## SIMULASI ALIRAN FLUIDA DUA DIMENSI TANPA MEMBUTUHKAN KISI-KISI DENGAN MENGGUNAKAN METODE VORTEKS. STUDI KASUS ALIRAN DI SEKITAR SILINDER DAN PELAT DATAR YANG BERGERAK TRANSLASI
(MESHLESS SIMULATION AROUND TWO DIMENSIONAL FLOW USING VORTEX METHOD. CASES STUDY: FLOW AROUND CYLINDER AND MOVING FLAT PLATE WITH TRANSLATIONAL MOTION)
Akhmad Farid Widodo *,**) , Lavi Rizki Zuhal **) , Hari Muhammad **) *) Laboratorium Aerogas dan Getaran-Badan Pengkajian dan Penerapan Teknologi **) Fakultas Teknik Mesin dan Dirgantara, ITB e-mail: akhmad.farid@bppt.go.id

## ABSTRACT
This paper present algorithm of vortex method which is meshless computational fluid  dynamic  method.  Vortex  method  treats  fluid  flow  in  Lagrangian  manner  by discretizing  fluid  flow  into  moveable  particles  blobs.  To  exercise  this  method,  two simulations were conducted: impulsively started flow around cylinder and flow around translating flate plate. The result gives good agreement with experimental measurement demonstrated by comparation of vorticity pattern.
Keyword: Vortex  method,  Meshless  simulation,  Flow  around  flat  plate,  Flow  around cylinder

## ABSTRAK
Makalah  ini  membahas  algoritma  metode  vorteks  yang  merupakan  metode numerik  simulasi  dinamika  fluida  tanpa  membutuhkan  kisi-kisi.  Metode  vorteks memodelkan  aliran  fluida  dengan  pendekatan  Lagrangian  dimana  elemen  fluida didiskritisasi menjadi bola-bola partikel yang  bergerak mengikuti  aliran  fluida.  Untuk menguji hasil simulasi metode vorteks, dilakukan simulasi aliran yang bergerak secara tiba-tiba  disekitar  silinder  dan  aliran  disekitar  pelat  datar  yang  bergerak  secara translasi.  Hasil  simulasi  memberikan  hasil  yang  cukup  baik  dibandingkan  dengan pengukuran  eksperimental  yang  ditunjukkan  dengan  perbandingan  pola  distribusi vortisitas.
Kata Kunci: Metode vorteks, Simulasi tanpa kisi-kisi, Aliran di sekitar pelat datar, Aliran di sekitar silinder

## 1 PENDAHULUAN
Untuk
melakukan simulasi numerik  aliran  fluida  yang  umum digunakan  membutuhkan  pembentukan kisi-kisi yang beradaptasi dengan geometri benda dalam medan aliran. Pembentukan kisi-kisi  tersebut  diperlukan  karena metode  simulasi  numerik  dinamika
fluida  yang  biasa  dipakai  menggunakan pendekatan Eulerian dalam memodelkan aliran  fluida.  Pendekatan  Eulerian memandang  medan  fluida  sebagai elemen  diam  dimana  aliran  mengalir melewati  elemen  tersebut  dan  sifat-sifat aliran  fluida  dievaluasi  dalam  elemen yang  diam  tersebut.  Secara  numerik,
elemen-elemen tersebut dibangun menjadi  kisi-kisi  dimana  dalam  kisi-kisi tersebut persamaan aliran diberlakukan.
Untuk kasus-kasus tertentu, seperti  aliran  yang  didalamnya  terdapat benda  yang  bergerak  dengan  modus gerakan  yang  kompleks,  pembentukan kisi-kisi  tidak  mudah  dilakukan  dan kadangkala menghambat untuk memodel- kan  fenomena  aliran  fluida  sesuai dengan  kondisi  fisiknya.  Adanya  masalah dalam  pembentukan  kisi-kisi  tersebut mendorong  penelitian-penelitan  untuk mengembangkan metode simulasi numerik aliran  fluida  tanpa  membutuhkan  kisi- kisi  dan  salah  satunya  yang  disajikan dalam  makalah  ini  adalah  metode vorteks.
