ممتد متري  في المجال الرياضي للهندسة التفاضلية إحدى التعريفات تنص أن الممتد المتري أو الموتر المتري: هو نوع من الاقترانات التي تأخذ المُدخل كزوج من المتجهات المماسية و عند نقطة سطح أو متشعب قابل للتفاضل ذو أبعاد عالية منتجًا عددًا حقيقيًا قياسيًا بطريقةٍ تُعممُ العديدَ من الخصائص المألوفة في الضرب النقطي للمتجهات في الفضاء الإقليدي، كما أن الموترات المترية تمتلك نفس هدف الضرب النقطي حيث تُستخدم لتحديد طول المتجهات والزاوية بينهما، ومن خلال التكامل فإن الموتر المتري يسمح بتحديد وحساب طول المنحنيات في المتشعب.  يُطلق على الموتر المتري مُعرِف موجب إذا ربط قيمة موجبة لكل متجه غير صفري ، فالمتشعب المزود بموتر متري مُعرِف موجب يُعرف باسم متشعب ريماني، وفي المتشعب الريماني يسمى المنحنى الذي يربط بين نقطتين لهما أصغر طول محليًا بالمنحنى الجيوديسي، وطوله هو المسافة التي يحتاجها مار ما في المتشعب قطعها للانتقال من نقطة إلى أخرى، وبالتزود بمفهوم الطول فإن المتشعب الريماني هو فضاء متري، مما يعني أنه يملك دالة مسافة التي تكون قيمتها عند زوج من النقاط و هي المسافة من إلى وعلى العكس من ذلك فإن الممتد المتري نفسه هو مشتق من دالة المسافة مأخوذًا بطريقةٍ مناسبة، وبالتالي فإن الموتر المتري يعطي مسافة متناهية الصغر في المُتَشعب.  في حين أن فكرة الموتر المتري كانت معروفة إلى حدٍ ما في أوائل القرن التاسع عشر لعلماء الرياضيات أمثال كارل غاوس، إلا أنها لم تكن كذلك حتى أوائل القرن العشرين القرن الذي تم فهم خصائصه كموتّر من قِبل غريغوريو ريتشي-كورباسترو وتوليو ليفي-تشيفيتا على وجه الخصوص اللذان قاما أولاً بتدوين مفهوم الموتر، فالموتر المتري هو مثال على حقل الموتر.  تأخذ مُرَكِّبات الموتر المتري في القاعدة الإحداثية شكل مصفوفة متماثلة تتحول مُدخلاتها بشكل متغاير بفعل تغييرات نظام الإحداثيات، وبالتالي فإن الموتر المتري هو موتر متماثل متغاير، أما من وجهة نظر الإحداثيات المستقلة يُعرَّف كحقل موتر متري ليكون نموذج خطي متماثل غير منحل في كل فضاء مماسي متغير بنعومة (أي قابلة للاشتقاق) من نقطة إلى أخرى.  اعتبر كارل فريدريش غاوس عام 1827 في كتابه أو ما عُرف بتحقيقاته نحو الأسطح المنحنية أنها سطح حدودي، ومع الإحداثيات الديكارتية: و و للنقاط على السطح اعتمادًا على متغيرين مساعدين هما: و، وبالتالي فإن السطح الحدودي في مصطلحات اليوم هو دالة ذات قيمة متجهة:  formula_1  بالاعتماد على زوج مرتب من المتغيرات الحقيقية ومُعرفة على مجموعة مفتوحة في مستوى-، حيث كان أحد الأهداف الرئيسية لتحقيقات غاوس هو استنتاج خصائص ذلك السطح الذي يمكن وصفه باقتران يبقى دون تغيير إذا خضع السطح لتحول في الفضاء كثني السطح دون شده، أو أن يحدث تغيير في الشكل الحدودي المحدد لنفس السطح الهندسي.  إحدى هذه الكميات الثابتة الطبيعية هي طول المنحنى المرسوم على طول السطح، والأخرى هي الزاوية بين زوج المنحنيات المرسومة على طول السطح وتلتقيان في نقطة واحدة، أما الكمية الثالثة فهي مساحة قطعة من السطح؛ أدت دراسة هذه الثوابت للسطح إلى تقديم غاوس لمفهوم سبّاق حديث للموتر المتري.  