الانحدار متعدد الحدود  الانحدار متعدد الحدود أو كثير الحدود هو نوع من الانحدار الخطي حيث تعتمد العلاقة بين المتغير "x" والمتغير "y" على عدد "n"th درجة متعدد الحدود. والانحدار متعدد الحدود يمثل علاقة غير خطية بين المتغير "x" ومتوسط المتغير "y" المقابل، ويرمز ب E("y" | "x"). ويستخدم لوصف الظاهرة غير الخطية مثل معدل نمو الأنسجة، توزيع نظائر الكربون في رواسب البحيرات، وتطور الأمراض الوبائية. بالرغم من أن الانحدار متعدد الحدود يمثل علاقة غير خطية للبيانات، ولتقدير المشكلة الإحصائية الخطية، بمعنى إن دالة الانحدار الخطية في المتغيرات غير المعلومة التي تقدر وتحسب من البيانات. لذلك فإن الانحدار متعدد الحدود يعتبر نوع خاص من الانحدار الخطي المتعدد. ونتائج توسع متعدد الحدود للمتنبئات الأساسية تعرف بمميزات التفاعل. حيث تستخدم تلك المميزات أيضا في اعداد التصنيفات.  الانحدار متعدد الحدود تمثل نماذجه باستخدام طريقه اقل فرق مربع للقيم للقيم.تلك الطريقة تقلل من التباين لمميزات التفاعل المشاركة من المعاملات، في ظل ظروف نظرية جاوس-ماركوف.تم نشر طريقه أقل فرق مربع للقيم بواسطه ليجندر عام 1805 وجاوس عام 1809.وظهر أول تصميم لتجربه الانحدار متعدد الحدود في البحث العلمي لجيرموني عام 1815. في القرن العشرين، الانحدار متعدد الحدود كان له دورهام في تحليل الانحدار مع مزيد من التركيز علي التصميم والاستنتاج. وفي الفترة الأخيره، تم استكمال نماذج متعدده الحدود عن طريق وسائل أخرى، مع نماذج غير متعدد الحدود لها مميزات لبعض أنواع المشاكل.  هدف تحليل الانحدار هو عرض القيمة المتوقعه للمتغير Y بدلاله المتغيرات الغير معتمده X.في الانحدار الخطي البسيط، النموذج: formula_1 هوالمستخدم، حيث ƹ خطأ عشوائي غير ملموس حقيقيا مع متوسط الصفر مشروطا برقم مفرد المتغير X.في هذا النموذج، لكل وحده زياده لقيمه المتغير X, القيمة المتوقعه للمتغير Y تزيد ب a1 وحده.في العديد من الحالات، مثل وجود علاقة خطية قد لا تصمد. على سبيل المثال، إذا كنا نصمم العائد من التركيب الكيميائي من حيث درجه الحرارة التي يحدث بها التركيب.قد نجد أن العائد يحسن من خلال زياده المبالغ المخصصه لكل وحده زياده في درجه الحرارة.في هذه الحالة، نحن نقترح نموذجا من الدرجة الثانية من النموذج:formula_2 في هذا النموذج، عندما تزداد درجه الحرارة من X الي X+1 وحده، العائد المتوقع يتغير بمعدل a1 + 2a2x.حقيقه ان تغيير العائد يعتمد علي المتغير X هي من تجعل العلاقة غير خطيه(هذا لا يجب الخلط بينه وبين القول أن هذا الانحدار غير خطي، بل علي العكس، مازالت حاله من الانحدار الخطي). في العموم، يمكن تصميم القيمة المتوقعه للمتغير Y كمتعددالحدود من الدرجة n, محققا نموذج الانحدار متعدد الحدود العام. للتوضيح، كل النماذج خطيه من حيث نظريه الاستنتاج حيث أن داله الانحدار خطيه بدلاله المعاملات الغير معلومه ao, a1 لذلك، لتحليل أقل فرق مربع للقيم، المشاكل الحسابية والاستنتاجيه من الانحدار متعدد الحدود يمكن التعامل معه بشكل كامل باستخدام طريقه الانحدار المتعدد. يتم ذلك عن طريق علاج x,x2 باعتبارها متغيرات مستقلة متميزة في نموذج الانحدار المتعدد.  