标题：数值计算方法
百科名片
随着计算机和计算方法的飞速发展，几乎所有学科都走向定量化和精确化，从而产生了一系列计算性的学科分支，如计算物理、计算化学、计算生物学、计算地质学、计算气象学和计算材料学等，计算数学中的数值计算方法则是解决“计算”问题的桥梁和工具。我们知道，计算能力是计算工具和计算方法的效率的乘积，提高计算方法的效率与提高计算机硬件的效率同样重要。科学计算已用到科学技术和社会生活的各个领域中。 
数值计算方法是微分方程，常微分方程，线性方程组的求解。
数值计算方法，是一种研究并解决数学问题的数值近似解方法， 是在计算机上使用的解数学问题的方法，简称计算方法。
在科学研究和工程技术中都要用到各种计算方法。 例如，在航天航空、地质勘探、汽车制造、桥梁设计、 天气预报和汉字字样设计中都有计算方法的踪影。
计算方法既有数学类课程中理论上的抽象性和严谨性，又有实用性和实验性的技术特征， 计算方法是一门理论性和实践性都很强的学科。 在70年代，大多数学校仅在数学系的计算数学专业和计算机系开设计算方法这门课程。 随着计算机技术的迅速发展和普及， 现在计算方法课程几乎已成为所有理工科学生的必修课程。
计算方法的计算对象是微积分，线性代数，常微分方程中的数学问题。 内容包括：插值和拟合、数值微分和数值积分、求解线性方程组的直接法和迭代法、 计算矩阵特征值和特征向量和常微分方程数值解等问题。
简介数值分析的目的是设计及分析一些计算的方式，可针对一些问题得到近似但够精确的结果。以下是一些会用利用数值分析处理的问题：数值天气预报中会用到许多先进的数值分析方。计算太空船的轨迹需要求出常微分方程的数值解。汽车公司会利用电脑模拟汽车撞击来提升汽车受到撞击时的安全性。电脑的模拟会需要求出偏微分方程的数值解。对冲基金会利用各种数值分析的工具来计算股票的市值及其变异程度。航空公司会利用复杂的最佳化算法决定票价、飞机、人员分配及用油量。此领域也称为作业研究。保险公司会利用数值软件进行精算分析。计算太空船的轨迹需要求出常微分方程的数值解。
直接迭代法直接法利用固定次数的步骤求出问题的解。这些方式包括求解线性方程组的高斯消去法及QR算法（英语：QR algorithm），求解线性规划的单纯形法等。若利用无限精度算术的计算方式，有些问题可以得到其精确的解。不过有些问题不存在解析解（如五次方程），也就无法用直接法求解。在电脑中会使用浮点数进行运算，在假设运算方式稳定的前提下，所求得的结果可以视为是精确解的近似值。
迭代法是通过从一个初始估计出发寻找一系列近似解来解决问题的数学过程。和直接法不同，用迭代法求解问题时，其步骤没有固定的次数，而且只能求得问题的近似解，所找到的一系列近似解会收敛到问题的精确解。会利用审敛法来判别所得到的近似解是否会收敛。一般而言，即使使用无限精度算术的计算方式，迭代法也无法在有限次数内得到问题的精确解。
在数值分析中用到迭代法的情形会比直接法要多。例如像牛顿法、二分法、雅可比法、广义最小残量方法（GMRES）及共轭梯度法等。在计算矩阵代数中，大型的问题一般会需要用迭代法来求解。
离散化许多时候需要将连续模型的问题转换为一个离散形式的问题，而离散形式的解可以近似原来的连续模型的解，此转换过程称为离散化。例如求一个函数的积分是一个连续模型的问题，也就是求一曲线以下的面积若将其离散化变成数值积分，就变成将上述面积用许多较简单的形状（如长方形、梯形）近似，因此只要求出这些形状的面积再相加即可。
例如在二小时的赛车比赛中，记录了三个不同时间点的赛车速度，如下表：
时间0:201:001:40
km/h140150180
利用离散化的方式，可以假设赛车在0:00到0:40之间的速度、0:40到1:20之间的速度及1:20到2:00之间的速度分别为三个定值，因此前40分钟的总位移可近似为(2/3h × 140 km/h) = 93.3 公里。可依此方式近似二小时内的总位移为93.3 公里 + 100 公里 + 120 公里 = 313.3 公里。位移是速度的积分，而上述的作法是用黎曼和（英语：Riemann sum）进行数值积分的一个例子。
出版社图书
图书信息书 名: 数值计算方  法
作　者：黄云清
出版社： 科学出版社
出版时间： 2010年7月13日
ISBN: 9787030234285
开本： 16开
定价: 34.00元
