JTAM (Jurnal Teori dan Aplikasi Matematika) http://journal.ummat.ac.id/index.php/jtam p-ISSN 2597-7512 | e-ISSN 2614-1175 Vol. 3, No. 2, Oktober  2019, Hal. 156-161

## Analisa Kestabilan dan Solusi Pendekatan Pada Persamaan Van der Pol
1 Yuni Yulida, 2 Muhammad Ahsar Karim
1,2 Matematika FMIPA, Universitas Lambung Mangkurat, Indonesia
1 y_yulida@ulm.ac.id , 2 m_ahsar@ulm.ac.id
INFO ARTIKEL ABSTRAK Riwayat Artikel: Diterima: 04-09-2019 Disetujui: 01-10-2019 Abstrak: Di  dalam  tulisan  ini  disajikan  analisa  kestabilan,  diselidiki  eksistensi  dan kestabilan limit  cycle,  dan  ditentukan  solusi  pendekatan  dengan  menggunakan metode multiple  scale  dari  persamaan  Van  der  Pol.  Penelitian  ini  dilakukan  dalam tiga  tahapan  metode.  Pertama,  menganalisa  perilaku  dinamik  persamaan  Van  der Pol  di  sekitar  ekuilibrium,  meliputi  transformasi  persamaan  ke  sistem  persamaan, analisa  kestabilan  persamaan  melalui  linearisasi,  dan  analisa  kemungkinan terjadinya bifukasi pada persamaan. Kedua, membuktikan eksistensi dan kestabilan limit  cycle  dari  persamaan  Van  der  Pol  dengan  menggunakan  teorema  Lienard. Ketiga,  menentukan  solusi  pendekatan  dari  persamaan  Van  der  Pol  dengan menggunakan  metode multiple  scale.  Hasil  penelitian  adalah,  berdasarkan  variasi nilai  parameter  kekuatan  redaman,  daerah  kestabilan  dari  persamaan  Van  der  Pol terbagi  menjadi  tiga.  Untuk  parameter  kekuatan  redaman  bernilai  positif mengakibatkan ekuilibrium tidak stabil, dan sebaliknya, untuk parameter kekuatan redaman  bernilai  negatif  mengakibatkan  ekuilibrium  stabil  asimtotik,  serta  tanpa kekuatan redaman mengakibatkan ekuilibrium stabil. Pada kondisi tanpa kekuatan redaman, persamaan Van der Pol memiliki solusi periodik dan  mengalami bifurkasi hopf.  Selain  itu,  dengan  menggunakan  teorema  Lienard  dapat  dibuktikan  bahwa solusi  periodik  dari  persamaan  Van  der  Pol  berupa limit  cycle  yang  stabil.  Pada akhirnya, dengan menggunakan metode multiple scale dan memberikan variasi nilai amplitudo  awal  dapat  ditunjukkan  bahwa  solusi  persamaan  Van  der  Pol  konvergen ke solusi periodik dengan periode dua.
Abstract: In this paper,  the stability analysis is given, the existence and stability of the  limit  cycle  are  investigated,  and  the  approach  solution  is  determined  using  the multiple  scale  method  of  the  Van  der  Pol  equation.  This  research  was  conducted  in three stages of method. First, analyzing the dynamic behavior of the equation around the equilibrium, including the transformation of equations into a system of equations, analysis  of  the  stability  of  equations  through  linearization,  and  analysis  of  the possibility  of  bifurcation  of  the  equations.  Second,  the  existence  and  stability  of  the limit cycle of the equation are proved using the Lienard theorem. Third, the approach solution of the Van der Pol equation is determined using the multiple scale method. Our  results,  based on  variations in  the  values of  the  damping  strength  parameters, the  stability  region of  the  Van  der  Pol  equation  is  divided  into  three  types.  For  the positive value, it is resulting in unstable equilibrium, and  contrary, for the negative value, it is resulting in asymptotic stable equilibrium, and without the damping force, it is resulting in stable equilibrium. In conditions without damping force, the Van der Pol equation has a periodic solution and has hopf bifurcation. In addition, by using the Lienard theorem, it is proven that the periodic solution is a stable limit cycle. Finally, by  using  the  multiple  scale  method  with  varying  the  initial  amplitude  values,  it  is shown that the solution of the Van der Pol equation is converge to a periodic solution with a period of two. Kata Kunci:
Persamaan Van der Pol; Ekuilibrium; Analisa Kestabilan; Limit Cycle; Solusi Periodik; Multiple Scale.
