طريقة العناصر المنتهية  طريقة العناصر المنتهية ، ويطلق عليها أيضاً اسم تحليل العناصر المنتهية، هي طريقة تحليل عددي لإيجاد الحلول التقريبية للمعادلات التفاضلية الجزئية بالإضافة إلى الحلول التكاملية. يعتمد الحل إما على إلغاء المعادلات التفاضلية الجزئية نهائياً (في الحالات الساكنة) أو تقريب المعادلات التفاضلية الجزئية إلى معادلات تفاضلية نظامية والتي يكون من الممكن حلها باستخدام عدة طرق كطريقة أويلر أو رونغي-كوتا.  و تعد طريقة العناصر المنتهية إجراءا رياضيا عاما يستخدم في المهام الفيزيائية المختلفة في العمليات التطبيقية العددية. والتطبيق الأكثر انتشارا لطريقة العناصر المنتهية هو في مجال ميكانيكا المواد وفي فحص القوة وتشوه المواد الصلبة ذوات الأشكال الهندسية المعقدة. يعود ذلك إلى أن استعمال الطرق الكلاسيكية في هذه الحالات أثبت صعوبته أو عدم إمكانية أستخدامه. وقد أسست طريقة العناصر المنتهية على الحل العددي للأنظمة المعقدة المبنية من المعادلات التفاضلية.  في مجال حساب الجسم الصلب على سبيل المثال تقسم إلى عدد كبير محدود من الأجزاء الصغيرة بسيطة الشكل، مثلا مربعات كثيرة صغيرة أو رباعي سطوح. فهي «العناصر المحدودة». سلوكهم البدني يمكن حسابها بشكل جيد نظرا لهندستها البسيطة مع وظائف نهج مألوفة. ويستنسخ السلوك البدني للجسم بأكمله من خلال كيفية رد فعل هذه العناصر علي القوات والأحمال والقيود، وكيفة ردود فعل الأحمال وفي الانتقال من عنصر واحد إلى النشر التالي من خلال شروط محددة الاستمرارية التي تعتمد علي المشاكل والتي يجب ان تفي بوظائف النهج.  تحتوي دالات النهج على المعلمات التي عادة ما يكون لها معنى مادي، مثل نقل نقطة معينة في الجزء في نقطة معينة في الوقت. وبالتالي فان البحث عن وظيفة الحركة يرجع إلى البحث عن قيم معلمات الوظائف. باستخدام المزيد والمزيد من المعلمات (على سبيل المثال، المزيد والمزيد من العناصر الأصغر) أو وظائف النهج ذات القيمة العالية بشكل متزايد، يمكن تحسين دقة حل تقريب.  كان التطوير من ال [FEM] يمكن في المراحل الأساسية فقط بالتطوير من حاسوبات قوية، بما ان هو يتطلب قوة معالجة كبيرة. ولذلك فقد صيغت هذه الطريقة منذ البداية بطريقه مناسبة للحاسوب. وقد حققت تقدما كبيرا في معالجة المجالات الحسابية بأي شكل من الاشكال.   سوف نستخدم مثالين بسيطين لشرح طريقة العناصر المنتهية، والتي من خلالها من الممكن استخلاص الطريقة العامة. في النقاش التالي، يجب على القارئ أن يكون متفهما لمبادئ علم الحسبان والجبر الخطي.  P1 هي مسألة أحادية البعد، معطاة على الشكل التالي:  حيث formula_2 معلوم وformula_3 هو تابع مجهول للمتحول formula_4، وformula_5 هو المشتق الثاني للتابع formula_3 بالنسبة للمتحول formula_4.  المسألة ثنائية البعد البسيطة هي مسألة ديركلت وتعطى على الشكل التالي:  حيث formula_9 هي منطقة مفتوحة متصلة في المستوي الثنائي البعد formula_10 الذي تكون حدوده formula_11 هي عبارة عن مضلع ذو شكل جميل. وformula_12 وformula_13 هي المشتقات الثانية للمتحولين formula_4 وformula_15 على الترتيب.  من الممكن حل المسألة أحادية البعد بحساب المشتق العكسي. لكن هذه الطريقة في حل مسألة القيمة الحدية (boundary value problem) تصلح لحل المسائل أحادية البعد ولا يمكن تعميمها إلى مسائل ذات أبعاد أعلى أو مثال لها الشكل formula_16 ولهذا السبب كان من الضروري تطوير طريقة العناصر المنتهية، بدءاً من البعد الأحادي وتعميمها على الأبعاد الأعلى.  