标题：离散傅里叶变换
对换实例
傅里叶变换的变换对对于N点序列 {x[n ]} 0 ≤ n < N ，它的离散傅里叶变换（DFT）为 
?
x
[k ] = N - 1 
Σ
n = 0 e - i 2 π
– – – – –
N n k x[n ] k = 0,1, …,N-1. 
其中e 是自然对数的底数，i 是虚数单位。通常以符号F表示这一变换，即 
?
x
= Fx 
离散傅里叶变换的逆变换（IDFT）为： 
x[n ] = 1
––
N N - 1 
Σ
k = 0 e i 2 π
–––––
N nk ?
x
[k ] n = 0,1, …,N-1. 
可以记为： 
x = F -1 ?
x
实际上，DFT和IDFT变换式中和式前面乘上的归一化系数并不重要。在上面的定义中，DFT和IDFT前的系数分别为1 和1/N。有时会将这两个系数都改成1/ √
––
N
，这样就有x = FFx，即DFT成为酉变换。从连续到离散连续时间信号x(t) 以及它的连续傅里叶变换（CT）?
x
( ω) 
都是连续的。由于数字系统只能处理有限长的、离散的信号，因此必须将x 和?
x
都离散化，并且建立对应于连续傅里叶变换的映射。
数字系统只能处理有限长的信号，为此假设x(t)时限于[0, L]，再通过时域采样将x(t) 离散化，就可以得到有限长的离散信号。设采样周期为T，则时域采样点数N=L/T。
x discrete (t) = x (t) N - 1 
Σ
n = 0 δ(t-nT) = N - 1 
Σ
n = 0 x (nT) δ(t-nT) 
它的傅里叶变换为 
?
x
discrete ( ω) = N - 1 
Σ
n = 0 x (nT)F δ(t-nT) = 1
––
T N - 1 
Σ
n = 0 x (nT)e - i 2 π n ω T 
这就是x(t)时域采样的连续傅里叶变换，也就是离散时间傅里叶变换，它在频域依然是连续的。
类似的，频域信号也应当在带限、离散化之后才能由数字系统处理。依据采样定理，时域采样若要能完全重建原信号，频域信号?
x
( ω) 
应当带限于(0,1/T)。由于时域信号时限于[0, L]，由采样定理以及时频对偶的关系，频域的采样间隔应为1/L。故，频域采样点数为 
1/T
–––––
1/L = N 
即频域采样的点数和时域采样同为N，频域采样点为 { ω k = k/NT} 0 ≤ k < N 在DTFT频域上采样： 
?
x
[k ] = ?
x
discrete ( ω k ) = 1
––
T N - 1 
Σ
n = 0 f[n ]e - i 2 π
– – – – –
N n k 
令T=1，将其归一化，就得到前面定义的离散傅里叶变换。因此，DFT就是先将信号在时域离散化，求其连续傅里叶变换后，再在频域离散化的结果。DFT与CT下面考察离散傅里叶变换与连续傅里叶变换的关系。 
Fx ( ω) = ?
x
( ω) = 1
––
L ∫ L
0 x (t)e - i ω t dt 
其采样为 
?
x
( ω k ) = 1
––
L ∫ L
0 x (t)e - i ω k t dt 
将这个积分以黎曼和的形式近似，有 
?
x
( ω k ) ≈ 1
––
L N - 1 
Σ
n = 0 x[n ] e - i ω k n T T = 1
––
N ?
x
[k ]DFT与DTFT参见离散时间傅里叶变换 
离散时间傅里叶变换（DTFT）是在时域上对连续傅里叶变换的采样。DFT则是在频域上对DTFT的均匀采样。离散信号x[n ]（n=0,...,N-1）的DTFT为： 
?
x
(e i ω ) = N - 1 
Σ
n = 0 x[n ] e - i n ω 
对?
x
(e i ω ) 
在离散的频点{ ω k = k 2 π
–––––
N } 0 ≤ k < N 
上采样 
?
x
[k ] = ?
x
(e i ω k ) = N - 1 
Σ
n = 0 x[n ]e - i 2 π
– – – – –
N k n k = 0, …,N-1 
即为x 的DFT。由于DTFT在频域是周期的，所以在DTFT频域上的均匀采样也应是周期的。?
x
[k ] 
实际上是这个周期序列的主值序列。栅栏效应N 点序列的DFT只能在有限的N个频点上观察频谱，这相当于从栅栏的缝隙中观察景色，对于了解信号在整个频域上的特性是不够的。为了观察到其他频率的信息，需要对原信号x[n]做一些处理，以便在不同的频点上采样。
将原来在DTFT频域上的采样点数增加到M 点，这样采样点位置变为{ ω ' k = e i k 2 π
– – – – –
M } 0 ≤ k < M 
。则对应的DFT成为 
?
x
'[k ] = ?
x
(e ik ω ' k ) = N - 1 
Σ
n = 0 x[n ]e - i 2 π
– – – – –
M k n 
若在序列x[n] 之后补上M-N个零，设为x'[n]，则上式变为 
?
x
'[k ] = M - 1 
Σ
n = 0 x '[n ]e - i 2 π
– – – – –
M k n = Fx ' 
因此将x[n]补零再做DFT就可以得到x[n]的DTFT在其他频率上的值，相当于移动了栅栏，因而能够从其他位置进行观察。频谱分辨率N 点DFT的频谱分辨率是2 π/N。一节指出可以通过补零观察到更多的频点，但是这并不意味着补零能够提高真正的频谱分辨率。这是因为x[n] 实际上是x(t) 采样的主值序列，而将x[n]补零得到的x'[n] 周期延拓之后与原来的序列并不相同，也不是x(t) 的采样。因此?
x
' 
与?
x
是不同离散信号的频谱。对于补零至M点的x'的DFT，只能说它的分辨率2 π/M仅具有计算上的意义，?
x
' 
并不是真正的、物理意义上的频谱。频谱分辨率的提高只能通过提高采样频率实现。
从空间的角度分析
周期为N的离散信号构成一个N 维欧氏空间C N 。在这一空间上两个信号x 和y 的内积定义为 
〈 x,y 〉 = N - 1 
Σ
n = 0 x[n ]y *[n ] 
下面给出C N 上的一组正交基： 
{ e k [n ] = e i 2 π
–––––
N kn } 0 ≤ k < N 
将信号x 在这组正交基上分解，得 
x = N - 1 
Σ
k = 0 〈 x,e k 〉
–––––––––––
‖ e k ‖ 2 e k 
令 
?
x
[k ] = 〈 x, e k 〉 = N - 1 
Σ
n = 0 x[n ] e - i 2 π
– – – – –
N k n 
此即为离散傅里叶变换。又 
| e k | 2 = N 
则有 
x[n ] = 1
––
N N - 1 
Σ
k = 0 ?
x
[k ]e i 2 π
–––––
N kn 
此即为离散傅里叶变换的逆变换。
由此可知，在正交分解的角度上说，离散周期信号x的离散傅里叶变换?
x
实质上是x在正交基 {e k } 上的分量。而从线性变换的角度上说， {e k } 是圆周卷积的特征向量，?
x
则是对应的特征值。
离散傅里叶变换的基本性质
1.线性性质
如果X1（n）和X2(N)是两个有限长序列，长度分别为N1和N2，且Y(N)=AX1(N)+BX2(N)
式中A,B为常数，取N=max【N1,N2]，则Y(N）地N点DFT为
Y(K)=DFT[Y(N)]=AX1(K)+BX2(K), 0≤K≤N-1;
2.循环移位特性
设X(N)为有限长序列，长度为N，则X(N)地循环移位定义为
Y(N)=X((N+M))下标nR（N）
式中表明将X(N）以N为周期进行周期拓延得到新序列X'(N)=X((N))下标n，再将X'(N）左移M位，最后取主值序列得到循环移位序列Y(N)