تحليل الأخطاء في التحليل العددي  التّحليل العدديّ هو أحد فروع الرّياضيات الهامّة، وهو الذي يربط بين الرياضيات التحليلية والحاسب الآلي، ويُستخدم عادةً في إيجاد حلول بعض المسائل والمشاكل التي لا يمكن حلّها بالرياضيات التحليلية؛ حيث تكون النتيجة التي نحصل عليها تقريبية. و بما أنّنا نحصل على نتيجةٍ تقريبيّة أو حلّ تقريبي، فهذا يعني وجود نسبة خطأ علينا حسابه، إلا أنّنا لو استطعنا إيجاد الخطأ لاستطعنا إيجاد الحلّ الفعليّ (الحقيقي) الأمر الذي يعني أن إيجاد الخطأ غير ممكن، فنسعى بالتالي إلى إيجاد تقريب للخطأ أو حجم الخطأ (القيمة التي لا يتجاوزها الخطأ). إذًا تتلخّص مهمّة التحليل العددي في إيجاد الحل التقريبي لمسألة ما وتقويم الخط  إنّ معظم الأعداد التي نتعامل معها هي أعداد تقريبية؛ لأنها غالبًا ما تمثّل أطوالًا وقياساتٍ أو قيمًا لمقاديرَ فيزيائيّة بنتيجة القياس، وهي بحدّ ذاتها تقريبية. كذلك فإن الكثير من الأعداد الحقيقية لا يمكن التعبير عنها بعدد منتهٍ من الأرقام، فمثلًا العددformula_1 يساوي «تقريبًا» 3.14159، كذلك هو الحال بالنسبة لـلعدد eو formula_2 مثلًا؛ فإنّنا لا نستطيع كتابتها كأعداد مضبوطة. إننا ـ كما أوردنا في السابق ـ يتحتّم علينا أن نستخدم التقريب لحل المسائل التي لا تحلّ في الرياضيات التّحليلية، إلا أن هذا التقريب ستنتج عنه أخطاء، أهمها التالي:  هو واحد من أهمّ مصادر الأخطاء وهو استعمال الأعداد المدوّرة بدلًا من المضبوطة. قاعدة التدوير: إذا كان لدينا العدد formula_3، وأردنا الاكتفاء بـ (n-1) عدد على يمين الفاصلة، أي أن العدد المدوّر يكون كما يلي:  يتم تحديده بالشكل الآتي: إذا كانformula_6(أكبر من 5 أو يساوي)، فإنformula_7 إذا كانformula_6 (أصغر من 5)، فإنformula_9. على سبيل المثال العددان 0.045651 و 9033 بتقريبهما باستخدام التدوير لثلاث خانات عشرية ينتج العددان 0.0457 و 9033 على التوالي.  أما عن منشأ الخطأ العددي هنا فيكون بسبب الاكتفاء بعدد معين من المنازل العشريّة بعد الفاصلة في الحسابات.  إن آلات الحاسبة الإلكترونية لا تدور الأعداد غالبًا وإنما تقطعها. قاعدة القطع: إذا كان لدينا العددformula_10 وأردنا الاكتفاء بــ (1-n) عدد على يمين الفاصلة، فإن العدد المتقطع يكون كما يلي: formula_11 على سبيل المثال العددان 0.045651 و 9033 بتقريبها باستخدام القطع لثلاث خانات عشرية ينتج العددان 0.0456 و9030 على التوالي. ومنشأ الخطأ العددي هنا هو يكون من الاكتفاء بعدد معين من حدود المتسلسلة اللانهائية.  تلعب الأخطاء دورًا محوريًا في التحليل العددي وهي تبين مدى دقة وسرعة الطريقة المستخدمة لاحقًا. وفيما يلي أنواع الأخطاء وتأثيرها: وهو الخطأ المطلق المرتكب في العدد المقربformula_12 هو القيمة المطلقة للفرق بينه وبين القيمة الفعلية X formula_13 غالبًا مايكون العدد الفعلي x غير معلوم، عندئذ لا يمكن تعيين الخطأ المطلق، من أجل ذلك نلجأ إلى إيجاد حد أعلى لهذا الخطأ مثلformula_14 ويحقق المتباينة: formula_15. وهكذا نحصل على: formula_16 أي أن العدد الفعلي يقع بين العددينformula_17 ,formula_18 , حيث القيمةformula_18 تمثل تقريب العدد x بالزيادة والقيمةformula_17 تمثل تقريبه بالنقصان. لتكن x=3.257 ولتكن القيمة التقريبية لـx هي 3.26 بتعيين الخطأ المطلق:  formula_21  formula_22  الخطأ R النسبي المرتكب في عدد ما تقريبيformula_23 هو نسبة الخطأ المطلق لمرتكب بهذا العدد إلى القيمة المطلقة للعدد الفعلي x≠0) X) أي أن: formula_24 وفي حالة عدم معرفة القيمة الفعلية X نلجأ إلى الحد الأعلى لهذا الخطأ أي أن:  ومنه: formula_27  لذلك يمكن اعتبار: formula_28  فيكون: formula_29  الحد الأعلى للخطأ النسبي المرتكب في العدد المقربformula_23 وبما أن formula_31 فيمكن أن يكتبformula_32  ويستفاد من الخطأ النسبي في حساب الدقة المعنوية (significant digits) حيث العلاقة التالية: formula_33 حيث t أكبر عدد صحيح غير سالب نستطيع أن نوجد من خلاله أكبر فترة تقريب للخطأ الفعلي.  ملاحظات عامّة:  نفرض أن دالة f في متغيرn: أي أن: formula_35 ونفرض أن الأخطاء المفردة في هذه المتغيرات هي على الترتيب: formula_36 فيكون الخطأ الكلي في الدالة مع اهمال حدود الرتبة الثانية وما فوقها هو: formula_37  إذا formula_38  وبالتالي يكون أقصى خطأ نسبي هو: formula_39 أكبير خطأ نسبي في كل من الدالتين التاليتيين بدلالة المتغيراتformula_34 وأخطأهاformula_41  formula_42  formula_43  الحل:  formula_44  formula_45  يُلاحظ عمومًا أن الخطأ الفعلي في قيمة يكون أقل بكثير من الحد الأقصى للخطأ؛ وذلك لأن الأخطاء من الناحية العلمية تتجه لأن يلغي بعضها بعضًا (حيث بعضها موجب والبعض الآخر سالب) فمثلًا إذا أضيف 200,000 عدد، وقرب كل عدد إلى 4 أرقام عشرية، فإن الحد الأقصى للخطأ يساوي  formula_46 أو يساوي 1 وهذه قيمة كبيرة، بينما الخطأ الكلي المتوقع يكون عادة في حدود 0,005.