标题：类比
数学类比
概念综述数学解题与数学发现一样，通常都是在通过类比、归纳等探测性方法进行探测的基础上，获得对有关问题的结论或解决方法的猜想，然后再设法证明或否定猜想，进而达到解决问题的目的．类比、归纳是获得猜想的两个重要的方法．
运用类比法解决问题，其基本过程可用框图表示如下：
可见，运用类比法的关键是寻找一个合适的类比对象．按寻找类比对象的角度不同，类比法常分为以下三个类型．
降维类比将三维空间的对象降到二维（或一维）空间中的对象，此种类比方法即为降维类比．
【例2】以棱长为1的正四面体的各棱为直径作球，S是所作六个球的交集．证明S中没有一对点的距离大于．
【分析】考虑平面上的类比命题：“边长为1的正三角形，以各边为直径作圆，S‘是所作三个圆的交集”，通过探索S’的类似性质，以寻求本题的论证思路．如图，易知S‘包含于以正三角形重心为圆心，以为半径的圆内．因此S’内任意两点的距离不大于．以此方法即可获得解本题的思路．
证明：如图，正四面体 ABCD中，M、N分别为BC、AD的中点，G
为△BCD的中心，MN∩AG=O．显然O是正四面体ABCD的中心．易知OG=·AG=，并且可以推得以O为球心、OG为半径的球内任意两点间的距离不大于，其球O必包含S．现证明如下．
根据对称性，不妨考察空间区域四面体OMCG．设P为四面体OMCG内任一点，且P不在球O内，现证P亦不在S内．
若球O交OC于T点。△TON中，ON=，OT=，cos∠TON=cos（π-∠TOM)=-。由余弦定理：
TN2=ON2+OT2+2ON·OT·=，∴TN=。
又在 Rt△AGD中，N是AD的中点，∴GN=。由GN= NT=， OG=OT， ON=ON，得 △GON≌△TON。∴∠TON=∠GON，且均为钝角．
于是显然在△GOC内，不属于球O的任何点P，均有∠PON>；∠TON，即有PN>TN=，P点在 N为球心，AD为直径的球外，P点不属于区域S．
由此可见，球O包含六个球的交集S，即S中不存在两点，使其距离大于．
结构类比某些待解决的问题没有现成的类比物，但可通过观察，凭借结构上的相似性等寻找类比问题，然后可通过适当的代换，将原问题转化为类比问题来解决．
【例3】任给7个实数xk（k=1，2，…，7)．证明其中有两个数xi，xj，满足不等式0≤≤·
【分析】若任给7个实数中有某两个相等，结论显然成立．若7个实数互不相等，则难以下手．但仔细观察可发现：与两角差的正切公式在结构上极为相似，故可选后者为类比物，并通过适当的代换将其转化为类比问题．作代换：xk=tanαk（k =l，2，…，7），证明必存在αi，αj，满足不等式0≤tan（αi-αj）≤·
证明：令xk=tanαk（k =l，2，…，7），αk∈（-，），则原命题转化为：证明存在两个实数αi，αj∈（-，），满足0≤tan（αi-αj）≤·
由抽屉原则知，αk中必有 4个在[0，）中或在（-，0）中，不妨设有4个在[0，）中．注意到tan0=0，tan=，而在[0，）内，tanx是增函数，故只需证明存在αi，αj，使0<；αi-αj <即可。为此将[0，）分成三个小区间：[0，]、（，]、（，）。又由抽屉原则知，4个αk中至少有2个比如αi，αj同属于某一区间，不妨设αi>；αj，则0≤αi-αj ≤，故0≤tan（αi-αj）≤·这样，与相应的xi=tanαi、xj=tanαj，便有0≤≤·
简化类比简化类比，就是将原命题类比到比原命题简单的类比命题，通过类比命题解决思路和方法的启发，寻求原命题的解决思路与方法．比如可先将多元问题类比为少元问题，高次问题类比到低次问题，普遍问题类比为特殊问题等．
【例4】已知xi≥0（i=1，2，…，n），且xl+x2+…+xn=1。
求证：1≤++…+≤．
