给出一个简要的证明为什么$\sqrt{2}$ 是无理数。
假设$\sqrt{2}$ 是有理数，即可以表示为$\frac{p}{q}$其中$p$和$q$是互质的整数。由此可得：

$$2 = \frac{p^2}{q^2} \Rightarrow p^2 = 2q^2$$

这说明$p^2$是偶数，因此$p$本身也是偶数，即$p=2k$($k$为整数)。将其代入上式得到：

$$4k^2=2q^2 \Rightarrow q^2=2k^2$$

这意味着$q^2$也是偶数，于是$q$也是偶数。但$p$和$q$都是偶数，这与它们互质的前提矛盾，假设不成立。因此$\sqrt{2}$是无理数。