نظرية الاحتمال  نظرية الاحتمال هي النظرية التي تدرس احتمال الحوادث العشوائية، بالنسبة للرياضيين، الاحتمالات أعداد محصورة في المجال بين 0 و1 تحدد احتمال حصول أو عدم حصول حدث معين عشوائي أي غير مؤكد.  يتم تحديد احتمال الحدث formula_1 بالقيمة formula_2 حسب بدهيات الاحتمال. كما ندعو احتمال الحدث formula_1 علما بحدوث الحدث formula_4: الاحتمال الشرطي للحدث formula_1 مع العلم بحدوث formula_4. نمثل هذا الاحتمال الشرطي بالنسبة بين احتمال التقاطع بين الحدثين (أي حدوثهما معا) إلى احتمال حدوث الحدث formula_4، أي formula_8.  إذا لم تتغير قيمة الاحتمال الشرطي للحدث formula_1 علما بوقوع formula_4 عن القيمة الأصلية غير الشرطية للحدث أي أن الاحتمال واحد في حال وقوع formula_4 أو عدم وقوعه عندئذ نقول أن هذين الحدثين مستقلين.  تناقش نظرية الاحتمالات مصطلحين غاية في الأهمية وهما: المتغير العشوائي والتوزيع الاحتمالي للمتغير العشوائي.  طورت الاحتمالات والإحصاء في أشكالها الأولى من طرف العلماء العرب أثناء دراستهم لعلم التشفير، بين القرنين الثامن والثالث عشر الميلاديين. الخليل بن أحمد الفراهيدي كتب كتابا في هذا الاتجاه.  تستمد النظرية الرياضياتية للاحتمالات جذورها من محاولات فهم وتحليل لُعب الحظ من طرف جيرولامو كاردانو الذي عاش خلال القرن السادس عشر الميلادي ومن طرف بيير دي فيرما وبليز باسكال، اللذان عاشا خلال القرن السابع عشر (انظر على سبيل المثال إلى معضلة النقط). انظر إلى كريستيان هوغنس. لنظرية الاحتمالات جذور متعلقة بألعاب الفُرص التي تواجدت في القرن السادس عشر، و تم استخدام نظرية حساب الاحتمالات في حساب الفرص لظهور عناصر من بين مجموعة كبيرة من العناصر الأخرى. للاحتمالات في هذه النظرية أنواع منها الاحتمالات المشروطة والمستقلة والمنفية والمؤكدة. وقد يكون لكل نوع من هذه الأنواع قاعدة عامة وقواعد فرعية. ولنظرية الاحتمالات علاقة وثيقة بنظرية العد أيضا وتستخدم في التوافيق وأيضاً التباديل.  تهتم نظرية الاحتمالات بتحليل الظواهر العشوائية، إن العناصر المركزية لنظرية الاحتمال هي الأحداث والمتغيرات العشوائية والعمليات العشوائية. لقد قاد كولموغوروف عملية تأسيس دراسة نظرية حديثة للاحتمالات بدمجه بين فكرة فضاءالعينة التي قدمها ريتشارد فون ميزيس وبين نظرية القياس وعرض في عام 1933 نظام بديهيات لنظرية الاحتمالات ما لبث أن أصبح بلا منازع الأساس البديهي لنظرية الاحتمالات الحديثة.  يمكن تمثيل الفضاء الاحتمالي على أنه ثلاثية formula_12, حيث لكي نستطيع أن نقول أن formula_15 يشكل سيغما-جبر هذا يقتضي بالتعريف انها تحوي formula_13, وأن متممة أي حدث تشكل حدثا أيضا، واجتماع أي تسلسل أحداث هو حدث أيضا. formula_19, أي أن احتمال كامل فضاء العينة يساوي الواحد. تدعى الثنائية formula_20 فضاء مقاسا أو فضاء قابلا للقياس لأنه يتحول إلى فضاء احتمالي بتعريف قياس احتمالي عليه. من المهم أن نلاحظ أن formula_17 تشكل دالة معرفة على formula_15 وليس على فضاء العينة formula_13.  في علم الاحتمالات والإحصائيات، توزيع الاحتمال هو إعطاء احتمال معين لكل مجموعة جزئية قابلة للقياس من مجموعة نتائج تجربة عشوائية ما. وبتعبير آخر، هو قياس احتمالي مجاله تطبيق جبر بوريل على مجموعة الأعداد الحقيقية.  التوزيع الاحتمالي يعتبر حالة خاصة من مصطلح أكثر عمومية هو القياس الاحتمالي، الذي يعتبر دالة تربط قيم احتمالات بمجموعات مقيسة من الفضاء المقاس بحيث تحقق فرضيات كولوموغروف.  كل متغير عشوائي ينشأعنه توزيع احتمالي يحتوي معظم المعلومات المهمة عن هذا المتغير. فاذا كان المتغير "X" متغيرا عشوائيا فان التوزيع الاحتمالي الموافق له ينسب للمجال ["a", "b"] احتمالا : بمعنى أن احتمال أن يأخذ المتغير formula_24 قيمة ضمن المجال هي : formula_25.  في نظرية الاحتمالات، توجد عدة مفاهيم مختلفة لتقارب المتغيرات العشوائية. يعد تقارب تسلسل المتغيرات العشوائية لبعض المتغيرات العشوائية الحد مفهومًا مهمًا في نظرية الاحتمالات وتطبيقاته على الإحصاء والعمليات العشوائية. تُعرف نفس المفاهيم في الرياضيات الأكثر عمومية باسم التقارب العشوائي وتضفي الطابع الرسمي على فكرة أنه يمكن توقع تسلسل الأحداث العشوائية أو غير المتوقعة في بعض الأحيان في سلوك لا يتغير بشكل أساسي عند دراسة العناصر البعيدة بدرجة كافية في التسلسل. تتعلق المفاهيم المختلفة الممكنة للتقارب بكيفية وصف مثل هذا السلوك: سلوكان مفهمان بسهولة هما أن التسلسل يأخذ في نهاية المطاف قيمة ثابتة، وأن القيم في التسلسل تستمر في التغيير ولكن يمكن وصفها بتوزيع الاحتمالات غير المتغير.  يقول قانون الأعداد الكبيرة بأن التردد النسبي لحادثة عشواء يقترب أكثر فأكثر من احتمالها النظري مع ازدياد عدد مرات إعادة تجربة عشواء۔  في نظرية الاحتمال، تشكل مبرهنات النهاية المركزية مجموعة نتائج لنظرية الاحتمالات تنص أن مجموع عدة متغيرات عشوائية ومتشابهة التوزع، يميل إلى التوزع حسب توزيع احتمالي معين.  أهم هذه المبرهنات تقول أنه إذا كانت المتغيرات المجموعة تملك تباينات محددة فإن المجموع يميل إلى التوزع طبيعيا أي أنه يملك توزيعا احتماليا طبيعيا.  تسمى مبرهنة النهاية المركزية أيضا بالمبرهنة الأساسية الثانية في الإحصاء.  لتكن X1, X2, X3... Xn متسلسلة من الاعدادالمستقلة والمتطابقة في التوزيع  المتغير العشوائي لكل منها لديه قيمه منتهي للوسط µ والتباين σ2 > 0.  تقول مبرهنة النهاية المركزية ان : كلما ازداد حجم العينة n ,فان التوزيع لمتوسط هذه المتغيرات العشوائية يقترب من التوزيع الطبيعي القياسي.  هو إمكانية وقوع أمر ما لسنا على ثقة تامة بحدوثه، ويلعب الاحتمال دوراً أساسياً في الحياة اليومية بالتنبؤ بإمكانية وقوع حدث ما وهو النظرية التي يستخدمها الإحصائي لتساعده في معرفة مدى تمثيل العينة العشوائية محل الدراسة للمجتمع المأخوذ منه العينة، وتنحصر قيمة الاحتمال بين الصفر والواحد الصحيح والصفر للاحتمال المستحيل في حين الواحد الصحيح للاحتمال المؤكد والاحتمال يبحث في ثلاثة مسائل هامة معتمدة على القواعد الخاصة بالاحتمال التي سنذكرها في حينها والمسائل الثلاثة هي: وهو تساوي احتمالات عناصر الظاهرة فاحتمال الحصول على أي عدد عند إلقاء حجر النرد هو formula_26 الاحتمال الذي يعتقده شخص أما على حساب خبرته في الظاهرة محل الدراسة وهو يختلف من شخص لآخر كاحتمال ربح حصان في سباق للخيل. ويتم تحديده كما يلي:  أ) نسبة وقوع الحدث على مدى طويل مع ثبات الظروف المحيطة بالحدث.  ب) حساب مرات وقوعه في عدد كبير من المحاولات أي : عدد مرات ظهوره مقسوم على عدد مرات إجراء التجربة .  التجربة العشوائية (RANDOM SAMPLING): كل إجراء نقوم به نعلم مكوناته دون معرفة أي منها سيقع، وتعرف في علم إحصاء بالتجربة الإحصائية وهي كل عملية تعطي قياساً لظاهرة ما. التجربة العشوائية بإلقاء قطعة النقود التي عناصرها المجموعة {صورة، كتابة} وقد يقع أي منهم وتعرف الصورة والكتابة بعناصر العينة. التجربة العشوائية بإلقاء حجر النرد الذي عناصره المجموعة formula_27 وقد يقع أي منهم، وهكذا ...  تعرف المجموعة formula_27 في مثالنا السابق للتجربة العشوائية بفضاء النواتج أو فضاء الإمكانيات أو فضاء العينة (Sample Space) فضاء العينة لتجربة إلقاء قطعة نقود مرة واحدة formula_29 أو تمثل بشكل فِن مستطيل أو دائرة بالداخل العناصر الخاصة بالتجربة العشوائية.  