标题：递推数列
数列相关概念
首先数列的定义是：按一定次序排列的一列数称为数列（sequence of number）。数列中的每一个数都叫做这个数列的项。
排在第一位的数列称为这个数列的第1项（通常也叫做首项），排在第二位的数称为这个数列的第2项……排在第n位的数称为这个数列的第n项。所以，数列的一般形式可以写成 a1，a2，a3，…，an，…
简记为{an}。
通项公式：数列的第N项an与项的序数n之间的关系可以用一个公式表示，这个公式就叫做这个数列的通项公式。
数列中数的总数为数列的项数。特别地，数列可以看成以正整数集N*（或它的有限子集{1，2，…，n}）为定义域的函数an=f(n)。
如果可以用一个公式来表示,则它的通项公式是a(n)=f(n). 
数列的分类1按照项数是否有限分为有穷数列和无穷数列。
（1）项数有限的数列为“有穷数列”（finite sequence）
（2）项数无限的数列为“无穷数列”（infinite sequence）
2按照项与项的大小关系分为递增数列、递减数列和摆动数列。
（1）从第2项起，每一项都不小于它的前一项的数列叫做递增数列；
（2）从第2项起，每一项都不大于它的前一项的数列叫做递减数列；
（3）从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列叫做摆动数列；
3按照有界性分为有界数列和无界数列。
一个数列每一项的绝对值都小于某个正数（即▏An▏0)这个数列是有界数列，反之为无界数列。
4一些特殊的数列
（1）各项呈周期性变化的数列叫做周期数列（如三角函数）；
（2）各项相等的数列叫做常数列。（注意常数列是递增数列和递减数列的特殊情况。）
递推数列递推公式：如果数列{an}的第n项与它前一项或几项的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的递推公式。
用递推公式表示的数列就叫做递推数列
比如等比数列An=A1*q^（n－1）可以表示为：An=q*An-1
等差数列
定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列（arithmetic sequence），这个常数叫做等差数列的公差（common difference），公差通常用字母d表示。
缩写等差数列可以缩写为A.P.（Arithmetic Progression）。
等差中项由三个数a，A，b组成的等差数列可以堪称最简单的等差数列。这时，A叫做a与b的等差中项（arithmetic mean）。 
有关系：A=（a+b）/2
通项公式an=a1+(n-1)d 
an=Sn-S(n-1) (n≥2) 
an=kn+b(k,b为常数)
前n项和Sn=n(a1+an)/2=n*a1+n(n-1)d/2 
Sn=(d/2)*n^2+(a1-d/2)n
性质且任意两项am，an的关系为： 
an=am+(n-m)d 
它可以看作等差数列广义的通项公式。 
从等差数列的定义、通项公式，前n项和公式还可推出： 
a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=ak+an-k+1，k∈{1,2,…,n} 
若m，n，p，q∈N*，且m+n=p+q，则有 
am+an=ap+aq 
Sm-1=(2n-1)an，S2n+1=(2n+1)an+1 
Sk，S2k-Sk，S3k-S2k，…，Snk-S(n-1)k…成等差数列，等等。 
和=（首项+末项）×项数÷2 
项数=（末项-首项）÷公差+1 
首项=2和÷项数-末项 
末项=2和÷项数-首项 
设a1,a2,a3为等差数列。则a2为等差中项,则2倍的a2等于a1+a3，即2a2=a1+a3。
应用日常生活中，人们常常用到等差数列如：在给各种产品的尺寸划分级别 
时，当其中的最大尺寸与最小尺寸相差不大时，常按等差数列进行分级。 
若为等差数列，且有an=m,am=n.则a(m+n)=0。
等比数列
定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列（geometric sequence）。这个常数叫做等比数列的公比（common ratio），公比通常用字母q表示。
缩写等比数列可以缩写为G.P.（Geometric Progression）。
等比中项如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项。 
有关系：G^2=ab；G=±(ab)^(1/2) 
注：两个非零同号的实数的等比中项有两个，它们互为相反数，所以G^2=ab是a,G,b三数成等比数列的必要不充分条件。
通项公式an=a1q^(n-1) 
an=Sn-S(n-1) (n≥2)
前n项和当q≠1时，等比数列的前n项和的公式为 
Sn=a1(1-q^n)/(1-q)=(a1-an*q)/(1-q) (q≠1)
性质任意两项am，an的关系为an=am·q^(n-m) 
（3）从等比数列的定义、通项公式、前n项和公式可以推出： a1·an=a2·an-1=a3·an-2=…=ak·an-k+1，k∈{1,2,…,n} 
（4）等比中项：aq·ap=ar^2，ar则为ap，aq等比中项。 
记πn=a1·a2…an，则有π2n-1=(an)2n-1，π2n+1=(an+1)2n+1 
另外，一个各项均为正数的等比数列各项取同底数数后构成一个等差数列；反之，以任一个正数C为底，用一个等差数列的各项做指数构造幂Can，则是等比数列。在这个意义下，我们说：一个正项等比数列与等差数列是“同构”的。 
性质： 
①若 m、n、p、q∈N*，且m+n=p+q，则am·an=ap·aq； 
②在等比数列中，依次每 k项之和仍成等比数列. 
