اختبار لوكاس ليهمر لأولية عدد ما  "هذا المقال يتعلق باختبار لوكاس-ليهمر الذي ينطبق على أعداد ميرسين فقط. من أجل اختبار لوكاس-ليهمر الذي ينطبق على عدد طبيعي ما أيا كان، المرجو النظر إلى اختبار لوكاس لأولية عدد ما. من أجل اختبار لوكاس-ليهمر-غيزل، المرجو النظر إلى اختبار لوكاس-ليهمر-غيزل."  في الرياضيات، اختبار لوكاس ليهمر هو اختبار أولية أعداد ميرسين. اخترع هذا الاختبار من طرف إدوارد لوكاس عام 1856، فطوره لوكاس نفسه عام 1878، كما طوره أيضا ديريك هنري ليهمر في ثلاثينات القرن العشرين.  يعمل اختبار لوكاس-ليهمر كما يلي. ليكن "M" = 2 − 1 عدد ميرسن حيث p عدد أولي فردي. لنعرف المتتالية formula_1 كما يلي حيث i عدد طبيعي أكبر من الصفر:  الحدود الأولى القليلة من هذه المتتالية هن 4، 14، 194، 37634، ...(انظر إلى موسوعة المتتاليات الصحيحة على الإنترنت). يكون العدد "M" أوليا إذا وفقط إذا توفر ما يلي :  يسمى العدد "s" mod "M" "باقي لوكاس-ليهمر للعدد p".  عدد ميرسن M = 2−1 = 7 أولي. اختبار لوكاس-ليهمر يتحقق من ذلك كما يلي. بدايةً، تُعطى القيمة 4 للمتغير s. وبعد ذلك تُغير قيمته. 3−2 = 1 مرةً:   بما أن القيمة النهائية ل s هي الصفر، فإن الاستنتاج هو أن M أولي.  من ناحية أخرى، M = 2047 = 23 × 89 عدد غير أولي. مجددا، "تُعطى القيمة أربعة ل s. ولكن قيمته تُبدل 11−2 = 9 مرةً :   بما أن القيمة النهائية ل s لا تساوي الصفر، "الاستنتاج هو M = 2047 عدد ليس بأولي. رغم أن M = 2047 لا يملك معاملات بديهية، اختبار لوكاس-ليهمر لا يعطي أي إشارة إلى قيمة هذه العوامل.  برهان الصحة المقدم هنا أبسط من البرهان الأصلي الذي جاء به ليهمر. تذكر التعريف الهدف هو البرهان على أن "M" أولي إذا وفقط إذا توفر formula_5  المتتالية formula_6 معرفة بعلاقة استدعاء ذاتي يمكن تعريفها بتعبير منغلق الشكل. ليكن formula_7 و formula_8. يأتي من ذلك باستعمال البرهان بالترجح ما يلي: أن formula_9 لجميع قيم "i":  و المرحلة الأخيرة تستعمل formula_12 هذه الصيغة المغلقة مستعملة في كل من البرهان على كونه كافيا وفي البرهان على كونه ضروريا.  الهدف هو البرهان على أن formula_3 تؤدي إلى formula_14 أوليا. فيما يلي برهان يستعمل نظرية الزمر الابتدائية، جاء به J. W. Bruce كما شهد بذلك Jason Wojciechowski.  افترض أن formula_5 إذن، حيث "k" عدد صحيح ما. إذن، ضرب الحدين في formula_18 يعطي : إذن،  من أجل الوصول إلى تناقض، , يفترض أن "M" هو عدد مركب (أي غير أولي), وليكن "q" أصغر القواسم الأولية ل "M". أعداد ميرسن فردية , إذن، "q" > 2. , لتكن formula_21 مجموعة الأعداد الصحيحة بتردد "q", لتكن formula_22 الضرب في formula_23 معرف كما يلي  يبدو بشكل واضح أن عملية الضرب مغلقة، أي أن جداء عددين ينتميان إلى المجموعة "X" هو بذاته ينتمي إلى "X". يرمز إلى عدد عناصر المجموعة "X" ب formula_25  بما أن "q" > 2, فإن formula_26 و formula_27 هي في "X". المجموعة الجزئية من "X" المكونة من العناصر التي تملك عنصرا معاكسا، تكون زمرة، يرمز إليها ب "X*"، ويرمز إلى عدد عناصرها ب formula_28.  عنصر من "X" والذي لا يملك عنصرا معاكسا هو 0, إذن، formula_29  حاليا formula_30 and formula_31, إذن، in "X". إذن، من خلال المعادلة (1), في "X", رفع كلا الحدين إلى المربع يعطي ما يلي: إذن، formula_26 هو موجود في "X"* وله عنصر معاكس formula_36 أضف إلى ذلك, the رتبة of formula_26 يقسم formula_38 ولكن formula_39, إذن، الرتبة لا تقسم formula_40 إذن، الرتبة هي بالتحديد formula_38  رتبة عنصر في زمرة تساوي على الأكثر عدد عانصر تلك الزمرة. إذن، ولكن q هو أصغر عامل أولي من بين الأعداد الأولية اللائي يشكلن تفكيك formula_14 إلى جداء عوامل أولية. إذن، هذا يؤدي إلى التناقض formula_45. إذن, formula_14 أولي.  يستعمل اختبار لوكاس-ليهمر لأولية عدد ما البحث الكبير عن أعداد ميرسين الأولية في الإنترنت من أجل البحث عن الأعداد الأولية الكبيرة. انظر إلى أعداد فيرما.