quartic formula

quartic formula

The four roots

r

1

,

r

2

,

r

3

,

r

4

of a

quartic polynomial

equation

x

4

+

a

⁢

x

3

+

b

⁢

x

2

+

c

⁢

x

+

d

=

0

are given by

r

1

=

-

a

4

-

1

2

⁢

a

2

4

-

2

⁢

b

3

+

2

1

3

⁢

(

b

2

-

3

⁢

a

⁢

c

+

12

⁢

d

)

3

⁢

(

2

⁢

b

3

-

9

⁢

a

⁢

b

⁢

c

+

27

⁢

c

2

+

27

⁢

a

2

⁢

d

-

72

⁢

b

⁢

d

+

-

4

⁢

(

b

2

-

3

⁢

a

⁢

c

+

12

⁢

d

)

3

+

(

2

⁢

b

3

-

9

⁢

a

⁢

b

⁢

c

+

27

⁢

c

2

+

27

⁢

a

2

⁢

d

-

72

⁢

b

⁢

d

)

2

)

1

3

+

(

2

⁢

b

3

-

9

⁢

a

⁢

b

⁢

c

+

27

⁢

c

2

+

27

⁢

a

2

⁢

d

-

72

⁢

b

⁢

d

+

-

4

⁢

(

b

2

-

3

⁢

a

⁢

c

+

12

⁢

d

)

3

+

(

2

⁢

b

3

-

9

⁢

a

⁢

b

⁢

c

+

27

⁢

c

2

+

27

⁢

a

2

⁢

d

-

72

⁢

b

⁢

d

)

2

54

)

1

3

-

1

2

⁢

a

2

2

-

4

⁢

b

3

-

2

1

3

⁢

(

b

2

-

3

⁢

a

⁢

c

+

12

⁢

d

)

3

⁢

(

2

⁢

b

3

-

9

⁢

a

⁢

b

⁢

c

+

27

⁢

c

2

+

27

⁢

a

2

⁢

d

-

72

⁢

b

⁢

d

+

-

4

⁢

(

b

2

-

3

⁢

a

⁢

c

+

12

⁢

d

)

3

+

(

2

⁢

b

3

-

9

⁢

a

⁢

b

⁢

c

+

27

⁢

c

2

+

27

⁢

a

2

⁢

d

-

72

⁢

b

⁢

d

)

2

)

1

3

-

(

2

⁢

b

3

-

9

⁢

a

⁢

b

⁢

c

+

27

⁢

c

2

+

27

⁢

a

2

⁢

d

-

72

⁢

b

⁢

d

+

-

4

⁢

(

b

2

-

3

⁢

a

⁢

c

+

12

⁢

d

)

3

+

(

2

⁢

b

3

-

9

⁢

a

⁢

b

⁢

c

+

27

⁢

c

2

+

27

⁢

a

2

⁢

d

-

72

⁢

b

⁢

d

)

2

54

)

1

3

-

-

a

3

+

4

⁢

a

⁢

b

-

8

⁢

c

4

⁢

a

2

4

-

2

⁢

b

3

+

2

1

3

⁢

(

b

2

-

3

⁢

a

⁢

c

+

12

⁢

d

)

3

⁢

(

2

⁢

b

3

-

9

⁢

a

⁢

b

⁢

c

+

27

⁢

c

2

+

27

⁢

a

2

⁢

d

-

72

⁢

b

⁢

d

+

-

4

⁢

(

b

2

-

3

⁢

a

⁢

c

+

12

⁢

d

)

3

+

(

2

⁢

b

3

-

9

⁢

a

⁢

b

⁢

c

+

27

⁢

c

2

+

27

⁢

a

2

⁢

d

-

72

⁢

b

⁢

d

)

2

)

1

3

+

(

2

⁢

b

3

-

9

⁢

a

⁢

b

⁢

c

+

27

⁢

c

2

+

27

⁢

a

2

⁢

d

-

72

⁢

b

⁢

d

+

-

4

⁢

(

b

2

-

3

⁢

a

⁢

c

+

12

⁢

d

)

3

+

(

2

⁢

b

3

-

9

⁢

a

⁢

b

⁢

c

+

27

⁢

c

2

+

27

⁢

a

2

⁢

d

-

72

⁢

b

⁢

d

)