الحدث هو مجموعة جزئية من فضاء العينة وعدد الأحداث تخضع للصيغة formula_30 حيث formula_31 عدد عناصر فضاء العينة واحتمال وقوع الحدث formula_32 هو نسبة عدد حالات وقوعه بالفعل بالنسبة لكل الحالات الممكنة لوقوعه أي أن: formula_33 حيث formula_34 عدد حالات وقوع formula_32 بالفعل، formula_31 عدد الحالات الممكنة فاحتمال ظهور عدد فردي عند إلقاء حجر النرد مرة واحدة هو formula_37 لأن الأعداد الفردية ثلاثة formula_38 والتي تحقق المطلوب (عدد فردي) وكل الأعداد ستة formula_39 فالاحتمال formula_40 ، الشكل المقابل لحجر النرد أو الزار أو الزهرة.  الحدث البسيط ( Simple event ): وهو الحدث المكون من عنصر واحد مثل formula_41 في تجربة إلقاء حجر النرد .  الحدث المركب ( Compound event ): الحدث المكون من أكثر من عنصر مثل formula_42 حدث العدد زوجي في تجربة إلقاء حجر النرد.  الحدث المستحيل: الحدث الذي لا يحوي أي عنصر كحدث ظهور العدد formula_43 في تجربة إلقاء حجر النرد. الحدث المؤكد: الحدث الذي يضم كافة عناصر الفضاء كحدث ظهور عدد أقل من formula_43 في تجربة إلقاء حجر النرد.  الحدثان المتنافيان ( Mutually Exclusive events ): الحدثان اللذان لا يشتركا في أي عنصر وتقاطعهم المجموعة الخالية أي formula_45 مثل formula_46، وتعرف بالأحداث غير المتصلة.  الأحداث المنتظمة (dependent events): المتساوية في احتمالاتها. ففي تجربة إلقاء حجر النرد مرة واحدة يكون:  الأحداث الشاملة ( Exhaustive events ): إذا كان formula_48 فضاء عينة ما فإن الأحداث formula_49 شاملة إذا تحقق الشروط الثلاثة الآتية:   الأحداث المكملة (Complementary events): الحدثان اللذان اتحادهم يساوي فضاء العينة بمعنى formula_32 حدث فإن formula_59 الحدث المكمل حيث formula_60  الحدثان المستقلان ( Independent events ): اللذان لا يتأثر أي منهم بالآخر (وقع أحدهم لا يؤثر أو يتأثر بوقوع أو عدم وقوع الآخر) .  قاعدة الضرب للاحتمالات للأحداث المستقلة formula_61 يمكن تعميم هذه القاعدة لأكثر من حدث :  الأحداث الغير مستقلة (المشروطة) Conditional Probability: حدثان وقوع أحدهما يؤثر في وقوع الآخر مثل سحب ورقة من أوراق اللعب دون إرجاع مما يؤدي لتأثير سحب ورقة جديدة لنقص الفرصة بنقص عدد الأوراق (من 52 إلى 51) فالحدثان formula_32, formula_64 نكتب حدث وقوع formula_32 بشرط وقوع formula_64 بالصورة formula_67 ويكون:  formula_68  لاحظ أن العلامة خط الكسر ليس علامة القسمة بل علامة شرط وقوع ما يليها من أحداث .  formula_69 وهو احتمال وقوع الحدث A بشرط وقوع الحدث B ، قد ترد عبارة أخرى تفيد الشرط كالقول علماً بأن .  وفي حالة الحدثان مستقلان أي لا يؤثر وقوع أحدهما على الآخر ( when A and B are independent events ) يصبح القانون:  مثال:  صندوق يحوي 14 كرة منها 8 حمراء، 6 زرقاء سحبت كرتان (عشوائياً) من الصندوق الواحدة وراء الأخرى دون إرجاع ( أو سحب كرتان معاً ).  أحسب احتمال أن تكون الكرتان حمراء وزرقاء (الأولى زرقاء والثانية حمراء). (أنظر الشكل).  الحل:  ليكن A = حدث سحب كرة حمراء اللون  وليكن B = حدث سحب كرة زرقاء اللون  فالمطلوب هوformula_69 حيث formula_32 السحبة الثانية، formula_64 السحبة الأولى.  