标题：十字相乘法
通俗方法
例：（^2代表平方）a^2x^2+ax-42
首先，我们看看第一个数，是a^2，代表是两个a相乘得到的，则推断出（a ×+？）×（a ×+？）
然后我们再看第二项，+a 这种式子是经过合并同类项以后得到的结果，所以推断出使两项式×两项式。
再看最后一项是-42 ，-42是-6×7 或者6×-7也可以分解成 -21×2 或者21×-2
首先，21和2无论正负，合并后都不可能是1 只可能是-19或者19，所以排除后者。
然后，在确定是-7×6还是7×-6.
（a×-7））×（a×+6）=a^2-a-42（计算过程省略，）
得到结果与原来结果不相符，原式+a 变成了-a
再算：
（a×+7）×（a×+(-6））=a^2+a-42
正确，所以a^2x^2+ax-42就被分解成为（ax+7）×（ax-6），这就是通俗的十字相乘法分解因式.
例题解析
例1把2x^2-7x+3分解因式.
分析：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分
别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数.
分解二次项系数（只取正因数 因为取负因数的结果与正因数结果相同！
2=1×2=2×1；
分解常数项：
3=1×3=3×1=(-3)×(-1)=(-1)×(-3).　
用画十字交叉线方法表示下列四种情况：
1 1
╳
2 3
1×3+2×1=5 ≠-7
1 3
╳
2 1
1×1+2×3=7 ≠-7
1 -1
╳
2 -3
1×(-3)+2×(-1)=-5 ≠-7
1 -3
╳
2 -1
1×(-1)+2×(-3)=-7
经过观察，第四种情况是正确的，这是因为交叉相乘后，两项代数和恰等于一次项系数-7.
解 2x^2-7x+3=(x-3)(2x-1)
一般地，对于二次三项式ax^2+bx+c(a≠0)，如果二次项系数a可以分解成两个因数之积，即a=a1a2，常数项c可以分解成两个因数之积，即c=c1c2，把a1，a2，c1，c2，排列如下：
a1 c1
╳
a2 c2
a1c2+a2c1
按斜线交叉相乘，再相加，得到a1c2+a2c1，若它正好等于二次三项式ax^2+bx+c的一次项系数b，即a1c2+a2c1=b，那么二次三项式就可以分解为两个因式a1x+c1与a2x+c2之积，即
ax^2+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2).
像这种借助画十字交叉线分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做十字相乘法.例2把6x^2-7x-5分解因式.
分析：按照例1的方法，分解二次项系数6及常数项-5，把它们分别排列，可有8种不同的排列方法，其中的一种
2 1
╳
3 -5
2×(-5)+3×1=-7
是正确的，因此原多项式可以用十字相乘法分解因式.
解 6x2-7x-5=(2x+1)(3x-5)
指出：通过例1和例2可以看到，运用十字相乘法把一个二次项系数不是1的二次三项式因式分解，往往要经过多次观察，才能确定是否可以用十字相乘法分解因式.
对于二次项系数是1的二次三项式，也可以用十字相乘法分解因式，这时只需考虑如何把常数项分解因数.例如把x^2+2x-15分解因式，十字相乘法是
1 -3
╳
1 5
1×5+1×(-3)=2
所以x+2x-15=(x-3)(x+5).例3把5x^2+6xy-8y^2分解因式.
分析：这个多项式可以看作是关于x的二次三项式，把-8y^2看作常数项，在分解二次项及常数项系数时，只需分解5与-8，用十字交叉线分解后，经过观察，选取合适的一组，即
1 2
╳
5 -4
1×(-4)+5×2=6
解 5x+6xy-8y=(x+2y)(5x-4y).
指出：原式分解为两个关于x，y的一次式.例4把（x-y)（2x-2y-3）-2分解因式.
分析：这个多项式是两个因式之积与另一个因数之差的形式，只有先进行多项式的乘法运算，把变形后的多项式再因式分解.
问：以上乘积的因式是什么特点，用什么方法进行多项式的乘法运算最简便?
答：第二个因式中的前两项如果提出公因式2，就变为2(x-y)，它是第一个因式的二倍，然后把（x-y）看作一个整体进行乘法运算，可把原多项式变形为关于（x-y）的二次三项式，就可以用十字相乘法分解因式了.
