标题：矩阵
相关历史
矩阵 的研究历史悠久，拉丁方阵和幻方在史前年代已有人研究。
作为解决线性方程的工具，矩阵也有不短的历史。1693年，微积分的发现者之一戈特弗里德·威廉·莱布尼茨建立了行列式论(theory of determinants)。1750年，加布里尔·克拉默其后又定下了克拉默法则。1800年代，高斯和威廉·若尔当建立了高斯—若尔当消去法。
1848年詹姆斯·约瑟夫·西尔维斯特首先创出matrix一词。研究过矩阵论的著名数学家有凯莱、威廉·卢云·哈密顿、格拉斯曼、弗罗贝尼乌斯和冯·诺伊曼。
相关符号
以下是一个 4 × 3 矩阵：
某矩阵 A 的第 i 行第 j 列，或 i,j位，通常记为 A[i,j] 或 Ai,j。在上述例子中 A[2,3]=7。
在C语言中，亦以 A[j] 表达。(值得注意的是，与一般矩阵的算法不同，在C中，"行"和"列"都是从0开始算起的)
此外 A = (aij)，意为 A[i,j] = aij 对于所有 i 及 j，常见于数学著作中。
一般环上构作的矩阵
给出一环 R，M(m,n, R) 是所有由 R 中元素排成的 m× n 矩阵的集合。若 m=n，则通常记以 M(n,R)。这些矩阵可加可乘 (请看下面)，故 M(n,R) 本身是一个环，而此环与左 R 模Rn 的自同态环同构。
若 R 可置换， 则 M(n, R) 为一带单位元的 R-代数。其上可以莱布尼茨公式定义 行列式：一个矩阵可逆当且仅当其行列式在 R 内可逆。
在百度百科内，除特别指出，一个矩阵多是实数矩阵或虚数矩阵。
分块矩阵
分块矩阵 是指一个大矩阵分割成“矩阵的矩阵”。举例，以下的矩阵
可分割成 4 个 2×2 的矩阵，矩阵将多种信号自由控制，将BSV液晶拼接跨屏显示。
此法可用于简化运算，简化数学证明，以及一些电脑应用如VLSI芯片设计等。
特殊类别
[1]　对称矩阵是相对其主对角线（由左上至右下）对称， 即是 ai,j=aj,i。 
埃尔米特矩阵（或自共轭矩阵）是相对其主对角线以复共轭方式对称， 即是 ai,j=a*j,i。 
特普利茨矩阵在任意对角线上所有元素相对， 是 ai,j=ai+1,j+1。 
随机矩阵所有列都是概率向量， 用于马尔可夫链。
此外，还有对角矩阵，单位矩阵，条带矩阵
[2]对角矩阵是仅在它的主对角线上有元素而其他位置上的元素全为零（即aij=
0或i≠j）的矩阵。如图为nXn的对角矩阵：
类似的是单位矩阵，但位于主对角线上的元素都是1，即a1=a2=......=an=1  条带矩阵是指与主对角线平行的位置上有非零元素而其他位置的元素全为零的矩阵
矩阵来源
英文名Matrix（SAMND矩阵）。在数学名词中，矩阵用来表示统计数据等方面的各种有关联的数据。这个定义很好地解释了Matrix代码制造世界的数学逻辑基础。
成书于西汉末、东汉初的《九章算术》用分离系数法表示线性方程组，得到了其增广矩阵。在消元过程中，使用的把某行乘以某一非零实数、从某行中减去另一行等运算技巧，相当于矩阵的初等变换。但当时并没有现在理解的矩阵概念，虽然它与现在的矩阵形式上相同，但在当时只是作为线性方程组的标准表示与处理方式。
矩阵的现代概念在19世纪逐渐形成。1801年德国数学家高斯（F.Gauss，1777~1855）把一个线性变换的全部系数作为一个整体。1844年，德国数学家爱森斯坦（F.Eissenstein，1823~1852）讨论了“变换”（矩阵）及其乘积。1850年，英国数学家西尔维斯特（James Joseph Sylvester，18414-1897）首先使用矩阵一词。1858年，英国数学家凯莱（A.Gayley，1821~1895）发表《关于矩阵理论的研究报告》。他首先将矩阵作为一个独立的数学对象加以研究，并在这个主题上首先发表了一系列文章，因而被认为是矩阵论的创立者，他给出了现在通用的一系列定义，如两矩阵相等、零矩阵、单位矩阵、两矩阵的和、一个数与一个矩阵的数量积、两个矩阵的积、矩阵的逆、转置矩阵等。并且凯莱还注意到矩阵的乘法是可结合的，但一般不可交换，且m*n矩阵只能用n*k矩阵去右乘。1854年，法国数学家埃米尔特（C.Hermite，1822~1901）使用了“正交矩阵”这一术语，但他的正式定义直到1878年才由德国数学家费罗贝尼乌斯（F.G.Frohenius，1849~1917）发表。1879年，费罗贝尼乌斯引入矩阵秩的概念。
至此，矩阵的体系基本上建立起来了。
矩阵图法
相关简介矩阵是高等代数学中的常见工具，也常见于统计分析等应用数学学科中。在物理学中，矩阵于电路学、力学、光学和量子物理中都有应用；计算机科学中，三维动画制作也需要用到矩阵。 矩阵的运算是数值分析领域的重要问题。将矩阵分解为简单矩阵的组合可以在理论和实际应用上简化矩阵的运算。对一些应用广泛而形式特殊的矩阵，例如稀疏矩阵和准对角矩阵，有特定的快速运算算法。关于矩阵相关理论的发展和应用，请参考矩阵理论。在天体物理、量子力学等领域，也会出现无穷维的矩阵，是矩阵的一种推广。
矩阵的概念最早于1922年见于中文。1922年，程廷熙在一篇介绍文章中将矩阵译为“纵横阵”。1925年，科学名词审查会算学名词审查组在《科学》第十卷第四期刊登的审定名词表中，矩阵被翻译为“矩阵式”，方块矩阵翻译为“方阵式”，而各类矩阵如“正交矩阵”、“伴随矩阵”中的“矩阵”则被翻译为“方阵”。1935年，中国数学会审查后，中华民国教育部审定的《数学名词》（并“通令全国各院校一律遵用，以昭划一”）中，“矩阵”作为译名首次出现。1938年，曹惠群在接受科学名词审查会委托就数学名词加以校订的《算学名词汇编》中，认为应当的译名是“长方阵”。中华人民共和国成立后编订的《数学名词》中，则将译名定为“（矩）阵”。1993年，中国自然科学名词审定委员会公布的《数学名词》中，“矩阵”被定为正式译名，并沿用至今。 
矩阵图法就  矩阵是从多维问题的事件中，找出成对的因素，排列成矩阵图，然后根据矩阵图来分析问题，确定关键点的方法，它是一种通过多因素综合思考，探索问题的好方法。
在复杂的质量问题中，往往存在许多成对的质量因素．将这些成对因素找出来，分别排列成行和列，其交点就是其相互关联的程度，在此基础上再找出存在的问题及问题的形态，从而找到解决问题的思路。
矩阵图的形式如图所示，A为某一个因素群，a1、a2、a3、a4、…是属于A这个因素群的具体因素，将它们排列成行；B为另一个因素群，b1、b2、b3、b4、…为属于B这个因素群的具体因素，将它们排列成列；行和列的交点表示A和B各因素之间的关系。按照交点上行和列因素是否相关联及其关联程度的大小，可以探索问题的所在和问题的形态，也可以从中得到解决问题的启示等。
质量管理中所使用的矩阵图，其成对因素往往是要着重分析的质量问题的两个侧面，如生产过程中出现了不合格品时，着重需要分析不合格的现象和不合格的原因之间的关系，为此，需要把所有缺陷形式和造成这些缺陷的原因都罗列出来，逐一分析具体现象与具体原因之间的关系，这些具体现象和具体原因分别构成矩阵图中的行元素和列元素。
矩阵图的最大优点在于，寻找对应元素的交点很方便，而且不遗漏，显示对应元素的关系也很清楚。矩阵图法还具有以下几个点：
①可用于分析成对的影响因素
②因素之间的关系清晰明了，便于确定重点
③便于与系统图结合使用。具体用途矩阵图法的用途十分广泛．在质量管理中，常用矩阵图法解决以  矩阵下问题：
①把系列产品的硬件功能和软件功能相对应，并要从中找出研制新产品或改进老产品的切入点
②明确应保证的产品质量特性及其与管理机构或保证部门的关系，使质量保证体制更可靠
③明确产品的质量特性与试验测定项目、试验测定仪器之间的关系，力求强化质量评价体制或使之提高效率
④当生产工序中存在多种不良现象，且它们具有若干个共同的原因时，希望搞清这些不良现象及其产生原因的相互关系，进而把这些不良现象一举消除
⑤在进行多变量分析、研究从何处入手以及以什么方式收集数据。图法类型矩阵图法在应用上的一个重要特征，就是把应该分析的对象表示在适当的矩阵图上。因此，可以把若干种矩阵图进行分类，表示出他们的形状，按对象选择并灵活运用适当的矩阵图形。常见的矩阵图有以下几种：
(1)L型矩阵图。是把一对现象用以矩阵的行和列排列的二元表的形式来表达的一种矩阵图，它适用于若干目的与手段的对应关系，或若干结果和原因之间的关系。
(2)T型矩阵图。是A、B两因素的L型矩阵和A、c两因素的L型矩阵图的组合矩阵图，这种矩阵图可以用于分析质量问题中“不良现象一原因一工序”之间的关系，也可以用于分析探索材料新用途的“材料成分一特性一用途”之间酌关系等。
(3)Y型矩阵图。是把A因素与B因素、B因素与C因素、C因素与A因素三个L型矩阵图组合在一起而形成的矩阵图。
(4)X型矩阵图。是把A因素与B因素、B因素与C因素、C因素与D因素、D因素与A因素四个L型矩阵图组合而形成的矩阵图，这种矩阵图表示A和B、D，D和 A、C，C和B、D，D和A、C这四对因素间的相互关系，如“管理机能一管理项目一输入信息一输出信息”就属于这种类型。 
(5)C型矩阵图。是以A、B、C三因素为边做出的六面体，其特征是以A、B、c三因素所确定的三维空间上的点为“着眼点”。制作步骤制作矩阵图一般要遵循以下几个步骤：
①列出质量因素：
②把成对对因素排列成行和列，表示其对应关系
③选择合适的矩阵图类型
④在成对因素交点处表示其关系程度，一般凭经验进行定性判断，可分为三种：关系密切、关系较密切、关系一般（或可能有关系)，并用不同符号表示
⑤根据关系程度确定必须控制的重点因素
⑥针对重点因素作对策表。
矩阵运算
给出 m×  矩阵n 矩阵 A 和 B，可定义它们的和 A + B 为一 m×n 矩阵，等 i,j 项为 (A + B)[i, j] = A[i, j] + B[i, j]。举例：
另类加法可见于矩阵加法。
若给出一矩阵 A 及一数字 c，可定义标量积 cA，其中 (cA)[i, j] = cA[i, j]。 例如
这两种运算令 M(m, n, R) 成为一实数线性空间，维数是mn.
若一矩阵的列数与另一矩阵的行数相等，则可定义这两个矩阵的乘积。如 A 是 m×n 矩阵和 B 是 n×p矩阵，它们是乘积 AB 是一个 m×p 矩阵，其中
(AB)[i, j] = A[i, 1] * B[1, j] + A[i, 2] * B[2, j] + ... + A[i, n] * B[n, j] 对所有 i 及 j。 
例如
此乘法有如下性质：
(AB)C = A(BC) 对所有 k×m 矩阵 A, m×n 矩阵 B 及 n×p 矩阵 C ("结合律"). 
(A + B)C = AC + BC 对所有 m×n 矩阵 A 及 B 和 n×k 矩阵 C ("分配律")。 
C(A + B) = CA + CB 对所有 m×n 矩阵 A 及 B 和 k×m 矩阵 C ("分配律")。 
要注意的是：可置换性不一定成立，即有矩阵 A 及 B 使得 AB ≠ BA。
对其他特殊乘法，见矩阵乘法。
其他性质
线性变换，转置。
矩阵是线性变换的便利表达法，皆因矩阵乘法与及线  矩阵性变换的合成有以下的连系：
以 Rn 表示 n×1 矩阵（即长度为n的矢量）。对每个线性变换 f : Rn -> Rm 都存在唯一 m×n 矩阵 A 使得 f(x) = Ax 对所有 x &in; Rn。 这矩阵 A "代表了" 线性变换 f。 今另有 k×m 矩阵 B 代表线性变换 g : Rm -> Rk，则矩阵积 BA 代表了线性变换 g o f。
矩阵 A 代表的线性代数的映像的维数称为 A 的矩阵秩。矩阵秩亦是 A 的行（或列）生成空间的维数。
m×n矩阵 A 的转置是由行列交换角式生成的 n×m 矩阵 Atr （亦纪作 AT 或 tA），即 Atr[i, j] = A[j, i] 对所有 i and j。若 A 代表某一线性变换则 Atr 表示其对偶算子。转置有以下特性：
(A + B)tr = Atr + Btr，(AB)tr = BtrAtr。 
注记
矩阵可看成二阶张量， 因此张量可以认为是矩阵和向量的一种自然推广。
环上的矩阵
若用一个环R去代替数域F,则可定义R上的矩阵及其运算，而且上述有关数域F上的内容，绝大部分都可以推广到R上，尤其当R是一个有单位元素1的交换环，甚至是一个域时，则上述的全部内容可以推广到R上。R是一个域或复数域F上的多项式环F【λ】的情形最为有用。 
若A=(αij)是复数域F上的一个n阶矩阵，I是n阶单位矩阵，则A、I以及λI-A都可视为多项式环F【λ】上的n阶矩阵 称为A的特征矩阵。其行列式|λI-A|是F【λ】中的一个首项系数为1的 n次多项(－1)nb0，其中bn-1恰为A的迹数，b0恰为|A|，?(λ)=|λI-A|称为A的特征多项式,其根称为A的特征值或特征根。λ0为A的一个特征值，必要而且只要有F上非零的n元列向量ξ即n行1列的矩阵，使λ0ξ=Aξ。此ξ称为A的属于λ0的一个特征向量。A的属于不同特征值的特征向量，恒在F上线性无关。 
对于F【λ】中任意一个m次多项式，可以用F上任意一个n阶矩阵A去代替λ而引出一个n阶矩，其中I为n阶单位矩阵。所谓凯莱－哈密顿定理，即如果?(λ)是F上n阶矩阵A的特征多项式时，那么恒有?(A)=On,其中On为n阶零矩阵。由此可知，对于F上任意n阶矩阵A,必存在唯一的首项系数为1的多项式φ(λ)使φ(A)=On。对于任意的多项式 g(λ)，g(A)=On必要而且只要φ(λ)|g(λ)(即φ(λ)能整除g(λ)）。此φ(λ)就称为A的最小多项式。
等价矩阵
对矩阵A的行与列或仅对行或仅对列施以若干次初等变换而得到矩阵B，称为A等价于B,记为A≌B。矩阵之间的这个关系具有反身性、对称性和传递性，所以它是一种等价关系。矩阵的等价是在讨论一个向量空间到另一个向量空间的线性变换的各种矩阵表示问题中产生的。所谓矩阵的初等变换，是指以下的任何一种变换：①用F中任意的一个不为零的元素α去乘矩阵的第i行(列)；②把矩阵的第i行（列）的b倍加于第j行(列)，其中b为F中任意元素；③互换矩阵的第i与第j行(列)，并分别称为第一、第二、第三种初等变换。 
对F上的单位矩阵I进行一次初等变换后所得出的矩阵，称为初等矩阵。一种初等变换对应于一种初等矩阵。对矩阵A的行施以某种初等变换的结果，恰等于用相应的初等矩阵去左乘A;对A的列施以某种初等变换的结果，恰等于用相应的初等矩阵去右乘A。初等矩阵恒为可逆的，且其逆矩阵仍是同一种初等矩阵，因此初等矩阵的积恒为非奇异矩阵。由此可知，等价矩阵的秩数相同，或者说初等变换不改变矩阵的秩数。于是，经若干次初等变换后，必可将每个秩数为r的矩阵的左上角化为r阶单位矩阵，而其他位置都化为0。n阶非奇异矩阵恒等价于n阶单位矩阵，恒可表为若干个初等矩阵之积。因此,A≌B必要而且只要有非奇异矩阵P、Q使PAQ=B。 
多项式环F【λ】上的矩，简称为λ矩阵。在F【λ】上也可定义行列式。A(λ)的秩数定义为A(λ)的最大非零子式的阶数。对λ矩阵也可进行初等变换，在第一种初等变换中只能使用F中非零的α，而不能用F【λ】中非零的?(λ);第二种初等变换中则可用F【λ】中任意的g(λ)去代替b。也可以定义可逆性，对于λ矩阵P(λ)若有λ矩阵K(λ)使P(λ)K(λ)=K(λ)P(λ)=I，则称λ矩阵P(λ)是可逆的，λ矩阵K(λ)则称为P(λ)的逆矩阵。也可以定义λ矩阵的等价。秩数为r的λ矩阵A(λ)必等价于所谓A(λ)的法式即λ矩阵： ，
这里的诸φi(λ)均由A(λ)惟一确定，且φ1(λ)|φ2(λ)|…|φr(λ)，首项系数均为1。 
由此可知，一个n阶λ矩阵P(λ)是可逆的，必要而且只要P(λ)为若干个与λ矩阵的初等变换相应的初等矩阵的积；必要而且只要其行列式为F中的非零元素。两个λ矩阵A(λ)m×n,B(λ)m×n是等价的，必要而且只要有可逆λ矩阵P(λ)、Q(λ)使P(λ)A(λ)Q(λ)=B(λ)。A(λ)的法式中的诸多项式φi(λ)，都称为A(λ)的不变因子，且可作如下分解： 式中诸ej(λ)是F【λ】中首项系数为1的互不相同的既约多项式；nij为非负整数，且最后一行中的n1r,n2r,…，nkr均非零，并。这些因，除去指数nij=0者，都称为A(λ)的初等因子 必要而且只要它们的法式相同；必要而且只要它们的全部不变因子一致；必要而且只要它们的秩数与全部初等因子一致。
相似矩阵
对于域F上两个n阶矩阵A、B，若有非奇异矩阵P,使P-1AP=B,则称为A相似于B，记为A～B。矩阵之间的这个关系，具有反身性、对称性和传递性，所以它是一种等价关系。矩阵的相似是在讨论一个向量空间到自身之间的线性变换的各种矩阵表示问题中产生的。域F上两个n阶矩阵A与B相似，必要而且只要特征矩阵(λI-A)与(λI-B)在F【λ】上等价。λI-A的不变因子与初等因子，分别称为A的不变因子与初等因子。特征矩阵λI-A的秩数，即A的阶数n。因此,在F上的两个n阶矩阵A与B相似，必要而且只要它们的初等因子一致。当F是一个代数封闭域时，F【λ】中的首项系数为1的既约多项式只能是形如(λ-α)的一次式，所以此时F上的一个n阶矩阵A的全部初等因子必为如下的一些多项式： 式中α1,α2,…，αk互不相同，k≥1；所有指数Л1,Л2,…，Лr,…；n1,n2,…，nt之和为n。对于每个形的多项式，可以惟一确定一个所谓若尔当小块，即h阶矩阵： ，
它只有一个初等因子，而且就。设上述n阶矩阵A的全部初等因子的若尔当小块分别是J1,J2,…，Jυ，v=r+s+…+t,用这v个小块来合成一个n阶对角分块矩阵 。 于是A～J，而且除诸小块的次序外，J是由A所惟一确定的。J称为A的若尔当标准形式。由此可知，只要找出A的全部初等因子即可求得A的若尔当标准形式。要找出A的全部初等因子有一个较简捷的方法，即不必把λI-A化成法式，而先把λI-A通过初等变换化成对角矩阵，其对角线上的全部多项式不一定恰是A的全部不变因子，只要将其中每个非常数多项式的首项系数化为 1，再分解因子，即可象从不变因子求出初等因子那样得出A的全部初等因子。 
设N是任意域F上的一个方阵，若有正整数m使Nm=0，则N称为一个幂零矩阵。例如，把上述若尔当小块中的α全换成0得出的h阶矩阵N，就是一个幂零矩阵，因为Nh=0。 
若F上的方阵K具有性质K2=K,则称K为一个幂等矩阵。例如单位矩阵就是一个幂等矩阵。由直接计算可知，对F上任意多项式?(λ)，有。因此，与幂零矩阵相似的矩阵仍为幂零矩阵；与幂等矩阵相似的矩阵仍为幂等矩阵。 
实数域上一个非奇异矩阵T若具有性质T┡=T-1(T┡是T 的转置矩阵),则称为一个正交矩阵。例如解析几何里直角坐标旋转公式的系数矩阵就是正交矩阵。一个正交矩阵的转置矩阵（即其逆矩阵）仍为正交矩阵；两个同阶的正交矩阵的积仍为正交矩阵。实数域上任意一个对称矩阵A，恒可通过适当的正交矩阵T而相似于对角矩阵D，即D=T-1AT=T┡AT，且D 的对角线上的实数就是A的全部特征根。 
复数域上的一个非奇异矩阵U若具有性质ū┡=U-1或U┡=(ū)-1(ū ┡为U 的共轭转置矩阵)，就称为一个酉矩阵。一个酉矩阵的共轭矩阵仍为酉矩阵；一个酉矩阵的转置矩阵仍为酉矩阵;一个酉矩阵的共轭转置矩阵(即其逆矩阵）仍为酉矩阵；两个同阶的酉矩阵的积仍为酉矩阵。复数域上凡满足的矩阵A，称为埃尔米特矩阵。实对称矩阵作为复数域上的矩阵时，就是埃尔米特矩阵。任意一个埃尔米特矩阵A,恒可通过适当的酉矩阵U 而相似于实对角矩阵D，即D =U┡Aū，且D 的对角线元素恰为A 的全部特征根。一个正交矩阵作为复数域上的矩阵时，也是一个酉矩阵。
合同矩阵
当矩阵A经过若干套初等变换而化为矩阵B时，则称为A合同于B,记。矩阵之间的这个关系具有反身性、对称性和传递性，所以它是一种等价关系。矩阵的合同是在讨论用(对称)矩阵表示二次型的问题中产生的。 
所谓一套初等变换，是指将某一种初等变换首先对一个矩阵的第i列（行）施行而得一矩阵，然后再对此所得矩阵的第i行(列)施行又得一矩阵。第一、二、三套初等交换，分别由第一、二、三种初等变换组成。 
两个n阶矩阵A与B合同，必要而且只要有非奇异矩阵P使P┡AP=B。与对称矩阵合同之矩阵仍为对称矩阵。每个秩数为r的实对称矩阵A恒合同于一个对角矩阵，其对角线上有p个1与q个-1；其他的对角线元素均为0，这里p≥0,q≥0，p+q=r，而且p与q都是由A所惟一确定的。实对称矩阵的特征根恒为实数。实对称矩阵A能合同于而又相似于一个对角矩阵，其对角线元素恰为A的全部特征根。与单位矩阵合同的实对称矩阵，称为正定矩阵。对于n阶实对称矩阵A,以下命题是等价的：A为正定矩阵；有非奇异矩阵Q；A的所有主子式均为正实数；A的所有i阶主子式之和Si均为正实数(i=1,2,…，n)；A的所有左上角的主子式均为正实数;A的所有特征根均为正实数；A所相应的二次型为正定型。 
对一个复数方阵施以第一套初等变换，就是用不为零的α乘i行，再用ā乘第i列；施以第二套初等变换，就是把第i行的b倍加于第j行，再用第i列的姼倍加于第j列；施以第三套初等变换仍然是互换第i和第j两行，再互换第 i和第j两列。若对复数方阵A施以上述的若干套初等变换而得方阵B,则称为A能h合同于B。矩阵的h合同关系具有反身性、对称性和传递性，所以它是一种等价关系。两个n阶复数矩阵A与B是h合同的，必要而且只要有非奇异矩阵P使P′A圴 =B。与埃尔米特矩阵是h合同的矩阵仍为埃尔米特矩阵。每个埃尔米特矩阵A恒h合同于一个对角矩阵，其对角线上有p个1与q个－1，其他元素均为0,这里p≥0,q≥0，p+q为A的秩数，而且p、q均是由A所惟一确定的。埃尔米特矩阵的特征根恒为实数。埃尔米特矩阵A不仅恒能h合同于一个对角矩阵，而且必能相似于一个对角矩阵，此时其对角线元素恰为A的全部特征根。与单位矩阵是h合同的埃尔米特矩阵，称为正定埃尔米特矩阵。对于一个n阶埃尔米特矩阵A，以下命题是等价的：A为正定埃尔米特矩阵；有非奇异矩阵Q;A的所有主子式为正实数;A的所有i阶主子式之和Si,均为正实数(i=1,2,…，n)；A的所有左上角的主子式均为正实数;A的所有特征根均为正实数;A所相应的埃尔米特二次型是正定埃尔米特二次型。复数域上的一个方阵A若满足A凴′=凴′A(即A与凴′可交换)就称A为正规矩阵。实对称矩阵、埃尔米特矩阵、正交矩阵与酉矩阵都是正规矩阵。每个复数方阵A均可表为A=h1+ih2，其中h1与h2均为由A所惟一确定的埃尔米特矩阵，此时A为正规矩阵必要而且只要h1与h2可交换。正规矩阵A与凴′有相同的特征向量。一个复数方阵A为正规矩阵，必要而且只要有酉矩阵U使U-1AU 为对角矩阵。 
矩阵的理论起源，可追溯到18世纪，见于著作则是在19世纪。A.凯莱在1858年引进矩阵为一个正方形的排列表，且能进行加法与乘法运算，于是人们就把A.凯莱作为矩阵论的创始人。然而在此之前，C.F.高斯在1801年与F.G.M.艾森斯坦在1844～1852年就早已先后把一个线性替换(即线性变换)的全部系数作为一个整体，并用一个字母来表示。艾森斯坦还强调乘法的次序的重要性，指出ST与TS未必相同。与艾森斯坦同时的C.埃尔米特以及稍后的E.N.拉盖尔和F.G.弗罗贝尼乌斯也都先后发展了线性替换的符号代数。弗罗贝尼乌斯较丰富的工作于1877年发表在最早的数学杂志之一的《克雷尔杂志》上。矩阵的相似标准形，矩阵的合同标准形，矩阵的求逆,矩阵的特征值与广义特征值等是矩阵论的经典内容；矩阵方程论，矩阵分解论，广义逆矩阵等是矩阵论的现代内容。矩阵及其理论在现代科学技术的各个领域都有广泛的应用。
创建公式
Microsoft Word可以创建矩阵公式，以Word2010软件为例介绍操作方法：
第1步，打开Word2010文档窗口，切换到“插入”功能区。在“符号”分组中单击“公式”按钮（非“公式”下拉三角按钮）。
第2步，在Word2010文档中创建一个空白公式框架，在“公式工具/设计”功能区中，单击“结构”分组中的“矩阵”按钮。在打开的矩阵结构列表中包括“空矩阵”、“点”、“单位矩阵”、“括号矩阵”和“稀疏矩阵”等类型，选择合适的矩阵结构形式。
第3步，在空白公式框架中将添加矩阵结构，单击矩阵占位符框输入具体数值即可。[3]
矩阵是线性变换的便利表达法，皆因矩阵乘法与及线性变换的合成有以下的连系：
以R表示n×1矩阵（即长度为n的矢量）。对每个线性变换f : R -> R都存在唯一m×n矩阵A使得对所有R中的元素x，f(x)= Ax。 这矩阵A "代表了"线性变换f。 今另有k×m矩阵B代表线性变换g : R -> R，则矩阵积BA代表了线性变换g o f。
矩阵A代表的线性代数的映像的维数称为A的矩阵的秩。矩阵秩亦是A的行（或列）生成空间的维数。
m×n矩阵A的转置是由行列交换角式生成的n×m矩阵A（亦记作A或A），即对所有i、j，A[i, j] = A[j, i] 。若A代表某一线性变换，则A表示其对偶算子。
转置有以下特性：
矩阵和的转置等于转置的和；
矩阵乘积的转置等于矩阵转置的乘积（前后相乘顺序相反）
物理学上的对称性及线性变换
线性变换及其所对应的对称，在现代物理学中有着重要的角色。例如，在量子场论中，基本粒子是由狭义相对论的洛伦兹群所表示，具体来说，即它们在旋量群下的表现。内含泡利矩阵及更通用的狄拉克矩阵的具体表示，在费米子的物理描述中，是一项不可或缺的构成部分，而费米子的表现可以用旋量来表述。描述最轻的三种夸克时，需要用到一种内含特殊酉群SU(3)的群论表示；物理学家在计算时会用一种更简便的矩阵表示，叫盖尔曼矩阵，这种矩阵也被用作SU(3)规范群，而强核力的现代描述──量子色动力学的基础正是SU(3)。还有卡比博-小林-益川矩阵（CKM矩阵）：在弱相互作用中重要的基本夸克态，与指定粒子间不同质量的夸克态不一样，但两者却是成线性关系，而CKM矩阵所表达的就是这一点。
量子态的线性组合
1925年海森堡提出第一个量子力学模型时，使用了无限维矩阵来表示理论中作用在量子态上的算子。这种做法在矩阵力学中也能见到。例如密度矩阵就是用来刻画量子系统中“纯”量子态的线性组合表示的“混合”量子态。
另一种矩阵是用来描述构成实验粒子物理基石的散射实验的重要工具。当粒子在加速器中发生碰撞，原本没有相互作用的粒子在高速运动中进入其它粒子的作用区，动量改变，形成一系列新的粒子。这种碰撞可以解释为结果粒子状态和入射粒子状态线性组合的标量积。其中的线性组合可以表达为一个矩阵，称为S矩阵，其中记录了所有可能的粒子间相互作用。
简正模式
矩阵在物理学中的另一类泛应用是描述线性耦合调和系统。这类系统的运动方程可以用矩阵的形式来表示，即用一个质量矩阵乘以一个广义速度来给出运动项，用力矩阵乘以位移向量来刻画相互作用。求系统的解的最优方法是将矩阵的特征向量求出（通过对角化等方式），称为系统的简正模式。这种求解方式在研究分子内部动力学模式时十分重要：系统内部由化学键结合的原子的振动可以表示成简正振动模式的叠加。描述力学振动或电路振荡时，也需要使用简正模式求解。
几何光学
在几何光学里，可以找到很多需要用到矩阵的地方。几何光学是一种忽略了光波波动性的近似理论，这理论的模型将光线视为几何射线。采用近轴近似（英语：paraxial approximation），假若光线与光轴之间的夹角很小，则透镜或反射元件对于光线的作用，可以表达为2×2矩阵与向量的乘积。这向量的两个分量是光线的几何性质（光线的斜率、光线跟光轴之间在主平面（英语：principal plane）的垂直距离）。这矩阵称为光线传输矩阵（英语：ray transfer matrix），内中元素编码了光学元件的性质。对于折射，这矩阵又细分为两种：“折射矩阵”与“平移矩阵”。折射矩阵描述光线遇到透镜的折射行为。平移矩阵描述光线从一个主平面传播到另一个主平面的平移行为。
由一系列透镜或反射元件组成的光学系统，可以很简单地以对应的矩阵组合来描述其光线传播路径。
电子学
在电子学里，传统的网目分析（英语：mesh analysis）或节点分析会获得一个线性方程组，这可以以矩阵来表示与计算。

简介
矩阵切换器 英文：Videomatrix switcher 
矩阵全称为矩阵切换器，是用来切换各种信号的输入输出。
矩阵的概念引用高数中的线性代数的概念，一般指在多路输入的情况下有多路的输出选择，形成下图的矩阵结构，既每一路输出都可与不同的输入信号“短接”，每路输出只能接通某一路输入，但某一路输入都可(同时)接通不同的输出。
输出1=输入1，输出2=输入2，而输出3=输出4=输入3，或者说，每一路输出可“独立”地在输入中进行选择，而不必关心其它通道的输出情况，即可以与其它输出不同，也可以相同。举例说，8选4是指有4个独立的输出，每个输出可在8个输入中任选，或者说有4个独立的8选1，只是8个输入是相同的。经常与此混淆的是分配的概念，比如8选1分4，是指在8个输入中选择出1个输出，并将其分配成4个相同的输出，虽然外观上看有4个输出，但这4个输出是相同的，而不是独立的。一般习惯中，将形成M×N的结构称为矩阵，而将M×1的结构称为切换器或选择器，其实不过N=1而已，我们在讨论时都当作矩阵对待。
矩阵切换器的功能是在多路信号输入的情况下，可独立地根据需要选择多路(包括1路)信号进行输出，完成信号的选择。
综上所述，矩阵是用来切换各种信号的输入输出的一个专业产品。
矩阵切换器的分类
1.如果是音频信号格式（A），就选择音频矩阵切换器。 
2.如果是视频信号格式（V），就选择视频矩阵切换器。 
3.如果是音视频混合信号格式（AV），就选择音视频矩阵切换器。 
4.如果是计算机显示信号格式（VGA），就选择VGA矩阵切换器或RGB矩阵切换器。
5.如果是高清设备信号，就选择DVI或HDMI矩阵切换器。
6.如果是网络数字频信号，就要选择网络视频矩阵切换器。
7.如果是计算机显示信号格式（VGA）和视频信号格式（V），就选择混合矩阵切换器。
8、如果是分量视频信号格式（PbPr），就选择分量视频矩阵切换器。
矩阵切换器的应用
矩阵是监控系统中的模拟设备，主要负责对前端视频源与控制线的切换控制，举个例子，各类矩阵(15张)如果你有70个摄像机，可是只有7台监视器，那么矩阵可以让你的监视器循环显示出70个摄像机画面轮巡功能。
VGA、AV、RGB、DVI、HDMI矩阵切换器， 可用于多路AV、VGA等信号输入输出交叉切换，RGB矩阵提供独立的RGBHV分量输入、输出端子，每路分量信号单独传输，单独切换，使信号传输衰减降至最低，图像信号能高保真输出。RGB系列矩阵切换器，采用性能极高的处理芯，
号频宽达350MHz，带有断电现场保护、LCD液晶显示，内嵌智能控制及管理软件，提供RS232通讯接口，可以与PC、遥控系统或各种远端控制设备配合使用。RGB系列矩阵提供连网接口，可以让多台RGB矩阵串联使用，以扩充多路端口。矩阵切换器主要应用于广播电视工程、多媒体会议厅、大屏幕显示工程、电视教学、指挥控制中心等场合。
简短地说，矩阵主机主要是配合电视墙使用，完成画面切换的功能。但是常见的矩阵一般输入（接摄像机）是16的倍数，输出（接监视器）是4的倍数；美国AD矩阵是视频切换矩阵的鼻祖，业界第一台视频切换矩阵就出自AD，到目前为止，市场上的模拟视频切换矩阵基本上还是参照AD矩阵的电路设计和架构。
矩阵接口的选择
不同矩阵切换器的接口形式也不同，以视频信号为例，常见的接口形式有：D-15型接口、BNC接口、RCA(莲花头)接口、DVI接口、S-VIDEO接口、RJ45接口等等。在工程应用中，要根据切换信号的格式和实际的传输需要选择具体的设备接口形式。例如：计算机视频信号选择D-15型接口；工业和军工视频信号要选择BNC接口；家用娱乐和民品视频设备用莲花接口；计算机数字视频用DVI接口；网络数字视频用RJ45接口，HDMI用数字高清专用接口，等等。接口选择要准确，尽量不用转接头来转换接口形式，造成不必要的信号损失，影响工程质量。
矩阵规模的选择
在设计方案时，信号源的数量比较容易确定，看看有多少个信号源，矩阵的输入数量规模就定下来了。例如：
音频信号一般情况下输入数量较多，如话筒和CD以及碟机的音频等，音频矩阵输入的规模要略大于工程中实际音频的输入路数。
但考虑到功放和音响一般只有一套，最多在功放之前加一级调音台进行混音，有可能需要几路信号，因此音频矩阵的输出规模不会很大。
在广电和视讯会议传输系统，每路视频一定会有音频同步传送。因此，音视频信号输入、输出规模是一致的。
在音视频工程中有时可能有几台显示设备之间仅有分配关系，有些工程商采用小规模矩阵加分配器的方法。这种方法是因为工程商不了解矩阵的性能所致（或是出于经济利益的考虑），因为矩阵产品有信号分配功能，所以不必另加分配器。选择规模大一些的矩阵，能简化系统复杂程度，提高图像质量，系统扩展灵活，是对最终客户负责的工程商所为。
总之，矩阵规模的选择要大于实际的输入输出信号的数量，以备客户将来扩展维护使用。
电路原理
切换原理上就是选择，选择的方式有很多种，最简单的就是 将信号线直接接在一起，比如接线板，利用人工将输出信号线跳接在输入信号线上，也可完成选择，或利用琴键开关完成接通与断开，当然这是人工操作的，机械的，不存在指标等技术问题，故不作为矩阵切换讨论。第二种方式，利用继电器也可完成选择，利用电平控制继电器的通断，可完成输出线与输入信号之间的断开与联接，也可完成信号的选择，第三种方式是根据电路原理，利用芯片内部电路的导通与关闭进行接通与关断，并可通过电平进行控制完成信号的选择。
继电器方式与芯片方式各有优缺点。
继电器方式：如果不考虑输入匹配与输出驱动的电路部分的话，它与联线方式一致，是靠物理接触进行接通与断开，从这个角度上讲，是没有什么指标概念的(最多有接触电阻和反应时间)，因此技术指标好且价格低廉，其缺点在于稳定性较差，毕竟是靠物理接触，继电器有一定寿命，原则上讲，有8万次平均无故障操作且操作时有声响，由于线路板走线原因，不能做的规模较大，显得不够高档。
芯片方式：由于靠电路进行接通与关断，芯片本身存在技术指标(在输入匹配与输出驱动一样的情况下)，因此要保障技术指标，就要选择专用的切换芯片，因此价格较高，但稳定性好，可形成的矩阵规模较大。
矩阵切换应保证的技术指标
矩阵切换器根据不同的应用领域，所要求的技术指标也不同。以广电行业为例，为保证终端的显示质量，广电行业将整个信号传输过程，从摄像头开始到电视机为止，都进行了技术指标分配，对模拟矩阵切换和分配，所定的技术指标如表：GB/T14236-93 与本公司KT-128*32实例指标：
指标
国标中日常用到最主要的指标如下：
1) 随机信噪比：信号通过任何设备，都会因为 引入“噪声”而使质量变差，信噪比就是指信号与所产生的噪声的比，该值越大，表示引入噪声越小，在视频信号时，(6MHZ以内)信噪比要求至少达到65dB。 
2) 幅频特性：信号通过设备时，各种频率的信号会有不同的衰减，一般是频率越高，衰减越大，对视频信号而言，一般不用带宽的概念(衰减3dB时的频率)，而是采用在6MHZ的频谱内(视频信号的频谱都在6MHZ以内)最大的衰减量，标准要求不超过0.2dB，如果考虑到音频的调制，在8MHZ内不超过0.5dB。
3) 路间串扰：多路信号在同一设备中，由于空间的辐射与电源的波动，彼此之间会形成干扰，称为串扰。串扰不能大于-55dB。
要求
根据不同的应用，对指标的要求也不一样。
1) 监控行业：监控行业中，由于信号只经过摄像，传输(一般是基带 传输)，控制与显示，且显示时对图象的质量要求相对较低，只要能看清，并不作转播等工作，因此监控行业对矩阵的要求是功能多(能带云台控制、报警等)、指标低，此行业对矩阵的指标无明确的强制要求。
2) 广电和视频会议，广电不必多言，肯定是服从国标，按广播级标准要求，值得一提的是视频会议领域，视频信号要经传输，记录和转播，且受众对图象质量也有较高要求，故应选择广播级指标，而不能简单地采用监控类产品。
3) VGA信号应用，由于VGA信号带宽较宽，而且是有五路信号(R、G、B、H、V)同时传输，因此要求各通道的指标尽可能高(在6MHZ之内应满足广电的要求)，且必须保持一致，应该按照广播级对分量设备的技术要求。但由于VGA信号切换不象广电中应用得广，牵扯到广大的用户，故现在也没有强制的指标标准。

个人简介
矩阵（JUZHEN) 
真名： 汪涛  
男 .生于1983年.毕业于西安美术学院
漫画家，插画家.CG绘画艺术家
ACAA中国数字艺术专家委员会专家
代表作品
《KONUNGAR》2011年签约法国格雷纳出版社创作.欧洲多国发行。《KONUNGAR》(11张)
《LILLUM》2008年出版于美国image出版社.全5册欧美发行。《LILLIM》(13张)
《速度与激情》个人画册，2010年出版与江西美术出版社《速度与激情》(6张)
近年履历
2005年《科幻世界画刊》刊登彩色短篇漫画《WHY》 《封印》 《伴》 《责任》 《320KM/H》 《埋》 《疯狂的爱》矩阵彩色作品(18张)
2006年创作《THE BEGINNING》《Borderline》《MEGABABE》《SUPERGIRL》等美国网络成人漫画
2007年创作加拿大漫画《Borderline》
2008年与美国image漫画出版社合作彩色漫画《LILLUM》
2009年《LILLUM》欧美发行（全5册）
2009年参与制作美国哥伦比亚电影公司《地铁惊魂》网络宣传动画。矩阵线稿(20张)
2009年签约法国太阳出版社创作法文漫画《末日之后》
2010年出版个人中文画册《速度与激情.CG美女赛车的缔造者MATRIX》。
2011年签约法国格雷纳出版社出版法文漫画《KONUNGAR》#1
2011年纪念辛亥革命100年创作短篇漫画《刺客》