标题：谱论
说明
数学上各类线性方程的求解问题可以概括为某个拓扑线性空间X上的方程(λI-T)x=y的求解,这里T是X上已知的线性算子，I为X的单位算子，λ是一个复参数。当X是有限维空间（例如维数为n）时，T可表示为一个n阶方阵,而上面的方程就是n阶线性方程组。在线性代数中，已经完全解决了它的求解问题,主要结果有:上述方程对一切y∈X有解当且仅当λ不是T的特征值,而且这时解有惟一的形式x=(λI-T)-1y。对λ是T的特征值的情况，也给出 y应满足什么条件才能使上述方程有解和解的一般表达式。当X是无限维空间时,问题变得复杂多了。1900～1903年，（E.）I.弗雷德霍姆研究了具有连续核的积分方程,得到了与有限维空间情形相类似的结果。后来,F.（F.）里斯、J.P.绍德尔建立了巴拿赫全连续算子的弗雷德霍姆理论。1904～1906年D.希尔伯特考察了具有对称核的积分方程，后来又有了一般的有界自共轭算子的谱理论。20年代J.冯·诺伊曼为适应量子力学的需要，发展了希尔伯特空间上（无界）自共轭算子的谱理论并得到了酉算子和正常算子的谱分解定理。由于各种非交换的关系研究需要，40年代以后对希尔伯特空间上各种非正常算子的研究也陆续开始，并取得了丰富的成果，已成为现代线性算子谱论的重要方面。另一方面，关于巴拿赫空间上算子的谱论,自从1913年F.里斯的研究以来,也取得了一系列的成果（见谱算子）。
预解集和谱
巴拿赫空间上线性算子谱点的概念是有限维矩阵特征值概念的推广。设T是巴拿赫空间，X到X的线性算子  公式,定义域为D(T),λ为复数。如果(λI-T)有定义在全空间X上的有界的逆算子，那么称λ是算子T的正则点。T的正则点全体称为T的预解集,记为ρ(T)。ρ(T)的余集C \ρ(T)称为T的谱集,简称为谱,记为σ(T)。 
  公式因此 σ(T)是由那些使 (λI－T)没有定义在全空间上的有界的逆算子的复数λ全体组成。σ(T)中的复数称为T的谱点。T的谱点有以下几类:①(λI-T)没有逆算子,这时X中必存在x≠0，使(λI-T)x=0,称这种λ为T的点谱(或特征值)，其全体记为σp(T)。②(λI－T)没有有界的逆算子，这时必存在xn∈X,‖xn‖=1使‖(λI-T)xn‖→0，称这种λ为T的近似点谱,其全体记为σα(T)。③(λI-T)有有界逆算子,但不定义于全空间,称这种λ为T的剩余谱,其全体记为σr(T)。④(λI-T)有稠定逆算子,而逆算子是无界的，称这种λ为T的连续谱，其全体记为σ0(T)。 
当T是巴拿赫空间X上稠定闭算子时，ρ(T)必是复平面上开集，从而σ(T)是闭集，(λI-T)-1是定义在ρ(T)上的算子值解析函数,称为T的预解式,常记为R(λ ,T)。在点λ 0∈ρ(T)的附近R(λ，T)必有展开式 ，
而且对λ,μ∈ρ(T)，成立预解式方程
。谱半径当  公式T是巴拿赫空间 X上有界线性算子时，σ(T) 必是一个有界非空闭集。称r(T)=sup{|λ| |λ∈σ(T)} 为 T的谱半径，且有著名的谱半径公式：。如果r(T)=0,那么称T是广义幂零算子。幂零算子T(即存在自然数k，使Tk=0)必是广义幂零算子。对希尔伯特空间上正常算子N，有r(N)=‖N‖。谱测度设(,B)是一个可测空间,B是一个σ代数(见测度论)，E是定义在 B上取值为希尔伯特空间h上投影算子的映射；  公式如果满足①E()=I,②可列可加性(若{Mn}是B中一列互不相交的集合,则成立，那么称E为(,B)上谱测度，(,B,E)为h上的谱测度空间。 
