标题：混沌数学
含义
要弄明白不可预言性如何可以与确定论相调和，可以来看看一个比整个宇宙次要得多的系统——水龙头滴下的水滴。这是一 个确定性系统，原则上流入水龙头中的水的流量是平稳、均匀的， 水流出时发生的情况完全由流体运动定律规定。但一个简单而有效的实验证明，这一显然确定性的系统可以产生不可预言的行为。 这使我们产生某种数学的“横向思维”，它向我们解释了为什么此种怪事是可能的。 
假如你很小心地打开水龙头，等上几秒钟，待流速稳定下来， 通常会产生一系列规则的水滴，这些水滴以规则的节律、相同的时 间间隔落下。很难找到比这更可预言的东西了。但假如你缓缓打 开水龙头，使水流量增大，并调节水龙头，使一连串水滴以很不规则的方式滴落，这种滴落方式似乎是随机的。只要做几次实验就会 成功。实验时均匀地转动水龙头，别把龙头开大到让水成了不间断 的水流，你需要的是中速滴流。如果你调节得合适，就可以在好多分钟内听不出任何明显的模式出现。 
1978年，加利福尼亚大学圣克鲁斯分校的一群年青的研究生组成了一个研究动力学系统的小组。他们开始考虑水滴系统的时 候，就认识到它并不像表现出来的那样毫无规则。他们用话筒记录 水滴的声音，分析每一滴水与下一滴水之间的间隔序列。他们所发 现的是短期的可预言性。要是我告诉你3个相继水滴的滴落时刻， 你会预言下一滴水何时落下。例如，假如水滴之间最近3个间隔是 0.63秒、1.17秒和0.44秒，则你可以肯定下一滴水将在0.82秒 后落下(这些数只是为了便于说明问题)。事实上，如果你精确地知 道头3滴水的滴落时刻，你就可以预言系统的全部未来。 
那么，拉普拉斯为什么错了? 问题在于，我们永远不能精确地测量系统的初始状态。我们在任何物理系统中所作出的最精确的 测量，对大约10位或12位小数来说是正确的。但拉普拉斯的陈述 只有在我们使测量达到无限精度(即无限多位小数，当然那是办不到的)时才正确。在拉普拉斯时代，人们就已知道这一测量误差问 题，但一般认为，只要作出初始测量， 比如小数点后10位，所有相 继的预言也将精确到小数点后10位。误差既不消失，也不放大。 不幸的是，误差确实放大，这使我们不能把一系列短期预言串 在一起，得到一个长期有效的预言。例如，假设我知道精确到小数 点后10位的头3滴水的滴落时刻，那么我可以精确到小数点后9 位预言下一滴的滴落时刻，再下一滴精确到8位，以此类推。误差在每一步将近放大10倍，于是我对进一步的小数位丧失信心。所 以，向未来走10步，我对下一滴水的滴落时刻就一无所知了。(精确的位数可能不同：它可能使每6滴水失去1位小数的精度，但只 要取60滴，同样的问题又会出现。) 
这种误差放大是使拉普拉斯完全确定论破灭的逻辑缺陷。要完善整个测量根本做不到。假如我们能测量滴落时刻到小数点后 100位，我们的预言到将来100滴(或用较为乐观的估计，600滴) 时将失败。这种现象叫“对初始条件的敏感性”，或更非正式地叫 “蝴蝶效应”(当东京的一只蝴蝶振翅时，可能导致一个月后佛罗里 达的一场飓风)。它与行为的高度不规则性密切相关。任何真正规 则的东西，据定义都是完全可预言的。但对初始条件的敏感性却使 行为不可预言—从而不规则。因此，呈现对初始条件敏感性的系统被称为混沌系统。混沌行为满足确定性的定律，但它又如此不规 则，以至在未受过训练的眼睛看来显得杂乱无章。混沌不仅仅是复 杂的、无模式的行为，它要微妙得多。混沌是貌似复杂的、貌似无模 式的行为，它实际上具有简单的、确定性的解释。 
