ارتفاع (مثلث)  في الهندسة الرياضية، ارتفاع المثلث هو القطعة المستقيمة من رأس المثلث وعمودية على (أي تشكل زاوية قائمة مع) خط يحتوي على القاعدة (الضلع المقابل لهذا الرأس). يسمى الخط الذي يحتوي على الضلع المقابل للرأس "بالقاعدة الممتدة" لهذا الارتفاع. يُطلق على تقاطع القاعدة الممتدة والارتفاع اسم " قدم الارتفاع". طول الارتفاع، الذي يُطلق عليه- غالبًا ببساطة- «الارتفاع»، هو المسافة بين القاعدة الممتدة والرأس. تُعرف عملية رسم الارتفاع من الرأس إلى القدم "بإسقاط الارتفاع". إنها حالة خاصة من الإسقاط العمودي.  يمكن استخدام الارتفاعات في حساب مساحة المثلث: نصف جداء الارتفاع وطول قاعدته يساوي مساحة المثلث. وبالتالي، فإن أطول ارتفاع يكون عموديًا على أقصر ضلع للمثلث. ترتبط الارتفاعات أيضًا بأضلاع المثلث بواسطة الدوال المثلثية.  في المثلث المتساوي الساقين (مثلث له ضلعان متطابقان)، الارتفاع على الضلع غير المتطابق قدمه في نقطة منتصف القاعدة. ثم إن هذا الارتفاع ينصف زاوية الرأس.  من الشائع إعطاء الارتفاع الرمز "h" (نسبةً إلى height)، وغالبًا ما يُلحق باسم الضلع العمودي عليه. في المثلث القائم الزاوية، الارتفاع المرسوم على الوتر "c" يقسم الوتر إلى جزأين "p" و "q" . إذا أشرنا إلى طول الارتفاع بـ "h" ، فسنحصل على العلاقة  في المثلثات الحادة، تقع أقدام الارتفاعات كلها على أضلاع المثلث (غير الممتدة). في المثلث المنفرج (الذي فيه زاوية منفرجة)، تقع قدم الارتفاع من الرأس المنفرجة الزاوية في الجزء الداخلي من الضلع المقابل، لكن قدمي الارتفاعين من الرأسين الحادين الزاوية تقعان على الضلعين الممتدين المقابلين؛ خارج المثلث. هذا موضح في الرسم البياني المجاور: في هذا المثلث المنفرج، يسقط ارتفاع من الرأس العلوي، ذي الزاوية الحادة، ويتقاطع مع الضلع الأفقي الممتد خارج المثلث.  تتقاطع الارتفاعات الثلاثة في نقطة، تسمى المركز العمودي للمثلث، وعادةً ما يتم الإشارة إليها بـ . يقع المركز العمودي داخل المثلث فقط إذا كان المثلث حادًا (أي ليس له زاوية أكبر من الزاوية القائمة أو مساوية لها). إذا كانت إحدى الزوايا قائمة، فإن المركز العمودي يتطابق مع الرأس القائم.  لنفترض أن تشير إلى رؤوس وكذلك زوايا المثلث، وافترض أن أطوال الأضلاعفإن المركز العمودي له الإحداثيات الخطية الثلاثية   formula_2  و الإحداثيات الكتليةformula_3  نظرًا لأن جميع الإحداثيات الكتلية موجبة لنقطة في داخل مثلث، لكن إحداها، على الأقل، سالبة لنقطة خارجه، واثنان من الإحداثيات الكتلية يساويان صفر لنقطة الرأس، فإن الإحداثيات الكتلية المعطاة للمركز العمودي توضح أن المركز العمودي يقع داخل المثلث الحاد، وعلى الرأس القائم الزاوية لمثلث قائم الزاوية، وخارج المثلث المنفرج.  في المستوى المركب، افترض أن النقاط A و B و تمثل الأرقام formula_5 و formula_6 و formula_7، على التوالي، وافترض أن المركز المحيطي من المثلث يقع عند أصل المستوى. عندئذ، العدد المركب  تمثله النقطة ، أي المركز العمودي للمثلث . من هذا، يمكن تحديد الخصائص التالية للمركز العمودي عن طريق المتجهات الحرة مباشرةً:  تُعرف أولى المتطابقات المتجهة السابقة، أيضًا، "بمسألة سيلفستر"، التي اقترحها جيمس جوزيف سيلفستر .  