Vol. 17, No. 3,  370-380,  May, 2021 DOI: 10.20956/j.v17i3.11340
*Program Studi Matematika, FMIPA-UNY Email : ervinindarwati@gmail.com, rosita_kusumawati@uny.ac.id

## MONTE CARLO SIMULATION METHOD APLLICATION FOR CALCULATING VAR AND CVAR IN PT BANK NEGARA INDONESIA (PERSERO) TBK AND PT BANK TABUNGAN NEGARA (PERSERO) TBK
APLIKASI METODE SIMULASI MONTE CARLO UNTUK MENGHITUNG VAR DAN CVAR PADA SAHAM PT. BANK NEGARA INDONESIA (PERSERO) TBK DAN PT BANK TABUNGAN NEGARA (PERSERO) TBK
Ervin Indarwati 1* , Rosita Kusumawati 2*

## Abstrack
One  way  to  develop  wealth  today  is  by  investing  in  a  portfolio.  When  investing  in several stocks (portfolios), the owner of the capital must be prepared to face various risks that will occur one day in the future. One way to measure a portfolio risk is to use the Conditional Value at Risk (CVAR) which  can provide information on losses above  the  maximum  loss  or  Value  at  Risk  (VAR).  There  are  three  methods  to estimate VAR, namely variance-covariance, historical, and Monte Carlo simulation. Analyzing  portfolio  risk  in  PT.  Bank  Negara  Indonesia  (Persero)  Tbk  (BBNI.JK) and PT. Bank Tabungan Negara (Persero) Tbk (BBTN.JK) through CVaR using the Monte  Carlo  simulation  method  will  be  discussed  in  this  study.  The  daily  closing prices of each BBNI and BBTN shares from January 6, 2019 to December 30, 2019 are  used  to  measure  the  CVaR  of  the  two  banks'  stock  portfolios  with  this  Monte Carlo  simulation.  The  steps  taken  are  determining  the  return  value  of  assets, performing a return normality test of assets, looking for risk measures of the return of  assets  forming  a  normally  distributed  portfolio,  simulating  the  return  of  assets with  monte  carlo,  calculating  portfolio  weights.  ,  looking  for  portfolio  returns, calculating  the  quartile  of  portfolio  returns  as  the  VaR  value,  and  calculating  the average loss above the VaR value as the CVaR value. Estimation result of portfolio risk from CVaR value using Monte Carlo simulation in PT. Bank Negara Indonesia (Persero)  Tbk  and  PT.  Bank  Tabungan  Negara  (Persero)  Tbk  at  90%,  95%,  and 99% confidence levels are 5.82%, 6.39%, and 7.1% with standard errors of 0.58%, 0.59%,  and  0.59%.  If  it  is  illustrated  that  the  initial  funds  to  be  invested  in  this portfolio  are  IDR  100,000,000,  it  means  that  the  maximum  possible  risk  that investors will receive on the next day will not exceed IDR 5,820,000, IDR 6,390,000, and IDR 7,100,000.
Keywords : Risk, Value at Risk (VaR), Monte Carlo simulation, Conditional Value at Risk (CVaR).
Ervin Indarwati, Rosita Kusumawati

