标题：树结构
定义
一棵树（tree）是由n（n>0）个元素组成的有限集合，其中：
（1）每个元素称为结点（node）； 
（2）有一个特定的结点，称为根结点或根（root）；
（3）除根结点外，其余结点被分成m（m>=0）个互不相交的有限集合，而每个子集又都是一棵树（称为原树的子树）
基本概念
度树的度——也即是宽度，简单地说，就是结点的分支数。以组成该树各结点中最大的度作为该树的度，如上图的树，其度为3;树中度为零的结点称为叶结点或终端结点。树中度不为零的结点称为分枝结点或非终端结点。除根结点外的分枝结点统称为内部结点。深度树的深度——组成该树各结点的最大层次，如上图，其深度为4；层次根结点的层次为1，其他结点的层次等于它的父结点的层次数加1.路径对于一棵子树中的任意两个不同的结点，如果从一个结点出发，按层次自上而下沿着一个个树枝能到达另一结点，称它们之间存在着一条路径。可用路径所经过的结点序列表示路径，路径的长度等于路径上的结点个数减1.森林指若干棵互不相交的树的集合
树的表示
父亲数组表示法设T是一棵树，表示T的一种最简单的方法是用一个一维数组存储每个结点，数组的下标就是结点的位置指针，每个结点中有一个指向各自的父亲结点的数组下标的域，这样可使Parent操作非常方便。类型定义如下：
Type
TPosition=integer; {结点的位置类型为整型}
NodeType=Record
Label:LabelType; {该结点的标号}
Parent:TPosition; {该结点的父亲的数组下标，对于根结点该域为0}
End;
TreeType=Record
NodeCount:integer; {树的结点的总数目}
Node:Array [1..MaxNodeCount] of NodeType;{存储树的结点}
End; 
由于树中每个结点的父亲是唯一的，所以上述的父亲数组表示法可以唯一地表示任何一棵树。在这种表示法下，寻找一个结点的父结点只需要O(1)时间。在树中可以从一个结点出发找出一条向上延伸到达其祖先的道路，即从一个结点到其父亲，再到其祖父等等。求这样的道路所需的时间正比于道路上结点的个数。在树的父亲数组表示法中，对于涉及查询儿子和兄弟信息的树操作，可能要遍历整个数组。为了节省查询时间，可以规定指示儿子的数组下标值大于父亲的数组下标值，而指示兄弟结点的数组下标值随着兄弟的从左到右是递增的。儿子链表表示法树的另一种常用的表示方法就是儿子链表表示法。这种表示法用一个线性表来存储树的所有结点信息，称为结点表。对每个结点建立一个儿子表。儿子表中只存储儿子结点的地址信息，可以是指针，数组下标甚至内存地址。由于每个结点的儿子数目不定，因此儿子表常用单链表来实现，因此这种表示法称为儿子链表表示法。这种实现法与图的邻接表表示法类似。下图是一个儿子链表表示法的示意图。
图3 树的儿子链表实现
图3中儿子链表结构表示的树如图4所示，树中各结点存放于一个数组实现的表中，数组下标作为各结点的指针。每一个数组元素（即每一个结点）含有一个儿子表，在图3中儿子表是用单链表来实现的，当然也可以用其他表的实现方式来实现儿子表，比如说游标方式(静态链表)。但由于每个结点的儿子数目不确定，所以一般不用数组来实现儿子表，但可以用数组来实现结点表，就如图3所示。在图3中可以看到，位于结点表第一个位置的结点(未必是根结点)有两个儿子结点，从左到右的两个儿子结点分别位于结点表的第2和第3个位置。因为图3中的结点表用数组实现，所以结点的标号就是结点在结点表中的数组下标。如图4所示。
图4 图3中儿子链表所表示的树
为了指明树的根结点的位置，我们可以用一个变量Root记录根结点在结点表中的位置。有了根结点的位置，就可以利用儿子表依次找到树中所有的结点。
儿子链表表示的树的类型定义如下：
Type
{======================
NodeListType是一个元素为NodeType类型的线性表，其位置类型为TPosition，
NodeListType定义了结点表的类型；
ChildrenListType是一个元素为TPosition类型的线性表， ChildrenListType定义了儿子表的类型
=======================}
TPosition=....
