جسيم ضمن كمون دائري متناظر  من المسائل المهمة في ميكانيكا الكم هي مسألة حركة جسيم في كمون متماثل كرويًا Particle in a spherically symmetric potential ؛ أي احتمال يعتمد فقط على المسافة بين الجسيم ونقطة المركز المحددة على وجه الخصوص.  فإذا كان الجسيم المعني عبارة عن إلكترون وكان الكمون potential مشتقا من قانون كولوم ، فيمكن استخدام هذا النظام لوصف ذرة تشبه الهيدروجين . تتكون ذرة الهيروجين من نواة موجبة الشحنة (بروتون) وإلكترون (سالب الشحنة) يدور حولها. بمراعاة أن البروتون أثقل من الإلكترون (نحو 1840 مرة) فيمكن القول أن الإلكترون واقع في كمون النواة ويتحرك فيه؛ مثل جسيم في بئر.   على الرغم من تجاذب الإلكترون والبروتون بسبب شحنتيهما المختلفة فإن الإلكترون لا يسقط على البروتون ؛ بل يبقى في مدارات حول النواة .   حاول العلماء في بداية الأمر استخدام الميكانيكا الكلاسيكية في التعامل مع هذا النظام الغريب ، وفشلت كل المحاولات . مشكلة عدم سقوط الإلكترون على النواة الذرية اقتضت ابتكار ميكانيكا جديدة وهي ميكانيكا الكم. بواسطة ميكانيكا الكم نجح العلماء في تفسير سلوك الإلكترون في ذرة الهيدروجين. كان ذلك خلال الأعوام 1920 - 1928 على يد العلماء هايزنبرغ و شرودنغر و نيلز بوهر وغيرهم.  ديناميكية الجسيم في كمون متناظر كروي ، تصفها  معادلة هاملتون على الشكل التالي:  حيث:  formula_2 كتلة الجسيم (إلكترون) ،  formula_3 هو زخم الإلكترون.  والكمون formula_4 يعتمد فقط على  formula_5؛ إنه متجه نصف قطر r مدار الإكترون حول النواة . بالاستعانة بمعادلة شرودنغر طبقا لـ ميكانيكا الكم في حل مسألة حركة الإلكترون حول النواة الذرية (من دون الانهيار عليها) ، تم تعيين مستويات طاقة الإلكترون المتطابقة في الذرة. تلك المستويات تسمى (القيم الذاتية eigen values ) لأن الإلكترون يتخذ طاقات كمومية محددة.  من خلال حل معادلة شرودنغر مع هاملتوني بسبب التناظر الكروي للنظام. ومن الطبيعي تم استخدام الإحداثيات الكروية formula_5 و formula_7 و formula_8 في حل تلك المسألة .  أمكن فصل معادلة شرودنغر المستقلة عن الزمن في النظام، مما يسمح بمعالجة المشاكل الزاوية بسهولة، وتتبع حل معادلة تفاضلية عادية تعتمد فقط على المكان formula_5 للإلكترون في تحديد مستويات طاقته حول النواة الذرية الموصوف بالكمون formula_4 الذي لا يعتمد عاى الزمن.  في الشكل يمثل المحور الرأسي طاقة الإلكترون ، مستويات طاقة الإلكترون في الذرة تكون سالبة (أقل من الصفر) ، فإذا زادت طاقة الإلكترون بحيث تعلو عن الصفر يصبح الإلكترون حرا طليقا وينفصل عن الذرة. رمز طاقة الألكترون هي p (زخم الإلكترون) أو E .  إن eigenstate للنظام لها الشكل:  في أي الزوايا القطبية الكروية θ وφ تمثل   و السمتي زاوية على التوالي. وغالبًا ما يتم تجميع العاملين الأخيرين ل ψ  معًا على شكل توافقيات كروية بحيث تأخذ الدوال الذاتية هذا الشكل:  المعادلة التفاضلية التي تميز الوظيفة formula_13 تسمى المعادلة الشعاعية.  مشغل الطاقة الحركية في الإحداثيات القطبية الكروية هو:  باستبدال هذا في معادلة شرودنغر نحصل على معادلة ذات قيمة ذاتية أحادية البعد.  