标题：多目标规划
基本定义
多目标规划
multiple objectives programming
数学规划 的一个分支。研究多于一个目标函数在给定区域上的最优化。又称多目标最优化。通常记为 VMP。在很多实际问题中，例如经济、管理、军事、科学和工程设计等领域，衡量  多目标规划一个方案的好坏往往难以用一个指标来判断，而需要用多个目标来比较，而 这些目标有时不甚协调，甚至是矛盾的。因此有许多学者致力于这方面的研究。1896年法国经济学家 V.帕雷托最早研究不可比较目标的优化问题 ，之后，J.冯·诺伊曼 、H.W.库恩 、A.W.塔克尔 、A.M.日夫里翁等数学家做了深入的探讨，但是尚未有一个完全令人满意的定义。求解多目标规划的方法大体上有以下几种：一种是化多为少的方法 ， 即把多目标 化为比较容易求解的单目标或双目标，如主要目标法、线性加权法、理想点法等；另一种叫分层序列法，即把目标按其重要性给出一个序列，每次都在前一目标最优 解集内求下一个目标最优解，直到求出共同的最优解。对多目标的线性规划除以上方法外还可以适当修正单纯形法来求解；还有一种称为层次分析法，是由美国运筹 学家沙旦于70年代提出的，这是一种定性与定量相结合的多目标决策与分析方法，对于目标结构复杂且缺乏必要的数据的情况更为实用。
规划简史
多目标最优化思想，最早是在1896年由法国经济学家V.帕雷托提出来的。他从政治  数学规划经济学的角度考虑把本质上是不可比较的许多目标化成单个目 标的最 优化问题，从而涉及了多目标规划问题和多目标的概念。1947年，J.冯·诺伊曼和O.莫根施特恩从对策论的角度提出了有多个决策者在彼此有矛盾的情况下 的多目标问题。1951年，T.C.库普曼斯从生产和分配的活动中提出多目标最优化问题，引入有效解的概念，并得到一些基本结果。同年，H.W.库恩和 A.W.塔克尔从研究数学规划的角度提出向量极值问题，引入库恩-塔克尔有效解概念，并研究了它的必要和充分条件。1963年，L.A.扎德从控制论方面 提出多指标最优化问题，也给出了一些基本结果。1968年，A.M.日夫里翁为了排除变态的有效解，引进了真有效解概念，并得到了有关的结果。自70年代 以来，多目标规划的研究越来越受到人们的重视。至今关于多目标最优解尚无一种完全令人满意的定义，所以在理论上多目标规划仍处于发展阶段。
求解方法
化多为少的方法即  线性规划把多目标规划问题归为单目标的数学规划（线性规划或非线 性规划）问题进行求解  经济学家帕雷托，即所谓标 量化的方法，这是基本的算法之一。
① 线性加权和法　对于多目标规划问题（VMP），先选取向量
要求λi>0(i=1,2，…,m)
作各目标线性加权和
然后求解单目标数学规 划问题。
λ 的各个分量λi(i=1,2，…，m）通常叫做权系数。它的大小反映了各相应分目标在问题中的重要程度。一般，对权系数的不同选取，可以得到问题 (VMP）的不同的有效解或弱有效解。如何选取权系数，对于不同的问题可以有不同的处理方法。
  线性规划　② 理想点法　为了求解多目标规划问题（VMP），先依次极小化各个分目标。设求得第 i个目标的极小值多目标规划，则得到R中的一个点多目标规划多目标规划。由于点ƒ多目标规划的各个分量对于相应的分目标而言是最理想的值，故称ƒ多目标规 划为问题（VMP）的理想点。选取权系数λi>0（i=1,2，…，m），并作偏差（函数）多目标规划，最后求解数学规划问题
问题 （2）的最优解是问题（VMP)的有效解。理想点法的基本思想是在某种意义下使向量目标函数与所考虑问题的理想点的偏差为极小，来求出多目标规划问题的有 效解。在上述偏差中，p的不同取值代表了不同意义的偏差。当取p=2，λi=1(i=1，2，…，m），则偏差就为距离多目标规划多目标规划。这种情形， 理想点法也叫做最短距离法。分层求解法  生态规划对于问题（VMP），假若目标函数多目标规划 的各个分目标可以按其在问题中的重  冯·诺伊曼要程度排出先后次序，并设这个次序为：ƒ1(x),ƒ2(x），…，ƒm(x）。先对第一个目标进行极小化：多目标规 划，设得到的最优解为x。然后，按下述格式依次分层对各目标进行极小化：
