Vol.  9, No. 1 (2023)
E-ISSN : 2685- 5585
Hal : 172-176 DOI: https://doi.org/10.36987/jpms.v9i1.4069

## PENENTUAN VOLUME KERUCUT ELIPS MENGGUNAKAN MONTE CARLO DENGAN BANTUAN PYTHON

## DETERMINING THE VOLUME OF AN ELIPSE CONE USING MONTE CARLO WITH PYTHON
RIYAN ADRIYANSYAH 1 , MUHAMAD SOFIAN HADI 2
12 Program Studi Pendidikan Matematika, Universitas Muhammadiyah Jakarta Jl. K.H. Ahmad Dahlan, Cireundeu,  Kota Tangerang Selatan, Banten 15419 email: 1 riyan.adriyansyah.34@gmail.com, 2 m_sofianhadi@yahoo.com

## Abstrak
Perhitungan  integral  lipat  untuk  menghitung  volume  kerucut  elips  merupakan  permasalah  yang  sangat  sulit ketika  dihitung  dengan  analitik.  Salah  satu  cara  menghitung  integral  lipat  selain  dengan  analitik  bisa  juga dengan  metode  pendekatan  stokastik.  Metode  Monte  Carlo  merupakan  salah  satu  metode  stokastik  yang dapat  digunakan  untuk  menyelesaikan  menghitung  volume  kerucut  elips.  Metode  ini  menggunakan  bilangan random besar untuk mendekati nilai volume sebenarnya. Penelitian ini bertujuan untuk mencari volume kerucut elips  menggunakan  integral  lipat  dua  yang  dilakukan  pendekatan  metode  Monte  carlo  dengan  bantuan program Python. Volume kerucut elips yang akan dihitung harus diukur terlebih dahulu. Selanjutnya pembuatan program dengan bahasa Python. Dari hasil program simulasi  yang dibuat dilakukan beberapa percobaan dari bilangan  random  yang  dibuat.  Hasil  menunjukan  volume  yang  diperoleh  dari  hasil  perhitungan  adalah 79.91715666117918.  Dari  penelitian  ini  disimpulkan  bahwa  metode  monte  carlo  memberikan  hasil  yang mendekati nilai volume sebenarnya adalah untuk jumlah nilai random di atas 1.000.000.
Kata kunci : Volume Kerucut Elips, Monte Carlo, Integral Lipat Dua, Python

## Abstract
The  calculation  of  the  double  integral  to  calculate  the  volume  of  an  elliptical  cone  is  a  very  difficult  problem when calculated analytically. One of the ways to calculate the folding integral apart from analytic methods can also be the stochastic approximation method. The Monte Carlo method is a stochastic method that can be used to calculate the volume of an elliptical cone. This method uses large random numbers to approximate the actual volume value. This study aims to find the volume of an elliptical cone using a double integral using the Monte Carlo method with the help of the Python program. The volume of the elliptical cone to be calculated must first be measured. Next, make the program in Python. From the results of the simulation program created, several trials  were  carried  out  from  the  random  numbers  generated. The  results  show  that  the  volume  obtained  from the calculation results is 79.91715666117918. From this study it was concluded that the  Monte Carlo method gives results close to the actual volume value for the number of random values above 1,000,000.
Key Words : Elliptic Conical Volume, Monte Carlo, Double Integral, Python