إذا أُخذ المتغيرين و للاعتماد على متغير ثالث هو مع أخذ القيم في الفترة ؛ فإن formula_2 سوف يتتبع المنحنى الحدودي في السطح الحدودي ، ويُعطى طول القوس لهذا المنحنى من خلال التكامل الآتي:  formula_3  حيث أن formula_4 يمثل المعيار الإقليدي، هنا تم تطبيق قاعدة السلسلة حيث تشير الرموز السفلية إلى المشتقات الجزئية:  formula_5  المُكامل هو الحصر لمنحنى الجذر التربيعي للتفاضل التربيعي:  حيث أن:  الكمية في () تُسمى عنصر الخط، بينما تُسمى الشكل الأساسي الأول لـ، ومن البديهي أنها تمثل الجزء الرئيسي من مربع الإزاحة التي خضع له formula_6عندما ازدادت بوحدات ، وازدادت بوحدات .  باستخدام تدوين المصفوفة تصبح الصيغة الأساسية الأولى كالتالي:  formula_7  افترض الآن أن حدود مختلفة حُددت من خلال السماح لـ و الاعتماد على زوج آخر من المتغيرات هما: وفإن النظيرللمعادلة () للمتغيرات الجديدة هو:  تربط قاعدة السلسلة ووب و و من خلال معادلة المصفوفة التالية:  حيث يشير الحرف العلوي T إلى منقولة المصفوفة، والمصفوفة ذات المعاملات: و و المُرتبة بتلك الطريقة تتحول بواسطة مصفوفة ياكوبية لتغيير الإحداثيات:  formula_8  المصفوفة التي تتحول بهذه الطريقة هي نوع واحد يسمى موتر، والمصفوفة هي:  formula_9  ومع قانون التحويل () يُعرف هذا بالموتر المتري للسطح.  لاحظ ريتشي كورباسترو وليفي تشيفيتا عام (1900) لأول مرة أهمية نظام المعاملات: و و التي تحولت بهذه الطريقة عند الانتقال من أحد نظام الإحداثيات لآخر، والنتيجة هي أن الشكل الأساسي الأول () ثابت في ظل التغييرات المُحدَثة في نظام الإحداثيات، حيث تُبعَ هذا حصريًا من خصائص التحويل ل و و، وبالفعل من خلال استخدام قاعدة السلسلة فإن:  ولهذا نحصل على أن:  تفسير آخر للموتر المتري الذي أخذه غاوس بعين الاعتبار أيضًا: هو أنه يوفر طريقة لحساب طول المتجهات المماسية للسطح، إضافةً إلى الزاوية بين متجهين مماسين، وبالمصطلحات المعاصرة يسمح الموتر المتري بحساب الضرب النقطي لمتجهات المماس بطريقة مستقلة عن الوصف الحدودي للسطح، حيث يمكن كتابة أي متجه مماسي عند نقطة في السطح الحدودي بالصيغة التالية:  formula_12  للأعداد الحقيقية المناسبة وإذا أُعطيَ متجهان مماسيان هما:  formula_13  ثم باستخدام الثنائي الخطي للضرب النقطي ينتج أن:  formula_14  من الواضح أن هذه الدالة مُكوَنة من المتغيرات الأربعة: و و و ، لكن يُنظر إليها بشكل أكثر إفادة على أنها دالة تأخذ زوجًا من الوسيطات و وهي متجهات في المستوى-، وهذا يعني أن:  formula_15  هذه دالة متماثلة في و، مما يعني أن:  formula_16  هو أيضًا ثنائي خطي مما يعني أنه خطي في كل متغير وعلى حدة، يعني أن:  formula_17  لأي متجهات و و و في المستوى- وأي أعداد حقيقية و.  