标题：模糊数学模型
基本概念
模糊集和隶属函数定义 1    论域X  到[0,1] 闭区间上的任意映射 
μ ：X    →[0,1] 
A 
x →μ (x) 
A 
都确定X  上的一个模糊集合A ，μ 叫做A 的隶属函数，μ (x) 叫做x 对模糊集A 的 
A                         A 
隶属度，记为： 
A    {(x,μ (x)) | x ∈X } 
A 
使μ (x)      0.5 的点x     称为模糊集A 的过渡点，此点最具模糊性。 
A                 0 
显然，模糊集合A 完全由隶属函数μ 来刻画，当μ (x)                                  {0,1} 时，A 退化为一 
A               A 
个普通集。 
模糊集的运算常用取大“∨”和取小“∧”算子来定义Fuzzy 集之间的运算。 
定义2     对于论域X  上的模糊集A ，B ，其隶属函数分别为μ (x) ，μ (x) 。 
A        B 
i) 若对任意x ∈X      ，有μ (x) ≤μ (x) ，则称A 包含B ，记为B ⊆A ； 
B       A 
ii) 若A ⊆B 且B ⊆A ，则称A 与B 相等，记为A                  B 。 
定义3     对于论域X  上的模糊集A ，B ， 
i) 称Fuzzy 集C     A UB ，D     A IB 为A 与B 的并（union ）和交（intersection ）， 
即 
C   (A UB)(x)    max{A(x),B(x)}    A(x) ∨B(x) 
D   (A IB(x)    min{A(x),B(x)}    A(x) ∧B(x) 
他们相应的隶属度μ (x),μ (x) 被定义为 
C     D 
μ (x)   max{μ (x),μ (x)} 
C             A     B 
μ (x)    min{μ (x),μ (x)} 
D            A      B 
ii) Fuzzy 集AC 为A 的补集或余集(complement)，其隶属度 
μ (x)    1−μ (x) 
AC          A 
隶属函数的确定方法模糊数学的基本思想是隶属度的思想。应用模糊数学方法建立数学模型的关键是建 
立符合实际的隶属函数。如何确定一个模糊集的隶属函数至今还是尚未解决的问题。这 
里仅仅介绍几种常用的确定隶属函数的方法。 
模糊统计方法
模糊统计方法是一种客观方法，主要是基于模糊统计试验的基础上根据隶属度的客 
观存在性来确定的。所谓的模糊统计试验包含以下四个要素： 
i) 论域X  ； 
ii) X  中的一个固定元素x0  ； 
* 
iii) X  中一个随机变动的几何A           (普通集)； 
*                              * 
iv) X 中一个以A       作为弹性边界的模糊集A ，对A               的变动起着制约作用。其中 
*            * 
x0 ∈A   ，或者x0    ∉A  ，致使x0 对A 的关系是不确定的。 
假设做n 次模糊统计试验，则可计算出 
* 
x    A 
0 ∈ 的次数 
x0 对A 的隶属频率= 
n 
实际上，当n 不断增大时，隶属频率趋于稳定，其频率的稳定值称为x0 对A 的隶属度， 
即 
* 
x0 ∈A  的次数 
μ (x  ) =lim 
A  0 
n→∞       n 
指派方法
指派方法是一种主观的方法，它主要依据人们的实践经验来确定某些模糊集隶属函 
数的一种方法。 
如果模糊集定义在实数域R 上，则模糊集的隶属函数称为模糊分布。所谓指派方 
法就是根据问题的性质主观地选用某些形式地模糊分布，再根据实际测量数据确定其中 
所包含地参数，常用的模糊分布如表 1 所示。 
实际中，根据问题对研究对象的描述来选择适当的模糊分布： 
① 偏小型模糊分布一般适合于描述像“小，少，浅，淡，冷，疏，青年”等偏小 
的程度的模糊现象。  
② 偏大型模糊分布一般适合于描述像“大，多，深，浓，热，密，老年”等偏大 
的程度的模糊现象。  
③ 中间型模糊分布一般适合于描述像“中，适中，不太多，不太少，不太深，不 
太浓，暖和，中年”等处于中间状态的模糊现象。  
但是，表 1 给出的隶属函数都是近似的，应用时需要对实际问题进行分析，逐步修 
改进行完善，最后得到近似程度更好的隶属函数。 
其它方法
在实际应用中，用来确定模糊集的隶属函数的方法示多种多样的，主要根据问题的 
实际意义来确定。譬如，在经济管理、社会管理中，可以借助于已有的“客观尺度”作 
为模糊集的隶属度。下面举例说明。 
如果设论域X  表示机器设备，在X  上定义模糊集A =“设备完好”，则可以用“设 
备完好率”作为A 的隶属度。如果X  表示产品，在X  上定义模糊集A =“质量稳定”， 
则可以用产品的“正品率”作为A 的隶属度。如果X  表示家庭，在X  上定义模糊集A 
=“家庭贫困”，则可以用“Engel 系数=食品消费/总消费”作为A 的隶属度。 
另外，对于有些模糊集而言，直接给出隶属度有时是很困难的，但可以利用所谓的 
“二元对比排序法”来确定，即首先通过两两比较确定两个元素相应隶属度的大小排出 
顺序，然后用数学方法加工处理得到所需的隶属函数。 
模糊关系、模糊矩阵
基本概念定义 4      设论域U ，V ，乘积空间上U ×V                      {(u,v) u ∈U,v ∈V}上的一个模糊 
子集R 为从从集合U 到集合V 的模糊关系。如果模糊关系R 的隶属函数为 
μ ：U ×V →[0,1] ，             (x,y ) aμ (x,y ) 
R                                      R 
则称隶属度μ (x,y ) 为(x,y ) 关于模糊关系R 的相关程度。 
R 
这是二元模糊关系的数学定义，多元模糊关系也可以类似定义。 
{              }        {              } 
设U       x  ,x ,L,x     ，V       y  ,y ,L,y     ，R 为从从U 到V 的模糊关系，其 
1   2      m            1   2       n 
隶 属 函 数 为 μ (x,y )         ， 对 任 意 的 (x  ,y       ) ∈U ×V  有 μ (x ,y        )  r  ∈[0,1]  ， 
R                          i  j                   R   i  j     ij 
i   1,2,L,m,j      1,2,L,n ，记R         (r )    ，则R 就是所谓的模糊矩阵。下面给出一 
ij m×n 
般的定义。 
定义 5      设矩阵R        (r )    ，且r     ∈[0,1] ，i     1,2,L,m,j      1,2,L,n ，则R 称 
ij m×n       ij 
为模糊矩阵。 
特别地，如果rij ∈{0,1} ，i             1,2,L,m,j       1,2,L,n ，则称R 为布尔(Bool)矩阵。 
当模糊方阵R           (r )    的对角线上的元素r              都为 1 时，称R 为模糊自反矩阵。 
ij n×n                     ij 
当 m      1  或 者 n      1  时 ， 相 应 地 模 糊 矩 阵 为 R                   (r ,r ,L,r )    或 者 
1  2      n 
R    (r ,r ,L,r )T  ，则分别称为模糊行向量和模糊列向量。 
1  2     n 
模糊矩阵的运算及其性质
模糊矩阵间的关系及并、交、余运算定义 6        设A      (a  )    ，B     (b  )    ，i    1,2,L,m,j        1,2,L,n 都是模糊矩阵， 
ij m×n           ij m×n 
定义 
i) 相等： 
A    B  ⇔a         b  ； 
ij    ij 
ii) 包含： 
A ≤B ⇔a          ≤b   ； 
ij    ij 
iii) 并： 
A UB      (a  ∨b  )      ； 
ij   ij m×n 
iv) 交： 
A IB     (a  ∧b  ) 
ij    ij m×n 
v) 余： 
AC     (1−a  ) 
ij m×n 
⎛ 1    0.1         ⎛0.7     0 
⎞                   ⎞模糊矩阵的合成定义 7     设A     (aik )m×s  ，B  (bkj )s×n  ，称模糊矩阵 
A oB    (c  ) 
ij m×n 
为A 与B 的合成，其中 
{                    } 
cij  max (aik  ∧bkj ) 1≤k ≤s 
⎛ 1    0.7⎞ 
⎛0.4   0.7    0 ⎞         ⎜          ⎟模糊矩阵的转置定义 8      设A      (a  )    ，i     1,2,L,m,j       1,2,L,n ，称AT          (aT )    为A 的转 
ij m×n                                                ji n×m 
置矩阵，其中aT              a   。 
ji     ij 
(4) 模糊矩阵的λ−截矩阵  
定义 9      设A      (a  )   ，对任意的λ∈[0,1] ， 
ij m×n 
i) 令 
1,  a   ≥λ 
(λ)   ⎧⎪  ij 
aij    ⎨ 
0,  a  <λ 
⎪⎩  ij 
则称Aλ        (a(λ) )   为模糊矩阵A 的λ截矩阵。 
ij  m×n 
ii) 令 
1,  a   >λ 
(λ)   ⎧⎪  ij 
aij    ⎨ 
0,  a  ≤λ 
⎪⎩  ij 
则称            (λ)                        λ 
Aλ    (aij )m×n  为模糊矩阵A 的  强截矩阵。 
· 
显然，对于任意的λ∈[0,1] , λ截矩阵是布尔矩阵。 
⎛ 1     0.5   0.2     0 ⎞ 
⎜                        ⎟ 
⎜0.5     1    0.1    0.3 ⎟ 
模糊矩阵的一个性质性质     设A     (a  )   ，i   1,2,L,m,j     1,2,L,n 是模糊自反矩阵(对角线上的元 
ij m×n 
素                         I 
rij 都为 1 的模糊矩阵)，  是n 阶单位矩阵，则 
I  ≤R ≤R 2 
证：因为A        (a  )   是模糊自反矩阵，即有rii              1，所以I  ≤R ，又 
ij m×n 
{                   } 
max (aik  ∧akj ) 1≤k ≤n   ≥rii ∧rij   rij 
即有R ≤R 2  。