Vol.16, No. 1, 74-84, July 2019 doi: 10.20956/jmsk.v16i1.6784
1)2)3) Universitas Hasanuddin, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam,
Jalan Perintis Kemerdekaan, Makassar.
1) febrii8293@gmail.com, 2) syamsuddint@yahoo.com, 3) kasbawati@gmail.com

## ANALISIS KESTABILAN DAN KONTROL OPTIMAL MODEL LESLIE-GOWER FUNGSI RESPON HOLLING III DENGAN PEMANENAN PADA POPULASI

## PREDATOR DAN PREY
Febriyanti Himmatul Ulya 1) , Syamsuddin Toaha 2) , Kasbawati 3)

## Abstract
This article  modified the leslie-gower  model on  harvesting  with predator and prey population. This study aims at construct a modification of leslie-gower model with holing III response function. In addition, there is  an  effort  harvesting  in  predator  and  prey  population,  analyzing  an  equilibrium  point,  finding  bionomic equilibrium  and  the  condition  where  the  present  value  is  maximum  from  net  income  by  controlling harvesting in both populations. In the modified leslie-gower model there is an equilibrium point ( ) which  is  asymptotically  stable  and  when  there  have  harvesting,  the  equilibrium  point ( ) is  also asymptotically  stable.  Bionomic  equilibrium  from  harvesting  on  the  modified  leslie-gower  model ( ) is maximizing the profit function π of harvesting on a model with the maximum pontryagin principle resulting an optimal equilibrium ( ) affected by instantaneous rate of discount δ.
Keywords: leslie-gower, holling III, bionomic equilibrium, maximum pontryagin policy

## Abstrak
Pada  artikel  ini  penelitian  yang  dilakukan  adalah  memodifikasi  model  leslie-gower  dengan pemanenan pada populasi predator dan prey. Penelitian ini bertujuan merekonstruksi modifikasi model  leslie-gower  dengan  menggunakan  fungsi  respon  holling  III  serta  terdapat  upaya pemanenan  pada  populasi predator dan prey, menganalisis  titik  kesetimbangan,  menentukan kesetimbangan bionomik dan kondisi yang dapat memaksimumkan nilai present value dari pada pendapatan  bersih  dengan  mengontrol  pemanenan pada  kedua  populasi.  Pada  modifikasi  model leslie-gower  terdapat  sebuah  titik  kesetimbangan ( ) bersifat  stabil  asimtotik  dan  saat terdapat  pemanenan  titik  kesetimbangan ( ) bersifat  stabil  asimtotik.  Kesetimbangan bionomik  dari  pemanenan  yang  dilakukan  pada  modifikasi  model  leslie-gower ( ) , memaksimalkan fungsi keuntungan dari pemanenan yang dilakukan pada model dengan prinsip maksimum  pontryagin  menghasilkan  kesetimbangan  optimal ( )  yang  dipengaruhi diskonto .
Kata kunci: leslie-gower, holling III, kesetimbangan bionomik, prinsip maksimum pontryagin .

## Febriyanti Himmatul Ulya, Syamsuddin Toaha, Kasbawati

## 1. Pendahuluan
Banyak model predator-prey yang digunakan untuk menggambarkan interaksi predator-prey antara lain  model  lotka-volterra. Gause (1934)  mengalami  kegagalan  untuk  menggambarkan  laju  pertumbuhan kedua  populasi  yang  diperolehnya  dengan  model  lotka-volterra  dan  leslie  (1948)  dapat  memperoleh model  yang  mereprsentasikan  data  pertumbuhan  yang  diperoleh  oleh  Gause  (Berryman,  1992) .  Dalam memangsa, predator menghabiskan  waktu  dalam  mencari  dan  berinteraksi  dengan prey dan predator memiliki  kapasitas  terbatas  dalam  memangsa.  Jumlah  populasi prey mempengaruhi  respon predator dalam  memangsa  disebut  fungsi  respon  predasi.  Terdapat  tiga  tipe  fungsi  respon  yang  dikemukakan holling. Fungsi respon holling I terjadi pada predator yang bersifat pasif seperti laba-laba. Fungsi respon holling  II  terjadi  pada predator yang  bersifat  aktif  dan predator membutuhkan  waktu  dalam  mencerna prey , seperti yang dilakukan serigala. Pada fungsi respon holling III, predator akan selektif memilih prey ketika  jumlah prey tinggi  dan  akan  mencari  alternatif prey memangsa  ketika  kepadatan prey tersebut rendah.
Populasi predator dan prey dengan  nilai  ekonomi  memiliki  kemungkinan  untuk  dipanen.  Laju pertumbuhan predator dan prey yang  dipengaruhi  oleh  banyaknya  jumlah  populasi  yang  dipanen.  Jika hasil  pemanenan  yang  dilakukan  memperoleh  keuntungan,  pemanen  cenderung  melakukan  pemanenan sebanyak-banyaknya  agar  mendapatkan  keuntungan  yang  maksimal.  Pemanenan  populasi  yang  terus menerus tanpa mempertimbangan jumlah populasi dapat mengakibatkan kelangkaan atau kepunahan dan bahkan tidak dapat dilakukan pemananen secara berkelanjutan.
Sharma,  dkk  (2014  menganalisis  dinamika  pemanenan  kedua  spesies  tersebut.  Model  laju pertumbuhan  populasi  disusun  berdasarkan  perilaku  interaksi  antara  phytoplankton  dan  zooplankton. Sharma,  dkk  menggunakan  prinsip  maksimum  pontryagin  untuk  menentukan  kebijakan  optimal  untuk hasil  maksimum  dan  pemanenan  dapat  dilakukan  secara  berkelanjutan.  Penelitian  lain  tentang  model ekologi  juga  dilakukan  oleh  Yue  (2016).  Yue  membahas  dinamika  model  leslie-gower  dengan  fungsi respon holling II.

## 2. Model Matematika
Leslie  (1948)  memperkenalkan  model predator-prey dengan  kompetisi  intraspesifik, sehingga diperoleh model sebagai berikut:
,
(1)
Model  leslie-gower  memiliki  asumsi  bahwa carrying  capacity predator dipengaruhi  oleh kepadatan prey , yaitu
(2)
dengan sebagai carrying capacity dari predator yang sebanding dengan jumlah prey dan merupakan koefisien konversi prey menjadi predator , sehingga persamaan (2) menjadi:
(3)
dan  bentuk diasumsikan  sebagai  hilangnya predator karena  kelangkaan prey utama. Kelangkaan  pada prey dapat  merangsang  predator  untuk  mencari  alternatif prey lain,  namun

## Febriyanti Himmatul Ulya, Syamsuddin Toaha, Kasbawati
pertumbuhannya  tetap  memiliki  batas  ( carrying  capacity ),  sehingga  ditambahkan  konstanta  positif karena predator tidak bergantung pada prey tunggal, sehingga menjadi,
(4)
dengan ,
dan  fungsi  respon  holling  III  sebagai  fungsi  respon  predasi,  maka  model  (1)
menjadi,
, (5)
Terdapat  upaya  pemanenan ( ) terhadap predator dan prey yang  memiliki  nilai  ekonomi,  sehingga dilakukan pada kedua populasi tersebut, sehingga diperoleh,
(6) Parameter
dan bernilai positif dengan dan merupakan laju pertumbuhan intrinsik  dari prey dan predator , merupakan  laju  interkasi  antar  prey, Laju  pemangsaan  dari predator, merupakan  laju  interaksi  antar  predator, adalah half  saturation  constant dari prey , adalah  perlindungan  terhadap predator oleh  lingkungan  dan prmanenan  yang  dilakukan  terhadap predator dan prey. Dari model (5), diperoleh dua titik kesetimbangan non feasible (   ) , ( ) , sebuah titik  kesetimbangan  yang  bersifat  tidak  stabil ( ) dan  sebuah  titik  kesetimbangan  yang  bersifat stabil  asimtotik ( ) dengan ( ) dan ( ) , atau ( ) , .Pada  model  (6)
erdapat  dua  titik  kesetimbangan  non  feasible (   )  ( ( ) ) ,  sebuah  titik  kesetimbangan  yang bersifat  tidak  stabil ( ) dan  sebuah  titik  kesetimbangan  yang  bersifat  stabil  asimtotik  dengan
( ) dan ( ( ) ) , atau ( ) , .

## 3. Kesetimbangan Bionomik
Kesetimbangan  bionomik  adalah  suatu  konsep  yang  mengintegrasikan  kesetimbangan  secara biologi dan keseimbangan secara ekonomi. Misalkan terdapat dua populasi yang ditinjau, yaitu dan . Keseimbangan  secara  ekologi  diperoleh  ketika  populasi  berada  pada  kondisi dan .  Titik keseimbangan  ini  diperoleh  dengan  menyelesaikan  sistem  persamaan  terhadap dan .  Titik kesetimbangan  ini  menyatakan  suatu  kondisi  dimana  kedua  populasi  dalam  keadaan  setimbang,  yaitu kedua  populasi  tidak  mengalami  perubahan  karena  laju  pertumbuhannya  nol.  Kesetimbangan  secara ekonomi  dikatakan  tercapai  ketika  pendapatan  total  ( )  yang  diperoleh  dari  penjualan  stok  (populasi) yang  dipanen  sama  dengan  biaya  total  ( )  dari  usaha  yang  dilakukan  dalam  pemanenan  populasi

## Febriyanti Himmatul Ulya, Syamsuddin Toaha, Kasbawati
(Toaha,  2013).  Bentuk  umum  dari  pemanenan  menggunakan  persamaan  pemanenan  Schaefer    (1954) pemanenan dirumuskan (Clark, 2006):
(7)
dengan merupakan  laju  pemanenan  dengan  total  penerimaan  bersih  per  satuan  waktu.  Fungsi keuntungan dari usaha pemanenan populasi adalah
(8)
Total pendapatan ( ) diperoleh dari harga perunit biomassa dikalikan dengan laju pemanenan .  Sedangkan  untuk  total  pembiayaan  ( ) sebanding  dengan  biaya  pemanenan  per  unit  usaha dikalikan dengan usaha yang dirumuskan (Prastiwi, 2012):
(9)
Maka, persamaan fungsi keuntungan dengan pemanenan yang dilakukan pada populasi predator dn prey adalah sebagai berikut:
( )   ( ) (10)
dengan merupakan  harga prey per  unit  biomassa, adalah  harga predator per  unit  biomassa  dan merupakan pembiayaan yang dikeluarkan dalam melakukan pemanenan populasi.
Kesetimbangan  bionomik  adalah
( ) dengan adalah  solusi  positif  dari
persamaan berikut:
(11) (12) ( )   ( ) (13) dari persamaan (11) dan (12) diperoleh ( ) ( ) (14)
Jika  biaya  yang  dikeluarkan  untuk  upaya  pemanenan  lebih  besar  dari  pendapatan  dari  penjualan hasil  pemanenan  ( ),  maka  fungsi  keuntungan  akan  bernilai  negatif  dan mengakibatkan  pemanenan  berhenti  dan  tidak  terdapat  kesetimbangan  bionomik.  Agar  terdapat kesetimbangan bionomik, maka diasumsikan bahwa biaya yang dikeluarkan untuk pemanenan lebih kecil dari  pendapatan  yang  diperoleh  dari  penjualan  hasil  pemanenan  ( ) .  Melalui persamaan (12) dan (13) diperoleh,
( ) ( ) (15) dengan , ( ( )( ) ( ) ) dan (( )( ( )( ))( ) ( )( ( ) ( ( ( ) ) ( ) .
Jika ,  kemudian  total  pembiayaan  dari  pemanenan  lebih  besar  daripada  total  pendapatan dari hasil pemanenan, maka pemanenan akan mengalami kerugian, sehingga tidak dapat dilanjutkan. Jika , kemudian pemanenan mengalami keuntungan, maka pemanenan dapat dilanjutkan.

## 4. Kontrol Optimal Pemanenan
Prinsip maksimum pontryagin digunakan untuk menyelesaiakan masalah pemanenan yang optimal. fungsi objektif yang akan dimaksimalkan adalah present value yang didefinisikan sebagai berikut
∫ ( ) (16)
dengan meripakan  diskonto  dengan  variable  kontrol ( ) dengan  batas adalah batas  atas  pemanenan  atau  dapat  dtulis
.  Memaksimalkan
dapat  menggunakan  prinsip
maksimum prontryagin, maka dalam  persamaan hamitonian ( ) , yaitu: ( ) ( ) ( ) (17)
dengan , merupakan variable adjoint dan persamaan keadaan   sebagai berikut,
̇
̇ (18)
persamaan co-state, yaitu:
̇
( ( ) ) ( )
̇ =
( ) (19)
Berdasarkan  prinsip  maksimum  pontryagin,  kondisi  perlu  yang  dibentuk  adalah  kondisi  stasioner dari , sebagai berikut:
( ) (20) Pada  persamaan  (20)  diperoleh ( ) ) yang  disebut  fungsi switching ( ) . Ketika dalam , variabel kontrol ( ) muncul secara linier, sehingga ( ) yang optimal tidak dapat ditentukan dengan kondisi dan batas maksimal adalah , maka masalah tersebut merupakan masalah yang berkaitan dengan penggabungan antara kontrol bang-bang dan kontrol singular. Kondisi kontrol optimal memenuhi kondisi
( ) , jika ( ) ( ) , jika ( ) ( ) , jika ( ) (21)

## Febriyanti Himmatul Ulya, Syamsuddin Toaha, Kasbawati
Ketika ( ) ,  maka ( ) .  Pada  persamaan  (21) yang  memenuhi  kondisi ( ) disebut  solusi  singular  adalah ( ) diperoleh ( ) ( ) (22)
dengan  mensubtitusi dari  persamaan  (22)  ke  dalam pada  persamaan  (19),  maka  dapat  ditulis sebagai berikut:
(23) dengan ( ( ) ( ) ) ( ) ( ) Solusi  dari  persamaan  (23)  adalah .  Subtitusi  solusi  persamaan  (23)  ke  dalam persamaan (19), maka diperoleh:
(24) dengan ( ) dan ( )( ) .  Solusi  dari  persamaan  (24) adalah dengan  kondisi  transversality ( ) untuk ,  sehingga  solusi persamaan (23) dan (24) adalah: dan (25) Bentuk (       ) merepresentasikan shadow price dan solusi persamaan (25) menyatakan bahwa shadow price tetap konstan dalam kesetimbangan optimal dengan memenuhi kondisi Nilai dan disubtitusi pada solusi singular saat , sehingga diperoleh ( ) ( ) (26)
Melalui persamaan (4.23)  diperoleh  pemanenan optimal
Subtitusi persamaan (4.23) pada (4.35) dan
( ) ( ) untuk  memperoleh  kesetimbangan  optimal ( ) .  Kesetimbangan  optimal
(
) dapat berubah-ubah. Perubahan tersebut bergantung pada nilai . Persamaan (4.35) bergantung pada nilai , sehingga (       ) jika (27) Kondisi  persamaan  (27)  menyebabkan  keuntungan ( ) .  Persamaan  tersebut  juga menunjukkan bahwa fungsi keuntungan merupakan fungsi turun, jika diskonto menuju tak berhingga, maka keuntunan akan menuju dan keuntungan akan maksimal jika diskonto menuju .
Memaksimumkan  present  value  dapat  diperoleh  dengan  mensubtitusi  kesetimbangan  optimal
( ) , sehingga diperoleh: ∫ ( ) ( ) ∫ ( )
(28)

## Febriyanti Himmatul Ulya, Syamsuddin Toaha, Kasbawati
Selanjutnya akan dilakukan simulasi numerik dengan software maple 2016.

## 5. Simulasi Numerik
Nilai parameter berdasarkan dari penelitian-penelitian sebelumnya dan asumsi pada penelitian ini. Nilai parameter yang digunakan dalam simulasi yaitu
Titik  kesetimbangan  pada  model  leslie-gower  fungsi  respon  holling  III  tanpa  pemanenan diperoleh yaitu (              ) dengan matriks Jacobian ( )   ( ) . Persamaan karakteristik  dari  matriks ( ) adalah
.  Nilai  eigen  yang  diperoleh  dari
persamaan karakteristik tersebut adalah dan , sehingga titik kesetimbangan
stabil asimtotik Trayektori di sekitar titik kesetimbangan sebagai berikut:
Gambar 1. Trayektori di sekitar titik kesetimbangan
Titik  kesetimbangan  pada  model  leslie-gower  fungsi  respon  holling  III  dengan  pemanenan diperoleh yaitu dengan membebaskan nilai parameter adalah ( ) dimana, (
( ) ) (     ( ))  ( ( ) ) dan
(      (
( ) ) (     ( ))  (
(
) ) )
(           )
Jika dan disubstitusi ke persamaan (10), diperoleh fungsi keuntungan sebagai berikut:
(
( ) ) (    ( )) (
(
) )
(      ((
( ) ) ( )) ((
( ) )
)(           )
Kesetimbangan bionomik terjadi ketika total pendapatan hasil penjualan pemanenan sama dengan pembiayaan  dari  pemanenan  atau  fungsi  keuntungan  sama  dengan ,  sehingga  dari  diperoleh  nilai .
Nilai yang  diperoleh  disubtitusi  ke  titik  kesetimbangan ,  sehingga  diperoleh  titik
kesetimbangan (             ) dengan  matriks  Jacobian ( )   ( ) .
Persamaan  karakteristik  dari  matriks ( ) adalah .  Nilai  eigen  yang  diperoleh dari  persamaan  karakteristik  tersebut  adalah
dan
,  sehingga  titik
kesetimbangan stabil asimtotik. Trayektori di sekitar titik kesetimbangan sebagai berikut:
Gambar 2. Trayektori di sekitar titik kesetimbangan
Pada model (4.7), kesetimbangan bionomik terjadi ketika pemanenan yang dilakukan dengan batas pemanenan untuk populasi predator dan prey ( ) yaitu (                      )
Pada kontrol optimal pemanenan, nilai dan pada kontrol optimal, yaitu: ( ) )( ) (
(            ) (                 ) (          ) (                    )
(                      ) (                         )                      ) dan
(
) )(      ) ((
)(                                  ))
Nilai dan disubtitusi  ke  dalam  persamaan  (26)  dan  mengeliminasi  dengan  persamaan  (14) dan  mengambil  nilai
,  maka  diperoleh  kesetimbangan  optimal  dengan  pemanenan  yang dilkukan  pada  populasi predator dan prey ( ) yaitu (                    ) sehingga  dengan mensubtitusi  kesetimbangan  optimal  ke  dalam  persamaan  (28)  diperoleh  nilai  present  value  adalah 26.1963.

## DAFTAR PUSTAKA
[1] Ashine, Ahmed Buseri dan Dawit Melese Gebru, 2017. Mathematical Modeling of a Predator-Prey Model  with  Modified  Leslie-Gower  and  Holling-Type  II  Schemes. Mathematics  and  Decision Sciences. 17: 20-40.
[2] Ávila-Vales,  Eric,  dkk.  2017.  Bifurcations  of  a  Leslie-Gower  Predator-Prey  Model  with  Holling Type III
functional
Response and Michaelis-Menten Prey Harvesting. https://arxiv.org/pdf/1711.08081.pdf .
[3] Barnett,  S.,  1971.  A  New  Formulation  of  The  Theorems  of  Hurwitz,  Routh  and  Sturm. J.  Inst. Maths Applics. 8: 240-250.
[4] Berryman, Alan. A. 1992. The Origins and Evolution of Predator-Prey Theory. Ecology. Amerika . 73: 1530-1535
[5] Boyce,  William  E  dan  Richard  DiPrima.  2012. Elementary  Differential  Equations  and  Boundary Value Problems. Wiley & Sons: Amerika.
[6] Chen,  Fengde,  dkk.  2017 .  Dynamic  Behaviors  Nonautonomous  Modified  Leslie-Gower  Predator- Prey  Model  with  Holling  Type  III  Schemes  and  a  Prey  Refuge . Journal  of  Mathematics  and Computer Science . 17: 266-277Clark, Colin W. 2006. The Worldwide Crisis in Fisheris. Cambridge University Press: Inggris.
[7] Didiharyono., 2016. Analisis Kestabilan dan Keuntungan Maksimum Model Predator-Prey Fungsi Respon Tipe Holling III dengan Usaha Pemanenan . Masagena Jurnal . 11: 314-326.
[8] Huang, Jicai, Shigui Ruan dan  Jing Song., 2014. Bifurcations in a Predator-Prey System of Leslie Type  With  Generalized  Holling  Type  III  functional  response. Journal  of  Differential  Equations . http://dx.doi.org/10.1016/j.jde.2014.04.024 .

## Febriyanti Himmatul Ulya, Syamsuddin Toaha, Kasbawati
[9] Kempf, Alexander ., 2008. Predator-Prey Overlap Induced Holling Type III Functional Response in The North Sea Fish Assemblage . Marine Ecology Progress Series . 367: 295-308.
[10]  Keshet, Leah Edelstain. 2005. Mathematical Models in Biology . SIAM: Amerika.
[11]  Khalil, Hassan K., 2002. Nonlinear Systems Third Edition . Prentice Hall: Amerika.
[12]  Lenhart, Suzanne dan John T. Workman., 2007. Optimal Control Applied and Biological Models . CRC Press: New York.
[13]  Leslie,  P.H.  dan  J.  C.  Gower.  1960 . The  Properties  of  a  Stochastic  Model  for  The  Predator-Prey Type of Interaction Between Two Species. Biometrika . 47: 219-234.
[14]  Maziun,  Nur  Aina,  dkk.,  2010. Analisis  Stabilitas  Lokal  dan  Kontrol  Optimal  Pada  Terapi  Obat Dalam Pengobatan Kanker . ITS Library. http://digilib.its.ac.id/ITS-Undergraduate- 3100010041711/13408.
[15]  Naidu, D. S., 2002. Optimal Control Systems . CRC Presses LLC: Amerika.
[16]  Prastiwi,  Lusiana  dan  Subiono.  Aplikasi  Prinsip  Maksimum  Pontryagin  Pada  Model  Bioekonomi Prey-Predator dengan Waktu Tunda. Prosiding Seminar FMIPA UNS . Surabaya, 24 Januari 2012.
[17]  Shaikh,  Absos  Ali,  dkk.  Study  of  LG  Holling  Type  III  Predator-Prey  Model  with  Diseas  in Predator. Journal of Mathematics and Computing . 1-21.
[18]  Sharma,  Anuj.  K,  dkk.,  2014.  Dynamical  Analysis  of  a  Harvesting  Model  of  Phytoplankton- Zooplankton  Interaction. International  Journal  of  Mathematical,  Computational,  Physical, Electrical and Computer Engineering . 8: 1013-1018.
[19]  Sinclair, A. R. E, dkk. 1998. Prediciting Effect of Predation of Conservation of Endangered Prey. Conservation Biology . 12: 564-575.
[20]  Taha, Hamdy. A. 2007., Operations Research: An Introduction Eight Edition . Pearson Education: Amerika.
[21]  Thomas, George B., 2014. Calculus Early Transcendentals Thirteenth Edition . Pearson Education: Amerika.
[22]  Wiggins,  Stephen.,  2003. Introduction  to  Applied  Nonlinear  Dynamical  Systems  and  Chaos . Springer: Amerika.
[23]  Yang,  Wensheng  dan  Yongqing  Li.,  2013.  Dynamics  of  a  Diffusive  Predator-Prey  Model  with Modified Leslie- Gowwer and Hollig Type III Scjemes. Computers, Mathematics and Applications . 65: 1727-1737.
[24]  Yue,  Qin.  ,2016.  Dynamics  of  Modified  Leslie-Gower  Predator-Prey  Model  with  Holling  Type  II Schemes and Prey Refuge. Springer Plus . 5: 1-12.
[25]  Toaha, S dan M I Azis., 2018. Stability and Optimal Harvesting of Modified Leslie-Gower Predator- Prey Model . Journal of Physics . 979: 1-9.