标题：分形
简介
“谁不知道熵概念就不能被认为是科学上的文化人，将来谁不知道分形概念，也不能称为有知识。”——物理学家 惠勒
分形理论是在上世纪70年代由曼德布罗特创立，但其严格的数学基础，却是70年代末曼德布罗特及布鲁克斯、马蒂尔斯基以及道阿迪、哈伯德、沙斯顿等人几乎同时分别建立完善的，他们的思想都源自上世纪前叶一些前辈如法图、莱维、朱利亚的有关思想。
分形现已成为应用极为广泛的学科。本华·曼德布罗特（1924－2010，法语原名 Benoit B. Mandelbrot ），祖籍立陶宛裔犹太家庭，生于波兰，主要成长教育经历是在法国完成的，后长期在美国工作。曼德布罗特个人风格独特，对各类看似“无定形”、“不光滑”的“怪东西”皆富有兴趣，也正是这样他才能最终抽象创立出分形这门学科。曼德布罗特来访过中国一次以上，称中国文字个个是图形，与他路数相合（曼德布罗特本人习用法语）。中国最早使用分形理论的可能是金属学界。  
现在人们熟悉的分形的著名实例，如用“镂空”办法制成的康托三分集虚线、谢尔宾斯基三角垫片(Waclaw Sierpinski,1882-1969，波兰数学家)、门格尔海绵（Menger，1902-1985，为著名经济学家门格尔之子），它们的非整数维数是渐增的，分别为0.63、1.58、2.72，而它们长度、面积、体积令人吃惊的皆为0。另一个用“凸起”办法制作的科赫雪花曲线(H.von Koch,1870-1924，瑞典数学家)，其维数是1.26，它的长度则是无限的，可它围住的面积却有限！
分形作为一种数学工具，现在已经被应用于各个领域，如应用于计算机辅助使用的各种分析软件中。
由来
据曼德布罗特教授自己说，fractal一词是1975年夏天的一个寂静夜晚，他在冥思苦想之余偶翻他儿子的拉丁文字典时，突然想到的。此词源于拉丁文形容词fractus，对应的拉丁文动词是frangere（“破碎”、“产生无规碎片”）。此外与英文的fraction（“碎片”、“分数”）及fragment（“碎片”）具有相同的词根。在70年代中期以前，曼德布罗特一直使用英文fractional一词来表示他的分形思想。因此，取拉丁词之头，撷英文之尾的fractal，本意是不规则的、破碎的、分数的。曼德布罗特是想用此词来描述自然界中传统欧几里德几何学所不能描述的一大类复杂无规的几何对象。例如，弯弯曲曲的海岸线、起伏不平的山脉，粗糙不堪的断面，变幻无常的浮云，九曲回肠的河流，纵横交错的血管，令人眼花缭乱的满天繁星等。它们的特点都是，极不规则或极不光滑。直观而粗略地说，这些对象都是分形。
探讨
分形几何学分形几何与传统几何相比有什么特点：　　
⑴从整体上看，分形几何图形是处处不规则的。例如，海岸线和山川形状，从远距离观察，其形状是极不规则的。
⑵在不同尺度上，图形的规则性又是相同的。上述的海岸线和山川形状，从近距离观察，其局部形状又和整体形态相似，它们从整体到局部，都是自相似的。当然，也有一些分形几何图形，它们并不完全是自相似的。其中一些是用来描述一般随机现象的，还有一些是用来描述混沌和非线性系统的。什么是分维？在欧氏空间中，人们习惯把空间看成三维的，平面或球面看成二维，而把直线或曲线看成一维。也可以稍加推广，认为点是零维的，还可以引入高维空间，但通常人们习惯于整数的维数。分形理论把维数视为分数，这类维数是物理学家在研究混沌吸引子等理论时需要引入的重要概念。为了定量地描述客观事物的“非规则”程度，1919年，数学家从测度的角度引入了维数概念，将维数从整数扩大到分数，从而突破了一般拓扑集维数为整数的界限。
分维的概念我们可以从两方面建立起来：一方面，我们首先画一个线段、正方形和立方体，它们的边长都是1。将它们的边长二等分，此时，原图的线度缩小为原来的1/2，而将原图等分为若干个相似的图形。其线段、正方形、立方体分别被等分为2^1、2^2和2^3个相似的子图形，其中的指数1、2、3，正好等于与图形相应的经验维数。一般说来，如果某图形是由把原图缩小为1/a的相似的b个图形所组成，有：
