标题：典型域上的多元复变函数论
简介
受中国科学院院长郭沫若的邀请，1952年7月，华罗庚开始筹建数学研究所。在数学所成立后，他担任所长。1955年，国务院通过并发布《中国科学院科学奖金暂行条例》，经各学部的学部委员以无记名投票方式决定了得奖的论著与等次，并经中国科学院科学奖金委员会和院常务会议的审核最后确认，华罗庚以其专著《典型域上的多元复变函数论》获得1956年度国家自然科学奖一等奖。其实，此书的初稿完成于1954年，正是这份初稿成为华罗庚获奖的依据。1958年，科学出版社出版了他的《多复变函数论中典型域上的调和分析》一书。 　　　　
此书一出版就引起了国际上的高度重视。首先是苏联科学院Stekkov数学研究所于同年来函要求将此书翻译成俄文出版。英文版是1963年从俄文版再翻译成英文，由美国数学会出版的。英文版出版后，受到国际数学界的普遍关注和高度评价，成为研究该领域时必然要引用的书籍。
作者简介
华罗庚，1910年11月12日出生于江苏金坛县。他幼时爱动脑筋，因思考问题过于专心常被同伴们戏称为  华罗庚在处理文件“罗呆子”。初中毕业后，华罗庚曾入上海中华职业学校就读，因拿不出学费而中途退学。此后，他顽强自学，用5年时间学完了高中和大学低年级的全部数学课程。
20岁时，华罗庚以一篇论文轰动数学界，被清华大学请去工作。从1931年起，华罗庚在清华大学边工作边学习，用一年半时间学完了数学系全部课程。他自学了英、法、德文，在国外杂志上发表了3篇论文后，被破格任用为助教。
1936年华罗庚前往英国剑桥大学。在英国的两年之中，他攻克了许多数学难题。他的一篇关于高斯的论文给他在世界上赢得了声誉。在抗日战争期间，他回到了灾难深重的祖国，在昆明的一个吊脚楼上，他写出了堆垒数论。1946年9月，华罗庚应普林斯顿大学邀请去美国讲学，并于1948年被美国伊利诺依大学聘  华罗庚院士在思考科学问题为终身教授。
新中国成立后，华罗庚放弃在美国的优厚待遇，克服重重困难回到祖国怀抱，投身我国数学科学研究事业。1950年3月，他到达北京，随后担任了清华大学数学系主任、中科院数学所所长等职。1956年，他着手筹建中科院计算数学研究所。1958年，他担任中国科技大学副校长兼数学系主任。
回国后短短的几年中，他在数学领域里的研究硕果累累：他的论文《典型域上的多元复变函数论》于1957年1月获国家发明一等奖，并先后出版了中、俄、英文版专著；1957年出版《数论导引》；1963年他和学生万哲先合写的《典型群》一书出版……
华罗庚因病左腿残疾后，走路要左腿先画一个大圆圈，右腿再迈上一小步。对于这种奇特而费力的步履，他曾幽默地戏称为“圆与切线的运动”。在逆境中，他顽强地与命运抗争，他说“我要用健全的头脑，代替不健全的双腿”。凭着这种精神，他终于从一个只有初中毕业文凭的青年成长为一代数学大师。他一生硕果累累，是中国解析数论、典型群、矩阵几何学、自导函数论等方面的研究者和创始人，其著作《堆垒素数论》更成为20世纪数学论著的经典。
由于青年时代受到过“伯乐”的知遇之恩，华罗庚对于人才的培养格外重视，他发现和培养陈景润的故事更是数学界的一段佳话。在他亲自关心和过问下，陈景润从厦门大学被调到中科院数学研究所，最终在攻克哥德巴赫猜想方面取得了世界领先的成绩。此外，万哲元、陆启铿、王元、潘承洞、段学复等人也是在华罗庚的悉心培育下成长起来的。  华罗庚　　在从事数学理论研究的同时，华罗庚努力尝试寻找一条数学和工农业实践相结合的道路。经过一段实践，他发现数学中的统筹法和优选法是在工农业生产中能够比较普遍应用的方法，可以提高工作效率，改变工作管理面貌。于是，他一面在科技大学讲课，一面带领学生到工农业实践中去推广优选法、统筹法，为工农业生产服务。
晚年的华罗庚不顾年老体衰，仍然奔波在第一线。他还多次应邀赴欧美及香港地区讲学，先后被法国南锡大学、美国伊利诺依大学、香港中文大学授予荣誉博士学位，还于1984年以全票当选为美国科学院外籍院士。
2009年9月10日，在中央宣传部、中央组织部、中央统战部、中央文献研究室、中央党史研究室、民政部、人力资源社会保障部、全国总工会、共青团中央、全国妇联、解放军总政治部等11个部门联合组织的“100位为新中国成立作出突出贡献的英雄模范人物和100位新中国成立以来感动中国人物”评选活动中，华罗庚被评为“100位新中国成立以来感动中国人物”。
研究背景
华罗庚对多元复变函数的研究始于40年代抗战时期。当时的昆明西南联合大学，条件非常艰苦，华罗庚住在人畜共舍的牛棚楼上。白天日寇飞机经常来轰炸，空袭时华罗庚仍在防空洞里看资料。他想把单复变数的自守函数理论推广到多元复变函数。有一次日机的炸弹将防空洞炸塌，把他和正在看的书埋在土中，听说是段学复（现北京大学教授、中国科学院院士）把他和书从泥土中挖出来的。这本书是德文的单复变数自守函数的书。华罗庚这种临危不惧、专心研究的精神，实为后世科学研究者的楷模。 
与此同时，在大洋彼岸的普林斯顿，有一位因不满法西斯排犹而离开德国的大数学家及天体力学家西格尔，也想把单复变数的自守函数理论推广到多复变数。由于单复变数的自守函数的主要理论是在单位圆内讨论，他们不约而同地考虑与单位圆最相近的有界对称域上的自守函数理论。在有界对称域上，多复变数可用矩阵来表示，便于构造自守函数的级数表达及其基本域。此外，单复变数的自守函数论与单位圆的非欧几何密切相关，所以他们也就不约而同地从研究典型域的几何开始。西格尔这方面的第一篇文章“辛几何”1943年发表在《美国数学年刊》，华罗庚的文章“矩阵变数的自守函数论”1944年发表在同一期刊。实际上，两人差不多是同时投稿，但华罗庚的稿件在二战时期从昆明寄到美国要历经几个月。西格尔后来把注意力转向天体力学，不过他研究天体力学的方法是源出于他“辛几何”的文章。辛几何是现在国际上最热门的几何研究方向之一。  1955年，梅兰芳（右）和华罗庚（左）[1]1997年获国家自然科学一等奖的已故院士冯康，曾对笔者说，他关于辛算法的工作与西格尔的天体力学及华罗庚发表在《美国数学会集刊》上的文章“在辛群下超圆的分类”有密切关系。战后西格尔回德，受到德国科学界的高度尊敬。他在60年代写过三卷“函数论”讲义，其中引用华罗庚及其学生的文章有十几篇之多。
华罗庚战后去美国，继续研究多复变函数。他1946年在美国《数学年刊》上发表的文章“多复变函数的自守函数”成为经典著作，为研究自守函数的名家所必引用。多复变数自守函数理论现已发展成为现代数学最重要的研究方向之一。解决费马大定理的威尔士，曾在Langland的讨论班中获益匪浅。而Langland就是目前多复变数自守函数的权威人士，他在普林斯顿高等研究所主持的讨论班，一直是围绕着多变数的自守形式（自守函数的推广）进行。此外，华罗庚在上述文章中引进了一个微分度量，现在被称为华罗庚度量。 
华罗庚于1950年毅然回国，当时才40岁，正值盛年。新中国成立后的最初十年，是他精力最充沛的十年，主要从事的研究仍然是多复变函数。他的主要工作之一就是多复变数典型域上的调和分析。
富氏分析是最早的调和分析，问世以来在工程与物理领域有广泛的应用，数学家也进行了深入的研究。人们自然会考虑把富氏分析推广到多个变数，或者把微分方程推广为算子的情形。在实际应用上也有此需要，例如量子力学要考虑算子特征值与特征向量。
在华罗庚之前，富氏分析的推广多是平行推广，如考虑多个单位圆周的拓扑积情形，或抽象地证明某些空间的完备正交归一系的存在。这对实际的应用是远远不够的。如上所述，华罗庚早就认识到单变数的自守函数的推广是典型域上的自守函数。同样，他认为单位圆上的调和分析的推广是典型域上的调和分析。他用群表示理论具体构造了典型域上的绝对值平方可积全纯函数的一组完备正交归一函数系。群表示论与正交系的关系并非华罗庚首先发现，但能够具体地找出非显然的例子的所有不可约表示并计算其正交化所需的各种常数，应是始于华罗庚在50年代初期的工作。这使得调和分析在60年代热门起来。
调和分析领域的权威、普林斯顿大学教授斯坦，在一次学术会议上，当着华罗庚和他的学生的面说，“我是华的名誉学生”。他是使华罗庚成为美国科学院外籍院士的推荐人之一。
华罗庚在把一个表示化为适合所需条件的不可约表示时，使用了两个奇妙的代数恒等式。他是怎样想出这两个恒等式的，笔者只能惊叹他是天才。但华罗庚从不认为自己是天才，这只好归于他有敏锐的数学直觉。此外，正交归一化所需的常数要用到很多矩阵积分的计算，他以惊人的技巧把许多复杂的矩阵积分计算出来。这些技巧后来被理论物理学家广为应用。
在谈到矩阵积分时，不能不说到他引进的矩阵极坐标。最初他是为了计算矩阵积分而引进的，但后来发现体积元素的矩阵极坐标的表达式与李代数根系的计算有密切关系，使后人对一些根系的计算变得大为容易。矩阵极坐标对于对称空间的几何研究也十分有用。
华罗庚用典型域的矩阵方法考虑数学物理问题是鲜为人知的，但笔者有幸知道，他60年代初期在中山大学讲学的一份讲义就是用矩阵的方法来处理狭义相对论的。狭义相对论的未来光锥就是第四类典型域的特征流形。从华罗庚获奖的书中知道，当n = 4时Bergman核函数可以写成1 / deg Z的若干次方的形式，是一个次调和函数。他的学生的学生周向宇解决“扩充未来光锥管域猜想”的证明中，重要的一步就是要构造一个在扩充未来光锥管域的次调和函数，上述函数就是。这一着如果不是华派的弟子是难以想到的。由于解决这一猜想，俄国科学院Steklov数学研究所授予周向宇俄国国家科学博士学位，这是有史以来中国人从俄国获得的第三个科学博士。 
在上面提到的讲义中，华罗庚还曾用矩阵的方法处理Dirac算子，准备对Dirac算子的热核进行研究。我们知道，从70年代到今天，从指标定理到Seiberg—Witten方程，都与Dirac算子的研究有关，对数学与理论物理产生了巨大的影响。华罗庚的思想是超前的。