Vol. 18, No. 2,  198 -223,  January, 2022 DOI: 10.20956/j.v18i2.18382
* Program Studi Sarjana Statistika, FMIPA-UNPAD
Email address : 1 warosatul19001@mail.unpad.ac.id, 2 farin19001@mail.unpad.ac.id
This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial 4.0 International License
Application of GARCH Forecasting Method in Predicting The Number of Rail Passengers (Thousands of People) in Jabodetabek Region

## Penerapan Metode Peramalan GARCH dalam Memprediksi Jumlah Penumpang Kereta Api (Ribu Orang) di Wilayah Jabodetabek
Warosatul Anbiya 1 , Farin Cyntiya Garini 2

## Abstract
PT.  Kereta  Api  Indonesia  and  PT.  KAI  Commuter  Jabodetabek  records  time  series  data  in  the form of the number of train passengers (thousand people) in Jabodetabek Region in 2011-2020. One  of  the  time  series  methods  that  can  be  used  to  predict  the  number  of  train  passengers (thousand people) in Jabodetabek area is ARIMA method. ARIMA or also known as Box-Jenkins time  series  analysis  method  is  used  for  short-term  forecasting  and  does  not  accommodate seasonal factors. If the assumption of residual homoscedasticity is violated, the ARCH / GARCH method  can  be  used,  which  explicitly  models  changes  in  residual  variety  over  time.  This  study aims  to  model  and  forecast  the  number  of  train  passengers  (thousand  people)  in  Jabodetabek area  in  2021.  Based  on  data  analysis  and  processing  using  ARIMA  method,  the  best  model  is ARIMA (1,1,1) with an AIC value of 2,159.87 and with ARCH / GARCH method, the best model is  GARCH  (1,1)  with  an  AIC  value  of  18.314.  Forecasting  results  obtained  based  on  the  best model  can  be  used  as  a  reference  for  related  parties  in  managing  and  providing  public transportation facilities, especially trains.
Keywords: Trains Passengers, ARIMA, ARCH-GARCH, Forecasting

## Abstrak
PT. Kereta Api Indonesia dan PT. KAI Commuter Jabodetabek mencatat data deret waktu berupa jumlah penumpang kereta api (ribu orang) di Wilayah Jabodetabek tahun 2011-2020. Salah satu metode deret waktu yang dapat digunakan untuk meramalkan jumlah penumpang kereta api (ribu orang)  di  Wilayah  Jabodetabek  adalah  metode  ARIMA.  ARIMA  atau  disebut  juga  metode analisis  runtun  waktu Box-Jenkins digunakan  untuk  peramalan  jangka  pendek  dan  tidak mengakomodasi  faktor  musiman.  Jika  asumsi  homoskedastisitas  residual  terlanggar,  dapat digunakan metode ARCH/GARCH yang secara eksplisit memodelkan perubahan ragam residual dari waktu ke waktu. Penelitian ini bertujuan untuk melakukan pemodelan dan peramalan jumlah penumpang  kereta  api  (ribu  orang)  di  Wilayah  Jabodetabek  pada  tahun  2021.  Berdasarkan analisis  dan  pengolahan  data  dengan  metode  ARIMA,  diperoleh  model  terbaik  adalah  model ARIMA  (1,1,1)  dengan  nilai  AIC  sebesar  2.159,87  dan  dengan  metode  ARCH/GARCH, diperoleh model terbaik adalah GARCH (1,1) dengan nilai AIC sebesar 18,314. Hasil peramalan yang  diperoleh  berdasarkan  model  terbaik  dapat  dijadikan  referensi  bagi  pihak-pihak  terkait dalam mengelola dan menyediakan fasilitas transportasi umum, terutama kereta api.
Kata Kunci: Penumpang Kereta Api, Peramalan, ARIMA, ARCH-GARCH

## Jurnal Matematika, Statistika & Komputasi
Warosatul Anbiya, Farin Cyntiya Garini

## 1. PENDAHULUAN
Kegiatan  peramalan  dapat  digunakan  dalam  berbagai  bidang.  Dalam  penelitian  ini,  penulis melakukan  suatu  peramalan  mengenai  jumlah  penumpang  (ribu  orang)  Kereta  Api  Indonesia  di Wilayah  Jabodetabek  pada  masa  yang  akan  datang  dengan  menggunakan  analisis  deret  berkala ( time  series ).  Tujuan  penelitian  ini  adalah  untuk  meramalkan  ( forecasting )  jumlah  penumpang (ribu  orang)  Kereta  Api  Indonesia  di  Wilayah  Jabodetabek  pada  tahun  2021,  mulai  dari  bulan Januari  hingga  bulan  Desember  dan  diharapkan  dapat  bermanfaat  dalam  memberi  gambaran jumlah penumpang (ribu orang) Kereta Api Indonesia di Wilayah Jabodetabek dan dapat menjadi bahan  pertimbangan  dan  referensi  pihak-pihak  terkait  dalam  mengelola  fasilitas  transportasi umum, terutama kereta api.
Ada beberapa metode peramalan pada model peramalan deret berkala, salah satu metode dari model deret berkala adalah metode Box-Jenkins atau ARIMA ( Autoregressive Integrated Moving Average ). Metode Box-Jenkins terdiri dari AR ( Autoregressive ), MA ( Moving Average ), ARMA (untuk  data  stasioner),  ARIMA  (untuk  data  yang  tidak  stasioner)  dan  ARIMA  musiman  atau SARIMA ( Seasonal Autoregressive Integrated Moving Average , untuk data yang tidak stasioner dan  musiman).  Pada  peramalan  jumlah  penumpang  Kereta  Api  Indonesia  pada  masa  yang  akan datang akan digunakan metode peramalan ARIMA ( Autoregressive Integrated Moving Average ) ditambah dengan pemodelan ARCH/GARCH ( Autoregressive Conditional
Heteroscedasticity/Autoregressive  Conditional  Heteroscedasticity )  karena  terlanggarnya  asumsi homoskedastisitas, dimana rata-rata dan ragam (residual) data yang  dimodelkan secara simultan berubah-ubah.  Untuk  meramalkan  jumlah  penumpang  Kereta  Api  Indonesia  di  Wilayah Jabodetabek 12 periode ke depan (Januari 2021-Desember 2021), dilakukan analisis berdasarkan data jumlah penumpang Kereta Api Indonesia di Wilayah Jabodetabek pada tahun 2011-2020.
1.1. Data Deret Waktu ( Time Series ) Pada  Hanke, J.  E  dan  Wichern,  D. W.  [7], Time series atau runtun  waktu adalah  himpunan observasi  data  terurut  dalam  waktu.  Metode time  series adalah  metode  peramalan  dengan menggunakan  analisis  pola  hubungan  antara  variabel  yang  akan  dipekirakan  dengan  variabel waktu.  Peramalan  suatu  data time  series perlu  memperhatikan  tipe  atau  pola  data.  Menurut Hanke, J. E dan Wichern, D. W. [7], secara umum terdapat empat macam pola data time series , yaitu  horizontal, trend ,  musiman,  dan  siklis.  Pola  horizontal  merupakan  kejadian  yang  tidak terduga dan bersifat acak, tetapi kemunculannya dapat mempengaruhi fluktuasi data time series . Pola trend merupakan  kecenderungan  arah  data  dalam  jangka  panjang,  dapat  berupa  kenaikan maupun  penurunan.  Pola  musiman  merupakan  fluktuasi  dari  data  yang  terjadi  secara  periodik dalam  kurun  waktu  satu  tahun,  seperti  triwulan,  kuartalan,  bulanan,  mingguan,  atau  harian, sedangkan pola siklis merupakan fluktuasi dari data untuk waktu yang lebih dari satu tahun.
Data time series merupakan serangkaian pengamatan yang terurut berdasarkan waktu dengan jarak yang sama. Jenis data ini sering ditemui dalam keseharian karena data tersebut dikumpulkan melalui  waktu  interval,  yaitu  harian,  mingguan  atau  bulanan.  Dari  data  yang  terkumpul  dapat dilihat ada suatu pola didalamnya. Pola gerakan data atau nilai-nilai variabel dari data time series yang diketahui dapat dijadikan sebagai dasar untuk:
a) Pembuatan keputusan saat ini;
b) Peramalan keadaan pada masa yang akan datang;
c) Perencanaan kegiatan untuk masa depan.
Time Series Patterns Stationer Trend Effect Seasonal Effect Cyclic Effect

## Jurnal Matematika, Statistika & Komputasi
Warosatul Anbiya, Farin Cyntiya Garini
Dalam time series, pola tersebut secara umum dibagi menjadi empat, yaitu pola stasioner, trend , musiman ( seasonal ), dan siklis. Pola stasioner berarti bahwa tidak terdapat perubahan yang drastis pada data atau jika berdasarkan rata-rata atau variansnya bersifat tetap. Fluktuasi data berada di sekitar suatu nilai rata-rata yang konstan, serta tidak tergantung pada waktu dan varians dari fluktuasi tersebut.

## 1.2. Peramalan ( Forecasting )
Peramalan adalah proses perkiraan (pengukuran) besarnya atau jumlah sesuatu pada waktu yang  akan  datang  berdasarkan  data  pada  masa  lampau  yang  dianalisis  secara  ilmiah  khususnya menggunakan  metode  statistika,  seperti  pada  Sudjana  [13].  Menurut  Makridakis,  dkk.  [9], peramalan  adalah  dasar  dari  segala  jenis  perencanaan  dimana  hal  ini  sangat  diperlukan  untuk lingkungan  yang  tidak  stabil,  yaitu  menjembatani  antara  sistem  dengan  lingkungan.  Teknik peramalan diklasifikasikan menjadi tiga divisi utama: time series, causal dan judgemental . Model peramalan time  series mencoba  memprediksi  masa  depan  dengan  menggunakan  data  historis, model  peramalan  kausal  (regresi)  menggabungkan  variabel  atau  faktor  yang  mungkin mempengaruhi kualitas menjadi peramalan menjadi model peramalan [4].
Perkiraan atau pengukuran dapat dilakukan secara kualitatif maupun kuantitatif. Perkiraan secara  kualitatif  biasanya  menggunakan  pendapat  dari  para  ahli  pada  bidangnya,  sedangkan perkiraan  secara  kuantitatif  menggunakan  metode  statistik  dan  matematik  yang  selanjutnya metode ini banyak dipakai, salah satunya adalah metode deret berkala, seperti pada Awat [3].
Menurut Sudjana [13], terdapat dua jenis model peramalan yang utama, yaitu model deret berkala  dan  model  regresi.  Pada  model  deret  berkala,  pendugaan  masa  depan  dilakukan berdasarkan nilai pada masa lalu dari suatu variabel dan kesalahan pada masa lalu. Tujuan model deret berkala adalah untuk menemukan pola dalam deret waktu historis dan mengekstrapolasikan pola  tersebut  ke  masa  depan,  sedangkan  model  regresi  mengasumsikan  bahwa  faktor  yang diramalkan menunjukkan suatu hubungan sebab akibat dengan satu atau lebih variabel bebas.

## 1.3. Pemilihan Model Peramalan ( Forecasting ) Terbaik
Peramalan merupakan alat bantu yang penting dalam perencanaan yang efektif dan efisien, seperti  pada  Makridakis,  dkk.  [10].  Dalam  membuat  peramalan,  diusahakan  pengaruh ketidakpastian  pada  model  peramalan  dapat  seminimum  mungkin.  Dengan  kata  lain,  peramalan bertujuan agar perkiraan yang dibuat meminimumkan kesalahan prediksi ( forecast error ). Ukuran yang  digunakan  untuk  menghitung  kesalahan  dalam  peramalan  atau  prediksi  adalah  sebagai berikut.
a. ME ( Mean Error )

## ∑
b. MSE ( Mean Squared Error )

## ∑
c. RMSE ( Root Mean Squared Error )
√ ∑
d. MAE ( Mean Absolute Error )
∑| |
e. MPE ( Mean Percentage Error )
Warosatul Anbiya, Farin Cyntiya Garini

## ∑
f. MAPE ( Mean Absolute Percentage Error )
∑| |
g. MASE ( Mean Absolute Scaled Error )
∑ | |
∑ | |
Keterangan:
= kesalahan ( error )
= data real ke-i;
= data real ke-i-1;
= banyaknya data hasil forecasting
Semakin  kecil  nilai  yang  dihasilkan  oleh  ukuran  di  atas,  maka  model  peramalan  yang digunakan akan semakin baik. Dari ketujuh alat ukur diatas, MAPE ( Mean Absolute Percentage Error ) merupakan yang paling sering digunakan dan merupakan ukuran ketetapan relatif berupa persentase penyimpangan hasil peramalan.
Banyak  kandidat  model  yang  bisa  mewakili  data  sebagai  hasil  dari  proses  analisis  data deret  waktu.  Untuk  mengetahui  model  yang  paling  tepat  atau  terbaik,  dapat  dilihat  dari perhitungan  model  residual  berdasarkan forecast  error atau  kesalahan  peramalan  dengan ukurannya  yang  telah  diuraikan  sebelumnya.  Selain  dari  ukuran-ukuran  tersebut,  untuk menentukan model yang lebih baik atau paling optimum, yaitu dengan melihat nilai AIC masing- masing  model.  Dalam  membandingkan  2  atau  lebih  model  ARIMA,  maka  model  dengan  AIC yang  paling  kecil  merupakan  model  yang  lebih  baik.  Rumusan  AIC  ( Akaikes  Information Criterion ) sebagi berikut.
( ) dengan:
∑  ̂

## 2. METODE PENELITIAN
Data yang digunakan pada penelitian ini adalah data sekunder, yaitu data jumlah penumpang Kereta  Api  Indonesia  (ribu  orang)  untuk  wilayah  Jabodetabek  dari  bulan  Januari  tahun  2011 sampai bulan Desember tahun 2020. Data ini bersumber dari PT. Kereta Api Indonesia dan PT. KAI Commuter Jabodetabek  yang  diunduh  dari  laman  resmi  Badan  Pusat  Statistika (www.bps.go.id) [4]. Pada analisis kasus ini, variabel yang digunakan adalah jumlah penumpang Kereta  Api  Indonesia  di  Wilayah  Jabodetabek.  Struktur  data  untuk  analisis  peramalan  pada jumlah  penumpang  Kereta  Api  Indonesia  di  Wilayah  Jabodetabek  tahun  2011-2020  adalah sebagai berikut.
Tabel 2.1. Struktur Data Jumlah Penumpang Kereta Api di Wilayah Jabodetabek
Tahun 2011-2020 (dalam Ribuan Orang) Tahun Bulan Januari Februari Maret … Desember

## Jurnal Matematika, Statistika & Komputasi
Warosatul Anbiya, Farin Cyntiya Garini
2011 . . . 2012 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2020 . . . . 2.1. ARIMA ( Autoregressive Integrated Moving Average )
ARIMA  ( Autoregressive  Integrated  Moving  Average )  merupakan  salah  satu  metode peramalan  yang  disebut  juga  metode  analisis  runtun  waktu Box-Jenkins .  Ketepatan  peramalan jangka  pendek  dengan  ARIMA  sangat  baik,  tetapi  untuk  peramalan  jangka  panjang,  ketepatan peramalannya  kurang  baik  karena  biasanya  untuk  periode  yang  cukup  panjang  akan  cenderung mendatar  atau  konstan.  Untuk  menghasilkan  peramalan  jangka  pendek  yang  akurat,  ARIMA menggunakan data masa lalu dan sekarang dari suatu variabel ( univariate ) deret waktu. ARIMA cocok  digunakan  jika  observasi  dari  deret  waktu  ( time  series )  secara  statistik  berhubungan  satu sama lain (dependen).
Dalam  peramalan  menggunakan  model  ARIMA,  variabel  independen  diabaikan  secara penuh.  Selain  itu,  diasumsikan  juga  bahwa  data  yang  digunakan  harus  stasioner.  Stasioneritas berarti  tidak  terdapat  pertumbuhan  atau  penurunan  pada  data.  Dengan  kata  lain,  fluktuasi  data berada di sekitar suatu nilai rata-rata yang konstan, tidak tergantung pada waktu dan varians dari fluktuasi tersebut pada pokoknya tetap konstan setiap waktu.
Apabila  data  deret  waktu  yang  digunakan  tidak  stasioner,  perlu  dilakukan  penyesuaian untuk  menghasilkan  data  yang  stasioner,  baik  dalam  varians,  maupun  dalam  rata-ratanya. Pengubahannya  menjadi  data  stasioner  dapat  dilakukan  dengan differencing ,  yaitu  menghitung perubahan  atau  selisih  nilai  observasi.  Nilai  selisih  yang  diperoleh  dicek  lagi  apakah  stasioner atau  tidak.  Jika  belum  stasioner,  maka  dilakukan differencing lagi.  Jika  varians  tidak  stasioner, maka dilakukan transformasi.
Pembentukan model ARIMA terdiri dari tiga langkah dasar, yaitu tahap identifikasi, tahap penaksiran  dan  pengujian,  dan  pemeriksaan  diagnostik.  Selanjutnya,  model  ARIMA  dapat digunakan untuk melakukan peramalan jika model yang diperoleh memadai.
Model Box-Jenkins (ARIMA)  dibagi  ke  dalam  3  kelompok,  yaitu:  model autoregressive (AR), moving average (MA), dan model campuran ARIMA ( autoregresive moving average ) yang mempunyai karakteristik dari dua model pertama, seperti pada Ali [1].
1) Autoregressive Model (AR)
Model autoregressive (AR) menyatakan suatu ramalan sebagai fungsi nilai-nilai sebelumnya dari time  series tertentu  (Makridakis,  dkk.  [11]). Model autoregressive dengan  ordo  p  (AR( p )) atau model ARIMA ( p ,0,0) memiliki bentuk umum sebagai berikut.
dengan:
= suatu konstanta
= parameter autoregressive ke- p
= nilai kesalahan pada saat t
2) Moving Average Model (MA)
Moving Average (MA) merupakan nilai time series pada waktu t yang dipengaruhi oleh unsur  kesalahan  pada  saat  ini  dan  unsur  kesalahan  terbobot  pada  masa  lalu  (Makridakis,  dkk. [11]).  Model moving  average dengan  ordo q (MA( q ))  atau  model  ARIMA  (0,0, q )  memiliki bentuk umum sebagai berikut.

## Jurnal Matematika, Statistika & Komputasi
Warosatul Anbiya, Farin Cyntiya Garini
dengan:
= suatu konstanta
= parameter moving average ke- q
= nilai kesalahan pada saat t – k
3) Model Campuran
a. Proses ARMA
Model  umum  untuk  campuran  proses  AR(1)  murni  dan  MA(1)  murni, misal ARIMA (1,0,1) dinyatakan sebagai berikut.
𝑡 = ′+ 1 𝑡 −1+ 𝑡 − 1 𝑡 −1
atau AR(1) MA(1)

## b. Proses ARIMA
Apabila  nonstasioneritas  ditambahkan  pada  campuran  proses  ARMA, maka model umum ARIMA (p,d,q) terpenuhi. Persamaan untuk kasus sederhana ARIMA (1,1,1) adalah sebagai berikut.
AR(1) MA(1) dengan telah dilakukannya differencing sebanyak satu kali.
2.2. ARCH ( Autoregressive Conditional Heteroscedasticity ) ARCH  ( Autoregressive  Conditional  Heteroscedasticity )  merupakan  metode  yang  secara eksplisit  memdelkan  perubahan  ragam  (varians)  dari  waktu  ke  waktu  dalam  data  deret  waktu yang  dikembangkan  oleh Engle .  Perubahan  ragam  residual  ini  merupakan  akibat  dari  ragam residual yang tidak hanya fungsi dari peubah bebas, tetapi juga tergantung seberapa besar residual di masa lalu.
Pada model ARCH( m ), diperoleh variansi dari kondisional terhadap informasi masa lalu sebagai:
| | Dapat digambarkan dengan persamaan:

## ∑
dengan > 0, ≥ 0, = 1,2, …, . Kondisi ≥ 0 diperlukan agar persamaan vitalitas tidak negatif. Jika  semua =  0,  maka  variansi  bersyarat akan  menjadi  konstanta dan akan merupakan proses IID ( Independent and Identically Distributed ) yang bersifat homoskedastis. Pada  model  ARCH,  proses menunjukkan  komponen  random  dari  model  (sering  disebut sebagai proses White Noise ), dimana ( ) = 0 dan bersifat tidak berkorelasi dengan waktu lampau atau waktu yang akan datang, yakni:
{ 𝑡 𝑡

## Jurnal Matematika, Statistika & Komputasi
Warosatul Anbiya, Farin Cyntiya Garini
Dari persamaan di atas, meskipun proses bersifat non autokorelasi, namun proses ini tidak bersifat independen. Dalam model ARCH( m ), proses dibangkitkan oleh proses:
dimana adalah akar positif dari dan adalah suatu proses IID ( Independent and Identically Distributed ), merupakan white  noise dengan  mean  nol  dan  variansi  satu,  dan sering diasumsikan  berdistribusi  normal  standar  N(0,1)  atau  berdistribusi student  t .  Selain  itu, independen  dengan , < 𝑡 .    Asumsi  ini  mengakibatkan  distribusi  bersyarat  dari akan berdistribusi normal dengan mean 0 dan variansi (Wei [15]). Model ARCH ( q ) dapat dinyatakan dalam bentuk persamaan berikut.

## 2.3. GARCH ( Generalized Autoregressive Conditional Heteroscedasticity )
GARCH  ( Generalized  Autoregressive  Conditional  Heteroscedasticity )  merupakan  model yang  dikembangkan  oleh Bollerslev .  Menurut  Enders  [6],  model  ini  adalah  pengembangan  dari model  ARCH  yang  dibangun  untuk  menghindari  ordo  yang  terlalu tinggi  dengan  berdasar  pada prinsip parsimony atau memilih model yang lebih sederhana sehingga akan menjamin variansinya selalu  positif.  Dengan  prinsip parsimony ini  juga  menjadikan  GARCH  mencapai  prediksi  yang lebih baik dengan variabel yang lebih sedikit dan menghindari overfitting [5].
Model GARCH ( p, q ) dapat dinyatakan dalam bentuk persamaan berikut.
dengan:
= varians kondisional
, = konstanta
= varians kondisional pada bulan 𝑡
= residual pada bulan 𝑡
= parameter GARCH, untuk = parameter ARCH, untuk GARCH adalah pengembangan dari model ARCH yang menggabungkan komponen moving average (MA)  bersama  dengan  komponen autoregressive (AR).  Model  GARCH  (p,  q) merupakan  model  deret  waktu  yang  menyatakan  kondisi  heteroskedastisitas  dalam  waktu  t sebagai fungsi linier dari residual kuadrat dan varians bersyarat waktu sebelumnya [2]. Secara khusus,  model  ini  mencakup  istilah  varians lag (misalnya  pengamatan  jika  memodelkan kesalahan  residual white  noise dari  proses  lain),  bersama  dengan lag kesalahan  residual  dari proses rata-rata.
Pengenalan moving average memungkinkan model untuk memodelkan perubahan bersyarat dalam  varians  atau  ragam  dari  waktu  ke  waktu  serta perubahan  dalam  varians  yang  bergantung pada  waktu.  Contohnya  termasuk  kenaikan  dan  penurunan  bersyarat  dalam  varians. Dengan demikian, model GARCH memperkenalkan parameter baru " p " yang menjelaskan jumlah istilah varians lag :
1) p = Jumlah varians lag untuk disertakan dalam model GARCH
2) q = Jumlah kesalahan residual lag yang akan disertakan dalam model GARCH Notasi yang diterima secara umum untuk model GARCH adalah dengan menentukan fungsi GARCH  ()  dengan  parameter p dan q GARCH  ( p,  q );  misalnya  GARCH  (1,  1)  akan  menjadi model GARCH orde pertama. Model GARCH memasukkan model ARCH, di mana GARCH (0, q ) setara dengan model ARCH ( q ).
Untuk p = 0 proses, direduksi menjadi proses ARCH ( q ), dan untuk p = q = 0, E( t ) hanyalah white  noise. Dalam  proses  ARCH  ( q ),  varians  kondisional  ditentukan  sebagai  fungsi  linier  dari varians  sampel  masa  lalu  saja,  sedangkan  proses  GARCH  ( p,  q )  memungkinkan  varian kondisional tertinggal ( lag ) untuk masuk juga.

## Jurnal Matematika, Statistika & Komputasi

## Warosatul Anbiya, Farin Cyntiya Garini
Seperti halnya ARCH, GARCH memprediksi varians masa depan dan mengharapkan bahwa rangkaian  tersebut  stasioner,  selain  perubahan  dalam  varians,  yang  berarti  tidak  memiliki  tren atau  komponen  musiman. Selain  itu, tidak  semua  data  deret  waktu  mengandung  efek heteroskedastisitas. Oleh karena itu, diperlukan adanya pengujian untuk mengetahui ada tidaknya efek heteroskedastisitas dalam data runtun waktu. Menurut Wei [15], pengujian dapat dilakukan dengan cara memeriksa fungsi autokorelasi dari kuadrat residual atau 2 .

## 2.4. Tahapan Analisis
Data jumlah  penumpang  (ribu  orang)  Kereta  Api  Indonesia  di  Wilayah  Jabodetabek  akan dianalisis menggunakan ARIMA ( Autoregressive Integrated Moving Average ) ditambah dengan pemodelan ARCH/GARCH ( Autoregressive  Conditional  Heteroscedasticity/Autoregressive Conditional Heteroscedasticity ) . Prosedur Box-Jenkins merupakan prosedur yang paling populer untuk pemodelan ARIMA.
Ringkasan  langkah-langkah  dalam  pemodelan  ARIMA  dengan  prosedur  Box-Jenkins  dan ARCH/GARCH  ( Autoregressive  Conditional  Heteroscedasticity/Autoregressive  Conditional Heteroscedasticity ) adalah sebagai berikut.
1. Tahap  pertama  adalah  pemeriksaan  pola  data. Plotting data  ditampilkan  dalam  bentuk grafik garis yang diperlukan untuk melihat tren dan pola dalam data sebagai gambaran awal.
2. Melakukan uji stasioneritas dalam varians dengan memperhatikan lambda Box-Cox . Jika data tidak stasioner dalam varians, maka dilakukan transformasi Box-Cox pada data.
3. Melakukan uji stationeritas dalam rata-rata dengan menggunakan uji Augmented Dickey Fuller (ADF) dari data yang sudah stasioner dalam varians. Namun, apabila data belum stasioner pada nilai rata-ratanya ( means ), maka dilakukan proses differencing. Jika pada hasil differencing satu  kali  data  masih  tidak  stasioner,  maka  harus  dilakukan  kembali differencing hingga dihasilkan data yang stasioner.
4. Membuat plot  Autocorrelation  Function (ACF)  dan Partial  Autocorrelation  Function (PACF)  untuk  mengidentifikasikan  atau  menetapkan  beberapa  kemungkinan  model sementara ARIMA yang sesuai.
Tabel 2.2. Ketentuan Identifikasi Model ARIMA Model ACF PACF MA(q) Cuts off after lag q Dies down AR(q) Dies down Cuts off after lag p ARMA(p,q) Dies down Dies down AR(p) atau MA(q) Cuts off after lag q Cuts off after lag p Bukan AR(p) atau MA(q) No spike No spike
5. Penaksiran  parameter  dari  semua  model  sementara  ARIMA  apakah  parameter  yang didapat dari model ARIMA sementara signifikan atau tidak. Model signifikan jika nilai signifikansi kurang dari alpha ( α ) dengan nilai α adalah 0,05. Jika ada lebih dari satu model  yang  signifikan,  maka  dilihat  dari  nilai  AIC,  yaitu Akaike’s  Information Criterion yang  bertujuan  untuk  mengidentifikasi  model  dari  suatu  kumpulan  data. Model  dengan  nilai  AIC  terkecil  yang  akan  dipilih  untuk  digunakan  dalam  langkah selanjutnya.

## Jurnal Matematika, Statistika & Komputasi

## Warosatul Anbiya, Farin Cyntiya Garini
6. Melakukan diagnostic checking untuk membuktikan model cukup memadai atau sudah baik untuk digunakan dalam peramalan. Pemeriksaan diagnostik yang dilakukan dalam penelitian ini yaitu uji normalitas, uji white noise , dan uji homoskedastisitas.
a. Pengujian Normalitas Residual
: 𝑡                    𝑡
𝑡              𝑡           𝑡
𝑡 𝑡  𝑡 Kolmogorov-Smirnov
b. Pengujian Residual White Noise Non-Autokorelasi
: artinya residual tidak berautokorelasi : minimal ada satu artinya residual berautokorelasi Statistik Uji: uji Ljung-Box
c. Pengujian Homoskedastisitas Residual : artinya residual homogen : minimal ada satu artinya residual heterogen Statistik Uji: uji Langrange Multiplier Engle
7. Apabila diagnostic  checking pada  model  terbaik  ARIMA  sementara  yang  telah ditentukan  menghasilkan  bahwa  asumsi  homoskedastisitas  residual  terlanggar,  maka dilakukan  pengujian  untuk  menentukan  keberadaan  efek  ARCH  ( Autoregressive Conditional Heteroscedasticity ) dari kuadrat residual model.

## Pengujian Efek ARCH
: tidak terdapat efek ARCH
: terdapat efek ARCH
Statistik Uji
: uji Langrange Multiplier Engle ARCH
8. Setelah  diketahui  bahwa  data  memiliki  efek  ARCH,  dilakukan  pembuatan plot Autocorrelation  Function (ACF)  dan Partial  Autocorrelation  Function (PACF)  dari residual  kuadrat  untuk  mengidentifikasikan  atau  menetapkan  beberapa  kemungkinan model ARCH/GARCH yang sesuai.
9. Penaksiran  parameter  dari  semua  model  ARCH/GARCH  yang  mungkin  apakah parameter  yang  didapat  dari  model-model  tersebut  signifikan  atau  tidak  dengan metode maximum likelihood. Model signifikan jika nilai signifikansi kurang dari alpha ( α ) dengan nilai α adalah 0,05. Jika ada lebih dari satu model yang signifikan, maka dilihat  dari  nilai  AIC,  yaitu Akaike’s  Information  Criterion yang  bertujuan  untuk mengidentifikasi  model  dari  suatu  kumpulan  data.  Model  dengan  nilai  AIC  terkecil yang akan dipilih untuk digunakan dalam langkah selanjutnya.
10. Dalam pemilihan model terbaik, perlu diperhatikan beberapa hal sebagai berikut:
a) Prinsip parsimony ,  yaitu  model  harus  bisa  sederhana  mungkin.  Dalam  arti mengandung sesedikit mungkin parameternya, sehingga model lebih stabil;
b) Model sebisa mungkin memenuhi asumsi-asumsi yang melandasinya;
c) Dalam perbandingan model, selalu pilih model yang paling tinggi akurasinya, yaitu yang memberikan galat ( error ) terkecil.
11. Melakukan peramalan untuk data berdasarkan model terbaik (model ARCH/GARCH dengan nilai AIC paling minimum).

## Jurnal Matematika, Statistika & Komputasi
Warosatul Anbiya, Farin Cyntiya Garini
12. Merumuskan kesimpulan dari hasil analisis yang diperoleh.
Dari  langkah-langkah  dalam  pemodelan  ARIMA  dengan  prosedur Box-Jenkins di  atas disertai metode ARCH-GARCH, dapat dibuat flowchart- nya sebagai berikut.
Gambar 2.1. Flowchart Pemodelan ARIMA dengan ARCH-GARCH

## Jurnal Matematika, Statistika & Komputasi
Warosatul Anbiya, Farin Cyntiya Garini
Mulai
Input Data Plot Data Deret Waktu dan Identifikasikan Pola Data Plot ACF dan PCF Uji Stasioneritas Differencing Menentukan Model ARIMA Sementara Estimasi dan Pengujian Parameter Memenuhi Diagnostik Model Pemilihan Model Terbaik Hasil Peramalan dengan Model ARIMA Terbaik Selesai Tidak Ya Tidak Ya ARCH - GARCH Tidak

## Jurnal Matematika, Statistika & Komputasi
Warosatul Anbiya, Farin Cyntiya Garini

## 3. HASIL DAN PEMBAHASAN
Data jumlah penumpang (ribu orang) Kereta Api Indonesia di Wilayah Jabodetabek dianalisis menggunakan  ARIMA  ditambah  dengan  pemodelan ARCH/GARCH.  Analisisnya  dilakukan dengan menggunakan software R Studio , langkah-langkahnya sebagai berikut.
3.1. Plot Data Awal
Untuk  melakukan  suatu  peramalan  atau forecasting ,  tahap  pertama  yang  harus  dilakukan adalah  melakukan  pemeriksaan  pola  data  atau plotting data.  Tujuan plotting data  adalah  untuk melihat trend dan pola dalam data.
Data  yang  digunakan  pada  penelitian  ini  adalah  data  jumlah  penumpang  Kereta  Api Indonesia (ribu orang) untuk wilayah Jabodetabek dari periode bulan Januari tahun 2011 sampai bulan Desember tahun 2020 yang artinya terdapat sebanyak 120 data hasil pengamatan. Dengan menggunakan software R, dibentuk plot data seperti pada Gambar 3.1.
Gambar 3.1. Plot Pola Sebaran Data Awal
Berdasarkan grafik di atas, terlihat bahwa adanya indikasi data tidak stasioner. Hal ini dapat diketahui dari grafiknya yang memiliki pola trend naik.
Pada  grafik  yang  dilingkari  dengan  warna  merah  terjadi  perubahan  pola  data  yang  pada awalnya mengalami pola tren naik dari tahun ke tahun, berubah ke tingkat rata  – rata baru pada tahun  2020.  Hal  ini  diakibatkan  oleh  adanya  kebijakan social  distancing berkenaan  dengan adanya  pandemi covid-19 .  Sehingga,  mengakibatkan  pengaruh  yang  buruk  pada  sektor transportasi  yang  ditandai  dengan  penurunan  drastis  pada  jumlah  penumpang  kereta  api  (ribu orang) Indonesia di wilayah Jabodetabek tahun 2020.
Gambar 3.2. Plot ACF dan PACF Data Awal

## Jurnal Matematika, Statistika & Komputasi
Warosatul Anbiya, Farin Cyntiya Garini
Gambar 3.2. Plot ACF dan PACF Data Awal
Berdasarkan grafik di atas, terlihat bahwa pada ACF data awal terjadi dying down , sedangkan pada PACF-nya terjadi cut-off.

## 3.2. Uji Stasioneritas
Stasioneritas berarti bahwa tidak adanya perubahan drastis pada data. Fluktuasi pada data tersebut biasanya berada disekitar suatu nilai rata-rata yang konstan, tidak tergantung pada waktu dari fluktuasi tersebut. Dalam peramalan atau forecasting dengan pemodelan ARIMA, data yang digunakan harus memenuhi kriteria stasioner atau konstan terhadap rata-rata dan varians. Berikut ini adalah pengujian stasioneritas dari data jumlah penumpang (ribu orang) Kereta Api Indonesia di Wilayah Jabodetabek tahun 2011-2020.

## 3.2.1. Uji Stasioneritas Varians
Suatu proses stasioner pada varians jika
adalah konstan untuk setiap t. Pengujian stasioneritas dalam varians dapat menggunakan uji Box-Cox dengan ketentuan apabila nilai lambda jauh dari satu, maka ada indikasi bahwa data tidak stasioner dalam varians. Jika data tidak stasioner dalam varians, maka dilakukan transformasi data.
Berdasarkan hasil perhitungan, diperoleh nilai lambda sebesar 1,999924 dimana nilai tersebut masih jauh dari 1 yang artinya data terbukti belum stasioner terhadap varians. Maka, data harus ditransformasi dengan menggunakan rumusan berikut.
Kemudian,  dihitung  kembali  nilai lambda setelah  dilakukan  transformasi  data  dan didapatkan nilai sebesar 1,528794. Nilai ini sudah dianggap cukup stasioner terhadap varians.

## Jurnal Matematika, Statistika & Komputasi
Warosatul Anbiya, Farin Cyntiya Garini
Gambar 3.3. Plot Data Sebelum dan Sesudah Transformasi

## 3.2.2. Uji Stasioneritas Rata-rata
Suatu proses stasioner dalam rata-rata jika adalah konstan untuk setiap
t. Terlihat secara visual dari plot awal data terindikasi tidak stationer terhadap rata-rata. Namun, untuk  memastikan  sebuah  data  stationer  atau  tidak  terhadap  rata-ratanya,  maka  haruslah dilakukan  pengujian  mengenai  kestasioneran  data  deret  waktu  dengan  menggunakan  uji Augmented  Dickey-Fuller (ADF)  pada  data  hasil  transformasi  yang  telah  diperoleh.  Pengujian untuk stasioner rata-rata dilakukan sebagai berikut.

## Hipotesis
(data tidak stasioner terhadap rata-rata) (data stasioner terhadap rata-rata)

## Taraf Signifikan

## Statistik Uji
Statistik  uji  yang  digunakan  untuk  menguji  stasioneritas  terhadap  rata-rata  dari data time-series adalah Augmented Dickey-Fuller (ADF) Test dengan rumusan sebagai berikut.
𝑡 ∑ Kriteria Uji Tolak jika , terima dalam hal lainnya.

## Hasil Pengujian
Dengan  menggunakan syntax  adf.test() pada software R  dan  dengan  taraf  signifikan sebesar  5%,  diperoleh .  Maka,  dapat  disimpulkan
bahwa diterima yang artinya data tidak stasioner terhadap rata-rata. Oleh karena itu,
perlu dilakukan proses differencing .
3.3. Differencing Data

## Jurnal Matematika, Statistika & Komputasi

## Warosatul Anbiya, Farin Cyntiya Garini
Proses differencing atau selisih dilakukan jika data tidak stasioner dalam rata-ratanya. Salah satu  cara  umum  yang  dipakai  adalah  metode  pembedahan  atau  lebih  dikenal  dengan  sebutan differencing ,  yaitu  mengurangi  nilai  data  pada  suatu  periode  dengan  nilai  data  pada  periode sebelumnya, yang dapat ditulis sebagai berikut.
Setelah  proses differencing sebanyak  satu  kali  diterapkan  pada  data  jumlah  penumpang, selanjutnya  dilakukan  kembali  pengujian  stasioneritas  terhadap  rata-rata  dengan Augmented Dickey-Fuller (ADF) Test dan  telah  diperoleh .  Maka,  dapat
disimpulkan bahwa ditolak yang artinya data sudah stasioner terhadap rata-rata. Oleh karena itu, proses differencing sudah cukup dilakukan sampai dengan satu kali proses saja.
Gambar 3.4. Plot Data Sebelum dan Sesudah Differencing

## 3.4. Identifikasi Model ARIMA
Setelah data stasioner dalam varians dan rata-ratanya, langkah selanjutnya adalah membuat plot Autocorrelation  Function (ACF)  dan Partial  Autocorrelation  Function (PACF)  untuk mengidentifikasikan atau menetapkan model sementara ARIMA yang sesuai.
Gambar 3.5. Plot ACF dan PACF dari Data yang Sudah Stasioner

## Jurnal Matematika, Statistika & Komputasi

## Warosatul Anbiya, Farin Cyntiya Garini
Dari output R  di  atas,  dapat  dilihat  di  sebelah  kiri  adalah plot ACF  dan  di  sebelah  kanan adalah plot PACF.  Tampak  bahwa  pada  kedua plot ,  yaitu  ACF  dan  PACF  terlihat dying  down karena  keduanya  baru cut  off di  lag  kedua  belas.  Maka,  dapat  diambil  kesimpulan  bahwa  ACF dan PACF memiliki pola dying down .
Sesuai  dengan  dasar  yang  digunakan  dalam  penentuan  model,  jika  ACF  dan  PACF menunjukkan dying  down ,  maka  dapat  dikatakan  bahwa  modelnya  adalah  ARMA  ( p,  q )  yang merupakan gabungan AR ( autoregressive ) dan MA ( moving average ). Berdasarkan  identifikasi  model  di  atas,  dengan differencing sebanyak  satu  kali , maka  model  ARIMA  yang  dapat  dibentuk  adalah  ARIMA  (0,1,1),  ARIMA  (0,1,2),  ARIMA (1,1,0), ARIMA (1,1,1), ARIMA (1,1,2), ARIMA (2,1,0), ARIMA (2,1,1).
Setelah  melakukan  proses  identifikasi  model  dan  berhasil  menetapkan  beberapa kemungkinan model ARIMA yang cocok serta mengestimasikan parameternya, selanjutnya tahap yang  harus  dilakukan  adalah  uji signifikansi  pada  koefisien  parameter  modelnya.  Jika  koefisien dari  kemungkinan  model  ARIMA  yang  sudah  ditetapkan  sebelumnya  tidak  signifikan,  maka model tersebut tidak tepat untuk digunakan dalam melakukan peramalan atau forecasting jumlah penumpang (ribu orang) Kereta Api Indonesia di Wilayah Jabodetabek.

## Hipotesis
(parameter tidak signifikan) (parameter signifikan)

## Taraf Signifikan

## Statistik Uji
Statistik  uji  yang  digunakan  untuk  menguji  signifikansi  parameter adalah  statistik t dengan rumusan sebagai berikut.
𝑡 ̂ Kriteria Uji
Tolak  H 0 jika ( )                |𝑡|     ( ) atau
,  terima dalam hal lainnya.
Setelah  melakukan  pengujian  parameter  pada  tujuh  model  tentatif  di  atas,  diperoleh  hasil dan dapat diambil kesimpulan dengan tabel sebagai berikut.
Tabel 3.1. Hasil Pengujian Parameter Model ARIMA Model Tentatif Signifikansi AIC ARIMA (0,1,1) T IDAK S IGNIFIKAN 2157,89 ARIMA (0,1,2) T IDAK S IGNIFIKAN 2159,88 ARIMA (1,1,0) T IDAK S IGNIFIKAN 2157,89 ARIMA (1,1,1) S IGNIFIKAN 2159,87 ARIMA S IGNIFIKAN 2161,69

## Jurnal Matematika, Statistika & Komputasi
Warosatul Anbiya, Farin Cyntiya Garini
(1,1,2) ARIMA (2,1,0) T IDAK S IGNIFIKAN 2159,89 ARIMA (2,1,1) S IGNIFIKAN 2161,68
Berdasarkan  tabel  di  atas,  dapat  dilihat  bahwa  model  dengan  parameter  yang  signifikan terdapat  pada  model  ARIMA  (1,1,1),  ARIMA  (1,1,2),  dan  ARIMA  (2,1,1).  Untuk  menentukan model  yang  paling  tepat  untuk  melakukan  peramalan  atau forecasting jumlah  penumpang  (ribu orang) Kereta Api Indonesia di Wilayah Jabodetabek dari ketiga model yang signifikan tersebut, dilakukan  perbandingan  nilai  AIC,  dimana  model  yang  paling  tepat  ditandai  dengan  nilai  AIC yang paling kecil dan model ARIMA dengan nilai AIC yang paling kecil adalah model ARIMA (1,1,1). Dengan demikian, model ARIMA (1,1,1) yang akan menjadi model yang lebih mungkin digunakan  dalam  peramalan  atau forecasting jumlah  penumpang  (ribu  orang)  Kereta  Api Indonesia di Wilayah Jabodetabek untuk 12 periode (satu tahun) ke depan, yaitu pada tahun 2021 dengan terlebih dahulu diuji asumsi-asumsi terhadap residualnya.

## 3.5. Uji Asumsi Residual
Setelah  diperoleh  model  terbaik,  yaitu  model  yang  signifikan  dengan  nilai  AIC  ( Akaike Information  Criterion )  paling  kecil,  langkah  selanjutnya  adalah  melakukan  uji  asumsi  residual yang meliputi uji normalitas, uji white noise , dan uji homoskedastisitas.

## 3.5.1. Uji Normalitas
Model  ARIMA  yang  baik  adalah  model  yang  residualnya  berdistribusi  normal.  Oleh karena  itu,  dilakukan  uji  normalitas  residual  untuk  memeriksa  apakah  nilai  residual  yang dihasilkan  terdistribusi  secara  normal  atau  tidak.  Uji  normalitas  yang  digunakan  adalah  Uji Kolmogorov-Smirnov , langkah-langkahnya sebagai berikut.

## Hipotesis
: artinya residual berdistribusi normal : artinya residual tidak berdistribusi normal
Taraf Signifikan
Statistik Uji
| | Keterangan:
= suatu fungsi distribusi kumulatif teoritis dibawah H 0 =  distribusi  frekuensi  kumulatif  yang  diobservasi  dari  suatu  sampel  random  n observasi
Kriteria Uji
Tolak jika
, terima dalam hal lainnya.

## Hasil Pengujian
Dengan  menggunakan syntax  ks.test() pada software R  dan  dengan  taraf  signifikan sebesar  5%,  diperoleh .  Maka,  dapat  disimpulkan
bahwa diterima yang artinya residual berdistribusi normal. Dengan demikian, asumsi pertama dari residual model ARIMA yang dibentuk terpenuhi.

## 3.5.2. Uji White Noise

## Jurnal Matematika, Statistika & Komputasi

## Warosatul Anbiya, Farin Cyntiya Garini
Suatu model ARIMA  yang baik bersifat white noise yaitu jika nilai residual dari model tersebut  bersifat  acak  dan  menunjukkan  tidak  ada  autokorelasi  atau  residual  tidak  berpola tertentu.  Dengan  kata  lain,  residualnya  memenuhi  asumsi  identik,  yaitu  residual  tidak berautokorelasi,  independen  dan  varians  residual  homogen.  Uji  asumsi white  noise ini  dapat dilakukan dengan menggunakan Uji Ljung-Box , langkah-langkahnya sebagai berikut.

## Hipotesis
: artinya residual tidak berautokorelasi : minimal ada satu
artinya residual berautokorelasi
Taraf Signifikan
Statistik Uji
∑ ̂
Keterangan: = banyaknya data residual
= lag maksimum
̂ = autokorelasi pada lag ke- k
Kriteria Uji
Tolak jika , terima dalam hal lainnya.

## Hasil Pengujian
Dengan  menggunakan syntax  Box.test() pada software R  dan  dengan  taraf  signifikan sebesar  5%,  diperoleh .  Maka,  dapat  disimpulkan
bahwa diterima  yang  artinya  residual  tidak  berautokorelasi.  Dengan  demikian,
asumsi kedua dari residual model ARIMA yang dibentuk terpenuhi.

## 3.5.3. Uji Homoskedastisitas
Model  ARIMA  dikatakan  baik  apabila  residualnya  mempunya  varians  yang  konstan. Oleh  karena  itu,  dilakukan  uji  homoskedastisitas  untuk  memeriksa  kesamaan  variansi  residual. Uji asumsi homoskedastisitas ini dapat dilakukan dengan menggunakan Uji Langrange Multiplier Engle , langkah-langkahnya sebagai berikut.

## Hipotesis
: artinya residual homogen : minimal ada satu
artinya residual heterogen
Taraf Signifikan
Statistik Uji
Keterangan: = banyaknya data residual = koefisien determinasi
Kriteria Uji Tolak jika
, terima dalam hal lainnya.
Hasil Pengujian

## Jurnal Matematika, Statistika & Komputasi
Warosatul Anbiya, Farin Cyntiya Garini
Dengan  menggunakan syntax  Box.test() dengan  tipe Ljung-Box pada software R  dan dengan  taraf  signifikan  sebesar  5%,  diperoleh . Maka,  dapat  disimpulkan  bahwa
ditolak  yang  artinya  residual  heterogen.  Dengan demikian, asumsi ketiga dari residual model ARIMA yang dibentuk tidak terpenuhi.

## 3.6. Pengujian Efek ARCH
Dari uji asumsi residual pada model ARIMA terbaik yang diperoleh, yaitu model ARIMA (1,1,1)  yang  merupakan  model  campuran  proses  AR(1)  dan  MA(1)  dengan  satu  kali  proses differencing ,  didapatkan  hasil  bahwa  model  tersebut  memenuhi  asumsi  normalitas  residual  dan residual  bersifat white  noise, tetapi  tidak  memenuhi  asumsi  homoskedastisitas  yang  artinya residual pada model bersifat heterogen. Dengan hal ini, perlu dilakukan identifikasi adanya efek ARCH pada model tersebut. Langkah-langkah pengujiannya sebagai berikut.

## Hipotesis
: tidak terdapat efek ARCH : terdapat efek ARCH
Taraf Signifikan
Statistik Uji Langrange Multiplier Engle ARCH

## Kriteria Uji
Tolak jika
, terima dalam hal lainnya.

## Hasil Pengujian
Dengan  menggunakan syntax  Box.test() dengan  tipe Ljung-Box pada software R  dan  dengan taraf  signifikan  sebesar  5%,  diperoleh .  Maka,
dapat  disimpulkan  bahwa ditolak  yang  artinya  terdapat  efek  ARCH  pada  data  jumlah penumpang (ribu orang) Kereta Api Indonesia di Wilayah Jabodetabek tahun 2011-2020.

## 3.7. Identifikasi Model ARCH/GARCH
Setelah  dilakukan  pengujian  efek  ARCH  dan  dihasilkan  bahwa  adanya  efek  ARCH, selanjutnya dilakukan identifikasi model ARCH ( p ) dan GARCH ( p,q ). Identifikasi model ARCH ( p )  dan  GARCH  ( p,q )  dilakukan  melalui  pengamatan  terhadap  plot  ACF  dan  PACF  residual kuadrat model ARIMA (1,1,1).
Gambar 3.6. Plot Residual Kuadrat Model ARIMA (1,1,1)
Grafik plot kuadrat residual di atas (Gambar 3.6) menunjukkan adanya klaster volatilitas di beberapa titik, terutama di sebelah kanan setelah tahun 2020.

## Jurnal Matematika, Statistika & Komputasi
Warosatul Anbiya, Farin Cyntiya Garini
Gambar 3.7. Plot ACF dan PACF Residual Kuadrat Model ARIMA (1,1,1)
Dari output R  di  atas,  dapat  dilihat  di  Gambar  3.7  sebelah  kiri  adalah plot ACF  dan  di sebelah kanan adalah plot PACF. Tampak bahwa pada kedua plot , yaitu ACF dan PACF terlihat mengalami cut-off pada  lag  pertama.  Maka,  dapat  diambil  kesimpulan  bahwa  ACF  dan  PACF memiliki pola cut-off pada lag pertama.
Berdasarkan  identifikasi  model  di  atas,  dapat  dibentuk  satu  model  ARCH  ( p )  dan  satu model  GARCH  ( p,q ).  Dengan  demikian,  model  dugaan  ARCH  dan  GARCH  yang  dapat digunakan adalah ARCH (1) dan GARCH (1,1).

## 3.8. Penaksiran dan Pengujian Signifikansi Parameter ARCH/GARCH
Langkah yang dilakukan selanjutnya adalah penaksiran parameter untuk setiap model. Dari hasil  penaksiran  parameter  tersebut  dilakukan  uji  signifikansi  parameter  untuk  dilihat  apakah parameter  tersebut  layak  masuk  ke  dalam  model  atau  tidak.  Langkah-langkah  pengujiannya sebagai berikut.

## Hipotesis
: θ = 0 (parameter tidak signifikan)
: θ ≠ 0 (parameter signifikan)

## Taraf Signifikan

## Statistik Uji
Statistik  uji  yang  digunakan  untuk  menguji  signifikansi  parameter adalah  statistik t dengan rumusan sebagai berikut.
𝑡 ̂ ( ̂) Kriteria Uji Tolak jika , terima dalam hal lainnya.