لنفترض أن D وE و تشير إلى أقدام الارتفاعات للرؤوس A وB و على التوالي. عندئذ:      إذا أشرنا إلى محيط المثلث بـ. عندئذ   وبالإضافة إلى ذلك، ترمز r لنصف قطر الدائرة الداخلية للمثلث، و يرمزون إلى أنصاف أقطار الدوائر الخارجية للمثلث،   إذا مد أي ارتفاع، على سبيل المثال، AD، ليتقاطع مع الدائرة المحيطة عند ، بحيث تكون وتر للدائرة المحيطة، فإن القدم تشطر الجزء :  تمر أدلاء جميع القطوع المكافئة الماسة خارجيًا لضلع للمثلث والماسة لامتدادي الضلعين الآخرين، عبر المركز العمودي.  المخروطي المحيطي الذي يمر عبر المركز العمودي لمثلث هو قطعًا زائدًا مستطيلًا .  المركز العمودي H، ومركز الكتلة ، والمركز المحيطي ، والمركز   بعد المركز العمودي عن المركز الداخلي أقل من بعد مركز الكتلة عن المركز العمودي، والبعد بين المركز العمودي ومركز الكتلة أكبر من البعد بين المركز الداخلي ومركز الكتلة.  من حيث الأضلاع   إذا كان المثلث ABC مائلًا (لا يحتوي على زاوية قائمة) ، فإن مثلث المساقط الخاص بالمركز العمودي للمثلث الأصلي يسمى المثلث العمودي أو مثلث الارتفاعات. أي إن أقدام ارتفاعات المثلث المائل تشكل المثلث العمودي، . وأيضًا، فإن المركز الداخلي (مركز الدائرة المحاطة بالمثلث) للمثلث العمودي هو المركز العمودي للمثلث .  تعطى الإحداثيات الخطية الثلاثية لرؤوس المثلث العمودي بـ* * *    يرتبط المثلث العمودي ارتباطًا وثيقًا بالمثلث المماسي، المنشئ على النحو التالي: افترض أن مماس للدائرة المحيطة بالمثلث عند الرأس ، وبالمثل و . افترض أن ، ، . المثلث المماسي الذي أضلاعه مماسات للدائرة المحيطة بالمثلث " عند رؤوسه، هو محاكي للمثلث العمودي. يقع المركز المحيطي للمثلث المماسي ومركز التشابه للمثلثين العمودي والمماسي على خط أويلر .   تعطى الإحداثيات الخطية الثلاثية لرؤوس المثلث المماسي بواسطة* * * .  لأي مثلث أضلاعه ونصف محيطه ،يعطى ارتفاع   هذا يتأتى من دمج صيغة هيرون لمساحة المثلث من حيث الأضلاع مع صيغة المساحة (1/2) × القاعدة × الارتفاع، حيث نعتبر القاعدة الضلع   بالنسبة لأي مثلث له الأضلاع و الارتفاعات المقابلة و . ترتبط الارتفاعات ونصف القطر الداخلي بـالعلاقة   إذا أشرنا إلى الارتفاع لأحد أضلاع المثلث بـ ، والجانبان الآخران و ، ونصف القطر المحيطي للمثلث (نصف قطر الدائرة المحيطة بالمثلث) ، يعطى الارتفاع بالعلاقة  إذا كانت و هي المسافات العمودية من أي نقطة إلى الأضلاع،formula_26 و formula_27و هي الارتفاعات على الأضلاع، إذًا   إذا أشرنا إلى ارتفاعات أي مثلث له الأضلاع   على التوالي formula_29 و formula_30 ، و formula_31 ، وإذا أشرنا إلى نصف مجموع مقلوبات الارتفاعات بـformula_32 ، إذا   إذا كانت أي نقطة على الارتفاع لأي مثلث ، إذًا   لأي نقطة داخل مثلث متساوي الأضلاع، فإن مجموع الأعمدة على الأضلاع الثلاثة يساوي ارتفاع المثلث. هذه هي مبرهنة فيفياني .  في المثلث القائم الزاوية الذي ارتفاعاته الثلاثة ha و hb و hc  (أول ارتفاعين منهم يساويان الضلعين   و على التوالي) يرتبطون وفقًا لـلعلاقة   يُعرف هذا أيضًا باسم مبرهنة فيثاغورس المعكوسة.  تم إثبات المبرهنة القائلة بأن الارتفاعات الثلاثة للمثلث تلتقي في نقطة واحدة، المركز العمودي، أول مرة في ما نشر عام 1749 بواسطة .