عزم القصور الذاتي  عزم القصور الذاتي أو عزم العطالة، يحسب العزم اللازم للتسارع الزاوي حول محور الدوران للجسم الصلب. يعتمد هذا على توزيع الكتلة للجسم وعلى المحور المختار، مع وجود عزوم أكبر يتطلب المزيد من العزم لتغيير دوران الجسم. هو عبارة عن قيمة مضافة، عزم القصور الذاتي لنظام مركب هو مجموع عزوم القصور الذاتي لأنظمته الفرعية المكونة له (جميعها حول نفس المحور). إحدى تعريفاته هي العزم الثاني للكتلة بالنسبة للمسافة من المحور (ص) formula_1  إن لحظة القصور الذاتي، والمعروفة باسم عزم الكتلة من القصور الذاتي، أو الكتلة الزاوية أو القصور الذاتي الدوراني، لجسم صلب هي كمية تحدد عزم الدوران المطلوب للتسارع الزاوي المطلوب حول محور الدوران، على غرار كيفية تحديد الكتلة للقوة المطلوبة للتسارع المطلوب. يعتمد ذلك على توزيع كتلة الجسم والمحور المختار، حيث تتطلب اللحظات الأكبر مزيدًا من عزم الدوران لتغيير معدل دوران الجسم.  إنها خاصية (مضافة) واسعة النطاق: بالنسبة للكتلة النقطية، فإن لحظة القصور الذاتي هي ببساطة الكتلة مضروبة في مربع المسافة العمودية على محور الدوران. لحظة القصور الذاتي للنظام المركب الصلب هي مجموع لحظات القصور الذاتي للأنظمة الفرعية المكونة له (كلها تقريبًا نفس المحور). أبسط تعريف لها هو اللحظة الثانية للكتلة بالنسبة إلى المسافة من المحور.  عن جثث مقيدة للتدوير في طائرة، فقط لحظة من الجمود حول عمودي محور إلى الطائرة، والعددية القيمة، المسائل. بالنسبة للأجسام التي تتمتع بحرية الدوران في ثلاثة أبعاد، يمكن وصف لحظاتها بـ 3 متماثل × 3 مصفوفة، مع مجموعة من المحاور الرئيسية المتعامدة بشكل متبادل والتي تكون فيها هذه المصفوفة قطرية وتعمل عزم الدوران حول المحاور بشكل مستقل عن بعضها البعض.  بالنسبة للأجسام المقيدة بالدوران في المستوى، فيكفي أن تعتبر عزم قصورها الذاتي حول محور عمودي على المستوى. بالنسبة للأجسام الحرة الدوران حول ثلاثة أبعاد فإن عزومه يمكن وصفها عن طريق مصفوفة متماثلة 3X3.  يمكن وصف سهولة تغيير سرعة الدوران لجسم من خلال عزم القصور الذاتي. لو فرضنا قرصين متساويين في الكتلة وأحدهما ذو قطر أو أسطوانة أوسع من الآخر سنلاحظ أن القرص ذو القطر الأوسع يحتاج لبذل جهد أكبر لتدويره لسرعة دورانية متساوية والعكس صحيح حيث يظل القرص ذو القطر الأكبر محافظا على دورانه لفترة أطول من الآخر.  عندما يكون الجسم حرًا في الدوران حول محور، يجب تطبيق عزم الدوران لتغيير زخمه الزاوي. كمية العزم اللازمة لإحداث أي تسارع زاوي معين (معدل التغير في السرعة الزاوية) تتناسب مع لحظة القصور الذاتي للجسم. يمكن التعبير عن لحظة القصور الذاتي بوحدات الكيلوغرام المتر المربع (kg · m ) بوحدات SI ورطل قدم مربع (lbf · ft · s ) في الوحدات الإمبراطورية أو الأمريكية.  تلعب لحظة القصور الذاتي دورًا في حركية الدوران التي تلعبها الكتلة (القصور الذاتي) في حركية خطية — كلاهما يميزان مقاومة الجسم للتغيرات في حركته. تعتمد لحظة القصور الذاتي على كيفية توزيع الكتلة حول محور الدوران، وستختلف وفقًا للمحور المختار. بالنسبة لكتلة تشبه النقطة، يتم إعطاء لحظة القصور الذاتي حول بعض المحاور بواسطة formula_2، أين formula_3 هي مسافة النقطة من المحور، و formula_4 هي الكتلة. بالنسبة لجسم صلب ممتد، فإن لحظة القصور الذاتي هي مجرد مجموع كل القطع الصغيرة من الكتلة مضروبة في مربع مسافاتها من المحور في الدوران. بالنسبة للجسم الممتد ذي الشكل المنتظم والكثافة المنتظمة، ينتج هذا الجمع أحيانًا تعبيرًا بسيطًا يعتمد على الأبعاد والشكل والكتلة الإجمالية للجسم.  في عام 1673 قدم كريستيان هيغنز هذه المعلمة في دراسته لتذبذب الجسم المتدلي من محور، المعروف باسم البندول المركب. تم تقديم مصطلح "لحظة القصور الذاتي" من قبل ليونارد أويلر في كتابه عناصر من الجسم (اسم الكتاب باللاتينية: "Theoria motus corporum Solidorum seu rigidorum)" في عام 1765، وتم دمجه في قانون أويلر الثاني.  