标题：平面角
具体定义
平面角是以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角．
或者从二面角的棱上任一点在两个半平面内分别作垂直于棱的射线，则这两条射线所成的角叫做二面角的平面角．
1.二面角就是用它的平面角来度量的。一个二面角的平面角多大，我们就说个二面角是多少度的二面角。
2.二面角的平面角与点（或垂直平面）的位置无任何关系，只与二面角的张角大小有关。
三垂线法
求二面角的大小是考试中经常出现的问题，而用三垂线法作二面角的平面角是求二面角大小的一个重要方法，许多同学在解题过程中由于没有有效地利用三垂线定理（或逆定理）作出二面角的平面角，使得解题受阻．
我们把用三垂线定理（或逆定理）作二面角的平面角的方法称为三垂线法，其作图模型为：
如图1，在二面角－l－中，过平面内一点A作AO⊥平面，垂足为O，过点O作OB⊥l于B（过A点作AB⊥于B），连结AB（或OB），由三垂线定理（或逆定理）知AB⊥l（或OB⊥l），则∠ABO为二面角。—l—的平面角．
作图过程中，作出了两条垂线AO与OB（或AB），后连结AB两点（或OB两点），这一过程可简记为“两垂一连”，其中AO为“第一垂线”．“第一垂线”能否顺利找到或恰当作出是用三垂线法作二面角的平面角的关键，在具体解题过程中要注意以下几点：
1．善于利用图中已有的“第一垂线”
例1 已知斜三棱柱ABC—A1B1C1中，∠BCA=90°，AC=BC，A1在底面ABC的射影恰为AC的中点M，又知AA1与底面ABC所成的角为60°．
⑴求证：BC⊥平面AA1CC1；
⑵求二面角B一AA1—C的大小．
剖析：注意该题的第⑴问，事实上本题已经暗示了BC就是我们要寻求的“第一垂线”．
略解2 A1A与底面AB成的角为60°，所以∠A1AC=60°，又M是AC中点，所以△AA1C是正三角形，作CN⊥AA1于N，点N为A1A的中点，连结BN，由BC⊥平面AA1CC1，BN⊥AA1，则∠BNC为二面角B一AA1一C的平面角．设AC=BC=a，正△AA1C的边长为a，所以，在Rt△BNC中，tan∠BNC=，即　 　.
例2 如图3，在底面是直角梯形的四棱锥S—ABCD中，∠ABC=90°，SA⊥面ABCD，SA=AB=BC=1，AD=　 　
⑴求四棱锥S—ABCD的体积；
⑵求面SCD与面SBA所成的二面角的正切值．
剖析：由SA⊥面ABCD及∠ABC=90°，不难发现，BC即为“第一垂线”，但是，本题要作二面角的平面角，还需首先作出二面角的棱．
略解2 延长BA、CD相交于点E，连结SE，则SE是所求二面角的棱，因为AD∥BC，BC=2AD，所以EA=AB=SA，所以SE⊥SB，因为SA⊥面ABCD，得面SEB⊥面EBC，EB是交线，又BC⊥EB，所以BC⊥面SEB，故SB是CS在面SEB上的射影，所以CS⊥SE，所以∠BSC是所求二面角的平面角，因为，BC=1，BC⊥SB，因为tan∠BSC=，即所求二面角的正切值为．
2．借助第三个平面，作“第一垂线”
例3 如图4，正三棱柱ABC—A1B1C1的底边长为a，侧棱长为，若经过对角线AB1且与对角线BC1平行的平面交上底面一边A1C1于点D．
⑴确定点D的位置，并证明你的结论；
⑵求二面角A1—AB1—D的大小．
剖析：由线面平行的性质定理及三角形中位线性质，易知D是A1C1中点．二面角A1—AB1一D的放置属于非常规位置的图形，但是，容易发现，平面A1B1C1过点D且与平面A1AB1垂直，这样的平面相对于二面角的两个平面而言，我们称为第三个平面．过D作DF⊥A1B1，由面面垂直的性质知，DF⊥面A1AB1，即DF为我们要作的“第一垂线”．
略解2 在平面A1B1C1内，作CF⊥A1B1于F，连DC，由三垂线定理可证AB1⊥DG，∠DGF就是二面角A1—AB1一D的平面角，在正△A1B1C1中，因为D是A1C1中点，A1B1=a，所以，，在Rt△DFG，可求得∠DCF=45°．
