| 1 | |
| 00:00:21,620 --> 00:00:25,660 | |
| طيب نأخذ أمثلة | |
| 2 | |
| 00:00:25,660 --> 00:00:31,280 | |
| كيف نجيب الـ supremum والـ infimum لمجموعات جزئية | |
| 3 | |
| 00:00:31,280 --> 00:00:36,300 | |
| من مجموعة الأعداد الحقيقية، فلو أخذت الفترة المغلقة | |
| 4 | |
| 00:00:36,300 --> 00:00:42,660 | |
| من صفر لواحد، فعايز أفت claim هنا، أدعي أن الـ | |
| 5 | |
| 00:00:42,660 --> 00:00:48,540 | |
| supremum للست هو واحد، البرهان لذلك حسب تعريف الـ | |
| 6 | |
| 00:00:48,540 --> 00:00:53,320 | |
| supremum اللي هو least upper bound لازم أثبت شرطين | |
| 7 | |
| 00:00:53,320 --> 00:00:59,140 | |
| أول شيء الواحد upper bound للـ S، وهذا صحيح، واضح، واحد | |
| 8 | |
| 00:00:59,140 --> 00:01:03,860 | |
| is upper bound لمجموعة S لأن الواحد أكبر من أو | |
| 9 | |
| 00:01:03,860 --> 00:01:08,930 | |
| يساوي كل العناصر اللي في الفترة، صح؟ إذًا واحد upper | |
| 10 | |
| 00:01:08,930 --> 00:01:13,170 | |
| bound، الآن لإثبات أن واحد هو أصغر upper bound الـ | |
| 11 | |
| 00:01:13,170 --> 00:01:16,950 | |
| supremum، يعني لازم أثبت إنه واحد أصغر من أو يساوي | |
| 12 | |
| 00:01:16,950 --> 00:01:25,170 | |
| أي upper bound، فلو أخذنا V، V any upper bound، فالـ V | |
| 13 | |
| 00:01:25,170 --> 00:01:28,310 | |
| أكبر من أو يساوي كل العناصر اللي هنا، من ضمنها | |
| 14 | |
| 00:01:28,310 --> 00:01:33,530 | |
| الواحد، إذًا الـ V أكبر من أو يساوي الـ واحد، الآن واحد | |
| 15 | |
| 00:01:33,530 --> 00:01:38,230 | |
| upper bound والواحد أصغر من أو يساوي أي upper bound | |
| 16 | |
| 00:01:38,230 --> 00:01:43,910 | |
| V، إذًا الـ واحد هو الـ supremum، إذًا هيك أثبتنا إن | |
| 17 | |
| 00:01:43,910 --> 00:01:49,390 | |
| واحد هو الـ supremum، بالمثل ممكن إثبات إن العنصر أو | |
| 18 | |
| 00:01:49,390 --> 00:01:54,170 | |
| العدد صفر هو الـ infimum للفترة المغلقة من صفر إلى | |
| 19 | |
| 00:01:54,170 --> 00:02:00,850 | |
| واحد، طيب مثال ثاني لو أخذت T هي الفترة المفتوحة من | |
| 20 | |
| 00:02:00,850 --> 00:02:11,950 | |
| 0 لـ 1، فبرضه كمان لو | |
| 21 | |
| 00:02:11,950 --> 00:02:18,030 | |
| أخذت T هي الفترة المفتوحة من 0 لـ 1، فممكن إثبات أن | |
| 22 | |
| 00:02:18,030 --> 00:02:23,970 | |
| الـ supremum لـ T هو 1، واضح إن الواحد upper bound | |
| 23 | |
| 00:02:23,970 --> 00:02:29,030 | |
| للست، للفترة المفتوحة، لأن واحد أكبر من أو يساوي كل | |
| 24 | |
| 00:02:29,030 --> 00:02:34,390 | |
| الـ X اللي هنا، هذا واضح، الآن لإثبات أن الواحد هذا | |
| 25 | |
| 00:02:34,390 --> 00:02:37,310 | |
| هو الـ supremum، في لمّة واحد اتناش خدناها المرة | |
| 26 | |
| 00:02:37,310 --> 00:02:42,070 | |
| اللي فاتت، بتقول عشان الـ upper bound واحد يكون هو | |
| 27 | |
| 00:02:42,070 --> 00:02:47,310 | |
| الـ supremum لازم أثبت إنه في شرط لكل ابسلون أكبر | |
| 28 | |
| 00:02:47,310 --> 00:02:56,120 | |
| من الصفر يوجد عنصر S، Y في الست S أو T هنا، بحيث إنه | |
| 29 | |
| 00:02:56,120 --> 00:03:02,300 | |
| واحد سالب الـ epsilon أصغر من S، epsilon، فهنثبت | |
| 30 | |
| 00:03:02,300 --> 00:03:07,900 | |
| الكلام هذا، إذًا هنا هينبدأ let epsilon أكبر من | |
| 31 | |
| 00:03:07,900 --> 00:03:11,940 | |
| الصفر be given، لأن الـ epsilon هذا ممكن يكون أصغر | |
| 32 | |
| 00:03:11,940 --> 00:03:17,980 | |
| من أو يساوي الواحد أو أكبر من أو أكبر من الواحد | |
| 33 | |
| 00:03:20,030 --> 00:03:22,970 | |
| الإبسلون هذا عدد موجب، ممكن جدًا يكون أصغر من أو | |
| 34 | |
| 00:03:22,970 --> 00:03:26,170 | |
| يساوي الواحد أو أكبر من واحد، نأخذ الحالة الأولى، لو | |
| 35 | |
| 00:03:26,170 --> 00:03:30,770 | |
| إبسلون أصغر من أو يساوي الواحد، فحأخذ S إبسلون، أعرف | |
| 36 | |
| 00:03:30,770 --> 00:03:36,330 | |
| S إبسلون، واحد سالب إبسلون على اتنين، هذا العدد | |
| 37 | |
| 00:03:36,330 --> 00:03:41,350 | |
| بيطلع عدد أكبر من صفر وأصغر من واحد، وبالتالي ينتمي | |
| 38 | |
| 00:03:41,350 --> 00:03:45,510 | |
| للتين، الآن | |
| 39 | |
| 00:03:45,510 --> 00:03:53,380 | |
| لو أخذت واحد وطرحت منها إبسلون، فهذا بيطلع أصغر يعني | |
| 40 | |
| 00:03:53,380 --> 00:03:59,840 | |
| لو أخذت واحد وطرحت منها epsilon فهذا أصغر من واحد | |
| 41 | |
| 00:03:59,840 --> 00:04:06,500 | |
| سالب epsilon على اتنين، هذا طرحت منه عدد أكبر من هذا | |
| 42 | |
| 00:04:06,500 --> 00:04:17,080 | |
| لذا هذا أصغر من الثاني، وبعدين ليش يقصر؟ طب | |
| 43 | |
| 00:04:17,080 --> 00:04:25,100 | |
| ما هذا هو S إبسلون، هذا هو سإبسلون، إذا | |
| 44 | |
| 00:04:25,100 --> 00:04:30,160 | |
| في الحالة هذه لأي إبسلون أكبر من الصفر، هين أثبتت | |
| 45 | |
| 00:04:30,160 --> 00:04:36,740 | |
| إن يوجد S إبسلون في T، وهذا الـ S إبسلون أكبر من | |
| 46 | |
| 00:04:36,740 --> 00:04:40,600 | |
| واحد سالب إبسلون أو واحد سالب إبسلون أصغر من S | |
| 47 | |
| 00:04:40,600 --> 00:04:47,480 | |
| إبسلون، هذا هو الشرط اللي في لمّة واحد اتناش، هينتقل | |
| 48 | |
| 00:04:48,090 --> 00:04:52,170 | |
| الحالة الثانية، لو كان إمسنان أكبر من واحد فأكيد | |
| 49 | |
| 00:04:52,170 --> 00:04:56,050 | |
| واحد سالب إمسنان هيطلع عدد سالب، يعني أصغر من صفر، | |
| 50 | |
| 00:04:56,050 --> 00:05:01,930 | |
| والـ X هذا .. الـ X هذا لو أخذت أي X في T فأي X في T | |
| 51 | |
| 00:05:01,930 --> 00:05:06,300 | |
| موجب، أي X في T موجب، إذًا هين أثبتنا في الحالة | |
| 52 | |
| 00:05:06,300 --> 00:05:13,160 | |
| الثانية إنه لو كان epsilon أكبر من واحد فبطلع مش | |
| 53 | |
| 00:05:13,160 --> 00:05:18,620 | |
| يوجد S epsilon واحد في T، كل عناصر الـ T بتحقق إنه | |
| 54 | |
| 00:05:18,620 --> 00:05:24,120 | |
| واحد سالب epsilon أصغر من S أو S epsilon، وبالتالي | |
| 55 | |
| 00:05:24,120 --> 00:05:28,420 | |
| في كلتا الحالتين الـ both cases الشرط تبع لما واحد | |
| 56 | |
| 00:05:28,420 --> 00:05:33,490 | |
| اتناشر تبع الـ supremum اللي بكافئ الـ supremum متحقق | |
| 57 | |
| 00:05:33,490 --> 00:05:39,810 | |
| وبالتالي واحد هو الـ supremum لـ T، مثال | |
| 58 | |
| 00:05:39,810 --> 00:05:46,710 | |
| ثالث، احنا شفنا قبل شوية في بداية المحاضرة إن كل | |
| 59 | |
| 00:05:46,710 --> 00:05:51,510 | |
| عدد حقيقي هو upper bound وكذلك lower bound | |
| 60 | |
| 00:05:51,510 --> 00:05:57,070 | |
| للمجموعة الخالية Φ، وبناء على ذلك Φ does not | |
| 61 | |
| 00:05:57,070 --> 00:06:00,730 | |
| have a supremum ولا infimum | |
| 62 | |
| 00:06:03,600 --> 00:06:14,960 | |
| هي برهان Φ has no .. Φ has no supremum، البرهان | |
| 63 | |
| 00:06:14,960 --> 00:06:19,380 | |
| proof، assume | |
| 64 | |
| 00:06:19,380 --> 00:06:24,240 | |
| that | |
| 65 | |
| 00:06:24,240 --> 00:06:32,620 | |
| u belong to R is supremum Φ، الـ least upper bound | |
| 66 | |
| 00:06:32,620 --> 00:06:33,120 | |
| لـ Φ | |
| 67 | |
| 00:06:40,890 --> 00:06:53,830 | |
| then u سالب واحد أصغر من u، and u سالب واحد هاد عدد | |
| 68 | |
| 00:06:53,830 --> 00:07:00,610 | |
| حقيقي is upper bound | |
| 69 | |
| 00:07:00,610 --> 00:07:13,110 | |
| of الـ Φ، كمان مرة نفرض إن U جد U، نفرض | |
| 70 | |
| 00:07:13,110 --> 00:07:21,590 | |
| إن U جد U جد U بالنمط R وهو Supremum لـ Φ، طيب U | |
| 71 | |
| 00:07:21,590 --> 00:07:27,000 | |
| سالب واحد أصغر من U، وقبل شوية كنا ملاحظة إن أي عدد | |
| 72 | |
| 00:07:27,000 --> 00:07:32,440 | |
| حقيقي زي هذا عبارة عن upper bound لـ Φ، فـ K في الـ | |
| 73 | |
| 00:07:32,440 --> 00:07:37,080 | |
| U .. K في الـ U هو الـ supremum، K في الـ U هو الـ | |
| 74 | |
| 00:07:37,080 --> 00:07:40,580 | |
| supremum هو أصغر upper bound، وفي upper bound أصغر | |
| 75 | |
| 00:07:40,580 --> 00:07:47,260 | |
| منه، هذا بدّيني تناقض which | |
| 76 | |
| 00:07:47,260 --> 00:07:52,340 | |
| .. which is a contradiction | |
| 77 | |
| 00:07:59,520 --> 00:08:04,320 | |
| إن هذا بدّيني تناقض، وبالتالي هذا إثبات أن الـ Fi | |
| 78 | |
| 00:08:04,320 --> 00:08:10,700 | |
| مالهاش Supremum، بالمثل ممكن إثبات أن الـ Fi أو | |
| 79 | |
| 00:08:10,700 --> 00:08:20,420 | |
| المجموعة الخالية ليس لها Supremum، طيب | |
| 80 | |
| 00:08:20,420 --> 00:08:22,620 | |
| نيجي للـ completeness property | |
| 81 | |
| 00:08:29,610 --> 00:08:34,370 | |
| الـ completeness property of R بتنص على إنه كل | |
| 82 | |
| 00:08:34,370 --> 00:08:40,990 | |
| مجموعة غير خالية .. كل مجموعة غير خالية S من R و | |
| 83 | |
| 00:08:40,990 --> 00:08:45,010 | |
| bounded above .. و bounded above محدودة من أعلى | |
| 84 | |
| 00:08:45,010 --> 00:08:50,430 | |
| has supremum، لازم يكون فيه لها supremum، يعني مثال | |
| 85 | |
| 00:08:50,430 --> 00:08:57,580 | |
| على ذلك لو أخذنا S بسبب الفترة المغلقة 0،1 أو الفترة | |
