## Strategi Pembuktian Matematis Mahasiswa Pada Soal Geometri

## Sofyan Mahfudy
Tadris Matematika, Universitas Islam Negeri (UIN) Mataram, sofyan_mahfudy@uinmataram.ac.id

## INFO ARTIKEL
ABSTRAK Riwayat Artikel: Diterima: 07-09-2017 Disetujui: 25-10-2017 Abstrak: Penelitian  kualitatif  ini  bertujuan  untuk  mengungkap  strategi  yang digunakan  mahasiswa  dalam  melakukan  pembuktian  soal  Geometri.  Subjek  dalam penelitian  ini  adalah  mahasiswa  yang  telah  menempuh  mata  kuliah  Geometri. Pengumpulan data dilakukan dengan menggunakan metode tes dan wawancara. Hasil penelitian  menunjukkan  bahwa  strategi  pembuktian  pada  soal  Geometri  dengan  tipe pembuktian  sintaksis  ( syntactic  proof  production)  antara  lain  adalah  dengan mengidentifikasi  dan  memanipulasi  pernyataan  atau  informasi  dalam  soal, menterjemahkan  informasi  dalam  soal,  memilih  teorema  atau  dalil  yang  relevan, menggunakan  simbol  atau notasi  matematika  yang  formal  dalam  melakukan  tahapan pembuktian,  menggunakan  bantuan  sketsa,  dan  menarik  kesimpulan  dari  setiap pernyataan yang telah didapatkan. Sementara strategi pembuktian pada soal Geometri dengan  tipe  pembuktian  semantik  ( semantic  proof  production)  antara  lain  adalah dengan menggunakan intuisinya untuk membuat asumsi, dugaan atau perkiraan yang dianggap benar dan melakukan penalaran atas asumsi yang dibuat dan menggunakan sketsa untuk membantu memudahkan pembuktian.
Abstract:  This qualitative research aims to reveal the strategies that used by students in doing the proof of Geometry. The subjects in this study are students who have taken courses of Geometry. Data is collected through test and interview . The research shows that  the  strategy  of  proof  of  geometry  with  syntactic  proof  production  type  are identifying and manipulating the statement or information in the question, translating the  information  in  the  question,  choosing  the  relevant  theorem,  using  formal mathematical  symbol  or  notation  in  conducting  the  proof  stage,  using  a  sketch, and making  a  conclusions  from  every  statement  that  has  been  obtained.  The  strategy  of proof  of  geometry  with  semantic  proof  production  are  using  his  intuition  to  make assumptions, guesses or estimates that are considered correct and reasoning and using sketches to help facilitate proof. Kata Kunci:
Strategi,
Pembuktian, Geometri

## ——————————  ——————————

## A. LATAR BELAKANG
Geometri  merupakan  cabang  matematika  yang membahas secara mendalam konsep-konsep aksioma dasar, definisi, dan teorema atau dalil yang berkaitan dengan  segment  garis  dan  sudut,  kekongruenan segitiga,  ketegaklurusan  dan  kesejajaran  dalam bidang, kesebangunan segitiga, lingkaran, dan tempat kedudukan  pada  bidang  dan  ruang.  Setiap  teorema, dalil,  dan  pernyataan  matematis  dalam  Geometri memerlukan  suatu  bukti  yang  diperoleh  melalui proses  pembuktian.  Pembuktian  ini  merupakan langkah  untuk  menunjukkan  suatu  pernyataan Geometri valid atau tidak (benar atau salah) sehingga kebenarannya dapat diterima secara umum ( general ). Oleh karenanya, kemampuan dalam menyusun bukti
matematis  sangat  diperlukan  mahasiswa  pada  mata kuliah ini.
Pembuktian matematis memegang peranan yang sangat  penting  dalam  bidang  matematika  maupun dalam  bidang  pendidikan  matematika.  Bukti merupakan inti dari berpikir matematis dan bernalar deduktif (Healy & Hoyles dalam Cheng & Lin , 2009). Seseorang  tidak  dapat  mempelajari  matematika tanpa  belajar  bukti  matematis  dan  bagaimana membuatnya  (Balacheff,  2010).  Bahkan,  bukti dianggap  sebagai  hal  yang  sangat  penting (fundamental)  dalam  melakukan  dan  mengetahui matematika.  Bukti  adalah  sebagai  dasar  dalam pemahaman matematika dan hal yang sangat penting bagi  pengembangan,  pembentukan,  dan  komunikasi pengetahuan matematika (Stylianides, 2007).
Penyusunan  bukti  matematis  tidak  hanya bermanfaat  untuk  menunjukkan  kebenaran  suatu pernyataan atau ekspresi matematika (Kogce, Aydin, & Yildiz, 2010). Lebih lanjut penyusunan suatu bukti matematis memiliki beberapa tujuan bagi mahasiswa antara  lain  penjelasan  ( explanation ),  sistemisasi ( systemization ), komunikasi ( communication ), penemuan hasil yang baru  ( discovery of new results ), justifikasi/pembenaran  sebuah  definisi  ( justification of  a  definition ),  mengembangkan  intuisi  ( developing intuition ),  dan  menyediakan  kemandirian  ( providing autonomy ) (Weber, 2003).
Seorang mahasiswa matematika atau pendidikan matematika  (tadris  matematika)  dituntut  untuk memiliki kemampuan membuktikan suatu pernyataan  matematis  dengan  baik.  Para  ahli  telah bersepakat  pentingnya  mahasiswa  mengembangkan kemampuan yang dibutuhkan dalam menyusun suatu bukti  (Blanton,  Stylianou,  &  David,  2003). Kemampuan ini menjadi penting karena tidak hanya berfungsi  untuk  melatih  kemampuan  berpikir mahasiswa,  namun  untuk  mengetahui  alur  berpikir matematika  dan  lebih  jauh  lagi  untuk  ikut mengembangkan matematika sebagai sebuah disiplin ilmu. Apalagi, seorang mahasiswa tadris matematika nantinya  akan  menjadi  seorang  guru  yang  mengajar pada  disiplin  ilmu  matematika  dengan  memberikan pondasi  berpikir  logis  dan  rasional  kepada  murid- muridnya,  sehingga  kemampuan  dalam  pembuktian matematis adalah sebuah keniscayaan bagi mereka.
Kenyataannya  menunjukkan  bahwa  kemampuan mahasiswa  dalam  membuktikan  sebuah  pernyataan matematis  belum  sepenuhnya  baik.  Beberapa penelitian menunjukkan bahwa mahasiswa mengalami  kesulitan  dalam  menyusun  bukti matematis  (Epp,  2003).  Penelitian  yang  lain  juga menunjukkan  bahwa  bukti  matematis  merupakan salah  satu  konsep  matematika  yang  sulit  bagi mahasiswa  baik  untuk  mempelajari  maupun menyusunnya (Pfeiffer, 2011).
Hal  tersebut  di  atas  juga  didukung  dengan pengalaman  peneliti  pada  saat  mengampu  mata kuliah  Geometri  pada  program  studi  tadris matematika  di  fakultas  tarbiyah  dan  keguruan  UIN Mataram.  Mahasiswa  seringkali  tidak  tuntas  dalam menyusun bukti matematis pada persoalan Geometri yang  dapat  dilihat  dari  hasil  tes  baik  kuis,  ujian tengah  semester,  maupun  ujian  akhir  semeseter. Observasi  awal  menunjukkan  bahwa  kebanyakan mahasiswa  salah  dalam  menerapkan  suatu  definisi
atau  aksioma  serta  tidak  runtut  dalam  menyusun pembuktian. Mahasiswa juga lemah dalam memberikan  alasan  logis  ( reasoning )  pada  setiap tahapan  pembuktian  suatu  dalil,  teorema,  atau pernyataan yang lain.
Dengan  melihat  permasalahan  di  atas,  maka peneliti  tertarik  untuk  melihat  sejauh  mana  strategi yang  dilakukan  mahasiswa  dalam  melakukan pembuktian  matematis  pada  persoalan  geometri. Penelitian  ini  akan  menganalisis  secara  kualitatif strategi pembuktian matematis mahasiswa pada soal Geometri  mahasiswa  tadris  matematika  pada  saat melakukan proses pembuktian tersebut.

## B. METODE PENELITIAN
Penelitian  ini  menggunakan  deskriptif  kualitatif yang  berupaya  untuk  mendeskripsikan  strategi pembuktian  matematis  yang  dilakukan  mahasiswa pada  soal  Geometri.  Dikatakan  penelitian  deskriptif karena  peneliti  melakukan  analisis  hanya  sampai pada  taraf  deskripsi,  yaitu  menganalisis  dan menyajikan  fakta  secara  sistematik  (Azwar,  2007). Tempat  penelitian  adalah  di  lingkup  program  studi tadris  matematika  UIN  Mataram  dengan  waktu penelitian  dari  bulan  Juli  sampai  dengan  Agustus 2017. Sementara subjek dalam penelitian ini adalah 1 (satu)  orang  mahasiswa  semester  IV  program  studi tadris  matematika  UIN  Mataram  yang  telah menempuh mata kuliah Geometri.
Instrumen  dalam  penelitian  ini  adalah  peneliti sendiri  sebagai  instrumen  utama,  soal  tes  geometri, dan pedoman wawancara ( interview ). Instrumen soal tes  terdiri  dari  4  (empat)  butir  soal  geometri  yang diadopsi  dari  buku  geometri  karya  Alexander  & Koeberlein  (2015)  yang  kemudian  dikembangkan oleh peneliti dan divalidasi oleh ahli yang menekuni bidang  matematika  murni.  Instrumen  tes  berfungsi untuk  mengetahui  strategi  pembuktian  yang dilakukan  mahasiswa  pada  soal  geometri.  Pokok bahasan  yang  dipilih  adalah  kesebangunan, kekongruenan,  dan  kesejajaran.  Alasan  pemilihan pokok bahasan tersebut karena banyak diaplikasikan pada level sekolah, sehingga sebagai calon guru harus menguasai  dengan  baik  konsep  pokok  bahasan tersebut. Instrumen lainnya adalah berupa pedoman wawancara  yang  berfungsi  sebagai  panduan  untuk melakukan  wawancara  terhadap  subjek  penelitian. Wawancara  bertujuan  untuk  menggali  informasi lebih  lebih  dalam  tentang  strategi  pembuktian  yang dilakukan mahasiswa pada soal Geometri.
Analisis data yang digunakan dalam penelitian ini adalah analisis deskriptif kualitatif dengan menggunakan  model  Milles  dan  Hubberman  yang terdiri  dari  reduksi  data,  penyajian  data,  verifikasi dan  pengambilan  keputusan  (Moleong,  2012). Peneliti  memberikan  soal  geometri  kepada  subjek penelitian kemudian mengkategorikan jenis pembuktian berdasarkan kerangka kerja ( framework ) yang  dikembangkan  oleh  Weber  (2004).  Kerangka kerja tersebut menjelaskan proses mahasiswa dalam mengkonstruksi  bukti  matematis  berdasar  hasil penelitian Weber (2004) terhadap 9 mahasiswa pada mata  kuliah  Aljabar  Abstrak  dan  6  mahasiswa  di mata kuliah Analisis Riil.
Peneliti mengadopsi kerangka kerja Weber (2004) tersebut karena kerangka kerja ini ditawarkan untuk menjelaskan  bagaimana  proses  pembuktian  pada mahasiswa.  Oleh  karenanya  peneliti  berasumsi bahwa kerangka kerja tersebut cocok jika diterapkan untuk  melihat  bagaimana  proses  pembuktian mahasiswa  pada  soal  Geometri. Berdasarkan kerangka  kerja  Weber  (2004),  proses  mahasiswa dalam  menyusun  bukti  matematis  terbagi  menjadi tiga  yaitu  a)  pembuktian  secara  prosedural ( procedural proof production ),  b)  pembuktian  secara sintaksis  ( syntactic  proof  production ),  dan  c) pembuktian  secara  semantic  ( semantic  proof production ).  Deskripsi  singkat  masing-masing sebagai berikut:
TABEL 1

