| 1 | |
| 00:00:21,410 --> 00:00:29,070 | |
| السلام عليكم اليوم في اللقاء الأول هناخد مناقشة و | |
| 2 | |
| 00:00:29,070 --> 00:00:36,710 | |
| اعتقد ان احنا في المناقشة السابقة وصلنا ل section | |
| 3 | |
| 00:00:36,710 --> 00:00:46,810 | |
| تلاتة خمسة، أصبع؟ فممكن | |
| 4 | |
| 00:00:46,810 --> 00:01:07,930 | |
| اليومبنناقش section تلاتة ستة أو تلاتة سبعة في | |
| 5 | |
| 00:01:07,930 --> 00:01:14,710 | |
| أي أسل عندكم في section تلاتة خمسة أو section | |
| 6 | |
| 00:01:14,710 --> 00:01:25,230 | |
| تلاتة ستةثلاثة ستة السؤال ستة أي سؤال سؤال ستة ستة | |
| 7 | |
| 00:01:25,230 --> 00:01:35,470 | |
| سؤال | |
| 8 | |
| 00:01:35,470 --> 00:01:37,650 | |
| ستة section تلاتة ستة | |
| 9 | |
| 00:01:46,160 --> 00:01:58,020 | |
| let x in let the sequence x in be properly die | |
| 10 | |
| 00:01:58,020 --> 00:02:05,920 | |
| there and let | |
| 11 | |
| 00:02:05,920 --> 00:02:24,780 | |
| and let y inب such that limit x in ضرب y in limit | |
| 12 | |
| 00:02:24,780 --> 00:02:31,980 | |
| حصل ضرب لما n تقول لinfinity الساوي | |
| 13 | |
| 00:02:31,980 --> 00:02:40,620 | |
| L ينتمي إلى R يعني exists in R شو | |
| 14 | |
| 00:02:40,620 --> 00:02:54,410 | |
| مطلوبثم اثبت اظهر ان سيكوينس ين يتعامل | |
| 15 | |
| 00:02:54,410 --> 00:03:10,230 | |
| بالزيرو حل | |
| 16 | |
| 00:03:10,230 --> 00:03:17,950 | |
| السؤال هذا بعتمدعلى سؤال سابق اللي هو سؤال تلاتة | |
| 17 | |
| 00:03:17,950 --> 00:03:27,190 | |
| فالسؤال | |
| 18 | |
| 00:03:27,190 --> 00:03:32,430 | |
| هذا بيقول ان f | |
| 19 | |
| 00:03:32,430 --> 00:03:50,310 | |
| x n أكبر من سفر لكل n عدد طبيعيو ال then | |
| 20 | |
| 00:03:50,310 --> 00:04:03,990 | |
| limit xn بساوي zero if and only if limit واحد على | |
| 21 | |
| 00:04:03,990 --> 00:04:10,350 | |
| xn as n tends to infinity بساوي plus infinity | |
| 22 | |
| 00:04:20,790 --> 00:04:27,670 | |
| Okay لأن في سؤال طلعتها إذا كانت xn حدود sequence | |
| 23 | |
| 00:04:27,670 --> 00:04:36,290 | |
| حدودها موجة بقى و ف limit ال sequence xn بساوي سفر | |
| 24 | |
| 00:04:36,290 --> 00:04:41,350 | |
| if and only if limit مقلوب ال sequence xn بساوي | |
| 25 | |
| 00:04:41,350 --> 00:04:42,190 | |
| plus infinity | |
| 26 | |
| 00:04:46,230 --> 00:04:52,690 | |
| و طبعا في كمان ممكن نثبت ان لو كانت ال Xn حدودها | |
| 27 | |
| 00:04:52,690 --> 00:05:00,950 | |
| سالبة ف limit Xn بساوي صفر F and only F limit واحد | |
| 28 | |
| 00:05:00,950 --> 00:05:03,970 | |
| على Xn بساوي negative infinity | |
| 29 | |
| 00:05:15,220 --> 00:05:24,480 | |
| بما أن xn هو بشكل صحيح ديبيرزينت | |
| 30 | |
| 00:05:24,480 --> 00:05:39,580 | |
| ثم قيمة xn بساوي إفينتي أو قيمة xn بساوي نيجاتيف | |
| 31 | |
| 00:05:39,580 --> 00:05:40,180 | |
| إفينتي | |
| 32 | |
| 00:05:45,460 --> 00:05:52,220 | |
| case one ناخد الحالة الأولى اللى فيها limit xm | |
| 33 | |
| 00:05:52,220 --> 00:05:59,860 | |
| بساوي infinity by | |
| 34 | |
| 00:05:59,860 --> 00:06:03,560 | |
| exercise | |
| 35 | |
| 00:06:03,560 --> 00:06:15,020 | |
| رقم تلاتة section تلاتة ستةوالـ exercise اللى فوق | |
| 36 | |
| 00:06:15,020 --> 00:06:18,100 | |
| هذا | |
| 37 | |
| 00:06:18,100 --> 00:06:27,160 | |
| معناه انه we have هيطلع انه limit مطلوب ال | |
| 38 | |
| 00:06:27,160 --> 00:06:38,000 | |
| sequence xn as n tends to infinity بفلع صفر يعني | |
| 39 | |
| 00:06:38,000 --> 00:06:44,710 | |
| اعتبرى هذه هي xnتعتبر ال 1 على xn هي xn فإذا كان | |
| 40 | |
| 00:06:44,710 --> 00:06:49,510 | |
| limit xn بساوي infinity فlimit مقلوب ال xn اللي | |
| 41 | |
| 00:06:49,510 --> 00:06:57,530 | |
| هنا مقلوب اللي هو ايه بتطلع سفر ولا عكس يعني هنا | |
| 42 | |
| 00:06:57,530 --> 00:07:03,850 | |
| نفس ال exercise بس badly xn بواحد على xn فهذه | |
| 43 | |
| 00:07:03,850 --> 00:07:08,690 | |
| نتيجة صحية تمام hence | |
| 44 | |
| 00:07:13,030 --> 00:07:16,810 | |
| الـ limit ل | |
| 45 | |
| 00:07:16,810 --> 00:07:29,290 | |
| YN as intense infinity بساوي ال limit ال | |
| 46 | |
| 00:07:29,290 --> 00:07:38,110 | |
| YN ممكن كتبتها على صورة على | |
| 47 | |
| 00:07:38,110 --> 00:07:39,310 | |
| صورة | |
| 48 | |
