标题：三斜求积术
简介
《数书九章》(Mathematical Treatise in Nine Sections) : 三斜求积术
问沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里，里法三百步，欲知为田几何？
答曰：“三百五十顷”
以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积。
秦九韶他把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜。“术”即方法。三斜求积术就是用小斜平方加上大斜平方，减中斜平方，取余数的一半，自乘而得一个数.小斜平方乘以大斜平方，减上面所得到的那个数。相减后余数被4除,所得的数作为“实”，作1作为“隅”，开平方后即得面积。 
所谓“实”、“隅”指的是，在方程px 2=qk,p为“隅”，Q为“实”。以△、a,b,c表示三角形面积、大斜、中斜、小斜所以：
q=1/4{c^2a^ 2-[(c^2+a ^2-b ^2)/2]^ 2}
当P=1时，△^2=q, 
△=√{1/4{c^2a^ 2-[(c^2+a ^2-b ^2)/2]^ 2}
分解因式 (两边平方)得
1/16[(c+a) ^2-b ^2][b^2-(c-a)^ 2] 
=1/16(c+a+b)(c+a-b)(b+c-a)(b-c+a) 
=1/8S(c+a+b-2b)(b+c+a-2a)(b+a+c-2c) 
=S(S-b)(S-a)(S-c) 
由此可得：
△=[s(s-b)(S-a)(S－c） 
其中S=1/2(a+b+c)
作者简介
秦九韶（1208年－1261年）南宋官员、数学家，与李冶、杨辉、朱世杰并称宋元数学四大家。字道古，自称鲁郡（今山东曲阜）人，生于普州安岳（今属四川）。精研星象、音律、算术、诗词、弓剑、营造之学，历任琼州知府、司农丞，后遭贬，卒于梅州任所，著作《数书九章》，其中的大衍求一术、三斜求积术和秦九韶算法是具有世界意义的重要贡献。  秦九韶
秦九韶是一位既重视理论又重视实践，既善于继承又勇于创新，既关心国计民生，体察民间疾苦，主张施仁政，又是支持和参与抗金、抗蒙战争的世界著名南宋数学家。他所提出的大衍求一术和正负开方术及其名著《数书九章》，是中国数学史、乃至世界数学史上光彩夺目的一页，对后世数学发展产生了广泛的影响。清代著名数学家陆心源（1834－1894）称赞说：“秦九韶能于举世不谈算法之时，讲求绝学，不可谓非豪杰之士。” 德国著名数学史家M．康托尔(Cantor，1829-1920)高度评价了大衍求一术，他称赞发现这一算法的中国数学家是“最幸运的天才”。美国著名科学史家萨顿(G·Sarton，1884－1956)说过，秦九韶是“他那个民族，他那个时代，并且确实也是所有时代最伟大的数学家之一”。
延伸
海伦公式又译作希伦公式、海龙公式、希罗公式、海伦－秦九韶公式，传说是古代的叙拉古国王希伦 （Heron,也称海龙）二世发现的公式，利用三角形的三条边长来求取三角形面积。海伦公式与三斜求积术是完全等价的。原理简介我国宋代的数学家秦九韶也提出了“三斜求积术”，它与海伦公式基本一样。 
假设在平面内，有一个三角形，边长分别为a、b、c，三角形的面积S可由以下公式求得： 
S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)] 
而公式里的p为半周长： 
p=(a+b+c)/2 
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注1："Metrica"(《度量论》)手抄本中用s作为半周长，所以 
S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)] 和S=√[s(s-a)(s-b)(s-c)]两种写法都是可以的，但多用p作为半周长。 
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由于任何n边的多边形都可以分割成n-2个三角形，所以海伦公式可以用作求多边形面积的公式。比如说测量土地的面积的时候，不用测三角形的高，只需测两点间的距离，就可以方便地导出答案。证明过程（1） 
与海伦在他的著作"Metrica"(《度量论》)中的原始证明不同，在此我们用三角公式和公式变形来证明。设三角形的三边a、b、c的对角分别为A、B、C，则余弦定理为 
cosC = (a^2+b^2-c^2)/2ab 
S=1/2*ab*sinC 
=1/2*ab*√(1-cos^2 C) 
=1/2*ab*√[1-(a^2+b^2-c^2)^2/4a^2*b^2] 
=1/4*√[4a^2*b^2-(a^2+b^2-c^2)^2] 
=1/4*√[(2ab+a^2+b^2-c^2)(2ab-a^2-b^2+c^2)] 
=1/4*√[(a+b)^2-c^2][c^2-(a-b)^2] 
=1/4*√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)] 
设p=(a+b+c)/2 
则p=(a+b+c)/2, p-a=(-a+b+c)/2, p-b=(a-b+c)/2,p-c=(a+b-c)/2, 
上式=√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)/16] 
=√[p(p-a)(p-b)(p-c)] 
所以，三角形ABC面积S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]
（2） 
秦九韶他把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜。“术”即方法。三斜求积术就是用小斜平方加上大斜平方，送到中斜平方，取相减后余数的一半，自乘而得一个数，小斜平方乘以大斜平方，送到上面得到的那个。相减后余数被4除，所得的数作为“实”，作1作为“隅”，开平方后即得面积。 
所谓“实”、“隅”指的是，在方程px 2=q,p为“隅”，q为“实”。以△、a,b,c表示三角形面积、大斜、中斜、小斜，所以 
q=1/4{a^2*c^2-[(a^2+c^2-b^2)/2 ]^2} 
当P=1时，△ 2=q, 
△=√1/4{a^2*c^2-[(a^2+c^2-b^2)/2 ]^2} 
因式分解得 
△ ^2=1/16[4a^2c^2-(a^2+c^2-b^2)^2] 
=1/16[(c+a) ^2-b ^2][b^ 2-(c-a)^ 2] 
=1/16(c+a+b)(c+a-b)(b+c-a)(b-c+a) 
=1/16(c+a+b)(a+b+c-2b)(b+c+a-2a)(b+a+c-2c) 
=1/16 [2p(2p-2a)(2p-2b)(2p-2c)] 
=p(p-a)(p-b)(p-c) 
由此可得： 
S△=√[p(p-a)(p-b)(p-c)] 
其中p=1/2(a+b+c) 
这与海伦公式完全一致，所以这一公式也被称为“海伦－秦九韶公式”。 
S=√1/4{a^2*c^2-[(a^2+c^2-b^2)/2 ]^2} .其中c>b>a. 
根据海伦公式，我们可以将其继续推广至四边形的面积运算。如下题： 
已知四边形ABCD为圆的内接四边形，且AB=BC=4,CD=2,DA=6，求四边形ABCD的面积 
这里用海伦公式的推广 
S圆内接四边形= 根号下(p-a)(p-b)(p-c)(p-d) （其中p为周长一半，a,b,c,d,为4边） 
代入解得s=8√ 3
（3）
在△ABC中∠A、∠B、∠C对应边a、b、c 
O为其内切圆圆心，r为其内切圆半径，p为其半周长 
有tanA/2tanB/2+tanB/2tanC/2+tanC/2tanA/2=1 
r(tanA/2tanB/2+tanB/2tanC/2+tanC/2tanA/2)=r 
∵r=(p-a)tanA/2=(p-b)tanB/2=(p-c)tanC/2 
∴ r(tanA/2tanB/2+tanB/2tanC/2+tanC/2tanA/2) 
=[(p-a)+(p-b)+(p-c)]tanA/2tanB/2tanC/2 
=ptanA/2tanB/2tanC/2 
=r 
∴p^2r^2tanA/2tanB/2tanC/2=pr^3 
∴S^2=p^2r^2=(pr^3)/(tanA/2tanB/2tanC/2) 
=p(p-a)(p-b)(p-c) 
∴S=√p(p-a)(p-b)(p-c) 
（4）
通过正弦定理和余弦定理的结合证明 (具体可以参考证明方法1)