Vol. 20, No. 1, September 2023, pp. 164- 183 DOI: 10.20956/j.v20i1.27755

## Stock Portfolio Optimization Using Mean-Variance and Mean Absolute Deviation Model Based On K-Medoids Clustering by Dynamic Time Warping
Optimasi Portofolio Saham Menggunakan Model Mean-Variance dan Mean Absolute Deviation Berdasarkan K-Medoids Clustering dengan Pendekatan Dynamic Time Warping
Mella Refina Anugrahayu 1 *,  Ulil Azmi 2 *
 Departemen Aktuaria, Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya Email : mellaanugrahayu@gmail.com 1 , ulilazmi0211@gmail.com 2

## Abstract
The  tendency  of  investors  to  choose  investments  with  maximum  return  and  minimal  risk causes the need for diversification in a portfolio to form an optimal portfolio. A lot of research on  stock  portfolio  optimization  has  been  conducted  extensively,  but  not  many  have  tried  to apply machine learning concepts such as clustering analysis to accelerate the establishment of a  model  that  can  have  a  positive  effect  on  the  time  and  cost  efficiency  of  portfolio management. However, clustering is only limited to determining the optimal stock candidate, so it is  necessary to add another optimization  model to calculate the portfolio  weight. Based on  these  problems,  this  study  carried  out  portfolio  optimization  using  Mean-Variance  (MV) and  Mean  Absolute  Deviation  (MAD)  model  based  on  K-Medoids  Clustering  by  Dynamic Time Warping approach using Monte Carlo-Expected Tail Loss for risk analysis. Based on the analysis  results,  the  MAD  portfolio  is  more  optimal  than  the  MV  portfolio  by  the  MAD portfolio consists of five stocks, namely BMRI shares with a weight of 0.06243, UNTR shares of 0.08658, BBRI shares of 0.10285, BBCA of 0.53623, and KLBF shares of 0.21191 are the best  optimal  portfolios.  The  optimal  portfolio  of  the  MAD  model  has  a  rate  of  return  of 87.836% in May 2017  - December 2022  with a portfolio  performance of 0.03704,  while the resulting risk level based on Carlo-Expected Tail Loss is 2.2416%.
Keywords: Dynamic  Time  Warping,  Expected  Tail  Loss¸  K-Medoids  Clustering,
Mean-Variance, Mean Absolute Deviation, Monte Carlo

## JURNAL MATEMATIKA, STATISTIKA DAN KOMPUTASI
Mella Refina Anugrahayu,  Ulil Azmi

## Abstrak
Kecenderungan investor untuk memilih investasi dengan return maksimal dan risiko minimal mengakibatkan  perlunya  diversifikasi  dalam  suatu  portofolio  untuk  membentuk  portofolio optimal.  Pada  dasarnya,  penelitian  mengenai  optimasi  portofolio  saham  sudah  banyak dilakukan, namun belum banyak yang mencoba menerapkan konsep machine learning seperti analisis  pengelompokan  ( clustering )  untuk  mempercepat  pembentukan  model  yang  dapat berpengaruh  positif  terhadap  efisiensi  waktu  dan  biaya  manajemen  portofolio.  Namun, clustering hanya terbatas untuk menentukan kandidat saham optimal, sehingga perlu ditambah model optimasi lain untuk menghitung bobot portofolio. Berlandaskan permasalahan tersebut, maka  pada  penelitian  ini  dilakukan  optimasi  portofolio  menggunakan  model Mean-Variance (MV)  dan Mean  Absolute  Deviation (MAD)  berdasarkan K-Medoids  Clustering dengan pendekatan Dyamic  Time  Warping menggunakan  analisis  risiko Monte  Carlo-Expected  Tail Loss . Berdasarkan analisis yang telah dilakukan, portofolio MAD merupakan portofolio yang lebih  optimal  dibandingkan  portofolio  MV  dengan  portofolio  MAD  yang  tersusun  atas  lima saham  yaitu  saham  BMRI  dengan  bobot  sebesar  0,06243,  saham  UNTR  sebesar  0,08658, saham  BBRI  sebesar  0,10285,  saham  BBCA  sebesar  0,53623,  dan  saham  KLBF  sebesar 0,21191  menjadi  portofolio  optimal  yang  terbaik.  Portofolio  optimal  model  MAD  memiliki tingkat  pengembalian  ( return )  sebesar  87,836%  dalam  kurun  waktu  Mei  2017  –  Desember 2022  dengan  kinerja  portofolio  sebesar  0,03704,  sedangkan  tingkat  risiko  yang  dihasilkan berdasarkan Monte Carlo-Expected Tail Loss adalah sebesar 2,2416%.
Keywords: Dynamic  Time  Warping , Expected  Tail  Loss¸  K-Medoids Clustering , Mean-Variance , Mean Absolute Deviation , Monte Carlo

## 1.  PENDAHULUAN

## 1.1 Latar Belakang
Tren  investasi  berbasis Environmental,  Social,  and  Governance (ESG)  di  Indonesia  terus berkembang seiring dengan kenaikan indeks saham berbasis ESG, salah satunya Sustainable and Responsible  Investment  –  Keanekaragaman  Hayati  Indonesia  (SRI)-KEHATI.  Dalam  konsep investasi, return yang  diterima  berbanding  lurus  dengan  risiko  yang  diperoleh.  Markowitz  [14] telah  membuktikan  bahwa  risiko  investasi  dapat  diminimalkan  dengan  melakukan  diversifikasi portofolio,  yaitu  menempatkan  dana  investasi  di  beberapa  instrumen  investasi  yang  berbeda karakteristiknya.  Salah  satu  alternatif  optimasi  portofolio  yang  dapat  dilakukan  adalah menggunakan  analisis  pengelompokan  ( clustering )  dengan  memilih  aset  dari cluster yang berbeda  [8].  Dalam  hal  diversifikasi  portofolio,  aset  yang  berada  dalam  satu  klaster  biasanya memiliki  korelasi  yang  tinggi,  sehingga  memilih  aset  dari  klaster  yang  berbeda  akan meningkatkan diversifikasi portofolio dan memperkecil risiko.
Salah  satu  metode  analisis clustering non-hierarki  yang  dapat  diaplikasikan  pada  data  deret waktu berukuran besar adalah metode K-Medoids Clustering dengan pendekatan jarak Dynamic Time  Warping (DTW)  [1].  Dalam  optimasi  portofolio  saham, clustering hanya  terbatas  untuk menentukan  kandidat  saham  optimal,  sehingga  perlu  ditambah  model  optimasi  lain  untuk menghitung  bobot  portofolio.  Markowitz  [14]  memperkenalkan  model Markowitz atau  lebih dikenal  dengan  sebutan  model  optimasi Mean-Variance (MV)  sebagai  model  pembentukan portofolio yang didasarkan pada perhitungan tingkat risiko investasi sebagai varians dan tingkat return investasi  sebagai mean .  Namun,  model  MV  menjadi  tidak  efisien  apabila  diaplikasikan pada  portofolio  dengan  skala  besar,  sehingga  Konno  dan  Yamazaki  mengembangkan  model Mean  Absolute  Deviation (MAD)  sebagai  alternatif  [3].  Model  MV  dan  MAD  menggunakan asumsi  bahwa  preferensi  investor  didasarkan  pada  tingkat expected  return dan  risiko  dari portofolio,  tetapi  cara  memilih  saham  untuk  model  tersebut  tidak  didiversifikasi  secara  detail. Sehingga,  dilakukan  penggabungan  metode  pembentukan  portofolio  optimal  antara  model optimasi  MV  dan  MAD  dengan  analisis  pengelompokan  ( clustering ).  Pembentukan  portofolio

## JURNAL MATEMATIKA, STATISTIKA DAN KOMPUTASI
Mella Refina Anugrahayu,  Ulil Azmi
optimal  juga  disertai  dengan  perhitungan  estimasi  risiko  yang  dapat  dilakukan  menggunakan metode Expected Tail Loss (ETL) dengan simulasi Monte Carlo.
Pada  dasarnya,  penelitian  mengenai  optimasi  portofolio  saham  sudah  banyak  dilakukan, namun  belum  banyak  yang  mencoba  menerapkan  konsep machine  learning untuk  mempercepat pembentukan  model  yang  dapat  berpengaruh  positif  terhadap  efisiensi  waktu  dan  biaya manajemen  portofolio.  Berlandaskan  permasalahan  tersebut,  maka  pada  penelitian  ini  akan dilakukan  optimasi  portofolio  pada  data  saham  yang  konsisten  terdaftar  dalam  Indeks  SRI- KEHATI  selama  periode  Mei  2017  hingga  Desember  2022  dengan  model Mean-Variance dan Mean  Absolute  Deviation berdasarkan K-Medoids  Clustering dengan  pendekatan Dyamic  Time Warping menggunakan analisis risiko Monte Carlo - Expected Tail Loss .

## 1.2 Studi Literatur
Studi literatur yang digunakan sebagai dasar teori pada penelitian ini dapat dijelaskan sebagai berikut.

## 1.2.1 Statistika Deskriptif
Statistika  deskriptif  didefinisikan  sebagai  metode  statistik  yang  digunakan  untuk memberikan ringkasan informasi tentang karakteristik data. Statistika deskriptif yang digunakan meliputi mean , standar deviasi, nilai minimum, maksimum, kurtosis , dan skewness.

## 1.2.2 Jarak Dynamic Time Warping
Dynamic  Time  Warping (DTW)  merupakan  algoritma  perhitungan  jarak  yang  berhasil diterapkan untuk mengatasi kecepatan waktu yang berbeda pada dua data deret waktu [12]. Senin [17] menjelaskan pada tahap awal proses penghitungan DTW akan dibentuk  matriks jarak yang kemudian disebut dengan matriks biaya lokal berukuran untuk dua data deret waktu X dan Y. Jika dituliskan dalam bentuk vektor, maka
(1) ( ) (2) Definisikan setiap elemen dalam matriks biaya lokal dengan persamaan berikut | |      [    ]      [    ] (3)
Selanjutnya, notasikan [    ]   {           } . Algoritma elemen akan membentuk matriks biaya  lokal  ( C )  dan  menemukan  jalur warping yang  minimum,  dimana  jalur warping tersebut diperoleh  dari  matriks  biaya  akumulasi  ( D )  menggunakan  urutan
( )   [    ]   [    ] , sehingga diperoleh jalur warping dengan [    ] . Jalur warping dibangun  melalui  matriks  biaya  akumulasi  atau  matriks  biaya  global  dengan mengikuti persamaan berikut 1. Baris pertama:
∑ [    ] (4)

## 2. Kolom pertama:
∑ [    ] (5)
3. Semua elemen matriks:

## JURNAL MATEMATIKA, STATISTIKA DAN KOMPUTASI
Mella Refina Anugrahayu,  Ulil Azmi
( )        { (6)
Menurut  [17],  perlu  dilakukan  modifikasi  algoritma dynamic  time  warping untuk meningkatkan kualitas kinerja dan penyesuaian sensivitias algoritma dasar dari metode dynamic time warping . Modifikasi tersebut salah satunya adalah step size conditions dengan step pattern berupa symmetric tanpa slope constraint yang dikenalkan oleh Sakoe dan Chiba [6]. Ketika tidak ada  perbedaan  deret  waktu,  maka  jalur warping yang  terbentuk  akan  berhimpitan  dengan  garis diagonal . Tetapi,  ketika  perbedaan  deret  waktu  semakin  membesar,  maka  penyimpangan jalur warping juga  akan  semakin  besar.  Dalam  pencarian  jalur  yang  optimal,  terkadang  jalur tersebut  cenderung  membuat  jalur  korespondensi  yang  tidak  realistis.  Dalam  algoritma  DTW, jalur korespondensi menghubungkan titik-titik antara deret waktu pertama (deret waktu referensi) dan  deret  waktu  kedua  (deret  waktu  yang  sedang  dibandingkan)  dalam  matriks  biaya terakumulasi. Dari modifikasi tersebut, maka elemen dapat dirumuskan menjadi:
{ ( ) ( ) ( ) (7)
Fungsi  biaya  yang  menunjukkan jarak  kumulatif  dari  matriks  biaya  lokal  di  sepanjang jalur warping yang dibangun dapat dirumuskan oleh:
∑  ( ) (8)
Jalur warping yang memiliki biaya minimal atau jarak kumulatif terkecil disebut dengan jalur warping optimal  yang  disimbolkan  dengan .  Untuk  menemukan  jalur warping optimal, diperlukan dynamic  programming yang  merupakan  bagian  dari  algoritma  DTW  dengan menggunakan fungsi jarak DTW sebagai berikut.
{ } (9) dimana adalah himpunan dari semua jalur warping yang mungkin. Jalur warping optimal dapat diilustrasikan pada Gambar 1.
(a) (b)
Gambar 1.1. (a) Ilustrasi Jalur Warping Optimal (b) Ilustrasi Jalur Korespondensi

## JURNAL MATEMATIKA, STATISTIKA DAN KOMPUTASI

## Mella Refina Anugrahayu,  Ulil Azmi

## 1.2.3 K-Medoids Clustering
Metode yang digunakan untuk menentukan banyak cluster dalam metode non-hierarchical clustering adalah nilai pseudo-F . Jumlah cluster yang optimal diperoleh dari nilai pseudo-F yang tertinggi. Rumus perhitungan nilai pseudo-F statistik adalah sebagai berikut [16]:
( ) ( ) (10)
dengan
(11) ∑ ∑ ∑ ̅ (12) ∑ ∑ ∑ ̅ (13)
Keterangan:
:  Total  jumlah  kuadrat  dari  kuadrat  jarak  terhadap  rata-rata  keseluruhan  ( Sum  of  Square Total)
: Total jumlah dari kuadrat jarak observasi terhadap rata-rata kelompoknya ( Sum of Square Within)
: Banyaknya sampel
: Banyaknya variabel
: Banyaknya kelompok
: Sampel ke- pada variabel ke- kelompok ke-
̅ : Rata-rata seluruh sampel pada variabel ke-
̅ : Rata-rata sampel variabel ke- dan kelompok ke-
̅ : Rata-rata keseluruhan objek variabel ke- dan kelompok ke- Penentuan  jumlah cluster optimal  tersebut  kemudian  digunakan  untuk  menginisialisasi algoritma K-Medoids  Clustering .  Metode K-Medoids  clustering merupakan  metode non- hierarchical clustering dengan medoid sebagai pusat kelompoknya. Medoid dapat mewakili pusat cluster yang  sebenarnya  karena  ketahanannya  terhadap outlier dan noise [18] . Algoritma pengelompokan pada metode K-Medoids clustering adalah sebagai berikut [9]:
1. Hitung jarak setiap objek menggunakan jarak DTW.
2. Hitung untuk setiap objek dengan rumus berikut.
∑ ∑ (14)
dengan
: elemen matriks jarak Dynamic Time Warping : standarisasi dari jumlah baris untuk masing masing kolom
3. Urutkan dari yang terkecil sampai yang terbesar. Pilih sebanyak cluster , dimana nilai yang terkecil menjadi initial medoid atau pusat klaster awal.

