معادلة من الدرجة الأولى  المعادلة من الدرجة الأولى (First-degree equation) هي كل معادلة يكون فيها أس الأعداد المجهولة 1 فقط. فلا يوجد فيها مجاهيل بالصيغة (formula_1)، أو (formula_2)، وما شابه، فقط (formula_3) أو (formula_4) أو أياً كان رمز المجهول المستخدم، ذلك على غرار مشاكل التناسبية، عموما يعتبر هذا النوع من المعادلات بسيطا وسهلا نسبيا، لكن يمكن العثور على بعض الحالات المعقدة قليلا والتي تستلزم القيام بمجموعة من العمليات الجبرية.  هناك عدد غير محدود من المعادلات من الدرجة الأولى، وذلك لأن هناك ما لا نهاية من الأعداد التي يمكن صياغتها بشكل معادلة من الدرجة الأولى، من الأمثلة على المعادلات من الدرجة الأولى:  لقد بدأ حل المعادلات من الدرجة الأولى مع خوارزميات البابليين والمصريين، ثم بعد ذلك تلتها طرق ، وبعد ذلك تم العثور على طريقة من طرف العرب، لتأتي بعدها والتي تستعمل رموزا وأدوات واضحة.  يطبق هذا المبدأ عندما تكون هناك تناسبية في الظاهرة، حيث تكون هناك محاولة في تحديد المكان الخاطئ ومن ثم استنتاج الحل. لقد تم استعمال مثل هذه الطرق منذ قديم الزمان، تحديدا في عصر البابليين:  «لدي حجر، لكنني لا أستطيع تقدير كتلته، وبعدما أضفت إليه سبع وزنه، قدرت الوزن الكلي فوجدت 1 ما-نا (وحدة الكتلة). ما هي الكتلة الأصلية للحجر؟»  في هذه الحالة، يمكن إعطاء قيمة اعتباطية لا غير (العدد الخاطئ) لوزن الصخرة، على سبيل المثال 7. هذه القيمة لا تعطى هكذا أو صدفة، بل تحسب بالطريقة البسيطة المبينة أسفله:  «إذا كانت الصخرة تزن تقريبا 7 ما-نا (وحدة الكتلة)، فسبع 7 هو 1، يعني أن الصخرة انخفضت كتلتها ب 6 ما-نا، وبالتالي فهي أكبر ب 6 مرات من القيمة المبحوث عنها (1 ما-نا)».  وحتى تنخفض كتلة الصخرة لتصل تقريبا إلى 1 ما-نا، يجب منذ البداية أخد صخرة أكبر 6 مرات، وبالتالي فالحل هو 6/7 ما-نا.  قد تبدو هذه الطريقة صعبة، فقد كانت تستعمل منذ زمن بعيد، أما طريقة حل مشكل الصخرة هذه فهو على الشكل التالي:  هذه الطريقة لا تعمل إلا مع بعض الأمثلة، فعلى سبيل المثال لو كانت المجاهيل في طرف المتساوية والأعداد المعلومة في الطرف الآخر، من بين المعادلات المقترحة في المقدمة، فقط الأولى هي الصالحة في مثل هذه الحالات.  هذه هي معادلة هذا المشكل، في حالة ما إذا افترضنا أن الحرف p هو وزن الصخرة: p - p/7 = 1  يطبق مبدأ تحديد المكان الخاطئ المضاعف عندما لا تكون هناك تناسبية في الظاهرة. وهو ينبني على القيام بمحاولتين (إيجاد عددين خاطئين) ومن ثم استنتاح الحل الصحيح (أو الفرضية الصحيحة)، ومن الأفضل القيام باقتراح قوي (صحيح) وآخر ضعيف (نسبيا غير صحيح).  مثال: في قطيع من الأبقار، إذا تم تغيير ثلث هذه المواشي ب 17 بقرة، فإن عدد الأبقار الإجمالي سيكون 41. كم هو عدد الأبقار الحقيقي؟ نأخد 24 بقرة، بعد ذلك نحذف منها الثلث ليصبح عدد الأبقار 16 فقط. ثم نضيف 17 بقرة للقطيع فيكون الناتج هو 33 بقرة، وبالتالي هو أصغر ب 8 بقرات من القيمة التي نود الحصول عليها (41 بقرة). نأخد 45 بقرة، بعد ذلك نحذف منها الثلث ليصبح عدد الأبقار 30 فقط، ثم نضيف 17 بقرة للقطيع فيكون الناتج هو 47 بقرة، وبالتالي هو أكبر ب 6 بقرات من العدد المرجو (41 بقرة)  إذن العدد الحقيقي للأبقار هو متوسط الفرضيتين مع أخطاء التقدير المرتكبة: formula_10  هذه محاولة للشرح دون القيام بحسابات جبرية. في هذه الإشكالية، ليست هناك تناسبية بين عدد البقرات في البداية وعدد البقرات عند الوصول (في النهاية)، ولكن هناك دوما تناسبية ما بين عدد الأبقار المضافة في البداية وعدد الأبقار المحصل عليها في النهاية:   وبالتالي من الممكن بناء وتخطيط جدول التناسبية:  الطريقة الثلاثية تعطي الناتج التالي: formula_11 مما يعني أن العدد الكلي للأبقار هو: formula_12  كما يمكن استعمال طرق هندية وصينية قادرة على تطبيق هذه الطريقة بدون الحاجة إلى الجبر، هذا بالإضافة إلى استعمال الكتابة الجبرية البسيطة لحل هذه المعادلة: يتعلق الأمر بحل المعادلة من الدرجة الأولى التالية:  x - x/3 + 17 = 41  هذه المعادلة هي بكل تأكيد مساوية ل: formula_13  يمكن تعميم كتابة المعادلات من الدرجة الأولى في المعادلة التالية:  وبالتالي هناك 3 حالات رئيسية: كما تكتب المعادلة من الدرجة الأولى على شكل  في هذه الحالة، فإن المعادلة تقبل حلا وحيدا وهو: formula_22 إذا وفقط إذا كان formula_16  1) حجز كل كرسي في عرضٍ يبلغ 12 دولاراً، المجموعة دفعت 156 دولاراً. كم من شخص في المجموعة؟ المعادلة هي: 12x = 156 إذن هناك 13 شخصا في المجموعة. 2) حجز كل كرسي في هذا العرض يبلغ 12 دولاراً، المجموعة دفعت 206 دولاراً، كم من شخص في المجموعة؟ علما أن الحل سيكون في مجموعة الأعداد الطبيعية الموجبة: المعادلة هي 12x = 206 هذا العدد ليس طبيعيا، وبالتالي المعادلة لا تقبل أي حل.  3) نبحث عن حل المعادلة  (2x - 2 = 5x - (5 + x  في R. 4) ليكن لدينا مثلثاً قياس زواياه:   أوجد قياس زوايا المثلث.  الزوايا الثلاث تمثل معادلات من الدرجة الأولى. كل ما علينا معرفته هو أن مجموع زوايا المثلث تساوي 180 درجة وبالتالي فإن مجموع المعادلات الثلاث تساوي 180. وبجمع المعادلات تنتج لدينا معادلة جديدة من الدرجة الأولى أيضاً يمكن حلها بسهولة بالاختصار والعزل.  formula_32  formula_33  formula_34  formula_35  المعادلات من شكل formula_36 أو formula_37 هي حالات معروفة خاصة بالتناسبية. فحل المعادلة الأولى هو formula_38 حيث أن "a" غير منعدم.  أما حل المعادلة الثانية فهو formula_39 بشرط أن يكون كل من "formula_40" و "formula_41" غير منعدم.