ChildrenListType=...
NodeType=Record {结点的类型}
Label:LabelType; {结点的标号}
Children:ChildrenListType;{结点的儿子表}
End;
NodeListType=...
TreeType=record
root:TPosition; {记录树根在结点表中的位置}
Node:NodeListType; {结点表}
end; 
其中NodeListType是一个元素为NodeType类型的线性表，其位置类型为TPosition，NodeListType定义了结点表的类型；ChildrenListType是一个元素为TPosition类型的线性表， ChildrenListType定义了儿子表的类型。以上类型定义并不考虑表的具体实现方式，如果假设结点表和儿子表都用单链表实现，则类型定义可以具体实现如下：
{儿子链表实现树的类型定义的一个具体实例，结点表和儿子表都用单链表实现}
Type
TPosition=^NodeType; {结点表的位置类型}
ChildrenNodeType=record {儿子表的结点项的类型}
child:TPosition; {指向儿子结点的位置指针}
next:^ChildrenNodeType; {指向下一个儿子表项的指针}
end;
NodeType=Record {结点的类型定义为单链表}
Label:LabelType; {结点的标号}
Children:^ChildrenNodeType;{指向儿子表的指针}
Next:TPosition;
End;
TreeType=^NodeType; {树的类型定义为结点指针类型} 
注意以上的定义只是一种具体情况，实际应用中结点表和儿子表可能用数组、链表等任何一种表的实现方式实现。左儿子右兄弟表示法树的左儿子右兄弟表示法又称为二叉树表示法或二叉链表表示法。每个结点除了data域外，还含有两个域，分别指向该结点的最左儿子和右邻兄弟。这种表示法常用二叉链表实现，因此又称为二叉链表表示法。但是实际应用中常用游标(静态链表)来代替链表，请参见表的游标实现。
若用指针实现，其类型定义为：
Type
TPosition=^NodeType;
NodeType=record
Label:LabelType;
Leftmost_Child,Right_Sibling:TPosition;
end;
TreeType=TPosition; 
若用游标实现，其类型定义为:
Type
TPosition=integer;
NodeType=record
Label:LabelType;
Leftmost_Child,Right_Sibling:TPosition;
end;
CellspaceType=array [1..MaxNodeCount] of NodeType;
TreeType=TPosition;
var
Cellspace:CellspaceType;
Tree:TreeType; 
此时树类型TreeType是整数类型，它指示树根在cellspace中的游标。例如图5(a)中树的左儿子右兄弟表示法的指针和游标实现分别如图5(b)和(c)所示。
(a)
(b)
(c)
图5 树的左儿子右兄弟表示法
用树的左儿子右兄弟表示法可以直接实现树的大部分操作，只有在对树结点作Parent操作时需遍历树。如果要反复执行Parent操作，可在结点记录中再开辟一个指向父结点的指针域，也可以利用最右儿子单元中的Right_Sibling作为指向父结点的指针(否则这里总是空指针)。当执行Parent(v)时，可以先通过Right_Sibling逐步找出结点v的最右兄弟，再通过最右兄弟的Right_Sibling(父亲指针)找到父结点。这个结点就是结点v的父亲。在这样的表示法下，求一个结点的父亲所需要的时间正比于该结点右边的兄弟个数。不过，这时每个记录中需要多用一位(bit)空间，用以标明该记录中的right_sibling是指向右邻兄弟还是指向父亲。
