dan Graf Pohon Palem . Jurnal Teorema: Teori dan Riset Matematika . Vol 4 No 1, Hal 13-22, Maret 2019.

## BILANGAN KROMATIK PERMAINAN GRAF POT BUNGA DAN GRAF POHON PALEM
Abdul Mujib Universitas Muslim Nusantara Al-Washliyah Medan email: mujib_umnaw@yahoo.co.id

## ABSTRAK
Dua orang pemain, pemain pertama sebut saja dan pemain kedua dinamakan mewarnai titik-
titik pada graf dengan memilih warna dari himpunan warna . bertujuan agar
semua  titik  pada  graf dapat  terwarnai.  Sedangkan bertujuan  untuk  mencegah mencapai tujuannya. Langkah pertama kali dilakukan oleh sebagai pemain pertama, kedua pemain secara bergantian mewarnai titik-titik di graf dengan aturan setiap titik harus berwarna berbeda dari titik- titik  tetangganya.  Jika  semua  titik  di  graf terwarnai,  maka menang  dan  jika  sebaliknya menang. Bilangan terkecil sedemikian sehingga mempunyai strategi untuk menang pada graf
dengan warna  disebut  bilangan  kromatik  permainan  dari  graf yang  dinotasikan . Penelitian ini mengkaji bilangan kromatik permainan dari graf dan graf . Penelitian ini menghasilka dua teorema dan . . Kata Kunci: Bilangan kromatik, Bilangan kromatik permainan, Graf pot bunga, Graf pohon palem.
dan Graf Pohon Palem .
Jurnal Teorema: Teori dan Riset Matematika . Vol 4 No 1, Hal 13-22, Maret 2019.

