标题：相似原理
相似原理的引入
由于许多力学问题很难用数学方法去解决，必须通过实验来研究。然而直接实验方法有很大的局限性，其实验结果只适用于某些特定条件，并不具有普遍意义，因而即使花费巨大，也难能揭示现象的物理本质，并描述其中各量之间的规律性关系。还有许多现象不宜进行直接实验，例如飞机太大，不能在风洞中直接研究飞机原型的飞行问题；而昆虫的原型又太小，也不宜在风洞中直接进行吹风实验；况且，直接实验方法往往只能得出个别量之间的规律性关系，难以抓住现象的本质。我们更希望用缩小的飞机模型或放大的昆虫模型进行研究。那么我们最关心的问题就是从模型的实验结果所描述的物理现象能否真实再现原来物理现象？如果要使从模型实验中得到的精确的定量数据能够准确代表对应原型的流动现象，就必须在模型和原型之间满足以下的相似性。
相似概述
相似是指组成模型的每个要素必须与原型的对应要素相似，包括几何要素和物理要素，其具体体现为由一系列物理量组成的场对应相似。对于同一个物理过程，若两个物理现象的各个物理量在各对应点上以及各对应瞬间大小成比例，且各矢量的对应方向一致，则称这两个物理现象相似。在流动现象中若两种流动相似，一般应满足：
（1）几何相似
几何相似是指模型与其原型形状相同，但尺寸可以不同，而一切对应的线性尺寸成比例，这里的线性尺寸可以是直径、长度及粗糙度等。如用下标p和m 分别代表原型和模型，则
线性比例常数可表示为 Cl=lp/lm
面积比例常数可表示为 Ca=Ap/Am=Cl^2 
体积比例常数可表示为 Cv=Vp/Vm=Cl^3
（2）运动相似
运动相似是指对不同的流动现象，在流场中的所有对应点处对应的速度和加速度的方向一致，且比值相等，也就是说，两个运动相似的流动，其流线和流谱是几何相似的。
速度比例常数可表示为 Cv=Vp/Vm；
由于时间的量纲是l/V，因此时间比例常数为 Ct=tp/tm=(lp/Vp)/ (lm/Vm)=Cl/Cv
由此加速度比例常数Ca=ap/am=Cv^2/Ct
（3）动力相似  模型满足几何相似、运动相似和动力相似动力相似即对不同的流动现象，作用在流体上相应位置处的各种力，如重力、压力、粘性力和弹性力等，它们的方向对应相同，且大小的比值相等，也就是说，两个动力相似的流动，作用在流体上相应位置处各力组成的力多边形是几何相似的。 
一般地说，作用在流体微元上的力有重力Fg、压力Pp、粘性力Fv、弹性力Fe和表面张力Ft。如果流体是作加（减）速运动，则加上惯性力Fi后，上述各力就会组成一个力多边形，因此Fg+Fp+Fv+Fe+Ft+Fi=0。
当然，在许多实际问题中，上述各力并非同等重要，有时有些力可能不存在或者小得可以忽略不计，例如Fe和Ft，见图。如果在满足几何相似及运动相似的两个流动现象中，作用在任何流体微元上的力有Fg、Fp、Fv和Fi等，于是，如果这些力满足以下条件，则说两个现象是动力相似的。
动力比例常数可表示为：Cf=Fgp/Fgm= Fpp/Fpm= Fvp/Fvm= Fip/Fim=…
满足以上相似条件时，两个流动现象（或流场）在力学上就是相似的。这三种相似条件中，几何相似是运动相似和动力相似的前提和依据，动力相似是则是流动相似的主导因素，而运动相似只是几何相似和动力相似的表征；三者密切相关，缺一不可。
相似准则
理论上，任意一个流动由控制该流动的基本微分方程和相应的定解条件唯一确定。两个相似的流动现象，为了保证它们遵循相同的客观规律，其微分方程就应该相同，这是同类流动的通解；此外，要求得某一具体流动的特解，还要求其单值条件也必须相似。这些单值性条件包括： 
