标题：数论
门类
初等数论同上所述， 初等数论主要就是研究整数环的整除理论及同余理论。此外它也包括了连分数理论和少许不定方程的问题。本质上说，初等数论的研究手段局限在整除性质上。
初等数论中经典的结论包括 算术基本定理、欧几里得的质数无限证明、费马大定理、中国剩余定理、欧拉定理（其特例是 费马小定理）、高斯的二次互反律 ， 勾股方程的商高定理、 佩尔方程的连分数求解法等等。
  《数论》英文版解析数论借助微积分及复分析 （即复变函数）来研究关于整数的问题，主要又可以分为乘性数论与加性数论两类。乘性数论藉由研究积性生成函数的性质来探讨质数分布的问题，其中质数定理与狄利克雷定理为这个领域中最著名的古典成果。加性数论则是研究整数的加法分解之可能性与表示的问题，华林问题是该领域最著名的课题。
解析数论的创立当归功于黎曼。他发现了黎曼zeta函数之解析性质与数论中的素数分布问题存在深刻联系。确切的说， 黎曼ζ函数的非平凡零点的分布情况决定了素数的很多性质。黎曼猜测， 那些零点都落在复平面上实部为1/2的直线上。这就是著名的黎曼假设--被誉为千禧年七大世界数学难题之一。值得注意的是， 欧拉实际上在处理素数无限问题时也用到了解析方法。
解析数论方法除了圆法、筛法等等之外， 也包括和椭圆曲线相关的模形式理论等等。此后又发展到自守形式理论，从而和表示论联系起来。代数数论代数数论，将整数环的数论性质研究扩展到了更一般的整环上，特别是代数数域。一个主要课题就是关于代数整数的研究，目标是为了更一般地解决不定方程 求解的问题。其中一个主要的历史动力来自于寻找费马大定理的证明。
代数数论更倾向于从代数结构角度去研究各类整环的性质， 比如在给定整环上是否存在算术基本定理等等。
这个领域与代数几何之间的关联尤其紧密， 它实际上也构成了交换代数理论的一部分。它也包括了其他深刻内容，比如表示论、p-adic理论等等。
  《代数数论》英文版几何数论 数的几何主要在于通过几何观点研究整数（在此即格点， 也称整点）的分布情形。最著名的定理为Minkowski 定理。这门理论也是有闵科夫斯基所创。对于研究二次型理论有着重要作用。计算数论借助电脑的算法帮助数论的问题，例如素数测试和因数分解等和密码学息息相关的话题。超越数论研究数的超越性，其中对于欧拉常数与特定的 Zeta 函数值之研究尤其令人感到兴趣。此外它也探讨了数的丢番图逼近理论。组合数论利用组合和机率的技巧，非构造性地证明某些无法用初等方式处理的复杂结论。这是由艾狄胥开创的思路。比如兰伯特猜想的简化证明。算术代数几何这是数论发展到目前为止最深刻最前沿的领域， 可谓集大成者。它从代数几何的观点出发，通过深刻的数学工具去研究数论的性质。比如外尔斯证明费马猜想就是这方面的经典实例。整个证明几乎用到了当时所有最深刻的理论工具。
当代数论的一个重要的研究指导纲领，就是著名的郎兰兹纲领。
  《计算数论》其他的研究方法除了上述传统方法之外，也有其他一些研究数论之法， 但是没有完全得到数学家的认可。比如有物理学家，通过量子力学方法声称证明了黎曼假设。
简史
概述自古以来，数学家对于整数性质的研究一直十分重视，但是直到十九世纪，这些研究成果还只是孤立地记载在各个时期的算术著作中，也就是说还没有形成完整统一的学科。  古希腊数学家——欧几里得
自我国古代，许多著名的数学著作中都关于数论内容的论述，比如求最大公因数、勾股数组、某些不定方程整数解的问题等等。在国外，古希腊时代的数学家对于数论中一个最基本的问题——整除性问题就有系统的研究，关于质数、合数、约数、倍数等一系列概念也已经被提出来应用了。后来的各个时代的数学家也都对整数性质的研究做出过重大的贡献，使数论的基本理论逐步得到完善。
对于整数可以施行加、减、乘、除四种运算，叫做四则运算。又叫算术，它与几何学是最古老的两门数学分支。传统的几何学已经枯萎，而传统的数论（即算术）还有大量的问题无法解决。其中加法、减法和乘法这三种运算，在整数范围内可以毫无阻碍地进行。也就是说，任意两个或两个以上的整数相加、相减、相乘的时候，它们的和、差、积仍然是一个整数。但整数之间的除法在整数范围内并不一定能够无阻碍地进行，利用这一性质人们发明了大数密码体系。至今仍然关系着国家的安全。
人们在对整数进行运算的应用和研究中，逐步熟悉了整数的特性。比如，整数浅薄地划分可分为两大类—奇数和偶数（通常被称为单数、双数）；深刻地划分可以分为素数，合数，“1”等。两千多年来，数论学有一个重要的任务，就是寻找素数性质及分布规律，为此，花费了巨大的心血。利用素数的一些基本性质，可以进一步探索许多有趣和复杂的数学规律，正是这些特性的魅力，吸引了古往今来许多的数学家不断地研究和探索。
数论这门学科最初是从研究整数开始的，所以叫做整数论。后来整数论又进一步发展，就叫做数论了。确切的说，数论就是一门研究整数性质的学科。
在整数性质的研究中，人们发现质数是构成正整数的基本“材料”，要深入研究整数的性质就必须研究质数的性质。因此关于质数性质的有关问题，一直受到数学家的关注。可以认为， 质数是整个数论的研究基石。公元前300年，古希腊数学家欧几里证明了有无穷多个素数，公元前250年古希腊数学家埃拉托塞尼发明了一种寻找素数的埃拉托斯特尼筛法。寻找一个表示所有素数的素数通项公式，或者叫素数普遍公式，是古典数论最主要的问题之一。
数论从早期到中期跨越了1000—2000年，在接近2000年时间，数论几乎是空白。中期主要指15-16世纪到19世纪，是由费马，梅森，欧拉，高斯，勒让德黎曼，希尔伯特等人发展的。
内容是寻找素数通项公式为主线的思想，开始由初等数论向解析数论和代数数论转变，产生了越来越多的猜想无法解决，遗留 到20世纪，许许多多的困难还是依赖素数通项公式，例如黎曼猜想素数公式。如果找到一个素数通项公式，现在一些困难问题就可以由解析数论转回到初等数论范围。十八世纪末时期到了十八世纪末，历代数学家积累的关于整数性质零散的知识已经十分丰富了，但是仍然没有找到素数产生的模式。德国数学家高斯集中前人的大成，写了一本书叫做《算术研究》，1800年寄给了法国科学院，但是法国科学院拒绝了高斯的这部杰作，高斯只好在1801年自己发表了这部著作。这部书开始了现代数论的新纪元。在《算术研究》中，高斯把过去研究整数性质所用的符号标准化了，把当时现存的定理系统化并进行了推广，把要研究的问题和已知的方法进行了分类，还引进了新的方法。高斯在这一著作中主要提出了同余理论， 并发现了著名的二次互反律， 被其誉之为“数论之酵母”。
黎曼在研究ζ函数时，发现了复变函数的解析性质和素数分布之间的深刻联系， 由此将数论领进了分析的领域。这方面主要的代表人物还有英国著名数论学家哈代 、李特伍德、拉马努金等等。在国内，则有华罗庚、陈景润、王元等等。
另一方面， 由于此前人们一直关注费马大定理的证明， 所以又发展出了代数数论的研究课题。比如库莫提出了理想数的概念--可惜他当时忽略了代数扩环的唯一分解定理不一定成立）。高斯研究了复整数环的理论--即高斯整数。他在3次情形的费马猜想中也用了扩环的代数数论性质。代数数论发展的一个里程碑，则是希尔伯特的《数论报告》。
随着数学工具的不断深化， 数论开始和代数几何深刻联系起来， 最终发展称为当今最深刻的数学理论，诸如算术代数几何， 它们将许多此前的研究方法和研究观点最终统一起来， 从更加高的观点出发，进行研究和探讨。现代由于近代计算机科学和应用数学的发展，数论得到了广泛的应用。比如在计算方法、代数编码、组合论等方面都广泛使用了初等数论范围内的许多研究成果；又文献报道，现在有些国家应用“孙子定理”来进行测距，用原根和指数来计算离散傅立叶变换等。此外，数论的许多比较深刻的研究成果也在近似分析、差集合、快速变换等方面得到了应用。特别是现在由于计算机的发展，用离散量的计算去逼近连续量而达到所要求的精度已成为可能。
问题
● 哥德巴赫猜想：是否每个大于2的偶数都可写成两个素数之和？
● 孪生素数猜想：孪生素数就是差为2的素数对，例如11和13。是否存在无穷多的孪生素数？
● 斐波那契数列内是否存在无穷多的素数？
● 是否存在无穷多的梅森素数（指形如2^p－1的正整数，其中指数p是素数，常记为Mp 。若Mp是素数，则称为梅森素数）？
● 1995年怀尔斯和泰勒证明了历时350年的费马猜想（费马大定理）。
● 黎曼猜想
中国
在我国近代，数论也是发展最早的数学分支之一。从二十世纪三十年代开始，在解析数论、丢番图方程、一致分布等方面都有过重要的贡献，出现了华罗庚、闵嗣鹤、柯召、潘承洞等第一流的数论专家。其中华罗庚教授在三角和估值、堆砌素数论方面的研究是享有盛名的。1949年以后，数论的研究的得到了更大的发展。陈景润、王元等在“筛法”和“哥德巴赫猜想”方面的研究，已取得世界领先的优秀成绩；周海中在著名数论难题——梅森素数分布的研究中取得了世界领先的卓著成绩。

图书信息
书 名: 数论
作  　者：（德）哈塞　
出版社： 世界图书出版公司
出版时间： 2010-9-1
ISBN: 9787510027352
开本： 16开
定价: 79.00 元
内容简介
In spite of the fact that nowadays there are quite a few books on algebraic number theory available to the mathematical community, there seems to be still a strong need for a fundamental work like IIasse's ,,Zahlentheorie". This impression is corroborated by the great number of inquiries the editor received about the date of appearance of the English translation of Hasse's book. One main reason for the unbroken interest in this book lies probably in its vivid presentation of the divisortheoretic approach to algebraic number theory, an approach which was developed by Hasse's former teacher IIensel and further expanded by Hasse himseff. Hasse does not content himself with a mere presentation of the number-theoretic material, but he motivates the basic ideas and questions, comments on them in detail,and points out their connections with neighboring branches of mathematics.
目录
part ⅰ. the foundations of arithmetic in the rational number field 
chapter 1. prime decomposition 
function fields 
chapter 2. divisibility 
function fields 
chapter 3. congruences 
function fields 
the theory of finite fields 
chapter 4. the structure of the residue class ring mod m and of the reduced residue class group mod m 
1. general facts concerning direct products and direct sums 
2. direct decomposition of the residue class ring mod m and of the reduced residue class group mod m 
3. the structure of the additive group of the residue class ring mod m 
4. on the structure of the residue class ring mod pμ 
5. the structure of the reduced residue class group mod pμ 
function fields 

简介
数论，印度哲学的一个派别，被认为是最古老和最重要的流派之一。佛教称其为“迦毗罗论”或“雨众外道”、“雨际外道”。但数论并不属于早期佛典常提及的六师外道。六师外道为沙门思潮兴起的产物，其共同特点是反对吠陀及其垄断者婆罗门。而数论恰恰相反，它承认吠陀的权威，被视为正统的六派哲学之一（六派哲学分别是最占主流地位的吠檀多和数论、胜论、正理论、弥曼差、瑜伽）。数论的正统性可以从这一点看出来，即早期数论的思想被薄伽梵歌大量引用，而薄伽梵歌是迄今最具影响力的印度哲学著作之一。
理论
根据传统说法，数论的创始人是迦毗罗仙人（因此又被称为“迦毗罗论”）。但是，没有任何可靠的证据能证明这一点。数论的核心思想是，宇宙由两大本原组成：补卢沙（最高精神）和原质（原初物质）。补卢沙，或称为神我，也就是梨俱吠陀中著名的《原人歌》里的原人。原人歌中说原人是宇宙的本原，但众天神（提婆）却用他作了祭祀的牺牲，于是从他的躯体产生世间万物（尤其是四个种姓）。这实际上是反映了祭祀万能的思想。原质，按数论的观点，由所谓“三德”组成。三德分别是萨埵（喜），罗阇（忧）和答磨（暗）。根据《瑜伽胜论》，三德具有互相矛盾（或制约）的属性。“萨埵”倾向于探究事物的本原，“罗阇”倾向于运动、贪婪和嗔怒，“答磨”倾向于惰性和不敏感。
一切事物都是原质在三德的作用下产生的。数论哲学又进一步把事物归类为“二十五谛”。二十五谛分别为：原质（或称为非显）、觉（菩提）、我慢、眼、耳、鼻、舌、皮肤（以上五种合称为五知根）、手、口、足、生殖器、排泄器官（以上五种合称为五作根；五知根与五作根又合称为十根）、心、声、色、香、味、触（以上五种合称为五根境）、地、水、火、风、以太（以上五种合称为五大）、补卢沙（神我）。数论哲学认为，补卢沙是不动的，原质是运动的。人不是能动者，而只是原质的三种基本属性即三德的互相作用与活动的投影。三德就是包围“我”（个体灵魂）的束缚物，只有摆脱三德，才能实现解脱。但是因为人不是能动的，数论主张舍弃有为，专注于自我，通过认识自己的方法从三德中解脱出来。
早期数论（或称为“史诗数论”）与上面介绍的古典数论有所不同。两者都属于二元论，且术语和概念大多是一致的。不过早期数论接近于无神论，认为原质就是物质世界的根源；物质世界不依赖于补卢沙（宇宙精神）而单独存在，在三德的作用下是运动变化的，并且否定有可以脱离肉体的灵魂。但是后来它受到了吠檀多派哲学的严重影响，逐渐失去了这种特点。薄伽梵歌中引用的众多数论派观点实际上属于早期数论。
数论派最重要的经典是《数论颂》与《数论经》。前者是现存最古老的数论派文献，其中文译本名为《金七十论》，系数论破斥佛教的论书。据说此书（至少其偈颂部分）的作者是数论派学者自在黑。