标题：三角学
概述
  三角学研究对象研究平面三角形和球面三角形边角关系的数学学科。三角学起源于古希腊。为了预报天体运行路线、计算日历、航海等需要，古希腊人已研究球面三角形的边角关系，掌握了球面三角形两边之和大于第三边，球面三角形内角之和大于两个直角，等边对等角等定理。印度人和阿拉伯人对三角学也有研究和推进，但主要是应用在天文学方面。15、16世纪三角学的研究转入平面三角，以达到测量上应用的目的。16世纪法国数学家F.韦达系统地研究了平面三角。他出版了应用于三角形的数学定律的书。此后，平面三角从天文学中分离出来，成了一个独立的分支。平面三角学的内容主要有三角函数、解三角形和三角方程。
起源
  弗朗索瓦·韦达三角学起源于古希腊。为了预报天体运行路线、计算日历、航海等需要，古希腊人已研究球面三角形的边角关系，掌握了球面三角形两边之和大于第三边，球面三角形内角之和大于两个直角，等边对等角等定理。印度人和阿拉伯人对三角学也有研究和推进，但主要是应用在天文学方面。15、16世纪三角学的研究转入平面三角，以达到测量上应用的目的。16世纪法国数学家韦达系统地研究了平面三角。他出版了应用于三角形的数学定律的书。此后，平面三角从天文学中分离出来，成了一个独立的分支。平面三角学的内容主要有三角函数、解三角形和三角方程。 
三角测量在中国也很早出现，公元前一百多年的《周髀算经》就有较详细的说明，例如它的首章记录“周公曰，大哉言数，请问用矩之道。商高曰，平矩以正绳，偃矩以望高，复矩以测深，卧矩以知远。”（商高说的矩就是今天工人用的两边互相垂直的曲尺，商高说的大意是将曲尺置于不同的位置可以测目标物的高度、深度与广度）1世纪时的《九章算术》中有专门研究测量问题的篇章．
明代末年，由于历法改革的需要，西学东渐中陆续引进了几何学、三角学等西方数学。这项工作仍在清朝继续进行，其中最重要的是由波兰传教士穆尼阁和薛凤祚所介绍的对数方法。薛凤祚所著《历学会通》的数学部分主要是传自穆尼阁的《比例对数表》（1653年）、《比例四线新表》和《三角算法》等各一卷。《比例对数表》和《比例四线新表》分别给出了1～10000的六位对数表和六位三角函数（正弦、余弦、正切、余切）对数表。书中把今天所说的“对数”称为“比例数”或“假数”，并简单解释了把乘除运算化为加减运算的道理。这是对数方法在中国的首次介绍。对数是17世纪最重要的发现之一，它有效地简化了繁重的计算工作。在对数、解析几何和微积分这三种当时西方最重要的数学方法中，也只有对数比较及时地传入了中国。《三角算法》所介绍的平面三角和球面三角知识，比《崇祯历书》中有关三角学的内容更丰富一些。如平面三角中包含有正弦定理、余弦定理、正切定理和半角定理等，且多是运用三角函数的对数进行计算。球面三角中增加半角公式、半弧公式、达朗贝尔公式和纳皮尔公式等。
历史
  德国数学家雷格蒙塔努斯早期三角学不是一门独立的学科，而是依附于天文学，是天文观测结果推算的一种方法，因而最先发展起来的是球面三角学．希腊、印度、阿拉伯数学中都有三角学的内容，可大都是天文观测的副产品．例如，古希腊门纳劳斯（Menelaus of Alexandria，公元100年左右）著《球面学》，提出了三角学的基础问题和基本概念，特别是提出了球面三角学的门纳劳斯定理；50年后，另一个古希腊学者托勒密（Ptolemy）著《天文学大成》，初步发展了三角学．而在公元499年，印度数学家阿耶波多（ryabhata I）也表述出古代印度的三角学思想；其后的瓦拉哈米希拉（Varahamihira，约505～587年）最早引入正弦概念，并给出最早的正弦表；公元10世纪的一些阿拉伯学者进一步探讨了三角学．当然，所有这些工作都是天文学研究的组成部分．直到纳西尔丁（Nasir ed－Din al Tusi，1201～1274年）的《横截线原理书》才开始使三角学脱离天文学，成为纯粹数学的一个独立分支．而在欧洲，最早将三角学从天文学独立出来的数学家是德国人雷格蒙塔努斯（J　Regiomontanus，1436～1476年）。
雷格蒙塔努斯的主要著作是1464年完成的《论各种三角形》。这是欧洲第一部独立于天文学的三角学著作。全书共5卷，前2卷论述平面三角学，后3卷讨论球面三角学，是欧洲传播三角学的源泉。雷格蒙塔努斯还较早地制成了一些三角函数表。
雷格蒙塔努斯的工作为三角学在平面和球面几何中的应用建立了牢固的基础．他去世以后，其著作手稿在学者中广为传阅，并最终出版，对 16 世纪的数学家产生了相当大的影响，也对哥白尼等一批天文学家产生了直接或间接的影响． 
三角学一词的英文是trigonometry，来自拉丁文tuigonometuia．最先使用该词的是文艺复兴时期的德国数学家皮蒂斯楚斯（B．Pitiscus，1561～1613年），他在1595年出版的《三角学：解三角形的简明处理》中创造这个词．其构成法是由三角形（tuiangulum）和测量（metuicus）两字凑合而成．要测量计算离不开三角函数表和三角学公式，它们是作为三角学的主要内容而发展的． 
16世纪三角函数表的制作首推奥地利数学家雷蒂库斯（G．J．Rhetucu s，1514～1574年）。他1536年毕业于滕贝格大学，留校讲授算术和几何。1539 年赴波兰跟随著名天文学家哥白尼学习天文学，1542年受聘为莱比锡大学数学教授．雷蒂库斯首次编制出全部6种三角函数的数表，包括第一张详尽的正切表和第一张印刷的正割表。
17世纪初对数发明后大大简化了三角函数的计算，制作三角函数表已不再是很难的事，人们的注意力转向了三角学的理论研究．不过三角函数表的应用却一直占据重要地位，在科学研究与生产生活中发挥着不可替代的作用． 
三角公式是三角形的边与角、边与边或角与角之间的关系式．三角函数的定义已体现了一定的关系，一些简单的关系式在古希腊人以及后来的阿拉伯人中已有研究． 
文艺复兴后期，法国数学家韦达（F　Vieta）成为三角公式的集大成者．他的《应用于三角形的数学定律》（1579年）是较早系统论述平面和球面三角学的专著之一．其中第一部分列出6种三角函数表，有些以分和度为间隔。给出精确到5位和10位小数的三角函数值，还附有与三角值有关的乘法表、商表等。第二部分给出造表的方法，解释了三角形中诸三角线量值关系的运算公式．除汇总前人的成果外，还补充了自己发现的新公式．如正切定律、和差化积公式等等．他将这些公式列在一个总表中，使得任意给出某些已知量后，可以从表中得出未知量的值．该书以直角三角形为基础。对斜三角形，韦达仿效古人的方法化为直角三角形来解决．对球面直角三角形，给出计算的完整公式及其记忆法则，如余弦定理，1591年韦达又得到多倍角关系式，1593 年又用三角方法推导出余弦定理。
  欧拉1722年英国数学家棣莫弗（A　De Meiver）得到以他的名字命名的三角学定理 
（cosθ±isinθ）^n=cosnθ+isinnθ， 
并证明了n是正有理数时公式成立；1748年欧拉（L　Euler）证明了n是任意实数时公式也成立，他还给出另一个著名公式 
e^(iθ)=cosθ+isinθ， 
对三角学的发展起到了重要的推动作用． 
近代三角学是从欧拉的《无穷分析引论》开始的．他定义了单位圆，并以函数线与半径的比值定义三角函数，他还创用小写拉丁字母a、b、c表示三角形三条边，大写拉丁字母A、B、C表示三角形三个角，从而简化了三角公式．使三角学从研究三角形 解法进一步转化为研究三角函数及其应用，成为一个比较完整的数学分支学科．而由于上述诸人及 19 世纪许多数学家的努力，形成了现代的三角函数符号和三角学的完整的理论.
简史
古代研究以研究平面三角形和球面三角形的边和角的关系为基础，达到测量上的应用为目的的一门学科。同时还研究三角函数的性质以及它的应用。 
古代埃及人已有三角学知识，三角法主要是适应测量上的需要而产生的。例如，建筑金字塔，整理尼罗河泛滥后的耕地，以及通商航海，观测天象的需要。希腊的自然哲学家泰勒斯的相似理论，可以认为是三角学的萌芽，但历史上都认为希腊的天文学家喜帕恰斯是三角学的创始者。他著有三角学12卷，并作成弦表。
印度人从天文、测量的角度，曾研究过三角学，在公元6世纪,有阿耶波多第一也曾作出正弦表。中国唐代，瞿昙悉旺达在他所编的《开元占经》中曾介绍了印度的正弦表。 
德国的J.雷格蒙塔努斯曾研究过天文学与三角学。在他的《论三角》一书中，有仿印度人的正弦表作成的非常精密的正、余弦表。他对天文、航海、测量方面都有很大的贡献。 
16世纪法国著名数学家F.韦达的《应用于三角形的数学法则》，是他对三角法研究的第一本书，其中包括他对解直角三角形、斜三角形的一些贡献，例如有正切定理：  三角学17世纪法国数学家棣莫弗也研究过三角问题。他曾发现有名的棣莫弗定理： 　从17世纪后半期到18世纪,I.牛顿和丹尼尔第一·伯努利曾发现各种三角级数，直到近代，才在三角学中引进现在使用的三角符号，并将三角法作为解析学的一部分，这是从L.欧拉开始  三角学  三角学的，欧拉曾发现： 中国的戴煦在他所著的《外切密率》中，讨论了三角函数线与弧度之间的关系，并  三角学  三角学在他的《假数测图》中，结合三角函数与对数函数的幂级数阐明了三角函数对数表的作法。三角函数在直角坐标系中,以原点O为顶点，射线Ox为始边，Op为终边的角为θ,设点p的坐标为(x,y),距离|Op|=r,这时6个由角θ的大小确定，都是θ的函数，称它们为角θ 的三角函数（见图1），分别记以下面的符号： 分别叫做角θ的正弦、余弦、正切、余切、正割、余割。  三角学另外在中国古书中，又把1-cosθ、1-sinθ分别叫做正矢、余矢，用下面符号表示： ,　因为一个角θ加以360°或2π弧度的整数倍，它的终边与角θ的终边相同，因此 即三角函数是周期函数，以2π为周期。 
如图2以O为圆心,以1为半径作单位圆。设它与x轴、y轴交于点A、B,∠AOp的终边与圆的切线AT、BT┡分别交于T、T┡，pM⊥Ox，pN⊥Oy。这时 另外 　Mp、OM、AT、BT┡、OT、OT┡、MA、NB叫做三角函数线，中国古代把它叫做八线。因此，曾把三角法叫做八线学。  三角学利用三角函数线，可以画出三角函数的曲线。例如，标准正弦曲线y=sinx（如图3）。  三角学三角函数的基本公式有和角公式： 由此可以导出差角公式、倍角公式、半角公式以及和差化积与积化和差等公式。  三角学如果θ表示弧度，对于θ的任意值，sinθ、cosθ可用下面的无穷级数表示：式中n!=1×2×3×…×n。求某一角的正弦值和余弦值，可以按这些无穷级数求出，并且可以精确到任意小数位。三角形的解法设平面三角形的三个角为A、B、C，它们的对边  三角学分别为α、b)、с，则有 
正弦定理（R 为外接圆半径）；  三角学余弦定理 
又设球面三角形的三个角为A、B、C,它们的对边分别为α、β、у，则有 
正弦定理
余弦定理 
利用上述定理以及其他一些定理，可在已知三角形的某些元素（边或角）时求出其他未知元素。  三角学反三角函数 　其定义如表所示：  三角学三角学三角方程一般指含有某些三角函数的方程，这些三角函数的自变量中含有未知数。  三角学适合于方程的一个未知数的实数值（可以理解为角的弧度数）叫做三角方程的一个解；适合于方程的未知数的实数值的集合叫做三角方程的通解。 
形如sinx=α的方程叫做最简三角方程。它们的解分别是： 
① sinx=α 
当|α|>1时无解。当α=1时通解为 当α=-1时通解。当|α|<1时，通解为x=nπ+(-1)narcsin α（n为整数）。 
② cosx=α 
当|α|>1时无解。当α=1时通解为x=2nπ，当α=-1时通解为 x=(2n+1)π。当|α|<1 时通解为x=2nπ±arccosα（n为整数）。 
③ tan x=α 
通解为nπ+arctanα （n为整数）。 
④ cot x=α 
通解为nπ+arccotα （n为整数）。 
一些特殊形式的三角方程可有精确解法。例如，形如ƒ（sinx,cosx,tanx,cotx）=0的方程，这里ƒ是有理函数，可用万能公式， 然代入原方程,即可得到关于t的有理方程。用这个方法,可以求出除了形如x=(2n+1)π以外的方程的所有解。不能用精确解法来解的三角方程，可以用近似方法求解。
特点运用
早期三角学不是一门独立的学科，而是依附于天文学，是天文观测结果推算的一种方法，因而最先发展起来的是球面三角学．希腊、印度、阿拉伯数学中都有三角学的内容，可大都是天文观测的副产品．直到13世纪中亚数学家纳速拉丁在总结前人成就的基础上，著成《完全四边形》一书，才把三角学从天文学中分离出来．15世纪，德国的雷格蒙塔努斯（J·Regiomontanus，1436—1476）的《论三角》一书的出版，才标志古代三角学正式成为独立的学科．这本书中不仅有很精密的正弦表、余弦表等，而且给出了现代三角学的雏形．
16世纪法国数学家韦达（F·Viete，1540—1603）则更进一步将三角学系统化，在他对三角研究的第一本著作《应用于三角形的数学法则》中，就有解直角三角形、斜三角形等的详述．18世纪瑞士数学家欧拉（L·Euler，1707—1783），他首先研究了三角函数．这使三角学从原先静态研究三角形的解法中解脱出来，成为反映现实世界中某些运动和变化的一门具有现代数学特征的学科．欧拉不仅用直角坐标来定义三角函数，彻底解决了三角函数在四个象限中的符号问题，同时引进直角坐标系，在代数与几何之间架起了一座桥梁，通过数形结合，为数学的学习与研究提供了重要的思想方法．著名的欧拉公式，把原来人们认为互不相关的三角函数和指数函数联系起来了，为三角学增添了新的活力．
因此三角学是源于测量实践，其后经过了漫长时间的孕育，众多中外数学家的不断努力，才逐渐丰富，演变发展成为现在的三角学。
计算方法
三角函数三角学中的三角函数有6个，是用几何方法定义的。在直角坐标系中，设以射线Ox为始边，OP为终边的角为θ，P点的坐标为(x，y)，|OP|=r，这时6个比由θ的大小确定，都是θ的函数，称它们为角θ的三角函数，分别记作并分别称为角θ的正弦、余弦、正切、余切、正割、余割。三角函数间运算关系同角三角函数间有3组运算关系，即
三角函数都是周期函数，以2π为周期。
三角函数的基本恒等式有和角公式：
sin(!+@)=sin!cos@+cos!sin@
cos(!+@)=cos!cos@-sin!sin@
由这两个公式可以导出差角公式、倍角公式、半角公式、和差化积与积化和差等公式。
解三角形是已知三角形的某些元素（边和角）时求其余未知元素。设三角形的三个角为A，B，C，它们所对的边分别为a，b，c，则有
正弦定理：a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R（2R在同一个三角形中是恒量，是此三角形外接圆的半径的两倍）
余弦定理：a2=b2+c2－2bccosA这两个定理是解三角形的主要依据。三角方程一般指含有某些三角函数的方程，并且三角函数的自变量中含有未知数。由于每个三角函数都是周期函数，所以任何一个三角方程只要有解，就有无穷多个解。三角测量三角测量是指在导航，测量及土木工程中精确测量距离和角度的技术，主要用于为船只或飞机定位。它的原理是：如果已知三角形的一边及两角，则其余的两边一角可用平面三角学的方法计算出来。在西方，古希腊著名的数学家毕达哥拉斯首次证明了有关直角三角形的“毕达哥拉斯定理”，即中国的“勾股定理”，对几何学研究及其应用做出了巨大贡献.