Vol. 19, No. 2, January 2023, pp. 359-373 DOI: 10.20956/j.v19i2.23916

## Determining the Inverse of a Vandermonde Matrix Using Partial Fraction Decomposition Method

## Menentukan Invers Matriks Vandermonde Menggunakan Metode Dekomposisi Pecahan Parsial
Feby Seru 1 *, Herlina Datu Wetipo 2 *, Tiku Tandiangnga 3 *
* Prodi Matematika, FMIPA, Universitas Cenderawasih
E-mail: febyseru.math@gmail.com 1 , herlinawetipo04@gmail.com 2 , tiku.tandiangnga@gmail.com 3
Received: 8 November 2022; Accepted: 24 November 2022; Published: 5 January 2023

## Abstract
One method that can be used to calculate the inverse of  a matrix is the adjoin method. In this method, the process begins by calculating the value of the determinant and adjoin of a matrix. This  study  discusses  a  method  for  calculating  the  inverse,  especially  on  the  Vandermonde matrix  using  partial  fraction  decomposition.  The  advantage  of  this  method  is  that  it  can calculate the inverse of a matrix, without the need to calculate the value of the determinant and adjoin of a matrix. The steps taken are to define a rational function and then write it in the form of a partial fraction, then by using a formula to calculate the coefficient of a partial fraction, a formula  is  derived  to  calculate  the  inverse  of  the  Vandermonde  matrix.  After  obtaining  the formula for calculating the inverse, then comparing the results  of the inverse calculation of the Vandermonde matrix using the partial fraction decomposition method with the adjoin method. The results obtained a formula to calculate the inverse of the Vandermonde matrix, 𝑉 −1 = 𝑊 × 𝐴 .  Based  on  the  case  examples  given,  it  can  be  concluded  that  the  results  of  the  inverse calculations  performed  using  the  partial  fraction  decomposition  method  are  the  same  as  the results  of  the  calculations  performed  using  the  adjoin  method.  However,  the  calculations performed using the partial fraction decomposition method are more effective and efficient than using the adjoin method.
Keywords: Vandermonde  matrix,  partial  fraction  decomposition,  adjoin  method, inverse

## Abstrak
Salah  satu  metode  yang  dapat  digunakan  untuk  menghitung  invers  matriks  adalah  metode adjoin.  Pada  metode  ini,  prosesnya  dimulai  dengan  menghitung  nilai  determinan  dan  adjoin dari suatu matriks. Penelitian ini membahas mengenai suatu metode untuk menghitung invers

## JURNAL MATEMATIKA, STATISTIKA DAN KOMPUTASI
Feby Seru, Herlina Datu Wetipo, Tiku Tandiangnga
khususnya pada matriks Vandermonde menggunakan dekomposisi pecahan parsial. Kelebihan metode ini yaitu dapat menghitung invers matriks tanpa perlu menghitung nilai determinan dan adjoin  dari  suatu  matriks.  Langkah-langkah  yang  dilakukan  yaitu  mendefinisikan  fungsi rasional  kemudian  menuliskannya  dalam  bentuk  pecahan  parsial,  selanjutnya  dengan menggunakan  formula  untuk  menghitung  koefisien  pecahan  parsial,  diturunkan  suatu  formula untuk  menghitung  invers  dari  matriks  Vandermonde.  Setelah  diperoleh  formula  untuk menghitung  invers,  selanjutnya  dibandingkan  hasil  perhitungan  invers  matriks  Vandermonde menggunakan  metode  dekomposisi  pecahan  parsial  dengan  metode  adjoin.  Hasil  penelitian diperoleh  suatu  formula  untuk  menghitung invers  matriks Vandermonde,  yaitu V −1 = W × A . Berdasarkan  contoh  kasus  yang  diberikan,  dapat  disimpulkan  bahwa  hasil  perhitungan  invers yang  dilakukan  dengan  metode  dekomposisi  pecahan  parsial  sama  dengan  hasil  perhitungan yang  dilakukan  menggunakan  metode  adjoin.  Akan  tetapi,  perhitungan  yang  dilakukan menggunakan  metode  dekomposisi  pecahan  parsial  lebih  efektif  dan  efisien  dibandingkan dengan menggunakan metode adjoin.
Kata  kunci: Matriks  Vandermonde,  Dekomposisi  Pecahan  Parsial,  Metode  Adjoin, Invers

## 1.  PENDAHULUAN
Salah  satu  komponen  yang  penting  dalam  aljabar  linear  adalah  matriks.  Menurut  Anton  dan Rorres [1] matriks adalah jajaran empat persegi panjang dari bilangan-bilangan yang disebut dengan entri.  Pada  kehidupan  sehari-hari  matriks  sering  digunakan  dalam  berbagai  bidang  seperti  industri, ekonomi, teknik, dan lain sebagainya.
Pada  matriks,  terdapat  operasi-operasi  yang  dapat  digunakan.  Operasi-operasi  tersebut  [1], diantaranya  operasi  penjumlahan,  pengurangan,  perkalian  matriks  dengan  skalar,  perkalian  matriks dengan matriks, determinan, dan invers. Untuk menghitung invers matriks, dapat digunakan beberapa metode, diantaranya metode Eliminasi Gauss, Eliminasi Gauss Jordan, dan metode adjoin. Kesulitan yang  ditemui  dalam  menghitung  invers  matriks  adalah  ketika  suatu  matriks  memiliki  ukuran  yang besar. Hal ini dikarenakan perhitungan invers matriks sangat bergantung pada ukuran suatu matriks. Semakin besar ukuran matriks, maka semakin tinggi tingkat kesulitannya [9].
Matriks  Vandermonde  merupakan  salah  satu  jenis  matriks  yang  memiliki  peranan  penting dalam bidang  matematika terapan. Pada bidang statistik  misalnya, matriks Vandermonde digunakan untuk  mengatasi  masalah  analisis  deret  waktu,  yaitu  untuk  menyelesaikan  persamaan  stein  pada proses  ARMA  [4].  Pada  bidang  analisis  numerik,  matriks  Vandermonde  muncul  dalam  interpolasi polinomial  [3].  Matriks  Vandermonde  pertama  kali  diperkenalkan  oleh  matematikawan  Paris  yang bernama  Alexandre  Theophile  pada  Tahun  1700.  Ia  merupakan  salah  satu  orang  yang  pertama menulis tentang sifat dasar dari determinan [8].
Penelitian  mengenai  invers  matriks  Vandermonde  telah  banyak  dilakukan  oleh  beberapa peneliti sebelumnya. Moya-Cessa dan Soto-Equibar [6], melakukan penelitian tentang formula untuk menghitung  invers  matriks  Vandermonde  sebagai  dekomposisi  dalam  tiga  faktor  yaitu  matriks diagonal, matriks segitiga atas, dan matriks segitiga bawah. Selanjutnya Oruc [7] menyederhanakan formula  ini  sebagai  dekomposisi  dua  buah  matriks  yaitu  matriks  segitiga  atas  dan  matriks  segitiga bawah.  Kemudian  Man  [5]  melakukan  penelitian  yang  sama  mengenai  metode  untuk  menghitung invers  matriks  Vandermonde,  tetapi  menggunakan  pendekatan  yang  berbeda.  Man  menggunakan dekomposisi  pecahan  parsial  untuk  mendapatkan  formula  invers  dari  matriks  tersebut.  Rawashdeh [10]  menggunakan  metode  adjoin  untuk  menurunkan  bentuk  umum  dari  invers  matriks Vandermonde.

