دالة موجية  تحتل الدالة الموجية أو دالة الموجة مكانة مهمة في ميكانيكا الكم، حيث ينص مبدأ الارتياب على عدم قدرتنا على تحديد موضع وسرعة جسيم ما بدقة، لكن نعمد إلى دالة موجية مرافقة لكل جسيم حسب التصور الموجي الذي قدمه شرودنغر، وتقوم هذه الدالة الموجية بتحديد احتمال وجود الجسيم في أي نقطة من الفراغ التي يمكن للجسيم التواجد فيها. دالة الموجة هي أداة لوصف الجسيمات وحركتها وتآثرها مع جسيمات أخرى مثل الذرة أو نواة الذرة. تصف الدالة الموجية في ميكانيكا الكم الحالة الكمومية إما لأحد الجسيمات الأولية أو لمجموعة من الجسيمات الأولية في الفراغ، وتعين احتمال تواجده أو تواجدها في مكان معين. (احتمال تواجد جسيم في مكان معين يُعبر عنه في ميكانيكا الكم بعدد بين 1 (موجود 100%) وصفر (غير موجود 0 %). وطبقا لتفسير كوبنهاغن لميكانيكا الكم تحتوي الدالة الموجية على جميع المعلومات المتعلقة بالجسيم أو مجموعة الجسيمات. والدالة الموجية تكون حلا لإحدى معادلات شرودنجر التي يمكن صياغتها لوصف النظام المطلوب دراسته، مثل الإلكترون في غلاف ذرة أو تشتت البرتونات على نواة الذرة ، وغيرها. ويمكن للمعادلة الموجية أن تصف الحالة الكمومية لجسيم أولى، واقع تحت تأثير خارجي (مثل حركة الإلكترون حول النواة في الذرة) أو حالة الإلكترون الحر.  بينما تعطي فيزياء الموجة الوصف العام للمعادلة الموجية، نقتصر هنا على وصف الدالة الموجية لجسيم. ونظرا لأن الدالة الموجية المستخدمة في هذا الغرض مركبة وليست حقيقية، يرجع إلى أن الدالة الموجية لجسيم formula_1 ليس لها المعنى عند وصف شدة المجال الكهربائي formula_2 لموجة ضوئية طبقا للميكانيكا التقليدية أو في الديناميكا الكهرومغناطيسية.  تستخدم الدالة الموجية في ميكانيكا الكم لوصف الحالة الكمومية لنظام فيزيائي. ويمكن أن تتخذ الدالة الموجية formula_1 لجسيم كمومي صيغة موجة مستوية (لجسيم حر) ، على هيئة :  حيث :   وطبقا لشرودنجر تنتج الدوال الموجية كحلول لمعادلة شرودنجر ، أي أن الدالة الموجية يجب أن تكون حلا لمعادلة شرودنجر. وتوصف الخواص المختلفة لجسيم بواسطة عدة دوال موجية جزئية. وتبعا لصفات تحول الدالة الموجية طبقا لتحويل لورينتز يفرق الفيزيائي بين نظرية المجال الكمومي النسبي غير المتجة ونظرية المجال الكمومي الموتر.  بينما يمكن تحديد مكان جسم (مثل كرة) في الميكانيكا التقليدية فإنه ليس من الممكن تحديد مكان جسيم formula_5 بدقة كاملة طبقا لعلاقة هايزنبرج مبدأ عدم التأكد عندما ننزل من المقاييس الكبيرة العينية إلى مقاييس الذرة والجسيمات تحت الذرية.  وإطلاقا من تصور حتمية وجود الجسيم، فلا بد أن يكون موجودا في أي وقت وفي أي مكان بين الصفر ومالا نهاية، ولهذا فلا بد أن ينطبق شرط التوحيد formula_10  على دالته الموجية حيث أن الدالة الموجية formula_11 و الدالة الموجية المرتبطة formula_12 conjugate). (قارن عدد مركب )  وتوصلنا تلك المعاملة إلى عنصر الاحتمال التفاضلي "dP" لوجود الجسيم عند النقطة formula_13 في عنصر الحجم formula_14  إلى المعادلة:  وبالنسبة لدالة موجية تفي بشرط التوحيد، يعطي مربع القيمة  formula_16 formula_17  يعطي كثافة احتمال وجود الجسيم في النقطة formula_5 وفي الزمن "t".  وبالنسبة لدالة موجية لجسيم في صيغتها المكانية (اهمال التغير الزمني) فإن قيمة تكامل كثافة وجود الجسيم في عنصر المكان احتمال وجود الجسيم (إلكترون مثلا) في ذلك الحيز من المكان.  في عام 1900 وجد ماكس بلانك تناسبا بين التردد f لفوتون وطاقته E .  E=hf  حيث : ℎ ثابت بلانك  وفي عام 1916 اكتشفت العلاقة بين كمية حركة p الفوتون وطول الموجة λ  وفي عام 1932 كان دي برولي أول من فكر في العلاقة λ =h/p وأصبحت تسمى علاقة دي برول.  مع العلم بأن كمية الحركة m.v= p  حيث m هي كتلة الجسيم و v سرعته.  علاقة دي برول تنطبق بذلك على الجسيمات الضخمة ، والدليل الرئيسي هو تناظر لورينتز ، [14] ويمكن اعتبار ذلك نقطة انطلاق للتطور الحديث لميكانيكا الكم. تمثل المعادلات ثنائية الموجة والجسيم لكل من الجسيمات عديمة الكتلة والجسيمات الضخمة.  تحدد معادلة شرودنجر كيف تتطور وظائف الموجة بمرور الوقت ، وتتصرف الدالة الموجية نوعياً مثل الموجات الأخرى ، مثل موجات الماء أو الأمواج على سلسلة ، لأن معادلة شرودنغر هي نوعًا رياضيًا من معادلة الموجة. هذا يفسر اسم "وظيفة الموجة" ، ويؤدي إلى ازدواجية الموجة والجسيم. ومع ذلك ، تصف الدالة الموجية في ميكانيكا الكم نوعًا من الظاهرة الفيزيائية ، التي لا تزال مفتوحة لتفسيرات مختلفة ، والتي تختلف اختلافًا جوهريًا عن الموجات الميكانيكية التقليدية.   في عشرينيات وثلاثينيات القرن الماضي ، تم تطوير ميكانيكا الكم باستخدام حساب التفاضل والتكامل والجبر الخطي. أولئك الذين استخدموا تقنيات حساب التفاضل والتكامل شملوا لويس دي برولي ، وإروين شرودنغر ، وآخرين ، طوروا "ميكانيكا الموجة". أولئك الذين طبقوا طرق الجبر الخطي هم فيرنر هايزنبرغ وماكس بورن وآخرين طوروا "ميكانيكا المصفوفة". أظهر شرودنجر بعد ذلك أن الطريقتين كانتا متساويتين.  في عام 1926 ، نشر شرودنغر معادلة الموجة الشهيرة التي سميت الآن باسمه ، معادلة شرودنغر. استندت هذه المعادلة إلى الحفظ الكلاسيكي للطاقة باستخدام عوامل الكم ، وعلاقات دي برولي ، وحلول المعادلة هي وظائف الموجة للنظام الكمومي. ومع ذلك ، لم يكن أحد واضحًا بشأن كيفية تفسيره. في البداية ، اعتقد شرودنجر وآخرون أن وظائف الموجة تمثل الجسيمات التي تنتشر مع وجود معظم الجسيمات حيث تكون وظيفة الموجة كبيرة. تبين أن هذا غير متوافق مع الانتثار المرن لحزمة موجة (تمثل جسيمًا) بعيدًا عن الهدف ؛ ينتشر في كل الاتجاهات. في حين أن الجسيم المبعثر قد ينتشر في أي اتجاه ، فإنه لا يتفكك ويقلع في جميع الاتجاهات. في عام 1926 ، قدم بورن منظور السعة الاحتمالية. يرتبط هذا بحسابات ميكانيكا الكم مباشرة بالملاحظات التجريبية الاحتمالية. تم قبوله كجزء من تفسير كوبنهاغن لميكانيكا الكم. هناك العديد من التفسيرات الأخرى لميكانيكا الكم. في عام 1927 ، اتخذ Hartree و Fock الخطوة الأولى في محاولة لحل دالة موجة الجسم N ، وطورا دورة الاتساق الذاتي: خوارزمية تكرارية لتقريب الحل. وهي تُعرف الآن أيضًا باسم طريقة هارتري فوك. كان محدد سلاتر والدائم (للمصفوفة) جزءًا من الطريقة التي قدمها جون سلاتر.  واجه شرودنجر معادلة لوظيفة الموجة التي ترضي الحفاظ على الطاقة النسبية قبل أن ينشر المعادلة غير النسبية ، لكنه تجاهلها لأنها تنبأت بالاحتمالات السلبية والطاقات السلبية. في عام 1927 ، وجدها كلاين وجوردون وفوك أيضًا ، ولكنها أدرجت التفاعل الكهرومغناطيسي وأثبتت أنها ثابتة في لورنتز. وصل دي برولي أيضًا إلى نفس المعادلة في عام 1928. تُعرف معادلة الموجة النسبية هذه الآن باسم معادلة كلاين-جوردون.  في عام 1927 ، وجد باولي بشكل ظاهري معادلة غير نسبية لوصف جسيمات الدوران 1/2 في المجالات الكهرومغناطيسية ، والتي تسمى الآن معادلة باولي. وجد باولي أن الدالة الموجية لم يتم وصفها بواسطة دالة معقدة واحدة للمكان والزمان ، ولكنها كانت بحاجة إلى رقمين مركبين ، والتي تتوافق على التوالي مع حالات الدوران +1/2 و −1/2 للفرميون. بعد فترة وجيزة في عام 1928 ، وجد ديراك معادلة من أول توحيد ناجح للنسبية الخاصة وميكانيكا الكم المطبقة على الإلكترون ، والتي تسمى الآن معادلة ديراك. في هذا ، تكون الدالة الموجية سبينورًا ممثلة بأربعة مكونات معقدة القيمة: اثنان للإلكترون واثنان للجسيم المضاد للإلكترون ، البوزيترون. في الحد غير النسبي ، تشبه دالة ديراك الموجية دالة باولي الموجية للإلكترون. في وقت لاحق ، تم العثور على معادلات موجية نسبية أخرى