标题：重要不等式
柯西不等式
柯西不等式的一般证法有以下几种：
⑴Cauchy不等式的形式化写法就是：记两列数分别是ai,bi，则有 （∑ai^2） * （∑bi^2） ≥ （∑ai * bi)^2.
等号成立条件：a1:b1=a2:b2=…=an:bn（当ai=0或bi=0时ai和bi都等于0，不考虑ai:bi，i=1,2,3,…,n)
我们令 f(x) = ∑（ai + x * bi)^2 = （∑bi^2） * x^2 + 2 * （∑ai * bi) * x + (∑ai^2）
则我们知道恒有 f(x) ≥ 0.
用二次函数无实根或只有一个实根的条件，就有 Δ = 4 * （∑ai * bi)^2 - 4 * （∑ai^2） * （∑bi^2） ≤ 0.
于是移项得到结论。
⑵用向量来证.
m=(a1,a2......an) n=(b1,b2......bn)
mn=a1b1+a2b2+......+anbn=(a1^+a2^+......+an^)^1/2乘以（b1^+b2^+......+bn^)^1/2乘以cosX．
因为cosX小于等于1，所以：a1b1+a2b2+......+anbn小于等于a1^+a2^+......+an^)^1/2乘以（b1^+b2^+......+bn^)^1/2
这就证明了不等式．
柯西不等式还有很多种，这里只取两种较常用的证法．
柯西不等式在求某些函数最值中和证明某些不等式时是经常使用的理论根据，我们在教学中应给予极大的重视。
巧拆常数：
例：设a、b、c 为正数且各不相等。
求证：（2/a+c)+（2/b+c)+（2/c+a)>；（9/a+b+c)
分析：∵a 、b 、c 均为正数
∴为证结论正确只需证：2(a+b+c)[（1/a+b)+（1/b+c)+（1/c+a)]>9
而2(a+b+c)=(a+b)+(a+c)+(c+b)
又 9=（1+1+1）（1+1+1）
证明：Θ2(a+b+c)[（1/a+b)+（1/b+c)+（1/c+a)]=[(a+b)+(a+c)+(b+c)][1/a+b)+（1/b+c)+（1/c+a)]≥（1+1+1）（1+1+1）=9
又 a、b 、c 各不相等，故等号不能成立
∴原不等式成立。
像这样的例子还有很多，词条里不再一一列举，大家可以在参考资料里找到柯西不等式的证明及应用的具体文献．
排序不等式
排序不等式是高中数学竞赛大纲要求的基本不等式。
设有两组数 a 1,a 2，…… a n,b 1,b 2，…… b n 满足 a 1 ≤ a 2 ≤……≤ a n,b 1 ≤ b 2 ≤……≤ b n 则有 a 1 b n + a 2 b n-1 +……+ a n b1≤ a 1 b t + a 2 b t +……+ a n b t ≤ a 1 b 1 + a 2 b 2 +……+ a n b n 式中t1，t2，……，tn是1，2，……，n的任意一个排列， 当且仅当 a 1 = a 2 =……= a n 或 b 1 = b 2 =……= b n 时成立。
以上排序不等式也可简记为：反序和≤乱序和≤同序和.
证明时可采用逐步调整法。
例如，证明：其余不变时，将a 1 b 1 + a 2 b 2 调整为a 1 b 2 + a 2 b 1 ，值变小，只需作差证明（a 1 -a 2）*（b 1 -b 2）≥0，这由题知成立。
依次类推，根据逐步调整法，排序不等式得证。
亦可用以下方法：
设c 1，c 2，...,c n是a 1，a 2，...,a n的任意一个排列，S i=c 1+c 2+...+c i,T i=a 1+a 2+...+a i，其中i≤n。
显然，S i≥T i,a 1*b n+a 2* b (n-1）+...+a n* b 1=(T 2-T 1）*b n+(T 3-T 2）*b(n-1）+...+(T n-T (n-1））*b 1=T n*b1-T (n-1）*(b1-b2）-...-T1*(b(n-1）-bn）≤Sn*b1-S(n-1）*(b1-b2）-...-S1*(b(n-1）-bn)=(S2-S1）*bn+（S3-S2）*b(n-1）+...+(Sn-S(n-1））*b1=c1*a1+c2*a2+...+cn*an.这样就证明了 反序和≤乱序和。
同理可证乱序和≤同序和。
切比雪夫不等式
切比雪夫不等式有两个
⑴设存在数列a1,a2,a3.....an和b1,b2,b3......bn满足a1≤a2≤a3≤.....≤an和b1≤b2≤b3≤......≤bn
那么，∑aibi≥（1/n）（∑ai）（∑bi)
⑵设存在数列a1,a2,a3.....an和b1,b2,b3......bn满足a1≤a2≤a3≤.....≤an和b1≥b2≥b3≥......≥bn
那么，∑aibi≤（1/n）（∑ai）（∑bi)
琴生不等式
设f(x）为上凸函数，则f[(x1+x2+……+xn)/n]≥[f(x1）+f(x2）+……+f(xn)]/n，称为琴生不等式（幂平均）。
加权形式为：
f[(a1x1+a2x2+……+anxn)]≥a1f(x1）+a2f(x2）+……+anf(xn），其中
ai>=0(i=1,2，……，n），且a1+a2+……+an=1.
