Vol. 3, No.2, 96-102,  Januari 2007
Kombinasi Penaksiran Model Lag Terdistribusi Dengan Ekspektasi Adaptif Dan Penyesuaian Parsial
Aidawayati Rangkuti †

## Abstrak
Dalam  menaksir  Model  Lag  Terdistribusi,  masalah  yang  mungkin  terjadi  adalah  tidak adanya pegangan baku tentang panjang maksimum lag, selain itu apabila variabel lag yang digunakan semakin banyak maka mengakibatkan bertambah banyak data yang hilang dan akan  muncul  multikolinearitas.  Satu  cara  yang  dilakukan  untuk  mengatasi  hal  tersebut sebelum  dilakukan  penaksiran  model  adalah  dengan  menggunakan  Transformasi  Koyck sehingga  diperoleh  Model  Koyck.  Selanjutnya  Model  Ekspektasi  Adaptif  menggunakan variabel lag dan memberikan peran yang penting pada periode sekarang untuk dihasilkan pada periode yang akan datang, sedangkan Model Ekspektasi Penyesuaian Parsial mampu menyesuaikan  diri,  dan  memanfaatkan  variabel  lag  untuk  menjelaskan  penyesuaian ekspektasi  yang  dikaitkan  dengan  ketidakpastian  di  masa  depan.  Selanjutnya,  kombinasi Model  Ekspektasi  Adaptif  dan  Penyesuaian  Parsial  menggunakan  variabel  lag  untuk dihasilkan  pada  jangka  panjang  ( long  run ).  Tingkat  signifikansi  Model  Adaptif,  Model Parsial  Adjustment  dan  kombinasinya  relatif  kurang  baik,  hal  ini  disebabkan  adanya multikolinier dan autokolerasi.
Keywords: Model ( Koyck,  Ekspektasi  Adaptif,  Parsial  Adjustment ) ,  Variabel Instrument .

## 1.  Pendahuluan
Ekonometrika  atau Econometrics adalah  cabang  ilmu  ekonomi  dengan  penaksiran empiris hubungan-hubungan antara variabel-variabel ekonomi. Teori statistika sebagai teknik ekonometrika  yang  digunakan  untuk  mengukur  dan  menguji  secara  empiris  hubungan- hubungan  antara  variabel-variabel  ekonomi.  Istilah  ekonometrika  digunakan  pertama  kali tahun  1930-an,  yaitu  penggabungan  matematika  murni  dan  penaksiran  empiris  hubungan variabel-variabel  ekonomi,  dimana  hal    ini  disebut  dengan  matematika  ekonomi.  Model ekonometrika  pada  umumnya  menggunakan  model  persamaan  garis  regresi  linier  berganda. Bentuk umum persamaan tersebut adalah
i i i i X Y       0 , dimana i = 1,2,... n
Dalam  model  ekonometrika,  variabel i Y disebut  variabel endogen (variabel  terikat)  dan variabel i X disebut  variabel eksogen (variabel  bebas),  serta i  disebut  error.  Hubungan antara variabel terikat dan variabel bebas mengacu pada periode atau waktu yang sama, dan dapat pula menunjukkan periode atau waktu yang berbeda. Perbedaan waktu antara variabel terikat  yang  biasanya  menunjukkan    saat  sekarang    dan  variabel  bebas  yang  menunjukkan waktu  lalu  dapat  digunakan  untuk  membuat  model  yang  biasa  disebut  dengan  model  lag terdistribusi (Awat,1995).
