Vol. 11, No. 1,  17-27,  Juli  2014
APLIKASI KONTROL OPTIMAL PADA PERUBAHAN PERILAKU MANUSIA
Sulfayanti, Syamsuddin Toaha,Khaeruddin ,

## Abstrak
Perilaku  manusia  dapat  diartikan  sebagai  ciri-ciri  karakteristik  secara  prinsipil  dapat  membedakan manusia  yang satu dengan  manusia lainnya,  sebagai bentuk respon terhadap stimulus  yang diberikan. Secara garis besar ada dua faktor yang mempengaruhi perilaku manusia yaitu faktor personal (dari diri sendiri)  dan  faktor  lingkungan.  Dalam  tulisan  ini  diberikan  suatu  model  perubahan  perilaku  manusia dengan  memberikan  kontrol  pada  faktor  personal  dan  lingkungan.  Penentuan  bentuk  kontrol  optimal tersebut  diperoleh  melalui  penerapan  Kalkulus  Variasi  dan  Prinsip  Minimum  Pontryagin  yang kemudian  didiskritisasi  dengan  Metode  Beda  Hingga.  Hasil  dari  simulasi  numerik    menunjukkan bahwa  pengontrol-pengontrol  tersebut  dapat  menekan  laju  dari  faktor  personal  dan  faktor  lingkungan karena mampu mengurangi jumlah individu yang berperilaku buruk.
Kata kunci :Perilaku Manusia, Faktor Personal, Faktor Lingkungan, Kontrol Optimal, Kalkulus Variasi, Prinsip Minimum Pontryagin, Metode Beda Hingga.

## Abstract
Human behaviorcan be interpreted ascharacteristictraitswhichin principallycan distinguishonehuman to others,  as  a  form  ofresponse  to  the  stimulus  that  being  given.  Broadly  speaking  thereare  twofactors thataffect  human  behavior,  namely  personal  factorand  environmental  factor.  This  articleprovides amodel ofhumanbehavioral changeby givingcontrol ofthepersonaland environmentalfactors. Determination of theoptimalcontrolis
obtainedthrough
the application ofCalculusVariationandPontryaginMinimumPrinciple  whichthen  being  discritized  with  Finite DifferenceMethod. The resultsofnumericalsimulationsshowthatthose controllerscansuppressthe rateofpersonal  and  environmental  factorsbecause  their  ability  to  reducethe  number  of  individualswho behave badly.
Keywords : Human  behavior,  personal  factor,  environmental  factor,  optimal  control, calculusvariations, PontryaginMinimumPrinciple, Finite DifferenceMethod.

## 1. Pendahuluan
Permasalahan  yang  ada  dalam  lingkungan  kehidupan  dapat  ditransformasikan  dalam model  matematika  dengan  menggunakan  berbagai  asumsi  untuk  selanjutnya  menganalisis perilaku-perilaku  yang  ada  didalamnya.  Salah  satu  kejadian  yang  terjadi  dalam  kehidupan manusia  dan  dapat  ditansformasikan  ke  dalam  bentuk  model  matematika  adalah  masalah perubahan perilaku seseorang.
Sikap  seseorang  tidak  hanya  ditentukan  oleh  pribadi  orang  yang  bersangkutan,  tetapi juga  ditentukan  oleh  faktor-faktor  lingkungan,  artinya  sikap  orang-orang  di  sekelilingnya terhadap diri orang yang bersangkutan. 1
Saat  ini,  diperlukan  adanya  upaya  untuk  menghentikan  atau  paling  tidak  menahan bertambahnya penyimpangan perilaku dengan menekan laju dari faktor pendorong terjadinya penyimpangan perilaku yaitu faktor personal (dari diri pribadi) dan faktor lingkungan. Dalam tulisan  ini,  model  perubahan  perilaku  manusia  dikaji  dengan  pengontrolan  terhadap  faktor personal dan faktor lingkungan.
Untuk membangun model ini, diperlukan beberapa asumsi, yakni :
1,2,3 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Hasanuddin Makassar , Jl. Perintis Kemerdekaan Km.10 Makassar
a) Populasi dalam model ini dibedakan menjadi empat kelas. Kelas pertama adalah individu yang rentan terhadap pengaruh buruk dari interaksi sesama manusia. Kelas kedua adalah individu  yang  telah  terpengaruh  oleh  lingkungan  yang  buruk  namun  belum    mampu mempengaruhi  orang  lain.  Kelas  ketiga  adalah  individu  yang  terinfeksi  dengan senantiasa berperilaku buruk dan mampu menularkan pengaruh buruk kepada orang lain. Kelas keempat adalah individu yang telah meninggalkan perilaku buruknya, berasal dari individu yang terinfeksi.
b) Individu  yang  mampu  mempengaruhi  orang  lain  untuk  berperilaku  buruk  hanya  pada populasi kelas yang terinfeksi.
c) Setiap  individu  yang  terlahir  lebih  dahulu  masuk  ke  kelas  pertama,  dengan  kata  lain rekruitmen  terjadi  pada  kelas  pertama  dan  secara  konstan  untuk  setiap  periode. Pertambahan populasi pada kelas rentan hanya dipengaruhi oleh hal ini.
d) Terjadi kematian alami pada setiap kelas yang menyebabkan pengurangan individu dari masing-masing kelas, kecuali pada populasi kelas terinfeksi selain terjadi kematian alami juga terjadi kematian karena perilaku buruk.
e) Populasi  pada  kelas  yang  terpengaruh  berasal  dari  populasi  kelas  yang  rentan,  yang terpengaruh dengan perilaku buruk setelah berinteraksi dengan individu pada kelas yang ketiga (yang berperilaku buruk dan mampu mempengaruhi orang lain) serta berasal dari individu kelas yang telah meninggalkan perilaku buruk namun kembali terpengaruh oleh perilaku  buruk  karena  faktor  personal  maupun  faktor  lingkungan  (setelah  berinteraksi dengan individu pada kelas yang terinfeksi).
f) Populasi  kelas  yang  terinfeksi  bertambah  dengan  adanya  sejumlah  individu  yang terpengaruh  menjadi  benar-benar  berperilaku  buruk  dan  mampu  mempengaruhi  orang lain,  baik  itu  karena  faktor  personal  maupun  faktor  lingkungan.  Populasi  kelas  yang terinfeksi  inipun  berkurang  karena  adanya  sejumlah  individu  yang  menyadari kesalahannya  dan  individu  inilah  yang  kemudian  menjadi  individu  pada  kelas  yang meninggalkan perilaku buruk.
g) Populasi  kelas  yang  meninggalkan  perilaku  buruk  bertambah  dengan  adanya  sejumlah individu dari populasi yang terinfeksi yang kemudian menyadari kesalahannya sehingga meninggalkan  perilaku  buruknya.  Namun,  pada  kelas  ini  juga  terjadi  pengurangan populasi  karena  adanya  sejumlah  individu  pada  kelas  ini  yang  kembali  menjadi terpengaruh  oleh  perilaku  yang  buruk  karena  dorongan  dari  diri  sendiri(personal), maupun kerena pengaruh dari orang yang berperilaku buruk(lingkungan).
h) Setiap individu dalam populasi tiap kelas berpeluang untuk terpengaruh dengan perilaku yang buruk.
i) Perubahan seseorang yang menjadi baik hanya ditinjau pada kelas yang  terinfeksi.
j) Perubahan seseorang akan pengaruh perilaku yang buruk ditinjau pada semua kelas.

## 2. Kontrol Optimal dan Kalkulus Variasi
Sistem  kontrol  yang  baik  adalah  sistem  kontrol  yang  mempunyai  daya  tanggap  yang cepat  dan  stabil,  tetapi  tidak  memerlukan  energi  yang  berlebihan.  Sistem  kontrol  demikian dapat  dicapai  melalui  pengaturan  indeks  performansi  yang  tepat.  Dengan  demikian  sistem kontrol  yang  dirancang  berdasarkan  optimasi  indeks  performansi  disebut  sistem  kontrol optimal.
Indeks  performansi  didefinisikan  sebagai  suatu  fungsi  yang  nilainya  menunjukkan seberapa  baik  performansi  sistem  yang  sebenarnya  mendekati  performansi  yang  diinginkan. Fungsi  ini  terdiri  atas  beberapa  buah  variabel  sistem  yang  diminimasi  nilainya  dengan memberikan  matrik  bobot  yang  menyatakan  besarnya  pembobotan  untuk  masing-masing variabel sistem tersebut, [2].
Kalkulusvariasi  adalah  salah  satu  cabang  matematika  yang  berhubungan  dengan  nilai ekstrim  baik  itu  masalah  memaksimumkan  atau  meminimumkan  fungsional.  Fungsional merupakan fungsi bernilai real dengan peubah fungsi,  [1]. Misalkan fungsional objektif
          f t t dt t t x t x F x J 0 , ,  , (1)
dengan   dt dx t x   .
Kenaikan dari fungsional   x J pada persamaan (1) adalah
              f t t dt t x x F t x x x x F x J 0 , , , ,      , (2)
simbol x  atau  variasi  pertama  dari  fungsi x merupakan  aproksimasi  orde  pertama  dari perubahan J  .
Dengan mengaplikasikan deret Taylor tiga peubah yaitu
      . , , , , , 2 x x O x x F x x F t x x F t x x x x F                       (3)
ke persamaan (2) diperoleh
  . , 0 0 2 dt x x O dt x x F x x F J f f t t t t          
           (4)
sehingga variasi pertama dari fungsional J adalah
dt x x F x x F J f t t            0      , (5)
Ghozali (2008).

## 3. Prinsip Minimum Pontryagin
Misalkan  diberikan  suatu  sistem  persamaan  yang  kontinu  terhadap  waktu,    dengan kendala
        t t t f t , , u x x   , (6) sistem dengan fungsional objektif (performance index)
      dt t t t L J f t t   0 , , u x , (7)
dan kontrol   . U t  u Fungsi       t t t L , , u x merupakanfungsibobot  ( weighting  function) yang  pemilihannya bergantung pada penekanan dari sistem yang akan dioptimalkan.
Kontrol   t * u yang mengoptimalkan J pada prinsipnya menggunakan metode pengali Lagrange.  Masing-masing  kendala  mempunyai  satu  pengali  Lagrange.Misalkan  pengali Lagrange  disimbolkan   n t   λ ,    maka  akan  dibentuk  perluasan  dari J yang  disimbolkan a J , yaitu
              f t t T a dt t f t t L J
0 , , , , x u x λ u x  (8)
dengan λ merupakan pengali Lagrange dan fungsi Hamilton didefinisikan sebagai berikut :
        t f t t L t H T , , , , , , , u x λ u x λ u x   . (9)
Selanjutnya variasi dari a J sebagai suatu fungsi terhadap perubahan t , , , , x λ u x  adalah
          . 0 0 0 t T t T t t T T u T x t T t T a x x dt H u H x H t H t H J f f f          λ λ x λ x λ x λ                 (10) dengan .
, ,            H H u H H x H H u x
Fungsional J mencapai  nilai  minimum  jika 0  a J  .  Sehingga  diperoleh  persamaan state , costate dan syarat stationer yang merupakan syarat perlu dalam kontrol optimal.
1) Persamaan State
           H H H x x x    0 (11)
2) Persamaan Costate x H H H x x           λ λ λ    0 (12)
3) Syarat Stationer
0 0      u H H u (13)

## 4. Metode Beda Hingga
Persamaan  diferensial  parsial  dapat  diubah  kedalam  persamaan  aljabar  dengan menggantikan  turunan  parsialpada  persamaan  diferensial  dengan  aproksimasi  beda  hingga, [6].
 Pendekatan Beda-Hingga Maju
x f f dx df j j j     1 (14)
 Pendekatan Beda-Hingga Mundur
x f f
dx df j j j     1 (15)
 Pendekatan Beda-Hingga Tengah
x f f dx df j j j     1 (16)

