MODEL MATEMATIKA TIPE SEIQR PADA PENYEBARAN PENYAKIT DIFTERI
(SEIQR Type Mathematical Model on Spread of Diptheria)
Saltina, Novianita Achmad, Resmawan* ) , Agusyarif Rezka Nuha
Program Studi Matematika, Jurusan Matematika, FMIPA, Universitas Negeri Gorontalo Jl. Prof. Dr. lng. B.J Habibie, Tilong kabila, Kab. Bone Bolango 96119 e-mail: saltinalahamade375@gmail.com, achmad.novianita@gmail.com,
* ) resmawan@ung.ac.id, agusyarif@ung.ac.id
* ) penulis korespondensi
Abstract. The  present  work  discusses  a  mathematical  model  of  diphtheria transmission. Diphtheria is an infection of the throat and upper respiratory tract that is caused by bacteria called corynebacterium. The model was developed by adding latent population and death parameter resulted from this infection. The purpose of this  study  was  to  construct  a  mathematical  model,  analyze  the  stability  of  the equilibrium point, and interpret the simulation of the SEIQR mathematical model in the  trasnsmission  of  diphteria.  From  the  constructed  model,  there  were  bacis reproduction  number  ( 𝑅 0 )    and  two  equilibrium  points,  namely  disease-free  and endemic  equilibrium  point  would  be  stable  if 𝑅 0 < 1 and 𝑅 0 > 1 ,    respectively. Moreover, a nunerical simulation was carried out to determine the dynamics of the diphteria  transmission. The simulation results showed that if the rates of vaccinated propotion and individual are increased, the infaction woud grandually go away from the population. In short, diphteria transmission be prevented by increasing the rate of vaccnation.
Keywords: Basic reproduction number, diphtheria, equilibrium point, mathematical model, numerical simulation
MSC2020: 37A99, 37A10, 37C10
Received: 18-01-2022, accepted: 22-02-2022

## 1. Pendahuluan
Model  matematika  termasuk  bagian  matematika  yang  banyak  digunakan  untuk meyelesaikan  masalah-masalah  dalam  kehidupan  sehari-hari  [1].  Model  matematika dapat  digunakan  untuk  menggambarkan  suatu  kejadian  ke  dalam  bentuk  rumus matematika dan melakukan analisis untuk memperoleh solusi dari masalah yang terjadi [2]. Model matematika dalam bidang kedokteran sering digunakan dalam memodelkan penyebaran penyakit menular.  Penyakit difteri juga merupakan penyakit  menular yang dapat dimodelkan dalam bentuk model matematika.
Penyakit difteri adalah penyakit yang disebabkan oleh infeksi bakteri corynebacterium diphtheriae pada selaput lendir dan tenggorokan [3]. Difteri dapat menular  melalui udara dan kontak langsung maupun tidak langsung dengan penderita difteri [4–5]. Bedasarkan
data yang diperoleh, difteri telah menyebar di seluruh dunia yaitu tercatat sebanyak 7347 kasus dan 7217 kasus pada tahun 2014 salah satunya berasal dari negara-negara anggota WHO. Adapun kasus difteri di Indonesia mengalami peningkatan dari tahun 2017 sampai dengan tahun 2019. Pada periode ini, tercatat jumlah kasus difteri mencapai 2.538 kasus dengan 84 kematian [6–8].
Salah satu penelitian mengenai model penyebaran penyakit difteri telah dilakukan oleh Wulandari  [9]  dengan  memperhatikan  pengaruh  antibodi  pada  seseorang  yang  dapat mencegah penyebaran penyakit difteri. Kemudian Suryani dan Yuenita [10] membahas tentang analisis kestabilan model MSEIR penyebaran penyakit difteri dengan saturated incidence  rate .  Selajutnya  Puspita  dkk. [11]  merumuskan  model  penyebaran  penyakit difteri  yang  menjelaskan  tentang  pemodelan  matematika  pada  penyebaran  penyakit difteri dengan pengaruh karantina dan vaksinasi. Izzati dan Andriani [12] juga melakukan penelitian tentang kendali kontrol optimal pada model penyebaran penyakit difteri dengan tingkat imunisasi alami pada individu terpapar.
Pada  penelitian  ini,  dilakukan  modifikasi  model  dari  Puspita  dkk. [11]  dengan menambahkan  sub  populasi  laten  yang  dinotasikan  dengan E  (Exposed) .  Populasi E adalah populasi yang telah terpapar namun masih berada dalam masa inkubasi sehingga belum berpotensi menularkan penyakit. Penambahan populasi E perlu dilakukan karena individu  baru akan menularkan penyakit apabila telah melewati masa inkubasi/periode laten  [9].  Selajutnya  modifikasi  juga  dilakukan  dengan  menambahkan  parameter kematian yang diakibatkan oleh penyakit difteri. Hal ini disebabkan karena racun yang dikeluarkan  oleh  bekteri corynebacterium  diphtheria dapat  menimbulkan  kematian mendadak  dan  kelumpuhan  saraf-saraf  tepi  [13].  Model  sistem  persamaan  diferensial yang diperoleh dianalisis dan dilihat perilaku solusi dari titik kesetimbangan agar dapat diidentifikasi  kestabilan  titik  kesetimbangan  tersebut.  Pada  bagian  akhir  dilakukan simulasi numerik untuk melihat dinamika penyebaran penyakit difteri.

