标题：物流系统控制
第一节 物流系统控制概述??????
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一、系统控制的基本概念??系统控制的使命是，在外部条件变化的情况下保证其有目的的行为。这要通过该系统的必要组织 来实现，所讲必要组织指的是系统结构及其要素的运行方式。如果一个系统的组织在创立时即己单值确定，那么它的控制就不过是当系统的外部条件和参数出现偏差时，保证其变量(内部状态和输出)的原定值。大部分技术系统都属于这种类型。
控制的基础是信息。它是在控制客体的运行与发展过程中产生的，并说明其内部状态、外部作用和控制的目标。作为受控物质系统的现实客体，一方面是物质和能量的变换器，另一方面又是说明具体变换课题有关重要属性的信息载体。因此，在研究其一客体以；达到其控制目的时，它由两类在信息上相联系的要素加以描述：作为所实现的物质变换模型的受控要素和作为与控制客体相联系的信息加工过程模型的控制要素。 
在系统形成时，其受控要素组合成为受控部分，它叫做受控客体(SU)；控制要素的总体构成控制部分，称为控制系统(SV)。6这两部分借助于有限信息，输入控制作用x，相互作用。控制系统有开环控制系统和封环控制系统。当系统中具有反馈环节则构成封环控制系统。所谓控制，就是按照预定的条件和预定目标，对其过程施加某种影响的行为。 
所谓反馈，指一个系统把输入(激励)经过处理之后输出(响应)去，又将其输出的结果馈送回来与输入加以比较的过程称为反馈。将控制理论应用于物流系统，则称物流控制论。二、系统控制的对象?目前激励控制理论进而发展的主要领域是空间工程和受控机器、人以及大规模的柔性生产系统。这些系统复杂，受控对象作大范围运动属本质非线性，系统已无法用常系数线性系统的模式，而且系统本身以及系统所处的环境多变要求有相应的适应性能等问题，既决定了控制在物流系统中的重要性，又说明控制问题与运筹问题分不开。因此，要求：
1、把物流活动视为一个系统进行研究即研究它的内部结构及运行机制和它的功能。
2、把物流视作一个调节和控制的过程。
3、把物流决策进行优化。
在物流系统中，如何进行最优控制，将研究的物流系统作为被控对象，而后研究它的输入与输出以及通过反馈使被控对象(系统)达到人们所期望的最佳物流效益。三、物流系统中控制的分类??1、反馈控制。反馈控制是一种常见的管理控制，其特征是通过运行过程输出的检测，并将检测结果馈送回运行过程中去，将纠正措施输入该运行过程中，以获得预期的输出。因此这种反馈控制表现为时间的滞后(事后控制)。如成本分析，质量检查控制，财务分析等。
2、超前控制。超前控制也称前馈控制，是一种更为复杂的控制，其特点是通过对运行过程输入的监视，以确定它是否符合标淮要求。不符合时为实现输出预期目标就要改变运行过程。前馈控制是在输出结果受到影响之前就作出纠正，因此这种反馈更为有效。这种控制克服了反馈控制的迟滞性，便于物流决策人员及时采取相应措施，纠正偏差，达到预定目标。
超前控制在物流控制中应用较为广泛，生产经营活动要达到超前控制的目的，主要有以下几个表现方面：
(1)用人的超前控制。按岗位已定的职务要求选拔合格人才。 
(2)存贮超前控制。根据存贮规律，按照建立的存贮模型，实施超前仓库存贮工作。
(3)投资超前控制。用投资回收期法或投资效率数学模型，对扩大企业再生产能力以及更新设备实行超前控制。
(4)财政预算超前控制。
3、非预算性控制。非预算性控制是指在生产经营活动中，预算外的临时矫正行为。主要有以下几种方式：
(1)物流批量控制法。指的是利用库存费和订购费的边际点原理对仓瘴管理进行优化控制。
(2)盈亏平衡控制法。利用盈亏平衡点分析的方法对企业行为进行控制的方法。
(3)专家控制。靠有经验的专业人员、专家对企业行为提出建议进行控制。 
物流系统的控制职能按控制系统的情况大致如下四、物流系统控制的基本内容??1、库存控制。是在企业系统运行中对量大面广的原材料、另部件、协作外购件等物料的控制。
2、产品成本控制。包含原材料消耗、动力、厂房和设备的折旧绊各种烫用的有效控制。
3、工序质量的按制。主要指产品在各关键工序的质量控制和成品的质量控制。 
4、人员素质控制以及产品进度的控制。 
上述各项控制项目在整个控制过程中表现形式如下（表6-1物流控制基本内容一览表）所示。五、进行物流系统控制时应注意的问题??1．总目标与分目标的关系。企业的总目标确定以后，它是众多分目标的基准。在实行控制过程中，一切分目标都应服从总目标。
2．控制过程中要强调管理者和劳动者的自我控制，这也是目标管理的特点，可以促进企业逐步地由人治走向法治的管理轨道。
3．注重人的因素与物流系统的指标信息关系。
第二节 物流系统存储控制?
