algebraic representation of relation composition

algebraic representation of relation composition

\PMlinkescapephrase

ca

\PMlinkescapephrase

CA

\PMlinkescapephrase

dyadic

\PMlinkescapephrase

Dyadic

\PMlinkescapephrase

intersection

\PMlinkescapephrase

Intersection

\PMlinkescapephrase

ma

\PMlinkescapephrase

MA

\PMlinkescapephrase

onto

\PMlinkescapephrase

Onto

\PMlinkescapephrase

right

\PMlinkescapephrase

Right

The transition from a geometric picture of

relation composition

to an algebraic formulation is accomplished through the

introduction

of coordinates, in other words, identifiable names for the objects that are related through the various forms of

relations

, 2-adic and 3-adic in the present case. Adding coordinates to the running Example produces the following Figure:

o-------------------------------------------------o
| . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
| . . . . . . . . . . . .o. . . . . . . . . . . . |
| . . . . . . . . . . . /|\ . . . . . . . . . . . |
| . . . . . . . . . . ./.|.\. . . . . . . . . . . |
| . . . . . . . . . . / .|. \ . . . . . . . . . . |
| . . . . . . . . . ./. .|. .\. . . . . . . . . . |
| . . . . . . . . . / . .|. . \ . . . . . . . . . |
| . . . . . . . . ./. . .|. . .\. . . . . . . . . |
| . . . . . . . . / . . .|. . . \ . . . . . . . . |
| . . . . . . . .o. . . .o. . . .o. . . . . . . . |
| . . . . . . . .|\ . . / \ . . /|. . . . . . . . |
| . . . . . . . .|.\. ./.F.\. ./.|. . . . . . . . |
| . . . . . . . .|. \ / .*. \ / .|. . . . . . . . |
| . . . . . . . .|. .\. /*\ ./. .|. . . . . . . . |
| . . . . . . . .|. / \//*\\/ \ .|. . . . . . . . |
| . . . . . . . .|./. /\/ \/\ .\.|. . . . . . . . |
| . . . . . . . .|/ .///\ /\\\. \|. . . . . . . . |
| . . . .o. . . .X. /// .Y. \\\ .Z. . . .o. . . . |
| . . . .|\ . . .7\///. .|. .\\\/7. . . /|. . . . |
| . . . .|.\. . . 6// . .|. . \\6 . . ./.|. . . . |
| . . . .|. \ . .//5\ . .|. . /5\\. . / .|. . . . |
| . . . .|. .\. /// 4\. .|. ./4 \\\ ./. .|. . . . |
| . . . .|. . \///. .3\ .|. /3. .\\\/ . .|. . . . |
| . . . .|. . /\/ . . 2\.|./2 . . \/\ . .|. . . . |
| . . . .|. .*//\ . . .1\|/1. . . /\\*. .|. . . . |
| . . . .X. .*/ .Y. . . .o. . . .Y .\*. .Z. . . . |
| . . . .7\ .*. .|7 . . . . . . 7| . *. /7. . . . |
| . . . . 6\.G. .|6 . . . . . . 6| . H /6 . . . . |
| . . . . .5\ . .|5 . . . . . . 5| . ./5. . . . . |
| . . . . . 4\. .|4 . . . . . . 4| . /4 . . . . . |
| . . . . . .3\ .|3 . . . . . . 3| ./3. . . . . . |
| . . . . . . 2\.|2 . . . . . . 2| /2 . . . . . . |
| . . . . . . .1\|1 . . . . . . 1|/1. . . . . . . |
| . . . . . . . .o. . . . . . . .o. . . . . . . . |
| . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
o-------------------------------------------------o
Figure 7. F as the Intersection of tau(G) and tau(H)

Thinking of relations in operational terms is facilitated by using a variant notation for tuples and sets of tuples, namely, the

ordered pair

(

x

,

y

)

is written

x

:

y

, the ordered triple

(

x

,

y

,

z

)

is written

x

:

y

:

z

, and so on, and a set of tuples is conceived as a logical-algebraic sum, which can be written out in the smaller finite cases in forms like

a

:

b

+

b

:

c

+

c

:

d

and so on.

For example, translating the relations

F

⊆

X

×

Y

×

Z

,

G

⊆

X

×

Y

,

H

⊆

Y

×

Z

into this notation produces the following summary of the data:

F

=

4

:

3

:

4

+

4

:

4

:

4

+

4

:

5

:

4

G

=

4

:

3

+

4

:

4

+

4

:

5

H

=

3

:

4

+

4

:

4

+

5

:

4

As often happens with abstract notations for

functions

and relations, the

type information

, in this case, the fact that

G

and

H

live in different spaces, is left implicit in the

context

of use.

Let us now verify that all of the proposed definitions,

formulas

, and other relationships check out against the concrete data of the current

composition

example. The ultimate goal is to develop a clearer picture of what is going on in the formula that expresses the relational composition of a couple of 2-adic relations in terms of the medial

projection

of the intersection of their

tacit extensions

:

G

∘

H

=

proj

X

⁢

Z

⁢

(

τ

X

⁢

Y

Z

⁢

(

G

)

∩

τ

Y

⁢

Z

X

⁢

(

H

)

)

.