## 2. Metodologi
Metode  yang  digunakan  pada  penelitian  ini  adalah  studi  literatur  yang  berhubungan dengan  penyakit  difteri.  Adapun  langkah-langkahnya  sebagai  berikut:  (1)  penentuan masalah, (2) perumusan masalah, (3) studi literatur, (4) penentuan asumsi, (5) modifikasi model,  (6)  analisis,  (7)  melakukan  simulasi  numerik,  (8)  interpretasi  dan  kesimpulan. Tahap  studi  pustaka  dilakukan  dengan  kegiatan  menelusuri  sejumlah  pustaka.    model matematika, sistem persamaan diferensial, titik ekuilibrium, nilai eigen dan vektor eigen, analisis kestabilan titik ekuilibrium dan simulasi model dengan software phyton 3.7 . Pada pembahasan masalah dilakukan beberapa langkah pokok yaitu: (1) merekonstruksi model matematika  pada  kasus  penyebaran  penyakit  difteri,  (2)  mencari  titik  kesetimbangan beserta  sifat  stabilitasnya,  (3)  menentukan  bilangan  reproduksi  dasar (R 0 ) , (4)
memberikan simulasi secara numerik, dan (5) memberikan interpretasi secara biologis.
𝜹

## 3. Hasil dan Pembahasan

## 3.1 Model Matematika
Berikut merupakan asumsi dari model matematika tipe SEIQR yaitu:
1. Populasi diasumsikan tertutup (tidak ada proses migrasi imigrasi).
2. Setiap individu yang baru lahir diasumsikan dalam keadaan sehat.
3. Penyakit difteri menular melalui kontak langsung dengan penderita.
4. Hanya terdapat satu penyakit yang menyebar dalam populasi.
5. Individu yang terinfeksi dapat sembuh dari penyakit dan dapat meninggal akibat penyakit.
6. Populasi  rentan (S) dapat  berpindah  ke  populasi exposed  (E) karena  adanya interaksi antara populasi rentan S dengan poplasi infected (I) .
7. Setiap individu yang sembuh dari infeksi pasti melalui proses karantina.
8. Setiap  individu  yang  terinfeksi  berpindah  ke  populasi R karena  keberhasilan pengobatan pada pasien difteri dengan laju 𝛾 .
9. Kemampuan vaksinasi adalah 100%.
10. Kekebalan yang terjadi karena vaksin bersifat permanen.
Selanjutnya,  pola  penyebaran  penyakit  difteri  diilustrasikan  dalam  bentuk  diagram kompartemen pada Gambar 1.

## Gambar 1. Diagram kompertemen model SEIQR pada penyebaran penyakit difteri
Berdasarkan diagram kompartmen pada Gambar 1, diperoleh model dalam bentuk sistem persamaan diferensial berikut.
Kelahiran I B er d as ar k a n di a gr a m k o m p ar te m R (𝟏 − 𝝆)𝚲𝑵 𝝆 𝚲𝑵 𝝁 𝝁 𝝁 R R R
𝜷 𝑺 𝑵 𝑰 𝝈 𝜸 𝝁 𝜶 𝜹 𝝁 S B er d as ar k a n di a gr a m k o m p ar te m E B er d as ar k a n di a gr a m k o m p ar te m
Q B er d as ar k a n di a gr a m k o m p ar te m
𝑑𝑆 𝑑𝑡 = (1 − 𝜌)𝛬𝑁 − 𝜇𝑆 − 𝛽 𝑆 𝑁 𝐼 , 𝑑𝐸 𝑑𝑡 = 𝛽 𝑆 𝑁 𝐼 − 𝜇𝐸 − 𝜎𝐸 ,
𝑑𝐼 𝑑𝑡 = 𝜎𝐸 − (𝜇 + 𝛿)𝐼 − 𝛼𝐼 ,                                                 (1)
𝑑𝑄 𝑑𝑡 = 𝛼𝐼 − 𝜇𝑄 − 𝛾𝑄 ,
𝑑𝑅 𝑑𝑡 = 𝜌𝛬𝑁 + 𝛾𝑄 − 𝜇𝑅 .
Selajutnya  dilakukan  penskalaan  model  untuk  mempermudah  analisis  model  dengan menghitung proporsi untuk masing-masing populasi, yaitu
𝑠 = 𝑆 𝑁 , 𝑒 = 𝐸 𝑁 , 𝑖 = 𝐼 𝑁 , 𝑞 = 𝑄 𝑁 , 𝑟 = 𝑅 𝑁 ,
sehingga diperoleh
𝑑𝑠 𝑑𝑡 = (1 − 𝜌)𝛬 − 𝜇𝑆 − 𝛽𝑠𝑖,
𝑑𝑒 𝑑𝑡 = 𝛽𝑠𝑖 − 𝜇𝑒 − 𝜎𝑒, 𝑑𝑖 𝑑𝑡 = 𝜎𝑒 − (𝜇 + 𝛿)𝑖 − 𝛼𝑖, 𝑑𝑞 𝑑𝑡 = 𝛼𝑖 − 𝜇𝑞 − 𝛾𝑞, 𝑑𝑟 𝑑𝑡 = 𝜌𝛬 + 𝛾𝑞 − 𝜇𝑟.
Parameter yang digunakan pada persamaan (2) disajikan  pada Tabel 1.
Tabel 1. Keterangan parameter model SEIQR
Parameter Keterangan 𝜌 Proporsi individu yang divaksinasi 𝛽 Peluang terjadinya infeksi antara individu yang rentan dengan idividu yang terinfeksi. 𝜎 Laju perpindahan populasi laten ke populasi yang terinfeksi. 𝛼 Laju individu yang dikarantina. 𝛾 Laju penyembuhan populasi yang terinfeksi. 𝜇 Laju kematian alami Λ Laju kelahiran. 𝛿 Laju kematian akibat penyakit difteri

## 3.2 Daerah Solusi Model Penyebaran Penyakit Difteri
Lemma 1. Daerah solusi model penyaebaran penyakit difteri pada sistem persamaan (2) adalah  tak-negatif,  dengan Ω = (𝑠, 𝑒, 𝑖, 𝑞, 𝑟)𝜖 ℜ + 5 : 0 ≤ 𝑠 + 𝑒 + 𝑖 + 𝑞 + 𝑟 ≤ Λ 𝜇 + 𝑁 0
(2)
merupakan daerah solusi tak-negatif dari persamaan (2). 𝑁 0 adalah total populasi saat 𝑡 = 0.
Bukti . 𝑑𝑁 𝑑𝑡 = 𝑑𝑠 𝑑𝑡 + 𝑑𝑒 𝑑𝑡 + 𝑑𝑖 𝑑𝑡 + 𝑑𝑞 𝑑𝑡 + 𝑑𝑟 𝑑𝑡 ,
𝑑𝑁 𝑑𝑡 = (1 − 𝜌)Λ − 𝜇𝑠 − 𝛽𝑠𝑖 + 𝛽𝑠𝑖 − 𝜇𝑒 − 𝜎𝑒 + 𝜎𝑒 − (𝜇 + 𝛿)𝑖 − 𝛼𝑖 + 𝛼𝑖 − 𝜇𝑞 − 𝛾𝑞 + 𝜌Λ + 𝛾𝑞 − 𝜇𝑟 , 𝑑𝑁 𝑑𝑡 = Λ − 𝜇𝑁 − 𝛿𝑖 .
Karena 𝛿𝑖 tak-negatif,  maka  diperoleh 𝑑𝑁 𝑑𝑡 + 𝜇𝑁 ≤ Λ .  Pertidaksamaan  ini  dapat diselasaikan dengan PD linear tak-homogen orde-1, yaitu
𝑁 ≤ Λ 𝜇 (1 − 𝑒 −𝜇𝑡 ) + 𝑁 0 𝑒 −𝜇𝑡 .
Karena 0 ≤ 𝑒 −𝜇𝑡 ≤ 1 untuk setiap 𝑡 ≥ 0 diperoleh
𝑁 ≤ Λ 𝜇 + 𝑁 0 atau 𝑠 + 𝑒 + 𝑖 + 𝑞 + 𝑟 ≤ Λ 𝜇 + 𝑁 0 .
Karena 𝑠(𝑡), 𝑒(𝑡), 𝑖(𝑡), 𝑞(𝑡), 𝑟(𝑡) taknegatif, maka untuk 𝑡 ≥ 0 diperoleh
0 ≤ 𝑠 + 𝑒 + 𝑖 + 𝑞 + 𝑟 ≤ Λ 𝜇 + 𝑁 0 .

## 3.3 Titik Kesetimbangan
Pada model ini, titik kesetimbangan diperoleh pada kondisi
𝑑𝑠 𝑑𝑡 = 𝑑𝑒 𝑑𝑡 = 𝑑𝑖 𝑑𝑡 = 𝑑𝑞 𝑑𝑡 = 𝑑𝑟 𝑑𝑡 = 0.
Titik  kesetimbangan  dinyatakan  dengan  dua  keadaan  yaitu  titik  kesetimbangan  bebas penyakit dan endemik. Berdasarkan sistem persamaan (2), diperoleh titik kesetimbangan bebas penyakit dapat dinyatakan dengan 𝐸 0 = (𝑠, 0,0,0, 𝑟 ) , yaitu
𝐸 0 (𝑠; 𝑒; 𝑖; 𝑞; 𝑟) = ( (1−𝜌)Λ 𝜇 , 0,0,0, Λ𝜌 𝜇 ) (3)
dan titik kesetimbangan endemik yang dinyatakan dengan 𝐸 1 , yaitu
𝐸 1 (𝑠; 𝑒; 𝑖; 𝑞; 𝑟) = (𝑠 ∗ , 𝑒 ∗ , 𝑖 ∗ , 𝑞 ∗ , 𝑟 ∗ ) (4)
dengan
𝑠 ∗ = (𝜇+𝛿+𝛼)(𝜇+𝜎) 𝛽𝜎 ; 𝑒 ∗ = 𝜇(𝜇+𝛿+𝛼) 𝛽𝜎 + (Λ−𝜌Λ) 𝜇+𝜎 ; 𝑖 ∗ = − 𝜇2(𝛼+𝛿+𝜇)+𝜇(𝛼+𝛿+𝜇)𝜎+𝛽𝛬(−1+𝜌)𝜎 𝛽(𝛼+𝛿+𝜇)(𝜇+𝜎) ;
𝑞 ∗ = − 𝛼𝜇2(𝛼+𝛿+𝜇)+𝛼(𝜇(𝛼+𝛿+𝜇)+𝛽𝛬(−1+𝜌))𝜎 𝛽(𝛾+𝜇)(𝛼+𝛿+𝜇)(𝜇+𝜎) ; dan
𝑟 ∗ = 𝜇(𝛼+𝛿+𝜇)(−𝛼𝛾𝜇+𝛽𝛬(𝛾+𝜇)𝜌)+(𝛼𝛾(𝛽𝛬−𝜇(𝛼+𝛿+𝜇))+𝛽𝛬(𝛼𝜇+(𝛾+𝜇)(𝛿+𝜇))𝜌)𝜎 𝛽𝜇(𝛾+𝜇)(𝛼+𝛿+𝜇)(𝜇+𝜎) .
3.4 Bilangan Reproduksi Dasar (𝑹 𝟎 )
Bilangan reproduksi dasar (R 0 ) ditentukan dengan metode matriks next generation [14, 15]. Dari persamaan (2) diperoleh kelas populasi terinfeksi yaitu:
𝑑𝑒 𝑑𝑡 = 𝛽𝑠𝑖 − 𝜇𝑒 − 𝜎𝑒, 𝑑𝑖 𝑑𝑡 = 𝜎𝑒 − (𝜇 + 𝛿)𝑖 − 𝛼𝑖.
Selanjutnya didefiniskan sebagai matriks 𝜓 dan 𝜑  sebagai berikut:
𝜓 = [ 0 𝛽𝑠 0 0 ] , 𝜑 = [ 𝜇 + 𝜎 0 −𝜎 𝛼 + 𝛿 + 𝜇 ].
Dengan  mensubtitusikan  titik  kesetimbangan  bebas  penyakit  pada  persamaan  (3)  pada persamaan (6), diperoleh matriks 𝐹 dan 𝑉 sebagai berikut:
𝐹 = [0 (1 − 𝜌)Λ
𝜇
0 0 ] , 𝑉 = [ 𝜇 + 𝜎
0 −𝜎 𝛼 + 𝛿 + 𝜇 ].
Matriks next generation diperoleh  dari  persamaan  (7)  dan  didefinisikan  dengan 𝐾 = 𝐹𝑉 −1 , yaitu
𝐾 = [ 𝛽Λ(−1+𝜌)𝜎 𝜇(𝛼+𝛿+𝜇)(𝜇+𝜎) 𝛽(Λ−Λ𝜌) 𝜇(𝛼+𝛿+𝜇) 0 0 ] .
Selanjutnya, bilangan reproduksi dasar (𝑅 0 ) adalah nilai eigen dominan dari matriks next generation , sehingga diperoleh
𝑅 0 = 𝛽Λ(1−𝜌)𝜎 𝜇(𝛼+𝛿+𝜇)(𝜇+𝜎) .

