标题：因式分解
因式分解
因式分解的定义和主要方法常规因式分解主要公式　定义：把一个多项式化为几个最简整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解（也叫作分解因式）。
意义：它是中学数学中最重要的恒等变形之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具。因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用。学习它，既可以复习整式的四则运算，又为学习分式打好基础；学好它，既可以培养学生的观察、思维发展性、运算能力，又可以提高学生综合分析和解决问题的能力。
分解因式与整式乘法为相反变形。
同时也是解一元二次方程中因式分解法的重要步骤.[1]
高级结论
在高等数学上因式分解有一些重要结论，在初等数学层面上证明很困难，但是理解很容易。
1、因式分解与解高次方程有密切的关系。对于一元一次方程和一元二次方程，初中已有相对固定和容易的方法。在数学上可以证明，对于一元三次和一元四次方程，也有固定的公式可以求解。只是因为公式过于复杂，在非专业领域没有介绍。对于分解因式，三次多项式和四次多项式也有固定的分解方法，只是比较复杂。对于五次以上的一般多项式，已经证明不能找到固定的因式分解法，五次以上的一元方程也没有固定解法。
2 、所有的三次和三次以上多项式在实数范围内都可以因式分解。这看起来或许有点不可思议。比如X^4+1,这是一个一元四次多项式，看起来似乎不能因式分解。但是它的次数高于3，所以一定可以因式分解。如果有兴趣，你也可以用待定系数法将其分解，只是分解出来的式子并不整洁。
3 、因式分解虽然没有固定方法，但是求两个多项式的公因式却有固定方法。因式分解很多时候就是用来提公因式的。寻找公因式可以用辗转相除法来求得。标准的辗转相除技能对于中学生来说难度颇高，但是中学有时候要处理的多项式次数并不太高，所以反复利用多项式的除法也可以但比较笨，不过能有效地解决找公因式的问题。[2]
方法
因式分解没有普遍适用的方法，初中数学教材中主要介绍了提公因式法、运用公式法。而在竞赛上，又有拆项和添减项法，分组分解法和十字相乘法，待定系数法，双十字相乘法，对称多项式，轮换对称多项式法，余式定理法，求根公式法，换元法，长除法，短除法，除法等。
注意四原则
1．分解要彻底（是否有公因式，是否可用公式）
2．最后结果只有小括号
3．最后结果中多项式首项系数为正（例如：-3x^2+x=x(-3x+1））不一定首项一定为正，如-2x-3xy-4xz=-x(2+3y+4z)
归纳方法：
1．提公因式法。
2．运用公式法。
3．分组分解法。
4．拼凑法。
  拼凑法实例[3]
5．组合分解法。
6．十字相乘法。
7．双十字相乘法。
8．配方法。
9．拆项补项法。
10．换元法。
11．长除法。
12．求根法。
13．图象法。
14．主元法。
15．待定系数法。
16．特殊值法。
17．因式定理法。基本方法各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式，公因式可以是单项式，也可以是多项式。
如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提取公因式  。
具体方法：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的。当各项的系数有分数时，公因式系数为各分数的最大公约数。如果多项式的第一项是负的，一般要提出“-”号，使括号内的第一项的系数成为正数。提出“-”号时，多项式的各项都要变号。
口诀：找准公因式，一次要提尽全家都搬走，留1把家守提负要变号，变形看奇偶。
例如：-am+bm+cm=-(a-b-c)m[4]
a(x-y)+b(y-x)=a(x-y)-b(x-y)=(a-b)(x-y)。
注意：把2a+1/2变成2(a+1/4)不叫提公因式
如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫运用公式法。
平方差公式: (a+b)(a-b)=a^2-b^2,反过来为a^2-b^2=(a+b)(a-b)
完全平方公式：(a+b)^2=a^2+2ab+b^2,反过来为a^2+2ab+b^2=(a+b)^2
(a-b)^2=a^2-2ab+b^2 a^2-2ab+b^2=(a-b)^2
注意：能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数(或式)的平方和的形式，另一项是这两个数(或式)的积的2倍。
两根式：ax^2+bx+c=a[x-(-b+√(b^2-4ac))/2a][x-(-b-√(b^2-4ac))/2a]  两根式
立方和公式：a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)
立方差公式：a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)
完全立方公式：a^3±3a^2b+3ab^2±b^3=(a±b)^3．
公式：a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)
例如：a^2+4ab+4b^2 =(a+2b)^2。
1．分解因式技巧掌握：
①分解因式是多项式的恒等变形，要求等式左边必须是多项式
②分解因式的结果必须是以乘积的形式表示
③每个因式必须是整式，且每个因式的次数都必须低于原来多项式的次数　
④分解因式必须分解到每个多项式因式都不能再分解为止。
注：分解因式前先要找到公因式，在确定公因式前，应从系数和因式两个方面考虑。
2．提公因式法基本步骤：
（1）找出公因式
（2）提公因式并确定另一个因式：
①第一步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数再确定字母
②第二步提公因式并确定另一个因式，注意要确定另一个因式，可用原多项式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的一个因式，也可用公因式分别除去原多项式的每一项，求的剩下的另一个因式
③提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同。解方程法通过解方程来进行因式分解，如
X^2+2X+1=0 ,解，得X1=-1，X2=-1，就得到原式=（X+1）（X+1）
竞赛方法
分组分解是解方程的一种简洁的方法，下面是这个方法的详细讲解。
能分组分解的方程有四项或大于四项，一般的分组分解有两种形式：二二分法，三一分法。
比如：
ax+ay+bx+by
=a(x+y)+b(x+y)
=(a+b)(x+y)
我们把ax和ay分一组，bx和by分一组，利用乘法分配律，两两相配，立即解除了困难。
同样，这道题也可以这样做。
ax+ay+bx+by
=x(a+b)+y(a+b)
=(a+b)(x+y)
几道例题：
1． 5ax+5bx+3ay+3by
解法：=5x(a+b)+3y(a+b)  =(5x+3y)(a+b)
说明：系数不一样一样可以做分组分解，和上面一样，把5ax和5bx看成整体，把3ay和3by看成一个整体，利用乘法分配律轻松解出。
2． x^3-x&sup2;+x-1
解法：=(x^3-x&sup2;)+(x-1)
=x&sup2;(x-1)+ (x-1)
=(x-1)(x&sup2;+1)
利用二二分法，提公因式法提出 x2，然后相合轻松解决。
3． x&sup2;-x-y&sup2;-y  相关公式解法：=(x&sup2;-y&sup2;)-(x+y)
=(x+y)(x-y)-(x+y)
=(x+y)(x-y-1)
利用二二分法，再利用公式法a&sup2;-b&sup2;=(a+b)(a-b)，然后相合解决。
学奥数的同学必须会，但是一般水平的学生也可以看一看，在解题时是一个很好用的方法，也很简单。
这种方法有两种情况。
①x&sup2;+﹙p+q﹚x+pq型的式子的因式分解
这类二次三项式的特点是：二次项的系数是1；常数项是两个数的积；一次项系数是常数项的两个因数的和。因此，可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解：x&sup2;+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q) ．
例1：x&sup2;-2x-8
=(x-4)(x+2)
②kx&sup2;+mx+n型的式子的因式分解
如果有k=ab，n=cd，且有ad+bc=m时，那么kx&sup2;+mx+n=(ax+c)(bx+d)．
例2：分解7x&sup2;-19x-6
图示如下：a=1 b=7 c=2 d=-3
  
  
因为　-3×7=-21，1×2=2，且-21+2=-19，
所以=(7x+2)(x-3)．
十字相乘法口诀：分二次项，分常数项，交叉相乘求和得一次项。
例3：6X&sup2;+7X+2
第1项二次项（6X&sup2;）拆分为：2×3
第3项常数项（2）拆分为：1×2
2（X）　3（X）
1　2
对角相乘：1×3+2×2得第2项一次项（7X）
∴6X&sup2;+7X+6=（2X+1）（3X+2）
与之对应的还有双十字相乘法，也可以学一学。
这种方法指把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式适合于提公因式法、运用公式法或分组分解法进行分解。要注意，必须在与原多项式相等的原则下进行变形。
例如：bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)
=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b)
=bc(c-a)+bc(a+b)+ca(c-a)-ab(a+b)
=bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b)
=(bc+ca)(c-a)+(bc-ab)(a+b)
=c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a)
=(c+b)(c-a)(a+b)．
对于某些不能利用公式法的多项式，可以将其配成一个完全平方式，然后再利用平方差公式，就能将其因式分解，这种方法叫配方法。属于拆项、补项法的一种特殊情况。也要注意必须在与原多项式相等的原则下进行变形。
例如：x&sup2;+3x-40
=x&sup2;+3x+2.25-42.25
=(x+1.5)&sup2;-(6.5)&sup2;
=(x+8)(x-5)．
对于多项式f(x)，如果f(a)=0，那么f(x)必含有因式x-a．
例如：f(x)=x&sup2;+5x+6，f(-2)=0，则可确定x+2是x&sup2;+5x+6的一个因式。(事实上，x&sup2;+5x+6=(x+2)(x+3)．)
注意：1、对于系数全部是整数的多项式，若X=q/p（p,q为互质整数时）该多项式值为零，则q为常数项约数，p最高次项系数约数
2．对于多项式f(a)=0,b为最高次项系数，c为常数项，则有a为c/b约数
有时在分解因式时，可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数，然后进行因式分解，最后再转换回来，这种方法叫做换元法。注意：换元后勿忘还元。
例如在分解(x^2+x+1)(x^2+x+2)-12时，可以令y=x^2+x,则
原式=(y+1)(y+2)-12
=y^2+3y+2-12=y^2+3y-10
=(y+5)(y-2)
=(x^2+x+5)(x^2+x-2)
=(x^2+x+5)(x+2)(x-1)．
也可以参看右图。
令多项式f(x)=0,求出其根为x^1，x^2，x^3，……，x^n，则该多项式可分解为f(x)=a(x-x^1)(x-x^2)(x-x^3)……(x-x^n) ．
例如在分解2x^4+7x^3-2x^2-13x+6时，令2x^4 +7x^3-2x^2-13x+6=0，
则通过综合除法可知，该方程的根为0.5 ，-3，-2，1．
所以2x^4+7x^3-2x^2-13x+6=(2x-1)(x+3)(x+2)(x-1)．
令y=f(x)，做出函数y=f(x)的图象，找到函数图像与X轴的交点x^1,x^2,x^3,……x^n ，则多项式可因式分解为f(x)= f(x)=a(x-x^1)(x-x^2)(x-x^3)……(x-x^n)．
与方法⑼相比，能避开解方程的繁琐，但是不够准确。
例如在分解x^3+2x^2-5x-6时，可以令y=x^3+2x^2-5x-6.
作出其图像，与x轴交点为-3，-1，2
则x^3+2x^2-5x-6=(x+1)(x+3)(x-2)．
先选定一个字母为主元，然后把各项按这个字母次数从高到低排列，再进行因式分解。特殊值法将2或10代入x，求出数p，将数p分解质因数，将质因数适当的组合，并将组合后的每一个因数写成2或10的和与差的形式，将2或10还原成x，即得因式分解式。
例如在分解x^3+9x^2+23x+15时，令x=2，则
x^3+9x^2+23x+15=8+36+46+15=105，
将105分解成3个质因数的积，即105=3×5×7 ．
注意到多项式中最高项的系数为1，而3、5、7分别为x+1，x+3，x+5，在x=2时的值，
