标题：泊松定理
简介
  [英] Poisson theorem
Poisson 分配
考虑下列现象：每小时服务台访客的人数，每天家中电话的通数，一本书中每页的错字数，某条道路上每月发生车祸的次数，生产线上的疵品数，学生到办公室找老师的次数……。大致上都有一些共同的特征：在某时间区段内，平均会发生若干次「事件」，但是有时候很少，有时又异常地多，因此事件发生的次数是一个随机变数，它所对应的机率函数称为 Poisson 分配。
泊松定理（新加）
在n重贝努力试验中，事件A在每次试验中发生的概率为p，出现A的总次数K服从二项分布b(n,p），当n很大p很小，λ=np大小适中时，二项分布可用参数为λ=np的泊松分布来近似。[1]
基本特性
一个 Poisson 过程有三个基本特性：
⑴在一个短时间区间 $\Delta t$ 内，发生一次事件的机率与 $\Delta t$ 成正比：$\lambda \Delta t$。
⑵在短时间内发生两次以上的机率可以忽略。
⑶在不重叠的时间段落里，事件各自发生的次数是独立的。
另一名称为普阿松分布。关键应用n->；无穷大时二项分布(n,p）等价于参数为np的泊松分布验证　各位可以验证上述各种实际的例子，是不是相当符合 Poisson 过程的定义？
验证
现令 P(k,T) 表示在时间区间 T 中发生 k 次事件的机率（注意 T 表示时间区间的长度，而不是绝对时间），由⑴⑵知 $P（1,\Delta t)=\lambda\Delta t$，且 $P(k,\Delta t)=0$,$k\geq 2$。现将 T 分割成 N 个短时间区段 （即 $T=N\Delta t$），利用 ⑶各时间区段出现之事件是独立的条件，可知
\begin{eqnarray*} P(k,T)& \approx & C^N_k (\lambda \Delta t)^k（1-\lambda\Delta ... ...cdot \frac{（1-\frac{\lambda T})^N}{（1-\frac{\lambda T})^k} \end{eqnarray*}
固定 k，当 $N\rightarrow\infty$ 时
\beginP(k,T)=\frac{(\lambda T)^k}{k!}e^{-(\lambda T)} \quad (\mbox{... ...{\MbQ\char 41}} （1+\frac{\alpha})^N\rightarrow e^{\alpha }) \end
由上可知 Poisson 分配是二项分配 B(N,p,q) 的一种极限，其中 Np= 常数 $\lambda T$，再让 $N\rightarrow\infty$。另外，我们通常将 $\lambda T$ 记为 m，表示在时间区间 T 中，平均的发生次数（见下面习题）。
习题
习题1⑴验证 $\sum_{k=0}^{\infty} P(k,T)=1$。
⑵令 $P_X(k)=\frac{m^k}{k!}e^$,$k=1,2,3,\cdots$。求 E(X) 与 Var(X）。
（Ans. m,m.)
例1.
一公司之电话通数大约每小时 20 通，求在 5 分钟内一通电话也没有的机率？每小时 20 通，表示每分钟平均 $\lambda =\frac$ 通/分。因此在 5 分钟的时间区间中，平均的电话通数为 $ m=\lambda T= \frac\times 5=\frac$。所以
\beginP(k)\;\equiv\;P(k,5）\;=\;\frac{(\frac)^k}{k!} e^{-\frac},\quad k=0,1,2,\cdots\end
所以没有一通电话的机率 $P(0)= e^{-\frac}\;\approx\; 0.19 $。有了 P(k），我们可以回答许多类似的问题：在 5 分钟内有 4 通电话的机率是 $P⑷=\frac{\frac^4}{4!}e^{-\frac}\approx 0. 06$，大概每十六次才有一次。在 5 分钟内有超过 3 通电话的机率是
\begin\sum_{k=4}^{\infty}\frac{(\frac)^k}{k!} e^{-\frac... ...=0}^\frac{(\frac)^k}{k!} e^{-\frac}\approx 0.09\end
经计算这个机率分配的期望值 $= \frac$，标准差 $=\sqrt{\frac}\approx 1.29$。右图是 P(k) 的图形，当然由于 $k= 0,1,\cdots$，所以这只是部分图形。读者可与一般的二项分配的图形比较。
$E(X)=\frac \approx 1.67 \;\sqrt{Var(X)}=\sqrt{\frac} \approx 1.29$
例. 下表是 1910 年 Rutherford 观察放射性物质放射 α 粒子的记录，每次观察 7.5秒，共观察 2608 次。
粒子数 次数 频率 P(k)
0 57 0.022 0.021
1 203 0.078 0.081
2 383 0.147 0.156
3 525 0.201 0.201
4 532 0.204 0.195
5 408 0.156 0.151
6 273 0.105 0.097
7 139 0.053 0.054
8 45 0.017 0.026
9 27 0.010 0.011
$\geq 10$ 16 0.006 0.007
$m=\frac=3.87$
这里 P(k)=P(k,7.5），其中 $P(k)= \frac{m^k}{k!}e^$，m=3.87（见表最末栏），为 7.5 秒中 α 粒子放射之平均个数。可以看到，如果假设 α 粒子的放射是一 Poisson 过程，结果相当吻合。
例2. 令一放射性物质在时间 t 时所含之放射性粒子总量为 N(t），如果假设放射粒子是一 Poisson 过程，则在短时间 $\Delta t$ 后，
\beginN(t+\Delta t)-N(t)=-(\lambda \Delta t)N(t) \end
注意到 $(\lambda\Delta t)N(t)$ 是一期望值的形式。所以
\beginN'(t)\approx \frac{N(t+\Delta t)-N(t)}{\Delta t}=-\lambda N(t) \end
这可看成辐射定律的「证明」。
对外搜寻关键字：
．辐射定律
指数分配与排队理论
令 W 表示在 Poisson 过程中，由开始到第一次事件发生的时间（这是一随机变数）。由上节知
\begin{eqnarray*} P(W>t)&=&P(\mbox{{\MaQ\char 202}} [0,t] \mbox{{\MaQ\char 50... ...t minus0.1pt{\MbQ\char 222}}) \\ &=&e^{-\lambda t},\quad t>0 \end{eqnarray*}
但
\beginF_W(t)=P(W\leq t)=1-P(W>t) =1-e^{-\lambda t} \end
所以
\beginf_W(t)=F_W'(t)=\lambda e^{-\lambda t},\quad t>0 \end
这个机率分配称为指数分配。可计算得 $E(W)=\frac{\lambda}$，这就是第一次事件发生的平均时间。另外， $Var(W)=\frac{\lambda^2}$。
现在让我们讨论排队理论。排队的现象无所不在：买各种票、吃自助餐、超商、百货公司……等。顾客揣度「应该排那一服务柜台会比较快？」「到底还要排多久？」是城市生活的基本问题；相对的，商家也要盘算到底在何时要开几个窗口柜台才符合成本，探讨这个问题的数学理论通称为排队理论，而指数分配经常被用到排队理论，当作服务客人时间（这是一随机变数）的机率密度函数。
让我们假设某柜台，服务客人的平均时间为 μ，想像在服务结束后，柜员会亮灯请下一位客人进来，则亮灯的平均时间是 μ。若将「灯亮」视为一事件发生，则亮灯的过程近似于一 Poisson 过程。而且前面定义的 W 正好表示两次亮灯间的间隔。所以 W 的机率密度函数是指数分配：
\beginf_W(t)=\frac{\mu}e^{-\frac{\mu}t},\quad t>0 \end
例3.
现假设一柜台平均服务时间为 3 分钟，设等待时间的机率密度函数为
\beginf_W(t)=\frac e^{-\frac},t>0 \end
⑴等候时间超过6分钟的机率是多少？
\begin{eqnarray*} P(W>6）&=& \int_^{\infty}{\frac e^{-\frac}}dt = ... ...\frac}\big)\big\vert _6^b \\ &=& e^\; \approx \; 0.14 \end{eqnarray*}
事实上，等候超过 T 分钟的机率是 $e^{-\frac}$。
⑵另一个合理的问题是，如果在我前面还有另一个客人，则我怎么描述，我等待时间的机率分配呢？
令 W1 是第一个客人等待的时间，W2 是第一个客人开始被服务后，我所等待的时间，则 $W_1 \;\sim\; W_2\; \sim \; W $，而且总等待时间 U = W1+W2，另外显然 W1 与 W2 是互相独立的。所以我们的问题就是要计算 fU(t），由309页例子的方法，可以计算得
\beginf_U(t) = \frac t e^{-\frac},\quad t>0 \end
或者，如果将指数分配 fW(t) 想成是 $\Gamma（1,\frac)$ 分配，则此相当于
\begin\Gamma（1,\frac)+\Gamma（1,\frac) \;\sim\; \Gamma（2,\frac)\qquad \end
因此如果我们想知道总等候时间不超过 5 分钟的机率，则
\begin{eqnarray*} P(U\leq5）&=& \int_^{\frac t e^{-\frac}}dt ... ...0^5 + 3 \int_0^5 e^{-\frac} \; dt \right)\\ &\approx& 0.5 \end{eqnarray*}
有一半的机会。
⑶如果前面有 n-1 个客人时，则可定义 $U=W_1+W_2+ \cdots + W_n $，其中 Wi 彼此独立，由 Gamma 分配性质知 $U \sim \Gamma(n,\frac)$，即
\beginf_U(t)\; =\; \frac{3^n(n-1）！} t^e^{-\frac},\quad t>0 \end
这告诉我们 $\Gamma(\alpha,\beta)$ 分配与排队理论的关系。我们将细节留作习题。
习题2⑴超级市场一服务员平均服务时间为 2 分钟，若用指数分配当作等候时间之机率分配，则机率密度函数是什麼？ 
⑵如果他正开始服务一位客人，而你前面还有一位客人在等候，则你会等超过 6 分钟的机率是多少？ 
⑶若服务员甲平均服务时间为 2 分钟，而服务员乙之平均服务时间为 3 分钟，如果你选择乙，你朋友选择甲，且一起开始接受服务，则你会比朋友快的机率是多少？（当然甲与乙的服务是相互独立的）你能给出一个一般的计算公式吗？