على وجه الخصوص يُعطى طول متجه المماس من خلال:  formula_18  وتُحسب الزاوية θ بين متجهين ومن خلال:  formula_19  مساحة السطح هي كمية عددية أخرى يجب أن تعتمد فقط على السطح نفسه، وليس على كيفية تحديد العوامل، فإذا كان السطح حُددت عوامله بواسطة الدالة formula_6 على المجال في المستوى-؛ فإن مساحة السطح تُعطى من خلال التكامل الآتي:  formula_21  حيث تشير إلى الضرب التقاطعي (الضرب الاتجاهي)، والقيمة المطلقة تشير إلى طول المتجه في الفضاء الإقليدي، ومن خلال متطابقة لاغرانج للضرب التقاطعي فإنه يمكن كتابة التكامل الآتي:  formula_22  حيث: هي المُحَدِّد.  لنجعل متشعبًا ناعمًا بُعده ، على سبيل المثال سطح في حالة أو سطح فائق في الفضاء الديكارتي ؛ ففي كل نقطة هناك فضاء متجهي يسمى فضاء المماس، حيث يتألف من جميع المتجهات المماسية للمتشعب عند النقطة ، والموتر المتري عند هو دالة: التي تأخذ زوجًا من متجهات المماس وعند كمدخلات، وتنتجُ رقمًا حقيقيًا قياسيًا كمخرج، حيث أن الشروط التالية مُستوفية:     حُصِل عليها عن طريق بقاء ثابت والسماح لـ بالتغير وأن يكون ليس صفرًا تمامًا، هذا يعني أن لكل يوجد ، مثل .  حقل الموتر المتري في يُخصص لكل نقطة من موتر متري في مساحة المماس عند بطريقةٍ تتفاوت بنعومةٍ مع ، وبشكلٍ أدق وبإعطاء أي مجموعة فرعية مفتوحة من المتشعب وأي حقول متجهات ناعمة: و في ، فالاقتران الحقيقي:  formula_35  هو اقتران ناعم ل.  تُعطى مُرَكِّبات المتري في أي قاعدة لحقول المتجهات أو إطارمن خلال:  عدد من الاقترانات فإنها تُشكل مدخلات لمصفوفة متماثلة رتبتها هي: إذا كان:  formula_36  متجهان عند ؛ فإن قيمة المتري المُطبق على و يُحدد بواسطة المعاملات () عن طريق الثنائي الخطي:  formula_37  دلالة المصفوفة بواسطة وترتيب مُرَكِّبات المتجهين و في متجهات العمود و هو:  formula_38  حيث تشير و لمنقولة المتجهين: و على التوالي، وبتغيير قاعدة النموذج نحصل على أن:  formula_39  بالنسبة لمصفوفة عكسية formula_40 رتبتها فإن مصفوفة المُرَكِّبات المترية تتغير بمقدار أيضًا، وهذا هو:  formula_41  أو بلغة مدخلات هذه المصفوفة:  formula_42  لهذا السبب يُقال إن نظام الكميات يتحول بشكل متغاير بخصوص تغيرات في الإطار .  نظام عدد من الاقترانات ذات القيمة الحقيقية يعطي نظام إحداثيات محلي على مجموعة مفتوحة في ، محددًا قاعدةً لحقول المتجهات في :  formula_43  المتري يملك مُرَكِّبات متعلقة بهذا الإطار يُعطى من خلال:  formula_44  بالنسبة لنظام جديد من الإحداثيات المحلية، يُقال أن:  formula_45  الموتر المتري سيحدد مصفوفة مختلفة من المعاملات هي:  formula_46  هذا التضام الجديد من الاقترانات يتعلق بالأصلي عن طريق قاعدة السلسلة:  formula_47  لهذا فإن:  formula_48  أو من ناحية المصفوفات: و:  formula_49  حيث يشير إلى المصفوفة الياكوبية لتغيير الإحداثيات.  يرتبط الشكل التربيعي المُعرف في كل مساحة مماس بأي موتر متري من خلال:  formula_50  إذا كان موجب لجميع غير الصفرية؛ فإن المتري يكون محددًا موجبًا عند ، وإذا كان المتري موجب التحديد عند كل ؛ فإن يسمى متري ريماني، وبشكلٍ عام إذا كانت الأشكال التربيعية لها شكل مميز ثابت مستقل عن ؛ فإن شكل المميز هو هذا الشكل المميز، ويطلق على يه ريماني متري زائف، أما إذا كان formula_51 متصل؛ فإن شكل formula_52 المميز لا يعتمد على formula_53.  