标题：微分
一元微分
定义  微分设函数y = f(x)在x0的邻域内有定义，x0及x0 + Δx在此区间内。如果函数的增量Δy = f(x0 + Δx) - f(x0)可表示为 Δy = AΔx + o(Δx)（其中A是不依赖于Δx的常数），而o(Δx)是比Δx高阶的无穷小，注：o读作奥密克戎，希腊字母,那么称函数f(x)在点x0是可微的，且AΔx称作函数在点x0相应于自变量增量Δx的微分，记作dy，即dy = AΔx。函数的微分是函数增量的主要部分，且是Δx的线性函数，故说函数的微分是函数增量的线性主部（△x→0）。
通常把自变量x的增量 Δx称为自变量的微分，记作dx，即dx = Δx。于是函数y = f(x)的微分又可记作dy = f'(x)dx。函数的微分与自变量的微分之商等于该函数的导数。因此，导数也叫做微商。
当自变量X改变为X+△X时，相应地函数值由f(X)改变为f(X+△X)，如果存在一个与△X无关的常数A，使f(X+△X)-f(X)和A·△X之差是△X→0关于△X的高阶无穷小量，则称A·△X是f(X)在X的微分，记为dy，并称f(X)在X可微。一元微积分中，可微可导等价。记A·△X=dy，则dy=f′(X)dX。例如：d(sinX)=cosXdX。
微分概念是在解决直与曲的矛盾中产生的，在微小局部可以用直线去  微分近似替代曲线，它的直接应用就是函数的线性化。微分具有双重意义：它表示一个微小的量，同时又表示一种与求导密切相关的运算。微分是微分学转向积分学的一个关键概念。微分的思想就是一个线性近似的观念，利用几何的语言就是在函数曲线的局部，用直线代替曲线，而线性函数总是比较容易进行数值计算的，因此就可以把线性函数的数值计算结果作为本来函数的数值近似值，这就是运用微分方法进行近似计算的基本思想。推导设函数y = f(x)在某区间内有定义，x0及x0+△x在这区间内，若函数的增量Δy = f(x0 + Δx) − f(x0)可表示为Δy = AΔx + o(Δx)，其中A是不依赖于△x的常数， o(Δx)是△x的高阶无穷小，则称函数y = f(x)在点x0是可微的。 AΔx叫做函数在点x0相应于自变量增量△x的微分，记作dy，即：dy=AΔx。微分dy是自变量改变量△x的线性函数，dy与△y的差是关于△x的高阶无穷小量，我们把dy称作△y的线性主部。得出： 当△x→0时，△y≈dy。 导数的记号为：(dy)/(dx)=f′(X)，现在我们可以发现，它不仅表示导数的记号，而且还可以表示两个微分的比值(把△x看成dx，即：定义自变量的增量等于自变量的微分)，还可表示为dy=f′(X)dX。几何意义设Δx是曲线y = f(x)上的点M的在横坐标上的增量，Δy是曲线在点M对  几何意义应Δx在纵坐标上的增量，dy是曲 线在点M的切线对应Δx在纵坐标上的增量。当|Δx|很小时，|Δy－dy|比|Δy|要小得多(高阶无穷小)，因此在点M附近，我们可以用切线段来近似代替曲线段。
多元微分
同理，当自变量为多个时，可得出多元微分的定义。
高阶微分
我们对函数y进行微分，得出导数dy/dx，由于微分只进行了一次，所以dy/dx又被称为一阶导数。
这是我们微分dy/dx，得出d/dx(dy/dx)=(d^2)y/dx^2，那么(d^2)y/dx^2被称为二阶导数。
同理，我们可以得到三次导数及更高次的导数，(d^n)y/dx^n被称为n阶导数。
切线微分
当自变量为固定值需要求出曲线上一点的斜率时，前人往往采用作图法，将该点的切线画出，以切线的斜率作为该点的斜率。然而，画出来的切线是有误差的，也就是说，以作图法得到的斜率并不是完全准确的斜率。微分最早就是为了从数学上解决这一问题而产生的。
以y=x^2为例，我们需要求出该曲线在(3,9)上的斜率，我们可以假设在y=x^2上有另一点(3+△x,9+△y)，画一条过这两点的直线，该直线的斜率为△y/△x。我们知道，这两点之间的距离越短，过这两点直线的斜率就越接近所求的斜率m，当△x与△y的值变得无限接近于0时，直线的斜率就是点的斜率。
当x=3+△x时，y=9+△y，也就是说，
(3+△x)^2=9+△y
9+6△x+(△x)^2=9+△y （展开）
6△x+(△x)^2=△y （两边减去9）
△y/△x=6+△x （两边除以△x）
∵lim△x→0 m=△y/△x {m为曲线在（3，9）上的斜率，△y/△x 为直线斜率 }
∴lim△x→0 m=6+△x=6
我们得出，y=x^2在点(3,9)处的斜率为6。当自变量为任意值在很多情况下，我们需要求出曲线上许多点的斜率，如果每一个点都按上面的方法求斜率，将会消耗大量时间，计算也容易出现误差，我们现在仍以y=x^2为例，计算图象上任意一点的斜率m。
假设该点为(x,y)，做对照的另一点为(x+△x,y+△y)，我们按上面的方法再计算一遍：　(x+△x)^2=y+△y　x^2+2x△x+(△x)^2=y+△y （展开）
2x△x+(△x)^2=△y （y=x^2，两边减去y）　△y/△x=2x+△x （两边除以△x）
∵lim△x→0 m=△y/△x
∴lim△x→0 m=2x+△x=2x
我们得出，y=x^2在点(x,y)处的斜率为2x。  y=x^2上任意一点的斜率从二次函数到幂函数通过以上的方法，我们可以得出x的二次函数在任意一点上的斜率，但是这远远不够。我们需要把这种方法扩充到所有的幂函数。现在假设有函数y=x^n，假设函数上有一点(x,y)和另一点(x+△x,y+△y)，我们可以这样计算斜率：
(x+△x)^n=y+△y
x^n+nx^(n-1)(△x)+...+nx(△x)^(n-1)+(△x)^n=y+△y （二项展开式）
nx^(n-1)(△x)+...+nx(△x)^(n-1)+(△x)^n=△y （y=x^n）
△y/△x=nx^(n-1)+...+nx(△x)^(n-2)+(△x)^（n-1） （两边除以△x）
lim△x→0 △y/△x=lim△x→0 [nx^(n-1)+...+nx(△x)^(n-2)+(△x)^(n-1)] （加上极限）
lim△x→0 △y/△x=nx^(n-1) （其他项均带有△x，在△x→0的情况下都可以视为等于0）
我们得出，y=x^n在点(x,y)处的斜率为nx^(n-1)。从幂函数到单项式我们可以把幂函数的斜率扩展到单项式函数y=ax^n的斜率，依然假设有两点(x,y)和(x+△x,y+△y)：
a(x+△x)^n=y+△y
ax^n+ax^(n-1)(△x)+...+ax(△x)^(n-1)+a(△x)^n=y+△y （二项展开式）
ax^(n-1)(△x)+...+ax(△x)^(n-1)+a(△x)^n=△y （y=ax^n）
△y/△x=ax^(n-1)+...+ax(△x)^(n-2)+a(△x)^(n-1) （两边除以△x）
lim△x→0 △y/△x=lim△x→0 [ax^(n-1)+...+ax(△x)^(n-2)+a(△x)^(n-1)] （加上极限）
lim△x→0 △y/△x=ax^(n-1) （其他项均带有△x，在△x→0的情况下都可以视为等于0）
我们得出，y=ax^n在点(x,y)处的斜率为anx^(n-1)。
这就是微分的基本公式，“基本法则”目录有详细的说明。
lim△x→0 △y/△x=m被记作dy/dx=m。单项式当函数为单项式y=ax^n（a和n为常数）的形式时，有基本公式：
dy/dx=anx^(n-1)或d/dx(ax^n)=anx^(n-1)
如d（x^2）/dx=2x，d(3X^5)/dx=15x^4。
当a为常数时，d(ax)/dx=a且d(a)/dx=0。
注意：基本公式极为重要，在学习更为复杂的运算法则前请务必牢记。多项式当函数为几个ax^n形式的单项式的和或差时，这个函数的导数只需在原函数的导数上进行加减即可。
以函数y=ax^m+bx^n为例，将其拆分为两个函数u=ax^m和v=bx^n，且y=u+v。
可以得出du/dx=amx^(m-1)，dv/dx=bnx^(n-1)。
∵y=u+v
∴δy=δu+δv
∴δy/δx=δu/δx+δv/δx
∴dy/dx=du/dx+dv/dx=amx^(m-1)+bnx^(n-1)
∴d/dx(ax^m+bx^n)=amx^(m-1)+bnx^(n-1)
同理可以得出d/dx(ax^m-bx^n)=amx^(m-1)-bnx^(n-1)
最后得出公式：
d/dx(ax^m±bx^n)=amx^(m-1)±bnx^(n-1)
有了这两个公式，我们可以对大部分常见的初等函数求导。
注意：f'(x)是函数f(x)的导数。
运算法则
基本法则dy/dx=d/dx[f(x)]=f'(x)
d/dx(ax^n)=anx^(n-1)
d/dx(ax)=a
d/dx(a)=0
d/dx(ax^m+bx^n)=amx^(m-1)+bnx^(n-1)连锁律dy/dx=(dy/dz)×(dz/dx) （微分连锁律）
d/dx(y^n)=[ny^(n-1)](dy/dx)
d/dx[(ax+b)^n]=an(ax+b)^(n-1)
