Teorema : Teori dan Riset Matematika , 6 (2), 130 – 138, September 2021 p-ISSN 2541-0660, e-ISSN 2597-7237 © 2021 https://jurnal.unigal.ac.id/index.php/teorema/article/view/5300

## KEAKURATAN METODE DEKOMPOSISI ADOMIAN UNTUK MASALAH NILAI AWAL YANG PENYELESAIAN EKSAKNYA MEMUAT TITIK SINGULAR
Yulius Keremata Lede 1 , Sudi Mungkasi 2 1 Program Studi Pendidikan Matematika, STKIP Weetebula, Sumba Barat Daya, Nusa Tenggara Timur, Indonesia 2 Program Studi Matematika, Fakultas Sains dan Teknologi, Universitas Sanata Dharma, Yogyakarta, Indonesia Email: 1 yuliusllede@gmail.com

## ABSTRACT
One of the branches of mathematics is differential equations. This paper solves the initial value problem (an ordinary differential equation equipped with an initial value of the function) using the Adomian decomposition method. This paper aims to examine the properties of the Adomian decomposition solution when the exact solution contains a singular point. This paper takes a test case for differential equations to demonstrate the performance of the Adomian decomposition method. The research method applied is the method of solving mathematical equations by approximation into a series of functions and observing the results of computer simulations. Results of our test case simulations show that the Adomian decomposition solution is very accurate for the points around the starting point. However, the Adomian decomposition solution is less accurate for points around the singular point and points far from the starting point. The accuracy of the approximation  here  is  defined  by  the  absolute  error  of  that  approximation,  that  is,  the  approximation  is  said  to  be accurate if the absolute error is small.
Keywords: Initial value problems, Adomian decomposition method, ordinary differential equations.

## ABSTRAK
Salah satu cabang ilmu matematika adalah persamaan diferensial.  Artikel ini menyelesaikan masalah nilai awal (persamaan diferensial biasa yang dilengkapi dengan suatu data nilai awal fungsi) dengan menggunakan metode dekomposisi Adomian. Tujuan penelitian ini adalah untuk mengamati sifat penyelesaian dekomposisi Adomian apabila penyelesaian eksaknya memuat titik  singular.  Artikel  ini  mengambil  suatu  kasus  uji  persamaan  diferensial  untuk  menunjukkan  kinerja  metode  dekomposisi Adomian. Metode penelitian yang diterapkan adalah metode penyelesaian persamaan matematis secara hampiran ke dalam deret  fungsi  dan  pengamatan  hasil  simulasi  komputer.  Hasil  dari  simulasi  kasus  uji  menunjukkan  bahwa  penyelesaian dekomposisi Adomian sangat akurat untuk titik-titik di sekitar data awal. Akan tetapi, penyelesaian dekomposisi Adomian kurang akurat untuk titik-titik di sekitar titik singular dan untuk titik-titik yang jauh dari titik awal. Keakuratan di sini diartikan dengan nilai error mutlak dari hampiran, yaitu bahwa hampiran disebut akurat apabila error mutlaknya kecil.
Kata kunci: Masalah nilai awal, metode dekomposisi Adomian, persamaan diferensial biasa
Dikirim: 26 April 2021; Diterima: 29 Juli 2021; Dipublikasikan: 30 September 2021 Cara sitasi: Lede, Y. K., & Mungkasi, S. (2021). Keakuratan metode dekomposisi adomian untuk masalah nilai awal yang penyelesaian  eksaknya  memuat  titik  singular. Teorema : Teori  dan  Riset  Matematika, 6 (2),  130-138. DOI: http://dx.doi.org/10.25157/teorema.v6i2.5300

## PENDAHULUAN
Salah  satu  cabang  ilmu  matematika  adalah  persamaan  diferensial.  Persamaan  diferensial merupakan  persamaan  yang  menyatakan  hubungan  antara  turunan  dari  satu  atau  lebih  variabel  non- independen dengan satu atau lebih variabel independen. Dengan kata lain, persamaan diferensial adalah persamaan atas sejumlah fungsi dari satu atau lebih variabel, yang mempunyai hubungan antara nilai-nilai fungsi  dan  turunannya  pada  beberapa  orde  (Wazwaz,  2009).  Makalah  ini  fokus  pada  persamaan diferensial  biasa  dengan  suatu  data  nilai  awal.  Secara  khusus,  makalah  membahas  penyelesaian persamaan diferensial biasa melibatkan satu variabel non-independen atas satu variabel independen.
Sering  kali  penyelesaian  eksak  masalah  nilai  awal  atas  diferensial  biasa  sulit  untuk  dicari penyelesaian  eksaknya.  Oleh  sebab  itu,  penyelesaian  hampiran  merupakan  suatu  alternatif  untuk mendapatkan penyelesaian non-eksak atas masalah nilai awal. Salah satu metode hampiran adalah metode  dekomposisi  Adomian  yang  telah  banyak  diterapkan  dalam  berbagai  penelitian,  misalnya bidang  fisika  (Dispini  &  Mungkasi,  2016;  Dispini  &  Mungkasi,  2017;  Mungkasi  &  Dheno,  2017), masalah teknik (Mungkasi & Ekaputra, 2018), dan ilmu biologi (Putranto & Mungkasi, 2017).
Metode  ini  dapat  digunakan  untuk  menyelesaikan  persamaan-persamaan  diferensial,  baik linear maupun nonlinear (Li & Pang, 2020). Metode ini dapat diterapkan meskipun data awal belum diketahui secara pasti (Lu & Zheng, 2021; Silva & De Bortoli, 2021). Metode dekomposisi Adomian dapat  digunakan  untuk  memberikan  penyelesaian  analitis  dalam  bentuk  deret  tak-hingga  tanpa linearisasi, perturbasi, atau transformasi diskritisasi yang dapat dilihat dalam penelitian Donachali & Jafari (2020); Gahgah et al., (2020); Saelao & Yokchoo (2020); Yun et al ., (2019).
Tujuan dari makalah ini adalah untuk memeriksa keakuratan metode dekomposisi Adomian dalam menyelesaikan masalah nilai awal yang memuat titik singular pada penyelesaian eksaknya. Sebagai  kasus  uji,  dipilih  suatu  masalah  nilai  awal  yang  penyelesaian  eksaknya  diketahui  dan mempunyai titik singular. Perlu diingat bahwa secara umum, penyelesaian eksak masalah nilai awal sulit dicari. Dengan hasil penelitian dalam makalah ini, kehati-hatian diperlukan dalam menerapkan metode  dekomposisi  Adomian,  khususnya  apabila  secara  teori  diketahui  bahwa  penyelesaian eksaknya  mempunyai  titik  singular,  meskipun  bentuk  eksplisit  penyelesaian  eksaknya  tidak diketahui. Kehati-hatian di sini adalah perlunya pengetahuan bahwa error di sekitar titik singular bisa sangat besar. Fenomena inilah yang diteliti dalam makalah ini.

## METODE PENELITIAN
Metode  yang  digunakan  untuk  menyelesaikan  masalah  nilai  awal  dalam  makalah  ini  adalah metode dekomposisi Adomian dan metode penyelesaian eksak. Sebagai catatan bahwa fokus makalah ini adalah  metode  dekomposisi  Adomian.  Metode  penyelesaian  eksak,  secara  umum  tidak  selalu  dapat diterapkan.  Akan  tetapi,  dalam  makalah  ini  kasus  uji  dipilih  yang  penyelesaian  eksaknya  dapat  dicari, sehingga penyelesaian dekomposisi Adomian dapat diamati keakuratannya. Keakuratan di sini diartikan dengan  nilai  error  mutlak  dari  hampiran,  yaitu bahwa  hampiran  disebut  akurat  apabila  error mutlaknya kecil. Error mutlak didefinisikan sebagai nilai mutlak dari selisih antara nilai eksak dan nilai hampirannya. Dengan  demikian,  error  mutlak  dapat  dihitung  apabila  nilai  eksaknya  diketahui.  Apabila  metode dekomposisi  Adomian  dapat  menyelesaikan  masalah-masalah  yang  dapat  diselesaikan  secara  eksak dengan error yang kecil, maka hal ini akan memberikan keyakinan bahwa error dari metode ini juga akan kecil untuk masalah-masalah lain yang belum bisa diselesaikan secara eksak.

## Metode Dekomposisi Adomian
Sebagai kasus uji, dipandang masalah nilai awal sebagai berikut.
y y dt dy + = 2 , (1)
dengan
c y = ) 0 ( , (2)
untuk suatu konstan c . Sebagai catatan, masalah (1) dan (2) ini diambil dari Lede (2019) tentang eksplorasi  aspek  pendidikan  dari  metode  dekomposisi  Adomian  dalam  menyelesaikan  sistem persamaan  penyakit  demam  berdarah.  Perlu  diingat  juga  dalam  kasus  ini  bahwa  nilai  awal  (2) berupa  parameter c yang  belum  diketahui  pasti  nilainya.  Parameter c ini  bisa  bernilai  real berapapun.
Diambil operator dt d L ) (  = , sehingga persamaan (1) dapat ditulis ulang menjadi:
y y Ly + = 2 . (3)
Jika operator invers   =  − t dt L 0 1 ) ( ) ( dikenakan pada persamaan (3), maka diperoleh:
) ( ) ( 1 2 1 1 y L y L Ly L − − − + = , (4)
atau ditulis menjadi:
) ( ) ( ) 0 ( ) ( 1 2 1 y L y L y t y − − + = − , (5)
atau
) ( ) ( ) 0 ( ) ( 1 2 1 y L y L y t y − − + + = . (6)
Metode dekomposisi Adomian mengambil bentuk deret sebagai berikut:
  = = 0 ) ( n n y t y , (7)
dengan jumlahan dari komponen nonlinear dapat diubah sebagai polinomial Adomian   = = 0 2 n n A y dengan  = − = n k k n k n y y A 0 . (8)
Dengan demikian, polinomial Adomian untuk n A dapat ditulis menjadi: 2 0 0 y A = , (9a) 1 0 0 1 1 0 1 2 y y y y y y A = + = , (9b) 2 1 2 0 0 2 1 1 2 0 2 2 y y y y y y y y y A + = + + = , (9c)
2 1 3 0 0 3 1 2 2 1 3 0 3 2 2 y y y y y y y y y y y y A + = + + + = . (9d)
Substitusi persamaan (7)-(9) ke dalam persamaan (6) menghasilkan:
    =  =  = − − + + = 0 0 0 1 1 ) 0 ( n n n n n n y L A L y y , (10)
atau diubah menjadi:
...) ( ...) ( ) 0 ( ... 2 1 0 1 2 1 0 1 2 1 0 + + + + + + + + = + + + − − y y y L A A A L y y y y . (11)
Dengan memperhatikan kedua ruas pada persamaan (11), diperoleh:
) 0 ( 0 y y = , (12a) ) ( ) ( 0 1 0 1 1 y L A L y − − + = , (12b) ) ( ) ( 1 1 1 1 2 y L A L y − − + = , (12c) ) ( ) ( 2 1 2 1 3 y L A L y − − + = , (12d)
sehingga diperoleh:
) 0 ( 0 y y = , ) ( ) ( 1 1 1 n n n y L A L y − − + + = , (13)
untuk ... , 2 , 1 , 0 = n .
Dengan  memperhatikan  nilai  awal c y = ) 0 ( dan  persamaan  (13),  perhitungan  untuk  hasil hingga iterasi kedua adalah sebagai berikut:
, 0 c y = (14a)
, ) ( ) ( ) ( ) ( 2 1 2 1 0 1 2 0 1 0 1 0 1 1 ct t c c L c L y L y L y L A L y + = + = + = + = − − − − − − (14b) . ) 2 1 2 3 ( 2 1 2 1 ) ( ) 2 2 ( ) ( )) ( 2 ( ) ( ) 2 ( ) ( ) ( 2 2 3 2 2 2 2 2 2 3 2 1 2 3 1 2 1 2 1 2 1 1 0 1 1 1 1 1 2 t c c c ct t c t c t c ct t c L t c t c L ct t c L ct t c c L ct t c L y y L y L A L y + + = + + + = + + + = + + + = + + = + = − − − − − − − −
(14c)
Penyelesaian hasil dekomposisi Adomian sampai iterasi kedua adalah:
2 1 0 y y y y + + = . (15)
Jika  nilai 0 y , 1 y ,  dan 2 y dari  persamaan  (14a)-(14c)  disubstitusikan  ke  persamaan  (15),  maka diperoleh penyelesaian Adomian untuk sebarang nilai awal c y = ) 0 ( , yaitu fungsi eksplisit kontinu.
2 2 3 2 ) 2 1 2 3 ( ) ( t c c c t c c c y + + + + + = . (16)
Kasus uji dalam makalah ini mengambil nilai awal
2 ) 0 ( = = c y . (17)
Dengan  mengambil  kasus  uji  persamaan  (1)  dengan  nilai  awal  (17),  masalah  nilai  awal  tersebut mempunyai penyelesaian dekomposisi Adomian sampai iterasi kedua, yaitu fungsi eksplisit kontinu.
2 2 3 2 ) 2 2 1 2 2 3 2 ( ) 2 2 ( 2 ) ( t t t y  +  + + + + = , (18)
atau ditulis
2 15 6 2 ) ( t t t y + + = . (19)
Hasil hampiran ini akan dibandingkan dengan hasil penyelesaian eksak, agar keakuratan hampiran metode dekomposisi Adomian dapat diamati.

## Metode Penyelesaian Eksak
Persamaan diferensial (1) dapat diselesaikan dengan metode pemisahan variabel sebagai berikut:
dt y y dy = + 2 . (20)
Kedua ruas dalam persamaan (20) diambil integralnya, sehingga,
  = + dt y y dy 2 . (21)
Integral pada ruas kiri dari persamaan (21) dapat ditulis sebagai:
1 1 2 + + = + y B y A y y , (22)
yang mana nilai A dan B perlu ditentukan sebagai berikut:
) 1 ( 1 2 + + + = + y y A By Ay y y , (23)
sehingga diperoleh 0 = + B A dengan 1 = A dan 1 − = B . (24)
Jika hasil (24) disubstitusikan ke dalam persamaan (22), maka persamaan (21) dapat ditulis ulang menjadi:
   = + − + dt dy y y dy 1 1 , (25)
yang menghasilkan secara eksak fungsi eksplisit:
1 1 ) ( − = − t Ce t y , (26)
dengan C sebarang konstanta.
Seperti  telah  disampaikan  sebelumnya  bahwa  dalam  makalah  ini,  nilai  awal  diambil 2 ) 0 ( = y .  Substitusi  nilai  awal  ini  ke  dalam  persamaan  (26)  menghasilkan  nilai 3 2 = C .  Jadi, penyelesaian masalah nilai awal tersebut adalah
2 3 2 ) ( − = − t e t y . (27)
Penyelesaian eksak ini mempunyai titik singular (yang adalah titik diskontinu) di
4055 . 0 = t .

## HASIL DAN PEMBAHASAN
Bagian  ini  menyajikan  hasil  perhitungan  pada  representasi  beberapa  titik  diskrit  untuk penyelesaian  yang  dihasilkan  oleh  metode  dekomposisi  Adomian  iterasi  kedua  dan  hasil  tersebut dibandingkan  dengan  penyelesaian  eksaknya.  Dua  simulasi  diberikan  dalam  bagian  ini.  Simulasi pertama mengambil interval   1 , 0  yang mana di dalam interval ini, penyelesaian eksaknya memuat titik  singular.  Simulasi  kedua  mengambil  interval   1 . 0 , 0 yang  mana  simulasi  ini  fokus  pada investigasi di titik-titik di sekitar titik awal (nilai awal).
Hasil numeris simulasi pertama dituliskan dalam Tabel 1. Interval   1 , 0  didiskritkan menjadi titik-titik 1 ,..., 2 . 0 , 1 . 0 , 0 . 0 = t . Tabel 1 tersebut melaporkan hasil nilai-nilai penyelesaian dekomposisi Adomian dan penyelesaian eksak serta error mutlak dari penyelesaian dekomposisi Adomian di titik- titik diskrit tersebut. Error mutlak bernilai paling  besar di sekitar titik singular yang merupakan titik diskontinu.