均值不等式
a^2 + b^2≥ 2ab （a与b的平方和不小于它们的乘积的2倍）
当a,b 分别大于0时上试可变为a+b ≥2√ab
有可分以下几种情况：　 ⑴对实数a,b，有a^2+b^2≥2ab （当且仅当a=b时取“=”号），a^2+b^2≥0≥-2ab 
⑵对非负实数a,b，有a+b≥2√（a*b）≥0，即（a+b)/2≥√（a*b）≥0 
⑶对负实数a,b，有a+b<0<2√（a*b) 
⑷对实数a,b，有a(a-b）≥b(a-b) 
⑸对非负数a,b，有a^2+b^2≥2ab≥0 
⑹对非负数a,b，有a^2+b^2 ≥1/2*(a+b)^2≥ab 
⑺对非负数a,b,c，有a^2+b^2+c^2≥1/3*(a+b+c)^2 
⑻对非负数a,b,c，有a^2+b^2+c^2≥ab+bc+ac 
⑼对非负数a,b，有a^2+ab+b^2≥3/4*(a+b)^2 
⑽对实数a,b,c，有（a+b+c)/3≥（abc)^（1/3）
完全的均值不等式
√[(a^2+ b^2）/2] ≥（a+b)/2 ≥√ab ≥2/（1/a+1/b)
（二次幂平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均）
证明：（证明过程引自他出）
设a，b是两个正数， 
M2=√[(a^2+b^2）/2]，A=(a+b)/2，G=√（ab），H=2/（1/a+1/b) 
分别表示a，b两元的二次幂平均，算术平均，几何平均和调和平均。证明： M2≥A≥G≥H。
证明 在梯形ABCD中，AB∥CD，记AB=b，CD=a。
EiFi(i=1,2,3,4）是平行于梯形ABCD的底边且被梯形两腰所截的线段。
如果E1F1分梯形为等积的两部分，那么 
E1F1=√[(a^2+b^2）/2]。
如果E2F2分梯形的中位线，那么 
E2F2=(a+b)/2。
如果E3F3分梯形为两相似图形，那么 
E3F3=√（ab）。
如果E4F4通过梯形两对角线交点的线段，那么 
E4F4=2/（1/a+1/b）。
从图中直观地证明E1F1≥E2F2≥E3F3≥E4F4，当a=b时取等号。
对于n元，√[(x1^2+x2^2+...+xn^2）/n]≥（x1+x2+...+xn)/n≥（x1x2...xn)^（1/n）≥n/[（1/x1）+（1/x2）+...+（1/xn)]
幂平均不等式
幂平均不等式：ai>0（1≤i≤n），且α>；β，则有（∑ai^α/n)^1/α≥（∑ai^β/n)^1/β成立
iff a1=a2=a3=……=an 时取等号
加权的形式：
设ai>0，pi>0（1≤i≤n），且α>；β，则有
（∑pi*ai^α/∑pi)^1/α≥（∑pi*ai^β/∑pi)^1/β
iff a1=a2=a3=……=an， p1=p2=p3=……=pn 时取等号。
特例：
- 调和平均（-1次幂）， - 几何平均（0次幂）， - 算术平均（1次幂）， ， - 二次平均（2次幂）
权方和不等式
1） 
a1 ^ （m+1） / b1^m + a2 ^ （m+1） / b2^m + a3 ^ （m+1） / b3^m + …… + an ^ （m+1） / bn^m ≥ (a1+a2+a3+ …… +an) ^ （m+1） / (b1+b2+b3+ …… +bn)^m 
其中 
a,b,n为正整数，m>0 或 m<-1 
当且仅当a1/b1=a2/b2=...=an/bn时，等号成立 
2） 
a1 ^ （m+1） / b1^m + a2 ^ （m+1） / b2^m + a3 ^ （m+1） / b3^m + …… + an ^ （m+1） / bn^m ≤ (a1+a2+a3+ …… +an) ^ （m+1） / (b1+b2+b3+ …… +bn)^m 
其中 
a,b,n为正整数，-1<m<0 
当且仅当a1/b1=a2/b2=...=an/bn时，等号成立 
权方和不等式的等价形式：
（Holder不等式）：∑[i=1，n]ai*bi≤（∑[i=1，n]ai^p）^（1/p) * （∑[i=1,n]bi^q)^（1/q) 
上式中1/p+1/q=1,ai,bi为正实数