## Method for Accelerating Equilibrium in Perfectly Damped Brownian Motion with Harmonic Potential
Jodi Aszhar * , Iwan Setiawan, & Rosane Medriati Pendidikan Fisika, Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan, Universitas Bengkulu *Corresponding author: jodiaszhar1309@gmail.com
Abstract: Technological advances nowadays, making human beings able to do things easier and shorter. In this study, perfectly damped Brownian motion with a harmonic potential is considered, where previously it  was  moving  randomly,  requiring  a  long  time  to  return  to  an  equilibrium  state.  This  research  aims  to determine the additional potential of each initial potential in the form of harmonic potentials with various powers. The method used is the Fast Forward method developed by Nakamura and Masuda. This research obtained results. First, if the initial potential of the system is (U 0 = 1 2 𝜆 𝑥 4 ) additional potential is obtained U 1 = 𝜆𝛾 ̇ 8𝜆(𝑡) 𝑥 2 and  if  the  initial  potential (U 0 = 1 2 𝜆 𝑥 6 ) hence  the  additional  potential U 1 = 𝜆𝛾 ̇ 12𝜆(𝑡) 𝑥 2 . The equation used in this research is the Fokker-Planck equation. It was concluded that this research obtained additional  potential  for  perfectly  damped  Brownian  motion  so  that  the  time  needed  to  reach  the equilibrium state would be shorter.
Keywords: Brown motion, fast forward, and theoretical physics

## Metode untuk Mempercepat Kesetimbangan pada Gerak Brown Teredam Sempurna (overdamped) dengan Potensial Harmonik
Abstrak: Kemajuan teknologi sekarang, membuat manusia dapat melakukan sesuatu dengan lebih mudah dan  singkat.  Pada  penelitian  ini  ditinjau  gerak  Brown  teredam  sempurna  dengan  potensial  harmonik, dimana  yang  sebelumnya  bergerak  acak,  membutuhkan  waktu  yang  lama  untuk  kembali  seimbang. Penelitian  ini  bertujuan  untuk  mengetahui  potensial  tambahan  setiap  potensial  awal  yang  berbentuk potensial  harmonik  dengan  pangkat  yang  beragam.  Metode  yang  digunakan  merupakan  metode Fast Forward yang dikembangkan oleh Nakamura dan Masuda. Penelitian ini didapatkan hasil berupa  pertama, apabila    potensial  awal  sistem  adalah  (U 0 = 1 2 𝜆 𝑥 4 )  maka  potensial  tambahan  U 1 = 𝜆𝛾 ̇ 8𝜆(𝑡) 𝑥 2 dan  apabila potensial awal  (U 0 = 1 2 𝜆 𝑥 6 ) maka potensial tambahannya U 1 = 𝜆𝛾 ̇ 12𝜆(𝑡) 𝑥 2 . Persamaan yang digunakan pada penelitian ini adalah persamaan Fokker-Planck. Disimpulkan bahwa penelitian ini mendapatkan potensial tambahan gerak Brown teredam sempurna agar waktu yang dibutuhkan untuk mencapai keadaan setimbang akan lebih singkat.
Kata kunci: Fast forward, Fisika teori, dan gerak Brown

## PENDAHULUAN
Melalui  kemajuan  teknologi  saat  ini,  tentunya  manusia  sekarang  dapat  melakukan banyak hal dengan lebih mudah, seperti membuat produk yang efisien dan singkat. Salah satu  cara  mempersingkat  waktu  ini  adalah  dengan  cara  memanipulasi  dan mengoptimalkan  waktu  pengerjaan  dan  perancangan  produk  (Hutagalung,  2023). Kegiatan mempersingkat waktu tidak hanya dilakukan dalam dunia pekerjaan, tetapi juga

## Kasuari: Physics Education Journal (KPEJ)

## Universitas Papua
Web: http://jurnal.unipa.ac.id/index.php/kpej
dalam bidang mikroskopik (Setiawan et al., 2017). Dalam dunia mikroskopik, salah satu objek yang ditinjau adalah konsep stokastik (Yang & Qian, 2020).
