标题：完全平方数
性质推论
（详细）
一个数如果是另一个整数的完全平方，那么我们就称这个数为完全平方数，也叫做平方数。例如：
0,1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,144,169,196,225,256,289,324,361,400,441,484,529… 
观察这些完全平方数，可以获得对它们的个位数、十位数、数字和等的规律性的认识。下面我们来研究完全平方数的一些常用性质：
性质1：完全平方数的末位数只能是0,1,4,5,6,9。
性质2：奇数的平方的个位数字为奇数，偶数的平方的个位数一定是偶数。
证明 奇数必为下列五种形式之一：
10a+1,10a+3,10a+5,10a+7,10a+9 
分别平方后，得 
（10a+1)^2=100a^2+20a+1=20a(5a+1)+1 
（10a+3)^2=100a^2+60a+9=20a(5a+3)+9 
（10a+5)^2=100a^2+100a+25=20 (5a^2+5+1)+5 
（10a+7)^2=100a^2+140a+49=20 (5a^2+7+2)+9 
（10a+9)^2=100a^2+180a+81=20 (5a^2+9+4)+1 
综上各种情形可知：奇数的平方，个位数字为奇数1,5,9；十位数字为偶数。
性质3：如果完全平方数的十位数字是奇数，则它的个位数字一定是6；反之，如果完全平方数的个位数字是6，则它的十位数字一定是奇数。
证明 已知m^2=10k+6，证明k为奇数。因为k的个位数为6，所以m的个位数为4或6，于是可设m=10n+4或10n+6。则 
10k+6=(10n+4)^2=100n^2+(8n+1)x10+6 
或 10k+6=(10n+6)^2=100n^2+(12n+3)x10+6 
即 k=10n^2+8n+1=2(5n^2+4n)+1 
或 k=10n^2+12n+3=2(5n^2+6n)+3 
∴ k为奇数。
推论1：如果一个数的十位数字是奇数，而个位数字不是6，那么这个数一定不是完全平方数。
推论2：如果一个完全平方数的个位数字不是6，则它的十位数字是偶数。
性质4：偶数的平方是4的倍数；奇数的平方是4的倍数加1。
这是因为 (2k+1)^2=4k(k+1)+1 
（2k)^2=4k^2 
性质5：奇数的平方是8n+1型；偶数的平方为8n或8n+4型。
在性质4的证明中，由k(k+1）一定为偶数可得到（2k+1)^2是8n+1型的数；由为奇数或偶数可得（2k)^2为8n型或8n+4型的数。
性质6：平方数的形式必为下列两种之一：3k,3k+1。
因为自然数被3除按余数的不同可以分为三类：3m,3m+1,3m+2。平方后，分别得 
（3m)^2=9m^2=3k 
（3m+1)^2=9m^2+6m+1=3k+1 
（3m+2)^2=9m^2+12m+4=3k+1 
同理可以得到：
性质7：不是5的因数或倍数的数的平方为5k+-1型，是5的因数或倍数的数为5k型。
性质8：平方数的形式具有下列形式之一：16m,16m+1,16m+4,16m+9。
除了上面关于个位数，十位数和余数的性质之外，还可研究完全平方数各位数字之和。例如，256它的各位数字相加为2+5+6=13，13叫做256的各位数字和。如果再把13的各位数字相加：1+3=4，4也可以叫做256的各位数字的和。下面我们提到的一个数的各位数字之和是指把它的各位数字相加，如果得到的数字之和不是一位数，就把所得的数字再相加，直到成为一位数为止。我们可以得到下面的命题：
一个数的数字和等于这个数被9除的余数。
下面以四位数为例来说明这个命题。
设四位数为，则 
1000a+100b+10c+d 
= 999a+99b+9c+(a+b+c+d) 
=  完全平方数9(111a+11b+c)+(a+b+c+d) 
显然，a+b+c+d是四位数被9除的余数。
对于n位数，也可以仿此法予以证明。
关于完全平方数的数字和有下面的性质：
性质9：完全平方数的数字之和只能是0,1,4,7,9。
证明 因为一个整数被9除只能是9k,9k±1,9k±2,9k±3,9k±4这几种形式，而 
（9k)^2=9(9k^2)+0 
（9k±1)^2=9(9k^2±2k)+1 
（9k±2)^2=9(9k^2±4k)+4 
（9k±3)^2=9(9k^2±6k)+9 
（9k±4)^2=9(9k^2±8k+1)+7 
除了以上几条性质以外，还有下列重要性质：
性质10：为完全平方数的充要条件是b为完全平方数。
证明 充分性：设b为平方数，则 
==(ac) 
必要性：若为完全平方数，=，则 
性质11：如果质数p能整除a，但p的平方不能整除a，则a不是完全平方数。
证明 由题设可知，a有质因数p，但无因数，可知a分解成标准式时，p的次方为1，而完全平方数分解成标准式时，各质因数的次方均为偶数，可见a不是完全平方数。
性质12：在两个相邻的整数的平方数之间的所有整数都不是完全平方数，即若 
n^2 < k^2 < (n+1)^2 
则k一定不是整数。
性质13：一个正整数n是完全平方数的充分必要条件是n有奇数个因数（包括1和n本身）。
重要结论
⒈个位数是2,3,7,8的整数一定不是完全平方数； 
⒉个位数和十位数都是奇数的整数一定不是完全平方数； 
⒊个位数是6，十位数是偶数的整数一定不是完全平方数； 
⒋形如3n+2型的整数一定不是完全平方数； 
⒌形如4n+2和4n+3型的整数一定不是完全平方数； 