## 3.5 Kestabilan Titik Kesetimbangan
Pada bagian ini, dilakukan analisis kestabilan  pada masing-masing titik kesetimbangan. Mengacu pada model persamaan (2) didefiniskan matriks Jacobian sebagai berikut:
𝐽 = [ −𝑖𝛽 − 𝜇 𝑖𝛽 0
0 0 0 −𝜇 − 𝜎 𝜎 0 0 −𝑠𝛽 𝑠𝛽 −𝛼 − 𝛿 − 𝜇 𝛼 0 0 0 0 −𝛾 − 𝜇 𝛾 0 0 0 0 −𝜇] .
Matriks J merupakan  matriks  Jacobian dari  persamaan  (2)  yang  selanjutnya  digunakan untuk menganalis kestabilan titik kesetimbangan.
(8) (5)
(6)
(7)
(9)
(10)

## 3.5.1. Kestabilan Titik Kesetimbangan Bebas Penyakit
Sifat kestabilan titik kesetimbangan bebas penyakit difteri dinyatakan pada Teorema 1.
Teorema 1. Titik kesetimbangan bebas penyakit difteri stabil asimtotik lokal pada kondisi R 0 < 1 dan tidak stabil pada kondisi R 0 > 1.
Bukti. Matriks  Jacobian  dari  titik  kesetimbangan  bebas  penyakit  diperoleh  dengan mensubtitusikan titik kesetimbangan bebas penyakit persamaan (3) pada matriks Jacobian persamaan (10), sehingga menghasilkan matriks J(E 0 )  sebagai berikut:
J(E 0 ) = [ 𝐴 11 0 𝐴 13 0 0 0 𝐴 22 𝐴 23 0 0 0 0 0 𝐴 32 0 0 𝐴 33 𝐴 43 0 0 𝐴 44 𝐴 45 0 0 𝐴 55 ]
dengan 𝐴 11 = −𝜇, 𝐴 33 = −𝛼 − 𝛿 − 𝜇, 𝐴 13 = − 𝛽(Λ−Λ𝜌) 𝜇 , 𝐴 43 = 𝛼, 𝐴 22 = −𝜇 − 𝜎, 𝐴 44 = −𝛾 − 𝜇, 𝐴 23 = 𝛽(Λ−Λ𝜌) 𝜇 , 𝐴 54 = 𝛾, 𝐴 32 = 𝜎, dan 𝐴 55 = −𝜇.
Selanjutnya  ditentukan  persamaaan  karakteristik  dari  matriks  Jacobian  persamaan  (11) sebagai berikut:
det(𝜆𝐼 − 𝐽(𝐸 0 )) = 0 .
Sehingga diperoleh persamaan,
(𝜆 − 𝐴 11 )(𝜆 − 𝐴 44 )(𝜆 − 𝐴 55 )(𝐴 23 𝐴 32 − (𝜆 + 𝐴 22 )(𝜆 − 𝐴 33 )) = 0.
Sifat kestabilan titik kesetimbangan ditentukan dengan mengidentifikasi nilai eigen dari persamaan (12). Dari persamaan (12) diperoleh lima nilai eigen, tiga diantaranya adalah
𝜆 1 = 𝐴 11 = −𝜇, 𝜆 2 = 𝐴 44 = −𝛾 − 𝜇, 𝜆 3 = 𝐴 55 = −𝜇.
Kemudian dua nilai eigen lainnya diperoleh dari persamaan karakteristik berikut:
𝑎 2 𝜆 2 + 𝑎 2 𝜆 + 𝑎 0 = 0
dengan 𝑎 2 = 1 , 𝑎 1 = 𝛼 + 𝛿 + 2𝜇 + 𝜎 , dan 𝑎 0 = (1 − 𝑅 0 )(𝛼 + 𝛿 + 𝜇)(𝜇 + 𝜎).
Untuk menentukan nilai eigen perlu ditunjukkan bahwa koefisien 𝑎 0 , 𝑎 1 , dan 𝑎 2 positif. Karena semua nilai parameter positif, maka 𝑎 1 dan 𝑎 2 dapat dipastikan positif. Adapun 𝑎 0 bernilai  positif  jika  memenuhi  syarat 1 − 𝑅 0 > 0 yang  berarti  harus  memenuhi  syarat 𝑅 0 < 1.
Andaikan 𝑅 0 < 1, akan  ditunjukkan  bahwa  seluruh  nilai  eigen  dari  persamaan  (13) bernilai  negatif. Misalkan nilai  eigen dari persamaan  (13) yaitu 𝜆 4 dan 𝜆 5. Berdasarkan
(11) (12) (13)
sifat akar persamaan kuadrat, diperoleh
𝜆 4 + 𝜆 5 = − 𝑎 1 𝑎 2 = −𝑎 1 , (14)
𝜆 4 𝜆 5 = 𝑎 0 𝑎 2 = 𝑎 0 . (15)
Karena semua nilai parameternya bernilai positif maka diperoleh
𝜆 4 + 𝜆 5 < 0 dan 𝜆 4 𝜆 5 > 0.
Dari persamaan (16) dapat diketahui bahwa 𝜆 4 < 0 dan 𝜆 5 < 0 . Dengan demikian, kelima nilai  eigen  dari  persamaan  karakteristik  (12)  bernilai  negatif  jika  memenuhi  kondisi 𝑅 0 < 1. Sebaliknya, jika 𝑅 0 > 1 maka 𝑎 0 pada persamaan (13) bernilai negatif, sehingga
𝜆 4 𝜆 5 < 0.
Akibatnya,  salah  satu  dari 𝜆 4 dan 𝜆 5 akan  bernilai  positif.  Dengan  demikian,  dapat ditunjukkan bahwa titik kesetimbangan bebas penyakit sabil asimtotik lokal pada kondisi 𝑅 0 < 1 dan tidak stabil pada kondisi 𝑅 0 > 1 .

## 3.5.2. Kestabilan Titik Kesetimbangan Endemik
Kestabilan titik kesetimbangan endemik 𝐸 1  akan dijelaskan pada Torema 2.
Teorema 2 . Titik kesetimbangan endemik (𝐸 1 ) bersifat stabil asimtotik lokal jika 𝑅 0 > 1 dan tidak stabil jika 𝑅 0 < 1 .
Bukti. Matriks  Jacobian  dari  titik  kesetimbangan  endemik  diperoleh  dengan menyubtitusikan  titik  kesetimbangan  endemik  persamaan  (4)  pada  matriks  Jacobian persamaan (10), sehingga menghasilkan matriks J(E 1 )  sebagai berikut:
J(𝐸 1 ) = [ 𝐴 11 0 𝐴 13 0 0 𝐴 21 𝐴 22 𝐴 23 0 0 0 0 0 𝐴 32 0 0 𝐴 33 𝐴 43 0 0 𝐴 44 𝐴 45 0 0 𝐴 55 ]
dengan
𝐴 11 = 𝛽𝛬(−1+𝜌)𝜎 (𝛼+𝛿+𝜇)(𝜇+𝜎) ; 𝐴 13 = − (𝛼+𝛿+𝜇)(𝜇+𝜎) 𝜎 ; 𝐴 21 = − 𝜇 2 (𝛼+𝛿+𝜇)+𝜇(𝛼+𝛿+𝜇)𝜎+𝛽Λ(−1+𝜌)𝜎 (𝛼+𝛿+𝜇)(𝜇+𝜎)
; 𝐴 22 = −𝜇 − 𝜎 ; 𝐴 23 = (𝛼+𝛿+𝜇)(𝜇+𝜎) 𝜎 ; 𝐴 32 = 𝜎 ; 𝐴 33 = −𝛼 − 𝛿 − 𝜇 ; 𝐴 43 = 𝛼; 𝐴 44 = −𝛾 − 𝜇; 𝐴 54 = 𝛾 ; dan 𝐴 55 = −𝜇.
Selanjutnya  ditentukan  persamaaan  karakteristik  dari  matriks  Jacobian  persamaan  (17) sebagai berikut:
det(𝜆𝐼 − 𝐽(𝐸 1 )) = 0,
(16)
(17)

## sehingga diperoleh persamaan
(𝐴 44 − 𝜆)(𝐴 55 − 𝜆) (𝐴 13 𝐴 21 𝐴 32 + ((𝐴 22 − 𝜆)(𝐴 33 − 𝜆) − 𝐴 23 𝐴 32 )(𝐴 11 − 𝜆)) = 0. (18)
Sifat kestabilan titik kesetimbangan ditentukan dengan mengidentifikasi nilai eigen dari persamaan (18). Dari persamaan (18) diperoleh lima nilai eigen, dua diantaranya yaitu,
𝜆 1 = 𝐴 44 = −𝛾 − 𝜇 dan 𝜆 2 = 𝐴 55 = −𝜇 .
Kemudian tiga nilai eigen lainnya diperoleh dari persamaan karakteristik berikut:
𝑝 3 𝜆 3 + 𝑝 2 𝜆 2 + 𝑝 1 𝜆 + 𝑝 0 = 0 (19)
dengan 𝑝 3 = 1 ; 𝑝 2 = (𝛼 + 𝛿 + 2𝜇) + 𝜇 ( 𝜎 𝜇 + 𝑅 0 ) , 𝑝 1 = 𝑅 0 𝜇(𝛼 + 𝛿 + 2𝜇 + 𝜎) ; dan 𝑝 0 = (𝑅 0 − 1)𝜇(𝛼 + 𝛿 + 𝜇)(𝜇 + 𝜎) .
Untuk menentukan nilai eigen perlu ditunjukkan bahwa koefisien 𝑝 0 , 𝑝 1 , 𝑝 2 dan 𝑝 3 positif. Karena semua nilai parameter positif, maka 𝑝 1 , 𝑝 2 dan 𝑝 3 dapat dipastikan positif. Adapun 𝑝 0 bernilai positif jika memenuhi syarat 𝑅 0 − 1 > 0 yang berarti harus memenuhi syarat 𝑅 0 > 1.
Andaikan 𝑅 0 > 1 ,  akan  ditunjukkan  bahwa  seluruh  nilai  eigen  dari  persamaan  (19) bernilai  negatif.  Misalkan  nilai  eigen  dari  persamaan  (19)  adalah 𝜆 3 ,  𝜆 4 ,  dan 𝜆 5 . Berdasarkan sifat akar persamaan kubik, diperoleh:
𝜆 3 + 𝜆 4 + 𝜆 5 = − 𝑝 2 𝑝 3 = −𝑝 2 , 𝜆 3 𝜆 4 + 𝜆 3 𝜆 5 + 𝜆 4 𝜆 5 = 𝑝 1 𝑝 3 = 𝑝 1 , 𝜆 3 𝜆 4 𝜆 5 = − 𝑝 0 𝑝 3 = −𝑝 0 .
Karena semua nilai parameter positif maka diperoleh
𝜆 3 + 𝜆 4 + 𝜆 5 < 0,   𝜆 3 𝜆 4 + 𝜆 3 𝜆 5 + 𝜆 4 𝜆 5 > 0,   dan  𝜆 3 𝜆 4 𝜆 5 < 0.
Kondisi  pada  persamaan  (23)  akan  terpenuhi  jika  minimal  salah  satu  dari  nilai  eigen bernilai negatif. Misalnya 𝜆 3 < 0 , sehingga
𝜆 4 𝜆 5 > 0 .
Hal  ini berakibat 𝜆 4 dan 𝜆 5 harus  bertanda  sama. Berdasarkan  kondisi pada  persamaan (23),  maka 𝜆 4 dan 𝜆 5 harus  bernilai  negatif.  Dengan  demikian,  kelima  nilai  eigen  dari persamaan karakteristik (18) bernilai negatif jika memenuhi kondisi 𝑅 0 > 1. Sebaliknya, jika 𝑅 0 < 1 maka 𝑝 0 pada persamaan (19) bernilai negatif, sehingga
𝜆 3 𝜆 4 𝜆 5 > 0 ⇔ 𝜆 4 𝜆 5 < 0.
Akibatnya,  salah  satu  dari 𝜆 4 dan 𝜆 5 akan  bernilai  positif.  Dengan  demikian,  dapat ditunjukkan bahwa titik kesetimbangan endemik sabil asimtotik lokal pada kondisi 𝑅 0 > 1 dan tidak stabil pada kondisi 𝑅 0 < 1 .
(20) (23) (22) (21) (24)

## 3.6 Simulasi Model
Simulasi  model  dilakukan  untuk  mengetahui  kestabilan  titik  kesetimbangan  serta menunjukkan  dinamika  populasi  pada  kondisi 𝑅 0 < 1 dan 𝑅 0 > 1 .  Simulasi  dilakukan dengan mengunakaan software berbasis fungsional serta dilakukan variasi nilai parameter, diantaranya  parameter  proporsi  individu  yang  divaksinasi  dan  laju  individu  yang dikarantina. Nilai parameter yang digunakan dapat dilihat pada Tabel 2.
Table 2. Nilai parameter untuk kondisi 𝑅 0 < 1 dan 𝑅 0 > 1 Parameter 𝑹 𝟎 < 𝟏 𝑹 𝟎 > 𝟏 Sumber 𝜌 0,891 0,0891 Asumsi 𝜎 0,003 0,003 Asumsi 𝛽 0,57 0,57 [11] 𝛾 0,5 0,5 [11] 𝛼 0,004 0,005 Asumsi 𝜇 0,00138 0,00138 [11 ] Λ 0,001 0,001 Asumsi 𝛿 0,08 0,09 Asumsi 3.6.1. Dinamika Populasi untuk 𝑹 𝟎 < 𝟏
Dengan menggunakan nilai parameter pada Tabel 2, ditunjukkan dinamika populasi pada kondisi 𝑅 0 < 1 pada Gambar 2.
Gambar 2. Dinamika populasi pada kondisi 𝑅 0 < 1
Dapat  dilihat  pada  Gambar  2  bahwa  dinamika  populasi  pada  kondisi 𝑅 0 < 1 akan mencapai  kondisi  stabil  pada  titik  kesetimbangan  tanpa  penyakit.  Populasi  manusia rentan  mengalami  jumlah  populasi  fluktuatif  hingga  mencapai  kondisi  stabil  pada  saat
s  =  0,079  atau  sekitar  711  orang  dan  populasi  manusia  yang  sembuh  mengalami kenaikan dengan kondisi stabil pada saat r  =  0, 646  atau sekitar 5814 orang. Adapun pada  populasi  manusia  laten,  populasi  manusia  terinfeksi  dan  populasi  manusia  yang dikarantina  mengalami  kenaikan  kemudian  mengalami  penurunan  jumlah  populasi menuju titik stabil pada kondisi e = i = q = 0.