d/dx(√y)=(dy/dx)/(2√y)乘法律d/dx(uv)=u(dv/dx)+v(du/dx) （微分乘法律）
d/dx[(mx+n)^a][(px+q)^b]=[(a+b)mpx+(amq+bnp)][(mx+n)^(a-1)][(px+q)^(b-1)]
d/dx(u√v)=[(u/2)(dv/dx)+v(du/dx)]/(√v)
d/dx(ay)=a(dy/dx)除法律d/dx(u/v)=[v(du/dx)-u(dv/dx)]/(v^2) （微分除法律）
d/dx{[(mx+n)^a]/[(px+q)^b]}=[(a-b)mpx+(amq-bnp)][(mx+n)^(a-1)]/(px+q)^(b+1)
d/dx(u√v)=[v(du/dx)-(u/2)(dv/dx)]/(v√v)
d/dx(a/y)=[a/(y^2)](dy/dx)
导数
导数1
正弦函数的导数假设正弦函数y=sin x（x的单位为弧度）上有一点(x,y)和另一点(x+δx,y+δy)：
d/dx(sin x)
=limδx→0 δy/δx
=limδx→0 [sin (x+δx)-sin x]/δx
=limδx→0 2[cos 0.5(2x+δx)][sin 0.5(δx)]/δx （sin A-sin B=2[cos 0.5(A+B)][sin 0.5(A-B)]）
=limδx→0 [cos 0.5(2x+δx)][sin 0.5(δx)]/0.5δx （两边除以2）
=limδx→0 [cos 0.5(2x+δx)]×[sin 0.5(δx)]/0.5δx
=limδx→0 [cos 0.5(2x+δx)]×limδx→0 [sin 0.5(δx)]/0.5δx
=cos 0.5(2x)×1 （limθ→0 (sin θ)/θ=1）
=cos x
最后得出d/dx(sin x)=cos x。余弦函数的导数我们知道cos x=sin(π/2-x)，所以d/dx(cos x)=d/dx[sin (π/2-x)]。
假设π/2-x=u，我们可以用连锁律对余弦函数y=cos x求导：
d/dx(cos x)
=d/dx[sin (π/2-x)]
=d/du[sin (π/2-x)]×d/dx(π/2-x) （连锁律）
=cos (π/2-x)×(-1) （d/dx(sin x)=cos x）
=-cos (π/2-x)
=-sin x （cos (π/2-x)=sin x）
最后得出d/dx(cos x)=-sin x。正切函数的导数由于正切函数tan x=(sin x)/(cos x)，我们可以用除法律对其求导：
d/dx(tan x)
=d/dx[(sin x)/(cos x)] （tan x=(sin x)/(cos x)）
=[(cos x)d/dx(sin x)-(sin x)d/dx(cos x)]/(cos^2 x) （除法律）
=[cos^2 x-(sin x)(-sin x)]/cos^2 x
=(cos^2 x+sin^2 x)/cos^2 x
=1/cos^2 x
=sec^2 x
最后得出d/dx(tan x)=sec^2 x。三角函数的应用1当我们遇到y=sin/cos/tan u（u是自变量为x的函数且常为ax+b的形式）这类函数的时候，可以使用连锁律求导：
①y=sin u
d/dx(sin u)
=(dy/du)(du/dx) （连锁律）
=(cos u)(du/dx)
当u的形式为ax+b时，du/dx=a，所以：
d/dx[sin(ax+b)]=a[cos(ax+b)]
②y=cos u
d/dx(cos u)
=(dy/du)(du/dx) （连锁律）
=(-sin u)(du/dx)
当u的形式为ax+b时，du/dx=a，所以：
d/dx[cos(ax+b)]=-a[sin(ax+b)]
③y=tan u
d/dx(tan u)
=(dy/du)(du/dx) （连锁律）
=(sec^2 u)(du/dx)
当u的形式为ax+b时，du/dx=a，所以：
d/dx[tan(ax+b)]=a[sec^2(ac+b)]三角函数的应用2有时我们需要对y=sin^n x或y=cos^n x（n为常数）这类函数求导，使用连锁律也可以解决：
这里我们使用“连锁律的应用1”中得到的公式：d/dx(y^n)=[ny^(n-1)](dy/dx)
①y=sin^n x
dy/dx
=n[sin^(n-1) x]d/dx(sin x)
=n[sin^(n-1) x](cos x)
②y=cos^n x
dy/dx
=n[cos^(n-1) x]d/dx(cos x)
=-n[cos^(n-1) x](sin x)
得出公式：
d/dx(sin^n x)=n[sin^(n-1) x](cos x)
d/dx(cos^n x)=-n[cos^(n-1) x](sin x)
导数2
自然指数函数的导数在画图软件里，我们可以看出在函数y=e^x上任意一点(x,y)的斜率均等于y。也就是说，m=dy/dx=y。
因此，函数e^x的导数由以下公式获得（在此省略正式证明）：
d/dx(e^x)=e^x自然指数函数的应用我们可以使用连锁律对y=e^u（u是自变量为x的函数）求导：
dy/dx
=(dy/du)(du/dx) （连锁律）
=[d/du(e^u)](du/dx)
=(e^u)(du/dx)
最后得出：
d/dx(e^u)=(e^u)(du/dx)
如果u的形式为ax+b（a和b均为常数），那么du/dx=a，可以得出：
d/dx[e^(ax+b)]=ae^(ax+b)自然对数函数的导数我们可以通过d/dx(e^x)=e^x对自然对数函数y=ln x求导：
y=ln x
x=e^y
d/dx(x)=d/dx(e^y)
d/dx(x)=d/dy(e^y)(dy/dx) （连锁律）
d/dx(x)=(e^y)(dy/dx)
(e^y)(dy/dx)=1
x(dy/dx)=1 （x=e^y）
dy/dx=1/x
最后得出：
d/dx(ln x)=1/x自然对数函数的应用我们可以使用连锁律对y=ln u（u是自变量为x的函数）求导：
dy/dx
=(dy/du)(du/dx) （连锁律）
=[d/du(ln u)](du/dx)
=(1/u)(du/dx)
可以得出：
d/dx(ln u)=(1/u)(du/dx)
如果u的形式为ax+b（a和b均为常数），那么du/dx=a，可以得出：
d/dx[ln (ax+b)]=a/(ax+b)
特殊导数
三角函数d/dx(sin x)=cos x
d/dx(cos x)=-sin x
d/dx(tan x)=sec^2 x
d/dx[sin(ax+b)]=a[cos(ax+b)]
d/dx[cos(ax+b)]=-a[sin(ax+b)]
d/dx[tan(ax+b)]=a[sec^2(ax+b)]
d/dx(sin^n x)=n[sin^(n-1) x](cos x)
d/dx(cos^n x)=-n[cos^(n-1) x](sin x)自然指数函数d/dx(e^x)=e^x
d/dx(e^u)=(e^u)(du/dx)
d/dx[e^(ax+b)]=ae^(ax+b)自然对数函数d/dx(ln x)=1/x
d/dx(ln u)=(1/u)(du/dx)
d/dx[ln (ax+b)]=a/(ax+b)
微分应用
法线我们知道，曲线上一点的法线和那一点的切线互相垂直，微分可以求出切线的斜率，自然也可以求出法线的斜率。
假设函数y=f(x)的图象为曲线，且曲线上有一点(x1,y1)，那么根据切线斜率的求法，就可以得出该点切线的斜率m：
m=dy/dx在(x1,y1)的值
所以该切线的方程式为：
y-y1=m(x-x1)
由于法线与切线互相垂直，法线的斜率为-1/m且它的方程式为：
y-y1=(-1/m)(x-x1)增函数与减函数微分是一个鉴别函数（在指定定义域内）为增函数或减函数的有效方法。
我们知道函数y=x^2-1 (x>0)是增函数，我们用微分证明它：
∵y=x^2-1
∴dy/dx=2x
当x>0时，dy/dx>0，这说明dy/dx始终为正，所以函数y=x^2-1(x>0)是增函数。
再举一个例子，我们知道函数y=1/(x+1) (x>0)是减函数，我们用微分证明它：
∵y=1/(x+1)=(x+1)^(-1)
∴dy/dx=(-1)(x+1)^(-2)=-1/(x+1)^2
由于(x+1)^2>0，dy/dx<0，这说明dy/dx始终为负，所以函数y=1/(x+1) (x>0)是减函数。变化的速率微分在日常生活中的应用，就是求出非线性变化中某一时间点特定指标的变化。
比如说，有一个水箱正在加水，水箱里水的体积V（升）和时间t（秒）的关系为V=5-2/(t+1)，
在t=3时，我们想知道此时水加入的速率，于是我们算出dV/dt=2/(t+1)^2，代入t=3后得出dV/dt=1/8。
所以我们可以得出在加水开始3秒时，水箱里的水的体积以每秒1/8升的速率增加。