标题：乘法公式
乘法公式
什么叫乘法公式⒈ 公式的应用不仅可从左到右的顺用（多项式乘法），还可以由右向左逆用（因式分解).
要记住一些重要的公式变形及其逆运算——除法等。基本公式⒉ 基本公式就是最常用，最基础的公式，可以由此而推导出其它公式. 
完全平方公式:(a±b)^2=a^2±2ab+b^2，
平方差公式:(a+b)(a-b)=a^2-b^2，
立方和（差）公式:(a+b)(a^2－ab+b^2）=a^3+b^3，（a－b)(a^2+ab+b^2）=a^3－b^3
完全立方公式：（a±b)^3=a^3±3a^2b+3ab^2；±b^3，
三数和平方公式：（a+b+c）^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc，
欧拉公式：（a+b+c）（a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc）=a^3+b^3+c^3-3abc
公式推广
公式的推广①多项式平方公式:(a+b+c+d)^2=a^2+b^2+c^2+d^2+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd。
即：多项式的平方等于各项的平方和，加上每两项积的2倍。
②二项式定理:(a±b)^3=a^3±3a^2b+3ab^2±b^3，
（a±b)^4=a^4±4a^3b+6a^2b^2±4ab^3+b^4，
（a±b)^5=a^5±5a^4b+10a^3b^2 ±10a^2b^3+5ab^4±b^5， 
………… 
（a+b）
=a^n+Cn1*a^(n-1）*b+Cn2*a^(n-2）*b……2+……+Cn(n-1）*a*b^(n-1）+b^n.
注意观察右边展开式的项数，指数，系数，符号的规律，见杨辉三角。
③由平方差，立方和（差）公式引申的公式 
（a+b)(a^3-a^2b+ab^2-b^3）=a^4-^b^4， 
（a+b)(a^4-a^3b+a^2b^2-ab^3+b4）=a^5+b^5， 
（a+b)(a^5-a^4b+a^3b^2-a^2b^3+ab^4-b^5）=a^6-b^6， 
………… 
注意观察左边第二个因式的项数，指数，系数，符号的规律。
在正整数指数的条件下，可归纳如下：设n为正整数 
⑴（a+b)[a^(2n-1)-a^(2n-2)b+a^(2n-3)b^2-…+ab^(2n-2)-b^(2n-1)]=a^2n-b^2n， 
⑵（a+b)[a^2n-a^(2n-1)b+a^(2n-2)b^2-…-ab^(2n-1)+b^2n]=a^(2n+1)+b^(2n+1)，
类似地：
⑶（a-b)[a^(n-1)+a^(n-2)b+a^(n-3)b^2+…+ab^n-2+b^(n-1）]=a^n-b^n。公式的变形及其逆运算由（a+b)^2=a^2+2ab+b^2 得 a^2+b^2=(a+b)^2-2ab；（a-b)^2=(a+b)^2-4ab。
由 (a+b)^3=a^3+3a&sup2;b+3ab2+b3=a3+b3+3ab(a+b）得 a3+b3=(a+b)3-3ab(a+b）。
由公式的推广可知：当n为正整数时，an-bn能被a-b整除； 
a2n+1+b2n+1能被a+b整除； a2n-b2n能被a+b及a-b整除。
乙 例题 
例1.己知：x+y=a,xy=b。
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求：①x2+y2 ; ②x3+y3 ; ③x4+y4; ④x5+y5. 
解：①x2+y2=(x+y)2-2xy=a2-2b; 
②x3+y3=(x+y)3-3xy(x+y)=a3-3ab; 
③x4+y4=(x+y)4-4xy(x2+y2）-6x2y2=a4-4a2b+2b2; 
④x5+y5=(x+y)(x4-x3y+x2y2-xy3+y4） 
=(x+y)[x4+y4-xy(x2+y2）+x2y2] 
=a[a4-4a2b+2b2-b(a2-2b)+b2] 
=a5-5a3b+5ab2. 
例2.求证：四个连续整数的积加上1的和，一定是整数的平方. 
证明：设这四个数分别为a,a+1,a+2,a+3. (a为整数） 
a(a+1）（a+2）（a+3）+1=a(a+3）（a+1）（a+2）+1 
=(a2+3a)(a2+3a+2）+1 
=(a2+3a)2+2(a2+3a)+1 
=(a2+3a+1）2。
∵a是整数，整数的和，差，积，幂也是整数。∴a2+3a+1是整数。
例3.求证：2^222+3^111能被7整除。　证明：2^222+3^111=（2×2）^111+3^111=4^111+3^111。
∵a^（2n+1）+b^（2n+1）能被a+b整除，（见内容提要4） 
∴4^111+3^111能被 4+3整除。
∴2^222+3^111能被7整除。
（扩展） 快速判断一个整数是否可以整除另一个整数
如x=2368，则x1=8，x2=6，x3=3，x4=2
则有如下公式：
x%m=(x1 +101%m*x2+102%m*x3+……+10n-1%m*xn)%m
其中%表示求余数的符号
公式证明
依据余数的两个定理
（m+n)%k=(m%k+n%k)%k（结合率）
（m*n)%k=((m%k)*n)%k （交换率）
则 x%m
= (x1 + x2*10 + x3*102 +xn*10n-1）%m
= (x1%m+ x2*10%m+ x3*102%m +xn*10n-1%m)%m
= (x1%m+ （10%m*x2）%m + （102%m*x3）%m +（10n-1%m*xn)%m)%m
= (x1 + 10%m*x2+ 102%m*x3 +10n-1%m*xn)%m
所以公式得证
例4.用完全平方公式推导“个位数字为5的两位数的平方数”的计算规律。
解：∵（10a+5）^2=100a^2+2×10a×5+25=100a(a+1）+25。
∴“个位数字为5的两位数的平方数”的特点是：
幂的末两位数字是底数的个位数字5的平方，幂的百位以上的数字是底数的十位上数
字a乘以（a+1）的积。
例如：15^2=225，幂的百位上的数字2=1×2； 
25^2=625,6=2×3；
35^2=1225,12=3×4； 
…… 
105^2=11025,110=10×11。1、平方差公式由多项式乘法得到 (a+b)(a－b) =a&sup2;－b&sup2;.即两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差2、平方差公式的特征①左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数； 
②右边是乘式中两项的平方差（相同项的平方减去相反项的平方）；
③公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式； 
④对于形如两数和与这两数差相乘的形式，就可以运用上述公式来计算．3、完全平方公式由多项式乘法得到（a±b）^2=a^2±2ab+b^2即两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加（或减）它们的积的2倍.推广形式：（a+b+c）^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca4、完全平方公式的特征（a+b）^2=a^2+2ab+b^2与（a－b)^2=a^2－2ab+b^2都叫做完全平方公式，为了区别，我们把前者叫做两数和的完全平方公式，后者叫做两数差的完全平方公式．　
①两公式的左边：都是一个二项式的完全平方，二者仅有一个符号不同；右边：都是二次三项式，其中有两项是公式左边两项中每一项的平方，中间是左边二项式中两项乘积的2倍，两者也仅有一个符号不同．　②公式中的a、b可以是数，也可以是单项式或多项式．　
③对于形如两数和（或差）的平方的乘法，都可以运用上述公式计算．　
④公式中的字母具有一般性，它可以表示数也可以表示多项式.5、乘法公式的主要变式⑴a2－b2=(a+b)(a－b);
⑵（a+b)2－（a－b)2=4ab;
⑶（a+b)2+(a－b)2=2(a2+b2）；
⑷a2+b2=(a+b)2－2ab=(a－b)2+2ab
⑸a3+b3=(a+b)3－3ab(a+b)
⑹a^n-1=(a-1）（a^(n-1）+a^(n-2）+.....+a+1） 
熟悉这些变形公式，明确它们间联系，综合运用，常可简化解题过程．
注意：
⑴公式中的a，b既可以表示单项式，也可以表示多项式.
⑵乘法公式既可以单独使用，也可以同时使用.
⑶这些公式既可以正用，也可以逆用，因此在解题时应灵活地运用公式，以计算简捷为宜.计算⑴（3a+2b）（2b－3a）；⑵（x－2y）（－x－2y）；⑶（a+b+c)(a－b－c）分析：
相乘的两个二项式，只要它们有一项完全相同，另一项互为相反数，就符合平方差公式.相乘的结果是相同项的平方减去相反项的平方.
第⑴题的相同项是2b，相反项是3a与－3a.
第⑵题可以按第⑴题的方法计算，也可以先改变第二个因式的符号再运算.
第⑶题虽然不能直接运用平方差公式计算，但认真观察两个二项式中的相同项和相反项，就不难分组转化成平方差公式的结构形式.
解：
⑴原式=（2b +3a）（2b－3a)
=（2b)^2－（3a)^2
=4b^2－9a^2
⑵原式=（－2y+x）（－2y－x)
=（－2y)^2－x^2
=4y2－x2
⑶原式=[a+(b+c)][a－（b+c)]
=a^2－（b+c)^2
=a^2－（b^2+2bc+c^2）
=a^2－b^2－2bc－c^2
⑴98×102；⑵99×101×10001.
分析：
将98写成100－2，102写成100+2，第⑴题即能用平方差公式计算；同理将99写成100－1，101写成100+1，第⑵题也可用平方差公式计算：
解：
⑴98×102=（100－2）（100+2）
=10000－4=9996
⑵99×101×10001=（100－1）（100+1）×10001
=（10000－1）（10000+1）
=100000000－1=99999999