标题：勾股定理
概述
青朱出入图(2张)在任何一个直角三角形（Rt△）中，两条直角边的长度的平方和等于斜边长度的平方(也可以理解成两个长边的平方相减与最短边的平方相等），这就叫做勾股定理。即勾的长度的平方加股的长度的平方等于弦的长度的平方。如果用a,b,c分别表示直角三角形的两条直角边和斜边，那么a的平方+b的平方=c的平方
勾股定理是余弦定理的一个特例。这个定理在中国又称为“商高定理”（相传大禹治水时，就会运用此定理来解决治水中的计算问题），在外国称为“毕达哥拉斯定理”或者“百牛定理”。（毕达哥拉斯发现了这个定理后，即斩了百头牛作庆祝，因此又称“百牛定理”）。
他发现勾股定理的时间比中国晚（中国是最早发现这一几何宝藏的国家）。初二学生开始学习，教材的证明方法大多采用赵爽弦图，证明使用青朱出入图。
勾股定理是一个基本的几何定理，它是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一。
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。如果用a、b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么a^2+b^2=c^2。内容  直角三角形（等腰直角三角形也算在内）两直角边（即“勾”“股”短的为勾，长的为股）边长平方和等于斜边（即“弦”）边长的平方。
也就是说设直角三角形两直角边为a和b，斜边为c，那么a的平方+b的平方=c的平方a&sup2;+b&sup2;=c&sup2；。
勾股定理现发现约有400种证明方法，是数学定理中证明方法最多的定理之一。
中国古代著名数学家商高说：“若勾三，股四，则弦五。”（即勾三股四弦五。）它被记录在了《周髀算经》中。推广  勾股定理⒈如果将直角三角形的斜边看作二维平面上的向量，将两直角边看作在平面直角坐标系坐标轴上的投影，则可以从另一个角度考察勾股定理的意义。即，向量长度的平方等于它在其所在空间一组正交基上投影长度的平方之和。
⒉勾股定理是余弦定理的特殊情况。
定理历史
来源毕达哥拉斯定理是一个基本的几何定理，传统上认为是由古希腊的毕达哥拉斯所证明。在中国，《周髀算经》记载了勾股定理的公式与证明，相传是在商代由商高发现，故又有称之为商高定理；三国时代的赵爽对《周髀算经》内的勾股定理作出了详细注释，又给出了另外一个证明。埃及称为埃及三角形。
  毕达哥拉斯实际上，早在毕达哥拉斯之前，许多民族已经发现了这个事实，而且巴比伦、埃及、中国、印度等的发现都有真凭实据，有案可查。相反，毕达哥拉斯的著作却什么也没有留传下来，关于他的种种传说都是后人辗转传播的。可以说真伪难辨。这个现象的确不太公平，其所以这样，是因为现代的数学和科学来源于西方，而西方的数学及科学又来源于古希腊，古希腊流传下来的最古老的著作是欧几里得的《几何原本》，而其中许多定理再往前追溯，自然就落在毕达哥拉斯的头上。他常常被推崇为“数论的始祖”，而在他之前的泰勒斯被称为“几何的始祖”，西方的科学史一般就上溯到此为止了。至于希腊科学的起源只是近一二百年才有更深入的研究。因此，毕达哥拉斯定理这个名称一时半会儿改不了。不过，在中国，因为我们的老祖宗也研究过这个问题，因此称为商高定理，而更普遍地则称为勾股定理。中国古代把直角三角形中较短的直角边叫做勾，较长的直角边叫做股，斜边叫做弦。别名  古埃及人用这样的方法画直角勾股定理，是几何学中一颗光彩夺目的明珠，被称为“几何学的基石”，而且在高等数学和其他学科中也有着极为广泛的应用。正因为这样，世界上几个文明古国都已发现并且进行了广泛深入的研究，因此有许多名称。
中国是发现和研究勾股定理最古老的国家之一。中国古代数学家称直角三角形为勾股形，较短的直角边称为勾，另一直角边称为股，斜边称为弦，所以勾股定理也称为勾股弦定理。在公元前1000多年，据记载，商高（约公元前1120年）答周公曰“故折矩，以为句广三，股修四，径隅五。既方之，外半其一矩，环而共盘，得成三四五。两矩共长二十有五，是谓积矩。”因此，勾股定理在中国又称“商高定理”。在公元前7至6世纪一中国学者陈子，曾经给出过任意直角三角形的三边关系即“以日下为勾，日高为股，勾、股各乘并开方除之得邪至日。
还有的国家称勾股定理为“平方定理”。
在陈子后一二百年，希腊的著名数学家毕达哥拉斯发现了这个定理，因此世界上许多国家都称勾股定理为“毕达哥拉斯”定理。为了庆祝这一定理的发现，毕达哥拉斯学派杀了一百头牛酬谢供奉神灵，因此这个定理又有人叫做“百牛定理”．作用⑴勾股定理是联系数学中最基本也是最原始的两个对象——数与形的第一定理。
⑵勾股定理导致不可通约量的发现，从而深刻揭示了数与量的区别，即所谓“无理数"与有理数的差别，这就是所谓第一次数学危机。
⑶勾股定理开始把数学由计算与测量的技术转变为证明与推理的科学。
⑷勾股定理中的公式是第一个不定方程，也是最早得出完整解答的不定方程，它一方面引导到各式各样的不定方程，包括著名的费尔马大定理，另一方面也为不定方程的解题程序树立了一个范式。有关书籍《数学原理》人民教育出版社
《探究勾股定理》同济大学出版社
《优因培教数学》北京大学出版社
《勾股书籍》 ；新世纪出版社
《九章算术》
《优因培揭秘勾股定理》江西教育出版社
《几何原本》 ；（原著：欧几里得）人民日报出版社
《the Pythagorean Proposition（毕达哥拉斯命题）》（收集了300多种证明方法）毕达哥拉斯树  毕达哥拉斯树毕达哥拉斯树是由毕达哥拉斯根据勾股定理所画出来的一个可以无限重复的图形。又因为重复数次后的形状好似一棵树，所以被称为毕达哥拉斯树。
直角三角形两个直角边平方的和等于斜边的平方。
两个相邻的小正方形面积的和等于相邻的一个大正方形的面积。
利用不等式A^2+B^2≥2AB可以证明下面的结论：
三个正方形之间的三角形，其面积小于等于大正方形面积的四分之一，大于等于一个小正方形面积的二分之一。
勾股数
公式
a^2+b^2=c^2
其中a和b是直角边，c是斜边。
定义
勾股数又名毕氏三元数（或勾股弦数） ；凡是可以构成一个直角三角形（等腰直角三角形也算在内）三边的三个正整数，称之为勾股数。满足a^2=b^2=c^2的三个正整数，称为勾股数。
常见的勾股数
勾
股
弦
3K
4K
5K
5K
12K
13K
7K
24K
25K
8K
15K
17K
9K
40K
41K
......
......
......
注：3K,4K,5K即3,4,5的同一倍数
A=s^2-t^2 B=2st C=s^2+t^2 ；其中s>t，且s，t为正整数。
勾股数组
满足勾股定理方程a&sup2;+b&sup2;=c&sup2；；的正整数组（a，b，c）。例如3、4、5（即勾三、股四、弦五）就是一组勾股数组。
由于方程中含有3个未知数，故勾股数组有无数多组。
勾股数组的通式：
a=M^2;-N^2；　
b=2MNc=M^2+N^2；　（M>N,M,N为正整数）
勾、股、弦的比例
1：√3：2 ；（一个锐角为30°的直角三角形)
1：1：√2（等腰直角三角形）
勾股数介绍
①观察3，4，5；5，12，13；7，24，25；…发现这些勾股数都是奇数，且从3起就没有间断过。计算0.5（9-1），0.5（9+1）与0.5（25-1），0.5（25+1），并根据你发现的规律写出分别能表示7，24，25的股和弦的算式。
②根据①的规律，用n的代数式来表示所有这些勾股数的勾、股、弦，合情猜想他们之间的两种相等关系，并对其中一种猜想加以说明。
③继续观察4，3，5；6，8，10；8，15，17；…可以发现各组的第一个数都是偶数，且从4起也没有间断过，运用上述类似的探索方法，之间用m的代数式来表示它们的股合弦。
勾股定理的逆定理　
在一个三角形中，两条边的平方和等于另一条边的平方，那么这个三角形就是直角三角形。
勾股定理的逆定理是判断三角形为锐角或钝角的一个简单的方法，其中c为最长边：　如果A×A+B×B=C×C，则ABC是直角三角形。如果A×A+B×B>C×C，则ABC是锐角三角形。如果A×A+B×B<C×C，则ABC是钝角三角形。证明方法b]1、统一法 ；　构造一个直角三角形A'B'C'.使得两直角边为a;b，由勾股定理，斜边为c。　根据边边边公理。得到2个三角形全等，所以原三角形为直角三角形。　
⒉三角函数Cos90 ；　已知AB2+BC2=AC2，而任一三角形的边之间均满足，AC2=AB2+BC2-2AB*BA*COSB ；，比较两式得 ；，COSB=0 ；，B=90度。　
⒊相似三角形证明 ；　依题意作ABC，设BC=a、AC=b、AB=c，满足a2+b2=c2 ；（a的平方+b的平方=c的平方） ；　此时，在AB边上截取点D使∠DCB=∠A，在DCB与ACB中，∠DBC=∠ABC，∠DCB=∠A ；　DCB∽ACB ；　DC:AC=BC:AB=BD:BC ；　把BC=a、AB=c代入，可求得BD= a2∕c（c分之a的平方） ；　把AC=b代入，可求得CD= ab∕c ；　AC=AB―BC=c-（a2∕c）（c-c分之a平方）= c2- a2（c平方-a平方）= b2∕c（c分之b平方） ；　在ACD与DCB中，DC:AD=BC:AC=BD:CD=a：b ；　ACD∽DCB ；　∠ACB=∠BDC=∠ADC=90° ；　原命题得证
显然，若直角三角形的边长都为正整数，则这三个数便构成一组勾股数；反之，每一组勾股数都能确定一个边长是正整数的直角三角形。因此，掌握确定勾股数组的方法对研究直角三角形具有重要意义。
⒈任取两个正整数m、n，使2mn是一个完全平方数，那么 c=2+9+6=17。则8、15、17便是一组勾股数。证明：a、b、c构成一组勾股数。
⒉任取两个正整数m、n、（m>n），那么 a=m^2-n^2，b=2mn，c=m^2+n^2构成一组勾股数。例如：当m=4，n=3时， a=4^2-3^2=7,b=2×4×3=24，c=4^2+3^2=25 ；则7、24、25便是一组勾股数。
证明：a^2+b^2=(m^2-n^2）^2+（2mn)^2 =m^4-2m^2 n^2+n^4+4m^2 n^2 =m^4+2m^2 n^2+4n^2 =(m^2+n^2）^2 =c^2，a、b、c构成一组勾股数。
⒊若勾股数组中的某一个数已经确定，可用如下的方法确定另外两个数。首先观察已知数是奇数还是偶数。
⑴若是大于1的奇数，把它平方后拆成相邻的两个整数，那么奇数与这两个整数构成一组勾股数。例如9是勾股数中的一个数， ；那么9、40、41便是一组勾股数。证明：设大于1的奇数为2n+1，那么把它平方后拆成相邻的两个整数为
⑵若是大于2的偶数，把它除以2后再平方，然后把这个平方数分别减1，加1所得到的两个整数和这个偶数构成一组勾股数。例如8是勾股数组中的一个数。那么8、15，17便是一组勾股数。
证明：设大于2的偶数2n，那么把这个偶数除以2后再平方，然后把这个平方数分别减1，加1所得的两个整数为n^2-1和n^2+1 ；（2n)^2+(n^2-1）^2=4n^2+n^4-2n^2+1 =n^4+2n^2+1 =(n^2+1）^2 2n、n^2-1、n^2+1构成一组勾股数
商高证明
《周髀算经》为算经十书之一。约成书于公元前二世纪，原名《周髀》，它是中国最古老的天文学著作，主要阐明当时的盖天说和四分历法。唐初规定它为国子监明算科的教材之一，故改名《周髀算经》。
首先，《周髀算经》中明确记载了勾股定理的公式：“若求邪至日者，以日下为句，日高为股，句股各自乘，并而开方除之，得邪至日”（《周髀算经》上卷二）
而勾股定理的证明呢，就在《周髀算经》上卷一——
昔者周公问于商高曰：“窃闻乎大夫善数也，请问昔者包牺立周天历度——夫天可不阶而升，地不可得尺寸而度，请问数安从出？”
商高曰：“数之法出于圆方，圆出于方，方出于矩，矩出于九九八十一。故折矩，以为句广三，股修四，径隅五。既方之，外半其一矩，环而共盘，得成三四五。两矩共长二十有五，是谓积矩。故禹之所以治天下者，此数之所生也。”
周公对古代伏羲（包牺）构造周天历度的事迹感到不可思议（天不可阶而升，地不可得尺寸而度），就请教商高数学知识从何而来。于是商高以勾股定理的证明为例，解释数学知识的由来。
  《周髀算经》证明步骤“数之法出于圆方，圆出于方，方出于矩，矩出于九九八十一。”：解释发展脉络——数之法出于圆（圆周率三）方（四方），圆出于方（圆形面积=外接正方形*圆周率/4），方出于矩（正方形源自两边相等的矩），矩出于九九八十一（长乘宽面积计算依自九九乘法表）。
“故折矩①，以为勾广三，股修四，径隅五。”：开始做图——选择一个 ；勾三（圆周率三）、股四（四方） ；的矩，矩的两条边终点的连线应为5（径隅五）。
“②既方之，外半其一矩，环而共盘，得成三四五。”：这就是关键的证明过程——以矩的两条边画正方形（勾方、股方），根据矩的弦外面再画一个矩（曲尺，实际上用作直角三角），将“外半其一矩”得到的三角形剪下环绕复制形成一个大正方形，可看到其中有 ；边长三勾方、边长四股方、边长五弦方 ；三个正方形。
“两矩共长③二十有五，是谓积矩。”：此为验算——勾方、股方的面积之和，与弦方的面积二十五相等——从图形上来看，大正方形减去四个三角形面积后为弦方，再是 ；大正方形 ；减去 ；右上、左下两个长方形面积后为 ；勾方股方之和。因三角形为长方形面积的一半，可推出 ；四个三角形面积 ；等于 ；右上、左下两个长方形面积，所以 ；勾方+股方=弦方。
注意：
① ；矩，又称曲尺，L型的木匠工具，由长短两根木条组成的直角。古代“矩”指L型曲尺，“矩形”才是“矩”衍生的长方形。
② ；“既方之，外半其一矩”此句有争议。清代四库全书版定为“既方其外半之一矩”，而之前版本多为“既方之外半其一矩”。经陈良佐、李国伟、李继闵、曲安京等学者研究，“既方之，外半其一矩”更符合逻辑。
③ ；长指的是面积。古代对不同维度的量纲比较，并没有发明新的术语，而统称“长”。赵爽注称：“两矩者， ；句股各自乘之实。共长者，并实之数。
由于年代久远，周公弦图失传，传世版本只印了赵爽弦图（造纸术在汉代才发明）。所以某些学者误以为商高没有证明（只是说了一段莫名其妙的话），后来赵爽才给出证明。
赵爽弦图
  
证明：ABDE为AB=BD=DE=AE=C的正方形，
很显然：正方形ABDE 的面积：S-ABDE= c^2,
S-ABDE=（4个直角三角形的面积）+中间方孔的面积
S-ABDE =(ab/2)*4+(b-a)^2
S-ABDE =2ab+b^2-2ab+a^2
S-ABDE = a^2+b^2
a^2+b^2 =S-ABDE
∵S-ABDE= c^2
∴a^2+b^2=c^2 a：为勾，b：为股，c：为弦
中国称之为勾股定理（外国叫毕达哥拉斯定理）：
c^2= a^2+b^2
a^2+b^2 =c^2
赵爽的这个证明可谓别具匠心，极富创新意识。他用几何图形的截、割、拼、补来证明代数式之间的恒等关系，既具严密性，又具直观性，为中国古代以形证数、形数统一、代数和几何紧密结合、互不可分的独特风格树立了一个典范。以后的数学家大多继承了这一风格并且代有发展。例如稍后一点的刘徽在证明勾股定理时也是用的以形证数的方法，只是具体图形的分合移补略有不同而已。
