إثبات المتطابقات المثلثية  هناك عدة طرق مكافئة لتعريف الدوال المثلثية، ويعتمد إثبات المتطابقات المثلثية بينهما على التعريف المختار. يعتمد التعريف الأقدم والأكثر بدائية بطريقة ما على هندسة المثلثات القائمة. تستخدم البراهين الواردة في هذه المقالة هذا التعريف، وبالتالي تنطبق على الزوايا غير السالبة التي ليست أكبر من الزاوية القائمة. للزوايا الأكبر والسالبة، انظر الدوال المثلثية .  المتطابقة 1:  النتيجتان التاليتان تتبعان هذه ومتطابقات النسب المثلثية. للحصول على الأولى، نقوم بتقسيم الطرفين formula_1 على formula_3؛ للثانية، نقسّم على formula_4.  بصورة مماثلة:  المتطابقة 2:  الحسابات التالية لجميع الدوال العكسية الثلاث.  البرهان 2:  الرجوع إلى الرسم البياني للمثلث. لاحظ أن formula_10 حسب مبرهنة فيثاغورس.  بتعويض بالدوال المناسبة:  تعطي إعادة الترتيب:  ارسم خطًا أفقيًا (محور "x")؛ حدد نقطة الأصل O. ارسم مستقيمًا من O يميل بزاوية formula_14 فوق المستقيم الأفقي والمستقيم الثاني يميل بزاوية formula_15 فوق المستقيم الأخير؛ الزاوية بين المستقيم الثاني ومحور "x" هي formula_16 .  ضع النقطة P على المسقيم المحدد بـ formula_16 على مسافة قياسها 1 من الأصل.  ليكن PQ مستقيم عمودي على المستقيم OQ المحدد بالزاوية formula_14، مرسوم من النقطة Q على هذا الخط إلى النقطة P. إذن OQP هي زاوية قائمة.  ليكن QA عمودي من النقطة A على محور "x" إلى Q، وPB عمودي من النقطة B على المحور "x" إلى P. إذن OAQ وOBP زاويتان قائمتان.  نرسم النقطة R على PB بحيث يكون QR موازيًا للمحور "x."  الآن الزاوية formula_19 (لأن formula_20 تجعل formula_21 و formula_22، إذن formula_23 )  بتعويض formula_15 بـ formula_34 وباستخدام خاصية التناظر، نحصل أيضًا على:  باستخدام الشكل أعلاه:  بتعويض formula_15 بـ formula_34 وباستخدام خاصية التناظر، نحصل أيضًا على:  أيضا، باستخدام صيغ الزاويتين المتتامتين:  من صيغتي الجيب وجيب التمام، نحصل على:  بقسمة كل من البسط والمقام على formula_51، نحصل على:  بطرح formula_53 من formula_54 وباستخدام متطابقة formula_55:  وبالمثل من صيغتي الجيب وجيب التمام، نحصل على:  عندئذ بقسمة كل من البسط والمقام على formula_58 ، نحصل على:  أو باستخدام formula_60:  باستخدام formula_62:  من متطابقات مجموع زاويتين، نحصل على:  و  تعطي متطابقات فيثاغورس الشكلين البديلين للأخيرة:  تعطي متطابقات مجموع الزوايا أيضًا:  ويمكن أيضًا إثبات ذلك باستخدام صيغة أويلر:  بتربيع كلا الطرفين ينتج:  لكن تعويض الزاوية بنسختها المضاعفة، والذي يحقق نفس النتيجة في الطرف الأيسر من المعادلة، ينتج:  يترتب على ذلك أن:  بنشر المربع والتبسيط على الطرف الأيسر من المعادلة يعطي:  لأن الأجزاء التخيلية والحقيقية يجب أن تكون هي نفسها، يتبقى لدينا المتطابقات الأصلية:  وأيضًا:  تؤدي المتطابقتان اللتان تعطيان الأشكال البديلة لـ cos 2θ إلى المعادلات التالية:  يجب اختيار إشارة الجذر التربيعي بشكل صحيح - لاحظ أنه إذا أضيفت 2 إلى θ، فإن الكميات الموجودة داخل الجذور التربيعية لن تتغير، لكن إشارة الأطراف اليسرى من المعادلات تتغير. ولذلك، فإن الإشارة الصحيحة التي يجب استخدامها تعتمد على قيمة θ.  بالنسبة لدالة الظل، المعادلة هي:  عندئذ بضرب البسط والمقام داخل الجذر التربيعي بـ () وباستخدام متطابقات فيثاغورس:  وأيضًا، إذا ضُرِبَا البسط والمقام في ()، ستكون النتيجة هي:  وهذه تعطي أيضا:  نفس الشيء بالنسبة لدالة ظل التمام:  إذا كانت المساواة "" محققة (على سبيل المثال، formula_84، و formula_85 و formula_86 هي زوايا المثلث)، فإن:  الإثبات:  إذا كانت المساواة "" محققة، فإن:  الإثبات:  نعوّض كل من "ψ" + "θ" + "ϕ" بزواياها المتتامة، وبذلك تتحول ظلال التمام إلى الظلال والعكس:  يعطى:  إذن، تُستنتج النتيجة من متطابقة ثلاثية الظلال.   نبدأ أولًا بمتطابقتي مجموع زاويتين:  وبجمع المتطابقات معًا:  وبالمثل، بطرح متطابقتي مجموع زاويتين،  لتكن formula_99 و formula_100:  نعوض formula_85 و formula_86:  إذن:  وبالمثل بالنسبة لجيب التمام، نبدأ بمتطابقات مجموع زاويتين:  مرة أخرى، بالجمع والطرح:  نعوض formula_85 و formula_86 كما في السابق: