Vol. 16, No. 2,  121--142  Januari  2020 DOI: 10.20956/jmsk.v%vi%i.7317
 Program Studi Matematika, Jurusan Matematika FMIPA Universitas Negeri Gorontalo Email : nurhalishasan21@gmail.com, resmawan@ung.ac.id * , emlirahmi@ung.ac.id

## Analisis Kestabilan Model Eko-Epidemiologi dengan Pemanenan Konstan pada Predator
Nurhalis Hasan 1* , Resmawan 2* , Emli Rahmi 3*

## Abstract
The  main  purpose  of  this  research  is  to  study  the  stability  analysis  of  the eco-epidemiology  model  with  constant  harvesting  to  predator.  The  population  of  this model  divided  into  three  sub  population  those  are  susceptible  prey ,  infected  prey , and  predator .  The  eco-epidemiology  model  is  constructed  by  given  harvesting  to predator.  Two  equilibrium  points  were  obtained,  the  equilibrium  point  of  infected  prey extinction,  and  the  interior  equilibrium  points  where  the  three  sub  population  exist. The  existence  of  each  equilibrium  points  depend  on .  The  Jacobi  matrix  is determined  before  the  stability  of  the  model  is  studied.  Each  stability  of  the equilibrium  points  described  on  its  stability  condition  of  each  equilibrium  points. Numerical  simulation  is  done  to  distinct  the  stability  of  the  equilibrium  points.  The numerical simulation is done by using 4th-order Runge-Kutta method and Phyton 3.7.
Keywords: Model  Eco-Epidemiological,  equilibrium  point,  Jacobi  Matrix,  Stability, Numerical Simulation

## Abstrak
Penelitian  ini  dilakukan  untuk  menganalisis  kestabilan  model  eko-epidemiologi  dengan pemanenan  konstan  terhadap predator .  Populasi  dalam  model  terbagi  atas  tiga  populasi yaitu  populasi prey rentan populasi prey terinfeksi ,  dan  populasi predator . Dikonstruksi  model  eko-epidemiologi  dengan  pemanenan  konstan  terhadap predator . Diperoleh  dua  titik  kesetimbangan,  yaitu  titik  kesetimbangan  kepunahan  populasi prey terinfeksi,  dan  titik  kesetimbangan  interior  atau  semua  populasi  ada.  Eksistensi  dari masing-masing  titik  kesetimbangan  bergantung  pada atau  akar-akar real nya  masing- masing.  Sebelum  mencari  kestabilan  dari  titik-titk  kestimbangan,  ditentukan  terlebih dahulu  matriks  Jacobi.  Kestabilan  dari  masing-masing  titik  diuraikan  pada  syarat kestabilannya  masing-masing.  Simulasi  numerik  dari  titik  kesetimbangan  dilakukan  agar terlihat  lebih  jelas  kestabilan  dari  masing-masing  titik  kesetimbangan.  Simulasi  numerik dilakukan menggunakan metode Runge-Kutta orde 4 dan dibantu software Phyton 3.7.
Kata  kunci: Model  Eko-Epidemiologi,  Ttitik  Kesetimbangan,  Matriks  Jacobi, Kestabilan, Simulasi Numerik .

## 1.  Pendahuluan
Pada pemodelan matematika predasi (predatorisme) yang merupakan hubungan antara pemangsa ( predator ) dengan mangsa ( prey ), diubah ke dalam bentuk suatu sistem persamaan yang  disebut  sistem predator-prey untuk  dipelajari  dinamika  populasinya.  Pada tahun 1798, Thomas  Malthus  mengusulkan  teori  populasi  dinamis  dengan  mengasumsikan  populasi bertumbuh  secara  eksponensial  atau  bisa  dikatakan  tumbuh  tanpa  batas.  Setelahnya,  tahun 1838  Verhulst  mengembangkan  teori  dari  Malthus  dengan  mengasumsikan  bahwa  suatu populasi  akan  tumbuh  secara  logistik  atau  bisa  dikatakan  suatu  populasi  tidak  akan  tumbuh melewati  batas  pertumbuhan  populasi  yang  ditentukan.  Pada  tahun  1925-1928  terjadi

## Nurhalis Hasan, Resmawan, Emli Rahmi
kemajuan  besar  dalam  teori  yang  mempelajari  pertumbuhan  populasi  yang  dilakukan  oleh Lotka  1925  dan  Voltera  1928  dengan  memperoleh  persamaan  logistik,  yang  mana  disebut " hukum  pertumbuhan  populasi ", serta  mengusulkan  pertamakali  model  populasi dua  spesies yaitu  model predator-prey dengan  asumsi  pertumbuhan prey mengikuti  model  Malthus. Tahun  1934,  Gause  mengembangkan  model  Lotka-Voltera  dengan  menerapkan  asumsi pertumbuhan logistik pada prey [1]. Dalam  pengembangan  model predator-prey Holling  pada  tahun  1959  melakukan pendekatan  analitik  terhadap  model prdator-prey dengan  menambahkan  komponen  dasar fungsi respon. Holling memperkenalkan tiga fungsi respon, yaitu respon tipe I , respon tipe II , dan respon tipe III [2].  Selain itu, topik  lain  yang  muncul  dalam  ekologi  adalah pemanenan yang  dapat  berfungsi  untuk  mengontrol  suatu  populasi,  yang  mana  pemanenan  yang  sering dipelajari dalam pemodelan matematika adalah pemanenan konstan, pemanenan proposional, dan  pemanenan  nonlinear.  Dalam  bidang  ekologi,  penyebaran  penyakit  dapat  terjadi  dalam interaksi  antar  komponen-komponen  penyusunnya.  Untuk  mempelajari  penyebaran  penyakit yang menular pada setiap spesies yang saling berinteraksi, diintegrasikan bidang ilmu ekologi dan epidemiologi sehingga membentuk bidang ilmu eko-epidemiologi. Faktor penyakit pada sistem predator-prey diperkenalkan  pertamakali  oleh  Anderson  dan  Mei  [3]  yang  meneliti faktor  suatu  gangguan  yang  terjadi  pada  sistem  persamaan  interaksi predator-prey dan menemukan studi kasus faktor pengendalian penyakit pada sistem persamaan predator-prey . Fenomena  alam  yang  memperlihatkan  interaksi  antara predator dan prey ,  dimana populasi prey terserang penyakit dijelaskan oleh Chattopadhyay dan Bairagi [4]. Pada model ini  diasumsikan  populasi prey terinfeksi  oleh  penyakit  dan  ditambahkan  faktor  pemanenan pada  populasi prey .  Selain  itu,  interaksi  antara predator dan prey ,  dimana  populasi prey terserang  penyakit  dijelaskan  oleh  Purnomo  dkk  [5].  Model  ini  diasumsikan  populasi prey terinfeksi  oleh  penyakit,  ditambahkan  faktor  pemanenan  proporsional  pada  populasi prey rentan, predator dapat menentukan prey rentan dan prey terinfeksi, predator hanya memangsa prey terinfeksi  mengikuti  fungsi  respon  Holling  tipe II .  Model predator-prey dimana pemanenan pada suatu populasi di panen secara konstan dijelaskan oleh Jha PK dan Ghorai S [6].  Model  ini  diasumsikan  populasi prey tumbuh  secar  logistik,  pemangsaan  mengikuti fungsi respon Holling tipe II, terdapat kematian alami pada populasi predator , dan dilakukan pemanenan secara konstan terhadap populasi prey .
Pada artikel ini dibahas model matematika eko-epidemiologi dengan menggunakan model predator-prey Holling tipe I, dengan populasi prey terinfeksi penyakit. Selain itu diasumsikan adanya pemanenan secara konstan pada populasi predator . Hal ini dikarenakan peneliti akan meneliti  suatu  interaksi  antara predator dan prey yang  mana  populasi prey terinfeksi  oleh penyakit,  dan  populasi predator memiliki  sifat  pasif  atau  lebih  suka  menunggu  mangsanya ( prey ) serta populasi predator merupakan populasi yang dapat dipanen.

## 2.  Model Matematika
Model  eko-epidemiologi  dengan  pemanenan  konstan  yang  dibahas  pada  artikel  ini diintegrasikan  dari  model predator-prey tipe  Gause  dan  model  epidemi .  Pada  model  ini yang  terinfeksi  oleh  penyakit  adalah  populasi prey ,  sehingga  populasi prey terbagi  menjadi dua  kelas  yaitu,  populasi prey rentan  yang  dinotasikan dan populasi prey terinfeksi  yang dinotasikan Fungsi  respon  yang  digunakan  pada  model  ini  merupakan  fungsi  respon Holling  tipe ,  dimana predator yang  dinotasikan memiliki  sifat  pasif  atau  lebih  suka menunggu prey . Predator merupakan  poulasi  yang  dapat  dipanen,  sehingga  pada  model  ini pemanenan pada predator dilakukan dengan ukuran yang sama. Dari asumsi-asumsi yang ada  model  eko-epidemiologi  dengan  pemanenan  konstan  terhadap predator dapat  di modelkan yang disajikan pada persamaan (1).
(      ( )) dimana
dan masing-masing adalah laju pertumbuhan intrinsik
populasi prey rentan,  daya  dukung  lingkungan  hidup  populasi,  laju  pemangsaan predator terhadap  mangsanya prey rentan,  laju  pemangsaan predator terhadap  mangsanya prey terinfeksi,  jumlah  populasi predator yang  masuk  akibat  memangsa prey rentan,  jumlah populasi predator yang masuk akibat memangsa prey terinfeksi, laju interaksi antara populasi prey rentan dan prey terinfeksi, kematian alami prey terinfeksi, kematian alami predator , dan jumlah panen.
Untuk mempermudah proses analisis model, dilakukan penskalaan terlebih dahulu pada model  (1).  Menurut  Edelstein-Keshet  [7],  penskalaan  model  akan  memangkas  beberapa parameter  sehingga  dapat  merubah  model  secara  kuantitif  tetapi  tidak  secara  kualitatif.
Dengan  melakukan  penskalaan ( ) model  (1),  sehingga  sistem tereduksi menjadi:
dengan , dan .
Parameter  yang  ada  pada  model  (2)  selalu  positif.  Hal  ini  didasari  oleh  kondisi biologis  di  alam  bahwa  tidak  ada  jumlah  populasi,  pemanenan,  ataupun  pemangsaan  yang negatif.  Pada  artikel  ini,  model  (2)  adalah  model  yang  akan  dianalisis  kestabilan  dari  titik kesetimbangan yang diperoleh.

## 3.  Hasil dan Pembahasan

## 3.1. Titik Kesetimbangan
Definisi 3.1 Titik disebut titik kesetimbangan atau titik kritis, jika
. Titik
kesetimbangan disebut titik kesetimbangan hiperbolik, jika tidak terdapat nilai eigen dari matriks Jacobi yang memiliki bagian nol real [8].
Berdasarkan Definisi 3.1 titik kesetimbangan model (2) diperoleh dari persamaan berikut.
(1). , atau (2). . (3). , atau (4). . (5). .
yang mana titik kesetimbangan model (2) diperoleh dua titik kesetimbangan, yaitu:
( )
dengan adalah
√
(2) (1)
dan
( ( ) ) dimana adalah
√
dengan

## 3.2. Eksistensi Titik Kesetimbangan
Lemma  3.1
.  Misalkan
̃   ̃   ̃ merupakan solusi  dari  model  (2),  maka adalah  titik  kesetimbangan  dari model (2) jika .
Bukti .
Melihat kondisi biologis di alam, tidak memungkinkan jumlah populasi suatu spesies bernilai negatif, maka solusi dari model (2) harus bernilai positif.
Dengan  mengikuti  Lemma  3.1  agar  setiap  titik  kesetimbangan  yang  diperoleh  dapat terdefinisi  di ,  maka  eksitensi  dari  setiap  titik  kesetimbangan  yang  diperoleh  diuraikan dalam beberapa poin berikut:
 Eksistensi titik kesetimbangan diuraikan dalam Teorema 4.1. Teorema 4.1 jika (a). dan 0 < < 1.  K ondisi  ini  menghasilkan  dua  titik kesetimbangan . Atau, (b). dan  < .  Kondisi  ini  menghasilkan  satu  titik kesetimbangan .
 Eksistensi titik kesetimbangan diuraikan dalam Teorema 4.2.
Teorema 4.2
(a). tidak  terdapat  di jika Kondisi  ini  tidak  menghasilkan  titik interior. (b). jika dan : i). { } √ dan . Atau, ii). , √ - ,  dan . Atau, iii). , √ - dan .
Atau,
iv). ,
√
- ,  dan . Atau, v). , √ - dan . Kondisi ini menghasilkan dua titik kesetimbangan (c). jika dan : i). dan . Atau, ii). dan .
Kondisi ini menghasilkan satu titik kesetimbangan

## 3.3. Kestabilan Titik Kesetimbangan
Untuk  mengetahui  kestabilan  dari  titik-titik  kesetimbangan  model  (2),  dilakukan pelinieran terhadap model (2) sehingga diperoleh matriks Jacobi yang disajikan pada matriks (3).
[ ]

## 3.3.1. Kestabilan Titik Kesetimbangan
Dengan  mensubtitusikan  titik  kesetimbangan ke  matriks  (3),  diperoleh  matriks yang disajikan pada matriks (4).
* ( )   ( )   ( ) ( ) + Nilai  eigen  dari diperoleh  dari  det ,  dimana I adalah  matriks identitas . Dari , diperoleh ( )   ( ) dan
dimana
( ) ( ) ( )
Kestabilan dari dijelaskan dalam Teorema 4.3 Teorema  4.3 Titik  kesetimbangan stabil  atau  stabil  asimptotik  lokal,  jika , ,  dan .  Sebaliknya,  jika  syarat  stabil  tidak  terpenuhi  maka  titik (4) (3)
kesetimbangan tidak  stabil  untuk  semua  syarat  stabil  tidak  terpenuhi,  atau  tidak  stabil saddle untuk salah satu syarat stabil tidak terpenuhi.

## 3.3.2. Kestabilan Titik Kesetimbangan
Sebelum  mencari  persamaan  linearisasi  titik  kesetimbangan ,  terlebih  dahulu disederhanakan matriks Jacobi (3) agar memudahkan proses pencarian persamaan linearisasi .  Untuk  menyederhanakan  matriks  Jacobi  (3),  lihat  persamaan  yang  memperoleh  titik kesetimbangan ,  sehingga  matriks  Jacobi  (3)  menjadi  matriks  Jacobi yang disajikan pada matriks (5)
[ ]
dengan  mensubtitusikan  titik  kesetimbangan ke  matriks ,  diperoleh  matriks yang dapat dituliskan.
[
( ) ( )   ( ) ( ) ( ( ) ) ( ( ) ) ] Nilai eigen dari diperoleh dari det , dimana adalah matriks identitas . Dari det , diperoleh persamaan karakteristik (6)
dengan,
( ) (     ( )) ( ) ( ) (    ( )) (     ( )) ( ) (     ( )) (     ( )) ( ) (     ( )) ( ( ) (    ( ))
(5)
(6)
( ) (    ( )) ) ( ) (    ( )) Kestabilan titik kesetimbangan dijelaskan dalam Teorema 4.4 Teorema  4.4 Titik  kesetimbangan stabil  atau  stabil  asimptotik  lokal,  jika dan , dimana
Sebaliknya, jika syarat stabil tidak terpenuhi maka titik kesetimbangan tidak stabil untuk semua  syarat  stabil  tidak  terpenuhi,  atau  tidak  stabil  saddle  untuk  salah  satu  syarat  stabil tidak terpenuhi.

## 3.4. Simulasi Numerik
Simulasi numerik model (2) dilakukan dengan menggunakan metode Runge-Kutta orde 4  dengan  bantuan  software  Phyton  3.7.  Simulasi  dilakukan  dengan  menggunakan  nilai parameter pada Tabel 1.
Tabel 1: Nilai-nilai parameter Parameter Nilai 0 . 1 0 . 1 0 . 388 0 . 02 0 . 02 0 . 02 0 . 5 0 . 05 0 . 2 0 . 2 0 . 02 0 . 003 0 . 4 0 . 4 0 . 000011 0 . 008 0 . 1 0 . 1 0 . 3701 0 . 030 0 . 2 0 . 2 0 . 387995428 0 . 032 0 . 025 0 . 001 0 . 00071 0 . 001

## 3.4.1. Simulasi Numerik Titik Kesetimbangan
Simulasi numerik titik kesetimbangan disimulasikan dengan menggunakan  metode Runge-Kutta orde 4 dengan memberikan nilai-nilai pada parameter dan nilai awal. Nilai-nilai yang  diberikan  pada  parameter  harus  memenuhi  Teorema  4.1  agar  titik  kesetimbangan dan perlu diingat, bahwa setiap nilai awal yang diberikan bukanlah menggambarkan jumlah  populasi  melainkan  proporsional  dari  setiap  populasi.  Simulasi  numerik  titik kesetimbangan diperlihatkan pada gambar (a) dan (b).
(a) Simulasi Titik Kesetimbangan 𝐸 untuk 𝐷𝑦 𝐸 (b) Simulasi Titik Kesetimbangan 𝐸 untuk
𝐷𝑦 𝐸
Pada gambar (a) diperlihatkan bahwa titik kesetimbangan hanya memiliki satu titik kesetimbangan  dan  titik  kesetimbangan stabil  atau  stabil  asimptotik  lokal.  Sedangkan, pada  gambar  (b)  diperlihatkan  bahwa  titik  kesetimbangan memiliki  dua  titik kesetimbangan  yang  mana  titik  kesetimbangan tidak  stabil saddle dan  titik kesetimbangan stabil atau stabil asimptotik lokal.

## 3.4.2. Simulasi Numerik Titik Kestimbangan
Simulasi  numerik  titik  kesetimbangan disimulasikan  dengan  menggunakan  metode Runge-Kutta orde 4 dengan memberikan nilai-nilai pada parameter dan nilai awal. Nilai-nilai yang  diberikan  pada  parameter  harus  memenuhi  Teorema  4.2.  agar  titik  kesetimbangan
dan  perlu  diingat,  bahwa  setiap  nilai  awal  yang  diberikan  bukanlah menggambarkan  jumlah  populasi  melainkan  proporsional  dari  setiap  populasi.  Simulasi numerik titik kesetimbangan diperlihatkan pada gambar (c) dan (d).
Pada  gambar  (c)  diperlihatkan  bahwa  titik  kesetimbangan hanya  memiliki  satu titik kesetimbangan dan titik kesetimbangan stabil atau stabil asimptotik lokal. Sedangkan, pada  gambar  (d)  diperlihatkan  bahwa  titik  kesetimbangan memiliki  dua  titik kesetimbangan  yang  mana  titik  kesetimbangan
tidak  stabil saddle dan  titik kesetimbangan stabil atau stabil asimptotik lokal.