【分析】我们可先把它类比为一简单的类比题：“已知xl≥0，x2≥0，且xl+x2 =1，求证1≤+≤”．本类比题的证明思路为：∵2≤xl+x2=l，∴0≤2≤1，则1≤xl+x2+2≤2，即1≤（+)2≤2，∴1≤+≤．这一证明过程中用到了基本不等式和配方法．这正是要寻找的证明原命题的思路和方法．
证明：由基本不等式有0≤2≤xi+xj，则
0≤2≤（n-1)(xl+x2+…+xn)=n-1
∴1≤xl+x2+…+xn +2≤n，即1≤（++…+)2≤n
∴1≤++…+≤．
所谓归纳，是指通过对特例的分析来引出普遍结论的一种推理形式．它由推理的前提和结论两部分构成：前提是若干已知的个别事实，是个别或特殊的判断、陈述，结论是从前提中通过推理而获得的猜想，是普遍性的陈述、判断．其思维模式是：设Mi（i=1，2，…，n）是要研究对象M的特例或子集，若Mi（i=1，2，…，n）具有性质P，则由此猜想M也可能具有性质P．
如果=M，这时的归纳法称为完全归纳法．由于它穷尽了被研究对象的一切特例，因而结论是正确可靠的．完全归纳法可以作为论证的方法，它又称为枚举归纳法．
如果是M的真子集，这时的归纳法称为不完全归纳法．由于不完全归纳法没有穷尽全部被研究的对象，得出的结论只能算猜想，结论的正确与否有待进一步证明或举反例．
本节主要介绍如何运用不完全归纳法获得猜想，对于完全归纳法，将在以后结合有关内容（如分类法）进行讲解． 
【例5】证明：任何面积等于1的凸四边形的周长及两条对角线的长度之和不小于4十．
【分析】四边形的周长和对角线的长度和混在一起令人棘手，我们可以从特例考察起：先考虑面积为1的正方形，其周长恰为4，对角钱之和为2即．其次考察面积为1的菱形，若两对角线长记为l1、l2，那么菱形面积S=l1·l2，知
l1+ l2≥2=2=，菱形周长：l=4≥2=4。
由此，可以猜想：对一般的凸四边形也可将其周长和对角线长度和分开考虑．
【证明】设ABCD为任意一个面积为1的凸四边形，其有关线段及角标如图．则
SABCD= (eg+gf+fh+he)sinα
≤ (e+f)(g+h）≤，
∴e+f+g+h≥2，即对角线长度之和不小于．
∴a+b+c+d≥4，即周长不小于4．
综上所述，结论得证，
法学类比
类比 (Qiys) 
伊斯兰教法学概念和立法原则之一。与《古兰经》、圣训和公议并称为教法的4个主要渊源和理论基础。阿拉伯语“格亚斯”的意译，中国穆斯林学者译作“比论”、“援例”。系通过比较推导出结论的一种方法。通常是从一般推出特殊，从已知的前提或导因或事物间的相似性或本质联系推演出未知的判断或结论。亦称类比推理、类比判断。采取类比法是为了解决无经、训明文作依据的新问题，即把有关律例扩及经、训未涵盖的领域中去，以求得结论，形成新的判例。哈里发欧麦尔在给艾布·穆萨·艾什尔里的信中曾提出：“对于真主的经典和先知的训示中未曾提到的事情，你应先去了解类似事例，然后进行类比。”在伊斯兰教发展的头3个世纪里，逊尼派除罕百里教法学派外，一般都程度不同地运用“类比”原则创制律例，由有限的教法经文推论、提出了许多教法性见解和创制意见，丰富、补充了教法的内容，为教法能以适应现实、解决实际问题开辟了广阔途径。扎希里和贾法里等教法学派则拒绝使用“类比”原则。早期的类比方法较简单，多以当地穆斯林的民俗习惯或教法学家的个人意见为依据，其前提和结论不一定有内在联系。8世纪下半叶以后，教法学逐渐发展并系统化、规范化。著名大法学家沙斐仪提出了严谨的类比判断方法；逐渐代替了被认为带有主观随意性的意见判断，成为一种公认的规范性的方法。其基本要求是：类比必须是在无经、训明文可循的情况下，才准许以类似的经、训原文或已知的公议为前提，通过比较同原判例的联系，找出共同“基因”（'Illah），取得符合经、训本意的结论，然后制定出具有相应效力的新律例。