考虑到对于现在的计算机，内存已经不是很重要的限制因素了。我们下面就采取增加一个parent域的方案，以改进左儿子右兄弟表示法中Parent操作的效率。因此重新定义树的类型如下：
若用指针实现，其类型定义为：
Type
TPosition=^NodeType;
NodeType=record
Label:LabelType;
Parent,Leftmost_Child,Right_Sibling:TPosition; {增加一个Parent域}
end;
TreeType=TPosition;
var
Tree:TreeType; 
若用游标实现，其类型定义为:
Type
TPosition=integer;
NodeType=record
Label:LabelType;
Parent,Leftmost_Child,Right_Sibling:TPosition; {增加一个Parent域}
end;
CellspaceType=array [1..MaxNodeCount] of NodeType;
TreeType=TPosition;
var
Cellspace:CellspaceType;
Tree:TreeType; 

树的遍历
树的遍历是树的一种重要的运算。所谓遍历是指对树中所有结点的系统的访问，即依次对树中每个结点访问一次且仅访问一次。树的3种最重要的遍历方式分别称为前序遍历、中序遍历和后序遍历。以这3种方式遍历一棵树时，若按访问结点的先后次序将结点排列起来，就可分别得到树中所有结点的前序列表，中序列表和后序列表。相应的结点次序分别称为结点的前序、中序和后序。
树的这3种遍历方式可递归地定义如下：
§ 如果T是一棵空树，那么对T进行前序遍历、中序遍历和后序遍历都是空操作，得到的列表为空表。 
§ 如果T是一棵单结点树，那么对T进行前序遍历、中序遍历和后序遍历都只访问这个结点。这个结点本身就是要得到的相应列表。 
§ 否则，设T如图6所示，它以n为树根，树根的子树从左到右依次为T1,T2,..,Tk，那么有： 
§ 对T进行前序遍历是先访问树根n,然后依次前序遍历T1,T2,..,Tk。 
§ 对T进行中序遍历是先中序遍历T1，然后访问树根n，接着依次对T2,T2,..,Tk进行中序遍历。 
§ 对T进行后序遍历是先依次对T1,T2,..,Tk进行后序遍历，最后访问树根n。
树的应用
二叉排序树排序是一种十分重要的运算。所谓排序就是把一堆杂乱无章的元素按照某种次序排列起来，形成一个线性有序的序列。二叉排序树是利用二叉树的结构特点来实现对元素排序的。
一、二叉排序树的定义
二叉排序树或者是空树，或者是具有如下性质的二叉树：
1、左子树上所有结点的数据值均小于根结点的数据值；
2、右子树上所有结点的数据值均大于或等于根结点的数据值；
3、左子树、右子树本身又各是一棵二叉排序树。
由此可见，二叉排序树是一种特殊结构的二叉树。（18（10（3，15（12，15）），21（20，21（，37））））就是一棵二叉排序树。
二、二叉排序树的构造
二叉排序树的构造过程实质上就是排序的过程，它是二叉排序树作媒介，将一个任意的数据序列变成一个有序序列。二叉排序树的构造一般是采用陆续插入结点的办法逐步构成的。具体构造的思路是：
1、以待排序的数据的第一个数据构成根结点；
2、对以后的各个数据，逐个插入结点，而且规定：在插入过程的每一步，原有树结点位置不再变动，只是将新数据的结点作为一个叶子结点插入到合适的位置，使树中任何结点的数据与其左、右子树结点数据之间的关系仍然符合对二叉排序树的要求。Huffman树一、哈夫曼树的含义：哈夫曼树是一种带权路径长度最短的树。
所谓路径长度就是某个端结点到树的根结点的距离，等于该端结点的祖先数，或该结点所在层数减1，用lk表示。二叉树中每个端结点对应的一个实数称为该结点的权，用Wk表示。我们定义各端结点的权Wk与相应的路径程度lk乘积的代数和为该二叉树的带权路径长度，用WPL表示，即：
可以证明，哈夫曼树是最优二叉树。如给定权值{5，4，7，2，3}，可以生成很多棵二叉树，其中的（A（B（7，5），C（4，D（3，2））））是哈夫曼树。 