a^D=b,D=(ln b)/(ln a)
  由若干条Koch曲线组成的Koch雪花的关系成立，则指数D称为相似性维数，D可以是整数，也可以是分数。另一方面，当我们画一根直线，如果我们用0维的点来量它，其结果为无穷大，因为直线中包含无穷多个点；如果我们用一块平面来量它，其结果是0，因为直线中不包含平面。那么，用怎样的尺度来量它才会得到有限值哪？看来只有用与其同维数的小线段来量它才会得到有限值，而这里直线的维数为1（大于0、小于2）。与此类似，如果我们画一个Koch曲线，其整体是一条无限长的线折叠而成，显然，用小直线段量，其结果是无穷大，而用平面量，其结果是0（此曲线中不包含平面），那么只有找一个与Koch曲线维数相同的尺子量它才会得到有限值，而这个维数显然大于1、小于2，那么只能是小数（即分数）了，所以存在分维。Koch曲线的每一部分都由4个跟它自身比例为1:3的
形状相同的小曲线组成，那么它的豪斯多夫维数（分维数）为d=log(4)/log(3)=1.26185950714...
概况
定义曼德勃罗曾经为分形下过两个定义：
（1）满足下式条件 
Dim(A)>dim(A) 
的集合A，称为分形集。其中，Dim(A)为集合A的Hausdoff维数（或分维数），dim(A)为其拓扑维数。一般说来，Dim(A)不是整数，而是分数。
（2）部分与整体以某种形式相似的形，称为分形。
然而，经过理论和应用的检验，人们发现这两个定义很难包括分形如此丰富的内容。实际上，对于什么是分形，到目前为止还不能给出一个确切的定义，正如生物学中对“生命”也没有严格明确的定义一样，人们通常是列出生命体的一系列特性来加以说明。对分形的定义也可同样的处理。
分形一般有以下特质：
在任意小的尺度上都能有精细的结构； 太不规则，以至难以用传统欧氏几何的语言描述； （至少是大略或任意地）自相似豪斯多夫维数会大於拓扑维数（但在空间填充曲线如希尔伯特曲线中为例外）； 有著简单的递归定义。
（i）分形集都具有任意小尺度下的比例细节，或者说它具有精细的结构。
（ii）分形集不能用传统的几何语言来描述，它既不是满足某些条件的点的轨迹，也不是某些简单方程的解集。
（iii）分形集具有某种自相似形式，可能是近似的自相似或者统计的自相似。
（iv）一般，分形集的“分形维数”，严格大于它相应的拓扑维数。
（v）在大多数令人感兴趣的情形下，分形集由非常简单的方法定义，可能以变换的迭代产生。意义上世纪80年代初开始的“分形热”经久不息。分形作为一种新的概念和方法，正在许多领域开展应用探索。美国物理学大师约翰·惠勒说过：今后谁不熟悉分形，谁就不能被称为科学上的文化人。由此可见分形的重要性。
中国著名学者周海中教授认为：分形几何不仅展示了数学之美，也揭示了世界的本质，还改变了人们理解自然奥秘的方式；可以说分形几何是真正描述大自然的几何学，对它的研究也极大地拓展了人类的认知疆域。
分形几何学作为当今世界十分风靡和活跃的新理论、新学科，它的出现，使人们重新审视这个世界：世界是非线性的，分形无处不在。分形几何学不仅让人们感悟到科学与艺术的融合，数学与艺术审美的统一，而且还有其深刻的科学方法论意义。
历史
在传统的几何学中，人们研究一个几何对象，总是习惯于在Euclid空间（Rn,Euclidean)对其研究和度量，其中字母n表示空间的维数，通常为整数，如n分别为1、2、3时，对应的空间为线性空间、平面空间、立体空间，在相应的空间中，我们可以测得几何对象的长度、面积、体积等。但是大约在1个世纪前，在数学领域，相继出现了一些被称为数学怪物（mathematical monsters)的东西，在传统的Euclid领域，人们无法用几何语言去表述其整体或局部性质，其中，比较著名的  Von Koch曲线数学怪物包括：
Von Koch曲线 此曲线在一维下测量任意段长度为无穷大（想象中，考虑到能测量原子的维度）；在二维下测量面积为零 
Sierpinski三角形 此图形面积为零
Cantor集
这些数学怪物困扰数学家许多年，直至20世纪，被美国数学家Benoit B. Mandelbrot创立的分形几何学(fractal geometry)彻底解决。Mandelbrot提出：我们之所以无法用几何语言去描述这些数学怪物，是因为我们是在维数为整数的空间中，用维数同样是整数的“尺子”对其丈量、描述；而维数不应该仅仅是整数，可以是任何一个正实数；只有在几何对象对应的维数空间中，才能对该几何体进行合理的整体或局部描述。以上图的Koch曲线为例，其维数约为1.26，我们应用同样为1.26维的尺子对其进行描述，比如取该曲线前1/4段作为单位为1的尺子去丈量这个几何体，此几何体长度为4。也正是因其维数介于1维与2维之间，所以此几何体在1维下长度为无穷大，2维下面积为零。
Fractal这个词是由Mandelbrot于1975创造的，来源于拉丁文“Fractus”，其英文意思是broken，即为“不规则、支离破碎”的物体。1967年，Mandelbrot在美国《Science》杂志上发表题目为《英国的海岸线有多长》的划时代论文，标志着其分形思想萌芽的出现。1977年，Mandelbrot在巴黎出版的法文著作《Les objets fractals:forme,hasard et dimension》，1977年，在美国出版其英文版《Fractals:From,Chance,and Dimension》（《分形：形状机遇和维数》），同年，他又出版了《The Fractal Geometry of Nature》（《大自然的分形几何》），但是这三本书还未对社会和学术界造成太大的影响。直到1982年，《The Fractal Geometry of Nature》（《大自然的分形几何》）第二版才得到欧美社会的广泛关注，并迅速形成了“分形热”，此书也被分形学界视为分形“圣经”。发展史分形学发展史上的重要里程碑 
1883年 Cantor集合被创造 
1895年 Weierstrass曲线被创造，此曲线特点是“处处连续，点点不可微” 
1906年 Koch曲线被创造 
1914年 Sierpinski三角形被创造 
1919年 描述复杂几何体的Hausdorff维问世 
1951年 英国水文学家Hurst通过多年研究尼罗河，总结出Hurst定律 
1967年 Mandelbrot在《Science》杂志上发表论文《英国的海岸线有多长》 
1975年 Mandelbrot创造“Fractals”一词 
1975年 Mandelbrot在巴黎出版的法文著作《Les objets fractals:forme,hasard et dimension》 
1977年 Mandelbrot在美国出版英文著作《Fractals:From,Chance,and Dimension》以及《The Fractal Geometry of Nature》 
1982年 《The Fractal Geometry of Nature》第二版，并引发“分形热” 
1991年 英国的Pergman出版社创办《Chaos，Soliton and Fractal》杂志 
1993年 新加坡世界科学出版社创办《Fractal》杂志 
1998年 在马耳他（Malta)的瓦莱塔（Valletta)召开了“分形98年会议”（5th International Multidisciplinary Conference) 
1999年， 邓宇等推出《中医分形集》
2003年 在德国的Friedrichroda召开了“第三届分形几何和推测学国际会议” 
2004年 在加拿大（Canada)的温哥华（Vancouver)召开了“分形2004年会议”（8th International Multidisciplinary Conference)古代分形最古老的朴素分形集（几千年历史，最简单的分形集阴阳集），1999年，邓宇等。
从自相似性看，可追溯到古老的宗教和中医<<黄帝内经>>等典籍.
阴阳集，分维D=1
五行集，分维D=1.4650
阴阳五行-脏腑（藏象：五脏五腑）的分维D=2.0959.
种类
逃逸时间系统：复迭代的收敛限界。例如：Mandelbrot集合、Julia集合、Burning Ship分形 
迭代函数系统：这些形状一般可以用简单的几何“替换”来实现。例如：康托集合、Koch雪花、谢尔宾斯基三角形、Peano曲线等等。
吸引子：点在迭代的作用下得到的结构。一般可以用微分方程确立。例如：Lorenz吸引子。
应用
科学与艺术的完美结合——分形艺术
分形诞生在以多种概念和方法相互冲击和融合为特征的当代。分形混沌之旋风，横扫数学、理化、生物、大气、海洋以至社会学科，在音乐、美术间也产生了一定的影响。
分形所呈现的无穷玄机和美感引发人们去探索。即使您不懂得其中深奥的数学哲理，也会为之感动。
分形使人们觉悟到科学与艺术的融合，数学与艺术审美上的统一，使昨日枯燥的数学不再仅仅是抽象的哲理，而是具体的感受；不再仅仅是揭示一类存在，而是一种艺术创作，分形搭起了科学与艺术的桥梁。
“分形艺术”与普通“电脑绘画”不同。普通的“电脑绘画”概念是用电脑为工具从事美术创作，创作者要有很深的美术功底。而“分形艺术”是纯数学产物，创作者要有很深的数学功底，此外还要有熟练的编程技能。
苑玉峰老师认为分形图像有如下用途：
1、制作成各种尺寸的装饰画（用卡纸装裱，可获得很好的装饰画效果）。
2、用作包装材料图案，效果新颖。
3、可以制作成各种尺寸的分形挂历、台历、贺卡等。
4、应用于印染行业。
5、装点科技馆、少年宫、旅游景点等。
刘华杰博士认为：
1、将高精度分形图形具体应用在建筑设计中，可以考虑将整面墙壁用一幅分形图装饰。
2、研究分形建筑陶瓷纹样、分形纺织纹样设计及其印染工艺。
3、设计分形时装。
4、将分形图形用于信息加密防伪。
5、印制分形贺卡、明信片和小台历软件Ultra Fractal 　　
Visions of Chaos 
Fraciant
Apophysis
Incendia
Mandelbulb 3D
Jwildfire中医分形集1999年，邓宇等
阴阳分形集
五行分形集
案例
西兰花我们可以看到西兰花一小簇是整个花簇的一个分支，而在不同尺度下它们具有自相似的外形。换句话说，较小的分支通过放大适当的比例后可以得到一个与整体几乎完全一致的花簇。因此我们可以说西兰花簇是一个分形的实例。特征分形的特点是整体与局部具有自相似特性，而全息则是整体的特征包含在局部之中，每一个局部都可以上升为相似性的整体，所以，分形可以看作是全息的一部分。
分形的自相似在概括分形的特性上似乎有局限性，但已经将分形具有的特征表达出来了。严格的说，这种自相似是一种层次化的自相似，而分形的概念就可以表达为：物体存在形式上的有序层次化的自相似特征。
图书信息
书 名： 分  形
作　者：张济忠
出版社：清华大学出版社
出版时间：2011年3月1日
ISBN: 9787302224556
开本：16开
定价： 32.00元简介《分形（第2版）》是《分形》的第2版，第1版在1995年8月由清华大学出版社出版。《分形（第2版）》以自然界中普遍存在的非平衡非线性复杂系统中自发形成的各种时空有序状态（或结构）为研究对象，介绍了分形理论的基本概念、数学基础和研究方法，及其在凝聚态物理学、材料科学、化学、生物学、医学、地震学、经济学等学科中的应用。
《分形（第2版）》内容丰富、生动形象，并附有适量的计算机模拟程序，可作为对非平衡非线性研究感兴趣的各学科研究工作者学习分形理论的入门书，也可作为大学本科生和研究生学习分形理论的教材和参考书。目录绪论
第1章 非线性复杂系统与非线性热力学
1.1 自组织现象
1.2 自相似性
1.3 标度不变性
1.4 非线性非平衡态热力学
第2章 分形的数学基础
2.1 非欧氏几何学
2.2 Hausdorff测度和维数
2.3 维数的其他定义
2.4 非均匀线性变换
2.5 重正化群
第3章 经典分形与Mandelbrot集
3.1 Cantot集
3.2 Koch曲线
3.3 Sierpinski集
3.4 Julia集
3.5 Mandelbrot集
第4章 分形维数的测定
4.1 基该方法
4.1.1 改变观察尺度求维数
4.1.2 根据测度关系求维数
4.1.3 根据相关函数求维数
4.1.4 根据分布函数求维数
4.1.5 根据频谱求维数
4.2 盒维数
4.3 函数图的维数
4.4 码尺与分形维数的关系
第5章 产生分形的物理机制与生长模型
5.1 产生分形的物理机制
5.2 分形与混沌
5.3 分支与自组织
5.4 有限扩散凝聚（DI。A)模型
5.5 弹射凝聚（BA)模型
5.6 反应控制凝聚（RI。A)模型
5.7 粘性指延与渗流
第6章 分形生长的计算机模拟
6.1 DLA生长的Monte Carlo模拟
6.2 DLCA生长模拟
6.3 各向异性DLA凝聚
6.4 扩散控制沉积的模拟
6.5 复杂生物形态的模拟
第7章 气固相变与分形
7.1 氧化钼的分形生长
7。2碘的分形生长
7.3 氧化钨的分形生长
7.4 核晶凝聚（NA)模型
第8章 分形生长的实验研究
8一合金薄膜
8.2 电解沉积
8.3 溅射凝聚
8.4 非晶态膜的晶化
8.5 粘性指延
8.6 电介质击穿
8.7 水溶液结晶
第9章 不同体系中的分形生长
9.1 氧化亚锡从结晶生长到分形生长
9.1.1 快速冷却
9.1.2 慢速冷却
9.2 猪胆汁从结晶生长到分形生长
9.3 人胆汁的分形生长
9.4 硼酸晶体的分形生长
9.5 真空中非晶碳的分形生长
9.6 电子辐照在聚丙烯中引发的分形生长
第10章 自组织生长
10.1 自然界的自组织生长
10.1.1 北极的地表砾石组成的环形图形
10.1.2 沙漠的有序图形
10.1.3 变幻莫测的云
10.1.4 人类基因DNA序列图
10.1.5 海贝壳
10.1.6 珊瑚表面的有序结构
10.2 氧化镉的自组织生长
第11章 分形理论的应用
11.1 生物学
11.2 地球物理学
11.3 物理学和化学
11.4 天文学
11.5 材料科学
11.6 计算机图形学
11.7 经济学
11.8 语言学与情报学
11.9 音乐
第12章 分形理论的发展
12.1 广义维数和广延维数
12.2 多重分形
12.3 分形子与无序系统
12.3.1 分形固体的振动（分形子的引入）
12.3.2 分形子的实验观察
12.3.3 分形子动力学理论
12.3.4 分形子与谱维数
12.4 小波变换的应用
12.5 涨落与有序
12.5.1 涨落
12.5.2 涨落和关联
12.5.3 涨落的放大
12.6 研究方向
附录计算机模拟源程序
参考文献
同名动漫
基本信息动漫名称：分形
英文名称：Fractale 
动漫类型：日产动画
制作发行：东映
地区：日本  分形
对白语言：日语发音 中文字幕
剧情类别：冒险
出品年份：2011
主　角：克劳岱尔剧情介绍自从能够管理世界的“Fractale System(分形系统)”完成以来，让人类在世上能够不需要工作就能生存下去，使他们能够真真正正地踏足于乐园之上。而这样的生活在持续了千年之后，这个时至今日仍然运作的系统，虽然仍在运行，却已经到达没有人能够解析的地步了。在这个乐园上，大多数的人都相信他们之所以拥有幸福，全因为这个系统仍在持续运行着。而故事的开端，就开始在Fractale System开始崩坏，于某大陆的某一小岛之上……
详见百科词条 ：fractale