مصفوفة التحويل  في الجبر الخطي يمكن أن تمثل التحويلات الخطية بواسطة مصفوفات. إذا كان formula_1 تحويل خطي بتعيين formula_2 لـ formula_3 و formula_4 متجهة عمودية بعدد مدخلات formula_5، إذا:  بضرب formula_7 نجد المصفوفة formula_8، والتي تسمى مصفوفة التحويل لـ formula_1. ونلاحظ أن formula_8 لديها عدد formula_11 من الأعمدة وعدد formula_5 من الصفوف، في حين أن التحويل formula_1 من formula_2 لـ formula_3.  هناك تعبيرات بديلة لمصفوفات التحويل تتضمن متجهات الصف والتي يفضلها بعض المؤلفين.  تسمح المصفوفات بعرض التحويلات الخطية الاعتباطية بتنسيق ثابت ومناسب للحساب. يسمح هذا أيضًا بتركيب التحوبلات بسهولة (بضرب مصفوفاتهم).  التحويلات الخطية ليست الوحيدة التي يمكن للمصفوفات تمثيلها، بعض التحويلات اللاخطية بفضاء إقليدي R ذو عدد الأبعاد n، بالإمكان تمثيلها على شكل تحويلات خطية بفضاء R ذو عدد أبعاد n+1. وهذا يتضمن أيضا التحويلات التآلفية (مثل الانسحاب في الهندسة) والتحويلات الإسقاطية. لهذا السبب المصفوفات الرباعية 4×4 تستخدم على نطاق واسع في الرسومات حاسوبية ثلاثية الأبعاد، هذه المصفوفات التحويلية ذات الأبعاد n+1 تسمى حسب تطبيقاتها "بمصفوفات التحويل التآلفية، مصفوفات التحويل الإسقاطية أو بشكل عام مصفوفات التحويل اللاخطية." فيما يتعلق بمصفوفة ذات أبعاد n، المصفوفات ذات الأبعاد n+1 يمكن وصفها على أنها مصفوفات ممتدة.  بالعلوم الفيزيائية، التحويل النشط هو الذي يغير الوضع المادي للنظام، ويكون منطقيًا حتى في حالة عدم وجود نظام إحداثيات في حين أن التحويل السلبي هو تغيير في وصف إحداثيات النظام المادي (تغيير القاعدة). الفرق بين التحويلات الإيجابية والسلبية مهم. بشكل افتراضي يقصد علماء الرياضيات عادةً بالتحويل التحويلات النشطة، بينما يمكن للفيزيائيين أن يقصدوا أيًا منهما.  بعبارة أخرى، يشير التحويل الخامل إلى وصف نفس الشيء بنظرة من إطارين إحداثيين مختلفين.  إذا كان لدينا تحويل خطي formula_16 على شكل دالة، فمن السهل تحديد مصفوفة التحويل formula_8. بتحويل كل متجهة القاعدة المعيارية بواسطة T، ثم إدراج النتائج داخل أعمدة المصفوفة، بلغة الرياضيات:formula_18  على سبيل المثال، الدالة formula_19 عبارة عن تحويل خطي، بتطبيق النهج السابق (نفترض أن n=2 في هذه الحالة)، نجد أن:formula_20يعتمد تمثيل المصفوفة للمتجهات والمعاملات على القاعدة المختارة، المصفوفة المماثلة ستنتج عن طريق قاعدة بديلة. ومع ذلك، تظل طريقة العثور على المكونات كما هي.  للتوضيح، يمكن تمثيل المتجهة formula_21 في متجهات القاعدة، formula_22، مع الإحداثيات formula_23:  formula_24الآن، نعبر عن نتيجة مصفوفة التحويل A لـ formula_21 ، في الأساس المحدد:formula_26يتم تحديد formula_27 عناصر المصفوفة A على الأساس المعطى E من خلال تطبيق A على كل من formula_28، ومراقبة متجهة الاستجابة:  formula_29تحدد هذه المعادلة العناصر المطلوبة، formula_27 للعمود j من المصفوفة A.  