PENINGKATAN REOLUSI PERHITUNGAN FREKUENSI GELOMBANG SINUS MENGGUNAKAN FFT (IMPROVING CALCULATION RESOLUTION OF SINE WAVE FREQUENCY USING FFT)
Sri Kliwati Pusat Teknologi Roket Lembaga Penerbangan dan Antariksa Nasional Jalan Raya LAPAN Rumpin Bogor Indonesia e-mail: sri.kliwati@lapan.go.id
Diterima 20 Februari 2015, Direvisi 9 Maret 2015, Disetujui 12 Maret 2015

## ABSTRACT
Calculation  of  sine  signal  frequency  changes  is  very  important  for  applications  in intrumentation.  Such  as  the  Doppler  system  that  also  requires  the  calculation  of  the  output  of  the sine  wave  frequency.  This  article  discusses  the  increase  in  resolution  of  the  sine  wave  frequency change  calculation  algorithm  based  FFT  (Fast  Fourier  Transform).  The  addition  of  a  data  sampling time can significantly improve the frequency resolution, but the sampling data becomes lower. On the application of the Doppler frequency 440 MHz speeds resolution of about 6.8 m / sec with 10 Hz data sampling. Resolution and sampling of this data should be adjusted to the speed and duration of the rocket flew for optimum measurement.
Keywords: Frequency resolution, Sine wave, FFT

## ABSTRAK
Perhitungan  perubahan  frekuensi  sinyal  sinus  sangat  penting  untuk  aplikasi pada  intrumentasi.  Seperti  pada  sistem  Doppler  yang  juga  memerlukan  perhitungan frekuensi  keluaran  berupa  gelombang  sinus.  Tulisan  ini  membahas  peningkatan resolusi  perhitungan  perubahan  frekuensi  gelombang  sinus  berbasis  algoritma Fast Fourier  Transform (FFT).  Penambahan  waktu  sampling  data  dapat  meningkatkan resolusi frekuensi dengan signifikan, tetapi sampling data menjadi lebih rendah. Pada aplikasi  frekuensi  Doppler  440  MHz  resolusi  kecepatan  sekitar  6.8  m/detik  dengan sampling  data  10  Hz.  Resolusi  dan  sampling  data  ini  harus  disesuaikan  dengan kecepatan dan durasi terbang roket agar optimal dalam pengukurannya.
Kata kunci: Resolusi frekuensi, gelombang sinus, FFT.

## 1  PENDAHULUAN
Frekuensi  merupakan  parameter penting  pada  sistem  Doppler  yang keluarannya  berupa  gelombang  sinus. Perubahan  frekuensi  sinyal  pembawa radio yang diterima pada stasiun monitor dapat  diubah  menjadi  kecepatan  obyek yang  diukur.  Perhitungan  ini  berbasis FFT  yang  merupakan  algoritma  utama dalam  sinyal  berbasis  frekuensi  [Chang Cui, 2013; Tomas Harcarik, 2012; Xiufen Yu,  2015].  Algoritma  FFT  ini  cukup memakan  memori  dan  prosesor,  dan cukup  sulit  untuk  diproses  di  prosesor onboard ( microcontroller )  [S.  Neethu, 2015] . Jika  harus  dilakukan  secara onboard memerlukan  prosesor  khusus. Akan  tetapi  proses  algoritma  ini  hanya dilakukan  di  stasiun  pemantau  dengan menggunakan PC. Perangkat lunak yang digunakan  untuk  PC  banyak  mengguna- kan  Matlab  dan  digunakan  dalam berbagai bidang, baik bidang antena dan image  prosesing [Kai  Yang,  2014;  P. Galvin,  2014],  bidang  aplikasi  Doppler [Inan  Guler,  2002;  Jianxin  Wu,  2012; Keeton,  1998],  dan  bidang  pemrosesan data Global  Positioning  System (GPS) [Hong  Li,  2008].  Untuk  meningkatkan akurasi  perhitungan  frekuensi,  maka algoritma  yang  akan  diterapkan  harus dikaji  dan  ditentukan  parameter  per- hitungan yang tepat. Parameter tersebut antara  lain  adalah  kecepatan  sampling data,  durasi  akuisisi  data,  dan  sampel FFT.  Oleh  karena  itu  sangat  penting untuk  melakukan  penelitian  peningkatan akurasi  perhitungan  frekuensi  berbasis
FFT terhadap parameter-parameter tersebut.  Untuk  mempermudah  analisis maka  perangkat  lunak  Matlab  menjadi pertimbangan untuk diaplikasikan. Perhitungan akurasi  dapat kita  lakukan dengan  menggunakan  sinyal  dengan minimal  dua  buah  frekuensi  yang bedekatan sesuai dengan resolusi frekuensi, jika dapat dideteksi keduanya maka algoritma tersebut dapat menghitung resolusi  tersebut.  Metode  perhitungan akurasi tersebut akan mudah dilakukan dan dibuktikan dengan mudah.
Tulisan ini membahas peningkatan akurasi frekuensi sinyal Doppler dengan optimalisasi  parameter  FFT.  Parameter yang  akan  diteliti  adalah  sampling frekuensi  dan  waktu  pengambilan  data. Peningkatan  akurasi  frekuensi  akan disimulasikan dengan variabel parameter, sehingga  diperoleh  parameter  yang tepat.  Perangkat  lunak  yang  digunakan adalah  Matlab  dengan  menggunakan sebuah  PC  desktop  yang  mudah digunakan  untuk  simulasi  dan  sudah ada toolbox sinyal  prosesing  termasuk algoritma FFT dan sebgainya.

## 2  RESOLUSI  FREKUENSI  BERBASIS FOURIER TRANSFORM
Transformasi  dari  domain  waktu ke  domain  frekuensi  (dan  kembali  lagi) didasarkan  pada Fourier  transform dan balikannya, yang didefinisikan sebagai,
dt e t s S t f j         2 ) ( ) ( (2-1)
dan
df e f S t s t f j       2 ) ( ) ( (2-2)
Di  sini, s(t),  S(  ), dan f masing-masing adalah  sinyal  waktu,  sinyal  frekuensi dan  frekuensi,  dan 1   j .  FT  berlaku untuk  sinyal  waktu  yang  periodik  dan non-periodik  yang  memenuhi  kondisi minimum tertentu. Hampir semua sinyal dengan  mudah  memenuhi  kondisi  ini. (Perlu  dicatat  bahwa  deret  Fourier adalah  kasus  khusus  dari  FT).  Untuk menghitung  transformasi  Fourier  secara numerik  pada  komputer,  diperlukan diskrtitisasi  plus  integrasi  numerik.  Ini adalah  pendekatan  yang  benar  (yaitu matematika),  secara  analitik  didefinisikan FT  dalam  lingkungan  sintetik  (dijital), dan  disebut Discrete  Fourier  Transform (DFT).  DFT  dari  sinyal  waktu  sampel selama  periode T ,  dengan  rata-rata sampling  t dapat diberikan sebagai
         1 0 2 ) ( ) ( N n t n f m j e t n s N T f m S  (2-3)
Di  mana  f=1/T, dan,  berlaku  pada frekuensi  hingga f max =  1/(2  t). FFT adalah algoritma untuk perhitungan DFT, yang  sebelumnya  DFT  membutuhkan waktu komputasi dengan jumlah berlebih,  khususnya  ketika  dibutuhkan sampel  ( N )  yang  tinggi.  FFT  memaksa asumsi  selanjutnya,  bahwa N adalah bilangan  bulat  kelipatan  dari  2.  Hal  ini memungkinkan  simetri  tertentu  sehingga terjadi pengurangan jumlah perhitungan (khususnya  perkalian)  yang  harus dikerjakan.  Secara  Matematika  definisi transformasi  Fourier  dapat  digunakan untuk  menghitung  FT  dari  fungsi  pada sembarang frekuensi. Tidak ada frekuensi maksimum, atau batas resolusi frekuensi, karena  ini  adalah  pembatasan  numerik FT.  Frekuensi  maksimum  dalam  DFT atau  FFT  tergantung  pada  interval sampling, dan resolusi frekuensi ditentukan oleh panjang rekaman sinyal. Artinya  sampel N dari  sinyal  waktu direkam selama durasi yang berhingga T dengan  periode  sampling  t  (N=T/  t)
dapat  ditransformasikan  ke  dalam sampel N dalam domain frekuensi antara –f max dan +f max menurut t f   2 1 max (2-4)
Karena  interval  sampling  dan  panjang rekaman  sinyal  adalah  berhingga  dalam perhitungan  numerik,  dalam  komputer resolusi  dan  frekuensi  maksimum  juga berhingga.  Berdasarkan  teori  di  atas, maka  resolusi  perhitungan  frekuensi berbasis  FFT  dapat  dilakukan  dengan durasi  data  dan  tidak  berhubungan dengan kecepatan sampling data.
Gambar 2-1: Sistem perhitungan frekuensi berbais  PC-Matlab  untuk  intrumen dengan ouput frekuensi
Teori  di  atas  akan  digunakan  untuk simulasi dan analisa perhitungan frekuensi berbasis FFT agar mendapatkan parameter  dan  hasil  yang  optimal. Aplikasi  parameter  yang  digunakan adalah  untuk  sistem  Doppler  pelacak posisi roket.

## 3  SIMULASI DAN ANALISIS
Simulasi dilakukan dengan membuat sinyal sinus dengan perubahan parameter,  sinyal  yang  digunakan adalah  sinyal  sinusoidal  yang  ditulis sebagai berikut:
) ) 0 . 1000 ( 2 sin( ) 0 . 1000 2 sin( t f t S           (3-1)
Sebagai contoh di sini dengan mengasumsikan  sinyal  dari  aplikasi Doppler  yang  mementingkan  akurasi perhitungan  frekuensi.  Disini S adalah sinyal  Doppler, A adalah  amplitudo, f adalah  frekuensi  Doppler,  dan t adalah waktu.
Tabel 3-1:  PARAMETER SIMULASI
SINYAL DOPPLER Parameter Nilai Amplitudo, A Frekuensi, f Durasi data, t Sampling
frekuensi, F s Frekuensi Radio 1 Volt 500~3000 Hz 0~10 detik 10~100 kHz 440 MHz
Tabel  3-1  adalah  parameter  yang digunakan  untuk  simulasi  peningkatan akurasi  frekuensi  Doppler.  Durasi  data dan  sampling  frekuensi  merupakan parameter  yang  akan  digunakan  untuk peningkatan akurasi. Gambar 3-1 merupakan  salah  satu  contoh  sinyal Doppler  dengan  frekuensi  1000  Hz  dan 1001  Hz.  Dapat  kita  lihat  sinyal  seperti hanya satu buah frekuensi atau 1000 Hz saja, hal tidak terlihat pada grafik sinyal berbasis  waktu.  Akan  tetapi  sebenarnya ada dua buah frekuensi yang perbedaan- nya  hanya  dapat  dilihat  dengan menghitung  frekuensinya.  Akan  tetapi jika algoritma untuk menghitung spektrum frekuensi kurang tepat, maka perbedaan tersebut juga tidak akan terlihat.
Gambar 3-1: Sinyal  sinusoidal  dengan  dua buah  frkuensi  yang  berdekatan
(sekitar 1K Hz)
Berbasis algoritma FFT, sinyal pada Gambar  3-1  diproses  dengan  beberapa parameter  untuk  menghitung  spektrum dan  menentukan  frekuensi  Doppler. Untuk menentukan akurasi, maka perlu ditentukan  dengan  frekuensi  yang berbeda, misal 1000 Hz dan 1001 Hz beda 1  Hz.  Jika  dapat  dideteksi  perbedaan
tersebut, maka algoritma tersebut dapat ditentukan akurasinya. Berbasis persamaan  (2-1)  sampai  dengan  (2-4), maka spektrum frekuensi sinyal tersebut  dapat  dilihat  pada  Gambar  3. Terlihat perbedaan frekuensi 1 Hz dapat dideteksi dengan baik.

## Gambar 3-2: Sinyal sinusoidal dengan dua buah frekuensi berdekatan (sekitar 1K Hz)
Selanjutnya dengan mengubah parameter durasi  seperti  pada  persamaan  (2-4) perubahan  frekuensi  hingga  0.1  Hz  dan 0.01  Hz  juga  dapat  dideteksi  seperti dapat kita lihat pada Gambar 3-3 dan 3-4.
Gambar 3-3: Sinyal sinusoidal dengan  dua  buah frekuensi berdekatan (sekitar 1 K Hz)
Gambar 3-4: Sinyal sinusoidal dengan  dua  buah frekuensi berdekatan (sekitar 1K Hz)
0
0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 Waktu (Detik) A m p lit u d o ( V o lt ) 998 999 1000 1001 1002 0 1 2 3 4 5 x 10 4 Frequency (Hz) M a g n it u d e 998 999 1000 1001 1002 0 1 2 3 4 5 6 x 10 4 Frequency (Hz) M a g n it u d e 998 999 1000 1001 1002 0 2 4 6 8 10 x 10 4 Frequency (Hz) M a g n it u d e
Akan  tetapi,  jika  durasi  terlalu  lama maka  jumlah  data  kecepatan  yang didapat  juga  semakin  sedikit  tiap detinya. Untuk aplikasi kecepatan obyek yang cepat akan sangat menganggu jika data  hanya  sedikit,  hal  ini  hanya  cocok untuk  obyek  dengan  kecepatan  rendah. Sebaliknya  kecepatan  cepat  perlu  adanya pengaturan  antara  resolusi  frekuensi dan  besar  perubahan  frekuensi  yang optimal.  Untuk  menghitung  kecepatan roket,  maka  diperlukan  sebuah  radio pemancar  pada  roket  dan  diterima dengan menggunakan penerima Doppler yang dapat membaca perubahan frekuensi menjadi sinyal sinus. Kecepatan roket V [m/detik] dapat dihitung dengan mengukur  perubahan  frekuensi  sinyal carrier F 2 dengan persamaan berikut,
2 2 ) ( F C F F V    (3-2)
Disini F 2 440  [MHz]  adalah  frekuensi radio  yang  dipancarkan transmitter dan F adalah  frekuensi  radio  yang  diterima. Semakin  besar  kecepatan  roket  maka perubahan  juga  akan  semakin  besar, sebaliknya  jika  semakin  lambat  maka perubahan frekuensi juga akan semakin sedikit,  oleh  karena  itu  perlu  resolusi yang  tepat  untuk  mengukur  kecepatan roket tersebut secara akurat. Berikut ini adalah  hasil  perhitunagn  antara  durasi data  FFT  dengan  resolusi  Frekuensi serta  hubunganya  dengan  resolusi kecepatan roket.

## Tabel 3-1:  RESOLUSI KECEPATAN ROKET
TERHADAP  PARAMETER  FFT  PADA DOPPLER 440 MHz. Durasi Data (Detik) Resolusi Frekuensi (Hz) Resolusi Kecepatan Roket (m/s) T = 0.1 T = 1.0 T = 2.0 T = 3.0 T = 4.0 T = 5.0 T = 10 10 1.0 0.50 0.32 0.25 0.2 0.1 6.8182 0.6818 0.3409 0.2273 0.1705 0.1364 0.0682
Durasi  0.1  detik  mendapatkan  resolusi kecepatan hingga 6.8 m/detik, jika durasi lebih  lama  maka  akan  mendapatkan resolusi  0.068  m/detik.  Untuk  apliaksi roket  paling  lama  durasi  adalah  0.1 detik  dengan  resolusi  6.8  m/detik  atau dengan  durasi  yang  lebih  cepat  agar dapat  mengikuti  gerak  dinamik  roket. Hubungan  antara  durasi  data  FFT dengan resolusi frekuensi tersebut dapat digambar lebih detail dengan Gambar 3-5. Terlihat  durasi  mulai  1  detik  ke  atas, kecepatan sampling data  semakin lambat  tetapi  resolusi  semakin  akurat. Sebaliknya  kurang  dari  1  detik  maka sampling  data  semakin  cepat  dan resolusi  semakin  kurang  baik.  Untuk aplikasi  roket  atau  obyek  kecepatan tinggi durasi kurang dari 1 detik menjadi parameter yang paling optimal.
Gambar 3-5: Hubungan  durasi  data  FFT  dan resolusi frekuensi Doppler frekuensi radio 440 MHz
Gambar 3-6: Hubungan  durasi  data  FFT  dan resolusi  Doppler  kecepatan  roket dengan  frekuensi  radio  440  MHz
0 2 4 6 8 10 0 2 4 6 8 10 Durasi Data (detik) R e s o lu s i F re k u e n s i (H z ) 0 2 4 6 8 10 0 1 2 3 4 5 6 7 Durasi Data (detik) R e s o lu s i K e c e p a ta n ( m /d e ti k
Kode  Matlab  yang  digunakan untuk  menghitung  resolusi  frekuensi berbasis FFT dapat dilihat pada Gambar 3-6  dan  Gambar  3-7.  Kode  tersebut ditulis  berdasarkan  persamaan  (2-1) hingga persamaan (2-4).
Gambar 3-7: Kode  perhitungan  frekuensi  ber- basis  FFT  dengan  perangkat lunak Matlab
Gambar 3-8: Kode  analisis  durasi  dan  resolusi terhadap frekuensi dan kecepatan roket
Perangkat  lunak  Matlab  ini dijalankan  dengan  cukup  cepat  dan lancar  pada  PC  desktop  dengan spesifikasi  prosesor  intel  tipe  i3  dengan memori ram 8 GB dengan menggunakan Windows 7 64 bit.

