标题：变分法
基本信息
简介变分法是处理泛函的数学领域，和处理函数的普通微积分相对。譬如，这样的泛函可以通过未知函数的积分和它的导数来构造。变分法最终寻求的是极值函数：它们使得泛函取得极大或极小值。有些曲线上的经典问题采用这种形式表达：一个例子是最速降线，在重力作用下一个粒子沿着该路径可以在最短时间从点A到达不直接在它底下的一点B。在所有从A到B的曲线中必须极小化代表下降时间的表达式。[1]
变分法的关键定理是欧拉－拉格朗日方程。它对应于泛函的临界点。在寻找函数的极大和极小值时，在一个解附近的微小变化的分析给出一阶的一个近似。它不能分辨是找到了最大值或者最小值（或者都不是）。
变分法在理论物理中非常重要：在拉格朗日力学中，以及在最小作用量原理在量子力学的应用中。变分法提供了有限元方法的数学基础，它是求解边界值问题的强力工具。它们也在材料学中研究材料平衡中大量使用。而在纯数学中的例子有，黎曼在调和函数中使用狄力克雷原理。
同样的材料可以出现在不同的标题中，例如希尔伯特空间技术，摩尔斯理论，或者辛几何。变分一词用于所有极值泛函问题。微分几何中的测地线的研究是很显然的变分性质的领域。极小曲面（肥皂泡）上也有很多研究工作，称为Plateau问题。发展简史变分法可能是从Johann Bernoulli(1696)提出最速曲线(brachistochrone curve)问题开始出现的. 它立即引起了Jakob Bernoulli和Marquis de l'H&ocirc;pital的注意, 但Leonhard Euler首先详尽的阐述了这个问题. 他的贡献始于1733年, 他的《变分原理》(Elementa Calculi Variationum)寄予了这门科学这个名字. Lagrange对这个理论的贡献非常大. Legendre(1786)确定了一种方法, 但在对极大和极小的区别不完全令人满意. Isaac Newton和Gottfried Leibniz也是在早期关注这一学科. 对于这两者的区别Vincenzo Brunacci(1810), Carl Friedrich Gauss(1829), Simeon Poisson(1831), Mikhail Ostrogradsky(1834), 和Carl Jacobi(1837)都曾做出过贡献. Sarrus(1842)的由Cauchy(1844)浓缩和修改的是一个重要的具有一般性的成就. Strauch(1849), Jellett(1850), Otto Hesse(1857), Alfred Clebsch(1858), 和Carll(1885)写了一些其他有价值的论文和研究报告, 但可能那个世纪最重要的成果是Weierstrass所取得的. 他关于这个理论的著名教材是划时代的, 并且他可能是第一个将变分法置于一个稳固而不容置疑的基础上的. 1900发表的第20和23个希尔伯特(Hilbert)促进了更深远的发展. 在20世纪David Hilbert, Emmy Noether, Leonida Tonelli, Henri Lebesgue和Jacques Hadamard 等人做出重要贡献. Marston Morse 将变分法应用在Morse理论中. Lev Pontryagin, Ralph Rockafellar和Clarke广义变分法理想控制论发展了新的数学工具.变分法的定理变分法的关键定理是欧拉－拉格朗日方程。它对应于泛函的临界点。在寻找函数的极大和极小值时，在一个解附近的微小变化的分析给出一阶的一个近似。它不能分辨是找到了最大值或者最小值（或者都不是）。
变分法在理论物理中非常重要：在拉格朗日力学中，以及在最小作用原理在量子力学的应用中。变分法提供了有限元方法的数学基础，它是求解边界值问题的强有力工具。它们也在材料学中研究材料平衡中大量使用。而在纯数学中的例子有，黎曼在调和函数中使用狄利克雷原理。
同样的材料可以出现在不同的标题中，例如希尔伯特空间技术，莫尔斯理论，或者辛几何。变分一词用于所有极值泛函问题。微分几何中的测地线的研究是很显然的变分性质的领域。极小曲面（肥皂泡）上也有很多研究工，称为Plateau问题。
最优控制的理论是变分法的一个推广。
应用
费马原理费马原理指出：光沿所需时间为极值(极大值、恒值、极小值)的路径传播。假设 y=f(x) 为光的路径，则光程可以下式表示：  其中折射率n(x,y) 依材料特性而定。
若选择：  
则A的一阶导数 (A对ε的微分)为  将括号中的第一项用分部积分处理，可得欧拉-拉格朗日方程  光线的路径可由上述的积分式而得。大范围变分法18世纪是变分法的草创时期，建立了极值应满足的欧拉方程并据此解决了大量具体问题。19世纪人们把变分法广泛应用到数学物理中去，建立了极值函数的充分条件。20世纪伊始，希尔伯特在巴黎国际数学家大会讲演中提到的23个著名数学问题中就有三个与变分法有关，变分法的思想贯穿了R.库朗和希尔伯特所著的《数学物理方法》一书。而H.M.莫尔斯的大范围变分法则是20世纪变分法发展的标志(见莫尔斯理论)。数学物理与变分法物理学中泛函极值问题的提出促进了变分学的建立和发展，而变分学的理论成果则不断渗透到物理学中。
物理学中的变分原理　P. de费马从欧几里得确立的光的反射定律出发提出了光的最小时间原理：光线永远沿用时最短的路径传播。他原先怀疑光的折射定律，但在1661年费马发现从他的光的最小时间原理能够推导出折射定律，不仅消除了早先的怀疑，而且更加坚信他的原理。拉格朗日把变分法用到动力学上。他引进广义坐标q1,q2,…,qn，、动能T是 孭=(孭1,孭2,…,孭n)的函数,孭表示广义速度。他又假定力有位势V，V是q的函数,又假定T+V是常量,即系统无耗散,令L=T-V，称为作用量，拉格朗日的最小作用原理是说真实的运动使作用量取极小值。通过欧拉方程，拉格朗日建立他的运动方程，据此推出了力学的主要定律，并解决了一些新的问题。这些工作都记载在他在1788年出版的《分析力学》一书中。变分法在量子力学中应用变分法在量子力学中主要解决基态能量和波函数问题。
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基本信息《变分法》教学大纲
课程编码：07141001
课程名称：变分法
英文名称：Calculus of Variations
开课学期：第6学期
学时/学分：30/1.5 （其中实验学时：0学时）
课程类型：学位基础选修课
开课专业：机械科学与工程学院工程力学专业
选用教材：讲稿
主要参考书：《弹性力学》 徐芝纶编著高等教育出版社
《弹性和塑性力学的变分法》 鹫津久一郎著
《广义变分原理》钱伟长著
执笔人：周振平课程性质、目的与任务《变分法》是工程力学专业本科生的专业课之一，是选修课，是《弹性力学》课程提高和延伸部分。用广泛的变分方法来解决弹性力学的边值问题，建立了弹性力学的几个变分原理，从这些变分原理出发，用一致的方法导出各种类型弹性力学的平衡方程。变分原理为各种近似解奠定了理论基础，是从事固体力学研究人员必备的专业理论，为进一步学习有限元理论，塑性力学等提供了必要的理论基《变分法》教学大纲
中国人在弹性力学变分法的发明过程中也做出了重大贡献,弹性力学变分法准确地说叫做 "胡海昌- 鹫津久一郎"变分法。由胡海昌和鹫津久一郎相互独立地发明。
胡海昌. 弹性力学的变分原理及其应用. 北京：科学出版社，1981年5月第1版
作为数学的一个分支，变分法的诞生，是现实世界许多现象不断探索的结果，人们可以追寻到这样一个轨迹：
约翰·伯努利（Johann Bernoulli，1667－1748）1696年向全欧洲数学家挑战，提出一个难题：“设在垂直平面内有任意两点，一个质点受地心引力的作用，自较高点下滑至较低点，不计摩擦，问沿着什么曲线下滑，时间最短？”　　这就是著名的“最速降线”问题（The Brachistochrone Problem）。它的难处在于和普通的极大极小值求法不同，它是要求出一个未知函数（曲线），来满足所给的条件。这问题的新颖和别出心裁引起了很大兴趣，罗比塔（Guillaume Francois Antonie de l'Hospital 1661-1704）、雅可比·伯努利（Jacob Bernoulli 1654-1705）、莱布尼茨（Gottfried Wilhelm Leibniz,1646-1716）和牛顿（Isaac Newton1642—1727）都得到了解答。约翰的解法比较漂亮，而雅可布的解法虽然麻烦与费劲，却更为一般化。后来欧拉（Euler Lonhard，1707～1783）和拉格朗日(Lagrange, Joseph Louis，1736-1813)发明了这一类问题的普遍解法，从而确立了数学的一个新分支——变分学。