标题：无穷大量
关于无穷大数与无穷小数的定义
彭哲也(人在井天)
能不能找到一个绝对值比所有非0的实数的绝对值都小的实数?答案是不能，任何一个数，如果它不是0,就必可以再分，必可以找到绝对值比它的绝对值更小的数.从这个意义上来说，并不存在一个确定的无穷小数.但我们在实际的应用中必须要有一个无穷小数的概念.因此我们可以人为地定义，存在一个数,它的绝对值小于任意给定的非0实数的绝对值.这个数就叫作无穷小数.在现实中并不能找到一个与这个数完全相符合的确定的数，所以无穷小数这个概念其实是无限近似地反映了这一现实.但是我们必须引进这一概念，如果不引进这一概念，很多时候我们将无法表述，我们将无法更接近地反映现实.为了和后面的无穷小数区分开来，我们不妨把这个无穷小数叫作绝对无穷小数.
能不能找到一个数，它的绝对值大于任意给定的实数的绝对值?回答是不能，任何给定的实数，都必可以找到一个比它更大的数.从这个意义上来说，并不存在一个确定的无穷大数.但是在实际的应用中我们必须要引进无穷大数这个概念.因此，我们可以人为地定义，存在一个数，它的绝对值大于任意给定的实数的绝对值.这个数就叫作无穷大数.在现实中并不能找到一个与这个数完全相符合的确定的数，所以无穷大数这个概念其实是无限近似地反映了这一现实.但是我们必须引进这一概念，如果不引进这一概念，很多时候我们将无法表述，我们将无法更接近地反映现实.为了和后面的无穷大数区分开来，我们不妨把这个无穷大数叫作绝对无穷大数.
前面我们定义了绝对无穷大数和绝对无穷小数，为了实践的需要，我们还必须定义相对无穷大数和相对无穷小数.
我们规定绝对值大于任意给定的有限实数的绝对值的实数为无穷大数(相对无穷大数).同样我们规定绝对值小于任意给定的非0的有限实数的绝对值的数为无穷小数(相对无穷小数).
那么什么是有限实数?能不能找到一个绝对值比所有有限实数都大的有限实数?回答是不能.所以所谓的有限实数也只是和无限实数相对而言的，离开了无限实数我们将无法理解有限实数.无限实数与有限实数之间并没有绝对的分割线.如果一个实数，必可以找到一个确定的实数，使之大于这个实数的绝对值.必可以找到另一个确定的实数，使之小于这个实数的绝对值.则这个实数就是有限实数.
相对无穷大数和相对无穷小数满足于实数的一切特性.
绝对无穷大数和绝对无穷小数虽是现实中不存在的数，但经过恰当的解释可以参与实数运算.绝对无穷大数的绝对值加上任何正数还是无穷大数，这是绝对无穷大数的最基本的特点.这一特点规定了绝对无穷大数的一切特点，也由此规定了绝对无穷小数的一切特点.
以上的观点，我主要是从哲学的角度出发而作出来的，算是给数学界朋友们抛砖引玉吧！
量子电动力学的无穷大量
现代物理理论探索中，量子场论的创建首先是由狄拉克在1927年写下电子的相对论方程开始的。在他的框架中，电磁场是无穷维振动的迭加，每一维振动的能量取一系列分立的数值，使其量子化，而振动中被缴发时能级态的上下跃迁，就对应着光子的产生与湮灭。1928年约当和维格纳引入了电子场的概念，给出了狄拉克的电子相对论量子力学方程的全新解释，并仿照狄拉克的电磁场量子化方式，建立了电子场的量子化理论，称量子电动力学，一般用“QED”表示。该理论于1929年受到了海森堡和泡利的进一步研究。
在QED中：电磁场是矢量场，其量子φ是自旋为1的光子，为玻色子，反粒子就是它自己；而电子场ψ是旋量场，其量子则是自旋为1/2的电子，为费米子，它的反粒子是正电子；ψ是以电流的形式与φ相耦合的，而φ则具有定域规范对称性，可以用U（1）群描述；ψ激发时能态的上下跃迁，就对应着正负电子对的产生与湮灭。
由于QED有上述简单约定，就可以描述包括粒子产生和湮灭在内的多粒子系统，能够与实验高度一致，因此它便被现代物理学普遍接受，并把同样的手段和方法类推到了弱电作用的统一及强相互作用，构建出了众人称颂的规范理论的标准模型。
（一） 
QED中电子之间的相互作用，被规定为是电流之间通过电磁场φ为媒介发生的耦合，由于理论家们并能直接求解相互作用方程，只能求解自由场方程，因此在具体求解相互作用方程时，就把相互作用看成一种对自由场的微弱的扰动，把与实验相关的散射截面和衰变宽度等物理量表示成是相互作用强度α的幂级数，由于α=1/137很小，所以就可以逐级求出它的近似解。这种方法称之为微扰论。这是一种求解电子相互作用方程的有效的近似方法。
微扰论的所有最低级近似计算都很简单，而且与当时的实验结果符合得很好，但是如果把精度再提高一级，上述构想就暴露出了严重的问题。
1930年，美国物理学家奥本海默计算了电子与它自己的电磁场φ的相互作用。由于φ是具有连续无穷维自由度系统，每一维自由度都会不断发射或吸收虚光子、及由于真空极化形成的正负虚电子对的产生与湮灭，它与电子场ψ是二元存在。奥本海默的计算涉及到了对φ的所有虚光子的动量积分，它的取值自然也就成为了无穷大。电子与自己场的这种相互作用构成的是电子自能，也就是电子的质量。这个结果表明，在最低级近似下求得的电子质量是无穷大。同时，奥本海默还得出，电子吸收或放出虚光子截面也是无穷大。
作为QED二级微扰近似过程的一个部分，电子之间相互作用过程中，始终都会有真空极化的正负虚电子对产生，但以此为依据进行的计算又表明，电子电量也是无穷大。
QED得到的这种不符合实际无穷大，也称是它的发散困难。那么，怎样消除QED的这种难堪的发散困难呢？后来理论家们发现了一种称为重整化的运算规则，其具体方法就是在计算中通过重新定义质量、电荷等物理常数，把可以导致无穷大的结果都吸收掉，从而使计算能够得到定量的有限取值。对这种方法的物理解释是：由于电子总是被虚的光子和虚的正负电于对所包裹，所以对它的计算会导致无穷大，如果把它真实存在称为裸电子，我们是看不到裸电子的，所以在考虑电子实际的真实存在时，计算中就应当重新定义电子的质量与电荷，从而把那些可能出现的发散项都吸收掉。
特别说明：重整化使QED的理论与实验测量在很高的精度上保持了一致，非常有效。
（二） 
显然，重整化首先属于吸收QED发散项的一种在计算中使的数学技巧，再根据理论家们对这种数学技巧的解释，很容易有以下认识：
1．容易理解，计算中QED有发散项并没有逻辑错误，它产生的根源，就是由于电磁场φ与电子场ψ是独立的二元存在，以及φ具有连续无穷维自由度，有真空极化，而“重整化”重新定义电子的有限物理量，其实质也就是否定了φ与场ψ是独立的二元存在，以及φ具有连续无穷维自由度，有真空极化。这就是说，只有离开了QED所构想的电磁场的图景，所做的计算才能与实际保持一致。重整化吸收QED中的发散项，这也就意味着现代理论物理学中、以QED为模式的量子场图景是根本错误的。
现代理论物理学中，QED产生无穷大的根源，是因为形成电作用的电磁场根本就不是现代量子场论所设想的那样。即QED实际仅仅只是给出了定量表述电子参与电磁作用的一种数学方法，并没有给述电子参与电磁作用的真实物理图景。
2．正因为QED并没有给述电子参与电磁作用的真实物理图景，由此就形成现代量子场理论描述基础不确定的危机，即现代量子场理论的描述基础还没有正确地建立起来。对此最典型的证据，就是我们在当前这个基础上所进行的计算，总会出现无穷大的发散项，虽然我们能够找出抛弃无穷大的一些规则，但这些规则并不来自理论本身的逻辑前提，并没有解决理论为什么会出现发散项的问题，完全是人为的，而我们相信量子场理论的理由，也仅仅只是因为它的数学结果能够与观测相符合，而这种数学结果的获取需要使用人为规则；这是显而易见的人工雕琢。也正因为现代量子场理论描述基础的不确定，所以当我们把QED观念用于了能量非常高、作用距离非常小的粒子时，重整化技巧也就会完全失效，相互作用的方程也就不会有合理的解。后来，虽然通过希格斯机制似乎解除了理论的这种危机，但怎样准确计算希格斯机制的质量？希格斯机制需要的希格斯粒子是否存在，这些理论本身并不能确定。因此希格斯机制并没有化解现代量子场理论描述基础的危机，而只不过是改变了这种危机的方式。
3．现存的场量子理论中，不仅描述电磁作用的QED，包括描述弱电统一的萨拉姆和格拉肖的模型、描述强作用的量子色动力学，以及包括超弦理论在内，凡涉及到与真空相关联的计算，就总会有无穷大的发散项， 例如真空自能发散、真空涨落发散、跃迁矩阵元紫外发散等等。所有这些事实皆表明，量子场理论描述真空受激发产生出虚粒子的真空观、与实际并不相符。因此，要解决现代量子场理论描述基础的危机，就应当离开量子场理论的虚粒子真空观，依照真空受激发表现出来的现象事实，去重新认识真空，从而形成全新的描述依据。这是实现量子场理论描述基础正确，使其完备自洽，不产生无意义的发散项、并能够适用于任何相互作用，对量子化场理论作出根本改善的关键。
评论
1．有人认为，现代量子场理论之所以有发散项，是因为理论采用了点模型造成的。这是不正确的。因为超弦就是非点模型，它同样也有无穷大的发散困难。因此正如作者所述，量子场理论有发散项，是因为它描述依据的物理场、及形成相互作用与实际情形不相符。
2．不能认为，从数学的角度，现代量子场论具有非常优美的规范对称性，它的重整化也获得了诺贝尔物理奖，就对以QED为模式的现代量子场论的正确性深信不疑。因为这种数学美及重整化，并没有解决如粒子自旋是怎样产生的、决定质量大小因素是什么等等，这些现代量子场论需要解决的最基本的问题，因此不能作为信仰理论的依据。
当理论自身的逻辑出现了与实际不相符的困难时，如果逻辑本身没有问题，唯一的可能性就是作为理论出发点的描述依据与实际并不符。量子电动力学自身的逻辑出现了与实际不相符的发散项，而它的逻辑本身并没有问题，这就味意着虚粒子真空作为现代量子场论的描述依据，与真空真实的实际存在并不相符。那种离开了对现代量子场论物理图象的思考，认为现代量子场论的困难是因为我们缺乏好的数学工具；这是对物理理论研究的严重误读。