Vol. 20, No. 2, January 2024, pp. 455-466 DOI: 10.20956/j.v20i2.30320

## Group and Group Isomorphism in Pyraminx

## Grup dan Isomorfisma Grup pada Pyraminx
Nurhafizah 1 *, Nur Erawaty 2 *, Amir Kamal Amir 3 *  Program Studi Matematika, Universitas Hasanuddin, Makassar Email: nhafizah221200@gmail.com 1 , nurerawaty@gmail.com 2 ,amirkamir@science.unhas.ac.id 3

## Abstract
Pyraminx is a twisty puzzle in the shape of a tetrahedron with 4 sides. Pyraminx is played with the bottom completely flat and the front side facing the person holding the  Pyraminx. The goal of the Pyraminx game is to randomize the colors, then return the scrambled colors to their original color positions  by  rotating  the  sides.  This  research  does  not  discuss  the  most  effective  way  of  solving Pyraminx but focuses more on proving that movements in Pyraminx form group and that there is a group  isomorphism  from  the  group  of  Pyraminx  movements  to  the 𝑆 36 symmetry  permutation subgroup in Pyraminx. First, it is proved that movements in Pyraminx form group using 2 methods, namely direct proof in Pyraminx (Pyaminx movement group) and performing permutations in set A containing  numeric  labels  in  the  form  of  numbers  1  to  36  on  Pyraminx  facets  by  following  the movements of Pyraminx ( 𝑆 36 symmetry permutation subgroup). Furthermore, it is proved that there is  a  group  isomorphism  from  the  Pyraminx  movement  group  to  the 𝑆 36 symmetry  permutation subgroup in Pyraminx.
Keywords: Group, 𝑆 36 symmetry permutation group, subgroup, isomorphism, Pyraminx.

## Abstrak
Pyraminx  merupakan  sebuah  twisty  puzzle  yang  berbentuk  tetrahedron  dengan  4  sisi.  Pyraminx dimainkan dengan cara bagian bawah mendatar sepenuhnya dan bagian sisi depan menghadap kepada orang  yang  memegang  Pyraminx.  Tujuan  dari  permainan  Pyraminx  adalah  mengacak  warna, kemudian  mengembalikan  warna  yang  teracak  ke  posisi  warna  aslinya  dengan  cara  memutar  sisi- sisinya. Penelitian ini tidak membahas cara paling efektif dalam penyelesaian Pyraminx tetapi lebih difokuskan  pada  pembuktian  bahwa  pergerakan  pada  Pyraminx  membentuk  grup  dan  adanya isomorfisma grup dari grup pergerakan Pyraminx ke subgrup permutasi simetri 𝑆 36 pada Pyraminx. Pertama,  dibuktikan  bahwa  pergerakan  pada  Pyraminx  membentuk  grup  dengan  menggunakan  2 metode,  yaitu  pembuktian  langsung  di  Pyraminx  (grup  pergerakan  Pyraminx)  dan  melakukan permutasi pada himpunan A yang berisi label numerik berupa angka 1 sampai 36 pada facet Pyraminx dengan  mengikuti  pergerakan  Pyraminx  (subgrup  permutasi  simetri 𝑆 36 ).  Selanjutnya,  dibuktikan adanya  isomorfisma  grup  dari  grup  pergerakan  Pyraminx  ke  subgrup  permutasi  simetri 𝑆 36 pada Pyraminx.
Kata kunci: Grup, grup permutasi simetri 𝑆 36 , subgrup, isomorfisma, Pyraminx.

## 1.   PENDAHULUAN

## JURNAL MATEMATIKA, STATISTIKA DAN KOMPUTASI

## Nurhafizah, Nur Erawaty, Amir Kamal Amir
Teori grup merupakan bidang matematika mendasar dan penting yang memiliki jangkauan luas  penerapan  di  berbagai  bidang  penelitian,  termasuk  fisika,  kimia,  ilmu  komputer  dan kriptografi  [7].  Teori  grup  mempelajari  tentang  grup.  Grup  adalah  suatu  struktur  aljabar  yang terdiri  dari  sebuah  himpunan  dan  operasi  biner  yang  terdefinisi  pada  himpunan  tersebut,  serta himpunan beserta operasinya itu harus memenuhi beberapa sifat-sifat tertentu yang biasa disebut aksioma grup [5]. Permainan rubik adalah contoh objek konkret yang memiliki kaitan dengan teori grup. Rubik merupakan teka-teki matematika terkenal yang ditemukan oleh Erno Rubik pada tahun 1974  [14].  Rubik  telah  menyebabkan  terciptanya  banyak  varian  yang  berbeda  (Megaminx, Pyraminx,  Tuttminx,  Skewb  diamond  dan  lainnya)  [17].  Dengan  menerapakan  teori  grup  pada permainan rubik, banyak proposisi dan sifat-sifat rubik yang dapat dibahas [9].
Pyraminx merupakan sebuah twisty puzzle yang berbentuk tetrahedron dengan 4 sisi [3]. Pyraminx  dimainkan  dengan  cara  bagian  bawah  mendatar  sepenuhnya  dan  bagian  sisi  depan menghadap  kepada  orang  yang  memegang  Pyraminx.  Tujuan  dari  permainan  Pyraminx  adalah mengacak warna, kemudian mengembalikan warna yang teracak ke posisi warna aslinya dengan cara memutar sisi-sisinya.
Permainan rubik memiliki kaitan dengan teori grup dan beberapa peneliti telah melakukan penelitian  mengenai  hal  tersebut.  Pada  tahun  2012,  Kurnianingtyas  dkk  [13]  telah  melakukan penelitian tentang Grup dan Homomorfisma Grup pada Rubik Revenge yang membuktikan adanya homomorfisma grup dari grup pergerakan rubik ke grup permutasi simetri 𝑆 96 pada rubik revenge. Tahun 2016, Ihsan dkk [10] meneliti Aksi Grup dalam Pembentukan Homomorfisma pada Rubik’s Cube yang memperlihatkan homomorfisma yang terbentuk akibat aksi grup ke himpunan facet- nya. Selain itu, pada tahun 2018, Safitri dkk [1] meneliti mengenai Isomorfisma Grup pada Rubik Revenge  yang  membuktikan  adanya  isomorfisma  grup  dari  grup  pergerakan  rubik  ke  grup permutasi simetri pada rubik revenge.
Penelitian ini tidak membahas cara paling efektif dalam penyelesaian Pyraminx tetapi lebih difokuskan  pada  pembuktian  bahwa  pergerakan  pada  Pyraminx  membentuk  grup  dan  adanya isomorfisma  grup  dari  grup  pergerakan  Pyraminx  ke  subgrup  permutasi  simetri 𝑆 36 pada Pyraminx.