物资存贮是物资流通的不可缺少的环节，物资存贮系统则是物流系统的一个重要的子系统。通过存贮活动，使企业保有一定量的物资储备，保证生产的持续不断进行，并在生产活动中不出现库存过多和缺货的现象。随着人们对物资存贮的重要性的认识，存贮论及其应用已成为现代化管理的重要内容之一。在国外，不仅在存贮、采购和订货等较典型的存贮问题中应用存贮控制的思想和方法，而且存贮论的应用已经推广到更广泛的领域。根据1974年美国对一些企业不完全的统计资料表明，运用存贮理论的企业已达90.7%，我国近年来，在一些工业企业中，从我国经济发展的国情出发，ABC分级管理、各种确定型与随机型的库存控制方法应用于我国物资存贮工作的实践，有的企业已建立了包括存贮管理在内的物资管理信息系统，存贮管理水平得到不断提高。 
这里我们只简要地介绍生产与经营类型的存贮问题，介绍一些存贮论中常用的基本概念、模型和方法。
企业系统为了保证生产和供应的连续性和均衡性，需要在不同生产和供应环节设立仓库，储备一定数量的物资（原材料、在制品、成品等）。但是储备的数量必须有所限制，数量过多，不仅要占用大量的仓库面积或生产面积，还可能由于长期积压而使物资损坏变质，造成浪费，因此必须加强对库存物资的科学管理。一、物资存贮系统的构成?各个企业的物资管理机构及其业务工作既有着各种相同的外部条件，又有不同的内部特征，确实是千差万别的，但是把各种物资存贮活动看作一个系统来研究，该系统与外部环境的关系是具有一定的共性的。在研究物资存贮系统时，我们一般采取抽象模拟的方式，把具体问题典型化。这样一方面便于进行定性和定量分析，另一方面又便于总结经验，把实践上升到理论，进一步加强对存贮系统的理论研究。
1、 存贮系统的输出
为了满足生产的需要，需要将库存物资不断地发往需用单位，这称为存贮系统的输出。输出的方式有间断式和连续式，如图6-2所示，其中S是初始库存量，经过时间T后，库存量是W，输出了S-W，这是两种不同的输出方式。
需用单位每次提出的需求量可能是确定性的，也可能是随机性的。如某工厂每月需要钢材10吨是固定不变的，而对机器零部件的需要量却是每月都在变，如1月需要40个，2月需要55个，3月是30个等等，一般，我们根据大量的统计数据，可以找到需求量满足一定的统计规律性。
2、存贮系统的输入
库存物资由于不断地输出而减少，必须进行及时补充，库存的补充就是库存的输入。它可以通过订货或者是自己组织生产来达到目的。需求量往往是外界提出的，因而库存的输出难以控制和掌握，而库存输入的很多因素则可以自己来控制。这些因素主要是补充库存的时间以及补充的数量。为保持库存，需要进行订货，从开始订货到进货有一段时间。因此为保证及时供应，就要提前订货，提前的时间称之为"提前订货时间"。提前订货时间可以是确定的，也可以是随机性的。二、存贮系统费用分析?费用是存贮管理的一个重要经济简指标，存贮系统必须按最经济的原则运行。
企业的仓库一般可以分外原材料库和半成品、产成品库两类。为了建立库存模型的需要，必须了解各类仓库存贮费用的构成情况。
1、订货费：对供销企业来说，订货费是指为补充库存，办理一次订货发生的有关费用，包括订货过程中发生的订购手续费、联络通讯费、人工核对费、差旅费、货物检查费、入库验收费等。当生产企业自行组织生产时，订货费相当于组织一次生产所必须的工夹具安装、设备调整、试车、材料安排等费用。订货费一般说来与订购或生产的数量无关或基本无关。
在确定订货费时，对具体问题要具体分析，但必须注意不能将搬运费、管理费等平均分摊到每一件货物上去，这样，就使订货费和一次订购的数量有关了。 
在年消耗量固定不变的情况下，一次订货量越大，订货次数就越少，每年所花费的总订货费就越少。因此，从订货费角度看，订货批量越大越好。
2、保管费：一般是指每存贮单位物资单位时间所需花费的费用。这一项费用中，只计入与库存物资数量成正比的部分，凡与存贮物资数量无关的不变费用不计算在内。有时存贮费还经常用每存贮1元物资单位时间所支付的费用来表示，称为保管费率。
保管费包括存贮物资所占用资金的利息、物资的存贮损耗、陈旧和跌价损失、存贮物资的保险费、仓库建筑物及设备的修理折旧费、保险费、存贮物资的保养费、库内搬运设备的动力费几搬运工人的工资等。在以上保管费成分中，利息支出所占比重较大，以工业贷款月历率6‰计算，存贮百万元物资一年，仅利息就需支付7.2万元。由此可见，控制存贮物资数量，加速物资周转的意义。
由于订货量越大，平均库存量就越大，从而存贮费支出越大。因此，从存贮费角度看，订货批量越大越不好。
在存贮系统中，还有一种费用是存贮系统管理者不愿发生的费用，这就是：
3、缺货损失费：它一般是指由于中断供应影响生产造成的损失赔偿费，包括生产停工待料，或者采取应急措施而支付的额外费用，以及影响利润、信誉和损失费等。衡量缺货损失费有两种方式，当缺货费与缺货数量的多少和缺货时间的长度成正比时，一般以缺货一件为期一年（付货时间延期一年），造成的损失赔偿费来表示；另一种是缺货费仅与缺货数量有关而与缺货时间长短无关，这时以缺货一件造成的损失赔偿费来表示。
由于缺货损失费涉及到丧失信誉带来的损失，所以它比存贮费、订货费更难于准确确定，有时一旦发生缺货，所造成的损失是无法弥补的。对不同的部门、不同的物资，缺货费的确定有不同的标准，要根据具体要求分析计算，将缺货造成的损失数量化。
仓库绝对不缺货，从理论上将是可以的，但在实际中是不可能的，实际中为保证不缺货而保持过大的存贮量也是不经济的。当缺货损失费难于确定时，一般以用户需求得到及时满足的百分比大小来衡量存贮系统的服务质量，称为服务水平。
从缺货损失费角度考虑，存贮量越大，缺货的可能性就越小，因而缺货损失费也就越少。
以上由订货费、存贮费、缺货损失费的意义可以知道，为了保持一定的库存，要付出保管费；为了补充库存，要付出订货费；当存贮不足发生缺货时，要付出缺货损失费。这三项费用之间上相互矛盾、相互制约的。保管费与所存贮物资的数量和时间成正比，如降低存贮量。缩短存贮周期，自然会降低存贮费；但缩短存贮周期，就要增加订货次数，势必增大订货费支出；为防止缺货现象发生，就要增加安全库存量，这样就在减少缺货损失费支出的同时，保管了存贮费开支。因此，我们要从存贮系统总费用为最小的前提出发进行综合分析，寻求一个合适的订货批量及订货间隔时间。
一般，在进行存贮系统的费用分析时，是不必考虑所存贮物资的价格的，但有时由于订购批量大，物资的价格有一定的优惠折扣；在生产企业中，如果生产批量达到一定的数量，产品的单位成本也往往会降低。这时，进行费用分析就需考虑物资的价格。三、存贮策略?由于存贮具有多种形式，必须根据物资需求及订购的特点，采取不同的方法来控制存贮。确定存贮系统何时进行补充（订货）及每次补充（订货）多少数量的决定就是存贮策略。
为做好存贮系统控制，首先要积累有关物资需求的历史统计资料，掌握计划期的生产消耗情况，预测计划期的物资需求量规律；其次要了解不同物资的提前订货时间；然后分析与存贮有关的各项费用，作出合理的存贮策略。
存贮策略是由存贮系统的管理人员作出的，因此，采用何种策略，既决定于所存贮物资本身，又带有一定的人为因素。
在介绍存贮策略之前，先简略介绍几个存贮策略中的常用概念。
1．订货批量Q：存贮系统根据需求，为补充某种物资的存贮量而向供货厂商一次订货或采购的数量。
2．报警点s：又称订货点。该点库存量和提前订货时间是相对应的，当库存量下降到这一点时，必须立即定货，当所订的货物尚未到达并入库之前，存贮量应能按既定的服务水平满足提前订货时间的需求。
3．安全库存量ss：又称保险储备量。由于需求量D和提前订货时间t都可能是随机变量，因此，提前订货时间的D·t也是随机变量，其波动幅度可能大大超过其平均值，为了预防和减少这中随机性造成的缺货，必须准备一部分库存，这部分库存称为安全库存量。只有当出现缺货情况时才动用安全库存量。 
4．最高库存量S：在提前订货时间可以忽略不计的存贮模型中，S指每次到货后所达到的库存量。当存在提前订货时间说，S指发出订货要求后，库存应该达到的数量，由于此时并未实际到货，所以该最高库存量又称名义库存量。
5．最低库存量：一般是指实际的库存最低数量。
6．平均库存量Q ：库存保有的平均库存量。当存在报警点s时，平均库存量
Q =12 Q+s。
7．订货间隔期T：两次订货的时间间隔或订货合同中规定的两次进货之间的时间间隔。
9．记帐间隔期R：指库存记帐制度中的间断记帐所规定的时间，即每隔R时间，整理平时积欠下来的发料原始凭据，进行记帐，得到帐面结存数以检查库存量。
（一） 常用的存贮策略
1．定量订购制：泛指通过公式计算或经验求的报警点s和每次Q，并且每当库存量下降到s点时，就进行订货的存贮策略。通常使用的有（Q、s）制、（S、s）制、（R、S、s）制等。
（1）（Q、s）制库存控制策略
采用这种策略需要确定订货批量Q和报警点s两个参数。（Q、s）属于连续监控制（又称永续盘点制），即每供应一次就结算一次帐，得出一个新的帐面数字百年个报警点s进行比较，当库存量达到s时，就立即以Q进行订货。
（2）（S、s）制库存控制策略
这种策略是（Q、s）制的改进，需要确定最高库存量S及报警点s两个参数。（S、s）制属于连续监控制，每当库存量达到或低于s时，就立即订货，使订货后的名义库存量达到S ，因此，每次订货的熟练Q是不固定的。
（3）（R、S、s）制库存控制策略
这种策略需要确定记帐间隔期R、最高库存S和报警点s三个参数。（R、S、s）制属于间隔监控制，即每隔R时间整理帐面，检查库存，当库存等于或低于s时，应立即订货使订货后名义库存量S，因而每次实际订购批量是不同的，当检查实际库存量高于s时，不采取订货措施。
2．定期订购制：即每经过一段固定的时间间隔T（称订购周期）就补充订货使存贮量达到某种水平的存贮策略。常用的有（T、S）制。
（T、S）制库存控制策略需要确定订购间隔期T和最高S两个参数。属于间隔监控制，即每隔T时间检查库存，根据剩余存贮量和估计的需求量确定订货量Q，使库存量恢复到最高库存S。四、存贮模型类型?1、确定型与随机型模型
凡需求量D、提前订货时间t为确定已知的存贮问题所构成的存贮模型为确定型。凡上述二者之一或全部为随机变量的存贮问题构成的存贮模型为随机型。
例如，商店经销某种日用品，该日用品的需求量服从某一随机分布规律。则该日用品的存贮模型就是随机型的；又如修路需某种型号的水泥，其每日需求量是基本上是固定的，供货水泥厂货源充足，用料单位组织进料运输，因此可以认为需求量、提前订货时间均为确定已知的，该种水泥的存贮模型就是确定型。
在确定型存贮模型中，又可分为需求不随时间变化和需求岁时间变化两种类型；同样，随机型存贮模型也可根据需求量是否随时间变化分为两类。
事实上，所谓绝对的确定型是不存在的。在实际存贮问题中，D、t多多少少总会有一些波动的。一般，设随机变量x 的均值为x ，标准差为σx，只要变异系数cx=σxx ,小于0.1~0.2，随机变量x就可以当作确定型变量来对待。实际中，如生产企业按物资消耗定额核定的物资需求量，基本建设工程中按设计预算得到的物资需求量，有固定可靠供销关系的物资的提前订货时间等 ，都可以本着这个原则进行分析处理。
2、 单品种与多品种库存模型
一般地，将数量大、体积大又占用金额多的物资单独设库管理，称为单品种库。如木材、水泥、焦碳、煤等，这类库存往往占用大量资金，要采用比较精细的方法来计算其存贮控制参数。
有些物资是多品种存放在一个仓库里的称为多品种库。如钢材库、电器元件库、配件库、有色金属库等。多品种库的存贮不可能逐一计算每种物资的库存控制参数，可以将库存物资按其占用金额进行ABC分类进行存贮管理。由于流动资金定额一般是按仓库下达的，所以多个品种物资存放在一个仓库时，往往存在资金约束及仓库容积约束，这样的存贮模型称为带约束的存贮问题。
3、单周期与多周期存贮模型
有的物资必须购进后一次全部供应或售出，否则就会造成经济损失，这类存贮问题的模型成为单周期存贮模型，如报纸、年历等时令性物品以及防洪、防冻季节性物资构成的模型。
有的物资多次进货多次供应，形成进货-供应消耗--再进货--在供应消耗，周而复始的形成多周期特点的存贮问题的模型称为多周期存贮模型。
第三节 确定型控制模型?
现在讨论最简单的存贮模型，即需求不随时间变化的确定型存贮模型，这类模型的有关参数如需求量、提前订货时间是已知确定的值，而且在相当长一段时间内稳定不变。显然这样的条件在现实经济生活中是很难找到的。实际上，只要我们所考虑的参数的波动性不大，就可以认为是确定型的存贮问题。经过数学抽象概括的存贮模型虽然不可能与现实完全等同，但对模型的探讨将加深我们对存贮问题的认识，其模型的解也将对存贮系统的决策提供帮助和依据。一、 经济订货批量（EOQ）模型?经济订货批量模型又称整批间隔进货模型EOQ模型，英文为Economic Order Quantity，该模型适用于整批间隔进货、不允许缺货的存贮问题，即某种物资单位时间的需求量为常数D，存贮量以单位时间消耗数量D的速度逐渐下降，经过时间T后，存贮量下降到零，此时开始订货并随即到货，库存量由零上升为最高库存量Q，然后开始下一个存贮周期，形成多周期存贮模型。
（一）经济订货批量的概念
由于需求量和提前订货时间是确定已知的，因袭只要确定每次订货的数量是多少或进货间隔期为多长时间，就可以作出存贮策略。由于存贮策略是使存贮总费用最小的经济原则来确定订货批量，故称该订货批量为经济订货批量。
（二）EOQ模型
1．模型假设：存贮某种物资，不允许缺货，其存贮参数为
T：存贮周期或订货周期（年或月或日）；
D：单位时间需求量（件/年或件/月或件/日）；
Q：每次订货批量（件或个）；
C1：存贮单位物资单位时间的存贮费（元/件、年或元/件、月或元/件、日）；
C2：每次订货的订货费（元）；
t： 提前订货时间为零，即订货后瞬间全部到货。二、．建立模型：存贮量变化状态?一个存贮周期内需要该种物资Q=DT个，图中存贮量斜线上的每一点表示在该时刻的库存水平，每一个存贮周期存贮量的变化形成一个直角三角形，一个存贮周期的平均存贮量为1/2Q，存贮费为1/2C1QT，订货一次订货费为C2，因此，在这个存贮周期内存贮总费用为 1/2C1QT+C2
由于订货周期T是变量，所以只计算一个周期内的费用是没有意义的，需要计算单位时间的存贮总费用，即
CZ=1/2C1Q+C2/T
将T=Q/D代入上式，得到
CZ=1/2C1Q+C2DQ （6.1）
显然，单位时间的订货费随着订货批量的增大而减小，而单位时间的存贮费随着订货批量 Q的增大而增大。如图6-3所示：、
由图可以直观看出，在订货费用线和存贮费用线相交处，订货费和存贮费相等，存贮总费用曲线取得最小值。
利用微分求极值的方法，由式（6.1）
令 dCZdQ =1/2C1-C2DQ2 =0
即得到经济订货批量
Q*=2C2DC1 （6.2）
由于d2CZdQ2 =2C2DQ2 >0
故当 Q*=2C2DC1 时，CZ取得最小值。
式（6.2）称为经济订货批量公式，由于威尔逊是该公式推导应用的倡导者，所以该公式又称为威尔逊公式。
由式（6.2）及Q*=T*D，可得到经济订货间隔期：
T*=2C2DC1 (6.3)
将Q*值代入（6.1）式，立刻得到按经济订货批量进货时的最小存贮总费用
C*=2DC1C2 (6.4)
需要说明的是，前面在确定经济订货批量时，作了订货和进货同时发生的建设，实际上，订货和到货一般总有一段时间间隔，为保证供应的连续性，需要提前订货。
设提前订货时间为t，日需要量D，则订购点s=D·t，当库存下降到s时，即按经济订货批量Q*订货，在提前订货时间内，以每天D的速度消耗库存，当库存下降到零时，恰好收到订货，开始一个新的存贮周期。
另外，以实物计量单位如件、个表示物质数量时，Q*是每次应订购的物资数量，若不是整数，可四舍五入而取整。
对于以上确定型存贮问题，最常使用的策略就是确定经济Q*，并每隔T*时间即订货，使存贮量由s*（往往以零计算）恢复到最高库存量S=Q*+s。这种存贮策略可以认为是定量订购制，但因订购周期也固定，又可以认为是定期订购制。
例1 某车间需要某种标准件，不允许缺货，按生产计划，年需要量10000件，每件价格1元，每采购一次采购费25元，年保管费率为12.5%，该元件可在市场上立即购得，，问应如何组织进货？
解： 按公式（6.2）有
Q*=2C2DC1 =2×6×200×12/0.8 =190（件）
经济订货周期为
T*=2C2DC1 =2×62400×0.8 =0.079（年）=28（天）
如以D表示某种物资的年需用量，V表示该物资的单价，C2为一次订货费，r表示存贮费率，即存贮每元物资一年所需的存贮费用，则得到经济订货批量的另外一种常用形式：
Q*=2DC2rV (6.5)
3、 EOQ模型的敏感性分析
EOQ模型中所涉及的物资需用量、存贮费、订货费等存贮参数，一般是根据统计资料并估计计划期的发展趋势而确定的，往往与实际情况有一些误差，依据这些参数计算的经济订货批量自然不够十分准确；另外，经济订货批量往往不是整数，而实际订货时，常常要求以一定的整数如整桶、整达等单位进行订货。为此，我们需要分析模型的各项参数发生偏差时对经济订货批量Q的影响程度，以及经济订货批量的偏差对存贮总费用的影响程度，从而考查EOQ模型的可靠程度和实用价值，即对EOQ模型进行敏感性分析。
？
（五）非瞬时进货
在企业的库存管理中，由于运输环节等原因的限制，经常出现的是非瞬时入库的情况，就是说，从订购点开始的一定时间内，一方面按一定进度入库；另一方面按生产的需求出库，入库完毕时，达到最大库存量。 
由于这种模型最早用于确定生产批量上，故称Production Lot Size（PLS）模型。在生产活动中，产品的生产时间是不容忽视的，即生产批量Q按一定的生产速度P，需要一定的时间tp才能完成，推广到存贮论中，所谓分批均匀进货模型，一般是指零件厂--装配厂或生产厂--商店之间的供需关系中，装配厂（商店）向零件厂（生产厂）订货，零件厂（生产厂）一面加工，一面向装配厂（商店）供货，直到合同批量全部交货为止。
假设：
D、T、C1、C2含义同前，不允许缺货；
P表示单位时间的供货速度（或生产量）；且P>D；tp表示生产批量Q的时间，在tp时间内，边以P的速度供货（生产），边以D的速度消耗，tp时间内的进货量满足一个订货T的需用量，即Q=P·tp=D·T，所以tp= DP ·T
建立模型：
分批均匀进货的EOQ模型的存贮量变化状态如图6-4所示。