وفقًا لقانون سيلفستر للقصور الذاتي، يمكن اختيار قاعدة متجهات المماس formula_54 محليًا بحيث يتحول الشكل التربيعي إلى الشكل التالي:  formula_55  بالنسبة لبعض النقاط بين 1 و، فإن أي تعبيرين من هذا القبيل لـ عند نفس النقطة في سيكون لهما نفس العدد من الإشارات الموجبة، وشكل هوزوج من الأعداد الصحيحة ، مما يدل على أن هناك من الإشارات الموجبة و سلبية في أي تعبير من هذا القبيل، وبشكلٍ مكافِئ فإن المتري له شكل مميز وهو: إذا كانت المصفوفة للمتري تحتوي على قيم مميزة وهي: الموجبة و السلبية.  بعض الأشكال المترية التي تظهر بشكلٍ متكرر في التطبيقات هي:   لنفترض أن قاعدة لحقول المتجهات وكما ذكرنا سابقًا لندع مصفوفة المعاملات، حاصلين على أن:  formula_60  يمكن اعتبارالمصفوفة المعكوسة ، والذي يتم تعريفها باستخدام المتري المعكوس أو المتري المتقارن أو الثنائي، ويطبق المتري المعكوس قانون التحول عندما يتم تغيير الإطار بواسطة مصفوفة من خلال الآتي:  يتحول المتري المعكوس بشكل مخالف أو فيما يتعلق بمعكوس تغيير قاعدة المصفوفة ، في حين أن المتري نفسه يوفر طريقة لقياس طول حقول المتجهات أو الزاوية بينهما، فيوفر المتري المعكوس وسيلة لقياس طول حقول المتجهات المشتركة أو الزاوية بينهما، وهذا هو حقول الاقترانات الخطية.  لتفسير ما سبق رياضيًا افترض أن هو حقل متجهات مشترك، هذا يعني أن لكل نقطة هناك تحدد اقتران مُعرف على متجهات مماسية عند بحيث يكون الشرط الخطي التالي ينطبق على جميع المتجهات المماسية و وجميع الأعداد الحقيقية و:  formula_61  مع اختلاف يُفترض أن تكون دالة ناعمة بمعنى أن:  formula_62  هي دالة ناعمة لـ لأي حقل متجهات ناعم .  أي حقل متجهات مشترك له مُرَكِّبات في قاعدة حقول المتجهات ، حيث يُحددوا من خلال التالي:  formula_63  يُشار إلى متجه الصف لهذه المُرَكِّبات من خلال:  formula_64  وبتغيير بواسطة مصفوفة ؛ فإن تتغير حسب القاعدة الآتية:  formula_65  وهذا يعني أن متجه الصف للمُرَكِّبات يتحول إلى متجه متغير.  بالنسبة للزوج و في حقول المتجهات المشتركة، وتعريف المتري المعكوس المُطبق على هذين المتجهين من خلال:  التعريف الناتج على الرغم من أنه يشمل اختيار القاعدة إلا أنه لا يعتمد فعليًا على بطريقةٍ أساسية، ففي الواقع تغيير القاعدة إلى يعطي:  formula_66  حيث يكون الجانب الأيمن من المعادلة () لا يتأثر بتغيير القاعدة إلى أي قاعدة أخرى على الإطلاق، وبالتالي يمكن تخصيص المعادلة لمعنى بغض النظر عن اختيار القاعدة، يُشار إلى مدخلات المصفوفة بواسطة ، حيث تم رفع المؤشرين و للإشارة إلى قانون التحول ().  