标题：一次函数
基本信息
基本定义一般地，形如y=kx+b(k≠0,b是常数)，那么y叫做x的一次函数.当b=0时，y=kx+b即y=kx，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数。[1]
函数的基本概念：在某一个变化过程中，设有两个变量x和y，如果可以写成y=kx+b(k为常数，叫做定量,且k≠o，b也是常数)，即每一个x都有一个特定的y与之对应，那么我们就说y是x的函数，其中x是自变量，y随X的变化而变化。当x取一个值时，y有且只有一个值与x对应。如果有2个及以上个值与x对应时，就不是函数。[2]
表达式为y=kx+b(k≠0，k、b均为常数)的函数，叫做y是x的一次函数。当b=0时称y为x的正比例函数，正比例函数是一次函数中的特殊情况。当常数项为零时的一次函数，可表示为y=kx(k≠0)，这时的常数k也叫比例系数。[2]
y关于自变量x的一次函数有如下关系：
y=kx+b (k,b为常数，且k≠0)[2]
当x取一个值时，y有且只有一个值和x对应。如果有2个及以上个值和x对应时，就不是一次函数。[2]
x为自变量，y为因变量，k为常数，y是x的一次函数。[2]
特别的，当b=0时，y是x的正比例函数。即：y=kx (k为常量，但k≠0)正比例函数图像经过原点。[2]
定义域：自变量x的取值范围。自变量的取值一要使函数有意义;二要与实际相符合。[2]
函数常用的表示方法：解析法、图像法、列表法。[2]函数性质1．在正比例函数时，x与y的商一定(x≠0）。在反比例函数时，x与y的积一定。
在y=kx+b（k，b为常数，k≠0）中，当x增大m时，函数值y则增大km，反之，当x减少m时，函数值y则减少km。[2]
2．当x=0时，b为一次函数图像与y轴交点的纵坐标，该点的坐标为(0，b)。[2]
3．当b=0时，一次函数变为正比例函数。当然正比例函数为特殊的一次函数。[2]
4．在两个一次函数表达式中：
当两个一次函数表达式中的k相同，b也相同时，则这两个一次函数的图像重合；
当两个一次函数表达式中的k相同，b不相同时，则这两个一次函数的图像平行；
当两个一次函数表达式中的k不相同，b不相同时，则这两个一次函数的图像相交；
当两个一次函数表达式中的k不相同，b相同时，则这两个一次函数图像交于y轴上的同一点（0，b）；
当两个一次函数表达式中的k互为负倒数时，则这两个一次函数图像互相垂直。[2]
5．两个一次函数（y1=k1x+b1,y2=k2x+b2)相乘时（k≠0），得到的的新函数为二次函数，
该函数的对称轴为－（k2b1+k1b2)/(2k1k2)；
当k1,k2正负相同时，二次函数开口向上；
当k1,k2正负相反时，二次函数开口向下。
二次函数与y轴交点为（0，b2b1)。[2]
6．两个一次函数(y1=ax+b,y2=cx+d)之比，得到的新函数y3=(ax+b)/(cx+d)为反比例函数，渐近线为x=－b/a，y=c/a。[2]
图像性质
画法  一次函数的图象与性质[3]（1）列表：表中给出一些自变量的值及其对应的函数值。[4]
（2）描点：在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点。[4]
一般地，y=kx+b(k≠0）的图象过（0，b）和（-b/k，0）两点即可画出。
正比例函数y=kx(k≠0）的图象是过坐标原点的一条直线，一般取（0，0）和（1，k）两点画出即可。[4]
（3）连线： 按照横坐标由小到大的顺序把描出的各点用直线连接起来。[4]
注：此处由孔维杰对词条进行了专业判断。性质（1）在一次函数图像上的任取一点P（x，y），则都满足等式：y=kx+b(k≠0)。
（2）一次函数与y轴交点的坐标总是（0，b)，与x轴总交于（-b/k，0）。正比例函数的图像都经过原点。
k，b决定函数图像的位置：
y=kx时，y与x成正比例：
当k>0时，直线必通过第一、三象限，y随x的增大而增大；
当k<0时，直线必通过第二、四象限，y随x的增大而减小。
y=kx+b时：
当 k>0，b>0， 这时此函数的图象经过第一、二、三象限；
当 k>0，b<0，这时此函数的图象经过第一、三、四象限；
当 k<0，b>0，这时此函数的图象经过第一、二、四象限；
当 k<0，b<0，这时此函数的图象经过第二、三、四象限。
当b>0时，直线必通过第一、二象限；
当b<0时，直线必通过第三、四象限。
特别地，当b=0时，直线经过原点O（0，0）。
这时，当k>0时，直线只通过第一、三象限，不会通过第二、四象限。当k<0时，直线只通过第二、四象限，不会通过第一、三象限。[5]
注：此目录部分内容由孔维杰对词条进行了专业判断。特殊位置关系当平面直角坐  两一次函数平行标系中两直线平行时，其函数解析式中k的值（即一次项系数）相等；
当平面直角坐标系中两直线垂直时，其函数解析式中k的值互为负倒数（即两个k值的乘积为-1）一次函数的  两一次函数垂直解析式①点斜式：y-y1=k(x-x1)（k为直线斜率，(x1，y1)为该直线所过的一个点）；
②两点式：(y-y1) / (y2-y1)=(x-x1)/(x2-x1)（已知直线上（x1,y1）与（x2,y2）两点）， 　③截距式：x/a+y/b=1 （a、b分别为直线在x、y轴上的截距）。
解析式表达的局限性：
①所需条件较多（2个点，因为使用待定系数法需要列一个二元一次方程组）；
②、③不能表达没有斜率的直线（即垂直于x轴的直线；注意“没有斜率的直线平行于y轴”表述不准，因为x=0与y轴重合）；
④不能表达平行于坐标轴的直线和过原点的直线。
x轴的正半轴逆时针旋转到直线所成的角（直线与x轴正方向所成的角）称为直线的倾斜角。设一直线的倾斜角为α，则该直线的斜率k=tanα。倾斜角的范围为(0, π)。[4]一次函数和方程1、从形式上看：一次函数y=kx+b, 一元一次方程ax+b=0 。
2、从内容上看：一次函数表示的是一对(x，y)之间的关系，它有无数对解；一元一次方程表示的是未知数x
的值，最多只有1个值 。
3、相互关系：一次函数与x轴交点的横坐标就是相应的一元一次方程的根。 例如：y=4x+8与x轴的交点是
(-2，0)、则一元一次方程4x+8=0的根是x=-2。[4]函数和不等式解不等式的方法：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=ax+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；
从函数图像的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合。[6]
对应一次函数y=kx+b，它与x轴交点为（-b/k，0）。
当k>0时，不等式kx+b>0的解为：x>- b/k，不等式kx+b<0的解为：x<- b/k；
当k<0的解为：不等式kx+b>0的解为：x<- b/k，不等式kx+b<0的解为：x>- b/k。
与二元一次方程的关系：
1.(1)以二元一次方程组ax+by=c的解为坐标的点组成的图像与一次函数
y=-a/bx+c/b的图像相同.
(2)二元一次方程组{a1x+b1y=c1,
a2x+b2y=c2的解可以看作是两个一次函数
y=-a1/b1x+c1/d1和y=-a2/b2x+c2/d2的图像的交点.
方法小结:
把方程组中的两个二元一次方程改写成一次函数的形式,然后作出它们的图像,找出两图像的交点,即可知方程组的解。[4]区别和联系区别：二元一次方程有两个未知数，而一次函数只是说未知数的次数为一次，并未限定几个变量，因此二元一次方程只是一次函数中的一种。
联系：（1）在平面直角坐标系中分别描绘出以二元一次方程的解为坐标的点，这些点都在相应的一次函数的图象上。如方程2x+y=5有无数组解，像x=1，y=3；x=2，y=1；…以这些解为坐标的点(1,3)(2,1）…都在一次函数y=－2x+5的图象上. （2）在一次函数图象上任取一点，它的坐标都适合相应的二元一次方程.如在一次函数y=－x+2的图象上任取一点（－3，3），则x=-3，y=3一定是二元一次方程x+y=2的一组解.
所以，以二元一次方程的解为坐标的所有点组成的图象与相应的一次函数的图象是相同的。[4]
一、有交点：在同一平面直角坐标系中，两个一次函数图象的交点坐标就是相应的二元一次方程组的解。反过来，以二元一次方程组的解为坐标的点，一定是相应的两个一次函数的图象的交点。
二、无交点：当二元一次方程组无解时，相应的两个一次函数在平面直角坐标系中的图象就没有交点，即两个一次函数图象平行。反过来，当两个一次函数图象平行时，相应的二元一次方程组就无解。如二元一次方程组3x-y=5，3x-y=-1无解，则一次函数y=3x－5与y=3x+1的图象平行，反之也成立。
三、作图法解方程：用作图的方法解二元一次方程组，一般有下列几个步骤：（1）将相应的二元一次方程改写成一次函数的解析式；（2）在同一平面直角坐标系内作出这两个一次函数的图象；（3）找出图象的交点坐标，即得二元一次方程组的解。
四、方程组确定解析式：在实际应用中，常常利用待定系数法构造二元一次方程组，从而确定一次函数的解析式。
例：某航空公司规定，乘客可以免费携带一定质量的行李，但超过该质量则需购买行李票，且行李费y（元）是行李质量x（kg）的一次函数。现知王芳带了30 kg的行李，买了50元行李票。李刚带了40kg的行李，买了100元行李票。那么，乘客最多可免费携带多少千克的行李？
解答：依题意，可设一次函数的解析式为y=kx+b。则可得二元一次方程组50=30k+b，100=40k+b。解得k=5，b=-100，即一次函数的解析式是y=5x－100。当x=20时，y=0。所以乘客最多可免费携带20 kg的行李。
五、 待定系数法：（1）先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设y=kx+b；
（2）将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组；
（3）解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式。
注意：求正比例函数，只要一对x，y的值就可以，因为它只有一个待定系数；而求一次函数y=kx+b，则需要
两组x，y的值。[4]一次函数的应用一、分段函数问题
分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符
合实际。
二、函数的多变量问题
解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根据问题的条件寻
求可以反映实际问题的函数
三、概括整合
（1）简单的一次函数问题：①建立函数模型的方法；②分段函数思想的应用。
（2）理清题意是采用分段函数解决问题的关键。[4]
常用公式：
1.求函数图像的k值：（y1-y2)/(x1-x2)
2.求与x轴平行线段的中点：(x1+x2)/2
3.求与y轴平行线段的中点：(y1+y2)/2
4.求任意线段的长：√[(x1-x2)^2+(y1-y2)^2 ]
5.求两个一次函数式图像交点坐标：解两函数式
两个一次函数 y1=k1x+b1 y2=k2x+b2 令y1=y2 得k1x+b1=k2x+b2 将解得的x=x0值代回y1=k1x+b1 y2=k2x+b2 两式任一式 得到y=y0 则(x0,y0)即为 y1=k1x+b1 与 y2=k2x+b2 交点坐标
6.求任意2点所连线段的中点坐标：[（x1+x2）/2，（y1+y2）/2]
7.求任意2点的连线的一次函数解析式：（X-x1）/(x1-x2)=(Y-y1)/(y1-y2) (若分母为0，则分子为0)
（x,y）为 + ，+（正，正）时该点在第一象限
（x,y）为 - ，+（负，正）时该点在第二象限
（x,y）为 - ，-（负，负）时该点在第三象限
（x,y）为 + ，-（正，负）时该点在第四象限
8.若两条直线y1=k1x+b1//y2=k2x+b2，则k1=k2，b1≠b2
9.如两条直线y1=k1x+b1⊥y2=k2x+b2，则k1×k2=-1
10.
y=k（x-n）+b就是直线向右平移n个单位
y=k（x+n）+b就是直线向左平移n个单位  一次函数的平移
口诀：右减左加（对于y=kx+b来说，只改变n）
y=kx+b+n就是向上平移n个单位
y=kx+b-n就是向下平移n个单位
口诀：上加下减（对于y=kx+b来说，只改变b）
11.直线y=kx+b与x轴的交点：(-b/k，0) 与y轴的交点：(0，b)
生活中的应用：
1.当时间t一定，距离s是速度v的一次函数。s=vt。
2.如果水池抽水速度f一定，水池里水量g是抽水时间t的一次函数。设水池中原有水量S。g=S-ft。
3.当弹簧原长度b（未挂重物时的长度）一定时，弹簧挂重物后的长度y是重物重量x的一次函数，即y=kx+b（k为任意正数）
函数问题：
例1 已知正比例函数 ，则当k——0时，y随x的增大而减小。
解：根据正比例函数的定义和性质，得 k<0。
例2. 已知点P1（x1，y1）、P2（x2，y2）是一次函数y=3x+4的图象上的两个点，且y1>y2，则x1与x2的大小关系是（ ）
A. x1>x2 B. x1<x2 C. x1=x2 D.无法确定
解：根据题意，知k=3>0，且y1>y2。根据一次函数的性质“当k>0时，y随x的增大而增大”，得x1>x2。
故选A。
例3. 一次函数y=kx+b满足kb>0，且y随x的增大而减小，则此函数的图象不经过（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
解：由kb>0，知k、b同号。因为y随x的增大而减小，所以k<0，从而b<0。
故一次函数y=kx+b的图象经过第二、三、四象限，不经过第一象限。故选A .
典型例题：
例1. 一个弹簧，不挂物体时长12cm，挂上物体后会伸长，伸长的长度与所挂物体的质量成正比例。如果挂  各种形式的一次函数上3kg物体后，弹簧总长是13.5cm，求弹簧总长是y(cm)与所挂物体质量x(kg)之间的函数关系式.如果弹簧最大总长为23cm，求自变量x的取值范围.
分析：此题由物理的定性问题转化为数学的定量问题，同时也是实际问题，其核心是弹簧的总长是空载长度与负载后伸长的长度之和，而自变量的取值范围则可由最大总长→最大伸长→最大质量及实际的思路来处理.
解：由题意设所求函数为y=kx+12
则13.5=3k+12
解之，k=0.5
∴y与x的函数关系式为y=0.5x+12
由题意，得：23=0.5x+12x=22
解之，x=22
∴自变量x的取值范围是0≤x≤22
例2 某学校需刻录一些电脑光盘，若到电脑公司刻录，每张需8元，若学校自刻，除租用刻录机120元外，每张还需成本4元，问这些光盘是到电脑公司刻录，还是学校自己刻费用较省？
此题要考虑X的范围
解:设总费用为Y元，刻录X张
则电脑公司：Y1=8X 学校 ：Y2=4X+120
当X=30时，Y1=Y2
当X>30时，Y1>Y2
当X<30时，Y1<Y2
例3.（1）y与x成正比例函数，当 y=5时，x=2.5，求这个正比例函数的解析式.
（2）已知一次函数的图象经过A（－1，2）和B（3，－5）两点，求此一次函数的解析式.
解：（1）设所求正比例函数的解析式为 y=kX
把 y=5，x=2.5代入上式 得 ，5=2.5k
解之，得k=2
∴所求正比例函数的解析式为 y=2X
（2）设所求一次函数的解析式为y=kx+b
∵此图象经过A（－1，2）、B（3，－5）两点，此两点的坐标必满足y=kx+b ，将x=-1 、y=2和x=3、y=-5 分别代入上式，得 2=-k+b,-5=3k+b
解得 k=-7/4,b=1/4
∴此一次函数的解析式为y=-7x/4+1/4
点评：（1） 不能化成带分数.（2）所设定的解析式中有几个待定系数，就需根据已知条件列几个方程.
例4. 拖拉机开始工作时，油箱中有油20升，如果每小时耗油5升，求油箱中的剩余油量Q（升）与工作时间t（时）之间的函数关系式，指出自变量t的取值范围，并且画出图象.
分析：拖拉机一小时耗油5升，t小时耗油5t升，以20升减去5t升就是余下的油量.
解： 函数关系式：Q=20-5t，其中t的取值范围：0≤t≤4。
图象是以（0，20）和（4，0）为端点的一条线段（图象略）。
点评：注意函数自变量的取值范围.该图象要根据自变量的取值范围而定，它是一条线段，而不是一条直线.
例5. 已知一次函数的图象经过点P（－2，0），且与两坐标轴截得的三角形面积为3，求此一次函数的解析式.
分析：从图中可以看出，过点P作一次函数的图象，和y轴的交点可能在y轴正半轴上，也可能在y轴负半轴上，因此应分两种情况进行研究，这就是分类讨论的数学思想方法.
解：设所求一次函数解析式为
∵点P的坐标为（－2，0）
∴|OP|=2
设函数图象与y轴交于点B（0，m）
根据题意，SΔPOB=3
∴|m|=3
∴一次函数的图象与y轴交于B1（0，3）或B2（0，－3）
将P（－2，0）及B1（0，3）；或P（－2，0）及B2（0，－3）的坐标代入y=kx+b中，得
-2k+b=0，b=3； 或-2k+b=0，b=-3。
解得 k=1.5，b=3；或k=-1.5，b=-3。
∴所求一次函数的解析式为 y=1.5x+3或y=-1.5-3。
点评：（1）本题用到分类讨论的数学思想方法.涉及过定点作直线和两条坐标轴相交的问题，一定要考虑到方向，是向哪个方向作.可结合图形直观地进行思考，防止丢掉一条直线.（2）涉及面积问题，选择直角三角形两条直角边乘积的一半，结果一定要得正值.[4]
【考点指要】
一次函数的定义、图象和性质在中考说明中是C级知识点，特别是根据问题中的条件求函数解析式和用待定系数法求函数解析式在中考说明中是D级知识点.它常与反比例函数、二次函数及方程、方程组、不等式综合在一起，以选择题、填空题、解答题等题型出现在中考题中，大约占有8分左右.解决这类问题常用到分类讨论、数形结合、方程和转化等数学思想方法.
例3 如果一次函数y=kx+b中x的取值范围是-2≤x≤6，相应的函数值的范围是-11≤y≤9.求此函数的的解析式。
解：如图示  求此函数解析式．[7]
【考点指要】
此题主要考察了学生对函数性质的理解，若k>0，则y随x的增大而增大；若k<0，则y随x的增大而减小。[4]综合测试一、　选择题：
1. 若正比例函数y=kx的图象经过一、三象限，则k的取值范围是（ ）
A.k≠0 B.k<0 C.k>0 D.k为任意值　
2. 一根蜡烛长20cm，点燃后每小时燃烧5cm，燃烧时剩下的高度y（cm）与燃烧时间x（小时）的函数关系用图象表示为（ ）
3. （北京市）一次函数y=x+3 的图象不经过的象限是（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
二、　填空题：
1. 若一次函数y=kx+b的图象经过（0，1）和（－1，3）两点，则此函数的解析式为_____________.
2. （2006年北京市中考题）若正比例函数y=kx的图象经过点（1，2），则此函数的解析式为_____________.
三、
一次函数的图象与y轴的交点为（0，－3），且与坐标轴围成的三角形的面积为6，求这个一次函数的解析式.
四、（芜湖市课改实验区）
某种内燃动力机车在青藏铁路试验运行前，测得该种机车机械效率η和海拔高度h（ ，单位km）的函数关系式如图所示.
（1）请你根据图象写出机车的机械效率η和海拔高度h（km）的函数关系；
（2）求在海拔3km的高度运行时，该机车的机械效率为多少？
五、（浙江省丽水市）
如图建立羽毛球比赛场景的平面直角坐标系，图中球网高OD为1.55米，双方场地的长OA=OB=6.7（米）.羽毛球运动员在离球网5米的点C处起跳直线扣杀，球从球网上端的点E直线飞过，且DE为0.05米，刚好落在对方场地点B处.
（1）求羽毛球飞行轨迹所在直线的解析式；
（2）在这次直线扣杀中，羽毛球拍击球点离地面的高度FC为多少米？（结果精确到0.1米）[4]
【综合测试答案】
一、选择题：
1. C 2. B 3. D
二、填空题：
1.y=-2x+1 2. y=2x
三、分析：一次函数的解析式y=kx+b有两个待定系数，需要利用两个条件建立两个方程.题目中一个条件比较明显，即图象和y轴的交点的纵坐标是－3，另一个条件比较隐蔽，需从“和坐标轴围成的面积为6”确定.
解：设一次函数的解析式为 y=kx+b，
∵函数图象和y轴的交点的纵坐标是－3，
∴
∴函数的解析式为 .
求这个函数图象与x轴的交点，即解方程组：
得
即交点坐标为（ ，0）
由于一次函数图象与两条坐标轴围成的直角三角形的面积为6，由三角形面积公式，得
∴
∴
∴这个一次函数的解析式为
四、解：（1）由图象可知， 与h的函数关系为一次函数
设
∵此函数图象经过（0，40%），（5，20%）两点
∴ 解得
∴
（2）当h=3km时，
∴当机车运行在海拔高度为3km的时候，该机车的机械效率为28%
五、解：（1）依题意，设直线BF为y=kx+b
∵OD=1.55，DE=0.05
∴
即点E的坐标为（0，1.6）
又∵OA=OB=6.7
∴点B的坐标为（－6.7，0）
由于直线经过点E（0，1.6）和点B（－6.7，0），得
解得 ，即 ：
（2）设点F的坐标为（5，），则当x=5时，
则FC=2.8
∴在这次直线扣杀中，羽毛球拍击球点离地面的高度是2.8米[4]常见题型常见题型一次函数及其图像是初中代数的重要内容，也是高中解析几何的基石，更是中考的重点考查内容。其中求一次函数解析式就是一类常见题型。现以部分中考题为例介绍几种求一次函数解析式的常见题型。希望对大家的学习有所帮助。 　
一. 定义型 　例1. 已知函数 是一次函数，求其解析式。 　解：由一次函数定义知 　，故一次函数的解析式为 　注意：利用定义求一次函数 解析式时，要保证 。如本例中应保证 　
二. 点斜型 　例2. 已知一次函数 的图像过点（2，－1），求这个函数的解析式。 　解： 一次函数 的图像过点（2，－1） 　，即 　故这个一次函数的解析式为 　变式问法：已知一次函数 ，当 时，y=－1，求这个函数的解析式。 　
三. 两点型 　已知某个一次函数的图像与x轴、y轴的交点坐标分别是（－2，0）、（0，4），则这个函数的解析式为_____________。 　解：设一次函数解析式为 　由题意得 　故这个一次函数的解析式为 　
四. 图像型 　例4. 已知某个一次函数的图像如图所示，则该函数的解析式为__________。 　解：设一次函数解析式为 　由图可知一次函数 的图像过点（1，0）、（0，2） 　有 　故这个一次函数的解析式为 　
五. 斜截型 　例5. 已知直线 与直线 平行，且在y轴上的截距为2，则直线的解析式为___________。 　解析：两条直线 ： ； ： 。当 ， 时， 　直线 与直线 平行， 。 　又 直线 在y轴上的截距为2， 　故直线的解析式为 　
六. 平移型 　例6. 把直线 向下平移2个单位得到的图像解析式为___________。 　解析：设函数解析式为 ， 直线 向下平移2个单位得到的直线 与直线 平行 　直线 在y轴上的截距为 ，故图像解析式为 　七. 实际应用型 　例7. 某油箱中存油20升，油从管道中匀速流出，流速为0.2升/分钟，则油箱中剩油量Q（升）与流出时间t（分钟）的函数关系式为___________。 　解：由题意得 ，即 　故所求函数的解析式为 （ ） 　注意：求实际应用型问题的函数关系式要写出自变量的取值范围。 　
八. 面积型 　例8. 已知直线 与两坐标轴所围成的三角形面积等于4，则直线解析式为__________。 　解：易求得直线与x轴交点为（ ，0），所以 ，所以 ，即 　故直线解析式为 或 　
九. 对称型 　若直线 与直线 关于 　（1）x轴对称，则直线l的解析式为 　（2）y轴对称，则直线l的解析式为 　（3）直线y=x对称，则直线l的解析式为 　（4）直线 对称，则直线l的解析式为 　（5）原点对称，则直线l的解析式为 　例9. 若直线l与直线 关于y轴对称，则直线l的解析式为____________。 　解：由（2）得直线l的解析式为 　
十. 开放型 　例10. 已知函数的图像过点A（1，4），B（2，2）两点，请写出满足上述条件的两个不同的函数解析式，并简要说明解答过程。 　解：（1）若经过A、B两点的函数图像是直线，由两点式易得 　（2）由于A、B两点的横、纵坐标的积都等于4，所以经过A、B两点的函数图像还可以是双曲线，解析式为 　（3）其它（略） 　
十一. 几何型 　例11. 如图，在平面直角坐标系中，A、B是x轴上的两点， ， ，以AO、BO为直径的半圆分别交AC、BC于E、F两点，若C点的坐标为（0，3）。（1）求图像过A、B、C三点的二次函数的解析式，并求其对称轴；（2）求图像过点E、F的一次函数的解析式。 　解：（1）由直角三角形的知识易得点A（ ，0）、B（ ，0），由待定系数法可求得二次函数解析式为 ，对称轴是 　（2）连结OE、OF，则 、 。过E、F分别作x、y轴的垂线，垂足为M、N、P、G，易求得E（ ， ）、F（ ， ）由待定系数法可求得一次函数解析式为 　
十二. 方程型 　例12. 若方程 的两根分别为 ，求经过点P（ ， ）和Q（ ， ）的一次函数图像的解析式 　解：由根与系数的关系得 ， 　， 　点P（11，3）、Q（－11，11） 　设过点P、Q的一次函数的解析式为 　则有 　解得 　故这个一次函数的解析式为 　
十三. 综合型 　例13. 已知抛物线 的顶点D在双曲线 上，直线 经过点D和点C（a、b）且使y随x的增大而减小，a、b满足方程组 ，求这条直线的解析式。 　解：由抛物线 的顶点D（ ）在双曲线上，可求得抛物线的解析式为： 　，顶点D1（1，－5）及 　顶点D2（ ，－15） 　解方程组得 ， 　即C1（－1，－4），C2（2，－1） 　由题意知C点就是C1（－1，－4），所以过C1、D1的直线是 ；过C1、D2的直线是数学术语.　
经典例题
1在直角坐标系xOY中，直线L过(1,3)和(3,1)两点，且X轴与Y轴分别交于A、B
(1) 求直线L的函数解析式;
(2) 求△AOB的面积.
1、
y=kx+b
则3=k+b
1=3k+b
所以k=-1,b=4
y=-x+4
2、
y=0,x=4
x=0,y=4
所以面积=4×4÷2=8
2 、为了扩大内需，让惠于农民，丰富农民的业余生活，鼓励送彩电下乡，国家决定对购买彩电的农户实行政府补贴．规定每购买一台彩电，政府补贴若干元，经调查某商场销售彩电台数y（台）与补贴款额x（元）之间大致满足如图①所示的一次函数关系．随着补贴款额x的不断增大，销售量也不断增加，但每台彩电的收益Z（元）会相应降低且Z与x之间也大致满足如图示所示的一次函数关系。  相关图片[8]
（1）在政府未出台补贴措施前，该商场销售彩电的总收益额为多少元？　　
（2）在政府补贴政策实施后，分别求出该商场销售彩电台数y和每台家电的收益z与政府补贴款额x之间的函数关系式；
（3）要使该商场销售彩电的总收益w（元）最大，政府应将每台补贴款额x定为多少并求出总收益w的最大值．[8]
解：
(1)该商场销售家电的总收益为80000=160000(元)
(2)依题意可设y=k1x+800,Z=k2x+200
∴有400k1+800=1200,200k2+200=160,
解得k1=1,k2=负五分之一
所以k1=1,k2=负五分之一
∴y=x+800,z=-x+200.
(3)W=yz=(x+800)·(-x+200)
=-五分之一(x-100)2+162000
答 ： 政府应将每台补贴款额x定为100元,总收益有最大值.
其最大值为162000元.
定义与定义式：
自变量x和因变量y有如下关系：
y=kx+b
则此时称y是x的一次函数。
特别地，当b=0时，y是x的正比例函数。
即：y=kx（k为常数，k≠0）
一次函数的性质：
1.y的变化值与对应的x的变化值成正比例，比值为k
即：y=kx+b（k为任意不为零的实数b取任何实数）
2.当x=0时，b为函数在y轴上的截距。
一次函数在生活中的应用：
1.当时间t一定，距离s是速度v的一次函数。s=vt。
2.当水池抽水速度f一定，水池中水量g是抽水时间t的一次函数。设水池中原有水量S。g=S-ft。
常用公式：
1.求函数图像的k值：（y1-y2)/(x1-x2)
2.求与x轴平行线段的中点：|x1-x2|/2[9]
3.求与y轴平行线段的中点：|y1-y2|/2
4.求任意线段的长：√(x1-x2)^2+(y1-y2)^2（注：根号下（x1-x2)与（y1-y2)的平方和）为什么叫“函数”中文数学书上使用的“函数”一词是转译词.是我国清代数学家李善兰在翻译《代数学》（1895年）一书时，把“function”译成“函数”的.　　中国古代“函”字与“含”字通用，都有着“包含”的意思.李善兰给出的定义是：“凡式中含天，为天之函数.”中国古代用天、地、人、物4个字来表示4个不同的未知数或变量.这个定义的含义是：“凡是公式中含有变量x，则该式子叫做x的函数.”所以“函数”是指公式里含有变量的意思.现在我们所说的方程的确切定义是指含有未知数的等式。但是方程一词在我国早期的数学专著《九章算术》中,意思指的是包含多个未知量的联立一次方程，即现在所说的线性方程组。