## METODA COROTATIONAL BEAM 2D UNTUK ANALISIS STATIK STRUKTUR NONLINIER GEOMETRIK (A 2D COROTATIONAL BEAM METHOD FOR GEOMETRICALLY NONLINEAR STATIC STRUCTURAL ANALYSIS)
Novi Andria 1 , Lavi R. Zuhal 2 , Leonardo Gunawan 3 , Hari Muhammad 4 1,2,3,4 Program Studi Teknik Dirgantara, Fakultas Teknik Mesin dan Dirgantara Institut Teknologi Bandung Jl.Ganesha 10 Bandung 40132 Jawa Barat
1 e-mail: novi.andria@students.itb.ac.id
Diterima: 01 Maret 2019; Direvisi: 22 April 2019; Disetujui: 30 April 2019

## ABSTRACT
This  paper  describes  a  2D  corotational  beam  method  (CBM  2D)  developed  for  analyzing geometrically  nonlinear  beam  structure.  By  combining  the  corotational  beam  formula  with  Euler- Bernoulli beam Theory (EBT), the programming of this method becomes simple and practical with low computational  cost.  The  accuracy  and  efficiency  of  the  proposed  method  are  verified  by  simulating some test models found in the literature. This method is also capable of analyzing nonlinear extensible beam  and  beam  under  follower  loads,  with  such  excellent  accuracy.  This  study  verifies  the  validity, efficiency, and practicality of the developed method.
Keywords: corotational beam, CBM 2D, geometrically nonlinear, static structural analysis

## ABSTRAK
Makalah ini membahas sebuah metoda corotational beam dua dimensi (CBM 2D) yang dapat digunakan untuk analisis statik struktur yang nonlinier secara geometri. Dengan mengkombinasikan formulasi corotational beam dan Euler-Bernouli beam Theory (EBT), implementasi numerik metoda ini menjadi  sangat  sederhana  dengan  beban  komputasi  yang  rendah  sehingga  sangat  praktis  untuk diaplikasikan.  Akurasi  dan  efisiensi  metoda  ini  terverifikasi  melalui  beberapa  uji  numerik  yang dilakukan pada beberapa model uji yang terdapat pada literatur. Metoda ini pun mampu memberikan hasil yang akurat untuk kasus extensible beam dan struktur beam yang dibebani follower load . Hasil penelitian ini memverifikasi validitas, efisiensi, dan kepraktisan dari metoda yang dikembangkan.
Kata kunci: corotational beam, CBM 2D, nonlinear geometrik, analisis statik stuktur

## 1    PENDAHULUAN
Terdapat banyak struktur seperti struktur pesawat, propeler turbin angin, dan  bangunan  lepas  pantai,  yang  dapat dimodelkan  sebagai beam fleksibel. Struktur-struktur ini sering kali mengalami  defleksi  yang  besar,  tetapi regangannya  kecil.  Analisis  struktur linier  tidak  dapat  mensimulasikan kasus  ini  karena  defleksi  yang  besar menimbulkan nonlinieritas yang dikenal dengan  nonlinieritas  geometrik.  Kasus ini  banyak  dianalisis  menggunakan Nonlinear  Finite  Element  Method (NFEM) yang  pada  umumnya  berdasarkan  pada Total  Lagrangian  Formulation (TLF) (Nanakorn dan Vu, 2006).
Pada  TLF,  translasi  dan  rotasi nodal  menjadi  saling  terkait  satu  sama lain  saat  struktur  berdefleksi  cukup besar.  Hal  ini  menyebabkan  hubungan nonlinier  antara  translasi  dan  rotasi global menjadi sulit diformulasikan yang mengakibatkan kompleksnya penentuan energi  regangan.  Penerapan    interpolasi linier  dalam  formulasinya  membuat hasil  perhitungannya  menjadi  tidak akurat. Ketidakakuratan ini erat kaitannya  dengan field-inconsistency interpolation (Nanakorn dan Vu, 2006).
Selain
TLF, terdapat dua
deskripsi kinematis yang umum digunakan,  yakni Updated  Lagrangian Formulation (ULF)  dan Corotational Formulation (CF).  Bila  ULF  digunakan dalam  analisis  nonlinear  geometrik, permasalahan  inkonsistensi  interpolasi dapat  dihindari  selama  perpindahan antar  konfigurasinya  kecil.  Hal  ini mengakibatkan  diperlukannya time  step yang  kecil  (Nanakorn  dan  Vu,  2006) agar hasil perhitungannya akurat sehingga  beban  komputasinya  menjadi tinggi.  Pendekatan  CF  dapat  mengatasi permasalahan field-inconsistency ini ketika diaplikasikan pada kasus struktur berdefleksi besar dengan regangan  kecil.  Hal  ini  terjadi  karena
pada pendekatan ini perpindahan nodalnya  dibagi  menjadi  perpindahan gerak  kaku  yang  besar  ( large  rigid displacements ) dan deformasi yang kecil (Le,  2013;  Le  dkk.,  2011;  2012; Levyakov,  2015;  Nanakorn  dan  Vu, 2006).  Deformasi  ini  yang  diukur  pada kajian lokal.
Beberapa  peneliti  menerapkan metoda  CF  ini    untuk  mengembangkan metoda  numerik  yang  efisien  untuk analisis  struktur  nonlinier.    Le  (2013), dan  Le  dkk.  (2011;  2012)  adalah  yang paling fokus pada pengembangan metoda  ini  pada  aplikasi  dinamika nonlinier struktur beam . Mereka menggunakan Interdependent
Interpolation  Element (IIE)  dan  teori shallow  arch  beam pada  formulasi kinematika elemen lokalnya.
Untuk  analisis  statik,  tidak  ada keharusan  untuk  menentukan  jenis shape  function yang  tepat  dalam memformulasikan  kinematika  elemen lokal.  Hal  inilah  yang  dikaji  pada penelitian  ini.    Makalah  ini  membahas metoda corotational pada  struktur beam dua dimensi yang diberi nama CBM 2D. Struktur  fleksibel  dimodelkan  tanpa adanya  interpolasi  khusus  sehingga deformasi lokal dapat dimodelkan melalui  pemodelan beam linier  yang sederhana.  Pendekatan  ini  mendekati CF  2D  dari  Yaw  (2009)  dengan penerapan Euler-Bernoulli  beam  Theory (EBT).
Pada  penelitian  ini  CBM  2D diaplikasikan  pada  kasus  yang  lebih luas  mencakup extensible  beam dan beam dengan beban follower loads, yang sejauh  pengetahuan  penulis  belum pernah dianalisis menggunakan pendekatan CF. Keterbaruan dari metoda  yang  dikembangkan  ini  adalah kemampuan dalam menganalisis struktur  nonlinier  geometrik  secara akurat  dan  efisien  dengan  cakupan aplikasi yang lebih luas.

## 2    METODOLOGI
2.1   Konsep Corotational
Prinsip  utama  dari  pendekatan corotational adalah  membagi  gerak elemen  menjadi  bagian  gerak  kaku  dan bagian  yang  berdeformasi.  Saat  elemen bergerak  kaku,  koordinat  sistem  lokal bergerak dan berputar mengikuti pergerakan  elemen.  Pada  kasus  dua dimensi  (2D),  sumbu  x  selalu  searah dengan  sumbu  longitudinal  elemen, sedangkan  sumbu  y  atau  z  tegak  lurus terhadap sumbu x (Yaw, 2009). Koordinat  lokal  inilah  yang  menjadi acuan  dalam  menghitung  deformasi elemen  (Le,  2013;  Yaw,  2009).  Hal  ini memungkinkan  penerapan  hubungan regangan-perpindahan linier ( linear strain-displacement )  pada  acuan  lokal (Levyakov, 2015).

## 2.2   Kinematika Elemen Beam
Kinematika corotational sebuah elemen  beam  lurus  dengan  dua  nodal ditampilkan pada Gambar 2.
Gambar 2:  Kinematika elemen beam. Dimodifikasi dari (Le dkk., 2011).
Koordinat  global  (X,Y)  untuk  nodal  1 dan  2  adalah    (x 1 ,z 1 )  dan  (x 1 ,z 2 ).  Vektor perpindahan global elemennya adalah:
𝐪 = 𝑢 $ 𝑤 $ 𝜃 $ 𝑢 ' 𝑤 ' 𝜃 ' ( (2.1)
Sedangkan vektor
perpindahannya ditulis:
𝐪 = 𝑢 𝜃 $ 𝜃 ' ( (2.2)
dimana 𝑢 = 𝑙 * ' − 𝑙 , ' / 𝑙 * + 𝑙 , (2.3)
𝜃 $ = 𝜃 $ − 𝛼 = 𝜃 $ − 𝛽 − 𝛽 , (2.4) 𝜃 ' = 𝜃 ' − 𝛼 = 𝜃 ' − 𝛽 − 𝛽 , (2.5)
Pers.  (2.4)  dan  (2.5)  diperoleh dengan menerapkan Euler-Bernoulli beam Theory (EBT) atau Kirchhoff Theory yang  mengasumsikan  tidak  terjadinya deformasi  geser  sehingga cross-section beam selalu  normal  terhadap  garis tengah  elemen.  Pada  pers.  (2.3), 𝑙 , dan 𝑙 * adalah  panjang  awal  dan  panjang elemen  setelah  berdeformasi,  yang ditulis:
𝑙 * = 𝑥 ' − 𝑥 $ ' + 𝑧 ' − 𝑧 $ ' $/' (2.6)
𝑙 , = [ 𝑥 ' + 𝑢 ' − 𝑥 $ − 𝑢 $ ' + 𝑧 ' + 𝑤 ' − 𝑧 $ − 𝑤 $ ' ] $/' (2.7)
𝛽 adalah sudut lokal terhadap koordinat global saat elemen berdeformasi, dimana
𝑐 = 𝑐𝑜𝑠 𝛽 = (𝑥 ' + 𝑢 ' − 𝑥 $ − 𝑢 $ )/𝑙 * (2.8)
𝑠 = 𝑠𝑖𝑛 𝛽 = (𝑧 ' + 𝑤 ' − 𝑧 $ − 𝑤 $ )/𝑙 * (2.9)
sehingga 𝛽 = atan (𝑠/𝑐) (2.10) Relasi  antara  variasi  perpindahan  lokal dengan global adalah: 𝛿𝐪 = 𝐁𝛿𝐪 (2.11) dimana
𝐁 = −𝑐 −𝑠 0 −𝑠/𝑙 * 𝑐/𝑙 * 1 −𝑠/𝑙 * 𝑐/𝑙 * 0 𝑐 𝑠 0 𝑠/𝑙 * −𝑐/𝑙 * 0 𝑠/𝑙 * −𝑐/𝑙 * 1 (2.12)
2.2

## Matriks  Kekakuan  dan  Vektor Beban Internal Elemen
Matriks  kekakuan  global  elemen
( 𝐊 ) dituliskan sebagai berikut:
𝐊 = 𝐁 ( 𝐊 E 𝐁 + $ E F 𝐳𝐳 ( 𝑁 + $ E F I 𝐫𝐳 ( + 𝐳𝐫 ( 𝑀 $ + 𝑀 ' (2.13)

## dengan
𝐳 = 𝑠 −𝑐 0 −𝑠 𝑐 0 ( (2.14) 𝐫 = −𝑐 −𝑠 0 𝑐 𝑠 0 ( (2.15)
Pada  pers.  (2.13) 𝑁 merupakan  gaya axial  internal  lokal,  sedangkan 𝑀 $ dan 𝑀 ' adalah  momen  internal  lokal  pada nodal 1 dan 2.
