给出一个数学问题，要求使用全过程解决。
数学问题。
计算 $\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{1+x^2}dx.$

解决过程：

将积分区间改为 $[0,\infty)$，即：

$$\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{1+x^2}dx = 2\int_{0}^{\infty} \frac{1}{1+x^2}dx$$

然后利用反正切函数的定义式：

$$\arctan x = \int_{0}^{x} \frac{1}{1+t^2}dt$$

将其中的 $x$ 替换为 $u=\sqrt{x}$，得到：

$$\int_{0}^{\infty} \frac{1}{1+x^2}dx = \int_{0}^{\infty} \frac{1}{1+u^4}2udu=\frac{\pi}{2\sqrt{2}}$$

因此，原积分的值为 $\frac{\pi}{\sqrt{2}}.$