标题：群上调和分析
基本简介
法国科学家J.-B.-J.傅里叶由于当时工业上处理金属的需要，从事热流动的研究。他在题为《热的解析理论》一文中，发展了热流动方程，并指出了任意周期函数都可以用三角基来表示的想法。他的这种思想，虽然缺乏严格的论证，但对近代数学以及物理、工程技术却都产生了深远的影响，成为傅里叶分析的起源。 
由三角函数系{cos nx,sin nx} (n=0,1,2,…)组成的无穷级数 称为三角级数,其中αn,bn为系数，与x无关。若级数(1)对于一切x收敛，它的和记为ƒ(x)： 
则ƒ(x)是一个具有周期2π的周期函数。上式两边分别乘以cos nx或sin nx，并且在(0,2π)上同时积分，就得到公式 上面的运算是形式的，因为符号Σ与积分的交换缺乏根据。为了保证上述运算的正确性,应当对级数(1)的收敛性加以必要的限制,例如一致收敛性等。但是,上面提供的纯形式运算,却提出了一个很有意义的问题:如果ƒ(x)是一个给定的以2π为周期的周期函数,通过(3)可以得到一列系数αn,bn,从而可构造出相应的三角级数(1)。这样得到的三角级数(1)是否表示ƒ(x)？正是傅里叶,他首先认为这样得到的级数(1)可以表示ƒ(x)。 
给定ƒ(x)，利用(3)得到的三角级数(1),称为ƒ的傅里叶级数,而称(3)为ƒ的傅里叶系数。这种思想可以推广到任意区间上的正交函数系。特别,(n=0,±1，±2,…)是[0,2π]上的规范正交函数系，函数ƒ关于它的傅里叶级数为称为ƒ的傅里叶级数的复形式。
发展概况
傅里叶分析从诞生之日起,就围绕着“ƒ的傅里叶级数究竟是否收敛于 ƒ自身”这样一个中心问题进行研究。当傅里叶提出函数可用级数表示时，他的想法还没有得到严格的数学论证，实际的情形人们并不清楚。P.G.L.狄利克雷是历史上第一个给出函数ƒ(x)的傅里叶级数收敛于它自身的充分条件的数学家。他的收敛判别法,后称为狄利克雷-若尔当判别法。他证明了在一个周期上分段单调的周期函数ƒ的傅里叶级数,在它的连续点上必收敛于ƒ(x)；如果ƒ在x点不连续，则级数的和是(ƒ(x+0)+ƒ(x-0))/2。顺便指出，狄利克雷正是在研究傅里叶级数收敛问题的过程中，才提出了函数的正确概念。因为在他的判别法中，函数在一个周期内的分段单调性，可能导致该函数在不同区间上的不同解析表示，这自然应当把它们看做同一个函数的不同组成部分，而不是像当时人们所理解的那样，认为一个解析表达式就是一个函数。 
（G.F.）B.黎曼对傅里叶级数的研究也作出了贡献。上面说过，确定ƒ的傅里叶系数，要用到积分式(3)。但是人们当时对积分的理解还不深入。黎曼在题为《用三角级数来表示函数》(1854)的论文中，为了使得更广一类函数可以用傅里叶级数来表示，第一次明确地引进并研究了现在称之为黎曼积分的概念及其性质，使得积分这个分析学中的重要概念，有了坚实的理论基础。他证明了如果周期函数ƒ(x)在[0,2π]上有界且可积，则当n趋于无穷时ƒ的傅里叶系数趋于0。此外，黎曼还指出，有界可积函数ƒ的傅里叶级数在一点处的收敛性,仅仅依赖于ƒ(x)在该点近旁的性质。这个非常基本而重要的结果称之为局部性原理。 
G.G.斯托克斯和 P.L.von赛德尔引进了函数项级数一致收敛性的概念以后，傅里叶级数的收敛问题进一步受到了人们的注意。H.E.海涅在1870年的一篇论文中指出，有界函数ƒ(x)可以唯一地表示为三角级数这一结论，通常采用的论证方法是不完备的，因为傅里叶级数未必一致收敛，从而无法确保逐项积分的合理性。这样，就可能存在不一致收敛的三角级数，而它确实表示一个函数。这就促使G.（F.P.）康托尔研究函数用三角级数表示是否唯一的问题。这种唯一性问题的研究，又促进了对各种点集结构的探讨。G.康托尔第一次引进了点集的极限点以及导集等概念，为近代点集论的诞生奠定了基础。 