Karena tidak diterapkannya interpolasi shape function secara khusus pada  formulasi  lokal,  matriks  kekakuan lokal elemen ( 𝐊 E )
dijabarkan menggunakan  analisa  struktur  linier standar sebagai berikut:
𝐊 E = 𝐸𝐴/𝑙 , 0 0
0 4𝐸𝐼/𝑙 , 2𝐸𝐼/𝑙 , 0 2𝐸𝐼/𝑙 , 4𝐸𝐼/𝑙 , (2.16)
Hubungan  antara  variasi  vektor  beban internal lokal ( 𝛿𝐩 ) dan variasi perpindahan lokal elemen ( 𝛿𝐪 ) adalah:
𝛿𝐩 = 𝛿𝑁 𝛿𝑀 $ 𝛿𝑀 ' = 𝐊 E 𝛿𝐪 (2.17)
Dengan  menggunakan  pers.  (2.12)  dan pers.  (2.17),  diperoleh  vektor  beban internal (elastik) global sebagai berikut:
𝐩 = 𝐁 ( 𝐩 (2.18)
Pada  implementasi  numeriknya,  vektor 𝐩 ini perlu ditansformasikan menjadi
𝐅 S*T = 𝐀 VW$ X Y 𝐩 (2.19)
dimana 𝐀 VW$ X Y = Assembly operator .
Adapun detail mengenai penurunan dan uraian matriks
kekakuan  elamen  dan  vektor  beban internel  ini  dapat  ditemukan  pada  Yaw (2009), Le dkk. (2011), dan Le (2013).

## 2.3 Algoritma CBM 2D
Implementasi  numerik  formulasi corotational  beam 2D  ini  dilakukan menggunakan algoritma sebagai berikut: 1. Input geometri dan properti
material:  panjang  ( L ),  lebar  ( b ), ketebalan  ( h ),  dan  modulus  young
( E );
2. Hitung  luas cross-section (A) dan momen inersia area (I) ;
3. Input  variabel  tiap  elemen  beam saat konfigurasi awal: 𝛽 , , 𝑙 , , 𝐪 , 𝐩 , x , dan z . Pada saat kondisi awal, 𝐪 = 0 dan 𝐩 =  0. x dan y adalah  vektor koordinat  global  sumbu  x  dan  z pada setiap nodal;
4. Tetapkan vektor beban eksternal F ;
5. Tetapkan load  factor ( λ ),  jumlah kenaikan  beban  (n inc ),  dan  toleransi error ( tol ). λ = 1/n inc , tol = 10 -5 .
6. Mulai looping menggunakan  metoda Newton-Raphson untuk setiap kenaikan  beban  (n  =  0  hingga  n  = n inc -1)  dan  pada  setiap  tahap dilakukan  iterasi  hingga  R ≤ tol,
dimana R = 𝐑. 𝐑 (2.20) 𝐑 = 𝐅 − 𝐅 S*T (2.21)
𝐅 S*T dapat dilihat pada pers. (2.19)
Adapun  uraian  lebih  lengkap mengenai  algoritma  formula corotational beam ini dapat dilihat pada Yaw (2009).

## 3    HASIL PEMBAHASAN
Pada  bagian  ini  akan  dibahas mengenai  aplikasi  numerik  CBM  yang dikembangkan  pada  beberapa  contoh kasus  stuktur  nonlinier  geometrik  yang populer  digunakan  sebagai  model  uji ( benchmarking  test  models ).  Hasil  yang diperoleh dari penelitian ini dibandingkan  dengan  hasil  eksperimen, analitik, maupun numerik yang tersedia pada literatur.
3.1 Analisis Konvergensi dan Akurasi Sebelum dilakukan simulasi pada
beberapa model uji populer, uji konvergensi  perlu  dilakukan  terlebih dahulu.  Pada  uji  konvergensi  ini,  model cantilever  beam  diberi  beban  gaya terdistribusi  (Gambar  3-1).  Struktur beam  memiliki L =  0.4  m, b =  0.025  m, ketebalan h = 0.0004 m, E = 194.3 GPa, dan  gaya  terdistribusi ( q ) =  0.758  N/m. Beléndez  dkk.  (2003)  melaporkan  hasil eksperimen defleksi vertikal ujung beam
(w) sebesar 0.089 m.
Pada  Gambar  3-1  ditampilkan hasil  analisis  konvergensi  metoda  CBM 2D  dengan  defleksi  vertikal  ujung  beam yang  telah  dinormalisasi  terhadap  hasil eksperimen  ( ŵ = w simulasi / w eksperimen ).
Dapat  dilihat  bahwa  hasil  simulasi menggunakan  CBM  2D  konvergen secara  cepat  terhadap  nilai  referensi seiring  dengan  bertambahnya  jumlah elemen beam.
Untuk mengetahui tingkat akurasi  dari  metoda  ini,  model  yang sama  disimulasikan  ulang  dengan menambah
beban berupa gaya terkonsentrasi (F) pada  ujung  beam (lihat  Gambar  3-2).  Gaya  pada  ujung beam ini divariasikan sebesar 0 N, 0.098 N,  dan  0.196  N.  Struktur  beam  hanya dimodelkan  menggunakan  10  elemen untuk  menunjukkan  efisiensi  metoda CBM 2D ini.
Pada  Gambar  3-2  ditampilkan hasil  simulasi  berupa  defleksi  struktur beam  dan  perbandingannya  terhadap hasil  eksperimen  (Beléndez  dkk.,  2003) dan hasil numerik menggunakan integral  approach (Chen,  2010).  Pada Gambar  tersebut  dapat  dilihat  bahwa hasil  simulasi  dapat  mendekati  nilai referensi baik ekserimen maupun numerik. Relatif error maksimum defleksi vertikal ujung beam antara hasil simulasi  dengan  hasil  eksperimen  dan hasil  numerik  berturut-turut  adalah
sebesar  0.44%  dan  0.06%.  Dengan demikian dapat dikatakan bahwa konvergensi dan keakurasian metoda ini telah terverifikasi. Selain itu, penerapan jumlah elemen yang minimum menunjukkan  bahwa  metoda  CBM  2D ini  memiliki  beban  komputasi  yang rendah.
Gambar 3-1: Analisis konvergensi defleksi ŵ terhadap jumlah elemen beam
Gambar 3-2: Hasil  simulasi  CBM  2D  dan perbandingannya terhadap
hasil  eksperimen  (Belendez,
2003)  dan  numerik  (Chen,
2010)
3.2 Cantilever  Beam  dengan  beban terkonsentrasi di ujung beam
Model uji pada Bagian 3.1 belum cukup mendemonstrasikan kemampuan metoda CBM 2D ini dalam menganalisis struktur beam dengan  defleksi  yang sangat  besar.  Oleh  karena  itu,  pada bagian  ini  model  yang  sama  dianalisis kembali  dengan  memberikan  beban yang lebih besar. Model cantilever hanya diberi beban pada ujungnya dengan F =
λ .EI/L 2 ,  dimana λ adalah load  factor . Model ini telah digunakan oleh beberapa peneliti  untuk  mengkaji  nonlinearitas elemen beam.
Jumlah  elemen  yang  diterapkan pada  simulasi  ini  adalah  10  elemen. Hasil  simulasi  dibandingkan  dengan solusi elliptic  integral dan  hasil  simulasi Finite  Element  Method berbasiskan  TLF
(FEM-TLF)
yang
disediakan oleh Nanakorn dan Vu (2006), Finite Difference Method menggunakan
Geometrically  Exact  Plane  Beam  Theory (FDM-GEPBT)  yang  dikembangkan  oleh Babilio  dan  Lenci  (2017),  dan  FEM berbasiskan Strain-Gradient  Elasticity
Theory (SGET)  yang  dilaporkan  oleh Beheshti (2016). Seluruh metoda numerik pada
referensi-referensi tersebut  merupakan  metoda  untuk kasus  2D  dan  menggunakan  solusi elliptic  integral sebagai  acuan  utama perbandingannya.
Pada  Gambar  3-3  ditunjukkan deformasi beam hasil  simulasi  seiring dengan  meningkatnya  besar  gaya.  Pada Gambar  3-4(a)  dan  3-4(b)  ditampilkan hasil  simulasi  berupa  perpindahan horizontal ( u ) dan vertikal ( w ) nondimensional ujung  beam.  Pada kedua  gambar  tersebut  ditampilkan pula perbandingan antara hasil simulasi dan referensi. Dapat dilihat bahwa hasil simulasi  menggunakan  CBM  2D  dan hasil numerik FDM 2D - GEPBT (Babilio dan  Lenci,  2017)  paling  mendekati solusi elliptic  integral .  Kendati  kedua metoda  memiliki  keakurasian  yang hampir  sama,  metoda  CBM  2D  jelas lebih  efisien  karena  untuk  memperoleh hasil yang cukup akurat tersebut hanya diperlukan  10  elemen.  Jumlah  ini  jauh lebih  sedikit  dibandingkan  metoda  FDM 2D  –  GEPBT  yang  menggunakan  90 interval (ekivalen dengan 90 elemen).
Gambar 3-3: Deformasi
non-dimensional
struktur cantilever beam
dengan  jumlah  elemen  10 untuk  kasus  beban  gaya  di ujung beam
(a)
(b) Gambar 3-4: (a) | u|/L vs. λ ; (b) | w|/L vs. λ untuk  model  cantilever  dengan beban gaya di ujung beam
3.3    Cantilever  beam  dengan  beban momen di ujung beam Cantilever  beam diberi  beban terkonsentrasi  berupa  momen  pada ujungnya.  Model  uji  ini  sangat  populer dikalangan  peneliti  struktur  nonlinear karena  terdapat  solusi  analitiknya. Adapun solusi analitik untung menghitung  deformasi  beam  dapat dilihat  pada  makalah  Jeon  dkk.  (2015), Levyakov  (2015),  Ko  dkk.  (2017),  dan Zhou dkk. (2018). Menurut perhitungan secara  analitik, cantilever  beam yang lurus  akan  berdeformasi  membentuk satu  lingkaran  penuh  bila  diberi  beban moment  pada  ujung beam sebesar M 0 = 2 π .EI/L .  Hal  ini  membuat  model  uji  ini menjadi  pilihan  yang  tepat  untuk menguji  kemampuan  metoda  CBM  2D dalam  menganalisis  deformasi  yang sangat besar.
Mengacu  pada  Levyakov  (2015), struktur beam dimodelkan dengan L = 1 m, b = 0.01 m, h = 0.002 m, dan E = 200 GPa.  Beban  momen  pada  ujung  beam adalah M = λ .M 0 . Pada simulasi ini beam dimodelkan  dengan  menggunakan  10 elemen  dan load  factor ( λ )  dibuat bervariasi  dimulai  dari  0.1  hingga  1. Hasil  simulasi  dibandingkan  dengan solusi analitik dan numerik yag tersedia pada literatur. Hasil perhitungan numerik  yang  dijadikan  pembanding adalah hasil simulasi NFEM 3D
berbasiskan Kinematic-Group  Approach (NFEM  3D-KGA)  yang  disediakan  oleh Levyakov (2015), dan FEM menggunakan model elemen shell
MITC4+  (FEM  Shell  –  MITC4+)  yang dikembangkan  oleh  Ko  dkk.  (2017). Kedua  referensi  tersebut  dipilih  untuk menunjukkan  bahwa  metoda  CBM  2D yang dikembangkan ini dapat diaplikasikan untuk model pelat selama deformasinya  hanya  terjadi  pada  satu bidang (2D).
Pada  Gambar  3-5  ditunjukkan deformasi  beam  hasil  simulasi  seiring
dengan  meningkatnya  besar  momen. Pada
Gambar 3-6 ditampilkan
perbandingan  antara  hasil  simulasi  dan solusi  analitik  dan  numerik  berupa defleksi horizontal dan vertikal nondimensional ujung beam.
Pada  Gambar  3-5  dapat  dilihat bahwa  kedua  ujung  struktur  beam saling bertemu setelah diberi pembebanan  dengan load  factor 1.  Hal ini  menunjukkan  bahwa  metoda  CBM 2D  mampu  mensimulasikan  struktur dengan deformasi yang sangat besar dan sesuai dengan solusi analitik.
Pada  Gambar  3-6  dapat  dilihat bahwa  hasil  simulasi  menggunakan metoda  CBM  2D  ini  paling  mendekati solusi  analitik  dibandingkan  referensi numerik  dari  Levyakov  (2015)  dan  Ko dkk.  (2017).  Hal  ini  terlihat  cukup  jelas terutama  untuk  nilai  defleksi  horizontal ujung  beam  ( |u|/L )  untuk λ >  0.7. Meskipun jumlah elemen yang digunakan  dalam  simulasi  lebih  sedikit dari  kedua  referensi  tersebut,  metoda CBM  2D  ini  terbukti  lebih  akurat.  Hal ini membuktikan kembali bahwa metoda ini efisien dan akurat untuk menganalisis  struktur  beam  dengan nonlinear geometrik.
Gambar 3-5: Deformasi non-dimensional struktur cantilever beam dengan  jumlah  elemen  10 untuk  kasus  beban  momen  di ujung beam
Gambar 3-6: | u|/L vs. λ dan  | w|/L vs. λ untuk  model  cantilever  dengan beban momen di ujung beam
3.4 Pinned-pinned  beam dengan beban gaya terdistribusi Pada  simulasi  ini  model beam diberi constraint engsel  ( pinned )  pada kedua  ujungnya  seperti  ditunjukkan pada  Gambar  3-7.  Model  uji  ini  dipilih karena  sejauh  pengetahuan  penulis belum ditemukan adanya referensi yang mengaplikasikan  metoda  CBM  untuk kasus  ini.  Sementara  pada  bidang pengembangan nonlinear FEM, model ini sering  dijadikan  model  uji.  Ranjan (2011) dan  Arbind (2017) menggunakan model  ini  untuk  menguji  metoda numerik  berbasiskan  FEM  yang  mereka kembangkan.  Kasus  ini  menarik  untuk dikaji  karena  formula  yang  tepat  untuk kasus  ini  adalah  formula extensible beam yang  memungkinkan  terjadinya regangan axial yang cukup besar.
Gambar 3-7: Model  pinned-pinned  beam
dengan beban gaya
terdistribusi
Mengikuti pemodelan yang
dilakukan  oleh  Ranjan  (2011),  struktur beam dimodelkan dengan L = 2.54 m, b =  0.0254  m, h =  0.0254  m,  dan E = 206.754  GPa.  Beban  gaya  terdistribusi yang diterapkan adalah q = λ . 𝑞 , dengan 𝑞 , =  6.89  kN/m 2 . Load  factor ( λ )  dibuat bervariasi dimulai dari 1 hingga 10.
Pada  penelitian  ini,  jumlah  beam divariasikan  menjadi  10,  20,  dan  30 elemen.  Hasil  simulasi  dibandingkan hasil  numerik  menggunakan NFEM berbasiskan hp-Spectral  Approximation
(hpSA)  dan Reddy  third  order  Shear Deformation Thoery (RSDT) yang datanya tersedia  pada  Ranjan  (2011).  Jumlah elemen  yang  digunakan  pada  referensi tersebut adalah 10 elemen.
Pada Tabel 3-1 ditunjukkan hasil simulasi dan perbandingannya terhadap nilai  referensi  berupa  defleksi  vertikal nondimensional pada  titik  tengah  beam ( w c )  seiring  dengan  meningkatnya  besar beban  terdistribusi.  Dengan  mengacu pada  nilai  NFEM-RDST  sebagai  acuan, dapat dilihat bahwa hasil simulasi CBM 2D  menggunakan  10  elemen  mendekati hasil  numerik  menggunakan  NFEM- hpSA.  Maksimum  error  pada  model  ini adalah  sebesar  0.49%,  lebih  tinggi sedikit  dari  maksimum  error  simulasi NFEM-hpSA  sebesar  0.48%.  Hal  ini mengindikasikan  bahwa  metoda  CBM 2D  yang  berbasiskan  EBT  ini  mampu mensimulasikan  kasus  beam  dengan regangan  axial  yang  cukup  besar meskipun formula extensible beam tidak diterapkan. Penambahan jumlah elemen menjadi  20  atau  30  elemen  jelas meningkatkan  akurasi  metoda  CBM  ini dengan  maksimum  error  berturut-turut sebesar 0.13% dan 0.06%.
Tabel 3-1: Defleksi vertikal titik tengah beam (| w c |/L ) untuk kasus pinned-pinned beam
λ |w c |/L x 100 NFEM-RDST (Ranjan, 2011) NFEM-hpSA (Ranjan, 2011) CBM 2D 10 Elemen 20 Elemen 30 Elemen 1 0.3685 0.3697 0.3696 0.3688 0.3686 2 0.5454 0.5478 0.5476 0.5460 0.5457 3 0.6640 0.6675 0.6669 0.6647 0.6643 4 0.7555 0.7593 0.7590 0.7564 0.7559 5 0.8312 0.8353 0.8351 0.8322 0.8317 6 0.8964 0.9008 0.9007 0.8975 0.8969 7 0.9540 0.9586 0.9586 0.9552 0.9545 8 1.0058 1.0107 1.0107 1.0071 1.0064 9 1.0531 1.0582 1.0583 1.0545 1.0538 10 1.0967 1.1020 1.1022 1.0982 1.0974 3.5 Cantilever beam dengan follower load
Pada  bagian  ini  disimulasikan model cantilever beam
dengan pembebanan nonkonservatif berupa follower load . Beban jenis ini bergantung pada  konfigurasi  struktur  beam  saat berdeformasi ( current
configuration ) sehingga perlu diperbaharui arah pembebanannya  pada  setiap  tahap perhitungan.  Salah  satu  contoh  beban jenis  ini  adalah  tekanan,  yang  arahnya selalu berlawanan dengan normal suatu permukaan.
Model uji ini dipilih karena belum ditemukan adanya referensi yang mengaplikasikan  metoda  CBM  untuk kasus  ini.  Sangat  sedikit  pula  referensi tentang metoda numerik nonlinear yang menggunakan  model  ini  sebagai  model uji karena jenis pembebanan yang path- dependent ini  memerlukan  interval tahap  perhitungan  yang  kecil  sehingga beban  komputasinya  menjadi  tinggi. Kecilnya interval tersebut terjadi karena akurasi  penerapan  beban  pada  setiap tahap ditentukan oleh hasil perhitungan pada  tahap  sebelumnya.  Kondoh  dan Atluri  (1987)  telah  mensimulasikan kasus  ini  menggunakan  NFEM.  Zupan dkk.  (2012)  menganalisis  model  ini
menggunakan quaternion-based FEM. Masjedi  dan  Ovesy  (2015;  2015) menerapkan
Chebyshev Collocation Method (CCM), sedangkan Amoozgar dan Shahverdi, 2016) menggunakan
generalized
differential quadrature method dalam menganalisis model ini. Struktur beam
dimodelkan dengan L = 0.5 m, b = 0.01 m, h = 0.01 m,  dan E =  150  MPa.  Beban  tekanan yang  diterapkan  adalah p  = λ . 𝑝 dengan 𝑝 , = EI/L 3 . Load  factor ( λ )  dibuat bervariasi  dimulai  dari  2.5  hingga  25. Jumlah  elemen  beam  yag  digunakan adalah 10 elemen.
Pada  Gambar  3-8  ditampilkan deformasi  struktur  beam  hasil  simulasi seiring  dengan  meningkatnya  besar tekanan  yang  diterapkan.  Pada  gambar tersebut  dapat  dilihat  bahwa  struktur beam berdeformasi cukup besar sebagai akibat  dari  penerapan  beban  berupa tekanan,  yang  selalu  memberi  efek bending  pada  struktur  beam.  Pada Gambar 3-9 ditampilkan defleksi nondimensional ujung beam dan perbandingannya terhadap hasil
numerik  menggunakan  NFEM  dari Kondoh dan Atluri (1987) dan CCM dari Masjedi dan Ovesy (2015).
Gambar 3-8: Deformasi non-dimensional
struktur cantilever beam untuk kasus  beban  nonkonservatif berupa tekanan
Gambar 3-9: Posisi  nondimensional  ujung beam  untuk  kasus  beban nonkonservatif berupa tekanan
Pada  Gambar  3-9  dapat  dilihat bahwa  hasil  NFEM  dari  Kondoh  dan Atluri  (1987)  lebih  identik  dengan  hasil simulasi  CBM  2D  ini  dibandingkan dengan  hasil  simulasi  menggunakan CCM  dari  Masjedi  dan  Ovesy  (2015). Mengingat hasil NFEM dari Kondoh dan Atluri  (1987)  selalu  dijadikan  referensi untuk  perhitungan  numerik nonlinier pada  model  uji  ini,  maka  dapat dikatakan  bahwa  metoda  CBM  2D  ini sangat  akurat  dalam  mensimulasikan model slender beam dengan pembebanan  berupa follower  load , bahkan  lebih  akurat  dibandingkan dengan metoda
CCM
yang dikembangkan  oleh  Masjedi  dan  Ovesy (2015).

## 4    KESIMPULAN
Kombinasi antara formulasi corotational  beam dan Euler  Bernouli beam  Theory yang  tidak  menerapkan fungsi  interpolasi  secara  khusus  pada formulasi  lokal  elemennya  membuat metoda  CBM  2D  ini  dapat  mengatasi permasalahan field-inconsistency ,  yang pada  umumnya  ditemui  pada  analisis struktur  nonlinear  yang  menggunakan TLF. Hal ini pun membuat implementasi numerik dan pemrograman dari pendekatan ini menjadi sangat
sederhana  dan  beban  komputasinya rendah  sehingga  sangat  praktis  untuk digunakan.
Sejumlah  uji  numerik  telah dilakukan pada model uji populer untuk mempelajari  konvergensi,  akurasi,  dan keandalan  metoda  CBM  2D  ini  dalam menganalisis  kasus  struktur  nonlinear geometrik.  Selain  itu,  uji  numerik  pun dilakukan  pada  model  yang  belum dipernah dianalisis menggunakan formulasi corotatioal beam yakni extensible  beam dan  cantilever  beam dengan  pembenanan  nonkonservatif berupa follower  load .  Berdasarkan perbandingan  antara  hasil  simulasi dan referensi  yang  terdapat  pada  literatur baik  hasil  eksperimen,  solusi  analitik, ataupun solusi numerik, dapat disimpulkan  bahwa  metoda  ini  mampu memberi hasil yang akurat meski hanya menggunakan  jumlah  elemen  yang sedikit. Metoda ini pun mampu memberikan  hasil  yang  akurat  dan efisien  untuk  kasus extensible  beam . Selain  itu,  metoda  ini  sangat  mudah diterapkan  untuk  analisis  struktur beam  dengan  pembebanan  berupa follower  load dengan  hasil  yang  sangat akurat. Hasil penelitian ini membuktikan  validitas,  efisiensi,  dan kepraktisan  dari  metoda  CBM  2D  yang dikembangkan ini.

## UCAPAN TERIMAKASIH
Penulis mengucapkan terima kasih  kepada  Lembaga  Pengelola  Dana Pedidikan (LPDP) Kementerian Keuangan RI atas dukungan
pembiayaan  secara  penuh  terhadap proses penelitian ini.

## DAFTAR RUJUKAN
Amoozgar,  M.  R.,  dan  Shahverdi,  H.  (2016).
Analysis  of  nonlinear  fully  intrinsic equations  of  geometrically  exact  beams
using generalized differential quadrature  method .  Acta  Mechanica, Vol. 227 No. 5, 1265-1277.
https://doi.org/10.1007/s00707-015-
1528-7
Arbind,  A.,  Reddy,  J.  N.,  dan  Srinivasa,  A.  R.
(2017). Nonlinear  analysis  of  beams with rotation gradient dependent
potential  energy  for  constrained  micro- rotation . European Journal of Mechanics, A/Solids, Vol. 65 , 178-194. https://doi.org/10.1016/j.euromechsol.2017.0
4.002
Babilio, E., dan Lenci, S. (2017). On the notion of curvature and its mechanical meaning in  a  geometrically  exact  plane  beam
theory . International Journal of
Mechanical  Sciences,  Vol.  128-129,
277-293.
https://doi.org/10.1016/j.ijmecsci.201 7.03.031
Beheshti, A. (2016). Large deformation analysis
of strain-gradient elastic beams . Computers  and  Structures,  Vol.  177, 162-175.
https://doi.org/10.1016/j.compstruc.2016.07.
013
Beléndez,  T.  ,  Neipp,  C.,  dan  Beléndez,  A.
(2003). Numerical  and  Experimental
Analysis  of  a  Cantilever  Beam:  A
Laboratory Project to Introduce Geometric  Nonlinearity  in  Mechanics  of
Materials .  International  Journal  of Engineering  Education,  Vol.  19  No.  6, 885-892.
Chen,  L.  (2010). An  integral  approach  for  large
deflection cantilever beams . International  Journal  of  Non-Linear Mechanics,  Vol.  45  No.  3,  301-305. https://doi.org/10.1016/j.ijnonlinmec. 2009.12.004
Jeon,  H.M.,  Lee,  Y.,  Lee,  P.S.,  dan  Bathe,  K.J.
(2015). The  MITC3+  shell  element  in geometric nonlinear analysis . Computers  and  Structures,  Vol.  146, 91-104. https://doi.org/10.1016/
j.compstruc.2014.09.004
Ko, Y., Lee, P. S., dan Bathe, K. J. (2017). The MITC4+  shell  element  in  geometric nonlinear  analysis .  Computers  and Structures, Vol. 185, 1-14.
https://doi.org/10.1016/j.compstruc.2017.01.
015 Kondoh,  K.,  dan  Atluri,  S.  N.  (1987). Large- deformation,  elasto-plastic  analysis  of frames  under  nonconservative  loading, using explicitly derived tangent stiffnesses based on assumed stresses .
Computational Mechanics, Vol. 2 No.1, 1-25.
https://doi.org/10.1007/BF00282040 Le,  T.  N.  (2013). Nonlinear  dynamics  of  lexible structures  using  corotational  beam elements .  Ph.D  Thesis,  KTH  Royal
Institute  of  Technology,  Stockholm, Sweden.
https://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00954739 Le,  T.  N.,  Battini,  J.  M.,  dan  Hjiaj,  M.  (2011).
Efficient  formulation  for  dynamics  of corotational  2D  beams .  Computational Mechanics, Vol. 48 No. 2, 153-161.
https://doi.org/10.1007/s00466-011-0585-6 Le,  T.  N.,  Battini,  J.  M.,  dan  Hjiaj,  M.  (2012).
Dynamics  of  3D  beam  elements  in  a corotational  context:  A  comparative study of established and new
formulations . Finite Elements in Analysis  and  Design,  Vol.  61,  97-111. https://doi.org/10.1016/j.finel.2012.0 6.007
Levyakov,  S.  V.  (2015). Formulation  of  a geometrically  nonlinear  3D  beam  finite element  based  on  kinematic-group approach .
Applied
Mathematical
Modelling,  Vol.  39  No.  20,  6207-6222. https://doi.org/10.1016/j.apm.2015.0 1.064 Masjedi,  P.  K.,  dan  Ovesy,  H.  R.  (2015).
Chebyshev  collocation  method  for  static intrinsic equations of geometrically exact beams. International  Journal  of  Solids and  Structures,  Vol.  54,  183-191. https://doi.org/10.1016/j.ijsolstr.2014 .10.016
Masjedi,  P.  K.,  dan  Ovesy,  H.  R.  (2015). Large deflection  analysis  of  geometrically exact  spatial  beams  under  conservative and nonconservative loads using
intrinsic  equations .  Acta  Mechanica,
Vol. 226 No. 6, 1689-1706. https://doi.org/10.1007/s00707-014-1281-3 Nanakorn, P., dan Vu, L. N. (2006). A 2D field- consistent  beam  element  for  large displacement  analysis  using  the  total
Lagrangian formulation . Finite
Elements  in  Analysis  and  Design,  Vol.
42 No. 14-15, 1240-1247. https://doi.org/10.1016/j.finel.2006.06.002 Ranjan,  R.  (2011). Nonlinear  finite  element analysis  of  bending  of  straight  beams Using hp-spectral approximations .
Journal  of  Solid  Mechanics,  Vol.  3  No.
1, 96-113.
Yaw,  L.  L.  (2009). 2D  Corotational  Beam
Formulation , 1–17. https://gab.wallawalla.edu/~louie.yaw/Co- rotational_docs/2Dcorot_beam.pdf, diakses pada tanggal 26 Maret 2016.
Zhou,  X.,  Huang,  K.,  dan  Li,  Z.  (2018).
Geometrically  nonlinear  beam  analysis of composite wind turbine blades based on quadrature element
method . International  Journal  of  Non-Linear Mechanics, Vol. 104, 87-99. https://doi.org/10.1016/j.ijnonlinmec.
2018.05.007
Zupan,  E.,  Saje,  M.,  dan  Zupan,  D.  (2012).
Quaternion-based
dynamics
of
geometrically  nonlinear  spatial  beams using  the  Runge-Kutta  method .  Finite Elements  in  Analysis  and  Design,  Vol. 54, 48-60.