如果模型的其它参数不变，为了建立模型，必须首先求出在新情况下的平均库存量。为了求出平均库存量，必须先求出模型的最大库存量
生产批量（即订货批量）Q需时间tp，即tp也为进货延续时间；单位时间的产量P为进货速度。故在tp时间库存的实际增长速度为P-D，最高库存量（P-D）tp；平均存贮量为 12 （P-D）tp；一个存贮周期的存贮总费用为 
12 C1·（P-D）·tp·T+C2
将tp=D/PT代入上式，得到一个存贮周期的存贮总费用为
12 C1·（P-D）·DP ·T2+C2
单位时间存贮总费用为
CZ=12 C1·（P-D）·DP ·T+C2T 
将T= QD 代入上式，得到
CZ=12 C1·(P-D)P ·Q+D·C2Q 
使用微分求极值的方法，令
dCZdQ =12 C1·(P-D)P -D·C2Q2 =0
求得使单位时间存贮总费用最低的经济订货批量
Q*=2C2DPC1(P-D) =2C2DC1 ·PP-D (6.6)
经验证dCZdQ > 0，故（6.6）式得到的Q*使CZ取得极小值。
相应的经济订货周期
T*=2C2PDC1(P-D) =2C2DC1 ·PP-D (6.7)
单位时间最小存贮总费用
C*=2DC1C2(P-D)P =2DC1C2 ·P-DP （6.8）
与经典的EOQ模型相比，由于分批均匀进货，节省了存贮费用，订货批量四整批进货的PP-D 倍，但单位时间存贮总费用反而是原来的P-DP 倍。
例2 某企业计划每年生产6500件产品，假设每个生产周期工装调整费为200元，每年每件产品的保管费为3.2元，每天生产产品50件，市场需求量每天26件，假设每年工作日为300天，试确定最佳经济批量，并求出最小库存费用、每批的生产周期、最大库存量。
解：该零件单位时间的存贮费为C1=r·V，由（6.6）式得到
Q*=2C2DC1 ·PP-D =2C2Dr·V ·PP-D =9487
可近似地安排每次生产9000件，T=90003000 =3月，即每三个月组织一次生产，如此安排，每年的存贮费为
1/2·rV（P-D）P ·Q+DC2Q =22927（元）三．允许缺货的EOQ模型?前面介绍的存贮模型是以假定不允许缺货为前提的，但对实际的存贮系统来说，由于受到各种客观条件的限制，完全不缺货几乎是不可能的；另一方面，为保证不缺货，必然要保有过大的存贮量方能满足需要，从而增大了存贮费开支。而适当的缺货，虽然要支付缺货损失费，但可以减少存贮量，也可以延长订货周期。所以综合考虑存贮系统的总费用，适当采取缺货策略未必是失策的。由于允许缺货，不仅要确定经济订货批量Q*，还要确定经济缺货量Qs*。
但是发生缺货后的情况又可分为两种，一种是，缺货后可以延期付货，另一种是发生缺货后损失无法弥补，损失顾客。由于第二种情况是企业所不希望出现的，不该发生的，因此在下面的讨论中，我们只介绍两种允许延期付货的EOQ模型。
（一）整批瞬时进货而允许延期付货1．模型建设
在这种情况下，虽然在一段时间内发生缺货，但下批订货到达后立即不足缺货。D、Q、T、C1、C2含义同前；整批瞬时到货，以t1表示正常供货时间，在t1时间内的需求全由库存现货供应；允许缺货，且缺货部分用下批到货一次补足，以ts表示缺货时间；以Qs表示缺货数量；以C3表示缺货单位时间、单位数量支付的缺货损失费。
2．建立模型
存贮状态图如图6-6所示。由图可以看出，由于缺货后延期交货，所以最高存贮量不是Q，而是Q-Qs，利用三角形相似关系可以得到：tsT =QsQ ，则
ts=QsQ ·T
Q-QsQ =T-tsT 
一个存贮周期内存贮费用为
C1（Q-Qs）（T-ts）= 12 C1(Q-Qs)2Q ·T
订货费为C2
缺货费为12 C3Qsts
所以一个存贮周期发生的费用总额为以上存贮费、订货费及缺货费之和。而单位时间总费用为 
CZ=12 C1·(Q-Qs)2Q +C2T +12 C3·Qs·tsT 
将T= QD 及tsT = QsQ 代入上式，得到
CZ=12 C1·(Q-Qs)2Q + C2DQ +12 C3·Qs2Q 
可见，CZ 是一个关于Q、Qs的二元函数，要使CZ取极小值，需要求CZ对Q、Qs的偏导数并令其等于零即可得经济订货批量和经济缺货量为
Q*=2DC2C1 ·C1+C3C3 （6.9）
Qs*=2DC1C2C3(C1+C3) （6.10）
用二阶偏导数进行检验可知，所求Q*，Qs* 使 取得极小值。
相应，得到经济订货周期为
T*=Q*D =2C2DC1 ·C1+C3C3 （6.11）
单位时间的最小存贮费用为
CZ*=2DC1C2 ·C3C1+C3 （6.12）
(二)分批均匀进货，延期交货??该模型又称边生产，边销售允许缺货模型。
