标题：复变函数
起源
复数的概念起源于求方程的根，在二次、三次代数方程的求根中就出现了负数开平方的情况。在很长时间里，人们对这类数不能理解。但随着数学的发展，这类数的重要性就日益显现出来。复数的一般形式是：a+bi，其中i是虚数单位。
发展简况
复变函数论产生于十八世纪。1774年，欧拉在他的一篇论文中考虑了由复变函数的积分导出的两个方程。而比他更早时，法国数学家达朗贝尔在他的关于流体力学的论文中，就已经得到了它们。因此，后来人们提到这两个方程，把它们叫做“达朗贝尔-欧拉方程”。到了十九世纪，上述两个方程在柯西和黎曼研究流体力学时，作了更详细的研究，所以这两个方程也被叫做“柯西-黎曼条件”。
复变函数论的全面发展是在十九世纪，就像微积分的直接扩展统治了十八世纪的数学那样，复变函数这个新的分支统治了十九世纪的数学。当时的数学家公认复变函数论是最丰饶的数学分支，并且称为这个世纪的数学享受，也有人称赞它是抽象科学中最和谐的理论之一。
为复变函数论的创建做了最早期工作的是欧拉、达朗贝尔，法国的拉普拉斯也随后研究过复变函数的积分，他们都是创建这门学科的先驱。
后来为这门学科的发展作了大量奠基工作的要算是柯西、黎曼和德国数学家维尔斯特拉斯。二十世纪初，复变函数论又有了很大的进展，维尔斯特拉斯的学生，瑞典数学家列夫勒、法国数学家庞加莱、阿达玛等都作了大量的研究工作，开拓了复变函数论更广阔的研究领域，为这门学科的发展做出了贡献。
复变函数论在应用方面，涉及的面很广，有很多复杂的计算都是用它来解决的。比如物理学上有很多不同的稳定平面场，所谓场就是每点对应有物理量的一个区域，对它们的计算就是通过复变函数来解决的。
比如俄国的茹柯夫斯基在设计飞机的时候，就用复变函数论解决了飞机机翼的结构问题，他在运用复变函数论解决流体力学和航空力学方面的问题上也做出了贡献。
复变函数论不但在其他学科得到了广泛的应用，而且在数学领域的许多分支也都应用了它的理论。它已经深入到微分方程、积分方程、概率论和数论等学科，对它们的发展很有影响。
内容
复变函数论主要包括单值解析函数理论、黎曼曲面理论、几何函数论、留数理论、广义解析函数等方面的内容。
如果当函数的变量取某一定值的时候，函数就有一个唯一确定的值，那么这个函数解就叫做单值解析函数，多项式就是这样的函数。
复变函数也研究多值函数，黎曼曲面理论是研究多值函数的主要工具。由许多层面安放在一起而构成的一种曲面叫做黎曼曲面。利用这种曲面，可以使多值函数的单值枝和枝点概念在几何上有非常直观的表示和说明。对于某一个多值函数，如果能作出它的黎曼曲面，那么，函数在黎曼曲面上就变成单值函数。
黎曼曲面理论是复变函数域和几何间的一座桥梁，能够使我们把比较深奥的函数的解析性质和几何联系起来。近来，关于黎曼曲面的研究还对另一门数学分支拓扑学有比较大的影响，逐渐地趋向于讨论它的拓扑性质。
复变函数论中用几何方法来说明、解决问题的内容，一般叫做几何函数论，复变函数可以通过共形映象理论为它的性质提供几何说明。导数处处不是零的解析函数所实现的映像就都是共形映象，共形映像也叫做保角变换。共形映象在流体力学、空气动力学、弹性理论、静电场 、电路理论等方面都得到了广泛的应用。
留数理论是复变函数论中一个重要的理论。留数也叫做残数，它的定义比较复杂。应用留数理论对于复变函数积分的计算比起线积分计算方便。计算实变函数定积分，可以化为复变函数沿闭回路曲线的积分后，再用留数基本定理化为被积分函数在闭合回路曲线内部孤立奇点上求留数的计算，当奇点是极点的时候，计算更加简洁。
把单值解析函数的一些条件适当地改变和补充，以满足实际研究工作的需要，这种经过改变的解析函数叫做广义解析函数。广义解析函数所代表的几何图形的变化叫做拟保角变换。解析函数的一些基本性质，只要稍加改变后，同样适用于广义解析函数。
广义解析函数的应用范围很广泛，不但应用在流体力学的研究方面，而且象薄壳理论这样的固体力学部门也在应用。因此，近年来这方面的理论发展十分迅速。
从柯西算起，复变函数论已有170多年的历史了。它以其完美的理论与精湛的技巧成为数学的一个重要组成部分。它曾经推动过一些学科的发展，并且常常作为一个有力的工具被应用在实际问题中，它的基础内容已成为理工科很多专业的必修课程。现在，复变函数论中仍然有不少尚待研究的课题，所以它将继续向前发展，并将取得更多应用。
定义
复变数复值函数的简称。设A是一个复数集,如果对A中的任一复数z，通过一个确定的规则有一个或若干个复数w与之对应，就说在复数集A上定义了一个复变函数，记为w=ƒ(z)。这个记号表示,ƒ(z)是z通过规则ƒ而确定的复数。如果记z=x+iy,w=u+iv,那么复变函数w=ƒ(z)可分解为w=u(x,y)+iv(x,y)；所以一个复变函数w=ƒ(z)就对应着一对两个实变数的实值函数。除非有特殊的说明,函数一般指单值函数,即对A中的每一z，有且仅有一个w与之对应。例如，z2是复平面上的复变函数。但  公式
在复平面上并非单值，而是多值函数。对这种多值函数要有特殊的处理方法（见解析开拓、黎曼曲面）。 
对于z∈A,ƒ(z)的全体所成的数集称为A关于ƒ的像，记为ƒ(A)。函数ƒ规定了A与ƒ(A)之间的一个映射。例如在w=z2的映射下，z平面上的射线argz=θ与w平面上的射线argw=2θ对应；如果ƒ(A)嶅A*,称ƒ把A映入A*。如果ƒ(A)=A*,则称ƒ把A映成A*;此时称A为A*的原像。对于把A映成A*的映射ƒ,如果z1与z2相异必导致ƒ(z1)与ƒ(z2)也相异，则称ƒ是一对一的。在一对一的映射下,对A*上的任一w，A上必有一个z与之对应，称此映射为ƒ的反函数，记为 
z=ƒ-1(w)。
设ƒ(z)是A上的复变函数,α是A中一点。如果对任一正数ε，都有正数δ,当z∈A且|z-α|<δ 时,|ƒ(z)-ƒ(α)|<ε恒成立，则称ƒ(z)在α处是连续的。如果在A上处处连续,则称为A上的连续函数或连续映射。设ƒ是紧集A上的连续函数，则对任一正数ε，必存在不依赖自变数z的正数δ,当z1，z2∈A且|z1-z2<δ时|ƒ(z1)-ƒ(z2)|<ε恒成立。这个性质称为ƒ(z)在A上的一致连续性或均匀连续性。 
设ƒ(z)是平面开集D内的复变函数。对于z∈D,如果极限  公式
存在且有限,则称ƒ(z)在z处是可导的，此极限值称为ƒ(z)在z处的导数,记为ƒ┡(z)。这是实变函数导数概念的推广，但复变函数导数的存在却蕴含着丰富的内容。这是因为z+h是z的二维邻域内的任意一点，极限  公式
的存在条件比起一维的实数情形要强得多。一个复变函数如在 z的某一邻域内处处有导数，则该函数必在z处有高阶导数,而且可以展成一个收敛的幂级数（见解析函数）。所以复变函数导数的存在，对函数本身的结构有重大影响，而这些结果的研究，构成了一门学科──复变函数论。
极限与连续性
设函数 w = f(z) 在集 E 上确定, z0 为 E 之聚点, α 为一复常数. 如果 ∀ε 0, ∃δ > 0, 当 z ∈ E 且 0 < |z - z0| < δ 时, 有
| f(z) - α | < ε
则称当 z 趋于 z0 时, f(z) 有极限 α. 记作 lim f(z) (z→z0) = α .
复变函数的导数
设 f(z) 是在区域 D 内确定的单值函数, 并且 z0 ∈ D, 如果lim (f(z)-f(z0))/(z-z0) (z→z0) 
存在且等于有限复数 α. 则称f(z) 在 z0 点可导或者可微, 或称有导数 α, 记作 f’(z0).