## Pendahuluan
Menghitung  volume  adalah  suatu  hal  yang  tak  terpisahkan  dari  suatu  bangun  ruang.  Banyak  bangun ruang yang tidak beraturan sehingga tidak bisa dihitung secara manual menggunakan rumus. Contohnya saja bangun  ruang  hasil  dari  perputaran  kurva.  Kurva  yang  diputar  meliputi  elips  yang  menghasilkan  elipsoida, hiperboloida  yang  menghasilkan  hiperboloida  berdaun  satu  atau  berdaun  dua  (tergantung  dari  kedudukan porosnya ketika diputar), dan kurva berikutnya yaitu parabola yang menghasilkan paraboloida[6].
Volume  ini  dapat  dihitung  secara  analitik  menggunakan  integral.  Khususnya  integral  lipat  dua  yang merupakan  salah  satu  mencari  volume  benda  dibawah  kurva  dengan  batasan  daerah  R.  Pengerjaan perhitungan volume dengan analitik sangatlah sulit. Tidak semua fungsi dengan mudah di lakukan perhitungan
Vol.  9, No. 1 (2023)
Hal : 172-176 DOI: https://doi.org/10.36987/jpms.v9i1.4069
analitik. Selain itu diperlukan pula sarana untuk menggambarkan bangun ruang di yang akan dihitung[1]. Salah satu cara perhitungan selain analitik adalah dengan menggunakan pendekatan (metode numerik). Perhitungan integral yang termasuk permasalahan deterministik dapat juga diselesaikan dengan menggunakan pendekatan stokastik, salah satunya dengan menggunakan Metode Monte Carlo[5].
Metode  Monte  Carlo  (atau  Percobaan  Monte  Carlo)  merupakan  salah  satu  kelas  dalam  algoritma komputasional  yang  menggunakan  pengambilan  sampel  secara  random  untuk  menghasilkan  penyelesaian permasalahan[5].  Metode  Monte  Carlo  adalah  model  stokastik  dikarenakan  dari  langkah  pengerjaannya menggunakan data random saat digunakan. Dalam proses perhitungan yang menggunakan nilai random akan sulit jika dilakukan secara manual. Sehingga diperlukan suatu tool untuk memunculkan bilangan random yang sangat banyak dengan cepat. Salah satunya bisa menggunakan dengan bahasa pemrograman Phyton. Python memiliki banyak modul yang siap digunakan untuk pengembangan aplikasi sesuai kebutuhan[4].

## Metode Penelitian
Metode  penelitian  yang  digunakan  dalam  penelitian  ini  adalah  studi  literatur  (kajian  pustaka)  yang membahas  tentang  aplikasi  integral  lipat  dua  dalam  pencarian  volume  kerucut  elips  menggunakan  metode monte carlo dengan bantuan pemrograman Phyton. Adapun langkah-langkah penelitian yang dilakukan adalah sebagai berikut:
a.  Menentukan fungsi kerucut elips yang akan dilakukan perhitungan
b.  Mengubah persamaan ke dalam bentuk f(x,y)
c.  Menentukan batas pengintegralan untuk x dan y
d.  Pembuatan pemrograman Python
.
Hasil Penelitian dan Pembahasan
Definisi 1. [3] terintegral (integrable) pada selang [a, b].
.
Definisi 2. [3]
Misalkan   suatu fungsi dua peubah yang terdefinisi pada suatu persegi panjang tertutup R.
Jika ada, kita katakan
dapat diintegralkan pada R. lebih lanjut
Misalkan fungsi dua peubah yang selalu bernilai tak negatif dan D adalah daerah bidang XOY. Volume benda yang terletak diatas daerah D dan terletak dibawah permukaan
dapat dihitung sebagai: [2].
Misalkan  diberikan  fungsi  kontinu  non  negatif
yang  memenuhi
pada  daerah
dengan M suatu konstanta yang merupakan batas atas fungsi  . Perhitungan volume di bawah kurva
atas persegi panjang R dapat dilakukan dengan metode Monte Carlo [5].
Bahasa  pemrograman  Python  dipilih  dalam  penelitian,  karena  memiliki  keunggulan  seperti  readability, efisien,  multifungsi,  interoperabilitas,  dan  memiliki  dukungan  komunitas  yang  memadai  [7].  Python  memiliki library  yang  lengkap,  diantaranya  library  matplotlib  untuk  membuat  grafik  pada  pemrograman.  Python  code akan  lebih  sederhana  bila  dibandingkan  dengan  kode  yang  ditulis  dengan  bahasa  pemrograman  lainnya seperti misalnya Java, C, C# maupun C++ [4].

