حقل (رياضيات)  في الرياضيات، الحقل () هي مجموعة عُرفت عليها أربع عمليات هي الجمع والطرح والضرب والقسمة ويحقق خاصيات ما يقابلها من عمليات الأعداد الحقيقة والنسبية. فبالتالي الحقل هو بنية أساسية في الجبر ويستخدم بشكل واسع في الجبر ونظرية الأعداد وغيره من فروع الرياضيات.  من الحقول (أو الأجسام) المعروفة ،نجد حقلي الأعداد الحقيقية و الأعداد المركبة. هناك أيضا العديد من الحقول الأخرى مثل حقول الدوال النسبية وحقول الدوال الجبرية ( ) وحقول الأعداد الجبرية وكذلك حقول "p"-adic . هذه الحقول هي الأكثر استخداما في دراسة الرياضيات خصوصا في نظرية الأعداد والهندسة الجبرية. كثير من بروتوكلات التشفير تعتمد على الحقول المنتهية والتي نعني بها تحتوي على العديد من العناصرة المنتهية.  يمكن التعبير عن العلاقة أو الصلة بين حقلين بواسطة مايسمى امتداد الحقول. طورت نظرية غالوا، والتي أكتشفها العالم الرياضي إيفاريست غالوا في ثلاثينات القرن التاسع عشر، لفهم العلاقات المتقدمة. نظريات أساسية في التحليل مرتبطة بالخواص الهيكلية لحقل الأعداد الحققية. والأكثر أهمية لأسباب جبرية، أنه أي حقل ممكن أن يستخدم كمية قياسية في فضاء المتجه والذي يعتبر محتوى أساسي عام للجبر الخطي. تشترك حقول الأعداد مع حقل الأعداد النسبية والتي تُدرس بعمق في نظرية الأعداد. يمكن أن تساعد في وصف خواص الأشياء الهندسية.  بصيغة عامة، الحقل هو مجموعة ما وعمليتان معرفتان على هذه المجموعة. هاتان العمليتان هما عملية الجمع والتي يمكن أن تكتب على الشكل وعملية الضرب والتي يمكن كتابتها على الشكل . ولكليهما نفس خواص عمليتي الجمع والضرب المعتادة على الأعداد النسبية والأعداد الحقيقية. من هذه الخواص وجود المعكوس الجمعي formula_1 لكل العناصر formula_2 والمعكوس الضربي formula_3 لكل عنصر غير منعدم formula_4. هذا يسمح أيضا بتعريف ما يسمى العمليات العكسية وهما الطرح formula_5 والقسمة formula_6 كالتالي:  formula_7  formula_8  بصيغة رياضية، الحقل هو عبارة عن مجموعة formula_9 مزودة بعمليتين داخلييتين ، الأولى يرمز لها بعملية الجمع و الثانية بعملية الضرب . نعرف عملية ما على formula_9 بالتطبيق formula_11 ، أو بصيغة أخرى: هي دالة تربط كل عنصر من formula_9 بكل بزوج ثنائي مرتب من عناصر نفس المجموعة المعرفة عليها. نتيجة إضافة العنصرين formula_2 وformula_14 يسمى جمع formula_2 ووالذي يرمز له بالرمز formula_16 . بالمثل، ماينتج عن ضرب العنصرين formula_2 وformula_4 يسمى بحاصل ضرب العنصرين formula_2 و formula_4 ويرمز لهذه العملية بالرمزformula_21 أو formula_22. لابد لهاتين العمليتين أن تحقق الخصائص التالية والتي تسمى مسلمات الحقل.(موضوعات الحقل) في هذه المسلمات العناصر formula_2 وformula_4 وformula_25 هي عناصر اختيارية من الحقل formula_9 .   يمكن تلخيص ذلك كما يلي: الحقل هو مجموعة مزودة بعمليتين الجمع و الضرب ،(ليس بالضرورة الجمع و الضرب الاعتياديين ) وهو زمرة تبادلية بالنسبة لعملية الجمع والعنصرformula_31 هو المحايد الجمعي وكل العناصر غير المنعدمة تمثل زمرة تبادلية بالنسبة لعملية الضرب وله العنصر المحايد الضربي formula_32 . وأيضا يحقق خاصية توزيعية الضرب على الجمع.  يمكن تعريف الحقل بطريقة أخرى لكن له نفس المعنى. فمن الممكن تعريف الحقل بواسطة أربع عمليات ثنائية: الجمع والطرح والضرب والقسمة بخواصها المطلوبة. مستبعد من هذا التعريف القسمة على الصفر. من أجل تجنب مشكلة الوجود، يمكن تعريف الحقول بواسطة عمليتين ثنائيتين (الجمع والضرب) وعمليتين أحاديتين (وهما العمليات المعاكسة للجمع والضرب) وأيضا عمليتي المحايد ( ) للعنصرين الثابتين formula_31 وformula_32 . هذه العمليات تخضع أيضا للشروط المذكوره أعلاه. تجنب معايير الوجود مهمه في الرياضيات و الحوسبة. ممكن أيضا تعريف الحقل باستخدام نفس العمليتين الثنائيتين وعملية أحادية واحدة (المعكوس الضربي) وعنصرين ثابتين هما formula_32 و formula_53 لأن formula_54 و formula_55.  