| 00:07:46,210 --> 00:07:55,770 | |
| xn في yn ضرب 1 | |
| 49 | |
| 00:07:55,770 --> 00:08:01,290 | |
| على xn صح | |
| 50 | |
| 00:08:01,290 --> 00:08:09,850 | |
| نظبط هيك ال yn هي عبارة عن xn في yn في 1 على xn | |
| 51 | |
| 00:08:12,880 --> 00:08:18,360 | |
| الان ال limit هذه لحد الأول exist و limit ل واحد | |
| 52 | |
| 00:08:18,360 --> 00:08:22,660 | |
| على xn برضه exist اذا ال limit حاصل ضرب بساوي حاصل | |
| 53 | |
| 00:08:22,660 --> 00:08:27,540 | |
| ضرب ال limits بقدر استخدم القانون هذا هطبق انه | |
| 54 | |
| 00:08:27,540 --> 00:08:32,360 | |
| limit حاصل ضرب two sequences بساوي limit الأولى | |
| 55 | |
| 00:08:32,360 --> 00:08:41,100 | |
| اللي هي حاصل ضرب xn ynدرب limit الـ sequence | |
| 56 | |
| 00:08:41,100 --> 00:08:48,180 | |
| التانية هي واحد على X end as n tends to infinity و | |
| 57 | |
| 00:08:48,180 --> 00:08:53,940 | |
| ال limit الأولى مش سامناها عدد L لما exist ضرب ال | |
| 58 | |
| 00:08:53,940 --> 00:09:01,600 | |
| limit التانية سفر فبطلع عندي سفر و هو المطلوب فهنا | |
| 59 | |
| 00:09:01,600 --> 00:09:05,920 | |
| أثبتنا في الحالة التانية case two | |
| 60 | |
| 00:09:10,140 --> 00:09:24,200 | |
| لو كانت ال limit لـ xn بساوي negative infinity ففي | |
| 61 | |
| 00:09:24,200 --> 00:09:29,580 | |
| الحالة هذه بيطلع عندي برضه by exercise تلاتة | |
| 62 | |
| 00:09:29,580 --> 00:09:36,020 | |
| section تلاتة ستة بس هنا مع التعديل هيطلع ان ال | |
| 63 | |
| 00:09:36,020 --> 00:09:44,910 | |
| limitلا واحد على اكس ان مثلا سفر و باقي البرهان | |
| 64 | |
| 00:09:44,910 --> 00:09:58,730 | |
| and the rest of the proof is similar to | |
| 65 | |
| 00:09:58,730 --> 00:09:59,450 | |
| case one | |
| 66 | |
| 00:10:03,650 --> 00:10:09,850 | |
| Okay تمام اذا هذا اللي هو البرهام ان الادكارة | |
| 67 | |
| 00:10:09,850 --> 00:10:15,870 | |
| تعتمد على exercise ثلاثة المهم وهو ان limit ل | |
| 68 | |
| 00:10:15,870 --> 00:10:19,750 | |
| sequence بيساوي infinity if and only if limit | |
| 69 | |
| 00:10:19,750 --> 00:10:24,810 | |
| مقلوب ال sequence بيساوي سفر او لعكس تمام و هذا | |
| 70 | |
| 00:10:34,460 --> 00:10:39,400 | |
| في عنكم أسئلة تانية؟ | |
| 71 | |
| 00:10:39,400 --> 00:10:45,260 | |
| في | |
| 72 | |
| 00:10:45,260 --> 00:10:49,220 | |
| أسئلة تانية section تلاتة ستة الفرق بيه من سؤال | |
| 73 | |
| 00:10:49,220 --> 00:10:49,680 | |
| تسعة | |
| 74 | |
| 00:11:33,220 --> 00:11:41,380 | |
| حاول نكتب السؤال و بعدين السؤال | |
| 75 | |
| 00:11:41,380 --> 00:11:43,600 | |
| تسعة section تلاتة ع ستة | |
| 76 | |
| 00:11:53,320 --> 00:12:04,400 | |
| لت XIN و YIN بيكونوا عاملين من عاملين من عاملين من | |
| 77 | |
| 00:12:04,400 --> 00:12:06,860 | |
| عاملين من عاملين من عاملين من عاملين من عاملين من | |
| 78 | |
| 00:12:06,860 --> 00:12:09,100 | |
| عاملين من عاملين من عاملين من عاملين من عاملين من | |
| 79 | |
| 00:12:09,100 --> 00:12:22,440 | |
| عاملين من عاملين | |
| 80 | |
| 00:12:31,890 --> 00:12:44,270 | |
| مطلوب الأول هو show if limit yn بساوي infinity | |
| 81 | |
| 00:12:44,270 --> 00:12:51,370 | |
| then limit | |
| 82 | |
| 00:12:51,370 --> 00:12:53,590 | |
| xn بساوي infinity | |
| 83 | |
| 00:12:56,820 --> 00:13:10,660 | |
| والجزء التاني show if x in is bounded then | |
| 84 | |
| 00:13:10,660 --> 00:13:15,680 | |
| limit | |
| 85 | |
| 00:13:15,680 --> 00:13:25,600 | |
| y in is serviceable طبعا | |
| 86 | |
| 00:13:30,880 --> 00:13:39,520 | |
| في برهانين لل .. | |
| 87 | |
| 00:13:39,520 --> 00:13:47,540 | |
| لل exercise هذا البرهان الأول باستخدام | |
| 88 | |
| 00:13:47,540 --> 00:13:55,580 | |
| exercise 7 اللي جابله يعني هنا since | |
| 89 | |
| 00:13:55,580 --> 00:14:04,790 | |
| من الفرض لما انه limitxn على yn as n tends to | |
| 90 | |
| 00:14:04,790 --> 00:14:15,150 | |
| infinity بساوي plus infinity then by exercise | |
| 91 | |
| 00:14:15,150 --> 00:14:24,790 | |
| تلاتة section تلاتة ستة if limit sequence بساوي | |
| 92 | |
| 00:14:24,790 --> 00:14:30,780 | |
| infinityبطلع limit مقلوب الـ sequence اللي هو y in | |
| 93 | |
| 00:14:30,780 --> 00:14:40,920 | |
| على x and as n tends to infinity بساوي سبعة now | |
