标题：波粒二象性
历史
  原子-内部组成的粒子图在十九世纪末，日臻成熟的原子理论逐渐盛行，根据原子理论的看法，物质都是由微小的粒子——原子构成。比如原本被认为是一种流体的电，由汤普森的阴极射线实验证明是由被称为电子的粒子所组成。因此，人们认为大多数的物质是由粒子所组成。而与此同时，波被认为是物质的另一种存在方式。波动理论已经被相当深入地研究，包括干涉和衍射等现象。由于光在托马斯·杨的双缝干涉实验中，以及夫琅和费衍射中所展现的特性，明显地说明它是一种波动。
  光量子-模型图不过在二十世纪来临之时，这个观点面临了一些挑战。1905年由阿尔伯特·爱因斯坦研究的光电效应展示了光粒子性的一面。随后，电子衍射被预言和证实了。这又展现了原来被认为是粒子的电子波动性的一面。
  电子-模型图
这个波与粒子的困扰终于在二十世纪初由量子力学的建立所解决，即所谓波粒二象性。它提供了一个理论框架，使得任何物质在一定的环境下都能够表现出这两种性质。量子力学认为自然界所有的粒子，如光子、电子或是原子，都能用一个微分方程，如薛定谔方程来描述。这个方程的解即为波函数，它描述了粒子的状态。波函数具有叠加性，即，它们能够像波一样互相干涉和衍射。同时，波函数也被解释为描述粒子出现在特定位置的几率幅。这样，粒子性和波动性就统一在同一个解释中。
之所以在日常生活中观察不到物体的波动性，是因为他们的质量太大，导致特征波长比可观察的限度要小很多，因此可能发生波动性质的尺度在日常生活经验范围之外。这也是为什么经典力学能够令人满意地解释“自然现象”。反之，对于基本粒子来说，它们的质量和尺度决定了它们的行为主要是由量子力学所描述的，因而与我们所习惯的图景相差甚远。
1800年，托马斯·杨发表了《在声和光方面的实验与问题》的论文，认为光与声都是波，光是以太介质中传播的纵振动，不同颜色的光与不同频率的声音是相类似的。他在分析了水波的叠加现象之后说，在声波叠加的情况下，可以产生的加强和减弱，出现复合声调和拍频。尤其重要的是，他提出了“干涉”的概念。
1801年，他在英国皇家学会上宣读了关于薄膜色的论文。论文进一步扩充和发展了惠更斯的波动说，明确地提出了光具有频率和波长，完善了光波的概念。他比较圆满地解释了牛顿环的干涉现象，认为“当有不同起源的两个振动运动或者完全相同，或者在方向很接近时，那么它们的共同作用等于它们每一个振动单独所发生的作用之和。”这在实际上已经提出了光的相干条件及干涉原理。
这一年，他在发表于《哲学会报》上的论文中，全面地阐述了干涉原理：“同一束光的两不同部分以不同的路径，要么完全一样地、要么在方向上十分接近地进入眼睛，在光线的路程差是某个长度的整数倍的地方，光就被加强，而在干涉区域中间状态，光将最强；对于不同颜色的光束来说，这个长度是不同的。”
1802年，托马斯·杨在英国皇家学会讲演时，引用自己所做的双孔（双缝）干涉实验。他说：“为使这两部分光在屏幕上引起的效果叠加起来，需要使来自同一光源、经过不同路径的光到达同一区域，而不使其相离散，如有离散，也能根据回折、反射或折射把光从一方或从两方重合起来，将它们的效果叠加。但是，最简单的办法是将平行光通过两个相距很近的针孔。针孔作为新的光源，从那里发出了球面光波，照射到屏幕上，光的暗影对称地向两侧散开。然而，屏幕与小孔的距离越远，从小孔射来的光就越按相同的角度延伸与扩张。同时，小孔间的距离越近，从它们射出的光就越按比例扩张，这两部分光叠合后，在屏幕上正对两小孔连线的中心处最明亮。两侧部分，光从两个小孔到达各点有一定的路程差，若路程差是光波波长的1倍、2倍、3倍……，路程差是光波波长1/2，3/2，5/2倍则屏幕上的这些地方为亮区，并且相邻的亮区间的距离相等。另一方 的地方。”这就是著名的杨氏双孔（双缝）实验。
