标题：等差数列
数列
等差数列是多项式数列的一种 简称：A.P (arithmetic progression)
多项式数列:  p(n)=b(0)+b(1)*n+...+b(k)*n^k
多项式数列的和可以用一个矩阵来转换。令这个转换矩阵为A，
做向量b=[b0,b1,...,bk]
令向量c=A*b'，c就是和公式的向量。
和项S(n)=c(1)*n+..+c(k)*n^k+c(k+1)*n^(k+1)。
3阶多项式数列的 A=
A有专门的算法，可以用于matlab中。
function p=leeqi(r)
format rat
p=zeros(r,r);
for k=1:r,w=2:k; p(1,k)=1-sum(p(w,k));
for n=2:r-k+1,p(n,n+k-1)=(n+k-2)/n*p(n-1,n+k-2);
end
等差数列是多项式数列的一次形式b(0)+b(1)*n，在这里把多项式数列的一次形式简称为（一次数列）。
一次数列的通项公式为：p(n)=b(0)+b(1)*n；前n项和的公式为：S(n)=[n,n^2]*[1,1/2;0,1/2]*[b(0);b(1)].
公式
通项公式（第n项）
a(n)=a(1)+(n-1)×d ， 注意：  n是正整数
即 第n项=首项+(n-1)×公差
n是项数
前n项和公式
S(n)=n*a(1)+n*(n-1)*d/2或S(n)=n*(a(1)+a(n))/2 
注意： n是正整数（相当于n个等差中项之和）
等差数列前N项求和，实际就是梯形公式的妙用：
上底为：a1首项，下底为a1+(n-1)d,高为n.
即[a1+a1+(n-1)d]* n/2=a1 n+ n (n-1)d /2.
推论
一.从通项公式可以看出，a(n)是n的一次函数(d≠0)或常数函数(d=0)，(n，an)排在一条直线上，由前n项和公式知，S(n)是n的二次函数(d≠0)或一次函数(d=0，a1≠0)，且常数项为0。
二. 从等差数列的定义、通项公式，前n项和公式还可推出：a(1)+a(n)=a(2)+a(n-1)=a(3)+a(n-2)=…
=a(k)+a(n-k+1)，(类似：p(1)+p(n)=p(2)+p(n-1)=p(3)+p(n-2)=...=p(k)+p(n-k+1))，k∈{1,2,…,n} 
三.若m，n，p，q∈N*，且m+n=p+q，则有a(m)+a(n)=a(p)+a(q)，S(2n-1)=(2n-1)*a(n)，S(2n+1)=
(2n+1)*a(n+1)，S(k)，S(2k)-S(k)，S(3k)-S(2k)，…，S(n)*k-S(n-1)*k…或等差数列，等等。
若m+n=2p,则a(m)+a(n)=2*a(p)
(对3的证明：p(m)+p(n)=b(0)+b(1)*m+b(0)+b(1)*n=2*b(0)+b(1)*(m+n)
p(p)+p(q)=b(0)+b(1)*p+b(0)+b(1)*q=2*b(0)+b(1)*(p+q)；因为m+n=p+q，所以p(m)+p(n)=p(p)+p
(q))
四.其他推论
① 和=（首项+末项）×项数÷2
(证明：s(n)=[n,n^2]*[1,1/2;0,1/2]*[b(0);b(1)]=n*b0+1/2*b1*n+1/2*b1*n^2
(p(1)+p(n))*n/2=(b(0)+b(1)+b(0)+b(1)*n)*n/2=n*b0+1/2*b1*n+1/2*b1*n^2=s(n))
证明原理见高斯算法
项数=（末项-首项）÷公差+1 
(证明：(p(n)-p(1))/b(1)+1=(b(0)+b(1)*n-(b(0)+b(1)))/b(1)+1=(b(1)*(n-1))/b(1)+1=n-1+1=n)
② 首项=2和÷项数-末项或末项-公差×（项数-1）
③ 末项=2和÷项数-首项
(以上2项为第一个推论的转换)
④ 末项=首项+（项数-1）×公差
(上一项为第二个推论的转换)
推论3证明
若m，n，p，q∈N*，且m+n=p+q，则有a(m)+a(n)=a(p)
+a(q)
如a(m)+a(n)=a(1)+(m-1)*d+a(1)+(n-1)*d
=2*a(1)+(m+n-2)*d
同理得，
a(p)+a(q)=2*a(1)+(p+q-2)*d
又因为
m+n=p+q ; 
a(1),d均为常数
所以
若m，n，p，q∈N*，且m+n=p+q，则有a(m)+a(n)=a(p)+a(q)
若m，n，p∈N*，且m+n=2p，则有a(m)+a(n)=2a(p)
注：1.常数列不一定成立
2.m,p,q,n属于自然数
等差中项
等差中项即等差数列头尾两项的和的一半.但求等差中项不一定要知道头尾两项.
等差数列中，等差中项一般设为A(r).当A(m),A(r),A(n)成等差数列时。
A(m)+A(n)=2*A(r),所以A(r)为A(m)，A(n)的等差中项，且
为数列的平均数。并且可以推知n+m=2*r。
且任意两项a(m)，a(n)的关系为：a(n)=a(m)+(n-m)*d，(类似p(n)=p(m)+(n-m)*b(1)，相当容易证明
它可以看作等差数列广义的通项公式。 
等差数列的应用日常生活中，人们常常用到等差数列如：在给各种产品的尺寸划分级别
时，当其中的最大尺寸与最小尺寸相差不大时，常按等差数列进行分级。
若为等差数列，且有a(n)=m,a(m)=n.则a(m+n)=0。
其实，中国古代南北朝的张丘建早已在《张丘建算经》提到等差数列了：
今有女子不善织布，逐日所织的布以同数递减，初日织五尺，末一日织一尺，计织三十日，问共织几 何?
书中的解法是：并初、末日织布数，半之，余以乘织讫日数，即得。
这相当于给出了S(n)=(a(1)+a(n))/2*n的求和公式
小故事
高斯是德国数学家、天文学家和物理学家，被誉为历史上伟大的数学家之一，和阿基米德、牛顿并列，同享盛名。
高斯1777年4月30日生于不伦瑞克的一个工匠家庭，1855年2月23日卒于格丁根。幼时家境贫困，但聪敏异常，受一贵族资助才进学校受教育。1795～1798年在格丁根大学学习,1798年转入黑尔姆施泰特大学，翌年因证明代数基本定理获博士学位。从1807年起担任格丁根大学教授兼格丁根天文台台长直至逝世。
高斯7岁那年，父亲送他进了耶卡捷林宁国民小学，读书不久，高斯在数学上就显露出了常人难以比较的天赋，最能证明这一点的是高斯十岁那年，教师彪特耐尔布置了一道很繁杂的计算题，要求学生把1到 100的所有整数加起来，教师刚叙述完题目，高斯即刻把写着答案的小石板交了上去。彪特耐尔起初并不在意这一举动，心想这个小家伙又在捣乱，但当他发现全班唯一正确的答案属于高斯时，才大吃一惊。而更使人吃惊的是高斯的算法，他发现：第一个数加最后一个数是101，第二个数加倒数第二个数的和也是101，……共有50对这样的数，用101乘以50得到5050。这种算法是教师未曾教过的计算等级数的方法，高斯的才华使彪特耐尔十分激动，下课后特地向校长汇报，并声称自己已经没有什么可教高斯的了。
基本性质
r次等差数列
为什么等差数列的学习中，对公差和首项特别的关注，因为公差和首项可以作为等差数列一切变化的切入点。当我们有更好的切入点后，我们可以毫不犹豫的抛弃公差和首项。
假设一个基En(x)=[1,x,x^2,...,x^k]，转换矩阵A为k+1阶方阵，b=[b0,b1,b2,...,bk]。b同En的长度一样(k+1)。b'表示b的转置。当k=1时，我们可以称为一次数列。k=r时，我们可以称为r次数列。(x,k只能取自然数)
p(x)=En(x)*b'
s(x)=x*En(x)*A*b'
m+n=p+q（m、n、p、q∈N*)则am+an=ap+aq
一次数列的性质
1.p1(x),p2(x)均为一次数列，则p1(x)±p2(x)与c*p1(x)±p2(x)(c为非零常数)也是一次数列。p(x)是一次函数，(n,p(x))构成直线。
2.p(m)-p(n)=En(m)*b'-En(n)*b'=(En(m)-En(n))*b'=[0,m-n]*b'
3.m+n=p+q -> p(p)+p(q)=p(m)+p(n)
(证明:m+n=p+q -> En(m)+En(n)=En(p)+En(q)
p(m)+p(n)=En(m)*b'+En(n)*b'=(En(m)+En(n))*b'
p(p)+p(q)=(En(p)+En(q))*b'=(En(m)+En(n))*b'=p(m)+p(n)
4.从p(x)=En(x)*b'中取出等距离的项，构成一个新数列，此数列仍是一次数列，其一次项系数为k*b(1)( k为取出项数之差)，常项系数未知。
5.在一次数列中，从第二项起，每一项(有穷数列末项除外)都是它前后两项的平均数．
6.当一次项系数b(1)>0时，数列中的数随项数的增大而增大；当b(1)<0时，数列中的数随项数的减少而减小；b(1)=0时，数列中的数等于一个常数.
等差数列的判定
1、a(n+1)--a(n)=d (d为常数、n ∈N*）[或a（n)--a(n-1)=d，n ∈N*，n ≥2,d是常数]等价于{a(n)}成等差数列。
2、2a(n+1)=a(n)+a(n+2) [n∈N*] 等价于{a(n)}成等差数列。
3、a(n)=kn+b [k、b为常数,n∈N*] 等价于{a(n)}成等差数列。
4、S(n)=A(n)^2 +B(n) [A、B为常数，A不为0，n ∈N* ]等价于{a(n)}为等差数列。
一道例题
1.设p(x)为一次数列，s(7)=7，s(15)=75，t(x)=s(x)/x，求T(x)，其中x为自然数
[s(7);s(15)]=[7*En(7);15*En(15)]*A*b'=[7;75] ->b'=A^-1*[7*En(7);15*En(15)]^-1*[7;75]t(x)=s(x)/x=x*En(x)*A*b'/x=En(x)*A*b' ->st(x)=x*En(x)*A^2*b'=x*En(x)*A^2*A^-1*[7*En(7);15*En(15)]^-1=x*En(x)*A*[7*En(7);15*En(15)]^-1*[7;75]=-9/4*x+1/4*x^2（注意：其中st(x)表示t(x)的和）
基本性质
⑴数列为等差数列的重要条件是：数列的前n项和S 可以写成S = an^2 + bn的形式(其中a、b为常数)． 
⑵在等差数列中，当项数为2n (n∈ N+)时， S偶－S奇 = nd， S奇÷S偶=an÷a（n+1） ；当项数为(2n－1）(n∈ N+)时，S奇—S偶=a中 ，S奇÷S偶 =n÷（n-1） ． 
⑶若数列为等差数列，则S n，S2n －Sn ，S3n －S 2n，…仍然成等差数列，公差为k^2d ． 
(4)若数列{an}与{bn}均为等差数列，且前n项和分别是Sn和Tn，则am/bm=S2m-1/T2m-1.
⑸在等差数列中，S = a，S = b (n>m)，则S = (a－b)． 
⑹等差数列中， 是n的一次函数，且点（n， ）均在直线y = x + (a － )上． 
⑺记等差数列的前n项和为S ．①若a >0，公差d<0，则当a ≥0且a ≤0时，S 最大；②若a <0 ，公差d>0，则当a ≤0且a ≥0时，S 最小．
[8)若等差数列S(p)=q,S(q)=p,则S(p+q)=-(p+q)
特殊性质
在有穷等差数列中，与首末两项距离相等的两项和相等。并且等于首末两项之和；特别的，若项数为奇数，还等于中间项的2倍,
即，a(1)+a(n)=a(2)+a(n-1)=a(3)+a(n-2)=···=2*a中
例：
数列：1，3，5，7，9，11中
a(1)+a(6)=12 ; a(2)+a(5)=12 ; a(3)+a(4)=12 ; 即，在有穷等差数列中，与首末两项距离相等的两项和相等。并且等于首末两项之和。
数列：1，3，5，7，9中
a(1)+a(5)=10 ; a(2)+a(4)=10 ; a(3)=5=[a(1)+a(5)]/2=[a(2)+a(4)]/2=10/2=5 ; 即，若项数为奇数，和等于中间项的2倍,另见，等差中项.
关系
设等差数列为：A+BN，A为等差数列的首项，B为等差数列的公差。素数与等差数列的关系具体内容为：
内容一，A能够被B整除时，那么，该等差数列的每一项，都能够被B整除； 
内容二，我们将B分解为几个素数的乘积，如果说，A能够被B所分解出来的1个或几个素数整除，那么，该等差数列的每一项，都能够被这1个或这几个素数整除；
, 内容三，如果首项A，不能够被公差B或者公差B分解出来的素数整除，那么，该等差数列的每一项，都不能够被公差B或者分解出来的素数整除；
内容四，如果说，公差不能够被素数S整除，那么，该等差数列的S个连续项中，必然有一个项被素数S整除，S个连续项分别除以素数S，其余数分别为：1，2，3，4，……S-1，0。余数的排列是循环排列，循环项以S个连续项为一个循环周期；周期内余数的排列顺序与公差和素数S有关，相同的公差和素数S，余数的循环排列是相同的。
乘除法
首先，说一个乘法原理：在A*B中，如果A、B都不能被C整除，那么A*B之积，同样不能被C整除。
根据该原理，按照上面《素数与等差数列的关系》内容三，如果两个公差相同的等差数列，首项都不能被公差或者公差分解出来的素因子整除时，那么，这两个等差数列的任何一项都不能被公差或者公差分解出来的素因子整除；这两个等差数列之间，数列A中的任何一个项与数列B中的任何一个项的乘积，数列A中的任何一个项与数列A中的任何一个项的乘积，数列B中的任何一个项与数列B中任何一个项的乘积，都不能被公差或者公差分解出来的素因子整除。
我们令等差数列的公差为D，两个等差数列的首项分别为A、B。组成两个等差数列A+DN，B+DN。
令A*B/D余数为C，那么，（A+DN）*（B+DN）的乘积，必然在等差数列C+DN之中；反过来，当（C/A）/D余数为B时，那么，等差数列C+DN数列中的数，如果能够被A+DN数列中的数整除时，其商必然在等差数列B+DN之中。
举例说明：
我们以公差30的等差数列为例，在30内不能被30以及30分解出来的素因子2，3，5分别整除的数有1，7，11，13，17，19，23，29.它们之间的乘法余数表为：
00，01，07，11，13，17，19，23，29
01，01，
07，07，19，
11，11，17，01，
13，13，01，23，19，
17，17，29，07，11，19，
19，19，13，29，07，23，01，
23，23，11，13，29，01，17，19，
29，29，23，19，17，13，11，07，01.
从该表看：它们的余数排列关系是一一对应的，当然，你用其它公差如6，210，2310等，不能被它们分解出来的所有素因子整除的数之间的乘积，除以公差的余数排列关系都是一一对应的关系。
我们从该表查对应关系，如13*17/30余11，表明：等差数列（13+30N）*（17+30N′）的积，必然在等差数列11+30N数列之中；反过来，当11+30N等差数列中的数，如果能够被等差数列13+30N中的数整除，其商必然在等差数列17+30N之中。
余数
1、当合数是由单个素因子组成时，如由单个素因子3组成的合数9，27，81等，等差数列的公差能够被该单个素因子整除时，该等差数列除以合数的余数为：9/3=3个，27/3=9个，81/3=27个循环排列。具体余数为该等差数列的首项/素因子的余数+素因子*L所得。如首项/3余1，其余数为1+3L，例如等差数列1+30N数列除以合数9余数按1，4，7进行循环；如首项/3余0，其余数为0+3L，例如等差数列3+30N数列除以合数9的余数按3，6，0进行循环。
2、当公差能被合数整时，该等差数列除以合数的余数，为等差数列的首项除以该合数的余数。如等差数列3+30N的数除以合数15的余数，都为首项的3/15的余数3。
3、当等差数列的公差能够被合数分解出现的部分素因子整除。
（1）、单素因子：其余数个数与不能整除的素因子的值相同，具体余数为首项除以能整除的素因子的余数+该素因子*L。如等差数列3+30N的数除以35，因首项的3/5余3，有3+5L=3，8，13，18，23，28，33。具体余数为3，33，28，23，18，13，8的循环排列。
（2）、多素因子：其余数个数与不能整除的素因子之积的值相同，具体余数为首项除以能整除的素因子的共同余数+素因子之积*L。如2137+2310N数列除以合数46410，公差2310为2*3*5*7*11，合数46410为2*3*5*7*13*17，共同的素因子为2，3，5，7，因首项2137/2余1，2137/3余1，2137/5余2，2137/7余2，满足这些条件的数为37，37是它们的共同余数。具体余数为37+210L中的数，取13*17=221个余数循环，具体余数以2137，4447，6567，…， 46237，共221项为一个循环周期。
4、当等差数列的公差不能被合数分解出来的素因子整除时，其余数个数为合数的值，如等差数列7+43N除以合数10，其余数为10个：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，具体余数为7，0，3，6，9，2，5，8，1，4的循环排列。
相邻两项之间的差为常数的一类数列或者任意相邻两项的差相等的数列。
等差数列的递推公式an=a(n-1)+d d为公差 an为第n项 a(n-1)为第n-1项
通项公式an=a1+(n-1)d
前n项和S(n)=n*a(1)+n*(n-1)*d/2或S(n)=n*(a(1)+a(n))/2 
等差数列前n项和公式S 的基本性质
⑴数列为等差数列的重要条件是：数列的前n项和S 可以写成S = an^2 + bn的形式(其中a、b为常数)． 　⑵在等差数列中，当项数为2n (n∈ N+)时， S偶－S奇 = nd， S奇÷S偶=an÷a（n+1） ；当项数为(2n－1）(n∈ N+)时，S奇—S偶=a中 ，S奇÷S偶 =n÷（n-1） ． 　⑶若数列为等差数列，则S n，S2n －Sn ，S3n －S 2n，…仍然成等差数列，公差为k^2d ． 　⑷若两个等差数列、的前n项和分别是S 、T (n为奇数)，则 = ． 　⑸在等差数列中，S = a，S = b (n>m)，则S = (a－b)． 　⑹等差数列中， 是n的一次函数，且点（n， ）均在直线y = x + (a － )上． 　⑺记等差数列的前n项和为S ．①若a >0，公差d<0，则当a ≥0且a ≤0时，S 最大；②若a <0 ，公差d>0，则当a ≤0且a ≥0时，S 最小． 　[8)若等差数列S(p)=q,S(q)=p,则S(p+q)=-(p+q)
等差数列在高中数学人教版必修5