## 4  KESIMPULAN
Perhitungan frekuensi sinyal sinus  memerlukan  parameter  algoritma FFT  yang  tepat  agar menghasilkan  nilai yang  akurat.  Berdasarkan  teori  yang telah  dijelaskan  peningkatan  resolusi dapat  dilakukan  dengan  menambah waktu  akuisisi  data.  Untuk  aplikasi kecepatn tinggi durasi data FFT optimal pada  waktu  kurang  dari  1  detik, sedangkan  untuk  kecepatan  rendah optimal  pada  waktu  lebih  dari  1  detik. Untuk  kecepatan  roket  durasi  0.1  detik dengan jumlah data 10 tiap detik cukup cepat  dan  mendapat  resolusi  kecepatan sekitar  6.8  m/detik  yang  cukup  akurat untuk  kecepatn  roket  yang  mencapai lebih dari 1500 m/detik. Perangkat lunak Matlab  sangat  berguna  dan  praktis untuk  analisa  algoritma  FFT  dengan cepat,  hanya  merubah  parameter  dan dapat  dibuat  grafik  dengan  baik. Akurasi  frekuensi  ini  dihitung  dengan menggunakan sinyal sinus yang mempunyai  dua  frekuensi  berdekatan sesuai dengan resolusi yang diinginkan.

## UCAPAN TERIMAKASIH
Saya ucapkan terimakasih terhadap Pustekroket yang telah
memberi  fasilitas  dan  bantuan  diskusi ide  dan  teknis  dari  sesama  peneliti dosen  sehingga  penelitian  ini  dapat berjalan dengan baik.

## DAFTAR RUJUKAN
Chang Cui, Qiang Zhao, 2013. FFT Optimization Algorithm  and  Realization  of  MATLAB ,
Proc.  SPIE  8878,  Fifth  International Conference on Digital Image Processing (ICDIP  2013),  88784B  (July  19,  2013); doi:10.1117/12.2030711.
Hong  Li,  Mingquan  Lu,  Zhenming  Feng,  2008.
Direct  GPS  P-Code  Acquisition  Method Based  on  FFT ,  Tsinghua  Science  & Technology,  Volume  13,  Issue  1, February 2008, 9-16.
İnan  Güler,  Fırat  Hardalaç,  Necaattin  Barışçı,
2002. Application  of  FFT  Analyzed Cardiac  Doppler  Signals  to  fuzzy Algorithm ,  Computers  in  Biology  and
Medicine, Volume 32, Issue 6, November 2002, 435-444.
Jianxin Wu, Tong Wang, Zheng Bao, 2012. FFT Implementation  of  Doppler  Dependent pre-Doppler  STAP ,  Signal  Processing, Volume  92,  Issue  1,  January  2012, 281-287.
Kai  Yang,  Zhiqin  Zhao,  Jiazhou  Liu,  Qing  Huo Liu,  2014. Robust  Adaptive  Beamforming using an  Iterative FFT  Algorithm ,  Signal Processing,  Volume  96,  Part  B,  March 2014, 253-260.
P. Galvín, A. Romero, 2014. A MATLAB Toolbox for  Soil–structure  Interaction  Analysis with Finite and Boundary Elements , Soil
Dynamics and Earthquake Engineering, Volume 57, February 2014, 10-14.
P.I.J.  Keeton,  F.S.  Schlindwein,  1998, Spectral Broadening  of  Clinical  Doppler  Signals using  FFT  and  Autoregressive    Modelling ,
European  Journal  of  Ultrasound, Volume 7, Issue 3, August 1998, Pages 209-218.
S.  Neethu,  S.  Sreelakshmi,  Deepa  Sankar,
2015. Enhancement of Fingerprint using FFT×|FFT|n  Filter ",  Procedia  Computer Science, Volume 46, 2015, 1561-1568. Tomáš  Harčarik,  Jozef  Bocko,  Kristína Masláková, 2012. Frequency Analysis of Acoustic  Signal  using  the  Fast  Fourier Transformation  in  MATLAB ",  Procedia Engineering,  Volume  48,  2012,  199- 204.
Xiufen  Yu,  Ke  Xu,  Yueying  Tang,  Peng  Liu,
2015. Development and Realization of a Novel  Type  of  High-speed  Windowed Complex FFT Processor , Optik
International  Journal  for  Light  and Electron Optics, Volume 126, Issue 14, July 2015, 1381-1384.