标题：地图数学基础
概述
地图数学基础是测绘学与基础数学的交叉学科，理论研究包括应用分形理论、集合论、图论、拓扑学、模糊数学、函数论等。通过一系列地图学概念的表述数学化的实现，使传统的地图学理论在原有的基础上获得新的突破和升华，逐步建立和形成数学地图学理论体系框架。对地图的设计和创新具有深远的意义，对地图软件的研制与开发具有广阔的应用前景。同时，拓广了数学特别是应用数学的应用领域，也是地图学理论的质变性发展找到了突破口，具有方法论的指导意义。
地图数学基础是地图上确定地理要素分布位置和几何精度的数学基础。包括：①坐标网。即控制制图资料转绘精度和方便用图的坐标网格。古代以计里画方网格作为制图网，近代主要用地理坐标网和直角坐标网。地理坐标网是按照一定投影方法，将地球椭球面上的经纬线描绘在平面上的网格。因地图投影不同，坐标网常表现为不同系统和形状，构成有一定变形规律的经纬网格。一般在<1：20万比例尺地形图上都绘有经纬网，>1：10万比例尺图上，图廓间绘有分度带，用以确定点位的地理坐标；②比例尺。表示地图图形缩小程度。通常绘注在地图上的为主比例尺，只有某些线或点符合比例尺。一般大比例尺地图，内容较详，几何精度高，可用于图上量测，小比例尺地图，内容概括，不宜于图上量测；③大地控制网。将地球上的自然表面转移到椭球面上，并使地图上的地理要素对于坐标网具有正确的位置。包括平面控制网和高程控制网，前者作为平面位置的基本控制，由三角测量或导线测量方法建立，大地点的大地坐标通过投影换算成平面直角坐标，可直接控制地形测图；后者用水准测量方法建立，作为地形图上高程的基本控制。比例尺愈大，要求表示控制点的种类和数量愈多；中小比例尺地图上由于坐标网为经纬度，一般不再表示控制点。
重力等位面
可使用仪器测得海拔高程（某点到大地水准面的高度）。
地球的数学表面
在测量和制图中就用旋转椭球体来代替大地球体，这个旋转椭球体通常称为地球椭球体，简称椭球体。
它是一个规则的数学表面，所以人们视其为地球体的数学表面，也是对地球形体的二级逼近，用于测量计算的基准面。
椭球体三要素:  长轴 a（赤道半径）、短轴 b（极半径）和椭球的扁率 f
WGS [world geodetic system] 84 ellipsoid:
a = 6378137m           b = 6356752.3m
equatorial diameter = 12 756.3km     polar diameter = 12 713.5km
equatorial circumference = 40 075.1km   surface area = 510 064 500km2
对地球形状 a，b，f 测定后，还必须确定大地水准面与椭球体面的相对关系。即确定与局部地区大地水准面符合最好的一个地球椭球体 —— 参考椭球体，这项工作就是参考椭球体定位。
通过数学方法将地球椭球体摆到与大地水准面最贴近的位置上，并求出两者各点间的偏差，从数学上给出对地球形状的三级逼近—— 参考椭球体。国际上在推求年代、方法及测定的地区不同，故地球椭球体的元素值有很多种。中国1952年前采用海福特（Hayford）椭球体；1953—1980年采用克拉索夫斯基椭球体（坐标原点是前苏联玻尔可夫天文台）；自1980年开始采用 GRS 1975（国际大地测量与地球物理学联合会 IUGG 1975 推荐）新参考椭球体系，并确定陕西泾阳县永乐镇北洪流村为“1980西安坐标系”大地坐标的起算点。
地球坐标系与大地定位
地球表面上的定位问题，是与人类的生产活动、科学研究及军事国防等密切相关的重大问题。具体而言，就是球面坐标系统的建立。
大地控制网平面控制网和高程控制网的总称，又称大地网。平面控制网一般指三角网和精密导线网。它采用三角测量或精密导线测量方法建立，并配合进行天文测量和重力测量,将观测结果归算到参考椭球面上,计算各三角点或精密导线点(简称大地点)的大地坐标，作为平面位置的基本控制。大地点的大地坐标通过投影换算成平面直角坐标，可以直接控制测图。高程控制网指水准网和三角高程网。它用水准测量方法建立，测定各水准点距大地水准面的高程，作为高程的基本控制。所以大地控制网能保证将地球的自然表面转移到参考椭球面上，并使地图上的地理要素对于坐标网具有正确的位置。