## Abstrak
Salah  satu  cara  untuk  mengembangkan  kekayaan  di  zaman  sekarang  yaitu  dengan cara  berinvestasi  dalam  bentuk  portofolio.  Saat  berinvestasi  beberapa  saham (portofolio), pemiliki modal harus siap menghadapi berbagai risiko yang akan terjadi suatu  hari  kedepan.  Cara  untuk  mengukur  suatu  risiko  portofolio  salah  satunya menggunakan Conditional Value at Risk (CVAR) yang dapat memberikan informasi kerugian  diatas  kerugian  maksimum  atau Value  at  Risk (VAR).  Terdapat  tiga metode untuk  mengestimasi  VAR  yaitu variance-covariance , historis, dan simulasi Monte Carlo. Menganalisis risiko portofolio pada saham PT. Bank Negara Indonesia (Persero) Tbk (BBNI.JK) dan PT. Bank Tabungan Negara (Persero) Tbk (BBTN.JK) melalui  CVaR  menggunakan  metode  simulasi  Monte  Carlo  akan  dibahas  pada penelitian ini. Harga penutupan harian masing-masing saham BBNI dan BBTN dari tanggal 6 Januari 2019 sampai 30 Desember 2019 digunakan untuk mengukur CVaR portofolio  saham  kedua  bank  tersebut  dengan  simulasi  Monte  Carlo  ini.  Langkah- langkah  yang  dilakukan  yaitu  menentukan  nilai return aset-aset,  melakukan  uji normalitas return aset-aset,  mencari  ukuran-ukuran  risiko  dari return aset-aset pembentuk  portofolio  yang  berdistribusi  normal,  melakukan  simulasi return aset- aset  dengan  monte  carlo,  menghitung  bobot  portofolio,  mencari return portofolio, menghitung  kuartil  dari return portofolio  sebagai  nilai  VaR,  dan  menghitung  rata- rata  kerugian  diatas  nilai  VaR  sebagai  nilai  CVaR.  Hasil  estimasi  risiko  portofolio dari nilai CVaR menggunakan simulasi Monte Carlo  pada saham PT. Bank Negara Indonesia (Persero) Tbk dan PT. Bank Tabungan Negara (Persero) Tbk pada tingkat kepercayaan  90%,  95%,  dan  99%  adalah  5.82%,  6.39%,  dan  7.1%  dengan  standar error  sebesar  0.58%,  0.59%,  dan  0.59%.  Jika  diilustrasikan  dana  awal  yang  akan diinvestasikan  pada  portofolio  ini  sebesar  Rp  100.000.000,  maka  dapat  diartikan bahwa  kemungkinan  risiko  maksimum  yang  akan  diterima  investor  pada  hari kedepan tidak akan melebihi Rp 5.820.000, Rp 6.390.000, dan Rp 7.100.000.
Kata  Kunci: Risiko,  Value  at  Risk  (VaR),  simulasi  Monte  Carlo, Conditional Value at Risk (CVaR).

## 1. PENDAHULUAN
Portofolio  terbaik  dalam  berinvestasi  adalah  portofolio  yang  efisien  yaitu portofolio  dengan  tingkat  pengembalian  yang  diharapkan  ( expected  return )  maksimum untuk berbagai tingkat risiko, atau portofolio dengan tingkat risiko yang minimum untuk berbagai tingkat  pengembalian  yang  diharapkan  ( expected  return )  [7].  Risiko  portofolio merupakan  besar  penyimpangan return portofolio  dengan expected  return portofolio.
Beberapa  cara  yang  dapat  dilakukan  untuk  mengukur  suatu  risiko  portofolio,  salah satunya  yaitu  dengan  standar  deviasi  portofolio  dimana  hal  ini  mengukur  risiko  dari seberapa  besar  nilai  tiap-tiap  item  [11].    Cara  untuk  menghitung  suatu  risiko  dalam berinvestasi  selain  dengan  standar  deviasi  portofolio  yaitu  menggunakan Conditional Value at Risk (CVaR).
Conditional  Value  at  Risk merupakan  ukuran  risiko  yang  memperhitungkan kerugian dan nilainya di atas VaR. CVaR merupakan suatu ukuran risiko yang memiliki banyak  keunggulan  di  antaranya  yaitu  ukuran  risiko  yang  koheren  serta  bersifat convex dan sub-additive . Selain itu, CVaR juga mampu menghitung risiko pada data berdistribusi normal maupun tidak normal. CVaR memiliki sifat sub-additive yaitu CVaR pada suatu portofolio  dapat  terdiri  dari  dua  aset  lebih  kecil  atau  sama  dengan  jumlah  dari  masing- masing CVaR dari dua aset tersebut. Hal tersebut dapat merefleksikan dengan tepat efek diversifikasi  karena  diversifikasi  ditujukan  untuk  mengurangi  risiko.  Sifat convex membuat CVaR dapat digunakan dalam teknik optimalisasi [10] .

