标题：坐标变换
基本变换
共有五种，除平移外均以坐标原点为基准点，即变换前后坐标原点不变。
下面给出五种基本变换的中英文名称和矩阵描述。
平移 offset
二维...................三维
▏1....0....0▕ ........▏1....0....0....0▕
▏0....1....0▕ ........▏0....1....0....0▕
▏x.....y....1▕ ........▏0....0....1....0▕
...........................▏x.....y....z....1▕
变倍 scale
二维...................三维
▏x....0....0▕ ........▏x....0....0....0▕
▏0....y....0▕ ........▏0....y....0....0▕
▏0....0....1▕ ....... ▏0....0....z....0▕
..........................▏0....0....0....1▕
旋转 rotate
二维▏cos(θ)..-sin(θ)..0▕
▏sin(θ)...cos(θ)..0▕
▏0..........0..........1▕
三维绕Z轴.................................绕Y轴................................绕X轴
▏cos(θ)..-sin(θ)..0..0▕........▏cos(θ)..0..sin(θ)..0▕........▏1..0.........0...........0▕
▏sin(θ)...cos(θ)..0..0▕........▏0..........1..........0..0▕........▏0..cos(θ)..-sin(θ)..0▕
▏0..........0..........1..0▕........▏-sin(θ)...0..cos(θ)..0▕........▏0..sin(θ)...cos(θ)..0▕
▏0..........0..........0..1▕........▏0..........0..........0..1▕........▏0..0..........0..........1▕
切变 shear
二维沿X轴.................沿Y轴
▏1....k....0▕ ........▏1....0....0▕
▏0....1....0▕ ........▏k....1....0▕
▏0....0....1▕ ........▏0....0....1▕
三维沿X轴......................沿Y轴.......................沿Z轴
▏1....k.....l.....0▕........▏1....0....0....0▕........▏1....0....0....0▕
▏0....1....0....0▕........▏k.....1....l.....0▕........▏0....1....0....0▕
▏0....0....1....0▕........▏0....0....1....0▕........▏k.....l.....1....0▕
▏0....0....0....1▕........▏0....0....0....1▕........▏0....0....0....1▕
反射 reflect
反射变换的实质是负变倍，实际上叫做“镜像”更为贴切。
二维基于X轴..............基于Y轴
▏1....0....0▕ ........▏-1...0....0▕
▏0...-1....0▕ ........▏0....1....0▕
▏0....0....1▕ ........▏0....0....1▕
三维基于Y-X平面............基于X-Z平面............基于Z-Y平面
▏1....0....0....0▕........▏1....0....0....0▕........▏-1....0....0....0▕
▏0....1....0....0▕........▏0...-1....0....0▕........▏0....1....0....0▕
▏0....0...-1....0▕........▏0....0....1....0▕........▏0....0....1....0▕
▏0....0....0....1▕........▏0....0....0....1▕........▏0....0....0....1▕
基于任意平面的坐标变换
只要将其看成两个线性空间的映射即可
坐标变换
由于直流电机的主磁通基本上唯一地由励磁绕组的励磁电流决定，所以这是直流电机的数学模型及其控制系统比较简单的根本原因。
如果能将交流电机的物理模型等效地变换成类似直流电机的模式，分析和控制就可以大大简化。坐标变换正是按照这条思路进行的。
不同电机模型彼此等效的原则是：在不同坐标下所产生的磁动势完全一致。
1．坐标变换原理
交流电机三相对称的静止绕组A 、B 、C ，通以三相平衡的正弦电流时，
产生的合成磁动势是旋转磁动势F，它在空间呈正弦分布，以同步转速ws（即电流的角频率）顺着A-B-C 的相序旋转。这样的物理模型绘于下图1中。
  
图1交流电机绕组的等效物理模型 图2等效的两相交流电机绕组
旋转磁动势并不一定非要三相不可，除单相以外，二相、三相、四相、…… 等任意对称的多相绕组，通以平衡的多相电流，都能产生旋转磁动势，当然以两相最为简单。
图2中绘出了两相静止绕组a和b它们在空间互差90°，通以时间上互差90°的两相平衡交流电流，也产生旋转磁动势F 。
  
当图1和2的两个旋转磁动势大小和转速都相等时，即认为图2的两相绕组与图1的三相绕组等效。
图3旋转的直流绕组
图3两个匝数相等且互相垂直的绕组d 和q，其中分别通以直流电流id 和iq，产生合成磁动势F ，其位置相对于绕组来说是固定的。如果让包含两个绕组在内的整个铁心以同步转速旋转，则磁动势F 自然也随之旋转起来，成为旋转磁动势。
把这个旋转磁动势的大小和转速也控制成与图1 和图2中的磁动势一样，那么这套旋转的直流绕组也就和前面两套固定的交流绕组都等效了。
由此可见，以产生同样的旋转磁动势为准则，图1的三相交流绕组、图2的两相交流绕组和图3中整体旋转的直流绕组彼此等效。或者说，在三相坐标系下的iA、iB 、iC，在两相坐标系下的ia、ib和在旋转两相坐标系下的直流id、iq 是等效的，它们能产生相同的旋转磁动势。
坐标变换的任务就是求出iA、iB 、iC 与 ia、ib和id、iq 之间准确的等效关系。
2．三相--两相变换（3/2变换）
在三相静止绕组A、B、C和两相静止绕组a、b之间的变换，或称三相静止坐标系和两相静止坐标系间的变换，简称3/2 变换。
  
图4 三相和两相坐标系与绕组磁动势的空间矢量
上图绘出了A、B、C 和a、b两个坐标系，为方便起见，取A 轴和a轴重合。设三相绕组每相有效匝数为N3，两相绕组每相有效匝数为N2，各相磁动势为有效匝数与电流的乘积，其空间矢量均位于有关相的坐标轴上。由于交流磁动势的大小随时间在变化着，图中磁动势矢量的长度是随意的。
设磁动势波形是正弦分布的，当三相总磁动势与二相总磁动势相等时，两套绕组瞬时磁动势在a、b轴上的投影都应相等，
写成矩阵形式，得
考虑变换前后总功率不变，在此前提下匝数比应为
代入上式，得
三相—两相坐标系的变换矩阵
令C3/2 表示从三相坐标系变换到两相坐标系的变换矩阵，则
3．两相—两相旋转变换（2s/2r变换）
从两相静止坐标系到两相旋转坐标系d、q 变换称作两相—两相旋转变换，简称2s/2r 变换，其中s 表示静止，r 表示旋转。
图5两相静止和旋转坐标系与磁动势（电流）空间矢量
两相交流电流ia、ib和两个直流电流id、iq 产生同样的以同步转速ws旋转的合成磁动势Fs。由于各绕组匝数都相等，可以消去磁动势中的匝数，直接用电流表示，例如Fs可以直接标成is。但必须注意，这里的电流都是空间矢量，而不是时间相量。
d，q轴和矢量Fs（is ）都以转速ws 旋转，分量id、iq 的长短不变，相当于d，q绕组的直流磁动势。但a、b 轴是静止的，a轴与d 轴的夹角j  随时间而变化，因此is 在a、b  轴上的分量的长短也随时间变化，相当于绕组交流磁动势的瞬时值。由图5可见， ia、ib和 id、iq 之间存在下列关系
2s/2r变换公式
两相旋转—两相静止坐标系的变换矩阵写成矩阵形式，得
式中
是两相旋转坐标系变换到两相静止坐标系的变换阵。