标题：康托展开
康托展开的公式
把一个整数X展开成如下形式：
X=a[n]*(n-1)!+a[n-1]*(n-2)!+...+a[i]*(i-1)!+...+a[2]*1!+a[1]*0!
其中，a为整数，并且0<=a[i]<i(1<=i<=n)
康托展开的应用实例
{1,2,3,4,...,n}表示1,2,3,...,n的排列如 {1,2,3} 按从小到大排列一共6个。123 132 213 231 312 321 。
代表的数字 1 2 3 4 5 6 也就是把10进制数与一个排列对应起来。
他们间的对应关系可由康托展开来找到。
如我想知道321是{1,2,3}中第几个大的数可以这样考虑 ：
第一位是3，当第一位的数小于3时，那排列数小于321 如 123、 213 ，小于3的数有1、2 。所以有2*2!个。再看小于第二位2的：小于2的数只有一个就是1 ，所以有1*1!=1 所以小于321的{1,2,3}排列数有2*2!+1*1!=5个。所以321是第6个大的数。 2*2!+1*1!+0*0!就是康托展开。
再举个例子：1324是{1,2,3,4}排列数中第几个大的数：第一位是1小于1的数没有，是0个 0*3! 第二位是3小于3的数有1和2，但1已经在第一位了，所以只有一个数2 1*2! 。第三位是2小于2的数是1，但1在第一位，所以有0个数 0*1! ，所以比1324小的排列有0*3!+1*2!+0*1!=2个，1324是第三个大数。
康托展开的代码实现
后文的PASCAL程序经检验可以正确工作，并指示出了一个简洁的计算方法，和前文的运算思路略有不同，不需要检验某数码是否使用过，只需检查第(n+1-i)位之后比第(n+1-i)位小的位的数量，将这个数量作为公式中的a[i]。(1<=i<=n)
并附此算法C++版本。康托展开的代码（C++语言）const int PermSize = 12;
long long factory[PermSize] = { 0, 1, 2, 6, 24, 120,720, 5040, 40320, 362880, 3628800,39916800 };
long long Cantor(string buf) {
int i, j, counted;
long long result = 0;
for (i = 0; i < PermSize; ++i) {
counted = 0;
for(j = i + 1; j < PermSize; ++j)
if(buf[i] > buf[j])
++counted;
result = result + counted *factory[PermSize - i - 1];
}
return result;
}康托展开的代码（Pascal语言）s为数组，用来存储要求的数，形如(1,3,2,4)。
n为数组中元素个数。
fac[x]为x!
*function cantor:longint:;
*var
*　i,j,temp:integer;
*　num:longint;
*begin
*　num:=0;
*　for i:=1 to n-1 do
*　begin
*　temp:=0;
*　for j:=i+1 to n do 
*　if s[j]<s[ i ] then inc(temp);
*　num:=num+fac[n-i]*temp;
*　end;
*cantor:=num+1;
*end;康托展开的代码（C语言）//参数int s[]为待展开之数的各位数字,如需展开2134,则s[4]={2,1,3,4}.long int fac[]={1,1,2,6,24,120,720,5040,40320,362880};//阶层表　
long cantor(int s[],int n)
{
long int i,j,temp,num;
num=0;
for(i=0;i<n;i++){
temp=0;
for(int j=i+1;j<n;j++){
if (s[j]<s[i]) temp++;//判断几个数小于其
}
num+=fac[n-i-1]*temp;//(或num=num+fac[n-i-1]*temp;)
}
return (num+1);
}
康托展开的逆运算
例1 {1,2,3,4,5}的全排列，并且已经从小到大排序完毕
(1)找出第96个数
首先用96-1得到95
用95去除4! 得到3余23
有3个数比它小的数是4
所以第一位是4
用23去除3! 得到3余5
有3个数比它小的数是4但4已经在之前出现过了所以第二位是5（4在之前出现过，所以实际比5小的数是3个）
用5去除2!得到2余1
有2个数比它小的数是3，第三位是3
用1去除1!得到1余0
有1个数比它小的数是2，第二位是2
最后一个数只能是1
所以这个数是45321
(2)找出第16个数
首先用16-1得到15
用15去除4!得到0余15
用15去除3!得到2余3
用3去除2!得到1余1
用1去除1!得到1余0
有0个数比它小的数是1
有2个数比它小的数是3 但由于1已经在之前出现过了所以是4（因为1在之前出现过了所以实际比4小的数是2）