Keywords: Van der Pol Equation; Equilibrium; Stability Analysis; Limit Cycle; Periodic Solution; Multiple Scale.
https://doi.org/10.31764/jtam.v3i2.1084
This is an open access article under the CC–BY-SA license
——————————  ——————————

## A. LATAR BELAKANG
Banyak  permasalahan  pada  bidang  ilmu  fisika, biologi,  kimia,  elektronik,  neurologi,  sosiologi  dan
ekonomi yang berhubungan dengan masalah osilator berbentuk  persamaan  diferensial  nonlinear.  Salah satu  contoh  yang  berbentuk  persamaan  diferensial
Yuni Yulida, Analisa Kestabilan dan Solusi ... 157 biasa  nonlinier  adalah  persamaan  Van  der  Pol. Menurut Mazarei, Behroozpoor dan Kamyad (2014), linearisasi  pada  sistem  persamaan  nonlinier  adalah cara  efektif  dalam  menentukan  solusi  pendekatan dan  analisa  system  (Mazarei,  Behroozpoor,  & Kamyad, 2014).
Osilator Van der Pol pertama kali diusulkan pada tahun  1920  oleh  Balthasar  Van  der  Pol,  seorang insinyur  kelistrikan  dan  sekaligus  fisikawan  yang berasal dari Belanda. Van der Pol menemukan osilasi stabil,  yang  kemudian  disebut  sebagai  relaksasi- osilasi dan sekarang dikenal sebagai suatu tipe limit cycle dalam  rangkaian  listrik  yang  menggunakan tabung vakum. Ketika sirkuit ini didekatkan ke limit cycle ,  maka  akan  terperangkap,  yaitu  sinyal penggerak  akan  menarik  arus  bersama  dengannya (Hellevik & Gudmestad, 2017).
Persamaan  Van  der  Pol  memiliki  sejarah  yang panjang  dalam  perkembangan  teori  maupun aplikasinya.  Dalam  bidang  biologi,  persamaan  Van der Pol diperluas dan diaplikasikan ke bidang planar sebagai  model  untuk  potensial  aksi  dari  neuron. Dalam  bidang  seismologi,  persamaan  ini  digunakan untuk  memodelkan  interaksi  dua  lempeng  dalam patahan  geologis.  Kemudian  pada  bidang  neurologi, persamaan  Van  der  Pol  digunakan  dalam mempelajari sistem kontrol penggerak jaringan saraf di sumsum tulang belakang. Sedangkan Van der Pol sendiri  membangun  sejumlah  model  sirkuit elektronik  jantung  manusia  untuk  mempelajari berbagai  kestabilan  dinamika  jantung  (Aybar, Kusbeyzi Aybar, & Hacinliyan, 2013), (Vaidyanathan, 2015).
Persamaan  Van  der  Pol  merupakan  persamaan diferensial  yang  mengandung  suku-suku  gangguan (yang  biasa  disebut  perturbasi)  dan  sulit diselesaikan  secara  analitik  untuk  memperoleh solusi  eksak.  Oleh  karena  itu,  dibutuhkan  metode khusus untuk memperoleh solusi pendekatan. Salah satu  metode  yang  dapat  digunakan  untuk memperoleh  solusi  pendekatan  dan  mengatasi masalah  perturbasi  adalah  metode multiple  scale (Jacobsen,  2013),  (Kuehn,  2015).  Metode  ini digolongkan  sebagai  salah  satu  metode  pertubasi yang digunakan untuk menentukan solusi aproksimasi  (Low,  Ramlan,  Muhammad,  &  Ghani, 2016).  Dalam  metode multiple  scale digunakan beberapa  skala  waktu  yang  dinyatakan  dalam  orde parameter (Bajaj & Prakash, 2013).
Penelitian  terkait  solusi  pendekatan  persamaan Van der Pol banyak dikembangkan diantaranya yang penulis  lakukan  adalah  membandingkan  solusi persamaan  Van  der  Pol  Menggunakan  metode multiple  scale dan  metode  Kryloff  Dan  Bogoliuboff. Peneliti  lain  seperti  Cordshooli  and  Vahidi  (2011) menyajikan  cara  menentukan  solusi  Van  der  Pol
menggunakan  metode  dekomposisi  Adomian (Cordshooli  &  Vahidi,  2011).  Sedangkan  Hosseini, Babolian  dan  Abbasbandy  (2016)  mengembangkan solusi  metode  dekomposisi  Adomian  untuk Persamaan  Van  der  Pol  (Hosseini,  Babolian,  & Abbasbandy,  2016).  Selanjutnya,  Bajaj  and  Prakash (2013) menentukan solusi menggunakan perturbasi dan memberikan analisa dinamik dan Karim (2019) membahas  solusi  yang  memuat  ketidakpastian (Bajaj & Prakash, 2013), (Karim, 2019).
