标题：贝氏定理
贝氏定理概述
事前几率 :先了解母体的特性後，再设法求出某一事件出现的几率，此种方法称为事前几率。事後几率 :在实务上常利用事件所呈现的额外资讯去修正事前几率。两事件之贝氏定理设A、B为任意两个事件，则
P(A|B)= (P(A)．P(B|A))/P(B) 
= (P(A)．P(B|A))/(P(B|A)．P(A)+ P(B|Ac)．P(Ac))
贝氏定理
设B1, B2, …, Bn为样本空间S之一分割，则对任意一事件B，当P(B)≠0，则
P(Aj|B)= (P(Aj)．P(B|Aj))/P(B) 
= (P(Aj)．P(B|Aj))/(ΣP(Ai)．P(B|Ai)) 
, 1≦i≦n 
贝氏概率是由贝氏理论所提供的一种对概率的解释，它采用将概率定义为某人对一个命题信任的程度的概念。贝氏理论同时也建议贝氏定理可以用作根据新的信息导出或者更新现有的置信度的规则。
贝氏定理的历史
贝氏定理和贝氏概率以托马斯·贝叶斯（1702－1761）命名，他证明了现在称为贝氏定理的一个特例。术语贝叶斯却是在1950年左右开始使用，很难说贝叶斯本人是否会支持这个以他命名的概率非常广义的解释。拉普拉斯证明了贝氏定理的一个更普遍的版本，并将之用于解决天体力学、医学统计中的问题，在有些情况下，甚至用于法理学。但是拉普拉斯并不认为该定理对于概率论很重要。他还是坚持使用了概率的经典解释。
Frank P. Ramsey在《数学基础》（1931年）中首次建议将主观置信度作为概率的一种解释。Ramsey视这种解释为概率的频率解释的一个补充，而频率解释在当时更为广泛接受。统计学家Bruno de Finetti于1937年采纳了Ramsey的观点，将之作为概率的频率解释的一种可能的代替。L. J. Savage在《统计学基础》（1954年）中拓展了这个思想。
有人试图将“置信度”的直观概念进行形式化的定义和应用。最普通的应用是基于打赌:置信度反映在行为主体愿意在命题上下注的意愿上。
当信任有程度的时候，概率计算的定理测量信任的理性程度，就像一阶逻辑的定理测量信任的理性程度一样。很多人将置信度视为经典的真值（真或假）的一种扩展。
Harold Jeffreys, Richard T. Cox, Edwin Jaynes和I. J. Good研探了贝氏定理。其他著名贝氏定理的支持者包括[[John Maynard Keynes和B.O. Koopman]]。
贝氏定理的应用
自1950年代以来，贝氏定理和贝氏概率通过考克斯定理, Jaynes的最大熵原理以及荷兰书论证得到了广泛的应用。在很多应用中，贝氏方法更为普适，也似乎较频率概率能得出更好的结果。贝氏因子也和奥卡姆剃刀一起使用。数学应用请参看贝氏推论和贝氏定理。
有些人将贝氏推论视为科学方法的一种应用，因为通过贝氏推论来更新概率要求从对于不同假设的初始信任度出发，采集新的信息（例如通过做试验），然后根据新的信息调整原有的信念。调整原有的信念可以意味着（更加接近）接受或者推翻初始的假设。
贝氏技术最近被应用于垃圾邮件的过滤上。贝氏垃圾邮件过滤器采用电子邮件的一个参考集合来定义什么最初被认为是垃圾邮件。定义了参考之后，过滤器使用参考中的特点来将新的邮件判定为垃圾邮件或有效邮件。新电子邮件作为新的信息出现，并且如果用户在垃圾邮件和有效邮件的判定中发现错误，这个新的信息会更新初始参考集合中的信息，以期将来的判定可以更为精确。
贝氏定理举例分析
可以将贝叶斯法则的分析思路表达如下。 
挑战者B不知道原垄断者A是属于高阻挠成本类型还是低阻挠成本类型，但B知道，如果A属于高阻挠成本类型，B进入市场时A进行阻挠的概率是20%（此时A为了保持垄断带来的高利润，不计成本地拼命阻挠）；如果A属于低阻挠成本类型，B进入市场时A进行阻挠的概率是100%。 
博弈开始时，B认为A属于高阻挠成本企业的概率为70%，因此，B估计自己在进入市场时，受到A阻挠的概率为： 
0.7×0.2+0.3×1=0.44 
0.44是在B给定A所属类型的先验概率下，A可能采取阻挠行为的概率。 
当B进入市场时，A确实进行阻挠。使用贝叶斯法则，根据阻挠这一可以观察到的行为，B认为A属于高阻挠成本企业的概率变成A属于高成本企业的概率=0.7（A属于高成本企业的先验概率）×0.2（高成本企业对新进入市场的企业进行阻挠的概率）÷0.44=0.32 
根据这一新的概率，B估计自己在进入市场时，受到A阻挠的概率为： 
0.32×0.2+0.68×1=0.744 
如果B再一次进入市场时，A又进行了阻挠。使用贝叶斯法则，根据再次阻挠这一可观察到的行为，B认为A属于高阻挠成本企业的概率变成 
A属于高成本企业的概率=0.32（A属于高成本企业的先验概率）×0.2（高成本企业对新进入市场的企业进行阻挠的概率）÷0.744=0.086 
这样，根据A一次又一次的阻挠行为，B对A所属类型的判断逐步发生变化，越来越倾向于将A判断为低阻挠成本企业了。 
以上例子表明，在不完全信息动态博弈中，参与人所采取的行为具有传递信息的作用。尽管A企业有可能是高成本企业，但A企业连续进行的市场进入阻挠，给B企业以A企业是低阻挠成本企业的印象，从而使得B企业停止了进入地市场的行动。 
应该指出的是，传递信息的行为是需要成本的。假如这种行为没有成本，谁都可以效仿，那么，这种行为就达不到传递信息的目的。只有在行为需要相当大的成本，因而别人不敢轻易效仿时，这种行为才能起到传递信息的作用。 
传递信息所支付的成本是由信息的不完全性造成的。但不能因此就说不完全信息就一定是坏事。研究表明，在重复次数有限的囚徒困境博弈中，不完全信息可以导致博弈双方的合作。理由是：当信息不完全时，参与人为了获得合作带来的长期利益，不愿过早暴露自己的本性。这就是说，在一种长期的关系中，一个人干好事还是干坏事，常常不取决于他的本性是好是坏，而在很大程度上取决于其他人在多大程度上认为他是好人。如果其他人不知道自己的真实面目，一个坏人也会为了掩盖自己而在相当长的时期内做好事。
贝氏概率的变种
术语主观概率, 个人概率, 认知概率和逻辑概率描述了通常成为贝氏学派的思想中的一些。这些概念互相重叠，但有不同的侧重。这里提到的一些人物不会自称是贝氏学派的。
贝氏概率应该测量某一个体对于一个不确定命题的置信程度，因此在这个意义下是主观的。有些自称贝氏学派的人并不接受这种主观性。客观主义学派的主要代表是Edwin Thompson Jaynes和Harold Jeffreys。也许现在还在世的主要客观贝氏学派人物是杜克大学的James Berger。Jose Bernardo和其他一些人接受一定程度的主观性，但相信在很多实际情况中有使用"先验参照（reference priors）"的需要。
逻辑（或者说，客观认知）概率的推崇者，例如Harold Jeffreys, Rudolf Carnap, Richard Threlkeld Cox和Edwin Jaynes, 希望将能够在两个有相同关于某个不确定命题的真实性相关的信息的人计算出同样的概率的技术规律化。这种概率不和个人相关，而只和认知情况相关，因此位于主观和客观之间。但是，他们推荐的方法有争议。批评者对这个声称发起挑战，在关于相关事实的信息缺乏的时候，更偏好某一个置信度是有现实依据的。另一个问题是迄今为止的技术对于处理实际问题还是不够的。
贝氏概率和频率概率
贝氏概率和频率概率相对，它从确定的分布中观测到的频率或者在样本空间中的比例来导出概率。
采用频率概率的统计和概率的理论由R.A. Fisher, Egon Pearson和Jerzy Neyman在20世纪上半叶发展起来。A. N. Kolmogorov也采用频率概率来通过勒贝格积分为测度论中的概率奠定数学基础（《概率论基础》(1933年)）。Savage, Koopman, Abraham Wald和其他一些学者自1950年以来发展了贝氏概率。
贝氏学派和频率学派在概率解释上的分歧在统计学实践上有重要的结果。例如，在用同样的数据比较两个假设的时候，假设测试理论基于概率的频率解释，它允许基于错误推出数据更支持另外那个模型/假设的概率来否定或接受一个模型/假设（零假设）。出现这种错误的概率称为一类误差，它要求考虑从同样的数据源导出的假想的数据集合要比实际观测到的数据更为极端。这个方法允许论断'或者两个假设不同或者观测到的数据是误导性的集合'。相对应的是，贝氏方法基于实际观测到的数据，因此能够对于任何数量的假设直接赋予后验概率。对于代表每个假设的模型的参数必须赋予概率的要求是这种直接方法的代价。