标题：数学认知结构
数学认知结构的概念
现代认知心理学研究告诉我们，学生学习数学的过程实际上是一个数学认知的过程，在这个过程中学生在老师的指导下把教材知识结构转化成自己的数学认知结构。“所谓数学认知结构，就是学生头脑里的数学知识按照自己的理解深度、广度，结合着自己的感觉、知觉、记忆、思维、联想等认知特点，组成的一个具有内部规律的整体结构”。①简单地讲，数学认知结构就是学生头脑里获得的数学知识结构，只不过是一种经过学生主观改造后的数学知识结构，它是数学知识结构与学生心理结构相互作用的产物，其内容包括数学知识和这些数学知识在头脑里的组织方式与特征。如有关分数的意义及四则运算的认知结构，一方面要反映分数的概念和性质、分数四则运算的意义及运算法则等知识内容，另一方面更要体现学生在头脑里对这些知识内容的接收、编码、储存、提取等一系列活动的组织方式。学生的数学认知结构是在后天的学习活动中逐步形成和发展起来的，由于不同主体对知识内容的理解和组织方式不同，所以数学认知结构是有个体差异的。
数学认知结构与数学知识结构的区别
数学认知结构和数学知识结构是两个不同的概念，它们之间既有密切的内在联系，又在严格的区别。两者的联系主要反映为学生的数学认知结构是由教材中的数学知识结构转化而来的，数学知识结构是数学认知结构赖以形成的物质基础和客观依据、两者的区别主要表现在以下几个方面： 
l．概念的内涵不同。数学知识结构是由数学概念和命题构成的数学知识体系，它以最简约、最概括的方式反映了人类对世界数量关系和空间形式的认识成果，是科学真理的客观反映。而数学认知结构是一种经过学生主观改造的数学知识结构，它是数学知识结构与儿童心理结构高度融合的结果，其内容既反映了数学知识的客观性，又体现了认知主体的主观性。 
2．信息的表达方式不同。数学知识结构和数学认知结构都是表达信息的，但两者在信息表达的方式上却有着明显的区别。教材中的数学知识结构是用文字和符号详尽表达有关世界数量关系和空间形式认识成果的信息的。它表现为一个逻辑严密、结构相对完善的数学知识体系。在这个体系内部知识的逻辑起点和知识表达形式以及前后内容之门的联系。在其载体──数学教材中都有明确而具体的表述。而学生头脑里的数学认知结构则主要是以语义的方式概括地、简约地表达信息的，并且通常以直觉的方式将信息储存在头脑里。这种表达方式表明，“认知结构已经将知识表征和个人智力活动方式融为一体”②了。
3．结构的构造方式不同。数学具有高度的抽象性和严密的逻辑性，作为小学课程内容的数学虽然经过了教材编写者的教学法处理，但其内容仍然是一个较为严密的逻辑体系，前后内容连贯有序，整个结构相对完善。而学生头脑里的数学认知结构，内容之间并无严格的逻辑顺序，它既不是一种条理清楚的线性结构，也不是一种排列有序的网状结构。数学知识结构一旦被学生内化为认知结构以后，其内容之间的逻辑顺序和层次性往往就被淡化了，不同内容之间表现出一种相互融合的态势，其内部结构也不像数学教材知识结构那样清晰可辨。
4．结构的完备性不同。教材中的数学知识结构在内容上都是相对系统的、完备的、无缺口的，结构本身就涵盖了它的全部组成内容。如“分数的意义和性质”一知识结构，其内容就包括了分数的意义和单位，分数与除法的关系、分数的分类、假分数与带分数和整数的互化、分数的基本性质及约分和通分等，这些内容构成了一个完整的、无缺口的单元知识结构。而数学认知结构，由于学习者本身在接收、理解上的失误和学习后的遗忘等原因，在内容上常常是有缺口的，不完备的。如“分数的意义和性质”一知识结构转化成学生的数学认知结构以后，他们并不一定对每一内容都非常清晰，某些内容可能是模糊的，甚至是被完全遗忘了的。因而对学习主体来说它可能是一个内容不完备的数学知识结构。由此表明，学生的数学认知结构尽然是由教材知识结构转化而来的，但并不是教材上写了的和老师讲了的内容就一定能够完整无缺地接受和保存下来，在其内容上经常有可能出现某些缺口。
5．内容的科学性不同。数学教材知识结构中的内容都是经过严格逻辑论证和实践检验，能正确反映客观世界数量关系和空间形式普遍规律的科学真理，通常不存在什么错误。而数学认知结构中的内容，由于是数学知识结构与学生心理结构相结合的产物，是经过学生主观改造过的数学知识结构，所以它并不一定都是科学的。其内容可能是正确的，也可能是错误的，更可能是部分正确部分错误的。很明显，学生头脑里掌握的数学知识，其内容的科学性是有待检验的。我们不能把学生数学认知结构内容的科学性程度简单地伺数学教材知识结构内容的科学性程度等同起来，从而掩盖学生在学习过程中可能产生的某些错误认识。
数学认知结构的主要变量
什么是认知结构变量？“认知结构变量是指学习者在某一特定教材领域内的现有知识的实质特征和组织特征”③。”由此不难理解、数学认知结构变量就是指学生头脑里的数学知识在内容和组织方面的特征。根据奥苏伯尔的研究，学生原有认知结构对新的数学知识学习有重大影响的变量主要是以下三个方面。 
1．原有认知结构中对新的学习起固定作用的观念的可利用性。这是对数学学习影响特别大的一个认知结构变量。在新的数学知识学习中，学生原有认知结构中是否有用来同化新知识的适当观念，是决定数学学习活动能不能顺利进行的关键因素。这是因为学生构建新的数学认知结构总是以他们原有认和结构中的有关内容为基础的，如果他们原有认知结构里缺乏适当的观念作为新的学习的固定点，新内容输人头脑里之后就不会有柑应的旧知识与之发生相互作用，没有新旧内容的相互作用就不可能有原有数学认知结构的扩充和新的数学认知结构的建立。如学生原有认知结构里如果没有分数的基本性质、通分和同分母分数加减法计算法则等观念起固定作用，他们就根本不可能形成有关异分母分数加减法的认知结构。
2．新知识同原有认知结构中起固定作用的观念之间的可辨别性。在学习中，如果学生原有认知结构中的有关内容（特别是那些在新的学习中起固定作用的内容）是按照一定的结构严密地组织起来的，面对新的学习任务，他们不仅能迅速地在认知结构中找到学习新知识的固定点，同时还能清楚地辨别出新旧知识之间的联系和区别，由此顺利实现教材知识结构向学生数学认知结构的转化。反之，如果学生不能清晰地辨认新旧知识之间的联系和区别，那么在学习中学生就难以建立起以新的数学知识为内容的数学认知结构。如学习方程概念时，如果学生不清楚地辨认方程与等式的区别，他们就不能正确理解方程的意义，也就不能建立起方程的数学认知结构。由此表明，新旧知识内容之间的可辨别性也是影响学生数学认知结构形成的一个重要变量。
3．原有认知结构中起固定作用的观念的稳定性和清晰性。在数学学习中，如果学生原有认知结构中的有关观念（主要是指那些与新知识有密切联系的旧知识）不稳定甚至模糊不清，那么这种认知结构就不仅不能为新的学习提供适当的关系和强有力的固定作用，而且还会影响新旧知识之间的可辨别性，进而影响新知识同原有认知结构之间的相互作用和数学认知结构的建立。比如学习分数的基本性质时，如果学生对原来已学过的分数与除法的关系和除法中商不变性质等旧知识的认识是模糊不清的，那么他们就不能真正理解“分数的分子和分母同时乘以或者除以相同的数（零除外）分数的大小不变”的普遍规律。很明显，只有学生原有认知结构中的相关内容既稳定又清晰，他们才能顺利实现原有数学认知结构的扩充和新的数学认知结构的建立。
数学认知结构的基本特点
1．数学认知结构是数学知识结构与学生心理结构相互作用的产物。学生的数学认知结构是由教材知识结构转化而来的，它一方面保留了数学知识结构的抽象性和逻辑性等特点，另一方面又融进了学生感知、理解、记忆、思维和想象等心理特点，它是科学的数学知识结构与学生心理结构相互作用、协调发展的结果。在其发展过程中两者表现出互相影响、互相促进、辩证统一的发展态势，一方面数学知识结构直接影响着学生心理结构的发展，不仅规定着数学认知结构的内容和发展方向，同：时还制约着学生感知、理解等心理活动的过程和方式；另一方面学生的心理结构又不断地改造着数学知识结构，使数学知识结构变成与他们心理发展水平和认知特点相适应的数学认知结构。正是由于学生心理结构对数学知识结构的主观改造，导致了学生数学认知结构的个体差异。 
2．数学认知结构是学生已有数学知识在头脑里的组织形式。从学生构建数学认知结构的过程和方式来看，他们都是以原有知识为基础对新的数学知识进行加工改造或者适当调整自己的数学认知结构，然后按照一定的方式将所要学习的新知识内化到头脑里，使新旧内容融为一体，形成相应的数学认知结构，并通过这种形式把所学数学知识储存下来的。由此表明，就其形态而言，数学认知结构又是学生已获得的数学知识和数学经验在头脑里的组织形式，这种组织形式反映了数学知识内化到学生头脑里以后的结构状态。有关研究表明，数学认知结构在学生头脑里是呈板块结构的。具体来讲，源源不断的新知识内化到头脑里以后，在新旧内容相互作用的基础上，学生将所掌握的数学知识形成若干系统，由此在头脑里组成相应的数学知识板块，板块的大小和多少直接受所学数学知识内容的多少的制约和影响。呈板块结构状态的数学知识既便于储存，又便于提取。
3．数学认知结构是一个不断发展变化的动态结构。由于学生的数学认知结构是在后天的学习活动中逐步形成和发展起来的，所以它又是一个不断发展变化的动态结构，其动态性主要表现在以下几个方面。一是数学认知结构的建立要经历一个逐步巩固的发展过程。对某一具体数学知识的学习来说，学习初期，学生在老师的帮助下通过原有认知结构和新知识的相互作用，只能在头脑里形成相应数学认知结构的雏形，其结构极不稳定，需要紧跟其后的有效练习和在后继内容学习中的进一步应用，所形成的数学认知结构才能逐步巩固和稳定。二是学生头脑里的数学认知结构经过不断分化逐步趋于精确。学习初期学生头脑里形成的数学认知结构是笼统的，甚至是模糊的，随着认知活动的不断深入，他们头脑里的数学知识经过不断分化才能形成比较精确的数学认知结构。如学习三角形，学生首先获得的是“由三条线段围成的封闭图形”、“三角形有三条边、三个角”的笼统认识。随着学习过程的不断深入。学生会逐步发现：就角来讲，三角形可以分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形；从边来看，三角形有等边三角形、等腰三角形和不等边三角形。这一过程的完成，标志着学生对三角形有了比较精确的认识。三是学生的数学认知结构是逐步扩充和完善的。随着学习过程的逐步深入和数学知识的不断积累，学生的数学认知结构将会随之不断地扩充和完善。如有关整数乘法的认知结构，在二年级学生仅形成了一位数乘一位数（即表内乘法）的认知结构，在三年级又分别形成了一位数乘多位数和两位数乘多位数的认知结构，在四年级又进一步形成了三、四位数乘法的认知结构。经过三年级的系统学习，学生最终才在头脑里形成了一个相对完善的整数乘法认知结构，每次新的学习对学生原有认知结构来说都是一次新的扩充。
4．数学认知结构是一个多层次的组织系统。数学认知结构是一个相对的概念，它的内容是一个多层次的庞大系统。既可以是大到包括整个小学数学知识系统在内的数学认知结构，也可以是小到由一个概念或命题组成的数学认知结构。数学认知结构的层次性主要是由数学知识结构内部的层次性和逻辑系统性决定的，原则上数学知识有怎样的分类，学生的数学认知结构就有怎样的划分。如分数可以分为真分数和假分数，假分数又可以分为整数和带分数，相应地学生头脑里的分数认知结构在层次上也可作出相应的划分。数学认知结构的层次性还体现在认知结构的发展水平上，对小学生来讲既有直观水平上的数学认知结构，也有抽象化水平上的数学认知结构。
①曹才翰、蔡金法著《数学教育学概论》第52页，江苏教育出版社。 
②张庆林主编《当代认知心理学在教学中的应用》第55页，西南师范大学出版社。 
③[美]奥苏伯尔等著，余星南、守钧译《教育心理学──认知观点》第202页，人民教育出版社。
《小学数学教育》2001年第1-2期
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