متحكم تناسبي تكاملي تفاضلي  حاكم أو متحكم بواسطة PID هو حلقة تحكم شامل بتغذية رجعية شائع الاستخدام في نظم التحكم الصناعية.  PID هي اختصار Proportional + Integral + Derivative أي تناسبي + تكاملي + تفاضلي وهي المسؤولة عن تصحيح الخطأ الناتج عن الفرق بين القيمة المطلوبة والقيمة المقاسة. يتمثل الخوارزم الحسابي لحاكم PID بثلاثة معاملات منفصلة: التناسب (P)، التكامل (I)، والتفاضل (D). القيمة التناسبية تبين رد الفعل مع الخطأ الحالي. القيمة التكاملية تتناسب مع استمرارية وجود الخطأ مع الزمن. القيمة التفاضلية تتناسب مع معدل التغير في الخطأ.  في الحقيقة ترتيب الاحرف أو الكلمات لا يعكس اسبقية العملية بالضرورة.  يمكن مشاهدة مثال حي لحلقة التحكم في حياتنا اليومية كما هو الحال في مرش الحمام حيث يمكن ضبط درجة الحرارة المناسبة يدويا. عندما نشعر بالبرودة فأننا سندير حنفية الماء الساخن لتفتح أكثر وربما العكس مع حنفية الماء البارد. تدعى عملية الشعور أو الإحساس (بتغير درجة الحرارة) بقياس قيمة العملية (Process Variable - PV) وتسمى درجة الحرارة المرغوبة بالقيمة المضبوطة (Set Point - SP) بينما يطلق على عملية التحكم بالصنبور أو الحنفية بالمتغير المتأثر (Manipulated Variable - MV). الأهم هنا هو من يقوم بعملية المعالجة وهو دماغ الإنسان. يمكن استبدال دماغ الإنسان بآلية تقوم بنفس الكيفية مثل تركيب جهاز لضبط الحرارة (ثرموستات مثلا أو خلاط حراري).  يمكن تلخيص حلقة التحكم بثلاثة وظائف أساسية هي:  من ناحية أخرى يمكن تصنيف الوظائف حسب مبدأ عملها، يوجد ثلاثة أصناف هي:  يوجد ثلاثة أنواع رئيسية من نمط التحكم PID هي:  كما أن الأنواع الثلاثة يمكن دراستها عند الحلقة المفتوحة Open Loop والحلقة المغلقة Closed Loop. إذا تم الأخذ بعين الاعتبار القيمة المقاسة تسمى الحلقة مغلقة أما إذا تما عزلها فيسمى النمط بالحلقة المفتوحة. سيتم التكيز هنا على PID ذي النوع المتوازي أو المتفرع. تعطى وظيفة الخرج له بالعلاقة:  حيث:  يدعى أحيانا الحد التناسبي بالتضخيم ويتسبب في تغير قيمة الخرج بمقدار يتناسب طرديا مع قيمة الخطأ الحالية. يمكن ضبط الاستجابة التناسبية بضرب قيمة الخطأ بقيمة ثابتة (قابلة للضبط) "K", وتدعى أيضا بالتضخيم التناسبي. يستخدم وصفا اخر في بعض أنظمة التحكم هو النطاق التناسبي Proportional Band, ويرمز له عادة PB% ويرتبط بالحد التناسبي بالعلاقة: يكون الخرج الناتج عن الحد التناسبي هو:  حيث: formula_7: الحد التناسبي في للخرج: formula_8: التضخيم التناسبي، قابل للتعديل: formula_9: الخطأ ويساوي formula_10  إذا كانت قيمة التضخيم التناسبي كبيرة فسينتج عنها تغيرا كبيرا في الخرج عند قيمة معينة للخطأ. أما إذا كانت هذه القيمة كبيرة جدا فسيصبح النظام غير مستقر (انظر قسم موالفة الحلقة في الأسفل).  الجدير بالذكر هو أن الحد التناسبى حيث:  يستعمل هذا النوع من عناصر التحكم في ضبط الحرارة وبعض التطبيقات الأخرى مثل ضبط مستوى السائل في الخزانات إذا لم تكن عملية إزالة الخطأ ذات أهمية.  