标题：一元二次方程
定义
只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2次的整式方程叫做一元二次方程( quadratic equation of one variable 或 a single-variable quadratic equation)。
一元二次方程有三个特点：
(1)有且只含有一个未知数；
(2)且未知数的最高次数是2；
(3)是整式方程．要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理．如果能整理为 ax^2+bx+c=0(a≠0)[1]的形式，则这个方程就为一元二次方程．里面要有等号，且分母里不含未知数。
求解一元二次方程可以用公式y=(-b+-(b^2-4ac)^(1/2))/2a其中△=b^2-4ac是根的判别式。
也可以用图像法和代数法求解值，比如：x^2+2x+1=0可以将方程化为（x+1)^2=0再进行求解。
补充说明
1、该部分的知识为初等数学知识，一般在初三就有学习。(但一般二次函数与反比例函数会涉及到一元二次方程的解法)
2、该部分是中考的热点。
3、方程的两根与方程中各数有如下关系： X1+X2= -b/a，X1·X2=c/a（也称韦达定理）
4、方程两根为x1，x2时，方程为：x&sup2;2-(x1+x2)X+x1x2=0 (根据韦达定理逆推而得)
5、在系数a>0的情况下，b^2-4ac>0时有2个不相等的实数根，b&sup2;2-4ac=0时有两个相等的实数根，b^2-4ac<0时无实数根。(在复数范围内有两个复数根。)
6、一元二次方程解法：一般式ax^2+bx+c=0（a、b、c是实数，a≠0)
例如：x^2+2x+1=0配方式a(x+b/2a)^2=(4ac-b2)/4a两根式a(x-x1)(x-x2)=0公式法x=(-b±√b^2-4ac)/2a  求根公式[1]（右图化简所得）十字相乘法x^2+（p+q）x+pq=（x+p）（x+q）
解法
1.分解因式法（可解部分一元二次方程）
因式分解法又分“提公因式法;而“公式法”（又分“平方差公式”和“完全平方公式”两种）”另外还有“十字相乘法”。因式分解法是通过将方程左边因式分解所得，因式分解的内容在八年级上学期学完。
如
1.解方程：x2+2x+1=0
解：利用完全平方公式因式解得：（x+1）2=0
解得：x1= x2=-1
2.解方程x（x+1）-3（x+1）=0
解：利用提公因式法解得：（x-3）（x+1）=0
即 x-3=0 或 x+1=0
∴ x1=3，x2=-1
3.解方程x2-4=0
解：（x+2）（x-2）=0
x+2=0或x-2=0
∴ x1=-2，x2= 2
十字相乘法公式：
x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)
例：
1. ab+2b+a-b- 2 
=ab+a+2b-b-2
=a(b+1)+(b-2)(b+1)
=(b+1)(a+b-2)2.公式法（可解全部一元二次方程）  求根公式[2]
首先要通过Δ=b2-4ac的根的判别式来判断一元二次方程有几个根
1.当Δ=b&sup2;-4ac<0时 x无实数根（初中）
2.当Δ=b&sup2;-4ac=0时 x有两个相同的实数根 即x1=x2 
3.当Δ=b&sup2;-4ac>0时 x有两个不相同的实数根
当判断完成后，若方程有根可根属于2、3两种情况方程有根则可根据公式：x={-b±√（b2－4ac）}/2a
来求得方程的根3.配方法（可解全部一元二次方程）
如：解方程：x2+2x－3=0
解：把常数项移项得：x2+2x=3
等式两边同时加1（构成完全平方式）得：x2+2x+1=4
因式分解得：（x+1)2=4
解得：x1=-3,x2=1
用配方法的小口诀
二次系数化为一
常数要往右边移
一次系数一半方
两边加上最相当4.开方法（可解部分一元二次方程）
如：x2-24=1
解：x2=25
x=±5
∴x1=5 x2=-55.均值代换法（可解部分一元二次方程）
ax2&sup2;+bx+c=0
同时除以a，得到x2+bx/a+c/a=0
设x1=-b/(2a)+m，x2=-b/(2a)-m (m≥0)
根据x1·x2=c/a
求得m。
再求得x1, x2。
如：x2&sup2;-70x+825=0
均值为35，设x1=35+m，x2=35-m (m≥0)
x1·x2=825 
所以m=20
所以x1=55， x2=15。
一元二次方程根与系数的关系（以下两个公式很重要，经常在考试中运用到）（韦达定理）
一般式：ax&sup2;+bx+c=0的两个根x1和x2关系：
x1+x2= -b/a
x1·x2=c/a
简单解法
1．看是否能用因式分解法解（因式分解的解法中，先考虑提公因式法，再考虑平方公式法，最后考虑十字相乘法）
2．看是否可以直接开方解
3．使用公式法求解
4．最后再考虑配方法（配方法虽然可以解全部一元二次方程，但是有时候解题太麻烦）。 如果要参加竞赛，可按如下顺序：
1.因式分解 2.韦达定理 3.判别式 4.公式法 5.配方法 6.开平方 7.求根公式 8.表示法
例题精讲
1、开方法直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法。用直接开平方法解形如(x-m)^2=n (n≥0)的方程，其解为x=m±√n
例1．解方程（1）(3x+1)2=7 （2）9x2-24x+16=11 
分析：（1）此方程显然用直接开平方法好做，（2）方程左边是完全平方式(3x-4)2，右边=11>0，所以此方程也可用直接开平方法解。 
（1）解：(3x+1)2=7 
3x+1=±√7
x= ...
∴x1=...,x2= ...
（2）解： 9x2-24x+16=11 
(3x-4)2=11 
3x-4=±√11
x= ...
∴x1=...,x2= ...2．配方法：例一：用配方法解方程 3x∧2－4x-2=0
解：将常数项移到方程右边 3x∧2-4x=2 
将二次项系数化为1：x∧2-4/3x=2/3 
方程两边都加上一次项系数一半的平方：x∧2-4/3x+( -2/3)2= 2/3+(-2/3 )2
配方：(x-2/3)∧2=10/9 
直接开平方得：x-2/3=±√(10)/3 
∴x1=√(30)/9+2/3 , x2=-√ (30)/3+2/3.
∴原方程的解为x1=√(30)/9+2/3 , x2=-√ (30)/3+2/3. 3．公式法把一元二次方程化成ax2+bx+c的一般形式，然后把各项系数a, b, c的值代入求根公式就可得到方程的根。 
公式：x=[-b±√(b2-4ac)]/2a
当Δ=b2-4ac>0时，求根公式为x1=[-b+√(b2-4ac)]/2a,x2=[-b-√(b24ac)]/2a（两个不相等的实数根）
当Δ=b2-4ac=0时，求根公式为x1=x2=-b/2a（两个相等的实数根）
当Δ=b2-4ac<0时，求根公式为x1=[-b+√(4ac-b2)i]/2a,x2=[-b-√(4ac-b2)i]/2a
（两个复数根）（初中理解为无实数根）
例3．用公式法解方程 2x2-8x=-5 
解：将方程化为一般形式：2x2-8x+5=0 
∴a=2, b=-8，c=5 
b2-4ac=(-8)2-4×2×5=64-40=24>0 
∴x= (4±√6)/2
∴原方程的解为x?=(4+√6)/2,x?=(4-√6)/2. 4．因式分解法把方程变形为一边是零，把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式，让两个一次因式分别等于零，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程所得的根，就是原方程的两个根。这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。 
例4．用因式分解法解下列方程： 
(1) (x+3)(x-6)=-8
(2) 2x2+3x=0 
(3) 6x2+5x-50=0 (选学）
(4)x2-4x+4=0 （选学） 
(1)解：(x+3)(x-6)=-8 化简整理得 
x2-3x-10=0 (方程左边为二次三项式，右边为零) 
(x-5)(x+2)=0 (方程左边分解因式) 
∴x-5=0或x+2=0 (转化成两个一元一次方程) 
∴x1=5 x2=-2是方程的解。 
x(2x+3)=0 (用提公因式法将方程左边分解因式) 
∴x=0或2x+3=0 (转化成两个一元一次方程) 
∴x1=0，x2=-3/2是原方程的解。 
注意：有些同学做这种题目时容易丢掉x=0这个解，应记住一元二次方程通常有两个解。 
(3)解：6x2+5x-50=0 
(2x-5)(3x+10)=0 (十字相乘分解因式时要特别注意符号不要出错) 
∴2x-5=0或3x+10=0 
∴x?=5/2, x?=-10/3 是原方程的解。 
(4)解：x2-4x+4 =0 
(x-2)(x-2 )=0 
∴x1=x2=2是原方程的解。5.十字相乘法十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数。
例5：用十字相乘法解下列方程：
解： m2+4m-12=0
∵ 1，-2
1，6
∴（m-2）（m+6）=0
∴m-2=0或m+6=0
∴m1=2;m2=-6小结一般解一元二次方程，最常用的方法还是因式分解法，在应用因式分解法时，一般要先将方程写成一般形式，同时应使二次项系数化为正数。 
直接开平方法是最基本的方法。 
公式法和配方法是最重要的方法。公式法适用于任何一元二次方程（有人称之为万能法），在使用公式法时，一定要把原方程化成一般形式，以便确定系数，而且在用公式前应先计算根的判别式的值，以便判断方程是否有解。 
配方法是推导公式的工具，掌握公式法后就可以直接用公式法解一元二次方程了，所以一般不用配方法解一元二次方程。但是，配方法在学习其他数学知识时有广泛的应用，是初中要求掌握的三种重要的数学方法之一，一定要掌握好。（三种重要的数学方法：换元法，配方法，待定系数法）。
课外拓展
一元二次方程 
一元二次方程（quadratic equation of one variable）是指含有一个未知数且未知数的最高次项是二次的整式方程。 一般形式为ax2+bx+c=0, (a≠0)。在公元前两千年左右，一元二次方程及其解法已出现于古巴比伦人的泥板文书中：已知一个数与它的倒数之和等于一个已给数，求出这个数，使 x1+ x2 =b,x1·x2=1,x2-bx+1=0, 
他们再做出解答 。可见巴比伦人已知道一元二次方程的求根公式。但他们当时并不接受 负数，所以负根是略而不提的。 
埃及的纸草文书中也涉及到最简单的二次方程，例如：ax2=b。 
在公元前4、5世纪时，我国已掌握了一元二次方程的求根公式。 
希腊的丢番图（246-330）却只取二次方程的一个正根，即使遇到两个都是正根的情况，他亦只取其中之一。 
公元628年，从印度的婆罗摩笈多写成的《婆罗摩修正体系》中，得到二次方程x2+px+q=0的一个求根公式。 
在阿拉伯阿尔．花拉子米的《代数学》中讨论到方程的解法，解出了一次、二次方程，其中涉及到六种不同的形式，令 a、b、c为正数，如ax2=bx、ax2=c、 ax2+c=bx、ax2+bx=c、ax2=bx+c 等。把二次方程分成不同形式作讨论，是依照丢番图的做法。阿尔．花拉子米除了给出二次方程的几种特殊解法外，还第一次给出二次方程的一般解法，承认方程有两个根，并有无理根存在，但却未有虚根的认识。
十六世纪意大利的数学家们为了解三次方程而开始应用复数根。 
韦达（1540-1603）除已知一元方程在复数范围内恒有解外，还给出根与系数的关系。 
我国《九章算术．勾股》章中的第二十题是通过求相当于 x2+34x-71000=0的正根而解决的。我国数学家还在方程的研究中应用了内插法。
根的解析
一、教学内容分析
“一元二次方程的根的判别式”一节，在《华师大版》的新教材中是作为阅读材料的。从定理的推导到应用都比较简单。但是它在整个中学数学中占有重要的地位，既可以根据它来判断一元二次方程的根的情况，又可以为今后研究不等式，二次三项式，二次函数，二次曲线等奠定基础，并且用它可以解决许多其它综合性问题。通过这一节的学习，培养学生的探索精神和观察、分析、归纳的能力，以及逻辑思维能力、推理论证能力，并向学生渗透分类的数学思想，渗透数学的简洁美。
教学重点：根的判别式定理及逆定理的正确理解和运用
教学难点：根的判别式定理及逆定理的运用。
教学关键：对根的判别式定理及其逆定理使用条件的透彻理解。
二、学情分析
学生已经学过一元二次方程的四种解法，并对 的作用已经有所了解，在此基础上来进一步研究 作用，它是前面知识的深化与总结。从思想方法上来说，学生对分类讨论、归纳总结的数学思想已经有所接触。所以可以通过让学生动手、动脑来培养学生探索精神和观察、分析、归纳的能力，以及逻辑思维能力、推理论证能力。
三、教学目标
依据教学大纲和对教材的分析，以及结合学生已有的知识基础，教学目标是：
知根的情况，因此，我们把叫做一元二次方程的根的判别式，通常用符号"△"
解题步骤
(1)分析题意，找到题中未知数和题给条件的相等关系；  一元二次方程
(2)设未知数，并用所设的未知数的代数式表示其余的未知数； 
(3)找出相等关系，并用它列出方程； 
(4)解方程求出题中未知数的值； 
(5)检验所求的答案是否符合题意，并做答．
例题精讲
1．对有关一元二次方程定义的题目，要充分考虑定义的三个特点，不要忽视二次项系数不为0． 
2．解一元二次方程时，根据方程特点，灵活选择解题方法，先考虑能否用直接开平方法和因式分解法，再考虑用公式法． 
3．一元二次方程 (a≠0)的根的判别式正反都成立．利用其可以(1)不解方程判定方程根的情况；(2)根据参系数的性质确定根的范围；(3)解与根有关的证明题． 
4．一元二次方程根与系数的应用很多：(1)已知方程的一根，不解方程求另一根及参数系数；(2)已知方程，求含有两根对称式的代数式的值及有关未知数系数；(3)已知方程两根，求作以方程两根或其代数式为根的一元二次方程．
推导过程
下面将探讨如何导出一元二次方程的求根公式。因为配方可将等式左边化为完全平方式，右边化为不含x的代数式，所以可尝试用配方法推导。
推导过程如下：
ax2+bx+c=0
a(x2+bx/a）+c=0
a(x2+2×x×b/2a)+c=0 （为了配方，不妨将左边的括号内加上(b/2a)2）
a[x2+2×x×b/2a+(b/2a)2]+c-b2/4a=0 (这时左边括号内就可以用完全平方公式)
a(x+b/2a)2=b2/4a-c
a(x+b/2a)2=(b2-c/4a)/4a
x+b/2a=√[(b2-c/4a)/4a]
x=√[(b2-c/4a)/4a]-b/2a （化简得）
x=[-b±√（b2-4ac）]-2a （前提是b2-4ac≥0）
韦达定理
韦达定理实质上就是一元二次方程中的根与系数关系
韦达定理(Viete's Theorem）的内容
一元二次方程ax&sup2;+bx+c=0 (a≠0 且△=b&sup2;-4ac≥0)中 
设两个根为X1和X2 
则X1+X2= -b/a 
X1·X2=c/a
韦达定理的推广
韦达定理在更高次方程中也是可以使用的。一般的，对一个一元n次方程∑AiX^i=0
它的根记作X1,X2…，Xn
我们有
∑Xi=(-1)^1·A(n-1)/A(n)
∑XiXj=(-1)&sup2;·A(n-2)/A(n)
…
ΠXi=(-1)^n·A(0)/A(n)
其中∑是求和，Π是求积。
如果一元二次方程在复数集中的根是，那么法国数学家韦达最早发现代数方程的根与系数之间有这种关系，因此，人们把这个关系称为韦达定理。历史是有趣的，韦达的16世纪就得出这个定理，证明这个定理要依靠代数基本定理，而代数基本定理却是在1799年才由高斯作出第一个实质性的论性。 
由代数基本定理可推得：任何一元 n 次方程 
在复数集中必有根。因此，该方程的左端可以在复数范围内分解成一次因式的乘积： 
其中是该方程的个根。两端比较系数即得韦达定理。 
韦达定理在方程论中有着广泛的应用。
韦达定理的证明
设x1，x2是一元二次方程ax&sup2;+bx+c=0的两个解。
有：a(x-x1)(x-x2)=0 
所以　ax&sup2;-a(x1+x2)x+ax1x2=0
通过对比系数可得：
-a(x1+x2)=b ax1x2=c
所以　x1+x2=-b/a x1x2=c/a 
韦达定理推广的证明
设x1，x2，……，xn是一元n次方程∑AiX^i=0的n个解。
则有：An(x-x1)(x-x2)……(x-xn)=0
所以：An(x-x1)(x-x2)……(x-xn)=∑AiX^i　（在打开(x-x1)(x-x2)……(x-xn)时最好用乘法原理）
通过系数对比可得：
A（n-1）=-An(∑xi)
A（n-2）=An(∑xixj)
~~~
A0==(-1)^n·An·ΠXi
所以：∑Xi=(-1)^1·A(n-1)/A(n)
∑XiXj=(-1)^2·A(n-2)/A(n)
~~~
ΠXi=(-1)^n·A(0)/A(n)
其中∑是求和，Π是求积。
计算机解
VB实现方法
'该代码仅可实现一般形式的求值，并以对话框形式显示。
dim a,b,c,x1,x2
'在这里添加a、b、c的赋值过程
'例如：a=text1.text
'b=text2.text
'c=text3.text
'以上代码为赋值
if a <> 0 and b <> 0 and c<> 0 then
if a*2 <> 0 and b^2-4*a*c<>0 then
x1=((0-b)+Sqr(b^2-4*a*c))/(2*a)
msgbox x1
x2=((0-b)-Sqr(b&sup2;-4*a*c))/(2*a)
msgbox x2
else
msgbox("b^2-4*a*c和a不能为零")
end if
end if
说明：x&sup2；为X的平方；