标题：奥马·海亚姆
基本信息
奥马·海亚姆的全名是吉亚斯丁·阿布·法斯·奥马·本·伊卜拉欣·内沙布里（Ghiyāth al－Dīn abu’l－Fath‘Umar ibnIbrāhīm al-Nīsābūrī）．从他的名字可以知道他的家族大致情况①．父亲是伊卜拉欣，有一个儿子名法斯，奥马（‘Umar也拼作Omar）是他自己的名字，吉亚斯丁（Ghiyāth al-Dīn）原意是“信仰的帮助”，是后来获得的尊称，内沙布里表明他来自内沙布尔或籍贯是内沙布尔．西方人更多地称他为奥马海亚姆或海亚米（al-Khayyāmī），“海亚姆”是制造或经营帐篷的职业，说明他的父亲或祖辈是从事这种工作的．
个人履历
背景介绍奥马出生之前，西亚地区政局动荡不安．11—12世纪，塞尔柱（Seljuk)突厥人(Turk）在那里建立一个庞大但不稳固的军事帝国，占有两河流域和现在的伊朗、叙利亚、巴勒斯坦、格鲁吉亚、亚美尼亚等地．奥马早年在家乡受教育，以后成为一名家庭教师，生活是清苦的，没有很多闲暇去从事科学研究．奥马在他的《代数学》中写道：“我不能集中精力去学习这种‘代数学’，时局的变乱阻碍着我，……．”尽管如此，奥马仍然写出了颇有价值的《算术问题》（Problems of arithmetic）和一本关于音乐的小册子．工作经历1070年左右，奥马来到撒马尔罕（Samarkand，今属乌兹别克）．在当地统治者阿布·塔希尔（Ab&T1hir）的庇护下，奥马写成他的主要代数著作《还原与对消问题的论证》
（Ris1la fi’l－bar1hīn‘al1 mas1’il aljabr wa’l-muq1bala，Treatise on demonstration of problems of algebra and almuqa－bala），简称《代数学》．不久，他又接受塞尔柱苏丹（Sultan，最高统治者的称号）杰拉勒丁·马利克沙（Jal1l al-Dīn Malik-sh1h，1055—1092）和他的大臣尼赞·穆勒克（Niz1m al－Mulk)的邀请，前往伊斯法罕(lsfahan，今伊朗西部），管理那里的天文台，进行历法改革．他在那里工作了18年之久．这是他一生中最安谧的日子．
1092年，政治气候突变，马利克沙去世，庇护人尼赞·穆勒克遭到暗杀，奥马备受冷遇．马利克沙的第二个妻子土坎·哈通（Turk1n－Kh1t&n）接替执政二年，对奥马很不友善，撤消了天文台的资助，研究工作被迫止，历法改革半途而废．奥马虽已失去昔日的恩宠，但仍留在塞尔柱的宫廷里，尽力劝说马利克沙的继承者重新支持天文台和开展一般的科学研究．他描述伊朗古代的统治者宽宏大量，尊重学者，致力于兴办教育，发展科学，为文化事业立下不朽的功勋．
奥马始终未能说服当权者．1118年，马利克沙的第三子桑贾尔（Mu‘izz ad－Dīn Sanjar，1084？—1157）登上王位．奥马离开伊斯法罕，到塞尔柱王朝的新首都梅尔夫[Merv，今马雷（MapЬI），属土库曼]．他和弟子们一起写了《智慧的天平》（Balance of wisdoms）等书，研究如何利用金属比重去确定合金的成分，所用方法是纯粹代数的．这问题源出于阿基米德的研究．
奥马是一个渊博的科学家，但在西方却以诗人而闻名．他写了很多四行诗（quatrain），其中透露出无神论的自由思想．这在他的一生中导致很多麻烦．晚年的时候，他甚至到麦加去朝觐，力图洗刷人们对他的无神论的指控．
历法改革
奥马在伊斯法罕期间，领导一批天文学家编制天文表，为了纪念庇护人，定名为《马利克沙天文表》（Zīj Malik-sh1hī，Maliksh1hAstronomical Tables），现在只有一小部分流传下来，其中包括黄道坐标表和100颗最亮星的星表等．
天文台更重要的工作是进行历法改革．波斯地区自古以来就使用阳历，公元前1世纪施行琐罗亚斯德教（Zoroaster，中国史称祆教、拜火教）的阳历，定一年为365天，分12个月．萨珊（S1s1n）王朝（公元226—621年）定阳历为官历。阿拉伯人征服这个地区以后，实行伊斯兰教的阴历．这种历分一年为12个月，6个大月，6个小月，大月30天，小月29天，全年354天．闰年增加一个闰日成为355天，30年加11个闰日．阴历一年和实际的回归年365.2422日相差约11天，因此和四季是不合拍的，这对农业很不方便．奥马时代，波斯人继续使用传统的阳历，但因置闰的方法不精，渐渐产生误差．有识之士看到，历法要符合天时，必须进行根本的改革．
马利克沙执政后，在伊斯法罕兴建天文台，聘请以奥马为首的一群天文学家去完成改革的任务．奥马提出在平年365天的基础上，每33年365.2422 日仅相差19.37秒钟，积4460年才差1天．而现行的公历（格里历）400年置97个闰日，历年长365.2425日，3333年差1天．
值得注意的是，如将0.2422展成连分数，可知各个渐近分数是
128年差1天．第2个分数是29年7闰，1218年差1天．根据有理逼近的理论，比奥马闰法（33年8闰）更精密的闰法有95年23闰，1万年以上才差1天．如果限定周期小于95年，那么33年8闰就是最佳的选择．这表明奥马有较高的理论水平．他以1079年3月16日为历法的起点，定名为“马利克纪元”（Malik9era）或“杰拉勒纪元”（Jal1l9 era）．可惜改历工作随着领导人的死亡而夭折．
伊斯兰教的阴历主要用于宗教，它最大的缺点是和寒暑完全脱节，夏天有时在1月，有时在6月．而奥马改革后的阳历和四季是一致的．他对此颇感欣慰，曾作四行诗以咏其事：
啊，人们说我的推算高明，
我曾经把旧历的岁时改正——
谁知道那只是从历书之中
消去未生的明日和已死的昨晨．
生平贡献
提出开高次方根奥马在《代数学》一书中写道：“印度人有他们自己的开平方、开立方方法，……我写过一本书，证明他们的方法是正确的．我并加以推广，可以求平方的平方、平方的立方、立方的立方等高次方根．这些代数的证明仅仅以《几何原本》的代数部分为根据．”
这里所说他写的书可能就是《算术问题》．现在莱顿大学藏有奥马著作的手稿，但只有《算术问题》的封面，内容已遗失．
奥马所了解的“印度算法”，实际来自两本较早的书．一本是吉利（Kushy1ribn Labb1n al－J9l9）的《印度计算原理》（Princi-ples of Hindu reckoning）；另一本是奈塞维（‘Al9 ibn Ahmadal－Nasaw9）的《印度计算必备》（Things sufficient to understandHindu reckoning）．然而这些书所记述的开平方、开立方法和印度文献所载的相去颇远，倒是和中国古代的方法密近．中国的《九章算术》早已给出开平方、开立方的完整法则，并推广用于方程的数值解．伊斯兰数学很可能受到中国直接或间接的影响，因为自古以来丝绸之路就是中国和中亚的交通要道．不过由于他们使用了10个印度数码，于是被误认为“印度算法”．
在现存的阿拉伯文献中，最早系统地给出自然数开高次方一般法则的是纳西尔丁（Nasir ad－D9n al－T&9，也称图斯）编纂的《算板与沙盘算术方法集成》（Collection on arithmetic by meansof board and dust）．他没有指出发明者，但他非常熟悉奥马的工作，故很可能来自奥马．用圆锥曲线解三次方程中世纪的阿拉伯数学家对圆锥曲线作了很多探索．最值得称道的是奥马海亚姆用圆锥曲线来解三次方程．这种方法可以溯源于希腊的门奈赫莫斯（Menaechmus），事实上他就是为了解决倍立方问题（相当于三次方程x3=2a3）而发现圆锥曲线的．后来阿基米德在《论球与圆柱》（On the sphere and cylinder）卷2命题4提出这样的问题：用一平面把球截成两部分，使这两部分的体积成定比．这问题导致三次方程
x2(a-x)=bc2．
解法的要点是求两条圆锥曲线的交点，一条是双曲线（a－x)y=ab，另一条是抛物线ax2=c2y．
阿基米德的“平面截球问题”引起阿拉伯数学家的极大兴趣．巴格达的马哈尼（al－M1h1nī）最先试图用代数方法去解，但没有成功．后来哈津（AbūJa1cfar al－Kh1zin）用圆锥曲线来解．研究这问题的还有库希（al－Kuhi）、伊本·海塞姆（Ibn al－Haytham）、艾布尔·朱德（Abu’l Jud）等．
奥马的功劳，在于考虑了所有形式的三次方程．由于他只取正根，系数也只限于正数，因此三次方程有各种不同的类型．他将一、二、三次方程归结为25类，属于三次方程的14类：缺一、二次项的x3=a；缺二次项的3类：x3+bx=a，x3+a=bx，bx+a=x3；缺一次项的3类：x3+cx2=a，x3+a=cx2，cx2+a=x3；不缺项的7类：x3+cx2+bx=a，x3+cx2+a=bx，x3+bx+a=cx2，cx2+bx+a=x3，x3+cx2=bx+a，x3+bx=cx2+a，x3+a=cx2+bx．
每一类都给出几何解法，即用两条圆锥曲线的交点来确定方程的根．奥马在《代数学》中，专门阐述了方程的几何解法．1851年，F．韦普克（Woepcke）将此书从阿拉伯文译成法文，书名为《奥马海亚姆代数学》（L’algèbre d’Omar Alkhayyāmī）．以后又有D．S．卡西尔（Kasir）英译校订本《奥马海亚姆代数学》（The algebra of Omar Khayyam，1931）．下面取出其中的一个例子，用现代术语和符号来分析奥马的方法（文献[1]， p．75）．
要解的方程是
x3+ax=b．⑴
按照希腊人的观点，将一个数看作一个线段，那么两个数之积就是矩形，三个数之积是长方体．同维数的量才能相加，所以先将方程改成齐次的形式
x3+c2x=c2h．⑵
右端c2h表示一个以c，c，h为边的长方体．
用解析几何的语言来说，方程⑵的根就是抛物线
x2=cy(3 )
和半圆周
y2=x(h-x）⑷
交点的横坐标x．因为从⑶，⑷两式消去y，就得到⑵．
此题在原书中是第6章第1题，完全用文字叙述，没有方程的形式．方程⑵表述为“立方与边（根）等于一个数”．解题的步骤是：以BO=h为直径作半圆BPO，作AOD⊥BO，以O为顶点，OA=C为参数”（正焦弦）作抛物线POQ交半圆周于P．作PD⊥AD，PE⊥BO，则PD就是⑵的根（图1）．
事实上，记PD=x，PE=y，在半圆内，
PE2=y2=EO·BE=PD·BE=x(h-x），
根据抛物线的性质，
PD2=x2=OA·PE=cy，
这正是⑶，⑷两式．
奥马曾探索过三次方程的算术（代数）解法，但没有成功．他在《代数学》中写道：“对于那些不仅含有常数项、一次项、二次项的方程，也许后人能够给出算术解法”．经过几百年的努力，三、四次方程的一般代数解法直到16世纪才由意大利数学家给出，五次以上方程的可解性问题到19世纪才解决①．推进几何代数学的发展奥马发展了欧几里得的几何代数学，使几何与代数更紧密地联系起来，这是一项重要的贡献．可惜在1851年韦普克的译本出现之前，欧洲人几乎完全不知道他的工作（尽管在18世纪已有一些零星的介绍）、否则解析几何的发现和推进会更加迅速．
用现代的观点看，如果引入负数并承认负根，三次方程可以写成统一的形式
x3+ax2+b2x+c3=0，⑸
不必如此烦琐地分类．以
x2=py⑹
代入⑸，得到
pxy+apy+b2x +c3=0．⑺
⑹是抛物线，⑺是双曲线．作出这两条线，交点的横坐标便是⑸的根对《几何原本》的研究奥马在欧几里得几何的研究方面有两项贡献，一是对平行公设的试证，二是对比与比例提出新的见解．
早在9世纪，当欧几里得《几何原本》传入伊斯兰国家后，第五公设就引起学者们的注意．所谓第五公设或平行公设就是在《原本》中提出的公理：“如果一直线和两直线相交，所构成的两个同旁内角之和小于两直角，那么，把这两直线延长，它们一定在那两内角的一侧相交．”这公设不论在词句或内容方面都比其他四个公设复杂得多，而且也不那么显而易见．人们自然会发生是否可以证明的疑问．
阿拉伯学者对此公设进行试证的有焦赫里（al－Jawharī），塔比伊本库拉（Thābit ibn Qurra），伊本海塞姆（Ibn al－Haytham，即Alhazen），奥马海亚姆等人．实质上他们并没有证明了公设，而是采用另外一与之等价的公设来代替它．
奥马在1077年撰写了《辩明欧几里得公设中的难点》（Explanation of the difficul－ties in the postulates of Euc－lid）一书，讨论了两个难题，一是平行公设，二是比的问题．他考察四边形ABCD，DA与CB同垂直于AB且DA=CB（图2）．无需用平行公设，很容易证明∠C=∠D．而∠C，∠D的大小有三种可能：⑴等于直角；⑵等于钝角；⑶等于锐角．若采用平行公设．可以证明∠C，∠D等于直角．反之，若能证明∠C，∠D等于直角，便可推出平行公设．奥马用反证法，“证明”钝角、锐角假设必导致矛盾，因此只有直角的情形成立，这就无异证明了平行公设．但他的证明是有缺陷的，实际是引入下述假设来代替平行公设：两条直线如果越来越接近，那么它们必定在这个方向上相交．所以他也未解决平行公设问题．
18世纪时，G．萨凯里（Saccheri）重新研究这个四边形（后人常称之为“萨凯里四边形”），由此得出一系列互不矛盾的命题．他和前人虽然未建立（也未意识到）非欧几何，但已为非欧几何的诞生铺平了道路．比与比例比与比例也是奥马研究的中心问题．早在公元前5世纪，毕达哥拉斯学派就建立过比例论，不过只限于可公度量．如果A，B两个量可公度，即存在正整数m，n，使得mA=nB，则
就是一个数．但若A，B不可公度，他们便认为A与B无法相比．这样就很难建立一切量的比例论．欧多克索斯(Eudoxus of Cni－dus）为了摆脱这一困难，另立“比”的定义：如果一个量加大若干倍之后就可以大于另一个量，则说这两个量有一个“比”．接着定义“比例”：设有A，B，C，D4个量，A与C，B与D分别乘以同样的倍数m，n，如果
则说两个比A∶B与C∶D相等，即4个量可构成比例A∶B=C∶D．
欧多克索斯采取这一定义是煞费苦心的，这样可回避无公度的麻烦，由此出发完成了适用于一切量的比例论．欧几里得将欧多克索斯的理论编入《原本》成为卷V．伊斯兰学者并不怀疑比例论的真理性，而是对其立论的出发点即比例的定义持有异议．最先提出新定义的是马哈尼（al－M1h1n9，他的思路可用现代术语表述如下：将A/B及C/D展开成连分数，A/B=(q1，q2，…，qn，…），C/D=(q′1，q′2，…，q′n，…），其中qi，q′i(i=1，2，…）是各个偏商．如果qi=q′i(i=1，2，…）则称A，B，C，D成比例，即A/B=C/D．马哈尼认为这定义能更好地揭露比例的本质．它适用于可公度量与不可公度量，在可公度的情况，n是有限的．
奥马论证了这种定义和《原本》中比例定义的等价性，进而研究比及比例的若干性质，对伊斯兰数学和西方数学都有重要的影响．
另一方面，希腊人虽然承认无公度的两个量A，B有比，但始终不承认A/B是一个数（即无理数），这就大大妨碍了数学的发展．奥马勇敢地冲破这一桎梏，主张扩大数系，将无公度量的比接纳在内．例如2的平方根，圆周长与直径的比等等，应该考虑为一种新的数．这在思想上是一次不寻常的飞跃，是建立实数系的先声．然而直到19世纪才真正实现了他的理想．四行诗四行诗很像中国的绝句，每首四行，第一、二、四行押韵．奥马究竟写了多少首四行诗，没有准确的数字．剑桥大学图书馆藏有最早的（1208年）手抄本，收入252首．而在他名义下出版的波斯文诗集多达1069首．但有人考证只有一百多首确实是他作的．1859年，英国诗人菲茨杰拉德（Edward Fitz Gerald）将75首译成英文，取名“Rubáiyát of Omar Khayyam”，广为流传．郭沫若于1928年将英译本译成中文，题名《鲁拜集》．（鲁拜是阿拉伯语，意为四行诗．）
奥马曾写过几种哲学著作，他的四行诗也包含很多哲理，其中表露的思想相当复杂．很难作出一致的评价．一方面，诗作的可靠性问题众说纷纭；另一方面，在官方的示意下有时很难畅所欲言．因此对他的议论褒贬不一，毁誉参半．总的来说，他不囿于伊斯兰教所宣扬的真主创造世界的观点，对窒息学术探讨的社会环境表示不满．正统的穆斯林不喜欢他，但广大读者爱读他的诗，从中得到启迪，进而探索人生的真谛．后人为了纪念他，1934年由多国集资，在内沙布尔为他修建了一座高大的陵墓．