## 3.6.2. Dinamika Populasi untuk 𝑹 𝟎 > 𝟏
Dengan menggunakan nilai parameter pada Tabel 2, ditunjukkan dinamika populasi pada kondisi 𝑅 0 > 1 pada Gambar 3.
Gambar 3. Dinamika populasi pada kondisi 𝑅 0 > 1
Dapat  dilihat  pada  Gambar  3  bahwa  dinamika  populasi  pada  kondisi 𝑅 0 > 1 akan mencapai kondisi stabil pada titik endemik. Dinamika yang terjadi pada populasi manusia rentan  terlihat  mengalami mengalami  perubahan  secara  fluktuatif  hingga  mencapai kondisi  stabil  pada  saat s =  0,247  atau sekitar  2221  orang.  Sementara  itu,  populasi
manusia laten mengalami penurunan jumlah populasi dan mencapai kondisi stabil pada saat e  =  0,13  atau  sekitar  1170.  Adapun  populasi  manusia  terinfeksi mengalami penurunan  jumlah  populasi  namun  mencapai  kondisi  stabil  pada  saat i  =  0,004  atau sekitar  36  orang.  Sementara  itu,  populasi  manusia  yang  dikarantina  juga  mengalami penurunan jumlah  populasi  hingga  dengan  kondisi  stabil  pada  saat q  =  0,00004 atau sekitar  1  orang.  Selanjutnya,  dinamika  yang  terjadi  pada  populasi  manusia  sembuh mengalami  peningkatan  jumlah  populasi  dengan  kondisi  dtabil  pada  saat r  = 0,079  atau  sekitar  711  orang.  Hal  ini  menunjukkan  bahwa  penyakit  akan  tetap  eksis dalam populasi namun dapat terkendali pada kondisi tertentu.

## 3.6.3. Simulasi Proporsi Individu yang Divaksinasi
Simulasi ini dilakukan untuk menunjukkan pengaruh proporsi individu yang divaksinasi. Peningkatan  atau  penurunan  nilai  parameter ρ dapat  berpengaruh  pada  nilai  bilangan reproduksi dasar (𝑅 0 ) . Pengaruh nilai bilangan reproduksi dasar (𝑅 0 ) ditunjukkan pada Tabel 3.
Tabel 3. Hasil simulasi variasi nilai parameter ρ terhadap 𝑅 0 Simulasi 𝝆 𝑹 𝟎 1 0,90 0,33 2 0,93 0,23 3 0,97 0,09 4 1,00 0
Tabel  3  menunjukkan  bahwa  peningkatan  nilai  parameter ρ atau  individu  yang divaksinasi  mengakibatkan  nilai 𝑅 0 < 1  mengalami  menurunan  secara  signifikan. Bahkan terlihat bahwa jika 100% individu dilakukan vaksinasi, maka diperoleh bilangan reproduksi dasar 𝑅 0 = 0 artinya tidak akan ada lagi penularan penyakit yang terjadi.  Hal ini berarti pemberian vaksin dapat menekan laju penyebaran penyakit difteri. Dinamika populasi secara detail dapat dilihat pada Gambar 4.
Gambar 4 menunjukkan bahwa perubahan nilai parameter ρ sangat mempengaruhi jumlah manusia pada populasi Rentan (S) dan populasi sembuh (R) pada penyebaran penyakit difteri.  Dapat  dilihat  dari  Gambar  4  bahwa  jika  proporsi  individu  yang  divaksinasi diperbesar dan nilai parameter lain tetap, maka jumlah populasi rentan akan berkurang. Sedangkan pada populasi sembuh (R) jumlah manusia meningkat. Akibatnya penyebaran pada penyakit difteri dapat cegah dengan pemberian vaksin. Hal ini berarti peningkatan vaksinasi mempunyai mamfaat untuk menekan laju penyebaran penyakit difteri.

## Gambar 4. Proporsi individu yang divaksinasi

## 3.6.4. Simulasi Laju Individu yang Dikarantina
Simulasi  ini  dilakukan  untuk  menujukan  pengaruh  laju  individu  yang  dikarantina (α) terhadap  penanganan  penularan  penyakit  difteri. Peningkatan  atau  penurunan  nilai parameter α dapat berpengaruh pada nilai bilangan reproduksi dasar (𝑅 0 ) . Pengaruh nilai bilangan reproduksi dasar (𝑅 0 ) ditunjukkan pada Tabel 4.
Tabel 4. Hasil simulasi variasi nilai parameter α terhadap 𝑅 0 Simulasi 𝛂 𝑹 𝟎 1 0,02 0,29 < 1 2 0,04 0,25 < 1 3 0,06 0,21 < 1 4 0,84 0,19 < 1
Tabel 4 menunjukkan bahwa peningkatan nilai parameter 𝛼 mengakibatkan nilai 𝑅 0 < 1 menurun.  Artinya  peningkatan  laju  individu  yang  dikarantina  dapat  menekan  laju penyebaran  penyakit  difteri  dan  secara  teknis  dapat  dilakukan  untuk  menekan  angka kasus penularan penyakit difteri. Dinamika populasi yang terjadi pada kondisi ini dapat dilihat pada Gambar 5.
Gambar 5 menujukkan bahwa perubahan nilai nilai parameter individu yang dikarantina (α) lebih mempengaruhi jumlah manusia pada semua populasi pada penyebaran penyakit difteri. Semakin besar nilai laju individu yang dikarantina dan nilai parameter lain tetap, maka  menyebabkan  jumlah  manusia  pada  populasi  rentan  (S),  populasi  (E)  populasi terinfeksi (I), dan populasi yang dikarantina (Q) menurun. Adapun jumlah manusia pada populasi  sembuh  (R)  meningkat.  Hal  ini  menujukkan  bahwa  laju  individu  yang dikarantina  ( α) mempunyai  peran  sangat  penting  dalam  menekan  penyebran  penyakit difteri.
Gambar 5. Proporsi individu yang dikarantina