## Hasil Penelitian
Langkah menyelesaikan perhitungan volume kerucut elips menggunakan pemrograman Phyton 1)  Gambar
Vol.  9, No. 1 (2023)
E-ISSN : 2685- 5585
Hal : 172-176 DOI: https://doi.org/10.36987/jpms.v9i1.4069

## Gambar 1. Benda kerucut elips
Berikut adalah gambar dari ilustrasi kerucut elips yang dibatasi nilai 2)  Bentuk Umum Persamaan
maka berdasarkan gambar diperoleh :
dan dibatasi untuk
3)  Mengubah bentuk umum persamaan kerucut elips ke dalam bentuk
4)  Menentukan batas pengintegralan
Gambar 2 . Proyeksi daerah pengintegralan berupa elips Daerah =9} 5)  Menentukan integral terhadap batas daerah R dy dx
6)  Perhitungan dengan menggunakan pemrograman Python
Vol.  9, No. 1 (2023)
E-ISSN : 2685- 5585
Hal : 172-176 DOI: https://doi.org/10.36987/jpms.v9i1.4069

## Gambar 3. Flowchart Monte Carlo

## Pembahasan
Berikut adalah hasil menggunakan beberapa iterasi dari program yang telah dibuat.
Tabel 1. Hasil Iterasi n Hasil Volume Gambar 1000 V = 74.63190643658906 100000 V = 79.78824942965332
Vol.  9, No. 1 (2023)
Hal : 172-176 DOI: https://doi.org/10.36987/jpms.v9i1.4069

## 1000000
V = 79.91715666117918 1)  Rumus Limas Elips
Karena alas berupa elips
Karena  persamaan  elips  yang  didapat  dari hasil  proyeksi  adalah
=9},  Sehingga  didapat dan serta tinggi limas adalah 3.
maka ,

## Kesimpulan
Berdasarkan hasil yang didapat dari perhitungan program Python untuk iterasi n = 1000000 menghasilkan V  =  79.91715666117918  satuan  volume  sedangkan  jika  menggunakan  rumus  limas  elips  volume  yang dihasilkan
satuan  volume.  Ini  membuktikan  dengan  iterasi  yang  banyak  metode Monte Carlo untuk menghitung integral lipat dua hampir mendekati hasil yang mirip dengan rumus.  Berdasarkan dari kesimpulan maka saran penulis adalah sebaiknya untuk penelitian selanjutnya penggunaan Monte Carlo untuk perhitungan volume permukaan kuadratis yang lain.

## Daftar  Pustaka
[1] Andri Astatik, R. P., wuryanto, & Masrukan. (2013). Aplikasi Integral Lipat Dua dalam Perhitungan Volume Bangun Ruang Di R3 Dengan Menggunakan Program Maple. UNNES Journal of Mathematics , 2 . [2] Budhi, W. S. (2001). Kalkulus Peubah Banyak dan Penggunaannya . ITB PRESS.
[3] Edwin, P. J. (1984). Kalkulus dan Geometri Analitis (4th ed.). Erlangga.
[4] Endang Retnoningsih, & Rully Pramudita. (2020). Mengenal Machine Learning Dengan Teknik Supervised dan Unsupervised Learning Menggunakan Python. BINA INSANI ICT JOURNAL , 7 , 156-165.
[5] Haryono, N. A. (2009). Perhitungan Integral Lipat menggunakan Metode Monte Carlo. 71 JURNAL INFORMATIKA,5 .
[6] Muh Irwan, Irwan, Darmiani, & Erniwati jalil. (2021). Penerapan Integral Lipat Dua dalam Penentuan Volume Permukaan Kuadratis. Jurnal Matematika dan Statistika serta Aplikasinya , 9 . [7] Wahyono, T. (2018). Python for Machine Learning (Dasar-dasar Pemrograman Python untuk Machine Learning dan Kecerdasan Buatan) . Gava Media Yogyakarta.