ويمكن اختزال هذه المعادلة وتحويلها إلى معادلة شرودنجر ( 1-D ) التي تكون مكافئة عن طريق الاستبدال formula_17 , formula_18  وهي بالضبط معادلة شرودنجر أحادية البعد بإمكانية فعالة معطاة على  هذه المعادلة  يتراوح التنسيق الشعاعي "r" من 0 إلى formula_21.ويسمى تصحيح الجهد "V" ( "r" ) بمصطلح (حاجز الطرد المركزي).  لو formula_22، ثم بالقرب من الأصل، formula_23.  تنشأ خمس حالات خاصة ذات أهمية خاصة:   نحدد الحلول في هذه الحالات والتي ينبغي مقارنتها بنظيراتها في الإحداثيات الديكارتية.  راجع: الجسيمات في صندوق. حيث أن هذه المقالة بشكل كبير على  دوال بيسيل ومتعددة حدود لاجير.  أنظروا إلى هذه :  "(if" "formula_26" "formula_26V" ( "r" ) = 0 (if)  استبدل في كل مكان "E" بـ (formula_28 ).  يكون إدخال المتغير بلا أبعاد  ويمكن أن تصبح معادلة (باسييل/ Bessel) معادلة يتم تحديدها ل J  ومن هنا كان الاختيار الترميذي لـ J  ماهي الحلول المنتظمة للطاقات الإيجابية التي يتم توفيرها من خلال ما يسمى "بوظائف Bessel من النوع الأو"formula_32"ل "' formula_33 بحيث تكون الحلول المكتوبة لـ "R" هي ما يسمى "بوظيفة Bessel الكروية".  حلول معادلة شرودنغر في الإحداثيات القطبية لجسيم الكتلة formula_2 في الفراغ يتم تمييزها بثلاثة أرقام كمية: مؤشرات منفصلة "l" و "m"، و "k" تتباين باستمرار في formula_35 :  أين formula_37 و formula_38 هي وظائف Bessel الكروية و formula_39 هي التوافقيات الكروية.  تمثل هذه الحلول حالات الزخم الزاوي المحدد، بدلاً من الزخم المحدد (الخطي)، والذي توفره الموجات المستوية formula_40.  دعونا ننظر الآن في الإمكانات formula_24 ل formula_25 و formula_43 في مكان آخر. أي داخل كرة نصف قطرها formula_44 الجهد يساوي "V" وهو صفر خارج الكرة. يُطلق على الإمكانية مع مثل هذا الانقطاع المحدود اسم "الإمكانات المربعة."   نعتبر أولاً الحالات المقيدة، أي الحالات التي تعرض الجسيم في الغالب داخل الصندوق (الحالات المحصورة). هؤلاء لديهم طاقة "E" أقل من الإمكانات خارج الكرة، أي لديهم طاقة سالبة، وسنرى أن هناك عددًا منفصلاً من هذه الحالات، والتي سنقارنها بالطاقة الإيجابية ذات الطيف المستمر، والتي تصف التشتت على مجال (من الدول غير المنضمة). وتجدر الإشارة أيضًا إلى أنه على عكس إمكانات كولوم، التي تتميز بعدد لا حصر له من حالات الربط المنفصلة، فإن البئر المربع الكروي ليس له سوى عدد محدود (إن وجد) بسبب نطاقه المحدود (إذا كان له عمق محدود).  يتبع القرار بشكل أساسي الفراغ مع تطبيع دالة الموجة الكلية المضافة، وحل معادلتين من شرودنغر — داخل وخارج الكرة — من النوع السابق، أي مع جهد ثابت. أيضا القيود التالية تنطبق:   يأتي القيد الأول من حقيقة أن وظائف Neumann "N" وHankel "H" متفردة في الأصل. الحجة الفيزيائية القائلة بأن "ψ" يجب تعريفها في كل مكان يتم تحديد وظيفة Bessel من النوع الأول "J" على الاحتمالات الأخرى في حالة الفراغ. للسبب نفسه، سيكون الحل من هذا النوع داخل الكرة:  مع "A" ثابت يتم تحديده لاحقا. لاحظ أنه بالنسبة للدول المقيدة، formula_46.  