هيكل لاغرانج المترابط  تمثل هياكل لاغرانغ المترابطة نوعًا مميزًا من أسطح المسارات في الأنظمة الديناميكية التي تؤثر بدرجة كبيرة على أشكال المسارات المجاورة لها خلال فترة معينة من الزمن. تتباين أنواع هذا التأثير ولكن في جميع الأحوال يُولد هذا التأثير نمطًا مترابطًا للمسارات، وهنا يأتي دور هياكل لاغرانج المترابطة التي تشكل الجزء النظري المحوري في توليد تلك الأنماط. من السهل ملاحظة خصائص الترابط عند مراقبة أنماط التدفق في الطبيعة، ولكن ما يثير اهتمامنا في العادة هو الهيكل الكامن وراء تلك الأنماط.  كما هو موضح على اليسار، نجد أن مسارات التدفق المفردة تتشكل على هيئة نمط مترابط، وتتأثر تلك المسارات بشدة بالتغيرات في أوضاعها الأولية وبارامترات النظام. ولكن من ناحية أخرى تتميز هياكل لاغرانج المولدة لتلك المسارات بالثبات والصلابة، وهي تمثل دعامة أساسية مُبسطة لديناميات النظام بصفة عامة. ولهذا السبب تُعتبر هياكل لاغرانج المترابطة أداة مثالية للتحقق من صحة النماذج، والمقارنة بينها، ووضع أسس معيارية للمقارنة بينها. علاوة على ذلك يمكن الاستعانة بهياكل لاغرانج في التنبؤ بأحوال الأنظمة الديناميكية المعقدة على المدى القريب أو المدى القصير.  من بين الأمثلة على الظواهر الفيزيائية المحكومة بهياكل لاغرانج المترابطة: النفايات العائمة، والتسربات النفطية، والعوامات السطحية، وأنماط انتشار الكلوروفيل في المحيطات، وسحب الرماد البركاني، وانتشار الأبواغ في الغلاف الجوي، وأنماط الحشد المترابطة التي نلاحظها عند البشر والحيوانات.  رغم أن هياكل لاغرانج المترابطة تظهر بصفة متكررة في الأنظمة الديناميكية ولكن لا يمكن ملاحظة دورها في توليد الأنماط المترابطة بسهولة في حالة تدفق الموائع. وتُعد الصور المُرفقة بالأسفل أمثلة على أنواع هياكل لاغرانج المختلفة الكامنة وراء العديد من أنماط التدفق الجيوفيزيائية.  دعنا نفترض أن لدينا نظامًا ديناميكيًا غير مستقل مُعرفًا بواسطة خريطة التدفق formula_1 في فضاء الطور formula_2 على الفترة الزمنية formula_3، وهي تربط الأوضاع الأولية formula_4 بمواقعها formula_5 في الفترة الزمنية المحددة formula_6. إذا كانت خريطة التدفق formula_7متماثلة تفاضليًا بالنسبة لجميع الأزمنة formula_8، فإن أي مجموعة ملساء formula_9 بالأوضاع الأولية formula_2تُعطى بالصيغة الآتية:  formula_11  وهي تُصنف كمتعدد شعب ثابت في فضاء الطور الممتد formula_12. وفي علم ديناميكا الموائع يُشار إلى متعدد الشعب formula_13 المتغير مع الزمن formula_14 بسطح المادة (انظر شكل 1). بما أن أي مجموعة أوضاع أولية نختارها formula_9 تنتج متعدد شعب ثابتًا formula_16، إذن فمتعددات الشعب الثابتة وأسطح المادة المقترنة بها لا متناهية وبصفة عامة لا يمكن تمييزها عن بعضها في فضاء الطور الممتد. لذا علينا اختيار مجموعة صغيرة منها لتكوين أنوية أنماط المسارات المترابطة  حتى تتكون الأنماط المترابطة ينبغي على سطح المادة formula_17 أن يؤثر بفعل ما على المسارات المجاورة بصورة مستمرة ومنتظمة خلال الفترة الزمنية formula_18. من بين الأمثلة على تلك الافعال: التجاذب والتنافر والقص. ومن حيث المبدأ تستوفي أي خاصية رياضية مُعرفة بوضوح الشروط السابقة إذا ما ولّدت أنماطًا مترابطة بدءًا من أوضاع أولية محلية مُختارة عشوائيًا.  يمكن التعبير عن مثل هذه الخصائص باستخدام متباينة صارمة. على سبيل المثال يمكن اعتبار سطح المادة formula_17 سطحًا جاذبًا خلال الفترة الزمنية formula_20 في حالة تحول مجموعة من الاضطرابات الصغيرة فيformula_9 إلى اضطرابات أصغر منها في formula_22 بواسطة تيار التدفق. في علم الأنظمة الديناميكية الكلاسيكية تُعرف متعددات الشعب التي تستوفي شروط خاصية التجاذب السابقة بالجاذبات. وتلك الجاذبات ليست مميزة فحسب، بل لا يوجد مثلها على الإطلاق في فضاء الطور، إذ لا يمكن وجود عائلة متصلة من الجاذبات.  