标题：黄金分割
简介
历史  毕达哥拉斯由于公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图，因此现代数学家们推断当时毕达哥拉斯学派已经触及甚至掌握了黄金分割。0.618就是黄金分割。这是一个伟大的发现！
公元前4世纪，古希腊数学家欧多克索斯第一个系统研究了这一问题，并建立起比例理论。他认为所谓黄金分割，指的是把长为L的线段分为两部分，使其中一部分对于全部之比，等于另一部分对于该部分之比。而计算黄金分割最简单的方法，是计算斐波那契数列1，1[1]，2，3，5，8，13，21，...第二位起相邻两数之比，即2/3,3/5,5/8,8/13,13/21,...的近似值。
黄金分割在文艺复兴前后，经过阿拉伯人传入欧洲，受到了欧洲人的欢迎，他们称之为"金法"，17世纪欧洲的一位数学家，甚至称它为"各种算法中最可宝贵的算法"。这种算法在印度称之为"三率法"或"三数法则"，也就是我们常说的比例方法。
公元前300年前后欧几里得撰写《几何原本》时吸收了欧多克索斯的研究成果，进一步系统论述了黄金分割，成为最早的有关黄金分割的论著。
中世纪后，黄金分割被披上神秘的外衣，意大利数学家帕乔利将中末比为神圣比例，并专门为此著书立说。德国天文学家开普勒称黄金分割为神圣分割。
其实有关"黄金分割"，中国也有记载。虽然没有古希腊的早，但它是中国古代数学家独立创造的，后来传入了印度。经考证，欧洲的比例算法是源于中国而经过印度由阿拉伯传入欧洲的，而不是直接从古希腊传入的。
到19世纪黄金分割这一名称才逐渐通行。黄金分割数有许多有趣的性质，人类对它的实际应用也很广泛。最著名的例子是优选学中的黄金分割法或0.618法，是由美国数学家基 弗于1953年首先提出的，70年代由华罗庚提倡在中国推广。
黄金比例≈1.618：1 其性质是与它的倒数正好相差1。概念把一条线段分割为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比。其比值是（√5-1）：2，取  黄金分割其小数点后三位的近似值是0.618。由于按此比例设计的造型十分美丽柔和，因此称为黄金分割，也称为中外比。这是一个十分有趣的数字，我们以0.618来近似，通过简单的计算就可以发现：　1÷0.618≈1.618
（1-0.618）÷0.618≈0.618 或5开平方-1的差除以二
这个数值的作用不仅仅体现在诸如绘画、雕塑、音乐、建筑等艺术领域，而且在管理、工程设计等方面也有着不可忽视的作用。在我们生活中比比皆是。起源关于黄金分割比例的起源大多认为来自毕达哥拉斯，据说在古希腊，有一天毕达哥拉斯走在街上，在经过铁匠铺前他听到铁匠打铁的声音非常好听，于是驻足倾听。他发现铁匠打铁节奏很有规律，这个声音的比例被毕达哥拉斯用数理的方式表达出来，被应用在很多领域。后来很多人专门研究过，开普勒称其为“神圣分割”也有人称其为“金法”。在金字塔建成1000年后才出现毕达哥拉斯定律，可见这很早就存在。只是不知这个谜底。
详细内容
无限不循环小数a，b
a:b=(a+b):a
通常用希腊字母Ф表示这个值。
黄金分割奇妙之处，在于其比例与其倒数是一样的。例如：1.618的倒数是0.618，而1.618:1与1:0.618是一样的。
确切值为（√5-1）/2(x^2+x-1=0的一个根）
黄金分割数前面的2000位为：黄金分割三角形正五边形对角线连满后出现的所有三角形，都是黄金分割三角形。
黄金分割三角形有一个特殊性，所有的三角形都可以用四个与其本身全等的三角形来生成与其本身相似的三角形，但黄金分割三角形是唯一一种可以用5个而不是4个与其本身全等的三角形来生成与其本身相似的三角形的三角形。由于五角形的顶角是36度，这样也可以得出黄金分割的数值为2sin18°（即2*sin(π/10)）。
将一个正五边形的所有对角线连接起来，所产生的五角星里面的所有三角形都是黄金分割三角形。
  正五边形内的黄金分割三角形黄金矩形若矩形的宽与长的比等于（√5-1）/2≈0.618，那么这个矩形称为黄金矩形（又称根号矩形）。黄金分割线由黄金分割点联想到“黄金分割线”，并类似地给出“黄金分割线”的定义：直线L将一个面积为S的图形分成两部分，这两部分的面积分别为S1、S2，如果S1:S=S2:S1，那么称直线L为该图形的黄金分割线。黄金分割点黄金分割点是指分一线段为两部分，使得原来线段的长跟较长的那部分的比为黄金分割的点。线段上有两个这样的点。
利用线段上的两个黄金分割点，可以作出正五角星，正五边形等。
  做黄金分割的一种方法设一条线段AB的长度为a，C点在靠近B点的黄金分割点上且AC为b
AC/AB=BC/AC
b^2=a×（a-b)
b^2=a^2-ab
a^2-ab+（1/4）b^2=（5/4）×b^2
（a-b/2）^2=（5/4）b^2
a-b/2=（√5/2）×b
a-b/2=（√5）b/2
a=b/2+（√5）b/2
a/b=（√5+1）/2
∴b/a=2/（√5+1）
b/a=2（√5-1）/（√5+1）（√5-1）
b/a=2（√5-1）/4
b/a=（√5-1）/2与斐波那契数列的关系让我们首先从一个数列开始，它的前面两个数是：1、1，后面的每个数都是它前面的两个数之和。例如：1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144…..这个数列的名字叫做“斐波那契数列”，这些数被称为“斐波那契数”
斐波那契数列与黄金分割有什么关系呢？经研究发现，相邻两个菲波那契数的比值是随序号的增加而逐渐趋于黄金分割比的。即f(n)/f(n+1）-→0.618…。由于斐波那契数都是整数，两个整数相除之商是有理数，所以只是逐渐逼近黄金分割比这个无理数。但是当我们继续计算出后面更大的斐波那契数时，就会发现相邻两数之比确实是非常接近黄金分割比的。
一个很能说明问题的例子是五角星/正五边形。五角星是非常美丽的，中国的国旗上就有五颗，还有不少国家的国旗也用五角星，这是为什么？因为在五角星中可以找到的所有线段之间的长度关系都是符合黄金分割比的。无穷连分数与无穷套根式有限段的黄金比1/X=X/（1-X），有X2=1-X，X（1+X)=1，得X=1/（1+X）。  有限式=无限式对等式右边分母中的X又以1/（1+X）代替，可得X=1/（1+1/（1+X））；以此类推，可得无穷连分数：X=1/（1+1/（1+1/（1+1/（1+...。
对等式进行类似的代替，可得：X=√（1+√（1+√（1+√（1+...。　这样一个简洁的无穷连分式和无穷套根式给人以有序而无穷的印象，使人具有言而不喻的美感，黄金数与无穷连分数、无穷套根式之间竟有如此迷人的联系，怎不叫人惊叹?尺规作图实现黄金分割1、设已知线段为AB，过点B作BC⊥AB，且BC=AB/2；  线段的黄分割图
2、连结AC；
3、 以C为圆心，CB为半径作弧，交AC于D；
4、以A为圆心，AD为半径作弧，交AB于P，则点P就是AB的黄金分割点。
事实上，在一个黄金矩形中，以一个顶点为圆心，矩形的较短边为半径作一个四分之一圆，交较长边于一点，过这个点，作一条直线垂直于较长边，这时，生成的新矩形（不是那个正方形）仍然是一个黄金矩形，这个操作可以无限重复，产生无数个的黄金矩形。例题（1）要设计一座2m高的维纳斯女神雕像，使雕像的上部AC（肚脐以上）与下部BC（肚脐以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，即点C（肚脐）就叫做线段AB的黄金分割点，这个比值叫做黄金分割比．试求出雕像下部设计的高度以及这个黄金分割比？（结果精确到0.001）
解：设维纳斯女神雕像下部的设计高度为xm，那么雕像上部的高度为（2-x）m．　　依题意，得 （2x）/x=（x/2x
x=-1+√5≈1.236或x=-1-√5（不合题意，舍去）．　　经检验，x=-1+√5 是原方程的根．　　答：维纳斯女神雕像下部的高度为1.236m．　　故这个黄金分割比为：（-1-√5）/2 ≈0.618．
（2）一般认为，如果一个人的肚脐以上的高度与肚脐以下的高度符合黄金分割，则这个人好看．这是一个参加空姐选拔活动的选手，那么她应该穿多高的鞋子好看？（精确到1cm）（参考数据：黄金分割数：√5-1/2，√5≈2.236）
解：设她应该穿xcm的鞋子，依题意得：　　65x/95+x=√5-1/2
解得x≈10．
答：她应该穿约10cm高的鞋好看．
美学应用
美感它在造型艺术中具有美学价值，在工艺美术和日用品的比例设计中，采用这一比值能够引起人们的美感，在实际生活中的应用也非常广泛，建筑物中某些线段的比就科学采用了黄金分割，舞台上的报幕员并不是站在舞台的正中央，而是偏在台上一侧。以站在舞台长度的黄金分割点的位置最美观，声音传播的最好。就连植物界也有采用黄金分割的地方，如果从一棵嫩枝的顶端向下看，就会看到叶子是按照黄金分割的规律排列着的。在很多科学实验中，选取方案常用一种0.618法，即优选法，它可以使我们合理地安排较少的试验次数找到合理的西方和合适的工艺条件。正因为它在建筑、文艺、工农业生产和科学实验中有着广泛而重要的应用，所以人们才珍贵地称它为“黄金分割”。艺术创作黄金分割〔Golden Section〕是一种数学上的比例关系。黄金分割具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值。应用时一般取0.618 ，就像圆周率在应用时取3.14一样。高雅的艺术殿堂里，自然也留下了黄金数的足迹。人们还发现，一些名画、雕塑、摄影作品的主题，大多在画面的0.618处。艺术家们认为弦乐器的琴马放在琴弦的0.618处，能使琴声更加柔和甜美。
黄金矩形(Golden Rectangle）的长宽之比为黄金分割率，换言之，矩形的长边为短边 1.618倍。黄金分割率和黄金矩形能够给画面带来美感，令人愉悦。在很多艺术品以及大自然中都能找到它。希腊雅典的巴特农神庙就是一个很好的例子，达·芬奇的《维特鲁威人》符合黄金矩形。《蒙娜丽莎》中蒙娜丽莎的脸也符合黄金矩形，《最后的晚餐》同样也应用了该比例布局。
画家们发现，按0.618:1来设计腿长与身高的比例，画出的人体身材最优美，而现今的女性，腰身以下的长度平均只占身高的0.58，因此古希腊维纳斯女神塑像及太阳神阿波罗的形象都通过故意延长双腿，使之与身高的比值为0.618，从而创造艺术美。难怪许多姑娘都愿意穿上高跟鞋，而芭蕾舞演员则在翩翩起舞时，不时地踮起脚尖。音乐家发现，二胡演奏中，“千金”分弦的比符合0.618∶1时，奏出来的音调最和谐、最悦耳。建筑艺术黄金分割被认为是建筑和艺术中最理想的比例。建筑师们对数字0.618特别偏爱，无论是古埃及的金字塔，还是巴黎的圣母院，或者是近世纪的法国埃菲尔铁塔，都有与0.618有关的数据。黄金分割与大多数门窗的宽长之比也是0.618；还有，在古希腊神庙的设计中就用到了黄金分割。人体美学黄金分割与人的关系相当密切。地球表面的纬度范围是0—90°，对其进行黄金分割，则34.38°  黄金比例的人脸—55.62°正是地球的黄金地带。无论从平均气温、年日照时数、年降水量、相对湿度等方面都是具备适于人类生活的最佳地区。说来也巧，这一地区几乎囊括了世界上所有的发达国家。
人体美学观察受到种族、社会、个人各方面因素的影响，牵涉到形体与精神、局部与整体的辩证统一，只有整体的和谐、比例协调，才能称得上一种完整的美。　
黄金分割是公元前六世纪古希腊数学家毕达哥拉斯所发现，这其实是一个数字的比例关系，即把一条线分为两部分，此时长段与短段之比恰恰等于整条线与长段之比，其数值比为1.618 : 1或1 : 0.618，也就是说长段的平方等于全长与短段的乘积。0.618，以严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值。为什么人们对这样的比例，会本能地感到美的存在？其实这与人类的演化和人体正常发育密切相关。据研究，从猿到人的进化过程中，人体结构中有许多比例关系接近0.618，从而使人体美在几十万年的历史积淀中固定下来。人类最熟悉自己，势必将人体美作为最高的审美标准，凡是与人体相似的物体就喜欢它，就觉得美；于是黄金分割律作为一种重要形式美法则，成为世代相传的审美经典规律，至今不衰！近年来，在研究黄金分割与人体关系时，发现了人体结构中有14个“黄金点”（物体短段与长段之比值为 0.618），12个“黄金矩形”（宽与长比值为 0.618的长方形）和2个“黄金指数”（两物体间的比例关系为 0.618）。分析1.黄金点：
⑴肚脐：头顶－足底之分割点；  《维特鲁威人》⑵咽喉：头顶－肚脐之分割点
⑶、⑷膝关节：肚脐－足底之分割点
⑸、⑹肘关节：肩关节－中指尖之分割点
⑺、⑻乳头：躯干乳头纵轴上之分割点
⑼眉间点：发际－颏底间距上1/3与中下2/3之分割点
⑽鼻下点：发际－颏底间距下1/3与上中2/3之分割点；⑾唇珠点：鼻底－颏底间距上1/3与中下2/3之分割点
⑿颏唇沟正路点：鼻底－颏底间距下1/3与上中2/3之分割点
⒀左口角点：口裂水平线左1/3与右2/3之分割点
⒁ 右口角点：口裂水平线右1/3与左2/3之分割点。面部黄金分割律 面部三庭五眼
2.黄金矩形：
⑴躯体轮廓：肩宽与臀宽的平均数为宽，肩峰至臀底的高度为长
⑵面部轮廓：眼水平线的面宽为宽，发际至颏底间距为长
⑶鼻部轮廓：鼻翼为宽，鼻根至鼻底间距为长
⑷唇部轮廓：静止状态时上下唇峰间距为宽，口角间距为长
⑸、⑹手部轮廓：手的横径为宽，五指并拢时取平均数为长
⑺、⑻、⑼、⑽、⑾、⑿上颌切牙、侧切牙、尖牙（左右各三个）轮廓：最大的近远中径为宽，齿龈径为长。
3.黄金指数：
⑴ 反映鼻口关系的鼻唇指数：鼻翼宽与口角间距之比近似黄金数
⑵ 反映眼口关系的目唇指数：口角间距与两眼外眦间距之比近似黄金数。
⑶ 0.618，作为一个人体健美的标准尺度之一，是无可非议的，但不能忽视其存在着“模糊特性”，它同其它美学参数一样，都有一个允许变化的幅度，受种族、地域、个体差异的制约。人体画像中的同身方法《蒙娜丽莎》  《蒙娜丽莎》是用数字来表示人体美，并根据一定的基准进行比较。用同一人体的某一部位作为基准，来判定它与体的比例关系的方法被称为同身方法。分为三组：系数法，常指头高身长指数，如画人体有坐五、立七，即身高在坐位时为头高的五倍、立位时为7或7.5倍；百分数法，将身长视为100%，身体各部位在其中的比例；两分法：即把人体分成大小两部分，大的部分从脚到脐，小的部分为脐到头顶。标准的面型，其长宽比例协调，符合三庭五眼。三庭是指脸型的长度，从头部发际到下颏的距离分为三等分，即从发际到眉、眉到鼻尖、鼻尖到下颏各分为一等分，各称一庭共三庭；五眼是指脸型的宽度，双耳间正面投影的长度为五只眼裂的长度，除眼裂外、内此间距为一眼裂长度、两侧外眦角到耳部各有一眼裂长度。
生活应用
有趣的是，这个数字在自然界和人们生活中到处可见：人们的肚脐是人体总长的黄金分割点，人的膝盖是肚脐到脚跟的黄金分割点。大多数门窗的宽长之比也是0.618…；有些植茎上，两张相邻叶柄的夹角是137°28'，这恰好是把圆周分成1:0.618……的两条半径的夹角。据研究发现，这种角度对植物通风和采光效果最佳。
建筑师们对数学0.618…特别偏爱，无论是古埃及的金字塔，还是巴黎圣母院，或者是近世纪的法国埃菲尔铁塔，都有与0.618…有关的数据。人们还发现，一些名画、雕塑、摄影作品的主题，大多在画面的0.618…处。艺术家们认为弦乐器的琴马放在琴弦的0.618…处，能使琴声更加柔和甜美。
数字0.618…更为数学家所关注，它的出现，不仅解决了许多数学难题（如：十等分、五等分圆周；求18度、36度角的正弦、余弦值等），而且还使优选法成为可能。优选法优选法是一种求最优化问题的方法。如在炼钢时需要加入某种化学元素来增加钢材的强度，假设已知在每吨钢中需加某化学元素的量在1000—2000克之间，为了求得最恰当的加入量，需要在1000克与2000克这个区间中进行试验。通常是取区间的中点（即1500克）作试验。然后将试验结果分别与1000克和2000克时的实验结果作比较，从中选取强度较高的两点作为新的区间，再取新区间的中点做试验，再比较端点，依次下去，直到取得最理想的结果。这种实验法称为对分法。但这种方法并不是最快的实验方法，如果将实验点取在区间的0.618处，那么实验的次数将大大减少。这种取区间的0.618处作为试验点的方法就是一维的优选法，也称0.618法。实践证明，对于一个因素的问题，用“0.618法”做16次试验就可以完成“对分法”做2500次试验所达到的效果。因此大画家达·芬奇把0.618…称为黄金数。
优选法是一种具有广泛应用价值的数学方法，著名数学家华罗庚曾为普及它作出重要贡献。优选法中有一种0.618法应用了黄金分割法。例如，在一种试验中，温度的变化范围是0℃~10℃，我们要寻找在哪个温度时实验效果最佳。为此，可以先找出温度变化范围的黄金分割点，考察10×0.618=6.18（℃）时的试验效果，再考察10×（1-0.618）=3.82（℃）时的试验效果，比较两者，选优去劣。然后在缩小的变化范围内继续这样寻找，直至选出最佳温度。植物有些植茎上，两张相邻叶柄的夹角是137°28'，这恰好是把圆周分成1:0.618的两条半径的夹角。据研究发现，这种角度对植物通风和采光效果最佳。植物叶子，千姿百态，生机盎然，给大自然带来了美丽的绿色世界。尽管叶子形态随种而异，但它在茎上的排列顺序（称为叶序），却是极有规律的。有些植物的花瓣及主干上枝条的生长，也是符合这个规律的。你从植物茎的顶端向下看，经细心观察，发现上下层中相邻的两片叶子之间约成137.5°角。如果每层叶子只画一片来代表，第一层和第二层的相邻两叶之间的角度差约是137.5°，以后二到三层，三到四层，四到五层……两叶之间都成这个角度。植物学家经过计算表明：这个角度对叶子的采光、通风都是最佳的。叶子的排布，多么精巧！叶子间的137.5°角中，藏有什么“密码”呢？我们知道，一周是360°，360°-137.5°=222.5°，而137.5∶222.5≈0.618。瞧，这就是“密码”！叶子的精巧而神奇的排布中，竟然隐藏着0.618的比例。作息制度全国政协委员张晓梅2009年全国两会期间在其博客里挂出拟提交的提案——采取每周四天半制度，同时征求网友的意见。
随着中国经济社会的发展和城市化、现代化步伐加快，劳动效率的提高，目前5天8小时工作制也带来一些问题，影响到了劳动时效性和劳动者生活质量。由于“扎堆”上下班，也对城市交通造成很大压力。
现在，缩短工作时间已成为世界发展的一大趋势，联合国每周工作四天半，欧洲、亚洲和北美的很多发达国家都实行每周4天半甚至是4天的工作制度，工时大都不超过36小时。中国经济能高速发展，其中很重要的原因是劳动生产率不断提高的结果。在劳动生产率提高的前提下，缩短工作时间，让人们有更多的休息时间，进一步与世界接轨已具备了可行性。  黄金分割漫话所以张晓梅建议，选择适当的时机，在全国实行每周4天半的工作制，即每周工作时间36小时。
除此之外，实行每周四天半工作制还有一个原因，那就和黄金分割有关。一般地，一年中工作日所占比例为61.8%是最佳比例。而我们现在是每周休息两天，照此推算，一年就有休息日104天，再加上11天的法定节假日，一年就有115个休息的日子，那么， 一年就有250个工作日。此时，工作日在一年中的比例约为250÷365×100%=68.5%，这个比例明显偏离了最佳比例，而实施每周四天半工作制之后，一年中就减少了工作日26天，考虑到春节、“十一”假期要保持7天，所以春节、“十一”的法定节假日各减少1天，所以实际上一年要减少24天工作日。实施每周四天半工作制之后，工作日在一年中的比例约为（250-24）÷365×100%=61.9%，这个比例比较接近最佳比例，符合黄金比，所以十分需要实施每周四天半工作制。医学医学与0.618有着千丝万缕的联系，它可解释人为什么在环境22至24℃时感觉最舒适。因为人的体温为37℃与0.618的乘积为22.8℃，而且这一温度中肌体的新陈代谢、生理节奏和生理功能均处于最佳状态。科学家们还发现，当外界环境温度为人体温度的0.618倍时，人会感到最舒服．现代医学研究还表明，0.618与养生之道息息相关，动与静是一个0.618的比例关系，大致四分动六分静，才是最佳的养生之道。医学分析还发现，饭吃六七成饱的几乎不生胃病。其它方面1、人的体温37度，室温25度是人们感受最舒适的温度，而25÷37=0.676很接近0.618。
2．电脑显示器长与宽比值约为1.6。（1/0.618=1.618）
3．理想体重计算很接近身高×（1－0.618）。
4．普通人一天上班8小时，8×0.618=4.944，上班第5个小时是最需要休息的时候，同时也是开始期待下班的时候。
股市
黄金分割线是利用黄金分割比率进行的切线画法，在行情发生转势后，无论是止跌转升或止升转跌，以近期走势中重要的高点和低点之间的涨跌额作为计量的基数， 将原涨跌幅按0.236、0.382、0.5、0.618、0.809分割为5个黄金点，股价在反转后的走势将可能在这些黄金分割点上遇到暂时的阻力或支 撑。据此又推算出0.236、0.382、0.809等，其中黄金分割线中运用最经典的数字为0.382、 0.618，极易产生支撑与压力。应用要点1 我们无法了解未来，所以只能研究历史；多研究以往历史走势中的比率关系，会发现很多不同以往的规律，然后敝帚自珍。
2 俗话说“横看成岭侧成峰”，不同时空周期的分析结果可能不同，分析过程中最好由大时空范围到小时空范围；时空范围越大的，样本越多，得出的结果往往越有效。
3 黄金分割率衍生数字较多，筛选较主观，需要配合其他技术分析工具，关键是对整体趋势的把握。推测结果尽量使用其他技术分析方法和基本面来做验证。
4[2-3]对未来的预测永远只是一种几率，黄金分割率也是如此。过于迷信也是相当危险的，也有过这种过于迷信黄金分割理论而导致投机失败的案例。波浪理论黄金分割在波浪理论中的应用
在波浪理论中，每一波之间的比例，包括波动幅度与时间长度比较，一般都符合"黄金分割"的比例，对于技术分析者来说，这是相当重要的参考数据。
1、波浪幅度相等原则。不管上涨波或下跌波，在第1、3、5浪三个推升波中，其中最多只有一个浪出现延长波，其它两个推升波大致相等，即使不会相等也会以0.618的黄金分割比例出现。
2、通常上升波第三浪的高点目标等于（第一浪的长度×1.618 第二浪回档的低点）。下跌波第三浪的低点目标等于（第二浪的反弹高点-第一浪的长度×1.618）
3、上升波第五浪的最小涨幅目标等于（第一浪的长度×3.236 第一浪的长度的起步点）；最大涨幅目标等于（第一浪的长度×3.236 第一浪高点）。下跌波第五浪的最小波幅目标等于（第二浪的反弹高点-第一浪长度×3.236）；最大跌幅目标等于（第一浪的起步点-第一浪的长度×3.236）。
4、在上升波中，倘若第一浪与第三浪的长度相当，那么第五浪延升波的上涨目标等于[（第三浪高点-第一浪低点）×1.618 第四浪低点]。
5、调整浪中的c浪下跌目标等于（A浪低点-A浪长度×0.618）。
6、不管上升波的回档还是下跌波的反弹，强势状态下大约会回调0.382；中度回调大约至0.5，极弱趋势回调则大约会有0.618的幅度。
变异形态波的形态分类以上述波浪的构成为其最简化的基本理论。一般而言，在时间刻度较小的观察期中，波浪的形态会依照基本规则进行，但在时间刻度拉大时，波浪会有变异形态出现，因此在整个实际的情况中，价格走势的形态远比上述的简单八波还复杂许多。波浪的变异形态，因推动波与修正波不同，其状况也不同，推动波的变异形态较单纯，而修正波的变异形态则较为复杂。在了解波的变异形态之后，所有实际市场上的波形态均离不开其中的变化。
一个大的原则为：任何一个次级的波动走势都将倾向与其大一级的波具有一致的走势。这个原则有助于波行进的判断。观察波的变异形态，可分为推动波的变异形态及修正波的变异形态。由于推动波是主趋势的方向，因此其波形较容易辨别，但修正波则较不容易清楚辨识和分割。[4]概要黄金分割是一个古老的数学方法。对它的各种神奇的作用和魔力，数学上至今还没有明确的解释，只是发现它屡屡在实际中发挥我们意想不到的作用。　
在股票的技术分析中，还有一个重要的分析流派--波浪理论中要用到黄金分割的内容。在这里，我们将通过它的指导买卖股票。
画黄金分割线的第-步是记住若干个特殊的数字：
0.191 0.382 0.618 0.809
⒈191 1.382 1.618 1.809
⒉618 4.236
这些数字中0.382、0.618、1.382、1.618最为重要，股价极为容易在由这四个数产生的黄金分割线处产生支撑和压力。黄金分割线的应用1. 0.382和0.618是反映了股市变化的重要转折点。当股价涨势趋近或达到38.2%和61.8%时，反跌很可能出现。反之，当股价跌势趋近或38.2%和61.8%时，反弹的可能性很大。
2. 当股价上升时，可按黄金率算出上升的空间价位。一般预计股价上升能力与反转价位点的数字是0.191、0.382、0.618、0.809和1。当股价涨幅超过1倍时，反跌点数字为1.91、1.382、1.618、1.809和2，依次类推。
例如：股市行情下跌结束后，股价最低价为5.8，那么，股价上升时，投资人可预算出股价上升后反跌的可能价位：
即：
⒌8×（1+19.1%)=6.91元
⒌8×（1+38.2%)=8.02元
⒌8×（1+61.8%)=9.38元
⒌8×（1+80.9%)=10.49元
⒌8×（1+100%)=11.6元
3. 反之，当上升行情结束，下跌行情开始时，上述数字仍然可以预计反弹的不同价位。
例如：当最高价为21元
即：
21×（1-19.1%)=16.99元
21×（1-38.2%)=12.98元
21×（1-61.8%)=8.02元
21×（1-80.9%)=4.01元
如何运用黄金分割线买卖股票：比如某股的最低价10元，那么，股价反转上升时，投资人可以预先计算出各种不同的反压价位，也就是10*（1+0.382）=13.8元，10*（1+0.618）=16.2元，10*（1+1）=20元，10*（1+0.5）=15元。同样跌势中用减法，然后，再依照股价变动、筹码转换及趋势位置的实际情形做斟酌。一般认为，股价在运动到上面数字点位时将受到阻力或支撑。如果我们知道其中两个数字在股市中的位置，在股市趋势不变的情况下，便可推算出下一步股价可能到达的价位。为什么必须知道两条黄金分割线在股价中的位置才可求下一步股价的位置呢？因为0、0.382、0.5、0.618、1仅体现一种比例关系，股票涨幅具体多少由庄家能量自定。
下面以重庆百货（600729）为例抛砖引玉：该股2001年2月8日收盘价为15.00元，是近期底部价位，可做为黄金分割线0位线，而它的黄金分割线0.382位线并不是15.00*1.382=20.73元，而是次日收盘价15.48元。这时，我们就可求出此股黄金分割线0.5位线、0.618位线、1位线的股价数字，依次为：15.67元、15.83元、16.33元。具体在指南针软件中使用，也就是将0位线放在近期底部价位15.00元处，将0.382位线放在次日收盘价15.48价位上，放开鼠标，0.5位线、0.618位线和1位线便可一目了然。黄金分割线1位线也叫目标位线。该股2001年4月6日一根长阳线突破目标价16.33元和前期高点16.96元，从换手率上看，并无主力出货迹象，应可中线持有。再重新划黄金分割线，它的0位线仍为15.00元，而0.382位线应是前期高点16.96元，这时即可测出这一轮新的黄金分割线各线值：0.5位线为17.59、0.618位线为18.18元、1位线为20.19元。以上是笔者四月份时对股票600729做的分析。用同样的方法，网员们可以对你手中的股票做一下预测，看看最佳的卖点在哪里。须解决三大问题1. 如何确定股价的出发点，即黄金分割线的0位线。
一般是以股价近期走势中重要的峰位或底位。当股价上涨时，以底位零点股价为基数，其涨跌幅达到某一重要黄金比时，则可能发生转势。
2. 如何确定已知股市走势中的第二个黄金分割点，即确定黄金分割线的0.382位线。
一般是以距零点较近的股价转折点做为黄金分割线的0.382位线。
3. 如何运用黄金分割点把握股市走势，买卖股票。
如果我们知道了0和0.382分割点在股价中的位置，是不是到达0.5点时，就跑掉呢？不见得。这要结合大盘和个股股质具体情况来定，具体问题具体分析。若出现换手率过大、CYQ快速向上移动、涨幅过大或基本面重大利空的其中一种情况，都应该考虑离场。买卖股票方法股市是投资未来的行为，预测在股市中的重要性不言而喻。黄金分割率具有极强的自然属性。在人的脸部上，我们从一个人两眉之间的印堂穴一直测量至下巴处的长度，基本上约为其整个脸部长度的0.618位置；我们从一个人两乳之间的膳中穴一直测量到脚底的长度，基本上约为整个身高的0.618位置；金字塔的几何形状有五个面，八个边，总数为十三个层面。由任何一边看上去，都可以看到三个层面。金字塔的长度为5813寸（5－8－13），而高底和底面百分比率是0.618；向日葵花有89个花辫，55个朝一方，34个朝向另一方，在它们之间存在下列比例关系：34/55=0.618，89/55=1.618，89/34=2.618。我们同样知道世界上门窗长宽比同样接近黄金分割率。
可以说，黄金分割率是世界事物运动永恒的转折点，只有在这里转折，事物的运动才会和谐，才会持续。它是作用在人们深层潜意识里的客观规律。股市中最基本的规律是高低相间，没有永远的牛市，也没有永远的熊市，股市将永远在高低之间运动。这就使短线高手有在黄金分割线指导下追涨获利的可能。为了使追涨成功系数增大，必须考虑以下二个问题：此股票有庄家在运做，运用横盘洗不掉、获利不抛的和解套不跑的三种方法来判断庄家的存在。买卖基本法则0.618法，来至自然的法则，运用于股票买卖很准，简叙如下：
以阶段性的低点（1.000）作黄金线分为：1.191、1.382、1.500、1.618、1.809等，每一条线位就是阻力位，一般只要有行情，每个股票都会冲破1.191线上1.382线，部分股票上1.618线少数上1.809线，极少股票突破1.809线而更高。把阶段性的顶点（1.000）作黄金线分为：0.809、0.618、0.500、0.382、0.191每一条线都是强支承位，强式股，股票大多在0.809线止跌反弹，弱势股到0．618线或 0．382线等，据黄金线炒作，比较安全！从高位下落不到0．618线附近，不要作为黄金线的起点。没有一底比一底高的股票低点，不要作黄金线起点。黄金线五段买卖法则1.耐心持有待突破：
在1.191线内购股最安全，为股票的盘整期，总有突破的那一天，在此价位内甚至也不必作差价，耐心持有为第一位！第一黄金线位：是股票的盘整期。股价一旦突破1.191线，一定会上摸到1.382线，您一定要抛！否则会回落，首次冲高抛掉！而回调也会到1.191线为止，您一定要买回来！
2.高抛低吸取黄金：
在1.191—1.382可作差价，高抛低吸，不必害怕，此区域一般不会套您，庄家获利不是很大，且在拉升途中，庄家自己也会高抛低吸来降低自己的持股成本，对自己熟悉的股票多做差价，也要敢于作差价。1.382线是强阻力位，强阻力位有很长时间的盘整，而一旦有效突破，股价就很难再跌破1.382线，最好在1.191价+（1.382价-1.191 价）*0.618位抛掉）。
3.虎口拔牙要小心：
在1.382—1.618也可作差价，不过是虎口拔牙，应加倍小心，最好在 1.382价+（1．618价-1.382价）*0.618位抛掉，从高位下落的股票不要在0．809位抢反弹，而要在0.618位，但涨10%必须抛掉，不要恋战。
4.高高在上买不宜：
在1.618以上的股票，意味着从低位已上涨62%，无特别好消息，不要购在1.618线附近的股票。在该线附近盘整越久，庄家出货的慨率越大。加倍小心！
5.风光无限在险峰：
在1.809上的股票，就可能是无限风光了，有倍率上涨的机会，如：0680的1.809价为7．98元，突破后有机会到16．00元附近，一般不要理会倍率黄金线的使用，知道就可。计算方法一、1.618减去基数1，得0．618，1再减去0．618得0．382，黄金分割在个股当中的应用方式有一派观点认为是：直接从波段的低点加上⑴0．382倍、⑵0．618倍、⑶1．382倍、⑷1．618倍……作为其涨升压力。或者直接从波段的高点减去0．382倍及0．618倍，作为其下跌支撑。另一派观点认为不应以波段的高低点作为其计算基期。而应该以前一波段的涨跌幅度作为计算基期，黄金分割的支撑点可分别用下述公式计算：
1.某段行情回档高点支撑=某段行情终点－（某段行情终点－某段行情最低点） 0．382
2.某段行情低点支撑=某段行情终点－（某段行情终点－某段行情最低点） 0．618
如果要计算目标位：则可用下列公式计算
3.前段行情最低点（或最高点）=（前段行情最高点－本段行情起涨点） 1．382（或1．618）
二、上述公式有四种计算方法，根据个股不同情况分别应用。案例分析托普软件（000583）该股的走势颇为符合黄金分割原则，1999年3月份，该股从14．31元起步，至6月底，该股拉升到34．31元，完成这一波的涨升，随后我们来看该股的支撑价位：
根据公式：下跌低点支撑=34．31－（34．31－14．35）× 0．618=22元
事实上该股1999年11月份回调最低点为22．48元，误差极小，投资者只要在22元一线附近吸纳，就可以找到获利机会。目标价位也可通过公式计算。
上升行情上涨压力=21．97+（34．31－21．97）× 1．618=42元
该股在今年二月份摸高至45元后回落，投资者在42元可以从容卖出获利。该股走势说明了如果对黄金分割掌握透彻，可以成功利用它来捕捉。使用时要注意。
1.买点在回调到0．618处比较安全，回调到0．382处对于激进型投资者较适合，稳健型投资者还是选择回调到0．618处介入。
2.卖点在涨升1．382处比较保守，只要趋势保持上升通道，可选择涨升1．618处出。分析软件上的做法目前，绝大多数股票分析软件上都有画线辅助功能，黄金分割线的作图比较简单，画法如下：
1.首先是找到分析软件的画线功能将其点击
2.在画线工具拦中点击黄金分割选项
3.如果股价正处见底回升的阶段，以此低点为基点，用鼠标左键点击此低点，并按住鼠标左键不放，拖动鼠标使边线对齐相应的高点，即回溯这一下跌波段的峰顶，松开鼠标左键系统即生成向上反弹上档压力位的黄金分割线。例如：以2004年9月13日1259低点为基点，2004年4月1783高点为峰顶所作的黄金分割线，1259点展开的反攻恰好在黄金分割线遇阻回落。
如果股价正处于见顶回落的阶段，以此高点为基点，用鼠标左键点击此高点，并按住鼠标左键不放，拖动鼠标使边线对齐相应的低点，即回溯这一上涨波段的谷底，松开鼠标左键系统即生成黄金分割线。例如：以2003年3月1529高点为基点，2003年1月1311低点为谷底所作的黄金分割线，其中1311- 1529的0.382回调位为1445点，而大盘正好在1447点企稳并展开新一轮上攻。
实际操作中还需注意：黄金分割线中最重要的两条线为0.382、0.618，在反弹中0.382为弱势反弹位、0.618为强势反弹位，在回调中0.382为强势回调位、0.618为弱势回调位。实战案例（来源：胡远强新浪博客）
预测股市如同预测天气预报、预测足球比赛，结果往往出人意料，但许多专业人士和股市爱好者仍然为此忙得不亦说乎。
一、黄金分割率预测2010年12月或2011年1月顶部3000点-3150点附近
理由：3186点与2758点之间，反弹回到0.618或0.809位置。　
预测结果：时间有误差，误差2至3个月，2011年3月至4月，上证指数处于2850至3067点。足见黄金分割率的优点是预测指数高低，而不是出现时间早晚。
二、黄金分割率预测2011年10月附近大底2027点附近或1804点附近
理由：3478点与1664点之间，反弹回到0.236或更低的位置，一个是1-2浪的底部2位置，一个是3-4浪的底部4位置。
预测结果：待验证。
战争
武器装备在冷兵器时代，虽然人们还根本不知道黄金分割率这个概念，但人们在制造宝剑、大刀、长矛等武器时，黄金分割率的法则也早已处处体现了出来，因为按这样的比例制造出来的兵器，用起来会更加得心应手。
当发射子弹的步枪刚刚制造出来的时候，它的枪把和枪身的长度比例很不科学合理，很不方便于抓握和瞄准。到了1918年，一个名叫阿尔文·约克的美远征军下士，对这种步枪进行了改造，改进后的枪型枪身和枪把的比例恰恰符合0.618的比例。
实际上，从锋利的马刀刃口的弧度，到子弹、炮弹、弹道导弹沿弹道飞行的顶点；从飞机进入俯冲轰炸状态的最佳投弹高度和角度，到坦克外壳设计时的最佳避弹坡度，我们也都能很容易地发现黄金分割率无处不在。
在大炮射击中，如果某种间瞄火炮的最大射程为12公里，最小射程为4公里，则其最佳射击距离在9公里左右，为最大射程的2/3，与0.618十分接近。在进行战斗部署时，如果是进攻战斗，大炮阵地的配置位置一般距离己方前沿为1/3倍最大射程处，如果是防御战斗，则大炮阵地应配置距己方前沿2/3倍最大射程处。战术布阵在中国历史上很早发生的一些战争中，就无不遵循着0.618的规律。春秋战国时期，晋厉公率军伐郑，与援郑之楚军决战于鄢陵。厉公听从楚叛臣苗贲皇的建议，把楚之右军作为主攻点，因此以中军之一部进攻楚军之左军；以另一部进攻楚军之中军，集上军、下军、新军及公族之卒，攻击楚之右军。其主要攻击点的选择，恰在黄金分割点上。
把黄金分割律在战争中体现得最为出色的军事行动，还应首推成吉思汗所指挥的一系列战事。数  成吉思汗百年来，人们对成吉思汗的蒙古骑兵，为什么能像飓风扫落叶般地席卷欧亚大陆颇感费解，因为仅用游牧民族的彪悍勇猛、残忍诡谲、善于骑射以及骑兵的机动性这些理由，都还不足以对此做出令人完全信服的解释。或许还有别的更为重要的原因？仔细研究之下，果然又从中发现了黄金分割律的伟大作用。蒙古骑兵的战斗队形与西方传统的方阵大不相同，在它的5排制阵形中，人盔马甲的重骑兵和快捷灵动轻骑兵的比例为2:3，这又是一个黄金分割！你不能不佩服那位马背军事家的天才妙悟，被这样的天才统帅统领的大军，不纵横四海、所向披靡，那才怪呢。
马其顿与波斯的阿贝拉之战，是欧洲人将0.618用于战争中的一个比较成功的范例。在这次战役中，  阿贝拉之战战略图马其顿的亚历山大大帝把他的军队的攻击点，选在了波斯大流士国王的军队的左翼和中央结合部。巧的是，这个部位正好也是整个战线的“黄金点”，所以尽管波斯大军多于亚历山大的兵马数十倍，但凭借自己的战略智慧，亚历山大把波斯大军打得溃不成军。这一战争的深刻影响直到今天仍清晰可见， 在海湾战争中，多国部队就是采用了类似的布阵法打败了伊拉克军队。
两支部队交战，如果其中之一的兵力、兵器损失了1/3以上，就难以再同对方交战下去。正因为如此，在现代高技术战争中，有高技术武器装备的军事大国都采取长时间空中打击的办法，先彻底摧毁对方1/3以上的兵力、武器，尔后再展开地面进攻。让我们以海湾战争为例。战前，据军事专家估计，如果  海湾战争战略图共和国卫队的装备和人员，经空中轰炸损失达到或超过30%，就将基本丧失战斗力。为了使伊军的损耗达到这个临界点，美英联军一再延长轰炸时间，持续38天，直到摧毁了伊拉克在战区内428辆坦克中的38%、2280辆装甲车中的32%、3100门火炮中的47%，这时伊军实力下降至60%左右，这正是军队丧失战斗力的临界点。也就是将伊拉克军事力量削弱到黄金分割点上后，美英联军才抽出“沙漠军刀”砍向萨达姆，在地面作战只用了100个小时就达到了战争目的。在这场被誉为“沙漠风暴”的战争中，创造了一场大战仅阵亡百余人奇迹的施瓦茨科普夫将军，算不上是大师级人物，但他的运气却几乎和所有的军事艺术大师一样好。其实真正重要的并不是运气，而是这位率领一支现代大军的统帅，在进行战争的运筹帷幄中，有意无意地涉及了0.618，也就是说，他多多少少托了黄金分割律的福。
此外，现代战争中，许多国家的军队在实施具体的进攻任务时，往往是分梯队进行的，第一梯队的兵力约占总兵力的2/3，第二梯队约占1/3。在第一梯队中，主攻方向所投入的兵力通常为第一梯队总兵力的2/3，助攻方向则为1/3。防御战斗中，第一道防线的兵力通常为总数的2/3，第二道防线的兵力兵器通常为总数的1/3。拿破仑的战败0.618不仅在武器和一时一地的战场布阵上体现出来，而且在区域广阔、时间跨度长的宏观的战争中，也都充分地展现出来。
一代枭雄的的拿破仑大帝可能怎么也不会想到，他的命运会与0.618紧紧地联系在一起。1812  拿破仑大帝年6月，正是莫斯科一年中气候最为凉爽宜人的夏季，在未能消灭俄军有生力量的博罗金诺战役后，拿破仑于此时率领着他的大军进入了莫斯科。这时的他可是踌躇满志、不可一世。他并未意识到，天才和运气此时也正从他身上一点点地消失，他一生事业的顶峰和转折点正在同时到来。后来，法军便在大雪纷扬、寒风呼啸中灰溜溜地撤离了莫斯科。三个月的胜利进军加上两个月的盛极而衰，从时间轴上看，法兰西皇帝透过熊熊烈焰俯瞰莫斯科城时，脚下正好就踩着黄金分割线。
1941年6月22日，纳粹德国针对苏联启动了的“巴巴罗萨”计划，实行闪电战，在极短的时间内，迅速占领了的苏联广袤的领土，并继续向该国的纵深推进。在长达两年多的时间里，德军一直保持着进攻的势头，直到1943年8月，“巴巴罗萨”行动结束后，德军从此转入守势，再也没能力对苏军发起一次可以称之为战役行动的进攻。被所有战争史学家公认为苏联卫国战争转折点的斯大林格勒战役，就发生在战争爆发后的第17个月，正是德军由盛而衰的26个月时间轴线的黄金分割点。