求证明 - 要求GPT模型给出一个简短的证明或解释。


在一个直角三角形中，对于斜边的长度为c，对角的正切等于相对顶角的对边与邻边之比。
这是一个基本几何理论，称为正切定义。可以用三角函数和三角相似来证明。假设三角形的两个角度为$\theta$和$(90°-\theta)$，且邻边为$a$，对边为$b$，斜边为$c$。根据三角函数，$\tan \theta=\frac{b}{a}$和$\tan (90°-\theta)=\frac{b}{c-a}$。因此，将$\tan \theta$相除得到$\frac{\tan \theta}{\tan (90°-\theta)}=\frac{b}{a} \div \frac{b}{c-a}=\frac{b(c-a)}{ab}=\frac{c-a}{a}$。最后化简可得 $\tan \theta=\frac{b}{a}=\frac{\frac{b}{c-a}}{\frac{a}{c-a}}=\frac{\text{对边}}{\text{邻边}}$。证毕。