متتالية  المتتالية (ويطلق عليها المتتابعة والمتوالية والتناسب) هي مجموعة من الأغراض أو الأحداث أو الحروف المرتبة بنمط خطي (وله معنى بحيث أن ظهور الحرف أو الحدث بعد الآخر له دلالة ولم يأتي عبثاً قد يكون وفق تطبيق محدد) حيث يكون ترتيب أعضاء المتتالية محدداً تماماً ومميزاً. هذه الأعضاء تسمى عناصر المتتالية أو حدودها.  إذا وضعنا مقابل كل عدد طبيعي formula_1 عددا حقيقيا formula_2 فنحصل على: formula_3 وكل هذه الاعداد ندعوها بحدود المتتالية و formula_2الحد العام.  و المهم في المتتالية أنها من أجل كل formula_5 أن الحد formula_6 يلي الحد formula_2 والحد formula_2 يسبق الحد formula_6 بغض النظر عن قيمهما.   يُسمى متتاليةً عدديّةً كل تطبيق منطلقه مجموعة الأعداد الطبيعية formula_13 ومستقره حقل formula_14. نرمز عادة إلى المتتالية بالرمز formula_15أو formula_16عوضاََ عن:  formula_17  تعريف متتالية من خلال الاستدعاء الذاتي (تعريف التدرجي) :  حيث يكون كل حد في المتتالية متعلقاً بالحد أو الحدود التي قبله، كأن يكون كل حد هو مجموع الحدين الذين قبله  مثال: مهما يكن formula_18 نعرف المتتالية formula_19 كما يلي: formula_20  تعريف متتالية دالة :  مثال: formula_21  نقول عن المتتالية formula_19محدودة إذا كانت محدودة في formula_23 أي: مهما كان formula_24يكون: formula_25  أو: formula_26من أجل كل formula_5و formula_14 عدد حقيقي موجب.  أي أن مجموعة قيم أي متتالية عددية حقيقية لا نهائية تكون مجموعة اما منتهية وغير خالية أو غير منتهية وتكون إما محدودة أو غير محدودة.  ونقول انها محدودة من الأعلى إذا كانت مجموعة قيمها محدودة من الأعلى ونقول أنها محدودة من الأدنى إذا كانت مجموعة قيمها محدودة من الأدنى.  و نقول ان المتتالية ما محدودة لما تكون مجموعة قيمها محدودة من الأعلى والأدنى في اَن واحد.  قد تكون متتالية ما حسابيةً إذا كان الفرق بين قيمتي حدين متتابعين للمتتالية ثابثاً، وتكون هندسيةً إذا كانت النسبة بين قيمتي حدين متتابعين للمتتالية ثابثة. وقد تكون غير ذلك (أي أنها ليست حسابية وليست هندسية).  نقول عن المتتالية العددية إنها متتالية مطردة إذا كانت إما متتالية تصاعدية أو تنازلية أو تصاعدية تماما أو تنازلية تماما.  متتالية تصاعدية ومتتالية تنازلية  يقال عن متتالية ما أنها تصاعدية إذا كان كل حد أكبر من الحد الذي يسبقه أو يساويه. ويقال عنها أنها تصاعدية تماماً إذا كان كل حد أكبر تماماً من الحد الذي يسبقه. ويقال عن متتالية ما أنها تنازلية إذا كان كل حد أصغر من الحد الذي يسبقه أو يساويه. ويقال عنها أنها تنازلية تماماً إذا كان كل حد أصغر تماماً من الحد الذي يسبقه.  بالتعبير الرياضي:  نقول أن المتتالية العددية formula_29أنها:   المتتالية الجزئية لمتتالية ما، هي متتالية تتكون من عناصر المتتالية الأصلية، بعد حذف بعض العناصر منها، دون تغير الترتيب النسبي الذي جاءت فيه العناصر غير المحذوفة. على سبيل المثال، مجموعة الأعداد الزوجية 0، 2، 4، 6... هي متتالية جزئية من متتالية الأعداد الطبيعية، 0، 2، 4، 6، 8... (في هذا المثال حذفت جميع الأعداد الفردية).  