标题：虫食算
NOIP2004赛题
NOIP2004提高组复赛最后一题：虫食算。
虫食算
(alpha.pas/dpr/c/cpp)
问题描述所谓虫食算，就是原先的算式中有一部分被虫子啃掉了，需要我们根据剩下的数字来判定被啃掉的字母。来看一个简单的例子：
43#98650#45
+  8468#6633
44445506978
其中#号代表被虫子啃掉的数字。根据算式，我们很容易判断：第一行的两个数字分别是5和3，第二行的数字是5。
现在，我们对问题做两个限制：
首先，我们只考虑加法的虫食算。这里的加法是N进制加法，算式中三个数都有N位，允许有前导的0。
其次，虫子把所有的数都啃光了，我们只知道哪些数字是相同的，我们将相同的数字用相同的字母表示，不同的数字用不同的字母表示。如果这个算式是N进制的，我们就取英文字母表午的前N个大写字母来表示这个算式中的0到N-1这N个不同的数字：但是这N个字母并不一定顺序地代表0到N-1)。输入数据保证N个字母分别至少出现一次。
BADC
+ CBDA
DCCC
上面的算式是一个4进制的算式。很显然，我们只要让ABCD分别代表0123，便可以让这个式子成立了。你的任务是，对于给定的N进制加法算式，求出N个不同的字母分别代表的数字，使得该加法算式成立。输入数据保证有且仅有一组解，
输入文件输入文件包含4行。第一行有一个正整数N(N<=26)，后面的3行每行有一个由大写字母组成的字符串，分别代表两个加数以及和。这3个字符串左右两端都没有空格，从高位到低位，并且恰好有N位。
输出文件输出文件alpha.out包含一行。在这一行中，应当包含唯一的那组解。解是这样表示的：输出N个数字，分别表示A，B，C……所代表的数字，相邻的两个数字用一个空格隔开，不能有多余的空格。
样例输入5
ABCED
BDACE
EBBAA
样例输出1 0 3 4 2
数据规模对于30％的数据，保证有N<＝10；
对于50％的数据，保证有N<＝15；
对于全部的数据，保证有N<＝26。
解题报告
经典的搜索题。最单纯的搜索的时间复杂度为O(n!)，是会非常严重的超时的。计算机是很“笨”的，它不会思考，在盲目搜索的过程中，很容易出现这种情况：
计算机在某一位搜索出了一个算式1 + 1 = 3，并且继续搜索。
明显，人眼很容易就看出这是不合法的，但计算机不会。于是，我们想到了第一个剪枝：每次搜索的时候，从最后向前判断是否有不合法的式子。
这一个剪枝非常简单，但是效果却非常的好。因为它剪去了很多不必要的搜索。为了配合这一种剪枝更好的实行，搜索顺序的改变也成为大大提高程序效率的关键：从右往左，按照字母出现顺序搜索，有很大程度上提高了先剪掉废枝的情况，使程序的效率得到大大的提高。
有了以上两个剪枝，程序就已经可以通过大部分测试点了。但是有没有更多的剪枝呢？答案是肯定的。
根据前面的剪枝，我们可以找到类似的几个剪枝：
对于a + b = c的形式，假如：
A***?***
+ B*?**?**
C***???*
其中*代表已知，?代表未知。那么，A + B与C的情况并不能直接确定。但是，假如(A + B) % N与(A + B + 1) % N都不等于C的话，那么这个等式一定是不合法的。因为它只有进位和不进位的两种情况。
同样，我们在一个数组里记录了Used表示一个数字有没有用过，那么，对于某一位A + B = C的等式，如果已经得到了两个数，另一个数还待搜索的时候，我们还可以根据这个加入一个剪枝：
例如A + ? = C的形式，
考虑不进位的情况，则?处为P1 = (C - A + N) % N
假如考虑进位的情况，则?处为P2 = (C - A - 1 + N) % N
假如P1、P2均被使用过，那么这个搜索一定是无效的，可以剪去。
有了以上的剪枝，就可以很轻松地通过所有的测试数据了。当然，还有很多值得思考的剪枝以及其他的思路，例如枚举进位、解方程（但是可能需要枚举）等，在这里就不详细讨论了。
代码清单
Ｃ++语言实现#include <fstream>
#include <string>
using namespace std;
ifstream fin;
ofstream fout("alpha.out");
bool finish, hash[256], used[27];
int n, stk[27];
string a, b, c;
string word;
void init() {
fin >> n >> a >> b >> c;
finish = false;
}
void outsol() {
int i, ans[27];
for (i = 0; i < n; i ++)
ans[word - 65] = stk;
fout << ans[0];
for (i = 1; i < n; i ++)
fout << " " << ans;
fout << endl;
finish = true;
}
void addup(char ch) {
if (!hash[ch]) {
hash[ch] = true;
word = word + ch;
}
}
string change(string str, char x, char y) {
for (int i = 0; i < n; i ++)
if (str == x)
str = y;
return str;
}
void pre_doing() {
word = "";
memset(hash, 0, sizeof(hash));
for (int i = n - 1; i >= 0; i --) {
addup(a); addup(b); addup(c);
}
memset(used, 0, sizeof(used));
}
bool bad() {
int p, g = 0;
for (int i = n - 1; i >= 0; i --) {
if (a >= n || b >= n || c >= n) return false;
p = a + b + g;
if (p % n != c) return true;
g = p / n;
p %= n;
}
return false;
}
bool modcheck() {
int i, p, p1, p2, g = 0;
//a + b = c, all know
for (i = n - 1; i >= 0; i --) {
if (a >= n || b >= n || c >= n) continue;
p = (a + b) % n;
if (!(p == c || (p + 1) % n == c)) return true;
}
//a + ? = c
for (i = n - 1; i >= 0; i --) {
if (!(a < n && c < n && b >= n)) continue;
p1 = (c - a + n) % n;
p2 = (p1 - 1) % n;
if (used[p1] && used[p2]) return true;
}
//? + b = c
for (i = n - 1; i >= 0; i --) {
if (!(a >= n && c < n && b < n)) continue;
p1 = (c - b + n) % n;
p2 = (p1 - 1) % n;
if (used[p1] && used[p2]) return true;
}
//a + b = ?
for (i = n - 1; i >= 0; i --) {
if (!(a < n && b < n && c >= n)) continue;
p1 = (a + b) % n;
p2 = (p1 + 1) % n;
if (used[p1] && used[p2]) return true;
}
return false;
}
void dfs(int l) {
int i;
string A, B, C;
if (finish) return;
if (bad()) return;
if (modcheck()) return;
if (l == n) {
outsol();
return;
}
for (i = n - 1; i >= 0; i --)
if (!used) {
used = true; A = a; B = b; C = c;
a = change(A, word[l], i);
b = change(B, word[l], i);
c = change(C, word[l], i);
stk[l] = i;
dfs(l + 1);
used = false; a = A; b = B; c = C;
}
}
int main() {
init();
pre_doing();
dfs(0);
return 0;
}
pascal实现var
a:Array[1..3,1..26]of char;
b:array['A'..'Z']of longint;
c:array[0..25]of boolean;
i,j,n:longint;
function check(x,m:longint):boolean;
var
yy:boolean;
i,j:longint;
begin
if ((b[a[1,x]]+b[a[2,x]]+m)mod n<>b[a[3,x]]) then exit(false);
for i:=1 to x-1 do
if (b[a[1,i]]<>-1)and(b[a[2,i]]<>-1)and(b[a[3,i]]<>-1)then
begin
yy:=true;
for j:=0 to 1 do
if (b[a[1,i]]+b[a[2,i]]+j)mod n=b[a[3,i]] then yy:=false;
if yy then exit(false);
end;
check:=true;
end;
procedure dfs(x,m:longint);
var i,j,d,p,mm:longint;
aa,bb,cc:boolean;
begin
if x=0 then begin
if m=0 then
begin
for i:=1 to n do write(b[chr(i+64)],' ');
close(input);close(output);
halt;
end;
exit;
end;
aa:=false;
bb:=false;
cc:=false;
if b[a[1,x]]<>-1 then aa:=true;
if b[a[2,x]]<>-1 then bb:=true;
if b[a[3,x]]<>-1 then cc:=true;
if (aa and bb and cc) then
begin
if check(x,m) then dfs(x-1,(m+b[a[1,x]]+b[a[2,x]])div n);
end
else if aa and bb then
begin
d:=(b[a[1,x]]+b[a[2,x]]+m)mod n;
if c[d] then
begin
b[a[3,x]]:=d;
c[d]:=false;
mm:=(b[a[1,x]]+b[a[2,x]]+m)div n;
if check(x,m) then dfs(x-1,mm);
c[d]:=true;
b[a[3,x]]:=-1;
end;
end
else if aa and cc then
begin
d:=(b[a[3,x]]-m-b[a[1,x]]+n)mod n;
if c[d] then
begin
b[a[2,x]]:=d;
c[d]:=false;
mm:=(d+b[a[1,x]]+m)div n;
if check(x,m) then dfs(x-1,mm);
m:=mm;
c[d]:=true;
b[a[2,x]]:=-1;
end;
end
else if bb and cc then
begin
d:=(b[a[3,x]]-m-b[a[2,x]]+n)mod n;
if c[d] then
begin
b[a[1,x]]:=d;
c[d]:=false;
mm:=(d+b[a[2,x]]+m)div n;
if check(x,m) then dfs(x-1,mm);
m:=mm;
c[d]:=true;
b[a[1,x]]:=-1;
end;
end
else if (not aa)and(not bb)and(not cc) then
begin
if a[1,x]<>a[2,x] then
begin
for i:=n-1 downto 0 do
for j:=n-1 downto 0 do
if (c[i] and c[j])and(i<>j) then
begin
c[i]:=false;
c[j]:=false;
b[a[1,x]]:=j;
b[a[2,x]]:=i;
dfs(x,m);
c[i]:=true;
c[j]:=true;
b[a[1,x]]:=-1;
b[a[2,x]]:=-1;
end;
end
else
for i:=n-1 downto 0 do
if c[i] then
begin
b[a[1,x]]:=i;
c[i]:=false;
dfs(x,m);
b[a[p,x]]:=-1;
c[i]:=true;
end;
end
else begin
for i:=n-1 downto 0 do
if c[i] then
begin
if not aa then p:=1
else if not bb then p:=2
else if not cc then p:=3;
b[a[p,x]]:=i;
c[i]:=false;
dfs(x,m);
b[a[p,x]]:=-1;
c[i]:=true;
end;
end;
end;
begin
readln(n);
for i:=1 to 3 do
begin
for j:=1 to n do
read(a[i,j]);
readln;
end;
fillchar(b,sizeof(b),255);
fillchar(c,sizeof(c),true);
dfs(n,0);
end.
总结
搜索题的框架往往不难找到，关键就是在搜索的优化上，本文的主要篇幅也就是讨论了几种有效的优化。搜索问题的优化更多的需要选手的经验和思考、分析问题的能力，所以搜索剪枝也是竞赛中经久不衰的经典问题。