## 4.  Kesimpulan
(b) Simulasi Titik Kesetimbangan 𝐸 untuk 𝑞 𝑜 𝜂 (a) Simulasi Titik Kesetimbangan 𝐸 untuk 𝑞 𝑜 𝜂

## Nurhalis Hasan, Resmawan, Emli Rahmi
Kestabilan  dari  titik  kesetimbangan dan diuraikan  pada  Teorema  4.3  dan Teorema 4.4. Parameter Harvesting ( ) pada predator berpengaruh terhadap eksistensi dari titik  kesetimbangan Untuk  pemanenan predator ( )  sebesar dimana diperoleh ada satu titik kesetimbangan . Sedangkan, untuk pemanenan predator ( ) sebesar dimana ,  diperoleh  dua  titik  kesetimbangan Dari  kestabilan
titik dipereloh  bahwa,  jika  populasi prey terinfeksi  punah,  keadaan  populasi prey rentan dan  populasi predator tidak  akan  punah,  karena  kedua  populasi  tersebut  akan  saling bergantung  satu  sama  lain  agar  tidak  ada  populasi  yang  punah  dan  tidak  ada  populasi  yang jumlahnya  akan  tumbuh  berlebihan.  Selain  itu,  dari  kestabilan  titik dipereloh  bahwa populasi prey rentan, prey terinfeksi, dan predator saling bergantung satu sama lain, sehingga menyababkan tidak ada populasi yang punah.

## Daftar Pustaka
[1]  Berryman  A.  A.,  1992.  The  Orgins  and  Evolution  of  Predator-Prey  Theory, ESA Ecology Society of Amerika .
[2]  Holling C. S., 1959. Some Characteristics of Simple Types of Predation and Parasitism. The Canadian Entomologist , The Canadian Entomologist , Vol. XCI, No.7.
[3]  Anderson  R.  M.,  &  May  R.  M.,  1986.  The  Invasion,  Persistence  and  Spread  of Infectious  Diseases  within  Animal  and  Plant  Communities:  Discussion, Philosophical Transactions of The Royal Society B Biological Sciences , Vol.314, No.1.
[4]      Chattopadhyay  J.,  &  Bairagi  N.,  2001.  Pelicans  at  Risk  in  Salton  Sea, Ecological Modelling-ECOL MODEL, Vol. 136.
[5]        Purnomo,  A.  S.  Darti  I.,  &  Suryanto  A.,  2017.  "Dynamics  od  Eco-Epidemiological Model with Harvesting". AIP Conference Proceedings .
[6]  Jha  P.K.,  dan  Ghorai  S.,  2017.  "Stability  of  Prey-Predator  Model  with  Holling  Type Response  Function  and  Selective  Harvesting", Journal  of  Applied  &  Computational Mathematics , Vol. 06.
[7]  Edelstein-Keshet L., 2005. "Mathematical Models in Biology", SIAM, Canada .
[8] Perko L., 2001. "Differential Equations and Dynamical System ", Springer , New York.

## Lampiran
Teorema 4.1 Titik kesetimbangan jika a) dan 0 < < 1.  K ondisi  ini  menghasilkan  dua  titik
kesetimbangan , atau b) dan  0  < <  1.  Kondisi  ini  menghasilkan  satu  titik kesetimbangan .

## Nurhalis Hasan, Resmawan, Emli Rahmi
Bukti
Eksistensi  titik  kesetimbangan
bergantung  pada  nilai .  Nilai
diperoleh  dari persamaan kuadrat yang disajikan pada persamaan (7)
dengan . dapat dituliskan kembali dengan
√
dengan
a) Kasus a Akan ditunjukan , dan sehingga menghasilkan dua titik kesetimbangan . Untuk Karena , kondisi ini menyebabkan . Untuk
Karena dan , kondisi ini membuktikan . Untuk Karena dan ,  kondisi  ini  membuktikan  populasi . Dengan  demikian  terbukti  bahwa  persamaan  (7)  membuat  ada  dua  titik  kesetimbangan , jika , dan . b) Kasus b Akan  ditunjukan , dan ,  sehingga  mengahasilkan satu titik kesetimbangan . Untuk
(7)
Karena , kondisi ini menyebabkan . Untuk Karena dan , kondisi ini membuktikan . Untuk Karena dan ,  kondisi  ini  membuktikan Sehingga, terbukti  persamaan  (7)  membuat  ada  satu  titik  kesetimbangan , jika , , dan . □ Teorema 4.2 a) tidak terdapat di jika Kondisi ini tidak menghasilkan titik interior. b) jika dan : i). { } √ dan , atau ii). , √ - , dan , atau iii). , √ - dan atau iv). , √ - , dan , atau v). , √ - dan . Kondisi ini menghasilkan dua titik kesetimbangan c) jika dan i). dan , atau
ii). dan . Kondisi ini menghasilkan satu titik kesetimbangan Bukti Eksistensi bergantung pada nilai
, dan selama diskriminan ( ) dari
tak negatif.
Nilai diperoleh dari persamaan kuadrat yang disajikan pada persamaan (8)
dimana
a) Kasus a Akan ditunjukan tidak terdapat di , jika . √
merupakan akar-akar real dari persamaan (8) dan
merupakan diskriminan dari persamaan  (8),  jika ,  maka √ akan  bernilai  kompleks  dan  membuat bernilai kompleks, sehingga terbukti tidak terdapat di . □ b) Kasus b Karena ,  maka
.  Sehingga,  dapat  dituliskan  kembali
sebagai berikut √

## √
Akar-akar real dari persamaan (8) untuk kondisi ini akan bernilai positif jika memenuhi salah satu dari lima kasus berikut:
i). Kasus 1
(8)
dan
√ √ √ √ √ dan sehingga irisan dari
, √
, dan adalah { } √ Kondisi ini membuktikan , jika { } √ dan ( )
Karena dan ,  terbukti  titik  kesetimbangan ,  jika { } √ dan . □
ii). Kasus 2
dan √ √ √ √ √ dan sehingga irisan dari , √ , dan
adalah
{ √ } Kondisi ini membuktikan , jika { √ } dan ( )

## Nurhalis Hasan, Resmawan, Emli Rahmi
Karena dan ,  terbukti  titik  kesetimbangan ,  jika , √ - , dan .□
iii). Kasus 3 dan √ √ √ √ √ dan sehingga irisan dari , √ , dan
adalah
{ √ } Kondisi ini membuktikan
, jika { √
} dan

## ( )
Karena dan ,  terbukti  titik  kesetimbangan ,  jika , √ - dan
. □ iv). Kasus 4 dan √ √ √ √ √ dan
sehingga irisan dari ,
√ , dan
adalah { √
}
Kondisi ini membuktikan
, jika
{ √ } dan ( ) Karena dan , terbukti titik kesetimbangan , jika , √ - , dan
. □ v). Kasus 5 dan √ √ √ √ √ dan
sehingga irisan dari , √
, dan adalah { √ } Kondisi ini membuktikan , jika { √ } dan ( ) Karena dan ,  terbukti  titik  kesetimbangan ,  jika , √ - dan . □ Dengan demikian, terbukti bahwa persamaan (8) membuat ada dua titik kesetimbangan jika dan terpenuhi salah satu dari ke-lima kasus yang ada. □ (a). Kasus c Karena ,  maka .  Sehingga,  dapat  dituliskan  kembali sebagai berikut
Akar-akar real dari persamaan (8) untuk kondisi ini akan bernilai positif jika memenuhi salah satu dari dua kasus berikut:
i). Kasus 1
sehingga irisan dari dan adalah Kondisi ini membuktikan , jika , dan ( ) Karena dan .  Terbukti  titik  kesetimbangan , jika dan . ii). Kasus 2 dan
sehingga irisan dari dan adalah
Kondisi ini membuktikan , jika , dan

## ( )
Karena dan .  Terbukti  titik  kesetimbangan , jika dan . Sehingga,  terbukti  persamaan  (8)  membuat  ada  satu  titik  kesetimbangan
jika
dan terpenuhi kasus 1 atau kasus 2. □ Teorema  4.3 Titik  kesetimbangan stabil  atau  stabil  asimptotik  lokal,  jika , ,  dan .  Sebaliknya,  jika  syarat  stabil  tidak  terpenuhi  maka  titik
kesetimbangan tidak  stabil  untuk  semua  syarat  stabil  tidak  terpenuhi,  atau  tidak  stabil saddle untuk salah satu syarat stabil tidak terpenuhi.

## Bukti
Akan ditunjukan dan persamaan karakteristik negatif atau memiliki bagian real negatif.
Untuk
( ) ( )   ( )
Dari matriks (4) diperoleh persamaan karakteristik
Menurut uji kestabilan Routh-Hurwizt persamaan karakteristik (9) menjadi
dimana, . Dengan  demikian,  matriks  Hurwizt  dari  persamaan  (10)  berukuran
yang  dapat dituliskan
[ ]
Berdasarkan  kriteria  Routh-Hurwizt,  persamaan  (10)  memiliki  akar-akar  karakteristik  real negatif atau memiliki bagian real negatif jika dan hanya jika
i).
(9)
(10)
Nurhalis Hasan, Resmawan, Emli Rahmi
ii).
iii).
Karena dan  persamaan  karakteristik  (10)
, ,  dan yang
menyebabkan  persamaan  karakteristik  (9)  memiliki  akar-akar  karakteristik  real  negatif atau  memiliki  bagian  real  negatif,  maka  titik  kesetimbangan stabil  atau  stabil  asimptotik lokal. Jika syarat stabil diatas tidak terpunihi, maka titik kesetimbangan , tidak stabil untuk semua syarat tidak terpunuhi, atau tidak stabil saddle untuk salah satu syarat tidak terpenuhi. □
Teorema  4.4 Titik  kesetimbangan stabil  atau  stabil  asimptotik  lokal,  jika dan , dimana
Sebaliknya, jika syarat stabil tidak terpenuhi maka titik kesetimbangan tidak stabil untuk semua  syarat  stabil  tidak  terpenuhi,  atau  tidak  stabil  saddle  untuk  salah  satu  syarat  stabil tidak terpenuhi.

## Bukti
Akan  ditunjukan  persamaan  karakteristik  (6)  real  negatif  atau  memiliki  bagian  real  negatif. Menurut uji kestabilan Routh-Hurwizt persamaan (6) menjadi
dimana, , , , dan . Dengan  demikian  matriks  Hurwizt  dari  persamaan  (11)  berukuran
,  yang  dapat dituliskan
[ ]
Berdasarkan  kriteria  Routh-Hurwizt  persamaan  karakteristik  (11)  terdapat  akar-akar karakteristik real negatif atau memiliki bagian real negatif jika dan hanya jika
i).
ii).
iii).
(11)
iv).
v).
Karena  persamaan  karakteristik  (11) , , , , dan ,
maka persamaan karakteristik ( 6 ) memiliki akar-akar karakteristik real negatif atau memiliki bagian real negatif. Sehingga, titik kesetimbangan stabil atau s tabil asimptotik lokal. Jika syarat  stabil  diatas  tidak terpenuhi,  maka  titik K esetimbangan tidak  stabil  untuk  semua syarat tidak terpenuhi, atau tidak stabil saddle untuk salah satu syarat stabil tidak terpenuhi. □

## DAFTAR PUISTAKA
[1]   Berryman A. A., 1992. The Orgins and Evolution of Predator-Prey Theory, ESA Ecology   Society of Amerika.
[2]   Holling C. S., 1959. Some Characteristics of Simple Types of Predation and Parasitism. The Canadian Entomologist , The Canadian Entomologist, Vol. XCI, No.7.
[3]   Anderson R. M., & May R. M., 1986. The Invasion, Persistence and Spread of Infectious Diseases within Animal and Plant Communities: Discussion, Philosophical Transactions of The Royal Society B Biological Sciences, Vol.314, No.1.
[4]   Chattopadhyay J., & Bairagi N., 2001. Pelicans at Risk in Salton Sea, Ecological Modelling-ECOL MODEL, Vol. 136.
[5]   Purnomo, A. S. Darti I., & Suryanto A., 2017. "Dynamics od Eco-Epidemiological Model with Harvesting". AIP Conference Proceedings.
[6]   Jha P.K., dan Ghorai S., 2017. "Stability of Prey-Predator Model with Holling Type Response Function and Selective Harvesting", Journal of Applied & Computational Mathematics, Vol. 06.
[7]   Edelstein-Keshet L., 2005. "Mathematical Models in Biology", SIAM, Canada.
[8]   Perko L., 2001. "Differential Equations and Dynamical System ", Springer, New York.