## JURNAL MATEMATIKA, STATISTIKA DAN KOMPUTASI

## Feby Seru, Herlina Datu Wetipo, Tiku Tandiangnga
Berdasarkan uraian di atas, maka peneliti tertarik untuk melakukan penelitian yang sama dengan Man  [5]  mengenai  metode  dekomposisi  pecahan  parsial  untuk  menghitung  invers  matriks Vandermonde. Pada penelitian ini akan diuraikan langkah-langkah untuk mendapatkan formula dalam menghitung  invers  matriks  Vandermonde,  kemudian  membandingkan  metode  tersebut  dengan metode adjoin dalam menghitung invers matriks Vandermonde.

## 2. TINJAUAN PUSTAKA
Penelitian  ini  dimulai  dengan  mendefinisikan  fungsi  rasional,  kemudian  dilanjutkan  dengan mencari  formula  untuk  menghitung  koefisien  pecahan  parsial  dari  suatu  fungsi  rasional.  Berikut merupakan landasan teori yang digunakan:
Definisi 2.1 [5] Misalkan 𝜆 𝑖 , 𝑖 = 1, 2, … , 𝑛 adalah  himpunan  bilangan  yang  berbeda.  Matriks  Vandermonde berukuran 𝑛 × 𝑛 didefinisikan sebagai:
𝑉 = [ 1 1
1 ⋯ 1 𝜆 1 𝜆 2 𝜆 3 ⋯ 𝜆 𝑛 𝜆 1 2 𝜆 2 2 𝜆 3 2 ⋯ 𝜆 𝑛 2 ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 𝜆 1 𝑛−1 𝜆 2 𝑛−1 𝜆 3 𝑛−1 ⋯ 𝜆 𝑛 𝑛−1 ]
Karena 𝜆 𝑖 , 𝑖 = 1, 2, … , 𝑛 memiliki  nilai  yang  berbeda,  maka  det  ( 𝑉) ≠ 0 ,  sehingga  matriks Vandermonde memiliki invers.

## Definisi 2.2 [11]
Fungsi  rasional  adalah  hasil  bagi  dua  fungsi  polinomial,  fungsi  polinomial  dapat  dipecah  menjadi penjumlahan pecahan-pecahan yang lebih sederhana yang disebut pecahan parsial.
Teorema 2.1 [1] Jika 𝐴 adalah  suatu  matriks  segitiga 𝑛 × 𝑛 (segitiga  atas,  segitiga  bawah,  atau  diagonal),  maka 𝑑𝑒𝑡(𝐴) adalah hasil kali entri-entri pada diagonal utamanya; yaitu, 𝑑𝑒𝑡(𝐴) = 𝑎 11 𝑎 22 … 𝑎 𝑛𝑛 .
Definisi 2.3 [1] Jika 𝐴 adalah  suatu  matriks  persegi,  maka  minor  entri 𝑎 𝑖𝑗 dinyatakan  oleh 𝑀 𝑖𝑗 dan  didefinisikan sebagai determinan submatriks yang masih tersisa setelah baris ke- 𝑖 kolom ke- 𝑗 dihilangkan dari 𝐴 . Bilangan (−1) 𝑖+𝑗 𝑀 𝑖𝑗 dinyatakan oleh 𝐶 𝑖𝑗 dan disebut kofaktor entri 𝑎 𝑖𝑗.
Definisi 2.4 [1] Jika 𝐴 adalah sembarang matriks 𝑛 × 𝑛 dan 𝐶 𝑖𝑗 adalah kofaktor dari 𝑎 𝑖𝑗 maka matriks
[ 𝐶 11 𝐶 12 … 𝐶 1𝑛 𝐶 21 𝐶 22 … 𝐶 2𝑛 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 𝐶 𝑛1 𝐶 𝑛2 … 𝐶 𝑛𝑛 ]
disebut  matriks  kofaktor  dari 𝐴 .  Transpos  dari  matriks  ini  disebut  Adjoin 𝐴 dan  dinyatakan  oleh adj( 𝐴) .
Teorema 2.2 [1]

## JURNAL MATEMATIKA, STATISTIKA DAN KOMPUTASI

## Feby Seru, Herlina Datu Wetipo, Tiku Tandiangnga
Ekspansi Kofaktor. Determinan dari matriks A, 𝑛 × 𝑛 , dapat dihitung dengan mengalikan entri-entri pada  sebarang  baris  (atau  kolom)  dengan  kofaktor-kofaktornya  dan  menjumlahkan  hasilkali- hasilkali yang diperoleh; dimana untuk setiap 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 dan 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑛, ekspansi kofaktor sepanjang kolom ke −𝑗 : 𝑑𝑒𝑡(𝐴) = 𝑎 1𝑗 𝐶 1𝑗 + 𝑎 2𝑗 𝐶 2𝑗 + ⋯ + 𝑎 𝑛𝑗 𝐶 𝑛𝑗 ekspansi kofaktor sepanjang baris ke −𝑖 : 𝑑𝑒𝑡(𝐴) = 𝑎 𝑖1 𝐶 𝑖1 + 𝑎 𝑖2 𝐶 𝑖2 + ⋯ + 𝑎 𝑖𝑛 𝐶 𝑖𝑛

## Definisi 2.5 [1]
Jika  A  adalah  matriks  persegi  dan  jika  terdapat  matriks  B  yang  ukurannya  sama  sedemikian  rupa sehingga 𝐴𝐵 = 𝐵𝐴 = 𝐼, maka 𝐴 disebut dapat dibalik (invertible) dan B disebut sebagai invers dari A.
Teorema 2.3 [1]
Suatu matriks persegi A dapat dibalik jika dan hanya jika 𝑑𝑒𝑡(𝐴) ≠ 0.

## Teorema 2.4 [1]
Invers matriks dengan menggunakan adjoin. Jika 𝐴 adalah matriks yang dapat dibalik, maka:
𝐴 −1 = 1 𝑑𝑒𝑡(𝐴) 𝑎𝑑𝑗(𝐴)

