标题：凸包
定义
⒈对于一个集合D，D中任意有限个点的线性组合的全体称为D的凸包。
⒉对于一个集合D，所有包含D的凸集之交称为D的凸包。
可以证明，上述两种定义是等价的
概念
  1 　点集Q的凸包（convex hull）是指一个最小凸多边形，满足Q中的点或者在多边形边上或者在其内。右图中由红色线段表示的多边形就是点集Q={p0,p1,...p12}的凸包。
2 　一组平面上的点，求一个包含所有点的最小的凸多边形，这就是凸包问题了。这可以形象地想成这样：在地上放置一些不可移动的木桩，用一根绳子把他们尽量紧地圈起来，并且为凸边形，这就是凸包了。
平面凸包求法
常见求法2.0 Graham's Scan法求解凸包问题概念
凸包（Convex Hull）是一个计算几何（图形学）中的概念。用不严谨的话来讲，给定二维平面上的点集，凸包就是将最外层的点连接起来构成的凸多边型，它能包含点集中所有点的。严谨的定义和相关概念参见维基百科：凸包。
这个算法是由数学大师葛立恒（Graham）发明的，他曾经是美国数学学会（AMS）主席、AT&T首席科学家以及国际杂技师协会（IJA）主席。（太汗了，这位大牛还会玩杂技~）
问题
给定平面上的二维点集，求解其凸包。
过程
⒈ 在所有点中选取y坐标最小的一点H，当作基点。如果存在多个点的y坐标都为最小值，则选取x坐标最小的一点。坐标相同的点应排除。然后按照其它各点p和基点构成的向量<H,p>；与x轴的夹角进行排序，夹角由大至小进行顺时针扫描，反之则进行逆时针扫描。实现中无需求得夹角，只需根据向量的内积公式求出向量的模即可。以下图为例，基点为H，根据夹角由小至大排序后依次为H，K，C，D，L，F，G，E，I，B，A，J。下面进行逆时针扫描。
⒉ 线段<H,K>；一定在凸包上，接着加入C。假设线段<K,C>；也在凸包上，因为就H，K，C三点而言，它们的凸包就是由此三点所组成。但是接下来加入D时会发现，线段<K,D>；才会在凸包上，所以将线段<K,C>；排除，C点不可能是凸包。
⒊ 即当加入一点时，必须考虑到前面的线段是否会出现在凸包上。从基点开始，凸包上每条相临的线段的旋转方向应该一致，并与扫描的方向相反。如果发现新加的点使得新线段与上线段的旋转方向发生变化，则可判定上一点必然不在凸包上。实现时可用向量叉积进行判断，设新加入的点为pn + 1，上一点为pn，再上一点为pn - 1。顺时针扫描时，如果向量<pn - 1,pn>；与<pn,pn + 1>；的叉积为正（逆时针扫描判断是否为负），则将上一点删除。删除过程需要回溯，将之前所有叉积符号相反的点都删除，然后将新点加入凸包。
在上图中，加入K点时，由于线段<H,K>；相对于<H,C>；为顺时针旋转，所以C点不在凸包上，应该删除，保留K点。接着加入D点，由于线段<K,D>；相对<H,K>；为逆时针旋转，故D点保留。按照上述步骤进行扫描，直到点集中所有的点都遍例完成，即得到凸包。
复杂度
这个算法可以直接在原数据上进行运算，因此空间复杂度为O⑴。但如果将凸包的结果存储到另一数组中，则可能在代码级别进行优化。由于在扫描凸包前要进行排序，因此时间复杂度至少为快速排序的O(nlgn）。后面的扫描过程复杂度为O(n），因此整个算法的复杂度为O(nlgn）。
⒉1　 凸包最常用的凸包算法是Graham扫描法和Jarvis步进法。
对于一个有三个或以上点的点集Q，过程如下：
计算点集最右边的点为凸包的顶点的起点，如上图的P3点。
Do
For i = 0 To 总顶点数
计算有向向量P3->Pi
If 其余顶点全部在有向向量P3->Pi的左侧或右侧，则Pi点为凸包的下一顶点
Pi点加入凸包列表
GoTo 1
End If
Next
Exit Do
1:
Loop
此过程执行后，点按极角自动顺时针或逆时针排序，只需要按任意两点的次序就可以了。而左侧或右侧的判断可以用前述的矢量点积性质实现。
特殊算法⒉2　求凸包有很多方法，不过最适合OIer和ACMer的估计还是Graham's Scan这个方法了。它的大致方法是这样的：首先，找到所有点中最左边的（y坐标最小的），如果y坐标相同，找x坐标最小的；以这个点为基准求所有点的极角（atan2(y-y0,x-x0）），并按照极角对这些点排序，前述基准点在最前面，设这些点为P[0]..P[n-1]；建立一个栈，初始时P[0]、P[1]、P[2]进栈，对于P[3..n-1]的每个点，若栈顶的两个点与它不构成“向左转”的关系，则将栈顶的点出栈，直至没有点需要出栈以后将当前点进栈；所有点处理完之后栈中保存的点就是凸包了。
如何判断A、B、C构成的关系不是向左转呢？如果b-a与c-a的叉乘小于0就不是。a与b的叉乘就是a.x*b.y-a.y*b.x。
