Solusi Persamaan Schrodinger dengan Potensial Scraf II Hyperbolic menggunakan Pendekatan Semiklasik Vol. 04 No.01 2022 E-ISSN: 2685-6921 Universitas Ma’arif Nahdlatul Ulama Kebumen

## Solusi Persamaan Schrodinger dengan Potensial Scraf II Hyperbolic menggunakan Pendekatan Semiklasik
Ahmad Aftah Syukron a , dan Isnaini Lilis Elviyanti b
a,b Universitas Ma’arif Nahdlatul Ulama Kebumen, Indonesia
dfata.aftah@gmail.com

## Abstrak
Sistem  partikel  yang  tidak  dibolehkan  berada  dalam  daerah  sistem  klasik diaplikasikan pada persamaan Schrodinger. Sistem partikel tersebut dipengaruhi oleh potensial Scraf II Hyperbolic. Solusi penyelesaian persamaan Schrodinger dengan potensial Scraff II Hyperbolic menggunakan pendekatan semiklasik yaitu menggunakan  pendekatan  WKB.  Pendekatan  WKB  digunakan  untuk memperoleh persamaan spektrum energi yang dipengaruhi oleh potensial Scraf II Hyperbolic.
Kata  kunci:  Persamaan  Schrodinger,  potensial  Scraf  II  Hyperbolic,  Pendekatan WKB

## Abstract
The particle system is affected by the Scraf II Hyperbolic potential. The solution for solving the Schrodinger equation with the Scraff II Hyperbolic potential uses a semiclassical approach, namely using the WKB approach. The WKB approach is used to obtain an equation for the energy spectrum that is affected by the Scraf II Hyperbolic potential.
Keywords : The Schrodinger equation, Hyperbolic Scraf II  potential, WKB approach

## 1. Pendahuluan
Persamaan Schrodinger merupakan persamaan yang digunakan untuk menjelaskan sifat atau  keadaan  suatu  partikel  melalui  spektrum  energi  dan  fungsi  gelombang.  Persamaan Schrodinger menjelaskan partikel dalam kondisi non-relativistik (Suparmi, 2011). Sistem partikel yang dipengaruhi suatu potensial seperti Scraf Hyperbolic (Deta et al, 2014), Hulten (Elviyanti et al, 2018), cotangen hyperbolic (Elviyanti, 2017., Elviyanti, 2020), hyperbolic Scraff I (Suparmi et  al,  2016),  Scraff  trigonometric  (Widiyanto  et  al,  2017.,  Pratiwi,  et  al,  2016),  Coloumb (Dianawati et al, 2017), dan lain sebagainya dapat diselesaikan dengan metode dalam mekanika kuantum.  Dalam  mekanika  kuantum  persamaan  Schrodinger  dapat  diselesaikan  menggunakan metode Hipergeometri (Nurhayati et al, 2012., Elviyanti et al, 2017), Nikiforov-Uvarof (Deta et al, 2014., Elviyanti et al, 2020), Asymtotic Iteration Method (Pratiwi et al, 2016, Elviyanti et al, 2018),  dan SUSY (Suparmi  dkk,  2016).  Sementara,  apabila  suatu  partikel  dalam  keadaan dipengaruhi  oleh  medan  dengan  energi  dan  potensial  yang  berubah  secara  lambat  sehingga panjang  gelombang  terdefinisi  dengan  baik  pada  sekitar  sembarang  titik,  maka  persamaan Schrodinger diselesaikan dengan pendekatan semiklasik (Suparmi, 2011). Pendekatan semiklasik disebut dengan pendekatan WKB.
Solusi Persamaan Schrodinger dengan Potensial Scraf II Hyperbolic menggunakan Pendekatan Semiklasik Vol. 04 No.01 2022 E-ISSN: 2685-6921 Universitas Ma’arif Nahdlatul Ulama Kebumen
Pendekatan WKB (Wentzel, Kramer, dan Brillouin) merupakan pendekatan semiklasik yang sesuai untuk partikel yang tidak berada di daerah partikel bersifat klasik. Dengan istilah lain, pendekatan  WKB  sesuai  untuk  sistem  partikel  yang  dipengaruhi  oleh  medan  dengan  energi potensial  yang  berubah  secara  lambat  dalam  rentang  beberapa  Panjang  gelombang  dan  untuk kondisi  energi  kinetik  yang  kurang  dari  energi  potensial  (E<V)  (Suparmi,  2011).  Fungsi pendekatan  WKB  yaitu  untuk  menentuan  koefisien  transimi  sistem  partikel  yang  menerobos potensial tanggul, dimana potensial tanggul yang lebar seperti medan emisi elektron pada logam dan penetrasi medan Coloumb dari nukleus partikel yang bermuatan positif. Selain untuk sistem kuantum satu dimensi, Pedekatan WKB dapat juga untuk sistem kuantum tiga dimensi yang dapat diuraikan dalam beberapa sistem kuantum satu dimensi. permisalan untuk sistem kuantum tiga dimensi  yaitu  berbentuk  bola  simetris  yang  diterapkan  pada  persamaan  Schrodinger  sehingga sistem tersebut dapat diuraikan menjadi persamaan differensial bagian radial dan sudut. Bagian persamaan differensial tersebut dianggap sebagai persamaan differensial untuk sistem kuantum satu  dimensi.  Ada  beberapa  potensial  yang  tingkat  energinya  dapat  ditentukan  secara  eksak dengan  pendekatan  WKB  yang  telah  dikoreksi  dengan  koreksi  Langer  antara  lain  potensial Coloumb, Poschl-Teller, Gendensthein, Maning Rosen, dan Morse (Suparmi, 2011).
Penelitian ini bertujuan untuk mengetahui perilaku partikel yang tidak mungkin berada pada  daerah  ditemukan  partikel  bersifat  klasik  saat  dipengaruhi  potensial  Scraf  II  hyperbolic. Batasan  pada  penelitian  ini  yaitu  hanya  pada  persamaan  Schrodinger  bagian  radial  yang diselesaikan dengan pendekatan WKB untuk memperoleh persamaan spektrum energi.

## 2. Metodologi Penelitian
Dalam  penelitian  ini,  persamaan  Schrodinger  yang  dipengaruhi  potensial  Scraf  II hyperbolic  diselesaikan  menggunakan  pendekatan  WKB.  Potensial  Scraf  II  hyperbolic  dapat ditulis sebagai berikut (Widiyanto, 2017) :
V (x) = ℏ / 2m [ (p 2 + q (q + 1) / sin h 2 x) – (2p (q + ½) cos h x) / sin h 2 x) ] (1)
Dimana p dan q adalah bilangan real positif. Persamaan Schrodinger secara umum dalam satu dimensi yaitu :
d 2 𝜓 / d x 2 + 2m / ℏ 2 [ E – V ( x ) ] 𝜓 ( x ) = 0 (2)
dimana E adalah  energi  kinetik  dan V  (  x  ) adalah  energi  potensial.  Apabila  sistem  partikel dipengaruhi potensial terkungkung maka ada tiga keadaan yaitu E > V ( x ) untuk partikel bergerak secara klasik, E < V ( x ) untuk partikel dilarang bergerak secara klasik, dan E = V ( x ) untuk titik batas keduanya (titik balik) (Suparmi, 2011). Penentukan tingkat energi partikel yang bergerak di daerah yang dipengaruhi oleh energi potensial ( V ( x ) ) , dimana ( V ( x ) ) berubah secara perlahan maka  perubahan  panjang  gelombang  secara  relativ  dalam jarak  sangat  kecil  bila  dibandingkan dengan  satu  satuan  untuk  kondisi E  =  V  (  x  ) dan E  <  V  (  x  ) ,  maka  pendekatan  WKB  dapat diaplikasikan pada 3 daerah yang dipisahkan oleh titik-titik balik klasik, tetapi tidak valid untuk titik yang sangat dekat dengan titik balik (Suparmi, 2011). Pada saat sistem berada pada titik balik klasik maka persamaan Schrodinger yang ditunjukkan persamaan (2) berubah menjadi:
Solusi Persamaan Schrodinger dengan Potensial Scraf II Hyperbolic menggunakan Pendekatan Semiklasik Vol. 04 No.01 2022 E-ISSN: 2685-6921 Universitas Ma’arif Nahdlatul Ulama Kebumen
– ( ℏ 2 / 2m ) ( d 2 𝜓 / d x 2 ) + g [ x – a ] 𝜓 ( x ) = 0 (3)
– ( ℏ 2 / 2m ) ( d 2 𝜓 / d x 2 ) + g ’ [ x – b ] 𝜓 ( x ) = 0 (4)
dimana  a  dan  b  adalah  titik  balik  klasik,  Penyelesaian  persamaan  (3)  dan  (4)  didekati  dengan bentuk airy intergral Ai ( 𝜉 ) yaitu:
𝜉 a = ( x – a ) (2m g / ℏ 2 ) 1 / 3 (5)
𝜉 a = ( x – b ) (2m g’ / ℏ 2 ) 1 / 3
(6)
lalu  penyelesaian  Persamaan  (5)  dan  (6)  diperluas  kedalam  daerah  x  <  a  dan  x  >  b,  maka penyelesaiannya mendekati bentuk asymtot yaitu
Ai ( 𝜉 a ) = ( 1 / √ π ( – 𝜉 a ) ¼ ) sin [ 2 / 3 ( – 𝜉 a ) 3 / 2 + π / 4 ] (7)
Ai ( 𝜉 ) = ( 1 / √ π ( – 𝜉 b ) ¼ ) sin [ 2 / 3 ( – 𝜉 b ) 3 / 2 + π / 4 ] (8)
sedangkan untuk daerah x < a dekat dengan titik x = a serta daerah x < b dekat dengan titik x = b maka berlaku:
∫ k ( x ’ ) d x ’ = 1 / ℏ ∫ √ 𝑎 𝑥 2 µ g [ a – x ’ ] d x ’ = 2 / 3 ( – 𝜉 b ) 3 / 2 (9)
∫ k ( x ’ ) d x ’ = 1 / ℏ ∫ √ 𝑎 𝑥 2 µ g [ x ’ – b ] d x ’ = 2 / 3 ( – 𝜉 b ) 3 / 2 (10)
maka penyelesaian persamaan (9) dan (10) yang diperluas kedalam daerah x < a dan x < b adalah menggunakan kombinasi penyelesaian positif dan negatif berikut:
𝜓 + ( x ) = C 1 √ (K ( x 0 ) / K ( x 0 ) ) e ( ∫ ( K ( x’ ) d x’ ) (11)
𝜓 – ( x ) = C 2 √ (K ( x 0 ) / K ( x 0 ) ) e (– ∫ ( K ( x’ ) d x’ ) (12)
dengan  menggunakan  persamaan  (11)  dan  (12)  yang  diterapkan  pada  persamaan  (9)  dan  (10), maka diperoleh :
sin [ – ∫ 𝑘 𝑥 𝑎 ( x’ ) d x’ + π / 4 ] = sin [ ∫ 𝑘 𝑎 𝑏 ( x’ ) d x’ – ∫ 𝑘 𝑥 𝑏 ( x’ ) d x’ + π / 4 ] (13)
sin [ – ∫ 𝑘 𝑥 𝑎 ( x’ ) d x’ + π / 4 ] (14)
untuk daerah antara a dan b, maka persamaan (13) dan (14) harus diberi harga yang sama, dimana keduanya dikalikan dengan amplitude positif atau negatif, prasyarat agar keduanya sama yaitu
sin [ ∫ 𝑘 𝑎 𝑏 ( x’ ) d x’ – ∫ 𝑘 𝑥 𝑏 ( x’ ) d x’ + π / 4 ] = ± sin [ ∫ 𝑘 𝑥 𝑎 ( x’ ) d x’ + π / 4 ] (15)
Solusi Persamaan Schrodinger dengan Potensial Scraf II Hyperbolic menggunakan Pendekatan Semiklasik Vol. 04 No.01 2022 E-ISSN: 2685-6921 Universitas Ma’arif Nahdlatul Ulama Kebumen
Penyelesaian persamaan (15) dapat menggunakan sin P = ± sin Q , maka diperoleh P + Q = m π atau P – Q = m π , dimana m = 0, ± 1, ± 2, … . Harga P – Q = m π dari persamaan (15) dapat diperoleh:
∫ 𝑘 𝑎 𝑏 ( x’ ) d x’ – 2 ∫ 𝑘 𝑥 𝑏 ( x’ ) d x’ = mπ (16)
harga persamaan (16) tidak memenuhi syarat karena perlu fungsi x berharga konstan. Sementara, harga P + Q = m π , untuk persamaan (15) maka diperoleh,
∫ 𝑘 𝑎 𝑏 ( x’ ) d x’ = ( n + ½ ) π (17)
untuk n = 0 , 1 , 2 , 3 ,…. Untuk k ( x’ ) merupakan akar persamaan energi dari persamaan (2), sehingga harga k ( x’ ) yaitu
k ( x’ ) = 1 / ℏ √ 2m [ E – V ( x ) ]
(18)
persamaan  (18)  merupakan  kondisi  kuantiasi  suatu  sistem  kuamtum  yang  dijabrakan  secara semiklasik  dan  digunakan  untuk  memberikan  harga  pendekatan  tingkat  –  tingkat  energi  suatu sistem. maka persamaan (18) dapat ditulis menjadi,
∫ 1 𝑎 𝑏 / ℏ √ 2m [ E – V ( x ) ] d x’ = ( n + ½ ) π (19)
Persamaan  (19)  merupakan  pendekatan  semiklasik  (pendekatan  WKB)  untuk  mengestimasi tingkat – tingkat energi suatu sistem. Penyelesaian pendekatan WKB dengan menggunakan titik – titik balik klasik sedikit kurang baik namum hasilnya cukup sederhana (Suparmi, 2011).

## 3. Hasil Dan Pembahasan
Persamaan  Schrodinger  yang  telah  didekati  dengan  pendekatan WKB  pada  persamaan (19) disubstitusi dengan potensial Scraf II hyperbolic pada persamaan (1), sehingga persamaan Schrodinger yang dipengeruhi potensial Scraf Hyperbolic menjadi,
∫ √ 𝑎 𝑏 E – ℏ 2 / 2m [ ( p 2 + q ( q + 1 ) / sin h 2 x ) – ( 2p ( q + ½ ) cos h x / sin h 2 x ) ] dx
= ℏ / ( √ 2m ) ( n + ½ ) π
(20)
Kemudian untuk menyederhanakan Persamaan (20) dilakukan permisalan yaitu mengubah x = z , dan cos h x = z , dan menyamakan penyebut dari persamaan (20) sehingga diperoleh persamaan,
∫ √ 𝑎 𝑏 ( E – E z 2 – ℏ 2 / 2m ( p 2 + ( q + ½ ) 2 ) + ℏ 2 / 2m ( 2p ( q + ½ ) y ) ) dz / 1 – z 2 = ℏ / ( √ 2m ) ( n + ½ ) π (21)
Dimana penjabaran persamaan yaitu dz / 1 – z 2 = ( dz / 2 (1 – z ) ) + ( dz / 2 (1 + z ) ) , maka Persamaan (21) menjadi,
[ ∫ √ 𝑎 𝑏 ( E – E z 2 – ℏ 2 / 2m ( p 2 + ( q + ½ ) 2 ) + ℏ 2 / 2m ( 2p ( q + ½ ) y ) ) dz / 1 – z 2 ] (22)
Solusi Persamaan Schrodinger dengan Potensial Scraf II Hyperbolic menggunakan Pendekatan Semiklasik Vol. 04 No.01 2022 E-ISSN: 2685-6921 Universitas Ma’arif Nahdlatul Ulama Kebumen
+ [ ∫ √ 𝑎 𝑏 ( E – E z 2 – ℏ 2 / 2m ( p 2 + ( q + ½ ) 2 ) + ℏ 2 / 2m ( 2p ( q + ½ ) y ) ) dz / 1 – z 2 ] = ℏ / ( √ 2m ) ( n + ½ ) π
Langkah  selanjutnya  yaitu  menyesuaikan  Persamaan  (22)  dengan  pendekatan  WKB,  maka penjabaran di persamaan (22) dimisalkan x = ( 1 – z ) dan y = ( 1 – z ) , sehingga dihasilkan,
[ ½ ∫ √ 𝑎 𝑏 – E x 2 + ( 2E – ℏ 2 / 2m ( 2p ( q + ½ ) ) x + ℏ 2 / 2m ( 2p ( q + ½ ) – ( p 2 ( q – ½ ) 2 ) ) dx/x ]
+ [ ½ ∫ √ 𝑎 𝑏 – E x 2 + ( 2E – ℏ 2 / 2m ( 2p ( q + ½ ) ) y + ℏ 2 / 2m ( 2p ( q + ½ ) – ( p 2 ( q – ½ ) 2 ) ) dy/y ]
= ℏ / ( √ 2m ) ( n + ½ ) π
(23)
Persamaan (23) sudah seperti bentuk pendekatan WKB yang ditunjukkan oleh persamaan (24), sebagai berikut,
∫ √ R d 𝜌 / 𝜌 (24)
Dengan penjabaran R = d + e x + f x 2 ,  kemudian bentuk penyelesaian dari persamaan (13) yaitu dengan 3 langkah yang ditunjukkan oleh persamaan (25) – (27), yaitu
∫ √ R d 𝜌 / 𝜌 = √ R + e / 2 ∫ d 𝜌 / √ R + d ∫ d 𝜌 / ( 𝜌 √ R ) (25)
∫ d 𝜌 / √ R = ( 1 / √ – f ) sin -1 [ 2 f p + e / √ e 2 – 4 d f ] (26)
∫ d 𝜌 / 𝜌 √ R = ( 1 / √ – d ) sin -1 [ e 𝜌 + 2d / |𝜌| √ e 2 – 4 d f ] (27)
Dengan  menggunakan  persamaan  (25)  –  (27)  untuk  menyelesaikan  persamaan  (24),  agar perhitungan lebih sederhana maka masing-masing faktor dihitung dengan mencari akar-akarnya, dan dihasilkan persamaan (28)
– [ ( ℏ 2 / 2m ( p ( q + ½ ) ) / √E ) + ( ℏ 2 / 2m ( p 2 ( q + ½ ) 2 ) / √ ( ( ℏ 2 / 2m ( 2p ( q + ½ ) ) + ( p 2 ( q + ½ ) 2 ) ) ] = ℏ / ( √ 2m ) ( n + ½ )
(28)
kemudian untuk memperoleh persamaan spektrum energi persamaan 28 diubah menjadi,
E = [( ℏ 2 / 2m ( p ( q + ½ ) ) ) √ ( ( ℏ 2 / 2m ( 2p ( q + ½ ) ) + ( p 2 ( q + ½ ) 2 ) ) /
( ℏ / √ 2m ) ( n + ½ ) ( √ ( ( ℏ 2 / 2m ( 2p ( q + ½ ) ) + ( p 2 ( q + ½ ) 2 ) ) – ( ℏ 2 / 2m ( p 2 ( q + ½ ) 2 )] (29)
Persamaan  29  merupakan  persamaan  spektrum  energi  pada  persamaan  Schrodinger  untuk potensial Scraf II hyperbolic menggunakan pendekatan WKB.

## 4. Kesimpulan
Pendekatan  WKB  telah  diterapkan  persamaan  Schrodinger  untuk  potensial  Scraf  hyperbolic. pendekatan  WKB  telah  sesuai  dengan  penurunan  persamaan  Schrodinger  satu  dimensi.  Hasil spekrum  energi  persamaan  Schrodinger  untuk  potensial  Scraf  II  hyperbolic  dipengaruhi  oleh bilangan real positif.
Solusi Persamaan Schrodinger dengan Potensial Scraf II Hyperbolic menggunakan Pendekatan Semiklasik Vol. 04 No.01 2022 E-ISSN: 2685-6921 Universitas Ma’arif Nahdlatul Ulama Kebumen

## DAFTAR PUSTAKA
Deta, U. A., Suparmi, A., & Cari, C. (2014). Approximate solution of schrodinger equation in d- dimensions  for  scarf  hyperbolic  plus  non-central  poschl-teller  potential  using  nikiforov- uvarov  method. Journal  of  Physics:  Conference  Series 539 012018.  doi:  10.1088/1742- 6596/539/1/012018
Dianawati,  D  A.,  Suparmi,  A.,  dan  Cari,  C.  (2018).  Solution  of  Schrodinger  equation  with qdeformed  momentum  in  Coulomb  potential  using  hypergeometric  method.  AIP Conference Proceedings 2014, 020071 (2018); https://doi.org/10.1063/1.5054475
Elviyanti, I L., Pratiwi, B N., Suparmi, A., dan Cari, C. 2018. The application of minimal length in  Klein-Gordon  equation  with  Hulthen  potential  using  asymptotic  iteration  method. Advances in Mathematical Physics 2018. https://doi.org/10.1155/2018/9658679
Elviyanti, I L, dan Syukron A A. 2020. The minimal length case of the Klein Gordon equation with hyperbolic cotangent potential using Nikivorof-Uvarof Method. Journal of Physics: Theories and Applications 4 (1), 1-7
Elviyanti, I L., A Suparmi, A., Cari, C., Nugraha, D A., dan Pratiwi, B N .2017. Solution of Klein Gordon  equation  for  hyperbolic  cotangent  potential  in  the  presence  of  a  minimal  length using Hypergeometric method, Journal of Physics: Conference Series 909 (1), 012023 Nurhayati,  Suparmi,  Variani,  V.  I.,  Cari,  &  Wahyudi  (2012).  Analisis  fungsi  gelombang  dan spektrum energi potensial gendensthein ii menggunakan metode hipergeometrik. Prosiding Pertemuan Ilmiah XXVI HFI Jateng & DIY, 229
Pratiwi,  B.  N.,  Suparmi,  A.,  Cari,  C.,  Husein,  A.  S.,  &  Yunianto,  M.  (2016).  Approximate analytical solution of the Dirac equation for pseudospin symmetry with modified P o schl- Teller potential and trigonometric Scarf II non-central potential using asymptotic iteration method. Journal  of  Physics:  Conference  Series 739 012020.  doi:  10.1088/1742- 6596/739/1/012020
Suparmi (2011). Mekanika kuantum II . Surakarta: UNS Press
Suparmi, A., Cari, C., Deta U. A., & Handika, J. (2016). Energy analysis of four dimensional extended  hyperbolic  Scarf  I  plus  three  dimensional  separable  trigonometric  non-central potentials using SUSY QM approach. Journal of Physics: Conference Series 776 012077. doi: 10.1088/1742-6596/776/1/012077
Widiyanto, F., A, Suparmi, C. Cari., Anwar, F., dan Yunianto, M. (2017). Schrödinger equation solution for  q-deformed  Scarf  II  potential  plus  Pöschl-Teller  potential  and trigonometric Scarf potential. J. Phys.: Conf. Ser. 909 012036