دالة أسية  الدالة الأسية هي كل دالة تُكتب على الشكل formula_1 حيث formula_2 و formula_3 عدد حقيقي موجب لا يساوي 1، إذا كان formula_4 تكون تناقصية وتسمى دالة تضاؤل أسي، أما إذا كان formula_5 فإن الدالة تكون تزايدية وتسمى دالة نمو أسي.  مثال آخر للدالة الأسية:  أي أن الدالة الأسية بصفة عامة:  X = y  تستخدم في الحاسوب معادلة أسية خاصة اسمها (exp(n. وهي تعادل حالة خاصة للمعادلة الأسية التي هي أصلا formula_9 حيث e هو الثابت الطبيعي المسمى عدد أويلر. ذلك لأن الحالة الخاصة formula_9 لها استخدامات واسعة في الفيزياء والكيمياء والهندسة الكهربائية والهندسة الميكانيكية والإحصاء وغيرها من العلوم. بعض الدول العربية تستخدم «هـ» بدلا عن e.  التعريف الجبري للدالة الأسية هو أنها تحول المجموع إلى جداء.  من خواص الدالة الأسية:  الدالة العكسية للدالة الأسية هي اللوغاريتم (log) ذو الأساس a حيث تحول formula_11 إلى x وهي تحول الجداء إلى مجموع:  حيث x عدد حقيقي. الرمز log في هذه المقالة ينطبق على اللوغاريتم للأساس 10.  يمكن تحويل الدالة الأسية formula_13 إلى أي أساس آخر formula_14 :  وتنطبق القوانين التالية عليها:  وتنطبق تلك القوانين على كل الأساسيات الحقيقية الموجبة formula_22 وformula_23 وعلى جميع الأساسيات الحقيقية والمركبة formula_24.  من أهم الدوال الأسية المستعملة في العلوم مثل كالفيزياء النووية والفيزياء الذرية والكهرباء والهندسة الكهربائية هي الدالة ذات الأساس e أي formula_25 واللوغاريتم المنتسب إليها يرمز له بالرمز " ln" ، ويسمى «اللوغاريتم الطبيعي».  الدالة الأسية للأساس e هي الدالة الوحيدة التي تحقق الشرطين:  أي أنها حل للمعادلة التفاضلية من الدرجة الأولى.  هناك الحالة الخاصة عندما يكون الأساس هو الثابت الطبيعي e (تستخدم بعض البلاد العربية الثابت الطبيعي «هـ» بدلا عن المعترف به عالميا e).  وتكتب باللغة الإنجليزية:  حيث n هو الأُس للأساس الثابت الطبيعي الثابت «ه» والذي يساوي 2.718281828  وتوجد في الآلات الحاسبة لكثرة استعمالها.  أو بالتفصيل:  x = e  من خصائص الدالة الأسية للأساس الطبيعي e الخصائص التالية:  وذلك لجميع formula_31 وجميع formula_24 الحقيقية والمركبة.(ln a هو اللوغاريتم الطبيعي للأساس الطبيعي e وليس اللوغاريتم للأساس 10)  للدالة الأسية للأساس الطبيعي e أهمية كبرى في الفيزياء (مثل: تناقص الضغط الجوي بالارتفاع عن سطح الأرض [أنظر أسفله]) ، وفي الكيمياء (مثل: اعتماد سرعة التفاعل على درجة الحرارة)  وفي الفيزياء بالنسبة إلى الدارة الإلكترونية حيث تتزايد مثلا شحنة مكثف طبقا للدالة الأسية مع الزمن x = e حيث n = t.c حتى تكتمل سعة المكثف. وإذا عملنا على تفريغ المكثف من شحنته يتبع معدل تفريغ الشحنة مع الزمن نفس الدالة الأسية الطبيعية مع جعل الأس بالسالب، أي x = e.  يمكن تعريف الدالة الأسية للأساس e بعدة طرق متكافئة، على وجه التخصيص يمكن تعريفها بإستعمال متسلسلة قوى:  أقل شيوعا يمكن تعريف e كحل للمعادلة التالية:  هي أيضا تساوي النهاية التالية:  تتميز الدالة الأسية للأساس e بكونها مساوية لمشتقتها التفاضلية:  وعندما نختار لها الشرط:  تصبح الدالة الأسية للثابت الطبيعي e هي الوحيدة التي تفي بذلك الشرطين. بذلك يمكن تعريف الدالة الأسية الطبيعية بأنها حل تلك المعادلة التفاضلية. عندما تكون formula_38 ينتج:  حيث ln a هو اللوغاريتم للأساس الطبيعي e وتنطبق المعادلة:  وفي هذه المعادلة لا يلزم استبدال اللوغاريتم الطبيعي بأي لوغاريتم لأساس آخر، حيث يأتي العدد "e" في حساب التفاضل بطريقة «طبيعية» من نفسه.  إن حل هذه المعادلة التفاضلية عبارة عن دالة أسية بحيث formula_42 حيث formula_43 ثابتة حقيقية تحدد بالاعتماد على الشروط البدئية  مثال:  قانون التحلل الإشعاعي لنواة الذرة:  وتعطينا تلك المعادلة الأسية عدد الأنوية (N(t التي لم تتحلل بعد مرور الزمن t من مجموع أنوية الذرات N_0 الكلي عند البداية (عند t = 0).  وتعتمد:formula_45 على نوع الذرات الموجودة في العينة، وهي خاصية من خصائص العنصر المشع، وتختلف لليورانيوم عن البلوتونيوم وعن البوتاسيوم-40 مثلا. ووحدتها 1/ثانية.  ليكن formula_3 عنصرا من مجموعة الأعداد الحقيقية حيث formula_5  المجموع الأول   نهاية هذا المجموع:formula_49  المجموع الثاني   نهاية هذا المجموع:formula_51  تزايد الميكروبات: ينقسم الميكروب إلى نصفين مكونا ميكروبين، وينقسم كل منهما إلى نصفين فيصبحوا أربعة ميكروبات. ثم تنقسم الأربعة ميكروبات وتصبح ثمانية ميكروبات.  أي يبلغ عدد الميكروبات بعد 3 انقسامات:  N = 2  N = 8  فإذا أردنا معرفة عدد الميكروبات بعد 6 انقسامات، صغنا المعادلة كالآتي:  N = 2  N = 64  أي أن عدد الميكروبات الناتجة عن ميكروب واحد بعد ستة انقسامات يبلغ 64 ميكروبا.  التزايد السكاني:  يبلغ عدد سكان إحدى المدن 4 ملايين نسمة، فما عدد سكان المدينة بعد ستة سنوات إذا كان معدل تزايد السكان السنوي 2,5 %؟  نكتب المعادلة الآتي:  N = 4. e  أو:  والنتيجة:  مثال 3 :  تكوّن النجوم: تتزايد كتلة أحد النجوم عن طريق اجتذابه للمادة حوله بمعدل 2 و0 % سنويا، فما تكون كتلته بعد 170 سنة؟.  N = 1. e  N = 1. e  باستخدام الحاسوب نحصل على زيادة كتلته بنسبة 4 و1 خلال 170 سنة.  مثال 4:  تغير كثافة الهواء بالارتفاع عن سطح الأرض. المعادلة هي:  حيث الارتفاع h والارتفاع عند سطح الأرض formula_53.