标题：抛物线
定义
平面内，到定点与定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。其中定点叫抛物线的焦点，定直线叫抛物线的准线。
标准方程
标准方程右开口抛物线：y^2=2px
左开口抛物线:y^2= -2px 
上开口抛物线：x^2=2py y=ax^2（a大于等于0）
下开口抛物线:x^2= -2py y=ax^2（a小于等于0）
[p为焦准距（p>0）]特点在抛物线y^2=2px中，焦点是(p/2，0），准线的方程是x= -p/2，离心率e=1，范围：x≥0；
在抛物线y^2= -2px 中，焦点是( -p/2，0），准线的方程是x=p/2，离心率e=1，范围：x≤0； 
在抛物线x^2=2py 中，焦点是（0，p/2），准线的方程是y= -p/2,离心率e=1，范围：y≥0；
在抛物线x^2= -2py中，焦点是（0，-p/2），准线的方程是y=p/2，离心率e=1，范围：y≤0；
  抛物线
相关参数
(对于向右开口的抛物线)　
离心率：e=1（恒为定值）
焦点:(p/2，0)
准线方程l:x=-p/2
顶点：(0，0)
通径：2P ；定义：圆锥曲线（除圆外）中，过焦点并垂直于轴的弦　定义域（X≥0）
值域（Y∈R)
解析式求法
以焦点在X轴上为例
知道P（x0，y0)
令所求为y^2=2px
则有y0^2=2px0
∴2p=y0^2/x0
∴抛物线为y^2=(y0^2/x0)x
光学性质
经焦点的光线经抛物线反射后的光线平行于抛物线的对称轴。各种探照灯、汽车灯即利用抛物线（面）的这个性质，让光源处在焦点处以发射出（准）平行光。
对于圆、抛物线、椭圆三种曲线，他们的光学性质有一定的规律性：圆将所有从圆心射出的光线反射回圆心，抛物线反射成平行线，而椭圆将从一个焦点发出的光反射到另一个焦点。
抛物线方程
焦点准线式（标准方程）
焦点：F(m,n)
准线：L：ax+by+c=0
方程为：[x^2-2mx+m^2+y^2-2ny+n^2]^1/2=[(ax+by+c)^2/(a^2+b^2)]^1/2
整理得　b^2x^2-2abxy+a^2y^2-2(ac+ma^2+mb^2)x-2(bc+na^2+nb^2)y+(m^2+n^2)(a^2+b^2)-c^2=0
面积和弧长公式
  抛物线面积 Area=2ab/3
弧长 Arc length ABC
=√(b^2+16a^2 )/2+b^2/8a ln((4a+√(b^2+16a^2 ))/b)
其他
抛物线：y = ax^2 + bx + c （a≠0)
就是y等于ax 的平方加上 bx再加上 c 
a > 0时开口向上 
a < 0时开口向下 
c = 0时抛物线经过原点 
b = 0时抛物线对称轴为y轴 
还有顶点式y = a（x-h）^2 + k 
就是y等于a乘以（x-h）的平方+k 
h是顶点坐标的x 
k是顶点坐标的y 
一般用于求最大值与最小值 
抛物线标准方程：y^2=2px 
它表示抛物线的焦点在x的正半轴上，焦点坐标为(p/2,0) 准线方程为x=-p/2 
由于抛物线的焦点可在任意半轴，故共有标准方程y^2=2px y^2=-2px x^2=2py x^2=-2py
对称性解题
我们知道，抛物线y = ax^2 + bx + c ( a ≠0 )是轴对称图形，它的对称轴是直线x = - b/ 2a ，它的顶点在对称轴上。解决有关抛物线的问题时，若能巧用抛物线的对称性，则常可以给出简捷的解法。 
例1　已知抛物线的对称轴是x =1，抛物线与y轴交于点（0，3），与x轴两交点间的距离为4，求此抛物线的解析式。
分析　设抛物线的解析式为y = ax^2 + bx + c 。若按常规解法，则需要解关于a、b、c的三元一次方程组，变形过程比较繁杂；若巧用抛物线的对称性，解法就简捷了。因为抛物线的对称轴为x =1，与x轴两交点间的距离为4，由抛物线的对称性可知，它与x轴交于A（-1，0）、B（3，0）两点。于是可设抛物线的解析式为y = a（x+1）（x-3）。又因为抛物线与y轴交于点（0，3），所以3 = -3a。故a =-1。
∴y = -（x+1）（x-3），即
y = - x^2 + 2x +3。
例2　已知抛物线经过A（-1，2）、B（3，2）两点，其顶点的纵坐标为6，求当x =0时y的值。
分析　要求当x =0时y的值，只要求出抛物线的解析式即可。
由抛物线的对称性可知，A（-1，2）、B（3，2）两点是抛物线上的对称点。由此可知，抛物线的对称轴是x = 1。故抛物线的顶点是（1，6）。于是可设抛物线的解析式为y = a（x-1）2+ 6。因为点（-1，2）在抛物线上，所以4a + 6 = 2。故a = -1。
∴y = -(x-1)^2+ 6，即
y = - x^2 + 2x +5。
∴当x =0时，y = 5。
例3　已知抛物线与x轴两交点A、B间的距离为4，与y轴交于点C，其顶点为（-1，4），求△ABC的面积。
分析　要求△ABC的面积，只要求出点C的坐标即可。为此，需求出抛物线的解析式。由题设可知，抛物线的对称轴是x = -1。由抛物线的对称性可知，A、B两点的坐标分别为（-3，0）、（1，0）。故可设抛物线的解析式为y = a（x+1）^2+ 4[或y = a（x+3）（x-1）]。
∵点（1，0）在抛物线上，
∴4a + 4 = 0。∴a = -1。
∴y = -（x+1）2+ 4，即
y = - x2 - 2x +3。
∴点C的坐标为（0，3）。
∴S△ABC = 1/2×（4×3）= 6。
例4　已知抛物线y = ax2 + bx + c的顶点A的纵坐标是4，与y轴交于点B，与x轴交于C、D两点，且-1和3是方程ax2 + bx + c =0的两个根，求四边形ABCD的面积。
分析　要求四边形ABCD的面积，求出A、B两点的坐标即可。为此，要求出抛物线的解析式。由题设可知，C、D两点的坐标分别为（-1，0）、（3，0）。由抛物线的对称性可知，抛物线的对称轴是x = 1。故顶点A的坐标是（1，4）。从而可设抛物线的解析式为y = a（x-1）2+ 4[或y = a（x+1）（x-3）]。
∵点（-1，0）在抛物线上，
∴4a + 4 = 0。故a = -1。
∴y = -(x-1)^2+ 4，即
y = - x^2 + 2x +3。
∴点B的坐标为（0，3）。
连结OA ，则S四边形ABCD = S△BOC + S△AOB + S△AOD = 1/2×1×3+1/2×3×1+1/2×3×4=9
相关结论
过抛物线y^2=2px(p>0)焦点F作倾斜角为θ的直线L,L与抛物线相交于A（x1,y1)，B(x2,y2),有
① x1*x2 = p^2/4 , y1*y2 = —P^2,要在直线过焦点时才能成立；
② 焦点弦长：|AB| = x1+x2+P = 2P/[(sinθ)^2]；
③ （1/|FA|）+（1/|FB|）= 2/P；
④若OA垂直OB则AB过定点M（2P，0）；
⑤焦半径：|FP|=x+p/2 （抛物线上一点P到焦点F距离等于到准线L距离）；
⑥弦长公式：AB=√（1+k^2）*│x2-x1│；
⑦△=b^2-4ac；
⑧由抛物线焦点到其切线的垂线距离，是焦点到切点的距离，与到顶点距离的比例中项；
⑨标准形式的抛物线在x0，y0点的切线就是：yy0=p(x+x0)。
⑴△=b^2-4ac>0有两个实数根；
⑵△=b^2-4ac=0有两个一样的实数根；
⑶△=b^2-4ac<0没实数根。
定义解题
例：已知F是抛物线y^2=4x的焦点，A（3，2）是一个定点，P是抛物线上的动点，求|PA|+|PF|的最小值和此时P的坐标。
解：设抛物线的准线为L，过P作PH⊥L，垂足为H，再过A点作AH’⊥L，垂足为H’，并交抛物线于P’。连结P’F。则：
|PA|+|PF|=|PA|+|PH|≥|AH’|=|P’A|+|P’H|=|P’A|+|P’F|
所以，|PA|+|PF|的最小值是|AH’|，而准线方程x=-1
故|PA|+|PF|的最小值是4，此时，P’的坐标是（1，2）　
抛物线的性质　1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线x = -b/2a。
对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。
特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0）
2.抛物线有一个顶点P，坐标为P ([-b/2a ，(4ac-b)/4a ]
当-b/2a=0时，P在y轴上；当Δ= b-4ac=0时，P在x轴上。
3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。
当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
|a|越大，则抛物线的开口越小。
4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。
当a与b同号时（即ab>0），对称轴在y轴左侧； 因为若对称轴在左边则对称轴小于0，也就是-b/2a<0,若要b/2a大于0，则a、b要同号
当a与b异号时（即ab<0），对称轴在y轴右侧。因为对称轴在右边则对称轴要大于0，也就是-b/2a>0,若要b/2a小于0，则a、b要异号
事实上，b有其自身的几何意义：抛物线与y轴的交点处的该抛物线切线的函数解析式（一次函数）的斜率k的值。可通过对二次函数求导得到。
5.常数项c决定抛物线与y轴交点。
抛物线与y轴交于（0，c）
6.抛物线与x轴交点个数
Δ= b∧2-4ac>0时，抛物线与x轴有2个交点。
Δ= b∧2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。
Δ= b∧2-4ac<0时，抛物线与x轴没有交点。X的取值是虚数（x= -b±√b－4ac 的值的相反数，乘上虚数i，整个式子除以2a）
当a>0时，函数在x= -b/2a处取得最小值f(-b/2a)=4ac-b/4a；在{x|x<-b/2a}上是减函数，在{x|x>-b/2a}上是增函数；抛物线的开口向上；函数的值域是{y|y≥4ac-b/4a}相反不变
当b=0时，抛物线的对称轴是y轴，这时，函数是偶函数，解析式变形为y=ax^2+c(a≠0)
7.定义域：R
值域：（对应解析式，且只讨论a大于0的情况，a小于0的情况请读者自行推断）①[(4ac-b)/4a，+∞）；②[t，+∞） 
奇偶性：偶函数 
周期性：无 
解析式： 
①y=ax∧2+bx+c[一般式] 
⑴a≠0 
⑵a>0，则抛物线开口朝上；a<0，则抛物线开口朝下； 
⑶极值点：（-b/2a，(4ac-b)/4a）； 
⑷Δ=b∧2-4ac, 
Δ>0，图象与x轴交于两点： 
（[-b-√Δ]/2a，0）和（[-b+√Δ]/2a，0）； 
Δ=0，图象与x轴交于一点： 
（-b/2a，0）； 
Δ<0，图象与x轴无交点； 
②y=a(x-h)∧2+t[配方式] 
此时，对应极值点为（h，t），其中h=-b/2a，t=(4ac-b)/4a；