differential propositional calculus : appendix 1

differential propositional calculus : appendix 1

Note.

The following Tables are best viewed in the Page Image mode.

Contents:

0.1

Table A1. Propositional Forms on Two Variables

0.2

Table A2. Propositional Forms on Two Variables

0.3

Table A3.

E

⁡

f

Expanded Over Differential Features

{

d

⁡

x

,

d

⁡

y

}

0.4

Table A4.

D

⁡

f

Expanded Over Differential Features

{

d

⁡

x

,

d

⁡

y

}

0.5

Table A5.

E

⁡

f

Expanded Over Ordinary Features

{

x

,

y

}

0.6

Table A6.

D

⁡

f

Expanded Over Ordinary Features

{

x

,

y

}

0.1

Table A1. Propositional Forms on Two Variables

Table A1 lists

equivalent

expressions for the

Boolean functions

of two variables in a number of different notational systems.

Table A1. Propositional Forms on Two Variables

ℒ

1

ℒ

2

ℒ

3

ℒ

4

ℒ

5

ℒ

6

x

=

1 1 0 0

y

=

1 0 1 0

f

0

f

0000

0 0 0 0

(

)

false

0

f

1

f

0001

0 0 0 1

(

x

)

⁢

(

y

)

neither

⁡

x

⁢

nor

⁡

y

¬

⁢

x

∧

¬

⁢

y

f

2

f

0010

0 0 1 0

(

x

)

⁢

y

y

⁢

without

⁡

x

¬

⁢

x

∧

y

f

3

f

0011

0 0 1 1

(

x

)

not

⁡

x

¬

⁢

x

f

4

f

0100

0 1 0 0

x

⁢

(

y

)

x

⁢

without

⁡

y

x

∧

¬

⁢

y

f

5

f

0101

0 1 0 1

(

y

)

not

⁡

y

¬

⁢

y

f

6

f

0110

0 1 1 0

(

x

,

y

)

x

⁢

not

⁢

equal

⁢

to

⁡

y

x

≠

y

f

7

f

0111

0 1 1 1

(

x

⁢

y

)

not

⁢

both

⁡

x

⁢

and

⁡

y

¬

⁢

x

∨

¬

⁢

y

f

8

f

1000

1 0 0 0

x

⁢

y

x

⁢

and

⁡

y

x

∧

y

f

9

f

1001

1 0 0 1

(

(

x

,

y

)

)

x

⁢

equal

⁢

to

⁡

y

x

=

y

f

10

f

1010

1 0 1 0

y

y

y

f

11

f

1011

1 0 1 1

(

x

⁢

(

y

)

)

not

⁡

x

⁢

without

⁡

y

x

⇒

y

f

12

f

1100

1 1 0 0

x

x

x

f

13

f

1101

1 1 0 1

(

(

x

)

⁢

y

)

not

⁡

y

⁢

without

⁡

x

x

⇐

y

f

14

f

1110

1 1 1 0

(

(

x

)

⁢

(

y

)

)

x

⁢

or

⁡

y

x

∨

y

f

15

f

1111

1 1 1 1

(

(

)

)

true

1

0.2

Table A2. Propositional Forms on Two Variables

Table A2 lists the sixteen Boolean functions of two variables in a different order, grouping them by structural similarity into seven natural classes.

Table A2. Propositional Forms on Two Variables

ℒ

1

ℒ

2

ℒ

3

ℒ

4

ℒ

5

ℒ

6

x

=

1 1 0 0

y

=

1 0 1 0

f

0

f

0000

0 0 0 0

(

)

false

0

f

1

f

0001

0 0 0 1

(

x

)

⁢

(

y

)

neither

⁡

x

⁢

nor

⁡

y

¬

⁢

x

∧

¬

⁢

y

f

2

f

0010

0 0 1 0

(

x

)

⁢

y

y

⁢

without

⁡

x

¬

⁢

x

∧

y

f

4

f

0100

0 1 0 0

x

⁢

(

y

)

x

⁢

without

⁡

y

x

∧

¬

⁢

y

f

8

f

1000

1 0 0 0

x

⁢

y

x

⁢

and

⁡

y

x

∧

y

f

3

f

0011

0 0 1 1

(

x

)

not

⁡

x

¬

⁢

x

f

12

f

1100

1 1 0 0

x

x

x

f

6

f

0110

0 1 1 0

(

x

,

y

)

x

⁢

not

⁢

equal

⁢

to

⁡

y

x

≠

y

f

9

f

1001

1 0 0 1

(

(

x

,

y

)

)

x

⁢

equal

⁢

to

⁡

y

x

=

y

f

5

f

0101

0 1 0 1

(

y

)

not

⁡

y

¬

⁢

y

f

10

f

1010

1 0 1 0

y

y

y

f

7

f

0111

0 1 1 1

(

x

⁢

y

)

not

⁢

both

⁡

x

⁢

and

⁡

y

¬

⁢

x

∨

¬

⁢

y

f

11

f

1011

1 0 1 1

(

x

⁢

(

y

)

)

not

⁡

x

⁢

without

⁡

y

x

⇒

y

f

13

f

1101

1 1 0 1

(

(

x

)

⁢

y

)

not

⁡

y

⁢

without

⁡

x

x

⇐

y

f

14

f

1110

1 1 1 0

(

(

x

)

⁢

(

y

)

)

x

⁢

or

⁡

y

x

∨

y

f

15

f

1111

1 1 1 1

(

(

)

)

true

1

0.3

Table A3.

E

⁡

f

Expanded Over Differential Features

{

d

⁡

x

,

d

⁡

y

}

Table A3.

E

⁡

f

Expanded Over

Differential Features

{

d

⁡

x

,

d

⁡

y

}

T

11

T

10

T

01

T

00

f

E

⁡

f

|

d

⁡

x

⁢

d

⁡

y

E

⁡

f

|

d

⁡

x

⁢

(

d

⁡

y

)

E

⁡

f

|

(

d

⁡

x

)

⁢

d

⁡

y

E

⁡

f

|

(

d

⁡

x

)

⁢

(

d

⁡

y

)

f

0

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

f

1

(

x

)

⁢

(

y

)

x

⁢

y

x

⁢

(

y

)

(

x

)

⁢

y

(

x

)

⁢

(

y

)

f

2

(

x

)

⁢

y

x

⁢

(

y

)

x

⁢

y

(

x

)

⁢

(

y

)

(

x

)

⁢

y

f

4

x

⁢

(

y

)

(

x

)

⁢

y

(

x

)

⁢

(

y

)

x

⁢

y

x

⁢

(

y

)

f

8

x

⁢

y

(

x

)

⁢

(

y

)

(

x

)

⁢

y

x

⁢

(

y

)

x

⁢

y

f

3

(

x

)

x

x

(

x

)

(

x

)

f

12

x

(

x

)

(

x

)

x

x

f

6

(

x

,

y

)

(

x

,

y

)

(

(

x

,

y

)

)

(

(

x

,

y

)

)

(

x

,

y

)

f

9

(

(

x

,

y

)

)

(

(

x

,

y

)

)

(

x

,

y

)

(

x

,

y

)

(

(

x

,

y

)

)

f

5

(

y

)

y

(

y

)

y

(

y

)

f

10

y

(

y

)

y

(

y

)

y

f

7

(

x

⁢

y

)

(

(

x

)

⁢

(

y

)

)

(

(

x

)

⁢

y

)

(

x

⁢

(

y

)

)

(

x

⁢

y

)

f

11

(

x

⁢

(

y

)

)

(

(

x

)

⁢

y

)

(

(

x

)

⁢

(

y

)

)

(

x

⁢

y

)

(

x

⁢

(

y

)

)

f

13

(

(

x

)

⁢

y

)

(

x

⁢

(

y

)

)

(

x

⁢

y

)

(

(

x

)

⁢

(

y

)

)

(

(

x

)

⁢

y

)

f

14

(

(

x

)

⁢

(

y

)

)

(

x

⁢

y

)

(

x

⁢

(

y

)

)

(

(

x

)

⁢

y

)

(

(

x

)

⁢

(

y

)

)

f

15

(

(

)

)

(

(

)

)

(

(

)

)

(

(

)

)

(

(

)

)

Fixed Point

(

http://planetmath.org/FixedPoint

) Total:

4

4

4

16

0.4

Table A4.

D

⁡

f

Expanded Over Differential Features

{

d

⁡

x

,

d

⁡

y

}

Table A4.

D

⁡

f

Expanded Over Differential Features

{

d

⁡

x

,

d

⁡

y

}

f

D

⁡

f

|

d

⁡

x

⁢

d

⁡

y

D

⁡

f

|

d

⁡

x

⁢

(

d

⁡

y

)

D

⁡

f

|

(

d

⁡

x

)

⁢

d

⁡

y

D

⁡

f

|

(

d

⁡

x

)

⁢

(

d

⁡

y

)

f

0

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

f

1

(

x

)

⁢

(

y

)

(

(

x

,

y

)

)

(

y

)

(

x

)

(

)

f

2

(

x

)

⁢

y

(

x

,

y

)

y

(

x

)

(

)

f

4

x

⁢

(

y

)

(

x

,

y

)

(

y

)

x

(

)

f

8

x

⁢

y

(

(

x

,

y

)

)

y

x

(

)

f

3

(

x

)

(

(

)

)

(

(

)

)

(

)

(

)

f

12

x

(

(

)

)

(

(

)

)

(

)

(

)

f

6

(

x

,

y

)

(

)

(

(

)

)

(

(

)

)

(

)

f

9

(

(

x

,

y

)

)

(

)

(

(

)

)

(

(

)

)

(

)

f

5

(

y

)

(

(

)

)

(

)

(

(

)

)

(

)

f

10

y

(

(

)

)

(

)

(

(

)

)

(

)

f

7

(

x

⁢

y

)

(

(

x

,

y

)

)

y

x

(

)

f

11

(

x

⁢

(

y

)

)

(

x

,

y

)

(

y

)

x

(

)

f

13

(

(

x

)

⁢

y

)

(

x

,

y

)

y

(

x

)

(

)

f

14

(

(

x

)

⁢

(

y

)

)

(

(

x

,

y

)

)

(

y

)

(

x

)

(

)

f

15

(

(

)

)

(

)

(

)

(

)

(

)

0.5

Table A5.

E

⁡

f

Expanded Over Ordinary Features

{

x

,

y

}

Table A5.

E

⁡

f

Expanded Over Ordinary Features

{

x

,

y

}

f

E

⁡

f

|

x

⁢

y

E

⁡

f

|

x

⁢

(

y

)

E

⁡

f

|

(

x

)

⁢

y

E

⁡

f

|

(

x

)

⁢

(

y

)

f

0

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

f

1

(

x

)

⁢

(

y

)

d

⁡

x

⁢

d

⁡

y

d

⁡

x

⁢

(

d

⁡

y

)

(

d

⁡

x

)

⁢

d

⁡

y

(

d

⁡

x

)

⁢

(

d

⁡

y

)

f

2

(

x

)

⁢

y

d

⁡

x

⁢

(

d

⁡

y

)

d

⁡

x

⁢

d

⁡

y

(

d

⁡

x

)

⁢

(

d

⁡

y

)

(

d

⁡

x

)

⁢

d

⁡

y

f

4

x

⁢

(

y

)

(

d

⁡

x

)

⁢

d

⁡

y

(

d

⁡

x

)

⁢

(

d

⁡

y

)

d

⁡

x

⁢

d

⁡

y

d

⁡

x

⁢

(

d

⁡

y

)

f

8

x

⁢

y

(

d

⁡

x

)

⁢

(

d

⁡

y

)

(

d

⁡

x

)

⁢

d

⁡

y

d

⁡

x

⁢

(

d

⁡

y

)

d

⁡

x

⁢

d

⁡

y

f

3

(

x

)

d

⁡

x

d

⁡

x

(

d

⁡

x

)

(

d

⁡

x

)

f

12

x

(

d

⁡

x

)

(

d

⁡

x

)

d

⁡

x

d

⁡

x

f

6

(

x

,

y

)

(

d

⁡

x

,

d

⁡

y

)

(

(

d

⁡

x

,

d

⁡

y

)

)

(

(

d

⁡

x

,

d

⁡

y

)

)

(

d

⁡

x

,

d

⁡

y

)

f

9

(

(

x

,

y

)

)

(

(

d

⁡

x

,

d

⁡

y

)

)

(

d

⁡

x

,

d

⁡

y

)

(

d

⁡

x

,

d

⁡

y

)

(

(

d

⁡

x

,

d

⁡

y

)

)

f

5

(

y

)

d

⁡

y

(

d

⁡

y

)

d

⁡

y

(

d

⁡

y

)

f

10

y

(

d

⁡

y

)

d

⁡

y

(

d

⁡

y

)

d

⁡

y

f

7

(

x

⁢

y

)

(

(

d

⁡

x

)

⁢

(

d

⁡

y

)

)

(

(

d

⁡

x

)

⁢

d

⁡

y

)

(

d

⁡

x

⁢

(

d

⁡

y

)

)

(

d

⁡

x

⁢

d

⁡

y

)

f

11

(

x

⁢

(

y

)

)

(

(

d

⁡

x

)

⁢

d

⁡

y

)

(

(

d

⁡

x

)

⁢

(

d

⁡

y

)

)

(

d

⁡

x

⁢

d

⁡

y

)

(

d

⁡

x

⁢

(

d

⁡

y

)

)

f

13

(

(

x

)

⁢

y

)

(

d

⁡

x

⁢

(

d

⁡

y

)

)

(

d

⁡

x

⁢

d

⁡

y

)

(

(

d

⁡

x

)

⁢

(

d

⁡

y

)

)

(

(

d

⁡

x

)

⁢

d

⁡

y

)

f

14

(

(

x

)

⁢

(

y

)

)

(

d

⁡

x

⁢

d

⁡

y

)

(

d

⁡

x

⁢

(

d

⁡

y

)

)

(

(

d

⁡

x

)

⁢

d

⁡

y

)

(

(

d

⁡

x

)

⁢

(

d

⁡

y

)

)

f

15

(

(

)

)

(

(

)

)

(

(

)

)

(

(

)

)

(

(

)

)

0.6

Table A6.

D

⁡

f

Expanded Over Ordinary Features

{

x

,

y

}

Table A6.

D

⁡

f

Expanded Over Ordinary Features

{

x

,

y

}

f

D

⁡

f

|

x

⁢

y

D

⁡

f

|

x

⁢

(

y

)

D

⁡

f

|

(

x

)

⁢

y

D

⁡

f

|

(

x

)

⁢

(

y

)

f

0

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

f

1

(

x

)

⁢

(

y

)

d

⁡

x

⁢

d

⁡

y

d

⁡

x

⁢

(

d

⁡

y

)

(

d

⁡

x

)

⁢

d

⁡

y

(

(

d

⁡

x

)

⁢

(

d

⁡

y

)

)

f

2

(

x

)

⁢

y

d

⁡

x

⁢

(

d

⁡

y

)

d

⁡

x

⁢

d

⁡

y

(

(

d

⁡

x

)

⁢

(

d

⁡

y

)

)

(

d

⁡

x

)

⁢

d

⁡

y

f

4

x

⁢

(

y

)

(

d

⁡

x

)

⁢

d

⁡

y

(

(

d

⁡

x

)

⁢

(

d

⁡

y

)

)

d

⁡

x

⁢

d

⁡

y

d

⁡

x

⁢

(

d

⁡

y

)

f

8

x

⁢

y

(

(

d

⁡

x

)

⁢

(

d

⁡

y

)

)

(

d

⁡

x

)

⁢

d

⁡

y

d

⁡

x

⁢

(

d

⁡

y

)

d

⁡

x

⁢

d

⁡

y

f

3

(

x

)

d

⁡

x

d

⁡

x

d

⁡

x

d

⁡

x

f

12

x

d

⁡

x

d

⁡

x

d

⁡

x

d

⁡

x

f

6

(

x

,

y

)

(

d

⁡

x

,

d

⁡

y

)

(

d

⁡

x

,

d

⁡

y

)

(

d

⁡

x

,

d

⁡

y

)

(

d

⁡

x

,

d

⁡

y

)

f

9

(

(

x

,

y

)

)

(

d

⁡

x

,

d

⁡

y

)

(

d

⁡

x

,

d

⁡

y

)

(

d

⁡

x

,

d

⁡

y

)

(

d

⁡

x

,

d

⁡

y

)

f

5

(

y

)

d

⁡

y

d

⁡

y

d

⁡

y

d

⁡

y

f

10

y

d

⁡

y

d

⁡

y

d

⁡

y

d

⁡

y

f

7

(

x

⁢

y

)

(

(

d

⁡

x

)

⁢

(

d

⁡

y

)

)

(

d

⁡

x

)

⁢

d

⁡

y

d

⁡

x

⁢

(

d

⁡

y

)

d

⁡

x

⁢

d

⁡

y

f

11

(

x

⁢

(

y

)

)

(

d

⁡

x

)

⁢

d

⁡

y

(

(

d

⁡

x

)

⁢

(

d

⁡

y

)

)

d

⁡

x

⁢

d

⁡

y

d

⁡

x

⁢

(

d

⁡

y

)

f

13

(

(

x

)

⁢

y

)

d

⁡

x

⁢

(

d

⁡

y

)

d

⁡

x

⁢

d

⁡

y

(

(

d

⁡

x

)

⁢

(

d

⁡

y

)

)

(

d

⁡

x

)

⁢

d

⁡

y

f

14

(

(

x

)

⁢

(

y

)

)

d

⁡

x

⁢

d

⁡

y

d

⁡

x

⁢

(

d

⁡

y

)

(

d

⁡

x

)

⁢

d

⁡

y

(

(

d

⁡

x

)

⁢

(

d

⁡

y

)

)

f

15

(

(

)

)

(

)

(

)

(

)

(

)

Title

differential propositional calculus : appendix 1

Canonical name

DifferentialPropositionalCalculusAppendix1

Date of creation

2013-11-16 13:40:11

Last modified on

2013-11-16 13:40:11

Owner

Jon Awbrey (15246)

Last modified by

Jon Awbrey (15246)

Numerical id

20

Author

Jon Awbrey (15246)

Entry type

Application

Classification

msc 53A40

Classification

msc 39A12

Classification

msc 34G99

Classification

msc 03B44

Classification

msc 03B42

Classification

msc 03B05

Related topic

DifferentialLogic

Related topic

MinimalNegationOperator

Related topic

PropositionalCalculus

Related topic

ZerothOrderLogic

Generated on Fri Feb 9 22:24:47 2018 by

LaTeXML