中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位。尤其是其中体现出来的“形数统一”的思想方法，更具有科学创新的重大意义。事实上，“形数统一”的思想方法正是数学发展的一个极其重要的条件。正如当代中国数学家吴文俊所说：“在中国的传统数学中，数量关系与空间形式往往是形影不离地并肩发展着的......十七世纪笛卡儿解析几何的发明，正是中国这种传统思想与方法在几百年停顿后的重现与继续。”
加菲尔德
  1876年一个周末的傍晚，在美国首都华盛顿的郊外，有一位中年人正在散步，欣赏黄昏的美景，他就是当时美国俄亥俄州共和党议员加菲尔德。他走着走着，突然发现附近的一个小石凳上，有两个小孩正在聚精会神地谈论着什么，时而大声争论，时而小声探讨。由于好奇心驱使，加菲尔德循声向两个小孩走去，想搞清楚两个小孩到底在干什么。只见一个小男孩正俯着身子用树枝在地上画着一个直角三角形。于是加菲尔德便问他们在干什么？那个小男孩头也不抬地说：“请问先生，如果直角三角形的两条直角边分别为3和4，那么斜边长为多少呢？”加菲尔德答道：“是5呀。”小男孩又问道：“如果两条直角边分别为5和7，那么这个直角三角形的斜边长又是多少？”加菲尔德不假思索地回答到：“那斜边的平方一定等于5的平方加上7的平方．”小男孩说：“先生，你能说出其中的道理吗？”加菲尔德一时语塞，无法解释了，心里很不是滋味。加菲尔德不再散步，立即回家，潜心探讨小男孩给他出的难题。他经过反复思考与演算，终于弄清了其中的道理，并给出了简洁的证明方法。
牛顿故事
牛顿读书时，有一天，他的叔叔给他讲勾股定理是a^2+b^2=c^2，叔叔让牛顿自己试着用学过的知识去证明，结果牛顿把自己关在房间里两个多星期，用自己的方法证出了勾股定理。
多种证明
这个定理有许多证明的方法，其证明的方法可能是数学众多定理中最多的。路明思（Elisha Scott Loomis）的Pythagorean Proposition（《毕达哥拉斯命题》）一书中总共提到367种证明方式。
有人会尝试以三角恒等式（例如：正弦和余弦函数的泰勒级数）来证明勾股定理，但是，因为所有的基本三角恒等式都是建基于勾股定理，所以不能作为勾股定理的证明（参见循环论证）。证法1一种借助面积完成的演绎证明（愚草提供），双击右侧图片可以清楚阅读：  
另附：《对勾股定理及其逆定理教育价值的深层挖掘》[1]一文。
证法1
作四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b ；，斜边长为c. ；把它们拼成如图那样的一个多边形，使D、E、F在一条直线上。过点C作AC的延长线交DF于点P.
∵ D、E、F在一条直线上， ；且RtΔGEF ；≌ RtΔEBD，
∴ ；∠EGF = ；∠BED，  
∵ ；∠EGF + ；∠GEF = 90°，
∴ ；∠BED + ；∠GEF = 90°，
∴ ；∠BEG =180°―90°= 90°
又∵ AB = BE = EG = GA = c，
∴ ABEG是一个边长为c的正方形。
∴ ；∠ABC + ；∠CBE = 90°
∵ RtΔABC ；≌ RtΔEBD，
∴ ；∠ABC = ；∠EBD.
∴ ；∠EBD + ；∠CBE = 90°
即 ；∠CBD= 90°
又∵ ；∠BDE = 90°，∠BCP = 90°，
BC = BD = a.
∴ BDPC是一个边长为a的正方形。
同理，HPFG是一个边长为b的正方形.
设多边形GHCBE的面积为S，则
A+B=C证法2作两个全等的直角三角形，设它们的直角边长分别为a、b（b>a） ；，斜边长为c. ；再做一个边长为c的正方形。把它们拼成如图所示的多边形，使E、A、C三点在一条直线上.
过点Q作QP∥BC，交AC于点P.
过点B作BM⊥PQ，垂足为M；再过点
F作FN⊥PQ，垂足为N.
∵ ；∠BCA = 90°，QP∥BC，
∴ ；∠MPC = 90°，
∵ BM⊥PQ，
∴ ；∠BMP = 90°，
∴ BCPM是一个矩形，即∠MBC = 90°。
∵ ；∠QBM + ；∠MBA = ；∠QBA = 90°，
∠ABC + ；∠MBA = ；∠MBC = 90°，
∴ ；∠QBM = ；∠ABC，
又∵ ；∠BMP = 90°，∠BCA = 90°，BQ = BA = c，
∴ RtΔBMQ ；≌ RtΔBCA.
同理可证RtΔQNF ；≌ RtΔAEF.即A2+B2=C2证法3作两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a） ；，斜边长为c. ；再作一个边长为c的正方形。把它们拼成如图所示的多边形.
分别以CF，AE为边长做正方形FCJI和AEIG，
∵EF=DF-DE=b-a，EI=b，
∴FI=a，
∴G,I,J在同一直线上，
∵CJ=CF=a，CB=CD=c，
∠CJB = ；∠CFD = 90°，
∴RtΔCJB ；≌ RtΔCFD ；，
同理，RtΔABG ；≌ RtΔADE，
∴RtΔCJB ；≌ RtΔCFD ；≌ RtΔABG ；≌ RtΔADE
∴∠ABG = ；∠BCJ,
∵∠BCJ +∠CBJ= 90°，
∴∠ABG +∠CBJ= 90°，
∵∠ABC= 90°，
∴G,B,I,J在同一直线上，
A2+B2=C2。证法4作三个边长分别为a、b、c的三角形，把它们拼成如图所示形状，使H、C、B三点在一条直线上，连结
BF、CD. ；过C作CL⊥DE，
交AB于点M，交DE于点L.
∵ AF = AC，AB = AD，
∠FAB = ；∠GAD，
∴ ；ΔFAB ；≌ ；ΔGAD，
∵ ；ΔFAB的面积等于，
ΔGAD的面积等于矩形ADLM
的面积的一半，
∴ ；矩形ADLM的面积 =.
同理可证，矩形MLEB的面积 =.
∵ ；正方形ADEB的面积
= ；矩形ADLM的面积 + ；矩形MLEB的面积
∴ ；即A2+B2=C2证法5《几何原本》中的证明
在欧几里得的《几何原本》一书中提出勾股定理由以下证明后可成立。设△ABC为一直角三角形，其中A为直角。从A点划一直线至对边，使其垂直于对边上的正方形。此线把对边上的正方形一分为二，其面积分别与其余两个正方形相等。
在正式的证明中，我们需要四个辅助定理如下：
如果两个三角形有两组对应边和这两组边所夹的角相等，则两三角形全等。（SAS定理） ；三角形面积是任一同底同高之平行四边形面积的一半。任意一个正方形的面积等于其二边长的乘积。任意一个四方形的面积等于其二边长的乘积（据辅助定理3）。证明的概念为：把上方的两个正方形转换成两个同等面积的平行四边形，再旋转并转换成下方的两个同等面积的长方形。
其证明如下：
设△ABC为一直角三角形，其直角为CAB。其边为BC、AB、和CA，依序绘成四方形CBDE、BAGF和ACIH。画出过点A之BD、CE的平行线。此线将分别与BC和DE直角相交于K、L。分别连接CF、AD，形成两个三角形BCF、BDA。∠CAB和∠BAG都是直角，因此C、A ；和 G ；都是线性对应的，同理可证B、A和H。∠CBD和∠FBA皆为直角，所以∠ABD等于∠FBC。因为 AB ；和 BD ；分别等于 FB ；和 BC，所以△ABD ；必须相等于△FBC。因为 A ；与 K ；和 L是线性对应的，所以四方形 BDLK ；必须二倍面积于△ABD。因为C、A和G有共同线性，所以正方形BAGF必须二倍面积于△FBC。因此四边形 BDLK ；必须有相同的面积 BAGF = AB^2。同理可证，四边形 CKLE ；必须有相同的面积 ACIH = AC^2。把这两个结果相加， AB^2+ AC^2= BD×BK + KL×KC。由于BD=KL，BD×BK + KL×KC = BD(BK + KC) = BD×BC ；由于CBDE是个正方形，因此AB^2+ AC^2= BC^2。此证明是于欧几里得《几何原本》一书第1.47节所提出的证法6  图1如图1，Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD是斜边AC上的高
通过证明三角形相似则有射影定理如下：
⑴（BD）^2=AD·DC，
⑵（AB）^2=AD·AC ；，
⑶（BC）^2=CD·AC。　
由公式⑵+⑶得：（AB）^2+（BC）^2=AD·AC+CD·AC =（AD+CD）·AC=（AC）^2，
图1即 ；（AB）^2+（BC）^2=（AC）^2，这就是勾股定理的结论。证法7  赵爽弦图  青朱出入图在这幅“勾股圆方图”中，以弦为边长得到正方形ABDE是由4个相等的直角三角形再加上中间的那个小正方形组成的。每个直角三角形的面积为ab/2；中间懂得小正方形边长为b-a，则面积为（b-a）^2。于是便可得如下的式子：　4×（ab/2）+（b-a）^2 =c^2；
化简后便可得：a^2 +b^2 =c^2；
亦即：c=(a2 +b2 )1/2证法8  达芬奇的证法三张纸片其实是同一张纸，把它撕开重新拼凑之后，中间那个“洞”的面积前后仍然是一样的，但是面积的表达式却不再相同，让这两个形式不同的表达式相等，就能得出一个新的关系式——勾股定理，所有勾股定理的证明方法都有这么个共同点。观察纸片一，因为要证的是勾股定理，那么容易知道EB⊥CF，又因为纸片的两边是对称的，所以能够知道四边形ABOF和CDEO都是正方形。然后需要知道的是角A'和角D'都是直角，原因嘛，可以看纸片一，连结AD，因为对称的缘故，所以∠BAD=∠FAD=∠CDA=∠EDA=45°，那么很明显，图三中角A'和角D'都是直角。
证明：
第一张中多边形ABCDEF的面积S1=S正方形ABOF+S正方形CDEO+2S△BCO=OF2+OE2+OF·OE
第三张中多边形A'B'C'D'E'F'的面积S2=S正方形B'C'E'F'+2△C'D'E'=E'F'2+C'D'·D'E'
因为S1=S2
所以OF2+OE2+OF·OE=E'F'2+C'D'·D'E'
又因为C'D'=CD=OE,D'E'=AF=OF
所以OF2+OE2=E'F'2
因为E'F'=EF
所以OF2+OE2=EF2
勾股定理得证。证法9从这张图可以得到一个矩形和三个三角形，推导公式如下：  b ( a + b )= 1/2 c^2 + ab + 1/2 (b + a)(b - a)
矩形面积 =（中间三角形）+（下方）2个直角三角形+（上方）1个直
角三角形。
（简化） 2ab + 2b^2= c^2 + b^2- a^2+ 2ab
2b^2- b^2 + a^2 = c^2;
a2 + b2 = c2;
注：根据加菲尔德图进一步得到的图形。证法10在Rt三角形ABC中，角C=90度，作CH垂直于AB于H。
令a/sinA=b/sinB=c/sinC=d
1=sin90=sinC=c/d=AH/d+BH/d=cosA×b/d+cosB×a/d=cosA×sinB+cosB×sinA=a/c·a/c+b/c·b/c
=(a^2+b^2）/c^2=1
所以a^2+b^2=c^2
得证。证法11大家参考证法7，不难发现，这非常麻烦。  图示
注意右图，在AE上做点I，使AI=a。连接CI，FI，将EG延伸至H，GH=a
连接CH，FH。
把FAI旋转至FHG，CBI旋转至DCH。
一个简单.易懂,优美的方法
  
编程相关
C语言求100内的勾股数：
#include "stdio.h"
void main()
{
int x,y,z;
printf("******************输出100内的勾股数*********************\n");
for(x=1;x<=100;x++)
for(y=x;y<=100;y++)
for(z=1;z<=100;z++)
{
if(x+y>z)
if(x*x+y*y==z*z)
printf("%d^%d+%d^%d=%d^%d\n",x,2,y,2,z,2);
}
}