زمرة (رياضيات)  في الرياضيات، الزمرة هي بنية جبرية تتكون من مجموعة من العناصر مزودة بعملية ثنائية تُخرج ناتجًا تتحقق فيه أربعة شروط تسمى البديهيات وهي الانغلاق والتجميعية ووجود العنصر المحايد ووجود العنصر المعاكس، ما يجعلها تطبيقًا للبديهيات في الجبر المجرد. يُمكن مبدأ الزمر القائم على تصنيف العناصر وعملياتها الثنائية على أساس طبيعتها، بالتعامل بمرونة مع الكيانات ذات الأصول الرياضية المتنوعة في الجبر المجرد وغيره مع الحفاظ على جوانبها البنيوية الأساسية. إن الاستخدام الواسع للزمر في مجالات عديدة داخل الرياضيات وخارجها جعلها مبدأً تنظيميًّا محوريًّا في الرياضيات المعاصرة. تمثل مجموعة الأعداد الصحيحة زمرة تحت عملية الجمع وتعد مثالًا للزمر، ومن الأمثلة الأخرى على الزمر الأعداد الكسرية غير المساوية للصفر تحت عملية الضرب، والتناظر في الشكل الهندسي المنتظم، وزمرة المصفوفات التي لا تساوي محدداتها الصفر والتماثلات الذاتية للبنى الجبرية المختلفة. تُدْرس الزمر في فرع من الرياضيات يدعى نظرية الزمر.  ترتبط الزمر ارتباطًا أساسيًّا بفكرة التناظر، فزمرة التماثل على سبيل المثال، ترمز إلى خصائص تناظر كائنٍ هندسيٍّ: تتكون تلك الزمرة من مجموعة من التحاويل التي تترك الكائن دون تغيير، وعملية هذه الزمرة هي الجمع بين اثنين من هذه التحاويل حيث تجمع الواحدة تلو الأخرى، وتصنَّف زمر لي المستخدمة في نظرية النموذج العياري في فيزياء الجسيمات زمرَ تماثل، وكذلك تساعد الزمرة النقطية في فهم التناظر في الكيمياء الجزيئية، وتعبر زمر بوانكاريه عن التناظر الفيزيائي الكامن وراء النسبية الخاصة.  نشأت نظرية الزمر على يد إيفاريست غالوا في ثلاثينيات القرن التاسع عشر، وهي تهتم أساسًا بمشكلة إيجاد متى تكون معادلة جبرية كثيرة الحدود قابلة للحلحلة أي لها حلول أو جذور. بعد ذلك أخذ مفهوم الزمر يُستخدم في المجالات الأخرى مثل نظرية الأعداد والهندسة، ليعمَّم مفهوم الزمرة ويرسخ في حوالي عام 1870. أصبحت نظرية الزمر فرعًا في الرياضيات يدرس الزمر في حد ذاتها. قسم الرياضياتيون نظرية الزمر إلى عدة أقسام لتسهيل فهم الزمر واستكشافها، مثل الزمر الجزئية وزمر خارج القسمة والزمر البسيطة. لا يهتم المختصون بنظرية الزمر بدراسة خصائص الزمر التجريدية فقط، بل إن جانبًا من نظرية الزمر يهتم بدراسة الطرق التي تعبر عنها تعبيرًا ملموسًا أو ما يُعرف بتمثيلات الزمر، والتي لها أهميتها في العديد من المجالات، ففي فيزياء الجسيمات تستخدم في نظريات كالحقل الكمومي والأوتار، وفي المعلوماتية توجد زمر للتشفير والترميز ومعالجة الصور، وفي علم البلورات تستخدم في توضيح التناظر في الشبكات البلورية. وُضعت نظرية للزمر المنتهية وتُوجت بوضع تصنيف الزمر المنتهية البسيطة الذي أُعلن عنه عام 1983. أصبحت نظرية الزمر الهندسية، التي تهتم بدراسة الزمر منتهية التوليد مثل الكائنات الهندسية، قسمًا نشطًا في نظرية الزمر في منتصف ثمانينيات القرن العشرين.  من أشهر الأمثلة على الزمر مجموعة الأعداد الصحيحة Z، وهي تتكون من الأعداد التالية:  الخصائص التالية لعملية جمع الأعداد الصحيحة نموذجٌ للبديهيات التجريدية للزمر.  تشكل زمرة الأعداد الصحيحة تحت عملية الجمع كائنًا رياضيًّا ينتمي إلى تصنيف واسع من الكائنات الأخرى تشاركه خصائصه البنيوية. وقد طُور التعريف التجريدي التالي لفهم هذه البنى فهمًا شاملًا.  الزمرة هي مجموعة formula_1 مزودة بعملية ثنائية يرمز لها بالرمز formula_2 وتسمى قانون الزمرة لـ formula_1 أو عملية الزمرة، تربط كل عنصرين اثنين formula_4 و formula_5 من عناصرها بعنصر ثالث formula_6 ينتمي إلى نفس الزمرة. توجد عدة طرق للتعبير عن عملية الزمرة كتابةً، منها formula_7 أو formula_8، وفي الزمر الأبيلية غالبًا ما تُكتب formula_9، وتُستخدم طرق أخرى للتعبير عن عمليات الزمر مثل formula_10 أو formula_11. وكل من المجموعة والعملية formula_12 يحققان البديهيات التالية:      هذا وقد يتغير ناتج العملية بتغير ترتيب أطرافها، وبعبارة أخرى فإن ناتج دمج العنصر formula_4 مع العنصر formula_5 ليس بالضرورة مساويًا لناتج دمج العنصر formula_5 مع العنصر formula_4، فهذه المعادلة: قد لا تكون صحيحة دائمًا. تتحقق هذه المعادلة دائمًا في زمرة الأعداد الصحيحة بالنسبة لعملية الجمع؛ وهذا لأن formula_43 لأي عددين صحيحين (إبدالية الجمع). ويطلق على الزمر التي تحقق دومًا المعادلة formula_42 الزمر الأبيلية (تخليدًا لنيلس أبيل). وتعد زمرة التماثل (التالي شرحها) مثالًا للزمر غير الأبيلية.  كثيرًا ما يُكتب العنصر المحايد formula_45 أو formula_46، وهذا الرمز مأخوذ من المحايد الضربي. كما قد يُكتب العنصر المحايد formula_47 خاصة إذا رُمز لعملية الزمرة بـformula_48، وتسمى الزمرة في هذه الحالة زمرة جمعية. وقد يُكتب العنصر المحايد أيضًا formula_49.  