خط أويلر  في الهندسة الرياضية، خط أويلر، نسبةً إلى ليونهارت أويلر، هو خط من أي مثلث غير متساوي الأضلاع، خط مركزي للمثلث، ويمر عبر عدة نقاط مهمة محددة من المثلث، بما في ذلك المركز العمودي، والمركز المحيطي، ومركز الكتلة، ونقطة إكستر، ومركز دائرة النقاط التسعة للمثلث.  يمتد مفهوم خط أويلر للمثلثات إلى خط أويلر للأشكال الأخرى، مثل الرباعي ورباعي السطوح .  أظهر أويلر في عام 1765 أنه في أي مثلث، المركز العمودي والمركز المحيطي ومركز الكتلة يقعون على خط واحد (متسامتة). تنطبق هذه الخاصية أيضًا على أي مركز مثلث آخر، مع أنّ مركز دائرة النقاط التسعة لم يُعرف في زمن أويلر. في المثلثات متساوية الأضلاع، تتطابق هذه النقاط الأربعة، لكن في أي مثلث آخر تكون جميعها متميزة عن بعضها البعض، ويُحَدَّدُ خط أويلر بأي اثنتين منها.  تشمل النقاط البارزة الأخرى الواقعة على خط أويلر نقطة دي لونجتشامبس ونقطة شيفلر ونقطة إكستر ومنظار جوسارد. ومع ذلك، فإن المركز الداخلي، عمومًا، لا يقع على خط أويلر؛ إنه موجود على خط أويلر فقط في المثلثات متساوية الساقين، التي يتطابق فيها خط أويلر مع محور التماثل للمثلث ويحتوي على جميع مراكز المثلث.  المثلث المماسي لمثلث مرجعي هو المماس إلى الدائرة المحيطة بالمثلث المرجعي عند رؤوس المثلث المرجعي. يقع المركز المحيطي للمثلث المماسي على خط أويلر للمثلث المرجعي. يقع مركز المشابهة للمثلثات المماسية والعمودية أيضًا على خط أويلر.   افترض أن formula_1 مثلث. إثبات حقيقة أن المركز المحيطي formula_2، مركز الكتلة formula_3 والمركز العمودي formula_4 متسامتة تعتمد على المتجهات الحرة. نبدأ بذكر المتطلبات الأساسية. أولًا، formula_3 تحقق العلاقة: formula_6  هذا يأتي من حقيقة أن المحاور الكتلية لـformula_3 formula_8. إضافةً إلى ذلك، مسألة سيلفستر هي: formula_9  الآن، باستخدام إضافة المتجهات، نستنتج أن: formula_10  بإضافة هذه العلاقات الثلاث، حد بعد حد، نحصل على: formula_11  ختامًا، formula_12، وهكذا النقاط الثلاثة formula_2 و formula_3 و formula_4 (بهذا الترتيب) على خط واحد.  في كتاب دوري Dörrie، وضع خط أويلر ومسألة سيلفستر معًا في إثبات واحد. ومع ذلك، تعتمد معظم براهين مسألة سيلفستر على الخصائص الأساسية للمتجهات الحرة، بصرف النظر عن خط أويلر.  على خط أويلر، يقع مركز الكتلة "G" بين المركز المحيطي "O" ووالمركز العمودي "H" ويبعد ضعف البعد، الذي يبعده عن المركز المحيطي، عن المركز العمودي:   القطعة "GH" قطر لدائرة، المركزين العمودي والكتلي نهايتي قطر فيها.  يقع المركز "N" لدائرة النقاط التسعة على خط أويلر في المنتصف بين المركز العمودي والمركز المحيطي:  لذا، يمكن إعادة وضع خط أويلر على خط أعداد حيث المركز المحيطي "O" في الموقع 0، "ومركز الكتلة G" عند 2t، ومركز دائرة النقاط التسعة عند 3t، والمركز العمودي "H" عند 6t عامل المقياس "t".  إضافةً إلى ذلك، فإن المسافة المربعة بين مركز الكلتة والمركز المحيطي على طول الخط أويلر أقل من مربع نصف القطر المحيطي "R" بقدر مساوي تسع مجموع مربعات الأضلاعa"،" b"،" "c:"   بالإضافة إلى،   افترض أن A، B ، "C" تشير إلى زوايا رؤوس المثلث المرجعي، وافترض أن x: "y" : "z" نقطة متغيرة في إحداثيات خطية ثلاثية؛ عندها تكون معادلة خط أويلر: formula_22  معادلة لخط أويلر في إحداثيات كتلية formula_23 هو   يمكن تمثيل خط أويلر بواسطة المعامل "t" ، بدءًا من المركز المحيطي (بإحداثيات خطية ثلاثية formula_25) والمركز العمودي (ذو الثلاث خطوط formula_26). تُعطى كل نقطة على خط أويلر، باستثناء المركز العمودي، بواسطة الإحداثيات الخطية الثلاثية: formula_27  تشكلت كتركيبة خطية من الإحداثيات الخطية الثلاثية لهاتين النقطتين، بالنسبة للمعامل "t".  على سبيل المثال:   في نظام الإحداثيات الديكارتية، نشير إلى ميول أضلاع المثلث بالرموز formula_36formula_37formula_38 ونشير إلى ميل خط أويلر بالرمز formula_39. وترتبط هذه الميول وفقًا لـ   لذا فإنّ ميل خط أويلر (إذا كان محدودًا) يمكن التعبير عنه من حيث ميل الأضلاع كـ: formula_42  فضلًا على ذلك، فإن خط أويلر يوازي الضلع "BC" في المثلث الحاد إذا وفقط إذا formula_43.  المحل الهندسي لمراكز الكتلة للمثلثات متساوية الأضلاع المدرجة في مثلث معين ينشئ بواسطة خطين عموديين على خط أويلر للمثلث المحدد.   في المثلث القائم ، يتطابق خط أويلر مع المتوسط على الوتر — أي أنه يمر عبر كل من الرأس القائم ونقطة المنتصف في الضلع المقابل لذلك الرأس. هذا لأن المركز العمودي للمثلث القائم، نقطة تقاطع ارتفاعاته، يقع على الرأس القائمة بينما يقع مركزه المحيطي، نقطة تقاطع منصفات أضلاعه العمودية، على نقطة منتصف الوتر.  يتطابق خط أويلر لمثلث متساوي الساقين مع محور تماثله. في المثلث متساوي الساقين، المركز الداخلي يقع على خط أويلر.  خط أويلر في مثلث المتوسطات المتناسبة (المثلث الذي متوسطاته متناسبة مع الأضلاع، على التوالي.) عمودي على أحد المتوسطات.  اعتبر المثلث "ABC" بنقطتي "F" نقطة فيرما و "F" . خطوط أويلر للمثلثات العشرة ذات الرؤوس المختارة من "A و B و C و F" و "F" تتقاطع عند مركز الكتلة للمثلث "ABC".  خطوط أويلر للمثلثات الأربعة المتشكلة بنظام مركزي عمودي (مجموعة من أربع نقاط حيث كل منها المركز العمودي للمثلث المتشكل بالنقاط الثلاث الأخرى) تتقاطع عند مركز دائرة النقاط التسعة المشترك لجميع المثلثات.   في المحدب الرباعي، "المركز شبه العمودي H"، و «مركز كتلة المساحة» "G،" والمركز شبه المحيطي "O" متسامتة، على هذا الترتيب، على خط أويلر، "وHG" = 2 "GO."   رباعي السطوح هو جسم ثلاثي الأبعاد يحده أربعة أوجه مثلثة. سبعة خطوط مرتبطة برباعي الوجوه تتقاطع عند مركز كتلته، تتقاطع مستوياته المٌنصِفة الستة عند نقطة مونجي، والكرة المحيطة تمر عبر جميع الرؤوس، ومركزها المركز المحيطي. تحدد هذه النقاط «خط أويلر» لرباعي الوجوه المناظر لخط المثلث. مركز الكتلة هو نقطة المنتصف بين نقطة مونجي والمركز المحيطي على طول هذا الخط. يقع مركز كرة النقاط الاثنى عشرة أيضًا على خط أويلر.  عديد الأبعاد المبسط هو عديد أبعاد كل جوانبه مبسطة. على سبيل المثال، كل مضلع هو عديد أبعاد مبسط. خط أويلر المرتبط بمثل عديد الأبعاد هو الخط المحدد بمركز الكتلة و المركز المحيطي للكتلة. هذا التعريف لخط أويلر يعمم ذلك المذكور أعلاه.  لنفترض أن formula_44 مضلع. خط أويلر formula_45 حساس لتماثلات formula_44 بالطرق التالية:  1. لو formula_44 له خط التماثل الانعكاسي formula_48 ، من ثم formula_45 إما formula_48 أو نقطة على formula_48.  2. لو formula_44 له مركز التماثل الدوراني formula_53 ، من ثم formula_54 .  3. إذا كانت كل جوانب formula_44 متساوية في الطول، إذًا formula_45 متعامد مع الجانب الأخير.  قطع كيبرت المكافئ لمثلث هو القطع المكافئ الفريد المماس للأضلاع المثلث (بعد مد اثنين منهم) وخط أويلر الدليل له.