内容简介《数值计算方法》为“科学计算及其软件教学丛书”之一，为普通高等教育“十一五”国家级规划教材。主要内容包括函数的数值逼近(代数插值与函数的最佳逼近)、数值积分与数值微分、数值代数(线性代数方程组的解法与矩阵特征值问题的计算)、非线性(代数与超越)方程的数值解法、最优化方法以及常微分方程(初、边值问题)数值解法。除以上基本内容之外，《数值计算方法》还介绍了广泛应用于实际问题的随机统计方法之一——蒙特卡罗(Monte carlo)方法。以及当今求解大规模科学工程计算问题最有效的算法之一的多层网格法，以便读者参考。通过对它们的讨论，使读者掌握设计数值算法的基本方法，为在计算机上解决科学计算问题打好基础。
《数值计算方法》可以作为信息与计算科学、数学与应用数学专业本科生以及计算机专业、通信工程等工科类本科生及研究生的教材，也可供从事数值计算研究的相关工作人员参考使用。
图书目录第1章 引论
1.1 数值计算方法和它的主要内容
1.2 计算机中数的浮点表示
1.3 误差的基本概念
1.4 算法的数值稳定性
习题1
第2章 函数基本逼近（一）——插值逼近
2.1 引言
2.2 Lagrange插值
2.3 Hermite插值
2.4 误差分析
2.5 分段低次多项式插值
*2.6 B样条函数与样条插值
习题2
第3章 函数基本逼近（二）——最佳逼近
3.1 最佳逼近问题的提出
3.2 线性赋范空间的最佳逼近及存在性定理
3.3 最佳一致逼近多项式
3.4 最小偏差于零的多项式——Chebyshev多项式
3.5 内积空间的最佳逼近
3.6 最佳平方逼近与正交多项式
3.7 数据拟合的最小二乘法
3.8 周期函数的最佳逼近与快速Fourier变换
习题3
第4章 数值积分与数值微分
4.1 引言
4.2 Newton-Cotes求积公式
4.3 复化求积公式
4.4 基于复化梯形公式的高精度求积算法
4.5 Gauss型求积公式
4.6 奇异积分计算
4.7 数值微分
习题4
第5章 线性代数方程组求解
5.1 预备知识
5.2 Gauss消去法、矩阵分解
5.3 扰动分析、Gauss消去法的舍入误差
5.4 迭代方法
5.5 共轭梯度法
5.6 预条件共轭梯度法
习题5
第6章 矩阵特征值问题的解法
6.1 特征值问题及相关结果
6.2 乘幂法与反乘幂法
6.3 约化矩阵的Householder方法
6.4 0R方法
6.5 实对称矩阵特征值问题的解法
习题6
第7章 非线性方程的数值解法
7.1 二分法
7.2 简单迭代法
7.3 Newton类迭代方法
7.4 非线性方程组
习题7
第8章 常微分方程数值解法
8.1 引论
8.2 Euler方法
8.3 线性多步法
8.4 线性多步法的进一步讨论
8.5 Runge-Kutta方法
8.6 刚性问题简介
8.7 边值问题的数值方法
习题8
第9章 MonteCarlo方法简介
9.1 基本原理
9.2 随机数和随机抽样
9.3 MonteCarlo方法应用举例
第10章 最优化方法
10.1 线性规划问题及单纯形方法
10.2 无约束非线性优化问题及最速下降法
10.3 几个线性规划问题的实例
习题10
第11章 多层网格法
11.1 两点边值问题及其有限差分离散
11.2 Richardson迭代法
11.3 两层网格法
11.4 多层网格法
11.5 完全多层网格法
11.6 程序设计与工作量估计
参考文献
清华大学出版社图书1
图书信息[1]
书名：数值计算方法
ISBN：9787302182382
作者：吕同富、康兆敏、方秀男
定价：32元
出版日期：2008-10-1
出版社：清华大学出版社
图书简介本书介绍了数值计算方法．内容涉及数值计算方法的数学基础、数值计算方法在工程、科学和数学问题中的应用以及所有数值方法的MATLAB 程序等，涵盖了经典数值分析的全部内容．包括：非线性方程的数值解法；线性方程组的数值解法；矩阵特征值与特征向量的数值算法；插值方法；函数最佳逼近；数值积分；数值微分；常微分方程数值解法等．基于MATLAB是本书的特色，对书中所有的数值方法都给出了MATLAB程序，有大量详实的应用实例可供参考，有相当数量的习题可供练习．
本书取材新颖、阐述严谨、内容丰富、重点突出、推导详尽、思路清晰、深入浅出、富有启发性，便于教学与自学．
目录第1章 序论 1
1.1 科学计算的一般过程 1
1.1.1 对实际工程问题进行数学建模 1
1.1.2 对数学问题给出数值计算方法 1
1.1.3 对数值计算方法进行程序设计 1
1.1.4 上机计算并分析结果 2
1.2 数值计算方法的研究内容与特点 2
1.2.1 数值计算方法的研究内容 2
1.2.2 数值计算方法的特点 2