يتطابق الشكلان في نفس المستوى إذا أمكن أن يحوَّل أحدهما إلى الآخر باستخدام مزيج من الدورانات والانعكاسات والانزلاقات. يتطابق كل شكل بديهيًّا مع نفسه. ومع ذلك فإن بعض الأشكال تتطابق مع نفسها بعدة طرق. تسمى هذه التطابقات الإضافية التماثلات. للمربع ثمانية تماثلات، كما توضح تلك الصور:  تنتج هذه التماثلات عن مجموعة من الدوال، يقوم كل منها بإرسال نقطة في المربع إلى النقطة المناظرة لها في إطار التماثل. على سبيل المثال، في الشكل r ترسل الدالة كل نقطة إلى صورتها بالدوران 90° يمينًا حول مركز المربع، أما في الشكل f فترسل كل نقطة إلى انعكاسها عبر محور المربع العمودي، وتركيب اثنتين من دوال التماثل الموجودة في الأشكال أعلاه يعطي دالة تماثل أخرى. تشكل هذه التماثلات زمرة تسمى الزمرة الزوجية وهي من الدرجة 4 ورمزها D، ومجموعة تلك الزمرة هي تلك المجموعة من دوال التماثل، وعمليتها هي تركيب الدوال. يمكن تركيب اثنين من التماثلات من خلال تركيب دالتيهما، بمعنى تطبيق الدالة الأولي على المربع، ومن ثم تطبيق الدالة الثانية على نتيجة الدالة الأولى. تُكتب نتيجة تطبيق الدالة الأولى a ثم الدالة الثانية b رمزيًّا من اليمين إلى اليسار كالتالي:  formula_50 (الترميز من اليمين إلى اليسار هو نفسه المتبع عند تركيب الدوال).  يعدد جدول الزمرة على اليسار نتائج جميع هذه التراكيب الممكنة. على سبيل المثال، بالدوران بزاوية 270° يمينًا (r) ثم قلب الناتج أفقيًّا (f) نحصل على نفس الناتج الذي نحصل عليه بالانعكاس القطري (f). بالاستعانة بالجدول نستنتج أن:  formula_51 يمكن تطبيق بديهيات الزمر على الزمرة D المعرفة عناصرها وعمليتها في الجدول وحيث formula_52 كالتالي:  وعلى عكس زمرة الأعداد الصحيحة التي ذُكر عنها في الأعلى أن ترتيب العملية لا يؤثر في الناتج، نجد الناتج يختلف في حالة الزمرة D، فمثلًا: formula_53 لكن formula_54. ولذلك فإن الزمرة D غير أبيلية.  تطور المفهوم العصري للزمرة المجردة انطلاقًا من مجموعة من مجالات الرياضيات؛ فقد كان أول حافز نحو نظرية الزمر هو محاولة حلحلة المعادلات الحدودية من الدرجة الخامسة فما فوق. طور عالم الرياضيات الفرنسي إيفاريست غالوا في القرن التاسع عشر أعمال كل من باولو روفيني وجوزيف لاغرانج، ليعطي معيارًا لقابلية حلحلة معادلة حدودية ما، بالنظر إلى زمرة التماثل المكونة من جذور هاته الحدودية. تتطابق عناصر هاته الزمرة والمسماة زمرة غالوا، مع تباديل ما للجذور. رفض معاصرو غالوا أفكاره في بادئ الأمر، ولم تنشر إلا بعد وفاته. درس أوغستين لوي كوشي لاحقًا زمر التبديلات الأكثر تعميمًا بشكل تخصصي. عرَّف أرثور كايلي الزمر المنتهية تجريديًّا لأول مرة في كتابه "حول نظرية الزمر، اعتمادًا على المعادلة الرمزية θ = 1" (المنشور عام 1854).  كانت الهندسة الرياضية ثاني مجال يستعمل الزمر بشكل منهجي، وقد ظهر ذلك بشكل خاص في استعمال زمر التماثل جزءً من برنامج إرلنغن الذي نشره فيليكس كلاين عام 1872. مع ظهور الفروع الهندسية الحديثة كالهندسة الزائدية والهندسة الإسقاطية، استخدم كلاين نظرية الزمر في تنظيم تلك الفروع لتصبح أكثر تماسكًا. طور سوفوس لي جميع هاته الأفكار، مؤسسًا دراسة زمر لي عام 1884.  أما المجال الثالث الذي كان وراء تطور نظرية الزمر فهو نظرية الأعداد. استعمل كارل فريدريش غاوس بُنى بعض الزمر الأبيلية ضمنيًّا في عمل حول نظرية الأعداد، والذي يحمل عنوان "استفسارات حسابية" (عام 1798)، كما استعملها ليوبلد كرونكر بشكل أكثر وضوحًا. في عام 1847، كان إرنشت كومر من بين العلماء الأوائل الذين حاولوا حلحلة مبرهنة فيرما الأخيرة، وذلك بتطوير زمر تصف تحليل عدد صحيح إلى أعداد أولية.  وضع كامي جوردان أول نظرية موحدة للزمر بالمفاضلة بين تلك المصادر المتعددة في عمله "Traité des substitutions et des équations algébriques" الصادر عام 1870. أعطى فالتر فون ديك البيان الأول للتعريف الحديث للزمرة المجردة. مع بداية القرن العشرين، اكتسبت الزمر اهتمامًا كبيرًا من الرياضياتيين، فظهرت أعمال فرديناند جورج فروبنيوس وويليام برنسايد الرائدة في نظرية التمثيل للزمر المنتهية، وكذلك أعمال ريتشارد براور في نظرية التمثيل النمطي، وأوراق إيساي شور. درس هيرمان فايل وإيلي كارتن وغيرهما الكثير نظرية زمر لي خاصةً والزمر محلية التراص عامةً. صيغت نظرية الزمر الجبرية لأول مرة على يد كلود شيفالي في أواخر ثلاثينيات القرن العشرين وعلى يد أرمان بورل وجاك تيتس لاحقًا.  نظمت جامعة شيكاغو في 1960–61 عامًا خاصًّا لنظرية الزمر، وقد استقطب هذا الحدث علماء نظرية الزمر مثل دانيال غورنشتاين وجون تومسون وفالتر فايت، وبمساهمة العديد من الرياضياتيين الآخرين صُنفت كل الزمر المنتهية البسيطة عام 1982. تفوق هذا المشروع على نظائره السابقة بحجمه الهائل من ناحيتي طول البرهان وعدد الباحثين. ولا يزال البحث جاريًا لمحاولة تبسيط برهان التصنيف. ولا تزال نظرية الزمر حتى هذه الأيام فرعًا رياضيًّا نشطًا للغاية ومؤثرًا في عدة مجالات أخرى.  عادة ما تندرج الحقائق الأساسية عن الزمر التي يمكن استنتاجها مباشرة من البديهيات تحت ما يُعرف بنظرية الزمر الابتدائية. فمثلًا تُظهر التطبيقات المتكررة لبديهية التجميعية أن القاعدة: تعمَّم لكل ما زاد على ثلاثة عوامل. وعادة ما تُحذف الأقواس في هذه الحالة لأنه يجوز وضعها في أي مكان داخل تلك السلسلة.  يمكن غض النظر جزئيًّا عن البديهيات، فنفترض وجود المحايد الأيسر والمعاكس الأيسر؛ إذ يمكن لكليهما أن يبدوا في الواقع ذوَي جهة، والنتيجة من ذلك ستكافئ التعريف المذكور أعلاه كالتالي.  إن وحدة العنصر المحايد والعناصر المعاكسة لكل عنصر نتيجتان مهمتان لبديهيات الزمر. ولا يمكن لزمرة ما أن تحتوي على أكثر من عنصر محايد واحد، وكل عنصر في الزمرة يملك عنصرًا مقابلًا واحدًا بالضبط. وبالتالي فمن الشائع تعريفهما بقول "المحايد" و"المعاكس".  لإثبات وحدة العنصر المعاكس للعنصر formula_4، لنفترض أن للعنصر formula_4 عنصران معاكسان formula_5 و formula_6 في الزمرة formula_60، حيث وبالتالي فإن كلا العنصرين formula_5 و formula_6 متساويان. وبعبارة أخرى فإن للعنصر formula_4 معاكسًا واحدًا فقط. ويمكن إثبات وحدة العنصر المحايد في زمرة ما بنفس الطريقة، فلنفترض أن formula_1 زمرة بها عنصران محايدان formula_32 و formula_66، حيث formula_67، وبالتالي فإن formula_32 و formula_66 متساويان.  من الممكن القيام بعملية القسمة في الزمر: ليكن formula_4 و formula_5 عنصرين من الزمرة formula_1، إذن هناك حل وحيد formula_73 للمعادلة formula_74. وبضرب حدي هاته المعادلة في العنصر formula_36 من الجهة اليمنى يعطي الحل formula_76. ويوجد بالمثل حل وحيد formula_77 في formula_1 للمعادلة formula_79، وهو formula_80. وليس من الضروري عامةً لكل من formula_73 و formula_77 أن يتفقا.  إن نتيجة ذلك هي أن الضرب في العنصر formula_83 من زمرة ما هو دالة تقابلية. وعلى وجه التحديد، إذا كان formula_83 عنصرًا من الزمرة formula_1 فإنه يوجد دالة تقابلية على formula_1 تدعى "الانزلاق الأيسر" بـ formula_83، وهو يرسل formula_88 إلى formula_89. وبالمثل يوجد دالة تقابلية على formula_1 تدعى "الانزلاق الأيمن" بـ formula_83، وهو يرسل formula_92 إلى formula_93. وإذا كانت formula_1 أبيلية فإن الانزلاقين الأيمن والأيسر بعنصر من عناصرها هما ذاتهما.  لفهم الزمر فهمًا يتجاوز مجرد المعالجات الرمزية كما فُعل أعلاه، يجب استخدام مفاهيم أكثر بنيوية. يوجد مبدأ مفهومي تقوم عليه كل المفاهيم الآتية، وهو استغلال الخصائص البنيوية الفريدة للزمر (والتي ليست في المجموعات)، ويجب للبنى المرتبطة بالزمر التلاؤم مع عمليتها. يتجلى هذا التلاؤم في المفاهيم التالية بطرق مختلفة، فمثلًا يمكن للزمر أن ترتبط مع بعضها البعض بدوال تُعرف بتشاكلات الزمر، ووفقًا للمبدأ المفهومي المذكور آنفًا، فإنه يتعين على هذه الدوال أن تُعنى ببنى الزمر بالمعنى الدقيق. ومن الممكن أيضًا فهم الزمر بنيةً من خلال تقسيمها إلى أجزاء تُعرف بالزمر الجزئية وزمر خارج القسمة. إن مبدأ «الحفاظ على البنى» هو موضوع متكرر في الرياضيات كافة، وهو يستدعي بحد ذاته العمل في فئة، وهي في حالة الزمر تُدعى فئة الزمر.  تشاكلات الزمر هي دوال تحفظ بنية الزمرة. وتُسمى الدالة formula_95 بين الزمرتين formula_60 و formula_97 تشاكلًا إذا تحققت المعادلة formula_98 لكل عنصرين formula_83 و formula_100 في formula_1. وبعبارة أخرى، لا يتغير الناتج عند القيام بعملية الزمرة قبل أو بعد التطبيق formula_4. وينتج عن هذا الشرط أن formula_103، وأن formula_104 لكل formula_83 في formula_1. وبالتالي فإن تشاكل الزمرة يُعنى ببنية formula_1 كاملةً والتي تتمثل في بديهيات الزمر.  تُوصف الزمرتان formula_1 و formula_109 بأنهما متساويتا الشكل إذا كان كلا التطبيقين formula_95 و formula_111 تشاكلًا، أي أن تطبيق كلتا الدالتين الواحدة تلو الأخرى في كلا الترتيبين الممكنين يُعطي الدالتين المحايدتين في formula_1 و formula_109. أي أن formula_114 و formula_115 لأي formula_83 في formula_1 و formula_92 في formula_109.  من وجهة نظر تجريدية، تحمل الزمر المتشابهة شكليًّا نفس المعلومات، فمثلًا يكون إثبات أن formula_120 لعنصر ما formula_83 من formula_1 يُكافئ إثبات أن formula_123؛ لأن تطبيق الدالة formula_4 على المتساوية الأولى يعطي الثانية، وتطبيق الدالة formula_5 على الثانية يُعيدها إلى الأولى.  إن الزمرة الجزئية ببساطة هي زمرة formula_109 موجودة في زمرة أكبر formula_1. ويكون العنصر المحايد للزمرة formula_1 موجودًا عمليًّا ضمن الزمرة formula_109، وعندما يكون formula_130 و formula_131 في formula_109، يكون formula_133 و formula_134 أيضًا في formula_109، وبذلك تشكل عناصر formula_109 مزودةً بعملية الزمرة formula_1 المقصورة على formula_109 زمرةً جزئية.  في مثال الزمرة formula_139 المذكور أعلاه، يشكل المحايد والدورانات زمرة جزئية formula_140، وهي مظللة باللون الأحمر في الجدول أعلاه؛ حيث أن أي دورانين مركبين يشكلان دورانًا أيضًا، وكل دوران يمكن إبطاله بدوران آخر (أي العنصر المعاكس) هو الدوران الذي يشكل مع الدوران الأصلي دورة كاملة: 270° مع 90°، و 180° مع 180°، و 90° مع 270° (لاحظ أن الدوران في الاتجاه المعاكس غير معرف). إن اختبار الزمرة الجزئية شرط ضروري وكاف للمجموعة الجزئية formula_109 من الزمرة formula_1 لتكون زمرة؛ حيث يكفي التأكد من أن formula_143 لكل formula_144. كما أن معرفة الزمر الجزئية مهم في فهم الزمرة كليةً.  بإعطاء أي مجموعة جزئية formula_145 من زمرة formula_1، تتكون الزمرة الجزئية التي تولدها formula_145 من نواتج إخضاع عناصر formula_145 لعملية الزمرة مع بعضها البعض، بالإضافة إلى معكوسات تلك النواتج. وهي أصغر زمرة جزئية من formula_1 تضم formula_145. وفي المثال المقدم أعلاه، تتكون الزمرة الجزئية المولدة بـ formula_151 و formula_152 من هذين العنصرين، والعنصر المحايد، والعنصر formula_153. ومجددًا هذه زمرة جزئية؛ لأن تركيب أي عنصرين من تلك العناصر الأربعة أو معكوساتها (والتي هي ذات تلك العناصر في هذه الحالة الخاصة) ينتج عنصرًا ينتمي إلى هذه الزمرة الجزئية.  من المستحسن في العديد من الحالات أن يُعَد عنصران في الزمرة نفسيهما إن اختلفا بعنصر من زمرة جزئية معطاة. فمثلًا في مثال الزمرة formula_139 المعطى أعلاه، بمجرد تأدية انعكاس ما، لا يعود المربع إلى وضع formula_151 بالقيام بعمليات الدوران، أي أن عمليات الدوران ليست ذات صلة بسؤال ما إذا كان قد أُجري انعكاس. تستخدم المجموعات المشاركة لتناول هذه الرؤية تناولًا رسميًّا: تحدد المجموعة الجزئية formula_109 مجموعة مشاركة يمنى وأخرى يسرى، والتي يمكن وصفهما انزلاقين لـformula_109 بأي عنصر من عناصرها formula_83. ويعبَّر عن المجموعتين المشاركتين اليسرى واليمنى لـ formula_109 التي تحتوي العنصر formula_83 كالتالي: تشكل المجموعات المشاركة لأي زمرة جزئية formula_109 تجزئة لـ formula_1، بمعنى أن اتحاد كل المجموعات المشاركة اليسرى يساوي formula_1، وتكون كل مجموعتين يسريين إما متساويتين أو غير متقاطعتين. تحدث الحالة الأولى formula_166 إذا وفقط إذا كان formula_167، أي إذا اختلف العنصران بعنصر من formula_109، وما قيل في المجموعات المشاركة اليسرى ينطبق على المجموعات المشاركة اليمنى لـ formula_109. ومن الممكن أن تتساوى المجموعتان المشاركتان اليسرى واليمنى ومن الممكن أن لا تتساويا، فإذا تساويتا (أي إذا كان formula_170 لكل formula_171)، تسمى formula_109 حينها زمرة جزئية طبيعية.  في الزمرة formula_139 المقدمة مثالًا لزمرة التماثل، المجموعات المشاركة اليسرى formula_174 للزمرة الجزئية formula_175 المكونة من الدورانات إما أن تساوي formula_175 إذا كان formula_83 عنصرًا من formula_175 نفسها، أو أن تساوي formula_179 (المظللة باللون الأخضر). كما أن formula_175 زمرة جزئية طبيعية، لأن formula_181 والأمر ينطبق على أي عنصر غير formula_182.  في بعض الحالات يمكن منح قانون زمرة لمجموعة المجموعات المشاركة لزمرة جزئية ما، وينتج عن ذلك ما يُعرف بزمرة خارج القسمة. ويجب أن تكون هذه الزمرة الجزئية طبيعيةً ليكون ذلك بالإمكان. بإعطاء أي زمرة جزئية طبيعية formula_183، تحدَّد زمرة خارج القسمة بالتالي تأخذ هذه المجموعة عمليتها (وتُدعى عادةً ضرب أو جمع المجموعات المشاركة) من الزمرة الأصلية formula_1. formula_186 لكل formula_83 و formula_92 في formula_1. يُدعم هذا التعريف بفكرة تمثل النظرات البنيوية العامة المحدَّدة سابقًا، وهي أن التطبيق formula_190 الذي يربط إلى كل عنصر formula_83 مجموعته المشاركة formula_192 يكون تشاكلًا، أو بالتعبير المجرد العام يسمى الخصائص الشاملة. والمحايد في هذه الزمرة يتمثل في المجموعة المشاركة formula_193، ومعاكس formula_192 في زمرة خارج القسمة هو formula_195. عناصر زمرة خارج القسمة formula_196 هي formula_175 نفسها والتي تمثل المحايد، ومعها formula_198. يعرض الجدول على اليسار عملية زمرة خارج القسمة. فمثلًا formula_199. إن كلًّا من الزمرة الجزئية formula_140 بالإضافة إلى خارج القسمة المقابل أبيليان، وهذا رغم أن formula_139 ليست أبيلية. إن بناء زمر أكبر من أخرى أصغر كبناء الزمرة formula_139 من الزمرة الجزئية formula_175 وخارج القسمة formula_196 يجرَّد بمفهوم يسمى الجداء شبه المباشر.  