在比较、推演中，只能以带有普遍意义的原判例为前提，特殊的例外和源自类比判断的间接结论，不得作为类比的依据。一项类比如有几个意义相近的原判例，则以意义最相近的原判例为前提，但亦容有不同的前提和结论。一项类比一经权威教法学家们的公议所核准，即取得了社会的认可，成为不谬的、应予遵循的律例，不得随意更改。如教法学家以《古兰经》第5章第90节禁止饮酒的规定为例证指出，禁止饮酒是因为酒醉能使人失去理智，故他们援用此例制定了饮用一切醉人并能使人失去理智的东西为非法的律例。近代以来，出自社会法制改革的需要，伊斯兰国·家的现代派学者一般都注重“创制”（伊智提哈德），主张按时代精神更灵活地解释教法原则，在方法上已突破传统的类比法，成为一种新趋向。
类比（格亚斯），意思是用推理的方法或与同类事物相比较。在教法上系指对新发生的事物教律中无明文规定时，可类比同一性质的事物而应用其律例。类比的条件有四：原则标准、细则事物、原因性质和律例等同。类比是立法的原理之一。多数教法创制家都承认类比，认为类比可以更多地认识一些事物的立法规律，例如，《古兰经》禁止饮酒，教法创制家就把这一规定推广到禁止喝一切含有酒精的饮料。但是有一部分学者，不以类比为然，他们为慎重起见，只以，《古兰经》、圣训明文为教律依据。
类比是一种推理方法，根据两种事物在某些特征上的相似，做出它们在其他特征上也可能相似的结论。如光和声都是直线传播，有反射、折射和干扰现象等，由于声呈波动状态，因而推出光也呈波动状态。类比推理是一种或然性的推理，其结论是否正确还是待实践证明。
概述
概念介绍所谓类比是这样的一种推理，它把不同的两个（两类）对象进行比较，根据两个（两类）对象在一系列属性上的相似，而且已知其中一个对象还具有其他的属性，由此推出另一个对象也具有相似的其他属性的结论。
模式介绍类比推理的基本原理可以用下列模式来表示：
A对象具有属性a、b、c，另有属性d，
B对象具有属性a、b、c，
===============================
所以，B对象具有属性d。
上述的“A”、“B”是指不同的对象：或是指不同的个体对象，比如地球与太阳；或是指不同的两类对象，比如植物类与动物类；或是指不同的领域，比如宏观世界与微观世界。类比推理的应用场合是多种多样的，有时也可以把某类的个体对象与另—类对象进行类比，例如，为了弄清某种新药物在人类身上的效用和反应如何，往往是用某类动物个体来做试验，然后通过类比求得答案。
类比的结论是或然的。类比的结论之所以具有或然性主要是由于以下两方面的原因；一方面是因为对象之间不仅具有相同性，而且具有差异性。就是说，A，B两对象尽管在一系列属性（a、b、c）上是相似的，但由于它们是不同的两个对象，总还有某些属性是不同的。如果d属性恰好是A对象异于B对象的特殊性，那么我们作出B刘象也具有d属性的结论，便是错误的。例如，地球与火星尽管它们在一系列属性上是相似的（太阳系的行星，存在着大气层，适于生命存在的温度等等），但是地球上有生物，能不能说火星上也有生物呢?不能，因为火星还有不同于地球的特殊性。近年来航天的科学考察表明，火星上并未发现什么生物。另一方面，对象中并存的许多属性，有些是对象的固有属性，有些是对象的偶有属性。比如，血液循环是人体的固有属性，而吃了鸡蛋产生过敏反应，这是个别人身上的偶有属性。如果作出类推的d属性是某一对象的偶有属性，那么另一对象很可能就不具有d属性。
类比，作为一种推理方法，它是通过比较不同对象或不同领域之间的某些属性相似，从而推导出另—属性也相似。它既不同于演绎推理从一般推导到个别，也不同于归纳推理从个别推导到一般，而是从特定的对象或领域推导到另一特定对象或领域的推理方法。
