## Pemodelan Geographically Weighted Logistic Regression dengan Metode Ridge
Reski Amalah 1* , Andi Kresna Jaya 2 , dan Nasrah Sirajang 3
123 Departemen Statistika, Fakultas MIPA, Universitas Hasanuddin, Kota Makassar, 90245, Indonesia
*Corresponding author, email: amalahreski022@gmail.com

## Abstract
One of the goals of national development is to reduce poverty. Poverty is included in the phenomenon of spatial heterogeneity because it can be shown by the varying economic conditions in each region. The statistical  modeling  method  developed  for  data  analysis  takes  into  account  regional  factors  namely Geographical  Weighted  Logistic  Regression  (GWLR).  The  parameter  estimator  of  the  GWLR semiparametric model used in this study was obtained using the Maximum Likelihood Estimation method. In GWLR, the assumption that must be fulfilled is the absence of multicollinearity. One method for dealing with multicollinearity is ridge regression involving the addition of a constant bias (𝛾) . The results obtained were the MSE value of the parameter estimator with the ridge method (707.77) smaller than the GWLR model  before  using  the  ridge  (715.88).  This  shows  that  the  ridge  method  is  more  effective  if  there  are multicollinearity problems.
Keywords : Proverty, GWLR, Maximum Likelihood Estimation, ridge, multikolinieritas

## Abstrak
Salah satu sasaran pembangunan nasional adalah menurunkan tingkat kemiskinan. Kemiskinan termasuk dalam fenomena heterogenitas spasial karena dapat ditunjukkan dengan kondisi ekonomi yang bervariasi pada masing-masing wilayah. Metode pemodelan statistika yang dikembangkan untuk analisis data dengan memperhitungkan  faktor  wilayah  yaitu Geographical  Weighted  Logistic  Regression (GWLR).  Penaksir parameter  model  semiparametrik  GWLR  yang  digunakan  pada  penelitian  ini  diperoleh  menggunakan metode Maximum Likelihood Estimation . Dalam GWLR, asumsi yang harus dipenuhi yaitu tidak adanya multikolinearitas.  Salah  satu  metode  untuk  menangani  multikolinearitas  adalah  regresi ridge dengan melibatkan penambahan bias konstan (𝛾) . Hasil yang diperoleh adalah nilai MSE dari penduga parameter dengan metode ridge (707.77) lebih kecil dibandingkan dengan model GWLR sebelum menggunakan ridge (715.88).  Hal  ini  menunjukkan  bahwa  metode ridge lebih  efektif  digunakan  jika  terdapat  masalah multikolinearitas.
Kata Kunci : Kemiskinan, GWLR, Maximum Likelihood Estimation, ridge, multikolinieritas .

## 1. Pendahuluan
Kemiskinan  merupakan  gambaran  kehidupan  di  banyak  negara  berkembang  yang mencakup lebih dari satu milyar penduduk dunia. Indonesia adalah negara berkembang, maka  masalah  kemiskinan  merupakan  masalah  yang  penting  dan  pokok  dalam  upaya pembangunannya.  Berbagai  upaya  dilakukan  oleh  pemerintah  untuk  menanggulangi masalah ini, salah satu upaya yang telah dilakukan oleh Badan Pusat Statistik antara lain

## Pemodelan Geographically Weighted Logistic Regression dengan Metode Ridge
Reski Amalah, Andi Kresna Jaya, dan Nasrah Sirajang
adalah  melakukan  klasifikasi  dan  penghitungan  desa  tertinggal. Selain  itu  untuk mengukur kemiskinan, Badan Pusat Statistik (BPS) menggunakan konsep kemampuan memenuhi  kebutuhan  dasar  ( basic  needs  approach ).  Dengan  pendekatan  ini,  dapat dihitung Head  Count  Index (HCI),  yaitu  persentase  penduduk  miskin  terhadap  total penduduk [1].
Kemiskinan  merupakan  salah  satu  fenomena  heterogenan  spasial.  Heterogenitas spasial dapat disebabkan oleh beberapa hal seperti perbedaan dalam geografi, budaya, kebijakan  ekonomi  yang  bervariasi  di  setiap  wilayah.  Kemiskinan  termasuk  dalam heterogenitas spasial karena dapat ditunjukkan dengan kondisi ekonomi yang bervariasi atau  berbeda-beda  pada  masing-masing  wilayah.  Data  kemiskinan  dapat  berbentuk kategori  yaitu  miskin  dan  tidak  miskin  sehingga  untuk  menganalisis  data  kemiskinan dapat  digunakan  metode  statistika  yaitu  metode Geographically  Weighted  Logistic Regression (GWLR). Geographically Weighted Logistic Regression (GWLR) merupakan bentuk lokal dari regresi logistik dengan memperhatikan wilayah yang berasumsi bahwa data  berdistribusi  Bernoulli.  Estimasi  parameter  model  GWLR  memerlukan  adanya pembobot. Pembobot tersebut dapat dibentuk menggunakan suatu fungsi pembobot yang tergantung  pada  ukuran  berketetanggaan  atau  biasa  disebut bandwidth [2].  Penaksir parameter model semiparametrik GWLR yang digunakan pada penelitian ini diperoleh menggunakan  metode maximum  likelihood  estimation dengan  memberikan  pembobot yang berbeda pada setiap wilayah.
Dalam  pengaplikasian  GWLR  terkadang  ditemukan  adanya  data  multikolinieritas. Multikolinieritas  adalah  kondisi  terdapatnya  hubungan  linier  atau  korelasi  yang  tinggi antara  masing-masing  variabel  prediktor  dalam  model  regresi.  Jika  terjadi multikolinieritas  maka  kondisi  tersebut  dapat  menyebabkan  hasil  dugaan  parameter memiliki ragam yang besar sehingga pengujian signifikansi peubah menjadi tidak stabil. Terdapat  beberapa  metode  yang  baik  digunakan  dalam  penyelesaian  multikolinieritas pada  model  GWLR  tanpa  penghapusan  variabel  prediktor  yaitu  Analisis  Komponen Utama (AKU) , Partial Least Square (PLS), lasso, dan ridge [3].
Beberapa penelitian yang telah menggunakan metode GWLR antara lain dilakukan oleh  Widyastuti  (2018)  yang  melakukan  pemodelan  terhadap  faktor-faktor  yang berpengaruh terhadap indeks pembangunan manusia di Kalimantan dengan menggunakan metode Geographically Weighted Logistic Regression (GWLR). Selain itu, Haeni (2016) juga  melakukan  estimasi  parameter  model  GWLR  pada  data  yang  mengandung multikolinieritas  dengan  menggunakan Partial  Least  Square (PLS).  Sehingga berdasarkan latar belakang tersebut, peneliti tertarik untuk membahas tentang pemodelan Geographically Weighted Logistic Regression dengan metode ridge .

## 2. Material dan Metode

## 2.1 Sumber Data
Penelitian ini menggunakan data sekunder tentang tingkat kemiskinan di Sulawesi Selatan  tahun  2016  yang  diperoleh  dari  www.bps.go.id.  Data  ini  terdiri  dari  24

## Pemodelan Geographically Weighted Logistic Regression dengan Metode Ridge
Reski Amalah, Andi Kresna Jaya, dan Nasrah Sirajang
kabupaten/kota.  Variabel  respon  bersifat  kategori  yaitu  dengan  mengelompokkan kabupaten/kota  menjadi  miskin  atau  tidak  miskin  berdasarkan  pada  nilai Head  Count Index (HCI) Provinsi Sulawesi Selatan. Nilai Head Count Index (HCI) Provinsi Sulawesi Selatan  tahun  2016  sebesar  9.37%,  sehingga  pengelompokan  wilayah  yang  tergolong miskin  atau  tidak  miskin  yaitu  nol  untuk  kabupaten/kota  yang  tergolong  tidak  miskin dengan  persentase  penduduk  miskin  berada  dibawah  9.37%  dan  satu  untuk kabupaten/kota  yang  tergolong  miskin  dengan  memiliki  persentase  penduduk  miskin diatas 9.37%.
Variabel  prediktor  terdiri  dari  persentase  rumah  tangga  memiliki  dinding  terluas bukan  tembok  dan  kayu,  persentase  rumah  tangga  menurut  luas  lantai  rumah  <8m 2 , persentase  penduduk  usia  15  tahun  ke  atas  hanya  tamat  SD,  persentase  pengeluaran perkapita untuk makanan, angka harapan hidup, persentase penduduk usia 15 tahun ke atas yang tidak bekerja, dan persentase rumah tangga memiliki sumber penerangan bukan listrik.

## 2.2 Regresi Logistik Biner
Regresi  logistik  termasuk  dalam  model  linier  diperumum  atau Generalized  Linier Models (GLM).  Model  linier  diperumum  merupakan  pengembangan  dari  model  linier klasik  yang  mengasumsikan  variabel  respon  tidak  harus  mengikuti  distribusi  normal, tetapi  harus  termasuk  dalam  distribusi  keluarga  eksponensial  [4].  Hasil  pengamatan variabel acak 𝑌 respon hanya mempunyai dua kategori yaitu 0 dan 1, sehingga mengikuti distribusi Bernoulli dengan distribusi peluang sebagai berikut:
𝑃(𝑌 = 𝑦) = 𝜋 ! (1 − 𝜋) "#! ; 𝑦 = 0,1 (1)
Dalam regresi logistik, variabel respon 𝑌 dituliskan sebagai 𝑦 = 𝜋(𝒙 𝒊 ) + 𝜀 , dengan 𝜀 mempunyai salah satu dari kemungkinan dua nilai, yaitu apabila nila 𝑦 = 1 maka 𝜀 = 1 − 𝜋(𝒙 𝒊 ) dengan peluang 𝜋(𝒙 𝒊 ) dan jika 𝑦 = 0 maka 𝜀 = −𝜋(𝒙 𝒊 ) dengan peluang 1 − 𝜋(𝒙 𝒊 ) . Menurut Agresti (2002), Fungsi distribusi peluang untuk 𝑌 dengan parameter 𝜋(𝒙 𝒊 ) dapat dilihat pada persamaan (2).
𝑓(𝑦 % ) = 2𝜋(𝒙 𝒊 )3 ! ! 21 − 𝜋(𝒙 𝒊 )3 "#! ! , 𝑦 = 0,1 (2)
Menurut  Hosmer  &  Lemashow  (2000)  model  regresi  logistik  biner  dapat  dilihat  pada persamaan (3).
𝜋(𝒙 𝒊 ) = exp2𝛽 & + 𝛽 " 𝑥 %" + 𝛽 ' 𝑥 %' + ⋯ + 𝛽 ( 𝑥 %( + ⋯ + 𝛽 ) 𝑥 *) 3 1 + exp2𝛽 & + 𝛽 " 𝑥 %" + 𝛽 ' 𝑥 %' + ⋯ + 𝛽 ( 𝑥 %( + ⋯ + 𝛽 ) 𝑥 *) 3 𝜋(𝒙 𝒊 ) = +,-.𝑿 𝒊 # 𝜷1 "2+,-.𝑿 𝒊 # 𝜷1 (3)

## 2.3 Multikolinieritas
Pada  analisis  regresi  logistik  tidak  diperkenankan  terjadi  kasus  multikolinieritas. Metode untuk menguji adanya multikolinieritas dapat dilihat pada tolerance value atau V ariance  Inflation  Factor (VIF)[5].  Nilai Variance  Inflation  Factor ( VIF )  dapat

## Pemodelan Geographically Weighted Logistic Regression dengan Metode Ridge
Reski Amalah, Andi Kresna Jaya, dan Nasrah Sirajang
digunakan sebagai kriteria untuk mendeteksi kasus multikolinieritas pada model regresi linier yang memiliki lebih dari dua variabel prediktor. Nilai VIF dapat dinyatakan dalam persamaan (4).
𝑉𝐼𝐹 ( = " "#3 $ % (4)
dengan 𝑅 ( ' adalah  koefisien  detrminasi  antara 𝑥 ( dengan  variabel  prediktor  lainnya. Apabila VIF > 10, maka dapat diindikasikan bahwa terdapat kasus multikolinieritas.

## 2.4 Heterogenitas Spasial
Pengujian  heterogenitas  spasial  dilakukan  untuk  mengetahui  apakah  terdapat karakteristik  atau  keunikan  sendiri  di  setiap  lokasi  pengamatan.  Adanya  heterogenitas spasial  dapat  menghasilkan  parameter  regresi  yang  berbeda-beda  di  setiap  lokasi pengamatan. Heterogenitas spasial dapat diuji menggunakan rumus Breusch-Pagan (BP) dengan Hipotetsis sebagai berikut:
H 0 : 𝜎 " ' = 𝜎 ' ' = ⋯ = 𝜎 * ' = 𝜎 ' (terjadi homoskedastisitas) H 1 : Minimal ada satu 𝜎 " ' ≠ 𝜎 ' (terjadi heteroskedastisitas) Statistik uji:
𝐵𝑃 = A 1 2 C 𝒇 𝑻 𝒁(𝒁 𝑻 𝒁) #𝟏 𝒁 𝑻 𝒇~𝜒 ' (7;(#") (5)
elemen vektor 𝒇 adalah
𝑓 % = I : ! $ ; $ J − 1 ; 𝑒 % =   𝑦 % − 𝑦L dengan  matriks 𝒇 berukuran  ( 𝑛 × 1) , 𝑒 % adalah residual untuk  pengamatan  ke- i, 𝜎 ' adalah  varians residual ,  dan Z merupakan  matriks  berukuran  ( 𝑛(𝑝 + 1)) yang  berisi vektor standar (z) untuk setiap lokasi [6].

## 2.5 Geographically Weighted Regression
Geographically  Weighted  Regression (GWR)  merupakan  salah  satu  model  yang dimunculkan dari metode pendekatan titik yaitu pendekatan berdasarkan posisi koordinat garis  lintang  ( latitude )  dan  garis  bujur  ( longitude ).  Model Geographically  Weighted Regression (GWR) adalah pengembangan dari model regresi dimana parameter dihitung pada  setiap  lokasi  pengamatan,  sehingga  setiap  lokasi  pengamatan  mempunyai  nilai parameter yang berbeda-beda. Dengan adanya aspek spasial di dalam GWR, salah satu efek spasial yang terjadi antar wilayah yaitu heterogenitas spasial [7]. Model GWR dapat dinyatakan pada persamaan (6).
𝑦 % = 𝛽 = (𝑢 % , 𝑣 % ) + ∑ 𝛽 ( (𝑢 % , 𝑣 % )𝑥 %( + 𝜀 % ) (>" (6)
dengan nilai 𝑦 % adalah nilai observasi variabel respon pada pengamatan ke- 𝑖 , 𝛽 = (𝑢 % , 𝑣 % ) adalah nilai konstanta/ intercept pada pengamatan ke- 𝑖 , 𝛽 ( (𝑢 % , 𝑣 % ) adalah koefisien regresi variabel  prediktor  ke- 𝑘 pada  pengamatan  ke- 𝑖 , 𝑥 %( adalah  nilai  observasi  variabel prediktor ke- 𝑘 pada pengamatan ke- 𝑖 , dan 𝜀 % adalah residual ke- 𝑖 .

## Pemodelan Geographically Weighted Logistic Regression dengan Metode Ridge
Reski Amalah, Andi Kresna Jaya, dan Nasrah Sirajang
Model GWR membutuhkan sebuah bandwidth . Fungsi dari bandwidth adalah untuk menentukan bobot dari suatu lokasi terhadap lokasi lain yang digunakan sebagai pusat. Ada beberapa metode yang digunakan untuk memilih bandwidth optimum, salah satunya adalah validasi silang atau c ross validation (CV) dengan rumus:
𝐶𝑉(ℎ) = W2𝑦 % − 𝑦X ?% (ℎ)3 ' * %>"
(7)
dengan 𝑦X ?% (ℎ) yaitu nilai penaksir 𝑦 % ( fitting value ) dengan pengamatan di lokasi (𝑢 % , 𝑣 % ) dihilangkan dalam proses penaksiran, 𝑦 % adalah pengamatan ke- I dan 𝑛 adalah  jumlah sampel.  Untuk  mendapatkan  nilai ℎ yang  optimal,  maka  diperoleh  dari ℎ yang menghasilkan nilai CV yang minimum [8]. Sebelum pembobot ditentukan, harus dihitung dahulu 𝑑 %@ yang  merupakan  jarak  lokasi (𝑢 % , 𝑣 % ) menggunakan  jarak euclidian pada persamaan (8)
𝑑 %@ = [2𝑢 % − 𝑢 @ 3 ' + 2𝑣 % − 𝑣 @ 3 ' (8)
Pada penelitian ini, fungsi pembobot spasial yang digunakan adalah fixed Gaussian kernel. Fungsi fixed Gaussian kernel dapat dilihat pada persamaan (9).
𝑤 %@ (𝑢 % , 𝑣 % ) = 𝑒𝑥𝑝 ^− 1 2 _ 𝑑 %@ ℎ ` ' a                                      (9)
dengan 𝑤 %@ merupakan nilai bobot dari pengamatan pada lokasi ke- 𝑗 untuk penaksiran koefisien pada lokasi ke- 𝑖 , 𝑑 %@ adalah jarak euclidean antara lokasi ke- 𝑖 dengan lokasi ke- 𝑗 , dan ℎ adalah bandwidth .

## 2.6 Geographically Weighted Logistic Regression
Geographically  Weighted  Logistic  Regression (GWLR)  merupakan  salah  satu metode  regresi  logistik  yang  dapat  mempertimbangkan  faktor  spasial  sehingga  akan dihasilkan  nilai  parameter  bagi  masing-masing  titik  atau  lokasi  dimana  data  tersebut diamati.  Metode  ini  dikembangkan  dari  metode  GWR  yang  digunakan  untuk memprediksi  atau  menduga  model  dari  kumpulan  data  yang  memiliki  peubah  biner melalui model logistik [9]. Pembobot 𝒘 %@ diberikan pada masing-masing pengamatan. Sehingga, model yang terbentuk sesuai dengan model logistik pada persamaan (3) dan dapat dilihat pada persamaan (10):
𝜋(𝒙 𝒊 ) = exp2𝛽 & (𝑢 % , 𝑣 % ) + ∑ 𝛽 ( (𝑢 % , 𝑣 % )𝑥 %( ) (>" 3 1 + exp2𝛽 & (𝑢 % , 𝑣 % ) + ∑ 𝛽 ( (𝑢 % , 𝑣 % )𝑥 %( ) (>" 3 𝜋(𝒙 𝒊 ) = +,-A𝑿 𝒊 # 𝜷(B ! ,D ! )E "2+,-A𝑿 𝒊 # 𝜷(B ! ,D ! )E (10)
Pengujian  parameter  model  GWLR  digunakan  untuk  mengetahui  parameter  yang berpengaruh signifikan terhadap model. Pengujian dilakukan secara serentak dan secara

## Pemodelan Geographically Weighted Logistic Regression dengan Metode Ridge
Reski Amalah, Andi Kresna Jaya, dan Nasrah Sirajang
parsial. Pengujian secara serentak menggunakan uji rasio likelihood dengan hipotesisnya sebagai berikut:
𝐻 & : 𝛽 " (𝑢 % , 𝑣 % ) =   𝛽 ' (𝑢 % , 𝑣 % ) = ⋯ = 𝛽 ( (𝑢 % , 𝑣 % ) = 0 𝐻 " : 𝑝𝑎𝑙𝑖𝑛𝑔 𝑡𝑖𝑑𝑎𝑘 𝑡𝑒𝑟𝑑𝑎𝑝𝑎𝑡 𝑠𝑎𝑡𝑢 𝛽 ( (𝑢 % , 𝑣 % ) ≠ 0 Statistik Uji:
𝐺 ' (𝑢 % , 𝑣 % ) = 2 nWo𝑦 "% ln 𝜋X(𝒙 𝒊 ) + 𝑦 &% ln21 − 𝜋X(𝒙 𝒊 )3r * %>" s − W[𝑛 "% ln(𝑛 "% ) + 𝑛 &% ln(𝑛 &% ) + 𝑛 ln(𝑛)] * %>"
Statistik uji 𝐺 ' mendekati distribusi chi-square . Kriteria pengujiannya adalah tolak 𝐻 & jika nilai 𝐺 ' >   𝜒 7;) ' dengan 𝑝 adalah jumlah prediktor dan nilai 𝜒 7;) ' dapat diperoleh dari  table Chi-square. Selanjutnya  dilakukan  parameter  model  GWLR  secara  parsial dengan hipotesis parsial dengan hipotesis sebagai berikut:
𝐻 & : 𝛽 ( (𝑢 % , 𝑣 % ) = 0 𝐻 " : 𝑝𝑎𝑙𝑖𝑛𝑔 𝑡𝑖𝑑𝑎𝑘 𝑡𝑒𝑟𝑑𝑎𝑝𝑎𝑡 𝑠𝑎𝑡𝑢 𝛽 ( (𝑢 % , 𝑣 % ) ≠ 0, 𝑘 = 1,2, … , 𝑝 ; 𝑖 = 1,2, … , 𝑛
Statistik Uji:
𝑊 F%G = y 𝛽z ( (𝑢 % , 𝑣 % ) 𝑆𝐸 I𝛽z ( (𝑢 % , 𝑣 % )J } '
dengan 𝑆𝐸 I𝛽z ( (𝑢 % , 𝑣 % )J = [𝑣𝑎𝑟 𝛽z ( (𝑢 % , 𝑣 % ) dan  kriteria  ujinya  yaitu  tolak 𝐻 & jika |𝑊 F%G | > 𝜒 7;) ' .

## 2.7 Metode Ridge
Penduga  parameter  regresi ridge menggunakan  metode Least  Square (LS)  yaitu dengan menambahkan bilangan positif kecil ( 𝛾 ) pada diagonal matriks 𝑿 H 𝑿 , sehingga bias  yang  terjadi  dapat  dikendalikan.  Penduga  regresi ridge dapat  dituliskan  pada persamaan (10).
𝜷 ‚ 𝑹𝑹 = (𝑿 H 𝑿 + 𝛾𝑰) #𝟏 𝑿 𝑻 𝒀 (11)
Kemudian  penduga ridge pada  model  regresi  logistik  untuk  menangani  masalah multikolinieritas  diperoleh  dengan  metode  Lagrange  untuk  meminimumkan  fungsi Weighted Sum of Square Error (WSSE) berikut:
𝑾𝑺𝑺𝑬 = (𝒀 − 𝑿𝜷) 𝑻 𝑾(𝒀 − 𝑿𝜷)
dengan  fungsi  kendala 0 = 𝛾𝜷 𝑻 𝜷 ,  sehingga  penduga  parameter  dengan  metode ridge pada regresi logistik dapat ditulis pada persamaan (12)

## Pemodelan Geographically Weighted Logistic Regression dengan Metode Ridge
Reski Amalah, Andi Kresna Jaya, dan Nasrah Sirajang
𝜷 ‚ 𝑳𝑹𝑹 = (𝑿 𝑻 𝑴𝑿 + 𝛾𝑰) #" 𝑿 𝑻 𝑴𝑿𝜷 ‚ 𝑴𝑳𝑬 (12)
𝑾 pada WSSE  kemudian  dinotasikan  dengan 𝑴 dan 𝜷 ‚ 𝑴𝑳𝑬 diperoleh  diperoleh  dari maksimum likelihood sehingga  mengahasilkan  persamaan  (12).  Untuk  nilai  tetapan 𝛾 , Dorugade dan Kashid (2010) mengajukan nilai 𝑘 persamaan (13)
𝛾 = 𝑚𝑎𝑥 A0, ); M $ 𝜷 N 𝑻 𝜷 N − Š " *(OPQ) '() ‹ ' C (13)
dengan 𝜎X ' = (𝒀#𝑿𝜷) 𝑻 (𝒀#𝑿𝜷) *#)#"

## 3. Hasil dan Diskusi

## 3.1 Uji Multikolinieritas
Metode yang digunakan untuk mengidentifikasi adanya multikolinieritas pada model Geographically  Weighted  Logistic  Regression (GWLR) yaitu  dengan  melihat  nilai Variance Inflation Factors (VIF). Jika nilai VIF variabel prediktor lebih dari 10 maka telah terjadi multikolinieritas, sedangkan apabila nilai VIF variabel prediktor kurang dari 10 maka dapat dikatakan bahwa tidak terjadi multikolinieritas pada data.
Tabel 1. Hasil pengujian asumsi multikolinieritas Variabel VIF Keterangan x " 24,0590 Multikolineritas x ' 6,3627 Tidak Multikolineritas x S 3,5567 Tidak Multikolineritas x T 2,3370 Tidak Multikolineritas x U 6,7663 Tidak Multikolineritas x V 21,3678 Multikolineritas x W 13,7666 Multikolineritas
Pada Tabel 1 di atas dapat disimpulkan bahwa data yang digunakan mengandung multikolinieritas dikarenakan nilai VIF pada setiap variabel kurang dari 10.

## 3.2 Uji Heterogenitas Spasial
Pengujian  heterogenitas  spasial  menggunakan  uji  BP . Hipotesis  yang  digunakan adalah sebagai berikut:
H 0 : 𝜎 " ' = 𝜎 ' ' = ⋯ = 𝜎 * ' = 𝜎 '
H 1 : Minimal ada satu 𝜎 " ' ≠ 𝜎 '
Statistik uji:
𝐵𝑃 = A 1 2 C 𝒇 𝑻 𝒁(𝒁 𝑻 𝒁) #𝟏 𝒁 𝑻 𝒇

## Pemodelan Geographically Weighted Logistic Regression dengan Metode Ridge
= 16,12 diperoleh nilai BP = 16,12 > 𝜒 ' (V;&,&U) = 12,592 sehingga kriteria keputusan adalah tolak 𝐻 & , artinya bahwa terjadi heterogenitas spasial. Oleh karena itu, pemodelan regresi yang digunakan dengan memperhatikan lokasi adalah GWR namun karena data dalam bentuk kategori maka dapat digunakan pemodelan GWLR.

## 3.3 Penaksir Parameter Model Geographical Weighted Logistic Regression
Analisis Geographically  Weigthed  Logistic  Regression (GWLR)  menggunakan metode MLE dilakukan terlebih dahulu sebelum melakukan pendugaan parameter dengan metode ridge .
Perhitungan  MLE  bergantung  pada  bentuk  distribusi  probabilitas  populasi  yang mendasari variabel diteliti. Digunakan distribusi Bernoulli dengan probabilitas sukses = 𝜋(𝒙 𝒊 ) dan gagal = 1 − 𝜋(𝒙 𝒊 ) sehingga fungsi kepadatan peluang (fkp) yaitu:
𝑓(𝑦 % ) = 2𝜋(𝒙 𝒊 )3 ! ! 21 − 𝜋(𝒙 𝒊 )3 "#! ! , 𝑦 = 0 , 1 dari persamaan diatas diperoleh fungsi likelihood :
𝑙(𝛽) = • 𝑓(𝑦 % ) * %>" = • 2𝜋(𝒙 𝒊 )3 ! ! 21 − 𝜋(𝒙 𝒊 )3 "#! ! * %>"
𝑙(𝛽) = • _ exp2∑ 𝛽 ( (𝑢 % , 𝑣 % )𝑥 %( ) (>& 3 1 + exp2∑ 𝛽 ( (𝑢 % , 𝑣 % )𝑥 %( ) (>& 3 ` ! ! _1 − exp2∑ 𝛽 ( (𝑢 % , 𝑣 % )𝑥 %( ) (>& 3 1 + exp2∑ 𝛽 ( (𝑢 % , 𝑣 % )𝑥 %( ) (>& 3 ` "#! ! * %>"
= exp ŽW AW 𝑦 % 𝑥 %( * %>" C ) (>& 𝛽 ( (𝑢 % , 𝑣 % )• •• _1 + exp AW 𝛽 ( (𝑢 % , 𝑣 % )𝑥 %( ) (>& C #" ` * %>" ‘
Berdasarkan fungsi likelihood yang telah didapatkan, maka estimasi parameter model Geographically Weighted Logistic Regression ( GWLR) dengan menggunakan Maximum Likelihood  Estimator (MLE),  untuk  fungsi likelihood variabel  respon  berdistribusi Bernoulli sebagai berikut:
𝑙2𝛽(𝑢 % , 𝑣 % )3 = exp I∑ (∑ 𝑦 % 𝑥 %( * %>" ) ) (>" 𝛽 ( (𝑢 % , 𝑣 % )J ∏ 21 + exp2∑ 𝛽 ( (𝑢 % , 𝑣 % )𝑥 %( ) (>& 33 * %>"
Kemudian bentuk fungsi log likelihoodnya menjadi:
ln 𝑙2𝛽(𝑢 % , 𝑣 % )3 = W AW 𝑦 % 𝑥 %( * %>" C ) (>& 𝛽 ( (𝑢 % , 𝑣 % )
− W ln Ž1 + exp AW 𝛽 ( (𝑢 % , 𝑣 % )𝑥 %( ) (>& C• *
%>"
Faktor  lokasi  geografis  pda  model  GWLR  merupakan  faktor  yang  ditentukan berdasarkan  lokasi  geografis  sehingga  memiliki  nilai  yang  berbeda  pada  setiap  lokasi pengamatan  dan  menghasilkan  estimasi  parameter  disetiap  lokasi.  Oleh  karena  itu,

## Pemodelan Geographically Weighted Logistic Regression dengan Metode Ridge
Reski Amalah, Andi Kresna Jaya, dan Nasrah Sirajang
pembobot diberikan pada fungsi ln likelihood untuk mendapatkan model GWLR. Pada model GWLR dapat dihitung berdasarkan fungsi ln likelihood sebagai berikut:
ln 𝑙 ∗ 2𝛽(𝑢 % , 𝑣 % )3 = W AW 𝑦 % 𝑥 %( 𝑤 % (𝑢 % , 𝑣 % ) * %>" C ) (>& 𝛽 ( (𝑢 % , 𝑣 % ) − W 𝑤 % (𝑢 % , 𝑣 % ) ln Ž1 + exp AW 𝛽 ( (𝑢 % , 𝑣 % )𝑥 %( ) (>& C• * %>" ln 𝑙 ∗ 2𝛽(𝑢 % , 𝑣 % )3 = ∑ o2∑ 𝑥 %( 𝛽 ( (𝑢 % , 𝑣 % ) ) (>& 3𝑦 % 𝑤 % (𝑢 % , 𝑣 % ) − 𝑤 % (𝑢 % , 𝑣 % ) ln“1 +
* %>" exp2∑ 𝛽 ( (𝑢 % , 𝑣 % )𝑥 %( ) (>& 3”r (4.2)
untuk  memperoleh  estimasi  parameter 𝛽(𝑢 % , 𝑣 % ) ,  maka  dilakukan  dengan  melakukan turunan parsial yang telah di dapat pada persamaan (4.2) terhadap 𝛽 ( (𝑢 % , 𝑣 % ) yang akan ditaksir.
Setelah melakukan penaksiran kemudian disamakan dengan nol sehingga diperoleh turunan pertama sebagai berikut:
𝜕 ln 𝑙 ∗ 2𝛽(𝑢 % , 𝑣 % )3
𝜕𝛽 ( (𝑢 % , 𝑣 % ) = 𝜕 𝜕𝛽 ( (𝑢 % , 𝑣 % ) W –W 𝑦 % 𝑥 %( 𝑤 % (𝑢 % , 𝑣 % ) ) (>& 𝛽 ( (𝑢 % , 𝑣 % ) * %>" − 𝑤 % (𝑢 % , 𝑣 % ) ln Ž1 + exp AW 𝛽 ( (𝑢 % , 𝑣 % )𝑥 %( ) (>& C•— = W 𝑥 %( 𝑤 % (𝑢 % , 𝑣 % ) _𝑦 % − 2exp2∑ 𝛽 ( (𝑢 % , 𝑣 % )𝑥 %( ) (>& 33 1 + exp2∑ 𝛽 ( (𝑢 % , 𝑣 % )𝑥 %( ) (>& 3 ` *
%>" Untuk memaksimumkan fungsi log likelihood , maka persamaan diatas disamakan dengan nol, diperoleh:
𝜕 ln 𝑙 ∗ 2𝛽(𝑢 % , 𝑣 % )3 𝜕𝛽 ( (𝑢 % , 𝑣 % ) = W 𝑥 %( 𝑤 % (𝑢 % , 𝑣 % ) _𝑦 % − 2exp2∑ 𝛽 ( (𝑢 % , 𝑣 % )𝑥 %( ) (>& 33 1 + exp2∑ 𝛽 ( (𝑢 % , 𝑣 % )𝑥 %( ) (>& 3 ` * %>" = 0
Berdasarkan  turunan  parsial,  diperoleh  fungsi  yang  bersifat nonlinier. maka digunakan  pendekatan  numerik  dengan  menggunakan  metode fisher  scoring .  Karena dalam  proses  iterasi  pada  metode fisher  scoring membutuhkan  turunan  kedua,  maka turunan kedua dari fungsi log-likelihood sebagai berikut:
𝜕 ! ln 𝑙 ∗ %𝛽(𝑢 # , 𝑣 # ),
𝜕𝛽 $ ! (𝑢 # , 𝑣 # ) = − / 0 𝜕 𝜕𝛽 $ (𝑢 # , 𝑣 # ) 1 𝑥 #$ 𝑤 # (𝑢 # , 𝑣 # )%exp%∑ 𝛽 $ (𝑢 # , 𝑣 # )𝑥 #$ % $&' ,, 1 + exp%∑ 𝛽 $ (𝑢 # , 𝑣 # )𝑥 #$ % $&' , :;
( #&)
Dengan menggunakan turunan pertama dan kedua yang telah diperoleh, maka proses perhitungan MLE dapat dapat dilanjutkan dengan didekati bentuk dengan metode fisher scoring berikut:
𝜷 𝒕2𝟏 (𝑢 % , 𝑣 % ) = 𝜷 (𝒕) (𝑢 % , 𝑣 % ) + 𝑰 (𝒕)#𝟏 (𝛽 (G) (𝑢 % , 𝑣 % ))𝑺 (𝒕) (𝛽 (G) (𝑢 % , 𝑣 % ))
dengan:

