دالة بول  في الرياضيات، دالة بُول هي دالة formula_1 مع n متغيرات formula_2 نقول أنَّ f تقبل متجه formula_3 إذا 1 =(f(a ونقول انها ترفضه إذا 0 =(f(a . دالة بول ليست بالضرورة متعلقة بكل متغيراتها ونقول أنَّ الدالة f متعلقة بالمتغير x  إذا يوجد اعداد ثابتة formula_4 بحيث أنَّ:  بما أنَّه يوجد formula_6 متجهات في formula_7 فإن عدد دوال بول formula_2 هو formula_9.  دالة بول نقول عنها متناظرة إذا اعتمدت فقط على عدد ال-1 في المُدخل وليس على مكانها أي على توزيعها على المتغيرات، لذا فانه يوجد formula_10 دوال كهذه، امثلة لدوال كهذه:  يمكن ترجمة كل خاصية أو صفة إلى دالة بول ملائمة وهذه الصفة يمكن ان تحقق أو لا، مثال: الصفة «العدد أولي» ملائم للدالة PRIME بحيث:  ولنترجم خصائص المُخططات (graphs) على المجموعة formula_16 نُعرف لكل ضلع متغير formula_17 وهذا المتغير 1 إذا formula_18 و-0 خلاف هذا. لذا أي مُتجه قيمه 0-1 بطول formula_19 يعطينا مُخطط G . عندها خاصية يمكن ترجمتها بشكل مناسب، بشكل عام:  مثال:  دالة المخطط الكامل (the clique function) أو (Clique(n,k : وهذه الدالة تقبل متجه x إذا وفقط إذا G يحوي مخطط كامل مع k رؤوس.  مصفوفة بول هي مصفوفة بحيث أنَّ كل الخلايا قيمتها اما 0 أو 1 .  إذا (f(x,y دالة بول مع 2n متغيرات حينها يمكن النظر اليها على انها مصفوفة،A, بكبر formula_21 بحيث أن كل سطر وعامود موسوم بواسطة مُتجه من formula_7 , ويتحقق: (A[x,y]=f(x,y .  عمليات بول الأساسية هي: من هذه العمليات يمكن تركيب دوال بول أكثر تعقيدا من دوال بسيطة.  مثال:  لنفرض أنَّ formula_29 حينها يمكن أن نبني دالة جديدة: formula_30  المعكب الثنائي هو مجموعة كل المتجهات (أي formula_31) ويمكن التعبير عنه بواسطة مُخطط (GRAPH) بحيث أنه يوجد لهذا المكعب formula_32 رؤوس وكل رأس موسوم بواسطة مُتجه (vector) من المجموعة formula_33 ويوجد ضلع بين رأسين إذا اختلف المتجهين اللذان هما وسما الرأسين في مكان واحد. لذا فانه يوجد formula_34 اضلاع في هذا المخطط، كما انَّه مخطط ثنائي. نرمز لمكعب مع formula_6 رؤوس ب- formula_36 . A هو مُكعب جزئي بُعده d هو مجموعة شكلها كالتالي: formula_37 بحيث أنَّ كل A هو أحد المجموعات: formula_38 بالإضافة إلى أنه فقط ل- d من المجموعات يتحقق التالي: formula_39 .  كل دالة بول formula_2 يمكن النظر اليها على انها تلوين (coloring) formula_41 بلونين. المخطط الثنائي الجزئي formula_42 نحصل عليه بازالة كل الاضلاع التي رؤوسها تشترك بنفس اللون. الكثافة في المخطط formula_42 له فائدة في تعقيد دوائر بول للدالة f .  هنالك شكلان طبيعيان لدوال بول: CNF , DNF . لعل أكثر الوسائل بديهية لتمثيل دالة بول هو جدول الحقيقة الخاص بالدالة أي قائمة بكل formula_6 الازواج formula_45 لكل formula_46 . هذه الطريقة اغلب الاحيان غير ملائمة، وسيلة أكثر ملائمة هي DNF و-CNF .  متغير بسيط (literal) هو متغير بول أو ضده أي اما ان يكون formula_47 أو formula_48. بشكل عام الترميز التالي شائع الاستخدام: formula_49 و- formula_50 لذا فانه لكل سلسلة formula_51 يتحقق التالي: احادي الحدود (monomial) هو AND متغيرات بسيطة، والتعبير (clause) هو or متغيرات بسيطة. مثال:  DNF هو OR آحاد الحدود و- CNF هو AND تعابير. كل دالة بول (f(x يمكن التعبير عنها بواسطة (DNF D(x أو (CNF C(x : لكل دالة بول يمكن تعريف دالة بول أخرى formula_54 وتسمى هذه الدالة ثنائي f . وهي كالتالي: لهذه الدالة عدة تطبيقات بشكل طبيعي منها في نظرية التصويت (voting theory).  لهذه الدالة كثير من الخصال منها:  لنفرض أن f,g هما دالتين بوليتين حينها:  لكل مجموعة جزئية S من المجموعة formula_60 نعرف دالة التشخيص (Characteristic function) formula_61 والتي تحقق:  حينها يمكن تعريف دالة البول على انها علاقة (predicate) formula_63 . ويستطيع المرئ ان ينظر إلى دالة بول formula_64 على انها عائلة المجموعات الجزئية التالية: formula_65 .  لكل مُتجهين formula_66 نكتب formula_67 إذا formula_68 . دالة بول احادية التوجه إذا formula_69 . لو نظرنا ل- f على انها علاقة أي formula_63 حينها الدالة f احادية الاتجاه إذا وفقط إذا formula_71 حينها لكل formula_72 يتحقق formula_73 .  امثلة لدوال احادية الاتجاه هي AND OR , دالة الحفة formula_74 ...