标题：模糊控制
简介
自从Zadeh发展出模糊数学之后，对于不明确系统的控制有极大的贡献，自七十年代以后，便有一些实用的模糊控制器相继的完成，使得我们在控制领域中又向前迈进了一大步，在此将对模糊控制理论做一番浅介。
3.1概念
图3.1为一般控制系统的架构，此架构包含了五个主要部分，即:定义变量、模糊化、知识库、逻辑判断及反模糊化，底下将就每一部分做简单的说明：定义变量也就是决定程序被观察的状况及考虑控制的动作，例如在一般控制问题上，输入变量有输出误差E与输出误差之变化率EC，而控制变量则为下一个状态之输入U。其中E、EC、U统称为模糊变量。模糊化（fuzzify）将输入值以适当的比例转换到论域的数值，利用口语化变量来描述测量物理量的过程，依适合的语言值（linguistic value）求该值相对之隶属度，此口语化变量我们称之为模糊子集合（fuzzy subsets）。知识库包括数据库（data base）与规则库（rule base）两部分，其中数据库是提供处理模糊数据之相关定义；而规则库则藉由一群语言控制规则描述控制目标和策略。逻辑判断模仿人类下判断时的模糊概念，运用模糊逻辑和模糊推论法进行推论，而得到模糊控制讯号。此部分是模糊控制器的精髓所在。解模糊化（defuzzify）将推论所得到的模糊值转换为明确的控制讯号，做为系统的输入值。
3.2变量选择与论域分割
3.2.1变量选择控制变量的选择要能够具有系统特性，而控制变量选择是否正确，对系统的性能将有很大的影响。例如做位置控制时，系统输出与设定值的误差量即可当做模糊控制器的输入变量。一般而言，可选用系统输出、输出变化量、输出误差、输出误差变化量及输出误差量总和等，做为模糊控制器的语言变量，而如何选择则有赖工程师对于系统的了解和专业知识而定。因此，经验和工程知识在选择控制变量时占有相当重要的角色。3.2.2论域分割前一节提到了控制变量的选择问题，当控制变量确定之后，接下来就是根据经验写出控制规则，但是在做成模糊控制规则之前，首先必需对模糊控制器的输入和输出变量空间做模糊分割。例如当输入空间只有单一变量时，可以用三个或五个模糊集合对空间做模糊分割，划分成三个或五个区域，如图3.2(a)所示。当输入空间为二元变量时，如采用四条模糊控制规则，可以将空间分成四个区域，如图3.2(b)所示。模糊分割即对部分空间表为模糊状态，图中斜线部分即为对明确的领域。
模糊分割时各领域间重叠的程度大大地影响控制的性能；一般而言，模集合重叠的程度并没有明确的决定方法，目前大都依靠模拟和实验的调整决定分割方式，不过最近有些报告提出大约1/3~1/2最为理想。重叠的部份意味着模糊控制规则间模糊的程度，因此模糊分割是模糊控制的重要特征。
3.3 隶属度函数的型式
Mamdani教授最初所用的模糊变量分为连续型和离散型两种型式，因此隶属度函数的型式也可以分为连续型与离散型两种。由于语言变量及相对应隶属度函数的选择，将造成多不同的模糊控制器架构；因此，底下将对各隶属度函数的型式加以介绍：
1. 连续型隶属度函数

3.4模糊控制规则
控制规则是模糊控制器的核心，规则的正确与否直接影响控制器的性能，而规则数目的多寡也是一个重要因素，因此底下将对控制规则做进一步的探讨。3.4. 1 模控制规则的来源模糊控制规则的取得方式： 
（1） 专家的经验和知识
前面曾经提到模糊控制也称为控制上的专家系统，专家的经验和知识是设计上有余力的线索。人类日常生活常中判断事情时，使用语言定性分析多于数值定量分析；而模糊控制规则提供了一个自然的架构来描述人类的行为及决策分析，并且专家的知识通常可用if….then的型式来表示。
藉由询问经验丰富的专家，在获得系统的知识后，将知识改为if….then的型式，则如此便可构成模糊控制规则。为了获得最佳的系统性能，常需多次使用试误法，以修正模糊控制规则。
（2） 操作员的操作模式
现在流行的专家系统，其想法只考虑知识的获得，专家巧妙地操作复杂的控制对象，但要将专家的诀窍加以逻辑化并不容易；因此，在控制上也要考虑技巧的获得。在许多工业系统无法以一般的控制理论做正确的控制，但是熟练的操员在没有数学模式下，也能够成功地控制这些系统；因此，记录操作员的操作模式，并将其整理为if….then的型式，可构成一组控制规则。