| 86 | |
| 00:08:57,580 --> 00:09:04,960 | |
| المفتوحة من صفر، واحد فهي هذي set و bounded above، إذا | |
| 87 | |
| 00:09:04,960 --> 00:09:10,960 | |
| الـ property بتقولي بتضمنلي، تضمن إن هذي الـ set لها | |
| 88 | |
| 00:09:10,960 --> 00:09:15,840 | |
| supremum اللي هو الواحد اللي اثبتناه قبل شوية، إذا | |
| 89 | |
| 00:09:15,840 --> 00:09:19,700 | |
| الـ property بتضمن وجود supremum، لكن ما بتجيبليها | |
| 90 | |
| 00:09:19,700 --> 00:09:26,050 | |
| ولا بتقولي إيش هو؟ عشان نجيبه لازم نعمل برهان زي ما | |
| 91 | |
| 00:09:26,050 --> 00:09:30,310 | |
| شفنا في الأمثلة السابقة، هد هي الـ supremum أو الـ | |
| 92 | |
| 00:09:30,310 --> 00:09:33,790 | |
| completeness property، خاصية التمام للأعداد | |
| 93 | |
| 00:09:33,790 --> 00:09:38,510 | |
| الحقيقية، الآن زي ما قلتلكم قبل هيك في توقع ما بين | |
| 94 | |
| 00:09:38,510 --> 00:09:42,130 | |
| الـ upper bounds والـ lower bounds، الـ supremums والـ | |
| 95 | |
| 00:09:42,130 --> 00:09:52,510 | |
| infimums، فالـ .. الـ .. أي خاصية صحيحة للـ supremum | |
| 96 | |
| 00:09:52,510 --> 00:09:58,170 | |
| بتكون في مقابلها خاصية صحيحة للـ infimum، ففي نتيجة | |
| 97 | |
| 00:09:58,170 --> 00:10:03,640 | |
| هنا على completeness property، corollary بنسميها الـ | |
| 98 | |
| 00:10:03,640 --> 00:10:07,580 | |
| infimum property of R، لإن في supremum property of | |
| 99 | |
| 00:10:07,580 --> 00:10:12,260 | |
| R وفي بقبلها infimum property of R، فالـ infimum | |
| 100 | |
| 00:10:12,260 --> 00:10:16,160 | |
| property of R بتقول إن every non-empty subset S of | |
| 101 | |
| 00:10:16,160 --> 00:10:21,160 | |
| R which is bounded below has an infimum، يعني كل | |
| 102 | |
| 00:10:21,160 --> 00:10:26,440 | |
| مجموعة غير خالية من العداد الحقيقية ومحصورة من | |
| 103 | |
| 00:10:26,440 --> 00:10:30,460 | |
| أسفل لازم يكون لها infimum أو أكبر حد أدنى | |
| 104 | |
| 00:10:38,820 --> 00:10:45,060 | |
| وهي البرهان .. نشوف البرهان تبع الـ .. الـ corollary | |
| 105 | |
| 00:10:45,060 --> 00:10:54,520 | |
| أو النتيجة هذه، بنعرف set .. بنعرف الـ set E على | |
| 106 | |
| 00:10:54,520 --> 00:10:59,120 | |
| أنها كل العناصر W اللي بتكون lower bound للمجموعة | |
| 107 | |
| 00:10:59,120 --> 00:11:06,510 | |
| S، طيب by hypothesis حسب الفرض الـ E مجموعة غير | |
| 108 | |
| 00:11:06,510 --> 00:11:09,610 | |
| خالية، يعني فيها على الأقل عنصر، ليه؟ لإن احنا | |
| 109 | |
| 00:11:09,610 --> 00:11:16,090 | |
| فرضين إن المجموعة S، المجموعة S هذه bounded below، | |
| 110 | |
| 00:11:16,090 --> 00:11:19,710 | |
| يعني إلها lower bound، وبالتالي إذا في على الأقل | |
| 111 | |
| 00:11:19,710 --> 00:11:24,350 | |
| عنصر واحد، W في E، إذا الـ E مجموعة غير خالية، | |
| 112 | |
| 00:11:24,350 --> 00:11:25,990 | |
| تمام؟ هذا من الفرض | |
| 113 | |
