标题：层次分析
简介
Analytic Hierarchy Process，简称AHP。它是一种定性与定量相结合确定因子权重的科学方法。
（AHP）是将决策总是有关的元素分解成目标、准则、方案等层次，在此基础之上进行定性和定量分析的决策方法。该方法是美国运筹学家匹茨堡大学教授萨蒂于本世纪70年代初，在为美国国防部研究"根据各个工业部门对国家福利的贡献大小而进行电力分配"课题时，应用网络系统理论和多目标综合评价方法，提出的一种层次权重决策分析方法。这种方法的特点是在对复杂的决策问题的本质、影响因素及其内在关系等进行深入分析的基础上，利用较少的定量信息使决策的思维过程数学化，从而为多目标、多准则或无结构特性的复杂决策问题提供简便的决策方法。尤其适合于对决策结果难于直接准确计量的场合。
层次分析法的基本思路与人对一个复杂的决策问题的思维、判断过程大体上是一样的。不妨用假期旅游为例：假如有3个旅游胜地A、B、C供你选择，你会根据诸如景色、费用和居住、饮食、旅途条件等一些准则去反复比较这3个候选地点．首先，你会确定这些准则在你的心目中各占多大比重，如果你经济宽绰、醉心旅游，自然分别看重景色条件，而平素俭朴或手头拮据的人则会优先考虑费用，中老年旅游者还会对居住、饮食等条件寄以较大关注。其次，你会就每一个准则将3个地点进行对比，譬如A景色最好，B次之；B费用最低，C次之；C居住等条件较好等等。最后，你要将这两个层次的比较判断进行综合，在A、 B、C中确定哪个作为最佳地点。
步骤
1、建立层次结构模型。在深入分析实际问题的基础上，将有关的各个因素按照不同属性自上而下地分解成若干层次，同一层的诸因素从属于上一层的因素或对上层因素有影响，同时又支配下一层的因素或受到下层因素的作用。最上层为目标层，通常只有1个因素，最下层通常为方案或对象层，中间可以有一个或几个层次，通常为准则或指标层。当准则过多时（譬如多于9个）应进一步分解出子准则层。
2、构造成对比较阵。从层次结构模型的第2层开始，对于从属于（或影响）上一层每个因素的同一层诸因素，用成对比较法和1—9比较尺度构追成对比较阵，直到最下层。
3、计算权向量并做一致性检验。对于每一个成对比较阵计算最大特征根及对应特征向量，利用一致性指标、随机一致性指标和一致性比率做一致性检验。若检验通过，特征向量（归一化后）即为权向量：若不通过，需重新构追成对比较阵。
4、计算组合权向量并做组合一致性检验。计算最下层对目标的组合权向量，并根据公式做组合一致性检验，若检验通过，则可按照组合权向量表示的结果进行决策，否则需要重新考虑模型或重新构造那些一致性比率较大的成对比较阵。
优点
运用层次分析法有很多优点，其中最重要的一点就是简单明了。层次分析法不仅适用于存在不确定性和主观信息的情况，还允许以合乎逻辑的方式运用经验、洞察力和直觉。也许层次分析法最大的优点是提出了层次本身，它使得买方能够认真地考虑和衡量指标的相对重要性。
模型
将问题包含的因素分层：最高层（解决问题的目的）；中间层（实现总目标而采取的各种措施、必须考虑的准则等。也可称策略层、约束层、准则层等）；最低层（用于解决问题的各种措施、方案等）。把各种所要考虑的因素放在适当的层次内。用层次结构图清晰地表达这些因素的关系。
〔例1〕 购物模型某一个顾客选购电视机时，对市场正在出售的四种电视机考虑了八项准则作为评估依据，建立层次分析模型如下：
〔例2〕 选拔干部模型对三个干部候选人y1、y2 、y3，按选拔干部的五个标准：品德、才能、资历、年龄和群众关系，构成如下层次分析模型：假设有三个干部候选人y1、y2 、y3，按选拔干部的五个标准：品德，才能，资历，年龄和群众关系，构成如下层次分析模型。
对比较矩阵
比较第 i 个元素与第 j 个元素相对上一层某个因素的重要性时，使用数量化的相对权重aij来描述。设共有 n 个元素参与比较，则A=(a_{ij})_{n\times n}称为成对比较矩阵。成对比较矩阵中aij的取值可参考 Satty 的提议，按下述标度进行赋值。aij在 1-9 及其倒数中间取值。
aij = 1元素 i 与元素 j 对上一层次因素的重要性相同； 
aij = 3元素 i 比元素 j 略重要； 
aij = 5元素 i 比元素 j 重要； 
aij = 7 元素 i 比元素 j 重要得多； 
aij = 9元素 i 比元素 j 的极其重要； 
aij = 2n，n=1,2,3,4元素 i 与 j 的重要性介于aij = 2n − 1与aij = 2n + 1之间； 
a_{ij}=\frac{1}{n}，n=1,2,...,9 当且仅当aij = n。
成对比较矩阵的特点：a_{ij}>0,a_{ij}=1,a_{ij}=\frac{1}{a_{ij}}。
对例 2， 选拔干部考虑5个条件：品德x1，才能x2，资历x3，年龄x4，群众关系x5。某决策人用成对比较法，得到成对比较阵如下：
a14 = 5 表示品德与年龄重要性之比为 5，即决策人认为品德比年龄重要。
一致性检验
从理论上分析得到：如果A是完全一致的成对比较矩阵，应该有aijajk = aik。
但实际上在构造成对比较矩阵时要求满足上述众多等式是不可能的。因此退而要求成对比较矩阵有一定的一致性，即可以允许成对比较矩阵存在一定程度的不一致性。
由分析可知，对完全一致的成对比较矩阵，其绝对值最大的特征值等于该矩阵的维数。对成对比较矩阵 的一致性要求，转化为要求：的绝对值最大的特征值和该矩阵的维数相差不大。
检验成对比较矩阵 A 一致性的步骤如下：