يتم الحصول على التردد الطبيعي لتذبذب البندول المركب من نسبة عزم الدوران التي تفرضها الجاذبية على كتلة البندول إلى مقاومة التسارع المحددة بواسطة لحظة القصور الذاتي. توفر مقارنة هذا التردد الطبيعي بتردد البندول البسيط المكون من نقطة واحدة للكتلة صيغة رياضية للحظة القصور الذاتي للجسم الممتد.  تظهر لحظة القصور الذاتي أيضًا في الزخم والطاقة الحركية وقوانين نيوتن للحركة لجسم صلب كمعامل فيزيائي يجمع بين شكله وكتلته. هناك اختلاف مثير للاهتمام في طريقة ظهور لحظة القصور الذاتي في الحركة المستوية والمكانية. تحتوي الحركة المستوية على عدد قياسي واحد يحدد لحظة القصور الذاتي، بينما تنتج نفس الحسابات للحركة المكانية 3 × 3 مصفوفة من لحظات القصور الذاتي، تسمى مصفوفة القصور الذاتي أو موتر القصور الذاتي.  تُستخدم لحظة القصور الذاتي في دولاب الموازنة الدوارة في آلة لمقاومة التغيرات في عزم الدوران المطبق لتنعيم ناتج الدوران. تحدد لحظة القصور الذاتي للطائرة حول محاورها الطولية والأفقية والرأسية كيف تؤثر قوى التوجيه على أسطح التحكم في أجنحتها والمصاعد والدفة (الدفات) على حركات الطائرة في التدحرج والميل والانعراج.  تُعرَّف لحظة القصور الذاتي بأنها ناتج كتلة المقطع ومربع المسافة بين المحور المرجعي والنقطة الوسطى للقسم.  لحظة من الجمود يعرف كنسبة من صافي الزخم الزاوي نظام لفي سرعة الزاوي حول محور رئيسي، وهذا هو  يمكن قياس لحظة القصور الذاتي باستخدام بندول بسيط، لأنها مقاومة للدوران الذي تسببه الجاذبية. من الناحية الحسابية، فإن لحظة القصور الذاتي للبندول هي نسبة عزم الدوران بسبب الجاذبية حول محور البندول إلى تسارعه الزاوي حول نقطة المحور تلك. بالنسبة للبندول البسيط، وجد أن هذا هو نتاج كتلة الجسيم formula_4 مع مربع المسافة formula_3 إلى المحور، هذا هو  يمكن توضيح ذلك على النحو التالي: تولد قوة الجاذبية على كتلة بندول بسيط عزمًا formula_12 حول المحور العمودي على مستوى حركة البندول. هنا formula_13 هو متجه المسافة عمودي على ومن القوة إلى محور عزم الدوران، و formula_14 هي القوة الكلية المؤثرة على الكتلة. يرتبط بهذا العزم تسارع زاوية، formula_15، من الخيط والكتلة حول هذا المحور. بما أن الكتلة مقيدة بدائرة، فإن التسارع المماسي للكتلة هو formula_16. منذ formula_17 تصبح معادلة عزم الدوران:  أين formula_19 هو متجه وحدة عمودي على مستوى البندول. (تستخدم الخطوة الثانية إلى الأخيرة تمدد المنتج الثلاثي المتجه بعمودية formula_15 و formula_13.) الكمية formula_22 هي "لحظة القصور الذاتي" لهذه الكتلة المفردة حول النقطة المحورية.  الكمية formula_22 يظهر أيضًا في الزخم الزاوي للبندول البسيط، والذي يُحسب من السرعة formula_24 من كتلة البندول حول المحور، أين formula_25 هي السرعة الزاوية للكتلة حول النقطة المحورية. يتم إعطاء هذا الزخم الزاوي بواسطة  باستخدام اشتقاق مشابه للمعادلة السابقة.  وبالمثل، يتم تحديد الطاقة الحركية لكتلة البندول من خلال سرعة البندول حول المحور لإنتاج  هذا يدل على أن الكمية formula_22 هي كيف تتحد الكتلة مع شكل الجسم لتعريف القصور الذاتي الدوراني. لحظة القصور الذاتي للجسم المتشكل بشكل تعسفي هي مجموع القيم formula_2 لجميع عناصر الكتلة في الجسم.  البندول المركب عبارة عن جسم يتكون من مجموعة من الجسيمات ذات الشكل المستمر والتي تدور بشكل صارم حول محور. لحظة القصور الذاتي لها هي مجموع لحظات القصور الذاتي لكل من الجزيئات التي تتكون منها. التردد الطبيعي (formula_30) بندول مركب يعتمد على لحظة قصوره الذاتي، formula_31،  أين formula_4 هي كتلة الجسم، formula_34 هو تسارع الجاذبية المحلي، و formula_3 هي المسافة من النقطة المحورية إلى مركز كتلة الجسم. يوفر قياس تردد التذبذب هذا على عمليات الإزاحة الزاوية الصغيرة طريقة فعالة لقياس لحظة القصور الذاتي للجسم.   وبالتالي، لتحديد لحظة القصور الذاتي للجسم، ما عليك سوى تعليقه من نقطة محورية مناسبة formula_36 بحيث يتأرجح بحرية في مستوى عمودي على اتجاه لحظة القصور الذاتي المطلوبة، ثم يقيس تردده الطبيعي أو فترة التذبذب (formula_37)، ليحصل  أين formula_37 هي فترة (مدة) التذبذب (عادة ما يتم حساب متوسطها على فترات متعددة).  البندول البسيط الذي له نفس التردد الطبيعي مثل البندول المركب يحدد الطول formula_40 من المحور إلى نقطة تسمى مركز تذبذب البندول المركب. تتوافق هذه النقطة أيضًا مع مركز الإيقاع. الطول formula_40 يتم تحديده من الصيغة،  أو  يستغرق بندول الثواني، الذي يوفر «علامة» و «تدق» ساعة الجد، ثانية واحدة للتأرجح من جانب إلى آخر. هذه فترة ثانيتين، أو تكرار طبيعي لـ formula_44 للبندول. في هذه الحالة، المسافة إلى مركز التذبذب، formula_40، يمكن حسابها لتكون  لاحظ أنه يجب تعديل المسافة إلى مركز تذبذب بندول الثواني لتلائم القيم المختلفة لتسارع الجاذبية المحلي. بندول كاتر هو بندول مركب يستخدم هذه الخاصية لقياس التسارع المحلي للجاذبية، ويسمى مقياس الجاذبية.  يمكن قياس لحظة القصور الذاتي لنظام معقد مثل مركبة أو طائرة حول محوره الرأسي عن طريق تعليق النظام من ثلاث نقاط لتشكيل بندول ثلاثي. البندول الثلاثي هو عبارة عن منصة مدعومة بثلاثة أسلاك مصممة للتأرجح في الالتواء حول محورها المركزي الرأسي. فترة تذبذب البندول الثلاثي تعطي لحظة من القصور الذاتي للنظام.  يتم حساب لحظة القصور الذاتي حول محور الجسم عن طريق الجمع formula_2 لكل جسيم في الجسم، أين formula_3 هي المسافة العمودية على المحور المحدد. لمعرفة كيف تنشأ لحظة القصور الذاتي في دراسة حركة الجسم الممتد، من المناسب التفكير في تجميع جامد للكتل النقطية. (يمكن استخدام هذه المعادلة للمحاور التي ليست محاور رئيسية بشرط أن يكون مفهوماً أن هذا لا يصف بشكل كامل لحظة القصور الذاتي.)  ضع في اعتبارك الطاقة الحركية لتجميع formula_49 الجماهير formula_50 التي تقع في المسافات formula_51 من النقطة المحورية formula_36، وهي أقرب نقطة على محور الدوران. هو مجموع الطاقة الحركية للكتل الفردية،   هذا يدل على أن لحظة القصور الذاتي للجسم هي مجموع كل من formula_2 الشروط، هذا هو  وبالتالي، فإن لحظة القصور الذاتي هي خاصية فيزيائية تجمع بين كتلة الجسيمات وتوزيعها حول محور الدوران. لاحظ أن الدوران حول محاور مختلفة لنفس الجسم ينتج عنه لحظات مختلفة من القصور الذاتي.  يتم حساب لحظة القصور الذاتي لجسم مستمر يدور حول محور محدد بنفس الطريقة، باستثناء عدد لا نهائي من الجسيمات النقطية. وهكذا يتم إزالة حدود الجمع، ويتم كتابة المجموع على النحو التالي:  تعبير آخر محل الجمع مع يتجزأ،  هنا، الوظيفة formula_58 يعطي كثافة الكتلة في كل نقطة formula_59، formula_13 هو متجه عمودي على محور الدوران ويمتد من نقطة على محور الدوران إلى نقطة formula_59 في الصلب، ويتم تقييم التكامل على مستوى الحجم formula_62 من الجسم formula_63. تتشابه لحظة القصور الذاتي لسطح مستو مع كثافة الكتلة التي يتم استبدالها بكثافة الكتلة المساحية مع تقييم التكامل على مساحتها.  ملاحظة في اللحظة الثانية من المنطقة : غالبًا ما يتم الخلط بين لحظة القصور الذاتي لجسم يتحرك في مستو واللحظة الثانية لمنطقة المقطع العرضي للحزمة. لحظة القصور الذاتي للجسم مع شكل المقطع العرضي هي اللحظة الثانية من هذه المنطقة حول formula_64 - المحور العمودي على المقطع العرضي مرجحًا بكثافته. وهذا ما يسمى أيضًا "باللحظة القطبية للمنطقة"، وهو مجموع اللحظات الثانية حول formula_65 - و formula_66 - المحاور. يتم حساب الضغوط في الحزمة باستخدام اللحظة الثانية من منطقة المقطع العرضي حول أي منهما formula_65 -محور أو formula_66 - المحور حسب الحمولة.  