标题：factorization
概述
因式分解
因式分解（factorization）
因式分解指的是把一个多项式分解为几个整式的积的形式，它是中学数学中最重要的恒等变形之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．
初中所涉及的解题方法
初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．而在竞赛上，又有拆项和添项法，待定系数法，双十字相乘法，轮换对称法等．
⑴提公因式法①公因式：各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的～. 
②提公因式法：一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法. 
am+bm+cm=m（a+b+c） 
③具体方法：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的. 如果多项式的第一项是负的，一般要提出“－”号，使括号内的第一项的系数是正的. 
⑵运用公式法①平方差公式：. a^2－b^2=(a+b)(a－b) 
②完全平方公式： a^2±2ab+b^2=(a±b)^2 
※能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式,其中有两项能写成两个数(或式)的平方和的形式，另一项是这两个数(或式)的积的2倍. 
③立方和公式：a^3+b^3= (a+b)(a^2-ab+b^2). 
立方差公式：a^3-b^3= (a-b)(a^2+ab+b^2). 
④完全立方公式： a^3±3a^2b+3ab^2±b^3=(a±b)^3 
⑤a^n-b^n=(a-b)[a^(n-1)+a^(n-2)b+……+b^(n-2)a+b^(n-1)]
a^m+b^m=(a+b)[a^(m-1)-a^(m-2)b+……-b^(m-2)a+b^(m-1)](m为奇数)
⑶分组分解法分组分解法：把一个多项式分组后，再进行分解因式的方法. 
分组分解法必须有明确目的，即分组后，可以直接提公因式或运用公式. 
⑷拆项、补项法拆项、补项法：把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式适合于提公因式法、运用公式法或分组分解法进行分解；要注意，必须在与原多项式相等的原则进行变形. 
⑸十字相乘法①x^2+（p q）x+pq型的式子的因式分解 
这类二次三项式的特点是：二次项的系数是1；常数项是两个数的积；一次项系数是常数项的两个因数的和.因此，可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解： x^2+（p q）x+pq=（x+p）（x+q） 
②kx^2+mx+n型的式子的因式分解 
如果能够分解成k=ac，n=bd，且有ad+bc=m 时，那么 
kx^2+mx+n=（ax b）（cx d） 
a \-----/b ac=k bd=n 
c /-----\d ad+bc=m 
※ 多项式因式分解的一般步骤： 
①如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式； 
②如果各项没有公因式，那么可尝试运用公式、十字相乘法来分解； 
③如果用上述方法不能分解，那么可以尝试用分组、拆项、补项法来分解； 
④分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。
(6)应用因式定理如果f（a）=0，则f（x）必含有因式（x-a）。如f（x）=x^2+5x+6，f（-2）=0，则可确定（x+2）是x^2+5x+6的一个因式。
经典例题：
1.分解因式(1+y)^2-2x^2(1+y^2)+x^4(1-y)^2
解：原式=(1+y)^2+2(1+y)x^2(1+y)+x^4(1-y)^2-2(1+y)x^2(1-y)-2x^2(1+y^2)
=[(1+y)+x^2(1-y)]^2-2(1+y)x^2(1-y)-2x^2(1+y^2)
=[(1+y)+x^2(1-y)]^2-(2x)^2
=[(1+y)+x^2(1-y)+2x]·[(1+y)+x^2(1-y)-2x]
=(x^2-x^2y+2x+y+1)(x^2-x^2y-2x+y+1)
=[(x+1)^2-y(x^2-1)][(x-1)^2-y(x^2-1)]
=(x+1)(x+1-xy+y)(x-1)(x-1-xy-y)
2.证明：对于任何数x,y，下式的值都不会为33
x^5+3x^4y-5x^3y^2+4xy^4+12y^5
解：原式=(x^5+3x^4y)-(5x^3y^2+15x^2y^3)+(4xy^4+12y^5)