| 94 | |
| 00:14:40,920 --> 00:14:44,480 | |
| apply | |
| 95 | |
| 00:14:44,480 --> 00:14:47,900 | |
| exercise | |
| 96 | |
| 00:14:47,900 --> 00:14:55,940 | |
| رقم سبعة section تلاتة ستة to | |
| 97 | |
| 00:14:55,940 --> 00:14:56,340 | |
| get | |
| 98 | |
| 00:14:59,870 --> 00:15:13,950 | |
| the results in a and b وهذا بيعطيني مرغب لو بصيت و | |
| 99 | |
| 00:15:13,950 --> 00:15:18,950 | |
| لا ال exercise | |
| 100 | |
| 00:15:18,950 --> 00:15:25,070 | |
| سبعة في ال exercise سبعة بيقول ده كانت ال limit لل | |
| 101 | |
| 00:15:25,070 --> 00:15:30,880 | |
| quotientلـ quotient زي هذا بساوي صفر و x in و y in | |
| 102 | |
| 00:15:30,880 --> 00:15:37,200 | |
| حدودهم موجبة ففي الحالة هذه إذا كانت limit ال | |
| 103 | |
| 00:15:37,200 --> 00:15:47,200 | |
| sequence اللي تحت convergent إذا | |
| 104 | |
| 00:15:47,200 --> 00:15:50,240 | |
| كانت limit ال sequence اللي تحت | |
| 105 | |
| 00:15:56,100 --> 00:16:01,960 | |
| لأ limit ال sequence اللي فوق اللي هي yn هنا | |
| 106 | |
| 00:16:01,960 --> 00:16:06,040 | |
| infinity فبطلع limit xn بال 7 infinity اللي هو جزء | |
| 107 | |
| 00:16:06,040 --> 00:16:12,980 | |
| 11وكمان اذا كانت ال sequence اللى فى المقام | |
| 108 | |
| 00:16:12,980 --> 00:16:16,520 | |
| bounded اللى هى x in هنا طبعا فى المقام bounded | |
| 109 | |
| 00:16:16,520 --> 00:16:21,500 | |
| فرقة ال sequence اللى فى ال bust تطلع يساوي 0 وهذا | |
| 110 | |
| 00:16:21,500 --> 00:16:25,740 | |
| هو الجزء التانى هذا حسب هذا لو بدنا نستخدم | |
| 111 | |
| 00:16:25,740 --> 00:16:33,610 | |
| exercise رقم 7 وطبعا لازم نبرهنهلكن ممكن نعطي | |
| 112 | |
| 00:16:33,610 --> 00:16:39,710 | |
| برهان مباشر بدون ما يستخدم exercise السابعة | |
| 113 | |
| 00:16:39,710 --> 00:16:49,670 | |
| وبالتالي إذا في حال تاني أو برهان تاني باستخدام | |
| 114 | |
| 00:16:49,670 --> 00:16:57,900 | |
| التعريفات وال comparison testsباستخدام التعريفات | |
| 115 | |
| 00:16:57,900 --> 00:17:01,820 | |
| زايد ال comparison tests اختبارات المقارنة ال | |
| 116 | |
| 00:17:01,820 --> 00:17:09,240 | |
| proof رقم اتنين since | |
| 117 | |
| 00:17:09,240 --> 00:17:16,820 | |
| اننا ننسى هذا القرآن انا عند هذه الفرض since limit | |
| 118 | |
| 00:17:16,820 --> 00:17:24,630 | |
| ل xn over yn هذا عبارة عن sequenceلأن الـ limit | |
| 119 | |
| 00:17:24,630 --> 00:17:33,410 | |
| إلا بالساقر plus infinity then given Alpha أي real | |
| 120 | |
| 00:17:33,410 --> 00:17:41,610 | |
| number Alpha من تعريف الـ improper convergence | |
| 121 | |
| 00:17:41,610 --> 00:17:50,030 | |
| لأي Alpha there exists capital N يعتمد على Alpha | |
| 122 | |
| 00:17:50,030 --> 00:17:56,450 | |
| عدد قضيةبحيث انه يكون M أكبر من أوسع ال capital M | |
| 123 | |
| 00:17:56,450 --> 00:18:12,950 | |
| بطلع عندي XM على YM أكبر من Alpha طبعا | |
| 124 | |
| 00:18:12,950 --> 00:18:20,480 | |
| وهذا بيقدي ان XM أكبر من Alpha في YMلما عندي yn | |
| 125 | |
| 00:18:20,480 --> 00:18:26,120 | |
| هنا موجبة لما أضرب الطرفين في yn التباينة إشارتها | |
| 126 | |
| 00:18:26,120 --> 00:18:32,340 | |
| تبقى كما هي إذا | |
| 127 | |
| 00:18:32,340 --> 00:18:40,880 | |
| أنا عندي الان الكلام هذا صحيح لكل n أكبر من أوسع | |
| 128 | |
| 00:18:40,880 --> 00:18:46,540 | |
| كابتن الان الان | |
| 129 | |
| 00:18:46,540 --> 00:18:47,360 | |
| by | |
| 130 | |
| 00:18:49,930 --> 00:18:56,930 | |
| بمعنى الـ Direct Comparison Test بما | |
| 131 | |
| 00:18:56,930 --> 00:19:02,970 | |
| انه limit yn | |
| 132 | |
| 00:19:02,970 --> 00:19:04,130 | |
| بالساوي infinity | |
| 133 | |
| 00:19:25,130 --> 00:19:33,010 | |
| ناخد alpha في واحد ممكن | |
| 134 | |
| 00:19:33,010 --> 00:19:37,750 | |
| اه ناخد alpha في واحد صح دي من ال alpha دي ثاني | |
| 135 | |
| 00:19:37,750 --> 00:19:49,320 | |
| واحد يعني ثاني ال R مظبوط فده واحد وبتاني واحدبما | |
| 136 | |
| 00:19:49,320 --> 00:19:54,600 | |
| ان ال limit ل yn | |
| 137 | |
| 00:19:54,600 --> 00:20:02,180 | |
| بساوي infinity نحن نحصل على limit ل xn بساوي | |
| 138 | |
| 00:20:02,180 --> 00:20:06,640 | |
| infinity لان هذا بثبت الجزء الأول انت بدك الجزء | |
| 139 | |
| 00:20:06,640 --> 00:20:08,160 | |
