عملية تبديلية  في الرياضيات العملية التبادلية أو -أحياناً- التبديلية هي قابلية العملية الرياضية لتبديل مواضع مُدْخلاتها دونما تغيّرٍ في النتيجة. وهي إحدى الخصائص الأساسية في العديد من فروع الرياضيات.  في الرياضيات تكون العملية الثنائية تبادليةً إذا [وفقط إذا] كان تغيير ترتيب المعاملات لا يغير النتيجة. وهي خاصية أساسية للعديد من العمليات الثنائية، وعليها يعتمد العديد من البراهين الرياضية. والأكثر شيوعاً [للتدليل عليها] -مثل اسم الخاصية- المقولة التي تقول شيئاً ما مثل:"3 + 4 = 4 + 3"، أو "2 × 5 = 5 × 2"يمكن أيضاً استخدام هذه الخاصية في إعداداتٍ أكثر تقدماً. تحديد اسم «العملية التبادلية» مطلوب لأنه ثمة عملياتٌ مثل القسمة والطرح لا تتضمن هذه الخاصية التبادلية(على سبيل المثال: "3 - 5 ≠ 5 - 3")فهذه العمليات ليست تبادليةً، ولذلك يشار إليها بـ«العمليات غير التبادلية». إن الفكرةَ القائلة بأن العملياتِ البسيطةَ -مثل «ضرب» الأرقام و«جمعها»- هي عمليات تبادلية كانت مفترضةً ضمنياً لسنواتٍ عديدةٍ خلت. ولهذا لم تجرِ تسمية هذه الخاصية حتى القرن التاسع عشر عندما بدأتِ الرياضيات تغدو موحدةً. توجد خاصية مقابلة للعلاقات الثنائية؛ يُقال إن العلاقةَ الثنائية متماثلةٌ إذا كانتِ العلاقة تنطبق بغض النظر عن ترتيب معاملاتها؛ على سبيل المثال [علاقة] المساواة متماثلةٌ حيث إن كائنين رياضيين متساويان بغض النظر عن ترتيبهما. كما في قولنا: "x = y"، وكذلك "y = x".  الخاصية التبادلية (أو القانون التبادلي) هي خاصية مرتبطة بشكلٍ عامٍّ بالعمليات والوظائف الثنائية. إذا كانت الخاصية التبادلية صحيحةً لزوجٍ من العناصر في إطار عمليةٍ ثنائيةٍ معينةٍ، فيقال عندئذٍ إن العنصرين يتبادلان في إطار تلك العملية.  في الرياضيات -ولا سيما في الجبر التجريدي- تكون عملية ثنائية ما formula_1 معرفةً على مجموعة "S" تبادليةً إذا حققتِ الشرط التالي:  أيّاً كان "x" و"y" ضمن المجموعة "S". أو بتعبيرٍ آخرَ في العملية formula_3 إذا كان:  formula_4 وتسمى العملية التي لا تفي بالخاصية المذكورة أعلاه غير تبادليةٍ.  ويقال عندئذٍ إن x يتبادل مع y، أو إن x وy يتبادلان في العملية formula_3 أو إن x وy متبادلان إذا كان:  formula_6  وبمعنىً آخرَ تكون العملية تبادليةً إذا كان كل زوجٍ من العناصر قابلين للتبادل.  وتسمى الدالة الثنائية formula_7 -أحياناً- تبادليةً إذا كان:  formula_8  مثل هذه الوظيفة تدعى بشكلٍ أكثر شيوعاً «الوظيفة المتماثلة».  من أمثلة العمليات غير التبادلية تركيب الدوال ("f"  "g")، وtetration أو ("a"↑↑"b")، وجداء المصفوفات.   مثالان مشهوران للعمليات الثنائية التبادلية:  formula_9 على سبيل المثال: "4 + 5 = 5 + 4" بما أن كلا التعبيرين يساوي 9.  formula_10 على سبيل المثال: "3 × 5 = 5 × 3" بما أن كلا التعبيرين يساوي 15.  كنتيجةٍ مباشرةٍ لهذا فإنه من الصحيح أيضاً أن التعبيرات على الشكل y٪ من z، وكذلك z٪ من y هي تبادلية لجميع «الأعداد الحقيقية» y وz   فعلى سبيل المثال الدالة المنطقية ثنائية الشرط p ↔ q تكافئ q ↔ p. تكتب هذه الوظيفة أيضاً على الشكل p IFF q، أو على الشكل p ≡ q، أو على الشكل Epq.  