2

54

)

1

3

r

2

=

-

a

4

-

1

2

⁢

a

2

4

-

2

⁢

b

3

+

2

1

3

⁢

(

b

2

-

3

⁢

a

⁢

c

+

12

⁢

d

)

3

⁢

(

2

⁢

b

3

-

9

⁢

a

⁢

b

⁢

c

+

27

⁢

c

2

+

27

⁢

a

2

⁢

d

-

72

⁢

b

⁢

d

+

-

4

⁢

(

b

2

-

3

⁢

a

⁢

c

+

12

⁢

d

)

3

+

(

2

⁢

b

3

-

9

⁢

a

⁢

b

⁢

c

+

27

⁢

c

2

+

27

⁢

a

2

⁢

d

-

72

⁢

b

⁢

d

)

2

)

1

3

+

(

2

⁢

b

3

-

9

⁢

a

⁢

b

⁢

c

+

27

⁢

c

2

+

27

⁢

a

2

⁢

d

-

72

⁢

b

⁢

d

+

-

4

⁢

(

b

2

-

3

⁢

a

⁢

c

+

12

⁢

d

)

3

+

(

2

⁢

b

3

-

9

⁢

a

⁢

b

⁢

c

+

27

⁢

c

2

+

27

⁢

a

2

⁢

d

-

72

⁢

b

⁢

d

)

2

54

)

1

3

+

1

2

⁢

a

2

2

-

4

⁢

b

3

-

2

1

3

⁢

(

b

2

-

3

⁢

a

⁢

c

+

12

⁢

d

)

3

⁢

(

2

⁢

b

3

-

9

⁢

a

⁢

b

⁢

c

+

27

⁢

c

2

+

27

⁢

a

2

⁢

d

-

72

⁢

b

⁢

d

+

-

4

⁢

(

b

2

-

3

⁢

a

⁢

c

+

12

⁢

d

)

3

+

(

2

⁢

b

3

-

9

⁢

a

⁢

b

⁢

c

+

27

⁢

c

2

+

27

⁢

a

2

⁢

d

-

72

⁢

b

⁢

d

)

2

)

1

3

-

(

2

⁢

b

3

-

9

⁢

a

⁢

b

⁢

c

+

27

⁢

c

2

+

27

⁢

a

2

⁢

d

-

72

⁢

b

⁢

d

+

-

4

⁢

(

b

2

-

3

⁢

a

⁢

c

+

12

⁢

d

)

3

+

(

2

⁢

b

3

-

9

⁢

a

⁢

b

⁢

c

+

27

⁢

c

2

+

27

⁢

a

2

⁢

d

-

72

⁢

b

⁢

d

)

2

54

)

1

3

-

-

a

3

+

4

⁢

a

⁢

b

-

8

⁢

c

4

⁢

a

2

4

-

2

⁢

b

3

+

2

1

3

⁢

(

b

2

-

3

⁢

a

⁢

c

+

12

⁢

d

)

3

⁢

(

2

⁢

b

3

-

9

⁢

a

⁢

b

⁢

c

+

27

⁢

c

2

+

27

⁢

a

2

⁢

d

-

72

⁢

b

⁢

d

+

-

4

⁢

(

b

2

-

3

⁢

a

⁢

c

+

12

⁢

d

)

3

+

(

2

⁢

b

3

-

9

⁢

a

⁢

b

⁢

c

+

27

⁢

c

2

+

27

⁢

a

2

⁢

d

-

72

⁢

b

⁢

d

)

2

)

1

3

+

(

2

⁢

b

3

-

9

⁢

a

⁢

b

⁢

c

+

27

⁢

c

2

+

27

⁢

a

2

⁢

d

-

72

⁢

b

⁢

d

+

-

4

⁢

(

b

2

-

3

⁢

a

⁢

c

+

12

⁢

d

)

3

+

(

2

⁢

b

3

-

9

⁢

a

⁢

b

⁢

c

+

27

⁢

c

2

+

27

⁢

a

2

⁢

d

-

72

⁢

b

⁢

d

)

2

54

)

1

3

r

3

=

-

a

4

+

1

2

⁢

a

2

4

-

2

⁢

b

3

+

2

1

3

⁢

(

b

2

-

3

⁢

a

⁢

c

+

12

⁢

d

)

