标题：数列
由来
传说古希腊毕达哥拉斯（约公元前570-约公元前500年）学派的数学家经常在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数。比如，他们研究过1,3,6,10，...。
由于这些数可以用如右图所示的三角形点阵表示，他们就将其称为三角形数。类似地，1，4，9，16...，被称为正方形数，因为这些数能够表示成正方形。
因此，按照一定顺序排列的一列数成为数列。  三角形点阵
概念
数列的函数理解：
①数列是一种特殊的函数。其特殊性主要表现在其定义域和值域上。数列可以看作一个定义域为正整数集N*或其有限子集{1，2，3，…，n}的函数，其中的{1，2，3，…，n}不能省略。②用函数的观点认识数列是重要的思想方法，一般情况下函数有三种表示方法，数列也不例外，通常也有三种表示方法：a.列表法；b。图像法；c.解析法。其中解析法包括以通项公式给出数列和以递推公式给出数列。③函数不一定有解析式，同样数列也并非都有通项公式。
数列的一般形式可以写成
a1，a2，a3，…，an，a（n+1），……
简记为{an}，
项数有限的数列为“有穷数列”（finite sequence），
项数无限的数列为“无穷数列”（infinite sequence）。
数列的各项都是正数的为正项数列；
从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列叫做递增数列；如：1，2，3，4，5，6，7；
从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列叫做递减数列；如：8，7，6，5，4，3，2，1；
从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列叫做摆动数列；
各项呈周期性变化的数列叫做周期数列（如三角函数）；
各项相等的数列叫做常数列（如：2，2，2，2，2，2，2，2，2）。
通项公式：数列的第N项an与项的序数n之间的关系可以用一个公式an=f(n)来表示，这个公式就叫做这个数列的通项公式（注：通项公式不唯一）。
递推公式：如果数列{an}的第n项与它前一项或几项的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的递推公式。
数列中项的总数为数列的项数。特别地，数列可以看成以正整数集N*（或它的有限子集{1，2，…，n}）为定义域的函数an=f(n)。
如果可以用一个公式来表示，则它的通项公式是a(n)=f(n).
并非所有的数列都能写出它的通项公式。例如：π的不同近似值，根据精确的程度，可形成一个数列3，3.1，3.14，3.141，…它没有通项公式。
数列中的项必须是数，它可以是实数，也可以是复数。
用符号{an}表示数列，只不过是“借用”集合的符号，它们之间有本质上的区别：1.集合中的元素是互异的，而数列中的项可以是相同的。2.集合中的元素是无序的，而数列中的项必须按一定顺序排列，也就是必须是有序的。
表示方法
如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式。如an=(-1)^(n+1)+1。
数列通项公式的特点：（1）有些数列的通项公式可以有不同形式，即不唯一。（2）有些数列没有通项公式 
如果数列{an}的第n项与它前一项或几项的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的递推公式。如an=2a(n-1)+1 (n>1)
数列递推公式的特点：（1）有些数列的递推公式可以有不同形式，即不唯一。（2）有些数列没有递推公式
有递推公式不一定有通项公式
等差数列
1.定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列（arithmetic sequence），这个常数叫做等差数列的公差（common difference），公差通常用字母d表示，前N项和用Sn表示。2.缩写等差数列可以缩写为A.P.（Arithmetic Progression）。3.等差中项由三个数a，A，b组成的等差数列可以堪称最简单的等差数列。这时，A叫做a与b的等差中项（arithmetic mean）。
有关系：A=（a+b）/24.通项公式an=a1+(n-1)d