## DESKRIPSI PROSES PUNYUSUNAN BUKTI MATEMATIS
Tipe penyusunan bukti Deskripsi Pembuktian secara prosedural
( procedural proof production ) Mahasiswa mencoba untuk mengkons-truksi  bukti  dengan menerapkan  suatu  prosedur  atau menetapkan  beberapa  langkah- langkah  tertentu  yang  dia  yakini akan  dapat  menghasilkan  bukti yang  benar  (valid).  Mungkin  saja prosedur  yang  diberikan  sangat berarti  bagi  mahasiswa,  dengan kata  lain  mahasiswa  memahami mengapa  keberhasilan  penerapan prosedur/cara tersebut akan dapat menghasilkan argumen yang secara  logis  dapat  membentuk kebenaran  yang  diminta  untuk dibuktikan.
Pembuktian secara sintaksis ( syntactic proof production ) Mahasiswa mencoba untuk menuliskan  suatu  bukti  dengan memanipulasi  definisi  dan  fakta lain yang relevan dan benar dengan cara  yang  logis.  Dalam  literatur pendidikan matematika, tipe
pembuktian  ini  juga  disebut dengan deduktif formal murni. Pembuktian secara semantic ( semantic proof production ) Mencoba untuk memahami mengapa pernyataan tersebut benar dengan memeriksa representasinya (misalnya
diagram)  dari  objek  matematika yang  relevan  dan  kemudian menggunakan  argument  intuitif sebagai  dasar  untuk  membangun bukti  formal.  Dalam  literatur pendidikan matematika, pembuktian  semantik  juga  disebut dengan  dengan  pembuktian  yang mengikuti berpikir intuitif.
Data  hasil  tes  dan  hasil  wawancara  akan dilakukan  verifikasi  yang  berupa  pembandingan sebagai  upaya  mengetahui  validitas  atau  keabsahan data  yang  selanjutnya  akan  dideskripsikan  secara kualitatif.  Langkah  terakhir  adalah  membuat kesimpulan  dari  deskripsi  beradasarkan  jawaban soal tes dan hasil wawancara kedua subjek penelitian tersebut.

## C. HASIL DAN PEMBAHASAN
Tabel 2  berikut  menyatakan  soal  geometri  yang digunakan untuk mengidentifikasi srategi pembuktian matematis mahasiswa.

## TABEL 2 SOAL GEOMETRI
No. Deskripsi Soal
1. Pada gambar berikut, jika diketahui titik C adalah titik tengah ̅̅̅̅ dan ̅̅̅̅ , maka buktikan bahwa ̅̅̅̅ sejajar dengan ̅̅̅̅ .
2. Pada  gambar  di  bawah  ini,  jika ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ dan ̅̅̅̅
adalah garis bagi
, maka buktikan bahwa ̅̅̅̅ juga  merupakan  garis  tinggi  dan  sekaligus  garis berat segitiga ABC.
3. Diketahui segi  empat ABCD sembarang. Jika titik P,  Q,  R,  dan  S  berturut-turut  adalah  titik  tengah sisi ̅̅̅̅ , ̅̅̅̅ , ̅̅̅̅ ,  dan ̅̅̅̅ ,  maka  buktikan  bahwa bangun PQRS adalah berupa jajar genjang.
A B C D E A C B D
4. Garis tengah sebuah setengah lingkaran berimpit dengan  alas ̅̅̅̅ dari  segitiga  ABC.  Titik  sudut  C bergerak sedemikian hingga sehingga titik tengah sisi ̅̅̅̅ selalu  terletak  pada  setengah  lingkaran yang  diketahui.  Buktikan  bahwa  himpunan tempat  kedudukan  titik  C  adalah  setengah lingkaran.

## 1. Hasil Pembuktian pada Soal Tes
Berikut  adalah  hasil  pembuktian  yang  dilakukan subjek  pada  masing-masing  soal  Geometri  beserta analisisnya:
a. Pembuktian pada soal nomor 1
Gambar 1. Hasil Pembuktian Subjek pada Soal No. 1
Berdasarkan  Gambar  1  subjek  memulai pembuktian  dengan  apa  yang  diketahui  soal,  yaitu titik  C  merupakan  titik  tengah  ruas ̅̅̅̅ dan ̅̅̅̅ . Akibat dari pernyataan tersebut juga dapat dituliskan dengan benar oleh subjek, yaitu ̅̅̅̅ kongruen dengan ̅̅̅̅ dan ̅̅̅̅ kongruen dengan ̅̅̅̅ . Subjek juga berhasil mengidentifikasi  informasi  lain  dalam  soal  yaitu kongruen  dengan sebagai  akibat  dari posisi kedua sudut yang saling tolak belakang.
Selanjutnya terlihat pada hasil tes bahwa subjek berhasil menggunakan teorema Sisi, Sudut, Sisi ( Side, Angle, Side ) untuk menunjukkan bahwa segitiga CAB dan CDE kongruen.  Ini  menunjukkan  bahwa  subjek melakukan pengaitan apa yang diketahui dalam soal dengan teorema yang sesuai.
Dalam penyelesaian soal nomor 1 terlihat subjek menggunakan  pendekatan  deduktif,  yang  artinya sebuah pernyataan benar dibangun oleh pernyataan- pernyataan  lain  (premis)  yang  benar.  Penyelesaian juga dilakukan secara runtut dan logis dimana setiap pernyataan disertai dengan argumentasi atau alasan logisnya. Dalam memberikan alasan logis, subjek juga menggunakan  teorema  atau  dalil  mana  yang  sesuai. Terlihat subjek memahami sebuah dalil atau teorema
tertentu  dan  memilih  teorema  yang  relevan  dengan tahapan pembuktian yang dilakukannya.
b. Pembuktian pada soal nomor 2
Gambar 2. Hasil Pembuktian Subjek pada Soal No. 2
Dalam  menyelesaikan  soal  no.  2  subjek  mampu mengidentifikasi  informasi  dalam  soal.  Informai tersebut  dapat  diterjemahkan  dengan  yang  antara lain  notasi ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ dan  pengertian ̅̅̅̅ adalah  garis bagi .  Dengan  bekal  informasi  tersebut, mahasiswa mampu
menyusun prosedur penyelesaian  dengan  menggunakan  apa  yang diketahui dalam soal.
Meskipun  secara  garis  besar  subjek  berhasil membuktikan  soal  ini,  tetapi  terdapat  beberapa kesalahan.  Kesalahan  tersebut  adalah  pernyataan bahwa  ruas ̅̅̅̅ adalah  garis  tinggi  dari  segitiga ABC dengan  alasan  bahwa  jarak  titik A ke  titik D adalah paling dekat jika dibandingkan jarak titik A ke titik B dan C .  Subjek  mendasarkan  ini  pada  informasi  pada gambar semata.
c. Pembuktian pada soal nomor 3
Gambar 3. Hasil Pembuktian Subjek pada Soal No. 3
Dalam  menjawab  soal  nomor  3,  subjek memulainya dengan membuat sketsa atau visualisasi dari apa yang diketahui di soal. Bangun yang diambil subjek  sebagai  contoh  adalah  persegi  panjang, meskipun  dalam  soal  ini  bangun  yang  dimaksud adalah segi empat sembarang. Langkah-langkah yang dilakukan  subjek  dalam  menyelesaikan  soal  adalah valid  berdasarkan  asumsi  yang  subjek  bangun. Langkah dengan mengambil salah satu contoh adalah termasuk ke dalam strategi pembuktian induktif.
d. Pembuktian pada soal nomor 4
Dari  hasil  penyelesaian  subjek  nampak  bahwa subjek  dapat  mengidentifikasi  apa  yang  diketahui dalam soal nomor 4. Subjek menetapkan pembuktian yang  digunakan  untuk  menyelsaikan  soal  tersebut adalah  pembuktian  tidak  langsung  yaitu  dengan kontradiksi.
Akan tetapi pada langkah penyelesaiannya subjek tidak menggunakan pengandaian/permisalan.  Jadi  subjek  merencakan penyelesaian  soal  ini  dengan  kontradiksi,  tetapi penyelesaiannya  tidak  menggunakan  prosedur  yang benar.  Subjek  juga  menunjukkan  ketidaktepatan dalam penggunaan sifat transitif.  Sifat transitif tidak dapat diterapkan dalam hubungan yang menggunakan tanda tidak sama dengan ( ).

## 2. Hasil Wawancara
Tujuan  diadakannya  wawancara  adalah  untuk mengidentifikasi strategi pembuktian yang dilakukan mahasiswa.  Berikut  adalah  hasil  wawancara  dengan ketiga subjek tersebut.
a. Hasil Wawancara subjek pada soal No. 1 Hasil  wawancara  menunjukkan  bahwa  subjek melakukan  pembuktian  dengan  memahami  soal, mencari  informasi  penting  dalam  soal,  mencari apa yang ditanyakan soal, dan menyusun prosedur pembuktian  dengan  mengaitkan  apa  yang diketahui.  Prosedur  tersebut  diyakini  benar  oleh subjek.  Subjek  juga  dapat  memilih  dali/teorema atau  fakta  tentang  konsep  yang  relevan.  Petikan wawancara  yang  menunjukkan  hal  tersebut adalah sebagai berikut:
P  : Untuk  soal  nomor  1,  dapatkah  Anda  jelaskan langkah atau prosedur untuk menyelesaikannya? S : Saya berusaha memahami soal itu dulu, dengan memahami soal, maka saya akan tahu apa yang diketahui dari soal itu dan apa yang harus kita buktikan.  Dari  informasi  yang  ada  tersebut, maka  kita  akan  mendapatkan  jalan  apa  yang akan kita buktikan. Misalnya yang saya ingat itu, dari soal nomor 1 itu, C adalah titik tengah garis BE dan AD kan. Berarti C ini memotong garis BE dan  AD  menjadi  dua  bagian  yang  sama  besar. Jadi kita akan tahu dua bagian dari segitiga ini yang kongruen. Selanjutnya dari gambar ini kita ketahui ada dua sudut yang bertolak  belakang, dimana  dua  sudut  yang  bertolak  belakang  itu merupakan dua sudut yang kongruen. Sehingga kita  peroleh  dua  bagian  dari  soal  ini  Pak,  dua bagian  dari  segitiga  yang  kongruen.  Nah, kemudian,  eee…ntar  dulu.  Dan  di  sini  Pak,  ini
saya  salah  tulis  Pak.  Yang  nomor  5  mestinya saya  tulis  di  nomor  4.  Baru  dua  bagian  kan. Sedangkan  untuk  membuktikan  dua  segitiga kongruen itu kan da Sisi, Sisi, Sisi, pokoknya ada tiga  bagian  yang  harus  kita  cari,  dia  kongruen atau ndak. Sudut BCA kan kongruen dengan DCE, nah  sedangkan  sudut  BCA  ini  menghadap  ke yang  ini,  garis  BA  sama  yang  sudut  DCE menghadap  garis  DE  sehingga  seperti  yang pernah  saya  baca,  jika  sisi  suatu  segitiga kongruen maka sudut di hadapan kedua sisi itu adalah  kongruen.  Makanya  di  sini  alasannya kongruen  kan  Pak,  jadinya  kedua  segitiga  ini kongruen.  Karena  dia  kongruen,  dan  ini  dia sama, maka dapat kita sebut ini garis BA dan DE ini sejajar. Soalnya alasannya itu jika dua garis dipotong  oleh  suatu  transversal,  sedemikian hingga sehingga kedua sudut dalam berseberangannya kongruen, maka kedua garis itu sejajar.
P  : Lalu  mengapa  mengapa  Anda  menggunakan dalil ini? Mengapa bukan dalil yang lain?
S  : Soalnya  sudah  ketemu  bagian-bagiannya  yang kongruen,  nah  karena  dua  segitiga  ini  dia kongruen,  dari  informasi  itu  bisa  kita  buktikan bahwa dia sejajar
b. Hasil Wawancara subjek pada soal No. 2
Dari  hasil  wawancara  menunjukkan  bahwa subjek mengidentifikasi unsur-unsur, definisi, dan istilah  yang  diketahui  dalam  soal  dan menterjemahkan  pengertian  dalam  informasi tersebut  untuk  membantu  menyusun  bukti. Petikan  wawancara  yang  menunjukkan  hal tersebut adalah sebagai berikut:
P  : Untuk  nomor  2,  bagaimana  Anda  memulai pembuktian?
S  : Di sini kan ada segitiga, nah di segitiga itu ada garis  yang  membagi  sudut  BAC  itu,  dibagi  oleh garis  AD.  Nah  disini  permintaan  soal  itu,  disini garis  AD  itu  kita  harus  buktikan  bahwa  AD  itu adalah garis berat dan garis tinggi dari segitiga ABC.  Nah  disini  kita  sudah  ketemu  informasi bahwa  garis  AB  kongruen  dengan  AC.  Berarti dia  sama  kan.  Nah  terus  kan  sudah  diketahui. Nah berarti kan disini ada sudut BAC, dipotong oleh garis AD, sudutnya kan yang dipotong kan. Sudut  yang  dipotong  ini  menjadi  sudut  yang ukurannya itu sama kan Pak.
c. Hasil Wawancara subjek pada soal No. 3
Hasil  wawancara  menunjukkan  bahwa  subjek memilih  segi  empat  berupa  persegi  panjang sebagai sketsa bangun yang mewakili soal karena menganggap  mudah  ketika  proses  pembuktian. Tentunya alasan ini adalah alasan yang tidak logis. Petikan  wawancara  yang  menunjukkan  hal tersebut adalah sebagai berikut:
P : Mengapa yang Anda pilih persegi panjang?
S : Karena lebih mudah sih Pak, bisa sih sebenarnya segi  empat  sembarang,  kan  nanti  akan membentuk  4  persegi.  Baru  nanti  di  dalamnya jajar  genjangnya.  Sama  sih  Pak,  cuman  lebih mudah dengan persegi panjang.
d. Hasil Wawancara subjek pada soal No. 4 Hasil  wawancara  menunjukkan  bahwa  subjek membuktikan  dengan  membuat  asumsi-asumsi, dugaan, atau perkiraan berdasar informasi dalam soal. Asumsi tersebut dianggap benar oleh subjek. Petikan  wawancara  yang  menunjukkan  hal tersebut adalah sebagai berikut:
P : Apa yang Anda ketahui dari soal ini?
S : Yang saya ketahui itu, segitiganya itu menempel pada  diameter  setengah  lingkaran.  Nah  disini ada  garis  AC  itu,  apa  namanya  itu  titik tengahnya,  sehingga  memotong  garis  AC menjadi dua sama besar kan. Saya permisalkan titik  potongkan  itu  di  D.  berarti  nanti membentuk dua segitiga, itu menurut saya Pah,, he..  (tertawa).  Lalu  saya  akan  buktikan  dua segitiga  ini  kongruen,  kalo  sudah  kongruen maka  berapapun  banyaknya,  hee…ini  menurut saya  Pak  (tertawa),  berapapun  banyaknya  kita bikin  asalkan  kongruen,  misalnya  ini  dua segitiga  yang  kongruen,  nanti  kita  bikin  lagi, seperti ini bentuknya, di sini, di sini, di sini.
P : Apa alasannya Anda menyebut BD garis bagi?
S  : Kan…  saya  permisalkan  Pak..  menurut  saya maksud saya, ee…(ber henti menjawab)
P : Apakah hanya perkiraan saja?
S : Iya Pak, perkiraan. Soalnya kan bisa kita bentuk permisalan  di  sini,  sehingga  nanti  sudutnya  itu bisa dia pecah kan, nah nanti di sini karena dia diketahui  ini  sudah  kongruen,  kan  ini  titik tengah  dia  bilang  kan  Pak,  berarti  ini  dia kongruen,  nah  karena  di  sini  dia  berimpit, berarti dia kongruen, trus di sini sudutnya.  Nah jadinya Sisi, Sisi, Sudut jadinya.

## 3. Hasil Analisis
Berdasarkan hasil pembuktian soal  tes dan hasil wawancara, maka dapat dikategorikan tipe pembuktian pada masing-masing soal. Pengkategorian ini mengacu pada kriteria atau deskripsi tipe penyusunan yang pada artikel  ini  dipaparkan  pada  Tabel  1  di  atas.  Tabel  3 berikut  ini  menyatakan  kategori  pembuktian  yang dilakukan oleh subjek.

## TABEL 3

## TIPE PEMBUKTIAN OLEH SUBJEK PADA MASING- MASING SOAL
Nomor Soal Tipe Proses Pembuktian yang digunakan Soal 1 Pembuktian secara sintaksis ( syntactic proof production )
Soal 2
Pembuktian secara sintaksis ( syntactic proof production )
Soal 3 Pembuktian secara sintaksis ( syntactic proof production ) Soal 4 Pembuktian secara semantic ( semantic proof production )
Dengan membandingkan data hasil analisis pada soal  tes  dan  wawancara  subjek,  maka  diperoleh strategi  pembuktian  pada  jenis  pembuktian  secara sintaksis ( syntactic proof production ) dan pembuktian  secara  semantik  ( semantic  proof production ) sebagaimana dalam tabel 4 berikut ini.
TABEL 4

## STRATEGI PEMBUKTIAN YANG DILAKUKAN SUBJEK
Tipe Proses Pembuktian Strategi Pembuktian Sintaksis - Mengidentifikasi dan memanipulasi pernyataan atau informasi dalam soal
- Menterjemahkan informasi dalam soal
- Memilih dalil dan fakta-fakta yang terkait atau relevan
- Menggunakan simbol dan notasi matematika yang formal dalam melakukan tahapan pembuktian
- Menggunakan  bantuan  sketsa  dalam penyelesaian
- Menarik kesimpulan dari setiap pernyataan yang telah didapatkan Semantic - Menggunakan intuisinya (berupa
dugaan/ perkiraan/perasaan atau feeling ) bahwa langkah  yang digunakan benar dan melakukan penalaran. Dalam hal  ini  menunjukkan  titik  C  selalu berada dalam setengah lingkaran.
- Membuat  sketsa  untuk  memudahkan analisis.
Dari  hasil  paparan  dan  analisis  dapat  diperoleh informasi  bahwa  tipe  prosedur  pembuktian  yang dilakukan  mahasiswa  pada  materi  Geometri  pokok bahasan kesebangunan, kekongruenan, dan
kesejajaran  adalah  dengan  prosedur  pembuktian sintaksis  ( syntactic  proof  production )  dan  prosedur pembuktian  semantik  ( semantic  proof  production ). Sementara  prosedur  pembuktian  secara  prosedural ( procedural proof production ) tidak digunakan dalam pembuktian.
Jika  mengacu  pada  pendapat  Weber  (2004), pembuktian secara prosedural memiliki karakteristik subjek mencoba untuk mengkonstruksi bukti dengan menerapkan  suatu  prosedur  atau  menetapkan beberapa  langkah-langkah  tertentu  yang  dia  yakini akan  dapat  menghasilkan  bukti  yang  valid  (benar), tetapi tidak memahami arti dari pembuktian tersebut. Kecenderungannya  adalah  meniru  apa  yang dicontohkan  oleh  dosen  atau  dalam  buku.  Contoh pembuktian  prosedural  adalah  ketika  mahasiswa menggunakan induksi matematika untuk membuktikan.  Dimulai  dengan  mengambil  nilai ,  mengasumsikan  benar  untuk ,  dan  benar untuk .  Tetapi  kebanyakan  mahasiswa tidak  memaknai  pembuktian  induksi  tersebut (Weber,  2004).  Oleh  karenanya  pada  soal-soal Geometri kurang memungkinkan mahasiswa menggunakan  pembuktian  prosedural  karena  soal pembuktian  dalam  Geometri  tidak  memiliki  langkah pembuktian  yang  tetap,  yang  ajeg,  atau  jelas prosedurnya.  Melainkan  bisa  dibuktikan  dengan banyak pendekatan.
Berikut  adalah  pembahasan  strategi  pembuktian pada masing-masing prosedur pembuktian berdasarkan data dan analisis  yang diperoleh dalam penelitian ini:
a. Strategi Pembuktian pada Prosedur Pembuktian Sintaksis ( syntactic proof
production )
Prosedur  pembuktian  sintaksis  merupakan prosedur pembuktian dimana seseorang menuliskan bukti  dengan  hanya  memanipulasi  pernyataan  dari definisi  yang  benar  ( valid )  dan  juga  fakta-fakta  lain yang  relevan  dengan  cara  yang  diperbolehkan  atau dibenarkan  oleh  logika  (Weber  &  Alcock,  2004).  Di dalam  litetarur  pendidikan  matematika,  pembuktian secara  sintaksis  lebih  dikenal  sebagai  dengan pembuktian  deduktif  formal  murni  (Weber,  2004). Selain  berangkat  dari  definisi,  pembuktian  sintaksis juga  menggunakan  simbol-simbol  matematika  yang formal.
Dalam  Geometri  sendiri  setiap  objek  geometri memiliki  definisi  yang  jelas,  kecuali  unsur-unsur pangkal  seperti  titik,  garis,  dan  ruang  yang memang
tidak  didefinisikan.  Oleh  karenanya  pembuktian secara  sintaksis  merupakan  prosedur  pembuktian yang  banyak  digunakan  oleh  mahasiswa.  Meskipun dalam  pembuktian  ini  mengharuskan  mahasiswa untuk  memahami  sebuah  definisi  dengan  baik, sehingga mampu menggunakan dengan baik definisi tersebut pada berbagai masalah/soal.
Dalam  penelitian  ini  diperoleh  informasi  bahwa ada  beberapa  strategi  mahasiswa  dalam  melakukan pembuktian secara sintaksis. Strategi tersebut antara lain  adalah:  a)  mengidentifikasi  dan  memanipulasi pernyataan  atau  informasi  dalam  soal,  b) menterjemahkan  bagian  informasi  dalam  soal,  c) memilih teorema atau dalil yang terkait atau relevan, d) menggunakan simbol dan notasi matematika yang formal  dalam  melakukan  tahapan  pembuktian,  e) menggunakan  bantuan  sketsa  dalam  penyelesaian, dan  f)  menarik  kesimpulan  dari  setiap  pernyataan yang telah didapatkan.
Strategi  mengidentifikasi  dan  memanipulasi pernyataan  atau  informasi  dalam  soal  merupakan strategi  dimana  mahasiswa  melakukan  analisis terhadap  pernyataan  atau  informasi  yang  diberikan. Mengidentifikasi  dan  memanipulasi  berkaitan dengan  kemampuan  memahami  pernyataan  atau informasi  tersebut  kemudian  menjabarkannya sebagai tahapan untuk membuktikan. Mengidentifikasi  dan  memanipulasi  informasi  akan berkaitan  dengan  langkah  apa  yang  diambil selanjutnya dalam tahapan pembuktian. Jika strategi ini  tidak  dimiliki  mahasiswa,  maka  tentunya  akan menghambat proses pembuktian.
Strategi menterjemahkan bagian informasi dalam soal  merupakan  strategi  dimana  mahasiswa mendiskripsiskan dan menjabarkan informasi dalam bentuk  lain  yang  mudah  dipahami.  Jika  informasi dalam bentuk notasi atau simbol formal matematika, maka mahasiswa menjabarkannya dalam bentuk lain sehingga  memperjelas  maksud  dari  informasi tersebut. Sebagai contoh dalam penelitian ini adalah hasil  wawancara  yaitu:  “… Nah berarti kan disini ada sudut BAC, dipotong oleh garis ̅̅̅̅ , sudutnya kan yang dipotong kan.  Sudut  yang  dipotong  ini  menjadi  sudut yang  ukurannya  itu  sama  kan  Pak …”.  Subjek menterjemahkan  bahwa ̅̅̅̅ sebagai  garis  bagi sehingga  menghasilkan  dua  sudut  yang  kongruen atau  sama.  hanya  saja  mengatakan  “sudutnya dipotong oleh ̅̅̅̅ ”.
Strategi  memilih  teorema  atau  dalil  yang  terkait atau relevan merupakan strategi dimana mahasiswa
memilih secara tepat teorema, dalil, lemma atau yang lainnya  yang  relevan  dengan  apa  yang  akan dibuktikan.  Memilih  dan  menggunakan  dalil  atau teorema  yang  tepat  berkaitan  erat  dengan  sejauh mana  mahasiswa  memahami  dalil  atau  teorema tertentu.  Pemahaman  yang  baik  terhadap  sebuah dalil  atau  teorema  akan  memudahkan  mahasiswa dalam  memilih  dan  mengaplikasikannya  dalam tahapan  pembuktian.  Dalil  atau  teorema  dalam Geometri  sangat  banyak,  sehingga  mahasiswa  harus memahaminya, tidak dengan cara menghafalkannya.
Strategi  menggunakan  simbol  dan  notasi matematika  yang  formal  dalam  melakukan  tahapan pembuktian. Strategi ini berkaitan dengan penggunaan  simbol-simbol  dan  notasi-notasi  yang formal  dan  resmi.  Yaitu  notasi  matematika  yang dikenal  secara  luas  dan  menjadi  kesepakatan  di kalangan matematikawan dan pendidikan matematika. Dengan menggunakan simbol dan notasi yang  formal,  maka  akan  memudahkan  mahasiswa dalam  menyusun  bukti.  Ini  dikarenakan  simbol  dan notasi  formal  sudah  dikenal  dengan  baik  oleh mahasiswa  dan  penggunaannya  merupakan  ciri utama dari prosedur pembuktian sintaktis.
Strategi  menggunakan  bantuan  sketsa  dalam penyelesaian merupakan strategi dimana mahasiswa membuat sketsa atau model dari sebuah pernyataan, informasi,  fakta  yang  diberikan  dalam  soal pembuktian.  Kemampuan  ini  menjadi  penting  bagi mahasiswa  yang  melakukan  proses  pembuktian, sebab  dengan  bantuan  sketsa  dan  model  tersebut maka  akan  memudahkan  dalam  menyusun  langkah berikutnya.  Dengan  sketsa  dan  model,  mahasiswa lebih  mudah  dalam  menemukan  kaitan-kaitan  antar bagian  dalam  soal  dan  lebih  memudahkan  dalam analisis  karena  bentuk  yang  lebih  konkrit  dari pernyataan atau informasi tersebut.
Strategi  menarik  kesimpulan  dari  setiap pernyataan  yang  telah  didapatkan  merupakan suatu tahapan dimana mahasiswa menemukan pernyataan baru  sebagai  akibat  dari  konsekuensi  logis  dari kebenaran pernyataan sebelumnya. Kesimpulan yang diperoleh  tentu  saja  merupakan  pernyataan  baru yang  akan  mempermudah  upaya  pembuktian selanjutnya.
b. Strategi Pembuktian pada Prosedur Pembuktian Semantik ( semantic proof
production )
Prosedur  pembuktian  semantik  merupakan prosedur pembuktian ketika
seseorang menggunakan  langkah  yang  menghasilkan  contoh dari  objek  matematika  dimana  pernyataan  yang diterapkan bertujuan untuk menerka dan mengarahkan  kepada  kesimpulan  formal  (Weber  & Alcock,  2004).  Seseorang  melakukan  pembuktian semantic  jika  seseorang  menguji  kebenaran pernyataan  dengan  menggunakan  representasi tertentu,  misalnya:  diagram,  grafik,  atau  objek matematika  lain  yang  menurut  subjek  relevan dengan  pernyataan  tersebut.  Dalam  literatur pendidikan  matematika,  pembuktian  semantic mengacu  kepada  pembuktian  yang  mengikuti  alur berpikir intuitif.
Dalam  penelitian  ini  diperoleh  informasi  bahwa ada  beberapa  strategi  mahasiswa  dalam  melakukan pembuktian secara semantic. Strategi tersebut antara lain  adalah:  a)  menggunakan  intuisinya  dalam membuat asumsi atau dugaan yang mengarah kepada penyimpulan  dan  b)  membuat  sketsa  untuk memudahkan analisis.
Strategi menggunakan intuisinya dalam membuat asumsi  atau  dugaan  yang  mengarah  kepada penyimpulan  seperti  yang  diminta  buktikan  soal merupakan  strategi  dimana  mahasiswa  melakukan dugaan-dugaan  atau  perkiraan  berdasar  intuisi mereka.  Mahasiswa  menduga  dan  memperkirakan akibat  dari  sebuah  pernyataan  berdasarkan pemahaman  mereka  terhadap  pernyataan  atau informasi  yang  diberikan  tanpa  menggunakan konsep  atau  pendekatan  teori  yang  formal.  Setelah itu  mahasiswa  melakukan  penalaran  untuk menentukan  akibat  logis  dari  asumsi  atau  dugaan yang  dibuat  berdasarkan  intuisinya  dan  kemudian menghasilkan  kesimpulan.  Kesimpulan  ini  tentunya tidak didasarkan pada dalil atau teorema yang kuat. Hal ini mendukung pendpat Abdusaakir (2014) yang menyatakan pada strategi semantik proses membuat kesimpulan  dilakukan  secara  spontan  (hanya menebak)  yang  tidak  didasarkan  pada  koordinasi secara  formal  antara  komponen  struktur  kognitif yang dimiliki.
Strategi  membuat  sketsa  untuk  memudahkan analisis  merupakan  strategi  dimana  mahasiswa membuat  model  dari  informasi  dan  pernyataan dalam soal  sehingga  dapat  memudahkan melakukan analisis  untuk  menentukan  tahapan  pembuktian berikutnya. Dengan mensketsa objek yang merupakan  representasi soal,  mahasiswa  akan  lebih
mudah  untuk  membuktikan  soal.  Strategi  ini  juga dilakukan mahasiswa ketika melakukan pembuktian secara sintaksis.

## D. SIMPULAN DAN SARAN
Berdasarkan  hasil  penelitian  dan  pembahasan, diperoleh kesimpulan sebagai berikut:
1. Strategi  pembuktian  pada  soal  Geometri  dengan tipe  pembuktian  sintaksis  ( syntactic  proof production ) antara lain adalah dengan mengidentifikasi  dan  memanipulasi  pernyataan atau  informasi  dalam  soal,  menterjemahkan informasi  dalam soal,  memilih  teorema  atau  dalil yang  terkait  atau  relevan,  menggunakan  simbol atau  notasi  matematika  yang  formal  dalam melakukan  tahapan  pembuktian,  menggunakan bantuan  sketsa,  dan  menarik  kesimpulan  dari setiap pernyataan yang telah didapatkan.
2. Strategi  pembuktian  pada  soal  Geometri  dengan tipe  pembuktian  semantik  ( semantic  proof production ) antara lain adalah dengan menggunakan  intuisinya  untuk  membuat  asumsi, dugaan  atau  perkiraan  yang  dianggap  benar  dan melakukan penalaran atas asumsi yang dibuat dan menggunakan sketsa untuk membantu memudahkan pembuktian.
Saran  dari  penelitian  ini  adalah  perlu  adanya penelitian  lanjutan  yang  mengidentifikasi  kesulitan mahasiswa  dalam  melakukan  pembuktian  pada  soal Geometri  berdasar  tipe  pembuktian  menurut kerangka  kerja  pembuktian  menurut  Weber.  Perlu adanya  penelitian  yang  mengembangkan  perangkat pembelajaran yang dapat meningkatkan pemahaman mahasiswa  terhadap  konstruksi  suatu  pembuktian pada soal atau masalah Geometri.

## UCAPAN TERIMA KASIH
Ucapan  terimakasih  kepada  Pusat  Peneltian  dan Penerbitan (PPP) Lembaga
Penelitian dan Pengabdian  kepada  Masyarakat  (LP2M)  Universitas Islam  Negeri  (UIN)  Mataram  yang  memberikan kesempatan untuk mengakses dana hibah penelitian tahun  2017;  Kepala  Program  Studi  Tadris Matematika  Fakuktas  Tarbiyah  dan  Keguruan  (FTK) UIN  Mataram  yang  memberikan  izin  penelitian;  dan para  mahasiswa  program  studi  Tadris  Matematikan FTK UIN Mataram yang mendukung penelitian ini.

## REFERENSI
[1] Abdussakir.  (2014).  Proses  Berpikir  Mahasiswa dalam  Menyusun  Bukti  Matematis  dengan  Strategi Semantik. Jurnal Pendidikan Sains, 2(3), 132-140
[2] Alexander,  D.C,  Koeberlein,  G.M.  (2015). Elementary Geometry  for  College  Students  Sixth  Edition .  USA:
Cencage Learning.
[3] Azwar,  S.  (2007). Metode  Penelitian. Yogyakarta: Pustaka Pelajar.
[4] Balacheff, N. (2010). Bridging Knowing and Proving in Mathematics:  A  Didactical  Perspective.  Dalam Hanna,G. (eds). Explanation and Proof in Mathematics:
Philosophical and Educational Perspectives . New York:
Springer
[5] Blanton,  M.,  Stylianou,  D.  dan  David,  M.  (2010).  The Nature of scaffolding in Undergraduate Transition to Formal Proof. Dalam Pateman, N. (eds). Proceedings of the 27th Conference of the International Group for the Psychology  of  Mathematics  Education ,  2,  113-120,
Honolulu, HI
[6] Cheng,  Ying-Hao  &  Lin,  Fou-Lai.  (2009).  Developing Learning  Strategies  for  Enhancing  Below  Average Students’ Ability in Constructing Multi -Step Geometry Proof.  Dalam  Lin,  Fou-Lai  (eds). Proceeding  of  The ICMI  Study  19  Conference:  Proof  and  Proving  in Mathematics  Education ,  Vol.  1.  Taipei:  The Department of Mathematics, National Taiwan Normal University
[7] Epp, S.S. (2003). The Role of Logic in Teaching Proof.
The  American  Mathematical  Monthly ,  110(10):886- 899.  Pernyataan  yang  sama  juga  disampaikan  oleh Weber,  K.  2001.  Student  Difficulty  in  Constructing Proof: The Need for Strategic Knowledge. Educational Studies in Mathematics, 48(1), 101-109
[8] Kogce, D., Aydin, M. & Yildiz. (2010). C. The Views of High School Student about Proof and Their Levels of Proof (The Case of Trabzon). Procedia Social and
Behavioral Sciences , 2, 2544-2549,
[9] Moleong, L. J. (2012). Metodologi penelitian kualitatif . Bandung: Remaja Rosdakaya.
[10] Pfeiffer,  K.  (2011).  Features  and  Purposes  of Mathematical  Proofs  in  the  View  of  Novice  Student: Observation  from  Proof  Validation  and  Evaluation Performances. PhD  Dissertation  (unpublished)  of School  of  Mathematic,  Statistics  and  Applied Mathematics. Galway: National University of Ireland.
[11] Stylianides,  A.  (2007).  The  Notion  of  Proof  in  The Context  of  Elementary  School  Mathematics. Educational Studies in Mathematics , 65(1), 1-20
[12] Weber,  K.  (2003). Students’  difficulties  with  proof . MAA  Online:  Research  Sampler,  diakses  di https://www.maa.org/programs/faculty-and- departments/curriculum-department-guidelines- recommendations/teaching-and-learning/research- sampler-8-students-difficulties-with-proof
[13] Weber,  K.  (2004).  A  Framework  for  Describing  the Processes  that  Undergraduates  Use  to  Construct Proofs. Proceeding  of  The  28th  Conference  of International Group for the Psychology of Mathematics Education , 4, 425-432
[14] Weber, K. & Alcock, L. (2004). Semantic and Syntactic
Proof Productions. Educational Studies in Mathematics, 56, 209 – 234.