الشرح هنا سوف يتم على مرحلتين والتي تعكس المرحلتين الأساسيتين الواجب تطبيقهما لحل مسألة القيمة الحدية باستخدام طريقة العناصر المنتهية: بعد هذه الخطوة سيكون لدينا صيغة متكاملة لحل مسائل ذات درجات عالية لكن يجب أن تكون خطية والتي حلولها ستكون حلاً تقريبياً لمسألة القيمة الحدية. ومن ثم يتم برمجة هذه الطريقة على الحاسوب.  الخطوة الأولى هو تحويل P1 و P2 إلى مكافئاتها المتحولية. إذا كان formula_3 هو حل لـ P1، عندها من أجل أي دالة متصلة formula_18 يحقق شروط الانتقال الحدي، مثلاً: formula_19 عند formula_20 وformula_21، يكون لدينا  وبشكل معاكس، من أجل قيمة معطاة لـ formula_3 فإن (1) تكون محققة من أجل أي دالة متصلة formula_24 وعندها من الممكن أن يبرهن أن formula_3 ستكون حلاً لـ P1 (برهان هذا ليس بالأمر السهل وهو يعتمد على فضاء سوبوليف).  وباستخدام التكامل بالأجزاء على يمين المعادلة (1) سنحصل على مايلي:  حيث تم افتراض أن formula_27.  من الممكن اعتبار أن formula_28 هو عبارة عن تابع مستمر مطلق للثنائية formula_29 بحيث أن formula_30 عند formula_20 وformula_21 (انظر فضاء سوبوليف). مثل هذه التوابع تكون ضعيفة (قابلة للاشتقاق مرة واحدة) وتكشف عن الخريطة الخطية الثنائية المتناظرة formula_33 ومن ثم تعرف جداء داخلي الذي يحول formula_28 إلى فضاء هلبرت. ومن ناحية أخرى، فإن الطرف الأيسر formula_35 هو أيضاً جداء داخلي، ولكن هذه المرة على الفضاء Lp formula_36. وتطبيق لمبرهنة تمثيل رايسز على فضاءات هلبرت يظهر أنه يوجد حل وحيد formula_3 يحل (2) وبالتالي يحل المسألة P1.  إذا تم التكامل بالأجزاء باستخدام مبرهنة غرين حيث نجد أنه إذا كان formula_3 هو حل لـ P2، فإنه من أجل أي formula_18 يكون  حيث formula_41 تحقق التدرج وترمز إلى الجداء الداخلي في المستوي ثنائي البعد.  الفكرة الأساسية في طريقة العناصر المنتهية هو استبدال المسألة الخطية ذات الأبعاد اللانهائية: أوجد قيمة formula_42 بحيث أن بصيغة بعدية منتهية:  حيث formula_46 هو فضاء جزئي خطي ذو عدد أبعاد منته من formula_47. هناك العديد من الخيارات لـ formula_46. لكن في طريقة العناصر المنتهية نعتبر formula_46 على أنها فضاء للأجزاء الخطية للتابع.  في المسألة P1، نأخذ المقطع formula_29 باختيار formula_51 formula_4 قيم من formula_53 ونعرف formula_46 على الشكل:  حيث نعرف formula_56 و formula_57. لاحظ أن التوابع في formula_46 هي توابع غير قابلة للاشتقاق بالاعتماد على التعريف المبدئي للحسبان. إذا كان formula_59 فإن المشتق يكون عادة غير معرف عند أي formula_60, formula_61. لكن يوجد مشتق عند كل قيمة للمتحول formula_4 ومن الممكن استخدام هذا المشتق لغرض التكامل بالأجزاء.  من أجل المسألة P2 نحتاج أن تكون formula_46 عبارة عن مجموعة من التوابع من formula_9. في الشكل الموضح على اليسار، يظهر تثليث مضلعي لمنطقة مضلعية من 15 ضلع formula_9 في المستوي (في الأسفل)، والتابع الخطى المجزأ (ملوناً، في الأعلى) لهذا المضلع الذي يكون خطياً على كل مثلث من التثليث. حيث أن الفضاء formula_46 سيحتوي على توابع تكون خطية على كل مثلث من التثليث المختار.  تظهر formula_46 مكتوبة على الشكل formula_68 في بعض المراجع، وذلك بسبب أنه يوجد هدف في الحصول على حلول أدق وأدق للمسألة المتقطعة (3) الذي سيكون إلى حد ما سيؤدي إلى حد المسألة الأصلية في إيجاد القيم الحدية للمسألة P2. يتم عنونة التثليث باستخدام معامل ذو قيمة حقيقية formula_69 والذي يكون ذو قيمة صغيرة. سوف يتم ربط هذا المعامل بحجم أكبر مثلث وسطي الحجم في التثليث. وعندما نزيد تجزئة التثليث فإن فضاء التقطيع الخطي formula_46 يجب أن يتغير مع formula_71 كما يوضح الترميز formula_68.