Vol. 12, No. 2,  105-110,  Januari  2016
Aljabar Atas Suatu Lapangan dan Dualitasnya
Edi Kurniadi  dan Irawati 
Abstrak
Suatu aljabar ( A ,.,+; k ) atas suatu lapangan k adalah suatu gelanggang ( A ,.,+) yang dilengkapi suatu aksi dari k pada A sedemikian sehingga ( A ,+, k ) suatu ruang vektor atas lapangan k dan berlaku  ( ab )=(  a ) b = a (  b )  untuk  semua a , b  A dan   k .  Hasil  kali  tensor  akan memberikan definisi aljabar yang ekuivalen dengan definisi pertama di atas. Dualitas aljabar melalui  hasilkali  tensor  membawa  kepada  konsep  koaljabar.  Tulisan  ini  memperlihatkan bahwa suatu aljabar atas  suatu lapangan  senantiasa dapat diperoleh dari dual suatu koaljabar dan  sebaliknya  koaljabar  dapat  diperoleh  dari  dual  aljabar  untuk  kasus  aljabar  yang berdimensi hingga.
Kata kunci : Hasil kali tensor, aljabar, dan koaljabar.

## 1. Pendahuluan
Suatu  sistem  matematika  ( A ,.,+; k )  disebut  aljabar  atas  suatu  lapangan k jika    ( A , . ,+) suatu  gelanggang  yang  dilengkapi  suatu  aksi  dari k pada A sedemikian  sehingga  ( A ,+, k )  suatu ruang vektor atas lapangan k dan berlaku  ( ab )=(  a ) b = a (  b ) untuk semua a , b  A dan   k . Definisi  klasik  tentang  aljabar  di  atas  dapat  dikarakterisasi  melalui  hasil  kali  tensor  dan  dapat dibuktikan  keekuivalenan  antar  definisi.  Secara  umum,  pendefinisian  aljabar  melalui  hasil  kali tensor dapat dilihat dari dua diagram dalam Gambar 1 dan 2.
Gambar 1. Sifat Asosiatif dari A.
 Jurusan Matematika  FMIPA Universitas Padjadjaran, e-mail : edikrnd@gmail.com
 Program Studi Matematika Institut Teknologi Bandung, e-mail: irawati@math.itb.ac.id

## Edi Kurniadi, Irawati
Gambar 2. Sifat unit di A.
Definisi  aljabar  atas  suatu  lapangan  melalui  hasil  kali  tensor  di  atas  membawa  kepada  konsep dual dari suatu aljabar yang disebut koaljabar. Dalam tulisan ini akan diselidiki syarat yang harus dipenuhi supaya dual dari suatu aljabar adalah koaljabar.

## 2. Masalah dan Pemecahan
Masalah  dalam  tulisan  ini  adalah  membuat  suatu  definisi  aljabar  atas  suatu  lapangan melalui hasil kali tensor dan membuktikan keekuivalenan antar definisi dan mencari suatu syarat agar  dual  dari  suatu  aljabar  adalah  kolajabar.  Masalah  pertama  yaitu  membuat  definisi  aljabar melalui  karakterisasi  hasil  kali  tensor.  Berikut  adalah  definis  aljabar  secara  klasik  dan  melalui hasil kali tensor.

## Definisi 1. (Klasik)
Suatu aljabar (A, . ,+;k) atas suatu lapangan k adalah suatu gelanggang (A, . ,+) yang dilengkapi suatu  aksi  dari  k  pada  A  sedemikian  sehingga  (A,+,k)  suatu  ruang  vektor  atas  lapangan  k  dan berlaku  (ab)=(  a)b=a(  b) untuk semua a, b  A dan   k.
Operasi perkalian di A dan aksi dari k pada A menyatakan perlunya pendefinisian suatu pemetaan linier M : A  A  A . Tentunya perkalian tersebut harus bersifat asosiatif dan terdapat suatu unsur kesatuan 1 A . Sifat asosiatif ini dapat diwakili dengan suatu diagram komutatif seperti yang terlihat dalam  Gambar  1.  Eksistensi  unsur  kesatuannya  dapat  dinyatakan  melalui  diagram  yang  dapat dilihat  dalam  Gambar  2.  Secara  formal  dapat  diperoleh  suatu  definisi  tentang  aljabar  atas lapangan k sebagai berikut.
Definisi 2. (Melalui hasil kali tensor)

## Edi Kurniadi, Irawati
Suatu aljabar atas lapangan k adalah suatu tripel (A, M, u) dengan A suatu k-ruang vektor, M : A  A  A  suatu  pemetaan  multiplikasi,  u:  k  A  suatu  pemetaan  unit  sehingga  diagram- diagram dalam Gambar 1 dan 2 komutatif.
Definisi 1 dan 2 di atas ekuivalen. Formalnya dituangkan dalam teorema berikut.

## Teorema 1.
Misalkan  A  suatu  k-ruang  vektor,  maka  A  suatu  aljabar  atas  lapangan  k  jika  dan  hanya  jika terdapat pemetaan multiplikasi M : A  A  A dan pemetaan unit u: k  A sehingga diagram- diagram dalam Gambar 1 dan 2 komutatif.
Bukti:
(  ) Diketahui A suatu aljabar atas lapangan k . Karena 1 A unit di A , definisikan suatu pemetaan linier u : k  A melalui  pengaitan    .1 A untuk  setiap   K .  Selanjutnya  karena A suatu aljabar  atas  lapangan k maka A suatu  gelanggang  dengan  operasi  hasilkali A x A  A oleh pengaitan  ( a , b )  ab .  Pemetaan  tersebut  adalah  suatu  pemetaan balance akibatnya  terdapat pemetaan  linier M : A  A  A .  Selanjutnya  dapat  ditunjukkan  bahwa  diagram  dalam  Gambar  1 dan 2 komutatif.
(  ) Diketahui ( A , +) suatu ruang vektor atas lapangan k , akibatnya ( A , +) suatu grup komutatif. Perkalian skalar M / A x A : A x A  A dapat dipilih sebagai restriksi dari M : A  A  A . Sekarang tinggal menunjukkan bahwa A mempunyai unit, 1 A . Karena k suatu lapangan maka k mempunyai unsur kesatuan, sebut 1 k . Maka u (1 k ) suatu unit di A . melalui dua pemetaan linier di atas dan sifat komutatif kedua diagram dapat diperoleh bahwa A suatu gelanggang dengan unsur kesatuan. Terakhir    K ,  a , b  A berlaku
 ( ab ) =  ( M ( a  b )) = M (  ( a  b ))= M (  a  b )=(  a ) b = M ( a   b )= a (  b ).
Dengan demikian A suatu aljabar atas lapangan k . Q.E.D
Berikut adalah beberapa contoh aljabar atas suatu lapangan.
1. Himpunan semua bilangan ril atas  .
2. Himpunan semua bilangan kompleks atas  .
3. Himpunan semua M n (  ) atas  .
Sebagaimana  disebutkan  di  atas  bahwa  definisi  aljabar  atas  suatu  lapangan  dapat didefinisikan melalui karakterisasi hasilkali tensor. Di sini akan diberikan suatu contoh konstruksi definisi aljabar melalui karakterisasi hasilkali tensor sebagai berikut.
Pandang  ( Mn (  ), . ,+;  )  suatu  aljabar  atas  suatu  lapangan  riil  .  Unsur  kesatuan  di Mn (  ) adalah 1 A = I n matriks identitas maka definisikan suatu pemetaan linier (pemetaan unit) u :  Mn (  )  melalui  pengaitan    .1 A untuk  setiap    dengan  .1 A matriks  diagonal dengan entri pada diagonal utamanya adalah  . Juga  karena Mn (  )  suatu  aljabar  atas  lapangan  riil  maka Mn (  )  suatu  gelanggang  dengan operasi perkalian Mn (  ) x Mn (  )  Mn (  ) oleh pengaitan    (A,B)  AB untuk semua A , B di Mn (  ). Pemetaan tersebut adalah suatu pemetaan balance maka menurut definisi hasilkali tensor terdapat pemetaan linier
M : Mn (  )  Mn (  )  Mn (  ).

## Edi Kurniadi, Irawati
Dari pendefinisian di atas diperoleh juga bahwa M o( M  I) = M o(I  M ) dan M o( u  I) = M o(I  u ).  Jadi,  menurut  definisi  2  ( Mn (  ), M , u )  suatu  aljabar  atas  suatu  lapangan  melalui pendefinisian karakterisasi hasilkali tensor.
Masalah  ke  dua  adalah  memberikan  suatu  syarat  agar  dual  dari  suatu  aljabar  adalah koaljabar.

## Definisi 3.
Suatu koaljabar adalah suatu tripel (C,  ,  ) dengan C suatu ruang vektor atas suatu lapangan k,  : C  C  C pemetaan komultiplikasi dan  : C  k suatu pemetaan kounit sehingga diagram- diagram dalam gambar berikut komutatif.
Gambar 3. Sifat koasosiatif.

## Gambar 4. Sifat kounit

## Contoh-contoh koaljabar:
1. Misalkan S suatu himpunan tak hampa. Notasikan kS sebagai suatu k -ruang vektor dengan S sebagai  basisnya.  Maka  ( kS,  ,  )  suatu  koaljabar  atas k dengan  mendefinisikan  : kS  kS  kS dan  : kS  k oleh  ( s ) = s  s dan  ( s )=1 untuk semua s  kS.
2. Lapangan k dapat  dipandang  sebagai  ruang  vektor  atas  dirinya  sendiri.  Dengan mendefinisikan  : k  k  k dan  : k  k oleh  (  ) =  1 dan  (  )=  untuk semua   k maka ( kS,  ,  ) suatu koaljabar atas k.

## Edi Kurniadi, Irawati
Berikutnya  akan  diberikan  suatu  proposisi  yang  cukup  penting  dalam  proses  dualisasi  yang dilakukan.

## Teorema 2.
Misalkan k suatu lapangan, M dan N suatu k-ruang vektor. Pemetaan linier  : M*  N*  (M  N)* yang didefinisikan oleh  (f  g)(m  n)=f(m)g(n) untuk f  M*, g  N*, m  M dan n  N, adalah satu-satu.
Misalkan ( C ,  ,  ) suatu koaljabar atas suatu lapangan. Definisikan pemetaan M : C*  C*  C* dengan M =  *  , dan u : k  C* dengan u =  *  dan  : k  k* adalah suatu isomorfisma kanonik. Berkenaan dengan pernyataan di atas diturunkan suatu teorema sebagai berikut.
Teorema 3.
( C*, M, u ) suatu aljabar atas suatu lapangan k.
Misalkan ( A , M , u ) suatu aljabar yang berdimensi hingga maka  : M*  N*  (M  N)* bijektif dan  definisikan  : A *  A *  A *  oleh M =  -1 M *  dan  : A*  k oleh  =  u* dengan  : k *  k .
Teorema 4. Jika (A, M, u) suatu aljabar berdimensi hingga maka  (A*,  ,  ) suatu koaljabar.
Bukti: Ambil f  A *  dan  (f)=  g i  h i .  Misalkan  (gi)=  g` i,j  g`` i,j dan  (hi)=  h` i,j  h`` i,j maka  dapat dihitung bahwa
 (   I )  ( f ) =  g` i,j  g`` i,j  h i ; dan  ( I   )  ( f ) =  g i  h` i,j  h`` i,j .  Akan ditunjukkan bahwa (   I )  = ( I   )  . .
Pandang pemetaan berikut  : A *  A *  A *  ( A  A  A )* yang didefinisikan oleh
 ( u  v  w )( a  b  c ) = u ( a ) v ( b ) w ( c ),  u , v , w  A *    dan a , b , c  A adalah suatu pemetaan injektif. Tetapi
 (  g` i,j  g`` i,j  h i )( a  b  c )=  g` i,j ( a ) g``i,j ( b ) h i ( c )=  g i ( ab ) h i ( c )= f ( abc ) dan
 (  g i  h` i,j  h`` i,j )( a  b  c )=  g i ( a ) h` i,j ( b ) h`` i,j ( c )=  g i ( a ) h i ( bc )= f ( abc ).
Karena  injektif maka  g` i,j  g`` i,j  h i =  g i  h` i,j  h`` i,j yang menunjukkan bahwa (   I )  = ( I   )  sehingga sifat koasosiatif terpenuhi.
Selanjutnya  akan  ditunjukkan  bahwa  (   I)  =  (I   )  . Dengan  menggunakan  alasan  yang sama dengan di atas akan diperoleh bahwa
Edi Kurniadi, Irawati
(   (gi)hi)(a) = (  gi(1)hi(a) = f(a).
Oleh karenanya, (   (gi)hi)=f dan dengan cara yang sama juga (   (hi)gi) = f, yang menunjukkan bahwa (   I)  = (I   )  atau sifat kounit dipenuhi. Jadi, A * suatu koaljabar atas suatu lapangan k .  Q.E.D
Jadi,  dalam  kasus  dimensi  hingga  teori  aljabar  dan  koaljabar  adalah  saling  dual.  Tetapi hal tersebut tidak berlaku dalam kasus dimensi tak hingga.

## 3. Kesimpulan
Dari pembahasan di atas dapat ditarik beberapa kesimpulan sebagai berikut:
1. Setiap  aljabar  dapat  diperoleh  dengan  cara  mendualkan  suatu  koaljabar  tanpa  memandang dimensinya.
2. Koaljabar dapat diperoleh sebagai dual dari aljabar untuk kasus dimensi hingga.
3. Dalam kasus dimensi hingga ruang lingkup pembicaraan aljabar dan koaljabar adalah saling dual.

## Daftar Pustaka
[1] John, D., 1994, Modules and Rings , Cambridge University Press,New York, 53–59.
[2] Moss. E., Sweedler, 1969, Hopf Algebras , W.A. Benjamin, Inc, New York, 1–28.
[3] Sorin, D., 2001, Hopf Algebras An Introduction , Marcel Dekker Inc., New York, 1–55.