عدد طبيعي  العدد الطبيعي في الرياضيات، هو كل عدد صحيح موجب، مثل 1، 2، 3... 12، 563. ويضيف بعض العلماء الصفر إلى هذه المجموعة من الأعداد. يرمز لمجموعة الأعداد الطبيعية بالحرف اللاتيني N. و هي مجموعة أعداد غير منتهية. يمثل الواحد 1 أصغر الأعداد الطبيعية التي لا تتضمن الصفر ، بينما يمثل الصفر 0 أصغر الأعداد في مجموعة الأعداد الطبيعية التي تتضمن الصفر ، ويتم إنشاؤها بواسطة علاقة الترجع: "كل عدد طبيعي له موال وهو أيضا عدد صحيح طبيعي، 1 عدد صحيح طبيعي."  أي: «1 عدد طبيعي، وإذا كان formula_1 عدداً طبيعياً، فإن formula_2 عدد طبيعي أيضاً».  وكل مجموعة مرتبة تخضع لأكسيومات بيانو تسمى مجموعة أعداد طبيعية. ويُرمز إلى هذه المجموعة ب N أو يرمز إليها ب *N إذا حذف منها الصفر. بعض الرياضيين لا يعتبرون الصفر عددا صحيحا طبيعيا.  ¤ الأعداد الطبيعية تكتب من دون فاصلة /./ ومن دون كسر 1/3  ملاحظة: لم يعتبر العديد من علماء الرياضيات الإغريق الواحد عددا. فبالنسبة إليهم، اثنان هو أصغر عدد.  في البدايات مُثِلَت الأرقام الطبيعية عن طريق وضع علامة للشيء المعدود. منها تطور لمقارنة الأشياء المعدودة بأخرى لمعرفة الزيادة والنقصان أو المساواة - عن طريق حذف شيء وشطب علامته أو إضافة آخر مع علامة له وهكذا.  شكل نظام العد خطوة هامة في تطور تمثيل الأرقام، لأنه مَكَّنَ الإنسان من تسجيل أعداد كبيرة.  فالمصريون القدماء كان لديهم نظام عد استخدم رموزا هيروغليفية مختلفة لتمثيل 1 و10 وجميع القوى من 10 لأكثر من 1مليون. فهناك نقش حجري في الكرنك يعود تاريخه إلى حوالي 1500قبل الميلاد (الآن في متحف اللوفر)، مثل فيه الرقم 276 كـ 2 من فئة المئات، و7 من فئة العشرات و 6 من فئة الآحاد. وبنفس الطريقة للرقم 4622.  والبابليون كان لديهم نظام عد قيمة الموضع اعتمد على الأرقام من 1 إلى 10، مستخدما قاعدة ستينية، وفيه رمز العدد 60 هو نفس رمز العدد 1 ويميز بينهم السياق.  لاحقا تطور نظام العد ليشمل تخصيص رمز "للصفر" باعتباره رقم. استخدام رقم "للصفر" في نظام القيمة الموضعية يعود للبابليين حوالي 700 ق. م.، حيث حذفوا هذا الرقم لو كان آخر رقم في العدد.  استخدمت حضارات الأولمك والمايا "الصفر" كرقم حوالي بدايات القرن 1 ق م، لكنه لم ينتشر خارج أمريكا الوسطى.  في العصر الحديث بدأ استخدام "الصفر" مع عالم الرياضيات الهندي براهماجوبتا حوالي 628 م. ولكن مع ذلك، استخدم ديونيسيوس الصغير في 525 م "الصفر" كرقم لحساب عيد الفصح، دون أن يُشار له كرقم (حيث لا تتضمن الأرقام الرومانية القياسية رمز "الصفر"). واستخدمت مكانه كلمة "nulla" (أو صيغة المضاف "nullae") من "nullus" ، وتعني باللاتينية «لا شيء»، للإشارة لقيمة "الصفر".  أول دراسة منهجية للأرقام كمفهوم مجرد تُنسب عادة للفلاسفة اليونانيين فيثاغورس وأرخميدس. اعتبر بعض علماء الرياضيات اليونانيون أن الرقم 1 يختلف عن الأعداد الأكبر منه، وأحيانًا لا يعتبر كعدد. ، مثلًا عرّف إقليدس أولًا الوحدة  ، وبالتالي وفقًا لتعريفه، فإن الوحدة (الرقم 1) ليست عددًا، ويعرف العدد على أنه الكمية المؤلفة من الوحدات.  كما دُرِسَتْ الأرقام تقريبًا في نفس الوقت في الهند والصين وأمريكا الوسطى.  