Vol. 14, No. 1,  54-60,  Juli  2017

## Spline Polynomial Truncated dalam Regresi Nonparametrik
Anna Islamiyati  Abstrak
Model pendekatan regresi nonparametrik yang diberikan oleh persamaan
  2 ( ) , 0, , 1, 2, , y f t N i n i i i i       : K dimana yi adalah  variabel  respon sedangkan fungsi ( ) i f t merupakan kurva regresi yang bentuknya disumsikan tidak diketahui dan  termuat  dalam  ruang  Sobolev   , 2 m W a b .  Dalam  makalah  ini  diberikan  pendekatan spline polynomial  truncated yaitu  spline  dengan  orde p dengan  knots , , ,
1 2 k k km K .
Kemampuan  spline polynomial  truncated dalam  mengestimasi  perilaku  data  yang  cenderung berbeda  pada  interval  yang  berlainan  ditunjukkan  oleh  fungsi truncated yang  melekat  pada estimator yang ditunjukkan pada
( ) ( ) 0 1 . p m j p y f t t t k i i i j i j p i j i j j                
Pemilihan  titik  knots  optimal  berdasarkan  metode Gross  Cross  Validation (GCV).  Sebuah aplikasi  spline polynomial  truncated pada  data  jumlah  penjualan  roti  CV  DEDE  Makassar. Berdasarkan analisis diperoleh spline orde 3 (spline kubik) dengan empat knots optimal yaitu pada bulan ke-3, 6, 8, dan 11 dengan persamaan estimasi:
     
   
3 3 2 3 ˆ 610, 202 36, 411 83, 508 17, 486 77, 378 4 121, 429 6 3 3 92, 575 8 856,159 11 .
y t t t t t t
t t
                 .
Kata Kunci : GCV, knots, regresi nonparametrik,  spline polynomial truncated .

## 1. Pendahuluan
Analisis  regresi  telah  menjadi  salah  satu  metode  statistika  yang  sangat  berperan  dalam perkembangan  ilmu  statistika  khususnya  dalam  melihat  pola  hubungan  pasangan  data  antara variabel  prediktor  dengan variabel  respon.  Dalam  analisis  regresi  terdapat  dua pendekatan  yang biasa  digunakan  untuk  mengestimasi  kurva  regresi,  yaitu  pendekatan  regresi  parametrik  dan regresi  nonparametrik.  Pendekatan  regresi  parametrik  digunakan  jika  bentuk  kurva  regresi diketahui.  Sedangkan  pendekatan  regresi  nonparametrik  digunakan  apabila  informasi  mengenai bentuk  dan  pola  hubungan  antara  variabel  prediktor  dengan  variabel  respon  tidak  diketahui (Budiantara, 2001).
 Prodi Statistika, Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Hasanuddin

## Anna Islamiyati
Jika diberikan pasangan data ( , ), 1, 2, , i i t y i n  dan hubungan antara variabel respon dengan  variabel  prediktor  tidak  diketahui  bentuknya,  maka  dapat  digunakan  pendekatan  regresi nonparametrik, dengan model sebagai berikut:
  2 ( ) , 0, , 1, 2, , y f t N i n i i i i       : K (1)
dimana i y adalah  variabel  respon  sedangkan  fungsi ( ) i f t merupakan  kurva  regresi  dengan i t sebagai variabel prediktor dan i  adalah residual berdistribusi normal independen dengan mean nol dan varians 2  (Wahba, 1990).
Model  regresi  nonparametrik  memuat  asumsi  bahwa  bentuk  kurva  regresi f tidak diketahui, tetapi hanya diasumsikan termuat dalam suatu ruang fungsi tertentu. Beberapa model pendekatan kurva regresi nonparametrik diantaranya adalah spline. Spline merupakan fungsi yang diperoleh  dengan  meminimumkan penalized  least  square (PLS)  yaitu  kriteria  estimasi  yang menggabungkan goodness of fit dengan fungsi penalti (Wahba, 1990). Misalkan diberikan model (1), maka estimator kurva regresi f diperoleh dengan meminimumkan PLS:
        2 2 1 1 b n m i i i a n y f t f t dt       
             
