标题：线性系统
概述
例如以下的系统即为一线性系统：
由于线性系统较容易处理，许多时候会将系统理想化或简化为线性系统。线性系统常应用在自动控制理论、信号处理及电信上。像无线通讯讯号在介质中的传播就可以用线性系统来模拟。
简介
状态变量和输出变量对于所有可能的输入变量和初始状态都满足叠加原理的系统。叠加原理是指:如果系统相应于任意两种输入和初始状态(u1(t),x01)和(u2(t),x02)时的状态和输出分别为(x1(t),y1(t))和(x2(t),y2(t)), 则当输入和初始状态为(C1u1(t)+C2u2(t),C1x01+C2x02)时，系统的状态和输出必为(C1x1(t)+C2x2(t),C1y1(t)+C2y2(t)),其中x表示状态,y表示输出，u表示输入，C1和C2为任意实数。一个由线性元部件所组成的系统必是线性系统。但是，相反的命题在某些情况下可能不成立。线性系统的状态变量(或输入变量)与输出变量间的因果关系可用一组线性微分方程或差分方程来描述，这种方程称为系统的数学模型。作为叠加性质的直接结果，线性系统的一个重要性质是系统的响应可以分解为两个部分：零输入响应和零状态响应。前者指由非零初始状态所引起的响应；后者则指由输入引起的响应。两者可分别计算。这一性质为线性系统的分析和研究带来很大方便。
严格地说，实际的物理系统都不可能是线性系统。但是，通过近似处理和合理简化，大量的物理系统都可在足够准确的意义下和一定的范围内视为线性系统进行分析。例如一个电子放大器，在小信号下就可以看作是一个线性放大器，只是在大范围时才需要考虑其饱和特性即非线性特性。线性系统的理论比较完整，也便于应用，所以有时对非线性系统也近似地用线性系统来处理。例如在处理输出轴上的摩擦力矩时，常将静摩擦当作与速度成比例的粘性摩擦来处理，以便于得出一些可用来指导设计的结论。从这个意义上来说，线性系统是一类得到广泛应用的系统。
线性
线性linear，指量与量之间按比例、成直线的关系，在数学上可以理解为一阶导数为常数的函数；非线性non-linear则指不按比例、不成直线的关系，一阶导数不为常数。 
如问：两个眼睛的视敏度是一个眼睛的几倍？很容易想到的是两倍，可实际是 6－10倍！这就是非线性。激光也是非线性的！天体运动存在混沌；电、光与声波的振荡，会突陷混沌；地磁场在400万年间，方向突变16次，也是由于混沌。甚至人类自己，原来都是非线性的：与传统的想法相反，健康人的脑电图和心脏跳动并不是规则的，而是混沌的，混沌正是生命力的表现，混沌系统对外界的刺激反应，比非混沌系统快。
双线性系统
式中  分别是状态向量和控制向量，上标T表示转置；A，Pi和B均为常系数矩阵;dx/dt表示x对时间t的微商。这类状态方程的特点是,它相对于状态或控制在形式上分别是线性的,双线性的名称即源于此。但同时相对于状态和控制来说，系统则不是线性的。它实际上是一类具有比较简单形式的特殊非线性系统。双线性系统模型是对线性系统模型的推广，它能更准确地描述一类实际过程。生物繁殖过程就是一个典型的例子,用状态变量x表示种群中生物体的数量，控制变量u表示可人为控制的净增殖率,则控制种群中生物体数量的繁殖过程可用形式为dx/dt=ux的一个双线性系统来描述。双线性系统模型已被广泛用于工程、生物、人体、经济和社会问题的研究。例如，化学反应中的催化作用问题；人体内的水平衡过程、体温调节过程、呼吸中氧和二氧化碳交换过程、心血管调节过程等问题；细胞内的某些生物化学反应问题；社会和经济领域中的人口问题，动力资源问题，钢铁、煤炭、石油产品生产问题等。 