1．模型假设
D、C1、C2、T、Q、tp、Qs、P含义同前，分批均匀进货；C3表示每缺货单位数量，单位时间需支付的缺货损失费；以Q0表示在进货时间tp内积累的最高库存以及补充的下一周期缺货数量之和。
2．建立模型
T为一个订货周期，在tp时间内以P的速度进货，同时以D的速度供应，消耗库存，经过tp时间，共进货P·tp共供应（消耗） 补充上一周期的缺货其余存贮量为最高存贮量，即
P·tp-D·tp-Qs=Q-Q0
一个订货周期的的订货费为 C2 
一个订货周期的缺货费为
12 C3Qsts
所以，一个订货周期的存贮总费用为
12 C1(Q0-Qs)·(T-ts) + C2 + 12 C3Qsts
单位时间的存贮总费用为
CZ=C12 (Q0-Qs)·T-tsT +C2T +C32 ·Qs·tsT 
由三角形相似关系有
tsT =QsQ0 
QOQ =P-DP 
从而得到 
tsT = P·Qs(P-D)·Q 
而Q=D·T 即T=QD ，代入（6.13）式，经整理有
CZ= C1(P-D)2P ·Q+C2DQ +(C1+C3)P2(P-D)Q Qs2-C1Q
仿前令CZ对Q,Qs的二阶偏导数等于零, 可得到经济订货批量
Q*=2DC2C1 ·PP-D ·C1+C3C3 （6.14）
经济缺货量
Qs*=2DC2C3 ·P-DP ·C1C1+C3 （6.15）
经济订货周期
T*=Q*D =2C2DC1 ·PP-D ·C1+C3C3 （6.16）
最低存贮总费用
CZ*=2DC1C2 ·P-DP ·C3C1+C3 （6.17）
由以上几个公式可以看出，分批均匀进货的EOQ模型是将本节前几个模型的条件综合在一起，是EOQ模型的一般形式。前面几个存贮模型都是这一模型的特例。当P很大，C3亦很大时，即为整批间隔瞬时进货，不允许缺货模型；当P很大而C3有限时，即为整批间隔瞬时进货，允许缺货模型，当P有限而C3很大时，即为分批均匀进货，不允许缺货模型。
物资存贮中通常还会遇到其他一些附加条件，如物资单价按订货批量不同有一定的折扣；所存贮物资占用流动资金有一定数额限制；仓库库容有一定限制；或是多种物资同时订购等。这些模型的表现形式更为复杂一些，但在具体分析时都是本着综合平衡各种费用和成本，使总的存贮费用最低。这里不作详细介绍。
第四节 随机型控制模型?
前面的库存模型都建立在两个假定条件下，一是假定需求量保持不变，均匀出库；二是假定订货后按时交货。但是由于各种因素的影响，往往使订货不能按时送达，发生随机性的延迟拖后，从而发生缺货现象。为了保证仓库的库存量基本按规定日期得到补充，需要把订货点提前，这就是仓库管理中订货点的提前问题；；也可能由于生产系统的生产不均衡，需求量突然增加，使存货提前用完，出现缺货现象。为了消除或弥补这种随机波动的影响，需要对需求量和订货点提前期的历史资料进行统计分析，确定一个安全库存量。 
由于供需随机波动产生的两个问题，确定型库存模型已不能反映这些变化，因此必须建立新的随机型库存模型。一、缺货情况与安全库存量?在定量订货方式中，每当库存量降至订货点s时，即按一定批量订货补充。如果订货后交货并在交货期间无过量使用，如图6-7中的A，并不动用安全库存量，它是多余的库存量。如果订货后不、按时交货，出现延误时间，如图6-7中的C，将要动动用安全库存量，以应付延误时间内的用量。如果在订货到交货期间，出现过量使用，库存量下降速率增加，如图6-7中的B，则也要动用安全库存量，以应付缺货情况。
前面所讨论的平均库存量没有考虑安全库存量。在考虑安全库存量的情况下，平均库存量应增加安全库存量，对于一次到货的情况，有
Q =12 Q+ss （6.18）
对于分批均匀进货的情况，则有
Q = 12 （P-D）QP +ss （6.19）
其中，Q表示订货批量，P表示每日的进货数量，D表示每日的需求量，P>D。二、订货点的确定?需求量和提前订货时间随机波动，订货点的库存量就需要根据历史的波动数据求得平均D 和平均提前订货时间t ，或者根据最大提前时间来计算。为了抵消随机波动的影响，此时就要增加安全库存量ss。计算方法是：
订货点库存量=日（月）平均需要量×平均提前订货时间+安全库存量
即 Qk=D·t +ss 
或 订货点库存量=平均需要量×最大提前期+安全库存量
即 Qk=D·t（max）+ss三、安全库存量的确定?安全库存量是指为防止因订货期间需求两量增长和到货延误所引起的缺货而设置的储备量。安全库存量是最低库存量，在正常情况下一般不动，若一经动用，则应在下批订货到达时立即补齐，安全库存量又称为保险库存量、固定库存量。 
