标题：数学基础
历史及发展
数学基础是研究整个数学的理论基础及其相关问题的一个专门学科.对于数学基础的关注和研究，可追溯至古代.但在较长的历史阶段中，只限于对单科数学分支基础的讨论.至于作为整个数学理论基础的探索，尤其是“数学基础”作为一门专门学科的形成和诞生，乃是20世纪初的事.当时也是由于多种因素和研究活动的汇合，尤其是在作为整个经典数学之理论基础的集合论中出现悖论之后，才把数学基础问题的研究推向高潮，并进一步促进了数学哲学的发展，直至最终成为20世纪数学领域中深入的研究活动之一. 
  欧几里得《几何原本》中译版关于几何基础的研究.欧几里得(Euclid)的《几何原本》一直被公认为是最早用严格的逻辑结构建立学科体系的典范.但其不足之处也一 直为历代学者所关心.直到19世纪末，德国数学家希尔伯特(Hilbert，D.)才第一次给出了一个完备的欧几里得几何公理系统，这就是希尔伯特《几何基础》一书的核心内容.关于欧几里得几何基础研究的另一个重要线索，来自关于第五公设问题的探讨，长达两千年之久对第五公设的所有试证全告失败，由此导致非欧几何的建立和引起人们对于几何公理系统相容性问题的注意.后来知道：只要假定实数系统是相容的，那么欧几里得几何公理系统和罗巴切夫斯基几何公理系统都是相容的.而实数系统究竟相容与否，最终还是要归结到作为整个经典数学理论基础的集合论系统相容与否. 
在其他方面，也有类似的涉及数学基础的问题.公元前5世纪，毕达哥拉斯学派的古希腊数学家希帕索斯  微积分基础奠基人之一，法国数学家柯西(Hippasus，(M))发现了等腰直角三角形的直角边与斜边不可通约，由于当时人们对于无理数的概念还一无所知，因而上述发现致使人们惊奇不安，数学史上称为第一次数学危机.数学史上又把18世纪微积分诞生以后在数学界产生的混乱局面称为第二次数学危机.在17世纪和整个18世纪，一方面微积分的理论和应用得到了广泛而迅速的发展，另一方面整个微积分却又是建立在含混不清的无穷小概念上，以致遭到各方面的非难和攻击.其中最为著名而激烈的攻击来自贝克莱(Berkley，G.)大主教，有所谓贝克莱悖论等.这就不能不迫使数学家们认真投入到如何为微积分奠定理论基础的工作中去.首先是法国数学家、力学家柯西(Cauchy，A.-L.)系统地发展了极限论，德国数学家戴德金(Dedekind，(J.W.)R.)在实数论基础上证明了极限论的基本定理，德国数学家康托尔(Cantor，G.(F.P.))和德国数学家外尔斯特拉斯(Weierstrass，K.(T.W.))避开了实无限小和实无限大的概念，发展了ε-δ方法和精化了极限论，从而避开了贝克莱悖论并给出解释方法.当时普遍认为极限论作为严格的分析基础的建立，数学的第一和第二次危机已获解决.但在实际上，建立极限论是以实数理论为基础的，而要建立严格的实数理论，又必须以集合论为基础，亦即最终还是归结到作为整个经典数学理论基础的集合论是否相容的问题. 
  英国数学家、逻辑学家罗素[1]19世纪，数学的各个分支都得到了迅速的发展，亟待建立一种能以统括各个数学分支的理论基础.这时康托尔系统地总结了长期以来数学的认识与实践，缔造了一门崭新的数学学科，即集合论.由于集合论的思想方法渗透到各个数学分支，同时从集合论的基本概念和思想规定出发，能导出整个经典数学，因此，大家公认集合论可以作为整个经典数学诸分支学科的共同的理论基础.但在集合论中却又偏偏出现了悖论，特别是那个十分基本而又直接涉及逻辑理论本身的罗素悖论的出现，惊动了整个西方数学界、逻辑学界和哲学界，人们恰当地将集合论悖论的出现所造成的困难局面，称之为第三次数学危机，而且在实质上是第一、第二次数学危机的进一步深化和发展，因为涉及的范围更大，涉及的问题更深. 