تبدأ لحظة القصور الذاتي للبندول المركب من قرص رفيع مركب في نهاية قضيب رفيع يتأرجح حول محور في الطرف الآخر من القضيب، ويبدأ بحساب لحظة القصور الذاتي للقضيب الرفيع والقرص الرفيع حول مراكز الكتلة الخاصة بهم.  توفر قائمة لحظات معادلات القصور الذاتي لأشكال الجسم القياسية طريقة للحصول على لحظة القصور الذاتي للجسم المعقد كتجميع لأجسام ذات أشكال أبسط. تُستخدم نظرية المحور المتوازي لتحويل النقطة المرجعية للأجسام الفردية إلى النقطة المرجعية للتجميع.  كمثال آخر، ضع في اعتبارك لحظة القصور الذاتي للكرة الصلبة ذات الكثافة الثابتة حول محور من خلال مركز كتلته. يتم تحديد ذلك من خلال جمع لحظات القصور الذاتي للأقراص الرقيقة التي تشكل الكرة. إذا تم تعريف سطح الكرة بالمعادلة   ثم مربع نصف القطر formula_3 من القرص في المقطع العرضي formula_64 على طول formula_64 -المحور هو  لذلك، فإن لحظة القصور الذاتي للكرة هي مجموع لحظات القصور الذاتي للأقراص على طول formula_64 -محور،  أين formula_76 هي كتلة الكرة.  إذا كان النظام الميكانيكي مقيدًا بالتحرك بالتوازي مع مستوى ثابت، فإن دوران الجسم في النظام يحدث حول محور formula_19 عمودي على هذا المستوى. في هذه الحالة، فإن لحظة القصور الذاتي للكتلة في هذا النظام هي رقم قياسي يُعرف بالعزم "القطبي للقصور الذاتي". يمكن الحصول على تعريف العزم القطبي للقصور الذاتي من خلال النظر في الزخم والطاقة الحركية وقوانين نيوتن للحركة المستوية لنظام جامد من الجسيمات.  إذا كان نظام formula_78 حبيبات، formula_79، يتم تجميعها في جسم صلب، ثم يمكن كتابة زخم النظام من حيث المواضع بالنسبة إلى نقطة مرجعية formula_80، والسرعات المطلقة formula_81 :  أين formula_25 هي السرعة الزاوية للنظام و formula_84 هي سرعة formula_80.  بالنسبة للحركة المستوية، يتم توجيه متجه السرعة الزاوية على طول متجه الوحدة formula_86 وهو عمودي على مستوى الحركة. قدم نواقل الوحدة formula_87 من النقطة المرجعية formula_80 لنقطة formula_89، وناقل الوحدة formula_90، وبالتالي  يحدد هذا متجه الموقع النسبي ومتجه السرعة للنظام الصلب للجسيمات المتحركة في المستوى.  ملاحظة حول الضرب العرضي : عندما يتحرك الجسم بشكل موازٍ لمستوى الأرض، فإن مسارات جميع النقاط في الجسم تقع في مستويات موازية لمستوى الأرض هذا. هذا يعني أن أي دوران يخضع له الجسم يجب أن يكون حول محور عمودي على هذا المستوى. غالبًا ما يتم تقديم الحركة المستوية على أنها مسقطة على مستوى الأرض هذا بحيث يظهر محور الدوران كنقطة. في هذه الحالة، تعتبر السرعة الزاوية والتسارع الزاوي للجسم عددًا قياسيًا ويتم تجاهل حقيقة كونهما متجهين على طول محور الدوران. هذا هو المفضل عادة لمقدمات الموضوع. ولكن في حالة القصور الذاتي، فإن الجمع بين الكتلة والهندسة يستفيد من الخصائص الهندسية للمنتج المتقاطع. لهذا السبب، في هذا القسم الخاص بالحركة المستوية، تكون السرعة الزاوية والتسارع للجسم نواقل متعامدة على مستوى الأرض، وعمليات الضرب العرضية هي نفسها المستخدمة في دراسة حركة الجسم الصلبة المكانية.  يتم إعطاء متجه الزخم الزاوي للحركة المستوية لنظام صلب من الجسيمات بواسطة   استخدم مركز الكتلة formula_93 كنقطة مرجعية لذلك  وتحديد لحظة القصور الذاتي بالنسبة لمركز الكتلة formula_95 مثل  ثم تبسط معادلة الزخم الزاوي إلى   لحظة الجمود formula_95 حول محور عمودي على حركة النظام الصلب وعبر مركز الكتلة يُعرف "بالعزم القطبي للقصور الذاتي". على وجه التحديد، إنها اللحظة الثانية للكتلة فيما يتعلق بالمسافة المتعامدة من المحور (أو القطب).  بالنسبة لمقدار معين من الزخم الزاوي، يؤدي الانخفاض في لحظة القصور الذاتي إلى زيادة السرعة الزاوية. يمكن للمتزلجين على الجليد تغيير لحظة القصور الذاتي عن طريق سحب أذرعهم. وبالتالي، فإن السرعة الزاوية التي يحققها المتزلج بأذرع ممدودة ينتج عنه سرعة زاوية أكبر عند سحب الذراعين للداخل، بسبب انخفاض لحظة القصور الذاتي. المتزلج على الجليد ليس، مع ذلك، جسمًا صلبًا.  