
+01:10:07,160 --> 01:10:13,770
+اربعة كيه ماشي الحالة اذا واحد من هذولةبِكسِن مين؟
+
+767
+01:10:13,770 --> 01:10:19,090
+الأربعة يعني فيه اتنين تربية يعني ميوه تبعته إيش
+
+768
+01:10:19,090 --> 01:10:24,570
+بتساوي؟ يعني إذا حصل الدرب إيش هيساوي؟ يلّا اللي
+
+769
+01:10:24,570 --> 01:10:33,090
+بعده اللي بعده بقولك لأي انتجار لأي انتجار M أكبر
+
+770
+01:10:33,090 --> 01:10:39,590
+أو يساوي واحد أثبت إن الصماش للـMew of K factorial
+
+771
+01:10:40,670 --> 01:10:45,830
+كي من عند واحد الى مالة نهاية ولا عند ان حتى لو
+
+772
+01:10:45,830 --> 01:10:51,650
+مالة نهاية بيساوي ايش بيساوي واحد ال summation هذا
+
+773
+01:10:51,650 --> 01:10:56,690
+بيساوي ميو اف واحد فكتوريال زاد ميو اف اتنين
+
+774
+01:10:56,690 --> 01:11:01,750
+فكتوريال زاد ميو اف تلاتة فكتوريال زاد ميو اف اربع
+
+775
+01:11:01,750 --> 01:11:09,610
+فكتوريال زاد زاد ميو اف ان فكتوريال اه
+
+776
+01:11:11,420 --> 01:11:15,620
+الان اكبر
+
+777
+01:11:15,620 --> 01:11:24,820
+او يساوي تلاتة اه لان فعلت اتنين لأ بتسير اتنين
+
+778
+01:11:24,820 --> 01:11:31,800
+تلاتة مظبوط طيب هنا واحد صح هنا اللي هي اتنين ماقص
+
+779
+01:11:31,800 --> 01:11:38,540
+واحد مظبوط اتنين سالب واحد التلاتة
+
+780
+01:11:40,090 --> 01:11:46,050
+تلاتة في اتنين اللي هو واحد عارفين مش بساومك ولا
+
+781
+01:11:46,050 --> 01:11:49,550
+كده؟ اه لاتكونوا مش فاهمين اش بساومك زائد واحد
+
+782
+01:11:49,550 --> 01:11:56,250
+واللي بعده كله فيه أربعات يعني فيه اتنين تربعات
+
+783
+01:11:56,250 --> 01:12:02,450
+يعني كلها زائد صفر ويساوي هذا مع حد او مع اللي
+
+784
+01:12:02,450 --> 01:12:09,390
+جابله ويساوي واحد واضح اه الفكرة واضحة الـAسؤال
+
+785
+01:12:09,390 --> 01:12:18,930
+تلاتة let let let n بتساوي بي واحد كي واحد بي ار
+
+786
+01:12:18,930 --> 01:12:23,950
+كي ار بي برايم factorization of n أكبر من واحد إذا
+
+787
+01:12:23,950 --> 01:12:28,250
+كانت f is multiplicative prove that اللي موجود
+
+788
+01:12:28,250 --> 01:12:37,160
+انتبهوا عن دي خليني برضه أذكركم بعض النظرياتأو
+
+789
+01:12:37,160 --> 01:12:42,860
+المادة النظرية اللي موجودة في ال section هذا بدي
+
+790
+01:12:42,860 --> 01:12:48,140
+الآن F multiplicative السؤال
+
+791
+01:12:48,140 --> 01:12:58,900
+التلاتة implies أنه summation mu of D F of D D
+
+792
+01:12:58,900 --> 01:13:07,800
+بتجسم N بساوي ال product لواحد ناقص F of BiI من
+
+793
+01:13:07,800 --> 01:13:20,680
+واحد لعند مين مع عند انا واضح اه؟ طيب عندي F
+
+794
+01:13:20,680 --> 01:13:23,760
+is multiplicative مع ان في نظرية بتحكي على طول
+
+795
+01:13:23,760 --> 01:13:29,540
+بالجيبة F multiplicative و Mu multiplicative هتطلع
+
+796
+01:13:29,540 --> 01:13:33,400
+عندي Mu في F أشمالها is multiplicative بتعرفوا
+
+797
+01:13:33,400 --> 01:13:42,030
+تعملوها اه؟لو صميتها هذي G of D بسوء Mu of D في F
+
+798
+01:13:42,030 --> 01:13:54,000
+of D G of D1 D2 بسوء Mu of D1D2 FD1 FD2 FD2 FD1
+
+799
+01:13:54,000 --> 01:13:56,820
+FD2 FD2 FD2 FD2 FD2 FD2 FD2 FD2 FD2 FD2 FD2 FD2
+
+800
+01:13:56,820 --> 01:14:07,900
+FD2 FD2 FD2 FD2 FD2 FD2 FD2
+
+801
+01:14:08,670 --> 01:14:12,730
+معايا نظرية قبل شوية أخدنا قول لمزام اللي هو جوا
+
+802
+01:14:12,730 --> 01:14:15,870
+ال summation هذا is multiplication و ال summation
+
+803
+01:14:15,870 --> 01:14:18,410
+على D بتقسم N إذا ال summation نفسه إيش ماله
+
+804
+01:14:18,410 --> 01:14:25,430
+Multiplicative إذا صار عندي F of N بساوي summation
+
+805
+01:14:25,430 --> 01:14:34,750
+Mu of D F of D D بتقسم N is multiplicative أن إيش
+
+806
+01:14:34,750 --> 01:14:44,430
+ماتينيها بتساويبتساوي اللي فوق ص��؟ الان بيصير عندى
+
+807
+01:14:44,430 --> 01:14:53,850
+F of N F of N بيساوي ال product لمين؟ ايش الآن
+
+808
+01:14:53,850 --> 01:14:57,770
+ماخدها انا؟ P1 ألف واحد عند PR ألف ألف
+
+809
+01:14:57,770 --> 01:15:03,930
+Multiplicative اذا بيصير ال product لل F of PI KI
+
+810
+01:15:03,930 --> 01:15:06,430
+ولا الف I؟ KI مظبوط؟
+
+811
+01:15:08,390 --> 01:15:16,110
+I من عند واحد لعندياش R فاهمين أشي اللي بعمله لأن
+
+812
+01:15:16,110 --> 01:15:25,010
+F مالها Multiplicative ويساوي نوجد من F of BIKI F
+
+813
+01:15:25,010 --> 01:15:30,830
+of BIKI من هنا هيها ال summation يعني بيساوي ال
+
+814
+01:15:30,830 --> 01:15:35,000
+productI من عند 1 لعند R لـSummation مين
+
+815
+01:15:35,000 --> 01:15:41,960
+الـSummation؟ الـSummation ميو أف دي F of D D
+
+816
+01:15:41,960 --> 01:15:51,800
+بتكسب بي آي كي آي معايا؟ الآن القواسم بي آي كي آي
+
+817
+01:15:51,800 --> 01:16:03,810
+واحد بي تربيع و البديات لعند بي أصف كي آيأه الان
+
+818
+01:16:03,810 --> 01:16:10,370
+عند الواحد و ال بي واحد الهنقية و الباد اسفار مافي
+
+819
+01:16:10,370 --> 01:16:15,870
+ليش بيساوي ال product I من عند واحد لعند R لأ
+
+820
+01:16:15,870 --> 01:16:23,830
+summation اللي هو ميو of واحد F of واحد زاد ميو of
+
+821
+01:16:23,830 --> 01:16:34,160
+بي I F of بي I زاد ميو of بي I تربيعf of bi تربيه
+
+822
+01:16:34,160 --> 01:16:43,900
+زاد لما اصلا عند اخر واحد ميو of bi ki f of bi اس
+
+823
+01:16:43,900 --> 01:16:50,180
+ki صح ولا لأ هذه من عند هنا و طالع لميو تبعتنا ايه
+
+824
+01:16:50,180 --> 01:16:57,890
+ايش سفر اه بيظل مين عنده هذا و هذا و يساويالـ
+
+825
+01:16:57,890 --> 01:17:02,690
+Product I من عند واحد لعند R لأ الـ Mu of واحد ده
+
+826
+01:17:02,690 --> 01:17:10,230
+ايش بيساوي واحد الان عندي F of واحد نفسها بيصير F
+
+827
+01:17:10,230 --> 01:17:19,830
+of واحد الان Mu of BY سالب واحد ايها الـ Mu of الـ
+
+828
+01:17:19,830 --> 01:17:25,990
+Prime اللي هو ناقص واحد قصة R مش غير Prime واحد اي
+
+829
+01:17:25,990 --> 01:17:30,810
+سؤال؟إذا فى إيش مش واضح بعيده ميوف فى اتنين إيش
+
+830
+01:17:30,810 --> 01:17:35,910
+متساوي ميوف
+
+831
+01:17:35,910 --> 01:17:40,010
+تلاتة ميوف
+
+832
+01:17:40,010 --> 01:17:46,650
+خمسة إذا ميوف أي برايم إيش متساوي ميوف بي واحد فى
+
+833
+01:17:46,650 --> 01:17:52,390
+بي اتنين سانب واحد وسط اتنين يعني إيش معله واحد
+
+834
+01:17:54,410 --> 01:18:02,390
+واضح؟ طيب إذا u of bi عبارة عن كداش سالب واحد
+
+835
+01:18:02,390 --> 01:18:11,810
+بيصير ناقص f of bi فهو المطلوب صارت عندي f of n
+
+836
+01:18:11,810 --> 01:18:19,170
+بساوي هذه f of n مين هي ال summation تمام مرة يا
+
+837
+01:18:19,170 --> 01:18:24,860
+شباب f of n مين هيالـ Summation و F of N مين هي
+
+838
+01:18:24,860 --> 01:18:30,340
+طلعت؟ إذا صار عند الـ Summation لـ Mu of D في F of
+
+839
+01:18:30,340 --> 01:18:35,400
+D D بتقسم N بساوي هذا ال product مين ال product
+
+840
+01:18:35,400 --> 01:18:43,180
+هذا؟ F of 1 ناقص F of B 1 لما أصل عند F of 1 ناقص
+
+841
+01:18:43,180 --> 01:18:53,390
+F of B R و ال F of 1 و ال F of 1 ده إيش بتساوي؟لأن
+
+842
+01:18:53,390 --> 01:19:01,510
+F أشمالها multiplicative واضح وهو المقلد يعني
+
+843
+01:19:01,510 --> 01:19:05,790
+كل F في واحد بيقعش في واحد اللي بعده نيجي لسؤال
+
+844
+01:19:05,790 --> 01:19:11,600
+أربعةالسؤال الرابع السؤال الرابع if n أكبر من واحد
+
+845
+01:19:11,600 --> 01:19:14,680
+has a prime factorization n بسوء بي واحد كواحد عند
+
+846
+01:19:14,680 --> 01:19:19,160
+بي ار كي ار used problem 4 to establish the
+
+847
+01:19:19,160 --> 01:19:22,220
+following ال summation ميو اف دي تاو اف دي دي
+
+848
+01:19:22,220 --> 01:19:27,680
+بتكسب ان بيسوء ناقص واحد اياش أسر اللي عندي التاو
+
+849
+01:19:27,680 --> 01:19:31,680
+is multiplicative، مظبوط؟ احنا قبل شوية أثبتنا
+
+850
+01:19:31,680 --> 01:19:39,120
+summation ميو اف ديF of D دي بتجسم الـ N إيش
+
+851
+01:19:39,120 --> 01:19:44,840
+بيساوي اللي هو عبارة عن واحد او F اللي هو ال ..
+
+852
+01:19:44,840 --> 01:19:47,320
+ذاكروني ال product
+
+853
+01:19:50,540 --> 01:19:57,000
+1- F of B I I من عند 1 لعند R صح ولا لأ هذا اللي
+
+854
+01:19:57,000 --> 01:20:02,620
+أثبتناه قبل شوية الآن بدى أستخدم مين لهذا السؤال
+
+855
+01:20:02,620 --> 01:20:06,880
+في تطبيقه على الحالات اللي معطينيها بده لأن ال
+
+856
+01:20:06,880 --> 01:20:12,800
+summation لـ Mu of D هذا ايه 4A بده ال summation
+
+857
+01:20:12,800 --> 01:20:20,110
+لـ Mu of D Tau of D دي بتجسب الـ N بساويةاللي هو
+
+858
+01:20:20,110 --> 01:20:28,370
+عبارة عن ال product لا واحد
+
+859
+01:20:28,370 --> 01:20:35,230
+ناقص توقف بي اي من عند واحد عند مين ار عدد ال
+
+860
+01:20:35,230 --> 01:20:41,230
+divisors لل بي اي قداش واحد واحد اتنين لان ال
+
+861
+01:20:41,230 --> 01:20:47,440
+divisors اللي هي الواحد و ال بي اي فاهمينY ساوي هو
+
+862
+01:20:47,440 --> 01:20:52,440
+الـ product لواحد ماقص اتنين قايمين عند واحد لعند
+
+863
+01:20:52,440 --> 01:20:55,820
+R Y ساوي اكم مرة معدودات هذول R من المرات اللي
+
+864
+01:20:55,820 --> 01:21:03,100
+يسالب واحد قُس R نيجي لـ B الـ summation من مين
+
+865
+01:21:03,100 --> 01:21:12,200
+بده ميو of D سيجما of Dدى بتكسب 100 لان بساوية
+
+866
+01:21:12,200 --> 01:21:17,520
+اللى هو ال product لواحد ماقع ال sigma of bi I من
+
+867
+01:21:17,520 --> 01:21:23,360
+عند واحد لعين دهار واضح ها صار سهل لو بدك تيجي
+
+868
+01:21:23,360 --> 01:21:26,020
+توجه تقول حاجة لك دى عمال مشكلة بس احنا بنين على
+
+869
+01:21:26,020 --> 01:21:32,680
+السؤال قبله ويساوياللي هو ال product I من عند واحد
+
+870
+01:21:32,680 --> 01:21:36,960
+لعند R لواحد ناقص مجموع ال divisors ده ال بي آي
+
+871
+01:21:36,960 --> 01:21:43,380
+اللي هي واحد زاد بي آي نظبوت ناقص واحد ناقص بي آي
+
+872
+01:21:43,380 --> 01:21:50,360
+صح اللي عملته ويساوي اللي هو ال product لناقص بي
+
+873
+01:21:50,360 --> 01:22:01,370
+آي I من عند واحد لعند R ويساوي N صح ناقص واحد-R B1
+
+874
+01:22:01,370 --> 01:22:08,670
+BR وهو المطلوب والبعد
+
+875
+01:22:08,670 --> 01:22:15,310
+هو بنفس الأسلوب Mu of D على D خلّيني أعملها بالمرة
+
+876
+01:22:15,310 --> 01:22:21,570
+Summation of Mu of C الان C
+
+877
+01:22:21,570 --> 01:22:27,370
+Mu of D على D بيصير ال function اللي عندنا مين هي
+
+878
+01:22:27,370 --> 01:22:37,690
+1 على Dمعايا اللي هي بتساوي summation mu of D في F
+
+879
+01:22:37,690 --> 01:22:44,150
+of D D بتجسم N where F of D ايش هتساوي يا شباب
+
+880
+01:22:44,150 --> 01:22:49,930
+واحد على D صح ولا لا الواحد على D is
+
+881
+01:22:49,930 --> 01:22:54,030
+multiplicative عملناها اذا صار عندي عبارة عن باي
+
+882
+01:22:54,030 --> 01:23:03,570
+في واحد ناقص Fف من مين؟ من بي آي فمن بي آي فمن بي
+
+883
+01:23:03,570 --> 01:23:07,370
+آي فمن بي آي فمن بي آي فمن بي آي فمن بي آي فمن بي
+
+884
+01:23:07,370 --> 01:23:07,990
+آي فمن بي آي فمن بي آي فمن بي آي فمن بي آي فمن بي
+
+885
+01:23:07,990 --> 01:23:08,210
+آي فمن بي آي فمن بي آي فمن بي آي فمن بي آي فمن بي
+
+886
+01:23:08,210 --> 01:23:08,210
+آي فمن بي آي فمن بي آي فمن بي آي فمن بي آي فمن بي
+
+887
+01:23:08,210 --> 01:23:08,210
+آي فمن بي آي فمن بي آي فمن بي آي فمن بي آي فمن بي
+
+888
+01:23:08,210 --> 01:23:15,810
+آي فمن بي آي فمن بي آي فمن بي آي فمن بي آي فمن بي
+
+889
+01:23:15,810 --> 01:23:26,930
+آي فمن بي آي فمن بي آي فمن بي آي فمن بي
+
+890
+01:23:29,360 --> 01:23:36,240
+انزل ال .. الان D بيقف D بنفس الأسلوب F of D
+
+891
+01:23:36,240 --> 01:23:39,500
+بتساوي D في هذه الحالة و ال D is multiplicative
+
+892
+01:23:39,500 --> 01:23:45,460
+اذا بيصير واحد ناقص F of P واحد اللي هي P واحد لما
+
+893
+01:23:45,460 --> 01:23:50,080
+أصل عنده واحد ناقص F of PR اللي هي PR فبتصير اللي
+
+894
+01:23:50,080 --> 01:23:55,940
+هو على طول مباشرة و إلى لقاء آخر ان شاء الله الله
+
+895
+01:23:55,940 --> 01:23:56,400
+عفوكم
+