=x^4(x+3y)-5x^2y^2(x+3y)+4y^4(x+3y)
=(x+3y)(x^4-5x^2y^2+4y^4)
=(x+3y)(x^2-4y^2)(x^2-y^2)
=(x+3y)(x+y)(x-y)(x+2y)(x-2y)
当y=0时，原式=x^5不等于33；当y不等于0时，x+3y,x+y,x-y,x+2y,x-2y互不相同，而33不能分成四个以上不同因数的积，所以原命题成立
因式分解的十二种方法
把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解。因式分解的方法多种多样，现总结如下： 
1、 提公因法如果一个多项式的各项都含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式。 
例1、 分解因式x^3 -2x^2 -x(2003淮安市中考题) 
x^3 -2x^2 -x=x(x^2 -2x-1) 
2、 应用公式法由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式。 
例2、分解因式a^2 +4ab+4b^2 (2003南通市中考题) 
解：a^2 +4ab+4b^2 =（a+2b） 
3、 分组分解法要把多项式am+an+bm+bn分解因式，可以先把它前两项分成一组，并提出公因式a，把它后两项分成一组，并提出公因式b，从而得到a(m+n)+b(m+n),又可以提出公因式m+n，从而得到(a+b)(m+n) 
例3、分解因式m^2 +5n-mn-5m 
解：m^2+5n-mn-5m= m^2-5m -mn+5n 
= (m^2 -5m )+(-mn+5n) 
=m(m-5)-n(m-5) 
=(m-5)(m-n) 
4、 十字相乘法对于mx^2 +px+q形式的多项式，如果a×b=m,c×d=q且ac+bd=p，则多项式可因式分解为(ax+d)(bx+c) 
例4、分解因式7x^2 -19x-6 
分析： 
1 -3 
7 2 
2-21=-19 
解：7x^2 -19x-6=（7x+2）(x-3) 
5、配方法对于那些不能利用公式法的多项式，有的可以利用将其配成一个完全平方式，然后再利用平方差公式，就能将其因式分解。 
例5、分解因式x^2 +3x-40 
解x^2 +3x-40
=x^2+3x+2.25-42.25
=(x+1.5)^2-(6.5)^2
=(x+8)(x-5)
6、拆、添项法可以把多项式拆成若干部分，再用进行因式分解。 
例6、分解因式bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b) 
解：bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b) 
=bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b) 
=c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a) 
=(c+b)(c-a)(a+b) 
7、 换元法有时在分解因式时，可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数，然后进行因式分解，最后再转换回来。 
例7、分解因式2x^4 -x^3 -6x^2 -x+2 
解： 2x^4 -x^3 -6x^2 -x+2 =2x^4-2x^2-2（2x^2）-x^3+x-2x+2
=2x^2 （x^2-1）- 2（2x^2）- x（x^2-1）-2（x-1)
=（x^2-1）(2x^2-x)-2（2x^2）- 2（x-1)
=x(x^2-1)(2x-1)-2(2x^2+x-1)
=x(x+1)(x-1)(2x-1)-2(2x-1)(x+1)
=(2x-1)(x+1)[x(x-1)-2]
=(2x-1)(x+1)(x^2-x-2)
=(2x-1)(x+1)(x-2)(x+1)  或=(2x-1)(x-2)(x+1)^2
8、 求根法令多项式f(x)=0,求出其根为x1 ,x2 ,x3 ,……xn ,则多项式可因式分解为f(x)=(x-x1 )(x-x2 )(x-x3 )……(x-xn ) 
例8、分解因式2x^4 +7x^3 -2x^2 -13x+6 
解：令f(x)=2x^4 +7x^3 -2x^2 -13x+6=0 
通过综合除法可知，f(x)=0根为1/2 ，-3，-2，1 
则2x^4 +7x^3 -2x^2 -13x+6=(2x-1)(x+3)(x+2)(x-1) 
9、 图像法令y=f(x)，做出函数y=f(x)的图像，找到函数图像与X轴的交点x1 ,x2 ,x3 ,……xn ，则多项式可因式分解为f(x)= f(x)=(x-x1 )(x-x2 )(x-x3 )……(x-xn ) 