则x^3+9x^2+23x+15可能等于(x+1)(x+3)(x+5)，验证后的确如此。待定系数法首先判断出分解因式的形式，然后设出相应整式的字母系数，求出字母系数，从而把多项式因式分解。
例如在分解x^4-x^3-5x^2-6x-4时，由分析可知：这个多项式没有一次因式，因而只能分解为两个二次因式。
于是设x^4-x^3-5x^2-6x-4=(x^2+ax+b)(x^2+cx+d)  相关公式=x^4+(a+c)x^3+(ac+b+d)x^2+(ad+bc)x+bd
由此可得
a+c=-1，
ac+b+d=-5，
ad+bc=-6，
bd=-4．
解得a=1，b=1，c=-2，d=-4．
则x^4-x^3-5x^2-6x-4=(x^2+x+1)(x^2-2x-4)．
也可以参看右图。双十字相乘法双十字相乘法属于因式分解的一类，类似于十字相乘法。
双十字相乘法就是二元二次六项式，启始的式子如下：
ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f
x、y为未知数，其余都是常数
用一道例题来说明如何使用。
例：分解因式：x^2+5xy+6y^2+8x+18y+12．
分析：这是一个二次六项式，可考虑使用双十字相乘法进行因式分解。
解：图如下，把所有的数字交叉相连即可
x 　2y 　2
x 　3y　 6
∴原式=(x+2y+2)(x+3y+6)．
双十字相乘法其步骤为：
①先用十字相乘法分解2次项，如十字相乘图①中x^2+5xy+6y^2=(x+2y)(x+3y)
②先依一个字母（如y）的一次系数分数常数项。如十字相乘图②中6y^2+18y+12=(2y+2)(3y+6)
③再按另一个字母（如x）的一次系数进行检验，如十字相乘图③，这一步不能省，否则容易出错。二次多项式（根与系数关系二次多项式因式分解）
例：对于二次多项式 aX^2+bX+c(a≠0)
aX^2+bX+c=a[X^2+(b/a)X+c/a].
当△=b^2-4ac≥0时，设aX^2+bX+c=0的解为X1,X2
=a(X^2-(X1+X2)X+X1X2)
=a(X-X1)(X-X2).
分解步骤
①如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式；
②如果各项没有公因式，那么可尝试运用公式、十字相乘法来分解；
③如果用上述方法不能分解，那么可以尝试用分组、拆项、补项法来分解
④分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。
也可以用一句话来概括：“先看有无公因式，再看能否套公式。十字相乘试一试，分组分解要相对合适。”
例题
1．分解因式(1+y)^2-2x^2(1+y^2)+x^4(1-y)^2．
解：原式=(1+y)^2+2(1+y)x^2(1-y)+x^4(1-y)^2-2(1+y)x^2(1-y)-2x^2(1+y^2)（补项）
=[(1+y)+x^2(1-y)]^2-2(1+y)x^2(1-y)-2x^2(1+y^2)（完全平方）
=[(1+y)+x^2(1-y)]^2-(2x)^2
=[(1+y)+x^2(1-y)+2x][(1+y)+x^2(1-y)-2x]
=(x^2-x^2y+2x+y+1)(x^2-x^2y-2x+y+1)
=[(x+1)^2-y(x^2-1)][(x-1)^2-y(x^2-1)]
=[(x+1)^2-y(x+1)(x-1)][(x-1)^2-y(x+1)(x-1)]
=(x+1)(x+1-xy+y)(x-1)(x-1-xy-y)．
2．求证：对于任何实数x,y，下式的值都不会为33：
x^5+3x^4y-5x^3y^2-15x^2y^3+4xy^4+12y^5．
解：原式=(x^5+3x^4y)-(5x^3y^2+15x^2y^3)+(4xy^4+12y^5)
=x^4(x+3y)-5x^2y^2(x+3y)+4y^4(x+3y)
=(x+3y)(x^4-5x^2y^2+4y^4)
=(x+3y)(x^2-4y^2)(x^2-y^2)
=(x+3y)(x+y)(x-y)(x+2y)(x-2y)．
当y=0时，原式=x^5不等于33；当y不等于0时，x+3y，x+y，x-y，x+2y，x-2y互不相同，而33不能分成四个以上不同因数的积，所以原命题成立。
3．．△ABC的三边a、b、c有如下关系式：-c^2+a^2+2ab-2bc=0，求证：这个三角形是等腰三角形。
分析：此题实质上是对关系式的等号左边的多项式进行因式分解。
