## Model Matematika Terhadap Penyebaran Penyakit Tuberkulosis di Rumah Sakit Paru Batu

## Vivi Aida Fitria

## Dosen STMIK Asia Malang

## ABSTRAK
Model  matematika  terhadap  penyebaran  terhadap  penyakit    tuberkulosis  merupakan  keterkaitan pemodelan  matematika  dengan  mekanisme  penyebaran  penyakit  tuberkolosis  yang  berbentuk  sistem persamaan diferensial tak liner. Khususnya di lingkungan Rumah Sakit Paru Batu.Penelitian ini bertujuan untuk  mengetahui  pemodelan  terhadap  penyebaran  penyakit  tuberkulosis  dengan  sistem  persamaan diferensial dan  untuk mengetahui analisis model matematika terhadap penyebaran penyakit tuberkulosis. Hasil penelitian ini menunjukkan bahwa pemodelan matematika terhadap penyebaran penyakit tuberkulosis memiliki  3 persamaan diferensial  tak linear yaitu (1) jumlah  manusia yang rentan TBC pada saat t (S(t)) dalam hal ini adalah jumlah pegawai dan pesawat rawat inap (kecuali penderita TBC), (2) jumlah manusia laten TBC (terinfeksi tetapi belum menular, TBC pasif ) pada saat t (L(t)), dan (3) jumlah manusia  terinfeksi TBC  (terinfeksi  dan  menular,  aktif  )  pada  saat  t  (I(t)).  Dan  dari  sistem    tersebut diperoleh  dua  titik  tetap yakni  titik  tetap  yang  pertama  menunjukkan  bahwa  semua  manusia  sehat  dan  yang  kedua  berpotensi terinfeksi TBC (stabil global)
Kata kunci : Pemodelan Matematika, Tuberkulosis , Sistem Persamaan Diferensial

## ABSTRACT
Mathematical  models  for  the  spread  of  tuberculosis  is  a  reference  to  the  mathematical  modeling  of mechanisms  of  the  spread  of  tuberculosis  in  the  form  of  systems  of  differential  equations  is  not  linear. Particularly  at  the  Hospital  of  Lung  Batu.Penelitian  aims  to  determine  the  modeling  of  the  spread  of tuberculosis to the system of differential equations and to find out the analysis of mathematical models of the spread of tuberculosis. These results indicate that the mathematical modeling of the spread of tuberculosis has three differential equations are not linear (1) the number of people susceptible tuberculosis at the time t (S (t)) in this case is the number of employees and aircraft hospitalization (excluding patients with TB) , (2) the amount of latent human tuberculosis (infected but not contagious, TB passive) at the time t (L (t)), and (3) the number of people infected with tuberculosis (infected and infectious, active) at time t (I (t) ). And of the system obtained two fixed points which is a fixed point of the first to show that all human beings are both healthy and potentially infected with tuberculosis (global stability)
Keywords: Mathematic Modelling, Tubercolosis, System of Differential equations