## Hasil Pengujian
Dengan  menggunakan software  R ,  didapatkan  hasil  penaksiran  dan  pengujian  signifikansi parameter ARCH/GARCH yang disajikan dalam tabel berikut.
Tabel 3.2. Hasil Penaksiran dan Pengujian Signifikansi Parameter ARCH/GARCH
Mode l Param eter Estim asi Standar d Error t- hitun g p- value Keteran gan ARC H (1) 48298 ,11 1,5074e +05 0,320 41 0,748 657 Tidak Signifi

## Jurnal Matematika, Statistika & Komputasi
Warosatul Anbiya, Farin Cyntiya Garini
kan 0,960 30 7,5647e -02 12,69 451 0 Signifi kan GAR CH (1,1) 48298 ,11 1,4930e +05 0,323 49 0,746 321 Tidak Signifi kan 0,194 39 2,3673e -01 0,821 13 0,411 574 Tidak Signifi kan 0,766 37 1,2244e -01 6,258 95 0 Signifi kan
Berdasarkan  tabel  di  atas,  dapat  dilihat  bahwa  model  ARCH  (1)  terdapat  parameter yang  signifikan/memiliki  keberartian  dalam  model  dan  parameter yang  tidak  signifikan. Dan pada model GARCH (1,1) terdapat parameter dan yang tidak signifikan dalam model, tetapi parameter memiliki keberartian dalam model.

## 3.9. Pemilihan Model ARCH/GARCH Terbaik
Untuk  menentukan  model  yang  paling  tepat  untuk  melakukan  peramalan  atau forecasting jumlah  penumpang  (ribu  orang)  kereta  api  Indonesia  di  wilayah  Jabodetabek  dari  kedua  model yang di atas, dilakukan perbandingan nilai AIC, dimana model yang paling tepat ditandai dengan nilai AIC yang paling kecil.
Tabel 3.3. Nilai AIC Model ARCH/GARCH Model AIC ARCH (1) 18,496 GARCH (1,1) 18,314
Model  dengan  nilai  AIC  yang  paling  kecil  adalah  model  GARCH  (1,1)  yaitu  sebesar 18,314.  Dengan  demikian,  model  GARCH  (1,1)  yang  akan  menjadi  model  yang  lebih  mungkin digunakan dalam peramalan atau forecasting jumlah penumpang (ribu orang) kereta api Indonesia di  wilayah  Jabodetabek  untuk  12  periode  (satu  tahun)  ke  depan,  yaitu  pada  tahun  2021  dan diperoleh persamaan dari model GARCH (1,1) sebagai berikut:
Artinya,  bahwa  variansi  jumlah  penumpang  (ribu  orang)  kereta  api  Indonesia  di  wilayah Jabodetabek pada periode ke-t ditemukan oleh suatu konstanta (48298,11036) dan sisaan/residual kuadrat  pada  periode  sebelumnya  yaitu  t  –  1  dengan  proporsi  sebesar  19,439%  serta  varians residual pada periode sebelumnya yaitu t – 1 dengan proporsi sebesar 76,637%.

## 3.10. Peramalan ( Forecasting )
Setelah  didapatkan  model  terbaik,  yaitu  model  ARIMA  (1,1,1)  dan  varians  residual GARCH (1,1), maka selanjutnya dilakukan peramalan atau forecasting jumlah penumpang (ribu orang) kereta api Indonesia di wilayah Jabodetabek untuk 12 periode (satu tahun) ke depan, yaitu pada tahun 2021.
Tabel 3.4. Hasil Peramalan Jumlah Penumpang (Ribu Orang) Kereta Api Indonesia di
Wilayah Jabodetabek 12 Periode ke Depan Periode Forecast

## Jurnal Matematika, Statistika & Komputasi
Warosatul Anbiya, Farin Cyntiya Garini Januari 2021 30173 Februari 2021 30268 Maret 2021 30362 April 2021 30455 Mei 2021 30547 Juni 2021 30638 Juli 2021 30727 Agustus 2021 30816 September 2021 30904 Oktober 2021 30991 November 2021 31077 Desember 2021 31162
Tabel 3.4 di atas memuat hasil peramalan atau forecasting jumlah penumpang (ribu orang) kereta api Indonesia di wilayah Jabodetabek untuk 12 periode (satu tahun) ke depan, yaitu pada tahun  2021.  Nilai  hasil  peramalan  menunjukkan  terus  adanya  kenaikan  jumlah  penumpang  di setiap bulannya pada tahun 2021.
Untuk  memeriksa  kebenaran  metode  dan  analisis  yang  dilakukan,  data  hasil  peramalan dengan  menggunakan  model  ARIMA  (1,1,1)  dan  varians  residual  GARCH  (1,1)  dibandingkan dengan data asli terbaru, yaitu data jumlah penumpang Kereta Api Indonesia  (ribu orang) untuk wilayah  Jabodetabek  dari  bulan  Januari  tahun  2021  sampai  bulan  September  tahun  2021  yang bersumber dari PT. Kereta Api Indonesia dan PT. KAI Commuter Jabodetabek dan diperoleh dari laman resmi Badan Pusat Statistika (www.bps.go.id) [4].
Tabel 3.5. Perbandingan Hasil Peramalan Jumlah Penumpang (Ribu Orang) Kereta Api
Indonesia di Wilayah Jabodetabek dengan Data Asli Terbaru Periode Forecast Data Asli Selisih Januari 30173 10149 20024 Februari 30268 9796 20472 Maret 30362 12041 18321 April 30455 12452 18003 Mei 30547 12230 18317 Juni 30638 11978 18660 Juli 30727 5102 25625 Agustus 30816 5947 24869 September 30904 8693 22211
Dari  Tabel  3.5  di  atas,  sangat  jelas  terlihat  bahwa  adanya  perbedaan  (selisihnya)  yang cukup  besar antara  nilai  hasil  peramalan dengan  nilai data  aslinya.  Hal  ini  menunjukkan  bahwa penggunaan  model  ARIMA  (1,1,1)  dan  varians  residual  GARCH  (1,1)  masih  kurang  tepat

## Jurnal Matematika, Statistika & Komputasi
Warosatul Anbiya, Farin Cyntiya Garini
digunakan pada peramalan jumlah penumpang Kereta Api Indonesia (ribu orang) untuk wilayah Jabodetabek dari bulan Januari tahun 2021 sampai bulan September tahun 2021.
Gambar 3.8. Plot Peramalan Jumlah Penumpang Kereta Api (Ribu Orang) Indonesia di Wilayah Jabodetabek 12 Periode ke Depan
Dapat  dilihat  pula  plot  peramalan  12  periode  ke  depan  yang  disajikan  pada  gambar  3.8. Dengan  garis  berwarna  biru  merupakan  data  actual  jumlah  penumpang  kereta  api  (ribu  orang) Indonesia di wilayah Jabodetabek yang digunakan untuk melatih model dari Januari 2012 hingga Desember  2020.  Pada  data actual atau  data  asli  ini  dapat  dilihat  bahwa  pola  pada Januari  2012 hingga  Desember  2020  mengalami  variasi  musiman.  Terdapat  kenaikan  plot  yang  disebabkan oleh  adanya  musim  liburan  dan  liburan  hari  Raya.  Dan  penurunan  plot  setelah  musim  liburan berakhir.
Kemudian  terdapat  garis  berwarna  kuning  adalah  hasil  peramalan  jumlah  penumpang kereta api (ribu orang) Indonesia di wilayah Jabodetabek 12 periode ke depan yaitu dari Januari 2021 hingga Desember 2021 menggunakan model GARCH (1,1).

## 3.11. Ketepatan Peramalan
Setelah  didapatkan  hasil  peramalan  atau forecasting jumlah  penumpang  (ribu  orang) kereta api Indonesia di wilayah Jabodetabek untuk 12 periode (satu tahun) ke depan, yaitu pada tahun  2021,  maka  perlu  dilakukan  evaluasi  mengenai  ketepatan  model  peramalan  antara persamaan  model  GARCH  (1,1)  yang  telah  terbentuk  dengan  data  jumlah  penumpang  (ribu orang)  kereta  api  Indonesia  di  wilayah  Jabodetabek.  Dalam  hal  ini,  MAPE  digunakan  sebagai ukurannya.  Nilai MAPE  ini  sendiri  mengindikasikan  mengenai  seberapa  besar  kesalahan  dalam peramalan yang dibandingkan dengan nilai nyata pada deret.

## ∑ | ̂ |
Nilai MAPE hasil peramalan  atau forecasting jumlah penumpang (ribu orang) kereta api Indonesia di wilayah Jabodetabek untuk 12 periode (satu tahun) ke depan, yaitu pada tahun 2021 adalah sebesar 1,943536. Didapatkan nilai MAPE yang kecil, artinya nilai peramalan tidak jauh berbeda  dengan  data  asli.  Hal  ini  dapat  dilihat  dari  nilai  selisih  data  asli  dengan  data  hasil peramalan  yang  terdapat  pada  tabel  3.5.  Maka,  model  yang  terbentuk  sudah  cukup  baik  untuk memprediksi jumlah penumpang (ribu orang) kereta api Indonesia di wilayah Jabodetabek untuk 12 periode (satu tahun) ke depan, yaitu pada tahun 2021.

