Vol. 5, No.1, 38-46,  Juli  2008
Persamaan Difusi Dua Dimensi yang Tidak Steady dengan Metode Elemen Hingga
Agustinus Ribal, Jeffry Kusuma †

## Abstrak
Dalam tulisan ini akan dibahas suatu solusi numerik persamaan difusi dua dimensi yang tidak steady  dengan  metode  elemen  hingga.  Pertama-tama  variasional  statemen  akan  diturunkan dari  persamaan  pembangun,  selanjutnya  akan  ditentukan  persamaan  elemen  hingga  Galerkin berdasarkan variasional statemennya. Dalam menentukan elemen matriksnya, akan digunakan 4-titik  master  elemen.  Juga  dalam  perhitungan  integral  elemen  akan  digunakan  kuadratur Gauss dengan 3 titik. Metode Crank–Nicolson digunakan untuk diskritisasi waktu.
Kata Kunci : Metode elemen hingga, persamaan difusi, metode Crank-Nicolson.

## 1. Pendahuluan
Dengan kemajuan teknologi komputer, metode elemen hingga mempunyai peranan yang sangat penting [9] dalam menyelesaikan masalah-masalah nyata secara numerik. Saat ini, metode elemen  hingga  adalah  salah  satu  metode  yang  paling  efektif  dalam  menyelesaikan  berbagai masalah  yang  muncul  dalam  teknik  perancangan,  pengontrolan  proses  industri,  dan  penelitian- penelitian  ilmiah.  Metode  ini  digunakan  untuk  memperoleh  nilai  pendekatan  dari  masalah- masalah nilai batas [9]. Untuk menentukan solusi numerik dari sebuah masalah nilai batas yang terdefinisi  dalam  suatu  domain  menggunakan  metode  elemen  hingga,  maka  akan  dilakukan langkah-langkah sebagai berikut [6],[9]: (1) Mendiskritisasi domain  ke dalam sejumlah elemen dengan N node,  sedemikian  sehingga 1 E e e     ;  (2)  Mentransformasi  masalah  nilai  batas  ke persamaan  elemen  hingga;  (3)  Memperoleh  matriks  koefisien  dari  setiap  elemen;  (4) Menggabungkan  setiap  matriks  elemen  untuk  membentuk  matriks  global;  (5)  Menyelesaikan persamaan matriks global yang merupakan sistem persamaan aljabar.
Penurunan persamaan elemen hingga akan didasarkan pada pendekatan residual terboboti karena pendekatan ini lebih umum dan serbaguna [9].

## 2.  Persamaan Pembangun
Persamaan  pembangun  dari  persamaan  difusi  dua  dimensi  yang  akan  dibahas  dalam tulisan ini adalah sebagai berikut
t t e u u u      4 2
dalam domain I   , (1)
dengan syarat batas
0    n u pada x = 0  dan y = 0, (2) t e n u     2 pada x = 1  dan y = 1,
† Jurusan Matematika Universitas Hasanuddin Makassar
Agustinus Ribal, Jeffry Kusuma
serta syarat awal
2 2 1 y x u    pada saat t = 0, (3)
dimana    I menyatakan  interval  waktu ] , 0 [ T dan 2    adalah  daerah  domain.  Persoalan demikian  sering  muncul  dalam  permasalahan  teknik  katakanlah  proses  pendinginan  mesin  dari ruang  pembakaran  yang  berbentuk  persegi  ataupun  persegi  panjang.  Sebagaimana  yang  telah diketahui,  persamaan  panas  merambat  dengan  proses  difusi.  Rancangan  teknologi  pendinginan sering  dibuat  dengan  melibatkan  material  lainnya  dengan  bentuk  luar  persegi  ataupun  persegi panjang sebagaimana pada gambar di bawah ini.
Gambar 1. Ilustrasi persoalan pendinginan pada mesin.
Bila  ukuran-ukuran  fisiknya  dibuat  Nondimensional,  maka  akan  diperoleh  persamaan differensial parsial yang memenuhi persamaan (1) beserta syarat batas (2) dan syarat awal (3) di atas.

## 3. Variasional Statemen
Dengan  mendasarkan  pada  pendekatan  residual  terboboti,  maka  variasional  statemen untuk persamaan pembangun pada bagian sebelumnya akan ditentukan sebagai berikut.
Diketahui bahwa residual dari persamaan pembangun adalah
t t e u u u t r       4 ) ( 2 (4)
maka total weight residual (TWR) adalah
           d v e u u u TWR t t 4 2
         d ve uv u v v u t t 4 2 (5)
Dengan menggunakan sifat turunan, maka persamaan (5) menjadi
                    d u v d ve uv v u v u TWR t t 4 (6)
Selanjutnya, dengan menggunakan teorema divergensi yaitu
            ds n T vk d T vk ) ( ,
maka persamaan (6) menjadi:
ds n u v d ve uv v u v u TWR t t      
          4 .                 1 0 1 0 ) 1 , ( 2 ) , 1 ( 2 4 . dx e x v dy e y v d ve uv v u v u t t t t (7)
Dengan demikian, maka variasional statemennya adalah:
Tentukan ) ( ) , ( 1    H t u u x sedemikian  sehingga I t   , 2 2 1 y x u    pada saat t = 0 dan
) ( , ) 1 , ( 2 ) , 1 ( 2 4 . 1 1 0 1 0                       H v dx e x v dy e y v d ve uvd v u v u t t t t (8)

## 4. Persamaan Elemen Hingga Galerkin
Dengan  memilih i v   ,  maka  variasional  statemen  yang  telah  diperoleh  pada  bagian sebelumnya menjadi:
   
               1 0 1 0 ) 1 , ( 2 ) , 1 ( 2 4 . dx e x dy e y d e d u u u t i t i t i i i i t       (9)
Juga dengan menggunakan pendekatan ) , ( t u x pada saat t sebagai:
   N j j j h t u t u 1 ) ( ) ( ) , ( x x  (10)
Untuk alasan sederhana, ) ( x j  akan ditulis sebagai j  .
Maka persamaan (9) menjadi
                     d t u t u dt t du i N j j j i N j j j N j j i j       1 1 1 ) ( . ) ( ) (             1 0 1 0 ) 1 , ( 2 ) , 1 ( 2 4 dx e x dy e y d e t i t i t i    atau
) ( ) ( 1 1 t u d dt t du d j N j i j i j N j j i j                                     
            1 0 1 0 ) 1 , ( 2 ) , 1 ( 2 4 dx e x dy e y d e t i t i t i    Sehingga diperoleh
F Au u M    (11)
dimana
  N N ij m M   dengan     d m i j ij   ,   N N ij a A   dengan         d a i j i j ij     ,   1   N i f F dengan             1 0 1 0 ) 1 , ( 2 ) , 1 ( 2 4 dx e x dy e y d e f t i t i t i i    .

## a. Metode Crank–Nicolson
Untuk diskritisasi waktu, maka  metode Crank – Nicolson akan diterapkan pada masalah ini sebagai berikut.
Dari persamaan (11) diperoleh
F Au u M    Sehingga       2 2 2 t t t t F t Au t u M          Diketahui bahwa:   t u u t t u t t u t u r r t            1 2 ) ( ) (    2 2 ) ( ) ( 1 2 r r t u u t u t t u t u         
Maka diperoleh,
2 1 2 1 1                     r r r r r F u u A t u u M     2 1 1 1 2          r r r r r tF u u t A u u M 2 1 2 2 1
                     r r r tF u A t M u A t M
Sehingga persamaan bedanya adalah,
2 1 2 2 1                      r r r tF u A t M u A t M (12)

## b. Hasil Numerik
Dengan  menggunakan  persamaan  beda  pada  persamaan  (12),  maka  diperoleh  hasil  numerik untuk 4 elemen, 16 elemen dan 64 elemen sebagai berikut.
Gambar 2. Plot tiga dimensi untuk empat elemen mesh.
Dalam tinjauan dua dimensi, maka akan diperoleh sebagai berikut. 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 Waktu Plot Untuk 4 Elemen Mesh Koordinat X,Y

## Agustinus Ribal, Jeffry Kusuma
Gambar 3. Plot dua dimensi untuk empat elemen.
Gambar 4. Plot tiga dimensi untuk 16 elemen mesh. Dalam tinjauan dua dimensi, maka akan diperoleh plot seperti dalam Gambar 5 berikut.
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 Plot Dua Dimensi untuk  4 Elemen Waktu Waktu Waktu Waktu Waktu Suhu 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 Waktu Plot Untuk  16 Elemen Mesh Koordinat X,Y

## Agustinus Ribal, Jeffry Kusuma
Gambar 5. Plot dua dimensi untuk 16 elemen mesh.
Gambar 6. Plot tiga dimensi untuk 64 elemen mesh.
Dalam tinjauan dua dimensi, maka akan diperoleh gambar sebagai berikut.
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 Plot Dua Dime nsi untuk 16 Ele me n Wak tu Suhu 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 Waktu Plot Hasil Numerik  untuk  64 elemen mesh Koordinat  X,Y

## Agustinus Ribal, Jeffry Kusuma
Gambar 6. Plot tiga dimensi untuk 64 elemen mesh.

## 5. Kesimpulan
Dari  hasil  perhitungan  numerik  di  atas,  dapat  disimpulkan  bahwa  dengan  berjalannya waktu maka suhu atau temperatur pada mesin akan menurun.

## Daftar Pustaka
1. Allievi, A., and Bermejo, R. 2000. Finite Element Modified Method of Characteristics for the Navier-Stokes Equations . Int. J. Numer. Meth. Fluids, 32, 439–464.
2. Cuvelier, C., Segal, A., and Steenhoven, A.A.V. 1986. Finite Element Methods and Navier- Stokes Equations . Dordrecht: D. Reidel Publishing Company.
3. Girault,  V.,  Raviart,  P-A.  1986. Finite  Element  Methods  for  Navier-Stokes  Equations: Theory and Algorithms . Berlin: Springer-Verlag.
4. Holman, T.P. 1986. Heat Transfer . New York: McGraw-Hill.
0.1 0.2 0.3 0.3 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 Plot Dua Dime nsi untuk 64 Ele me n Waktu Suhu

## Agustinus Ribal, Jeffry Kusuma
5. Incropera, F.P., and Dewitt, D.P. 1996. Introduction to Heat Transfer, 3th ed. New York: Wiley.
6. Lewis,  R.W.  1996. The  Finite  Element  Method  in  Heat  Transfer  Analysis .  New  York: Wiley.
7. Richter,  G.R.  1994. An  Explicit  Finite  Element  Method  for  the  Wave  Equation. Applied Numerical Mathematics, 16, 65–80.
8. Weinan  E,  and  Liu,  J.G.  2000. Gauge  Finite  Element  Method  for  Incompressible  Flows. Int. J. Numer. Meth. Fluids, 34, 701–710.
9. Wu,  Y.H.,  and  Wiwatanapataphee,  B.  2006. Finite  Element  Method  and  Applications . Bangkok: Misterkopy Publishing Company.