Jurnal Matematika, Sains, dan Pembelajarannya
Vol.10, No.2, Juli 2024, pp. 344~350
DOI:10.31605/saintifik.v10i2.483
ISSN 2622-8904 (online)
Analisis Model Matematika Penyebaran Penyakit HIV/AIDS dengan Koinfeksi TB
Abraham *1 , Agustinus Langowuyo 2 1,2 Jurusan Matematika Universitas Cenderawasih Email: m1cb_buper@yahoo.co.id

## Abstrak
Human  Immunodificiency  Virus  (HIV)  merupakan  virus  penyebab  penyakit  Acquired Immunodeficiency  Syndrome  (AIDS).  Virus  ini  mengakibatkan  turunnya  fungsi  kekebalan  tubuh  manusia. Belum ditemukannya obat untuk menyembuhkan penyakit ini mengakibatkan setiap penderita hanya diberikan terapi  pengobatan  yang  bertujuan  untuk  memperlambat  perkembangbiakan  virus  dalam  tubuh  penderita. Salah  satu  cara  pengobatan  yang  dapat  dilakukan  bagi  penderita  penyakit  HIV/AIDS  adalah  dengan melakukan  terapi  pengobatan  yang  dinamakan  sebagai  terapi  ARV.  Terapi  ARV  dapat  membantu memperlambat  perkembangan  virus  yang  menyebar  di  dalam  tubuh.  Meski  belum  mampu  menyembuhkan secara  menyeluruh,  namun  terapi  ARV  mampu  menurunkan angka  kematian, kesakitan, dan  meningkatkan kualitas hidup Orang Dengan HIV/AIDS (ODHA). Ada berbagai penyakit yang dapat menyerang penderita HIV, salah satunya adalah Tubercolosis (TB). Oleh karena itu ketika ada TB di daerah endemik HIV maka sangat mungkin terjadi infeksi bersama antara HIV dan TB. Pemodelan matematika merupakan salah satu ilmu terapan dalam bidang matematika yang sering digunakan untuk mencari solusi dalam berbagai kasus pada  beberapa  bidang  ilmu.  Dalam  p enelitian  ini  akan  dibahas  kasus  adanya  infeksi  bersama  antara HIV/AIDS dengan TB, dengan membentuk model matematika penyebaran penyakit HIV/AIDS dan koinfeksi penyakit  TB  dan  menganalisis  titik  kestabilitan  model  dan  dampak  penyakit  TB  di  daerah  endemik  HIV. Berdasarkan  hasil  analisis  model  yang  diperoleh  dua  titik  kesetimbangan  yaitu  titik  kesetimbangan  non endemik 𝐸 dan  titik  kesetimbangan  endemik 𝐸 1 .  Titik  kesetimbangan  non  endemik  akan  stabil  secara asimptotik jika ambang batas 𝑅 0 < 1 dan titik kesetimbangan endemik akan cenderung stabil tanpa gejala jika nilai ambang batas 𝑅 0 > 1 .
Kata Kunci— Pemodelan Matematika, HIV/AIDS, Tuberkolosis, Infeksi Bersama.

## 1. PENDAHULUAN
Human  Immunodeficiency  Virus (HIV)  merupakan  retrovirus  yang  menjangkiti  sel-sel  kekebalan  tubuh manusia (terutama CD4 positive T-sel dan macrophages -komponen-komponen utama sistem kekebalan sel), dan  menghancurkan  atau  mengganggu  fungsinya.  Infeksi  ini  mengakibatkan  terjadinya  penurunan  sistem kekebalan  yang terus menerus,  yang  akan mengakibatkan  defisiansi  kekebalan tubuh.  Sedangkan Acquired Immunodeficiency  Syndrome (AIDS)  menggambarkan  berbagai  gejala  dan  infeksi  yang  terkait  dengan menurunnya  sistem  kekebalan  tubuh.  Sistem  dianggap  defisien  ketika  sistem  tersebut  tidak  dapat  lagi menjalankan fungsinya memerangi infeksi dan penyakit-penyakit. Orang yang kekebalan tubuhnya defisien ( immunodeficient )  menjadi  lebih  rentan  terhadap  berbagai  ragam  infeksi,  yang  sebagian  besar  jarang menjangkiti  orang  yang  tidak  mengalami  defisiensi  kekebalan.  HIV/AIDS  merupakan  salah  satu  masalah kesehatan masyarakat yang memerlukan perhatian khusus, hal ini dapat dilihat dari tingginya jumlah kasus HIV/AIDS yang tiap tahunnya meningkat tanpa diimbangi dengan pertumbuhan populasi yang terjadi.