## Jurnal Matematika, Statistika & Komputasi

## Ervin Indarwati, Rosita Kusumawati
Value at Risk (VaR) dapat diartikan sebagai penyimpangan maksimum return portofolio dari expected  return portofolio  pada  tingkat  kepercayaan  tertentu.  Tiga  metode  yang dikenal  untuk  mengestimasi Value  at  Risk (VaR),  yaitu  metode variance-covariance (metode analitik atau parametrik), data historis ( historical simulation data ), dan simulasi Monte-Carlo  [7]. Value  at  Risk memiliki  kelebihan  diantaranya  yaitu  lebih  fokus    pada downside    risk, tidak  tergantung  pada  asumsi  distribusi  dari  return,  dan  pengukuran  ini dapat  diaplikasikan  pada  semua  produk-profuk  finansial  yang  ada  diperdagangan.  Nilai yang didapat dari pengukuran metode ini merupakan hasil perhitungan secara menyeluruh daripada angka kerugian yang telah ditetapkan [9]. Tetapi, VaR hanya mengukur persentil dari  distribusi  keuntungan  atau  kerugian  tanpa  memperhatikan  setiap  kerugian  yang melebihi  tingkat  VaR,  dan  VaR  tidak  koheren  karena  tidak  memiliki  sifat sub-additive . Kekurangan lain dari pengukuran VaR adalah bahwa VaR tidak dapat mengestimasi atau memberikan  informasi  kerugian  diatas  kerugian  maksimum  sehingga  untuk  menghitung VaR pada portofolio yang optimal akan lebih sulit [10].
Penelitian  sebelumnya  yang  terkait  dengan  estimasi  risiko  portofolio  diantaranya menggunakan  simulasi  Monte  Carlo  untuk  mengukur  VaR  portofolio  pada  dua  saham dengan hasil rata-rata nilai VaR portofolio pada 25 perulangan simulasi yang dijalankan sehingga didapat kemungkinan kerugian yang dialami portofolio pada saham TLKM dan UNVR [13]. Penelitian yang terkait lainnya menggunakan fungsi Gaussian Copula untuk mengestimasi CVaR pada portofolio dengan hasil kemungkinana kerugian yang dialami melebihi nilai VaR sehingga nilai CVaR lebih akurat dari nilai VaR [5].
Pada penelitian ini, penulis akan mencari estimasi risiko portofolio dari nilai CVaR menggunakan simulasi Monte Carlo dari dua saham bank BUMN yaitu PT. Bank Negara Indonesia (Persero) Tbk dan PT. Bank Tabungan Negara (Persero) Tbk. Metode simulasi Monte Carlo ini merupakan metode yang paling banyak digunakan untuk mengukur VaR karena dapat menghitung bermacam-macam susunan eksposur (saham) dan risiko dalam berinvestasi pada suatu portofolio.

## 2. TINJAUAN PUSTAKA

## 2.1 Investasi
Investasi  adalah  komitmen  atas  sejumlah  dana  atau  sumberdaya  lainnya  yang dilakukan  pada  saat  ini,  dengan  tujuan  memperoleh  sejumlah  keuntungan  di  masa  yang akan  datang  [14].  Seorang  pemodal  atau  investor  membeli  sejumlah  saham  saat  ini dengan  harapan  memperoleh  keuntungan  dari  kenaikan  harga  saham  ataupun  sejumlah dividen  di  masa  yang  akan  datang,  sebagai  imbalan  atas  waktu  dan  risiko  yang  terkait dengan investasi tersebut.

## 2.2 Portolifolio
Secara  harafiah  arti  dari  portfolio  adalah  sekumpulan  surat-surat  berharga. Sedangkan secara umum portfolio merupakan kumpulan dari berbagai macam aset seperti saham,  obligasi, future  contract ,  opsi, real  estate ,  berlian,  emas,  tabungan,  dan  aset lainnya  dengan  tingkat  keuntungan  dan  risiko  yang  berbeda-beda  dalam  jangka  waktu tertentu.  Portofolio  bisa  berupa  asset  riil  maupun  aset  finansial  yang  dimiliki  oleh pemodal [6].

## 2.3 Return
Tingkat  pengembalian  investasi  ( return )  adalah  presentase  pendapatan  terhadap investasi yang diperoleh dari pemodal jika pemodal ingin melakukan investasi.
a. Net Return

