标题：三角形的四心
三角形的四心
来源事实上，三角形有五心，但旁心并不常用。因此常被称为四心。三角形的五心三角形的五心是指三角形的重心、外心、内心、垂心、旁心。等边三角形的四心重合，旁心不与其他四心重合。
三角形的外心
三角形的外心是三角形三条垂直平分线的交点(或三角形外接圆的圆心) 。三角形的三条垂直平分线必交于一点  三角形的三条垂直平分线必交于一点已知：△ABC中，AB,AC的垂直平分线DO,EO相交于点O
求证：O点在BC的垂直平分线上
证明：连结AO,BO,CO，∵DO垂直平分AB，∴AO=BO
∵EO垂直平分AC，∴AO=CO
∴BO=CO
即O点在BC的垂直平分线上三角形的外心的性质1.三角形三条边的垂直平分线的交于一点，该点即为三角形外接圆的圆心.
2三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合。
3.锐角三角形的外心在三角形内；钝角三角形的外心在三角形外；直角三角形的外心与斜边的中点重合
4.OA=OB=OC=R
5.∠BOC=2∠BAC，∠AOB=2∠ACB，∠COA=2∠CBA 
6.S△ABC=abc/4R
三角形的内心
三角形的内心是三角形三条内角平分线的交点(或内切圆的圆心)。三角形的三条角平分线必交于一点己知：在△ABC中，∠A与∠B的角平分线交于点O，连接OC
求证：OC平分∠ACB
证明：过O点作OD,OE,OF分别垂直于AC,BC,AB,垂足分别为D,E,F
∵AO平分∠BAC,∴OD=OF；∵BO平分∠ABC,∴OE=OF ；∴OD=OF
∴O在∠ACB角平分线上 ∴CO平分∠ACB三角形的内心的性质1.三角形的三条角平分线交于一点，该点即为三角形的内心
2.三角形的内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径r
3.r=2S/(a+b+c)
4.在Rt△ABC中，∠C=90°，r=(a+b-c)/2． 
5.∠BOC = 90 °+∠A/2 ∠BOA = 90 °+∠C/2 ∠AOC = 90 °+∠B/2
6.S△=[(a+b+c)r]/2 (r是内切圆半径)
三角形的垂心
三角形的垂心是三角形三边上的高的交点(通常用H表示)。三角形的三条高必交于一点已知：△ABC中，AD、BE是两条高，AD、BE交于点O，连接CO并延长交AB于点F  三角形的三条高必交于一点求证：CF⊥AB 
证明：连接DE ∵∠ADB=∠AEB=90°,且在AB同旁，
∴A、B、D、E四点共圆 ∴∠ADE=∠ABE （同弧上的圆周角相等）
∵∠EAO=∠DAC ∠AEO=∠ADC =90°
∴△AEO∽△ADC ∴AE/AD=AO/AC 即AE/AO=AD/AC
∴ΔEAD∽ΔOAC ∴∠ACF=∠ADE=∠ABE 
又∵∠ABE+∠BAC=90° ∴∠ACF+∠BAC=90° ∴CF⊥AB三角形的垂心的性质1.锐角三角形的垂心在三角形内；直角三角形的垂心在直角顶点上；钝角三角形的垂心在三角形外
2.三角形的垂心是它垂足三角形的内心；或者说，三角形的内心是它旁心三角形的垂心 
3. 垂心O关于三边的对称点，均在△ABC的外接圆圆上。
4.△ABC中，有六组四点共圆，有三组(每组四个)相似的直角三角形，且AO·OD=BO·OE=CO·OF
5. H、A、B、C四点中任一点是其余三点为顶点的三角形的垂心(并称这样的四点为一—垂心组)。 
6.△ABC，△ABO，△BCO，△ACO的外接圆是等圆。 
7.在非直角三角形中，过O的直线交AB、AC所在直线分别于P、Q，则 AB/AP·tanB+ AC/AQ·tanC=tanA+tanB+tanC
8.三角形任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的2倍。 
9.设O，H分别为△ABC的外心和垂心，则∠BAO=∠HAC，∠ABH=∠OBC，∠BCO=∠HCA。 
10.锐角三角形的垂心到三顶点的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和的2倍。 
11.锐角三角形的垂心是垂足三角形的内心；锐角三角形的内接三角形(顶点在原三角形的边上)中，以垂足三角形的周长最短。（施瓦尔兹三角形，最早在古希腊时期由海伦发现） 
12.西姆松(Simson)定理（西姆松线）：从一点向三角形的三边所引垂线的垂足共线的重要条件是该点落在三角形的外接圆上
13.设锐角△ABC内有一点P，那么P是垂心的充分必要条件是PB*PC*BC+PB*PA*AB+PA*PC*AC=AB*BC*CA。