## PENDAHULUAN
Teori  graf  adalah  salah  satu  kajian  menarik  yang  dibahas  dalam  Matematika  Diskrit  yang mempelajari  tentang  sifat-sifat  graf.  Ilmu  graf  telah  lama  dikenal  dan  banyak  diaplikasikan  di  berbagai bidang, sehingga masih banyak penelitian yang dapat dikembangkan sampai sekarang. Secara umum, graf adalah pasangan himpunan dimana menyatakan himpunan titik yang tak kosong dan adalah himpunan sisi yang menghubungkan sepasang titik pada graf tersebut (Bondy & Murty, 2008).
Manfaat teori graf sangat banyak. Umumnya graf digunakan untuk memodelkan suatu masalah sehingga  menjadi  lebih  mudah,  yaitu  dengan  cara  merepresentasikan  objek  pada  masalah  tersebut menjadi  unsur  dalam  suatu  graf.  Seperti  pemodelan  pemetaan,  optimasi,  masalah  jalur  tercepat,  dan kajian-kajian lainnya. Salah satu topik menarik dalam teori graf adalah masalah pewarnaan graf. Terdapat tiga  macam  pewarnaan  dalam  graf,  yakni  pewarnaan  titik,  pewarnaan  sisi,  dan  pewarnaan  wilayah. Masalah utama pewarnaan titik adalah bagaimana mewarnai semua titik pada graf tersebut sehingga tidak ada  dua  titik  yang  bertetangga  memiliki  warna  yang  sama.  Hal  ini  biasanya  dikaitkan  dengan penggunaan warna  terkecil.  Bilangan terkecil  sehingga  semua  titik  pada  graf dapat  terwarnai dengan dengan warna disebut bilangan kromatik, dinotasikan ) (Diestel, 2005).
Masalah pewarnaan titik pada graf memiliki banyak aplikasi di berbagai bidang, misalnya dalam pembuatan jadwal, penentuan frekuensi radio, bahkan berkembang dalam bentuk permainan. Salah satu bentuk permainan graf adalah Permainan Bilangan Kromatik. Konsep dasar dari permainan ini pertama kali diperkenalkan oleh (Bodlaender, 1991). Kemudian permainan ini berkembang pada kelas-kelas graf tertentu. Seperti permainan bilangan kromatik yang dikaji oleh Peterin (Peterin, 2007) dan Bartnicki dkk (Bartnicki  dkk.,  2008)  pada  kelas  graf  hasil  kali  tensor  yaitu  graf Kemudian pada tahun 2011, (Mujib & Assiyatun, 2011) mengkaji perumuman dari graf hasil kali tensor
dan . Banyaknya kelas graf, memungkinkan masalah ini masih menjadi kajian yang terus berkembang sampai saat ini. Pada  permainan  ini,  dua  orang  pemain,  pemain  pertama  sebut  saja dan  pemain  kedua dinamakan mewarnai  titik-titik  pada  graf dengan  memilih  warna  dari  himpunan  warna yang tersedia. bertujuan agar semua titik pada graf dapat terwarnai. Sedangkan bertujuan  untuk  mencegah mencapai  tujuannya.  Langkah  pertama  kali  dilakukan  oleh sebagai pemain pertama, kedua pemain secara bergantian mewarnai titik-titik di graf , dengan aturan setiap titik harus berwarna berbeda dari titik-titik tetangganya. Jika semua titik di graf terwarnai, maka menang dan  jika  sebaliknya  Y  menang.  Bilangan terkecil  sedemikian  sehingga mempunyai  strategi  untuk memenangkan permainan pada graf dengan warna disebut bilangan kromatik permainan dari graf yang dinotasikan
(Mujib, 2011). Merujuk  pada  definisi bilangan  kromatik  permainan,  menentukan bilangan  kromatik permainan dari graf yang dinotasikan dengan masih menjadi kajian menarik sampai saat ini. Karena untuk
mendapatkan
pertama  harus  menentukan terlebih  dahulu  nilai -nya,  kedua  menentukan
rentang batas bilangan kromatik permainannya, dan akhirnya menemukan bilangan kromatik permainan graf tersebut yang artinya mempunyai strategi untuk memenangkan permainan pada graf . Banyaknya kelas graf menjadikan masalah bilangan kromatik permainan merupakan topik yang terus  berkembang  dan  menghasilkan  teorema-teorema baru  pada  kelas  graf  tertentu.  Kelas  graf  yang dikaji dalam penelitian ini adalah graf pot bunga dan graf pohon palem. Sebelum mengekplorasi bilangan kromatik  permainan dari  kedua graf tersebut.  Terlebih dahulu  akan  akan dikaji  konsep dasar  graf  dan beberapa kelas graf pendukungnya seperti graf lintasan, graf bintang, dan graf lingkaran.
Suatu  graf merupakan  pasangan  himpunan dengan adalah  himpunan  tak kosong yang disebut titik dan
yang merupakan subhimpunan 2-elemen dari yang disebut sisi.
dan Graf Pohon Palem . Jurnal Teorema: Teori dan Riset Matematika . Vol 4 No 1, Hal 13-22, Maret 2019.
Pada umumnya graf disajikan dalam bentuk grafis, dengan anggota himpunan digambarkan sebagai titik,  sedangkan  anggota  himpunan sebagai  garis  yang  menghubungkan  dua  buah  titik  yang bersesuaian.  Sebagai  contoh,  Gambar  1  adalah  graf dengan
dan dimana Gambar 1. Graf Misalkan yaitu sisi yang menghubungkan titik dan di . Jika titik
dan terhubung oleh suatu sisi di , maka titik dan dikatakan bertetangga di G, dan titik dan disebut titik ujung dari .  Titik dan dikatakan saling bebas jika dan tidak bertetangga.  Graf dikatakan  graf  lengkap,  dinotasikan  dengan jika  setiap  dua  titik  pada bertetangga (Hartsfield & Ringel, 2003). Berdasarkan Gambar 1, jelas graf bukan graf lengkap. Karena terdapat dua titik yang saling bebas seperti titik dengan , dan dengan dan . Banyak  sisi  yang  terkait  pada  suatu  titik di  G  disebut  derajat  titik ,  dilambangkan dengan ).  Derajat  terkecil  dari  suatu  graf dinotasikan  dengan ,  sedangkan  derajat terbesar pada graf dinotasikan (Bondy & Murty, 2008). Graf pada Gambar 1 mempunyai barisan  derajat sehingga diperoleh dan . Suatu  graf dengan titik  dikatakan  graf  lintasan,  dinotasikan  dengan ,  jika graf terhubung dengan dua titik berderjat satu dan
titik berderajat dua. Kasus khusus untuk maka graf disebut graf trivial. Graf dikatakan graf reguler jika derajat setiap titiknya sama. Graf disebut graf -reguler jika untuk setiap . Graf merupakan graf -reguler, karena setiap titiknya berderajat . Graf siklus berorde dinotasikan adalah graf terhubung 2-reguler (Hartsfield & Ringel, 2003). Suatu  graf disebut  graf  bipartit  jika dapat  dipartisi  menjadi  dua  buah subhimpunan tak kosong dan sedemikian sehingga untuk setiap sisi di berlaku salah satu ujungnya  berada  di dan  ujung  lainnya  berada  di .  Misalkan | | dan | | dimana . Jika setiap titik di bertetangga dengan titik di , maka disebut graf bipartit lengkap, dinotasikan dengan . Graf bintang dinotasikan dengan , yaitu graf bipartit lengkap dengan | | dan | | (Hartsfield & Ringel, 2003). Graf isomorpik dengan graf dan graf isomorpik  dengan  graf .  Gambar  2  berikut  ini  menggambarkan  graf
dan  graf
v 5 v 4 v 3 v 2 v 1
dan Graf Pohon Palem .
Jurnal Teorema: Teori dan Riset Matematika . Vol 4 No 1, Hal 13-22, Maret 2019.
Gambar 2. (a) Graf , (b) Graf , (c) Graf , (d) Graf