## 3. HASIL DAN PEMBAHASAN
Bagian ini, diuraikan langkah-langkah untuk mendapatkan formula menghitung invers matriks Vandermonde. Diberikan sebuah fungsi rasional seperti pada persamaan berikut:
𝑓(𝑥) = 𝑏 1 𝑥 𝑛−1 +𝑏 2 𝑥 𝑛−2 +⋯+𝑏 𝑛 𝑥 𝑛 +𝑎 1 𝑥 𝑛−1 +𝑎 2 𝑥 𝑛−2 +⋯+𝑎 𝑛 = 𝑏 1 𝑥 𝑛−1 +𝑏 2 𝑥 𝑛−2 +⋯+𝑏 𝑛 (𝑥−𝜆 1 )(𝑥−𝜆 2 )…(𝑥−𝜆 𝑛 ) (3.1)
Persamaan (3.1) dapat dituliskan ke dalam bentuk dekomposisi pecahan parsial sebagai berikut:
𝑓(𝑥) = 𝑘 1 𝑥−𝜆 1 + 𝑘 2 𝑥−𝜆 2 + ⋯ + 𝑘 𝑛 𝑥−𝜆 𝑛 (3.2)
Menurut  Chen  dan  Leung  [2]  koefisien 𝑘 𝑖 , 𝑖 = 1, 2, … , 𝑛 dapat  diperoleh  menggunakan  persamaan berikut:
[ 𝑘 1 𝑘 2 𝑘 3 ⋮ 𝑘 𝑛 ] = [ 1 1 ⋯ 1 𝜆 1 𝜆 2 ⋯ 𝜆 𝑛 𝜆 1 2 𝜆 2 2 ⋯ 𝜆 𝑛 2 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 𝜆 1 𝑛−1 𝜆 2 𝑛−1 ⋯ 𝜆 𝑛 𝑛−1 ] −1 [ 1 0 0 ⋯ 0 𝑎 1 1 0 ⋯ 0 𝑎 2 𝑎 1 1 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 𝑎 𝑛−1 𝑎 𝑛−2 𝑎 𝑛−3 ⋯ 1] −1 [ 𝑏 1 𝑏 2 𝑏 3 ⋮ 𝑏 𝑛 ] (3.3)
Berdasarkan Definisi 2.1, maka Persamaan (3.3) dapat dituliskan sebagai:
𝑲 = 𝑽 −1 × 𝑨 −1 × 𝑩 (3.4)
Matriks 𝐴 pada Persamaan (3.3) merupakan matriks segitiga bawah, sehingga menurut Teorema 2.1 maka det(𝐴) = 1 dan berdasarkan Teorema 2.3 matriks 𝐴 memiliki invers. Invers dari matriks 𝑉 dan 𝐴 dapat diperoleh menggunakan metode adjoin.

## JURNAL MATEMATIKA, STATISTIKA DAN KOMPUTASI

## Feby Seru, Herlina Datu Wetipo, Tiku Tandiangnga
Menurut  Mann  [5]  koefisien 𝑘 𝑖 , 𝑖 = 1, 2, … , 𝑛 pada  Persamaan  (3.2)  dapat  diperoleh menggunakan formula berikut:
𝑘 𝑖 = 𝑓(𝑥). (𝑥 − 𝜆 𝑖 )| 𝑥=𝜆 𝑖
= 𝑏 1 𝑥 𝑛−1 + 𝑏 2 𝑥 𝑛−2 + ⋯ + 𝑏 𝑛 (𝑥 − 𝜆 1 ) (𝑥 − 𝜆 2 ) … (𝑥 − 𝜆 𝑛 ) (𝑥 − 𝜆 𝑖 )| 𝑥=𝜆 𝑖 = 𝑏 1 𝜆 𝑖 𝑛−1 +𝑏 2 𝜆 𝑖 𝑛−2 + … + 𝑏 𝑛 ∏ (𝜆 𝑖 −𝜆 𝑗 ) 𝑗≠𝑖 (3.5)
Persamaan (3.5) dapat dituliskan ke dalam bentuk vektor sebagai berikut:
𝑘 𝑖 = [ 𝜆 𝑖 𝑛−1 ∏ (𝜆 𝑖 −𝜆 𝑗 ) 𝑗≠𝑖 𝜆 𝑖 𝑛−2 ∏ (𝜆 𝑖 −𝜆 𝑗 ) 𝑗≠𝑖 ⋯ 1 ∏ (𝜆 𝑖 −𝜆 𝑗 ) 𝑗≠𝑖 ] [ 𝑏 1 𝑏 2 ⋮ 𝑏 𝑛 ] (3.6)
Untuk 𝑖 = 1 , maka
𝑘 1 = [ 𝜆 1 𝑛−1 ∏ (𝜆 1 −𝜆 𝑗 ) 𝑗≠1 𝜆 1 𝑛−2 ∏ (𝜆 1 −𝜆 𝑗 ) 𝑗≠1 ⋯ 1 ∏ (𝜆 1 −𝜆 𝑗 ) 𝑗≠1 ] [ 𝑏 1 𝑏 2 ⋮ 𝑏 𝑛 ] (3.7)
Untuk 𝑖 = 2 , maka
𝑘 2 = [ 𝜆 2 𝑛−1 ∏ (𝜆 2 −𝜆 𝑗 ) 𝑗≠2 𝜆 2 𝑛−2 ∏ (𝜆 2 −𝜆 𝑗 ) 𝑗≠2 ⋯ 1 ∏ (𝜆 2 −𝜆 𝑗 ) 𝑗≠2 ] [ 𝑏 1 𝑏 2 ⋮ 𝑏 𝑛 ] (3.8)
⋮
Untuk 𝑖 = 𝑛 , maka
𝑘 𝑛 = [ 𝜆 𝑛 𝑛−1 ∏ (𝜆 𝑛 −𝜆 𝑗 ) 𝑗≠𝑛 𝜆 𝑛 𝑛−2 ∏ (𝜆 𝑛 −𝜆 𝑗 ) 𝑗≠𝑛 ⋯ 1 ∏ (𝜆 𝑛 −𝜆 𝑗 ) 𝑗≠𝑛 ] [ 𝑏 1 𝑏 2 ⋮ 𝑏 𝑛 ] (3.9)
sehingga koefisien pecahan parsial 𝑘 𝑖 dapat dituliskan sebagai:
[ 𝑘 1 𝑘 2 ⋮ 𝑘 𝑛 ] = [ 𝜆 1 𝑛−1 ∏ (𝜆 1 −𝜆 𝑗 ) 𝑗≠1 𝜆 1 𝑛−2 ∏ (𝜆 1 −𝜆 𝑗 ) 𝑗≠1 ⋯ 1 ∏ (𝜆 1 −𝜆 𝑗 ) 𝑗≠1 𝜆 2 𝑛−1 ∏ (𝜆 2 −𝜆 𝑗 ) 𝑗≠2 𝜆 2 𝑛−2 ∏ (𝜆 2 −𝜆 𝑗 ) 𝑗≠2 ⋯ 1 ∏ (𝜆 2 −𝜆 𝑗 ) 𝑗≠2 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 𝜆 𝑛 𝑛−1 ∏ (𝜆 𝑛 −𝜆 𝑗 ) 𝑗≠𝑛 𝜆 𝑛 𝑛−2 ∏ (𝜆 𝑛 −𝜆 𝑗 ) 𝑗≠𝑛 ⋯ 1 ∏ (𝜆 𝑛 −𝜆 𝑗 ) 𝑗≠𝑛 ] [ 𝑏 1 𝑏 2 ⋮ 𝑏 𝑛 ] (3.10)
atau
𝑲 = 𝑾 × 𝑩
(3.11)
dengan:

## JURNAL MATEMATIKA, STATISTIKA DAN KOMPUTASI
Feby Seru, Herlina Datu Wetipo, Tiku Tandiangnga
𝑊 =
[ 𝜆 1 𝑛−1 ∏ (𝜆 1 −𝜆 𝑗 ) 𝑗≠1 𝜆 1 𝑛−2 ∏ (𝜆 1 −𝜆 𝑗 ) 𝑗≠1 ⋯ 1 ∏ (𝜆 1 −𝜆 𝑗 ) 𝑗≠1 𝜆 2 𝑛−1 ∏ (𝜆 2 −𝜆 𝑗 ) 𝑗≠2 𝜆 2 𝑛−2 ∏ (𝜆 2 −𝜆 𝑗 ) 𝑗≠2 ⋯ 1 ∏ (𝜆 2 −𝜆 𝑗 ) 𝑗≠2 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 𝜆 𝑛 𝑛−1 ∏ (𝜆 𝑛 −𝜆 𝑗 ) 𝑗≠𝑛 𝜆 𝑛 𝑛−2 ∏ (𝜆 𝑛 −𝜆 𝑗 ) 𝑗≠𝑛 ⋯ 1 ∏ (𝜆 𝑛 −𝜆 𝑗 ) 𝑗≠𝑛 ] dan 𝐵 = [ 𝑏 1 𝑏 2 ⋮ 𝑏 𝑛 ] (3.12)
Berdasarkan Persamaan (3.4) dan (3.11) diperoleh suatu hubungan yaitu:
𝑽 −1 × 𝑨 −1 = 𝑾 (3.13)
Dengan mengalikan matriks 𝐴 pada kedua ruas di Persamaan (3.13) maka diperoleh:
𝑽 −1 = 𝑾 × 𝑨 (3.14)
Berdasarkan Persamaan (3.14) maka invers dari matriks Vandermonde dapat diperoleh dari perkalian  antara  dua  buah  matriks,  yaitu  matriks 𝑊 dan  matriks 𝐴 .  Matriks 𝑊 dapat  diperoleh menggunakan  Persamaan  (3.12)  sedangkan  formula  untuk  menghitung  matriks 𝐴 diperoleh  sebagai berikut.  Perhatikan  bahwa  matriks 𝐴 merupakan  koefisien  fungsi  polinomial  dari  penyebut  pada Persamaan (3.1), yang berarti bahwa matriks 𝐴 hanya bergantung pada penyebut dari fungsi rasional tersebut. Oleh karena itu, fungsi rasional pada Persamaan (3.1) didefinisikan sebagai berikut:
𝑓(𝑥) = 1 𝑥 𝑛 +𝑎 1 𝑥 𝑛−1 +𝑎 2 𝑥 𝑛−2 +⋯+𝑎 𝑛 (3.15) = 1 (𝑥 − 𝜆 1 )(𝑥 − 𝜆 2 ) … (𝑥 − 𝜆 𝑛 )
Perhatikan persamaan berikut:
a. Untuk 𝑛 = 2 maka:
(𝑥 − 𝜆 1 )(𝑥 − 𝜆 2 ) = 𝑥 2 − 𝜆 2 𝑥 − 𝜆 1 𝑥 + 𝜆 1 𝜆 2 = 𝑥 2 + (−𝜆 1 − 𝜆 2 )𝑥 + 𝜆 1 𝜆 2
Berdasarkan Persamaan (3.15) diperoleh:
𝑎 1 = − ∑ 𝜆 𝑗 2 𝑗=1 𝑑𝑎𝑛 𝑎 2 = ∏ 𝜆 𝑗 2 𝑗=1 (3.16)
b. Untuk 𝑛 = 3 maka:
(𝑥 − 𝜆 1 )(𝑥 − 𝜆 2 )(𝑥 − 𝜆 3 ) = 𝑥 3 − 𝜆 2 𝑥 2 − 𝜆 1 𝑥 2 + 𝜆 1 𝜆 2 𝑥 − 𝜆 3 𝑥 2 + 𝜆 2 𝜆 3 𝑥 +𝜆 1 𝜆 3 𝑥 − 𝜆 1 𝜆 2 𝜆 3 = 𝑥 3 + (−𝜆 1 − 𝜆 2 − 𝜆 3 )𝑥 2 + (𝜆 1 𝜆 2 + 𝜆 1 𝜆 3 + 𝜆 2 𝜆 3 )𝑥 +(−𝜆 1 𝜆 2 𝜆 3 )
Berdasarkan Persamaan (3.15) diperoleh:
𝑎 1 = − ∑ 𝜆 𝑗 3 𝑗=1 ,    𝑎 2 = ∑ 𝜆 𝑗 𝜆 𝑚 𝑗=2,𝑚=3
𝑗=1,𝑚=2;
𝑗≠𝑚 , 𝑑𝑎𝑛  𝑎 3 = − ∏ 𝜆 𝑗 3 𝑗=1 c. Untuk 𝑛 = 4 , maka:
(𝑥 − 𝜆 1 )(𝑥 − 𝜆 2 )(𝑥 − 𝜆 3 )(𝑥 − 𝜆 4 ) = 𝑥 4 − 𝜆 2 𝑥 3 − 𝜆 1 𝑥 3 + 𝜆 1 𝜆 2 𝑥 2 − 𝜆 2 𝜆 3 𝑥 2 + 𝜆 1 𝜆 3 𝑥 2 − 𝜆 1 𝜆 2 𝜆 3 𝑥 − 𝜆 4 𝑥 3 (3.17)

