标题：射影几何学
发展简况
十七世纪，当笛卡儿和费尔马创立的解析几何问世的时候，还有一门几何学同时出现在人们的面前。这门几何学和画图有很密切的关系，它的某些概念早在古希腊时期就曾经引起一些学者的注意，欧洲文艺复兴  射影几何学时期透视学的兴起，给这门几何学的产生和成长准备了充分的条件。这门几何学就是射影几何学。
基于绘图学和建筑学的需要，古希腊几何学家就开始研究透视法，也就是投影和截影。早在公元前200年左右，阿波罗尼奥斯就曾把二次曲线作为正圆锥面的截线来研究。在4世纪帕普斯的著作中，出现了帕普斯定理。
在文艺复兴时期，人们在绘画和建筑艺术方面非常注意和大力研究如何在平面上表现实物的图形。那时候，人们发现，一个画家要把一个事物画在一块画布上就好比是用自己的眼睛当作投影中心，把实物的影子影射到画布上去，然后再描绘出来。在这个过程中，被描绘下来的像中的各个元素的相对大小和位置关系，有的变化了，有的却保持不变。这样就促使了数学家对图形在中心投影下的性质进行研究，因而就逐渐产生了许多过去没有的新的概念和理论，形成了射影几何这门学科。
射影几何真正成为独立的学科、成为几何学的一个重要分支，主要是在十七世纪。在17世纪初期，开普勒最早引进了无穷远点概念。稍后，为这门学科建立而做出了重要贡献的是两位法国数学家——笛沙格和帕斯卡。
迪沙格是一个自学成才的数学家，他年轻的时候当过陆军军官，后来钻研工程技术，成了一名工程师和建筑师，他很不赞成为理论而搞理论，决心用新的方法来证明圆锥曲线的定理。1639年，他出版了主要著作《试论圆锥曲线和平面的相交所得结果的初稿》，书中他引入了许多几何学的新概念。他的朋友笛卡尔、帕斯卡、费尔马都很推崇他的著作，费尔马甚至认为他是圆锥曲线理论的真正奠基人。
迪沙格在他的著作中，把直线看作是具有无穷大半径的圆，而曲线的切线被看作是割线的极限，这些概念都是射影几何学的基础。用他的名字命名的迪沙格定理：“如果两个三角形对应顶点连线共点，那么对应边的交点共线，反之也成立”，就是射影几何的基本定理。
帕斯卡也为射影几何学的早期工作做出了重要的贡献，1641年，他发现了一条定理：“内接于二次曲线的六边形的三双对边的交点共线。”这条定理叫做帕斯卡六边形定理，也是射影几何学中的一条重要定理。  帕斯卡定理示意图1658年，他写了《圆锥曲线论》一书，书中很多定理都是射影几何方面的内容。迪沙格和他是朋友，曾经敦促他搞透视学方面的研究，并且建议他要把圆锥曲线的许多性质简化成少数几个基本命题作为目标。帕斯卡接受了这些建议。后来他写了许多有关射影几何方面的小册子。
不过迪沙格和帕斯卡的这些定理，只涉及关联性质而不涉及度量性质(长度、角度、面积)。但他们在证明中却用到了长度概念，而不是用严格的射影方法，他们也没有意识到，自己的研究方向会导致产生一个新的几何体系射影几何。他们所用的是综合法，随着解析几何和微积分的创立，综合法让位于解析法，射影几何的探讨也中断了。
射影几何的主要奠基人是19世纪的彭赛列。他是画法几何的创始人蒙日的学生。蒙日带动了他的许多学生用综合法研究几何。由于迪沙格和帕斯卡等的工作被长期忽视了，前人的许多工作他们不了解，不得不重新再做。
1822年，彭赛列发表了射影几何的第一部系统著作。他是认识到射影几何是一个新的数学分支的第一个数学家。他通过几何方法引进无穷远虚圆点，研究了配极对应并用它来确立对偶原理。稍后，施泰纳研究了利用简单图形产生较复杂图形的方法，线素二次曲线概念也是他引进的。为了摆脱坐标系对度量概念的依赖，施陶特通过几何作图来建立直线上的点坐标系，进而使交比也不依赖于长度概念。由于忽视了连续公理的必要性，他建立坐标系的做法还不完善，但却迈出了决定性的一步。
另—方面，运用解析法来研究射影几何也有长足进展。首先是莫比乌斯创建一种齐次坐标系，把变换分为全等，相似，仿射，直射等类型，给出线束中四条线交比的度量公式等。接着，普吕克引进丁另一种齐次坐标系，得到了平面上无穷远线的方程，无穷远圆点的坐标。他还引进了线坐标概念，于是从代数观点就自然得到了对偶原理，并得到了关于一般线素曲线的一些概念。