| التاني صح؟ طيب | |
| 140 | |
| 00:20:15,760 --> 00:20:19,840 | |
| بنشوف الجزء التاني إذا كانت ال sequence x in | |
| 141 | |
| 00:20:19,840 --> 00:20:27,400 | |
| bounded فبنلمط y in بسرعه نصف طيب | |
| 142 | |
| 00:20:27,400 --> 00:20:32,420 | |
| الجزء | |
| 143 | |
| 00:20:32,420 --> 00:20:43,340 | |
| دي since x in is bounded إذن | |
| 144 | |
| 00:20:43,340 --> 00:20:48,760 | |
| في عدد موجبThere exists m positive number بحيث انه | |
| 145 | |
| 00:20:48,760 --> 00:20:57,360 | |
| absolute xm أصغر من أو ساوي m لكل m في n هذا من | |
| 146 | |
| 00:20:57,360 --> 00:21:05,280 | |
| تعريف الboundary نفسي طيب بالمنفذ بتاعنا ايه؟ ان | |
| 147 | |
| 00:21:05,280 --> 00:21:16,480 | |
| ال limit ل ym بساعة صفر طيب to showlimit yn بساوي | |
| 148 | |
| 00:21:16,480 --> 00:21:23,260 | |
| zero let epsilon بنستخدم تعريف epsilon capital M | |
| 149 | |
| 00:21:23,260 --> 00:21:32,060 | |
| لإن هي let epsilon أكبر من الصفر be given من | |
| 150 | |
| 00:21:32,060 --> 00:21:39,100 | |
| epsilon على M بيطلع عدد موجب من | |
| 151 | |
| 00:21:41,390 --> 00:21:52,910 | |
| العدد الموجب يعتمد | |
| 152 | |
| 00:21:52,910 --> 00:21:58,830 | |
| على إبسلون على م يعتبر | |
| 153 | |
| 00:21:58,830 --> 00:22:01,590 | |
| إبسلون على م | |
| 154 | |
| 00:22:16,450 --> 00:22:24,150 | |
| أنا عندي ايش عندي بدي | |
| 155 | |
| 00:22:24,150 --> 00:22:31,170 | |
| أثبت ان limit yn بالساوي سفر فخلينا نشوف | |
| 156 | |
| 00:22:43,720 --> 00:22:54,900 | |
| طيب أنا لازم أستخدم .. آه لازم أستخدم .. | |
| 157 | |
| 00:22:54,900 --> 00:23:01,840 | |
| طيب since .. | |
| 158 | |
| 00:23:01,840 --> 00:23:06,820 | |
| طيب بس هنا يعني خليني أقول since | |
| 159 | |
| 00:23:11,850 --> 00:23:20,390 | |
| بما أن ال limit ل yn على xn as n tends to infinity | |
| 160 | |
| 00:23:20,390 --> 00:23:24,410 | |
| أنا عندي المقلوب هذا ال limit تبعته infinity، هذا | |
| 161 | |
| 00:23:24,410 --> 00:23:29,890 | |
| ال limit تبعته سفر وهي عندي epsilon على m عدد موجة | |
| 162 | |
| 00:23:29,890 --> 00:23:36,150 | |
| given، there exists capital M يعتمد على epsilon | |
| 163 | |
| 00:23:36,150 --> 00:23:47,110 | |
| على mعدد طبيعي لحيث انه لكل n أكبر من أوسع ال | |
| 164 | |
| 00:23:47,110 --> 00:23:56,850 | |
| capital N بيطلع عندي absolute yn على xn minus ال | |
| 165 | |
| 00:23:56,850 --> 00:24:05,850 | |
| zero أصغر من epsilon على n تمام؟ | |
| 166 | |
| 00:24:07,690 --> 00:24:27,750 | |
| طب ما هذا بيقدي فانا | |
| 167 | |
| 00:24:27,750 --> 00:24:32,910 | |
| بدي اثبت انه limit yn بالساو ستر يعني بدي اثبت انه | |
| 168 | |
| 00:24:32,910 --> 00:24:38,980 | |
| ال absolute valueلو كان n أكبر من أو ساوي capital | |
| 169 | |
| 00:24:38,980 --> 00:24:44,920 | |
| N بتثبت أن ال absolute value ل y in minus 0 أصغر | |
| 170 | |
| 00:24:44,920 --> 00:24:50,020 | |
| من epsilon عشان أثبت أن ال limit ل y in بساوي سفر | |
| 171 | |
| 00:24:50,020 --> 00:24:55,520 | |
| بتثبت أن ال absolute value ل y in minus 0 أصغر من | |
| 172 | |
| 00:24:55,520 --> 00:25:00,500 | |
| ال given epsilon طيب | |
| 173 | |
| 00:25:00,500 --> 00:25:12,970 | |
| هذا بساوي absoluteYn بيساوي أبقى عن Xn ضرب Yn | |
| 174 | |
| 00:25:12,970 --> 00:25:26,270 | |
| على Xn minus zero و هذا بيساوي absolute Xn في | |
| 175 | |
| 00:25:26,270 --> 00:25:30,170 | |
| absolute Yn على Xn | |
| 176 | |
| 00:25:37,650 --> 00:25:44,410 | |
| بتكون موضوع ممكن نحط سارة zero هنا طيب | |
| 177 | |
| 00:25:44,410 --> 00:25:51,510 | |
| هذا لكل N هذا أصغر من أو يساوي M وال absolute | |
| 178 | |
| 00:25:51,510 --> 00:25:56,570 | |
| value هذه لكل N أكبر من أو يساوي capital N هذا | |
| 179 | |
| 00:25:56,570 --> 00:26:05,270 | |
| أصغر من إبسلون على M إبسلون على M مش هبقى M مع N | |
| 180 | |
| 00:26:05,270 --> 00:26:14,790 | |
| بقى اللي عندي إبسلونطبعا؟ طيب since أكبر من السفر | |
| 181 | |
| 00:26:14,790 --> 00:26:25,310 | |
| was arbitrarily we get انه limit ل y in as in tens | |
| 182 | |
| 00:26:25,310 --> 00:26:29,650 | |
| of infinity بساوي zero و هو المفروض يعني هذا بيكمل | |
| 183 | |
| 00:26:29,650 --> 00:26:35,380 | |
| برعان الجزء بيه okay طبعا؟هذا على اعتبار ان احنا | |
| 184 | |
| 00:26:35,380 --> 00:26:41,300 | |
| exercise سبعة ما بنعرفوش بس في كل الأحوال احنا | |
| 185 | |
| 00:26:41,300 --> 00:26:47,300 | |
| استخدمنا exercise ثلاثة طبعا | |
| 186 | |
| 00:26:47,300 --> 00:26:54,400 | |
| هكذا بنثبت تسعة و سبعة بالمناسبة زيه بنفس الطريقة | |
| 187 | |
| 00:26:54,400 --> 00:27:01,020 | |
| بافكار مشابه ممكن اثباته بنفس السلوب بنفس النمط | |
| 188 | |
| 00:27:03,510 --> 00:27:09,270 | |
| كمان في أي أسئلة تانية في section تلاتة سبعة؟ إذا | |
| 189 | |
| 00:27:09,270 --> 00:27:15,430 | |
| مافيش خلينا ننتقل ل section تلاتة سبعة تبع | |
| 190 | |
| 00:27:15,430 --> 00:27:20,110 | |
| ال series هذا في | |
| 191 | |
| 00:27:20,110 --> 00:27:24,550 | |
| عندكم أي أسئلة في section تلاتة سبعة؟ تلاتة خمسة؟ | |
| 192 | |
| 00:27:24,550 --> 00:27:25,750 | |
| تلاتة سبعة؟ | |
| 193 | |
| 00:27:44,990 --> 00:27:54,110 | |
| في أي أسلة في section تلاتة سبعة أو تلاتة ستة | |
| 194 | |
| 00:27:54,110 --> 00:28:07,910 | |
| مافيش؟ | |
| 195 | |
| 00:28:07,910 --> 00:28:13,700 | |
| السؤال تلاتة فرصة تلاتة سبعةالسؤال التالت الفارقة | |
| 196 | |
| 00:28:13,700 --> 00:28:14,320 | |
| السيه؟ | |
| 197 | |
| 00:28:28,470 --> 00:28:33,570 | |
| استخدمت ال partial fractions؟ اه بس مش .. مش كله | |
| 198 | |
| 00:28:33,570 --> 00:28:37,990 | |
| بالغاية طلعت قيم A و C بيطلعوا نص و نص و B بيطلعوا | |
| 199 | |
| 00:28:37,990 --> 00:28:43,770 | |
| سالم واحد و بعد ما جيت اكمل مش كل الحدود بيطلعوا | |
| 200 | |
| 00:28:43,770 --> 00:28:48,790 | |
| بالطب معايا زي قمتي لو سؤاليني للجامعة اه عشان | |
| 201 | |
| 00:28:48,790 --> 00:28:52,310 | |
| هيكون تلات قصور يعني اه | |
| 202 | |
| 00:28:54,820 --> 00:29:09,900 | |
| بس لازم يكون فيه يعني تلاشي و فيه | |
| 203 | |
| 00:29:09,900 --> 00:29:18,020 | |
| .. نشوف | |
| 204 | |
| 00:29:18,020 --> 00:29:22,040 | |
| يعني مافيش تلاشي جيبت الارت برشا الصمت .. فيه | |
| 205 | |
| 00:29:22,040 --> 00:29:26,940 | |
| تلاشي بس فيه بيضغط اه بخلينا نشوفخلّيني أجرب | |
| 206 | |
| 00:29:26,940 --> 00:29:44,520 | |
| السؤال | |
| 207 | |
| 00:29:44,520 --> 00:29:47,580 | |
| تلاتة الفرق C سكتشن تلاتة سبعة | |
| 208 | |
| 00:29:54,860 --> 00:29:59,300 | |
| استخدم الـ partial fractions | |
| 209 | |
| 00:29:59,300 --> 00:30:03,020 | |
| لإظهار | |
| 210 | |
| 00:30:03,020 --> 00:30:11,100 | |
| أن عدد الـ infinite series sigma من ن يعني واحد | |
| 211 | |
| 00:30:11,100 --> 00:30:21,320 | |
| لإنفينيتي الواحد عشان ن في ن اضافة واحد لان اضافة | |
| 212 | |
| 00:30:21,320 --> 00:30:23,600 | |
| اثنين بساوي واحد اربعة | |
| 213 | |
| 00:30:32,200 --> 00:30:37,060 | |
| فبدنا نكتب هذا بتحلل و باستخدام ال partial | |
| 214 | |
| 00:30:37,060 --> 00:30:43,740 | |
| fractions إلى تلت قصور فجدتش | |
| 215 | |
| 00:30:43,740 --> 00:30:48,080 | |
| فرعة التواردة كانت دي؟ كان الأولى a بتسوي نص يعني | |
| 216 | |
| 00:30:48,080 --> 00:30:57,340 | |
| نص على n تانية سالب واحد سالب او زاد سالب واحد على | |
| 217 | |
| 00:30:57,340 --> 00:31:09,270 | |
| n plus one والاخيرة نصنص على n plus two تعالى | |
| 218 | |
| 00:31:09,270 --> 00:31:18,590 | |
| نحسب ال inf partial sum sn بسعر sigma من k بسعر | |
| 219 | |
| 00:31:18,590 --> 00:31:31,370 | |
| واحد الى n ل xk اللى هو واحد علىك في ك زائد واحد | |
| 220 | |
| 00:31:31,370 --> 00:31:40,190 | |
| في ك زائد اتنين بنبدل ن بالك وبعدين | |
| 221 | |
| 00:31:40,190 --> 00:31:54,030 | |
| هذا عبارة عن سيجما من ك بيسار واحد إلى ن و بنكتب | |
| 222 | |
| 00:31:54,030 --> 00:31:57,350 | |
| هذا واحد على | |
| 223 | |
| 00:32:00,560 --> 00:32:07,980 | |
| 2k سالب واحد | |
| 224 | |
| 00:32:07,980 --> 00:32:16,740 | |
| على ك زائد واحد موجب خلينا | |
| 225 | |
| 00:32:16,740 --> 00:32:21,800 | |
| نحط الحاجات الموجبة مع بعض يعني زائد واحد على | |
| 226 | |
| 00:32:21,800 --> 00:32:26,360 | |
| اتنين ك زائد اربعة | |
| 227 | |
| 00:32:28,860 --> 00:32:36,700 | |
| -1 على K-1 و | |
| 228 | |
| 00:32:36,700 --> 00:32:42,140 | |
| بعدين نكتب أول شوية حدوث مهم جدا اللي كل ثوابت هذه | |
| 229 | |
| 00:32:42,140 --> 00:32:48,080 | |
| صح يعني في حد تاني جابهم متأكد من صحتهم لإن لو | |
| 230 | |
| 00:32:48,080 --> 00:32:50,680 | |
| فيهم خطأ مش هنقبلهم و نطلع الجواب | |
| 231 | |
| 00:33:03,670 --> 00:33:08,910 | |
| فنكتب أول حد هي .. أول حد هيكون لما كيب الساعة | |
| 232 | |
| 00:33:08,910 --> 00:33:17,090 | |
| واحد .. نص .. هيطلع نص زائد واحد على .. تمانية .. | |
| 233 | |
| 00:33:17,090 --> 00:33:24,090 | |
| اتنين .. لأ واحد على ستة .. واحد على ستة صح ناقص | |
| 234 | |
| 00:33:24,090 --> 00:33:26,110 | |
| نص .. سالب نص | |
| 235 | |
| 00:33:31,480 --> 00:33:38,960 | |
| زاد لحد التاني واحد على تلاتة زاد | |
| 236 | |
| 00:33:38,960 --> 00:33:41,520 | |
| .. واحد على اربع .. واحد على اربع .. اربع .. الاول | |
| 237 | |
| 00:33:41,520 --> 00:33:48,800 | |
| واحد على اربع او واحد على اربع الاول و بعدين واحد | |
| 238 | |
| 00:33:48,800 --> 00:33:53,040 | |
| على .. تمانية .. واحد على تمانية .. تمانية ناقص | |
| 239 | |
| 00:33:53,040 --> 00:34:03,060 | |
| تلت مايناس تلت طيب قولي بعدهواحد على ستة واحد على | |
| 240 | |
| 00:34:03,060 --> 00:34:09,380 | |
| ستة واحد على ايه؟ على ستة واحد على عشرة اتنين في | |
| 241 | |
| 00:34:09,380 --> 00:34:14,500 | |
| تلاتة بستة اه واحد على ستة زائد واحد على عشرة زائد | |
| 242 | |
| 00:34:14,500 --> 00:34:25,360 | |
| واحد على عشرة minus ربع minus ربع زائد | |
| 243 | |
| 00:34:25,360 --> 00:34:39,020 | |
| و هكذا الاخر حد هيكون1 على 2n زائد 1 على 2n زائد 4 | |
| 244 | |
| 00:34:39,020 --> 00:34:55,940 | |
| مع بعض و بعدين الثاني 1 على n زائد 1 فنشوف | |
| 245 | |
| 00:34:55,940 --> 00:35:01,570 | |
| أيش اللي بتلاعش و أيش اللي بيطلععين نص هنا راح عين | |
| 246 | |
| 00:35:01,570 --> 00:35:07,190 | |
| نص و | |
| 247 | |
| 00:35:07,190 --> 00:35:20,090 | |
| ربع هنا راح مع الربع هنا قلت | |
| 248 | |
| 00:35:20,090 --> 00:35:26,030 | |
| لك هذا مش هيروح مع حد صح؟ هذا يبقى | |
| 249 | |
| 00:35:30,600 --> 00:35:36,960 | |
| لكن الطمن هيروح والصدرس هيروح لإن الصدرس في مجموعة | |
| 250 | |
| 00:35:36,960 --> 00:35:42,560 | |
| ليه صدرس و الطمن هيجمع ليه الطمن بس برضه هييجي | |
| 251 | |
| 00:35:42,560 --> 00:35:46,620 | |
| ناقص واحد على تمانية و هيظل واحد على تمانية فيه؟ | |
| 252 | |
| 00:35:46,620 --> 00:35:51,220 | |
| اه لما نقعد بالقمة سوى سبعة هيطلع اننا ناقص واحد | |
| 253 | |
| 00:35:51,220 --> 00:35:54,040 | |
| على تمانية اه اشي ناقص واحد على تمانية | |
| 254 | |
| 00:35:56,980 --> 00:36:01,600 | |
| و ممكن كمان برز واحد على ستة او في برز واحد على | |
| 255 | |
| 00:36:01,600 --> 00:36:08,020 | |
| ستة سيطلع سالب واحد على ستة لإن بيساوي خمسة سيطلع | |
| 256 | |
| 00:36:08,020 --> 00:36:14,700 | |
| ثاندي سالب واحد على ستة فمين اللي بيضل على المحدود | |
| 257 | |
| 00:36:14,700 --> 00:36:21,140 | |
| يعني | |
| 258 | |
| 00:36:21,140 --> 00:36:33,420 | |
| بتاعي هذا ستس هيبقى هذا هيروحو هذا هيروحك يعني | |
| 259 | |
| 00:36:33,420 --> 00:36:39,600 | |
| شو اللي بضلف الآخر يعني | |
| 260 | |
| 00:36:39,600 --> 00:36:46,060 | |
| انا بتاعي اللي هيضلف الآخر اللي هو يمكن السدر | |
| 261 | |
| 00:36:46,060 --> 00:36:53,860 | |
| السادى ناقص تلت ناقص تلت و هنا | |
| 262 | |
| 00:36:58,270 --> 00:37:05,290 | |
| كل حد بيروح مع ادم فوضوح يروح مع اللي بعده فمش | |
| 263 | |
| 00:37:05,290 --> 00:37:15,870 | |
| هيروح مع حد فهيبقى واحد على اتنين يعني و | |
| 264 | |
| 00:37:15,870 --> 00:37:19,030 | |
| .. ايش هبقى كمان؟ | |
| 265 | |
| 00:37:30,970 --> 00:37:36,990 | |
| هذا هيروح هيبقى له اتنين هدول اتالي ايه مظلوم زاد | |
| 266 | |
| 00:37:36,990 --> 00:37:51,870 | |
| واحد على اتنين ام زاد اربع سدس | |
| 267 | |
| 00:37:51,870 --> 00:37:59,410 | |
| minus تلت تطلع minus سدس وهذا مروح من صفر مش مظلوم | |
| 268 | |
| 00:38:08,750 --> 00:38:15,650 | |
| المفروض ال limit تطلع ربعها بالتالي | |
| 269 | |
| 00:38:15,650 --> 00:38:19,710 | |
| لازم احنا نكتب مزيد من الحدود عشان نشوف كيف النمط | |
| 270 | |
| 00:38:19,710 --> 00:38:22,150 | |
| .. كيف النمط هيصير | |
| 271 | |
| 00:38:27,470 --> 00:38:34,430 | |
| فبدأ عملية grouping للحدود تجميع ويعني حصول علامات | |
| 272 | |
| 00:38:34,430 --> 00:38:41,310 | |
| معينة مش عارف انا مش متأكد ان هذا هتكون صح يمكن | |
| 273 | |
| 00:38:41,310 --> 00:38:55,770 | |
| في شغلات تانية بتبقى واحنا ماذكرناش فال | |
| 274 | |
| 00:38:55,770 --> 00:38:56,090 | |
| .. | |
| 275 | |
| 00:38:59,080 --> 00:39:04,640 | |
| ذا بده فحص اه فخلينا نقول try it again try it | |
| 276 | |
| 00:39:04,640 --> 00:39:07,780 | |
| again | |
| 277 | |
| 00:39:07,780 --> 00:39:17,200 | |
| خلينا نحاول فيه مرة تانية و نحاول يعني نقدر نخلي | |
| 278 | |
| 00:39:17,200 --> 00:39:22,740 | |
| يعني هذا يساوي ربع او يساوي حاجة ال limit بقتها في | |
| 279 | |
| 00:39:22,740 --> 00:39:26,480 | |
| النهاية هتطلع ربعوبالتالي ال limit لل sequence of | |
| 280 | |
| 00:39:26,480 --> 00:39:29,180 | |
| partial sums هيطلع ربعه وبالتالي ال series | |
| 281 | |
| 00:39:29,180 --> 00:39:33,000 | |
| conversion مجموعة بساوي ال limit لل partial sums | |
| 282 | |
| 00:39:33,000 --> 00:39:38,700 | |
| فهذا يعني مشكوك فيه شكله مش صح نحاول مرة تانية فيه | |
| 283 | |
| 00:39:38,700 --> 00:39:43,100 | |
| و بعدين نشوف يعني كيف مين اللي بصل للجواب الصح | |
| 284 | |
| 00:39:43,100 --> 00:39:48,720 | |
| نحاول نكتبه مرة تانية okay تمام لكن يعني ماهواش | |
| 285 | |
| 00:39:48,720 --> 00:39:53,570 | |
| مستحيل أو ماهواش يعني صعبممكن اي واحد يتواصل اليه | |
| 286 | |
| 00:39:53,570 --> 00:39:58,990 | |
| بس بده ايه مزيد من الحدود والاستنتاج نمط معين | |
| 287 | |
| 00:39:58,990 --> 00:40:04,370 | |
| فخلينا نسيبكم تفكروا فيه كمان مرة في اسئلة تانية | |
| 288 | |
| 00:40:04,370 --> 00:40:08,990 | |
| في ال section هذا فحاولوا | |
| 289 | |
| 00:40:08,990 --> 00:40:11,170 | |
| تفكروا فيه في اسئلة تانية | |
| 290 | |
| 00:40:17,700 --> 00:40:21,980 | |
| في أسئلة تانية في section تلاتة سبعة أو السكاشن | |
| 291 | |
| 00:40:21,980 --> 00:40:32,680 | |
| السابقة اللى تسبقه تلاتة ستة تلاتة خمسة في | |
| 292 | |
| 00:40:32,680 --> 00:40:38,140 | |
| كتير أسئلة يعني مطلوبة منكم واضح أن انتم مش محضرين | |
| 293 | |
| 00:40:38,140 --> 00:40:42,420 | |
| ولا دارسين الموضوع وبالتالي ماعندكم مش أسئلة | |
| 294 | |
| 00:40:46,220 --> 00:40:54,880 | |
| فإلى أن يكون عندكم أسئلة بنكمل المناقشة يوم السبت | |
| 295 | |
| 00:40:54,880 --> 00:40:59,860 | |
| الجاي أو تحضروا المناقشة مع الشعبة التانية يوم | |
| 296 | |
| 00:40:59,860 --> 00:41:05,140 | |
| الأربع خلينا | |
| 297 | |
| 00:41:05,140 --> 00:41:14,690 | |
| نرجع لل limits of functions وناخد المثال الأخيرفي | |
| 298 | |
| 00:41:14,690 --> 00:41:16,930 | |
| ال section هداك | |
| 299 | |
| 00:41:46,290 --> 00:41:50,970 | |
| المرة الجاية دخلنا اثبتنا | |
| 300 | |
| 00:41:50,970 --> 00:42:02,310 | |
| ان ال limit اثبتنا | |
| 301 | |
| 00:42:02,310 --> 00:42:05,450 | |
| ان ال candy انتي مثال رقم 2 | |
| 302 | |
| 00:42:08,630 --> 00:42:15,350 | |
| لسفر function ل X لما X تقول لسفر does not exist | |
| 303 | |
| 00:42:15,350 --> 00:42:19,270 | |
| أخدنا هذا و أخدنا هذا و أخدنا هذا و أخدنا هذا و | |
| 304 | |
| 00:42:19,270 --> 00:42:21,290 | |
| أخدنا هذا و أخدنا هذا و أخدنا هذا و أخدنا هذا و | |
| 305 | |
| 00:42:21,290 --> 00:42:21,570 | |
| أخدنا هذا و أخدنا هذا و أخدنا هذا و أخدنا هذا و | |
| 306 | |
| 00:42:21,570 --> 00:42:21,890 | |
| أخدنا هذا و أخدنا هذا و أخدنا هذا و أخدنا هذا و | |
| 307 | |
| 00:42:21,890 --> 00:42:22,210 | |
| أخدنا هذا و أخدنا هذا و أخدنا هذا و أخدنا هذا و | |
| 308 | |
| 00:42:22,210 --> 00:42:22,610 | |
| أخدنا هذا و أخدنا هذا و أخدنا هذا و أخدنا هذا و | |
| 309 | |
| 00:42:22,610 --> 00:42:25,970 | |
| أخدنا هذا و أخدنا هذا و أخدنا هذا و أخدنا هذا و | |
| 310 | |
| 00:42:25,970 --> 00:42:33,830 | |
| أخدنا هذا و أخدنا | |
| 311 | |
| 00:42:33,830 --> 00:42:46,640 | |
| هذا و أوحد على X لما X تقول لسفر does not exist in | |
| 312 | |
| 00:42:46,640 --> 00:42:50,400 | |
| R فلبرحان | |
| 313 | |
| 00:42:50,400 --> 00:42:56,700 | |
| ذلك let | |
| 314 | |
| 00:42:56,700 --> 00:43:04,380 | |
| F of X تساوي صين واحد على X و X لا تساوي سفر | |
| 315 | |
| 00:43:10,730 --> 00:43:16,210 | |
| و بعدين we consider two | |
| 316 | |
| 00:43:16,210 --> 00:43:20,870 | |
| sequences واحدة | |
| 317 | |
| 00:43:20,870 --> 00:43:33,750 | |
| xn الحد لعام تبعها أدارة عن واحد على واحد | |
| 318 | |
