标题：新基础集合论
概述
在数理逻辑中，新基础集合论(NF)是公理化集合论的一种，由蒯因构想出来作为对英国哲学家罗素和其老师怀特海的巨著《数学原理》中逻辑类型论的简化。蒯因 1937 年于《数理逻辑的新基础》一文中首次提及NF（此即其名称的由来）。请注意，此条目大多是在谈论 NFU，这是Jensen于1969年所提出，并由Holmes于1998年阐述的一重要变体。本词条的注意事项在本词条中由于无法显示部分数学和逻辑符号，故用符号 ^ 表示次方，用 ￠ 表示逻辑中的“不属于”意义，符号 |P1(A)| 和 |P1(V)| 中的1是下标。特此说明。
类型论TST
改进版本的类型论TST的基本谓词是等式和成员关系。TST有一个线性的类型层次：类型0由不加描述的个体组成。对于每个(元-)自然数n，类型n+1的对象是类型n对象的集合；类型n的集合有类型为n-1的成员。用等式连接的类型必须有相同的类型。下列两个原子公式简洁的描述了定类型规则： 
x^n=y^n 和x^n∈y^(n+1)，符号仍可改进。TST 的公理外延性：带有相同成员的相同(正数)类型的集合是相等的； 
概括公理模式，也就是：如果Φ（x^n）是公式，则集合{x^n | Φ（x^n）}^(n+1)存在。换句话说，给定任何公式Φ（x^n），存在集合A^(n+1)使得∀x^n∃A^(n+1) [x^n∈A^(n+1) ↔ Φ（x^n）]为真。 
这个类型论比起罗素和怀特海的《数学原理》首次发表的逻辑类型论简单了许多，它包括其参数不必然都有同样类型的关系类型。在1914年，诺伯特·维纳展示了如何把有序对编码为集合的集合。这使得以这里描述的集合层次的方式消除了关系类型。
蒯因集合论
公理和层化新基础(NF)是通过放弃TST的类型区别而获得的。NF的公理有： 
外延性：有相同元素的两个对象是同一个对象； 
概括模式：所有TST的概括实例，但去掉了类型索引(并且不用介入在变量之间新的同一性)。 
通过约定，NF的概括模式是使用层化公式的概念而陈述的，而不直接提及类型。一个公式Φ被称为是层化的，如果存在从语法片段到自然数的一个函数f，使得对于任何Φ的原子子公式x∈y有f(y)=f(x)+1，而对于任何Φ的原子子公式x=y，有f(x)=f(y)。概括接着变成： 
对于每个层化公式Φ存在{x|Φ}。 
甚至在层化概念内隐含的对类型的间接提及也可以消除。Hailperin在1944年证实了概括等价于它的实例的有限合取，所以NF可以有限的公理化，而不提及类型的概念。 
对于朴素集合论概括好像是不自洽的，但是在这里不是。例如，不可能的罗素类{x|x￠x}不是NF集合，因为x￠x不能被层化。有序对关系和函数在TST(与NF和NFU)中以通常的方式定义为有序对。首先由Kuratowski在1921年提议的有序对常用的定义对于NF和相关理论有个严重缺陷：结果的有序对必定有比它的参数(它的左和右投影)的类型高2的类型。所以用途是决定分层的函数有比它的域的成员高3的类型。 
如果能以其类型是同它的参数一样的类型的方式定义对(导致一个类型-齐平有序对)，则关系或函数有只比它的域的成员的类型高1的类型。所以NF和相关理论通常采用蒯因的有序对的集合论定义，它生成类型的类型-齐平的有序对。Holmes(1998)把有序对与它的左和右投影接受为基本的。幸运的是，有序对是否通过的定义或通过假定(就是接受为基本的)而是类型-齐平，通常是不重要的。 
类型-级别有序对的存在蕴涵了“无穷”，而NFU+“无穷”解释了NFU+“存在着类型齐平的有序对”(它们不是同样的理论，但是区别无关紧要)。反过来，NFU+“无穷”+“选择”证明了类型-齐平有序对的存在。有用的大集合的可容纳性NF (和NFU+“无穷”+“选择”，下面描述并已知是相容的)允许构造ZFC和它的真扩展因为“太大”而不允许的两种集合(某些集合论在真类的名义下接受这些实体)： 
全集V：因为 x = x 是层化公式，通过概括存在全集V={x|x=x}。直接的推论是所有集合都有补集，而在NF下的整个集合论全集有一个布尔结构。 
基数和序数：在NF(和TST)中，存在n个元素的所有集合的集合(这里循环性只是外观上的)。所以弗雷格的基数定义在NF和NFU中可行：基数是集合在等势关系下的等价类：集合 A 和 B 是等势的，如果存在它们之间的双射，在这种情况下我们写为A~B。类似的，序数是良序集合在相似关系下的等价类。
NF(U) 如何避免集合论悖论
NF 清除了三个周知的集合论悖论，即：“罗素悖论”、“康托尔悖论”和“布拉利-福尔蒂悖论”NFU是(相对)相容的理论也避免了这些悖论，增强了我们在这个事实上的信心。 
对这三个集合论悖论的解释如下：罗素悖论x￠x不是层化公式，所以{x|x￠x}的存在不被任何概括的实例所断言。蒯因构造NF的时候大概最关注于这个悖论。康托尔悖论关于最大基数的康托尔悖论利用了康托尔定理对全集的应用。康托尔定理声称(假定 ZFC)任何集合的A的幂集P(A)>A[没有从P(A)到A的单射函数(一一映射)]。当然有从P(V)到V的单射，如果V是全集的话！解决这个问题需要我们观察到 |A|<|P(A)| 在类型论中没有意义：P(A)的类型高1于A的类型。正确的有类型版本(它是与在ZF中工作的最初形式的康托尔定理本质上同样道理的类型论中的定理)是 |P1(A)|<|P(A)|，这里的P1(A)是A的一个元素的子集的集合。我们感兴趣的这个定理的特殊实例是 |P1(V)|<|P(V)|：一个元素的集合们少于集合们(因此一个元素的集合们少于全体对象，如果我们在NFU中的话)。从全集到这些一个元素集合明显的双射x→{x}不是一个集合；它不是集合是因为它的定义是非层化的。注意在所有已知的NFU的模型中 |P1(V)|<|P(V)|<<|V| 都成立；“选择”允许我们不只证明有基本元素而且在 |P(V)| 和 |V| 之间有很多基数。　　我们现在介入某些有用的概念。集合A满足直觉上吸引人的 |A|=|P1(A)| 就被称为康托尔式的：康托尔式集合满足通常形式的康托尔定理。集合A满足进一步条件（x→{x}）ΓA，即单元素集合映射于A的限制，则不仅仅是康托尔式的，而且是强康托尔式的。布拉利-福尔蒂悖论下面是关于最大序数的布拉利-福尔蒂悖论。我们定义(跟从朴素集合论)序数是良序排序在相似性下的等价类。在序数上有一个明显的自然的良序排序；因为它是良序排序所以它属于一个序数Ω。(通过超限归纳法)可直接证明在小于一个给定序数α的序数们上的自然次序的序类型是α自身。但是这意味着Ω是小于Ω 的序数们的序类型，因此它严格小于所有序数的序类型——但是通过定义，后者是Ω自身！ 
在 NF(U) 中对这个悖论的解决开始于观察到：在小于α的序数们上的自然次序的序类型的类型比α的类型高。 
因此类型齐平有序对的类型比它的参数的类型高1，而常规的Kuratowski有序对高3。 
对于任何序类型α，我们可以定义比α的类型高1的序类型：如果 W∈α，则T(α)是次序W^t={（{x},{y}）| xWy}的序类型。T运算的烦琐只是外观上的；可以轻易的证明T是在序数们上的严格的单调(序保持)运算。
序类型的引理
我们可以用层化的方式重申关于序类型的引理：在小于α的序数们上的自然次序的序类型是T^2(α)或T^4(α)，依赖于使用哪个有序对定义(我们在下文中假定类型齐平有序对)。 
从此我们可演绎出：在小于Ω的序数们上的序类型是T^2(Ω)，从它我们演绎出T^2(Ω)<Ω。因此T运算不是个函数；我们不能有从序数到序数的严格单调集合映射，它向下映射一个序数！因为T是单调的，我们有 Ω>T^2(α)>T^4(α)···，在序数们中的“递减序列”不能是集合。 
某些人已经断言这个结果证实了没有NF(U)的模型是“标准”的，因此在任何NFU的模型中序数们外在的不是良序的。我们不接受这种立场，而我们注意到还有一个NFU的定理，任何NFU的集合模型都有非良序的“序数”；NFU推不出全集V是NFU的模型，尽管V是集合，因为成员关系不是集合关系。
新基础集合论的缺陷及修正
蒯因在 1940 年第一版的《数理逻辑》的集合论中，结合了von Neumann-Bernays-Godel Set Theory（冯·诺伊曼-博内斯-哥德尔集合论）的真类于NF中，并为真类包括了一个无限制概括的公理模式。在1942年，J.Barkley Rosser 证明了蒯因的集合论遭受Burali-Forti悖论。在1950年，蒯因的学生王浩（Hao Wang）展示了如何修正蒯因的公理来避免这个问题，蒯因在 1951 年第二和最终版本的《数理逻辑》中包括了结果的公理化。