Agar  lebih  jelas  dalam  pengamatan  keakuratan,  Gambar  1  memberi  ilustrasi  kurva penyelesaian  dekomposisi  Adomian  dan  penyelesaian  eksak  pada  interval   1 , 0 .  Dari  gambar  ini, dapat  diamati  bahwa  penyelesaian  dekomposisi  Adomian  akurat  di  sekitar  awalan,  tetapi  tidak akurat di sekitar titik singular dan di titik-titik yang jauh dari awalan. Untuk mendapatkan hasil yang lebih  akurat,  metode  dekomposisi  Adomian  memerlukan  iterasi  yang  lebih  banyak.  Makalah  ini mengambil iterasi Adomian hingga pada iterasi kedua saja. Hal ini karena tujuannya adalah untuk mengamati  keakuratan  metode  tersebut  jika  penyelesaian  eksak  masalah  nilai  awal  memuat  titik singular.  Dengan  mengambil  iterasi  hingga  pada  iterasi  kedua,  fenomena  dari  penyelesaian dekomposisi Adomian sudah bisa teramati.
Simulasi kedua fokus pada interval yang lebih kecil, yaitu interval   1 . 0 , 0 . Hal ini merupakan tindak  lanjut  lebih  rinci  dari  simulasi  pertama  yang  memberi  indikasi  bahwa  penyelesaian dekomposisi Adomian akurat di sekitar awalan (nilai awal). Interval   1 . 0 , 0 didiskritkan menjadi titik-
titik 1 . 0 ..., , 02 . 0 , 01 . 0 , 00 . 0 = t . Seperti halnya pada hasil simulasi pertama, simulasi kedua ini juga menghitung  nilai  penyelesaian  dekomposisi  Adomian,  nilai  penyelesaian  eksak,  dan  error  mutlak
dari  penyelesaian  dekomposisi  Adomian  di  titik-titik  diskrit  tersebut.  Nilai-nilai  ini  dituliskan  dalam Tabel 2.
Tabel 1 . Penyelesaian dekomposisi Adomian dan penyelesaian eksak pada interval   1 , 0
No. t Penyelesaian dekomposisi Adomian Penyelesaian eksak Error Mutlak 1 0.0 2.00000000 2.00000000 0.00000000 2 0.1 2.75000000 2.79911224 0.04911224 3 0.2 3.80000000 4.38411647 0.58411647 4 0.3 5.15000000 8.99059602 3.84059602 5 0.4 6.80000000 182.47945240 175.67945240 6 0.5 8.75000000 -11.08598160 19.83598160 7 0.6 11.00000000 -5.65666703 16.65666703 8 0.7 13.54999999 -3.91969264 17.46969264 9 0.8 16.40000000 -3.06742299 19.46742299 10 0.9 19.55000000 -2.56314624 22.11314624 11 1.0 23.00000000 -2.23124220 25.23124220
Gambar 1. Kurva penyelesaian dekomposisi Adomian dan penyelesaian eksak pada interval   1 , 0
Garis  hitam  lurus  vertikal  di  dekat  titik 4 . 0 = t adalah  asimtot  vertikal 4055 . 0 = t yang adalah titik singular dari penyelesaian eksak masalah nilai awal (1)-(2) dengan 2 = c .
Untuk memperjelas hasil, Gambar 2 memberikan ilustrasi kurva penyelesaian dekomposisi Adomian  dan  penyelesaian  eksak  dalam  interval   1 . 0 , 0 dari  masalah  nilai  awal  yang  diberikan.
Secara umum, asalkan interval yang diambil  cukup kecil dan titik-titiknya cukup dekat dengan titik awal dari masalah yang diberikan, maka penyelesaian dekomposisi Adomian cukup akurat. Semakin jauh titik evaluasi dari titik awal, maka hampiran dekomposisi Adomian akan semakin menjauhi nilai eksaknya.
