标题：孪生素数猜想
简介
孪生素数即相差2的一对素数。例如3和5 ，5和7，11和13，…，10016957和10016959等等都是  公式的出处孪生素数。
1900年希尔伯特在国际数学家大会上说有了素数公式，哥德巴赫猜想和孪生素数猜想都可以得到解决。刚刚去世的浙江大学沈康身教授也认为
有了素数普遍公式，就可以解决大多数数论难题。
孪生素数是指一对素数，它们之间相差2。例如3和5，5和7，11和13，10016957和10016959等等都是孪生素数。
孪生素数猜想，即是否存在无穷多对孪生素数，是数论中未解决的一个重要问题。哈代-李特尔伍德猜想（Hardy-Littlewood conjecture）是孪生素数猜想的一个增强形式，猜测孪生素数的分布为：π2(x)~2{C2}∫dt/(lnt)^2，其中 π2(x) 表示小于x 的孪生素数的数目， C2 被称为孪生素数常数（twin prime constant），其数值为：0.660.....。2{C2}》1.32，∫dt/(lnt)^2≈x/(Ln(x))^2，x/(Ln(x))^2的数量可以转换成便于理解数量大小的“同底幂的指数差”：
e^（2^m)/（2^m)^2=e^（2^m)/2^（2m）≈e^（2^m-(0.69）*2m）≈2^（1.44*2^m-2m），或
者：e^（10^m))/ （10^（2m))=10^{[（10^m)/Ln10]-2m}≈10^(0.434*10^m-2m），
公式
孪生素数有一个十分精确的普遍公式，是根据一个定理：“若自然数Q与Q+2都不能被不大于根号（Q+2）的任何素数整除，则Q与Q+2是一对素数，称为相差2的孪生素数。这一句话可以用公式表达：
Q=p1m1+b1=p2m2+b2=....=pkmk+bk . （1）
其中p1，p2，...，pk表示顺序素数2，3，5，....。b≠0， b≠pi-2。（即最小剩余不能是0和pi-2.。不能是2m，3m，5m，...，pkm形，不能是3m+1，5m+3，7m+5，....，pkm-2形）。若Q<P（k+1）平方减2 [注：P后面的1，2，3，......，，K，（k+1）是脚标]，则Q与Q+2是一对孪生素数。
例如，29，29和29+2不能被不大于根号（29+2）的任何素数2，3，5整除，29=2m+1=3m+2=5m+4， 29<49-2（即7的平方减2）所以29与29+2是一对孪生素数。
下面用“*”表示平方。即：㎡=m*。
上式可以用同余式组表示：
Q≡b1(modp1），Q≡b2(modp2），...，Q≡bk(modpk）。（2）。
由于（2）式的模p1，p2，...，pk两两互素，根据孙子（中国剩余）定理，对于给定的b值，（2）式在p1p2...pk范围内有唯一的解。例如29，
29≡1(mod2），29≡2(mod3），29≡4(mod5）。29<7*-2，即49-2。所以29是一个素数。29在2×3×5=30范围内有唯一解。
例如，k=1时，Q=2 m+1，解得Q=3和5，5<3*-2，得知3与3+2，5与5+2是两对孪生素数。从而得到了（3，3*）区间的全部孪生素数。k=2时，Q=2m+1=3m+2。解得Q=5，11，17。17<5*-2，得知11与11+2，17与17+2是孪生素数对，从而得到（5，5*）区间的全部孪生素数。
k=3时，
*********************|----5m+1-----|-5m+2-|-5m+4-|
---------------------------------------------------------|
Q=2m+1=3m+2=|-11-，-41-；|---17---|---29---|
---------------------------------------------------------|
从而求得了（7，7*）区间的全部孪生素数对。
k=4，时，解得：
******************************|-7m+1-|-7m+2-|-7m+3-|-7m+4-|-7m+6-|
Q=2m+1=3m+2=5m+1=|---71---|--191--|--101---|---11--|----41--|
Q=2m+1=3m+2=5m+2=|--197--|--107--|---17----|--137--|--167--|
Q=2m+1=3m+2=5m+4=|---29--|--149--|----59----|--179--|--209--|
---------------------------------------------------------------------------------------
求得了（11，11*）区间的全部解。
仿此下去，可以求得任意给定的数以内的全部孪生素数，并且一个不漏地得到。
注意，在k≥4时，利用表格，我们不需要通过计算，或者埃拉托赛尼筛法求得解，而是只要填写即可。表格的数字十分有规律。人类已经不依赖埃氏筛。可以通过组装或者克隆素数。这对大数密码是一个强烈的冲击。
由于b≠0，（1）（2）式的本质就是从p1p2p3....pk中筛去p1m，p2m，...，pkm形的数k次；；由于b≠pi-2，（1）（2）式是从p1p2p3...pk中筛去p1m-2，p2m-2，p3m-2，....，pkm-2形的数k次，共筛2k次。
孪生素数猜想就是要证明（1）式或者（2）式在k值任意大时都有小于p{k+1）平方减2的解。详细情况可以参见“百度百科”词条“孪生素数普遍公式”，以及“素数普遍公式”。利用（1）（2）式证明孪生素数猜想变得十分容易，希尔伯特等数学家都是这样认为的.
根据孙子定理得知，（1）（2）式在p1p2p3...pk范围内有：
（2-1）×（3-2）×（5-2）×....×（pk-2）。（3）
个解。（p后面的1，2，3，...，k是脚标）。
孪生素数的筛法就是在埃拉托塞尼的筛后再筛去pm-2型的数。
下面的表格是50以内的数，我们用√50以下的素数2，3，5，7去筛，把2，3，5，7的倍数用圆括号“（）”圈起来，完成以后，再用“<>；”把已经圈起来的数减2用<>；圈起来。剩下的没有被圈起来的就是孪生素数Q与Q+2中的Q了。
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-----1-----|---<2>---|-----3-----|----（4）----|-----5-----|----（6）----|----<7>---|----（8）----|----（9）----|---（10）---|
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------|
-----11---|--（12）-|---<13>--|--（14）-|-（15）--|-（16）--|-----17---|--（18）--|--<19>--|---（20--|
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------|
---（21）---|----（22）---|--<23>---|-（24）--|-（25）--|-（26）--|-（27）-|---（28）-|---29---|--（30）-|
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------|
--<31>---|--（32）----|---（33）----|---（34）---|----（35）---|---（36）--|--<37>--|---（38）-----|---（39）--|---（40）---|
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------|
----41----|----（42）--|--<43>----|---（44）---|---（45）----|--（46）-|--<47>--|---（48）---|-（49）-|--（50）-|
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------|
现在剩下除了1以外还有3，5，11，17，29，41一共有6个Q，就是这6个Q与Q+2都是孪生素数。
（方法由俄亥俄卫斯里大学王蕊珂提供）筛法与公式是等价的。
附，公式的来历：
公元前250年同样是古希腊的数学家埃拉托塞尼提出一种筛法：
（一）“要得到不大于某个自然数N的所有素数，只要在2---N中将不大于√N的素数的倍数全部划去即可”。
（二）将上面的内容等价转换：“如果N是合数，则它有一个因子d满足1<d≤√N”。（《基础数论》13页，U杜德利著，上海科技出版社）..
（三）再将（二）的内容等价转换：“若自然数N不能被不大于（根号）√N的任何素数整除，则N是一个素数”。见（代数学辞典[上海教育出版社]1985年。屉部贞世朗编。259页）。
（四）这句话的汉字可以等价转换成为用英文字母表达的公式：
N=p1m1+a1=p2m2+a2=......=pkmk+ak。(A)
其中 p1，p2，.....，pk表示顺序素数2，3，5，，，，，。a≠0。即N不能是2m+0，3m+0，5m+0，...，pkm+0形。若N<P（k+1）的平方 [注：后面的1，2，3，....，k，（k+1）是脚标，由于打印不出来，凡字母后面的数字或者i与k都是脚标] ，则N是一个素数。
（五）可以把（A）等价转换成为用同余式组表示：
N≡a1(modp1）， N≡a2(modp2），.....，N≡ak(modpk）。(B)
再把（三）转换成为上面的公式（1）（2）。
孪生素数猜想
孪生素数猜想就是要证明K值任意大时（1） 式（2）式都有小于p*（k+1）的解。有了这个孪生素数普遍公式，证明孪生素数问题就像做一道中学数学题一样容易。
这是希尔伯特说的，因为孪生素数公式把孪生素数猜想转化成一个初等数论问题。事实上也是这样。例如，
假设最后一对孪生素数是59与61，那么对于下式：
Q=2m+b1=3m+b2=5m+b3=....=53m+b16=59m+b17=61m+b18. （4）
（61是第18个素数）。
来说，就没有小于67*-2的解。b≠0， b≠pi-2。若Q<67*-2，则Q与Q+2是一对孪生素数。（4）式可用同于式组表示：
Q≡1（mod2），Q≡2(mod3），...，Q≡b17(mod59），Q≡b18(mod61）。（5）