Metode  vorteks  adalah  metode simulasi  numerik  dinamika  fluida  yang menggunakan  pendekatan  Lagrangian sehingga  tanpa  membutuhkan  kisi-kisi. Pendekatan  Lagrangian  memandang aliran  fluida  sebagai  elemen  fluida  yang bergerak mengikuti aliran  dimana pergerakan  fluida  tersebut  diatur  oleh persamaan  atur  fluida.  Metode  vorteks sekarang  masih  relatif  asing  dalam dunia simulasi numerik dinamika fluida karena  metode  tersebut  masih  belum mapan  sebagaimana  metode  numerik dinamika  fluida  yang  menggunakan pendekatan  Eulerian.  Dengan  keistime- waan  metode  vorteks  yang  tanpa  mem- butuhkan  kisi-kisi,  diharapkan  metode vorteks  dapat  digunakan  untuk  men- simulasikan  kasus-kasus  yang  sulit dilakukan  dengan  menggunakan  pen- dekatan  Eulerian  seperti  mensimulasikan fenomena interaksi fluida-struktur.
Pengembangan  metode  vorteks dipelopori  oleh  Chorin  (1973)  yang memperkenalkan  penyelesaian  persamaan Navier-Stokes  yang  dituliskan  dalam besaran  vortisitas  (hal  tersebut  yang menyebabkan metode ini disebut metode vorteks)  dengan  cara  memisahkan  suku konveksi  dan  suku  difusi.  Suku konveksi menghitung pergerakan elemen fluida yang dimodelkan dengan partikel-
partikel  yang  dapat  bergerak  mengikuti persamaan  aturnya,  sedangkan  suku difusi  menghitung  evolusi  vortisitas partikel-partikel tersebut. Dalam metode vorteks ini, suku difusi dapat dimodelkan  dengan  beberapa  alternatif pemodelan  diantaranya  adalah  model gerakan  random  yang  diperkenalkan oleh  Chorin  sendiri,  model  pembesaran partikel yang diperkenalkan oleh Leonard  (1980)  dan  model  pertukaran kekuatan  antar  partikel  yang  diper- kenalkan  oleh  Degond  dan  Mas-Gallic (1989).
Makalah ini menyajikan penerapan metode  vorteks  menggunakan  model difusi pertukaran kekuatan antar partikel  untuk  masalah  dua  dimensi. Metode vorteks yang digunakan mengikuti algoritma yang diberikan oleh Koumoutsakos  (1993),  Ploumhans  dan Winckelmans  (2000),  serta  Sepnov (2009). Algoritma tersebut mengelaborasi kontribusi-kontribusi pengembangan metode  vorteks  sebelumnya  diantaranya diberikan  oleh  Degond  and  Mas-Gallic (1989),  Koumoutsakos  (1993),  Lighthill (1963), dan Carrier et al. (1988).  Kasus yang  disimulasikan  adalah  aliran  yang bergerak  secara  tiba-tiba  disekitar silinder  dan  aliran  disekitar  pelat  datar yang  bergerak  secara  translasi.  Tujuan dari simulasi ini adalah membandingkan hasil  simulasi  metode  vorteks  dengan hasil  eksperimen  dan  kasus-kasus  yang disimulasikan  tersebut  memiliki  data eksperimen yang dapat dibandingkan.

## 2  METODE VORTEKS

## 2.1 Persamaan Atur
Persaman  atur  yang  diselesaikan pada  metode  vorteks  adalah  persamaan Navier  stokes  yang  dituliskan  dalam variable vortisitas sebagai berikut:
(2-1)
Keterangan:
(x,t) : medan kecepatan,
: viskositas kinematik,
t : besaran waktu, dan : vortisitas.
Besaran vortisitas adalah besaran  yang secara fisik menyatakan tendensi elemen fluida untuk berotasi.