## JURNAL MATEMATIKA, STATISTIKA DAN KOMPUTASI
Feby Seru, Herlina Datu Wetipo, Tiku Tandiangnga
+𝜆 2 𝜆 4 𝑥 2 + 𝜆 1 𝜆 4 𝑥 2 − 𝜆 1 𝜆 2 𝜆 4 𝑥 + 𝜆 3 𝜆 4 𝑥 2 − 𝜆 2 𝜆 3 𝜆 4 𝑥 − 𝜆 1 𝜆 3 𝜆 4 𝑥 + 𝜆 1 𝜆 2 𝜆 3 𝜆 4 = 𝑥 4 + (−𝜆 1 − 𝜆 2 − 𝜆 3 − 𝜆 4 )𝑥 3 + (𝜆 1 𝜆 2 + 𝜆 1 𝜆 3 + 𝜆 1 𝜆 4 + 𝜆 2 𝜆 3 + 𝜆 2 𝜆 4 + 𝜆 3 𝜆 4 )𝑥 2 +(−𝜆 1 𝜆 2 𝜆 3 − 𝜆 1 𝜆 2 𝜆 4 − 𝜆 1 𝜆 3 𝜆 4 − 𝜆 2 𝜆 3 𝜆 4 )𝑥 + 𝜆 1 𝜆 2 𝜆 3 𝜆 4
Berdasarkan Persamaan (3.15) diperoleh:
𝑎 1 = − ∑ 𝜆 𝑗 4 𝑗=1 , 𝑎 2 = ∑ 𝜆 𝑗 𝜆 𝑚 𝑗=3,𝑚=4 𝑗=1,𝑚=2;
𝑗≠𝑚 , 𝑎 3 = − ∑ 𝜆 𝑗 𝜆 𝑚 𝜆 𝑠 𝑗=2,𝑚=3,𝑠=4 𝑗=1,𝑚=2,𝑠=3; 𝑗≠𝑚≠𝑠 𝑎 4 = ∏ 𝜆 𝑗
4 𝑗=1
Berdasarkan Persamaan (3.16) sampai (3.18), maka untuk (𝑥 − 𝜆 1 )(𝑥 − 𝜆 2 ) ⋯ (𝑥 − 𝜆 𝑛 ) diperoleh:
𝑎 1 = − ∑ 𝜆 𝑗 𝑛 𝑗=1 , 𝑎 2 = ∑ 𝜆 𝑗 λ 𝑚 𝑗=𝑛−1,𝑚=𝑛 𝑗=1,𝑚=2;
𝑗≠𝑚 , 𝑎 3 = − ∑ 𝜆 𝑗 𝜆 𝑚 𝜆 𝑠 𝑗=𝑛−2,𝑚=𝑛−1,𝑠=𝑛
𝑗=1,𝑚=2,𝑠=3; 𝑗≠𝑚≠𝑠 𝑎 4 = ∑ 𝜆 𝑗 𝜆 𝑚 𝜆 𝑠 𝜆 𝑡 𝑗=𝑛−3,𝑚=𝑛−2, 𝑠=𝑛−1,𝑡=𝑛 𝑗=1,𝑚=2,𝑠=3,𝑡=4; 𝑗≠𝑚≠𝑠≠𝑡
, … , 𝑎 𝑛 = (−1) 𝑛 ∏ 𝜆 𝑗 𝑛 𝑗=1
Selanjutnya membuktikan Persamaan (3.19) menggunakan induksi matematika sebagai berikut: (1) Untuk 𝑛 = 2 maka: 𝑎 1 = −𝜆 1 − 𝜆 2 dan 𝑎 2 = 𝜆 1 𝜆 2 Pernyataan tersebut benar, sesuai dengan Persamaan (3.16) (2) Asumsikan pernyataan benar untuk 𝑛 = 𝑘 yaitu:
𝑎 1 = − ∑ 𝜆 𝑗 𝑘 𝑗=1 , 𝑎 2 = ∑ 𝜆 𝑗 λ 𝑚 𝑗=𝑘−1,𝑚=𝑘 𝑗=1,𝑚=2;
𝑗≠𝑚 , 𝑎 3 = − ∑ 𝜆 𝑗 𝜆 𝑚 𝜆 𝑠
𝑗=𝑘−2,𝑚=𝑘−1,𝑠=𝑘 𝑗=1,𝑚=2,𝑠=3; 𝑗≠𝑚≠𝑠 𝑎 4 = ∑ 𝜆 𝑗 𝜆 𝑚 𝜆 𝑠 𝜆 𝑡 𝑗=𝑘−3,𝑚=𝑘−2, 𝑠=𝑘−1,𝑡=𝑘 𝑗=1,𝑚=2,𝑠=3,𝑡=4; 𝑗≠𝑚≠𝑠≠𝑡
, … , 𝑎 𝑘 = (−1) 𝑘 ∏ 𝜆 𝑗 𝑘 𝑗=1
(3) Akan ditunjukkan bahwa pernyataan juga benar untuk 𝑛 = 𝑘 + 1 :
(𝑥 − 𝜆 1 )(𝑥 − 𝜆 2 )(𝑥 − 𝜆 3 ) … (𝑥 − 𝜆 𝑘 )(𝑥 − 𝜆 𝑘+1 )
= (𝑥 𝑘 + 𝑎 1 𝑥 𝑘−1 + 𝑎 2 𝑥 𝑘−2 + 𝑎 3 𝑥 𝑘−3 + 𝑎 4 𝑥 𝑘−4 + ⋯ + 𝑎 𝑘 )(𝑥 − 𝜆 𝑘+1 ) = 𝑥 𝑘+1 + 𝑎 1 𝑥 𝑘 + 𝑎 2 𝑥 𝑘−1 + 𝑎 3 𝑥 𝑘−2 + 𝑎 4 𝑥 𝑘−3 + ⋯ + 𝑎 𝑘 𝑥 − 𝜆 𝑘+1 𝑥 𝑘 − 𝑎 1 𝜆 𝑘+1 𝑥 𝑘−1 −𝑎 2 𝜆 𝑘+1 𝑥 𝑘−2 − 𝑎 3 𝜆 𝑘+1 𝑥 𝑘−3 − 𝑎 4 𝜆 𝑘+1 𝑥 𝑘−4 − ⋯ − 𝑎 𝑘 𝜆 𝑘+1 = 𝑥 𝑘+1 + (𝑎 1 − 𝜆 𝑘+1 )𝑥 𝑘 + (𝑎 2 − 𝑎 1 𝜆 𝑘+1 )𝑥 𝑘−1 + (𝑎 3 − 𝑎 2 𝜆 𝑘+1 )𝑥 𝑘−2 +(𝑎 4 − 𝑎 3 𝜆 𝑘+1 )𝑥 𝑘−3 + ⋯ + 𝑎 𝑘 𝜆 𝑘+1
(3.18)
(3.19)

## JURNAL MATEMATIKA, STATISTIKA DAN KOMPUTASI
Feby Seru, Herlina Datu Wetipo, Tiku Tandiangnga
= 𝑥 𝑘+1 + (− ∑ 𝜆 𝑗 𝑘 𝑗=1 − 𝜆 𝑘+1 ) 𝑥 𝑘 + ( ∑ 𝜆 𝑗 λ 𝑚
𝑗=𝑘−1,𝑚=𝑘 𝑗=1,𝑚=2; 𝑗≠𝑚 + ∑ 𝜆 𝑗 𝑘 𝑗=1 𝜆 𝑘+1 ) 𝑥 𝑘−1
+
( − ∑ 𝜆 𝑗 𝜆 𝑚 𝜆 𝑠 𝑗=𝑘−2,𝑚=𝑘−1,𝑠=𝑘 𝑗=1,𝑚=2,𝑠=3;
𝑗≠𝑚≠𝑠 − ∑ 𝜆 𝑗 λ 𝑚 𝑗=𝑘−1,𝑚=𝑘 𝑗=1,𝑚=2; 𝑗≠𝑚 𝜆 𝑘+1 ) 𝑥 𝑘−2 + ( ∑ 𝜆 𝑗 𝜆 𝑚 𝜆 𝑠 𝜆 𝑡 𝑗=𝑘−3,𝑚=𝑘−2, 𝑠=𝑘−1,𝑡=𝑘 𝑗=1,𝑚=2,𝑠=3,𝑡=4; 𝑗≠𝑚≠𝑠≠𝑡
+ ∑ 𝜆 𝑗 𝜆 𝑚 𝜆 𝑠
𝑗=𝑘−2,𝑚=𝑘−1,𝑠=𝑘 𝑗=1,𝑚=2,𝑠=3; 𝑗≠𝑚≠𝑠 𝜆 𝑘+1
) 𝑥 𝑘−3 + ⋯ + (−1) 𝑘+1 ∏ 𝜆 𝑗 𝑘 𝑗=1 𝜆 𝑘+1
= 𝑥 𝑘+1 + (− ∑ 𝜆 𝑗 𝑘+1 𝑗=1 ) 𝑥 𝑘 + ( ∑ 𝜆 𝑗 λ 𝑚
𝑗=𝑘,𝑚=𝑘+1 𝑗=1,𝑚=2; 𝑗≠𝑚 ) 𝑥 𝑘−1 + ( − ∑ 𝜆 𝑗 𝜆 𝑚 𝜆 𝑠
𝑗=𝑘−1,𝑚=𝑘,𝑠=𝑘+1 𝑗=1,𝑚=2,𝑠=3; 𝑗≠𝑚≠𝑠 ) 𝑥 𝑘−2
+
( ∑ 𝜆 𝑗 𝜆 𝑚 𝜆 𝑠 𝜆 𝑡 𝑗=𝑘−2,𝑚=𝑘−1 𝑠=𝑘,𝑡=𝑘+1 𝑗=1,𝑚=2,𝑠=3,𝑡=4; 𝑗≠𝑚≠𝑠≠𝑡 ) 𝑥 𝑘−3 + ⋯ + (−1) 𝑘+1 ∏ 𝜆 𝑗 𝑘+1 𝑗=1
Sehingga diperoleh:
𝑎 1 = − ∑ 𝜆 𝑗 𝑘+1 𝑗=1 , 𝑎 2 = ∑ 𝜆 𝑗 λ 𝑚 𝑗=𝑘,𝑚=𝑘+1 𝑗=1,𝑚=2; 𝑗≠𝑚
, 𝑎 3 = − ∑ 𝜆 𝑗 𝜆 𝑚 𝜆 𝑠 𝑗=𝑘−1,𝑚=𝑘,𝑠=𝑘+1 𝑗=1,𝑚=2,𝑠=3; 𝑗≠𝑚≠𝑠 ,
𝑎 4 = ∑ 𝜆 𝑗 𝜆 𝑚 𝜆 𝑠 𝜆 𝑡 𝑗=𝑘−2,𝑚=𝑘−1 𝑠=𝑘,𝑡=𝑘+1 𝑗=1,𝑚=2,𝑠=3,𝑡=4; 𝑗≠𝑚≠𝑠≠𝑡 , … , 𝑎 𝑘+1 = (−1) 𝑘+1 ∏ 𝜆 𝑗 𝑘+1 𝑗=1
Jadi  terbukti  bahwa  Persamaan  (3.19)  berlaku  untuk  semua 𝑛 ,  sehingga  entri-entri  pada  matriks 𝐴 dapat diperoleh menggunakan persamaan tersebut.
Berikut merupakan contoh kasus untuk menghitung invers matriks Vandermonde berukuran 5 × 5 menggunakan  metode  dekomposisi  pecahan  parsial  dan  metode  adjoin.  Diberikan  matriks Vandermonde sebagai berikut:

## JURNAL MATEMATIKA, STATISTIKA DAN KOMPUTASI
Feby Seru, Herlina Datu Wetipo, Tiku Tandiangnga
𝑉 = [ 1 1 1 1 1 0 1 2 3 4 0 1 4 9 16 0 1 8 27 64 0 1 16 81 256] (3.20)
Berdasarkan  Definisi  2.1,  maka  diperoleh: 𝜆 1 = 0 , 𝜆 2 = 1 , 𝜆 3 = 2 , 𝜆 4 = 3 , 𝜆 5 = 4 .  Untuk menghitung  invers  matriks  Vandermonde  menggunakan  metode  dekomposisi  pecahan  parsial  pada Persamaan (3.14) maka terlebih dahulu dicari matriks 𝑊 dan matriks 𝐴 .  Entri-entri dari matriks 𝑊 dapat diperoleh menggunakan Persamaan (3.13) sebagai berikut:
Baris ke- 1 = ( 𝜆 1 𝑛−1 ∏ 𝜆 1 −𝜆 𝑗 𝑗≠1 𝜆 1 𝑛−2 ∏ 𝜆 1 −𝜆 𝑗 𝑗≠1 𝜆 1 𝑛−3 ∏ 𝜆 1 −𝜆 𝑗 𝑗≠1 𝜆 1 𝑛−4 ∏ 𝜆 1 −𝜆 𝑗 𝑗≠1 1 ∏ 𝜆 1 −𝜆 𝑗 𝑗≠1 ) = ( 0 5−1 24 0 5−2 24 0 5−3 24 0 5−4 24 1 24 ) = ( 0 4 24 0 3 24 0 2 24 0 24 1 24 ) = (0 0 0 0 1 24 ) dengan: ∏ 𝜆 1 − 𝜆 𝑗 5 𝑗=1,𝑗≠1 = (𝜆 1 − 𝜆 2 )(𝜆 1 − 𝜆 3 )(𝜆 1 − 𝜆 4 )(𝜆 1 − 𝜆 5 )
= (0 − 1)(0 − 2)(0 − 3)(0 − 4) = (−1)(−2)(−3)(−4) = 24
Baris ke- 2 = ( 𝜆 2 𝑛−1 ∏ 𝜆 2 −𝜆 𝑗 𝑗≠2 𝜆 2 𝑛−2 ∏ 𝜆 2 −𝜆 𝑗 𝑗≠2 𝜆 2 𝑛−3 ∏ 𝜆 2 −𝜆 𝑗 𝑗≠2 𝜆 2 𝑛−4 ∏ 𝜆 2 −𝜆 𝑗 𝑗≠2 1 ∏ 𝜆 2 −𝜆 𝑗 𝑗≠2 ) = ( 1 5−1 −6 1 5−2 −6 1 5−3 −6 1 5−4 −6 1 −6 ) = ( 1 4 −6 1 3 −6 1 2 −6 1 −6 1 −6 ) = (− 1 6 − 1 6 − 1 6 − 1 6 − 1 6 )
dengan:
∏ 𝜆 2 − 𝜆 𝑗 5 𝑗=1,𝑗≠2 = (𝜆 2 − 𝜆 1 )(𝜆 2 − 𝜆 3 )(𝜆 2 − 𝜆 4 )(𝜆 2 − 𝜆 5 ) = (1 − 0)(1 − 2)(1 − 3)(1 − 4) = (1)(−1)(−2)(−3) = −6
Baris ke- 3 = ( 𝜆 3 𝑛−1 ∏ 𝜆 3 −𝜆 𝑗 𝑗≠3 𝜆 3 𝑛−2 ∏ 𝜆 3 −𝜆 𝑗 𝑗≠3 𝜆 3 𝑛−3 ∏ 𝜆 3 −𝜆 𝑗 𝑗≠3 𝜆 3 𝑛−4 ∏ 𝜆 3 −𝜆 𝑗 𝑗≠3 1 ∏ 𝜆 3 −𝜆 𝑗 𝑗≠3 ) = ( 2 5−1 4 2 5−2 4 2 5−3 4 2 5−4 4 1 4 ) = ( 2 4 4 2 3 4 2 2 4 2 4 1 4 ) = ( 16 4 8 4 4 4 2 4 1 4 )

## JURNAL MATEMATIKA, STATISTIKA DAN KOMPUTASI
Feby Seru, Herlina Datu Wetipo, Tiku Tandiangnga
= (4 2 1 1 2 1 4 ) dengan: ∏ 𝜆 3 − 𝜆 𝑗 5
𝑗=1,𝑗≠3
= (𝜆 3 − 𝜆 1 )(𝜆 3 − 𝜆 2 )(𝜆 3 − 𝜆 4 )(𝜆 3 − 𝜆 5 )
= (2 − 0)(2 − 1)(2 − 3)(2 − 4) = (2)(1)(−1)(−2) = 4
Baris ke- 4 = ( 𝜆 4 𝑛−1 ∏ 𝜆 4 −𝜆 𝑗 𝑗≠4 𝜆 4 𝑛−2 ∏ 𝜆 4 −𝜆 𝑗 𝑗≠4 𝜆 4 𝑛−3 ∏ 𝜆 4 −𝜆 𝑗 𝑗≠4 𝜆 4 𝑛−4 ∏ 𝜆 4 −𝜆 𝑗 𝑗≠4 1 ∏ 𝜆 4 −𝜆 𝑗 𝑗≠4 ) = ( 3 5−1 −6 3 5−2 −6 3 5−3 −6 3 5−4 −6 1 −6 ) = ( 3 4 −6 3 3 −6 3 2 −6 3 −6 1 −6 ) = (− 81 6 − 27 6 − 9 6 − 3 6 − 1 6 ) = (− 27 2 − 9 2 − 3 2 − 1 2 − 1 6 )
dengan:
∏ 𝜆 4 − 𝜆 𝑗 5 𝑗=1,𝑗≠4 = (𝜆 4 − 𝜆 1 )(𝜆 4 − 𝜆 2 )(𝜆 4 − 𝜆 3 )(𝜆 4 − 𝜆 5 ) = (3 − 0)(3 − 1)(3 − 2)(3 − 4) = (3)(2)(1)(−1) = −6
Baris ke- 5 = ( 𝜆 5 𝑛−1 ∏ 𝜆 5 −𝜆 𝑗 𝑗≠5 𝜆 5 𝑛−2 ∏ 𝜆 5 −𝜆 𝑗 𝑗≠5 𝜆 5 𝑛−3 ∏ 𝜆 5 −𝜆 𝑗 𝑗≠5 𝜆 5 𝑛−4 ∏ 𝜆 5 −𝜆 𝑗 𝑗≠5 1 ∏ 𝜆 5 −𝜆 𝑗 𝑗≠5 ) = ( 4 5−1 24 4 5−2 24 4 5−3 24 4 5−4 24 1 24 ) = ( 4 4 24 4 3 24 4 2 24 4 24 1 24 ) = ( 256 24 64 24 16 24 4 24 1 24 ) = ( 32 3 8 3 2 3 1 6 1 24 )
dengan:
∏ 𝜆 5 − 𝜆 𝑗 5 𝑗=1,𝑗≠5 = (𝜆 5 − 𝜆 1 )(𝜆 5 − 𝜆 2 )(𝜆 5 − 𝜆 3 )(𝜆 5 − 𝜆 4 ) = (4 − 0)(4 − 1)(4 − 2)(4 − 3) = (4)(3)(2)(1) = 24
Sehingga diperoleh matriks 𝑊 sebagai berikut:

## JURNAL MATEMATIKA, STATISTIKA DAN KOMPUTASI
Feby Seru, Herlina Datu Wetipo, Tiku Tandiangnga
𝑊 = [ 0 0 0 0 1 24 − 1 6 − 1 6 − 1 6 − 1 6 − 1 6
4 2 1 1 2 1 4 − 27 2 − 9 2 − 3 2 − 1 2 − 1 6 32 3 8 3 2 3 1 6 1 24 ]
Selanjutnya  mencari  matriks 𝐴 dengan  menghitung  nilai 𝑎 1 , 𝑎 2 , 𝑎 3 , 𝑎 4 menggunakan Persamaan (3.19) sebagai berikut:
𝑎 1 = − ∑ 𝜆 𝑗 5 𝑗=1 = −(𝜆 1 + 𝜆 2 + 𝜆 3 + 𝜆 4 + 𝜆 5 ) = −(0 + 1 + 2 + 3 + 4) = −10
𝑎 2 = ∑ 𝜆 𝑗 𝜆 𝑚
𝑗=4,𝑚=5 𝑗=1,𝑚=2, 𝑗≠𝑚 = 𝜆 1 𝜆 2 + 𝜆 1 𝜆 3 + 𝜆 1 𝜆 4 + 𝜆 1 𝜆 5 + 𝜆 2 𝜆 3 + 𝜆 2 𝜆 4 + 𝜆 2 𝜆 5 + 𝜆 3 𝜆 4 + 𝜆 3 𝜆 5 + 𝜆 4 𝜆 5
= (0)(1) + (0)(2) + (0)(3) + (0)(4) + (1)(2) + (1)(3) + (1)(4) + (2)(3) +(2)(4) + (3)(4) = 2 + 3 + 4 + 6 + 8 + 12 = 35
𝑎 3 = − ∑ 𝜆 𝑗 𝜆 𝑚 𝜆 𝑠 𝑗=3,𝑚=4,𝑠=5 𝑗=1,𝑚=2,𝑠=3;
𝑗≠𝑚 ≠𝑠 = −(𝜆 1 𝜆 2 𝜆 3 + 𝜆 1 𝜆 2 𝜆 4 + 𝜆 1 𝜆 2 𝜆 5 + 𝜆 1 𝜆 3 𝜆 4 + 𝜆 1 𝜆 3 𝜆 5 + 𝜆 1 𝜆 4 𝜆 5 + 𝜆 2 𝜆 3 𝜆 4
+𝜆 2 𝜆 3 𝜆 5 + 𝜆 2 𝜆 4 𝜆 5 + 𝜆 3 𝜆 4 𝜆 5 )
= −(0)(1)(2) + (0)(1)(3) + (0)(1)(4) + (0)(2)(3) + (0)(2)(4) +(0)(3)(4) + (1)(2)(3) + (1)(2)(4) + (1)(3)(4) + (2)(3)(4)
= −(6 + 8 + 12 + 24) = − 50
𝑎 4 = ∑ 𝜆 𝑗 𝜆 𝑚 𝜆 𝑠
𝑗=2,𝑚=3,𝑠=4,𝑡=5 𝑗=1,𝑚=2,𝑠=3,𝑡=4; 𝑗≠𝑚 ≠𝑠≠𝑡 𝜆 𝑡
= 𝜆 1 𝜆 2 𝜆 3 𝜆 4 + 𝜆 1 𝜆 3 𝜆 4 𝜆 5 + 𝜆 2 𝜆 3 𝜆 4 𝜆 5 = (0)(1)(2)(3) + (0)(2)(3)(4) + (1)(2)(3)(4) = 24
Sehingga diperoleh matriks 𝐴 sebagai berikut:
𝐴 =
[ 1 0 0
0 0
−10 1 0 0 0
35 −10 1 0 0
−50 35 −10 1 0 24 −50 35 −10 1]
Dengan  menggunakan  Persamaan  (3.14)  maka  diperoleh  invers  dari  matriks  Vandermonde  sebagai berikut:

## JURNAL MATEMATIKA, STATISTIKA DAN KOMPUTASI
Feby Seru, Herlina Datu Wetipo, Tiku Tandiangnga
𝑉 −1 = [ 0 0 0 0 1 24 − 1 6 − 1 6 − 1 6 − 1 6 − 1 6
4 2 1 1 2 1 4 − 27 2 − 9 2 − 3 2 − 1 2 − 1 6 32 3 8 3 2 3 1 6 1 24 ] [ 1
0 0 0 0 −10 1 0 0 0 35 −10 1 0 0 −50 35 −10 1 0
24 −50 35 −10 1] = [ 1 − 25 12 35 24 − 5 12 1 24 0 4 − 13 3 3 2 − 1 6 0 −3 19 4 −2 1 4 0 4 3 − 7 3 7 6 − 1 6 0 − 1 4 11 24 − 1 4 1 24 ] (3.21)
Selanjutnya  membuktikan  bahwa  Persamaan  (3.21)  merupakan  invers  dari  matriks  pada Persamaan (3.20) sebagai berikut:
𝑉 × 𝑉 −1 = [ 1 1 1 1 1
0 1 2 3 4 0 1 4 9 16 0 1 8 27 64 0 1 16 81 256] [ 1 − 25 12 35
24 − 5 12 1 24
0 4 − 13 3 3 2 − 1 6 0 −3 19 4 −2 1 4 0 4 3 − 7 3 7 6 − 1 6 0 − 1 4 11 24 − 1 4 1 24 ] = [ 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1]
Karena 𝑉 × 𝑉 −1 = 𝐼 maka  berdasarkan  Definisi  2.5  terbukti  bahwa  Persamaan  (3.21)  merupakan invers dari matriks Vandermonde.
Selanjutnya  menghitung  invers  matriks  Vandermonde  pada  Persamaan  (3.20)  menggunakan metode  adjoin.  Langkah  pertama  adalah  menghitung  determinan  matriks 𝑉 menggunakan  metode ekspansi kofaktor sepanjang kolom pertama.
det(𝑉) = 1 |
1 2 3 4 1 4 9 16 1 8 27 64 1 16 81 256 |
= 1 | 4 9 16 8 27 64 16 81 256 | − 1 | 2 3 4 8 27 64 16 81 256 | + 1 | 2 3 4 4 9 16 16 81 256 | − 1 | 2 3 4 4 9 16 8 27 64 |

## = 1152 − 1248 + 432 − 48 = 288
Selanjutnya menghitung minor dan kofaktor dari matriks 𝑉 sebagai berikut:

## JURNAL MATEMATIKA, STATISTIKA DAN KOMPUTASI
Feby Seru, Herlina Datu Wetipo, Tiku Tandiangnga
𝑀 11 = | 1 2 3
4
1 4 9 16
1 8 27 64 1 16 81 256 | = 1 | 4 9 16 8 27 64 16 81 256 | + 1 | 2 3 4 8 27 64 16 81 256 | + 1 | 2 3 4 4 9 16 16 81 256 | + 1 | 2 3 4
4 9 16 8 27 64 | = 288 𝐶 11 = (−1) 2 (288) = 288
𝑀 12 = | 0 2 3
4
0 4 9 16
0 8 27 64 0 16 81 256 | = 0 | 4 9 16 8 27 64 16 81 256 | + 0 | 2 3 4 8 27 64 16 81 256 | + 0 | 2 3 4 4 9 16
16 81 256 | + 0 | 2 3 4 4 9 16 8 27 64 | = 0 𝐶 12 = (−1) 3 (0) = 0
dengan cara yang sama diperoleh:
𝐶 13 = 𝐶 14 = 𝐶 15 = 0
𝐶 21 = −600, 𝐶 22 = 1152, 𝐶 23 = −864, 𝐶 24 = 384 , 𝐶 25 = −72
𝐶 31 = 420, 𝐶 32 = −1248, 𝐶 33 = 1368, 𝐶 34 = −672, 𝐶 35 = 132
𝐶 41 = −120, 𝐶 42 = 432, 𝐶 43 = −576, 𝐶 44 = 336, 𝐶 45 = −72
𝐶 51 = 12, 𝐶 52 = −48, 𝐶 53 = 72, 𝐶 54 = −48, 𝐶 55 = 12
Sehingga diperoleh matriks kofaktornya adalah
𝐶 = [
288 0 0 0 0 −200 1152 −864 384 −72 420 −1248 1368 −672 132 −120 432 −576 336 −72 12 −48 72 −48 12 ]
dan matriks adjoinnya adalah
𝑎𝑑𝑗(𝑉) = [
288 −1536 420 −120 12 0 1152 −1248 432 −48 0 −864 1368 −576 72 0 384 −672 336 −48 0 −72 132 −72 12 ]
Selanjutnya menghitung invers matriks menggunakan Teorema 2.4 yaitu:
𝑉 −1 = 1 288
[ 288 −200 420 −120 12 0 1152 −1248 432 −48 0 −864 1368 −576 72 0 384 −672 336 −48 0 −72 132 −72 12 ]

## JURNAL MATEMATIKA, STATISTIKA DAN KOMPUTASI
Feby Seru, Herlina Datu Wetipo, Tiku Tandiangnga
= [ 1 − 25 12 35 24 − 5 12 1 24 0 4 − 13 3 3 2 − 1 6 0 −3 19 4 −2 1 4 0 4 3 − 7 3 7 6 − 1 6 0 − 1 4 11 24 − 1 4 1 24 ] (3.22)
Invers  pada  Persamaan  (3.21)  sama  dengan  invers  pada  Persamaan  (3.22)  sehingga  dapat disimpulkan  bahwa  hasil  invers  menggunakan  metode  dekomposisi  pecahan  parsial  sama  dengan invers yang diperoleh menggunakan metode adjoin.

## 4.  KESIMPULAN
Berdasarkan hasil dan pembahasan, maka dapat disimpulkan bahwa:
1. Invers matriks Vandermonde dapat diperoleh dari perkalian antara dua buah matriks yaitu:
𝑉 −1 = 𝑊 × 𝐴 dengan matriks 𝑊 dan 𝐴 seperti pada Persamaan (3.12) dan (3.19).
2. Hasil  perhitungan  invers  yang  dilakukan  dengan  metode  dekomposisi  pecahan  parsial  sama dengan hasil perhitungan yang dilakukan menggunakan metode adjoin. Akan tetapi, perhitungan yang  dilakukan  menggunakan  metode  dekomposisi  pecahan  parsial  lebih  efektif  dan  efisien dibandingkan dengan menggunakan metode adjoin.

## DAFTAR PUSTAKA
[1] Anton,  H.,  &  Rorres,  C.,  2004. Aljabar  Linear  Elementer  Versi  Aplikasi  Jilid  1,  Edisi  8 . Erlangga, Jakarta.
[2] Chen, C. F.& Leung, K. K., 1981. A new look at partial fraction expansion from a high-level language viewpoint. Computers and Mathematics with Applications, Vol. 7, No. 5, 361–367.
[3] Eisinberg,  A.,  &  Fedele,G.,  2006.  On  The  Inversion  of  The  Vandermonde  Matrix. Applied Mathematics and Computation. Vol. 174, No. 2, 1384–1397.
[4] Klein, A. & Spreij, P., 2003. Some Results on Vandermonde Matrices with an Application to Time Series Analysis. SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications , Vol. 25, No. 1, 213– 223.
[5] Man,  Y.  K.,  2015.  On  The  Inversion  of  Vandermonde  Matrix  Via  Partial  Fraction Decomposotion. IAENG Transaction on Engineering Science s, 57–66.
[6] Moya-Cessa,  H.  &  Soto-Eguibar,  F.,  2011.  Inverse  of  the  Vandermonde  and  Vandermonde Confluent Matrices. Applied Mathematics and Information Sciences , Vol. 5, No. 3, 361–366.
[7] Oruç,  H.,  2007.  L  U  Factorization  of  the  Vandermonde  Matrix  and  its  Applications. Applied Mathematics Letters , Vol. 20, No. 9, 982–987.
[8] Purnamayanti, Thresye, Hijrianti, N.,. 2012. Formula Binet Dan Jumlah n Suku Pertama Pada Generalisasi Fibonacci Dengan Metode Matriks. Jurnal Matematika Murni dan Terapan , Vol. 6, No. 1, 38–46.
[9] Putra, M. E. K. & Aryani,F., 2017. Invers Matriks Positif Menggunakan Metode Adjoin. Jurnal Sains Matematika dan Statistika . Vol. 3, No. 1, 45–52.

## JURNAL MATEMATIKA, STATISTIKA DAN KOMPUTASI

## Feby Seru, Herlina Datu Wetipo, Tiku Tandiangnga
[10]  Rawashdeh,  E.  A.,  2019.  A  Simple  Method  for  Finding  The  Inverse  Matrix  of  Vandermonde Matrix. Matematiˇcki Vesnik , Vol. 3, No. 71, 207–213.
[11]  Varberg, D., Purcell,E.J., Rigdon, D. E., 2011. Kalkulus Jilid 2 . Erlangga, Jakarta.