标题：函数性质
三角函数
三角函数是数学中属于初等函数中的超越函数的一类函数。它们的本质是任意角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。通常的三角函数是在平面直角坐标系中定义的，其定义域为整个实数域。另一种定义是在直角三角形中，但并不完全。现代数学把它们描述成无穷数列的极限和微分方程的解，将其定义扩展到复数系。
由于三角函数的周期性，它并不具有单值函数意义上的反函数。
三角函数在复数中有较为重要的应用。在物理学中，三角函数也是常用的工具。
函数名 正弦 余弦 正切 余切 正割 余割
符号 sin cos tan cot sec csc
正弦函数 sin（A）=a/h
余弦函数 cos（A）=b/h
正切函数 tan（A）=a/b
余切函数 cot（A）=b/a
正割函数 sec (A) =h/b
余割函数 csc (A) =h/a同角三角函数间的基本关系式·平方关系：
sin^2(α)+cos^2(α)=1
tan^2(α)+1=sec^2(α)
cot^2(α)+1=csc^2(α)
·商的关系：
tanα=sinα/cosα cotα=cosα/sinα
·倒数关系：
tanα·cotα=1
sinα·cscα=1
cosα·secα=1三角函数恒等变形公式·两角和与差的三角函数：
cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ
cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ
sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ
tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ)
tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)
·倍角公式：
sin(2α)=2sinα·cosα
cos(2α)=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α)
tan(2α)=2tanα/[1-tan^2(α)]
·三倍角公式：
sin3α=3sinα-4sin^3(α)
cos3α=4cos^3(α)-3cosα
·半角公式：
sin^2(α/2)=(1-cosα)/2
cos^2(α/2)=(1+cosα)/2
tan^2(α/2)=(1-cosα)/(1+cosα)
tan(α/2)=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα
·万能公式：
sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)]
cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)]
tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)]
·积化和差公式：
sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)]
cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)]
cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)]
sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)]
·和差化积公式：
sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]
sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]
cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]
cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]本章教学目标1.(1)任意角的概念以及弧度制.正确表示象限角、区间角、终边相同的角，熟练地进行角度制与弧度制的换算.
(2)任意角的三角函数定义，三角函数的符号变化规律，三角函数线的意义.
2.(1)同角三角函数的基本关系和诱导公式.
(2)已知三角函数值求角.
3.函数y=sinx、y=cosx、y=tanx以及y=Asin(ωx+φ)的图像和“五点法”作图、图像法变换，理解A、ω、φ的物理意义.
4.三角函数的定义域、值域、奇偶性、单调性、周期性.
5.两角和与差的三角函数、倍角公式，能正确地运用三角公式进行简单的三角函数式的化简、求值和恒等证明.
本章包括任意角的三角函数、两角和与差的三角函数、三角函数的图像和性质三部分.
三角函数是中学数学的重要内容，它是解决生产、科研实际问题的工具，又是进一步学习其他相关知识和高等数学的基础，它在物理学、天文学、测量学以及其他各种应用技术学科中有着广泛的应用.函数的几种特性①有界性
②单调性
③奇偶性
④周期性
公式一： 
设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： 
sin（2kπ+α）=sinα 
cos（2kπ+α）=cosα 
tan（2kπ+α）=tanα 
cot（2kπ+α）=cotα 
公式二： 
设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： 
sin（π+α）=－sinα 
cos（π+α）=－cosα 
tan（π+α）=tanα 
cot（π+α）=cotα 
公式三： 
任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： 
sin（－α）=－sinα 
cos（－α）=cosα 
tan（－α）=－tanα 
cot（－α）=－cotα 
公式四： 
利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： 
sin（π－α）=sinα 
cos（π－α）=－cosα 
tan（π－α）=－tanα 
cot（π－α）=－cotα 
公式五： 
利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： 
sin（2π－α）=－sinα 
cos（2π－α）=cosα 
tan（2π－α）=－tanα 
cot（2π－α）=－cotα 
公式六： 
π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： 