尽管类比推理可以在某类个体对象与另一类对象之间进行，但是类比推理却不能在某类与该类所属的个别对象之间进行。如果以为类比推理是归纳推理和演绎推理的压缩，那就错了。类比推理只能在两个不同对象或不同领域中进行过渡。
有人以为存在着这样一种类比推理：
S类的某一个体具有属性a，b、c、d。
S类具有属性a、b、c。
==============================
所以，S类具有属性d。
这种观点是错误的，因为这是凭主观想象用类比推理的模式去描述了 一个实际上是归纳概括的逻辑过程。诚然，无论是归纳推理还是类比推理都是已有知识的外推和扩展。但是不能因此而混淆了两种推理方法之间的根本区别：归纳推理是从个别（特殊）概括到一般，而类比推理是从某一特定的对象或领域外推到另一个不同的特定的对象或不同的领域。
还有人认为有这样一种类比推理：
S类对象具有属性a、b、c、d。
S类的某一个体对象具有属性a、b、c。
========================================
所以，S类的某一个体对象具有属性d。
这种观点同样也是错误的，因为这是凭主观想象用类比推理的模式去描述了一个实际上是演绎的逻辑过程，演绎推理是从一般推出个别（特殊），而类比却是从某一特定对象或领域外推到另一个特定对象或领域的。这种根本区别不能混淆。
发展情况在自然科学发展史上，无论古代、近代，还是现代，类比在科学发现中是一种被普遍应用的方法。类比方法的应用是随着科学思维水平的提高而不断发展的。这种发展具体表现在：从简单到复杂，从静态到动态，从定性到定量的发展。
古代的许多科学家，为了认识某个事物所具有的性质，往往采取将这个事物与已知事物作出定性类比，即两者具有相类似的许多性质，从而推想这两个事物还具有其他类似的性质。例如，中国古代的科学家宋应星，为了认识声音的传播，他在《论气·气势篇》中说：“物之冲气也，如其激水然。……以石投水，水面迎石之位，一拳而止，而其文浪以次而开，至纵横寻文而犹而未歇，其荡气也亦是焉。”在这里，宋应星把击物的声音与投石击水的纹浪进行类比，既然水以波动方式传播开，那么声音也能以波动方式传播开。宋应星在这里正是应用定性类比，推想到声音在空气中是以波的形式传播的。
近代的科学发展使人们认识到，单靠某一事物与已知事物之间的简单的静态的性质类比，那是很不充分的，还需要从事物性质的量上进行研究，这就需要把定性类比和定量类比结合起来，例如，欧姆把电流的传导同傅利叶的热传导定理相类比。在热传导中，温差（ΔT），热量（Q）和物体的比热（c) 有协变关系，它的数学模式为：Q=cm（ΔT)
欧姆把热量和温差的协变关系通过类比推移到电流传导上去，电流（I）同热量（Q）相当；电压（U）同温差（ΔT）相当；而电导（1/R）同热容量（cm）相当，从量上考察协变关系，电传导的数学模式为：I=U·1/R。这里所运用的就是定性类比和定量类比相结合的方法。
自然科学自然科学的发展愈来愈要求使用定性类比和定量类比相结合的方法。一般说来，定性类比是定量类此的前提和条件，定量类比则是定性类比的发展和提高，科学发展首先是和定性研究分不开的，一个很有成效的定性研究，往往能够为科学的进一步发展指出方向，而后又要进行定量研究，才谈得上达到了精确的规律性认识。
由于类比是不同于演绎或归纳的一种独特的推论方法，因此它可以在归纳和演绎无能为力的地方发挥其特有的效能。为什么这么说呢？这是因为归纳、演绎和类比虽然都是推论的方法，都是从已知的前提推出结论，而且结论都要在不同程度上受到前提的制约。但是，结论受前提制约的程度是不同的，其中演绎的结论受到前提的制约最大，归纳的结论受到前提的限制次之，而类比的结论受到前提的限制最小，因此类比在科学探索中发挥的作用最大。
在科学发展的前沿阵地，由于探索性强，资料奇缺，类比的应用尤其重要。例如1963年盖尔曼和茨威格分别独立地引入夸克作为组成基本粒子的单元。他们指出，基本粒子的运动规律可以用三种不同的夸克的简单运动和相互作用来说明。由于夸克假说能对新的观察事实作出正确的预言，并能用一个简单统一的概念体系来描述丰富多彩的基本粒子，因而夸克学说具有根强的解释力，夸克却始终未被单独探测到，究竟能否观察到单独的夸克呢?对于这样一个基本问题，基本粒子物理学应该怎样研究呢？根据夸克理论模型，夸克的组合方式有两种：一种是由三个夸克和三个反夸克—起组成重子，另一种是由一个夸克和一个反夸克组成介子。如果这些重子或介子族粒中有一个在一次核碰撞中被击碎，就会形成新的粒子，但每个新粒子也仍然只能采取原有的多种夸克组成方式，即含有或者三个夸克和三个反夺克，或一个夸克和一个反夸克，而不会出现一个单个的夸克或反夸克碎片。高能物理学家注意到夸克的这种性质类似于磁性物质，因为磁铁总是具有一个N极和S极，当我们把—个条形磁铁分为两截时，也不会出现孤立的N极或S极，而成为各自有N和S极的两块磁铁，这正和介子碎片分裂时的情形完全类似。这些物理学家就将夸克与磁极进行类比，把夸克理论引向了一个新的起点。因为磁体两极的不可分性的根本原因在于磁铁的磁性是原子内部电子的圆周运动产生的，磁铁的S、N极并不是组成磁铁的“基本单元”，还有更深刻的“基本结构”——原子电流的外在形态。既然夸克和磁铁类似，那么是否夸克也有一个未知的“基本结构”?夸克具有内在的类似于“原子电流’的基本结构，这是通过类比得到的一个预测，就是这个预测开辟了一条建立夸克基本理论的新途径。虽然目前还不知道相应于夸克的“基本结构”是什么，但这种预测，对于以后物理学的研究是有重大作用的。
其他使用类比还常常被用于解释新的理论和定义，它具有助发现作用，当—新理论刚提出之时，必须通过类比用人们已熟悉的理论去说明新提出的理论和定义，这就是类比助发现作用的表现。比如，在气体运动论中，将气体分子与一大群粒子进行了类比。假定粒子服从牛顿定律并发生碰撞而没有能量损失。这种类比在关于气体行为的理论的历史发展中起了重要的作用。上例表明，新提出的理论必须与别的已知理论进行类比，它才能得以解释。在科学发现中，类比的这种助发现作用是不可忽视的。
类比与模拟实验也有密切关系。所谓模拟实验就是在客观条件受限制而不能直接考察被研究对象时，就依据类比而采用间接的模拟实验进行研究。例如，地球上的生命是怎样起源的，这一直是科学家们不解的一个谜，因为生命起源的原始状态已是时过境迁，无法直接考察了。1950年代初，米勒通过类比设计了—个生命起源的模拟实验。他在一个密封的容器里，加上了氢、氧、碳、氮等元素和甲烷、水，又模拟了风、雨、雷、电等原始大气环境。这样过了一个星期后，在容器里发现已形成了苷氨酸、甲氨酸等氨基酸。以后，别人用紫外线作能源，也得到了氨基酸。1963年，波南·佩鲁马用电子束也做了同米勒相同的实
验，形成了腺嘌呤核苷，为揭开生命起源的奥秘迈进了一大步。这些研究成果的取得，充分显示了在科学发现中以类比为逻辑基础的模拟实验的重要作用。
类比在科学实验中的作用，还表现在它是设计新的实验工具的逻辑方法。比如说，威尔逊发明观察基本粒子轨迹的云室（他由于这项发明而获得1927年的诺贝尔奖），格拉塞发明同样用途阿尔瓦雷斯液态氢浴盆等，它们的最初设计都是来自通过类比推理而得到的某种启发。
类比类型
综述[1]类比的出发点，是对象之间的相似性，而相似对象又是具有多种多样的属性，在这些属性之间又有这样和那样的关系，人们对这些关系的认识过程，是从简单到复杂的过程。随着对这些关系认识的不断深化，人们所运用的类比方法也就出现了不同的类型。英国的玛丽·赫斯博士在论类比的科学使用时曾认为：
“在科学中使用类比往往就是主张在类比物与应予解释的系统之间有两类关系。第一类关系是类比物的性质与应予解释的系统的性质之间的类似性关系。第二类关系是因果关系或函数关系，这类关系既适用于类比物也适用于应予解释的系统。例如在声音的性质和光的性质之间的类比可以表示如下：
因果关系声音的性质光的性质反射定律 
折射， ↑
↓
…… 回声
响度
音高
在空气中传播
……
类似性 ←
关系反射
光度
颜色
在“以太”中传播
……
类似性
→
关系这种类比可以用来提出双重要求。第一个要求是，在每一栏中对应的性质是类似的。第二个要求是，存在着把每一栏中各项联系起来的相同类型的因果关系。这些因果关系包括反射定律、折射定律、强度随距离而变化等等。”（约翰·洛西著《科学哲学历史导论》，华中工学院出版社1982年版，第146—147页）
上述的分析是合乎实际的。我们认为，类比可以分为以下几种类型：
质料类比所谓质料类比，就是根据类比物的性质与应予解释的系统的性质之间的类似性所进行的类比。在上表中，依据声音和光的横向的类似性关系进行的类比就是质料类比。又如哥白尼提出太阳中心说以后，很多人提出怀疑。后来哥白尼学说的拥护者伽利略，用望远镜看到了木星的四颗卫星围绕着木星旋转的现象，于是把太阳系与木卫系统加以类比，即根据类比物木卫系统的性质，与应予解释的系统太阳系的性质，两者有着类似性关系，而向人们科学地解释了哥白尼的太阳中心的假说。
质料类比是类比方法中比较简单的类型，这种类比仅以类比物与应予解释的系统两者的性质相似为依据，这种类似性还是较肤浅的，还没有确定各相似性质之间的必然性联系，因此类推所得的结论，具有很大的或然性。为了深入地认识对象，科学家都希望从对象的属性之间找到必然性的联系，发现规律性的东西，这样就可以把类比的水平提高一步，使推理的结论更可靠。依据因果关系进行类比就能达到这一目的，这也就推动类比向新的类型发展。
形式类比形式类比是依据类比物与应予解释的系统两个领域的因果关系或规律性相似而进行的类比。在上表中，声音与光的纵向关系的类比就是形式类比。在这里存在着把每一栏中各项联系起来的相同类型的因果关系，这些关系包括反射定律，折射定律、强度随距离变化等等。
由于形式类比是以相似的因果关系成规律性为依据的，因此这种类比结论的可靠性程度就能大大地提高。
综合类比综合类比是在应用综合法建立数学模型的基础上根据数学模型之间的相似性而进行的一种类比。例如仿生学中设计模拟生物器官的技术装置，都是应用综合类比的成果，它们是以数学模型的相似性为根据的。
合理性原则
为了使类比在科学发现中发挥有效的作用，人们进行类比推理时应当注意以下的原则：
第一，类比所根据的相似属性越多，类比的应用也就越为有效。这是因为两个对象的相同属性越多，意味着它们在自然领域（属种系统）中的地位也是较为接近的。这样去推测其他的属性相似也就有较大的可能是合乎实际的。例如十七世纪惠更斯的波动说，是通过光与声音进行类比提出来的。当时发现声音有直线传播、反射、折射等现象，同时又有波动性，光也有直线传播、反射、折射等现象。于是推出，光也有波动性。由于当时惠更斯没有注意到光的干涉现象，加之其他原因，使得光的波动说一度受到了冷落。到了十九世纪，英国的托马斯·扬，进一步将光和声音进行类比，在类比中引进了波长概念，解释了光和声音的干涉现象，提出了横波概念，于是恢复了被人冷落—百多年的光的波动说，使光的波动说进一步被确认。
第二，类比所根据的相似属性之间越是相关联的，类比的应用也就越为有效。因为类比所根据的许多相似属性，如果是偶然的并存，那么推论所依据的就不是规律的东西，而是表面的东西，结论就不大可靠了。如果类比所依据的是现象间规律性的东西，不是偶然的表面的东西，那么结论的可靠性程度就较大。
第三，类比所根据的相似数学模型越精确，类比的应用也就越有成效。因为只有在精确的数学模型之间作出类比，才能把其中相关的元素分别地准确地对应起来，才能较为有效地作出新的发现。