تجلب الحالات المقيدة الحداثة مقارنة بحالة الفراغ التي أصبحت "E" سالبة (في الفراغ كان من المفترض أن تكون إيجابية). هذا، جنبًا إلى جنب مع القيد الثالث، يحدد وظيفة Hankel من النوع الأول باعتبارها الحل الوحيد المتقارب عند اللانهاية (التفرد في أصل هذه الوظائف لا يهم لأننا الآن خارج المجال):  القيد الثاني على استمرارية ψ في formula_48 جنبا إلى جنب مع التطبيع يسمح بتحديد الثوابت "A" و "B." تتطلب استمرارية المشتق (أو المشتق اللوغاريتمي للراحة) تكميم الطاقة.  في حالة حيث يكون البئر المحتمل عميقًا بشكل غير محدود، حتى نتمكن من تحمله formula_49 داخل الكرة و formula_21 في الخارج، تصبح المشكلة هي مطابقة الدالة الموجية داخل الكرة ( وظائف Bessel الكروية ) مع دالة موجية متطابقة صفرية خارج الكرة. الطاقات المسموح بها هي تلك التي تختفي فيها الدالة الموجية الشعاعية عند الحدود. وبالتالي، فإننا نستخدم أصفار دوال بيسيل الكروية لإيجاد طيف الطاقة ودوال الموجة. الاتصال formula_51 الصفر "k من" formula_38، نملك:  لذلك يتم اختزال واحد إلى حسابات هذه الأصفار formula_51، عادةً باستخدام جدول أو آلة حاسبة، لأن هذه الأصفار غير قابلة للحل للحالة العامة.  في الحالة الخاصة formula_55 (المدارات الكروية المتماثلة)، وظيفة بيسيل الكروية هي formula_56، والتي يمكن بسهولة إعطاؤها الأصفار formula_57. وبالتالي، فإن قيم الطاقة الذاتية الخاصة بهم هي:  إمكانات المذبذب التوافقي ثلاثي الأبعاد الخواص هي  في هذه المقالة، يتضح أن المذبذب التوافقي المتناحي الأبعاد "N له الطاقات"  على سبيل المثال، "n" هو رقم متكامل غير سالب ؛ ω هو (نفس) التردد الأساسي للأنماط "N" للمذبذب. في هذه الحالة "N" = 3، بحيث تصبح معادلة شرودنغر الشعاعية،  واستذكر ذلك formula_63، سوف نظهر أن معادلة شرودنجر الشعاعية لها الحل الطبيعي،  حيث الوظيفة formula_65 هي كثيرة حدود "لاجير" معممة في من الترتيب "k" (أي أن أعلى قوة "لكثير الحدود تتناسب مع γ" "r" ).  ثابت التطبيع "N " هو،  دالة eigenfunction "R (r)" تنتمي إلى الطاقة "E " ويجب ضربها بواسطة التوافقي الكروي formula_67، أين  هذه هي نفس النتيجة الواردة في مقالة Harmonic Oscillator، مع اختلاف تدويني ثانوي قدره formula_69.  أولاً نقوم بتحويل المعادلة الشعاعية من خلال عدد قليل من الاستبدالات المتتالية إلى معادلة لاجير التفاضلية المعممة، والتي لها حلول معروفة: دوال لاجير المعممة. ثم نقوم بتطبيع دوال لاجير المعممة للوحدة. يتم هذا التطبيع مع عنصر الحجم المعتاد "r" d"r."  أولاً نقوم بقياس الإحداثي الشعاعي  ثم تصبح المعادلة  مع formula_72.  يقترح النظر في السلوك المحدود لـ "v" ( "y" ) في الأصل وعند اللانهاية الاستبدال التالي لـ "v" ( "y" )،  هذا الاستبدال يحول المعادلة التفاضلية إلى  حيث قسمنا من خلاله formula_75، وهو ما يمكن إجراؤه طالما أن "y" ليست صفرًا.  إذا كان الاستبدال formula_76 يستخدم، formula_77، وتصبح العوامل التفاضلية  يصبح التعبير بين الأقواس المربعة بضرب "f" ( "y" ) هو المعادلة التفاضلية التي تميز معادلة Laguerre المعممة (انظر أيضًا معادلة Kummer ):  مع formula_81.  متاح formula_82 هو رقم متكامل غير سالب، حلول هذه المعادلات معممة (مرتبطة) متعدد حدود لاجير  من الشروط على "k" يلي: (i) formula_84 و (ii) "n" و "l" كلاهما فردي أو زوجي. هذا يؤدي إلى حالة على "ل" الواردة أعلاه.  