ومع ذلك، هناك قاعدة خاصة للمعامل الذي تشكل فيه المكونات مصفوفة قطرية، وبالتالي يقل تعقيد عمليات الضرب إلى العدد n. كونها قطرية يعني أن جميع المعاملاتعبارة عن formula_31 ولكن formula_32 هي أصفار تترك حدًا واحدًا فقط في المجموع formula_33 أعلاه. تُعرف العناصر القطرية الباقية formula_32 باسم قيم ذاتية ويتم تحديدها بـ formula_35 في المعادلة التعريفية، مما يقللحجم المعادلة إلى formula_36. تُعرف المعادلة الناتجة باسم معادلة القيم الذاتية. يتم اشتقاق المتجهات الذاتية والقيم الذاتية منها عبر حدودية خاصة (متعدة الحدود). من خلال عملية التخطي، غالبًا ما يكون من الممكن التحويل من وإلى القواعد الذاتية.  أغلب التحويلات الهندسية المعروفة التي تبقي الأصل ثابت تحويلات خطية، بما فيها من دوران، تحجيم، قص، انعكاس، والإسقاط العمودي. إذا لم يكن التحويل التألفي تحويل خالص فإنه يحافظ على نقطة ثابتة، ويمكن اختيار هذه النقطة كأصل لجعل التحول خطيًا. في بعدين إثنين يمكن تمثيل التحويلات الخطية باستخدام مصفوفة تحويل ثنائية 2 × 2.  التمدد على المستوى x,y هو تحويل خطي يوسع كل المسافات في اتجاه معين بواسطة معامل ثابت ولكنه لا يؤثر على المسافات في الاتجاه المتعامد. نحن ننظر فقط في الامتدادات على طول المحور السيني x والمحور الصادي y. الامتداد على طول المحور x له شكل formula_37 حيث k الثابت الإيجابي. (لاحظ أنه إذا كانت k> 1، فهذا حقًا «امتداد»، وإذا كان k <1، فهو تقنيًا «انضغاط»، لكننا ما زلنا نسميه امتدادًا إذا كان k = 1، فإن التحويل متماثل، أي ليس لها تأثير.)  يتم تمثيل المصفوفة المرتبطة بالامتداد بعامل k على طول المحور x من خلال:  formula_38  وبالمثل، فإن الامتداد بعامل k على طول المحور y له شكل formula_39 ، لذا فإن المصفوفة المرتبطة بهذا التحويل هي:  formula_40  إذا تم دمج الامتدادات أعلاه بقيم متبادلة، فإن مصفوفة التحويل تمثل مخطط ضغط:  formula_41  يتحول المربع ذو الجوانب الموازية للمحاور إلى مستطيل له نفس مساحة المربع. التمدد والضغط المتبادل يحافظ على المساحة ثابتة.  للدوران بزاوية θ في اتجاه عقارب الساعة (الاتجاه السلبي) حول المركز تكون الدالة على شكل: formula_42 و formula_43 تكتب على شكل مصفوفة   formula_44  وبالمثل، بالنسبة للدوران عكس اتجاه عقارب الساعة (الاتجاه الإيجابي) حول المركز، تكون الدالة على شكل: formula_45 و formula_46 تكتب في مصفوفة على شكل:  formula_47  تفترض هذه الصيغ أن المحور x يشير إلى اليمين وأن المحور y يشير إلى الأعلى.  تتغير الإحداثيات التي تم الإبلاغ عنها بواسطة شاشة اللمس مع دوران الزاوية (0,90,180,270)  لتطبيق القص (مشابه بصريًا للميل)، هناك احتمالان.  القص الموازي للمحور x له formula_48 و formula_49 وتكتب على شكل مصفوفة:  formula_50  القص الموازي للمحور y له formula_51 و formula_52 وتكتب على شكل مصفوفة:  formula_53  من أجل انعكاس عبر مستقيم يمر من المركز، formula_54 عبارة عن متجهة في نفس اتجاه المستقيم، ثم نستخم مصفوفة التحويل:  formula_55  لإسقاط متجهة بشكل متعامد على مستقيم يمر عبر المركز. formula_56 عبارة عن متجهة بنفس اتجاه المستقيم، ثم نستخم مصفوفة التحويل:  formula_57  كما هو الحال مع الانعكاسات، فإن الإسقاط المتعامد على مستقيم لا يمر عبر المركز هو تحويل تآلفي وليس خطي.  الإسقاطات المتوازية هي أيضًا تحويلات خطية ويمكن تمثيلها ببساطة بواسطة مصفوفة. ومع ذلك، فإن اسقاطات المنظور ليست كذلك، ولتمثيلها بمصفوفة يمكن استخدام الإحداثيات المتجانسة.