Uzluksiz funksiya

Uzluksiz funksiya – maʼlum shartni qanoatlantiruvchi funksiya; muhim tushunchalardan biri. f(x) funksiya £eL toʻplamda aniqlangan va xoyeYe shu toʻplamning limit nuqtasi boʻlsin. Agar limf(x) = f(x0) boʻlsa, f{x) funksiya x=x0 nuqtada uzluksiz deyiladi. Funksiyaning uzluksizligini quyidagicha aytish ham mumkin: agar ixtiyoriy ye>0 son uchun shunday 5>0 son topilsinki, bunda hx— xp | <5 tengsizlikni qanoatlantiruvchi barcha jce Ye da hf(x)—f(x^ I <e tengsizlik bajarilsa, ﬁ x) funksiya x=x0 nuqtada uzluksiz deyiladi. Agar ﬁ x) funksiya Ye toʻplamning har bir nuktasida uzluksiz boʻlsa, u shu Ye toʻplamda uzluksiz deyiladi. Uzluksiz funksiyalarning xossalari: uzluksiz funksiyalarning yigʻindisi, ayirmasi, koʻpaytmasi hamda nisbati (mahraj nolga teng boʻlmagan holda) yana uzluksiz boʻladi; (ﬁ x) (xe Rm) funksiya FczR1" toʻplamda berilgan boʻlsa, uning xoye Gʻ nuqtada uzluksizligi yuqoridagiday taʼriflanadi. 

 Birinchi taʻrif 
Agar boʻlsa, funksiya nuqtada uzluksiz deyiladi.

Demak, funksiyaning nuqtada uzluksiz ushbu 1) ning mavjudligi, 2) boʻlishi shartlarining bajarilishi bilan ifodalanadi.

 Misollar 

 Ushbu funksiya nuqtada uzluksiz boʻladi, chunki 
 Ushbu funksiyani qaraylik. Ravshanki, nuqtada boʻladi. Demak, qaralyotgan funksiya , nuqtada uzluksiz boʻladi. Ammo boʻlgani sababli boʻladi. Demak, funksiya nuqtada uzluksiz boʻlmaydi. Funksiya limitning Geyne va Koshi taʻriflariga binoan funksiyaning nuqtadagi uzluksizligini quyidagicha taʻriflash mumkin.

 Ikkinchi taʻrif 
Agar da boʻladigan ixtiyoriy ketma-ketlik uchun da boʻlsa, funksiya nuqtada uzluksiz deyiladi.

 Uchinchi taʻrif 
Agar son olinganda ham shunday son topilsaki, uchun tengsizlik bajarilsa, funksiya nuqtada uzluksiz deyiladi.

Odatda, ayirma argument orttirmasi, esa funksiya orttirmasi deyilib, ular mmos ravishda va kabi belgilanadi: , .

Unda funksiya uzluksizligining birinchi taʻrifidagi munosabat ushbu koʻrinishga keladi.

Demak, munosabatni funksiyaning nuqtada uzluksizligi taʻrifi sifatida qarash mumkin.

Aytaylik, funksiya toʻplamda berilgan boʻlib, nuqta X toʻplamning oʻng (chap) limit nuqtasi boʻlsin.

 Toʻrtinchi taʻrif 
Agar boʻlsa, funksiya nuqtada oʻngdan (chapdan) uzluksiz deyiladi.

Demak, funksiya nuqtada oʻngdan (chapdan) uzluksiz boʻlganda funksiyaning oʻng (chap) limiti uning nuqtadagi qiymatiga teng boʻladi: .

Keltirilgan taʻriflardan, funksiya nuqtada ham boʻlganda, ham chapdan bir vaqtda uzluksiz boʻlsa, funksiya shu nuqtada uzluksiz boʻlishini topamiz.

Umuman, funksiyaning nuqtada uzluksiz boʻlishi, berilganda ham unga koʻra shunday topilib, boʻlishini bildiradi.

 Beshinchi taʻrif 
Agar funksiya toʻplamining har bir nuqtasida uzluksiz boʻlsa, funksiya toʻplamda uzluksiz deyiladi.

 Oltinchi taʻrif 
 toʻplamda uzluksiz boʻlgan funksiyalardan iborat toʻplam uzluksiz funksiyalar toʻplami deyiladi va kabi belgilanadi.

Masalan, boʻlishi, funksiyaning segmentining har bir nuqtasida uzluksiz, yaʻni funksiya intervalning har bir nuqtasida uzluksiz, nuqtadan oʻngdan, nuqtadan esa chapdan uzluksiz boʻlishini bildiradi.

 Funksiyaning uzulishi 
Aytaylik, funksiya da berilgan boʻlib, boʻlsin.

Maʻlumki, funksiyaning nuqtadagi oʻng va chap limitlari , mavjud boʻlib, tenglik oʻrinli boʻlsa, u holda funksiya nuqta funksiyaning uzulish nuqtasi deyiladi.

 Yettinchi taʻrif 
Agar limitlar mavjud va chekli boʻlib, tengliklarning birortasi oʻrinli boʻlmasa, nuqta funksiyaning birinchi tur uzulish nuqtasi deyiladi. Bunda ayirma funksiyning nuqtadagi sakrashi deyiladi.

Masalan, funksiya nuqtada birinchi tur uzilishiga ega, chunki , f(p_0)=p-1 boʻlib boʻladi. Agar hech boʻlaganda limitlarning birortasi mavjud boʻlmasa yoki cheksiz boʻlsa, nuqta funksiyaning ikkinchi tur uzilish nuqtasi deyiladi.

Masalan, ushbu funksiya nuqtada ikkinchi tur uzilishiga ega boʻladi, chunki bu funksiya nuqtadagi oʻng va chap limitlari mavjud emas.

 Murakkab funksiyaning uzluksizligi 
Faraz qilaylik, funksiya toʻplamda, funksiya esa toʻplamda aniqlangan boʻlib, ular yordamida murakkab funksiya tuzilgan.

 
Turkum:Umumiy topologiya
Turkum:Metrik geometriya
Turkum:Matematik tahlil
Turkum:Funksiya