## PENDAHULUAN
Pemodelan  matematika  merupakan  akibat dari  penyelesaian  permasalahan  yang  terjadi dalam  kehidupan  sehari-hari  yang  diselesaikan menggunakan  matematika.  Model  matematika adalah  model  yang  digambarkan  dalam  suatu persamaan matematika. Persamaan ini merupakan pendekatan terhadap suatu fenomena  fisik,  salah  satu  persamaan  yang digunakan adalah persamaan diferansial.
Persamaan diferensial adalah persamaan yang di dalamnya  terdapat  turunan-turunan.  Model matematika sifatnya lebih abstrak, menggunakan seperangkat
simbol matematika
untuk menunjukkan komponen-komponen dan
korelasinya  dari  sisitem  nyata,  seperti  nilai konstanta,  variabel,  fungsi  persamaaan  dan ketidaksamaan.  Dengan  model,  kita  dapat menggambarkan  suatu  fenomena  sehingga menjadi  lebih  jelas  dalam  memahaminya.  Salah satu  fenomena  yang  dapat  digambarkan  melalui model matematika adalah menyebarnya penyakit tuberculosis,  khususnya  di  Rumah  Sakit  Paru Batu.
Tuberkulosis  masih  merupakan  masalah kesehatan diseluruh dunia oleh karena mortalitas dan  morbiditasnya  yang  masih  tinggi  terutama pada  negara-negara  berkembang.  Tahun  2000 insiden TB didunia semakin meningkat dibanding tahun  1995.  Survey  Kesehatan  Rumah  Tangga (SKRT)  RI  1986,  TB  merupakan  penyebab
kematian  nomor  4.  Sedang  SKRT  RI  1992  TB merupakan  penyebab  kematian  nomor  2  setelah penyakit  kardiovaskuler  dan  nomor  1  penyakit infeksi.  Pada  saat  ini  Indonesia  adalah  negara penyumbang  TB  ke-3  terbanyak  didunia  setelah Cina dan India. Publikasi WHO 1997 menyatakan insiden  di  Indonesia  adalah  220  per100.000 penduduk  jadi  diperkirakan  jumlah  kasus  baru setiap  tahun  sekitar  450.000  dengan  jumlah penduduk  pada  saat  itu.  Ini  adalah  suatu  angka yang  mengerikan,  menginggat  TB  adalah  suatu penyakit yang mudah sekali menular dari 1 orang ke  orang  lain.  Berdasarkan  permasalahan  diatas, penulis  sangat  tertarik  untuk  membahas  atau mengkaji  lebih  jauh  tentang  keterkaitan pemodelan  matematika  dengan  mekanisme penyebaran  penyakit  tuberkolosis.  Khususnya  di lingkungan Rumah Sakit Paru Batu. Adapun fokus dalam  tulisan  ini  adalah  1)  untuk  mengetahui pemodelan  terhadap  penyebaran  penyakit tuberkulosis dengan sistem persamaan diferensial,dan  2)  untuk  mengetahui  analisis model matematika terhadap penyebaran penyakit tuberkulosis.

## KAJIAN TEORI
1. Persamaan Diferensial Definisi 1: Persamaan diferensial adalah persamaan yang  menyangkut  satu  atau  lebih  variabel terikat  beserta  turunannya  terhadap  satu atau  lebih  variabel  bebas.  Variabel  bebas yaitu variabel yang nilainya tidak bergantung variabel  lain,  sedangkan  variabel  terikat nilainya bergantung variabel lain. Berdasarkan  bentuknya,  diferensial  dibagi menjadi dua macam, yaitu :
1. Persamaan  diferensial  biasa,  yaitu persamaan  yang  hanya  mempunyai  satu variabel bebas.
2. Persamaan  diferensial  parsial,  yaitu persamaan  yang  mempunyai  variabel bebas lebih dari satu.
Orde  (tingkat)  suatu  persamaan  diferensial yaitu  derivatif  tertinggi  yang  terdapat  pada persamaan  diferensial  tersebut.  Sedangkan derajat  suatu  persamaan  diferensial  adalah pangkat  tertinggi  dari  turunan  tertinggi dalam  persamaan  diferensial  itu.  Secara umum  suatu  persamaan  diferensial  biasa orde  n  adalah  suatu  persamaan  yang  dapat ditulis dalam bentuk y (n) = F(x,y, y ′ ,…,y (n-1) )
dimana
) ( ,..., , n y y y ′ semuanya  ditentukan nilainya oleh x.
2. Persamaan Diferensial Tak Linear
Definisi 2 :
Persamaan  diferensial  Tak  Linier adalah  persamaan  diferensial  yang  bukan persamaan  diferensial  Linier.  Dengan demikian Persamaan diferensial 0 ) ,..., ' , ( ) ( = m y y x F adalah  persamaan diferensial  tak  linier,  jika  salah  satu  dari berikut dipenuhi oleh F :
1) F tidak  berbentuk  polinom  dalam )
( ,..., ' , m y y y
2) F tidak  berbentuk  polinom  berpangkat lebih dari 2 dalam ) ( ,..., ' , m y y y
Contoh  : 1. 0 " ' = + xy yy persamaan  diferensial  tak linier karena " ' ) " , ' , , ( xy yy y y y x F + = polinom berpangkat dua dalam
".
, ' , y y y 2. 2. 0 cos sin 2 2 =       + dx y d dx dy xy tak liner,
karena F tak  berbentuk  polinom  dalam
2 2 , , dx y d dx dy y

## 3. Sistem Persamaan Diferensial Definisi 3:
Sistem  persamaan  diferensial  adalah  suatu sistem  yang  memuat  n  buah  persamaan diferensial,  dengan  n  buah  fungsi  yang  tidak diketahui, dimana n merupakan bilangan bulat positif lebih besar  sama  dengan 2 (Finizio  dan Ladas, 1982:132). Antara persamaan diferensial  yang  satu  dengan  yang  lain  saling keterkaitan dan konsisten. Bentuk  umum  sisitem  persamaan  diferensial orde n adalah
n i x x t f dt dx n i i ,..., 1 ), ,..., , ( 1 = dimana
dt dx i merupakan derivatif fungsi x i terhadap t, x i adalah  fungsi  dari  t  yang  tidak  diketahui  dan i f adalah  fungsi  yang  diberikan  dalam  n+1 variabel.  Secara  umum,  suatu  sistem  n persamaan  orde  pertama  mempunyai  bentuk sebagai berikut :
) ,..., , , ( ) ,..., , , ( ) ,..., , , ( 2 1 2 1 2 2 2 2 1 1 1 1 n n n n n n y y y x f dx dy y y y y x f dx dy y y y y x f dx dy y = = ′ = = ′ = = ′ M

## 3. Model Matematika
Model  matematika  dari  suatu  masalah adalah  rumusan  masalah  dalam  bentuk persamaan  atau  fungsi    matematika. Sedangkan pemodelan matematika dari suatu masalah adalah langkah-langkah yang ditempuh untuk memperoleh dan memanfaatkan persamaan atau fungsi metematika dari suatu masalah. Syarat utama Model yang baik adalah sebagai berikut :
a. Representatif: model mewakili dengan benar sesuatu  yang  diwakili,  makin  mewakili, model makin kompleks.
b. Dapat  difahami/  dimanfaatkan:  model  yang dibuat  harus  dapat  dimanfaatkan  (dapat diselesaikan  secara  matematis),  makin sederhana makin mudah diselesaikan.
Langkah-langkah  dalam  pemodelan  masalah adalah sebagai berikut :
1) Identifikasi masalah, yaitu mampu memahami  masalah  yang  akan  dirumuskan sehingga  dapat  ditranslasi  ke  dalam  bahasa matematika
2) Membuat  asumsi,  yaitu  dengan  cara menyederhanakan  banyaknya  faktor  yang berpengaruh terhadap kejadian yang sedang diamati  dengan  mengasumsi  hubungan sederhana  antara  variabel.  Asumsi  tersebut dibagi dalam dua kategori utama : a. Klasifikasi variabel
b. Pemodel mengidentifikasi variabel terhadap  hal-hal  yang  mempengaruhi tingkah laku pengamatan
c. Menentukan  interelasi  antara  variabel yang terseleksi untuk dipelajari
d. Pemodel  membuat  sub  model  sesuai asumsi  yang  telah  dibuat  pada  model utama,  kemidian  mempelajari  secara terpisah  pada  satu  atau  lebih  variabel bebas. 3) Menyelesaikan  atau  menginterprestasikan model Setelah model diperoleh kemudian diselesaikan  secara matematis, dalam hal ini model  yang  digunakan  dan  penyelesaiannya menggunakan persamaan diferensial. Apabila pemodel mengalami kesulitan untuk menyelesaikan  model  dan  interpretasi model,  maka  kelangkah  2  dan  membuat
asumsi  sederhana  tambahan  atau  kembali kelangkah  1  untuk  membuat  definisi  ulang dari  permasalahan.  Penyederhanaan  atau definisi  ulang  sebuah  model  merupakan bagian  yang  penting  dalam  matematika model. 4) Verifikasi model Sebelum menyimpulkan kejadian dunia nyata dari  hasil  model,  terlebih  dahulu  model tersebut  harus  diuji.  Beberapa  pertanyaan yang  diajukan  sebelum  melakukan  uji  dan mengumpulkan data, yaitu : 1) apakah model menjawab  masalah  yag  telah  diidentifikasi?
2)  apakah  model  membuat  pemikiran  yang sehat? 3) apakah data (sebaiknya menggunakan  data  aktual  yang  diperoleh dari  observasi  empirik)  dapat  dikumpulkan untuk  menguji  dan  mengoperasikan  model dan apakah memenuhi syarat apabila diuji
4. Tuberkulosis
Tuberkulosis  adalah  suatu  penyakit menular  yang  disebabkan  oleb  basil Mycrobacterium  tuberculosis tipe  humanus. Basil  berbentuk  batang  itu  tahan  terhadap asam  pada  pewarnaan  (Basil  tahan  asam, BTA). Basil tuberculosis akan cepat mati jika terkena  sinar  matahari  secara  langsung, tetapi dapat bertahan hidup beberapa jam di tempat yang gelap dan lembab .

## Perjalanan Penyakit Tuberkulosis Tuberkulosis Primer
Basil  tuberculosis  masuk  melalui  saluran pernafasan  dan  bersarang  didalam  jaringan paru-paru,  dimana  basil  tersebut  akan membentuk suatu sarang pneumonic (sarang primer/afek  primer).  Dari  sarang  primer akan  terlihat  peradangan  saluran  getah bening  menuju  hilus  (limfangitis  lokal). Peradangan-peradangan  itu  diikuti  oleh pembesaran  kelenjar-kelenjar  getah  bening di  hilus  (limfadenitis  regional).  Afek  primer bersama  limfangitis  lokal  dan  limfadenitis regional  dikenal  sebagai  kompleks  primer. Kompleks  primer  ini  akan  mengalami keadaan sebagai berikut:
1. Sembuh dengan tidak meniggalkan cacat sama sekali ( restitution and integrum ).
2. Sembuh  dengan  meninggalkan  sedikit bekas  (antara  lain  sarang Ghon, garis- garis  fibrotik,  sarang  perkapuran  di hilus).
3. Berkomplikasi  dan  menyebar,  dengan cara :
a. Perkontinuitatum  yaitu  menyebar  ke sekitarnya. Salah satu contoh epituberkulosis  yaitu  suatu  kejadian dimana  terdapat  penekanan  bronkus, biasanya  bronkus  lobus  medius  oleh kelenjar  hilus  yang  membesar  hingga
menimbulkan  obstruksi  pada  saluran pernafasan.  Basil  tuberkulosis  akan menjalar  sepanjang  bronkus  yang tersumbat ke  lobus  yang  atelektasis dan menimbulkan  peradangan  pada  lobus yang  atelektasis  dan  menimbulkan peradangan  pada  lobus  yang  atelektasis tersebut.
b. Penyebaran  secara  bronkogen,  baik  di paru yang bersangkutan maupun ke paru sebelahnya.  Dengan  tertelannya  sputum bersama  ludah,  penyebaran  ini  dapat terjadi kedalam usus.
c. Penyebaran  melalui  pembuluh  getah bening  dan  pembuluh  darah.  Kejadian penyebaran  ini  sangat  bersangkutan dengan  daya  tahan  tubuh,  jumlah  dan virulensi  basil.  Sarang-sarang  yang ditimbulkan  dapat  sembuh  secara spontan.  Akan  tetapi  jika  tidak  terdapat imunitas yang kuat, maka penyebaran ini akan  menimbulkan  keadaan  yang  cukup gawat.  Komplikasi  dan  penyebaran  ini mungkin  berakhir  dengan  sembuh  dan meninggalkan sekuele (misalnya pertumbuhan  terbelakang  pada  anak) atau menyebabkan kematian. Tuberkulosis Post Primer
Dari  tuberkulosis  primer  akan  muncul betahun-tahun kemudian. Tuberkulosis post- primer  biasanya  muncul  pada  umur  15-40 tahun.  Tuberkulosis  post-primer  dimulai dengan  sarang  dini,  yang  umumnya  terletak disegmen apikal dari lobus superiol maupun lobus  inferiol.  Sarang  dini  ini  mula-mula berbentuk  suatu  sarang  pneumonik  kecil. Keadaan  pneumonik    ini  akan  mengikuti salah satu jalan sebagai berikut :
1. Diresorpi  kembali  dan  sembuh  dengan tidak meninggalkan cacat.
2. Sarang  tadi  mula-mula  meluas  tetapi segera  terjadi  proses  penyembuhan dengan  penyembuhan  jaringan  fibrosis. Selanjutnya  akan  membungkus  diri menjadi lebih  keras, terjadi perkapuran dan  akan  sembuh  dalam  bentuk perkapuran.  Sebaliknya  dapat  juga sarang  itu  menjadi  aktif  kembali, membentuk jaringan keju dan menimbulkan kavitas, bila jaringan keju dibatukkan keluar.
3. Sarang  pneumanik  meluas  membentuk jaringan  keju  (jaringan  kaseosa).  Kavitas akan muncul dengan dibatukkannya jaringan keju  keluar.  Kavitas  mula-mula  berdinding tipis,  lama-lama  dindingnya  akan  menjadi tebal (kavitas sklerotik). Keadaan kavitas ini sebagai berikut :
a. Mungkin  meluas  kembali  dan  menimbulkan sarang  pneumanik  baru.  Sarang  ini  akan mengikuti  pola  perjalanan  yang  disebutkan diatas.
b. Dapat  pula  memadat  dan  membungkus  diri ( encapsulated )  dan  disebut  tuberkuloma. Tuberkuloma dapat mengapur dan menyembuh.  Tetapi  ada  kemungkinan  aktif kembali, mencair lagi, dan kavitas lagi.
c. Kavitas  bisa  pula  bersih  dan  menyembuh ( open healed cavity ) atau kavitas menyembuh dengan membungkus diri, akhirnya mengecil. Mungkin  berakhir  dengan  kavitas  yang terbungkus  dan  menciut  dan  kelihatan seperti bintang ( stellate shaped ). Sarang  dikelompokkan  menjadi  tiga,  antara lain :
1. Sarang  yang  sudah  sembuh.  Sarang-sarang ini  sama  sekali  tidak  membutuhkan  obat apapun. Tetapi sering sekali sarang ini masih diberi  pengobatan  yang  malah  dapat meracuni si sakit (intoksikasi).
2. Sarang-sarang  aktif,  eksudatif.  Sarang  ini wajib  mendapatkan  pengobatan yang lengkap dan sempurna.
3. Sarang-sarang  yang terletak antara aktif dan sembuh.  Mungkin  saja  sarang-sarang  ini sembuh  dengan  spontan  tetapi  ada kemungkinan  reasorpi  kembali,  sehingga dibutuhkan pengobatan.

## PEMBAHASAN
1 . Penyebaran Penyakit Tuberkulosis Penyebaran  penyakit  tuberkulosis  yaitu melalui  penderita  TBC  yang  dahaknya mengandung Mycobacterium tuberculosi hidup (BTA+). Infeksi bakteri ini paling sering disebarkan  melalui  udara  ( air  borne,  droplets infection ).  Penyebaran  melalui  udara  berupa partikel-partikel percikan dahak yang mengandung  bakteri  yang  berasal  dari penderita  saat  batuk,  bersin  atau  bicara. Partikel yang mengandung bakteri ini terhisap oleh  orang  sehat  dan  akan  menimbulkan infeksi di saluran pernafasan.
Bila  basil  telah  mencapai  saluran  pernafasan maka bakteri tersebut akan segera membentuk  lesi  primer.  Dalam  4-6  minggu terjadi  sensitisasi  terhadap  protein  bakteri sehingga  reaksi  tuberkulin  menjadi  positif. Kemudian  terjadi  penyebaran  bakteri  kearah kelenjar  getah  bening  di  mediastinum,  yang bersama dengan lesi primer disebut kompleks primer.  Lesi  primer  sampai  kompleks  primer disebut  infeksi  primer.  Infeksi  primer  dalam perjalanan  lebih  lanjut  sebagian  besar  akan mengalami  penyembuhan.  Kemudian  infeksi dapat menyebar keseluruh jaringan paru-paru
dan  menyebar  ke  organ  lain  melalui peredaran  darah,  limfa,  saluran  pernafasan atau  langsung  ke  alat  tubuh  yang  dekat. Beberapa  kuman  mencapai  pembuluh  darah dan  menyebar  keseluruh  tubuh  secara hematogen dan  ini memungkinkan terjadinya tuberkulosis  milier.  Bakteri  tuberkulosis  bisa tumbuh  dan  menimbulkan  kelainan  pada hampir  semua  organ  tubuh.  Tuberkulosis post-primer  terjadi  karena  penularan  ulang, baik  bakteri  dari  luar  tubuh  maupun  berasal dari bakteri didalam tubuh sendiri.
Tuberkulosis  paru  sering  menyebabkan terjadinya  nekrosis  perkejuan,  destruksi jaringan  paru  dan  terbentuknya  kavitas.
Perkejuan, pembentukan kavitas dan kerusakan  jaringan  paru  merupakan  proses yang  penting  pada  patogenesis  tuberkulosis manusia.  Pada  tempat-tempat  perkejuan  dan kavitas,  ditemukan  bakteri  diluar  sel  dalam jumlah  besar.  Didalam  perkejuan  bakteri tuberkulosis  mampu  tumbuh  ekstraseluler dan  dapat  ditemukan  dalam  jumlah  yang banyak. Dari sebuah kavitas bakteri tuberkulosis  mamasuki  saluran  pernafasan, menyebar  keseluruh  paru  yang  lain  dan menular  pada  orang  lain.  Didalam  jaringan tubuh,  bakteri  dapat  hidup  bertahun-tahun. Tanpa  pengobatan,  setelah  5  tahun,  50% penderita  akan  meninggal,  25%  sembuh sendiri, 25% menjadi kasus kronik yang tetap menular.
Pola  penyebaran  penyakit Tuberculosis (TB)  diberikan  dalam  diagram  kompartemen berikut :
Gambar 1. Transmisi Infeksi dan Epidemi Tuberculosis (TB) Keterangan:
1. Satu  penderita  TB  aktif  ( Active  Infected Hosts ) masuk dalam populasi susceptible.
2. Peluang  transmisi  populasi susceptible menjadi  terinfeksi  perkontak  individu pertahun.
3. Populasi susceptible menjadi  penderita latent TB (terinfeksi tetapi belum menular, TB  pasif)  karena  bakteri  dalam  tubuhnya belum  berkembang  dan  menginfeksi secara  penuh  dan  juga  dikarenakan kekebalan  tubuhnya  yang  kuat  menahan bakteri yang masuk dalam tubuhnya.
4. Laju perkembangan dari latent TB menjadi TB aktif.
5. Populasi susceptible menjadi  penderita  TB aktif  (terinfeksi  dan  menular)  karena bakteri  yang  masuk  dalam  tubuhnya berkembang dan menginfeksi secara penuh dan  juga  dikarenakan  kekebalan  tubuhnya lemah menahan bakteri yang masuk.
6. Laju  perkembangan  manusia  yang  telah terinfeksi menjadi sembuh ( recovery ).

## 2. Pembentukan Model Matematika
Dalam  pemodelan  matematika  terhadap penyeberan  penyakit  TBC,  variabel  yang digunakan adalah :
1) Jumlah  manusia  yang  rentan  TBC  pada saat t (S(t)).
2) Jumlah  manusia  laten  TBC  (terinfeksi tetapi  belum  menular,  TBC  pasif  )  pada saat t (L(t)).
3) Jumlah manusia  terinfeksi TBC (terinfeksi dan menular, aktif ) pada saat t (I(t)). Setelah  mengetahui  varibel-variabel  yang digunakan dalam membentuk model matematika,  maka  selaanjutnya  menetukan notasi  untuk  memenuhi  variabel  tersebut. Parameter yang digunakan pada pembentukaan model matematikanya yaitu : α  = laju kelahiran β  = laju transmisi infeksi perkontak individu perbulan d  = laju kematian akibat TBC perbulan µ  = laju kematian secara alami(bukan karena
TBC) per bulan
=  proporsi  tingkat  perkembangan  cepat dari rentan menjadi terinfeksi aktif
k =  tingkat  perkembangan  dari  laten  TBC menjadi aktif TBC Populasi  manusia  yang invected adalah konstan, dengan demikian dapat dinyatakan :
) ( ) ( ) ( ) ( t I t L t S t N + + = ..............................(1)
Selanjutnya  akan  dihitung  perubahan susceptible menjadi invected (membentuk model  proses  transmisi  infeksi).  Perubahan ini  dipengaruhi  oleh  perkalian  peluang transmisi infeksi perkontak individu pertahun yaitu β dan  proposional  terhadap  jumlah
µ k p
manusia  yang  terinfeksi  yaitu ( ) I t N .  Dengan demikian  peluang  satu  manusia susceptible yang terinfeksi pertahun adalah:
( ) I t
N β ....……………………………………………….(2)
dan  jumlah  manusia  yang  terinfeksi  yang masuk dalam populasi  pertahun adalah:
( ) ( ) I t
S t N
β .…………………………………………..(3) Setelah diketahui model proses transmisi infeksi  selanjutnya  dibentuk  model  interaksi untuk  transmisi  yaitu  perubahan  jumlah susceptible, latent dan invected.
Dari  uraian  di  atas  maka  transmisi infeksi  dan  epidemi  penyebaran  penyakit  TB dapat  disusun  suatu  sistem  persamaan diferensial  tak  linier  orde  satu  sebagai  model dasar dinamika epidemi TB sebagai berikut:
) ( ) ( ) ( ) ( ) ( t R t I t L t S t N + + + = ) ( ) ( ) ( ) ( t S t I t S dt t dS µ β α − − = ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( t L t kL t I t S dt t dL µ β ρ − − − = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
dI t S t I t kL t atI t I t dt ρβ µ = + − −

## Catatan(S,L,I)=(x,y,z)

## 3. Analisa Numerik
Dari  sistem    tersebut  diperoleh  dua titik  tetap  yakni:  titik  tetap  yang  pertama menunjukkan  bahwa  semua  manusia  sehat dan berpotensi terinfeksi TBC (stabil global). fixedpoint : {z = 0., y = 0., x = 1.529411765}, {x  =  139.0952543,  z  =  -58.78698509,  y  =  - 68.40468360}
Dari  sistem    tersebut  diperoleh  Matriks Jakobian yakni:
          − = 1.00 - 2x - 0.715e 2 - 0.47e 2z - 0.715e 2x - 0.715e 8547 . 0 2z - 0.715e 1x - 0.143e - 0 0.85 - 1z - 0.143e - : jac
Jakobian matrik disekitar titik tetap yang pertama beserta nilai eigennya adalah
  
 
     − − − − = 9890647 . 0 0047 . 0 0 01093529 . 0 8547 . 0 0 0218706 . 0 0 85 . 0 : 1 jac
nilaieigen := -0.8500000000 , -0.8543185725 , -0.9894461334 Sedangkan Matriks Jakobian  disekitar titik tetap yang kedua beserta nilai eigennya adalah:
          − − − − − − = 00546893 . 0 0047 . 0
42032694 . 0
99453106 . 0 8547 . 0 42032694 . 0 9890621 . 1 0
00934611 . 0 : 2 jac nilaieigen :=

## 0.9095014202
, -0.9244948847 , -0.8545215805
Dari  sistem  persamaan  diferensial  di  atas akan  dianalisis  dengan  menggunakan  data dari  laporan  morbiditas  rawat  inap  tahun 2007  di  medical  record  Rumah  Sakit  Paru Batu Parameter  yang  digunakan  dalam  model ini adalah:
S(t)  =  jumlah pegawai + jumlah pasien rawat inap( kecuali pasien TBC) =178 + 3341 = 3519  orang L(t)  = jumlah pasien  laten TBC = 330 orang I(t)  = jumlah pasien terinfeksi TBC = 275 orang Dengan melakukan proporsional terhadap parameter tersebut, maka : S(0)  =  3519 / 4819 = 0.73
L(0)   = 330 / 3519
= 0.094 I(0)  = 275 / 3519 = 0.078 β = (jumlah pasien TBC / 12) / N(t) =  0.0143/bulan d =  (jumlah  pasien  mati  akibat  TBC/12)/ N(t) =  0.0006/bulan = (jumlah pasien mati alami/12) / N(t)
= 0.0033/bulan
= 0.15 = 0.0047/bulan
Dengan  menggunakan  program  Matlab untuk    model  TBC  pada  sistem  diatas  dihasilkan gambar berikut:
Gambar 2. Hasil Model TBC dengan MatLab

## PENUTUP
Berdasarkan  penelitian  yang  telah  penulis lakukan, maka penulis dapat menarik kesimpulan tentang  pembentukan  pemodelan  matematika pada penyebaran penyakit tuberkulosis di rumah sakit paru batu , yaitu :
) ( ) ( ) ( ) ( t S t I t S dt t dS µ β α − − =
) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( t L t kL t I t S dt t dL µ β ρ − − − =
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) dI t S t I t kL t atI t I t dt ρβ µ = + − − Dan dengan  pendeskripsian  pemodelannya sebagai berikut : α  = laju kelahiran β  = laju transmisi infeksi perkontak individu perbulan d  = laju kematian akibat TBC perbulan µ  = laju kematian secara alami(bukan karena TBC) per bulan =  proporsi  tingkat  perkembangan  cepat dari rentan menjadi terinfeksi aktif
k =  tingkat  perkembangan  dari  laten  TBC menjadi aktif TBC
Dan  analisis  dari  model  di  atas  menghasilkan matriks Jacobian sebagai berikut :
    
     − = 1.00 - 2x - 0.715e 2 - 0.47e
2z - 0.715e
2x - 0.715e
8547 . 0 2z - 0.715e 1x - 0.143e - 0 0.85 - 1z - 0.143e - : jac

## DAFTAR PUSTAKA
[1] Baiduri.  (2002). Persamaan  Diferensial  dan Matematika Model. Malang: UMM Press [2] Finozio dan Ladas. 1998. Penerapan Diferensial Biasa dengan Penerapan Modern, Edisi Kedua. Terjemahan Widiarti Santoso. Jakarta : Erlangga. [3] Kasanah,  Srinur.  2007. Analisis  Model Matematika pada Interaksi Leukimia Mielogenous  Kronik  (CML)  dengan  Sel  T. Skripsi tidak dipublikasikan. Malang :UIN. [4] ............................................................................................................................... irschner,Denise.1997. Dynamics  of  Co- infection  with  M.Tuberculosisand  HIV-1, (online),  (http://  www.idealibrary.com), diakses 19 Mei 2008.
[5] Kumala,  Poppy.  dkk.  1998. Kamus  Saku Kedokteran Dorland, Edisi 25. Jakarta: EGC.
[6] Pagalay,Usman.2008. Model  Penyebaran Penyakit Tuberculosis . Jurnal tidak dipublikasikan. Malang:UIN.
[7] Perkumpulan  Pemberantasan  Tuberkulosis Indonesia. 2006. Jurnal Tuberkulosis Indonesia .  Vol.  3,  No.2  September  2006, (online), (http:// www.tbcindonesia.or.id/pdf/Jurnal_TB_Vol_ 3_No_2_PPTI.pdf), diakses 19 Mei 2008.