Secara  fisik,  persamaan  (2-1)  di atas dapat dintepretasikan sebagai berikut: suku  pertama  ruas  kiri  menyatakan ketidaktunakan  aliran,  suku  kedua menyatakan  aspek  konveksi  dari  aliran, suku  pertama  ruas  kanan  menyatakan peregangan  vorteks  dan  suku  kedua kanan menyatakan difusi vortisitas. Untuk kasus  dua  dimensi,  suku  peregangan vorteks  dapat  dihilangkan  sehingga persamaan  atur  persamaan  vortisitas dua dimensi menjadi:
(2-2)
Penyelesaian numerik persamaan di atas secara  konservatif  dapat  menggunakan metode  beda  berhingga  namun  penye- lesaiaan  tersebut  membutuhkan  pem- bentukan  kisi-kisi  dimana  hal  tersebut ingin  dihindari  dalam  pengembangan metode  vorteks.  Untuk  menghindari pembentukan  kisi-kisi  tersebut,  suku difusi  pada  persamaan  di  atas  tidak diselesaikan  secara  langsung  namun dilakukan  pemodelan.  Terdapat  beberapa pemodelan  suku  difusi  yang  telah diperkenalkan  seperti  model  gerakan random, model pembesaran partikel dan model  pertukaran  kekuatan  antar partikel. Dari model-model difusi tersebut, yang  secara  matematis  memberikan derajat  akurasi  paling  tinggi  adalah model pertukaran antar partikel.
Disamping  kelebihan  dalam  hal  paling akurat, model  pertukaran  antar  partikel tersebut  memiliki  kelemahan  dalam  hal beban  perhitungan  yang  paling  besar sehingga  model  tersebut  masih  jarang digunakan.  Dalam  penelitian  ini,  model difusi  yang  digunakan  adalah  model pertukaran  antar  partikel  sehingga diharapkan  simulasi  memberikan  derajat akurasi yang paling tinggi.

## 2.2 Diskritisasi Bola-Bola Partikel
Untuk  menyelesaikan  persamaan vortisitas  secara  Lagrangian,  aliran fluida  dimodelkan  dengan  bola-bola diskrit  yang  dapat  bergerak  mengikuti konveksi aliran fluida. Bola-bola partikel tersebut  membawa  vortisitas  dimana besar  vortisitas dapat berubah  terhadap waktu  mengikuti  proses  difusi.  Dalam perhitungan metode vorteks ini, besaran yang merepresentasikan sifat bola partikel adalah  besaran  kekuatan  partikel  yang dihubungkan  dengan  besaran  vortisitas sebagai berikut:
(2-3)
Keterangan:
: kekuatan partikel dan
: posisi aliran yang ditinjau.
Indeks  i  adalah  indeks  untuk  bola-bola partikel. adalah fungsi yang menyatakan distribusi  vortisitas  dalam  bola  partikel. Terdapat  beberapa  fungsi  yang  dapat digunakan untuk fungsi distribusi tersebut dan  dalam  penelitian  ini  digunakan fungsi  Gaussian  karena  dari  studi literatur fungsi tersebut memiliki kekokohan  yang  tinggi  secara  numerik. Fungi  Gaussian  tersebut  dituliskan sebagai berikut:
(2-4)
Keterangan:
: parameter  penghalusan  yang  me- nyatakan ukuran partikel.
Besaran kekuatan partikel dapat dianggap sebagai  vortisitas  dalam  bola  partikel yang  terakumulasi  dalam  titik  pusat bola  partikel.  Jika  A i adalah  luas  bola partikel  maka  kekuatan  partikel  dapat dinyatakan  dalam  vortisitas  sebagai

## 2.3 Strategi  Penyelesaian  Persamaan
Atur
Ide  dasar  metode  vorteks  yang diperkenalkan  oleh Chorin  adalah
melakukan penyelesaian suku difusi dan suku  konveksi  secara  terpisah  pada persamaan vortisitas. Penyelesaian suku konveksi adalah menghitung pergerakan bola-bola  partikel  dengan  mengintegrasi- kan kecepatan partikel-partikel. Kecepatan bola-bola partikel pada waktu tertentu t dihitung dengan menggunakan persamaan Biot-Savart sebagai berikut:
(2-5)
Fungsi q untuk  distribusi  Gaussian didefinisikan sebagai berikut:
(2-6)
Persamaan biot-savart tersebut menyata- kan bahwa kecepatan suatu bola partikel merupakan  hasil  induksi  partikel- partikel  lain  dalam  ruang  komputasi. Perhitungan  tersebut  membutuhkan beban perhitungan sebesar N 2 perhitungan dengan  N  adalah  jumlah  bola  partikel dalam  ruang  komputasi.  Dalam  ruang komputasi yang terdapat jumlah partikel yang sangat banyak, perhitungan menjadi sangat  lama  dan  tidak  praktis.  Untuk melakukan percepatan perhitungan digunakan teknik percepatan perhitungan Biot-Savart yang dikenal dengan metode Fast  Multiple  Method  (FMM) .  Algoritma rinci  mengenai  metode  tersebut  dapat dilihat pada Carrier, et al(1988).
