标题：不定积分
概念
设F(x)是函数f(x)的一个原函数，我们把函数f(x)的所有原函数F(x)+ C(C为任意常数）叫做函数f(x)的不定积分，记作∫f(x)dx或者∫f（高等微积分中常省去dx），即∫f(x)dx=F(x)+C。不定积分(9张)其中∫叫做积分号,f(x)叫做被积函数,x叫做积分变量,f(x)dx叫做被积式,C叫做积分常数，求已知函数的不定积分的过程叫做对这个函数进行积分。
由定义可知：
求函数f(x)的不定积分，就是要求出f(x)的所有的原函数，由原函数的性质可知，只要求出函数f(x)的一个原函数，再加上任意的常数C,就得到函数f(x)的不定积分。
性质
1、函数的和的不定积分等于各个函数的不定积分的和； 
  不定积分2、求不定积分时，被积函数中不为零的常数因子可以提到积分号外面来，
  不定积分  不定积分
基本积分公式
∫ a dx = ax + C，a和C都是常数
∫ x^a dx = [x^(a + 1)]/(a + 1) + C，其中a为常数且 a ≠ -1  [1]
∫ 1/x dx = ln|x| + C
∫ a^x dx = (1/lna)a^x + C，其中a > 0 且 a ≠ 1
∫ e^x dx = e^x + C
∫ cosx dx = sinx + C
∫ sinx dx = - cosx + C
∫ cotx dx = ln|sinx| + C = - ln|cscx| + C
∫ tanx dx = - ln|cosx| + C = ln|secx| + C
∫ secx dx =ln|cot(x/2)| + C = (1/2)ln|(1 + sinx)/(1 - sinx)| + C = - ln|secx - tanx| + C = ln|secx + tanx| + C
∫ cscx dx = ln|tan(x/2)| + C = (1/2)ln|(1 - cosx)/(1 + cosx)| + C = - ln|cscx + cotx| + C = ln|cscx - cotx| + C
∫ sec^2(x) dx = tanx + C
∫ csc^2(x) dx = - cotx + C
∫ secxtanx dx = secx + C
∫ cscxcotx dx = - cscx + C
∫ dx/(a^2 + x^2) = (1/a)arctan(x/a) + C
∫ dx/√(a^2 - x^2) = arcsin(x/a) + C
∫ dx/√(x^2 + a^2) = ln|x + √(x^2 + a^2)| + C
∫ dx/√(x^2 - a^2) = ln|x + √(x^2 - a^2)| + C
∫ √(x^2 - a^2) dx = (x/2)√(x^2 - a^2) - (a^2/2)ln|x + √(x^2 - a^2)| + C
∫ √(x^2 + a^2) dx = (x/2)√(x^2 + a^2) + (a^2/2)ln|x + √(x^2 + a^2)| + C
∫ √(a^2 - x^2) dx = (x/2)√(a^2 - x^2) + (a^2/2)arcsin(x/a) + C
若想知道更多，请查看积分表：[2]
证明方法
全微分方程的不定积分解法及其证明 
一个一阶微分方程写成
P (x,y ) dx + Q (x,y ) dy = 0 ⑴
形式后，如果它的左端恰好是某一个函数u= u (x,y ) 的全微分：
du (x,y ) = P (x,y ) dx + Q (x,y ) dy
那么方程⑴ 就叫做全微分方程。这里
5u
5x
= P (x,y ），　
5u
5y
= Q (x,y )
方程⑴ 就是du (x,y ) = 0,其通解为：
u (x,y ) = C　(C 为常数）
可见，解全微分方程的关键在于求原函数u (x,y ）。因此，本文将提供一种求原函数u (x,y ) 的简捷
方法，并给出证明。
1　引入记号
为了表述方便，先引入记号如下：
设M (x,y ) 为一个含有变量x,y 项的二元函数，定义：
⑴“M (x
q
,y ) ”表示M (x,y ) 减去它里面含有变量x 的项;
⑵“M (x,y
q
） ”表示M (x,y ) 减去它里面含有变量y 的项；
注意： 常数项看作既不含变量x 也不含变量y 的项。
现举一例如下：
设：M (x,y ) = xy + x ey+ x
1- x
+ sinx+ co sx co sy + y 2+ 1
