标题：手动开方
数值计算方式
手动开立方设A = X^3,求X.称为开立方。 开立方有一个用于数值计算的公式：
X(n+1)=Xn+(A/X^2-Xn)1/3 　(n，n+1是下角标）
例如，A=5，即求
5介于1的3次方;至2的3次方;之间（1的3次方=1，2的3次方=8）
初始值X0可以取1.1，1.2，1.3，1.4，1.5，1.6，1.7，1.8，1.9，都可以。例如我们取X0 = 1.9按照公式：
第一步：X1=1.9+（5/1.9^2;-1.9)1/3=1.7。
即5/1.9×1.9=1.3850416，1.3850416-1.9=-0.5149584，-0.5149584×1/3=-0.1716528，1.9+(-0.1716528)=1.7。即取2位数值,，即1.7。
第二步：X2=1.7+（5/1.7^2;-1.7)1/3=1.71。
即5/1.7×1.7=1.73010，1.73-1.7=0.03，0.03×1/3=0.01，1.7+0.01=1.71。取3位数，比前面多取一位数。
第三步：X3=1.71+（5/1.71^2;-1.71)1/3=1.709.
第四步：X4=1.709+（5/1.709^2;-1.709)1/3=1.7099
这种方法可以自动调节，第一步与第三步取值偏大，但是计算出来以后输出值会自动转小；第二步，第四步输入值
偏小，输出值自动转大。即5=1.7099^3;
当然初始值X0也可以取1.1，1.2，1.3，。。。1.8，1.9中的任何一个,都是X1 = 1.7 > 。当然，我们在实际中初始值最好采用中间值，即1.5。 1.5+（5/1.5^2;-1.5）1/3=1.7。手动开平方如果用这个公式开平方，只需将3改成2，2改成1。即：
X(n + 1) = Xn + (A / Xn − Xn)1 / 2.
例如，A=5：
5介于2的平方至3的平方;之间。我们取初始值2.1，2.2，2.3，2.4，2.5，2.6，2.7，2.8，2.9都可以，我们最好取 中间值2.5。 第一步：2.5+（5/2.5-2.5)1/2=2.2；
即5/2.5=2，2-2.5=-0.5，-0.5×1/2=-0.25，2.5+(-0.25)=2.25，取2位数2.2。
第二步：2.2+(5/2.2-2.2)1/2=2.23；
即5/2.2=2.272，2.272-2.2=-0.072，-0.072×1/2=-0.036，2.2+0.036=2.23。取3位数。
第三步：2.23+(5/2.23-2.23)1/2=2.236。
即5/2.23=2.242,2.242-2.23=0.012,0.012×1/2=0.006,2.23+0.006=2.236.
每一步多取一位数。这个方法又叫反馈开方，即使你输入一个错误的数值，也没有关系，输出值会自动调节，接近准确值。当输入值与输出值一样，那麼就是精确值。例如：
A=94249：94249介入300平方---400平方之间。初始值可以取310，320，330，340，350，360，370，380，390.我们取中间值350为初始值。
350+（94249/350-350)1/2=310.
310+(94249/310-310)1/2=307
307+(94249/307-307)1/2=307.
即94249=307^2算法基础本段的算法源于数值计算里的牛顿迭代法或切线法，即:
，其中的指数s是2或3或其他任意的整数。    
九章算术
手动开平方1．将被开方数的整数部分从个位起向左每隔两位划为一段，用撇号分开，分成几段，表示所求平方根是几位数；小数部分从最高位向后两位一段隔开，段数以需要的精度+1为准。
2．根据左边第一段里的数，求得平方根的最高位上的数。（在右边例题中，比5小的平方数是4，所以平方根的最高位为2。）
3．从第一段的数减去最高位上数的平方，在它们的差的右边写上第二段数组成第一个余数。
4．把第二步求得的最高位的数乘以20去试除第一个余数，所得的最大整数作为试商。（右例中的试商即为[152/(2×20)]=[3.8]=3。）
5．用第二步求得的的最高位数的20倍加上这个试商再乘以试商。如果所得的积小于或等于余数，试商就是平方根的第二位数；如果所得的积大于余数，就把试商减小再试，得到的第一个小于余数的试商作为平方根的第二个数。（即3为平方根的第二位。）
6．用同样的方法，继续求平方根的其他各位上的数。用上一个余数减去上法中所求的积（即152－129=23），与第三段数组成新的余数（即2325）。这时再求试商，要用前面所得到的平方根的前两位数（即23）乘以20去试除新的余数（2325），所得的最大整数为新的试商。（2325/(23×20)的整数部分为5。）
7．对新试商的检验如前法。（右例中最后的余数为0，刚好开尽，则235为所求的平方根。）
如遇开不尽的情况，可根据所要求的精确度求出它的近似值。在《九章算术》里就已经介绍了上述笔算开平方法。
以《九章算术》中求55225的开方为例，图解说明。
|　5’ 52’ 25 (1)
2　|　5’ 52’ 25 (2)
| 4 
|1’ 52 (3)
152/(2×20)=3+... |　1’ 52’ (4)
(2×20+3)×3=129 | 1’ 52’ (5)
1 29
| 23’ 25 (6)
2325/(23×20)=5+... | 23’ 25 (7)
(23×20+5)×5=2325 | 23’ 25 (8)
| 23’ 25 (9)
0 (10)
于是，235即为所求。
《九章算术》少广章：
第十二题：今有积五万五千二百二十五步。问为方几何？
答曰：二百三十五步。
开方术曰：
置积为实。借一算。步之。超一等。议所得。以一乘所借一算为法。而以除。除已。倍法为定法。其复除。折法而下。复置借算步之如初。以复议一乘之。所得副。以加定法。以除。以所得副从定法。复除折下如前。
若开之不尽者为不可开，当以面命之。若实有分者，通分内子为定实。乃开之，讫，开其母报除。若母不可开者，又以母乘定实，乃开之，讫，令如母而一。手动开立方1．将被开立方数的整数部分从个位起向左每三位分为一组；
2．根据最左边一组，求得立方根的最高位数；
3．用第一组数减去立方根最高位数的立方，在其右边写上第二组数；
4．用求得的最高位数的平方的300倍试除上述余数，得出试商；
5．把求得的最高位数的平方的300倍与试商的积、求得的最高位数的30倍与试商的平方的积和试商的立方写在竖式左边，观察其和是否大于余数，若大于，就减小试商再试，若不大于，试商就是立方根的第二位数； 
6．用同样的方法，继续求立方根的其他各位上的数。对新试商的检验亦如前法。
此开立方方法主要参考：
未知作者名号。在另外一个网页中有署名“陈梓瀚”者，不知是否同一作者。本文中有改动。
以《九章算术》中求1860867立方根为例，图解说明。
|　1’ 860’ 867 (1)
1　|　1’ 860’ 867 (2)
| 1 
| 860 (3)
860/(12×300)=2+... |　860 (4)
1[2]×300×2=600 |
1×30×2[2]=120 |
2[3]=8 | 860 (5)
600+120+8=728
| 132’ 867 (6)
132867/(12[2]×300)=3+... | 132’ 867 (7)
12[2]×300×3=12600 |
12×30×3[2]=3240 |
3[3]=27 | 132’ 867 (8)
12600+3240+27=132’ 867
| 0 (9)
0 (10)
于是，123即为所求。
《九章算术》少广章：
第一九题：今有积一百八十六万八百六十七尺。问为立方几何？
答曰：一百二十三尺。
开立方术曰：
置积为实。借一算步之，超二等。议所得，以再乘所借一算为法 ，而除之。除已，三之为定法。复除，折而下。以三乘所得数置中行。复借一算置下行。步之 ，中超一，下超二等。复置议，以一乘中，再乘下，皆副以加定法。以定法除。除已，倍下、 并中从定法。复除，折下如前。
开之不尽者，亦为不可开。若积有分者，通分内子为定实。定 实乃开之，讫，开其母以报除。若母不可开者，又以母再乘定实，乃开之。讫，令如母而一。