Бисекция ыкмасы

thumb|291x291px| Башталгыч диапазондо [a 1 ;b 1 ] колдонулган экиге бөлүү ыкмасынын бир нече кадамдары. Чоңураак кызыл чекит функциянын тамыры болуп саналат.
Математикада ,бисекция ыкмасы - карама-каршы белгилери бар эки маанини билген ар кандай үзгүлтүксүз функцияга тиешелүү тамыр табуу ыкмасы .Процедура бул маанилер аныктаган интервалды бир нече жолу экиге бөлүү, андан кийин функциянын белгиси өзгөргөн субинтервалды тандоо, бул анын тамыры болушу керек экендигин көрсөтөт. Бул абдан жөнөкөй жана бекем ыкма, бирок ал дагы салыштырмалуу жай. Ушундан улам, ал көп учурда тезирээк жакындашуучу ыкмалар үчүн баштапкы чекит катары колдонулган чечимге болжолдуу жакындоону алуу үчүн колдонулат. Бул метод интервалды жарымга бөлүү ыкмасы, бинардык издөө ыкмасы, же дихотомия ыкмасы деп да аталат. 

Көп мүчөлөр үчүн интервалда тамырдын бар экендигин текшерүү үчүн кеңири ыкмалар бар ( Декарттын белгилер эрежеси, Штурм теоремасы, Будан теоремасы ). Алар көп мүчөнүн бардык чыныгы тамырларын табуу үчүн экиге бөлүү ыкмасын эффективдүү алгоритмдерге кеңейтүүгө мүмкүндүк берет; Чыныгы тамыр изоляциясын караңыз.

 Ыкма 
Биринчи итерацияда тамырды кашаага алган интервалдын акыркы чекиттери болот жана , ошондуктан орто чекит

Ар бир кадамда метод интервалдын c = ( a + b ) / 2 ортосун жана ошол чекиттеги f ( c ) функциясынын маанисин эсептөө менен интервалды эки бөлүккө/жарымга бөлөт. Бул процесс с тамырынын өзү экенин аныктаганда аяктайт. Болбосо, азыр эки гана мүмкүнчүлүк бар: же f ( a ) жана f ( c ) карама-каршы белгилери бар жана кашаа тамырга, же f ( c ) жана f ( b ) карама-каршы белгилери бар жана кашаа тамырга. If the function has the same sign at the endpoints of an interval, the endpoints may or may not bracket roots of the function. Метод кийинки кадамда колдонула турган жаңы интервал катары кашаа болууга кепилдик берилген субинтервалды тандайт. Ошентип, f нөлүн камтыган интервал ар бир кадамда туурасы 50% га кыскарат. Процесс интервал жетиштүү аз болмоюнча улантылат.

Эгерде f ( c )=0 болсо, анда процесс аяктайт жана С жооп катары каралышы мүмкүн. Болбосо, эгерде f ( a ) жана f ( c ) карама-каршы белгилер болсо, анда ыкма b үчүн жаңы маани катары c орнотот, ал эми f ( b ) жана f ( c ) карама-каршы белгилерге ээ болсо, анда метод с жаңы деп коёт. а . Эки учурда тең жаңы f ( a ) жана f ( b ) карама-каршы белгилерге ээ, ошондуктан ыкма ушул кичине интервалга колдонулат. 

 Итерация тапшырмалары 
Метод үчүн киргизүү үзгүлтүксүз функция f, интервал [ a, b ] жана функциянын маанилери f ( a ) жана f ( b ). Функциянын маанилери карама-каршы белгиге ээ (аралыктын ичинде жок дегенде бир нөлдүк кайчылаш бар). Ар бир итерация төмөнкү кадамдарды аткарат:

 Эсептеңиз c, интервалдын ортосу,  c=.
 Функциянын маанисин орто чекитте эсептегиле, f ( c ).
 Эгерде конвергенция канааттандырарлык болсо (б.а. c - a жетишээрлик кичине, же | f ( c )| жетишерлик кичинекей), c кайтарып, кайталоону токтотуңуз.
 f ( c ) белгисин карап чыгыңыз жана ( a, f ( a )) же ( b, f ( b )) менен алмаштырыңыз ( c, f ( c )) жаңы интервалда нөлдүк кесилиш бар болсун. ME = bfe

Компьютерде ыкманы колдонууда көбүнчө кошумча конвергенциялык тесттер же итерациялык эсептөө чектөөлөрү бар, анткени потенциалдуу чексиз тактык маселелери бар.f үзгүлтүксүз болгонуна карабастан, функциянын мааниси чексиз тактыкка байланыштуу эч качан нөлгө барабар болбошу мүмкүн. Мисалы, f(x) = cos x алалы. x = π /2 ге жакын эч кандай өзгөрмө чекиттик маани так нөлдү бербейт. Мындан тышкары, жылмакай чекиттин тактыгы a менен b ортосундагы айырмачылыктын чегин белгилейт. башкача айтканда, a менен b ортосундагы ажырым тарлаган сайын, [а, b] ортосундагы чекит акыры сандык жактан a же b (калкуучу чекиттин тактыгынын ичинде) менен барабар болот.

 Алгоритм 
Метод псевдокоддо төмөнкүчө жазылышы мүмкүн: 
 киргизүү: Функциясы f, 
 акыркы чекит маанилери a, b, 
 сабырдуулук TOL, 
 максималдуу кайталоо NMAX
 шарттары: a 0 же f ( a ) > 0 жана f ( b ) 0.
 f (C) = (+,-) белгиси, башкача айтканда, f 1 (C)>0, f 2 (C)0, f 2 (D)>0.

Мүнөздүү көп бурчтуктун туура чети - бул белги вектору бир гана белги менен айырмаланган жуп чокулардын ортосундагы кыр. Жогорудагы мисалда мүнөздүү төрт бурчтуктун туура четтери AB, AC, BD жана CD болуп саналат. Диагонал - бул белги вектору бардык d белгилери менен айырмаланган чокулардын жуптары. Жогорудагы мисалда диагоналдар AD жана BC болуп саналат.

Ар бир итерацияда алгоритм көп жүздүүнүн туура четин тандап алат (айталы, A--B) жана анын ортоңку чекитиндеги f белгилерин эсептейт (мисалы, M). Андан кийин ал төмөнкүдөй ишке ашат:

Түпнуска мүнөздүү көп кырдуу диаметри (= эң узун туура четинин узундугу) дейли . Анда, жок дегенде калган көп бурчтуктун диаметри эң көп болушу үчүн четтердин экиге бөлүнүшү талап кылынат . : 11, Lemma.4.7 

 Бинардык издөө алгоритми
 Лемер-Шур алгоритми, комплекстүү тегиздикте экиге бөлүү ыкмасын жалпылоо
 Уюшкан интервалдар1.2. 

3. 4.

5.If the function has the same sign at the endpoints of an interval, the endpoints may or

may not bracket roots of the function.

6. . This version recomputes the function values at each iteration rather than carrying them to the next iterations.

7.

8.

 

 Андан ары окуу 

 
 

 Тышкы шилтемелер 

 Weisstein, Eric W. "Bisection". MathWorld.
 Bisection Method Notes, PPT, Mathcad, Maple, Matlab, Mathematica from Holistic Numerical Methods Institute