## 4. Kesimpulan
Model  matematika  tipe  SEIQR  pada  penyebaran  penyakit  difteri  memiliki  dua  titik kesetimbangan yaitu titik kesetimbangan bebas penyakit dan titik kesetibangan endemik. Pada  saat 𝑅 0 < 1 titik  kesetimbangan  bebas  penyakit  akan  mencapai  kondisi  stabil sementara titik kesetimbangan endemik tidak stabil. Sebaliknya pada kondisi 𝑅 0 > 1 titik kesetimbangan bebas penyakit tidak stabil sementara titik kesetimbangan endemik stabil. Hal ini menujukkan bahwa pada waktu tertentu penyakit akan secara berangsur-angsur menghilang dari populasi pada saat 𝑅 0 < 1 sedangkan pada saat 𝑅 0 > 1 , penyakit akan tetap  eksis  dalam  populasi  namun  dapat  dikendalikan  pada  titik  tertentu.  Selanjutnya ditunjukkan melalui simulasi secara numerik bahwa bahwa peningkatan proporsi individu yang  vaksinasi  dan  dikarantina  dapat  secara  signifikan  menurunkan  angka  bilangan reproduksi dasar, aertinya bahwa kebijakan ini dapat ditempuh dan secara efektif dapat menekan laju penularan penyakit difteri.

## Daftar Pustaka
[1] Ndii, M.Z.P., (2018), Pemodelan Matematika , CV Budi Utama, Yogyakarta.
[2] Sota,  M.,  Ratianingsih,  R.,  Hajar,  (2021),    Membangun  model  matematika penyebaran  penyakit  difteri  oleh Corynecbacterium  Diftheriae pada  populasi manusia, Jurnal Ilmiah Matematika dan Terapan 18(2) , 221-229. http://doi.org/10.22487/2540766x.2021.v18.i2.15705
[3] Hull,  D., Johnston, D.I., (2008), Dasar-Dasar Pediatri , Jakarta:EGC.
[4] Fajriah,  I.,  (2014),  Hubungan  pengetahuan  ibu  dan  dukungan  keluarga  dengan status imunisasi TD pada sub pin difteri, Jurnal Berkala Epidemiologi 2(3) , 404- 415.
[5] Lestari, K.S., (2012), Faktor-Faktor yang Berhubungan dengan Kejadian Difteri di Kabupaten Sidiarjo, Tesis , Depok: Universitas Indonesia.
[6] Kemenkes RI., (2017), Pedoman Pencegahan dan Pengendalian Difteri, D irektur Jenderal Pencegahan dan Pengendalian Penyakit, Jakarta.
[7] Kemenkes  RI.,  (2018), Data  dan  Informasi  Profil  Kesehatan  Indonesia, Kementerian Kesehatan Republik Indonesia , Jakarta .
[8] Kemenkes  RI.,  (2019), Data  dan  Informasi  Profil  Kesehatan  Indonesia  2019, Kementerian Kesehatan Republik Indonesia , Jakarta.
[9] Wulandari,  U.N.,  (2013),  Analisis  Model  Epidemik  MSEIR  pada  Penyebaran Penyakit  Difteri, Skripsi ,  Jember:  Fakultas  Matematika  dan  Ilmu  Pengetahuan Alam, Universitas Jember.
[10] Suryani, I., Yuenita, M.E., (2016), Analisis kestabilan model MSEIR penyebaran penyakit  difteri  dengan  saturated  incidence  rate, Jurnal  Sains  Matematika  dan Statistika 2(1) , 75-85. http://dx.doi.org/10.24014/jsms.v2i1.3104
[11] Puspita, G., Kharis, M., Supriono, (2017), Pemodelan matematika pada penyebaran penyakit difteri, Unnes Journal of Mathematics 2(1) , 25-35.
http://doi.org/10.15294/umj.v6i1.11867
[12] Izzati,  Andriani,  (2021),  Kendali  kontrol  optimal  penyebaran  penyakit difteri dengan tingkat imunitas alami pada individu terpapar, Jurnal Ilmiah Matematika dan Terapan 18(1) , 1-10. http://doi.org/10.22487/2540766X
[13] WHO, (2013), Diphteria Diseases. http://www.who.int/classfication/icd/en/[dinkes 07-02-2016].
[14] Driessche,  P.V.D.,  Watmough,  J.,  (2002),  Reproduction  number  and  subtreshold endemic  equilibrium  for  compartmental  of  disease  transmission, Mathematical Bioscienses 180 , 29-48.
[15] Resmawan,  R.,  Nurwan,  N.,  (2017),  Konstruksi  bilangan  reproduksi  dasar  pada model epidemik SEIRS-SEI penyebaran malaria dengan vaksinasi dan pengobatan,
Jurnal Matematika Integratif 13(2) , 105. https://doi.org/10.24198/jmi.v13.n2.12332.105-114