JURNAL GAUSSIAN, Volume 13, Nomor 1, Tahun 2024, Halaman 13 - 24 Online di: https://ejournal3.undip.ac.id/index.php/gaussian/
ANALISIS PERBANDINGAN SILHOUETTE COEFFICIENT DAN METODE ELBOW PADA PENGELOMPOKKAN PROVINSI DI INDONESIA BERDASARKAN INDIKATOR IPM DENGAN K-MEDOIDS
Tias Rahmawati 1* , Yuciana Wilandari 2 , Puspita Kartikasari 3
1,2,3 Jurusan Statistika, Fakultas Sains dan Matematika, Universitas Diponegoro *e-mail : tiasrahmawati01507@gmail.com
DOI: 10.14710/j.gauss.13.1.13-24
Article Info: Received: 2023-04-03 Accepted: 2023-08-08
Available Online: 2024-08-1 6
Keywords: Human Development Index; KMedoids; Silhouette Coefficient; Elbow Method; Davies Bouldin Index.
Abstract: Development  is  a  continuous  process  that  aims  to improve  all  aspects  of  life  based  on  the  prevailing  societal  values and predetermined life goals. The quality of life in a community is evaluated  at  the  provincial  level  using  the  Human  Development Index (HDI) based on three key indicators: economic status, health, and  education.  K-medoids  is  a  method  for  grouping  objects  that may contain outliers. To determine the optimal number of clusters, the  Silhouette  Coefficient  method  is  used,  which  assesses  the degree  of  proximity  between  objects  and  the  distance  between clusters.  The  Elbow  method  is  used  to  determine  the  optimal number  of  clusters  by  analyzing  the  percentage  outcomes  of different  cluster  quantities  at  a  specific  elbow  point.  The  Davies Bouldin Index (DBI) is used to compare and validate the resulting clusters. The study revealed that the Silhouette Coefficient method yielded the best cluster with 3 clusters and a Silhouette Coefficient value  of  0,3129,  and  a  DBI  value  of  1,3184.  However,  using  the Elbow method, the best cluster was found to be 4 clusters with an
SSE value of 54,5548 and a DBI value of 1,1754. Thus, the optimal cluster  configuration  is  4  clusters  with  the  Elbow  method  having the smallest DBI value.

## 1. PENDAHULUAN
Pembangunan ialah suatu proses perubahan yang berlangsung secara berkelanjutan guna  meningkatkan  semua  bidang  kehidupan  dengan  memperhatikan nilai-nilai  yang diyakini oleh masyarakat untuk meraih tujuan hidup yang telah ditetapkan. Pembangunan yang  difokuskan  pada  potensi,  daya  kreasi,  inisiatif,  dan  kepribadian  setiap  masyarakat. Pandemi Covid-19 memasuki negara Indonesia dimulai awal tahun 2020 yang berdampak pada  seluruh  aspek  bidang  kehidupan  salah  satunya  bidang  ekonomi  yang  mengalami tekanan  berat  seperti  IPM.  Menurut  Badan  Pusat  Statistik  (2021),  pada  tahun  2020  IPM mengalami  keterlambatan  dalam  laju  pertumbuhan  sebesar  0,03%  daripada  tahun sebelumnya sebesar 0,74%.  Faktor yang menyebabkan terjadinya keterlambatan pada laju pertumbuhan yaitu adanya penurunan  kualitas hidup  yang  memadai  dinilai dari  biaya per kapita yang disesuaikan sedangkan parameter yang lain mengalami peningkatan meskipun lambat. Namun pada tahun 2022 IPM kembali meningkat sebesar 0,86% dari tahun 2021. Menurut  Badan  Pusat  Statistik  (2022),  kenaikan    IPM  tahun  2022  terjadi  di  seluruh provinsi  Indonesia  dengan  perbandingan  nilai  yang  tidak  terlalu  besar.  Rata-rata peningkatan  IPM  dari  tahun  2010  sampai  dengan  tahun  2022  sebesar  0,77%  per  tahun. Daerah  di  Indonesia  mempunyai  karakteristik  dan  geografis    berbeda  yang  berpengaruh terhadap  pembangunan  manusianya.  Selain  itu,  pembangunan  manusia  dipengaruhi  oleh pertumbuhan  ekonomi.  Pembangunan  manusia  bersifat  jangka  panjang  sedangkan pertumbuhan ekonomi tidak sepenuhnya sebanding dengan pembangunan manusia. Dalam satu dekade terakhir Indonesia mengalami pembangunan manusia yang kurang merata atau mengalami  penurunan  antar  wilayah.  Upaya  untuk  meningkatkan  pembangunan  manusia diperlukan cara yang tepat dan terkoordinasi serta mendukung program bidang satu sama
lain.  Pandemi  Covid-19  memberikan  pengaruh  bagi  seluruh  aspek  bidang  secara  tidak langsung menjadi tantangan bagi Indonesia dalam menghadapi kondisi tersebut.
Menurut Supranto (2004), analisis klaster merupakan analisis yang menggabungkan  objek  yang  memiliki  karakeristik  sama.  Ukuran  jarak  digunakan  untuk mengukur karakteristik, dimana semakin besar jarak yang dihasilkan menunjukkan bahwa objek  semakin  menjauhi  pusat  klaster.  Dalam  menganalisis  metode  yang  digunakan  pada analisis  klaster  salah  satunya K-Medoids atau Partitioning  Around  Medoids .  Han  dan Kamber  (2006)  menyatakan  bahwa K-medoids merupakan  suatu  teknik  pengelompokan objek yang digunakan sebagai solusi mengatasi adanya pencilan. Dalam hal ini, K-medoids dianggap  lebih  unggul  daripada  metode K-Means yang  lebih  mudah  dipengaruhi  oleh adanya  pencilan.  Metode  yang  dipakai  untuk  menghitung  jumlah  klaster  adalah menggunakan  metode Silhouette  Coefficient dan  metode Elbow .  Menurut  Rousseeuw (1987)  menyatakan  bahwa Silhouette  Coefficient merupakan  metode  yang  efektif  untuk menentukan jumlah klaster terbaik karena metode ini dapat memperkirakan seberapa dekat data  di  suatu  kelompok  dan  selisih  antar  kelompok  yang  berlainan.  Menurut  Madhulata (2012),  keunggulan  dari  metode Elbow bekerja  dengan  menghitung  persentase perbandingan  antara jumlah klaster yang membentuk  titik siku  untuk menentukan jumlah klaster terbaik.

## 2. TINJAUAN PUSTAKA
Menurut UNDP ( United Nations Development Programme ) 1990 dalam Badan Pusat Statistik  (2021),  pembangunan  manusia  merupakan  pilihan  atau  keputusan  pemerintah dalam  skala  besar  yang  diproses  sehingga  terlahirnya  kebijakan  dengan  tujuan  utama pembangunan.  Perhitungan  Indeks  Pembangunan  Manusia  (IPM)  didasarkan  oleh  empat data  komponen  sebagai  gambaran  yaitu,  angka  melek  huruf,  angka  harapan  hidup, pendapatan yang disesuaikan, dan rata-rata lama sekolah.
Menurut  Rousseeuw  dan  Leroy  (1996),  mendeteksi  pencilan  berfungsi  untuk mengindentifikasi  sistem  yang  berbeda  atau  salah  dari  data  lainnya  sehingga  berakibat fatal.  Terdapat  dua  jenis  pencilan  yaitu  univariat  dan  multivariat.  Analisis  klaster menggunakan  pencilan  multivariat  sebagai  alat  untuk  mendeteksi  pencilan.  Mendeteksi pencilan  menggunakan  kuadrat  jarak  Mahalanobis  ( 𝑑 𝑀𝐷 2 )    pada  objek  ke-i  dengan  pusat data menggunakan rumus sebagai berikut:
𝑑 𝑀𝐷 2 (𝑖) = (𝒙 𝒊 − 𝒙 ̅) 𝑻 𝞢 −𝟏 (𝒙 𝒊 − 𝒙 ̅), 𝑖 = 1,2, … , 𝑛 (1)
dengan 𝑑 𝑀𝐷 2 (𝑖) adalah  nilai kuadrat jarak mahalanobis objek ke-i dengan pusat data, 𝒙 𝒊 adalah  objek  pengamatan  ke-i, 𝒙 ̅ adalah  rata-rata  variabel,  dan 𝞢 −𝟏 adalah  matriks kovarian dari variabel.
Analisis  klaster  adalah  metode  yang  digunakan  dalam  analisis  multivariat  dengan tujuan  sebagai  metode  pengelompokan  objek-objek  sesuai  dengan  karakteristik  yang dimilikinya.  Sehingga  objek  yang  memiliki  persamaan  karakteristik  atau  mendekati persamaan akan dikelompokkan di dalam klaster yang sama.
Menurut Gujarati (2009  multikolinearitas dijelaskan sebagai  hubungan linier lengkap atau benar-benar ada di antara satu atau beberapa variabel dalam satu set data. Salah satu metode untuk mengindetifikasi terjadinya multikolinearitas yaitu dengan mencari besarnya nilai Varians Inflation Factor (VIF) menggunakan Persamaan di bawah ini:
𝑉𝐼𝐹 𝑙 = 1 (1−𝑅 𝑙 2 ) , l = 1, 2, …, p (2)
dengan 𝑅 𝑙 2 adalah koefisien korelasi.
Analisis klaster merupakan pengukuran objek yang dilakukan berdasarkan adanya kemiripan  antar  objek  satu  sama  lain.  Sehingga  dalam  analisis  klaster,  mengukur
persamaan antar objek merupakan hal yang penting. Jarak Euclidean (Euclidean Distance ) adalah  suatu  jarak  yang  digunakan  dalam  perhitungan  jarak  antar  objek  dengan  cara menjumlahkan  kuadrat  selisih  nilai  dari  setiap  variabel  objek,  kemudian  diambil  akar kuadrat  dari  hasil  penjumlahan  tersebut.  Menurut  Anderberg  (1973)  menjelaskan  bahwa terdapat  formula  untuk  menghitung  jarak Euclidean yang  dapat  digunakan,  yaitu  sebagai berikut:
𝑑 𝑖,𝑗 = √∑ (𝑥 𝑖𝑙 − 𝑥 𝑗𝑙 ) 2 𝑝 𝑙=1 , 𝑖  =  1,2,3, . . . , 𝑛 dan 𝑗  =  1,2,3, . . , 𝑛 (3)
dengan 𝑑 (𝑖,𝑗) merupakan  selisih  antar  objek 𝑖 dengan  objek 𝑗 , 𝑥 𝑖𝑙 merujuk  pada  besarnya objek 𝑖 dalam variabel ke- 𝑙 , 𝑥 𝑗𝑙 merujuk pada besarnya objek 𝑗 dalam variabel ke- 𝑙 , dan 𝑝 merepresentasikan jumlah variabel.
K-Medoids adalah  metode  serupa  dengan K-Means karena  memiliki  tujuan  untuk mengurangi  sensitivitas  terhadap  nilai  ekstrim  pada  objek  yang  diperoleh  dari  kumpulan data,  seperti  yang  dijelaskan  oleh  Vercellis  (2009).  Han  dan  Kamber  (2006)  menyatakan bahwa langkah-langkah dalam Partitioning Around Medoids adalah sebagai berikut:
1. Pada tahap awal klasterisasi, dilakukan inisialisasi pusat klaster sebanyak K
2. Memilih acak k medoid awal dari total n data yang tersedia.
3. Perhitungan jarak sementara antara setiap objek dengan medoid yang dipilih.
4. Selanjutnya, objek yang memiliki jarak terdekat dengan medoid ditandai dan total jaraknya dihitung menggunakan rumus jarak Euclidean.
5. Langkah  ke-5  dari  metode partitioning  around  medoids adalah  memilih  objek secara  acak  pada  setiap  klaster  sebagai  medoid  kandidat  baru,  kemudian menghitung  jarak  antara  setiap  objek  pada  klaster  dengan  medoid  kandidat  baru tersebut.
6. Langkah  ke-6  dalam  metode partitioning  around  medoid dilakukan  dengan menghitung  total  selisih  jarak  antara  medoid  awal  dan  medoid  baru.  Untuk melakukan hal ini, rumus yang digunakan adalah S = b - a, dalam hal ini variabel a mengindikasikan  total  jarak  terpendek  antara  objek  dengan  medoid  awal, sedangkan  variabel  b  menunjukkan  total  jarak  terpendek  antara  objek  dengan medoid yang baru diganti. Nilai S kurang dari atau sama dengan 0, maka kembali ke langkah ke-2 dan metode berhenti ketika nilai S lebih besar dari 0.
Setelah  klaster  terbentuk,  metode Silhouette  Coefficient dan  metode Elbow berfungsi sebagai  penentu total klaster yang optimal. Metode Silhouette Coefficient berperan dalam menentukan  kualitas  dan  kekuatan  klaster  yang  terbentuk.  Menurut  Handoyo  dkk  (2014) perhitungan Silhouette Coefficient terdapat beberapa tahap yaitu:
a. Menghitung nilai rata-rata jarak antara suatu objek tertentu, misalnya objek i, dimana seluruh objek lainnya berada di klaster yang sama dengan menggunakan Persamaan di bawah ini:
𝑎(𝑖) = 1 |𝐴|−1 ∑ 𝑑 𝑖,𝑗 𝑗∈𝐴,𝑗≠1 (4)
dengan |𝐴| ialah banyaknya objek di klaster 𝐴 , 𝑖, 𝑗 adalah indeks dari objek, dan 𝑑 𝑖,𝑗 ialah selisih antar objek ke- 𝑖 dengan objek ke- 𝑗 .
b. Untuk  menghitung  rata-rata  jarak  objek  i  ke  seluruh  objek  di  klaster  lain,  digunakan rumus sebagai berikut:
𝑑 𝑖,𝐴 ′ = 1 |𝐴 ′ | ∑ 𝑑 𝑖,𝑗 𝑗∈𝐴 ′ (5)
dengan 𝑑 𝑖,𝐴 ′ ialah  jarak  rata-rata  objek 𝑖 dengan  seluruh  objek  di  klaster  lain  dan 𝐴 ′ adalah banyaknya objek di klaster selain A.
c. Menentukan atau memilih nilai jarak terkecil atau paling minimum, misalnya 𝑏(𝑖) :
𝑏(𝑖) = 𝑑 𝑖,𝐴 ′ 𝐴 ′ ≠𝐴 𝑚𝑖𝑛 (6) d. Menghitung Silhoutte Coefficient
𝑠(𝑖) = 𝑏(𝑖)−𝑎(𝑖) max  {𝑎(𝑖),𝑏(𝑖)} (7) 𝑆𝐶 = ∑ 𝑠(𝑖) 𝑛 𝑖−1 (8)
Silhouette  Coefficient adalah  suatu  metrik  yang  menunjukkan  sejauh  mana  data dalam  sebuah  kelompok  memiliki  kesamaan,  dan  dihitung  secara  individual  untuk  setiap objek  dalam  kelompok.  Semakin  mendekati  angka  1  pada Silhouette  Coefficient ,  maka semakin  tinggi  kualitas  pengelompokkan  pada  satu  kelompok  tersebut.  Sebaliknya, semakin  mendekati  nilai  -1  pada Silhouette  Coefficient ,  maka  semakin  buruk  kualitas pengelompokkan  pada  satu  klaster  tersebut.  Menurut  Rousseeuw  (1987),  kriteria pengukuran Silhouette Coefficient sebagai berikut:
Tabel 1. Ukuran Silhouette Coefficient Silhouette Coefficient Intepretasi yang disesuaikan 0,7 < SC ≤ 1,0 Susunan sangat baik 0,5 < SC ≤ 0,7 Susunan baik 0,25 < SC ≤ 0,5 Susunan lemah SC ≤ 0,25 Susunan buruk
Menurut  Madhulata  (2012)  dalam  Merliana  &  Santoso  (2015)  menyatakan  bahwa metode Elbow adalah metode yang berfungsi untuk mendapatkan informasi dengan tujuan sebagai  penentu  klaster  terbaik  menggunakan  cara  menganalisis  hasil  persentase  dari perbandingan banyaknya klaster berbentuk titik-titik siku.  Penentuan klaster yang paling optimal,  dapat  dilakukan  dengan  perhitungan  besarnya Sum  of  Square  Error (SSE)  pada setiap  klaster.  Rumus Sum  of  Square  Error (SSE)  untuk  klaster  ke-t  ( 𝑆𝑆𝐸 𝑡 )  dan  seluruh klaster ( 𝑆𝑆𝐸 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 ) sebagai berikut (Irwanto, dkk 2012) : 𝑆𝑆𝐸 𝑘 =   ∑ ∑ |𝑥 𝑖 − 𝑥̅ 𝑘𝑙 | 2 𝑚 𝑘 𝑖=1 𝑝 𝑙=1 (9) 𝑆𝑆𝐸 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 =   ∑ 𝑆𝑆𝐸 𝑘 𝐾 𝑘=1 (10)
dengan 𝑥 𝑖 adalah objek ke- 𝑖 dan 𝑥̅ 𝑘𝑙 adalah central pada klaster ke- 𝑘 variabel ke - l. Menurut Dewi dan Pramita (2019) , Davies Bouldin Index (DBI)  merupakan suatu teknik untuk mengevaluasi atau mengendalikan hasil klastering. Dalam teknik ini, klaster yang  paling  baik  adalah  klaster  yang  memiliki  nilai  DBI  paling  kecil.  Cara  mencari  nilai Davies Bouldin Index digunakan Persamaan di bawah ini:
1. Persamaan Sum  of  square  within  cluster (SSW)  berfungsi  untuk  mengetahui  tingkat kohesi ke- 𝑡 .
𝑆𝑆𝑊 𝑘 = 1 𝑚 𝑘 ∑ 𝑑 𝑥 𝑖 ,𝑐 𝑘 𝑚 𝑘 𝑖=1 (11)
dengan 𝑚 𝑘 adalah banyaknya objek di klaster ke- k, 𝑐 𝑘 adalah centroid pada klaster ke- k, dan 𝑑 (𝑥 𝑖 ,𝑐 𝑘 ) adalah  jarak euclidean setiap objek ke centroid .
2. Sum  of  Square  Between  cluster (SSB)  digunakan  sebagai  alat  ukur  seberapa  jauh setiap klaster berada satu sama lainnya dalam pengelompokan data.
𝑆𝑆𝐵 𝑘,𝑡 = 𝑑 (𝑐 𝑘 ,𝑐 𝑡 ) (12)
dengan 𝑑 (𝑐 𝑘 ,𝑐 𝑡 ) adalah jarak antar centroid klaster k dan klaster t.
3. Dilakukan perhitungan rasio ( 𝑅 𝑘,𝑡 ) untuk menentukan besar kecilnya nilai antara ke- k dan klaster ke- t .
𝑅 𝑘,𝑡 = 𝑆𝑆𝑊 𝑘 +𝑆𝑆𝑊 𝑡 𝑆𝑆𝐵 𝑘𝑡 (13)
dengan 𝑅 𝑘,𝑡 adalah rasio antar klister, 𝑆𝑆𝑊 𝑘 adalah Sum of Square Within Cluster k , 𝑆𝑆𝑊 𝑡 adalah Sum of Square Within Cluster t,  dan 𝑆𝑆𝐵 𝑘𝑡 adalah separasi pada klaster k dan t .
4. Perhitungan untuk memperoleh nilai Davies Bouldin Index (DBI) sebagai berikut:
𝐷𝐵𝐼 = 1 𝐾 ∑ max 𝑘≠𝑡 𝑅 𝑘,𝑡 𝐾 𝑘=1 (14)
dengan 𝐾 adalah  banyaknya  klaster  yang  digunakan  dan 𝑅 𝑘,𝑡 adalah  rasio  antara klaster u dan t.

## 3. METODE PENELITIAN
Informasi  yang  diambil  sebagai  dasar  penelitian  ini  termasuk  dalam  jenis  data sekunder  berkaitan  dengan  Indeks  Pembangunan  Manusia  (IPM)  Tahun  2022  pada  34 provinsi di Indonesia. Data tersebut dirilis oleh Badan Pusat Statistik RI pada tahun yang sama  dan  disediakan  oleh  Badan  tersebut.  Variabel  yang  dipakai  dalam  penelitian  yaitu indikator untuk  menghitung  IPM  di  Indonesia. Terdapat  empat variabel  yang digunakan, yaitu: Y 1 = yang meliputi umur harapan hidup saat lahir; Y 2 = yang meliputi harapan lama sekolah; Y 3 =  yang  meliputi  rata-rata  lama  sekolah; Y 4 =  yang  meliputi  pengeluaran perkapita disesuaikan.
Metode  yang  dipakai  dalam  analisis  klaster  dalam  penelitian  ini  yaitu  metode Partitinoning  Around  K-medoid atau K-medoids dengan  menggunakan  jarak euclidean sebagai  pengukuran  jaraknya  serta  penerapan  metode Elbow dan Silhouette  Coefficent sebagai pembanding kualitas klaster. Terkait dengan penelitian ini, dilakukan pengelolaan data  dengan  menerapkan  serta  mengoperasikan  beberapa  perangkat  lunak,  seperti  SPSS, Microsoft  Excel ,  dan R  Studio 4.1.3.  Berikut  adalah  tahapan-tahapan  analisis  yang dilakukan:
1. Memasukkan objek ke dalam software yang digunakan sebagai alat bantu
2. Melakukan standarisasi seluruh variabel
3. Mendeteksi objek terhadap  pencilan menggunakan kuadrat jarak mahalanobis
4. Menguji  asumsi  untuk  mendeteksi  multikolinearitas  dengan  nilai Varians  Inflations Factor (VIF) .
5. Menganalisis klaster menggunakan metode K-Medoids , sebagai berikut :
1) Pada tahap awal klasterisasi, dilakukan inisialisasi pusat klaster sebanyak K
2) Memilih acak k medoid awal dari total n data yang tersedia.
3) Perhitungan jarak sementara antara setiap objek dengan medoid yang dipilih.
4) Selanjutnya, objek yang memiliki jarak terdekat dengan medoid ditandai dan total jaraknya dihitung menggunakan rumus jarak Euclidean.
5) Langkah  ke-5  dari  metode partitioning  around  medoids adalah  memilih  objek secara  acak  pada  setiap  klaster  sebagai  medoid  kandidat  baru,  kemudian menghitung  jarak  antara  setiap  objek  pada  klaster  dengan  medoid  kandidat  baru tersebut.
6) Langkah  ke-6  dalam  metode partitioning  around  medoid dilakukan  dengan menghitung  total  selisih  jarak  antara  medoid  awal  dan  medoid  baru.  Untuk melakukan hal ini, rumus yang digunakan adalah S = b - a, dalam hal ini variabel a mengindikasikan  total  jarak  terpendek  antara  objek  dengan  medoid  awal, sedangkan  variabel  b  menunjukkan  total  jarak  terpendek  antara  objek  dengan medoid yang baru diganti. Nilai S kurang dari atau sama dengan 0, maka kembali ke langkah ke-2) dan metode berhenti ketika nilai S lebih besar dari 0.
6. Melakukan  validasi  klaster  untuk  menentukan  jumlah  klaster  optimal  menggunakan metode Elbow dan metode Silhouette Coefficient
7. Melakukan evaluasi klaster dari hasil klaster yang telah didapatkan menggunakan dua langkah, sebagai berikut :
a. Menghitung  nilai Davies  Bouldin  Index pada  metode Elbow dan Shilhouette Coefficient.
b. Melakukan  perbandingan  dari  hasil  perhitungan Davies  Bouldin  Index antara metode Elbow dan Silhouette Coefficient.
8. Mengintepretasi  hasil  dari  karakteristik  daerah  provinsi  berdasarkan  perbandingan hasil  yang  terbaik  dari  evaluasi  klaster  antara  metode Elbow dan Silhouette Coefficient .

## 4. HASIL DAN PEMBAHASAN
Penelitian ini menggunakan data indikator indeks pembangunan manusia pada seluruh provinsi  di  Indonesia  yang  disediakan  oleh  Badan  Pusat  Statistik  RI  Tahun  2022.  Data tersebut  terdiri  dari  empat  indikator,  yaitu  harapan  hidup  saat  lahir  ( Y 1 ),  harapan  lama sekolah ( Y 2 ), rata-rata lama sekolah ( Y 3 ), dan pengeluaran perkapita disesuaikan (Y 4 ).
Tabel 2. Data Indikator Indeks Pembangunan Manusia Objek ke- Provinsi Y 1 Y 2 Y 3 Y 4 1 Aceh 70,180  14,370 9,440 9963 2 Sumatera Utara 69,610  13,310 9,710 10848 3 Sumatera Barat 69,900  14,100 9,180 11130 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 34 Papua 66,230 11,140 7,020 7146
Berdasarkan  Tabel  2,  dapat  diketahui  nilai  empat  variabel  atau  indikator  indeks pembangunan manusia dari Y 1 sampai Y 4 pada 34 provinsi di Indonesia yang dimulai dari Provinsi  Aceh,  Provinsi  Sumatera  Utara,  sampai  Provinsi  Papua.  Statistika  deskriptif digunakan  untuk  memberikan  gambaran  karakteristik  dari  setiap  indikator  atau  variabel yang  digunakan  mencakup  nilai  minimum,  standar  deviasi,  rata-rata  ( mean ), range ,  dan maksimum
Dari  informasi  yang  terdapat  pada  Tabel  3,  didapatkan  ciri-ciri  data  dari  setiap variabel atau indikator yang dipakai pada penelitian ini. Variabel Y 1 , yaitu provinsi dengan indikator  umur  harapan  hidup  saat  lahir,  memiliki  angka  minimal  sebesar  66,230  yang terdapat  di  Provinsi  Papua,  angka  rata-rata  ( mean )  sebesar  70,420,  dan  angka  maksimal sebesar  75,080  yang  terdapat  di  Provinsi  DI  Yogyakarta.  Variabel Y 2 ,  yaitu  persentase provinsi dengan indikator harapan lama sekolah, memiliki angka minimal sebesar 11,140 yang  terdapat  di  Provinsi  Papua,  angka  rata-rata  ( mean )  sebesar  13,240,  dan  angka maksimal  sebesar  15,650  yang  terdapat  di  Provinsi  DI  Yogyakarta.  Variabel Y 3 ,  yaitu persentase  provinsi  dengan  indikator  rata-rata  lama  sekolah,  memiliki  angka  minimal sebesar 7,020 yang terdapat di Provinsi Papua, angka rata-rata ( mean ) sebesar 8,839, dan angka maksimal sebesar 11,310 yang terdapat di Provinsi DKI Jakarta. Variabel Y 4 , yaitu persentase  provinsi  dengan  indikator  pengeluaran  per  kapita,  memiliki  angka  minimal sebesar 7146 yang terdapat di Provinsi Papua, angka rata-rata ( mean ) sebesar 11080, dan angka maksimal sebesar 18927 yang terdapat di Provinsi DKI Jakarta.
Tabel 3. Statistika Deskriptif  Variabel Pengamatan Variabel  Minimal Mean Maksimal Standar Deviasi Range
Y 1 66,230 70,420 75,080 2,415 8,850 Y 2 11,140 13,240 15,650 0,730 4,510 Y 3 7,020 8,839 11,310 0,909 4,290 Y 4 7146 11080 18927 2213 11781
Standarisasi data digunakan untuk menyetarakan skala pada variabel yang berbeda. Menghitung  standarisasi  menggunakan  nilai Z  score yang  didapatkan  dari  nilai  objek dikurangkan nilai rata-rata ( mean ) variabel dan membaginya dengan nilai standar deviasi. Berdasarkan nilai standarisasi empat variabel atau indikator indeks pembangunan manusia dari X 1 sampai X 4 pada 34 provinsi di Indonesia yang dimulai dari Provinsi Aceh , Provinsi Sumatera Utara, sampai Provinsi Papua.
Untuk mendeteksi pencilan dalam penelitian ini, dilakukan perhitungan jarak setiap nilai  objek  ke  pusat  data  (rata-rata  dari  semua  objek)  menggunakan  jarak  kuadrat Mahalanobis  dengan  menggunakan  Persamaan  (1).  Setelah  perhitungan  tersebut, ditemukan  empat  provinsi  yang  nilai  jarak  kuadrat  Mahalanobisnya  melebihi  nilai  kritis distribusi chi-kuadrat ( 𝜒 0,95;4 2 =9,487729),  yaitu  Provinsi  DKI  Jakarta  dengan  nilai  jarak kuadrat Mahalanobis sebesar 15,9070, Provinsi D.I. Yogyakarta dengan nilai jarak kuadrat Mahalanobis  sebesar  14,1669,  Provinsi  Maluku  dengan  nilai  jarak  kuadrat  Mahalanobis sebesar  9,7599,  dan  nilai  jarak  kuadrat  Mahalanobis  Papua  adalah  9,8560.  Sehingga provinsi  tersebut  bersama  dengan  dua  provinsi  lainnya  dianggap  sebagai  pencilan. Disimpulkan bahwa data indikator indeks pembangunan manusia mengandung pencilan.
Untuk  menguji  asumsi  non-multikolinearitas  dalam  penelitian  ini  pada  Tabel  4, dilakukan  perhitungan  besarnya Variance  Inflation  Factor (VIF)  di  variabel  pengamatan dengan  menggunakan  Persamaan  (2)  bahwa  nilai  VIF  pada  variabel 𝑋 1 sampai 𝑋 4 tidak ada  yang  melebihi  angka  10.  Disimpulkan  bahwa  data  indikator  indeks  pembangunan manusia telah memenuhi asumsi non-multikolinearitas.
Tabel 4. Nilai VIF Variabel Koefisien Determinasi VIF X 1 0,3888 1,569705 X 2 0,2345 1,310339 X 3 0,4782 1,896285 X 4 0,5225 1,986897
Tabel  5  menunjukkan  hasil  pengklasteran  menggunakan  metode K-Medoids pada k =2,3,4,5, dan 6. Objek medoid dan anggota setiap klaster dapat diketahui melalui proses running sintaks yang dilakukan.
Tabel 5. Jumlah Klaster Dari Proses Klasterisasi k =2, 3, 4, 5, dan 6
K Kelompok ke- Jumlah Objek Medoid 2 1 28 Objek ke- 5 2 6 Objek ke- 33 3 1 23 Objek ke-5 2 5 Objek ke-17 3 6 Objek ke-33
4 1 10 Objek ke- 7 2 14 Objek ke- 5 3 5 Objek ke - 17 4 5 Objek ke - 33 5 1 10 Objek ke-7 2 14 Objek ke-5 3 4 Objek ke-17 4 1 Objek ke -14 5 5 Objek ke -33 6 1 10 Objek ke -7 2 14 Objek ke -5 3 3 Objek ke -17 4 1 Objek ke-11 5 1 Objek ke -14 6 5 Objek ke-33
Pada  penelitian  Tugas  Akhir  ini  menggunakan  dua  metode  untuk  menentukan  jumlah klaster teroptimal yaitu Silhouette Coefficient dan metode Elbow.
a. Metode Silhoutte Coefficient
Dari hasil grafik output menggunakan metode Silhoutte Coefficient yang tertera pada Gambar 1.
Gambar 1. Grafik Silhoutte Coefficient
Dari  analisis  grafik Silhouette  Coefficient ,  ditemukan  jumlah  klaster  optimal  yang terbentuk  adalah  tiga  klaster  ( k=3 ).  Kesimpulan  ini  didasarkan  pada  nilai Silhouette Coefficient pada k=3 lebih  besar  daripada  nilai  rata-rata  pada  k  yang  lain.  Melalui penggunaan  perangkat  lunak Rstudio  4.1.3  dan  Microsoft  Excel .  Berikut  adalah  nilai Silhouette Coefficient yang diperoleh :
Tabel 6. Hasil Akhir Perhitungan Silhouette Coefficient Total Klaster Nilai Silhouette Coefficient 2 0,3108 3 0,3129 4 0,2348 5 0,2419 6 0,2621
Dari Tabel 6. dapat diambil kesimpulan bahwa jumlah klaster paling optimal adalah k =3  dengan  nilai Silhoutte  Coefficient sebesar  0,3129  yang  lebih  besar  daripada  nilai Silhouette Coefficient jumlah klaster lainnya.
b. Metode Elbow
Diperoleh grafik output menggunakan metode Elbow yang tertera pada Gambar 3.
Gambar  2. Grafik Menggunakan Metode Elbow
Berdasarkan  pada  grafik  metode  Elbow  diperoleh  jumlah  klaster  optimal  berada  di k =4. Hal ini dikarenakan pada k =4 terjadinya penurunan drastis atau membentuk siku daripada lainnya. Sehingga diperoleh pehitungan SSE pada seluruh klaster sebagai berikut :
Tabel 7. Hasil Perhitungan SSE Klaster Sum of Square Error 2 119,9209 3 70,5426 4 54,5548 5 45,8322 6 35,0426
Dari  output  pada  grafik  menggunakan  metode Elbow titik  yang  membentuk  siku berada pada titik ( k =4) dan hasil perhitungan Sum Square Error nilai yang paling optimal berada pada k =4 dengan hasil sebesar 54,5548 karena pada titik k =4 nilai SSE mengalami perubahan paling drastis sehingga dapat disimpulkan bahwa mengggunakan metode Elbow yaitu k =4.  Penelitian  Tugas  Akhir  ini  menggunakan  metode Silhouette  Coefficient dan metode Elbow yang  digunakan  sebagai  penentu  jumlah  klaster  terbaik  agar  didapatkan jumlah dan hasil klaster yang sesuai dengan kriteria data indeks pembangunan manusia dan menggunakan  metode Davies  Bouldin  Index sebagai  penentu  dari  dua  metode  yang digunakan tersebut.
Tabel 8. Hasil Perhitungan Davies Bouldin Index K Metode Davies Bouldin Index 3 Silhoutte Coefficient 1,3185 4 Elbow 1,1754
Dari hasil tersebut dapat ditarik kesimpulan bahwa 4 klaster memiliki nilai Davies Bouldin  Index terendah  dan  merupakan  jumlah  klaster  yang  optimal.  Dengan  demikian, metode partitioning  around  medoid akan  digunakan  untuk  melakukan  pengelompokan provinsi di Indonesia berdasarkan tingkat pembangunan manusia yang terdapat pada setiap provinsi menjadi 4 klaster (k=4) dengan pengukuran jarak Euclidean . Hasil pengklasteran provinsi  di  Indonesia  dengan  metode partitioning  around  medoids berdasarkan  data indikator  indeks  pembangunan  manusia  tahun  2022  dengan  jumlah  4  klaster  dan  Tabel  9 memperlihatkan  hasil  pengukuran  jarak Euclidean yang  dihasilkan  dari running sintaks software Rstudio 4.1.3.
Tabel 9. Hasil Klasterisasi Terbaik ( k =4) Klaster Objek Medoid Jumlah Anggota Provinsi 1 Objek ke-7 (Provinsi Bengkulu) 10 Sulawesi  Tengah,  Maluku  Utara,  Aceh, Bengkulu, Sumatera Barat, Sulawesi Tenggara,  Sulawesi  Selatan,  Gorontalo, Sumatera Utara, dan Maluku. 2 Objek ke- 5 (Provinsi Jambi) 14 Sumatera  Selatan,  Kalimantan  Selatan, Riau, Banten, Jambi, Lampung, Kalimantan  Tengah,  Sulawesi  Utara,  Jawa Tengah,  Kalimantan  Utara,  Jawa  Timur,  , Kalimatan  Barat,  Jawa  Barat,  dan  Kep. Bangka Belitung. 3 Objek ke-17 (Provinsi Bali) 5 Bali,  Kalimantan  Timur,  DI  Yogyakarta, Kep. Riau, dan DKI Jakarta. 4 Objek ke-33 (Provinsi Papua Barat) 5 Papua, Nusa Tenggara Timur, Papua Barat, Nusa Tenggara Barat, dan Sulawesi Barat.
Tabel  10  menampilkan  rata-rata  nilai  dari  setiap  variabel  dalam  setiap  kelompok  klaster yang terbentuk sebagai representasi dari hasil klasterisasi.
Tabel 10. Nilai Rata-RataVariabel di Setiap Kelompok Klaster
Variabel Kelompok Klaster 1 Kelompok Klaster 2 Kelompok Klaster 3 Kelompok Klaster 4 Provinsi  yang  memiliki  harapan hidup saat lahir (Y 1 ) 69,44 71,49 73,22 66,57 Provinsi  yang  memiliki  harapan lama untuk menyelesaikan pendidikan formal ( Y 2 ) 13,69 12,85 13,81 12,88
Provinsi  yang  memiliki  rata-rata lama pendidikan yang dicapai ( Y 3 ) 9,15 8,58 10,15 7,65
Provinsi  yang  memiliki  pengeluaran per kapita disesuaikan ( Y 4 ) 10158 11250 14892 8633
Berdasarkan Tabel 10, beberapa informasi yang diperoleh adalah sebagai berikut:
a. Klaster 1
Pada  klaster  pertama  terdiri  10  provinsi,  yaitu  :  Sumatera  Barat,  Sulawesi  Tengah, Maluku,  Bengkulu,  Sulawesi  Selatan,  Sulawesi  Tenggara,  Gorontalo,  Sumatera  Utara, Maluku Utara, dan Aceh. Klaster 1 mempunyai dua variabel yaitu Y 2 dan Y 3 dengan rata- rata  lebih  rendah  daripada  klaster  3  dan  lebih  tinggi  daripada  klaster  2  dan  klaster  4. Kemudian pada variabel Y 1 dan Y 4 lebih tinggi dari klaster 4 dan lebih rendah dari klaster 2 dan  klaster  3.  Dari  penilaian  empat  indikator  tersebut,  provinsi  yang  berada  pada  klaster satu berada pada tingkat sedang atau baik dari segi pembangunan manusia.
b. Klaster 2
Pada  klaster  dua  terdapat  14  provinsi,  yaitu  :  Sumatera  Selatan,  Kalimantan  Selatan, Riau,  Banten,  Jambi,  Lampung,  Kalimantan  Tengah,  Sulawesi  Utara,  Jawa  Tengah, Kalimantan Utara, Jawa Tiimur, Kalimatan Barat, Jawa Barat, dan Kep. Bangka Belitung. Klaster  2  mempunyai  variabel Y 1 dan Y 4 yang  lebih  rendah  daripada  klaster  3  dan  lebih tinggi  daripada  klaster  1  dan  klaster  4.  Kemudian  pada  variabel Y 2 lebih rendah  daripada
klaster 1, klaster 3, dan klaster 4. Pada variabel Y 3 lebih tinggi daripada klaster 4 dan lebih rendah  daripada  klaster  1  dan  klaster  3.  Dari  penilaian  empat  indikator  tersebut,  provinsi yang berada pada klaster dua berada pada tingkat rendah dari segi pembangunan manusia.
c. Klaster 3
Pada  klaster  tiga  terdapat  5  provinsi,  yaitu  :  DI  Yogyakarta,  Kep.  Riau,  Bali,  DKI Jakarta, dan Kalimantan Timur. Klaster 3 mempunyai rata-rata variabel Y 1 , Y 2 , Y 3 , dan Y 4 lebih  tinggi  daripada  klaster  1,  klaster  2,  dan  klaster  4.  Dari  penilaian  empat  indikator tersebut, provinsi yang berada pada klaster tiga berada pada tingkat yang paling baik dari segi pembangunan manusia.
d. Klaster 4
Pada  klaster  empat  terdapat  5  provinsi,  yaitu  :  Papua  Barat,  Sulawesi  Barat,  Nusa Tenggara  Barat,  Papua,  dan  Nusa  Tenggara  Timur.  Pada  klaster  4  mempunyai  rata-rata variabel Y 1 , Y 3 , dan Y 4 lebih rendah daripada klaster 1, klaster 2, dan klaster 4. Kemudian pada variabel Y 2 lebih tinggi dari daripada klaster 2 dan lebih rendah daripada klaster 1 dan klaster 3. Dari penilaian empat indikator tersebut, provinsi yang berada pada klaster empat berada pada tingkat paling rendah atau kurang baik dari segi pembangunan manusia.

## 5. KESIMPULAN
Dari  hasil  penelitian  ini  menggunakan  metode  Silhouette  Coefficient  didapatkan klaster  terbaik  dengan  3  klaster  dan nilai  Silhouette  Coefficient yaitu  0,3129,  serta  nilai Davies  Bouldin  Index  (DBI )  yaitu  1,3185.  Sementara  itu,  menggunakan  metode  Elbow didapatkan  klaster  terbaik  dengan  4  klaster  dan  nilai  SSE  sebesar  54,5548,  serta  nilai Davies  Bouldin  Index  (DBI)  sebesar  1,1754.  Sehingga dapat  ditarik  kesimpulan  bahwa sesuai dengan Indeks Pembangunan Manusia, terdapat empat kelompok yang paling cocok untuk  diterapkan  di  wilayah  provinsi  Indonesia,  terdiri  dari  klaster  1  yang  terdiri  dari  10 provinsi pada tingkat sedang atau baik, klaster 2 yang terdiri dari 14 provinsi pada tingkat rendah,  klaster  3  yang  terdiri  dari  5  provinsi  pada  tingkat  tertinggi  atau  paling  baik,  dan klaster 4 yang terdiri dari 5 provinsi pada tingkat paling rendah atau kurang baik.

## DAFTAR PUSTAKA
Anderberg, M. 1973. Cluster Analysis for Application . New York: Academic Press.
Dewi,  D.  A.  I.  C.,  &  Pramita,  D.  A.  K.  2019.  Analisis  Perbandingan  Metode  Elbow  dan Silhouette pada Algoritma Clustering K-Medoids dalam Pengelompokan Produksi Kerajinan  Bali. Matrix:  Jurnal  Manajemen  Teknologi  Dan  Informatika , 9 (3),  102- 109.
Gujarati, D. 2009. Dasar-Dasar Ekonometrika. Jakarta: Erlangga
Han,  J.,  &  Kamber,  M.  2006. Data  Mining:  Concepts  and  Techniques .  San  Fransisco: Elsevier Inc.
Handoyo, R., Mangkudjaja, R., & Nasution, S. M. 2014. Perbandingan Metode Clustering Menggunakan  Metode  Single  Linkage  dan  K-means  Pada  Pengelompokan Dokumen. Jurnal Sifo Mikroskil, 15(2), 73-82.
Madhulatha,  T.S.,  2012. An  Overview  On  Clustering  Methods .  IOSR  Journal  of Engineering, II(4), pp.719-725
Merliana, N. P. E., & Santoso, A. J. 2015. Analisa Penentuan Jumlah Cluster Terbaik pada Metode K-Means Clustering.
Rousseeuw,  P.  J.,  &  Leroy,  A.  M.  1996. Robust  Regression  and  Outlier  Detection  Third Edition. New York: John Wiley & Sons, Inc.
Rousseeuw, P. 1987. Silhouettes: A Graphical Aid to the Interpretation and Validation of Cluster Analysis. Jornal of  Computational  and Applied Mathematics . Vol.20,  53– 65.
Statistik, B. P. 2022. Indeks Pembangunan Manusia (IPM) Indonesia Tahun 2022. Badan Pusat Statistik. Jakarta .
Supranto, J. 2004. Analisis Multivariat Arti dan Interpretasi. Jakarta : PT Rineka Cipta. Supranto, J. 2004b. Ekonometri. Jakarta: Ghalia Indonesia. Vercellis, C. 2009. Business Intelligence: Data Mining And Optimization For Decision Making (1st ed.). Milan: Wiley.