| 00:11:29,380 --> 00:11:34,720 | |
| كذلك من الفرض أي X في S ثبار عن upper bound لـ E | |
| 114 | |
| 00:11:34,720 --> 00:11:49,760 | |
| لو كان X ينتمي إلى S فهذا بيقدّي إنه W أصغر من أو | |
| 115 | |
| 00:11:49,760 --> 00:11:56,160 | |
| يساوي X لكل W في E | |
| 116 | |
| 00:12:04,760 --> 00:12:11,300 | |
| ليه هذا الكلام صحيح؟ لأن كل W في E عبارة عن lower | |
| 117 | |
| 00:12:11,300 --> 00:12:17,300 | |
| bound لـ S، وبما أن W lower bound لـ S فأي عنصر في S | |
| 118 | |
| 00:12:17,300 --> 00:12:23,480 | |
| بيكون أكبر من أو يساوي الـ lower bound، صح؟ إذًا هذا | |
| 119 | |
| 00:12:23,480 --> 00:12:28,360 | |
| معناه إن X upper bound، هي X أكبر من أو يساوي كل | |
| 120 | |
| 00:12:28,360 --> 00:12:33,820 | |
| عناصر الـ E، وبالتالي أي X في S هو عبارة عن | |
| 121 | |
| 00:12:40,550 --> 00:12:45,910 | |
| أي x في s هو upper bound للست | |
| 122 | |
| 00:12:51,680 --> 00:12:57,900 | |
| خاصية التمام، إذا الـ .. الـ set E هذه is bounded | |
| 123 | |
| 00:12:57,900 --> 00:13:02,580 | |
| above وبالتالي يوجد إلها supremum، الـ supremum تبعها | |
| 124 | |
| 00:13:02,580 --> 00:13:08,100 | |
| لو سميته small s exists in R، هذا .. وجود الـ supremum | |
| 125 | |
| 00:13:08,100 --> 00:13:14,560 | |
| مضمون باستخدام الـ supremum property، الآن بدنا نثبت إن | |
| 126 | |
| 00:13:14,560 --> 00:13:21,000 | |
| هذا العدد small s هو الـ infimum، هو الـ infimum | |
| 127 | |
| 00:13:21,000 --> 00:13:27,100 | |
| للست S، وهيك بنكون كملنا البرهان، إذا الإثبات | |
| 128 | |
| 00:13:27,100 --> 00:13:33,580 | |
| للادعاء هذا إن عندي الـ S هنا بساوي supremum E | |
| 129 | |
| 00:13:33,580 --> 00:13:40,780 | |
| وبالتالي الـ S هذا upper bound لـ E، يعني S أكبر من | |
| 130 | |
| 00:13:40,780 --> 00:13:42,340 | |
| أو يساوي كل الـ X في E | |
| 131 | |
| 00:13:46,050 --> 00:13:52,070 | |
| الآن بناء على المتباينة هذه أو الجملة هذه لإثبات | |
| 132 | |
| 00:13:52,070 --> 00:13:58,610 | |
| أن S هي الـ infimum لـ Capital S يبقى إثبات إن S | |
| 133 | |
| 00:13:58,610 --> 00:14:06,830 | |
| عبارة عن lower bound، S is a lower bound of S، ليش | |
| 134 | |
| 00:14:06,830 --> 00:14:11,350 | |
| هذا يكفي لإثبات إن S هو الـ infimum لـ S؟ | |
| 135 | |
| 00:14:15,610 --> 00:14:20,590 | |
| تعال نشوف ليش هذا يكفي، يكفي | |
| 136 | |
| 00:14:20,590 --> 00:14:28,850 | |
| إثبات إن الـ S is a lower bound للـ Capital S، يعني بدنا | |
| 137 | |
| 00:14:28,850 --> 00:14:34,830 | |
| نثبت إن الـ X عفوا | |
| 138 | |
| 00:14:34,830 --> 00:14:43,410 | |
| الـ S أصغر من أو يساوي كل العناصر Y | |
| 139 | |
| 00:14:58,200 --> 00:15:03,540 | |
| يعني بدنا نثبت إن S ينتمي | |
| 140 | |
| 00:15:03,540 --> 00:15:09,980 | |
| للست E يعني | |
| 141 | |
| 00:15:09,980 --> 00:15:17,320 | |
| لإثبات أن S is the lower bound of S معناه بدّ أثبت | |