والشكل الأخير هو مثال على التدوين الأكثر إيجازاً في المقالة حول وظائف الأعداد الحقيقية، والذي يسرد ستة عشر دالةً للأعداد الحقيقية الثنائية المحتملة، ثمانية منها تبادلية:   تعتبر العمليات الرياضية «الطرح» ، و«القسمة» ، و«الرفع إلى أس» بعض العمليات الثنائية غير التبادلية:   بعض دوالِّ مجموعة الأعداد الحقيقية غير تبادليةٍ، لأن جداول هذه المجموعة للدوالِّ تختلف عندما يغير المرء ترتيب المعاملات . على سبيل المثال جداول الأعداد الحقيقية لـ (A ⇒ B) = (A ∨ B¬) و (B ⇒ A) = (A ∨ ¬B) هي:  حيث F = خطأ، T = صحيح.  التركيب الدالّي للدوالِّ الخطيةِ من الأعداد الحقيقية إلى الأعداد الحقيقية يكاد يكون دائماً غير تبادليٍّ. على سبيل المثال لنفرض: formula_15 and formula_16.  ثم:  وكذلك:  ينطبق هذا أيضاً بشكلٍ أكثرَ عموميةً على التحولات الخطية والمرتبطة من فضاءٍ متجهٍ إلى نفسه (انظر أدناه للحصول على تمثيل المصفوفة).  غالباً ما تكون عملية ضرب المصفوفات للمصفوفات المربعة غير تبادليّةٍ، على سبيل المثال:  منتج «المتجه» (أو المنتج العرضي) لمتجهين في ثلاثة أبعادٍ هو مضاد للتبادل؛ مثال: "b" × "a" = −("a" × "b").  تعود سجلات الاستخدام الضمني للخاصية التبادلية إلى العصور القديمة. استخدم المصريون خاصيةَ تبادليةِ الضربِ لتبسيط المنتجات الحاسوبية. ومن المعروف أن «إقليدس» قد افترض الخاصية التبادلية للضرب في كتابه العناصر. ظهرت الاستخدامات الرسمية للخاصية التبادلية في أواخر القرن الثامن عشر وأوائل القرن التاسع عشر عندما بدأ علماء الرياضيات في العمل على نظرية الوظائف. واليوم تعتبر خاصية التبادل خاصيةً معروفةً وأساسيةً تستخدم في معظم فروع الرياضيات.  كان أول استخدامٍ مسجلٍ لمصطلح التبادل في مذكرات فرانسوا سيرفوا في العام 1814، والتي استخدمت كلمة التبادلات عند وصف الوظائف التي لها ما يسمى الآن بالخاصية التبادلية. والكلمة عبارة عن مزيجٍ من الكلمة الفرنسية "commuter" التي تعني «للاستبدال أو التبديل»، واللاحقة "ative-" ذات المعنى «يميل إلى»، لذا فإن المعنى الحرفي للكلمة هو «تميل إلى الاستبدال أو التبديل». ظهر المصطلح بعد ذلك باللغة الإنجليزية في العام 1838 في مقال «دنكان فاركوهارسون جريجوري» بعنوان المنشور في العام 1840 في عمليات الجمعية الملكية في إدنبرة.  في المنطق الافتراض الدالّي للأعداد الحقيقية يشير التخفيف، أو التبادلية إلى قاعدتين صالحتين للاستبدال. تسمح القواعد للمرء بنقل المتغيرات المقترحة ضمن التعبيرات المنطقية في البراهين المنطقية. والقواعد هي: و:formula_21 حيث: "formula_22" هو رمز منطقي يمثل [عبارة] «يمكن استبداله في برهان بـ».  التبادلية خاصية لبعض الوصلات المنطقية للمنطق الافتراضى الدالّي للأعداد الحقيقية. توضح المعادلات المنطقية التالية أن التبادل هو خاصية لوصلاتٍ معينةٍ. فيما يلي عرض دالّي للأعداد الحقيقية.  