تعطى الطاقة الحركية لنظام جامد من الجسيمات المتحركة في المستوى من خلال   دع النقطة المرجعية تكون مركز الكتلة formula_93 من النظام بحيث يصبح المصطلح الثاني صفراً، ويدخل لحظة القصور الذاتي formula_95 لذلك فإن الطاقة الحركية تعطى بواسطة   لحظة الجمود formula_95 هي "اللحظة القطبية لقصور" الجسم.  قوانين نيوتن لنظام صارم لـ formula_78 حبيبات، formula_79، يمكن كتابتها من حيث القوة المحصلة وعزم الدوران عند نقطة مرجعية formula_80، للحصول على   أين formula_89 يشير إلى مسار كل جسيم.  و الكينماتيكا هيئة جامدة ينتج صيغة لتسريع الجسيمات formula_109 من حيث الموقف formula_80 والتسارع formula_111 للجسيم المرجعي وكذلك متجه السرعة الزاوية formula_25 ومتجه التسارع الزاوي formula_15 للنظام الجامد للجسيمات مثل،  بالنسبة للأنظمة المقيدة بالحركة المستوية، يتم توجيه السرعة الزاوية ومتجهات التسارع الزاوي على طول formula_19 عمودي على مستوى الحركة، مما يبسط معادلة التسارع هذه. في هذه الحالة، يمكن تبسيط متجهات التسارع بإدخال متجهات الوحدة formula_116 من النقطة المرجعية formula_80 لنقطة formula_89 ونواقل الوحدة formula_90، وبالتالي  ينتج عن هذا عزم الدوران الناتج على النظام كـ  أين formula_122 وو formula_123 هل متجه الوحدة عمودي على المستوى لجميع الجسيمات formula_109.  استخدم مركز الكتلة formula_93 كنقطة مرجعية وتحديد لحظة القصور الذاتي بالنسبة لمركز الكتلة formula_95، ثم تبسط معادلة العزم الناتج إلى   استخدم مركز الكتلة formula_93 كنقطة مرجعية وتحديد لحظة القصور الذاتي بالنسبة لمركز الكتلة formula_95، ثم تبسط معادلة العزم الناتج إلى   formula_129  تظهر اللحظات القياسية من القصور الذاتي كعناصر في مصفوفة عندما يتم تجميع نظام من الجسيمات في جسم صلب يتحرك في فضاء ثلاثي الأبعاد. تظهر مصفوفة القصور الذاتي هذه في حساب الزخم الزاوي والطاقة الحركية وعزم الدوران الناتج للنظام الصلب للجسيمات.  دع نظام formula_78 حبيبات، formula_79 أن يكون موجودا في الإحداثيات formula_89 مع السرعات formula_81 نسبة إلى إطار مرجعي ثابت. لنقطة مرجعية (ربما تتحرك) formula_80، المناصب النسبية  والسرعات (المطلقة) هي  أين formula_25 هي السرعة الزاوية للنظام، و formula_138 هي سرعة formula_80.  لاحظ أنه يمكن كتابة حاصل الضرب التبادلي بشكل مكافئ كضرب مصفوفة من خلال دمج المعامل الأول والعامل في مصفوفة انحراف متماثل، formula_140، شيدت من مكونات formula_141 :  يتم إنشاء مصفوفة القصور الذاتي من خلال النظر في الزخم الزاوي، مع النقطة المرجعية formula_80 من الجسم المختار ليكون مركز الكتلة formula_93 :  حيث تحتوي على الشروط formula_138 (formula_147) مجموعها إلى صفر من خلال تعريف مركز الكتلة.  ثم، مصفوفة الانحراف المتماثل formula_148 تم الحصول عليها من متجه الموقع النسبي formula_149، يمكن استخدامها لتحديد،  أين formula_151 المعرفة من قبل  يمكن صياغة الطاقة الحركية لنظام صلب من الجسيمات من حيث مركز الكتلة ومصفوفة من لحظات الكتلة من القصور الذاتي للنظام. دع نظام formula_78 حبيبات formula_79 أن يكون موجودا في الإحداثيات formula_89 مع السرعات formula_81، فإن الطاقة الحركية هي   تظهر مصفوفة القصور الذاتي في تطبيق قانون نيوتن الثاني على تجميع صارم للجسيمات. عزم الدوران الناتج على هذا النظام هو،   أين formula_168 هو تسارع الجسيم formula_109. والكينماتيكا هيئة جامدة ينتج صيغة لتسريع الجسيمات formula_109 من حيث الموقف formula_80 والتسارع formula_172 من النقطة المرجعية، وكذلك متجه السرعة الزاوية formula_25 ومتجه التسارع الزاوي formula_15 للنظام الجامد مثل،  استخدم مركز الكتلة formula_93 كنقطة مرجعية، وتقديم مصفوفة الانحراف المتماثل formula_177 لتمثيل الضرب التبادلي formula_178، ليحصل  تم الحصول عليها من هوية Jacobi للمنتج الثلاثي كما هو موضح في الدليل أدناه:  وبالتالي، يتم إعطاء عزم الدوران الناتج على النظام الصلب للجسيمات بواسطة  أين formula_151 هي مصفوفة القصور الذاتي بالنسبة إلى مركز الكتلة.  