مبرهنة القيمة المتطرفة  تنص مبرهنة القيمة المتطرفة في حساب التفاضل والتكامل على أنه إذا كانت دالة formula_1 ذات قيمة حقيقية مستمرة في المجال formula_2 ، أي أنَّ هذه الدالة formula_1 يجب أن تبلغ النهاية العليا والحد النهاية الدنيا ، مرة واحدة على الأقل. توجد أرقام formula_4 و formula_5 في formula_2 تحقق:  formula_7  تعتبر نظرية القيمة القصوى أكثر تحديدًا من نظرية الحدود ذات الصلة ، والتي تنص فقط على أن دالة مستمرة formula_1 في المجال المغلق formula_2 محدد في ذلك المجال، وهذا يعني أنه توجد أعداد حقيقية formula_10 و formula_11 تحقق:  formula_12هذا لا يعني أنَّ القيمتين formula_11 و formula_10 هي بالضرورة القيم القصوى والدنيا للدالّة formula_1 في المجال المحدود formula_2 وهو ما تنص عليه نظرية القيمة القصوى يجب أن يكون هو الحال أيضًا.  تُستخدم نظرية القيمة القصوى لإثبات مبرهنة رول . تنص النظرية التي صاغها كارل فايرشتراسعلى أن الدالة المستمرة من فضاء متراص غير فارغ إلى مجموعة جزئية من الأعداد الحقيقية تصل إلى النهاية العليا والنهاية الدنيا.  يعود إثبات القيمة القصوى إلى برنارد بولزانو في ثلاثينيات القرن التاسع عشر في العمل "نظرية المتغير"، لكن العمل ظل غير منشور حتى عام 1930. يعتمد دليل بولزانو على إظهار الدالة المستمرة في نهايات مغلقة أنها محدودة، ثم يُظهر أن هذه الدالة قد حققت قيمة قصوى ودنيا. تضمن كلا الدليلين ما يُعرف اليوم بمبرهنة بولزانو-ويرستراس . اكتشف ويرستراس أيضاً نتائجها عام 1860.  توضح الأمثلة التالية لماذا يجب إغلاق مجال الدالة وتحديده من أجل تطبيق المبرهنة. كل فشل في بلوغ الحد الأقصى في الفترة الزمنية المحددة.   تعريف formula_27 في المثالين الأخيرين يوضح أن كلا المبرهنتين تتطلب الاستمرارية في formula_2.  ند الانتقال من الخط الحقيقي formula_29 بالنسبة للفضاء المتري والفضاء الطوبولوجي العام، فإن التعميم المناسب للمجال المغلق هو فضاء متراص. مجموعة formula_30 يُقال أنَّها متراصَّة إذا كانت تحوي الخاصية الآتية:  من كل مجموعة من المجموعات المفتوحة formula_31 مثل formula_32، حيث formula_33 مجموعة فرعية محدودة يمكن اختياره بالشكلformula_34. عادة ما تذكر باختصار "كل غطاء مفتوح للمجموعة formula_30 لها غطاء فرعي محدود ". تؤكد مبرهنة هاين وبوريل أن مجموعة فرعية من الخط الحقيقي تكون متراصة إذا وفقط إذا كانت مغلقة ومحدودة. في المقابل ، تحتوي المساحة المترية على مبرهنة هاين وبوريل إذا كانت كل مجموعة مغلقة ومحدودة متراصة أيضًا.  يمكن أيضًا تعميم مفهوم الدالّة المستمرة، نظرا للمساحات الطوبولوجية formula_36 ، الدالة formula_37 تكون مستمرة إذا كان لكل مجموعة مفتوحة formula_38 و formula_39 مقلوب عكسي مفتوح أيضًا. بالنظر إلى هذه التعريفات ، يمكن إظهار الدوال المستمرة للحفاظ على الترابط:  نظرية: إذا كانت formula_36 هي مساحات طوبولوجية، والدالّة formula_37 هي دالّة مستمرة، و formula_42 متراصة، إذن formula_43 مترّاص أيضاً.  خاصّةً، إذا كانت المجموعةformula_44 مساوياً لمجموعة الأعداد الحقيقية formula_29 (formula_46)، ثم هذه النظرية تشير إلى formula_47 مغلق ومحدود لأي مجموعة متراصة formula_30 ، وهذا بدوره يعني ذلك formula_1 يحقق أعلى وأدنى قيمة على أي مجموعة مدمجة (غير فارغة) formula_30 . وبالتالي، لدينا التعميم التالي لمبرهنة القيمة القصوى:  نظرية: لو formula_30 هي مجموعة متراصة، و formula_52 هي دالَّة مستمرة ، إذن formula_1 محدود ويوجد formula_54 مثل ذلك formula_55 و formula_56 .  بتعميم الحالة، ينطبق هذا أيضًا على دالَّة عليا شبه متصلة. (انظر الفضاء المتراص).  النظر إلى مبرهنات الحد الأعلى والحد الأقصى للدالة formula_1 . من خلال تطبيق هذه النتائج على الدالة formula_58، ووجود الحد الأدنى والنتيجة للحد الأدنى من formula_1 تابع. لاحظ أيضًا أن كل شيء في الإثبات ضمن مجموعة الأعداد الحقيقية.  نثبت أولاً نظرية الحدود، وهي خطوة في إثبات نظرية القيمة القصوى، والخطوات الأساسية المتضمنة في إثبات نظرية القيمة القصوى هي:   النص: لو كانت الدالّة formula_61 مستمرة على formula_2 ّن فهي محدودة على المجال formula_2  افترض الدالّة formula_1 غير محددة في المجال المغلق formula_2 . ويكون لكل عدد طبيعي formula_66 ، هناك متغير formula_67 مثل ذلك formula_68 . هذا يحدد المتتالية formula_69. لأن formula_2 محدودة ، تشير مبرهنة بولزانو-ويرستراس إلى وجود نتيجة متقاربة لاحقة formula_71 ل formula_72 . دلالة على حدودها من قبل formula_73 . مثل formula_2 مغلق يحتوي على formula_73 . لأن formula_1 مستمر في formula_73 ، نحن نعرف ذلك formula_78 يتقارب مع العدد الحقيقي formula_61 (مثل formula_1 مستمر بالتتابع عند formula_73 ). لكن formula_82 لكل formula_83 ، مما يعني أن formula_78 يتباعد ل formula_85 ، تناقض. لذلك، formula_1 يحد أعلاه على formula_2 .