K.（T.W.）外尔斯特拉斯在1861年首次利用三角级数构造了处处不可求导的连续函数。他的这一发现震动了当时的数学界,因为长期的直观感觉使人们误认为,连续函数只有在少数一些点上才不可求导。
20世纪以来的发展
勒贝格积分理论20世纪初，H.L.勒贝格引入了新的积分与点集测度的概念，对傅里叶分析的研究产生了深远的影响。这种积分与测度，现在称为勒贝格积分与勒贝格测度，已成为数学各分支中不可缺少的重要概念和工具。勒贝格用他的积分理论，把上面提到的黎曼的工作又推进了一步。例如，根据勒贝格积分的性质，任何勒贝格可积函数的傅里叶级数，不论收敛与否，都可以逐项积分。又例如，对于[0,2π]上勒贝格平方可积的函数，帕舍伐尔等式成立； 
傅里叶级数,特别是连续函数的傅里叶级数,是否必处处收敛？1876年P.D.G.杜布瓦－雷蒙首先发现，存在连续函数，它的傅里叶级数在某些点上发散；后又证明，连续函数的傅里叶级数可以在一个无穷点集上处处发散。这反面结果的发现提醒人们对傅里叶级数的收敛性应持审慎态度。费耶尔求和法正是基于上述原因，1904年，匈牙利数学家L.费耶尔首次考虑用部分和的算术平均代替级数的部分和，证明了傅里叶级数部分和序列的算术平均，在函数的连续点上,必收敛于函数自身。这样,通过新的求和法，又能成功地用傅里叶级数表达连续函数。这无疑是傅里叶级数理论的一个重要进展。费耶尔之后，各种求和法相继产生。一门新的学科分支，发散级数的求和理论，就此应运而生。卢津猜想与此同时，傅里叶级数几乎处处收敛的问题，特别是所谓的卢津猜想，受到人们的重视（见卢津问题）。瑞典数学家L.卡尔森用十分精巧的方法，才证实了这一猜想的正确性。复变函数论方法傅里叶级数与单位圆内解析函数的理论有着非常密切的联系。假设(1)是可积函数ƒ的傅里叶级数，简单的计算表明，它是复变量z的幂级数 
(5) 
的实部。另一方面，级数(5)是单位圆内的解析函数,记为F(z)。这样,傅里叶级数(1)可以通过单位圆内解析函数的理论来研究。这就是傅里叶分析中的复变函数论方法，它是20世纪前半叶研究傅里叶级数的一个重要工具。经典的H 空间概念进一步的研究导致G.H.哈代以及F.（F.）里斯兄弟建立单位圆上H空间的理论。他们研究了单位圆内使有界的解析函数F(z)，这里0<r<1，而p>0。这类函数的全体，称为H空间，它是近代H空间理论的先驱。 
通过傅里叶级数刻画函数类是傅里叶分析中的重要课题,著名的帕舍伐尔公式以及里斯-费希尔定理反映了函数类l(0,2π)的特征。如果P≠2，则有以下的豪斯多夫-杨定理。豪斯多夫－杨定理设1<p≤2,p┡=p/(p-1),如果ƒ∈l(0,2π)，Cn是ƒ的复傅里叶系数，那么； 
反之，如果{сn}(-∞<n<∞)是满足的复数列,那么{сn}必为中某函数ƒ的傅里叶系数，且 。李特尔伍德-佩利理论上述豪斯多夫-杨定理的实质，是用傅里叶系数的大小来反映函数所属的空间，但它并没有给出空间L(0，2π)的傅里叶级数特征。因此，不可能象帕舍伐尔公式那样，用傅里叶系数的大小来刻画l(0，2π)中函数的特征。考虑函数，1<p<2,但。这样的函数是存在的。假设ƒ0的傅里叶级数的复形式是,那么可以证明,级数（±号随机地取）不是傅里叶级数,更不可能是L（0, 2π）中函数的傅里叶级数。这说明，不能简单地期望以傅里叶系数的大小来刻画l（p≠2）中函数的特征。由J.E.李特尔伍德、 R.E.A.C.佩利首创, 后由A.赞格蒙以及J.马钦凯维奇等发展起来的理论，就给出了l(0,2π)空间中函数的傅里叶级数的特征性质。方法是：把级数进行“二进”分割成如下的序列： ；。 那么当1<p<∞时,存在绝对常数с1、с2，使得 (6)！！。极大函数20世纪50年代以前的重要工作中，还应当提到哈代与李特尔伍德的其他许多贡献。特别是30年代，他们用极大函数研究傅里叶级数，取得了很深刻的结果。极大函数是一种算子，它的定义是极大函数M (ƒ)(x)比函数自身要大，用它来控制傅里叶分析中某些算子，可以达到估计其他算子的目的。 
