## KAJIAN PEMODELAN MATEMATIKA TERHADAP PENYEBARAN VIRUS AVIAN INFLUENZA TIPE-H5N1 PADA POPULASI UNGGAS
Dian Permana Putri 1 , Herri Sulaiman 2
1 FKIP, Pendidikan Matematika, Universitas Swadaya Gunung Jati Cirebon
2 FKIP, Pendidikan Matematika, Universitas Swadaya Gunung Jati Cirebon e-mail : hs_msc@yahoo.com
Abstrak. Seperti yang dikutip dari Centers of Disease Control and Prevention , Avian Influenza (AI), atau sering disebut dengan flu burung adalah penyakit menular yang disebabkan oleh virus H5N1 tipe A pada unggas. Virus H5N1 diklasifikasikan ke dalam dua kategori yaitu patogenik rendah  dan  patogenik  tinggi  yang  mengacu  pada  kemampuan  virus  untuk  menyebabkan penyakit parah (berdasarkan karakteristik molekuler dari virus dan mortalitas pada unggas di bawah  kondisi  percobaan).  Virus  H5N1  hidup  dalam  saluran  pencernaan  unggas  sehingga unggas yang terinfeksi dapat mengeluarkan virus ini melalui tinja yang kemudian mengering dan hancur menjadi semacam bubuk. Bubuk inilah yang kemudian dihirup oleh manusia atau binatang lainnya. Pada penelitian ini, untuk mempresentasikan pola penyebaran virus Avian Influenza  pada  populasi  unggas  dibuat  ke  dalam  bentuk  model  matematika  dengan menggunakan Sistem Persamaan Diferensial Nonlinear (PDNL). Dari fakta yang ada mengenai virus  Avian  Influenza,  dibentuk  asumsi  yang  nantinya  digunakan  untuk  membuat  model matematika. Setelah model matematika terbentuk lebih lanjut dicari titik ekuilibrium model dan dianalisis apakah titik ekuilibrum yang ditemukan stabil asimtotik atau tidak, kemudian diakhir penelitian  ditentukan  simulasi  numeris  dengan  membuat  plot/grafik  dari  sistem  model matematika agar dapat diinterpretasikan pada keadaan yang sebenarnya.
Kata kunci : Avian Influenza, Pemodelan Matematika, Titik Ekuilibrium, Kestabilan

## PENDAHULUAN
Semakin berkembangnya ilmu
pengetahuan  dan  ilmu  pengobatan  tidak menjamin  manusia  akan  terbebas  dari penyakit. Hal ini disebabkan karena penyakit dan  virus  juga  semakin  berkembang  dan bermutasi  sehingga  kebal  terhadap  obat maupun  antibiotik.  Salah  satu  virus  yang memiliki kemampuan bermutasi yang sangat cepat  adalah virus  yang  bertipe-H5N1  yang selanjutnya  dikenal  dengan  istilah  virus H5N1.  Penyakit  flu  burung  atau  Avian Influenza  (AI)  merupakan  penyakit  yang disebabkan  oleh  virus  H5N1  yang  biasa menyerang pada unggas. Virus H5N1 selain dapat  menular  dari  unggas  ke  unggas ternyata  dapat  pula  menular  dari  unggas  ke manusia  sehingga  ketika  wabah  flu  burung merebak,  kepanikan  massal  dapat  terjadi
dimana-mana. Tingkat pengetahuan masyarakat  yang  rendah  terhadap  penyakit ini  membuat  banyak  yang  bereaksi  dengan ekstrim.  Tanpa  pikir  panjang,  ratusan  ribu unggas dimusnahkan, tanpa melihat efektifitas  dari  pemusnahan  tersebut.  Oleh karena itu ada baiknya lebih dikenal terlebih dahulu tentang karakteristik dari virus H5N1 ini.  Seperti  yang  dikutip  dari Centers  of Disease  Control  and  Prevention ,  Avian Influenza  (AI),  biasa  disebut  flu  burung adalah  penyakit  menular  yang  disebabkan oleh virus H5N1 tipe A pada unggas. Virus H5N1 diklasifikasikan ke dalam dua kategori yaitu: patogenik rendah dan patogenik tinggi yang mengacu pada kemampuan virus untuk menyebabkan  penyakit  parah  (berdasarkan karakteristik  molekuler  dari  virus  dan
mortalitas  pada  unggas  di  bawah  kondisi percobaan).  Infeksi  unggas  oleh  virus low pathogenic  Avian  Influenza (LPAI)  tidak menyebabkan penyakit atau hanya
menyebabkan  penyakit  ringan  (seperti  bulu rontok  dan  penurunan  produksi  telur  pada unggas)  dan  tidak  dapat  dideteksi.  Infeksi unggas  oleh  virus highly  pathogenic  Avian Influenza (HPAI)  dapat menyebabkan penyakit berat dengan mortalitas (kematian) yang  tinggi. Virus  HPAI  dan  LPAI  dapat menular  dengan  cepat  melalui  unggas. Infeksi  virus  HPAI  pada  unggas  dapat menyebabkan penyakit yang mempengaruhi beberapa  organ dengan  rentang  kematian hingga  90-100%  dan  masa  inkubasi  48  jam (World Health Organization). Ada
perbedaan  genetik  dan  antigenetik  antara virus  H5N1  subtipe  virus  yang biasanya hanya  menginfeksi  unggas  dan  yang  dapat menginfeksi  unggas  dan manusia.  Virus H5N1  tidak  menyerang  manusia  hingga akhir tahun 1997, baru muncul kasus pertama seorang  manusia  terinfeksi  virus  H5N1  di Hongkong.  Setelah  itu,  infeksi  virus  H5N1 pada  manusia  terjadi  secara  terus  menerus. Diketahui sudah 133 orang terinfeksi di Asia pada  akhir  tahun  2003,  68  diantaranya meninggal  dunia.  HPAI  menyebabkan tingkat kematian hingga 100% pada unggas dan lebih dari 70% pada manusia. Angka ini sangatlah tinggi mengingat tingkat kematian karena  virus  H5N1  pada  1918  hanya beberapa  persen  saja.  Pada  tanggal  1  April 2013,  untuk  pertama  kalinya  dilaporkan kasus  infeksi  varian  baru  virus  flu  burung H7N9  pada  manusia.  Infeksi  ini  dikaitkan dengan  penyakit  pernapasan  parah  dan kematian.  Hal  ini  menunjukkan  cepatnya mutasi pada virus H5N1. Virus H5N1 dapat menular  ke  manusia  jika  ada  interaksi langsung  dengan  unggas  yang  terinfeksi. Virus H5N1 hidup dalam saluran pencernaan unggas  sehingga  unggas  yang  terinfeksi dapat  mengeluarkan  virus  ini  melalui  tinja yang  kemudian  mengering  dan  hancur menjadi semacam bubuk. Bubuk inilah yang
kemudian  dihirup  oleh  manusia  atau binatang lainnya. Menurut situs resmi WHO, virus  H5N1  lebih  mudah  menular  dari unggas  ke  manusia  dibandingkan  dari manusia  ke  manusia  dan  mungkin  menular dari  manusia  ke  manusia  jika  virus  H5N1 sudah  bercampur  dengan  selnya.  Model matematika  dari  penularan  virus  H5N1  ini diperkenalkan untuk lebih memahami kompleksitas  epidemiologi  penyakit  flu burung  dan  munculnya  pandemi  dari  flu burung.  Pada  penelitian  ini  akan  ditentukan analisis kualitatif dari model penularan virus H5N1 untuk mendapatkan bilangan reproduksi  dasar  R 0 ,  dimana  R 0 bertujuan untuk mengetahui adanya penularan penyakit  atau  tidak  adanya  penularan penyakit melalui analisis stabilitas dari titik ekuilibrium  bebas  penyakit  maupun  titik ekuilibrium  endemik.  Model  matematika yang akan digunakan adalah model penularan virus H5N1 pada populasi unggas dengan menggunakan model SI. SI merupakan  pengelompokan  pada  populasi unggas  menjadi  dua  kompartemen  yaitu unggas  yang  rentan  dan  unggas  yang terinfeksi.
Pada penyebaran virus H5N1, populasi unggas dapat dibagi menjadi tiga kelas yaitu (1) unggas yang masuk ke dalam kelas rentan ( susceptible) yaitu unggas yang sehat namun rentan  terhadap  virus  H5N1  sehingga banyaknya  unggas  yang  masuk  ke  dalam kelompok susceptible ini  dapat  dinyatakan dengan 𝑆 𝑢 . (2) Unggas yang masuk ke dalam kelas terinfeksi ( infected ) yaitu unggas yang telah  terinfeksi  dan  dapat  menularkan  virus H5N1  kepada  unggas  lainnya,  sehingga banyaknya  unggas  yang  masuk  ke  dalam kelas terinfeksi ( infected) ini dapat dinyatakan  dengan 𝐼 𝑢 .  Dengan  demikian jumlah  unggas  yang  berada  di  dalam populasi  ini  adalah 𝑁 𝑢 = 𝑆 𝑢 + 𝐼 𝑢 .  Untuk mempermudah  dalam  membentuk  diagram transfer dari sistem penyebaran  virus H5N1 pada populasi unggas, maka akan dijelaskan terlebih dahulu siklus interaksi antara unggas
yang  rentan  dengan  unggas  yang  terinfeksi. Di dalam penelitian ini, diasumsikan bahwa laju  kelahiran  atau  imigrasi  pada  populasi unggas  dapat  dinyatakan  dengan 𝐾 𝑢 dan dapat dikelompokkan ke dalam kelas rentan dengan proporsi dari 𝐾 𝑢 ≤ 1 . Pada awalnya, unggas yang berada di dalam kelas rentan itu berasal  dari  perkembangbiakan  unggas (kelahiran),  imigrasi  (perpindahan)  ataupun unggas  yang  telah  menetap  di  alam  bebas atau  di  suatu  penangkaran/kandang.  Lebih Lanjut,  terdapat  laju  kematian  alami  dari unggas  yaitu  laju  kematian  tanpa  terinfeksi virus  H5NI  yang  dinyatakan  dengan 𝜇 𝑢 . Kemudian  beberapa  unggas  yang  berada  di kelas  rentan  telah  terjangkit/terinfeksi  virus H5N1  dan  menularkan  virus  ini  ke  unggas yang  lain,  sehingga  populasi  unggas  yang berada  di  dalam  kelas  ini  semakin
meningkat,  dengan  demikian  kelas  ini disebut  dengan  kelas  terinfeksi  ( infected) . Perlu  diketahui  bahwa  laju  efektivitas penularan  pada  populasi  unggas  saat melakukan kontak dengan unggas terinfeksi dapat  dinyatakan  dengan 𝛽 𝑢 .  Lebih  lanjut, unggas  yang  terinfeksi  virus  akan  mati sehingga  laju  kematian  unggas  akibat terinfeksi  virus  H5N1  dapat  dinyatakan dengan 𝛼 𝑢 .  Di  dalam  penelitian  ini, diasumsikan  bahwa  tidak  ada  populasi unggas  yang  sembuh  dari  serangan  virus H5N1, karena mengingat umur unggas yang relatif  singkat  dan  tingkat  immunitas (kekebalan)  dari  tubuh  unggas  yang  cukup lemah.  Dengan  demikian  dari  penjelasan  di atas  maka  didapat  diagram  transfer  untuk model penyebaran virus H5N1 pada populasi unggas sebagai berikut :
Dari  gambar  4.1  di  atas  terlihat  bahwa populasi unggas dibagi dalam dua kelas yaitu kelas  rentan (𝑆 𝑢 ) dan  kelas  terinfeksi (𝐼 𝑢 ) yang  mengacu  pada  model  matematika epidemiologi SI . Berdasarkan asumsi-asumsi dan  diagram  transfer  yang  telah  dibentuk, maka  model  matematika  untuk  penyebaran virus H5N1 pada populasi unggas dituliskan
dalam bentuk Persamaan Diferensial Nonlinear (PDNL) sebagai berikut :
𝑑𝑆 𝑢 𝑑𝑡 = 𝐾 𝑢 − (𝛽 𝑢 𝐼 𝑢 + 𝜇 𝑢 )𝑆 𝑢 𝑑𝐼 𝑢 𝑑𝑡 = 𝛽 𝑢 𝐼 𝑢 𝑆 𝑢 − (𝜇 𝑢 + 𝛼 𝑢 )𝐼 𝑢 . (4.1)
dan diberikan nilai awal sebagai berikut : 𝑆 𝑢 (0) = (𝑆 𝑢 ) 0 > 0 , 𝐼 𝑢 (0) = (𝐼 𝑢 ) 0 > 0 dan diasumsikan untuk 𝐾 𝑢 , 𝛽 𝑢 , 𝜇 𝑢 dan 𝛼 𝑢 > 0 .

## METODE PENELITIAN
Penelitian  mengenai  model  penularan virus  H5N1  pada  populasi  Unggas  diawali dengan  studi  literatur  mengenai  sifat-sifat dan  karakteristik  virus  H5N1  kemudian disusun  asumsi-asumsi  berdasarkan  kondisi sebenarnya  seperti  adanya  laju  kelahiran,
kematian, laju kontak populasi rentan dengan populasi terinfeksi, dan lain sebagainya. Dari fakta  dan  asumsi  yang  didapatkan  maka dibentuk  suatu  diagram  transfer  dari penularan virus H5N1 pada populasi unggas. Setelah itu dibentuk model matematika yang mewakili diagram tersebut. Model
matematika dalam penelitian ini merupakan Sistem  Persamaan  Diferensial  Nonlinear. Dari  sistem  ini  akan  ditentukan  titik ekuilibrium  endemik  dan  titik  ekuilibrium bebas  penyakit  dari  populasi  unggas. Linearisasi  dari  sistem  nonlinear  dilakukan untuk  mempelajari  solusi  disekitar  titik ekuilbrium  karena  sulit  menemukan  solusi eksak  dari  sistem  nonlinear.  Linearisasi dapat  dilakukan  dengan  menggunakan matriks  Jacobian  kemudian  sifat  kestabilan titik  ekuilibrium  dapat  dianalisis  dari  nilai eigen  matriks  Jacobian  dari  masing-masing
titik  ekuilibriumnya.  Untuk  menentukan nilai  eigen  bisa  digunakan  Kriteria  Routh- Hurwitz.  Selanjutnya  dianalisis  perilaku penularan  virus  H5N1  dengan  simulasi numerik. Simulasi dilakukan dengan mensubtitusikan  parameter-parameter  yang diperoleh  berdasarkan  asumsi-asumsi  yang telah dibuat. Untuk mempermudah menganalisis data, simulasi dilakukan dengan bantuan program Matlab. Hasil dari simulasi  ini  berupa  grafik  solusi  yang menggambarkan  perilaku  model  penularan virus H5N1 dalam keadaan sebenarnya.
HASIL PENELITIAN DAN PEMBAHASAN 1. Model  Penyebaran  Virus  H5N1  Pada Populasi Unggas
Berikut  ini  akan  diberikan  lemma  yang membahas  bahwa  solusi  dari  Sistem  (4.1) yang  memenuhi  kondisi  awal 𝑆 𝑢 (0) = (𝑆 𝑢 ) 0 > 0 , 𝐼 𝑢 (0) = (𝐼 𝑢 ) 0 > 0 bernilai positif.
Lemma 4.1.1 Jika 𝑆 𝑢 (𝑡) dan 𝐼 𝑢 (𝑡) adalah  solusi  pada Sistem  (4.1)  yang  memenuhi  kondisi  awal 𝑆 𝑢 (0) = (𝑆 𝑢 ) 0 > 0 , 𝐼 𝑢 (0) = (𝐼 𝑢 ) 0 > 0 maka 𝑆 𝑢 (𝑡) dan 𝐼 𝑢 (𝑡)   > 0 .

