Vol. 4, No.1, 1-11,  Juli  2007
Estimasi Spline Dan Mars Menggunakan Kuadrat Terkecil
Bambang Widjanarko Otok  , M. Sjahid Akbar  , Raupong 

## Abstrak
Tujuan  penelitian  ini  adalah  mendapatkan  estimasi  dari  estimator  spline  dan  MARS,  fungsi optimum  menggunakan  kurva truncated  spline dan  Multivariate  Adaptive  Regression  Splines (MARS) melalui data simulasi dari fungsi tertentu dengan berbagai ukuran sampel. Selanjutnya pada  data  simulasi  digunakan  bootstrap  untuk  melihat  kestabilan  varians  dari  kedua  kurva tersebut. Kriteria MSE untuk melihat fungsi yang optimum. Hasil penelitian menunjukkan bahwa taksiran dari estimator:
Truncated Spline : y X X X T T ~ ) ( )] ( ) ( [ ~ 1       β MARS : ) ' ( ) ' ( Y B a B B  dengan     m K i K km m k v t x B 1 1 1 ] )} {( , [ ) , (,
dimana a ˆ diperoleh dari 0    a ASR ˆ
Dengan
                1 1 1 2 1 M i i ii i i N k k a D c a y y N a ASR ) ( ) ( ) (
Pada  kajian  empirik,  basis  fungsi  optimal  piecewise  linear  berdasarkan  MSE  terjadi  pada varians  yang  kecil  untuk  sembarang  pengamatan  (n).  Kurva  truncated  spline  pada  piecewise linear  lebih  baik  dibanding  dengan  MARS,  karena  hanya  melibatkan  data  dimensi  rendah. Sedangkan  pembootstrapan  pada  kurva  spline  maupun  MARS  memberikan  hasil  yang  lebih baik dibanding kurva asli.
Kata Kunci : Bootstrap,  MARS, MSE, regresi nonparametrik, Truncated Spline,

## 1. Pendahuluan
Analisis  regresi  memperlihatkan  hubungan  dan  pengaruh  variabel  prediktor  terhadap variabel respon. Misalnya y adalah variabel respon dan t adalah variabel prediktor, untuk n buah pengamatan, secara umum hubungan antara y dan t dapat ditulis sebagai berikut :
; ) ( i i i t g y    n 2 1 i ... ,  (1)
dengan  adalah sesatan random dan ) ( i t g merupakan kurva regresi.
 Mahasiswa S3 Matematika, UGM Yogyakarta, Dosen Jurusan Statistika, ITS Surabaya, otok_bw@yahoo.com
 Dosen Jurusan Statistika, ITS Surabaya, sjahid_alakbar@yahoo.com  Staf pengajar  pada Jurusan Matematika  F.MIPA Universitas Hasanuddin  Makassar raupong@yahoo.com
Bambang Widjanarko Otok, M. Sjahid Akbar , Raupong
Untuk mengestimasi kurva atau parameter regresi, ada dua pendekatan yaitu parametrik dan  nonparametrik.  Pendekatan  parametrik  digunakan  jika  ada  informasi  sebelumnya  tentang bentuk  kurva,  yang  diperoleh  berdasarkan  teori  atau  pengalaman  masa  lalu,  sehingga  dapat dikatakan  bahwa  mengestimasi  kurva  ekuivalen  dengan  mengestimasi  parameter,  dimana  hasil estimasi  mengikuti  model  tertentu.  Sedang  pendekatan  nonparametrik  digunakan  jika  tidak  ada informasi  tentang  bentuk  kurva ) ( i t g ,  tidak  tergantung  pada  asumsi  bentuk  kurva  tertentu, sehingga  memberikan  fleksibilitas  yang  lebih  besar  (Eubank  ,  1988;  Hardle,  1990;  Emond  and Steven, 1997)
Wahba  (1990)  menunjukkan  bahwa  spline  memiliki  sifat-sifat  statistik  yang  berguna untuk  menganalisis  hubungan  dalam  regresi.    Spline  dalam  regresi  nonparametrik  terus berkembang  sampai  pada  model  adaptive  (Bilier  and  Fahrmeir,  2001)  dan  multivariate  respon (Holmes  dan  Mallick,  2003).  Untuk  mengestimasi  basis  fungsi  spline  telah  dikembangkan beberapa  metode  seperti monotonicity (He  dan  Shi,  1998)  dan penalised (Hall  dan  Opsomer, 2005).  Friedman  (1991)  memodifikasi  keterbatasan  yang  dimiliki  metode recursive  partitioning regression , yang dikenal dengan MARS.
Spline  mempunyai  kelemahan  pada  saat  orde  spline    tinggi,    knots  yang    banyak  dan knot  yang  terlalu  dekat  akan  membentuk  matrik  dalam  perhitungan  yang  hampir  singular, sehingga    persamaan    normal  tidak  dapat  diselesaikan.    Basis  lain  yang  dapat  mengatasi kelemahan ini adalah basis B-Spline.
Bootstrap adalah  metode  yang  berbasis  komputer  yang  digunakan  untuk  pengukuran akurasi  dari  taksiran  statistik  (pendugaan  besaran  statistik  dan  selang  kepercayaan).  Bootstrap merupakan  salah  satu  metode  intensif  perhitungan  yang  terbaru    untuk  memperbaiki estimasi/klasifikasi  yang  tidak  stabil.  Secara  ekstrim  berguna  untuk  masalah  rangkaian  data berdimensi tinggi.
Spline  dalam  regresi  nonparametrik,  memuat  parameter  penghalus  yang  dapat  dipilih dengan  berbagai  metode.  Penelitian ini  melakukan  kajian  teori,  simulasi  untuk  membandingkan nilai  MSE  pada  kurva  spline truncated dan  MARS  sebelum  dan  sesudah  dilakukan pembootstrapan untuk menentukan  fungsi yang optimal dan terapan.

## 2. Spline Truncated dan MARS
Misalkan  diberikan  model  regresi
; ) ( i i i t g y    n 2 1 i ... ,  ,  dengan i  merupakan residual  dan ) ( i t g kurva  regresi.    Pada  persamaan  (1)  jika  tidak  ada  informasi  sebelumnya mengenai bentuk kurva regresi ) ( i t g maka digunakan  regresi nonparametrik, dengan g kurva regresi yang tidak diketahui (akan diestimasi), i  residual random  independen dengan mean nol dan variansi 2  . Dalam regresi nonparameterik hanya diasumsikan bentuk kualitatif dari g yaitu kontinu dan diferensiabel.
Pada  fungsi  smooth,  apabila  secara  geometrik  gradiennya  berubah tidak  terlalu  cepat, maka  kita  dapat  menggunakan  suatu  titik  disekitar  titik  tersebut  sebagai  estimasi  titik  knotnya. Berdasarkan  konsep  di  atas,  misalkan  g  fungsi  smooth  dalam  arti  g  termuat  dalam  suatu  ruang fungsi,  khususnya  ruang  Sobolev } ,..., , , { ] , [ ) ( '' ' 1 2   d d f f f f f b a W kontinu  absolut  pada
[a,b], ] , [ b a L f 2 d  ,  dengan d f adalah  fungsi  turunan  ke-d. ] , [ b a L 2 adalah  himpunan  fungsi yang kuadratnya terintegral pada interval [a,b],  atau
} )] ( [ | { ] , [     dt t f f b a L b a d 2 2 (Schumaker, 1981)