## Pemodelan Geographically Weighted Logistic Regression dengan Metode Ridge
𝑰 (𝒕) I𝛽 (G) (𝑢 % , 𝑣 % )J = ⎣ ⎢ ⎢ ⎡ ℎ && ℎ &" … ℎ &) ℎ "& ⋮ ℎ "" ⋮ … ⋱ ℎ ") ⋮ ℎ )& ℎ )" … ℎ )) ⎦ ⎥ ⎥ ⎤ 𝑺 (𝒕) (𝛽 (G) (𝑢 % , 𝑣 % )) = ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ 𝜕 ln 𝑙 ∗ (𝛽(𝑢 % , 𝑣 % )) 𝜕𝛽 & (𝑢 % , 𝑣 % ) 𝜕 ln 𝑙 ∗ (𝛽(𝑢 % , 𝑣 % )) 𝜕𝛽 " (𝑢 % , 𝑣 % ) ⋮ 𝜕 ln 𝑙 ∗ (𝛽(𝑢 % , 𝑣 % )) 𝜕𝛽 ) (𝑢 % , 𝑣 % ) ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤ dan 𝑯 (𝒕) I𝛽 (G) (𝑢 % , 𝑣 % )J adalah matriks dengan elemen-elemennya adalah:
ℎ )) (G) = −𝐸 _ 𝜕 ' ln 𝑙 ∗ 2𝛽(𝑢 % , 𝑣 % )3 𝜕 ' 𝛽 ( ' (𝑢 % , 𝑣 % ) ` = −𝐸(−𝑿 𝑻 𝑴𝑿)
Untuk setiap iterasi ke-t berlaku:
𝑠 ) (G) = 𝜕 ln 𝑙 ∗ (𝛽(𝑢 % , 𝑣 % )) 𝜕𝛽 ( = 𝑿 𝑻 𝑾(𝑢 % , 𝑣 % )(𝒀 − 𝝅(𝒙))
Dengan  mengulang  prosedur  iterasi  untuk  setiap  lokasi  ke- 𝑖 ,  maka  hasil  untuk estimasi parameter lokal akan didapatkan. Iterasi akan berhenti pada saat konvergen, yaitu pada saat ¢𝜷 (𝒕2𝟏) (𝑢 % , 𝑣 % ) − 𝜷 (𝒕) (𝑢 % , 𝑣 % )¢ ≤ 𝜀 = 0,001 .
Nilai  penduga  MLE  yang  diperoleh  dari  hasil  iterasi fisher  scoring menghasilkan parameter disetiap lokasi. Tabel 2 merupakan salah satu contoh hasil estimasi parameter dengan metode MLE untuk Kabupaten Jeneponto, Kabupaten Pangkep, Kabupaten Luwu Utara, dan Kabupaten Toraja Utara.
Tabel 2. Hasil Estimasi Parameter 2𝛽z Z[\ 3 dengan Metode MLE Variabel Lokasi Pengamatan Jeneponto Pangkep Luwu Utara  Toraja Utara Intercept 0,3139 0,3229 0,3637 0,3447 𝑥 " -0,0013 -0,0013 -0,0013 -0,0013 𝑥 ' -0,0017 -0,0017 -0,0015 -0,0015 𝑥 S 0,0005 0,0005 0,0003 0,0004 𝑥 T 0,0015 0,0014 0,0012 0,0013 𝑥 U -0,0048 -0,0048 -0,0052 -0,0049 𝑥 V 0,0006 0,0005 0,0003 0,0003 𝑥 W -0,0129 -0,0126 -0,0114 -0,0118

## Pemodelan Geographically Weighted Logistic Regression dengan Metode Ridge

## 3.4 Penaksir Parameter Model GWLR dengan Metode
Ridge
Setelah  memperoleh  hasil  penduga  parameter  dengan  metode  MLE,  selanjutnya menghitung  nilai  tetapan 𝛾 .  Pemilihan  nilai  tetapan 𝛾 yang  optimum  diharapkan  agar estimasi 𝜷 ‚ 𝑳𝑹𝑹 lebih optimal dari 𝜷 ‚ 𝑴𝑳𝑬 . Metode yang digunakan dalam pemilihan nilai tetapan 𝛾 adalah metode Dorugade dan Kashid pada persamaan (13) dengan hasil yang diperoleh untuk nilai k disetiap lokasi sehingga diperoleh hasil estimasi parameter dengan metode ridge pada  model  GWLR.  Setelah  didapatkan  model  GWLR  dengan  metode ridge, maka  dilakukan  uji  signifikansi  parameter.  Uji  signifikansi  parameter  yang dilakukan  adalah  pengujian  serentak  dengan  menggunakan  uji  rasio likelihood dan pengujian parsial dengan menggunakan uji Wald.
Tabel 3. Pengujian Serentak Model GWLR G ' 𝜒 𝟐 (&.&U;_) 274,890 15,507
Berdasarkan Tabel 3 terlihat bahwa nilai statistik uji 𝐺 ' sebesar 274.890 lebih besar dari  nilai 𝜒 &.&U;W ' yaitu  sebesaar  15.507.  Hal  ini  menunjukkan  bahwa  tolak 𝐻 & atau minimal  ada  satu  variabel  prediktor  yang  berpengaruh  signifikan  terhadap  persentase penduduk miskin Kabupaten/Kota di Sulawesi Selatan. Pengujian Hipotesis yang terakhir untuk model GWLR adalah pengujian parsial. Pengujian ini bertujuan untuk mengetahui faktor-faktor  yang  berpengaruh  terhadap  persentase  penduduk  miskin  di  setiap Kabupaten/Kota  di  provinsi  Sulawsei  Selatan.  Dari  hasil  pengujian  parsial  didapatkan bahwa  variabel  yang  signifikan  hanya  satu  yaitu  persentase  rumah  tangga  memiliki sumber  penerangan  bukan  listrik  untuk  seluruh  Kabupaten/Kota  yang  ada  di  Sulawesi Selatan.    Berdasarkan  hasil  pengujian,  maka  dapat  diperoleh  model Geographically Weighted  Logistic  Regression (GWLR)  dengan  metode ridge untuk  pemodelan persentase penduduk miskin Kabupaten/Kota di Sulawesi Selatan yaitu:
Kepulauan Selayar:
𝜋(𝒙) = exp(0,0138 − 0,013𝑥 W )
1 + exp(0,0138 − 0,013𝑥 W )
Kabupaten Bulukumba:
𝜋(𝒙) = exp(0,013 − 0.0121𝑥 W )
1 + exp(0,013 − 0,0121𝑥 W ) ⋮
Kota Palopo:
𝜋(𝒙) = exp(0,0121 − 0,0111𝑥 W )
1 + exp(0,0121 − 0,0111𝑥 W ) model transformasi logitnya yaitu: Kepulauan Selayar:
𝑔(𝒙) = ln A 𝜋(𝒙)
1 − 𝜋(𝒙) C =  0.0138 − 0.013𝑥 W
Kabupaten Bulukumba: 𝑔(𝒙) = ln I `(𝒙) "#`(𝒙) J =  0.013 − 0.0121𝑥 W
Kabupaten Bantaeng:
𝑔(𝒙) = ln A 𝜋(𝒙)
1 − 𝜋(𝒙) C =  0.0131 − 0.0122𝑥 W
⋮
Kota Palopo:
𝑔(𝒙) = ln A 𝜋(𝒙) 1 − 𝜋(𝒙) C =  0.0121 − 0.0111𝑥 W
Berdasarkan model logit tersebut, salah satu contoh item model GWLR di Kepulauan Selayar yang mempunyai probabilitas masuk kategori wilayah yang bermasalah terhadap kemiskinan apabila terjadi peningkatan terhadap persentase rumah tangga yang memiliki sumber  penerangan  bukan  listrik.  Artinya,  apabila  terjadi  kenaikan  1  persen  terhadap persentase  rumah  tangga  yang  memiliki  sumber  penerangan  bukan  listrik (𝑥 W ) dapat mengakibatkan resiko meningkatnya persentase penduduk miskin yang ada di Kepulauan Selayar sebesar 1.013 atau 1 kali. Begitupula untuk wilayah-wilayah yang ada di Sulawesi Selatan  jika  terjadi  peningkatan  persentase  rumah  tangga  yang  memiliki  sumber penerangan  bukan  listrik  maka  akan  mempengaruhi  peningkatan  persentase  penduduk miskin di wilayah tersebut.

## 3.5 Pemilihan Model Terbaik
Salah satu kriteria yang digunakan untuk menentukan model terbaik antara model GWLR dan model GWLR dengan metode ridge adalah dengan melihat nilai MSE. Model terbaik  adalah  model  yang  memiliki  nilai  MSE  paling  kecil.  Nilai  MSE  GWLR  dan GWLR dengan metode ridge dapat dilihat pada Tabel 4.
Tabel 4. Nilai MSE GWLR dan AIC GWLR dengan metode Ridge Model MSE GWLR metode ridge 707,77 GWLR 715,88 Berdasarkan  Tabel  4  dapat  diketahui  bahwa  model  GWLR  dengan  metode ridge mempunyai nilai MSE yang kecil dibandingkan model GWLR yang tidak menggunakan metode ridge .  Sehingga  model  GWLR  dengan  metode ridge lebih  baik  dibandingkan model  GWLR.  Artinya,  setelah  ditambahkan  metode ridge kedalam  model  GWLR, multikolinieritas telah teratasi dengan metode ridge sehingga model yang dihasilkan lebih baik dibandingkan dengan model GWLR sebelum diatasi masalah multikolinieritas.

## Pemodelan Geographically Weighted Logistic Regression dengan Metode Ridge

## 4. Kesimpulan
Kesimpulan  dari  hasil  dan  pembahasan  adalah  bentuk  model Geographically Weigthed Logistic Regression dengan metode ridge menghasilkan model yang berbeda- beda  yang  terdiri  dari  24  model  untuk  setiap  kabupaten/kota  di  Sulawesi  Selatan, Kemudian uji signifikansi parameter yang dilakukan adalah pengujian serentak dengan menggunakan uji rasio likelihood dan pengujian parsial dengan menggunakan uji Wald. Hasil  dari  pengujian  adalah  variabel  yang  berpengaruh  secara  signifikan  pada  model GWLR  dengan  metode ridge pada  umumnya  hanya  ada  satu  variabel  yang  signifikan yaitu variabel 𝑥 W (persentase rumah tangga memiliki sumber penerangan bukan listrik) untuk seluruh Kabupaten/Kota yang ada di Sulawesi Selatan sehingga terbentuk model di masing-masing wilayah. Berikut adalah model yang terbentuk pada wilayah Makassar yang menjadi salah satu item dari model GWLR dengan metode ridge:
𝜋(𝒙) = exp(0,0134 − 0,0125𝑥 W )
1 + exp(0,0134 − 0,0125𝑥 W )

## Daftar Pustaka
[1]  Badan  Pusat  Statistik. Data  dan  Informasi  Kemiskinan  Sulawesi  Selatan  Tahun 2017. Makassar: BPS. 2017.
[2]  Shara,Y. Pemodelan  Geographically  Weighted  Regression  Dengan  Pembobot Fixed  Bisquare  Kernel  Pada  Data  Spasial  (Studi  Kasus  Balita  Gizi  Buruk  di Provinsi Jawa Timur Tahun 2008). Malang: Universitas Brawijaya. 2012.
[3]  Fitriyaningsih,  I.,  &  Sutikno. Geographically  Weighted  Lasso  dan  PCA  untuk mengatasi multikolinieritas data spasial (Studi kasus: Perumahan Pondok Indah Jakartas Selatan). Surabaya: Institut Teknologi Sepuluh Nopember. 2015.
[4]  Pradita. Geographically  Weighted  Logistic  Regression  dan  Aplikasinya  (Studi Kasus:  IPM  di  Provinsi  Jawa  Timur). Surabaya:  Institut  Teknolni  Sepuluh Nopember. 2011.
[5]  Yan, X., & Su, X. G. inier Regression Analysis: Theory and Computing. Singapore: World Scientific. 2009.
[6]  Mar’ah,  &  Zakiyah. Pemodelan  Regresi  Terboboti  Geografis  Semiparametrik Dengan  Model  Linier  Koregionalisasi. Bogor:  Sekolah  Pascasarjana,  Institut Pertanian Bogor. 2017.
[7]  Anselin, L. Spatial Econometrics. Dalls: School of Social Science. 2009.

## Pemodelan Geographically Weighted Logistic Regression dengan Metode Ridge
Reski Amalah, Andi Kresna Jaya, dan Nasrah Sirajang
[8]  Fotheringham,  A.,  Brundson,  C.,  dan  Charlthon,  M. Geographically  Weighted Regression:  The  Analysis  of  Spatially  Varying  Relationships. New  York:  John Wiley and Sons. 2002.
[9]  Pravitasary,  Hajarisman,  dan  Sunendiari. Pemodelan  Faktor-faktor  yang Berpengaruh  Terhadap  Angka  Buta  Huruf  di  Provinsi  Jawa  Barat  dengan Geographically  Weighted  Logistic  Regression. Bandung:  Universitas  Islam Bandung. 2015.