在19世纪前半叶的几何研究中，综合法和解析法的争论异常激烈；有些数学家完全否定综合法，认为它没有前途，而一些几何学家，如沙勒，施图迪和施泰纳等，则坚持用综合法而排斥解析法。还有一些人，如彭赛列，虽然承认综合法有其局限性，在研究过程中也难免借助于代数，但在著作中总是用综合法来论证。他们的努力使综合射影几何形成一个优美的体系，而且用综合法也确实形象鲜明，有些问题论证直接?蚪唷?882年帕施建成第一个严格的射影几何演绎体系。
射影几何学的发展和其他数学分支的发展有密切的关系，特别是“群”的概念产生以后，也被引进了射影几何学，对这门几何学的研究起了促进作用。
把各种几何和变换群相联系的是克莱因，他在埃尔朗根纲领中提出了这个观点，并把几种经典几何看作射影几何的子几何，使这些几何之间的关系变得十分明朗。这个纲领产生了巨大影响。但有些几何，如黎曼几何，不能纳入这个分类法。后来嘉当等在拓广几何分类的方法中作出了新的贡献。
主要内容
概括的说，射影几何学是几何学的一个重要分支学科，它是专门研究图形的位置关系的，也是专门用来讨论在把点投影到直线或者平面上的时候，图形的不变性质的科学。
在射影几何学中，把无穷远点看作是“理想点”。通常的直线再加上一个无穷点就是无穷远直线，如果一个平面内两条直线平行，那么这两条直线就交于这两条直线共有的无穷远点。通过同一无穷远点的所有直  射影几何学线平行。
在引入无穷远点和无穷远直线后，原来普通点和普通直线的结合关系依然成立，而过去只有两条直线不平行的时候才能求交点的限制就消失了。
由于经过同一个无穷远点的直线都平行，因此中心射影和平行射影两者就可以统一了。平行射影可以看作是经过无穷远点的中心投影了。这样凡是利用中心投影或者平行投影把一个图形映成另一个图形的映射，就都可以叫做射影变换了。
射影变换有两个重要的性质：首先，射影变换使点列变点列，直线变直线，线束变线束，点和直线的结合性是射影变换的不变性；其次，射影变换下，交比不变。交比是射影几何中重要的概念，用它可以说明两个平面点之间的射影对应。
在射影几何里，把点和直线叫做对偶元素，把“过一点作一直线”和“在一直线上取一点”叫做对偶运算。在两个图形中，它们如果都是由点和直线组成，把其中一图形里的各元素改为它的对偶元素，各运算改为它的对偶运算，结果就得到另一个图形。这两个图形叫做对偶图形。在一个命题中叙述的内容只是关于点、直线和平面的位置，可把各元素改为它的对偶元素，各运算改为它的对偶运算的时候，结果就得到另一个命题。这两个命题叫做对偶命题。
这就是射影几何学所特有的对偶原则。在射影平面上，如果一个命题成立，那么它的对偶命题也成立，这叫做平面对偶原则。同样，在射影空间里，如果一个命题成立，那么它的对偶命题也成立，叫做空间对偶原则。
研究在射影变换下二次曲线的不变性质，也是射影几何学的一项重要内容。  射影几何学如果就几何学内容的多少来说，射影几何学< 仿射几何学< 欧氏几何学，这就是说欧氏几何学的内容最丰富，而射影几何学的内容最贫乏。比如在欧氏几何学里可以讨论仿射几何学的对象(如简比、平行性等)和射影几何学的对象(如四点的交比等)，反过来，在射影几何学里不能讨论图形的仿射性质，而在仿射几何学里也不能讨论图形的度量性质。
1872年，德国数学家克莱因在爱尔朗根大学提出著名的《爱尔朗根计划书》中提出用变换群对几何学进行分类，就是凡是一种变换，它的全体能组成“群”，就有相应的几何学，而在每一种几何学里，主要研究在相应的变换下的不变量和不变性。
研究图形的射影性质，即它们经过射影变换不变的性质。一度也叫做投影几何学，在经典几何学中，射影几何处于一种特殊地位，通过它可以把其他一些几何联系起来。
扩大空间和射影空间　在一个欧氏（或仿射）平面上，两条直线一般相交于一点，但有例外，平行线不相交。这种例外，使某些定理显得复杂。为了排除这种例外，在每条直线上添上一个理想点，叫做无穷远点，并假定平行直线相交于无穷远点。添上无穷远点的直线叫做扩大直线，它是闭的，象圆周那样，去掉它上面一点，不会使它分成两截。再假定不平行的直线有不同的无穷远点，这样，平面上一切无穷远点的集合就叫做无穷远（直）线，而添上无穷远线之后的平面就叫做扩大平面。扩大平面也是闭的，去掉它上面一条直线，不会使它分成两块。
同样，三维欧氏（或仿射）空间中一切无穷远点的集合叫做无穷远（平）面。添上无穷远面后的空间叫做扩大空间，它也是闭的。在扩大空间，不但平行直线交于一个无穷远点，而且平行平面交于一条无穷远直线，一条非无穷远直线和一个与它平行的平面交于一个无穷远点。
  帕斯卡如果再进一步，把无穷远元素（点、线、面）和非无穷远元素平等看待，不加区别，扩大空间就叫做射影空间。同样，从扩大直线和扩大平面可以得到射影直线和射影平面。在射影空间里，平行的概念消失了：两条共面直线或一个平面和一条直线总相交于一点，两个平面总相交于一条直线；此外，每两点总决定一条直线，每三个不共线点总决定一个平面，等等。
齐次坐标　为了能用代数方法来处理射影(或扩大)空间的几何问题，需要引进齐次坐标（有时还引进射影坐标）。
仍从欧氏（或仿射）平面开始。设在平面上已经建立了以□为原点的直角（或仿射）坐标系，(□，□)为一点□ 的坐标。令□则比值□0:□1:□2完全确定□ 的位置，(□0,□1,□2)就叫做□的齐次（笛氏）坐标。原点的齐次坐标显然可以写成(1,0,0)。设□不是原点□，则□1,□2不同时等于零；再令□1,□2固定，而令□0向0接近，则□点沿一条经过□而斜率为□2:□1的直线□向远方移动。设□表示扩大直线□上的无穷远点，则可以认为，当□0趋于□ 时，□趋于□。因此，可以把(0,□1,□2)作为□的齐次坐标，特殊地，(0,1,0)和(0,0,1)依次是□轴和□ 轴上无穷远点的齐次坐标。这样，每一组不同时为零的三个数□0,□1,□2 都是扩大平面上一点的齐次坐标，而若□ 为不等于零的数，则(□□0,□□1,□□2)和(□0,□1,□2)代表同一点，下面引进记号(□)=(□0,□1,□2),□(□)=(□□0,□□1,□□2)。
设□ (□1,□2不都是0)是欧氏（或仿射）平面上一条直线的方程。在用齐次坐标表示时，它可以写成
□， (1)这也就是扩大直线的齐次方程，这直线上的无穷远点是(0,□2,-□1)。扩大平面上的无穷远直线方程显然可以写成□0=0。这样，每一个齐次线性方程都代表扩大平面上一条直线。由于比值□0:□1:□2完全确定直线，(□)=(□0,□1,□2)就叫做（齐次）线坐标。为了区别两种齐次坐标，上面引进的(□)=(□0,□1,□2)就叫做（齐次）点坐标。方程(1)叫做点(□)和线(□)的关联条件或接合（即(□)在(□)上，或(□)经过(□)）条件。
当不区别无穷远元素和非无穷远元素，使扩大平面成为射影平面时，(□)和(□)就依次成为射影平面上的齐次点坐标和线坐标，它们都可以看作射影坐标的特款。
与此类似，可以得到扩大或射影直线上的点坐标(□)=(□0，□1)以及扩大或射影空间的点坐标(□)=(□0,□1,□2,□3)和面坐标(□)=(□0,□1,□2,□3)。在扩大或射影空间中，点(□)和面(□)的关联条件是□
下面，除非特别指明，所讨论的空间，就是三维射影空间，所讨论的点、线、面都是射影空间里的点，射影直线和射影平面。在射影空间，指定一个平面□0=0作为无穷远面，就得到扩大空间（见射影坐标）。
对偶原理　关联关系是射影平面和射影空间的基本关系。在关联条件(1)中，(□)和(□)有完全的对称性，这就使得直线和点可以在逻辑上取得平等的地位。它们叫做平面上的对偶元素。
设方程(1)里的□□是固定的，它就代表一条直线；令满足(1)的□□变动，就可以得到在该线上的一切点，这些点的集合叫做以(□)为底的点列，而(1)也就是点列的方程。根据线性方程理论,可以看出，点列中每三点线性相关。即：若(□),(□)是点列中任意两个不同的点，则它的每一点(□)都可以写成(□)和(□)的线性组合(□)=□□□(□)+□(□，)，其中□□□，□是齐次参数。在一定意义上，□□□，□也可以作为点列中的射影坐标。另一方面，若令(1)中的□□固定，而令□□变动，就得到一切经过点(□)的直线(□),它们的集合叫做以(□)为中心的线束，而(1)就是线束的方程，同时也是点(□)的方程。若(□),(□)是线束中任意两条直线，则线束的每一条直线(□)都可以写成
□。由于点列和线束中的元素都只依赖于两个齐次参数的比值，即依赖于一个独立参数，它们就都叫做一维基本形。