HIV yang menginfeksi sel CD4 akan berkembang biak. Tahapan perkembangan HIV di dalam tubuh manusia  dibagi  dalam  empat  tahap,  yaitu:  periode  jendela,  tanpa  gejala,  muncul  gejala,  dan  AIDS. Perkembangan HIV ini dapat dihambat dengan memakai terapi antiretroviral (ART), yaitu mengkonsumsi obat antiretroviral  (ARV)  dengan  tepat  waktu  dan  terus-menerus  untuk  menurunkan  jumlah  virus  dalam  darah hingga virus tidak terdeteksi. Pada umumnya, terapi antiretroviral diawali dengan mengkonsumsi satu jenis ARV (monoterapi). Hal ini dilakukan oleh individu yang terinfeksi HIV dan belum terjangkit AIDS. Kadar
obat dalam darah mempengaruhi keberhasilan terapi. Artinya jika kadar obat dalam darah terlalu rendah maka virus dapat resistan (kebal), akibatnya terapi akan gagal. Jika terapi dengan satu jenis ARV gagal, maka terapi bisa  dilanjutkan  dengan  menggunakan  kombinasi  tiga  ARV.  Terapi  dengan  kombinasi  tiga  ARV  dibagi menjadi dua, yaitu terapi lini pertama dan terapi lini kedua. Manfaat yang diperoleh dari memakai ART, antara lain: menghambat perkembangan HIV, meningkatkan jumlah sel CD4, menekan (mengurangi) jumlah virus dalam darah, dan memulihkan kondisi fisik sehingga orang dengan HIV/AIDS (ODHA) merasa lebih baik Dengan melihat proses penularan virus HIV yang saat ini, masih lebih dominan terhadap kelompok usia produktif yaitu dengan pola perilaku yang berisiko seperti seks bebas yang tidak aman dan penggunaan narkoba  melalui  jarum  suntik,  dengan  hubungan  seksual  (baik  heteroseksual  maupun  homoseksual)  sangat mendominasi yaitu mencapai 60%. Sedangkan melalui jarum suntik sekitar 30%, dan sebagian kecil lainnya yang  tertular  melalui  proses  ibu  dan  anak  (kehamilan)  dan  transfusi  darah.  Di  Indonesia,  kecenderungan penularan infeksi HIV di seluruh provinsi prioritas hampir sama. Sejak Tahun 1987 sampai dengan Desember 2017,  HIV/AIDS  sudah  tersebar  di  421  dari  514  kabupaten/kota  diseluruh  provinsi  yang  ada  di  Indonesia dengan  jumlah  manusia  yang  terinfeksi  HIV  sebanyak  280.623  orang  dan  jumlah  manusia  yang  terjangkit AIDS sebanyak 102.667 orang (Kemenkes, 2018). Penularan HIV saat ini sudah terjadi lebih awal, di mana kelompok usia produktif (15-29 tahun) banyak dilaporkan telah terinfeksi dan menderita AIDS
Pada bidang kesehatan, model matematika dapat digunakan untuk mengetahui bagaimana penyebaran suatu  penyakit  menular  maupun  tidak  menular.  Selain  itu  dapat  juga  digunakan  untuk  mengetahui  jumlah penderita suatu penyakit, baik yang berupa endemik maupun non-endemik. Model penyebaran penyakit yang bersifat  endemik  disebut  sebagai  model  epidemik.  Model  epidemik  SIR  dikenalkan  oleh  Kermack  dan McKendrick  pada  tahun  1927  dalam  buku  “ A  Contribution  to  The  Mathematical  Theory  of  Epidemics” (Castellini dan Romanelli, 2007).
Salah satu bentuk penerapan Persamaan Diferensial Nonlinear Penyakit HIV/AIDS dengan prediksi perkembangan  jumlah  penderita  yang  terinfeksi  dapat  dimodelkan  dengan  menggunakan  model  matematis epidemiologi  yaitu  model  Persamaan  Diferensial  nonlinear  berupa  SIR  ( Susceptibel,  Infectious  and Recovered ).

## 2. METODE PENELITIAN

## 2.1 Sistem Persamaan Diferensial Orde Satu
Sistem  persamaan  diferensial  adalah  sebuah  sistem  yang  di  dalamnya  memuat 𝑛 buah  persamaan diferensial,  dengan 𝑛 buah  fungsi  yang  tidak  diketahui,  dimana 𝑛 ≥ 2, 𝑛 ∈ ℤ .  Adapun  bentuk  umum  dari sistem persamaan diferensial orde satu diberikan oleh definisi berikut.
𝑥̇ 1 = 𝑓 1 (𝑥 1 , 𝑥 2 , ⋯ , 𝑥 𝑛 ) 𝑥̇ 2 = 𝑓 2 (𝑥 1 , 𝑥 2 , ⋯ , 𝑥 𝑛 ) ⋮ (2.1)
𝑥̇ 𝑛 = 𝑓 𝑛 (𝑥 1 , 𝑥 2 , ⋯ , 𝑥 𝑛 )
dengan 𝑓 𝑖 : 𝐸 ⊆ ℝ 𝑛 → ℝ 𝑛 , 𝑥̇ 𝑖 = 𝑑𝑥 𝑖 𝑑𝑡 , 𝑖 = 1,2, … , 𝑛 ,  dan  ( 𝑥 1 , 𝑥 2 , ⋯ 𝑥 𝑛 ) ∈ 𝐸 .  Kemudian  diberikan  syarat  awal 𝑥 𝑖 (𝑡 0 ) = 𝑥 𝑖0 , 𝑖 = 1, 2, ⋯ , 𝑛. Persamaan-persamaan dalam (2.1) dapat ditulis menjadi
𝒙̇ = 𝒇(𝒙) (2.2)
dengan 𝒙 = (𝑥 1 , 𝑥 2 , ⋯ , 𝑥 𝑛 ) ∈ 𝐸 ⊆ ℝ 𝑛 , 𝒇 = (𝑓 1 , 𝑓 2 , ⋯ , 𝑓 𝑛 ) 𝑇 , 𝒙̇ = (𝑥 1 ̇ , 𝑥 2 ̇ , ⋯ 𝑥 𝑛 ̇ ) 𝑇 ,  dan  syarat  awal 𝒙(𝑡 𝑜 ) = (𝑥 10 , 𝑥 20 , ⋯ , 𝑥 𝑛0 ) = 𝒙 𝟎 . Sistem  Persamaan (2.2) disebut  sistem  persamaan  diferensial 𝑎𝑢𝑡𝑜𝑛𝑜𝑚𝑜𝑢𝑠 karena  variabel  untuk waktu 𝑡 tidak muncul secara eksplisit. Selanjutnya jika 𝑓 1 , 𝑓 2 , ⋯ , 𝑓 𝑛 masing-masing linear dalam 𝑥 1 , 𝑥 2 , ⋯ , 𝑥 𝑛 maka persamaan-persamaan dalam (2.1) disebut sistem persamaan diferensial linear, dan dapat ditulis dalam bentuk
𝑥 1 ̇ = 𝑎 11 𝑥 1 + 𝑎 12 𝑥 2 + ⋯ + 𝑎 1𝑛 𝑥 𝑛 𝑥 2 ̇ = 𝑎 21 𝑥 1 + 𝑎 22 𝑥 2 + ⋯ + 𝑎 2𝑛 𝑥 𝑛
⋮ (2.3) 𝑥 𝑛 ̇ = 𝑎 ℎ1 𝑥 1 + 𝑎 ℎ2 𝑥 2 + ⋯ + 𝑎 ℎ𝑛 𝑥 𝑛 Persamaan-persamaan dalam (2.3) dinyatakan dalam bentuk 𝒙̇ = 𝑨𝒙 (2.4) Jika 𝑓 1 , 𝑓 2 , ⋯ , 𝑓 𝑛 masing-masing  tak  linear  dalam 𝑥 1 , 𝑥 2 , ⋯ , 𝑥 𝑛 maka  persamaan-persamaan  dalam (2.1) disebut sistem persamaan diferensial non linear.

## 2.2 Bilangan Reproduksi Dasar (Basic Reproduction Number)
Bilangan Reproduksi Dasar ( Basic Reproduction Number ) adalah jumlah rata-rata infeksi yang terjadi saat  satu  individu  yang  terinfeksi  masuk  ke  dalam  populasi Susceptible selama  periode  terinfeksi.  Untuk mengetahui  tingkat  penyebaran  suatu  penyakit  diperlukan  suatu  parameter  tertentu.  Parameter  yang  biasa digunakan adalah Basic Reproduction Number atau yang biasa dinotasikan dengan 𝑅 0 . Basic Reproduction Number didefinisikan  sebagai  bilangan  yang  menunjukkan  jumlah  individu  rentan  yang  dapat  menderita penyakit disebabkan oleh satu individu yang terinfeksi.
Kondisi yang akan timbul adalah satu diantara tiga kemungkinan berikut (Giesecke, 1994): a. Jika 𝑅 0 < 1 , maka penyakit akan berkurang atau menghilang dalam populasi. b. Jika 𝑅 0 = 1 , maka penyakit akan menetap dalam populasi. c. Jika 𝑅 0 > 1 , maka penyakit akan meningkat menjadi wabah dalam populasi.

## 2.3 Titik Equilibrium dan Kestabilan
Misal suatu persamaan diferensial dinyatakan sebagai berikut :
𝑑𝑥 𝑑𝑡 = 𝑥̇ = 𝑓(𝑥)
Titik equilibrium merupakan titik gerak dari vektor keadaan konstan. Maka titik equilibrium dari persamaan ini diperoleh dengan syarat 𝑑𝑥 𝑑𝑡 = 0 .
Kestabilan  suatu  titik equilibrium dapat  diperiksa  dari  akar-akar  karakteristik  atau  nilai  eigen  dengan menyelesaikan |𝜆𝐼 − 𝐴| = 0 dimana 𝐴 merupakan matriks dari sistem persamaan diferensial yang linear dan berukuran 𝑛 × 𝑛 .

## 3. HASIL DAN PEMBAHASAN

## 3.1 Pembentukan Model
Pada model epidemik SEIR, populasi dibagi menjadi empat kompartemen, yaitu Susceptible (S), Infected (I TB ),  Infected  (I H ),  dan  Infected  (I TH ).  Kemudian  S(t)  menyatakan  banyaknya  individu  rentan  terhadap penyakit pada saat t, I TB (t) menyatakan banyaknya individu yang telah terinfeksi penyakit Tubercolosis (TB) pada  saat  t,  I H (t)  menyatakan  banyaknya  individu  yang  terinfeksi  penyakit  HIV/AIDS  pada  saat  t,  I TH (t) menyatakan banyaknya individu yang terinfeksi secara bersamaan antara HIV/AIDS dengan TB pada saat t, dan N(t) menyatakan total individu pada saat t. Selanjutnya S(t), I TB (t), I H (t), I TH (t), dan N(t) ditulis S, E, I, R, N.
Untuk  membentuk  model  epidemik SI TB I H I TH dengan  penambahan  parameter  pengobatan,  dibutuhkan pemahaman  mengenai  asumsi  dan  hubungan  antar  peubah  terkait  permasalahan  yang  dibahas.  Berikut merupakan  asumsi-asumsi  yang  dibuat  dalam  pembentukan model  epidemik SI TB I H I TH dengan  penambahan parameter pengobatan .
1. Populasi konstan, artinya 𝑁(𝑡) = 𝑆(𝑡) + 𝐸(𝑡) + 𝐼(𝑡) + 𝑅(𝑡) .
2. Individu yang lahir masuk dalam kompartemen S.
3. Individu yang terinfeksi kemungkinan akan sembuh dengan pengobatan atau secara alami. Jika tidak, maka akan mati secara alami atau karena sakit.
Model epidemik SI TB I H I TH dengan penambahan parameter pengobatan dapat dibentuk ke dalam Sistem Persamaan (4.1) sebagai berikut:
𝑑𝑆 𝑑𝑡 = 𝛼 − 𝛽𝑆𝐼 𝑁 − 𝜇𝑆 (3.1a)
𝑑𝐸 𝑑𝑡 = 𝛽𝑆𝐼 𝑁 − (𝜇 + 𝛿)𝐸
(3.1b) 𝑑𝐼 𝑑𝑡 = 𝛿𝐸 − (𝜇 + 𝑑 + 𝛾 + 𝑟)𝐼 (3.1c) 𝑑𝑅 𝑑𝑡 = (𝛾 + 𝑟)𝐼 − 𝜇𝑅 (3.1d)
dimana:
𝑑𝑆 𝑑𝑡 , 𝑑𝐸 𝑑𝑡 , 𝑑𝐼 𝑑𝑡 , 𝑑𝑅 𝑑𝑡 menyatakan laju perubahan jumlah individu pada tiap kompartemen per satuan waktu t .