## Jurnal Matematika, Statistika & Komputasi
Ervin Indarwati, Rosita Kusumawati
Net  Return merupakan  pendapatan  relatif  atau  tingkat  keuntungan  ( profit  rate ). Secara umum net return antara periode sampai dapat dirumuskan sebagai berikut: (2.3.1) dengan: = net return = harga investasi pada periode = harga investasi pada periode . b. Gross Return
Nilai return dalam gross  return selalu  memiliki  nilai  positif. Gross  return dapat didefinisikan sebagai berikut:
(2.3.2) dengan: = gross return = investasi pada periode
= investasi pada periode
c. Log Return
Log  return merupakan  kata  lain  dari continuously  compounded  returns. Jika periode  yang  digunakan  semakin  pendek  atau  dengan  periode  harian,  maka  sebaiknya perhitungan return menggunakan  model  geometri  yang  memberikan continuosly compound  return. Cara  yang  digunakan  untuk  menghitung  nilai log  return sebagai berikut:
( )       ( )      ( )       ( ) (2.3.3) dengan: = log return = harga investasi pada periode = harga investasi pada periode .
Return portofolio  merupakan  rata-rata  dari return setiap  sekuritas  tunggal pembentuk  portofolio.  Dalam  bentuk  matriks, return portofolio  dapat  ditulis sebagai berikut:
[ ] [ ] (2.3.4) dengan: = vektor matriks transpose dari = vektor matriks return aset tunggal.

## 2.4 Risiko
Risiko  adalah  besarnya  penyimpangan  antara  tingkat  pengembalian  yang diharapkan  ( expected  return) dengan  tingkat  pengembalian  aktual  ( actual return )  [4]. Risiko  dinyatakan  sebagai  seberapa  jauh  hasil  yang  diperoleh  akan  menyimpang  dari hasil yang diharapkan, maka digunakan ukuran penyebaran untuk mengukur risiko. Alat stastistik yang digunakan sebagai ukuran penyebaran tersebut adalah varians atau standar deviasi.  Oleh  karena  itu  jika  semakin  besar  nilainya,  berarti  semakin  besar penyimpangannya atau risiko akan semakin tinggi pula.
Risiko  portofolio  dapat  dinyatakan  sebagai  penyimpangan return portofolio  dari expected  return yang  dapat  dinyatakan  sebagai  variansi return portofolio  dengan persamaan sebagai berikut:
∑ ∑ ∑ (3.1.1) dengan: proporsi variance + proporsi covariance

## Jurnal Matematika, Statistika & Komputasi
Ervin Indarwati, Rosita Kusumawati
= variance return portofolio = variance return aset = covariance antara return aset dan
= bobot yang diinvestasikan pada aset = bobot yang diinvestasikan pada aset
dimana
.

## 2.5 Uji Normalitas
Uji  Lilliefors  merupakan  metode  untuk  menguji  data  apakah  data  berasal  dari distribusi  normal  atau  tidak.  Metode  ini  menggunakan  statistik  uji  tipe  Kolmogorov- Smirnov yaitu pada jarak vertikal maksimum antara fungsi S(X) distribusi empirik sampel random X 1 ,X 2 ,…,X n dengan fungsi normal standar yang disebut F* ( X ) [2].
Uji Hipotesis: data return saham diasumsikan berdistribusi normal data return saham tidak dapat diasumsikan berdistribusi normal
Taraf Signifikansi:
Statistik Uji:
|    ( )    ( )| (2.5.1) dengan: = nilai supremum untuk semua dari mutlak beda ( )    ( )
F* ( X ) = fungsi distribusi kumulatif dari data sampel
( ) = fungsi distribusi kumulatif dari distribusi normal.
Kriteria Keputusan:
ditolak  jika
( ) merupakan  nilai  kritis  yang  diperoleh  dari  tabel “Kolmogorov-Smirnov” atau ditolak jika . 2.6 Mean Variance Efficient Portofolio (MVEP)
Mean  Variance  Efficient  Portofolio (MVEP) atau  portofolio  efisien  Markowitz adalah salah satu metode dalam pembentukan portofolio yang optimal yang memberikan return tertingggi  diantara  portofolio  yang  ada  dengan  tingkat  risiko  yang  sama  [3]. Pembobotan  pada mean  varian  efficient portofolio  dengan return (    ) dan sebagai vektor satuan dimensi adalah (2.6.1) dengan adalah vektor pembobotan dan
adalah invers matriks varian kovarian.
2.7 Value at Risk
Definisi Value at Risk (VaR) yaitu estimasi kerugian maksimum yang akan didapat selama  periode  waktu  ( time  periode )  tertentu  dalam  kondisi  pasar  normal  pada  tingkat kepercayaan ( confidence interval ) tertentu [7]. Value at Risk (VaR) merupakan salah satu ukuran yang dapat digunakan untuk menilai kerugian atau risiko terburuk yang mungkin terjadi  bagi  investor  atas  investasinya  dalam  sekuritas  atau  aset-aset  yang  dimiliki,  baik secara satu per satu sahamnya atau dalam portfolio pada suatu waktu tertentu dan tingkat peluang  yang  ditetapkan  akan  lebih  rendah  dibanding  limit  yang  dibentuk  dengan  VaR. Namun,  bisa  saja  terdapat  kemungkinan  kerugian  lebih  buruk,  karena  keterbatasan  dari VaR adalah tidak dapat menyatakan seberapa besar kerugian yang benar-benar terjadi dan secara  definitif  tidak  menegaskan  kemungkinan  kerugian  paling  buruk. VaR hanya menyatakan  kerugian  yang  mungkin  didapat  oleh  investor,  tetapi  investor  dapat menggunakan VaR sebagai salah satu tolak ukur menetapkan seberapa besar target risiko.

