Vol. 6, No.1, 44-48,  Juli  2009
Penentuan Daerah Kritis Terbaik dengan Teorema Neyman- Pearson
Georgina M. Tinungki 

## Abstrak
Terdapat  beberapa  metode  untuk  membangun  uji  statistik  yang  baik,  diantaranya  adalah Teorema  Neyman  Pearson  yang  diawali  dengan  menguji  hipotesis  sederhana H 0 melawan hipotesis  alternatif H 1 .  Sebelum  kita  mendefinisikan  suatu  uji  terbaik,  suatu  observasi  harus dibuat. Tentu uji tersebut menetapkan suatu daerah kritis, atau dengan kata lain suatu pilihan atas suatu daerah kritis menggambarkan suatu uji.
Kata Kunci : Teorema Neyman-Pearson, uji terbaik, daerah kritis.

## 1. Pendahuluan
Dalam  mengambarkan  uji  terbaik,  satu  observasi  yang  penting  yang  harus  dibuat,  yaitu suatu uji penetapan daerah kritis atau suatu pilihan dari gambaran daerah kritis suatu uji. Sebagai contoh,  jika  diberikan  satu  daerah  kritis  C={( x 1 , x 2 , x 3 ); x 1 2 + x 2 2 + x 3 2 + uji  terbaik  ditentukan. Dalam  uji  tersebut,  ada  tiga  variabel  random X 1 , X 2 , X 3 yang  perlu  dipertimbangkan.  Misalkan nilai pengamatan x 1 , x 2 , x 3 , maka H 0 diterima jika x 1 2 + x 2 2 + x 3 2 < 1, dan ditolak untuk H 0 lainnya. Ini adalah bentuk “uji” dan “daerah kritis” yang keduanya dapat dipertukarkan. Jika digambarkan suatu daerah kritis yang baik, maka akan tergambar suatu uji yang baik.
Andaikan f ( x;θ )  menyatakan  pdf  dari  suatu  variable  random X .      Andaikan X 1 , X 2 , X 3 menyatakan suatu sampel random dari distribusi ini,  dan andaikan dua hipotesis sederhana:
H 0 : θ = θ ’  dan H 1 : θ = θ ”,
maka = ( θ ; θ = θ ’, θ ”). Sekarang akan digambarkan suatu daerah kritis terbaik sekaligus suatu uji terbaik, untuk pengujian hipotesis sederhana H 0 lawan alternatifnya hipotesis sederhana H 1 . Dalam  definisi  ini  symbol-simbol P r [( X 1 , X 2 , … , X n ) ]  dan P r [( X 1 , X 2 , … , X n ) ] berarti P r [( X 1 , X 2 , … , X n ) ]  ketika, berturut-turut, H 0 dan H 1 adalah benar.

## 2. Teorema Neyman-Pearson
Misalkan X 1 , X 2 , … , X n dimana n adalah bilangan bulat positif, suatu sampel acak dari suatu distribusi yang mempunyai p.d.f. f ( x ; θ ), sehingga joint p.d.f dari X 1 , X 2 , … , X n adalah L ( θ ; x 1 ,    x 2 ,  …  , x n )  = f ( x 1 ; θ ) f ( x 1 ; θ )  … f ( x n ; θ ). θ’ dan θ’’ nilai  tetap  beda  dari θ sehingga sehingga 𝛺 = { θ : θ = θ’ , θ’’ }, dan k adalah nilai positif. C subset dari ruang sampel sedemikian sehingga:
a. ( )
( ) ≤ k ,   untuk masing-masing titik ( x 1 ,  x 2 ,…, x n ) C b. ( )
( ) ≥ k ,   untuk masing-masing titik ( x 1 , x 2 ,…, x n ) C c. Α = Pr [( X 1 , X 2 , …., X n ) C; H 0 ]
 Jurusan Matematika  FMIPA  Universitas Hasanuddin  Makassar

## Georgina M. Tinungki
Kemudian C adalah daerah kritis terbaik dari ukuran α untuk menguji hipotesis sederhana H 0 : θ = θ  lawan suatu hipotesis alternative H 1 :   =  . Jika terdapat X 1 , X 2 , …., X n suatu sampel acak dari suatu distribusi yang mempunyai pdf
F ( x ; θ ) = √ exp ( (    ) ),       - .
Ini diinginkan untuk menguji hipotesis sederhana H 0 : =  = 0 melawan hipotesis tandingan H 1 : =  = 1. Sekarang
(                ) (                 ) = (( √ ) )     ( (∑ ) ) (( √ ) )     ( (∑ (    ) ) ) =  exp (  ∑ ( ) ) .
Jika k > 0,
exp (  ∑ ( ) ) ≤ k ,
ini adalah daerah ktiris terbaik. Ketaksamaan ini bertahan jika dan hanya jika
∑ ≤  ln k ekivalen ∑ ln k = c .
Pada kasus ini, daerah kritis terbaik adalah set C = *(              )  ∑ + , dimana c adalah konstanta yang dapat ditentukan sehingga ukuran dari daerah kritis adalah nilai yang diinginkan α ,  dengan c i =  c/ √ .  Jika H 0 benar dimana   = θ  =  0,  maka ̅ mempunyai  distribusi  N(0.1/ n ). Untuk  n  bilangan  bulat  positif,  ukuran  sampel  dan  level  signifikansi α yang  diberikan,  nilai c 1 dapat ditentukan dari tabel distribusi Normal sehingga diperoleh Pr( ̅ c 1; H 0 ) = α .  Akibatnya jika nilai percobaan dari X 1 , X 2 , …., X n ada, begitupula x 1 , x 2 ,…, x n , kita dapat menghitung
̅ = ∑ ⁄ .
Jika ̅ ≥  c 1 ,    hipotesis H 0 : θ = θ  =  0    akan  ditolak  pada  level  signifikansi α .    Jika ̅ < c 1 , hipotesis H 0 : θ = θ  = 0   akan diterima. Peluang penolakan H 0 ketika H 0 benar adalah α . Peluang penolakan H 0 ketika H 0 salah, adalah nilai dari uji pada θ = θ  = 1, yaitu
Pr( ̅ c 1; H 1 ) = ∫ √  √ [ ( ̅    ) ( ⁄ ) ] d ̅ .
Sebagai  contoh,  jika n =  25  dan  jika α =  0.05,  kemudian  dari  tabel  distribusi  normal  kita mendapatkan
c 1 = 1.645/ √ =  0.329,
sehingga nilai dari uji terbaik ini dari H 0 melawan H 1 adalah 0.05, ketika H 0 benar dan
∫ √  √ * ( ̅    ) (  ) + d ̅ = ∫ √ dw  =  0.999
jika H 1 benar.

## Definisi 1.
Andaikan C menyatakan suatu himpunan bagian dari ruang sampel maka C disebut daerah kritis terbaik  berukuran  α  untuk  uji  hipotesis  sederhana  H 0 :  θ  =  θ  melawan  hipotesi  alternatif    s sederhana H 1 : θ = θ  ,      jika untuk  setiap  himpunan  bagian   A   dari  ruang  sampel   dimana
Georgina M. Tinungki
P r [( X 1 , X 2 , …………, X n ) ] = α :
(a) P r [( X 1 , X 2 , …………, X n ) ] = α
(b) P r [( X 1 , X 2 , …………, X n ) ] P r [( X 1 , X 2 , …………, X n ) ]
Definisi  di  atas  pada  hakekatnya  mengikuti  asumsi  pertama  bahwa H 0 adalah  benar. Secara umum akan ada suatu keseragaman dari himpunan bagian A dari ruang sampel sedemikian hingga P r [( X 1 , X 2 ,  …  , X n ) ]  = α .      Perkiraan  terdapat  satu  himpunan  bagian,  katakan C , sedemikian bilamana H 1 adalah benar, kekuatan dari uji yang berhubungan dengan C adalah lebih kecil  dari  kekuatan  uji  yang  berhubungan  dengan  satu  sama  lain A ,  maka C menggambarkan daerah kritis terbaik  berukuran α untuk uji H 0 lawan H 1 .
Dalam  kasus  berikut  akan  diuji  definisi  secara  detail  dalam  kesamaan  dan  dalam  kasus yang sangat sederhana.

## 3. Penerapan Dalam Berbagai Kasus
Apabila  dimisalkan X 1, …, Xn peubah  acak  bebas  masing-masing  seragam  pada  (0, θ ), θ tidak  diketahui, θ є  Θ  =  { z , z >  0}.    Maka  dapat  ditentukan    uji  paling  kuasa  bertaraf  α  =  0,05 untuk H 0 : θ =1   lawan H 1 : θ =2.
Untuk H 0 :
1,  jika 0 min ( ) maks ( )
( |     )
0, lainnya Untuk H 1 :
1,  jika 0 min ( ) maks ( )
( |     )
0, lainnya
Dalam Tabel 1 diberikan penentuan daerah kritis dalam beberapa kasus.
Tabel 1. Beberapa kasus dalam menentukan daerah kritis. Kasus ( |     ) ( |     ) 1. min ( 0 0 2. min ( dan maks ( ) 1 3. min ( dan 1 < maks ( ) 0 4. min ( dan 2 < maks ( ) 0 0

## Georgina M. Tinungki
Selanjutnya perhatikan tabel berikut jika ( |     ) lawan ( |     ) , maka ada beberapa kemungkinan yang bisa terjadi sebagaimana digambarkan pada tabel berikut.
Tabel 2. Beberapa kasus khusus.
Kasus ( |     ) > ( |     ) ( |     ) = ( |     ) ( |     ) < ( |     ) 1 Tidak mungkin Selalu Tidak mungkin 2 Jika k < Jika k = Jika k > 3 Selalu Tidak mungkin Tidak mungkin 4 Tidak mungkin Selalu Tidak mungkin
, Kasus 1, atau kasus 2, atau kasus 4]  = 0
E θ =1 ϕ 1 ( X ) =  P θ =1 [kasus 2]+P θ =1 [kasus 1, kasus 3, atau kasus 4]
=  + 1 + 0 = 
Karena itu, pilihan  = α = 0.05. Jadi suatu uji bertaraf α = 0.05 yang paling kuasa untuk Ho : θ = 1 dan H 1 :   = 2 diberikan oleh :
0,05, jika min ( x 1 ,…, x n ) ≥ 0 dan maks ( x 1 ,…, x n ) ≤1 ϕ 1 ( X ) = 1 selainnya
Fungsi kuasa uji ini dihitung sebagai berikut. Untuk 0 < θ ≤ 1:
E =1 ϕ 1 (X) = 0,05 P θ [min( X 1 ,…, X n ) ≥ 0 dan maks ( X 1 ,…, X n ) ≤ 1] + P θ [min( X 1 ,…, X n )≥ 0 dan maks( X 1 ,…, X n )≤ 1] = (0,05)(1) + (0,05)(1) = 0,05.
Untuk 1 < θ :
E θ =1 ϕ 1 ( X ) = 0,05 P θ [min( X 1 ,…, X n ) ≥ 0 dan maks (( X 1 ,…, X n ) ≤ 1] + P θ [min( X 1 ,…, X n ) ≥ 0 dan maks( X 1 ,…, X n ) ≤ 1] = (0,05)(1/  ) n + 1.(1-(1/  ) n ) = 1- 0,95/  .

## 4.  Kesimpulan
Berdasarkan  pembahasan  terlihat  bahwa  inti  persoalan  dari  pencarian  uji  paling  kuasa bertaraf α terletak  pada  penentuan  suatu  daerah  kritis C sedemikian  rupa  sehingga  daerah  itu mempunyai peluang α bila H 0 benar, dan tidak ada daerah lain (yang juga mempunyai peluang α bila H 0 benar)  yang  dapat  mempunyai  peluang  yang  lebih  besar  daripada  peluang C  bila H 1 benar,  sehingga  jika  kita  mendefinisikan  suatu  daerah  kritis  terbaik  maka  kita  juga  dapat mendefenisikan suatu uji terbaik.

## Daftar Pustaka
[1] Dudewicz, E.J., Mishra, S.N., 1988, Modern Mathematical Statistics, John Wiley & Sons, Ltd. Inc.
[2] Hogg,  R.V.  dan  Craig,  A.T.,  1995, Introduction to Mathematical  Statistics, Fifth  Edition, Prentice Hall.
[3] Bain,  L.J.  dan    Engelhardt,  M.,  1992, Introduction  to  Probability  and  Mathematical Statistics, Second Edition, Duxbury Press, An Imprint of  Wadsworth Publishing Company Belmont, California.
[4] Casella, G. dan & Berger, R.L., 1990, Statistical Inference, Wadsworth Inc., Belmont, California.