في القرن التاسع عشر في أوروبا، كان هناك نقاش رياضي وفلسفي حول ماهية الأعداد الطبيعية. على سبيل المثال هنري بوانكاريه ممثلا للفلسفة الطبيعانية نَقَدَ تعريف الرياضيون (كـ فريجه، وديدكايند، وراسل) الأرقام منطقيًا لأنه سيؤدي لتناقضات والوقوع في فخ التعريفات الدائرية، بدلا من ذلك اعتبر أن الأرقام هي نتاج طبيعي للنفس البشرية وطبيعة الأشياء من حولنا، وهي تتوافق مع رؤية كرونيكر، الذي قال «خَلَقَ الله الأعداد الصحيحة، غير ذلك من صنيع البشر».  بسبب انتقادات الطبيعانيين، رأي البنائيون (constructivists) الحاجة لتطوير أساس الرياضيات المنطقي ليصبح أكثر دقة.  في ستينيات القرن التاسع عشر، اقترح جراسمان لأول مرة وباستخدام الاستقراء الرياضي تعريفًا ذاتيًا للأعداد الطبيعية، بدءًا بالصفر ثم مضيفا له واحد (قيمة سماها e) للحصول على الرقم التالي، هو ما يعني بالتبعية أنها نتاج لاستخدام دالة الاستقراء f(n+1) المعرفة بدورها من الدالة الأولى f(0) وليست نتاج طبيعي بشكل تام.  بدأ فريجه تعريف الأرقام مستخدما نظرية المجموعات. في البداية عرَّفَ الرقم الطبيعي على أنه فئة جميع المجموعات التي تكون في تقابل واحد لواحد مع مجموعة معينة. ولكن أدى هذا التعريف لمفارقات، كمفارقة راسل. لتجنب ذلك، عُدِّلَ التعريف لينص على أن الرقم الطبيعي هو مجموعة بعينها، وأن أي مجموعة في تقابل واحد لواحد معها تحوي هذا العدد من العناصر.  من بعد فريجه، قدم بيرس تعريفًا، وحَسَّنَهُ ديديكيند، وطوره بيانو بصورة أكبر فيما يعرف الآن بمسلمات بيانو. وهو يعتمد على مسلمات خصائص الأعداد الترتيبية: حيث كل رقم طبيعي له خَلَفْ وكل رقم طبيعي غير صفري له سَلَفْ متفرد. مسلمات بيانو مُكافِئَة للعديد من نظم نظرية المجموعات الضعيفة. أحد هذه الأنظمة هو ZFC مع استبدال بديهية اللانهاية (Axiom of infinity) بما ينفيها. نظرية جودشتاين (Goodstein's theorem) من النظريات التي يمكن إثباتها في ZFC ولا اثبات لها بمسلمات بيانو.  في هذه التعريفات، يسهل إدراج 0 (ويقابله المجموعة الخالية) كرقم طبيعي. إدراج 0 هو الآن تقليد متعارف عليه بين علماء نظرية المجموعات والمنطقيين. وكذا يدرج علماء الرياضيات الآخرون الصفر ولغات الحاسوب أيضًا تستخدم نظم عد تبدأ بالصفر عند تعداد العناصر كـ عدادات الحلقات وعناصر السلسلة أو المصفوفات. لكن على الجانب المقابل، تمسك كثيرون من علماء الرياضيات بالتقاليد القديمة معتبرين 1 أول رقم طبيعي.  يستخدم علماء الرياضيات الرمز أو formula_3 للإشارة إلى مجموعة الأعداد الطبيعية. التي أسستها نظرية المجموعات. أحيانا استخدم الرمز في الكتابات القديمة للإشارة لهذه المجموعة.  ونظرًا لأن العنصرين و لهما خصائص مميزة (كعناصر محايدة للجمع والضرب، على التوالي)، فمن المهم معرفة نوع "الأرقام الطبيعية" المستخدم. يمكن ذلك عن طريق الشرح داخل النص (بكتابة عناصر المجموعة)، أو بوضع علامة علوية أو منخفضة، كالمثال التالي:   بشكل آخر ونظرًا لأن الأعداد الطبيعية تشكل طبيعيًا مجموعة جزئية من الأعداد الصحيحة (غالبًا ما لذا يمكن الإشارة إليها على أنها الأعداد الصحيحة الموجبة أو غير السالبة. لتوضيح إذا كان الرقم 0 مدرجًا أم لا، يتم أحيانًا إضافة حرف سفلي (أو علوي) "0" في الحالة الأولى (الأعداد الموجبة)، ويتم إضافة حرف علوي "" في الحالة الأخيرة (غير السالبة):  العدد الصحيح إن كان له نصف صحيح أي غير منكسر فزوج، كالعشرة، وإلا ففرد، كالثلاثة. نقول أن عددان لهما نفس الزوجية سواء إذا كانا زوجيين معا أو فرديين معا.   عملية القسمة تتعلق بالبسط والمقام:  هناك أكثر من خمسة عشر اختبارا لمعرفة هل عدد معين ما أولي أم لا.  الطريقة الأكثر بساطة، والأكثر سهولة من حيث الفهم، من أجل تحديد أولية عدد ما تدعى القسمة المتكررة.  كل خوارزمية تمكن من إيجاد جميع الأعداد الأولية الأصغر من عدد ما تسمى غربالا. أقدم مثال على ذلك غربال إراتوستينس لكنه لا يستعمل إلا في حالة الأعداد الصغيرة. غربال أتكين أحدث منه ولكنه أكثر منه تعقيدا ولهذا فهو أكثر منه سرعة.  مبرهنة فيرما الصغرى تبين أنه إذا كان "p" عددا أوليا و"a" عددا أوليا مع "p"، إذن:formula_18  عكس المبرهنة خاطئ، مثلا 561=3×11×17 ليس عددا أوليا ومع ذلك بالنسبة لعدد "a" أولي مع 561، لدينا formula_19  لكن يمكن مع ذلك كتابة:  إذا كان "p" غير أولي فإن formula_20 متوافق مع 1 بترديد "p" لقيمة ما "a"  الشيء الذي يمثل عكس احتمالي للمبرهنة.  برمجة التشفير PGP، تستعمل هذه الخاصية لمعرفة إذا كانت الأعداد العشوائية التي يختارها أعداد أولية. إذا كان: formula_21، فهذا يعني أن "x" عدد أولي احتمالي.  إذا أعطت إحدى المعادلات قيمة مخالفة ل1، في هذه الحالة "x" عدد غير أولي قطعيا.  الطريقة الأكثر بساطة، والأكثر سهولة من حيث الفهم، من أجل تحديد أولية عدد ما تدعى القسمة المتكررة.  لعملتي الجمع (+) والضرب (×) على الأعداد الطبيعية مجموعة من الخصائص الجبرية:  نقول إن العدد a مضاعف للعدد b إذا وفقط إذا وجد عدد صحيح طبيعي k حيث a=bk  ليكن a و b عددين صحيحين طبيعيين غير منعدمين المضاعف المشترك الأصغر للعددين a و b هو أصغر مضاعف مشترك غير منعدم للعددين a و b نرمز له بالرمز ppcm  ppcm (4;9) = 36 ppcm (6;10)=30  ليكن a و b عددين صحيحين طبيعيين غير منعدمين القاسم المشترك الأكبر للعددين a و b هو اآكبر قاسم مشترك لهما نرمز له بالرمز pgcd مثال:  pgcd(126;90)=18 pgcd(4;9)=1   أحدد مضاعفات a ثم أتآكد بالتتابع ابتداء من أصغر مضاعف غير منعدم للعدد a هل هو مضاعف للعدد b، فإذا آان الجواب لا، أتابع البحث إن آان نعم، أتوقف والعدد الذي حصلت فيه على هذا الجواب هو المضاعف المشترك الأصغر للعددين a و b.   أحدد قواسم العدد b ثم أتآكد بالتتابع تناقصيا ابتداء من أكبر قاسم للعدد b هل هو قاسم للعدد a فإذا آن الجواب لا، أتابع البحث ان كان نعم، أتوقف والعدد الذي حصلت فيه على هذا الجواب هو القاسم المشترك الأكبر للعددين a و b.  نحدد أولا جميع الأعداد الأولية p حيث p×p10^{300}</math>.  تحليل العدد الصحيح هو عملية تفكيكه إلى جداء عوامله الأولية، أي كتابة هذا العدد على شكل جداء أعداد أولية، بحيث يكون حاصل ضربها مساوٍ للعدد الأصلي. مثلا: تحليل العدد 45 هو 3·5.  أمثلة أخرى:  11 = 11  25 = 5 × 5 = 5  125 = 5 × 5 × 5 = 5  360 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 5 = 2 × 3 × 5