标题：费马数
定义
把(2^(2^n)+1)记为Fn（n为下标），Fn即为费马数。[1]
费马猜想
法国数学家费马于1640年提出了以下猜想：
揭示了十进制和二进制的关系
可以发现
F0=2^（2^0)+1=3
F1=2^（2^1）+1=5
F2=2^（2^2）+1=17
F3=2^（2^3）+1=257
F4=2^（2^4）+1=65537
前4个是质数，因为第5个数实在太大了，费马认为这个数  费马数是质数。
由此提出（费马没给出证明），形如Fn=2^（2^n)+1 的数都是质数的猜想。后来人们就把形如2^（2^n)+1的数叫费马数。
猜想结论
1732年，欧拉算出F5=641×6700417，也就是说F5不是质数，宣布了费马的这个猜想不成立，它不能作为一个求质数的公式。以后，人们又陆续找到了不少反例，如n=6 时，F6=2^（2^6）+1=274177×67280421310721不是质数。至今这样的反例共找到了243个，却还没有找到第6个正面的例子，也就是说目前只有n=0，1，2，3，4这5个情况下，Fn才是质数。甚至有人猜想：费马数n>4时，费马数全是合数！
接下来的几个费马数的分解情况是：
F6 = 274177 × 67280421310721
F7 = 59649589127497217 × 5704689200685129054721
F8 = 1238926361552897 ×934616397153 57977769163558199606896584051237541638188580280321
F9 = 2424833 × 7455602825647884208337395736200454918783366342657 × 74164006262753080152 47871419019374740599407810975190239058213 161444157 59504705008092818711693940737
F10 = 45592577 × 6487031809 × 4659775785220018543264560743076778192897 × P252
F11 = 319489 × 974849 × 167988556341760475137 × 3560841906445833920513 × P564
F12 = 114689 × 26017793 × 63766529 × 190274191361 × 12561 32134125569 ×
568630647535356955169033410940867804839360742060818433 × C1133
F13 = 2710954639361 × 2663848877152141313 × 3603109844542291969 ×
319546020820551643220672513 × C2391
早已经有人证明，费马数的因数必然是2^(n+2）*k+1 形，注：（n+2）是右上标。例如n=5时，4294967297=（128×5+1）×（128×52347+1），其中128就是2的7次方。
费马数的性质
任意两个费马数都互质。
证明如下：设m>n,(Fm,Fn)=((2^(2^m)-1=2),(2^(2^n)+1))，而(2^(2^m)-1=((2^(2^(m-1))-1)((2^(2^(m-1))+1)=((2^(2^(m-2))-1)((2^(2^(m-2))+1)((2^(2^(m-1))+1)=((2^(2^(m-3))-1)((2^(2^(m-3))+1)((2^(2^(m-2))+1)((2^(2^(m-1))+1)=……=(2^(2^n)+1)(……)，所以(2^(2^n)+1)整除((2^(2^m)-1)。根据辗转相除的原理，(Fm,Fn)=(2,(2^(2^n)+1))=1，所以任意两个费马数都互质。
素数的普遍公式
实际上几千年来，数学家们一直在寻找这样的一个公式，一个能求出所有质数的公式；但直到现在，谁也未能找到这样一个公式，而且谁也未能找到证据，说这样的公式就一定不存在；这样的公式存不存在，也就成了一个著名的数学难题。参见百度百科“素数普遍公式”和“孪生素数普遍公式”。那里有可以构造一切素数的普遍公式。
虽然费马数作为一个关于质数公式的尝试失败了，但有意思的是，1801年数学家高斯证明：如果费马数k为质数，那么就可以用直尺和圆规将圆周k等分.高斯本人就根据这个定理作出了正十七边形.
具体形式
费马数是以数学家费马命名一组自然数，具有形式：
F_{n} = 2^{2^n} + 1
其中 n 为非负整数。
若 2^n + 1 是素数，可以得到 n 必须是2的幂。（若 n = ab，其中 1 < a,b < n 且 b 为奇数，则 2^n + 1 ≡ （2^a）^b + 1 ≡ （-1）^b + 1 ≡ 0 （mod 2^a + 1）。）也就是说，所有具有形式 2^n + 1 的素数必然是费马数，这些素数称为费马素数。已知的费马素数只有 F0 至 F4 五个。
费马数猜想：大师的失误
1640年，在数论领域留下不可磨灭足迹的费马思考了一个问题：式子2^（2^n)+1 的值是否一定为素数。当 n取0、1、2、3、4时，这个式子对应值分别为3、5、17、257、65537，费马发现这五个数都是素数。由此，费马提出一个猜想：形如2^（2^n)+1 的数一定为素数。在给朋友的一封信中，费马写道：“我已经发现形如2^（2^n)+1的数永远为素数。很久以前我就向分析学家们指出了这个结论是正确的。”费马同时坦白承认，他自己未能找到一个完全的证明。　
费马所研究的2^（2^n)+1这种具有美妙形式的数，后人称之为费马数，并用Fn 表示。费马当时的猜想相当于说：所有费马数都一定是素数。费马是正确的吗？　
进一步验证费马的猜想并不容易。因为随着n的增大， Fn 迅速增大。比如对后人来说第一个需要检验的F5　=4294967297已经是一个十位数了。非常可能的是，由于这一数太大，所以费马在得出自己的猜想时并没有对它进行验证。那么，它到底是否如同费马所相信的那样是一个素数呢？　
1729年12月1日，哥德巴赫（哥德巴赫猜想的提出者）在写给欧拉的一封信中问道：“费马认为所有形如 2^（2^n)+1 的数都是素数，你知道这个问题吗？他说他没能作出证明。据我所知，也没有其他任何人对这个问题作出过证明。”　
这个问题吸引了欧拉。1732年，年仅25岁的欧拉在费马死后67年得出F5 =641×6700417，其中641=5×2^7+1 这一结果意味着F5 是一个合数，因此费马的猜想是错的。　
在对费马数的研究上，费马这位伟大的数论天才过分看重自己的直觉，轻率地做出了他一生唯一一次错误猜测。更为不幸的是，研究的进展表明费马不但是错的，而且非常可能是大错特错了。　
此后人们对更多的费马数进行了研究。随着电子计算机的发展，计算机成为数学家研究费马数的有力工具。但即使如此，在所知的费马数中竟然没有再添加一个费马素数。迄今为止，费马素数除了被费马本人所证实的那五个外竟然没有再发现一个！因此人们开始猜想：在所有的费马数中，除了前五个是素数外，其他的都是合数。如果这一结论被证实，那么对于费马的草率猜想来说，恐怕不会。
费马合数都是可以用佩尔方程表示，费马素数不能用佩尔方程表示，参见百度文库《费马合数与佩尔方程》。
变形费马
变形费马数是改变了数值，采用同样性质的费马数，例如：3^2^n+2。
n=0时，3^2^0+2=5，素数；
n=1时，3^2^1+2=11，素数；
n=2时，3^2^2+2=83，素数；
n=3时，3^2^3+2=6563，素数；
n=4时，3^2^4+2=43046723=19×2265617合数。
是否有无穷多个变形费马素数？是否有无穷多个变形费马合数？还是一个未知问题。