## JURNAL MATEMATIKA, STATISTIKA DAN KOMPUTASI

## Mella Refina Anugrahayu,  Ulil Azmi
4. Alokasikan setiap objek ke medoid terdekat berdasarkan jarak DTW untuk memperoleh hasil kelompok awal
5. Hitung  total jarak  keseluruhan  dari  masing-masing  objek  di  setiap  klaster  terhadap medoid - nya.
6. Tentukan medoid baru untuk setiap klaster yang merupakan objek yang meminimalkan jarak total  terhadap  objek  lain  di  dalam  klasternya.  Perbarui  medoid  saat  ini  di  setiap  klaster dengan medoid baru.
7. Alokasikan setiap objek yang tersisa ke medoid baru yang terdekat berdasarkan jarak DTW
8. Hitung  total  jarak  keseluruhan  dari  masing-masing  objek  di  setiap  klaster  terhadap medoid barunya.
9. Apabila total jarak keseluruhan dari medoid baru berbeda dengan total jarak keseluruhan dari medoid sebelumnya, maka dilakukan perubahan medoid lagi seperti langkah 6. Namun, jika sudah  sama,  maka  proses  algoritma  pengelompokan  dihentikan  dan  akan  dijadikan  hasil pengelompokan akhir.
1.2.4 Pemilihan Saham Optimal Setiap Cluster
Setelah cluster-cluster terbentuk,  maka  kinerja  setiap  saham  pada  masing-masing cluster akan  dinilai  menggunakan sharpe  ratio ,  yaitu  dengan  membandingkan  selisih expected  return saham  ( )  dan risk  return  free  rate ( )  dengan  standar  deviasi return saham  ( )  atau  dapat dirumuskan dengan [7]
(15)

## 1.2.5 Model Mean-Variance
Model  portofolio Mean-Variance (MV)  untuk  membentuk  portofolio  optimal  didasarkan pada trade-off antara return dan  risiko  portofolio  yang  direpresentasikan  sebagai mean dan varians saham [13]. Berikut merupakan perhitungan portofolio menggunakan Model MV [10]:
1. Menghitung realized return masing-masing saham
(16)
adalah harga saham pada waktu dan adalah harga saham pada waktu .
2. Menghitung tingkat pengembalian yang diharapkan ( expected return ) masing-masing saham
∑
(17)
dengan adalah return saham di  antara  periode dan , ,  dan adalah periode waktu
3. Menghitung varians dan standar deviasi masing-masing saham
Varians pada saham dapat ditulis dengan persamaan berikut
∑ (18)
Rumus standar deviasi adalah sebagai berikut
√ √ ∑ (19)

## JURNAL MATEMATIKA, STATISTIKA DAN KOMPUTASI
Mella Refina Anugrahayu,  Ulil Azmi

## 4. Menghitung kovarian antar saham
Matriks berisi varians diagonal  utamanya  dan  kovarians  antara  semua  pasangan  aset item lainnya, yaitu
( )
(20) Kovarian antar saham dapat dirumuskan dengan persamaan berikut ∑ ( )( ) (21)
5. Menghitung bobot atau proporsi dari setiap saham penyusun portofolio Perhitungan proporsi portofolio Mean-Variance didasarkan pada prinsip optimalisasi dengan fungsi  obyektif  yaitu  memaksimalkan  tingkat return dan  meminimalkan  risiko  dengan beberapa kendala.
Fungsi obyektif:
( )       ∑ (22)
√∑ ∑ (23)
Kendala:
∑ (24) Nilai disebut bobot atau persentase modal yang akan diinvestasikan dalam saham . 6. Menghitung return portofolio yang disimbolkan dengan
∑ (25)
7. Menghitung expected return portofolio ( )   ∑ (26)
8. Menghitung varians dan standar deviasi portofolio
Varians portofolio dapat dirumuskan dengan persamaan berikut
(27)
sedangkan  standar  deviasi atau  risiko  portofolio dapat  dirumuskan  dengan  persamaan berikut

## JURNAL MATEMATIKA, STATISTIKA DAN KOMPUTASI
Mella Refina Anugrahayu,  Ulil Azmi
√ √[ ] [ ] [ ] (28)

## 1.2.6 Model Mean Absolute Deviation
Model Mean  Absolute  Deviation (MAD)  merupakan  alternatif  dari  model  MV yang dikenalkan  oleh  Konno  dan  Yamazaki  untuk  menggantikan  perhitungan  risiko  menggunakan standar  deviasi  dari return model MV  [5].  Fungsi  risiko absolute  deviation ditunjukkan  pada persamaan berikut
[|∑ [∑ ]|] (29)
Portofolio  MAD  merupakan  portofolio  dengan  bobot  yang  memberikan  nilai  maksimal pada  Persamaan  29.  Meminimumkan ekuivalen  dengan  meminimumkan .  Sehingga, persamaan tersebut dapat meminimumkan risiko. Menurut Konno dan Yamazaki, short sale tidak diperbolehkan untuk model MAD karena model memiliki kendala .

## 1.2.7 Evaluasi Kinerja Portofolio Optimal
Metode  penilaian  kinerja  portofolio  yang  digunakan  dalam  penelitian  ini  adalah  Indeks Sharpe yang dapat dirumuskan oleh
(30)
1.2.8 Generalized Lambda Distribution (GLD)
Generalized  Lambda  Distribution (GLD)  merupakan  pengembangan  distribusi  Lambda Tukey  dengan  empat  parameter. Dalam  menentukan  estimasi  paramater,  GLD  memiliki  dua fungsi yang berbeda yaitu GLD RS dan GLD. Fungsi kuantil GLD RS dapat dirumuskan sebagai berikut [4]:
[ ] (31) dengan adalah  fungsi  kuantil  dari  probabilitas , adalah  parameter  lokasi, adalah  parameter  skala, dan adalah  parameter  bentuk  yang  merupakan skewness dan kurtosis dan merupakan variabel acak yang berdistribusi Uniform (0,1). Adapun fungsi kuantil distribusi GLD FMKL dapat dirumuskan sebagai berikut [4]:
[ ] (32)
1.2.9 Mean Absolute Error (MAE)
Mean  Absolute  Error (MAE)  merupakan  ukuran error yang  sering  digunakan  untuk mengevaluasi  keakuratan  sebuah  model.  Dalam  penelitian  ini,  MAE  diaplikasikan  untuk mengevaluasi  distribusi Generalized  Lambda, yaitu  dengan  membandingkan  GLD  RS  dan FMKL. MAE dapat dirumuskan dengan persamaan [19]:
∑| ̂ | (33)

## JURNAL MATEMATIKA, STATISTIKA DAN KOMPUTASI

## Mella Refina Anugrahayu,  Ulil Azmi
dengan adalah jumlah data, ̂ merupakan data hasil simulasi ke- , dan merupakan data asli ke- . Model  yang  memiliki  nilai  MAE  yang  lebih  kecil  merupakan  model  terbaik,  karena menunjukkan bahwa nilai error yang dihasilkan lebih kecil.
1.2.10 Expected Tail Loss (ETL)
Expected Tail Loss (ETL) didefinisikan sebagai ukuran penilaian risiko dengan menghitung ekspektasi  dari  kerugian  yang  melebihi Value  at  Risk (VaR)  pada  tingkat  signifikansi  tertentu. ETL pada tingkat kepercayaan
, didefinisikan sebagai berikut [15]: [ | ] ∫ (34) dengan √ (35)
dimana adalah dana investasi awal aset atau portofolio, adalah periode waktu, dan adalah nilai kuantil ke- dari distribusi return.