上面的这个Graham的实现比我原来按照USACO里的课文写得简单多了，主要是它通过简单的预处理保证了P[0]、P[1]以及P[n-1]肯定是凸包里的点，这样就可以避免在凸包“绕回来”的时候繁杂的处理。
中心法先构造一个中心点，然后将它与各点连接起来，按斜率递增的方法，求出凸包上部；再按斜率递减的方法，求出凸包下部。
水平法从最左边的点开始，按斜率递增的方法，求出凸包上部；再按斜率递减的方法，求出凸包下部。水平法较中心法减少了斜率无限大的可能，减少了代码的复杂度。
代码例
代码一（在编辑器中将"_ "(下划线+空格）替换成两个空格即可编译； 注意要去掉开通的双字节中文空格，蛋疼的百科。）
#include <iostream> 
#include <algorithm> 
using namespace std; 
struct point
{
_ _ int x; 
_ _ int y; 
} p[30005],res[30005];//p标记图中所有的点，res标记凸包上的点
int cmp(point p1,point p2）
{
_ _ return p1.y < p2.y || (p1.y == p2.y && p1.x < p2.x); 
}
bool ral(point p1,point p2,point p3） //用叉乘判断点的位置
{
_ _ return (p2.x - p1.x)*(p3.y - p1.y) > (p3.x - p1.x)*(p2.y - p1.y);
}
int main()
{
_ _ int n,i; 
_ _ while(scanf("%d",&n) != EOF) //一共有n个点
_ _ {
_ _ _ _ for(i = 0; i < n; i++)
_ _ _ _ _ _ scanf("%d%d",&p[i].x,&p[i].y); 
__ _ _ if(n == 1）
_ _ _ _ {
_ _ _ _ _ _ printf("%d %d\n",p[0].x,p[0].y); 
_ _ _ _ _ _ continue; 
_ _ _ _ }
_ _ _ _ if(n == 2）
_ _ _ _ {
_ _ _ _ _ _ printf("%d %d\n",p[0].x,p[0].y); 
_ _ _ _ _ _ printf("%d %d\n",p[1].x,p[1].y); 
_ _ _ _ _ _ continue; 
_ _ _ _ }
_ _ _ _ sort(p,p + n,cmp); 
_ _ _ _ res[0] = p[0]; 
_ _ _ _ res[1] = p[1]; 
_ _ _ _ int top = 1; 
_ _ _ _ for(i = 2; i < n; i++)
_ _ _ _ {
_ _ _ _ _ _ while(top && !ral(res[top],res[top - 1],p[i]))
_ _ _ _ _ _ top--; 
_ _ _ _ _ _ res[++top] = p[i]; 
_ _ _ _ }
_ _ _ _ int len = top; 
_ _ _ _ res[++top] = p[n - 2]; 
_ _ _ _ for(i = n - 3; i >= 0; i--)
_ _ _ _ {
_ _ _ _ _ _ while(top != len && !ral(res[top],res[top - 1],p[i]))
_ _ _ _ _ _ top--; 
_ _ _ _ _ _ res[++top] = p[i]; 
_ _ _ _ }
_ _ _ _ for(i = 0; i < top; i++)
_ _ _ _ _ _ printf("%d %d\n",res[i].x,res[i].y);//输出凸包上的点
_ _ }
_ _ return 0;
}
代码二#include <iostream> // 求点集合的凸包的gram算法。n是顶点个数，x,y是顶点 
坐标。
#include <fstream> // order 是按照顶点和左下脚的角度的排序后数组。
#include <deque> // tu即是逆时针的凸包上的顶点。
#include <math.h> // 
using namespace std; //使用条件：1。点可以任意给，可重复。
// 2。三个以及以上的点。
ifstream fin("input.txt"); // 3。已经考虑了边上有点的情况。
#define NN 1000 
#define pi 3.1415827 
typedef struct Cseg{ 
double x,y,tg; 
}Cseg; 
int n; 
double x[NN],y[NN]; 
deque <Cseg> order; 
deque <int> tu; 
Cseg seg1; 
deque <Cseg> ::iterator p1; 
deque <int> ::iterator p,q; 
void in(); 
void gram(); 
void makeorder(int s); 
double dist(double x1,double yy1,double x2,double yy2）； 
double cross(double x1,double yy1,double x2,double yy2）； 
void out(); 
int main() 
{ 
in(); 
gram(); 
out(); 
return 0; 
} 
void out() 
{ 
int i; 
for (i=0;i<tu.size();i++){ 
cout<<order[tu].x<<" "<<order[tu].y<<endl; 
} 
cout<<tu.size()<<" Edges Polydgon"<<endl; 
return; 
} 
void in() 
{ 
int i; 
fin>>n; 
for (i=0;i<n;i++) 
fin>>x>>y; 
return; 
} 
void gram() 
{ 
int i,mm; 
mm=0; 
for (i=1;i<n;i++) 
if (y[mm]>y+1e-9） mm=i; 
else if (fabs(y[mm]-y)<1e-9 && x[mm]>x+1e-9） mm=i; 
makeorder(mm); 
seg1.x=x[mm]; 
seg1.y=y[mm]; 
tu.clear(); 
tu.push_back(0); 
tu.push_back⑴； 
tu.push_back⑵； 
for (i=3;i<order.size();i++){ 
p=tu.end(); 
seg1.x=order.x; 
seg1.y=order.y; 
p--; 
q=p-1; 
if 
（cross(order[*p].x-order[*q].x,order[*p].y-order[*q].y,order.x-order[* 
q].x,order.y-order[*q].y)>1e-9） 
tu.push_back(i); 
else{ 
tu.pop_back(); 
i--; 
continue; 
//tu.push_back(i); 
} 
}//for 
return; 
} 
void makeorder(int s) 
{ 
int i; 
double tg; 
order.clear(); 
for (i=0;i<n;i++){ 
if (i==s) continue; 
tg=atan2(y-y[s],x-x[s]); 
seg1.x=x; 
seg1.y=y; 
seg1.tg=tg; 
p1=order.begin(); 
while (p1!=order.end()){ 
if (fabs(tg-p1->tg)<1e-9）{ 
if 
（dist(x[s],y[s],x,y)>dist(x[s],y[s],p1->x,p1->y)+1e-9） { 
p1->x=x; 
p1->y=y; 
} 
break; 
} 
else 
if (tg<p1->tg){ 
order.insert(p1,seg1）； 
break; 
} 
p1++; 
}//while 
if (p1==order.end()) order.insert(p1,seg1）； 
}//for 
seg1.x=x[s];seg1.y=y[s]; 
order.insert(order.begin(),seg1）； 
//for (i=0;i<order.size();i++) 
// printf("i=%d %lf %lf 
%lf\n",i,order.x,order.y,order.tg*180/pi); 
return; 
} 
double cross(double x1,double yy1,double x2,double yy2） 
{ 
return (x1*yy2-x2*yy1）； 
} 
double dist(double x1,double yy1,double x2,double yy2） 
{ 
return pow((x1-x2）*(x1-x2）+(yy1-yy2）*(yy1-yy2），0.5）； 
}
代码三P标程{pku 1113 }
{$Q-,S-,R-}
const
pi=3.1415926575;
zero=1e-6;
maxn=1000;
maxnum=100000000;
var
ans,temp :extended;
n,tot :longint;
x,y :array[0..maxn]of extended;
zz,num :array[0..maxn]of longint;
procedure swap(var ii,jj:extended);
var
t :extended;
begin
t:=ii;ii:=jj;jj:=t;
end;
procedure init;
var
i,j :longint;
begin
readln(n,temp);
for i:=1 to n do readln(x[i],y[i]);
end;
function ok(x,midx,y,midy:extended):longint;
begin
if abs(x-midx)<=zero then
begin
if abs(midy-y)<=zero then exit(0);
if midy>y then exit⑴
else exit⑵；
end
else
begin
if x<midx then exit⑴
else exit⑵；
end;
end;
procedure qsort(head,tail:longint);
var
i,j :longint;
midx,midy :extended;
begin
i:=head;
j:=tail;
midx:=x[(head+tail) div 2];
midy:=y[(head+tail) div 2];
repeat
while ok(x[i],midx,y[i],midy)=1 do inc(i);
while ok(x[j],midx,y[j],midy)=2 do dec(j);
if i<=j then
begin
swap(x[i],x[j]);
swap(y[i],y[j]);
inc(i);
dec(j);
end;
until i>j;
if i<tail then qsort(i,tail);
if j>head then qsort(head,j);
end;
function Plot(x1,y1,x2,y2:extended):extended;
begin
Plot:=x1*y2-x2*y1;
end;
function check(first,last,new:longint):boolean;
var
ax,ay,bx,by :extended;
Pt :extended;
begin
ax:=x[last]-x[first];ay:=y[last]-y[first];
bx:=x[new]-x[first];by:=y[new]-y[first];
if Plot(ax,ay,bx,by)<-zero then exit(true)
else exit(false);
end;
procedure Tbao;
var
i,j,tail :longint;
begin
tot:=0;
zz[1]:=1;tail:=1;
for i:=2 to n do
begin
while (zz[tail]<>1）and check(zz[tail-1],zz[tail],i) do dec(tail);
inc(tail);
zz[tail]:=i;
end;
inc(tot,tail-1）；
for i:=1 to tail-1 do
num[i]:=zz[i];
zz[1]:=n;tail:=1;
for i:=n-1 downto 1 do
begin
while (zz[tail]<>n)and check(zz[tail-1],zz[tail],i) do dec(tail);
inc(tail);
zz[tail]:=i;
end;
for i:=1 to tail-1 do
num[tot+i]:=zz[i];
inc(tot,tail-1）；
end;
function dist(a,b:longint):extended;
begin
dist:=sqrt((x[a]-x[b])*(x[a]-x[b])+(y[a]-y[b])*(y[a]-y[b]));
end;
procedure main;
var
i,j :longint;
begin
qsort（1,n);
Tbao;
ans:=0;
for i:=1 to tot-1 do
ans:=ans+dist(num[i],num[i+1]);
ans:=ans+dist(num[tot],num[1]);
ans:=ans+temp*pi*2;
writeln(ans:0:0);
end;
begin
init;
main;
end.