## 4. KESIMPULAN
Peramalan data jumlah penumpang (ribu orang) kereta api Indonesia di wilayah Jabodetabek untuk  12  periode  (1  tahun)  ke  depan,  yaitu  tahun  2021,  dengan  menggunakan  model  ARIMA (1,1,1)  tidak  dapat  mengatasi  adanya  efek  heteroskedastisitas.  Maka,  digunakan  model ARCH/GARCH dengan model terbaik adalah GARCH (1,1).
Dengan nilai MAPE sebesar 1,943536, dapat dikatakan bahwa model GARCH (1,1) mampu memprediksi  secara  baik  data  jumlah  penumpang  (ribu  orang)  kereta  api  Indonesia  di  wilayah

## Jurnal Matematika, Statistika & Komputasi

## Warosatul Anbiya, Farin Cyntiya Garini
Jabodetabek  untuk  12  periode  (satu  tahun)  ke  depan,  yaitu  pada  tahun  2021.  Persamaan  model peramalan GARCH (1,1) tersebut adalah sebagai berikut.
Artinya,  bahwa  variansi  jumlah  penumpang  (ribu  orang)  kereta  api  Indonesia  di  wilayah Jabodetabek  pada  periode  ke-t  ditemukan  oleh  suatu  konstanta  (48298,11036)  yang  merupakan nilai koefisien dan sisaan kuadrat pada periode sebelumnya dengan proporsi sebesar 19,439% yang  merupakan  nilai  koefisien  ARCH  (1)  ( )  serta  varians  residual  pada  periode  sebelumnya yaitu t – 1 dengan proporsi sebesar 76,637% yang merupakan nilai koefisien GARCH (1) ( ). Dari hasil peramalan menggunakan software R , didapatkan juga hasil peramalan untuk tahun 2020  selama  12  periode.  Hasil  ini  dapat  dibandingkan  dengan  nilai actual dari  data  jumlah penumpang  (ribu  orang)  kereta  api  Indonesia  di  wilayah  Jabodetabek  pada  tahun  2020  yang disajikan sebagai berikut.
Tabel 4.1. Perbandingan Data Actual dan Predicted/Forecast Tahun 2020 Periode Actual Forecast Januari 2020 26733 28950 Februari 2020 25616 29058 Maret 2020 18548 29165 April 2020 5138 29271 Mei 2020 5077 29376 Juni 2020 8591 29479 Juli 2020 11116 29582 Agustus 2020 11014 29683 September 2020 9678 29783 Oktober 2020 10128 29882 November 2020 11622 29980 Desember 2020 11330 30077
Pada  data actual jumlah  penumpang  (ribu  orang)  kereta  api  Indonesia  di  wilayah Jabodetabek  tahun  2020  dapat  dilihat  adanya  penurunan  angka  yang  drastis,  hal  ini  disebabkan oleh  adanya  pandemi covid-19 yang  mengharuskan  adanya social  distancing .  Masyarakat dihimbau untuk berada di rumah dan tidak bepergian jika bukan suatu hal yang penting. Hal ini berpengaruh  buruk  pada  beberapa  sektor  di  Indonesia  salah  satunya  adalah  sektor  transportasi. Dapat  dibuktikan  dengan  adanya  perbedaan  yang  cukup  besar  pada  hasil forecast jumlah penumpang  (ribu  orang)  kereta  api  Indonesia  di  wilayah  Jabodetabek  tahun  2020  jika dibandingkan  dengan  data actual pada  tahun  2020.  Jika  tidak  terdapat  pandemi covid-19 ,  data actual pada  beberapa  bulan  di  tahun  2020  tidak  akan  berbeda  jauh  dengan  hasil forecast yang didapat.
Untuk  memeriksa  kebenaran  metode  dan  analisis  yang  dilakukan,  data  hasil  peramalan dengan  menggunakan  model  ARIMA  (1,1,1)  dan  varians  residual  GARCH  (1,1)  dibandingkan dengan data asli terbaru, yaitu data jumlah penumpang Kereta Api Indonesia (ribu orang) untuk wilayah  Jabodetabek  dari  bulan  Januari  tahun  2021  sampai  bulan  September  tahun  2021  yang bersumber dari PT. Kereta Api Indonesia dan PT. KAI Commuter Jabodetabek dan diperoleh dari laman resmi Badan Pusat Statistika (www.bps.go.id) [4].

## Jurnal Matematika, Statistika & Komputasi
Warosatul Anbiya, Farin Cyntiya Garini
Tabel 4.2. Perbandingan Hasil Peramalan Jumlah Penumpang (Ribu Orang) Kereta Api Indonesia di Wilayah Jabodetabek dengan Data Asli Terbaru
Periode Forecast Data Asli Selisih Januari 30173 10149 20024 Februari 30268 9796 20472 Maret 30362 12041 18321 April 30455 12452 18003 Mei 30547 12230 18317 Juni 30638 11978 18660 Juli 30727 5102 25625 Agustus 30816 5947 24869 September 30904 8693 22211
Dari  Tabel  4.2  di  atas,  sangat  jelas  terlihat  bahwa  adanya  perbedaan  (selisihnya)  yang cukup  besar antara  nilai  hasil  peramalan dengan  nilai data  aslinya.  Hal  ini  menunjukkan  bahwa penggunaan  model  ARIMA  (1,1,1)  dan  varians  residual  GARCH  (1,1)  masih  kurang  tepat digunakan pada peramalan jumlah penumpang Kereta Api Indonesia (ribu orang) untuk wilayah Jabodetabek  dari  bulan  Januari  tahun  2021  sampai  bulan  September  tahun  2021.  Dengan demikian,  sebaiknya  dilakukan  analisis  lebih  lanjut  mengenai  peramalan  ini,  misalnya  dengan menggunakan metode lain, agar bisa dihasilkan nilai peramalan yang lebih akurat.

## DAFTAR PUSTAKA
[1].  Ali,  S.,  &  Andabdulaziztariq,  H.,  2018. Forecasting  Passenger  Numbers  in  Saudi  Arabian Airlines Flights . 7 (4), 1–14.
[2]. Abdelhafez, M. E. M., 2018. Using GARCH Models for Modelling and Forecasting Volatility an Empirical Study of the Egyptian Stock Market . 57 (2), 167–178.
[3]. Awat, J. Napa , 1990. Metode Peramalan Kuantitatif . Yogyakarta: Liberty.
[4].  Badan  Pusat  Statistik,  2021. Jumlah  Penumpang  Kereta  Api  (Ribu  Orang),  2011-2020 . Badan  Pusat  Statistik.  Diakses  dari  https://www.bps.go.id/linkTableDinamis/view/id/815 [Diakses 7 April 2021].
[5].  Brooks,  C.,  2014.  Introductory  econometrics  for  finance,  volume  3.  Cambridge  University press.
[6]. Enders, W., 1995. Applied Econometric Time Series . New York: Jhon Wiley & Sons.
[7].  Hanke,  J.  E  dan  Wichern,  D.  W.,  2005. Business  Forecasting,  8th  Edition .  New  Jersey: Prentice Hall.
[8]. Hendranata, Anton, 2003. ARIMA (Autoregressive Moving Average) . Manajemen Keuangan Sektor  Publik  FEUI.  Diakses  dari  http://daps.bps.go.id/file_artikel/77/arima.pdf  [Diakses  7 April 2021].
[9]. Makridakis, dkk., 1993. Metode dan Aplikasi Peramalan Jilid 1, Edisi Pertama . (Terjemahan Untung S . , Andrianto). Jakarta: Erlangga.
[10]. Makridakis, dkk., 1995. Metode dan Aplikasi Peramalan. Jakarta: Erlangga.
[11]. Makridakis, S. dan Wheelwright, S.C., 1999. Metode dan Aplikasi Peramalan, Edisi Kedua . Jakarta: Binarupa Aksara.

## Jurnal Matematika, Statistika & Komputasi
Warosatul Anbiya, Farin Cyntiya Garini
[12].  Putri,  A.R.,  2019. Pemodelan  dan  Peramalan  Curah  Hujan  di  Kabupaten  Bogor menggunakan  Metode  Seasonal  Autoregressive  Integrated  Moving  Average  (SARIMA) . Universitas Padjadjaran.
[13]. Sudjana, 1986. Metode Statistika . Bandung: Tarsito.
[14].  Syukrina,  F.,  2020. Penerapan  Metode  Peramalan  Model  GARCH  dalam  Memprediksi Indeks DST . Universitas Padjadjaran.
[15].  Wei,  W.,  2006. Time  Series  Analysis:  Univariate  and  Multivariate  Methods,  2nd  Edition . Boston: Addison-Wesley Publishing Company.