标题：基数
概念
  超限基数[1]根据对等这种关系对集合进行分类，凡是互相对等的集合就划入同一类。这样，每一个集合都被划入了某一类。任意一个集合A所属的类就称为集合A的基数，记作(或|A|，或cardA)。这样，当A 与B同属一个类时，A与B 就有相同的基数，即|A|=|B|。而当 A与B不同属一个类时，它们的基数也不同。
如果把单元素集的基数记作1，两个元素的集合的基数记作2，等等，则任一个有限集的基数就与通常意义下的自然数一致 。空集的基数也记作σ 。于是有限集的基数也就是传统概念下的“个数”。但是，对于无穷集，传统概念没有个数，而按基数概念，无穷集也有基数，例如，任一可数集（也称可列集）与自然数集N有相同的基数，即所有可数集是等基数集。不但如此，还可以证明实数集R与可数集的基数不同。所以集合的基数是个数概念的推广。
基数可以比较大小。假设A，B的基数分别是a，β，即|A|=a，|B|=β，如果A与B的某个子集对等，就称 A 的基数不大于B的基数，记作a≤β，或β≥a。如果 a≤ β，但a≠β（ 即A与B不对等 ），就称A的基数小于B的基数，记作a<β，或β>a。在承认策梅罗(Zermelo)选择公理的情况下，可以证明基数的三岐性定理——任何两个集合的基数都可以比较大小，即不存在集合A和B，使得A不能与B的任何子集对等，B也不能与A的任何子集对等。
基数可以进行运算 。设|A|=a ，|B|=β，且 A∩B是空集，则规定为a 与β之和记作：a +β。设|A|=a，|B|=β，A×B为 A与B的积集，规定为 a 与β的积，记作=a·β。
历史
康托尔在1874年～1884年引入最原始的集合论（现称朴素集合论）时, 首次引入基数概念。 他最先考虑的是集合 {1,2,3} 和 {2,3,4}，它们并非相同，但有相同的基数。骤眼看来，这是显而易见，但究竟何谓两个集合有相同数目的元素？
康托尔的答案，是所谓一一对应，即把两个集合的元素一对一的排起来——若能做到，两个集合的基数自然相同。这答案，容易理解但却是革命性的，因为用相同的方法即可比较任意集合，包括无穷集合的大小。
最先被考虑的无穷集合是自然数集 N = {1, 2, 3, ...} 及其无限子集。他把所有与 N 能一一对应的集为可数集。大出康托尔意外，原来 N 的所有无限子集都能与 N一一对应！他把N的基数称为Nο(读做阿列夫零，阿列夫是希伯来文的第一个字母)，是最少的超穷基数（transfinite cardinal numbers）。
康托尔发现，原来有理数集合与代数数集合也是可数的！于是乎在1874年初，他尝试证明是否所有无限集合均是可数，稍后他得出著名的对角论证法，实数集是不可数的。实数集的基数，记作c，代表连续统。
接着康托尔构作一个比一个大的集合，得出一个比一个大的基数，而这些巨大集合的元素已不可如实数般书写出来。因此关于基数的一般理论，需要一个新的语言描述，这就是康托尔发明集合论的主因。
康托尔随后提出连续统假设： c 就是第二个超穷数N1, 即継Nο之后最小的基数。多年后，数学家发现这假设是不能证明的，即接受或否定它会得出两套不同但逻辑上可行的公理化集合论。
动机
在非形式使用中，基数就是通常被称为计数的东西。它们同一于开始于 0 的自然数(就是 0, 1, 2, ...)。计数严格的是可形式定义为有限基数的东西。无限基数只出现在高级数学和逻辑中。
更加形式的说，非零数可以用于两个目的: 描述一个集合的大小，或描述一个元素在序列中位置。对于有限集合和序列，可以轻易的看出着两个概念是相符的，因为对于所有描述在序列中的一个位置的数，我们可以构造一个有精确的正好大小的集合，比如 3 描述 'c' 在序列 <'a','b','c','d',...> 中的位置，并且我们可以构造有三个元素的集合 {a,b,c}。但是在处理无限集合的时候，在这两个概念之间的区别是本质的 — 这两个概念对于无限集合实际上是不同的。考虑位置示象(aspect)导致序数，而大小示象被这里描述的基数所普遍化。
在基数形式定义背后的直觉是构造一个集合的相对大小的概念而不提及它有那些成员。对于有限集合这是容易的；你可以简单的计数一个集合的成员的数目。为了比较更大集合的大小，必须借助更加微妙的概念。
一个集合 Y 是至少等于（这里指构造的集合的相对大小）或大于等于一个集合 X，如果有从 X 的元素到 Y 的元素的一个单射(一一映射)。一一映像对集合 X 的每个元素确定了一个唯一的集合 Y 的元素。这通过例子是最容易理解的；假设我们有集合 X = {1,2,3} 和 Y = {a,b,c,d}，则使用这个大小概念我们可以观察到有一个映射:
1 → a 
2 → b 
3 → c 
这是一对一的，因此结论出 Y 有大于等于 X 的势。注意元素 d 没有元素映像到它，但这是允许的，因为我们只要求一一映射，而不必须是一对一并且完全的映射。这个概念的好处是它可以扩展到无限集合。
我们可以扩展这个概念到一个等式风格的关系。两个集合 X 和 Y 被称为有相同的势，如果存在 X 和 Y 之间的双射。通过 Schroeder-Bernstein定理，这等价于有从 X 到 Y 和从 Y 到 X 的两个一一映射。我们接着写为 | X | = | Y |。X 的基数自身经常被定义为有着 | a | = | X | 的最小序数a。这叫做冯·诺伊曼基数指派；为使这个定义有意义，必须证明所有集合都有同某个序数一样的势；这个陈述就是良序原理，它等价于选择公理。然而有可能讨论集合的相对的势而不用明确的指派名字给对象。
在无限旅馆悖论也叫做希尔伯特大旅馆悖论中使用的经典例子。假设你是有无限个房间的旅馆的主人。旅馆客满，而又来了一个新客人。有可能通过让在房间 1 的客人转移到房间 2，房间 2 的客人转移到房间 3 以此类推，腾空房间 1 的方式安置这个新客人。我们可以明确的写出这个映射的一个片段:
1 ↔ 2 
2 ↔ 3 
3 ↔ 4 
... 
n ↔ n+1 
... 
在这种方式下我们可以看出集合 {1,2,3,...} 和集合 {2,3,4,...} 有相同的势，因为已经展示了这两个集合之间的双射。这激发了定义无限集合是有着相同的势的真子集的任何集合；在这个情况下 {2,3,4,...} 是 {1,2,3,...} 的真子集。
当我们考虑这些大对象的时候，我们还想看看计数次序的概念是否符合上述为无限集合定义的基数。碰巧不符合；通过考虑上面的例子，我们可以看到“比无限大一”某个对象存在，它必须有同我们起初的无限集合有一样的势。有可能使用基于计数并依次考虑每个数的想法的叫做序数的不同的数的形式概念，而我们发现势和序(ordinality)的概念对于无限数是有分歧的。
可以证明实数的势大于刚才描述的自然数的势。这可以使用对角论证法来可视化；势的经典问题(比如连续统假设)关心发现在某一对无限基数之间是否有某个基数。最近数学家已经描述了更大更大基数的性质。
因为基数是数学中如此常用的概念，使用了各种各样的名字。势相同有时叫做等势、均势或等多(equipotence, equipollence, equinumerosity)。因此称有相同势的两个集合为等势的、均势的或等多的(equipotent, equipollent, equinumerous)。
基数算术
我们可在基数上定义若干算术运算，这是对自然数运算的推广。给出集合 X 与 Y，定义 X+Y={(x,0):x ∈ X} ∪ {(y,1):y ∈ Y}，则基数和是|X| + |Y| = |X + Y|。 若 X 与 Y 不相交，则 |X| + |Y| = |X ∪ Y|。基数积是|X| |Y| = |X × Y|，其中 X × Y 是 X 和 Y 的笛卡儿积。基数指数是|X||Y| = |XY|，其中 XY 是所有由 Y 到 X 的函数的集合。
在有限集时，这些运算与自然数无异。一般地，它们亦有普通算术运算的等质：
加法和乘法是可置换的，即 |X|+|Y|=|Y|+|X| 及 |X||Y|=|Y||X|。 
加法和乘法适合结合律，(|X|+|Y|)+|Z|=|X|+(|Y|+|Z|) 及 (|X||Y|)|Z|=|X|(|Y||Z|) 
分配律，即 (|X|+|Y|)|Z|=|X||Z|+|Y||Z|。 
|X||Y| + |Z| = |X||Y| |X||Z| 
|X||Y| |Z| = (|X||Y|)|Z| 
(|X||Y|)|Z| = |X||Z| |Y||Z| 
无穷集合的加法及乘法（假设选择公理）非常简单。若 X 与 Y 皆非空而其中之一为无限集，则|X| + |Y| = |X||Y| = max{|X|, |Y|}. 
记 2 ^ | X | 是 X 的幂集之基数。由对角论证法可知 2 ^ | X | > | X |，是以并不存在最大的基数。事实上，基数的类是真类。
还有些关于指数的有趣性质：
|X|0 = 1 (很奇怪地 00 = 1)。 
0|Y| = 0 若 Y 非空。 
1|Y| = 1。 
|X| ≤ |Y| 则 |X||Z| ≤ |Y||Z|。 
若 |X| 和 |Y| 俱有限且大于 1，而 Z 是无穷，则 |X||Z| = |Y||Z|。 
若 X 是无穷而 Y 是有限及非空，则 |X||Y| = |X|。
基数序列及连续统假设
对每一个基数，存在一个最小比它大的基数。这在自然数当然是对的。自然数集的基数是Nο，康托尔称下一个是 N1，相类似的,还定义了如下一个序列: Nο, N1, …Nn…。
注意c=Nο。连续统假设猜想，就是 c=N1。
连续统假设是与一般集论公理（即Zermelo-Fraenkel 公理系统加上选择公理）是独立的。
更一般的假设，即Nn+1=2Nn（2的Nn次）。
广义连续统假设，就是对所有无穷基数N，都不存在界乎 N与 2N（2的N次）之间的基数。
对基数比较数量方法的质疑
以下是某位网友对等势理论的质疑。这位朋友有大胆质疑的精神当然值得嘉奖，但是以本人愚见，就其内容来说，存在诸多问题，形式或者格式也不够严谨清楚。请有兴趣的读者先阅览以下的质疑部分。有一定水平的读者，如有兴趣，可以试着自行推翻这一段质疑，还可以想一想这些错误形成的原因是什么。本人下次可能会在后面附上我对这段“反驳”的“反驳”。
“质疑”开始：
基数比较的方法是一一对应，即两集合如果能建立起一一对应，则该两集合拥有相同基数。一一对应的方法会导致部分的数量与全体的数量对应，这样做的后果一是导致实无穷，二是导致代数基本不等式不成立。对基数比较方法的质疑主要源于对实无穷的质疑。实无穷是在哲学上极其具有争议的词项，潜无穷与实无穷之争可以上溯到亚里士多德；不在少数的哲学家和数学家仅承认潜无穷或者自然数集的无穷基数\omega，其中一位代表人物是构造性学派的创始人---布劳威尔。因此，对集合所含元素多少的比较和是否存在实无穷一直存在争议，常见于数学哲学著作。部分数学家认为选择公理（Axiom of Choice, AC）即意味着实无穷的存在，另一部分数学家和哲学家否认实无穷，常选择ZF公理系统而不是ZF+AC系统作为集合论的基础，有时出于实际需要会选择AC的某些弱形式，比如依赖选择原则（DC）。对实无穷和一一对应的反驳最强有力的理由在于：任何人都无法重复无限步骤。常见的对实无穷和一一对应的反驳有：
等势（等基数）的概念。
设A、B是两个集，如果存在一个A到B的一一对应，那么称集A与集B等势（或相似、或对等、或等奇数），记为A～B，规定空集跟自身等势。
而等势的概念是我们建立势的理论从而对集合进行比较的基础。
例如，正偶数集合和自然数集，ψ:n->2n，即可使得两集合之间建立一一对应，因此他们是等势的。”
反驳：
对等的方法，只能在有限集比较中有效。扩展到无限集是不可信的。
例：“问：某班学生人数与教室的凳子数哪个多？最笨但也最显然的方法是规定每个学生都去坐在凳子上，而且一个学生只能坐一张凳子。最后，如果有学生没坐到凳子，那么便是学生多。如果最后有凳子空着，那么便是凳子多。”
如果是有限数量，可以用一对一的方法比较，无限数量，不行。
假设来个副校长，要求每两个学生坐一个凳子，然后他检查了教室一，教室2，教室三......他看到的每个教室都是如此，后面的教室他认为不用检查了（或根本不可能检查完——无穷的概念），于是他宣布，本学校凳子数量，正好是学生数量的一半。
第二天，又来个副校长，要求每个学生坐一个凳子，然后他检查了教室一，教室2，教室三......他看到的每个教室都是如此，后面的教室他认为不用检查了（或根本不可能检查完——无穷的概念），于是他宣布，本学校凳子数量，正好等于学生数量。
两位自以为是的校长都有可能是对的，也可能是错的，方法不对。
在有限集的比较过程中，关键不在建立了怎样的对应关系，关键在于我们要比较到最后，至少一个集合结束了，而另一个集合中元素数量已经超过对比集合数量，而且还没结束，我们才能证明一个集合建立的对应关系比另一个集合数量多。
自然数集中可以抽出偶数集，跟偶数集完全一一对应，而自然数集还有剩余元素，因此我们可以得到结论：自然数集比偶数集多。
对反驳的解释，请各位专家指正：
这个反驳是错误的，偶数和自然数从无限集合的角度看去其实都是一样的集合，仅仅是取的单位1不同。当取无穷时，偶数和自然数是可以一一对应的，这个就是有限集和无限集合的不同之处。我们讨论基数的大小必须在无限集的角度去讨论。
康托尔对角线证明
现在来证明实数区间[0, 1]中所有的实数组成的集合是不可列集。
其实只要证明(0,1]区间的实数集是不可列的。如果它是可列的，说明其中所有的实数均可排列成一数列t1,t2,...,tn,...，只有这样，它才能对等于自然数集。好，这时我们将(0,1]中的实数用十进制的无限小数表示：
t1 = 0. t11 t12 t13 ... t1n ...
t2 = 0. t21 t22 t23 ... t2n ...
...
tm = 0. tm1 tm2 tm3 ... tmn ...
...
其中所有的tij都是0～9这十个数字中的某一个。
但是现在我们可以构造一个小数a=0. a1 a2 a3 ... ak ...，任意的ai也都是0～9这十个数字中的某一个，但我们让每个ai都不等于上述实数列中的tii，也就是让第i位的数字跟数列中第i行第i个数字不同。这是可行的，因为我们用的是十进制小数，还剩下9个不同数字可供选择呢。
当我们构造好了这样的一个小数之后，我们发现它实际上跟上述小数列中的任何一个都不相等。这就造成了逻辑上的矛盾，你说已经把所有小数都列出来了，但是我却发现至少我构造的这个小数，你还没有罗列出来。就算你亡羊补牢，把我这个也补充进去，但是我还是可以根据同样规则又构造出另一个。所以，只能说明实数是无法跟可列集形成一一对应的，也就是前面的假设是错误的。
因此[0, 1]区间的实数不是可列集。同样，取掉0，1两个数之后的(0,1)区间的实数也不是可列集。
反驳：
无限集都是不可写全的，比如跟本不能写出一个(0,1)之间小数位最长的有理数，因此本证明的假设条件不成立，其它一切都无效。除非新构造的不是实数，否则只能证明假设将所有实数列出的假设不成立。所以康托尔对角线证明法不成立。而事实上，如果允许等势的概念存在，所有无穷集，都等势。总是你有一个元素，我就能拿出一个元素对应，同样也都可以你拿1个我拿2个，或相反，你拿2个我拿1个，都是能永远对应的，没有尽头。
对反驳的解释，请各位专家指正：
假定我们对于自然数集合，它的基数是N0，我们可以在这个集合中任意两个自然数之间插入一个数，这个数既可以是有理数也可以是无理数。如果这个插入的数是有理数，它构成的集合仍然属于N0，但是如果插入的这个数是无理数，那么这个元素本身不再属于N0 。 他将构建一个比NO大的基数的集合。
“质疑”到此结束。
对此质疑的反驳暂时留给读者。
所谓“反驳”的一个基本错误
康托尔对角线证明中的“可列”，是指某些无限集中的所有数可以一个一个地排列，但绝不是要你把它们都“写”出来。正整数集、有理数集等许多无限集都是可列的，这类无限集叫“可列集”、“可数集”。康托尔对角线证明说明实数集的基数比自然数集、有理数集的基数大。
另外，“(0,1)之间小数位最长的有理数”是可以写出来的，比如1/3对应的小数就是。首先需要明确，无限小数的小数位是已经排列好的，从十分位、百分位、千分位、万分位……一直排下去。因此，无限小数的小数位的长度就是自然数集合的基数。于是，每一个无限小数（循环或不循环）的小数位长度都相等，每一个无限小数都是“小数位最长的有理数”。——所谓“小数位最长”，不等于你可以要求一个小数拥有实数集基数长度的小数位。