Proses  stokastik  berkaitan  dengan  dinamika  gerak  benda  yang  terdistribusi  dalam sebuah medium. Fisika bisa dinyatakan sebagai upaya merealisasikan konsep matematis ke  konstektual  (Apriza,  2019).  Menurut  (Apriana  &  Rosyid,  2018)  Proses  stokastik adalah  variabel  acak  yang  kejadiannya  tidak  dapat  diprediksi  secara  pasti  dan  dilabeli dengan  waktu.  Sistem  dinamika  stokastik  atau  differensial  stokastik  dapat  diterapkan pada sistem yang bergerak acak, khususnya sistem  non-relativistik seperti gerak Brown (Ainayah  et  al.,  2023  ;  Seifert,  2012).  Gerak  Brown  adalah  gerakan  acak  partikel mikroskopis  yang  dilarutkan  dalam  fluida.  Dua  hasil  dari  penelitian  Robert  Brown tentang  gerakan  Brown  adalah  bahwa  lintasan  partikel  dalam  fluida  tidak  teratur  dan bahwa  hasil  interaksi  dua  partikel  yang  berbeda  tidak  berdampak  pada  gerakan (Romadani  &  Rosyid,  2022).  Kemudian  Gouy  menambahkan  beberapa  hal  yaitu, semakin cepat gerakannya semakin kecil partikelnya, gerakan dipengaruhi oleh densitas dan  komposisi  partikel,  fluida  dengan  visositas  kecil  lebih  mempercepat  gerak  Brown, suhu yang tinggi mempercepat gerakannya, dan gerakan partikel tidak  pernah berhenti . Gerak  Brown  dapat  pada  partikel  pada  partikel  nano  yang  berada  dalam  fluida  tertentu yang  dihambat  oleh  viskositas  fluida  dan  gaya  stokastik.  Hal  ini  disebabkan  oleh tumbukan molekul yang bergerak acak di dalam fluida (Khadem et al., 2022). Salah satu contoh  yang  dilakukan    yaitu  dengan  menggunakan  metode Shortcuts  to  Adiabaticity (STA) (Martínez et al., 2016). Dia melakukan eksperimen dengan partikel Brown dalam perangkat mikro dan nano yang terperangkap dalam potensial optik yang dapat dikontrol dengan  waktu.  Eksperimen  dimulai  dengan  kasus  perubahan  yang  sangat  lama  selama partikel tetap dalam posisi setimbangan (equilibrium) (Elisa et al., 2023; Martínez et al., 2016).
Penelitian  ini  dilanjutkan  oleh  Gouy  (Najmudin,  2018)  Dari  hasil  penelitian  Gouy didapatkan  hasil  yang  lebih  rinci  yaitu  gerakan  berbanding  terbalik  dengan  ukuran partikel, gerakan partikel dalam fluida dipengaruhi oleh densitas dan komposisi partikel, viskositas fluida yang kecil dan suhu yang tinggi akan lebih mempercepat gerak Brown, dan  gerakan  partikel  tidak  pernah  berhenti.  Disebabkan  oleh  tumbukan  molekul  yang bergerak  acak  di  dalam  fluida,  partikel  nano  dalam  fluida  tertentu  mengalami  gerakan Brown yang dihambat oleh viskositas dan gaya stokastik (Khadem et al., 2022). Keadaan partikel  pada  gerak  Brown  akan  mudah  ditinjau  jika  sistem  ada  dalam  keadaan setimbang. Kesetimbangan sesuatu dapat berubah dengan gangguan tertentu. Oleh karena itu perlu upaya untuk mengembalikan sesuatu tersebut ke keadaan setimbang lagi. Untuk kembali  ke  keadaan  setimbang  membutuhkan  waktu  yang  lama  (Martínez  et  al.,  2016). Untuk  mempercepat  gerak  menuju  kesetimbangan  pada  partikel  Brown  ini  dapat dilakukan dengan menggunakan metode Fast Forward (Nakamura et al., 2020).
Metode Fast Forward dikembangkan oleh Nakamura dan Masuda pada sistem relatif yang  partikelnya  kecil  (Benggadinda  &  Setiawan,  2021).  Metode  yang  digunakan  yaitu metode Fast  Forward yang  merupakan  metode  untuk  mendapatkan  produk  dengan jangka  waktu  singkat  seperti  proyeksi  film  secara  instan  di  layar  (Hutagalung,  2023). Dalam  mesin  carnot,  tunneling,  sistem  banyak  benda,  dan  sistem  diskrit,  metode Fast Forward digunakan dalam penelitian (Elisa et al.,) dan Dirac Dinamis (Sugihakim et al., 2021).  Pada  penelitian  ini  metode Fast  Forward diterapkan  untuk  gerak  Brown  yang teredam sempurna/ overdamped, dengan potensial berupa potensial harmonic (Takahashi, 2014).
Peredaman  sempurna/ overdamped adalah  suatu  partikel  yang  berhenti  bergerak sebelum mencapai titik kesetimbangannya. Kali ini terjadi karena adanya suatu redaman
yang  melewati  sistem  (Pradana,  2018). Overdamped juga  biasa  disebut  kelebihan redaman.  Dikarenakan  redaman  yang  bertambah  pada  sistem  sampai  melewati  titik kritisnya (Ainayah et  al., 2023). Terdapat juga system gerak Brown underdamped yaitu sistem  menuju  keadaan  berosilasi,  di  mana  amplitudonya  secara  bertahap  menurun  dan akhirnya  mencapai  nol  (Elisa  et  al.,)  dan  keadaan underdamped ini  terjadi  ketika  suatu benda terus berosilasi sampai akhirnya berhenti karena redaman yang tidak terlalu besar (Pradana, 2018).
