Vol. 5, No.2, 86-92,  Januari  2009
Ketidaksamaan Chebyshev Hukum Bilangan Besar pada Bisnis Asuransi
Georgina M. Tinungki †

## Abstrak
Bisnis  asuransi  sangat  erat  kaitannya  dengan  teori  statistik,  khususnya  teori  probabilitas (kemungkinan) dalam mengelola risiko yang dijaminnya. Pentingnya mengasuransikan  mobil untuk  mengalihkan risiko  yang  mungkin terjadi akibat  kerusakan,  kecurian, atau  kecelakaan terhadap kendaraan maupun jika kecelakaan tersebut menyebabkan kerugian secara langsung terhadap  pihak  ketiga.  Prinsip  yang  diambil  dari  teori  probabilitas  ini  dinamakan hukum bilangan besar ( the law of large number ). Cara yang dilakukan perusahaan asuransi dalam mengaplikasikan  prinsip  hukum  bilangan  besar  ini  ialah  memperbanyak  jumlah  risiko  itu sendiri. The Law of Large Number merupakan  teorema dari statistik. Jika terdapat variabel acak,  maka  variabel  acak  itu  akan  stabil  dalam  waktu  yang  lama.  Ini  berarti  dalam  jangka waktu  yang  panjang  nilai  pengamatan  akan  selalu  mendekati  nilai  harapan.  Jenis kekonvergenen yang terpenting dalam hal ini  jenis kekonvergenen lemah, yang menyatakan bahwa  rataan  sampel  konvergen  dalam  peluang.  Ketidaksamaan  Chebyshev  merupakan  alat yang  ampuh  untuk  membuktikan    kekonvergenan  lemah,  yang  dapat  ditunjukkan  pada pembuktian hukum bilangan besar yang lemah ( The Weak Law ).
Kata Kunci : Bisnis  asuransi,  Law  of  Large  Number,  The  Weak  Law, Ketidaksamaan Chebyshev.

## 1. Pendahuluan
Di Indonesia belum terlalu banyak orang yang mengasuransikan kendaraan bermotornya. Kondisi tersebut berbeda dengan keadaan di negara-negara Barat pada umumnya, dimana setiap kendaraan  wajib  diasuransikan.  Seseorang  bahkan  tidak  diperkenankan  mengendarai  kendaraan bermotor jika dirinya dan kendaraannya belum diasuransikan. Bagi sebuah perusahaan asuransi, yang  penting  bukan  hanya  luasnya  jaminan  yang  diberikan  serta  premi  yang  kompetitif,  tetapi juga  pelayanan  klaim  terpadu  yang  cepat  dan  profesional,  seperti  Proses  perpanjangan  polis (renewal),  sebaiknya  dilakukan  sebelum  masa  pertanggungan  polis  berakhir.    Prinsip  yang diambil dari teori probabilitas ini dinamakan hukum bilangan besar ( the law of large number ). Bagi  sebuah  perusahaan  asuransi,  yang  penting  bukan  hanya  luasnya  jaminan  yang  diberikan serta premi yang kompetitif, tetapi juga pelayanan klaim terpadu yang cepat dan profesional.

## 2. Hukum Bilangan Besar
Hukum  bilangan  besar  ( The  Law  of  Large  Number )  adalah  salah  satu  teorema  statistik. Jika terdapat variabel acak, maka variabel acak itu akan stabil dalam waktu yang lama. Ini berarti dalam jangka waktu yang panjang nilai pengamatan akan selalu mendekati nilai harapan
† Jurusan Matematika FMIPA Universitas Hasanuddin Makassar
   n for X n 

## Georgina M. Tinungki
Hukum bilangan besar terdiri dari hukum bilangan besar yang kuat ( The Strong Law ), dan hukum bilangan besar yang lemah ( The Weak Law )
Misalkan ,..... , 2 1 Y Y .... ,Y n barisan peubah acak dengan distribusi bersama (untuk n 1  ) didefinisikan pada ruang sampel Ώ yang sama.  Misalkan Y peubah acak yang lain didefinisikan pada  ruang  sampel  yang  sama.    Sekarang  pembahasan  tentang  arti  dari  pada Y n ’menuju  (atau konvergen) ke’ Y .