## Bukti :
Dari  persamaan  kedua  pada  Sistem  (4.1) didapat :
𝑑𝐼 𝑢 𝑑𝑡 = 𝛽 𝑢 𝐼 𝑢 𝑆 𝑢 − (𝜇 𝑢 + 𝛼 𝑢 )𝐼 𝑢 (4.2)
jika  kedua  ruas  pada  Persamaan  (4.2) diintegralkan akan didapat :
∫ 𝑑𝐼 𝑢 𝐼 𝑢 = ∫ 𝛽 𝑢 𝑆 𝑢 − (𝜇 𝑢 + 𝛼 𝑢 )𝑑𝑡  , ⟺ ln 𝐼 𝑢 = ∫(𝛽 𝑢 𝑆 𝑢 − (𝜇 𝑢 + 𝛼 𝑢 ))𝑑𝑡 + 𝐶  , ⟺ 𝐼 𝑢 (𝑡) = 𝑒 ∫(𝛽 𝑢 𝑆 𝑢 −(𝜇 𝑢 +𝛼 𝑢 ))𝑑𝑡+𝐶 , ⟺ 𝐼 𝑢 (𝑡) = 𝑒 ∫(𝛽 𝑢 𝑆 𝑢 −(𝜇 𝑢 +𝛼 𝑢 ))𝑑𝑡 𝑒 𝑐 , ⟺ 𝐼 𝑢 (𝑡) = 𝐶. 𝑒 ∫(𝛽 𝑢 𝑆 𝑢 −(𝜇 𝑢 +𝛼 𝑢 ))𝑑𝑡 ,
dengan  syarat  awal 𝐼 𝑢 (0) = (𝐼 𝑢 ) 0 > 0 = 𝐶 maka :
⟺ 𝐼 𝑢 (𝑡)    = (𝐼 𝑢 ) 0 . 𝑒 ∫(𝛽 𝑢 𝑆 𝑢 −(𝜇 𝑢 +𝛼 𝑢 ))𝑑𝑡 > 0 untuk semua t > 0 .
Andaikan  solusi  pertama  pada  Sistem  (4.1) memenuhi 𝑆 𝑢 (𝑡) ≤ 0 . Dipilih 𝑡 0 adalah titik awal  pada  sumbu 𝑡 yang  menyebabkan 𝑆 𝑢 (𝑡) = 0 .  Pada  saat 𝑆 𝑢 (𝑡) = 0 ,  dari persamaan  pertama  pada  Sistem  (4.1) didapatkan 𝑑𝑆 𝑢 𝑑𝑡 | 𝑡=𝑡 0 = 𝐾 𝑢 > 0 . Untuk titik 𝑡 yang  dekat  dengan 𝑡 0 dimana 𝑡 < 𝑡 0 pasti ada 𝑆 𝑢 (𝑡) < 0 ,  hal  ini  kontradiksi  dengan pengandaian bahwa solusi  Sistem  dari (4.1) yaitu 𝑆 𝑢 (𝑡) ≤ 0 . Oleh karena itu 𝑆 𝑢 (𝑡) > 0 . Jadi  solusi  Sistem  (4.1)  yang  memenuhi kondisi  awal 𝑆 𝑢 (0) = (𝑆 𝑢 ) 0 > 0 , 𝐼 𝑢 (0) = (𝐼 𝑢 ) 0 > 0 bernilai positif. ▀ Selanjutnya,  akan  dibahas  bahwa  semua solusi  dari  Sistem  (4.1)  akan  berada  pada daerah penyelesaian :
𝜑 = {(𝑆 𝑢 , 𝐼 𝑢 ) ∈ 𝑅 +0 2 |𝑆 𝑢 + 𝐼 𝑢 ≤ 𝑁̇ 𝑢 ≤ 1}, ∀ 𝑆 𝑢 , 𝐼 𝑢 ≥ 0 .
Teorema 4.1.2 Pada saat 𝑡 → ∞, semua solusi pada Sistem (4.1) akan berada pada :
𝜑 = {(𝑆 𝑢 , 𝐼 𝑢 ) ∈ 𝑅 +0 2 |𝑆 𝑢 + 𝐼 𝑢 ≤ 𝑁̇ 𝑢 ≤ 1}, ∀ 𝑆 𝑢 , 𝐼 𝑢 ≥ 0 .

## Lemma 4.1.3
Himpunan 𝑅 +0 2 = {(𝑆 𝑢 , 𝐼 𝑢 ): 𝑆 𝑢 ≥ 0, 𝐼 𝑢 ≥ 0} merupakan himpunan invarian positif terhadap Sistem (4.1).

## Bukti :
Akan  dibuktikan  bahwa  himpunan 𝑅 +0 2 merupakan himpunan invarian postif terhadap  Sistem  (4.1)  artinya  jika  untuk sebarang syarat awal 𝑥 0 = (𝑆 𝑢 0 , 𝐼 𝑢0 ) ∈ 𝑅 +0 2
maka  solusi  Sistem  (4.1)  yaitu 𝑥(𝑡) = (𝑆 𝑢 (𝑡), 𝐼 𝑢 (𝑡)) dengan syarat 𝑥(𝑡) tersebut ∈ 𝑅 +0 2 untuk 𝑡 ≥ 0 .  Dari  persamaan  (4.1) diperoleh :
i. Pada saat 𝑆 𝑢 0 = 0 , maka 𝑑𝑆 𝑢 𝑑𝑡 | 𝑆 𝑢 0 =0 = 𝐾 𝑢 ≥ 0 .  Oleh  karena  itu  solusi 𝑆 𝑢 (𝑡) ≥ 0 dengan syarat 𝐾 𝑢 ≥ 0 .
ii. Pada  saat 𝐼 𝑢0 = 0 ,  maka 𝑑𝐼 𝑢 𝑑𝑡 | 𝐼 𝑢 0 =0 = 0 , itu artinya 𝐼 𝑢 (𝑡) = 0 untuk 𝐼 𝑢 0 = 0 , telah dibuktikan  pada  Lemma  4.1  bahwa  untuk 𝐼 𝑢 0 > 0 maka 𝐼 𝑢 (𝑡) > 0 .  Oleh  karena  itu
𝐼 𝑢 (𝑡) ≥ 0 ,  untuk  syarat  awal 𝐼 𝑢0 ≥ 0 .