已给平面上一个以点和直线构成的图形，把其中的点和直线对换，就得到另一个图形，叫做所给图形的对偶。例如，点列（和一条直线关联的点的集合）和线束（和一点关联的直线的集合）是对偶形。三角形是自对偶形。
对于平面上一个只涉及点与直线的关联关系的定理，如果把其中的点和直线及其关联关系对换，就得到一个新定理，叫做原定理的对偶。“如果原定理成立，则它的对偶定理也成立。”称它为对偶定理。这是因为，从代数观点看，这两个定理的证明步骤是完全相同的。射影几何中，一个最早而又重要的定理是德扎格定理（图1德扎格定理示意图）：两个三角形□□□和□的对应顶点的联线□经过同一点的充要条件是它们的对应边□□和□；□□和□；□□和□的交点共线。这是个自对偶定理。如果不是在射影（或扩大）平面上而是在欧氏（或仿射）平面上，证明这个定理就需要区别并分别处理其中有某些直线平行的各种特款。
三维空间也有对偶定理。在空间，点和面是对偶元素，直线是自对偶元素。线束是自对偶形。空间还有一个一维基本形是面束，这是经过同一条直线的平面的集合。面束是点列的对偶。在同一个平面上的点的集合叫做点场，经过同一点的平面的集合叫做面把；点场和面把互为对偶。在同一个平面上的直线的集合叫做线场，经过同一点的直线的集合叫做线把；线场和线把互为对偶。点场，线场，面把，线把都是二维基本形。空间的点的集合和空间的平面的集合依次叫做点空间和面空间，它们是互为对偶的三维基本形。在空间，三角形的对偶是三棱形。三棱形由经过同一点的三条不共面的直线所构成，这三条直线两两确定三个不共线的平面。对于不共面的两个三角形，德扎格定理仍然成立，但在空间，它不是自对偶定理。
通过代数来说明对偶原理是简捷了当的，但不是必须的。
空间的直线构成一个四维集合（见直线几何）。
射影对应与射影变换 在一维基本形之间，可以通过投影和截影互相转化。
用{□}表示直线□上的点列，其中□表示点列中的任意点。设□为不在□上的一点，作直线□=SP，则当□在□上变动时，就得到以□为中心的线束{□},叫做点列{□}的投影，而{□}就叫做线束{□}的截影，□和 □叫做对应元素（图2点列和线束间的投影和截影）。再设□1为空间不在{□}的平面上的点，作经过□1和□的平面□，就得到以□□1为轴的面束{□}，它是{□}的投影，{□}是{□}的截影，□和□ 是对应元素（图3 线束和面束间的投影和截影）。若经过一系列的投影和截影，从一个一维基本形到另一个，这两个基本形就叫做射影相关，它们元素间的对应关系就叫做射影对应。一个射影对应所包含的两个变换叫做射影变换，它们互为逆变换。
在空间，通过投影和截影，点场和线把之间，线场和面把之间都可以互相转化，因而点场之间，线把之间，线场之间，面把之间也可以互相转化。至于二维基本形之间的其他转化，例如点场和线场之间的转化，则可以通过下面将要叙述的代数方法来确定。同样，三维基本形之间的转化也要通过代数方法。总之，两个二维基本形之间或两个三维基本形之间，也都可以有射影对应和射影变换。
已经指出，如何在点列，点场，点空间，以及线场和面空间里建立齐次坐标系。事实上，在任何一个一、二、三维的基本形里，都可以建立齐次（或叫射影）坐标（见射影坐标）。这样，射影对应或射影变换就可以通过齐次坐标间的满秩齐次线性变换来表示。例如，设(□),(□)为两个点场的齐次坐标，则射影变换(□)→(□)可以用三个变数的齐次线性变换
□　 (2)表示，式中det表示行列式；□是非零比例常数。解这个方程组，就得到逆变换(□)→(□)的方程。
射影变换的一个基本性质是保持关联关系，这等于说，它把线性相关的元素变成线性相关的元素。例如，点场之间的变换(2)就把点列变成点列，即直线变成直线，因而，它还把线束变成线束。由此又可以看出，只涉及关联关系的每个定理（如德扎格定理）一定代表一种射影性质，即经过射影变换不变的性质。换句话说，这种定理是一个射影定理。
关于射影对应，有一个基本定理。如果把一、二、三维的情况概括在一起，那就是：若在两个□维 (□=1,2,3)基本形中，分别指定一组□+2个元素，式中各组里的每□+1个元素线性无关，则两个基本形间，有惟一的射影对应，使两组元素按给定次序相对应。事实上，对于任意维射影对应，这个定理都成立。所谓“线性无关”，可以举例来说明：两个线性无关的点不重合，三个线性无关的点不共线，四个线性无关的点不共面。