لتكن لدينا المتتالية العددية formula_38ولنختر من بين حدودها حدََا نرمز له بالرمز formula_39ثم نحذف من هذه المتتالية الحدود formula_40فتبقى لدينا الحدود formula_41, ومن الحدود المتبقية نختار الحدََا نرمز له بـ formula_42ونكرر نفس عملية الحذف وهكذا حتى نحصل على المتتالية الجديدة: formula_43, تدعى هذه المتتالية بالمتتالية الجزئية من المتتالية formula_44و يكون الحد العام للمتتالية الجزئية هو formula_45و نلفت النظر ان رقم الحد formula_45يتعين بواسطة formula_47وليس formula_1.  وننوه أن: formula_49من أجل كل formula_50وهذا يعني انه من اجل كل formula_50يكون الحد formula_45إما يساوي الحد formula_53أو يساوي أحد الحدود التي تلي الحد formula_53, ويمكن البرهان على هذا بالاستقراء: فمن أجل formula_55تكون القضية formula_56صحيحة لان الحد formula_57هو إما formula_58 أو أحد الحدود التي تلي formula_58في المتتالية formula_44و لنفرض أن المتباينة formula_61صحيحة من اجل formula_62 عندئذ نجد أن: formula_63 وبهذا قد أثبتنا المطلوب. تُدعى متتالية ما "جدائية" إذا كانformula_64 حينما يكون x و y أوليين فيما بينهما. متتالية موبيوس مثال على ذلك.  انظر إلى مجموعة مرتبة جزئيا وإلى دالة رتيبة.  نقول عن العدد formula_65 انه نهاية المتتالية العددية formula_19و نكتب: formula_67 عندما وفقط عندما يتحقق ما يلي:  formula_68  حيث العدد الطبيعي formula_69يتغير في الحالة العام بتغير العدد formula_70.  ونقول عن المتتالية العددية الحقيقية اللانهائية التي توجد لها نهاية بإنها متتالية متقاربة . وإذا كانت هذه النهاية تساوي formula_65 نقول عن هذه المتتالية انها متقاربة من formula_65  ويمكن كتابة تعريف المتتالية المتقاربة في formula_23بالشكل التالي:  نقول عن المتتالية formula_19أنها متقاربة من العدد الحقيقي formula_75 إذا وفقط إذا كان formula_67.  يُقال عن متتالية عددية formula_19 أنها متباعدة إذا لم تكن متقاربة. ويتوفر ذلك في إحدى الحالتين التاليتين:  يُقال عن متتالية أنها لكوشي إذا كانت حدود هذه المتتالية تتقارب من بعضها البعض بشكل غير محدود من القرب كلما آل n إلى ما لا نهاية له. سُميت هذه المتتاليات هكذا نسبة إلى عالم الرياضيات الفرنسي أوغستين لوي كوشي.  إذا كانت المتتالية العددية formula_19 متقاربة من العدد formula_65 ومن العدد formula_81 فإن formula_82.  الاثبات: ليكن formula_83عندئذ formula_84ويوجد عددان طبعيان يختلفان عن الصفر formula_85و formula_86 بحيث يكون:  formula_87  formula_88  ومنه يوجد عدد الطبيعي formula_89 بحيث يكون:  formula_90  formula_91  وبهذا قد برهن على القضية الصحيحة الاتية:  formula_92  ومنه يمكن استنتاج أن formula_82كما يلي:  لو كان formula_94 لكان formula_95وبالتالي لكان يوجد عدد formula_96 بحيث يكون formula_97عندما formula_98 وهذا غير ممكن اذن formula_99 وهو المطلوب.  كل متتالية عددية متقاربة تكون محدودة.  الاثبات: لتكن المتتالية formula_19 متقاربة ولنفرض انها متقاربة نحو formula_65 عندئذ يوجد من اجل كل العدد الحقيقي الموجب 1 عدد طبيعي يختلف عن الصفر formula_85 بحيث يكون:  formula_103  ومنه يوجد العدد الحقيقي الموجب: formula_104بحيث يكون من أجل كل formula_105 :  formula_106ومنه: <math>a-K<x_n وهذا يعني ان مجموعة قيم المتتالية formula_19محدودة وبالتالي فالمتتالية formula_19محدودة.  ليس من الضروري ان كل متتالية عددية محدودة تكون متقاربة.  لتكن المتتالية العددية formula_19 ليكن formula_110 و formula_111 لنفرض أنه من اجل كل formula_112 يكون formula_113 ولنأخذ المتتالية العددية formula_114 عنذئذ:   الاثبات   1) لتكن formula_123متتالية متقاربة من formula_65وليكن formula_125عندئذ يوجد formula_126بحيث أن:  formula_127  ثم نفرض أن formula_128عندئذ يكون:  formula_129  وحسب تعريف formula_130يمكن القول أنه يوجد عدد طبيعي formula_131 بحيث يكون:  formula_132  اذن formula_133 وهذا يعني أن formula_134متقاربة من formula_65.  وبالعكس نفرض أن formula_134متتالية متقاربة من formula_65 وليكن formula_138عندئذ يوجد formula_139بحيث يكون:  formula_140  وحسب تعريف formula_130يمكن ايجاد عدد طبيعي formula_142بحيث يكون:  formula_143  اذن formula_144وهذا يعني أن formula_145متقاربة من formula_65.  2) لتكن formula_123 متباعدة ولنفرض أن formula_134 متقاربة وعندئذ وحسب (1) تكون formula_123 وهذا مستحيل ومنه formula_134 متباعدة.  وبالعكس لتكن formula_134 متباعدة ولنفرض أن formula_123 أنها متقاربة وحسب (1) تكون formula_134 وهذا مستحيل اذن formula_123 متباعدة.  تكون المتتالية العددية formula_19متقاربة من formula_65 إذا وفقط إذا كانت كل متتالية جزئية منها متقاربة من formula_65.  الاثبات: اولا نفرض أن كل متتالية جزئية من المتتالية formula_19متقاربة من formula_65عندئذ تكون المتتالية formula_19متقاربة من formula_65لانها متتالية جزئية من نفسها.  ثانيا لنفرض أن المتتالية formula_19متقاربة من formula_65 ولنأخذ منها متتالية جزئية اختيارية ولتكن formula_164ثم نأخذ formula_83عندئذ يوجد formula_166بحيث يكون: formula_167 لما كان formula_49 من أجل كل formula_50 فإن الحد formula_45إما أن يساوي formula_53أو يكون يكون واقعا على يمين الحد formula_53في المتتالية formula_44 ومنه يكون: formula_174إذن المتتالية الجزئية formula_164متقاربة من formula_65. وبهذا قد أثبتنا المطلوب.  مجموع حدود متتالية هو متسلسلة. وبتعبير أدق، إذا كانت ("x", "x", "x", ...) متتالية، فإنه قد يُنظر إلى متتالية المجاميع الجزئية ("S", "S", "S", ...) حيث:  مفهوم الكثافة: كثافة مجموعة جزئية من فضاء طبولوجي في نفس الفضاء أو فضاء آخر. فأنت إذا أردت مثلا إثبات مساواة أو متباينة في مجموعة الأعداد الحقيقية يكفيك في أغلب الأحيان أن تثبتها في مجموعة الأعداد الناطقة، وهذا بفضل كثافة هذه المجموعة الأخيرة في مجموعة العداد الحقيقية. انظر إلى فضاء متري.   في علم الحاسوب، متتالية منتهية من الحروف تسمى سلسلة.