## 5. Tinjauan Umum Perilaku
Perilaku  manusia  dapat  diartikan  sebagai  karakteristik  yang  secara  prinsipil  dapat dibedakan  dengan  manusia  lainnya.Pada  dasarnya  perilaku  manusia  dapat  terbentuk  akibat adanya stimulus yang diberikan, yang akan direspon dalam bentuk perilaku yang ditunjukan, perilaku    itu  sendiri  dapat  berbentuk  positif  atau  negatif  tergantung  pada  stimulus  yang datang, [4].
Ada  dua  perspektif  yang  bisa  digunakan  untuk  memahami  sebab-sebab  dan  latar belakang  seseorang  atau  sekelompok  orang  berperilaku  menyimpang.  Hal  yang  pertama adalah perspektif individualistik dan yang kedua adalah teori-toeri sosiologi.
Teori-teori  individualistik  berusaha  mencari  penjelasan  tentang  munculnya  tindakan menyimpang  melalui  kondisi  yang  secara  unik  mempengaruhi  individu  seperti  warisan genetis-biologis  atau  pengalaman-pengalaman  awal  dari  kehidupan  seseorang  didalam keluarganya.  Teori-teoriyang  berperspektif  sosiologis  tentang  penyimpanganberupaya menggali kondisi-kondisi sosial yang mendasari penyimpangan, [5].

## Sulfayanti, Syamsuddin Toaha,Khaeruddin

## 6. Analisis Model Matematika Perubahan Perilaku Manusia
Berdasarkan  asumsi  yang  digunakan  pada  pemodelan  ini,  total  jumlah  populasi  ( N ) dibagi menjadi empat kelas, yaitu:
1) Kelas Suspectible ( S )  merupakan  kelas  yang  individunya  rentan  terhadap  pengaruh  buruk dari interaksi sesama manusia
2) Kelas Exposed ( E )  merupakan  kelas  yang  individunya  telah  terpengaruh  oleh  lingkungan yang buruk namun belum mampu mempengaruhi orang lain.
3) Kelas Infected ( I )  merupakan  kelas  yang  individunya  terinfeksi  dengan  kerap  kali berperilaku buruk dan mampu menularkan pengaruh buruk terhadap lingkungan.
4) Kelas Treated ( T ) merupakan kelas yang individunya berasal dari individu yang terinfeksi,namun telah meninggalkan perilaku buruknya.
Proses perubahan perilaku diantara individu dapat digambarkan sebagai berikut:

## Gambar 1 Diagram KompartemenPerubahan Perilaku Manusia
Maka  model  perubahan  perilaku  manusia  dapat  dituliskan  secara  matematis  kedalam bentuk persamaan differensial seperti berikut:
qT N I cT y T rI dt dT rI pI I kE N I cE z dt dI kE N I cE z E qT N I cT y N I cS dt dE N I cS S dt dS                             
(17)
Sesuai  dengan  asumsi,  bahwa  sebab  yang  mempengaruhi  perilaku  buruk  berasal  dari faktor individu dan faktor lingkungan (jika berinteraksi dengan individu I ), maka diperlukan pengontrol optimal untuk menekan kedua laju tersebut, yang  disimbolkan dengan   t u 1 dan   t u 2 . Kontrol   t u 1 digunakan untuk menekan laju dari faktor personal pada individu S dan E dan kontrol   t u 2 untuk menekan laju pengaruh dari faktor lingkungan pada individu E dan I .
Selanjutnya  model  pengaruh  perilaku  manusia  dengan  faktor  personal  dan  lingkungan yang melibatkan kontrol dapat dituliskan sebagai berikut :
E S I T δ μE μS ( μ+p ) I μT αcS zαcE kE yαcT qT rI
        qT N I cT y T rI dt dT rI pI I kE N I E u c z dt dI kE N I E u c z E qT N I cT y N I S u c dt dE N I S u c S dt dS                                  2 2 1 1 1 1 1 1 (18) Koefisien   t u  1 merupakan  usaha  pengontrolan  terhadap  kemungkinan  timbulnya penderita perilaku buruk yang baru. Fungsi   t u di asumsikan terbatas pada
  1 0   t u .
Untuk  menekan  jumlah  individu  yang  berperilaku  buruk,  maka  akan  dibentuk  suatu fungsional  objektif  yang  meminimumkan  individu I .  Fungsional  objektif  didefinisikan dengan
                  f f t t t t dt t u A t u A t I dt t u u I L u J 0 0 2 2 2 2 1 1 2 1 , , ,
(19)
1 A dan 2 A merupakan  nilai  bobot  penyeimbang  biaya  dan  manfaat  dari  usaha pengendalian  terhadap  faktor  personal  dan  faktor  lingkungan.  Berdasarkan  persamaan  (18), maka diperoleh kendala sebagai berikut:
                                         