地理坐标用经纬度表示地面点位的球面坐标。
① 天文经纬度：
表示地面点在大地水准面上的位置，用天文经度和天文纬度表示。
天文经度：观测点天顶子午面与格林尼治天顶子午面间的两面角。在地球上定义为本初子午面与观测点之间的两面角。
天文纬度： 在地球上定义为铅垂线与赤道平面间的夹角。
② 大地经纬度：
表示地面点在参考椭球面上的位置，用大地经度 、大地纬度和大地高表示。
大地经度 ：指参考椭球面上某点的大地子午面与本初子午面间的两面角。东经为正，西经为负。
大地纬度 ：指参考椭球面上某点的垂直线（法线）与赤道平面的夹角。北纬为正，南纬为负。
③ 地心经纬度：
即以地球椭球体质量中心为基点，地心经度同大地经度，地心纬度是指参考椭球面上某点和椭球中心连线与赤道面之间的夹角。
在大地测量学中，常以天文经纬度定义地理坐标。
在地图学中，以大地经纬度定义地理坐标。
在地理学研究及地图学的小比例尺制图中，通常将椭球体当成正球体看，采用地心经纬度。
坐标网控制制图资料转绘精度和方便用图的格网，以在地图上确定点位、方向和距离。有地理坐标网和直角坐标网两种。地理坐标网是按照一定的地图投影方法，将地球椭球面上的经线和纬线描绘在平面上，所构成的有一定变形规律的经纬线网，它依一定的经纬度间隔绘出，并注明经纬度数值，用于确定点位的地理坐标，故又称制图网。直角坐标网一般是垂直和平行某种投影的中央经线的方格线网，注有公里数，用于确定点位的平面直角坐标，故也叫公里网。
大地坐标系统1.中国的大地坐标系
中国1952年前采用海福特（Hayford）椭球体 ；
1953—1980年采用克拉索夫斯基椭球体（坐标原点是前苏联玻尔可夫天文台） ；
自1980年开始采用 GRS 1975（国际大地测量与地球物理学联合会 IUGG 1975 推荐）新参考椭球体系，并确定陕西泾阳县永乐镇北洪流村为“1980西安坐标系”大地坐标的起算点。
2.中国的大地控制网
由平面控制网和高程控制网组成，控制点遍布全国各地。
平面控制网 : 按统一规范，由精确测定地理坐标的地面点组成，由三角测量或导线测量完成，依精度不同，分为四等。
高程控制网 : 按统一规范，由精确测定高程的地面点组成，以水准测量或三角高程测量完成。依精度不同，分为四等。
中国高程起算面是黄海平均海水面。
1956年在青岛观象山设立了水准原点，其他各控制点的绝对高程均是据此推算，称为1956年黄海高程系。
1987年国家测绘局公布：启用《1985国家高程基准》取代《黄海平均海水面》，其比《黄海平均海水面》上升29毫米。
地图投影的基本知识
简介地图投影是地图学重要组成部分之一，是构成地图的数学基础，在地图学中的地位是相当重要的。地图投影研究的对象就是如何将地球体表面描写到平面上，也就是研究建立地图投影的理论和方法，地图投影的产生、发展、直到现在，已有一千多年的历史，研究的领域也相当广泛，实际上它已经形成了一门独立的学科。
我们学习投影的目的主要是了解和掌握最常用、最基本的投影性质和特点以及他们的变形分布规律，从而能够正确的辨认使用各种常用的投影。 
研究各种投影的变形规律是通过把投影后的经纬线网与地球仪上经纬线网格比较而实现的。地球仪是地球的真实缩小。通过比较就会发现地球仪上的经纬网形状与投影后经纬网的形状是不相同的。为了研究变形，首地球仪上经纬网的特点1.地球仪上所有经线圈都是通过两极的大圆；长度相等；所有纬线除赤道是大圆外，其余都是小圆，并且从赤道向两极越来越小，极地成为一点。
2.经线表示南北方向；纬线表示东西方向。
3.经线和纬线是相互垂直的。
4.纬差相等的经线弧长相等；同一条纬线上经差相等的纬线弧长相等，在不同的纬线上，经差相等的纬线弧长不等，而是从赤道向两极逐渐缩小的。
5.同一纬度带内，经差相同的经纬线网格面积相等，不同纬度带内，网格面积不等，同一经度带内，纬度越高，梯形面积越小。由低纬向高纬逐渐缩小。
地图的比例尺
