Kestabilan Aliran Fluida Viskos Tipis pada Bidang Inklinasi

## Sri Sulasteri
Jurusan Pend. Matematika UIN Alauddin Makassar Jalan Sultan Alauddin No.63 Makassar
Abstract. Fluida yang mengalir pada suatu bidang inklinasi umum- nya menunjukkan ketidakstabilan berupa terbentuknya finger pada garis kontak, daerah dimana fase padat, cair, dan gas bertemu. Tulisan ini membahas tentang kestabilan aliran fluida viskos tipis pada suatu bidang inklinasi, dibawah pengaruh gaya gravitasi. Simulasi numerik menun- jukkan bahwa gaya gravitasi memegang peranan penting terhadap kesta- bilan aliran fluida.
Keywords : finger, garis kontak, bidang inklinasi.

## 1 Pendahuluan
Aliran fluida berbentuk suatu lapisan tipis adalah hal yang da- pat ditemukan dalam banyak bidang, antara lain lapisan jantung dan kornea mata (bidang medis/biologi), pelapisan (cat) pada dind- ing (bidang teknik), serta pembuatan mikrochip (bidang industri). Hal yang selalu menjadi perhatian dalam lapisan fluida tipis adalah masalah ketidakstabilan aliran fluida; dalam banyak kasus, bagian depan dari fluida ( front ) membentuk profil berbentuk finger atau rivulets . Kondisi seperti ini seringkali tidak diinginkan.
Salah satu contoh lapisan fluida tipis yang sederhana adalah ali- ran fluida viskos yang mengalir di atas suatu bidang inklinasi yang dipengaruhi oleh gaya gravitasi. Salah satu aspek yang penting dari model ini adalah kelakuan dari fluida pada bagian depan dari bidang inklinasi, yaitu daerah di mana fase padat, cair, dan gas bertemu, yang dikenal sebagai garis kontak ( contact line ). Hasil-hasil per- cobaan menunjukkan bahwa beberapa saat setelah fluida dilepaskan, garis kontak menjadi tidak stabil jika diberikan gangguan pada arah melintang [4]. Tulisan ini akan membahas beberapa parameter yang menentukan kestabilan aliran fluida tersebut.

## Jurnal Matematika, Statistika, & Komputasi Vol. 5 No. 1 Juli 2008
† Jurusan Pendidikan Matematika Universitas Islam Negeri Alauddin Makassar
Jurnal Matematika, Statistika & Komputasi Vol. 5  No. 1 Juli 2008
Vol 5 No 1, 1-9, Juli 2008
2 Sri Sulasteri

## 2 Model Matematika
Teori tentang aliran lapisan fluida tipis dikenal sebagai teori lu- brikasi, dan merujuk kepada suatu rumus matematika standar yang dikenal sebagai hampiran lubrikasi [1]. Adapun titik awal untuk memodelkan hampiran lubrikasi adalah Persamaan Navier-Stokes.
Dalam penurunan model, digunakan asumsi bahwa ketebalan lapisan fluida sangat kecil dibandingkan panjang bidang, serta fluida yang mengalir adalah fluida viskos dan bersifat tak mampat. De- ngan merata-ratakan kecepatan fluida atas ketebalannya (hampiran lubrikasi), serta menggunakan kondisi batas tidak slip pada lapis batas permukaan padat-fluida, maka diperoleh persamaan lapisan fluida tipis :
∂h ∂t = −∇ · h 3 ∇∇ 2 h + D ( α ) ∇ · h 3 ∇ h − ∂h 3 ∂x , (1)
dengan ∇ = ( ∂ x , ∂ y ), D ( α ) = (3 Ca ) 1 / 3 cot α , Ca adalah bilangan kapiler, dan α adalah sudut inklinasi. Suku pertama dari ruas kanan persamaan (1) menyatakan pengaruh tegangan permukaan, sedang- kan suku kedua dan ketiga menyatakan komponen normal dan pa- ralel dari gravitasi.
a c h x y z
Fig. 1. Model dari lapisan fluida tipis pada bidang inklinasi.
Bilangan kapiler, Ca didefinisikan sebagai Ca = µU/γ , dimana µ dan γ adalah viskositas dan tegangan permukaan, sedangkan U adalah skala kecepatan, yaitu U = ρgh 2 c sin( α ) / 3 µ , dengan h c adalah

