标题：Function
函数
在一些编程语言中起着关键字的作用.　例如在delphi中是函数声明的关键字，举例　function add(a:integer;b:integer):integer;　function add(a:integer;b:integer):integer；　begin　result:=a+b　end；　函数　开放分类：数学、公式、定义、分析学、函数论　目录　* 简介　* 反函数　* 隐函数　* 多元函数　* 二次函数　* 一次函数　* 三角函数　* 函数概念的发展历史　* 幂函数　* 高斯函数　* 复变函数　* 【pascal中的函数】　*　? 幂函数　? 高斯函数　? 复变函数　? 【pascal中的函数】　*
简介
在数学领域，函数是一种关系，这种关系使一个集合里的每一个元素对应到另一个（可能相同的）集合里的唯一元素。
----A variable so related to another that for each value assumed by one there is a value determined for the other.
自变量，函数一个与他量有关联的变量，这一量中的任何一值都能在他量中找到对应的固定值。
----A rule of correspondence between two sets such that there is a unique element in the second set assigned to each element in the first set.
函数两组元素一一对应的规则，第一组中的每个元素在第二组中只有唯一的对应量。
函数的概念对于数学和数量学的每一个分支来说都是最基础的。
～‖函数的定义：设x和y是两个变量，D是实数集的某个子集，若对于D中的每个值x，变量y按照一定的法则有一个确定的值y与之对应，称变量y为变量x的函数，记作 y=f(x).
数集D称为函数的定义域，由函数对应法则或实际问题的要求来确定。相应的函数值的全体称为函数的值域，对应法则和定义域是函数的两个要素。
functions
数学中的一种对应关系，是从非空集合A到实数集B的对应。简单地说，甲随着乙变，甲就是乙的函数。精确地说，设X是一个非空集合，Y是非空数集，f是个对应法则 ， 若对X中的每个x，按对应法则f，使Y中存在唯一的一个元素y与之对应 ，就称对应法则f是X上的一个函数，记作y=f（x），称X为函数f（x）的定义域，集合{y|y=f（x），x∈X}为其值域（值域是Y的子集），x叫做自变量，y叫做因变量，习惯上也说y是x的函数。
若先定义映射的概念，可以简单定义函数为：定义在非空数集之间的映射称为函数。
例1：y=sinx X=[0，2π]，Y=[－1，1] ，它给出了一个函数关系。当然 ，把Y改为Y1=（a，b） ，a<b为任意实数，仍然是一个函数关系。
其深度y与一岸边点 O到测量点的距离 x 之间的对应关系呈曲线，这代表一个函数，定义域为[0，b]。以上3例展示了函数的三种表示法：公式法 ， 表格法和图 像法。
一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量X与Y，并且对于X的每一个确定的值，Y都有为一得值与其对应，那么我们就说X是自变量，Y是X的函数。如果当X=A时Y=B，那么B叫做当自变量的值为A时的函数值。
复合函数<IMG src="http://t10.baidu.com/it/u=937021061,4081051841&fm=0&gp=28.jpg" name=pn0>
有3个变量，y是u的函数，y=ψ（u），u是x的函数，u=f（x），往往能形成链：y通过中间变量u构成了x的函数：
x→u→y，这要看定义域：设ψ的定义域为U。f的值域为U，当U*&Iacute;U时，称f与ψ 构成一个复合函数 ， 例如 y=lgsinx，x∈（0，π）。此时sinx>0 ，lgsinx有意义。但如若规定x∈（－π，0），此时sinx<0 ，lgsinx无意义，就成不了复合函数。
反函数就关系而言，一般是双向的 ，函数也如此 ，设y=f（x）为已知的函数，若对每个y∈Y，有唯一的x∈X，使f（x）=y，这是一个由y找x的过程，即x成了y的函数 ，记为x=f -1（y）。称f -1为f的反函数。习惯上用x表示自变量 ，故这个函数仍记为y=f -1（x） ，例如 y=sinx与y=arcsinx 互为反函数。在同一坐标系中，y=f（x）与y=f -1（x）的图形关于直线y=x对称。
隐函数若能由函数方程 F（x，y）=0 确定y为x的函数y=f（x），即F（x，f（x））≡0，就称y是x的隐函数。
思考：隐函数是否为函数？因为在其变化的过程中并不满足“一对一”和“多对一”
多元函数设点（x1，x2，…，xn） ∈G&Iacute;Rn，U&Iacute;R1 ，若对每一点（x1，x2，…，xn）∈G，由某规则f有唯一的 u∈U与之对应：f：G→U，u=f（x1，x2，…，xn），则称f为一个n元函数，G为定义域，U为值域。
基本初等函数及其图像 幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数称为基本初等函数。
幂函数y=xμ（μ≠0，μ为任意实数）定义域：μ为正整数时为（－∞，+∞），μ为负整数时是（－∞，0）∪（0，+∞）；μ=（α为整数），当α是奇数时为（－∞，+∞），当α是偶数时为（0，+∞）；μ=p/q,p,q互素，作为的复合函数进行讨论。略图如图2、图3。
指数函数y=ax（a>0 ，a≠1），定义成为（－∞，+∞），值域为（0 ，+∞），a>0 时是严格单调增加的函数（即当x2>x1时，） ，00）， 称a为底 ， 定义域为（0，+∞），值域为（－∞，+∞）。a>1 时是严格单调增加的，0<a<1时是严格单减的。不论a为何值，对数函数的图形均过点（1，0），对数函数与指数函数互为反函数。如图5。
以10为底的对数称为常用对数 ，简记为lgx。在科学技术中普遍使用的是以e为底的对数，即自然对数，记作lnx。三角函数　见表2。
正弦函数、余弦函数如图6，图7所示。反三角函数　见表3。双曲正、余弦如图8。双曲函数　双曲正弦（ex－e-x），双曲余弦?（ex+e-x），双曲正切（ex－e-x）/（ex+e-x） ，双曲余切（ex+e-x）/（ex－e-x）。
[编辑]补充
在数学领域，函数是一种关系，这种关系使一个集合里的每一个元素对应到另一个（可能相同的）集合里的唯一元素（这只是一元函数f（x）=y的情况，请按英文原文把普遍定义给出，谢谢）。函数的概念对于数学和数量学的每一个分支来说都是最基础的。
术语函数，映射，对应，变换通常都是同一个意思。二次函数定义和性质　一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：
y=ax^2+bx+c
二次函数的三个通式：
y=ax^2+bx+c （一般式，a≠0，对称轴：x=-b/（2a））
y=a(x-h)^2+k （顶点式，a≠0，对称轴：x=h）
y=a(x-x_1）（x-x_2） （交点式，a≠0，对称轴：x=|x_2-x_1|/2）
说明：在一般式中，抛物线与y轴相交的点的纵坐标值为c，抛物线顶点为[-b/（2a），（4ac-b^2）/（4a)]
在顶点式中，抛物线的顶点为（h,k）。
在交点式中，抛物线与x轴交与（x_1,0），（x_2,0）两点。（前提是当y等于0时，Δ大于0，当Δ等于0时，x_1=x_2）
（a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a<0时，开口方向向下。IaI还可以决定开口大小，IaI越大开口就越小，IaI越小开口就越大。）
则称y为x的二次函数。
二次函数表达式的右边通常为二次三项式。
x是自变量，y是x的函数
二次函数的三种表达式
一般式：y=ax^2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）
顶点式：y=a(x-h)^2+k [抛物线的顶点P（h，k）] 对于二次函数y=ax^2+bx+c 其顶点坐标为 (-b/2a，（4ac-b^2）/4a)</CA>
交点式：y=a(x-x?)(x-x) [仅限于与x轴有交点A（x? ，0）和 B（x?，0）的抛物线]
其中x1，2= -b±√b^2－4ac
注：在3种形式的互相转化中，有如下关系：
______
h=-b/2a k=（4ac-b^2）/4a x?,x?=(-b±√b^2-4ac)/2a
二次函数的图像
在<a href="#">；平面直角坐标系中作出二次函数y=x^2的图像，
可以看出，二次函数的图像是一条抛物线。
抛物线的性质
⒈抛物线是轴对称图形。对称轴为直线x = -b/2a。
对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。
特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0）
⒉抛物线有一个顶点P，坐标为P (-b/2a ，（4ac-b^2）/4a)
当-b/2a=0时，P在y轴上；当Δ= b^2-4ac=0时，P在x轴上。
⒊二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。
当a>0时，抛物线向上开口；当a<0时，抛物线向下开口。
|a|越大，则抛物线的开口越小。
⒋一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。
当a与b同号时（即ab>0），对称轴在y轴左；
当a与b异号时（即ab<0），对称轴在y轴右。
⒌常数项c决定抛物线与y轴交点。
抛物线与y轴交于（0，c）
⒍抛物线与x轴交点个数
Δ= b^2-4ac>0时，抛物线与x轴有2个交点。
Δ= b^2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。
_______
Δ= b^2-4ac<0时，抛物线与x轴没有交点。X的取值是虚数（x= -b±√b^2－4ac 的值的相反数，乘上虚数i，整个式子除以2a）
当a>0时，函数在x= -b/2a处取得最小值f(-b/2a)=4ac-b^2/4a；在{x|x<-b/2a}上是减函数，在{x|x>-b/2a}上是增函数；抛物线的开口向上；函数的值域是{x|x≥4ac-b^2/4a}相反不变
当b=0时，抛物线的对称轴是y轴，这时，函数是偶函数，解析式变形为y=ax^2+c(a≠0)
二次函数与一元二次方程
特别地，二次函数（以下称函数）y=ax^2+bx+c，
当y=0时，二次函数为关于x的一元二次方程（以下称方程），
即ax^2+bx+c=0
此时，函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根。
函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。
1．二次函数y=ax^2，y=a(x-h)^2，y=a(x-h)^2 +k，y=ax^2+bx+c（各式中，a≠0）的图象形状相同，只是位置不同，它们的顶点坐标及对称轴如下表：
解析式
y=ax^2
y=a(x-h)^2
y=a(x-h)^2+k
y=ax^2+bx+c
顶点坐标
（0，0)
（h，0)
（h，k)
（-b/2a，sqrt[4ac-b^2]/4a)
对 称 轴
x=0
x=h
x=h
x=-b/2a
当h>0时，y=a(x-h)^2的图象可由抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位得到，
当h<0时，则向左平行移动|h|个单位得到．
当h>0,k>0时，将抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a(x-h)^2 +k的图象；
当h>0,k<0时，将抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)^2+k的图象；
当h<0,k>0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向上移动k个单位可得到y=a(x-h)^2+k的图象；
当h<0,k<0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)^2+k的图象；
因此，研究抛物线 y=ax^2+bx+c(a≠0）的图象，通过配方，将一般式化为y=a(x-h)^2+k的形式，可确定其顶点坐标、对称轴，抛物线的大体位置就很清楚了．这给画图象提供了方便．
2．抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0）的图象：当a>0时，开口向上，当a<0时开口向下，对称轴是直线x=-b/2a，顶点坐标是（-b/2a，[4ac-b^2]/4a）．
3．抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0），若a>0，当x ≤ -b/2a时，y随x的增大而减小；当x ≥ -b/2a时，y随x的增大而增大．若a<0，当x ≤ -b/2a时，y随x的增大而增大；当x ≥ -b/2a时，y随x的增大而减小．
4．抛物线y=ax^2+bx+c的图象与坐标轴的交点：
⑴图象与y轴一定相交，交点坐标为（0，c）；
⑵当△=b^2-4ac>0，图象与x轴交于两点A(x?，0）和B(x?，0），其中的x1,x2是一元二次方程ax^2+bx+c=0
（a≠0）的两根．这两点间的距离AB=|x?-x?| 另外，抛物线上任何一对对称点的距离可以由|2×（-b/2a）－A |（A为其中一点）
当△=0．图象与x轴只有一个交点；
当△<0．图象与x轴没有交点．当a>0时，图象落在x轴的上方，x为任何实数时，都有y>0；当a<0时，图象落在x轴的下方，x为任何实数时，都有y<0．
5．抛物线y=ax^2+bx+c的最值：如果a>0(a<0），则当x= -b/2a时，y最小（大）值=（4ac-b^2）/4a．
顶点的横坐标，是取得最值时的自变量值，顶点的纵坐标，是最值的取值．
6．用待定系数法求二次函数的解析式
⑴当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知x、y的三对对应值时，可设解析式为一般形式：
y=ax^2+bx+c(a≠0）．
⑵当题给条件为已知图象的顶点坐标或对称轴时，可设解析式为顶点式：y=a(x-h)^2+k(a≠0）．
⑶当题给条件为已知图象与x轴的两个交点坐标时，可设解析式为两根式：y=a(x-x?)(x-x?)(a≠0）．
7．二次函数知识很容易与其它知识综合应用，而形成较为复杂的综合题目。因此，以二次函数知识为主的综合性题目是中考的热点考题，往往以大题形式出现．
中考典例1．（北京西城区）抛物线y=x2-2x+1的对称轴是（　）
（A）直线x=1　（B）直线x=-1　（C）直线x=2　（D）直线x=-2
考点：二次函数y=ax2+bx+c的对称轴．
评析：因为抛物线y=ax2+bx+c的对称轴方程是：y=-，将已知抛物线中的a=1，b=-2代入，求得x=1，故选项A正确．
另一种方法：可将抛物线配方为y=a(x-h)2+k的形式，对称轴为x=h，已知抛物线可配方为y=(x-1）2，所以对称轴x=1，应选A．
2．（北京东城区）有一个二次函数的图象，三位学生分别说出了它的一些特点：
甲：对称轴是直线x=4；
乙：与x轴两个交点的横坐标都是整数；
丙：与y轴交点的纵坐标也是整数，且以这三个交点为顶点的三角形面积为3．
请你写出满足上述全部特点的一个二次函数解析式：　．
考点：二次函数y=ax2+bx+c的求法
评析：设所求解析式为y=a(x-x1）（x-x2），且设x1<x2，则其图象与x轴两交点分别是A(x1，0），B(x2，0），与y轴交点坐标是（0，ax1x2）.
∵抛物线对称轴是直线x=4，
∴x2-4=4 - x1即：x1+ x2=8　①
∵S△ABC=3，∴（x2- x1）·|a x1 x2|= 3，
即：x2- x1=　②
①②两式相加减，可得：x2=4+，x1=4-
∵x1，x2是整数，ax1x2也是整数，∴ax1x2是3的约数，共可取值为：±1，±3。
当ax1x2=±1时，x2=7，x1=1，a=±
当ax1x2=±3时，x2=5，x1=3，a=±
因此，所求解析式为：y=±（x-7）（x-1）或y=±（x-5）（x-3）
即：y=x2-x+1 或y=-x2+x-1 或y=x2-x+3 或y=-x2+x-3
说明：本题中，只要填出一个解析式即可，也可用猜测验证法。例如：猜测与x轴交点为A（5，0），B（3，0）。再由题设条件求出a，看C是否整数。若是，则猜测得以验证，填上即可。
5．（河北省）如图13-28所示，二次函数y=x2-4x+3的图象交x轴于A、B两点，交y轴于点C，则△ABC的面积为（　）
A、6　B、4　C、3　D、1
考点：二次函数y=ax2+bx+c的图象及性质的运用。
评析：由函数图象可知C点坐标为（0，3），再由x2-4x+3=0可得x1=1，x2=3所以A、B两点之间的距离为2。那么△ABC的面积为3，故应选C。
图13-28　
6．（安徽省）心理学家发现，学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间x（单位：分）之间满足函数关系：y=-0.1x2+2.6x+43(0<x<30）。y值越大，表示接受能力越强。
⑴x在什么范围内，学生的接受能力逐步增强？x在什么范围内，学生的接受能力逐步降低？
⑵第10分时，学生的接受能力是什么？
⑶第几分时，学生的接受能力最强？
考点：二次函数y=ax2+bx+c的性质。
评析：将抛物线y=-0.1x2+2.6x+43变为顶点式为：y=-0.1(x-13）2+59.9，根据抛物线的性质可知开口向下，当x≤13 时，y随x的增大而增大，当x>13时，y随x的增大而减小。而该函数自变量的范围为：0≤x≤30，所以两个范围应为0≤x≤13； 13≤x≤30。将x=10代入，求函数值即可。由顶点解析式可知在第13分钟时接受能力为最强。解题过程如下：
解：⑴y=-0.1x2+2.6x+43=-0.1(x-13）2+59.9
所以，当0≤x≤13时，学生的接受能力逐步增强。
当13<x≤30时，学生的接受能力逐步下降。
⑵当x=10时，y=-0.1（10-13）2+59.9=59。
第10分时，学生的接受能力为59。
⑶x=13时，y取得最大值，
所以，在第13分时，学生的接受能力最强。
9．（河北省）某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品．据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克；销售单价每涨1元，月销售量就减少10千克．针对这种水产品的销售情况，请解答以下问题：
⑴当销售单价定为每千克55元时，计算月销售量和月销售利润；
⑵设销售单价为每千克x元，月销售利润为y元，求y与x的函数关系式（不必写出x的取值范围）；
⑶商店想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应定为多少？
解：⑴当销售单价定为每千克55元时，月销售量为：500–（55–50）×10=450（千克），所以月销售利润为
：（55–40）×450=6750（元）．
⑵当销售单价定为每千克x元时，月销售量为：[500–（x–50）×10]千克而每千克的销售利润是：（x–40）元，所以月销售利润为：
y=(x–40）[500–（x–50）×10]=(x–40）（1000–10x)=–10x2+1400x–40000（元），
∴y与x的函数解析式为：y =–10x2+1400x–40000．
⑶要使月销售利润达到8000元，即y=8000，∴–10x2+1400x–40000=8000，
即：x2–140x+4800=0，
解得：x1=60，x2=80．
当销售单价定为每千克60元时，月销售量为：500–（60–50）×10=400（千克），月销售成本为：
40×400=16000（元）；
当销售单价定为每千克80元时，月销售量为：500–（80–50）×10=200（千克），月销售单价成本为：
40×200=8000（元）；
由于8000<10000<16000，而月销售成本不能超过10000元，所以销售单价应定为每千克80元．
一次函数
I、定义与定义式：[一次函数]
自变量x和因变量y有如下关系：
y=kx+b（k，b为常数，k≠0）
则称y是x的一次函数。
特别地，当b=0时，y是x的正比例函数。
Ⅱ、一次函数的性质：
y的变化值与对应的x的变化值成正比例，比值为k
即 △y/△x=k
Ⅲ、一次函数的图象及性质：
1． 作法与图形：通过如下3个步骤⑴列表；⑵描点；⑶连线，可以作出一次函数的图象——一条直线。因此，作一次函数的图象只需知道2点，并连成直线即可。
2． 性质：在一次函数上的任意一点P（x，y），都满足等式：y=kx+b。
3． k，b与函数图象所在象限。
当k>0时，直线必通过一、三象限，y随x的增大而增大；
当k<0时，直线必通过二、四象限，y随x的增大而减小。
当b>0时，直线必通过一、二象限；当b<0时，直线必通过三、四象限。
特别地，当b=O时，直线通过原点O（0，0）表示的是正比例函数的图象。
这时，当k>0时，直线只通过一、三象限；当k<0时，直线只通过二、四象限。
Ⅳ、确定一次函数的表达式：
已知点A（x1，y1）；B（x2，y2），请确定过点A、B的一次函数的表达式。
⑴设一次函数的表达式（也叫解析式）为y=kx+b。
⑵因为在一次函数上的任意一点P（x，y），都满足等式y=kx+b。所以可以列出2个方程：
y1=kx1+b① 和 y2=kx2+b②。
⑶解这个二元一次方程，得到k，b的值。
⑷最后得到一次函数的表达式。
V、一次函数在生活中的应用
⒈当时间t一定，距离s是速度v的一次函数。s=vt。
⒉当水池抽水速度f一定，水池中水量g是抽水时间t的一次函数。设水池中原有水量S。g=S-ft。
反比例函数
形如 y=k/x(k为常数且k≠0) 的函数，叫做反比例函数。
自变量x的取值范围是不等于0的一切实数。
反比例函数的图像为双曲线。
如图，上面给出了k分别为正和负（2和-2）时的函数图像。
三角函数
定义三角函数是数学中属于初等函数中的超越函数的一类函数。它们的本质是任意角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。通常的三角函数是在平面直角坐标系中定义的，其定义域为整个实数域。另一种定义是在直角三角形中，但并不完全。现代数学把它们描述成无穷数列的极限和微分方程的解，将其定义扩展到复数系。
由于三角函数的周期性，它并不具有单值函数意义上的反函数。
三角函数在复数中有较为重要的应用。在物理学中，三角函数也是常用的工具。
它有六种基本函数：
函数名 正弦 余弦 正切 余切 正割 余割
符号 sin cos tan cot sec csc
正弦函数 sin（A）=a/h
余弦函数 cos（A）=b/h
正切函数 tan（A）=a/b
余切函数 cot（A）=b/a
在某一变化过程中，两个变量x、y，对于某一范围内的x的每一个值，y都有确定的值和它对应，y就是x的函数。这种关系一般用y=f(x）来表示。
函数概念的发展历史⒈早期函数概念——几何观念下的函数
十七世纪伽俐略（G．Galileo，意，1564－1642）在《两门新科学》一书中，几乎全部包含函数或称为变量关系的这一概念，用文字和比例的语言表达函数的关系。1673年前后笛卡尔（Descartes，法，1596－1650）在他的解析几何中，已注意到一个变量对另一个变量的依赖关系，但因当时尚未意识到要提炼函数概念，因此直到17世纪后期牛顿、莱布尼兹建立微积分时还没有人明确函数的一般意义，大部分函数是被当作曲线来研究的。
1673年，莱布尼兹首次使用“function” （函数）表示“幂”，后来他用该词表示曲线上点的横坐标、纵坐标、切线长等曲线上点的有关几何量。与此同时，牛顿在微积分的讨论中，使用 “流量”来表示变量间的关系。
⒉十八世纪函数概念──代数观念下的函数
1718年约翰?贝努利（Bernoulli Johann，瑞，1667－1748）在莱布尼兹函数概念的基础上对函数概念进行了定义：“由任一变量和常数的任一形式所构成的量。”他的意思是凡变量x和常量构成的式子都叫做x的函数，并强调函数要用公式来表示。
1755，欧拉（L．Euler，瑞士，1707－1783） 把函数定义为“如果某些变量，以某一种方式依赖于另一些变量，即当后面这些变量变化时，前面这些变量也随着变化，我们把前面的变量称为后面变量的函数。”
18世纪中叶欧拉（L．Euler，瑞，1707－1783）给出了定义：“一个变量的函数是由这个变量和一些数即常数以任何方式组成的解析表达式。”他把约翰?贝努利给出的函数定义称为解析函数，并进一步把它区分为代数函数和超越函数，还考虑了“随意函数”。不难看出，欧拉给出的函数定义比约翰?贝努利的定义更普遍、更具有广泛意义。
⒊十九世纪函数概念──对应关系下的函数
1821年，柯西(Cauchy，法，1789－1857） 从定义变量起给出了定义：“在某些变数间存在着一定的关系，当一经给定其中某一变数的值，其他变数的值可随着而确定时，则将最初的变数叫自变量，其他各变数叫做函数。”在柯西的定义中，首先出现了自变量一词，同时指出对函数来说不一定要有解析表达式。不过他仍然认为函数关系可以用多个解析式来表示，这是一个很大的局限。
1822年傅里叶（Fourier，法国，1768——1830）发现某些函数也已用曲线表示，也可以用一个式子表示，或用多个式子表示，从而结束了函数概念是否以唯一一个式子表示的争论，把对函数的认识又推进了一个新层次。
1837年狄利克雷(Dirichlet，德，1805－1859） 突破了这一局限，认为怎样去建立x与y之间的关系无关紧要，他拓广了函数概念，指出：“对于在某区间上的每一个确定的x值，y都有一个或多个确定的值，那么y叫做x的函数。”这个定义避免了函数定义中对依赖关系的描述，以清晰的方式被所有数学家接受。这就是人们常说的经典函数定义。
等到康托（Cantor，德，1845－1918）创立的集合论在数学中占有重要地位之后，维布伦（Veblen，美，1880－1960）用“集合”和 “对应”的概念给出了近代函数定义，通过集合概念把函数的对应关系、定义域及值域进一步具体化了，且打破了“变量是数”的极限，变量可以是数，也可以是其它对象。
⒋现代函数概念──集合论下的函数
1914年豪斯道夫(F．Hausdorff）在《集合论纲要》中用不明确的概念“序偶”来定义函数，其避开了意义不明确的“变量”、“对应”概念。库拉托夫斯基(Kuratowski）于1921年用集合概念来定义“序偶”使豪斯道夫的定义很严谨了。
1930 年新的现代函数定义为“若对集合M的任意元素x，总有集合N确定的元素y与之对应，则称在集合M上定义一个函数，记为y=f(x）。元素x称为自变元，元素y称为因变元。”
术语函数，映射，对应，变换通常都有同一个意思。
但函数只表示数与数之间的对应关系，映射还可表示点与点之间，图形之间等的对应关系。可以说函数包含于映射。
正比例函数：
正比例函数y=kx（k是常数，k≠0）的图象是一条经过原点的直线．当x>0时，图象经过三、一象限，从左向右上升，即随x的增大y也增大；当k<0时，图象经过二、四象限，从左向右下降，即随x增大y反而减小．
正是由于正比例函数y=kx（k是常数，k≠0）的图象是一条直线，我们可以称它为直线y=kx．
（另：中文“函数”名称的由来
在中国清代数学家李善兰（1811—1882）翻译的《代数学》一书中首次用中文把“function”翻译为“函数”，此译名沿用至今。对为什么这样翻译这个概念，书中解释说“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”；这里的“函”是包含的意思。）
深入研究一次函数
徐若翰
在学习一次函数时，根据中学要求，我们还要深入研究它的实际应用，以及如何改变图象的位置。
实际问题中的分段函数[例1]（2005年武汉市）小明早晨从家骑车到学校，先上坡后下坡，行程情况如图。若返回时上、下一个坡的速度不变，那么小明从学校骑车回家用的时间是多少？
分析：上、下坡的速度不同，问题要分两段来研究。
根据函数图象提供的信息，可知小明从家去学校时，上坡路程为3600米，下坡路程为9600－3600=6000（米）。
∴上坡速度为3600÷18=200（米/分钟）
下坡速度为6000÷（30－18）=500（米/分钟）
小明回家时，上坡路程6000米，下坡路程3600米，所用时间为6000÷200+3600÷500=37.2（分钟）。
在物理学科中的应用[例2]（2004年黄冈市）某班同学在探究弹簧的长度与外力的变化关系时，实验记录得到的相应数据如下表：
求y关于x的函数解析式及自变量的取值范围。
分析：根据物理学知识可知，弹簧在外力（所挂砝码的重力）作用下发生形变（伸长），外力与指针位置的关系可以用一次函数表示；但是，每个弹簧所受的外力都有一定的限度，因此我们必须求出自变量的取值范围。
由已知数据求出：在弹簧受力伸长过程中，
令y=7.5，得x=275
∴所求函数为
注 两段之间的分界点是x=275，不是x=300。
直线平移的应用[例3]（2005年黑龙江省）在直角坐标系中，已知点A（－9，0）、P（0，－3）、C（0，－12）。问：在x轴上是否存在点Q，使以点A、C、P、Q为顶点的四边形是梯形？若存在，求直线PQ的解析式；若不存在，请说明理由。
分析：在所研究的梯形中哪两边平行？有两种可能：如果，就是把直线CA平移，经过P点易求直线CA的解析式为
平移后得到直线的解析式为
如果
把直线PA：平移，经过C点
得到直线：
直线交x轴于点（－36，0）
直线的解析式为
如何理解函数概念
曹阳
函数是数学中的一个极其重要的基本概念，在中学数学中，函数及其有关的内容很丰富，所占份量重，掌握好函数的概念对今后的学习非常有用。回顾函数概念的发展史，“函数”作为数学术语是莱布尼兹首次采用的，他在1692年的论文中第一次提出函数这一概念，但其含义与现在对函数的理解大不相同。现代初中数学课程中，函数定义采用的是“变量说”。即：
在某变化过程中，有两个变量x，y，如果对于x在某一范围内的每一个确定的值，按照某个对应法则，y都有唯一确定的值和它对应，那么就把y称为x的函数，x称为自变量，y称为因变量。
它明确指出，自变量x在某一给定范围可以取任一个值，因变量y按一定的规律也相应每次取唯一确定的值。但是，初中阶段并不要求掌握自变量的取值范围（看一下初中要学的几个函数可知，这个定义完全够用，而且，对于初中生来说，也容易理解）。
函数概念的抽象性很强，学生不易理解，要理解函数概念必须明确两点：第一，明确自变量和因变量的关系，在某变化过程中，有两个变量x，y，如果看成y随x 的变化而变化，那么x称为自变量，y称为因变量；如果看成x随y的变化而变化，那么y称为自变量，x称为因变量。第二，函数定义的核心是“一一对应”，即给定一个自变量x的值就有唯一确定的因变量y的值和它对应，这样的对应可以是“一个自变量对应一个因变量”（简称“一对一”），也可以是“几个自变量对应一个因变量”（简称“多对一”），但不可以是“一个自变量对应多个因变量”（简称“一对多”），下面以图1来阐述这样的对应关系（其中x是自变量，y是因变量）：
“一对一” “多对一” “一对多”
是函数 是函数 不是函数
图1
下面举4个例子帮助大家理解函数的概念：
例1 一根弹簧的长度为10cm，当弹簧受到拉力F（F在一定的范围内）时，弹簧的长度用y表示，测得有关的数据如表1：
表1
拉力F（kg）
1
2
3
4
…
弹簧的长度y（c）
…
弹簧的长度y是拉力F的函数吗？
分析：从表格中可读出信息，当拉力分别是1kg、2kg、3kg、4kg时，都唯一对应了一个弹簧的长度y，满足函数的定义，所以弹簧的长度y是拉力F的函数。一般地，以表格形式给出的函数，第一行是自变量的值，第二行是因变量的值。
例2 图2是某地区一年内每个月的最高气温和最低气温图。
图2
图2描述了哪些变量之间的关系？你能将其中某个变量看成另一个变量的函数吗？
分析：图中给出了三个变量，最高气温、最低气温和月份，从图中可以直观地看出最高气温和最低气温随着月份的变化而变化，而且每月的最高气温和最低气温都是唯一的，所以最高气温（或最低气温）是月份的函数。我们还可以发现7月和8月的最高气温相同，也就是说两个自变量对应了同一因变量。一般地，以图象形式给出的函数，横轴表示自变量，纵轴表示因变量。
例3 下列变量之间的关系是不是函数关系？说明理由。
⑴圆的面积S与半径r之间的关系；
⑵汽车以70千米/时的速度行驶，它驶过的路程s（千米）和所用时间t（时）之间的关系；
⑶等腰三角形的面积是，它的底边长y（厘米）和底边上的高x（厘米）之间的关系。
分析：⑴圆的面积S与半径r之间的关系式是，当半径确定时，圆的面积S也唯一确定，所以圆的面积S与半径r之间的关系是函数关系。
⑵路程s（千米）和所用时间t（时）的关系式是，当时间t确定时，路程s也唯一确定，所以路程s（千米）和所用时间t（时）之间的关系是函数关系。
⑶底边长ycm和底边上的高xcm的关系式是，当底边上的高x确定时，底边长y也唯一确定，所以底边长ycm和底边上的高xcm之间的关系是函数关系。
一般地，以关系式形式给出的函数，等号左边是因变量，等号右边的未知数是自变量。
例4 下列图象中，不能表示函数关系的是（）
分析：在上面四个图象中，A、C、D都可以表示函数关系，因为任意给定一个自变量x的值，都有唯一的一个y值与它相对应，但是B图中，任意给定一个自变量x的值，却有两个不同的y值与它对应，所以本题应选B。
[问题2.9]设m是一个小于2006的四位数，已知存在正整数n，使得m－n为质数，且mn是一个完全平方数，求满足条件的所有四位数m。
幂函数
幂函数的一般形式为y=x^a。
如果a取非零的有理数是比较容易理解的，不过初学者对于a取无理数，则不太容易理解，在我们的课程里，不要求掌握如何理解指数为无理数的问题，因为这涉及到实数连续统的极为深刻的知识。因此我们只要接受它作为一个已知事实即可。
对于a的取值为非零有理数，有必要分成几种情况来讨论各自的特性：
首先我们知道如果a=p/q，q和p都是整数，则x^(p/q)=q次根号（x的p次方），如果q是奇数，函数的定义域是R，如果q是偶数，函数的定义域是[0,+∞）。当指数n是负整数时，设a=-k，则x=1/(x^k），显然x≠0，函数的定义域是（－∞，0）∪（0,+∞）.因此可以看到x所受到的限制来源于两点，一是有可能作为分母而不能是0，一是有可能在偶数次的根号下而不能为负数，那么我们就可以知道：
排除了为0与负数两种可能，即对于x>0，则a可以是任意实数；
排除了为0这种可能，即对于x<0和x>0的所有实数，q不能是偶数；
排除了为负数这种可能，即对于x为大于且等于0的所有实数，a就不能是负数。
总结起来，就可以得到当a为不同的数值时，幂函数的定义域的不同情况如下：
如果a为任意实数，则函数的定义域为大于0的所有实数；
如果a为负数，则x肯定不能为0，不过这时函数的定义域还必须根据q的奇偶性来确定，即如果同时q为偶数，则x不能小于0，这时函数的定义域为大于0的所有实数；如果同时q为奇数，则函数的定义域为不等于0 的所有实数。
在x大于0时，函数的值域总是大于0的实数。
在x小于0时，则只有同时q为奇数，函数的值域为非零的实数。
而只有a为正数，0才进入函数的值域。
由于x大于0是对a的任意取值都有意义的，因此下面给出幂函数在第一象限的各自情况.
