Vol. 8, No.2,  131-138,  Januari  2012
Analisis Kestabilan Model Logistik Satu Populasi Dengan Tundaan Waktu
Syamsuddin Toaha †

## Abstrak
Dalam  tulisan  ini  dibahas  model  logistik  satu  populasi  dengan  tundaan  waktu. Tundaan  waktu  dipertimbangkan  dalam  model  karena  laju  perubahan  suatu populasi tidak  hanya  bergantung  pada jumlah  populasi  pada  saat sekarang  tetapi juga  bergantung  pada  jumlah  populasi  pada  waktu  lampau.  Pada  tulisan  ini pengaruh tundaan waktu terhadap kestabilan titik keseimbangan model dianalisis dengan  menggunakan  pendekatan  deret  Taylor  di  sekitar  titik  keseimbangan. Dengan pendekatan itu diperoleh suatu model tanpa bentuk jumlah populasi yang bergantung  pada  tundaan  waktu  tetapi  model  tersebut  tetap  bergantung  pada tundaan  waktu.  Penyelesaian  analitik  untuk  model  tersebut  diberikan.  Dari penyelesaian  analitik  itu  diketahui  bahwa  titik  keseimbangan  positif  stabil untuk suatu kondisi tundaan waktu dan jumlah awal populasi tertentu..
Keywords : Model logistik, kestabilan, tundaan waktu.

## 1.  Pendahuluan
Dalam  bidang  matematika  biologi,  matematika  digunakan  untuk  menjelaskan berbagai  fenomena  biologi.  Salah  satu  aplikasi  matematika  dalam  biologi  adalah  untuk memodel  perubahan  jumlah  berbagai  populasi.  Model  populasi  Malthus  digunakan  untuk memprediksi  apakah  populasi  bertumbuh  tanpa  batas  atau  populasi  akan  cenderung  punah untuk  waktu  yang  panjang.  Hal  ini  sangat  dipengaruhi  oleh  laju  pertumbuhan  populasi tersebut.
Model logistik adalah modifikasi dari model Malthus. Model logistik pertama tama dikaji oleh  P.F Verhults pada  akhir tahun  1830-an  dan  selanjutnya  dikaji  kembali  oleh  Pear dan  Reed  pada  tahun  1920-an  (Haberman,  1998).  Model  logistik  mempertimbangkan  faktor pertumbuhan  intrinsik  ( intrinsic  growth )  dan  kapasitas  batas  ( carrying  capacity )  oleh lingkungan  tempat  dimana  populasi  tersebut  hidup.  P.F.  Verhults  mengkaji  ide  ini  dengan menggunakan  data  dari  penduduk  Amerika  Serikat  untuk  memprediksi  jumlah  populasi (Lipkin  &  Smith,  2006).  Asumsi-asumsi  dan  alasan-alasan  biologis  untuk  model  ini  dapat dilihat, sebagai contoh, pada Habeman (1998) dan Ganter (2006).
Model  logistik  dapat  digunakan  untuk  memodel  laju  pertumbuhan  populasi, populasi hewan, ikan dalam suatu danau atau populasi suatu pohon dalam suatu hutan. Model logistik digunakan oleh Schaefer dalam Agnew (1979) untuk menganalisis industri perikanan. Sementara  itu  Haberman  (1998)  menulis  bahwa  dalam  laboratorium,  pertumbuhan yis dan pertumbuhan paramecium memberikan  indikasi  yang  baik  bahwa  pertumbuhan  tersebut sangat sesuai dengan model logistik.
Tundaan waktu penting untuk dipertimbangkan dalam pemodelan karena keputusan umumnya  dibuat  berdasarkan  informasi  yang  terjadi  sebelumnya.  Tundaan  waktu  penting untuk dipertimbangkan dalam pemodelan laju pertumbuhan populasi karena laju pertumbuhan populasi  tidak  hanya  bergantung  pada  jumlah  populasi  pada  saat t ,  tetapi  juga  bergantung
† Staf Pengajar pada Jurusan Matematika FMIPA Universitas Hasanuddin Makassar
pada jumlah populasi pada waktu ) (   t dengan  adalah tundaan waktu (Haberman, 1998). Sebagai  contoh,  laju  perubahan  populasi  manusia  bergantung  pada  jumlah  populasi  pada 9   bulan  sebelumnya;  telur-telur  ikan  memerlukan  beberapa  waktu,  ada  suatu  tundaan waktu, untuk menetas dan untuk menjadi ikan dewasa.
Nicholson dalam Barnes dan Fulford (2002) telah melakukan suatu eksperimen pada populasi Australian  sheep-blowly .  Hasil  yang  diperoleh  sangat  mirip  dengan  model  logistik dengan  tundaan  waktu.  Forys  dan  Czochra  (2003)  menggunakan  model  logistik  dengan tundaan waktu yang telah dimodifikasi untuk memodel pertumbuhan tumor.
Pada tulisan ini dibahas model populasi logistik dengan tundaan waktu. Selanjutnya bentuk  jumlah  populasi  pada  saat  sebelumnya  dieliminasi  dari  model  dengan  menggunakan deret  Taylor  di  sekitar  titik  keseimbangan  yang  stabil.  Model  yang  dihasilkan  yang  masih bergantung pada tundaan waktu diselesaikan secara implisit.

