Teorema : Teori dan Riset Matematika , 7 (2), 321-330, September 2022 p-ISSN 2541-0660, e-ISSN 2597-7237 © 2022 https://jurnal.unigal.ac.id/index.php/teorema/article/view/7211

## BILANGAN INVERS DOMINASI TOTAL GRAF HELM TERTUTUP, GRAF GEAR, GRAF RODA GANDA DAN GRAF ANTIWEB-GEAR
Nilamsari Kusumastuti 1 , Fransiskus Fran 2
1,2 Universitas Tanjungpura, Jl. Prof. Dr. H. Hadari Nawawi, Pontianak, Indonesia Email: 2 fransiskusfran@math.untan.ac.id

## ABSTRACT
This paper discusses inverse total domination number in a graph 𝐺 = (𝑉, 𝐸) which is a simple, finite, undirected graph and without isolated vertices, where 𝑉 is the set of vertices and 𝐸 is the set of edges. The set 𝐷 ⊆ 𝑉 is a dominating set in 𝐺 if every element in 𝑉 − 𝐷 is adjacent to at least one vertex in 𝐷 . If 𝑁(𝐷) = 𝑉 , then 𝐷 is called the total dominating set. The dominating set and total dominating is not unique. Let 𝐷 be a total dominating set with the smallest cardinality. If 𝑉 − 𝐷 contains a total dominanting set 𝐷 𝑡 ′ then 𝐷 𝑡 ′ is called the inverse total dominating set. The smallest cardinality of the inverse total dominating is called the inverse total domination number which is denoted by 𝛾 𝑡 −1 (𝐺) . A graph that has a  total  domination  set  does  not  necessarily  have  an  inverse  total  dominating  set.  In  this  case,  the  inverse  of  total dominance also cannot be determined. Therefore, in this paper, we determine the total dominance inverse of several graph classes, namely closed helm graph, gear graph, double wheel graph and antiweb-gear graph.
Keywords : domination number, inverse domination number, inverse total domination number

## ABSTRAK
Artikel  ini  membahas  tentang  bilangan  invers  dominasi  total  pada  suatu  graf 𝐺 = (𝑉, 𝐸) yang  merupakan  graf sederhana,  berhingga,  tak  berarah  dan  tidak  memuat  simpul  terasing,  dengan 𝑉 adalah  himpunan  titik  dan 𝐸 adalah himpunan  sisi.  Himpunan 𝐷 ⊆ 𝑉 adalah  himpunan  dominasi  di 𝐺 jika  setiap  elemen  di 𝑉 − 𝐷 bertetangga  sedikitnya dengan satu simpul di 𝐷 . Jika 𝑁(𝐷) = 𝑉 , maka 𝐷 disebut himpunan dominasi total. Himpunan dominasi dan dominasi total tidak tunggal. Dimisalkan 𝐷 merupakan himpunan dominasi total dengan kardinalitas terkecil. Jika 𝑉 − 𝐷 memuat himpunan dominasi total 𝐷 𝑡 ′ maka 𝐷 𝑡 ′ disebut himpunan invers dominasi total. Kardinalitas terkecil dari himpunan invers dominasi  total  disebut  bilangan  invers  dominasi  total  yang  dilambangkan 𝛾 𝑡 −1 (𝐺) .  Suatu  graf  yang  mempunyai himpunan  dominasi  total  belum  tentu  memiliki  himpunan  invers  dominasi  total.  Untuk  kasus  tersebut,  bilangan  invers dominasi total juga tidak dapat ditentukan. Pada artikel ini, ditentukan bilangan invers dominasi total dari beberapa kelas graf yaitu graf helm tertutup, graf gear, graf roda ganda dan graf antiweb-gear .
Kata kunci: bilangan dominasi, bilangan invers dominasi, bilangan invers dominasi total
Dikirim: 14 Februari 2022; Diterima: 10 Juli 2022; Dipublikasikan: 30 September 2022 Cara sitasi: Kusumastuti, N., & Fran, F. (2022). Bilangan invers dominasi total graf helm tertutup, graf gear, graf roda ganda  dan  graf  antiweb-gear. Teorema : Teori  dan  Riset  Matematika,  7 (2),  321-330.  DOI: http://dx.doi.org/10.25157/teorema.v7i2.7211

## PENDAHULUAN
Teori graf merupakan salah satu bidang matematika diskrit yang mempelajari tentang graf, yaitu struktur matematika yang digunakan untuk memodelkan suatu objek, yang direpresentasikan dengan  titik,  dan  hubungan  diantara  titik-titik,  yang  direpresentasikan  dengan  garis.  Graf  adalah suatu abstraksi matematis yang dapat digunakan untuk merepresentasikan berbagai jenis hubungan dan  proses  dari  berbagai  jenis  objek:  dalam  sistem  jaringan  yang  kompleks  (misalnya,  jaringan internet,  jaringan  listrik,  jaringan  sosial  dan  informasi (Adalı &  Ortega,  2018)),  dan  dalam  bidang biologi (Shah et al ., 2019; Mashaghi et al ., 2004). Dalam beberapa kasus, representasi graf muncul sebagai  cara  alami  untuk  mendeskripsikan  dan  memberikan  solusi  untuk  masalah  keseharian seperti  penyusunan  jadwal,  penyusunan  rute  perjalanan,  membuat  struktur  organisasi  dan pewarnaan peta (Adalı & Ortega, 2018) serta permainan pewarnaan (Mujib, 2019). Sejak  diperkenalkan  pertama  kali  pada  tahun  1736  oleh  Leonhard  Euler,  seorang matematikawan Swiss, topik-topik dalam teori graf terus mengalami perkembangan,  salah satunya terkait himpunan dominasi suatu graf. Himpunan dominasi pada suatu graf 𝐺 dilambangkan dengan 𝐷 adalah  suatu  himpunan  bagian  dari  himpunan  titik 𝑉 ,  dimana  setiap  titik  dari 𝑉 − 𝐷 saling bertetangga setidaknya dengan satu diantara titik di himpunan 𝐷 . Kardinalitas terkecil dari himpunan dominasi 𝐷 disebut  bilangan  dominasi  yang  dinotasikan  dengan 𝛾(𝐺) .  Meskipun  studi  matematis tentang dominasi dalam graf dimulai sekitar tahun 1960, ada beberapa referensi tentang masalah yang  berkaitan  dengan  dominasi  sekitar  100  tahun  sebelumnya.  Pada  tahun  1862,  De  Jaenisch berusaha menentukan minimum banyaknya ratu yang dapat menutupi (mendominasi) papan catur berukuran 8 × 8 (Tarr, 2010). Saat ini, ada banyak hal dalam topik himpunan dominasi yang terus dikembangkan  seperti  tentang  pengembangan  dan  variasi  dari  himpunan  dominasi  yaitu minus dominasi, fair dominasi, himpunan dominasi total, himpunan invers dominasi, dan himpunan invers dominasi total.