تشكل زمر خارج القسمة والزمر الجزئية معًا طريقةً لوصف أي زمرة من خلال تباديلها: أي زمرة هي خارج قسمة للزمرة الحرة على مولدات الزمرة، وهي خارج قسمة زمرة العلاقات الجزئية. فمثلًا يمكن توليد الزمرة الزوجية formula_205 بعنصرين formula_206 و formula_66 (وعلى سبيل المثال: formula_208 أي الدوران بزاوية قائمة، و formula_209 أي الانعكاس العمودي (أو أي انعكاس آخر))، ما يعني أن كل تماثل للمربع هو تركيب منتهٍ من هذين التماثلين أو معكوسهما. وإلى جانب هذه العلاقات تُوصف الزمرة وصفًا كاملًا. ويمكن استخدام توصيف الزمرة أيضًا في إنشاء مبيان كيلي، وهو وسيلة تستخدم لتمثيل الزمر المتقطعة.  ترتبط زمر خارج القسمة والزمر الجزئية على النحو التالي: يمكن النظر إلى المجموعة الجزئية formula_109 من formula_1 على أنها تطبيق تبايني formula_213، أي أن أي عنصر من المجال المقابل يرتبط بعنصر واحد على الأكثر. كما يوجَد ما يُعرف بالتطبيقات الشمولية، وهو تطبيق ترتبط فيه كل عناصر المجال المقابل بعنصر أو أكثر من المجال، مثل التطبيق formula_190. إن تفسير الزمر الجزئية وخوارج القسمة في ضوء هذه التشاكلات يؤكد على المفهوم البنيوي الملازم لتلك التعريفات المشار إليها في المقدمة. ليست التشاكلات عمومًا متباينة ولا شمولية. ويعالج هذه الظاهرة كل من نواة وصورة تشاكلات الزمرة ومبرهنة تساوي الشكل الأولى.  تكثر الأمثلة على الزمر وتطبيقاتها، وقد كانت زمرة formula_215 للأعداد الصحيحة تحت عملية الجمع عمليةً للزمرة أولَ مثال شُرح أعلاه. وإذا أُخذت عملية الضرب عمليةً للزمرة بدل الجمع، تصبح الزمرة زمرة ضربية. وتعد تلك الزمرتان سلفًا لبنًى مهمة في الجبر المجرد.  تطبَّق الزمر في مجالات عديدة من الرياضيات. كثيرًا ما تُفحص الكائنات الرياضية بتجميع زمر إليها ودراسة خصائص الزمر المناظرة. فمثلًا قام هنري بوانكاريه بتأسيس ما نسميه الآن الطوبولوجيا الجبرية بإدخاله الزمر الأساسية إلى الطوبولوجيا. وقد تُرجمت في هذا السياق عدد من الخصائص الطوبولوجية مثل القرب والاستمرارية إلى خصائص للزمر. فمثلًا تمثَّل الزمرة الأساسية بالحلقات. توضح الصورة الثانية على اليسار بعض الحلقات في مستوًى ما ناقص نقطة. تعد الحلقة الزرقاء مثلية التوضع فراغيا (وهي بالتالي ليست موضع اهتمامنا)، وذلك لأنها يمكن أن تتقلص باستمرار إلى نقطة. إن وجود الثقب يَحول دون تقلص الحلقة البرتقالية إلى نقطة. تتحول الزمرة الأساسية لمستوًى ما إلى زمرة دائرية غير منتهية عند محو نقطة من هذا المستوى، وتكون مولَّدة بالحلقة البرتقالية أو أي حلقة أخرى تلف مرة واحدة حول الثقب). وبالتالي تعَد الزمرة الأساسية كاشفًا لوجود الثقب.  في التطبيقات الأكثر حداثة للزمر، كان التأثير موجَّهًا أيضًا نحو دعم الإنشاءات الهندسية بخلفية نظرية زمرية. وفي المقابل، توظف نظرية الزمر الهندسية مفاهيمَ هندسية لدراسة الزمر الزائدية مثلًا. وتوجَد فروع أخرى تطبق الزمر تطبيقًا أكثر تأثيرًا، منها الهندسة الجبرية ونظرية الأعداد.  يوجَد العديد من التطبيقات العملية للزمر بالإضافة إلى التطبيقات النظرية السابقة. مثلًا يقوم علم التعمية على مزيج من النهج النظري الزمري المجرَّد والمعرفةالخوارزمية المستمَدة من نظرية الزمر الحوسبية، خاصة عند تطبيقها لزمر منتهية. ولا تنحصر تطبيقات نظرية الزمر في الرياضيات؛ فعلوم مثل الفيزياء وكيمياء وعلم الحاسوب تنتفع من أفكارها.  تتمتع العديد من النظم العددية كالأعداد الصحيحة والكسرية ببنية زمرية مرتبطة بطبيعتها. تنبثق عن عمليتي الجمع والضرب بنًى زمرية في بعض الحالات كما في الأعداد الكسرية. وتُعد مثل تلك النظم العددية أسلافًا لبنًى جبرية أعم معروفة بالحلقات والحقول. ويشكل المزيد من الفكر الجبرية المجردة زمرًا، ومنها النماذج والفضاءات المتجهية والجِبار.  لقد وُصفت سابقًا في المقالة زمرة الأعداد الصحيحة formula_215 تحت عملية الجمع ورمزها formula_217. ورغم ذلك لا تشكل الأعداد الصحيحة زمرة تحت الضرب بدل الجمع formula_218؛ إذ أنه رغم توافر بديهيات الانغلاق والتجميعية ووجود المحايد، لا تتوافر بديهية وجود المعاكس في هكذا بنية. فمثلًا formula_219 هو عدد صحيح، لكن الحل الوحيد للمعادلة formula_220 في تلك الحالة هو formula_221، وهو كسري وليس صحيحًا. وبالتالي ليس كل عنصر من formula_215 يملك معاكسًا ضربيًّا.  إن الرغبة في وجود المعاكسات الضربية توحي بفكرة الكسور وتُعرف كسور الأعداد الصحيحة (حيث formula_224) بالأعداد الكسرية. ويُرمز للمجموعة التي تحتوي كل هذه الكسور بالرمز formula_225. لكن ما زالت هناك عقبة تَحُول دون كون الأعداد الكسرية تحت عملية الضرب formula_226 زمرة، وهي أن العدد الكسري 0 لا يملك معكوسًا ضربيًّا (أي أنه لا يوجَد formula_227 يحقق المعادلة formula_228)، وبالتالي لا تزال formula_226 ليست زمرة.  ورغم ذلك، تشكل مجموعة كل الأعداد الكسرية غير الصفرية formula_230 زمرة أبيلية تحت الضرب، ورمزها هو formula_226. تنتُج بديهيتا التجميعية والعنصر المحايد عن خصائص الأعداد الصحيحة. كما أن بديهية الانغلاق لم تزل محقَّقة بعد إزالة الصفر، لأن حاصل ضرب أي عددين كسريين غير صفريين لا يساوي أبدًا الصفر. وأخيرًا، العدد الكسري formula_223 له معكوس هو formula_233، وبالتالي تتحقق بديهية الانغلاق في تلك البنية.  