二、哈夫曼树的构造
1、哈夫曼算法：
（1）根据给定的n个权值{W1，W2，…，Wn}构成n棵二叉树的森林：F{T1，T2，…，Tn}。其中每棵二叉树Ti只有一个带权为Wi的根结点，其左右子树为空。
（2）在F中选取两棵结点的权值最小的树作为左右子树构成一棵新的二叉树，且置新的二叉树的根结点的权值为其左右子树上根结点的权值之和。
（3）在F中删除这两棵树，同时，将新得到的二叉树加入F中。
（4）重复（2）、（3），直到F只含一棵树为止。最后的这棵树便是哈夫曼树。
2、算法描述
为了上述算法，选用数组型的链表作为存储结构，其类型设计如下：
Type tnode=RECORD
weight：real；
Lc，Rc：integer；
END；
tree=ARRAY[1..2*n-1] of tnode;
node=RECORD
weight：real；
adr：integer；
END；
A=ARRAY[1..n] of node;
下面是在这个存储结构上实现的构造哈夫曼树的算法： 
Procedure Huffmantree（VAR W：ARRAY[1..n]OF real;VAR TR:tree）；
VAR AT:A;
BENGIN
FOR i:=1 TO n DO{实现第(1)步}
BEGIN
TR[i].weight:=W[i];{将权值放在树叶中}
TR[i].Lc：=0；
TR[i].Rc：=0；
AT[i].weight:=TR[i].weight;{用AT存放当前森林的根}
AT[i].adr:=i;
END;
num:=n;{森林中结点个数}
K:=num+1;{形成的新结点在TR数组中的位置}
WHILE (num>=2) DO {重复实现第(2)、(3)步}
BEGIN
SORTING(AT,num);{按根值大小对森林中的树进行升序排列}
TR[k].weight:=AT[1].weight+AT[2].weight;
{选择两棵结点权值最小的树构造新二叉树}
TR[k].Lc:=AT[1].adr; {左子树：权值最小的树}
TR[k].Rc:=AT[2].adr; {右子树：权值次小的树}
AT[1].weight:=TR[k].weight; {新树赋予第一}
AT[1].adr:=k; {新树结点标号}
AT[2].weight:=AT[num].weight;{原最后树赋予第二}
AT[2].adr:=AT[num].adr; {跟进结点标号}
num:=num-1; {删除原最后树}
k:=k+1; {增加结点标号}
END;
END;
三、应用：哈夫曼编码
利用哈夫曼树构造的用于通信的二进制编码，称为哈夫曼编码。
例如，有一段电文‘CAST TAT A SA’，统计电文中字母的频度，f('C')=1,f('S')=2,f('T')=3,f(' ')=3,f('A')=4，可用其频度{1，2，3，3，4}为权值生成Huffman树，并在每个叶子上注明对应的字符。树中从根到每个叶子都有一条路径，若对路径上的各分支进行约定，指向左子树根的分支用“0”码表示，指向右子树根的分支用“1”码表示，再取每条路径上的“0”或“1”的序列作为与各个叶子对应的字符的编码，这就是哈夫曼编码。
二叉树
二叉树是一类非常重要的树形结构，它可以递归地定义如下：
二叉树T是有限个结点的集合，它或者是空集，或者由一个根结点u以及分别称为左子树和右子树的两棵互不相交的二叉树u(1)和u(2)组成。若用n,n1和n2分别表示T，u(1)和u(2)的结点数，则有n=1+n1+n2 。u(1)和u(2)有时分别称为T的第一和第二子树。
因此，二叉树的根可以有空的左子树或空的右子树，或者左、右子树均为空。
二叉树具有以下的重要性质：
高度为h≥0的二叉树至少有h+1个结点； 高度不超过h(≥0)的二叉树至多有2h+1-1个结点； 含有n≥1个结点的二叉树的高度至多为n-1； 含有n≥1个结点的二叉树的高度至少为 logn ，因此其高度为Ω(logn)。 详见二叉树词条。