تبادلية الاقتران:formula_23 تبادلية الانفصال:formula_24 تبادلية التضمين (وتسمى أيضاً قانون التقليب):formula_25  في المجموعة ونظرية المجموعات يُطلق على العديد من الهياكل الجبرية لقب «تبادلي» عندما تفي معاملات معينة بالخاصية التبادلية. في الفروع العليا للرياضيات -مثل «التحليل» و«الجبر الخطي»- غالباً ما تُستخدم تبادلية العمليات المعروفة (مثل «الجمع» و«الضرب» على الأعداد الحقيقية، والمركبة) (أو المفترضة ضمنياً) في البراهين.   ترتبط «الخاصية الترابطية» ارتباطاً وثيقاً بالخاصية التبادلية. إذ تنص «الخاصية الترابطية» للتعبير الذي يحتوي على تكررين أو أكثر للعامل نفسه على أن ترتيب العمليات التي يجري تنفيذها لا يؤثر على النتيجة النهائية طالما أن ترتيب المصطلحات لا يتغير. في المقابل تنص «الخاصية التبادلية» على أن ترتيب الشروط "terms" لا يؤثر على النتيجة النهائية.  معظم العمليات التبادلية التي جرت معاينتها في الممارسة هي أيضاً ترابطية. ومع ذلك فإن التبادلية لا تعني الترابط [بالضرورة]. المثال المضاد يبين الأمر:  هذا المثال -مع أنه تبادلي واضح (حيث لا يؤثر تبادل x وy على النتيجة)- إلا أنه ليس ترابطياً بما أنه على سبيل المثال: formula_27 ولكن formula_28  يمكن العثور على المزيد في العديد من مجموعة الأمثلة التبادلية غير الترابطية.  يمكن ربط بعض أشكال التناظر بشكلٍ مباشرٍ بالتبادل. عندما تجري كتابة عمليةٍ تبادليةٍ كدالّةٍ ثنائيةٍ formula_29 فإن هذه الوظيفة تسمى دالةً متماثلةً، ويكون الرسم البياني الخاص بها في الفضاء ثلاثي الأبعاد متماثلاً عبر المستوي formula_30.  على سبيل المثال إذا جرى تعريف الدالّة على أنها formula_31 إذن formula_32 هي دالة متماثلة.  وبالنسبة إلى العلاقات تكون العلاقة المتماثلة مطابقةً لعمليةٍ تبادليةٍ حيث إذا كانت العلاقة R متماثلةً، فإن: formula_33.  في [علاقات] «ميكانيك الكم» -كما صاغها «شرودنغر» "Schrödinger"- يجري تمثيل المتغيرات الفيزيائية بواسطة عواملَ خطيةٍ مثل formula_34 (بمعنى الضرب في formula_34)، وformula_36. لا يتبادل هذان العاملان كما قد يُرى من خلال النظر في تأثير تراكيبهما formula_37، وformula_38 (وتدعى أيضاً منتجات المشغلين) على دالّةٍ موجيةٍ أحادية البعد formula_39  ووفق «مبدأ الارتياب» [ويسمى أيضاً «مبدأ عدم اليقين»] لـ«هايزنبرغ» "Heisenberg" إذا كان العاملان اللذان يمثلان زوجاً من المتغيرات لا يتبادلان، فإن هذا الزوج من المتغيرات يكمّل بعضه بعضاً، مما يعني أنه لا يمكن قياسهما أو معرفتهما بدقةٍ في الوقت نفسه. على سبيل المثال يجري تمثيل الموضع، والزخم الخطي في اتجاه formula_34 لجسيمٍ ما بواسطة عامليْ التشغيل formula_34، وformula_43 على التوالي (حيث formula_44 هو «ثابت بلانك المنخفض»). هذا هو المثال عينه باستثناء الثابت formula_45 لذا -مرةً أخرى- لا يتبادل المشغلان، والمعنى الفيزيائي هو أن الموضع [(أو موقع الجسيم)] والزخم الخطي [له] في اتجاهٍ معينٍ متكاملان.