## 1.2.11 Simulasi Monte Carlo
Pada dasarnya, pengestimasian Expected Tail Loss (ETL) dengan metode simulasi Monte Carlo  adalah  melakukan  simulasi  secara  iteratif  dengan  membangkitkan  bilangan  acak berdasarkan  parameter  data return ,  yang  kemudian  digunakan  untuk  mengestimasi  nilai  ETL. Langkah  awal  untuk  menghitung  jumlah  iterasi  adalah  dengan  menghitung  standar  deviasi dengan persamaan [2]:
√ (36) dengan . (37) Keterangan: : Nilai minimum dari return portofolio
: Nilai maksimum dari return portofolio N : 2, yaitu nilai maksimum dan nilai minimum Kemudian,  menentukan  nilai  kesalahan  absolut  yang  diinginkan  sebesar .  Sehingga,
nilai error dapat diperoleh dengan persamaan berikut
( ) (38)
Maka, jumlah iterasi yang dibutuhkan untuk mendapatkan hasil dengan error adalah ( ) (39)

## 2. METOGOLOGI PENELITIAN
Data yang digunakan dalam penelitian ini merupakan data sekunder, yaitu data saham yang konsisten  terdaftar  pada  Indeks  SRI-KEHATI  selama  periode  1  Mei  2017  hingga  31  Desember

## JURNAL MATEMATIKA, STATISTIKA DAN KOMPUTASI

## Mella Refina Anugrahayu,  Ulil Azmi
2022  dan  tingkat  suku  bunga  IndONIA  yang  dikumpulkan  melalui finance.yahoo.com dan www.bi.go.id . Adapun langkah-langkah pada penelitian ini adalah sebagai berikut.
1. Melakukan studi literatur dan analisis statistika deskriptif;
2. Melakukan perhitungan jarak Dynamic Time Warping;
3. Menentukan banyak cluster optimal;
4. Melakukan pembentukan K-Medoids Clustering;
5. Melakukan pembentukan portofolio optimal menggunakan model Mean-Variance dan Mean Absolute Deviation ;
6. Mengidentifikasi, menetapkan, serta mengestimasi parameter distribusi return portofolio; 7. Mensimulasikan return menggunakan Monte Carlo;
8. Menghitung mean Expected Tail Loss (ETL);
9. Memilih portofolio optimal terbaik berdasarkan kinerja portofolio, return , dan tingkat risiko; 10. Menginterpretasi clustering terbaik dalam pembentukan portofolio optimal;
11. Menarik kesimpulan.

## 3.  HASIL DAN PEMBAHASAN

## 3.1 Statistika Deskriptif
Karakteristik  dari  masing-masing  saham  dapat  diketahui  dengan  meninjau  nilai  minimum, maksimum,  rata-rata,  standar  deviasi, skewness ,  dan  kurtosis.  Ditinjau  dari  nilai  minimum  dan maksimumnya,  saham  UNTR  (PT  United  Tractors  Tbk)  memiliki  rentang  harga  paling  besar, yang  mengindikasikan  bahwa  saham  UNTR  cenderung  fluktuatif  dan  relatif  tidak  stabil  jika dibandingkan  dengan  saham-saham  lainnya.  Sedangkan  saham  dengan  harga  yang  relatif  stabil adalah  saham  PGAS  (PT  Perusahaan  Gas  Negara  Tbk).  Berdasarkan  dari  nilai  rata-rata,  saham UNTR  memiliki  rata-rata  harga  tertinggi  sebesar  26.543,63,  sedangkan  rata-rata  harga  saham terendah adalah saham WIKA (PT Wijaya Karya Tbk) sebesar 1.538,81. Sedangkan, jika dilihat dari nilai standar deviasi atau penyimpangannya, saham UNTR menunjukkan nilai penyimpangan yang  paling  besar.  Hal  ini  berarti  bahwa  saham  UNTR  memiliki  risiko  investasi  paling  besar, karena semakin tinggi standar deviasi, maka volatilitas atau risiko investasi juga semakin tinggi. Sedangkan  saham  dengan  risiko  investasi  yang  paling  kecil  adalah  saham  KLBF  (PT  Kalbe Farma Tbk).
Jika  ditinjau  dari  nilai skewness ,  hasil  menunjukkan  bahwa  saham  ASII  (PT  Astra International  Tbk),  BBNI  (PT  Bank  Negara  Indonesia  Tbk),  BBRI  (PT  Bank  Rakyat  Indonesia Tbk),  PGAS,  TLKM  (PT  Telkom  Indonesia  Tbk),  dan  UNVR  (PT  Unilever  Indonesia  Tbk) memiliki  distribusi  positif,  yang  berarti  data  lebih  condong  ke  arah  nilai  yang  lebih  rendah. Sedangkan 8 saham lainnya memiliki distribusi yang negatif, yang berarti data lebih condong ke arah nilai yang lebih tinggi. Sedangkan, jika ditinjau melalui nilai kurtosisnya, hasil menunjukkan bahwa  saham  BMRI  (PT  Bank  Mandiri  Tbk)  dan  KLBF  memiliki  distribusi platykurtic, yaitu distribusi yang memiliki kurva dengan bentuk tumpul dan menunjukkan data memiliki nilai yang lebih  menyebar.  Sedangkan  12  saham  lainnya  memiliki  distribusi leptokurtic ¸  yaitu  distribusi dengan kurva yang sangat runcing dan menunjukkan data memiliki nilai yang terpusat pada rata- rata.

## 3.2 Perhitungan Jarak Dynamic Time Warping
Matriks  jarak  DTW  diperoleh  dengan  menggunakan package “dtw”  pada Rstudio .  Tahap pertama dalam membentuk matriks jarak DTW adalah membuat matriks biaya lokal ( C ).

## JURNAL MATEMATIKA, STATISTIKA DAN KOMPUTASI
Mella Refina Anugrahayu,  Ulil Azmi

## [ ]
Matriks  biaya  lokal  berukuran diatas  digunakan sebagai  contoh  yang diperoleh  dari dua  emiten  saham  yaitu  saham  ASII  dan  saham  BBCA  dengan  periode  2  Mei  –  31  Mei  2017 menggunakan  rumus  pada  Persamaan  3.  Selanjutnya , matriks  biaya  lokal  digunakan  untuk membentuk matriks biaya akumulasi ( D ) menggunakan rumus Persamaan 4, 5, 7 dan menentukan jalur warping yang optimal sebagai berikut.
[ ]
dengan:
: jalur warping yang terkecil
Matriks  biaya  akumulasi  digunakan  untuk  mendapatkan  jarak  DTW  dengan  menggunakan Persamaan  9.  Dengan  20  data  saham,  diperoleh  matriks DTW yang  berisi  jarak  DTW  antara saham ASII dan BBCA sebesar 194.880, sehingga jarak DTW antara saham ASII dan BBCA jika dihitung  secara  keseluruhan  sesuai  dengan  periode  data  yang  digunakan,  yaitu  dengan  matriks berukuran adalah  sebesar  2.850.965. Selanjutnya,  menghitung  jarak  DTW  antar emiten saham lainnya dan didapatkan matriks DTW yang merupakan jarak DTW pada 14 emiten saham sebagai berikut.

## [ ]
Nilai  nol  yang  dihasilkan  dalam  matriks  DTW  diatas  menunjukkan  bahwa  jarak  antar  dua saham yang sama tidak memiliki jarak sehingga bernilai nol.

## 3.3 K-Medoids Clustering
Sebelum  melakukan  proses K-Medoids Clustering,  perlu  untuk  menentukan  jumlah cluster terlebih dahulu. Jumlah cluster yang digunakan dalam penelitian ini ditentukan oleh nilai pseudo- F berdasarkan Persamaan 2.17. Nilai pseudo-F yang tertinggi menunjukkan jumlah cluster yang optimal. Tabel 3.1 merupakan hasil perhitungan nilai pseudo-F menggunakan software Rstudio .
Tabel 3.1. Hasil Jumlah Cluster Optimal Cluster Nilai pseudo-F 2 2,2778 3 1,9859

## JURNAL MATEMATIKA, STATISTIKA DAN KOMPUTASI
Mella Refina Anugrahayu,  Ulil Azmi
4 5,5753 5 3,8545 6 2,7498 7 2,0115 8 1,4784 9 1,0828 10 0,7723
Tabel 3.1 menunjukkan bahwa empat cluster memberikan hasil yang paling optimal dengan nilai pseudo-F sebesar  5,5753  dan  lima cluster memiliki  nilai pseudo-F tertinggi  kedua,  yaitu sebesar  3,8540.  Sehingga,  proses clustering akan  dibagi  menjadi  4 cluster dan  5 cluster pada tahap K-Medoids  Clustering .  Hal  ini  bertujuan  untuk  membuat  beberapa  skenario  dalam pembentukan portofolio agar tujuan diversifikasi portofolio dapat tercapai dengan baik.
Setelah  diperoleh  jumlah cluster yang  akan  dibentuk , algoritma K-Medoids  Clustering melakukan  inisialisasi  pusat cluster ( medoid )  berdasarkan  nilai terkecil  pada  setiap cluster yang dihitung menggunakan Persamaan 14. Setelah dilakukan inisialisasi medoid , algoritma akan mengalokasikan setiap objek ke medoid terdekat. Untuk setiap cluster akan dihitung jarak antara setiap  objek  dengan medoid- nya,  kemudian  dijumlahkan  untuk  mendapatkan  total  jarak keseluruhan. Tujuan dari algoritma K-Medoids Clustering adalah untuk meminimalkan total jarak keseluruhan, sehingga algoritma akan melakukan proses iterasi untuk memperbarui medoid yang dapat  meminimalkan  total  jarak  keseluruhan  dari  setiap cluster yang  terbentuk  untuk meningkatkan kualitas cluster . Tabel 3.2 merupakan hasil pembentukan empat cluster.
Tabel 3.2. Hasil Pembentukan 4 Cluster Cluster ke- Saham 1 ASII 0,715607 BBNI 0,957825 BMRI 1,024560 INDF 0,826213 UNVR 1,475796 2 SMGR 1 UNTR 1 3 PGAS 0,738826 WIKA 1,123573 KLBF 1,137601 4 TLKM 0,585383 BBRI 0,665092 JSMR 0,943595 BBCA 1,805930
Pembentukan medoid dari setiap cluster pada Tabel 3.2 merupakan hasil akhir iterasi dari algoritma K-Medoids  Clustering yang  menunjukkan  kondisi  ketika  total  jarak  keseluruhan  dari medoid baru memiliki hasil yang sama dengan total jarak keseluruhan medoid lama yaitu sebesar 37.414.103. Jarak keseluruhan yang dimaksud adalah total jarak keseluruhan dari masing-masing objek di setiap cluster terhadap medoid -nya.
Tabel  3.2  menunjukkan  bahwa  saham  ASII  merupakan medoid dari cluster 1,  karena memiliki nilai paling kecil. Pada cluster 2, saham SMGR dan saham UNTR memiliki nilai yang  sama.  Namun,  dari  hasil output  RStudio ,  saham  SMGR  yang  terpilih  menjadi medoid dari clutser 2. Tidak  menjadi  suatu  masalah jika medoid dari cluster 2 adalah  saham  UNTR,  hal ini dikarenakan  keduanya  menghasilkan  jarak  keseluruhan  yang  sama.  Jarak  keseluruhan  yang

## JURNAL MATEMATIKA, STATISTIKA DAN KOMPUTASI
Mella Refina Anugrahayu,  Ulil Azmi
dimaksud  adalah  total  jarak  keseluruhan  dari  masing-masing  objek  di  setiap cluster terhadap medoid- nya . Kemudian, medoid dari cluster 3  adalah  saham  PGAS  dan medoid dari cluster 4 adalah saham TLKM.
Tabel 3.3. Hasil Pembentukan 5 Cluster Cluster ke- Saham 1 ASII 0,715607 INDF 0,826213 BBNI 0,957825 BMRI 1,024560 UNVR 1,475796 2 SMGR 1 UNTR 1 3 TLKM 0,579124 BBRI 1,130036 JSMR 1,290840 4 BBCA 0,000000 5 PGAS 0,738826 WIKA 1,123573 KLBF 1,137601
Tabel  3.3  menunjukkan  hasil  pembentukan  5  cluster  dengan  saham  ASII  merupakan medoid dari cluster 1. Sama seperti pada hasil pembentukan 5 cluster, saham SMGR dan saham UNTR juga memiliki nilai yang sama pada cluster 2. Namun, hasil output dari RStudio , saham SMGR  yang  terpilih  menjadi medoid dari clutser 2.  Kemudian, medoid dari cluster 3  adalah saham  TLKM, medoid dari cluster 4  adalah  saham  BBCA,  dan medoid dari cluster 5  adalah saham  PGAS.  Hasil medoid dari  setiap cluster pada  Tabel  3.3  dibentuk  melalui  proses  iterasi sampai diperoleh hasil yang paling optimal dengan total jarak keseluruhan sebesar 34.742.102.
3.4 Pembentukan  Portofolio  Optimal  Menggunakan Mean-Variance dan Mean  Absolute Deviation
3.4.1 Pemilihan Saham Optimal Setiap Cluster
Saham  yang  paling  optimal  akan  dipilih  sebagai  perwakilan  dari  setiap cluster yang terbentuk  berdasarkan  nilai sharpe  ratio yang  paling  besar  sesuai  dengan  Persamaan  15. Portofolio  MV  dan  MAD  akan  dibentuk  dengan  beberapa  skenario  dengan  penjelasan  sebagai berikut.
Tabel 3.4. Definisi Skenario Portofolio MV dan MAD Definisi Skenario 1 Membentuk  portofolio  MV  dan  MAD  dengan  memilih  satu perwakilan saham optimal dari setiap cluster pada empat cluster Skenario 2 Membentuk  portofolio  MV  dan  MAD  dengan  memilih  dua perwakilan saham optimal dari setiap cluster pada empat cluster Skenario 3 Membentuk  portofolio  MV  dan  MAD  dengan  memilih  satu perwakilan saham optimal dari setiap cluster pada lima cluster Skenario 4 Membentuk  portofolio  MV  dan  MAD  dengan  memilih  dua perwakilan saham optimal dari setiap cluster pada lima cluster
Berdasarkan  Tabel  3.5,  portofolio  skenario  1  terdiri  atas  saham  BMRI,  UNTR,  KLBF, BBCA. Keempat saham tersebut dipilih sebagai saham yang paling optimal karena memiliki nilai sharpe  ratio tertinggi  pada  setiap cluster .  Adapun  skenario  2  merupakan  portofolio  yang  terdiri

## JURNAL MATEMATIKA, STATISTIKA DAN KOMPUTASI
Mella Refina Anugrahayu,  Ulil Azmi
dari  saham  penyusun  portofolio  skenario  1  ditambah  dengan  saham  yang  di- highlight warna hijau.  Sehingga,  portofolio  skenario  2  terdiri  atas  delapan  saham,  yaitu  saham  BBNI,  BMRI, SMGR, UNTR, KLBF, PGAS, BBCA, dan BBRI.
Tabel 3.5. Skenario 1 dan 2 Pemilihan Saham Optimal Cluster ke- Saham Sharpe Ratio 1 ASII -0,011003 BBNI 0,017559 BMRI 0,023036 INDF -0,005646 UNVR -0,019980 2 SMGR 0,001178 UNTR 0,007752 3 KLBF 0,015935 PGAS 0,004301 WIKA -0,014631 Tabel 3.5. Skenario 1 dan 2 Pemilihan Saham Optimal (Lanjutan) Cluster ke- Saham Sharpe Ratio 4 BBCA 0,040171 BBRI 0,026564 JSMR -0,007116 TLKM -0,002644
Sementara  itu,  dari  Tabel  3.6,  portofolio  skenario  3  terdiri  dari  lima  saham  optimal  yaitu  saham BMRI,  UNTR,  BBRI,  BBCA,  dan  KLBF.  Pada cluster 3  hanya  dipilih  saham  BBRI  saja,  karena  saham JSMR dan TLKM memiliki nilai sharpe ratio negatif yang mengindikasikan bahwa saham memiliki kinerja kurang  baik.  Sedangkan,  portofolio  skenario  4  terdiri  dari  delapan  saham  optimal,  yaitu  saham  BBNI, BMRI,  SMGR,  UNTR,  BBRI,  BBCA,  KLBF,  dan  PGAS.  Skenario  4  menghasilkan  kandidat  saham optimal yang sama dengan skenario 2. Oleh karena itu, portofolio skenario 4 tidak dilakukan analisis lebih lanjut dan diputuskan hanya menggunakan portofolio skenario 1, 2, dan 3 saja.
Tabel 3.6. Skenario 3 dan 4 Pemilihan Saham Optimal Cluster ke- Saham Sharpe Ratio 1 ASII -0,011003 BBNI 0,017559 BMRI 0,023036 INDF -0,005646 UNVR -0,019980 2 SMGR 0,001178 UNTR 0,007752 3 BBRI 0,026564 JSMR -0,007116 TLKM -0,002644 4 BBCA 0,040171 5 KLBF 0,015935 PGAS 0,004301 WIKA -0,014631

## JURNAL MATEMATIKA, STATISTIKA DAN KOMPUTASI

## Mella Refina Anugrahayu,  Ulil Azmi

## 3.4.2 Perhitungan Bobot Portofolio
Portofolio  MV  dibentuk  dengan  fungsi  obyektif  menggunakan  Persamaan  22  dan  23 dengan kendala pada Persamaan 24, sedangkan portofolio MAD dibentuk dengan fungsi obyektif yang  sama  dengan  portofolio  MV  dalam  memaksimalkan  nilai expected  return tetapi menggunakan  fungsi  obyektif  yang  berbeda  dalam  meminimalkan  risiko  pada  Persamaan  29. Perhitungan numerik untuk mencari bobot pada portofolio dengan menggunakan model MV dan MAD  dilakukan  menggunakan Rstudio berdasarkan  fungsi  obyektifnya . Algoritma  dari RStudio akan mengaplikasikan goal seek untuk mencari besar bobot pada setiap saham dalam portofolio dengan tingkat return minimum atau yang digunakan adalah sebesar 0,05, sehingga bobot yang dihasilkan  akan  memberikan  nilai return portofolio  yang  maksimum  dengan  risiko  (standar deviasi)  portofolio  yang  minimum.  Nilai return portofolio  yang  maksimum  tersebut  tentu  akan melebihi nilai return minimumnya. Output pembobotan portofolio MV dan MAD skenario 1, 2, dan 3 dari Rstudio dapat dilihat pada Tabel 3.7.
Tabel 3.7. Hasil Pembobotan Portofolio Setiap Skenario Skenario Saham MV MAD 1 BMRI 0,06291 0,11075 UNTR 0,14145 0,10166 KLBF 0,23080 0,19123 BBCA 0,56484 0,59636 2 BMRI 0,01049 0,04253 UNTR 0,12593 0,08362 KLBF 0,21241 0,19688 BBCA 0,52320 0,54115 BBNI 0,00000 0,00000 SMGR 0,04867 0,01082 PGAS 0,01692 0,04180 BBRI 0,06239 0,08320 3 BMRI 0,02414 0,06243 UNTR 0,13735 0,08658 BBRI 0,07507 0,10285 BBCA 0,53788 0,53623 KLBF 0,22556 0,21191 3.5 Pendugaan  Distribusi Return Portofolio  Model Mean-Variance dan Mean  Absolute Deviation
Pada  penelitian  ini,  pendugaan  distribusi  dilakukan  dengan  menggunakan  dua  pendekatan yaitu distribusi umum dan Generalized Lambda Distribution (GLD). Hasil pendugaan distribusi umum pada data return portofolio model MV dan MAD skenario 1 ditunjukkan pada Gambar 3.1.

## JURNAL MATEMATIKA, STATISTIKA DAN KOMPUTASI
Mella Refina Anugrahayu,  Ulil Azmi
(a)
(b)
Gambar 3.1. Pendugaan Distribusi Return Portofolio Skenario 1: (a) MV (b) MAD Berdasarkan  Gambar  3.1,  titik  observasi  yang  berwarna  biru  berada  di  luar  pendugaan distribusi  umum,  artinya  tidak  ada  distribusi  umum  yang  sesuai  dengan  distribusi  data return portofolio MV dan MAD skenario 1. Hasil yang sama juga ditunjukkan oleh portofolio MV dan MAD  skenario  2  dan  skenario  3.  Sehingga,  perlu  dilakukan  di  luar  pendugaan distribusi  umum yaitu  pendugaan  distribusi Generalized  Lambda .  Pendugaan  GLD  yang  dipilih  merupakan pendugaan  dengan  nilai error yang  terkecil  diantara  distribusi  RS  dan  FMKL.  Tabel  3.8 menunjukkan  hasil error dari  pendugaan  distribusi  menggunakan  Persamaan  33  yang memberikan  hasil  bahwa  GLD  RS  dipilih  sebagai  penduga  parameter return portofolio  untuk semua skenario.
Tabel 3.8. MAE Distribusi Return Portofolio MV dan MAD
Skenario Portofolio MV Portofolio MAD Metode MAE Metode MAE 1 RS 0,01412281 RS 0,01410231 FMKL 0,01414399 FMKL 0,01412997 2 RS 0,01400404 RS 0,01403383 FMKL 0,01402659 FMKL 0,01406258 3 RS 0,01405842 RS 0,01251209 FMKL 0,01408310 FMKL 0,01409027
GLD  RS  menghasilkan  nilai  parameter  yang  digunakan  untuk  mensimulasikan  data return portofolio model MV dan MAD skenario 1, 2, dan 3 menggunakan Simulasi Monte Carlo. Dari hasil simulasi tersebut, diperoleh perhitungan tingkat risiko portofolio dengan Expected Tail Loss (ETL).
3.6 Analisis Risiko Portofolio Mean-Variance dan Mean Absoulte Deviation Berdasarkan Monte Carlo-Expected Tail Loss (MC-ETL)
Hasil  estimasi  nilai  ETL  portofolio  model  MV  dan  MAD  skenario  1  dengan  iterasi  secara berturut-turut  sebesar  36.499  dan  32.521.  Pergerakan  nilai  ETL  pada  500  iterasi  pertama  dapat dilihat pada Gambar 3.2.

## JURNAL MATEMATIKA, STATISTIKA DAN KOMPUTASI
Mella Refina Anugrahayu,  Ulil Azmi
(a)
(b)
Gambar 3.2. Pergerakan Nilai ETL Portofolio Skenario 1 (a) MV (b) MAD Berdasarkan  Gambar  3.2,  nilai  rata-rata  dari  hasil  simulasi  yang  ditunjukkan  oleh  garis berwarna  merah  pada  portofolio  MV  dan  MAD  skenario  1  secara  berturut-turut  adalah  sebesar 0,02934953  dan  0,02932797.  Dengan  tingkat  kepercayaan  sebesar  95%,  maka  kerugian  yang akan  diperoleh  investor  jika  berinvestasi  pada  portofolio  MV  skenario  1  tidak  akan  melebihi 2,935%  dalam  jangka  waktu  satu  hari  atau  terdapat  kemungkinan  sebesar  5%  bahwa  kerugian yang akan diperoleh investor adalah sebesar 2,935%. Interpretasi yang sama juga dilakukan pada portofolio MAD skenario 1.
Adapun  hasil  estimasi  nilai  ETL  portofolio  model  MV  dan  MAD  skenario  2  dengan  iterasi secara  berturut-turut  sebesar  37.416  dan  32.288  menghasilkan  nilai  rata-rata  sebesar  0,0291878 dan 0,02914439. Sedangkan, nilai ETL portofolio model MV dan MAD skenario 3 dengan iterasi secara berturut-turut sebesar 32.309 dan 28.764 menghasilkan nilai rata-rata sebesar 0,02915126 dan  0,02241572.  Apabila  tingkat  risiko  portofolio  dengan  setiap  saham  penyusunnya dibandingkan, portofolio memiliki tingkat risiko terendah.
3.7 Pemilihan  Skenario  Portofolio  Optimal  Terbaik  Berdasarkan  Evaluasi  Kinerja Portofolio, Nilai Return , dan Tingkat Risiko
Evaluasi  pertama  untuk  menentukan  portofolio  terbaik  dari  model  MV  dan  MAD  ditinjau dari  kinerja  portofolio  menggunakan  Indeks Sharpe berdasarkan  Persamaan  30.  Evaluasi selanjutnya, dengan membandingkan nilai akumulasi return dari seluruh skenario yang diperoleh dari jumlah  keseluruhan  nilai return portofolio  sesuai  periode  data  yang  digunakan  berdasarkan Persamaan  25.  Portofolio  dengan  nilai  akumulasi return yang  paling  optimal  akan  diajukan sebagai preferensi bagi investor. Evaluasi terakhir ditinjau dari perbandingan tingkat risiko yang didasarkan  pada  hasil  MC-ETL  dari  portofolio  MV  dan  MAD  menggunakan  Persamaan  34. Portofolio  dengan  nilai  ETL  paling  kecil  akan  diajukan  sebagai  preferensi  bagi  investor  karena memiliki tingkat risiko paling minimal.
Tabel 3.9 Hasil Indeks Sharpe, Akumulasi Return , dan Tingkat Risiko Portofolio MV dan MAD
Kriteria Skenario MV MAD Indeks Sharpe 1 0,03545 0,03686 2 0,03411 0,03587 3 0,03584 0,03704 Akumulasi Return 1 84,608% 87,752% 2 81,494% 85,371% 3 85,143% 87,836%

## JURNAL MATEMATIKA, STATISTIKA DAN KOMPUTASI
Mella Refina Anugrahayu,  Ulil Azmi
Tingkat Risiko 1 2,9350% 2,9328% 2 2,9188% 2,9144% 3 2,9151% 2,2416%
Jika  ditinjau  dari  setiap  skenario  portofolio  berdasarkan  Tabel  3.9,  portofolio  model Mean Absolute  Deviation (MAD)  secara  konsisten  menghasilkan  nilai return dan  kinerja yang  lebih tinggi  dengan  tingkat  risiko  yang  selalu  lebih  rendah  dibandingkan portofolio  model Mean- Variance (MV). Hasil dari penelitian ini sesuai dengan hasil penelitian yang dilakukan oleh [11]. Portofolio  MAD  skenario  1  tersusun  atas  empat  saham  dengan  proporsi  atau  bobot  pada saham  BMRI  sebesar 0,11075 ,  UNTR  sebesar 0,10166 ,  KLBF  sebesar 0,19123 ,  dan  BBCA sebesar 0,59636 .  Portofolio  MAD  skenario  2  tersusun  atas  empat  saham  dengan  bobot  pada saham  BMRI  sebesar 0,04253 ,  UNTR  sebesar 0,08362 ,  KLBF  sebesar 0,19688 ,  BBCA  sebesar 0,54115 ,  BBNI  sebesar 0,00000, SMGR  sebesar 0,01082, PGAS  sebesar 0,04180,  dan BBRI sebesar 0,08320. Portofolio MAD skenario 3 tersusun atas lima saham dengan bobot pada saham BMRI  sebesar  0,06243,  saham  UNTR  sebesar  0,08658,  saham  BBRI  sebesar  0,10285,  saham BBCA sebesar 0,53623, dan saham KLBF sebesar 0,21191.
Portofolio optimal MAD skenario 1 memiliki tingkat pengembalian ( return ) sebesar 87,752% dalam  kurun  waktu  Mei  2017  –  Desember  2022  dengan  kinerja  portofolio  sebesar  0,03686. Portofolio optimal MAD skenario 2 memiliki tingkat return sebesar 85,371% dalam kurun waktu Mei  2017  –  Desember  2022  dengan  kinerja  portofolio  sebesar  0,03587,  sedangkan portofolio optimal MAD skenario 3 memiliki tingkat return sebesar 87,836% dalam kurun waktu Mei 2017
– Desember 2022 dengan kinerja portofolio sebesar 0,03704. Sementara  itu, tingkat  risiko  berdasarkan Monte  Carlo-Expected  Tail  Loss pada  portofolio optimal MAD  skenario  1 adalah  sebesar  2,9328%  dengan  tingkat  kepercayaan  95%  berada diantara rentang 0,029308 hingga 0,029348, sedangkan pada portofolio optimal MAD skenario 2 adalah  sebesar  2,9144%  dengan  tingkat  kepercayaan  95%  berada  diantara  rentang  0,029132 hingga  0,029171.  Sementara  itu, pada  portofolio  optimal MAD skenario  3  adalah  sebesar 2,2416%  dengan  tingkat  kepercayaan  95%  berada  diantara  rentang  0,022399  hingga  0,022432. Nilai tersebut merupakan nilai risiko terkecil jika dibandingkan dengan saham penyusunnya.
3.8 Interpretasi Clustering Terbaik dalam Pembentukan Portofolio Optimal
Interpretasi karakteristik masing-masing cluster dari hasil pembentukan lima cluster sebagai cluster yang  paling  optimal  ditinjau  dari  analisis  deskriptif  yang  meliputi  nilai mean, standar deviasi,  rata-rata  nilai  minimum,  dan  maksimum. Cluster 1  menjadi  kelas  yang  berisi  emiten dengan karakteristik pergerakan harga saham yang cenderung turun dan memiliki fluktuasi yang tinggi.  Pernyataan  ini  dibuktikan  dengan  nilai  standar  deviasi  sebesar  1.374,62. Cluster 2 memberikan  informasi  bahwa  emiten  pada  kelompok  ini  memiliki  karakteristik  dengan pergerakan saham yang cenderung turun dan memiliki fluktuasi yang paling tinggi dibandingkan cluster lainnya  dengan  nilai  standar  deviasi  sebesar  3.860,77. Cluster 3  menunjukkan  bahwa emiten pada kelompok ini memiliki karakteristik dengan pergerakan saham yang cenderung stabil dan memiliki fluktuasi yang terbilang rendah dengan nilai standar deviasi sebesar 854,41. Cluster 4 memiliki karakteristik pergerakan harga saham yang cenderung positif dan memiliki fluktuasi yang  cukup  tinggi,  namun  cenderung  lebih  rendah  dari cluster 1  dengan  nilai  standar  deviasi sebesar 1.350,61. Cluster 5 memiliki karakteristik pergerakan harga saham yang cenderung stabil dan  memiliki  fluktuasi  yang  rendah  dibandingkan cluster lainnya  dengan  nilai  standar  deviasi sebesar 366,36.

## JURNAL MATEMATIKA, STATISTIKA DAN KOMPUTASI

## Mella Refina Anugrahayu,  Ulil Azmi

## 4.  KESIMPULAN
Berdasarkan hasil analisis yang telah dilakukan, diperoleh kesimpulan bahwa hasil dari ketiga evaluasi  yg  telah  dilakukan  menunjukkan  bahwa  portofolio  MAD  skenario  3  secara  konsisten memiliki  kinerja  portofolio  dan  nilai  akumulasi return yang  lebih  besar  dengan  tingkat  risiko yang  paling  minimal  dibandingkan  portofolio  lainnya,  sehingga  portofolio  MAD  skenario  3 diajukan sebagai preferensi bagi investor sebagai portofolio optimal terbaik.

## DAFTAR PUSTAKA
[1] Al  Fatah,  R.  S.,  2022. Pengelompokan  Emiten  Saham  Consumer  non  Cyclical Menggunakan Jarak Euclidean dan Dynamic Time Warping .
[2] Alijoyo,  A.,  Wijaya,  B.,  &  Jacob,  I.  2019. Monte  Carlo  Simulation .  Center  for  Risk Management & Sustainability.
[3] Bower, B., & Wentz, P., 2005. Portfolio optimization: MAD vs. Markowitz. Rose-Hulman Undergraduate Mathematics Journal , Vol. 6(2005), No. 2, 3.
[4] Chalabi,  Y.,  Scott,  D.  J.,  &  Wuertz,  D.,  2012. Flexible  distribution  modeling  with  the generalized lambda distribution .
[5] Chen,  W.,  Zhang,  H.,  Mehlawat,  M.  K.,  &  Jia,  L.,  2021.  Mean–variance  portfolio optimization  using  machine  learning-based  stock  price  prediction. Applied  Soft Computing , Vol. 100, 106943.
[6] Giorgino, T., 2009. Computing and visualizing dynamic time warping alignments in R: the dtw package . Journal of statistical Software, Vol. 31, No. 31, 1-24.
[7] Gubu,  L.,  Rosadi,  D.,  &  Abdurakhman,  2019.  Classical  portfolio  selection  with  cluster analysis:  Comparison  between  hierarchical  complete  linkage  and  ward  algorithm. AIP Conference Proceedings, Vol. 2192, No. 1, p. 090004.
[8] Gubu,  L.,  Rosadi,  D.,  &  Abdurakhman,  A.,  2021.  Pembentukan  Portofolio  Saham Menggunakan  Klastering  Time  Series  K-Medoid  dengan  Ukuran  Jarak  Dynamic  Time Warping. Jurnal Aplikasi Statistika & Komputasi Statistik, Vol. 13, No. 2, 35-46.
[9] Herlinawati, A., Hendrawati, T., & Bachrudin, A., 2021. Pengelompokan Wilayah di Jawa Barat  Berdasarkan  Data  Curah  Hujan  Menggunakan  Jarak  Dynamic  Time  Warping. E- Journal BIAStatistics Departemen Statistika FMIPA Universitas Padjadjaran , Vol. 15, No. 2, 1.
[10]  Ivanova, M., & Dospatliev, L., 2017. Application of Markowitz portfolio optimization on Bulgarian stock market from 2013 to 2016. Journal of Pure and Applied Mathematics, Vol. 117, No. 2, 291-307.
[11]  Kasenbacher, G., Lee, J., &  Euchukanonchai, K., 2017. Mean-variance vs. mean-absolute deviation:  A  performance  comparison  of  portfolio  optimization  models. University  of British Columbia .
[12] Kumar, U., Legendre, C. P., Lee, J. C., Zhao, L., & Chao, B. F., 2022. On analyzing GNSS displacement  field  variability  of Taiwan:  Hierarchical  Agglomerative  Clustering  based  on Dynamic Time Warping technique. Computers & Geosciences , Vol. 169, 105243.
[13] Lam,  W.  S.,  Lam,  W.  H.,  &  Jaaman,  S.  H.,  2021.  Portfolio  optimization  with  a  mean– absolute deviation–entropy multi-objective model. Entropy , Vol. 23, No. 10, 1266.
[14]  Markowitz, H.,1952. Portfolio Selection in The Journal of Finance, Vol. 7.
[15]  Prihatiningsih,  D.  R.,  Di  Asih,  I.  M.,  &  Rahmawati,  R.,  2020.  Value  at  Risk  (VaR)  dan Conditional Value at Risk (CVaR) Dalam Pembentukan Portofolio Bivariat Menggunakan Copula Gumbel. Jurnal Gaussian, Vol. 9, No. 3, 326-335.

## JURNAL MATEMATIKA, STATISTIKA DAN KOMPUTASI
Mella Refina Anugrahayu,  Ulil Azmi
[16]  Putri,  M.  M.,  &  Fithriasari,  K.,  2015.  Pengelompokan  Kabupaten/Kota  di  Jawa  Timur Berdasarkan  Indikator  Kesehatan  Masyarakat  Menggunakan  Metode  Kohonen  SOM  dan K-Means. Jurnal Sains dan Seni ITS, Vol. 4, No. 1, D13-D18.
[17]  Senin P., 2008. Dynamic Time Warping Algorithm Review . Honolulu (USA): University of Hawaii.
[18] Sureja, N., Chawda, B., & Vasant, A., 2022. An improved K-medoids clustering approach based  on  the  crow  search  algorithm. Journal  of  Computational  Mathematics  and  Data Science , Vol. 3, 100034.
[19]  Wang, W., & Lu, Y., 2018. Analysis of the mean absolute error (MAE) and the root mean square  error  (RMSE)  in  assessing  rounding  model. IOP  conference  series:  materials science and engineering, Vol. 324, No. 1, p.012049).