## 2. Model Populasi Logistik Kontinu
Model  logistik  (model  Verhults)  atau  kurva  pertumbuhan  logistik,  adalah  suatu model  pertumbuhan  populasi.  Model  tersebut  kontinu  terhadap  waktu  yang  dinyatakan  oleh persamaan diferensial
        K t x t rx dt t dx ) ( 1 ) ( ) ( (1)
Konstanta r yang  diasumsikan  positif  adalah  suatu  laju  pertumbuhan  intrinsik  karena  laju pertumbuhan  populasi  untuk x yang  kecil  hampir  sama  dengan r .  Konstanta  positif K biasa dirujuk  sebagai  kapasitas  batas  lingkungan,  yaitu  jumlah  maksimum  populasi  yang  dapat bertahan  hidup  pada  lingkungan  tersebut,  atau  tingkat  jenuh  ( saturation  level )  karena  untuk jumlah  populasi  yang  besar  jumlah  kematian  lebih  besar  daripada  jumlah  kelahiran.
Penyelesaian dari model logistik dengan syarat awal   0 0 0   x x adalah
    rt e x K x
K x t x     0 0 0
Nilai ) ( t x dengan angka pertumbuhan populasi sama dengan nol, yaitu 0  dt dx disebut titik keseimbangan  atau  populasi  keseimbangan  ( equilibrium  population )  dan  dari  persamaan  (1) hal  ini  terjadi  jika 0  x dan K x  .  Titik  keseimbangan 0  x kurang  menarik  untuk dibicarakan lebih lanjut karena jumlah populasi pada saat itu dan seterusnya sama dengan nol yang  bermakna  bahwa  tidak  ada  lagi  kehidupan  pada  populasi  tersebut.  Sedangkan  titik keseimbangan K x  sangat menarik untuk dikaji lebih jauh. Titik keseimbangan tak nol ini terjadi  karena  jumlah  kelahiran  dan  kematian  sama  besar.  Apa  yang  terjadi  selanjutnya  jika jumlah  kelahiran  dan  kematian  tidak  sama?  Apakah  jumlah  populasi  akan  cenderung mencapai  kapasitas  batas  atau  malah  populasi  akan  punah  untuk  waktu  yang  panjang?
Bagaimana  perilaku  perubahan  populasi  jika K x  0 atau K x  0 untuk  waktu t membesar?
Dari  solusi  model  logistik  diketahui  bahwa  titik  keseimbangan 0  x tidak  stabil dalam  pengertian  bahwa  populasi  yang  pada  awalnya  jumlahnya  dekat  nol  pada  akhirnya akan  menjauhi  titik  keseimbangan 0  x .  Sedangkan  titik  keseimbangan K x  stabil asimptotik  dalam  pengertian  bahwa  untuk  populasi  awal  yang  positif,  jumlah  populasi  pada akhirnya akan menuju secara asimptot ke jumlah kapasitas batas. Beberapa kurva solusi untuk model logistik dengan populasi awal yang berbeda diberikan pada Gambar 1.
Gambar 1.  Kurva solusi untuk model logistik dengan 8 . 0  r dan 100  K

## 3. Model Logistik Kontinu Dengan Tundaan Waktu
Suatu model logistik dengan satu tundaan waktu diberikan oleh
         K t x t x r dt t dx ) ( 1 ) ( ) (  (3)
dimana  adalah  tundaan  waktu  dan  diasumsikan  positif.  Titik  keseimbangan  yang  positif untuk  model  (2)  adalah K x  .  Hutchinson  dalam  Gopalsamy  (1992)  mengusulkan  bahwa model  (2)  dapat  digunakan  untuk  memodel  dinamika  pertumbuhan  populasi  ke  arah  tingkat jenuh K dengan laju pertumbuhan intrinsik konstan r . Bentuk          K t x ) ( 1 pada model (2)
menyatakan suatu mekanisme kepadatan populasi yang bergantung pada keadaan sebelumnya yang  memerlukan waktu  untuk merespon perubahan kepadatan populasi yang dinyatakan oleh  model  (2).  Model  logistik  dengan  tundaan  waktu  (2)  dikenal  juga  sebagai  persamaan Verhulst atau persamaan Hutchinson. Persamaan Hutchinson telah dikaji dalam banyak paper dan buku-buku teks, sebagai contoh, lihat Hale (1977) dan Kuang (1993).

## Linearisasi Model
Analisis  kestabilan  lokal  dari  titik  keseimbangan  untuk  model  logistik  dengan tundaan  waktu  (2)  akan  dilakukan.  Untuk  itu,  metode  linearisasi  model  di  sekitar  titik keseimbangan K x  akan  digunakan.  Misalkan K t x t u   ) ( ) ( dengan  nilai ) ( t x cukup dekat nilai K . Substitusi K t u t x   ) ( ) ( ke dalam model (2) selanjutnya diperoleh
            
K K t u K t u r dt t du ) ( 1 ) ( ) ( 
) ( ) ( ) ( ) (        t u r t u t u K r dt t du Karena  nilai ) ( t x cukup  dekat  dengan  nilai K ,  maka  bentuk ) ( ) (   t u t u dapat  diabaikan.
Dengan itu kita peroleh model linear
) ( ) (     t u r dt t du (3)
Untuk  memahami  kestabilan  titik  keseimbangan  nol  pada  model  (3),  kita  pertimbangkan persamaan  karakteristik  untuk  model  (3).  Dengan  mensubstitusikan    fungsi t e t x   ) ( ke
dalam  model  (3)  diperoleh  persamaan
         t t e r e .  Karena 0   t e ,  selanjutnya diperoleh persamaan karakteristik
0      e r (4)
Lemma  1. (Toaha,  2006). Misalkan 0  r dan 0   .  Akar-akar  dari  persamaan karakteristik (4) bernilai negatif jika e r 1   .
Lemma  2. (Toaha,  2006). Misalkan 0  r dan 0   .  Akar-akar  dari  persamaan karakteristik (4) adalah bilangan kompleks dengan bahagian real negatif jika r e r 2 1     .
Lemma  1  dan  2  di  atas  memberikan  suatu  kondisi  untuk  nilai  supaya  titik keseimbangan 0  x untuk model linear (3) menjadi stabil dan seterusnya titik keseimbangan K x  untuk  model  (2)  menjadi  stabil,  dalam  hal  ini  kestabilan  lokal. Jenis  kestabilan  titik keseimbangan 0  x untuk  model  linear  serupa  dengan  jenis  kestabilan  untuk  titik keseimbangan K x  untuk model tak linear.
Contoh  1. Pertimbangkan  kasus Australian blowflies (semacam  serangga  dari  family Calliphoridae di  Australia).  Nicholson  dalam  Barnes  dan  Fulford  (2002)  telah  melakukan penelitian  terhadap  satu  spesies  dari  populasi Australian  sheep-blowfly ( Lucilia  cuprina ). Hasil  penelitiannya  dapat  didekati  dengan  sangat  baik  oleh  model  yang  dinyatakan  sebagai persamaan diferensial-diferensi, yang dapat didekati oleh persamaan diferensi             K x rx x x n n n n 1 1 ,  dan  oleh  persamaan  diferensial  dengan  tundaan  waktu  seperti model  (2).  Di  sini x menyatakan  jumlah  populasi, r adalah  laju  reproduksi  dan K adalah kapasitas batas.  Parameter 106 . 0  r per hari, 2800  K serangga, dan 17   hari.
Dari syarat kestabilan, Lemma 1 dan 2, syarat kestabilan untuk tundaan waktu harus berada pada interval   14.8188 , 0 . Karena tundaan waktunya adalah 17   hari, yang tidak berada pada interval tersebut, maka titik keseimbangan 2800  K tidak stabil.
Teorema  3. (Kuang  1993,  halaman  66). Misalkan            , , g f n ,  dengan     , g
adalah  suatu  fungsi  analitik.  Anggap
  1 , sup lim
0 Re             g n .  Maka,  jika 
berubah,  jumlah  multiplisiti  akar-akar  dari   0 ,    f dalam  setengah  bidang  sebelah kanan  buka  hanya  dapat  berubah  jika  suatu  akar  muncul  pada  sumbu  imajiner  atau menyeberangi sumbu imajiner .
Teorema 3 menyediakan suatu analisis untuk menentukan apakah semua nilai eigen dari  persamaan  karakteristik  untuk  model  linear  menyeberangi  sumbu  imajiner  dari  sebelah kanan  ke  sebelah  kiri  atau dari  sebelah  kiri  ke  sebelah  kanan.  Dengan Teorema  3,  kita juga dapat  menentukan  apakah  bifurkasi  Hopf  dan  perubahan-perubahan  kestabilan  muncul  atau tidak.
Dengan  Teorema  3  diketahui  bahwa  jika  kestabilan  solusi  trivial 0 ) (  t u untuk model  (3)  berubah  pada  nilai    ,  maka  persamaan  karakteristik  (4)  harus  mempunyai sepasang  akar-akar  kompleks  konjugat  murni  ketika    .  Pada  kenyataannya,  dari Teorema 3, kita dapat mempertimbangkan bahwa akar-akar dari persamaan karakteristik (4) merupakan  suatu  fungsi  kontinu  terhadap  tundaan  waktu  ,  yaitu, 0 ) ( ) (         e r . Selanjutnya,  untuk  memahami  perubahan  kestabilan  pada  model  (3)  kita  perlu  menentukan nilai  dimana  persamaan  karakteristik  (4)  mungkin  mempunyai  sepasang  akar-akar kompleks konjugat murni.
Anggap 0 ,      i adalah  suatu  akar  dari  persamaan  karakteristik  (4)
untuk    , 0   . Substitusi    i ke dalam persamaan karakteristik (4) diperoleh
. sin 0 cos      r r (5) Selanjutnya diperoleh 0   r  .
Dari persamaan karakteristik (4) diperoleh 0                  d d re d d
dan juga diketahui
bahwa     re , maka diperoleh
0                 d d d d atau        1 2 d d . Dengan itu
diperoleh,
               
       i d d i 1 Re sign Re sign 2          2 2 3 2 1 Re sign      i 0 1 sign 2 2 2            
Hal ini mengakibatkan bahwa semua akar-akar yang menyeberangi sumbu imajiner pada  i menyeberang dari sebelah kiri ke sebelah kanan bilamana nilai  meningkat, Kuang (1993).
Untuk 0   ,  diperoleh 0 ) 0 (    r  .  Hal  ini  menyatakan  bahwa  populasi keseimbangan nol untuk model linear adalah stabil asimptotik jika tidak ada tundaan waktu. Dari persamaan (5) dan r   , diperoleh 0 cos   dan 1 sin   . Dengan itu diperoleh
2    atau
r 2 2       .  Selanjutnya  dari  argumen  di  atas  dan  bersama  dengan  bukti
Teorema  3  menunjukkan  bahwa jika 0    ,  maka  populasi keseimbangan  nol  adalah tidak
stabil. Dalam hal ini wujud suatu perubahan kestabilan pada r 2    . Bifurkasi Hopf wujud pada saat r 2    dan titik keseimbangan nol kehilangan kestabilannya pada nilai tersebut.
Penghapusan Bentuk Tundaan Waktu ) (   t x
Pada  bagian  ini  akan  dianalisis  perilaku  model  (2)  apabila  bentuk
) (   t x
dihilangkan  dari  model  (2)  dengan  menggunakan  pendekatan dt dx t x t x      ) ( ) ( .
Pendekatan  ini  menggunakan  deret  Taylor  di  sekitar  titik   t untuk  nilai  cukup  dekat dengan nol. Dengan menggantikan
dt dx t x t x      ) ( ) ( ke dalam persamaan (2) diperoleh
2 ) ( ) ( ) ( ) ( 1 t x K r t rx dt t dx t x K r           .  Untuk  r K t x  ) ( ,  persamaan  tersebut  dapat  ditulis sebagai
) ( ) ( ) ( ) ( 2 t x r K t rx t rKx dt t dx     (6)
Titik  keseimbangan  untuk  model  (6)  adalah
0  x dan K x  .  Persamaan  diferensial  (6) dapat diselesaikan dengan pemisahan variabel dan diperoleh
dt dx x K rx x r K    ) (  (7)
Jika 1   r , maka diperoleh solusi rt e x t x 0 ) (  . Dengan demikian, populasi akan membesar tanpa batas dan trayektori populasi tidak menuju ke titik keseimbangan populasi.  Dalam hal
1   r , untuk mencari solusi dari persamaan diferensial (7), akan ditinjau empat kasus.
Kasus  1 .   K x , 0  .  Dengan  mengintegralkan  kedua  suku  pada  persamaan  (7)  bersama- sama dengan syarat awal
  K x x , 0 ) 0 ( 0   diperoleh solusi implisit
0 ) ( ) ( ) 1 ( 0 0            rt r e t x K x K x t x  .
Untuk t menuju  ke  tak  hingga,  persamaan  solusi  di  atas  dipenuhi  jika ) ( t x menuju  ke K .
Dengan itu, untuk   K x , 0 0  dan r 1
0    titik keseimbangan K stabil.
Kasus 2 . K x  .
Karena K x  adalah  populasi  keseimbangan  untuk  model  (6),  dan  untuk K x  0 maka untuk setiap t solusinya adalah K x t x   0 ) ( .
Kasus 3 .         r K K x , .
Dengan syarat awal          r K K x x , ) 0 ( 0 diperoleh solusi implisit untuk model (6) sebagai
0 ) ( ) ( ) 1 ( 0 0            rt r e K t x K x x t x  . Kasus 4 .  r K x  .
Untuk kasus ini dan dengan syarat awal
 r K x x   0 ) 0 ( diperoleh solusi implisit 0 ) ( ) ( ) 1 ( 0 0            rt r e K t x K x x t x  .

## 4. Kesimpulan
Model logistik tanpa tundaan waktu mempunyai dua titik keseimbangan, yaitu titik keseimbangan 0  x (tidak stabil) dan K x  (stabil asimptotik). Dengan mempertimbangkan tundaan waktu pada model logistik, titik keseimbangan K x  mungkin stabil, mungkin juga tidak stabil. Dengan menggunakan metode linearisasi, diketahui bahwa kestabilan  titik  keseimbangan K x  di  samping  bergantung  pada nilai  tundaan  waktu juga bergantung  jumlah  awal  populasi.  Untuk r 2 0     ,  titik  keseimbangan K x  stabil.
Untuk r 2    ,  wujud  suatu  bifurkasi  Hopf  dan  untuk r 2    titik  keseimbangan K x  menjadi tidak stabil. Dengan menggunakan deret Taylor di sekitar titik keseimbangan K x  , bentuk ) (   t x dapat  dihapuskan  dan  diperoleh  suatu  model  yang  tetap  bergantung  pada tundaan  waktu  .  Model  tersebut  dapat  diselesaikan  secara  analitik  dan  titik  keseimbangan
K x  stabil jika
r 1 0    dengan jumlah populasi awal yang sesuai .

## Referensi
[1]   Agnew, T.T., 1979, “Optimal exploitation of a fishery employing a non-linear harvesting function”. Ecological Modelling, 6: 47-57.
[2]  Barnes,  B.,  dan  Fulford,  G.R.,  2002, “Mathematical  Modelling  With  Case  Studies ”. Taylor & Francis Inc., New York.
[3]  Forys,  U.,  dan  Czochra,  A.M.,  2003,  “Logistic  equations  in  tumor  growth  modeling”. Int. J. Appl. Comp. Sci . 13(3): 317-325.
[4]  Ganter,  P.,  2006,  “Modeling  density-dependent  population  growth”,  http://www. tnstate.edu/ganter/B412%20Extra%20LogisticGrowth.html. [27 Januari 2006]
[5]  Gopalsamy,  K.,  1992,  “ Stability  and  Oscillations  in  Delay  Differential  Equations  of Population Dynamics ”. Kluwer Academic Publishers, Netherlands.
[6]  Haberman,  R.,  1998,  “ Mathematical  Models:  Mechanical  Vibrations,  Population Dynamics, and Traffic Flow ”. SIAM, Philadelphia.
[7]  Hale,  J.K.,  1977,  “ Theory  of  Functional  Differential  Equations ”.  Springer-Verlag, Heidelberg.
[8]  Kuang,  Y.,  1993,  “ Delay  Differential  Equations  with  Application  in  Population Dynamics ”. Academic Press, New York.
[9]  Lipkin,  L.,  dan  Smith,  D.,  2006,  “Logistic  growth  model”, http://www.math.duke.edu/ education/ccp/materials/diffeq/logistic/logi1.html . [19 April 2006]
[10]  Toaha,  S.,  2006,  “Stability  analysis  and  maximum  profit  of  logistic  population  model with  time  delay  and  constant  effort  of  harvesting”. Jurnal  Matematika,  Statistika  & Komputasi . 3(1): Vol. 3. No. 1. 3(1): 9-18.