عددان أوليان توأم  يقال عن عددين أوليين formula_1 و formula_2 أنهما توأم إذا كان الفرق بينهما يساوي اثنان. يدعى هذا الزوج من الأعداد الأولية بالعددين الأوليين التوأم. أما حدسية العددين الأوليين التوأم فتنص على ما يلي :  هناك عدد غير منته من الأعداد الأولية التوأم.  هي واحدة من المسائل المشهورة غير المحلولة في نظرية الأعداد ويعتقد علماء الرياضيات أن هذه الحدسية صحيحة، ولكن ما زالت الأبحاث قائمة في العمل على برهانها.  الأعداد الأولية التوأم تصبح نادرة كلما تقدمنا في خط الأعداد، ومع ذلك العمل الذي قدمه بعض الرياضيين مثل يتانغ تشانغ في 2013، بالإضافة إلى جيمس ماينارد وتيرنس تاو و أخرون، قد أحرز تقدمًا كبيرًا نحو إثبات أن هناك عددًا لا نهائيًا من الأعداد الأولية التوأم ، ولكن في الوقت الحالي لا يزال هذا الأمر دون حل.  عادة لا يعتبر (2 ، 3) زوجًا من الأعداد الأولية التوأم. نظرًا لأن 2 هو العدد الأولي الوحيد ، فإن هذا الزوج هو الزوج الوحيد من الأعداد الأولية الذي يختلف بمقدار واحد.  أول الأعداد الأعداد الأولية التوأم هم :  (3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19), (29, 31), (41, 43), (59, 61), (71, 73), (101, 103), (107, 109), (137, 139), …  5 هو العدد الوحيد الذي ينتمي لزوجين من الأعداد الأولي التوأم، بحيث أن جميع الأزواج الأكبر من (3, 5)، هي على شكل formula_3، وهذا يعني أن العدد الذي يتوسط هذه الأزواج هو من مضاعفات 6.  و كنتيجة، مجموع أي زوج من الأعداد الأولية التوأم (باستثناء الزوج (3, 5) ) هو من مضاعفات 12.  كانت حدسية الأعداد الأولية التوأم (هل عددها منته أم غير منته) واحدة من أهم المعضلات المفتوحة في نظرية الأعداد لعدة سنوات، يقول بعض الأشخاص انها تعود لزمن اقليدس ، ولكن أول مرة رأينا فيها شخصا يتكلم عنها كانت عام 1849، حين وضع دي بوليناك حدسيته المعروفة بحدسية دي بوليناك والتي تنص على ما يلي:  في عام 1940 قام بول إيردوس بإثبات وجود ثابت formula_10، وعدد لانهائي من الأعداد الأولية التي تستوفي الشرط الآتي :formula_11، وهذا يعني أنه يمكننا إيجاد عدد لانهائي من المجالات التي تحوي أعداد أولية توأم، طالما قمنا بترك هذه المجالات لتكبر في الحجم (بشكل بطيء نسبيا) كلما تقدمنا في خط الأعداد. النمو البطيء يعني النمو بشكل لوغاريتمي .  تم تحسين هذه النتيجة عام 1986، من طرف هيلموت ماير، حيث أثبت أن formula_12. و في عام 2005، غولدستون، يانوس بينتز و يلديرم قاموا بإثبات أن formula_13 يمكن أن يكون متناهي الصغر، أي أن formula_14في عام 2013، وصل يتانغ تشانغ للنتيجة الآتية :formula_15 مع formula_16و هي تحسين كبير لنتيجة غولدستون، يانوس بينتز و يلديرم. بعدها تم تنظيم مشروع البوليماث، بهدف تقليص الحد formula_17، بفضل جهود هذا المشروع وبالإضافة إلى عمل جيمس ماينارد، تم تقليص الحد إلى formula_18.  في عام 1915، برهن فيغو برون أن مجموع مقلوبات الأعداد الأولية التوأم منته (أي أنه يؤول إلى عدد حقيقي ما ولا يؤول إلى ما لا نهاية له)، أي أن  .formula_19  بحيث أن formula_1 و formula_2 هما زوج من الأعداد الأولية التوأم.  كانت هاته النتيجة المشهورة والمسماة مبرهنة برون أول استعمال لغربال برون وكانت سبب بداية وتطور نظرية الغرابيل العصرية.  يقدر عدد الأعداد التوائم الأولية تحت formula_22 ، ب formula_23، و أكبر عددين أوليين توأمين مسجلان في سبتمبر 2016 ، formula_24 ، بعدد خانات مقدر ب formula_25 خانة.  يُظهر تحليل تجريبي بالحاسوب لجميع الأزواج الأولية تحت formula_26، أنه إذا كان عدد هذه الأزواج الأقل من formula_27 هو formula_28، فإن formula_29 تكون حوالي 1.7 للأزواج الصغيرة formula_27 وتتناقص نحو 1.3 عندما يؤول formula_27 إلى المالانهاية.  تم إثبات أن الزوج (m,m+2) هو زوج عددين أوليين توأم، إذا وإذا كان فقط : formula_32إذا كان formula_33 أو formula_34 عدداً أوليا، فيقال عن هذه الأعداد أنها ثلاثية أولية (Primes Triplets).  حدسية هاردي - ليتلوود (التي سميت على اسم جي إتش هاردي و جون ليتلوود ) هي تعميم لحدسية الأعداد الأولية التوأم.  تهتم بتوزيع الأبراج الأولية ، بما في ذلك الأعداد الأولية التوأم .  لتكن formula_35 ترمز إلى عدد الأعداد الأولية الأصغر من تساوي formula_27 بحيث أن formula_37 هو أيضًا عددً أولي.  نعرف الثابت الأولي التوأم formula_38 على أنه : formula_39 . (هذا الجداء يمتد على جميع الأعداد الأولية الأكبر من أو تساوي 3).  هناك حالة خاصة لحدسية هاردي - ليتلوود، وهي أن :.formula_40  يقال عن عدد أولي formula_1 أنه معزول إذا كان formula_37 و formula_43 أعداد غير أولية. بمعنى أن formula_1 لا ينتمي إلى أي زوج من الأعداد الأولية التوأم. مثلا 23 هو عدد أولي معزول لأن 21 و 25 هم أعداد غير أولية.  هذه قائمة الأعداد الأولية المعزولة :  2, 23, 37, 47, 53, 67, 79, 83, 89, 97, ...  تقول مبرهنة برون أن تقريبا كل الأعداد الأولية هي معزولة، لأن نهاية النسبة بين عدد الأعداد الأولية الأقل من formula_8 و عدد الأعداد الأولية المعزولة الأقل من formula_8 عندما تؤول formula_8 إلى formula_48، تساوي واحد. بمعنى أنه كلما تقدمنا في خط الأعداد، يقترب عدد الأعداد الأولية المعزولة من عدد الأعداد الأولية الأقل من formula_8.