انحدار خطي بسيط  الانحدار الخطي البسيط هو حساب المربعات الصغرى من نموذج الانحدار الخطي مع متغير تفسيري واحد. وبعبارة أخرى، الانحدار الخطي البسيط هو خط مستقيم يمر بمجموعة من النقاط بطريقة تجعل مجموع مربع النقط المتبقية من النموذج (أي، المسافات الرأسية بين النقطة المتبقية والخط) أقل ما يمكن. هذا يشير الي حقيقة أن الانحدار هو واحد من أبسط الأساليب المستخدمة في مجال الإحصاء حيث أن ميل الخط يساوي العلاقة بين y و x مصححة بنسبة الانحرافات المعيارية لهذه المتغيرات. نقطة تقاطع الخط مع محور الصادات هي مركز كتلة نقاط البيانات (, ). توجد طرق انحدار أخرى بجانب المربعات الصغرى البسيطة (انظر الانحدار الخطي). علي وجه الخصوص، عندما يريد شخص أن يقوم بفعل الانحدار عن طريق العين فانه يميل عادة الي رسم خط حاد قليلا ويكون قريبا من ذلك الذي ينتج من طريقة أقل مربعات كليه. يحدث هذا لأنه طبيعي أكثر لعقل الإنسان ملاحظة المسافات المتعامدة علي خط الانحدار بدلا من تلك الراسية كما يحدث في طريقة المربعات الصغرى.  افترض ان لديك عدد n من النقاط {(X,Y),i=1,2...n} فان الدالة التي تصف Y و X هي: y = α + β x + ε والهدف هو ايجاد معادلة الخط المستقيم y = α + β x التي تعطي أفضل تمثيل للنقاط. هنا الأفضل يعرف بأنه طريقة المربعات الصغيرة: الخط الذي يقلل مجموع مربعات المتبقيات لنموذج الانحدار الخطي. وبعبارة أخرى، α (نقطة التقاطع مع محور y) و β (الميل) يشاركوا في حل مشكلة التقليل التالية: formula_1  باستخدام الحساب هندسة المساحات الداخلية للشكل أو التوسع البسيط للحصول علي معادلة من الدرجة الثانية في α و β ، فإنه من الممكن ايجاد قيم α و β التي تقلل الدالة كالتالي: حيث هو معامل الارتباط بين x و y  الخط الأفقي علي فوق الكمية يعبر عن المتوسط. فعلى سبيل المثال: formula_3  بالتعويض بالمعادلة السابقة في formula_4 يؤدي ذلك الي: formula_5  و هذا يدل علي الدور الذي يقوم به في خط الانحدار لنقط البيانات. وفي بعض الأحيان يكون من المفيد حساب من البيانات بشكل مستقل باستخدام المعادلة التالية:  formula_6  معامل التحديد (R تربيع) يساوي formula_7 عندما يكون النموذج خطي وبه متغير مستقل واحد. انظر نموذج معامل الارتباط لتفاصيل أكثر  في بعض الأحيان، يعتبر الناس نموذج الانحدار الخطي البسيط دون جزء التقاطع في مثل هذه الحالة، تقدير OLS لايجاد β يبسط ل formula_8  ويصبح معامل ارتباط العينة: formula_9   وصف الخصائص الإحصائية للمقدرات من الانحدار الخطي البسيط يتطلب استخدام نموذج احصائي. التالي يعتمد علي افتراض صحة النموذج في حالة أن التقديرات مثالية. ومن الممكن أيضا لحساب الخصائص تحت قيود افتراضات أخرى، مثل عدم التجانس، ولكن يتم مناقشة ذلك في أماكن أخرى.  حساب formula_12 و formula_13 هي منحازة وهذا يتطلب أن نفسر المقدرات كمتغيرات عشوائية وعلينا أن نفترض أن لكل قيمة ل x القيمة المقابلة لها في y تنتج كنتيجة متوسطة بالإضافة الي قيمة متغير عشوائي اضافي ε يسمي الخطأ. هذا الخطأ يجب أن يساوي صفر عند حساب المتوسط لكل قيمة ل x وتحت هذا التفسير، تقدير المربعات الصغيرة formula_12 و formula_13 سوف يكونوا متغيرات عشوائية وسوف تحسب القيم الحقيقية ل α و β بدون تحيز.  