## Peta Kendali Atribut Menggunakan Zero-Inflated Generalized Poisson
Ratmila 1 , Erna Tri Herdiani 2 , Nasrah Sirajang 3*
123 Departemen Statistika, Fakultas MIPA, Universitas Hasanuddin, Makassar, 90245, Indonesia
*Corresponding author, email: ratmilastat@gmail.com

## Abstract
If the variable is a discrete random variable with Poisson distribution, the data analysis must fulfill the equidispersion assumption. In reality, these assumptions are not fulfilled because the variance is greater than the mean which is called overdispersion. Overdispersion in data can occur due to the proportion of excess zero values in these variables. To estimate the parameters, the MLE method can be used on data that has a certain distribution by maximizing the likelihood function, it obtained is implicit or nonlinear so that it cant be solved analytically. To get the numerical solution, it solved by using the EM algorithm. The estimation results of the ZIGP distribution parameters are used to create control chart limits for the 2016 Neonatal Mortality Rate data in Makassar with limits of 𝐶𝐿  =  0,3916 , 𝑈𝐶𝐿  =  2,53822 , and 𝐿𝐶𝐿  =  0 . The 𝑐 − 𝑍𝐼𝐺𝑃 chart ARL value is 108,1365 , which is greater than the 𝑐 − 𝑍𝐼𝐺𝑃 chart ARL value, which is 3,7576 which indicates that the 𝑐 − 𝑍𝐼𝐺𝑃 chart is better at detecting outliers.
Keywords : Overdispersion, ZIGP, MLE, EM Algorithm, ARL.

## Abstrak
Jika  variabel  yang  digunakan  merupakan  variabel  acak  diskrit  yang  berdistribusi Poisson ,  analisis  data harus  memenuhi  asumsi equidispersi .  Pada  kenyataannya  tidak  sepenuhnya  asumsi  tersebut  terpenuhi karena nilai variansi lebih besar dari nilai rata-ratanya yang disebut sebagai overdispersi . Overdispersi pada data  dapat  terjadi  karena  proporsi  nilai  nol  yang  berlebih  pada  variabel  tersebut . Untuk  mengestimasi parameternya,  metode  MLE  dapat  digunakan  pada  data  yang  memiliki  distribusi  tertentu  dengan memaksimumkan fungsi likelihood nya, fungsi likelihood yang diperoleh berbentuk implisit atau nonlinear sehingga tidak dapat diselesaikan secara analitik. Untuk mendapatkan solusi numeriknya dapat diselesaikan dengan menggunakan algoritma EM. Hasil estimasi parameter distribusi ZIGP digunakan untuk membuat batas-batas peta kendali pada data Angka Kematian Neonatal di Kota Makassar tahun 2016 dengan batas 𝐶𝐿 =  0,3916 , 𝑈𝐶𝐿 =  2,5382 ,  dan 𝐿𝐶𝐿 = 0 .  Nilai  ARL  peta  kendali 𝑐 adalah 108,1365 lebih  besar dibandingkan  dengan  nilai  ARL  peta  kendali 𝑐 − 𝑍𝐼𝐺𝑃 ,  yaitu 3,7576 yang  menunjukkan  bahwa  peta kendali 𝑐 − 𝑍𝐼𝐺𝑃 lebih baik dalam mendeteksi pencilan.
Kata Kunci : Overdispersi, ZIGP, MLE, Algoritma EM, ARL.

## 1. Pendahuluan
Pengendalian kualitas statistik ( statistical quality control ) adalah bagan visual untuk memberi gambaran proses yang sedang berjalan, untuk mengetahui apakah proses berada di  dalam  batas-batas  yang  telah  ditetapkan  sebelumnya  atau  tidak.  Biasanya  untuk memantau  rata-rata  dan  variansinya  digunakan  peta  kendali  [1].  Jika  variabel  yang digunakan  merupakan  variabel  acak  diskrit  yang  berdistribusi  Poisson,  analisis  data

## Peta Kendali Atribut Menggunakan Zero-Inflated Generalized Poisson
Ratmila, Erna Tri Herdiani, Nasrah Sirajang
menggunakan distribusi Poisson harus memenuhi asumsi seperti nilai variansi dan rata- rata  dari  variabel  tersebut  sama  atau  equidispersi  [2].  Pada  kenyataannya  tidak sepenuhnya asumsi tersebut terpenuhi, seperti nilai variansi lebih besar dari nilai rata- ratanya yang disebut sebagai overdispersi. Overdispersi pada data dapat terjadi karena proporsi  nilai  nol  yang  berlebih  pada  variabel  tersebut  (excess  zeros).  Adanya overdispersi dapat menyebabkan model yang terbentuk menghasilkan estimasi parameter yang bias.
Untuk  mengestimasi  parameter,  metode  Maximum  Likelihood  Estimation  (MLE) dapat  digunakan  pada  data  yang  memiliki  distribusi  tertentu.  Metode  MLE  dilakukan dengan memaksimumkan fungsi likelihood, maksimum fungsi likelihood yang diperoleh pada umumnya berbentuk implisit atau nonlinear sehingga tidak dapat diselesaikan secara analitik. Untuk mendapatkan solusi numeriknya dapat diselesaikan dengan menggunakan iterasi Newton-Raphson (NR), Fisher Scoring , atau algoritma Expectation Maximation (EM).
Banyaknya  pengamatan  bernilai  nol  merupakan  salah  satu  penyebab  terjadinya overdispersi pada  data  ZIGP  sehingga  algoritma  EM  cocok  digunakan  untuk mengestimasi  parameternya.  Algoritma  EM  terdiri  dari  dua  tahap,  yaitu  tahap Expectation (E-Step)  untuk  mencari  nilai  ekspektasi  dari  fungsi likelihood dan  tahap Maximization (M-Step)  untuk  memaksimumkan  fungsi  yang  telah  didefinisikan  pada tahap  ekspektasi  sehingga  didapatkan  estimator  parameter  yang  konvergen.  Algoritma EM  juga  lebih  mudah  diterapkan  ketika  masalah  optimasi  memiliki  banyak  parameter dibandingkan dengan metode iterasi yang lainnya.
Distribusi Zero-Inflated  Generalized Poisson  (ZIGP)  merupakan  perluasan  dari distribusi Poisson serta merupakan model gabungan dari model distribusi ZIP dan model distribusi  GP  [3].  Sehingga  model  ZIGP  ini  dapat  diterapkan  pada  data  cacah  yang menunjukkan sifat overdispersi/underdispersi serta mempunyai frekuensi nol yang lebih banyak.

## 2. Material dan Metode

## 2.1 Distribusi Zero-Inflated Generalized Poisson
Distribusi Zero-Inflated Generalized Poisson (ZIGP) merupakan salah satu distribusi yang  dapat  digunakan  untuk  data  respon  yang  bersifat  cacah.  Distribusi  ini  dapat mengatasi masalah dengan terdapat banyak data yang bernilai nol (zero inflation) dan terjadi  overdispersi  [4].  Fungsi  probabilitas  distribusi  ZIGP  dapat  dituliskan  sebagai berikut :
𝑓 !"#$ (𝑥 % ) = ⎩ ⎨ ⎧ 𝜋 + (1 − 𝜋)𝑒𝑥𝑝 / −𝜆 1 + 𝜔𝜆 2                                                  , 𝑥 % = 0 (1 − 𝜋) 6 −𝜆 1 + 𝜔𝜆 7 & ! (1 + 𝜔𝑥 % ) & ! '( 𝑥 % ! 𝑒𝑥𝑝 / −𝜆(1 + 𝜔𝑥 % ) 1 + 𝜔𝜆 2 , 𝑥 % > 0 (1)