sin（π/2+α）=cosα 
cos（π/2+α）=－sinα 
tan（π/2+α）=－cotα 
cot（π/2+α）=－tanα 
sin（π/2－α）=cosα 
cos（π/2－α）=sinα 
tan（π/2－α）=cotα 
cot（π/2－α）=tanα 
sin（3π/2+α）=－cosα 
cos（3π/2+α）=sinα 
tan（3π/2+α）=－cotα 
cot（3π/2+α）=－tanα 
sin（3π/2－α）=－cosα 
cos（3π/2－α）=－sinα 
tan（3π/2－α）=cotα 
cot（3π/2－α）=tanα 
(以上k∈Z)
函数的最值问题
1．一次函数的最大值与最小值一次函数y=kx+b在其定义域(全体实数)内是没有最大值和最小值的，但是，如果对自变量x的取值范围有所限制时，一次函数就可能有最大值和最小值了．
例1 设a是大于零的常数，且a≠1，求y的最大值与最小值．
大值a．
例2 已知x，y，z是非负实数，且满足条件
x+y+z=30，3x+y-z=50．
求u=5x+4y+2z的最大值和最小值．
分析 题设条件给出两个方程，三个未知数x，y，z，当然，x，y，z的具体数值是不能求出的．但是，我们固定其中一个，不妨固定x，那么y，z都可以用x来表示，于是u便是x的函数了．
解 从已知条件可解得
y=40-2x，z=x-10．
所以
u=5x+4y+2z
=5x+4(40-2x)+2(x-10)
=-x+140．
又y，z均为非负实数，所以
解得10≤x≤20．
由于函数u=-x+140是随着x的增加而减小的，所以当x=10时，u有最大值130；当x=20时，u有最小值120．2．二次函数的最大值与最小值例3 已知x1，x2是方程
x-(k-2)x+(k+3k+5)=0
解 由于△=[-(k-2)]^2-4(k+3k+5)≥0，，所以二次方程有实根
3k+16k+16≤0，
例4 已知函数
有最大值-3，求实数a的值．
解 因为
的范围内分三种情况讨论．
-a+4a-1=-3
例5 已知边长为4的正方形截去一个角后成为五边形ABCDE(如图3－12)，其中AF=2，BF=1．试在AB上求一点P，使矩形PNDM有最大面积．
解 设矩形PNDM的边DN=x，NP=y，于是矩形PNDM的面积
S=xy，2≤X≤4．
易知CN=4-x，EM=4-y，且有
二次函数S=f(x)的图像开口向下，对称轴为x=5，故当x≤5时，函数值是随x的增加而增加，所以，对满足2≤x≤4的S来说，当x=4时有最大值
例6 设p>0，x=p时，二次函数f(x)有最大值5，二次函数g(x)的最小值为-2，且g(p)=25，f(x)+g(x)=x+16x+13．求g(x)的解析式和p的值．
解 由题设知
f(p)=5，g(p)=25，
f(p)+g(p)=p+16p+13，
所以 p+16p+13=30，
p=1(p=-17舍去)．
由于f(x)在x=1时有最大值5，故设
f(x)=a(x-1)+5，a<0，
所以
g(x)=x+16x+13-f(x)
=(1-a)x+2(a+8)x+8-a．
由于g(x)的最小值是-2，于是
解得a=-2，从而
g(x)=3x+12x+10．3．分式函数的最大值与最小值法是去分母后，化为关于x的二次方程，然后用判别式△≥0，得出y的取值范围，进而定出y的最大值和最小值．
解 去分母、整理得
(2y-1)x+2(y+1)x+(y+3)=0．
△≥0，即
△=[2(y+1)]-4(2y-1)(y+3)≥0，
解得　　　　　-4≤y≤1．
时，取最小值-4，当x=-2时，y取最大值1．
说明 本题求最值的方法叫作判别法，这也是一种常用的方法．但在用判别法求最值时，应特别注意这个最值能否取到，即是否有与最值相应的x值．
解 将原函数去分母，并整理得
yx-ax+(y-b)=0．
因x是实数，故
△=(-a)-4·y·(y-b)≥0，
由题设知，y的最大值为4，最小值为-1，所以
(y+1)(y-4)≤0，
即　　　　　　　　　　　　　　　　　y-3y-4≤0．　　 ②
由①，②得
所以a=±4，b=3．4．其他函数的最大值与最小值处理一般函数的最大值与最小值，我们常常用不等式来估计上界或下界，进而构造例子来说明能取到这个上界或下界．
解 先估计y的下界．
又当x=1时，y=1，所以，y的最小值为1．
说明 在求最小(大)值，估计了下(上)界后，一定要举例说明这个界是能取到的，才能说这就是最小(大)值，否则就不一定对了．例如，本题我们也可以这样估计：
但无论x取什么值时，y取不到-3，即-3不能作为y的最小值．
例10 设x，y是实数，求u=x+xy+y-x-2y的最小值．
分析 先将u看作是x的二次函数(把y看作常数)，进行配方后，再把余下的关于y的代数式写成y的二次函数，再配方后，便可估计出下界来．
又当x=0，y=1时，u=-1，所以，u的最小值为-1．
例11 求函数
的最大值，并求此时的x值，其中[a]表示不超过a的最大整数．
学习指导
函数的概念（1）映射：设非空数集A，B，若对集合A中任一元素a，在集合B中有唯一元素b与之对应，则称从A到B的对应为映射，记为f：A→B，f表示对应法则，b=f(a)。
（2）函数定义：函数就是定义在非空数集A，B上的映射，此时称数集A为定义域，象集C=f(x)x∈A为值域。定义域，对应法则，值域构成了函数的三要素。函数的通性（1）奇偶性：函数定义域关于原点对称是判断函数奇偶性的必要条件，在利用定义判断时，应在化简解析式后进行，同时灵活运用定义域的变形，如f(-x)f(x)=0， （f(x)≠0）。
奇偶性的几何意义是两种特殊的图像对称。
（2）单调性：研究函数的单调性应结合函数单调区间，单调区间应是定义域的子集。
判断函数单调性的方法：①定义法，即比差法；②图像法；③单调性的运算性质（实质上是不等式性质）；④复合函数单调性判断法则。
（3）周期性：周期性主要运用在三角函数及抽象函数中，是化归思想的重要手段。
求周期的重要方法：①定义法；②公式法；③图像法；④利用重要结论：若函数f(x)满足f(a-x)=f(a+x)，f(b-x)=f(b+x)，a≠b，则T=2b-2a。
（4）反函数：（考纲中反函数的教学，只要求通过比较同底的指数函数和对数函数，说明指数函数y=ax和对数函数y=loga x互为反函数（a > 0，a≠1）。）函数的图像函数的图像既是函数性质的一个重要方面，又能直观地反映函数的性质，在解题过程中，充分发挥图像的工具作用。
图像作法：①描点法；②图像变换。应掌握常见的图像变换。
本单元常见的初等函数：一次函数，二次函数，反比例函数，指数函数，对数函数。在具体的对应法则下理解函数的通性，掌握这些具体对应法则的性质。分段函数是重要的函数模型。
对于抽象函数，通常是抓住函数特性是定义域上恒等式，利用赋值法（变量代换法）解题。主要思想方法：数形结合，分类讨论，函数方程，化归等。