نظام كمي ذو حالتين  في ميكانيكا الكم ، نظام الحالتين (المعروف أيضا باسم نظام مستويين) هو نظام كمي يمكن أن يوجد في أي تراكب كمي من اثنين من الحالات الكمية .  فضاء هيلبرت يصف مثل هذا النظام ثنائي الأبعاد . لذلك، فإن الأساس الكامل الذي يمتد على المساحة يتكون من حالتين مستقلتين. يمكن أيضًا النظر إلى أي نظام قائم على حالتين على أنه كيوبت .  نظام الحالتين هو أبسط أنظمة الكم التي يمكن أن توجد، لأن ديناميكيات نظام الحالة الواحدة تافهة (أي لا توجد حالة أخرى يمكن أن يوجد فيها النظام). إن الإطار الرياضي المطلوب لتحليل أنظمة الحالتين هو المعادلات التفاضلية الخطية والجبر الخطي للمساحات ثنائية الأبعاد. ونتيجة لذلك، يمكن حل ديناميكيات نظام الحالتين بشكل تحليلي دون أي تقريب. السلوك العام للنظام هو أن سعة دالة الموجة تتأرجح بين الحالتين.  من الأمثلة المعروفة جيدًا لنظام الحالتين هو دوران جسيم spin-1/2 مثل الإلكترون، الذي يمكن أن يحتوي دورانه على قيم + "ħ" / 2 أو − "ħ" / 2 ، حيث "ħ" هو ثابت بلانك المختزل .  لا يمكن استخدام نظام الحالتين للامتصاص أو الانحلال، لأن مثل هذه العمليات تتطلب الاقتران بسلسلة متصلة. قد تنطوي مثل هذه العمليات على الانحلال الأسي للسعات، ولكن حلول نظام الحالتين تكون متذبذبة.  لنفترض أن الحالتين الأساسيتين المتاحتين للنظام هما formula_1 و formula_2 ، بشكل عام يمكن كتابة الحالة على أنها تراكب من هاتين الحالتين بسعات احتمالية formula_3 :  إذا كانت الحالة الأساس غير طبيعية formula_5 أي formula_6 و formula_7 هي دلتا كرونيكر ، لذا formula_8 . يمكن اعتبار أرقام الإحداثيات في ثنائية الأبعاد فضاء هلبرت معقد. وبالتالي ناقل الحالة المطابق للحالة formula_9 يكون  وتتوافق حالات الأساس مع ناقلات الأساس، formula_11 و formula_12 .  إذا كانت الحالة formula_9 و القاعدة من ال statevector هي وحدة، تكون formula_14 .  ترتبط جميع الكميات الفيزيائية التي يمكن ملاحظتها، مثل الطاقة، بحكم العاملين . في حالة الطاقة والهاملتونيان المقابل، formula_15 يعنى formula_16 ، بمعنى آخر formula_17 و formula_18 حقيقية و formula_19 . وبالتالي هذه العناصر المصفوفة الأربعة formula_20 تنتج 2 formula_21 2 مصفوفة محكمة .  تنص معادلة شرودنجر المستقلة عن الزمن على ذلك formula_23 ، واستبدال formula_9 من حيث حالات الأساس، من كلا الجانبين من formula_25 أو formula_26 ينتج نظامًا من معادلتين خطيتين يمكن كتابتهما في شكل مصفوفة  formula_28 هي 2 formula_21 2 من مصفوفات ايجنفالوس ومشكلة المتجهات الذاتية . بسبب formula_30 القيم الذاتية تكون حقيقية، أو العكس بالعكس، فالشرط أن تكون الطاقات حقيقية تعني ضمانية formula_30 . تمثل المتجهات الذاتية الحالات الثابتة ، أي تلك التي لا يتغير فيها الحجم المطلق لمربعات اتساع الاحتمال مع مرور الوقت.  الشكل العام لـ 2 formula_21 2 من مصفوفة الهرميت مثل هاميلتونيان لنظام الحالتين  أي formula_34 و formula_35 هي أعداد حقيقية مع وحدات الطاقة. يمكن العثور على مستويات الطاقة المسموح بها للنظام، وهي القيم الذاتية للمصفوفة هاميلتون، بالطريقة المعتادة.  يمكن أن تتحلل هذه المصفوفة على أنها  هنا، formula_37 و formula_38 هي أرقام حقيقية. المصفوفة formula_39 هي 2 formula_21 2 من مصفوفة الهوية والمصفوفات formula_41formula_42 هي مصفوفات باولي . يبسط هذا التحلل تحليل النظام، خاصة في حالة مستقلة عن الوقت حيث قيم formula_43 و formula_44 هي ثوابت.  يمكن كتابة هاميلتونيان بشكل أكثر تعقيدًا على النحو التالي:  المتجه formula_46 من formula_47 و formula_48 من formula_49 . يبسط هذا التمثيل تحليل تطور الوقت للنظام ويسهل استخدامه مع التمثيلات المتخصصة الأخرى مثل المجال بلوتش .  إذا كان نظام هاميلتون مستقلا عن حالتي formula_15 يتم تعريفه على النحو الوارد أعلاه، ثم يتم إعطاءه قيمه ذاتية من formula_51 . من الواضح ان formula_52 هو متوسط الطاقة للمستويين، ومعيار formula_46 هو الانقسام بينهما. يشار إلى المتجهات الذاتية المقابلة formula_54 و formula_55 .  نفترض الآن أن السعات الاحتمالية تعتمد على الوقت، على الرغم من أن حالات الأساس ليست كذلك. معادلات شرودنغر المعتمدة على الوقت formula_56 ، و (استبدال formula_9 من formula_58 مرة أخرى ينتج زوج من المعادلات الخطية المزدوجة، ولكن هذه المرة هي المعادلات التفاضلية الجزئية من الدرجة الأولى: formula_59 . إذا formula_30 هو الوقت المستقل، هناك العديد من الأساليب، لإيجاد الاعتماد على الوقت formula_3 ، مثل الأوضاع العادية . والنتيجة هي هكذا:  أي formula_63 هو statevector في formula_64 . هنا يمكن العثور على أسية المصفوفة من توسع السلسلة. المصفوفة formula_65 تسمى مصفوفة تطور الوقت (والتي تتضمن عناصر المصفوفة لعامل تطور الوقت المقابل formula_66 ). formula_65 هي وحدوية، وهذا يعني ان formula_68 . يمكن أن يثبت ذلك هكذا:  أي formula_70 .  عندما يغير المرء الأساس إلى المتجهات الذاتية لهاملتونيان، وبعبارة أخرى، إذا كان الأساس ينص على formula_71 يتم اختيارهم ليكونوا المتجهات الذاتية بعد ذلك formula_72 و formula_73 وبالتالي فإن هاميلتونيون قطري، أي formula_74 وهو من الشكل،  الآن عامل تطور الوقت الوحدوي formula_76 يمكن رؤيته بسهولة من خلال:  ال formula_78 يساهم فقط في المرحلة الإجمالية للمشغل ويمكن تجاهلها عادة لإنتاج عامل تطور زمني جديد لا يمكن تمييزه ماديًا عن المشغل الأصلي. علاوة على ذلك، يمكن إضافة أي اضطراب في النظام (والذي سيكون من نفس شكل هاميلتونيان) إلى النظام في الأساس الذاتي لهاملتونيان غير مضطرب وتحليله بنفس الطريقة المذكورة أعلاه. لذلك، لأي اضطراب، يمكن حل المتجهات الذاتية الجديدة للنظام المضطرب تمامًا، كما هو مذكور في المقدمة.  افترض أن النظام يبدأ في إحدى حالات الأساس عند formula_64 ، formula_80 formula_81 ، يكون التركيز باحتمال احتلال كل حالة أساس كدالة للوقت عندما يكون formula_30 هو هاميلتوني مستقل عن الوقت.  formula_83  احتمالية احتلال الحالة formula_84 تكون formula_85 . في حالة البداية، formula_86 وما فوق، formula_87 . بالتالي  ببساطة formula_89 بسبب الحالة الأولية. التردد formula_90 يسمى تردد رابي المعمم، formula_91 يسمى التردد الرابي و formula_92 يسمى detuning. عند detuning الصفري، formula_93 ، أي أن هناك انحراف رابي من احتلال مضمون للحالة 1 ، إلى احتلال مضمون للحالة 2 ، والعودة إلى الحالة 1 وما إلى ذلك. formula_94 . بينما يزداد ال بعيدًا عن الصفر، يزداد تواتر التقليب (إلى formula_95 ) وينخفض التعة إلى formula_96 .  انظر أيضًا دورة ربيع وتقريب الموجة الدوارة لهاميلتونيين يعتمد على الوقت الناجم عن موجات الضوء.  لنأخذ حالة جسيم الدوران 1/2 في المجال المغناطيسي formula_97 . تفاعل هاميلتونيان لهذا النظام هو  أي ان formula_99 هو مقدار العزم المغناطيسي للجسيم، و formula_100 هو ناقل مصفوفات باولي . حل معادلة شرودنجر المعتمدة على الوقت formula_101 عائدة إلى هذا:  أي formula_103 و formula_104 . مادياً، يتوافق هذا مع ناقل بلوخ المتداول formula_105 بتردد زاوي formula_106 . بدون فقدان العمومية، افترض أن المجال هو نقاط موحدة في formula_107 ، بحيث يتم إعطاء عامل تطور الوقت كـ  يمكن ملاحظة أن عامل تطور الوقت الذي يعمل على حالة الدوران العامة لجزيء الدوران 1/2 سيؤدي إلى استباقية حول المحور المحدد بواسطة المجال المغناطيسي المطبق (المكافئ الميكانيكي الكمومي لمسافة لارمور )   يمكن تطبيق الطريقة المذكورة أعلاه على تحليل أي نظام حالتين عام يتفاعل مع بعض المجالات (ما يعادل المجال المغناطيسي في الحالة السابقة) إذا تم التفاعل بواسطة اقتران مناسب مماثل للعزم المغناطيسي . يمكن اعتبار البادئة لناقل الحالة (التي لا تحتاج إلى الغزل المادي كما هو الحال في الحالة السابقة) على أنها البادئة لناقل الحالة على مجال بلوخ .  التمثيل في المجال بلوتش لمتجه الحالة formula_109 سيكون ببساطة ناقل قيم التوقعات formula_110 . كمثال، ضع في اعتبارك متجه الحالة formula_111 الذي هو تراكب تطبيعي formula_112 و formula_113 ، أي ناقلات يمكن تمثيلها في formula_114 ك  مكونات formula_116 على المجال بلوخ ستكون ببساطة formula_117 . هذا ناقل وحدة يبدأ بالإشارة formula_118 و حولها formula_119 بطريقة عسرى. بشكل عام، من خلال دوران formula_119 حول أي ناقل حالة formula_109 يمكن تمثيلها كـ formula_122 مع معاملات حقيقية من formula_123 و formula_124 . مثل متجه الحالة هذا يتوافق مع ناقل بلوخ في : "xz" تصنع زاوية formula_125 مع المحور- "z" . سوف يستمر هذا الناقل في الظهور ك formula_119 . من الناحية النظرية، من خلال السماح للنظام بالتفاعل مع مجال اتجاه معين وقوة معينة لفترات دقيقة، من الممكن الحصول على أي اتجاه لمتجه بلوخ ، وهو ما يعادل الحصول على أي تراكب معقد. هذا هو الأساس للعديد من التقنيات بما في ذلك الحوسبة الكمومية والتصوير بالرنين المغناطيسي .  الرنين المغناطيسي النووي (NMR) هو مثال مهم في ديناميكيات أنظمة الحاليتن لأنه يتضمن الحل الدقيق لهاملتوني يعتمد على الوقت. يتم تحقيق ظاهرة الرنين المغناطيسي النووي عن طريق وضع نواة في حقل ثابت قوي B ("حقل التثبيت") ثم تطبيق مجال ضعيف وعرضي B يتأرجح عند بعض الترددات الراديوية "ω" . بشكل صريح، ضع في اعتبارك جسيم الدوران 1/2 في حقل احتجاز formula_127 وحقل الترددات المستعرضة B يدوران في "xy" بطريقة عسرى () حول B :  كما هو الحال في المبادرة الحرة، فإن هاميلتون هو formula_129 ، وتطور ناقل الحالة formula_116 يتم العثور عليها عن طريق حل معادلة شرودنجر المعتمدة على الوقت formula_131 . بعد بعض التلاعب (كما هو موضح في القسم المنهار أدناه) ، يمكن إظهار أن معادلة شرودنغر تصبح  وفقًا للقسم السابق، فإن حل هذه المعادلة يحتوي على ناقل بلوخ formula_133 مع تردد ضعف حجم المتجه. إذا كانت formula_134 قوية بما فيه الكفاية، فإن بعض نسبة السبين سوف تشير مباشرة للأسفل قبل إدخال المجال الدوار. إذا تم اختيار التردد الزاوي للمجال المغناطيسي الدوار مثل هذا formula_135 ، في الإطار الدوّار، سيبدأ متجه الحالة في الجوار formula_136 مع التردد formula_137 ، وبالتالي سوف تنقلب من أسفل إلى أعلى و تطلق الطاقة في شكل فوتونات قابلة للكشف . هذا هو الأساس الأساسي للرنين المغناطيسي النووي ، ومن الناحية العملية يتم تحقيقه عن طريق المسح الضوئي formula_138 حتى يتم العثور على تردد الرنين عند هذه النقطة ستصدر العينة الضوء. يتم إجراء حسابات مماثلة في الفيزياء الذرية، وفي حالة عدم دوران المجال، ولكن تتأرجح بسعة معقدة، يتم استخدام تقريب الموجة الدوارة في استخلاص مثل هذه النتائج.  يمكن اشتقاق معادلات بلوخ الضوئية لمجموعة من جزيئات الدوران 1/2 من معادلة شرودنجر المعتمدة على الوقت لنظام من مستويين. بدءا من هاميلتوني المذكور سابقا formula_139 ، يمكن كتابتها في تدوين الجمع بعد إعادة ترتيبها  التضاعف في مصفوفة باولي formula_141 والاقتران المترافق للوظيفة الموجية، وبالتالي توسيع ناتج حصيلة مصفوفات باولي، يكون هكذا:  إن إضافة هذه المعادلة إلى بديلها المتقارب يعطي جانبًا يساريًا من النموذج  والجهة اليمنى من النموذج  كما ذكرنا سابقًا، فإن القيمة المتوقعة لكل مصفوفة باولي هي مكون من متجه بلوخ ، formula_145 . معادلة الجانبين الأيسر والأيمن وملاحظة formula_146 هي النسبة المغنطيسية formula_147 ، يعطي شكل آخر لمعادلات الحركة لمتجه بلوخ  حيث حقيقة formula_149 تم استخدامها في شكل متجه و يمكن التعبير عن هذه المعادلات الثلاث من حيث المنتوج المتقاطع  كلاسيكيًا، تصف هذه المعادلة ديناميكيات الدوران في المجال المغناطيسي. يتكون المغناطيس المثالي من مجموعة من السبينات المتطابقة التي تعمل بشكل مستقل، وبالتالي التمغنط الكلي formula_151 يتناسب مع ناقلات بلوخ formula_152 . كل ما تبقى للحصول على الشكل النهائي لمعادلات بلوخ البصرية هو تضمين الظواهر.  كجانب نهائي، يمكن اشتقاق المعادلة أعلاه من خلال النظر في التطور الزمني لعامل الزخم الزاوي في تصوير هايزنبرغ .  formula_154 ، هذه المعادلة هي نفس المعادلة السابقة .  أنظمة الحالتين هي أبسط أنظمة الكم غير العادية التي تحدث في الطبيعة، لكن طرق التحليل المذكورة أعلاه ليست صالحة فقط لأنظمة الحالتين البسيطة. بل يمكن معالجة أي نظام كمومي عام متعدد الحالات كنظام حالتين طالما أن النظام المرئي يركز على قيمتان ذاتيتان.  على سبيل المثال، قد يكون لجسيم الدوران 1/2 في الواقع درجات تحول إضافية أو حتى تناوب حر، لكنها ليست ذات صلة بالتحليل السابق. رياضيا، تتوافق درجات التناوب الحر المهملة مع انحطاط القيم الذاتية للدوران.  في حالة أخرى تكون فيها شكليات الحالتين الفعالة صحيحة عندما يكون للنظام قيد النظر مستويين يتم فصلهما عن النظام بشكل فعال. هذا هو الحال في تحليل الانبعاث العفوي أو المحفز للضوء بواسطة الذرات وتلك التي تشحن بالكيلوبتات .  في هذه الحالة، يجب أن يوضع في الاعتبار أن الاضطرابات (التفاعلات مع مجال خارجي) تقع في النطاق الصحيح ولا تتسبب في انتقالات إلى حالات أخرى غير تلك المهمة.  تعتبر شكليات الحالتين هي من أبسط التقنيات الرياضية المستخدمة لتحليل النظم الكمومية. يمكن استخدامها لتوضيح الظواهر الميكانيكية الكمومية الأساسية مثل التداخل الذي تظهره الجزيئات بحالات الاستقطاب للفوتون، ولكن أيضًا ظواهر أكثر تعقيدًا مثل تذبذب النيوترينو أو تذبذب كي ميسون المحايد .  يمكن استخدام شكليات الحالتين لوصف الاختلاط البسيط للحالات، مما يؤدي إلى ظواهر مثل استقرار الرنين والتماثلات الأخرى المرتبطة بعبور المستوى .  هذه الظواهر لها تطبيق واسع في الكيمياء. يمكن تفسير الظواهر ذات التطبيقات الصناعية الهائلة مثل الماسر والليزر باستخدام شكليات الحالتين.  تشكل شكليات الحالتين أيضًا أساس الحوسبة الكمومية . كيوبيتس ، وهي اللبنات الأساسية لجهاز الكمبيوتر الكمومي . أي عملية حسابية كمومية هي عملية وحدوية تقوم بتدوير متجه الحالة على كرة بلوخ.