设(,B,E)是h上一个谱测度空间,ƒ是(,B)上可测函数。如果存在h上算子F，使对一切x，y∈h成立(也记作，上式右边表示ƒ关于由义的复测度的积分）,就称F是ƒ关于E的谱积分，记为或。
谱测度的支集
设是n维欧几里得空间Rn,B是Rn上波莱尔集全体,(Rn,B,E)是希尔伯特空间h上谱测度空间。如果有Rn中开集G,使得E(G)=0,则必有按集的包含关系为最大的开集G0,使得E(G0)=0。称闭集σ=Rn-G0为E的支集，记为 suppE，换言之，σ是满足E(s)=I中（按包含关系为）最大的闭集,形象地说即谱测度E集中在闭集supp  公式E上，并且 E不能集中在比suppE更小的闭集上，易知谱积分。  公式对于是拓扑空间，B是上波莱尔集或贝尔集全体，在适当假设下就能将谱测度支集的概念推广到(,B,E)的情况。 　　
谱系　类似于单调增加右连续的（点）函数与勒贝格-斯蒂尔杰斯测度（集函数）的关系,对于谱测度（集的投影算子值函数）与“单调增加右连续的”（点）投影算子值函数也存在。下面以=R1（实直线）为例:设(R1,B, E)是希尔伯特空间h上的谱测度空间,规定Eλ=E((-∞,λ】)，(λ∈(-∞，∞)),这时函数Eλ满足①单调性，当λ≥μ时,Eλ≥Eμ,②右连续性，当λn>λ，λn→λ时，强收敛于Eλ,③规范性，当λ→-∞时，Eλ强收敛于0；当λ→+∞时,Eλ强收敛于I。称满足①～③的Eλ为相应于E 的谱系。反之，任何满足①～③的函数Eλ必是惟一地相应于某个谱测度 E的谱系。对于有谱系的谱积分又常写作或。
谱分解定理
设h是复希尔伯特空间,N是h上正常算子。则必存在定义在复平面C(视为R2)所有波莱尔集上谱测度E，使得。如果σ(N)是N 的谱集,则E的支集就是σ(N)，即。 　 　正常算子的谱分解定理实际上是 n维复线性空间上正常矩阵对角化理论 
  公式在无限维复希尔伯特空间上的推广。它  公式刻画了正常算子的结构，许多正常算子的重要性质可由它导出，例如①λ∈σ(N)的充要条件是对任何λ的邻域O，E(O)≠0；②λ是N 的特征值的充要条件是单点集{λ}的谱测度E({λ})≠0;③λ是N的正则点的充要条件是存在λ的邻域①，使得E(O)=0；当λ0是N的正则点时，；④h上有界线性算子 A和N可交换的充要条件是对任何M∈B，AE(M)=E(M)A等。 　　对于特殊的正常算子，例如对酉算子U，必存在【0，2π]上谱系（即是定义在[0，2π]上单调增加右连续，并且E0=0，E2π=I 的投影算子值函数），使得；而对自共轭算子A,必存在定义在R1上谱系Eλ,使得。算子演算对希尔  公式伯特空间h上正常算子N，有谱测度空间(σ(N),B,E)，这时对σ(N)上定义的复值有界波莱尔可测函数ƒ,定义,那么映射ƒƒ(N)有如下性质： 　　① 埃尔米特性　，这里； 　　② 线性　； 　　③ 可乘性　(ƒg)(N)=ƒ(N)g(N)； 　　④ 。 　　此外,有谱映射定理：对希尔伯特空间h中的正常算子N,若ƒ为σ(N)上的连续函数,那么有σ(ƒ(N))=ƒ(σ(N))。