计算衡量一个成对比矩阵 A （n>1 阶方阵）不一致程度的指标CI：
CI=\frac{\lambda(A)-n}{n-1}
其中λmax是矩阵 A 的最大特征值。注解
从有关资料查出检验成对比较矩阵 A 一致性的标准RI：RI称为平均随机一致性指标，它只与矩阵阶数 有关。
按下面公式计算成对比较阵 A 的随机一致性比率 CR：
CR=\frac{CI}{RI}。
判断方法如下：当CR<0.1时，判定成对比较阵 A 具有满意的一致性，或其不一致程度是可以接受的；否则就调整成对比较矩阵 A，直到达到满意的一致性为止。
例如对例 2 的矩阵
层次分析法
计算得到\lambda(A)=5.072,CI=\frac{\lambda(A)-5}{5-1}=0.018，查得RI=1.12，
CR=\frac{CI}{RI}=\frac{0.018}{1.12}=0.016<0.1。
这说明 A 不是一致阵，但 A 具有满意的一致性，A 的不一致程度是可接受的。
此时A的最大特征值对应的特征向量为U=(-0.8409,-0.4658,-0.0951,-0.1733,-0.1920）。这个向量也是问题所需要的。通常要将该向量标准化：使得它的各分量都大于零，各分量之和等于 1。该特征向量标准化后变成U = (0.4759,0.2636,0.0538,0.0981,0.1087）Z。经过标准化后这个向量称为权向量。这里它反映了决策者选拔干部时，视品德条件最重要，其次是才能，再次是群众关系，年龄因素，最后才是资历。各因素的相对重要性由权向量U的各分量所确定。
求A的特征值的方法，可以用 MATLAB 语句求A的特征值：〔Y,D〕=eig（A），Y为成对比较阵 的特征值，D 的列为相应特征向量。
在实践中，可采用下述方法计算对成对比较阵A=(a_{ij})的最大特征值λmax(A）和相应特征向量的近似值。
定义
U_k=\frac{\sum_{j=1}^{n}a_{kj}}{\sum^{n}_{i=1}\sum{n}{j=1}a_{ij}}，U=(u_1,u_2,\ldots,u_n)^z
可以近似地看作A的对应于最大特征值的特征向量。
计算
\lambda=\frac{1}{n}\sum^{n}_{i=1}\frac{(AU)_i}{u_i}=\frac{1}{n}\sum^{n}_{i=1}\frac{\sum^{n}_{i=1}}\frac{\sum^n_{j=1}a_{ij}u_{j}}{u_i}
可以近似看作A的最大特征值。实践中可以由λ来判断矩阵A的一致性。
决策
现在来完整地解决例 2 的问题，要从三个候选人y1,y2,y3中选一个总体上最适合上述五个条件的候选人。对此，对三个候选人y = y1,y2,y3分别比较他们的品德（x1），才能（x2），资历（x3），年龄（x4），群众关系（x5）。
先成对比较三个候选人的品德，得成对比较阵
B_1=\begin{pmatrix}1&\frac{1}{3}&\frac{1}{8}\\3&1&\frac{1}{3}\\8&3&1\end{pmatrix}
经计算，B1的权向量
ωx1(Y) = (0.082,0.244,0.674）z
\lambda_{max}(B_1）=3.002,CI=0.001,\frac{CI}{RI}=\frac{0.001}{0.58}<0.1
故B1的不一致程度可接受。ωx1(Y）可以直观地视为各候选人在品德方面的得分。
层次分析法
类似地，分别比较三个候选人的才能，资历，年龄，群众关系得成对比较阵 
B_2=\begin{pmatrix}1&2&5\\\frac{1}{2}&1&2\\\frac{1}{5}&\frac{1}{2}&1\end{pmatrix}　 
B_3=\begin{pmatrix}1&1&3\\1&1&3\\\frac{1}{3}&\frac{1}{3}&1\end{pmatrix}
B_4=\begin{pmatrix}1&3&4\\\frac{1}{3}&1&1\\\frac{1}{4}&1&1\end{pmatrix}
B_5=\begin{pmatrix}1&4&\frac{1}{4}\\1&1&\frac{1}{4}\\4&1&1\end{pmatrix}
通过计算知，相应的权向量为
\omega_{x_2}(Y)=(0.606,0.265,0.129）^z
\omega_{x_3}(Y)=(0.429,0.429,0.143）^z
\omega_{x_4}(Y)=(0.636,0.185,0.179）^z
\omega_{x_5}(Y)=(0.167,0.167,0.667）^z
它们可分别视为各候选人的才能分，资历分，年龄分和群众关系分。经检验知B2,B3,B4,B5的不一致程度均可接受。
最后计算各候选人的总得分。y1的总得分
\omega_z(y_1）=\sum{5}{j=1}u_j\omega_{xj}(y_1）=0.457\times 0.082+0.263\times 0.606+0.051\times 0.429+0.104\times 0.6366+0.162\times 0.1670.306
从计算公式可知，y1的总得分ω（y1）实际上是y1各条件得分ωx1(y1） ，ωx2(y1） ，...，ωx5(y1），的加权平均，权就是各条件的重要性。同理可得y2,Y3 的得分为
ωz(y2） = 0.243，ωz(y3） = 0.452
比较后可得：候选人y3是第一干部人选。