قوس بواسون  في الرياضيات والميكانيكا الكلاسيكية قوس بواسون هو عملية ثنائية مهمة في الميكانيكا الهاملتونية، حيث يلعب دورًا مركزيًا في معادلات هاملتون للحركة التي تؤثر في تحول الوقت في نظام هاملتون الديناميكي، كما يميز قوس بواسون فئة معينة من التحولات الإحداثية تسمى التحولات الكنسية، والتي بدورها تحول الأنظمة الإحداثية الكنسية إلى أنظمة إحداثية أساسية، حيث يتكون «النظام الإحداثي الكنسي» من متغيران هما: الموقع الكنسي والزخم، ويرمز إليهما أدناه ب: formula_1 وformula_2 على التوالي حيث يخضعان لعلاقات قوس بواسون الكنسي، كما أن هناك دائمًا مجموعة من التحولات الكنسية المحتملة ذات قيمة عالية، على سبيل المثال غالبًا ما يكون من الممكن اختيار دالة هاملتونيان نفسها formula_3 كأحد إحداثيات الزخم الكنسي الجديدة.  بمعنى أكثر عمومية يُستخدم قوس بواسون لتحديد جَبْر بواسون،حيث يُعتبر جبر الاقترانات على متشعب بواسون حالة خاصة، وهناك أمثلةٌ عامةٌ أخرى كالذي يحدث في نظرية جبر لاي لتشكيل جبر بواسون من جبر الموتر لجبر لاي،حيث أُعطيَ بناءٌ مُفصّل لكيفية حدوث ذلك في مقالة الإنجليزية، والتشوهات الكمومية للجبر الشامل المغلف تؤدي إلى تدوين مجموعات الكم.  كل هذه المواضيع سُميت تكريمًا لسيمون دينيس بواسون. الاقترانان المُعطيان  f وg اللذان يعتمدان على فضاء الطور والوقت، قوس بوايسون لهما هو formula_4: اقتران آخر يعتمد على فضاء الطور والوقت، والقواعد الآتية تنطبق لأي ثلاث اقترانات على سبيل المثال: formula_5 حيث أنهم يعتمدون على فضاء الطور والوقت، والقواعد هي:  عكس تبديلية  formula_6  ثنائية الخطية  formula_7  قاعدة ليبنيز  formula_8  متطابقة ياكوبي  formula_9  أيضًا إذا كانت الدالة formula_10 ثابت على فضاء الطور لكن من الممكن أن تعتمد الدالة على الوقت، فإن formula_11 لأي اقتران formula_12.  في الإحداثيات الكنسية المعروفة أيضًا بإحداثيات داربو formula_13 في فضاء الطور، الاقترانان المُعطيان: formula_14 وformula_15 يأخذ قوس بوايسون لهما الشكل الآتي:  formula_16  أقواس بواسون للإحداثيات الكنسية هم:  formula_17  حيث "formula_18": هي دالة دلتا كرونكر.  معادلات هاملتون للحركة تمتلك تعبير مكافئ عند كتابتها باستخدام قوس بواسون، وهذا من الممكن توضيحهُ مباشرةً في إطار إحداثي واضح، لنفترض أن formula_19: هو اقتران يعتمد على مسار الحل المتعدد، ثم باستخدام قاعدة السلسلة متعددة المتغيرات فإننا نحصل على:  formula_20  بالإضافة إلى هذا، من الممكن اعتبارformula_21 وformula_22 حلولًا لمعادلات هاملتون، حيث أن:  formula_23  ثم ينتج لدينا:  formula_24  من الممكن أن يُعطى التحول الزمني للاقتران formula_12 في المشعب التماسكي كمجموعة معامل واحد من التماثل حيث أنه في التحولات الكنسية هناك حفاظ على منطقة اختلاف الأشكال، ومع اعتبار الوقت "formula_26" عامل فإن حركة هاملتونيان تمثل تحول كنسي أُنشئ بواسطة دالة هاملتونيان، أي أن قوس بواسون محفوظ في  دالة هاملتونيان لذلك فإن أي وقت "formula_26" عند حل معادلات هاملتون يمكن أن يكون بمثابة إحداثيات القوس:  formula_28  إذًا أقواس بواسون هي الثوابت الكنسية، ومن خلال إسقاط الإحداثيات:  formula_29  فإن العامل في الجزء الحراري من المشتقة هو: formula_30 يُشار إليه أحيانًا باسم ليوفيليان (انظر إلى نظرية ليوفيلي (هاملتونيان)).  