(2)
untuk setiap f di dalam ruang Sobolev
      2 2 , b m m a W a b f f t dt                   .
Dalam makalah ini, diuraikan model spline, khususnya spline polynomial truncuted yang memiliki  fleksibilitas  yang  tinggi  dan  kemudahan  dengan  metode  spline  akibat  pendekatan polynomial  yang  digunakan  sebagai  pendekatan  fungsi  dan  interpolasi,  sehingga  memiliki perhitungan matematika yang sederhana (Weinert dan Kailath, 1974). Bagian 2 disajikan tentang konsep spline polynomial truncated dengan penggunaan titik knots dalam perolehan model spline optimal. Bagian 3 disajikan contoh aplikasi dari spline polynomial truncated pada penjualan roti pada perusahaan roti DEDE di Makassar dalam setiap bulan penjualan.

## 2. Spline Polynomial Truncated
Spline adalah potongan polinomial order p dengan titik bersama dari potongan-potongan tersebut  disebut  dengan  knots.  Titik  knots  merupakan  perpaduan  dua  kurva  yang  menunjukkan pola  perubahan  perilaku  kurva  pada  selang  yang  berbeda  (Hardle,  1990).  Spline  orde p dengan knots pada 1 2 , , , m k k k K diberikan dalam fungsi f dengan bentuk:
0 1 ( ) ( ) , p m j p j j p j j j f t t t k    
       , (3)
dengan 0 1 , , , p j     K adalah parameter dan ( ) , ( ) 0 ( ) 0 , ( ) 0 p j j p j j t k t k t k t k            
(Eubank, 1988).
Fungsi (3) merupakan fungsi spline polynomial truncated yang mempunyai sifat sebagai berikut:
1 . Fungsi f merupakan potongan polinomial derajat p pada setiap subinterval 1 [ , ] j j k k  .
2.   Fungsi f mempunyai turunan kontinu tingkat ( p -1).
3. f p merupakan fungsi tangga dengan titik-titik lompatan 1 2 , , ,
m k k k K .
Apabila  diberikan  suatu  basis  untuk  spline  (Budiantara,  2001)  berbentuk }, ) ( ,......, ) ( , ,..., , 1 { 1 p m p p k t k t t t     maka model regresi spline polynomial truncated dapat ditulis menjadi:
0 1 ( ) ( ) p m j p i i i j i j p i j i j j y f t t t k      
          (4)
dimana p adalah  derajat polynomial dan m adalah  banyaknya  titik  knots  pada  fungsi truncated serta i  adalah  residual  berdistribusi  normal  independen  dengan  mean  nol  dan  varians 2  . Akibatnya i y akan berdistribusi normal dengan mean ( ) i f t dan varians 2 
Model regresi spline polynomial truncated pada (4) dapat disajikan dalam bentuk matriks sebagai berikut :
, ... , 1 ~ ~ ~ k k y m       
  (5)
dimana:
, , ... , 1 2 ~ T y y y
y n      merupakan vektor variabel respon,
, , ... , , , ... , 0 1 1 ~ T p
p m p  
             vektor parameter yang tidak diketahui,
  m k k , ... , 1  matriks berukuran ) 1 (    m p n yang tergantung pada titik knots,
                              p m n p n p n n p m p p p m p p m k t k t t t k t k t t t k t k t t t k k
) ( ) ( 1 ) ( ) ( 1 ) ( ) ( 1 , ... , 1 2 1 2 2 2 1 1 1 1 1 1    
        
, dan
, , ... , 1 2 T n          vektor residual.
Estimasi  parameter  model  regresi spline  polynomial  truncated yang  diperoleh  melalui metode Least Square melalui optimasi dari:
 
