Vol. 9, No.1,  49-56,  Juli  2012
Himpunan Ω-Stabil Sebagai Daerah Faktorisasi Tunggal
Nur Erawaty 1 , Andi Kresna Jaya 1 , Nirwana 1

## Abstrak
Misalkan D adalah  daerah  integral.  Unsur  tak  nol  yang  bukan  unit  dapat  ditulis  dalam  hasil kali  berhingga  dari  unsur-unsur  tak  tereduksi.  Suatu  unsur  tak  nol x dari D yang  bukan  unit dapat ditulis dalam bentuk :
dimana
adalah  unsur-unsur  tak  tereduksi.  Maka D dikatakan  daerah  faktorisasi tunggal  (DFT).Himpunan  Ω  merupakan  sub  himpunan  dari  ₵,  lapangan  bilangan  kompleks yang memenuhi :
1. Ω , khususnya terdapat suatu bilangan real di luar Ω
2. Ω , dengan {             | .
3. Simetris terhadap sumbu real.
Tulisan  ini  akan  menyatakan  unsur-unsur  dalam  himpunan  Ω-stabil,  yang  bukan  unit,  yaitu bentuk  rasional  sejati  yang  tidak  mempunyai  pole  di  Ω ̅ ,  ke  dalam  hasil  kali  unsur-unsur  tak tereduksi .
Kata kunci :   Tak tereduksi, daerah integral, faktorisasi, himpunan Ω-stabil .

## 1. Pendahuluan
Faktorisasi  suatu  unsur  dalam  Daerah  Integral  ke  dalam  unsur-unsur  yang  tak  dapat difaktorkan lagi, tidaklah selalu dalam satu bentuk faktorisasi saja. Misalkan pada Daerah Integral [√  ] , unsur
(    √  )     √
dan juga 8 = 2.2.2. Di sini dapat dilihat sebuah unsur dapat difaktorisasikan ke dalam 2 bentuk, di mana  unsur-unsurnya  tak  dapat  lagi  difaktorkan  ke  dalam  unsur  yang  lebih  sederhana.  Jika Daerah  Integral  tersebut  semua  unsurnya  terfaktorisasi  hanya  dalam  satu  bentuk  saja,  dalam artian jika ada dua bentuk maka  keduanya berbeda dalam hal urutan saja, maka  daerah tersebut dinamakan Daerah Faktorisasi Tunggal.
Salah  satu  contoh  sederhana  dari  daerah  faktorisasi  tunggal  adalah  himpunan  bilangan bulat  atau dimana  terdapat  faktorisasi  tunggal  dalam  bentuk  bilangan-bilangan  prima,  yaitu unsur  yang  tak  dapat  difaktorkan  lagi.  Dengan  menggunakan  teorema-teorema  yang  berkaitan dengan  daerah  faktorisasi  tunggal,  dapat  ditunjukkan  bahwa  himpunan  Ω-stabil  merupakan Daerah Faktorisasi Tunggal .
1 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Hasanuddin, email : nurerawaty@yahoo.com , andikresna@yahoo.com

