标题：边界元法
简介
边界元法是在有限元法之后发展起来的一种较精确有效的工程数值分析方法 。 又称边界积分方程-边界元法。它以定义在边界上的边界积分方程为控制方程，通过对边界分元插值离散，化为代数方程组求解。它与基于偏微分方程的区域解法相比，由于降低了问题的维数，而显著降低了自由度数，边界的离散也比区域的离散方便得多，可用较简单的单元准确地模拟边界形状，最终得到阶数较低的线性代数方程组。又由于它利用微分算子的解析的基本解作为边界积分方程的核函数 ，而具有解析与数值相结合的特点，通常具有较高的精度。特别是对于边界变量变化梯度较大的问题 ，如应力集中问题 ，或边界变量出现奇异性的裂纹问题，边界元法被公认为比有限元法更加精确高效。由于边界元法所利用的微分算子基本解能自动满足无限远处的条件，因而边界元法特别便于处理无限域以及半无限域问题。边界元法的主要缺点是它的应用范围以存在相应微分算子的基本解为前提，对于非均匀介质等问题难以应用，故其适用范围远不如有限元法广泛，而且通常由它建立的求解代数方程组的系数阵是非对称满阵，对解题规模产生较大限制。对一般的非线性问题，由于在方程中会出现域内积分项，从而部分抵消了边界元法只要离散边界的优点。
边界元法的基础
边界元法是基于控制微分方程的基本解来建立相应的边界积分方程，再结合边界的剖分而得到的离散算式。
Jaswon和Symm于1963年用间接边界元法求解了位势问题；Rizzo[3]于1967年用直接边界元法求解了二维线弹性问题；Cruse[4]于1969年将此法推广到三维弹性力学问题。1978年，Brebbia用加权余量法推导出了边界积分方程，他指出加权余量法是最普遍的数值方法，如果以Kelvin解作为加权函数，从加权余量法中导出的将是边界积分方程——边界元法，从而初步形成了边界元法的理论体系，标志着边界元法进入系统性研究时期。
边界元法的发展
经过近40年的研究和发展，边界元法已经成为一种精确高效的工程数值分析方法。在数学方面，不仅在一定程度上克服了由于积分奇异性造成的困难，同时又对收敛性、误差分析以及各种不同的边界元法形式进行了统一的数学分析，为边界元法的可行性和可靠性提供了理论基础。在方法与应用方面，现在，边界元法已应用到工程和科学的很多领域，对线性问题，边界元法的应用已经规范化；对非线性问题，其方法亦趋于成熟。在软件应用方面，边界元法应用软件已由原来的解决单一问题的计算程序向具有前后处理功能、可以解决多种问题的边界元法程序包发展。
我国约在1978年开始进行边界元法的研究，目前，我国的学者在求解各种问题的边界元法的研究方面做了很多的工作，并且发展了相应的计算软件，有些已经应用于工程实际问题，并收到了良好的效果。
图书信息
书 名: 边界  元法
作　者：姚振汉
出版社： 高等教育出版社
出版时间： 2010年4月1日
ISBN: 9787040286090
开本： 16开
定价: 59.00元
内容简介
《边界元法》内容简介：边界元法是在有限元法之后发展起来的一种精确高效的工程分析数值方法。经过近五十年的发展，它不仅在固体与结构分析领域成为有限元法最重要的一种补充，而且在微机电系统电磁场分析和大型结构电磁波散射分析等领域也得到广泛应用。
《边界元法》分为传统边界元法的基本内容和近年发展的快速多极边界元法等新进展两大部分。前七章包含了传统边界元法的基本内容，分为三个单元：前三章为数学力学基础部分，介绍各种问题边界积分方程的建立；第四、第五章为基本数值方法部分，包括分元离散，数值积分和方程求解，并结合二维问题介绍其程序实现；第六、第七章为几类应用专题，主要是含时间问题、几种非线性问题和反问题。
第八、第九章介绍快速多极边界元法和大规模快速多极边界元并行算法，第十二章介绍与边界积分方程相关的边界型无网格法。另外在第十、第十一两章简要介绍国际上边界元法比较成功的应用，包括在机械、结构工程中的应用，和声场、电磁场分析设计中的应用。
书中的内容多于48学时或32学时的课程能够讲授的内容，便于不同学校、不同专业的老师根据需要选讲部分内容，同时为研究生提供课外的补充学习材料。《边界元法》附带光盘，提供弹性力学平面问题的边界元法C++和Fonran源程序、一个三维位势问题的常规和快速边界元分析程序的执行文件，以及相应的考题和算例，供读者试用。
《边界元法》也可以作为有关教师和工程技术人员学习边界元法的参考书。
图书目录
引言
1 边界元法的数学基础
2 边界元法的发展历史
3 我国边界元法研究概况
4 边界元法研究的最新进展
5 边界元法的应用举例
6 边界元法的优缺点
7 本书的内容安排
参考文献
第一章 位势问题的边界积分方程与边界元法
1 调和方程的基本定解问题
2 Green等式、基本解及解的积分表达式
3 边界积分方程的建立
4 对于一般问题的推广
5 位势问题的边界元法简介
习题
附录1指标符号与笛卡儿张量简介
A1.1 指标符号
A1.2 矢量
A1.3 张量和张量场
参考文献
第二章 线弹性静力学问题的边界积分方程
1 线弹性静力学定解问题的微分提法
2 Betti定理、Kelvin解及Somigliana等式
3 线弹性静力学的边界积分方程
4 建立基本解的一种一般方法
习题
参考文献
第三章 几种常见的直接法和间接法边界积分方程
1 核函数的扩充
2 回转体问题
2.1 变截面轴的扭转问题
2.2 轴对称问题
2.3 回转体的弯曲问题
3 弹性薄板弯曲问题
3.1 弹性薄板弯曲问题的微分提法
3.2 弹性薄板弯曲问题的基本边界积分方程
3.3 弹性薄板弯曲问题的补充边界积分方程
4 弹性裂纹问题的对偶边界积分方程
4.1 位移边界积分方程
4.2 面力边界积分方程
5 半空间、半平面问题
5.1 半空间问题
5.2 半平面问题
6 位势问题的间接法边界积分方程
7 虚应力法建立的边界积分方程
8 位移间断法建立的边界积分方程
9 域外回线虚载荷法建立的回线积分方程
10 域外奇点法建立的边界积分方程
11 边界积分方程的正则化和基本解的恒等式
习题
参考文献
第四章 二维问题的边界元数值方法与程序实现
1 边界的离散化
1.1 二维域边界线的几何描述及单元自动划分
1.2 二维域的边界线元单元描述
2 边界积分方程的离散化
2.1 由加权余量法配点格式将边界积分方程化为线性代数方程组
2.2 核函数与形函数乘积的等精度Gauss积分
2.3 奇异积分的处理
2.3.1 弱奇异积分的处理
2.3.2 Cauchy主值积分和超奇异积分的简单特解法
2.3.3 Cauchy主值积分和超奇异积分的有限部分积分的一般性处理方法
3 方程的求解以及边界应力、内点位移和应力的确定
3.1 离散化的边界积分方程的求解
3.2 边界应力的确定
3.3 内点位移和应力的确定
4 边界元法计算误差的一种直接估计
4.1 内点变量趋于边界点极限的确定
4.2 边界元解误差的一种直接估计
4.3 基于边界元解误差直接估计的边界元自适应计算简例
5 边界元子域法
5.1 边界元链状子域法
5.2 边界元重复相似子域法
5.3 边界元行列子域法
习题
附录4 弹性力学平面问题边界元分析软件部分源程序
A4.1 FORTRAN程序BIEBE2说明
A4.2 C++源程序
参考文献
第五章 三维问题的边界元数值方法
1 边界的离散化
1.1 用I-J映射法自动划分单元
1.2 三维域的边界面元单元描述
2 边界积分方程的离散化
2.1 核函数与形函数乘积的等精度Gauss积分
2.2 弱奇异积分的处理
2.3 奇异积分和近奇异积分的简单特解法
2.4 Cauchy主值积分的直接计算法
2.5 超奇异积分的有限部分积分
3 线性代数方程组的求解
4 裂纹问题对偶边界元法
4.1 裂纹面的分元离散
4.2 确定应力强度因子的方法
5 边界元一有限元耦合方法
习题
附录5 三维位势问题边界元分析软件使用说明
A5.1 FMBEM-LAPLACE3D简介
A5.2 使用方法
A5.2.1 前处理
A5.2.2 运行程序
A5.2.3 结果信息
A5.3 前处理转换软件PAq、一TRANSI。ATOR使用说明
A5.3.1 生成MSC.PATRAN前处理文件
A5.3.2 生成BEM_INP.DAq、前处理文件
参考文献
第六章 与时间有关问题的边界元法
1 瞬态热传导问题
1.1 Laplace变换法
1.2 边界元一时间差分耦合法
1.3 与时间有关的基本解
2 弹性动力学问题
2.1 基于与时间有关基本解的边界积分方程与边界元法
2.1.1 与时间有关的基本解
2.1.2 时间一空间域的边界积分方程
2.1.3 时间一空间域的弹性动力学边界元法
2.2 Laplace变换法
2.2.1 在Laplace变换空间的边界积分方程
2.2.2 边界积分方程的离散
2.2.3 Laplace反演方法
2.3 双重互易法
习题
附录6 弹性动力学边界元法补充公式
A6.1 弹性动力学二维问题的时间一空间域基本解
A6.2 弹性动力学三维问题时间一空间域基本解的时间积分
A6.3 弹性动力学三维问题的一种新的时空域边界积分方程
A6.4 弹性动力学三维问题的一种新的高效的时空域边界元法
参考文献 
边界元法在传热学中的应用
前言数值计算方法及计算机仿真是目前解决现代工程技术问题的
一个重要手段，在航空、航天、化工、机械、冶金、电力、能源、安全、
仪器仪表、计量测试等各个领域都有着广泛的应用。特别是近几
年来计算机硬件和软件技术的高速发展，为数值计算与仿真研究边界元法(1张)
开辟了广阔的应用前景。
常见的数值计算的离散方法主要有有限差分法、有限元法和
边界元法等。有限差分法是历史上最早采用的数值方法，这种方