## Definisi 1.
Dikatakan    Y n konvergen  ke  Y  dengan  peluang  1  jika   1 lim     Y Y P n n . ( Ini  disebut  pula konvergen hampir pasti atau konvergen hampir dimana-mana atau konvergen kuat ) .
Definisi 2.
Dikatakan Y n konvergen ke Y dalam peluang ( Y Y p n   ) jika untuk setiap ε > 0   0 lim       Y Y P n n
( ini disebut juga sebagai konvergen stokastik, atau konvergen dalam ukuran atau konvergen lemah ) .
Definisi 3. Dikatakan Y n konvergen ke Y dalam rataan kuadrat jika
0 ) ( lim 2     Y Y E n n
( dikatakan pula Y n  Y  di L 2 atau ) 2 Y Y n  
Definisi 4.
Dikatakan Y n konvergen ke Y  dalam distribusi ) ( Z Y d n   jika ) ( ) ( lim t F t F Y Y n n    pada  setiap  titik  t  yang  F Y (.) kontinu  disitu.    Dalam  kasus  tersebut,  dikatakan  pula  bahwa ) ( ) ( t F t F n Y n  konvergen lemah ke F(t) = F Y (t) dan ditulis F n  F.
3.   Pembuktian  Hukum  Bilangan  Besar  Yang  Lemah  dengan Ketidaksamaan Chebyshev
  N i X i      2 var 

## Georgina M. Tinungki
Hukum bilangan besar yang lemah menyatakan bahwa rata-rata sampel, konvergen dalam probabilitas terhadap nilai harapannya.
Ini dinyatakan untuk setiap  >0,
  1 lim        n n X P .
Disebut  hukum  lemah  karena  konvergensi  dalam  peluang  itu  memang  lemah  pada  konvergensi variabel acak.
Pembuktian hukum  bilangan  besar  yang  lemah  dengan  menggunakan  ketidaksamaan Chebyshev.
Diketahui:
  n n X X X n X     ... 1 2 1 Akan dibuktikan:   2 2     n n X
P    Atau Selama n menuju  , menurut definisi konvergen dalam peluang dapat berlaku:

## Hukum Bilangan Besar yang Kuat
Hukum  bilangan  besar  yang  kuat  menyatakan  bahwa  rata-rata  sampel  dipastikan  akan konvergen ke nilai harapannya.
Ini dinyatakan untuk setiap  > 0,
Pembuktian  dari  hukum  ini  lebih  kompleks  dari  hukum  lemah.  Hukum  ini  membenarkan interpreatsi yang didasarkan pada intuisi dari nilai harapan dari variabel acak sebagai “Long-term
    n for X P n    n n n X n 2 2 2 var         n X E   2 2 1     n X P n         n for X P n      n for X s a n  .   1 lim      n n X P
Georgina M. Tinungki
average  when  sampling  repeatedly”. Disebut  hukum  kuat  karena  konvergensi  hampir  pasti ( Almost Sure ) adalah konvergensi yang kuat pada variabel acak.

## Defenisi 5.
Barisan dari sampel acak Y n , disebut konvergen dalam peluang  ke Y, ditulis → , jika
(i) → [| |    ] =1 (ii) → [| |    ]
Teorema  1.
Jika → , maka untuk sembarang fungsi g(y) yang kontinu pada c,
→ Bukti :
Karena g ( y ) kontinu pada c, maka |     | dimana |           | Karena | |          | | Maka | |          | | Karena → , hal ini berarti untuk | | | |          | | Karena | | tidak mungkin lebih dari 1 Maka | | →
Teorema 2.
Jika X n dan Y n adalah barisan dari peubah acak dimana → dan → , maka : 1. → 2. → 3. → , untuk 4. → , jika
5. √ → √ , jika
Bukti :
3. Jika → , adalah barisan peubah acak Simpulan →
Bukti :
Diketahui : → | | Akan ditunjukkan : → (| |    )
Penyelesaian :
Ambil sembarang
→ (| |    ) → | |    | |
Misalkan : | | . Berlaku → | |
Georgina M. Tinungki
→ | | → | |    | |
Diketahui :  X n adalah peubah acak,
Jika → maka → | | Akan dibuktikan : - → , - → | | Ambil sembarang | | = | | = | | = | | | | | | = (| | | |    ) = (| | | |    )
= (| | | | ) Karena (| | | | )      (| | | | )
Misal | | → | | → (| | ) 1  → (| | ) → (| | )
→ 5. Diketahui :  X n peubah acak [ ] → artinya → | | Dit √ → √ =…….? Artinya akan dibuktikan → (|√ √ |    ) Ambil sembarang | | = (| √ – √   √ √  |    ) = (|√ √ | √ √ ) (|√ √ | √ ) Misalkan √ untuk Berlaku :
→ | | → (|√ √ | )
Karena → (|√ √ |    ) Jadi,
→ (|√ √ |    )
√ → √

## 4.   Beberapa  Penerapan  Hukum  Bilangan  Besar  dalam  Kehidupan Sehari-hari
• SMS,  walaupun  hanya  Rp  250,-  tetapi  kalau  yang  mengirim  sms  1.000.000  orang  pasti hasilnya akan besar.
• Koran Kompas misalnya hanya untung Rp 10,- per koran, tetapi yang  membeli kompas ribuan orang, maka akan tetap untung juga, belum lagi pemasukan dari iklan.
• Tianshi  omzetnya  hanya  dari 'tiens  tooth  paste' yang  hanya  Rp  50.000,-  tetapi  dalam jaringan  ada  500  orang  yang  menggunakannya,  sehingga  tetap  akan  ada  untung  Rp  25 juta.
• Ide  dasar  program  ini  mengacu  pada  kultur  bangsa  Jepang.  Seperti  diutarakan  Willy, negeri  kepulauan  tersebut  sering  diguncang  gempa  bumi  dan  jika  terjadi  gempa  semua orang  mengalami  kerugian,  termasuk  perusahaan  asuransi.  Meski  demikian,  perusahaan asuransi  tetap  menanggung  kerugian  yang  dialami  oleh  para  nasabahnya.  Mengingat mereka  telah  diuntungkan  oleh  perusahaan  asuransi,  orang-orang  Jepang  biasanya  tidak segan-segan jika harus membayar lebih kepada perusahaan asuransi dan mengajak teman atau kerabat mereka untuk berasuransi.
• Masuknya  kewajiban  perusahaan  angkutan  laut  untuk  mengasuransikan  tanggung jawabnya dalam UU Pelayaran merupakan pasar potensial untuk digarap pelaku industri asuransi. Kewajiban asuransi yang dimuat dalam UU lama di antaranya tanggung jawab terhadap penumpang, muatan, dan kerugian terhadap pihak ketiga. Juga asuransi terhadap pencemaran  yang  bersumber  dari  kapalnya.  Untuk  peraturan  yang  baru  ada  tambahan, yakni tanggung jawab terhadap pengangkutan multimoda.

## 5. Kesimpulan
• Prinsip  yang  diambil  dari  teori  probabilitas hukum  bilangan  besar  ( the  law  of  large number ) merupakan  cara  yang  dilakukan  perusahaan  asuransi  dalam  mengaplikasikan prinsip hukum bilangan besar yang memperbanyak jumlah risiko.
• Ketidaksamaan  Chebyshev  merupakan  alat  yang  ampuh  untuk  membuktikan kekonvergenan lemah, yang dapat ditunjukkan pada pembuktian hukum bilangan bersar yang lemah ( The Weak Law ) .
Bagi  sebuah  perusahaan  asuransi,  yang  penting  bukan  hanya  luasnya  jaminan  yang diberikan  serta  premi  yang  kompetitif,  tetapi  juga  pelayanan  klaim  terpadu  yang  cepat  dan profesional.

## Daftar Pustaka
1. Dudewicz, E. J., and  Mishra, S. N. 1988. Modern Mathematical Statistics. John Wiley & Sons, Ltd . Inc.

## Georgina M. Tinungki
2. Hogg, R. V., and  Craig, A. T. 1995. Introduction to Mathematical Statistics , Fifth Edition. Prentice Hall Inc.
3. Bain,    L.  J.,    and  Engelhardt,  M.  1992. Introduction  To  Probability  and  Mathematical Statistics, Second Edition . Duxbury Press. An Imprint of  Wadsworth Publishing Company Belmont, California.
4. Casella,  G.,  and  Berger,  R.  L.  1990. Statistical  Inference. Wadsworth  Inc.,  Belmont, California 94002.