Penyelesaian  suku  difusi  meng- hitung  evolusi  kekuatan  bola  partikel terhadap  waktu.  Seperti  yang  telah disebutkan  di  atas  bahwa  suku  difusi dimodelkan  dengan  model  pertukaran antar  partikel  yang  dikenalkan  oleh Degond  dan  Mas  Gallic.  Dengan  model tersebut,  operator  Laplacian  suku difusi didekati dengan operator integral sebagai berikut:
(2-7) Dengan  fungsi
untuk  distribusi Gaussian didefinisikan dengan:
(2-8)
Persamaan  (2-7)  didiskritasi  untuk semua  partikel  dan  disubtitusikan  ke persamaan  (2-2)  yang  dihilangkan  suku konveksinya sehingga didapatkan turunan kekuatan  partikel  terhadap  waktu sebagai berikut:
(2-9)
Indeks  i  dan  j  secara  berurutan  adalah indeks untuk partikel yang dihitung dan partikel lain yang menginduksi partikel i tersebut.  Indeks  ij  menyatakan  nilai rata-rata  dari  properti  partikel  id  an partikel j.
Setelah    kecepatan  dan  turunan kekuatan  partikel  terhadap  waktu  telah dihitung  dapat  dilakukan  integrasi waktu  terhadap  dua  besaran  tersebut. Integrasi  waktu  yang  dipakai  dalam penelitian  ini  menggunakan  dua  tahap yaitu  tahap  prediksi  dan  tahap  koreksi sebagai berikut:
 Tahap  prediksi:  Untuk  menghitung posisi    dan  kekuatan  partikel    pada t+1/2  t dilakukan integrasi kecepatan pada  saat  t  yang  merupakan  fungsi dari posisi dan kekuatan partikel pada saat t sebagai berikut:
(2-10)
(2-11)
 Tahap  Koreksi:  kecepatan  partikel- partikel  dihitung  kembali  dengan menggunakan  posisi  dan  kekuatan partikel  dari  persamaan  (2-10)  dan  (2- 11)  di  atas  dan  dilakukan  integrasi kecepatan  terhadap  waktu  tersebut dengan menggunakan:
(2-12)
Hasil dari tahapan-tahapan perhitungan di  atas  menghasilkan  posisi  dan kekuatan partikel pada t+  t.
Adanya medan vortisitas disekitar benda dua dimensi menginduksi adanya kecepatan  selip  pada  permukaan  akibat pengaruh  persamaan  Biot-Savart.  Hal tersebut  menginspirasi  konsep  pem- bentukan vortisitas yang dihasilkan dari kondisi batas. Secara fisik, kondisi batas permukaan mensyaratkan bahwa kecepatan selip permukaan akibat medan vortisitas harus dihilangkan. Mekanisme pembentukan vortisitas permukaan adalah mendefinisikan titik-titik permukaan  benda  yang  memproduksi gulungan  vorteks.  Gulungan  vorteks yang  dihasilkan  harus  memberikan kecepatan    yang  berlawanan  dengan kecepatan  selip  akibat  medan  vortisitas. Gulungan  vorteks  tersebut  kemudian didifusikan ke partikel-partikel disekitar- nya. Mekanisme pembentukan gulungan vorteks  tersebut  diilustrasikan  dalam Gambar 2-1.
Gulungan  vorteks  dihitung  dengan menyelesaikan persamaan integral sebagai berikut:
(2-13)
Dimana
adalah  kecepatan  selip
akibat  induksi  vortisitas  dan adalah kecepatan  benda  sedangkan  s  adalah vektor paralel permukaan benda. Persamaan  integral  di  atas  diselesaikan secara  numerik  dengan  metode  elemen batas standard. Setelah gulungan vorteks telah dihitung, dapat dilakukan perhitungan  difusi  gulungan  vorteks  ke partikel-partikel sekitar benda.
Perhitungan  difusi  gulungan  vorteks dilakukan  untuk  menghitung  turunan kekuatan partikel terhadap waktu akibat gulungan vorteks sebagai berikut:
(2-14)
Gambar 2-1: Ilustrasi  skema  pembentukan  vortisitas  permukaan  benda  (a)  vortisitas  medan  aliran fluida menginduksi kecepatan selip dipermukaan benda (b) gulungan vorteks terbentuk untuk  melawan  kecepatan  selip  (c)  gulungan  vorteks  didifusikan  ke  partikel-partikel disekitar permukaan benda
Persamaan (2-14) diintegrasikan terhadap waktu sebagai berikut:
(2-15)
Dimana adalah kekuatan partikel dari tahapan perhitungan difusi sebelumnya. Kekuatan  partikel  di  atas  merupakan kekuatan  partikel  pada  t+  t.  Tahapan- tahapan  perhitungan  di  atas  dilakukan secara  berulang-ulang  sampai  waktu simulasi  t  yang  diinginkan  sehingga didapatkan  data  posisi  dan  kekuatan partikel sebagai fungsi waktu.
Untuk kasus dimana benda dapat bergerak,  efek  pergerakan  dimasukkan dalam  perhitungan  vorteks sheet pada persamaan  (2-13)  yang  ditentukan  oleh .  Pergerakan  benda  menyebabkan adanya  perubahan  posisi  permukaan benda  yang  dihitung  dengan  integrasi kecepatan  permukaan  terhadap  waktu sebagai berikut:
(2-16)
Dengan adalah koordinat permukaan pada langkah waktu n+1.
Tahapan-tahapan  perhitungan  di atas  memerlukan  parameter  numerik yaitu  t dan  . Kedua parameter di atas dipilih dengan kriteria kestabilan numerik sebagai berikut:
(2-17)
Dengan  =  0.595  untuk  skema prediksi-koreksi  yang  digunakan  dalam penelitian ini.

## 3  SIMULASI
Dalam  makalah  ini  ditunjukan simulasi-simulasi  menggunakan  metode vorteks seperti yang didiskusikan di atas. Simulasi  yang  dilakukan  dipilih  kasus yang  memiliki  eksperimen  sebagai pembanding  yaitu  kasus  aliran  yang digerakkan  secara  tiba-tiba  disekitar silinder  dan  kasus  aliran  disekitar  pelat datar yang bergerak translasi.

## 3.1 Aliran  yang  Digerakkan  Secara Tiba-Tiba Disekitar Silinder
Simulasi pertama adalah simulasi aliran yang digerakkan tiba-tiba disekitar silinder pada bilangan
Reynolds  3000.    Hasil  simulasi  yang berupa  distribusi  vortisitas  disekitar silinder sebagai fungsi waktu dibandingkan  dengan  hasil  visualisasi eksperimental  menggunakan  PIV  yang diambil dari  Subramaniam(1996).
Gambar  3-1  menunjukkan  distri- busi  vortisitas  pada  daerah  aliran disekitar  seperempat  bagian  daerah belakang  silinder  yang  dihasilkan  dari metode  vorteks  (kanan)  dan  hasil eksperimen  (kiri).  Aliran  fluida  mengalir dari kiri ke kanan. Warna kuning-merah menunjukkan  vortisitas  searah  jarum jam  dan  warna  biru  menunjukkan vortisitas  berlawanan  arah  jarum  jam. Besar  vortisitas  ditunjukkan  dengan intensitas warna. Fenomena yang ditunjukkan  oleh  Gambar  2-1  adalah terbentuknya  gulungan  vorteks  yang terjadi  akibat  terjadinya  pelepasan aliran.  Struktur  aliran  vorteks  yang dihasilkan dari metode vorteks menunjukan  kemiripan  dengan  tingkat detail  yang  cukup  baik  dibandingkan dengan hasil eksperimen.

## 3.2 Pelat Datar yang Bergerak Translasi
Simulasi  yang  dilakukan  pada kasus  ini  adalah  pelat  datar  yang bergerak  secara  translasi  dengan  tiga modus  kecepatan  yaitu  dipercepat, kecepatan  konstan  dan  diperlambat sampai  berhenti.  Skenario  simulasi mengikuti  skenario  eksperimen  yang dilakukan  oleh  Long  (2009)  yang menggunakan metode PIV ( Particle Image Velocimetry ).  Eksperimen  PIV  tersebut dilakukan  pada  sebuah  bak  air.  Modus gerak  translasi  yang  disimulasikan dinyatakan  dengan  kecepatan  sebagai fungsi waktu sebagai berikut:
t/T  0.42  u = 0.011*(t/T)
cm/s (dipercepat)
0.42 < t/T  0.72  u  =  0.005    cm/s (kecepatan konstan)
0.73  t/T  0.86  u  =  (-0.035*  (t/T)  +
0.03) cm/s    (diper- lambat)
t/T > 0.86
 u = 0.0  (diam)
dengan  t  adakah  waktu  dihitung  dari pelat  datar  mulai  digerakkan,  u  adalah
kecepatan  tranlasi sebagai  fungsi waktu dan  T  adalah  waktu  pengamatan  yang ditentukan  35  detik.  Sistematika  gerak diilustrasikan pada Gambar 3-1.
Perbandingan  hasil  simulasi  dan eksperimen  PIV  oleh  Long  berupa distribusi  vortisitas  dalam  medan  aliran sebagai  fungsi  waktu  ditunjukkan  pada Gambar 3-2.
Gambar 3-1: Distribusi  vortisitas  disalah  satu  sisi  belakang  silinder  pada  bilangan  Reynolds  3000 hasil  simulasi  metode  vorteks  (kanan)  dan  data  pembanding  dari  pengukuran eksperimental (kiri) untuk beberapa waktu (T)
Gambar 3-1: Ilustrasi  skema  simulasi  :  pelat  datar  digerakkan  dalam  medium  air  dengan  arah gerakdari atas kebawah dengan kecepatan sebagai fungsi waktu
Medium fluida : air
Arah gerak dengan u(t) Pelat datar
Gambar 3-2: Perbandingan  medan  vortisitas  antara  hasil  metode  vorteks  (kiri)  dengan  eksperimen (kanan) pada fase percepatan
Gambar 3-3: Perbandingan  medan  vortisitas  antara  hasil  metode  vorteks  (kiri)  dengan  eksperimen (kanan) pada fase kecepatan konstan
Gambar 3-4: Perbandingan  medan  vortisitas  antara  hasil  metode  vorteks  (kiri)  dengan  eksperimen (kanan) pada fase perlambatan dan berhenti
Gambar  di  atas  menunjukkan distribusi  vortisitas  disekitar pelat  datar yang  bergerak  dari  atas  ke  bawah. Gambar      t/T  =  0.25  dan  t/T  =  0.42 menunjukkan distribusi vortisitas dalam fasa  percepatan,    t/T  =  0.58  dan  t/T  = 0.72 pada fase kecepatan konstan t/T = 0.84  pada  fasa  perlambatan  dan t/T=0.97  adalah  saat  berhenti.  Warna merah menunjukkan vortisitas berlawanan arah jarum jam dan warna biru menun- jukkan  sebaliknya.  Besar  vortisitas ditunjukkan oleh intensitas warna dengan nilai  maksimum  dan  minimum  pada peta warna adalah  4 cm -1 dan -4 cm -1 . Perbandingan  medan  vortisitas antara  hasil  simulasi  metode  vorteks dan  eksperimen  menunjukkan  bahwa kedua  hasil  tersebut  sangat  mirip  dan konsisten  dalam  menangkap  fenomena- fenomena  yang  terjadi.  Fenomena- fenomena  yang  secara  konsiten  ditunjuk-
kan  oleh  kedua  hasil  dapat  dijelaskan sebagai  berikut:  pada  fase  percepatan, terbentuk medan vortisitas yang memanjang  kebelakang  dikedua  sisi pelat  datar  secara  simetris  dengan  arah yang  berlawanan.  Pada  fase  kecepatan konstan,  medan  vortisitas  yang  telah terbentuk  terlihat  menjadi  memudar. Hal  tersebut  menunjukkan  adanya pengurangan  produksi  vortisitas  per- mukaan.  Pada  fase  perlambatan  dan berhenti,  terbentuk  medan  vortisitas baru dikedua sisi yang berlawanan arah dengan  vortisitas  sebelumnya  pada posisi  yang  sama,  sedangkan  vortisitas sebelumnya  yang  telah  mengalir  di belakang cenderung memudar. Fenomena- fenomena tersebut menunjukkan bahwa produksi  vortisitas  ditentukan  oleh percepatan. Karakteristik dinamika medan  vortisitas  terhadap  modus  gerak yang  konsisten  antara  metode  vorteks
dan  eksperimen  menunjukkan  metode vorteks cukup baik memprediksi karakteristik  aliran  fluida.  Perbedaan yang  terlihat  antara  hasil  eksperimen dan  metode  vorteks    adalah  eksperimen memberikan  besar  vortisitas  yang  lebih tinggi dan lebih tidak teratur dibandingkan  dengan  metode  vorteks. Perbedaan  tersebut  dapat  diterima karena  dalam  kondisi  aktualnya  simulasi metode vorteks dan eksperimen memiliki perbedaan  kondisi  yaitu:  (1)  eksperimen merupakan kasus tiga dimensi sedangkan simulasi metode vorteks yang dilakukan adalah  kasus  dua  dimensi.  Pada  kasus tiga  dimensi,  dalam  persamaan  atur terhadap  suku  peregangan  vorteks  yang dieliminasi  dalam  kasus  dua  dimensi. (2)  eksperimen  dilakukan  pada  bak  air yang  merupakan  media  terisolasi.  Efek isolasi  tersebut  dalam  simulasi  metode vorteks  tidak  dimodelkan.  (3)  dalam eksperimen,  media  fluida  tidak  dapat dikontrol  secara  sempurna  untuk  mem- berikan  medan  fluida  tanpa  vortisitas sedagkan  dalam  metode  vorteks  pada saat kondisi awal, media fluida diasumsikan  tidak  terdapat  vortisitas. Dengan  melihat  konsistensi  fenomena dan  orde  besaran  vortistas  yang  mirip memberikan kepercayaan bahwa metode vorteks dapat memberikan akurasi yang cukup baik

## 4  KESIMPULAN
Dalam makalah ini telah disajikan  hasil  simulasi  metode  vorteks untuk  dua  kasus  aliran  fluida  dua dimensi  yang  dibandingkan  dengan eksperimen.  Dari  hasil  perbandingan tersebut, metode vorteks dapat menunjukkan  struktur  aliran  vortisitas yang  mirip  dan  konsisten  dengan  yang ditunjukkan oleh eksperimen baik untuk kasus  benda  yang  diam  dengan  aliran bergerak  yang  diwakili  oleh  kasus silinder  maupun  kasus  benda  yang bergerak  yang  diwakili  oleh  kasus  pelat datar.  Dari  perbandingan  tersebut memberikan kepercayaan bahwa metode
vorteks dapat mensimulasikan fenomena aliran  khususnya  yang  mengandung efek  ketidak-tunakan  maupun  efek viskositas  yang  dominan  dengan  hasil yang sangat baik.

## DAFTAR RUJUKAN
Carrier,  J.,  L.  Greengard,  et  al.,1988. A Fast  Adaptive  Multipole  Algorithm For  Particle  Simulations ,  Siam  J. Sci. Stat. Comput. 9 (4).
Chorin,  A.  J.,  1973. Numerical  Study  of Slightly  Viscous  Flow , J.  Fluid Mech 57 : 785-796.
Degond, P. and S. Mas-Gallic, 1989. The Weighted  Particle  Method  for Convection–Diffusion  Equations.  I. The Case Of An Isotropic Viscosity; II.  The  Anisotropic  Case ,  Math. Comput 53 .
Koumoutsakos, P., 1993. Direct Numerical Simulations of Unsteady Separated Flows Using Vortex Methods , Ph.D thesis,  California  Institute  of Technology.
Leonard,  A.,  1980. Vortex  Methods  for Flow Simulation , J. Comput. Phys.
37 : 289-335.
Lighthill,  M.  J.,  1963. Introduction  to Boundary Layer Theory , New York, Oxford Univ. Press.
Long, N. H., 2009. Vortex Interaction and Force Generation in Flapping Flight, Master  Thesis,  Institut  Teknologi Bandung.
Ploumhans,  P.  and  G.  S.  Winckelmans, 2000. Vortex  Methods  for  High- Resolution  Simulations  of  Viscous Flow  Past  Bluff  Bodies  of  General Geometry , Journal of Computational Physics (165): 354–406.
Sepnov,  A.  J.,  2009. Development  Of Three-Dimensional Vortex  Element Method  For  High-Resolution  Flow Simulation, Master  Thesis  Master Thesis, Institut Teknologi Bandung. Subramaniam,  S.,  1996. A  New  Mesh- Free  Vortex  Method ,  Doctor  of Philosophy  Ph.D.  Dissertation, The Florida State University.