标题：工程问题
简介
  工程问题在教学中，如何让学生建立正确概念是数学应用题的关键。本节课从始至终都以工程问题的概念来贯穿，目的在于使学生理解并熟练掌握概念。 
联系实际谈话引入。引入设悬，渗透概念。目的在于让学生复习理解工作总量、工作时间、工作效率之间的概念及它们之间的数量关系。初步的复习再次强化工程问题的概念。 
通过比较，建立概念。在教学中充分发挥学生的主体地位，运用学生已有的知识“包含除”来解决合作问题。 
合理运用强化概念。学生在感知的基础上，于头脑中初步形成了概念的表象，具备概念的原型。一部分学生只是接受了概念，还没有完全消化概念。所以我编拟了练习题，目的在于通过学生运用，来帮助学生认识、理解、消化概念，使学生更加熟练的找到了工程问题的解题方法。在学生大量练习后，引出含有数量的工作问题，让学生自己找到问题的答案。从而又一次突出工程问题概念的核心。
在日常生活中，做某一件事，制造某种产品，完成某项任务，完成某项工程等等，都要涉及到工作总量、工作效率、工作时间这三个量，它们之间的基本数量关系是 ——工作效率×时间=工作总量　
在小学数学中，探讨这三个数量之间关系的应用题，我们都叫它们做“工程问题”. 
举一个简单例子.：一件工作，甲做15天可完成，乙做10天可完成.问两人合作几天可以完成？ 
一件工作看成1个整体，因此可以把工作量算作1.所谓工作效率，就是单位时间内完成的工作量，我们用的时间单位是“天”，1天就是一个单位， 
再根据基本数量关系式，得到 
工作量÷工作效率=工作时间
1÷（1/15+1/10）
=6（天）
答：两人合作需要6天. 
这是工程问题中最基本的问题，这一讲介绍的许多例子都是从这一问题发展产生的。为了计算整数化（尽可能用整数进行计算），如第三讲例3和例8所用方法，把工作量多设份额.还是上题，10与15的最小公倍数是30。设全部工作量为30份，那么甲每天完成2份，乙每天完成3份，两人合作所需天数是 :
30÷（2+ 3）= 6（天） 
如果用数计算，更方便. 
3：2.或者说“工作量固定，工作效率与时间成反比例”.甲、乙工作效率的比是10∶15=2∶3
工程问题方法总结
一：基本数量关系：1.工效×时间=工作总量 2.工作效率=工作总量÷工作时间 3.工作时间=工作总量÷工作效率二：基本特点：设工作总量为“1”，工效=1/时间三：基本方法：算术方法、比例方法、方程方法。四：基本思想：分做合想、合做分想。五：类型与方法：一：分做合想:1.合想,2.假设法,3.巧抓变化(比例),4.假设法。
二：等量代换：方程组的解法→代入法，加减法。
三：按劳分配思路：每人每天工效→每人工作量→按比例分配
四：休息请假：
方法：1.分想：划分工作量。2.假设法：假设不休息。
五：休息与周期：
1.已知条件的顺序：①先工效，再周期，②先周期，再天数。
2.天数：①近似天数，②准确天数。
3.列表确定工作天数。
六：交替与周期：估算周期，注意顺序！
七：注水与周期：1.顺序，2.池中原来是否有水，3.注满或溢出。
八：工效变化。
九：比例：1.分比与连比，2.归一思想，3.正反比例的运用，4.假设法思想(周期)。
十：牛吃草问题：1.新生草量，2.原有草量，3.解决问题。
工程问题
.当知道了两者工作效率之比，从比例角度考虑问题，也可以灵活解答。 
因此，在下面例题的讲述中，不完全采用通常教科书中“把工作量设为整体1”的做法，而偏重于“整数化”或“从比例角度出发”，也许会使我们的解题思路更灵活一些. 
一、两个人的问题 
标题上说的“两个人”，也可以是两个组、两个队等等的两个集体. 
●例1 一件工作，甲做9天可以完成，乙做6天可以完成。现在甲先做了3天，余下的工作由乙继续完成，乙需要做几天可以完成全部工作？ 
解一：把这件工作看作1，甲每天可完成这件工作的九分之一，做3天完成的1/3。
乙每天可完成这件工作的六分之一，（1-1/3）÷1/6=4（天）
答：乙需要做4天可完成全部工作. 
解二：9与6的最小公倍数是18.设全部工作量是18份.甲每天完成2份，乙每天完成3份.乙完成余下工作所需时间是 
（18- 2 × 3）÷ 3= 4（天）. 
解三：甲与乙的工作效率之比是 
6∶ 9= 2∶ 3. 
甲做了3天，相当于乙做了2天.乙完成余下工作所需时间是6-2=4（天）. 
●例2一件工作，甲、乙两人合作30天可以完成，共同做了6天后，甲离开了，由乙继续做了40天才完成.如果这件工作由甲或乙单独完成各需要多少天？ 
解：共做了6天后， 
原来，甲做 24天，乙做 24天， 
现在，甲做0天，乙做40=（24+16）天. 
这说明原来甲24天做的工作，可由乙做16天来代替.因此甲的工作效率 
如果乙独做，所需时间是 50天
如果甲独做，所需时间是 75天
答：甲或乙独做所需时间分别是75天和50天. 
●例3 某工程先由甲独做63天，再由乙单独做28天即可完成；如果由甲、乙两人合作，需48天完成.现在甲先单独做42天，然后再由乙来单独完成，那么乙还需要做多少天？ 
解：先对比如下： 
甲做63天，乙做28天； 
甲做48天，乙做48天. 
就知道甲少做63-48=15（天），乙要多做48-28=20（天），由此得出甲的 
甲先单独做42天，比63天少做了63-42=21（天），相当于乙要做 不过刚刚过
因此，乙还要做 
28+28= 56 （天）. 
答：乙还需要做 56天. 
●例4一件工程，甲队单独做10天完成，乙队单独做30天完成.现在两队合作，其间甲队休息了2天，乙队休息了8天（不存在两队同一天休息）.问开始到完工共用了多少天时间？ 
解一：甲队单独做8天，乙队单独做2天，共完成工作量 
余下的工作量是两队共同合作的，需要的天数是 
2+8+ 1= 11（天）. 
答：从开始到完工共用了11天. 
解二：设全部工作量为30份.甲每天完成3份，乙每天完成1份.在甲队单独做8天，乙队单独做2天之后，还需两队合作 
（30- 3 × 8- 1× 2）÷（3+1）= 1（天）. 
解三：甲队做1天相当于乙队做3天. 
在甲队单独做 8天后，还余下（甲队） 10-8= 2（天）工作量.相当于乙队要做2×3=6（天）.乙队单独做2天后，还余下（乙队）6-2=4（天）工作量. 
4=3+1， 
其中3天可由甲队1天完成，因此两队只需再合作1天. 
解四：
方法：分休合想（题中说甲乙两队没有在一起休息，我们就假设他们在一起休息.)
甲队每天工作量为1/10，乙为1/30，因为甲休息了2天，而乙休息了8天，因为8>2，所以我们假设甲休息两天时，乙也在休息。那么甲开始工作时，乙还要休息：8-2=6(天）那么这6天内甲独自完成了这项工程的1/10×6=6/10，剩下的工作量为1-6/10=4/10，而这剩下的4/10为甲乙两人一起合作完成的工程量，所以，工程量的4/10 需要甲乙合作：(4/10)÷(1/10+1/30)=3天。所以从开始到完工共需：8+3=11(天）
●例5 一项工程，甲队单独做20天完成，乙队单独做30天完成.现在他们两队一起做，其间甲队休息了3天，乙队休息了若干天.从开始到完成共用了16天.问乙队休息了多少天？ 
解一：如果16天两队都不休息，可以完成的工作量是 （1÷20）×16+（1÷30）×16=4/3
由于两队休息期间未做的工作量是4/3-1=1/3
乙队休息期间未做的工作量是 1/3-1/20×3=11/60
乙队休息的天数是 11/60÷(1/30)=11/2
答：乙队休息了5天半. 
解二：设全部工作量为60份.甲每天完成3份，乙每天完成2份. 
两队休息期间未做的工作量是 
（3+2）×16- 60= 20（份）. 