法是用网格线的交点为节点，在每个节点上控制方程中的微分用
差分代替，从而在每个节点形成一个代数方程，求解这些代数方程
就可以获得所需的数值解。有限差分法的优点是最容易实施，缺
点是数值解稳定性难以保证，并且对复杂区域的适应性较差。有
限元法则是把区域划分成一系列单元，在每个单元上取数个点作
为节点，然后通过对控制方程积分来获得离散方程。有限元法的
优点是对不规则区域的适应性好，但计算量较大，需要划分巨大数
量的单元。这两种方法的共同缺点是存在解的不稳定性问题。有
限差分法和有限元法的研究和应用已经比较成熟，并且都已有了
商业化的通用软件。边界元法是应用格林公式选择适当的权函数
把空间求解域上的偏微分方程转换成为其边界上的积分方程。边
界元法的最大优点是使求解空间的维数降低了一阶，从而大大减
少了计算时间和存储容量。另外，由于边界元法不需要对区域内
进行离散，因此温度的测量点位置就可以任意选择。更进一步的
是，不像其他数值方法，边界元法可以直接给出未知表面的温度和
热流，而表面的热流的精确测量要比温度的测量困难得多。这些
优点极大地提高了边界元法在实际工程中的应用。
由于边界元法的研究相对较晚，目前在国际上还没有很好的
通用软件。在国内有关边界元法解决实际工程问题的论文和论著
都比较少，特别是边界元法数值计算的实用程序也难得一见。本
书是根据作者多年来在边界元法和数值传热学研究的基础上完成
的。在书中作者提供了许多边界元法实际应用的c语言源程序，
包含了许多实用的编程技巧。这些程序都经过Vc++严格调试，
每个子程序都是独立模块，并且自成一个完整的体系，不需要任何
其他环境，可以独立运行计算。希望能为使用边界元法解决实际
工程问题的科技工作者提供有用的参考。
本书的第1章介绍了边界元法的理论基础，其中的公式都进
行了严格的推导。第2章介绍了边界元法在稳态导热问题中的应
用。第3章介绍了边界元法在非稳态导热问题中的应用。第4章
介绍了边界元法在导热反问题中的应用。第5章给出一些数值计
算中要用到的相关的数值计算方法。
作者十分感谢中国计量学院的崔志尚教授、李希靖教授、袁昌
明教授在科研和学术上的指导和帮助，感谢国防工业出版社江洪
湖编辑的大力支持。由于作者水平有限，书中难免有缺点和错误，
敬请读者批评指正。
吴洪潭
于中国计量学院目  录第l章边界元法的理论基础……………………………
1．1边界元法概述……………………………………
1．2加权余量法………………………………………
1．3  函数……………………………………………
1．4基本解…………………………………………·
1．5边界积分方程…………………………………·
l_6格林公式………………………………………·
1．7常单元…………………………………………·
1．8线性单元………………………………………·
1．9  次单元………………………………………·
lI 10角点处理………………………………………·
参考文献………………………………………………·
第2章边界元法在稳态导热问题中的应用…………·
2．1  --维平面稳态导热问题的边界元分析………-
2．1．1  混合边界条件下的边界积分方程…·
2．1．2混合边界条件下的边界离散方程…·
2．1．3  二维平面稳态导热问题的通用边界元
C程序…………………………………一
2．2轴对称稳态导热问题的边界元分析…………·
2．2．1边界积分方程………………………一
2．2．2基本解……………………··
2．2．3边界元方程及单元插值…一
参考文献……………………………………一
第3章边界元法在非稳态导热问题中的应用
3．1边界积分方程………………………一
3．2边界元方程…………………………一
3．3时间步长划分………………………-．
3．4区域积分项…………………………一
3．5边界单元的离散……………………··
3．5．1  非对角元素的计算………··
3．5．2  对角元素的计算…………··
3．6  非稳态导热问题通用边界元C程序··
3．6．1  域内划分16个四边形……··
3．6．2  域内划分8个三角形……一
3．6．3  域内划分160个三角形…··
参考文献………………………………………一
第4章边界元法在导热反问题中的应用……
4．1  导热反问题概述……………………一
4．2  边界形状导热反问题………………
4．3共轭梯度法…………………………
4．4边界元数值计算……………………
4．5  数值模拟实验………………………
4．6  导热反问题的边界元C程序………
参考文献………………………………………
第5章相关的数值方法………………………·
5．1  高斯求积公式………………………-
5．2  辛普生求积公式……·
5．3  线性方程组的数值解法
5．4  随机数的产生………·
参考文献………………………·