（3） 学习
为了改善模糊控制器的性能，必须让它有自我学习或自我组织的能力，得模糊控制器能依设定的目标，增加或修改模糊控制规则。3.4.2　模糊控制规则的型式模糊控制规则的型式主要可分为二种：
（1） 状态评估模糊控制规则
状态评估（state evaluation）模糊控制规则为类似人类的直觉思考，所以大多数的模糊控制器都使用这种模糊控制规则，其型式如下：Ri：if x1 is Ai1 and x2 is Ai2….and xn is Ain then y is Ci 其中x1,x2,…….,xn及y为语言变量或称为模糊变量，代表系统的态变量和控制变量；Ai1,Ai2,….,Ain及Ci为语言值，代表论域中的模糊集合。其次还有另一种表示法，是将后件部改为系统状态变量的函数，其型式如下：
Ri：if x1 is Ai1 and x2 is Ai2….and xn is Ain then y=f1(x1,x2,…….,xn)
(2)目标评估模糊控制规则
目标评估（object evaluation）模糊控制规则能够评估控制目标，并且预测未来控制信号，其型式如下：
Ri：if(U is Ci→(x is A1 and y is B1))then U is Ci3.4.3 决定模糊控制规则的流程实际应用模糊控制时，最初的问题是控制器的设计，即如何设计模糊控制法则，但到目前为止尚未有像传统的控制理论一样，能借由一套发展完整的理论推导来设计，其设计概念将于此简单介绍。
图3.4所示为单输入和单输出之定值控制的时间响应图，若使用状态评估模糊控制规则的型式，前件部变量为输出的误差E和在一取样周期内E的变化量CE，后件部变量为控制器输出量U之变化量CU。则误差、误差变化量及控制输出变化量之表示为：
其中E表误差，R表设定值，Y表系统输出，U表控制输出，下标n表在时刻n时的状态。由此可知，误差变化量CE是随输出Y的斜率的符号变号，当输出上升时，CE<0, 下降时CE>0。
本文所设计的模糊控制器之输出输入关系为：
E,CE→CU
在一般控制的计算法上称为速度型，这是由于其输出为U对时间的微分，相当于速度的CU。在构造上也可采用以U为后件部变量的位置型，但前件部变量必需改用E的积分值。
由于由E与CE推论CU的构造，其中CU与E的关系恰巧相当于积分关系U(t)=Ki∫E(t)dt，而CU与CE的关系相当于比例关系U(t)=KpE(t)的缘故，所以又称为Fuzzy PI控制。
  模糊控制设计模糊控制规则时，是在所设想对控制对象各阶段之反应，记述采取那一种控制比较好；首先选择各阶段的特征点，记录在模糊控制规则的前件部，然后思考在该点采取的动作，记录在模糊控制规则的后件部。例如在图3.6中，在第一循环之a1点附近，误差为正且大，但误差变化量几乎是零，可以记为“E is PB and CE is ZO”在此点附近需要很大的控制输出，记为”CU is PB”;同样地，对于b1点、c1点、d1点等的附近，可分别得到如下的控制规则：
a1：If E is PB and CE is ZO then CU is PB
b1：If E is ZO and CE ix NB then XU is NB
c1：If E is NB and CE is ZO then CU is NB
d1：If E is ZO and CE is PB then CU is PB
在第二循环之a2，b2等之附近，其E和CE的绝对值比a1，b1点中之值相对减少，所以其CU值相对地也较小，其控制规则如下：
a2：If E is PM and CE is ZO then CU is PM
b2：If E is ZO and CE is NM then CU is NM
表3.2为依上述程序所构成的13条控制规则，其中纵列为E值，横列为CE值，表中所列之值为控制输出变化量CU值。由表3.2可知规则数最多可为49条，此表只使用了其中13条控制规则，设计者可依实际需要自行加减规则之数量，如19条、31条等等（表3.3,3.4所示），以改系统之响应。