Here is the big picture, with all of the pieces in place:

o-------------------------------------------------o
| . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
| . . . . . . . . . . . .o. . . . . . . . . . . . |
| . . . . . . . . . . . / \ . . . . . . . . . . . |
| . . . . . . . . . . ./. .\. . . . . . . . . . . |
| . . . . . . . . . . / . . \ . . . . . . . . . . |
| . . . . . . . . . ./. . . .\. . . . . . . . . . |
| . . . . . . . . . / . . . . \ . . . . . . . . . |
| . . . . . . . . ./. . . . . .\. . . . . . . . . |
| . . . . . . . . / . .G o H. . \ . . . . . . . . |
| . . . . . . . .X. . . .*. . . .Z. . . . . . . . |
| . . . . . . . .7\ . . /|\ . . /7. . . . . . . . |
| . . . . . . . . 6\. ./.|.\. ./6 . . . . . . . . |
| . . . . . . . . .5\ / .|. \ /5. . . . . . . . . |
| . . . . . . . . . 4@. .|. .@4 . . . . . . . . . |
| . . . . . . . . . .3\ .|. /3. . . . . . . . . . |
| . . . . . . . . . . 2\.|./2 . . . . . . . . . . |
| . . . . . . . . . . .1\|/1. . . . . . . . . . . |
| . . . . . . . . . . . .|. . . . . . . . . . . . |
| . . . . . . . . . . . .|. . . . . . . . . . . . |
| . . . . . . . . . . . .|. . . . . . . . . . . . |
| . . . . . . . . . . . /|\ . . . . . . . . . . . |
| . . . . . . . . . . ./.|.\. . . . . . . . . . . |
| . . . . . . . . . . / .|. \ . . . . . . . . . . |
| . . . . . . . . . ./. .|. .\. . . . . . . . . . |
| . . . . . . . . . / . .|. . \ . . . . . . . . . |
| . . . . . . . . ./. . .|. . .\. . . . . . . . . |
| . . . . . . . . / . . .|. . . \ . . . . . . . . |
| . . . . . . . .o. . . .|. . . .o. . . . . . . . |
| . . . . . . . .|\ . . /|\ . . /|. . . . . . . . |
| . . . . . . . .|.\. ./.F.\. ./.|. . . . . . . . |
| . . . . . . . .|. \ / .*. \ / .|. . . . . . . . |
| . . . . . . . .|. .\. /*\ ./. .|. . . . . . . . |
| . . . . . . . .|. / \//*\\/ \ .|. . . . . . . . |
| . . . . . . . .|./. /\/ \/\ .\.|. . . . . . . . |
| . . . . . . . .|/ .///\ /\\\. \|. . . . . . . . |
| . . . .o. . . .X. /// .Y. \\\ .Z. . . .o. . . . |
| . . . .|\ . . .7\///. .|. .\\\/7. . . /|. . . . |
| . . . .|.\. . . 6// . .|. . \\6 . . ./.|. . . . |
| . . . .|. \ . .//5\ . .|. . /5\\. . / .|. . . . |
| . . . .|. .\. /// 4\. .|. ./4 \\\ ./. .|. . . . |
| . . . .|. . \///. .3\ .|. /3. .\\\/ . .|. . . . |
| . . . .|. .G/\/ . . 2\.|./2 . . \/\H. .|. . . . |
| . . . .|. .*//\ . . .1\|/1. . . /\\*. .|. . . . |
| . . . .X. .*\ .Y. . . .o. . . .Y ./*. .Z. . . . |
| . . . .7\ .*\\.|7 . . . . . . 7| //*. /7. . . . |
| . . . . 6\.|\\\|6 . . . . . . 6|///| /6 . . . . |
| . . . . .5\|.\\@5 . . . . . . 5@// |/5. . . . . |
| . . . . . 4@. \@4 . . . . . . 4@/. @4 . . . . . |
| . . . . . .3\ .@3 . . . . . . 3@ ./3. . . . . . |
| . . . . . . 2\.|2 . . . . . . 2| /2 . . . . . . |
| . . . . . . .1\|1 . . . . . . 1|/1. . . . . . . |
| . . . . . . . .o. . . . . . . .o. . . . . . . . |
| . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
o-------------------------------------------------o
Figure 8. G o H = proj_XZ (tau(G) |^| tau(H))

All that remains is to check the following

collection

of data and

derivations

against the situation represented in Figure 8.

F

=

4

:

3

:

4

+

4

:

4

:

4

+

4

:

5

:

4

G

=

4

:

3

+

4

:

4

+

4

:

5

H

=

3

:

4

+

4

:

4

+

5

:

4

G

∘

H

=

(

4

⁢

:

⁢

3

+

4

⁢

:

⁢

4

+

4

⁢

:

⁢

5

)

⁢

(

3

⁢

:

⁢

4

+

4

⁢

:

⁢

4

+

5

⁢

:

⁢

4

)

=

4

⁢

:

⁢

4

τ

⁢

(

G

)

=

τ

X

⁢

Y

Z

⁢

(

G

)

=

∑

z

=

1

7

(

4

⁢

:

⁢

3

⁢

:

⁢

z

+

4

⁢

:

⁢

4

⁢

:

⁢

z

+

4

⁢

:

⁢

5

⁢

:

⁢

z

)

τ

⁢

(

G

)

=

4

⁢

:

⁢

3

⁢

:

⁢

1

+

4

⁢

:

⁢

4

⁢

:

⁢

1

+

4

⁢

:

⁢

5

⁢

:

⁢

1

+

4

⁢

:

⁢

3

⁢

:

⁢

2

+

4

⁢

:

⁢

4

⁢

:

⁢

2

+

4

⁢

:

⁢

5

⁢

:

⁢

2

+

4

⁢

:

⁢

3

⁢

:

⁢

3

+

4

⁢

:

⁢

4

⁢

:

⁢

3

+

4

⁢

:

⁢

5

⁢

:

⁢

3

+

4

⁢

:

⁢

3

⁢

:

⁢

4

+

4

⁢

:

⁢

4

⁢

:

⁢

4

+

4

⁢

:

⁢

5

⁢

:

⁢

4

+

4

⁢

:

⁢

3

⁢

:

⁢

5

+

4

⁢

:

⁢

4

⁢

:

⁢

5

+

4

⁢

:

⁢

5

⁢

:

⁢

5

+

4

⁢

:

⁢

3

⁢

:

⁢

6

+

4

⁢

:

⁢

4

⁢

:

⁢

6

+

4

⁢

:

⁢

5

⁢

:

⁢

6

+

4

⁢

:

⁢

3

⁢

:

⁢

7

+

4

⁢

:

⁢

4

⁢

:

⁢

7

+

4

⁢

:

⁢

5

⁢

:

⁢

7

τ

⁢

(

H

)

=

τ

Y

⁢

Z

X

⁢

(

H

)

=

∑

x

=

1

7

(

x

⁢

:

⁢

3

⁢

:

⁢

4

+

x

⁢

:

⁢

4

⁢

:

⁢

4

+

x

⁢

:

⁢

5

⁢

:

⁢

4

)

τ

⁢

(

H

)

=

1

⁢

:

⁢

3

⁢

:

⁢

4

+

1

⁢

:

⁢

4

⁢

:

⁢

4

+

1

⁢

:

⁢

5

⁢

:

⁢

4

+

2

⁢

:

⁢

3

⁢

:

⁢

4

+

2

⁢

:

⁢

4

⁢

:

⁢

4

+

2

⁢

:

⁢

5

⁢

:

⁢

4

+

3

⁢

:

⁢

3

⁢

:

⁢

4

+

3

⁢

:

⁢

4

⁢

:

⁢

4

+

3

⁢

:

⁢

5

⁢

:

⁢

4

+

4

⁢

:

⁢

3

⁢

:

⁢

4

+

4

⁢

:

⁢

4

⁢

:

⁢

4

+

4

⁢

:

⁢

5

⁢

:

⁢

4

+

5

⁢

:

⁢

3

⁢

:

⁢

4

+

5

⁢

:

⁢

4

⁢

:

⁢

4

+

5

⁢

:

⁢

5

⁢

:

⁢

4

+

6

⁢

:

⁢

3

⁢

:

⁢

4

+

6

⁢

:

⁢

4

⁢

:

⁢

4

+

6

⁢

:

⁢

5

⁢

:

⁢

4

+

7

⁢

:

⁢

3

⁢

:

⁢

4

+

7

⁢

:

⁢

4

⁢

:

⁢

4

+

7

⁢

:

⁢

5

⁢

:

⁢

4

τ

⁢

(

G

)

∩

τ

⁢

(

H

)

=

4

⁢

:

⁢

3

⁢

:

⁢

4

+

4

⁢

:

⁢

4

⁢

:

⁢

4

+

4

⁢

:

⁢

5

⁢

:

⁢

4

G

∘

H

=

proj

X

⁢

Z

⁢

(

τ

⁢

(

G

)

∩

τ

⁢

(

H

)

)

=

proj

X

⁢

Z

⁢

(

4

⁢

:

⁢

3

⁢

:

⁢

4

+

4

⁢

:

⁢

4

⁢

:

⁢

4

+

4

⁢

:

⁢

5

⁢

:

⁢

4

)

=

4

:

4

Title

algebraic representation of relation composition

Canonical name

AlgebraicRepresentationOfRelationComposition

Date of creation

2013-03-22 17:50:25

Last modified on

2013-03-22 17:50:25

Owner

Jon Awbrey (15246)

Last modified by

Jon Awbrey (15246)

Numerical id

5

Author

Jon Awbrey (15246)

Entry type

Example

Classification

msc 68R01

Classification

msc 68P15

Classification

msc 08A02

Classification

msc 05C65

Classification

msc 05B30

Classification

msc 05B20

Classification

msc 03E20

Classification

msc 03B10

Related topic

GeometricRepresentationOfRelationComposition

Related topic

MatrixRepresentationOfRelationComposition

Related topic

GraphTheoreticRepresentationOfRelationComposition

Generated on Sat Feb 10 12:49:52 2018 by

LaTeXML