标题：双曲线
标准方程
1、焦点在X轴上时为：
x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1
2、焦点在Y 轴上时为：
y^2/a^2 - x^2/b^2 = 1
概念特征
以下从纯几何的角度给出一些双曲线的相关概念和性质。分支双曲线有两个分支。焦点在定义1中提到的两给定点称为该双曲线的焦点，定义2中提到的一给定点也是双曲线的焦点。双曲线有两个焦点。准线在定义2中提到的给定直线称为该双曲线的准线离心率在定义2中提到的到给定点与给定直线的距离之比，称为该双曲线的离心率。
离心率e=c/a
双曲线有两个焦点，两条准线。（注意：尽管定义2中只提到了一个焦点和一条准线。但是给定同侧的一个焦点，一条准线以及离心率可以根据定义2同时得到双曲线的两支，而两侧的焦点，准线和相同离心率得到的双曲线是相同的。）顶点双曲线与两焦点连线的交点，称为双曲线的顶点。渐近线双曲线有两条渐近线。
渐近线的方程求法是：将右边的常数设为0，即可用解二元二次的方法求出渐近线的解，例如：X^2/2-Y^2/4=1，令1=0，则X^2/2=Y^2/4，则双曲线的渐近线为Y=±2X
几何性质
1、轨迹上一点的取值范围[1]​│x│≥a（焦点在x轴上）或者│y│≥a（焦点在y轴上）。2、对称性：关于坐标轴和原点对称。3、顶点：A(-a,0)，A'(a,0）。同时 AA'叫做双曲线的实轴且│AA'│=2a.
B(0,-b），B'(0,b）。同时 BB'叫做双曲线的虚轴且│BB'│=2b.
F1（-c,0）F2（c,0）.F1为双曲线的左焦点，F2为双曲线的右焦点且│F1F2│=2c
对实轴、虚轴、焦点有：a^2+b^2=c^24、渐近线：焦点在x轴：y=±（b/a)x.
焦点在y轴：y=±（a/b)x. 圆锥曲线ρ=ep/1-ecosθ当e>1时，表示双曲线。其中p为焦点到准线距离，θ为弦与x轴夹角。
令1-ecosθ=0可以求出θ，这个就是渐近线的倾角。θ=arccos（1/e)
令θ=0，得出ρ=ep/（1-e）,x=ρcosθ=ep/（1-e） 
令θ=PI，得出ρ=ep/（1+e）,x=ρcosθ=-ep/（1+e） 
这两个x是双曲线定点的横坐标。
求出它们的中点的横坐标（双曲线中心横坐标） 
x=[(ep/1-e)+(-ep/1+e)]/2 
（注意化简一下） 
直线ρcosθ=[(ep/1-e)+(-ep/1+e)]/2 
是双曲线一条对称轴，注意是不与曲线相交的对称轴。
将这条直线顺时针旋转PI/2-arccos（1/e）角度后就得到渐近线方程，设旋转后的角度是θ’ 
则θ’=θ-[PI/2-arccos（1/e)] 
则θ=θ’+[PI/2-arccos（1/e)] 
代入上式：
ρcos{θ’+[PI/2-arccos（1/e)]}=[(ep/1-e)+(-ep/1+e)]/2 
即：ρsin[arccos（1/e)-θ’]=[(ep/1-e)+(-ep/1+e)]/2 
现在可以用θ取代式中的θ’了 
得到方程：ρsin[arccos（1/e)-θ]=[(ep/1-e)+(-ep/1+e)]/2
现证明双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1 上的点在渐近线中
设M(x,y）是双曲线在第一象限的点，则
y=(b/a）√（x^2-a^2） (x>a)
因为x^2-a^2<x^2，所以y=(b/a）√（x^2-a^2）<b/a√x^2=bx/a
即 y<bx/a
所以，双曲线在第一象限内的点都在直线y=bx/a下方
根据对称性第二、三、四象限亦如此5、离心率：第一定义：e=c/a 且e∈（1，+∞）.