1.3 计算过程中的误差及其控制 5
1.3.1 误差的来源与分类 5
1.3.2 误差与有效数字 6
1.3.3 误差的传播 8
1.3.4 误差的控制 9
1.3.5 数值算法的稳定性 11
1.3.6 病态问题与条件数 11
习题1 12
第2章 非线性方程的数值解法 13
2.1 二分法 13
2.1.1 二分法的基本思想 13
2.1.2 二分法及MATLAB 程序 13
2.2 非线性方程求解的迭代法 17
2.2.1 迭代法的基本思想 17
2.2.2 不动点迭代法及收敛性 17
2.2.3 迭代过程的加速方法 23
2.2.4 Newton-Raphson方法 31
2.2.5 割线法与抛物线法 40
2.3 非线性方程求解的MATLAB 函数 43
2.3.1 MATLAB中求方程根的函数 43
2.3.2 用MATLAB中的函数求方程的根 43
习题2 44
第3章 线性方程组的数值解法 47
3.1 向量与矩阵的范数 47
3.1.1 向量的范数 47
3.1.2 矩阵的范数 49
3.1.3 方程组的性态条件数与摄动理论 52
3.2 直接法 54
3.2.1 Gauss 消去法及MATLAB程序 54
3.2.2 矩阵的三角(LU) 分解法 66
3.2.3 矩阵的Doolittle 分解法及MATLAB程序 68
3.2.4 矩阵的Crout 分解法 73
3.2.5 对称正定矩阵的Cholesky分解及MATLAB程序 75
3.2.6 解三对角方程组的追赶法及MATLAB程序 79
3.3 迭代法 81
3.3.1 迭代法的一般形式 81
3.3.2 Jacobi 迭代法及MATLAB程序 82
3.3.3 Gauss-Seidel 迭代法及MATLAB程序 85
3.3.4 超松弛迭代法及MATLAB程序 90
3.3.5 共轭梯度法及MATLAB程序 93
3.4 迭代法的收敛性分析 97
3.4.1 迭代法的收敛性 98
3.4.2 迭代法的收敛速度与误差分析 99
习题3 100
第4章 矩阵特征值与特征向量的数值算法 104
4.1 预备知识 104
4.1.1 Householder变换和Givens变换 104
4.1.2 Gershgorin圆盘定理 107
4.1.3 QR分解 108
4.2 乘幂法和反幂法 109
4.2.1 乘幂法及MATLAB程序 109
4.2.2 乘幂法的加速 114
4.2.3 反幂法及MATLAB程序 116
4.3 Jacobi方法(对称矩阵) 118
4.3.1 Jacobi方法及MATLAB程序 118
4.3.2 Jacobi 方法的收敛性 121
4.4 Householder方法 122
4.4.1 一般实矩阵约化为Hessenberg矩阵 122
4.4.2 实对称矩阵的三对角化 125
4.4.3 求三对角矩阵特征值的二分法 125
4.4.4 三对角矩阵特征向量的计算 126
4.5 QR 方法 127
4.5.1 基本的QR 方法 127
4.5.2 QR 方法的收敛性 129
4.5.3 带原点位移的QR 方法 131
4.5.4 单步QR 方法计算上Hessenberg矩阵特征值 132
4.5.5 双步QR方法 132
4.6 基于MATLAB 的QR 分解 132
习题4 133
第5章 插值方法 136
5.1 插值多项式及存在唯一性 136
5.1.1 插值多项式的一般提法 136
5.1.2 插值多项式存在唯一性 137
5.2 Lagrange 插值 138
5.2.1 Lagrange 插值多项式 138
5.2.2 线性插值与抛物线插值 139
5.2.3 Lagrange 插值的MATLAB程序 140
5.2.4 Lagrange插值余项与误差估计 142
5.3 Aitken 和Neville 插值 144
5.3.1 Aitken 逐步线性插值 145
5.3.2 Neville 逐步线性插值 145
5.4 差商与Newton 插值 145
5.4.1 差商及其性质 146
5.4.2 Newton 插值多项式 147
5.4.3 Newton插值余项与误差估计 149
5.4.4 Newton 插值的MATLAB程序 149
5.5 差分与等距节点的Newton 插值 151
5.5.1 差分及其性质 151
5.5.2 等距节点Newton插值多项式 153
5.5.3 等距节点Newton 插值的MATLAB程序 154
5.6 Hermite 插值 156
5.7 分段低次插值 158
5.7.1 高次插值的Runge 现象及MATLAB程序 158
5.7.2 分段线性插值及MATLAB程序 159
5.7.3 分段三次Hermite 插值及MATLAB程序 162
5.8 三次样条插值 165
5.8.1 三次样条函数 165
5.8.2 三转角插值函数(方程) 及MATLAB程序 168
5.8.3 三弯矩插值函数(方程) 及MATLAB程序 171
5.8.4 三次样条插值函数的收敛性 174
5.9 B-样条插值 175
5.9.1 m次样条函数 175
5.9.2 B-样条函数 176
5.9.3 B-样条函数的性质 177
习题5 178
第6章 函数最佳逼近 180
6.1 正交多项式 180
6.1.1 正交函数族180
6.1.2 几个常用的正交多项式 181
6.2 最佳一致逼近 187
6.2.1 一致逼近的概念 187
6.2.2 最佳一致逼近多项式 191
6.2.3 最佳一致逼近多项式的计算 196
6.2.4 最佳一致逼近三角多项式 197
6.3 最佳平方逼近 200
6.3.1 平方度量与平方逼近 200
6.3.2 最佳平方逼近 201
6.4 正交多项式的逼近性质 204
6.4.1 用正交多项式作最佳平方逼近 204
6.4.2 用正交多项式作最佳一致逼近 205
6.5 Fourier 级数的逼近性质 208
6.5.1 最佳平方三角逼近 208
6.5.2 最佳一致三角逼近 209
6.5.3 快速Fourier变换 213
6.6 有理函数逼近 217
6.6.1 连分式逼近 217
6.6.2 Pade逼近 218
6.7 曲线拟合的最小二乘法及MATLAB程序 220
6.7.1 曲线拟合的最小二乘法 220
6.7.2 曲线拟合最小二乘法的MATLAB程序 221
习题6 222
第7章 数值积分 224
7.1 机械求积公式 224
7.1.1 数值积分的基本思想 224
7.1.2 待定系数法 225
7.1.3 插值型求积公式 226
7.1.4 求积公式的收敛性与稳定性 227
7.2 Newton-Cotes 求积公式 228
7.2.1 Newton-Cotes求积公式的一般形式 228
7.2.2 两种低阶的Newton-Cotes求积公式 229
7.2.3 误差估计 230
7.2.4 Newton-Cotes求积公式的MATLAB程序 232
7.3 复合求积公式 232
7.3.1 复合梯形求积公式及MATLAB程序 233
7.3.2 复合Simpson求积公式及MATLAB程序 234
7.3.3 复合Cotes 求积公式及MATLAB程序 235
7.4 变步长求积公式 236
7.4.1 变步长梯形求积公式及MATLAB程序 236
7.4.2 自适应Simpson 求积公式及MATLAB程序 238
7.5 Romberg 求积算法 241
7.5.1 Romberg 求积公式 241
7.5.2 Romberg 求积算法的MATLAB程序 243
7.6 Gauss 求积公式 244
7.6.1 Gauss 求积公式的构造 245
7.6.2 5 种Gauss 型求积公式 247
7.6.3 Gauss 求积公式及MATLAB程序 252
7.7 MATLAB 中的数值积分函数 254
7.7.1 MATLAB 数值积分函数 254
7.7.2 应用实例 255
习题7 256
第8章 数值微分 259
8.1 中点方法 259
8.1.1 微分中点数值算法 259
8.1.2 微分中点数值算法误差分析 259
8.2 利用插值方法求微分 260
8.2.1 插值型求导方法 260
8.2.2 常用插值型求数值微分公式 261
8.3 利用数值积分求微分 262
8.3.1 矩形积分方法 262
8.3.2 Simpson 积分方法 263
8.4 利用三次样条求微分 264
8.5 外推法在数值微分中的应用 264
习题8 265
第9章 常微分方程数值解法 266
9.1 数值解法的构造途径 266
9.1.1 数值解法的基本思想 266
9.1.2 差商逼近法 267
9.1.3 数值积分法 267
9.1.4 Taylor 展开法 268
9.2 Euler 方法及其改进 269
9.2.1 Euler方法及MATLAB程序 269
9.2.2 改进的Euler 方法及MATLAB程序 271
9.2.3 预估-校正方法 277
9.2.4 公式的截断误差 278
9.3 Runge-Kutta 方法 278
9.3.1 Runge-Kutta方法的基本思想 278
9.3.2 二阶Runge-Kutta 方法 279
9.3.3 三阶与四阶Runge-Kutta方法及MATLAB程序 281
9.3.4 变步长的Runge-Kutta方法及MATLAB程序 283
9.4 单步法的相容性、收敛性与稳定性 287
9.4.1 相容性 287
9.4.2 收敛性 288
9.4.3 稳定性 291
9.5 线性多步法 293
9.5.1 线性多步法的一般公式 294
9.5.2 Adams 显式及隐式公式 295
9.5.3 Milne方法与Simpson方法 297
9.5.4 Hamming 方法 298
9.5.5 预估-校正方法 298
9.6 微分方程组与高阶微分方程数值解 300
9.6.1 一阶微分方程组 300
9.6.2 高阶微分方程 301
9.6.3 刚性方程 302
9.7 求微分方程数值解的MATLAB函数 303
9.7.1 MATLAB中微分方程数值解函数 303
9.7.2 应用实例 304
习题9 305
部分习题答案 308
参考文献 313
清华大学出版社图书2
图书信息[2]
书名：数值计算方法
ISBN：9787302232827
作者：郑成德、李志斌、王国灿、孙日明
定价：26元
出版日期：2010-8-1
出版社：清华大学出版社
图书简介本书是根据理工科数学“数值计算方法课程教学基本要求”，为普通高校理工科各专业本科生和工科各专业硕士研究生编写的教材. 介绍了电子计算机上常用的数值计算方法以及有关的基本概念与基本理论，内容包括：非线性方程与线性方程组的数值解法、插值与逼近、数值积分与数值微分、常微分方程数值解法、矩阵的特征值与特征向量计算. 每章均配有一定量的习题，部分例题附有MATLAB源程序，一些算法给出了框图，书末附有部分习题参考答案. 本书叙述简明，注意深入浅出，言简意赅；淡化严格论证，削弱运算技巧；突出重点，循序渐进. 
本书可作为普通高校理工科本科和工科硕士研究生各专业“数值计算方法”或“数值分析”教材，也可供从事科学与工程计算的科技工作者和研究人员参考. 
目录目 录绪论1第1章 基本概念与数学软件MATLAB简介31.1 误差的来源与误差分析的重要性3
1.2 误差的概念与误差的传播5
1.3 数值运算中应注意的几个原则8
1.4 数学软件MATLAB简介10
小结16
习题116
第2章 解线性方程组的直接方法18
2.1 高斯消去法19
2.2 高斯列主元素消去法23
2.3 矩阵分解在解线性方程组中的应用27
2.4 向量与矩阵的范数39
2.5 误差分析41
小结43
习题244
第3章 解线性方程组的迭代法45
3.1 简单迭代法45
3.2 雅可比迭代法49
3.3 高斯-塞德尔迭代法52
3.4 逐次超松弛迭代法56
小结 60
习题361
第4章 插值与拟合63
4.1 引言63
4.2 拉格朗日插值65
4.3 差商与牛顿插值70
4.4 差分与等距节点插值74
4.5 埃尔米特插值78
4.6 分段低次插值80
4.7 三次样条插值82
4.8 曲线拟合的最小二乘法86
小结89
习题4 91
第5章 函数逼近与计算94
5.1 最佳一致逼近多项式94
5.2 函数的最佳平方逼近97
5.3 用正交多项式作最佳平方逼近101
5.4 有理逼近108
小结113
习题5113
第6章 数值积分与数值微分115
6.1 引言115
6.2 牛顿-柯特斯公式118
6.3 龙贝格算法124
6.4 高斯公式130
6.5 数值微分136
小结139
习题6140
第7章 非线性方程求解142
7.1 二分法142
7.2 迭代法146
7.3 牛顿法152
7.4 弦截法157
小结158
习题7158
第8章 常微分方程数值解法160
8.1 引言160
8.2 欧拉方法162
8.3 改进的欧拉方法166
8.4 龙格-库塔方法170
8.5 单步法的收敛性与稳定性178
8.6 线性多步法182
8.7 微分方程组与高阶微分方程的数值解法189
8.8 微分方程边值问题的数值解法194
小结 196
习题8197
第9章 矩阵的特征值与特征向量计算200
9.1 幂法与反幂法200
9.2 对称矩阵的雅可比方法208
9.3 豪斯霍尔德方法214
9.4 QR算法218
小结223
习题9223
附录 部分习题参考答案226
参考文献233