Berdasarkan uraian di atas, tujuan penelitian ini adalah  mengkaji  dan  menganalisa  perilaku  dinamik dari  persamaan  Van  der  Pol,  membuktikan eksistensi dan kestabilan limit cycle dari persamaan Van  der  Pol,  dan  menentukan  solusi  pendekatan menggunakan  metode multiple  scale yang  akan mendukung penentuan limit cycle .

## B. METODE PENELITIAN
Metode  Penelitian  yang  digunakan  dalam penelitian  dilakukan  dalam  beberapa  tahap  yaitu melakukan  pengkajian,  tinjauan  literatur  dan menentukan  solusi  pendekatan.  Langkah  pertama, menganalisa perilaku dinamik di sekitar ekuilibrium persamaan  Van  der  Pol  meliputi:  transformasi persamaan  ke  sistem  persamaan  diferensial  biasa orde  satu  (Yulida  &  Karim,  2019),  menganalisa kestabilan  lokal  melalui  linearisasi  (Brauer  & Castillo-Chavez, 2010), (Cheng & et al, 2010), (Taylor &  Bhathawala,  2012),  (Rigatos,  Siano,  Wira, Abbaszadeh,  &  Zouari, 2018)  menganalisa kemungkinan  terjadinya  bifukasi.  Langkah  kedua membuktikan  eksistensi  dan  kestabilan limit  cycle . Terakhir,  langkah  ketiga,  menentukan  solusi pendekatan  persamaan  Van  der  Pol  menggunakan metode multiple scale .

## C. HASIL DAN PEMBAHASAN
1. Analisa Kestabilan Persamaan  Van  der  Pol  merupakan persamaan diferensial orde dua yang berbentuk:
( ) (1) dengan adalah  koordinat  posisi  yang merupakan  fungsi  dari  waktu ,  dan adalah parameter  skalar  yang  menunjukkan  nonlinier dan kekuatan redaman.
Persamaan  (1)  ditransformasi  menjadi Sistem persamaan diferensial sebagai berikut:
( ) (2)
Sistem (2) memiliki titik ekuilibrium ̂   ( ̂ ̂ )   (   )
158 | JTAM (Jurnal Teori dan Aplikasi Matematika) | Vol. 3, No. 2, Oktober 2019, Hal. 156-161
Selanjutnya,  dilakukan  lineriasi  Persamaan (2)  menggunakan  deret  Taylor  di  sekitar  titik ekuilibrium,  sehingga  diperoleh  matriks  Jacobi sebagai berikut
( ) (3)
Nilai eigen dari Persamaan (3) adalah √ (4) Dari Persamaan (4), Jika maka akar-
akar  karakteristik  (4)  bernilai  imajiner. Selanjunya,  diberikan  gambar  1  yaitu  grafik persamaan  (4),  nilai  eigen  riil  terhadap  nilai parameter . berikut
Gambar 1. Nilai eigen bernilai riil terhadap parameter
Berdasarkan  Persamaan  (4)  dan  Gambar  1, daerah kestabilan terbagi tiga yaitu
1. Selang adalah  daerah  yang stabil (contoh potret fase pada gambar 2) 2. Selang adalah  daerah  yang  tidak stabil. (contoh potret fase pada gambar 3) 3. Parameter adalah  parameter  yang menyebabkan  terjadi  bifurkasi hopf ,  titik ekuilibriumnya  bertipe center dan  jenisnya stabil. (contoh potret fase  pada gambar 4) Berikut  diberikan  potret  fase  untuk  ketiga selang yang diberikan sesuai Gambar 2 berikut.
Gambar 2. Potret Fase dengan parameter (stabil asimtotik)
Gambar 3. Potret Fase dengan parameter (spiral, tidak stabil)
Gambar 4. Potret Fase dengan parameter ( center , stabil)
Berdasarkan  pernyataan  3  dan  Gambar  4, Sistem  (2)  memiliki  solusi  periodik  pada  saat .  Berikut  diberikan  eksistensi  dan kestabilan limit cycle .
2. Eksistensi dan Kestabilan Limit Cycle Pada  Subbab  C.1  telah  diselidiki  perilaku dinamik  berupa  kestabilan  titik  ekuilibrium berdasarkan nilai parameter, solusi periodik dan bifurkasi.  Berdasarkan  hal  tersebut  akan diselidiki  apakah  solusi  periodik  tersebut merupakan limit  cycle atau  bukan.  Untuk menyelidiki  eksistensi  dan  sekaligus  kestabilan limit  cycle pada  Persamaan  Van  der  Pol. Persamaan  (1)  dapat  ditransformasi  ke  sistem Lienard, dengan ( )     ( ) dan ( ) sehingga Persamaan (2) menjadi
( ) ( ) (5) Misalkan  pada  Persamaan  (5), ( ) , maka diperoleh ( ) Jika kedua ruas diintegralkan satu kali terhadap t maka diperoleh ∫  ( ) (6)
Selanjutnya  dimisalkan ( )   ∫  ( ) ,  maka Persamaan (6) menjadi ( ) . Jadi, dapat disimpulkan  bahwa  berdasarkan  Persamaan  (5), maka  Persamaan  (2)  ekuivalen  dengan  sistem Lienard berikut
( ) (7)
dengan ( )     ( ) dan ( ) .
Eksistensi  dan  kestabilan limit  cycle Persamaan  Van  der  Pol  (1)  dapat  diselidiki melalui  Persamaan  (7).  Berikut  diberikan pembuktian tersebut.
1. Akan  dibuktikan  bahwa  fungsi ( ) Fungsi ( )     ( ) dan ( )
( )     ( ) jelas  kontinu  pada .
Fungsi ( ) dan ( ) jelas  kontinu pada . 2. Akan  dibuktikan  bahwa ( )     ( )
dan ( ) masing-masing  merupakan fungsi ganjil. Fungsi ini berlaku bahwa
(  )      ( )     ( )
dan (  )          ( ) adalah fungsi ganjil.
3. Akan  dibuktikan  bahwa ( ) untuk
, ( ) , ( ) . ( ) untuk , ( )     ( ) , ( )     ( ) dengan . 4. Akan  dibuktikan  bahwa mempunyai pembuat  nol  positif.  Pembuat  nol  dari adalah ( ) , yaitu
(    √ )(    √ )
sehingga diperoleh pembuat nol
atau √ atau √ . Jadi, mempunyai pembuat nol positif yaitu √ .
5. Akan dibuktikan bahwa monoton naik menuju tak hingga untuk √ , . Turunan fungsi adalah ( )    ( )
( ) . Berdasarkan 4 di atas ada empat selang yang dapat dibentuk yaitu (     √ [ √    ] , [   √ ] , √    ) . Jika dilakukan pengujian pada selang tersebut (dengan asumsi ) maka diperoleh a. ( ) pada √    ) fungsi monoton naik. b. ( ) pada (     √ [ √    ] [   √ ] ,  fungsi monoton turun.
Jadi terbukti bahwa monoton naik menuju tak hingga untuk √ , .
Dari pembuktian 1-5, berdasarkan Teorema Lienard  dapat  disimpulkan  bahwa  Persamaan Van der Pol (1) mempunyai tepat satu limit cycle . Selanjutnya,  jenis  kestabilan  dari limit  cycle tersebut adalah stabil.
3. Solusi Pendekatan Persamaan Van Der Pol Menggunakan Metode Multiple Scale Pada  metode multiple  scale ini  diasumsikan bahwa solusi Persamaan (1) berbentuk deret:
( ) ( ) (8) untuk didefinisikan  dengan , sehingga  operator  diferensial  yang  digunakan adalah (9)
Berdasarkan    Persamaan  (8)  dan  (9)  dapat diperoleh:
( ) dan ( ) (10)
Selanjutnya  Persamaan  (8)  dan  (10) disubstitusi ke Persamaan (1) diperoleh:
( )
(( )    ) ( ( ) ( )     ) (    ( ( ) ( )
) ) ( ) ( ( ) ( )     )
(11)
Persamaan (11), diuraikan menjadi
( ) ( ( ) ( )     ) (    ( ( ) ( )     )( ( ) ( )     )) [( ) ( )     ( ) ( ) ] atau
(
) (12)
Dari  Persamaan  (12),  dikumpulkan  suku- suku yang sejenis dalam pangkat , diperoleh: Order ( ) :
(13)
160 | JTAM (Jurnal Teori dan Aplikasi Matematika) | Vol. 3, No. 2, Oktober 2019, Hal. 156-161
( )
Order ( ) :
( ) (14) Persamaan (14) adalah persamaan diferensial  order  dua  homogen,  dengan  solusi umum persamaan adalah
( ) ( )   ( ) ( )   ( ) (15)
dengan ( ) dan ( ) adalah  fungsi-fungsi sebarang dalam 2 t . Persamaan (15) dapat ditulis menjadi
( )    ( )    ( ( )) (16) Dengan menggunakan sifat Euler, Persamaan (16) dapat dinyatakan ( ) (17) Misalkan pada Persamaan (17) ( ) , ̅( ) (18)
Berdasarkan  Persamaan  (18)  maka  Persamaan (17) menjadi
( )    ( ) ̅( ) (19) Dari Persamaan (19) diperoleh ̅ ̅ (20) Pers  (20)  disubtitusi  ke  Persamaan  (14), diperoleh ( ) [ ̅ ] [ ̅ ] [ ̅ ] ̅ [ ̅ ] ̅
( ̅        )
( ) ( ̅      ̅ ̅̅̅ )
( ̅ ) dengan mengganti kompleks konjugat dengan cc , maka diperoleh
( ̅        )
( ) Dengan memilih  suku  yang memuat
dan membuatnya bernilai nol, maka diperoleh: ( ̅        ) . Karena maka
( ̅        ) (21) Dengan  menggunakan  Persamaan  (18)  dan mengingat ,  maka  Persamaan  (21) menjadi ( ) (22) Karena 0 i e q ¹ , maka diperoleh
( ) (23) Persamaan (23) akan bernilai nol, jika memenuhi sistem (24)
Dari  persamaan  (24)  yang  bagian  kedua,
diperoleh solusi maka solusi (16) menjadi ( )    ( )    ( ) ( ) (25)
Dari  persamaan  (24)  bagian  pertama merupakan  persamaan  Bernoulli,  dengan  nilai awal ( ) diperoleh  solusi  pendekatan (25) menjadi
( ) √ ( ) ( )    ( ) (26)
Jadi,  solusi  perturbasi  Persamaan  Van  der Pol  (1)  didekati  menggunakan  suku  pertama diperoleh
( ) √ ( ) ( ) (27)
dengan ( ) √ ( ) .
Selanjutnya,  berdasarkan  persamaan  (27)
dapat dianalisa bahwa Jika
maka ( ) sehingga  menghasilkan  solusi  periodik  yaitu
( ) . Jika atau untuk maka  diperoleh ( ) .  Berikut diberikan grafik solusi ( ) menggunakan metode multiple scale dengan variasi nilai amplitudo awal .
Gambar 5. Solusi Persamaan Van der Pol menggunakan metode multiple scale dengan variasi nilai
Yuni Yulida, Analisa Kestabilan dan Solusi ... 161 Berdasarkan analisa solusi pendekatan menggunakan  metode multiple  scale dan  grafik (Gambar  5)  dapat  disimpulkan  bahwa  dengan memberikan  nilai  amplitudo  awal  yang  berbeda diperoleh  solusi  persamaan  Van  der  Pol  yang konvergen ke solusi periodik dengan periode 2.

## D. SIMPULAN DAN SARAN
Berdasarkan  hasil  a nalisa  kestabilan melalui linearisasi  di  sekitar  titik  ekuilibrium  pada persamaan  Van  der  Pol  (yang  telah  ditransformasi menjadi  sistem  persamaan), diperoleh  tiga  daerah ketabilan  berdasarkan  nilai  parameter  kekuatan redaman  yaitu adalah  daerah  yang menyebabkan  titik  ekuilibrium  stabil  asimtotik, adalah  daerah  menyebabkan  titik ekuilibrium  tidak  stabil.  Selanjutnya,  untuk menyebabkan  terjadi  bifurkasi hopf dan  titik ekuilibrium  bertipe  center  dan  stabil.  Akibatnya persamaan  memiliki  solusi  periodik.  Selanjutnya, solusi  periodik  dibuktikan  merupakan limit  cycle yang stabil dengan cara metransformasi persamaan Van  der  Pol  menjadi  sistem  Lienard  dan menggunakan
Teorema
Lienard.
Terakhir, berdasarkan  solusi  yang  diperoleh  melalui  metode multiple  scale diperoleh  kesimpulan  bahwa  dengan memberikan  nilai  amplitudo  awal  yang  berbeda maka  solusi  persamaan  Van  der  Pol  konvergen  ke solusi  periodik  dengan  periode  dua.  Penelitian selanjutnya  dapat  mengkaji  model  Van  der  Pol dengan external  forced  oscillation dan  dapat menggunakan metode perturbasi.

## UCAPAN TERIMA KASIH
Tim  Penulis  mengucapkan  terima  kasih  Kepada DIPA-PNBP  FMIPA  ULM  Tahun  2019  yang  telah mendanai penelitian ini.

## REFERENSI
Aybar, O. O., Kusbeyzi Aybar, I., & Hacinliyan, A. S. (2013). Bifurcations  in  Van  der  Pol-like  systems. Mathematical  Problems  in  Engineering , 2013 . https://doi.org/10.1155/2013/138430
Bajaj,  V.,  &  Prakash,  N.  (2013).  Non  Linear  Oscillator Systems  and  Solving  Techniques. Int.  Journal  of Scientific and Research Publications , 3 (5), 1 – 9. Brauer,  F.,  &  Castillo-Chavez,  C.  (2010). Mathematical Models in Population Biology and Epidemiology . New York: Springer. Cheng,  D.,  &  et  al.  (2010). Linearization  of  Nonlinear Systems .  Berlin  Heidelberg:  Science  Press  Beijing and Springer-Verlag.
Cordshooli,  G.  A.,  &  Vahidi,  A.  R.  (2011).  Solutions  of Duffing - van der Pol equation using decomposition method. Advanced Studies in Theoretical Physics , 5 (1- 4), 121 – 129.
Hellevik,  K.,  &  Gudmestad,  O.  T.  (2017).  Limit  cycle oscillations  at  resonances. IOP  Conference  Series: Materials  Science  and  Engineering , 276 (1). https://doi.org/10.1088/1757- 899X/276/1/012020 Hosseini, S., Babolian, E., & Abbasbandy, S. (2016). A New Algorithm for Solving Van der Pol Equation Based on Piecewise Spectral Adomian Decomposition Method. Int. Journal Industrial Mathematics , 8 (3), 177 – 184. Jacobsen,  P.  K.  (2013).  Introduction  to  the  Method  of Multiple Scales. UiT The Arctic University of Norway . Karim,  M.  .  (2019). Estimasi  Parameter  Pada  Persamaan Diferensial Biasa Fuzzy . Institut Teknologi Bandung. Kuehn,  C.  (2015).  Multiple  Time  Scale  Dynamics. Applied Mathematical  Sciences  (Switzerland),  191 ,  1 – 814. https://doi.org/10.1007/978-3-319-12316-5 Low,  P.  S.,  Ramlan,  R.,  Muhammad,  N.  S.,  &  Ghani,  H.  A. (2016).  Comparison  of  harmonic  balance  and multiple scale method on degree of nonlinearity for duffing  oscillator. ARPN  Journal  of  Engineering  and Applied Sciences , 11 (8), 5314 – 5319. Mazarei, M. M., Behroozpoor, A. A., & Kamyad, A. V. (2014). The  Best  Piecewise  Linearization  of  Nonlinear Functions. Applied Mathematics , 05 (20), 3270 – 3276. https://doi.org/10.4236/am.2014.520305 Rigatos, G., Siano, P., Wira, P., Abbaszadeh, M., & Zouari, F. (2018). Nonlinear H-infinity control for optimization of  the  functioning  of  mining  products  mills. Proceedings: IECON 2018 - 44th Annual Conference of the  IEEE  Industrial  Electronics  Society ,  2367 – 2372. https://doi.org/10.1109/IECON.2018.8592736
Taylor, M. R., & Bhathawala, P. H. (2012). Linearization of Nonlinear  Differential  Equation  by  Taylor’s  Series Expansion and Use of Jacobian Linearization Process. International  Journal  of  Theoretical  and  Applied Science , 4 (1), 36 – 38.
Vaidyanathan,  S.  (2015).  Output  regulation  of  the  forced Van  der  Pol  chaotic  oscillator  via  adaptive  control method. International  Journal  of  PharmTech Research , 8 (6), 106 – 116.
Yulida,  Y.,  &  Karim,  M.  A.  (2019).  Perbandingan  Solusi Persamaan  Van  der  Pol  Menggunakan  Metode Multiple  Scale  dan  Metode  Kryloff  dan  Bogoliuboff. Seminar Dan Rapat Tahunan BKS PTN Wilayah Barat Bidang  MIPA  (SEMIRATA) .  Universitas  Bengkulu, Bengkulu.