正是在这样的历史背景下，“数学基础论”这一数学分科在20世纪初诞生了，摆在从事数学基础问题研究的数学家面前的首要任务，就是如何为数学的有效性重新建立可靠的依据.由于在这一工作中所持的基本观点不同，以致在数学基础的研究中形成了诸如逻辑主义派、直觉主义派、形式主义派等不同的流派.另一方面，在如何避免悖论的研究中，直接导致了作为排除悖论的重要方案之一的近代公理集合论的发展，在近代公理集合论中，能对历史上已经出现之逻辑数学悖论一一给出解释方法，即保证这些悖论不在近代公理集合论中出现，同时迄今也未发现有新的悖论在系统内出现，但却未能从理论上证明近代公理集合论在今后的展开中永远不会出现矛盾.因而近代公理集合论相对于康托尔的古典集合论而言，为整个经典数学提供了一个相对牢固的理论基础.还应指出，近代公理集合论是立足于修改康托尔的概括原则而去实现避免悖论出现的. 
能否在集合论公理中保留概括原则而避免悖论?20世纪30年代，波茨娃尔(Бочевар，B.)曾考虑不修改概括原则，而立足于发展多值逻辑去避免悖论的出现，但却始终未能达到这一目标.  美国控制论专家扎德[2]
20世纪60年代，美国控制论专家扎德(Zadeh，L.A.)明确提出要用数学的手段和方法去处理那些为经典数学所拒绝研究的模糊现象，并由此创立了模糊数学.这标志着数学的发展已进入数学研究对象由精确性到模糊性的再扩充时代.20世纪后期，模糊数学发展迅速，应用范围极为广阔.但在另一方面，模糊数学也同样面临着一个如何奠定其理论基础的问题.解决这一奠基问题的方案有如下三种：其一是将模糊数学直接或间接地奠基于近代公理集合论，但这样发展起来的模糊数学只能成为经典数学的分支，而不能在更高的形式下包括经典数学;其二是为模糊数学建立它所特有的公理集合论系统;其三是拓宽精确性经典数学的逻辑基础和集合论基础，在数学基础理论意义下解决模糊谓词的造集问题，以求能为精确性经典数学和未来的不确定性数学(应在内容和方法上有别于扎德的模糊数学)提供一个共同的理论基础. 
最后还应特别提到与数学基础论的发展有密切关系的另一个研究领域，这就是作为数学与哲学之间的边缘学科的数学哲学.数学哲学与哲学密切相关，但又与数学发展中的那些具有最普遍意义的课题有密切关系.当然，对于数学哲学的研究，无论是东方或西方，均可追溯到古代，但在很长的历史阶段中，数学哲学又只是作为自然哲学的一部分而未能形成独立的学科.直到19世纪末和20世纪初，由于数学基础论的诞生和发展，由于迫切需要深入研究数学领域中的那些带有极端普遍和根本性的问题，才促使数学哲学的研究日趋专门化，而最终形成独立的学科.特别是现代数学的蓬勃发展，又提出了一系列深刻的数学哲学问题，致使数学哲学这一学科进一步趋向全面繁荣的阶段.所以，数学哲学既是一个古老的研究领域，又是一门年轻的新兴学科.这一学科的研究价值和在数学发展中的作用日益明显，特别是关于数学认识论、数学方法论，以及数学发展规律的研究，有许多深刻的课题有待于人们去深入探索.数学哲学的研究包括数学本体论、数学认识论、数学方法论、数学发展的外在因素、数学发展规律以及数学哲学家的不同流派和观点等方面.数学哲学的研究将对数学工作者的世界观、思想方法、研究兴趣和研究力量的分布，甚至数学研究的基本趋势，都会产生重大影响.[3]​
现状
数学上，数学基础一词有时候用于数学的特定领域，例如数理逻辑，公理化集合论，证明论，模型论，和递归论。但是寻求数学的基础也是数学哲学的中心问题:在什么终极基础上命题可以称为真?