射影变换也可以作用于扩大空间，但经过射影变换，无穷远元素可以变为非无穷远，非无穷远元素可以变为无穷远（例如平行平面可以变得不平行，不平行平面可以变得平行），因此，在未经扩大的欧氏或仿射空间里，射影变换不完全是一对一的。
交比交比是一项基本的射影不变量。
根据关于射影对应的基本定理，一维基本形（例如，点列）间的一个射影对应是由三对对应元素惟一地确定的。由此可以推知，若在一个射影对应中，一个一维基本形中的四个元素□1,□2，□3，□4依次对应于另一个一维基本形中的 □则四元素组□1，□2，□3，□4和□必有某种共性。交比就是这样的共性。
设在一个一维基本形中，元素□□(□=1,2,3,4)的齐次坐标是□，而用(□□，□□)表示行列式
□则交比
□ (3)交比经过射影变换（例如投影或截影）不变。
若在一个一维基本形中，随意选取三个不同的固定元素□1,□2,□3，而对于任意元素□，设
□则□ 的位置和□ 的一切值（包括∞）一一对应。特殊地，当□=□□时，□=∞；□=□□时，□=0；□=□□时，□=1。因此，□可以作为基本形中的非齐次坐标。若再令 □=□1/□0，则(□0,□1)是基本形中的齐次坐标，称为射影坐标。特殊地，□1,□2,□3的坐标依次是(0,1),(1,0)和(1,1)。这三个元素叫做射影坐标系的基元素。
在欧氏空间,若□1,□2,□3,□4是四个共线点，而用□□□□表示由□□到□□的有向线段长，则
□　在欧氏平面，若□□，□□，□□，□□是经过同一点的四条直线，而用(□□□□)表示由□□到□□的有向角，则
□
四个元素有24种排列法，但对于一般位置的四个元素只有 6个不同的交比值，对于某种特殊位置的四个元素，则六个交比值中至少有两个相等。例如，当交比(□□，□□，□□，□□)=-1时，这四个元素称为构成调和组。这时□□和□□，□□和□□都可以对调，元素偶□□，□□和□□，□□也可以对调，而交比不变；而且元素的其他次序所对应的交比值都是2或1/2。这表明，对于构成调和组的四个元素，变动其排列次序，只有3个不同的交比值，即－1,2,1/2。当然，在射影相关的基本形中，调和组对应于调和组。
在调和组□□，□□，□□，□□里，□□也叫做□□对于□□，□□的共轭；已给□□，□□和□□，可以用直尺作图求□□。图4求□□对于□□□□的调和共轭□□的作图法表示，已给点列中任意三点□□，□□和□□，求□□对于□□，□□的调和共轭□□的作图法。注意□，□可以是经过□□□的任意直线上的任意两点。还可以看出，当□□趋于□□（或□□）时，□□也趋于□□（或□□）。因此，调和组中可以有三点重合。
直射变换与对射变换，射影群　考虑一个平面上的二维射影变换。平面既是点场的底，又是线场的底，因此，它上面的一个射影变换可以把点变成点（或线变成线），也可以把点变成线（或线变成点），前一种叫做直射变换，后一种叫做对射变换。
直射变换的逆变换和它们的积（即两个直射变换接连作用所形成的变换）都是直射变换。因此，平面上一切直射变换构成群，叫做平面直射群。直射变换的特征是，它把共线的点变成共线的点，因而可以说，也把直线变成直线。一个直射变换可以用关于点坐标的线性变换(2)代表。如果它把直线(□)变成(□)，则通过关联条件可得
□ (4)式中□□是□□在方阵(□□)中的余因子，□是比例常数。可以认为，(2)和(4)代表着同一个直射变换，它们的区别只是在于：一个用了点坐标，一个用了线坐标。
与此类似，对射变换把共点的直线变成共线的点，把共线的点变成共点的直线，即把线变成点，把点变成线。两个对射变换之积是一个直射变换。对射变换不构成群，但是平面上一切直射变换和对射变换在一起构成群，叫做射影群。直射群是射影群的子群。但有时射影群这个名词也用来指直射群。
由于平面对射变换把点变成线，把线变成点，而又保持关联关系，它就体现了平面上的对偶原理。
同样，空间也有直射变换和对射变换，前者把点变成点，面变成面，后者把点变成面，面变成点；它们都把直线变成直线。空间一切直射变换构成直射群，一切直射变换和对射变换构成射影群。空间对射变换体现空间对偶原理。
直线上的一切点变点的射影变换构成直线上的射影群。
其他基本形里都有各自的射影群。
二次曲线与二次曲面　扩大平面上的二次曲线
□的齐次方程是
□ (5)式中□□=□□□表明(□□)是对称方阵。
在射影平面上，方程(5)所确定的点的轨迹就叫做一条二次曲线。与此相对偶，含线坐标的齐二次方程
□ (6)代表一个直线的集合，也叫做二次曲线。为了区别(5)和(6),它们所代表的点集和线集依次就叫做点（素）二次曲线和线（素）二次曲线。
用Г表示点二次曲线（5），并假定它是满秩的，即det(□□)≠0。在它上面的一点(□)，Г的切线方程是
□这些切线构成线二次曲线□，式中□□是□□在方阵(□□)里的余因子。按照对偶原理，点曲线的切线的对偶是线曲线的切点（两条“相邻”直线交点的极限位置），因而满秩线二次曲线的切点构成一个点二次曲线。
设□为不在满秩点二次曲线Γ上的任意点，经过□作直线□交Г于□1,□2两点（图5极点和极线）。设在□上，□点对于□1，□2的调和共轭是□，即(□1,□2;□，□)=-1。这样的两点□，□□叫做对于Г的共轭点。当□固定而令□转动时，□□的共轭□总是在一条直线□上，叫做□点对于Г的极线，而□就叫做直线□对于Г的极点。特殊地，若□为Г上的点，它的极线□就是Г在□的切线。显然，若□的极线经过□，则□的极线经过□。若□和□的齐次坐标依次为(□)和(□)，则
□ (7)这是一种特殊的对射对应，其特殊性在于(□□)是对称方阵，它叫做对于Γ的配极对应。配极变换的平方，即它和自己的乘积是幺变换（或叫恒等变换）。配极对应也可以体现对偶原理。
二次曲线可以通过射影产生法产生。若在平面上有两个射影相关的线束（即线束间建立了一宗射影对应），它们有不同的中心，而且它们的公共直线不对应于自己，则两线束中对应直线交点的轨迹是一条满秩点二次曲线。用对偶方法可以产生线二次曲线。
射影几何中，关于二次曲线一个最早的著名定理是帕斯卡定理（图6帕斯卡定理示意图）：满秩二次曲线的一个内接六边形□□□□□□的三对对边□□□和□□，□□和□□，□□和□□交于一条直线上。倒转来，若一个六边形的三对对边交点在一条直线上，则六边形顶点在一个二次曲线上，但这个二次曲线可能退化成直线偶。帕斯卡定理在平面上的对偶叫做布里昂雄定理。
帕斯卡定理的一个特款是帕普斯定理：若□，□，□ 和□□，□□，□□分别是两条直线上的三点，它们都不重合，则□□□和□□□，□□□和□□□，□□□和□□□交于共线的三点。  帕普斯定理在三维射影空间，设(□),(□)依次为齐次点坐标和面坐标，则含□□的一个齐二次方程□代表一个点（素）二次曲面，而含□□的一个齐二次方程代表一个面（素）二次曲面。满秩点二次曲面的切面构成一个满秩面二次曲面，而满秩面二次曲面的切点构成一个满秩点二次曲面。
关于满秩二次曲面也有配极对应，它使极点和极面互相对应，是空间的特殊对射对应。
直纹二次曲面也可以通过射影产生法产生。若两个射影相关的面束的轴是相错（即不共面）直线，则它们对应平面的交线构成一个直纹二次曲面的一族母线。
射影几何的子几何　射影群中有许多重要子群，对应于每一个这样的子群有一种几何，叫做射影几何的子几何。
为了简单明确起见，下面所说的射影群就是直射群，所说的射影变换是指直射变换，而且主要分析平面上的情况。
在扩大仿射平面上，令无穷远线□0=0不变的射影变换是仿射变换，用非齐次坐标表示，仿射变换的方程可以写成
□ (8)一切仿射变换所构成的仿射群，是射影群的一个子群。仿射变换保持平行性。
在扩大仿射平面的无穷远线□0□=0上，取两个共轭虚点□1(0,1,i),□2(0,1,-i),式中i2=-1。令点偶□1,I2（即□，□0=0）不变的仿射变换叫做相似变换；它们的方程可以写成 (8)的形状，但其中(□□)是正交方阵乘以一个常数：□一切相似变换构成相似群（也叫欧氏群或度量群），它是仿射群的子群，也是射影群的子群。有了□1,□2两点后，就可以通过射影方法在平面上引进距离和角的概念（见绝对形），相似变换把每个图形变成一个和它相似的图形，即一切长度按比例变化而角不变。这时扩大平面就可以叫做扩大欧氏平面，它上面的一切圆都经过□1□，□2。这两点就叫做无穷远圆点。
在相似变换中，系数□□□构成正交方阵 (即□□=±1)的，叫做全等变换（或运动）；式中det(□□)=1的叫做正常运动，det(□□)=-1的叫做反常运动。后者是一个正常运动和一个对直线反射之积。全等变换把每个图形变成一个和原图全等的图形。全等变换群（或运动群）是射影群、仿射群和相似群的子群。
已给一个空间□ 以及作用于它上面的变换所构成的一个群□，就可以判断，在□里，哪些图形性质经过□中的变换不变，研究这些性质的几何就叫做属于□的几何。若□1是□的子群，属于□1的几何就叫做属于□的几何的子几何。射影几何和仿射几何依次属于射影群和仿射群，而欧氏几何则可以认为属于相似群，但又部分地属于全等群；因为它既研究相似图形，又研究全等图形。欧氏几何是仿射几何的子几何，它和仿射几何又都是射影几何的子几何；由于它研究图形的度量性质(长度、角度、面积、……)，它也叫做度量几何。
群越大，不变性质越少而越带普遍性；群越小，不变性质越多而越丰富具体。这样，就可以通过不同的群之间的关系来理解不同的几何之间的关系。
空间□的图形还可以通过变换群□分类：把一切可以经过□的变换互相转化的图形归入同一个等价类。例如，一切满秩实迹（即有实点的）二次曲线都互相射影等价，即属于同一个射影类，它们却分为三个仿射类：和无穷远线不相交（于实点）的是椭圆，相切的是抛物线，相交于两（个实）点的是双曲线。每一个仿射类里的二次曲线又可以分为无数度量类；例如同是椭圆，两个半轴长比值不同的就不相似，半轴长不分别相等的就不全等。
两种非欧几何，即椭圆几何和双曲几何都是射影几何的子几何。在射影平面上，把虚迹二次曲线□□变为自己的一切射影变换构成射影群的一个子群，叫做椭圆（运动）群；属于它的几何就是椭圆几何，附有那个不变二次曲线的射影平面叫做椭圆平面。另一方面，把实迹二次曲线□变为自己，并把它的内部（即□的点的集合）变为内部的射影变换也构成射影群的一个子群，叫做双曲（运动）群；属于它的几何就是双曲几何；那个二次曲线内部就是双曲平面。非欧平面上的长度和角度概念也可以通过射影方法来引进。
射影几何另外一个重要子几何是闵科夫斯基几何。把点偶(0,1,1)和(0,1,-1)（即□）变为自己的一切射影变换构成洛伦兹群，属于它的几何就是闵科夫斯基几何。闵科夫斯基几何为狭义相对论提供了天然的几何说明；四维闵科夫斯基几何就是四维时空(见闵科夫斯基空间)。
上面所论的射影群的每个子群都有一个不变的图形（其中有些是虚迹图形），如对于仿射群的□0=0，对于相似群的□，对于椭圆群的□等。这种不变图形就叫做相应子几何的绝对形。
以上理论都可以推广到三维以至任意维空间。在三维空间，欧氏几何的绝对形是□□，它叫做无穷远虚圆；因为扩大欧氏平面的一切球面都经过它。空间椭圆几何，双曲几何和闵科夫斯基几何的绝对形依次是□□。
公理系统　上面把射影几何建立在欧氏空间的基础上，但这不是必要的。它可以建立在不涉及度量概念的公理系统上。
以三维射影几何为例，在那里，基本元素是点，直线和平面。射影几何公理的表达形式是多种多样的，一般可以分为三组。第一组叫做关联公理：例如，两点确定一条经过它们的直线，三个不共线点确定一个经过它们的平面，两个平面交于一条直线等等。第二组叫做次序公理：例如，已给直线上三点□，□，□，直线上必有一点□，使□，□和□，□互相隔离等等。第三组只含一个公理，即连续公理。射影直线上的连续公理实质上就是规定：去掉直线上一点以后，直线上剩下来的部分满足实数轴上的戴德金连续公理。
根据这些公理，便可以通过纯演绎方法建立起一个完整的实射影几何体系，包括射影坐标。所谓实射影几何，就是上面所讨论的射影几何，其中点的坐标是实数。
不同维的射影空间，可以在关联公理里加以区别。
只满足关联公理的空间可以称为一般射影空间；在那里面，仍然有射影变换，其相应的几何可以称为一般射影几何。如果把关联公理要求降低，也可以得到更一般的射影空间和射影几何。当然，在一个一般射影空间里，实射影几何的定理不完全成立。