تشكل الأعداد الكسرية (متضمنة الصفر) زمرة أيضًا تحت عملية الجمع. وتتضافر عمليتا الجمع والضرب مسفرةً عن بنًى أعقد تُسمى الحلقات، كما تسفر عن ما يُسمى الحقول إذا كانت القسمة ممكنة كما في حالة formula_225، ولكلا البنيتين موقع محوري في الجبر المجرد. ولذلك فإن حجج نظرية الزمر تكمن وراء أجزاء من نظرية كلا الكيانين.  في الحساب النمطي، يُجمَع عددان صحيحان ثم يُقسَم الناتج على عدد صحيح موجب يسمى القيمة النمطية (modulus). ويكون ناتج الجمع النمطي هو باقي تلك القسمة. لأي قيمة نمطية formula_235، تشكل مجموعة الأعداد الصحيحة من الصفر حتى formula_236 زمرةً تحت الجمع النمطي؛ حيث يكون معاكس أي عنصر formula_4 هو formula_238، والعنصر المحايد هنا هو الصفر. ومن المألوف من جمع الساعات في ساعة بنظام 12 ساعة، أنه إذا كان عقرب الساعات على 9 ثم تقدم 4 ساعات، سيصبح على الساعة 1 كما هو موضح على اليسار. ويعبَّر عن ذلك بقول أن 9 + 4 يساوي 1 "مقياس 12" أو "بتردد 12"، أو بالرموز ويُرمَز لزمرة الأعداد الصحيحة مقياس formula_235 بأحد الرمزين formula_241 أو formula_242.  توجد أيضًا زمرة ضربية للأعداد الصحيحة مقياس formula_243 لأي عدد أولي formula_244. وعناصر تلك الزمرة هي الأعداد الصحيحة من formula_45 إلى formula_246. وعمليتها هي الضرب مقياس formula_244، أي أن حاصل الضرب العادي يُقسَم على formula_244، ويكون باقي تلك القسمة هو ناتج الضرب النمطي. فمثلًا إذا كان formula_249، سيوجَد في الزمرة أربعة عناصر هي 1، 2، 3، 4. وفي هذه الزمرة يكون formula_250، لأن حاصل الضرب العادي هو 16 وهو يكافئ 1، وهو باقي قسمة هذا العدد على 5، فالعدد 5 هو قاسم لـ formula_251، ويُرمَز لما سبق بالآتي وتكفل أولية العدد formula_244 أنه إذا ضُرِب عددان صحيحان لا يقبلان القسمة على formula_244، لن يقبل حاصل الضرب القسمة على formula_244 أيضًا، وبالتالي فإن مجموعة الأصناف المُشار إليها مغلَقة تحت الضرب. والعنصر المحايد هو 1 كما هو معتاد لأي زمرة ضربية، وتنتج التجميعية عن الخاصية المناظرة في الأعداد الصحيحة. وأخيرًا تتطلب بديهية العنصر المعاكس أنه بإعطاء العدد الصحيح formula_4 الذي لا يقبل القسمة على formula_244، يوجد عدد صحيح formula_5 بحيث يكون ويمكن إيجاد المعاكس formula_5 باستخدام متطابقة بوزو وحقيقة أن القاسم المشترك الأكبر formula_263 يساوي 1. وفي حالة formula_249 أعلاه، يكون معاكس 4 هو 4، ومعاكس 3 هو 2؛ لأن formula_265. وبالتالي فإن كل بديهيات الزمر محقَّقة. إن هذا المثال في الواقع مشابه لمثال formula_266 أعلاه؛ فهو يتكون بالضبط من تلك العناصر في formula_267 التي تملك معاكسًا ضربيًّا. يُرمَز لتلك الزمر بالرمز formula_268. وهي بالغة الأهمية في التشفير باستخدام المفتاح المعلن.  "الزمرة الدائرية" هي زمرة كل عناصرها هي قوى لعنصر ما formula_4. وباستخدام رموز الضرب، يُعبَر عن عناصر تلك الزمرة كالتالي: حيث formula_271 يعني formula_272، و formula_273 يعني formula_274، إلى آخره. يسمى مثل العنصر formula_4 مولِّدًا أو عنصرًا بدائيًّا للزمرة. وبرموز الجمع، يكون شرط كون العنصر بدائيًّا أن يكون كل عنصر في الزمرة قابلًا للكتابة على صورة  في الزمر formula_277 المشروحة أعلاه، العنصر formula_45 هو عنصر بدائي، ما يجعل تلك الزمر دائرية. يمكن التعبير عن كل عنصر في تلك الزمرة في شكل مجموعٍ كلُّ حدوده هي formula_45. وأي زمرة دائرية ذات العدد formula_235 من العناصر هي مساوية الشكل لتلك الزمرة. وتعد زمرة جذور الوحدة العقدية من الدرجة formula_235 مثالًا آخر للزمر الدائرية، وهي معطاة بالأعداد العقدية formula_282 التي تحقق المعادلة formula_283. ويمكن تصور تلك الأعداد رؤوسًا لمضلع منتظم ذي عدد formula_235 من الأضلاع كالموضح بالأزرق في الصورة، والذي فيه formula_285. وعملية تلك الزمرة هي جداء الأعداد العقدية. وكما توضح الصورة، يقابل الضرب في formula_282 دورانًا بزاوية 60° عكس اتجاه عقارب الساعة. وبالاستعانة ببعض من نظرية الحقول (الرياضيات)، يمكن للزمرة formula_268 أن تبدو دائرية: فمثلًا إذا كانت formula_249، فإن formula_289 مولد في تلك الزمرة؛ لأن formula_290، و formula_291، و formula_292، و formula_293.  تملك بعض الزمر الدائرية عددًا غير منتهٍ من العناصر. ولكل عنصر غير مساو للصفر formula_4 في تلك الزمرة، تكون كل قوى formula_4 مختلفة عن بعضها البعض؛ وبالتالي فعلى الرغم من كون هكذا زمر «دائرية» إلا أنها لا تدور. وتكون أي زمرة دائرية غير منتهية مساوية الشكل لزمرة الأعداد الصحيحة تحت عملية الجمع formula_217 المشروحة أعلاه. وكل الزمر الدائرية أبيليةٌ كما رأينا في المثالين السابقين.  