توزيع بواسون  توزيع بواسون (; )،(ويسمى أيضا قانون بواسون للأعداد الصغيرة) هو توزيع احتمالي منفصل يعبر عن احتمالية حدوث عدد من الأحداث ضمن فترة محددة من الوقت إذا حدثت هذه الأحداث بمعدل وسطي معروف وغير متعلقة بزمن حدوث آخر حدث.  في نظرية الاحتمالات والإحصاءات هو التوزيع الاحتمالي المنفصل الذي سمي على اسم عالم الرياضيات الفرنسي سيميون دينيس بواسون، وهو توزيع احتمالي منفصل يعبر عن احتمال حدوث عدد معين من الأحداث في الفاصل الزمني أو المكان إذا حدثت هذه الأحداث بمعدل متوسط ثابت معروف وبشكل مستقل عن الزمن منذ آخر حدث. يمكن أيضًا استخدام توزيع بواسون لعدد الأحداث في فترات زمنية محددة أخرى مثل المسافة أو المنطقة أو الحجم.  على سبيل المثال، يتلقى مركز الاتصال الهاتفي 180 مكالمة في المتوسط في الساعة، 24 ساعة في اليوم. المكالمات مستقلة. استقبال واحد لا يغير من احتمالية وصول الآخر. عدد المكالمات التي يتم تلقيها خلال أي دقيقة له توزيع احتمالية بواسون: الرقم الأكثر احتمالًا هو 3، ولكن من المحتمل أيضًا أن يكون الرقم 2 أو 4 محتملًا؛ وهناك احتمال ضئيل لكونه منخفضًا حتى الصفر وكذلك احتمال صغير جدًا أن يكون 10 .  مثال آخر هو عدد أحداث الانحلال التي تحدث من مصدر مشع في فترة مراقبة معينة قصيرة.  في مدّة زمنية T، يحصل الحدث بمعدل λ مرّات (λ أقل من 5 مثلا). لنرمز ب X المتغير العشوائي الذي يمثل عدد المرّات التي سيحصل فيها الحدث في X. T يمكن أن يساوي 0، 1، 2...  يتبع هذا المتغير العشوائي القانون التالي: مهما كان العدد الطبيعي k.   هذا ما يدعى توزيع بواسون (أو قانون بواسون) ذا المعلمة λ.  يعتبر توزيع بواسون شائعًا لنمذجة "عدد المرات التي يقع فيها الحدث في فترة زمنية أو مساحة" .  يُقال إن X المنفصل له توزيع بواسون مع المعامل المتغير λ> 0 إذا كان لـ k = 0، 1، 2... دالة الكتلة الاحتمالية لـ X تعطى بواسطة:  formula_2  عندما   الرقم الحقيقي الموجب "λ" يساوي القيمة المتوقعة لـ "X" وأيضًا تباينها   يمكن تطبيق توزيع بواسون على الأنظمة التي بها عدد كبير من الأحداث المحتملة، كل منها نادر الحدوث. عدد مثل هذه الأحداث التي تحدث خلال فترة زمنية محددة، في ظل الظروف المناسبة، هو رقم عشوائي مع توزيع بواسون.  يمكن تكييف المعادلة إذا، بدلاً من متوسط عدد الأحداث formula_4، نحصل على معدل زمني لعدد الأحداث formula_5 يحدث. ثم formula_6 (عرض formula_7 عدد الأحداث لكل وحدة زمنية)، و  مثال  قد يكون توزيع بواسون مفيدًا لنمذجة أحداث مثل   يعتبر توزيع بواسون نموذجًا مناسبًا إذا كانت الافتراضات التالية صحيحة:    إذا كانت هذه الشروط صحيحة، فإن هو متغير بواسون العشوائي، وتوزيع هو توزيع بواسون.  توزيع بواسون هو أيضًا حد التوزيع ذي الحدين، حيث يساوي احتمال النجاح لكل تجربة مقسومًا على عدد التجارب، حيث يقترب عدد التجارب من اللانهاية (انظر التوزيعات ذات الصلة).  في نهر معين، تحدث فيضانات الفائض مرة كل 100 عام في المتوسط. احسب احتمال= 0، 1، 2، 3، 4، 5، أو 6 فيضان فيضان في فترة 100 سنة، على افتراض أن نموذج بواسون مناسب.  لأن متوسط معدل الحدث هو فيضان فائض واحد لكل 100 عام، "λ" = 1  يعطي الجدول أدناه احتمالية حدوث 0 إلى 6 فيضانات في فترة 100 عام.  أفاد أوغارتي وزملاؤه أن متوسط عدد الأهداف في إحدى مباريات كأس العالم لكرة القدم يبلغ 2.5 تقريبًا وأن نموذج بواسون مناسب.  لأن متوسط معدل الحدث 2.5 هدف لكل مباراة، "λ" = 2.5.  يعطي الجدول أدناه الاحتمال من 0 إلى 7 أهداف في المباراة.  مرة واحدة في الأحداث الفاصلة: حالة خاصة من "λ" = 1 و "k" = 0  لنفترض أن الفلكيين يقدرون أن النيازك الكبيرة (فوق حجم معين) ضربت الأرض في المتوسط مرة كل 100 سنة "(λ" = 1 حالة لكل 100 سنة)، وأن عدد الزيارات النيزك يتبع توزيع بواسون. ما هو احتمال = 0 يضرب نيزك في المائة عام القادمة؟  في ظل هذه الافتراضات، فإن احتمال عدم اصطدام أي نيازك كبيرة بالأرض خلال المائة عام القادمة هو 0.37 تقريبًا. الباقي 1 - 0.37 = 0.63 هو احتمال حدوث 1، 2، 3، أو أكثر من ضربات نيزك كبير في المائة عام القادمة. في المثال أعلاه، حدث فيضان فائض مرة كل 100 عام ("λ" = 1). كان احتمال عدم حدوث فيضانات فائضة خلال 100 عام تقريبًا 0.37، بنفس الحساب.  بشكل عام، إذا حدث حدث ما في المتوسط مرة واحدة لكل فترة زمنية ("λ" = 1)، وتتبع الأحداث توزيع بواسون، ثم . بالإضافة إلى ذلك، "P" (حدث واحد بالضبط في الفترة التالية) = 0.37، كما هو موضح في الجدول لفيضانات الفائض.  من المحتمل ألا يتبع عدد الطلاب الذين يصلون إلى اتحاد الطلاب في الدقيقة توزيع بواسون، لأن المعدل ليس ثابتًا (معدل منخفض أثناء وقت الفصل، ومعدل مرتفع بين أوقات الفصل) وقادمات الطلاب الفرديين ليسوا مستقلين (الطلاب تميل إلى المجيء في مجموعات).  قد لا يتبع عدد الزلازل التي تبلغ قوتها 5 درجات سنويًا في بلد ما توزيع بواسون إذا زاد زلزال واحد كبير من احتمال حدوث توابع من نفس الحجم.  الأمثلة التي يتم فيها ضمان حدث واحد على الأقل لا يتم توزيع بواسون؛ ولكن يمكن نمذجتها باستخدام توزيع بواسون بدون اقتطاع.  يمكن نمذجة توزيعات العد التي يكون فيها عدد الفترات ذات الأحداث الصفرية أعلى من المتوقع بواسطة نموذج بواسون باستخدام نموذج مضخم صفري.   حدود الوسيط (formula_21) من التوزيع معروف وحاد:   اللحظات الأعلى حول الأصل، "m ·" لتوزيع بواسون، هي توشارد كثيرات الحدود في λ:  formula_23  للحظات غير المركزية نحددها formula_24، ثم   formula_25  عندما formula_26 هو الثابت المطلق أكبر من 0.    formula_36  أين formula_37 هو التباعد الموجه كولباك – ليبلر، كما هو موضح أعلاه.  المتباينات التي تربط دالة التوزيع لمتغير بواسون العشوائي formula_33 إلى دالة التوزيع العادي القياسية formula_39 هي كالتالي:   formula_40  أين formula_41 هو مرة أخرى اختلاف كولباك – ليبلر الموجه.  يترك formula_42 و formula_43 تكون متغيرات عشوائية مستقلة، مع formula_44، ثم لدينا ذلك  formula_45  تم إثبات الحد الأعلى باستخدام حد تشيرنوف القياسي.  يمكن إثبات الحد الأدنى بملاحظة ذلك formula_46 هو احتمال أن formula_47، أين formula_48، والتي يحدها أدناه formula_49، أين formula_50 هو إنتروبيا نسبية (انظر المدخل على حدود ذيول التوزيعات ذات الحدين لمزيد من التفاصيل). كذلك مشيرا إلى أن formula_51، وحساب الحد الأدنى على الاحتمال غير المشروط يعطي النتيجة. يمكن العثور على مزيد من التفاصيل في ملحق كاماث وآخرون.     formula_72   formula_74    formula_79  و  formula_80  افترض formula_81 أين formula_82، ثم formula_83 يتم توزيعها بشكل متعدد الحدود formula_84 مشروط formula_85 .  هذا يعني ، من بين أمور أخرى، ذلك لأي وظيفة غير سلبية formula_86، لو formula_87 يتم توزيعها متعدد الحدود، إذن  عندما formula_89 .  عامل formula_90 يمكن استبداله بـ 2 إذا formula_91 يُفترض أيضًا أنه يتزايد أو يتناقص بشكل رتيب.  تم تمديد هذا التوزيع إلى حالة ثنائية المتغير. وظيفة التوليد لهذا التوزيع هي  مع  formula_93  التوزيعات الهامشية هي بواسون "(θ" وبواسون "(θ" ومعامل الارتباط يقتصر على مجموعة  formula_94  طريقة بسيطة لتوليد توزيع بواسون ثنائي المتغير formula_95 هو أخذ ثلاث توزيعات بواسون مستقلة formula_96 بالوسائل formula_97 ثم ضبط formula_98 . دالة الاحتمال لتوزيع بواسون ثنائي المتغير هي  formula_99  توزيع بواسون المجاني بحجم قفزة formula_100 ومعدل formula_78 ينشأ في نظرية الاحتمالات الحرة كحد أقصى للالتفاف الحر المتكرر  formula_102  مثل "N." → ∞.  وبعبارة أخرى، دعونا formula_103 تكون متغيرات عشوائية بحيث formula_103 له قيمة formula_100 مع الاحتمال formula_106 والقيمة 0 مع الاحتمال المتبقي. افترض أيضا أن الأسرة formula_107 مستقلة بحرية. ثم الحد كما formula_108 من قانون formula_109 يتم تقديمها بموجب قانون بواسون الحر مع المعلمات formula_110 .  هذا التعريف مشابه لإحدى الطرق التي يتم بها الحصول على توزيع بواسون الكلاسيكي من عملية بواسون (كلاسيكية).  يتم إعطاء التدبير المرتبط بقانون بواسون المجاني بواسطة   formula_111  عندما  formula_112  ولديه دعم formula_113 .  ينشأ هذا القانون أيضًا في نظرية المصفوفة العشوائية مثل قانون مارشينكو - باستور. المتراكمات الحرة لها تساوي formula_114 .  نعطي قيمًا لبعض التحولات المهمة لقانون بواسون الحر؛ يمكن العثور على الحساب في، على سبيل المثال، في كتاب «محاضرتان حول توافقيات الاحتمالية الحرة بواسطة أ. نيكا ور. سبايشر».  يتم إعطاء تحويل R لقانون بواسون المجاني بواسطة  formula_115  يتم إعطاء تحويل كوشي (وهو سلبي لتحويل ستيلجس) بواسطة  formula_116  يتم إعطاء تحويل S بواسطة  formula_117  في الحالة تلك formula_118 .  إعطاء عينة من القيم المقاسة "n" formula_119، "لأني" = 1، ... "ن"، نرغب في تقدير قيمة المعلمة "λ" لمجتمع بواسون الذي تم سحب العينة منه. تقدير الاحتمالية القصوى هو   formula_120  نظرًا لأن كل ملاحظة لها توقع λ فهل تعني العينة. لذلك، فإن تقدير الاحتمالية القصوى هو مقدر غير متحيز لـ λ. وهو أيضًا مقدر فعال نظرًا لأن تباينه يحقق الحد الأدنى كرامر - راو (CRLB).  ومن ثم فإن التباين الأدنى غير متحيز. كما يمكن إثبات أن المجموع (ومن ثم متوسط العينة لأنه دالة فردية للمبلغ) هو إحصائية كاملة وكافية لـ λ.  لإثبات الكفاية، قد نستخدم نظرية العوامل. ضع في اعتبارك تقسيم دالة الكتلة الاحتمالية لتوزيع بواسون المشترك للعينة إلى جزأين: جزء يعتمد فقط على العينة formula_121 (مسمى formula_122) وواحد يعتمد على المعلمة formula_78 والعينة formula_121 فقط من خلال الوظيفة formula_125 . ثم formula_125 إحصائية كافية لـ formula_78 .  formula_128  الفصل الأول، formula_122، يعتمد فقط على formula_121 . الفصل الثاني، formula_131، يعتمد على العينة فقط من خلال formula_132 . هكذا، formula_125 كافي.  للعثور على المعلمة λ التي تزيد من دالة الاحتمال لسكان بواسون، يمكننا استخدام لوغاريتم دالة الاحتمال:  formula_134  نأخذ مشتق من "formula_135" فيما يتعلق "λ" وذلك لمقارنة الصفر:  formula_136  الحل من أجل "λ" يعطي نقطة ثابتة.  formula_137  إذن "λ" هو متوسط قيم "k" . الحصول على علامة المشتق الثاني لـ "L" عند النقطة الثابتة سيحدد نوع القيمة القصوى "λ" .  formula_138  يعطي تقييم المشتق الثاني "عند النقطة الثابتة" :  formula_139  وهو سالب "n" في مقلوب متوسط k . هذا التعبير سالب عندما يكون المتوسط موجبًا. إذا تم استيفاء ذلك، فإن النقطة الثابتة تزيد من دالة الاحتمال.  من أجل الاكتمال، يُقال أن عائلة التوزيعات كاملة إذا وفقط إذا formula_140 يعني ذلك formula_141 للجميع formula_78 . إذا كان الفرد formula_143 هي iid formula_144، من ثم formula_145 . من خلال معرفة التوزيع الذي نريد التحقيق فيه، من السهل أن نرى اكتمال الإحصاء.  formula_146  من أجل هذه المساواة، formula_147 يجب أن يكون 0. هذا يأتي من حقيقة أنه لن يكون أي من المصطلحات الأخرى صفرًا للجميع formula_148 في المجموع ولجميع القيم الممكنة لـ formula_78 . لذلك، formula_140 للجميع formula_78 يعني ذلك formula_141، وقد ثبت أن الإحصاء مكتمل.  يمكن التعبير عن فاصل الثقة لمتوسط توزيع بواسون باستخدام العلاقة بين وظائف التوزيع التراكمي لتوزيعات بواسون وكي تربيع. يرتبط توزيع مربع كاي ارتباطًا وثيقًا بتوزيع جاما، وهذا يؤدي إلى تعبير بديل. بالنظر إلى الملاحظة "k" من توزيع بواسون بمتوسط "μ"، فإن فاصل الثقة لـ "μ" بمستوى الثقة هو  formula_153  أو مكافئ،  أين formula_155 هي الدالة الكمية (المقابلة لمنطقة الذيل السفلية "p") لتوزيع مربع كاي مع "n" من درجات الحرية و formula_156 هي دالة كميّة لتوزيع جاما بمعامل الشكل n ومعلمة المقياس 1. هذا الفاصل الزمني «دقيق» بمعنى أن احتمالية تغطيتها لا تقل أبدًا عن الاسمي.  عندما لا تتوفر كميات توزيع جاما، تم اقتراح تقريب دقيق لهذه الفترة الزمنية الدقيقة (بناءً على تحويل ويلسون-هيلفيرتي):   formula_157  عندما formula_158 يشير إلى الانحراف القياسي العادي مع منطقة الذيل العليا .  لتطبيق هذه الصيغ في نفس السياق على النحو الوارد أعلاه (بالنظر إلى عينة من القيم المقاسة "n" "k" مستمدة من توزيع بواسون بمتوسط "λ")، يجب تعيين  formula_159  احسب الفاصل الزمني لـ "μ" = "nλ"، ثم قم باشتقاق الفترة الزمنية لـ "λ" .  في الاستدلال البايزي، يكون الاتحاد السابق لمعامل المعدل "λ" لتوزيع بواسون هو توزيع جاما. اسمحوا  formula_160  تشير إلى أن "λ" يتم توزيعها وفقًا لكثافة جاما "g المحددة" من حيث معلمة الشكل "α" ومعلمة المقياس العكسي "β" :  formula_161  بعد ذلك، بالنظر إلى نفس العينة من قيم "n" المقاسة "k" كما كان من قبل، وقبل غاما ("α"، "β")، يكون التوزيع اللاحق  formula_162  والخلفي يعني E "[λ]" يقترب تقدير أقصى احتمال formula_163 في حدود formula_164، والتي تتبع مباشرة من التعبير العام لمتوسط توزيع جاما.  التوزيع التنبئي اللاحق لملاحظة إضافية واحدة هو توزيع سالب ذي الحدين، يُسمى أحيانًا توزيع غاما-بواسون.  افترض formula_165 هي مجموعة من المتغيرات العشوائية المستقلة من مجموعة من formula_166 توزيعات بواسون، ولكل منها معلمة formula_167 و formula_168، ونود تقدير هذه المعلمات. بعد ذلك، أظهر Clevenson و Zidek أنه في ظل خسارة الخطأ التربيعية الطبيعية formula_169، متي formula_170، إذن، على غرار مثال شتاين للوسائل العادية، مقدر MLE formula_171 غير مقبول.  في هذه الحالة، يتم إعطاء عائلة من مقدر مينيماكس لأي formula_172 و formula_173 كـ   formula_174  يمكن العثور على تطبيقات توزيع بواسون في العديد من المجالات بما في ذلك:    ينشأ توزيع بواسون فيما يتعلق بعمليات بواسون. ينطبق على ظواهر مختلفة من الخصائص المنفصلة (أي تلك التي قد تحدث 0، 1، 2، 3... مرات خلال فترة زمنية معينة أو في منطقة معينة) كلما كان احتمال حدوث الظاهرة ثابتًا في الزمان أو المكان. تتضمن أمثلة الأحداث التي يمكن نمذجتها كتوزيع بواسون ما يلي:   أظهر غالاغر في عام 1976 أن أعداد الأعداد الأولية في فترات زمنية قصيرة تخضع لتوزيع بواسون قدمت نسخة معينة من تخمين مجموعة هاردي-ليتلوود الأولية غير المثبتة لهاردي ليتلوود صحيح.  يرتبط معدل الحدث باحتمالية وقوع حدث في فترة فرعية صغيرة (من الوقت أو المكان أو غير ذلك). في حالة توزيع بواسون، يفترض المرء أن هناك فترة فرعية صغيرة بما فيه الكفاية بحيث يكون احتمال وقوع حدث مرتين «ضئيلاً». مع هذا الافتراض، يمكن للمرء اشتقاق توزيع بواسون من التوزيع ذي الحدين، مع الأخذ في الاعتبار فقط معلومات العدد المتوقع من الأحداث الإجمالية في الفترة الزمنية بأكملها. دع هذا العدد الإجمالي يكون formula_78 . قسّم الفترة الزمنية بأكملها إلى formula_176 فترات فرعية formula_177 من نفس الحجم، مثل هذا formula_176 > formula_78 (نظرًا لأننا مهتمون فقط بأجزاء صغيرة جدًا من الفاصل الزمني، فإن هذا الافتراض مفيد). هذا يعني أن العدد المتوقع للأحداث في فترة formula_180 لكل formula_181 يساوي formula_182 . نفترض الآن أن حدوث حدث في الفترة الزمنية بأكملها يمكن اعتباره تجربة برنولي، حيث formula_183 محاكمة تقابل النظر فيما إذا كان حدث ما يحدث في الفترات الفرعية formula_180 مع الاحتمال formula_182 . العدد المتوقع لإجمالي الأحداث في formula_176 ستكون مثل هذه المحاكمات formula_78، العدد المتوقع لإجمالي الأحداث في الفترة الزمنية بأكملها. ومن ثم، بالنسبة لكل قسم فرعي من الفترة الزمنية، فقد اقتربنا من حدوث الحدث كعملية برنولي للنموذج formula_188 . كما لاحظنا من قبل، نريد أن ننظر فقط في فترات فرعية صغيرة جدًا. لذلك، نأخذ النهاية على أنها formula_176 يذهب إلى ما لا نهاية. في هذه الحالة، يتقارب التوزيع ذي الحدين مع ما يُعرف باسم توزيع بواسون بواسطة نظرية حدود بواسون.  في العديد من الأمثلة المذكورة أعلاه - مثل عدد الطفرات في تسلسل معين من الحمض النووي - الأحداث التي يتم عدها هي في الواقع نتائج تجارب منفصلة، وستكون أكثر دقة في نمذجة باستخدام التوزيع ذي الحدين، أي  في مثل هذه الحالات، يكون "n" كبيرًا جدًا و "p" صغيرًا جدًا (وبالتالي فإن التوقع "np" متوسط الحجم). ثم يمكن تقريب التوزيع عن طريق توزيع بواسون الأقل تعقيدًا  formula_191  هذا التقريب والتي تعرف أحيانا باسم "قانون الأحداث النادرة،" لأن كل من "ن" الفردية الأحداث برنولي نادرا ما يحدث. قد يكون الاسم مضللًا لأن العدد الإجمالي لأحداث النجاح في عملية بواسون لا يلزم أن يكون نادرًا إذا لم تكن المعلمة "np" صغيرة. على سبيل المثال، عدد المكالمات الهاتفية إلى لوحة مفاتيح مزدحمة في ساعة واحدة يتبع توزيع بواسون مع ظهور الأحداث بشكل متكرر للمشغل، لكنها نادرة من وجهة نظر الفرد العادي من السكان الذين من غير المرجح أن يقوموا بذلك. مكالمة إلى لوحة التبديل تلك في تلك الساعة.  تُستخدم كلمة "قانون" أحيانًا كمرادف لتوزيع الاحتمالات، "والتقارب في القانون" يعني "التقارب في التوزيع" . وفقًا لذلك، يُطلق على توزيع بواسون أحيانًا «قانون الأعداد الصغيرة» لأنه التوزيع الاحتمالي لعدد تكرارات حدث نادر الحدوث ولكن توجد فرص كثيرة جدًا لحدوثه. "قانون أرقام صغير" هو كتاب لادسلاو بورتكيفيز حول توزيع بواسون، التي نشرت في عام 1898.   توزيع بواسون formula_192 يبدي منحنى غير متماثل لقيم صغيرة لـ formula_78 . وعندما تكون formula_78 عددا كبيرا formula_195 فإن منحنى بواسون formula_192 سيؤول إلى توزيع احتمالي طبيعي mit formula_197 und formula_198:  ينشأ توزيع بواسون بعدد نقاط عملية نقطة بواسون الموجودة في منطقة محدودة. وبشكل أكثر تحديدًا، إذا كانت "D" عبارة عن مساحة منطقة ما، على سبيل المثال، الفضاء الإقليدي R ، الذي | "D" |، المساحة، الحجم، أو بشكل عام، مقياس ليبيسج للمنطقة محدود، وإذا كان يشير إلى عدد النقاط في "D"، إذن  formula_200  يعد انحدار بواسون والانحدار السالب ذي الحدين مفيدًا للتحليلات حيث يكون المتغير التابع (الاستجابة) هو العدد (0، 1، 2، ...) لعدد الأحداث أو التكرارات في فترة.  في عملية بواسون، يتقلب عدد الأحداث المرصودة حول "متوسطها λ" مع الانحراف المعياري formula_201 . يشار إلى هذه التقلبات على أنها "ضوضاء بواسون" أو (خاصة في الإلكترونيات) "كضوضاء لقطة."  يعتبر ارتباط المتوسط والانحراف المعياري في حساب الأحداث المنفصلة المستقلة مفيدًا علميًا. من خلال مراقبة كيفية اختلاف التقلبات مع الإشارة المتوسطة، يمكن للمرء تقدير مساهمة حدوث واحد، "حتى لو كانت هذه المساهمة صغيرة جدًا بحيث لا يمكن اكتشافها مباشرة" . على سبيل المثال، يمكن تقدير الشحنة "الإلكترونية" على الإلكترون من خلال ربط حجم التيار الكهربائي بضوضاء اللقطة. إذا "مرت" إلكترونات "N" نقطة في وقت معين "t" في المتوسط، يكون متوسط التيار formula_202 ؛ لأن التقلبات الحالية يجب أن تكون بالترتيب formula_203 (أي الانحراف المعياري لعملية بواسون)، الشحنة formula_204 يمكن تقديرها من النسبة formula_205 .  المثال اليومي هو التحبب الذي يظهر عند تكبير الصور ؛ يعود سبب التحبب إلى تقلبات بواسون في عدد حبيبات الفضة المنخفضة، وليس إلى الحبوب الفردية نفسها. من خلال ربط التحبب بدرجة التوسيع، يمكن للمرء تقدير مساهمة حبة فردية (والتي تكون صغيرة جدًا بحيث لا يمكن رؤيتها بدون مساعدة).  تم تطوير العديد من التطبيقات الجزيئية الأخرى لضوضاء بواسون، على سبيل المثال، تقدير كثافة عدد جزيئات المستقبل في غشاء الخلية.  formula_206  في نظرية المجموعة السببية، تتبع العناصر المنفصلة للزمكان توزيع بواسون في الحجم.  يطرح توزيع بواسون مهمتين مختلفتين لمكتبات البرامج المخصصة: "تقييم" التوزيع formula_207، "ورسم أرقام عشوائية" حسب هذا التوزيع.  الحوسبة formula_207 على سبيل المعطى formula_209 و formula_78 هي مهمة تافهة يمكن إنجازها باستخدام التعريف القياسي لـ formula_207 من حيث الدوال الأسية والقوة والعاملة. ومع ذلك، فإن التعريف التقليدي لتوزيع بواسون يحتوي على مصطلحين يمكن أن يفيضان بسهولة على أجهزة الكمبيوتر: λ و "k" ! . الجزء من λ إلى "k" ! يمكن أن ينتج عنه خطأ تقريب كبير جدًا مقارنة بـ "e" ، وبالتالي يعطي نتيجة خاطئة. من أجل الاستقرار العددي، يجب تقييم دالة كتلة احتمالية بواسون على أنها  formula_212  وهو مكافئ رياضيًا ولكنه مستقر عدديًا. يمكن الحصول على اللوغاريتم الطبيعي لوظيفة جاما باستخدام وظيفة codice_1 في مكتبة C القياسية (إصدار C99) أو R، أو دالة codice_2 في ماتلاب أو سي باي، أو دالة codice_3 في فورتران 2008 وما بعده.  توفر بعض لغات الحوسبة وظائف مدمجة لتقييم توزيع بواسون، وهي   المهمة الأقل أهمية هي استخلاص أعداد صحيحة عشوائية من توزيع بواسون مع المعطى formula_78 .  يتم توفير الحلول من خلال:   دونالد كانوث خوارزمية بسيطة لتوليد أرقام عشوائية موزعة بواسون (أخذ عينات أرقام عشوائية زائفة):  algorithm poisson random number (Knuth): [0,1] and let p ← p × u. التعقيد خطي في القيمة المرجعة "k"، والتي تكون في المتوسط. هناك العديد من الخوارزميات الأخرى لتحسين هذا. يتم إعطاء بعضها في آرينز & ديتر، انظر أدناه.  بالنسبة للقيم الكبيرة لـ λ، قد تكون قيمة L = "e" صغيرة جدًا بحيث يصعب تمثيلها. يمكن حل هذا عن طريق تغيير الخوارزمية التي تستخدم معلمة إضافية STEP بحيث لا "e" :  algorithm poisson random number (Junhao,  based on Knuth): (0,1) and let p ← p × u. يعتمد اختيار STEP على عتبة الفائض. بالنسبة لصيغة النقطة العائمة ذات الدقة المزدوجة، تكون العتبة قريبة من "e"، لذا يجب أن تكون 500 "خطوة" آمنة.  تشمل الحلول الأخرى للقيم الكبيرة لـ أخذ عينات رفض واستخدام تقريب غاوسي.  معكوس تحويل أخذ العينات هي بسيطة وفعالة للقيم صغيرة من λ، وتتطلب رقم عشوائي موحد واحد فقط لكل عينة "U." يتم فحص الاحتمالات التراكمية بدورها حتى يتجاوز المرء U. algorithm Poisson generator based upon  the inversion by sequential  search::505  [0,1].  