因此乙休息天数是 
（20- 3 × 3）÷ 2= 5.5（天）. 
解三：甲队做2天，相当于乙队做3天. 
甲队休息3天，相当于乙队休息4.5天. 
如果甲队16天都不休息，只余下甲队4天工作量，相当于乙队6天工作量，乙休息天数是 
16-6-4.5=5.5（天）. 
●例6有甲、乙两项工作，张单独完成甲工作要10天，单独完成乙工作要15天；李单独完成甲工作要 8天，单独完成乙工作要20天.如果每项工作都可以由两人合作，那么这两项工作都完成最少需要多少天？ 
解：很明显，李做甲工作的工作效率高，张做乙工作的工作效率高.因此让李先做甲，张先做乙. 
设乙的工作量为60份（15与20的最小公倍数），张每天完成4份，李每天完成3份. 
8天，李就能完成甲工作.此时张还余下乙工作（60-4×8）份.由张、李合作需要 
（60-4×8）÷（4+3）=4（天）. 
8+4=12（天）. 
答：这两项工作都完成最少需要12天. 
●例7一项工程，甲独做需10天，乙独做需15天，如果两人合作，他 
要8天完成这项工程，两人合作天数尽可能少，那么两人要合作多少天？ 
解：设这项工程的工作量为30份，甲每天完成3份，乙每天完成2份. 
两人合作，共完成 
3× 0.8 + 2 × 0.9= 4.2（份）. 
因为两人合作天数要尽可能少，独做的应是工作效率较高的甲.因为要在8天内完成，所以两人合作的天数是 
（30-3×8）÷（4.2-3）=5（天）. 
很明显，最后转化成“鸡兔同笼”型问题. 
●例8甲、乙合作一件工作，由于配合得好，甲的工作效率比单独做时快
如果这件工作始终由甲一人单独来做，需要多少小时？ 
解：乙6小时单独工作完成的工作量是 
乙每小时完成的工作量是 
两人合作6小时，甲完成的工作量是 
甲单独做时每小时完成的工作量 
甲单独做这件工作需要的时间是 
答：甲单独完成这件工作需要33小时. 
这一节的多数例题都进行了“整数化”的处理.但是，“整数化”并不能使所有工程问题的计算简便. 例8就是如此.例8也可以整数化，当求出乙每 
有一点方便，但好处不大.不必多此一举. 
二、多人的工程问题 
我们说的多人，至少有3个人，当然多人问题要比2人问题复杂一些，但是解题的基本思路还是差不多. 
●例9一件工作，甲、乙两人合作36天完成，乙、丙两人合作45天完成，甲、丙两人合作要60天完成.问甲一人独做需要多少天完成？ 
解：设这件工作的工作量是1. 
甲、乙、丙三人合作每天完成 
减去乙、丙两人每天完成的工作量，甲每天完成 
答：甲一人独做需要90天完成. 
例9也可以整数化，设全部工作量为180份，甲、乙合作每天完成5份，乙、丙合作每天完成4份，甲、丙合作每天完成3份.请试一试，计算是否会方便些？ 
●例10 一件工作，甲独做要12天，乙独做要18天，丙独做要24天.这件工作由甲先做了若干天，然后由乙接着做，乙做的天数是甲做的天数的3倍，再由丙接着做，丙做的天数是乙做的天数的2倍，终于做完了这件工作.问总共用了多少天？ 
解：甲做1天，乙就做3天，丙就做3×2=6（天）. 
说明甲做了2天，乙做了2×3=6（天），丙做2×6=12(天），三人一共做了 
2+6+12=20（天）. 
答：完成这项工作用了20天. 
本题整数化会带来计算上的方便.12，18，24这三数有一个易求出的最小公倍数72.可设全部工作量为72.甲每天完成6，乙每天完成4，丙每天完成3.总共用了 
●例11 一项工程，甲、乙、丙三人合作需要13天完成.如果丙休息2天，乙就要多做4天，或者由甲、乙两人合作1天.问这项工程由甲独做需要多少天？ 
解：丙2天的工作量，相当乙4天的工作量.丙的工作效率是乙的工作效率的4÷2=2（倍），甲、乙合作1天，与乙做4天一样.也就是甲做1天，相当于乙做3天，甲的工作效率是乙的工作效率的3倍. 
他们共同做13天的工作量，由甲单独完成，甲需要 
答：甲独做需要26天. 
事实上，当我们算出甲、乙、丙三人工作效率之比是3∶2∶1，就知甲做1天，相当于乙、丙合作1天.三人合作需13天，其中乙、丙两人完成的工作量，可转化为甲再做13天来完成. 
●例12 某项工作，甲组3人8天能完成工作，乙组4人7天也能完成工作.问甲组2人和乙组7人合作多少时间能完成这项工作？ 
解一：设这项工作的工作量是1. 
甲组每人每天能完成 
乙组每人每天能完成 
甲组2人和乙组7人每天能完成 
答：合作3天能完成这项工作. 
解二：甲组3人8天能完成，因此2人12天能完成；乙组4人7天能完成，因此7人4天能完成. 
现在已不需顾及人数，问题转化为： 
甲组独做12天，乙组独做4天，问合作几天完成？ 
小学算术要充分利用给出数据的特殊性.解二是比例灵活运用的典型，如果你心算较好，很快就能得出答数. 
●例13 制作一批零件，甲车间要10天完成，如果甲车间与乙车间一起做只要6天就能完成.乙车间与丙车间一起做，需要8天才能完成.现在三个车间一起做，完成后发现甲车间比乙车间多制作零件2400个.问丙车间制作了多少个零件？ 
解一：仍设总工作量为1. 
甲每天比乙多完成 
因此这批零件的总数是 
丙车间制作的零件数目是 
答：丙车间制作了4200个零件. 
解二：10与6最小公倍数是30.设制作零件全部工作量为30份.甲每天完成 3份，甲、乙一起每天完成5份，由此得出乙每天完成2份. 
乙、丙一起，8天完成.乙完成8×2=16（份），丙完成30-16=14（份），就知 
乙、丙工作效率之比是16∶14=8∶7. 
已知 
甲、乙工作效率之比是 3∶2= 12∶8. 
综合一起，甲、乙、丙三人工作效率之比是 
12∶8∶7. 
当三个车间一起做时，丙制作的零件个数是 
2400÷（12- 8） × 7= 4200（个）. 
●例14 搬运一个仓库的货物，甲需要10小时，乙需要12小时，丙需要15小时.有同样的仓库A和B，甲在A仓库、乙在B仓库同时开始搬运货物，丙开始帮助甲搬运，中途又转向帮助乙搬运.最后两个仓库货物同时搬完.问丙帮助甲、乙各多少时间？ 
解：设搬运一个仓库的货物的工作量是1.现在相当于三人共同完成工作量2，所需时间是 
答：丙帮助甲搬运3小时，帮助乙搬运5小时. 
解本题的关键，是先算出三人共同搬运两个仓库的时间.本题计算当然也可以整数化，设搬运一个仓库全部工作量为 60.甲每小时搬运 6，乙每小时搬运 5，丙每小时搬运4. 
三人共同搬完，需要 
60 × 2÷ （6+ 5+ 4）= 8（小时）. 
甲需丙帮助搬运 
（60- 6× 8）÷ 4= 3（小时）. 
乙需丙帮助搬运 
（60- 5× 8）÷4= 5（小时）. 
三、水管问题 
从数学的内容来看，水管问题与工程问题是一样的.水池的注水或排水相当于一项工程，注水量或排水量就是工作量.单位时间里的注水量或排水量就是工作效率.至于又有注入又有排出的问题，不过是工作量有加有减罢了.因此，水管问题与工程问题的解题思路基本相同. 
例15 甲、乙两管同时打开，9分钟能注满水池.现在，先打开甲管，10分钟后打开乙管，经过3分钟就注满了水池.已知甲管比乙管每分钟多注入0.6立方米水，这个水池的容积是多少立方米？ 
解：甲每分钟注入水量是 ：（1-1/9× 3）÷10=1/15
乙每分钟注入水量是：1/9-1/15=2/45
因此水池容积是：0.6÷（1/15-2/45）=27（立方米）
答：水池容积是27立方米. 
例16 有一些水管，它们每分钟注水量都相等.现在打开其中若干根水管，经过预定的时间的1/3，再把打开的水管增加一倍，就能按预定时间注满水池，如果开始时就打开10根水管，中途不增开水管，也能按预定时间注满水池.问开始时打开了几根水管？
分析：增开水管后，有原来2倍的水管，注水时间是预定时间的1-1/3=2/3，2/3是1/3的2倍，因此增开水管后的这段时间的注水量，是前一段时间注水量的4倍。 设水池容量是1，前后两段时间的注水量之比为：1：4，
那么预定时间的1/3（即前一段时间）的注水量是1/（1+4）=1/5。
10根水管同时打开，能按预定时间注满水，每根水管的注水量是1/10，预定时间的1/3，每根水管的注水量是1/10×1/3=1/30
要注满水池的1/5，需要水管1/5÷1/30=6（根）
解：前后两段时间的注水量之比为：1：[（1-1/3）÷1/3×2]=1：4
前段时间注水量是：1÷（1+4）=1/5
每根水管在预定1/3的时间注水量为：1÷10×1/3=1/30
开始时打开水管根数：1/5÷1/30=6（根）
答：开始时打开6根水管。
例17 蓄水池有甲、丙两条进水管，和乙、丁两条排水管.要灌满一池水，单开甲管需3小时，单开丙管需要5小时.要排光一池水，单开乙管需要 4小，丁管需要6小时，现在水池内有六分之一的水，如按甲、乙、丙、丁、甲、乙……的顺序轮流打开1小时，问多少时间后水开始溢出水池？ 
分析：
此题与广为流传的“青蛙爬井”是相仿的：一只掉进了枯井的青蛙，它要往上爬30尺才能到达井口，每小时它总是爬3尺，又滑下2尺.问这只青蛙需要多少小时才能爬到井口？ 
看起来它每小时只往上爬3- 2= 1（尺），但爬了27小时后，它再爬1小时，往上爬了3尺已到达井口. 
因此，答案是28小时，而不是30小时. 以后（20小时），池中的水已有，否则开甲管的过程中水池里的水就会溢出. 
例18 一个蓄水池，每分钟流入4立方米水.如果打开5个水龙头，2小时半就把水池水放空，如果打开8个水龙头，1小时半就把水池水放空.现在打开13个水龙头，问要多少时间才能把水放空？ 
解：先计算1个水龙头每分钟放出水量. 
2小时半比1小时半多60分钟，多流入水 
4 × 60= 240（立方米）. 
时间都用分钟作单位，1个水龙头每分钟放水量是 
240 ÷ （ 5× 150- 8 × 90）= 8（立方米）， 
8个水龙头1个半小时放出的水量是 
8 × 8 × 90， 
其中 90分钟内流入水量是 4 × 90，因此原来水池中存有水 8 × 8 × 90-4 × 90= 5400（立方米）. 
打开13个水龙头每分钟可以放出水8×13，除去每分钟流入4，其余将放出原存的水，放空原存的5400，需要 
5400 ÷（8 × 13- 4）=54（分钟）. 
答：打开13个龙头，放空水池要54分钟. 
水池中的水，有两部分，原存有水与新流入的水，就需要分开考虑，解本题的关键是先求出池中原存有的水.这在题目中却是隐含着的. 
例19 一个水池，地下水从四壁渗入池中，每小时渗入水量是固定的.打开A管，8小时可将满池水排空，打开C管，12小时可将满池水排空.如果打开A，B两管，4小时可将水排空.问打开B，C两管，要几小时才能将满池水排空？ 
解：设满水池的水量为1. 
A管每小时排出 
A管4小时排出 
因此，B，C两管齐开，每小时排水量是 
B，C两管齐开，排光满水池的水，所需时间是 
答： B， C两管齐开要 4 小时 48分才将满池水排完. 
本题也要分开考虑，水池原有水（满池）和渗入水量.由于不知具体数量，像工程问题不知工作量的具体数量一样.这里把两种水量分别设成“1”.但这两种量要避免混淆.事实上，也可以整数化，把原有水设为8与12的最小公倍数 24. 
