标题：蒙特卡洛方法
梗概
蒙特卡洛方法（Monte Carlo method），也称统计模拟方法，是二十世纪四十年代中期由于科学技术的发展和电子计算机的发明，而被提出的一种以概率统计理论为指导的一类非常重要的数值计算方法。是指使用随机数（或更常见的伪随机数）来解决很多计算问题的方法。蒙特卡罗模拟是一种计算机化的数学方法，允许人们评估定量分析和决策制定过程中的风险。[1] 
20世纪40年代，在John von Neumann，Stanislaw Ulam和Nicholas Metropolis在洛斯阿拉莫斯国家实验室为核武器计划工作时，发明了蒙特卡洛方法。 此方法首先被科学家用于研究原子弹；它以因赌场而闻名遐迩的摩纳哥旅游城市蒙特卡罗命名。自从在二战中推出以来，蒙特卡罗模拟一直用于为不同的物理和概念系统建立模型。[1]
蒙特卡罗模拟向决策者提供了采取任何措施可能产生的一系列可能结果和概率。它说明了最大可能性，即全力以赴和最保守决策的结果，以及折衷决策的所有可能后果。[1] 
与它对应的是确定性算法。
蒙特卡洛方法在金融工程学，宏观经济学，生物医学，计算物理学（如粒子输运计算、量子热力学计算、空气动力学计算）等领域应用广泛。[1]
  蒙特卡洛方法
基本思想
当所求解问题是某种随机事件出现的概率，或者是某个随机变量的期望值，或者是某个随机变量的函数的期望值时，通过某种“实验”的方法，以这种事件出现的频率估计这一随机事件的概率，或者得到这个随机变量的某些数字特征，并将其作为问题的解。 有一个例子可以使你比较直观地了解蒙特卡洛方法：假设我们要计算一个不规则图形的面积，那么图形的不规则程度和分析性计算（比如，积分）的复杂程度是成正比的。蒙特卡洛方法是怎么计算的呢？假想你有一袋豆子，把豆子均匀地朝这个图形上撒，然后数这个图形之中有多少颗豆子，这个豆子的数目就是图形的面积。当你的豆子越小，撒的越多的时候，结果就越精确。在这里我们要假定豆子都在一个平面上，相互之间没有重叠。
工作原理
蒙特卡罗模拟通过替换值范围（概率分布）为具有内在不确定性的任何因素构建可能结果的模型，从而执行风险分析。然后重复计算结果，每次使用分布函数中的一组不同随机值。根据为随机值指定的不确定因素的数量和范围，蒙特卡罗模拟在完成之前可以进行成千上万次重新计算。蒙特卡罗模拟生成可能结果值的分布。 
通过使用概率分布，变量可以具有所生成的不同结果的不同概率。概率分布是描述风险分析的变量中的不确定因素的一种更切合实际的方法。常用概率分布包括： 
正态分布 — 或“钟形曲线”。用户只需定义平均值或预期值和标准差来描述平均值的变化。接近平均值的中间值最可能发生。此分布是对称的，并且描述许多自然现象，如人的身高。由正态分布描述的变量示例包括通货膨胀率和能源价格。
对数正态分布 — 值为正偏态分布，而非正态分布的对称分布。其用于表示不低于零但具有无限正可能性的值。对数正态分布描述的变量示例包括房地产价值、股票价格和石油储量。 
均匀分布 — 所有值均具有相同的发生机会，而用户只需定义最小值和最大值。可以进行均匀分布的变量示例包括制造成本或新产品的未来销售收入。
三角分布 — 用户定义最小值、最可能值和最大值。最可能值周围的值最可能发生。可以通过三角分布进行描述的变量包括单位时间内的过去销售历史记录和库存水平。
PERT 分布 — 用户定义最小值、最可能值和最大值，与三角分布一样。最可能值周围的值最可能发生。但是，与三角分布相比，最可能值和极值之间的值更有可能发生；也就是说，不再强调极值。使用 PERT 分布的示例是在项目管理模型中描述任务的持续时间。
离散分布 — 用户定义可能发生的特定值和每个值发生的可能性。示例可以是诉讼结果：20% 的概率为正面裁决、30% 的概率为负面裁决、40% 的概率为和解，而 10% 的概率为无效审判。
在蒙特卡罗模拟过程中，从输入项概率分布中对值进行随机抽样。每组样本称为一次迭代，并记录样本所生成的结果。蒙特卡罗模拟进行数百次或数千次此类操作，并且结果是可能结果的概率分布。通过这种方式，蒙特卡罗模拟为可能发生的情况提供更为全面的意见。它不仅告知您可能发生的情况，并且告知结果的发生概率。[1]
工作过程
在解决实际问题的时候应用蒙特卡洛方法主要有两部分工作：
用蒙特卡洛方法模拟某一过程时，需要产生各种概率分布的随机变量。用统计方法把模型的数字特征估计出来，从而得到实际问题的数值解。
优势
与确定性分析或“单点估计”分析相比，蒙特卡罗模拟提供许多优势：
概率结果。结果不仅显示可能发生的情况，并且显示每个结果的发生概率。
图形结果。 使用由蒙特卡罗模拟生成的数据，用户可以方便创建不同结果及其发生概率的图形。对于向其他利益相关方传达结果而言，这一点很重要。
灵敏度分析。 仅在少数案例中，确定性分析难于查看哪些变量对结果的影响最大。在蒙特卡罗模拟中，用户可以方便查看哪些输入项对最终结果的影响最大。
方案分析： 在确定性模型中，很难为不同输入项的不同的值组合建立模型，以查看真正不同的方案的影响。使用蒙特卡罗模拟，分析人员可以在某些结果发生时，准确查看哪些输入项将哪些值组合在一起。要完成进一步分析，这一点非常重要。
输入项相关性。 在蒙特卡罗模拟中，可以为输入变量之间的相互依赖关系建立模型。事实上，当一些因素上升，而其他因素也相应上升或下降时，准确表示其变化方式很重要。
蒙特卡罗模拟的增强功能是使用拉丁超立方体法抽样，此功能从分布函数的整个范围内进行更准确的抽样。[1]
分子领域
使用蒙特卡洛方法进行分子模拟计算是按照以下步骤进行的：
使用随机数发生器产生一个随机的分子构型。对此分子构型的其中粒子坐标做无规则的改变，产生一个新的分子构型。计算新的分子构型的能量。比较新的分子构型于改变前的分子构型的能量变化，判断是否接受该构型。若新的分子构型能量低于原分子构型的能量，则接受新的构型，使用这个构型重复再做下一次迭代。若新的分子构型能量高于原分子构型的能量，则计算玻尔兹曼因子，并产生一个随机数。若这个随机数大于所计算出的玻尔兹曼因子，则放弃这个构型，重新计算。若这个随机数小于所计算出的玻尔兹曼因子，则接受这个构型，使用这个构型重复再做下一次迭代。如此进行迭代计算，直至最后搜索出低于所给能量条件的分子构型结束。
数学领域
通常蒙特卡洛方法通过构造符合一定规则的随机数来解决数学上的各种问题。对于那些由于计算过于复杂而难以得到解析解或者根本没有解析解的问题，蒙特卡洛方法是一种有效的求出数值解的方法。一般蒙特卡洛方法在数学中最常见的应用就是蒙特卡洛积分。积分非权重蒙特卡洛积分，也称确定性抽样，是对被积函数变量区间进行随机均匀抽样，然后对被抽样点的函数值求平均，从而可以得到函数积分的近似值。此种方法的正确性是基于概率论的中心极限定理。当抽样点数为m时，使用此种方法所得近似解的统计误差恒为，  公式不随积分维数的改变而改变。因此当积分维度较高时，蒙特卡洛方法相对于其他数值解法更优。圆周率蒙特卡洛方法可用于近似计算圆周率：让计算机每次随机生成两个0到1之间的数，看以这两个实数为横纵坐标的点是否在单位圆内。生成一系列随机点，统计单位圆内的点数与总点数，（圆面积和正方形面积之比为PI:4，PI为圆周率），当随机点取得越多（但即使取10的9次方个随机点时，其结果也仅在前4位与圆周率吻合）时，其结果越接近于圆周率。实际上，计算机产生的随机数只能精确到某位数，并不能产生任意实数（例如无理数等等）；上述做法将平面分割成一个个网格，由此计算出来的面积当然与圆或多或少有差距。
圆周率计算的matlab程序如下：
%蒙特卡洛方法估计圆周率pai的大小
base=10000000;%选择的点的个数
a=unifrnd(-1,1,base,2);%产生1000行2列的[-1,1]区间内的随机二维矩阵
count=0;
for i=1:base
if(a(i,1)^2+a(i,2)^2<=1)
count=count+1;
end
end
format long
pai_count=4*count/base应用题蒙特卡洛方法适用范围很广泛，它既能求解确定性的问题，也能求解随机性的问题以及 科学研究中的理论问题．例如利用蒙特卡洛方法可以近似地计算定积分，即产生数值积分问 题． 
任意曲边梯形面积的近似计算 一个古老的问题：用一堆石头测量一个水塘的面积．应该怎样做呢？测量方法如下：假定水塘位于一块面积已知的矩形农田之中．如图 8．2 所示．随机地向这块农田扔石头使得 它们都落在农田内．被扔到农田中的石头可能溅上了水，也可能没有溅上水，估计被“溅上水的”石头量占总的石头量的百分比．试想如何利用这估计的百分比去近似计算该水塘面积？  图8.2
电脑领域
在用传统方法难以解决的问题中，有很大一部分可以用概率模型进行描述．由于这类模型含有不确定的随机因素，分析起来通常比确定性的模型困难．有的模型难以作定量分析，得不到解析的结果，或者是虽有解析结果，但计算代价太大以至不能使用．在这种情况下，可以考虑采用 Monte Carlo 方法。下面通过例子简单介绍 Monte Carlo 方法的基本思想． 
Monte Carlo方法是计算机模拟的基础，它的名字来源于世界著名的赌城——摩纳哥的蒙特卡洛， 其历史起源于 1777 年法国科学家蒲丰提出的一种计算圆周π 的方法——随机投针法，即著名的蒲丰投针问题。 
Monte Carlo方法的基本思想是首先建立一个概率模型，使所求问题的解正好是该模型的参数或其他有关的特征量． 然后通过模拟一统计试验， 即多次随机抽样试验 （确定 m和 n） ，统计出某事件发生的百分比．只要试验次数很大，该百分比便近似于事件发生的概率．这实际上就是概率的统计定义．利用建立的概率模型，求出要估计的参数．蒙特卡洛方法属于试验数学的一个分支． 
MATLAB语言编程实现 
l=1; 
n=1000; 
d=2； 
m=0； 
for k=l：n 
x=unifrnd（0，d/2） ； 
p=unifrnd（0，pi） ； 
if 
) sin( 1 5 . 0 y x × × < 
m=m+1 
else
end 
end 
p=m/n 
pi_m=1/p 
运行，即得结果．