标题：线性映射
概论
在数学中，线性映射(也叫做线性变换或线性算子)是在两个向量空间之间的函数，它保持向量加法和标量乘法的运算。它经常将直线映射到直线或者0。线性算子通常用于从向量空间到自身的线性映射（自同态）。有时候线性函数的定义与线性映射相同，但在解析几何里它们不一样。
在抽象代数中，线性映射是向量空间的同态。在范畴学中，它是在向量空间范畴下给定域的态射。
定义和基本性质
设 V和 W是在相同域K上的向量空间。函数 f : V→ W被称为是线性映射，如果对
于 V中任何两个向量 x和 y与 K中任何标量a，满足下列两个条件:
可加性：
f(x+y)=f(x)+f(y)
齐次性：
f(ax)=af(x)
  这等价于要求对于任何向量 x[1], ..., x[m] ∈ V和标量 a[1], ..., a[m]∈ K，方程
成立,
  f(0)=0,是由于
偶尔的，V和 W可被看作在不同域上的向量空间。那么必须指定那些基础域要被用在“线性”的定义中。如果 V和 W被看作前面的域 K上的空间，我们谈论的就是 K-线性映射。例如，复数的共轭是 R-线性映射 C→ C，而不是 C-线性映射。
从 V到 K(K被看作在自身上的向量空间)的线性映射被叫做线性泛函。
因此线性映射有时叫做均匀线性映射。
例子
◎恒等映射和零映射是线性的。
◎映射x→cx,其中c是一个常数，是线性的。
◎对于实数，映射x→x^2不是线性的。
◎对于实数，映射x→x+1不是线性的。(但这是一个仿射变换，根据解析几何里的定义，它一个线性函数。)
◎如果 A是 m× n实矩阵，则 A定义了一个从 R^n到 R^m的线性映射，这个映射将列向量x∈ R^n映射到列向量 Ax∈ R^m。反过来说，在有限维向量空间之间的任何线性映射都可以用这种方式表示。
◎定积分生成从在某个区间上所有可积分实函数的空间到 R的线性映射。
◎不定积分不是线性变换，由于不定积分在每个输入下都有无穷种输出（因为∫f(x)dx=F(x)+C,C有无穷可能）。
◎微分是从所有可微分函数的空间到所有函数的空间的线性映射。
◎如果 V和 W为在域 F上的有限维向量空间，则从线性映射 f : V→ W到在后面所描述的 dimF(W) × dimF(V) 矩阵的函数也是线性映射。
◎随机变量X的期望E是线性的，由于E[cX+a]=cE[x]+a,但是它的方差不是线性的，因为它不满足齐次性(V[cx+a]=c^2V[x])
矩阵
如果 V和 W是有限维的，并且在这些空间中有选择好的基，则从 V到 W的所有线性映射可以被表示为矩阵；这是很有用的，因为它允许具体的运算。反过来说，矩阵生成线性映射的例子: 如果 A是实数的 m× n矩阵，则规定 f(x) = Ax描述一个线性映射 R^n→ R^m
设{v[1],…v[n]}是一组基,则V中所有向量v都是由唯一存在
v=c[1]v[1]+…c[n]v[n]
系数c[1],c[2]…c[n]所确定的，如果 f : V→ W是线性映射：
  那么
这表明f完全由f(v[1]),f(v[2])...f(v[n])确定。
  现在设{w[1],w[2]...w[m]}是W的基，则每个f(v[j])可以表示为
因此函数 f是完全由 a[i,j]的值确定的。
如果把这些值放置到 m× n矩阵 M中，则可以方便的使用它来计算 f对在 V中任何向量的值。如果我放置c[1],c[2]...c[n]的值到 n × 1 矩阵 C，我们有 MC= f(v)。
一个单一的线性映射可以由很多矩阵表示。这是因为矩阵的元素的值依赖于选择的基。
线性变换矩阵的例子
二维空间R^2的线性变换的一些特殊情况有：
  
形成新的线性映射
两个线性映射的复合映射是线性的: 如果 f : V→ W和 g : W→ Z是线性的，则 gof : V→ Z也是线性的。
若线性映射可逆，则该线性映射的逆也是线性映射。
如果 f1 : V→ W和 f2 : V→ W是线性的，则它们的和 f1+ f2也是线性的(这是由 (f1+ f2)(x) = f1(x) + f2(x) 定义的)。
如果 f : V→ W是线性的，而 a是基础域 K的一个元素，则定义自 (af)(x) = a(f(x)) 的映射 af也是线性的。
所以从 V到 W的线性映射的集合 L(V,W) 自身形成在 K上的向量空间，有时指示为 Hom(V,W)。进一步的说，在 V=W的情况中，这个向量空间(指示为 End(V))是在映射复合下的结合代数，因为两个线性映射的复合再次是线性映射，所以映射的复合总是结合律的。
给定有限维的情况，如果基已经选择好了，则线性映射的复合对应于矩阵乘法，线性映射的加法对应于矩阵加法，而线性映射与标量的乘法对应于矩阵与标量的乘法。
自同态和自同构
线性变换 f : V→ V是 V的自同态(endomorphism)；所有这种自同态的集合 End(V) 与如上定义的加法、复合和标量乘法一起形成一个结合代数，带有在域 K上的单位元(特别是一个环)。这个代数的乘法单位元是恒等映射id : V→ V。
V的自同态也是叫做 V的自同构的同构。。两个自同构的复合再次是自同构，而 V的所有的自同构的集合形成一个群，V的自同构群指示为 Aut(V) 或 GL(V)。因为自同构正好是那些拥有在复合下的逆元的自同态，Aut(V) 是在环 End(V) 中可逆元的群。
如果 V有有限维度 n，则 End(V) 同构于带有在 K中元素的所有 n× n矩阵的结合代数。V的自同态群同构于带有在 K中元素的所有 n× n可逆矩阵的一般线性群GL(n, K) 。
核-像-秩-零化度定理
如果 f : V→ W是线性的，我们定义 f的核和像（或称值域）为
ker(f)={x∈V:f(x)=0}
im(f)={w∈W:w=f(x),x∈V}
ker(f) 是 V的子空间，而 im(f) 是 W的子空间。下面的叫做秩-零化度定理的维度公式经常是有用的:
dim(ker(f))+dim(im(f))=dim(V)
余核
余核(cokernel)又称上核，定义为：
coker f:= W/f(V) =W/im(f)
这是核的双重概念：核是域的子空间，而余核是目标的商空间。简单来说，就是有以下的列：
0→kerf→V→W → cokerf→ 0
可以这么说，给定一个线性方程f(v)=w,
◎核是齐次方程f(v)=0的解空间,如果解存在，那么解空间的维数是方程的自由度。
◎余核是使方程有解的限制条件的空间，它的维数是使方程有解的限制条件的个数。
余核的维数与像的维数的和是目标空间的维数，在有限维里，这表明dim coker f =dim W- dim im f两个例子1. 考虑映射f:R^2→ R^2,函数为f(x,y)=(0,y),给定方程f(x,y)=(a,b),我们必须有a=0(这是一个限制条件),这个例子中的解空间是(x,b)，等价于(0,b)+(x,0) (表明自由度是1),这里的余核可以利用映射W→R来表示，为(a,b)→a,a的非零值是有解的阻碍。
2.对于无穷维的例子，有g:R^∞→R^∞,{a[n]}→{b[n]}且b[1]=0,b[n+1]=a[n]。它的像包括所有首项是0的数列，而它的余核包含首项是单位元素的数列。它的核的维数是0(因为只有0数列能被映射到0数列)，它的余核维数是1。由于域与目标是一样的，核的维数与秩之和等于余核的核与秩之和，那么有‎א‎ 0+0=‎א‎ 0+1。
但在无穷维的情况下，我们不能得出自同态的核与余核有相同维数（否则会得到0=1）。
一个核为1，余核为0的例子是h:R^∞→R^∞,{a[n]}→{c[n]}且a[n+1]=c[n]指标对于有有限维核与余核的线性算子，我们定义指标(index)为：
ind f=dim ker f - dim coker f 
即自由度减去限制条件数。
对于有限维向量空间间的变换，利用核-像-秩-零化度，就是dim V -dim W。以下是看有多少解或者限制条件的方法：如果从维数较高空间的映射到维数较低的空间，这个映射可能是满射，这样就有更高自由度，甚至没有限制条件。相反，这个映射肯定不是满射，那么它有更多限制条件，甚至没有自由度。
对于无穷维空间的指标，它从自身得出，这也是同调的定义，是代数与代数拓扑的中心理论。算子的指标是二项映射的欧拉示性数。在算子理论里，弗雷德霍姆(Fredholm)算子的指标是一个好的研究对象，其中一个重要发现是阿蒂亚－辛格指标定理(Atiyah–Singer index theorem)。
线性变换的代数分类
没有一个对于线性映射的分类能穷尽所有线性映射。以下不完整的列表列举了一些重要的分类，这些分类不需要什么附加条件。
V与W是数域F上向量空间，取T:V→W是线性映射。
◎T被称为单射（单同态），当以下成立：
1.T对于集合是单射。
2.ker T={0v}
3.T 是左可去的，就是任意向量空间U，任意映射R:U→V 与S:U→V,若有TR=TS,那么R=S。
4.T 是左可逆的，就是存在线性映射S:W→V,使得ST是V上的单位变换。
◎T被称为满射（满同态），当以下成立：
1.T对于集合是满射。
2.coker T={0w}
3.T 是右可去的，就是任意向量空间U，任意映射R:W→U 与S:W→U,若有RT=ST,那么R=S。
4.T 是右可逆的，就是存在线性映射S:W→V,使得TS是V上的单位变换。
◎T被称为同构，如果T既是左可逆也是右可逆的，这等价于T既是单射又是满射，也就是它是个双同构。
（注：每个同构都是双同态，但不是每个双同态都是同构。例如，交换环的范畴中，包含映射Z → Q是一个双同态，但不是一个同构。如果在一个范畴中每个双同态都是同构，则这个范畴称为一个平衡范畴。例如，集合是一个平衡范畴。）
◎如果T: V→ V是一个自同构，那么：
1.若对某整数n，有T的n次迭代T^n为0，那么T称为幂零元。
2.若TT=T,那么T称作幂等元。
3.若T=k I,k是某标量，那么T称为数乘变换或数乘映射。
基的变换
设线性空间中线性变换在两组基下的矩阵分别为A与B，且过渡矩阵为X,那么B=X^(-1)AX。