Penelitian  mengenai  bilangan  dominasi,  dominasi  total  dan  bilangan  invers  dominasi  total pada kelas-kelas graf tertentu telah menarik minat banyak peneliti (Dunbar et al. , 1999; El-Zahar et al ., 2008; Lan & Chang, 2013; Omran & Shalaan, 2020; Rusu & Spinrad, 2001). Terkait himpunan invers  dominasi  total,  salah  satu  penerapannya  yaitu  pada  jaringan  komputer  dengan  kelompok komputer  inti  sebagai  himpunan  dominasi  total  dan  kelompok  komputer  cadangan  sebagai himpunan invers dominasi total (Kulli & Iyer, 2007). Meskipun demikian, sejak diperkenalkan pada tahun  2007,  penelitian  tentang  bilangan  invers  dominasi  total  masih  sangat  terbuka,  khususnya mengenai  bilangan  invers  dominasi  total  untuk  kelas  graf  tertentu.  Secara  khusus,  hal  ini  terkait dengan beberapa graf yang mungkin saja tidak memiliki himpunan invers dominasi total (Kulli & Iyer, 2007).  Untuk  graf  yang  memiliki  himpunan  invers  dominasi  total,  himpunan  ini  juga  tidak  selalu tunggal.  Lebih  lanjut,  pada  beberapa  kelas  graf,  untuk  kondisi  tertentu  memungkinkan  memuat himpunan invers dominasi total, tapi pada kondisi lainnya tidak.
Pada  artikel  ini  secara  khusus  dibahas  tentang  bilangan  invers  dominasi  total  pada beberapa kelas graf yang memuat cycle ( some families of cycle-related graphs ) seperti graf helm tertutup,  graf gear ,  graf  roda  ganda,  dan  graf antiweb-gear .  Graf-graf  ini  juga  merupakan  graf dengan  titik  pusat  yang  berasal  dari  graf  roda  sebagai  pembangunnya.  Selanjutnya,  berdasarkan hasil penelitian sebelumnya (Kulli & Iyer, 2007), telah diketahui bilangan invers dominasi total pada graf cycle dan  graf  roda.  Hasil  penelitian  tersebut,  kemudian  dijadikan  sebagai  acuan  dalam menemukan kondisi-kondisi yang dipenuhi sehingga graf helm tertutup, graf gear , graf roda ganda, dan graf antiweb-gear memiliki himpunan invers dominasi total . Misalkan 𝐺 graf sederhana, graf ini disebut graf cycle jika setiap titiknya berderajat dua. Graf cycle dengan n titik  dilambangkan  dengan 𝐶 𝑛 untuk 𝑛  ≥  3 (Munir,  2010) . Untuk  definisi  graf lainnya  yang  akan  ditentukan  bilangan  invers  dominasi  total  pada  artikel  ini,  dinyatakan  sebagai berikut:
a . Graf  roda 𝑊 𝑛 adalah  graf  yang  dibentuk  dari  graf cycle dengan  setiap  titik  pada  graf cycle terhubung langsung dengan satu titik baru yang disebut titik pusat.
b. Graf helm 𝐻 𝑛 adalah graf yang dibentuk dari graf roda dengan menambahkan sisi anting-anting pada setiap titik di cycle luar .
c.  Graf  helm tertutup (closed helm graph) 𝐶𝐻 𝑛 adalah  graf  yang  diperoleh  dari graf helm  dengan menghubungkan tiap-tiap titik anting-anting untuk membentuk cycle.
d. Graf gear 𝐺 𝑛 (kasus khusus dari graf Jahangir 𝐽 2𝑛 ) adalah graf roda dengan tambahan sebuah titik diantara tiap-tiap pasangan dari titik-titik graf yang terhubung langsung pada cycle luar .
e. Graf  roda  ganda 𝐷𝑊 𝑛 dengan 𝑛 + 1 titik , tersusun  dari  graf 2𝐶 𝑛 + 𝐾 1 , terdiri  atas  duah  buah cycle berukuran 𝑛, dimana titik-titik dari kedua cycle terhubung ke sebuah pusat yang sama .
f.  Graf antiweb-gear adalah suatu bentuk graf yang diperoleh dari graf gear 𝐽 2𝑛 dengan mengganti sisi graf 𝐶 2𝑛 dengan 𝐶 2𝑛 2 yang dinotasikan dengan 𝐴𝑊𝐽 2𝑛 .
Gambar 1. (a) Graf 𝐶 4 , (b) Graf 𝐻 4 , (c) Graf 𝑊 5 , (d) Graf 𝐶𝐻 6 , (e) Graf 𝐺 3 , (f) Graf 𝐷𝑊 3 , (d) Graf 𝐴𝑊𝐽 6

## METODE PENELITIAN
Metode  yang  digunakan  dalam  penelitian  ini  adalah  studi  literatur  (kajian  teori)  yang berkaitan dengan teori terkait bilangan dominasi, bilangan dominasi total, bilangan invers dominasi dan bilangan invers dominasi total. Kemudian, dicari pola anggota dari himpunan invers dominasi total  dan  bilangan  invers  dominasi  total  dari  beberapa  graf  yang  dikaji  sehingga  dapat  diperluas secara  umum.  Pola  yang  diperoleh  terkait  bilangan  invers  dominasi  total,  selanjutnya  dapat digunakan untuk memformulasikan rumus umum bilangan invers dominasi total. Untuk memverifikasi kebenaran  formula  yang  dihasilkan,  tahap  terakhir  adalah  pembuktian  secara  matematika.  Pada tahap ini, digunakan pola elemen yang menjadi anggota himpunan invers dominasi total dan sifat- sifat terkait bilangan invers dominasi total yang telah dikemukakan berdasarkan hasil-hasil penelitian sebelumnya. Pada tahap ini pula, dapat diperoleh  karakteristik dari bilangan invers dominasi total terkait kelas graf yang diteliti .

## HASIL DAN PEMBAHASAN
Artikel ini membahas tentang bilangan invers dominasi total pada beberapa kelas graf yang memuat cycle .  Untuk  itu,  diberikan  beberapa  definisi  dan  hasil  penelitian  sebelumnya  yang
(a) (b)
(c)
(d) (e) (f)
(g)
digunakan  sebagai  acuan dalam  membuktikan  hasil yang  diperoleh.  Jika  diketahui  suatu  titik 𝑣 ∈ 𝑉(𝐺) bertetangga dengan 𝑢, 𝑤 ∈ 𝑉(𝐺) , dapat dikatakan bahwa 𝑣 mendominasi 𝑢 dan 𝑤 . Hal ini berarti  bahwa  konsep  dominasi  dapat  dikaitkan  dengan  persekitaran  terbuka  suatu  titik,  yaitu himpunan  semua  titik  yang  bertetangga  dengan  titik  tersebut.  Konsep  persekitaran  terbuka  suatu titik, selanjutnya dapat digunakan untuk mendefinisikan persekitaran suatu subhimpunan titik di graf 𝐺 dan  lebih  lanjut  untuk  pendefinisian  himpunan  dominasi  total.  Himpunan 𝐷 𝑡 ⊆ 𝑉 disebut himpunan  dominasi  total  pada  graf 𝐺 apabila  setiap  titik  pada 𝑉 bertetangga  dengan  setidaknya satu  titik  p ada 𝐷 𝑡 , 𝑁(𝐷 𝑡 ) = 𝑉(𝐺) (Henning  &  Yeo,  2013) . Lebih  lanjut, kardinalitas  terkecil  dari himpunan dominasi total pada graf 𝐺 disebut bilangan dominasi total dan dinyatakan dengan 𝛾 𝑡 (𝐺) . Pada Proposisi 1, diberikan nilai eksak bilangan dominasi total untuk graf cycle dan pada Definisi 2 merupakan definisi himpunan dan bilangan invers dominasi. Proposisi 1 (Kulli & Iyer, 2007) Untuk graf cycle 𝐶 𝑛 dengan 𝑛 titik ,
𝛾 𝑡 (𝐶 𝑛 ) = { 𝑛 2 + 1, 𝑛 ≡ 2(mod 4) ⌈ 𝑛 2 ⌉ , 𝑛 lainnya
Definisi 2 (Kulli & Sigarkanti, 1991) Misalkan suatu himpunan 𝐷 adalah himpunan dominasi dalam graf 𝐺 dengan kardinalitas terkecil. Jika 𝑉 − 𝐷 memuat suatu himpunan dominasi misal 𝐷′ , maka 𝐷′ disebut himpunan invers dominasi yang terkait dengan 𝐷 . Kardinalitas terkecil dalam himpunan invers dominasi didefinisikan sebagai bilangan dominasi invers dari graf 𝐺 yang dinotasikan dengan 𝛾 −1 (𝐺).
Berdasarkan definisi bilangan invers dominasi diperoleh 𝛾(𝐺) ≤ 𝛾 −1 (𝐺) . Agar lebih mudah dipahami,  diberikan  contoh  mengenai  himpunan  dominasi  dan  himpunan  invers  dominasi  yang diilustrasikan di Gambar 2.
Gambar 2. (a) Graf 𝐺 1 dan (b) Graf 𝐺 2
Pada  Gambar  2  (a),  titik 𝑣 1 dan 𝑣 2 (diwarnai  merah)  merupakan  titik-titik  pada  himpunan dominasi. Pada Gambar 2 (b), titik 𝑣 4 dan 𝑣 5 merupakan titik-titik pada himpunan invers dominasi. Himpunan  dominasi  yang  diperoleh 𝐷 = {𝑣 1 , 𝑣 2 } yang  merupakan  himpunan  dominasi  dengan kardinalitas terkecil. Himpunan invers dominasi terkait himpunan dominasi 𝐷 salah satunya adalah 𝐷 ′ = {𝑣 4 , 𝑣 5 } ⊆ 𝑉 − 𝐷 yang  juga  merupakan  himpunan  invers  dominasi  dengan  kardinalitas terkecil. Oleh karena itu, diperoleh bilangan dominasi dan invers dominasinya adalah 2 . Untuk kelas graf tertentu, dapat diperoleh bilangan invers dominasi yang sama dengan bilangan dominasinya, seperti pada graf 𝐶 𝑛 yang dinyatakan pada Proposisi 3. Proposisi 3 (Kulli & Sigarkanti, 1991) Untuk graf cycle 𝐶 𝑛 dengan 𝑛 titik,
𝛾(𝐶 𝑛 ) = 𝛾 −1 (𝐶 𝑛 ) = ⌈ 𝑛 3 ⌉ .
Selanjutnya, berdasarkan definisi himpunan dominasi dan himpunan invers dominasi dapat pula didefinisikan konsep himpunan dan bilangan invers dominasi untuk variasi himpunan dominasi lainnya. Salah satunya tentang himpunan invers dominasi total yang dinyatakan pada Definisi 4. Definisi  4 (Kulli  &  Iyer,  2007)  Misalkan 𝐷 𝑡 ⊆ 𝑉 merupakan  himpunan  dominasi  total  dengan kardinalitas terkecil dari graf 𝐺. Jika 𝑉 − 𝐷 𝑡 memuat himpunan dominasi total 𝐷 𝑡 ′ , maka 𝐷 𝑡 ′ disebut himpunan  invers  dominasi  total  dari  himpunan  dominasi  total 𝐷 𝑡 . Bilangan  invers  dominasi  total 𝛾 𝑡 −1 (𝐺) merupakan kardinalitas terkecil dari himpunan invers dominasi total.
(a) (b)
Berdasarkan  Gambar  2  dan  Definisi  4,  diperoleh  himpunan  dominasi  yang  sekaligus merupakan  himpunan  dominasi  total,  dan  himpunan  invers  dominasi  yang  juga  merupakan himpunan invers dominasi total. Namun demikian, dapat pula diperoleh himpunan dominasi lainnya dari  Gambar  2,(a)  yaitu {𝑣 1 , 𝑣 3 } yang  bukan  merupakan  himpunan  dominasi  total  tetapi  tetap merupakan himpunan dominasi dengan kardinalitas terkecil. Demikian juga dengan himpunan invers dominasi,  dapat  diperoleh  himpunan  invers  dominasi {𝑣 3 , 𝑣 5 } yang  bukan  merupakan  invers dominasi total.
Selanjutnya, bilangan invers dominasi total untuk beberapa kelas yang dibahas dalam artikel ini  dinyatakan  pada  Teorema  5  hingga  Teorema  9.  Hasil  pertama  dinyatakan  pada  Teorema  5, terkait bilangan invers dominasi total untuk graf helm tertutup. Teorema 5 Jika 𝐶𝐻 𝑛 merupakan graf helm tertutup dengan 𝑛 ≥ 3 , maka:
𝛾 𝑡 −1 (𝐶𝐻 𝑛 ) = 2 ⌈ 𝑛 3 ⌉ .
Bukti: Diberikan  graf 𝐶𝐻 𝑛 untuk  n  ≥  3.  Berdasarkan  definisi 𝐶𝐻 𝑛 ,  diperoleh |𝑉(𝐶𝐻 𝑛 )| = 2𝑛 + 1 dan |𝐸(𝐶𝐻 𝑛 )| = 4𝑛 .  Graf 𝐶𝐻 𝑛 dibentuk  dari  graf  graf 𝐻 𝑛 dengan  menambahkan  sisi  antara  titik anting-anting yang berurutan sehingga terbentuk cycle . Himpunan dominasi total terkecil untuk graf 𝐶𝐻 𝑛 diperoleh dengan memperhatikan graf 𝐶 𝑛 pembentuk 𝐻 𝑛 . Hal ini karena, masing-masing titik di 𝐶 𝑛 bertetangga  dengan  titik-titik  yang  bersesuaian  dengan  titik  di 𝐶 𝑛 luar  (dibentuk  dari  titik anting-anting  pada 𝐻 𝑛 ).  Akibatnya, 𝛾 𝑡 (𝐶𝐻 𝑛 ) = 2, 𝛾(𝐶 𝑛 ) = 2 ⌈ 𝑛 3 ⌉ .  Oleh  karena, 𝛾(𝐶 𝑛 ) = 𝛾 −1 (𝐶 𝑛 ) = ⌈ 𝑛 3 ⌉ , dengan demikian 𝛾 𝑡 −1 (𝐶𝐻 𝑛 ) = 𝛾 𝑡 (𝐶𝐻 𝑛 ) = 2 ⌈ 𝑛 3 ⌉ . ∎
Sebagai ilustrasi hasil yang dinyatakan pada Teorema 5, diberikan contoh yang dapat dilihat pada Gambar 3.
Gambar 3 . (a) Graf 𝐶𝐻 3 , (b) Graf 𝐶𝐻 4 , (c) Graf 𝐶𝐻 5
Pada  Gambar  3,  himpunan  dominasi  total  untuk 𝐶𝐻 3 , 𝐶𝐻 4 dan 𝐶𝐻 5 berturut-turut  adalah {𝑣 1 , 𝑣 4 }, {𝑣 1 , 𝑣 3 , 𝑣 5 , 𝑣 7 } dan {𝑣 1 , 𝑣 4 , 𝑣 6 , 𝑣 9 } (titik-titik  dengan  warna  merah)  yang  merupakan himpunan dominasi total dengan kardinalitas terkecil. Himpunan invers dominasi total yang diperoleh terkait  himpunan  dominasi  total  tersebut,  masing-masing  adalah {𝑣 2 , 𝑣 5 } , {𝑣 2 , 𝑣 4 , 𝑣 6 , 𝑣 8 } dan {𝑣 2 , 𝑣 5 , 𝑣 7 , 𝑣 10 } .  Oleh  karena  himpunan-himpunan  invers  dominasi  total  tersebut  memiliki kardinalitas terkecil, diperoleh 𝛾 𝑡 −1 (𝐶𝐻 3 ) = 2 , 𝛾 𝑡 −1 (𝐶𝐻 4 ) = 4 dan 𝛾 𝑡 −1 (𝐶𝐻 5 ) = 4 . Untuk  beberapa  kelas  graf,  adanya  himpunan  dominasi  total  tidak  menjamin  adanya himpunan  invers  dominasi  total.  Pada  graf gear 𝐺 𝑛 ,  diperoleh  bahwa  untuk 𝑛 genap  dapat ditentukan himpunan invers dominasi totalnya. Sedangkan untuk 𝑛 ganjil, graf 𝐺 𝑛 tidak mempunyai himpunan invers dominasi total. Hasil ini selanjutnya dinyatakan pada Teorema 6, terkait bilangan invers dominasi total pada graf gear .
