الجو الرمادي  الجو الرمادي عبارة عن مجموعة مفيدة من التقديرات التي تم إجراؤها لتطبيقات النقل الإشعاعي في دراسات الأجواء النجمية استنادًا إلى التبسيط الذي يشير إلى أن معامل الامتصاص formula_1 للمادة داخل الغلاف الجوي ثابت لجميع ترددات الإشعاع الحاصل.  تطبيق تقريب الغلاف الجوي الرمادي هو الطريقة الأساسية التي يستخدمها علماء الفلك لتحديد درجة الحرارة والخصائص الإشعاعية الأساسية للأجسام الفلكية بما في ذلك الشمس والكواكب ذات الغلاف الجوي والنجوم الأخرى والغيوم بين الغاز والغبار. على الرغم من أن النموذج يوضح ارتباطًا جيدًا بالرصدات، إلا أنه ينحرف عن نتائج الرصد لأن الأجواء الحقيقية ليست رمادية، على سبيل المثال امتصاص الإشعاع يعتمد على التردد.  التقريب الأساسي هو افتراض أن معامل الامتصاص، ويمثل عادةً formula_1، لا يعتمد على التردد formula_3 لمدى التردد الذي يعمل فيه، على سبيل المثال formula_4.  عادةً ما يتم وضع عدد من الافتراضات الأخرى في وقت واحد:  هذه المجموعة من الافتراضات تؤدي مباشرة إلى متوسط الكثافة و دالة المصدر كونهما متعادلين بشكل مباشر لدالة بلانك للجسم الاسود في درجة الحرارة عند ذلك العمق البصري.  يمكن أيضًا استخدام تقريب إيدينغتون (انظر القسم التالي) اختياريًا لحل دالة المصدر. هذا يبسط النموذج إلى حد كبير دون تشويه النتائج بشكل كبير.  ينطوي اشتقاق كميات مختلفة من نموذج الجو الرمادي على حل معادلة تفاضلية متكاملة، يكون حلها الدقيق معقدًا. لذلك، يستفيد هذا الاشتقاق من التبسيط المعروف باسم تقريب إيدنغتون. بدءًا من تطبيق نموذج موازٍ للمستوى، يمكننا أن نتخيل نموذجًا في الغلاف الجوي يتكون من طبقات متوازية مستوية مكدسة فوق بعضها البعض، حيث تكون الخصائص مثل درجة الحرارة ثابتة داخل المستوى. هذا يعني أن هذه العوامل هي وظيفة العمق المادي formula_5، حيث يشير اتجاه z الموجب نحو الطبقات العليا من الجو. من هذا، من السهل أن نرى أن مسار الشعاع formula_6 بزاوية formula_7 يمنح بواسطة formula_8  نقوم الآن بتعريف العمق البصري كالتالي formula_9  حيث formula_10 هو معامل الامتصاص المرتبط بمختلف مكونات الجو. ننتقل الآن إلى معادلة نقل الإشعاع  formula_11 حيث formula_12 هي الكثافة المحددة الكلية، formula_13 هو معامل الانبعاثات. بعد استبدال formula_6 والقسمة على formula_15 formula_16 حيث formula_17 هي ما يسمى دالة المصدر الكلي المعرفة بأنها النسبة بين معاملات الانبعاث والامتصاص. يمكن حل هذه المعادلة التفاضلية بضرب كلا الجانبين ب formula_18، إعادة كتابة الجانب الأيسر كما formula_19 ثم دمج المعادلة بأكملها فيما يتعلق بـ formula_20. هذا يعطي الحل formula_21  حيث استخدمنا الحدود formula_22 ونحن ندمج في الخارج من بعض العمق ضمن الجو؛ لذلك formula_23. على الرغم من أننا أهملنا الاعتماد على تردد المعلمات مثل S، فإننا نعرف أنها دالة للعمق البصري، ومن أجل دمج هذا، نحتاج إلى وجود طريقة لاشتقاق دالة المصدر. نحدد الآن بعض المعلمات الهامة مثل كثافة الطاقة U، التدفق الكلي Fوضغط الإشعاع P على النحو التالي formula_24  formula_25 formula_26  نحدد أيضا متوسط الشدة المحددة (المتوسط على جميع الترددات) كما يلي formula_27  نلاحظ على الفور أنه من خلال قسمة معادلة النقل الإشعاعي على 2 والتكامل على (معادلة)، لدينا formula_28  علاوة على ذلك، بضرب نفس المعادلة بواسطة formula_29 ودمج formula_30، لدينا formula_31  عن طريق استبدال متوسط الكثافة المحددة J في تعريف كثافة الطاقة، لدينا أيضًا العلاقة التالية formula_32  الآن، من المهم أن نلاحظ أن التدفق الكلي يجب أن يبقى ثابتًا من خلال الجو لذلك formula_33  تُعرف هذه الحالة بالتوازن الإشعاعي. للاستفادة من ثبات التدفق الكلي، ندمج الآن (معادلة) للحصول على formula_34  حيث formula_35 ثابت من التكامل. نحن نعلم من الديناميكا الحرارية أنه بالنسبة لغاز متماثل في الخواص، تثبت العلاقة التالية formula_36  حيث استبدلنا العلاقة بين كثافة الطاقة ومتوسط الكثافة المحددة المشتقة سابقًا. على الرغم من أن هذا قد يكون صحيحًا في الأعماق السفلية داخل الجو النجمي، إلا أنه من شبه المؤكد أنه ليس كذلك. ومع ذلك، يفترض تقريب إيدينغتون أن هذا يثبت على جميع المستويات داخل الجو. مستبدلًا هذا في المعادلة السابقة للضغط يعطي formula_37  وتحت شرط التوازن الإشعاعي formula_38  هذا يعني أننا قد حللنا دالة المصدر باستثناء ثابت التكامل. مستبدلين هذه النتيجة في حل معادلة نقل الإشعاع ويعطي التكامل formula_39  لقد قمنا هنا بتعيين الحد الأدنى لـ (معادلة) على الصفر، وهي قيمة العمق البصري على سطح الغلاف الجوي. سيمثل هذا إشعاعًا يخرج من سطح الشمس، على سبيل المثال. أخيرًا، استبدل ذلك بتعريف التدفق الكلي ويعطي التكامل formula_40  لذلك، formula_41 وتُعْطَى دالة المصدر بواسطة formula_42  عند تحديد اللحظتين الأولى والثانية من معادلة النقل الإشعاعي، وتطبيق العلاقة أعلاه وتقريب حد التيارين، يؤدي إلى معلومات حول كل من اللحظات الأعلى. اللحظة الأولى لمتوسط الكثافة (معادلة) ثابتة بغض النظر عن العمق البصري: formula_43  يتم إعطاء اللحظة الثانية لمتوسط الكثافة formula_44 بواسطة: formula_45  لاحظ أن تقريب إيدينغتون هو نتيجة مباشرة لهذه الافتراضات.  تحديد درجة حرارة فعالة (معادلة) لتدفق إيدينغتون H وتطبيق قانون ستيفان-بولتزمان ، أدركت هذه العلاقة بين درجة الحرارة الفعالة الملاحظة خارجياً والداخلية درجة حرارة الجسم الأسود T للمتوسط. formula_45  نتائج حل الجو الرمادي: درجة الحرارة المرصودة formula_47 هي مقياس جيد لدرجة الحرارة الحقيقية T على عمق formula_48 ودرجة حرارة الغلاف الجوي العليا formula_49 هذا التقريب يجعل دالة المصدر خطية في العمق البصري. formula_50