按记号定义有：
M (x
q
,y ) = M (x,y ) - (x y + x ey +
x
1 - x
+ sinx + co sx co sy ) = y 2 + 1
M (x,y
q
） = M (x,y ) - (x y + x ey + co sx co sy + y 2) =
x
1 - x
+ sinx + 1
2　u (x,y ) 的简捷求法
引理　设开区域G 是一个单连通域，函数P (x,y ),Q (x,y ) 在G 内具有一阶连续偏导数，则
P (x,y ) dx + Q (x,y ) dy 在G 内为某一函数u (x,y ) 的全微分的充分必要条件是等式
5P
5y
=
5Q
5x
⑵
在G 内恒成立。
如果方程⑴ 左端满足⑵ 式，那以原函数
20　高等数学研究
STUD IES IN COLL EGEMA THEMA T ICS　Vo l15,No12
Jun.,2002
X 收稿日期： 2001—09—11。
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u (x,y ) =∫P (x,y
q
） dx +∫Q (x,y ) dy ⑶
或者　u (x,y ) =∫P (x,y ) dx + ∫Q (x
q
,y ) dy ⑷
3　证明
显然我们只需证明函数u (x,y ) 的全微分就是P (x,y ) dx + Q (x,y ) dy。即只需证明
5u
5x
= P (x,y ），且
5u
5y
= Q (x,y )
这里先证明⑶ 式。
由于按记号定义P (x,y
q
） 中不含有自变量y 的项，不妨设：
P (x,y
q
） = f (x ),P (x,y ) - f (x ) = g (x,y )
代入⑶ 式得
u (x,y ) =∫f (x ) dx +∫Q (x,y ) dy ⑸
5u
5x
=
5∫f (x ) dx
5x
+
5∫Q (x,y ) dy
5x
= f (x ) +∫5 Q (x,y )
5x
dy ⑹
由引理知：
5P
5y
=
5Q
5x
∴ 　
5Q
5x
=
5P
5y
=
5[P (x,y ) - f (x ) ]
5y
=
5g (x,y )
5y
将上式代入⑹ 式，得：
5u
5x
= f (x ) +∫5 Q (x,y )
5x
dy = f (x ) + g (x,y ) = P (x,y )
∴ 　
5u
5x
= P (x,y )
另一方面，由⑸ 式得：
5u
5y
=
5∫f (x ) dx
5y
+
5∫Q (x,y ) dy
5y
= 0 + Q (x,y ) = Q (x,y )
∴ 　
5u
5y
= Q (x,y ) 　至此我们已经证明了⑶ 式。
同理可以证明⑷ 式。
4　应用举例
解微分方程： (2x co sy + y 2co sx ) dx + (2y sinx - x 2 siny ) dy = 0
解　∵
5Q
5x
= 2y co sx - 2x siny =
5P
5y
∴所以该方程为全微分方程。
原函数
u (x,y ) =∫P (x,y
q
） dx + ∫Q (x,y,) dy =
∫0&otilde; dx + ∫(2y sinx - x 2 siny ) dy = y 2 sinx + x 2co sy
所以原方程的通解为：
y 2 sinx + x 2co sy = C
换元积分法
  不定积分一、第一类换元法（凑微分法）
  不定积分二、第二类换元法
第二类换元法的变换式必须可逆。
1.根式代换法 
2.三角代换法 
  不定积分
分部积分法
一、分部积分公式
设函数和 具有连续导数，则。移项得到 
不定积分
两边积分，得 ⑴称公式⑴为分部积分公式．如果积分 易于求出，则左端积分式随之得到．为简易起见，把⑴写成下面的形式：
⑵ 
分部积分公式运用成败的关键是恰当地选择u,v 
一般来说， u,v 选取的原则是：
1)积分容易者选为v ⑵求导简单者选为u
分部积分法的实质是：将所求积分化为两个积分之差，积分容易者先积分。实际上是两次积分。
  不定积分
  不定积分
  不定积分
  不定积分
  不定积分
  不定积分

有理函数的积分
有理函数分为整式（即多项式）和分式（即两个多项式的商），分式分为真分式和假分式，而假分式经过多项式除法可以转化成一个整式和一个真分式的和．可见问题转化为计算真分式的积分．
理论上已证明，任何真分式总能分解为部分分式之和。  不定积分