فجوة أولية  الفجوة الأولية هي الفرق بين عددين أوليين متتابعين. "الفجوة الأولية النونية،" والمشار إليها بformula_1 أو formula_2 هي الفرق بينformula_3 و formula_4، أي :formula_5  لدينا formula_6، و formula_7،formula_8 و تمت دراسة المتتالية (formula_1) على نطاق واسع ؛ ومع ذلك، تظل العديد من الأسئلة والحدسيات دون إجابة.  أول 60 فجوة أولية هي:  أول وأصغر فجوة أولية هي بحجم 1، وهي فجوة بين 2 العدد الأولي الزوجي الوحيد، و 3، أول عدد أولي فردي. جميع الفجوات الأولية الأخرى هي زوجية. يوجد زوج واحد فقط من الفجوات المتتالية بحجم 2 : الفجوات formula_12 و formula_13 بين الأعداد الأولية 3 و 5 و 7.  لأي عدد صحيح، العاملي، والذي يرمز له ب formula_14 هو ناتج ضرب جميع الأعداد الصحيحة الموجبة الأصغر أو تساوي formula_15. إذاً المتتالية :formula_16العدد الأول في هذه المتتالية يقبل القسمة على 2، والعدد الثاني يقبل القسمة على 3، وهكذا... وبالتالي، فهذه متتالية بحجم formula_17 من الأعداد الصحيحة المؤلف المتتالية، وهذه ببساطة فجوة بين الأعداد الأولية، طولها formula_15 على الأقل. ويترتب على ذلك وجود فجوات بين الأعداد الأولية كبيرة للغاية بشكل إستعباطي، أي أنه بالنسبة لأي عدد صحيح formula_19، يوجد عدد صحيح موجب formula_20 بحيث formula_21.  ومع ذلك، يمكن أن تحدث الفجوات الكبيرة بين الأعداد الأولية عند عدد أصغر بكثير من formula_14 على سبيل المثال، أول فجوة أولية بحجم أكبر من 14 تحدث بين الأعداد الأولية 523 و 541، في حين أن formula_23 هو عدد كبير بشكل شاسع formula_24.  عادة ما يُطلق على النسبة formula_25 «ميزة الفجوة formula_1».  نقول أن formula_1 هي فجوة قصوى، إذا وإذا كان فقط formula_28 لكل formula_29، في أغسطس 2018 وجد برتيل نيمان أكبر فجوة قصوى وتحتوي على 1550 رقم، تحدث هذه الفجوة بعد العدد الأولي 18361375334787046697. يمكن الإطلاع على فجوات قصوى أخرى في .  هذه قائمة الفجوات القصوى :  تنص مسلمة برنارد على أنه يوجد دائما عدد أولي بين formula_30 و formula_31، وهذا يعني أن formula_32 وبالتالي formula_33.  تم إثبات مبرهنة الأعداد الأولية عام 1852، والتي تنص على أن متوسط الفجوة بين عددين أوليين متتابعين هو تقريبا formula_34 بالنسبة لعدد كبير formula_35. الفجوة الحقيقية قد تختلف عن هذه النتيجة ومع ذالك يمكن للمرئ أن يستنتج منها الآتي :  لكل formula_36، يوجد عدد formula_19، بحيث لكل formula_38 لدينا :formula_39.يمكن للمرء أيضًا أن يستنتج أن الفجوات تصبح أصغر بشكل استعباطي مقارنةً مع حجم الأعداد الأولية : فحاصل القسمة :formula_40في عام 2005 قام كل من دانيال غولدستون ويانوس بينتز وسيم يلدريم بإثبات الآتي :formula_41وبعد سنتين قاموا بتحسين هذه النتيجة إلى :formula_42وفي عام 2013 أثبت يتانغ تشانغ أن هناك على الأقل فجوة الأولية بحجمٍ أقل من سبعين مليون، بحيث أنها تتكرر عدداً لانهائياً من المرات، أي أن :formula_43  في عام 1931، قام إريك ويستزينثيوس بإثبات أن الفجوات الأولية القصوى تنموا بشكل أسرع من اللوغاريتمي، أي أن :formula_44في عام 1938، أثبت روبرت رانكين وجود ثابت formula_45، بحيث المتفاوتة الآتية :formula_46صحيحة من أجل عدد لانهائي من قيم formula_15، محسناً نتائج بول إيردوس و ويستزينثيوس، أثبت لاحقا أنه يمكن ل formula_48, بحيث formula_49 هو ثابت أويلر-ماسكيروني. عرض بول إيردوس جائزة قدرها 10000 دولار لإثبات أو دحض أن الثابت formula_50 يمكن أن يكون كبيراً بشكل استعباطي. تم إثبات صحة ذلك في عام 2014 من طرف فورد-جرين-كونياجين-تاو، وبشكل مستقل، جيمس ماينارد، وتم تحسين النتيجة إلى formula_51متأثراً بجائزة إيردوس الأصلية، عرض تيرنس تاو جائزة قدرها 10000 دولار أمريكي لمن أثبت أن formula_50 يمكن أن يأخذ كبيراً بشكل استعباطي في هذه المتفاوتة.  يمكن تحقيق نتائج أفضل في ظل فرضية ريمان. أثبت هارالد كرامر أنه إذا كانت فرضية ريمان صحيحة فهذا يعني أن الفجوة formula_1 تستوفي المعادلة الآتية:formula_54بحيث ترمز formula_55 إلى تمثيل O الكبرى، بعدها قام كرامر بحدس أن الفجوة تستوفي أيضا المعادلة الآتية :formula_56تنص حدسية فيروزباخت على أن formula_57 هي دالة تناقصية قطعياً، أي أن :formula_58 لكل formula_59إذا كانت هذه الحدسية صحيحة فإن فإن دالة الفجوة الأولية formula_60 تستوفي المتفاوتة formula_61 لكل formula_62 هذه الحدسية تشير إلى نسخة قوية من حدسية كرامر ولكنها لا تتوافق مع اقتراح غرانفيل وبينتز الذي ينص على أن التفاوتة formula_63 صحيحة لعدد لانهائي من formula_15، لكل formula_65، بحيث formula_49 هو ثابت أويلر-ماسكيروني.  وفي الوقت نفسه ، حدسية أوبيرمان هي أضعف من حدسية كرامر. والتي تنص على أن حجم الفجوة الأولية هي في حدود :formula_67إذا كانت حدسية أوبيرمان صحيحة ، فإنه يوجد formula_20 (على الأرجح formula_69) بحيث لكل formula_70 لدينا formula_67.