Tabel  2. Penyelesaian dekomposisi Adomian dan penyelesaian eksak pada interval   1 . 0 , 0
No. t Penyelesaian dekomposisi Adomian Penyelesaian eksak Error Mutlak 1 0.00 2.00000000 2.00000000 0.00000000 2 0.01 2.06150000 2.06153793 0.00003793 3 0.02 2.12600000 2.12631135 0.00031135 4 0.03 2.19350000 2.19457881 0.00107881 5 0.04 2.26400000 2.26662716 0.00262716 6 0.05 2.33750000 2.34277553 0.00527553 7 0.06 2.41400000 2.42337999 0.00937999 8 0.07 2.49350000 2.50883908 0.01533908 9 0.08 2.57600000 2.59960030 0.02360030 10 0.09 2.66150000 2.69616793 0.03466793 11 0.10 2.75000000 2.79911224 0.04911224
Gambar 2. Kurva penyelesaian masalah nilai awal (1)-(2) dengan 2 = c berdasarkan metode dekomposisi Adomian dan kurva penyelesaian eksak pada interval   1 . 0 , 0
Hasil dalam Tabel 1, Gambar 1, Tabel 2, dan Gambar 2 menegaskan bahwa penyelesaian dari hasil perhitungan metode dekomposisi Adomian memberikan hampiran yang akurat di sekitar titik  nilai  awal.  Akan  tetapi,  hampiran  tersebut  kurang  akurat  di  sekitar  titik  singular.  Hampiran tersebut juga kurang akurat di titik-titik yang relatif jauh dari titik nilai awal. Hal ini konsisten dengan berbagai hasil tentang perhitungan metode dekomposisi Adomian untuk masalah-masalah lainnya, misalnya  hasil  penelitian  oleh  Dispini  &  Mungkasi  (2016,  2017),  Mungkasi  &  Dheno  (2017),  serta Wazwaz  (2009).  Sebagai  catatan,  untuk  mendapatkan  penyelesaian  hampiran  yang  lebih  akurat, deret  fungsi  hampiran  dari  dekomposisi  Adomian  dapat  dilanjutkan  ke  orde  atau  suku  yang  lebih tinggi,  sesuai  hasil yang  disimpulkan  oleh  Wazwaz  (2009).  Dalam  makalah  ini  hampiran  Adomian hanya  diberikan  oleh  tiga  suku,  yaitu  persamaan  (15).  Dari  hasil-hasil  ini,  metode  dekomposisi Adomian  mempunyai  kekuatan,  yaitu  bahwa  penyelesaian  hampiran  secara  analitis  dapat dinyatakan ke dalam suatu fungsi eksplisit, meskipun nilai awalnya berupa parameter yang belum diketahui pasti nilainya, yaitu nilai awal c sebarang.
Sebagai  arah  penelitian  selanjutnya,  hasil-hasil  dalam  makalah  ini  dapat  dikembangkan lebih lanjut ke dalam aspek pendidikan matematika. Sejauh ini, metode dekomposisi Adomian belum populer  diajarkan  dalam  perkuliahan  jenjang  sarjana,  sehingga  aspek  pendidikan  matematika  ini
masih  terbuka.  Aspek  pendidikan  matematika  tersebut  dapat  mengadopsi  hasil  penelitian  yang mutakhir,  misalnya  penelitian  Solihah et  al., (2021).  Aspek-aspek  ini  meliputi  bagaimana  aspek pedagogis  pemodelan  matematika  yang  diselesaikan  dengan  metode  dekomposisi  Adomian,  dan lain-lain.
KESIMPULAN Hasil-hasil  penelitian  yang  telah  tersaji  memberikan  beberapa  hal  yang  perlu  diperhatikan apabila metode dekomposisi Adomian dipilih  untuk diterapkan  dalam menyelesaikan masalah nilai awal.  Pertama,  metode  dekomposisi  Adomian  mempunyai  kekuatan,  yaitu  bahwa  penyelesaian hampiran secara analitis dapat dinyatakan ke dalam suatu fungsi eksplisit, meskipun nilai awalnya berupa  parameter  yang  belum  diketahui  pasti  nilainya.  Kedua,  metode  dekomposisi  Adomian memberikan penyelesaian yang bersifat kontinu. Ketiga, metode dekomposisi Adomian memberikan penyelesaian  hampiran  yang  akurat  di  sekitar  titik  nilai  awal,  tetapi  kurang  akurat  di  sekitar  titik singular dan di titik-titik yang jauh dari titik nilai awal. Kekurangakuratan di sekitar titik singular dan di titik-titik yang jauh dari titik awal inilah merupakan kelemahan metode dekomposisi Adomian apabila metode ini diterapkan pada masalah nilai awal yang penyelesaian eksaknya memuat titik singular.

