## Jurnal Inovasi Pendidikan Sains (JIPS)
Volume 5 Nomor 1, Mei, 2024, pp: 44- 53 http://jurnal.umpwr.ac.id/index.php/jips e-ISSN: 2747 - 1551 p-ISSN: 2757 - 1543

## Penyelesaian Analitik dan Numerik Metode Euler pada Bola Jatuh Bebas Dengan Hambatan Udara
Suwaldi  , Ririn Alfiani, Ishafit
Universitas Ahmad Dahlan Jl. Pramuka 42, Sidikan, Umbulharjo, Yogyakarta, 55161, Indonesia | suwaldi.azzam@gmail.com | DOI : https://doi.org/10.37729/jips.v5i1.4691 |

## Article Info
Submitted 28/03/2024
Revised
07/05/2024
Accepted 28/05/2024
Abstrak – Bola jatuh merupakan fenomena alamiah yang dapat dijelaskan oleh hukum-hukum fisika.  Salah  satu  aspek  penting  dalam  pemahaman  pergerakan  bola  jatuh  adalah  adanya hambatan udara. Hambatan udara muncul ketika sebuah benda bergerak melalui medium udara, dan  efeknya  dapat  dirasakan  secara  signifikan  terutama  pada  benda  yang  bergerak  dengan kecepatan  tinggi.  Pada  penelitian ini  menghasilkan  model  komputasi  gerak  benda  bulat yang dijatuhkan  dari  gedung  yang  tinggi  dan  menghasilkan  grafik  analisis  dalam  mengeksplorasi keakuratan suatu algoritma komputasi dengan membandingkan hasil komputasi dengan solusi eksak  yang  diperoleh  sacara  analitis.  Akurasi  kecepatan  terhadap  waktu  dan  posisi  akan dilakukan dengan menggunakan tiga jenis bola yaitu bola boling, bola basket dan bola golf yang dijatuhkan  dari  ketinggian  440  meter  diatas  permukaan  tanah.  Hasil  analisis  ketiga  bola menunjukkan bahwa ada keterkaitan antara luas penampang bola, massa bola dengan kecepatan bola  saat  di  udara.  Bola  bowling  dengan  luas  penampang  0,037  m 2 dan  massa  7,26  kg,  tidak mengalami kecepatan konstan saat jatuh di udara. Pada t = ± 11 sekon bola bowling sudah sampai di tanah dengan kecepatan ± 69 m/s. Bola basket dengan luas penampang 0,046 m 2 dan massa 0,625 kg, mengalami kecepatan konstan saat t = ±7,5 s dan mencapai tanah saat t = ± 23 sekon dengan kecepatan ± 20,32 m/s. Bola bisbol dengan luas penampang 0,0043 m 2 dan massa 0,145 kg,  mengalami  kecepatan  konstan  saat t =  ±  8  sekon  dan  mencapai  tanah  saat t =  ±  16  sekon dengan kecepatan ± 32 m/s.
Kata kunci : Gerak jatuh bebas, Analitik, Numerik, Metode Euler, Hambatan udara
Abstract – Falling  balls  are  a  natural  phenomenon  that  can  be  explained  by  the  laws  of  physics.  One important  aspect  in  understanding  the  movement  of  a  falling  ball  is  the  presence  of  air  resistance.  Air resistance arises when an object moves through the medium of air, and its effects can be felt significantly, especially on objects moving at high speeds. This research produces a computational model of the motion of a round object dropped from a tall building and produces an analytical graph to explore the accuracy of a computational  algorithm  by  comparing  the  computational  results  with  the  exact  solution  obtained analytically. Accuracy of speed over time and position will be carried out using three types of balls, namely bowling balls, basketballs and golf balls which are dropped from a height of 440 m above the Earth's surface. The results of the analysis of the three balls show that there is a relationship between the cross-sectional area of the ball, the mass of the ball and the speed of the ball in the air. A bowling ball with a cross-sectional area of 0.037 m2 and a mass of 7.26 kg does not experience a constant velocity when falling through the air. At t ± 11 s the bowling ball has reached the ground with a speed of ± 69 m/s. A basketball with a cross-sectional area of 0.046 m2 and a mass of 0.625 kg experiences a constant velocity at t ±7.5 s and reaches the ground at t ±23 s with a speed of ±20.32 m/s. A baseball ball with a cross-sectional area of 0.0043 m2 and a mass of 0.145 kg experiences a constant speed at t ±8 s and reaches the ground at t ±16 s with a speed of ±32 m/s.
Keywords : Free fall motion, Analitics, Numeric, Euler methods, Air resistance

## 1. Pendahuluan
Kegiatan pembelajaran di sekolah tidak hanya tentang penguasaan materi  pelajaran saja, namun mencakup aspek afektif dan psikomotorik peserta didik. Pembelajaran di sekolah sejatinya menghadapi suatu tantangan untuk menjaga minat belajar dan keterlibatan peserta didik dalam setiap tahapannya, hal ini diharapkan dapat memfasilitasi pemahaman konsep yang kompleks. Salah satu metode yang dapat dilakukan  yaitu  melalui  eksperimentasi  fisika  secara  langsung  yang  diharapkan  tidak  hanya  dapat meningkatkan  pemahaman  konsep  namun  membantu  peserta  didik  dalam  mengembangkan  berpikir kritis,  analisis,  dan  pemecahan  masalah [1],  [2] .  Namun  demikian,  masih  dijumpai  kendala  dalam kegiatan eksperimen salah satunya ketersediaan peralatan, ketersediaan waktu, dan kemampuan guru menjadi  faktor  tidak  dilaksanakannya  kegiatan  praktikum  atau  eksperimen  di  sekolah [3] .  Sebagai langkah  antisipasinya,  kegiatan  eksperimen  fisika  interaktif  dapat  dilakukan  dalam  upaya  mengatasi kendala-kendala  tersebut  melalui  penggunaan  simulasi,  permainan  edikatif,  dan  metode  numerik sehingga memungkinkan peserta didik dapat terlibat langsung meskipun tanpa menggunakan perangkat nyata.
Salah  satu  konsep  yang  penting  untuk  diajarkan  dalam  pembelajaran  fisika  yaitu  tentang  gerak jatuh  bebas  menggunakan  percobaan  bola  jatuh.  Selama  ini  pembahasan  di  sekolah adalah  percobaan gerak jatuh bebas dengan mengabaikan faktor-faktor lainnya, padahal salah satu aspek penting dalam pemahaman  pergerakan  bola  jatuh  adalah  adanya  hambatan  udara.  Hambatan  udara  muncul  ketika sebuah benda bergerak melalui medium udara, dan efeknya dapat dirasakan secara signifikan terutama pada  benda  yang  bergerak  dengan  kecepatan  tinggi [4] .  Banyak  gejala  fisika  yang  sukar  diamati  dan dieksperimenkan,  terutama  dalam  hal  pengukuran  yang  terbatasi  oleh  kemampuan  mata  manusia, termasuk fenomena gerak linier pada gerak jatuh bebas. Suatu benda dikatakan mengalami gerak jatuh bebas, jika benda tersebut dilepaskan dari suatu ketinggian tertentu terhadap tanah tanpa kecepatan awal. Benda yang dijatuhkan dari atas akan jatuh ke bumi karena benda tersebut mendapat percepatan gravitasi ( g )  yang  arahnya  selalu  menuju  ke  pusat  bumi [5] .  Gerak  jatuh  bebas  terjadi  pada kondisi  yang  ideal artinya  banyak  faktor  yang  mempengaruhi  gerak  jatuh  bebas  diabaikan  seperti  pengaruh  adanya hambatan  udara,  untuk  menganalisis  pengaruh  adanya  faktor-faktor  yang  mempengaruhi gerak  jatuh bebas maka digunakan pendekatan numerik untuk memudahkan peneliti dalam menganalisis data [4] . Berdasarkan  konsepnya  benda  yang  bergerak  vertikal  di  udara  karena  pengaruh  gaya  gravitasi bekerja  pula  gaya  gesekan  udara.  Suatu  benda  yang  dijatuhkan  dari  ketinggian  awal  nol  atau  tanpa kecepatan awal, percepatan yang dialami oleh benda tersebut adalah percepatan gravitasi bumi g (m/s 2 ). Lintasan gerak benda ini berupa gerak lurus [6], [7] . Terdapat dua model gaya gesekan udara, yakni gaya gesek yang besarnya  berbanding lurus terhadap kecepatan dan gaya gesek yang besarnya berbanding lurus terhadap kuadrat kecepatan. Dalam hal ini, yang akan dilakukan penelitian adalah gaya gesek yang besarnya berbanding lurus dengan kecepatan. Menurut Fowler [8] gerak jatuh bebas dengan pengaruh gesekan udara dapat diselesaikan dengan metode numerik yang menghasilkan solusi numerik sehingga dapat  diuraikan  dengan  suatu  operasi  hitung  seperti  penjumlahan,  pengurangan,  pembagian  dan perkalian. Menurut [9] solusi numerik tidak sama dengan solusi analitik karena keduanya terdapat selisih, melalui  solusi  numerik  dapat  menghasilkan  nilai  yang  lebih  teliti  sesuai  dengan  parameter  yang diinginkan [10], [11] .
Dalam  eksperimen  fisika analisis data dapat  dilakukan menggunakan  berbagai metode  numerik dan analitik, salah satunya yaitu metode Euler. Metode ini merupakan metode yang mengambil dua suku pertama  dari  deret  Taylor,  alasan  menggunakan  metode  Euler  karena  karena  relatif  sederhana  dan memudahkan dalam proses penyelesaian persamaan diferensial [12] . Pada beberapa kasus, analisis data hasil  eksperimen  fisika  secara  manual  relatif  lebih  rumit  dan  memerlukan  waktu  yang  relatif  lama, sehingga  diperlukan  solusi  agar  proses  perhitungannya  lebih  akurat  yaitu  menggunakan  bantuan komputer [13] . Ragam program komputer yang tersedia dapat membantu dalam analisis data, namun untuk  program  yang  lebih  canggih  memerlukan  pengetahuan  khusus,  maka  dalam  penelitian  ini digunakan program Microsoft Excel untuk mengolah data secara otomatis meliputi perhitungan dasar, penggunaan fungsi dan formula, pembuatan grafik, serta manajemen data [4] .

## 2. Metode
Penelitian  ini  dilakukan  dengan  menggunakan  komputasi  dengan  metode  numerik  yang  sesuai dengan persamaan yang akan diselesaikan pada eksperimen gerak jatuh bebas dengan memperhitungkan aspek hambatan udara. Metode numerik tersebut digunakan untuk mensimulasikan gerak jatuh bebas dengan  memperhitungkan  aspek  hambatan  udara  yang  diperoleh  melalui  penentuan  persamaan diferensial  orde  satu  yang  diperoleh  menggunakan  metode  Euler.  Adapun  langkah-langkah  numerik yang dilakukan  sebagai  berikut:  (1)  Menetapkan  nilai  beberapa  besaran  yang  berkaitan dengan gerak jatuh  bebas  dengan  hambatan  udara;  (2)  Menentukan  nilai  tinggi,  yaitu  jarak  selang  waktu;  (3) Menghitung  nilai 𝑎 (percepatan);  (4)  Menghitung  posisi  dan  kecepatan  untuk  masing-masing  sumbu koordinat; dan (5) Mengulangi langkah 3 dan 4 (proses iterasi) hingga benda menyentuh tanah. Adapun prinsip skematis benda jatuh dapat ditunjukkan pada Gambar 1 .
Proses analisis berbantuan komputasi ini menggunakan perangkat lunak Microsoft Excel untuk kasus gerak benda bulat yang dijatuhkan dari ketinggian tertentu sehingga menghasilkan data  dan  disusun  sebuah  grafik  analisis.  Untuk  mengeksplorasi  keakuratan  suatu  algoritma komputasi dengan membandingkan hasil komputasi dengan solusi eksak yang diperoleh secara analitis.

## Gambar 1 . Gerak Jatuh Dengan Hambatan Udara
Gambar 1 menunjukkan sebuah benda bermassa m jatuh vertikal dalam waktu sesaat dengan kecepatan sesaat v , massa dipengaruhi oleh dua gaya yaitu gaya berat dan kekuatan resistif. Gaya resistif diasumsikan sebanding dengan kuadrat kecepatan sesaat massa [6], [7] , bentuk gaya resistif yaitu:
R = 𝑚𝑔 − 𝐷𝜌𝐴 2 𝑣 2 (1)
dengan menerapkan hukum II Newton pada arah Y , maka
Σ𝐹 = 𝑚𝑔 − 𝐷𝜌𝐴 2 𝑣 2 = 𝑚𝑎 𝑦 (2)
𝑎 𝑦 (𝑡) = 𝑔 − 𝐷𝜌𝐴 2m [𝑣 𝑦 (𝑡) 2 ] (3)
𝑣 𝑦 = √ 2𝑚𝑔 𝐷𝜌𝐴 tanh ( √ 𝐷𝜌𝐴𝑔 2𝑚 𝑡) (4)
𝑦(𝑡) = 2m 𝐷𝜌𝐴 ln [ cosh( √ 𝐷𝜌𝐴𝑔 2𝑚 𝑡)] (5)
keterangan: R = gaya resistif (N), D = Konstanta, 𝜌 = kepadatan udara (kg/m 3 ), A = luas area (m 2 ), v = kecepatan (m/s), m = massa (kg), g = percepatan gravitasi (m/s 2 ),

## Solusi numerik (Euler) dapat ditunjukkan pada persamaan (6) dan persamaan (7)
𝑣 𝑖+1 = 𝑣 𝑖 + (𝑔 − 𝐷𝜌𝐴 2𝑚 𝑣 𝑖 2 )∆𝑡 (6)
𝑦 𝑖+1 = 𝑦 𝑖 + 𝑣 𝑖 ∆𝑡 (7)

## 3. Hasil dan Pembahasan
Kegiatan  percobaan  untuk  mengambil  data  dilakukan  dengan  memperhatikan  variabel  berupa akurasi kecepatan ( v ) terhadap waktu ( t ) dan posisi ( y ). Adapun percobaan yang dilakukan menggunakan tiga jenis bola yaitu bola bowling, bola basket, dan bola golf yang dijatuhkan dari ketinggian 440 meter di atas  permukaan  tanah.  Dari  ketiga  jenis  bola  tersebut  diamati  pengaruh  massa  bola  ( m )  dan  luas penampang  ( A )  terhadap  kecepatan  bola  saat  jatuh  bebas.  Langkah  pertama  dilakukan  uji  dengan menggunakan  bola  bowling  dengan  menentukan  beberapa  besaran  yang  sudah  ditetapkan  terlebih dahulu yaitu: D = 0,5, 𝜌 = 1,29 (kg/m 3 ), A = 0,037 (m 2 ), m = 7,26 (kg), g = 9,8 (m/s 2 ), y 0 = 0, v 0 = 0, Δ t = 0,5 (s). Persamaan (4) dan persamaan (5) dapat digunakan untuk menentukan kecepatan ( v ) dan posisi  ( y ) secara analitik (eksak), sedangkan untuk menentukan kecepatan ( v ) dan posisi ( y ) secara numerik (Euler) menggunakan persamaan (6) dan (7). Dari persamaan tersebuat dapat mengunakan bantuan Ms. Excel dalam membandingkan ketelitian antara kedua metode tersebut. Hasil perhitungan analitik dan numerik pada bola bowling dapat disajikan pada Tabel 1 .
Tabel 1 . Perbandingan Hasil Perhitungan Analitik dan Numerik Bola Bowling
t a v_eksak v_num y_eksak y_num 0 9.80 0.00 0.00 0.00 0.00 0.5 9.76 4.89 4.90 1.22 0.00 1 9.64 9.75 9.78 4.89 2.45 1.5 9.45 14.52 14.60 10.96 7.34 2 9.19 19.19 19.33 19.39 14.64 2.5 8.88 23.71 23.92 30.12 24.30 3 8.51 28.06 28.35 43.07 36.26 3.5 8.09 32.21 32.59 58.15 50.44 4 7.65 36.15 36.62 75.25 66.73 4.5 7.19 39.86 40.41 94.26 85.04 5 6.71 43.33 43.97 115.07 105.25 5.5 6.24 46.57 47.28 137.55 127.23 6 5.76 49.57 50.35 161.60 150.88 6.5 5.30 52.33 53.16 187.08 176.05 7 4.85 54.87 55.74 213.89 202.63 7.5 4.42 57.19 58.09 241.92 230.50 8 4.02 59.30 60.21 271.05 259.54 8.5 3.64 61.21 62.13 301.18 289.65 9 3.29 62.94 63.86 332.23 320.72 9.5 2.96 64.51 65.41 364.10 352.65 10 2.66 65.91 66.79 396.71 385.35 10.5 2.38 67.17 68.03 429.99 418.75 11 2.13 68.30 69.12 463.86 452.76
Berdasarkan hasil uji pada Tabel 1 menunjukkan analisis menggunakan metode Euler dan solusi  eksak  hampir  tidak  dapat  dibedakan  karena  nilai  selisihnya  sangat  kecil.  Dengan demikian,  terdapat  pendekatan  asimtotik  dari  solusi  Euler  terhadap  solusi  eksak,  hal  ini membentuk sifat yang mendekati subjektif dalam menganggap nilai tertentu dari solusi eksak, dengan nilai Δ t yang cukup kecil untuk solusi komputasi yang akurat.
Berdasarkan Tabel 1 dapat dibuat grafik kecepatan ( v ) dan posisi bola bowling ( y ) terhadap waktu  sehingga  dapat  memperoleh  gambaran  yang  jelas  hubungan  antara  kecepatan  ( v )  dan posisi ( y ) terhadap waktu ( t ) sebagaimana ditunjukkan Gambar 2 dan Gambar 3 .
Gambar 2. Grafik Kecepatan ( v ) Terhadap Waktu ( t ) Pada Bola Bowling di Udara
Gambar 3 . Grafik Posisi ( y ) Terhadap Waktu ( t ) Pada Bola Bowling di Udara Berdasarkan Gambar 2 , Bola bowling tidak mengalami kecepatan konstan sampai di tanah terlihat dari grafik yang masih melengkung, hal tersebut bermakna bahwa bola bowling memerlukan ketinggian lebih dari 440 m agar dapat mengalami kecepatan konstan. Waktu yang dibutuhkan bola bowling sampai ke bumi ± 11 sekon dengan kecepatan ± 69 m/s. Ditinjau dari Gambar 3 dapat dilihat bahwa bola bowling mengalami percepatan yang ditunjukkan pada pola melengkung dan tidak membentuk garis linear.
Kegiatan  uji  yang  kedua  dilakukan  dengan  menggunakan  bola  basket,  adapun  besaran  yang ditetapkan meliputi: D = 0,5; 𝜌 = 1,29 (kg/m 3 ); A = 0,046 (m 2 ); m = 0,625 (kg); g = 9,8 (m/s 2 ); y 0 = 0; v 0 = 0; dan Δ t = 0,5 (s). Dengan menggunakan persamaan persamaan (4) dan (5) dapat ditentukan kecepatan ( v ) dan  posisi  ( y )  secara  analitik  (eksak),  sedangkan  untuk  mencari  kecepatan  dan  posisi  secara  numerik dapat  kita  gunakan  persamaan  (6)  dan  (7).  Perhitungan  secara  analitik  dan  numerik  menggunakan bantuan Ms.Excel dapat disajkan pada Tabel 2 .
Berdasarkan Tabel  2 tentang  analisis  Euler  dan  solusi  eksak,  terdapat  selisih  antara  data kecepatan saat t = 1,5 sekon hingga t = 3,5 sekon. Namun, perbedaan tersebut tidak signifikan sehingga  model  analisis  diantara  keduanya  mendekati  sama,  hal  ini  membentuk  sifat  yang mendekati subjektif dalam menganggap nilai tertentu dari solusi eksak. Ditinjau dari data pada Tabel 2 dapat disusun grafik hubungan antar variabel sebagaimana ditunjukkan pada Gambar 4 dan Gambar 5 .
Tabel 2. Perbandingan Hasil Perhitungan Analitik dan Numerik Bola Basket
t a v_eksak v_num y_eksak y_num 0 9.80 0.00 0.00 0.00 0.00 0.5 9.25 4.81 4.90 1.21 0.00 1 7.83 9.10 9.52 4.72 2.45 1.5 6.04 12.58 13.34 10.18 7.21 2 4.34 15.16 16.13 17.15 13.88 2.5 2.96 16.97 17.94 25.21 21.94 3 1.95 18.19 19.02 34.03 30.91 3.5 1.25 18.98 19.63 43.33 40.42 4 0.79 19.48 19.96 52.95 50.24 4.5 0.50 19.80 20.13 62.78 60.21 5 0.31 20.00 20.22 72.73 70.28 5.5 0.19 20.12 20.27 82.76 80.39 6 0.12 20.20 20.29 92.84 90.52 6.5 0.07 20.24 20.31 102.95 100.67 7 0.05 20.27 20.31 113.08 110.82 7.5 0.03 20.29 20.32 123.22 120.98 8 0.02 20.30 20.32 133.37 131.14 8.5 0.01 20.31 20.32 143.52 141.30 9 0.01 20.31 20.32 153.68 151.45 9.5 0.00 20.32 20.32 163.84 161.61 10 0.00 20.32 20.32 173.99 171.77 10.5 0.00 20.32 20.32 184.15 181.93 11 0.00 20.32 20.32 194.31 192.09 11.5 0.00 20.32 20.32 204.47 202.25 12 0.00 20.32 20.32 214.63 212.41 12.5 0.00 20.32 20.32 224.79 222.57 13 0.00 20.32 20.32 234.95 232.73 13.5 0.00 20.32 20.32 245.11 242.89 14 0.00 20.32 20.32 255.27 253.05 14.5 0.00 20.32 20.32 265.43 263.21 15 0.00 20.32 20.32 275.59 273.37 15.5 0.00 20.32 20.32 285.75 283.53 16 0.00 20.32 20.32 295.91 293.69 16.5 0.00 20.32 20.32 306.07 303.85 17 0.00 20.32 20.32 316.23 314.01 17.5 0.00 20.32 20.32 326.39 324.17 18 0.00 20.32 20.32 336.55 334.33 18.5 0.00 20.32 20.32 346.71 344.49 19 0.00 20.32 20.32 356.86 354.65 19.5 0.00 20.32 20.32 367.02 364.81 20 0.00 20.32 20.32 377.18 374.97 20.5 0.00 20.32 20.32 387.34 385.13 21 0.00 20.32 20.32 397.50 395.29 21.5 0.00 20.32 20.32 407.66 405.45 22 0.00 20.32 20.32 417.82 415.61 22.5 0.00 20.32 20.32 427.98 425.76 23 0.00 20.32 20.32 438.14 435.92
Gambar 4. Grafik Kecepatan Bola Basket di Udara
Gambar 5 . Grafik Posisi Bola Basket di Udara
Dari  grafik Gambar  4 dan Gambar  5 terlihat  bahwa  bola  basket  mengalami  kecepatan konstan, yaitu pada grafik garis lurus setelah lengkungan, yaitu pada saat t = 7,5 sekon dengan kecapatan rata-rata 20,32 m/s. Grafik posisi setelah t = 2 sekon juga menunjukkan garis linear artinya  perubahan  posisi  terhadap  waktu  hampir  mendekati  selisih  yang  sama.  Waktu  yang dibutuhkan bola basket sampai ke bumi ± 23 sekon dengan kecepatan ± 20,32 m/s. Sementara itu uji ketiga dengan menggunakan bola bisbol dengan beberapa besaran: D = 0,5; 𝜌 = 1,29 (kg/m 3 ); A = 0,0043 (m 2 ); m = 0.145 (kg); g = 9,8 (m/s 2 ); y 0 = 0; v 0 = 0; Δ t = 0,5 (s).
Dalam  penelitian  ini,  analisis  numerik  dan  analitik  mengacu  pada  persamaan  (4)  dan persamaan (5) untuk menentukan posisi secara analitik/ eksak, sedangkan untuk menentukan kecepatan  dan  posisi  secara  numerik  dapat  menggunakan  persamaan  (6)  dan  persamaan  (7). Untuk membantu mendapatkan gambaran data dan grafik hubungan variabel maka digunakan Ms. Excel sebagai piranti bantu sehingga diperoleh gambaran yang lebih jelas. Uji analitik dan numerik  gerak  jatuh  bebas  pada  bola  bisbol  dapat  disajikan  pada Tabel  3 .  Adapun  data  uji meliputi waktu ( t ), percepatan ( a ), kecepatan eksak, kecepatan numerik, posisi eksak, dan posisi numerik.
Tabel 3. Perbandingan Hasil Perhitungan Analitik dan Numerik Bisbol t a v_eksak v_num y_eksak y_num 0 9.80 0.00 0.00 0.00 0.00 0.5 9.57 4.86 4.90 1.22 0.00 1 8.94 9.50 9.69 4.83 2.45 1.5 7.99 13.75 14.14 10.66 7.29 2 6.88 17.47 18.08 18.49 14.36 2.5 5.73 20.62 21.42 28.03 23.40 3 4.65 23.21 24.12 39.01 34.11 3.5 3.68 25.29 26.24 51.16 46.17 4 2.87 26.92 27.85 64.23 59.29 4.5 2.20 28.18 29.04 78.02 73.22
5 1.67 29.15 29.91 92.36 87.74 5.5 1.26 29.88 30.53 107.13 102.69 6 0.95 30.43 30.97 122.21 117.96 6.5 0.71 30.84 31.29 137.53 133.44 7 0.52 31.14 31.51 153.03 149.08 7.5 0.39 31.37 31.66 168.66 164.84 8 0.29 31.54 31.77 184.39 180.67 8.5 0.21 31.66 31.84 200.19 196.55 9 0.16 31.75 31.89 216.04 212.47 9.5 0.12 31.82 31.93 231.94 228.42 10 0.09 31.87 31.95 247.86 244.38 10.5 0.06 31.91 31.97 263.81 260.36 11 0.05 31.93 31.98 279.77 276.34 11.5 0.03 31.95 31.99 295.74 292.34 12 0.03 31.97 32.00 311.72 308.33 12.5 0.02 31.98 32.00 327.71 324.33 13 0.01 31.99 32.00 343.70 340.33 13.5 0.01 31.99 32.01 359.70 356.33 14 0.01 32.00 32.01 375.70 372.34 14.5 0.01 32.00 32.01 391.70 388.34 15 0.00 32.00 32.01 407.70 404.34 15.5 0.00 32.01 32.01 423.70 420.35 16 0.00 32.01 32.01 439.70 436.35
Berdasarkan Tabel  3 hasil  analisis  data  menggunakan  metode  Euler  dan  solusi  eksak terdapat selisih antara data kecepatan saat t = 2 sekon hingga t = 6,5 sekon. Meskipun terdapat perbedaan  namun  tidak  signifikan  sehingga  model  analisis  diantara  keduanya  a  mendekati sama, hal ini membentuk sifat yang mendekati subjektif dalam menganggap nilai tertentu dari solusi eksak. Dari Tabel 3 diatas dapat  dibuat Gambar 6 dan Gambar 7 untuk melihat hubungan antar variable dengan jelas, dimana bola bisbol mulai mengalami kecepatan konstan saat t = 8 sekon dengan kecapatan rata-rata 32 m/s. Waktu yang dibutuhkan bola bisbol sampai ke bumi ± 16 sekon dengan kecepatan ± 32 m/s.
Gambar 6 . Grafik Kecepatan Bola Bisbol di Udara

## Gambar 7. Grafik Posisi Bola Bisbol di Udara
Hasil  percobaan  gerak  jatuh  bebas  pada  beberapa  benda  dari  ketinggian  tertentu  dengan memperhitungkan aspek-aspek lainnya menunjukkan hasil yang relatif sama, artinya hasil analisis data secara numerik dan analitik menggunakan metode Euler  signifikan dan terdapat hubungan yang jelas antara posisi ( y ), kecepatan ( v ), dan percepatan ( a ). Hasil dan temuan ini sejalan dengan penelitian [4] bahwa  melalui  metode  Euler  dapat  membuktikan  solusi  numerik  untuk  gerak  jatuh  bebas  meskipun gesekan udara diabaikan. Penelitian lain yang sejalan dengan temuan penelitian ini tentang pengaruh gesekan udara pada gerak vertikal oleh [6], [7] dengan dan tanpa gesekan udara.
Hasil analisis ketiga bola menunjukkan bahwa ada keterkaitan antara luas penampang bola, massa bola dengan kecepatan bola saat di udara. Bola bowling dengan luas penampang 0,037 m 2 dan massa 7,26 kg, tidak mengalami kecepatan konstan saat jatuh di udara. Pada t = ± 11 sekon bola bowling sampai di atas permukaan tanah dengan kecepatan ± 69 m/s. Bola basket dengan luas penampang 0,046 m 2 dan massa 0,625 kg memiliki kecepatan konstan saat t = ± 7,5 sekon dan mencapai tanah saat t = ± 23 sekon dengan  kecepatan  ±    20,32  m/s.  Bola  bisbol  dengan  luas  penampang  0,0043  m 2 dan  massa  0,145  kg memiliki kecepatan konstan saat t = ± 8 sekon dan mencapai tanah saat t = ± 16 sekon dengan kecepatan ± 32 m/s. Bola dengan massa besar dan penampang lebih luas akan membutuhkan waktu lebih lama agar terjadi kecepatan konstan. Berdasarkan hasil temuan tersebut, maka penelitian ini dapat dimanfaatkan dalam kegiatan eksperimen dan analisis data berbantuan Ms. Excel khususnya untuk gerak jatuh bebas. Perlu dilakukan penelitian lanjutan untuk besaran yang lain dan menggunakan perangkat bantu lainnya agar hasilnya lebih umum dan mendekati teoretis.

## 4. Kesimpulan
Berdasarkan  hasil  analisis  yang  telah  dilakukan  bahwa  metode  Euler  dapat  digunakan  sebagai metode pendekatan analisis ketika terjadi kesulitan dalam penyelesaian persamaan secara eksak. Hasil perhitungan data dengan menggunakan metode Euler memperoleh hasil yang cukup presisi dengan hasil analisis  eksak,  hal  tesebut  didasarkan  pada  data  hasil  percobaan  yang  menunjukkan  bahwa  metode analisis yang digunakan tersebut menghasilkan data yang relatif sama.

## Daftar Pustaka
[1] C.  O.  Windari  dan  F.  A. Yanti,  “Penerapan  model  problem  based  learning  untuk  meningkatkan keterampilan berpikir kritis peserta didik,” Edu Sains J. Pendidik. Sains Dan Mat. , vol. 9, no. 1, hlm. 61 – 70, 2021.
[2] E.  Julfitri,  S.  Efwinda,  dan  Z.  Zulkarnaen,  “The  C3PDR  Learning  Model  to  Increase  Conceptual Understanding and Creative Thinking Skills of Senior High School Students,” Berk. Ilm. Pendidik. Fis. , vol. 8, no. 3, hlm. 170 – 182, 2020.
[3] S.  D.  Aprilia,  S.  N.  Wulandari,  K.  D.  Agustina,  dan  N.  F.  Sulaeman,  “Mengeksplorasi  Dampak Ketersediaan  Peralatan  pada  Pelaksanaan  Praktikum  Fisika  di  Laboratorium  SMA,” J.  Literasi Pendidik. Fis. JLPF , vol. 5, no. 1, hlm. 49 – 58, 2024.
[4]  N. Nurhamidah,  “Solusi  Numerik  Menggunakan  Metode  Euler  Untuk  Persamaan  Gerak  Jatuh Bebas Tanpa Gesekan Udara Pada Microsoft Excel 2013,” AlIlmi J. Pendidik. MIPA , vol. 12, no. 1, hlm.
27 – 32, 2023.
[5] A.  Ristiawan,  “Analisis  gerak  jatuh  bebas  dengan  metode video  based  laboratory  (vbl) menggunakan software tracker,” J. Teach. Learn. Phys. , vol. 3, no. 2, hlm. 26 – 30, 2018.
[6] N. Yuningsih dan Y. C. Dewi, “Gaya Gesekan Udara Terhadap Benda yang Bergerak Vertikal Tanpa Kecepatan Awal,” dalam Prosiding Industrial Research Workshop and National Seminar , 2022, hlm. 14 – 19.  Diakses:  13  Juni  2024.  [Daring].  Tersedia  pada:  https://jurnal.polban.ac.id/ojs- 3.1.2/proceeding/article/view/4337
[7] N.  Yuningsih  dan  S.  Sardjito,  “Gerak  Vertikal  Benda  Berukuran  Berbeda  yang  Ja tuh  Tanpa Kecepatan Awal dan Bergesekan dengan Udara,” dalam Prosiding Industrial Research Workshop and National  Seminar ,  2020,  hlm.  710 – 714.  Diakses:  13  Juni  2024.  [Daring].  Tersedia  pada: https://jurnal.polban.ac.id/proceeding/article/view/2104
[8]  M. Fo wler, “Using Excel to Simulate Pendulum Motion and Maybe Understand Calculus a Little Better,” Sci. Educ. , vol. 13, no. 7 – 8, hlm. 791 – 796, Nov 2004, doi: 10.1007/s11191-004-6731-1.
[9] J. Da Costa, “Analisis Numerik untuk Gerak Osilasi Bergandeng pada Air Track dengan Metode Runge- Kutta,” PhD Thesis, Program Studi Pendidikan Fisika FSM -UKSW, 2014. Diakses: 13 Juni 2024. [Daring]. Tersedia pada: https://repository.uksw.edu/handle/123456789/4950
[10] A.  Basuki,  N.  Ramadijanti,  dan  S.  Kom,  “Metode  Numerik  dan  Algoritma  Komputasi,”  2005, Diakses:  13  Juni  2024.  [Daring].  Tersedia  pada:  https://openlibrary.telkomuniversity.ac.id/ home/catalog/id/98821/slug/metode-numerik-dan-algoritma-komputasi.html
[11]  D. E. C. Rahmad, D. S. E. Ikawati, S. SI, dan Y. W. Syaifudin, Metode Numerik: Metode Numerik , vol. 1. UPT Percetakan dan Penerbitan Polinema, 2018. Diakses: 13 Juni 2024. [Daring].
[12] R.  S.  Azis  dan  I.  Ramli,  “Implementasi  Metode  Euler  Pada  Gerak  Pegas  Dengan  Menggunakan Scilab,” Appl. Phys. Cokroaminoto Palopo , vol. 2, no. 1, hlm. 9 – 14, 2021.
[13] S.  Maiyena,  “Penggunaan  Metode  Euler Pada  Persamaan Diferensial  Orde Dua  Pada  Rangkaian Listrik Seri LC,” J. Sainstek IAIN Batusangkar , vol. 3, no. 2, hlm. 176 – 181, 2011.