标题：最速降线问题
简介
  最速降线问题常见示意图　　旋轮线与1673年荷兰科学家惠更斯讨论的摆线相同。因为钟表摆锤作一次完全摆动所用的时间相等，所以摆线（旋轮线）又称等时曲线。 
数学家十分关注最速降线问题，大数学家欧拉也在1726年开始发表有关的论著，在1744年最先给了这类问题的普遍解法，并产生了变分法这一新数学分支。
证明
设 O, A是高度
不同，且不在同一铅垂线上的两定点，y
如果不计摩擦和空气阻力，一质点 m
在重力作用下从 O点沿一曲线降落至 。A(p,q) A点，问曲线呈何种形状时，质点降y
落的时间最短。
图 7-1 设曲线为 y =y(x) ，坐标如图 7
1，质点由 O点开始运动，它的速度 v与它的纵坐标有关系 
v=2gy 
式中， g是重力加速度。
在曲线上点 (x, y) 处，质点的运动速度为 
ds 1+ y′dx 
v == 
dt dt 式中， s表示曲线的弧长， t表示时间，于是 
′ 2
1+ y 1+ y′ 
dt =dx = dx 
v 2gy 
由于点 O, A的横坐标分别是 0, p，则质点 m从 O点运动到 A点所需时间为 
t = J ( y)=∫ 2gydx （7.1.4）
这样，质点由 O点运动到 A点所需时间 t是 y(x)的函数，最速降线问题就是满足边界条件 
y(0)= 0, y( p) = q 
的所有连续函数 y(x)中，求出一个函数 y使泛函式（7.1.4）取最小值。
对泛函求极值的问题称为变分问题，使泛函取极值的函数称为变分问题的解，也称为极值函数。
在微分学中，求函数 y =y(x) 的极值是求自变量 x的值，当 x取这些值时， y取极 大（小）值、取极值的必要条件是 x=x = 0 。下面我们仿照函数微分的概念来定义泛
0
dx 
函的变分概念，进而导出泛函极值存在的必要条件。设 y, y0 是集合 C的元素，称δy = y − y0 为函数 y在 y0处的变分。
这里的δy是 x的函数，它与 ∆y的区别在于：变分 δy反映的是整个函数的改变，
而 ∆y表示的是同一个函数 y(x)因 x的不同值而产生的差异。在本书，我们总是假定 y(x)和 F(x, y, y′) 都是充分光滑的，且 y(x)在两个端点处固定，即 y(a) =y1, y(b) = y2 （7.1.5）
式中， y1, y 是两个常数。
2
下面我们考虑泛函
J[ y(x)]=∫F(x, y, y′)dx （7.1.6）当函数 y(x)有微小改变且变为 y(x) +δy(x) 时，利用 ∂F ∂F
F(x,y +δy, y′+δy′) = F(x, y, y′) +δy +δy′ 
∂y ∂y′ 
上式可推出 
∂F ∂F
J ( y +∆y) − J ( y) = [ δy +δy′]dx
∂y ∂y′ 上式称为 J ( y)的变分，记为δJ ( y)，即 
δJ( y) =∫[∂ y δy + ∂ y′δy′]dx （7.1.7）
下面我们证明，泛函 J ( y)取极值的必要条件是 
δJ( y) = 0 （7.1.8）或者 
− = 0 （7.1.9）
∂y dx ∂y′ 
⎝⎠ 
设 y =y(x) 使泛函 J ( y)取极值，取函数 y(x)变分的特殊形式为 
δy(x) = εϕ(x) 
式中， ε是任意小的实数；ϕ(x)是充分光滑的任意函数，并且满足条件 
ϕ(a) = 0, ϕ(b) = 0 
这样，函数 
y(x) +εϕ(x) 满足边界条件式（7.1.5）。因此，泛函 J[ y(x) +εϕ(x)] 
当 ε= 0时取最小值 J[ y(x)] ，从而有 d
J[y(x) + εϕ(x)] = 0
ε=0
dε 
由于 
∂F ∂F
J[ y(x) + εϕ(x)] = J[ y(x)] +∫[ εϕ(x) + εϕ′(x)]dx 
∂y ∂y′ 
则有 
∫[∂ y εϕ(x) + ∂y′ εϕ′(x)]dx = 0 （7.1.10）
以 ε乘式（7.1.10），且 δy(x) =εϕ(x) 
则有 
∂F ∂F
δJ ( y) =∫[ εϕ(x) + εϕ′(x)]dx 
∂y ∂y′ ∂F ∂F 
= [ δy +δy′]dy = 0
∂y ∂y′ 
应用分部积分，我们作进一步的分析，有 
∂F ∂F
0 = [ ϕ(x) + ϕ′(x)]dx
∂y ∂y′ ∂F ∂F 
=∫ ϕ′(x)dx 
∂y ∂y′ ∂F ∂F 
d ⎛∂F ⎞ 
= ϕ(x) dx
∫ y′
∂y ∂y 
dx ∂
⎝⎠ ∂Fd ⎛∂F ⎞ 
= [ −]ϕ(x)dx
∂y dx ∂y′ 
⎝⎠ 
由ϕ(x)的任意性，可得
∂Fd ⎛∂F ⎞ 
∂y − dx ⎝ ∂y′⎠ = 0 （7.1.11）
式（7.1.11）称为欧拉－拉格朗日方程，简记为 E-L方程，
这就是泛函 J[ y(x)] 有极限的必要条件
也就是说， y =y(x) 使泛函式（7.1.6）取极小值，则 y =y(x) 一定使欧
拉－拉格朗日方程式（7.1.11）满足边界条件式（7.1.5）的解。
我们把满足 E-L方程边值问题的解称为驻留函数，对应的积分曲线称为驻留曲线。严格地讲，E-L方程边值问题的解满足变分问题的必要条件，因此它是否是极值函数，还需作进一步的判别。在实际问题中，极值的存在性通常给出问题时已经肯定了，这样，当一个实际现象已知其有唯一的极值存在，而这时也只得到一个驻留函数，则可以判定这个驻留函数就是极值函数。
下面我们来解决本章开始部分的两个例题。
例 1 最短距离问题
解 J[ y(x)]=∫1+ y′dx 
因为 F =1− y′，所以 
∂F ∂Fy′ 
= 0, = 
∂y ∂y′ 1+ y′E-L方程为 
∂Fd ⎛∂F ⎞
−= 0 
∂y dx ⎝∂y′⎠ 
则有 
∂F 
= C1
∂y′ 这里 C1是积分常数，即 y′
= C11+ y′
解得 
C1
y′= = a 1− C1所以 y =ax + b 由 y(x0) =y0, y(x1) = y1 ，可得
y − y
y =(x − x1) + y1x2 − x1
例2捷线问题
解 J[ y(x)]=∫ 2gydx 
且 y(0)= 0, y( p) = q 
这样 
′F(x, y, y') =F( y, y') = 
2gy（7.1.12）
其 E-L方程为 
∂Fd ⎛∂F ⎞
−= 0 
∂y dx ⎝∂y′⎠ 
由于 
dF
′
[F( y, y′) − y ]
dx ∂y′ ∂F ∂F Fd ⎛∂F ⎞
= y′+ y′′ − y − y′ − = 0 
∂y ∂y′∂y′ dx ∂y′ 
⎝⎠ 
所以有 
F(y, y′) − ∂y′= C （7.1.13）
将（7.1.2）代入式（7.1.13） 1+ y′y' 
− y' = C2gy 1+ y'
1
= C 2gy 1+ y'
由此得 
1 
y(1+y′) = 2gC 2 = 2r （7.1.14）
引入变量代换 x =x(θ) ，并设 
θ 
y′=cot 
2 则由式（7.1.14）可得 
θ 
y= 2r sin= r(1− cosθ)
2 
上式对θ求导，得 
dx 
y′= r sinθ
dθ 
即 
θ dx
cot = r sinθ 
2 dθ dx2 θ 
= 2r sin= r(1− cosθ )
dθ 2 
所以 
x = r(θ− sinθ ) + x0 
根据曲线过原点 (0,0)及 ( p, q) 可求出 x0 = 0 及 r，这样，所求曲线为 
⎧x= r(θ− sinθ )
⎨ 
⎩y = r(1− cosθ ) 
是旋轮线的一段。