مبرهنة تايلور  في حساب التفاضل والتكامل، تعطي مبرهنة تايلور تقريبًا لدالة قابلة للتفاضل بـ formula_1 مرات حول نقطة معينة بواسطة كثير الحدود من الدرجة formula_1، يسمى كثير الحدود لتايلور من الدرجة formula_1. للحصول على دالة ملساء، فإن كثير الحدود لتايلور هو التدوير عند الرتبة "formula_1" من متسلسلة تايلور للدالة. كثير الحدود لتايلور من الدرجة الأولى هو التقريب الخطي للدالة، وغالبًا ما يُشار إلى كثير الحدود لتايلور من الدرجة الثانية باسم التقريب التربيعي. هناك عدة نسخ من مبرهنة تايلور، بعضها يعطي تقديرات صريحة للخطأ التقريبي للدالة بواسطة كثير الحدود لتايلور.  سميت مبرهنة تايلور على اسم عالم الرياضيات بروك تايلور، الذي ذكر نسخة منها في عام 1715، على الرغم من ذكر جيمس غريغوري للنسخة السابقة للنتيجة في عام 1671.  تُدَرَّس مبرهنة تايلور في دورات حساب التفاضل والتكامل للمستوى التمهيدي وهي إحدى الأدوات الأساسية المركزية في التحليل الرياضي. إنه يعطي صيغًا حسابية بسيطة لحساب قيم العديد من الدوال المتسامية بدقة مثل الدالة الأسية والدوال المثلثية. إنها نقطة البداية لدراسة الدوال التحليلية، وهي أساسية في مختلف مجالات الرياضيات، وكذلك في التحليل العددي والفيزياء الرياضية. تعمم مبرهنة تايلور أيضًا على الدوال متعددة المتغيرات وذات القيم المتجهية.  إذا كانت دالة ذات قيم حقيقية formula_5 قابلة للتفاضل عند هذه النقطة formula_6، فإن لها تقريب خطي بالقرب من هذه النقطة. هذا يعني أن هناك دالة "h"("x") بحيث:  formula_7  هنا:  formula_8  هو التقريب الخطي لـ formula_5 لـ "x" بالقرب من النقطة "a"، التي رَسْمُها البياني formula_10 هو مماس الرسم البياني formula_11 عند . خطأ التقريب هو:  formula_12  لما يقترب "x" من "a"، هذا الخطأ يؤول إلى الصفر أسرع بكثير من formula_13، مما يجعل formula_14 تقريبًا مفيدًا.  لتقريب أفضل لـ formula_5، يمكننا أن نلائم كثير الحدود من الدرجة الثانية بدلاً من دالة خطية:  formula_16  هذا كثير الحدود له نفس المشتقات الأولى والثانية لـ formula_5 عند formula_6، كما هو واضح عند التفاضل.  تضمن مبرهنة تايلور أن يكون "التقريب التربيعي"، في جوار صغير لـ formula_6 بصورة كافية، أكثر دقة من التقريب الخطي. بشكل خاص:  formula_20  هنا الخطأ في التقريب هو:  formula_21  والتي، نظرًا للسلوك المحدود لـ formula_22، يؤول إلى الصفر أسرع من formula_23 لما "x" يقترب من "a".  النص الدقيق للنسخة الأساسية من مبرهنة تايلور هو كما يلي:  كثير الحدود الذي يظهر في مبرهنة تايلور هو كثير الحدود لتايلور من الدرجة 𝑘:formula_24للدالة "f" عند النقطة "a". كثير الحدود لتايلور هو كثير الحدود "الأنسب في التقارب" الوحيد بمعنى أنه في حالة وجود دالة وكثير الحدود p من الدرجة 𝑘 بحيث: formula_25فإن "p" = "P". توصف المبرهنة السلوك التقاربي للحد الباقي:formula_26  وهو خطأ التقريب عند تقريب "f" بكثير الحدود لتايلور الخاص به. باستخدام تدوين الصغير، يكتب نص مبرهنة تايلور على هذا الشكل:formula_27  تحت افتراضات الانتظام الأقوى حول "f"، هناك العديد من الصيغ الدقيقة للحد المتبقي "R" لكثير الحدود لتايلور، وأكثرها شيوعًا هي التالية:  عادة ما تُثبَت هذه التنقيحات لمبرهنة تايلور باستخدام مبرهنة القيمة المتوسطة، من هنا جاء الاسم. بالإضافة إلى ذلك، لاحظ أن هذه هي بالضبط مبرهنة القيمة المتوسطة حيث formula_28. يمكن أيضًا إيجاد تعبيرات أخرى مماثلة. على سبيل المثال، إذا كانت "G"("t") مستمرة على الفترة المغلقة وقابلة للاشتقاق بمشتق لا يختفي في الفترة المفتوحة بين 𝑎 و 𝑥، فإن:formula_29 من أجل بعض الأعداد formula_30 بين 𝑎 و 𝑥. تغطي نسخته شِكْلَيِْ لاغرانج وكوشي للباقي حالاتٍِ خاصة، وقد أثبتت أدناه باستخدام مبرهنة القيمة المتوسطة لكوشي. يُحْصَل على شكل لاغرانج بأخذ formula_31 ويُحْصَل على شكل كوشي بأخذ formula_32.