يطلق على الحد التكاملي أحيانا إعادة الضبط reset وذلك لقدرته على إزالة الخطأ المتبقي والذي لايستطيع الحد التناسبي إلغاؤه. يمكن فهم السبب بالنظر في الحلقة المفتوحة حيث نرى أن الحد التكاملي يستمر في التغير صعودا أو هبوطا بشكل يتناسب مع مقدار الخطأ مع ولايتوقف مع مرور الوقت إلا إذا كان الخطأ صفرا. عمليا يتوقف الحد التكاملي عندما يصل إلى مرحلة الإشباع وهي القدرة العظمى للخرج العملياتي. يمتلك الحد التكاملي ثابتا قابلا للضبط في عمليات الموالفة ويدعى formula_16. غالبا يستبدل هذا الثابت بمقلوبه والذي يحمل مغزى للتكامل ويطلق عليه formula_17 حيث:  يعرف "Ti" على أنه الزمن اللازم للوصول بالخرج لنفس قيمة الخطأ أو الدخل منذ بدء الخطأ بمقدار خطوة Step.  يعطى الحد التكاملي بالعلاقة:  formula_19  حيث: formula_20: الحد التكاملي للخرج: formula_16: تضخيم التكامل، قابل للموالفة: formula_9: الخطأ ويساوي formula_23  يستعمل الحد التكاملي مع الحد التناسبي بشكل واسع في التطبيقات الصناعية لتعجيل عملية الاستجابة وإزالة الخطأ عند الاستقرارية. ومع ذلك قد يتسبب الحد التكاملي في ظهور نطة overshoot فوق القيمة المراد الوصول لها بسبب تجميعه لبيانات الخطأ المتراكمة. يمكن التوفيق بين سرعة الاستجابة والنطة بواسطة موالفة ثوابت الحدود كما في قسم الموالفة في الأسفل.  يطلق على الحد التفاضلي أحيانا بالمعدل rate وذلك لأنه يظهر فقط عندما يكون هناك تغير في قيمة الخطأ بالنسبة للزمن ويتناسب طرديا مع معدل هذا التغير. يمتلك الحد التفاضلي ثابتا قابلا للتغيير في عملية الموالفة ويرمز له رياضيا formula_26 وفي الأنظمة الصناعية عادة formula_27 لأنها ترمز لميل دالة الخطأ.  يمكن التعبير عن الحد التفاضلي رياضيا بالصورة:  حيث: formula_29: الحد التفاضلي للخرج: formula_26: التضخيم التفاضلي، قابل للموالفة: formula_9: الخطأ ويساوي formula_32  مع أن الحد التفاضلي يحسن أحيانا في عملية التحكم إلا أنه يتأثر بالضوضاء بشكل كبير ويمكن أن يتسبب في عدم استقرارية النظام. لهذا السبب لايستخدم الحد التفاضلي في الصناعة إلا بشكل نادر وبحذر شديد.  تعمل الحدود التناسبي، التكاملي والتفاضلي معا لتجمع وتعطي خرجا واحدا لعنصر التحكم PID. إذا رمزنا formula_34 لدالة الخرج فستكون قيمتها معطاة بالعلاقة:  بحيث تكون عناصر الموالفة هي:  تعد عملية موالفة الحلقة Loop tuning من أعقد وأخطر عمليات التحكم لاسيما الموالفة المباشرة أثناء العمليات والسبب هو عدم وجود قانون ثابت يحكم العملية Process. إذا أخطأنا باختيار القيم المناسبة لعناصر الموالفة (معاملات المضخم التناسبي، التكاملي، والتفاضلي) يمكن أن تصبح العملية المراد التحكم بها غير مستقرة وربما تخرج عن السيطرة. فبدلا عن الحصول على قيمة مستقرة بعد فترة من الزمن قد يصبح هناك إما وقت أطول للحصول على هذه القيمة المستقرة أو ربما لا تستقر وتظل في حالة تذبذب طوال الوقت وربما ما هو أسوأ وهو تضخيم عملية التذبذب مع الوقت حتى تخرج عن السيطرة تماما.  