混沌的发现是由许多人(多得在此无法一一列举)作出的。它的出现，是由3个相互独立的进展汇合而成的。第一个是科学注重 点的变化，从简单模式(如重复的循环)趋向更复杂的模式。第二个 是计算机，它使得我们能够容易和迅速地找到动力学方程的近似 解。第三个是关于动力学的数学新观点— 几何观点而非数值观 点。第一个进展提供了动力，第二个进展提供了技术，第三个进展 则提供了认识。
动力学的几何化发端于大约100年前。法国数学家昂利·庞 加莱(Henri Poincare)是一个独立独行的人(如果有的话)，但他非 常杰出，以致他的许多观点几乎一夜之间就成了正统的观点，当时 他发明了相空间概念，这是一个虚构的数学空间，表示给定动力学 系统所有可能的运动。为了举一个非力学的例子，让我们来考虑猎 食生态系统的群体动力学。此系统中捕食者是猪，被捕食者是块菌 (一种味道奇特、辛辣的真菌)。我们关注的变量是两个群体的规模 ——猪的数目和块菌的数目(两者都相对于某个参考值，如100 万)。这一选择实际上使得两个变量连续，即取带小数位的实数值， 而不取整数值。例如，假如猪的参考数目是100万，则17439头猪 相当于值0.017439。现在，块菌的自然增长依赖于有多少块菌以及 猪吃块菌的速率：猪的增长依赖于猪的头数以及猪吃的块菌数目。 于是每个变量的变化率都依赖于这两个变量，我们可把注意力转 向群体动力学的微分方程组。我不把方程列出来，因为在这里关键 不是方程，而是你用方程干什么。 
这些方程原则上确定任何初始群体值将如何随时间而变化。 例如，假使我们从17439头猪和788444株块菌开始，则你对猪变 量引入初始值0.017439，对块菌变量引入初始值0.788444，方程 会含蓄地告诉你这些数将如何变化。困难的是使这种含蓄变得清 晰：求解方程。但在什么意义上求解方程呢? 经典数学家的自然反 应是寻找一个公式，这个公式精确地告诉我们猪头数和块菌株数 在任何时刻将是多少。不幸的是，此种“显式解”太罕见，几乎不值 得费力去寻找它们，除非方程具有很特殊的、受限制的形式。另一 个办法是在计算机上求近似解，但那只能告诉我们这些特定韧始 值将发生什么变化，以及我们最想知道的许多不同的初始值将发 生什么变化。 
庞加莱的思想是画一幅图，这幅图显示所有初始值所发生的 情况。系统的状态--在某一时刻两个群体的规模——可以表示 成平面上的点，用坐标的方法即可表示。例如，我们可能用横坐标 代表猪头数，用纵坐标代表块菌株数。上述初始状态对应于横坐标 是0.017439、纵坐标是0.788444的点。现在让时间流逝。坐标按 照微分方程表达的规则从一个时刻变到下一个时刻，于是对应点 运动。依动点划出一条曲线；那条曲线是整个系统未来状态的直观表述。事实上，通过观察这条曲线，不用搞清楚坐标的实际数值，你 就可以“看出”重要的动力学特征。 
例如，如果这曲线闭合成环，则两个群体遵从周期性循环，不 断重复同样一些值就像跑道上的赛车每一圈都经过同一个旁 观者那样。假如曲线趋近某个特定点并停在那，则群体稳定到一个定态，它们在此都不发生变化——就像耗尽了燃料的赛车。由于幸 运的巧合，循环和定态具有重要的生态意义—特别是，它们给群 体规模设置了上限和下限。所以肉眼最易看出的这些特征确实是 实际事物的特征。并且，许多不相关的细节可以被忽略——例如， 不必描述其精确形状，我们就可以看出存在一种闭合环(它代表两 个群体循环的合成“波形”)。 
假如我们试一试一对不同的初始值，那将会发生什么情况? 我 们得到第二条曲线。每一对初始值定义一条新曲线。通过画出一 整族的此种曲线，我们可以抓住所有初始值之下系统所有可能的 行为。这族曲线类似于围绕平面盘旋的一种虚拟数学流体的流线。 我们称此平面为系统的相空间，那族盘旋曲线是系统的相图。取代 具有各种初始条件的以符号为基础的微分方程概念，我们有了流经猪块菌空间的点的直观几何图像。这仅在其许多点是潜在点而非实际点而有别于普通平面：它们的坐标对应于在适当初始条件 下可能出现，但在特定情况下可能不会出现的猪头数和块菌株数。 所以，除了从符号到几何的心理转移，还存在从实际向潜在的哲理 性的转移。 
对于任何动力学系统，都可以设想同一种类型的几何图像。有 相空间，其坐标是所有变量的值；有相图，即一族表示从所有可能 的初始条件出发的所有可能行为的盘旋曲线，这些曲线为微分方 程所刻划。这一思想是一大进展，因为我们无需关心微分方程解的 精确数值，而可以把注意力集中于相图的宽广范围，使人发挥其最 大优势(即惊人的图像处理能力)。作为把全部潜在行为编织起来 的一种方式(自然界从中选择实际观察到的行为)的相空间图，在 科学中已被广为应用。 
庞加莱这一大创新所带来的结果，是动力学可借助被称为吸引子(attractor)的几何形状来加以直观化。假如你使一动力学系 统从某个初始点出发，观察它长期运作的情况，你往往会发现，它 最终围绕相空间中某个明确的形状游荡。例如，曲线可以向一个闭 合环旋进，然后绕环永远兜圈子。而且，初始条件的不同选择会导 致相同的终末形状。倘若如此，那形状就叫做吸引子。系统长期的 动力学特性受其吸引子支配，吸引子的形状决定产生何种类型的 动力学特性。 
例如，趋向于定态的系统，它具有的吸引子是一个点。趋向于周期性地重复同样行为的系统，它具有的吸引子是一个闭环。也就 是说，闭环吸引子相当于振荡器。请回忆一下第五章有关振动的小提琴弦的描述：小提琴弦经历一系列最终使它回归到出发点的运 动，并将一遍又一遍重复那个系列。我的意思不是小提琴弦以物理 环运动，但我对它的描述是隐喻意义上的闭环：运动经过相空间的 动态地形而环游。 
混沌有其自身颇为古怪的几何学意义，它与被称为奇异吸引子的离奇分形形状相联系。蝴蝶效应表明，奇异吸引子上的详细运 动不可预先确定，但这并末改变它是吸引子这个事实。设想一下如果把一个古球抛进波 汹涌的大海，无论你从空中向下丢球，还是从水下让球向上浮，球都会向海面运动。一旦到了海面之后，它 就在起伏的波浪中经历一个很复杂的运动路径，但不管这路径多么复杂，球仍然留在海面上或至少很接近海面。在这一图景里，海 面是吸引子。因此，尽管有混沌，不论出发点可能是什么，系统最终 将很接近它的吸引子。 