式中多目标规划。设k=m时得到问题（3）的最优解x，则在每一多目标规 划的条件下，x是多目标规划（VMP）的有效解。在实用中，为了保证每一多目标规划，常把上述Xk中的等式约束作适当的宽容，即给出一组所谓宽容量 δi(i=1,2，…，m- 1），并以多目标规划代替 （3）中的Xk。在δi>0 的条件下，由多目标规划k代替Xk所得到的x是多目标规划 (VMP）的弱有效解。其它方法对多目标的线性规划除以上方法外还可以适当修正单纯形法来求解；还有一种称为层次分析法，是由美国运筹学家沙旦于70年代提出的，这是一种定性与定量相结 合的多目标决策与分析方法，对于目标结构复杂且缺乏必要的数据的情况更为实用。
多目标规划方法
  生态规划多目标规划是数学规划的一个分支。研究多于一个的目标函数在给定区域上的  O.莫根施特恩最优化。又称多目标最优化。通常记为 MOP(multi-objective programming）。
在很多实际问题中，例如经济、管理、军事、科学和工程设计等领域，衡量一个方案的好坏往往难以用一个指标来判 断，而需要用多个目标来比较，而这些目标有时不甚协调，甚至是矛盾的。因此有许多学者致力于这方面的研究。
1896年法国经济学家 V. 帕雷托最早研究不可比较目标的优化问题，之后，J.冯·诺伊曼、H.W.库恩、A.W.塔克、A.M.日夫里翁等数学家做了深入的探讨，但是尚未有一个完 全令人满意的定义。
多目标规划及其非劣解
多目标规划模型任何多目标规划问题，都由两个基本部分组成：  多目标规划模型环境　 　（1）两个以上的目标函数；
（2）若干个约束条件。
有n个决策变量，k个目标函数， m个约束方程，
则：
Z=F(X）是k维函数向量，
Φ（X）是m维函数向量；
G是m维常数向量；多目标规划的非劣解多目标规划问题的求解不能只追求一个目标的最优化（最大或最小），  投资而不顾其它目标。
对于上述多目标规划问题，求解就意味着需要做出如下的复合 选择：
▲每一个目标函数取什么值，原问题可以得到最满意的解决？
▲每一个决策变量取什么值，原问题可以得到最满意的解决 ？
而对于方案⑤、⑥、⑦之间则无法确定优劣，而且又没有比它们更好的其他方案，所以它们就被称为多目标规划问题的非劣解或有效解，
其余方案都称为劣解。
所有非劣解构成的集合称为非劣解集。
当目标函数处于冲突状态时，就不会存在使所有目标函数同时达到最大或 最小值的最优解，于是我们只能寻求非劣解（又称非支配解或帕累托解）。效用最优化模型线性加权法  最优化模型　　思想：规划问题 的各个目标函数可以通过一定的方式进行求和运算。这种方法将一系列的目标函数与效用函数建立相关关系，各目标之间通过效用函数协调，使多目标规划问题转化 为传统的单目标规划问题：罚款模型  线性规划理想点法 
思想：规划决策者对每一个目标函数都能提出所期望的值（或称满意 值）；
通过比较实际值fi与期望值fi* 之间的偏差来选择问题的解。[1]约束模型极大极小法 
理论依据 ：若规划问题的某一目标可以给出一个可供选择的范围，则该目标就  最优化可以作为约束条件而被排除出目标组，进入约束条件组中。
假如，除 第一个目标外，其余目标都可以提出一个可供选择的范围，则该多目标规划问题就可以转化为单目标规划问题。
在求解之前，先设计与目标函数相应的 一组目标值理想化的期望目标fi* ( i=1,2，…，k ),
每一个目标对应的权重系数为ω i* ( i=1,2，…，k ) ，再设γ为一松弛因子。目标规划模型目标规划法 
需要预先确定各个目标的期望值fi* ，同时给每一个目标赋予一个优先因子和权系数，假定有K个目标，L个优先级（ L≤K）。
投资的收益和风险
1.风险大，收益也大。
2.当投资越分散时，投资者承担的风险越小，这与题意一致。即：冒险的投资者  投资会出现集中投资的情况，保守的投资者则尽量分散投资。
3. 曲线上的任一点都表示该风险水平的最大可能收益和该收益要求的最小风险。对于不同风险的承受能力，选择该风险水平下的最优投资组合。