14.设H为非直角三角形的垂心，且D、E、F分别为H在BC，CA，AB上的射影，H1，H2，H3分别为△AEF，△BDF，△CDE的垂心，则△DEF≌△H1H2H3。
15.三角形垂心H的垂足三角形的三边，分别平行于原三角形外接圆在各顶点的切线。
三角形的重心
三角形的重心是三角形三条中线的交点。  三角形的三条中线必交于一点已知：△ABC的两条中线AD、CF相交于点O，连结并延长BO，交AC于点E。  三角形的三条中线必交于一点求证：AE=CE
证明：延长OE到点G，使OG=OB
∵OG=OB,∴点O是BG的中点 又∵点D是BC的中点∴OD是△BGC的一条中位线 ∴AD∥CG
∵点O是BG的中点，点F是AB的中点 ∴OF是△BGA的一条中位线　∴CF∥AG 
∵AD∥CG，CF∥AG,∴四边形AOCG是平行四边形　∴AC、OG互相平分,∴AE=CE三角形的重心的性质1.重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。 
2.重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。 
3.重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。 
4.在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其坐标为((X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3)；空间直角坐标系——横坐标：(X1+X2+X3)/3 纵坐标：(Y1+Y2+Y3)/3 竖坐标：（Z1+Z2+Z3）/3 
5.重心和三角形3个顶点的连线的任意一条连线将三角形面积平分。 
6.重心是三角形内到三边距离之积最大的点。
三角形的旁心
三角形的一条内角平分线与另两个内角的外角平分线相交于一点，是旁切圆的圆心，称为旁心。
旁心常常与内心联系在一起，旁心还与三角形的半周长关系密切，三角形有三个旁心。
[1]​三角形旁心的性质1、三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点，该点即为三角形的旁心。
2、每个三角形都有三个旁心。
3、旁心到三边的距离相等。
如图，点A就是△BCD的一个旁心。三角形任意两角的外角平分线和第三个角的内角平分线的交点。一个三角形有三个旁心，而且一定在三角形外。
欧拉线
非等边三角形的外心、重心、垂心，依次位于同一直线上，这条直线就叫三角形的欧拉线。其中，重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半。欧拉线的证法1作△ABC的外接圆，连结并延长BO，交外接圆于点D。连结AD、CD、AH、CH、OH。作中线AM，设AM交OH于点G’ 
∵ BD是直径 
∴ ∠BAD、∠BCD是直角 
∴ AD⊥AB，DC⊥BC 
∵ CH⊥AB，AH⊥BC 
∴ DA‖CH，DC‖AH 
∴ 四边形ADCH是平行四边形 
∴ AH=DC 
∵ M是BC的中点，O是BD的中点 
∴ OM= 1/2DC 
∴ OM= 1/2AH 
∵ OM‖AH 
∴ △OMG’ ∽△HAG’ 
∴AG/GM=2/1 
∴ G’是△ABC的重心 
∴ G与G’重合 
∴ O、G、H三点在同一条直线上 
如果使用向量,证明过程可以极大的简化,运用向量中的坐标法,分别求出O G H三点的坐标即可.欧拉线的证法2设H,G,O,分别为△ABC的垂心、重心、外心。连接AG并延长交BC于D, 则可知D为BC中点。  连接OD ，又因为O为外心，所以OD⊥BC。连接AH并延长交BC于E,因H为垂心,所以 AE⊥BC。所以OD//AE，有∠ODA=∠EAD。由于G为重心，则GA:GD=2:1。 
连接CG并延长交BA于F,则可知F为AB中点。同理，OF//CM.所以有∠OFC=∠MCF 
连接FD，有FD平行AC,且有DF:AC=1:2。FD平行AC，所以∠DFC=∠FCA，∠FDA=∠CAD，又∠OFC=∠MCF，∠ODA=∠EAD，相减可得∠OFD=∠HCA,∠ODF=∠EAC,所以有△OFD∽△HCA,所以OD:HA=DF:AC=1:2；又GA:GD=2:1所以OD:HA=GA:GD=2:1 
又∠ODA=∠EAD，所以△OGD∽△HGA。所以∠OGD=∠AGH,又连接AG并延长，所以∠AGH+∠DGH=180°,所以∠OGD+∠DGH=180°。即O、G、H三点共线。欧拉线的证法3设H,G,O,分别为△ABC的垂心、重心、外心. 
则向量OH=向量OA+向量+OB+向量OC 
向量OG=（向量OA+向量OB+向量OC）/3， 
向量OG*3=向量OH 
所以O、G、H三点共线