Liouville dinamik tizimi

Klassik mexanikada Liuvil dinamik tizimi aniq yechiladigan dinamik tizim boʻlib, unda kinetik energiya T va potensial energiya V umumlashgan koordinatalari q orqali quyidagicha ifodalanishi mumkin:

 

 

Bu sistemaning yechimi ajraladigan integrallanuvchi tenglamalar toʻplamidan iborat

 

Bu yerda E = T + V — saqlangan energiya va doimiylardir. Quyida tavsiflanganidek, oʻzgaruvchilar q s dan φs ga oʻzgartirildi va u s va w s funksiyalari ularning oʻxshashlari χs va ωs bilan almashtirildi. Ushbu yechim Nyuton tortishish kuchi taʼsirida ikkita sobit yulduz atrofida kichik sayyoraning orbitasi kabi koʻplab ilovalarga ega. Liouville dinamik tizimi taniqli fransuz matematiki Jozef Liuvil nomi bilan atalgan bir nechta narsalardan biridir.

 Bisentrik orbitalarga misol 
Klassik mexanikada Eylerning uch jismli muammosi zarrachaning har biri Nyuton tortishish kuchi yoki Kulon qonuni kabi teskari kvadrat kuch bilan zarrachani oʻziga tortadigan ikkita qoʻzgʻalmas markaz taʼsiri ostida tekislikdagi harakatini tasvirlaydi. Ikki markazli muammoga misollar orasida ikki sekin harakatlanuvchi yulduz atrofida harakatlanuvchi sayyora yoki ikkita musbat zaryadlangan yadroning elektr maydonida harakatlanuvchi elektron, masalan, vodorod molekulasi H2 ning birinchi ioni, yaʼni vodorod molekulyar ioni yoki H2+ kiradi. . Ikki diqqatga sazovor joyning kuchi teng boʻlishi shart emas; Shunday qilib, ikkita yulduzning massasi har xil yoki yadrolari ikki xil zaryadga ega boʻlishi mumkin.

Yechimi

Ruxsat etilgan tortishish markazlari x oʻqi boʻylab ± a da joylashgan boʻlsin. Harakatlanuvchi zarrachaning potentsial energiyasi bilan ifodalanadi

 

Ikki tortishish markazini ellipslar toʻplamining oʻchoqlari deb hisoblash mumkin. Agar biron bir markaz boʻlmasa, zarracha Kepler muammosining yechimi sifatida ushbu ellipslardan biri boʻylab harakatlanadi. Shuning uchun, Bonnet teoremasiga koʻra, bir xil ellipslar ikki markazli muammoning echimlari hisoblanadi.

Elliptik koordinatalar bilan tanishtirib,

 

 

potensial energiyani quyidagicha yozish mumkin

 

va kinetik energiya sifatida

 

Agar ξ va η mos ravishda φ1 va φ2 sifatida qabul qilinsa, bu Liouvil dinamik tizimidir; demak, Y funksiyasi quyidagiga teng:

 

va W funksiyasi quyidagiga teng:

 

Quyidagi Liouville dinamik tizimi uchun umumiy yechimdan foydalanib, bittasi olinadi

 

 

Formula boʻyicha u parametrini kiritish

 

parametrik yechimni beradi

 

Bular elliptik integral boʻlgani uchun, ξ va η koordinatalarini u ning elliptik funksiyalari sifatida ifodalash mumkin.

 Doimiy harakat 
Bisentrik muammo doimiy harakatga ega, yaʼni,

 

undan muammoni oxirgi koʻpaytma usuli yordamida hal qilish mumkin.

 Chiqarish 

 Yangi oʻzgaruvchilar 
v funksiyalarini bartaraf qilish uchun oʻzgaruvchilar ekvivalent toʻplamga oʻzgartiriladi

 

munosabatni berish

 

yangi F oʻzgaruvchini belgilaydi. Yangi oʻzgaruvchilar yordamida u va w funksiyalarni χ va ω ekvivalent funksiyalar bilan ifodalash mumkin. χ funksiyalar yigʻindisini Y bilan belgilab,

 

kinetik energiyani quyidagicha yozish mumkin

 

Xuddi shunday, ō funksiyalarining yigʻindisini V bilan belgilab

 

potentsial energiya V sifatida yozish mumkin

 

 Lagranj tenglamasi 
rchi oʻzgaruvchi uchun Lagrange tenglamasi hisoblanadi

 

Ikkala tomonni koʻpaytirish , 2T = YF munosabatini qayta tartibga solish va undan foydalanish tenglamani beradi.

 

deb yozilishi mumkin

 

bu yerda E = T + V — (saqlangan) umumiy energiya. Bundan quyidagi kelib chiqadi:

 

hosil qilish uchun bir marta birlashtirilishi mumkin

 

bu yerda energiya tejamkorligi sharti bilan integratsiya konstantalaridir

 

Inverting, kvadrat ildizni olish va oʻzgaruvchilarni ajratish ajraladigan integrallashuvchi tenglamalar toʻplamini beradi:

 

 Whittaker, ET (1937)

Turkum:Mexanika
Turkum:Fizika