النظام الديناميكي المتكامل سيملك ثوابت الحركة بالإضافة إلى الطاقة، كهذه الثوابت من الحركة ستُستبدل مع دالة هاملتونيان في قوس بواسون، لتوضيح ذلك فلنفترض الاقتران التالي: formula_31 هو ثابت الحركة، وهذا يُوحي أنه إذا كان formula_32 مسارًا أو حلًا لمعادلات هاملتون للحركة، فإن:  formula_33  على طول ذلك المسار، إذًا:  formula_34  كما هو موضح أعلاه فإن الخطوة المتوسطة تُتبع بتطبيق معادلات الحركة ونحن فرضنا بوضوح أن الاقتران formula_12 لا يعتمد على الوقت، وتُعرف هذه المعادلة باسم معادلة ليوفيلي، حيث ينص محتوى نظرية ليوفيلي أن التغير الزمني للقياس أو دالة التوزيع في فضاء الطور هو ما ورد أعلاه.  إذا كان قوس بواسون للاقترانين formula_12 وformula_37  يتلاشى أي أن: formula_38؛ فإن الاقترانين: formula_12 وformula_37 يُقال أنهما في التفاف ، ولكي يكون نظام هاملتونيان قابلًا للتكامل تمامًا يجب أن تكون formula_41 من ثوابت الحركة المستقلة في الالتفاف المتبادل، حيث تمثل formula_41 عدد درجات الحرية.  وعلاوةً على ذلك وفقًا لنظرية بواسون، إذا كان هناك اثنتين من الكميات formula_43 وformula_44 لا تعتمدان على الوقت بشكل واضح (formula_45) ومن ثوابت الحركة، فإن قوس بواسون الخاص بهم هو: formula_46، وهذا لا يوفر دائمًا نتيجةً مفيدة حيث أن عدد الثوابت المحتمل للحركة محدود مثلًا يساوي formula_47 لنظام يملك formula_41 من درجات الحرية، وبالتالي فإن النتيجة قد تكون عديمة الأهمية كثابت أو دالة بدلالة formula_43 وformula_44.  لنفترض أن formula_51 متشعب تماسكي، كما أن المتشعب مزود بنموذج  تماسك: نموذجين formula_52 كلاهما متقاربان حيث أن المشتق الخارجي formula_53 يختفيK و آخر غير منحل، على سبيل المثال في المعالجة أعلاه نأخذ formula_51 لتكون formula_55 ولنأخذ أيضًا أن:  formula_56  إذا كان formula_57 هو الضرب الداخلي أو عملية الانكماش المُعرّف من خلال formula_58؛ فإن عدم الانحلال يعادل قول أن لكل نموذج formula_59 هناك مجال متجه مميز هو formula_60، بحيث يكون عوضًا عن formula_61، وإذا كان formula_62 اقتران ناعم في formula_51 فإن مجال المتجه هاملتونيان formula_64 يمكن تعريفه على أنه formula_65، حيث من السهل ملاحظة أن:  formula_66  قوس بواسون formula_67 في ("M", ω) يمثل عملية ثنائية الخطية في دالة قابلة للاشتقاق معرفة من خلال: formula_68، وقوس بواسون لاقترانين في "M" هو نفسه اقتران في "M"، و كما أن قوس بواسون غير متماثل لأن:  formula_69  ضف إلى ذلك أن:\omega)(X_g) = df(X_g) \\ \end{align}</math>.|}}هنا "Xf" تدل أن المجال المتجه "X" طُبِق للاقتران "f" كمشتق اتجاهي ،حيث أن formula_70 تُشير إلى مشتقة لاي للاقتران "f" بشكل مكافئ بالكامل.  إذا كان α نموذج تعسفي أحادي في "M" فإن المجال المتجه Ω يُنتج محليًا على الأقل تدفق formula_71 يُطبق الشروط الحدية formula_72 والمعادلة التفاضلية من الرتبة الأولى:  formula_73  formula_71 سيكون هناك تماثل لكل "t" كاقتران في "x" إذا وفقط إذا كان formula_75، حيث أنه عندما يكون هذا الشرط صحيح فإن Ω تُسمى مجال متجه تماسكي، باستدعاء متطابقة كارتان (الضرب الداخلي): formula_76 وأن: "d"ω = 0، هذا يتبعه أن: formula_77، لذلك Ω: هو مجال متجه تماسكي إذا وفقط إذا كان α شكل مغلق، وبما أن formula_78، فهذا يتبعه أن كل مجال متجه هاملتوني "X" هو مجال متجه تماسكي وأن تدفق هاملتونيان يحوي تحولات كنسية، ومن "X" أعلاه وتحت تدفق هاملتونيان نستنتج أن:  formula_79  هذه نتيجة أساسية في الميكانيكا الهاملتونية التي تحكم التحول الزمني للاقترانات المُعرفة في فضاء الطور، كما هو موضح أعلاه عندما يكون "{f,H} = 0؛" فإن "f" هو ثابت حركة النظام، بالإضافة إلى ذلك في الإحداثيات