في قاعدة حقول المتجهات f = (X 1... X n) يمكن كتابة أي حقل متجهات ناعم مماسي من خلال النموذج التالي:  لبعض الاقترانات الناعمة المحددة بشكل فريد عند تغيير القاعدة بواسطة مصفوفة غير أحادية ، تتغيير المعامِلات بالطريقة المذكورة في المعادلة () حيث تبقى صحيحة، وهذا يعني أن:  formula_67  وبالتالي ، بمعنى آخر تتحول مُرَكِّبات المتجه بشكل متناقض (عكسي) بسبب التغيير في القاعدة بواسطة المصفوفة غير الأحادية ، ويُحدد تناقض مُرَكِّبات بصورةٍ تشكيلية بوضع المؤشرات في الموضع العلوي.  يُسمح للإطار أيضًا بالتعبير عنه باستخدام المتجهات المشتركة بدلالة مُرَكِّباتها، ولقاعدة حقول المتجهات عُرِفت القاعدة المزدوجة لتكون خطية الوظائف أي أن:  formula_68  حيث، : دلتا كرونكر. فلنفترض التالي:  formula_69  بتغيير القاعدة لمصفوفة غير أحادية ،يتحول عن طريق:  formula_70  يمكن توسيع أي اقتران خطي في المتجهات المماسية بدلالة القاعدة المزدوجة :  حيث تشير إلى متجه الصف ، والمُرَكِّبات تتحول عندما يتم استبدال القاعدة بـبطريقةٍ تبقى فيها المعادلة () صحيحة، هذا يعني:  formula_71  ولأن يتبع ذلك "a"[f]"A"}، أي أن المُرَكِّبات تتحول بشكل متغاير بواسطة المصفوفة بدلاً من معكوسها، يُحدد تَغيُر المُركِبات لبشكلٍ تشكيلي بوضع المؤشرات لفي الموضع السفلي.  الآن وبما أن الموتر المتري يعطي وسيلة لتحديد المتجهات والمتجهات المشتركة على النحو التالي بتثبيت :  formula_72  لمتجه المماس يحدد اقتران خطي على مساحة المماس عند ، وتأخذ هذه العملية المتجه عند النقطة مُنتجةً متجه مشتركفي قاعدة حقول المتجهات إذا كان حقل المتجهات يمتلك مُرَكِّبات؛ فإن مُرَكِّبات حقل المتجهات المشترك في القاعدة المزدوجة يُعطى من خلال مدخلات متجه الصف:  formula_73  بتغيير القاعدة يتحول الجانب الأيمن من هذه المعادلة عن طريق:  formula_74  لذلك يتحول : بشكل متغاير. عملية ارتباط المُرَكِّبات المتناقضة لحقل المتجهات field بالمُرَكِّبات المتغيرة لحقل المتجهات المشترك ، حيث أن:  formula_75  يسمى خافض المُؤشِّر.  لرفع المؤشر تُطبق نفس الطريقة ولكن باستخدام المتري المعكوس بدلاً من المتري، فإذا كانت هي مُرَكِّبات لمتجه مشترك في القاعدة المزدوجة ؛ فإن متجه العمود:  يملك مُرَكِّبات تتحول بشكل متناقض:  formula_76  بالتالي فإن الكمية لا تعتمد على اختيار القاعدة بشكل أساسي لذلك يُحدد حقل المتجهات في . العملية () ترتبط بالمُرَكِّبات المتغيرة للمتجه المشترك والمُرَكِّبات المتناقضة للمتجه المُعطى يسمى رافع المؤشر. وفي المُرَكِّبات،() هي:  formula_77  لنجعل مجموعة مفتوحة في، وليكن دالة مستمرة قابلة للتفاضل من إلى الفضاء الإقليدي ℝ حيث ، تعيين يسمى الغمر إذا كان تفاضله عن طريق الحقن في كل نقطة في ، وصورة تسمى المتشعب الفرعي المغمور، بشكلٍ أكثرَ تحديدًا بالنسبة إلى مما يعني أن الفضاء الإقليدي المحيط هو ، ويسمى الموتر المتري المستحث بالشكل الأساسي الأول.  افترض أن غُمر في متشعب فرعي ، والناتج النقطي الإقليدي المعتاد هو متري، فعندما يُقتصر على متجهات مماسية في M يعطي وسيلة لأخذ حاصل الضرب النقطي لهذه المتجهات المماسية، وهذا ما يسمى بالمتري المستحث.  