المعادلات المعطاة في الجزء السابق تمكننا من حساب تقديرات النقط ل α و β وهم معاملات خط الانحدار لمجموعة معينة من البيانات. ومع ذلك، هذه المعادلات لا تخبرنا مدي الدقة في التقديرات أي كم المقدرات formula_12 و formula_13 تختلف من نموذج لاخر لحجم العينة المحدد. لذا وضع ما يسمي فترات التأكيد لتعطي مجموعة معقولة من القيم التي يمكن تقديرها إذا كررت التجربة عدد هائل من المرات. الطريقة التقليدية لحساب فترات التأكيد لمعاملات الانحدار الخطي تعتمد علي فرض الثبات الذي له ما يبرره إذا ما: هذا ما يبرر الحالة الأخيرة من نظرية حدود المركز  في ظل الافتراض الأول أعلاه، الذي من طبيعته وجود خطأ، تقدير معامل الميل سوف يوزع بشكل طبيعي بمتوسط β وتباين formula_18 حيث هو الفرق في الخطأ (انظر البراهين التي تنطوي علي المربعات الصغري). في نفس الوقت، مجموع مربع المتبقيات Q يوزع بالتناسب مع بعدد درجات حرية n-2 وبشكل مستقل عن formula_19 وهذا يسمح لنا بعمل احصائية t. formula_20  حيث  formula_21  هو الخطأ المعياري للمقدر احصائية t لديها توزيع t للطلاب بعدد n-2 درجة حرية وباستخدامها نستطيع تكوين فترة تأكيد ل β:  formula_22  في مستوي التأكيد حيث formula_23 هي -th من توزيع على سبيل المثال، إذا ثم مستوي التأكيد 95% وبالمثل، فترة التأكيد لمعامل الاعتراض يعطي ب  formula_24  في مستوي التأكيد حيث  formula_25 فترة التأكيد ل و تعطينا الفكرة الرئيسية حيث معاملات الانحدار من الأرجح أن تكون. على سبيل المثال، في قانون Okun الانحدار ظاهر في بداية المقال النقط المقدرة هي formula_26  و فترة التأكيد لهذه المقدرات 95%: formula_27  من أجل تمثيل هذه المعلومات بيانيا في شكل فترات تأكيد ول خط الانحدار فعلي الشخص أن يمضي بحذر وحساب التوزيع المشترك للمقدرات. ويمكن أن تظهر أنه في فترة التأكيد (1−"γ") رابطة التأكيد تأخذ شكل قطع زائد يعطي بالمعادلة:  formula_28  الافتراض الثاني البديل ينص علي أنه عندما يكون عد النقاط كبير بشكل كاف، وقانون الأعداد الكبيرة ونظرية حدود المركز قابلين للتطبيق، ومن ثم توزيع المقدرات أمر طبيعي تقريبا. تحت هذا الافتراض جميع الصيغ المشتقة في القسم السابق لا تزال سارية المفعول، مع استثناء وحيد وهو أن "t*" لتوزيع t من الطلاب يتم استبداله ب "q*" من التوزيع الطبيعي القياسي. أحيانا الكسر يتم استبداله ب في حالة n تكون كبيرة ومثل هذا التغير لا يغير النتائج بشكل ملحوظ.  هذا المثال يتعلق بمجموعة بيانات من المربعات الصغري العادية. هذه المجموعة تعطي متوسط كتل السيدات كدالة في طولهم في عينة من النساء الأمريكان في عمر 39-30 . وعلى الرغم أن OLS تقول أنه من الأكثر ملائمة عمل انحدار من الدرجة الثانية لهذه البيانات لكن الانحدار الخطي البسيط يمكن تطبيقه هنا بدلا من ذلك.  يوجد عدد النقاط (n=15) في هذه البيانات ويتم بدأ الحسابات باليد بحساب المجاميع الخمسة التالية:  هذه الكميات تستخدم لحساب معاملات الانحدار وأخطائهم القياسية  formula_30  0.975 من توزيع t للطلاب ب 13 درجة حرية يكون t=2.1604 وبالتالي 95% فترة تأكيد ل and تكون:  formula_31  و يمكن أيضا حساب ناتج معامل تصحيح الارتباط كالتالي:  formula_32  هذا المثال يوضح أن الحسابات المعقدة لن تتغلب علي استخدام البيانات المعدة بشكل سيئ. الأطوال أعطت بالبوصة وقد تم تحويلها لأقرب سنتيمتر. ولأن معامل التحويل هو 2.54 فهذا تحويل غير صحيح لأن البوصة الأصلية يمكن استردادها بحوالي (x/0.0254) ومن ثم إعادة تحويلها لمتر. إذا فعلت ذلك تصبح النتئج:  formula_33  و بالتالي اختلاف صغير في البيانات لديه تأثير حقيقي  نحن نبحث عن formula_34 التي تقلل مجموع مربع الخطأ، formula_35 التي تعرف كالتالي formula_36  لايجاد الأقل نقوم بالاشتقاق الجزئي بالنسبة ل formula_37 و formula_38  بضرب الطرفين في formula_42  formula_43  نحصل علي:  formula_44  قب الاشتقاق الجزئي بالنسبة ل formula_38 عوض بالنتيجة السابقة ل formula_37  formula_47  الآن، اشتق جزئيا بالنسبة ل formula_49:  formula_50  و في النهاية عوض ب formula_38 لتحديد formula_37  formula_55