## Mendeskripsikan Grup Menggunakan Berbagai Graf
Udayana Devandra 1 , Luh Chandini Anjali 2
1 Institut Sains dan Teknologi Nasional, andra.udayana.devandra@gmail.com
2 Institut Sains dan Teknologi Nasional, dinichandini14@gmail.com
Abstract. Drawing groups using graphs is a hot topic because groups that were once abstract can be visualized using this method. In this study, the visuals of groups will be  using  the  coprime  graphs,  the  non-coprime  graphs,  the  power  graphs,  and  the intersection graphs. Some of the results obtained are group depictions using graphs to obtain multipartite graphs or complete graphs.
Keywords: coprime graph, non-coprime graph, power graph, intersection graph.
Abstrak. Penggambaran  grup  menggunakan  graf  adalah  topik  yang  lagi  hangat dikarenakan grup yang dulunya abstrak mampu dibuat visual dengan metode ini.  Pada studi  ini  akan  diberikan  visual  dari  grup  menggunakan  graf  koprima,  graf  non- koprima,  graf  pangkat  dan  graf  irisan.    Beberapa  hasil  yang  diperoleh  adalah penggambaran  grup  menggunakan  graf  diperoleh  graf  yang  multipartit  atau  graf lengkap.
Kata Kunci: graf koprima, graf non-koprima, graf pangkat, graf irisan .

## 1  Pendahuluan
Grup  adalah  objek  matematika  yang  abstrak,  dimana  di  anatara  anggota  grup tidak  memiliki  suatu  keterkaitan  khusus.    Suatu  himpunan  tak  hampa  dengan operasi  biner  yang  dioperasikan  pada  himpunan  tersebut  dikatakan  grup  apabila memenuhi kriteria seperti di antara anggotanya bersifat asosiatif, terdapat unsur nol pada  himpunan  tersebut  dan  setiap  anggotanya  punya  unsur  negatif.    Beberapa contoh grup yang populer adalah grup bilangan bulat, grup bilangan bulat modulo, grup dihedral, grup quartenion yang diperumum.
Dalam matematika, apabila dimiliki sejumlah objek dan kaitan tertentu antara objek-objek tersebut, maka dapat didefinisikan suatu struktur yang dinamakan graf. Ilmu  yang  mempelajari  graf  dinamkaan  teori  graf.    Teori  graf  ternyata  memiliki banyak  aplikasi  misalnya  pada  bidang  kimia,  transportasi,  game,  penjadwalan, pendesainan chip hingga di industri.
Salah  satu  pemanfaatan  graf  yang  lagi  popular  adalah  dengan  memanfaatkan graf untuk menggambarkan grup sehingga tidak lagi terlihat abstrak.  Dengan graf dapat dikonstruksi kaitan antara anggota-anggota grup, diameter grup, jarak antara anggota-anggota  grup  hingga  bentuk  dari  grup  itu  sendiri.    Pada  artikel  ini  akan dibahas berbagai graf yang dapat digunakan untuk mendeskripsikan grup, seperti graf koprima, graf non-koprima, graf pangkat, hingga graf irisan.

## 2 Pendeskripsian Grup Menggunakan Graf

## 2.1 Graf Koprima
Graf koprima diperkenalkan oleh Ma dkk sebagai graf dengan himpunan simpul- simpul  terdiri  dari  semua  angggota  grup  dan  ketetanggaan  dua  buah  simpul didefinisikan apablia orde dari dua simpul tersebut relatif prima [1].  Graf koprima dari suatu grup diberikan pada definisi berikut.
Definisi 2.1 [2].
Graf  koprima  dari  grup 𝐺 ,  dinotasikan  dengan Γ 𝐺 adalah  graf  dengan  himpunan simpul  semua  elemen  dari  grup 𝐺 dan  dua  simpul 𝑢 dan 𝑣 dikatakan  bertetangga jika dan hanya jika (|𝑎|, |𝑏|)   =  1 .
Juliana  menemukan  bahwa  graf  koprima  dari  grup  bilangan  bulat  modulo merupakan suatu graf multipartite, hal ini diberikan pada teorema berikut.
Teorema 2.1 [3].
Jika 𝑛  =   𝑝 1 𝑘 1 𝑝 2 𝑘 2 · · ·   𝑝 𝑗 𝑘 𝑗 ,  dimana 𝑝 1 , 𝑝 2 ,· · · , 𝑝 𝑗 adalah  bilangan  prima  yang berbeda  dan 𝑘 1 , 𝑘 2 ,· · · , 𝑘 𝑗 ∈ ℕ ,  maka  graf  koprima  dari ℤ 𝑛 adalah  graf (𝑗 + 1) - partit.
Bukti :
Misalkan ℤ 𝑛 adalah  grup  bilangan  bulat  modulo 𝑛 ,  dengan 𝑛  =   𝑝 1 𝑘 1 𝑝 2 𝑘 2 · · · 𝑝 𝑗 𝑘 𝑗 ,  dimana 𝑝 1 , 𝑝 2 ,  ·  ·  ·, 𝑝 𝑗 adalah  bilangan  prima  yang  berbeda  dan 𝑘 1 , 𝑘 2 ,· · · , 𝑘 𝑗 ∈ ℕ .  Jelas ℤ 𝑛 =   {0, 1, 2,· · · , (𝑝 1 𝑘 1 𝑝 2 𝑘 2 · · ·   𝑝 𝑗 𝑘𝑗 ) − 1} . Setiap 𝑎  ∈ ℤ 𝑛 dengan (𝑎, 𝑛)   ≠ 1 ,  dapat  ditulis  sebagai 𝑎  =   𝑝 1 𝑙 1 𝑝 2 𝑘 2 · · ·   𝑝 𝑗 𝑘 𝑗 dengan 𝑙 𝑖 ≤ 𝑘 𝑖 .    Ini mengakibatkan |𝑎| = (𝑝 1 𝑘 1 −𝑙 1 𝑝 2 𝑘 2 −𝑙 2 … 𝑝 𝑗 𝑘 𝑗 −𝑙 𝑗 ) .    Sebarang 𝑏 ∈ ℤ 𝑛 dengan (𝑏, 𝑛) = 1 ,  didapatkan |𝑏| = 𝑝 1 𝑘 1 𝑝 2 𝑘 2 · · ·   𝑝 𝑗 𝑘 𝑗 .    Jadi ℤ 𝑛 = {0,1,2, … (𝑝 1 𝑘 1 𝑝 2 𝑘 2 · · ·   𝑝 𝑗 𝑘𝑗 ) − 1} dapat dipartisi sebagai berikut.
𝑉 1 =   {0} 𝑉 2 =   {𝑎 1 , 𝑎 2 ,· · ·, 𝑎 𝑗 } dengan |𝑎 𝑖 | = Π 𝑤=1 𝑗 𝑝 𝑤 𝛼 𝑤 , 0  ≤   𝛼 𝑤 ≤   𝑘 𝑤 , 𝛼 1 ≠  0 𝑉 3 = {𝑏 1 , 𝑏 2 , … , 𝑏 𝑗 } dengan |𝑏 𝑖 | = Π 𝑤=2 𝑗 𝑝 𝑤 𝛼 𝑤 , 0  ≤   𝛼 𝑤 ≤   𝑘 𝑤 , 𝛼 2 ≠  0 ⋮ 𝑉 𝑗+1 = {𝑞 1 , 𝑞 2 , … 𝑞 𝑗 } with |𝑞 𝑖 | = 𝑝 𝑗 𝛼 𝑗 , 0  ≤   𝛼 𝑗 ≤   𝑘 𝑗
Jadi, 0 bertetanggan  dengan  semua 𝑥  ∈   𝑉 𝑖 , 𝑖  =  2, 3,···, 𝑗  +  1 .  Beberapa 𝑢  ∈   𝑉 𝑖 juga bertetangga dengan 𝑣  ∈   𝑉 𝑙 , 𝑖  ≠ 𝑙 . Jadi, graf koprima yang terbentuk dari ℤ 𝑛 adalah graf (𝑗  +  1) −partit. ∎
Syarifudin menemukan bahwa graf koprima dari grup dihedral juga merupakan suatu graf multipartite, hal ini serupa dengan yang diberikan teorema diatas, hanya dengan sedikit perbedaan, hal tersebut diberikan pada teorema berikut.