根据孙子定理，（4）式（5）式共有：
（2-1）×（3-2）×（5-2）×（7-2）×........×（59-2）×（61-2）。（6）
个解。
注意（4）式，Q与（Q+2）与2，3，5，.......，53，59，61互素。并且大于2，3，5，.......，53，59，61。如果Q<67*-2，则Q与（Q+2）
是一对大于61的孪生素数。既然我们已经假设了最大的孪生素数是59与61，那么（4）（5）式肯定没有小于67*-2的解，如果Q小于67*-2，则Q与（Q+2）是一对孪生素数。
可以分为几个步骤证明：
（1）：我们将2×3×5×7×....×53×59×61按59×61划分为一个区间：
[1，59×61]，[59×61+1，2×59×61]，...，，[（2×3×5X...X59×61）-（59×61）+1，2×3×5×....×59×61]。
共有2×3×5×....×53个区间。因为（4）（5）式的本质是从2×3×5×...×53×59×61范围内筛去 2m，3m，5m，...，53m，59m，61m形的数（筛k次）和2m-2，3m-2，5m-2，7m-2，...，53m-2，59m-2，61m-2形的数（筛k次）共2k次。
（2）：既然67*-2内没有解，我们只要证明：如果第一区间[1，59×61]无解，即67*-2内无解，（因为59×61<67*-2），[也就是（4）（5）式在p*k的内无解]。其它区间解的数目就不会超过2k个（此时k=18，，61是第18个素数）。（见下面的“引理”）。
（3）：[（2×3×5×…×47×53）×2×18]<[（2-1）×（3-2）×（5-2）×…×（59-2）×（61-2）]。
一一对应：右式在上，左式在下，（61-2）对应（2x18），（59-2）对应53，（53-2）对应47，（47-2）对应43，（43-2）对应41，（41-2）对应37。
[（2-1）X（3-2）X（5-2）X（7-2）X（11-2）X（13-2）X（17-2）X.....X（37-2）X（41-2）X（43-2）X（47-2）X（53-2）X（59-2）X（61-2）]
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------->2
[2X3X5X7X11X13X17X19X23X29X31X37X41X43X47X53X（2×18）]。
前面：
（2-1）X（3-2）X（5-2）X（7-2）X（11-2）X（13-2）X（17-2）X（19-2）X（23-2）X（29-2）X（31-2）X（37-2）
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------=1.086
2x3x5x7x11x13x17x19x23x29x31
后面每一项分子大于分母。
由于右式比左式多2项，所以造成：
（4）：每一项都是上端大于下端或者等于下端。造成了下端假设解的数目少于（4）（5）式固有的解（上端的数目（2-1）×（3-2）×（5-2）×....×（53-2）×（59-2）×（61-2），而上端解的数目是根据孙子定理得出的，与孙子定理相矛盾必然是错误的，所以原先假设最后一对孪生素数是59与61是错误的。这就是利用抽屉原则这个铁一样的定理，（（2-1）x（3-2）x（5-2）x（7-2）x...x（59-2）x（61-2）就是抽屉，2 x3x5x7x...x53x（2x18）就是信封，信封少于抽屉，至少有抽屉没有装上信封。
（5）这个证明是什么意思呢？就是说，如果假设59与61是最大的孪生素数，那么在（4）（5）式，就没有小于67平方减2的解，即第一区间（1，59×61）内无解，如果第一区间无解，其它区间的解就会少于2k个，即2×18=36个。这样就出现了与假设的矛盾，因为（4）（5）式的解是一个绝对的数目（即（6）式），他是由孙子定理得出的。与孙子定理矛盾显然是错误的，所以假设59与61是最大的孪生素数是不对的。
这个方法的优越性十分明显，可以避免循环论证，每一步都与前面一步有着十分清晰而明确的关系。并且可以直接导回原来的公式。
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附：引理：
“任何两个含连续自然数个数相等的区间，筛K次后被筛数（或者未被筛数）相差不超过K个”。
说明：本筛法与埃拉托赛尼筛法不同，埃氏筛先用2筛，然后把2的倍数剔除掉；再用3筛，又把3的倍数剔除掉；再用5筛，.....。本筛法是已经筛过的数不马上剔除掉，而是做上标记，等全部筛完过后再把筛过的数剔除掉。于是，有一些含有几个不同素因子的数就要被筛几遍，例如“6 ”，就要被“2，”和“3，”各筛一遍。
证明：根据除法算式定理：“给定正整数a和b，b不等于0，存在唯一整数a和r，（0≤r<b.）。使a=bq+r。”得知，如果从a中筛bm形数，a个连续自然数中，最多含有q+1个bm形数，r个连续自然数中，最多含有一个bm形数。例如，a=35，b=3，35=3x11+2，35个连续自然数中，最多含有11+1=12个3m形数，例如1---35有11个3m形数，36----70有12个3m形数。
现在设某两个区间为A与B，含自然数的个数分别为|A|与|B|，|A|=|B|，下证明p去筛，两区间被筛pm形数（或者未被筛数）个数相差最多不超过1个。由上所述筛法，用顺序素数p1，p2，...，pk依次去筛，两区间每次被筛pm形数（或者未被筛数）个数相差最多不超过1个，故筛k次两区间被筛数（或者未被筛数）个数最多不超过k个。
证法1，设|A|=pm+r，则|B|=pm+r，0≤r<p，即区间A和B中均至少含有m个pm形数，又由于r<p，故r个连续自然数中至多有一个pm形数，即被筛pm形数个数相差不超过1个。
证法2，假若不然，筛k次有两个区间A与B，被筛数相差大于K，比如有K+1个，那会出现什么问题呢？我们问第K+1是个什么（见图），例如A与B用2和3去筛，如果出现了相差3个，第一个记为2m形，第二个记为3m形，问第三个（-？-）是什么形式？（每一个括号表示一个自然数）。
A：（+）。（+）；-------------------（-）（-）（-）（-）。（-）；
B：（+）。（+）（2m)（3m)(-?-）；--------------------（-）。（-）；
|---------------已经筛过部分----------------|------------未经筛过部分------------|。
如果第三个（-？-）是2m或者3m形， 显然与除法算式定理矛盾；如果不是2m或者3m形，它就不应该“站在”已经筛过的行列。无论哪一种情况，假设都不能成立。证毕，（如果已经筛过部分A比B多K个，则未筛过部分B比A多k个，这个很好理解，正如一个故事所讲，第一俩车装了40位姑娘，第二俩车装了40位小伙子，停车时第二俩车的一部分小伙子坐上了第一俩车，第一俩车的司机不高兴了，说我只拉40个人，于是两俩车都是40个人，都有姑娘小伙，问：是第一俩车的姑娘多还是第二俩车的小伙子多？答案是显然的；第一俩车的姑娘与第二俩车的小伙子一样多）。
我们可以用公式表示：{|A1|=|A2|=...=|An|}→s(k):|Aj|-|Ai|≤K。
意思是连续自然数相等的区间|A1|，|A2|，....，|An| 筛（用s表示）k次，被筛数或者未被筛数相差不超过k个。即|Aj|-|Ai|≤K。
（注：原来以为这个问题是显然的，哪知，论文发表后，江西省九江市第一中学高三级黄晶晶同学发现必须给与证明，否则就是一个漏洞，给编辑部写信。时间是2002年，后来得知，黄晶晶考入一所著名大学的数学系，经过两年多努力，才完成“任何两个含连续自然数个数相等的区间，筛k次被筛数（或者未被筛数）相差不大于k个，证法2由美国俄亥俄州威斯理昂大学王蕊珂给出）。
  文章的出处
相差6的素数
引言人们在研究相差2的孪生素数时就注意到相差6的孪生素数，发现后者比前者多的多。100以内有8对相差2的孪生素数：3，5；5，7；11，13；17，19；29，31；41，43；59，61；71，73.在100以内有15对相差6的孪生素数：5，11；7，13；11，17；13，19；17，23；23，29；31，37；37，43；47，53；53，59；61，67；67，73；73，79；83，89；。人们不禁要问（1）是否有一个可以表示所有相差6的孪生素数公式？（2）相差6的孪生素数有多少对？（3）为什么相差6的孪生素数比相差2的孪生素数要多？孪生素数公式有定理“若自然数R与R+6不能被不大于根号（R+6）的任何素数整除，则R与R+6是一对相差6的孪生素数”。这句话可以用公式表达：
R=p1m1+g1=p2m2+g2=.....=pkmk+gk。（7）
其中p1，p2，p3，...，pk表示顺序素数2，3，5，.....。gi不等于0，gi不等于pi-6。若R<p*(k+1）-6.，则R与R+6是一对相差6的孪生素数。（7）式的同于形式：
R≡g1(modp1），R≡（modp2），.......，R≡gk(modpk）。（8）
由于（8）式的模两两互素，根据孙子定理得知（8）式在给定g值时在p1p2...pk范围内有唯一解。
例如，k=2时，
R=2m+1=3m+1。解得R=7，13；R=2m+1=3m+2..解得R=5，11，17.。即7与7+6，13与13+6，5与5+6，11与11+6，17与17+6是相差6的孪生素数。求得了（3，5*）区间的全部解。
例如k=3时，
********************|--5m+1-|--5m+2---|--5m+3-|
R=2m+1=3m+1=|---31---|-7--,--37--|---13---|
