标题：牛顿迭代法
产生背景
牛顿迭代法（Newton's method）又称为牛顿-拉夫逊方法（Newton-Raphson method），它是牛顿在17世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法。多数方程不存在求根公式，因此求精确根非常困难，甚至不可能，从而寻找方程的近似根就显得特别重要。方法使用函数f(x）的泰勒级数的前面几项来寻找方程f(x) = 0的根。牛顿迭代法是求方程根的重要方法之一，其最大优点是在方程f(x) = 0的单根附近具有平方收敛，而且该法还可以用来求方程的重根、复根，此时线性收敛，但是可通过一些方法变成超线性收敛。另外该方法广泛用于计算机编程中。
牛顿迭代公式
设r是f(x) = 0的根，选取x0作为r初始近似值，过点（x0,f(x0））做曲线y = f(x）的切线L，L的方程为y = f(x0)+f'(x0)(x-x0），求出L与x轴交点的横坐标 x1 = x0-f(x0)/f'(x0），称x1为r的一次近似值。过点（x1,f(x1））做曲线y = f(x）的切线，并求该切线与x轴交点的横坐标 x2 = x1-f(x1）/f'(x1），称x2为r的二次近似值。重复以上过程，得r的近似值序列，其中x(n+1）=x(n）－f(x(n))/f'(x(n)），称为r的n+1次近似值，上式称为牛顿迭代公式。
解非线性方程f(x)=0的牛顿法是把非线性方程线性化的一种近似方法。把f(x）在x0点附近展开成泰勒级数 f(x) = f(x0)+(x－x0)f'(x0)+(x－x0)^2*f''(x0)/2! +… 取其线性部分，作为非线性方程f(x) = 0的近似方程，即泰勒展开的前两项，则有f(x0)+f'(x0)(x－x0)=0 设f'(x0）≠0则其解为x1=x0－f(x0)/f'(x0) 这样，得到牛顿法的一个迭代序列：x(n+1）=x(n）－f(x(n))/f'(x(n)）。
  牛顿迭代法示意图军人在进攻时常采用交替掩护进攻的方式，若在数轴上的点表示A，B两人的位置，规定在前面的数大于后面的数，则是A>B，B>A交替出现。但现在假设军中有一个胆小鬼，同时大家又都很照顾他，每次冲锋都是让他跟在后面，每当前面的人占据一个新的位置，就把位置交给他，然后其他人再往前占领新的位置。也就是A始终在B的前面，A向前迈进，B跟上，A把自己的位置交给B（即执行B = A操作），然后A 再前进占领新的位置，B再跟上……直到占领所有的阵地，前进结束。像这种两个数一前一后逐步向某个位置逼近的方法称之为迭代法。
迭代法也称辗转法，是一种不断用变量的旧值递推新值的过程，跟迭代法相对应的是直接法（或者称为一次解法），即一次性解决问题。迭代算法是用计算机解决问题的一种基本方法。它利用计算机运算速度快、适合做重复性操作的特点，让计算机对一组指令（或一定步骤）进行重复执行，在每次执行这组指令（或这些步骤）时，都从变量的原值推出它的一个新值。
利用迭代算法解决问题，需要做好以下三个方面的工作：
一、确定迭代变量。在可以用迭代算法解决的问题中，至少存在一个直接或间接地不断由旧值递推出新值的变量，这个变量就是迭代变量。
二、建立迭代关系式。所谓迭代关系式，指如何从变量的前一个值推出其下一个值的公式（或关系）。迭代关系式的建立是解决迭代问题的关键，通常可以使用递推或倒推的方法来完成。
三、对迭代过程进行控制。在什么时候结束迭代过程？这是编写迭代程序必须考虑的问题。不能让迭代过程无休止地重复执行下去。迭代过程的控制通常可分为两种情况：一种是所需的迭代次数是个确定的值，可以计算出来；另一种是所需的迭代次数无法确定。对于前一种情况，可以构建一个固定次数的循环来实现对迭代过程的控制；对于后一种情况，需要进一步分析出用来结束迭代过程的条件。
最经典的迭代算法是欧几里德算法，用于计算两个整数a,b的最大公约数。其计算原理依赖于下面的定理：
定理：gcd(a,b) = gcd(b,a mod b) 
证明：a可以表示成a = kb + r，则r = a mod b。假设d是a,b的一个公约数，则有 a%d==0,b%d==0，而r = a - kb，因此r%d==0 ，因此d是（b,a mod b）的公约数 
同理，假设d 是（b,a mod b）的公约数，则 b%d==0,r%d==0 ，但是a = kb +r ，因此d也是（a,b）的公约数。
因此（a,b）和（b,a mod b）的公约数是一样的，其最大公约数也必然相等，得证。
欧几里德算法就是根据这个原理来做的，欧几里德算法又叫辗转相除法，它是一个反复迭代执行，直到余数等于0停止的步骤，这实际上是一个循环结构。其算法用C语言描述为：
int Gcd_2(int a,int b)// 欧几里德算法求a,b的最大公约数
{
if (a<=0 || b<=0)//预防错误 
return 0;
int temp;
while (b > 0)//b总是表示较小的那个数，若不是则交换a，b的值
{
temp = a % b;//迭代关系式
a = b; //是那个胆小鬼，始终跟在b的后面
b = temp; //向前冲锋占领新的位置
}
return a;
}
从上面的程序我们可以看到a，b是迭代变量，迭代关系是temp = a % b；根据迭代关系我们可以由旧值推出新值，然后循环执a = b; b = temp；直到迭代过程结束（余数为0）。在这里a好比那个胆小鬼，总是从b手中接过位置，而b则是那个努力向前冲的先锋。
还有一个很典型的例子是斐波那契（Fibonacci）数列。斐波那契数列为：0、1、1、2、3、5、8、13、21、…，即 fib⑴=0; fib⑵=1;fib(n)=fib(n-1）+fib(n-2） （当n>2时）。
在n>2时，fib(n）总可以由fib(n-1）和fib(n-2）得到，由旧值递推出新值，这是一个典型的迭代关系，所以我们可以考虑迭代算法。
int Fib(int n) //斐波那契（Fibonacci）数列
{
if (n < 1）//预防错误 
return 0;
if (n == 1 || n == 2）//特殊值，无需迭代 
return 1;
int f1 = 1,f2 = 1,fn;//迭代变量 
int i;
for(i=3; i<=n; ++i)//用i的值来限制迭代的次数 
{
fn = f1 + f2; //迭代关系式
f1 = f2;//f1和f2迭代前进，其中f2在f1的前面 
f2 = fn;
}
return fn; 
}
C语言代码
double func(double x) //函数 
{
return x*x*x*x-3*x*x*x+1.5*x*x-4.0;
}
double func1(double x) //导函数 
{
return 4*x*x*x-9*x*x+3*x;
}
int Newton(double *x,double precision,int maxcyc) //迭代次数 
{
double x1,x0;
int k;
x0=*x;
for(k=0;k<maxcyc;k++)
{
if(func1(x0)==0.0)//若通过初值，函数返回值为0
{
printf("迭代过程中导数为0!\n");
return 0;
}
x1=x0-func(x0)/func1(x0);//进行牛顿迭代计算 
if(fabs(x1-x0)<precision || fabs(func(x1））<precision) //达到结束条件 
{
*x=x1; //返回结果 
return 1;
}
else //未达到结束条件 
x0=x1; //准备下一次迭代 
}
printf("迭代次数超过预期！\n"); //迭代次数达到，仍没有达到精度
return 0;
}
int main()
{
double x,precision;
int maxcyc;
printf("输入初始迭代值x0:");
scanf("%lf",&x); 
printf("输入最大迭代次数："); 
scanf("%d",&maxcyc);
printf("迭代要求的精度：");
scanf("%lf",&precision);
if(Newton(&x,precision,maxcyc)==1） //若函数返回值为1 
printf("该值附近的根为：%lf\n",x);
else //若函数返回值为0 
printf("迭代失败！\n");
getch();
return 0;
}
C++代码
//此函数是用来求一元3次方程ax^3+bx^2+cx+d=0的解
//比如 x^3-27=0，我们就可以输入1 0 0 -27，这样我们就可以得到一个解
#include<iostream>
#include<cmath>
using namespace std;
int main()
{
double diedai(double a,double b,double c,double d,double x);
double a,b,c,d;
double x=10000.0;
cout<<"请依次输入方程四个系数：";
cin>>a>>b>>c>>d;
x=diedai(a,b,c,d,x);
cout<<x<<endl;
return 0;
}
double diedai(double a,double b,double c,double d,double x)
{
while(abs(a*x*x*x+b*x*x+c*x+d)>0.000001）
{
x=x-(a*x*x*x+b*x*x+c*x+d)/（3*a*x*x+2*b*x+c);
}
return x;
}
matlab代码
1.定义函数function y=f(x)
y=f(x）；%函数f(x）的表达式
end
function z=h(x)
z=h(x）；%函数h(x）的表达式
end
2.主程序x=X;%迭代初值
i=0;%迭代次数计算
while i<= 100%迭代次数
x0=X-f(X)/h(X);%牛顿迭代格式
if abs(x0-X)>0.01；%收敛判断
X=x0;
else break
end
i=i+1;
end
fprintf('\n%s%.4f\t%s%d'，'X='，X，'i='，i) %输出结果
Python代码
Python代码以实例展示求解f(x) = (x-3）**3，f(x) = 0 的根。  [1]def f(x):
return (x-3）**3 ’''定义f(x) = (x-3）**3'''
def fd(x):
return 3*((x-3）**2） ’''定义f'(x) = 3*((x-3）**2）
def newtonMethod(n,assum): 
time = n 
x = assum 
Next = 0
A = f(x)
B = fd(x)
print('A = ' + str(A) + ',B = ' + str(B) + ',time = ' + str(time)) 
if f(x) == 0.0:
return time,x
else:
Next = x - A/B
print('Next x = '+ str(Next))
if A == f(Next): print('Meet f(x) = 0,x = ' + str(Next)) ’''设置迭代跳出条件，同时输出满足f(x) = 0的x值'''
else:
returnnewtonMethod(n+1,Next)
newtonMethod(0,4.0) ’''设置从0开始计数，x0 = 4.0'''