مضلع نيوتن  في الرياضيات، يعد مضلع نيوتن أداة لفهم سلوك كثيرات الحدود (أو متعددات الحدود) على الحقول المحلية. في الحالة الأصلية، كان مجال الاهتمام المحلي هو مجال سلسلة لورنت الرسمية في X غير المحدد، بحيثُ أنَّ أي مجال كسور حلقة سلسلة القدرة الرسمية.  على K، حيث كان K هو الرقم الحقيقي أو حقل العدد المركب. لا يزال هذا ذا فائدة كبيرة فيما يتعلق بتوسعات بويسو. يعد مضلع نيوتن أداة فعالة لفهم المصطلحات الرئيسية.  من حلول توسيع سلسلة الطاقة للمعادلات  حيث P هي كثيرة الحدود مع معاملات في K [ X ]، الحلقة متعددة الحدود ؛ أي، وظائف جبرية محددة ضمنيًا. الأس r هنا هي أرقام منطقية معينة، اعتمادًا على الفرع المختار، والحلول نفسها هي السلسلة في:  مع Y = X للمقام d المقابل للفرع. يعطي مضلع نيوتن منهجًا حسابيًا فعالًا لحساب d.  بعد إدخال أرقام p-adic، تبين أن مضلع نيوتن مفيد بنفس القدر في مسائل التشعب للحقول المحلية، وبالتالي في نظرية الأعداد الجبرية. كانت مضلعات نيوتن مفيدة أيضًا في دراسة المنحنيات الإهليلجية.  بالنظر إلى كثير الحدود على حقل، فإن سلوك الجذور (بافتراض أن لها جذور) سيكون غير معروف. توفر مضلعات نيوتن تقنية واحدة لدراسة سلوك الجذور.  إذن فـ formula_1 تُكوّن مجالًا محليًا بتقييم منفصل formula_2 ما يعني: formula_3  مع formula_4. ثم مضلع نيوتن formula_5 يُعرَّف بأنه الهيكل المحدب السفلي لمجموعة النقاط: formula_6  تجاهل النقاط مع formula_7. أعد صياغة هندسيًا، ارسم كل هذه النقاط P على المستوى xy. لنفترض أن مؤشرات النقاط تزداد من اليسار إلى اليمين ( P هي أقصى اليسار، P هي أقصى نقطة في اليمين). بعد ذلك، بدءًا من P ، ارسم شعاعًا لأسفل بشكل موازٍ للمحور y، وقم بتدوير هذا الشعاع عكس اتجاه عقارب الساعة حتى يصل إلى النقطة P (ليس بالضرورة P ). كسر الشعاع هنا. الآن ارسم شعاعًا ثانيًا من P مباشرة لأسفل بالتوازي مع المحور y، وقم بتدوير هذا الشعاع عكس اتجاه عقارب الساعة حتى يصل إلى النقطة P . استمر حتى تصل العملية إلى النقطة P ؛ المضلع الناتج (الذي يحتوي على النقاط P ، P ، P ،...، P ، P ) هو مضلع نيوتن.  طريقة أخرى، ربما تكون أكثر بديهية لعرض هذه العملية هي هذه : ضع في اعتبارك شريطًا مطاطيًا يحيط بجميع النقاط P ،...، ف . شد الشريط لأعلى، بحيث يكون الشريط عالقًا على جانبه السفلي ببعض النقاط (تعمل النقاط مثل المسامير، مطرقة جزئيًا في المستوى xy). رؤوس مضلع نيوتن هي بالضبط تلك النقاط.  للحصول على رسم تخطيطي أنيق لهذا، انظر الفصل 6 §3 من «الحقول المحلية» بقلم جي دابليو سي كاسيل، إل إم إس ستيودنت تيكست 3، كاب 1986. إنه موجود في الصفحة 99 من طبعة الغلاف الورقي لعام 1986.  تمت تسمية مضلعات نيوتن على اسم إسحاق نيوتن، الذي وصفها لأول مرة وبعض استخداماتها في المراسلات من عام 1676 الموجهة إلى هنري أولدنبورغ.  أحيانًا يكون مضلع نيوتن حالة خاصة لمصطلحNewton Polytope، ويمكن استخدامه لبناء حلول مقاربة لمعادلات متعددة الحدود ذات متغيرين مثل formula_8  يأتي تطبيق آخر لمضلع نيوتن من النتيجة التالية: formula_9  تكون منحدرات مقاطع خط نيوتن المضلع formula_10 (على النحو المحدد أعلاه) مرتبة بترتيب تصاعدي، ما يعني: formula_11  تكون الأطوال المقابلة لأجزاء الخط المسقطة على المحور x (أي إذا كان لدينا مقطع خط يمتد بين النقاط formula_12 و formula_13 ثم الطول formula_14 ). ثم لكل عدد صحيح formula_15 و formula_10 بالضبط formula_17 الجذور مع التقييم formula_18.  في سياق التقييم، يتم إعطاؤنا معلومات معينة في شكل تقييمات للوظائف المتماثلة الأولية لجذور كثير الحدود، وتتطلب معلومات عن تقييمات الجذور الفعلية، في إغلاق جبري. هذا له جوانب كل من نظرية التشعب ونظرية التفرد. الاستدلالات الصحيحة الممكنة تتعلق بتقييم مبالغ القوة عن طريق متطابقات نيوتن.