混沌作为一种数学现象已得到充分证实，但在现实世界里我 们如何检测它呢? 我们必须完成一些实验，但这存在一个问题。实 验在科学中的传统作用是检验理论预言，但要是蝴蝶效应在起作用—正像它对任何混沌系统所做的那样——我们怎么能期望去 检验一个预言? 莫非混沌天生不可检验，从而是不科学的? 回答是，“不”! 因为“预言”这个词有两个含义。一是指“预卜未来”。当混沌出现时，蝴蝶效应阻碍预卜未来。但另一个含义是 “预先描述实验结果将是什么”。让我们来考虑一下如果掷100次 硬币的例子。为了预言— 在算命先生的意义上预卜— 会发生 什么情况，你必须预先列出每一次抛掷的结果。但你可以作出科学 的预言，如“大约一半硬币将正面朝上”，而不必具体地预卜未来 ——甚至预言时，这系统仍然是随机的。没有人会因为统计学处理 不可预言的事件而认为它不科学，因此亦座以同样态度来对待混沌。 你可以作出各种各样的关于混沌系统的预言。事实上，你可以 作出充足的预言把确定性混沌与真正的随机性区分开。你能常常 预言的一件事是吸引子的形状，它不受蝴蝶效应的影响。蝴蝶效应所做的一切，是使系统遵从同一吸引子上的不同轨线。总之，吸引子的一般形状往往可从实验观测中得到。
混沌的发现揭示了我们对规律与由此产生的行为之间——即原因与结果之间——关系的一个基本性的错误认识。我们过去认 为，确定性的原因必定产生规则的结果，但现在我们知道了，它们可以产生易被误解为随机性的极不规则的结果。我们过去认为，简单的原因必定产生简单的结果(这意味着复杂的结果必然有复杂 的原因)，但现在我们知道了，简单的原因可以产生复杂的结果。我 们认识到，知道这些规律不等于能够预言未来的行为。 
原因和结果之间的这种脱节是怎么出现的? 为什么相同的一 些规律有时候产生明显的模式，有时候却产生混油? 答案可以在家 家户户的厨房里，就在打蛋器那样简单的机械装置中找到。两条打 蛋臂的运动简单又可预言：每条打蛋臂都平稳地旋转。然而，装置 里的糖和蛋白的运动则复杂得多。糖和蛋白在打蛋臂的作用下得 到混合，那正是打蛋器要达到的目的，但那两条旋转的打蛋臂并未 绞在一起。当你打完蛋后，不必把打蛋臂解开。为什么调合蛋白的 运动如此不同于打蛋臂的运动? 混合是一个远比我们想象的复杂 得多的动态过程。设想一下，试图预言一颗特定的糖粒最终将在何 处是何等艰难! 当混合物在那对打蛋臂之间通过时，它被向左右两 边扯开。两颗起初紧靠在一起的糖粒不久分得很开，各走各的道。 事实上，这正是蝴蝶效应在起作用。初始条件中的微小变化有 着巨大的影响。因此，混合是一个混沌过程。 
反之，每一个混沌过程都包含一种在庞加莱虚拟相空间中的数学混合。这就是潮汐可预言、而天气不可预言的原因。两者包含 同一种类型的数学，但潮汐的动力学不在相空间混合，而天气的动 力学则在相空间混合。
科学在传统上看重秩序，但我们正开始认识到混沌能给科学 带来独特的好处。混沌更容易对外部刺激作出快速反应。设想一下等待接发球的网球运动员。他们站着不动吗? 他们有规则地从一边移向另一边吗? 当然不。他们双脚零乱地蹦跳。部分原因在 于扰乱其对手；但同时也准备对任何发过来的球作出反应。为了能 够向任何特定方向快速运动，他们在许多不同方向上作出快速运动。混沌系统与非混沌系统相比较，前者轻而易举地就能非常快地 对外部事件作出反应。这对工程控制问题来说很重要。例如，我们 现在知道某类湍流由混沌造成— 混沌正是使湍流混乱不堪的元 凶。我们也许可以证明，通过建立对破坏任何小区域的原发湍流作 出极快反应的控制机制，使擦过飞机表面的气流不致太湍乱，从而减小运动阻力，这种情况是可能的。活的生物为了对变化的环境作 出快速反应，也必须呈现混沌行为。 
这一思想已被一群数学家和物理学家，其中包括威廉·迪托 (William Ditto)、艾伦·加芬科(Alan Garfinkel)和吉姆·约克 (Jim Yorke)，变成了一项非常有用的实用技术，他们称之为混沌 控制。实质上，这一思想就是使蝴蝶效应为你所用。初始条件的小 变化产生随后行为的大变化，这可以是一个优点；你必须做的一 切，是确保得到你想要的大变化。对混沌动力学如何运作的认识， 使我们有可能设计出能完全实现这一要求的控制方案。这个方法 已取得若干成功。混沌控制的最早成就之一，是仅用卫星上遗留的极少量肼使一颗“死”卫星改变轨道，而与一颗小行星相碰撞。美国 国家航空与航天管理局操纵这颗卫星围绕月球旋转5圈，每一圈 用射出的少许肼将卫星轻推一下，最后实现碰撞。 
这一数学思想已被用来控制湍乱流体中的一条磁性条带—— 控制流经潜水艇或飞机的湍流的一个原型；控制使胡乱跳动的心 脏恢复有规则的节律，这预示着智能起搏器的发明；用来建立和防 止脑组织中电活动的节律波，这又开辟了预防癫痫发作的新途径。 混沌已是一个迅速发展的行业。每一个星期都有有关混沌的 数学基础的新发现、混沌对我们认识自然界的新应用，或有关应用 混吨产生的新技术的报导，包括混沌洗碟机(日本人发明用两条混沌 旋转的转臂使碟子洁净的节能机器)和英国人发明的用混沌理 论进行数据分析从而改进矿泉水生产中的质量管理的机器。 然而，还有更多的东西有待研究。或许混沌最终悬而末决的问 题是奇异的量子世界，幸运女神主宰那里的一切。放射性原子“随 机地”衰变，它们唯一的规律是统计规律。大量放射性原子虽有明 确的“半衰期” 一段半数原子将衰变的时间，但我们不能预言 哪一半原子即将衰变。前面提到的爱因斯坦的断言，就是针对这一 问题的。在将不衰变的放射性原子与将要衰变的放射性原子之间， 确实根本不存在任何差别吗? 原子怎么知道该干什么? 量子力学的表观随机性可能骗人吗? 它确实是确定性混沌吗? 
设想原于是宇宙流体的某种振动液滴。放射性原子很有力地振动， 并且较小的液滴时常会分裂——衰变。这振动快得我们无法对它 们进行细致测量，我们只能测量平均量(如能级)。现在，经典力学 告诉我们，一滴真实流体会混油地振动。当它振动时，其运动是确定性的，但不可预言。许多振动不约而同“随意地”分裂微小的液滴。蝴蝶效应使得不可能预言何时液滴将分裂，但这事件具有精确的统计特征，包括明确的“半衰期”。 
放射性原子表观随机衰变可能是某种在微观尺度上的类似 物? 为什么终归存在统计规律? 统计规律是内在确定性的外显，抑 或会来自别的什么地方? 遗憾的是，尚没有人使这诱人的思想产生 结果——尽管它在精神上类似于时髦的超弦理论，在超弦理论中， 亚原于粒子是一种人为的振动着的多维环。在这里主要的类似特 征是，振动环与振动液滴都将新的“内部变量”引入其物理学图景 中，而显著的区别在于它们处理量子不确定性的方式。超弦理论同 传统量子力学一样，把这种不确定性视为真正的随机。然而，在一 个像液滴这样的系统里，表观不确定性实际上是由确定性的(但是 混沌的)原动力所产生。诀窍——如果只有我们知道如何来操作的 话— 也许在于：发明某种维持超弦理论成功特征的结构，同时造就几个行为混沌的内部变量。它可能是使上帝的骰子变得确定，并使爱因斯坦在天之灵欣慰的一条动人途径。
应用
重要的不在于你做什么，而在于你如何来做。 
混沌正在颠覆我们关于世界如何运作的舒适假定。一方面混沌告诉我们，宇宙远比我们想得要怪异。混沌使许多传统的科学方 法受到怀疑，仅仅知道自然界的定律不再足够了。另一方面，混沌还告诉我们，我们过去认为是无规则的某些事物实际上可能是简单规律的结果。自然之混吨也受规律约束。过去，科学往往忽视貌似无规则的事件或现象，理由是，既然它们根本没有任何明显的模 式，所以不受简单规律的支配。事实并非如此。恰好在我们鼻子底 下就有简单规律——支配疾病流行、心脏病发作或蝗灾的规律。如 果我们认识了这些规律，我们就有可能制止随之而来的灾难。 混沌已经向我们显示了新的规律，甚至是新型的规律。混沌自 有一类新的普适模式。最初被发现的模式之一存在于滴水水龙头 里。可能我们还记得水龙头可以有节律地或杂乱地滴水，这取决于 水流的速度。实际上，有规则滴水的水龙头与“无规则”滴水的水龙 头都是同一数学处方的略微不同的变体。但随着水流经过水龙头 的速率的增加，动力学特性的类型发生变化。代表动力学特性的相空间中的吸引子在不断地变化—它以一种可预言的、但极复杂的方式在发生变化。 
有规则滴水的水龙头有一个反复滴一滴一滴一滴的节律，每一滴都与前一滴相同。然后略微旋开水龙头，水滴略快。现在节律变成滴一滴一滴一滴，每2滴就重复一次。不仅水滴的大小(它决定水滴听上去有多响)，而且从这一滴到下一滴的滴落时刻，都略有变化。 
假如你让水流得再快一些，得到4滴节律，水滴再快一点，产生8滴节律。水滴重复序列的长度不断加倍。在数学模型里，这一过程无限继续下去，具有16，32，64等水滴的节律群。但产生每次相继周期倍化的流速变得愈来愈细微；并存在一个节律群大小在 此无限频繁加倍的流速。此时此刻，没有任何水滴序列完全重复同一模式。这就是混沌。 
我们可以用庞加莱的几何语言来表达所发生的情形。对于水龙头，吸引子起初是闭环，表示周期循环。设想这环是围绕你手指 的一根橡皮筋。当流速增大时，这环分裂成2个相邻的环，就像橡 皮筋在手指上绕了2圈。于是橡皮筋2倍于原长度，所以周期加 倍。然后这已经加倍的环又沿其长度完全以同样方式加倍，产生周 期4循环，以此类推。在无穷多次加倍之后，你的手指被细面条似的橡皮筋缠绕，即混沌吸引子。 
这种混沌创生方案叫周期倍化级联。1975年，物理学家米切尔·费根鲍姆(Mitchell Feigenbaum)发现，一个可用实验加以测 量的特殊数与每个周期倍化级联相联系。这个数大约是4.669，它与π并列成为似乎在数学及其与自然界的关系中都有非同寻常意 义的离奇数之一。费根鲍姆数也有一个符号：希腊字母δ。数π告 诉我们圆周长如何与圆的直径相关。类似地，费根鲍姆数δ告诉我 们水滴周期如何与水的流速相关。准确地说，你必须通过这个额外 量旋开水龙头，在每次周期倍化时减小 1/4.669。 
π是与圆有关的任何东西的一个定量特征。同理，费根鲍姆数δ是任何周期倍化级联的定量特征，不管级联是如何产生的或如 何用实验得出的。这同一个数在关于液氨、水、电路、摆、磁体以及 振动车轮的实验中都会出现。它是自然界中一个新的普适模式，是 我们仅仅透过混沌之眼就可看到的模式，一个从定性现象产生的 定量模式，一个数。这数确实是自然之数中的一个。费根鲍姆数打开了通往数学新世界的大门，我们才刚刚开始探索这个世界? 费根鲍姆发现的这个精确模式(和谐如此类的其他模式)是一件杰作。其根本点在于，甚至当自然之定律的结果看上去无模式时，定律依然存在，模式亦然。混沌不是无规，它是由精确规律产生的貌似无规的行为。混沌是隐秘形式的秩序。