هناك بعض الطرق المشهورة في عملية الموالفة التقريبية والتي تحاول الاستفادة من تجربة عملية (تتم عادة بالأسلوب اليدوي Manual Mode) أولية أو أكثر على العملية Process وقد تكون إما حلقة مفتوحة أو مغلقة أشهرها مايلي.  عندما يكون من الضروري بقاء النظام عاملا، يمكن أولا موالفة formula_37 وformula_38 إلى قيم صفرية. يتم زيادة formula_36 تدريجيا حتى يبدأ خرج الحلقة بالتذبذب، حينئذ ينبغي إنقاص قيمة formula_36 إلى النصف تقريبا من أجل استجابة من نوع «اضمحلال ربع الاتساع». ثم تزاد قيمة formula_37 حتى يتم تصحيح أي انزياح خلال زمن كاف للعملية. ومع ذلك، فإن زيادة كبيرة جدا في formula_37 ستسبب عدم استقرارية. وأخيرا، يتم زيادةformula_38, إذا كان مطلوبا، حتى تصبح الحلقة سريعة بشكل ماقبل وبعد حدوث اضطراب في حمل. ولكن مرة أخرى، فإن زيادة formula_38 كثيرا قد يتسبب في استجابة زائدة عن الحاجة وظهور النطة. في العادة تتسبب عملية الموالفة السريعة في PID بظهور نطة طفيفية من أجل الوصول لقيمة الضبط setpoint بشكل أسرع; بالرغم من هذا، فبعض الأنظمة لا تتقبل هذه النطة، وفي هذه الحال يكون النظام المغلق ذو «إخماد قوي over-damped» ضروريا، والذي يتطلب ضبط formula_36 أقل من نصف القيمة formula_36 التي تسببت في التذبذب.  سميت هذه الطريقة نسبة لمقدميها جون زيغلر وناتانيل نيكولس. كما الطريقة السابقة، توضع قيم formula_37 وformula_38 على الصفر. تزاد قيمة التضخم "P" حتى تصل إلى التضخيم الحرج، formula_51, حيث يبدأ الخرج بالتذبذب. formula_51 وفترة التذبذب formula_53 تستعمل لضبط القيم كما يلي:  لم تعد الطرق التقليدية السابقة مستخدمة كثيرا في أنظمة التحكم الصناعية الحديثة. بدلا من ذلك تقوم برامج حديثة بعمل الموالفة والأمثلية. تقوم هذه البرامج بجمع البيانات، تطوير نماذج عمليات، ومن ثم تقترح الموالفة المثلى كما أن بعض هذه البرامج تستطيع تطوير عملية الموالفة بالاعتماد على تغييرات مرجعية (كما في أنظمة APC التحكم المتقدم بالعمليات). تكمن فكرة موالفة الحلقة الرياضية في استحثاث قدحة Impulse في النظام، ثم تسخير الاستجابة الترددية للنظام المحكوم لتصميم قيم حلقة PID المطلوبة. تفضل هذه العملية في حالة الحلقات التي تتراوح استجابتها الزمنية بضع دقائق. من الصعوبة بمكان إيجاد القيم المثلى. تقدم بعض حلقات التحكم الرقمية ميزة «الموالفة الذاتية» حيث يتم إرسال تغيرات طفيفة جدا في القيمة المضبوطة SP إلى العمليات، سامحة لأجهزة التحكم بحساب قيم موالفة مثلى.  يمكن برمجة عناصر التحكم السابقة في حلقة مغلقة افتراضية دون الحاجة لتصنيعها عمليا وهذا هو فعلا ماتقوم به أنظمة التحكم الحديث. المثال التالي يمثل كيفية بناء البرنامج باستعمال لغة كيو بيسك مثلا: