标题：权方和不等式
简介
quán fāng hé bù děng shì
是一个数学中重要的不等式。  权方和不等式
形式
对于xi，yi>0，当m(m+1）>0时：
(x1+x2+x3+………+xi+……+xn)^(m+1）/(y1+y2+y3+…………+yi+……+yn)^m≤{[x1^(m+1）/y1^m]+[x2^(m+1）/y2^m]+[x3^(m+1）/y3^m]+…………+[xi^(m+1）/yi^m]+……+[xn^(m+1）/yn^m]}.
m(m+1）=0时：
（x1+x2+x3+………+xi+……+xn)^(m+1）/(y1+y2+y3+…………+yi+……+yn)^m={[x1^(m+1）/y1^m]+[x2^(m+1）/y2^m]+[x3^(m+1）/y3^m]+…………+[xi^(m+1）/yi^m]+……+[xn^(m+1）/yn^m]}.
m(m+1）<0时：
（x1+x2+x3+………+xi+……+xn)^(m+1）/(y1+y2+y3+…………+yi+……+yn)^m≥{[x1^(m+1）/y1^m]+[x2^(m+1）/y2^m]+[x3^(m+1）/y3^m]+…………+[xi^(m+1）/yi^m]+……+[xn^(m+1）/yn^m]}.
其中n是正整数。
取等号的条件：x1/y1=x2/y2=x3/y3=…………=xi/yi=……=xn/yn.[1]
证明
其证明需要用到赫尔德（Holder）不等式.赫尔德不等式（特殊情形）
对于实数p和q，若p≥1，q<+∞，且1/p+1/q=1. 
则对于所有实数或复数a1,a2,a3…………ai……an和b1,b2,b3…………bi……bn
恒有|a1b1|+|a2b2|+|a3b3|+…………+|aibi|+……+|anbn|≤
[(|a1|^p+|a2|^p+|a3|^p+…………+|ai|^p+……+|an|^p)^（1/p)]*
[(|b1|^q+|b2|^q+|b3|^q+…………+|bi|^q+……+|bn|^q)^（1/q)]
当且仅当a1^p/b1^q=a2^p/b2^q=a3^p/b3^q=………=ai^p/bi^q=……=an^p/bn^q时，等号成立。第一式证明：因为m(m+1）>0，所以m>0或m<-1.
设ai=xi/yi^[m/(m+1）] bi=yi^[m/(m+1）]
p=m+1 q=(m+1）/m
m>0时，p>1，q<+∞成立，且1/p+1/q=1.
所以对于ai、bi>0，恒有：
|a1b1|+|a2b2|+|a3b3|+…………+|aibi|+……+|anbn|≤
[(|a1|^p+|a2|^p+|a3|^p+…………+|ai|^p+……+|an|^p)^（1/p)]*
[(|b1|^q+|b2|^q+|b3|^q+…………+|bi|^q+……+|bn|^q)^（1/q)]
也就是x1+x2+x3+…………+xi+……+xn≤{[x1^(m+1）/y1^m]+[x2^(m+1）/y2^m]+
[x3^(m+1）/y3^m]+…………+[xi^(m+1）/yi^m]+……+[xn^(m+1）/yn^m]}^[1/(m+1）]
*{(y1+y2+y3+…………+yi+……+yn)^[m/(m+1）]}
不等式两边同时取（m+1）次幂，得到：
（x1+x2+x3+…………+xi+……+xn)^(m+1）≤{[x1^(m+1）/y1^m]+[x2^(m+1）/y2^m]+
[x3^(m+1）/y3^m]+…………+[xi^(m+1）/yi^m]+……+[xn^(m+1）/yn^m]}*
（y1+y2+y3+…………+yi+……+yn)^m
不等式两边同除（y1+y2+y3+…………+yi+……+yn)^m，就得到
（x1+x2+x3+……+xi+……+xn)^(m+1）/(y1+y2+y3+…………+yi+……+yn)^m≤{[x1^(m+1）/y1^m]+[x2^(m+1）/y2^m]+[x3^(m+1）/y3^m]+…………+[xi^(m+1）/yi^m]+……+[xn^(m+1）/yn^m]}.得证.
另设ai=yi/xi^[(m+1）/m],bi=xi^[(m+1）/m]
p=-m q=m/(m+1）
当m1，q<+∞成立，且1/p+1/q=1.
所以对于ai、bi>0，恒有：
|a1b1|+|a2b2|+|a3b3|+…………+|aibi|+……+|anbn|≤
[(|a1|^p+|a2|^p+|a3|^p+…………+|ai|^p+……+|an|^p)^（1/p)]*
[(|b1|^q+|b2|^q+|b3|^q+…………+|bi|^q+……+|bn|^q)^（1/q)].
也就是y1+y2+y3+…………+yi+……+yn≤（x1+x2+x3+…………+xi+……+xn)^[(m+1）/m]
*{[x1^(m+1）/y1^m]+[x2^(m+1）/y2^m]+[x3^(m+1）/y3^m]+…………+[xi^(m+1）/yi^m]+……+[xn^(m+1）/yn^m]}^(-1/m).
不等式两边同时做m次幂，此时不等号方向改变：
（y1+y2+y3+…………+yi+……+yn)^m≥（x1+x2+x3+…………+xi+……+xn)^(m+1） 
*{[x1^(m+1）/y1^m]+[x2^(m+1）/y2^m]+[x3^(m+1）/y3^m]+…………+[xi^(m+1）/yi^m]+……+[xn^(m+1）/yn^m]}^(-1）
不等式两边取倒数（不等号方向改变）再同乘（x1+x2+x3+…………+xi+……+xn)^(m+1），即得：
（x1+x2+x3+………+xi+……+xn)^(m+1）/(y1+y2+y3+…………+yi+……+yn)^m≤{[x1^(m+1）/y1^m]+[x2^(m+1）/y2^m]+[x3^(m+1）/y3^m]+…………+[xi^(m+1）/yi^m]+……+[xn^(m+1）/yn^m]}.
第一式得证。第二式证明m就-1和0两种取值。
m=0时，原式简化为x1+x2+x3+…………+xi+……+xn=x1+x2+x3+…………+xi+……+xn显然成立；
m=-1时，原式简化为y1+y2+y3+…………+yi+……+yn=y1+y2+y3+…………+yi+……yn显然成立.
第二式得证。第三式证明设ai=yi^(-m),bi=xi^(m+1）.
p=-1/m,q=1/(m+1）.
当m(m+1）m>-1.
此时p>1，q<+∞成立，且1/p+1/q=1.
所以对于ai、bi>0，恒有：
|a1b1|+|a2b2|+|a3b3|+…………+|aibi|+……+|anbn|≤
[(|a1|^p+|a2|^p+|a3|^p+…………+|ai|^p+……+|an|^p)^（1/p)]*
[(|b1|^q+|b2|^q+|b3|^q+…………+|bi|^q+……+|bn|^q)^（1/q)].
也就是[x1^(m+1）/y1^m]+[x2^(m+1）/y2^m]+[x3^(m+1）/y3^m]+…………+[xi^(m+1）/yi^m]+……+[xn^(m+1）/yn^m]≤[(x1+x2+x3+…………+xi+……+xn)^(m+1）]/[(y1+y2+y3+…………+yi+……+yn)^m].
第三式得证。
证毕.取等号的条件赫尔德不等式取等号的条件是：
当且仅当a1^p/b1^q=a2^p/b2^q=a3^p/b3^q=…………=ai^p/bi^q=……=an^p/bn^q时等号成立。
所以第一式中，取等号的条件分别是：
m>0时候：
x1^(m+1）/y1^(m+1）=x2^(m+1）/y2^(m+1）=x3^(m+1）/y3^(m+1）=…………=
xi^(m+1）/yi^(m+1）=……=xn^(m+1）/yn^(m+1）.
m<-1时候：
x1^m/y1^m=x2^m/y2^m=x3^m/y3^m=…………=xi^m/yi^m=……=xn^m/yn^m.
第三式中，取等号的条件是：
0>m>-1时候：
y1/x1=y2/x2=y3/x3=…………=yi/xi=……=yn/xn.
由于xi、yi都是正数（也正因为这样，利用赫尔德不等式证明权方和不等式时才能把绝对值符号去掉），所以可以分别通过开（m+1）、m、-1次方简化为：
x1/y1=x2/y2=x3/y3=…………=xi/yi=……=xn/yn时等号成立。
进一步说明
权方和不等式是在高中竞赛中很有用的一个不等式，常用来处理分式不等式。
它和赫尔德不等式的这个特殊情形是等价关系。
其中m称为不等式的权，特点是分子次数比分母高一次。
应用
可用于处理分式不等式、放缩求最值（极值）、证明不等式等方面，对高中数学竞赛有帮助。