## 2.   TINJAUAN PUSTAKA
Bagian ini menjelaskan definisi dan teorema yang relevan dengan topik penelitian. Definisi 2.1. [12]. Fungsi 𝑓 ∶ 𝐴 → 𝐵 disebut fungsi satu-satu (injektif) jika untuk sebarang 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐴 dan 𝑎 ≠ 𝑏 maka 𝑓(𝑎) ≠ 𝑓(𝑏) . Ekuivalen dengan, fungsi satu-satu jika 𝑓(𝑎) = 𝑓(𝑏) maka 𝑎 = 𝑏 . Definisi 2.2. [16]. Fungsi 𝑓 ∶ 𝐴 → 𝐵 disebut fungsi pada (surjektif) jika untuk setiap 𝑏 ∈ 𝐵 terdapat 𝑎 ∈ 𝐴 sedemikian sehingga 𝑓(𝑎) = 𝑏 . Definisi  2.3. [12].  Fungsi 𝑓 ∶ 𝐴 → 𝐵 disebut  fungsi  bijektif  jika  keduanya  fungsi  satu-satu  dan pada.
Definisi 2.4. [6]. Operasi biner ∗ pada himpunan 𝑆 adalah fungsi ∗ ∶ 𝑆 × 𝑆 → 𝑆 . Definisi 2.5. [6]. Grup (𝐺,∗) adalah himpunan 𝐺 yang tertutup dibawah operasi biner ∗ sehingga aksioma-aksioma dibawah ini terpenuhi:
(i) Operasi biner ∗ bersifat asosiatif. Yaitu untuk setiap 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝐺 berlaku (𝑎 ∗ 𝑏) ∗  𝑐 = 𝑎 ∗ (𝑏 ∗ 𝑐) .
(ii) Terdapat  elemen  identitas 𝑒 di G terhadap  operasi  biner ∗ ,  sehingga  untuk  setiap 𝑎 ∈ 𝐺 berlaku 𝑒 ∗ 𝑎 = 𝑎 ∗ 𝑒 = 𝑎 .
(iii) Untuk  setiap 𝑎 ∈ 𝐺 ,  terdapat  elemen  invers 𝑎 di 𝐺 yang  dinotasikan 𝑎 −1 ,  sehingga 𝑎 ∗ 𝑎 −1 = 𝑎 −1 ∗ 𝑎 = 𝑒. Definisi 2.6. [15]. Grup (𝐺,∗) disebut grup abel jika memenuhi hukum komutatif 𝑥 ∗ 𝑦 = 𝑦 ∗ 𝑥 untuk setiap 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐺 .

## JURNAL MATEMATIKA, STATISTIKA DAN KOMPUTASI

## Nurhafizah, Nur Erawaty, Amir Kamal Amir
Definisi 2.7. [6]. Jika 𝐻 himpunan bagian dari grup 𝐺 yang tertutup di bawah operasi biner dan jika 𝐻 itu sendiri adalah grup, maka 𝐻 adalah subgrup dari 𝐺 . Jika 𝐻 merupakan subgrup dari grup 𝐺 dinotasikan dengan 𝐻 ≤ 𝐺 atau 𝐺 ≥ 𝐻 dan jika 𝐻 ≤ 𝐺 tetapi 𝐻 ≠ 𝐺 dinotasikan dengan 𝐻 < 𝐺 atau 𝐺 > 𝐻 . Definisi 2.8. [4]. Misalkan 𝐺 grup dan 𝑆 ⊆ 𝐺 .  Himpunan 𝑆 dikatakan membangun 𝐺 atau 𝑆 adalah himpunan dari generator 𝐺 jika 𝐺 = 〈𝑆〉 dimana setiap elemen di G dapat ditulis sebagai perkalian berhingga (di bawah operasi grup) dari 𝑆 beserta inversnya. Definisi 2.9. [6]. Permutasi pada himpunan 𝐴 adalah fungsi 𝜙 ∶ 𝐴 → 𝐴 yang satu-satu dan pada.
Teorema  2.1. [6].  Misalkan 𝐴 adalah  himpunan  tak  kosong  dan 𝑆 𝐴 adalah  himpunan  semua permutasi pada himpunan 𝐴 . Maka 𝑆 𝐴 adalah grup di bawah operasi perkalian permutasi. Definisi 2.10. [6]. Misalkan 𝐴 adalah himpunan berhingga {1, 2, . . . , 𝑛} . Grup dari semua permutasi pada 𝐴 disebut grup simetri pada 𝑛 angka dan dinotasikan dengan 𝑆 𝑛 . Definisi  2.11. [15].  Jika (𝐺,∗) dan (𝐻,∘) adalah  grup,  maka  fungsi 𝑓 ∶ 𝐺 → H adalah  sebuah homomorfisma jika
𝑓(𝑥 ∗ 𝑦) = 𝑓(𝑥) ∘ 𝑓(𝑦)
untuk setiap 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐺 . Jika 𝑓 juga fungsi bijektif, maka 𝑓 disebut isomorfisma. Dua grup G dan H dikatakan isomorfik, dinotasikan 𝐺 ≅ 𝐻 , jika terdapat isomorfisma antara 𝑓 ∶ 𝐺 → 𝐻 . Definisi 2.12. [2]. Misalkan 𝐺 dan 𝐻 adalah grup, dan misalkan 𝜙 ∶ 𝐺 → 𝐻 adalah homomorfisma. Kernel dari ϕ didefinisikan sebagai himpunan 𝐾𝑒𝑟 𝜙 = {𝑥 ∈ 𝐺 | 𝜙(𝑥) = 𝑒′} dimana 𝑒′ adalah identitas di 𝐻. Teorema 2.2. [2]. Sebuah homomorfisma 𝜙 ∶ 𝐺 → H adalah injektif jika dan hanya jika 𝐾𝑒𝑟 𝜙 = {𝑒} .

## 3.     STRUKTUR DAN NOTASI PADA PYRAMINX
Pyraminx terdiri dari 4 corner tip yaitu sudut Pyraminx, 4 axial piece yaitu lapisan di bawah corner  dan  6  edge  piece  yaitu  bagian  rusuk  Pyraminx  [3].  Kondisi  awal  Pyraminx  dimisalkan dengan warna merah sebagai sisi depan (Front), warna kuning sebagai sisi kanan (Right), warna hijau sebagai sisi kiri (Left) dan warna biru sebagai sisi bawah (Down).
Gambar 3.1. Corner, Axial dan Edge pada Pyraminx
Pyraminx juga memiliki 36 facet. Facet merupakan permukaan/lapisan berbentuk segitiga kecil  pada  tiap  sisi  Pyraminx.  Jika  setiap  facet  pada  sisi  Pyraminx  diberi  label  numerik  berupa angka 1 sampai 36, akan diperoleh seperti gambar berikut [11].

## JURNAL MATEMATIKA, STATISTIKA DAN KOMPUTASI
Nurhafizah, Nur Erawaty, Amir Kamal Amir
Gambar 3.2. Label numerik pada facet Pyraminx
Notasi yang digunakan pada Pyraminx yaitu 𝑈 (2 sisi atas), 𝑅 (2 sisi kanan), 𝐿 (2 sisi kiri), 𝐵 (2  sisi belakang), 𝑢 (ujung bagian  atas), 𝑟 (ujung bagian  kanan), 𝑙 (ujung  bagian  kiri)  dan 𝑏 (ujung bagian belakang) [8].
Gambar 3.3. Notasi pada Pyraminx

## 4.     HASIL UTAMA

## 4.1.    Pergerakan Pyraminx
Definisi 4.1. Pergerakan merupakan gerakan memutar bagian Pyraminx sejauh 120°.
𝒃 (ujung bagian belakang) 𝒖 (ujung bagian atas) 𝒓 (ujung bagian kanan) 𝒍 (ujung bagian kiri) 𝑼 (2 sisi atas) 𝑳 (2 sisi kiri) 𝑩 (2 sisi belakang) 𝑹 (2 sisi kanan)

## JURNAL MATEMATIKA, STATISTIKA DAN KOMPUTASI

## Nurhafizah, Nur Erawaty, Amir Kamal Amir
Jenis  pergerakan  Pyraminx  yang  digunakan  yaitu  pergerakan  searah  jarum  jam.  Notasi pergerakan  Pyraminx  mengikuti  bagian  Pyraminx  yang  mengalami  pergerakan.  Ada 9 gerakan dasar pada  Pyraminx yaitu 0, 𝑈 , 𝑅 , 𝐿 , 𝐵 , 𝑢 , 𝑟 , 𝑙 dan 𝑏 . Selain gerakan dasar tersebut, ada juga gerakan lain yang berasal dari kombinasi gerakan dasar, yaitu gerakan memutar bagian Pyraminx sebanyak 𝑘 kali dan gerakan memutar sisi dan ujung bagian Pyraminx secara bersamaan seperti 𝑈𝑏 atau 𝐿𝑢 ,  sehingga  dari  kombinasi  gerakan  dasar  ini  akan  menambah  jumlah  pergerakan Pyraminx.
Tabel 4.1. Pergerakan pada Pyraminx Notasi Pergerakan 0 Pyraminx tidak mengalami pergerakan (elemen identitas) 𝑈 𝑘 Pergerakan 2 sisi atas Pyraminx sejauh 120° searah jarum jam sebanyak k kali 𝑅 𝑘 Pergerakan 2 sisi kanan Pyraminx sejauh 120° searah jarum jam sebanyak k kali 𝐿 𝑘 Pergerakan 2 sisi kiri Pyraminx sejauh 120° searah jarum jam sebanyak k kali
𝐵 𝑘 Pergerakan 2 sisi belakang Pyraminx sejauh 120° searah jarum jam sebanyak k kali 𝑢 𝑘 Pergerakan ujung bagian atas Pyraminx sejauh 120° searah jarum jam sebanyak k kali 𝑟 𝑘 Pergerakan ujung bagian kanan Pyraminx sejauh 120° searah jarum jam sebanyak k kali 𝑙 𝑘 Pergerakan ujung bagian kiri Pyraminx sejauh 120° searah jarum jam sebanyak k kali
𝑏 𝑘 Pergerakan ujung bagian belakang Pyraminx sejauh 120° searah jarum jam sebanyak k kali
Untuk 𝑘 = 0 ,  Pyraminx  tidak  mengalami  pergerakan  sehingga  elemen  yang  dihasilkan adalah elemen identitas identitas dan dinotasikan dengan e . Pergerakan Pyraminx ini menghasilkan posisi yang sama dengan pergerakan saat 𝑘 = 3,6,9,12, … . Untuk 𝑘 = 1 , pergerakan Pyraminx menghasilkan posisi yang sama dengan pergerakan saat 𝑘 = 4,7,10,13, … . Untuk 𝑘 = 2 , pergerakan Pyraminx menghasilkan posisi yang sama dengan pergerakan saat 𝑘 = 5,8,11,14, … .
Oleh  karena  itu,  himpunan  pergerakan  Pyraminx  terdiri  dari  gerakan  dasar  dan  berbagai gerakan  kombinasi  dari  gerakan  dasar  Pyraminx  yang  secara  umum  dapat  dituliskan  sebagai berikut.
Definisi  4.2. Misalkan 𝑆 = {0, 𝑈, 𝑅, 𝐿, 𝐵, 𝑢, 𝑟, 𝑙, 𝑏} adalah  gerakan  dasar  Pyraminx,  maka himpunan pergerakan Pyraminx dinotasikan dengan 𝐺 yaitu: 𝐺 = {𝑔 1 𝑘 1 𝑔 2 𝑘 2 … 𝑔 𝑛 𝑘 𝑛 | 𝑔 𝑖 ∈ 𝑆, 𝑘 𝑖 ∈ {1,2}, 𝑖 ∈ {1,2, … , 𝑛}, 𝑛 ∈ ℕ} .

## 4.2.    Grup
Untuk membuktikan bahwa pergerakan pada Pyraminx membentuk grup, ada 2 metode yang digunakan yaitu pembuktian langsung di Pyraminx (grup pergerakan Pyraminx) dan melakukan permutasi  pada  himpunan 𝐴 yang  berisi  label  numerik  berupa  angka  1  sampai  36  pada  facet Pyraminx dengan mengikuti pergerakan Pyraminx (subgrup permutasi simetri 𝑆 36 ).
a) Pembuktian langsung di Pyraminx (grup pergerakan Pyraminx)

## JURNAL MATEMATIKA, STATISTIKA DAN KOMPUTASI

## Nurhafizah, Nur Erawaty, Amir Kamal Amir
Sebelum  membuktikan  himpunan  pergerakan  Pyraminx  adalah  grup,  terlebih  dahulu diberikan sebuah operasi biner yang terdefinisi pada himpunan 𝐺 . Definisi 4.3. Didefinisikan operasi ∗ pada himpunan G yaitu untuk setiap 𝑎, 𝑏 ∈ G maka berlaku: (𝑎 ∗ 𝑏) = 𝑎(𝑏)
dimana pergerakan 𝑏 dilakukan terlebih dahulu kemudian pergerakan 𝑎 .
Teorema 4.1. Jika 𝐺 adalah himpunan pergerakan Pyraminx, maka 𝐺 adalah grup di bawah operasi ∗ yang dinotasikan (𝐺,∗) . Bukti:
(i) Akan ditunjukkan bahwa 𝐺 tertutup di bawah operasi ∗ . Misalkan 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐺 , 𝑎 = 𝑔 1 𝑎 1 𝑔 2 𝑎 2 … 𝑔 𝑛 1 𝑎 𝑛1 𝑏 = 𝑔 1 𝑏 1 𝑔 2 𝑏 2 … 𝑔 𝑛 2 𝑏 𝑛2
dimana 𝑔 𝑖 ∈ 𝑆 , 𝑎 𝑖 , 𝑏 𝑖 ∈ {1,2} , 𝑖 ∈ {1,2, … , 𝑛} dan 𝑛 1 , 𝑛 2 ∈ ℕ . Diperoleh:
(𝑎 ∗ 𝑏) = (𝑔 1 𝑎 1 𝑔 2 𝑎 2 … 𝑔 𝑛 1 𝑎 𝑛1 ) ∗ (𝑔 1 𝑏 1 𝑔 2 𝑏 2 … 𝑔 𝑛 2 𝑏 𝑛2 ) = 𝑔 1 𝑏 1 𝑔 2 𝑏 2 … 𝑔 𝑛 2 𝑏 𝑛2 𝑔 1 𝑎 1 𝑔 2 𝑎 2 … 𝑔 𝑛 1 𝑎 𝑛1 𝑎 dan 𝑏 adalah dua pergerakan Pyraminx, maka hasil dari 𝑎 ∗ 𝑏 = 𝑔 1 𝑏 1 𝑔 2 𝑏 2 … 𝑔 𝑛 2 𝑏 𝑛2 𝑔 1 𝑎 1 𝑔 2 𝑎 2 … 𝑔 𝑛 1 𝑎 𝑛1 juga  merupakan  pergerakan  Pyraminx  karena 𝑔 1 , 𝑔 2 , … , 𝑔 𝑛 ∈ 𝑆 ⊆ 𝐺 dan 𝑐 1 , 𝑐 2 , … , 𝑐 𝑛 ∈ {1,2} . Jadi 𝐺 tertutup di bawah operasi ∗ .
(ii) Akan ditunjukkan bahwa operasi ∗ memenuhi sifat asosiatif.
Dari  Definisi  4.3  diketahui  bahwa  jika 𝑎 dan 𝑏 adalah  dua  pergerakan  Pyraminx  maka pergerakan 𝑏 dilakukan terlebih dahulu kemudian pergerakan yaitu (𝑎 ∗ 𝑏) = 𝑎(𝑏) . Selanjutnya  untuk  menunjukkan  operasi ∗ memenuhi  sifat  asosiatif (𝑎 ∗ (𝑏 ∗ 𝑐)) = ((𝑎 ∗ 𝑏) ∗ 𝑐) maka diambil tiga pergerakan Pyraminx. Misalkan 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝐺 . Diperoleh: (𝑎 ∗ (𝑏 ∗ 𝑐)) = (𝑎)(𝑏 ∗ 𝑐) = 𝑎(𝑏(𝑐))
((𝑎 ∗ 𝑏) ∗ 𝑐) = (𝑎 ∗ 𝑏)(𝑐) = 𝑎(𝑏(𝑐)) .
Terbukti (𝑎 ∗ (𝑏 ∗ 𝑐)) = ((𝑎 ∗ 𝑏) ∗ 𝑐) . Jadi operasi ∗ memenuhi sifat asosiatif.
(iii) Akan ditunjukkan bahwa terdapat elemen identitas 𝑒 di 𝐺 terhadap operasi biner ∗ sehingga untuk setiap 𝑎 ∈ 𝐺 berlaku 𝑒 ∗ 𝑎 = 𝑎 ∗ 𝑒 = 𝑎 .
Elemen  identitas 𝑒 didefinisikan  dengan 0 yaitu  ketika  Pyraminx  tidak  melakukan pergerakan.
Ambil sebarang 𝑎 ∈ 𝐺 , perhatikan bahwa (0 ∗ 𝑎) = 0 ∗ (𝑔 1 𝑎 1 𝑔 2 𝑎 2 … 𝑔 𝑛 𝑎 𝑛 ) = 𝑔 1 𝑎 1 𝑔 2 𝑎 2 … 𝑔 𝑛 𝑎 𝑛 = 𝑎 (𝑎 ∗ 0) = (𝑔 1 𝑎 1 𝑔 2 𝑎 2 … 𝑔 𝑛 𝑎 𝑛 ) ∗ 0 = 𝑔 1 𝑎 1 𝑔 2 𝑎 2 … 𝑔 𝑛 𝑎 𝑛
= 𝑎 . Diperoleh 0 ∗ 𝑎 = 𝑎 ∗ 0 = 𝑎 . Jadi 𝐺 memiliki elemen identitas di bawah operasi ∗.
(iv) Akan  ditunjukkan  bahwa  untuk  setiap 𝑎 ∈ 𝐺 ,  terdapat  elemen  invers 𝑎 di 𝐺 yaitu 𝑎 −1 sehingga 𝑎 ∗ 𝑎 −1 = 𝑎 −1 ∗ 𝑎 = 𝑒 .
Invers  pada  Pyraminx  didefinisikan  sebagai  pergerakan  yang  mengembalikan  posisi Pyraminx ke posisi identitas. Untuk 𝑎 𝑖 = 1 maka 𝑎 𝑖 −1 = 2 dan untuk 𝑎 𝑖 = 2 maka 𝑎 𝑖 −1 = 1 dimana 𝑎 𝑖 ∈ {1,2}, 𝑖 ∈ {1,2, … , 𝑛}, 𝑛 ∈ ℕ .