| 142 | |
| 00:15:17,320 --> 00:15:20,560 | |
| أن S عنصر في E لأن E is the set of all lower | |
| 143 | |
| 00:15:20,560 --> 00:15:25,380 | |
| bounds of S صح؟ فلو أثبتت أن S تنتمي إلى E | |
| 144 | |
| 00:15:34,100 --> 00:15:41,300 | |
| فالمفروض هذا معناه أن الـ S .. آه هايه .. لو هذا الـ | |
| 145 | |
| 00:15:41,300 --> 00:15:47,680 | |
| S .. لو هذا الـ S أثبتت أنه .. لو أثبتت أن الـ S هذا | |
| 146 | |
| 00:15:47,680 --> 00:15:49,380 | |
| ينتمي إلى E؟ | |
| 147 | |
| 00:15:52,900 --> 00:15:58,420 | |
| فمعناه أن كل العناصر اللي في E أصغر من أو يساوي الـ | |
| 148 | |
| 00:15:58,420 --> 00:16:04,900 | |
| S طيب كل العناصر X اللي في E هي عبارة عن lower | |
| 149 | |
| 00:16:04,900 --> 00:16:11,330 | |
| bounds لـ S وإذا كان S موجود في E بيكون أيضًا lower | |
| 150 | |
| 00:16:11,330 --> 00:16:17,350 | |
| bound لـ S لكن الـ S هذا يتمتع بالخاصية أنه أكبر من | |
| 151 | |
| 00:16:17,350 --> 00:16:22,970 | |
| أو يساوي كل عناصر الـ set A إذا هو أكبر lower bound | |
| 152 | |
| 00:16:22,970 --> 00:16:29,560 | |
| يعني هو الـ infimum صح؟ تمام؟ مرة ثانية احنا وصلنا | |
| 153 | |
| 00:16:29,560 --> 00:16:35,780 | |
| أن الـ X كل العناصر X في E أصغر من أو يساوي S الآن | |
| 154 | |
| 00:16:35,780 --> 00:16:42,800 | |
| لو أثبتت أن الـ S هذا ينتمي لـ E يعني lower bound لـ | |
| 155 | |
| 00:16:42,800 --> 00:16:50,130 | |
| S معناه أن الـ S هذا أكبر من أو يساوي كل عناصر الـ E | |
| 156 | |
| 00:16:50,130 --> 00:16:54,890 | |
| وبالتالي هو أكبر lower | |
| 157 | |
| 00:16:54,890 --> 00:17:02,450 | |
| bound يعني هو الـ infimum إذا فعلاً يكفي أو يبقى | |
| 158 | |
| 00:17:02,450 --> 00:17:06,990 | |
| إثبات أن الـ S اسمه الـ S lower bound للـ S فلبرهان | |
| 159 | |
| 00:17:06,990 --> 00:17:11,770 | |
| ذلك بنعمل برهان بالتناقض افترض أن اللي احنا | |
| 160 | |
| 00:17:11,770 --> 00:17:18,960 | |
| بنثبته خطأ يعني اسمه الـ S ليس lower bound للـ set S | |
| 161 | |
| 00:17:18,960 --> 00:17:23,500 | |
| هذا معناه بقدر ألاقي عنصر Y في S وهذا الـ Y أصغر | |
| 162 | |
| 00:17:23,500 --> 00:17:30,600 | |
| من S لأن S ليس lower bound فهذا بيؤدي .. لاحظوا أن | |
| 163 | |
| 00:17:30,600 --> 00:17:35,400 | |
| الـ S هو الـ supremum لـ E .. S هو الـ supremum لـ E و | |
| 164 | |
| 00:17:35,400 --> 00:17:42,980 | |
| Y أصغر منه إذن Y هذا مش ممكن يكون upper bound للـ set | |
| 165 | |
| 00:17:42,980 --> 00:17:49,920 | |
| E الـ Y أصغر من S و S يساوي supremum E إذا Y مش ممكن | |
| 166 | |
| 00:17:49,920 --> 00:17:54,740 | |
| يكون upper bound لـ E لأنه ما يجوز هذا يكون upper | |
| 167 | |
| 00:17:54,740 --> 00:18:00,320 | |
| bound لـ E وهذا أصغر upper bound لـ E صح؟ طيب إذا | |
| 168 | |
| 00:18:00,320 --> 00:18:05,980 | |
| الـ Y مش ممكن يكون upper bound لـ E إذا بقدر ألاقي X | |
| 169 | |
| 00:18:05,980 --> 00:18:12,160 | |