Gerak Brown yang teredam sempurna dapat digambarkan melalui persamaan Fokker- Planck.  Persamaan  Fokker-Planck  dipublikasikan  pertama  kali  oleh  Fokker  dan  Planck. Persamaan  ini  digunakan  oleh    sistem  kesetimbangan  partikel  (Ainayah  et  al.,  2023). Persamaan  Fokker-Planck  didefinisikan  sebagai  bentuk  yang  digunakan  dari  persamaan differensial parsial untuk mengilustrasikan gerak Brown di dalam suatu fluida (Romadani & Rosyid, 2022). Bertabraknya partikel yang berevolusi menyebabkan pergeseran dalam ruang  kecepatan  (Palupi,  2010).  Dalam  ilmu  pengetahuan  modern,  persamaan  Fokker- Planck digunakan untuk memodelkan berbagai masalah gerak benda. Mereka tidak hanya digunakan dalam fisika, tetapi juga di bidang lain seperti matematika, kimia, biologi, dan radioteknik  (Tsekov,  2010).  Persamaan  Fokker-Planck merupakan  persamaan  yang digunakan untuk memperoleh teknik yang menggunakan energi tambahan pada dinamika stokastik (Frank, 2005).
𝜕𝜌 𝜕𝑡 = 1 𝛾 𝜕 𝜕𝑥 [ 𝜕𝑢 𝜕𝑥 𝜌 + 1 𝛽 𝜕𝜌 𝜕𝑥 ] (1)
Keterangan:
U  :  Variabel yang menyatakan potensial sistem 𝜌 :  Variabel yang menentukan penyebaran partikel
𝜸 :  Konstanta Gesekan
β :  Konstanta Termodinamika
x :  Parameter yang menunjukkan lokasi partikel
t :  Waktu  (Penelitian  ini  bertujuan  untuk  mengetahui  potensial  tambahan  setiap potensial awal yang berbentuk potensial harmonik dengan pangkat yang beragam) (Ainayah et al., 2023)
Pada  penelitian  ini  ditinjau  gerak  Brown  teredam  sempurna  dengan  potensial harmonik,  dimana  yang  sebelumnya  bergerak  acak,  membutuhkan  waktu  yang  lama untuk kembali seimbang. Penelitian ini dilakukan untuk mengetahui potensial tambahan setiap potensial awal yang berbentuk potensial harmonik dengan pangkat yang beragam.

## METODE PENELITIAN
Penelitian  ini  berfokus  pada  pengembangan  teori  fisika  secara  kuantitatif.  Studi literatur  tentang  pengembangan  metode Fast  Forward oleh  Masuda  dan  Nakamura gunakan  dalam  penelitian  ini  (Nakamura  et  al.,  2020).  Penelitian  ini  dilakukan  di program  studi  Pendidikan  Fisika,  Fakultas  Keguruan  dan  Ilmu  Pendidikan,  Universitas Bengkulu. Riset ini dimulai awal bulan Agustus hingga bulan November 2023. Penelitian ini terdiri dari lima tahap, yaitu:
1. Pengumpulan literatur Pada tahap awal telah dilakukan pengumpulan berbagai literatur terkait metode Fast Forward sebagai  bahan  untuk  kajian  teori.  Literatur  yang  diambil  berupa  buku, jurnal,  dan  media  elektronik  yang  sesuai  dengan  penelitian  yang  dapat  mendukung penelitian ini.
2. Kajian literatur
Pada  tahap  ini,  literatur  yang  sudah  dikumpulkan  dikaji  dengan  seksama  hingga peneliti mampu menyimpulkan literatur yang telah dikaji.  Tahap ini sangat  penting untuk  memudahkan  peneliti  saat  mengembangkan  teori  menggunakan  metode Fast Forward.
3. Pengembangan teori
Fokus  utama  yang  telah  ditentukan  pada  tahap  sebelumnya  dikembangkan menggunakan metode Fast Forward dengan bantuan persamaan Fokker-Planck.
4. Hasil Pada  tahap  ini,  dilakukan  perhitungan  secara  sistematis  menggunakan  metode Fast Forward dengan bantuan persamaan Fokker-Planck.
