标题：牛顿冷却定律
定义
如图所示  温差Δt=|tw-tf|
q=hΔt
Φ=qA=AhΔt=Δt/（1/hA)
其中的1/hA 称为对流传热热阻字母代码q为热流密度
h为物质的对流传热系数
Φ为传热功率（或者说是单位时间内的传热量）A为传热面积
一个热的物体的冷却速度与该物体和周围环境的温度差成正比。分析即-dT/dt=(T-Tc)/τ　式中，　-dT/dt——物体的温度随时间下降的速度，负号表示物体的温度是下降的τ——物体的温度从T 下降到环境温度Tc实际所需要的弛豫时间在微分条件下，-dT/dt和(T-Tc)/τ是微线性关系。这是微线性思维的典范之一。
牛顿冷却定律的这个微分方程没有考虑物体的性质，所以这不是物性方程式。它只是关于一个假想物体，其温度随时间单纯下降的一个数学微分方程。与其叫“牛顿冷却定律”，毋宁叫“牛顿冷却定理”更准确。不过，这个明显的缺点，反而是最大的优点。它的无比抽象性在宣告：“这是任何物体冷却的共同遵守的数学规律！”。实验表明物体的温度随时间下降的速度和物体的结构以及理化性质并非完全无关。尤其是急速冷却的条件下，我们可以修改线性“牛顿冷却定理”，给它添加若干个非线性的项就可以了解决实际问题了。
这也告诉我们上面的微线性牛顿冷却定律至少不适用于描写那些急速温度变化的物理现象。
解方程可得牛顿冷却定律的积分形式为
Δt=t-to=τln(To-Tc)/(T-Tc)
或者 exp（Δt/τ）=To-Tc/T-Tc 
式中，To——为物体在初始时刻to的温度
Δt>0，这是必然的。为此，必然有 To>T>Tc。
这就是说，物体的起始温度To必然大于它最后的冷却温度T；物体最后的冷却温度T不能比环境温度Tc更低，而且也不能被冷却到和环境温度一样低。我们可以假设最后的冷却温度非常接近环境温度，
这时，T-Tc=ΔT，ΔT>0，且ΔT→0。也就是说，温度ΔT是一个极小的正值。
设热水的冷却方程为：exp（Δt/τ）=To-Tc/T-Tc 
设冷水的冷却方程为：exp（Δt`/τ`)=To`-Tc`/T`-Tc` 
假设，热水和冷水的起始时刻一致to=to`，冷却的环境温度一致Tc=Tc`，热水比冷水的起始温度高，To>To`，热水和冷水最后的状态几乎一致，即热水和冷水最后的温度与环境的温度差无穷逼近——即近似相等，ΔT=T-Tc=ΔT`=T`-Tc。
热水和冷水方程之比：exp（Δt/τ）/exp（Δt`/τ`)=To-Tc/To`-Tc
=exp(C)>1（即 C>0)
于是，Δt/τ - Δt`/τ` = C
Δt=（τ/τ`）Δt`+ C
这是一个截距和斜率都为正值的直线方程，
如果热水比冷水先结冰，Δt<；Δt`，必须有 τ<；τ`。即斜率τ/τ`<1。
如果冷水比先热水结冰，Δt>；Δt`，必须有 τ>；τ`。即斜率τ/τ`>1。
这个结果表明：牛顿冷却定律并不能直接用来判断热水和冷水谁先结冰。
而且热水和冷水无论谁先结冰，都不会影响牛顿冷却定律的正确性。
对权威的牛顿冷却定律提出挑战
中学生姆潘巴的精心观察对权威的牛顿冷却定律提出挑战 
我（姆潘巴）在坦桑尼亚的马干巴中学读三年级时，校中的孩子们做冰淇淋总是先煮沸牛奶，待到冷却后再倒入冰盘，放进电冰箱。为了争得电冰箱的最后一只冰盘，我决心冒着弄坏电冰箱的风险而把热牛奶放进去了。一个多小时以后，我们打开电冰箱，里面出现了惊人的奇迹：我的冰盘里的热牛奶已结成坚硬的冰块，而他们的冰里还是稠稠的液体。我飞快地跑去问物理老师，他淡淡地回答说：“这样的事一定不会发生。” 
进入高中后，在学习牛顿冷却定律时，我又问物理老师，他同样轻率地否定了我的观察。我继续述说我的理由，可老师不愿意听，在一旁的同学们也帮着老师质问我：“你究竟相不相信牛顿冷却定律？”我只好为自己辩解：“可定律与我观察的事实不符嘛！”在同学们的讪笑声中，老师带着无可奈何的神情说道：“你说的这些就叫做姆潘巴的物理吧！”从此以后，“姆潘巴的物理”便成了我的绰号，只要我做错一点，同学们就马上说“这是姆潘巴的什么……。”尽管如此，我仍然坚信我的观察是正确的，其中可能包含着更为深刻的道理。