بلغت دراسة الزمر الأبيلية منتهية التوليد درجة كبيرة من النضوج، وهي تتضمن المبرهنة الأساسية للزمر الأبيلية منتهية التوليد، ويوجَد الكثير من المفاهيم المتعلقة بالزمر مثل المركز والمبادل تصف إلى أي مدى تكون زمرة ما غير أبيلية.  "زمر التماثل" هي زمر تتكون من تناظرات كائنات هندسية معينة ذات طبيعة هندسية (كزمرة التماثل للمربع المشروحة سابقًا) أو جبرية (مثل المعادلات كثيرة الحدود وحلولها). ومن الناحية النظرية، يمكن أن تعَد نظرية الزمر دراسةً للتناظر. تبسط التناظرات في الرياضيات دراسةَ الكائنات الهندسية والتحليلية تبسيطًا بالغًا. يُقال عن زمرة ما أنها تؤثر على كائن رياضي آخر formula_297 إذا كان كل عنصر للزمرة يؤدي عملية ما على formula_297 بالانسجام مع قانون الزمرة. وكما في المثال أدناه، فإن عنصرًا من الرتبة 7 من زمرة المثلث (2,3,7) يؤثر على التبليط بتبديل المثلثات الملتوية المظللة (والمثلثات الأخرى أيضًا). يرتبط نمط الزمرة المؤثرة ببنية الكائن المتأثر من خلال تأثير الزمرة. في حقول الكيمياء كعلم البلورات، تصف الزمر الفراغية والزمر النقطية التناظراتِ الجزيئيةَ والبلورية. تكمن تلك التناظرات وراء السلوك الفيزيائي والكيميائي لتلك الأنظمة، وتتيح نظرية الزمر تبسيط التحليل الميكانيكي الكمومي لتلك الخصائص. مثلًا تستخدَم نظرية الزمر لتوضيح أن الانتقالات البصرية بين المستويات الكمومية لا يمكن أن يحدث ببساطة بسبب تناظر الحالات المعنية.  ليست الزمر مفيدة في تقييم الآثار الناتجة عن التناظرات في الجزيئات فحسب، ولكن من المدهش أنها تتنبأ أيضًا بأنه يمكن للجزيئات في بعض الأحيان أن تغير من تناظرها. تأثير جان-تيلر هو تشويه جزيء ذي تناظر عالٍ عندما يتخذ حالة قاعية ما ذات تناظر أقل من مجموعة الحالات القاعية الممكنة المرتبطة ببعضها من خلال عمليات التناظر للجزيء.  وبالمثل تساعد نظرية الزمر في التنبؤ بالتغيرات في الخصائص الفيزيائية التي تنجم عن خضوع مادة ما لتحول طوري، كتحول المادة مثلًا من الشكل البلوري المكعبي إلى رباعي السطوح. وتعد المواد الفيروكهربية مثالًا على ذلك؛ حيث يحدث التغير من الحالة الباراكهربية إلى الحالة الكهربية الحديدية في درجة حرارة كوري، وهو مرتب بتغير من الحالة الباراكهربية عالية التناظر إلى الحالة الفيروكهربية الأقل تناظرًا، ويكون ذاك التغيير مصحوبًا بما يسمى نمط فونون لينًا، وهو نمط شبكية اهتزازية يصل فيه التردد إلى الصفر خلال الانتقال.  إن لهذا وأمثالِه من طرق كسر التناظر التلقائي المزيدَ من التطبيقات في فيزياء الجسيمات الابتدائية، حيث أن حدوثهم مرتبط بظهور بوزونات جولدستون.  تُستَخدم زمر التماثل المنتهية مثل زمرة ماتيو في نظرية الترميز، والمطبَّقة بدورها في تصحيح الخطأ للبيانات المنقولة، كما تُطبَّق زمرة ماتيو في أجهزة السي دي. وتعد نظرية غالوا التفاضلية تطبيقًا آخر لزمر التماثل، وهي تصف الدوال ذات المشتقات العكسية، معطيةً معايير نظرية زمرية لكون حلول معادلات تفاضلية معينةٍ مهذبةً. ثم إن الخصائص الهندسية التي تبقى مستقرة تحت تأثيرات الزمرة يُحقَّق بشأنها في النظرية الثابتة الهندسية.  تتكون زمرة المصفوفات من مصفوفات مع عملية ضرب المصفوفات. "الزمرة الخطية العامة" formula_299 مكونة من كل المصفوفات من الرتبة formula_300 ذات المعكوس والمكونة من مدخلات حقيقية. ويطلق على زمرها الجزئية "زمر المصفوفات" أو "الزمر الخطية". ويمكن أن تعد الزمرة الزوجية المشروحة أعلاه زمرةَ مصفوفات بالغة الصغر. وكذا تعد الزمرة المتعامدة الخاصة formula_301 زمرةَ مصفوفات مهمة أخرى. وهي تصف كل الدورانات الممكنة في العدد formula_235 من الأبعاد. تُستَخدم مصفوفات الدوران في الرسوميات الحاسوبية بواسطة زوايا أويلر.  "نظرية التمثيل" هي تطبيق لمفهوم الزمرة، كما أنها ضرورية للوصول إلى فهم أعمق للزمر. ويختص العاملون فيها بدراسة الزمرة من خلال تأثيراتها على الفضاءات الأخرى. وتشكل التمثيلات الخطية فئة كبيرة من تمثيلات الزمر، وهي الناجمة عن تأثير الزمرة على فضاء متجهي كالفضاء الإقليدي ثلاثي الأبعاد formula_303. إن أي تمثيل للزمرة formula_1 على فضاء متجهي حقيقي بعدد formula_235 من الأبعاد هو ببساطة تشاكل زمري من الزمرة إلى الزمرة الخطية العامة. وهكذا تتحول عملية الزمرة (المعطاة تجريديًّا) إلى ضرب المصفوفات؛ فتصبح في متناوَل الحسابات الصريحة.  يعطي هذا معاني أعمق لدراسة الكائن المؤثَّر عليه بتأثير زمري ما. ومن ناحية أخرى، فإنه يعطي أيضا معلومات عن الزمرة. إن تمثيلات الزمر مبدأٌ منظِّم في نظرية الزمر المنتهية وزمر لي والزمر الجبرية والزمر الطوبولوجية وخاصةً الزمر المتراصة (محليًّا). لقد طُوِّرت "زمر غالوا" للمساعدة في حل المعادلات كثيرة الحدود من خلال تمثيل خصائصها التناظرية. فمثلًا تكون حلول المعادلة التربيعية formula_307 معطاةً من خلال يمكن النظر إلى المبادلة بين "+" و "-" في التعبير السابق، أي تبديل حلى المعادلة، بمثابة عملية زمرية بسيطة جدًّا. وتوجد صيغ مماثلة معروفة للمعادلات التكعيبية والرباعية، ولكن هذا لا ينطبق عامة على الدرجة الخامسة وما فوقها. الخصائص التجريدية لزمر غالوا المتعلقة بكثيرات الحدود (خاصةً قابليتها للحلحلة) تعطي معيارًا لكثيرات الحدود التي يمكن التعبير عن كافة حلولها بالجذور، أي باستخدام الجمع والضرب والجذور فقط كما في الصيغة أعلاه.  