解 (x-y)(2x-2y-3)-2
=(x-y)[2(x-y)-3]-2
=2(x-y) ^2-3(x-y)-2
1 -2
╳
2 1
1×1+2×（-2）=－3
=[(x-y)-2][2(x-y)+1]
=(x-y-2)(2x-2y+1).
指出：把（x-y）看作一个整体进行因式分解，这又是运用了数学中的“整体”思想方法.例5x^2+2x-15
分析：常数项（-15）<0，可分解成异号两数的积，可分解为（-1）（15），或（1）(-15）或（3）
(-5）或（-3）（5），其中只有（-3）（5）中-3和5的和为2。
=(x-3）(x+5）
总结：①x+（p+q）x+pq型的式子的因式分解
这类二次三项式的特点是：二次项的系数是1；常数项是两个数的积；一次项系数是常数项的两个因数的和.因此，可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解：x^2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)
②kx^2+mx+n型的式子的因式分解
如果能够分解成k=ac，n=bd，且有ad+bc=m 时，那么
kx^2+mx+n=(ax+b)(cx+d)
a b
╳
c d
教学重点和难点
重点：正确地运用十字相乘法把某些二次项系数不是1的二次三项式分解因式；
难点：灵活运用十字相乘法分解因式.
两者间比例问题
原理一个集合中的个体，只有2个不同的取值，部分个体取值为A，剩余部分取值为B。平均值为C。求取值为A的个体与取值为B的个体的比例。假设总量为S， A所占的数量为M，B为S-M。
则：[A*M+B*（S－M）]/S=C
A*M/S+B*(S-M)/S=C
M/S=(C-B)/(A-B)
1-M/S=(A-C)/(A-B)
因此：M/S∶（1-M/S）=（C-B）∶（A-C)
上面的计算过程可以抽象为：
A ………C-B
……C
B……… A-C
这就是所谓的十字相乘法。X增加，平均数C向A偏，A-C（每个A给B的值）变小，C-B（每个B获得的值）变大，两者如上相除=每个B得到几个A给的值。即比例，以十字相乘法形式展现更加清晰使用时的注意事项第一点：用来解决两者之间的比例问题。
第二点：得出的比例关系是基数的比例关系。
第三点：总均值放中央，对角线上，大数减小数，结果放在对角线上。例题某高校2006年度毕业学生7650名，比上年度增长2%，其中本科毕业生比上年度减少2%，而研究生毕业数量比上年度增加10%，那么，这所高校今年（2006）毕业的本科生有多少人？
十字相乘法
解：去年毕业生一共7500人，7650÷（1+2%）=7500人。
本科生：-2%………8%
…………………2%
研究生：10%……… -4%
本科生∶研究生=8%∶（-4%)=-2∶1。
去年的本科生：7500×2/3=5000
今年的本科生：5000×0.98=4900
答：这所高校今年毕业的本科生有4900人。
鸡兔同笼问题
今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？
十字相乘法
解：假设全为鸡脚则有70只脚，假设全为兔脚则有140只脚
鸡：70……… …46
……………………94
兔：140……… …24
鸡：兔=46：24=23：12
答：鸡有23只，兔有12只。
解一元二次方程
例1把2x^2-7x+3分解因式.
分析：先 分解二次项系数，
分别写在十字交叉线的左上角和左下角，
再分解常数项，
分别写在十字交叉线的右上角和右下角，
然后交叉相乘，
求代数和，使其等于一次项系数.
分解二次项系数（只取正因数）：
2=1×2=2×1；
分解常数项： 3=1×3=3×1=(-3）×（-1）=(-1）×（-3）.
用画十字交叉线方法表示下列四种情况：
1 1
╳
2 3
1×3+2×1=5
1 3
╳
2 1
1×1+2×3=7
1 -1
╳
2 -3
1×（-3）+2×（-1） =-5
1 -3
╳
2 -1
1×（-1）+2×（-3） =-7
经过观察，第四种情况是正确的，这是因为交叉相乘后，两项代数和恰等于一次项系数－7.
解 2x^2-7x+3=(x-3）（2x-1）.
一般地，对于二次三项式ax^2+bx+c(a≠0），
如果二次项系数a可以分解成两个因数之积，
即a=a1a2，
常数项c可以分解成两个因数之积，
即c=c1c2，把a1，a2，c1，c2，
排列如下：
a1 c1
╳
a2 c2
a1c2+a2c1
按斜线交叉相乘，再相加，得到a1c2+a2c1，
若它正好等于二次三项式ax2+bx+c的一次项系数b，
即a1c2+a2c1=b，
那么二次三项式就⒂可以分解为两个因式a1x+c1与a2x+c2之积，
即 ax2+bx+c=(a1x+c1）(a2x+c2）.例2把6x^2-7x-5分解因式.
分析：按照例1的方法，
分解二次项系数6及常数项-5，
把它们分别排列，
可有8种不相同的排列方法，
其中的一种 21╳3-5 2×（-5）+3×1=-7
是正确的，因此原多项式可以用十字相乘法分解因式.
解 6x^2-7x-5=（2x+1）（3x-5）
指出：通过例1和例2可以看到，
运用十字相乘法把一个二次项系数不是1的二次三项式因式分解，
往往要经过多次观察，
才能确定是否可以用十字相乘法分解因式.
对于二次项系数是1的二次三项式，
也可以用十字相乘法分解因式，
这时只需考虑如何把常数项分解因数.
例如把x^2+2x-15分解因式，
十字相乘法是1-3╳ 15 1×5+1×（-3）=2
所以x^2+2x-15=(x-3）(x+5）.例3把5x^2+6xy-8y^2分解因式.
分析：这个多项式可以看作是关于x的二次三项式，
把-8y^2看作常数项，
在分解二次项及常数项系数时，
只需分解5与-8，用十字交叉线分解后，
经过观察，选取合适的一组，
即 12╳ 5-4 1×（-4）+5×2=6
解 5x^2+6xy-8y^2=(x+2y)（5x-4y).
指出：原式分解为两个关于x，y的一次式.例4把（x-y)（2x-2y-3）-2分解因式.
分析：这个多项式是两个因式之积与另一个因数之差的形式，
只有先进行多项式的乘法运算，
把变形后的多项式再因式分解.
问：两上乘积的因式是什么特点，用什么方法进行多项式的乘法运算最简便?
答：第二个因式中的前两项如果提出公因式2，就变为2(x-y），它是第一个因式的二倍，然后把（x-y）看作一个整体进行乘法运算，可把原多项式变形为关于（x-y）的二次三项式，就可以用十字相乘法分解因式了.
解 (x-y)（2x-2y-3）-2
=(x-y)[2(x-y)-3]-2
=2(x-y) ^2-3(x-y)-2
1-2╳ 21
1×1+2×（-2）=－3
=[(x-y)-2][2(x-y)+1]
=(x-y-2）（2x-2y+1）.
指出：把（x-y）看作一个整体进行因式分解，
这又是运用了数学中的“整体”思想方法.例5x^2+2x-15
分析：常数项（-15）<0，可分解成异号两数的积，
可分解为（-1）（15），或（1）(-15）或（3） (-5）或（-3）（5），
其中只有（-3）（5）中-3和5的和为2。 =(x-3）(x+5）
总结：①x^2+（p+q）x+pq型的式子的因式分解
这类二次三项式的特点是：二次项的系数是1；
常数项是两个数的积；一次项系数是常数项的两个因数的和.
因此，可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解：
x^2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)
②kx^2+mx+n型的式子的因式分解
如果能够分解成k=ac，n=bd，且有ad+bc=m 时，
那么 kx^2+mx+n=(ax+b)(cx+d) a b╳c d
（1） (x+3）(x-6）=-8
（2） 2x^2+3x=0
（3） 6x^2+5x-50=0
（4）x^2-2( + )x+4=0
（1）解：（x+3）(x-6）=-8 化简整理得
x^2-3x-10=0 （方程左边为二次三项式，右边为零）
(x-5）(x+2）=0 （方程左边分解因式）
∴x-5=0或x+2=0 （转化成两个一元一次方程)
∴x1=5,x2=-2是原方程的解。
（2）解：2x^2+3x=0
x（2x+3）=0 （用提公因式法将方程左边分解因式）
∴x=0或2x+3=0 （转化成两个一元一次方程）
∴x1=0，x2=-3/2是原方程的解。
注意：有些同学做这种题目时容易丢掉x=0这个解，应记住一元二次方程有两个解。
（3）解：6x^2+5x-50=0
（2x-5）（3x+10）=0 （十字相乘分解因式时要特别注意符号不要出错）
∴2x-5=0或3x+10=0
∴x1=5/2,x2=-10/3 是原方程的解。
（4）解：x^2-2(+ )x+4 =0 （∵4 可分解为2 ·2 ，∴此题可用因式分解法）
(x-2）(x-2 )=0
∴x1=2,x2=2是原方程的解。
例题x^2-x-2=0
解：（x+1）(x-2）=0
∴x+1=0或x-2=0
∴x1=-1,x2=2
（附：^是数学符号，例：3^2=3×3=9）
基本介绍
双十字相乘法是一种因式分解方法。对于型如 Ax^2;+Bxy+Cy^2;+Dx+Ey+F 的多项式的因式分解，常采用的方法是待定系数法。这种方法运算过程较繁。对于这问题，若采用“双十字相乘法”（主元法），就能很容易将此类型的多项式分解因式。
例：3x^2;+5xy－2y^2;+x+9y－4=（x+2y－1）（3x－y+4）
因为3=1×3，－2=2×（－1），－4=（－1）×4，
而1×（－1）+3×2=5，2×4+（－1）（－1）=9，1×4+3×（－1）=1
要诀：把缺少的一项当作系数为0，0乘任何数得0，
例：ab+b^2+a－b－2
=0×1×a^2+ab+b^2+a－b－2
=（0×a+b+1）（a+b－2）
=（b+1）（a+b－2）
提示：设x^2=y，用拆项法把cx^2拆成mx^2与ny之和。
例：2x^4+13x^3+20x^2+11x+2
=2y^2+13xy+15x^2+5y+11x+2
=（2y+3x+1）（y+5x+2）
=（2x^2+3x+1）（x^2+5x+2）
=（x+1）（2x+1）（x^2+5x+2）
分解二次三项式时，我们常用十字相乘法．对于某些二元二次六项式（ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f），我们也可以用十字相乘法分解因式．
例如，分解因式2x^2-7xy-22y^2-5x+35y-3．我们将上式按x降幂排列，并把y当作常数，于是上式可变形为
2x^2-（5+7y)x-（22y^2-35y+3），
可以看作是关于x的二次三项式．
对于常数项而言，它是关于y的二次三项式，也可以用十字相乘法，分解为
即
-22y^2+35y-3=（2y-3）（-11y+1）．
再利用十字相乘法对关于x的二次三项式分解
所以
原式=〔x+（2y-3）〕〔2x+(-11y+1）〕
=(x+2y-3）（2x-11y+1）．
（x+2y）（2x-11y)=2x2-7xy-22y2；
（x-3）（2x+1）=2x2-5x-3；
（2y-3）（-11y+1）=-22y^2+35y-3．
这就是所谓的双十字相乘法．也是俗称的“主元法”
用双十字相乘法对多项式ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f进行因式分解的步骤是：
⑴用十字相乘法分解ax^2+bxy+cy^2，得到一个十字相乘图（有两列）；
⑵把常数项f分解成两个因式填在第三列上，要求第二、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的ey，第一列、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的dx．
我们把形如anx^n+a(n-1）x^(n-1）+…+a1x+a0(n为非负整数）的代数式称为关于x的一元多项式，并用f(x），g(x），…等记号表示，如
f(x)=x^2-3x+2，g(x)=x^5+x^2+6，…，
当x=a时，多项式f(x）的值用f(a）表示．如对上面的多项式f(x)
f⑴=12-3×1+2=0；
f(-2）=(-2）^2-3×（-2）+2=12．
若f(a)=0，则称a为多项式f(x）的一个根．
定理1（因式定理） 若a是一元多项式f(x）的根，即f(a)=0成立，则多项式f(x）有一个因式x-a．
根据因式定理，找出一元多项式f(x）的一次因式的关键是求多项式f(x）的根．对于任意多项式f(x），要求出它的根是没有一般方法的，然而当多项式f(x）的系数都是整数时，即整系数多项式时，经常用下面的定理来判定它是否有有理根．