افترض أن متجه مماسي عند نقطة في ، ولنعتبر أن:  formula_78  حيث هي متجهات الإحداثيات المعيارية في ℝ، وعندما يتم تطبيق على ينتقل المتجه إلى المتجه المماسي في المُعطى من خلال:  formula_79  وهذا ما يسمى الدفع الأمامي لـ على طول ، وبإعطاء متجهين من هذا القبيل: و ، يُعرف المتري المستحث عن طريق:  formula_80  يُتبع من عملية حسابية مباشرة أن مصفوفة المتري المستحث في قاعدة حقول المتجهات الإحداثيةتُعطى بواسطة:  formula_81  حيث هي المصفوفة اليعقوبية:  formula_82 يمكن تعريف مفهوم المتري بشكل جوهري باستخدام لغة حزم الألياف وحزم المتجهات، في هذه المصطلحات الموتر المتري هو اقتران:  من ضرب الألياف للحزمة المماسية في مع نفسها في بحيث يكون تقييد لكل ليف هو ربط ثنائي خطي غير منحل:  formula_83  الارتباط في () يجب أن يكون مستمرًا، وغالبًا ما يكون قابلاً للتفاضل بشكل مستمر أوناعمًا أوتحليليًا حقيقيًا، اعتمادًا على الحالة المدروسة وما إذا كان يمكن أن تدعم مثل هذا التركيب.  بواسطة الخاصية العامة لضرب الموتر، أي تعيين ثنائي خطي () يعطي رفع بشكل طبيعي إلى قسم لثنائي حزمة ضرب الموتر لـ مع نفسها:  formula_84  يتم تعريف القسم على عناصر بسيطة من من خلال:  formula_85  ويتم تعريفه على العناصر التعسفية لـ من خلال التوسع خطيًا لمجموعات خطية من العناصر البسيطة، الشكل الثنائي الخطي الأصلي ل متماثل إذاوفقط إذا:  formula_86  حيث أن:  formula_87  هي خريطة الشريط.  نظرًا لأن ذات أبعاد محدودة، فهناك تماثل طبيعي:  formula_88  بحيث يُنظر إلى أيضًا كقسم من الحزمة لحزمة ظل التمام مع نفسها، ونظرًا لأن متماثل كتركيب الثنائي الخطي، فهو يتبع أن موتر متماثل .  بشكلٍ عام يمكن أن التحدث عن متري في حزمة متجه، فإذا كانت عبارة عن حزمة متجه على متشعب ؛ فإن المتري هو تعيين:  formula_89  من ضرب الألياف من إلى وهو ثنائي خطي في كل ليف:  formula_90  باستخدام الازدواجية على النحو الوارد أعلاه غالبًا ما يتم تعريف المتري بجزء من حزمة ضرب الموتر .  يعطي الموتر المتري تماثلًا طبيعيًا من حزمة المماس إلى حزمة ظل التمام والتي تسمى أحيانًا التماثل الموسيقي، هذا التشابه حُصل عليه عن طريق الضبط، لكل متجه مماس :  formula_91  الدالة الخطية في التي ترسل متجهًا مماسيًا عند ل ، هذا هو من حيث الاقتران [- ، -] بين ومساحتها المزدوجة :  formula_92  لجميع المتجهات المماسية و و التعيين هو تحول خطي من إلى ، ويترتب على تعريف عدم الانحلال أن الكيرنل ل يُخفض إلى الصفر، وبالتالي من خلال نظرية الرتبة-الصفرية؛ فإن هو تماثل خطي، علاوةً على ذلك عبارة عن تحول خطي متماثل بمعنى أن:  formula_93  لجميع متجهات المماس و .  على العكس من ذلك فإن أي تماثل خطي مُعرّفًا شكلًا ثنائيًا خطيًا غير منحل على عن طريق:  formula_94  هذا الشكل الخطي متماثل إذا وفقط إذا كانت متماثلة، وبالتالي هناك تطابق طبيعي واحد لواحد بين الأشكال ثنائية الخطية المتماثلة فيوالتماثل الخطي المتماثل في للمزدوج .  نظرًا لأن يتغير في ، ويعرف قِسمًا من حزمة من تماثل حزمة متجه حزمة المماس إلى حزمة ظل التمام، هذا القسم له نفس نعومة : إنه مستمر، أو قابل للتفاضل، أو ناعم، أو تحليلي حقيقي وفقًا لـ ، تمثيل الذي يرتبط بكل حقل المتجهات الموجود على يعطي حقل المتجهات المشترك على صيغة مجردة لـ «خافض المؤشر» في حقل متجه، ومعكوس هو تعيين والذي بالقيياس يعطي صيغة مجردة لـ «رافع المؤشر» في حقل المتجهات المشترك.  المعكوس يعرّف التعيين الخطي على أنه:  formula_95  وهو غير أحادي ومتماثل بمعنى أن:  formula_96  لجميع المتجهات المشتركة: و، يؤدي مثل هذا التعيين المتماثل غير أحادي إلى ظهور الخريطة من خلال دالة الموتر-هوم (Hom):  formula_97  أو عن طريق تماثل مزدوج ثنائي لجزء الضرب الموتر:  formula_98  افترض أن ريماني متري في ، وفي نظام إحداثيات محلي أن: ، فيظهر موتر متري كمصفوفة يُشار إليها هنا بواسطة التي تكون مدخلاتها هي المُرَكِّبات للموتر المتري بالنسبة لحقول المتجهات الإحداثية.  لنفترض أن منحنى حدودي قابل للتفاضل متعدد المتغيرات في ل، يُحدد طول القوس من خلال:  formula_99  فيما يتعلق بهذا التطبيق الهندسي هو الشكل التفاضلي التربيعي:  formula_100  يسمى الشكل الأساسي الأول المرتبط بالمتري، وبينما هو عنصر الخط، فإنه عندما تُسحب مرةً أخرى إلى صورة المنحنى في فهي تمثل مربع التفاضل بالنسبة لطول القوس.  بالنسبة للريماني المتري الزائف لا يتم تعريف معادلة الطول أعلاه دائمًا؛ لأن الحد تحت الجذر التربيعي قد يصبح سالبًا، وبشكلٍ عام نحن فقط نحدد طول المنحنى عندما تكون الكمية الموجودة تحت الجذر التربيعي علامة واحدة أو أخرى دائمًا، ففي هذه الحالة يُحدد بواسطة:  formula_101  لاحظ أنه بينما تستخدم هذه الصيغ التعبيرات الإحداثية إلا أنها في الواقع مستقلة عن الإحداثيات المُختارة؛ حيث تعتمد هذه الصيغ فقط على المتري والمنحنى على طول الصيغ المُكاملة.  بالنظر إلى جزء من منحنى ما هناك كمية أخرى محددة بشكل متكرر وهي الطاقة الحركية للمنحنى:  formula_102  يأتي هذا الاستخدام من الفيزياء تحديداً الميكانيكا الكلاسيكية، حيث يمكن ملاحظة أن التكامل على أنه يتوافق مباشرةً مع الطاقة الحركية لجسم نقطي يتحرك على سطح متشعب؛ لذلك على سبيل المثال في صيغة ياكوبي لمبدأ موبرتويس يمكن ملاحظة الموتر المتري على أنه يتوافق مع كتلة الموتر للجسم المتحرك.  في كثير من الحالات، كلما دعت عملية حسابية إلى استخدام الطول يمكن إجراء حساب مماثل باستخدام الطاقة أيضًا، وهذا غالبًا ما يؤدي إلى أبسط الصيغ عن طريق تجنب الحاجة إلى استخدام الجذر التربيعي، وبالتالي على سبيل المثال يمكن الحصول على المعادلات الجيوديسية من خلال تطبيق مبادئ التغيير إما على الطول أو الطاقة، في الحالة الأخيرة يُنظر إلى المعادلات الجيوديسية على أنها تنشأ من مبدأ الفعل الأدنى، فهي تصف حركة «الجسم الحر» (يشعر الجسم بعدم وجود قوى تؤثر عليه) المقيد بالتحرك في المتشعب ولكنه يتحرك بحرية مع زخم ثابت داخل المتشعب.  