خوارزمية ريميز  خوارزمية ريميز أو خوارزمية تبادل ريميز، التي نشرها وجيني ياكوفليفيتش ريمز في عام 1934 ، هي خوارزمية تكرارية تستخدم لإيجاد تقريب بسيط للدالات وتحديدا التقريبات بواسطة الدوال في مساحة تشيبيشيف التي تكون الأفضل في المعيار الموحد "L." يشار إليه أحيانًا باسم خوارزمية ريميس أو خوارزمية ريم.   ويشكل مثالًا نموذجيًا لفضاء شيبيشيف الفرعي، الفضاء الفرعي للدوال الجزئية شيبيشيف من الرتبة n في فضاء الدوال المستمرة الحقيقية على فترة محددة، C [a، b]. يتم تحديد الدالة الجزئية الأفضل تقريبًا داخل الفضاء الفرعي المحدد بأنها تقلل الفرق المطلق الأقصى بين الدالة الجزئية والدالة المستهدفة. وفي هذه الحالة، يتم تحديد شكل الحل بدقة بواسطة نظرية التذبذب المتساوي.  تبدأ خوارزمية ريميز بالدالة formula_1 لتقريب ومجموعة formula_2 ل formula_3 نقاط العينة formula_4 في الفاصل الزمني التقريبي ، عادةً ما يتم تعيين أقصى حدود تشيبيشيف متعدد الحدود خطيًا إلى الفترة. الخطوات هي:    والنتيجة تسمى كثير الحدود لأفضل تقريب أو خوارزمية الحد الأدنى للتقريب .  قدم دبليو فريزر مراجعة للجوانب الفنية في تنفيذ خوارزمية ريميز.  تعتبر عقد تشيبيشيف خيارًا شائعًا للتقريب الأولي بسبب دورها في نظرية الاستيفاء متعدد الحدود. لتهيئة مشكلة التحسين للدالة "f" بواسطة متعدد حدود لاغرانج "L" ( "f" ) ، يمكن إظهار أن هذا التقريب الأولي مقيد بـ  مع القاعدة أو ثابت ليبيج لمشغل الاستيفاء لاغرانج "L" للعقد ( "t" ، ...، "t" ) يجري  "T" كونها أصفار تشيبيشيف متعدد الحدود ، و ليبيج دالة كونها:  أثبت ثيودور إيه كيلجور ، وكارل دي بور ، وألان بينكوس وجود "t" فريد لكل "L" ، على الرغم من عدم معرفته صراحةً عن كثيرات الحدود (العادية). بصورة مماثلة، formula_19 ، ويمكن التعبير عن أمثلية اختيار العقد كـ formula_20  بالنسبة لعقد تشيبيشيف ، التي توفر خيارًا دون المستوى الأمثل ، ولكن صريحًا من الناحية التحليلية ، يُعرف السلوك المقارب باسم   ( كونه ثابت أويلر-ماسكيروني ) مع  والحد الأعلى   حصل ليف بروتمان على الحدود formula_25 ، و formula_26 كونها أصفار متعددات حدود تشيبيشيفالموسعة:  حصل روديجر جونتنر على تقدير أكثر دقة لـ formula_28  يوفر هذا القسم مزيدًا من المعلومات حول الخطوات الموضحة أعلاه. في هذا القسم ، يتم تشغيل الفهرس "i" من 0 إلى "n" +1.  الخطوة 1: معطى formula_30 ، حل النظام الخطي من المعادلات "n" +2  يجب أن يكون واضحا ذلك formula_34 في هذه المعادلة يكون منطقيًا فقط إذا كانت العقد formula_35 يتم "طلبها" ، إما زيادة صارمة أو تناقص صارم. ثم هذا النظام الخطي لديه حل فريد. (كما هو معروف ، ليس لكل نظام خطي حل. ) أيضًا ، يمكن الحصول على الحل فقط باستخدام formula_36 العمليات الحسابية في حين أن الحل القياسي من المكتبة سوف يستغرق formula_37 عمليات. هذا هو الدليل البسيط:  حساب التداخل القياسي من الدرجة "n" formula_38 ل formula_39 في العقد الأول "n" +1 وأيضًا المقحم القياسي من الدرجة "n" formula_40 على الاحداثيات formula_41  تحقيقا لهذه الغاية ، استخدم في كل مرة صيغة الاستيفاء لنيوتن مع الفروق المقسمة في الترتيب formula_43 و formula_36 عمليات حسابية.  كثير الحدود formula_40 له رقم "i" -th صفر بين formula_46 و formula_47 ، وبالتالي لا مزيد من الأصفار بين formula_48 و formula_49 : formula_50 و formula_51 لها نفس العلامة formula_52 .  التركيبة الخطية formula_53 هي أيضًا كثيرة حدود من الدرجة "n" و  هذه هي نفس المعادلة أعلاه لـ formula_55 ولأي اختيار من "E." نفس المعادلة لـ "i" = "n" +1 هي  كما ذكر أعلاه ، فإن المصطلحين في المقام لهما نفس العلامة: "E" وبالتالي formula_58 دائمًا ما تكون محددة جيدًا.  الخطأ في العقد المحددة "n" +2 موجب وسالب بدوره لأن  تنص نظرية شارل جون دو لا فالي بوسان على أنه في ظل هذه الحالة لا يوجد كثير حدود من الدرجة "n" مع وجود خطأ أقل من "E." في الواقع ، إذا وجدت مثل هذه كثيرة الحدود ، فسمها formula_60 ثم الاختلاف formula_61 سيظل موجبًا / سلبيًا عند "n" +2 عقد formula_62 وبالتالي تحتوي على "n" +1 أصفار على الأقل وهو أمر مستحيل بالنسبة لكثيرات الحدود من الدرجة "n" . وبالتالي ، فإن هذا "E" هو الحد الأدنى للحد الأدنى للخطأ الذي يمكن تحقيقه مع كثيرات الحدود من الدرجة "n" .  الخطوة 2 تغير التدوين من formula_63 ل formula_64 .  الخطوة 3 تعمل على تحسين عقد الإدخال formula_65 وأخطائهم formula_66 على النحو التالي.  في كل منطقة P ، العقدة الحالية formula_62 يتم استبداله بالمكبر المحلي formula_68 وفي كل منطقة N formula_62 مع المصغر المحلي. (يتوقع formula_70 في "A" ، و formula_71 قريب formula_62 ، و formula_73 عند "B." ) ليست هناك حاجة إلى دقة عالية هنا ، يجب أن يكون "البحث القياسي عن الخط" مع بضع "نوبات تربيعية" كافياً. (انظر )  يترك formula_74 . كل سعة formula_75 أكبر من أو يساوي "E." تنطبق أيضًا نظرية شارل جون دو لا فالي بوسان وإثباتها formula_76 مع formula_77 كالحد الأدنى الجديد لأفضل خطأ ممكن مع كثيرات الحدود من الدرجة "n" .  علاوة على ذلك، formula_78 يأتي في متناول اليد باعتباره حدًا أعلى واضحًا لأفضل خطأ ممكن.  الخطوة 4: مع formula_79 و formula_80 كحد أدنى وأعلى لأفضل خطأ تقريب ممكن ، لدى المرء معيار إيقاف موثوق: كرر الخطوات حتى formula_81 صغير بما فيه الكفاية أو لم يعد يتناقص. تشير هذه الحدود إلى التقدم.  بعض التعديلات على الخوارزمية موجودة في الأدبيات. وتشمل هذه: