Principios de álgebra multilineal

Principios de álgebra multilineal

ÁLGEBRA MULTILINEAL

DE ESPACIOS VECTORIALES REALES

CON PRODUCTO INTERIOR

Juan M. Márquez B.

Principios de álgebra multilineal

Sea

V

un espacio vectorial sobre los reales

R

de dimensión

n

. Si los objetos

b

1

,

b

2

,

…

,

b

n

es una base
entonces usamos la notación

V

=

⟨

{

b

i

}

⟩

=

⟨

{

b

1

,

b

2

,

…

,

b

n

}

⟩

para indicar que cada

X

vector en

V

se escribe como combinación lineal de los

b

i

.

Espacio dual

El

espacio dual

de

V

se define como el conjunto

V

*

de los funcionales lineales

V

→

R

.
Resulta que

V

*

también es una espacio vectorial.

?‘ Cuál es una base y la dimensión de este espacio?

Considere las transformaciones (una para cada

i

)

β

i

:

V

→

R

definida por

X

↦

β

i

⁢

(

X

)

=

X

i

,

donde

X

=

X

s

⁢

b

s

(convención de la suma de Einstein).

Así

β

i

es una función lineal.
En otras palabras, el funcional

β

i

”extrae” el

i

-esimo componente de

X

y cumple linealidad:

β

i

⁢

(

a

⁢

X

)

=

a

⁢

β

i

⁢

(

X

)

β

i

⁢

(

X

+

Y

)

=

β

i

⁢

(

X

)

+

β

i

⁢

(

Y

)

para cualesquiera escalar

a

y vectores

X

,

Y

.

Los elementos de

V

*

también se llaman

covectores

.

Todo elemento

f

∈

V

*

se escribe así ;

f

=

f

s

⁢

β

s

donde los componentes satisfacen

f

s

=

f

⁢

(

b

s

)

Producto tensorial

Sean

V

,

W

dos espacios vectoriales sobre los reales

R

.
Indicamos con

V

=

⟨

{

b

1

,

…

,

b

n

}

⟩

que el espacio

V

está generado por los vectores básicos

b

i

.
En otras palabras; si

X

∈

V

entonces

X

=

X

s

⁢

b

s

es la combinación lineal

X

=

X

1

⁢

b

1

+

X

2

⁢

b

2

+

⋯

+

X

n

⁢

b

n

.

Si

W

=

⟨

{

d

1

,

…

,

d

m

}

⟩

es otro espacio vectorial, entonces definimos

V

⊗

W

=

⟨

{

b

1

⊗

d

1

,

b

1

⊗

d

2

,

…

,

b

n

⊗

d

m

,

}

⟩

,

esto implica que si

B

∈

V

⊗

W

entonces

B

=

B

s

⁢

t

⁢

b

s

⊗

d

t

lo cual es la

combinación lineal bi-indexada

:

B

=

B

11

⁢

b

1

⊗

d

1

+

B

12

⁢

b

1

⊗

d

2

+

⋯

+

B

n

⁢

m

⁢

b

n

⊗

d

m

Los objetos en

V

⊗

V

se llaman

tensor contravariante de rango 2

en

V

o bien un

2-contratensor

.

Los objetos en

V

*

⊗

V

*

se llaman

tensor covariante de rango 2

en

V

o bien un

2-cotensor

.

Los objetos en

V

*

⊗

V

se llaman

tensor mixto de rango 2

en

V

.

Multilinealidad

Los elementos básicos de

V

*

⊗

V

*

pueden ser visualizados como transformaciones bilineales

β

i

⊗

β

j

:

V

×

V

→

R

mediante la asignación dada por

(

X

,

Y

)

↦

β

i

⊗

β

j

⁢

(

X

,

Y

)

=

β

i

⁢

(

X

)

⁢

β

j

⁢

(

Y

)

=

X

i

⁢

Y

j

Similarmente los elementos básicos de

V

⊗

V

pueden ser considerados como mapas bilineales

b

i

⊗

b

j

:

V

*

⊗

V

*

→

R

mediante la asignación

(

f

,

g

)

↦

b

i

⊗

b

j

⁢

(

f

,

g

)

=

f

⁢

(

b

i

)

⁢

g

⁢

(

b

j

)

=

f

i

⁢

g

j

Un elemento básico de

V

*

⊗

V

se puede ver como un mapa bilineal

V

×

V

*

→

R

mediante la fórmula

(

X

,

f

)

↦

β

i

⊗

b

j

⁢

(

X

,

f

)

=

β

i

⁢

(

X

)

⁢

f

⁢

(

b

j

)

=

X

i

⁢

f

j

Efectivamente estas reglas son bilineales, pues por ejemplo,
para cualesquiera escalares

a

,

c

∈

R

y vectores

X

,

Y

,

Z

∈

V

tenemos

β

i

⊗

β

j

⁢

(

a

⁢

X

+

c

⁢

Y

,

Z

)

=

a

⁢

β

i

⊗

β

j

⁢

(

X

,

Z

)

+

c

⁢

β

i

⊗

β

j

⁢

(

Y

,

Z

)

β

i

⊗

β

j

⁢

(

X

,

a

⁢

Y

+

c

⁢

Z

)

=

a

⁢

β

i

⊗

β

j

⁢

(

X

,

Y

)

+

c

⁢

β

i

⊗

β

j

⁢

(

X

,

Z

)

que son respectivamente

(

a

⁢

X

i

+

c

⁢

Y

i

)

⁢

z

j

=

a

⁢

X

i

⁢

Z

j

+

c

⁢

Y

i

⁢

Z

j

X

i

⁢

(

a

⁢

Y

j

+

c

⁢

Z

j

)

=

a

⁢

X

i

⁢

Y

j

+

c

⁢

X

i

⁢

Z

j

Toda transformación bilineal

V

×

V

→

R

está generada por los

β

i

⊗

β

j

pues
si

B

:

V

×

V

→

R

es un mapeo bilineal arbitario, este se expresará como

B

=

B

s

⁢

t

⁢

β

s

⊗

β

t

y denotaremos con

T

(

2

,

0

)

⁢

V

el espacio vectorial generado por los

β

i

⊗

β

j

, en otras palabras

T

(

2

,

0

)

⁢

V

=

⟨

{

β

i

⊗

β

j

}

⟩

Similarmente el conjunto de los mapas tri-lineales

T

(

3

,

0

)

⁢

V

=

⟨

{

β

i

⊗

β

j

⊗

β

k

}

⟩

donde

β

i

⊗

β

j

⊗

β

k

⁢

(

X

,

Y

,

Z

)

=

X

i

⁢

Y

j

⁢

Z

k

es una construcción tri-lineal básica.
Así cualquier otro mapa trilineal

T

:

V

×

V

×

V

→

R

se escribe conforme a

T

=

T

s

⁢

t

⁢

u

⁢

β

s

⊗

β

t

⊗

β

u

No es difícil visualizar lo qué hay en el espacio vectorial

T

(

k

,

0

)

⁢

V

y cuál es una base para él.
?‘puede ud. decir cuál es las dimensión de cada uno de estos espacios vectoriales?

Álgebra de Grassmann

Importantes son las transformaciones multilineales que son

antisimétricas

, es decir transformaciones multilieales
que cambian de signo cuando intercambiamos (transponemos) dos de sus argumentos.
Por ejemplo un mapa bilineal

B

:

V

×

V

→

R

es antisimétrico (o alternante) si satisface

B

⁢

(

X

,

Y

)

=

-

B

⁢

(

Y

,

X

)

un trilineal alternante cumple

T

⁢

(

X

,

Y

,

Z

)

=

-

T

⁢

(

Y

,

X

,

Z

)

=

T

⁢

(

Y

,

Z

,

X

)

=

-

T

⁢

(

Z

,

Y

,

X

)

La construcción

β

i

∧

β

j

=

β

⊗

β

j

-

β

j

⊗

β

i

define un operador bilineal antisimétrico básico
y satisface

β

i

∧

β

j

⁢

(

X

,

Y

)

=

X

i

⁢

Y

j

-

X

j

⁢

Y

i

Otra notación es

β

i

∧

β

j

=

β

[

i

⊗

β

j

]

Estos objetos generan un subespacio de mapas bilineales –también llamados

bivectores

o

2-formas

–
y los simbolizamos con

Λ

2

⁢

V

=

⟨

{

β

i

∧

β

j

}

⟩

esto implica que si

B

∈

Λ

2

⁢

V

entonces

B

=

B

s

⁢

t

⁢

β

s

∧

β

t

Observe que

β

i

∧

β

i

=

0

para cada

i

.

Ahora, si

dim

⁡

V

=

n

entonces

β

1

∧

β

2

,

β

1

∧

β

3

,

…

,

β

1

∧

β

n

,

β

2

∧

β

3

,

…

,

β

n

-

1

∧

β

n

son los únicos bivectores básicos
por lo tanto

dim

⁡

Λ

2

⁢

V

=

(

n

2

)

El espacio vectorial

Λ

k

⁢

V

generado por los productos exteriores de

k

covectores básicos

β

i

1

∧

β

i

2

∧

⋯

∧

β

i

k

donde los indices cumplen

i

1

<

i

2

<

⋯

<

i

k

, tiene dimensión

(

n

k

)

i.e.

dim

⁡

(

Λ

k

⁢

V

)

=

(

dim

⁡

V

k

)

El espacio

Λ

n

⁢

V

está generado por la única

n-forma

β

1

∧

β

2

∧

⋯

∧

β

n

por lo que

dim

⁡

(

Λ

n

⁢

V

)

=

1

.

El espacio vectorial

Λ

⁢

V

=

Λ

0

⁢

V

⊕

Λ

1

⁢

V

⊕

⋯

⊕

Λ

n

-

1

⁢

V

⊕

Λ

n

⁢

V

junto con el producto exterior

∧

constituyen un

álgebra

que recibe el nombre de álgebra de Grassmann
(o álgebra exterior) de

V

Espacios vectoriales con producto interior.

Sea

V

un espacio vectorial sobre los reales

R

generado por los objetos

{

b

1

,

b

2

,

…

,

b

n

}

. Suponga que existe un

producto interior

en

V

i.e. hay un mapa

⟨

,

⟩

:

V

×

V

→

R

el cual es bilineal, simétrico y positivo definido no degenerado:
repectivamente

1.

⟨

a

⁢

X

+

c

⁢

Y

,

Z

⟩

=

a

⁢

⟨

X

,

Z

⟩

+

c

⁢

⟨

Y

,

Z

⟩

2.

⟨

X

,

a

⁢

Y

+

c

⁢

Z

⟩

=

a

⁢

⟨

X

,

Y

⟩

+

c

⁢

⟨

X

,

Z

⟩

3.

⟨

X

,

Y

⟩

=

⟨

Y

,

Z

⟩

4.

⟨

X

,

X

⟩

≥

0

5.

⟨

X

,

X

⟩

=

0

si y sólo si

X

=

0

donde

a

,

c

son escalares reales y

X

,

Y

,

Z

vectores arbitarios en

V

.

El

tensor métrico

es la matriz

G

=

(

g

11

g

12

⋯

g

1

⁢

n

g

21

g

22

⋯

g

2

⁢

n

⋮

⋱

⋮

g

n

⁢

1

g

n

⁢

n

)

donde

g

i

⁢

j

=

⟨

b

i

,

b

j

⟩

.

La matriz inversa

G

-

1

se llama

cotensor métrico

y sus entradas se indexan

G

-

1

=

[

g

i

⁢

j

]

,
por lo que al multiplicar

G

y

G

-

1

se obtienen las relaciones

δ

i

j

=

g

i

⁢

s

⁢

g

s

⁢

j

=

g

i

⁢

1

⁢

g

1

⁢

j

+

g

i

⁢

2

⁢

g

2

⁢

j

+

⋯

⁢

g

i

⁢

n

⁢

g

n

⁢

j

Lema de Representación de Riesz

Sea

f

:

V

→

R

un covector en

V

con producto interior

⟨

,

⟩

.
Entonces existe un único vector

a

∈

V

el cual determina a

f

, esto es:

f

(

)

=

⟨

a

,

⟩

Para los covectores básicos

β

i

resulta que el vector

b

i

=

g

i

⁢

s

⁢

b

s

(suma sobre

s

) satisface

β

i

(

)

=

⟨

b

i

,

⟩

pues si

β

i

se aplica a el básico

b

t

tenemos

β

i

⁢

(

b

t

)

=

⟨

b

i

,

b

t

⟩

=

⟨

g

i

⁢

s

⁢

b

s

,

b

t

⟩

=

g

i

⁢

s

⁢

⟨

b

s

,

b

t

⟩

=

g

i

⁢

s

⁢

g

s

⁢

t

=

δ

i

t

por lo que aplicado a un vector

X

=

X

μ

⁢

b

μ

arbitario tenemos

β

i

⁢

(

X

)

=

⟨

b

i

,

X

μ

⁢

b

μ

⟩

=

X

μ

⁢

⟨

b

i

,

b

μ

⟩

=

X

μ

⁢

δ

i

μ

=

X

i

Los vectores

b

1

,

b

2

,

…

,

b

n

son linealmente independientes, forman también una base para

V

y se llaman

básicos reciprocos

.

Siendo

T

(

2

,

0

)

⁢

V

el conjunto de los mapeos bilineales

V

×

V

→

R

y si

B

∈

T

(

2

,

0

)

⁢

V

entonces

B

=

B

μ

⁢

ν

⁢

β

μ

⊗

β

ν

.

En el conjunto

T

(

0

,

2

)

⁢

V

está el mapeo bilineal

B

¯

=

B

μ

⁢

ν

⁢

b

μ

⊗

b

ν

.

Y en

T

(

1

,

1

)

⁢

V

está

B

¯

¯

=

B

μ

ν

⁢

β

μ

⊗

b

ν

.

Ahora si construimos los

básicos reciprocos duales

β

i

=

g

i

⁢

s

⁢

β

s

vamos a poder calcular que

B

⁢

(

b

s

,

b

t

)

=

B

¯

⁢

(

β

s

,

β

t

)

=

B

¯

¯

⁢

(

b

s

,

β

t

)

=

B

s

⁢

t

donde los componentes se relacionan mediante el cotensor métrico así:

B

i

j

=

B

s

⁢

j

⁢

g

s

⁢

i

con suma sobre

s

, y

B

i

⁢

j

=

B

i

s

⁢

g

s

⁢

j

=

B

s

⁢

t

⁢

g

s

⁢

i

⁢

g

t

⁢

j

con suma sobre

t

y

s

,

t

respectivamente.
O bien

B

i

j

=

B

s

⁢

j

⁢

g

s

⁢

i

y

B

i

⁢

j

=

B

i

s

⁢

g

s

⁢

j

.

Todas estas relaciones entre los componentes con respecto al tensor y cotensor métricos reciben el nombre de

leyes de subir y bajar índices

.

Las formas tiene un producto interior también

Es posible inducir un producto interior en los espacios

Λ

k

⁢

V

. Si

A

=

A

i

1

⁢

…

⁢

i

k

⁢

β

i

1

∧

…

∧

β

i

k

y

C

=

C

j

1

⁢

…

⁢

j

k

⁢

β

j

1

∧

…

∧

β

j

k

entonces

⟨

A

,

C

⟩

=

g

i

1

⁢

j

1

⁢

⋯

⁢

g

i

k

⁢

j

k

⁢

A

i

1

⁢

…

⁢

i

k

⁢

C

j

1

⁢

…

⁢

j

k

Por ejemplo para 1-formas tenemos

⟨

A

,

C

⟩

=

g

i

1

⁢

j

1

⁢

A

i

1

⁢

C

j

1

=

A

i

1

⁢

C

i

1

que satisface los 5 axiomas de producto interior.

Pullback

Teniendo una transformación lineal

L

:

V

→

W

podemos construir por cada forma en

W

otra forma en

V

.
Pues si

ϕ

∈

W

*

=

Λ

1

⁢

V

es decir

ϕ

:

W

→

R

es covector en

W

entonces podemos construir otra transformación lineal

ϕ

∘

L

:

V

→

R

, es decir

ϕ

∘

L

∈

V

*

=

Λ

1

⁢

V

.
Así hemos definido
una transformación lineal

L

*

:

W

*

→

V

*

vía

ϕ

↦

L

*

⁢

ϕ

=

ϕ

∘

L

la regla de asignación

L

*

es el

pullback

de

L

.

Supongamos que

V

=

⟨

{

b

1

,

…

,

b

n

}

⟩

y

W

=

⟨

{

c

1

,

…

,

c

m

}

⟩

, así tendremos que

L

⁢

b

k

=

L

s

k

⁢

c

s

,

A

es la forma en que las bases se relacionan.

?‘Cómo se relacionan las base de covectores?

Sean

V

*

=

⟨

{

β

1

,

…

,

β

n

}

⟩

y

W

=

⟨

{

γ

1

,

…

,

γ

m

}

⟩

. Sean

g

i

⁢

j

=

⟨

b

i

,

b

j

⟩

y

h

k

⁢

l

=

⟨

c

k

,

c

l

⟩

los componentes de los tensores métricos de

V

y

W

respectivamente.

Por lo que

L

*

⁢

γ

i

⁢

(

b

k

)

=

γ

i

∘

L

⁢

(

b

k

)

=

γ

i

⁢

(

L

⁢

b

k

)

=

γ

i

⁢

(

L

s

k

⁢

c

s

)

=

L

s

k

⁢

γ

i

⁢

(

c

s

)

=

L

s

k

⁢

γ

i

⁢

(

c

s

)

=

L

s

k

⁢

δ

i

s

=

L

i

k

Pero también

L

i

t

⁢

β

t

⁢

(

b

k

)

=

L

i

t

⁢

δ

t

k

=

L

i

k

Es decir

L

*

⁢

γ

i

⁢

(

b

k

)

=

L

i

t

⁢

β

t

⁢

(

b

k

)

para todo básico

b

k

, por lo que las transformaciones
son iguales, i.e.

L

*

⁢

γ

i

=

L

i

t

⁢

β

t

,

B

lo que nos indica como se relacionan las bases duales de

W

,

V

respectivamente (cf.

(

A

)

arriba).

Finalmente, si

φ

∈

W

*

este se expresa como

φ

=

φ

μ

⁢

γ

μ

y entonces

L

*

⁢

φ

=

φ

μ

⁢

L

*

⁢

γ

μ

=

φ

μ

⁢

L

μ

t

⁢

β

t

lo cual muestra que los componentes de

L

*

⁢

φ

son

φ

μ

⁢

L

μ

t

Ejercicios

1.

Demuestre que si

V

→

L

W

→

M

U

es una composición de transformaciones lineales,
entonces el correspondiente diagrama de pullbacks es

U

*

→

M

*

W

*

→

L

*

V

*

2.

Escriba todo el ejercicio 1 en términos de componentes.

3.

Si el covector

φ

∈

W

*

tiene una representación

φ

(

)

=

⟨

ξ

,

⟩

y covector

L

*

⁢

φ

∈

V

*

tiene

L

*

φ

(

)

=

⟨

ζ

,

⟩

, con

ξ

∈

W

y

ζ

∈

V

,
?‘Cuál es la relación entre los componentes de

L

,

ξ

y

ζ

?

Title

Principios de álgebra multilineal

Canonical

name

PrincipiosDealgebraMultilineal

Date of creation

2013-03-11 19:27:49

Last modified on

2013-03-11 19:27:49

Owner

juanman (12619)

Last modified by

(0)

Numerical id

1

Author

juanman (0)

Entry type

Definition

Generated on Fri Feb 9 21:16:33 2018 by

LaTeXML