Vol. 19, No. 3, May 2023, pp. 433- 446 DOI: 10.20956/j.v19i3.23571

## Total Vertex Irregularity Strength Of Prismatic Graph Amalgamation

## Nilai Total Ketidakteraturan Titik Pada Amalgamasi Graf Prisma
Junianto Sesa* 1 , La Ode Muhlis* 2
* Universitas Papua, Indonesia
Email address : 1 j.sesa@unipa.ac.id, 2 l.mukhlis@unipa.ac.id Received: 17 October 202 2; Accepted: 5 February 2023; Published: 5 May 2023

## Abstract
The  total  vertex  irregularity  strength  of  the  graph G is  the  minimum  the  largest  label  used  to  label  a graph  with  vertex  irregularity  total  -labeling,  denoted  by.  This  study  aims  to  ascertain  the  total  vertex irregularity  strength  in  prismatic  graph  amalgamation  for
.  Determination  of  the  total  vertex irregularity strength in prismatic graph amalgamation is done by ascertaining the largest lower limit and the smallest  upper  limit.  The  lower  limit  is  analyzed  based  on  the  graph  properties  and  other  supporting theorems,  while  the  upper  limit  is  analyzed  by  labeling  the  vertices  and  edges  of  the  prismatic amalgamation  graph.  Based  on  the  results  of  this  study,  the  total  vertex  irregularity  strength  in  prismatic graph amalgamation is obtained, namely ( ( )) , for .
Keywords: Amalgamation, Graph Prism, Total Vertex Irregularity Strength

## Abstrak
Nilai  total  ketakteraturan  titik  dari  graf G yaitu  label  terbesar  minimum  yang  digunakan  untuk  melabeli graf  dengan  pelabelan- k total  tak  teratur  titik  yang  dinotasikan  dengan
.  Penelitian  ini  bertujuan untuk  menentukan  nilai  total  ketidakteraturan  titik  pada  amalgamasi  graf  prisma  untuk Penentuan nilai  total  ketidakteraturan  titik  pada  amalgamasi  graf  prisma  dilakukan  dengan  menentukan  batas  bawah terbesar dan batas atas terkecil. Batas bawah dianalisis berdasarkan sifat-sifat graf dan teorema pendukung lainnya,  sedangkan  batas  atas  dianalisis  dengan  pemberian  label  pada  titik  dan  sisi  pada  amalgamasi  graf prisma.  Berdasarkan  hasil  penelitian  ini  diperoleh  nilai  total  ketidakteraturan  titik  pada  amalgamasi  graf prisma, ( ( )) , untuk .

## JURNAL MATEMATIKA, STATISTIKA DAN KOMPUTASI
Junianto Sesa, La Ode Muhlis
Kata kunci: Amalgamasi, Graf Prisma, Nilai Total Ketidakteraturan Titik

## 1.  PENDAHULUAN
Teori  graf  merupakan  salah  satu  cabang  ilmu  matematika  yang  banyak  digunakan  untuk mempermudah  suatu  penyelesaian  masalah.  Dengan  merepresentasikan  persoalan  ke  dalam bentuk graf, maka persoalan dijelaskan secara lebih sederhana.
Pada  abad  ke  –  18,  Euler  memperkenalkan  dasar  pengembangan  teori  graf.  Pada  saat itu  di kota  Koningsberg,  terdapat  suatu  sungai  yang  membelah  kota  menjadi  empat  daratan  yang terpisah. Daratan tersebut dihubungkan oleh tujuh jembatan. Warga kota tersebut ingin melewati setiap  jembatan  tepat  satu  kali  dan  kembali  lagi  ke  tempat  awal.  Euler  membuktikan,  dengan menggunakan  suatu  bentuk  representasi  tertentu,  bahwa  hal  itu  tidak  mungkin.  Bentuk representasi itu berkembang menjadi teori graf yang kita kenal saat ini.
Wallis  mendefinisikan  pelabelan  pada  suatu  graf  sebagai  suatu  fungsi  yang  memetakan unsur-unsur  graf  ke  suatu  himpunan  bilangan  [15].  Suatu  pelabelan  dengan  domain  berupa himpunan titik dari suatu graf disebut pelabelan titik, sedangkan pelabelan dengan domain berupa himpunan  sisi  dari  suatu  graf  disebut  pelabelan  sisi.  Apabila  domain  dari  pemetaan  tersebut adalah gabungan himpunan titik dan himpunan sisi maka pelabelan tersebut dinamakan pelabelan total.
Pelabelan  sisi  dan  titik  dari  graf  dapat  dilakukan  dengan  banyak  cara.  Salah  satu  cara  yang dapat  digunakan  adalah  melabelinya  dengan  bilangan.  Ada  banyak  pelabelan  graf  yang  telah dikembangkan,  diantaranya  adalah  pelabelan  gracefull,  pelabelan  harmoni,  pelabelan  total  tidak teratur, pelabelan ajaib dan pelabelan anti Ajaib.
Salah  satu  jenis  pelabelan  pada  graf  adalah  pelabelan  tidak  teratur.  Pelabelan  tidak  teratur (irregular labeling) pada graf G didefinisikan sebagai suatu pemetaan yang memetakan sisi dari G kehimpunan bilangan bulat positif, sedemikian sehingga semua titiknya  mempunyai bobot yang berbeda  [5].  Pada  tahun  2007,  Baca  dkk.  memperkenalkan  pelabelan  tidak  teratur  lainnya  yang didasarkan  pada  pelabelan  total,  yaitu  pelabelan  total  tidak  teratur  sisi  dan  pelabelan  total  tidak teratur titik [4].
Beberapa peneliti telah menentukan nilai total ketidakteraturan pada beberapa graf antara lain [1], [2], [3], [8], [9], [11], [12], [13], dan [14]. Pada tahun 2014, Martin Baca telah menentukan nilai  total  ketidakteraturan  sisi  pada  graf  prisma  yang  diperumum  [6].  Namun  Martin  belum menentukan nilai total ketidakteraturan titik pada graf prisma. Salah hal yang menarik pada graf prisma  adalah  dapat  digabungkan  dengan  menggunakan  operasi  amalgamasi  sehingga menghasilkan sebuah graf baru. Oleh karena itu, dalam penelitian ini akan menentukan nilai total ketidakteraturan titik pada graf amalgamasi prisma.

## 2. TINJAUAN PUSTAKA
Pada  sub  bab  tinjauan  pustaka  diberikan  beberapa  definisi  dan  konsep  dasar  pada  teori  graf, terminologi  graf,  jenis-jenis  graf, serta  penjelasan  mengenai  pelabelan  graf  yang  akan digunakan  untuk  menentukan  nilai  total  ketidakteraturan  titik  pada  amalgamasi  graf prisma.

## JURNAL MATEMATIKA, STATISTIKA DAN KOMPUTASI
Junianto Sesa, La Ode Muhlis

## 2.1  Pengertian Graf
Secara  umum  graf  merupakan  pasangan  himpunan  titik  dan  himpunan sisi.  Pengaitan titik- titik  pada  graf  membentuk  sisi  dan  dapat  direpresentasikan  sebagai  suatu  gambar.  Pada  tahun 2012, Harju [7] telah mendefinisikan graf sebagai berikut.
Definisi 2.1.1 Sebuah graf G didefinisikan sebagai pasangan himpunan (V,E) , dengan V adalah himpunan tak kosong dari simpul-simpul (vertices) pada G. Sedangkan E adalah himpunan  sisi (edge)  pada  G  yang  menghubungkan  sepasang  simpul.  Himpunan  simpul  pada  G  dinotasikan sebagai V, dan himpunan rusuk pada G dinotasikan sebagai E.
Graf dengan  himpunan  titik 𝑉 dan  himpunan  sisi 𝐸 dinotasikan  dengan =  ( 𝑉 , 𝐸 ).  Sisi pada graf digambarkan sebagai garis yang kedua ujungnya merupakan titik dinyatakan dengan 𝑒 = 𝑢 . Banyaknya unsur dari disebut order dari dan banyaknya unsur dari disebut ukuran (size) dari .

## 2.2  Terminologi Graf
Dalam mempelajari graf terdapat beberapa terminologi yang berkaitan dengan graf. Berikut didefinisikan beberapa teminologi graf.
Definisi  2.2.1 Dua  buah  titik  pada  graf  dikatakan  bertetangga  (adjacent)  bila  keduanya dihubungkan  oleh  sebuah  sisi.  Dengan  kata  lain, 𝑢 bertetangga  dengan jika  ( 𝑢 )  adalah sebuah sisi pada graf .
Definisi 2.2.2 Misalkan graf dan { 𝑢 , } ∈ ( ), jika 𝑒 = ( 𝑢 ) ∈ ( ) maka sisi 𝑒 dikatakan terkait (incident) dengan titik 𝑢 𝑑𝑎 𝑖 𝑖𝑘 .
Definisi 2.2.3 Misalkan adalah titik dalam suatu graf . Derajat titik adalah banyaknya sisi yang  terkait  dengan  titik ,  dinotasikan  dengan 𝑑𝑒𝑔 ( ),  dimana  ∆( )  merupakan  derajat maksimum titik dari dan 𝛿 ( ) merupakan derajat minimum titik dari G.

## 2.3  Jenis-Jenis Graf
Terdapat  beberapa  jenis  graf  sederhana  khusus  yang  sering  ditemukan  pada  pembahasan mengenai teori graf. Berikut terdapat beberapa graf sederhana khusus, yaitu :
1) Graf Lintasan
Graf  lintasan  merupakan  suatu  lintasan  yang  panjangnya dari  simpul  awal kesimpul tujuan di  dalam  graf G ialah  barisan  berselang-seling  simpul  simpul  dan  sisi-sisi  yang berbentuk
𝑒 𝑒 𝑒 sedemikian sehingga 𝑒 𝑒 𝑒 adalah sisi-sisi dari graf

## JURNAL MATEMATIKA, STATISTIKA DAN KOMPUTASI
Junianto Sesa, La Ode Muhlis
2) Grap Lingkaran
Graf  lingkaran  adalah  graf  sederhana  terhubung  yang  setiap  simpulnya  berderajat  dua.  Graf lingkaran  dengan n simpul  dilambangkan  dengan Jika  simpul-simpul  pada adalah maka sisi-sisinya adalah
3) Graf Prisma Graf prisma disimbolkan adalah graf hasil kali kartesius
dimana adalah sebuah lintasan dengan m titik dan adalah graf lingkaran dengan n titik.
4) Amalgamasi Graf Prisma
Misalkan { |𝑖 ∈ {          }} untuk bilangan  bulat  positif  dan ,  merupakan  kumpulan graf berhingga dan masing–masing memiliki titik tetap yang disebut terminal. Amalgamasi 𝑎 adalah  graf  yang  dibentuk  dengan  mengambil  semua dan  menyatukan terminalnya
Gambar 2.3.1 Graf Lintasan 𝑃
Gambar 2.3.2 Graf Lingkaran 𝐶 dan 𝐶 4
Gambar 2.3.3 Graf Prisma 𝑃 4

## JURNAL MATEMATIKA, STATISTIKA DAN KOMPUTASI
Junianto Sesa, La Ode Muhlis

## 2.4  Pelabelan Graf
Penelitian mengenai teori graf terus mengalami perkembangan. Salah satu pembahasan yang terus berkembang adalah pelabelan pada graf. Objek kajiannya berupa graf yang secara umum.
Definisi  2.4.1 Pelabelan  graf  adalah  suatu  fungsi  yang  memasangkan  elemen-elemen  graf  ke suatu himpunan bilangan bulat positif, umumnya himpunan bilangan bulat positif.
Himpunan  bilangan  yang  menjadi  kodomain  dari  pelabelan  disebut  himpunan  label.  Suatu pelabelan  graf  disebut  pelabelan  titik  jika  domain  dari  fungsinya  adalah  himpunan  titik,  dan disebut pelabelan sisi jika domainnya adalah himpunan sisi dan jika domainnya adalah gabungan dari himpunan titik dan himpunan sisi maka pelabelat tersebut disebut pelabelan total.
Definisi  2.4.2 Bobot  titik  v  pada  pelabelan  total  adalah  label  titik      ditambah  dengan  jumlah semua label sisi yang terkait dengan , yaitu

## 𝑓       ∑ 𝑓 𝑢
∈
Definisi  2.4.3 Misalkan 𝑉  𝐸 adalah  graf  sederhana.  Pelabelan  total 𝑓  𝑉     𝐸 {           𝑘} disebut  suatu  pelabelan− 𝑘 total  tidak  teratur  titik  (total  vertex  irregular  k- labeling) pada graf jika untuk setiap dua titik yang berbeda pada 𝑉 , berlaku ( ) ≠ ( 𝑦 ) dimana 𝑓        ∑ 𝑓  𝑢
∈
Definisi  2.4.4 Nilai  total  ketidakteraturan  titik  (total  vertex  irregularity  strength)  dari , dinotasikan  dengan  ( ),  adalah  bilangan  bulat  positif  terkecil 𝑘 sedemikian  sehingga mempunyai suatu pelabelan- 𝑘 total tidak teratur titik.
Nurdin  [10]  memberikan  batas  bawah  untuk  nilai  total  ketidakteraturan  titik  pada  graf G , sebagai berikut:
Teorema  2.4.1 Misalkan adalah  suatu  graf  yang  mempunyai titik  berderajat 𝑖 dengan 𝑖   𝛿  𝛿      𝛿 dengan 𝛿 dan ∆ adalah derajat minimum dan maksimum titik dari , maka

## JURNAL MATEMATIKA, STATISTIKA DAN KOMPUTASI
Junianto Sesa, La Ode Muhlis
𝑎𝑘   {⌈ 𝛿 𝛿 ⌉   ⌈ 𝛿 𝛿 ⌉       ⌈ 𝛿    ∑ ⌉}

## 3. HASIL DAN PEMBAHASAN

## 3.1 Hasil Penelitian
3.1.1Amalgamasi Graf Prisma
Definisi  3.1.1.1 Misalkan adalah  graf  prisma,  dimana bilangan  bulat  positif dan
.
Setiap graf memiliki  titik  terminal .  Amalgamasi  graf  prisma adalah graf  yang dibentuk oleh semua titik terminal direkatkan menjadi satu titik.
Dalam tulisan ini himpinan titik V dan himpunan sisi E untuk Amalgamasi graf prisma diberikan sebagai berikut.
Himpunan Titik |𝑉|   {𝑦  𝑢 |𝑖             }   {𝑢 |𝑖                 } Himpunan Sisi |𝐸|   {𝑢 𝑢 |𝑖                 } {𝑦𝑢 𝑦 𝑦 𝑦 𝑦𝑢 𝑦 𝑦 𝑦 𝑦𝑢 𝑦 𝑦 𝑦 } {𝑢 𝑢 𝑢 𝑢 |𝑖 }

## 3.1.2 Nilai Total Ketidakteraturan Titik Amalgamasi Graf Prisma
Definisi  3.1.2.1 Misalkan 𝑉  𝐸 adalah  suatu  graf  sederhana.  Pelabelan  sisi 𝑓  𝑉   𝐸 {           𝑘} disebut pelabelan 𝑘 total tidak teratur titik (total vertex irregular k-labeling) pada graf jika untuk setiap dua titik yang berbeda pada 𝑉 berlaku 𝑦 Dimana
𝑣 5 𝑣 𝑣 𝑣 𝑣 4 𝑣 𝑛 𝑣 𝑣 𝑣 𝑣 4 𝑣 𝑛 𝑢 𝑢 𝑢 𝑢 𝑢 4 𝑢 𝑛 𝑢 𝑢 𝑢 4 𝑢 5 𝑢 𝑛 𝑤 𝑛 𝑤 𝑤 𝑤 𝑤 4 𝑤 5 𝑤 𝑤 𝑤 4 𝑤 𝑤 𝑛 𝑥 𝑛 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 4 𝑥 5 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 4 𝑥 𝑛
Gambar 3.1.1 Graf Hasil Amalgamasi Prisma 𝑃 𝑛

## JURNAL MATEMATIKA, STATISTIKA DAN KOMPUTASI
Junianto Sesa, La Ode Muhlis

## 𝑓      ∑ 𝑓  𝑢
∈
Dalam  penentuan  nilai  total  ketidakteraturan  titik  pada  amalgamasi  graf  prisma , diawali dengan memeberikan label   titik dan label sisi untuk
dengan mempertimbangkan hal berikut:
1. Batas bawah dengan menggunakan Teorema 2.4.1
2. Batas atas dengan pemberian label pda titik dan sisi
3. Bobot pada setiap titik berbeda
4. Mempertahankan pola pemberian label titik dan sisi
Berdasarkan Teorema  2.4.1 untuk
batas  bawah  nilai  total  ketidakteraturan  titik  pada graf hasil amalgamasi
dapat dilihat pada Tabel 1 .
Tabel 1 Batas Bawah Pelabelan Total ⌈ ⌉ 4 3 28 8 5 3 36 10 6 3 44 12
Selanjutnya  untuk  menentukan  batas  atasnya,  maka  titik  dan  sisi  pada  graf  hasil  amalgamasi Prisma
untuk diberi label sebagai berikut.
1 1 1 1 1 1 1 3 3 3 3 3 1 2 4 1 1 1 1 5 5 5 5 7 1 7 6 6 6 6 5 3 4 6 7 5 5 5 5 5 5 5 3  3 3 3 3 3 3 3 2 3 4 5 4 4 4 4 8 6  6 6 6 7 7 7 7 5 6 8 8 7 8 8 8 8 8
Gambar 3.1.2.1 Pelabelan Total-8 Graf Hasil Amalgamasi Prisma 𝑃 4

## JURNAL MATEMATIKA, STATISTIKA DAN KOMPUTASI
Junianto Sesa, La Ode Muhlis
Berdasarkan Tabel  1 ,  diasumsikan  bahwa  nilai  total  ketidakteraturan  titik  pada  graf  hasil amalgamasi  Prisma  yaitu ( ( )) Hasil  ini  dituliskan  pada Teorema  3.2.1.1 yang disertai dengan buktinya.
Teorema  3.2.1.1 Untuk ,  maka  nilai  total  ketidakteraturan  titik  pada  graf  hasil amalgamasi Prisma yaitu ( ( )) adalah

## ( ( ))
Bukti:
Untuk  membuktikan  bahwa ( ( )) maka  digunakan Teorema  2.4.1 .  Derajat minimum  dari ( ) adalah 𝛿 banyaknya  titik  yang  berderajat  3  adalah .
Selanjutnya  derajat  maksimum  adalah
dengan  banyak  titik Maka  berdasarkan
Teorema 2.4.1 diperoleh
𝑎𝑘  {⌈ 𝛿 𝛿 ⌉   ⌈ 𝛿 𝛿 ⌉       ⌈ 𝛿   ∑ ⌉}
1  1 1  1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 4 5 6 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 7 7 7 7 7 6 6 6 6 6 6 2 3 4 5 6 7 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 9 9 9 9 9 10 10 10 10 10 10 3 4 5 6 7 8 9 9 9 9 9 9 12 12 12 12 12 8 8 8 8 8 8 12 12 12 12 12 12 11 11 11 11 11 11 7 8 9 10 11 12
Gambar 3.1.2.3 Pelabelan Total-12 Graf Hasil Amalgamasi Prisma 𝑃 6

## JURNAL MATEMATIKA, STATISTIKA DAN KOMPUTASI
Junianto Sesa, La Ode Muhlis
Sehingga
( ( ))    𝑎𝑘  {⌈ ⌉   ⌈ ⌉} 𝑎𝑘  {⌈ ⌉   ⌈ ⌉} Untuk maka ( ( ))    𝑎𝑘  {⌈ ⌉   ⌈ ⌉} ( ( ))   ⌈ ⌉ ⌈ ⌉
Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa

## ( ( ))
Untuk mebuktikan hal tersebut dilakukan konstruksi suatu pelabelan total tidak teratur titik pada graf hasil amalgamasi Prisma yaitu ( ( ))
Konstruksi suatu pelabelan total pada ( )
Definisi fungsi pelabelan titik untuk 𝑖 sebagai berikut
 𝑓(𝑢 )
 𝑓(𝑢 )
 𝑓( )
 𝑓( )
 𝑓( )
 𝑓( )
 𝑓( )
 𝑓( )
 𝑓 𝑦
Definisi fungsi pelabelan sisi untuk 𝑖 sebagai berikut
 𝑓(𝑢 𝑢 )   𝑖
 𝑓(𝑢 𝑢 )   𝑓(𝑢 𝑢 )  𝑓(𝑢 𝑢 )   𝑓(𝑦𝑢 )   𝑓 𝑦𝑢  𝑓( )   𝑖  𝑓( )   𝑓( )  𝑓( )   𝑓(𝑦 )   𝑓 𝑦  𝑓( )   𝑖
 𝑓( )   𝑓

## JURNAL MATEMATIKA, STATISTIKA DAN KOMPUTASI
Junianto Sesa, La Ode Muhlis
 𝑓( )   𝑓(𝑦 )   𝑓 𝑦  𝑓( )       𝑖
 𝑓( )   𝑓  𝑓( )   𝑓(𝑦 )   𝑓 𝑦
Perhatikan bahwa bobot pada setiap titik
berdasarkan pelabelan, untuk 𝑖 sebagai berikut.
1. (𝑢 )   𝑓(𝑢 )   𝑓(𝑢 𝑢 )   𝑓(𝑢 𝑢 )   𝑓 𝑢 𝑢 2. (𝑢 )   𝑓(𝑢 )   𝑓(𝑢 𝑢 )   𝑓(𝑢 𝑢 )   𝑓 𝑢 𝑢 𝑖 𝑖 3. (𝑢 )   𝑓(𝑢 )   𝑓(𝑢 𝑢 )   𝑓(𝑢 𝑢 )   𝑓 𝑢 𝑢 4. (𝑢 )   𝑓(𝑢 )   𝑓(𝑢 𝑢 )   𝑓(𝑢 𝑢 )   𝑓 𝑦𝑢 5. (𝑢 )   𝑓(𝑢 )   𝑓(𝑦𝑢 )   𝑓(𝑢 𝑢 )   𝑓 𝑢 𝑢 6. (𝑢 )   𝑓(𝑢 )   𝑓(𝑢 𝑢 )   𝑓(𝑢 𝑢 )   𝑓 𝑢 𝑢 𝑖 𝑖 7. (𝑢 )   𝑓(𝑢 )   𝑓(𝑦𝑢 )   𝑓(𝑢 𝑢 )   𝑓 𝑢 𝑢 8. ( )   𝑓( )   𝑓( )   𝑓( )   𝑓 9. ( )   𝑓( )   𝑓( )   𝑓( )   𝑓 𝑖 𝑖 10. ( )   𝑓( )   𝑓( )   𝑓( )   𝑓 11. ( )   𝑓( )   𝑓( )   𝑓( )   𝑓 𝑦 12. ( )   𝑓( )   𝑓(𝑦 )   𝑓( )   𝑓

## JURNAL MATEMATIKA, STATISTIKA DAN KOMPUTASI
Junianto Sesa, La Ode Muhlis
13. ( )   𝑓( )   𝑓( )   𝑓( )   𝑓 𝑖 𝑖 14. ( )   𝑓( )   𝑓(𝑦 )   𝑓( )   𝑓 15. ( )   𝑓( )   𝑓( )   𝑓( )   𝑓 16. ( )   𝑓( )   𝑓( )   𝑓( )   𝑓 𝑖 𝑖 17. ( )   𝑓( )   𝑓( )   𝑓( )   𝑓 18. ( )   𝑓( )   𝑓( )   𝑓( )   𝑓 𝑦 19. ( )   𝑓( )   𝑓(𝑦 )   𝑓( )   𝑓 20. ( )   𝑓( )   𝑓( )   𝑓( )   𝑓 𝑖 𝑖 21. ( )   𝑓( )   𝑓(𝑦 )   𝑓( )   𝑓 22. ( )   𝑓( )   𝑓( )   𝑓( )   𝑓 23. ( )   𝑓( )   𝑓( )   𝑓( )   𝑓 𝑖 𝑖 24. ( )   𝑓( )   𝑓( )   𝑓( )   𝑓 25. ( )   𝑓( )   𝑓( )   𝑓( )   𝑓 𝑦
26. ( )   𝑓( )   𝑓(𝑦 )   𝑓( )   𝑓 27. ( )   𝑓( )   𝑓( )   𝑓( )   𝑓 𝑖

## JURNAL MATEMATIKA, STATISTIKA DAN KOMPUTASI
Junianto Sesa, La Ode Muhlis

## 𝑖
28. ( )   𝑓( )   𝑓(𝑦 )   𝑓( )   𝑓 29. 𝑦    𝑓 𝑦    𝑓(𝑦𝑢 )   𝑓(𝑦𝑢 )   𝑓(𝑦𝑢 )   𝑓(𝑦 )   𝑓(𝑦 ) 𝑓(𝑦 )   𝑓(𝑦 )   𝑓(𝑦 )   𝑓(𝑦 )   𝑓(𝑦 )   𝑓(𝑦 ) 𝑓 𝑦
Berdasarkan definisi bobot titik tersebut, diperoleh
(𝑢 )     (𝑢 )         (𝑢 )     (𝑢 )     (𝑢 )     (𝑢 ) (𝑢 ) ( )     ( )         ( )     ( )     ( )     ( ) ( ) ( )     ( )         ( )     ( )     ( )     ( ) ( ) ( )     ( )         ( )     ( )     ( )     ( ) ( )      𝑦
Sehingga  dapat  disimpulkan  bahwa  bobot  setiap  titik  pada
berbeda . Maka 𝑓 yang dikonstruksikan tersebut merupakan suatu pelabelan tidak teratur pada Selanjutnya  akan  ditunjukkan  bahwa  label  terbesar  yang  digunakan  adalah sebagai  berikut. Misalkan Untuk 𝑖 dan maka
1. 𝑓(𝑢 )
2. 𝑓(𝑢 )
3. 𝑓( )
4. 𝑓( )
5. 𝑓( )
6. 𝑓( )
7. 𝑓( )
8. 𝑓( )
9. 𝑓 𝑦
10. 𝑓(𝑢 𝑢 )   𝑖
11. 𝑓(𝑢 𝑢 )   𝑓(𝑢 𝑢 ) 12. 𝑓(𝑢 𝑢 )   𝑓(𝑦𝑢 )   𝑓 𝑦𝑢
13. 𝑓( )   𝑖 14. 𝑓( )   𝑓( ) 15. 𝑓( )   𝑓(𝑦 )   𝑓 𝑦

## JURNAL MATEMATIKA, STATISTIKA DAN KOMPUTASI
Junianto Sesa, La Ode Muhlis
16. 𝑓( )   𝑖 s 17. 𝑓( )   𝑓( ) 18. 𝑓( )   𝑓(𝑦 )   𝑓 𝑦 19. 𝑓( )       𝑖 20. 𝑓( )   𝑓( ) 21. 𝑓( )   𝑓(𝑦 )   𝑓 𝑦
Dengan demikian 𝑓 merupakan suatu pelabelan total tidak teratur titik dengan
, untuk
. Artinya ( ) Karena ( ) dan ( ) , maka
( )

## 3.2 Pembahasan
Pada tahun 2014, Martin Baca telah menentukan nilai total ketidakteraturan sisi pada graf prisma yang diperumum [6] namun belum menentuan nilai total ketidakteraturan titik pada graf prisma. Salah  satu  hal  yang  menarik  pada  graf  prisma  adalah  dapat  digabungkan  dengan  menggunakan operasi  amalgamasi  sehingga  menghasilkan  sebuah  graf  baru.  Penelitian  ini  dilakukan  dengan menentukan  batas  bawah  terbesar  dengan  menggunakan  teorema.  Sedangkan  menentukan  batas atas  terkecil  dengan  menggunakan  konstruksi  pelabelan  pada  titik  dan  sisi  graf  amalgamasi prisma.  sehingga  diperoleh  nilai  total  ketidakteraturan  titik  pada  graf  hasil  amalgamasi  Prisma untuk yaitu ( ( ))

## 4 KESIMPULAN
Berdasarkan hasil dan pembahasan penelitian, diperoleh kesimpulan bahwa nilai ketidakteraturan pada  graf  hasil  amalgamasi  Prisma  untuk yaitu ( ( )) Pembahasan mengenai pelabelan total  tidak teratur titik masih  terbuka  bagi  peneliti lain untuk melanjutkan penelitian  ini  dan  dapat  juga  melakukan  penelitian  yang  sejenis  dengan  jenis-jenis  graf  yang berbeda.

## REFERENCES
[1]    Ahmad,  A.,  2014.  Irregular  Total  Labeling  of  Disjoint  Union  of  Prisms  and  Cycles. Australasian Journal of Combinatorics. Vol. 59, 98-106.
[2]    Ahmad, A., Baca, M., dan Bashir, Y., 2014. Total Vertex Irregularity Strength of Certain Classes of Unisyclic Graphs. Bull. Math. Sci. Math Roumanie . Vol.2, 147-152.
[ 3 ] Al-Mushayt O, Arshad A, Siddiqui, M., 2013. Total Vertex Irregularity Strength of Convex Polytope Graphs. Acta Math Univ Comenianae . Vol. 82, 29–37.
[4] Baca,  M.,  Jendrol.,  Miller,  M.,  dan  Ryan,  J.,  2007.  On  Irregular  total  Labelings. Discrere Mathematics . Vol. 307, 1378-1388.

## JURNAL MATEMATIKA, STATISTIKA DAN KOMPUTASI
Junianto Sesa, La Ode Muhlis
[5]  Chartrand  G,  Jacobson  M,  Lehel  J,  Oellermann  O,  Ruiz  S  &  Saba  F.,  1988.  Irregular Network. Congressus Numerantium . Vol. 64, 187-192.
[6]  Baca, M., & Siddiqui, M. K., 2014. Total Edge Irregularity Strength of Generalized Prism, Appl . Math Comput . Vol. 235, 168-173.
[7]    Harju, T., 2012. Graph Theory. Finland: Department of Mathematics University of Turky.
[8]      Indriati  D,  Widodo,  Wijayanti,  I.,  Sugeng  KA,  Baˇca  M,  Se aniˇcov  a-Fenovcikova,  A., 2016.  The  Total  Vertex  Irregularity  Strength  of  Generalized  Helm  Graphs  and  Prisms  ith Outer Pendant Edges. Australias J Combin . Vol. 65, 14–26.
[9]   urdin,  er ata ari, D.,  a  awati., Baca, M.,   Se aniˇcov  a-Fenovcikova, A., 2018. On Irregularity  Strength  of  Diamond  Network. AKCE  International  Journal  of  Graphs  and Combinatorics . Vol. 15, 291–297.
[10]    Nurdin,  Baskoro,  E.T.,  Salman,  A.N.M.,  dan  Gaos,  N.N.,  2010.  On  The  Total  Vertex Irregularity Strength of Trees. Discrete Mathematics . Vol. 310, 3043-3048.
[11]    Nurdin  and  H.  K.  Kim,  2019.  Irregular  labeling  on  Transportation  Network  of  Splitting Graphs  of  Stars. Proceedings  of  the  Jangjeon  Mathematical  Society .  Vol.  22,  No.  1,  103– 108.
[12] Nurdin, Kim, H. K., Sunusi, N., & Riskawati, 2021. On Total Vertex Irregularity Strength of Hexagonal  Cluster  Graphs. International  Journal  of  Mathematics  and  Mathematical Sciences . Vol, 2021, 1-9.
[13]  Rosyida,I., Mulyono, Indriati, D., 2019. Determining Total Vertex Irregularity Strength of T r (4, 1) Tadpole Chain Graph and its Computation. Procedia Computer Science. Vol. 157, 699-706.
[14]    Susilawati,  Baskoro,  E.T.,  Simajuntak,  R.,  2015.  Total  Vertex-Irregularity  Labelings  for Subdivision of Several Classes of Trees. Procedia Computer Science . Vol. 74, 112 – 1176.
[15]  Wallis, W. D., 2001. Magic Graphs. Birkh 𝑎 user Boston. New Work.