标题：二次函数性质
定义
一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系： 
一般式：y=ax^2+bx+c(a≠0，a、b、c为常数)，则称y为x的二次函数。 
顶点式：y=a(x-h)^2+k 
交点式（与x轴）：y=a(x-x1)(x-x2) 
重要知识：（a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a<0时，开口方向向下。IaI还可以决定开口大小,IaI越大开口就越小,IaI越小开口就越大。） 
二次函数表达式的右边通常为二次。 
x是自变量，y是x的二次函数 
x1,x2=[-b±√(b^2-4ac)]/2a(即一元二次方程求根公式)
表达式
①一般式y=ax^2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)②顶点式[抛物线的顶点 P(h，k) ]：y=a(x-h)^2+k③交点式[仅限于与x轴有交点 A(x1,0) 和 B(x2,0) 的抛物线]：y=a(x-x1)(x-x2)
转化
3种形式转化㏑
①一般式和顶点式
对于二次函数y=ax^2+bx+c，其顶点坐标为(-b/2a,(4ac-b^2)/4a)，即
h=-b/2a=(x1+x2)/2
k=(4ac-b^2)/4a
②一般式和交点式
x1,x2=[-b±√(b^2-4ac)]/2a(即一元二次方程求根公式)
有关性质
抛物线的性质1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线x = -b/2a。
对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。
特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0）
2.抛物线有一个顶点P，坐标为P ( -b/2a ，(4ac-b^2)/4a )
当-b/2a=0时，P在y轴上；当Δ= b^2-4ac=0时，P在x轴上。
3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。
当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
|a|越大，则抛物线的开口越小。
4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。
当a与b同号时（即ab>0），对称轴在y轴左；
当a与b异号时（即ab<0），对称轴在y轴右。
5.常数项c决定抛物线与y轴交点。
抛物线与y轴交于（0，c）
6.抛物线与x轴交点个数
Δ= b^2-4ac>0时，抛物线与x轴有2个交点。
Δ= b^2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。
Δ= b^2-4ac<0时，抛物线与x轴没有交点。X的取值是虚数（x= -b±√b^2－4ac 乘上虚数i，整个式子除以2a）
当a>0时，函数在x= -b/2a处取得最小值f(-b/2a)=4ac-b^2/4a；在{x|x<-b/2a}上是减函数，在{x|x>-b/2a}上是增函数；抛物线的开口向上；函数的值域是{y|y≥4ac-b^2/4a}相反不变
当b=0时，抛物线的对称轴是y轴，这时，函数是偶函数，解析式变形为y=ax^2+c(a≠0)
7.定义域：R 
值域：（对应解析式，且只讨论a大于0的情况，a小于0的情况请读者自行推断）①[(4ac-b^2)/4a，正无穷）；②[t，正无穷） 
奇偶性：非奇非偶 （当且仅当b=0时，函数解析式为f（x）=ax^2+c, 此时为偶函数）
周期性：无 
解析式： 
①y=ax^2+bx+c[一般式] 
⑴a≠0 
⑵a>0，则抛物线开口朝上；a<0，则抛物线开口朝下； 
⑶极值点：（-b/2a，(4ac-b^2)/4a）； 
⑷Δ=b^2-4ac, 
Δ>0，图象与x轴交于两点： 
（[-b+√Δ]/2a，0）和（[-b+√Δ]/2a，0）； 
Δ=0，图象与x轴交于一点： 
（-b/2a，0）； 
Δ<0，图象与x轴无交点； 
②y=a(x-h)^2+t[配方式] 
此时，对应极值点为（h，t），其中h=-b/2a，t=(4ac-b^2)/4a）；二次函数的性质特别地，二次函数（以下称函数）y=ax^2+bx+c，
当y=0时，二次函数为关于x的一元二次方程（以下称方程），
即ax^2+bx+c=0
此时，函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根。
函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。 
1．二次函数y=ax^2，y=a(x-h)^2，y=a(x-h)^2 +k，y=ax^2+bx+c(各式中，a≠0)的图象形状相同，只是位置不同，它们的顶点坐标及对称轴如下表： [1]
解析式
y=ax^2+ky=ax^2
y=a(x-h)^2 
y=a(x-h)^2+k 
y=ax^2+bx+c
顶点坐标
(0,k)(0，0) 
( h，0)
(h，k) 
(-b/2a，sqrt[4ac-b^2]/4a)
对 称? 轴 
x=0/y轴x=0？
x=h 
x=h 
x=-b/2a
当h>0时，y=a(x-h)^2的图象可由抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位得到，
当h<0时，则向左平行移动|h|个单位得到．
当h>0,k>0时，将抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a(x-h)^2+k的图象；
当h>0,k<0时，将抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)^2+k的图象；
当h<0,k>0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向上移动k个单位可得到y=a(x-h)^2+k的图象；
当h<0,k<0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)^2+k的图象；
因此，研究抛物线 y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象，通过配方，将一般式化为y=a(x-h)^2+k的形式，可确定其顶点坐标、对称轴，抛物线的大体位置就很清楚了．这给画图象提供了方便． 
2．抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象：当a>0时，开口向上，当a<0时开口向下，对称轴是直线x=-b/2a，顶点坐标是(-b/2a，[4ac-b^2]/4a)．
3．抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0)，若a>0，当x ≤ -b/2a时，y随x的增大而减小；当x ≥ -b/2a时，y随x的增大而增大．若a<0，当x ≤ -b/2a时，y随x的增大而增大；当x ≥ -b/2a时，y随x的增大而减小． 
4．抛物线y=ax^2+bx+c的图象与坐标轴的交点： 
(1)图象与y轴一定相交，交点坐标为(0，c)； 
(2)当△=b^2-4ac>0，图象与x轴交于两点A(x1，0)和B(x2，0)，其中的x1,x2是一元二次方程ax^2+bx+c=0
(a≠0)的两根．这两点间的距离AB=|x2-x1| 另外，抛物线上任何一对对称点的距离可以由|2×（-b/2a）－A |（A为其中一点的横坐标）
当△=0．图象与x轴只有一个交点； 
当△<0．图象与x轴没有交点．当a>0时，图象落在x轴的上方，x为任何实数时，都有y>0；当a<0时，图象落在x轴的下方，x为任何实数时，都有y<0． 
5．抛物线y=ax^2+bx+c的最值（也就是极值）：如果a>0(a<0)，则当x= -b/2a时，y最小(大)值=(4ac-b^2)/4a． 
顶点的横坐标，是取得极值时的自变量值，顶点的纵坐标，是极值的取值． 
6．用待定系数法求二次函数的解析式 
(1)当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知x、y的三对对应值时，可设解析式为一般形式：
y=ax^2+bx+c(a≠0)． 
(2)当题给条件为已知图象的顶点坐标或对称轴时，可设解析式为顶点式：y=a(x-h)^2+k(a≠0)． 
(3)当题给条件为已知图象与x轴的两个交点坐标时，可设解析式为两根式：y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)． 
7．二次函数知识很容易与其它知识综合应用，而形成较为复杂的综合题目。因此，以二次函数知识为主的综合性题目是中高考的热点考题，往往以大题形式出现．
其它
关于二次函数的答题
函数y=2x+1的图象与抛物线y=2x^2+2x+1的图像交于一点，求此点坐标.
解:由题知2x+1=2x^2+2x+1
所以:2x^2=0
x1=x2=0
y=2*0+1
所以:该点坐标为(0,1)