双线性系统的研究始于60年代，70年代以来得到了广泛的重视和迅速的发展，成为非线性系统研究中比较成熟的分支之一。双线性系统理论中已有的主要结果为： 
①　双线性系统具有变结构系统的一些特征，因而有一定的自适应性（见适应控制系统）。 
②　对于控制变量受限制（即控制变量的大小必须在一定的界限内）的情况，已经找到用频率域语言表达的稳定性条件。 
③　双线性系统具有比线性系统更好的能控性。即使控制变量受限制，系统仍可能是完全能控的。已经获得系统完全能控的一些充分条件。　 
④　用李雅普诺夫稳定性理论能够求得双线性系统的镇定控制解,即可找到一个反馈控制律u=u(x)使系统实现全局稳定。这种控制函数是开关型或饱和型的，开关曲面（或曲线）对状态变
  而言是二次曲面（或曲线）。 
⑤　采用动态规划或极大值原理已能解决双线性系统的一些最优控制问题,如最速控制，最省燃料控制,以及离散双线性系统和随机双线性系统的最优控制等。 
双线性系统理论已有不少实际应用的例子。例如核电站、核动力装置中核裂变和热交换过程的最优控制，人口预测和控制等。
图书信息
  余贻鑫 编 
科学出版社
2009年11月出版
定价：29.00 
语种：中文
标准书号：978-7-03-025273-9
装帧：平装
版本：第一版 
开本：B5
责任编辑：余江,潘继敏
字数：272千字
读者对象：本科以上文化程度
页数：216
书类：研究生教育类
册/包：12
编辑部： 高等教育出版中心 工科出版分社
内容简介
本书简要介绍了线性系统的基本理论和基本结构性质，为读者学习新近发表的与线性系统理论及其应用有关的大量文献提供一个坚实的理论基础。全书共分为9章，内容包括数学基础、系统理论基础、线性动力学系统表达式、线性定常动力学系统表达式、离散时间系统、稳定性、实现和线性定常反馈系统。
本书可作为高等院校电气与信息专业的研究生教材，也可供相关专业的本科高年级学生及工程技术人员参考。
图书目录
前言
符号表
第一章　数学基础
1.1　逻辑、集合、函数和Cartesian积
1.1.1　逻辑
1.1.2　集合
1.1.3　函数
1.1.4　Cartesian积
1.2　环和域的概念
1.2.1　群的定义
1.2.2　环的定义
1.2.3　域的定义
1.2.4　几个重要命题
1.2.5　应用域的概念扩展已得定理使用的例子
1.3　线性空间的概念
1.3.1　定义和举例
1.3.2　子空间的概念
1.3.3　积空间的概念
1.4　线性相关、生成、基底和维数
1.5　线性变换
1.6　线性变换的矩阵表示
1.7　矩阵表示和基底的改变
1.8　值域和零空间
1.9　零空间的基底
1.10　值域的基底
1.11　赋范的线性空间
1.11.1　向量的范数
1.11.2　分段连续函数的范数
1.11.3　矩阵的范数
1.11.4　线性变换A的范数
1.12　不变子空间、子空间的直和与正交子空间
1.12.1　不变子空间
1.12.2　子空间的直和
1.12.3　纯量积与正交子空间
1.13　伴随
1.13.1　伴随的定义
1.13.2　伴随的性质
1.14　收敛
1.15　Lipschitz条件
1.16　微分方程
1.16.1　假设
1.16.2　基本定理
1.16.3　用迭代法构造微分方程的解
1.17　Bellman-Gronwall引理
1.18　唯一性
习题
第二章　系统理论基础
2.1　基本概念
2.1.1　物理系统、模型和系统表达式
2.1.2　示例
2.1.3　动力学系统
2.2　等值
2.2.1　等值状态
2.2.2　等值动力学系统表达式
2.3　定常动力学系统
2.4　线性动力学系统