وعلى الجانب الآخر، في حالة الأنظمة الديناميكية المُعرفة على فترة زمنية محدودة formula_18، لا تكفي المتباينات الصارمة لتعريف أسطح المادة الاستثنائية (أي الأسطح الفريدة على مستوى محلي)، وهي نتيجة مباشرة لاتصال خريطة التدفق formula_7 خلال الفترة الزمنية formula_18. على سبيل المثال: إذا كان سطح المادة formula_17يجذب جميع المسارات المجاورة خلال الفترة الزمنية formula_18 فسوف تفضي جميع الأسطح المتقاربة إلى نفس النتيجة.  إذن، فإن أسطح التجاذب والتنافر والقص مُكدسة بالضرورة فوق بعضها، أي إنها تتولد على صورة عائلة متصلة من الأسطح. وبناءً على ذلك يمكن العثور على هياكل لاغرانج المترابطة باعتبارها أسطح مادة استثنائية تظهر عليها خصائص ترابطية بدرجة أقوى من غيرها من أسطح المادة المجاورة. تُعرف مثل تلك الهياكل بأنها نقاط حرجة (أو بصفة أعم، أسطح ساكنة) لخاصية الترابط على فترة زمنية محدودة، وتلك الهياكل هي ما يمكن اعتباره جزءًا محوريًا في أنماط المسارات. يوضح الشكل 2.أ. أمثلة على هياكل التجاذب والتنافر والقص في محاكاة عددية مباشرة ثنائية الأبعاد.  متعددات الشعب الثابتة الكلاسيكية هي عبارة عن مجموعات ثابتة في فضاء الطور formula_2في نظام ديناميكي مستقل. أما بالنسبة لهياكل لاغرانج فيُشترط عليها أن تكون ثابتة في فضاء الطور الممتد فقط. ما يعني أنه حتى وإن كان النظام الديناميكي الكامن وراء تلك الهياكل مستقلًا فإن هياكل لاغرانج الخاصة بالنظام على الفترة الزمنية formula_29 تعتمد على الزمن بصورة عامة، وهي تؤدي دور الدعامة المتغيرة لأنماط المسارات المترابطة المرصودة. يوضح الشكل 2.ب. الفرق بين هيكل لاغرانج التجاذبي ومتعدد الشعب الكلاسيكي غير المستقر الخاص بنقطة السرج، وكلاهما يتغير مع مرور الزمن في نظام ديناميكي مستقل. دعنا نفترض أن فضاء الطور الخاص بالنظام الديناميكي يمثل فضاء بارامترات المادة الخاص بوسط متصل (مثل السوائل والأجسام اللدنة). على سبيل المثال دعنا نفترض نظامًا ديناميكيًا مُولدًا بواسطة مجال سرعات متقلب مُعطى بالعلاقة الآتية:  formula_30  حيث formula_31 هي مجموعة مفتوحة تحتوي على جميع مواقع الجسيمات الممكنة، وهي تمثل فضاء بارامترات المادة. وفي نطاق هذا الفضاء فإن هياكل لاغرانج المترابطة تمثل أسطح المادة التي تشكلها المسارات. لا يعتمد وجود مسار المادة داخل هيكل لاغرانج على الإحداثيات المُختارة، وبالتالي فهي خاصية لا تعتمد على مكان المراقب. ونتيجة لذلك فإن هياكل لاغرانج تخضع لمبدأ الموضوعية (أي عدم اعتماد خواص المادة على الإطار المرجعي) المعروف في ميكانيكا الأوساط المتصلة. وبموجب مبدأ الموضوعية يجب على هياكل لاغرانج أن تكون ثابتة بغض النظر عن تغير المراقب، أي جميع التغيرات الخطية للإحداثيات التي تتخذ الصورة الآتية:  formula_32  حيث formula_33 هو متجه الكميات المتحولة، وformula_34 هي مصفوفة formula_35 عشوائية ومتعامدة تمثل عمليات الدوران المعتمدة على الزمن، وformula_36 هو متجه عشوائي ثلاثي الأبعاد يمثل الانتقالات المعتمدة على الزمن. ونتيجة لذلك ينبغي أن نُعبر عن أي تعريف متسق لهياكل لاغرانج بدلالة الكميات التي لا تعتمد على الإطار المرجعي. على سبيل المثال: موتر معدل الإجهادات formula_37، وموتر الدوران formula_38 المُعطيان بالعلاقات الآتية:  formula_39  وهي تتحول بواسطة تغيرات الإطارات الإقليدية إلى الكميات الآتية:  formula_40  ذلك يعني أن تغير الإطار المرجعي مكافئ لعملية تحويل التشابه على الموتر formula_37، وبالتالي فإن هياكل لاغرانج المترابطة التي تعتمد حصرًا على القيم الذاتية والمتجهات الذاتية للموتر formula_37 لا تعتمد بضرورة الحال على الإطار المرجعي. أما بالنسبة لهياكل لاغرانج التي تعتمد على القيم الذاتية للموتر formula_38 فهي ليست مستقلة عن الإطار المرجعي بصفة عامة.  تُستخدم الكميات التي لا تعتمد على الإطار المرجعي مثل formula_44وformula_45 بشكل روتيني في رصد هياكل لاغرانج المترابطة. رغم أن تلك الكميات من شأنها أن تبرز خصائص متجه السرعات اللحظي formula_46 لكن قدرتها على اكتشاف خواص اختلاط المواد، والانتقال، والترابط محدودة.