بالتشابه مع حالة الأسطح فإن الموتر المتري على متشعب باراكومباكت ذو أبعاد عدد يعطي ظهور لطريقة طبيعية لقياس حجم الأبعاد لمجموعات فرعية من المتشعب، ويسمح مقياس بورل الطبيعي الناتج لتطوير نظرية الاقترانات المُكامَلة في المشعب عن طريق الوسائل المرتبطة بتكامل لوبيغ.  يمكن تعريف المتري من خلال نظرية ريسز التمثيلية، ومن خلال إعطاء دالة خطية موجبة في الفضاء لاقتران مستمر مدعوم مختصر في ، بتعبيرٍ أدق إذا كان مشعب مع موتر متري ريماني زائف فهناك مقياس بوريل موجب فريد مثل أي مخطط إحداثي فإن:  formula_103  لجميع المدعومة في ، وهناهو محدد المصفوفة المكونة من مُرَكِّبات الموتر المتري في المخطط الإحداثي، و محدد جيد للاقترانات المدعومة في منطقة الإحداثيات مُسوغ من خلال التغيير الياكوبي للمتغيرات، ويمتد إلى دالة خطية موجبة فريدة في بواسطة وسائل تقسيم الوحدة.  إذا كان موجه أيضًا فمن الممكن تحديد شكل الحجم الطبيعي من الموتر المتري، ففي نظام إحداثيات موجه موجب فإن نموذج الحجم يُمثل مثل التالي:  formula_104  حيث هي الإحداثية التفاضلية، وتشير إلى الضرب الخارجي في جبر الأشكال التفاضلية، ويعطي شكل الحجم أيضًا طريقة لتكامل الاقترانات الموجودة في المشعب، وهذا التكامل الهندسي يتوافق مع التكامل الذي حُصل عليه بواسطة مقياس بوريل الكنسي.  المثال الأكثر شيوعًا في الهندسة الإقليدية الأولية هو الموتر الإقليدي ثنائي الأبعاد، ففي الإحداثيات المعتادة يمكننا كتابة:  formula_105  طول المنحنى يُختصر للصيغة التالية:  formula_106  يمكن كتابة المتري الإقليدي في بعض أنظمة الإحداثيات الشائعة الأخرى على النحو التالي:  في الإحداثيات القطبية :  formula_107  لذلك:  formula_108  عن طريق المطابقات المثلثية.  بشكل عام في نظام الإحداثيات الديكارتية في الفضاء الإقليدي، والمشتقات الجزئية متعامدة بالنسبة للإقليدي المتري؛ لذلك فإن الموتر المتري هو دلتا كرونكر δ في نظام الإحداثيات هذا. الموتر المتري بالنسبة للإحداثيات التقريبية ربما تكون منحنية تُعطى بواسطة:  formula_109  كرة الوحدة في تأتي مزودةً بمقياس طبيعي ناتج من المتري الإقليدي المحيط من خلال العملية الموضحة في قسم المتري المستحث، في الإحداثيات الكروية القياسية مع الخطية، والزاوية المقاسة من المحور z ، والزاوية المقاسة من المحور في المستوى ؛ فإن المتري يأخذ الشكل:  formula_110  عادةً تُكتب على هذا النموذج:  formula_111  في فضاء مينكوفسكي المسطح في النسبية الخاصة ومع الإحداثيات:  formula_112  اعتمادًا على اختيار شكل متري فإن المتري هو:  formula_113  بالنسبة لمنحنى مع إحداثيات زمنية ثابتة على سبيل المثال؛ فإن صيغة الطول لهذا المتري تُقلل إلى صيغة الطول المعتادة، حيث أنه لمثل منحنى الوقت صيغة الطول تُعطي الزمن المناسب على طول المنحنى.  في هذه الحالة تُكتب فترة الزمكان بالشكل التالي:  formula_114  مصفوفة شوارزشيلد يصف الزمكان حول جسم كروي متماثل ككوكب أو ثقب أسود مع الإحداثيات التالية:  formula_115  يمكننا كتابة المتري كـالآتي:  حيث داخل المصفوفة: هو ثابت الجاذبية ويمثل إجمالي محتوى الطاقة والكتلة للجسم المركزي.