“G是a、b的等比中项”“G^2=ab（G≠0）”. 
(5) 等比数列前n项之和Sn=A1(1-q^n)/(1-q) 
在等比数列中，首项A1与公比q都不为零. 
注意：上述公式中A^n表示A的n次方。
应用等比数列在生活中也是常常运用的。 
如：银行有一种支付利息的方式---复利。 
即把前一期的利息和本金价在一起算作本金， 
再计算下一期的利息，也就是人们通常说的利滚利。 
按照复利计算本利和的公式：本利和=本金*(1+利率)^存期 
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0)。 
（1）等比数列的通项公式是：An=A1*q^（n－1） 
若通项公式变形为an=a1/q*q^n(n∈N*),当q>0时，则可把an看作自变量n的函数，点(n,an)是曲线y=a1/q*q^x上的一群孤立的点。 
（2）求和公式：Sn=nA1(q=1) 
Sn=A1(1-q^n)/(1-q) 
=(a1-a1q^n)/(1-q) 
=a1/(1-q)-a1/(1-q)*q^n ( 即A-Aq^n) 
(前提：q不等于 1) 
任意两项am，an的关系为an=am·q^(n-m) 
（3）从等比数列的定义、通项公式、前n项和公式可以推出： a1·an=a2·an-1=a3·an-2=…=ak·an-k+1，k∈{1,2,…,n} 
（4）等比中项：aq·ap=ar^2，ar则为ap，aq等比中项。 
记πn=a1·a2…an，则有π2n-1=(an)2n-1，π2n+1=(an+1)2n+1 
另外，一个各项均为正数的等比数列各项取同底数后构成一个等差数列；反之，以任一个正数C为底，用一个等差数列的各项做指数构造幂Can，则是等比数列。在这个意义下，我们说：一个正项等比数列与等差数列是“同构”的。
定义
“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和。 
对一个数列，如果其任意的连续k（k≥2）项的和都相等，我们就把此数列叫做等和数列
性质
必定是循环数列
练习
1、下面一列整数中（每个字母或括号都代表一个整数），任意相临的3个整数的和都是20，则x+y+z=？ x，2，（），（），（），4，（），y，（），（），z 
2、（2004年湖南省理科实验班联合招生考试数学卷第2试第三题） 圆周上放着120个正数（不一定是整数），今知其中任何相连的35个数的和都是200．证明：这些数中的每一个数都不超过30．（旁注：题目中“相连”即“相临”之意） 答案： 第1题 ：　x=14,y=2,z=2 ，　故：　x+y+z=18 ；　第2题 ：　（120,35）=5 ，使5个数为一组，每7组的和是200，那么每组有 200/7<30 所以每一个数都不超过30。列的通项求法
一般有
an=Sn-Sn-1 （n≥2） 
累和法（an-an-1=... an-1 - an-2=... a2-a1=...将以上各项相加可得an）。 
逐商全乘法（对于后一项与前一项商中含有未知数的数列）。 
化归法（将数列变形，使原数列的倒数或与某同一常数的和成等差或等比数列）。
特别的
在等差数列中，总有Sn S2n-Sn S3n-S2n 
2(S2n-Sn)=(S3n-S2n)+Sn 
即三者是等差数列,同样在等比数列中。三者成等比数列 
不动点法（常用于分式的通项递推关系） 
不动点法求数列通项 
对于某些特定形式的数列递推式可用不动点法来求
特殊数列的通项的写法
1,2,3,4,5,6,7,8....... ---------an=n 
1,1/2,1/3,1/4,1/5,1/6,1/7,1/8......-------an=1/n 
2，4，6，8，10，12，14.......-------an=2n 
1,3,5,7,9,11,13,15.....-------an=2n-1 
