معادلة جائز أويلر-برنولي  نظرية الجائز لأويلر وبرنولي Euler–Bernoulli beam theory (تعرف أيضا بـنظرية جائز المهندس, نظرية الجائز الكلاسيكية أو حتى نظرية الجائز) هي تبسيط من ميكانيكا المواد الصلبة حيث تعطي خصائص حسابات لحمل الأحمال وانحراف الجائز. كان قد صرح بها في حوالى 1750، إلا أنها لم تطبق على نطاق واسع إلا بعد تطوير برج إيفل وعجلة فيرس أواخر القرن التاسع عشر. بعد هذه التطبيقات الناجحة أصبحت هذه النظرية الركن الأساسي في الهندسة وبداية الثورة الصناعية الثانية.  هناك شبه إجماع سائد بأن غاليليو هو صاحب أولى المحاولات لتطوير نظرية للجوائز، ولكن الدراسات الحديثة تشير إلى أن ليوناردو دافنشي كان أول من وضع ملاحظات حاسمة بهذا الاتجاه. كان ينقص دافنشي قانون هوك والحساب التفاضلي ليتم النظرية، في حين أعاقت افتراضات غاليليو الخاطئة تقدمه في هذا الاتجاه.  سمي جائز برنولي نسبةً إلى ياكوب برنولي، الذي اكتشف الاكتشافات المهمة. كان ليونارد أويلر ودانييل برنولي أول من يضع نظرية مفيدة نحو عام 1750. كان ينظر إلى العلوم والهندسة آنذاك بشكل عام على أنهما حقلان متباينان تمامًا، وكان هناك شكوك فيما إذا كانت النواتج الرياضية الأكاديمية يمكن الوثوق بها لتطبيقات آمنة عملية. استمر تصميم الجسور والأبنية تبعًا للخبرات السابقة (دون حسابات رياضية) حتى أواخر القرن التاسع عشر، حين أثبت برج إيفل ودولاب الهواء صلاحية النظرية للاستخدام على المقاييس الكبيرة.  تصف معادلة أويلر برنولي العلاقة بين انحراف الجائز والحمل المسلط بـ:  المنحنى formula_2 يصف انحراف الجائز formula_3 عند موضع ما formula_4 (تذكر أن الجائز قد تمت نمذجته على أنه أحادي البعد). formula_5 حمل متوزع، بتعبير آخر هو القوة لكل وحدة طول (شبيه بعبارة الضغط يساوي القوة على المساحة); قد تكون دالة في formula_4, formula_3, أو متغيرات أخرى.  لاحظ أن formula_8 هي معامل المرونة وأن formula_9 عزم المساحة الثاني. formula_9 ينبغي حسابها بالنسبة لمحور مركزي متعامد مع الحمل المسلط. يطلق على جائز أويلر-برنولي الخالي من أي حم محوري اسم المحور المتعادل.  غالباً، تكون formula_11, formula_12, وEI ثابتة، بحيث:  المعادلة الديناميكية للجائز هي معادلة أويلر-لاغرانج للفعل التالي:  formula_14  يمثل الحد الأول الطاقة الحركية حيث formula_15 هي الكتلة منسوبةً إلى وحدة الطول؛ أم الحد الثاني فيمثل الطاقة الكامنة الناتجة عن القوى الداخلية (عند أخذه بإشارة سالبة) والحد الثالث يمثل الطاقة الكامنة الناتجة عن الحمل الخارجي formula_16. تُستخدم معادلة أويلر-لاغرانج لتحديد التابع الذي يجعل التابعي formula_17 أصغريًّا. لأجل جائز أويلر-برنولي ديناميكي، تكون علاقة أويلر-لاغرانج: عندما يكون الجائز متجانسًا، يكون كل من formula_8 وformula_9 مستقلين عن formula_4، ومعادلة الجائز أبسط:  formula_22  في غياب حمل عرضي، formula_23، يكون لدينا معادلة اهتزاز حر. يمكن حل هذه المعادلة باستخدام تفكيك فورييه للإزاحة إلى مجموع اهتزازات توافقية من الشكل:  formula_24  حيث formula_25 تردد الاهتزاز. ثم يمكننا حل معادلة تفاضلية عادية لأجل كل قيمة للتردد:  formula_26  الحل العامل للمعادلة السابقة هو:  formula_27  حيث formula_28 ثوابت. هذه الثوابت فريدة لأجل مجموعة ما محددة من الشروط الحدية. ولكن حل الإزاحة ليس فريدًا ويعتمد على التردد. تُكتب هذه الحلول عادةً على الشكل:formula_29تدعى الكميات formula_30 الترددات الطبيعية للجائز. كل واحد من حلول الإزاحة يدعى وضعًا وشكل منحني الإزاحة يسمى شكل الوضع.  الشروط الحدية لجائز عاتولي طوله formula_31 (مثبت عند formula_32) هي:  formula_33  إذا طبقنا هذه الشروط، نكتشف أن الحلول غير البسيطة توجد فقط إذا كان  formula_34  يمكن حل هذه المعادلة غير الخطية عدديًّا. أول بضعة جذور للمعادلة هي: "β L/π" = 0.59686..., "β L/π" = 1.49418..., "β L/π" = 2.50025..., "β L/π" = 3.49999..., ...  ترددات الاهتزاز الطبيعية الموافقة هي:  formula_35  يمكن استخدام الشروط الحدية أيضًا لتحديد أشكال الأوضاع من حل الإزاحة:  formula_36  الثابت غير المعروف (في الحقيقة هي ثوابت لأن هناك ثابتًا لكل formula_37)، formula_38، وهو ثابت عقدي في الحالة الطبيعية، تحدده الشروط الابتدائية عند formula_39 حسب سرعة وإزاحات الجائز. تستخدم عادةً قيمة formula_40 عند رسم أشكال الأوضاع. لحلول المسألة القسرية غير التخامدية إزاحات غير محدودة عندما يطابق التردد القائد (التردد المحرك أو الخارجي) ترددًا طبيعيًّا formula_30، أي يمكن للجائز أن يرن (يصل إلى حالة الطنين أو الرنين). بالتالي تستجيب الترددات الطبيعية لجائز للترددات التي يحدث عندها الرنين.  الجائز الحر من الطرفين هو جائز بدون مساند. تُعطى الشروط الحدية لجائز حر طوله "L" يمتد من "x"=0  إلى "x"=L بالعلاقة:  formula_42  إذا طبقنا هذه الشروط، نجد أن الحلول غير البسيطة توجد فقط عندما:  formula_43  يمكن حل هذه المعادلة غير الخطية عدديًّا. أول بضعة جذور للمعادلة هي: "β L/π" = 1.50562..., "β L/π" = 2.49975..., "β L/π" = 3.50001..., "β L/π" = 4.50000...  ترددات الاهتزاز الطبيعية الموافقة هي:  formula_44  يمكن استخدام الشروط الحدية أيضًا لتحديد أشكال الأوضاع من حل الإزاحة:  formula_45  كما في حالة الجائز العاتولي، تُحدد الثوابت غير المعروفة عن طريق الشروط الحدية عند formula_39 حسب سرعة وإزاحات الجائز. كذلك فلحلول المسألة القسرية غير التخامدية إزاحات غير محدودة عندما يطابق التردد القائد (التردد المحرك أو الخارجي) ترددًا طبيعيًّا formula_30.