3

⁢

(

2

⁢

b

3

-

9

⁢

a

⁢

b

⁢

c

+

27

⁢

c

2

+

27

⁢

a

2

⁢

d

-

72

⁢

b

⁢

d

+

-

4

⁢

(

b

2

-

3

⁢

a

⁢

c

+

12

⁢

d

)

3

+

(

2

⁢

b

3

-

9

⁢

a

⁢

b

⁢

c

+

27

⁢

c

2

+

27

⁢

a

2

⁢

d

-

72

⁢

b

⁢

d

)

2

)

1

3

+

(

2

⁢

b

3

-

9

⁢

a

⁢

b

⁢

c

+

27

⁢

c

2

+

27

⁢

a

2

⁢

d

-

72

⁢

b

⁢

d

+

-

4

⁢

(

b

2

-

3

⁢

a

⁢

c

+

12

⁢

d

)

3

+

(

2

⁢

b

3

-

9

⁢

a

⁢

b

⁢

c

+

27

⁢

c

2

+

27

⁢

a

2

⁢

d

-

72

⁢

b

⁢

d

)

2

54

)

1

3

-

1

2

⁢

a

2

2

-

4

⁢

b

3

-

2

1

3

⁢

(

b

2

-

3

⁢

a

⁢

c

+

12

⁢

d

)

3

⁢

(

2

⁢

b

3

-

9

⁢

a

⁢

b

⁢

c

+

27

⁢

c

2

+

27

⁢

a

2

⁢

d

-

72

⁢

b

⁢

d

+

-

4

⁢

(

b

2

-

3

⁢

a

⁢

c

+

12

⁢

d

)

3

+

(

2

⁢

b

3

-

9

⁢

a

⁢

b

⁢

c

+

27

⁢

c

2

+

27

⁢

a

2

⁢

d

-

72

⁢

b

⁢

d

)

2

)

1

3

-

(

2

⁢

b

3

-

9

⁢

a

⁢

b

⁢

c

+

27

⁢

c

2

+

27

⁢

a

2

⁢

d

-

72

⁢

b

⁢

d

+

-

4

⁢

(

b

2

-

3

⁢

a

⁢

c

+

12

⁢

d

)

3

+

(

2

⁢

b

3

-

9

⁢

a

⁢

b

⁢

c

+

27

⁢

c

2

+

27

⁢

a

2

⁢

d

-

72

⁢

b

⁢

d

)

2

54

)

1

3

+

-

a

3

+

4

⁢

a

⁢

b

-

8

⁢

c

4

⁢

a

2

4

-

2

⁢

b

3

+

2

1

3

⁢

(

b

2

-

3

⁢

a

⁢

c

+

12

⁢

d

)

3

⁢

(

2

⁢

b

3

-

9

⁢

a

⁢

b

⁢

c

+

27

⁢

c

2

+

27

⁢

a

2

⁢

d

-

72

⁢

b

⁢

d

+

-

4

⁢

(

b

2

-

3

⁢

a

⁢

c

+

12

⁢

d

)

3

+

(

2

⁢

b

3

-

9

⁢

a

⁢

b

⁢

c

+

27

⁢

c

2

+

27

⁢

a

2

⁢

d

-

72

⁢

b

⁢

d

)

2

)

1

3

+

(

2

⁢

b

3

-

9

⁢

a

⁢

b

⁢

c

+

27

⁢

c

2

+

27

⁢

a

2

⁢

d

-

72

⁢

b

⁢

d

+

-

4

⁢

(

b

2

-

3

⁢

a

⁢

c

+

12

⁢

d

)

3

+

(

2

⁢

b

3

-

9

⁢

a

⁢

b

⁢

c

+

27

⁢

c

2

+

27

⁢

a

2

⁢

d

-

72

⁢

b

⁢

d

)

2

54

)

1

3

r

4

=

-

a

4

+

1

2

⁢

a

2

4

-

2

⁢

b

3

+

2

1

3

⁢

(

b

2

-

3

⁢

a

⁢

c

+

12

⁢

d

)

3

⁢

(

2

⁢

b

3

-

9

⁢

a

⁢

b

⁢

c

+

27

⁢

c

2

+

27

⁢

a

2

⁢

d

-

72

⁢

b

⁢

d

+

-

4

⁢

(

b

2

-

3

⁢

a

⁢

c

+

12

⁢

d

)