## JURNAL MATEMATIKA, STATISTIKA DAN KOMPUTASI

## Nurhafizah, Nur Erawaty, Amir Kamal Amir
Contohnya invers dari 𝑅 2 adalah 𝑅 .
Hal ini juga berlaku pada elemen yang tidak tunggal di 𝐺 , misalnya 𝑈 2 𝑏 . Invers dari 𝑈 2 𝑏 adalah 𝑏 2 𝑈 karena  pergerakan  inilah  yang  mengembalikan  posisi  Pyraminx  ke  posisi identitas.
Secara umum, elemen 𝑎 −1 didefinisikan dengan
𝑎 −1 = 𝑔 𝑛 𝑎 𝑛 −1 … 𝑔 2 𝑎 2 −1 𝑔 1 𝑎 1 −1 . Ambil sebarang 𝑎 ∈ 𝐺 , perhatikan bahwa (𝑎 ∗ 𝑎 −1 ) = (𝑔 1 𝑎 1 𝑔 2 𝑎 2 … 𝑔 𝑛 𝑎 𝑛 ) ∗ (𝑔 𝑛 𝑎 𝑛 −1 … 𝑔 2 𝑎 2 −1 𝑔 1 𝑎 1 −1 ) = 𝑔 𝑛 𝑎 𝑛 −1 … 𝑔 2 𝑎 2 −1 𝑔 1 𝑎 1 −1 𝑔 1 𝑎 1 𝑔 2 𝑎 2 … 𝑔 𝑛 𝑎 𝑛 = 0 (𝑎 −1 ∗ 𝑎) = (𝑔 𝑛 𝑎 𝑛 −1 … 𝑔 2 𝑎 2 −1 𝑔 1 𝑎 1 −1 ) ∗ (𝑔 1 𝑎 1 𝑔 2 𝑎 2 … 𝑔 𝑛 𝑎 𝑛 ) = 𝑔 1 𝑎 1 𝑔 2 𝑎 2 … 𝑔 𝑛 𝑎 𝑛 𝑔 𝑛 𝑎 𝑛 −1 … 𝑔 2 𝑎 2 −1 𝑔 1 𝑎 1 −1 = 0 .
Diperoleh 𝑎 ∗ 𝑎 −1 = 𝑎 −1 ∗ 𝑎 = 𝑒 . Jadi 𝐺 memiliki invers di bawah operasi ∗ .
Terbukti  bahwa  pergerakan  Pyraminx  adalah  grup  dibawah  operasi ∗ yang  dinotasikan dengan (𝐺,∗) .
Akan  tetapi,  grup  pergerakan  Pyraminx  bukan  grup  abelian,  karena  terdapat 𝑈, 𝐿 ∈ 𝐺 sehinga [ 𝑈 ∗ 𝐿 = 𝐿𝑈] ≠ [𝐿 ∗ 𝑈 = 𝑈𝐿] , maka (𝐺,∗) merupakan grup non-abelian.
b) Subgrup Permutasi Simetri 𝑺 𝟑𝟔
Sebelum  membuktikan  bahwa  permutasi  pada  himpunan  facet  Pyraminx  membentuk subgrup permutasi simetri 𝑆 36 terlebih dahulu diberikan penjelasan bagaimana proses terbentuknya grup permutasi simetri 𝑆 36 . Misalkan 𝐴 adalah himpunan angka 1 sampai 36 yaitu 𝐴 = {1,2,3, … ,36} . Permutasi pada himpunan 𝐴 adalah fungsi bijeksi dari 𝐴 ke 𝐴 . Jika dilakukan permutasi pada himpunan 𝐴 maka diperoleh himpunan semua permutasi-permutasi dari himpunan 𝐴 yaitu 𝑆 𝐴 = {𝜋 1 , 𝜋 2 , 𝜋 3 , … , 𝜋 36! } .
Definisi  4.4. Didefinisikan operasi ∘ (perkalian permutasi) pada himpunan A yaitu untuk setiap 𝜋 𝑎 , 𝜋 𝑏 ∈ 𝑆 𝐴 maka berlaku:
(𝜋 𝑎 ∘ 𝜋 𝑏 ) = 𝜋 𝑎 (𝜋 𝑏 ) dimana 𝜋 𝑏 dilakukan terlebih dahulu kemudian 𝜋 𝑎 .
Berdasarkan Teorema 2.1., karena 𝐴 ≠ ∅ dan 𝑆 𝐴 = {𝜋 1 , 𝜋 2 , 𝜋 3 , … , 𝜋 36! } adalah himpunan semua permutasi-permutasi dari 𝐴 , maka 𝑆 𝐴 adalah grup dibawah operasi perkalian permutasi. Dan berdasarkan  Definisi  2.10., karena 𝐴 = {1,2,3, … ,36} maka 𝑆 𝐴 dapat  juga  disebut  grup  simetri 𝑆 36 . Jadi, grup dari semua permutasi pada 𝐴 dapat juga disebut grup permutasi simetri 𝑆 36 . Pyraminx memiliki 4 × 9 = 36 facet , dimana terdapat 4 sisi dan tiap sisi memiliki 9 facet. Jika  setiap  facet  Pyraminx  diberi  label  numerik  berupa  angka  1  sampai  36  maka  diperoleh himpunan facet Pyraminx.
Definisi 4.5. Himpunan semua facet Pyraminx dinotasikan dengan 𝐵 yaitu 𝐵 = {1,2,3, … ,36} .
Selanjutnya,  jika  dilakukan  permutasi  pada  himpunan 𝐵 dengan  mengikuti  pergerakan Pyraminx maka diperoleh himpunan semua permutasi dari himpunan 𝐵 .
Definisi 4.6. Misalkan 𝑆′ = { 𝜋 1 , 𝜋 2 , 𝜋 3 , 𝜋 4 , 𝜋 5 , 𝜋 6 , 𝜋 7 , 𝜋 8 , 𝜋 9 } adalah permutasi dari gerakan dasar Pyraminx, maka himpunan semua permutasi dari himpunan 𝐵 dinotasikan dengan H yaitu: 𝐻 = {ℎ 1 𝑙 1 ℎ 2 𝑙 2 … ℎ 𝑛 𝑙 𝑛 | ℎ 𝑖 ∈ 𝑆′, 𝑙 𝑖 ∈ {1,2}, 𝑖 ∈ {1,2, … , 𝑛}, 𝑛 ∈ ℕ} .