2.4.1　定义
2.4.2　分解性质
2.4.3　零状态响应的线性性质
2.4.4　零输入响应的线性性质
习题
第三章　线性动力学系统表达式
3.1　定义
3.2　线性微分方程
3.2.1　线性齐次微分方程
3.2.2　状态转移矩阵
3.3　状态转移矩阵的性质
3.4　状态转移函数
3.4.1　启发式的推导
3.4.2　详细的叙述
3.5　变分方程
3.6　伴随方程
3.7　伴随系统
3.8　最优化的例子
3.9　脉冲响应矩阵
习题
第四章　线性定常动力学系统表达式（相异特征值的情况）
4.1　状态转移函数
4.2　用Laplace变换计算eAt
4.3　相异特征值（代数观点）
4.4　相异特征值（几何观点）
4.4.1　特征向量基底
4.4.2　用基底表示矩阵A及其函数
4.4.3　ei的动力学解释
4.4.4　当λi是复数时的解释
4.4.5　变量的变换——解耦
4.4.6　框图解释
4.5　纯量传递函数的零点
4.6　h（s）有用的实现
习题
第五章　线性定常动力学系统表达式（重特征值的情况）
5.1　基本知识
5.1.1　关于不变子空间和子空间直和的几个命题
5.1.2　表示定理
5.2　最小多项式
5.2.1　定义
5.2.2　符号及它们的一些性质
5.3　分解定理
5.4　Jordan型
5.4.1　Jordan型的示例
5.4.2　Jordan型的一般形式及相应的基底
5.5　框图表示
5.6　矩阵函数
5.6.1　矩阵多项式
5.6.2　矩阵函数
5.6.3　f（A）的计算
5.7　周期性变系数微分方程
5.8　线性映射伴随的基本预备定理及其应用
5.8.1　基本预备定理
5.8.2　Ax=b解的存在性与唯一性
5.9　Hermitian矩阵
习题
第六章　离散时间系统
6.1　差分方程
6.2　离散时间系统表达式
6.2.1　定义
6.2.2　状态转移矩阵
6.2.3　完全响应
6.2.4　伴随方程
6.3　由连续时间系统表达式向离散时间系统表达式的变换
第七章　稳定性
7.1　有界函数
7.2　用重叠积分描述系统的有界输入-有界输出的稳定性
7.3　x=A（t）x（t）的稳定性
7.3.1　Lyapunov稳定性
7.3.2　渐近稳定
7.3.3　Lyapunov函数
7.3.4　离散时间系统xk+1=Axk的稳定性
7.4　有界输入-有界状态稳定性
7.5　弱非线性系统
习题
第八章　实现
8.1　等值
8.1.1　代数等值
8.1.2　代数等值的性质
8.1.3　实现
8.2　基本预备定理
8.2.1　预备知识
8.2.2　基本预备定理
8.3　可控性
8.3.1　定义和举例
8.3.2　特征描述
8.3.3　线性定常情况的特征描述
8.3.4　可控部分的离析
8.3.5　离散时间系统的可控性和可达性
8.4　可观测性
8.4.1　定义
8.4.2　特征描述
8.4.3　对偶性
8.4.4　定常情况的特征描述
8.4.5　不可观部分的删除
8.4.6　离散时间系统的可观测性
8.5　线性定常系统的最小实现
8.5.1　最小性
8.5.2　Kalman标准结构定理
习题
第九章　线性定常反馈系统
9.1　指数稳定性
9.2　单位反馈情况（传递函数描述）
9.2.1　SISO的单位反馈系统
9.2.2　MIMO的单位反馈系统
9.2.3　MIMO的单位反馈系统（G（s）为严格常态的）
9.3　动态反馈（状态空间表达式）
9.4　动态反馈（传递函数描述）
9.4.1　基本关系
9.4.2　闭环系统的指数稳定性
9.4.3　关于SISO情况的注记
9.5　集总系统的多变量Nyquist判据
习题