17世纪英国伟大的科学家牛顿曾写过《普遍算术》一书，书中提出了一个“牛吃草”问题，这是一道饶有趣味的算术题.从本质上讲，与例18和例19是类同的.题目涉及三种数量：原有草、新长出的草、牛吃掉的草.这与原有水量、渗入水量、水管排出的水量，是完全类同的. 
例20 有三片牧场，场上草长得一样密，而且长得一样快。12头牛4星期吃完第一块牧场上的草；7头牛9星期吃完第二片牧场的草.问多少头牛18星期才能吃完第三片牧场的草？ 
解：吃草总量=一头牛每星期吃草量×牛头数×星期数.根据这一计算公式，可以设定“一头牛每星期吃草量”作为草的计量单位. 
原有草+4星期新长的草=12×4. 
原有草+9星期新长的草=7×9. 
由此可得出，每星期新长的草是 
（7×9-12×4）÷（9-4）=3. 
那么原有草是 
7×9-3×9=36（或者12×4-3×4）. 
对第三片牧场来说，原有草和18星期新长出草的总量是 
这些草能让 
90×7.2÷18=36（头） 
牛吃18个星期. 
答：36头牛18个星期能吃完第三片牧场的草. 
例20与例19的解法稍有一点不一样.例20把“新长的”具体地求出来，把“原有的”与“新长的”两种量统一起来计算.事实上，如果例19再有一个条件，例如：“打开B管，10小时可以将满池水排空.”也就可以求出“新长的”与“原有的”之间数量关系.但仅仅是例19所求，是不需要加这一条件.好好想一想，你能明白其中的道理吗？ 
“牛吃草”这一类型问题可以以各种各样的面目出现.限于篇幅，我们只再举一个例子. 
例21 画展9点开门，但早有人排队等候入场.从第一个观众来到时起，每分钟来的观众人数一样多.如果开3个入场口，9点9分就不再有人排队，如果开5个入场口，9点5分就没有人排队.问第一个观众到达时间是8点几分？ 
解：设一个入场口每分钟能进入的观众为1个计算单位. 
从9点至9点9分进入观众是3×9， 
从9点至9点5分进入观众是5×5. 
因为观众多来了9-5=4（分钟），所以每分钟来的观众是 
（3×9-5×5）÷（9-5）=0.5. 
9点前来的观众是 
5×5-0.5×5=22.5. 
这些观众来到需要 
22.5÷0.5=45（分钟）. 
答：第一个观众到达时间是8点15分.
挖一条水渠，甲、乙两队合挖要六天完成。甲队先挖三天，乙队接着挖一天，可挖这条水渠的3/10，两队单独挖各需几天？
分析: 甲乙合作1天后,甲又做了2天共3/10-1/6=4/30 
2÷(3/10-1/6) 
=2÷4/30 
=15(天) 
1÷(1/6-1/15)=10(天) 
答:甲单独做要15天,乙单独做要10天 .
.一件工作，如果甲单独做，那么甲按规定时间可提前2天完成，乙则要超过规定时间3天才完成。现在甲乙二人合作二天后，剩下的乙单独做，刚好在规定日期内完成。若甲乙二人合作，完成工作需多长时间？ 
解设:规定时间为X天.(甲单独要X-2天,乙单独要X+3天,甲一共做了2天,乙一共做了X天) 
1/(X-2)×2 + X/(X+3)=1 
X=12 
规定要12天完成 
1÷[1/(12-2)+1/(12+3)] 
=1÷(1/6) 
=6天 
答:两人合作完成要6天. 例：一项工程，甲单独做63天，再由乙做28天完成，甲乙合作需要48天完成。甲先做42天，乙做还要几天？ 答：设甲的工效为x,乙的工效为y 
63x+28y=1 
48x+48y=1 
x=1/84 
y=1/112 
乙还要做（1-42/84）÷（1/112）=56（天）
例22有32吨货物，从甲城运往乙城，大卡车的载重量是5吨，小卡车的载重量是3吨，每种大、小卡车的耗油量分别是10升和7.2升，将这批货物运完，至少需要耗油多少吨？
解：显然，为了省油，应尽量使用大卡车运，大卡车运6次，还剩2吨，所以剩下一次用小卡车运，耗油最少，共需6*10+7.2=67.2升