标题：实数理论
概述
实数是数学中最基本的概念之一。实数与数轴上的点可以一一对应。数学分析所研究的函数，其自变量都取实数值，因此认识和了解实数是建立严格的分析理论不可缺少的基础（“分析基础”）。实数包括有理数与无理数，而从欧几里得以来，人们都把它们理解为单位长线段可公度与不可公度的线段的长度。到17世纪，人们对实数的使用已经习以为常，并开始脱离其几何原型抽象地认识实数。但到19世纪中叶，在分析严格化的进程中，由  德国数学家戴德金于一些事实无法证明（例如，柯西无法证明自己提出的收敛准则的充分性），一些证明出了错（如波尔查诺对连续函数介值性的证明），人们才发现对实数特别是无理数的认识任然模糊不清，这才促使一批数学家关注于处理无理数的问题。通过他们的努力，终于在将近半个世纪的时间里，建立了多种形式上不同，而实质上等价的严格的实数理论。各种形式的构造性实数理论，都是首先从有理数出发去定义无理数，也就是说，数轴上有理点之间的所有空隙（无理点），都可以由有理数经过一定的方式来确定。然后证明这样定义的实数（原有的有理数和新定义的无理数）具有人们原来熟知的实数所应有的一切性质，特别是连续性。这些形式上不同的实数理论也就因确定空隙的方法不同而互相区分，它们主要有：戴德金用有理数的分割的方法，康托尔用有理数的基本列的方法，魏尔斯特拉斯用无穷（非循环）十进小数的方法，以及用端点为有理点的闭区间套和有界单调有理数列的方法。站在现代数学的立场来看，上述各种方法都是从假定实数具有某种特性出发的（如戴德金的方法假定了实数的连续性，康托尔假定的是完备性，而用闭区间套的方法反映了实轴上有界闭集的紧性），而这些特性在实数范围内都是等价的，因而用这些方法定义出的实数都是完全相同的。此外，还有一种与上述构造法完全不同的定义实数的方法（即“实数公理”）。他将实数应有的一些基本性质列为一个公理系统，然后将满足这个公理系统的对象定义为实数。基于这些公理的实数理论与上述基于构造法的也相互等价。[1]
当然还应当指出，不仅极限理论需要在实数系中才能成立，就是中学数学中的许多初等函数，除了多项式和有理分式之外，没有实数也是无法给出定义的。将无限不循环小数定义为无理数是容易为学生所接受的，但在这样定义的实数系内四则运算是如何进行的，还是完全不清楚的，而且实际上也不是简单的。至于指数a^b，对数log_a(b)，当其中a，b都是实数时应当如何定义就更加困难了。由此可见，即使为了对初等函数给出严格的定义，也需要回答什么是实数这样一个问题。当然这不是中学数学要承担的任务。
历史背景
  毕达哥拉斯学派公元前500年，古希腊毕达哥拉斯(Pythagoras)学派的弟子希帕索斯(Hippasus)发现了一个惊人的事实，一个正方形的对角线与其一边的长度是不可公度的(若正方形边长是1，则对角线的长不是一个有理数)这一不可公度性与毕氏学派“万物皆为数”(指有理数)的哲理大相径庭。这一发现使该学派领导人惶恐、恼怒，认为这将动摇他们在学术界的统治地位。希帕索斯因此被囚禁，受到百般折磨，最后竟遭到沉舟身亡的惩处。
毕氏弟子的发现，第一次向人们揭示了有理数系的缺陷，证明它不能同连续的无限直线同等看待，有理数并没有布满数轴上的点，在数轴上存在着不能用有理数表示的“孔隙”。而这种“孔隙”经后人证明简直多得“不可胜数”。于是，古希腊人把有理数视为连续衔接的那种算术连续统的设想彻底地破灭了。不可公度量的发现连同著名的芝诺悖论一同被称为数学史上的第一次危机（第一次数学危机），对以后2000多年数学的发展产生了深远的影响，促使人们从依靠直觉、经验而转向依靠证明，推动了公理几何学与逻辑学的发展，并且孕育了微积分的思想萌芽。
不可通约的本质是什么？长期以来众说纷坛，得不到正确的解释，两个不可通约的比值也一直被认为是不可理喻的数。15世纪意大利著名画家达.芬奇称之为“无理的数”，17世纪德国天文学家开普勒称之为“不可名状”的数。
然而，真理毕竟是淹没不了的，毕氏学派抹杀真理才是“无理”。人们为了纪念希帕索斯这位为真理而献身的可敬学者，就把不可通约的量取名为“无理数”——这便是“无理数”的由来。
  毕达哥拉斯无理数的发现，击碎了毕达哥拉斯学派“万物皆数”的美梦。同时暴露出有理数系的缺陷：一条直线上的有理数尽管是“稠密”，但是它却漏出了许多“孔隙”，而且这种“孔隙”多的“不可胜数”。这样，古希腊人把有理数视为是连续衔接的那种算术连续统的设想，就彻底的破灭了。它的破灭，在以后两千多年时间内，对数学的发展，起到了深远的影响。不可通约的本质是什么？长期以来众说纷纭。两个不可通约量的比值也因其得不到正确的解释，而被认为是不可理喻的数。15世纪达芬奇（Leonardo da Vinci, 1452- 1519）把它们称为是“无理的数”（irrational number），开普勒（J. Kepler, 1571- 1630）称它们是“不可名状”的数。这些“无理”而又“不可名状”的数，找到虽然在后来的运算中渐渐被使用，但是它们究竟是不是实实在在的数，却一直是个困扰人的问题。
中国古代数学在处理开方问题时，也不可避免地碰到无理根数。对于这种“开之不尽”的数，《九章算术》直截了当地“以面命之”予以接受，刘徽注释中的“求其微数”，实际上是用10进小数来无限逼近无理数。这本是一条完成实数系统的正确道路，只是刘徽的思想远远超越了他的时代，而未能引起后人的重视。不过，中国传统数学关注的是数量的计算，对数的本质并没有太大的兴趣，而善于究根问底的希腊人就无法迈过这道坎了。既然不能克服它，那就只好回避它。此后的希腊数学家，如欧多克斯（Eudoxus）、欧几里得（Euclid）在他们的几何学里，都严格避免把数与几何量等同起来。欧多克斯的比例论（见《几何原本》第5卷），使几何学在逻辑上绕过了不可公度的障碍，但就在这以后的漫长时期中，形成了几何与算术的显著分离。
  法国数学家柯西17、18世纪微积分的发展几乎吸引了所有数学家的注意力，恰恰是人们对微积分基础的关注，使得实数域的连续性问题再次突显出来。因为，微积分是建立在极限运算基础上的变量数学，而极限运算，需要一个封闭的数域。无理数正是实数域连续性的关键。
无理数是什么？法国数学家柯西（A.Cauchy,1789- 1875）给出了回答：无理数是有理数序列的极限。然而按照柯西的极限定义，所谓有理数序列的极限，意即预先存在一个确定的数，使它与序列中各数的差值，当序列趋于无穷时，可以任意小。但是，这个预先存在的“数”，又从何而来呢？在柯西看来，有理序列的极限，似乎是先验地存在的。这表明，柯西尽管是那个时代大分析学家，但仍未能摆脱两千多年来以几何直觉为立论基础的传统观念的影响。
变量数学独立建造完备数域的历史任务，终于在19世纪后半叶，由魏尔斯特拉斯（Weierstrass,1815- 1897）、戴德金（R.Dedekind1831- 1916）、康托（G.Cantor,1845- 1918）等人加以完成了。
1872年，是近代数学史上最值得纪念的一年。这一年，克莱因（F.Kline,1849- 1925）提出了著名的“埃尔朗根纲领”（Erlanger Programm），魏尔斯特拉斯给出了处处连续但处处不可微函数的著名例子。也正是在这一年，实数的三大派理论：戴德金“分割”理论；康托的“基本序列”理论，以及魏尔斯特拉斯的“有界单调序列”理论，同时在德国出现了。
  德国数学家克莱因努力建立实数的目的，是为了给出一个形式化的逻辑定义，它既不依赖几何的含义，又避免用极限来定义无理数的逻辑错误。有了这些定义做基础，微积分中关于极限的基本定理的推导，才不会有理论上的循环。导数和积分从而可以直接在这些定义上建立起来，免去任何与感性认识联系的性质。几何概念是不能给出充分明白和精确的，这在微积分发展的漫长岁月的过程中已经被证明。因此，必要的严格性只有通过数的概念，并且在割断数的概念与几何量观念的联系之后才能完全达到。这里，戴德金的工作受到了崇高的评价，这是因为，由“戴德金分割”定义的实数，是完全不依赖于空间与时间直观的人类智慧的创造物。
实数的三大派理论本质上是对无理数给出严格定义，从而建立了完备的实数域。实数域的构造成功，使得两千多年来存在于算术与几何之间的鸿沟得以完全填平，无理数不再是“无理的数”了，古希腊人的算术连续统的设想，也终于在严格的科学意义下得以实现。
由于实数理论的内容过于庞大，处理方式也各有不同，因此，它的有关理论也散见于各种文献中，以下是对定义实数系方法的文献综述。
文献综述
一、实数系的公理化方法所谓公理化方法，起源于古希腊数学家欧几里得的《几何原本》。在该书中对于几何学提出了为数绝少的几条公理，然后用逻辑推理的方法得到所有其它定理，从而将整个几何学建成为一个明白易懂又非常严格的逻辑体系。只要公理不错，则所有得到的定理的真理性也就没有问题。这里的所谓公理，听起来似乎抽象，实际上就是大家都能够接受，对它们的正确性没有疑问的几个事实。
所谓实数系的公理化方法也是如此，我们将心目中实数应当具有的尽可能少的独立性质列出来作为公理，使得其他性质都可以由公理推出来，这就建成了一个公理化系统（“实数公理”）。
希尔伯特公理化方法刻画了我们所需要的实数系究竟是什么样的，它解决了中学数学中有关实数的许多遗留问题，如到底什么是实数的加法和乘法，为什么实数的加法满足交换律、结合律，乘法也满足交换律、结合律等，可以理解为公理规定的，事实上，如果提供更为基本的假设（比如在有理数的基础上），这些运算律都是可以证明的。它还保证了实数系基本定理的成立，为数学分析中极限理论的展开提供了必要的舞台。而满足这些公理的实数系是否存在，存在性问题是靠下述各种构造方法解决的，也就是给出生成实数系的具体方法，同时证明在其中满足公理化方法中列出的所有公理。有关公理化的方法可以参看卓里奇的《数学分析（第一卷）》。[2]二、实数系的存在性实数系的存在性是通过构造法引入的，以下是构造实数系的三种方法（主要是从有理数定义出无理数）。
1.戴德金分割方法
  德国数学家兰道戴德金分割的方法在有关数学分析的著作中多有介绍。最经典的叙述是兰道特地为此编写的小书《分析基础》[3]，这本书的副标题就是“整数、有理数、实数、复数的运算”，该书从自然数出发，一直定义到复数，把完整的数系定义展现了出来。
在前苏联的数学分析教材中对戴德金方法做完整叙述的，首推由三卷本组成的经典教材：菲赫金哥尔茨的《微积分学教程》[4]。该书的绪论对戴德金分割方法有完整的叙述，它为全书奠定了牢靠的基础。另外还可以看亚历山大罗夫的《集与函数的泛论初阶》[5] 和辛钦的《数学分析八讲》[6]第一讲，鲁金的《实变函数论》[7]附录Ⅰ，华东师范大学数学系的《数学分析（第三版）》[8]附录Ⅱ。
在西方教材中，斯皮瓦克的《微积分》[9] 在开始时用两章详细介绍了数系的公理，书末又用三章讲如何构造实数；卢丁的《数学分析原理》[10]的第一章和附录有对实数理论简短的叙述。这两种教材对戴德金分割的方法都有所改动，从数学史（波耶的《微积分概念史，对导数与积分的历史性评论》[11]一书中）知道，这基本上就是罗素提出的实数定义方法。
在各种引入实数系的方法中，戴德金分割方法受到了高度的评价，被称作完全不依赖于空间与时间直观的人类智慧的创造物。
2.康托尔的基本列（即柯西列）方法
这方面的内容可以参考辛钦的《数学分析简明教程》[12]第四章，范德瓦尔登的《代数学》[13]第68节，许绍溥、宋国柱等编的《数学分析》[14]第五章，邹应的《数学分析》[15]第二章以及华东师范大学数学系的《数学分析（第一版）》的附录Ⅱ。
3.魏尔斯特拉斯从十进小数表示出发的方法
  德国数学家魏尔斯特拉斯这种方法与前两个方法不同，不需要引入新的数学对象作为无理数，而是从中学已有的定义出发，即承认十进制有限小数和无限循环小数是有理数，而十进制无限非循环小数则是无理数。这样就比较容易为中学生所接受。因此也称为中学生的实数理论。
但为什么是十进制无限非循环小数？这里不可避免地涉及到极限问题。在有了柯西准则之后，我们可以从数列极限或无穷级数之和来理解十进制无限非循环小数。但在建立实数系之前是不能如此理解的，否则就与历史上的柯西犯同样的错误了。
因此，为了避免逻辑上的循环定义，在将十进制无限非循环小数定义为无理数时，一开始不可能将它看成是一个无穷级数的和，而只是将它看成一个纯粹的记号，一个还不清楚有什么意义的数学对象。然后在所有十进制小数全体组成的集合内引入加法、乘法运算，并规定其中任何两个小数之间的序，并验证它满足域公理、序公理、阿基米德公理和连续性公理这4组公理。当然这里需要经过很多步骤的推论。事实上，认为这样一种记号代表实数也是一种数学抽象，而且这也是连续性公理的另一种等价形式，历史上沃利斯于1696年将有理数与循环小数等同。而斯托尔茨则于1886年提出将十进制无限非循环小数作为无理数的定义[16]，但仍未建立起一个满意的实数理论。
从十进制小数开始讲实数的教材很多，例如可以参考阿黑波夫的《数学分析讲义》[17] ，关肇直的《高等数学教程》[18] 和华罗庚的《高等数学引论》[19] 等。在张筑生的《数学分析新讲》[20]的第一章比较详细的讲解了在十进制小数中引入四则运算的严格方法。
可以归入这条途径的还有一种做法，就是引进以有理数为端点的闭区间套原理作为连续性公理的一种替代物。它既比较直观，同时又避开了十进制无限非循环小数这类一开始难以说清楚的对象，也是一种好方法。[3][18][21]　三、实数系的惟一性首先要明白这里惟一性的确切含义，这里指的是在同构意义上的惟一性，具体来说，就是证明凡是满足实数公理的实数系模型都是同构的。
按照戴德金方法建立实数系后对其在同构意义下的惟一性的讨论可以参看斯皮瓦克的《微积分》[9]最后一章“实数的惟一性”。按照康托尔的柯西列方法建立实数系时的惟一性的讨论可以参看许绍溥、宋国柱等编的《数学分析》[14] 第五章的最后部分的证明。