R=2m+1=3m+2=|-11-,-41-|----17----|----23---|
-----------------------------------------------------------------------------------------------------
求得了（5，7*）区间的全部解。
例如k=4时，解得：
*****************************|--7m+2--|--7m+3--|--7m+4--|--7m+5--|--7m+6--|
R=2m+1=3m+1=5m+1=|---121---|---31-----|---151---|---61-----|----181--|
R=2m+1=3m+1=5m+2=|----37----|---157---|-----67---|---187---|-----97---|
R=2m+1=3m+1=5m+3=|----163---|----73---|----193---|---103---|-----13---|
R=2m=1=3m+2=5m+1=|----191---|---101---|-----11---|---131---|----41----|
R=2m+1=3m+2=5m+2=|----107---|----17----|----137---|---47----|----167---|
R=2m+1=3m+2=5m+3=|-----23----|---143---|-----53----|----73---|-----83---|
-------------------------------------------------------------------------------------------------------
求得了（7，11*）区间的全部解。仿此下去可以求得任意大的数以内的全部相差6的孪生素数。
（7）（8）式的本质是从p1p2p3....pk中筛去p1m，p2m，p3m，......，pkm形的数（筛k次），和p1m-6，p2m-6，p3m-6，.....，pkm-6形的数（筛k次）。即pm形的数筛k次，pm-6形的数筛k次，共2k次。但是，由于p1=2时，2m-6与2m是一回事，都是偶数2m形；p2=3时，3m-6与3m是一回事，都是3m形。所以（7）（8）式共有：
（2-1）×（3-1）×（5-2）×（7-2）×.....×（pk-2）.。（9）。
个解。相差6的孪猜想相差6的孪生素数是有限的还是无穷的？有了（5）（6）式，就很好证明。例如，如果我们假设最后一对相差6的孪生素数是23与29。那么对于下式：
R=2m+g1=3m+g2=5m+g3=7m+g4=11m+g5=13m+g6=17m+g7=19m+g8=23m+g9=29m+g10.。（10）
来讲，（29是第10个素数，字母后面的数字是脚标）。就没有小于“31*-6”的解。31*-6大于23x29。（10）式有：
（2-1）x（3-1）x（5-2）x（7-2）x（11-2）x（13-2）x（17-2）x（19-2）x（23-2）x（29-2）。（11）
个解。（10）式的解的数目是根据孙子定理得到的。
{1}。我们把2x3x5x7x11x13x17x19x23x29按23x29为一个区间，划分成2x3x5x7x11x13x17x19个区间。
[1，23x29），[23x29+1，2x23x29），.....，[2x3x5x7x11x13x17x19x23x29-23x29+1，2x3x5x7x11x13x17x19x23x29）。
（如k=4时，2x3x5x7=210，把5x7=35为一个区间，共有2x3=6个区间。1-----35；36-----70；71------105；106------140；141------175；176-----210）。
{2}。如果第一区间[1，23x29）无解，其它区间的解的数目不会超过2k个，即2x10=20个.。（参见上面的引理：任何两个含连续自然数个数相等的区间，筛k次被筛数（或者未被筛数）相差不超过k个）。
于是，（2x3x5x7x11x13x17x19）个区间总解数目不超过（2x3x5x7x11x1317x19）x20个。少于（7）式固有的解的数目。
（2x3x5x7x11x13x17x19x20） < （2-1）x（3-1）x（5-2）x（7-2）x（11-2）x（13-2）x（17-2）x（19-2）x（23-2）x（29-2）.。
一一对应，右端（29-2）对应左端20；右端（23-2）对应左端19；。，右端（7-2）对应左端5；右端（5-2）对应左端3；右端（3-1）对应左端2；