证明：∵-c^2+a^2+2ab-2bc=0，
∴(a+c)(a-c)+2b(a-c)=0．
∴(a-c)(a+2b+c)=0．
∵a、b、c是△ABC的三条边，
∴a+2b+c>0．
∴a－c=0，
即a=c，△ABC为等腰三角形。
4．把-12x^2n×y^n+18x^(n+2)y^(n+1)-6x^n×y^(n-1)分解因式。
解：-12x^2n×y^n+18x^(n+2)y^(n+1)-6x^n×y^(n-1)
=-6x^n×y^(n-1)(2x^n×y-3x^2y^2+1)．
四个注意
因式分解中的四个注意，可用四句话概括如下：首项有负常提负，各项有“公”先提“公”，某项提出莫漏1，括号里面分到“底”。现举下例，可供参考。
例1 把-a^2-b^2+2ab+4分解因式。
解：-a^2-b^2+2ab+4=-(a^2-2ab+b^2-4）=-[(a-b)^2-4]=-(a-b+2)(a-b-2)
这里的“负”，指“负号”。如果多项式的第一项是负的，一般要提出负号，使括号内第一项系数是正的。防止学生出现诸如－9x^2+4y^2=(-3x)^2-(2y)^2=(-3x+2y)(-3x-2y)=(3x-2y)(3x+2y)的错误。
这里的“公”指“公因式”。如果多项式的各项含有公因式，那么先提取这个公因式，再进一步分解因式；这里的“1”，是指多项式的某个整项是公因式时，先提出这个公因式后，括号内切勿漏掉1。
分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。即分解到底，不能半途而废的意思。其中包含提公因式要一次性提“干净”，不留“尾巴”，并使每一个括号内的多项式都不能再分解。防止学生出现诸如4x^4y^2-5x^2y^2-9y^2=y^2(4x^4-5x^2-9)=y(x+1)(4x^2-9)的错误，因为4x^2-9还可分解为(2x+3)(2x-3)。
考试时应注意：
在没有说明化到实数时，一般只化到有理数就够了，有说明实数的话，一般就要化到实数！
由此看来，因式分解中的四个注意贯穿于因式分解的四种基本方法之中，与因式分解的四个步骤或说一般思考顺序的四句话：“先看有无公因式，再看能否套公式，十字相乘试一试，分组分解要合适”等是一脉相承的。
应用
1． 应用于多项式除法。
：a(b−1)(ab+2b+a)　　说明：(ab+b)2−(a+b)2 = (ab+b+a+b)(ab+b−a−b) = (ab+2b+a)(ab−a) = a(b−1)(ab+2b+a)．　　
2． 应用于高次方程的求根。
3． 应用于分式的通分与约分
顺带一提，梅森合数分解已经取得一些微不足道的进展：
1，p=4r+3，如果8r+7也是素数，则：(8r+7)|(2^P-1)。即（2p+1）|（2^P-1）
例如：
23|(2^11-1);；11=4×2+3
47|(2^23-1);；23=4×5+3
167|(2^83-1);,,,.83=4×20+3
2,p=2^n×3^2+1,，则（6p+1）|(2^P-1)，
例如：223|(2^37-1);；37=2×2×3×3+1
439|(2^73-1)；73=2×2×2×3×3+1
3463|(2^577-1);；577=2×2×2×2×2×2×3×3+1
3，p=2^n×3^m×5^s-1,则（8p+1）|（2^P-1）
例如；233|(2^29-1)；29=2×3×5-1
1433|(2^179-1)；179=2×2×3×3×5-1
1913|（2^239-1）；239=2×2×2×2×3×5-1
分解公式
平方差公式(a+b)(a-b)=a^2-b^2完全平方公式(a+b)^2=a^2+2ab+b^;2
(a-b)^2=a^2-2ab+b^2立方和（差）两数差乘以它们的平方和与它们的积的和等于两数的立方差。
即a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)
证明如下： a^3-b^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3
所以a^3-b^3=（a-b）a^3-[-3(a^2)b+3ab^2]=(a-b)(a-b)^2+3ab(a-b)
=(a-b)(a^2-2ab+b^2+3ab)=(a-b)(a^2+ab+b^2)十字相乘公式十字相乘法能把某些二次三项式分解因式。要务必注意各项系数的符号。
(x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab