标题：无限小数
定义
小数的一种，内部包含循环小数（有循环节，如：0.123123……，123就是循环节，循环符号用点表示,如果循环节只有一个数字，就在这个数字上点一个点，如果有多个，就在循环节的首尾数字上各点一个点.）和不循环小数.
无限小数出现的必然性
我们学过，实数是由有理数和无理数组成的，整数和分数统称有理数，它们是有限小数和无限循环小数，而把无限不循环小数叫做无理数。这是初中课本上的定义。从这个定义中我们可以看出，任何一个实数，都可以用十进制小数（不管是有限的还是无限的）表示出来。
后来，我们又知道，实数和数轴上的点是一一对应的。也就是说，我们的实数是可以表现任意一条线段的长度的，并且同一条线段只有一个长度。
但是，课本上的这几句话，仍然让我们感到糊涂，有理数（即有限小数和无限循环小数）到底和无理数有什么不同？为什么把它们区分开？还有，无限小数到底是什么意思？数轴上的点为什么就可以和十进制小数对应呢？怎么对应的呢？我们慢慢来看。数轴对应实数我们的实数必须要满足我们表示长度的需要。因此，数轴上的每一个点都应该对应于唯一的一个实数。  无限小数把直线用通常的方法标出0，1，2……这些整数点来，这就是我们的数轴了。这样，如果哪一个点正好落在某个整数点上，我们就可以用这个整数表示这个点。但是，其它的点如何表示呢？比如，0和1之间的中点。我们发现，把0与1之间的线段（以下简称01线段）分成10份，这个点恰好就会落到第五个分点上。那么，我们就把它记为0.5好了。01线段的四等分点呢？我们还把01线段10等分，但是却发现这个点仍然不会落在这些10等分点上，它落在第二分点（暂时记为 A）和第三分点（暂时记为 B）之间。现在，我们把刚才分好的每个线段再分成10份，这相当于把01线段100等分了。我们发现，我们要找的点正好落在了线段AB上的第5个分点上，即01线段第25个一百等分点上。那么，我们把它记为0.25。十进制小数表示直线上的点现在我们考虑，有没有那样的点，不论我们把01线段怎么10等分，100等分，1000等分，100000000等分，…，它就是不落在任何一个分点上？有的。比如，01线段的3等分点。我们把01线段十等分，它落在了第三、四两个分点之间，再把这个小线段10等分，它仍然在第三、四两个分点之间，…，每次十等分，它都在第三、四分点之间。那么我们只好用一个无限小数来表示这个点了：0.333…。（其中的3是指过了第三个分点但没到第四个分点。注意：这个无限小数表示的是三等分点，而不是我们得到的那些十、百、千等分点。所以0.333…精确地等于1/3.要不然1/3将无法用十进制小数表示。）这就是十进制小数表示直线上的点的原理。
无限不循环小数出现的必然性
分数都是有限或无限循环小数。那么现在我们要问的是，无限不循环小数是些什么样的数呢？为什么把它们叫做无理数？等分点还是考虑数轴。我们现在发现，刚才讨论的1/3点，虽然我怎样用十等分的办法，它都不会落在分点上。但是，如果我把01线段3等分，分一次它就落在分点上了。（因此，1/3虽然用十进制不能表示成有限小数，但用3进制就可以是有限的了：三进制的0.1恰好就是1/3。）同样，1/p点，如果把01线段分成p等分，它就落在第一个分点上，它用p进制就可以表示成0.1。不等分点那么现在考虑，是否有那样的点，不论我们把01线段几等分，它都不会落在分点上？也就是说，是否在数轴上有那么一些点，我们不可以把它写成q/p这样的分数？我们想到圆周率，它是无限不循环的，肯定不能表示成分数。但是，要想证明它是无限不循环小数，还需要很多知识。现在举一个初中生熟悉的例子：2的算术平方根（即根号2，边长为1的正方形 对角线的长）它就不能被写成分数。为什么呢？因为如果它能写成p/q，p、q互质，那么因为2的平方根不是整数，所以q不为1。而且p^2/q^2（^2表示平方）就应该是整数2。但是，原来互质的两个数，平方之后仍然互质，q^2不可能被约分成1，因此p^2/q^2也不可能等于2。
有限或无限循环小数都要么是整数要么是分数，那么像2的平方根这样的数，就只能是无限不循环的了。把它称作无理数，是因为不能表示成分数。
分数能化成有限小数或无限循环小数的必然性
无限循环小数化成分数的方法很多人都理解了，但是要问起为什么分数一定可以化成无限循环小数，就不是所有人都知道了。
其实也不难。这只要想想我们通常是怎么把一个分数q/p化成了小数的。我们通常用分子除以分母，除不尽时把余数添零，即把余数扩大十倍然后继续除。而在做除法时我们有一个原则，那就是每一步的余数必须要比除数小。那么，如果一个除法永远也除不尽的时候，就会无限次出现余数。在任意连续的p+1个余数中，必然有两个余数是相等的。（因为这p+1个正整数都比p小），相等的余数会导致相等的商，这样余数和商就周期性重复出现了。
因此，分数就是有限或无限循环小数，有限或无限循环小数也是分数。
无限小数的意义
刚才我们说的都是数轴上的点如何用小数来表示。我们也得到了结论：数轴上任何点都能找到对应的小  无限小数分类数表示。现在，我们要问，随便拿一个无限小数，我们怎样在数轴上找到和它对应的点？一个无限小数对应一个确定的点按第一部分的分析，我们举一个无理数的例子：比如说，3.1415926……(圆周率)，它表示数轴上哪个点呢？
它应该表示这样一个“确定的点”（确定的点，这很重要）：它在整数3与4之间（即大于等于3小于等于4）；如果把34线段十等分，它应该在第一、二分点之间（大于等于3.1小于等于3.2）,如果把3.1 3.2之间线段十等分，它在第四和第五分点之间，等等…
现在我们担心，在数轴上可不可能有两个点同时可以用同一个无限小数表示？不能。因为如果有两个点A和B同时能用圆周率的小数表示，那么，线段AB的长度是多少呢？A、B是不同的点，因此AB长度不能是0。在几何中，有一条公理叫“阿基米德公理”，说任意两条线段a，b，不论a有多短，b有多长，把a延长若干倍之后，长度一定会超过b。比如，1米长的线段和一千米长的线段，把1米长的线段延长10000倍就比一千米长的线段长了。现在，我们看AB这条线段，我把34线段十等分，它们俩同在一二分点之间，应有 AB<=1/10，因此10AB<=1；把3.1 3.2之间线段十等分，它们也同在第四和第五分点之间，因此应该有AB<=1/100,因此100AB<=1；……也就是说，不论我们把AB延长多少倍，长度都不会比1大。这和阿基米德公理是矛盾的。那么只能说明AB=0，A与B是同一个点。
那么，是不是随便拿来一个无限小数都能在数轴上找到和它对应的点呢？答案也是肯定的，这一部分也涉及很多知识，不在这里讨论。以后我可能还会写一篇《给中学生和大学生们讲实数的定义》。数轴上的点和无限小数一一对应啰嗦这么半天，终于来到某些人关心的问题了：0.9(9循环)这个数是否等于1？按这个无限小数的意义，我们要找一个点，如果把01线段10等分，它在第九分点和1之间，如果再把这一小段再10等分，它仍在第九分点和1之间……
哪一点满足这个条件呢？显然1就满足这个条件。除此之外还有其它满足条件的点吗？刚才说了，这样的点只有一个。因此0.9(9循环)在数轴上对应的点就是1。
因此，虽然是同一个点，但把它表示成十进制小数时，表示方法却不唯一。在讨论十进制小数时，我们通常把都是9的循环节去掉，只用进一位的有限小数。所以0.9(9循环)这样的十进制小数是没有存在的必要的，它和1表示的是同一个实数。
去掉不必要的小数，我们就可以说，数轴上的点和无限小数一一对应。
有关无限小数与阿基米德公理的问题
可能有人还是不承认，他们可能会说，为什么“阿基米德公理（附联接：阿基米德）”是正确的？0.0…1无限个0后面有一个1，把它放大多少倍都不会大于1。
如果你这么反驳我，我也没办法说服你。但可以肯定地告诉你，你所讨论的问题已经不是欧氏几何和实数了。在数学上确实有不等于零的无穷小常量（即它是个正的“常数”，而且比任何正实数都小，却不等于0），那就是非标准分析里的无穷小。但这个无穷小不是我们讨论的实数。
因此，只有满足一些公理的对象，我们才把它们称作实数，才把它们称作欧氏几何。阿基米德公理在我们的讨论范围内是正确的，只因为它是公理。
循环小数
表示方法从小数点后某一位开始不断地出重复现前一个或一节数码的十进制无限小数。如2.1666…，35.232323…等，被重复的一个或一节数码称为循环节。循环小数的缩写法是将第一个循环节以后的数码全部略去，而在保留的循环节首末两位上方各添一个小点。例如：　.
2.166…6…缩写为2.16（读作“二点一六，六循环”）　. . 
0.34103103…103…缩写为0.34103（读作“零点三四一零三，一零三循环”） 
循环小数可以利用等比数列求和（附链接：等比数列）法化为分数。
所以在数的分类中，循环小数属于有理数。0.9循环是否等于1的问题循环小数的问题中，最著名的是0.9循环是否等于1的问题。
代数方法为： 设0.9循环=X，
则0.9循环*10=9.9循环
9.9循环-0.9循环=9
10X-X=9
9X=9
X=1
即0.9循环=1
无理数
有些小数虽然也是无限的但不循环.如π值、√2、2.12459537621……这样的小数就被称为无理数。