| في E وهذا الـ X أكبر من الـ Y هذه المتباينة بتعطيني | |
| 170 | |
| 00:18:12,160 --> 00:18:12,840 | |
| تناقض | |
| 171 | |
| 00:18:16,450 --> 00:18:23,870 | |
| تتناقض مع تعريف الـ set E كيف X تنتمي لـ E كيف الـ X | |
| 172 | |
| 00:18:23,870 --> 00:18:29,510 | |
| تنتمي لـ E وفي نفس الوقت X أكبر من عنصر ما اللي | |
| 173 | |
| 00:18:29,510 --> 00:18:35,010 | |
| هو Y في S يعني الـ X هذا ليس lower bound هذا تناقض | |
| 174 | |
| 00:18:35,010 --> 00:18:40,130 | |
| okay إذا نصل إلى تناقض وبالتالي هذا التناقض بيقول | |
| 175 | |
| 00:18:40,130 --> 00:18:42,990 | |
| لي أن الفرض الفرض تبعنا هذا | |
| 176 | |
| 00:18:45,580 --> 00:18:50,800 | |
| أن s is not lower bound كان فرض خطأ إذا لازم | |
| 177 | |
| 00:18:50,800 --> 00:19:01,520 | |
| يكون s lower bound وهذا بيكمل برهان الـ claim تمام؟ | |
| 178 | |
| 00:19:01,520 --> 00:19:08,040 | |
| في | |
| 179 | |
| 00:19:08,040 --> 00:19:09,500 | |
| الـ section القادم | |
| 180 | |
| 00:19:12,270 --> 00:19:18,530 | |
| هناخد تطبيقات على الـ supreme property والـ infimum | |
| 181 | |
| 00:19:18,530 --> 00:19:24,410 | |
| property فالتطبيقات | |
| 182 | |
| 00:19:24,410 --> 00:19:35,230 | |
| هذه هتكون على شكل أمثلة فمثلاً | |
| 183 | |
| 00:19:35,230 --> 00:19:43,410 | |
| أول تطبيق لو أخدت أي subset من R و bounded above و | |
| 184 | |
| 00:19:43,410 --> 00:19:49,510 | |
| A أي عدد حقيقي فبنعرف A زائد S على أنه | |
| 185 | |
| 00:19:49,510 --> 00:19:54,110 | |
| مجموعة كل العناصر على الصورة A plus X حيث X ينتمي | |
| 186 | |
| 00:19:54,110 --> 00:20:00,890 | |
| لـ S الآن ممكن أثبت أن الـ supremum للمجموعة هذه هو | |
| 187 | |
| 00:20:00,890 --> 00:20:04,870 | |
| عبارة عن A زائد الـ supremum لـ S | |
| 188 | |
| 00:20:07,460 --> 00:20:16,840 | |
| و هذا يعني البرهان مش صعب أيه بسيط وسهل نشوف مع | |
| 189 | |
| 00:20:16,840 --> 00:20:22,540 | |
| بعض نفترض أن U هو الـ supremum لـ S الـ set S is bounded | |
| 190 | |
| 00:20:22,540 --> 00:20:28,980 | |
| above، إذن لها supremum هذا مضمون حسب الـ supremum | |
| 191 | |
| 00:20:28,980 --> 00:20:33,920 | |
| property وبالتالي الـ U هذا اللي هو الـ supremum هو | |
| 192 | |
| 00:20:33,920 --> 00:20:38,520 | |
| upper bound لـ S إذا U أكبر من أو يساوي كل عناصر الـ | |
| 193 | |
| 00:20:38,520 --> 00:20:45,800 | |
| S إذا لو ضفت A على الطرفين فبيطلع A زائد X أصغر من | |
| 194 | |
| 00:20:45,800 --> 00:20:54,270 | |
| أو يساوي A زائد U لكل X في S وبالتالي العدد هذا عبارة | |
| 195 | |
| 00:20:54,270 --> 00:20:59,830 | |
| عن upper bound لمن؟ لـ set A زائد S اللي عرفناها قبل | |
| 196 | |
| 00:20:59,830 --> 00:21:04,310 | |
| شوية لأن هذا العدد أكبر من أو يساوي كل عناصر الـ set | |
| 197 | |
| 00:21:04,310 --> 00:21:08,850 | |
| هذه اللي على الصورة A زائد X لذلك هي اللي أثبتت أن | |
