Klassik ehtimollik zichligi

Klassik ehtimollik zichligi — bu klassik mexanik tizimdagi potentsial energiyaga tobe boʻlgan maʼlum bir joyning yaqinida zarrachani topish ehtimolini ifodalovchi ehtimollik zichligi funktsiyasi . Ushbu ehtimollik zichliklari yozishmalar printsipi haqida tushunchaga ega boʻlishda va oʻrganilayotgan kvant tizimi va klassik chegara oʻrtasida aloqa oʻrnatishda yordam beradi. 

 Matematik asos 

Dastlab amplitudali tinch holatda oddiy harmonik osilator misolini koʻrib chiqing. Aytaylik, bu tizim yorugʻlik oʻtkazmaydigan konteyner ichiga joylashtirilgan, shunda uni faqat kamera yordamida koʻrish mumkin, u faqat ichida sodir boʻlayotgan voqealarni suratga olishi mumkin. Har bir surat osilatorni uning traektoriyasi boʻylab har qanday mumkin boʻlgan holatida koʻrish ehtimoli bor. Klassik ehtimollik zichligi qaysi pozitsiyalar ehtimoli koʻproq, qaysilari kamroq, tizimning oʻrtacha pozitsiyasi va hokazolarni qamrab oladi. Ushbu funktsiyani olish uchun, osilatorning eng koʻp topilishi mumkin boʻlgan pozitsiyalari osilator koʻp vaqtini oʻtkazadigan pozitsiyalar ekanligini hisobga oling. Darhaqiqat, maʼlum bir qiymatida boʻlish ehtimoli ushbu qiymatiga yaqin joyda oʻtkazgan vaqtga proportsionaldir. Agar osilator berilgan -qiymatning yaqinida cheksiz kichik vaqt sarflasa, u holda bu yaqinlikda boʻlish ehtimoli boʻladi.

 

Osillatorga taʼsir etuvchi kuch konservativ boʻlgani uchun va harakat cheklangan sohada sodir boʻlgani sababli, harakat bilan belgilanadigan maʼlum bir davr bilan tsiklik boʻladi. Osilatorning mumkin boʻlgan minimal mumkin boʻlgan -qiymati va maksimal mumkin boʻlgan -qiymati oʻrtasidagi har qanday holatda boʻlish ehtimoli 1 ga teng boʻlishi kerakligi sababli, normalizatsiya

 

ishlatiladi, bu yerda  — normalizatsiya konstantasi. Tebranish massasi oʻz davrining yarmida bu pozitsiyalar oraligʻini qamrab olganligi sababli (toʻliq davr dan ga, keyin esa ga oʻtadi) ustidagi integral ga teng boʻlib, bu ga oʻrnatadi.

Zanjir qoidasidan foydalanib, shuning uchun bizning ehtimollik zichligimiz boʻladi, deb taʼkidlab, massa choʻzilgan balandlik nuqtai nazaridan qoʻyish mumkin .

 

Bu yerda  — osilatorning tezligi, uning holatiga bogʻliq. (Eʼtibor bering, tezlik skalar boʻlgani uchun har ikkala yarim davr uchun ham bir xil.) Bu vaqtda ni olish uchun funksiyasini taqdim etish kifoya. Konservativ kuchlar taʼsiri ostida boʻlgan tizimlar uchun bu tezlikni energiya bilan bogʻlash orqali amalga oshiriladi. Kinetik energiya boʻlgani uchun

 

Buni ifodamizga kiritsak, hosil boʻladi

 

Bizning boshlangʻich misolimiz garmonik osilator boʻlgan boʻlsa-da, shu paytgacha barcha matematika konservativ kuchga boʻysunadigan zarracha uchun butunlay umumiy boʻlib kelgan. Ushbu formulani mos keladigan potentsial energiya funktsiyasini ulash orqali har qanday bir oʻlchovli jismoniy tizim uchun umumlashtirish mumkin. Bu bajarilgandan soʻng, har qanday ruxsat etilgan energiya uchun osongina olinadi.

 Misollar 

 Oddiy garmonik osilator 
right|thumb|300x300px| Kvant garmonik osilatorining holatining ehtimollik zichligi funksiyasi. Qattiq chizma kvant mexanik ehtimollik zichligini, nuqtali chiziq esa klassik ehtimollik zichligini ifodalaydi. Chiziqli vertikal chiziqlar tizimning klassik burilish nuqtalarini koʻrsatadi.
Yuqoridagi hosilada ishlatilgan misoldan boshlab, oddiy garmonik osillator potensial energiya funksiyasiga egaligini koʻrishimiz mumkin:

 

bu yerda  — osilatorning doimiysi va  — osilatorning tabiiy burchak chastotasi . Osilatorning umumiy energiyasi burilish nuqtalarida baholash orqali beriladi. Buni ifodasiga ulash natijasida hosil boʻladi

 

Bu funksiya burilish nuqtalarida ikkita vertikal asimptotaga ega, bu jismoniy maʼnoga ega, chunki burilish nuqtalari osilatorning dam olish joyidir va shuning uchun katta ehtimollik bilan ushbu qiymatlari yaqinida topiladi. Eʼtibor bering, ehtimollik zichligi funksiyasi cheksizlikka moyil boʻlsa ham, ehtimollikni ifodalovchi egri chiziqning oʻzi emas, balki egri chiziq ostidagi maydon tufayli ehtimol hali ham cheklangan.

 Muvozanatlovchi toʻp 
right|thumb|300x300px| uchun kvant (qizil) va klassik (qora) kvant sakrash toʻpining ehtimollik zichligi funktsiyalari. Bu yerda burilish nuqtasi (bu boʻlim deb nimani anglatadi) bilan belgilanadi.
Yoʻqotishsiz sakrab turgan toʻp uchun potensial energiya va umumiy energiya

 
 

bu yerda  — toʻp erishgan maksimal balandlik. Bularni ga ulash natijasida hosil boʻladi

 

munosabatlar bu yerda oldingi omillarni soddalashtirish uchun ishlatilgan. Bu funksiyaning domeni (toʻp da poldan tushmaydi), shuning uchun taqsimot oddiy garmonik osilatordagi kabi nosimmetrik emas. Shunga qaramay, burilish nuqtasida vertikal asimptota mavjud.

 Impuls-kosmik taqsimot 
Pozitsiya fazosida ehtimollik taqsimotini koʻrib chiqishdan tashqari, tizimni uning momentumiga qarab tavsiflash ham foydalidir. Yuqoridagi kabi argumentdan keyin natija

 

Bu yerda zarrachaga pozitsiya funktsiyasi sifatida taʼsir qiluvchi kuch. Amalda, bu funktsiyani oʻzgaruvchilarning oʻzgarishi bilan impulsiga koʻra qoʻyish kerak.

 Oddiy garmonik osilator 
Yuqoridagi oddiy garmonik osilatorga misol qilib, potentsial energiya va kuchni quyidagicha yozish mumkin

 
 

Tizimning maksimal impulsi sifatida aniqlash, buni soddalashtiradi.

 

Eʼtibor bering, bu joylashuv-boʻshliq ehtimoli taqsimoti bilan bir xil funktsional shaklga ega. Bu oddiy garmonik osilator muammosiga xos boʻlib, harakat tenglamalarida va oʻrtasidagi simmetriya tufayli yuzaga keladi.

 Muvozanatlovchi toʻp 
Saqlayotgan toʻp misoli aniqroq, chunki bu holda kuch doimiy,

 

natijada ehtimollik zichligi funksiyasi

 

Bu yerda  — toʻpning maksimal impulsi. Bu tizimda barcha momentlar bir xil ehtimolga ega.

 

 
 Bohm, D. (1989). Quantum Theory. Dover Publications. ISBN 0-486-65969-0.
 Landau, L. D.; Lifshitz, E. M. (1977). Quantum Mechanics: Non-Relativistic Theory. Vol. 3 (3rd ed.)

Turkum:Fizika
Turkum:Mexanika