第二定义：双曲线上的一点P到定点F的距离│PF│ 与 点P到定直线（相应准线）的距离d 的比等于双曲线的离心率e.
d点│PF│/d线（点P到定直线（相应准线）的距离）=e6、双曲线焦半径公式（圆锥曲线上任意一点P(x,y）到焦点距离）
左焦半径：r=│ex+a│　
右焦半径：r=│ex-a│7、等轴双曲线一双曲线的实轴与虚轴长相等 即：2a=2b 且 e=√2
这时渐近线方程为：y=±x（无论焦点在x轴还是y轴）8、共轭双曲线双曲线S'的实轴是双曲线S的虚轴 且 双曲线S'的虚轴是双曲线S的实轴时，称双曲线S'与双曲线S为共轭双曲线。
几何表达：S：（x^2/a^2）-(y^2/b^2）=1 S'：（y^2/b^2）-(x^2/a^2）=1 
特点：（1）共渐近线；与渐近线平行得线和双曲线有且只有一个交点
（2）焦距相等
（3）两双曲线的离心率平方后的倒数相加等于19、准线：焦点在x轴上：x=±a^2/c
焦点在y轴上：y=±a^2/c10、通径长：（圆锥曲线中，过焦点并垂直于轴的弦）
d=2b^2/a
11、过焦点的弦长公式：
d=2pe/（1-e^2cos^2θ）12、弦长公式：d = √（1+k^2）|x1-x2| 
= √[（1+k^2）(x1-x2）^2] 
= √（1+1/k^2）|y1-y2| 
= √[（1+1/k^2）(y1-y2）^2 ]
推导如下：
由 直线的斜率公式：k = (y1 - y2） / (x1 - x2） 
得 y1 - y2 = k(x1 - x2） 或 x1 - x2 = (y1 - y2）/k 
分别代入两点间的距离公式：|AB| = √[(x1 - x2）^2; + (y1 - y2）^2; ] 
稍加整理即得：
|AB| = |x1 - x2|√（1 + k^2;) 或 |AB| = |y1 - y2|√（1 + 1/k^2;)
·双曲线的标准公式与反比例函数
X^2/a^2 - Y^2/b^2 = 1(a>0,b>0) 
而反比例函数的标准型是 xy = c (c ≠ 0) 
但是反比例函数图象确实是双曲线轨迹经过旋转得到的
因为 xy = c的对称轴是 y=x, y=-x 而X^2/a^2 - Y^2/b^2 = 1的对称轴是x轴，y轴
所以应该旋转45度
设旋转的角度为 a（a≠0，顺时针） 
（a为双曲线渐进线的倾斜角）
则有 
X = xcosa + ysina
Y = - xsina + ycosa
取 a = π/4
则
X^2 - Y^2 = (xcos（π/4） + ysin（π/4）)^2 -(xsin（π/4） - ycos（π/4）)^2
= （√2/2 x + √2/2 y)^2 -（√2/2 x - √2/2 y)^2
= 4 （√2/2 x) （√2/2 y)
= 2xy.
而xy=c
所以
X^2/（2c) - Y^2/（2c) = 1 (c>0)
Y^2/(-2c) - X^2/(-2c) = 1 (c<0)
由此证得，反比例函数其实就是双曲线的一种形式，.只不过是双曲线在平面直角坐标系内的另一种摆放形式.13.双曲线内、上、外在双曲线的两侧的区域称为双曲线内，则有x^2/a^2-y^2/b^2>1；
在双曲线的线上称为双曲线上，则有x^2/a^2-y^2/b^2=1；
在双曲线所夹的区域称为双曲线外，则有x^2/a^2-y^2/b^2<1。
面积公式
若 ∠F1PF2=θ，
则 S△F1PF2=b^2×cot（θ/2）或S△F1PF2=b^2/tan（θ/2）
·例：已知F1、F2为双曲线C：x2-y2=1的左右焦点，点P在C上，∠F1PF2=60°，则P到x轴的距离为多 
少？
解：由双曲线焦点三角形面积公式
得S△F1PF2=b^2×cot（θ/2）=√3
设P到x轴的距离为h，则 S△F1PF2 =1/2×h×2√2; h =√6/2
光学性质
从双曲线一个焦点发出的光，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线都汇聚到双曲线的另一个焦点上。
双曲线这种反向虚聚焦性质，在天文望远镜的设计等方面，也能找到实际应用。  [3]
参数方程
双曲线的参数方程：
①x=a·sec θ (正割) y=b·tan θ ( a为实半轴长， b为虚半轴长，θ为参数。焦点在X轴上）
②x=a(t+1/t)/2, y=b(t-1/t)/2 (t为参数）（a为半实轴长，b为半短轴长，焦点在X轴上）