标题：欧几里得几何学
简介
简称  欧几里得　　欧几里得几何学简称欧氏几何，是以欧几里得平行公理为基础的几何学．它的创始人是古代希腊的伟大数学家欧几里得．他把当代希腊数学家积累的几何知识和逻辑推理的思想方法加以系统化，初步奠定了几何学的逻辑结构的基础．最早提出的著作19世纪末期，德国数学家希尔伯特于1899年发表了著名的著作《几何基础》，书中提出了一个欧几里得几何的完整的公理体系．从此人们将满足希尔伯特公理系统中的结合公理、顺序公理、合同公理、平行公理、连续公理等五组公理以及由其导出的一切推论组成的几何学叫做欧几里得几何学．特别指出的是，平行公理在欧几里得几何中有着很重要的作用．凡与平行公理有关的命题，都是欧几里得几何学的结论．如三角形三条高线共点；过不共线的三点恒有一圆；任何三角形三内角之和等于180°；存在相似形；勾股定理成立．中等学校数学中的三角函数理论、平面解析几何的基础理论，都是建立在欧几里得几何学的理论基础上的。克莱因理论1872年，德国数学家克莱茵在爱尔朗根大学提出著名的“爱尔朗根计划书”，明确了采用几何变换对各种几何进行分类．指出，如果一种几何变换，它的全体组成一个“群”，就相应有一种几何学．在每一种几何中主要研究在相应的变换下的不变性和不变量．根据这种观点，欧几里得几何学就是研究图形在合同变换下(或在运动变换下)不变的科学。[1]
创立
早期几何知识约公元前300年，古希腊数学家欧几里得集前人之大成，总结了人们在生产、生活实践中获得的大量的几何知识，规定了少数几个原始假定为公理、公设，并定义了一些名词概念，通过逻辑推理，得到一系列的几何命题，形成了欧几里得几何学，简称欧氏几何。著名作品欧几里得著有《几何原本》（以下简称《原本》）一书，该书共13卷，除第5、7、8、9、10卷是用几何方法讲述比例和算术理论以外，其他各卷都是论述几何问题的。这部书成为传播几何知识的教科书达2000年之久，现代初等几何学（即平面几何和立体几何）的内容基本全包括在此书内。中国最早的译本是明代万历年间（1607）由大学士徐光启与意大利天主教传教士利玛窦合译的《几何原本》前6卷。《原本》之所以具有价值，不仅因为欧几里得非常详尽地搜集了当时所知道的一切几何资料，而更重要的是把那些分散的知识用逻辑推理的方法编排成一个有系统的演绎的几何学体系。他是历史上第一个创造了一个比较完整的数学理论的人。
几何原本
介绍欧几里得的《几何原本》共有23个定义，5条公设，5条公理，他力图把几何学建立在这些原始的定义、公理和公设的基础上，然后以这些显然的假设为依据推证出体系里的一切定理。由于欧几里得所处的时代是人类文明的初期，受时代的局限，《原本》的逻辑系统不可能完美无缺，在许多地方出现了漏洞。例如：常常使用未经定义过的概念来解释一个新的概念；用了既不是公理，又不是公设，也没有证明过的结论作为论证命题的依据；等等。正因为如此，在《原本》问世后2000年中，一方面《原本》作为用逻辑来叙述科学的典范，对数学其他分支甚至整个科学发展起着深远的影响；另一方面，对于《原本》在逻辑上的欠缺进行修改、补充和研究工作从未停止过，对于《原本》中的定义、公理、公设的研究成了历代数学家的重要课题。尤其对于《原本》中的第五公设，许多数学家对它产生了怀疑，最终导致非欧几何的创建（见非欧几里得几何学）。
19世纪末，德国数学家D.希尔伯特第一次给出了完备的欧几里得几何公理系统。内容正如欧几里得所阐述的，《几何原本》是一个数学知识的逻辑体系，结构是由定义、公设、公理、定理组成的演绎推理系统。在第1卷开始他首先提出 23个定义，前6个定义是：①点没有大小；②线有长度没有宽度;③线的界是点；④直线上的点是同样放置的；⑤面只有长度和宽度；⑥面的界是线。在定义之后有5个公设:①从任意点到另一点可以引直线；②有限直线可以无限延长；③以任意点为圆心，可用任意半径作圆；④所有直角都相等；⑤如果两条直线与另一条直线相交，所成的同侧内角的和小于两直角，那么这两条直线在这一侧必相交。其次,有5个公理：①等于同量的量相等；②等量加等量其和相等；③等量减等量其差相等；④可重合的图形全等；⑤全体大于部分。在公理后面，欧几里得便证明各个命题，每个命题都要以公设、公理或它前面的命题作为证明的根据，按逻辑的相关性把它排列成命题1、2、3、…。这些命题实际上就是人们所说的“定理”。意义《几何原本》的重要性并不在于书中提出的哪一条定理。书中提出的几乎所有的定理在欧几里德之前就已经为人知晓，使用的许多证明亦是如此。欧几里得的伟大贡献在于他将这些材料做了整理，并在书中作了全面的系统阐述。这包括首次对公理和公设作了适当的选择（这是非常困难的工作，需要超乎寻常的判断力和洞察力）。然后，他仔细地将这些定理做了安排，使每一个定理与以前的定理在逻辑上前后一致。在需要的地方，他对缺少的步骤和木足的证明也作了补充。值得一提的是，《几何原本》虽然基本上是平面和立体几何的发展，也包括大量代数和数论的内容。    《几何原本》作为教科书使用了两千多年。在形成文字的教科书之中，无疑它是最成功的。欧几里得的杰出工作，使以前类似的东西黯然失色。该书问世之后，很快取代了以前的几何教科书，而后者也就很快在人们的记忆中消失了。《几何原本》是用希腊文写成的，后来被翻译成多种文字。它首版于1482年，即谷登堡发明活字印刷术30多年之后。自那时以来，《几何原本》已经出版了上千种不同版本。