托马斯·杨用红光照射双孔，观察通过双孔后的光在屏幕上形成的光带。他遮住一个针孔时，屏上只有一个红的光强均匀的光点；当两个孔均不遮掩时，屏上两个光点重合区出现了红黑交替的光带，红带相当明亮，其宽度相等，同时，各黑带的宽度也相等，并且等于红带的宽度。
根据各种实验比较，组成极端红光的波长，在空气中应为l/36000英寸，极端紫光应为1/60000英寸，准确测得的可见光的波长。在光学发展史中是具有划时代意义的。
托马斯·杨还将干涉原理应用于解释衍射现象。1803年11月24日，他在讲演中提到了光的干涉的一般法则的实验验证。对随着影子出现的有色边缘进行若干次实验，便发现关于光的两部分的一般法则，有色边缘是根据两部分光的干涉形成的。
第一个实验将木板套窗打开一个孔，在上面糊上一张厚纸，在厚纸上用针尖钻个孔，为了观察方便起见，在木板套窗外的一个适当位置放一个小镜子，从那里反射的太阳光按水平方向射到对面的墙壁上，并且将1/30英寸细长纸片插入太阳光中观察。映在墙壁上或放在各种不同距离上的其它厚纸的影子，除了阴影的两侧边缘之外，那一影子的自身也同样被平行的边缘所分割，其边缘非常细，它的数值随观察影子的距离而异，影子的中心部分总是呈白色。这些边缘是通过细纸片的每个侧面的光的两部分合成的结果，并且与其说是折射不如说是衍射。
第二个实验是有直角的交接处的物体形成影子的时候，在通常的外部边缘上，可以看到增加两三种颜色的变化。这些，从角的平分线开始向两侧排列，向着角平分线以凸状弯曲着。并且离角平分线越远越细。这些边缘也是在物体两侧对影子方向直接弯曲的光叠加的结果。
托马斯·杨的实验一是细竿衍射，实验二是角衍射。1883年当古伊与1885年维恩在光以大角度斜射时，直接观察到了边界波；托马斯·杨关于衍射中边界波的观念得到了证实。
托马斯·杨对光的本性又作了进一步的争辩，他说：“固执于牛顿的光的理论或现代光学专家的不太普遍的假说的人们，最好是对任何事物都要从他的自身的原理出发，提出实验的说明。并且，如果他的这种努力失败的话，他应该承认这些事实，至少应该停止目的在于反对这些事实及其所遵循的理论体系而发表的演讲。”
从上述实验或计算可以推论，平行光在传播方向上的一定距离处，具有相反的性质，在叠加时，互相中和或互相抵消，光也就消失了。而且，还可以推论，这些性质对通过同一介质的相干光来说，在离相干光源为某距离的连续的同心面上交替变化。由测定的一致性与同类现象的相似性，可以下结论说，这些间隔同薄膜彩色条纹的排列形式有关系。当然，光在密的介质中比在疏的介质中进行得更缓慢。而它同时也说明，这不是折射朝向密的介质的引力的结果。支持光的粒子说的人们，必须判断这一理由的关键，即哪一方面最弱这一点。但我们知道，声音在同心的球面上扩大，乐音互相中和，根据音的不同，由在不同的某一等间隔中，相继而起的相反性质所形成。所以得出声音同光的性质之间有非常相似的结论，也是完全可以的。
托马斯·杨还用光由光疏介质射向光密介质界面时，反射光产生半波损失的观点，补充了他对薄膜的彩色条纹的解释。
他在解释光的偏振时，遇到了特殊的困难。这是由于马吕斯和布儒斯特在光的偏振方面取得重大研究成果后，顽固坚持牛顿的微粒说造成的。本来，偏振现象是横波的特性，对偏振现象研究越深入就越有利于光的波动理论。这时，只要将惠更斯与托马斯·杨的“纵波”改成“横波”，那末其它问题就迎刃而解了。但是，马吕斯和布儒斯特在波动理论尚未做出这一改变之前，强烈的反对波动理论。托马斯·杨没有隐匿困难，更没有被困难所吓倒，1811年，他在给马吕斯的信中说：“你的实验证明了我所采用的理论不足，但是这些实验并没有证明它是错的”，六年后，他觉察到，若将声波看成与水波类似的横渡，那么这个困难就可以得到较好的解决。1817年1月12日，他在写给阿拉果的信中说：“根据这个学说的原理，所有波都象声波一样是通过均匀介质以同心球面单独传播，在径向方向上只有粒子的前进或后退运动，以及伴随它们的凝聚与稀疏。显然波动说可以解释横向振动也在径向方向上以相等速度传播，但粒子的运动是在相对于径向的某个恒定方向上，而这就是偏振。”这样，托马斯·杨根据波动理论对偏振现象作了最初的解释。其后，菲涅耳与阿拉果更充分地验证并解释了它。
早期理论
最早的综合光理论是由克里斯蒂安·惠更斯所发展的，他提出了一个光的波动理论，解释了光波如何形成波前，直线传播。该理论也能很好地解释折射现象。但是，该理论在另一些方面遇见了困难。因而它很快就被艾萨克·牛顿的粒子理论所超越。牛顿认为光是由微小粒子所组成，这样他能够很自然地解释反射现象。并且，他也能稍显麻烦地解释透镜的折射现象，以及通过三棱镜将阳光分解为彩虹。
由于牛顿无与伦比的学术地位，他的理论在一个多世纪内无人敢于挑战，而惠更斯的理论则渐渐为人淡忘。直到十九世纪初衍射现象被发现，光的波动理论才重新得到承认。而光的波动性与粒子性的争论从未平息。
关系
十九世纪早期由托马斯·杨和奥古斯丁-让·费涅尔所演示的双缝干涉实验为惠更斯的理论提供了实验依据：这些实验显示，当光穿过网格时，可以观察到一个干涉样式，与水波的干涉行为十分相似。并且，通过这些样式可以计算出光的波长。詹姆斯·克拉克·麦克斯韦在世纪末叶给出了一组方程，揭示了电磁波的性质。而方程得到的结果，电磁波的传播速度就是光速，这使得光作为电磁波的解释被人广泛接受，而惠更斯的理论也得到了重新认可。
爱因斯坦
1905年，爱因斯坦对光电效应提出了一个理论，解决了之前光的波动理论所无法解释的这个实验现象。他引入了光子，一个携带光能的量子的概念。
在光电效应中，人们观察到将一束光线照射在某些金属上会在电路中产生一定的电流。可以推断是光将金属中的电子打出，使得它们流动。然而，人们同时观察到，对于某些材料，即使一束微弱的蓝光也能产生电流，但是无论多么强的红光都无法在其中引出电流。根据波动理论，光强对应于它所携带的能量，因而强光一定能提供更强的能量将电子击出。然而事实与预期的恰巧相反。
爱因斯坦将其解释为量子化效应：电子被光子击出金属，每一个光子都带有一部分能量E，这份能量对应于光的频率ν：E=hν
这里h是普朗克常数（6.626 x 10^-34 J s）。光束的颜色决定于光子的频率，而光强则决定于光子的数量。由于量子化效应，每个电子只能整份地接受光子的能量，因此，只有高频率的光子（蓝光，而非红光）才有能力将电子击出。
爱因斯坦因为他的光电效应理论获得了1921年诺贝尔物理学奖。
效应方程
由于E=hv，这光照射到原子上，其中电子吸收一份能量，从而克服逸出功，逃出原子。电子所具有的动能Ek=hv-Wo，Wo为电子逃出原子所需的逸出功。这就是爱因斯坦的光电效应方程。
假设
爱因斯坦提出光的粒子性后，路易·维克多·德布罗意做了逆向思考，他在论文中写到：19世纪以来，只注重了光的波动性的研究，而忽略了粒子性的研究，在实物粒子的研究方面，是否犯了相反的错误呢？1924年，他又注意到原子中电子的稳定运动需要引入整数来描写，与物理学中其他涉及整数的现象如干涉和振动简正模式之间的类似性，由此构造了德布罗意假设，提出正如光具有波粒二象性一样，实物粒子也具有波粒二象性。他将这个波长λ和动量p联系为：λ=h/p=h/mv  普朗克尺度-模型图
m：质量v：频率h：普朗克常数
这是对爱因斯坦等式的一般化，因为光子的动量为p = E / c（c为真空中的光速），而λ = c / ν。