تذكر ذلك formula_63، نحصل على الحل الشعاعي الطبيعي  حالة التطبيع لوظيفة الموجة الشعاعية هي  أستعاض formula_88 يعطي formula_89 وتصبح المعادلة  من خلال الاستفادة من خصائص التعامد في كثيرات حدود لاجير المعممة، يتم تبسيط هذه المعادلة إلى  ومن ثم، يمكن التعبير عن ثابت التطبيع كـ  يمكن اشتقاق الأشكال الأخرى من ثابت التسوية باستخدام خصائص دالة جاما، مع ملاحظة أن "كلا من n" و "l" لهما نفس التكافؤ. هذا يعني أن n + "l" دائمًا زوجي، بحيث تصبح وظيفة جاما  حيث استخدمنا تعريف العامل المزدوج. ومن ثم، يتم إعطاء ثابت التطبيع أيضًا بواسطة  ذرة الهيدروجين (الشبيهة بالهيدروجين) هي نظام ثنائي الجسيم يتكون من نواة وإلكترون. يتفاعل الجسيمان من خلال الإمكانات التي يوفرها قانون كولوم :  أين   الكتلة "m" ، التي تم تقديمها أعلاه، هي الكتلة المخفضة للنظام. نظرًا لأن كتلة الإلكترون أصغر بنحو 1836 مرة من كتلة أخف نواة (البروتون)، فإن قيمة "m" قريبة جدًا من كتلة الإلكترون "م ·" لجميع الذرات الهيدروجينية. في باقي المقال نجعل التقريب "م" = "م" . نظرًا لأن "m" سيظهر صراحةً في الصيغ، فسيكون من السهل تصحيح هذا التقريب إذا لزم الأمر.  من أجل تبسيط معادلة شرودنغر، نقدم الثوابت التالية التي تحدد الوحدة الذرية للطاقة والطول، على التوالي،  استبدل formula_97 و formula_98 في معادلة شرودنغر الشعاعية المذكورة أعلاه. هذا يعطي معادلة يتم فيها إخفاء جميع الثوابت الطبيعية،  توجد فئتان من حلول هذه المعادلة: (1) "W" سالبة، والوظائف الذاتية المقابلة قابلة للتكامل مع مربع وقيم "W" محددة (طيف منفصل). (2) "W" غير سالب. كل قيمة غير سالبة حقيقية لـ "W" مسموح بها فعليًا (طيف مستمر)، وظائف eigen المقابلة غير قابلة للتكامل مربع. في الجزء المتبقي من هذه المقالة سيتم النظر في حلول الفئة (1) فقط. تُعرف الدوال الموجية بالحالات المرتبطة، على عكس حلول الفئة (2) التي تُعرف باسم "حالات التشتت".  الكمية السالبة "W" formula_100 هو حقيقي وإيجابي. تحجيم "y"، أي استبدال formula_101 يعطي معادلة شرودنغر:  ل formula_103 القوى العكسية لـ "x" لا تكاد تذكر والحل لـ "x" الكبير هو formula_104. الحل الآخر، formula_105، غير مقبول جسديًا. ل formula_106 تهيمن القوة التربيعية العكسية وحل "x" الصغير هو "x" . الحل الآخر، "x" ، غير مقبول ماديًا. ومن ثم، للحصول على حل كامل المدى نقوم باستبدال  تصبح معادلة "f" ( "x" )،  والتي هي معممة كثيرات حدود لاجير من أجل "ك". سوف نأخذ اتفاقية لاجير متعددة الحدود المعممة لأبراموفيتز وستيجون. لاحظ أن كثيرات حدود لاجير الواردة في العديد من كتب ميكانيكا الكم، على سبيل المثال كتاب المسيح، هي تلك الخاصة بأبراموفيتز وستيجون مضروبة في عامل ( "2l + 1 + k" )! يتطابق التعريف الوارد في مقالة ويكيبيديا هذه مع تعريف Abramowitz و Stegun.  تصبح الطاقة  يرضي العدد الكمي الرئيسي "n" formula_111، أو formula_112. حيث formula_113، إجمالي دالة الموجة الشعاعية  التي تنتمي إلى الطاقة  في حساب التطبيع تم استخدام ثابت من التكامل