Vol. 6, No.2, 86-91,  Januari 2010
Pembinaan Olimpiade Matematika
Jeffry Kusuma 

## Abstrak
Pembinaan  olimpiade  matematika  dewasa  ini  sangat  gencar  dilakukan  mulai  dari  tingkat sekolah,  kecamatan,  kota,  propinsi  serta  nasional.  Akan  tetapi  masih  sangat  sedikit  prestasi yang  diperoleh  dibandingkan  dengan  usaha  yang  dilakukan  di  sulsel.  Tingkat  kemampuan siswa yang bagaimana dan  upaya apa saja yang harus dilakukan dalam meningkatkan prestasi olimpiade matematika di Sulsel didiskusikan dalam tulisan ini.
Kata Kunci : Operator, differensial, derivatif, ideal, prim.

## 1. Pendahuluan
Olimpiade  tidak  lain  dari  bentuk  perlombaan.  Olimpiade  Matematika  merupakan perlombaan  Matematika.  Banyak  organisasi  yang  menyelenggarakan  olimpiade  matematika seperti  LOPI  (Lembaga  Olimpiade  Matematika  Indonesia),  APMO  (Asian  Pasific  Mathematics Olimpiad),  IMO  (International  Mathematics  Olimpiad)  yang  merupakan  organisasi  yang menyelenggarakan perlombaan Matematika tingkat dunia.
Tujuan dari olimpiade matematika antara lain menemukan, mendorong, menantang siswa SMU  yang  berbakat  matematika,  memupuk  hubungan  persahabatan  internasional  antara  siswa dan guru, pertukaran informasi tentang silabi dan praktek pendidikan di seluruh dunia.
Tahapan  seleksi  olimpiade  dan  pembinaan  peserta  olimpiade  di  Indonesia  terdiri  dari  5 (lima) tahap yakni:
1. Seleksi tingkat kabupaten/kota
Dari pengalaman tahun tahun sebelumnya, seleksi ini menggunakan 20 soal yang masing masing  terdiri  dari  10  soal  pilihan  ganda  dan  10  soal  isian  singkat.  Waktu  yang disediakan untuk mengerjakan ke 20 soal tersebut adalah 90 menit.
2. Seleksi tingkat propinsi
Juga dari pengalaman tahun sebelumnya, seleksi ini terdiri dari 2 bagian. Bagian pertama, terdiri dari 20 soal isian dengan waktu yang tersedia 90 menit.  Test bagian kedua, terdiri dari 5 soal isian dengan waktu yang tersedia 120 menit.
3. Pembinaan di tingkat daerah
4. Seleksi tingkat nasional Seleksi  tingkat  nasional  terdiri  dari  4  soal  isian  pada  hari  pertama  dengan  waktu  180 menit dan 4 soal isian pada hari kedua dengan waktu 180 menit.
5. Pembinaan tahap pertama
6. Pembinaan tahap kedua/Pembinaan khusus
Untuk sukses berjalan menuju ke olimpiade matematika, yang harus dipunyai seseorang peserta  didik  adalah;  ketekunan,  pemahamam  konsep,  kreativitas,  wawasan  yang  luas  dan komunikatif.  Ketekunan  merupakan  syarat  mutlak  yang  harus  dipunyai.    Sering  kali  soal  soal yang  diujikan  dalam  olimpiade  terlihat  sangat  sulit.  Untuk  peserta  didik  yang  tidak  tekun,  soal
 Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Hasanuddin

## Jeffry Kusuma
tersebut  langsung  akan  ditinggalkan  dengan  sangat  segera  dan  mengakibatkan  kegagalan. Pemahaman  konsep  merupakan  syarat  yang  tidak  dapat  ditawar.  Pemahaman  konsep  yang mendalam  akan  sangat  membantu  dalam  menganalisa  persoalan.  Kreativitas  berpikir  berperan dalam  membantu  memecahkan  persoalan  yang  diujikan.  Wawasan  yang  luas  memungkinkan berpikir  berbagai  metode  dan  teknik  yang  dapat  diterapkan  menyelesaikan  persoalan. Komunikatif  akan  sangat  membantu  tim  juri  dalam  mengoreksi  atau  mengerti  cara    berpikir peserta didik secara tertulis.

## 2. Materi Olimpiade
Materi yang diujikan atau dilombakan dalam olimpiade matematika terdiri dari beberapa cabang matematika antara lain; teori bilangan, aljabar, geometri dan kombinatorik.  Tidak banyak perbedaan  cabang  matematika  diantara  materi  olimpiade  tingkat  SMP  dan  SMA.    Perbedaan utama hanya terletak pada kedalaman penguasaan konsep dan materi.
Untuk dapat lebih mengerti dan mendalami tingkat penguasaan peserta didik, materi yang dilombakan dan juga dalam membantu pendidik memutuskan akan mutu peserta didik yang dapat mengikuti olimpiade, marilah meninjau salah satu bidang matematika saja yaitu aljabar.

## Contoh 1.
Buktikanlah bahwa .
Solusi: Dengan memperhatikan bentuk kuadrat yang senantiasa positif, maka selalu berlaku
,
atau
,
kemudian pindahkan nilai ke ruas kanan persamaan maka terbuktilah pertidaksamaan di atas. Contoh  dan  solusi  pertidaksamaan  di  atas  tentunya  mungkin  muncul  dalam  soal  soal  olimpiade dengan  tingkat  SMP  mengingat  tingkat  kesulitan  dan  penguasaan  bilangan  kuadrat.  Penguasaan teorema  yang  mengatakan  kuadrat  dari  bilangan  Riil  senantiasa  positif  atau  nol  tentunya  harus telah mendarah daging. Untuk tingkat SMA, soal diatas tentunya terlalu mudah. Ditingkat SMA, variasi  dari  soal  diatas dengan  tingkat  kesulitan  yang  relatif  sama  dapat  saja  muncul  pada  soal- soal penyisihan daerah yakni pada saat yang sangat awal seleksi peserta olimpiade.  Pada tingkat peserta olimpiade tingkat provinsi dan sederajatnya, penguasaan  rataan aritmetika (AM), rataan geometri (GM), dan rataan harmonik (HM) beserta hubungan dan perluasan sifat sifat rataannya tentu telah harus dikuasai peserta, katakanlah mengenal teorema berikut.
Teorema 1.
Bila bilangan  Riil  positif  maka  rataan  Aritmetika  (AM)  adalah rataan  Geometri
(GM) adalah √ dan rataan Harmonik (HM) adalah
dan memenuhi hubungan AM
GM HM atau √

## Jeffry Kusuma
Penguasaan konsep dan teorema diatas beserta perluasaannya mutlak dikuasai peserta didik untuk berhasil  sampai  pada  seleksi  tingkat  provinsi.    Kreativitas  dari  peserta  didiklah  yang  akan menolong  peserta  didik  menyelesaikan  persoalan  dengan  tingkat  kesulitan  sederajat  yang diberikan.
Contoh 2. (Soal Balkan Mathematics Olympiad, Belgrade, Yugoslavia, May, 2001)
Bila bilangan  Riil  positif  dan
,  buktikanlah  bahwa
√ .
Solusi: Dengan menggunakan Rataan Aritmetika (AM) dan Rataan Geometri (GM) dan hubungan AM GM diperoleh
√ .
Pangkat tigakan kedua ruas,
[ ] Gunakan sifat, , maka persamaan terakhir dapat ditulis [ ] Kalikan  kedua ruas persamaan dengan maka , atau [ ] . Gunakan lagi sifat , akhirnya diperoleh ,
atau

## √
Pada contoh dan solusi di atas, untuk mengerti setelah membaca solusi yang diberikan tentunya merupakan hal yang mudah. Hal yang lebih sulit tidak lain dari pada cara berpikir kreatif menyusun  langkah  langkah  pembuktian  sehingga  memudahkan  berkomunikasi  secara  tertulis. Demikian  pula  dengan  penguasaan  teorema  yang  mengatakan  bahwa  rataan  aritmetika  selalu lebih  besar  dari  rataan  geometri.  Penguasaan  ini  relatif  mudah  dibanding  dengan  kreativitas menggunakan penguasaan teorema yang ada pada persoalan yang dihadapi.
Yang juga tidak kalah pentingnya dalam mempersiapkan peserta didik untuk sukses di dalam  tahap  selanjutnya  adalah  perluasan  wawasan.  Dalam  banyak  hal,  cara,  metode,  teknik penyelesaian  suatu  persoalan  yang  dihadapi  dalam  olimpiade  tidak  hanya  satu.  Berbagai  cara berpikir  logis  dapat  saja  digunakan.  Wawasan  yang  luas  akan  membantu  dalam  memutuskan, cara, metode, dan teknik penyelesaian persoalan.

## Jeffry Kusuma
Penguasaan  rataan  aritmetika,  rataan  geometri,  rataan  harmonik  yang  mendalam  akan sangat  membantu  dalam  menyelesaikan  persoalan  pertidaksamaan  klasik  dalam  banyak persoalan. Dalam variasi persoalan yang diberikan, mungkin saja kreativitas yang dimiliki peserta didik  suatu  saat  akan  menjadi  tumpul  atau  tidak  kreatif.  Untuk  inilah  diperlukan  perluasan wawasan. Wawasan yang luas akan membantu menyederhanakan persoalan. Sebagaimana dalam contoh  penyelesaian  pertidaksamaan  klasik,  wawasan  akan  penguasaan  teorema  Muirhead mungkin akan menolong. Sebagaimana dalam solusi solusi soal dalam menyelesaikan persoalan olimpiade,  teorema  Muirhead  sering  digunakan  dalam  menyelesaikan  pertidaksamaan  klasik. Jadi dengan menguasai teorema Muirhead, teknik penyelesaian sering terlihat cepat dan mudah.

## 3. Perluasan Wawasan dengan Rataan-
Untuk  suatu  vektor  Riil
didefenisikan  suatu  Rataan- dengan  simbol [ ] dari suatu bilangan Riil nonnegatif
sebagai berikut
[ ] ∑ dimana  notasi  jumlah  diperluas  kepada  semua  permutasi dari .  Dalam  kasus ,  persamaan  di  atas  hanya  merupakan  rataan  aritmetika  biasa  dari .  Dalam kasus ,  dengan  mudah  dapat  dilihat  persamaan  di atas  menyatakan  rataan  geometri dari .

## Teorema Muirhead.
Bila [ ] mendominasi [ ] atau [ ]    [ ] maka [ ]    [ ] .
Bukti dari teorema ini, dapat dilihat pada Lau Chi Hin, 2006.
Contoh 3.
Bila bilangan Riil positif, buktikanlah
.
Contoh  ini  telah  dibahas  sebelumnya  dengan  menggunakan  sifat  sifat  kuadrat  bilangan  Riil. Disini akan dibahas sekali lagi dengan menggunakan teorema Muirhead sebagai pembanding. Solusi :
Dengan menggunakan teorema Muirhead, pertidaksamaan diatas dapat ditulis
∑

## ∑
Terlihat bahwa pada ruas kiri dapat ditulis [   ] yang meliputi (mendominasi) [   ] pada ruas kanan, dengan demikian menurut Teorema Muirhead terbuktilah pertidaksamaan diatas.
Contoh 4.
Bila bilangan Riil positif, buktikanlah
.
Solusi:
Dengan menggunakan teorema Muirhead, pertidaksamaan diatas dapat ditulis
∑
∑
yang  mana  diketahui  ruas  kiri  pertidaksamaan  dapat  ditulis [     ] yang  meliputi (mendominasi)  ruas  kanan  pertidaksamaan [     ] sehingga  dengan  Teorema  Muirhead terbuktilah pertidaksamaan di atas.
Contoh 5.
Bila bilangan Riil positif dan memenuhi
buktikan bahwa
Solusi disini dicari dengan mengalikan kedua ruas persamaan dengan
maka ruas kiri persamaan diperoleh
+
atau
[     ]    [     ]    [     ]
Ruas kanan persamaan menjadi
atau
[     ]    [     ] Selanjutnya,  kalikan  ruas  kiri  persamaan  dengan yaitu ⁄ yang  tidak  merubah  nilai pertidaksamaan diperoleh [ ]    [ ]    [ ] Dengan memperhatikan hubungan [ ]    [     ] [ ]    [     ] dan [ ]    [     ] maka terbuktilah [ ]    [ ]    [ ]     [     ]    [     ]
Dengan demikian menurut Teorema Muirhead sekali lagi terbuktilah pertidaksamaan di atas. Peluasan  wawasan,  tentunya  bukan  hanya  pada  salah  satu  bidang  ilmu  saja  melainkan harusnya  keseluruhan  bidang  ilmu  yang  dilombakan  dalam  olimpiade.  Contoh  perluasan wawasan  dalam  bidang  aljabar  diatas  hanyalah  merupakan  contoh  agar  mutu  dan  kemampuan peserta didik yang dipersiapkan senantiasa dapat melalui tahapan seleksi yang diinginkan.

## Daftar Pustaka
[1] Lau Chi Hin, 2006, Muirhead’s inequality ,  Mathematical  Excalibur ,  Volume  11,  Number 1.
[2] Matic  dan  Ivan,  2007,  Classical  inequalities, Olympiad  Training  Materials ,  IMO compendium group.
[3] Sembiring dan Suwah, 2002, Olimpiade Matematika untuk SMA , Yrama Widya, Bandung.