根据给定的学科信息，生成一个50道题目的试卷。


学科：数学
学年：高中
1. 求解方程组：{x + 2y = 7; 2x + y = 10}
2. 求函数 y = sin(x) 在区间 [0, π] 上的最大值和最小值。
3. 某地 2020 年人口普查数据显示，男女比例为 3:5，男性人数比女性人数多 12000 人。求该地 2020 年的总人口数。
4. 已知函数 f(x) = (x-1)² - 3x，求它的导数。
5. 某生产厂家计划生产 200 台机器，它的生产成本为每台 6000 元。当销售价格定为 7500 元每台时，它预计销售出 180 台，当销售价格定为 9000 元每台时，预计销售出 120 台。求实现最大利润时的价格。
6. 在直角坐标系中，已知直线 L1：2x + y = 3 和直线 L2：kx - y = 1 互相垂直。求 k 的值。
7. 已知半径为 r 的圆的周长为 2πr，面积为 πr²。请证明，当圆的周长一定时，其面积最大。
8. 已知正弦函数 y = A sin (ωx + φ) 的图像如下，请确定 A、ω 和 φ 的值。
[插入正弦曲线图像]
9. 某车间有 A、B 两条生产线，它们生产木制家具和金属家具的比例都为 2:3。若 A 线每天最多生产 400 个，B 线每天最多生产 500 个。两条生产线每日总共需要 400 万元的资金。求生产效益最好的方案。
10. 某家公司需要雇佣 5 名员工，其中一名必须担任经理。共有 7 名申请人，其中 3 名有管理经验，4 名没有。求担任经理的可能性、没有管理经验的人不被选中的可能性。
11. 某山顶高度为 h，设一飞船从顶部沿直线下降至距离山脚 d 处着陆。求起点离山顶 h1 的位置对 d 的关系。
12. 某项研究表明，高中学生的数学成绩与体育成绩存在较强的正相关关系，其相关系数为 0.75。若某学生的数学成绩在全国排名前 10%，体育成绩在全国排名前 20%。求该学生的相关分数。
13. 已知矩形 ABCD 中，AB = CD，AD = BC = a，角 BAC = θ。以 AD 为直径，绕 B 点旋转一周而成的半球体积为 V。求 V 与 a、θ 的关系。
14. 某班级有 50 名学生参加考试，考试成绩平均分为 75 分，标准差为 10 分，问该班成绩在 70 分到 80 分之间的学生人数。
15. 计算 1 + 2 + 3 + …… + 100 的和。
16. 求关于 x 的方程 x³ + 2x² + 2x + 1 = 0 的一组实根和两组复根。
17. 已知数列 {a_n} 的通项公式为 an=3^(n+1)-2^(n+1)，n∈N。求数列的前 10 项和。
18. 将一个 5.8 米高的人影子测得为 2.9 米，同时测得太阳影子长度为 17.4  米，问太阳距离地面的长度有多少。
19. 已知某城市的人口总数为 200 万，每年以 4% 的速度增长。求 n 年后该城市的人口总数是多少。
20. 求 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + …… 的和。
21. 已知正弦函数 y = A sin (ωx + φ) 的图像如下，请确定 A、ω 和 φ 的值。
[插入正弦曲线图像]
22. 某地 2015 年和 2020 年的人口分别为 150 万和 210 万。求这 5 年间该地的平均年增长率。
23. 某人购买了 5 本书和 3 支笔，一共花费 70 元；购买了 3 本书和 5 支笔，一共花费 50 元。求每本书和每支笔的价格。
24. 一条封闭图形的周长为 20 厘米，其面积最大值为多少？
25. 某幢大楼高 60 米，一颗石子从楼顶自由落下，再弹回 2/5 的高度后又落下，如此反复，求第 6 次落地时石子下落的路程总长。
26. 已知函数 f(x) 在区间 [a, b] 上连续，在区间 (a, b) 内可导，且 f(a) = f(b) = 0。求证：在区间 (a, b) 内，存在 c∈(a, b)，使得 f'(c) + f(c) = 0。
27. 两地（A、B）之间有一直线跑道，AB 间距为 15 千米。两个人分别从 A、B 端相向而行，A 的速度为 4 千米每小时，B 的速度为 6 千米每小时。两人相遇后立即返回原点，再相向而行。求两人第二次相遇时的距离。
28. 已知数列 {a_n} 的通项公式为 an=1/(1+n^2)，n∈N。求数列的前 10 项和。
29. 一辆小车在平直路面行驶，其轮胎的直径为 60 厘米。当车速为 80 公里每小时时，轮胎的转速为多少转每分钟？
30. 求圆锥的体积，已知圆锥的高为 3 厘米，底面直径为 4 厘米。
31. 已知函数 y = x / (2x - 3) 的图像如下，请判断其是否具有对称性，并说明具有哪种对称性。
[插入函数图像]
32. 若 A，B，C 三个集合，且 A∪B = B∪C，A∩B = B∩C，则证明 A = C。
33. 求解不等式：5x - 7 > 3x + 28。
34. 已知函数 f(x) = x² - 3x + 2，求它在区间 [1, 3] 上的最小值。
35. 某网络游戏的服务器平均每小时收入 1000 元。该游戏设计一种新的付费方式，用户每消费 100 元，就可获得 5 元的游戏点数。若该游戏在一小时内总共有 100 名玩家在线，每名玩家平均每小时消费 10 元，预计新的付费方式能提高 20% 的营收收入。求新的付费方式的收益能力。
36. 已知直线 L 与平面 P 的交点为 Q，点 Q 到直线 L 的距离为 2 厘米，点 Q 到平面 P 的距离为 3 厘米。求平面 P 和直线 L 的夹角。
37. 若 A，B，C 三个集合，且 A∩B∩C = ∅，则证明 A∩(B∪C) = (A∩B)∪(A∩C)。
38. 已知函数 y = loga x，其中 a > 1，若 x1 = a⁽⁹⁾，x2 = a⁽¹²⁾，则求 loga (x2 / x1) 的值。
39. 如果有 n 辆车等待通过一座小桥，每辆车通过时间为 a，两车之间的时间间隔为 b，则通过所有车辆所需的时间为多少？
40. 设 f(x) = x³ - 6x² + 11x + 6，g(x) = [f(x)]² - 3，求 g(x) 的极值。
41. 已知两个圆的方程分别为 x² + y² = 25 和 (x - 4)² + y² = 9，求它们之间的公切线方程式。
42. 已知某人存入银行 20000 元，年利率为 4%，复利计算，求多少年后可以使存款本息总和达到 24000 元。
43. 已知函数 f(x) = 2x³ - 3x² - 72x + 1，求其在 [-5, 5] 区间上的最大值。
44. 某公司拥有 20 个员工，其中 12 人会计算机操作（以下称该部分员工为 A 部分），20 人懂得英语（以下称该部分员工为 B 部分），那么既会计算机操作又懂得英语的员工最多有几人？最少有几人？
45. 某蔬菜加工厂以 150 元每吨的价格购进 500 吨甘蔗，磨成汁后可以提取出 70 吨蔬菜汁，再处理必要的保鲜工作后，出售到五金厂，可以获利 180 元每吨。但处理过程会有 10% 的蔬菜物质损失，同时每吨汁的加工费用为 120 元，求该蔬菜加工厂的实际益处。
46. 将一个长度为 905 米的铁路线路分段维护，第一段的长度为 300 米，第二段长度为 200 米，每段维护所需时间相同，维护一段所需的时间为 1 天。如采用上修下建的方式维护，则完成铁路线路维护所需的天数最短为多少？
47. 某校评选优秀毕业生，评选标准是综合学习、科研能力、文化素养、实践能力四项指标，四项指标按照 40:20:20:20 的权重计算得分，获得总分前 30% 的同学可获得优秀毕业生称号。如果假设已知各项指标的得分平均值均为 80 分，标准差为 10 分，则所需的总分至少是多少分？
48. 已知数列 {a_n} 的通项公式为 an=1/(1+n^2)，n∈N。求证数列收敛并求其极限。
49. 求解不等式：((3x + 2) / 4) - (2x - 1) > x + 3。
50. 在平面直角坐标系内，已知两个点 A(2, 1) 和 B(4, 4)，请问直线 AB 的斜率是多少？