                                  qT N I cT y T rI dt dT rI pI I kE N I E u c z dt dI kE N I E u c z E qT N I cT y N I S u c dt dE N I S u c S dt dS dt dT dt dI dt dE dt dS t x           
2 2 1 1 1 1 1 1  (20)
Dengan  menggunakan  prinsip  minimum  Pontryagin,  hal  yang  terlebih  dahulu  dilakukan adalah menentukan fungsi Hamiltonnya.
Misalkan pengali Lagrange dalam persamaan (18) adalah
  T I E S T       (21)
maka fungsi Hamiltonnya menjadi
                                                         qT N I cT y T rI rI pI I kE N I E u c z kE N I E u c z E qT N I cT y N I S u c N I S u c S u A u A I H T I E S                2 2 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1
(22)
Dari  persamaan  (22)  diatas  dan  berdasarkan  persamaan  (11)-(13)  akan  ditentukan persamaan state , costate , dan syarat stasioner.

## Sulfayanti, Syamsuddin Toaha,Khaeruddin
1. Persamaan state yang optimal
  N I S u c S x S * 1 1         (23)
    kE N I E u c z E qT N I cT y N I S u c x E        
* 2 * 1 1 1      (24)
  rI pI I kE N I E u c x I      
  * 2 1
 (25) qT N I cT y T rI x T        (26)
2. Persamaan costate yang optimal
    N I u c N I u c E S S S * 1 * 1 1 1              (27)
    k N I u c k N I u c I I E E E E                 * 2 * 2 1 1 
(28)
        N cT y r r p N E u c N E u c z N cT y N S u c N S u c T T I I I I E E E S I 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 * 2 * 2 * 1 * 1                                    (29) q N I c y q N I c y T T T E E T                 (30)
3. Syarat Stationer
Untuk kontrol terhadap 1 u
 
              N A cSI u S E 1 * 1 2 , 0 max , 1 min    (31)
Untuk kontrol terhadap 2 u  
              N A cEI z u E I 2 * 2 2 , 0 max , 1 min    (32)
Persamaan State dan Costate yang optimal akan diaproksimasi dengan Metode Beda Hingga Maju  ( Forward  Difference  Method ).  Sehingga  jumlah  setiap  individu  pada  waktu  berikutnya  ( 1 1 1 , ,    i i i I E S dan 1  i T )dapat diperoleh sebagai berikut:
                                               N I u c z k h q N I c y T N I S u c h E E N I u c h S h S i i i i i i i i i i i i i 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1       
 
                              N I c y q h hrI T T N E u c z r p h hkE I I i i i i i i i i i 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1     (33) Dan nilai dari lambda pada waktu sebelumnya ( 1 1 1 , ,       i n I i n E i n S    dan 1   i n T  ), yaitu                                                     N I u c z k h k N I u c z h N I u c h N I u c h i i i i I E E i i i i E S S i n i n i n i n i n i n 1 2 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1                    
                                                                         N I c y q h q N I c y h N E u c z r p h N cT y r h N E u c z N cT y N S u c h N S u c h h i i E T T i i i T i i i i i E i i S I I i n i n i n i n i n i n i n i n 1 1 1 2 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1                  
(34)