就在这一年，坦桑尼亚最高学府达累斯萨拉姆大学物理系系主任奥斯波恩博士来我校访问，我决心求助于博士，我向他讲述了我的奇遇。他先是笑了一下，然后认真地听取了我的复述，博士回校后亲自动手并观察到了同一事实。他高度评价了我的观察，他说：“姆潘巴的观察，事实上提出了权威物理学家可能遇到的危险，同时也对物理教师提出了一个感兴趣的问题。”论文介绍博士邀请我联名发表一篇论文，登载于《英国教育》，对热牛奶在电冰箱中先行冻结的现象作了介绍和解释。其主要内容是：
1．把牛奶换成水以后再进行观察，发现电冰箱中的热水仍在冷水之前冻结成冰。
2．把热水放入电冰箱冷却时，水的上表面（S）与底部（B）之间存在着显著的温度差。缓慢冷却时的温度差几乎是观察不到的。图1-1是初始温度分别为70℃（实线）和47℃（虚线）的水的S-B温度差随时间变化的观测记录图。从图中可看出，初始时，上表面与底部不存在温度差，但一经急剧冷却，温度差就立即出现，其中初温为70℃的水内产生的最高温度差接近14℃，而初温为47℃的水内产生的最高温度差只有10℃左右，这就是我们所观察到的冷、热水在急剧冷却时的重大差别。相关解释在以上定量观测的基础上，我们对热牛奶（或热水）先冻结的现象作出如下解释：
1．冷却的快慢不是由液体的平均温度决定的，而是由液体上表面与底部的温度差决定的，热牛奶急剧冷却时，这种温度差较大，而且在整个冻结前的降温过程中，热牛奶的温度差一直大于冷牛奶的温度差。
2．上表面的温度愈高，从上表面散发的热量就愈多，因而降温就愈快。
基于以上两方面的理由，热牛奶以更高的速度冷却着，这便是热牛奶先冻结的秘密。
除了作出热牛奶先冻结的解释外，我们还大胆地类推出一个有趣的“猜想”：在发生严重冰冻的日子里，热水管应该先于冷水管发生冻结，是不是这样呢？由于我们生活在赤道附近的坦桑尼亚，这里气候四季炎热，难以观察到这十分有趣的现象，欢迎能观察到这一现象的中学朋友们，为我们提供信息，共同讨论。
自从我们的文章发表后，世界上很多科学杂志都刊登了这一自然现象，认为这是对牛顿冷却定律的严峻挑战。而且还以我的名字把这一自然现象命名为“姆潘巴效应”。这真叫人不好意思呀！
反思
中学生姆潘巴观察到的现象，可能好多人都遇到过，但是为什么会发生姆潘巴的同学不相信，老师不相信，甚至连物理学博士听后也还是“先笑了一下”呢？他们可能是这样思考的：
冷牛奶从初温开始到冻结所需时间为t1，热牛奶冷却到初温所需时间t2，则热牛奶从初温开始到冻结所需的全部时间为t1+t2。
显然有（t1+t2）>t1. 
由上式可以推导出如下结论：热牛奶先冻结的现象不可能发生。
如果发生了热牛奶先冻结的现象，则必然导出（t1+t2）<t1的结论，这似乎是荒谬的。
正因为上述貌似正确的推理支配着人们的头脑，所以不少的人不但自己不去观察，甚至连别人观察到的事实也不敢相信。这种不尊重观察的态度，往往使真理从自己的鼻尖下面悄悄溜走，这难道不值得立志从事科研工作的人们引以为戒吗？ 
事实上，在一般实验条件下，热水会比冷水更快结冰。这种现象违反直觉，甚至连很多科学家也感到惊讶。但它的确是真的，曾在很多实验观察和研究过。虽然在经过亚里斯多德、培根，和笛卡儿 [1- 3] 三人的介绍后，此现象已被发现了几个世纪，但却一直没有被引入现代科学。直至1969年，才由坦桑尼亚的一间中学的一个名叫 Mpemba 的学生引入现代科学。这个效应早期发现史，和后期 Mpemba 再发现的故事－－尤其是后者，都是充满戏剧性的寓言。寓意人们在判断什么是不可能时，别过于仓促。这一点，下面会说到。
Mpemba 效应
热水比冷水更快结冰的现象通常叫「Mpemba 效应」。无疑地，很多读者对这一点很怀疑，因此，有必要先明确地指出，什么是 Mpemba 效应。有两个形状一样的杯，装着相同体积的水，唯一的分别是水的温度。现在将两杯水在相同的环境下冷却。在某些条件下，初温较高的水会先结冰，但并不是在任何情况下，都会这样。例如，99.9° C 的热水和 0.01° C 的冷水，这样，冷水会先结冰。Mpemba 效应并不是在任何的初始温度、容器形状、和冷却条件下，都可看到。
这似乎是不可能的，不少敏锐的读者可能已经想出一个方法，去证明它不可能。这种证明通常是这样的：30° C 的水降温至结冰要花 10 分钟， 70° C 的水必须先花一段时间，降至 30° C，然之后再花 10 分钟降温至结冰。由于冷水必须做过的事，热水也必须做，所以热水结冰较慢。这种证明有错吗？ 