内容简介
《复变函数》介绍了复变函数的基本概念、基本理论和方法，包括复数及复平面、复变函数的极限与连续性、复函数的积分理论、级数理论、留数理论及其应用、保形映射与解析延拓等。《复变函数》在内容的安排上深入浅出，表达清楚，系统性和逻辑性强。书中列举了大量例题来说明复变函数的定义、定理及方法，并提供了丰富的习题，便于教师教学与学生自学。每章末都有小结，并配有复习题。小结对该章的主要内容作了归纳和总结，方便学生系统复习。
《复变函数》可作为高等师范院校数学系各专业学生的教学用书，也可供相关专业的教师和科技工作者参考。
目录
第1章复数和复变函数
1.1　复数与复平面
习题1-1
1.2　复数的向量表示和极坐标表示
习题1-2
1.3　黎曼球面和扩充复平面
习题1-3
1.4复平面上的点集
习题1-4
1.5复变函数的极限和连续性
习题1-5
第2章　解析函数
2.1解析函数
习题2-1
2.2　柯西一黎曼方程
习题2-2
2.3　初等函数
2.3.1指数函数、三角函数和双曲函数
2.3.2对数函数
2.3.3幂函数和反三角函数
习题2-3
2.4　调和函数
习题2-4
2.5　解析函数的物理意义
2.5.1平面流速场的复势
2.5.2静电场的复势
2.5.3平面稳定温度场的
复势
习题2-5
第3章　复变函数的积分
3.1　逐段光滑曲线与复积分
习题3-1
3.2　积分与道路的无关性
习题3-2
3.3　柯西积分定理
习题3-3
3.4　柯西积分公式
习题3-4
3.5　解析函数的最大模原理
习题3-5
第4章　解析函数的级数展开
4.1复数项级数
习题4-1
4.2泰勒级数
习题4-2
4.3幂级数
习题4-3
4.4罗朗级数
习题4-4
4.5零点和孤立奇点
习题4-5
第5章　残数理论
5.1　残数定理
习题5-1
5.2　残数定理在实积分计算中的应用
……
第6章　保形变换

图书信息
书 名: 复变  相关书籍函数
作　者：吕彦鸣
出版社： 化学工业出版社
出版时间： 2010年5月1日
ISBN: 9787122078377
开本： 16开
定价: 25.00元
内容简介
《复变函数》介绍了复变函数的基础知识，内容包括复数域和复平面上的基本问题，解析函数的一些性质以及初等解析函数，复积分和柯西积分定理，级数理论，留数与辐角原理，许瓦兹原理、开映射原理、最大模原理、黎曼边界对应原理，共形映射理论，解析开拓、调和函数、正规族、毕伯巴赫猜想简介等。
《复变函数》可作为高等院校数学与应用数学专业的教材，也可作为大学教师、科技工作者的数学参考书。
图书目录
第一章 复数和复平面1
第一节 复数1
一、复数域1
二、复平面1
三、复数域中一些公式和事实3
四、复球面10
第二节 复平面的初等拓扑11
一、基本概念11
二、一些结论13
习题一17
第二章 复变函数19
第一节 复变函数的极限与连续19
一、复变函数的定义19
二、复变函数的极限与连续20
第二节 解析函数22
一、解析函数的概念22
二、柯西?黎曼条件24
三、单叶函数的概念26
第三节 初等函数28
一、指数函数28
二、三角函数30
三、对数函数31
四、幂函数35
五、反三角函数36
习题二37
第三章 复积分39
第一节 复积分的概念及其性质39
一、复积分的概念39
二、复积分的基本性质40
三、复积分的计算41
第二节 柯西积分定理43
一、单连通区域上的柯西积分定理43
二、多连通区域上的柯西积分定理47
第三节 柯西积分公式及其应用49
第四节 解析函数与调和函数53
第五节 解析函数在流体动力学中的应用55
一、无旋且无源的流体流动55
二、流动的特征函数57
习题三58
第四章 级数61
第一节 复数项级数和复变函数项级数61
一、复数项级数61
二、复变函数项级数63
三、级数∑+∞n=1annz的收敛性65
第二节 幂级数68
一、幂级数及其性质68
二、解析函数的泰勒展式70
三、解析函数零点的孤立性以及解析函数的唯一性73
第三节 洛朗展式75
一、双边幂级数75
二、解析函数的洛朗展式76
第四节 解析函数的孤立奇点80
一、孤立奇点的类型80
二、三种孤立奇点的特征81
三、解析函数在无穷远点的性质84
四、整函数和亚纯函数85
习题四87
第五章 留数与辐角原理90
第一节 留数及其性质90
一、留数定理90
二、留数的求法91
三、函数在无穷远点的留数93
第二节 用留数计算实积分95
一、三角函数有理式的积分95
二、广义积分的计算96
三、其他类型的积分99
第三节 辐角原理及其应用102
一、对数留数102
二、辐角原理103
三、儒歇定理106
第四节 与解析函数的映射性质有关的一些定理108
习题五113
第六章 共形映射115
第一节 共形映射的基本概念115
第二节 分式线性映射117
一、分式线性映射及其分解117
二、分式线性映射的共形性118
三、分式线性映射的保交比性119
四、分式线性映射的保圆性120
五、分式线性映射的保对称点性120
六、分式线性映射在共形映射中的应用122
第三节 某些初等函数的共形区域及其在共形映射中的简单应用124
一、幂函数与根式函数124
二、指数函数和对数函数125
三、一些简单的保形变换125
四、儒科夫斯基变换128
习题六130
第七章 传统复分析中的部分问题133
第一节 解析开拓133
一、解析开拓的基本概念和方法133
二、对称原理135
三、完全解析函数与黎曼面137
第二节 调和函数的一些基本性质138
一、平均值公式138
二、普阿松公式139
三、极值原理140
四、狄里克雷问题140
五、调和测度144
六、次调和函数145
第三节 正规族146
一、正规族的基本概念146
二、关于正规族的几个基本原则148
三、儒里亚定理和毕卡定理149
第四节 单位圆盘上的单叶函数151
习题七154
参考文献156 

复变函数第四版
作/译者：陆庆乐  出版社：高等教育出版社 
出版日期：1996年05月 
ISBN：9787040055535 [十位:7040055538] 
页数：270  重约：0.235KG 
定价：￥11.30
内容提要：
本书按照国家教委指示:“对质量较高,基础较好,使用面较广的教材要进行锤炼”的精神,结合《复变函数课程教学基本要求》的修订而修订的。作者除保持了第三版的主要优点,改正了课文、习题或答案中一些错误或不很确切的文字叙述外,还增写了每章小结,帮助读者抓住要点,提高学习效率。书中附有“*”号者,可供各专业选用。
本书内容是:复数与复变函数、解析函数、复变函数的积分、级数、留数、共形映射等,可供高等工科院校 各专业的师生作为教材使用。
图书目录：
引言 
第一章 复数与复变函数 
1 复数及其代数运算 
1.复数的概念 
2.复数的代数运算 
2 复数的几何表示 
1.复平面 
2.复球面 
3 复数的乘幂与方根 
1.乘积与商 
2.幂与根 
4 区域 
1.区域的概念 
2.单连通域与多连通域 
5 复变函数 
1.复变函数的定义 
2.映射的概念 
6 复变函数的极限和连续性 
1.函数的极限

图书信息
书号：29526ISBN：978-7-111-29526-6作者：唐生强 唐青干 黄文韬编印次：1-3责编：韩效杰开本：16(B5)字数：198千字定价：16.0所属丛书：21世纪普通高等教育基础课规划教材装订：平出版日期：2012-07-16  
内容简介
本书遵循普通高等学校工科本科《复变函数课程教学基本要求》，按照新形势下教材改革精神，结合编者长期的教学改革实践编写而成，较全面、系统地介绍了复变函数的基础知识．全书共7章，内容包括：复数与复变函数、解析函数、复变函数的积分、解析函数的级数展开、留数及其应用和共形映射等，最后一章是复变函数实验，讨论怎样用计算机软件去解决复变函数中的问题．每章配有适量习题和补充题供读者选用，书末附有习题答案与提示．本书可作为普通高等学校工科本科各专业的复变函数课程的教材，也可供工程技术人员、报考研究生的读者参考．[1] 
章节目录
目录前言第1章复数与复变函数1 1.1复数1 1.2复平面上的点集8 1.3复变函数10 1.4复球面与无穷远点14 习题115 补充题116 第2章解析函数17 2.1解析函数的概念17 2.2柯西.黎曼条件20 2.3初等函数23 *2.4平面场28 习题235 补充题236 第3章复变函数的积分37 3.1复变函数积分的概念及其基本性质37 3.2柯西积分定理42 3.3柯西积分公式46 3.4解析函数与调和函数的关系52 习题353 补充题355 第4章解析函数的级数展开57 4.1复级数的基本性质57 4.2幂级数59 4.3解析函数的泰勒展式64 4.4洛朗（Laurent）级数69 4.5解析函数的孤立奇点75 习题481 补充题483 第5章留数及其应用85 5.1留数85 5.2用留数定理计算实积分90 *5.3对数留数与辐角原理96 习题599 补充题5100 第6章共形映射102 6.1共形映射的概念102 6.2分式线性映射104 6.3若干初等函数所构成的共形映射113 *6.4希瓦尔兹.克里斯托菲尔（Schwarz.Christoffel）映射120 *6.5拉普拉斯（Laplace）方程的边值问题125 习题6129 补充题6131 第7章复变函数实验132 7.1复数及复代数式的基本运算132 7.2复函数与复函数作图133 7.3解析函数的判定137 7.4调和函数的判定与共轭调和函数的求法139 7.5幂级数展开140 7.6留数的计算141 7.7映射几何表示举例141 习题7146 部分习题参考答案与提示148 参考文献159