## 7. Simulasi Numerik
Pada  model  perubahan  perilaku  ini  akan  dilakukan  simulasi  numerik  terhadap  persamaan state dan  persamaan costate ,  dengan  menggunakan  nilai-nilai  parameter  sebagai  berikut 014 . 0   , 90   , 1  c , 8   , 01 . 0  p , 004 . 0  r , 1 . 0  h , 02 . 0  q , 03 . 0  k ,
4 . 0  z , 75 . 0  y , 70
1  A , 350 2  A ,dan 8600  N . Misalkan syarat awal pada persamaan state yang digunakan dalam simulasi ini yaitu         300 0 , 1300 0 , 3000 0 , 4000 0     T I E S
dan syarat batas pada persamaan costate yang digunakanyaitu         0     f T f I f E f S t t t t     .
Gambar 2 Grafik Jumlah Individu Suspectible Tanpa dan DenganPengontrolan
Gambar 3 Grafik Jumlah Individu Exposed Tanpa dan DenganPengontrolan
Gambar 4 Grafik Jumlah Individu Infected Tanpa dan Dengan Pengontrolan

## Sulfayanti, Syamsuddin Toaha,Khaeruddin
Gambar 5 Grafik Jumlah Individu Treated Tanpa dan Dengan Pengontrolan
Berdasarkan hasil yang telah diperoleh dapat dilihat bahwa model perubahan perilakudengan pemberian pengontrolan terhadap faktor personal dan lingkungan lebih baik dibandingkan dengan model perubahan perilaku tanpa pengontrolan karena mampu menekan jumlah individu I .
Gambar 6 Grafik Perbandingan Kontrol 1 u dan 2 u
Gambar  6  diatas,  menunjukkan  bahwa  usaha  pengontrolan  terhadap  faktor  lingkungan berjalan  efektif  sehingga  mampu  menekan  jumlah  individu I .usaha  pengontrolan  pada  faktor personal  bisa  dikurangi  karena  dianggap  cukup  mampu  untuk  menekan  jumlah  individu  kelas Suspectible yang bisa berubah menjadi individu kelas Infected .

## 8. Kesimpulan
Kesimpulan yang dapat diambil dari tulisan ini adalah 1) Diperoleh dua bentuk kontrol optimal pada model perubahan perilaku, yaitu :
 Untuk faktor personal
  1 0 , 2 , 0 max , 1 min * 1 1 * 1                 u N A cSI u S E     Untuk faktor lingkungan
  1 0 , 2 , 0 max , 1 min * 2 2 * 2                 u N A cEI x u E I   
2) Aplikasi kontrol optimal pada model perubahan perilaku manusia cukup efektif karena mampu mengurangi jumlah individu yang berperilaku lebih buruk.

## Daftar Pustaka
[1] Ansjar,  2004. Catatan  Kuliah:  Kalkulus  Variasi ,  Bidang  Keahlian  Terapan  Magister Matematika Institut Teknologi Bandung, Bandung.
[2] Asnil  dan  Husnairu,  I.  2010. Sistem  Control  Optimal  pada  Control  Posisi  Motor  DC. Sumber: http://elektroftunp.files.wordpress.com/2009/04/sistem-kontrol-optimal-pada- kontrol-posisi-motor-dc.pdf . Diakses pada 28 Februari 2012
[3] Ghozali, A, 2008. Optimasi Rejeksi Surfactant-Polymer 1-D pada Proses Enchanced Oil Recovery Menggunakan Teori Kontrol Optimal ,  ITB, Bandung.
[4] Kurniadi,  D.  Konsep  dasar  gangguan  tingkah  laku,  Sumber: http://file.upi.edu/ Direktori/FIP/JUR._PEND._LUAR_BIASA/195603221982031DEDY_KURNIADI/MA KALAH/treatment_ganguan_tingkah_laku.pdf . Diakses pada 28 Februari 2012
[5] Narwoko, J. D., dan Suyanto, B. 2010. Sosiologi: Teks Pengantar dan Terapan, Prenada Media Group.
[6] Stanley, J.F. 1982. Partial Differential Equation ,For Scientists and Engineers, John Wiley & Sons, United States of America