5. Kesimpulan
Hasil  perhitungan  yang  telah  didapatkan  pada  tahap  sebelumnya  dirangkum  dalam bagian  kesimpulan  dengan  tujuan  untuk  menjawab  masalah  yang  telah  ditentukan pada penelitian ini.

## HASIL DAN PEMBAHASAN
Meninjau  gerak  Brown  pada  kasus  teredam  sempurna  digunakan  persamaan  Fokker- Planck.  Dua bagian Persamaan  Fokker-Planck menjelaskan proses difusi  partikel  dalam ruang  kecepatan  tiga  dimensi.  Gesekan  yang  melambatkan  gerak  partikel  menuju kecepatan nol dalam ruang fasa adalah bagian pertama (Palupi, 2010).
𝜕𝜌 𝜕𝑡 = 1 𝛾 𝜕 𝜕𝑥 [ 𝜕𝑢 𝜕𝑥 𝜌 + 1 𝛽 𝜕𝜌 𝜕𝑥 ] (2)
Potensial harmonik dengan U 0 = 𝟏 𝟐 𝝀 𝒙 4
Jika ditinjau distribusi partikel pada keadaan setimbang atau 𝜌 (x, 𝜆 ) tidak bergantung waktu ( 𝜕𝜌 𝜕𝑡 = 0) dan potensial awalnya U 0 = 1 2 𝜆 𝑥 4 dengan 𝜆 sebagai parameter kontrol, maka didapatkan persamaan (3).
0 = 1 𝛾 𝜕 𝜕𝑥 ( 2𝜆𝑥 3 𝜌) + 1 𝛽 𝜕 2 𝜌 𝜕𝑥 2 (3)
dan
𝜕 2 𝜌 𝜕𝑥 2 = - 𝛽 𝜕 𝜕𝑥 2𝜆𝑥 3 𝜌 (4)
Jika kedua suku pada persamaan (4) di integralkan, didapatkan distribusi partikel 𝜌 (x, 𝜆 ) sebagaimana persamaan (5)
𝜌 = 𝐶𝑒 −𝛽𝜆𝑋4 2 (5)
Proses normalisasi berikut dapat digunakan untuk mendapatkan nilai konstanta C ∫ |𝜌| ∞ −∞ 2 dx = 1 (6)
Substitusi hasil persamaan (5) ke persamaan (6), maka nilai konstanta C, yaitu:
C = √ 𝛽𝜆 𝜋 (7)
Setelah  nilai  konstanta  c  disubtitusi,  distribusi  partikel  pada  keadaan  setimbang  dapat dituliskan menjadi persamaan (8).
𝜌 =   √ 𝛽𝜆 𝜋 𝑒 −𝛽𝜆𝑋4 2 (8)
Distribusi  partikel  untuk  potensial  pangkat  4  bisa  dilihat  pada  Gambar  1,  2  dan  3. Dimana gambar gambar tersebut pembedanya terletak di 𝜆 dan 𝜷 .
Gambar 1. Untuk 𝜌 dengan U 0 = 1 2 𝜆 𝑥 4
𝜆 = 1, 𝜷 = 1
Gambar 2. Untuk 𝜌 dengan U 0 = 1 2 𝜆 𝑥 4 𝜆 = 5, 𝜷 = 5
Gambar 3. Untuk 𝜌 dengan U 0 = 1 2 𝜆 𝑥 4 𝜆 = 10, 𝜷 = 10
3 2 1 1 2 3 x 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 3 2 1 1 2 3 x 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3 2 1 1 2 3 x 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30
Selain  itu,  jika  sistem  diberi  gangguan  oleh  parameter  kontrol 𝜆 ditinjau  menjadi parameter kontrol yang bergantung waktu ((t)), maka Persamaan (8) menjadi
𝜌 =   √ 𝛽𝜆(𝑡) 𝜋 𝑒 −𝛽𝜆(𝑡)𝑋4 2 (9)
Distribusi partikel untuk potensial pangkat 4 bisa dilihat pada Gambar 4.
Gambar 4. Untuk 𝜌 dengan U 0 = 1 2 𝜆 𝑥 4 𝜆 = A + 𝝁 t, A = 0, 𝜷 = 1 dan 𝝁 = 0.01
Agar 𝜌 ((t))  pada  persamaan  (9)  tetap  memenuhi  persamaan  Fokker-Planck  pada persamaan (1). Maka potensial system dituliskan U = U 0 + U 1 sehingga menjadi
U = 1 2 𝜆(𝑡) x 4 + U 1 (10)
U 1 merupakan  besar  potensial  tambahan  yang  harus  ditambahkan  pada  sisteagar distribusi  partikel  bisa  kembali  ke  keadaan  setimbang  dalam  waktu  yang  singkat  dan substitusikan 𝜌 (x, 𝜆 (t))  pada  persaman  (9)  dan U pada  persamaan  (10)  ke  persamaan Fokker-Planck pada persamaan (1) didapatkan persamaan:
𝜕𝜌(x,λ(t))
𝜕𝑡 = 1 𝛾 𝜕 𝜕𝑥 ( 𝜕𝑢 𝜕𝑥 𝜌 + 1 𝛽 𝜕𝜌 𝜕𝑡 ) (11)
Potensial awal dengan U 0 pangkat 4 bisa dilihat di gambar 5. Dimana untuk U 0 pangkat 4 = 1 2 𝜆 𝑥 4 yang akan disubstitusikan nantinya dengan persamaan ke 10 ke persamaan 11.
