标题：重一数
含义
重一数，就是全是重复数字1的数，比如1111111111111111111。本文为了表示简单，我们不妨把前面这个数写作R19，它表示一个由19个1组成的重一数。则，R2=11，R3=111，……以此类推。
有数论基础的人不难发现，素数个1组成的重一数就是梅桑数底数为10的情况。
重一数看似简单，但是通过研究重一数的素因子，你可以发现其中隐含着很多有趣的东西。这里首先引入一个定义——强素因子。
若Rn有素因子p，且对于任何r<n，都不存在Rr有素因子p，我们称p为Rn的强素因子。通俗的说，我们从R2、R3、R4开始写每个重一数的素因子，强素因子就是那些新出现的素因子。可见，若一个素数是Rm的强素因子，他就不可能再是Rn（n≠m）的强素因子了。不同的同一数，它们强素因子所组成的集合之间没有交集。
两个定理
定理1p为素数的充分必要条件是Rp的所有素因子皆为强素因子。
定理2一个素数p的倒数的循环节位数为m（素数的倒数皆是纯循环小数）的充分必要条件是，p为Rm的强素因子。
定理1的例子比如R7=239x4649，而239，4649都是R7的强素因子，换句话说，R2、R3、R4、R5、R6中皆没有239和4649这两个素因子。
定理2的例子即1/239=0.<0041841>，这个式子指0041841为1/239的循环节，可见它为7位。
同样的，1/4649=0.<0002151>，亦为7位循环节。除了239和4649这两个素数外，再也没有素数的倒数是7位循环节了。
定理2说明，一个素数的循环节位数表明了它是哪个重一数的强素因子。我们利用电子计算机技术，可以通过计算一个素数的循环节位数，来寻找大重一数（一般是100以上）的强素因子，继而对该重一数分解素因子。
定理3Rn的强素因子是kn+1的形式。（k为自然数）
例子比如：239=34x7+1，4649=664x7+1。由定理3可见，Rn的强素因子一定大于n+1，换句话说，一个素数p，它倒数的循环节位数最大为p-1。
对于定理2、3，应该补充一句：对于2、3、5这三个素数例外，很明显重一数是不可能把2、5作为素因子的，而对于3来说，1/3=0.<3>，只有1位循环节，但是它却是R3的强素因子，另外3不是3k+1的形式。定理2、3对于其它素数都是满足的，这一点也很容易证明。
我们可以看到R2是一个素重一数。容易证明，当n为合数时，Rn一定为合数。那么，有没有更大一些的素重一数呢？答案是有的，本文开头所示的R19即为第二个素重一数，下一个素重一数是R23，再下一个便是R317了，之后是R1031，R49081，R86453，R109297。可见，素重一数的分布是没有规律的。关于素重一数的研究，可以与梅桑素数的研究相似。
形如(10^n-1)/9的整数，如1,11,111,111,...
一般记为Rn.
为素数的前几个重一数是2, 19, 23, 317, 1031,
49081, 86453, 109297.
前面几个的分解式
1    no prime factors                                              
2    11 
3    3  37 
4    (2)  101 
5    41  271 
6    (2,3)  7  13 
7    239  4649 
8    (2,4)  73  137                                                
9    (3)  3  333667                                                
10    (2,5)  9091 
11    21649  513239                                                 
12    (2,3,4,6)  9901                                               
13    53  79  265371653                                             
14    (2,7)  909091                                                 
15    (3,5)  31  2906161                                            
16    (2,4,8)  17  5882353                                          
17    2071723  5363222357                                           
18    (2,3,6,9)  19  52579                                          
19    1111111111111111111                                           
20    (2,4,5,10)  L  M                                              
L    3541 
M    27961 
21    (3,7)  43  1933  10838689                                     
22    (2,11)  11  23  4093  8779                                    
23    11111111111111111111111                                       
24    (2,3,4,6,8,12)  99990001                                      
25    (5)  21401  25601  182521213001                               
26    (2,13)  859  1058313049                                       
27    (3,9)  3  757  440334654777631                                
28    (2,4,7,14)  29  281  121499449                                
29    3191  16763  43037  62003  77843839397                        
30    (2,3,5,6,10,15)  211  241  2161                               
31    2791  6943319  57336415063790604359                           
32    (2,4,8,16)  353  449  641  1409  69857                        
33    (3,11)  67  1344628210313298373                               
34    (2,17)  103  4013  21993833369                                
35    (5,7)  71  123551  102598800232111471                         
36    (2,3,4,6,9,12,18)  999999000001                               
37    2028119  247629013  2212394296770203368013                    
38    (2,19)  909090909090909091                                    
39    (3,13)  900900900900990990990991                              
40    (2,4,5,8,10,20)  1676321  5964848081                          
41    83  1231  538987  201763709900322803748657942361              
42    (2,3,6,7,14,21)  7  127  2689  459691                         
43    173  1527791  1963506722254397  2140992015395526641           
44    (2,4,11,22)  89  1052788969  1056689261                       
45    (3,5,9,15)  238681  4185502830133110721                       
46    (2,23)  47  139  2531  549797184491917                        
47    35121409  316362908763458525001406154038726382279             
48    (2,3,4,6,8,12,16,24)  9999999900000001                        
49    (7)  505885997  1976730144598190963568023014679333            
50    (2,5,10,25)  251  5051  78875943472201                        
51    (3,17)  613  210631  52986961  13168164561429877              
52    (2,4,13,26)  521  1900381976777332243781                      
53    107  1659431  1325815267337711173                             
47198858799491425660200071                                    
54    (2,3,6,9,18,27)  70541929  14175966169                        
55    (5,11)  1321  62921  83251631  1300635692678058358830121      
56    (2,4,7,8,14,28)  7841  127522001020150503761                  
57    (3,19)  21319  10749631  3931123022305129377976519            
58    (2,29)  59  154083204930662557781201849                       
59    2559647034361                                                 
4340876285657460212144534289928559826755746751                
60    (2,3,4,5,6,10,12,15,30)  L  M                                 
L    (20L)  61  4188901                                            
M    (20M)  39526741                                               
61    733  4637  329401  974293  1360682471  106007173861643        
7061709990156159479                                           
62    (2,31)  909090909090909090909090909091                        
63    (3,7,9,21)  10837  23311  45613  45121231  1921436048294281   
64    (2,4,8,16,32)  19841  976193  6187457  834427406578561        
65    (5,13)  162503518711  5538396997364024056286510640780600481   
66    (2,3,6,11,22,33)  599144041  183411838171                     
67    493121  79863595778924342083                                  
28213380943176667001263153660999177245677                     
68    (2,4,17,34)  28559389  1491383821  2324557465671829           
69    (3,23)  277  203864078068831  1595352086329224644348978893    
70    (2,5,7,10,14,35)  4147571  265212793249617641                 
71    241573142393627673576957439049                                
45994811347886846310221728895223034301839                     
72    (2,3,4,6,8,9,12,18,24,36)  3169  98641  3199044596370769      
73    12171337159  1855193842151350117                              
49207341634646326934001739482502131487446637                  
74    (2,37)  7253  422650073734453  296557347313446299             
75    (3,5,15,25)  151  4201  15763985553739191709164170940063151   
76    (2,4,19,38)  722817036322379041  1369778187490592461          
77    (7,11)  5237  42043  29920507                                 
136614668576002329371496447555915740910181043                 
78    (2,3,6,13,26,39)  13  157  6397  216451  388847808493         
79    317  6163  10271  307627  49172195536083790769                
3660574762725521461527140564875080461079917                   
80    (2,4,5,8,10,16,20,40)  5070721  19721061166646717498359681    
81    (3,9,27)  3  163  9397  2462401  676421558270641              
130654897808007778425046117                                   
82    (2,41)  2670502781396266997  3404193829806058997303           
83    3367147378267  9512538508624154373682136329                   
346895716385857804544741137394505425384477                    
84    (2,3,4,6,7,12,14,21,28,42)  226549  4458192223320340849       
85    (5,17)  262533041  8119594779271                              
4222100119405530170179331190291488789678081                   
86    (2,43)  57009401  2182600451  7306116556571817748755241       
87    (3,29)  4003  72559                                           
310170251658029759045157793237339498342763245483              
88    (2,4,8,11,22,44)  617                                         
16205834846012967584927082656402106953                        
89    497867  103733951  104984505733  5078554966026315671444089    
403513310222809053284932818475878953159                       
90    (2,3,5,6,9,10,15,18,30,45)  29611  3762091  8985695684401     
91    (7,13)  547  14197  17837  4262077  43442141653               
316877365766624209  110742186470530054291318013               
92    (2,4,23,46)  1289  18371524594609                             
4181003300071669867932658901                                  
93    (3,31) 
900900900900900900900900900900990990990990990990990990990991  
94    (2,47)  6299  4855067598095567  297262705009139006771611927   
95    (5,19)  191  59281  63841  1289981231950849543985493631       
965194617121640791456070347951751                             
96    (2,3,4,6,8,12,16,24,32,48)  97  206209  66554101249           
75118313082913                                                
97    12004721  846035731396919233767211537899097169                
109399846855370537540339266842070119107662296580348039        
98    (2,7,14,49)  197  5076141624365532994918781726395939035533    
99    (3,9,11,33)  199  397  34849                                  
362853724342990469324766235474268869786311886053883           
100    (2,4,5,10,20,25,50)  L  M                                     
L    7019801  14103673319201                                       
M    60101  1680588011350901                                       
101    4531530181816613234555190841                                  
129063282232848961951985354966759                             
18998088572819375252842078421374368604969                     
102    (2,3,6,17,34,51)  291078844423  377526955309799110357         
103    1031  7034077                                                 
153211620887015423991278431667808361439217294295901387715486  $
473457925534859044796980526236853                             
104    (2,4,8,13,26,52)  1580801                                     
632527440202150745090622412245443923049201                    
105    (3,5,7,15,21,35)  30703738801  625437743071                   
57802050308786191965409441                                    
106    (2,53)  9090909090909090909090909090909090909090909090909091  
107    643  999809  9885089  215257037  2386760191                   
511399538427507881  646826950155548399                        
10288079467222538791302311556310051849                        
108    (2,3,4,6,9,12,18,27,36,54)  109  153469                       
59779577156334533866654838281                                 
109    1192679  712767480971213008079  5295275348767234696493        
246829743984355435962408390910378218537282105150086881669547  
110    (2,5,10,11,22,55)  331  5171  20163494891                     
318727841165674579776721                                      
111    (3,37)  37  30557051518647307  8845981170865629119271997      
90077814396055017938257237117                                 
112    (2,4,7,8,14,16,28,56)  113  73765755896403138401              
119968369144846370226083377                                   
113    227  908191467191                                             
538957123122177190652671034266853972984987051734492265550033  $
46881878523705781079015749721646701723                        
114    (2,3,6,19,38,57)  1458973  753201806271328462547977919407     
115    (5,23)  31511  19707665921  20414137203567631                 
5799951513941382144830754391  122403569491783662720773144041  
116    (2,4,29,58)  349  38861  618049                               
11811806375201836408679635736258669583187541                  
117    (3,9,13,39)  240396841140769  537947698126879                 
3352825314499987  2304017384484085131816292573                
118    (2,59)  1889  1090805842068098677837                          
4411922770996074109644535362851087                            
119    (7,17)  923441  3924966376871                                 
768736559421401249042753476963                                
323012942148562751650814544437350454640448842187              
120    (2,3,4,5,6,8,10,12,15,20,24,30,40,60)                         
100009999999899989999000000010001