Bentuk umum model lag terdistribusi dituliskan dalam bentuk berikut:
† Staf Pengajar pada Jurusan Matematika FMIPA Universitas Hasanuddin Makassar
t t t t t X X X Y              ... 2 2 1 1 0
Menurut Alt dan Tinbergen (1942), variabel bebas pada model Lag Terdistribusi diasumsikan tidak berkorelasi dengan error atau  . Oleh karena itu Alt dan Tinbergen menyarankan untuk menaksirnya  dengan  mula-mula  meregresikan t Y atas t X ,  kemudian  meregresikan t Y atas
t X dan 1  t X , kemudian meregresikan t Y atas t X , 1  t X dan 2  t X , dan seterusnya. Prosedur yang berurutan ini berhenti ketika koefisien regresi dari variabel lag menjadi tidak signifikan secara statistik atau koefisien paling sedikit satu variabel  bebas berubah tanda dari positif ke negatif  atau  sebaliknya  (Gujarati,  1988).  Namun  demikian  penaksiran  tersebut  memiliki banyak  kelemahan,  yaitu  tidak  ada  petunjuk  atau  pegangan  baku  mengenai  panjang maksimum  dari  lag.  Kelemahan  yang  lain  adalah  dalam  menaksir  lag  yang  berurutan, semakin banyak variabel lag maka semakin banyak pula n yang hilang sehingga mengurangi derajat  kebebasan  ( degrees  of  freedom ).  Hal  ini  mengakibatkan  kesimpulan  secara  statistik agak goyah. Dalam data deret waktu di bidang ekonomi, nilai yang berurutan ( lag ) cenderung untuk  sangat  berkorelasi  ( multikolinearitas )  yang  mengakibatkan  uji t menjadi  tidak bermakna  yang  disebabkan  bukan  karena  tidak  ada  pengaruh  terhadap  variabel  endogen melainkan adanya kolinearitas ganda (Verbeek,2005).
Melihat  kendala-kendala  statistik  tersebut  yang  merupakan  permasalahan  yang serius  dalam  mengestimasi  model,  maka  Koyck  (1954)  mengasumsikan  bahwa  makin  jauh periodenya,  pengaruh  dari  lag  menjadi  semakin  kecil,  dan  menaksir  waktu  sekarang. Penaksiran  Ekspektasi  Adaptif  dan  Penyesuaian  Parsial  terlebih  dahulu  melakukan Transformasi  Koyck  dapat  menaksir  waktu  sekarang  dan  yang  akan  datang,  serta  dikaitkan dengan  ketidakpastian  dimasa  depan  seperti  faktor  kelembagaan,  teknologi,  psikologi  serta kebiasaan.  Selanjutnya  Penaksiran  Ekspektasi  Adaptif  dan  Penyesuaian  Parsial  dapat dikombinasikan untuk dihasilkan pada jangka panjang, sehingga penelitian ini akan mengkaji tentang  “Kombinasi  Penaksiran  Model  Lag  Terdistribusi  Dengan  Ekspektasi  Adaptif  Dan Penyesuaian Parsial”.

## 2. Analisis Regresi Linier Berganda
Regresi  adalah  hubungan  antara  peubah  bebas  ( independent )  dengan  peubah  tak bebas ( dependent ) dan bila hubungannya lebih dari satu peubah bebas disebut dengan regresi berganda. Bentuk umum regresi berganda
k k x b x b x b b y       ..... 2 2 1 1 0
dimana hubungan persamaan dalam regresi linier sederhana berlaku juga untuk regresi linier berganda.
Metode Ordinary  Least  Square  Estimator (OLSE)  dan Maksimum  Likelihood Estimator (MLE)  menghasilkan  penaksir  yang  identik  dibawah  asumsi  normalitas i e ~ ) , 0 ( 2  N .  Penaksir  dengan  sendirinya  terdistribusi  secara  normal  dan  rata-rata  sama dengan b dan  variansi  mengikuti  distribusi
2
2 2 ) (    s K N   .  Distribusi t dapat digunakan  untuk  menentukan  interval  keyakinan  sebagai  uji  hipotesis  statistik  tentang koefisien  regresi.  Distribusi F digunakan  untuk  menguji  signifikansi  penambahan  atau pengurangan peubah bebas.

## 3. Model Lag Terdistribusi
Model  regresi  yang  menunjukkan  hubungan  antara  variabel  terikat  dan  variabel bebas  yang  tersebar  atau  didistribusikan  berdasarkan  periode  waktu  tertentu  biasa  disebut

## Aidawayati Rangkuti
dengan Model Lag Terdistribusi (Gujarati, 1988). Model Lag Terdistribusi atau Infinite Lag Models , dapat ditulis sebagai berikut
t t t t t X X X Y              ... 2 2 1 1 0
Model ini menggambarkan bahwa nilai Y t tergantung atau dipengaruhi oleh nilai X pada saat t ( X t ), nilai X pada satu unit ukuran waktu sebelumnya   1  t X , dan nilai X pada dua unit ukuran waktu  sebelumnya   2  t X dan  seterusnya.  Selain  itu    model    ini    dipengaruhi  oleh  faktor- faktor lain yang diwakili oleh  (Lains, 2006).
Model Lag Terdistribusi telah menunjukkan kegunaan yang sangat besar dalam ilmu ekonomi empiris karena model ini telah membuat teori ekonomi yang bersifat statis menjadi yang  bersifat  dinamis  dengan  memperhitungkan  secara  eksplisit  peranan  dari  waktu.  Model ini  membedakan  antara  respon  jangka  pendek  dan  jangka  panjang  dari  variabel  terikat terhadap satu unit perubahan dalam nilai variabel yang menjelaskan.
Berikut  diuraikan  penaksiran  model  lag  terdistribusi  dengan  kombinasi  model Ekspektasi  Adaptif  dan  Penyesuaian  Parsial,  dengan  menguraikan  Transformasi  Koyck terlebih dahulu.
Transformasi Koyck ( Koyck Transformation )
Koyck  (1954)  mengusulkan  suatu  metode  penaksiran  Model  Lag  Terdistribusi didasarkan  pada  asumsi  bahwa  koefisien  menurun  secara  eksponensial  dari  waktu  ke waktu (Ravines et al. , 2003), yaitu :
k k    0  , k = 0,1,2,.....  dan 1 0   
dimana  adalah  tingkat  penurunan  dari  lag  terdistribusi  ( rate  of  decay  of  the  distributed lag ). Adapun asumsi-asumsi dari aturan Koyck (Nachrowi, 2005) yaitu:
1) Nilai  non-negatif sehingga k  selalu mempunyai tanda yang sama
2) 1   maka bobot k  semakin kecil semakin jauh periodenya
3) Aturan  Koyck  menjamin  bahwa  jumlah  adalah  penjumlahan  jangka panjang, yaitu
     0 0 1 k k   
Model Ekspektasi Adaptif ( Adaptif Expectation Model )
Model  Ekspektasi  Adaptif  dispesifikasikan  dengan  memperhatikan  ekspektasi  di masa depan. Walaupun pengalaman di masa lalu dapat dijadikan pedoman untuk prediksi di masa yang akan datang. Model Ekspektasi adaptif dirumuskan dalam bentuk sebagai  berikut :
t t t X Y        1 0
Model ini menggambarkan bahwa nilai t Y tergantung atau dipengaruhi oleh nilai X pada saat t yang  diharapkan  pada  periode  sekarang  untuk  dihasilkan  pada  periode  yang  akan  datang (Lains,  2006).  Karena  variabel  t X yang  bersifat  harapan  tidak  dapat  diamati  secara langsung,  maka  Cagan  dan  Friedman  ( .....?) mengemukakan  hipotesis  mengenai  bagaimana harapan tersebut terbentuk yang kemudian dikenal dengan hipotesis harapan aditif:
          1 1 t t t t X X X
X 
Aidawayati Rangkuti
dimana  adalah  koefisien  harapan  ( Coefficient  of  Expectation )  dengan 1 0    (Jonni, 2005).
Model Penyesuaian Parsial ( Partial Adjusment Model )
Model  ekspektasi  yang    mampu  menyesuaikan  diri  telah  memanfaatkan  variabel berselang  waktu  untuk  menjelaskan  penyesuaian  ekspektasi  yang  dikaitkan  dengan ketidakpastian di masa depan. Tetapi penyesuaian ekspektasi juga terhalang oleh faktor-faktor kelembagaan,  teknologi  atau  psikologi  serta  kebiasaan.  Dengan  demikian  penyesuaian  yang dapat  dilakukan  hanyalah  bersifat  parsial  sehingga  model  ekspektasi  yang  mampu menyesuaikan  diri  telah  mengabaikan  berbagai  kendala  yang  dihadapi.  Model  Penyesuaian Parsial dalam bentuk sebagai berikut:
t t t X Y        1 0
dimana  nilai  t Y tidak  dapat  diteliti  tetapi  dianggap  bahwa  usaha  sedang  dilakukan  untuk menyesuaikan nilai t Y yang aktual dengan yang diinginkan tetapi penyesuaian tersebut hanya berhasil  secara  parsial  karena  adanya  kendala  teknologi,  kelembagaan  dan  sebagainya. Hubungan  antara  realisasi t Y dan  t Y ( t Y yang  diinginkan)  diperlihatkan  oleh  proses penyesuaian yang berikut:
  1 * 1      t t t t Y Y Y
Y  dengan 1 0    disebut koefisien penyesuaian (Greene, 1993).

## 4. Hasil dan Pembahasan
Transformasi Koyck ( Koyck Transformation )
Untuk  menaksir  parameter  model  Lag  Terdistribusi  dilakukan  dengan  pendekatan Koyck, dimana persamaannya adalah
t t t t t X X X Y              ... 2 2 1 1 0
dan panjang lag tidak didefinisikan sehingga disebut infinite lag model .
Koyck memperkenalkan metode penaksiran Model Lag Terdistribusi dengan asumsi bahwa koefisien  mempunyai tanda sama dan menurun secara eksponensial dari waktu ke waktu,  yaitu:
,... 2 , 1 , 0   k k o k    dan 1 0   
Dengan  mengasumsikan  nilai  non-negatif  untuk,  Koyck  mengesampingkan  dari perubahan  tanda,  dan  dengan  mengasumsikan 1   ,  memberikan  bobot k  makin  kecil makin  jauh  periodenya.  Lebih  jauh  lagi,  model  Koyck  menjamin  bahwa  jumlah  merupakan penjumlahan jangka panjang dan terbatas, yaitu:
                  0 0 3 2 0 1 1 ... 1 k k       
Dengan asumsi di atas, maka pendekatan Koyck dapat ditulis sebagai berikut:
t t t t t X X X Y                ..... 2 2 0 1 0 0
Jika kedua ruas persamaan di atas dikalikan dengan  diperoleh:
Aidawayati Rangkuti
1 3 3 0 2 2 0 1 0 1 ....           t t t t t X X X Y          kemudian dikurangkan kembali ke persamaan sebelumnya, maka diperoleh     1 0 1 1         t t t t t X Y Y      
Bentuk di atas dapat dituliskan kembali dalam bentuk:
    1 1 0 1         t t t t t Y X Y      
Penyederhanaan bentuk terakhir diperoleh:
t t t t v Y X Y      1 2 1 0   
sehingga pada model di atas, parameter yang akan ditaksir menjadi tiga parameter saja, yaitu
2 1 0 , ,    . Jadi, dengan kata lain bahwa Transformasi Koyck mengubah Infinite Lag Model menjadi Finite Lag Model.
Pendugaan Parameter dengan Model Ekspektasi Adaptif ( Adaptif Expectation Model )
Model Regresi Ekspektasi Adaptif  yaitu:
t t t X Y       * 1 0
dengan * , t t X Y masing-masing  merupakan  keseimbangan  optimal  dari  Ekspetasi  jangka panjang. Variabel * t X secara langsung tidak dapat diamati dan mengikuti hipotesis ekspektasi adaptif yaitu:
* t X - * 1  t X =  *
1 * (   t t X X )
dimana  0  <  <  1,  yang  merupakan  koefisien  ekspektasi  adaktif  dan  ekspektasi  progresif. Ekspektasi ini berdasarkan waktu sebelumnya dan secara khusus didapat dari kesalahan masa lalu. Lebih spesifik dapat dikatakan bahwa ekspektasi ini direvisi setiap periode dengan fraksi (  )  antara  nilai  sekarang  dengan  nilai  periode  berikutnya.  Jika  ekspektasi  direalisasikan secara cepat dan penuh pada waktu yang sama dengan  = 1, maka * t X = t X dan persamaan di atas akan menjadi:
t t t X X X       * 1 * ) 1 (
Substitusi persamaan di atas ke model Regresi Ekspektasi Adaptif, sehingga diperoleh:
t t t t X X Y            } ) 1 {( * 1 1 0 t t t X X Y             * 1 1 1 0 ) 1 (
Selanjutnya, jika persamaan t t t X X X       * 1 * ) 1 ( dikalikan dengan (1 -  ) dan hasilnya dikurangi dari persamaan terakhir di atas, maka diperoleh:
t Y = 1 1 1 0 ) 1 ( ) 1 (         t t t t Y X       
Dari  hasil  Transformasi  Koyck  yang  diperoleh,  koefisien 1  merupakan  ukuran  pendugaan perubahan Y akibat  perubahan  satu  unit * X ,  keseimbangan  jangka  panjang  dari  nilai X . Sedangkan  hasil  akhir  dari  penaksiran  dengan  model  Ekspektasi  Adaptif,  koefisien   1 merupakan ukuran rata-rata perubahan Y akibat perubahan satu unit X . Kedua respon ini tidak sama  kecuali  =  1.  Dalam  prakteknya,  langkah  pertama  yang  dilakukan  adalah  menaksir

## Aidawayati Rangkuti
model  Ekspektasi  Adaptif    untuk  memperoleh  ,  sedangkan  koefisien 1  dengan  mudah dapat dihitung, yaitu dengan membagi 1   t X dengan  .
Pendugaan Parameter dengan Model Penyesuaian Parsial ( Partial Adjusment Model ) Rasionalisasi  dari  model  Koyck  adalah  model  Penyesuaian  Parsial  ( Partial Adjustment ).  Pertimbangan flexible  accelerator  model dari  teori  ekonomi  mengasumsikan adanya  kesembangan  optimal  dalam  jangka  panjang.  Misalkan  asosiasi  model  yang diinginkan ( * t Y ) dengan pendapatan ) ( t X adalah:
t t t X Y       * 1 0
dan rumusan hipotesis partial adjustment atau stock adjustment adalah
) ( 1 * 1      t t t t Y Y Y
Y  ,  dimana  0  <  δ  1  disebut koefisien  penyesuaian , 1   t t Y Y adalah perubahan  aktual  dari  model,  dan
1 *   t t Y Y adalah  perubahan  modal  yang  diinginkan.
Penjelasan ini menunjukkan bahwa modal dan investasi periode t masing-masing adalah:
i t t t Y Y Y     ) 1 ( *   dan ) ( 1 *    t t t Y Y I 
dan subtitusi persamaan
t t t X Y       * 1 0 ke persamaan di atas, sehingga akan diperoleh model aktual
1 1 0 )
1 ( ) (       t t t t Y X Y      t i t t Y X Y           ) 1 ( 1 0
Persamaan yang terakhir ini disebut model Penyesuaian Parsial. Persamaan
t t t X Y       * 1 0 menjelaskan  keseimbangan  permintaan  modal  dalam  jangka  panjang, sedangkan persamaan terakhir menjelaskan keseimbangan permintaan modal jangka pendek. Penaksiran persamaan model Penyesuaian Parsial  menghasilkan koefisien pada modal jangka panjang dengan cara mengetahui koefisien adjustment ( δ ).
Pendugaan Parameter dengan Kombinasi Model Ekspektasi Adaptif dan Model Penyesuaian Parsial
Kombinasi  Model  Ekspektasi  Adaptif  dan  Penyesuaian  Parsial  diperoleh  dengan mempertimbangkan  model
t t t X Y       * 1 0 * dengan t Y =  δ,
1 * ) 1 (    t t Y Y  dan t t t X X X       * 1 * ) 1 ( .  Kombinasi  ketiga  model  ini  pertama  menghasilkan  model Penyesuaian Parsial kemudian model Ekspektasi Adaptif, yaitu:
t t t t Y X Y           1 * 1 0 ) 1 ( 1 1 * 1 0 0 1 ) 1 ( )] 1 ( [ ) 1 (           t t t t X X Y Y        1 2 1 ) 1 ( ) 1 )( 1 ( ) 1 (            t t t t Y Y       = 1 1 0 )] 1 ( ) 1 [(       t t Y X       ] ) 1 ( [ ) 1 )( 1 ( 1 2         t t t Y      atau t t t t t v Y Y X Y        2 3 1 2 1 0    
Selanjutnya  persamaan  terakhir  di  atas  merupakan  model  yang  autoregresif  dan  hanya berbeda  dengan  Ekspektasi  Adaptif  pada 2  t Y yaitu  sebagai  variabel  eksplanatoris.  Dari model  Koyck  dan  Ekspektasi  Adaptif, disturbance  term  error dari  persamaan  di  atas

## Aidawayati Rangkuti
mengikuti  proses moving  average .  Sifat  lain  dari  persamaan  ini  awalnya  adalah    nonlinier pada parameter  tetapi pada akhirnya menjadi linier pada parameter. Kombinasi kedua model ini  dapat  diterapkan  pada  hipotesis  pendapatan  permanen  ( Permanent  Income  Hypothesis) . Dengan demikian persamaan di atas  sama dengan penaksiran  model Ekspektasi Adaptif dan Koyck. Dalam prakteknya tingkat signifikansi model Ekspektasi Adaptif, model Penyesuaian Parsial  dan  kombinasi  keduanya  relatif  kurang  baik.  Hal  ini  mungkin  disebabkan  masalah multikolinier atau autokolerasi. Untuk mengatasi masalah ini biasanya  model Distribusi Lag diestimasi dengan Metode Instrumental Variabel

## 5. Penutup
Dengan  menggunakan  transformasi  Koyck,  model  Lag  Terdistribusi  yang merupakan Infinite Lag Models dengan parameter model dan variabel lag yang akan ditaksir tidak  terbatas  diubah  menjadi  model  Koyck  ( Finite  Lag  Models )  dengan  persamaan t t t t v Y X Y      1 2 1 0    sehingga  hanya  tiga  parameter  saja  yang  akan  ditaksir  yaitu
2 1 0 , ,    dan hanya satu variabel lag yang digunakan yaitu 1  t Y . Tingkat signifikansi model Ekspektasi Adaptif, model Penyesuaian Parsial dan kombinasi keduanya relatif kurang baik. Hal  ini  mungkin  disebabkan  masalah  multikolinier  atau  autokolerasi.  Untuk  mengatasi masalah ini biasanya  model Distribusi Lag diestimasi dengan Metode Instrumental Variabel (Transformasi Koyck).
Penelitian lanjut dapat dilakukan dengan menggunakan metode Almon yaitu model distribusi lag berhingga.

## Daftar Pustaka
[1]   Lains,  A.,  2006, “Ekonometrika  II,  Teori  dan  Aplikasi”. Volume  16.  Pustaka  LP3ES Jakarta, Indonesia.
[2]  Badan  Pusat  Statistik,  2004a, “Makassar  dalam  Angka  2004 ( Makassar  in  Figures 2004 ) ” . BPS Kota Makassar.
[3]  __________________,  2004b, “Indikator  Kesejahteraan  Rakyat  Kota  Makassar  2004 ( Welfare Indicators in Makassar 2004 ) ” . BPS Kota Makassar.
[4]   Gujarati,  D.  N.,    1988, “Basic  Econometrics,  Third  Edition”. McGRaw-Hill International Book Company, United States Military Academy, West Point.
[5]  Greene,  W.  H.,  1993, “Econometrics  Analysis,  Second  Edition” .  Prentice  Hall, Englewood Cliffs, New York University.
[6]  Jonni  dkk.,  2005, “Ekonometrika,  Teori  dan  Aplikasi”. PT  Elex  Media  Komputindo, Jakarta.
[7]   Veerbek, M., 2005, “A Guide to Modern Econometrics, Second Edition”. Prentice Hall, Englewood Cliffs, New York University.
[8]  Nachrowi,  U.,  2005, “Penggunaan  Teknik  Ekonometri” .  PT  Raja  Grafindo  Persada, Jakarta.
[9]  Butry,  D.  T.,  2005, “Estimating  the  efficacy  of  fighting  fire:  propensity  score  and instrumental variable methods”. ( http://www2.nscu.edu/unity/locers/project /arepublication /Butry.pdf )
[10] Ravines,  S.  and  Migon,  2003, “Revisiting  distributed  lag  models  through  a Bayesian perspective ”. ( http://www.sbe.org.br/ebe25/140.pdf ).