可以看到：
⑴所有的图形都通过（1，1）这点。
⑵当a大于0时，幂函数为单调递增的，而a小于0时，幂函数为单调递减函数。
⑶当a大于1时，幂函数图形下凹；当a小于1大于0时，幂函数图形上凸。
⑷当a小于0时，a越小，图形倾斜程度越大。
⑸a大于0，函数过（0，0）；a小于0，函数不过（0，0）点。
⑹显然幂函数无界。
高斯函数
设x∈R ， 用 [x]或int(x）表示不超过x 的最大整数，并用表示x的非负纯小数，则 y= [x] 称为高斯（Guass）函数，也叫取整函数。
任意一个实数都能写成整数与非负纯小数之和，即：x= [x] + （0≤<1）
pascal中的函数
算术函数函数标识符 自变量类型 意义 结果类型
abs 整型、实型 绝对值 同自变量
arctan 整型、实型 反正切 实型
cos 整型、实型 余弦 实型
exp 整型、实型 指数 实型
frac 整型、实型 小数部分 实型
int 整型、实型 整数部分 实型
ln 整型、实型 自然对数 实型
pi 无自变量 圆周率 实型
sin 整型、实型 正弦 实型
sqr 整型、实型 平方 同自变量
sqrt 整型、实型 平方根 实型
例：abs(-4）=4 abs(-7.49）=7.49 arctan(0)=0.0
sin(pi)=0.0 cos(pi)=-1.0 frac(-3.71）=-0.71
int(-3.71）=-3.0 sqr⑷=16 sqrt⑷=2
标准函数函数标识符 自变量类型 意义 结果类型
odd 整型 判断奇数 布尔型
pred 离散类型 求前趋 同自变量
succ 离散类型 求后继 同自变量
例：odd（1000)=false pred（2000)=1999 succ（2000)=2001
odd⑶=true pred('x')='w succ('x')='y'
转换函数函数标识符 自变量类型 意义 结果类型
chr byte 自变量对应的字符 字符型
ord 离散类型 自变量对应的序号 longint
round 实型 四舍五入 longint
trunc 实型 截断取整 longint
例：chr（66）='B' ord('A')=65 round(-4.3）=-5 trunc（2.88）=2
杂类函数函数标识符 自变量类型 意义 结果类型
random 无自变量 [0,1间的随机实数 real
random word [0，自变量间的随机整数） word
randomize 无自变量 初始化内部随机数产生器 longint
upcase 字符型 使小写英文字母变为大写 字符型
downcase 字符型 使小写英文字母变为大写 字符型
SYSTEM TP的运行库，包括常用的标准函数和过程，可以在程序中直接使用，不需USES语句说明。
DOS 具有日期、时间、目录查找、程序执行等功能
CRT 具有屏幕模式控制、扩展键盘码、颜色、窗口、声音等 功能
PRINTER 支持打印输出操作。
GRAPH 高级图形软件包，支持多种图形适配器。
GRAPH3 实现TP3.0的图形软件包。
TURBO3 兼容TP3.0的源程序。
OVERLAY 实现高级覆盖管理
SYSTEM单元常用过程与函数
ABS(X) F 求变量的绝对值
ADDR(X) F 测变量地址
APPEND(F) P 打开一个存在的文本文件，并将文件指 针指向文件末尾准备添加元素
ARCTAN(X) F 反正切
ASSIGN(F,C) P 将字符串C所表示的外部文件名赋给文 件变量F
ASSIGNED(X) P 测试程序当中的指针或变量是否为空
BLOCKREAD(F,D,NUM) P 读类型文件。
BLOCKWRITE(F,D,NUM) P 写无类型文件
BREAK P 中止或结束循环
CHDIR(PATH) P 改变当前目录
CHR(X) F 求ASCⅡ码值为X的字符
CLOSE(F) P 关闭文件
CONCAT(S1,S2...S3） F 字符串合并
CONTINUE P 继续循环
COPY(S,POS,LEN) F 返回一个字符串的子串
COS(X) F 余弦函数
CSEG F 返回CS寄存器的当前值
DEC(X) F X:=X-1
DELETE(S,POS,LEN) P 删除一个字符串的子串
DISPOSE(P) P 释放一个动态变量
DSEG F 返回DS寄存器的当前值
EOF(F) F 判断文件是否结束
EOLN(F) F 判断文件类型中的一行是否结束
ERASE(F) P 删除一个存在的外部文件。
EⅪT P 过程中止
EXP(X) F 以E为底的指数函数
FILEPOS(F) F 文件记录的当前位置
FILESIZE(F) F 文件记录数
FILLCHAR(D,LEN,DATE) P 填充数值或字符
FLUSH(F) P 清空文件缓存区
FRAC(X) F 取实形变量的小数部分
FREEMEM(P,I) P 释放变长动态变量
GETDIR(DRV,PATH) P 取当前盘，当前目录
GETMEM(P,I) P 分配变长的动态变量，并把块地址存放在一个指针变量中
HALT P 立即中止程序执行，返回TP编辑器或DOS
HI(I) F 返回一个变量的高位字节
INSERT(S,D,POS) F 在一个字符串中某一位置开始插入一个子串
INT F 取整数部分
IORESULT F 返回最后一次输入/出操作的结果状态
LENGTH(S) F 取字符串的长度
LN(R) F 求自然对数
LO(I) F 返回一个变量的低位字节
MAXAVAIL F 返回最大内存空间
MEMAVAIL F 返回可用内存数目
MKDIR(PATH) P 建立一个子目录
MOVE(S,D,LEN) P 快传送
NEW(P) P 建立一个新的动态变量
ODD(X) F 判断一个变量的值是否为奇数
OFS(X) F 侧变量偏移地址
ORD(CH) F 求一个字符的ASCⅡ码值
PARAMCOUNT F DOS参数串长度
PARAMSTR(N) F DOS参数串
PI F 圆周率的值
pos(str1,str2） f 测一个字符串中包含的另一个子串的开始位置
pred(x) f 求前驱
ptr(i) f 指针赋值
random f 返回0~1之间的随机实数
randomize p 初始化随机数发生器
read/readln(f,x) p 读入/输入数据
rename(f,str) p 给一个外部文件改名
reset(f) p 打开文件，并将文件指针指向开始，并准备读数据
rewrite(f) p 打开文件，并将文件指针指向开始，准备写资料
rmdir(path) p 删除一个子目录
round(x) f 求实数的近似数
runerror p 停止程序的运行
scrollto p 滚动显示窗口的某部分内容
seek(f,n) p 将文件指针定位于文件f的第n个文件成分上
seekrof(f) f 定位到文件尾
seekroln(f) f 定位到行尾
seg(n) f 测变量段地址
settextbuf(f) p 将输入/出缓冲区与一个文本文件建立关联
sin(x) f 正弦函数
sizeof(x) f 测变量大小
sptr f 返回sp寄存器的当前值
sqr(x) f 平方
sqrt(x) f 平方根
sseg f 返回ss寄存器的当前值
str(i,s) f 将一个整数转换成字符串
succ(X) f 后继函数
swap(x) f 交换一个变量的高位和低位字节
trunc(x) f 截去实数的小数部分
truncate(f) p 截去文件当前指针以后的内容
upcase(ch) f 将小写字母转换成大写字母