## Jurnal Matematika, Statistika & Komputasi

## Ervin Indarwati, Rosita Kusumawati
Perhitungan  VaR  dengan  tingkat  kepercayaan (     ) setelah periode  dapat dinyatakan sebagai berikut:
(   ) ( ) √ (2.7.1) dengan: (   ) ( ) =VaR dengan tingkat kepercayaan (     ) setelah periode = investasi awal aset = kuantil ke- dari distribusi return.

## 2.8 Simulasi Monte Carlo
Metode simulasi  Monte  Carlo adalah  metode  yang  digunakan  untuk  menganalisis perambatan  ketidakpastian  dengan  tujuan  untuk  menentukan  bagaimana  variansi  acak atau error yang  mempengaruhi  sensitivitas,  performa,  atau  relibilitas  dari  sistem  yang sedang  dimodelkan  [12].  Simulasi  ini  merupakan  metode sampling karena  untuk input dibangkitkan  secara  acak  dari  suatu  distribusi  probabilitas  untuk  suatu  proses sampling dari  suatu  populasi  nyata  yang  dapat  diketahui  dan  ditentukan.  Oleh  karena  itu,  suatu model harus memilih suatu distribusi input yang paling mendekati data yang dimiliki.
Model  yang  umum  digunakan  pada  simulasi  ini  adalah  model geometric Brownian  motion (GBM),  yang  mendasari  banyak  teori  penetapan  dari  suatu  harga. Model  ini  mengasumsikan  bahwa  inovasi  dalam  harga  aset  tidak  berkorelasi  dari waktu ke waktu dan pergerakan kecil dalam harga dapat dijelaskan sebagai:
(2.8.1)
dengan  parameter dan adalah  pergeseran drift dan volatility pada  waktu sedangkan adalah  variabel  acak  yang  berdistribusi  normal . Dalam
mensimulasikan  jalur  harga  untuk ,  langkah  awal  dengan ,  dan  menghasilkan urutan  epsilon (𝜖 ′ 𝑠) untuk 2    . Sehingga  untuk  harga  pada  waktu dapat dirumuskan sebagai:
( ( ) √ ) (2.8.2)

## 2.9 Conditional Value at Risk (CVaR)
Conditional  Value  at  Risk (CVaR)  merupakan  ukuran  risiko  yang  sifatnya diturunkan  untuk  distribusi  kerugian  [10].  Secara  umum  CVaR  didefinisikan  sebagai ukuran  risiko  yang  nilainya  di  atas  VaR.  Selain  itu,  CVaR  dapat  digunakan  pada distribusi  kerugian  yang  kontinu,  diskrit  maupun  distribusi  kerugian  dengan diskontinuitas  yang  mungkin (possible  discontinuity). CVaR  mampu  menghitung  risiko pada  data  berdistribusi  normal  maupun  tidak  normal.  Rumus  pendekatan  integral  dapat dicari dengan adalah nilai kerugian dan ( ) adalah fungsi densitas probabilitas dari kerugian sebagai berikut:
(   ) ( )    [ (   ) ] (2.9.1)
(   ) ( ) ∫ (   ) ( ) ( ) (2.9.2)

## 2.10 Uji Backtesting
Metode  ini  akan  membandingkan  setiap  nilai  VaR  yang  telah  dihitung  dengan profit atau kerugian yang sebenarnya dan kemudian mencatat tingkat kegagalan (failure rate) yang terjadi. Backtesting dengan Kupiec test pendekatan loglikelihood ration dapat digunakan  untuk  menentukan  validasi  pengujian  model  VaR [7].  Statistik  uji  metode backtesting : 2  [(     ) ]   2   {*    ( )+ ( ) } (2.10.1)

## Jurnal Matematika, Statistika & Komputasi
Ervin Indarwati, Rosita Kusumawati
dengan: = Loglikelihood Ratio = jumlah failure antar nilai VaR dengan kerugian aktual = jumlah data obeservasi
= probabilitas kegagalan (     )
Kriteria  keputusan  pada  uji backtesting ini  yaitu ditolak  jika (   ) atau ditolak jika .

## 3. HASIL DAN PEMBAHASAN
Analisis Risiko Portofolio pada Saham PT Bank Negara Indonesia (Persero) Tbk dan PT bank Tabungan Negara Tbk Melalui Conditional  Value at  Risk

## Menggunakan Metode Simulasi Monte Carlo
Menganalisis risiko portofolio melalui CVaR menggunakan simulasi Monte Carlo dalam perhitunggannya menggunakan harga penutupan harian saham bank BNI dan bank BTN  pada  tanggal  6  Januari  2019  sampai  30  Desember  2019.  Saham  yang  digunakan adalah  saham  bank  BUMN  (Badan  Usaha  Milik  Negara)  dengan  rata-rata  harga penutupan saham pada tahun 2019 tertinggi (BNI) dan terendah (BTN).
PT  Bank  Negara  Indonesia  (Persero) Tbk  merupakan  Bank  BUMN  pertama  yang menjadi  perusahaan  publik  setelah  mencatat sahamnya  di  Bursa  Efek  Jakarta  dan  Bursa Efek Surabaya pada tahun 1996. Sedangkan PT Bank Tabungan Negara (Persero) adalah BUMN  yang  bergerak  dibidang  perbankan  dengan  komitmen  menjadi  bank  yang melayani dan mendukung pembiayaan sector perumahan melalui tiga produk utama yaitu perbankan perseorangan, bisnis, dan syariah.
Berikut langkah-langkah untuk perhitungan CVaR dengan metode simulasi Monte Carlo sebagai berikut:
1. Menentukan nilai return aset-aset Data harga penutupan kedua saham diperoleh dari www.yahoofinance.com melalui program  RStudio.  Nilai return dari  kedua saham  yang  diperoleh  menggunakan  program RStudio dapat dilihat pada grafik berikut:
Gambar 3.1. grafik return saham bank BNI

## Jurnal Matematika, Statistika & Komputasi
Ervin Indarwati, Rosita Kusumawati
Gambar 3.2. grafik return saham bank BTN
2. Melakukan uji normalitas return aset-aset Sebelum  melakukan  uji  normalitas,  terlebih  dahulu  mendeteksi  adanya outlier. Langkah  yang  dilakukan  yaitu  menghapus  data  yang  terindikasi  sehingga  tidak memberikan  dampak  pada  proses  analisi  data  terutama  pada  asumsi  uji  normalitas.  Uji normalitas  dilakukan  pada  data  yang  baru  tanpa  data outlier dengan  total  pengamatan 245 . Uji  normalitas  dari return saham  bank  BNI  dan  bank  BTN  menggunakan  uji Kolmogorov-Smirnov  diperoleh  nilai .  Sehingga  dapat  disimpulkan
bahwa return kedua saham berdistribusi normal.
3. Menentukan ukuran-ukuran risiko Ukuran-ukuran  risiko  untuk  setiap return saham  BNI  dan  BTN  yang  sudah berdistribusi normal meliputi:
a. Mean yang didapat sebagai berikut:
*        2 2 +
b. Standar deviasi yang didapat sebagai berikut:
*        2 +
c. Varian-kovarian yang didapat sebagai berikut:
*     22            2   2 2   2        2 +
4. Mensimulasikan nilai return
Nilai return disimulasikan dengan membangkitkan bilangan acak dari setiap return aset yang sudah berdistribusi normal dengan ukuran-ukuran risiko yang sudah didapat.
5. Menentukan bobot portofolio
Bobot atau proporsi portofolio yang diberikan kepada masing-masing saham dalam perhitungan menggunakan metode ini memerlukan vektor satu dengan dimensi 2 dan invers dari matriks varian-kovarian secara berturut-turut didapat sebagai berikut:
⃗   * + dan
* 22

## 22
+
Persamaan (2.6.1) digunakan sebagai perhitungan pembobotan untuk setiap saham menggunakan metode MVEP sehingga didapat:
* +   * +
6. Menghitung nilai return portofolio

## Jurnal Matematika, Statistika & Komputasi
Ervin Indarwati, Rosita Kusumawati
Berdasarkan hasil perhitungan bobot menggunakan metode MVEP, maka proporsi yang  diberikan  pada  saham  bank  BNI  sebesar  67%  dan  proporsi  yang  diberikan  pada saham bank  BTN sebesar 33%. Bobot portofolio diasumsikan jika masih dalam periode kepemilikan portofolio.
Sehingga  untuk  pembentukan return portofolio  dapat  dihitung  menggunakan persamaan (2.3.4) dengan besar bobot setiap saham yang sudah diperoleh dari nilai return aset-aset setelah dibangkitkan secara acak.
7. Mencari estimasi kerugian Maksimum
Kerugian maksimum atau nilai VaR dapat dicari dari nilai kuartil return portofolio dengan  tingkat  kepercayaan  90%,  95%,  dan  99%.  Nilai  VaR  pada  tingkat  kepercayaan 90%, 95%, dan 99% adalah nilai persentil 90, 95, dan 99.
8. Mencari estimasi CVaR
Nilai  CVaR  atau  nilai  kerugian  diatas  kerugian  maksimum  dapat  dihitung menggunakan persamaan (2.9.2).
9. Mengulangi langkah
Langkah  ke-4  sampai  langkah  ke-8  diulangi  sebanyak  100  kali.  Karena  semakin banyak perulangan maka hasil yang didapat semakin baik.
10. Menghitung nilai CVaR
Nilai  CVaR  dapat  dihitung  dengan  mencari  rata-rata  dari  langkah  ke-8.  Berikut hasil  perhitungan  rata-rata  dari  nilai  VaR  dan  CVaR  menggunakan  metode  simulasi Monte Carlo setelah dilakukan perulangan sebanyak 100:
Tabel 3.1. Nilai VaR dan Standar Error VaR Tingkat kepercayaan 90% 95% 99% Nilai VaR 0.0485 0.0569 0.0677 Se VaR 0.0059 0.0058 0.0058 Tabel 3.2. Nilai CVaR dan Standar Error CVaR Tingkat kepercayaan 90% 95% 99% Nilai CVaR 0.0582 0.0639 0.0710 Se CVaR 0.0058 0.0059 0.0059 11. Menguji kelayakan metode Uji  kelayakan  metode  menggunakan  uji backtesting .  Hasil dengan
bantuan  RStudio  yang  akan  digunakan  sebagai  kriteria  keputusan  perhitungan  uji backtesting sebagai berikut : 99% Tabel 3.3. P-value Uji Backtesting Tingkat kepercayaan 90% 95% 99% Parametrik 0 0 0 Historis 0 0 0 Monte Carlo 1 1 0.9221 Tabel 3 menunjukkan bahwa hasil menggunakan simulasi Monte Carlo dengan  tingkat  kepercayaan  90%,  95%,  dan  99%  besarnya dan
sehingga H 0 diterima, jadi semua nilai VaR akurat atau dapat diterima. Sedangkan menggunakan metode Parametrik dam Historis pada tingkat kepercayaan 90%, 95%, dan

## Jurnal Matematika, Statistika & Komputasi

## Ervin Indarwati, Rosita Kusumawati
99% menunjukkan nilai dan sehingga H 0 ditolak, jadi semua nilai  VaR  mengunakan  metode  Parametrik  dan  Historis  tidak  layak  atau  tidak  dapat diterima pada kasus ini.