لاحظ سحب كرتان نفس اللون = ل(ح، ح) + ل(ز، ز) = (8÷14)×(7÷13) + (6÷14)×(5÷13) = 0.4725 لاحظ سحب كرتان مختلفتان في اللون = ل(ح، ز) + ل(ز، ح) = 0.2637 + 0.2637 = 0.5274 لاحظ مجموع الاحتمالان السابقان 0.4725 + 0.5274 = 0.9999 ≈ 1  1) إذا كان formula_32 حدث من formula_48 أي أنَّ formula_32 مجموعة جزئية من formula_48 فإن: formula_80 يعبر عن احتمال وقوع الحدث formula_32  احتمال وقوع الحدث formula_32: يساوي عدد حالات وقوع الحدث formula_32 بالفعل مقسوم على كل الحالات التي يمكن وقوعها .  2) الحدثان المتكاملان (المتتامان) : formula_60 حيث يكون: formula_85 ويمكن استنتاج: formula_86 أو formula_87  أيضاً نقول أن الحدث formula_59هو حدث عدم وقوع formula_32 .  3) مجموع احتمالات الأحداث الشاملة يساوي الواحد الصحيح لأن اتحادها يساويformula_48  4)الحدثان المتنافيان formula_64, formula_32 أي تقاطعهم formula_4 فإن: formula_94, formula_95 , «ويمكن تعميم ذلك على أكثر من حدثين متنافيين».  5) إذا كان formula_32, formula_64 حدثان غير متنافيين (متصلين) أو احتمال وقوع أحدهم على الأقل فإن: formula_98 عملية الطرح هنا للاحتمال formula_99 لتكراره مرتين عند حساب الاحتمال للجزء المشترك بين formula_32, formula_64 حيث يحسب مرة مع formula_32 وأخرى مع formula_64.  يمكن تعميم القاعدة السابقة لأكثر من حدثين متصلين كالتالي:  6) عدد الأحداث في فضاء النواتج formula_48 للتجربة العشوائية هو formula_106حيث formula_31 عدد عناصر الفضاء formula_48 فعدد أحداث تجربة إلقاء حجر النرد مرة واحدة هو formula_109 حدثاً بما فيهم الحدثان المستحيل formula_110 والمؤكد formula_48 حيث : formula_112  أمثلــة:  (1) في تجربة إلقاء قطعة نقود وحجر النرد ولمرة واحدة أكتب فضاء النواتج formula_48.  الحل: قطعة النقود لها عنصران formula_114, formula_115 صورة وكتابة، وحجر النرد له formula_116 عناصر هي العداد من formula_117 إلى formula_116 وعليه يكون عدد عناصر فضاء التجربة formula_119 هي:  ويمكن كتابتها اختصاراً بالصورة :  (2) سحبت كرة واحدة فقط من كيس يحوي formula_122 كرات متماثلة تماماً ألوانها formula_123 حمراء، formula_124 سوداء، formula_125 صفراء فما احتمال أن تكون الكرة المسحوبة حمراء  الحل : عدد الكرات التي تحقق المطلوب (حمراء اللون) هو formula_123 وعدد الكرات التي يمكن أن تسحب يساوي formula_122وبافتراض أن formula_32هو حدث الكرة حمراء فيكون المطلوب: formula_129.  (3) إذا كان احتمال وفاة شخص هو formula_130 فما احتمال أن يعيش؟  الحل: واضح أن الاحتمال المطلوب هو الحدث المتمم للاحتمال المعطى أي أن مجموعهم يساوي الواحد الصحيح وبفرض أن:  formula_32 : حدث أن يعيش الرجل و formula_59 : حدث أن يموت الرجل فإن :  formula_133.  (4) بين إن كانت الأحداث الآتية شاملة (دالة احتمال) حيث احتمالاتها formula_134، formula_135،formula_136 مع العلم بأنها متنافية فيما بينها  الحل: حتى تكون شاملة يجب أن يكون مجموعها يساوي الواحد الصحيح وبجمعها نجد أن: formula_137 فالأحداث شاملة.  (5) بين إن كانت الأحداث الأربع الآتية شاملة (دالة احتمال) حيث احتمالاتها formula_138  الحل: حتى تكون شاملة يجب أن لا يكون أياً منها لا يساوي formula_4 ولكن وجود الاحتمال المساوي للصفر يعني الحدث formula_140 formula_4 فالأحداث غير شاملة.  (6) إذا كان احتمال النجاح في مادة الرياضيات هو formula_142واحتمال النجاح في مادة الإحصاء هو formula_143واحتمال النجاح في المادتين معاً هو formula_144أوجد احتمال النجاح في أحد المادتين على الأقل.  الحل: بتطبيق صيغة الاحتمالات للحوادث المتصلة بفرض أنَّ:  formula_32: احتمال النجاح في مادة الرياضيات  formula_64 : احتمال النجاح في مادة الإحصاء  formula_147: احتمال النجاح في المادتين معاً فأنَّ: