تبديل (رياضيات)  في الرياضيات، تبديلة (جمع تبديلات) أو تبديل هي عملية ترتيب عناصر مجموعة في متسلسلة أو بترتيب معين. إذا كانت العناصر مرتبة، فعملية إعادة ترتيب عناصرها تسمى تبديلا. تختلف التبديلات عن التوافيق والتي تعرف بأنها مختارات لعناصر من مجموعة ما بدون اعتبار الترتيب. على سبيل المثال: يوجد formula_1 تبديلات للمجموعة formula_2 وهي كالآتي:  formula_3. هذه هي جميع الترتيبات الممكنة لمجموعة من formula_4 عناصر. قلب كلمات لها حروف مختلفة أيضا تشكل نوعا من التبديلات. فأي حروف في أي كلمة مرتبة بترتيب معين لكن قلب أو إعادة ترتيب الحروف يعتبر تبديلا. دراسة تبديلات المجموعات المنتهية موضوع مهم في مجال التوافقيات ونظرية الزمر.  تُدرس التبديلات في أغلب فروع الرياضيات وفي مجالات عديدة في العلوم. يتم استخدام التبديلات في علوم الحاسب لتحليل ترتيب خوارزمية وميكانيكا الكم وأيضا في الأحياء.  عدد التبديلات التي يمكن أن تخضع لها مجموعة عدد عناصرها هو formula_5 يساوي مضروب formula_5 ، والذي يكتب بالصيغة formula_7. مضروب formula_5 هو عملية ضرب جميع الأعداد الصحيحة الموجبة الأقل من أو يساوي formula_5 .  في الجبر وبالتحديد في نظرية الزمر، تبديل المجموعة formula_10هو تقابل من المجموعة formula_10 نحو نفسها. والمقصود بالتقابل هو دالة من formula_10 إلى formula_10 حيث يوجد صورة واحدة لكل عنصر. وهـذا مرتبط بإعادة ترتيب عناصر formula_10 حيث يستبدل كل عنصر formula_15 بالصورة المقابلة له formula_16. فعلى سبيل المثال، ممكن كتابة التبديلة formula_17 المذكورة اعلاه بالدالة formula_18 المعرفة كالتالي:  formula_19.  تشكل مجموعة جميع التبديلات الممكنة لمجموعة ما زمرة تُدعى زمرة تبديلات. المهم في هذه الزمرة هو أن عملية تحصيل أي تبديلتين ينتج عنها تبديلة جديدة. ممكن أن تُشكل أي تبديلة لمجموعة عناصر بإحدى طريقتين: إما بترتيب مركباته أو باستخدام اسلوب التعويض لأحد الرموز. بالغالب نستخدم المجموعة formula_20 لكن لايوجد أيضا مانع لإستخدام أي مجموعة.  في إطار التركيبات الابتدائية، يُستخدم مصطلحي التبديلات الجزئية وتبديلات لـ formula_21 (-permutations) والتي تعني بترتيب عدد formula_21من العناصر المختلفة المختارة من مجموعة ما. وعندما تكون ( ) تساوي عدد عناصر المجموعة فإن هذين التبديلين يعتبر تبديلات للمجموعة ككل.  الخليل بن أحمد الفراهيدي وهو عالم رياضيات عربي، كتب كتابا حول تشفير الرسائل. يحتوي الكتاب على أول استعمال للتبديلات من أجل سرد جميع الكلمات العربية بحروف العلة وبدونهن.  كانت القاعدة التي تمكن من حساب عدد التبديلات لمجموعة ما، معروفة لدى الهنديين على الأقل في حوالي عام 1150م.  في مناهج الرياضيات، تُستخدم الحروف اليونانية الصغيرة رموزا للتبديلات. وأكثر هذه الرموز استخداما هي الحروف formula_23 و formula_24 و formula_25 و formula_26 و formula_27.  يمكن تعريف التبديلات تقابلاتٍ من مجموعة formula_10 نحو نفسها. كل التبديلات على مجموعة بها formula_5 من العناصر تمثل زمرة متماثلة ويرمز لها بالرمز formula_30 ، حيث أن عملية الزمرة هنا هي عملية تركيب الدوال. فبالتالي لأي تبديلين formula_27 و formula_25 من الزمرة formula_30 فإن خواص الزمرة الأربع متحققة وهي كما يلي:   بشكل عام فإن تحصيل أي تبديلتين formula_49هي عملية ليست دائما إبدالية، أي أن formula_50 .  يراد سحب كرتين على التوالي من صندوق أسود يحوي أربع كرات ملونة سوداء وزرقاء وحمراء وصفراء. المطلوب حساب عدد الاحتمالات الممكنة لنتيجة السحب.  كون السحب يتم على التتالي فان هناك أهمية للترتيب لأنه إذا كانت الكرة الأولى على سبيل المثال سوداء والثانية حمراء هذه النتيجة تختلف عن الحالة التي يكون فيها الكرة الأولى حمراء والثانية سوداء. بتطبيق القانون نحصل على عدد الاحتمالات الممكنة ت (2,4)=4!\(4-2)!=4×3×2×1 /2×1 = 12 احتمال ممكن و هي بالتفصيل كالتالي: (سوداء، حمراء) (حمراء، سوداء) (زرقاء، سوداء) (صفراء، سوداء) (سوداء، زرقاء) (حمراء، زرقاء) (زرقاء، حمراء) (صفراء، حمراء) (سوداء، صفراء) (حمراء، صفراء) (زرقاء، صفراء) (صفراء، زرقاء).  يوجد عدة طرق لكتابة التبديله. وأكثرها إستخداما هو الترميز الدائري والذي يستخدم بكثرة بين الرياضيين لوضوح صياغة التبديلة فيه.  يستخدم رمزكوشي صفين بحيث يتم وضع عناصر المجموعة بالصف الأول بينما صور كل من هذه العناصر توضح مباشرة اسفله بالصف السفلي. فمثلا، التبديلة للمجموعة formula_51 يمكن كتابتها كما يلي: formula_52  وهذا يعني أن "σ" تحقق ما يلي: " "σ"(1)=2 و "σ"(2)=5 و "σ"(3)=4 و "σ"(4)=3 و "σ"(5)=1. تظهر عناصر المجموعة formula_10 بأي ترتيب في الصف الأول. فبالتالي يمكن كتابة هذه التبديلة بطريقة أخرى كالتالي  formula_54.  في حالة وجود ترتيب طبيعي لعناصر المجموعة formula_10 ولتكن formula_56 فإنه يمكن وضعها بالصف الأول من الترميز بصفين بشكل عام كالتالي:  formula_57.  وبما أن عناصر المجموعة formula_10 تتخذ ترتيبا طبيعيا فإنه من الممكن حذف الصف الأول واستخدام التبديلة بترميز صف واحد كما يلي  formula_59  كما في ترتيب عناصر المجموعة formula_10. يجب التفريق هنا بين الترميز بصف والترميز الدائري الذي سيوضح بالأسفل. فمن الشائع بالدراسات الرياضية حذف الأقواس بترميز بصف واحد بينما تستخدم الأقواس في الترميز الدائري. يسمى أيضا الترميز بصف واحد بممثل الكلمة ("") في أي تبديلة. ففي المثال السابق يمكن كتابة التبديلة بالشكل formula_61 حيث أن formula_62 تشكل ترتيب طبيعي للصف الأول. يستخدم هذا الرمز بالتراكيب وعلوم الحاسب خصوصا بالتطبيقات التي بها عناصر formula_10 أو التبديلات كبيرة أو صغيرة نوعا ما.  يمكن وصف الترميز الدائري بالتأثير المكرر للتبديلة على عناصر المجموعة. فهي تبين التبديلة كحاصل ضرب دوائر. وحيث أن هذه الدوائر منفصلة فإنها توصف بـ "decomposition into disjoint cycles".  لكتابة التبديلة formula_25 بالترميز الدائري فإننا نتبع الخطوات التالية:   حيث أن كل دائرة جديدة تبدأ باختيار عنصر عشوائي من formula_10 فإنه يوجد طرق مختلفة لكتابة تبديلة ما بالترميز الدائري، ففي نفس المثال المذكور سابقا يمكن كتابة التبديلة كالتالي:  نلاحظ أيضا انه يتم حذف الدائرة التي بها عنصر واحد والتي يكون واضحا دون الحاجة لكتابته، فأي عنصر formula_65 لايظهر بأي دائرة بالترميز الدائري فهذا يعني أن formula_78. في تبديلة الوحدة والتي تتكون من دوائر بعنصر واحد يمكن كتابتها بدائرة واحدة بعنصر واحد formula_79 ، العنصر رقم أو بواسطة الرمز formula_41.  من ضمن مميزات استخدام الترميز الدائري فإنه يسهل كتابة معكوس أي تبديلة بشكل أسهل بواسطة عكس ترتيب عناصر التبديلة بكل دوائره. فعلى سبيل المثال:  formula_81 .  في بعض الكتابات المختصة بالتراكيب فإنه من المهم استخدام ترتيب ثابت لعناصر أي دائرة بالترميز الدائري. فوضح الباحث أنه يوجد نوعين من الترتيب في الترميز الدائري التدريجي وهما:   فعلى سبيل المثال التبديلة بالشكل formula_83 هي بالرمز الدائري التدريجي. بهذا الترميز لايتم حذف الدوائر ذوات العنصر الواحد. استخدم العالم Sergey Kitaev نفس المفهوم لكن بشكل عكسي حيث يتم ترتيب الدوائر بالبدء بالدائرة ذات العنصر الأصغر وترتيب بقية الدوائر بشكل متناقص حسب العنصر الأول بكل دائرة.  توجد طريقتان لكتابة تركيب أي تبديلتين. يستخدم الرمز لتمثيل دالة تطبق من أي عنصرformula_84 إلى العنصر formula_85. فالتبديلة التي بالطرف الأيمن تطبق أولا على العنصر. وحيث أن عملية تحصيل الدوال هي عملية تجميعية فإن عملية تحصيل التبديلات هي أيضا تجميعية أي أن: formula_86. فبالتالي يمكن إيجاد تحصيل أي أكثر من تبديلتين باستخدام خاصية التجميع والاستعانة بالأقواس. من الممكن أيضا كتابة تحصيل التبديلات بدون نقطة بينهم أو أي علامة لتوضيح عملية التحصيل.  يفضل بعض الباحثين تطبيق تأثير التبديلة التي بالطرق الأيسر أولا ، لكن في هذه الحالة تُكتب عملية التحصيل بشكل أسس فمثلا لتمثيل تأثير formula_87 على formula_65 يكتب بالشكل formula_89، والتحصيل بهذه الحالة يكتب بالشكل formula_90. لكن هذا التحصيل يعطي نتيجة مختلفة عن التحصيل المعرف سابقا والذي يطبق التبديلة اليمنى أولا.