比例尺地图上的线段长度与实地相应线段长度之比。它表示地图图形的缩小程度，又称缩尺。如1:10万，即图上1厘米长度相当于实地1000米。严格地讲,只有在表示小范围的大比例尺地图上，由于不考虑地球的曲率，全图比例尺才是一致的。对于一般的地图，因投影所产生的变形，各处比例尺并不完全一致。通常绘注在地图上的比例尺，称为主比例尺。主比例尺是进行地图投影时地球椭球体缩小的比例。在地图上，只有某些线或点符合主比例尺，其他各处的比例尺均大于或小于主比例尺。比例尺与地图内容的详细程度和精度有关。一般讲，大比例尺地图，内容详细，几何精度高，可用于图上测量。小比例尺地图，内容概括性强，不宜于进行图上测量。 
地图比例尺：地图上一直线段长度与地面相应直线水平投影长度之比。
根据地图投影变形情况，地图比例尺分为：
主比例尺 ： 在投影面上没有变形的点或线上的比例尺。
局部比例尺： 在投影面上有变形处的比例尺。
地图比例尺的表示① 数字式比例尺  如 1:10 000
② 文字式比例尺  如 百万分之一
③ 图解式比例尺
直线比例尺
斜分比例尺也称微分比例尺，是依据相似三角形原理制成的图解比例尺。使量测精度达到三位数（10-3）。
复式比例尺
④ 特殊比例尺
变比例尺
无级别比例尺
投影变形
1.长度比和长度变形：长度比:投影面上一微小线段ds’（变形椭圆半径）和球面上相应微小线段ds（球面上微小圆半径，已按规定的比例缩小）之比。用公式表示为：
μ=ds’/ds
长度比是一个变量，它不仅随着点的位置不同而变化，还随着方向的变化而变化。长度比是指某点某方向上微小线段之比。
通常研究长度比时，不一一研究各个方向的长度比，而只研究一些特定方向的长度比，即研究最大长度比（a）和最小长度比（b）,经线长度比（m）和纬线长度比（n）。投影后经纬线成直交者，经纬线长度比就是最大和最小长度比。投影后经纬线不直交，其夹角为θ,则经纬线长度比 m、n和最大、最小长度比a、b之间具有如下关系：根据解析几何中阿波隆尼亚定理
m2+n2=a2+b2
m·n·sinθ=a·b
用长度比可以说明长度变形。所谓长度变形就是长度比（μ）与1之差，用表v示长度变形则：v=μ-1
由此可知，长度变形有正负之分，长度变形为正，表示投影后长度增加；长度变形为负表示投影后长度缩短；长度变形为零，则长度无变形。
2.面积比和面积变形面积比:投影平面上微小面积（变形椭圆面积）dF′与球面上相应的微小面积（微小圆面积）dF之比。以投影面上变形椭圆的面积dF’=abπ,相应球面上微小圆的面积dF=12π为例，以P表示面积比，则：
P=dF’/dF=abπ/π=ab
上式说明面积比等于主方向长度比的乘积。若经纬线方向就是主方向时：
P=mn
若经纬线方向不是主方向时，则面积比
P=mnsinθ(θ为投影后经纬线夹角)
面积比是个变量，它随点位置不同而变化。
面积变形就是面积比与1之差，以Vp表示。
Vp=p-1
面积变形有正有负，面积变形为零，表示投影后面积无变形，面积变形为正，表示投影后面积增加；面积变形为负，表示投影后面积缩小。
3.角度变形角度变形：投影面上任意两方向线所夹之角与球面上相应的两方向线夹角之差，称为角度变形。以ω表示角度最大变形。过一点可以做许多方向线，每两条方向线均可以组成一个角度，这些角度投影到平面上之后，往往与原来的大小不一样，而且不同的方向线组成的角度产生的变形一般也不一样。
4.主比例尺和局部比例尺地图上注记的比例尺，称之为主比例尺，它是运用地图投影方法绘制经纬线网时，首先把地球椭球体按规定比例尺缩小，如制1：100万地图，首先将地球缩小100万倍，而后将其投影到平面上，那么1：100万就是地图的主比例尺。由于投影后有变形，所以主比例尺仅能保留在投影后没有变形的点或线上，而其他地方不是比主比例尺大，就是比主比例尺小。所以大于或小于主比例尺的叫局部比例尺。
注意长度比、长度变形与地图比例尺的区别。
5.等变形线
在各种投影图上，都存在着误差或变形。并且各不同点的变形数量常常是不一样的，为了便于观察和了解绘制区域变形的分布。常用等变形线来表示制图区域的变形分布特征。等变形线就是变形值相等的各点的连线，它是根据计算的各种变形的数值（如p,w）绘于经纬线网格内的，如面积等变形线。
等变形线在不同的投影图上，具有不同的形状，在方位投影中，因投影中心点无变形，从投影中心向外变形逐渐增大，等变形线成同心圆状分布。等变形线通