| 00:43:33,750 --> 00:43:38,030 | |
| على n πاي و n ينتمي ل z | |
| 319 | |
| 00:43:41,720 --> 00:43:47,620 | |
| و Yn لحد الآن تبعها واحد على πاي على تمين زاد | |
| 320 | |
| 00:43:47,620 --> 00:43:56,020 | |
| اتنين N πاي و N ينتمي الى Z هذا عبارة عن Sequences | |
| 321 | |
| 00:43:56,020 --> 00:44:01,300 | |
| of positive numbers | |
| 322 | |
| 00:44:04,950 --> 00:44:12,130 | |
| واضح ان ال limit ل xn as n tends to infinity بساوي | |
| 323 | |
| 00:44:12,130 --> 00:44:20,290 | |
| 0 وكذلك ال limit ل yn لما n تقول infinity برضه | |
| 324 | |
| 00:44:20,290 --> 00:44:24,730 | |
| بساوي 0 لان المقان لما n تقول infinity المقان | |
| 325 | |
| 00:44:24,730 --> 00:44:32,090 | |
| بيروح ل infinity طيب | |
| 326 | |
| 00:44:32,090 --> 00:44:33,690 | |
| الآن ال limit | |
| 327 | |
| 00:44:37,860 --> 00:44:42,420 | |
| الـ image لـ sequence xn لما n تقول الانفلتين | |
| 328 | |
| 00:44:42,420 --> 00:44:55,500 | |
| بساوي ال limit ل sign xn لما n تقول الانفلتين وهذا | |
| 329 | |
| 00:44:55,500 --> 00:45:05,620 | |
| بساوي ال limit ل sign n في pi لما n تقول الانفلتين | |
| 330 | |
| 00:45:06,340 --> 00:45:16,300 | |
| Sin N في Pi بساوي واحد بساوي سفر لكل N وبالتالي | |
| 331 | |
| 00:45:16,300 --> 00:45:21,640 | |
| هذا بساوي limit ال sequence سفر لما N طولة | |
| 332 | |
| 00:45:21,640 --> 00:45:32,600 | |
| infinity بساوي سفر and limit | |
| 333 | |
| 00:45:33,900 --> 00:45:41,360 | |
| الإمج للسيكوينس YM لما N تقول انفينيتي بساوي limit | |
| 334 | |
| 00:46:08,450 --> 00:46:16,370 | |
| وهذا المفروض يكون sign | |
| 335 | |
| 00:46:16,370 --> 00:46:24,840 | |
| 1 على xn وهذا المفروض يكون sign 1 على ynمقلوب y in | |
| 336 | |
| 00:46:24,840 --> 00:46:34,540 | |
| بيطلع بساوي πاية اتنين ازايد اتنين in πاية وهذا | |
| 337 | |
| 00:46:34,540 --> 00:46:44,040 | |
| المقدار دايما بساوي واحد لكل in اذا انا في عندي | |
| 338 | |
| 00:46:44,040 --> 00:46:51,770 | |
| limit لل sequence بالحد العام تبعها واحدالسيكوانس | |
| 339 | |
| 00:46:51,770 --> 00:46:57,670 | |
| تابعة واحد وهذا بالساوية واحد ان ان انا في عندي | |
| 340 | |
| 00:46:57,670 --> 00:47:03,710 | |
| two sequences Xm تقولها سفر و limit صورتها | |
| 341 | |
| 00:47:03,710 --> 00:47:09,050 | |
| بالساوية سفر و في عندي سيكوانس تانية Ym ال limit | |
| 342 | |
| 00:47:09,050 --> 00:47:13,650 | |
| تبعتها ايضا بالساوية سفر لكن limit صورتها بالساوية | |
| 343 | |
| 00:47:13,650 --> 00:47:17,310 | |
| واحد وبالتالي | |
| 344 | |
| 00:47:20,360 --> 00:47:28,340 | |
| by sequential criterion ال | |
| 345 | |
| 00:47:28,340 --> 00:47:35,480 | |
| limit لل function f of x لما x تقول ل0 does not | |
| 346 | |
| 00:47:35,480 --> 00:47:46,440 | |
| exist in R مش ممكن تكون موجودة في R لأن | |
| 347 | |
| 00:47:46,440 --> 00:47:53,900 | |
| لو كانت ال limit هذه موجودةفالمفروض limit صورة xn | |
| 348 | |
| 00:47:53,900 --> 00:48:02,060 | |
| بما أن xn تقول السفر نكتب | |
| 349 | |
| 00:48:02,060 --> 00:48:07,180 | |
| since otherwise لأن | |
| 350 | |
| 00:48:07,180 --> 00:48:14,780 | |
| لو كلاك ذلك لو كانت هذه موجودة if limit | |
| 351 | |
| 00:48:20,170 --> 00:48:25,210 | |
| فى limit ل F of X لما X تقول لسة exist | |
| 352 | |
| 00:48:32,710 --> 00:48:39,990 | |
| then المفروض ال limit ل f of x n لما n تقول | |
| 353 | |
| 00:48:39,990 --> 00:48:47,270 | |
| infinity بتساوي ال limit ل f of y n as n tends to | |
| 354 | |
| 00:48:47,270 --> 00:48:57,070 | |
| infinity وهذا مستحيل which is impossible وهذا زي | |
| 355 | |
| 00:48:57,070 --> 00:49:03,150 | |
| ما شوفنا مستحيل impossibleلأن طولها limit f of x | |
| 356 | |
| 00:49:03,150 --> 00:49:09,390 | |
| in بالساوي سفر و limit f of y in بالساوي واحد إذن | |
| 357 | |
| 00:49:09,390 --> 00:49:13,470 | |
| هنا استخدمنا sequential criterion في إثبات إن ال | |
| 358 | |
| 00:49:13,470 --> 00:49:17,330 | |
| limit لل function f of x بالساوي صين واحد على x | |
| 359 | |
| 00:49:17,330 --> 00:49:24,490 | |
| غير موجودة عند السفر طيب | |
| 360 | |
| 00:49:24,490 --> 00:49:30,120 | |
| هناخد break خمس دقايق و بعدين نواصلالمحاضرة | |
| 361 | |
| 00:49:30,120 --> 00:49:31,840 | |
| التانية | |