Berdasarkan penjabaran tersebut di atas dapat disimpulkan  bahwa  dengan  syarat  awal 𝑆 𝑢 0 ≥ 0 dan 𝐼 𝑢0 ≥ 0 maka akan didapatkan solusi  Sistem  (4.1)  yaitu 𝑆 𝑢 (𝑡) ≥ 0 dan 𝐼 𝑢 (𝑡) ≥ 0 . Dengan demikian terbukti bahwa 𝑅 +0 2 merupakan himpunan invarian positif. ▀ 2. Eksistensi dan Kestabilan Titik
Ekuilibrium
Berikut ini akan dicari titik ekuilibrium pada Sistem  (4.1).  Diperhatikan  Sistem  (4.1), lebih lanjut didefinisikan untuk fungsi-fungsi sebagai berikut :
𝑓 1 (𝑆 𝑢 , 𝐼 𝑢 ) = 𝐾 𝑢 − (𝛽 𝑢 𝐼 𝑢 + 𝜇 𝑢 )𝑆 𝑢 (4.3) 𝑓 2 (𝑆 𝑢 , 𝐼 𝑢 ) = 𝛽 𝑢 𝐼 𝑢 𝑆 𝑢 − (𝜇 𝑢 + 𝛼 𝑢 )𝐼 𝑢 (4.4) dan 𝐟(𝑆 𝑢 , 𝐼 𝑢 ) = (𝑓 1 , 𝑓 2 ) 𝑇 . Lemma 4.1.4
Diberikan 𝑅 0 = 𝛽 𝑢 𝜇 𝑢 , i. Jika 𝑅 0 < 1 ,  maka  Sistem  (4.1) mempunyai  dua  titik  ekuilibrium yaitu  titik  ekuilibrium  bebas  infeksi dari  virus  H5N1  dengan 𝐸 0 = (0,0)
dan 𝐸 1 = ( 𝐾 𝑢 𝜇 𝑢 , 0) .
ii. Jika 𝑅 0 > 1 ,  maka  Sistem  (4.1) mempunyai  dua  titik  ekuilibrium yaitu  titik  ekuilibrium  bebas  infeksi dari virus H5N1 dengan 𝐸 1 = ( 𝐾 𝑢 𝜇 𝑢 , 0)
dan  titik  ekuilibrium  endemik  yang berarti  virus  H5N1  masih  terus  ada dengan 𝐸 2 + = (𝑆 𝑢 ∗ , 𝐼 𝑢 ∗ ) dimana 𝑆 𝑢 ∗ = 𝜇 𝑢 +𝛼 𝑢 𝛽 𝑢 dan 𝐼 𝑢 ∗ = 𝐾 𝑢 (𝜇 𝑢 +𝛼 𝑢 ) − 𝜇 𝑢 𝛽 𝑢 .
Berikut  ini  akan  dianalisis  kestabilan  titik ekuilibrium dari Sistem (4.1) yang berdasarkan  nilai  eigen  matriks  Jacobian untuk fungsi (4.3) sampai dengan (4.4). Lemma 4.1.5 Matriks  Jacobian  fungsi 𝐟 = (𝑓 1 , 𝑓 2 ) 𝑇 yang didefinisikan  pada  (4.3)  –  (4.4)  di (𝑆 𝑢 , 𝐼 𝑢 ) adalah : 𝐷𝐟(𝑆 𝑢 , 𝐼 𝑢 ) = [ 𝛽 𝑢 𝐼 𝑢 + 𝜇 𝑢 −𝛽 𝑢 𝑆 𝑢 𝛽 𝑢 𝐼 𝑢 −(𝜇 𝑢 + 𝛼 𝑢 ) ] .
Bukti : Karena :
𝜕𝑓 1 𝜕𝑆 𝑢 = −(𝛽 𝑢 𝐼 𝑢 + 𝜇 𝑢 ) , 𝜕𝑓 1 𝜕𝐼 𝑢 = −𝛽 𝑢 𝑆 𝑢 𝜕𝑓 2 𝜕𝑆 𝑢 = 𝛽 𝑢 𝐼 𝑢 , 𝜕𝑓 2 𝜕𝐼 𝑢 = −(𝜇 𝑢 + 𝛼 𝑢 ) .
Maka  diperoleh  matriks  Jacobian  untuk fungsi 𝐟 = (𝑓 1 , 𝑓 2 ) 𝑇 yang didefiniskan pada (4.3) - (4.4) di (𝑆 𝑢 , 𝐼 𝑢 ) adalah : 𝐷𝐟(𝑆 𝑢 , 𝐼 𝑢 ) = [ 𝜕𝑓 1 𝜕𝑆 𝑢 (𝑆 𝑢 , 𝐼 𝑢 ) 𝜕𝑓 1 𝜕𝐼 𝑢 (𝑆 𝑢 , 𝐼 𝑢 ) 𝜕𝑓 2 𝜕𝑆 𝑢 (𝑆 𝑢 , 𝐼 𝑢 ) 𝜕𝑓 2 𝜕𝑆 𝑢 (𝑆 𝑢 , 𝐼 𝑢 ) ] .
atau :
𝐷𝐟(𝑆 𝑢 , 𝐼 𝑢 ) = [ −(𝛽 𝑢 𝐼 𝑢 + 𝜇 𝑢 ) −𝛽 𝑢 𝑆 𝑢 𝛽 𝑢 𝐼 𝑢 −(𝜇 𝑢 + 𝛼 𝑢 ) ] . ▀
Pada  Teorema  berikut  ini  akan  dibahas mengenai  kestabilan  titik  ekuilibrium  bebas infeksi dari virus H5N1 yaitu 𝐸 0 = (0,0) dan
𝐸 1 = ( 𝐾 𝑢 𝜇 𝑢 , 0) .

## Teorema 4.1.6
Diberikan 𝑅 0 = 𝛽 𝑢 𝜇 𝑢 . 1. Titik ekuilibrium 𝐸 0 = (0,0)
merupakan  titik  ekuilibrium  yang stabil asimtotik lokal.
2. Jika 𝑅 0 < 1 dan 𝑅 0 > 1 maka  titik ekuilibrium bebas infeksi virus H5N1 yaitu 𝐸 1 = ( 𝐾 𝑢 𝜇 𝑢 , 0) stabil  asimtotik lokal.
Berikut  ini  akan  dibahas  kestabilan  titik ekuilibrium endemik 𝐸 2 + = (𝑆 𝑢 ∗ , 𝐼 𝑢 ∗ ) .
Teorema 4.1.7 Jika 𝑅 0 > 1 maka titik ekuilibrium endemik 𝐸 2 + = (𝑆 𝑢 ∗ , 𝐼 𝑢 ∗ ) adalah  fokus stabil. berikut  ini  akan  diberikan  teorema  yang membahas  tentang  kestabilan  global  titik ekuilibrium bebas infeksi 𝐸 1 = ( 𝐾 𝑢 𝜇 𝑢 , 0) .
Teorema 4.1.8 Jika 𝑅 0 < 1 maka  titik  ekuilibrium  bebas infeksi 𝐸 1 = ( 𝐾 𝑢 𝜇 𝑢 , 0) pada Sistem (4.1) stabil asimtotik global.
3. Simulasi Numerik Berikut ini diberikan ilustrasi perilaku dari populasi individu unggas yang
termasuk  dalam  kelas  rentan  dan  populasi individu unggas yang masuk ke dalam kelas terinfeksi  oleh  virus  H5N1  dalam  ukuran proporsi.
1) Perilaku  populasi  unggas  dengan
𝑹 𝟎 < 1 .
Berikut  ini  akan  dikaji  simulasi penyebaran  virus  H5N1  pada  populasi unggas untuk  kasus  bebas dari virus H5N1. Teorema  4.8  telah  mengkaji  secara  analitis bahwa  titik  ekuilibrium 𝐸 1 = ( 𝐾 𝑢 𝜇 𝑢 , 0) stabil asimtotik global jika 𝑅 0 < 1 . Jika diberikan syarat  awal (𝑆 𝑢 0 , 𝐼 𝑢 0 ) = (100,150) dan diambil  nilai-nilai  parameter  (Smith,  J.O., 2003) yang memenuhi kondisi 𝑅 0 < 1 yaitu 𝐾 𝑢 = 0,15 ; 𝛽 𝑢 = 0,025 ; 𝜇 𝑢 = 0,03 ; dan 𝛼 𝑢 = 0,1 maka diperoleh 𝑅 0 = 𝛽 𝑢 𝜇 𝑢 = 0,833 < 1 dan titik ekuilibrium untuk bebas dari virus H5N1 yaitu 𝐸 1 = (5,0) . Berikut ini diberikan  grafik  penyelesaian 𝑆 𝑢 (𝑡) dan 𝐼 𝑢 (𝑡) terhadap  waktu  yang  menyatakan kepadatan  populasi  dari  individu  unggas yang rentan, dan kepadatan individu unggas yang terinfeksi dari virus H5N1.
0 50 100 150 200 250 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 t = Waktu (Jam) P ro p o rs i d a ri P o p u la s i U n g g a s y a n g R e n ta n d a n T e ri n fe k s i v ir u s H 5 N 1
Gambar 1    Grafik Penyelesaian 𝑆 𝑢 (𝑡) yang menyatakan proporsi dari populasi   unggas  yang rentan dan 𝐼 𝑢 (𝑡) yang menyatakan proporsi dari populasi  unggas  yang terinfeksi dari virus H5N1 terhadap waktu.
Berdasarkan gambar 1 di atas terlihat bahwa untuk syarat awal (𝑆 𝑢 (0), 𝐼 𝑢 (0)) =
(0.38 ; 3.21) ,  maka  grafik  penyelesaian 𝑆 𝑢 (𝑡) dan 𝐼 𝑢 (𝑡) menuju  titik  ekuilibrium bebas penyakit 𝐸 1 = (5,0) .
2) Perilaku  Populasi  Unggas  dengan
𝑹 𝟎 > 1 .
Berdasarkan Teorema 4.7 jika 𝑅 0 > 1 maka titik  ekuilibrium  endemik 𝐸 2 + = (𝑆 𝑢 ∗ , 𝐼 𝑢 ∗ ) adalah  stabil.  Untuk  itu  diambil  parameter- parameter (Smith, J.O., 2003) yang
memenuhi kondisi 𝑅 0 > 1 yaitu 𝐾 𝑢 = 0,50 ; 𝛽 𝑢 = 0,3 ; 𝜇 𝑢 = 0,013 ;  dan 𝛼 𝑢 = 0,41 . Berdasarkan nilai parameter tersebut diperoleh 𝑅 0 = 𝛽 𝑢 𝜇 𝑢 = 23,07 > 1 dan  titik ekuilibrium  endemik  yaitu 𝐸 2 + = (𝑆 𝑢 ∗ , 𝐼 𝑢 ∗ ) =
(1.141 ; 1.139) .
Berikut  ini  diberikan  grafik  penyelesaian 𝑆 𝑢 (𝑡) dan 𝐼 𝑢 (𝑡) terhadap  waktu  yang menyatakan  proporsi  dari  populasi  unggas yang  rentan  dan  populasi  unggas  yang terinfeksi dari virus H5N1.
Gambar 4.6 Grafik penyelesaian
𝑆 𝑢 (𝑡) dan 𝐼 𝑢 (𝑡) terhadap waktu Gambar 4.6 adalah grafik penyelesaian 𝑆 𝑢 (𝑡) dan 𝐼 𝑢 (𝑡) terhadap  waktu  pada  nilai  awal (𝑆 𝑢 (0), 𝐼 𝑢 (0)) = (0.5 , 0.38) dan  terlihat bahwa penyelesaian menuju titik ekuilibrium endemik yaitu 𝐸 2 + = (𝑆 𝑢 ∗ , 𝐼 𝑢 ∗ ) =
(1.41 ; 1.139) .  Hal  ini  berarti  populasi unggas  yang  rentan  tidak  akan  bebas  dari virus H5N1 selamanya. Berikut ini diberikan potret  fase  penyelesaian 𝑆 𝑢 (𝑡) dan 𝐼 𝑢 (𝑡) yang  menyatakan  proporsi  dari  populasi unggas  yang  rentan  dan  proporsi  dari populasi unggas yang terinfeksi Virus H5N1.
0 10 20 30 40 50 60 70 80 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 t = Waktu (Jam) S u ( t) d a n I u ( t) Su (t)   = Proporsi dari Populasi Unggas yang Rentan dari Virus H5N1 Iu (t)    = Proporsi dari Populasi Unggas yang terinfeksi dari Virus H5N1
Gambar 4.9. Proyeksi potret fase untuk bidang 𝑆 𝑢 (𝑡) dan 𝐼 𝑢 (𝑡)
Dari gambar 4.9 terlihat bahwa setiap potret fase  (trayektori)  untuk  penyelesaian 𝑆 𝑢 (𝑡) dan 𝐼 𝑢 (𝑡) dalam beberapa pengambilan nilai awal yaitu (𝑆 𝑢 ∗ , 𝐼 𝑢 ∗ ) = (1.25 , 2.38), (0.60 , 1.21), (1.89 , 0.47), (0.25 , 1.08), (1.60 , 0.19), (0.30 , 1.62) menuju ke titik ekuilibrium 𝐸 2 + = (𝑆 𝑢 ∗ , 𝐼 𝑢 ∗ ) = (1.41 ; 1.139) . Hal ini menunjukkan bahwa individu    unggas  yang  rentan  dan  individu unggas yang terinfeksi dari Virus H5N1 akan tetap ada dan hidup berdampingan di dalam suatu  populasi  dengan  waktu  yang  cukup lama.

## SIMPULAN DAN SARAN Simpulan
Dari analisa yang dilakukan pada bab sebelumnya,  diperoleh  kesimpulan  bahwa model SI adalah model yang mendekati atau memenuhi  fakta-fakta  dan  asumsi-asumsi dalam  kasus  epidemi  penularan  virus  H5N1 pada  populasi  unggas.  Bentuk  Persamaan model  matematika  dari  penyebaran  virus H5N1  pada  populasi  unggas  adalah  sebagai berikut :
𝑑𝑆 𝑢 𝑑𝑡 = 𝐾 𝑢 − (𝛽 𝑢 𝐼 𝑢 + 𝜇 𝑢 )𝑆 𝑢 𝑑𝐼 𝑢 𝑑𝑡 = 𝛽 𝑢 𝐼 𝑢 𝑆 𝑢 − (𝜇 𝑢 + 𝛼 𝑢 )𝐼 𝑢 .
dengan 𝑆 𝑢 menyatakan  kepadatan  unggas yang  rentan  dan 𝐼 𝑢 menyatakan  kepadatan unggas  yang terinfeksi  virus H5N1. Setelah dilakukan analisis terhadap sistem penyebaran  virus  H5N1  maka  diperoleh domain Sistem dapat dibatasi pada daerah : 𝜑 = {(𝑆 𝑢 , 𝐼 𝑢 ) ∈ 𝑅 +0 2 |𝑆 𝑢 + 𝐼 𝑢 ≤ 𝑁̇ 𝑢 ≤ 1}, ∀ 𝑆 𝑢 , 𝐼 𝑢 ≥ 0 Selanjutnya  dari  analisis  eksistensi  dan kestabilan titik ekuilibrium diperoleh bahwa:
1. Diberikan 𝑅 0 = 𝛽 𝑢 𝜇 𝑢 , a. Jika 𝑅 0 < 1 ,  maka  Sistem  (4.1) mempunyai  dua  titik  ekuilibrium yaitu  titik  ekuilibrium  bebas  infeksi dari  virus  H5N1  dengan 𝐸 0 = (0,0)
dan 𝐸 1 = ( 𝐾 𝑢 𝜇 𝑢 , 0) . b. Jika 𝑅 0 > 1 ,  maka  Sistem  (4.1) mempunyai  dua  titik  ekuilibrium yaitu  titik  ekuilibrium  bebas  infeksi
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 0 0.5 1 1.5 2 2.5 Su (t) = Proporsi dari populasi Unggas yang Rentan dari Virus H5N1 Iu ( t) = P ro p o rs i d a ri P o p u la s i U n g g a s y a n g T e ri n fe k s i d a ri V ir u s H 5 N 1
dari virus H5N1 dengan 𝐸 1 = ( 𝐾 𝑢 𝜇 𝑢 , 0)
dan  titik  ekuilibrium  endemik  yang berarti  virus  H5N1  masih  terus  ada dengan 𝐸 2 + = (𝑆 𝑢 ∗ , 𝐼 𝑢 ∗ ) dimana 𝑆 𝑢 ∗ = 𝜇 𝑢 +𝛼 𝑢 𝛽 𝑢 dan 𝐼 𝑢 ∗ = 𝐾 𝑢 (𝜇 𝑢 +𝛼 𝑢 ) − 𝜇 𝑢 𝛽 𝑢 . Titik 𝐸 2 + = (𝑆 𝑢 ∗ , 𝐼 𝑢 ∗ ) menyatakan bahwa  jika  hasil  kali  laju  kelahiran dengan  laju  kontak  unggas  yang rentan dengan unggas yang terinfeksi virus H5N1 lebih besar dari hasil kali laju  efek  naiknya  angka  kepadatan populasi  unggas  yang  rentan  dengan jumlah  laju  kematian  karena  unggas terinfeksi  virus  H5N1  maka  akan terjadi endemik atau dengan kata lain terjadi penyebaran virus H5N1.
2. Jika 𝑅 0 < 1 maka  titik  ekuilibrium bebas  infeksi 𝐸 1 = ( 𝐾 𝑢 𝜇 𝑢 , 0) pada
Sistem  (4.1)  stabil  asimtotik  global. Interpretasi  dari  hal  tersebut  adalah jika :
a. Besar hasil kali laju kelahiran dengan laju  kontak  populasi  unggas  yang rentan dengan unggas yang terinfeksi lebih kecil atau sama dengan hasil kali pengaruh  naiknya  angka  kepadatan populasi  unggas  yang  rentan  dengan jumlah  laju  kematian  akibat  oleh infeksi virus H5N1.
b. Pada awal waktu berapapun,
banyaknya kepadatan populasi unggas  yang  rentan  dekat  dengan 𝐾 𝑢 𝜇 𝑢 dan banyaknya unggas yang terinfeksi virus  H5N1  sangat  sedikit,  maka untuk waktu yang cukup lama tingkat kepadatan  populasi  unggas  yang rentan  mendekati 𝐾 𝑢 𝜇 𝑢 sedangkan banyaknya  populasi  unggas  yang terinfeksi virus H5N1 akan punah.

## Saran
Karena  berbagai  keterbatasan,  penulis menyadari  bahwa  penelitian  ini  masih banyak  kekurangan,  diantaranya  adalah penulis  hanya  menganalisis  kestabilan  titik ekuilibrum endemik sebatas stabil asimtotik lokal  saja.  Penelitian  ini  dapat  dilanjutkan dengan  menyelidiki  kestabilan  global  dari titik ekuilibrium endemik tersebut.

## DAFTAR PUSTAKA
Aditama,  2004. Flu  Burung  di  Manusia .
Perhimpunan Dokter Paru Indonesia.  Jakarta  :  Penerbit Universitas Indonesia.
Anton,  H.,  2004, Aljabar  Linear  Elementer edisi kedelapan . Jakarta : Erlangga. Asmara, W. 2008. Peran Biologi Molekuler
Dalam Pengendalian Avian Influenza dan Flu Burung . Fakultas Kedokteran Hewan Universitas Gadjah Mada.
Derouich,  M.  &  Boutayeb.  2008. An  Avian Influenza  Mathematical  Model. Applied  Mathematical  Sciences . Vol  II  (36).  Oudja  :  Faculte  des Sciences.
Gantmacher,  F.R.,  1959, The  Theory  of Matrices , Chelsea Publishing
Company, New York, N.Y.
Hanh,  W.,  1967, Stability  of  Motion , Springer-Verlag, Inc., New York. Khalil, H.K., 2002, Nonlinear System (Third Edition),  Prentice-Hall,  Inc,  New Jersey.
Luenberger,  D.C.,  1979, Introduction  to Dynamic  Systems ,  John  Willey and Sons, Inc, United States. Noviana P & Kartono. 2008. Strategi Model
Pengendalian  Penyebaran  Virus
Influenza . Jurnal matematika FMIPA  Universitas  Diponegoro, Vol II ; 141-145. Olsder,  G.J.,  1994, Mathematical  Systems Theory , Delftse Uitgevers Matschappij b.v., Netherlands.
Perko,  L., 1993, Differential  Equations and
Dynamical System , Springer- Verlag, Inc., New York.
Radji, M. 2006. Avian Influenza A (H5N1) :
Patogenesis,  Pencegahan,  dan penyebaran pada manusia. Majalah Ilmu Kefarmasian Vol III : 55-65.
Rahardjo,  Y.  2004. Avian  Influenza,
Pencegahan,  Pengendalian,  dan
Pemberantasannya. Jakarta  :  PT Gita Gallus Utama. Siswanto,  Supriyono,  Wuryanto.  2013.
Model  Matematika  penyebaran Flu  Burung  dari  Unggas  ke Manusia. Jurnal Matematika FMIPA UNNES Vol II. Smith,  James  O.  Lioyd,  2003, Curtailing transmission  of  severe  acute respiratori  syndrome  within  a community  and  its  hospital, the
royal society , diakses 25 September 2015. Susanta, B., 1989, Pemodelan
Matematis . Jakarta : Modul UT. Tarumingkeng,  R.C.,  1994, Dinamika Populasi Kajian Ekologi Kuantitatif . Jakarta : Pustaka Sinar Harapan.
Wiggins,  S.,  1996, Introduction  to  Applied Nonlinear  Dynamical  System and Chaos , Springer-Verlag, Inc., New York.