من الممكن التعامل مع تلك المسألة من خلال التحول إلى نظرية الحقل مع النظر في حقل الانشطار لكثيرة الحدود. تعمم نظرية غالوا الحديثة هذا النوع من زمر غالوا المذكور أعلاه إلى امتدادات حقول وتضع—عن طريق المبرهنة الأساسية في نظرية غالوا—علاقة دقيقة بين الحقول والزمر، مما يؤكد مجددًا انتشار الزمر في فروع الرياضيات الأخرى.  يُقال إن الزمرة منتهية إذا امتلكت عدد محدودًا من العناصر. ذلك العدد يطلق عليه رتبة تلك الزمرة. وتعد الزمر المتماثلة formula_309 من أهم أصنافها، وهي زمر تباديل العدد N من الرموز. على سبيل المثال، تتكون الزمرة المتماثلة في ثلاثة رموز formula_310 من كل التسلسلات الممكنة للحروف اللثلاث formula_311، أي formula_311 و formula_313 وهكذا حتى formula_314، وعددها في المجمل 6 (عاملي 3). ويكون هذا الصنف أساسيًّا طالما أن أي زمرة منتهية يمكن التعبير عنها في صورة زمرة جزئية من زمرة متماثلة formula_309 حيث formula_183 عدد صحيح مناسب (مبرهنة كيلي). وكما في زمرة تماثلات المربع المشروحة أعلاه، يمكن تناول الزمرة formula_317 على أنها زمرة تماثلات مثلث متساوي الأضلاع.  تعرف رتبة العنصر formula_4 في المجموعة formula_1 بأنها أقل عدد صحيح موجب formula_235 يحقق أن formula_321، حيث formula_322 يمثل أي تطبيق العملية formula_324 على formula_235 نُسَخ من formula_4، فإن كانت formula_324 تمثل الضرب، فإن formula_322 يمثل العدد formula_4 مرفوعًا للأس formula_235. في الزمر غير المنتهية قد لا يوجد مثل العدد formula_235، ويُقال حينها إن رتبة formula_4 هي اللانهاية. وبتعبير آخر، رتبة العنصر في زمرة هي رتبة الزمرة الجزئية الدورية التي يولدها هذا العنصر.  تنتج عن البيانات المتعلقة بالزمر المنتهية طرقٌ أكثر تعقيدًا في العد مثل عد المجموعات المشاركة، ومنها مبرهنة لاغرانج التي تنص على أنه عندما تكون formula_1 زمرة منتهية، تقبل رتبتها القسمة على رتبة أي زمرة جزئية منها formula_109، وتثبت مبرهنات سيلو العكس الجزئي لمبرهنة لاغرانج.  تعد الزمرة الزوجية (المشروحة أعلاه) زمرة منتهية من الرتبة 8. رتبة العنصر formula_335 تساوي 4؛ حيث أنها أيضًا رتبة الزمرة الجزئية التي يولدها ذلك العنصر formula_175 (انظر أعلاه). ورتبة عناصر الانعكاس (formula_152 وما علا شاكلته) تساوي 2. وكلتا الرتبتين الأخيرتين تقسم رتبة الزمرة الكبرى وهي 8، وهذا ما أثبتته مبرهنة لاغرانج. وتمتلك الزمر formula_268 رتبة تساوي formula_246.  غالبًا ما يسعى علماء الرياضيات إلى وضع تصنيف متكامل (أو قائمة) لأي مفهوم رياضي. ويؤدي هذا الهدف إلى معضلات رياضية صعبة فيما يتعلق بالزمر المنتهية. وفقًا لمبرهنة لاغرانج، تكون الزمر المنتهية من الرتبة p (عدد أولي) زمرًا دورية (أبيلية) بالضرورة، ورمزها formula_340. يمكن أيضًا للزمر من الرتبة formula_341 أن تظهر أبيلية، لكن ذلك لا يشمل الزمر من الرتبة formula_342، كما يظهر أعلاه في مثال الزمرة formula_139 ذات الرتبة 8 = 2. يمكن لنظم الجبر المحوسبة أن تُستخدم لعمل قائمة بالزمر الصغيرة، ولكن لا يوجد تصنيف يشمل كافة الزمر المنتهية. لكن أمكن تصنيف الزمر المنتهية البسيطة. تسمى الزمر غير التافهة "بسيطة" إن كان لها زمرتان جزئيتان طبيعيتان لا ثالثة لهما هما الزمرة التافهة والزمرة نفسها. تُظهر مبرهنة جوردان-هلدر الزمرَ المنتهية البسيطة في شكل اللبنات الأساسية لكافة الزمر المنتهية. إن وضع قائمة بكافة الزمر المنتهية البسيطة كان إنجازًا رائدًا في نظرية الزمر المعاصرة. نجح العالم ريتشارد بورشردس الحائز على ميدالية فيلدز عام 1998 - في برهنة حدسيات نظرية مونشاين، وهي علاقة مدهشة وعميقة بين أكبر زمرة مشتتة منتهية بسيطة —"زمرة الوحش"—، ودوال نمطية معينة (والدوال النمطية هي جزء من التحليل المركب التقليدي)، ونظرية الأوتار (النظرية التي يُفترض أنها تمثل الوصف الفيزيائي الموحَّد للعديد من الظواهر الفيزيائية).  تعد الكثير من الزمر مثالًا على بنًى رياضية أخرى علاوةً على كونها مثالًا على الزمر، وبلغة نظرية الأصناف فهي تعد كائنات زمرية في الفئة، ما يعني أنها كائنات (أي أمثلة على كائن رياضي آخر) تأتي مع تحويلات تسمى التطبيقات المحافظة على الشكل بحيث تحاكي تلك التحويلاتُ بديهياتِ الزمر. فمثلًا بحسب تعريف الزمر المذكور أعلاه فإن أي زمرة تعد مجموعة أيضًا، لذلك فإن أي زمرة تمثل كائنًا زمريًّا في فئة المجموعات.  سميت هكذا نسبة إلى عالم الرياضيات سوفوس لي.