标题：圆的标准方程
圆的方程
X^2+Y^2=1 被称为1单位圆
x^2+y^2=r^2，圆心O（0，0），半径r；
(x-a)^2+(y-b)^2=r^2，圆心O（a，b），半径r。
确定圆方程的条件
圆的标准方程中(x－a)^2+(y－b)^2=r^2中，有三个参数a、b、r，只要求出a、b、r，这时圆的方程就被确定，因此确定圆方程，须三个独立条件，其中圆心坐标是圆的定位条件，半径是圆的定形条件。
确定圆的方程的方法和步骤
确定圆的方程主要方法是待定系数法，即列出关于a、b、r的方程组，求a、b、r，或直接求出圆心（a，b）和半径r，一般步骤为：
根据题意，设所求的圆的标准方程(x－a)^2+(y－b)^2=r^2；
根据已知条件，建立关于a、b、r的方程组；
解方程组，求出a、b、r的值，并把它们代入所设的方程中去，就得到所求圆的方程。
方程推导
(x-a)^2+(y-b)^2=r^2
在平面直角坐标系中，设有圆O，圆心O(a,b) 点P(x,y)是圆上任意一点。
圆是平面到定点距离等于定长的所有点的集合。[1]
所以√[(x-a)^2+(y-b)^2]=r
两边平方，得到
即(x-a)^2+(y-b)^2=r^2
一般式
x^2+y^2+Dx+Ey+F=0
此方程可用于解决两圆的位置关系
配方化为标准方程：（x+D/2）^2.+(y+E/2)^2=(D^2+E^2-4F)/4
其圆心坐标：（-D/2,-E/2）
半径为r=√[（D^2+E^2-4F）]/2
此方程满足为圆的方程的条件是:
D^2+E^2-4F>0
若不满足,则不可表示为圆的方程
已知直径的两个端点坐标A（m，n）B(p，q）设圆上任意一点C（x，
Y）。则有：向量AC*BC=0 可推出方程：（X-m）*（X-p）+（Y-n）*（Y-q）=0 再整理即可得出一般方程。
点与圆
点P（X1,Y1) 与圆 (x－a)^2+(y－b) ^2=r^2的位置关系：
⑴当(x1－a)^2+(y1－b) ^2>r^2时，则点P在圆外。
⑵当(x1－a)^2+(y1－b) ^2=r^2时，则点P在圆上。
⑶当(x1－a)^2+(y1－b) ^2<r^2时，则点P在圆内。
圆与直线
平面内，直线Ax+By+C=0与圆x^2+y^2+Dx+Ey+F=0的位置关系判断一般方法是： 
1.由Ax+By+C=0，可得y=(-C-Ax)/B，（其中B不等于0），代入x^2+y^2+Dx+Ey+F=0，即成为一个关于x的一元二次方程f（x）=0。利用判别式b^2-4ac的符号可确定圆与直线的位置关系如下： 
如果b^2-4ac>0，则圆与直线有2交点，即圆与直线相交。 
如果b^2-4ac=0，则圆与直线有1交点，即圆与直线相切。 
如果b^2-4ac<0，则圆与直线有0交点，即圆与直线相离。 
2.如果B=0即直线为Ax+C=0，即x=-C/A，它平行于y轴（或垂直于x轴），将x^2+y^2+Dx+Ey+F=0化为 (x－a)^2+(y－b) ^2=r^2。令y=b，求出此时的两个x值x1、x2，并且规定x1<x2，那么： 
当x=-C/A<x1或x=-C/A>x2时，直线与圆相离； 
当x1<x=-C/A<x2时，直线与圆相交； 
半径r，直径d 
在直角坐标系中，圆的解析式为：(x-a)^2+(y-b)^2=r^2; 
x^2+y^2+Dx+Ey+F=0
=> (x+D/2)^2+(y+E/2)^2=(D^2+E^2-4F)/4 
=> 圆心坐标为(-D/2,-E/2) 
其实只要保证X方Y方前系数都是1 
就可以直接判断出圆心坐标为(-D/2,-E/2) 
这可以作为一个结论运用的 
且r=根号（圆心坐标的平方和-F）
练习
同步达纲练习A级
一、选择题
1.若直线4x-3y-2=0与圆x^2+y^2-2ax+4y+a2-12=0总有两个不同交点，则a的取值范围是( )A.-3<a<7 B.-6<a<4C.-7<a<3 D.-21<a<19
2.圆(x-3)^2+(y-3)^2=9上到直线3x+4y-11=0的距离等于1的点有( )A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
3.使圆(x-2)^2+(y+3)^2=2上点与点(0，-5)的距离最大的点的坐标是( )A.(5，1) B.(3，-2)C.(4，1) D.( +2， -3)
4.若直线x+y=r与圆x^2+y^2=r(r>0)相切，则实数r的值等于( )A. B.1 C. D.2
5.直线x-y+4=0被圆x^2+y^2+4x-4y+6=0截得的弦长等于( )A.8 B.4 C.2 D.4 
二、填空题
6.过点P(2，1)且与圆x^2+y^2-2x+2y+1=0相切的直线的方程为 .
7.设集合m={(x,y)|x^2+y^2≤25},N={(x,y)|(x-a)^2+y^2≤9}，若M∪N=M，则实数a的取值范围是 .
8.已知P(3，0)是圆x^2+y^2-8x-2y+12=0内一点则过点P的最短弦所在直线方程是( )，过点P的最长弦所在直线方程是 . 