a1=S1(n=1)时
an=Sn-S(n-1) (n≥2)时
an=kn+b(k,b为常数) 推导过程：an=dn+a1-d 令d=k，a1-d=b 则得到an=kn+b5.前n项和倒序相加法推导前n项和公式： 
Sn=a1+a2+a3······+an
=a1+(a1+d)+(a1+2d)+······+[a1+(n-1)d] ①
Sn=an+(an-d)+(an-2d)+······+[an-(n-1)d] ②
由①+②得2Sn=(a1+an)+(a1+an)+(a1+an)（n个）=n(a1+an)
故 Sn=n(a1+an)/2
等差数列的前n项和等于首末两项的和与项数乘积的一半：
Sn=n(a1+an)/2=n*a1+n(n-1)d/2
Sn=(d/2)*n^2+(a1-d/2)n6.性质且任意两项am，an的关系为：
an=am+(n-m)d
它可以看作等差数列广义的通项公式。 
从等差数列的定义、通项公式，前n项和公式还可推出：
a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=ak+an-k+1，k∈{1,2,…，n} 
若m，n，p，q∈N*，且m+n=p+q，则有
am+an=ap+aq,p,q可以相同，也可以不同，但以下不成立：若m+n=p,则am+an不=ap
S2n-1=(2n-1)an，S2n+1=(2n+1)（an+1）
Sk，S2k-Sk，S3k-S2k，…，Snk-S(n-1)k…成等差数列，等等。
前n项和=（首项+末项）×项数÷2 
项数=（末项-首项）÷公差+1 
首项=2×前n和÷项数-末项
末项=2×前n和÷项数-首项
设a1,a2,a3为等差数列。则a2为等差中项，则2倍的a2等于a1+a3，即2a2=a1+a3。7.应用日常生活中，人们常常用到等差数列如：在给各种产品的尺寸划分级别
时，当其中的最大尺寸与最小尺寸相差不大时，常按等差数列进行分级。
若为等差数列，且有an=m,am=n.则a(m+n)=0。
其于数学的中的应用，可举例：
快速算出从23到132之间6的整倍数有多少个
算法不止一种，这里介绍用数列算
令等差数列首项a1=24（24为6的4倍），等差d=6,;
于是令an = 24+(n-1)*6<=132即可解出n=19
等比数列
定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列（geometric sequence）。这个常数叫做等比数列的公比（common ratio），公比通常用字母q表示。缩写等比数列可以缩写为G.P.（Geometric Progression）。等比中项如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项。
有关系：G^2=ab；G=±(ab)^(1/2)
注：两个非零同号的实数的等比中项有两个，它们互为相反数，所以G^2=ab是a,G,b三数成等比数列的必要不充分条件。通项公式an=a1q^(n-1) （其中首项是a1 ，公比是q）an=Sn-S(n-1) (n≥2)前n项和当q≠1时，等比数列的前n项和的公式为
Sn=a1(1-q^n)/(1-q)=(a1-an*q)/(1-q) (q≠1)
当q=1时，等比数列的前n项和的公式为
Sn=na1前n项和与通项的关系：a={a1=s1（n=1）
sn-sn-1（n≥2）性质（1）若 m、n、p、q∈N*，且m+n=p+q，则am·an=ap·aq； 
（2）在等比数列中，依次每 k项之和仍成等比数列。
（3）从等比数列的定义、通项公式、前n项和公式可以推出： a1·an=a2·an-1=a3·an-2=…=ak·an-k+1，k∈{1,2,…，n} 
（4）等比中项：aq·ap=ar^2，ar则为ap，aq等比中项。
记πn=a1·a2…an，则有π2n-1=(an)2n-1，π2n+1=(an+1)2n+1
另外，一个各项均为正数的等比数列各项取同底指数幂后构成一个等差数列；反之，以任一个正数C为底，用一个等差数列的各项做指数构造幂Can，则是等比数列。在这个意义下，我们说：一个正项等比数列与等差数列是“同构”的。 
(5) 等比数列前n项之和Sn=a1(1-q^n)/(1-q)
(6)任意两项am，an的关系为an=am·q^(n-m)
(7)在等比数列中，首项a1与公比q都不为零。 
注意：上述公式中a^n表示A的n次方。应用等比数列在生活中也是常常运用的。
如：银行有一种支付利息的方式---复利。
即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，
再计算下一期的利息，也就是人们通常说的利滚利。
按照复利计算本利和的公式：本利和=本金*(1+利率)^存期
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0)。 
（1）等比数列的通项公式是：An=A1*q^（n－1）
若通项公式变形为an=a1/q*q^n(n∈N*),当q>0时，则可把an看作自变量n的函数，点(n,an)是曲线y=a1/q*q^x上的一群孤立的点。
（2）求和公式：Sn=nA1(q=1) 
Sn=A1(1-q^n)/(1-q) 
=(a1-a1q^n)/(1-q)
=a1/(1-q)-a1/(1-q)*q^n ( 即A-Aq^n)
(前提：q不等于 1)
任意两项am，an的关系为an=am·q^(n-m)
（3）从等比数列的定义、通项公式、前n项和公式可以推出： a1·an=a2·an-1=a3·an-2=…=ak·an-k+1，k∈{1,2,…，n} 
（4）等比中项：aq·ap=ar^2，ar则为ap，aq等比中项。
记πn=a1·a2…an，则有π2n-1=(an)2n-1，π2n+1=(an+1)2n+1
另外，一个各项均为正数的等比数列各项取同底对数后构成一个等差数列；反之，以任一个正数C为底，用一个等差数列的各项做指数构造幂Can，则是等比数列。在这个意义下，我们说：一个正项等比数列与等差数列是“同构”的。
等和数列
定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和。
对一个数列，如果其任意的连续k（k≥2）项的和都相等，我们就把此数列叫做等和数列性质必定是循环数列
证明：对任意正整数n，有an + an+1 + … + an+k-1 = an+1 + an+2 + … + an+k，　所以对任意正整数n，an = an+k，如果这个数列有n+k项的话。练习1、下面一列整数中（每个字母或括号都代表一个整数），任意相临的3个整数的和都是20，则x+y+z=？ 　x，2，（），（），（），4，（），y，（），（），z 　
2．（2004年湖南省理科实验班联合招生考试数学卷第2试第三题） 　圆周上放着120个正数（不一定是整数），今知其中任何相连的35个数的和都是200．证明：这些数中的每一个数都不超过30．（旁注：题目中“相连”即“相临”之意） 　答案： 　第1题 　：　x=14,y=2,z=2 ，　故：　x+y+z=18 ；　第2题 ：　（120,35）=5 ，使5个数为一组，每7组的和是200，那么每组有 200/7<30 　所以每一个数都不超过30。列的通项求法
一般有
an=Sn-Sn-1 （n≥2）
累和法（an-an-1=... an-3 - an-2=... a2-a1=...将以上各项相加可得an ）。
累乘法
逐商全乘法（对于后一项与前一项商中含有未知数的数列）。 
化归法（将数列变形，使原数列的倒数或与某同一常数的和成等差或等比数列）。
特别数列
在等差数列中，总有Sn S2n-Sn S3n-S2n
2(S2n-Sn)=(S3n-S2n)+Sn
即三者是等差数列，同样在等比数列中。三者成等比数列
不动点法（常用于分式的通项递推关系）
不动点法求数列通项
对于某些特定形式的数列递推式可用不动点法来求
  不动点法求数列通项公式的证明幂次数列表：
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 
2 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024 
3 3 9 27 81 243 729
4 4 16 64 256 1024
5 5 25 125 625
6 6 36 216 1296
特殊数列
1,2,3,4,5,6,7,8....... ---------an=n
1,1/2,1/3,1/4,1/5,1/6,1/7,1/8......-------an=1/n
2，4，6，8，10，12，14.......-------an=2n
1,3,5,7,9,11,13,15.....-------an=2n-1
-1,1,-1,1,-1,1,-1,1......--------an=(-1)^n
1,-1,1,-1,1,-1,1,-1,1......--------an=(-1)^(n+1)
1,0,1,0,1,0,1,0,1,0,1,0,1....------an=[(-1)^(n+1)+1]/2
1,0,-1,0,1,0,-1,0,1,0,-1,0......-------an=cos(n-1)π/2=sinnπ/2
9,99,999,9999,99999,......... ------an=（10^n)-1
1,11,111,1111,11111.......--------an=[（10^n)-1]/9
衍生m,mm,mmm,mmmm,mmmmm......---------an=[（10^n)-1]*m/9,m为1-9的整数
1，4，9，16，25，36，49，.......------an=n^2
1,2,4,8,16,32......--------an=2^(n-1)
前N项和
(一)1.等差数列： 
通项公式an=a1+(n-1)d 首项a1，公差d, an第n项数 
ak=ak+(n-k)d ak为第k项数 
若a,A,b构成等差数列 则 A=(a+b)/2 
2.等差数列前n项和: 
设等差数列的前n项和为Sn 
即 Sn=a1+a2+...+an; 
那么 Sn=na1+n(n-1)d/2 
=dn^2(即n的2次方) /2+(a1-d/2)n 
还有以下的求和方法： 1,不完全归纳法 2 累加法 3 倒序相加法
(二)1.等比数列: 
通项公式 an=a1*q^(n-1)(即q的n-1次方) a1为首项，an为第n项 
an=a1*q^(n-1),am=a1*q^(m-1)
则an/am=q^(n-m) 
(1)an=am*q^(n-m) 
(2)a,G,b 若构成等比中项，则G^2=ab (a,b,G不等于0) 
(3)若m+n=p+q 则 am×an=ap×aq 
2.等比数列前n项和 
设 a1,a2,a3...an构成等比数列 
前n项和Sn=a1+a2+a3...an 
Sn=a1+a1*q+a1*q^2+....a1*q^(n-2)+a1*q^(n-1)(这个公式虽然是最基本公式，但一部分题目中求前n项和是很难用下面那个公式推导的,这时可能要直接从基本公式推导过去，所以希望这个公式也要理解) 
Sn=a1(1-q^n)/(1-q)=(a1-an*q)/(1-q); 
注： q不等于1; 
Sn=na1 注:q=1 
求和一般有以下5个方法： 1,完全归纳法（即数学归纳法） 2 累乘法 3 错位相减法 4 倒序求和法 5 裂项相消法
著名数列
有斐波那契数列，三角函数，卡特兰数，杨辉三角等
等差数列典型例题：
1/(1x(1+1))+1/(2x(2+1))+1/(3x(3+1))+1/(4x(4+1))+1/(5x(5+1))...............1/(n(n+1)) 求Sn
解析：
Sn=(1-1/2)+(1/2-1/3)+(1/3-1/4)+(1/4-1/5).............[1/n-1/(n+1)]
=1-1/(n+1)
大衍数列　0、2、4、8、12、18、24、32、40、50－－－－－－
通项式：
an=(n×n－1)÷2 (n为奇数)
an=n×n÷2 (n为偶数)
前n项和公式：
Sn = (n-1)(n+1)(2n+3)÷12 (n为奇数）
Sn = n(n+2)(2n-1)÷12 (n为偶数）
大衍数列来源于《乾坤谱》，用于生原理。
斐波那契数列1、1、2、3、5、8、13、21、……
递推公式为：F(1)=1,F(2)=1,F(n)=F(n-1)+F(n-2)
通项式
F(n)=(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n}
这样一个完全是自然数的数列，通项公式居然是用无理数来表达的。
还可以发现 F(n-1)*F(n+1)=F(n)^2-1 （n为奇数，且n>2）￡
定理口诀
等差等比两数列，通项公式N项和。两个有限求极限，四则运算顺序换。
数列问题多变幻，方程化归整体算。数列求和比较难，错位相消巧转换，[1]
取长补短高斯法，裂项求和公式算。归纳思想非常好，编个程序好思考：
一算二看三联想，猜测证明不可少。还有数学归纳法，证明步骤程序化：