在训练人的逻辑推理思维方面，《几何原本》比亚里土多德的任何一本有关逻辑的著作影响都大得多。在完整的演绎推理结构方面，这是一个十分杰出的典范。正因为如此，自本书问世以来，思想家们为之而倾倒。
公正地说，欧几里得的这本著作是现代科学产生的一个主要因素。科学绝不仅仅是把经过细心观察的东西和小心概括出来的东西收集在一起而已。科学上的伟大成就，就其原因而言，一方面是将经验同试验进行结合；另一方面，需要细心的分析和演绎推理。
我们不清楚为什么科学产生在欧洲而不是在中国或日本。但可以肯定地说，这并非偶然。毫无疑问，像牛顿、伽利略、哥白尼和开普勒这样的卓越人物所起的作用是极为重要的。也许一些基本的原因，可以解释为什么这些出类拔革的人物都出现在欧洲，而不是东方。或许，使欧洲人易于理解科学的一个明显的历史因素，是希腊的理性主义以及从希腊人那里流传下来的数学知识。
对于欧洲人来讲，只要有了几个基本的物理原理，其他都可以由此推演而来的想法似乎是很自然的事。因为在他们之前有欧里得作为典范（总的来讲，欧洲人不把欧几里得的几何学仅仅看作是抽象的体系；他们认为欧几里得的公设，以及由此而来的定理都是建立在客观现实之上的）。
上面提到的所有人物都接受了欧几里得的传统。他们的确都认真地学习过欧几里得的《几何原本》，并使之成为他们数学知识的基础。欧几里得对牛顿的影响尤为明显。牛顿的《数学原理》一书，就是按照类似于《几何原本》的“几何学”的形式写成的。自那以后，许多西方的科学家都效仿欧几里得，说明他们的结论是如何从最初的几个假设逻辑地推导出来的。许多数学家，像伯莎德·罗素、阿尔弗雷德·怀特海，以及一些哲学家，如斯宾诺莎也都如此。同中国进行比较，情况尤为令人瞩目。多少个世纪以来，中国在技术方面一直领先于欧洲。但是从来没有出现一个可以同欧几里得对应的中国数学家。其结果是，中国从未拥有过欧洲人那样的数学理论体系（中国人对实际的几何知识理解得不错，但他们的几何知识从未被提高到演绎体系的高度）。直到1600年，欧几里得才被介绍到中国来。此后，又用了几个世纪的时间，他的演绎几何体系才在受过教育的中国人之中普遍知晓。在这之前，中国人并没有从事实质性的科学工作。
在日本，情况也是如此。直到18世纪，日本人才知道欧几里得的著作，并且用了很多年才理解了该书的主要思想。尽管今天日本有许多著名的科学家，但在欧几里得之前却没有一个。人们不禁会问，如果没欧几里得的奠基性工作，科学会在欧洲产产吗？
如今，数学家们已经记识到，欧几里得的几何学并不是能够设计出来的惟一的一种内在统一的几何体系。在过去的150年间，人们已经创立出许多非欧几里得几何体系。自从爱因斯坦的广义相对论被接受以来，人们的确已经认识到，在实际的宇宙之中，欧几里得的几何学并非总是正确的。便如，在黑洞和中子星的周围，引力场极为强烈。在这种情况下，欧几里得的几何学无法准确地描述宇宙的情况。但是，这些情况是相当特殊的。在大多数情况下，欧几里得的几何学可以给出十分近似于现实世界的结论。
不管怎样，人类知识的这些最新进展都不会水削弱欧向里得学术成就的光芒。也不会因此贬低他在数学发展和建立现代科学成长必不可少的逻辑框架方面的历史重要性。[2]缺点欧几里得的《几何原本》，虽然在教育和科学意义上，在历史上受到很高的评价，但用现在的科学水平衡量，它的几何逻辑结构在严谨性上还存在很多缺点。首先，欧几里得的定义并不能成为一种数学定义，有的不过是几何对象点、线、面的一种直观描述，有的含混不清，这些定义在后面的论证中，实际上是无用的。其次，欧几里得的公设和公理，是远不够用的，因而在《几何原本》的许多命题的论证中，不得不借助直观，或者或明或暗地引用了用他的公设和公理无法证明的事实。特别要指出的是研究《几何原本》的许多学者都注意到欧几里得的第五公设比较复杂，看来很象定理。欧几里得之后的两千年很多学者都试图用其他公设和公理加以证明,但都失败。直到19世纪,C.F.高斯、H.И.罗巴切夫斯基、J.波尔约、（G.F.）B.黎曼等发现了非欧几何，才了解到欧几里得第五公设不是其余公设和公理的推论，不能用那些公设和公理来证明，而是一个独立的命题。 
在欧几里得几何体系中，第五公设和“在平面内过已知直线外一点，只有一条直线与已知直线平行”相等价，现在把后一命题称作欧几里得平行公理。它体现了“欧几里得几何”与“非欧几里得几何”的区别。