-1,1,-1,1,-1,1,-1,1......--------an=(-1)^n 
1,-1,1,-1,1,-1,1,-1,1......--------an=(-1)^(n+1) 
1,0,1,0,1,0,1,01,0,1,0,1....------an=[(-1)^(n+1)+1]/2 
1,0,-1,0,1,0,-1,0,1,0,-1,0......-------an=cos(n-1)π/2=sinnπ/2 
9,99,999,9999,99999,......... ------an=（10^n)-1 
1,11,111,1111,11111.......--------an=[（10^n)-1]/9 
衍生n,nn,nnn,nnnn,nnnnn......---------an=[（10^n)-1]*n/9,n为1-9的整数 
1，4，9，16，25，36，49，.......------an=n^2 
1,2,4,8,16,32......--------an=2^(n-1)
数列前N项和公式的求法
(一)1.等差数列: 
通项公式an=a1+(n-1)d 首项a1,公差d, an第n项数 
ak=ak+(n-k)d ak为第k项数 
若a,A,b构成等差数列 则 A=(a+b)/2 
2.等差数列前n项和: 
设等差数列的前n项和为Sn 
即 Sn=a1+a2+...+an; 
那么 Sn=na1+n(n-1)d/2 
=dn^2(即n的2次方) /2+(a1-d/2)n 
还有以下的求和方法: 1,不完全归纳法 2 累加法 3 倒序相加法
(二)1.等比数列: 
通项公式 an=a1*q^(n-1)(即q的n-1次方) a1为首项,an为第n项 
an=a1*q^(n-1),am=a1*q^(m-1) 
则an/am=q^(n-m) 
(1)an=am*q^(n-m) 
(2)a,G,b 若构成等比中项,则G^2=ab (a,b,G不等于0) 
(3)若m+n=p+q 则 am×an=ap×aq 
2.等比数列前n项和 
设 a1,a2,a3...an构成等比数列 
前n项和Sn=a1+a2+a3...an 
Sn=a1+a1*q+a1*q^2+....a1*q^(n-2)+a1*q^(n-1)(这个公式虽然是最基本公式,但一部分题目中求前n项和是很难用下面那个公式推导的,这时可能要直接从基本公式推导过去,所以希望这个公式也要理解) 
Sn=a1(1-q^n)/(1-q)=(a1-an*q)/(1-q); 
注: q不等于1; 
Sn=na1 注:q=1 
求和一般有以下5个方法: 1,完全归纳法（即数学归纳法） 2 累乘法 3 错位相减法 4 倒序求和法 5 裂项相消法
著名的数列
等差数列典型例题： 
1/(1x(1+1))+1/(2x(2+1))+1/(3x(3+1))+1/(4x(4+1))+1/(5x(5+1))...............1/(n(n+1)) 求Sn 
解析： 
Sn=(1-1/2)+(1/2-1/3)+(1/3-1/4)+(1/4-1/5).............[1/n-1/(n+1)] 
=1-1/(n+1) 
大衍数列　0、2、4、8、12、18、24、32、40、50－－－－－－ 
通项式：
an=(n×n－1)÷2 (n为奇数) 
an=n×n÷2 (n为偶数) 
前n项和公式：
Sn = (n-1)(n+1)(2n+3)÷12 (n为奇数） 
Sn = n(n+2)(2n-1)÷12 (n为偶数） 
大衍数列来源于《乾坤谱》，用于解释太极衍生原理。 
斐波那契数列 1、1、2、3、5、8、13、21、…… 
通项式 
F(n)=(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n} 
这样一个完全是自然数的数列，通项公式居然是用无理数来表达的。 
还可以发现 Sn-2 +Sn -1=Sn