## Unisda Journal of Mathematics and Computer Science
Teorema 2.2 [4].
Misal 𝑛  =   𝑝 1 𝑘 1 𝑝 2 𝑘 2 𝑝 3 𝑘 3 … 𝑝 𝑚 𝑘 𝑚 dimana 1  ≤  𝑖  ≤  𝑚 , 𝑝 𝑖 adalah  bilangan  prima yang berbeda, dan 𝑝 𝑖 ≠  2 maka graf koprima dari 𝐷 2𝑛 adalah (𝑚  +  2) -partit. Bukti :
Misalkan 𝐷 2𝑛 suatu  dihedral  group  dengan 𝑛  =   𝑝 1 𝑘 1 𝑝 2 𝑘 2 𝑝 3 𝑘 3 … 𝑝 𝑚 𝑘 𝑚 dimana 1  ≤  𝑖  ≤  𝑚 , 𝑝 𝑖 adalah  bilangan  prima  yang  berbeda, 𝑝 𝑖 ≠  2 .  Berikutnya didefinisikan beberpa himpunan, himpunan pertama terdiri dari unsur-unsur yang berorde 1, himpunan kedua terdiri dari unsur-unsur yang berorde 2, atau genap, dan himpunan  ketiga  adalah  himpunan  yang  terdiri  dari  unsur-unsur  yang  berorde 𝑝 1 dan ganjil, dan himpunan ke- (𝑚  + 2) terdiri dari unsur-unsur berorde 𝑝 𝑚 , ganjil, dan 𝑝 𝑗 tidak membagi 𝑝 𝑚 dimana 1  ≤  𝑗  ≤  𝑚  −  1 , jelas himpunan-himpuna ini membentuk  suatu  partisi  dari 𝐷 2𝑛 .  Misal 𝑥, 𝑦  ∈   𝑉 𝑖 ,  maka 𝑝 𝑖 |𝑜𝑟𝑑(𝑥) dan 𝑝 𝑖 |𝑜𝑟𝑑(𝑦) ,  jadi (𝑜𝑟𝑑(𝑥), 𝑜𝑟𝑑(𝑦))   ≠ 1 ,  akibatnya 𝑥 dan 𝑦 tidak  bertetangga.
Sehingga, graf koprima dari 𝐷 2𝑛 adalah graf (𝑚  +  2 )-partit. ∎

## Hasil serupa juga didapatkan oleh Nurhabibah pada grup quaternion
Teorema 2.3 [5].
Misal 𝑄 4𝑛 adalah  grup  quaternion  yang  diperumum.  Jika 𝑛  =   𝑝 1 𝑘 1 𝑝 2 𝑘 2 … 𝑝 𝑚 𝑘 𝑚 , 𝑝 1 = 2 , 𝑝 𝑖 adalah bilangan prima yang berbeda, maka graf koprima dari 𝑄 4𝑛 adalah graf (𝑚  +  1) -partit.
Bukti: Pertama,  asumsikan  bahwa 𝑝 𝑖 <   𝑝 𝑗 untuk 𝑖  <  𝑗 ,  lalu  definisikan 𝑚  +  1 subhimpunan  dari 𝑄 4𝑛 .    Subhimpunan  pertama  adalah  himpunandengan  elemen berorder 𝑛 1 =  1 atau,  tepatnya, 𝑃 1 =   {𝑒} .  Untuk 𝑗  =  2, … , 𝑚  +  1 , didefinisikan partisi 𝑃 𝑗 , yang mana merupakan himpunan dengan unsur berorde 𝑛 𝑗 dimana 𝑝 𝑗−1 |𝑛 𝑗 tapi 𝑝 𝑠 ∤   𝑝 𝑗 untuk setiap 𝑠  <  𝑗 . Dengan pendefinisian ini, semua 𝑚  +  1 subhimpunan  membentuk  partisi  bagi 𝑄 4𝑛 .  Untuk 𝑗  >  0 ,  order  elemen- elemen dari 𝑃 𝑗 tidak relatif prima, or atau ordenya dapat dibagi 𝑝 𝑗 . Akibatnya graf koprima dari 𝑄 4𝑛 adalah 𝑚  +  1 partit. ∎
Setelah bentuk graf dari grup ditemukan, maka berbagai numerical invarian dari grafnya juga  bisa didapatkan [6]. Berikutnya akan dibahas dual dari graf koprima yang dinamakan graf non-koprima.

## 2.2 Graf Non-Koprima
Graf  non-koprima  pertama  kali  diperkenalkan  dengan  Mansoori  [7]  yang merupakan  dual  dari  graf  koprima,  dimana  himpunan  simpul-simpulnya  adalah semua  anggota  grup,  kecuali  identitas.    Dan  dua  simpul  dikatakan  bertetangga apabila  ordenya  tidak  relatif  prima.    Definisi  graf  non-koprima  diberikan  pada definisi berikut:
Definisi 2.2 [8].
Graf non-koprima dari grup 𝐺 adalah graf dengan himpunan simpul semua elemen dari grup 𝐺\{𝑒} dan dua simpul 𝑢 dan 𝑣 dikatakan bertetangga jika dan hanya jika (|𝑎|, |𝑏|)   ≠  1 .

## Unisda Journal of Mathematics and Computer Science
Masriani menukan suatu hasil yang menarik untuk kasus pangkat prima dari grup bilangan bulat modulo.
Teorema 2.4 [8].
Jika 𝑛  =   𝑝 𝑠 ,  untuk  suatu  bilangan  prima 𝑝 dan  bilangan  aski 𝑠  ≥  2 ,  maka  graf non-koprima dari ℤ 𝑛 adalah graf lengkap.
Bukti: Misalkan 𝑎 adalah  unsur  di ℤ 𝑝 𝑠 dengan (𝑝 𝑠 , 𝑎)   ≠  1 .    Unsur 𝑎 dapat  dituliskan dengan 𝑎  =   𝑝 𝑘 𝑞 , untuk suatu 1  ≤  𝑘  <  𝑠 dan bilangan bulat 𝑞 , dimana (𝑝, 𝑞)   =
1 .  Akibatnya,  didapatkan |𝑎|   =  𝑝 𝑠 − 𝑘 .    Juga,  untuk  sebarang 𝑏 ∈ ℤ 𝑝 𝑠 dengan (𝑝 𝑠 , 𝑏)   =  1 ,  diperoleh |𝑏|   =   𝑝 𝑠 .    Ini  mengakibatkan (|𝑎|, |𝑏|)   ≠  1 ,  untuk semua 𝑏  ∈   𝑍 𝑝 𝑠 −  {0} .  Jadi, 𝑎 dan 𝑏 bertetangga  untuk  semua 𝑏 ∈   𝑍 𝑝 𝑠 −   {0} . Maka graf non-koprima dari ℤ 𝑝 𝑠 adalah graf lengkap 𝐾 𝑝 𝑠 −1 . ∎
Untuk grup dihedral studi dilakukan oleh Misuki dkk
Teorema 2.5 [9].
Misalkan 𝐷 2𝑛 adalah grup dihedral .  Jika 𝑛 = 𝑝 𝑚 untuk suatu 𝑚 ∈ ℕ dan 𝑝 adalah bilangan prima ganjil, maka graf non-koprima dari 𝐷 2𝑛 dapat dipartisi menjadi dua graf lengkap.
Bukti:
Partisi 𝐷 2𝑛 − {𝑒} menjadi  dia  himpunan  disjoin 𝐺 1 = {𝑎, 𝑎 2 , … , 𝑎 𝑝 𝑚 −1 } dan 𝐺 2 = {𝑏, 𝑎𝑏, … , 𝑎 𝑝 𝑚 −1 𝑏} .    Jelas 𝑝 membagi  order  tiap 𝑥 ∈ 𝐺 1 dan 2 membagi setiap 𝑦 ∈ 𝐺 2 .  Akibatnya didapatkan setiap unsur di 𝐺 1 bertetangga, demikian juga tiap  unsur  di 𝐺 2 juga  bertetangga.    Tapi (𝑥, 𝑦) = 1 ,  akibtanya  setiap 𝑥 ∈ 𝐺 1 dan setiap 𝑦 ∈ 𝐺 2 tidak bertetangga. Sehingga 𝐺 1 dan 𝐺 2 adalah dua graf lengkap yang disjoint. ∎
Selanjutnya akan dibahas graf lain untuk menggambarkan suatu grup, graf ini disebut dengan graf pangkat.

## 2.3 Graf Pangkat
Graf pangkat didefinisikan pada suatu grup dimana himpunan simpulnya adalah semua  anggota  grup,  dan  dua  simpul  dikatakan  bertetangga  apabila  merupakan pangkat salah satunya.
Definisi 2.3 [10].
Graf    pangkat    dari    grup 𝐺 didefinisikan    sebagai    graf  yang    himpunan simpulnyanya    adalah    semua    elemen  dari 𝐺 dan    dua  simpul  berbeda 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐺 bertetangga  jika  dan  hanya  jika 𝑥 = 𝑦 𝑘 atau 𝑦 = 𝑥 𝑐 untuk  suatu 𝑘 dan 𝑐 bilangan bulat positif.

## Unisda Journal of Mathematics and Computer Science
Asmarani  meneliti  terkait  graf  pangkat  pada  tahun  2021  dan  mendapatkan beberapa sifat terkait graf pangkat pada grup dihedral, salah satu hasil utama dari penelitian tersebut adalah.
Teorema 2.6 [11]. Jika 𝑛  =   𝑝 𝑚 dengan 𝑝 bilangan  prima  dan  suatu 𝑚 bilangan  asli,  maka  graf pangkat  dari  grup  dihedral 𝐷 2𝑛 memiliki  dua  subgraf  yang  tidak  disjoint  yaitu subgraf lengkap dan subgraf bintang.
Bukti :
Misalkan 𝐷 2𝑛 =   {𝑒, 𝑎, 𝑎 2 , … , 𝑎 𝑛−1 , 𝑏, 𝑎𝑏, … , 𝑎 𝑛−1 𝑏} ,  grup  dihedral  dengan 𝑛  =   𝑝 𝑚 dimana 𝑝 bilangan prima dan suatu 𝑚 bilangan asli. Partisi grup menjadi tiga subhimpunan partisi, yaitu
𝑉 1 =   {𝑒} 𝑉 2 = {𝑎, 𝑎2, … , 𝑎𝑛 − 1} 𝑉 3 =   {𝑏, 𝑎𝑏, 𝑎2𝑏, … , 𝑎𝑛 − 1𝑏}
Perhatikan bahwa 𝑉 1 ∪  𝑉 2 merupakan subgrup siklik dari 𝐷 2𝑛 yang dibangun oleh 𝑎 dengan |𝑉 1 ∪  𝑉 2 |   =  𝑛 ,  sehingga  graf  pangkat  yang  dibentuk  oleh 𝑉 1 dan 𝑉 2 adalah graf lengkap.  Kemudian perhatikan partisi 𝑉 1 dan 𝑉 3 , mudah dilihat bahwa 𝑏. 𝑎 𝑘 =   𝑎 𝑛−𝑘 𝑏 dan 𝑏 −1 = 𝑏 (lihat  referensi  [12]) ,  akibatnya 𝑥 2 = (𝑎 𝑘 𝑏)(𝑎 𝑘 𝑏)   =   𝑎 𝑘 𝑏. 𝑎 𝑘 𝑏 = 𝑎 𝑘 𝑎 𝑛−𝑘 𝑏𝑏  =   𝑎 𝑛+𝑘−𝑘 𝑏𝑏  =  𝑎𝑛  =  𝑒 sehingga didapat 𝑥  =   𝑎 𝑘 𝑏, 𝑘  ∈   {1, … . , 𝑛  −  1} adalah  unsur  refleksi.  Hal  ini  berarti semua  anggota  di 𝑉 3 memiliki  orde 2 dan  inversnya  adalah  dirinya  sendiri  yang berakibat hasil pangkat dari anggota-anggota 𝑉 3 adalah dirinya sendiri atau 𝑒 . Dan untuk  sembarang 𝑎 𝑘 dengan 1  ≤  𝑘  ≤  𝑛  −  1 adalah  suatu  pangkat  dari 𝑎 yang berarti bukan merupakan suatu pangkat dari anggota-anggota 𝑉 3 . Jadi berdasarkan definisi  graf  pangkat,  semua  anggota  partisi 𝑉 3 hanya  beretetangga  dengan 𝑒 (anggota  partisi 𝑉 1 )  sehinga  terbentuk  graf  bipartit  lengkap,  kemudian  karena 𝑉 1 hanya terdiri dari satu simpul maka disebut graf bintang. Sehingga diperoleh bahwa graf pangkat dari grup dihedral 𝐷 2𝑛 Dimana 𝑛  =   𝑝 𝑚 dengan 𝑝 bilangan prima dan suatu 𝑚 bilangan asli adalah graf yang terdiri dari dua subgraf yang tidak disjoint yaitu berupa subgraf lengkap dan subgraf bintang. ∎
Berikutnya  akan  dibahas  penggambaran  suatu  grup  menggunakan  graf irisan.

## 2.4 Graf Irisan
Berbeda  dari  penggambaran  grup  dengan  menggunakan  graf  yang  dibahas sebelumnya, pada bagian ini simpul-simpulnya tidak lagi merupakan anggota grup, tapi  merupakan  subgrup  tak  trivial,  dengan  dua  simpul  dikatakan  bertetangga apabila irisannya bukan subgrup identitas.
Definisi 2.4 [13].
Misalkan 𝐺 grup hingga, graf irisan dari 𝐺 adalah graf tak-berarah dengan simpul yang terdiri dari semua subgrup non-trivial dari 𝐺 dan dua simpul berbeda 𝐻 dan 𝐾 bertetangga jika dan hanya jika 𝐻  ∩  𝐾  ≠   {𝑒} .

## Unisda Journal of Mathematics and Computer Science
Salah satu studi graf irisan pada grup dihedral dilakukan oleh Nurhabibah, dan dituangkan dalam teorema berikut Teorema 2.7 [13].
Jika 𝐷 2𝑛 grup  dihedral  dengan 𝑛  =   𝑝 2 ,  maka graf  irisan 𝐷 2𝑛 memiliki  subgraf lengkap 𝐾 𝑝+2 . Bukti .
Misalkan 𝐷 2𝑛 grup  dihedral.  Ambil 𝑛  =   𝑝 2 dengan 𝑝 bilangan  prima  sebarang. 𝐷 2𝑝 2 memiliki  dua  buah  subgrup  rotasi,  yaitu 𝑅 1 =   {𝑒, 𝑎, 𝑎 2 , 𝑎 3 , … , 𝑎 𝑛−1 } dan 𝑅 2 =   {𝑒, 𝑎 𝑝 , 𝑎 2𝑝 , … , 𝑎 𝑛−𝑝 } , 𝑝 2 buah subgrup refleksi yaitu 𝑆 𝑖 =   {𝑒, 𝑎 𝑖 𝑏} untuk 𝑖  =  0, 1, 2, … , 𝑝 2 −  1 dan juga memiliki 𝑝 buah subgrup campuran, yaitu 𝐶 𝑗 = {𝑒, 𝑎 𝑝 , 𝑎 2𝑝 , … , 𝑎 𝑛−𝑝 , 𝑎 𝑗 𝑏, 𝑎 𝑗+𝑝 𝑏, . . , 𝑎 𝑗+𝑛−𝑝 𝑏} untuk 𝑗  =  0, 1, 2, . . , 𝑝  −  1 . Setiap 𝐻, 𝐾 subgrup  rotasi  atau  campuran  yang  berbeda,  berlaku 𝐻  ∩  𝐾  ≠   {𝑒} , artinya 𝐻 dan 𝐾 selalu bertetangga. Dengan demikian subgrup rotasi dan campuran membentuk subgraf lengkap dari 𝐷 2𝑛 , yaitu subgraf 𝐾 𝑝+2 . ∎

## 3 Kesimpulan
Penggambaran  grup  menggunakan  graf  tidak  hanya  digambarkan  dengan simpul-simpul berupa anggota grup, tapi juga simpul-simpul berupa subgrup.  Baik simpul-simpul  berupa anggota  grup  atau subgrup  mampu  mampu  membuat  grup memiliki  bentuk  yang  tidak  abstrak.    Penggambaran  grup  menggunakan  graf koprima, graf non-koprima, graf pangkat dan graf irisan juga menjadikan grup bisa dipelajari secara visual.

## 4 Daftar Pustaka
[1] X. Ma, H. Wei, and L. Yang, “The Coprime graph of a group,” International Journal of Group Theory , vol. 3, no. 3, pp. 13–23, 2014, doi: 10.22108/ijgt.2014.4363.
[2] A. Gazir S, I. G. A. W. Wardhana, N. W. Switrayni, and Q. Aini, “Some Properties of Coprime Graph of Dihedral Group D_2n When n is a Prime Power,” Journal of Fundamental Mathematics and Applications (JFMA) , vol. 3, no. 1, pp. 34–38, 2020, doi: 10.14710/jfma.v3i1.7413.
[3] R. Juliana, M. Masriani, I. G. A. W. Wardhana, N. W. Switrayni, and I. Irwansyah, “COPRIME GRAPH OF INTEGERS MODULO n GROUP AND ITS SUBGROUPS,” Journal of Fundamental Mathematics and Applications (JFMA) , vol. 3, no. 1, pp. 15–18, 2020, doi: 10.14710/jfma.v3i1.7412.
[4] A. G. Syarifudin, Nurhabibah, D. P. Malik, and I. G. A. W. dan Wardhana, “Some characterizatsion of coprime graph of dihedral group D2n,” Journal of Physics: Conference Series , vol. 1722, no. 1, 2021, doi: 10.1088/1742- 6596/1722/1/012051.
[5] N. Nurhabibah, A. G. Syarifudin, and I. G. A. W. Wardhana, “Some Results of The Coprime Graph of a Generalized Quaternion Group Q_4n,” InPrime: Indonesian Journal of Pure and Applied Mathematics , vol. 3, no. 1, pp. 29–33, 2021, doi: 10.15408/inprime.v3i1.19670.
[6] A. G. Syarifudin, I. G. A. W. Wardhana, N. W. Switrayni, and Q. Aini, “The Clique Numbers and Chromatic Numbers of The Coprime Graph of a Dihedral Group,” IOP Conference Series: Materials Science and
Engineering , vol. 1115, no. 1, p. 012083, 2021, doi: 10.1088/1757- 899x/1115/1/012083.
[7] F. Mansoori, A. Erfanian, and B. Tolue, “Non-coprime graph of a finite group,” AIP Conference Proceedings , vol. 1750, no. June 2016, 2016, doi: 10.1063/1.4954605.
[8] M. Masriani, R. Juliana, A. G. Syarifudin, I. G. A. W. Wardhana, I. Irwansyah, and N. W. Switrayni, “SOME RESULT OF NON-COPRIME GRAPH OF INTEGERS MODULO n GROUP FOR n A PRIME POWER,” Journal of Fundamental Mathematics and Applications (JFMA) , vol. 3, no. 2, pp. 107–111, 2020, doi: 10.14710/jfma.v3i2.8713.
[9] W. U. Misuki, I. G. A. W. Wardhana, N. W. Switrayni, and Irwansyah, “Some results of non-coprime graph of the dihedral group D2n for n a prime power,” AIP Conference Proceedings , vol. 2329, no. February, 2021, doi: 10.1063/5.0042587.
[10]  T. Chelvam and M. Sattanathan, “Power graph of finite abelian groups,” Algebra and Discrete Mathematics , vol. 16, no. 1, pp. 33–41, 2013.
[11]  E. Y. Asmarani, A. G. Syarifudin, G. Adhitya, W. Wardhana, and W. Switrayni, “Eigen Mathematics Journal The Power Graph of a Dihedral Group,” vol. 4, no. 2, 2021, doi: 10.29303/emj.v4i2.117.
[12]  A. Gazir and I. G. A. W. Wardhana, “Subgrup Non Trivial Dari Grup Dihedral,” EIGEN MATHEMATICS JOURNAL , vol. 1, no. 2, p. 73, Dec. 2019, doi: 10.29303/emj.v1i2.26.
[13]  N. Nurhabibah, A. Gazir Syarifudin, I. Gede Adhitya Wisnu Wardhana, and Q. Aini, “Eigen Mathematics Journal The Intersection Graph of a Dihedral Group,” vol. 4, no. 2, 2021, doi: 10.29303/emj.v4i2.119.

## Unisda Journal of Mathematics and Computer Science Jurusan Matematika, UNISDA, Lamongan