广义特征分解若希尔伯特空间h上自共轭算子A满足σp(A)=σ(A)（即A的谱都是特征值）。那么必  公式有特征展开式，式中{ev}是h的完备就范正交系,并且ev是相应于特征值λv的特征向量。特征展开式（离散和的形式）比谱分解式（连续和的形式）更为简便。在吸收了广义函数论方法的基础上，引出了一般自共轭算子的广义特征分解的概念。 　　设l2(Rn)是 n维欧几里得空间Rn上关于勒贝格测度平方可积函数全体所成的希尔伯特空间。A是L2(Rn)上的自共轭算子，定义域D(A)包含基本函数空间K(见广义函数)，而且是K到K中的连续线性算子。又设当φ∈D(A)时
  公式,必有,而且。A在K的共轭空间K┡上的共轭算子A┡定义为：(A┡ψ,φ)=(ψ,Aφ)。如果对实数λ,有F∈K┡,F≠0，使A┡F=λF，就称λ是A的广义特征值,F是相应的广义特征向量。当F∈D(A)时,广义特征值和广义特征向量就是通常的特征值和特征向量。 
如果存在A的特征值系{λv}和相应的就范正交特征向量系{ƒv}以及存在实直线上波莱尔集系{Bn},Bn中每点λ为A的广义特征值，相应的广义特征向量为ƒλ,使得对任何φ，ψ∈K，(ƒλ, φ)是 Bn上波莱尔可测函数，且。那么就称组成了A的完备就范正交广义特征向量系。这时有如下的广义特征展开： 
,
。
作为例子：如果A是l2(R 1)中乘法算子：(Aƒ)(x)=xƒ(x),显然A在l2(R 1)中没有特征向量。而广义函数族{δ(x-λ)|λ∈(-∞,∞)}却构成了A的完备就范正交广义特征向量系。对一般的希尔伯 
  公式特空间中自共轭算子,也有类似的广义特征分解。 
简言之，所谓广义特征展开，实质上就是原来在希尔伯特空间上不是特征值的那些谱点，在适当扩大了的空间（相当于广义函数空间）上变成了特征值，并找到相应的（广义）特征向量和展开式。
相关介绍
谱分解巴拿赫空间上有界线性算子的谱分解
对巴拿赫空  公式间上线性算子,一般说来,还没有类似于正常算子的谱分解定理这样深刻的结果。作为希尔伯特空间上投影算子的推广,在巴拿赫空间有平行投影的概念。设X是巴拿赫空间,M和N是X的两个闭子空间,如果任何x∈X可以唯一地表示为x=y+z,其中y∈M,z∈N,就称X是M和N的直和，记为X=M+N。这时定义算子E：Ex=y，称算子E是X到M上(平行于N)的平行投影，简称为X上投影算子。E是X上投影算子当且仅当E是X上有界的幂等算子,即满足E 2=E的有界线性算子。邓福德－里斯分解定理设T是巴拿赫空间X上的有界线性算子，若σ是σ(T)的子集，  公式且σ和σ┡=σ(T)\σ都是闭集,那么有X的直和分解X=M+N，使M,N都是T的不变子空间,而且σ(T|M)=σ，σ(T|N)=σ┡。这时存在一个包含 σ在其内部而σ┡在其外部的简单的可求长的若尔当曲线C,,使X到M上平行于N的投影E正好是。解析函数演算设T是巴  公式拿赫空间X上有界线性算子。ƒ是在 σ(T)的一个邻域中解析的复值函数。取一个包含σ(T)于内部的简单的可求长若尔当曲线C,C含于ƒ的解析区域中，定义。ƒ(T)是一个有界线性算子,而且映射ƒƒ(T)也有类似于正常算子的算子演算的性质②、③和对应的谱映射定理。 
有关巴拿赫空间上全连续算子谱理论和其他有关结果（见全连续算子、谱算子、线性算子扰动理论）。