标题：圆周率
简介
圆周率（π读pài）是一个常数（约等于3.141592654），是代表圆周长和直径的比值。它是一个无理数，  圆周率即是一个无理数，即无限不循环小数。在日常生活中，通常都用3.14来代表圆周率去进行近似计算，即使是工程师或物理学家要进行较精密的计算，也只取值至小数点后约20位。 
π是第十六个希腊字母。π这个符号，是希腊语 περιφρεια （表示周边，地域，圆周等意思）的首字母。 1706年英国数学家威廉·琼斯（William Jones ，1675－1749）最早使用“π”来表示圆周率[1]，但当时数学家并没有采纳，直到后来大数学家欧拉（1707– 1783）开始使用它，圆周率的符号才被确定下来。[2]
历史及精确度的发展
实验时期中国古算书《周髀算经》（约公元前2世纪）的中有“径一而周三”的记载，意即取π=3。 [3]
公元前17世纪的埃及古籍《阿美斯纸草书》（Ahmes，又称“阿梅斯草片文书”；为英国人Alexander Henry Rhind（莱茵德）于1858年发现，因此还称“莱茵德纸草书” Rhind Papyrus）是世界上最早给出圆周率的超过十分位的近似值，为256/81 ( = 3 + 1/9 + 1/27 +1/81)或3.160。这部纸草书声称是抄自300年前的另一部文献，也就是说，这个Pi值是公元前1850年（1850 BC）就存在了。 
在阿基米德以前，π值的测定依靠实物测量。几何法时期
第一个用科学方法寻求圆周率数值的人是阿基米德，他在《圆的度量》（公元前3世纪）中用圆内接和外切正多边形的周长确定圆周长的上下界，从正六边形开始，逐次加倍计算到正96边形，得到（3+（10/71））<π<（3+（1/7）），开创了圆周率计算的几何方法（亦称割圆术，或阿基米德方法），得出精确到小数点后两位的π值。 
汉朝时，张衡得出π的平方除以16等于5/8，即π等于10的开方（约为3.162）。这个值不太准确，但它简单易理解。 [4]
公元263年，中国数学家刘徽用“割圆术”计算圆周率，他先从圆内接正六边形，逐次分割一直算到圆内接正192边形。他说“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣。”，包含了求极限的思想。刘徽给出π=3.141024的圆周率近似值，刘徽在得圆周率=3.14之后，将这个数值和晋武库中汉王莽时代制造的铜制体积度量衡标准嘉量斛的直径和容积检验，发现3.14这个数值还是偏小。于是继续割圆到1536边形，求出3072边形的面积，得到令自己满意的圆周率3927/1250=3.1416。
公元480年左右，南北朝时期的数学家祖冲之进一步得出精确到小数点后7位的π值，给出不足近似值3.1415926和过剩近似值3.1415927，还得到两个近似分数值，密率355/113和约率22/7。在之后的800年里祖冲之计算出的π值都是最准确的。其中的密率在西方直到1573年才由德国人奥托得到，1625年发表于荷兰工程师安托尼斯的著作中，欧洲称之为安托尼斯率。 
约在公元530年，印度数学大师阿耶波多利用384边形的周长，算出圆周率约为√9.8684。婆罗门笈多采用另一套方法，推论出圆周率等于10的算术平方根。 
阿拉伯数学家卡西在15世纪初求得圆周率17位精确小数值，打破祖冲之保持近千年的纪录。德国数学家柯伦于1596年将π值算到20位小数值，后投入毕生精力，于1610年算到小数后35位数，该数值被用他的名字称为鲁道夫数。 分析法时期这一时期人们开始利用无穷级数或无穷连乘积求π，摆脱可割圆术的繁复计算。无穷乘积式、无穷连分数、无穷级数等各种π值表达式纷纷出现，使得π值计算精度迅速增加。 
鲁道夫·范·科伊伦（约1600年）计算出π的小数点后首35位。他对此感到自豪，因而命人把它刻在自己的墓碑上。
斯洛文尼亚数学家JurijVega于1789年得出π的小数点后首140位，其中只有137位是正确的。这个世界纪录维持了五十年。他利用了JohnMachin于1706年提出的数式。 
但是上述的方法都不能快速算出π。第一个快速算法由英国数学家梅钦提出，1706年梅钦计算π值突破100位小数大关，他利用了如下公式：[5]
  
其中arctan(x)可由泰勒级数算出。类似方法称为“梅钦类公式”。1873 年另一位英国数学家尚可斯将π值计算到小数点后707位，可惜他的结果从528位起是错的。到1948年英国的弗格森和美国的伦奇共同发表了π的808位小数值，成为人工计算圆周率值的最高纪录。计算机时代电子计算机的出现使π值计算有了突飞猛进的发展。1949年，美国制造的世上首部电脑－ENIAC（Electronic Numerical Interatorand Computer）在亚伯丁试验场启用了。次年，里特韦斯纳、冯纽曼和梅卓普利斯利用这部电脑，计算出π的2037个小数位。这部电脑只用了70小时就完成了这项工作，扣除插入打孔卡所花的时间，等于平均两分钟算出一位数。五年后，NORC（海军兵器研究计算机）只用了13分钟，就算出π的3089个小数位。科技不断进步，电脑的运算速度也越来越快，在60年代至70年代，随着美、英、法的电脑科学家不断地进行电脑上的竞争，π的值也越来越精确。在1973年，Jean Guilloud和M. Bouyer发现了π的第一百万个小数位。 
在1976年，新的突破出现了。萨拉明（Eugene Salamin）发表了一条新的公式，那是一条二次收敛算则，也就是说每经过一次计算，有效数字就会倍增。高斯以前也发现了一条类似的公式，但十分复杂，在那没有电脑的时代是不可行的。之后，不断有人以高速电脑结合类似萨拉明的算则来计算π的值。 
1989年美国哥伦比亚大学研究人员用克雷－2型和IBM－VF型巨型电子计算机计算出π值小数点后4.8亿位数，后又继续算到小数点后10.1亿位数，创下最新的纪录。2010年1月7日——法国一工程师将圆周率算到小数点后27000亿位。2010年8月30日——日本计算机奇才近藤茂利用家用计算机和云计算相结合，计算出圆周率到小数点后5万亿位。 
2011年10月16日，日本长野县饭田市公司职员近藤茂利用家中电脑将圆周率计算到小数点后10万亿位，刷新了2010年8月由他自己创下的5万亿位吉尼斯世界纪录。今年56岁近藤茂使用的是自己组装的计算机，从去年10月起开始计算，花费约一年时间刷新了纪录。 
日期
计算者
π的值
前20世纪
巴比伦人
25/8 = 3.125
前20世纪
埃及人Rhind Papyrus
（16/9）&sup2; = 3.160493...
前12世纪
中国
3
前6世纪中
圣经列王记上7章23节
3
前434年
阿那克萨哥拉尝试通过尺规作图来化圆为方
前3世纪
阿基米德
3.1418
前20年
Vitruvius
25/8 = 3.125
前50年－23年
刘歆
3.1547
130年
张衡
92/29 = 3.17241...
√10 = 3.162277...
150年
托勒密
377/120 = 3.141666...
250年
王蕃
142/45 = 3.155555...
263年
刘徽
3.14159
480年
祖冲之
3.1415926 <π< 3.1415927
499年
Aryabhatta
62832/20000 = 3.1416
598年
Brahmagupta
√10 = 3.162277...OUT
800年
花拉子米
3.1416OUT
12世纪
Bhaskara
3.14156
1220年
比萨的列奥纳多
3.141818OUT
1400年
Madhava
3.14159265359
1424年
Jamshid Masud Al Kashi
16位小数
1573年
Valenthus Otho
OUT6位小数
1593年
Francois Viete
OUT9位小数
1593年
Adriaen van Roomen
OUT15位小数
1596年
鲁道夫·范·科伊伦
20位小数
1615年
32位小数
1621年
威理博·司乃耳, 范·科伊伦的学生
35位小数
1665年
牛顿
OUT16位小数
1699年
Abraham Sharp
71位小数
1700年
Seki Kowa
OUT10位小数
1706年
John Machin
100位小数
1706年
William Jones引入希腊字母π
-
1719年
De Lagny计算了127个小数位，但并非全部是正确的
112位小数
1723年
Takebe
OUT41位小数
1730年
Kamata
OUT25位小数
1734年
莱昂哈德·欧拉引入希腊字母π并肯定其普及性
-
1739年
Matsunaga
OUT50位小数
1761年
Johann Heinrich Lambert证明π是无理数
-
1775年
欧拉指出π是超越数的可能性
-
1789年
Jurij Vega 计算了140个小数位，但并非全部是正确的
137位小数
1794年
阿德里安-马里·勒让德证明π&sup2;是无理数（则π也是无理数），并提及π是超越数的可能性
-
1841年
Rutherford计算了208个小数位，但并非全部是正确的
152位小数
1844年
Zacharias Dase及Strassnitzky
200位小数
1847年
Thomas Clausen
248位小数
1853年
Lehmann
261位小数
1853年
Rutherford
440位小数
1853年
William Shanks
527位小数
1855年
Richter
OUT500位小数
1874年
en:William Shanks耗费15年计算了707位小数，可惜1946年D. F. Ferguson发现其结果非全对
VS527位小数
1882年
Lindemann证明π是超越数（林德曼-魏尔斯特拉斯定理）
-
1946年
D. F. Ferguson使用桌上计算器
620位小数
1947年
710位小数
1947年
808位小数
1949年
J. W. Wrench爵士和L. R. Smith首次使用计算机（ENIAC）计算π，以后的记录都用计算机来计算的
2037位小数
1953年
Mahler证明π不是刘维尔数
-
1955年
J. W. Wrench, Jr，及L. R. Smith
3089位小数
1957年
G.E.Felton
7480位小数
1958年
Francois Genuys
10000位小数
1958年
G.E.Felton
10020位小数
1959年
Francois Genuys
16167位小数
1961年
IBM 7090晶体管计算机
20000位小数
1961年
J. W. Wrench, Jr，及L. R. Smith
100000位小数
1966年
250000位小数
1967年
500000位小数
1974年
1000000位小数
1981年
金田康正
2000000位小数
1982年
4000000位小数
1983年
8000000位小数
1983年
16000000位小数
1985年
Bill Gosper
17000000位小数
1986年
David H. Bailey
29000000位小数
1986年
金田康正
33000000位小数
1986年
67000000位小数
1987年
134000000位小数
1988年
201000000位小数
1989年
楚诺维斯基兄弟
480000000位小数
1989年
535000000位小数
1989年
金田康正
536000000位小数
1989年
楚诺维斯基兄弟
1011000000位小数
1989年
金田康正
1073000000位小数
1992年
2180000000位小数
1994年
楚诺维斯基兄弟
4044000000位小数
1995年
金田康正和高桥
4294960000位小数
1995年
6000000000位小数
1996年
楚诺维斯基兄弟
8000000000位小数
1997年
金田康正和高桥
51500000000位小数
1999年
68700000000位小数
1999年
206000000000位小数
2002年
金田康正的队伍
1241100000000位小数
2009年
高桥大介
2576980370000位小数
2009年
法布里斯·贝拉
2699999990000位小数
2010年
近藤茂
5000000000000位小数
2011年
IBM蓝色基因/P超级计算机
60000000000000位小数

特性和相关公式
把圆周率的数值算得这么精确，实际意义并不大。现代科技领域使用的圆周率值，有十几位已经足够了。如果用鲁道夫算出的35位精度的圆周率值，来计算一个能把太阳系包起来的一个圆的周长，误差还不到质子直径的百万分之一。以前的人计算圆周率，是要探究圆周率是否循环小数。自从1761年兰伯特证明了圆周率是无理数，1882年林德曼证明了圆周率是超越数后，圆周率的神秘面纱就被揭开了。 
π在许多数学领域都有非常重要的作用。几何圆柱
底面积：πr*r
底面周长：2πr、πd
侧面积：πdh、2πrh
表面积：2πr*r+πdh、2πrh
体积：sh、πr*rh（底面积×高）
圆锥
底面积：πr*r
底面周长：2πr、πd
体积：1/3sh、πr*rh
扇形
面积公式： n/360*πr&sup2;（其中n表示该扇形对应的角度）
弧长公式：n/180*πr（其中n表示该扇形对应的角度）
圆
面积：πr*r
周长：2πr、πd
圆环
面积：π（R*R-r*r）
周长：2πr、πd代数π是个无理数，即不可表达成两个整数之比，是由JohannHeinrich Lambert于1761年证明的。 1882年，Ferdinand Lindemann更证明了π是超越数，即不可能是任何有理数多项式的根。 
圆周率的超越性否定了化圆为方这古老尺规作图问题的可能性，因所有尺规作图只能得出代数数，而超越数不是代数数。数学分析  
  
  
特斯林近似公式：
  　　
欧拉恒等式：  　　
π的连分数表示：  
  数论两个任意自然数是互质的概率是 6/(π*π)。　　
任取一个任意整数，该整数没有重复质因子的概率为 6/(π*π)。
一个任意整数平均可用 π/4 个方法写成两个完全数之和。概率论设我们有一个以平行且等距木纹铺成的地板，现在随意抛一支长度比木纹之间距离小的针，求针和其中一条木纹相交的概率。这就是布丰投针问题。1777 年，布丰自己解决了这个问题——这个概率值是 1/π。统计学正态分布的概率密度函数：  物理学海森堡不确定性原理：  
相对论的场方程：  趣闻历史上最马拉松式的手工π值计算，其一是德国的LudolphVan Ceulen，他几乎耗尽了一生的时间，计算到圆的内接正262边形，于1609年得到了圆周率的35位精度值，以至于圆周率在德国被称为Ludolph数；其二是英国的威廉·山克斯，他耗费了15年的光阴，在1874年算出了圆周率的小数点后707位，并将其刻在了墓碑上作为一生的荣誉。可惜，后人发现，他从第528位开始就算错了。 [6]
圆周率的最新计算纪录由日本筑波大学所创造。他们于2009年算出π值2576980370000 位小数，这一结果打破了由日本人金田康正的队伍于2002年创造的1241100000000位小数的世界纪录。 
日本人AkiraHaraguchi曾在2005年将π背到了小数点后第 83431 位，创造了个人背诵圆周率的世界纪录。 
在Google公司2005年的一次公开募股中，集资额不是通常的整头数，而是$14,159,265，这当然是由π小数点后的位数得来。（顺便一提，谷歌公司2004年的首次公开募股，集资额为$2,718,281,828，与数学常数e有关） 
排版软件TeX从第三版之后的版本号为逐次增加一位小数，使之越来越接近π的值：3.1，3.14，……当前的最新版本号是3.141592 
3月14日为圆周率日，“终极圆周率日”则是1592年3月14日6时54分，(因为其英式记法为“3/14/15926.54”，恰好是圆周率的十位近似值。)和3141年5月9日2时6分5秒（从前往后,3.14159265）4.
7月22日为圆周率近似日（英国式日期记作22/7，看成圆周率的近似分数）
有数学家认为真正的圆周率应为2π，并将“真正的圆周率”记为τ（发音：tau）。数学界对圆周率到底是π还是τ长期存在争论。[7]