## Peta Kendali Atribut Menggunakan Zero-Inflated Generalized Poisson
Ratmila, Erna Tri Herdiani, Nasrah Sirajang
Misalkan untuk setiap 𝑥 % berkaitan dengan variabel indikator 𝑧 sehingga terdapat dua jenis distribusi yang berbeda yang dapat diberikan, yaitu :
𝑧 % = ; Bernoulli(𝑝), 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑥 % 𝑏𝑒𝑟𝑎𝑠𝑎𝑙 𝑑𝑎𝑟𝑖 𝑧𝑒𝑟𝑜 𝑠𝑡𝑎𝑡𝑒 Degenerate(0),  𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑥 % 𝑏𝑒𝑟𝑎𝑠𝑎𝑙 𝑑𝑎𝑟𝑖 𝑝𝑜𝑖𝑠𝑠𝑜𝑛 𝑠𝑡𝑎𝑡𝑒 Sehingga fungsi probabilitas distribusi ZIGP menjadi sebagai berikut :
𝑓 !"#$ ( 𝑥 𝑖 , 𝑧 𝑖 ) =
⎩ ⎪ ⎨ ⎪ ⎧ 𝜋 𝑧 𝑖 U( 1 − 𝜋 ) 𝑒𝑥𝑝 / −𝜆 1 + 𝜔𝜆 2V 1−𝑧 𝑖 , 𝑥 𝑖 = 0 W( 1 − 𝜋 ) 6 −𝜆 1 + 𝜔𝜆 7 𝑥 𝑖 (1 + 𝜔𝑥 𝑖 ) 𝑥 𝑖 −1 𝑥 𝑖 ! 𝑒𝑥𝑝 / −𝜆(1 + 𝜔𝑥 𝑖 ) 1 + 𝜔𝜆 2X 1−𝑧 𝑖 , 𝑥 𝑖 > 0 (2)

## 2.2 Peta Kendali c
Menurut Montgomery (1990) untuk menentukan suatu proses berada dalam kendali statistik digunakan suatu alat yang disebut peta kendali (control chart) [5]. Peta kendali atribut  adalah  peta  kendali  yang  digunakan  untuk  mengendalikan  proses  dengan menggunakan  data  atribut.  Teori  umum  peta  kendali  pertama  kali  ditemukan  oleh  Dr. Walter A. Shewart.
𝑈𝐶𝐿 =   𝜇 & + 𝑘𝜎 & 𝐶𝐿 =   𝜇 & (3) 𝐿𝐶𝐿 =   𝜇 & − 𝑘𝜎 &
Peta  kendali  yang  lebih  cepat  mendeteksi  sinyal out  of  control disebut  lebih  sensitif terhadap  perubahan  proses.  Kinerja  peta  kendali  tersebut  disebut Average  Run  Length (ARL).
𝐴𝑅𝐿 ( = 1 (1 − 𝛽)

## 2.3 Metode Penelitian
Sumber data dalam penelitian ini menggunakan data sekunder berupa data kuantitatif yang diperoleh dari buku Profil Kesehatan Kota Makassar Tahun 2016 & 2017 melalui website resmi  ( dinkes.sulsesprov.go.id) Dinas  Kesehatan  Kota  Makassar.  Data  yang digunakan adalah data Jumlah Kematian Neonatal. Neonatal adalah bayi baru lahir yang berusia 0-28 hari yang digolongkan menjadi 2 (dua) yaitu bayi baru lahir (BBL) normal dan bayi baru lahir (BBL) resiko tinggi [6].
Langkah-langkah analisis data yang dilakukan dalam penelitian ini adalah sebagai berikut:
1. Estimasi  parameter  distribusi Zero-Inflated  Generalized  Poisson menggunakan metode Maximum  Likelihood  Estimation (MLE) dan  Algoritma Expektation- Maximation dengan iterasi Newton-Raphson
Langkah-langkah dari Newton-Rapshon sebagai berikut :
a. Menentukan estimasi awal dari 𝜃 yaitu 𝜃 (*)

## Peta Kendali Atribut Menggunakan Zero-Inflated Generalized Poisson
Ratmila, Erna Tri Herdiani, Nasrah Sirajang
b. 𝜽d (𝟏) = 𝜽d (𝟎) − 𝑮/𝜽 1 (𝟎) 2 𝑯/𝜽 1 (𝟎) 2 , 𝑮f𝜽d (𝟎) g merupakan  turunan  pertama  dari 𝑓(𝜃) pada
𝜽 = 𝜽 d (𝒕)
c. 𝜽d (𝒕5𝟏) =   𝜽 d (𝒕) − 𝑮/𝜽1 (𝒕) 2 𝑯/𝜽1 𝒕 2 , misalkan 𝑯f𝜽 d (𝒕) g = 𝑯 (𝒕) dan 𝑮f𝜽 d (𝒕) g = 𝑮 (𝒕) , maka 𝜽d (𝒕5𝟏) =   𝜽 d (𝒕) − f𝑯 (𝒕) g '𝟏 𝑮 (𝒕)
d. Estimator 𝜽 d (𝒕) diiterasi  terus  sampai  diperoleh  selisih  antara 𝜽 d (𝒕5𝟏) dengan 𝜽d (𝒕) nilainya sangat kecil (| 𝜽d (𝒕5𝟏) − 𝜽 d (𝒕) ≤ 𝜀 |)
2. Menganalisis  batas  kendali  pada  peta  kendali 𝑐 ,  dengan  menaksir  parameter 𝜆 pada data historis dengan asumsi 𝜆 tidak diketahui.
3. Menguji asumsi data
a. Menguji kesesuaian distribusi poisson dengan uji Kolmogorov-Smirnov
b. Menguji overdispersi dengan uji Deviance/Pearson Chi-Square
4. Membangun batas peta kendali 𝑐
5. Membangun batas peta kendali 𝑐 -ZIGP
a. Mengasumsikan  data  peta-kendali 𝑐 -ZIGP  berdistribusi Zero-Inflated
Generalized Poisson dengan parameter tidak diketahui b. Hasil  dugaan  parameter  yang  diperoleh  digunakan  untuk  membangun batas-batas kendali pada peta kendali 𝑐 -ZIGP
6. Membandingkan nilai ARL pada grafik peta kendali 𝑐 dan peta kendali 𝑐 -ZIGP
7. Menarik kesimpulan.

## 3. Hasil dan Diskusi

## 3.1 Estimasi Parameter Distribusi Zero-Inflated Generalized Poisson
Metode  estimasi  digunakan  untuk  mengistimasi  parameter  distribusi  ZIGP  adalah metode maksimum likelihood. Fungi probabilitas dari distribusi ZIGP dapat dituliskan sebagai berikut:
𝑓 6%78 (𝑥 % ) = ⎩ ⎨ ⎧ 𝜋 + (1 − 𝜋)𝑒𝑥𝑝 / −𝜆 1 + 𝜔𝜆 2                                                  , 𝑥 % = 0
(1 − 𝜋) 6 −𝜆 1 + 𝜔𝜆 7 & ! (1 + 𝜔𝑥 % ) & ! '( 𝑥 % ! 𝑒𝑥𝑝 / −𝜆(1 + 𝜔𝑥 % ) 1 + 𝜔𝜆 2 , 𝑥 % > 0
Jika 𝑛 ( + 𝑛 9 = 𝑛 adalah total seluruh pengamatan yang diasumsikan saling bebas, maka  fungsi likelihood nya  diperoleh  dari  mengalikan  semua  fungsi  probabilitasnya sebagai berikut:
𝐿(𝜃) = l 𝑓 6%78 (
: %;( 𝑥 % )

## Peta Kendali Atribut Menggunakan Zero-Inflated Generalized Poisson
𝐿(𝜃|𝑥 % ) = ⎩ ⎪ ⎨ ⎪ ⎧ l 𝜋 + (1 − 𝜋)𝑒𝑥𝑝 / −𝜆 1 + 𝜔𝜆 2 : & %;( , 𝑥 % = 0 l(1 − 𝜋) 6 −𝜆 1 + 𝜔𝜆 7 & ! (1 + 𝜔𝑥 % ) & ! '( 𝑥 % ! 𝑒𝑥𝑝 / −𝜆(1 + 𝜔𝑥 % ) 1 + 𝜔𝜆 2 : ' %;( , 𝑥 % > 0
dengan demikian total fungsi ln- likelihood untuk distribusi ZIGP dapat ditulis sebagai berikut :
𝑙 < (𝜆, 𝜋, 𝜔|𝑥 % ) = 𝑛 ( ln 6 𝜋 ( + (1 − 𝜋 ( )𝑒𝑥𝑝 / −𝜆 1 + 𝜔𝜆 27 + 𝑛 9 ln(1 − 𝜋) + n 𝑥 % : ' %;( ln( − 𝜆) − n 𝑥 % ln(1 + 𝜔𝜆) : ' %;( + n(𝑥 % − 1) : ' %;( ln(1 + 𝜔𝑥 % ) − n ln(𝑥 % !) : ' %;( − n o 𝜆(1 + 𝜔𝑥 % ) 1 + 𝜔𝜆 p : '
%;(
Distribusi gabungan total fungsi ln- likelihood untuk distribusi ZIGP antara 𝑥 % dan 𝑧 % 𝑙 < (𝜆, 𝜋, 𝜔|𝑥 % , 𝑧 % ) = 𝑙 ( (𝜆, 𝜋, 𝜔|𝑥 % , 𝑧 % ) + 𝑙 9 (𝜆, 𝜋, 𝜔|𝑥 % , 𝑧 % )𝑙 < (𝜆, 𝜋, 𝜔|𝑥 % , 𝑧 % )
=   n 𝑧 % ln 𝜋 : & %;( + n(1 − 𝑧 % ) : &
%;( ln(1 − 𝜋) − n(1 − 𝑧 % ) : & %;( / 𝜆 1 + 𝜔𝜆 2
+ n(1 − 𝑧 % ) ln(1 − 𝜋) : ' %;( + n 𝑥 % (1 − 𝑧 % ) : '
%;( ln(−𝜆)
− n 𝑥 % (1 − 𝑧 % ) : ' %;( ln(1 + 𝜔𝜆) + n(𝑥 % − 1)(1 − 𝑧 % )
: '
%;( ln(1 + 𝜔𝑥 % )
− n(1 − 𝑧 % ) : ' %;( ln(𝑥 % !) − n(1 − 𝑧 % )[𝜆(1 + 𝜔𝑥 % )]
: ' %;( − n(1 − 𝑧 % )(1 + 𝜔𝜆)     (3.1) : '
%;(
Persamaan  (3.1)  disebut complete  data  likelihood .  Untuk  mengestimasi  parameter dilakukan  dengan  menggunakan  metode  algoritma  Expectation-Maximimation  (EM), dengan hasil estimasi sebagai berikut :
Tabel 1. Hasil Estimasi Parameter 𝜆u 𝜋v 𝜔w 0.4409 0.1118 0.1973 Sumber : data diolah tahun 2020

## Peta Kendali Atribut Menggunakan Zero-Inflated Generalized Poisson

## 3.2 Uji Kesesuaian Distribusi dan Overdispersitas
Jumlah data yang bernilai nol dalam pengamatan ini adalah 28 nilai nol dari 46 data pengamatan,  artinya  ada  60,08%  dari  jumlah  keseluran  data. Excezz  zeros merupakan salah  satu  penyebab  terjadinya  overdispersi.  Fenomena  overdispersi  terjadi  jika  nilai variansi lebih besar dari nilai mean.
Tabel 2 . Uji Kolmogorov Smirnov Nilai Hitung Tabel Deviasi 0,161 0,21 P-value 0,182 0,05 Sumber : Diolah tahun 2020 Berdasarkan tabel 2 diperoleh nilai 𝐷 = 0,16 dan 𝑃 − 𝑣𝑎𝑙𝑢𝑒 = 0,182 , berdasarkan table D Uji Kolmogorov Smirnov dengan 𝛼 = 0,05 , diperoleh 𝐷 = = 0,21 , karena nilai 𝐷 < 𝐷 = dan 𝑃 − 𝑣𝑎𝑙𝑢𝑒 > 𝛼 maka 𝐻 * diterima, yan artinya data berdistribusi Poisson. Tabel 3. Uji Overdispersi Mean Variansi Deviance Pearson Chi-Square 0.804 1.494 1.760 1.858 Sumber : Diolah tahun 2020
Berdasarkan  tabel  3  diperoleh  taksiran  dispersi  yang  lebih  besar  dari  1  dan  nilai Pearson Chi-Square juga lebih besar dari 1, maka dapat disimpulkan data yang digunakan overdispersi.
3.3 Menyusun  Peta  Kendali 𝒄 dan  Peta  Kendali 𝒄 -Zero-Inflated  Generalized Poisson
Rumus  batas  kendali  Berdasarkan  (Montgomery,  2009) peta  kendali 𝑐 diperoleh batas-batas kendali untuk peta kendali 𝑐 adalah sebagai berikut :
𝑈𝐶𝐿 = 𝑐̅ + 3√𝑐̅ = 0,804348 + 3ˆ0,804348 =  3,4950
𝐶𝐿 = 𝑐̅ = n 𝑐 % 𝑛 : %;( = 4 + 1 + ⋯ + 0 46 = 37 46 = 0,8043
𝐿𝐶𝐿 = 𝑐̅ − 3√𝑐̅ = −1,8862 = 0

## Peta Kendali Atribut Menggunakan Zero-Inflated Generalized Poisson
Ratmila, Erna Tri Herdiani, Nasrah Sirajang
Gambar 1. Peta Kendali C-Chart
Pada gambar 1 dapat dilihat bahwa data jumlah kematian neotal pada tahun 2016 terdapat 3 kecamatan yang berada di atas batas kendali yang artinya 3 kecamatan tersebut berada dalam kondisi di luar kendali.
Rumus umum batas kendali untuk peta kendali 𝑐 − 𝑍𝐼𝐺𝑃 adalah sebagai berikut : 𝐶𝐿 =   (1 − 𝜋) 𝜆
𝑈𝐶𝐿 = (1 − 𝜋) 𝜆 + 3ˆ𝐸[𝑋][(1 + 𝜔𝜆) 9 + 𝜋𝜆)]
𝐿𝐶𝐿 = (1 − 𝜋) 𝜆 − 3ˆ𝐸[𝑋][(1 + 𝜔𝜆) 9 + 𝜋𝜆)]
Gambar 2. Peta Kendali c-ZIGP Chart
Pada gambar 2 dapat dilihat bahwa data jumlah kematian neotal pada tahun 2016 terdapat 5 kecamatan yang berada di atas batas kendali yang artinya 5 kecamatan tersebut berada dalam kondisi di luar kendali.

## 3.4 Nilai Average Run Lenght
Gambar 3 masing-masing menunjukkan peta kendali ketika rata-ratanya bergeser ke atas  maupun  ke  bawah  dari  rata-rata  sebenarnya  dengan  nilai 𝜔 dan 𝜋 tetap,  dan membandingkan nilai ARL ketika nilai 𝜔 diubah-ubah dari 0.1, 0.2, 0.3, … ,0.9 dengan
46 41 36 31 26 21 16 11 6 1 4 3 2 1 0 Puskesmas Ju m la h K e m a ti a n N e o n a ta l _ C=0,804 UCL=3,495 LCL=0 1 1 1 C Chart of 2016 0 1 2 3 4 5 1 3 5 7 9 111315171921232527293133353739414345 An gk a Ke m a*a n Ne on at al Kabupaten (puskesmas) Peta Kendali 𝑐 − 𝑍𝐼𝐺𝑃 2016
2016 CL UCL LCL

## Peta Kendali Atribut Menggunakan Zero-Inflated Generalized Poisson
Ratmila, Erna Tri Herdiani, Nasrah Sirajang
nilai 𝜆 dan 𝜋 tetap,  serta  membandingkan  nilai  ARL  ketika  nilai 𝜋 diubah-ubah  dari 0.1, 0.2, 0.3, … ,0.9 dengan nilai 𝜆 dan 𝜔 tetap yang menunjukkan sensitifitas peta kendali c-ZIGP.