لتكن F مجموعة الاعداد الحقيقة التي بصيغة 3formula_56a+b حيث a,b عددان نسبيان {F = { a+b formula_563 l a,b formula_58Q  الاختبار الثلاثي   افرض ان a+ b formula_593 formula_62 F حييث a , b ليس كلاهما صفر أيضا a,b formula_62 Q تحت هذا الشرط formula_64 وبخلافه يكون 3formula_59 نسبيا  formula_66  formula_67  بما أن formula_68 و formula_69 كليهما عددان نسبيان فإن المعكوس الناتج ينتمي إلى F.  أستخدمت الأعداد النسبية بشكل أوسع قبل ظهور مفهوم الحقل بوقت طويل. وتعرف الأعداد النسبية بالأعداد التي يمكن كتابتها بشكل كسور formula_6حيث أن formula_2 وformula_4 هما أعداد صحيحة وformula_73. المعكوس الجمعي لهذا الكسر هو formula_74 والمعكوس الضرب في حالة formula_42 يساوي formula_76 والذي يحقق  formula_77 .  الخصائص المطلوبة لأي حقل تنطبق أيضا على الأعداد النسبية. فعلى سبيل المثال خاصية التوزيع يمكن إثباتها كالتالي:  formula_78  مجموعة الأعداد الحقيقية formula_79 مزودةً بعمليتي الجمع والضرب المعتادتين تمثل حقلا. الأعداد المركبة formula_80 تتكون من أعداد بالصيغة formula_81  حيث formula_2 و formula_4 أعداد حقيقية و formula_84 تمثل وحدة الجزء التخيلي وهو عدد غير حقيقي يحقق الشرط formula_85. تعرف عمليتي الجمع والضرب للأعداد المركبة بنفس عمليتي الجمع والضرب المعرفتين على الأعداد الحقيقية بشرط تحقيقها لشروط الحقل على مجموعة الأعداد المركبة. مثلا، خاصية التوزيع تحقق التالي:  formula_86.  انظر عدد قابل للإنشاء وإلى مبرهنة طاليس  في العصور القديمة، تهتم العديد من المسائل الهندسي بمدى قابلية إنشاء أو تمثيل أعداد معينه باستخدام الفرجار والمسطرة. فعلى سبيل المثال لم يكن معروفا لدى اليونانيين استحالة إيجاد ثلث زاوية معطاه بهذه الطريقة. لكن تم الآن حل مثل تلك المسائل مع وجود مايسمى بالأعداد قابلة للإنشاء. تعرف الأعداد الحقيقية القابلة للإنشاء بأنها أطوال لقطع مستقيمة بالاستعادة بنقاط الفتة من formula_31 إلى formula_32 بعدد من الخطوات المحددة فقط باستخدام الفرجار والمسطرة. وبالإمكان استخدام عمليات حقل الأعداد الحقيقية بحصرها على الأعداد الإنشائية والتي تمثل حقل فعلي جزئي من حقل الأعداد النسبية . بالشكل الموضح هنا مثال يوضح أنه ليس بالضرورة أن عملية إنشاء الجذور التربيعية للأعداد الإنشائية تنتمي للمجموعة . التسمية الموجودة بالشكل تبين القطع المستقيمة formula_89 وformula_90 ونصف الدائرة التي مركزها عندي النقطةformula_91 وقطرها formula_92 التي يتعامد عليها النقطةformula_9 بالزاوية القائمة عند formula_94وبمسافة قدرها formula_95 عندما يكون طول الضلع formula_90 يساوي واحد.  ليست كل الأعداد الحقيقية قابلة للإنشاء. فمثلا العدد formula_97 هو غير قابل للإنشاء، بمعنى أنه لايمكن تمثيل ضلع بمكعب حجمه يساوي formula_98 استخدام الفرجار والمسطرة.  بالإضافة إلى جمع أنظمة الأعداد المعروفه كالأعداد النسبية، يوجد نوع آخر ويمكن أثبات أنه يمثل حقل. المثال التالي يتكون من أربع عناصر هي formula_99 . تم أختيار هذه الرموز بحيث أن العنصر formula_100 يلعب دور المحايد الجمعي و formula_101 يمثل المحايد الضربي. يمكن التحقق من مسلمات الحقل باستخدام بعض نظريات الحقل أو مباشرة ببعض الحسابات. مثلا  formula_102 والتي تكافئ formula_103 كما هو مطلوب بخاصية التوزيع. يسمى هذا الحقل بحقل منتهي بأربع عناصر ويرمز بالرمز formula_104 أو formula_105. المجموعة الجزئية المكونه من formula_100 و formula_101 (المضلله بالأحمر في الجدول المرفق) تمثل أيضا حقل والذي يعرف ب formula_108 أوformula_109 . في علوم الحاسب وجبر بولياني غالبا مايستخدم الرمزين formula_100 وformula_101 للدلالة على الخطأ والصواب على التوالي.  في هذا القسم سيتم استخدام الرمزformula_9 للدلالة على أي حقل عشوائي و formula_2 وformula_4 عنصران من formula_9.  من التعريف لدينا formula_116و formula_117. أي أنه من الممكن اختصار رمز المعكوس الجمعي لأي عنصر باستخدام الرقم formula_53 . إذا كان formula_119 فإنه إما formula_120أو formula_121 . وفي حالة formula_119 و formula_42 نستنتج أن  formula_124  وهذا يعني أن كل حقل هو .  نسنتنتج من مسلمات الحقل أن الحقل هو زمرة إبدالية مع عملية الجمع. هذه الزمرة تسمى زمرة جمعيه للحقل والتي يرمز لها أحيانا بالرمز formula_125 للحقل formula_9.  بالمثل، تمثل عناصر الحقل غير الصفرية زمرة إبدالية مع عملية الضرب والتي تسمى . يرمز لهذه الزمرة بالرمز formula_127 أو اختصارا بالرمز formula_128.  يشترط بالحقل أن يكون formula_129 وذلك لأن العنصر formula_32 هو عنصر وحدة لزمرة لاتحتوي على formula_31 . فبالتالي الحلقة التافهه التي تحتوي على عنصر واحد فقط لاتمثل حقل.  كل زمرة جزئية منتهية من زمرة ضربية لحقل هي زمرة دائرية.  وكما عرفنا عملية ضرب عنصرين من عناصر ، فإنه من الممكن تعريف حاصل ضرب formula_132 لأي عنصر اختياري formula_2 من وعدد صحيح موجب formula_134 حيث أن الضرب يتم بالطريقة التالية  إذا كان لايوجد عدد صحيح موجب formula_134 بحيث أن ، فإننا هنا نقول أن الحقل به مميز formula_31(Characteristic) في. فمثلا يحتوي حقل الأعداد النسبية على مميز لأنه لايوجد عدد صحيح موجب formula_134 يساوي صفر.  من جهة أخرى، إذا أمكن إيجاد عدد صحيح موجب formula_134 يحقق هذه المعادلة فإن أصغر قيمة لهذا العدد يمثل عدد أولي. وعادة مايرمز لهذا العدد بالرمز formula_139 ونقول في هذه الحالة أن الحقل يحتوي على مميزformula_139. مثال على ذلك الحقل به مميز2 لأن (كما هو واضح بجدول الجمع المرفق هنا).  فبالتالي إذا كان الحقل يحتوي على مميزformula_139 فإن لكل formula_142. وهذا يعني أن  وذلك لأن جميع معاملات ذات الحدين في معادلة ذات الحدين قابلة للقسمة على formula_139.  نعرف حقل جزئي formula_144من الحقل بأنه مجموعة جزئية من والذي يمثل حقل بالنسبة للعمليات المعرفة بالحقل . وهذا يعني أن المجموعة الجزئية formula_144 من تحتوي على formula_32 وتحقق خاصية الانغلاق بالنسبة لعمليتي الجمع والضرب وتحتوي على المعكوس الجمعي والمعكوس الضرب لجميع العناصر الغير صفرية.  بصيغة أخرى، فإن formula_147ولكل formula_148 فإن العناصرformula_16 و formula_21 وformula_1 و formula_152هم عناصر في formula_144 .  يعرف تشاكل الحقل بإنه دالة بين حقلين تحقق الشروط التالية لكل عنصرين اختياريين formula_154  جميع تشاكلات الحقل هي دوال متباينة. وإذا كانت الدالة formula_155 شامله فإنها تكون متماثلة ونقول في هذه الحالة أن الحقلين formula_144 وformula_9 متماثلين.  يقال لأي حقل أنه حقل أولي (prime field) إذا كان لايحتوي على أي حقل جزئي فعلي منه. أي حقل يحتوي على حقل أولي.  إذا كان مميز الحقل هو عدد أولي formula_139 فإن الحقل الأولي له يمثل تشاكل للحقل المنتهي (الذي سيعرف لاحقا)، ويكون الحقل الأولي تشاكل لحقل الأعداد النسبية فيما عدا ذلك.  استعمل مفهوم الحقل بصفة ضمنية (أي بصفة غير مباشرة) عالما الرياضيات نيلس هنريك أبيل وإيفاريست غالوا في عملهما حول قابلية حلحلة معادلات متعددات الحدود بمعاملات جذرية وبدرجات تساوي الخمسة أو تفوقها.  في عام 1857، نشر كارل فون شتاوت عملا له احتوى على نموذج هندسي يحقق الموضوعات اللائي يعرفن حقلا في شكله العصري.  تعتبر من أهم نظريات الجبر. انظر إلى امتداد جبري.  الحقول المنتهية، وقد تسمى حقول غالوا، هي حقول لها عدد منته من العناصر.