三、解答题
9.已知圆x^2+y^2+x-6y+m=0和直线x+2y-3=0交于P、Q两点，若OP⊥OQ(O是原点)，求m的值.
10.已知直线l:y=k(x-2)+4与曲线C：y=1+ 有两个不同的交点，求实数k的取值范围.
参考答案同步达纲练习A级
1.B 2.C 3.B 4.D 5.C 6.x=2或3x-4y-2=0 7.-2≤a≤2 8.x+y-3=0，x-y-3=0 9.m=3 10.( , )
总结
定义：（1）平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。 
（2)平面上一条线段，一个端点绕它的另一个端点旋转一周，所留下的轨迹叫圆。 
圆心：（1）如定义（1）中，该定点为圆心 
（2）如定义（2）中，绕的那一端的端点为圆心。 
（3）圆任意两条对称轴的交点为圆心。 
（4） 垂直于圆内任意一条弦且两个端点在圆上的线段的二分点为圆心。 
注：圆心一般用字母O表示 
直径：通过圆心，并且两端都在圆上的线段叫做圆的直径。直径一般用字母d表示。 
半径：连接圆心和圆上任意一点的线段，叫做圆的半径。半径一般用字母r表示。 
圆的直径和半径都有无数条。圆是轴对称图形，每条直径所在的直线是圆的对称轴。在同圆或等圆中：直径是半径的2倍，半径是直径的二分之一.d=2r或r=二分之d。 
圆的半径或直径决定圆的大小，圆心决定圆的位置。 
圆的周长：围成圆的曲线的长度叫做圆的周长，用字母C表示。 
圆的周长与直径的比值叫做圆周率。 
圆的周长除以直径的商是一个固定的数，把它叫做圆周率，它是一个无限不循环小数（无理数），用字母π表示。计算时，通常取它的近似值，π≈3.14。 
直径所对的圆周角是直角。90°的圆周角所对的弦是直径。 
圆的面积公式：圆所占平面的大小叫做圆的面积。πr^2，用字母S表示。 
一条弧所对的圆周角是圆心角的二分之一。 
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等。 
在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么他们所对的圆心角相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等。 
在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么他们所对的圆心角相等，所对的弧相等，所对的弦心距也相等。
直线与圆
位置关系⑴直线与圆相交（d<r），有两个公共点。
⑵直线与圆相切（d=r），只有一个公共点。
⑶直线与圆相离（d>r），没有公共点。代数法如果直线方程y=kx+m，圆的方程为（x-a）^2+（y-b）^2=r^2,将直线方程代入圆的方程，消去y，得关于x的一元二次方程Px^2+Qx+R=0(P≠0),那么：
a.当△<0时，直线与圆没有公共点；
b.当△=0时，直线与圆相切；
c.当△>0时，直线与圆相交。几何法求出圆心到直线的距离d，半径为rd>r，则直线与圆相离d=r，则直线与圆相切d<r，则直线与圆相交
判断步骤
①计算两圆的半径，r1，r2；
②计算两圆的圆心距d； 
③根据d与r1，r2之间的关系，判断两圆的位置关系.
判断公式
若两圆的方程分别为C1：(x－x1)^2+(y－y1)^2=r1^2，C2：(x－x2)^2+(y－y2)^2=r2^2：
则两圆外离r1+r2<d；
两圆外切r1+r2=d； 
两圆相交|r1－r2|<d<r1+r2；
两圆内切|r1－r2|=d； 
两圆内含|r1－r2|>d.
代数
将两个圆方程联立，消去其中的一个未知数y或x，得关于x或y的一元二次方程.
若方程中△>0，则两圆相交；
若方程中△=0，则两圆相切；
若方程中△<0，两圆外离或内含.（此方法仅用于判断两个圆的位置关系，不适用于其他的二次曲线的位置关系的判断问题）
圆系方程
经过两圆x^2+y^2+D1x+E1y+F1=0与x^2+y^2+D2x+E2y+F2=0的交点圆系方程为：
x^2+y^2+D1x+E1y+F1+λ(x^2+y^2+D2x+E2y+F2)=0 (λ≠-1)
例题：求过两圆x2+y2=25和(x-1)2+(y-1)2=16的交点且面积最小的圆的方程。
分析：本题若先联立方程求交点，再设所求圆方程，寻求各变量关系，求半径最值，虽然可行，但运算量较大。自然选用过两圆交点的圆系方程简便易行。为了避免讨论，先求出两圆公共弦所在直线方程。则问题可转化为求过两圆公共弦及圆交点且面积最小的圆的问题。
解：圆x^2+y^2=25和(x-1)^2+(y-1)^2=16的公共弦方程为
x^2+y^2-25-[(x-1)^2+(y-1)^2-16]=0，即2x+2y-11=0
过直线2x+2y-11=0与圆x^2+y^2=25的交点的圆系方程为
x^2+y^2-25+λ(2x+2y-11)=0，即x^2+y^2+2λy+2λx-(11λ+25)=0
依题意，欲使所求圆面积最小，只需圆半径最小，则两圆的公共弦必为所求圆的直径，圆心(-λ,-λ)必在公共弦所在直线2x+2y-11=0上。即-2λ-2λ+11=0，则λ=-11/4
代回圆系方程得所求圆方程(x-11/4)^2+(y-11/4)^2=79/8