نموذج الانحدار متعدد الحدود:formula_4 يمكن التعبير عنها بشكل مصفوفة من حيث مصفوفة تصميم formula_5, متجه الاستجابة formula_6 , ومتجه المعلمة formula_7 , ومتجهformula_8 من الاخطاء عشوائية.الصف "i"thمن formula_9 و formula_6 يحتوي على قيم X,Y للحصول على نموذج بيانات "i"th. ثم يمكن أن تكون مكتوبة في النموذج كنظام المعادلات الخطية. وعند استخدام تدوين المصفوفة النقية كما هو مكتوب: formula_12 تقدير المتجه لمعاملات الانحدار متعدد الحدود (باستخدام تقدير المربعات الصغرى) هو: formula_13 هذا هو الحل الوحيد لمربعات الصغيرة حيث ان formula_5 لديها أعمدة خطيا مستقلة.حيث ان formula_5 هي مصفوفة Vandermonde وهذا يضمن لعقد المقدمة التي على الأقل "m" + 1 من "x" ان تكون مميزة (بشرط ان "m" < "n"). على الرغم من أن الانحدار متعدد الحدود هو حالة خاصة من الانحدار الخطي المتعدد من الناحية الفنية، إلا أن تفسير نموذج الانحدار متعدد الحدود المجهزة يتطلب منظورا مختلفا إلى حد ما. غالباً ما يصعب تناسب تفسير المعاملات الفردية في انحدار متعدد الحدود، بما إن Monomials الاساسية يمكن أن تكون مرتبطة إلى حد كبير.على سبيل المثال، "x","x" يكون الارتباط بينهما حول0.97 .عندما يتم X توزيعها بشكل موحد على الفاصل الزمني (0, 1). على الرغم من أن العلاقة يمكن أن تخفض باستخدام كثيرات الحدود المتعامدة، فهو عموما أكثر غنى بالمعلومات للنظر في وظيفة الانحدار المجهزة ككل. ثم يمكن استخدام النقطة الحكيمة أو نطاقات الثقة في وقت واحد لتوفير شعور من عدم اليقين في تقدير دالة الانحدار.  الانحدار متعدد الحدود هو أحد الأمثلة على تحليل الانحدار باستخدام دالات أساسية لنموذج علاقة وظيفية بين كميتين. وبشكل أكثر تحديدا فإنه يستبدل formula_16 في الانحدار الخطي مع أساس متعدد الحدودformula_17 على سبيل المثال formula_18. ومن عيوب قواعد تعدد الحدود أن المهام الأساسية «غير محلية» مما يعني أن قيمة المجهزة "y" عند قيمة معينة "x" = "x" تعتمد بقوة على قيم البيانات مع "x" أبعد ما تكون عن "x" في الإحصاءات الحديثة، تستخدم دالات تعدد الحدود جنبا إلى جنب مع دالات أساسية جديدة مثل منحنيات، وظائف القاعدة الشعاعية،والمويجات. وتوفر هذه العوائل من الدالات كل على حدة تناسب أكثر شحيح جداً للعديد من أنواع البيانات الهدف من الانحدار متعدد الحدود هو في تصميم نموذج لعلاقة غير خطية بين المتغيرات المستقلة وغير المستقلة (من الناحية الفنية، بين المتغير المستقل والمتوسط الشرطي للمتغير التابع). هذا مماثل للهدف المتمثل في النهج الغير حدودي الانحدار، الذي يهدف إلى التقاط علاقات الانحدار الغير خطية. ولذلك يمكن أن تكون النهج الغير حدودي الانحدار مثل التجانس بدائل مفيدة لانحدار متعدد الحدود. تستخدم بعض هذه الأساليب استخدام النموذج المحلي من الانحدار متعدد الحدود الكلاسيكية  و من مميزات الانحدار متعدد الحدود التقليدية أنه يمكن استخدام إطار استنتاجي الانحدار المتعدد (وهذا حاصل أيضا عند استخدام العوائل الأخرى من الدالات كل على حدة مثل المنحنيات).  والبديل الأخير هو استخدام نماذج kernelized مثل دعم متجه الانحدار مع نواة متعدد الحدود  مايكروسوفت اكسل يستخدم الانحدار متعدد الحدود عند توصيل خط اتجاه لنقاط البيانات على رسم مبعثر XY.