标题：等照度线
简介
随着计算机技术、测量技术的飞速发展和广泛应用，逆向工程技术在制造业中占据了越来越重要的地位。随着应用的逐步深入，人们对逆向工程的质量和精度提出了更为苛刻的要求。人们总是希望重构的CAD模型更为光滑，看上去更为顺眼，即曲面本身是光顺的、保凸的，曲面之间的连接是连续的，曲面中不存在局部平面和局部波动，没有拐点、脐点和平点等。然而曲面检查是一个非常带有主观色彩的过程，很难用量化的方法进行检查，一般是通过显示终端由用户自己评判。由于终端分辨率的局限性以及用户经验的限制，很难直接对所重构的曲面进行科学的检查和评判。相继出现了很多曲面品质检查的直接及间接方法。?
分析方法分类
对曲面品质的检查，一般通过曲面上满足某种条件的曲线来间接反映。根据曲线的计算与曲面法向矢量的关系，可以对曲面品质分析方法进行如下分类。?
1.1零阶微分曲线?
零阶微分曲线与曲面的法向矢量无关，只能直接反映曲面的表面问题，一般只作为辅助的检查手段。常用的方法有截交轮廓线法和等参数曲线法等。?
1.2一阶微分曲线?
一阶微分曲线由曲面的两个一阶偏微分求出，而曲面的法向矢量也由这两个一阶偏微分求出。因此，一阶微分曲线能够揭示曲面中暗藏的法向缺陷。这种方法通常也称为光照模型法，如反射线法、等照度线法、高亮线法、等倾线法和剪影轮廓线法等。?
1.3二阶微分曲线?
二阶微分曲线可直接反映曲面的曲率缺陷。常用的方法有焦点曲面法、等曲率线法、曲率曲线法、曲率方图法和曲率编码投影法等。这里的曲率包括高斯曲率、平均曲率和主曲率等。?
1.4线性变换模型?
除了以上三类方法外，还可以通过基于几何含义的线性变换来反映曲面的缺陷。常用的方法有极曲面法和k阶规范曲面法等。?
分析方法介绍
截交轮廓线法截交轮廓线是一组等间距平行平面与曲面的截交线，由一系列的平面曲线构成，如果轮廓线变化均匀，则可以认为曲面品质良好。轮廓线适用于检查曲面的特征形状，如脊、谷、极大值和极小值等。极大值和极小值一般由封闭的轮廓圆环包围，但轮廓线只能区分C0连续的曲面。一阶微分曲线反射线法是出现最早、应用最为成熟的一种曲面分析方法，由KlassR和KaufmannE分别于1984年和1988年提出。在汽车制造行业，轿车车身的曲面品质检查是通过一组放置于屋顶的平行光源在车身上的反射光的扭曲来评判曲面品质优劣的，反射线法的灵感正是来源于此，是对汽车车身曲面品质分析的计算机仿真。
通常，反射线用来检查曲面上的细微缺陷，它可以通过反射线的不规则扭曲得到具体的反映；同时它也可以用于检查曲面的连续性，反射线的连续性比对应的曲面的连续性降低一阶。如果曲面是Cr连续的，则反射线Cr-1连续。
与反射条纹类似，GershonE对反射光线作了新的限制，提出了反射圆法。具体算法如下：符号定义如图1(b)所示，给定一点Ps，以Ps为圆心画一圆，若反射光线与圆相切，则反射点P是反射圆上的一点，P的轨迹构成一反射圆曲线。反射光线R与圆相切，实质上就是要保证反射光线R与PPs构成的角α相等，即〈R,Ps-P〉=cosα=Const。取不同的圆直径，即取不同的α，可以生成一系列的反射圆。反射圆法也可用于连续性的检查，功能与反射线法类似，但效率没有反射线法高。等照度线法等照度线法是PoeschlT于1984年首次提出的。所谓等照度线，就是曲面上具有相同光照度的点所形成的曲线。如图2所示，入射光为一组平行的光源，平行光线的方向矢量为l，参数曲面S(u,v)，n(u,v)为平行光线与曲面S(u,v)交点P处的法向矢量。如果用平行光线的方向矢量与对应法向矢量的夹角来标定光照度的话，等照度线上的点P满足〈l,n(u,v)〉=cosα=Const，等照度线为所有点P的轨迹。取不同的α值可以建立一系列的等照度线。
等照度线可以用于曲面的连续性来检查。与反射线法一样，如果曲面是Cr连续的，则等照度线C?r-1?连续。由于平行光线的方向矢量l是固定的，因此等照度线不受视点的影响，是对反射线法的一种改进。应该看到，如果曲面是一个平面，则n(u,v)将固定不变，从而导致平面上的所有点都成为交点，等照度线失去唯一性，因此，等照度线不适用于平面或几乎是平面的情况。曲线法曲线是LangJ于1988年首次提出的，它取决于光源射线方向矢量l和视角方向矢量v。在定义域u,v∈[0,1]内定义一个函数?
由于lv曲线仅依赖于方向矢量n和曲面的一阶偏微分，lv?曲线法可用于曲面连续性的检查，如果曲面是Cr连续的，则lv曲线Cr-1连续。
研究发现，当v≡n，l=Const时，lv曲线退化成等照度曲线。高亮线类反射线法虽然得到了广泛的应用，但是其受视点的影响，使得反射线法的效果在很大程度上取决于视角的选择和检查人员的经验水平。1994年，BeierKP和Chen等人对反射线进行了简化，取消了视点，提出了一种新的曲面检查方法，即高亮线法。简化原理如下：如果取图1(a)中〈n,R′〉=〈n,v〉=1，即入射线、反射线和法向量重合，则反射线简化为高亮线。其实质就是使得通过高亮线的法线直线与平行光线的垂直距离等于零。如图4所示，参数曲面S(u,v)上点P处的法向矢量为n(u,v)，平行光线为Li(t)=Ai+Bt，过点P的法向直线为E(t)=P+n(u,v)t。根据微分几何学，两直线之间的垂直距离可表示为
根据高亮线的定义，取d=0，则对于确定的Li(t)和S(u,v)，可以解得一系列的点P组成高亮线，不同的Ai可以确定一系列的高亮线。
高亮线可以通过计算等高线获得，具有较快的计算速度，是一种有效的、适用于实时品质检查的方法，它可用于检查曲面的连续性和凹凸性。与反射线法和等照度线法一样，如果曲面是Cr连续的，则高亮线Cr-1连续。
事实上，实际光源均具有一定的宽度，相应的反射线也应该存在一定的宽度，一般称这种有宽度的高亮线为高亮带。设光源半径为r，所有满足式d≤r的高亮点构成高亮带。高亮带法不仅继承了高亮线法的所有优点，而且还可以根据带宽的变化来反映曲面的局部细微波动，是目前广泛采用的曲面品质分析方法之一。?等倾线法GershonE于2001年提出了等倾线法，原理与等照度线法类似。如图5所示，设v为一固定的视角方向，对于给定的参数曲面S(u,v)，其上一点P(u,v)处的法向矢量为n(u,v)，若〈n(u,v),v〉=cosθ=Const，则称满足该条件的点P(u,v)的轨迹为等倾线，取不同的θ，可以确定一系列的等倾曲线。由于v固定，点P绕v选取，因此，完整的等倾线是一条封闭曲线。与等照度线法相似，等倾线法可用于曲面的连续性检查，但同样也不适用于平面或几乎是平面的情况。
若法向矢量与固定的视角方向垂直，即θ=90°时，一般称此时的等倾线为剪影轮廓线。
基于一阶微分曲线的各种方法均是通过曲面的两个偏微分以及视点、光源之间的关系来确定的，它们之间有着内在的联系。
基于一阶微分曲线的各种方法均是通过曲面的两个偏微分以及视点、光源之间的关系来确定的，它们之间有着内在的联系。
二阶微分曲线
焦点曲面法焦点曲面的思想来源于微分几何，它是焦点曲面在曲面品质检查中的具体应用。焦点曲面法最早由HagenH于1992年提出。首先介绍焦点曲面的概念。给定参数曲面S(u,v)，一条单位矢量为z(u,v)的直线与曲面相交于点P(u,v)，则焦点F(u,v,ω)定义为?δ为比例因子，用于对焦点曲面进行等比例缩放，以便于对感兴趣的区域进行详细而有效的检查。从公式可以看出，焦点曲面实质上是对曲面的基于不同曲率的偏置，焦点曲面与被检查曲面对于法向矢量n是一一对应的。不同的f可以检查不同的曲率特征。等值线等值线是曲面上某种特征值相等的点的集合。最常用的是等曲率线，即曲面上某种曲率相等的点连成的曲线，所采用的曲率有高斯曲率、平均曲率和主曲率等。下面给出等曲率线的具体算法，对于给定的参数曲面S(u,v)，对应的某种曲率k是曲面的固有特性，由曲面唯一确定，取k(u,v)=k(S(u,v))，用它可以定义曲面计算该曲面与一组平行平面W的交线，所得交线即为参数空间的等曲率线。等曲率线的条数由平行平面的个数确定，将参数空间的等曲率线映射到曲面S(u,v)上即得等曲率线。等曲率线的计算非常耗时，一般采用简化算法。等曲率线可用于曲面的连续性检查，若曲面是Cr连续的，则等曲率线Cr-2连续。
曲率映射曲率映射法是曲面曲率在被检查曲面上的反映，由BarnhillRE等人于1988年提出。常用的曲率映射方法有两种，即基于颜色编码的映射和基于亮度编码的映射，不同的颜色值和亮度对应于不同的曲率值。根据颜色和亮度的规则变化判定曲面的凹凸变化，也可通过特定的编码方式识别曲面中的各类二次曲面。曲率方图通过反映自由曲面的曲率值检查自由曲面的品质也是一种有效的方法。在待测方向给定一个平面与自由曲面相交，获得一条平面曲线，以曲线的弧长为横坐标，相应点的曲率为纵坐标所形成的图称为曲率方图。该方法特别适用于不规则波动方向已知的情况。?
2.4线性变换模型
2.4.1极曲面法
极曲面法是HoschekJ于1984年提出的。假设参数曲面及其切平面均不通过原点，而是通过线性变换，曲面上的点P被映射到了极平面上，根据HoschekJ的论述，有零高斯曲率常引起曲面的局部波动，极曲面可以很好地反映出相应点处的尖齿状、楔形和边角等缺陷，因此极曲面可以检查这样的坏点(域)。
2.4.2k阶规范曲面法k阶规范曲面是HoschekJ和HagenH分别于1985年和1992年提出的。给定一参数曲面S(u,v)，点G不在曲面S及其任一切平面上，点G关于一系列切平面的镜像构成一曲面，称为曲面S关于点G的k阶规范曲面。其参数形式为其中，n(u,v)为曲面S的单位法向矢量，k为阶数。与极曲面一样，规范曲面可用于检查零高斯曲率点，当高斯曲率消失或改变符号时，规范曲面将出现自交等异常情况。?
实例分析?在实际工业应用中，曲面品质分析最常用的是基于一阶微分曲线的分析方法。为此，本文将通过实例，分析该类方法中反射线法、等照度线法以及高亮线法对曲面品质分析的效果。?
反射线法对一连接曲面进行检查的效果图。曲面的左半部分反射线非常弯曲，是一个曲率比较大的曲面；而右半部分的反射线比较直，是一个接近平面的曲面；两部分反射线不仅间距不同，而且不连续，因此可以断定，曲面的左右两部分仅C0连续；反射线波动平稳，因此曲面本身的波动性不大。?
等照度法对一连接曲面进行检查的效果图。曲面左右两部分的反射线都很弯曲，是两个曲率较大的曲面的结合；两部分反射线在连接的地方相连，但是两边的切矢不同，因此可以断定，曲面的左右两部分是C1连续的；反射线波动平稳，因此曲面本身是光顺的。高亮线法对一连接曲面进行检查的效果图。从图中可以看到，曲面左右两部分的反射线都很弯曲，是两个曲率较大的曲面的结合，而左边的部分弯曲程度更大；两部分反射线在连接的地方不但相连，而且两边的切矢也相同，因此可以断定，曲面的左右两部分是C2连续的；反射线波动平稳，因此曲面本身的波动性不大。(在实际应用中，一般采用各种方法的不同集成来对曲面进行分析，以达到取长补短，实现最佳的检查效果。?
4结束语?
曲面品质分析是一个十分复杂的过程，要在满足精度和使用要求的前提下，不仅检查出曲面的各种缺陷，如拐点、脐点、平点、凹凸性和曲面波动等，还要使曲面满足审美的要求。本文首先根据各种分析方法的计算原理对目前各种曲面分析方法进行了分类；并对各种方法的原理、计算方法进行了详细的阐述；最后通过三个例子，对实际应用中广泛使用的反射线法、等照度线法和高亮线法的检查过程进行了详细的分析，解释了它们的分析过程和评判方法。这些曲面品质检查方法能够满足实际使用过程中绝大部分的分析要求。