标题：双曲几何
从双曲几何到Gauss-Bonnet-Chern定理
早在高斯十五岁时，他就构想了一种几何，这种几何中欧几里得几何中的第五公设不再成立，他把这个几何称为“星空几何”，或许他预计到这种几何在浩瀚星空中可能实现。 
但是我们都知道，真正公开地、系统地提出这个几何的是Lobachevskii（有些英文文献是Lobachevsky，俄国人的名字再翻译成英文时可以有些小差别。）所以这种几何被称作“Lobachevskii几何（Lobachevskian Geometry），也称为双曲几何（Hyperbolic Geometry）。在双曲几何中，三角形内角和不再等于180度。但是我们需要的不仅是这个定性结果，而是要确定内角和与180度的偏差程度，即所谓的“角盈”，角度的盈余，当然这个盈余是广义上的盈余，如果差别为负数，那么就是负的盈余了：）
Gauss-Bonnet定理
描述这个差别的就是著名的（局部）Gauss-Bonnet定理，它将曲面的曲率与角盈直接联系在一起。曲面上多边形的Gauss曲率K在曲面上的积分加上多边形边界曲线的测地曲率k_g在边界上的积分再加上多边形外角和等于2π，如果这个多边形的 边界曲线是测地线，那么测地曲率就为0，这时候测地曲率的积分就为零，计算将大大简化。如果是测地三角形，那么我们马上可以得出三角形内角和公式的推广 。由于内角与外角的互补关系，所以公式将变为：三角形内角和减去π等于Gauss 曲率K在在三角形所围曲面上的积分。
结论
于是我们可以知道： 
如果K等于零，那么这刚好就是平面三角形，角盈为零，三角形内角和等于π； 
如果K大于零，那么这就是类似于球面上的三角形，角盈为正，三角形内角和大于π； 
如果K小于零，那么这就是类似于伪球面上的三角形，角盈为负，三角形内角和小于π。 
因此Gauss-Bonnet公式即使特殊化两次（第一次先让多边形边界曲线的测地曲率为零，第二次让多边形为三角形）后仍然得出这三个优美结果，直接推广了三角形内角和公式。
整体的Gauss-Bonnet定理更加优美
紧致定向的二维Riemann流形M（可以粗略地看为是曲面的推广）的Gauss曲率的积分值等于2πχ（M），其中χ（M）是M的 Euler示性数，典型的整体的离散值，而Gauss曲率可以连续取值的局部值。这里，测地曲率的线积分被直接抵消，我们想想复变函数中证明多连通域的Cauchy积分定理时辅助线积分的互相抵消得出得优美结果（实际上我们在证明多连通域的 Grenn定理时就有这个方法了），就可以类推想象这个结果。只是在整体Gauss- Bonnet定理的证明中是用了著名的“三角剖分”把区域分称一个个三角形，抵消线积分（在单连通域的Cauchy积分定理的现代证明中也用到三角剖分），而多连通域的Cauchy积分定理中是将多连通区域划分成一个个单连通区域。我们从这里 也可以看出数学中很多领域的研究有着异曲同工之妙。这样一个公式就巧妙地将起两个迥异的重要概念完美结合。
几何中的核心概念
后来，曲率经过Riemann的推广成为几何中的核心概念，Euler示性数经过Poincare的推广后成为拓扑学中的核心概念，这两个概念在整体微分几何中巧妙结合，而这种巧妙的结合就是由于Chern关于高维复流形（complex manifold）上的Gauss-Bonnet定理的直接的、内蕴的推广。果然应了“龙生龙，凤生凤，老鼠儿子会打洞”这句俗话。伟大的定理，经过伟大的推广，产生更加伟大的学科。
Nash嵌入定理
当年Weil和Allendorff用分块切割嵌入高维Euclidean空间中证明推广这个定理时，Nash嵌入定理还未出现，所以前提首先就不成立。在加上一个内蕴的优美结果 却用外蕴的方式来推广，实在很令人不满意。所以Chern一到美国，Weil就把这个想法告诉Chern，并断定这个定理一定有内蕴的证明方法。Chern很快就完成这个证明了。当时数一数二的数学大师Weyl看了这个结果后惊为神来之笔，赞叹祝贺。Weil则断定这是几何学里程碑式的伟大工作。
Riemanan几何
在这里，我们从双曲几何一直说到著名的Gauss-Bonnet-Chern定理，我们还要提 到一个人，那就是伟大的Riemann，正是他创立了狭义的Riemanan几何（Riemann Geometry），然后又把这个结果纳入他创立的极度深邃的“广义Riemanan几何 （Riemannian Geometry，分清楚与Riemann Geometry的区别，它们形式上差别是 “ian”，实质上的差别却是“常曲率”与“任意曲率”的差别），推广了Gauss 的曲面内蕴几何学，定义了抽象Riemann度量，仅仅在2维情形就直接摆脱了Euclidean空间的嵌入研究，使曲面的研究不再等价于3维Euclidean空间中的曲面 研究。著名的Poincare上半平面上定义了Poincare度量，它无法在3维Euclidean 空间中实现嵌入，Poincare度量就是Riemann度量的一种。 
正如Milnor的所言，双曲几何在Riemann几何出现前只是没手没脚的躯干而已。Riemann让这个躯干成为正常人体。 
Riemanan之后，Beltrami使伪球面上实现了局部的双曲几何，Klein在开单位圆（ 不包括圆周）上实现了整体的双曲几何，而Poincare在上半平面（不包括实数轴 ）上实现了整体双曲几何。容易证明，单位圆和上半平面存在共形映射，而单位 圆周和实数轴作为两个域的边界，也一一对应。在单位圆上赋予Poincare度量（Poincare metric），就可以计算出它的截面曲率为-1，证明双曲几何的空间曲 率小于零。正如我们所知道的，双曲几何从Poincare去世后发展至今，最牛的人 物是Thurston，Fields奖获得者。此外，这个学科的发展很缓慢，足见其艰难，也足见Poincare之伟大。 
大名鼎鼎的Schwarzschild早在26岁时就考虑过宇宙如果为弯曲的话，曲率半径应 该为多少，他在19世纪末时就说：“本世纪有人在Euclid几何之外提出non- Euclid几何，其主要实例就是球面空间和伪球面空间。我们如果知道可能具有有限曲率半径的球面和伪球面几何中世界是什么样子，我们会感到惊讶。如果有这种可能，你会感到自己处在几何学的仙境里；而且如此美妙的仙境会不会变为现实，我们也无法知道。” 
他还应用当时的天文学数据估算了3维空间曲率半径的极限，认为双曲空间与球形空间的曲率半径的下限分别为64光年和1600光年。 
我们当然知道，在1900年的时候，天文测距技术还是不完善的，实际上Einstein 提出静态宇宙学模型时（1917年）对宇宙大小的认识还是很模糊的，甚至于Hubble提出膨胀宇宙学说时，由于造父变星光度的分析有错误，使得宇宙的观测也相应出现严重失误。因此，在Schwarzschild那个时代，对宇宙有着如此的梦幻与计算，实在是非常了不起的。他的思想已经深入到双曲几何和椭圆几何中去了。 
说个题外话，现代微分几何学家处理三维问题和四维问题时面对的困难相差时很大的，因为三维空间Ricci曲率如果为零，则Riemann截面曲率就为零，而四维空间没有这个性质。但是在Schwarzschild那时，他肯定无法考虑到这个，所以如果 他牛到直接考虑四维时空，也照样提刀上阵：） 
我们也知道，Lobachevskii在提出双曲几何时就已经想象到它或许会在宇宙中实现，他说：“同时，不能不重视Laplace的见解：我们所见到的星星饿银河只属于天体的一部分，就像微弱的、若隐若现的斑点，类似于我们在猎户星座、摩羯星座及其他星座中所看到的一样。于是，且不说在想象中空间可以无限地延伸，自然界本身向我们显示的距离，甚至同我们的地球到恒星的距离相比，后者也因微小而可以忽略。此外，不能进而断言，假定直线的度量不依赖于角——这一假设，许多几何学家想采纳它作为毋需证明的严格的真理——可能在我们过渡到可见世界的极限之前，就会发现它有可以觉察到的错误。”
英国的Clifford
实际上也设想过这个问题，但是到了Schwarzschild时，这个梦想被继续深化了。这样我们就可以理解为什么Einstein一搞出广义相对论，Schwarzschild就给出第一个精确解，人家早就是老手了，学起这些新的几何学也 时易如反掌，再加上解偏微分方程的特殊能力，使得Einstein对这个结果赞赏不已，比起6年后对待的Friedman，可谓无比真诚了。 
我们理当也多说几句关于椭圆几何的问题，因为它和双曲几何（Hyperbolic Geometry）一样是non-Euclidean Geometry，但是考虑到从Euclidean Geometry 到Hyperbolic Geometry的实质性跨越，双曲几何到椭圆几何的跨越几乎为零，只是平行发展而已，我并没有贬低Riemann的意思，椭圆几何只是上面说的“狭义的Riemanan几何”，仅仅凭借广义的Riemann几何学，Riemann的伟大已经不再需要这个安慰奖了，何况他还是其他多项无上的光荣：Riemann面，Riemann假设等等。