目前占统治地位的数学范式是基于公理化集合论和形式逻辑的。事实上，所有现在的数学定理都可以用集合论的定理表述。数学命题的真实性在这个观点下，不过就是该命题可以从集合论公理使用形式逻辑推导出来。
这个形式化的方法不能解释一些问题：为什么我们选择我们现在所用的而不是其他的公理，为什么我们使用我们所用的逻辑规则而不是其他的，为什么"真"数学命题(例如，算数的皮亚诺公理)在物理世界中似乎是真的。这被Eugene Wigner在1960年叫做“数学在自然科学中无理由的有效性”(The unreasonable effectiveness of mathematics in the natural sciences)。
上述的形式化真实性也可能完全没有意义：完全可能所有命题，包括自相矛盾的命题，都可以从集合论公理导出。而且，作为歌德尔第二不完备定理的一个结果，我们永远不可能知道事情是不是就是这样。
在数学现实主义(有时也叫柏拉图主义)中，独立于人类的数学对象的世界的存在性被作为一个基本假设;这些对象的真实性由人类发现。在这种观点下，自然定律和数学定律有同样的地位，而"有效性"不再"无理由"。不仅是我们的公理，而且是数学对象的真实世界构成了基础。那么，明显的问题在于，我们如何接触这个世界？
一些数学哲学的现代理论不承认基础在其原始意义上的存在性。有些理论倾向于聚焦于数学实践，把目标设定于描述和分析数学家作为社交群体的真实工作。其他的试图创造一个数学认知科学，聚焦于把人类的认知作为数学应用到"现实世界"时的可靠性的起点。这些理论建议只在人类的思考中找到基础，而不是任何"客观"的外在构造。这个主题一直很有争论性。
三次数学危机
第一次危机  毕达哥拉斯学派第一次是公元前5世纪毕达哥拉斯学派的希帕索斯发现不可共度线段：正方形的一边与其对角线不可公度，即发现不是有理数。这次危机导致无理数及几何公理系统的建立——欧几里得几何原本诞生。尽管原本还不是严格的公理系统，但它充分表明直观、经验不可全信，几千年来对几何学的研究，特别是后来对非欧几何的研究促使几何学走向严格的公理化。严格公理化的几何就是几何基础也是数学基础的一部分。第二次危机  贝克莱17世纪后半期I.牛顿和G.W.莱布尼兹创立了微积分学，但他们对无穷小的解释很难令人满意，英国主教G.贝克莱抨击当时的微积分，指出它在逻辑上有明显的问题，这便是第二次数学危机。这次危机的出现使数学家们意识到不为微积分建立牢固的基础，只进行运算是不行的。19世纪A.L柯西、K.魏尔斯特拉斯等创立了极限论，以极限为基础建立微积分学。A.鲁宾孙于1960年创立了非标准分析，把实数域扩充到包含无穷小和无穷大的超实数域，圆满解决了“无穷小的矛盾”问题。与此同时，传统逻辑发展为数理逻辑。数理逻辑是数学基础的重要内容。第三次危机  罗素数学上的第三次危机一般认为始于1902年B.A.W.罗素发现的悖论，后人称这个悖论为罗素悖论：以S表示所有不以自身为元素的集合的全体。按照集合论的概括原则（构成集合的原则），S应该是一个集合。现在问S是否是S的一个元素？如果S∈S，则按照S的定义应有SS；如果SS，则按S的定义又应有S∈S。无论哪种情况都导致矛盾。罗素悖论动摇了集合论，也动摇了当时的数学基础。因为罗素悖论只涉及最基本的集合论概念：集合，元素，属于和概括原则，它的构成十分清楚明白。这个悖论的出现说明以往的朴素集合论中包含矛盾，因而以集合论为基础的整个数学就不能没有矛盾。这个悖论也同时说明数学中采用的逻辑也不是没有问题的。数学上的第三次危机使数学界和逻辑学界都感到问题的严重性。罗素悖论表明不能无条件承认概括原则，然而概括原则的改变将使集合论大为改观，因此对整个数学的影响是巨大的。
  格奥尔格·康托尔集合论中包含矛盾这个事实，实际上稍早以前就已发现。朴素集合论的创始人G.康托尔，1895年就发现了“最大序数悖论”(所有序数的集合有更大序数)；1899年他又发现“最大基数悖论”（所有集合的集合有最大基数，但由这个集合的一切子集构成的集合有更大的基数）。对于这两个悖论当时人们也感到吃惊，但认为这是集合论中的一些技术性问题，只要作一些技术改进就可消除，因此没有引起人们的极大关注。危机的影响三次数学危机的发生是数学深入发展的结果，许多数学家为消除危机作了不懈的努力。这些努力促进了数学的发展，特别是促进了数学基础的研究。其中第三次危机对数学的影响更大。人们公认集合论是数学的基础，在数学中有着广泛的应用，任何一门数学都离不开它。非欧几何学的和谐性归结为欧几里得几何学的和谐性；欧几里得几何学的和谐性又归结为实数系统的和谐性；而实数系统的和谐最终归结为集合论的和谐性。但集合论是有矛盾的。第三次数学危机开始时，很多数学家对集合论的改造持旁观态度，认为可由逻辑学家去讨论。后来发现这样行不通，因为在数学论证中每人必须采用某一派的观点，无法回避。
研究学派
自罗素悖论发现以来，对数学基础的研究有三个主要派别：逻辑主义、形式主义和直觉主义。逻辑主义  怀特海以罗素和A.N怀特海为代表。他们认为所有数学概念都归结为自然数算术的概念，而算术概念可借助逻辑由定义给出。他们试图建立一个包括所有数学的逻辑公理系统，并由此推出全部数学。逻辑主义认为数学是逻辑的延伸，在罗素的公理系统中不得不引用了非逻辑的选择公理和无穷公理。如果没有这两条公理就无法推导出全部算术，更不用说全部数学。当然，罗素的公理系统充分发展了数理逻辑的公理体系，并且在此基础上展示了丰富的数学内容，对数理逻辑和数学基础的研究起了极大的推动作用，贡献是很大的。直觉主义  布劳威尔又称构造主义。它的代表人物是L.E.J.布劳威尔。直觉主义者认为数学产生于直觉，论证只能用构造方法，他们认为自然数是数学的基础。当证明一个数学命题正确时，必须给出它的构造方法，否则就是毫无意义的，直觉主义认为古典逻辑是从有穷集合及其子集抽象出来的，把它应用于无穷数学就必然引起矛盾。他们反对在无穷集合中使用排中律。他们不承认实无穷体，认为无穷是潜在的，只不过是无限增长的可能性。可构造性对数理逻辑及计算技术的发展有重要作用。但直觉主义使数学变得非常繁琐复杂。失去了数学的美，因而不被大多数数学家接受。　形式主义  希尔伯特以D.希尔伯特为代表，可以说是希尔伯特的数学观点和数学基础观点。希尔伯特主张捍卫排中律，他认为要避免数学中的悖论，只要使数学形式化和证明标准化。为了使形式化后的数学系统不包含矛盾，他创立了证明论(元数学)。他试图用有穷方法证明各个数学分支的和谐性。1931年K.哥德尔证明了不完全性定理，表明希尔伯特方案不能成功。后来许多人对希尔伯特方案加以改进。W.K.J.基灵利用超限归纳法证明了算术的无矛盾性。在数学基础的研究中，鲁宾孙，P.J.科恩自称为形式主义者（希尔伯特本人不认为自己是形式主义者），他们认为数学所研究的不过是一些毫无内容的符号系统，“无穷集”，“无穷整体”等在客观上是不存在的。希尔伯特的设想虽然没有实现，但却创立了证明论，又促进了递归论的发展，因此对数学基础的研究有很大的贡献。
古代由于科学技术发展水平的限制，无需专门研究数学基础，这种情况一直持续到牛顿、莱布尼兹创立微积分的时代。非欧几何的出现使人们意识到必须为数学建立不依赖于直观的基础，必须研究数学的可靠性，特别是无矛盾性，无公度线段的存在及集合论的悖论说明人们不能只依靠直观，而必须为数学建立严格的逻辑基础，解决数学的哲学基础问题。因此数学基础是包括哲学方法论和逻辑等诸方面问题的学科，数学基础现已形成数学的重要分支之一。 
#罗素悖论、康托尔悖论、数学基础的“三大数学流派：
（本文编辑：奇东）
《古今数学思想》书中 (第四册289页) 指出：二十世纪数学中最为深入的活动，使关于基础的探讨，强加于数学家的问题，以及他们自愿承担的问题，不仅牵涉到数学的本质，也牵涉到演绎数学的正确性。
在这世纪的前期，有几种活动汇合起来把基础问题引到一个高潮，首先是矛盾的发现，委婉地被称为悖论，在集合论中尤为突出。……。
《古今数学思想》书中 (第四册290页) 指出：“理发师的悖论”，罗素在1918年把一个悖论通俗化成为“理发师悖论”，一个乡村理发师，自夸无人可与相比，宣称他当然不给自己刮脸的人刮脸，但却给所有自己不刮脸的人刮脸，一天他发生了疑问，他是否应当给自己刮脸，假如他自己刮脸的话，则按他声言的前一半，他就不应当给自己刮脸；但是假如他自己不刮脸的话，则照他自夸的，他又必须给自己刮脸，这理发师陷入了逻辑的窘境。
《古今数学思想》书中 (第四册291～292页) 指出：康托尔在1899年给戴金的一封信中曾指出，人们要想不陷入矛盾的话就不能谈论由一切集合所组成的集合（第41章第9节），实质上这就是罗素的悖论的内容（《数学原理》），由一切人组成的类不是一个人，但由一切概念组成的类却是一个概念；有一切图书馆组成的类是一个图书馆；由一切基数大于1的集合组成的类也是这样一个集合。因此，有一些类不是它们自己的元素，而有一些则是它们自己的元素。这个对于类的描述，包括了一切类，并且这两种类型是互相排斥的，我们用M表示一切包含自己为元素的那些类所组成的类，用N表示一切不包含自己为元素的那些类所组成的类，现在，N本身也是一个类，我们要问它是属于M还是属于N？若N属于N，则N就是它自己的一个元素，因而又必须属于M，另一方面，若N为M的一个元素，则因M和N是互相排斥的类，N就不会属于N，于是N不是它自己的元素，因而由于N的定义，它应当属于N。
所有这些悖论的起因，如罗素和怀特海指出的，都在于一个要定义的东西是用包含着这个东西在内一类东西来定义的，这种定义也称为说不清的，特别发生在集合论中，策梅罗在1908年曾指出，一组数的下界的定义，以及分析中其它一些概念的定义，都是这种类型的定义，因此经典分析包含着悖论。
《古今数学思想》书中 (第四册292页) 指出：康托尔关于实数集合不可数的证明（第41章第7节）也用到了这样一个说不清的集合，假定在所有正整数组成的集合与所有实数组成的集合M之间有一个一一对应，而每一个实数又对应于一组整数，于是每一个整数k都对应着一个集合f(k),而f(k)或是包含k或是不包含k，N为所有那些使k不属于f(k)的k所组成的集合，这个集合N（取某一顺序）为一个实数，因而，按假定的一一对应就应该有一个整数n对应于N，若n属于N，则按N的定义，它将不属于N；若n不属于N，则按N的定义，它又应属于N，集合N的定义是说不清的，这是因为要k属于N，必须且只需在M中有一个集合K使K=f(k)并且k不属于K,这样，在定义N时就用到了一些集合的全体M，它包含着N作为元素，这就是说要定义N，N必须已经包含在M中。在无意中陷入了引进说不清的定义的陷阱，这是很容易的。……。
《古今数学思想》第四册（320~321页）书中又指出：“不完备性的不足之处就在于，形式系统还不足以用来证明所有在系统中可以作出的判断。损伤更兼屈辱，系统中存在着这样的判断，它们是不可断定的但在直观上又是真的，等语句，因为哥得尔证明了，包括着数论的任何系统都必定含有不可断定的命题。这样，尽管布劳维已经弄清楚了，直观上明确的东西不及数学上证明了的东西多；哥德尔却证明了，直观的正确会超过数学的证明，”等语句
《古今数学思想》书中 (第四册322~323页) 指出：“对于数学基础的根本问题所提出的解答——（康托尔、等等先生的）经典集合论公理化，（罗素、怀特海）逻辑主义、（克罗内克、布劳维）直觉主义、（希尔伯特）形式主义——都没有达到目的，没有对数学提供一个可以普遍接受的径。在哥德尔1931年的工作以后的发展，也没有在实质上改变这种状况，…；该途书中又指出：韦尔对数学的现状作了恰当的描述：关于数学最终基础和最终意义的问题还是没有解决，我们不知道向哪里去找它的最后解答，…”,这就谁是数学基础的现状。
《古今数学思想》书中 (第四册323~324页) 指出：1930年以后的全部发展还留下来两个没有解决的大问题：去证明不加限制的经典分析与集合论的相容性，以及在严格直观的根基上去建立数学，或者去确定这种途径的限度，在这两个问题中，困难的根源都在于无穷集合和无限程序中所用到的无穷这个概念，即使对于希腊人也应经在无理数上造成了问题，而且他们在穷竭法中躲开它。从那以后，无穷这个概念一直是争论的地题目，并使韦尔说道，数学是无限的科学。
关于数学的适当逻辑基础的问题，特别是直观主义的兴起，在某种较广的意义上，显示出数学走了一个圆圈。这门学科是在直观的和经验的基础上起始的，严密性在希腊时代就变成了一个目标，虽说到十九世纪以前在受到冲击时仍更加受到尊重，它似乎就要达到了，但是，过分追求严密性，将引入绝境而失去它的真正意义，数学仍是活跃而富有生命力的，但是它只能建立在实用的基础上。
自亚里士多德直至高斯先生人们都不承认实无限而只承认潜无限，引进实无限数学理论大多数专家似乎舍弃了潜无限数学理论，实无限排斥潜无限、潜无限也排斥实无限，事实上互相排斥，必明确指出承认接受潜无限理论千万莫排斥掉了实无限数学理论，承认接受实无限千万莫排斥丢掉了潜无限的数学理论，…。