تعتمد مصفوفة القصور الذاتي للجسم على اختيار النقطة المرجعية. هناك علاقة مفيدة بين مصفوفة القصور الذاتي بالنسبة لمركز الكتلة formula_93 ومصفوفة القصور الذاتي بالنسبة لنقطة أخرى formula_80. هذه العلاقة تسمى نظرية المحور المتوازي.  ضع في اعتبارك مصفوفة القصور الذاتي formula_185 تم الحصول عليها لنظام صارم من الجسيمات المقاسة بالنسبة لنقطة مرجعية formula_80، معطى بواسطة  دع formula_93 كن مركز كتلة النظام الجامد، إذن  أين formula_190 هو المتجه من مركز الكتلة formula_93 إلى النقطة المرجعية formula_80. استخدم هذه المعادلة لحساب مصفوفة القصور الذاتي،  المصطلح الأول هو مصفوفة القصور الذاتي formula_151 نسبة إلى مركز الكتلة. الحدان الثاني والثالث هما صفر بحسب تعريف مركز الكتلة formula_93. والحد الأخير هو الكتلة الكلية للنظام مضروبة في مربع المصفوفة المائلة المتماثلة formula_197 شيدت من formula_190.  النتيجة هي نظرية المحور المتوازي،  أين formula_190 هو المتجه من مركز الكتلة formula_93 إلى النقطة المرجعية formula_80.  ملاحظة على علامة الطرح : باستخدام مصفوفة الانحراف المتماثل لمتجهات الموضع بالنسبة إلى النقطة المرجعية، يكون لمصفوفة القصور الذاتي لكل جسيم الشكل formula_203، وهو مشابه لـ formula_2 التي تظهر في حركة مستوية. ومع ذلك، لجعل هذا العمل بشكل صحيح هناك حاجة إلى علامة ناقص. يمكن استيعاب علامة الطرح هذه في المصطلح formula_205، إذا رغبت في ذلك، باستخدام خاصية الانحراف التماثل formula_206.  اللحظة العددية من الجمود formula_207، لجسم حول محور محدد يتم تحديد اتجاهه بواسطة متجه الوحدة formula_19 ويمر عبر الجسد عند نقطة formula_80 على النحو التالي:  أين formula_185 هي لحظة مصفوفة القصور الذاتي للنظام بالنسبة للنقطة المرجعية formula_80 وو formula_148 هي مصفوفة منحرفة متناظرة تم الحصول عليها من المتجه formula_135.  هذا مشتق على النحو التالي. دع تجميعًا صارمًا لـ formula_78 حبيبات، formula_79، لها إحداثيات formula_89. أختر formula_80 كنقطة مرجعية وحساب لحظة القصور الذاتي حول الخط L المحدد بواسطة متجه الوحدة formula_19 من خلال النقطة المرجعية formula_80، formula_221. المتجه العمودي من هذا الخط إلى الجسيم formula_109 تم الحصول عليها من formula_223 عن طريق إزالة المكون الذي المشاريع عليه formula_19.  أين formula_226 هي مصفوفة الهوية، وذلك لتجنب الالتباس مع مصفوفة القصور الذاتي، و formula_227 هي مصفوفة المنتج الخارجية المكونة من متجه الوحدة formula_19 على طول الخط formula_40.  لربط هذه اللحظة العددية من القصور الذاتي بمصفوفة القصور الذاتي للجسم، أدخل مصفوفة الانحراف المتماثل formula_230 مثل ذلك formula_231، ثم لدينا الهوية  مشيرا إلى ذلك formula_19 هو متجه وحدة.  مقدار تربيع المتجه العمودي هو  يستخدم تبسيط هذه المعادلة هوية المنتج ثلاثية الأبعاد  أين formula_185 هي لحظة مصفوفة القصور الذاتي للنظام بالنسبة للنقطة المرجعية formula_80.  يوضح هذا أنه يمكن استخدام مصفوفة القصور الذاتي لحساب لحظة القصور الذاتي للجسم حول أي محور دوران محدد في الجسم.  بالنسبة لنفس الكائن، سيكون لمحاور الدوران المختلفة لحظات مختلفة من القصور الذاتي حول تلك المحاور. بشكل عام، لحظات القصور الذاتي ليست متساوية ما لم يكن الكائن متماثلًا حول جميع المحاور. لحظة موتر القصور الذاتي هي طريقة ملائمة لتلخيص كل لحظات القصور الذاتي لجسم ما بكمية واحدة. يمكن حسابه فيما يتعلق بأي نقطة في الفضاء، على الرغم من أن مركز الكتلة هو الأكثر استخدامًا للأغراض العملية.  لجسم جامد من formula_49 كتل نقطة formula_246، يتم إعطاء لحظة موتر القصور الذاتي بواسطة  يتم تعريف مكوناته على أنها  أين  لاحظ أنه، حسب التعريف، formula_257 موتر متماثل.  تتم كتابة العناصر القطرية بشكل أكثر إيجازًا كـ  بينما العناصر غير القطرية، والتي تسمى أيضًا نواتج القصور الذاتي، هي  هنا formula_264 يدل على لحظة القصور الذاتي حول formula_65 -المحور عندما تدور الكائنات حول المحور السيني، formula_266 يدل على لحظة القصور الذاتي حول formula_66 -المحور عند تدوير الكائنات حول formula_65 -المحور، وما إلى ذلك.  يمكن تعميم هذه الكميات على جسم ذي كتلة موزعة، موصوفة بوظيفة كثافة الكتلة، بطريقة مشابهة للعزم القياسي للقصور الذاتي. ثم واحد  بدلاً من ذلك، يمكن كتابتها أيضًا من حيث عامل الزخم الزاوي formula_271 :  يمكن استخدام موتر القصور الذاتي بنفس طريقة استخدام مصفوفة القصور الذاتي لحساب العزم القياسي من القصور الذاتي حول محور عشوائي في الاتجاه formula_273،  يمكن تجميع مكونات الموترات من الدرجة الثانية في مصفوفة. بالنسبة لموتّر القصور الذاتي، تُعطى هذه المصفوفة،  من الشائع في ميكانيكا الجسم الجامدة استخدام تدوين يحدد بوضوح formula_65، formula_66 وو formula_64 -الحاور مثل formula_264 و formula_266، لمكونات موتر القصور الذاتي.  المسافة formula_3 من الجسيم في formula_286 من محور الدوران الذي يمر عبر الأصل في formula_287 الاتجاه formula_288، أين formula_287 هو متجه الوحدة. لحظة القصور الذاتي على المحور  هذا يؤدي إلى صيغة موتر للحظة القصور الذاتي  بالنسبة للجسيمات المتعددة، نحتاج فقط إلى تذكر أن لحظة القصور الذاتي مضافة لنرى أن هذه الصيغة صحيحة.  دع formula_293 يكون موتر القصور الذاتي للجسم محسوبًا عند مركز كتلته، و formula_80 يكون متجه إزاحة الجسم. يُعطى موتر القصور الذاتي للجسم المترجم فيما يتعلق بمركز كتلته الأصلي من خلال:  أين formula_4 هي كتلة الجسم، و E هي مصفوفة الهوية 3 × 3، و formula_297 هو المنتج الخارجي.  دع formula_80 تكون المصفوفة التي تمثل دوران الجسم. يُعطى موتر القصور الذاتي للجسم المستدير بواسطة:  يفترض استخدام مصفوفة القصور الذاتي في قانون نيوتن الثاني أن مكوناتها محسوبة بالنسبة إلى المحاور الموازية للإطار بالقصور الذاتي وليس بالنسبة للإطار المرجعي الثابت للجسم. هذا يعني أنه بينما يتحرك الجسم تتغير مكونات مصفوفة القصور الذاتي بمرور الوقت. على النقيض من ذلك، فإن مكونات مصفوفة القصور الذاتي المقاسة في إطار ثابت للجسم تكون ثابتة.  دع مصفوفة القصور الذاتي لإطار الجسم بالنسبة إلى مركز الكتلة يشار إليها formula_300، وتحديد اتجاه إطار الجسم بالنسبة للإطار بالقصور الذاتي بواسطة مصفوفة الدوران formula_111، مثل ذلك،  لاحظ أن formula_111 يتغير مع تحرك الجسم، بينما formula_300 يبقى ثابتا.  تُقاس مصفوفة القصور الذاتي في إطار الجسم وهي مصفوفة متماثلة حقيقية ثابتة. تحتوي المصفوفة المتماثلة الحقيقية على التكوين الذاتي في حاصل ضرب مصفوفة الدوران formula_308 ومصفوفة قطرية formula_309، معطى بواسطة  أين  أعمدة مصفوفة الدوران formula_308 تحديد اتجاهات المحاور الرئيسية للجسم، والثوابت formula_313، formula_314 وو formula_315 تسمى اللحظات الرئيسية من القصور الذاتي. تم عرض هذه النتيجة لأول مرة بواسطة جيمس جوزيف سيلفستر عام (1852)، وهي شكل من أشكال قانون القصور الذاتي لسيلفستر. يُطلق أحيانًا على المحور الرئيسي الذي يتميز بأعلى لحظة من القصور الذاتي اسم محور الشكل أو محور الشكل.  عندما تكون جميع اللحظات الرئيسية من القصور الذاتي مميزة، يتم تحديد المحاور الرئيسية من خلال مركز الكتلة بشكل فريد ويسمى الجسم الصلب بالقمة غير "المتماثلة". إذا كانت لحظتان رئيسيتان متماثلتين، فإن الجسم الصلب يسمى قمة متماثلة ولا يوجد خيار فريد للمحورين الأساسيين المتوافقين. إذا كانت جميع اللحظات الرئيسية الثلاث هي نفسها، يُطلق على الجسم الصلب قمة كروية (على الرغم من أنه لا يلزم أن يكون كرويًا) ويمكن اعتبار أي محور محورًا رئيسيًا، مما يعني أن لحظة القصور الذاتي هي نفسها في أي محور.  غالبًا ما يتم محاذاة المحاور الرئيسية مع محاور تناظر الكائن. إذا كان لجسم صلب محور تناسق في النظام formula_4، وهذا يعني أنه متماثل عند دوران حول المحور المحدد، وهذا المحور هو المحور الرئيسي. متى formula_317، الجسم الصلب هو قمة متناظرة. إذا كان الجسم الصلب يحتوي على محوري تناظر على الأقل غير متوازيين أو متعامدين مع بعضهما البعض، فهو قمة كروية، على سبيل المثال، مكعب أو أي مادة صلبة أفلاطونية أخرى.  غالبًا ما يتم وصف حركة المركبات من حيث الانعراج والميل واللف والتي تتوافق عادةً تقريبًا مع الدوران حول المحاور الثلاثة الرئيسية. إذا كان للمركبة تناظر ثنائي، فإن أحد المحاور الرئيسية سوف يتوافق تمامًا مع المحور العرضي (الملعب).  ومن الأمثلة العملية على هذه الظاهرة الرياضية مهمة السيارات الروتينية المتمثلة في موازنة الإطار، وهو ما يعني في الأساس تعديل توزيع كتلة عجلة السيارة بحيث يكون محور القصور الذاتي الرئيسي لها محاذاة مع المحور بحيث لا تتمايل العجلة.  تصنف الجزيئات الدوارة أيضًا على أنها قمم غير متناظرة أو متناظرة أو كروية، ويختلف هيكل أطيافها الدورانية لكل نوع.  إن لحظة مصفوفة القصور الذاتي في إحداثيات إطار الجسم هي شكل تربيعي يحدد سطحًا في الجسم يسمى الشكل الإهليلجي لـ بوينسوت. دع formula_309 تكون مصفوفة القصور الذاتي بالنسبة إلى مركز الكتلة المحاذاة مع المحاور الرئيسية، ثم السطح  أو  يحدد شكل بيضاوي في هيكل الجسم. اكتب هذه المعادلة في الصورة،  لنرى أن الأقطار شبه الرئيسية لهذا الشكل الإهليلجي مُعطاة بواسطة  دع نقطة formula_286 على هذا الشكل الإهليلجي يتم تعريفه من حيث حجمه واتجاهه، formula_324، أين formula_273 هو متجه وحدة. ثم العلاقة المعروضة أعلاه، بين مصفوفة القصور الذاتي والعزم القياسي من القصور الذاتي formula_326 حول محور في الاتجاه formula_273، عائدات  وبالتالي، مقدار النقطة formula_286 في الاتجاه formula_273 على القطع الناقص القصور الذاتي  تعطى علاقة القصور الذاتي "I" لكتلة صغيرة "dm" تدور حول محور ارتكاز وتبعد عنه بنصف قطر "r" كمايلي:  وبتفصيل أكثر يمكن استخدام العلاقة المكافئة:formula_333  و بفرض الكتلة الإجمالية الدوارة حول المحور مكونة من مجموعة 'N" من الكتل النقطية "m" على مسافة "r" من محور الدوران، يصبح اجمالي عزم القصور الذاتي هو:formula_334  بالنسبة لجسم جاسئ كتلته دالة في الكثافة، "ρ"(r), يمكن حساب عزم القصور الذاتي بالتكامل:  حيث:"V" الحجم الذي يشغره الجسم.  اعتمادا على التحليل البعدي يتوجب ان يكون عزم القصور لجسم لانقطي ان يتخذ الشكل:  حيث:"M" كتلة الجسم:"R" نصف القطر من مركز الكتلة إلى المحور:"k" ثابت ليس له بعد يدعى بـ "ثابت القصور" ويتغير مع شكل الجسم.  هنا بعض قيم هذا الثابت للاشكال الشهيرة:  أحد أعجب تطبيقات عزم القصور الذاتي هي تميز خصائص بعض الاجسام عن طريق تدويرها فمثلاً يمكن التمييز بين بيضتين إحداهما مسلوقة والأخرى سليمة (لم تسلق بعد) وذلك بدون فك القشرة. عند تدوير كلا البيضتين سنلاحظ أن البيضة المسلوقة تدور لوقت أطول! التطبيقات الأخرى تشمل زيادة أنصاف أقطار العجلات لضمان عزم قصور أعلى. كذلك يقوم المتدربون في حركات القفز والدوران بدراسة تفاصيل الجسم من هذه الناحية لضمان أفضل أداء للحركات. كما أن القصور الذاتي يلعب دوراً أساسياً في حياتنا اليومية والحفاظ على الدوران المغزلي للأرض على الرغم من تأثير المد والجزر مع القمر على هذا الدوران.