有1个数比它小的数是2 但由于1已经在之前出现过了所以是3（因为1在之前出现过了所以实际比3小的数是1）
有1个数比它小得数是2 但由于1，3，4已经在之前出现过了所以是5（因为1，3，4在之前出现过了所以实际比5小的数是1）
最后一个数只能是2
所以这个数是1435
康托逆展开的代码（Pascal）
求n个数的全排列中第m大的组合：
{n在20+就需要用高精度来做}
program test_[1]cator;
var
flag:array[1..20] of boolean;
a:array[1..20] of qword; 
ans:array[1..20] of integer;
n:integer;
m,cator:qword;
temp:integer;
found:boolean;
i,j:integer;
function cal(x:integer):qword;
var
s:integer;
begin
cal:=1;
for s:=1 to x do
cal:=cal*s;
end;
begin
fillchar(flag,sizeof(flag),false);
readln(n,m); 
cator:=m-1;
for i:=(n-1) downto 1 do
begin
found:=false;
a[n-i]:=cator div cal(i);
cator:=cator mod cal(i);
temp:=0;
j:=1;
while (j<=n) and (not found) do
if not flag[j] then
begin
inc(temp);
if temp=(a[n-i]+1) then
begin
ans[n-i]:=j;
found:=true;
flag[j]:=true;
end
else
inc(j);
end
else
inc(j);
end;
for i:=1 to n-1 do
write(ans[i],' ');
for i:=1 to n do
if not flag[i] then
begin
writeln(i);
halt;
end;
end.　
​康托展开的代码（C语言）
long int fac[]={1,1,2,6,24,120,720,5040,40320,362880};
int hash[10]={0};
int cantor(int m,int n)
{
long int num=0,e;
int temp;
int i,j;int k;
int xp;
m=m-1;
for(i=n-1;i>0;i--)
{
temp=0;e=1;
xp=m/fac[i];
m=m%fac[i];
for(j=1;j<=xp+1;j++)
if(hash[j]!=0)
temp++;
if(hash[temp+xp+1]!=0)
for(j=temp+xp+2;j<=n;j++)
{
temp++;
if(hash[j]==0)
break;
}
for(j=1;j<=i;j++)
e*=10;
num+=(temp+xp+1)*e;
hash[temp+xp+1]=1;
for(k=1;k<=n;k++) 
printf("%d ",hash[k]);
printf("\n");
} 
temp=0;
for(i=1;i<=m+1;i++)
if(hash[i]!=0)
temp++;
hash[temp+m+1]=1;
num+=temp+m+1;
return(num);
}
int main()
{
printf("%ld\n",cantor(96,5));
system("pause");
return 0;
}
康托展开和逆康托展开的实现(Java)
康托展开：int fac[] = {1,1,2,6,24,120,720,5040,40320,362880};
int cantor(int[] a, int k) {
int i, j, tmp, num = 0;
for (i = 0; i < k; i++) {
tmp = 0;
for (j = i + 1; j < k; j++)
if (a[j] < a[i])tmp++;
num += fac[k - i - 1] * tmp;
}
return num;
}逆康托展开：int fac[] = {1,1,2,6,24,120,720,5040,40320,362880};
int[] uncantor(int x, int k) {
int res[] = new int[9];
int i, j, l, t;
boolean h[] = new boolean[12];
for (i = 1; i <= k; i++) {
t = x / fac[k - i];
x -= t * fac[k - i];
for (j = 1, l = 0; l <= t; j++)
if (!h[j])l++;
j--;
h[j] = true;
res[i - 1] = j;
}
return res;
}