## Jurnal Matematika,istika dan Komputasi
Edisi Khusus Juli 2007 2 Jurnal Mat,atika, Statistika dan Komputasi Edisi Khusus Juli 2007 Jurnal Matematika, Statistika, & Komputasi K Vol. 5 No. 1 Juli 2008
2 Jurnal Matematika, Statistika & Komputasi
Vol. 5 No. 1 Juli 2008
skala untuk ketinggian fluida, yaitu ketinggian fluida jauh di be- lakang garis kontak. Adapun koordinat bidang, diskalakan oleh x c =
( a 2 h c / sin α ) 1 / 3 , dengan a = p γ/ρg adalah bilangan kapiler, ρ adalah densitas fluida, dan g adalah gravitasi; sedangkan skala untuk waktu adalah t c = x c /U .
Perhatikan bahwa dalam hampiran lubrikasi yang digunakan da- lam penurunan persamaan lapisan fluida tipis, mensyaratkan bahwa kemiringan dari permukaan bebas adalah kecil. Syarat ini mengaki- batkan
[( h c /a ) √ sin α ] 2 / 3 1 .
Dengan demikian, ketebalan maksimum dari lapisan fluida yang masih memenuhi syarat hampiran lubrikasi tergantung kepada α . Jika α kecil maka syarat ini selalu dipenuhi, tetapi untuk α yang be- sar maka syarat ini hanya dipenuhi untuk lapisan fluida yang sangat tipis.

## 3 Solusi Gelombang Berjalan
Keadaan dasar dari aliran fluida sebelum terjadinya ketidakstabilan adalah suatu solusi gelombang berjalan h ( x, y, t ) = h 0 ( x − U t ) dari (1). Definisikan h 0 ( ξ ) = h ( x, t ), maka fungsi h 0 ( ξ ) memenuhi
− U h 0 + h 3 0 h 0 ξξξ − D ( α ) h 3 0 h 0 ξ + h 3 0 = d, (2)
dengan d adalah suatu konstanta. Untuk memperoleh konstanta d dan U , maka harus dilakukan matching , yaitu jika x → −∞ maka haruslah h 0 → 1, sedangkan jika x → ∞ maka haruslah h 0 ber- sesuaian dengan ketebalan fluida pada garis kontak. Untuk mence- gah singularitas pada garis kontak, maka digunakan prekursor pada model, dengan ketinggian b .
Dengan demikian, diperoleh konstanta integrasi d dan kecepatan translasi U , yaitu:
U = 1 − b 3 1 − b dan d = − b (1 + b ) .
Jika b dan D ( α ) diberikan, maka solusi dari Persamaan (2) dapat diperoleh melalui pendekatan numerik. Metode numerik yang digu-
Jurnal Matematika, Statistika, dan Komputasi
Vol. 5 No. 1 Juli 2008
3
3
b prekursor h
Fig. 2. Model dengan prekursor
nakan adalah metode beda hingga, yaitu diskritisasi dengan meng- gunakan empat titik.
Gambar 3 memperlihatkan profil solusi h ( x ) dengan parame- ter D ( α ) dan b . Hal yang menonjol dari profil solusi ini adalah terbentuknya suatu gundukan ( bump ) di dekat garis kontak, yang mengindikasikan terjadinya ketidakstabilan dari solusi. Gambar 3(a) memperlihatkan bahwa semakin kecil nilai b , maka ketinggian gun- dukan makin besar. Hal ini merupakan akibat dari kekekalan massa, karena volume fluida yang mengalir adalah konstan. Sedangkan Gam- bar 3(b) memperlihatkan bahwa untuk D ( α ) yang semakin besar maka ketinggian gundukan semakin turun, bahkan hilang sama sekali.
(a) (b)
Fig. 3. Solusi h ( x ) untuk: (a) D ( α ) = 0 dan b yang bervariasi, (b) b yang tetap dan D ( α ) yang bervariasi.
Jurnal Matematika, Statistika, dan Komputasi Vol. 5 No. 1 Juli 2008
4
4 Jurnal Matematika, Statistika & Komputasi Vol. 5 No. 1 Juli 2008 Sri Sulasteri
Kedua gambar menunjukkan bahwa ketinggian dari solusi h ( x ) (ketinggian gundukan) adalah suatu fungsi dari parameter b dan
D ( α ). Ketinggian gundukan ini merupakan parameter yang penting dalam menentukan profil stabil atau tidak. Gambar 4 adalah gambar dari ketinggian maksimum h ( x ) sebagai fungsi dari parameter b dan D ( α ). Untuk setiap nilai b terdapat suatu nilai kritis D ( α ) dimana gundukan hilang. Gundukan yang hilang menunjukkan bahwa pro- fil stabil linier. Hal ini berarti parameter D ( α ) memegang peranan penting dalam mengontrol kestabilan dari solusi h ( x ). Dengan kata lain, kestabilan solusi sangat tergantung kepada sudut inklinasi α . Semakin besar α , maka D ( α ) semakin kecil, yang berarti h-maks makin besar. Nilai D ( α ) = 0 bersesuaian dengan sudut inklinasi
90 ◦ , dimana kondisi ini merupakan kondisi paling tidak stabil dari solusi h ( x ).
) ( a D
Fig. 4. Ketinggian maksimum dari h ( x ) sebagai fungsi dari D ( α ).

## 4 Analisis Kestabilan Linier
Sebagai langkah untuk mengetahui aliran fluida stabil atau tidak, maka dilakukan analisis kestabilan linier yaitu dengan melibatkan arah melintang (variabel y ) dari persamaan lapisan fluida tipis yang digunakan. Pandang suatu perturbasi h 1 ( ξ, y, t ) terhadap solusi
Jurnal Matematika, Statistika, dan Komputasi Vol. 5 No. 1 Juli 2008 5 5 Sri Sulasteri
6 Sri Sulasteri h 0 , dengan 1 dan h 1 = O (1). Substitusi h ( ξ, y, t ) = h 0 ( ξ ) + h 1 ( ξ, y, t ) ke Persamaan (1), diperoleh :
∂ t ( h 1 ) = −∇ · h 3 0 ∇∇ 2 h 1 + 3 h 2 0 h 1 ∇∇ 2 h 0 + D ( α ) ∇ · h 3 0 ∇ h 1 + 3 h 2 0 h 1 ∇ h 0 − 3 h 2 0 h 1 ξ + U h 1 ξ (3)
Persamaan (3) dapat dinyatakan dalam bentuk Fourier dalam y , yaitu dengan mengekspresikan h 1 ( ξ, y, t ) = φ ( ξ, t ) e iqy + σt , dimana q adalah bilangan gelombang, yang berkaitan dengan periode dari perturbasi ( q = 2 π/λ ) , sedangkan σ adalah derajat ketidakstabilan solusi.
Dengan demikian, jika diberikan suatu q maka diperoleh suatu
masalah nilai eigen:
£ φ = − σφ, (4)
dengan £ adalah operator linier yang memenuhi :
£ = h 3 0 d 4 dξ 4 + h 3 0 ξ d 3 dξ 3 − D ( α ) + 2 q 2 h 3 0 d 2 dξ 2 + 3 h 2 0 ( h 0 ξξξ − D ( α ) h 0 ξ + 1) − h 3 0 ξ D ( α ) + q 2 − U p d dξ + h 3 0 q 2 D ( α ) + q 2 + 3 h 2 0 ( h 0 ξξξ − D ( α ) h 0 ξ + 1) ξ .
Analisis kestabilan solusi diperoleh dengan menyelesaikan Per- samaan (4). Oleh karena (4) melibatkan h 0 yang tidak bisa diselesai- kan secara analitik, maka secara umum Persamaan (4) harus disele- saikan secara numerik. Prosedur numeriknya adalah dengan mencari σ (nilai eigen) terbesar dari setiap q yang diberikan, sehingga diper- oleh grafik fungsi σ ( q ).
Gambar 5 adalah grafik fungsi σ ( q ) untuk D ( α ) = 0 dan b = 0 . 1 dan 0 . 01 . Gambar ini mewakili grafik fungsi σ ( q ) untuk suatu nilai D ( α ) yang tetap dengan nilai b yang berbeda. Dari gambar terli- hat adanya σ ( q ) bernilai positif di atas suatu daerah dari domain q , yaitu daerah yang dibatasi oleh q = 0 dan q s = 2 π/λ s . Hal ini mengindikasikan terjadinya ketidakstabilan aliran fluida terhadap perturbasi yang diberikan. Derajat ketidakstabilan maksimum dari ketidakstabilan solusi terjadi pada q m ≈ 0 . 5 atau bersesuaian dengan panjang gelombang λ ≈ 12 . 6. Hal yang menarik dari dua grafik de- ngan ketebalan prekursor yang berbeda ini yaitu bahwa bilangan
Jurnal Matematika, Statistika, dan Komputasi Vol. 5 No. 1 Juli 2008 6 6 Jurnal Matematika, Statistika & Komputasi Vol. 5 No. 1 Juli 2008 Sri Sulasteri 6
m q s q
Fig. 5. Derajat ketidakstabilan σ ( q ) dengan D ( α ) = 0.
gelombang q yang menghasilkan derajat ketidakstabilan, q m , tidak- lah sensitif terhadap ketebalan prekursor, b .
Gambar 5 juga memperlihatkan bahwa derajat ketidakstabilan, σ ( q ), memiliki suatu kebergantungan terhadap ketebalan prekursor, b . Penurunan ketebalan prekursor bersesuaian dengan kenaikan de- rajat ketidakstabilan. Hal ini sesuai dengan hasil dari solusi dasar, yaitu ketinggian maksimum dari solusi dasar naik jika ketebalan pre- kursor turun. Akan tetapi, sejalan pula dengan solusi dasar diperoleh bahwa perubahan ketebalan prekursor tidaklah menyebabkan solusi menjadi stabil, yaitu selalu ada daerah domain dari q dimana σ ( q ) bernilai positif.
Selanjutnya, kita akan menyelidiki peranan parameter D ( α ) ter- hadap kestabilan solusi. Gambar 6 adalah grafik fungsi σ ( q ) un- tuk suatu nilai b yang tetap dengan dua nilai D ( α ) yang berbeda. Gambar 6 menunjukkan bahwa kenaikan nilai D ( α ) menyebabkan penurunan derajat ketidakstabilan σ ( q ), serta pergeseran posisi dari σ ( q m ) dan σ ( q s ). Jadi, kenaikan nilai D ( α ) menyebabkan aliran fluida menjadi lebih stabil.
Jurnal Matematika, Statistika, dan Komputasi Vol. 5 No. 1 Juli 2008 7 7 Jurnal Matematika, Statistika & Komputasi Vol. 5 No. 1 Juli 2008
Fig. 6. Derajat ketidakstabilan σ ( q ) dengan b = 0 . 1 dan parameter D ( α ) = 0 dan 1.

## 5 Kesimpulan
Tulisan ini membahas masalah ketidakstabilan dari lapisan fluida tipis yang mengalir di atas suatu bidang inklinasi.
Simulasi numerik menunjukkan bahwa penurunan ketebalan pre- kursor menyebabkan solusi dasar menjadi lebih tidak stabil, sedang- kan kenaikan parameter D ( α ) akan menyebabkan solusi dasar lebih stabil. Hasil yang sama akan diperoleh jika kestabilan mengacu pada derajat ketidakstabilan dari solusi. Penurunan ketebalan prekursor menyebabkan naiknya derajat ketidakstabilan, yang mengindikasikan ketidakstabilan yang lebih besar. Sedangkan kenaikan parameter D ( α ) menyebabkan penurunan derajat ketidakstabilan σ ( q ), serta berkurangnya luas domain q yang bernilai positif. Jadi kenaikan parameter D ( α ) menyebabkan solusi lebih stabil. Simulasi numerik juga menunjukkan bahwap parameter D ( α ) yang berkaitan dengan sudut dari bidang inklinasi mempunyai peran yang sangat besar da- lam menentukan kondisi kestabilan dari solusi.

## References
1. A. L. Bertozzi and M. P. Brenner, Linear Stability and Transient Growth in Driven Contact Lines , Phys. Fuids 9, 530-539, 1997 .
Jurnal Matematika, Statistika, dan Komputasi Vol. 5 No. 1 Juli 2008
8 8
Jurnal Matematika, Statistika & Komputasi
Vol. 5 No. 1 Juli 2008
Sri Sulasteri 8
2. A. L. Bertozzi, The Mathematics of Moving Contact Lines in Thin Liquid Films , Notices Amer. Math. Soc., 45, 689-697, 1998.
3. J. D. Hoffman, Numerical Methods for Engineers and Scientists , McGraw-Hill, Inc. New-York, 1992 .
4. L. Kondic, Instabilities in Gravity Driven Flow of Thin Fluid Films , SIAM Review, Vol. 45, 95-115, 2003.
5. M. A. Spaid and G. M. Homsy, Stability of Newtonian and Viscoelastic Dynamic Contact Lines , Phys. Fuids 8, No. 2, 1996.
Jurnal Matematika, Statistika, dan Komputasi Vol. 5 No. 1 Juli 2008
9
9 Jurnal Matematika, Statistika & Komputasi Vol. 5 No. 1 Juli 2008