## 4. KESIMPULAN DAN SARAN

## 4.1 Kesimpulan
Berdasarkan pembahasan mengenai analisis risiko portofolio pada saham BNI dan BTN melalui CVaR menggunakan simulasi Monte Carlo yang telah diuraikan maka dapat ditarik kesimpulan bahwa hasil rata-rata VaR dengan tingkat kepercayaan 90%, 95%, dan 99%  pada  portofolio  yang  terdiri  dari  dua  saham  bank  BNI  dan  BTN  dengan  100  kali perulangan  kerugian  maksimum  pada  satu  hari  kedepan  sebesar  4.85%,  5.69%,  dan 6.77%  dengan  standar  error  sebesar  0.59%,  0.58%,  dan  0.59%.  Sedangkan  untuk  hasil rata-rata  nilai  CVaR  sebagai  nilai  diatas  kerugian  maksimum  pada  satu  hari  kedepan dengan  tingkat  kepercayaan  90%,  95%,  dan  99%  pada  portofolio  yang  terdiri  dari  dua saham bank BNI dan BTN dengan 100 kali perulangan dengan kerugian maksimum yang nilainya  melebihi  VaR  sebesar  5.82%,  6.39%,  dan  7.1%  dengan  standar  error  sebesar 0.58%,  0.59%,  dan  0.59%.  Berdasarkan  Uji  validasi  dan  pengujian  pada  metode parametrik dan historis, metode simulasi Monte Carlo yang digunakan cukup akurat atau nilai VaR memiliki kelayakan sehingga metode dapat diterapkan untuk mencari kerugian yang  akan  dialami  dari  suatu  portofolio  yang  terdiri  dari  dua  saham  yaitu  saham  bank BNI dan saham bank BTN pada satu hari kedepan.

## 4.2 Saran
Saran  yang  dapat  diberikan  penulis  pada  penelitian  selanjutnya  yaitu  penelitian selain  hanya  menggunakan  simulai  Monte  Carlo  dapat  juga  dikembangkan  dengan tambahan metode lain seperti GARCH, Calyton Copula, dll.

## DAFTAR PUSTAKA
[1] Artzner, P., Delbaen, F., Eber, J-M., Heath, D. 1999. Coherent Measures of Risk. Mathematical Finance . Vol. 9, No. 3, 203-228.
[2]   Conover. 1980. Practical Nonparametic Statistics. New York: John Willey & Sons.
[3]   Fabozzi, F. J. 1999. Manajemen Invetasi. Jakarta: Salemba Empat.
[4]   Halim, A. 2005. Analisis Investasi . Jakarta : Salemba Empat.
[5]   Hidayati,  H.,  Dharmawan,  K.,  &  Sumarjaya,  I.  W.  2015.  Estimasi  Nilai Conditional  Value  at  Risk  Menggunakan  Gaussian  Copula. E-Jurnal Matematika. Vol. 4, No.4, 188-194.
[6] Husnan,  Suad.  2002. Dasar-dasar  Teori  Portofolio  dan  Analisis  Sekuritas . Edisi ketiga. Yogyakarta: UPP AMP YKPN.
[7] Jorion,  P.  2007. Value  at  Risk:  The  New  Benchmark  for  Managing Finanancial Risk. Third Edition. New York: The Mc Graw-Hill Companies.
[8] Markowitz,  Harry.  1959. Portfolio  Selection:  Efficient  Diversification  of Investments . New York: John Wiley & Sons, Inc.

## Jurnal Matematika, Statistika & Komputasi
Ervin Indarwati, Rosita Kusumawati
[9] Purnamasari, N. A. 2017. Backtesting untuk Value at Risk pada Data Return Saham Syariah Menggunakan Quantile Regression. Tesis . Surabaya:  Intitut Teknologi Sepuluh Nopember.
[10]  Rockafellar,  R.  &  Uryasev.  2000.  Optimization  of  Conditional  Value  at Risk. Journal of Risk . Vol.2, No.3, 21-41.
[11]  Rodoni, Ahmad & Herni Ali. 2014. Manajemen Keuangan Modern . Jakarta: Mitra Wacana Media.
[12]  Rubinstein,  R.Y.  1981. Simulation  and  Monte  Carlo  Method. New  York: Willey & Sons.
[13]  Sofiana,  Nita.  2011.  Pengukuran  Value  at  Risk  pada  Portofolio  dengan Simulasi  Monte  Carlo .  Skripsi .  Yogyakarta:  Program  Studi  Matematika Universitas Negeri Yogyakarta.
[14]  Tandellin,  Eduardus.  2007. Analisis  Investasi  dan  Manajemen  Portofolio. Yogyakarta: BPFE.