请证明欧拉恒等式成立。
欧拉恒等式：$e^{ix} = \cos{x} + i\sin{x}$

证明：引入欧拉公式 $e^{ix} = \cos{x} + i\sin{x}$，代入 $-x$ 得 $e^{-ix} = \cos{(-x)} + i\sin{(-x)} = \cos{x} - i\sin{x}$。

将上式两侧相加，有 $e^{ix} + e^{-ix} = (\cos{x} + i\sin{x}) + (\cos{x} - i\sin{x}) = 2\cos{x}$。

再将上式两侧相减，有 $e^{ix} - e^{-ix} = (\cos{x} + i\sin{x}) - (\cos{x} - i\sin{x}) = 2i\sin{x}$。

由于 $\cos{x}$ 和 $\sin{x}$ 均为实数，因此可以将上述两个等式除以 $2$，得到：

$$
\begin{aligned}
\cos{x} & = \frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2} \\
\sin{x} & = \frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2i}
\end{aligned}
$$

因此，欧拉恒等式成立。