3．利用特殊图形的定义、性质作“第一垂线”
例4 已知：Rt△ABC的斜边BC在平面内，AB、AC分别与平面。成30°和45°角，求平面与△ABC所在平面所成二面角的大小．
剖析：本题中没有相对于二面角的两个平面的第三个平面可以借助，但是，我们注意到AB、AC与平面所成的角均已给出，只要过A作AO⊥于O，就可以同时找到AB、AC在平面内的射影，无疑这样得到的“第一垂线"AO有着非常特殊的位置，有利于二面角大小的计算．
解：作AO⊥于O，OD⊥BC于D，连OB，AD，OC，由三垂线定理得：AD⊥BC，所以∠ADO是二面角A—BC—O的平面角，令AO=x，在Rt△AOB中，∠ABO=30°，所以AB=2x，在Rt△AOC中，∠ACO=45°，所以，因为∠BAC=90°，所以，所以。
在Rt△AOD中，，所以∠ADO=60°，所以三角形ABC与面成60°或120°的二面角．
平面角的定位
空间图形的位置关系是立体几何的重要内容，解决立体几何问题的关键在于三定：定性分析→定位作图→定量计算，其中定性是定位、定量的基础，而宣则是定位、定性的深化，在面面关系中，二面角是其中的重要概念之一，它的度量归结为平面上角的度量，一般来说，对其平面角的定位是问题解决的先决一步，可是，从以往的教学中发现，学生往往把握不住其定位的基本思路而导致思维混乱，甚至错误地定其位，使问题的解决徒劳无益，本文就是针对这一点，来谈一谈平日教学中体会。
一、 重温二面角的平面角的定义 
如图⑴，α、β是由ι出发的两个平面，O是ι上任意一点，OC 
α，且OC⊥ι；CD β，且OD⊥ι。这就是二面角的平面角的环境背景，即∠COD是二面角α—ι—β的平面角，从中不难得到下列特征：
Ⅰ、过棱上任意一点，其平面角是唯一的； 
Ⅱ、其平面角所在平面与其两个半平面均垂直； 
另外，如果在OC上任取上一点A，作AB⊥OD垂足为B，那么 
由特征Ⅱ可知AB⊥β.突出ι、OC、OD、AB，这便是另一特征； 
Ⅲ、体现出一完整的垂线定理（或逆定理）的环境背景。
对以上特征进行剖析 
由于二面角的平面角是由一点和两条射线构成，所以二面角的平面角的定位可化归为“定点”或“定线（面）”的问题。
特征Ⅰ表明，其平面角的定位可先在棱上取一“点”，耐人寻味的是这一点可以随便取，但又总是不随便取定的，它必须与问题背景相互沟通，给计算提供方便。
例1 已知正三棱锥V—ABC侧棱长为a，高为b，求侧面与底面所成的角的大小。
由于正三棱锥的顶点V在底面ABC上的射影H是底面的中心，所以连结CH交AB于O，且OC⊥AB，则∠VOC为侧面与底面所成二面角的平面角如图⑵。正因为正三棱锥的特性，解决此问题，可以取AB的中点O为其平面角的顶点，而且使背景突出在面VOC上，给进一步定量创造得天独厚的条件。
特征Ⅱ指出，如果二面角α—ι—β的棱ι垂直某一平面γ与 
α、β的交线，而交线所成的角就是α—ι—β的平面角，如图。
由此可见，二面角的平面角的定位可以考虑找“垂平面”。
例2 矩形ABCD，AB=3，BC=4，沿对角线BD把△ABD折起， 
使点A在平面BCD上的射影A′落在BC上，求二面角A—BC-—C的大小。
这是一道由平面图形折叠成立体图形的问题，解决问题的关键在 
于搞清折叠前后“变”与“不变”。结果在平面图形中过A作AE⊥BD交BD于O、交BC于E，则折叠后OA、OE与BD的垂直关系不变。但OA与OE此时变成相交两线段并确定一平面，此平面必与棱垂直。由特征Ⅱ可知，面AOE与面ABD、面CBD的交线OA与OE所成的角，即为所求二面角的平面角。另外，A在面BCD上的射影必在OE所在的直线上，又题设射影落在BC上，所以E点就是A′，这样的定位给下面的定量提供了优质服务。事实上，AO=AB·AD/BD=3*4/5=12/5，OA′=OE=BO·tan∠CBD，而BO=AB2/BD=9/5,tan∠CBD，故OA′=27/20。在Rt△AA′O中，∠AA′O=90°所以cos∠AOA′=A′O/AO=9/16，ty∠AOA′=arccos9/16即所求的二面arccos9/16。
通过对例2的定性分析、定位作图和定量计算，特征Ⅱ从另一角度告诉我们：要确定二面角的平面角，我们可以把构成二面角的两个半平面“摆平”，然后，在棱上选取一适当的垂线段，即可确定其平面角。“平面图形”与“立体图形”相映生辉，不仅便于定性、定位，更利于定量。
特征Ⅲ显示，如果二面角α—ι—β的两个半平面之一，存在垂线段AB，那么过垂足B作ι的垂线交ι于O，连结AO，由三垂线定理可知OA⊥ι；或者由A作ι的垂线交ι于O，连结OB，由三垂线定理逆定理可知OB⊥ι，此时，∠AOB就是二面角α—ι—β的平面角，如图。
由此可见，地面角的平面角的定位可以找“垂线段”。
例3 在正方体ABCD—A1B1C1D1中，棱长为2，E为BC的中点。求面B1D1E与面积BB1C1C所成的二面角的大小。
例3的环境背景表明，面B1D1E与面BB1C1C构成两个二面角， 
由特征Ⅱ可知，这两个二面角的大小必定互补，下面，如 
果思维由特征Ⅲ监控，背景中的线段C1D1会使眼睛一亮，我们只须由C1（或D1）作B1E的垂线交B1E于O，然后连结OD1（或OC1），即得面D1BE与面CC1B1E所成二面角的平面角∠C1OD1，如图，计算可得C1O=4*51/2/5。
在Rt△D1C1O中，tan∠C1OD=D1C1/C1O=51/2/2。
故所求的二面角角为arctan51/2/2或π-arctan=51/2/2
三个特征的关系
以上三个特征提供的思路在解决具体总是时各具特色，其标的是 
分别找“点”、“垂面”、“垂线段”。事实上，我们只要找到其中一个，另两个就接踵而来。掌握这种关系对提高解题技能和培养空间想象力非常重要。
1、 融合三个特征对思维的监控，可有效地克服、抑制思维的 
消极作用，培养思维的广阔性和批判性。
例3 将棱长为a的正四面体的一个面与棱长为a的正四棱锥的 
一个侧面吻合，则吻合后的几何呈现几个面？ 
这是一道竞赛题，考生答“7个面”的占99.9%，少数应服从多数吗？ 
如图，过两个几何体的高线VP、VQ的垂足P、Q分别作BC的垂线，则垂足重合于O，且O为BC的中点，OP延长过A，OQ延长交ED于R。由特征Ⅲ，∠AOR为二面角A—BC—R平面角，结合特征Ⅰ、Ⅱ，可得VAOR为平行四边形，VA//BE，所以V、A、B、E共面，同理V、A、C、D共面，所以这道题的答案应该是5个面！ 
2、 三个特征，虽然客观存在，互相联系，但在许多同题中却 
表现得含糊而冷漠——三个“标的”均藏而不露，在这种形势下，逼你去作，那么作谁？ 
由特征Ⅲ，有了“垂线段”便可定位。
例4 已知Rt△ABC的两直角边AC=2，BC=3，P为斜边上一 
点，沿CP将此直角三角形折成直二面角A—CP—B，当AB=71/2时，求二面角P—AC—B的大小。
作法一：∵A—CP—B为直角二面角， 
∴过B作BD⊥CP交CP的延长线于D，则BD⊥DM APC。
∴过D作DE ⊥AC，垂足为E，连BE。
∴∠DEB为二面角A—CP—B的平面角。
作法二：过P点作PD′⊥PC交BC于D′，则PD′⊥面APC。
∴过D′作D′E′⊥AC，垂足为E′，边PE′， 
∴∠D′E′P为二面角P—AC—B的平面角。
再说，定位是为了定理，求角的大小往往要化归到一个三角形中去解，有了“垂线段”就可把它化归为解一个直角三角形。
由此可见，要作，最好考虑作“垂线段”。
综上所述，二面角其平面角的正确而合理的定位，要在正确其定义的基础上，掌握其三个基本特征，并灵活运用它们考察问题的环境背景，建立良好的主观心理空间和客观心理空间，以不变应万变。