标题：集合
词语含义
【词目】集合 
【拼音】jí hé
【英译】
[assemble;collect;collection;congrate;converge;muster;rally;gether;call together;set]
[aggregate] 
【基本解释】
1.分散的人或事物聚集到一起；使聚集。
【例】1.《汉书·匈奴传下》：“发三十万众，具三百日粮……计其道里，一年尚未集合，兵先至者聚居暴露。”2.章炳麟《文学说例》：“若《释诂》所陈……诚以八代殊名，方国异语，靡不集合焉尔。”3.魏巍《东方》第四部第十八章：“毛主席 上井冈山 ，开头人很少，吹一声哨子就集合起来了。”4.紧急集合。
2.当把一些确定的、彼此不同的事物作为一个整体来考虑时，这个整体便成为是一个集合。这里所说的“事物”也可以称“个体”，可以在极其广泛的意义上使用，甚至包括抽象的事物。[1]
【例】1.鲁迅《书信集·致许寿裳》：“惟近来出杂志一种曰《新潮》，颇强人意，只是二十人左右之小集合所作，间亦杂教员著作。”2.自然数集合。
【古汉语摘要】
《墨子·经下》 
【原文】
区物，一体也，说在俱一、惟是。
俱一，若牛马四足。惟是，当牛马。数牛，数马，则牛马二；数牛马，则牛马一。若数指，指五而五一。 【释】
区本作欧。
区物：在一个区域的物体。就是集合。
数shu3牛，数shu3马，数shu3牛马。
【译】
集合，是一个整体。说在俱备共同特徵、并且只考察这个特徵。
俱备共同特徵，比如牛马都有四足。只考虑牛、马有“四足”而不区分有角无角，牛集和马集中的元素就都是牛马集元素。只数牛，只数马，则是考察牛、马两个集合；数牛马，则是考察牛、马的并集“牛马集”。若数手指，拇、食、中、无名、小五个，而五指归於一个手指集。 
【论】 
墨经的定义，“共同，考察并且只考察”不仅严格而且完美。
现代定义：“集合是具有某种特定性质的事物的总体。”
数牛，数马，是不唯“四足”，牛马异则二。（有角无角）
数牛马， 是唯“四足”，牛马同则一。
数 拇、食、中、无名、小，是不唯“长在手掌上，长条，可以弯曲，有指甲”，则五。（长度不同）
数 指，是唯“长在手掌上，长条，可以弯曲，有指甲”，则一。
数学学科
概述集合的概念是现代数学中最基本的概念之一，集合论的基本理论直到十九世纪末才被创立，现在已经是数学教育中一个普遍存在的部分，并已深入到各种科学和技术的领域中。[2]相关基本概念1.元素
集合里所含有的个体称为集合的元素。例如全中国人的集合，它的元素就是每一个中国人。当x是集合A的一个元素时，可记作x∈A，读作x属于集合A。
2.常见的集合的表示符号：
N：非负整数集合或自然数集合{0,1,2,3,……}
N*或N+：正整数集合{1,2,3,……}
Z：整数集合{……,-1,0,1,……}[1]
P：素数集合
Q：有理数集合
Q+：正有理数集合
Q-：负有理数集合
R：实数集合
R+：正实数集合
R-：负实数集合
C：复数集合
Φ：空集合（不含有任何元素的集合称为空集合）
U：全集合（包含了某一问题中所讨论的所有集合）
3.集合的表示方法：
（1）列举法：
常用于表示有限集合，把集合中的所有元素一一列举出来，并用逗号隔开，写在大括号内，这种表示集合的方法叫做列举法。{1，2，3，……}
（2）描述法：
常用于表示无限集合，把集合中元素的公共属性用文字、符号或式子等描述出来，写在大括号内，这种表示集合的方法叫做描述法。{x|P}（x为该集合的元素的一般形式，P为这个集合的元素的共同属性）如：小于π的正实数组成的集合表示为：{x|0<x<π}
4.基数
集合A中不同元素的数目称为集合A的基数，记作Card（A）。当其为有限大时，集合A称为有限集，反之则为无限集。
5.集合的基本性质
1．逻辑性：每一个对象都能确定是不是某一集合的元素，这个性质主要用于判断一个集合是否能形成集合。 
2．独立性：集合的基数、集合本身的个数必须为自然数。
3．互异性：集合中任意两个元素都是不同的对象。如写成{1，1，2}，等同于{1，2}。互异性使集合中的元素是没有重复，两个相同的对象在同一个集合中时，只能算作这个集合的一个元素。
4．无序性：{a,b,c}和{c,b,a}是同一个集合。
5．纯粹性：所谓集合的纯粹性，用个例子来表示，集合A={x|x<2}，集合A 中所有的元素都要符合x<2，这就是集合的纯粹性。
6．完备性：仍用上面的例子，所有符合x<2的数都在集合A中，这就是集合的完备性。完备性与纯粹性是遥相呼应的。
6.模糊集
用来表达模糊性概念的集合，又称模糊集、模糊子集。普通的集合是指具有某种属性的对象的全体。这种属性所表达的概念应该是清晰的，界限分明的。因此每个对象对于集合的隶属关系也是明确的，非此即彼。但在人们的思维中还有着许多模糊的概念，例如年轻、很大、暖和、傍晚等，这些概念所描述的对象属性不能简单地用“是”或“否”来回答，模糊集合就是指具有某个模糊概念所描述的属性的对象的全体。由于概念本身不是清晰的、界限分明的，因而对象对集合的隶属关系也不是明确的、非此即彼的。这一概念是美国加利福尼亚大学控制论专家L.A.扎德于 1965 年首先提出的。模糊集合这一概念的出现使得数学的思维和方法可以用于处理模糊性现象，从而构成了模糊集合论（中国通常称为模糊性数学)的基础。 
依据模糊数学的思想，在电器中设计出相应的功能。不再是原来的非此即彼的绝对的判断集合间的关系、运算法则及定律1.子集
定义：设有集合A、B，若有x∈A，必有x∈B，那么称A是B的子集。记作A⊆B，读作B包含A。
定义：若两集合A、B满足A⊆B且B⊆A，称A与B相等，记作A=B。
定义：若两集合A、B满足A⊆B且A≠B，称A是B的真子集，记作A真包含于B
·注意区别属于关系（元素与集合）和包含关系（集合与集合）。
·任何集合都是其本身的子集
·空集是任何集合的子集且是任何非空集的真子集
·空集是唯一的
·若有集合A、B、C，满足C（真）包含B，B（真）包含A，则必有C（真）包含A。注意若x∈A，A⊆B，则有x∈B。
2.幂集
定义：设有集合A，由集合A所有子集组成的集合，称为集合A的幂集。
定理：有限集A的幂集的基数等于2的有限集A的基数次方。
3.并、交与补集
并集定义：由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，记作A∪B（或B∪A），读作“A并B”（或“B并A”），即A∪B={x|x∈A,或x∈B}。并集越并越多。
交集定义：由属于A且属于B的相同元素组成的集合，记作A∩B（或B∩A），读作“A交B”（或“B交A”），即A∩B={x|x∈A,且x∈B}。j交集越交越少。
补集定义：由属于A而不属于B的元素组成的集合，称为B关于A的相对补集，记作A-B，即A-B={x|x∈A，x∈B'}
绝对补集定义：A关于全集合U的相对补集称作A的绝对补集，记作A'或Cu（A）或~A。·U'=Φ；Φ‘=U
·若A包含于B，则A∩B=A，A∪B=B
4.集合的运算定律
交换律：A∩B=B∩A
A∪B=B∪A
结合律：A∪（B∪C）=（A∪B）∪C
A∩（B∩C）=（A∩B）∩C
分配对偶律：A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C) 
A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)
对偶律：（A∪B)^C=A^C∩B^C 
（A∩B)^C=A^C∪B^C 　
同一律：A∪Φ=A
A∩U=A
求补律：A∪A'=U 
A∩A'=Φ
对合律：（A'）'=A
等幂律：A∪A=A
A∩A=A
零一律：A∪U=U 
A∩U=A
吸收律：A∪(A∩B)=A 
A∩(A∪B)=A
德·摩根定律（反演律）：（A∪B）'=A'∩B'
（A∩B）'=A'∪B'
容斥原理（特殊情况）：card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B) 
card(A∪B∪C)=card(A)+card(B)+card(C)-card(A∩B)-card(B∩C)-card(C∩A)+card(A∩B∩C)
5.文氏图（韦恩图）
定义：为了形象表示集合，我们常常画一条封闭的曲线（或者说圆圈），用它的内部  表示一个集合。用这种图可以形象的表示出集合之间的关系，其被称之为文氏图（韦恩图）。
·文氏图只是起示意的作用，它可以启示出集合间的某些关系，但用其证明集合恒等式一般是不合适的。[3-4]相关·集合中各种符号写法有很多种,不同作者及不同书本用不同的写法。如集合A的补集：A'；CuA ；~A；集合A的基数：#A；Card（A）等等。[2]
·相关学科见下表
相关学科
空集
定积分
积分
并集
子集
算法
几何画板
圆柱
指数函数
对称轴
排列
数学归纳法
单调性
余弦定理
正弦定理
双曲线
区间
值域
等差数列
随机变量
导数
等比数列
概率
幂函数
数列
对数函数
集合
抛物线
圆锥曲线
立体几何
公差
矩阵
二次函数
圆锥
球
圆
斐波那契
不等式
柯西不等式
元素
解析几何
向量
函数
三角函数

计算机科学中的集合
简介在计算机科学中，集合是一组可变数量的数据项（也可能是0个）的组合，这些数据项可能共享某些特征，需要以某种操作方式一起进行操作。一般来讲，这些数据项的类型是相同的，或基类相同（若使用的语言支持继承）。列表（或数组）通常不被认为是集合，因为其大小固定，但事实上它常常在实现中作为某些形式的集合使用。集合的种类包括列表，集，多重集，树和图。枚举类型可以是列表或集。列表在列表中，数据项的顺序是确定的，也可以存在多个相同的数据项。列表支持的操作包括查找项目并找到其位置（若存在），将项目从列表中删除，在特定位置插入项目等。通常的队列，或称FIFO即是一个列表，该列表只能在一端添加项目，而在另一端删除项目。而栈，或LIFO则只能在同一端添加或删除项目。不管是队列还是栈，集合中项目的顺序都应当是一定的，因此这两种情况只是列表的特例。其它列表支持的操作包括排序，再一次说明了其中顺序的重要性。
列表的具体形式包括数组，链表等。集与列表不同，在集中，数据项是无序的，也不允许存在相同数据项。集支持添加、删除和查找项目。一些语言内建对集的支持，而在其它语言中，可以利用散列表实现集。多重集多重集的行为类似于集，其中数据项是无序的。但在多重集中，可以存在相同的数据项。多重集支持的操作包括添加、删除项，查询相同项在多重集中出现的次数。多重集可以通过排序转换成列表。关联数组关联数组（或称查找表，字典等）的行为和字典相似，为键（例如字典中的单词）输入提供一个值（如字典中的定义）输出。值可以是对复杂数据结构的引用。通常使用散列表实现高效率的关联数组。树在树中，“根”节点与一定数量的数据项以亲-子关系联系起来，而其子数据项也与另外的数据项以同样的方式联  系。除了根节点的每个项都有且只有一个父节点，并可能有一些子节点。树支持的操作包括遍历，插入等。用于排序操作的树通常称为堆。通常使用树来保存存在包含亲-子关系的数据，例如菜单，目录及其中文件等。图在图中，每个数据项都可以与一个或多个其它数据项联系起来，其中每个节点都是平等的，类似于无根节点、无亲-子关系的树。图支持的操作包括遍历，查找等。图常常用于对实际问题进行建模，并解决这些问题。在生成树协议中，建立一张代表网络结构的图（或称网格），从而了解应当断开哪些链路以避免数据回圈。抽象概念及其实现如上所述，集合，以及集合的各种分类都只是抽象概念。由于名字相同或相似，集合及其在各种语言中的实现常常会造成文字上的混淆。集合，列表，集，树等名字究竟是数据结构，抽象数据类型抑或类只能通过具体分  析来确定。其中，集合则是计算问题的解决方案中抽象程度最高的概念。从这个方面来看，若过于关注其实现，则可能会对理解集合的数学概念产生反作用。[5]

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