| 198 | |
| 00:21:08,850 --> 00:21:13,110 | |
| A زائد U is upper bound للـ set هذه لأن نريد أن نثبت | |
| 199 | |
| 00:21:13,110 --> 00:21:18,510 | |
| أن A زائد U هو أصغر upper bound للـ set هذه فبناخد أي | |
| 200 | |
| 00:21:18,510 --> 00:21:24,550 | |
| upper bound آخر للـ set A plus S فطبعًا الـ V Upper | |
| 201 | |
| 00:21:24,550 --> 00:21:30,410 | |
| Bound للـ set هي U أكبر من أو يساوي كل عناصرها الآن | |
| 202 | |
| 00:21:30,410 --> 00:21:34,430 | |
| انقل الـ A عن ناحية الثانية فبيصير X أصغر من أو يساوي | |
| 203 | |
| 00:21:34,430 --> 00:21:40,710 | |
| V ناقص A لكل X في S طيب | |
| 204 | |
| 00:21:40,710 --> 00:21:47,410 | |
| الآن احنا عندنا الـ U هو الـ supremum لـ S الـ U هو الـ | |
| 205 | |
| 00:21:47,410 --> 00:21:52,800 | |
| supremum لـ S والآن هذا العدد هذا عبارة عن upper | |
| 206 | |
| 00:21:52,800 --> 00:22:00,200 | |
| bound of S لأن U أكبر من أو يساوي كل عناصر الـ S | |
| 207 | |
| 00:22:00,200 --> 00:22:07,400 | |
| وهذا أصغر upper bound لـ S إذن الـ supremum بيطلع | |
| 208 | |
| 00:22:07,400 --> 00:22:13,240 | |
| أصغر من أو يساوي الـ upper bound V ناقص A لـ S إذن | |
| 209 | |
| 00:22:13,240 --> 00:22:16,080 | |
| بيطلع عندي U أصغر من أو يساوي | |
| 210 | |
| 00:22:19,910 --> 00:22:26,350 | |
| أن أنا بيطلع عندي U أصغر من أو يساوي V ناقص A ودي A | |
| 211 | |
| 00:22:26,350 --> 00:22:30,290 | |
| عن ناحية الثانية فبيصير A زائد U أصغر من أو يساوي V | |
| 212 | |
| 00:22:30,290 --> 00:22:35,870 | |
| إذا هنا أثبتنا حاجتين أول شيء إنه العدد هذا upper | |
| 213 | |
| 00:22:35,870 --> 00:22:40,590 | |
| bound للـ set هذه أخذنا أي upper bound عشوائي للـ set | |
| 214 | |
| 00:22:40,590 --> 00:22:47,640 | |
| هذه فبيطلع العدد A زائد U أصغر من أو يساوي أي upper | |
| 215 | |
| 00:22:47,640 --> 00:22:52,880 | |
| bound لـ set A زائد S إذا من تعريف الـ supremum بيطلع الـ | |
| 216 | |
| 00:22:52,880 --> 00:23:00,520 | |
| supremum لـ set A زائد S exist وبيساوى A زائد U أن الـ | |
| 217 | |
| 00:23:00,520 --> 00:23:05,380 | |
| supremum للـ set هذي هو A زائد U وبالتالي وهذا بيساوي | |
| 218 | |
| 00:23:05,380 --> 00:23:08,720 | |
| A والـ U هي الـ supremum لـ S أننا هيك بنكون أثبتنا | |
| 219 | |
| 00:23:08,720 --> 00:23:15,900 | |
| أن supremum الـ set A زائد S هو A زائد supremum S، | |
| 220 | |
| 00:23:15,900 --> 00:23:21,540 | |
| تمام؟ لو كانت الـ set هذي bounded below فممكن أيضًا | |
| 221 | |
| 00:23:21,540 --> 00:23:26,960 | |
| نثبت أن الـ infimum لـ A زائد S بيساوي A زائد infimum | |
| 222 | |
| 00:23:26,960 --> 00:23:33,430 | |
| S، تمام؟ طبعًا في أمثلة أخرى هنا ممكن تقرؤوها و | |
| 223 | |
| 00:23:33,430 --> 00:23:39,650 | |
| تحضروها ونوقف هنا نكتفي بهذا القدر وبنكمل إن شاء | |
| 224 | |
| 00:23:39,650 --> 00:23:42,170 | |
| الله يوم السبت المحاضرة القادمة | |