## 3.2 Analisis Model
Berdasarkan model epidemik SI TB I H I TH dengan penambahan parameter pengobatan yang telah dibentuk, akan  dicari  titik equilibrium nya.  Titik equilibrium diperoleh  dengan  syarat  perlu  laju  perubahan  masing- masing kompartemen terhadap waktu (𝑡) sama dengan nol, sehingga Sistem Persamaan (3.1) dapat dibentuk menjadi:
𝛼 − 𝛽𝑆𝐼 𝑁 − 𝜇𝑆 = 0
(3.2a) 𝛽𝑆𝐼 𝑁 − (𝜇 + 𝛿)𝐸 = 0 (3.2b)
𝛿𝐸 − (𝜇 + 𝑑 + 𝛾 + 𝑟)𝐼 = 0
(3.2c)
(𝛾 + 𝑟)𝐼 − 𝜇𝑅 = 0
(3.2d)
Dari Persamaan (4.2c) diperoleh 𝛿𝐸 − (𝜇 + 𝑑 + 𝛾 + 𝑟)𝐼 = 0 𝛿𝐸 = (𝜇 + 𝑑 + 𝛾 + 𝑟)𝐼
𝐸 = (𝜇+𝑑+𝛾+𝑟) 𝛿 𝐼 (3.3)
Substitusi Persamaan (4.3) ke Persamaan (4.2b), diperoleh
𝛽𝑆𝐼 𝑁 − (𝜇 + 𝛿) (𝜇 + 𝑑 + 𝛾 + 𝑟) 𝛿 𝐼 = 0 𝐼 ( 𝛽𝑆 𝑁 − (𝜇 + 𝛿) (𝜇+𝑑+𝛾+𝑟) 𝛿 ) = 0 (4.4)
Dari Persamaan (4.4), diperoleh 𝐼 ∗ = 0 atau 𝛽𝑆 𝑁 − (𝜇 + 𝛿) (𝜇 + 𝑑 + 𝛾 + 𝑟) 𝛿 = 0 𝛽𝑆
𝑁 = (𝜇 + 𝛿) (𝜇 + 𝑑 + 𝛾 + 𝑟)
𝛿
𝑆 ∗∗ = (𝜇 + 𝛿)(𝜇 + 𝑑 + 𝛾 + 𝑟)𝑁 𝛿𝛽 dimana: 𝐼 ∗ = kompartemen I untuk titik equilibrium non-endemik. 𝑆 ∗∗ = kompartemen S untuk titik equilibrium endemik.
Berdasarkan 𝐼 ∗ dan 𝑆 ∗∗ yang telah diperoleh, selanjutnya akan ditentukan titik equilibrium nya. Untuk 𝐼 ∗ = 0 Dari 𝐼 ∗ = 0 ,  selanjutnya  diperoleh 𝑆 ∗ , 𝐸 ∗ ,  dan 𝑅 ∗ dengan  mensubstitusikan 𝐼 ∗ ke  Persamaan  (3.2a), (4.3), dan (4.2d).
α − 𝛽𝑆𝐼 𝑁 − 𝜇𝑆 = 0 ⇔ α − 𝛽𝑆(0) 𝑁 − 𝜇𝑆 = 0 α − 𝜇𝑆 = 0 𝑆 ∗ = α 𝜇 𝐸 = (𝜇+𝑑+𝛾+𝑟) 𝛿 𝐼 ⇔ 𝐸 = (𝜇+𝑑+𝛾+𝑟) 𝛿 (0) 𝐸 ∗ = 0 (𝛾 + 𝑟)𝐼 − 𝜇𝑅 = 0 ⇔ (𝛾 + 𝑟)(0) − 𝜇𝑅 = 0
𝑅 ∗ = 0 Sehingga 𝑁 ∗ = 𝑆 ∗ + 𝐸 ∗ + 𝐼 ∗ + 𝑅 ∗
𝑁 ∗ = α 𝜇 + 0 + 0 + 0 = α 𝜇
Jadi  saat 𝐼 ∗ = 0 ,  diperoleh  titik equilibrium non-endemik,  yaitu  titik equilibrium saat  sistem  bebas penyakit, 𝐸 0 = (𝑆 ∗ , 𝐸 ∗ , 𝐼 ∗ , 𝑅 ∗ ) = ( 𝛼 𝜇 , 0,0,0) .
Untuk 𝑆 ∗∗ = (𝜇+𝛿)(𝜇+𝑑+𝛾+𝑟)𝑁 𝛿𝛽
Dari 𝑆 ∗∗ = (𝜇+𝛿)(𝜇+𝑑+𝛾+𝑟)𝑁 𝛿𝛽 ,  selanjutnya  diperoleh 𝐼 ∗∗ dengan  mensubstitusikan 𝑆 ∗∗ ke Persamaan (3.2a).
α − 𝛽𝑆𝐼 𝑁 − 𝜇𝑆 = 0
𝛽𝑆𝐼 𝑁 = α − 𝜇𝑆
𝐼 = (α − 𝜇𝑆)𝑁 𝛽𝑆 𝐼 ∗∗ = (α − 𝜇𝑁(𝜇 + 𝛿)(𝜇 + 𝑑 + 𝛾 + 𝑟)
𝛿𝛽 ) (𝜇 + 𝛿)(𝜇 + 𝑑 + 𝛾 + 𝑟) 𝛿 𝐸 ∗∗ diperoleh dengan mensubstitusikan 𝐼 ∗∗ ke Persamaan (3.3).
𝐸 = (𝜇 + 𝑑 + 𝛾 + 𝑟)
𝛿
𝐼
𝐸 = (𝜇 + 𝑑 + 𝛾 + 𝑟)
𝛿 (α − 𝜇𝑁(𝜇 + 𝛿)(𝜇 + 𝑑 + 𝛾 + 𝑟) 𝛿𝛽 ) (𝜇 + 𝛿)(𝜇 + 𝑑 + 𝛾 + 𝑟) 𝛿
𝐸 ∗∗ = (α − 𝜇𝑁(𝜇 + 𝛿)(𝜇 + 𝑑 + 𝛾 + 𝑟) 𝛿𝛽 )
(𝜇 + 𝛿) Selanjutnya, 𝑅 ∗∗ diperoleh dengan mensubstitusikan 𝐼 ∗∗ ke Persamaan (3.2d).
𝑅 = (𝛾 + 𝑟) 𝜇 𝐼 𝑅 ∗∗ = (𝛾 + 𝑟) (α − 𝜇𝑁(𝜇 + 𝛿)(𝜇 + 𝑑 + 𝛾 + 𝑟) 𝛿𝛽 )
𝜇 (𝜇 + 𝛿)(𝜇 + 𝑑 + 𝛾 + 𝑟)
𝛿
Jadi saat 𝐼 ≠ 0 , diperoleh titik equilibrium endemik, yaitu titik equilibrium saat sistem endemik. 𝐸 1 = (𝑆 ∗∗ , 𝐸 ∗∗ , 𝐼 ∗∗ , 𝑅 ∗∗ ) dengan
𝑆 ∗∗ = (𝜇+𝛿)(𝜇+𝑑+𝛾+𝑟)𝑁
𝛿𝛽 (3.5)
𝐸 ∗∗ = 𝛼𝛿𝛽−𝜇𝑁(𝜇+𝛿)(𝜇+𝑑+𝛾+𝑟) 𝛿𝛽(𝜇+𝛿) (3.6)
𝐼 ∗∗ = 𝛼𝛿𝛽−𝜇𝑁(𝜇+𝛿)(𝜇+𝑑+𝛾+𝑟) 𝛽(𝜇+𝛿)(𝜇+𝑑+𝛾+𝑟) (3.7)
𝑅 ∗∗ = (𝛾+𝑟)(𝛼𝛿𝛽−𝜇𝑁(𝜇+𝛿)(𝜇+𝑑+𝛾+𝑟)) 𝜇𝛽(𝜇+𝛿)(𝜇+𝑑+𝛾+𝑟) (3.8)
Sebelum melakukan analisis kestabilan titik equilibrium , perlu dibentuk matriks Jacobi dari Sistem Persamaan (4.1). Berikut merupakan perhitungan matriks Jacobi model epidemik Sehingga diperoleh matriks Jacobian
𝐽(𝑆, 𝐸, 𝐼, 𝑅) =
[ − 𝛽𝐼 𝑁 − 𝜇
0 𝛽𝐼 𝑁 −(𝜇 + 𝛿) 0 0 𝛿 0 − 𝛽𝑆 𝑁 0 𝛽𝑆 𝑁 0 −(𝜇 + 𝑑 + 𝛾 + 𝑟) (𝛾 + 𝑟) 0 −𝜇] (3.9)
Analisis kestabilan dapat dilakukan dengan cara melihat nilai eigen pada matriks 𝐽 𝐸 0 untuk titik-titik yang dianalisis.
Selanjutnya dengan mensubstitusi 𝐸 0 = (𝑆 ∗ , 𝐸 ∗ , 𝐼 ∗ , 𝑅 ∗ ) = ( α 𝜇 , 0,0,0) dengan 𝑁 ∗ = 𝑆 ∗ = α 𝜇 ke Persamaan (4.9), diperoleh matriks Jacobian
𝐽 𝐸 0 = [ −𝜇 0 0 −(𝜇 + 𝛿) 0 0 𝛿 0
−𝛽 0 𝛽 0 −(𝜇 + 𝑑 + 𝛾 + 𝑟) (𝛾 + 𝑟) 0 −𝜇 ] (3.10)
Persamaan karakteristik Sistem Persamaan (3.1) pada 𝐸 0 diperoleh dengan menghitung nilai eigen dari Persamaan (3.10).
det(𝜆𝐼 − 𝐽 𝐸 0 ) = 0 Titik equilibrium dikatakan stabil jika
𝑉 > 0, 𝑊𝑋−𝑌 𝑊 > 0, 𝑌 − 𝑊 2 𝑍 𝑊𝑋−𝑌 > 0, 𝑍 > 0 .
Maka titik equilibrium non-endemik 𝐸 0 stabil asimtotik jika
𝑊, 𝑍 > 0, 𝑋 > 𝑌 𝑊 , 𝑌 > 𝑊 2 𝑍 𝑊𝑋−𝑌 ,
dengan 𝑊 = (4𝜇 + 𝑑 + 𝛾 + 𝑟 + 𝛿) 𝑋 = (6𝜇 2 + 3𝜇(𝑑 + 𝛾 + 𝑟 + 𝛿) + 𝛿(𝑑 + 𝛾 + 𝑟 − 𝛽)) 𝑌 = (4𝜇 3 + 3𝜇 2 (𝑑 + 𝛾 + 𝑟 + 𝛿) + 2𝜇𝛿(𝑑 + 𝛾 + 𝑟 − 𝛽)) 𝑍 = (𝜇 4 + 𝜇 3 (𝑑 + 𝛾 + 𝑟 + 𝛿) + 𝜇 2 𝛿(𝑑 + 𝛾 + 𝑟 − 𝛽))
Basic Reproduction Number (𝑅 0 ) dengan penambahan parameter pengobatan diperoleh dengan menggunakan Next Generation Matrix . Kompartemen terinfeksi Sistem Persamaan (3.2) adalah 𝐼 . Menurut Driessche dan Watmough (2002), Sistem Persamaan (3.2) dapat dituliskan sebagai 𝑥̇ = 𝑓(𝑥) = 𝐹(𝑥) − 𝑉(𝑥)
= 𝐹(𝑥) − (𝑉 − (𝑥) − 𝑉 + (𝑥))
Basic Reproduction Number (𝑅 0 ) dengan penambahan parameter pengobatan adalah nilai eigen determinan ( radius spectral ) dari 𝐹𝑉 −1
𝐹𝑉 −1 = ( 0 𝛽 0 0 ) ( (𝜇 + 𝛿) 0 −𝛿 (𝜇 + 𝑑 + 𝛾 + 𝑟) ) −1 = ( 0 𝛽 0 0 ) 1 (𝜇 + 𝛿)(𝜇 + 𝑑 + 𝛾 + 𝑟) ( (𝜇 + 𝑑 + 𝛾 + 𝑟) 0 𝛿 (𝜇 + 𝛿) )
= ( 𝛿𝛽 (𝜇 + 𝛿)(𝜇 + 𝑑 + 𝛾 + 𝑟) 𝛽 (𝜇 + 𝑑 + 𝛾 + 𝑟) 0 0 )
Maka 𝑑𝑒𝑡(𝜆𝐼 − 𝐹𝑉 −1 ) = 0 𝜆 = 𝛿𝛽 (𝜇+𝛿)(𝜇+𝑑+𝛾+𝑟) atau 𝜆 = 0
Jadi,
𝑅 0 = 𝛿𝛽 (𝜇+𝛿)(𝜇+𝑑+𝛾+𝑟) . (3.17)
Jika 𝑅 0 > 1 ,  maka  penyakit  akan  meningkat  menjadi  wabah  dalam  populasi.  Kemudian  jika 𝑅 0 < 1 , maka penyakit akan berkurang atau menghilang dalam populasi. Sehingga dapat dikatakan bahwa pada saat 𝑅 0 < 1 , maka penyakit akan berkurang atau menghilang dan populasi akan menuju ke 𝑆 ∗ = ( 𝛼 𝜇 ) . Sedangkan jika 𝑅 0 > 1 , maka penyakit akan menyebar dan meningkat, sehingga populasi S akan berkurang (kurang dari 𝛼 𝜇 ).

## 4. KESIMPULAN
Pada model penyebaran penyakit HIV dengan koinfeksi TB didapatkan dua titik setimbang yaitu titik setimbang non endemik 𝐸 dan endemik 𝐸 ∗ . Titik setimbang non endemik 𝐸 = ( 𝑎 𝜇 , 0, 0,0) dan titik setimbang endemic 𝐸 ∗ Titik  setimbang  non  endemik  stabil  asimtotis  jika  memenuhi 𝑅 0 = 𝑚𝑎𝑘𝑠(𝑅 ℎ , 𝑅 𝑡 ) < 1 𝑑𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑅 ℎ = 𝛽𝑎 𝜇(𝜇+𝛾) 𝑑𝑎𝑛 𝑅 𝑡 = 𝑒𝜃𝑎 𝜇𝑘(𝛿+𝛾)
Sedangkan  dari  beberapa  studi  kasus,  titik  setimbang  endemic 𝐸 ∗ cenderung  stabil  asimtotis  jika memenuhi 𝑅 0 = 𝑚𝑎𝑘𝑠(𝑅 ℎ , 𝑅 𝑡 ) > 1 𝑑𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑅 ℎ = 𝛽𝑎 𝜇(𝜇+𝛾) 𝑑𝑎𝑛 𝑅 𝑡 = 𝑒𝜃𝑎 𝜇𝑘(𝛿+𝛾)
Hasil  simulasi  model  penyebaran  penyakit  HIV  dengan  koinfeksi  TB  menunjukkan  bahwa  ada kecenderungan penyakit HIV/AIDS berhubungan, ini dapat dilihat dengan meningkatnya risiko penyakit TB, hal ini disebabkan oleh lemahnya imunitas tubuh penderita HIV/AIDS sehingga penyakit  TB mudah untuk menyerang.  Penderita  HIV/AIDS  yang  terkena  infeksi  TB  menyumbangkan  lebih  banyak  basil Mycrobacterium  Tuberculosis  di  lingkungan  dibandingkan  individu  yang  terinfeksi  TB  saja.  Oleh  karena jumlah  basil  Mycrobacterium  Tuberculosis  di  lingkungan  yang  bertambah,  penderita  TB  di  lingkungan tersebut juga cenderung bertambah.

## DAFTAR PUSTAKA
Abraham, Tandiangnga T. Pemodelan Matematika Penyebaran Penyakit HIV-AIDS Dengan Pengaruh Terapi Pada Populasi tertutup. Prosiding LPPM Universitas Cenderawasih. 2020;(265-273).
Blower SM, Hartel D, et al, 1991. Drugs, Sex and HIV: a mathematical model for New York City . Phil Trans R. Soc Lond B 321, 171-187.
Braunm M, 1983. Differential Equations and Their Applications. New York., U.S.A,: Springer Verlag.
Boyce, W.E. Diprima, R. 1997. Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems. John Wiley and Sons, Inc. Singapore.
Chaharborj,  S.S,  et  al.,  2010. Behavior  Stability  in  Two  SIR-Style  Models  for  HIV .  Int.  Journal  of  Math Analysis. 4(9): 427-434.
Daniel Maxin. And Fabio Augusto Milner, 2007. The Effect of Nonreproductive Groups on Persistent Sexually Transmitted Diseases . J. Math. Biosc and Engin, Vol 4, Number 3.
KPAN,2009. Komisi Penanggulangan AIDS Nasional (KPAN). 2009, Data Kasus HIV dan AIDS Indonesia. http//www.aids-ina.org.
McKendrik AG, 1926. Application of Mathematics to Medical Problems . Proc. Math. Soc. Endinburgh 44: 98 – 130.
Meyer, W. J., 1987. Concepts Of Mathematical Modelling , McGraw-Hill International Editions, New York.