Gambar 5. untuk U 0 pangkat 4 = 1 2 𝜆 𝑥 4 𝜆 = A + 𝝁 t, A = 0, 𝝁 = 0.01 dan u = 1 2 𝜆 𝑥 4
Jika disubstitusikan persamaan (10) ke persamaan (11) maka didapatkan hasil yaitu:
𝜕𝜌(x,λ(t)) 𝜕𝑡 = 1 𝛾 𝜕 𝜕𝑥 ((2 𝜆(𝑡) x 3 + 𝜕𝑢1 𝜕𝑥 𝜌 + 1 𝛽 𝜕𝜌 𝜕𝑥 ) (12)
Penyelesaian  persamaan  (12)  yang  mana  hasil  dari  persamaan  itu  turunannya  dikalikan dengan 𝜆̇ .
𝜕𝜌(x,λ(t)) 𝜕𝑡 = ( 1 2𝜆(𝑡) − 𝛽𝑥 4 2 )  𝜌 . 𝜆̇ (13)
selanjutnya, menyelesaikan persamaan di ruas kanan pada persamaan (11) sehingga didapatkan hasil yang telah dimasukan dengan 𝜆̇ menjadi:
1 𝛾 ( 𝜕 𝜕𝑥 2 𝜆(𝑡) x 3 + 𝜕 𝜕𝑥 𝜕𝑢1 𝜕𝑥 ) 𝜌  + 1 𝛽 𝜕 𝜕𝑥 𝜕𝜌 𝜕𝑥 ) (14)
Kemudian  mensubstitusikan  hasil  yang  diperoleh  pada  persamaan  (13)  dan  (14)  ke persamaan (11)  dengan  mengotak atik suku kiri dan kanan sehingga mendapatkan hasil persamaan (15).
U 1 = 𝜆̇𝛾 8𝜆(𝑡) . X 2 (15)
dengan memisalkan U 1 = Ax 2 didapatkan U 1 untuk orde pangkat 4 yaitu persamaan (16).
U 1 = 𝜆̇𝛾 8𝜆(𝑡) . X 2 (16)
Potensial harmonik dengan U 0 = 𝟏 𝟐 𝝀 𝒙 6
Hal  ini  juga  dilakukan  dengan  potensial  awal  yang  berbentuk  potensial  harmonik dengan nilai 1 2 𝜆 𝑥 6 dengan cara yang sama. Jika ditinjau distribusi partikel pada keadaan equilibrium atau 𝜌 (x, 𝜆 ) tidak bergantung waktu ( 𝜕𝜌 𝜕𝑡 = 0) dan potensial awalnya U 0 = 1 2 𝜆 𝑥 6 dengan 𝜆 sebagai parameter kontrol, maka didapatkan:
0 = 1 𝛾 𝜕 𝜕𝑥 ( 3𝜆𝑥 5 𝜌) + 1 𝛽 𝜕 2 𝜌 𝜕𝑥 2 (17)
dan
𝜕 2 𝜌 𝜕𝑥 2 = - 𝛽 𝜕 𝜕𝑥 3𝜆𝑥 5 𝜌 (18)
Jika kedua suku pada persamaan (18) diintegralkan, maka didapatkan distribusi partikel 𝜌 (x, 𝜆 ) sebagai berikut:
𝜌 = 𝐶𝑒 −𝛽𝜆𝑋6 2 (19)
Proses normalisasi berikut dapat digunakan untuk mendapatkan nilai konstanta C dengan nilai konstanta c tersebut dilakukan substitusi sehingga diperoleh:
∫ |𝜌| ∞ −∞ 2 dx = 1 (20)
Mensubstitusikan lagi hasil dari persamaan (19) ke persamaan (20), didapatkan nilai dari konstanta C, berupa:
C = √ 𝛽𝜆 𝜋 (21)
Setelah itu, dilakukan substitusi nilai konstanta c, maka distribusi partikel pada keadaan seimbang dan dilakukan substitusi kembali ke persamaan eksponensial:
𝜌 =   √ 𝛽𝜆 𝜋 𝑒 −𝛽𝜆𝑋6 2 (22)
Distribusi  partikel  untuk  potensial  pangkat  6  bisa  dilihat  pada  Gambar  6,  7  dan  8  yang divariasikan berdasarkan 𝜆 dan 𝜷 .
