تفاضل الدوال المثلثية  تفاضل الدوال المثلثية هي العملية الحسابية لإيجاد مشتق دالة مثلثية، أو معدل تغيرها بالنسبة لمتغير. على سبيل المثال، يكتب مشتق دالة الجيب على هذا الشكل ، وهذا يعني أن معدل تغير عند زاوية معينة x = a يُعطى بجيب تمام تلك الزاوية.  يمكن إيجاد جميع مشتقات الدوال المثلثية من تلك الخاصة بـ sin (x) و cos (x) عن طريق قاعدة ناتج القسمة المطبقة على الدوال مثل . بمعرفة هذه المشتقات، يتم إيجاد مشتقات الدوال المثلثية العكسية باستخدام التفاضل الضمني.  يوضح الرسم البياني الموجود على اليسار دائرة ذات المركز O ونصف القطر r = 1. لتكن OA و OB اثنين من نصف القطر يصنعان قوس قياسه θ راديان. بما أننا اعتبرنا النهاية لما θ يؤول إلى الصفر، فقد نفترض أن θ هو عدد موجب صغير، نقول في الربع الأول.  في الرسم البياني، ليكن R المثلث OAB و R القطاع الدائري OAB و R المثلث OAC. مساحة المثلث OAB هي:  مساحة القطاع الدائري "OAB" هي: formula_2، بينما مساحة المثلث OAC معطاة بواسطة:  بما أن كل منطقة تقع في المنطقة التالية، فإن:  زيادة على ذلك، بما أن في الربع الأول، فيمكننا القسمة على ، معطيًا:  في الخطوة الأخيرة، أخذنا مقاليب الحدود الموجبة الثلاثة، وعكسنا المتباينة.  نستنتج أنه من أجل ، يكون مقدار دائما أقل من 1 ودائمًا أكبر من cos(θ). وهكذا، عندما تقترب "θ" من 0، فإن «عُصِرت» بين سقف ارتفاعه 1 وأرضية ارتفاعها ، والتي ترتفع نحو 1؛ لذلك يجب أن تؤول إلى 1؛ حيث أن "θ" تؤول إلى 0 من الجهة الموجبة: formula_6  بالنسبة للحالة التي تكون فيها "θ" عددًا سالبًا صغيرًا ، نستخدم حقيقة أن الجيب دالة فردية:  يتيح لنا القسم الأخير حساب هذه النهاية الجديدة بسهولة نسبية. يتم ذلك عن طريق استخدام حيلة بسيطة. في هذا الحساب، إشارة θ غير مهمة.  باستخدام هذه المتطابقة ، حقيقة أن نهاية الجداء هو جداء النهايات، ونتيجة النهاية من القسم السابق، نجد أن:  باستخدام نهاية دالة الجيب، وحقيقة أن دالة الظل فردية، وحقيقة أن نهاية الجداء هو جداء النهايات، نجد:  نحسب مشتق دالة الجيب باستخدام تعريف بواسطة النهاية:  باستخدام متطابقة مجموع زاويتين ، لدينا: باستخدام نهايتي كل من دالة الجيب وجيب التمام:  مرة أخرى نحسب مشتق دالة جيب التمام من تعريف بواسطة النهاية:  باستخدام متطابقة مجموع زاويتين ، لدينا: باستخدام النهايات الأولى:  لحساب مشتق دالة جيب التمام من قاعدة السلسلة، لاحظ أولاً الحقائق الثلاث التالية:  الأولى والثانية هما متطبقتان مثلثيتان، والثالث تم إثباته أعلاه. باستخدام هذه الحقائق الثلاث، يمكننا كتابة ما يلي:  يمكن اشتقاقها باستخدام قاعدة السلسلة. لتكن formula_20 و formula_21، لدينا:  إذن:  لحساب مشتق دالة الظل ، نستخدم تعريف بواسطة النهاية: باستخدام المتطابقة المعروفة: ، لدينا: باستخدام حقيقة أن نهاية الجداء هو جداء نهايتين: باستخدام النهاية الخاصة بدالة الظل، وحقيقة أن يؤول إلى 0 حيث δ يؤول إلى 0: نرى على الفور أن:  يمكن للمرء حساب مشتق دالة الظل باستخدام قاعدة ناتج القسمة. يمكن تبسيط البسط إلى 1 بواسطة متطابقة فيثاغورس، يعطينا:  إذن:  يتم إيجاد المشتقات التالية عن طريق وضع متغير y يساوي الدالة المثلثية العكسية التي نرغب في إيجاد مشتقها. باستخدام التفاضل الضمني ثم الحل لـ ، يتم إيجاد مشتق الدالة العكسية بدلالة y. لتحويل مرة أخرى إلى كونها بدلالة x، يمكننا رسم مثلث مرجعي على دائرة الوحدة، نعتبر θ هي y. باستخدام مبرهنة فيثاغورس وتعريف الدوال المثلثية العادية، يمكننا في النهاية التعبير عن بدلالة x.  نعتبر الدالة  حيث  بالتعريف  نشتق كلا طرفي الأخيرة بالنسبة لـ formula_35 وحل لـ :  نعوض بـ formula_38:  نعوض بـ formula_40:  نعتبر الدالة  حيث  بالتعريف  نشتق كلا طرفي الأخيرة بالنسبة لـ formula_35 وحل لـ :  نعوض بـ formula_49:  نعوض بـ formula_51:  نعتبر الدالة  حيث  بالتعريف  نشتق كلا طرفي الأخيرة بالنسبة لـ formula_35 وحل لـ :  الطرف الأيسر:  الطرف الأيمن:  ومنه:  نعوض بـ formula_62 ، نحصل على:  نعتبر الدالة  حيث formula_66.  بالتعريف  نشتق كلا طرفي الأخيرة بالنسبة لـ formula_35 وحل لـ :  الطرف الأيسر:  الطرف الأيمن:  ومنه،  نعوض بـ formula_73:  نعتبر الدالة:  بالتعريف  بدلاً من ذلك، يمكن اشتقاق دالة القاطع العكسية من مشتق دالة جيب التمام العكسية باستخدام قاعدة السلسلة.  لتكن  حيث  وبعد ذلك، بتطبيق قاعدة السلسلة على formula_84:  لتكن  بالتعريف:  بدلاً من ذلك، يمكن اشتقاق دالة قاطع التمام العكسية من مشتق دالة الجيب العكسية باستخدام قاعدة السلسلة.  لتكن  حيث  وبعد ذلك، بتطبيق قاعدة السلسلة على formula_94: