请列出有趣的数学难题并提供解题思路。
以下是一些有趣的数学难题及其解题思路：

1. 莫比乌斯反演定理：给定两个数列 $f(n),g(n)$ 和 $G(n)=\sum_{i=1}^ng(i)$，定义 $f$ 与 $G$ 的狄利克雷卷积为：$f* G(n) = \sum _{d|n}f(d)G(\frac{n}{d})$，则有 $f(n) = \sum_{d|n}\mu(d)(f*G)(\frac{n}{d})$ 。其中，$\mu(d)$ 是莫比乌斯函数。这个定理的应用非常广泛。

2. 费马大定理：对于质数 $p$ 和 $a\in \mathbb{Z}$，有 $a^p \equiv a \pmod p$。证明：可以由二项式定理得到 $(a+b)^p \equiv a^p+b^p \pmod p$。令 $b=1$，可得 $(a+1)^p \equiv a^p+1\equiv a+1 \pmod p$。因此，$(a+1)^p \equiv a+1\pmod p$，从而 $(a+1)^{p-1}\equiv 1 \pmod p$。由于 $p$ 是质数，根据欧拉定理，有 $a^{p-1}\equiv 1\pmod p$，因此 $a^p\equiv a\pmod p$。

3. 割绳子问题：有一根长度为 $n$ 的绳子，现在要求把这根绳子割成对应长度为 $a_1,a_2,\ldots,a_n$ 的 $n$ 段。假设可割出的每段长度均为整数。求如何割绳子，才能使得 $a_1\times a_2 \times \cdots \times a_n$ 的值最大。解题思路：这是一道经典的动态规划问题。设 $f(n)$ 表示长度为 $n$ 的绳子的最大乘积，对于以长度为 $i$ 的位置割一刀，可以得到两段长度为 $i$ 和 $n-i$ 的绳子，因此 $f(n)=\max\{i(n-i),i\times f(n-i)\}$，其中 $i\in[1,n-1]$，因为当 $i=n$ 时，$n-i=0$，乘积为 $0$。