val(s,r,p) p 将一个字符串转换成数值
writeln(f,x) p 输出
dos单元常用过程与函数
getdate p 返回系统当前日期
detftime p 返回最后一次写入的日期和时间
gettime p 返回系统当前时间
packtime p 转换系统日期和时间，封装成4个字节的长整形格式
setdate p 设置系统当前日期
setftime p 写入新的系统日期和时间，覆盖系统最后一次写入的 系统日期和时间文件
settime p 设置系统当前时间
uppacktime p 将系统日期和时间转换成纪录格式
diskfree f 返回指定磁盘可用剩余空间
disksize f 返回指定磁盘的总容量
get/setverity p 返回/设置dos状态下的磁盘读写标记
fexpand f 返回函数名的全称
fsearch f 在一个目录中查找文件
fsplit f 将一个文件名分成目录、文件名、扩展名
3 turbo pascal基本函数过程及解释
findnext p 返回下一个满足匹配条件的文件名
getfattr p 返回文件的属性
setfattr p 设置文件属性
gerintvec p 返回某个中断变量值
intr p 执行软中断
msdos p 执行dos 系统调用
setintvec p 设定中断值
exec p 通过一个特定命令行执行特定程序段
keep p 中断程序的执行但仍驻留在内存中
swapvectors p 用当前变量交换所有中断变量值
dosexitcode f 回到子程序出口
dosversion f 显示dos版本
crt单元
assigncrt(f) p 将文本文件f与显示器crt建立联系
clreol p 清除当前行光标所在位置以后的字符
clrscr p 清除当前窗口或屏幕，光标返回到左上角
delay(t) p 等待t毫秒
delline p 清除光标所在行上所有内容
gotoxy(x,y) p 将光标移到屏幕某处
highvideo p 选择高亮度显示字符
insline p 在当前光标位置插入空行
keypressed f 测定键盘输入状态
lowvideo p 低亮度显示字符
normvideo p 选择正常文本属性从光标所在位置开始显示字符
nosound p 关闭内部扬声器
readkey p 等待从键盘输入一个字符
sound(hz) p 以hz指定的频率发声
textbackground(soor) p 设置正文背景颜色
textcolor(color) p 设置正文前景颜色
textmode p 选择特定的文本显示模式
wherex/y f 返回当前光标位置的坐标值
window(x1,y1,x2,y2） p 在屏幕定义一个文本窗口
其他单元
chain(f) p 目标程序链接
execute(f) p 执行目标程序
mark(p) p 标记动态变量
release(p) p 释放动态变量区
srtinit p 屏幕初始化
crtline p 汉字屏幕方式转换
graphbackground(color) p 选择背景色
graphcolormode p 中分辨率彩色图形方式，320*200彩色
graphmode p 中分辨率黑白图形方式，320*200黑白
graphwindow(x1,y1,x2,y2,color)p 定义图形方式窗口
hires p 高分辨率单色图形方式，640*200黑白
hirescolor(color) p 高分辨率彩色图形方式，640*200彩色
palette(color) p 中分辨率彩色图形颜色组
ovrpath(path) p 指定覆盖文件路径
draw(x1,y1,x2,y2,color) p 画线
intr(n,m) p 8086中断调用
plot(x,y,color) p 画点
random(integer) f 产生随机整数
seg(x) f 测变量段地址
colortable(c1,c2,c3,c4） p 重定义颜色组
arc(x,y,radius,color) p 画圆弧
circle(x,y,radius,color) p 画圆
getpic(buffer,x1,x2,y1,y2） p 屏幕转储到屏幕
putpic(buffer,x,y) p 缓冲器转储到屏幕
getdotcolor(x,y) p 读点
fillscreen(color) p 填充屏幕
fillshape(x,y,fillcol,bordercol) p 填充一个区域
常用数学函数
求绝对值函数abs(x)
定义：function Abs(X): (Same type as parameter);
说明：X可以是整型，也可以是实型；返回值和X的类型一致例子：
取整函数int(x)
定义：function Int(X: Real): Real;
注意：X是实型数，返回值也是实型的；返回的是X的整数部分，也就是说，X被截尾了（而不是四舍五入）例子：
var R: Real;
begin
R := Int（123.567）； { 123.0 }
R := Int(-123.456）； { -123.0 }
end.
截尾函数trunc(x)
定义：function Trunc(X: Real): Longint;
注意：X是实型表达式. Trunc 返回Longint型的X的整数部分例子：
begin
Writeln（1.4,' becomes ',Trunc（1.4））；
Writeln（1.5,' becomes ',Trunc（1.5））；
Writeln(-1.4,'becomes ',Trunc(-1.4））；
Writeln(-1.5,'becomes ',Trunc(-1.5））；
end.
四舍五入函数round(x)
定义：function Round(X: Real): Longint;
注意：X是实型表达式. Round 返回Longint型的X的四舍五入值.如果返回值超出了Longint的表示范围，则出错. 例子：
begin
Writeln（1.4,' rounds to ',Round（1.4））；
Writeln（1.5,' rounds to ',Round（1.5））；
Writeln(-1.4,'rounds to ',Round(-1.4））；
Writeln(-1.5,'rounds to ',Round(-1.5））；
end.
取小数函数frac(x)
定义：function Frac(X: Real): Real;
注意：X 是实型表达式. 结果返回 X 的小数部分； 也就是说，Frac(X) = X - Int(_X). 例子：
var
R: Real;
begin
R := Frac（123.456）； { 0.456 }
R := Frac(-123.456）； { -0.456 }
end.
求平方根函数sqrt(x）和平方函数sqr(x)
定义：平方根：function Sqrt(X: Real): Real;
注意：X 是实型表达式. 返回实型的X的平方根. 平方：function Sqr(X): (Same type as parameter);
注意：X 是实型或整型表达式.返回值的类型和X的类型一致，大小是X的平方，即X*X.
例子：
begin
Writeln('5 squared is ',Sqr⑸）；
Writeln('The square root of 2 is ',Sqrt（2.0)); { 1.414 } 
参数
值形参，变量形参