(a) (b) (c)
Teorema 6 Jika 𝐺 𝑛 merupakan gear graph dengan 𝑛 ≥ 3 , maka 𝛾 𝑡 −1 (𝐺 𝑛 ) = 𝑛, 𝑛 = 2𝑘, 𝑘 ∈ ℕ . Bukti: Diberikan graf 𝐺 𝑛 untuk 𝑛 ≥ 3 . Berdasarkan definisinya, graf 𝐺 𝑛 dapat dibentuk dari graf 𝑊 𝑛 dengan penambahan titik diantara titik-titik berurutan pada cycle luar, sehingga 𝑉(𝐺 𝑛 ) = 𝑉(𝑊 𝑛 ) ∪ {𝑣 2 , 𝑣 4 , 𝑣 6 , ⋯ , 𝑣 2𝑛 } = {𝑣 0 } ∪ {𝑣 1 , 𝑣 3 , 𝑣 5 , ⋯ , 𝑣 2𝑛−1 } ∪ {𝑣 2 , 𝑣 4 , 𝑣 6 , ⋯ , 𝑣 2𝑛 } dengan  titik-titik 𝑣 2 , 𝑣 4 , 𝑣 6 , ⋯ , 𝑣 2𝑛 mempunyai  derajat  2.  Dengan  demikian  diperoleh |𝑉(𝐺 𝑛 )| = 2𝑛 + 1 dan |𝐸(𝐺 𝑛 )| = 3𝑛 .  Misalkan 𝑣 0 ∈ 𝑉(𝐺 𝑛 ) adalah  titik  yang  memiliki  derajat  maksimum  di 𝐺 𝑛 yaitu ∆(𝐺 𝑛 ) = 𝑑𝑒𝑔(𝑣 0 ) = 𝑛 ,  maka 𝑣 0 merupakan  elemen  dari  himpunan  dominasi  total  terkecil. Misalkan 𝐷 𝑡 menyatakan  himpunan  dominasi  total  terkecil,  maka 𝐷 𝑡 = {𝑣 0 } ∪ {𝑣 1 , 𝑣 5 , 𝑣 9 , ⋯ , 𝑣 4⌈ 𝑛 2 ⌉−3 } merupakan salah satu himpunan dominasi total terkecil.
Untuk 𝒏 ganjil ,  terdapat  titik  berderajat  2,  yaitu 𝑣 4⌈ 𝑛 2 ⌉−2 dengan 𝑁 (𝑣 4⌈ 𝑛 2 ⌉−2 ) = {𝑣 1 , 𝑣 4⌈ 𝑛 2 ⌉−3 } di 𝑉(𝐺 𝑛 ) ,  tetapi 𝑁 (𝑣 4⌈ 𝑛 2 ⌉−2 ) = ∅ di 𝑉(𝐺 𝑛 ) − 𝐷 𝑡 .  Secara  umum,  untuk  himpunan  dominasi  total terkecil 𝐷 𝑡 ∗ , terdapat suatu titik berderajat 2 di 𝑉(𝐺 𝑛 ) tetapi tidak bertetangga dengan suatu titik di 𝑉(𝐺 𝑛 ) − 𝐷 𝑡 ∗ . Hal ini berakibat, 𝑉(𝐺 𝑛 ) − 𝐷 𝑡 ∗ tidak memuat himpunan dominasi total.
Untuk 𝒏 genap ,  titik 𝑣 4⌈ 𝑛 2 ⌉−2 yang  berderajat  2,  memiliki 𝑁 (𝑣 4⌈ 𝑛 2 ⌉−2 ) = { 𝑣 4⌈ 𝑛 2 ⌉−3 , 𝑣 4⌈ 𝑛 2 ⌉−1 } di
𝑉(𝐺 𝑛 ) dan 𝑁 (𝑣 4⌈ 𝑛 2 ⌉−2 ) = 𝑣 4⌈ 𝑛 2 ⌉−1 di 𝑉(𝐺 𝑛 ) − 𝐷 𝑡 .  Agar 𝑣 4⌈ 𝑛 2 ⌉−1 mempunyai  tetangga  di 𝑉(𝐺 𝑛 ) − 𝐷 𝑡 , himpunan invers dominasi total harus memuat komponen 𝑣 4⌈ 𝑛 2 ⌉−1 dan 𝑣 4⌈ 𝑛 2 ⌉−2 , atau 𝑣 4⌈ 𝑛
2 ⌉ dan 𝑣 4⌈ 𝑛 2 ⌉−1 . Secara umum, untuk himpunan dominasi total terkecil 𝐷 𝑡 ∗ , 𝑉(𝐺 𝑛 ) − 𝐷 𝑡 ∗ memuat komponen 𝑣 𝑖−1 , 𝑣 𝑖 , 𝑣 𝑖+1 dengan 𝑁(𝑣 𝑖 ) = {𝑣 0 , 𝑣 𝑖−1 , 𝑣 𝑖+1 } dan 𝑣 𝑖−1 , 𝑣 𝑖+1 titik-titik  berderajat  2. Oleh karena itu, jika untuk setiap 𝑖 , 𝑣 𝑖−1 dan 𝑣 𝑖 , atau 𝑣 𝑖 dan 𝑣 𝑖+1 merupakan komponen dari 𝐷 𝑡 ′ ⊆ 𝑉(𝐺 𝑛 ) − 𝐷 𝑡 ∗ ,  maka 𝐷 𝑡 ′ merupakan  himpunan  invers  dominasi  total  terkecil  untuk  himpunan dominasi  total 𝐷 𝑡 ∗ ( 𝑣 𝑖 simpul  berderajat  maksimum  di 𝑉(𝐺 𝑛 ) − 𝐷 𝑡 ∗ ).  Karena 𝑣 𝑖 ∈ 𝐷 𝑡 ′ untuk 𝑁(𝑣 𝑖 ) = {𝑣 0 , 𝑣 𝑖−1 , 𝑣 𝑖+1 } dan, 𝑣 𝑖−1 ∈ 𝐷 𝑡 ′ atau 𝑣 𝑖+1 ∈ 𝐷 𝑡 ′ ,  akibatnya 𝛾 𝑡 −1 (𝐺 𝑛 ) = |𝐷 𝑡 ′ | = 𝑛 2 + 𝑛
2 = 2 ( 𝑛 2 ) = 𝑛 . ∎
Untuk ilustrasi, disajikan pada Gambar 4. Titik-titik berwarna merah merupakan titik-titik pada himpunan  dominasi  total  terkecil  graf 𝐺 4 dan 𝐺 5 .  Pada  graf 𝐺 4 mempunyai  himpunan  invers dominasi total dengan kardinalitas terkecil, {𝑣 2 , 𝑣 3 , 𝑣 6 , 𝑣 7 } . Dengan demikian diperoleh 𝛾 𝑡 −1 (𝐺 4 ) = 4 = 2 ( 4 2 ) .  Graf 𝐺 5 tidak  mempunyai  himpunan  invers  dominasi  total,  karena  terdapat 𝑣 10 ∈ 𝑉(𝐺 4 ) − {𝑣 0 , 𝑣 1 , 𝑣 5 , 𝑣 9 } yang merupakan simpul terisolasi di 〈𝑉(𝐺 4 ) − {𝑣 0 , 𝑣 1 , 𝑣 5 , 𝑣 9 }〉 .
Gambar 4. (a) Graf 𝐺 4 , (b) Graf 𝐺 5 (a) (b)
Teorema 7 Jika 𝐷𝑊 𝑛 merupakan graf roda ganda dengan 𝑛 ≥ 3, maka:
𝛾 𝑡 −1 (𝐷𝑊 𝑛 ) = { 𝑛, 𝑛 = 4𝑘 𝑛 + 1, 𝑛 = 2𝑘 + 1
𝑛 + 2, 𝑛 = 2(2𝑘 + 1)
Bukti: Diberikan  graf 𝐷𝑊 𝑛 , 𝑛 ≥ 3 dengan |𝐷𝑊 𝑛 | = 2𝑛 + 1 dan 𝑣 0 titik  yang  bertetangga dengan setiap titik di 𝐷𝑊 𝑛 . Oleh karena itu, {𝑣 0 , 𝑎} merupakan himpunan dominasi total terkecil di 𝐷𝑊 𝑛 dengan 𝑎 ∈ 𝐴 = {𝑣 1 , 𝑣 2 , … , 𝑣 𝑛 } atau 𝑎 ∈ 𝐵 = {𝑢 1 , 𝑢 2 , … , 𝑢 𝑛 }. Misalkan 𝐷 ⊆ 𝑉(𝐷𝑊 𝑛 ) − {𝑣 0 , 𝑎}, maka 𝐷 merupakan  himpunan  invers  dominasi  total  dari 𝐷𝑊 𝑛 jika 𝐷 merupakan himpunan dominasi total terkecil. Akibatnya 𝐷 merupakan gabungan himpunan dominasi total terkecil dari 2 graf cycle berorde 𝑛 yaitu 𝐷 ∩ 𝐴 = 𝐶 1 dan 𝐷 ∩ 𝐵 = 𝐶 2 dengan 𝐶 1 ∪ 𝐶 2 = 𝐷 dengan demikian:
𝛾 𝑡 −1 (𝐷𝑊 𝑛 ) = 𝛾 𝑡 (𝐶 𝑛 ) + 𝛾 𝑡 (𝐶 𝑛 ) = { ( n 2 + 1) + ( n 2 + 1) , n ≡ 2(mod 4) ⌈ n 2 ⌉ + ⌈ n 2 ⌉ , lainnya
Diperoleh bahwa, Untuk 𝑛 ≡ 2(𝑚𝑜𝑑 4)
𝛾 𝑡 −1 (𝐷𝑊 𝑛 ) = 2𝑛 2 + 1 = 𝑛 + 1 .
Untuk 𝑛 ≡ 𝑠(𝑚𝑜𝑑 4), 𝑠 ∈ {1,3} .  untuk  kasus  ini, 𝑛 merupakan  bilangan  ganjil  sehingga 𝑛 = 2𝑘 + 1 untuk suatu 𝑘 ∈ ℕ.
𝛾 𝑡 −1 (𝐷𝑊 𝑛 ) = ⌈ 𝑛 2 ⌉ + ⌈ 𝑛 2 ⌉ = ⌈ 2𝑘+1 2 ⌉ + ⌈ 8𝑘+1 2 ⌉ = 𝑘 + 1 2 + ⌈𝑘⌉ + ⌈ 1 2 ⌉ = 2𝑘 + 2 = (2𝑘 + 1) + 1 = 𝑛 + 1
Untuk 𝑛 ≡ 0 (𝑚𝑜𝑑 4) , untuk kasus ini, 𝑛 = 4𝑘 untuk suatu 𝑘 ∈ ℕ .
𝛾 𝑡 −1 (𝐷𝑊 𝑛 ) = ⌈ 4𝑘 2 ⌉ + ⌈ 4𝑘 2 ⌉ = 2𝑘 + 2𝑘 = 4𝑘 = 𝑛 . ∎
Sebagai ilustrasi dapat dilihat pada Gambar 5. Titik-titik berwarna merah merupakan titik-titik pada himpunan dominasi total. Dapat diketahui bahwa, untuk setiap 𝑛 ≥ 3 , 𝛾 𝑡 (𝐷𝑊 𝑛 ) = 2 .
Gambar 5. (a) Graf 𝐷𝑊 3 , (b) Graf 𝐷𝑊 4 , (c) Graf 𝐷𝑊 5
(b) (c) (a)
Himpunan invers dominasi total, 𝐷 ′ ⊆ 𝑉(𝐷𝑊 𝑛 ) − {𝑣 0 , 𝑣 1 } untuk 𝑛 = 3,4,5 berturut-turut adalah {𝑣 2 , 𝑣 3 , 𝑢 1 , 𝑢 2 } , {𝑣 2 , 𝑣 3 , 𝑢 1 , 𝑢 2 } , {𝑣 2 , 𝑣 3 , 𝑣 4 , 𝑢 1 , 𝑢 2 , 𝑢 3 } . Bilangan  invers  dominasi  total yang diperoleh adalah 𝛾 𝑡 −1 (𝐷𝑊 3 ) = 4, 𝛾 𝑡 −1 (𝐷𝑊 4 ) = 4 dan 𝛾 𝑡 −1 (𝐷𝑊 5 ) = 6 . Teorema 8 Jika 𝐴𝑊𝐽 2𝑛 merupakan graf antiweb-gear dengan 𝑛 ≥ 3 , maka:
𝛾 𝑡 −1 (𝐴𝑊𝐽 2𝑛 ) = 2 ⌈ 𝑛 3 ⌉
Bukti: Diberikan  graf 𝐴𝑊𝐽 2𝑛 untuk 𝑛 ≥ 3 .  Berdasarkan  definisinya,  graf 𝐴𝑊𝐽 2𝑛 memiliki 𝑉(𝐴𝑊𝐽 2𝑛 ) = 𝑉(𝐺 𝑛 ) ,  dapat  dibentuk  dari  graf 𝐺 𝑛 dengan  menghubungkan  titik-titik  berderajat  2  (berurutan) sehingga menjadi titik berderajat 4, serta menghubungkan titik-titik berderajat 3 (berurutan) sehingga menjadi  titik  berderajat  5.  Dengan  demikian,  diperoleh |𝐴𝑊𝐽 2𝑛 | = 2𝑛 + 1 dan |𝐸(𝐴𝑊𝐽 2𝑛 )| = 5𝑛 . Titik 𝑣 0 ∈ 𝑉(𝐴𝑊𝐽 2𝑛 ) adalah salah satu titik yang memiliki derajat maksimum di 𝐴𝑊𝐽 2𝑛 , 𝑛 ≥ 5 yaitu ∆(𝐴𝑊𝐽 2𝑛 ) = 𝑑𝑒𝑔(𝑣 0 ) = 𝑛 , maka 𝑣 0 elemen dari himpunan dominasi total terkecil. Oleh karena  titik 𝑣 0 tidak  bertetangga  dengan  titik  berderajat  4  di 𝐴𝑊𝐽 2𝑛 ,  maka  salah  satu  himpunan dominasi total terkecil di 𝐴𝑊𝐽 2𝑛 sama dengan himpunan dominasi total terkecil di 𝐺 𝑛 . Misalkan 𝐷 𝑡 adalah himpunan dominasi total terkecil di 𝐴𝑊𝐽 2𝑛 yang memuat 𝑣 0 . Pada 𝐴𝑊𝐽 2𝑛 , terdapat cycle luar  yang  memiliki  panjang 2𝑛 dengan  simpul-simpul  pembentuknya  berderajat  4  atau  5.  Karena titik-titik  berderajat  5  bertetangga  dengan 𝑣 0 ,  himpunan  invers  dominasi  total  terkait 𝐷 𝑡 memiliki kardinalitas  yang  sama  dengan  gabungan  himpunan  dominasi  terkecil  dari 𝐶 𝑛 yang  dibentuk  dari titik-titik 𝑣 𝑖 , 0 ≠ 𝑖 genap  dan  himpunan  dominasi  terkecil  dari 𝐶 𝑛 yang  dibentuk  dari  titik-titik 𝑣 𝑖 , 𝑖 ganjil. Akibatnya diperoleh,
𝛾 𝑡 −1 (𝐴𝑊𝐽 2𝑛 ) = 2𝛾 −1 (𝐶 𝑛 ) = 2𝛾(𝐶 𝑛 ) = 2  ⌈ 𝑛 3 ⌉ . ∎
(a) (b) (c) Gambar 6. (a) Graf 𝐴𝑊𝐽 6 , (b) Graf 𝐴𝑊𝐽 8 , (c) Graf 𝐷𝑊 10
Ilustrasi terkait himpunan dominasi total, disajikan pada Gambar 6, yang selanjutnya dapat digunakan  sebagai  acuan  untuk  menentukan  himpunan  invers  dominasi  total.  Titik-titik  berwarna merah  merupakan  titik-titik  pada  himpunan  dominasi  total  terkecil  graf 𝐴𝑊𝐽 6 , 𝐴𝑊𝐽 8 dan 𝐴𝑊𝐽 10 . Himpunan  dominasi  total  masing-masing  graf  tersebut  berturut-turut  adalah {𝑣 1 , 𝑣 5 } , {𝑣 0 , 𝑣 1 , 𝑣 5 } dan {𝑣 0 , 𝑣 1 , 𝑣 5 , 𝑣 7 } yang  merupakan  himpuan  dominasi  total  dengan  kardinalitas  terkecil.  Terkait himpunan  dominasi  total  ini,  diperoleh  himpunan  invers  dominasi  totalnya  adalah {𝑣 3 , 𝑣 4 } , {𝑣 3 , 𝑣 4 , 𝑣 6 , 𝑣 7 } dan {𝑣 3 , 𝑣 4 , 𝑣 8 , 𝑣 9 } .  Dengan  demikian,  bilangan  invers  dominasi  total  yang diperoleh, 𝛾 𝑡 −1 (𝐴𝑊𝐽 6 ) = 2 , 𝛾 𝑡 −1 (𝐴𝑊𝐽 8 ) = 4 dan 𝛾 𝑡 −1 (𝐴𝑊𝐽 10 ) = 4 .

## KESIMPULAN
Bilangan  invers  dominasi  total  suatu  graf 𝐺 yang  dilambangkan  dengan 𝛾 𝑡 −1 (𝐺) menyatakan  kardinalitas  terkecil  himpunan  invers  dominasi  total  di 𝐺 .  Pada  artikel  ini,  diperoleh bahwa tidak semua graf mempunyai himpunan invers dominasi total, sebagai contohnya graf gear 𝐺 𝑛 untuk 𝑛 ganjil. Bilangan invers dominasi total untuk graf helm tertutup, graf gear , graf roda ganda dan  graf antiweb-gear berturut-turut  adalah 𝛾 𝑡 −1 (𝐶𝐻 𝑛 ) = 2 ⌈ n 3 ⌉ dan 𝛾 𝑡 −1 (𝐺 𝑛 ) = 𝑛, 𝑛 genap,
𝛾 𝑡 −1 (𝐷𝑊 𝑛 ) = 𝑛, untuk 𝑛 = 4𝑘, 𝛾 𝑡 −1 (𝐷𝑊 𝑛 ) = 𝑛 + 1, untuk 𝑛 = 2𝑘 + 1 dan 𝛾 𝑡 −1 (𝐷𝑊 𝑛 ) = 𝑛 + 2, 𝑛 = 2(2𝑘 + 1) dengan 𝑘 ∈ ℕ , serta 𝛾 𝑡 −1 (𝐴𝑊𝐽 2𝑛 ) = 2 ⌈ n 3 ⌉ .

## REKOMENDASI
Berdasarkan hasil penelitain, telah diperoleh bilangan invers dominasi total untuk graf helm tertutup,  graf gear ,  graf  roda  ganda  dan  graf antiweb-gear yang  masing-masing  merupakan  graf yang dibangun dari graf cycle 𝐶 𝑛 . Penelitian lebih lanjut dapat dilakukan untuk hasil operasi graf-graf yang telah diketahui bilangan invers dominasi totalnya. Selain itu, dapat pula dikaji terkait banyaknya himpunan invers dominasi maupun invers dominasi total yang mungkin pada suatu graf.

## UCAPAN TERIMAKASIH
Penulis  mengucapkan  terima  kasih  kepada  Novita,  Febby  dan  Nurhamzah,  dan  DIPA FMIPA Universitas Tanjungpura untuk pendanaan penelitian ini.

## DAFTAR PUSTAKA
Adalı, T., & Ortega, A. (2018). Applications o f graph theory [scanning the Issue]. Proceedings of the IEEE , 106 (5), 784 – 786. https://doi.org/10.1109/JPROC.2018.2820300
Dunbar,  J.,  Hedetniemi,  S.,  Henning,  M.  A.,  &  McRae,  A.  (1999).  Minus  domination  in  graphs. Discrete Mathematics , 199 (1 – 3), 35 – 47. https://doi.org/10.1016/S0012-365X(98)00284-2
El-Zahar, M., Gravier, S., & Klobucar, A. (2008). On the total domination number of cross products of graphs. Discrete Mathematics , 308 (10), 2025 – 2029. https://doi.org/10.1016/j.disc.2007.04.034
Henning, M. A., & Yeo, A. (2013). Total domination and graph products. Total Domination in Graphs (103 – 108). Springer.
Kulli, V. R., & Iyer, R. R. (2007). Inverse total domination in graphs. Journal of Discrete Mathematical Sciences and Cryptography , 10 (5), 613 – 620. https://doi.org/10.1080/09720529.2007.10698143
Kulli, V. R., & Sigarkanti, S. C. (1991). Inverse domination in graphs. Nat. Acad. Sci. Lett , 14 (12), 473 – 475.
Lan, J. K., & Chang, G. J. (2013). On the mixed domination problem in graphs. Theoretical Computer Science , 476 , 84 – 93. https://doi.org/10.1016/j.tcs.2012.11.035
Mashaghi,  A.  R.,  Ramezanpour,  A.,  &  Karimipour,  V.  (2004).  Investigation  of  a  protein  complex network. European  Physical  Journal  B , 41 (1),  113 – 121.  https://doi.org/10.1140/epjb/e2004- 00301-0
Mujib,  A.  (2019).  Bilangan  kromatik  permainan  graf  pot  bunga  (C_m  S_n)  dan  graf  pohon  palem (C_k  P_l  S_m). Teorema :  Teori  dan  Riset  Matematika , 4 (1),  13-22. https://doi.org/10.25157/teorema.v4i1.1903
Munir, R. (2010). Matematika diskrit ed ke-3 . Bandung: Informatika.
Omran,  A.  A.,  &  Shalaan,  M.  M.  (2020).  Inverse  co-even  domination  of  graphs. IOP  Conference Series:  Materials  Science  and  Engineering (Vol.  928).  https://doi.org/10.1088/1757- 899X/928/4/042025
Rusu, I., & Spinrad, J. (2001). Domination graphs: examples and counterexamples. Discrete Applied Mathematics , 110 (2 – 3), 289 – 300. https://doi.org/10.1016/S0166-218X(00)00274-2
Shah,  P.,  Ashourvan,  A.,  Mikhail,  F.,  Pines,  A.,  Kini,  L.,  Oechsel,  K.,  …  Davis,  K.  A.  (2019).
Characterizing the role of the structural connectome in seizure dynamics. Brain , 142 (7), 1955 – 1972. https://doi.org/10.1093/brain/awz125
Tarr, J. M. (2010). Domination in graphs. Master Thesis, University of South Florida, South Florida, 2010. [Online]. https://scholarcommons.usf.edu/etd/1786