标题：一元五次方程
方程的定义
在一个等式中，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是5次的整式方程叫做一元五次方程。
方程标准型
形如aX^5+bX^4+cX^3+dX^2+eX+f=0，（a，b，c，d ，e，f∈R，且a≠0）的方程是一元五次方程的标准型。
阿贝尔定理
16 世纪时，意大利数学家塔塔利亚和卡当等人，发现了一元三次方程的求根公式。这个公式公布没两年，卡当的学生费拉里就找到了四次方程的求根公式。当时数学家们非常乐观，以为马上就可以写出五次方程、六次方程，甚至更高次方程的求根公式了。然而，时光流逝了几百年，谁也找不出这样的求根公式。
大约三百年之后，在1825年，挪威学者阿贝尔（Abel）终于证明了：一般的一个代数方程，如果方程的次数n≥5 ，那么此方程不可能用根式求解。即不存在根式表达的一般五次方程求根公式。这就是著名的阿贝尔定理。
各类型公式
根式解一元五次方程问题是世界数学史上的最著名难题之一。80年代，中国的一名中学数学教师范盛金发明了“三次方程新解法——盛金公式解题法”，在这个基础上，进而深入探索与研究了根式解一元五次方程问题。给出了可化为(X+b/(5a))^5=0 与(X+b/(5a))^5=R的求根公式，并提出了具有数学美的一般式一元五次方程的猜想求根公式的表达式。
范盛金给出的“可化为(X+b/(5a))^5=0 与(X+b/(5a))^5=R的一元五次方程之求根公式”如下：
可化为(X+b/(5a))^5=0的公式一元五次方程：aX^5+bX^4+cX^3+dX^2+eX+f=0，（a，b，c，d，e，f∈R，且a≠0）。
重根判别式：A=2b^2-5ac；B=c^2-2bd；C=d^2-2ce；D=2e^2-5df。
当A=B=C=D=0时，公式⑴：
X⑴=X⑵=X⑶=X⑷=X⑸=-b/(5a)=-c/(2b)=-d/c=-2e/d =-5f/e。
凡是当A=B=C=D=0时的方程，都可以化为(X+b/(5a))^5=0的形式，展开(X+b/(5a))^5=0后的此方程，无论b/(5a)为任意实数，都可以用公式⑴快速求解。
可化为(X+b/(5a))^5=R的公式当A=B=C=0，D≠0时，公式⑵：
X⑴=(－b+Y^(1/5))/(5a)；
X(2,3)=(－b+Y^(1/5)(－1+√5)/4)/(5a)±Y^(1/5)√(5+√5)√2i/4/(5a)；
X(4,5)=(－b+Y^(1/5)(－1－√5)/4)/(5a)±Y^(1/5)√(5－√5)√2i/4/(5a)。
其中Y=(be—25af)(5a)^3，i^2=－1。
这种表达式体现了数学的有序、对称、和谐与简洁美。
凡是当A=B=C=0，D≠0时的方程，都可以化为(X+b/(5a))^5=R的方程，展开(X+b/(5a))^5=R后的此方程，无论b/(5a)、R为任意实数，都可以用公式⑵直观求解。
重根判别式最简记忆符号：5a…2b…c…d…2e…5f。
由最简记忆符号可快速得出重根判别式：A=2b^2—5ac；B=c^2—2bd；C=d^2—2ce；D=2e^2—5df。
精彩的例题
例1、解方程1024X^5+3840X^4+5760X^3+4320X^2+1620X+243=0 
解：a=1024，b=3840，c=5760，d=4320，e=1620，f=243。
∵A=B=C=D=0，∴此方程有一个五重实根。
应用公式⑴解得：确良
X(1)=X(2)=X(3)=X(4)=X(5)=－3/4。
经检验，结果正确（检验过程略）。
例2、解方程X^5+15X^4+90X^3+270X^2+405X—1419614=0 
解：a=1，b=15，c=90，d=270，e=405，f=－1419614。
∵A=0；B=0；C=0，D≠0，∴此方程有一个实根和两对共轭虚根。
应用公式⑵求解。
Y=(be—25af)(5a)^3=4437053125； Y^(1/5)=85。
把有关值代入公式⑵，得：
X(1)=14；
X(2，3)=(－29－17×5^(1/2))/4±17(5－5^(1/2))^(1/2)2^(1/2)i/4；
X(4，5)=(－29+17×5^(1/2))/4±17(5+5^(1/2))^(1/2)2^(1/2)i/4。
这是根式表达的精确结果。为了方便用韦达定理检验，取近似结果为宜，就是：
X(1)=14；
X(2，3)=－16.7532889±9.992349289i；
X(4，5)=2.253288904±16.16796078i。
经检验，解得的结果正确（检验过程略）。
例3、解方程X^5+8.15X^4+26.569X^3+43.30747X^2+35.29558805X—32756.49364=0 
解：a=1；b=8.15；c=26.569；d=43.30747；e=35.29558805；f=－32756.49364。
A=0；B=0；C=0；D≠0。
∵A=B=C=0，D≠0。
∴应用公式⑵求解。
Y=102400000；Y^(1/5)=40。
把有关值代入公式⑵，得：
X(1)= 6.37；
X(2,3)=0.842135955±7.60845213i；
X(4,5)=－8.102135955±4.702282018i。
用韦达定理检验：
X⑴+X⑵+X⑶+X⑷+X⑸=－8.15，
－b/a=－8.15；
X⑴(X⑵+X⑶+X⑷+X⑸)+(X⑵+X⑶)(X⑷+X⑸)+X⑵X⑶+X⑷X⑸=26.569，
c/a=26.569；
X⑴(X⑵X⑶+X⑷X⑸)+X⑴(X⑵+X⑶)( X⑷+X⑸)+X⑵X⑶(X⑷+X⑸)+X⑷X⑸(X⑵+X⑶)=－43.307，
－d/a=－43.307；
X⑴X⑵X⑶(X⑷+X⑸)+X⑴X⑷X⑸(X⑵+X⑶)+X⑵X⑶X⑷X⑸=35.296，
e/a=35.296；
X⑴X⑵X⑶X⑷X⑸=32756.494，
－f/a=32756.494。
经用韦达定理检验，结果正确。
例4、编制方程求实根的例子：
在(X+r)^5=R中，令r=6，R=3^(1/3)。
解方程 (X+6)^5=3^(1/3) 
解：X=(3^(1/3))^(1/5)－6，
X=－4.8883876826。
我们已经知道，这个方程有一个实根是X=－4.8883876826。
展开(X+6)^5=3^(1/3)，得方程：
X^5+30X^4+360X^3+2160X^2+6480X+7776－3^(1/3)=0 
（这个方程显然无法用猜根法或因式分解法求解）
解：a=1；b=30；c=360；d=2160；e=6480；f=7776－3^(1/3)。
A=0；B=0；C=0；D≠0。
∵A=B=C=0，D≠0。
∴应用公式⑵求解。
Y=5412.658774。
把有关值代入公式⑵，得：
X(1)=－4.8883876826。
与我们知道的结果一致，结果正确！
如果把方程X ^5+30X^4+360X^3+2160X^2+6480X+7776－3^(1/3)=0中的f=7776－3^(1/3)换成其他任意实数，那么仍可用公式⑵求解，这样的方程有无限多个；
如果把解方程X^5+8.15X^4+26.569X^3+43.30747X^2+35.29558805X—32756.49364=0中的f=－32756.49364换成其他任意实数，那么仍可用公式⑵求解，这样的方程有无限多个。
一般式五次方程猜想求根公式范盛金提出简明的、具有数学美的一般式五次方程求根公式的猜想表达式是：
一元五次方程aX^5+bX^4+cX^3+dX^2+eX+f=0 
（a，b，c，d，e，f∈R，且a≠0）
猜想求根公式：
X(1)=(－b+(Y1)^(1/5)+(Y2)^(1/5)+(Y3)^(1/5)+(Y4)^(1/5))/(5a)；
X(2，3)=(－b+((Y1)^(1/5)+(Y2)^(1/5))M+((Y3)^(1/5)+(Y4)^(1/5))N 
±(((Y1)^(1/5)－(Y2)^(1/5))G+((Y3)^(1/5)－(Y4)^(1/5))H)i)/(5a)；
X(4，5)=(－b+((Y1)^(1/5)+(Y2)^(1/5))N+((Y3)^(1/5)+(Y4)^(1/5))M 
±(((Y1)^(1/5)－(Y2)^(1/5))H+((Y3)^(1/5)－(Y4)^(1/5))G)i)/(5a)，
其中：
i^2=－1，
M=(－1+5^(1/2))/4；
N=(－1－5^(1/2))/4，
G=(5+5^(1/2))^(1/2)2^(1/2)/4；
H=(5－5^(1/2))^(1/2)2^(1/2)/4。
Y1、Y2、Y3、Y4是方程Y^4+PY^3+QY^2+RY+S=0的解。
（P、Q、R、S是由重根判别式构成）
猜想公式的三角函数之表达式因为：
M=(－1+√5)/4=sin18°；
N=(－1－√5)/4=－sin54°；
G=(√(5+√5)√2)/4=cos18°；
H=(√(5－√5)√2)/4=cos54°。
所以：
一元五次方程aX^5+bX^4+cX^3+dX^2+eX+f=0 （a，b，c，d，e，f∈R，且a≠0）
猜想公式的三角函数之表达式为： 
X⑴=(－b+Y⑴^(1/5)+Y⑵^(1/5)+Y⑶^(1/5)+Y⑷^(1/5))/(5a)；
X(2,3)=(－b+(Y⑴^(1/5)+Y⑵^(1/5))sin18°－(Y⑶^(1/5)+Y⑷^(1/5))sin54°
±((Y⑴^(1/5)－Y⑵^(1/5))cos18°+(Y⑶^(1/5)－Y⑷^(1/5))cos54°)i)/(5a)；
X(4,5)=(－b－(Y⑴^(1/5)+Y⑵^(1/5))sin54°+(Y⑶^(1/5)+Y⑷^(1/5))sin18°
±((Y⑴^(1/5)－Y⑵^(1/5))cos54°+(Y⑶^(1/5)－Y⑷^(1/5))cos18°)i)/(5a)。
其中i^2=－1，
Y⑴、Y⑵、Y⑶、Y⑷是方程Y^4+PY^3+QY^2+RY+S=0的解。
猜想求根公式的三角表达式较为简洁清晰。
这两种猜想求根公式的表达式各有各的特点，解题结果是一样的。
范盛金提出的这两种猜想求根公式的特点是：
只要推导出一元四次方程Y^4+PY^3+QY^2+RY+S=0，根式解一般五次方程问题便得到解决，因为解一元四次方程有费拉里公式，这两种猜想求根公式具有科学性。
重要关系式
重要关系式：
M=(－1+√5)/4；N=(－1－√5)/4，G=√(5+√5)√2)/4；H=√(5－√5)√2)/4。 
V=N－Hi=(－1－√5－i√(5－√5)√2)/4；i^2=－1。 
V=(－1－√5－i√(5－√5)√2)/4；
V^2=(－1+√5+i√(5+√5)√2)/4；
V^3=(－1+√5－i√(5+√5)√2)/4；
V^4=(－1－√5+i√(5－√5)√2)/4。　
V^5=1；V^6=V；V^7=V^2；V^8=V^3；V^9=V^4；V^10=V^5=1；……；V^n=V^(n-5) (n≥5)， 
V+V^2+V^3+V^4=－1；V+V^2+V^3+V^4+V^5=0， 
V+V^4=(－1－√5)/2；V^2+V^3=(－1+√5)/2，(V+V^4)(V^2+V^3)=－1。 
以上关系式非常有用！ 
以上重要关系式是一种很自然常规的运算方法。当然，数学运算能力不是很强或不能很好地去运用以上技巧，那么推导过程就会无法进行下去，也就没有可能得出四元四次方程组。 
为了简化运算，在推导一元五次方程的求根公式的过程中注意运用好以上关系式，这样可以简化运算，大大提高运算效率。 
用科学计算器验证重要关系式关于重要关系式的验证： 
二十年前，范盛金是用笔算来运算的。 
为了方便，现在用科学计算器验证重要关系式的正确性。 
验证： 
V=－0.8090169944－0.5877852523i； 
V^2=0.3090169944+0.9510565163i； 
V^3=0.3090169944－0.9510565163i； 
V^4=－0.8090169944+0.5877852523i； 
显然有： 
V^5= V^2·V^3 
= (0.3090169944+0.9510565163i)·(0.3090169944－0.9510565163i) 
=0.3090169944^2+0.9510565163^2 
=1。 
即V^5=1。 
就是说，((－1－√5－i√(5－√5)√2)/4)^5=1。 
这就把复杂化为了简单，非常简洁漂亮。 
研究数学就是要把复杂化为简单。运算过程是复杂的，结论是简单的。 
特别有趣的是： 
((－1－√5－i√(5－√5)√2)/4)^5=1； 
((－1+√5+i√(5+√5)√2)/4)^5=1； 
((－1+√5－i√(5+√5)√2)/4)^5=1； 
((－1－√5+i√(5－√5)√2)/4)^5=1。 
范盛金选择((－1－√5－i√(5－√5)√2)/4)^5=1体现在重要关系式来参与运算，是因为这个关系式的括号内的符号都是负号，这是很方便记忆的（一种符号，可以减少记忆负担，不易出错），范盛金认为，研究数学要尽可能地化简，尽可能地使用方便记忆的式子。
运用重要关系式解决复杂问题运用重要关系式能方便和快速地求出
((－1－√5－i√(5－√5)√2)/4)^m+((－1－√5－i√(5－√5)√2)/4)^n
（m、n是任意正整数）的值。
同样，可以方便和快速地求出下例情形
((－1－√5－i√(5－√5)√2)/4)^m+((－1+√5+i√(5+√5)√2)/4)^n；
((－1－√5－i√(5－√5)√2)/4)^m+((－1+√5－i√(5+√5)√2)/4)^n；
((－1－√5－i√(5－√5)√2)/4)^m+((－1－√5+i√(5－√5)√2)/4)^n；
((－1+√5+i√(5+√5)√2)/4)^m+((－1+√5+i√(5+√5)√2)/4)^n；
((－1+√5+i√(5+√5)√2)/4)^m+((－1+√5－i√(5+√5)√2)/4)^n；
((－1+√5－i√(5+√5)√2)/4)^m+((－1－√5+i√(5－√5)√2)/4)^n；
……，
（m、n是任意正整数）的值。
运用重要关系式解题举例：
例1：求((－1－√5－i√(5－√5)√2)/4)^18+((－1－√5－i√(5－√5)√2)/4)^32的值。
解：令(－1－√5－i√(5－√5)√2)/4=V，
∵ V^18+V^32=V^3+V^2=(－1+√5)/2，
∴ ((－1－√5－i√(5－√5)√2)/4)^18+((－1－√5－i√(5－√5)√2)/4)^32=(－1+√5)/2。
例2：求((－1+√5－i√(5+√5)√2)/4)^23+((－1－√5+i√(5－√5)√2)/4)^19的值。
解：设V=(－1－√5－i√(5－√5)√2)/4。
∵ V^3=((－1+√5－i√(5+√5)√2)/4)；V^4=((－1－√5+i√(5－√5)√2)/4)，
∴ 原式=(V^3)^23+(V^4)^19=V^69+V^76=V^4+V=(－1－√5)/2。
∴ ((－1+√5－i√(5+√5)√2)/4)^23+((－1－√5+i√(5－√5)√2)/4)^19=(－1－√5)/2。
就这样简洁快速地解决了这类复杂问题。　
显然，运用重要关系式可以很方便地解决复杂问题。灵活地运用重要关系式可以提高运算效率。
重要关系式的三角函数表达式因为：
M=(－1+√5)/4=sin18°；
N=(－1－√5)/4=－sin54°；
G=(√(5+√5)√2)/4=cos18°；
H=(√(5－√5)√2)/4=cos54°。
所以：
V=(－1－√5－i√(5－√5)√2)/4=－sin54°－cos54°i；
V^2=(－1+√5+i√(5+√5)√2)/4=sin18°+cos18°i；
V^3=(－1+√5－i√(5+√5)√2)/4=sin18°－cos18°i；　
V^4=(－1－√5+i√(5－√5)√2)/4=－sin54°+cos54°i；
V^5=V^2·V^3=(sin18°)^2+(cos18°)^2=1。
因而，有：
V=－sin54°－cos54°i；
V^2=sin18°+cos18°i；
V^3=sin18°－cos18°i；　
V^4=－sin54°+cos54°i；
也就是，有：
(－sin54°－cos54°i)^5=1；
(sin18°+cos18°i)^5=1；
(sin18°－cos18°i)^5=1；
(－sin54°+cos54°i)^5=1。
取n为正整数，进一步地，有：
(－sin54°－cos54°i)^5n=1；
(sin18°+cos18°i)^5n=1；
(sin18°－cos18°i)^5n=1；
(－sin54°+cos54°i)^5n=1。
解题举例：
例1：求(sin18°－cos18°i)^35的值。
解：
∵(sin18°－cos18°i)^35=(sin18°－cos18°i)^5×7=1，
∴(sin18°－cos18°i)^35=1。
例2：求(sin18°+cos18°i)^38的值。
解：
∵(sin18°+cos18°i)^38
=(sin18°+cos18°i)^3
=(V^2)^3
=V^6
=V
=－sin54°－cos54°i。
∴(sin18°+cos18°i)^38=－sin54°－cos54°i。
以上是具有代表性的例子。
推导根式表达的一般五次方程求根公式的过程中，如何利用好具有数学美的，简明易记的，运算方便的数学式子等多种有效的实用工具，从而达到提高运算效率的目的，这是很值得探索和研究的问题。
发展与前景
数学作为一门自然科学是向前发展的，新理论与新方法的诞生，有利于我们对数学难题进一步的研究和解决。应该说，我们所处的时代研究数学的条件要比阿贝尔时代优越得多，我们可以借助现代化的设备来分析与研究，如利用科学计算器、计算机等，这是阿贝尔时代不能比的。由于数学的发展出现了一些解题效率高的新方法，如“三次方程新解法——盛金公式解题法”等，这有利于对解高次方程问题的研究，因为解五次方程、解四次方程与解三次方程有着密切的关系。所以，研究数学，我们应该利用先进的设备与先进的方法。
我们要研究的问题不是阿贝尔定理是否存在漏洞的问题，因为研究这个问题没有任何意义。数学公式与定理是严谨的，只要一天没有推导出一元五次方程的一般式求根公式，我们就不能下结论说阿贝尔定理有漏洞。当然，如果有一天推导出了一元五次方程的一般式求根公式，那么就毫无疑问地证明了阿贝尔定理有漏洞。
根式解一元五次方程的问题是非常复杂而有趣味的问题，完整地解决根式解五次方程的问题，仍需漫长的过程。范盛金认为，再过三十年不一定能找到根式表达的一般式一元五次方程的求根公式，他的依据是：完整地推导出根式表达的一般式一元五次方程的求根公式，必经之路是要推导出一个非常复杂的四元四次方程组。二十年前他得出了一个非常复杂的四元四次方程组，但二十年来他无法解出那一个非常复杂的四元四次方程组。那一个非常复杂的四元四次方程组的出现，表明了根式表达的一般式一元五次方程的求根公式的存在，因为从理论上来说四元四次方程组是可以求解的，这让我们看到了根式表达的一般式一元五次方程的求根公式终究有一天可以找到解决方法的前景。
在遥远的未来，即使推导出了根式表达的一般式一元五次方程求根公式，由于这个公式相当之复杂，在现实中没有多大实用价值（在数学编程方面有用处，可提高运算效率），但是从理论上解决了大问题，而且是解决了数学史上的一个不可能解决的大问题，从这个意义上来说，其价值不可估量。
资料来源：百度百科词条“范盛金”以及其他有关资料。