⒍形如5n±2型的整数一定不是完全平方数； 
⒎形如8n+2,8n+3,8n+5,8n+6,8n+7型的整数一定不是完全平方数； 
⒏数字和是2,3,5,6,8的整数一定不是完全平方数。
⒐四平方和定理：每个正整数均可表示为4个整数的平方和
两者区别
平方式和完全平方数的区别
（a+b）的平方=a的平方+2ab+b的平方 
（a-b）的平方=a的平方-2ab+b的平方 
完全平方式分两种，一种是完全平方和公式，就是两个整式的和括号外的平方。另一种是完全平方差公式，就是两个整式的差括号外的平方。算时有一个口诀“首末两项算平方，首末项乘积的2倍中间放，符号随中央。（就是把两项的乘方分别算出来，再算出两项的乘积，再乘以2，然后把这个数放在两数的乘方的中间，这个数以前一个数间的符号随原式中间的符号，完全平方和公式就用+，完全平方差公式就用-，后边的符号都用+）”
一个数如果是另一个整数的完全平方，那么我们就称这个数为完全平方数，也叫做平方数。
区别：完全平方式是代数式，完全平方数是自然数。
范例
例1]一个自然数减去45及加上44都仍是完全平方数，求此数。
解：设此自然数为x，依题意可得 
x-45=m^2; ⑴
x+44=n^2 ⑵
（m,n为自然数） 
⑵-⑴可得 :
n^2-m^2=89或：（n-m)(n+m)=89 
因为n+m>n-m 
又因为89为质数，
所以：n+m=89; n-m=1
解之，得n=45。代入⑵得。故所求的自然数是1981。例2]求证：四个连续的整数的积加上1，等于一个奇数的平方（1954年基辅数学竞赛题）。
分析 设四个连续的整数为，其中n为整数。欲证 
是一奇数的平方，只需将它通过因式分解而变成一个奇数的平方即可。
证明 设这四个整数之积加上1为m，则 
m为平方数
而n(n+1）是两个连续整数的积，所以是偶数；又因为2n+1是奇数，因而n(n+1)+2n+1是奇数。这就证明了m是一个奇数的平方。例3]求证：11,111,1111，这串数中没有完全平方数（1972年基辅数学竞赛题）。
分析 形如的数若是完全平方数，必是末位为1或9的数的平方，即 
或 
在两端同时减去1之后即可推出矛盾。
证明 若，则 
因为左端为奇数，右端为偶数，所以左右两端不相等。
若，则 
因为左端为奇数，右端为偶数，所以左右两端不相等。
综上所述，不可能是完全平方数。
另证 由为奇数知，若它为完全平方数，则只能是奇数的平方。但已证过，奇数的平方其十位数字必是偶数，而十位上的数字为1，所以不是完全平方数。例4]试证数列49,4489,444889，的每一项都是完全平方数。
证明 
= 
=++1 
=4+8+1 
=4()(9+1)+8+1 
=36 ()+12+1 
=(6+1) 
即为完全平方数。例5]用300个2和若干个0组成的整数有没有可能是完全平方数？ 
解：设由300个2和若干个0组成的数为A，则其数字和为600 
3|600 ∴3|A 
此数有3的因数，故9|A。但9|600，∴矛盾。故不可能有完全平方数。例6]试求一个四位数，它是一个完全平方数，并且它的前两位数字相同，后两位数字也相同（1999小学数学世界邀请赛试题）。
解：设此数为 aabb，则：aabb=a0b*11 
此数为完全平方，则必须是11的倍数。因此11|a + b，而a,b为0,1,2,9，故共有（2,9),(3,8),(4,7),(5,6）等8组可能。
直接验算，可知此数为7744=88*88例7]求满足下列条件的所有自然数：
⑴它是四位数。
⑵被22除余数为5。
⑶它是完全平方数。
解：设，其中n,N为自然数，可知N为奇数。
11|N - 5或11|N + 6 
或 
n = 1 不合
n = 2 1369
n = 3 3481 2601
n = 4 6561 5329
n = 5 9025
所以此自然数为1369,2601,3481,5329,6561,9025。例8]甲、乙两人合养了n头羊，而每头羊的卖价又恰为n元（n为整数），全部卖完后，两人分钱方法如下：先由甲拿十元，再由乙拿十元，如此轮流，拿到最后，剩下不足十元，轮到乙拿去。为了平均分配，甲应该补给乙多少元（第2届“祖冲之杯”初中数学邀请赛试题）？ 
解：n头羊的总价为元，由题意知元中含有奇数个10元，即完全平方数的十位数字是奇数。如果完全平方数的十位数字是奇数，则它的个位数字一定是6。所以，的末位数字为6，即乙最后拿的是6元，从而为平均分配，甲应补给乙2元。例9]矩形四边的长度都是小于10的整数（单位：公分），这四个长度数可构成一个四位数，这个四位数的千位数字与百位数字相同，并且这四位数是一个完全平方数，求这个矩形的面积（1986年缙云杯初二数学竞赛题）。
解：设矩形的边长为x,y，则四位数 
∵N是完全平方数，11为质数 ∴x+y能被11整除。
又，得x+y=11。
∴∴9x+1是一个完全平方数，而，验算知x=7满足条件。又由x+y=11得。例10]求一个四位数，使它等于它的四个数字和的四次方，并证明此数是唯一的。
解：设符合题意的四位数为，则，∴为五位数，为三位数，∴。经计算得，其中符合题意的只有2401一个。
讨论题
⒈（1986年第27届IMO试题） 设正整数d不等于2,5,13，求证在集合{2,5,13,d}中可以找到两个不同的元素a,b，使得ab -1不是完全平方数。
⒉求k的最大值，使得可以表示为k个连续正整数之和。
⒊某校2001年的学生人数是个完全平方数。该校2002年的学生人数比上一年多101人，这个数字也是完全平方数。该校2002年学生人数是多少？