也可以一开始就通过代数方法来建立射影几何。仍以实三维空间为例，设想每一个非零四实数组(□0,□1,□2,□3)为一点，成比例的四数组代表同一点；再假定线性相关的三点属于同一条直线，线性相关的四点属于同一个平面。这样就把实射影几何完全建立在实数域的基础上了。
用□+1数组代替四数组来表示点，就得到□维射影空间及其射影几何。
若令□+1数组(□0,□1,…，□□)里的□□属于某一个数域□，所得到的是一个一般射影几何。例如当□是复数域时，次序公理和连续公理都不能满足，得到的是很重要的复射影几何。上面从（实）仿射空间得到（实）欧氏空间时，就曾经利用了虚点□1,□2。
若□是一个有限域,所得到的一般射影空间只有有尽多个点，叫做有尽射影空间。例如，若□是特征等于3的模域，则射影平面上有13个点和13条线，每条线上有4个点，经过每点有4条线。如果要通过公理系统来建立这个空间，就要在关联公理中规定：每条线上不能有多于4个点。
历史沿革
射影几何的某些内容，公元前就发现了，但到19世纪上半叶才有短暂的突破。到19世纪，它才形成独立体系，最后臻于完备。
基于绘图学和建筑学的需要，古希腊几何学家就开始研究透视法，也就是投影和截影。早在公元前200年左右，阿波罗尼奥斯就曾把二次曲线作为正圆锥面的截线来研究。在4世纪帕普斯的著作中，出现了帕普斯定理。
在17世纪初期，J.开普勒最早引进了无穷远点概念(1604)。稍后，G.德扎格引进了无穷远点，除证明了上面提到的他的著名定理(1639)外，还引进了交比，调和比，以及对于二次曲线的极点和极线等概念，证明了交比经过透视不变。在他的影响下，B.帕斯卡也研究了有关射影几何的问题，并发表了他的著名定理（1640）。这些定理的特点是概括性强，只涉及关联性质而不涉及度量性质（长度、角度、面积）。但他们在证明中却用到了长度概念，而不是用严格的射影方法，他们也没有意识到，自己的研究方向会导致产生一个新的几何体系射影几何。他们所用的是综合法，随着解析几何和微积分的创立，综合法让位于解析法，射影几何的探讨也中断了。
射影几何的主要奠基人是 19世纪的J.-V.彭赛列。他是画法几何的创始人G.蒙日的学生。蒙日带动了他的许多学生（C.－J.布里昂雄是其中之一）用综合法研究几何。由于德扎格和帕斯卡等的工作被长期忽视了，前人的许多工作他们不了解，不得不重新再做。1822年，彭赛列发表了射影几何的第一部系统著作。他是认识到射影几何是一个新的数学分支的第一个数学家。他通过几何方法引进无穷远虚圆点，研究了配极对应并用它来确立对偶原理。稍后，J.施泰纳研究了利用简单图形产生较复杂图形（例如二次曲线和二次曲面）的方法，线素二次曲线概念也是他引进的(1832)。为了摆脱坐标系对度量概念的依赖，K.G.C.von施陶特通过几何作图来建立直线上的点坐标系(1847)，进而使交比也不依赖于长度概念。由于忽视了连续公理的必要性，他建立坐标系的做法还不完善，但却迈出了决定性的一步。
另一方面，运用解析法来研究射影几何也有长足进展。首先是A.F.麦比乌斯创建一种齐次坐标系，把变换分为全等，相似，仿射，直射等类型，给出线束中四条线交比的度量公式等(1827)。接着，J.普吕克引进了另一种齐次坐标系，得到了平面上无穷远线的方程，无穷远圆点的坐标。他还引进了线坐标概念，于是从代数观点就自然得到了对偶原理，并得到了关于一般线素曲线的一些概念。
在19世纪前半叶的几何研究中，综合法和解析法的争论异常激烈；有些数学家完全否定综合法，认为它没有前途，而一些几何学家，如M.沙勒，E.施图迪和施泰纳等，则坚持用综合法而排斥解析法。还有一些人，如彭赛列，虽然承认综合法有其局限性，在研究过程中也难免借助于代数，但在著作中总是用综合法来论证。他们的努力使综合射影几何形成一个优美的体系，而且用综合法也确实形象鲜明，有些问题论证直接而简洁。1882年，M.帕施建成第一个严格的射影几何演绎体系。
把各种几何和变换群相联系的是F.克莱因，他在埃尔朗根纲领(1872)中提出了这个观点，并把几种经典几何看作射影几何的子几何，使这些几何之间的关系变得十分明朗。这个纲领产生了巨大影响。但有些几何，如黎曼几何,不能纳入这个分类法。后来□嘉当等在拓广几何分类的方法中作出了新的贡献。