## REKOMENDASI
Apabila interval variabel bebas cukup kecil, metode dekomposisi Adomian merupakan salah satu  metode  penyelesaian  analitis  untuk  masalah  nilai  awal  yang  dapat  diterapkan  dan menghasilkan penyelesaian hampiran yang akurat.

## UCAPAN TERIMA KASIH
Kedua  penulis berterima kasih kepada Universitas Sanata Dharma dan STKIP Weetebula atas dukungan yang diberikan dalam pelaksanaan penelitian ini.

## DAFTAR PUSTAKA
Dispini, M., & Mungkasi, S. (2016). Adomian decomposition method used to solve the shallow water equations. AIP Conference Proceedings, 1746 , art. 20055.
Dispini,  M.,  &  Mungkasi,  S.  (2017).  Adomian  decomposition  method  used  to  solve  the  one- dimensional acoustic equations. Journal of Physics : Conference Series, 856 (1), art. 12003.
Donachali,  A.  K.,  &  Jafari,  H.  (2020).  A  decomposition  method  for  solving  quaternion  differential equations. International Journal of Applied and Computational Mathematics, 6 art. 107.
Gahgah,  M.,  Sari,  M.  R.,  Kezzar,  M.,  &  Eid,  M.  R.  (2020).  Duan – Rach  modified  Adomian decomposition  method  (DRMA)  for  viscoelastic  fluid  flow  between  nonparallel  plane  walls. The European Physical Journal Plus, 135, art. 250.
Lede, Y. K. (2019). Penerapan metode dekomposisi adomian, metode euler dan metode heun untuk menyelesaikan  sistem  persamaan  penyakit  demam  berdarah. Tesis,  Universitas  Sanata Dharma, Yogyakarta.
Li,  W.,  &  Pang,  Y.  (2020).  Application  of  Adomian  decomposition  method  to  nonlinear  systems. Advances in Difference Equations, 2020 , art. 67.
Lu,  T.-T.,  &  Zheng,  W.-Q.  (2021).  Adomian  decomposition  method  for  first  order  PDEs  with unprescribed data. Alexandria Engineering Journal, 60 (2), 2563 – 2572.
Mungkasi, S., & Dheno, M. F. S. (2017). Adomian decomposition method used to solve the gravity wave equations. AIP Conference Proceedings, 1788, art. 30103.
Mungkasi, S., & Ekaputra, I. M. W. (2018). Adomian decomposition method for solving initial value problems in vibration models. MATEC Web of Conferences, 159, art. 2007.
Putranto, Y. W., & Mungkasi, S. (2017). Adomian decomposition method for solving the population dynamics model of two species. Journal of Physics : Conference Series, 795 (1) , art. 12045.
Saelao, J., & Yokchoo, N. (2020). The solution of Klein – Gordon equation by using modified Adomian decomposition method. Mathematics and Computers in Simulation, 171, 94 – 102.
Silva,  M.  I.,  &  De  Bortoli,  A.  L.  (2021).  Development  of  a  model  for  the  process  of  anaerobic digestion  and  its  solution  by  the  modified  Adomian  decomposition  method. International Journal of Applied and Computational Mathematics, 7, art. 5.
Solihah,  S.,  Amam, A.,  &  Zakiah, N.  E.  (2021).  Meningkatkan  kemampuan  komunikasi  matematik serta  self  confidence  siswa  dengan  menggunakan  model  brain-based  learning. Teorema : Teori dan Riset Matematika, 6 (1), 48 – 58.
Wazwaz,  A.  M.  (2009). Partial  Differential  Equations  and  Solitary  Waves  Theory, Beijing:  Higher Education Press & Berlin: Springer.
Yun, Y., Wen, Y., Chaolu, T. & Rach, R. (2019). A segmented Adomian algorithm for the boundary value  problem  of  a  second-order  partial  differential  equation  on  a  plane  triangle  area. Advances in Difference Equations, 2019, art. 438.