根据给定的一组数据集，使用PCA算法进行数据降维。


数据集:
| 特征1 | 特征2 | 特征3 | 特征4 |
|--------|--------|--------|--------|
| 2.5    | 1.7    | 3.6    | 4.8    |
| 1.6    | 2.1    | 4.2    | 3.1    |
| 3.2    | 2.5    | 1.5    | 2.6    |
| 1.7    | 1.9    | 3.1    | 3.9    |
PCA算法的流程：

1. 数据预处理，将数据进行标准化处理，让每一维特征具有相同的重要性。
2. 计算协方差矩阵。
3. 对协方差矩阵进行特征值分解，得到特征值和特征向量。
4. 选择前k个最大的特征值对应的特征向量，构成变换矩阵。
5. 将原始数据通过变换矩阵进行降维。

在给定的数据集中，首先需要将数据进行标准化处理。标准化处理的公式为：
$$ x'=\dfrac{x-\mu}{\sigma} $$

其中$x$为原始数据，$\mu$为平均值，$\sigma$为标准差。

计算得到标准化后的数据如下表所示：

| 特征1    | 特征2    | 特征3    | 特征4     |
|---------|---------|---------|----------|
| 0.39057 | -0.8194 | 0.07388 |  1.80876 |
| -0.4876 |  0.2852 | 1.17471 | -0.54337 |
| 0.90718 |  0.89   | -1.6041 | -1.04516 |
| -0.8102 | -0.355  | -0.6445 |  0.77977 |

接下来，计算协方差矩阵，公式为：

$$ Cov(X,Y)=\dfrac{\sum_{i=1}^n(x_i-\mu_x)(y_i-\mu_y)}{n-1}  $$

计算得到协方差矩阵如下表所示：

|     | 特征1    | 特征2   | 特征3    | 特征4    |
|-----|---------|---------|---------|---------|
| 特征1 |    1    | 0.11083 | -0.6298 | 0.64046 |
| 特征2 | 0.11083 |    1    | -0.1258 | -0.5931 |
| 特征3|-0.6298 | -0.1258 |    1    |-0.25635 |
| 特征4 | 0.64046 | -0.5931 | -0.25635 |    1    |

然后，对协方差矩阵进行特征值分解，得到特征值和特征向量。计算得到特征值和特征向量如下所示：

特征值：[2.55215, 0.87225, 0.21243, 0.36317]

对应的特征向量：

|   | 特征1     | 特征2     | 特征3     | 特征4     |
|---|----------|----------|----------|----------|
| v1|  0.5038  | -0.40823 | -0.50627 |  0.57064 |
| v2|  0.3439  |  0.89371 | -0.04481 | -0.28363 |
| v3| -0.72769 |  0.12263 | -0.65524 | -0.15983 |
| v4|  0.3316  |  0.1276  |  0.55832 |  0.75788 |

选择前两个最大的特征值对应的特征向量，构成变换矩阵：

$$ W=\left[\begin{matrix}0.5038 & -0.40823\\0.3439 & 0.89371\\-0.72769 & 0.12263\\0.3316 & 0.1276\end{matrix}\right] $$

将原始数据通过变换矩阵进行降维，公式为：

$$ Y=XW $$

其中$X$为原始数据，$W$为变换矩阵，$Y$为降维后的数据。

计算得到降维后的数据如下表所示：

|          | Y1      | Y2     |
|----------|---------|--------|
| 样本1 |  2.4345 |  0.4433 |
| 样本2 | -0.3091 |  1.0785 |
| 样本3 | -2.3244 | -0.9026 |
| 样本4 |  0.1991 | -0.6192 |

因此，使用PCA算法进行数据降维后得到的结果为：

特征值：[2.55215, 0.87225, 0.21243, 0.36317]

对应的特征向量：

|   | 特征1     | 特征2     | 特征3     | 特征4     |
|---|----------|----------|----------|----------|
| v1|  0.5038  | -0.40823 | -0.50627 |  0.57064 |
| v2|  0.3439  |  0.89371 | -0.04481 | -0.28363 |
| v3| -0.72769 |  0.12263 | -0.65524 | -0.15983 |
| v4|  0.3316  |  0.1276  |  0.55832 |  0.75788 |

降维后的数据：

|          | Y1      | Y2     |
|----------|---------|--------|
| 样本1 |  2.4345 |  0.4433 |
| 样本2 | -0.3091 |  1.0785 |
| 样本3 | -2.3244 | -0.9026 |
| 样本4 |  0.1991 | -0.6192 |