فراغات حاصل الضرب القياسي وفراغات هيلبرت  يمكننا تعميم مفهومى «الضرب القياسى» و «التعامد» على الفراغات الاتجاهية سواء الحقيقية أو المركبة وهذا ما يقودنا إلى تزويد الفراغ الاتجاهى ببنية اضافية للحصول على فراغ حاصل الضرب القياسى وفراغ حاصل الضرب القياسى الكامل الذي يسمى ب «فراغ هيلبرت»  ليكن V فراغا اتجاهيا على المجال K (الحقيقى أو المركب).لنفترض انه يقابل كل زوج من المتجهات u,v اللذان ينتموا للفراغ الاتجاهى V عدد حقيي formula_1 ينتمى للمجال K يسمى هذا الراسم حاصل الضرب القياسى في V إذ حقق البديهيات التالية:  1-::formula_2 (موجب) 2- 0=formula_3 إذا كان وفقط إذا كان u=0 (محدد)  3-::formula_4 (متماثل إذا كان مجال الأساس  حقيقيا)و (مرافق لنفسه إذا كان مجال الأساس مركبا)  4-::formula_5   ان الفراغ الاتجاهى المزود بحاصل الضرب القياسى يسمى فراغ حاصل الضرب القياسى  وكذلك فراغ حاصل الضرب القياسى الكامل وهو الذي فيه كل متتالية كوشية لها نهاية في هذا الفراغ يسمى  بفراغ هيلبرت  واستنادا إلى البديهيات 3 و 4 نستنتج:formula_6  وهذا يعنى ان حاصل الضرب القياسى شبه خطى في المركبة الثانية  إذا كان لدينا ⟨•,•⟩ حاصل ضرب قياسى على الفراغ الاتجاهى V , فنعرف أولا المعيار المرتبط بحاصل الضرب القياسى على أنه:formula_7  ومن هنا فان فراغات حاصل الضرب القياسى تكون فراغات معيرة وكذلك فراغ هيلبرت يكون فراغ باناخى  ونعرف ثانيا المسافة بين نقطتين x,y في فراغ هيلبرت بمعرفة المعيار على أنها:formula_8  ومن هنا فان فراغ حاصل الضرب القياسى يكون فراغ المسافة  ونشير إلى هذة الخاصية الأخيرة التي تتحقق نتيجة لعدم التساوى والتي تسمى متباينة كوشى- شفارتز وهي  ايا كان المتجهان x,y فان:formula_9  حيث أن التساوى يتحقق إذا كان وفقط إذا كان x,y مرتبطين خطيا  1-الفراغ الاقليدى formula_10 هو فراغ كامل ومعرف عليه حاصل الضرب القياسى كالتالى::formula_11  لذلك فهو فراغ هيلبرت  2-الفراغ المركب formula_12 هو فراغ كامل ومعرف عليه حاصل الضرب القياسى كالتالى::formula_13  لذلك فهو فراغ هيلبرت  3-الفراغ "ℓ" المؤلف من المتتابعات (اللانهائية من الاعداد المركبة) حيث أن هذه المتسلسلة:formula_14 تقاربية  فهو فراغ كامل ومعرف عليه حاصل الضرب القياسى كالتالى:formula_15  لذلك فهو فراغ هيلبرت  1-خصائص هندسية  يمكننا تعميم نظرية فيثاغورث على فراغات حاصل الضرب القياسى:  ليكن V فراغ حاصل الضرب القياسى. نقول عن المتجهين u,v انهما متعامدان إذا كان "formula_1 = 0.ونرمز لها بالرمز   وعندما يصبح المتجهان متعامدان فان:formula_17  حيث لاى عدد n من المتجهات المتعامدة نستنتج ان:formula_18  يمكننا أيضا تعميم خاصية متوازى الأضلاع وهى ان مجموع مربعات اطوال الاقطار يساوى مجموع مربعات اطوال الأضلاع الاربعة حيث ان: formula_19 نستطيع القول بان الفراغات المعيرة تعرف حاصل الضرب القياسى حيث ان formula_20 إذا كان وفقط إذا كان خاصية متوازى الأضلاع صارت متحققة  على سبيل المثال الفراغ ℓ حيث p≠2 ليس فراغ حاصل ضرب قياسى لان المعيار المعرف عليه لا يحقق خاصية متوازى الأضلاع، حيث أن هذا الفراغ فراغ كامل وليس فراغ حاصل ضرب قياسى فانه ليس فراغ هيلبرت.  2-خصائص تحليلية  يقال عن متجهان في فراغات حاصل الضرب القياسى انهم متجهات عيارية متعامدة إذا كانوا متعامدان، وطول كل متجه يساوى الوحدة، ومجموعة المتجهات تشكل فئة عيارية متعامدة إذا كان كل متجهان معا متعامدان وطول كل متجه يساوى الوحدة، وهذة الفئات تشكل أساسا يسمى بالاساس العيارى المتعامد.  -كل فراغ حاصل ضرب قياسى ذو بعد منتهى له أساسات عيارية متعامدة والتي يمكن الحصول عليها من طريقة جرام-شميت التي تحول الأساس الاختيارى لفراغ حاصل الضرب القياسى إلى أساس عيارى متعامد.  توجد العديد من التطبيقات لفراغ هيلبرت في مجالى الرياضيات والفيزياء  1-يستخدم فراغ هيلبرت في ميكانيكا الكم التي تهتم بدراسة الأجسام الصغيرة جدامثل الإلكترونات والبروتونات حيث تتحول المسافة وكمية الحركة والطاقة في الميكانيكا الكلاسيكية إلى مؤثر في ميكانيكا الكم وهذا المؤثر معرف على فراغ هيلبرت   2-يستخدم في المعادلات التفاضلية لدراسة سلوك القيم الذاتية والمتجهات الذاتية للمعادلات التفاضلية   3-يستخدم فراغ هيلبرت في متسلسلات فوارير حيث يمكن تمثيل الدالة كتركيبات خطية من دوال مرتبطة بهذة المتسلسلات