Sonlar ketma-ketligi va ularning limiti

Sonlar ketma-ketligi va ularning limiti — sonli fazo elementlari ketma-ketligining chegarasi. Sonli fazo metrik fazo boʻlib, unda masofa elementlar orasidagi farq moduli sifatida aniqlanadi. Kompleks sonlarda ketma-ketlik chegarasining mavjudligi kompleks sonlarning haqiqiy va xayoliy qismlarining tegishli ketma-ketliklarining chegaralari mavjudligiga tengdirЗдесь подразумевается повторение чисел в записи числа в некоторой фиксированной системе счисления.. 

Limit (sonli ketma-ketlik) matematik analizning asosiy tushunchalaridan biridir. Har bir haqiqiy son kerakli qiymatga yaqinlashishlar ketma-ketligining chegarasi sifatida ifodalanishi mumkin. Sanoq sistemasi bunday takomillashtirish ketma-ketligini taʼminlaydi. Butun va ratsional sonlar davriy yaqinlashishlar ketma-ketligi bilan, irratsional sonlar esa davriy boʻlmagan yaqinlashishlar ketma-ketligi bilan tavsiflanadi. Sonli usullarda sonlarni chekli sonli belgilar bilan tasvirlash qoʻllanadi, bunda yaqinlashishlar tizimini tanlash alohida oʻrin tutadi. Taxminlovchilar tizimining sifati mezoni yaqinlashuv tezligi hisoblanadi. Shu nuqtai nazardan, raqamlarning davomli kasrlar koʻrinishida ifodalanishi samaralidir.

 Tarixi 
Ketma-ketlik chegarasi tushunchasi XVII asrning ikkinchi yarmida Nyuton va XVIII asrning Euler va Lagrange kabi matematiklari tomonidan qoʻllangan, lekin ular chegarani intuitiv ravishda tushungan. Ketma-ketlik chegarasining birinchi qatʼiy taʼriflari 1816-yilda Bolzano va 1821-yilda Cauchy tomonidan berilgan.

 Birinchi taʼrif 
Birinchisi akslantirishning akslaridan iborat ushbu toʻplam sonlar ketma-ketligi deyiladi. Uni yoki kabi belgilanadi.

 sonlar ketma-ketlikning hadlari deyiladi. Masalan, 1) , 2) , 3) 4) 5) lar sonlar ketma-ketliklardir. Biror ketma-ketlik berilgan boʻlsin.

 Ikkinchi taʼrif 
Agar shunday oʻzgarmas soni mavjud boʻlsaki, ixtiyoriy uchun tengsizlik bajarilsa (yaʼni boʻlsa), ketma-ketlik yuqoridan chegaralangan deyiladi.

 Uchinchi taʼrif 
Agar shunday oʻzgarmas soni mavjud boʻlsaki, ixtiyoriy uchun tengsizlik bajarilsa (yaʼni boʻlsa), ketma-ketlik quyidan chegaralangan deyiladi.

 Toʻrtinchi taʼrif 
Agar ketma-ketlik ham yuqoridan, ham quyidan chegaralanga boʻlsa 
(yaʼni boʻlsa), ketma-ketlik chegaralangan deyiladi. Misol uchun. Ushbu ketma-ketlikning chegaralanganligi isbotlansin. Ravshanki, uchun boʻladi. Demak, qaralyotgan ketma-ketlik quyidagi chegaralangan. Maʼlumki, boʻlib, undan yaʼni boʻlishi kelib chiqadi. Bu esa berilgan ketma-ketlikning yuqoridan chegaralanganligin bildiradi. Demak, ketma-ketlik chegaralangan. 

 Beshinchi taʼrif 
Agar ketma-ketlik uchun boʻlsa, ketma-ketlik yuqoridan chegaralanmagan deyiladi. 

 Sonlar ketma-ketligining limiti 
Aytaylik, son hamda ixtiyoriy musbat son berilgan boʻlsin.

 Oltinchi taʼrif 
Ushbu toʻplam nuqtaning - atrofi deyiladi. Faraz qilaylik ketma-ketlik va soni berilgan boʻlsin.

 Yettinchi taʼrif 
Agar ixtiyoriy son olingandan ham shunday natural soni mavjud boʻlsaki, tengsizlikni qanoatlantiruvchi barcha natural sonlar uchun tengsizlik bajarilsa, (yaʼni boʻlsa), son ketma-ketlikning limiti deyiladi va yoki da kabi belgilanadi.

Ravshanki, yuqoridagi tengsizlik uchun yaʼni, , boʻladi. Shuni eʼtiborga olib, ketma-ketlikning limitini quyidagicha taʼriflasa boʻladi.

 Sakkizinchi taʼrif 
Agar nuqtaning ixtiyoriy ham ketma-ketlikning biror hadidan keyingi barcha hadlari shu atrofga tegishli boʻlsa, soni ketma-ketlikning limiti deyiladi.

Yuqorida keltirilgan taʼriflardan koʻrinadiki ixtiyoriy musbat son boʻlib, natural soni esa ga qaraliyotgan ketma-ketlikka bogʻliq ravishda topiladi.

 
Turkum:Cheklovlar
Turkum:Qatorlar va ketma-ketliklar