## Bambang Widjanarko Otok, M. Sjahid Akbar , Raupong
Apabila  digunakan  pendekatan  kurva  spline truncated ,  maka  kurva  regresi  g  dapat ditulis menjadi : (Eubank, 1988)
          m 1 i 1 m j K 1 j j 1 i i u t t t g ) ( ) (   (2)
dimana K 2 1 j u j ,..., , ,  dengan K 2 1 u u u    ... adalah  knot  dan  m
0   (integer  non  negatif).
Nilai m menunjukkan derajat spline truncated.
Recursive  Partitioning  Regression (RPR)  merupakan pendekatan  dari fungsi f(t) yang tidak diketahui dengan:
   S 1 j j j t B t c t f ) ( ) ( ) ( ˆ (3)
dimana, ] [ ) ( j j R t I t B   , I[ . ] menunjukkan fungsi indikator yang mempunyai nilai 1 (satu) jika pernyataan  benar  (t  R j )  dan  0  (nol)  jika  salah, c j (t) merupakan  koefisien  (konstanta)  yang ditentukan dalam subregion.
Penentuan  knots  pada  regresi  dummy  dilakukan  secara  manual,  karena  memiliki dimensi data yang rendah dan hal ini tidak akan mengalami kesulitan, sedangkan untuk data yang berdimensi  tinggi  terdapat  kesulitan.  Untuk  mengatasi  hal  tersebut  digunakan  model Recursive Partition  Regression karena  penentuan  knots  tergantung  (otomatis)  dari  data.  Tetapi  model  ini masih terdapat kelemahan yaitu model yang dihasilkan tidak kontinu pada knots
Pada  model  MARS  selain  penentuan  knots  yang  dilakukan  secara  otomatis  dari  data, juga menghasilkan model yang kontinu pada knots. Model MARS dapat ditulis sebagai berikut:
       M m K k km m k v km m m u t s a a t f 1 1 ) , ( 0 )] .( [ ) ( ˆ (4)
dimana:
a 0 =  basis fungsi induk
a m =  koefisien dari basis fungsi ke- m
M
=  maksimum basis fungsi ( nonconstant basis fungsi ) K m =  derajat interaksi S km =  nilainya  1
t v(k,m) =  variabel independen u km =  nilai knots dari variabel independen t v(k,m)
Penjabaran dari Persamaan (4) dapat disajikan sebagai berikut:
... )] .( )][ .( )][ .( [ )] .( )][ .( [ )] .( [ ) ( ˆ 1 3 ) , 3 ( 3 2 ) , 2 ( 2 1 ) , 1 ( 1 1 2 ) , 2 ( 2 1 ) , 1 ( 1 1 1 ) , 1 ( 1 0                  M m m m v m m m v m m m v m m M m m m v m m m v m m M m m m v m m u t s u t s u t s a u t s u t s a u t s a a t f
(5)
dan secara umum Persamaan (4) dapat dituliskan sebagai berikut:
... ) , , ( ) , ( ) ( ) ( ˆ 3 2 1 0            m m m K k j i ijk K j i ij K i i t t t f t t f t f a t f (6)
Bambang Widjanarko Otok, M. Sjahid Akbar , Raupong
Persamaan (6) menyatakan bahwa penjumlahan pertama  meliputi semua basis fungsi untuk satu variabel,  penjumlahan  kedua  meliputi  semua  basis  fungsi  untuk  interaksi  antara  dua  variabel, penjumlahan  ketiga  meliputi  semua  basis  fungsi  untuk  interaksi  antara  tiga  variabel  dan seterusnya.  Misalkan m K m k v m V 1 )} , ( { ) (  adalah  himpunan  dari  variabel  yang  dihubungkan dengan  basis  fungsi  B m ke-m,  maka  setiap  penjumlahan  pertama  pada  Persamaan  (6)  dapat dinyatakan sebagai:

   ) ( 1 ) ( ) ( m V i K i m m i i m t B a t f (7)
Jadi fi(t i ) merupakan penjumlahan semua basis fungsi untuk satu variabel x i dan merupakan spline dengan  derajat  q=1  yang  merepresentasikan  fungsi  univariat.  Setiap  fungsi  bivariat  pada Persamaan (5) dapat ditulis sebagai:
) , ( ) , ( ) ( ) , ( 2 j i m m m V j i Km j i ij t t B a t t f     (8)
Persamaan  tersebut  merepresentasikan  penjumlahan  semua  basis  fungsi  dua  variabel t i dan t j . Penambahan ini untuk menghubungkan kontribusi univariat, yang dituliskan sebagai berikut:
) , ( ) ( ) ( ) , ( * j i ij j j i i j i ij t t f t f t f t t f    (9)
Fungsi  trivariat  pada  penjumlahan  yang  ketiga  diperoleh  dengan  menjumlahkan  semua  basis fungsi untuk tiga variabel, yang dituliskan sebagai berikut:
) , , ( ) , , ( ) ( ) , , ( 3 k j i m m m V k j i Km k j i ijk t t t B a t t t f     (10)
Penambahan fungsi univariate dan bivariate mempunyai kontribusi dalam bentuk:
) , , ( ) , ( ) , ( ) , ( ) ( ) ( ) ( ) , , ( * k j i ijk k j jk k i ik j i ij k k j j i i k j i ijk t t t f t t f t t f t t f t f t f t f t t t f        (11)
Pemilihan  model  MARS  dapat  dilakukan  dengan  metode  stepwise  (forward  dan  backward). Forward  untuk  mendapatkan  fungsi  dengan  jumlah  basis  fungsi  maksimum.  Kriteria  pemilihan basis fungsi pada forward adalah dengan meminimumkan Average Sum Square Residual (ASR) atau Mean  Square  Error (MSE).  Backward  untuk  memilih  basis  fungsi  yang  dihasilkan  dari forward  dengan  meminimumkan  nilai  Generalized  Cross-Validation  (GCV).  (Friedman  and Silverman, 1989).

## 3. Sifat-Sifat Asimtotik Estimator
Misalkan n Y Y ,..., 1 adalah  sampel  random  dengan  fungsi  kepadatan  probabilitas     ), , (. f maka sifat konsistensi barisan estimator didefinisikan sebagai berikut:

## Definisi 1: ( Rohatgi,1975)
Barisan  estimator ) ( Y n n T T  disebut  konsisten  dalam  probabilitas  untuk  bila  untuk setiap 0   dan setiap   
1        ) | (| lim n n T P atau    p n T bila   n
Definisi 2: ( Rohatgi,1975)
Jika } { n X barisan  variabel  random,  maka } { n X dikatakan  konvergen  ke  X  dalam probabilitas,  ditulis  dengan X X p n   jika  untuk  setiap 0 0       } { , X X P n untuk n   .
Definisi 3: ( Rohatgi,1975)
Barisan } { n X dikatakan konvergen hampir pasti ke X dan dinyatakan sebagai
X X s a n   . .
jika 1     } lim { X X P n n untuk n   .
Definisi 4: ( Rohatgi,1975)
Barisan } { n X dinamakan  konvergen  dalam  distribusi  ke  X  dan  dinyatakan  sebagai
X X d n   jika    n x F x F X Xn ), ( ) ( untuk semua x, dimana ) ( x F X kontinu.
Dari definisi konvergensi diperoleh hubungan kekonvergenan sebagai berikut:
- Jika  suatu  barisan  konvergen  hampir  pasti,  maka  barisan  tersebut  juga  konvergen  dalam probabilitas.
- Jika suatu barisan konvergen dalam probabilitas maka barisan tersebut juga konvergen dalam distribusi. (Fergusson,1996)
Teorema 1: Teorema Limit Sentral Multivariat (Pranab K.sen,1993)
Jika } { i X merupakan vektor random i.i.d di p R dengan mean i  dan matrik kovarian  i maka
   
        ) , ( 0 1 1 N d n i i X n n dengan         n i i n n 1 1 lim .
Definisi 5: ( Hardle,1990)
Barisan } { i a dan } { i b dinyatakan  sebagai ) ( n n b O a  jika  terdapat  bilangan  real M sedemikian hingga M b a n n n    lim .
Definisi 6: ( Hardle,1990)
Barisan } { i a dan } { i b dinyatakan sebagai ) ( n n b o a  jika 0    n n b a n lim .
Selanjutnya ’O’ mempunyai sifat-sifat sebagai berikut: (Rohattgi, 1975)  Jika ) ( maka ) ( ), ( 2 1 2 1 2 2 1 1 n n n n n n n n b b O a a b O a b O a
     .  Jika 0   adalah konstanta, ) ( n n b O a   maka ) ( n n b O a  .  Jika ) ( maka ) ( ), ( 2 1 2 1 2 2 1 1 n n n n n n n n b b O a a b O a b O a    .
Definisi 7. ( Hardle,1990)
Barisan } { i a dan } { i b dinyatakan sebagai ) ( n p n b O a  jika terdapat bilangan real M dan
N sedemikian hingga N n M b a P n n            
 , .
Definisi 8. ( Hardle,1990)
Barisan } { i a dan } { i b dinyatakan  sebagai ) ( n p n b o a  jika 0    sedemikian  hingga
0              n n b a P n lim . Teorema 2: Misalkan ) , ( ~   N Z dan A suatu matrik, maka vektor
) ' , ( ~ A A A A    N Z U .
Bukti:
 A A A       ) ( ) ( ) ( Z Z U ' ' ) ( Var '
] )' ))( [(( ] ' )' ))( ( [( ] )' ))( [( ] ))' ( ))( ( [( ) ( A A A A A
A A A A A A A                      Z Z Z Z Z Z Z U U U U U Var       Karena  U  fungsi  linier  dari ) , ( ~   N Z dan  juga  persamaan  (2.1.16)  dan  (2.1.17) maka terbukti ) ' , ( ~ A A A A    N Z U . 

## Definisi 9: ( Royden,1968)
Suatu  fungsi  dikatakan  kontinu  di  titik x jika  untuk  setiap 0   ada 0   ,  sehingga
   | ) ( ) ( | y f x f dengan
   | | y x
Definisi 10. ( Bartle,1976) Suatu fungsi (.) f dikatakan memenuhi kondisi Lipschitz order  1 jika ada konstanata A > 0
sehingga 1 | | | ) ( ) ( | j i j i t t A t f t f    .

## 4. Hasil Penelitian
Penelitian ini  secara  garis  besar  terbagi  dalam  dua  kajian,  yaitu  kajian  teori  berkaitan dengan  kajian  parameter  pada  estimator  spline  dan  MARS,  kajian  data  empiris  melalui  data simulasi  dengan  fungsi  tertentu,  dan  kajian  terapan  berkaitan  dengan  implementasi  hasil  kajian teori.

## 4.1. Estimasi Spline dan MARS
Spline least squares merupakan generalisasi regresi polinomial (Eubank,1988), dimana estimasi  kurva  regresi f diperoleh  melalui  fungsi  yang  didefinisikan  sebagai  berikut:
          m 1 i 1 m j K 1 j j 1 i i u t t t g ) ( ) (   , dalam persamaan ini, g merupakan spline orde-m dengan knots . ,..., k   1 Himpunan  dari  semua  fungsi  ini,
) ,..., ( k m S   1 )  adalah  suatu  ruang  vektor berdimensi m+k yang terdiri dari potongan polinomial orde-m yang memiliki m-2 turunan yang kontinyu dan diskontinyu pada turunan ke-(m-1) di titik j  . Dengan memilih } ,..., { k     1 ,
Bambang Widjanarko Otok, M. Sjahid Akbar , Raupong
maka f dapat  diestimasikan  dengan  mengestimasi  koefisien-koefisien  dari  persamaan (2.1.34) . Salah satu metode untuk menyelesaikan hal tersebut adalah dengan menggunakan least-squares. Didefinisikan:
1 1 1 1 1 2 1 1                 m k k m m m m m t t x t t x t t x t t x t x ) ( ) ( , ) ( ) ( , ) ( , ) ( , ) (   (12) dengan T k m ) , , , , , ( ~ 1 1        β (13)
Estimator spline least-square dari f adalah:
      k m j j j x f 1 β (14)
dimana T k m ) ,..., ( ~ , 1        β adalah suatu minimizer dari
           n i k m j i j j i t x y n MSE 1 1 2 1 )) ( ( ) ; ( (15)
terhadap  ~ . Lebih jelasnya jika didefinisikan:
. ,..., ; ,..., )}, ( { ) ( k m j n i i j t x X     
1 1 (16)
maka   ~ adalah suatu penyelesaian untuk persamaan normal:
, ) ( ~ ) ( ) ( y X X
X T T      (17)
dimana y= (y 1 ,...,y n ) T . Jika X(  ) mempunyai rank m +k, maka:
y X X X T T ~ ) ( )] ( ) ( [ ~ 1     
 β (18)
Dari  Persamaan  (14)  dan  (18)    terlihat  bahwa  dengan
} ,..., { k     1 }, f  adalah  estimator linier dari f .  Model MARS dapat dinyatakan dalam persamaan berikut: ε Ba   Y (19)
dengan,
Y = variabel respon,
a = koefisien dari basis function
ε = error.
    m K k K km m k v t x 1 1 1 ] )} {( , [ ) , (, B = basis function ,
Estimasi  parameter  dengan  metode  kuadrat  terkecil,  yang  pada  prinsipnya  meminumumkan jumlah kuadrat error, dinyatakan sebagai berikut:
Bambang Widjanarko Otok, M. Sjahid Akbar , Raupong
Ba B a Y B a 2 Y Y Ba B a Ba Y Y B a Y Y Ba Y B a Y Ba Y Ba Y ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ) )( ' ' ' ( ) ( )' ( '                (20)
Persamaan normal diperoleh dengan menurunkan (20) secara parsial terhadap a dengan hasil sebagai berikut:
) ' ( ) ' ( Y B a B B  (21)
Jumlah  parameter  MARS  selain  basis  fungsi  induk,  dapat  diperoleh  dengan  mensubstitusikan Persamaan (21) ke dalam Persamaan (19) sebagai berikut:
' ) ' ( ) ' ( ) ' ( B B B B I Y B B B B Y
1 1      (22)
Nilai Trace dari  matriks I adalah  jumlah  parameter  basis  fungsi  selain  konstanta  dan  jumlah parameter yang diestimasi adalah 1 B B B B Trace M C 1    ] ' ) ' ( [ ) ~ ( .
Penyelesaian Persamaan (21) dengan analisis numeric tidak efisien, sehingga dilakukan dengan QR decompotition (Wahba, 1990) dalam (Schott, 1997). Jika basis fungsi dipusatkan ke nilai rata-rata nol maka B’B proporsional dengan kovarians matriks basis fungsi berikut:
c Va  (23)
    N k i k i k j ij B x B x B V 1 ] ) ( )[ ( (24)
    N k k i k i x B y y c 1 ) ( ) ( (25)
di  mana i B dan y adalah  rata-rata  dari  seluruh  data.  Persamaan  (23)  diselesaikan  untuk  setiap lokasi knot t , untuk setiap variabel v , untuk semua basis fungsi m dan untuk semua interaksi M . Untuk q=1, formula dengan estimasi least square adalah:
                 u x t u u x t t x t x 0 u x t x , , , ) ( ) (               u x mk k u x t vk mk k M M vk vk B y y t u t x B y y u c t c ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1 1 mk u x i ik vk mk u x t i ik M i M i B B B t u t x B B B u V t V vk vk ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1 , 1 ,               (27) N t s u s u t x B t u t x B u V t V u x t u x vk mk vk mk M M M M vk vk / )) ( ) ( ( ) 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( 2 2 2 2 2 1 , 1 1 , 1                  
dimana,
    t x vk mk vk t x B t s ) ( ) ( , ik B dan mk B adalah  elemen  dari  matriks  data  basis  fungsi, k x adalah elemen dari matriks data asli, dan k y adalah data respon.
Persamaan  normal  dari  pemodelan  MARS  dapat  diselesaikan  dengan  menggunakan Cholesky  Decompotition  (Dongarra,  Moler,  Bunch  and  Stewart,  1979),  (Scott,  1997),  dengan modifikasi berikut,
c a D V   ) (  (28)
Bambang Widjanarko Otok, M. Sjahid Akbar , Raupong
dimana D adalah matriks diagonal berukuran (M+1)(M+1) dari elemen matriks diagonal matriks V . Koefisien dari basis fungsi a diperoleh dengan menurunkan formula berikut,
               1 M 1 i i ii i i N 1 k 2 k a D c a y y N 1 a ASR ) ( ) ( ) (  (29)

## 4.2. Kajian Empiris
Setelah  membangun  model i i i t g y    ) ( ,  maka  langkah  pertama  didekati  dengan kurva spline truncated dan MARS. Nilai MSE dengan berbagai variasi pada fungsi, pengamatan (n) secara lengkap tersaji pada Tabel 1 berikut.

## Tabel 1. Nilai MSE Pada Spline Truncated dan MARS
Fungsi N  2 MSE MSE Bootstrap Spline MARS  Spline MARS t 5 e 5  50 0,025 0.00058 0.0013 0.00054 0.00119 0,5 0.13982 0.1636 0.13007 0.15513 1 0.50940 0.7686 0.49840 0.74380 100 0,025 0.00072 0.0011 0.00066 0.00890 0,5 0.17331 0.2311 0.15684 0.20567 1 0.67544 0.8576 0.61675 0.81307 250 0,025 0.00073 0.0009 0.00066 0.00087 0,5 0.20838 0.2550 0.18718 0.22019 1 0.77183 0.9650 0.76443 0.94437 ) sin( t 2  50 0,025 0.00127 0.0011 0.00124 0.00098 0,5 0.15802 0.1688 0.13578 0.14980 1 0.45707 0.7298 0.44408 0.67151 100 0,025 0.00125 0.0011 0.00120 0.00109 0,5 0.18962 0.1997 0.16563 0.19021 1 0.63835 0.9620 0.57318 0.92341 250 0,025 0.00169 0.0009 0.00158 0.00087 0,5 0.19760 0.2309 0.18147 0.20022 1 0.78974 1.0030 0.77430 0.98990 Sumber: Data Diolah
Berdasarkan Tabel 1, ternyata nilai MSE dengan banyaknya pengamatan yang semakin besar  dan  varians  2 konstan  memberikan  hasil  yang  semakin  besar  pada  fungsi t 5 i e 5 t g   ) ( . Sedang  pada  fungsi ) 2 sin( ) ( t t g i   ,  nilai  MSE  dengan  banyaknya  pengamatan  yang  semakin besar  dan  varians  2 konstan  memberikan  hasil  yang  semakin  kecil.  Secara  keseluruhan fungsi optimal  terjadi  pada  varians  2 kecil  dengan  n  sembarang.  Sedangkan  pada  MARS,  nilai  MSE dengan  banyaknya  pengamatan  yang  semakin  besar  dan  varians  2 konstan  memberikan  hasil yang  semakin  kecil  pada  fungsi t 5 i e 5 t g   ) ( .  Sedang  pada  fungsi ) 2 sin( ) ( t t g i   ,  nilai  MSE dengan  banyaknya  pengamatan  yang  semakin  besar pada  varians  2 =  0,025  memberikan  hasil yang semakin kecil, tetapi pada varians  2 = 0,5 dan 1 nilai MSE bervariasi. Secara keseluruhan fungsi optimal terjadi pada varians  2 kecil dengan n sembarang.
Bambang Widjanarko Otok, M. Sjahid Akbar , Raupong

## 5. Kesimpulan
Berdasarkan hasil penelitian, dapat disimpulkan sebagai berikut:
Truncated Spline: y X β X X T T ) ( ) ( ) (     MARS : ) ' ( ) ' ( Y B a B B  dengan     m K i K km m k v t x B 1 1 1 ] )} {( , [ ) , (,
dimana a ˆ diperoleh dari
0    a ASR ˆ dengan                 1 1 1 2 1 M i i ii i i N k k a D c a y y N a ASR ) ( ) ( ) ( .
Fungsi  optimal  terjadi  pada  varians  yang  kecil  untuk  sembarang  pengamatan.  Nilai MSE  pada  kurva  truncated  spline  linier  lebih  kecil  dibanding  dengan  MARS  linier  pada  semua fungsi. Hal ini dapat diartikan bahwa kurva truncated spline lebih baik dibanding dengan MARS, karena  masih  menggunakan  data  dimensi  rendah.  Sementara  pada  kurva  MARS  menekankan pada interaksi variabel prediktor. Oleh karena perlu kajian lebih lanjut pada data dimensi tinggi (melibatkan banyak prediktor dan interaksinya).

## Daftar Pustaka
[1]   C.  Bilier,    dan  L.  Fahrmeir,2001,  “ Bayesian  varying-coefficient  models  using  adaptive regression spline ”, Statistical Modelling.
[2] I.N. Budiantara, S. Fredi, B.W. Otok dan S. Guritno, 2006, “ Pemodelan BSpline and MARS pada nilai ujian masuk terhadap IPK Mahasiswa Jurusan Disain Komunikasi Visual UK- PETRA Surabaya ”, Jurnal TeknikIndustri UK PETRA SURABAYA
[3] B. Efron dan R.J. Tibshirani, 1993, “ An Introduction to the Bootstrap”, Chapman and Hall, Inc.
[4] R.L.  Eubank,  1988,  “ Spline  Smooting  and  Nonparametric  Regression” ,  Marcel  Deker: New York.
[5] J.H.  Friedman  dan  B.W.  Silverman,  1989,  ” Flexible  parsimony  smoothing  and  additive modeling ”,  Technometrics, 31, 3 – 39.
[6] J.H. Friedman, 1991, “ Multivariate  Adaptive  Regression  Splines (With Discussion)”, The Annal of Statistics. 19. 1 – 141.
[7] P.  Hall  dan  J.D.  Opsomer,  2005,  “ Theory  for  penalised  spline  regression”, Biometrika, 92,1. page.105
[8] W. Hardle, 1990, “ Applied Nonparametric Regression” , Cambrige University Press: New York.
[9] X.  He  dan  P.  Shi,  1998,  “ Monotone  B-Spline  Smoothing”, Journal  of  the  American Statistical Association; 93,442
[10]  C.C.  Holmes  dan  B.K.  Mallick  B.K,  2003,  “ Generalized  Nonlinear  Modelling  With Multivariate  Free-Knot  Regression  Spline ”,  Journal  of  the  American  Statistical Association; 98,462.
Bambang Widjanarko Otok, M. Sjahid Akbar , Raupong
[11]  B.W. Otok, S. Guritno dan Subanar, 2004, “ Misclassified With Approach Nonparametric ”, UNISBA, Bandung.
[12]  B.W.  Otok,  S.  Guritno  dan  Subanar,  2004,  “ Analisis  Diskriminan  dan  MARS  untuk Klasifikasi Perbankan di Indonesia”, Seminar FKMS3MI ke II, UGM, Yogyakarta.
[13]  B.W.  Otok,  2005,  ” Klasifikasi  Perbankan  dengan  Pendekatan  CART  dan  MARS ”,  Jurnal Widya Manajemen & Akuntansi, UWM Surabaya.
[14]  B.W.  Otok,  S.  Guritno  dan  Subanar,  2006,  “ Optimize  Knot  and  Basis  Function  at Truncated  Spline  and  Multivariate  Adaptive  Regression  Splines ",  ICOMS,  UNISBA, Bandung.
[15]  L.L. Schumaker, 1981, “ Spline Funtions: Basic Theory”, John Wiley & Sons, Inc: Canada.
[16]  J. Shao dan D. Tu, 1995, “ The Jacknife and Bootstrap”, Springer-Verlag New York, Inc.
[17]  G. Wahba, 1990, “ Spline Models for Observational Data”, SIAM, CBMS-NSF Regional Conference Series in Applied mathematics, Philadelphia.