1．根据需求量和提前订货时间随机变化情况确定安全库存量。
安全库存量一般只是在需求量和提前订货时间有随机变化的情况下，才予考虑，并要控制到最低限度。安全系数法是从保险储备对需求的保证程度，即安全系数来确定安全库存量的方法。是在提前订货时间与需求量均服从正态分布的前提下应用的。其计算公式为：
安全库存量=安全系数 × 平均提前订货时间 ×需求量变化偏差值
即ss=α·t（max） ·σD
安全系数α，决定于生产中允许缺货的概率。一般α=0.5~2.5。如生产中不允许缺货（缺货概率小于3%），α值应大，可令α>2，如允许缺货（待料期间可用其他加工零件调节，不影响生产任务的完成），这时α值应小，取0.5~2。
需求量变化偏差值σD主要取决于数值差值的大小：
σD =（最大值-最小值）×1d2 
式中：1d2 为系数，取决于所引用资料来源的数目n，可查表6-1。
表6-1
需求量偏差数据资料来源数目（月或日） 2 4 6 8 10 12
系数1d2 0.8865 0.4857 0.3646 0.3512 0.3249 0.3069
例3 某厂原材料库，上一年按月实际需要量如表6-2所示。最大提前期为2个月，安全系数α=1.65，求安全库存量和订货点库存量。
表6-2
月份 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 全年总量
需要量 162 173 167 180 181 172 170 168 167 174 170 168 2052
解：月平均需求量
D =205212 =171（单位）
αD=（最大值-最小值）·1d2 
表6-1，n=12时， 1d2 =0.3069
将最大值、最小值代入
αD=（181-162）×0.3069=5.83（单位）
安全库存量
Qss=d×t（max） ×αD
=1.65×2 ×5.83=14（单位）
订货点库存量
Qk=D·t（max）+Qss
=171×2+14=356（单位）
2．根据预定服务水平确定安全库存量 
若订购时间及实际需求量Di的随机波动可以确定为某种统计分布，且需求量的统计资料比较可靠和完备，则可运用数理统计的有关方法，从满足预定的某一服务水平（不缺货概率）出发，来确定必要的保险储备量。实践表明，很多物资订购期间实际需求量出现的概率是服从正态分布的。因此，这里将按正态分布的原理来确定安全库存量。
Qss=α ·σ 
式中， σ为订购期间实际需求量的标准差，它反映实际值对其均值的离散程度。
σ=∑(Di-D)2fi∑fi 
式中，α在库存控制中为安全系数，它可根据预定的服务水平（不缺货概率），查正态分布表得出。表6-3给出了一些常用数据。服务水平，即不缺货概率=1-允许缺货概率。允许缺货概率可根据企业长期经营的经验作概略规定。如服务水平不低于98%，即表示在100个订货期间内，允许缺货次数不得多于2次。
表6-3
服务水平 0.9988 0.99 0.98 0.95 0.90 0.80 0.70
安全系数 3.5 2.33 2.05 1.65 1.29 0.84 0.53
fi为需求量Di相映的出现次数。
例4 某物资仓库对过去50个实际需求量Di中进行的统计分析，如表6-4所示，如要求服务水平不低于98%，试确定安全库存量。
表6-4
实际需求量Di（件） 70 80 90 100 110 120 130
出现次数fi 1 2 9 25 10 2 1
解：设原始数据基本符合正态分布
1．计算订货期间实际需求量的标准差σ：
σ=（70-100）2×1+（80-100）2×2+…+（130-100）2×11+2+…+1 
=530050 ≈10.3
2.根据服务水平不低于98%，查正态分布表（见表6-）：
α=2.05
3．求安全库存量：
ss=2.05×10.3≈21
由表6-4 可以看出，如安全库存量21件时，只有当订货期间的实际需求量出现130件时才会发生缺货，其缺货概率为1÷50=2%，不缺货概率为98%。因此安全库存量为21件时，就可以满足服务水平不低于98%的要求。
四随机型库存模型一般形式
随机型库存模型就是在确定型库存模型的基础上，引入了安全库存量，简单随机型库存模型如下：
库存费用=年需求量订货批量 ×一次订货费+（平均库存量+安全库存量）×库存物资单价×保管费率 
即 C = RQ ·C1+（Q +Qss）·P·r
或 C= RQ ·C1+（Q +σt（max） ）·σD·P·r
或 C= RQ ·C1+（Q +α·σ）·P·r
由于安全库存量为一常数，故不影响经济订货批量，但库存量随时间的变化有了不同