## JURNAL MATEMATIKA, STATISTIKA DAN KOMPUTASI

## Nurhafizah, Nur Erawaty, Amir Kamal Amir
Saat melakukan permutasi pada himpunan 𝐵 , tidak semua permutasi 𝑆 36 dapat dilakukan karena bagian corner tidak mungkin dipetakan ke bagian axial. Contohnya pada permutasi dari 𝑈 , facet angka 1 tidak bisa dipetakan ke facet angka 5. Kata ‘dipetakan’ disini sama artinya dengan posisi facet angka 1 tidak bisa ke posisi facet angka 5, sehingga grup yang dapat dibentuk dari permutasi pada himpunan 𝐵 hanya subgrup dari 𝑆 36 .
Teorema 4.2. Jika 𝐻 adalah himpunan semua permutasi dari himpunan B maka 𝐻 adalah subgrup permutasi simetri 𝑆 36 dibawah operasi ∘ (perkalian permutasi) yang dinotasikan (𝐻,∘) . Bukti:
• Akan ditunjukkan bahwa 𝐻 ⊆   𝑆 36 .
Karena semua elemen di 𝐻 termuat dalam 𝑆 36 maka 𝐻 ⊆   𝑆 36 .
• Akan ditunjukkan bahwa 𝐻 merupakan grup dibawah operasi ∘ (perkalian permutasi).
(i) Akan ditunjukkan bahwa 𝐻 tertutup di bawah operasi ∘ . Misalkan 𝜙 𝑎 , 𝜙 𝑏 ∈ 𝐻 , 𝜙 𝑎 = ℎ 1 𝑎 1 ℎ 2 𝑎 2 … ℎ 𝑛 1 𝑎 𝑛1 𝜙 𝑏 = ℎ 1 𝑏 1 ℎ 2 𝑏 2 … ℎ 𝑛 2 𝑏 𝑛2
dimana ℎ 𝑖 ∈ 𝑆′ , 𝑎 𝑖 , 𝑏 𝑖 ∈ {1,2} , 𝑖 ∈ {1,2, … , 𝑛} dan 𝑛 1 , 𝑛 2 ∈ ℕ . Diperoleh:
(𝜙 𝑎 ∘ 𝜙 𝑏 ) = (ℎ 1 𝑎 1 ℎ 2 𝑎 2 … ℎ 𝑛 1 𝑎 𝑛1 ) ∘ (ℎ 1 𝑏 1 ℎ 2 𝑏 2 … ℎ 𝑛 2 𝑏 𝑛2 ) = ℎ 1 𝑏 1 ℎ 2 𝑏 2 … ℎ 𝑛 2 𝑏 𝑛2 ℎ 1 𝑎 1 ℎ 2 𝑎 2 … ℎ 𝑛 1 𝑎 𝑛1 𝜙 𝑎 dan 𝜙 𝑏 adalah dua permutasi pada Pyraminx, maka hasil dari
𝜙 𝑎 ∘ 𝜙 𝑏 = ℎ 1 𝑏 1 ℎ 2 𝑏 2 … ℎ 𝑛 2 𝑏 𝑛2 ℎ 1 𝑎 1 ℎ 2 𝑎 2 … ℎ 𝑛 1 𝑎 𝑛1
juga merupakan permutasi pada Pyraminx karena ℎ 1 , ℎ 2 , … , ℎ 𝑛 ∈ 𝑆′ ⊆ 𝐻 dan 𝑐 1 , 𝑐 2 , … , 𝑐 𝑛 ∈ {1,2} . Jadi 𝐻 tertutup di bawah operasi ∘ .
(ii) Karena 𝑆 36 merupakan  grup maka 𝑆 36 bersifat  asosiatif  yaitu  untuk  setiap  elemen di 𝑆 36 berlaku (𝜙 𝑎 ∘ (𝜙 𝑏 ∘ 𝜙 𝑐 )) = ((𝜙 𝑎 ∘ 𝜙 𝑏 ) ∘ 𝜙 𝑐 ) ,  sehingga  tentu  saja  sifat  asosiatif  juga berlaku untuk setiap elemen di 𝐻 ⊆ 𝑆 36 .
(iii) Akan  ditunjukkan  bahwa  terdapat  elemen  identitas 𝑒 ∈ 𝐻 sehingga  untuk  setiap 𝜙 𝑎 ∈ 𝐻 berlaku 𝑒 ∘ 𝜙 𝑎 = 𝜙 𝑎 ∘ 𝑒 = 𝜙 𝑎 . Elemen identitas 𝑒 didefinisikan dengan 𝜋 1 yaitu permutasi identitas. Ambil sebarang 𝜙 𝑎 ∈ 𝐻 , perhatikan bahwa (𝜋 1 ∘ 𝜙 𝑎 ) = 𝜋 1 ∘ (ℎ 1 𝑎 1 ℎ 2 𝑎 2 … ℎ 𝑛 𝑎 𝑛 ) = ℎ 1 𝑎 1 ℎ 2 𝑎 2 … ℎ 𝑛 𝑎 𝑛 = 𝜙 𝑎 (𝜙 𝑎 ∘ 𝜋 1 ) = (ℎ 1 𝑎 1 ℎ 2 𝑎 2 … ℎ 𝑛 𝑎 𝑛 ) ∘ 𝜋 1 = ℎ 1 𝑎 1 ℎ 2 𝑎 2 … ℎ 𝑛 𝑎 𝑛 = 𝜙 𝑎 .
Jadi 𝐻 memiliki elemen identitas di bawah operasi ∘ . (iv) Akan ditunjukkan bahwa untuk setiap 𝜙 𝑎 ∈ 𝐻 , terdapat elemen invers 𝜙 𝑎 di 𝐻 yaitu 𝜙 𝑎 −1 sehingga 𝜙 𝑎 ∘ 𝜙 𝑎 −1 = 𝜙 𝑎 −1 ∘ 𝜙 𝑎 = 𝜋 1 .
Invers  permutasi  pada  Pyraminx  didefinisikan  sebagai  permutasi  yang  mengembalikan posisi Pyraminx ke posisi identitas. Untuk 𝑎 𝑖 = 1 maka 𝑎 𝑖 −1 = 2 dan untuk 𝑎 𝑖 = 2 maka 𝑎 𝑖 −1 = 1 dimana 𝑎 𝑖 ∈ {1,2}, 𝑖 ∈ {1,2, … , 𝑛}, 𝑛 ∈ ℕ . Contohnya invers dari 𝜋 1 adalah 𝜋 1 2 .
Hal ini juga berlaku pada elemen yang tidak tunggal di 𝐻 , misalnya 𝜋 4 2 𝜋 5 𝜋 2 . Invers dari 𝜋 4 2 𝜋 5 𝜋 2 adalah 𝜋 2 2 𝜋 5 2 𝜋 4 karena permutasi ini yang akan mengembalikan posisi Pyraminx ke posisi identitas.
Secara umum, elemen 𝜙 𝑎 −1 didefinisikan dengan

## JURNAL MATEMATIKA, STATISTIKA DAN KOMPUTASI
Nurhafizah, Nur Erawaty, Amir Kamal Amir
𝜙 𝑎 −1 = ℎ 𝑛 𝑎 𝑛 −1 … ℎ 2 𝑎 2 −1 ℎ 1 𝑎 1 −1 .
Ambil sebarang 𝜙 𝑎 ∈ 𝐻 , perhatikan bahwa (𝜙 𝑎 ∘ 𝜙 𝑎 −1 ) = (ℎ 1 𝑎 1 ℎ 2 𝑎 2 … ℎ 𝑛 𝑎 𝑛 ) ∘ (ℎ 𝑛 𝑎 𝑛 −1 … ℎ 2 𝑎 2 −1 ℎ 1 𝑎 1 −1 ) = ℎ 𝑛 𝑎 𝑛 −1 … ℎ 2 𝑎 2 −1 ℎ 1 𝑎 1 −1 ℎ 1 ℎ 1 𝑎 1 ℎ 2 𝑎 2 … ℎ 𝑛 𝑎 𝑛 = 𝜋 1 (𝜙 𝑎 −1 ∘ 𝜙 𝑎 ) = (ℎ 𝑛 𝑎𝑛−1 … ℎ 2 𝑎2−1 ℎ 1 𝑎1−1 ) ∘ (ℎ 1 𝑎1 ℎ 2 𝑎2 … ℎ 𝑛 𝑎𝑛 ) = ℎ 1 𝑎 1 ℎ 2 𝑎 2 … ℎ 𝑛 𝑎 𝑛 ℎ 𝑛 𝑎 𝑛 −1 … ℎ 2 𝑎 2 −1 ℎ 1 𝑎 1 −1 = 𝜋 1 .
Diperoleh 𝜙 𝑎 ∘ 𝜙 𝑎 −1 = 𝜙 𝑎 −1 ∘ 𝜙 𝑎 = 𝜋 1 . Jadi 𝐻 memiliki invers di bawah operasi ∘ . Terbukti  bahwa 𝐻 adalah  subgrup  permutasi  simetri 𝑆 36 dibawah  operasi ∘ (perkalian permutasi) yang dinotasikan (𝐻,∘) .

## 4.3.    Isomorfisma Grup pada Pyraminx
Selanjutnya akan dibuktikan adanya isomorfisma grup pada Pyraminx.
Teorema 4.3. Misalkan 𝐺 = {𝑔 1 𝑘 1 𝑔 2 𝑘 2 … 𝑔 𝑛 𝑘 𝑛 | 𝑔 𝑖 ∈ 𝑆, 𝑘 𝑖 ∈ {1,2}, 𝑖 ∈ {1,2, … , 𝑛}, 𝑛 ∈ ℕ} adalah grup pergerakan Pyraminx dengan generator 𝑆 = {0, 𝑈, 𝑅, 𝐿, 𝐵, 𝑢, 𝑟, 𝑙, 𝑏} dan 𝐻 = {ℎ 1 𝑙 1 ℎ 2 𝑙 2 … ℎ 𝑛 𝑙 𝑛 | ℎ 𝑖 ∈ 𝑆 ′ , 𝑙 𝑖 ∈ {1,2}, 𝑖 ∈ {1,2, … , 𝑛}, 𝑛 ∈ ℕ} adalah subgrup permutasi simetri S 36 dengan generator 𝑆 ′ = {𝜋 1 , 𝜋 2 , 𝜋 3 , 𝜋 4 , 𝜋 5 , 𝜋 6 , 𝜋 7 , 𝜋 8 , 𝜋 9 } . Didefinisikan 𝜃 ∶ 𝐺 → 𝐻 dengan 𝜃(𝑔 1 𝑎 1 𝑔 2 𝑎 2 … 𝑔 𝑛 𝑎 𝑛 ) = 𝜃(𝑔 1 ) 𝑎 1 𝜃(𝑔 2 ) 𝑎 2 … 𝜃(𝑔 𝑛 ) 𝑎 𝑛 dimana 𝜃(0) = 𝜋 1 , 𝜃(𝑈) = 𝜋 2 , 𝜃(𝑅) = 𝜋 3 , 𝜃(𝐿) = 𝜋 4 , 𝜃(𝐵) = 𝜋 5 , 𝜃(𝑢) = 𝜋 6 , 𝜃(𝑟) = 𝜋 7 , 𝜃(𝑙) = 𝜋 8 dan 𝜃(𝑏) = 𝜋 9 . 𝜃 merupakan isomorfisma grup yang dinotasikan dengan 𝐺 ≅ 𝐻 . Bukti:
Diketahui operasi biner pada grup 𝐺 didefinisikan dengan operasi ∗ yaitu untuk setiap 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐺 maka  berlaku (𝑎 ∗ 𝑏) = 𝑎(𝑏) dimana  pergerakan 𝑏 dilakukan  terlebih  dahulu  kemudian pergerakan 𝑎 dan operasi biner pada grup 𝐻 didefinisikan dengan operasi ∘ (perkalian permutasi) yaitu  untuk  setiap 𝜋 𝑎 , 𝜋 𝑏 ∈ 𝐻 maka  berlaku (𝜋 𝑎 ∘ 𝜋 𝑏 ) = 𝜋 𝑎 (𝜋 𝑏 ) dimana 𝜋 𝑏 dilakukan terlebih dahulu kemudian 𝜋 𝑎 .
Syarat dua grup disebut isomorfisma jika dua grup tersebut terdapat sebuah homomorfisma dan juga fungsi bijektif.
(i) Akan ditunjukkan bahwa 𝜃 merupakan homomorfisma grup.
Homomorfisma grup jika: 𝜃(𝑎 ∗ 𝑏) = 𝜃(𝑎) ∘ 𝜃(𝑏) untuk setiap 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐺 . Ambil sebarang 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐺 , 𝑎 = 𝑔 1 𝑎 1 𝑔 2 𝑎 2 … 𝑔 𝑛 1 𝑎 𝑛1 𝑏 = 𝑔 1 𝑏 1 𝑔 2 𝑏 2 … 𝑔 𝑛 2 𝑏 𝑛2
dimana 𝑔 𝑖 ∈ 𝑆 , 𝑎 𝑖 , 𝑏 𝑖 ∈ {1,2} , 𝑖 ∈ {1,2, … , 𝑛} dan 𝑛 1 , 𝑛 2 ∈ ℕ . Maka 𝜃(𝑎 ∗ 𝑏) = 𝜃(𝑔 1 𝑎 1 𝑔 2 𝑎 2 … 𝑔 𝑛 1 𝑎 𝑛1 ∗ 𝑔 1 𝑏 1 𝑔 2 𝑏 2 … 𝑔 𝑛 2 𝑏 𝑛2 ) = 𝜃(𝑔 1 𝑏 1 𝑔 2 𝑏 2 … 𝑔 𝑛 2 𝑏 𝑛2 𝑔 1 𝑎 1 𝑔 2 𝑎 2 … 𝑔 𝑛 1 𝑎 𝑛1 ) = 𝜃(𝑔 1 ) 𝑏 1 𝜃(𝑔 2 ) 𝑏 2 … 𝜃(𝑔 𝑛 2 ) 𝑏 𝑛2 𝜃(𝑔 1 ) 𝑎 1 𝜃(𝑔 2 ) 𝑎 2 … 𝜃(𝑔 𝑛 1 ) 𝑎 𝑛1
𝜃(𝑎) ∘ 𝜃(𝑏) = 𝜃(𝑔 1 𝑎 1 𝑔 2 𝑎 2 … 𝑔 𝑛 1 𝑎 𝑛1 ) ∘ 𝜃(𝑔 1 𝑏 1 𝑔 2 𝑏 2 … 𝑔 𝑛 2 𝑏 𝑛2 ) = 𝜃(𝑔 1 ) 𝑎 1 𝜃(𝑔 2 ) 𝑎 2 … 𝜃(𝑔 𝑛 1 ) 𝑎 𝑛1 ∘ 𝜃(𝑔 1 ) 𝑏 1 𝜃(𝑔 2 ) 𝑏 2 … 𝜃(𝑔 𝑛 2 ) 𝑏 𝑛2 = 𝜃(𝑔 1 ) 𝑏 1 𝜃(𝑔 2 ) 𝑏 2 … 𝜃(𝑔 𝑛 2 ) 𝑏 𝑛2 𝜃(𝑔 1 ) 𝑎 1 𝜃(𝑔 2 ) 𝑎 2 … 𝜃(𝑔 𝑛 1 ) 𝑎 𝑛1 . Diperoleh 𝜃(𝑎 ∗ 𝑏) = 𝜃(𝑎) ∘ 𝜃(𝑏) . Jadi 𝜃 merupakan homomorfisma grup.

## JURNAL MATEMATIKA, STATISTIKA DAN KOMPUTASI

## Nurhafizah, Nur Erawaty, Amir Kamal Amir
(ii) Akan ditunjukkan bahwa 𝜃 merupakan fungsi bijektif.
• Pertama, akan ditunjukkan bahwa 𝜃 adalah fungsi satu-satu. Misalkan 𝑎 ∈ 𝐺 , 𝑎 = 𝑔 1 𝑎 1 𝑔 2 𝑎 2 … 𝑔 𝑛 𝑎 𝑛
dimana 𝑔 𝑖 ∈ 𝑆 , 𝑎 𝑖 ∈ {1,2} , 𝑖 ∈ {1,2, … , 𝑛} dan 𝑛 ∈ ℕ . Maka 𝐾𝑒𝑟 𝜃 = {𝑎 ∈ 𝐺 | 𝜃(𝑎) = 𝜋 1 } = {𝑔 1 𝑎 1 𝑔 2 𝑎 2 … 𝑔 𝑛 𝑎 𝑛 ∈ 𝐺 | 𝜃(𝑔 1 𝑎 1 𝑔 2 𝑎 2 … 𝑔 𝑛 𝑎 𝑛 ) = 𝜋 1 } = {𝑔 1 𝑎 1 𝑔 2 𝑎 2 … 𝑔 𝑛 𝑎 𝑛 ∈ 𝐺 | 𝜃(0) = 𝜋 1 } = {0} . Diperoleh 𝐾𝑒𝑟 𝜃 = {0} dimana 0 adalah elemen identitas di 𝐺 . Selanjutnya, akan ditunjukkan bahwa anggota 𝐾𝑒𝑟 𝜃 hanya satu yaitu 0 . Dengan  menggunakan  metode  kontradiksi,  andaikan  terdapat  elemen  bukan 0 yang pemetaannya 𝜋 1 . Misalkan 𝑥 ∈ 𝐺 , 𝑥 ≠ 0 dan 𝜃(𝑥) = 𝜋 1 . Maka 𝐾𝑒𝑟 𝜃 = {𝑎 ∈ 𝐺 | 𝜃(𝑎) = 𝜋 1 } = {𝑔 1 𝑎 1 𝑔 2 𝑎 2 … 𝑔 𝑛 𝑎 𝑛 ∈ 𝐺 | 𝜃(𝑔 1 𝑎 1 𝑔 2 𝑎 2 … 𝑔 𝑛 𝑎 𝑛 ) = 𝜋 1 } = {0, 𝑥} karena 𝜃(0) = 𝜋 1 dan 𝜃(𝑥) = 𝜋 1 . Perhatikan bahwa, 𝜃(𝑔 1 𝑎 1 𝑔 2 𝑎 2 … 𝑔 𝑛 𝑎 𝑛 ) = 𝜃(𝑔 1 ) 𝑎 1 𝜃(𝑔 2 ) 𝑎 2 … 𝜃(𝑔 𝑛 ) 𝑎 𝑛 dimana 𝜃(0) = 𝜋 1 , 𝜃(𝑈) = 𝜋 2 , 𝜃(𝑅) = 𝜋 3 , 𝜃(𝐿) = 𝜋 4 , 𝜃(𝐵) = 𝜋 5 , 𝜃(𝑢) = 𝜋 6 , 𝜃(𝑟) = 𝜋 7 , 𝜃(𝑙) = 𝜋 8 dan 𝜃(𝑏) = 𝜋 9 .
Pada  definisi diatas  ditemukan  fakta  bahwa  hanya 𝜃(0) = 𝜋 1 artinya  hanya  elemen 0 yang  pemetaannya 𝜋 1 .  Hal  ini  kontradiktif  dengan  asumsi  bahwa  terdapat 𝑥 ≠ 0 dan 𝜃(𝑥) = 𝜋 1 sehingga pengandaian perlu diingkari. Jadi, 𝑥 = 0 . Terbukti bahwa anggota 𝐾𝑒𝑟 𝜃 hanya satu yaitu 0 . Berdasarkan Teorema 2.4, karena 𝐾𝑒𝑟 𝜃 = {0} maka 𝜃 merupakan fungsi satu-satu.
• Selanjutnya, akan ditunjukkan bahwa 𝜃 adalah fungsi pada. Untuk menunjukkan 𝜃 adalah fungsi pada maka harus ditunjukkan untuk setiap 𝜋 𝑎 ∈ 𝐻 terdapat 𝑥 ∈ 𝐺 sehingga 𝜃(𝑥) = 𝜋 𝑎 . Ambil sebarang 𝜋 𝑎 ∈ 𝐻 , 𝜋 𝑎 = ℎ 1 𝑎 1 ℎ 2 𝑎 2 … ℎ 𝑛 𝑎 𝑛
dimana ℎ 𝑗 ∈ 𝑆′ , 𝑎 𝑗 ∈ {1,2} , 𝑗 ∈ {1,2, … , 𝑛} dan 𝑛 ∈ ℕ . Berdasarkan  definisi 𝜃 ∶ 𝐺 → 𝐻 ,  masing-masing ℎ 𝑗 dapat  ditentukan 𝑔 𝑖 sehingga 𝜃(𝑔 𝑖 ) = ℎ 𝑗 untuk suatu 𝑗 .
Pilih 𝑥 ∈ 𝐺 , 𝑥 = 𝑔 1 𝑏 1 𝑔 2 𝑏 2 … 𝑔 𝑛 𝑏 𝑛
dimana 𝑔 𝑖 ∈ 𝑆 , 𝑏 𝑖 ∈ {1,2} , 𝑖 ∈ {1,2, … , 𝑛} dan 𝑛 ∈ ℕ . Perhatikan bahwa, 𝑥 = 𝑔 1 𝑏 1 𝑔 2 𝑏 2 … 𝑔 𝑛 𝑏 𝑛 maka untuk setiap ℎ 𝑗 dapat ditentukan 𝑔 𝑖 sehingga 𝜃(𝑥) = 𝜃(𝑔 1 𝑏 1 𝑔 2 𝑏 2 … 𝑔 𝑛 𝑏 𝑛 ) = 𝜃(𝑔 1 ) 𝑏 1 𝜃(𝑔 2 ) 𝑏 2 … 𝜃(𝑔 𝑛 ) 𝑏 𝑛 = ℎ 1 𝑎 1 ℎ 2 𝑎 2 … ℎ 𝑛 𝑎 𝑛
= 𝜋 𝑎 . Diperoleh 𝜃(𝑥) = 𝜋 𝑎 .

## JURNAL MATEMATIKA, STATISTIKA DAN KOMPUTASI

## Nurhafizah, Nur Erawaty, Amir Kamal Amir
Karena untuk setiap 𝜋 𝑎 ∈ 𝐻 terdapat 𝑥 ∈ 𝐺 sehingga 𝜃(𝑥) = 𝜋 𝑎 maka 𝜃 adalah fungsi pada.
𝜃 adalah fungsi satu-satu dan pada, maka 𝜃 merupakan fungsi bijektif. Karena 𝜃 merupakan homomorfisma grup dan juga fungsi bijektif maka dapat disimpulkan bahwa 𝜃 merupakan isomorfisma grup dari 𝐺 ke 𝐻 . Jadi terbukti bahwa 𝐺 ≅ 𝐻 .

## 5.   KESIMPULAN
Misalkan 𝑆 = {0, 𝑈, 𝑅, 𝐿, 𝐵, 𝑢, 𝑟, 𝑙, 𝑏} adalah  gerakan  dasar  Pyraminx,  maka  himpunan pergerakan Pyraminx dinotasikan dengan G yaitu: 𝐺 = {𝑔 1 𝑘 1 𝑔 2 𝑘 2 … 𝑔 𝑛 𝑘 𝑛 | 𝑔 𝑖 ∈ 𝑆, 𝑘 𝑖 ∈ {1,2}, 𝑖 ∈ {1,2, … , 𝑛}, 𝑛 ∈ ℕ} . 𝐺 adalah grup dengan operasi ∗ yang didefinisikan untuk setiap 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐺 maka berlaku (𝑎 ∗ 𝑏) = 𝑎(𝑏) dimana  pergerakan 𝑏 dilakukan  terlebih  dahulu  kemudian  pergerakan 𝑎 . Grup  tersebut dinotasikan (𝐺,∗) . Misalkan 𝐴 adalah himpunan semua facet Pyraminx yang diberi label numerik berupa angka 1 sampai 36 yaitu 𝐴 = {1,2,3, … ,36} dan 𝑆′ = {𝜋 1 , 𝜋 2 , 𝜋 3 , 𝜋 4 , 𝜋 5 , 𝜋 6 , 𝜋 7 , 𝜋 8 , 𝜋 9 } adalah permutasi dari  gerakan  dasar  Pyraminx,  maka  himpunan  semua  permutasi  dari  himpunan 𝐴 dinotasikan dengan H yaitu:
𝐻 = {ℎ 1 𝑙 1 ℎ 2 𝑙 2 … ℎ 𝑛 𝑙 𝑛 | ℎ 𝑖 ∈ 𝑆′, 𝑙 𝑖 ∈ {1,2}, 𝑖 ∈ {1,2, … , 𝑛}, 𝑛 ∈ ℕ} . 𝐻 adalah subgrup permutasi simetri 𝑆 36 dengan operasi ∘ (perkalian permutasi) yang didefinisikan untuk setiap 𝜋 𝑎 , 𝜋 𝑏 ∈ 𝐻 maka berlaku (𝜋 𝑎 ∘ 𝜋 𝑏 ) = 𝜋 𝑎 (𝜋 𝑏 ) dimana 𝜋 𝑏 dilakukan terlebih dahulu kemudian 𝜋 𝑎 . Grup tersebut dinotasikan (𝐻,∘) .
Misalkan 𝐺 = {𝑔 1 𝑘 1 𝑔 2 𝑘 2 … 𝑔 𝑛 𝑘 𝑛 | 𝑔 𝑖 ∈ 𝑆, 𝑘 𝑖 ∈ {1,2}, 𝑖 ∈ {1,2, … , 𝑛}, 𝑛 ∈ ℕ} adalah  grup pergerakan Pyraminx dengan generator 𝑆 = {0, 𝑈, 𝑅, 𝐿, 𝐵, 𝑢, 𝑟, 𝑙, 𝑏} dan 𝐻 = {ℎ 1 𝑙 1 ℎ 2 𝑙 2 … ℎ 𝑛 𝑙 𝑛 | ℎ 𝑖 ∈ 𝑆′, 𝑙 𝑖 ∈ {1,2}, 𝑖 ∈ {1,2, … , 𝑛}, 𝑛 ∈ ℕ} adalah subgrup permutasi simetri S 36 dengan generator 𝑆 ′ = {𝜋 1 , 𝜋 2 , 𝜋 3 , 𝜋 4 , 𝜋 5 , 𝜋 6 , 𝜋 7 , 𝜋 8 , 𝜋 9 } . Terdapat isomorfisma grup dari 𝐺 ke 𝐻 yang didefinisikan 𝜃 ∶ 𝐺 → 𝐻 dengan 𝜃(𝑔 1 𝑎 1 𝑔 2 𝑎 2 … 𝑔 𝑛 𝑎 𝑛 ) = 𝜃(𝑔 1 ) 𝑎 1 𝜃(𝑔 2 ) 𝑎 2 … 𝜃(𝑔 𝑛 ) 𝑎 𝑛 dimana 𝜃(0) = 𝜋 1 , 𝜃(𝑈) = 𝜋 2 , 𝜃(𝑅) = 𝜋 3 , 𝜃(𝐿) = 𝜋 4 , 𝜃(𝐵) = 𝜋 5 , 𝜃(𝑢) = 𝜋 6 , 𝜃(𝑟) = 𝜋 7 , 𝜃(𝑙) = 𝜋 8 dan 𝜃(𝑏) = 𝜋 9 .

## DAFTAR PUSTAKA
[1]  Abdy,  M.,  Sukarna  &  Safitri,  N.  H.,  2018. Isomorfisma  Grup  pada  Rubik Revenge . Skripsi. Universitas Negeri Makassar, Makassar.
[2]  Bhattacharya,  P.  B.,  Jain,  S.  K.  &  Nagpaul,  S.  R.  1995. Basic  Abstract  Algebra  Second Edition . United Kingdom: Cambridge University Press.
[3]  Brata, A. 2010. Langkah Mudah Menjadi Master Rubik . Jakarta: Bukune.
[4]  Chen, J. 2004. Group Theory and the Rubik’s Cube .
[5]   Erawaty,  N.  &  Amir,  A.  K.  2016.  Struktur  Aljabar.  Universitas  Hasanuddin:  Pusat  Kajian Media dan Sumber Belajar LKPP.
[6]  Fraleigh,  J.  B.  &  Brand  N.  E.  2021. A  First  Course  in  Abstract  Algebra  Eighth  Edition . Hoboken: Pearson Education.
[7]  Gu, Y., 2023. Introduction of Several Special Groups and Their Applications to Rubik’s Cube. Highlights in Science, Engineering and Technology, 47, 172–175. https://doi.org/10.54097/hset.v47i.8186
[8]  https://www.worldcubeassociation.org/regulations/translations/indonesian/#article-          12- notation. (diakses 3 Desember 2022)
[9]  Hu,  W.,  2023.  Applying  the  Group  Theory  to  Rubik’s  Cube. Highlights  in  Science, Engineering and Technology , 47, 122–125. https://doi.org/10.54097/hset.v47i.8174

## JURNAL MATEMATIKA, STATISTIKA DAN KOMPUTASI

## Nurhafizah, Nur Erawaty, Amir Kamal Amir
[10] Ihsan,  M.  K.,  Haryanto,  L.  &  Erawaty,  N.,  2016. Aksi  Grup  dalam  Pembentukan Homomorfisma pada Rubik’s Cube . Skripsi. Universitas Hasanuddin, Makassar.
[11] Joyner, D. 2008. Adventures in Group Theory: Rubik’s Cube, Merlin’s Machine, and Other Mathematical Toys . Earth Island Institute.
[12] Judson,  T.  W.  2014. Abstract  Algebra  Theory  and  Applications .  Stephen  F.  Austin  State University.
[13] Kurnianingtyas, D. T., Mas’oed, T. W. & Aliatiningtyas, N., 2012. Grup dan Homomorfisma Grup pada Rubik Revenge . Skripsi. Institut Pertanian Bogor, Bogor.
[14] Lyu,  Z.,  Liu,  Z.,  Khojandi,  A., &  Yu,  A.  J.,  2022.  Q-learning  and  Traditional  Methods  on Solving  the  Pocket  Rubik’s  Cube. Computers  &  Industrial  Engineering ,  Volume  171, 108452, ISSN 0360-8352, https://doi.org/10.1016/j.cie.2022.108452.
[15]  Rotman, J. J. 2003. Advanced Modern Algebra . Prentice Hall Inc.
[16] Sharma, R. K., Shah, S. K. & Shankar, A. G. 2011. Algebra 1 A Basic Course in Abstract Algebra . India: Pearson Education in South Asia.
[17] Sikiric,  M.  D.,  2020.  A  Variation  on  the  Rubik's  Cube. Proceedings  of  the  3rd  Croatian Combinatorial Days . https://doi.org/10.5592/CO/CCD.2020.03