德布罗意的方程三年后通过两个独立的电子散射实验被证实。在贝尔实验室Clinton Joseph Davisson和Lester Halbert Germer以低速电子束射向镍单晶获得电子经单晶衍射，测得电子的波长与德布罗意公式一致。在阿伯丁大学，G·P汤姆孙以高速电子穿过多晶金属箔获得类似X射线在多晶上产生的衍射花纹，确凿证实了电子的波动性；以后又有其他实验观测到氦原子、氢分子以及中子的衍射现象，微观粒子的波动性已被广泛地证实。根据微观粒子波动性发展起来的电子显微镜、电子衍射技术和中子衍射技术已成为探测物质微观结构和晶体结构分析的有力手段。
德布罗意于1929年因为这个假设获得了诺贝尔物理学奖。汤姆孙和戴维逊因为他们的实验工作共享了1937年诺贝尔物理学奖。
概率波
光和微观粒子的波粒二象性如何统一的问题是人类认识史上最令人困惑的问题 ，至今不能说问题已经完全解决（卢瑟福的α粒子散射实验证明物质的结构是核式的（这种模型被称为核式结构模型），原子如此，光子、电子、质子、大到天体都有自己的核心，都有绕核心运动的物质存在，每个核式结构体在运动中由于核式结构的特点，都做具有波动的直线运动，都有测不准的因素（不确定性原理）存在，都有量子化的物理特征，各有能级的存在，各有特定的能量吸收才可以发生跃迁。张各高中物理教师提出的自己的观点，欢迎指正）1926年M.玻恩提出概率波解释，较好地解决了这个问题。按照概率波解释，描述粒子波动性所用的波函数Ψ(x、y、z、t)是概率波，而不是什么具体的物质波；波函数的绝对值的平方|ψ|2=ψ*ψ表示时刻t在x、y、z处出现的粒子的概率密度，ψ*表示ψ 的共轭波函数。在电子通过双孔的干涉实验中，|ψ|2=|ψ1+ψ2|2=|ψ1|2+|ψ2|2+ψ1*ψ2+ψ1ψ2*，强度|ψ|2大的地方出现粒子的概率大 ，相应的粒子数多，强度弱的地方，|ψ|2小 ，出现粒子的概率小，相应的粒子数少，ψ1*ψ2+ψ1ψ2*正是反映干涉效应的项，不管实验是在粒子流强度大的条件下做的，还是粒子流很弱，让粒子一个一个地射入，多次重复实验，两者所得的干涉条纹结果是相同的。
在粒子流很弱、粒子一个一个地射入多次重复实验中显示的干涉效应表明，微观粒子的波动性不是大量粒子聚集的性质，单个粒子即具有波动性。于是，一方面粒子是不可分割的，另一方面在双孔实验中双孔又是同时起作用的，因此，对于微观粒子谈论它的运动轨道是没有意义的。
由于微观粒子具有波粒二象性，微观粒子所遵从的运动规律不同于宏观物体的运动规律，描述微观粒子运动规律的量子力学也就不同于描述宏观物体运动规律的经典力学。
方程
量子力学中求解粒子问题常归结为解薛定谔方程或定态薛定谔方程。薛定谔方程广泛地用于原子物理、核物理和固体物理，对于原子、分子、核、固体等一系列问题中求解的结果都与实际符合得很好。
薛定谔方程仅适用于速度不太大的非相对论粒子，其中也没有包含关于粒子自旋的描述。当计及相对论效应时，薛定谔方程由相对论量子力学方程所取代，其中自然包含了粒子的自旋。
.薛定谔提出的量子力学基本方程 。建立于 1926年。它是一个非相对论的波动方程。它反映了描述微观粒子的状态随时间变化的规律，它在量子力学中的地位相当于牛顿定律对于经典力学一样，是量子力学的基本假设之一。设描述微观粒子状态的波函数为Ψ（r，t），质量为m的微观粒子在势场U（r，t）中运动的薛定谔方程为。在给定初始条件和边界条件以及波函数所满足的单值、有限、连续的条件下，可解出波函数Ψ（r，t）。由此可计算粒子的分布概率和任何可能实验的平均值（期望值）。当势函数U不依赖于时间t时，粒子具有确定的能量，粒子的状态称为定态。定态时的波函数可写成式中Ψ（r）称为定态波函数，满足定态薛定谔方程，这一方程在数学上称为本征方程，式中E为本征值，是定态能量，Ψ（r）又称为属于本征值E的本征函数。