مبرهنة متعدد الحدود  في الرياضيات، تصف مبرهنة متعدد الحدود كيفية توسيع قوة لمجموع بدلالة قوى المصطلحات في ذلك المجموع. إنه تعميم مبرهنة ذات الحدين من ذات الحدين إلى متعددات الحدود.  لأي عدد صحيح موجب "formula_1" وأي عدد صحيح غير سالب "formula_2"، تصف الصيغة متعددة الحدود كيف يتوسع مجموع بحدود "formula_2" عند رفعه إلى قوة عشوائية "formula_1":  أين  هو معامل متعدد الحدود. يتم أخذ المجموع على جميع مجموعات مؤشرات الأعداد الصحيحة غير السالبة "formula_7" إلى "formula_8" بحيث يكون مجموع كل "formula_9" هو "formula_1". أي أنه لكل حد في المفكوك ، يجب جمع أس "formula_11" حتى "n". أيضًا ، كما هو الحال مع مبرهنة ذات الحدين، فإن الكميات التي تظهر على شكل "formula_12" تؤخذ على أنها تساوي "formula_13" (حتى عندما تكون "x" تساوي صفرًا).  في الحالة "formula_14" ، تختصر هذه العبارة إلى تلك الخاصة بمبرهنة ذات الحدين.  القوة الثالثة من ثلاثي الحدود "formula_15" معطاة من قبل formula_16  يمكن حساب ذلك يدويًا باستخدام خاصية التوزيع للضرب على الجمع ، ولكن يمكن أيضًا إجراؤه (ربما بسهولة أكبر) باستخدام مبرهنة متعددة الحدود. من الممكن «قراءة» المعاملات متعددة الحدود من المصطلحات باستخدام صيغة المعامل متعدد الحدود. فمثلا:  يمكن كتابة بيان المبرهنة بإيجاز باستخدام مؤشرات متعددة:  أين  و  يستخدم هذا الدليل على مبرهنة متعددة الحدود مبرهنة ذات الحدين والاستقراء على "formula_2".  أولاً ، بالنسبة لـ "formula_25"، كلا الطرفين يساوي "formula_26" نظرًا لوجود حد واحد فقط "formula_27" في المجموع. لخطوة الاستقراء ، افترض أن المبرهنة متعددة الحدود تنطبق على "formula_2" . ثم  من خلال فرضية الاستقراء. تطبيق مبرهنة ذات الحدين على العامل الأخير ،  الذي يكمل الاستقراء. الخطوة الأخيرة تتبع لأن  كما يمكن رؤيته بسهولة عن طريق كتابة المعاملات الثلاثة باستخدام العوامل على النحو التالي:  الارقام  تظهر في المبرهنة المعاملات متعددة الحدود . يمكن التعبير عنها بعدة طرق ، بما في ذلك كنتيجة لمعاملات ذات الحدين أو عاملي :  التعويض عن "formula_36" لجميع "formula_11" في مبرهنة متعددة الحدود  يعطي ذلك على الفور  عدد الحدود في مجموع متعدد الحدود ، "formula_40" يساوي عدد المونومرات من الدرجة "formula_1" على المتغيرات "formula_42":  يمكن إجراء العد بسهولة باستخدام طريقة النجوم والأشرطة .  أكبر قوة عدد أولي formula_44 يمكن حساب المعامل متعدد الحدود باستخدام تعميم .  المعاملات متعددة الحدود لها تفسير اندماجي مباشر ، مثل عدد طرق إيداع "formula_1" كائنات مميزة في "formula_2" صناديق مميزة ، مع "formula_7" كائنات في الحاوية الأولى، و "formula_48" كائنات في الحاوية الثانية ، وهكذا.   في الميكانيكا الإحصائية والتوافقيات ، إذا كان لدى المرء توزيع رقمي للتسميات ، فإن المعاملات متعددة الحدود تنشأ بشكل طبيعي من المعاملات ذات الحدين. بالنظر إلى توزيع الأرقام "formula_49" على مجموعة من العناصر الإجمالية "formula_50" ، يمثل "formula_49" عدد العناصر التي سيتم منحها التصنيف "formula_11" . (في الميكانيكا الإحصائية ، "formula_11" تسمية حالة الطاقة.)   يؤدي ضرب عدد الاختيارات في كل خطوة إلى:  ينتج عن الإلغاء الصيغة المذكورة أعلاه.  المعامل متعدد الحدود formula_67 هو أيضًا عدد الطرق المميزة لتبديل مجموعة متعددة من العناصر "formula_1" ، حيث "formula_9" هو تعدد كل عنصر من العناصر . على سبيل المثال ، عدد التباديل المميز لأحرف الكلمة MISSISSIPPI ، التي تحتوي على 1 M و 4 Is و 4 Ss و 2 Ps ، هو  يمكن للمرء استخدام نظرية متعددة الحدود لتعميم مثلث باسكال أو هرم باسكال على البسيط لباسكال . يوفر هذا طريقة سريعة لإنشاء جدول بحث للمعاملات متعددة الحدود.