## Definisi 1. (Ahmad, 2012)
Graf pot bunga adalah gabungan graf lingkaran dan graf bintang yang dihubungkan dengan sebuah sisi yang mengkaitkan titik pusat graf bintang
dengan salah satu titik pada graf lingkaran . Graf pot bunga dinotasikan dimana .
Berdasarkan  Definisi  1  di  atas,  Gambar  3  berikut  adalah  contoh  graf  pot  bunga
.
Berdasarkan Gambar 3, diketahui bahwa derajat terkecil dari graf pot bunga adalah terdapat pada titik-titik pada komponen graf bintang yang berderajat satu yaitu
dan juga derajat terbesarnya di titik pusat komponen graf bintang yaitu Oleh karena  itu, dan .  Dengan  demikian dan
.
Gambar 3. (a) Graf Pot Bunga
Definisi 2. (Ahmad, 2012)
Graf pohon palem adalah graf yang menggabungkan antara tiga graf yaitu graf lingkaran , graf lintasan , dan graf bintang
. Dimana graf dikaitkan dengan sebuah sisi ke titik ujung graf dan titik ujung lainnya dari dikaitkan oleh sebuah sisi pada titip pusat graf
. Graf pohon palem dinotasikan dengan , dimana .
(d) (c) (b) (a) u v 6 v 1 v 2 v 3 v 4 v 5 v 1 v 2 v 3 v 4 v 1 v 2 v 3 v 5 v 4 v 3 v 2 v 1 v 1 v 2 v 3 v 4
v 5 v 6 v 7 u 3 u 2 u 1
dan Graf Pohon Palem . Jurnal Teorema: Teori dan Riset Matematika . Vol 4 No 1, Hal 13-22, Maret 2019.
Berdasarkan  Definisi  2  di  atas,  Gambar  4  berikut  adalah  contoh  graf  pot  bunga .
Derajat  terkecil  dari  graf  pohon  palem  adalah  titik-titik  pada  komponen  graf  bintang yang berderajat satu dan derajat terbesarnya adalah titik pusat komponen graf bintang Oleh karena itu, dan .  Secara  general
dan
.
Gambar  4. (a) Graf Pohon Palem

## METODE PENELITIAN
Metode penelitian yang digunakan adalah studi literatur dengan mempelajari artikel ilmiah dari berbagai jurnal nasional maupun internasional dan buku-buku yang berkaitan dengan topik penelitian yaitu bilangan kromatik permainan. Selanjutnya hasil studi literatur tersebut digunakan sebagai dasar teoritis untuk  mendapatkan  bilangan  kromatik  permainan  dari  graf  pot  bunga dan  graf  pohon  palem
. Adapun langkah-langkah penelitian yang dilakukan adalah sebagai berikut:
1. Melakukan kajian literatur untuk memahami definisi bilangan kromatik permainan beserta sifat- sifatnya serta teori-teori yang mendukungnya.
2. Mengkaji karakteristik graf pot bunga dan graf pohon palem, membuat definisi dan notasi graf pot bunga dan graf pohon palem.
3. Mengkonstruksi perumuman dari graf pot bunga dan graf pohon palem.
4. Melakukan simulasi permainan bilangan kromatik graf pot bunga dan graf pohon palem untuk menemukan strategi supaya pemain pertama memenangkan permainan.
5. Membuat konjektur/teorema tentang
dan . 6. Membuktikan teorema dan
dan melakukan konstruksi bukti matematis secara formal.
w 2 w 3 w 1 u 1 u 2 u 3 u 4 u 5 v 1 v 2 v 3
v 4
v 5 v 6 v
dan Graf Pohon Palem .
Jurnal Teorema: Teori dan Riset Matematika . Vol 4 No 1, Hal 13-22, Maret 2019.

## HASIL DAN PEMBAHASAN

## 1. Hasil Penelitian Sebelumnya
Penelitian sebelumnya berkaitan dengan bilangan kromatik permainan penting diungkapkan disini sebagai dasar teori untuk menentukan bilangan kromatik permainan dari graf pot bunga dan graf pohon palem. Beberapa teorema tentang bilangan kromatik permainan dari graf tertentu diantaranya:
Teorema 1. (Bartnicki et al., 2008)
Jika adalah graf dengan derajat terbesar , maka Bukti: Berdasarkan  definisi ,  jika  warna  yang  disediakan  kurang  dari
,  maka  graf tidak  dapat diwarnai dengan titik. Dengan demikian, bilangan kromatik permainan dari graf tidak mungkin kurang dari sehingga diperoleh . Kemudian, jika pemain pertama dapat mewarnai sedemikian sehingga untuk setiap titik dan setiap tetangga dari mempunyai warna yang berbeda, maka pemain pertama akan selalu menang. Hal ini dapat dilakukan jika tersedia warna . Sehingga diperoleh . Dengan demikian,
Teorema 1  ini  memberikan batasan  interval dari  bilangan  kromatik  permainan graf ,  dimana batas bawah bilangan kromatik permainan adalah bilangan kromatik dari graf dengan batas atasnya adalah derajat terbesar ditambah satu. Untuk itu, menentukan bilangan kromatik permainan dari graf , terlebih dahulu ditentukan bilangan kromatik dari graf tersebut.
Teorema 2. (Mujib, 2011)
{ Bukti: Diketahui bahwa . Akan ditunjukkan bahwa . Misalkan tersedia dua warna . Pandang lintasan , setiap titiknya berderajat satu. Dengan demikian dua warna pasti dapat mewarnai titik di . Berdasarkan graf , pada langkah pertama mewarnai titik berderajat dua  dengan  warna .  Akibatnya  titik  yang  tersisa  pasti  dapat  terwarnai  dengan  warna .  Jadi, . Selanjutnya, untuk . Berdasarkan Teorema 1, maka . Gambar 5. Permainan pewarnaan pada
Pandang lintasan pada Gambar 5, tanpa mengurangi keumuman, jika mewarnai titik berderajat dua, misalkan  titik dengan  warna ,  maka selalu  memiliki  kesempatan  mewarnai  titik
dengan
warna . Akibatnya titik tidak dapat diwarnai dengan dua warna yang tersedia. Dengan demikian,
. Jadi, atau
c 2 c 1
v i+2 v i+1 v i
dan Graf Pohon Palem . Jurnal Teorema: Teori dan Riset Matematika . Vol 4 No 1, Hal 13-22, Maret 2019.
Teorema 3. (Mujib, 2011)
Bukti:
Berdasarkan Teorema 1, maka untuk genap dan untuk n ganjil. Akan ditunjukkan untuk genap. Karena adalah graf reguler, maka .  Misalkan  tersedia  dua  warna .  Misalkan mewarnai  titik dengan  warna .
Maka selalu dapat mewarnai titik yang berjarak dua dari dengan warna . Akibatnya, salah satu tetanga dari tidak dapat diwarnai. Dengan demikian, . Jadi, Teorema 4. (Mujib, 2011) Bukti: Berdasarkan  Teorema  1, .  Misalkan  disediakan  himpunan  warna .  Karena , maka langkah pertama mewarnai titik berderajat dengan warna . Karena titik yang belum  terwarnai  saling  bebas,  maka  akan  sellalu  bisa  diwarnai  dengan  warna .  Dengan  demikian,
. Jadi,
Selanjutnya, graf pot bunga dan graf pohon palem merupakan gabungan dari graf lintasan, graf bintang,  dan  graf  lingkaran.  Sehingga  teorema-teorema  diatas  dijadikan  sebagai  acuan  dasar  dalam menentukan bilangan kromatik permainannya.

## 2. Hasil Penelitian
Hasil  dari  dari  penelitian  ini  menghasilkan  dua  teorema.  Pertama  teorema  bilangan  kromatik permainan dari graf pot bunga dan yang kedua teorema bilangan kromatik permainan dari
graf pohon palem . Teorema 5 Bukti:
Gambar 6 berikut ini merupakan perumuman dari graf pot bunga .
dan Graf Pohon Palem .
Jurnal Teorema: Teori dan Riset Matematika . Vol 4 No 1, Hal 13-22, Maret 2019.

## Gambar  6. Perumuman Graf Pot Bunga
Graf
terdiri dari dua komponen yaitu komponen dan komponen . Berdasarkan Teorema 3 dan 4, maka . Misalkan diberikan himpunan warna . Strategi adalah memastikan titik berderajat pada komponen yaitu titik dan titik berderajat 3 pada komponen yaitu  titik terwarnai  terlebih  dahulu  sebelum  titik  yang  lainnya  (lihat  gambar  6).  Ada  dua kemungkinan langkah pertama dari , yaitu mewarnai titik atau titik .
Kasus 1. Langkah pertama mewarnai titik dengan warna . Subkasus 1
Jika mewarnai titik dengan warna , karena dan ( )
maka setiap titik yang tersisa akan selalu bisa diwarnai dengan tiga warna.
Subkasus 2 Jika mewarnai titik selain dengan warna , tanpa mengurangi keumuman misalkan titik . Maka langkah kedua dari adalah mewarnai  titik dengan warna . Karena dan ,  maka  himpunan  titik dan akan  selalu  bisa  diwarnai  dengan  tiga
warna tersedia.
Berdasarkan subkasus 1 dan subkasus 2, maka selalu memenangkan permainan. Dengan demikian
Kasus 2. Langkah pertama mewarnai titik dengan warna . Subkasus 1
Jika mewarnai titik dengan warna , karena himpunan titik saling bebas, maka setiap  titik  akan  selalu  bisa  diwarnai  dengan  tiga  warna.  Karena ,  maka
setiap titiknya akan selalu bisa diwarnai dengan tiga warna.
Subkasus 2
Jika mewarnai titik selain dengan warna . Tanpa mengurangi keumuman, misalkan mewarnai titik
. Maka langkah kedua dari mewarnai titik dengan warna . Akibatnya, setiap titik yang tersisa selalu dapat diwarnai dengan warna yang tersedia.
v
v n v 9 v 8 v 7 v 6 v 5 v 4 v 3 v 2 v 1 u m u 9 u 8 u 7 u 6 u 5 u 1 u 2 u 3 u 4
dan Graf Pohon Palem . Jurnal Teorema: Teori dan Riset Matematika . Vol 4 No 1, Hal 13-22, Maret 2019.
Berdasarkan subkasus 1 dan subkasus 2, maka memeiliki strategi memenangkan permainan dengan tiga warna. Dengan demikian,
.
Jadi, berdasarkan kasus 1 dan kasus 2, diperoleh bahwa

## Teorema 6
Bukti:
Gambar  7  berikut  ini  merupakan  gambar  perumuman  dari  graf  pohon  palem
.  Graf terdiri  dari  tiga  komponen  yaitu  komponen ,  komponen ,  dan  komponen .  Dengan dan .  Karena  komponen memiliki , berdasarkan Teorema 1 maka . Jika di kaitkan denga graf pot bunga , maka graf pot bunga merupakan kasus khusus dari graf pohon palem untuk . Oleh karena itu, strategi dalam memenangkan permainan bilangan kromatik pada graf pot bunga dapat diadopsi pada graf pohon palem Cukup memastikan komponen lintasan dapat diwarnai dengan warna yang tersedia. Akan ditunjukkan bahwa . Berdasarkan Teorema 2, untuk serta untuk .  Akibatnya dengan tiga warna, komponen selalu dapat diwarnai. Oleh karena itu, dengan mengadopsi strategi permainan pada graf pot bunga, maka dapat memenangkan permainan bilangan kromatik pada graf pohon palem
.
Jadi, bilangan kromatik permainan dari graf pohon palem
Gambar  7. Perumuman Graf Pohon Palem
w l w 1 w 2 w 3 u 4 u 3 u 2 u 1 u 5 u 6 u 7 u 8 u 9 u k v 2 v 3 v 4 v 5 v 6 v 7 v 8 v m v
dan Graf Pohon Palem .
Jurnal Teorema: Teori dan Riset Matematika . Vol 4 No 1, Hal 13-22, Maret 2019.

## 3. Pembahasan
Graf pot bunga merupakan graf yang dikonstruksi dengan mengkaitkan dua graf yaitu graf lingkaran dan graf bintang dengan sebuah sisi pada salah satu titik pada graf lingkaran dengan titik pusat graf bintang. Sehingga komponen graf  lingkaran memuat titik berderajat 3 dan komponen graf bintang derajat titik pusatnya bertambah 1. Oleh karena itu, strategi utama dari adalah memastikan kedua titik  tersebut  terwarnai  sebelum  titik  yang  lainnya.  Karena  kedua  titik  tersebut  bertetangga,  maka dengan tiga warna, maka selalu memiliki kesempatan untuk mewarnainya sebelum titik yang lain diwarnai.  Awalnya,  peneliti  menduga  bahwa  strategi  mewarnai  pada  tiap  komponen  dapat diterapkan  dalam  menentukan  bilangan  kromatik  permianan  pada  graf  pot  bunga .  Namun, dengan  menggabungkan  kedua  komponen  tersebut,  terjadi  perubahan  struktur  graf  dari  komponen- komponen pembentuknya. Sehingga strategi pada komponen tidak dapat diterapkan dalam menentukan bilangan kromatik permainan pada graf pot bunga
. Selanjutnya  graf  pohon  palem ,  untuk graf  pohon  palem ,  isomorfik dengan graf pot bunga . Graf pohon palem terdiri dari tiga komponen yaitu graf lingkaran , graf lintasan , dan graf bintang
. Oleh karena itu, dugaan awal peneliti, strategi memenangkan permainan pada graf pohon palem adalah menerapkan strategi permainan pada graf pot bunga. Karena strukturnya hampir  identik  dengan graf pot  bunga,  cukup  memastikan  komponen terwarnai dengan warna yang disediakan serta menerapkan strategi permainan pada graf pot bunga .

## KESIMPULAN
Berdasarkan analisis hasil dan pembahasan penelitian, diperoleh beberapa kesimpulan berikut:
1. Struktur dan karakteristik graf menentukan strategi dalam memenangkan permainan mewarnai titk pada graf.
2. Strategi utama dari permainan mewarnai graf ini adalah memastikan titik-titik yang berderajat lebih dari warna yang disediakan terwarnai.
3. Bilangan kromatik permainan dari graf pot bunga sama dengan tiga.
4. Bilangan kromatik permainan dari graf pohon palem
sama dengan tiga.

## DAFTAR PUSTAKA
Ahmad, M. (2012). Pelabelan graceful dan pelabelan pada graf pot bunga dan graf pohon palem. Jakarta: Tesis Universitas Indonesia . Bartnicki,  T.,  Breˇsar,  B.,  Grytczuk,  J.,  Kovˇse,  M.,  Miechowicz,  Z.,  &  Peterin,  I.  (2008).  Game chromatic number of cartesian product graphs. The Electronic Journal of Combinatorics , 15 (1), 1–13.
Bodlaender,  H.  L.  (1991).  On  the  complexity  of  some  coloring  games. International  Journal  of Foundations of Computer Science , 2 (02), 133–147. Bondy, J. A., & Murty, U. S. R. (2008). Graph Theory with Applications . (S. Axler & K. A. Ribet, Eds.). Springer.
Diestel, R. (2005). Graph Teory (Electronic). New York: Springer-Verlag Heidelberg. Hartsfield, N., & Ringel, G. (2003). Pearls in Graph Theory a Comprehensive Introduction . New York: Dover Publication, Inc.
Mujib,  A.  (2011).  Bilangan  kromatik  permainan  pada  beberapa  graf  hasil  kali  tensor.  Bandung, Indonesia: Tesis Institut Teknologi Bandung . Mujib, A., & Assiyatun, H. (2011). Game chromatic numbers of tensor product graphs. In Interior (pp. 1–8). Medan.