------------------------------------------------------------------------------
（2-1）（3-1）|（5-2）|（7-2）|（11-2）|（13-2）|（17-2）|（19-2）|（23-2）|（29-2）|;
----------------|------|-------|-----------|-----------|--------|--------|--------|--------|
-----------2---|---3--|--5---|-----7----|----11----|--13---|--17---|---19--|--20---|
--------------------------------------------------------------------------------------------|。；
每一项都是上面大于或者等于下面。上面的解的数目是由孙子定理给出的，下面的解的数目（是由于我们假设错误造成的）少于上面，说明原先假设是错误的，（抽屉原则）假设最大一对相差6的孪生素数是23与29是错误的。证毕。相关问题为什么相差6的孪生素数比相差2的孪生素数多？
这个问题很简单。因为相差6的孪生素数是在p1p2p3...pk的范围内有（2-1）×（3-1）×（5-2）×（7-2）×....×（pk-2）个解，而相差2的孪生素数是在p1p2p3...pk范围内有（2-1）×（3-2）×（5-2）×（7-2）×....×（pk-2）个解。第二项一个是（3-1），一个是（3-2），所以前者比后者多。
为什么许多人在证明中会出现错误？笔者读过许多著名数学家的论文，发现一个重要的原因是：不按逻辑规律。证明中必须依照1，同一律。2，不矛盾律。3，充足理由律。一般前两个还能够做到，最主要的是不能够按充足理由律去证明，因为在证明中，每一步都要求做到。例如，本文是根据一条定理出发，等价转换成公式（即（1）式），再等价转换成同于式组（2）式，而（2）式的解已经被孙子定理充分地，透彻地解释。由假设推出的孪生素数有限
，就会造成与孙子定理的矛盾。运用抽屉原则和一一对应的方法形成严密的逻辑体系。当然，也许还有漏洞，应该虚怀若谷等候批评。
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孪生素数是有限个还是有无穷多个?这是一个一直吸引着众多的数学家孜孜以求地钻研.早在20世纪初，德国数学家兰道就推测孪生素数有无穷多.许多迹象也越来越支持这个猜想.最先想到的方法是使用欧拉在证明素数有无穷多个所采取的方法.设所有的素数的倒数和为：
s=1/2+1/3+1/5+1/7+1/11+...
如果素数是有限个，那么这个倒数和自然是有限数.但是欧拉证明了这个和是发散的，即是无穷大.由此说明素数有无穷多个.1919年，挪威数学家布隆仿照欧拉的方法，求所有孪生素数的倒数和：
b=（1/3+1/5）+（1/5+1/7）+（1/11+1/13）+...
如果也能证明这个和比任何数都大，就证明了孪生素数有无穷多个了.这个想法很好，可是事实却违背了布隆的意愿.他证明了这个倒数和是一个有限数，现在这个常数就被称为布隆常数:b=1.90216054...布隆还发现，对于任何一个给定的整数m，都可以找到m个相邻素数，其中没有一个孪生素数。
若用PI2(x）表示小于 x的孪生素数对的个数.下表是10^16以下的孪生素数分布情况：
x PI2(x)
1000 35
10000 205 
100000 1224
1000000 8169
10000000 58980
100000000 440312 
1000000000 3424506
10000000000 27412679
100000000000 224376048
1000000000000 1870585220
10000000000000 1583466 4872
100000000000000 135780321 665
1000000000000000 1177209242304
10000000000000000 10304195697298 
孪生素数猜想证明及孪生素数快速准确判断介绍　一，孪生素数猜想正确
对应【百度百科 质数源数】的【孪素对最小概率、[105]位序域[Q]、特种形态自然数】，结论：
1，[孪素对]无穷多。
2，孪生素数猜想正确。
二，快速准确判断素数
1，对应【百度百科 质数源数】的【判断】，准确判断质数。
2，对应【平方根】，缩小判断范围。
3，两者结合，快速准确判断质数。
孪生素数猜想 深度难度无限扩展
首先找到孪生素数猜想的另外一种描述，即整体自然数中存在无穷多个单个合数。然后再把这种描述深度难度无限扩展，变成那么存在无穷多组任意奇数Q个连续合数。孪生素数猜想只不过是它成立的一个特殊例子。即为只在Q=1的时候，，，，