（1）初始条件，指非定常流动问题中开始时刻的流速、压力等物理量的分布；对于定常流动不需要这一条件。 
（2）边界条件，指所研究系统的边界上（如进口、出口及壁面处等）的流速、压力等物理量的分布。 
（3）几何条件，指系统表面的几何形状、位置及表面粗糙度等。 
（4）物理条件，指系统内流体的种类及物性，如密度、粘性等。 
因此，如果两个流动相似，则作为单值性条件相似，作用在这两个系统上的惯性力与其它各力的比例应对应相等。在流体力学问题中，若存在上述所有这六种力，而且满足动力相似，则必须使下列各力间的比例对应相等。 
惯性力与压力（或压差）之比： Fi/Fp
惯性力与重力之比： Fi/fg
惯性力与摩擦力之比： Fi/Fv
惯性力与弹性力之比：Fi/Fe
惯性力与表面张力之比：Fi/Ft
上述五式式分别引入了五个无量纲数，它们依次是： 
1）欧拉数 Eu=2Δp/(ρ·V^2)，例如以后经常用到的表示物体表面压力分布的压强系数，以及升力系数和阻力系数等。物理上，欧拉数表征了惯性力与压强梯度间的量级之比。 
2）弗劳德数 Fr=V/sqrt (l·g)，物理上，弗劳德数表征了惯性力与重力间的量级之比，是一个表征流速高低的无量纲量。
3）雷诺数 Re=Vl/υ,物理上，雷诺数表征了相似流动中惯性力与粘性力间的量级之比，流动的Re数小，表示与惯性力的量级相比，粘性摩擦力的量级要大得多，因此可以忽略惯性力的作用；反之,Re数大则表示惯性力起主要作用，因此可以当作无粘流体处理。
4）马赫数 Ma=V/c,物理上，马赫数表征了惯性力与弹性力间的量级之比，是气体可压缩性的度量，通常用来表示飞行器的飞行速度或者气流的流动速度。
5）韦伯数 We, 物理上，韦伯数表征了惯性力与表面张力间的量级之比。
可以看出，Eu、Fr、Re、Ma和We都是无量纲数，在相似理论中称作相似准则或者相似判据，它们是判断两个现象是否相似的依据。因而，彼此相似的现象，其同名相似准则的数值一定相等。反之，如果两个流动的单值条件相似，而且由单值条件组成的同名相似准则的数值相等，则这两个现象一定相似。
相似原理详述
相似第一定理[1]两个相似的流动现象都属于同一类物理现象，它们都应为同一的数学物理方程所描述。流动现象的几何条件（流场的边界形状和尺寸）、物性条件（流体密度、粘性等）、边界条件（流场边界上物理量的分布，如速度分布、压强分布等），对非定常流动还有初始条件（选定研究的初始时刻流场中各点的物理量分布）都必定是相似的。这些条件又统称为单值条件。如前所述，两个流动现象力学相似，则在空间对应点和对应的瞬时诸物理量各自互成一定的比例，而这些物理量又必须满足同一的微分方程组，因此各量的比例系数，即相似倍数，不能是任意的，而是彼此制约的。
综上可得到结论：彼此相似的物理现象必须服从同样的客观规律，若该规律能用方程表示，则物理方程式必须完全相同，而且对应的相似准则必定数值相等。这就是相似第一定理。值得指出，一个物理现象中在不同的时刻和不同的空间位置相似准则具有不同的数值，而彼此相似的物理现象在对应时间和对应点则有数值相等的相似准则，因此，相似准则不是常数。相似第二定理要使试验模型同它所模拟的研究对象相似，试验的结果才能应用到研究对象上去。判断两个现象是否相似，往往不能用物理量在对应时间和空间的分布是否保持同一比值来判定。例如，风洞中模型飞机流场与实际飞行着的飞机流场相似问题，往往只知道飞机远前方的来流速度，飞机附近的流场分布却不知道，因此不能根据相似定义来判断二者是否相似。
两个物理现象相似，必定是同一类物理现象。因此，描述物理现象的微分方程组必定相同，这是现象相似的第一个必要条件。
单值条件相似是物理现象相似的第二个必要条件。因为服从同一微分方程组的同类现象有许多，单值条件可以将研究对象从无数多现象中单一地区分出来，数学上则是使微分方程组有唯一解的定解条件。
单值条件中的物理量所组成的相似准则相等是现象相似的第三个必要条件。
反过来说，属于同一类物理现象且单值条件相似时，两个现象才有时间和空间的对应关系以及与时间和空间联系的相同物理量，如果对应的相似准则相等，又保持了在对应的时间和空间点上物理量保持相同的比值，也就保证了两个物理现象的相似。
综上所述，相似条件可表述为：凡同一类物理现象，当单值条件相似且由单值条件中的物理量组成的相似准则对应相等时，则这些现象必定相似。这就是相似第二定理，它是判断两个物理现象是否相似的充分必要条件。
相似原理与模型试验
相似原理与量纲分析方法解决了模型试验中的一系列问题。
要进行模型试验，首先遇到如何设计模型，如何选择模型流动中的介质，才能保证与原型（实物）流动相似。根据相似第二定理，设计模型和选择介质必须使单值条件相似，而且由单值条件中的物理量组成的相似准则在数值上相等。 
试验过程中需要测定哪些物理量，试验数据如何处理，才能反映客观实质？相似第一定理表明，彼此相似的现象必定具有数值相等的相似准则。因此，在试验中应测定各相似准则中所包含的一些物理量，并把它们整理成相似准则。
模型试验结果如何整理才能找到规律性，以便推广应用到原型流动中去？由Π定理可知，描述某物理现象的各种变量的关系可以表示成数目较少的无量纲Π表示的关系式，各无量纲Π各种不同的相似准则，它们之间的函数关系式亦称为准则方程式。彼此相似的现象，它们的准则方程式也相同。因此，试验结果应当整理成相似准则之间的关系式，便可推广应用到原型中去。
雷诺数相似法
为更好解释清楚相似原理的应用，下面介绍一种近似模型法：雷诺数相似法
有许多实际流动，它们主要受粘性力、压力和惯性力的作用。如流体充满截面的管道流动，由于不存在自由面，因此，没有表面张力作用，即可不考虑We相似准则；重力不影响流场，故可不考虑Fr相似准则；如果流速与声速相比很低，则压缩性影响也可以忽略不计，即不必考虑Ma相似准则。对于绕物体的低速气流或绕深水中潜艇的流体上的弹性力及相应的水流（这时没有水面波浪形成）的情况也是这样。
从力学相似的观点来看，若两个流场在对应点作用的同种力方向相同、大小成同一比例，则满足动力相似。对于仅考虑粘性力、压力和惯性力这三种力的情况下，要使力三角形相似，只需满足两条边成比例且夹角相等，也就是说，在对应点上模型流动作用的惯性力和粘性力与实物流动作用的惯性力和粘性力成同一比例，因此，只要在对应点满足雷诺数相等即可。从更具有普遍意义的相似定理来看，两个流动相似，则相似准则数对应相等，由Π定理得出的相似准则方程式亦相同。在（n-k）个相似准则中，其中（n-k-1）个是独立相似准则、或称为决定性相似准则（相当于函数的自变量），一个为非独立相似准则或非决定性相似准则（相当于函数的因变量）。对于仅考虑粘性力、压力和惯性力作用的流动情况，将雷诺准则和其它几何尺寸有关的准则看作独立准则，欧拉准则为非独立准则。
在几何相似的前提下，流动现象相似的决定性准则仅为雷诺准则，则模型试验必须遵守的相似称为雷诺相似。