Gambar 6. Untuk 𝜌 dengan U 0 = 1 2 𝜆 𝑥 6 𝜆 = 1, 𝜷 = 1
Gambar 7. Untuk 𝜌 dengan U 0 = 1 2 𝜆 𝑥 6 𝜆 = 5, 𝜷 = 5
3 2 1 1 2 3 x 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 3 2 1 1 2 3 x 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5
Gambar 8. Untuk 𝜌 dengan U 0 = 1 2 𝜆 𝑥 6 𝜆 = 10, 𝜷 = 10
Setelah  itu,  jika  sistem  diberi  gangguan  dengan  parameter  control 𝜆 ditinjau  menjadi parameter  kontrol  yang  bergantung  waktu  (t),  dengan  sebelumnya  belum  bergantung waktu, menjadi bergantung waktu sehingga  persamaan (22) menjadi:
𝜌 =   √ 𝛽𝜆(𝑡) 𝜋 𝑒 −𝛽𝜆(𝑡)𝑋6 2 (23)
Distribusi partikel untuk potensial pangkat 6 bisa dilihat di gambar 9 untuk 𝜌 dengan U 0 = 1 2 𝜆 𝑥 6 .
Gambar 9. Untuk 𝜌 dengan U 0 = 1 2 𝜆 𝑥 6 𝜆 = A + 𝝁 t, A = 0, 𝜷 = 1 dan 𝝁 = 0.01
Agar 𝜌 (t)  pada  persamaan  (23)  tetap  memenuhi  persamaan  Fokker-Planck  pada persamaan (1), maka potensial system dituliskan U = U 0 + U 1 sehingga:
U = 1 2 𝜆(𝑡) x 6 + U 1 (24)
U 1 merupakan  besar  potensial  tambahan  yang  harus  ditambahkan  pada  sistem  agar distribusi partikel bisa kembali ke keadaan setimbang dalam waktu yang singkat dengan
3 2 1 1 2 3 x 1 2 3 4 5
𝜌 (x, 𝜆 (t)) pada persamaan (23) dan U pada persamaan (24) ke persamaan Fokker-Planck pada persamaan (1) dituliskan menjadi:
𝜕𝜌(x,λ(t))
𝜕𝑡 = 1 𝛾 𝜕 𝜕𝑥 ( 𝜕𝑢 𝜕𝑥 𝜌 + 1 𝛽 𝜕𝜌 𝜕𝑡 ) (25)
Potensial  awal  dengan  U 0 pangkat  6  dapat  dilihat  pada  Gambar  10  yang  di  variasikan dengan 𝜆 , A.
Gambar 10. untuk U 0 pangkat 6 = 1 2 𝜆 𝑥 6 𝜆 = A + 𝝁 t, A = 0, 𝝁 = 0.01 dan u = 1 2 𝜆 𝑥 6
Jika  disubstitusikan  persamaan  (24)  ke  persamaan  (25)  dan  menambahkan  U1  maka didapatkan:
𝜕𝜌(x,λ(t)) 𝜕𝑡 = 1 𝛾 𝜕 𝜕𝑥 ((3 𝜆(𝑡) x 5 + 𝜕𝑢1 𝜕𝑥 𝜌 + 1 𝛽 𝜕𝜌 𝜕𝑥 ) (26)
Menyelesaikan  persamaan  (26)  yaitu  hasil  dari  persamaan  itu  turunannya  dikalikan dengan 𝜆̇ sehingga didapatkan hasil:
𝜕𝜌 𝜕𝑡 = ( 1 3𝜆(𝑡) − 𝛽𝑥 6 2 )  𝜌 . 𝜆̇ (27)
Selanjutnya, menyelesaikan persamaan yang ada  di  sebelah kanan pada  persamaan (25) sehingga didapatkan hasil yang telah dimasukan dengan 𝜆̇ menjadi :
1 𝛾 ( 𝜕 𝜕𝑥 3 𝜆(𝑡) x 5 + 𝜕 𝜕𝑥 𝜕𝑢1 𝜕𝑥 ) 𝜌  + 1 𝛽 𝜕 𝜕𝑥 𝜕𝜌 𝜕𝑥 ) (28)
Kemudian  dilakukan  substitusi  hasil  yang  diperoleh  pada  persamaan  (27)  dan  (28)  ke persamaan (25)  dengan  mengotak atik suku kiri dan kanan sehingga mendapatkan hasil sebagaimana persamaan (29).
U 1 = 𝜆̇𝛾 12𝜆(𝑡) . X 2 (29)
dengan memisalkan U 1 = Ax 2 didapatkan U 1 untuk orde pangkat 6 yaitu:
U 1 = 𝜆̇𝛾𝑥 2 12𝜆(𝑡) (30)
Penelitian ini menemukan potensial tambahan dan persamaan umum potensial tambahan gerak Brown yang teredam sempurna. Potensial tambahan ini dapat mempercepat gerak Brown  ketika  mencapai  kesetimbangan,  yang  memerlukan  waktu  yang  lama  untuk kembali ke keadaan setimbang. Dengan menambahkan potensial tambahan ini, sifat dan karakteristik partikel tidak akan berubah (Del Campo & Kim, 2019). Penelitian ini juga merupakan  pengembangan  dari  penelitian  terdahulu  dengan  menggunakan  metode Shortcuts to Adiabaticity (STA) sebagai bentuk penyelesaiannya (Ainayah et al., 2023). Oleh  karena  itu,  hasil  penelitian  ini  efektif  merumuskan  potensial  tambahan  dan persamaan umum potensial tambahan gerak Brown yang teredam sempurna.

## SIMPULAN
Penelitian  yang  telah  dilakukan  dengan  menggunakan  metode Fast  Forward , diaplikasikan  dengan  persamaan  Fokker-Planck  pada  gerak  Brown  teredam  sempurna (overdamped). Diperoleh suatu metode berupa potensial tambahan untuk setiap potensial awal  yang  berbentuk  potensial  harmonik  dengan  pangkat  yang  beragam  untuk mempercepat  gerak  Brown  yang  teredam  berlebihan  mencapai  titik  kesetimbangan. Semula bergerak acak tanpa henti dan butuh waktu yang sangat lama agar kembali dalam keadaan  setimbang  tanpa  mengubah  sifat  dan  karakteristik  partikel.  Berdasarkan  hasil penelitian  ini  diperoleh  hasil  yaitu,  jika  potensial  awal  sistem  adalah    (U 0 = 1 2 𝜆 𝑥 4 ) didapatkan potensial tambahan U 1 = 𝜆𝛾 ̇ 8𝜆(𝑡) 𝑥 2 dan jika potensial awal  (U 0 = 1 2 𝜆 𝑥 6 ) maka potensial  tambahannya  U 1 = 𝜆𝛾 ̇ 12𝜆(𝑡) 𝑥 2 .  Oleh  karena  itu,  diperoleh  hasil  penelitian  yang efektif merumuskan potensial tambahan dan persamaan umum potensial tambahan gerak Brown yang teredam sempurna.

## UCAPAN TERIMA KASIH
Penulis mengucapkan terima kasih kepada Program Studi Pendidikan Fisika di FKIP Universitas  Bengkulu  yang  telah  memberikan  kesempatan  kepada  penulis  untuk mengikuti kegiatan Merdeka Belajar  Kampus Merdeka  (MBKM) Penelitian, yang salah satu  luarannya  adalah  artikel  ini.  Penulis  juga  mengucapkan  terima  kasih  kepada  orang tua,  dosen-dosen  pendidikan  fisika,  dan  teman-teman  seperjuangan  yang  telah memberikan dukungan terhadap penulis.

## DAFTAR PUSTAKA
Ainayah, N., Setiawan, I., & Hamdani, D. (2023). Methods to Accelerate Equilibrium in Overdamped  Brownian  Motion.  J urnal  Pendidikan  Fisika  dan  Keilmuan (JPFK),
8 (2), 212-225.
Apriana, & Rosyid, M. F. (2018). Perumusan Gerak Stokastik Benda Tegar dalam Ruang Konfigurasi SE(3). BIMIPA , 28 (1), 9–16.
Apriza,  B.  (2019).  Model  Pembelajaran Think  Pair  Share Berbasis  Literasi  di  Sekolah
Dasar. Prosiding Seminar Nasional Pagelaran, 1(1) , 216–223.
http://www.seminar.uad.ac.id/index.php/ppdn/article/view/1432
Benggadinda,  A.,  &  Setiawan,  I.  (2021).  Metoda Fast  Forward untuk  Mempercepat Dinamika  Kuantum  Adiabatik  pada  Spin  Tunggal. JST  (Jurnal  Sains  dan Teknologi) , 10 (2), 274–280. https://doi.org/10.23887/jstundiksha.v10i2.39876 Del Campo, A., & Kim, K. (2019). Focus on Shortcuts to Adiabaticity. New Journal of Physics , 21 (5). https://doi.org/10.1088/1367-2630/ab1437
Elisa,  N.,  Setiawan,  I.,  &  Hamdani,  D.  (2023).  Energi  Penggerak  untuk  Mempercepat Kesetimbangan  Gerak  Brown  Teredam  Sebagian  (Underdamped). Jurnal  Inovasi dan Pembelajaran Fisika, 10 (1), 21–33.
Frank,  T.  D.  (2005).  Delay  Fokker-Planck  Equations,  Perturbation  Theory,  and  Data Analysis for Nonlinear Stochastic Systems with Time Delays. Physical Review E - Statistical, Nonlinear, and Soft Matter Physics , 71 (3), 1–14. https://doi.org/10.1103/PhysRevE.71.031106
Hutagalung,  M.  (2023).  Kajian  Literatur  Fase  Adiabatik  untuk  mempercepat  Dinamika
Kuantum  Adiabatik  pada  Osilator  Harmonik. Indonesian  Journal  of  Applied Physics, 13(1), 106–116. https://doi.org/DOI : https://doi.org/10.13057/ijap.v13i1.65252 Khadem, S. M. J., Klages, R., & Klapp, S. H. L. (2022). Stochastic Thermodynamics of Fractional Brownian Motion. Physical Review Research , 4 (4), 1-14, https://doi.org/10.1103/PhysRevResearch.4.043186
Martínez,  I.  A.,  Petrosyan,  A.,  Guéry-Odelin,  D.,  Trizac,  E.,  &  Ciliberto,  S.  (2016).
Engineered swift equilibration of a Brownian particle. Nature Physics , 12 (9), 843– 846. https://doi.org/10.1038/nphys3758
Najmudin, I. (2018). Studi Proses Gerak Brown Relativistik dengan Pendekatan Hanggi- Klimontovich. Skripsi , UIN Malang. http://etheses.uin-malang.ac.id/id/eprint/12009 Nakamura,  K.,  Matrasulov,  J.,  &  Izumida,  Y.  (2020).  Fast-Forward  Approach  to
Stochastic Heat Engine. Physical Review E , 102 (1), 1–12. https://doi.org/10.1103/PhysRevE.102.012129 Palupi,  D.  S.  (2010).  Persamaan  Fokker  Planck  dan  Aplikasinya  dalam  Astrofisika. Berkala Fisika , 13 (2), A1-A6–A6.
https://ejournal.undip.ac.id/index.php/berkala_fisika/article/view/2995/2679
Pradana,  I.  A.  (2018).  Analisa  Mikrotremor  Menggunakan  Metode  Random  Decrement untuk  Mikrozonasi  Potensi  Kerusakan  Akibat  Gempabumi  di  Kabupaten  Pacitan. Thesis , Institut Teknologi Sepuluh Nopember.
Romadani,  A.,  &  Rosyid,  M.  F.  (2022).  Proses  difusi  relativistik  melalui  persamaan langevin dan fokker-planck. Jurnal Teknosains , 11 (2), 101-111. https://doi.org/10.22146/teknosains.63229
Seifert,  U.  (2012).  Stochastic  Thermodynamics,  Fluctuation  Theorems  and  Molecular Machines. Reports  on  Progress  in  Physics , 75 (12).  https://doi.org/10.1088/0034- 4885/75/12/126001
Setiawan,  I.,  Gunara,  B.E.,  Masuda,  S.,  &  Nakamura,  K.  (2017).  Fast  Forward  of  The Adiabatic Spin Dynamics of Entangled States. Physical Review A , 96. Sugihakim,  R.,  Setiawan,  I.,  &  Gunara,  B.  E.  (2021).  Fast-Forward  of  Local-Phased- Regularized  Spinor  in  Massless  2+1-Dimensions  Adiabatic  Dirac  Dynamics. Journal  of  Physics:  Conference  Series , 1951 (1).  https://doi.org/10.1088/1742- 6596/1951/1/012068
Takahashi,  K.  (2014).  Fast-Forward  Scaling  in  a  Finite-Dimensional  Hilbert  Space. Physical  Review  A  -  Atomic,  Molecular,  and  Optical  Physics , 89 (4),  1–7.
https://doi.org/10.1103/PhysRevA.89.042113 Tsekov,  R.  (2010).  Brownian  Motion  of  Molecules:  the  Classical  Theory. Ann.  Univ. Sofia, Fac. Chem. 88 (1), 57‐66. http://arxiv.org/abs/1005.1490
Yang,  Y.  J.,  &  Qian,  H.  (2020).  Unified  Formalism  for  Entropy  Production  and
Fluctuation Relations. Physical Review E , 101 (2), 1–16. https://doi.org/10.1103/PhysRevE.101.022129