3.5 模糊推论及解模糊化
3.5.1 模糊推论模糊控制理论发展至今，模糊推论的方法大致可分为三种，第一种推论法是依据模糊关系的合成法则，第二种推论法是依据模糊逻辑的推论法简化而成，第三种推论法和第一种相类似，只是其后件部分改由一般的线性式组成的。模糊推论大都采三段论法，可表示如下：
条件命题：If x is A then y is B
事　实：x is A’
结　论：y is B’
表示法中的条件命题相当于模糊控制中的模糊控制规则，前件部和后件部的关系，可以用模糊关系式来表达；至于推论演算，则是将模糊关系和模糊集合A’进行合成演算，得到模糊集合B’。推论算法可以下式表示：
B’=A’。R
若前件部分含有多个命题时，则可表示如下：
条件命题：If x1 is A1….and xn is An then y is B
事　实：x is A’1 and ….and xn is A’n
结　论：y is B’
这种模糊推论法其前件部用“”连结各命题，推论演算的过程则以模糊逻辑来结合前件部中各命题的模糊集合，故前件部的集合A可表示如下：
A=A1∩A2∩…. ∩An
=∩iAi
由(3.7)式可得到模糊集合A和后件部的模糊集合B，利用2.5节中模糊关系R的定义来求得条件命题的模糊关系，其隶属度函数可用μR(x1,x2,….,xn,y)来表示。同样地，事实部分的模糊集合A’，亦可表为：
A’=∩iAi 
因此，以合成算法可得到推论结果如下：
μB’(y)=μA’(x)。μR(x1,x2,….,xn,y)
本章将针对第一种和第三种推论法做介绍：
（1） 第一种推论法
为Mamdani教授最初所使用的方法，其所用的控制规则如下所述：
R1:If x1 is A11 and …and xn is A1n then y1 is B1
R2:If x1 is A21 and …and xn is A2n then y2 is B2
‧ ‧
‧ ‧
‧ ‧
Rn:If x1 is Am1 and …and xn is Amn then ym is Bm
其中Aij ,B i代表论域中的模糊集合。若使用模糊关系Rc和最大－最小合成的模糊推论，则推论结果可得到模糊集合Bi’的隶属函数为：
(3.12)式中　的值称为前件部的适合度，因此藉由各条件命题的前件部，便可计算出各条模糊控制规则相对应的适合度。
在实行模糊控制时，将许多条适合的规则进行上述的推论演算，然后结合各个由算法得到的推论结果来获得模糊集合B’，在此先不谈论解模糊化的方法，于下一小节再做讨论。
(2)第三种推论法
此种推论法为日本Takagi和Sugano所提出，将Mamdani模糊推论法之件命题后件部改为控制器输出入的线性函数式，其模糊控制规则型式表示如下：
此种型态的模糊控制规则其前件部大多使用梯形隶属度函数，而后件部的线性函数式亦可使用非线性函数式取代。若算法则为Max-Min合成，则可得到如(3.12)式之适合度；若改采Max-product合成，则可得到上模糊控制规则Ri对应条件命题前件部之适合度，如下所示：
控制规则Ri后件之值Yi可由下列求得：
综合上述各控制规则得到的推论结果，经解模糊化程序后，便可得到明确的控制器输出值。
这种模糊控制推论藉由多个线性函数式表示控制器的输出入关系。将输入变量空间作模糊分割，并平滑各分割空间接续的地方，而被平滑化的地方即模糊的区域。3.5.2 解模糊化在实行模糊控制时，将许多控制规则进行上述推论演算，然后结合各个由演算得到的推论结果获得控制输出；为了求得受控系统的输出，必须将模糊集合B’解模糊化，在此将对三种常用解模糊化的方法做简单的介绍： 
(1) 重心法
为模糊控制中段常用的方法，其定义为：
其中y°相当于模糊控制集合B’重心位置，图3.5、3.6为图解模糊关系Rc和最大－最小合成及重心法的推论演算过程。 
(2) 高度法
亦为时常使用之解模糊化的方法之一，其定义为：
图3.7为图解使用高度法计算解模糊化值。
(3) 面积法
与重心法相类似，其定义为：