例9、因式分解x^3 +2x^2 -5x-6 
解：令y= x^3 +2x^2 -5x-6 
作出其图像，与x轴交点为-3，-1，2 
则x^3 +2x^2 -5x-6=(x+1)(x+3)(x-2) 
10、 主元法先选定一个字母为主元，然后把各项按这个字母次数从高到低排列，再进行因式分解。 
例10、分解因式a (b-c)+b (c-a)+c (a-b) 
分析：此题可选定a为主元，将其按次数从高到低排列 
解：a (b-c)+b (c-a)+c (a-b)=a (b-c)-a(b -c )+(b c-c b) 
=(b-c) [a -a(b+c)+bc] 
=(b-c)(a-b)(a-c) 
11、 利用特殊值法将2或10代入x，求出数P，将数P分解质因数，将质因数适当的组合，并将组合后的每一个因数写成2或10的和与差的形式，将2或10还原成x，即得因式分解式。 
例11、分解因式x^3 +9x^2 +23x+15 
解：令x=2，则x^3 +9x^2 +23x+15=8+36+46+15=105 
将105分解成3个质因数的积，即105=3×5×7 
注意到多项式中最高项的系数为1，而3、5、7分别为x+1，x+3，x+5，在x=2时的值 
则x^3 +9x^2 +23x+15可能=（x+1）（x+3）（x+5） ，验证后的确如此。
12、待定系数法首先判断出分解因式的形式，然后设出相应整式的字母系数，求出字母系数，从而把多项式因式分解。 
例12、分解因式x^4 -x^3 -5x^2 -6x-4 
分析：易知这个多项式没有一次因式，因而只能分解为两个二次因式。 
解：设x^4 -x^3 -5x^2 -6x-4=(x^2 +ax+b)(x^2 +cx+d) 
= x^4 +(a+c)x^3 +(ac+b+d)x^2 +(ad+bc)x+bd 
所以 解得 
则x^4 -x^3 -5x^2 -6x-4 =(x +x+1)(x -2x-4)
初学因式分解的“四个注意”
因式分解初见于九年义务教育三年制初中教材《代数》第二册，在初二上学期讲授，但它的内容却渗透于整个中学数学教材之中。学习它，既可以复习初一的整式四则运算，又为本册下一章分式打好基础；学好它，既可以培养学生的观察、注意、运算能力，又可以提高学生综合分析和解决问题的能力。其中四个注意，则必须引起师生的高度重视。
因式分解中的四个注意散见于教材第5页和第15页，可用四句话概括如下：首项有负常提负，各项有“公”先提“公”，某项提出莫漏1，括号里面分到“底”。现举数例，说明如下，供参考。
例1 把－a2－b2+2ab+4分解因式。
解：－a2－b2+2ab+4=－（a2－2ab+b2－4）=－（a－b+2）（a－b－2）
这里的“负”，指“负号”。如果多项式的第一项是负的，一般要提出负号，使括号内第一项系数是正的。防止学生出现诸如－9x2+4y2=（－3x）2－（2y）2=（－3x+2y）（－3x－2y）=（3x－2y）（3x+2y）的错误?
如例2 △abc的三边a、b、c有如下关系式：－c2+a2+2ab－2bc=0，求证这个三角形是等腰三角形。
分析：此题实质上是对关系式的等号左边的多项式进行因式分解。
证明：∵－c2+a2+2ab－2bc=0，∴（a+c）（a－c）+2b（a－c）=0，∴（a－c）（a+2b+c）=0．
又∵a、b、c是△abc的三条边，∴a+2b+c>0，∴a－c=0，
即a=c，△abc为等腰三角形。
例3把－12x2nyn+18xn+2yn+1－6xnyn－1分解因式。解：－12x2nyn+18xn+2yn+1－6xnyn－1=－6xnyn－1（2xny－3x2y2+1）
这里的“公”指“公因式”。如果多项式的各项含有公因式，那么先提取这个公因式，再进一步分解因式；这里的“1”，是指多项式的某个整项是公因式时，先提出这个公因式后，括号内切勿漏掉1。防止学生出现诸如6p（x－1）3－8p2（x－1）2+2p（1－x）2=2p（x－1）2[3（x－1）－4p]=2p（x－1）2（3x－4p－3）的错误。
例4 在实数范围内把x4－5x2－6分解因式。
解：x4－5x2－6=（x2+1）（x2－6）=（x2+1）（x+6）（x－6）
这里的“底”，指分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。即分解到底，不能半途而废的意思。其中包含提公因式要一次性提“干净”，不留“尾巴”，并使每一个括号内的多项式都不能再分解。防止学生出现诸如4x4y2－5x2y2－9y2=y2（4x4－5x2－9）=y2（x2+1）（4x2－9）的错误。
由此看来，因式分解中的四个注意贯穿于因式分解的四种基本方法之中，与因式分解的四个步骤或说一般思考顺序的四句话：“先看有无公因式，再看能否套公式，十字相乘试一试，分组分解要合适”是一脉相承的。