Vol.14, No. 2,  159-165,  Januari  2018
Penaksiran Parameter Regresi Linier Logistik dengan Metode Maksimum Likelihood Lokal pada Resiko Kanker Payudara di Makassar
Sutrianah Burhan 1 , Andi Kresna Jaya 1

## Abstrak
Penelitian  ini  dilakukan  untuk  melihat  hubungan  resiko  kanker  terhadap  usia  wanita,  jenis pendidikan  dan  pekerjaan    di  kota  Makassar  dengan  menggunakan  regresi  logistik.  Pada penaksiran  parameternya  digunakan  metode local  maximum  likelihood yaitu  penaksiran parameter  dengan    mempertimbangkan  ukuran  pemusatan  datanya,  seperti  mean  dan modusnya. Penaksiran parameternya kemudian menggunakan metode Newton-Rhapson.
Kata Kunci :    Regresi  logistik,  metode  local  maximum  likelihood,  metode  Newton- Rhapson .

## 1. Pendahuluan
Sepanjang tahun 2011, beberapa pasien wanita memeriksakan diri ke rumah sakit di kota Makassar  untuk  mengetahui  apakah  menderita  kanker  payudara  atau  tidak  [8].  Sebagaimana diketahui  kanker  payudara ( Carcinoma  mammae )  adalah  tumor  ganas  yang  menyerang jaringan payudara,  jaringan  payudara  tersebut  terdiri  dari  kelenjar  susu,  saluran  kelenjar  dan  jaringan penunjang  payudara  seperti  lemak  dan  saraf.  Data  yang  diperoleh  menunjukkan  bahwa  umur pasien  yang  memeriksakan  diri  sangat  bervariatif  [3].  Jika  kategori  menderita  kanker  payudara atau  tidak  pada  kasus  ini  dimisalkan  sebagai  peubah  respon  kategorik  dan  umur,  tingkat pendidikan  dan  jenis  pekerjaan  adalah  peubah-peubah  penjelas,  maka  hubungan  kedua  variabel tersebut  dapat  dinyatakan  sebagai  model  regresi  logistik  dengan  pendekatan Generalized  Linier Model (GLM).
Beberapa  literatur  telah  banyak  menjelaskan  tentang  GLM,  seperti  [5],  dan  [4]  yang menyatakan bahwa GLM merupakan sebuah model regresi tanpa memenuhi asumsi seperti pada regresi  linier  klasik.  Sementara  [7]  membahas  tentang  salah  satu  kasus  dalam  GLM  adalah Regresi logistik. Peubah respon dalam regresi logistik ini berupa data yang bersifat kualitatif atau kategorik.
Berdasarkan hal ini, semua peubah respon yang bersifat kualitatif yang dimaksud dalam tulisan ini adalah yang hanya memiliki dua hasil yang mungkin. Contoh: sukses atau gagal, lulus atau  tidak  lulus,  positif  kanker  atau  tidak.  Simbol  yang  biasanya  digunakan  yaitu  dua  buah bilangan  0  atau  1  untuk  menggantikan  kategori  pada  variabel  respon  sehingga  dapat  didekati dengan distribusi Bernoulli [2].
Analisis yang digunakan untuk membantu menyelesaikan masalah tersebut adalah model regresi logistik [7]. Regresi logistik biner digunakan ketika hanya ada dua kemungkinan variabel respon.  Analisis  regresi  logistik  biner  bertujuan  untuk  memperoleh  hubungan  antara sebagai peubah penjelas dengan sebagai peubah respon. Berapapun nilai bila disubtitusikan ke dalam fungsi  logistik  hasilnya  akan  berkisar  antara  0  dan  1.  Untuk  mengestimasi  parameter  dalam
1 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Hasanuddin, email: andikresna@yahoo.com

## Sutrianah Burhan, Andi Kresna Jaya
regresi  salah  satu  metode  yang  digunakan  adalah  metode local  maximum  likelihood [2], selanjutnya  dinyatakan  metode  LML  yang  mempertimbangkan  ukuran  pemusatan  data  dalam mengestimasi  parameternya.  Sehingga  untuk  data  kejadian  kanker  payudara  di  kota  Makassar tahun  2011  terhadap  umur  dapat  diasumsikan  memenuhi  bentuk  regresi  logistik  biner  dengan menggunakan  metode  LML  mengacu  pada  rata-rata  nilai  data  peubah-peubah  penjelasnya  atau modus  datangnya  pasien  yang  memeriksakan  diri.  Sampel  yang  dianalisis  adalah  data  kejadian kanker  payudara  pada  wanita  di  R.S.  Bhayangkara  Mappa  Oddang,  R.S.  Pelamonia  dan  RSUP. Dr. Wahidin Sudirohusodo Makassar tahun 2011 dengan ukuran sampel 70.

## 2. Landasan Teori

## 2.1. Percobaan Bernoulli
Jika  positif  dan  negatif  menderita  kanker  payudara  untuk  seorang  wanita  diasumsikan memenuhi  sebuah  percobaan  Bernoulli  sehingga  kemungkinan jika   positif  mempunyai  peluang sebesar dan peluang kemungkinan negatif menderita kanker adalah (     ) . Misalkan adalah peubah acak yang terkait dengan percobaan Bernoulli dengan mendefinisikan sebagai berikut:
(              )                (              )
Maka fungsi kepadatan peluang dapat ditulis sebagai berikut:
( ) (     )
Rata-rata untuk yang berdistribusi Bernoulli adalah
( )   ∑ (     ) ( )(     )   ( )( )
dan variansinya adalah
( )   ∑(     ) (     ) (     )
Misalkan  terdapat wanita  yang  memeriksakan  diri  ke  rumah  sakit  diasumsikan berdistribusi  Bernoulli,  dan  masing-masing  mempunyai  peluang  positif  kanker  yang  berbeda- beda  dan  saling  tidak  mempengaruhi,  katakanlah untuk .  Maka  untuk  setiap diperoleh peubah  acak  yang  saling  bebas  dan  identik  berdistribusi  Bernoulli, dengan fungsi massa peluangnya adalah
( ) ( )

## 2.2. Regresi Logistik Biner
Regresi  logistik  biner  merupakan  salah  satu  pendekatan  model  matematika  yang digunakan  untuk  menganalisis  hubungan  beberapa  faktor  dengan  sebuah  variabel  yang  bersifat dikotomus (biner). Peubah acak yang memenuhi sifat tersebut, model probabilitas regresi logistik dengan  peubah   penjelas ( ) adalah  umur  ( ), tingkat  pendidikan ( )  dan jenis  pekerjaan ( ) dapat diformulasikan sebagai berikut:
( | ) ( ( ))
( ( ))

## Sutrianah Burhan, Andi Kresna Jaya
Karena sebelumnya telah dinyatakan bahwa peubah acak berdistribusi Bernoulli, maka ( | ) merupakan  nilai  peluang  yang  bergantung  pada  nilai-nilai , ( | )    ( ) .  Misalkan  fungsi ( ) merupakan  fungsi  nonlinier  terhadap ( ) sehingga  perlu  dilakukan  transformasi  logit untuk  memperoleh  fungsi  yang  linier  agar  dapat  dilihat  hubungan  antara  variabel  respon ( ) dengan variabel penjelas ( ) Bentuk logit dari ( ) dinyatakan sebagai:
( )      ( ( )
( ) *
Misalkan ( ) dan ( ) ,  maka  diperoleh  model  regresi
logistik yang dapat dituliskan dalam bentuk
( )    ( | ) ( ) ( ) ( )
Karena  setiap  pengamatan  untuk pasien  diasumsikan  saling  bebas  maka  fungsi likelihood- nya merupakan perkalian antara masing-masing fungsi padat peluang ( ) , yaitu: ( | )   ∏ ( ) ( )
Maka  dengan    mensubstitusi ( ) dengan  menggunakan  persamaan  (1)  diperoleh  fungsi likelihood terhadap parameter-parameter dan dari persamaan (2) menjadi: ( )   ∏ ( ) (       ( )) ( )

## 2.3.  Metode Newton-Raphson
Nilai  parameter dapat  diperoleh  dengan  memaksimumkan  fungsi likelihood- nya.  Hal tersebut  dilakukan  dengan  metode  turunan  pertama  fungsi likelihood -nya  terhadap  setiap parameter  yang  disamakan  dengan  nol.  Terkadang  sulit  menemukan  turunan  dari  fungsi likelihood -nya  sehingga  yang  dilakukan  adalah  menemukan  nilai  maksimum  dari  logaritma natural fungsi likelihood tersebut atau fungsi log-likelihood .
Fungsi log-likelihood adalah  bentuk  logaritma  dari  fungsi likelihood ,  yang  dituliskan dalam bentuk:
( | )   ∑   ( ( ) )
Berikut  langkah-langkah  dalam  menentukan  penduga  parameter  dengan  metode Maximum Likelihood Estimation:
1. Menentukan fungsi likelihood
( | )   ∏ ( )
2. Menentukan fungsi log-likelihood
( | )   ∑ ( )

## 3. Memaksimumkan fungsi log-likelihood
Memaksimumkan  fungsi log-likelihood untuk  memperoleh  nilai ̂ dapat  dilakukan dengan langkah-langkah berikut:
a) Nilai ̂ diperoleh dari turunan pertama dengan disamadengankan nol | ̂ b) Nilai ̂ dikatakan memaksimumkan ( ) jika
| ̂
4. Menyelesaikan  fungsi log-likelihood yang  diperoleh  pada  langkah  2  atau  3    dan mendapatkan ̂ sebagai estimator Maximum Likelihood Estimation .
Apabila  langkah  menaksir  parameter  menggunakan  metode Maximum  Likelihood Estimation menghasilkan fungsi log-likelihood yang non-linier atau fungsi yang implisit sehingga sulit  menyatakannya  secara  eksplisit,  maka  untuk  mendapatkan  penaksir  parameter  sebagai penyelesaian  fungsi  digunakan  menggunakan  metode  Newton-Raphson  [4].  Metode  ini merupakan  metode  perhitungan  yang  iteratif,  sehingga  akan  lebih  mudah  dikerjakan  dengan bantuan komputer.
Metode Newton-Raphson didasarkan pada deret Taylor sebagai berikut:
( )    ( ) ( )( ) ( ) ( )
Fungsi log-likelihood dengan  parameter dapat  diselesaikan  sehingga  diperoleh  nilai ̂ taksiran  dengan  menggunakan  metode  Newton-Raphson.  Rumus  penaksiran  parameter ̂ pada iterasi ke- (     ) dalam proses iterasi (             ) adalah sebagai berikut:
̂ ̂ ( ) ( )                                                                               ( )
dengan
̂ : parameter taksiran pada iterasi ke- (     )
̂ : parameter taksiran pada iterasi ke-( )
( ) :turunan pertama fungsi likelihood
( ) :turunan kedua fungsi likelihood .

## 3. Metode Local Maximum Likelihood
Untuk  kasus  ini  sebagaimana  diuraikan  pada  bagian  1  dari  paper  ini,  metode  yang digunakan adalah metode LML. Fungsi likelihood yang digunakan adalah fungsi likelihood yang mempertimbangkan ukuran pemusatan peubah bebas . Dalam hal ini metode LML dilanjutkan dengan  metode  Newton-Rhapson  untuk  mendapatkan  penaksiran  parameter  model.  Misalkan

## Sutrianah Burhan, Andi Kresna Jaya
bahwa ukuran pemusatan data pasien wanita dinyatakan sebagai ̅ , maka fungsi likelihood pada persamaan (3) menjadi
( )   ∏ ( ∑ ( ̅ ) ) (       ( ∑ ( ̅ ) )) ( )
Bentuk log-likelihood persamaan (5) untuk , dinyatakan dalam bentuk ( )      (∏ ( ∑ ( ̅ ) ) ( ∑ ( ̅ ) ) + ∑ (   ( ( ∑ ( ̅ ) ) ( ∑ ( ̅ ) ) )) ( )
Untuk lebih memusatkan nilai penaksiran maka kita mengalikan dengan fungsi kernel ( )
dengan bandwidth (     ) , ( ̅) √∑ ( ̅ ) (√∑ ( ) ) dimana (√∑ ( ) ) adalah jangkauan nilai (√∑ ( ) ) untuk .
Bentuk persamaan (6) yang dimodifikasi adalah
( ) ∑ ( ∑ ( ̅ ) )  ( ̅ ) ∑    (        ( ∑ ( ̅ ) )) ( ̅ )             ( )
Kemudian persamaan (7) diturunkan terhadap parameter-parameternya.
Turunan terhadap ,
∑ ( ( ∑ ( ̅ ) ) ( ∑ ( ̅ ) ) )  ( ̅ ) ( )
Turunan terhadap , untuk
∑ ( ( ∑ ( ̅ ) ) ( ∑ ( ̅ ) ) ) ( ̅ )  ( ̅ ) ( )
Turunan  kedua  untuk  persamaan  (7)  yang  didasarkan  pada  turunan  pertama  dari  persamaan  (8) dan (9) untuk . Kemudian, turunan kedua untuk adalah ∑ ( ̅ )( ̅ ) ( ̅ )   ( ( ∑ ( ̅ ) ) (     ( ∑ ( ̅ ) )) + (10)
Sedangkan untuk turunan keduanya adalah
∑   ( ̅ )   ( ( ∑ ( ̅ ) )
(       ( ∑ ( ̅ ) )) ) (  )
dan turunan pertama terhadap persamaan (8) terhadap , adalah
∑  ( ̅ ) ( ̅ )   ( ( ∑ ( ̅ ) )
(       ( ∑ ( ̅ ) )) ) (  )
Perhitungan nilai-nilai dari
, kemudian dilakukan dengan metode Newton-
Raphson yang ditunjukkan pada persamaan (4) dengan menggunakan bantuan Ms.Excel , dengan menggunakan  dua  ukuran  pemusatan  data,  yaitu  mean  dan  modus.  Perhitungan  juga dikombinasikan  dengan  dua  nilai  awal  yang  berbeda,  yaitu  dengan  nilai  awal
dan nilai-nilai
yang diperoleh dari metode Ordinary Least Square .

## 4. Hasil dan Pembahasan
Persamaan (4)  yang  diperoleh sesuai  dengan  bentuk-bentuk  yang  sesuai  dari  persamaan (5) sampai (12) adalah
( , ( ,
( ) ( )
Pengolahan    dengan    metode  Newton-Rhapson  dengan  nilai  awal diperoleh nilai-nilai penaksiran parameternya konvergen setelah iterasi ketujuh, diperoleh
( ,   ( ,
Sedangkan  dengan  menggunakan  nilai  awal  dari  metode ordinary  least  square ,  nilai-nilai parameternya  akan  konvergen  ke  nilai  yang  sama  dengan  iterasi  kelima.  Hal  yang  sama  juga diperoleh dengan mengganti ukuran pemusatan dari mean ke modus, bahkan median data.
Melalui  uji  kelayakan  model  yang  telah  dilakukan  terhadap  penaksiran  parameter  yang diperoleh  untuk  resiko  kanker  bagi  wanita  di  kota  Makassar,  maka  diperoleh  bentuk  regresi logistiknya adalah
̅ (               ( ̅ )         ( ̅ )        ( ̅ )) (               ( ̅ )         ( ̅ )        ( ̅ ))

## Daftar Pustaka
[1] Agresti A., 1990. Categorical Data Analysis . John Wiley & Sons., New York.
[2] Hogg  R.V.  et al.,  2005. Introduction  to Mathematical  Statistics, 6 th edition.  Prentice  Hall Inc., USA.
[3] Burhan S., 2012. Penaksiran Parameter Regresi Logistik dengan Metode Local Maximum Likelihood. Skripsi . Universitas Hasanuddin, Makassar.
[4] Jong  P.  D.  and  Heller  G.  Z.,  2008. Generalized  Linear  Models  for  Insurance  Data. Cambridge University Press, Cambridge.
[5] McCullagh  P.  and  Nelder  J.  A.,  1989. Generalized  Linear  Models .  Chapman  &  Hall, London.
[6] Rencher  A.C., 2000. Linear Model in Statistics. John Wiley & Sons Inc., New York.
[7] Santos J. and Neves M., 2005. A Semiparametric Framework for The Generalized Linear Model: The Logistic Regression Case. Jurnal ISA/Technical , University of Lisbon.
[8] Syam  A.D.P.,  2011.  Analisis  Determinan  Kanker  Payudara  pada  Wanita  di  RS. Bhayangkara  Mappa  Oddang,  RS.  Pelamonia  dan  RSUP.  Dr.  Wahidin  Sudirohusodo Makassar  Tahun  2011. Tesis .  Jurusan  Epidemologi,  FKM,  Universitas  Hasanuddin, Makassar.
[9] Tiro  M.  A.,  2000. Analisis  Regresi  dan  Korelasi .  State  University  of  Makassar  Press, Makassar.
[10]  Walpole R.E., and Myres R.H., 1995. Ilmu Peluang dan Statistika untuk Insinyur dan Ilmuwan, Edisi ke-4 (terjemahan). Penerbit ITB, Bandung.