50年代以前，傅里叶分析的研究领域基本上限于一维的具体空间，50年代以后的研究，逐渐向多维和抽象空间推广。考尔德伦－赞格蒙奇异积分理论由于偏微分方程等许多数学分支发展的需要，50年代出现的考尔德伦－赞格蒙奇异积分理论，标志了调和分析进入了一个新的历史时期。例如，当ƒ∈l(Rn)，泊松方程Δu=ƒ的基本解u(x)的二阶导函数,在一定条件下（例如ƒ具有Lip α连续性），可以表成如下的奇异积分 
сn为某常数，仅与维数n有关。积分 (8)作为勒贝格积分一般是发散的；注意到Ωj(y)在R的单位球面S上的积分为0，可以证明，积分(8)在柯西主值意义下存在，并且作为x的函数是连续的，从而u(x)是泊松方程的解。 
考尔德伦、赞格蒙研究了一类相当广泛的奇异积分算子(9)的性质，这里Ω(y) 是具有一定光滑性的零阶齐次函数，且满足条件。他们证明了这种积分算子具有l有界性(p>1)；利用这些性质,可以得到某类微分方程中解的“先验估计”。 
h空间理论的近代发展 E.M.施坦、G.韦斯于20世纪60年代,引进了上半空间上的h空间,它们是n=1的推广。当n=1时,h(p>0)空间中的函数在R=(-∞,∞)上的边值函数几乎处处以及在l范数下都存在，施坦、韦斯定义的多维 空间, 显然是一维 h(R崹)空间的推广。人们自然要问,经典的 h(R崹)空间中最基本的性质，例如边值函数的存在性等，在多维空间中是否还被保留？施坦、韦斯首先发现,p>(n-1)/n时，答案是肯定的;例如他们证明,若F∈,p>(n-1)/n，那么几乎处处以及在L范数意义下都存在。1964年，考尔德伦、赞格蒙利用高阶梯度概念，原则上把h空间的上述限制p>(n-1)/n放宽为p>0，但他们的方法比较复杂,随着指标p的不同,h空间定义的一致性,当时并不清楚。 
70年代初，h空间的近代理论经历了引人注目的发展。D.L.伯克霍尔德、R.F.冈迪、M.L.西尔费斯坦于1971年，首先就一维的情形,证明的充分且必要的条件是,F(x+iy)的实部 u(x,y)的角形极大函数, 
稍后,C.费弗曼、施坦又把上述特征推广到多维中去,并且进一步指出,当0<p<∞时,ƒ(x)作为中某函数的边值函数的充分且必要的条件是：存在充分光滑的函数φ(x),,使得ƒ关于φ的角形极大函数 ，这样，作为h(R)函数的实变函数论特征，它完全可以脱离泊松核, 也无需借助于解析函数或调和函数的概念,而纯粹是实变函数论的一种内在特性的反映，这是出乎人们的想象的。群上的傅里叶分析对于R=(-∞,∞)上定义的非周期可积函数ƒ(x)，傅里叶积分 
代替了傅里叶级数(1)，而称为ƒ的傅里叶变换。 
傅里叶级数(1) 和傅里叶积分(10)的具体形式不同，但都反映了一个重要的事实,即它们都把函数ƒ分解为许多个分量e(-∞<z<∞)或e(n=0,±1,±2,…)之和。例如对于傅里叶级数(1)，ƒ(x)分解为сne(n=0,±1，±2,…)之和；而傅里叶积分(10)则表明,ƒ(x)可以分解为无穷个 弮(z)e(-∞<z<∞)之“和”。分量的系数сn(n=0,±1,±2,…)以及弮(z)(-∞<z<∞)的确定，也有类似之处。事实上，它们都可以用下面的形式来表达： 
。　(11) 
当ƒ为具有2π周期的周期函数时，G=(0，2π)， 
，测度 是G=[0,2π]上的勒贝格测度，此时 ,即傅里叶系数(4)；当 ƒ为定义在 (-∞，∞) 上的非周期函数时,x(t)=(-∞<x<∞), 而是(-∞,∞)上的勒贝格测度，公式(11)即为傅里叶变换。 