## Gambar 3. Grafik Nilai ARL

## 4. Kesimpulan
Hasil  estimasi  parameter  distribusi Zero-Inflated  Generalized  Poisson dengan menggunakan  metode Maximum  Likelihood  Estimation berbentuk  implisit.  Untuk mengatasi  hal  tersebut  metode  yang  digunakan  adalah  Algoritma Expextation- Maximation dan Iterasi Newton Rapshon untuk memaksimalkan fungsi Likelihood yang diperoleh dari tahapan Ekspekatsi sehingga diperoleh nilai estimator λ‘ = 0,4409, 𝜔w = 0,1118 ,  dan 𝜋v = 0,1973 .  Berdasarkan  hasil  estimasi  parameter  yang  diperoleh  maka batas-batas peta kendali 𝑐 − 𝑍𝐼𝐺𝑃 adalah sebagai berikut:
𝐶𝐿 =   (1 − 𝜋)𝜆 = 0,391607
0 1 2 0 2 4 β λ ̂ β dari 𝑐 − 𝑐 ℎ 𝑎𝑟𝑡 dan 𝑐 𝑧𝑖𝑔𝑝 − 𝑐 ℎ 𝑎𝑟𝑡 Beta Beta ZIGP 0 200000 400000 0 2 4 ARL λ ̂ ARL dari 𝑐 − 𝑐ℎ𝑎𝑟𝑡 dan 𝑐 𝑧𝑖𝑔𝑝 − 𝑐ℎ𝑎𝑟𝑡 ARL ARL ZIGP 0 1 2 0 1 2 β 𝜔 ̂ β dari 𝑐 − 𝑐ℎ𝑎𝑟𝑡 dan 𝑐 𝑧𝑖𝑔𝑝 − 𝑐ℎ𝑎𝑟𝑡 Beta Beta ZIGP 0 100000 200000 300000 0 1 2 ARL 𝜔 ̂ ARL dari 𝑐 − 𝑐ℎ𝑎𝑟𝑡 dan 𝑐 𝑧𝑖𝑔𝑝 − 𝑐ℎ𝑎𝑟𝑡
ARL ARL ZIGP 0 0.5 1 1.5 0 1 2 β 𝜋 ̂ β dari 𝑐 − 𝑐ℎ𝑎𝑟𝑡 dan 𝑐 𝑧𝑖𝑔𝑝 − 𝑐ℎ𝑎𝑟𝑡
Beta Beta ZIGP 0 100000 200000 300000 0 1 2 ARL 𝜋 ̂ ARL dari 𝑐 − 𝑐ℎ𝑎𝑟𝑡 dan 𝑐 𝑧𝑖𝑔𝑝 − 𝑐ℎ𝑎𝑟𝑡
ARL ARL ZIGP

## Peta Kendali Atribut Menggunakan Zero-Inflated Generalized Poisson
𝑈𝐶𝐿 = (1 − 𝜋)𝜆 + 3ˆ𝐸[𝑋][(1 + 𝜔𝜆) 9 + 𝜋𝜆)]  =  2,538222
𝐿𝐶𝐿 = (1 − 𝜋)𝜆 − 3ˆ𝐸[𝑋][(1 + 𝜔𝜆) 9 + 𝜋𝜆)]  = −1,75501 = 0
Grafik peta kendali 𝑐 dan 𝑐 − 𝑍𝐼𝐺𝑃 yang diperoleh bahwa peta kendali 𝑐 − 𝑍𝐼𝐺𝑃 lebih  baik  dalam  mendeteksi  adanya  pencilan,  hal  tersebut  diperkuat  dengan membandingkan nilai ARL masing-masing peta kendali yang menunjukkan nilai ARL peta kendali 𝑐 − 𝑍𝐼𝐺𝑃 jauh lebih kecil dibandingkan dengan nilai ARL peta kendali 𝑐 yang artinya peta kendali 𝑐 − 𝑍𝐼𝐺𝑃 lebih baik dalam mendeteksi adanya pencilan.

## Daftar Pustaka
[1] Fransisca, H. Merancang Peta Kendali Shewart Optimal. Surabaya: Universitas Kristen Petra. 1999.
[2] Myers, R. D. Generalized Linear Models with Application in Engineering and The Science Second Edition. New Jersey: Jhon Wiley and Sons. 2010.
[3] Famoye, P. C. Generalized Poisson Regression Model. Journal of Communication in Statistics - Theory and Methods , 21(1):89-109. 1992.
[4] Singh,  F.  Zero-Inflated  Generalized  Poisson  Regression  Model  with  an Application  to  Domestic  Violence  Data. Journal  Of  Data  Science,  4 :117-130 . 2006.
[5] Montgomery,  D.  C. Introduction  to  Statistical  Quality  Control  6th  Edition. Arizona State University: John Wiley & Sons, Inc. 2009.
[6] Dahniar, S. D. Profil Kesehatan Kota Makassar 2016. Makassar: Dinas Kesehatan Kota Makassar. 2017.