3

+

(

2

⁢

b

3

-

9

⁢

a

⁢

b

⁢

c

+

27

⁢

c

2

+

27

⁢

a

2

⁢

d

-

72

⁢

b

⁢

d

)

2

)

1

3

+

(

2

⁢

b

3

-

9

⁢

a

⁢

b

⁢

c

+

27

⁢

c

2

+

27

⁢

a

2

⁢

d

-

72

⁢

b

⁢

d

+

-

4

⁢

(

b

2

-

3

⁢

a

⁢

c

+

12

⁢

d

)

3

+

(

2

⁢

b

3

-

9

⁢

a

⁢

b

⁢

c

+

27

⁢

c

2

+

27

⁢

a

2

⁢

d

-

72

⁢

b

⁢

d

)

2

54

)

1

3

+

1

2

⁢

a

2

2

-

4

⁢

b

3

-

2

1

3

⁢

(

b

2

-

3

⁢

a

⁢

c

+

12

⁢

d

)

3

⁢

(

2

⁢

b

3

-

9

⁢

a

⁢

b

⁢

c

+

27

⁢

c

2

+

27

⁢

a

2

⁢

d

-

72

⁢

b

⁢

d

+

-

4

⁢

(

b

2

-

3

⁢

a

⁢

c

+

12

⁢

d

)

3

+

(

2

⁢

b

3

-

9

⁢

a

⁢

b

⁢

c

+

27

⁢

c

2

+

27

⁢

a

2

⁢

d

-

72

⁢

b

⁢

d

)

2

)

1

3

-

(

2

⁢

b

3

-

9

⁢

a

⁢

b

⁢

c

+

27

⁢

c

2

+

27

⁢

a

2

⁢

d

-

72

⁢

b

⁢

d

+

-

4

⁢

(

b

2

-

3

⁢

a

⁢

c

+

12

⁢

d

)

3

+

(

2

⁢

b

3

-

9

⁢

a

⁢

b

⁢

c

+

27

⁢

c

2

+

27

⁢

a

2

⁢

d

-

72

⁢

b

⁢

d

)

2

54

)

1

3

+

-

a

3

+

4

⁢

a

⁢

b

-

8

⁢

c

4

⁢

a

2

4

-

2

⁢

b

3

+

2

1

3

⁢

(

b

2

-

3

⁢

a

⁢

c

+

12

⁢

d

)

3

⁢

(

2

⁢

b

3

-

9

⁢

a

⁢

b

⁢

c

+

27

⁢

c

2

+

27

⁢

a

2

⁢

d

-

72

⁢

b

⁢

d

+

-

4

⁢

(

b

2

-

3

⁢

a

⁢

c

+

12

⁢

d

)

3

+

(

2

⁢

b

3

-

9

⁢

a

⁢

b

⁢

c

+

27

⁢

c

2

+

27

⁢

a

2

⁢

d

-

72

⁢

b

⁢

d

)

2

)

1

3

+

(

2

⁢

b

3

-

9

⁢

a

⁢

b

⁢

c

+

27

⁢

c

2

+

27

⁢

a

2

⁢

d

-

72

⁢

b

⁢

d

+

-

4

⁢

(

b

2

-

3

⁢

a

⁢

c

+

12

⁢

d

)

3

+

(

2

⁢

b

3

-

9

⁢

a

⁢

b

⁢

c

+

27

⁢

c

2

+

27

⁢

a

2

⁢

d

-

72

⁢

b

⁢

d

)

2

54

)

1

3

The formulas for the roots are much too unwieldy to be used for solving

quartic equations

by

radicals

, even with the help of a computer. A practical

algorithm

for solving quartic equations by radicals is given in the concluding paragraph of the Galois-theoretic derivation of the quartic formula.

Title

quartic formula

Canonical name

QuarticFormula

Date of creation

2013-03-22 12:12:29

Last modified on

2013-03-22 12:12:29

Owner

djao (24)

Last modified by

djao (24)

Numerical id

7

Author

djao (24)

Entry type

Theorem

Classification

msc 12D10

Synonym

biquadratic formula

Synonym

quartic equation

Synonym

biquadratic equation

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