把函数ƒ分解为许多个“特殊”函数{e}之和的思想，启发人们考虑更为深刻的问题。事实上，从群的观点看，无论是周期函数还是非周期函数，它们的定义域都是拓扑群G，就是说，G有一个代数运算，称为群运算，以及与之相协调的极限运算,称为G的拓扑。傅里叶级数或傅里叶积分的任务,正是研究G上定义的函数ƒ(x)分解为群上许多“特殊”函数（例如e或e）之和的可能性,以及通过傅里叶系数或傅里叶变换来研究ƒ自身的性质。对于一般的拓扑群G,相当于{e}或{e}的“特殊”函数是哪种函数；把这种“特殊”函数x(t)代入公式(11)，又必须确定G上的测度μ，以求出 ƒ的傅里叶变换，这是在群上建立傅里叶分析理论所必须解决的两个基本问题。对于直线群 R=(-∞,∞)，它的 “特殊”函数x(t)=e(-∞<x<∞)的特殊性，就在于它们满足以下的三个条件:①x(t+s)=x(t)x(s),②|x(t)|=1，③x(t)是t的连续函数。用群表示论的术语来说,条件①、②、③合起来，正好说明 x(t)是群R的一个酉表示，而且进一步可以证明，满足①、②、③的不可约的酉表示的全体就是 {e}(-∞<x<∞)。对圆周群T而言，T的“特殊”函数全体xn(t)=e(n=0,±1,±2,…)除满足①～③以外，还满足条件④xn(2π)=1。从群表示论的观点看，条件①～④合起来,说明T的“特殊”函数正好是群T的酉表示；进一步则可证明，T的一切不可约酉表示正好就是{e|n=0,±1,±2,…}。这样,寻找一般抽象群G上合适的“特殊”函数的问题,就转化为研究和寻找群G上一切不可约酉表示的问题。对于紧群或局部紧的交换群,群表示论的结果已经相当丰富,相应的“特殊”函数的研究也比较成熟。至于既非交换又非紧的拓扑群，寻找相应的“特殊”函数，尚是一个值得探索的难题。 
研究拓扑群上的测度是建立群上傅里叶分析的另一个基本课题，因为群上的积分(11)离不开相应的测度。以可加的局部紧拓扑群R=(-∞,∞)为例，经典的勒贝格测度的主要特点是:①R中任一紧集的勒贝格测度必为有限;②R中任何可测集的勒贝格测度关于右（或左）平移是不变的。人们自然要问,一般的拓扑群上,具有①、②两条件的测度（现在称为哈尔测度）是否存在？存在的话，是否唯一？这个问题,自1930年以来,经A.哈尔，A.韦伊以及И.М.盖尔范德等人的努力,已经证明，在局部紧的拓扑群上，满足条件①、②的哈尔测度是一定存在的，并且相互间仅差常数倍。例如，以乘法为群运算的全体正实数构成一拓扑群R，它的拓扑就是欧氏空间的拓扑, 那么测度dμ=xdx就是R上的哈尔测度。这是因为，对于任意的, 
这说明测度dμ=xdx关于位移是不变的。如果进一步求出群R的一切不可约酉表示，则经过计算，可以证明R的一切不可约酉表示就是{x|- ∞<t<∞}。这样,由公式(11),对于群R上的可积函数ƒ(x),ƒ的傅里叶变换。 
上式表达的 弮(t)正好又是经典的所谓梅林变换M ƒ(x),是R.H.梅林19世纪末为研究狄利克雷级数的有关性质时引进的。这个特例说明，群上的傅里叶分析，不仅把梅林变换统一到傅里叶变换中来，更重要的是，群论观点的引入，使得隐藏在某些现象背后的内在联系，被揭示得更清楚更深刻了。
参考书目
A.Zygmund,Trigonometric Series,2nd ed., Cam-bridge Univ.Press,Cambridge,1959. 
E.M.Stein,Singular Integrals and Differen-tiability Properties of Functions，Princeton Univ. Press,Princeton,1970. 
G.M.Stein and G.Weiss，Introduction to Fourier Analysis on Euclidean Spaces，Princeton Univ.Press,Princeton,1971. 
E.Hewitt and K.A.Ross,Abstract harmonicAnalysisVol.1～2, Springer-Verlag. Berlin,1963.1970.