دالة تربيعية  في علم الجبر، يشير مصطلح الدالة التربيعيّة أو كثير الحدود التربيعيّ أو كثير الحدود من الدرجة الثانية أو ببساطة التربيعيّ إلى دالة كثير حدود بمتغير واحد أو أكثر، أعلى درجة فيه هي 2. على سبيل المثال، تحتوي الدالة التربيعيّة ذات المتغيرات الثلاثة "x" و "y" و "z" بشكل حصريّ على الحدود "x" و "y" و "z" و "xy" و "xz" و "yz" و "x" و "y" و "z" وثابت: بالإضافة إلى أحد المعاملات "a" أو "b" أو "c" أو "d" أو "e" أو "f" للحدود ذات الدرجة الثانية، ويجب أن يكون أحدها على الأقل لا يساوي الصفر. يكون للدالة التربيعية أحادية المتغير، يكون لها الشكل الآتي في حالة المتغير الواحد، يكون الرسم البياني بشكل قطع مكافئ يكون محور تناظره موازٍ للمحور كما هو مُوضح في الشكل إلى اليسار. أيضاً تُدعى الدالة التربيعيّة فيما لو ساوَت الصفر المعادلة التربيعيّة. وتكون حلول هذه المعادلة أحاديّة المتغير جُذُور الدالة التربيعيّة أما في حالة الدالة ثنائية المتغيِّرات "x" و "y"، يكون للدالة الشكل الآتي و يكون في هذه الحالة "a" أو "b" أو "c" على الأقل لا تساوي الصفر، وإن مُعادلة هذه الدالة، أي عندما تساوي هذه الدالة صفراً، فإن المعادلة ستعطي قطعاً مخروطيَّاً (دائرة أو قطع ناقص أو قطع مكافئ أو قطع زائد). عموماً، يمكن أن يكون هناك عدد كبير من المتغيرات، وفي هذه الحالة تُدعى السطوح الناتجة بالسطوح من الدرجة الثانية أو السطوح التربيعيّة، ولكن يجب أن تكون أعلى درجة هي الدرجة الثانية، كـ "x", "xy", "yz" إلخ.  يُطلَق على الدالة التربيعيّة اسم باللغة الإنجليزيّة، وتُشتقُّ من الكلمة اللاتينيّة "quadrātum" والتي تعني «مُرَبَّع». كما يُطلَق اسم مُربَّع أيضاً في الجبر على الرمز وذلك بسبب تشكُّل منطقة بشكل مربَّع بجانب X.  تكون عادةً معاملات كثيرات الحدود أرقام حقيقية أو عقديّة، ولكن في الواقع، يمكن تعريف كثير الحدود بأي حلقة.  عند استخدام مصطلح «كثير حدود من الدرجة الثانية»، يقصد الكتاب أحياناً «أن لكثير الحدود الدرجة 2 تماماً»، وأحياناً «أن لكثير الحدود الدرجة 2 على الأكثر». وإذا كانت الدرجة أقل من 2، قد يُدعى كثير الحدود حينها «حالة تدهور». وغالباً يتحدد المعنى المقصود من السياق.  أحياناً تُستخدم كلمة «المرتبة» بمعنى «درجة»، مثلاً كثير حدود من المرتبة الثانية.  يمكن أن يشتمل كثير الحدود التربيعيّ على متغيّر (متحوِّل) مفرد X (حالة المتغيّر الأحادي) أو عدة متغيرات كـ X و Y و Z (حالة متعددة المتغيِّرات). قد يكتب أي كثير حدود تربيعيّ بمتغيّر واحد على الشكل الآتي حيث "x" هو المتغيِّر، و "a"و "b" و "c" تُمثِّل المعاملات. وفي الجبر الأولي، غالباً ما تنشأ هكذا كثيرات حدود في شكل معادلة من الدرجة الثانية formula_7 وتُدعى حلول هذه المعادلة بجذور كثير الحدود من الدرجة الثانية (التربيعيّ)، وقد يكون من الممكن إيجادها من خلال تحليل كثير الحدود إلى عوامله الأوليّة أو إكمال المربع أو من خلال رسم بياني للدالة أو من خلال طريقة نيوتن أو من خلال استخدام الصيغة التربيعية. لكل كثير حدود تربيعيّ دالة تربيعيّة مرافقة يكون تمثيلها البيانيّ قطعاً مكافئاً.  قد يُكتب أي كثير حدود تربيعيّ بمتغيرين على الشكل الآتي حيث "x" و "y" متغيِّرات، بينما "a" و "b" و "c" و "d" و "e" و "f" معاملات عدديّة. تُعتبر متحولات كهذه أساساً لدراسة لـلقطوع المخروطيّة، التي تتظاهر بتساوي التعبير عن الدالة "f" ("x", "y") إلى الصفر. وبشكل مشابه، فإن كثيرات الحدود بثلاثة متغيرات أو أكثر تتطابق مع السطوح التربيعيّة والسطوح الفائقة. في الجبر الخطيّ، يمكن تعميم فكرة كثيرات الحدود التربيعيّة (من الدرجة الثانية) على فكرة الشكل التربيعيّ على الفضاء المتجهيّ.  يمكن التعبير عن الدالة التربيعيّة وحيدة المتغير بثلاثة صيغ: للمعامل القيمة ذاتها في الأشكال الثلاثة. وللتحويل من الشكل المعياري إلى الشكل المُفكَّك (المحلل إلى عوامله)، يحتاج المرء فقط للصيغة التربيعيّة لتحديد الجذرين و. وللتحويل من الشكل المعياريّ إلى الشكل المتجهيّ، يحتاج المرء إلى القيام بعملية تُدعى إكمال المربع. وللتحويل من الشكل المُفكَّك (المحلل إلى عوامله) إلى الشكل المعياريّ، يحتاج المرء إلى مضاعفة و/أو توسيعها و/أو نشر العوامل.  بغض النظر عن صيغة الدالة التربيعيّة، فإن الرسم البيانيّ للدالة التربيعيّة وحيدة المتغيّر formula_12 يُمثِّلُ قطعاً مكافئاً (كما هو واضح في الشكل إلى اليسار). وبالمقابل، فإن الرسم البياني للمعادلة التربيعيّة ثنائية المتغيرات formula_13. يتحكَّم المعامل بدرجة انحناء الرسم البيانيّ، كلَّما ازدادت قيمة يصبح انحناء الرسم البيانيّ أكثر حدَّةً أي أكثر انغلاقاً. يتحكَّم المعاملان و معاً بموقع محور التناظر للقطع المكافئ (أيضاً إحداثيات لذروة المنحني) والذي بينما يتحكَّم المعامل بنقطة تقاطع القطع المكافئ مع المحور . تقابل ذروة القطع المكافئ نقطة انحراف القطع المكافئ، لذا قد تُدعى بنقطة الانحراف. وإذا كانت الدالة التربيعيّة في الشكل المتجهيّ، فإن إحداثيات الذروة هي . ويمكن باستخدام طريقة إكمال المربع، تحويل الشكل المعياريّ إلى الشكل لذا تكون ذروة القطع المكافئ في الشكل المعياريّ وإذا كانت الدالة التربيعيّة بالشكل المتفكك (المتحلِّل إلى عوامله) فإن متوسط الجذرين هو إحداثية الموافقة لذروة القطع، وتكون إحداثيات الذروة  كما أن الذروة أيضاً هي أكبر نقطة إذا كانت أو أصغر نقطة إذا كانت  وإن الخط العمدي التالي والذي يم من الذروة هو أيضاً "محور تناظر" القطع المكافئ.  باستخدام التفاضل والتكامل، يمكن الحصول على نقظة الذروة والتمي تمثِّل القيمة الكبرى أو الصغرى للدالة، وذلك عبر إيجاد جذور الاشتقاق: وبالتعويض في الدالة نجد وبالتالي يمكن التعبير عن إحداثيات الذروة بالصيغة  إن جذور (أو أصفار) الدالة التربيعيّة أحاديّة المتغيّر و هي قيم التي تجعل . وعندما تكون المعاملات و و أعداد حقيقية أو أعداد عُقديّة تكون حينها الجذور  لا يمكن للقيمة المطلقة لجذور كثير حدود تربيعيّ (من الدرجة الثانية) formula_29 أن تكون أكبر من formula_30 حيث formula_31 النسبة الذهبيّة وهي formula_32  يؤدي الجذر التربيعيّ لدالة تربيعية أحادية المتغيّر إلى واحدة من أربع مقاطع مخروطيّة غالباً على نحو أكيد إلى قطع ناقص أو إلى قطع زائد. إذا كانت formula_33 فإن المعادلة formula_34 تصف قطعاً زائداً، كما يمكن رؤيته من خلال تربيع الجانبين. تتحدَّد اتجاهات محاور القطع الزائد بواسطة ترتيب النقطة الأدنى (قيمتها على محور ) من القطع المكافئ المقابل formula_35. إذا كان ترتيبها سالباً، فإن المحور الرئيسي للقطع الزائد (المار من ذروته) أفقيّ، بينما إذا كان ترتيبها موجباً سيكون المحور الرئيسي للقطع الزائد عموديَّاً. إذا كانت formula_36 فإن المعادلة formula_34 تصف إما دائرة أو قطعاً ناقصاً أو لا تصف شيئاً على الإطلاق. إذا كان ترتيب النقطة الأكبر من القطع المكافئ المقابل formula_35 موجباً فإن الجذر التربيعيّ يصف قطعاً ناقصاً، ولكن إذا كان الترتيب سالباً فإنه يصف موضع فارغ من النقاط. لتكرار دالة formula_39 يتم تطبيق الدالة مراراً وتكراراً، باستخدام المخرجات من أحد التكرارات كمُدخل في التكرار التالي. لا يمكن للمرء أن يستنتج دائماً الشكل التحليليّ لـ formula_40 والذي يعني أن "n" تكراراً لِـformula_41.(يمكن أن يمتد الخط العلوي حتى أرقام سالبة، مما يشير إلى تكرار عكس formula_41 إذا كان العكس موجوداً) ولكن هناك حالات يكون التعبير فيها بالشكل المغلق. على سبيل المثال، للمعادلة التكرارايّة الآتية وعندما يكون حيث و بالاستقراء نجد يمكن الحصول عليه، حيث formula_48 يمكن حسابه بسهولة كـ أخيراً لدينا وهو الحل. يمكن حل المتتالية اللوجستية بالمعلمة 2<r و r<4 في حالات محددة، إحداها الحالة الفوضويّة وإحداها ليست. في الحالات الفوضويّة "r"=4 الحل هو حيث تُعطى معلمة الحالة البدئية formula_53 بواسطة formula_54. ولقيمة عقلانية لِـformula_53، بعد عدد منتهي من التكرارات formula_56 متتالية إلى سلسلة دوريّة. ولكن تقريباً جميع formula_53 غير منطقيّة، ومن أجل formula_53 منطقية لا تُكرِّر formula_56 نفسها أبداً، وهي غير دوريّة وتعتمد على الحالة البدئية، لذا يُقال أنها فوضويّة. حل المتتالية اللوجيستية عندما تكون "r"=2 الحل: formula_60  من أجل formula_61. وإذا formula_62 لأي قيمة من formula_63 ما عدا النقطة المثبتة غير المستقرة 0، المصطلح formula_64 يسعى إلى 0 كما تسعى "n" إلى اللانهاية، لذا فإن formula_56 تسعى إلى النقطة الثابتة المستقرةformula_66.  يشير مصطلح الدالة التربيعيّة ثنائية المتغيرات إلى كثير حدود من الدرجة الثانية من الشكل حيث "A" و "B" و "C" و "D" و "E" معاملات ثابتة و "F" حدٌ ثابت. تصف الدالة التربيعية ثنائية المتغيرات باعتبارها دالة سطحاً تربيعيَّاً (من الدرجة الثانية). وإن الإعداد formula_68 يُعادل الصفر ويصف تقاطع السطح مع المستوى formula_69، وهو موضع من النقاط مُعادل للقطع الناقص. إذا كانت formula_70 فإن الدالة ليس لها قيم صغرى أو كبرى، ورسمها البيانيّ سطح مكافئ زائدي إذا كانت formula_71 فإن للدالة قيمة صغرى إذا كان "A">0 وقيمة كبرى إذا كان "A"<0، ويكون الرسم البياني للدالة سطح مكافئ إهليلجيّ. في هذه الحالة تقع القيم الصغرى أو الكبرى عند formula_72 حيث:  و إذا كانت formula_75 و formula_76 لا يكون للدالة قيم صغرى أو كبرى، ويكون الرسم البيانيّ بشكل أسطوانة مكافئة. إذا كانت formula_75 و formula_78 فإن الدالة تحقق قيم صغرى وكبرى عند حد أدنى إذا كانت "A">0 وأعلى إذا كانت "A"<0، ويكون رسمها البياني بشكل أسطوانة مكافئة