الكنسية باعتبار formula_80 وformula_81: هي معادلات هاملتون لتحول وقت النظام مُتْبَعةً مباشرةً من هذه الصيغة، كما يُتبع من أن قوس بواسون هو اشتقاق، وهذا يعني أنه يوافق الصيغة غير التبديلة لقاعدة ضرب لايبنز:قوس بواسون متصل بشكلٍ وثيق بقوس لاي لمتجه مجالات هاملتونيان لأن مشتق لاي هو اشتقاق حيث أن:  formula_82  لذلك إذا كان "v" و"w" تماسكيين وباستخدام: formula_83 ومتطابقة كارتان، وحقيقة أن formula_84 متماثلين:  formula_85  هذا يتبعه أن: formula_86 إذًا:</math>.|}}لذلك فإن قوس بواسون في الاقترانات يتوافق مع قوس لاي لمتجه لمجالات هاملتونيان والمرتبطة به، وكما أظهرنا أن قوس لاي يتكون من مجالين متجهين تماسكيين هما عبارة عن مجال متجه هاملتوني وبالتالي هو أيضًا تماسكي. في لغة الجبر المجرد تشكل المجالات المتجهة التماسكية جبرًا جزئيًا لجبر لاي لمتجه المجالات الناعمة في "M"، كما يُشكل متجه المجالات هاملتونيان مثالًا مثاليًا لهذا الجبر الجزئي، ومتجه المجالات التماسكية هو جبر لاي لمجموعة لاي اللانهائية الأبعاد من التماثل في "M".  على نطاق واسع من المؤكد أن متطابقة ياكوبي لقوس بواسون تابعٌ توافقها مع قوس لاي للمجالات المتجهة:  formula_87  لكن هذا صحيح فقط للاقتران المحلي الثابت، ومع ذلك لإثبات متطابقة ياكوبي لقوس بواسون فإنه يكفي إثبات أن:  formula_88  حيث formula_89: هو عامل في الاقترانات الناعمة في "M" يُعرف ب formula_90 والقوس في الجانب الأيمن هو مبدل العوامل formula_91، بواسطة فإن العامل formula_89 مساوي للعامل "X"، وإثبات متطابقة ياكوبي تُتبع من ؛ لأن قوس لاي لمتجه المجالات هو فقط مبدلهم كالعوامل التفاضلية.  جبر الاقترانات الناعمة في M بجانب قوس بواسون يُشكل جبر بواسون؛ لأنه هو جبر لاي في قوس بواسون الذي يوافق قاعدة لايبنز ، كما أظهرنا أن كل متشعب تماسكي هو متشعب بواسون وهو متشعب مع عامل الحاصرتان في الاقترانات الناعمة، حيث أن الاقترانات الناعمة تُشكل جبر بواسون، ومع ذلك ليس كل متشعب بواسون ينشأ بهذه الطريقة؛ لأن متشعبات بواسون تسمح للانحلال الذي لا يمكن أن ينشأ في حالة التماسك.  أُعطي formula_93 كمجال متجه سَلِس في فضاء التكوين، وجُعل formula_94 هو الزخم المرافق له؛ فإن الزخم المرافق الذي وُضع يُمثل جبر لاي العاكس للتشابه الشكلي من قوس بواسون لقوس لاي:  formula_95  هذه النتيجة المهمة تستحق إثبات قصير، فلنكتب أن المجال المتجه formula_93 عند النقطة formula_97 في فضاء التكوين هو كالآتي:  formula_98  حيث أن formula_99:هو الإطار الإحداثي المحلي، فالعزم المرافق لِformula_93 يمتلك التعبير التالي:  formula_101  حيث أن formula_2: هم اقترانات العزم المرافقة للإحداثيات، أما الآن فلنكتب التعبيرات السابقة للنقطتين formula_103 في فضاء الطور، حاصلين على التالي:  formula_104  النتيجة التي تم الحصول عليها أعلاه صحيحة لجميع النقاط formula_105 مُعطيًا النتيجة المطلوبة.  تشوه أقواس بواسون لأقواس مويال عند القياس الكمي (التكميم) تُعمم لجبر لاي مختلف أو جبر مويال أو ما يكافئ ذلك في فضاء هيلبرت وهو مبدل الكم، حيث أن مجموعة انكماش ويغنر- إينون لهم مع اعتبار أن نهاية الحد الكلاسيكي تصبح: فإن هذا يُسفرُ عن جبر لاي أعلاه.  لعرض ذلك بشكل أكثر وضوح ودقة فإن الجبر الشامل المغلف لجبر هايزنبرغ هو جبر فايل حيث أن نموذج العلاقة أن العنصر المركزي لجبر هايزنبرغ هو وحدة الجبر الشامل المغلف، ويكون ناتج مويال حالة خاصة من الضرب النجمي على جبر الرموز، كما أُعطيَ تعريف واضح لجبر الرموز والضرب النجمي في مقالة الإنجليزية.