这种证明错在，它暗中假设了水的结冰只受平均温度影响。但事实上，除了平均温度，其它因素也很重要。一杯初始温度均匀，70° C 的水，冷却到平均温度为 30° C 的水，水已发生了改变，不同于那杯初始温度均匀，30° C 的水。前者有较少质量，溶解气体和对流，造成温度分布不均。这些因素亦会改变冰箱内，容器周围的环境。下面会分别考虑这四个因素。所以前面的那种证明是行不通的，事实上，Mpemba 效应已在很多受控实验中观察到 [5,7-14]。
这种现象的发生机制，仍然没有得确切的了解。虽然有很多可能的解释已被提出过，但到目前为止，还没有一个实验可以清晰地显示它的机制。如果有的话，这实验就十分重要了。你可能会听到有人很自信地说，X 是 Mpemba 效应的原因。这些说法通常都是基于猜测，或只看着小量文献的证据，而忽略其它。当然，有根据地猜测，和选择你信赖的实验结果，是没错的。问题是，对于什么是 X，不同的人提出不同的说法。
疑问
为什么现代科学不回答这个看起来很简单的结冰问题？主要的问题是，水结冰所花的时间的长短，对实验设计中的很多因素，都是很敏感的。例子容器的形状和大小、冰箱的形状和大小、水中气体和其它杂质、结冰时间的定义，等等。因为这种敏感性，即使有实验支持 Mpemba 效应的存在，但不能支持在这些条件之外， Mpemba 效应的发生和发生的原因。正如 Firth [7] 所讲「这个问题有太多的变量，以致任何从事这项研究的实验室，一定会得出和其它实验室不同的结果。」 
所以，由于做过的实验不多，而且常常在不同的实验条件下，所提出过的机制中，没有一个能很有信心地被宣称，就是「那个」机制。在上面我们提到的那四个因素，热水冷却到冷水的初始温度，会有变化。下面是这四个相关机制的简单描述，它们被认同能解释 Mpemba 效应。抱负不凡的的读者可以跟着那些连结，获得更完整的解释，相反的论调，和用这些机制解释不了的实验。似乎并没有一个机制，能解释在所有情况下的 Mpemba 效应，但不同的机制在不同的条件下是重要的。
蒸发
——在热水冷却到冷水的初温的过程中，热水由于蒸发会失去一部分水。质量较少，令水较容易冷却和结冰。这样热水就可能较冷水早结冰，但冰量较少。如果我们假设水只透过蒸发去失热，理论计算能显示蒸发能解释 Mpemba 效应 [11]。这个解释是可信的和很直觉的，蒸发的确是很重要的一个因素。然而，这不是唯一的机制。蒸发不能解释在一个封闭容器内做的实验，在封闭的容器，没有水蒸气能离开 [12]。很多科学家声称，单是蒸发，不足以解释他们所做的实验 [5,9,12]。
溶解气体
——热水比冷水能够留住较少溶解气体，随着沸腾，大量气体会逃出水面。溶解气体会改变水的性质。或者令它较易形成对流（因而令它较易冷却），或减少令单位质量的水结冰所需的热量，又或改变凝固点。有一些实验支持这种解释 [10,14]，但没有理论计算的支持。
对流
——由于冷却，水会形成对流，和不均匀的温度分布。温度上升，水的密度就会下降，所以水的表面比水底部热——叫「hot top」。如果水 主要透过表面失热，那么「hot top」的水失热会比温度均匀的快。当热水冷却到冷水的初温时，它会有一「hot top」因此与平均温度相同，但温度均匀的水相比，它的冷却速率会较快。能跟上吗？你可能想重看这一段 ，小心区分初温、平均温度，和温度。虽然在实验中，能看到「hot top」和相关的对流，但对流能否解释 Mpemba 效应，仍是未知。
周围的事物
——两杯水的最后的一个分别，与它们自己无关，而与它们周围的环境有关。初温较高的水可能会以复杂的方式，改变它周围的环境，从而影响到冷却过程。例如，如果这杯水是放在一层霜上面，霜的导热性能很差。热水可能会熔化这层霜，从而为自己创立了一个较好的冷却系统。明显地，这样的解释不够一般性，很多实验都不会将容器放在霜层上。
试验表明
最后[supercooling]在此效应上，可能是重要的。[supercooling]现象出现在水在低于 0° C 时才结冰的情形。有一个实验 [12] 发现，热水比冷水较少会[supercooling]。这意味着热水会先结冰，因为它在较高的温度下结冰。即使这是真的，也不能完成解释 Mpemba 效应，因为我们仍需解释为什么热水较少会[supercooling]。
简单地说，在很多情况下，热水较冷水先结冰。这并非不可能，在很多实验中已观察到。然而，尽管有很多说法，但仍没有一个很好的解释。有不同的机制曾被提出，但这些实验证据都不是决定性的。