سيميون بواسون (1781-1840) ونشر مع نظريته الاحتمالية في عمله "البحث في احتمالية الأحكام في المسائل الجنائية والمدنية" (1837). عمل نظري حول عدد القناعات الخاطئة في بلد معين من خلال التركيز على متغيرات عشوائية معينة "N" التي تحسب، من بين أمور أخرى، عدد الأحداث المنفصلة (تسمى أحيانًا «الأحداث» أو «الوافدون») التي تحدث خلال فترة زمنية بطول معين. تم إعطاء النتيجة بالفعل في 1711 من قبل أبراهام دي "موفر" ف يقياس الشرط سواء كان احتمال النجاح في بعض الألعاب معلقًا بشكل عرضي. هذا يجعله مثالًا على قانون ستيجلر وقد دفع بعض المؤلفين إلى القول بأن توزيع بواسون يجب أن يحمل اسم دي مويفر.   في عام 1860، قام سيمون نيوكومب بتكييف توزيع بواسون مع عدد النجوم الموجودة في وحدة الفضاء. تم تطبيق عملي آخر لهذا التوزيع بواسطة لاديسلاوس بورتكيفيتش في عام 1898 عندما تم تكليفه بمهمة التحقيق في عدد الجنود في الجيش البروسي الذين قتلوا عرضًا بركلات الحصان. أدخلت هذه التجربة توزيع بواسون في مجال هندسة الموثوقية.  المتغير العشوائي X يتبع توزيع بوسون بمعلمه λ إذا كانت دالته الاحتمالية هي:  حيث أن formula_219 هي معلمة التوزيع الوحيدة بمقدار ثابت، ونعرف المتغير العشوائي formula_220  ولكي نتحقق أن (f(x دالة احتمالية  إذن تبين لنا أن (f(x دالة متزايدة إذا كانت formula_223 وأنها متناقصة إذا كانت formula_224 أما إذا كانت formula_225 فذلك يعني formula_226 وعلى ذلك إذا كانت formula_227 عدد صحيح فيكون هناك منوالان عند formula_228 أما إذا كانت formula_227 عدد غير صحيح فيكون المنوال هو العدد الصحيح الذي يأتي فورا بعد formula_227.  وحيث أن  إذن formula_234  لكي نحصل على تباين بوسون نوجد أولا القيمة المتوقعة  أي أن  إذن  ونستنتج من ذلك أن: التباين = المتوسط = formula_78  حيث أن  مثال: إذا كان متوسط عدد الحوادث الأسبوعية على إحدى الطرق في مدينة ما هو 3 حوادث. فما احتمال أن يقع في أحد الأسابيع حادثتين ؟  الحل:  متوسط عدد الحوادث formula_248  نفرض أن X عدد الحوادث الأسبوعية إذن formula_249  يقام حساب هذه الكمية نتيجة عن العمل بتوزيع ثنائي ذا المعلمتين (T ; λ/T). إذا اعتبرنا T كبيرا، فيمكن تبيين أن التوزيع الثنائي نهايته في اللانهاية هو توزيع بواسون.   غالبا ما استعمل توزيع بواسون لحساب أحداث النادرة كانتحار الأطفال، وصول البواخر إلى المرسى أو الحوادث الناتجة عن ركالات الأحصنة في العساكر (دراسة لاديسلاوس بورتكيفيكز)  أما منذ بعض عشرات السنين، امتد استعمال توزيع بواسون إلى ميادين أخرى. فهو يستعمل كثيرا الآن في تكنولوجيات الإتصال (حساب عدد المواصلات في مدّة معينة)، مراقبة الجودة الإحصائية، وصف بعض الظواهر التابعة لميدان التفكيك النووي المشع (تفكيك النواة المشعة يتبع دالة أسية ذات معملة تدعى أيضا λ) وعلم الأحياء والرصد الجوي...  ككل توزيع قائم على احتمال منفصل، يمكن تمثيل توزيع بواسون برسوم بيانية ذات أعمدة. هنا تحت، تمثل الرسوم البيانية توزيع بواسون ذا المعلمات 1 و2 و5.  رسم توزيع بواسون ذا العامل 5 بدأ يشبه بعض الشيء التوزيع الطبيعي (أو التوزيع الغاوسي) ذا القيمة المتوقعة 5 التباين 5. ولذلك إذا كانت λ أكبر من 5، نخير استعمال نموذج التوزيع الطبيعي.  إذا كانتا X وY متغيران عشوائيان مستقلاّن يتبعان توزيع بواسون، الأولى مع المعلمة λ والثانية المعلمة μ فإنّ X+Y متغير عشوائي يتبع توزيع بواسون ذا المعلمة λ+μ.