                                 ~ 1 ~ ~ 1 ~ ~ ~ , ... , , ... , 1 ~ 1 ~ m T m R T R k k y k k y Min Min m p m p (6)
Diketahui   m k k , ... , 1  matriks  dengan  rank  penuh,  maka  estimasi  parameter  model  ( ˆ  ) diperoleh:

   1 ˆ , ... , , ... , , ... , 1 1 1 ~ T T k k k k k k y m m m                   (7)

## Anna Islamiyati
Estimator spline dalam regresi nonparametrik memiliki sifat fleksibilitas yang tinggi dan kemampuan  mengestimasi  perilaku  data  yang  cenderung  berbeda  pada  interval  yang  berlainan (Eubank,  1988  dan  Budiantara,  2006).  Kemampuan  ini  ditunjukkan  oleh  fungsi truncated (potongan) yang melekat pada estimator yang ditunjukkan pada (4). Selanjutnya estimasi model diperoleh:
            y k k k k k k k k y m T m m T m ~ 1 1 1 1 1 ~ , ... , , ... , , ... , , ... , ˆ       , ... , 1 ~ A k k y m      (8)
Mengestimasi  kurva  regresi  nonparametrik  dengan  pendekatan spline  polynomial truncated ,  berarti  mencari  model spline  polynomial  truncated optimal  berdasarkan  titik  knots optimal yaitu berapa banyak titik knots dan dimana letak titik-titik knots tersebut.
Dalam pendekatan model spline titik knots harus dipilih dengan berbagai metode seperti Cross  Validation ( CV )  (Craven  dan  Wahba,  1979), Generalized  Maximum  Likelihood ( GML ) (Wang,  1998), Generalized  Cross  Validation ( GCV )  dan  lain  sebagainya.  Pemilihan  titik-titik knots yang optimal menggunakan metode GCV dinyatakan oleh (Wang, 1998) sebagai berikut :
      1 1 1 1 1 2 1 ,..., ,...,
( ,..., )
( ,..., ) T T m m m m n y I A k k I A k k y GCV k k n trace I A k k                   (9)

## 3.  Aplikasi
Data  jumlah  penjualan  roti  DEDE  produksi  CV.  DEDE  Makassar  berdasarkan  bulan penjualan  selama  3  tahun  (2004  –  2006).  Data  diperoleh  berdasarkan  pencatatan  pihak perusahaan,  dengan  melibatkan  beberapa  faktor,  namun  dalam  tulisan  ini  akan  ditekankan  pada jumlah penjualan setiap bulannya. Plot jumlah penjualan roti dalam setiap bulan diberikan pada Gambar 1.
Gambar 1. Plot Data Jumlah Penjualan Berdasarkan Bulan.
Berdasarkan  Gambar  1,  terlihat  bahwa  penjualan  roti  mengalami  peningkatan  pada  awal  tahun sampai bulan Juni, kemudian menurun pada bulan Juli sampai November, dan kembali meningkat pada  bulan  Desember.  Ini  menunjukkan  bahwa  plot  data  tidak  mengikuti  sebuah  kurva parametrik,  sehingga  untuk  mengestimasi  jumlah  penjualan  akan  digunakan  pendekatan  regresi nonparametrik.
bulan ju m la h pe nj ua la n ro ti (b al l) 2 4 6 8 10 12 200 400 600 800 10 00 12 00

## Anna Islamiyati
Setelah  data  dianalisis,  model  optimal  diperoleh  pada  spline  polynomial  orde  tiga  yaitu spline  kubik,  seperti  yang  terlihat  pada Tabel  1. Tabel  1  menyajikan  nilai  GCV dari  setiap titik knots  yang  terpilih  pada  spline  kubik.  Untuk  1  knots,  GCV  terkecil  yaitu  28.401,1  bersesuaian dengan titik knots k = bulan ke-6. Untuk 2 knots, nilai GCV terkecil yaitu 28.416,2 bersesuaian dengan titik knots k 1 = bulan ke-4 dan k 2 = bulan ke-5. Untuk 3 knots, nilai GCV terkecil yaitu 30.044,3  bersesuaian  dengan  titik  knots k 1 =  bulan  ke-4, k 2 =  bulan  ke-5,  dan k 3 =  bulan  ke-8. Sedangkan  untuk  4  knots,  nilai  GCV  terkecil  yaitu  28.126,5  bersesuain  dengan  titik  knots k 1 = bulan  ke-4, k 2 =  bulan  ke-6, k 3 =  bulan  ke-8  dan k 4 =  bulan  ke-11.  GCV  terkecil  terjadi  pada penggunaan 4 titik knots yaitu 28.126,5 yang berarti ada empat titik knots optimal dalam spline kubik yaitu pada bulan ke – 4, 6, 8, dan 11 untuk jumlah penjualan roti DEDE di Makassar.
Tabel 1. Nilai GCV pada Berbagai Titik Knots dari Model Spline Kubik.
Gambar 2. Spline Kubik dengan 1 Knots ( k = bulan ke-6)
Gambar 3. Spline Kubik dengan 2 Knots ( k 1 = bulan ke-4 dan k 2 = bulan ke-5)
Gambar 4. Spline Kubik dengan 3 Knots ( k 1 =bulan Gambar 5. Spline Kubik dengan 4 Knots
bulan ju m la h pe nj ua la n ro ti (b al l) 2 4 6 8 10 12 200 400 600 800 10 00 12 00 bulan ju m la h pe nj ua la n ro ti (b al l) 2 4 6 8 10 12 200 400 600 800 10 00 12 00 bulan ju m la h p e n ju a la n r o ti ( b a ll ) 2 4 6 8 10 12 200 400 600 800 1 0 0 0 1 2 0 0 bulan ju m la h p e n ju a la n r o ti ( b a ll ) 2 4 6 8 10 12 200 400 600 800 1 0 0 0 1 2 0 0 bulan ju m la h p e n ju a la n r o ti ( b a ll ) 2 4 6 8 10 12 200 400 600 800 1 0 0 0 1 2 0 0 bulan ju m la h p e n ju a la n r o ti ( b a ll ) 2 4 6 8 10 12 200 400 600 800 1 0 0 0 1 2 0 0 bulan ju m la h p e n ju a la n r o ti ( b a ll ) 2 4 6 8 10 12 200 400 600 800 1 0 0 0 1 2 0 0 bulan ju m la h p e n ju a la n r o ti ( b a ll ) 2 4 6 8 10 12 200 400 600 800 1 0 0 0 1 2 0 0
Spline Kubik 1 Knots Spline Kubik 2 Knots Spline Kubik 3 Knots Spline Kubik 4 Knots K GCV k 1 k 2 GCV k 1 k 2 k 3 GCV k 1 k 2 k 3 k 4 GCV 3 44.162,8 3 5 28.786,1 3 4 5 30.406,9 3 6 8 10 28.890,4 4 36.773,9 4 5 28.416,2 4 5 8 30.044,3 3 6 8 11 28.568,6 5 30.705,5 3 6 29.381,1 3 6 8 30.190,5 4 6 8 11 28.126,5 6 28.401,4 4 7 31.978,8 4 5 6 30.262,0 5 6 8 10 28.665,5
Anna Islamiyati
ke-4, k 2 =bulan ke-5, dan k 3 =bulan ke-8) ( k 1 = bulan ke-4, k 2 = bulan ke-6, k 3 = bulan ke-8, dan k 4 = bulan ke-11) Pendekatan  spline  kubik  dengan  1  knots  belum  optimal  dan  secara  visual  ditunjukkan  pada Gambar 2. Pendekatan spline ini mengestimasi pola data yang under estimate pada bulan ke-10 dan pola data yang over estimate pada bulan ke-11. Hal yang sama juga tampak pada penggunaan 2 knots (Gambar 3) dan penggunaan 3 knots (Gambar 4). Berbeda dengan model estimasi spline kubik  dengan  4  knots  mampu  mengestimasi  pola  data  secara  optimal  dimana  tampak  dalam Gambar  6    tidak  terjadi lagi under  estimate pada  bulan  ke-10  dan  pola  data  yang over  estimate pada  bulan  ke-11,  sehingga  prilaku  pola  perubahan  pada  setiap  interval  bulan  dapat teridentifikasi. Model spline dengan 4 titik knots optimal pada k 1 = 4, k 2 = 6, k 3 = 8, dan k 4 = 11 diberikan oleh:
     
    3 3 2 3 3 3 ˆ 610, 202 36, 411
83,508 17, 486 77,378 4 121, 429 6 92,575 8 856,159 11 y t t t t t t t t                 
Tabel 2. Nilai R 2 dan MSE dari Masing-masing Model Estimasi.
No Model Estimasi R 2 MSE 1 2 3 4 5 Regresi Parametrik Kubik
Regresi Nonparametrik Spline Kubik dengan k =6 Regresi Nonparametrik Spline Kubik dengan k 1 =4 & k 2 =5 Regresi Nonparametrik Spline Kubik dengan k 1 =4, k 2 =5 & k 3 =8 Regresi  Nonparametrik  Spline  Kubik  dengan k 1 =4, k 2 =6, k 3 =8 & k 4 =11 14,68 % 61,19 % 63,64 % 64,07 % 68,64 % 52.090,31 23.692,50 22.200,14 21.933,36 19.141,67
Pada Tabel 2 disajikan nilai R 2 dan MSE untuk beberapa model pendekatan. Terlihat dari Tabel 2 bahwa model spline kubik dengan knots bulan ke-4, ke-6,  ke-8, dan ke-11,  mempunyai nilai R 2 yang paling besar yaitu 68,64 % dan MSE yang terkecil yaitu 19.141,67.

## 4.  Kesimpulan
Kesimpulan yang dapat dituliskan dalam paper ini adalah bahwa pendekatan model spline polynomial truncated memiliki  perhitungan  matematika  dan  statistika  yang  mudah  dan  dapat menangani  setiap  perubahan  pada  pola  data.  Dan  untuk  mengestimasi  model  pada  hubungan antara  jumlah  penjualan  roti  DEDE  dengan  waktu  penjualan,  dapat  digunakan  spline  kubik truncated dengan empat knots optimal.

## Daftar Pustaka
[1] Budiantara,  I.N.,  2001,  Penentuan  titik-titik  knots  dalam  regresi  spline, Prosiding  Seminar Nasional Matematika , FMIPA , Universitas Negeri Yogyakarta.
[2] Budiantara,  I.N.,  2006,  Model  spline  dengan  knots  optimal, Jurnal  Ilmu  Dasar,  FMIPA Universitas Jember, 7, 77-85.
[3] Craven, P. dan Wahba, G., (1979), Smoothing noise data with spline functions , Numerische Mathematics , 31, 377-403.

## Anna Islamiyati
[4] Eubank,  R.L.,  1988, Spline  Smoothing  and  Nonparametric  Regression ,  Marcel Dekker, New York.
[5] Hardle, W., 1990, Applied Nonparametric Regression , Cambridge University Press, New York.
[6] Shao, J., 1993, Linear model selection by cross validation, Journal of The American Statistical Association , 88, 486 – 494.
[7] Wahba G., 1990, Spline Models for Observational Data , SIAM, Pensylvania.
[8]  Wang, Y., 1998, Smoothing spline models with correlated errors, Journal of The American Statistical Association , 93, 343-348