## 2. Pembahasan
Berikut beberapa hal yang berkaitan dengan sifat-sifat yang berlaku pada daerah integral. Definisi dan bukti teorema dapat dilihat lebih detail di buku [1] dan [3].
Misalkan adalah daerah Integral.
Definisi 1. Jika , dan untuk setiap . Maka membagi . Ditulis | .
Definisi  2.
Jika maka {  |
Bentuk berikut ekuivalen:
(1) | , maka
. Karena {  | sehingga berlaku (2) (2) , maka berlaku (3)
(3)
Definisi 3. Unsur u R disebut  unit  (unsur  yang  mempunyai  invers  terhadap  perkalian  )  pada R jika  dan hanya jika R sedemikian hingga
.
Catatan 1. Jika adalah gelanggang, himpunan unit-unit pada dinotasikan dengan Secara umum, tidak sama dengan { .
Definisi 4. Suatu unsur dalam daerah integral dikatakan tak tereduksi jika
(1) , (2) Jika , maka atau adalah suatu unit Catatan 2. Unsur tereduksi jika untuk setiap dimana baik maupun bukan unit. Oleh karena itu, tak tereduksi jika tidak dapat difaktorkan dan bukan suatu unit.
Teorema 1. [6] Unsur dan sekawan dalam daerah integral jika memenuhi:
(1) untuk suatu
(2) untuk suatu
(3) | dan | ,
(4)
Daerah Faktorisasi Tunggal memenuhi kriteria di bawah ini,
Definisi 5. Suatu daerah integral dikatakan daerah faktorisasi tunggal (DFT) jika memenuhi :
(1) Setiap  unsur  tak  nol  pada merupakan  unit  atau  hasil  kali  berhingga  unsur-unsur  tak tereduksi.
(2) Jika , dimana unsur  tak  tereduksi , maka dan  setelah diurutkan kembali faktor-faktotnya , dan sekawan untuk . Hasil  kali  unsur  tak  tereduksi  dan  unit  merupakan  unsur  tak  tereduksi.  Misalkan dan unsur tak tereduksi. Klaim bahwa bukan unit. Andaikan unit, berarti terdapat sedemikian  sehingga .  Yang  artinya  bahwa unit.  Ini  kontradiksi  dengan unsur tak tereduksi. Jika ,  dengan dan unsur  tak  tereduksi.  Karena unit,  maka , . Karena unsur tak terduksi maka unit atau unit (maka tak tereduksi), dan mengakibatkan atau adalah unit. Jadi unsur tak tereduksi
Contoh 1. (DFT) 1. Daerah , berdasarkan teorema fundamental aritmetika.
2. Daerah . Setiap polinomial yang tunggal ditulis sebagai hasil kali faktor-faktor linier, dan  perkalian  bilangan-bilangan  tak  nol.  Misalnya
.
Definisi 6. Suatu unsur membagi sempurna jika | serta dan tidak sekawan.
Teorema2.
Misalkan adalah DFT. Maka  tidak terdapat barisan tak berhingga pada unsur pada sehingga pembagi sempurna untuk setiap .
Teorema 3.  [5] Misalkan adalah DFT. Jika unsur tak tereduksi dan | maka | atau | .
Teorema 4. [6] Misalkan R adalah suatu daerah integral . R adalah suatu daerah faktorisasi tunggal jika dan hanya jika memenuhi:
(1) Tidak terdapat barisan tak hingga
elemen pada R sehingga habis membagi untuk setiap
(2) Untuk setiap elemen tak tereduksi
, jika p|ab , maka p|a atau p|b Bilangan bulat dikatakan tak tereduksi jika hanya dapat ditulis dalam bentuk pada  bilangan  bulat  positif dan dimana
atau
Polinomial  tereduksi  adalah
polinomial tak konstan yang memuat faktorisasi tak trivial.

## Nur Erawaty, Andi Kresna Jaya, Nirwana
Misalkan adalah  suatu  lapangan.  Suatu    polinomial  tak  konstan ,  dikatakan  tak tereduksi  jika dengan  syarat  (derajat atau  derajat untuk polinomial dan dalam
Definisi 7. Daerah Faktorisasi Tunggal (DFT) Misalkan D daerah integral. D dinamakan daerah faktorisasi tunggal apabila memenuhi [4]:
1. Setiap D-{0}, bukan  unit  dapat  dinyatakan  sebagai  hasil  kali  sejumlah  berhingga elemen tak tereduksi . 2. Jika dan dua macam faktorisasi dari suatu elemen D dengan elemen tak terduksi maka dan apabila perlu dengan mengubah urutan, diperoleh berasosiasi dengan
Daerah  integral  Z  adalah  contoh  sederhana  daerah  integral  yang  merupakan  daerah  faktorisasi tunggal dalam bentuk prima.
Teorema 5.
Jika adalah  polinomial  berderajat  positif  dengan  koefisien  bilangan  kompleks maka mempunyai paling banyak n akar-akar bilangan kompleks.
Berdasarkan  teorema  dasar  aljabar,  setiap  polinomial  berderajat  positif  yang  mempunyai koefisien bilangan kompleks dapat difaktorkan ke bentuk x – r dan sebuah konstanta. Definisi dan teorema yang digunakan buktinya dapat dilihat pada Erawaty [2].
Definisi 8.
Misalkan lapangan  bilangan  kompleks  dan dengan t maka  akar  dari didefinisikan  sebagai  akar  dari  polinomial di . Dan pole dari didefinisikan sebagai akar dari polinomial di . Misal , , , . 1. Jika der = der disebut bentuk rasional biproper . 2. Jika der der disebut bentuk rasional non proper . 3. Jika der der disebut bentuk rasional strictly proper
Berikut  akan  ditinjau  suatu  himpunan  yaitu  himpunan  dari  semua  bentuk  rasional  sejati. Himpunan ini ditulis
{ | der der .
Dan  akan  didefinisikan  pula  subhimpunan  dari  himpunan  bentuk  rasional  sejati yaitu  himpunan Ω-stabil. Sebelumnya dilihat dahulu apa yang disebut himpunan Ω.
Definisi 9.
Himpunan adalah subhimpunan dari lapangan bilangan kompleks yang memenuhi [2]:
1. , khususnya terdapat suatu bilangan real di luar 2. , dengan
{             | .
3. Simetris terhadap sumbu real, yaitu
Setiap dapat difaktorkan menjadi ̂ Dengan dan ̂ ̂ ̂ , ̂ dan ̂ , semua akarnya di , ̂      ̂ semua akarnya di . Definisi 10. Suatu disebut unsur -stabil jika adalah rasional sejati dan tidak mempunyai pole di
Himpunan unsur -stabil ditulis dengan {        | tidak mempunyai pole di ̅     {
Misal
tidak mempunyai pole di , dapat ditulis sebagai ̂ ̂ Untuk suatu
, ̂ dan ̂ dengan semua akarnya di . ̂ , ̂ semua akarnya  di .  karena tidak  mempunyai  pole  di ,  yakni maka  der
Ω ̂ der ̂ yaitu:
der ̂ der ̂ , Karena der sehingga der ̂ der ̂ .
Dengan demikian untuk setiap , der ̂ der ̂
Diketahui  bahwa dengan  operasi  tambah  dan  kali  membentuk  gelanggang  komutatif  dengan unsur kesatuan (bilangan real 1) dan tidak memuat pembagi nol.
Misal ,  berarti ̂ ̂ ̂      ̂ dan  der ̂ der ̂ .
Karena maka ̂           ̂ ,  sedangkan  der ̂ ̂ dan der 0. Sehingga  der 0  dan ̂
̂ dengan ̂      ̂ ,  kemudian  pilih ̂ ̂ ̂ .
Sehingga
̂ ̂ ̂ ̂
̂
Jadi unit di jika dan hanya jika ̂ ̂ , ̂      ̂       ̂ .
Contoh 2.
Misalkan , yang merupakan unit pada adalah .

## Nur Erawaty, Andi Kresna Jaya, Nirwana
Untuk  selanjutnya – menyatakan  suatu  bilangan  real  di (atau – yang tertentu/tetap.
Teorema 6. [2]
Setiap dapat ditulis dengan :
̂
̂
dimana
der ̂ der ̂ ̂ ̂ suatu unit di S Akibat 1. Setiap dapat difaktorkan menjadi
dimana
tak punya zero di
d er ̂ ̂ suatu unit di S. Kemudian dapat difaktorkan lagi menjadi faktor-faktor sederhana terhadap .
dimana
untuk untuk [ ] [ ] * + * +
dengan
, dengan tak dapat              difaktorkan menjadi suku banyak linear di [s] Ketunggalan  faktorisasi mengakibatkan  ketunggalan  faktorisasi .  Faktorisasi dalam bentukdi atas disebut faktorisasi
modulo .
Contoh 3. Misal
dan maka ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

## 3. Kesimpulan
Adapun kesimpulan dalam tulisan ini adalah:
1. Unit pada himpunan fungsi rasional sejati dan stabil adalah:
̂ ̂ 2. Unsur tereduksi  jika untuk  setiap dimana  baik maupun bukan unit.
3. Unsur tak tereduksi pada himpunan fungsi rasional sejati dan stabil adalah:
, dengan tak dapat           difaktorkan
menjadi suku banyak linear di [s]
4. Himpunan fungsi rasional sejati dan stabil merupakan daerah faktorisasi tunggal

## Daftar Pustaka
[1] Charles C.S, 1984. Abstract Algebra A Computational Approach . John Wiley & Sons. New York .
[2] Erawaty  N.,  2000. Pemanfaatan  Bentuk  Smith-McMillan  untuk  Parameterisasi Kompensator  yang  Menstabilkan  Plant  Poper. Bidang  Khusus  Aljabar  Program  Studi Matematika Program Pascasarjana Institut Teknologi Bandung. Bandung .
[3] Fraleigh  B.J.,  1989. A  First  Course  in  Abstract  Algebra.  Fifth  Edition .  Addison-Wesley Publishing Company, New York .
[4] Isnarto, 2008. Pengantar Struktur Aljabar 2 . Universitas Negeri Semarang. Semarang .
[5] Niven I., and Herbert S.Z., 1984. An Introduction to The Theory of Numbers . John Wiley & Sons. New York .