标题：有限单元法
简介
在有限元方法中，把计算域离散剖分为有限个互不重叠且相互连接的单元，在每个单元内选择基函数，用单元基函数的线形组合来逼近单元中的真解，整个计算域上总体的基函数可以看为由每个单元基函数组成的，则整个计算域内的解可以看作是由所有单元上的近似解构成。在河道数值模拟中，常见的有限元计算方法是由变分法和加权余量法发展而来的里兹法和伽辽金法、最小二乘法等。根据所采用的权函数和插值函数的不同，有限元方法也分为多种计算格式。从权函数的选择来说，有配置法、矩量法、最小二乘法和伽辽金法，从计算单元网格的形状来划分，有三角形网格、四边形网格和多边形 网格，从插值函数的精度来划分，又分为线性插值函数和高次插值函数等。不同的组合 同样构成不同的有限元计算格式。对于权函数，伽辽金(Galerkin)法是将权函数取为逼近函数中的基函数 ；最小二乘法是令权函数等于余量本身，而内积的极小值则为对代求系数的平方误差最小；在配置法中，先在计算域 内选取N个配置点 。令近似解在选定的N个配置点上严格满足微分方程，即在配置点上令方程余量为0。插值函数一般由不同次幂的多项式组成，但也有采用三角函数或指数函数组成的乘积表示，但最常用的多项式插值函数。有限元插值函数分为两大类，一类只要求插值多项式本身在插值点取已知值，称为拉格朗日(Lagrange)多项式插值；另一种不仅要求插值多项式本身，还要求它的导数值在插值点取已知值，称为哈密特(Hermite)多项式插值。单元坐标有笛卡尔直角坐标系和无因次自然坐标，有对称和不对称等。常采用的无因次坐标是一种局部坐标系，它的定义取决于单元的几何形状，一维看作长度比，二维看作面积比，三维看作体积比。在二维有限元中，三角形单元应用的最早，近来四边形等参元的应用也越来越广。对于二维三角形和四边形电源单元，常采用的插值函数为有Lagrange插值直角坐标系中的线性插值函数及二阶或更高阶插值函数、面积坐标系中的线性插值函数、二阶或更高阶插值函数等。
其基本思路和解题步骤
(1)建立积分方程，根据变分原理或方程余量与权函数正交化原理，建立与微分方程初边值问题等价的积分表达式，这是有限元法的出发点。
(2)区域单元剖分，根据求解区域的形状及实际问题的物理特点，将区域剖分为若干相互连接、不重叠的单元。区域单元划分是采用有限元方法的前期准备工作，这部分工作量比较大，除了给计算单元和节点进行编号和确定相互之间的关系之外，还要表示节点的位置坐标，同时还需要列出自然边界和本质边界的节点序号和相应的边界值。
(3)确定单元基函数，根据单元中节点数目及对近似解精度的要求，选择满足一定插值条 件的插值函数作为单元基函数。有限元方法中的基函数是在单元中选取的，由于各单元 具有规则的几何形状，在选取基函数时可遵循一定的法则。
(4)单元分析：将各个单元中的求解函数用单元基函数的线性组合表达式进行逼近；再将 近似函数代入积分方程，并对单元区域进行积分，可获得含有待定系数(即单元中各节点 的参数值)的代数方程组，称为单元有限元方程。
(5)总体合成：在得出单元有限元方程之后，将区域中所有单元有限元方程按一定法则进 行累加，形成总体有限元方程。
(6)边界条件的处理：一般边界条件有三种形式，分为本质边界条件(狄里克雷边界条件 )、自然边界条件(黎曼边界条件)、混合边界条件(柯西边界条件)。对于自然边界条件， 一般在积分表达式中可自动得到满足。对于本质边界条件和混合边界条件，需按一定法 则对总体有限元方程进行修正满足。
(7)解有限元方程：根据边界条件修正的总体有限元方程组，是含所有待定未知量的封闭 方程组，采用适当的数值计算方法求解，可求得各节点的函数值。

图书信息
书名：有限单元法 
作者：王勖成
ISBN：9787302064626
定价：69.8元
出版日期：2003-7-1
出版社：清华大学出版社
图书简介
本书系统地阐述了有限单元法的基本原理、数值方法、计算机实现和它在固体力学领域各类问题中的应用。
全书分为两篇共17章。第1篇（第1-7章）为基本部分，包括有限单元法的理论基础——加权余量法和变分原理；弹性力学问题有限单元法的一般原理和表达格式，单元和插值函数的构造，等参元和数值积分，有限单元法应用中的若干实际考虑，线性代数方程组的解法，有限单元法的计算机程序。第2篇（第8-17章）为专题部分，包括（杆、板、壳）结构力学问题，场和动力问题，以及（材料、几何、接触）非线性问题3个部分。本书反映了有限单元法的学科上和应用方面的发展水平，凝聚了作者本人和所在教研组长期教学实践的经验。书中每章附有复习思考题和练习题。书末还附有用于求解不同类型线弹性问题计算机实践的教学程序。本书可作为力学、机械、动力、航空航天、土木、水利等专业本科生和研究生的教材，也可作为上述专业教师和工程技术及科研开发人员的参考书。
目录
第0章绪论1
0.1有限元法的要点和特性1
0.2有限元法的发展、现状和未来5
0.3本书概述9
第1篇基 本 部 分
第1章有限元法的理论基础——加权余量法和变分原理13
1.1引言13
1.2微分方程的等效积分形式和加权余量法14
1.3变分原理和里兹方法28
1.4弹性力学的基本方程和变分原理36
1.5小结51
复习题52
练习题53
第2章弹性力学问题有限元方法的一般原理和表达格式55
2.1引言55
2.2弹性力学平面问题的有限元格式56
2.3广义坐标有限元法的一般格式77
2.4有限元解的性质和收敛准则82
2.5轴对称问题的有限元格式85
2.6小结93
复习题94
练习题95
第3章单元和插值函数的构造98
3.1引言98
3.2一维单元101
3.3二维单元105
3.4三维单元117
3.5阶谱单元122
3.6小结127
复习题128
练习题129
第4章等参元和数值积分130
4.1引言130
4.2等参变换的概念和单元矩阵的变换131
4.3等参变换的条件和等参元的收敛性136
4.4等参元用于分析弹性力学问题的一般格式140
4.5数值积分方法143
4.6等参元计算中数值积分阶次的选择153
4.7小结159
复习题160
练习题160
第5章有限元法应用中的若干实际考虑162
5.1引言162
5.2有限元模型的建立163
5.3应力计算结果的性质和处理167
5.4子结构法186
5.5结构对称性和周期性的利用192
5.6非协调元和分片试验209
5.7小结217
复习题218
练习题219
第6章线性代数方程组的解法221
6.1引言221
6.2高斯消去法及其变化形式222
6.3带状系数矩阵的直接解法231
6.4利用外存的直接解法237
6.5迭代解法240
6.6小结250
复习题251
练习题252
第7章有限元分析计算机程序254
7.1引言254
7.2有限元分析的主体程序256
7.3前处理程序263
7.4后处理程序266
7.5有限元软件的技术发展267
练习题268
第2篇专 题 部 分
第8章有限元法的进一步基础——约束变分原理271
8.1引言271
8.2约束变分原理272
8.3弹性力学广义变分原理281
8.4弹性力学修正变分原理286
8.5不可（或接近不可）压缩弹性力学问题的有限元法289
8.6小结298
复习题299
练习题300
第9章杆件结构力学问题302
9.1结构单元概论302
9.2等截面直杆\|梁单元306
9.3平面杆件系统323
9.4空间杆件系统329
9.5小结331
复习题332
练习题333
第10章平板弯曲问题334
10.1引言334
10.2基于薄板理论的非协调板单元338
10.3基于薄板理论的协调板单元348
10.4Mindlin板单元（位移和转动各自独立插值的板单元）352
10.5基于离散Kirchhoff理论（DKT）的薄板单元364
10.6应力杂交板单元367
10.7小结375
复习题376
练习题377
第11章壳体问题378
11.1引言378
11.2基于薄壳理论的轴对称壳元381
11.3位移和转动各自独立插值的轴对称壳元389
11.4用于一般壳体的平面壳元398
11.5用于一般壳体的超参数壳元406
11.6相对自由度壳元415
11.7壳元和实体元的联结418
11.8壳元和梁\|杆元的联结430
11.9小结437
复习题438
练习题439
第12章热传导问题441
12.1引言441
12.2稳态热传导问题444
12.3瞬态热传导问题447
12.4热应力的计算461
12.5小结464
复习题465
练习题466
第13章动力学问题468
13.1引言468
13.2质量矩阵和阻尼矩阵472
13.3直接积分法476
13.4振型叠加法484
13.5解的稳定性491
13.6大型特征值问题的解法495
13.7减缩系统自由度的方法509
13.8小结518
复习题519
练习题520
第14章流固耦合问题523
14.1引言523
14.2无粘小扰动流动的基本方程和表达形式524
14.3流固耦合系统有限元分析的（ui,p)格式527
14.4流固耦合系统的动力特性分析533
14.5流固耦合系统的动力响应分析537
14.6小结543
复习题544
练习题544
第15章材料非线性问题545
15.1引言545
15.2非线性方程组的解法547
15.3材料弹塑性本构关系556
15.4弹塑性增量有限元分析576
15.5弹塑性增量分析数值方法中的几个问题579
15.6弹塑性全量有限元分析595
15.7热弹塑性\|蠕变有限元分析600
15.8小结613
复习题614
练习题615
第16章几何非线性问题617
16.1引言617
16.2大变形条件下的应变和应力的度量618
16.3几何非线性问题的表达格式624
16.4有限元求解方程及解法629
16.5大变形条件下的本构关系642
16.6结构稳定性和屈曲问题649
16.7算例654
16.8小结659
复习题661
练习题662
第17章接触和碰撞问题666
17.1引言666
17.2接触界面条件667
17.3接触问题的求解方案671
17.4接触问题的有限元方程678
17.5有限元方程的求解方法685
17.6接触分析中的几个问题691
17.7算例695
17.8小结700
复习题701
练习题702
参考文献704
A主要参考书704
B各章的参考文献704
附录A有限元分析教学程序（FEATP）711
A1有限元分析主体程序源代码711
A2前处理程序使用说明762