Keragaman Bahasa Matematika Untuk Satu Konsep Matematis Yang Sama
Loeky Haryanto †

## Abstrak
Dengan menggunakan banyak contoh, tulisan ini membahas fakta-fakta bahwa satu konsep matematika  bisa  dinyatakan  atau  dikomunikasikan  dengan  beberapa  bahasa  matematika yang masih bernuansa bahasa sehari-hari dengan cara yang berbeda-beda, efisien dan tidak multitafsir.  Sebagai  ilustrasi  satu  kosnep  matematika  yang  bisa  disajikan  dengan  beberapa cara  yang  berbeda,  diberikan  tiga  contoh  struktur  matematis:  himpunan  polinom-polinom berderajat  1  yang  terdapat  dalam  Aljabar  Boole  tiga  peubah  dari  disiplin  logika  formal, geometri Euklid EG (3,2) dari geometri dan kode Reed-Muller RM (1,3) dari „ coding theory ‟. Masing-masing  struktur  bisa  digunakan  secara  terpisah  untuk  membahas  satu  konsep matematis yang sama. Karena sebagai alat komunikasi bahasa matematika bersifat universil dengan semesta pembicaraan berupa entitas-entitas abstrak yang hanya ada di alam pikiran, maka pilihan metoda pendidikan dan pengajaran (bahasa) matematika tidak bisa disamakan dengan metoda pendidikan dan pengajaran pada disiplin atau ilmu-ilmu yang lain.
Keywords : Aljabar Boole, Geometri Euklid, kode Reed-Muller, bahasa universal.

## 1.  Pendahuluan
Sudah  tercatat  dalam  sejarah  bahwa  satu  konsep  matematika  bisa  diterapkan  pada banyak penerapan yang berbeda, walaupun kadang-kadang memerlukan waktu lama untuk bisa diterapkan. Misalnya, konsep teori peluang telah diterapkan pada puluhan bidang yang berbeda- beda,  misalnya  dalam  berbagai  cabang  statistik,  proses  stokastik,  fisika  kuantum,  teori pengkodean, dan sebagainya.  Ketika George Boole menulis  „ The Laws of Thoughts ‟ (Hukum- Hukum  Pikiran)  yang  isinya  menjadi  landasan  logika  formal  saat  ini,  ia  tidak  tahu  bahwa delapan  puluh  empat  tahun  kemudian  teorinya  bisa  diterapkan  oleh  Claude  Shannon  dalam perancangan sirkuit elektronik.
Makalah ini lebih jauh membahas dan memberikan fakta-fakta berupa contoh-contoh konsep  matematis  yang  bisa  dinyatakan  dengan  berbagai  bahasa  matematika  dan  dilanjutkan dengan pembahasan dampak fakta ini pada proses belajar matematika.

## 2. Matematika Sebagai Bahasa Universal
Fungsi  utama  dari  suatu  bahasa  adalah  sebagai  alat  komunikasi  atau  untuk berkomunikasi sedangkan salah satu komponen utama dari suatu bahasa adalah lambang, baik lambang  yang dinyatakan  dengan cara lisan, misalnya kata-kata yang terdapat dalam berbagai bahasa  sehari-hari:  bahasa  Inggris,  Indonesia,  Latin,  dan  sebagainya,  atau  yang  dinyatakan dengan  cara  tulisan,  misalnya  angka-angka,  huruf-huruf,  gambar-gambar,  rumus-rumus matematika, dan sebagainya.
Setiap  lambang  menunjuk  pada  suatu  benda  (denotasi  lambang)  yang dilambangkannya.  Benda-benda  ini  bisa  berbentuk  nyata,  bisa  berbentuk  abstrak,  bisa  pula hanya terdapat di suatu tempat (misalnya lambang „Kangguru‟), atau sebaliknya bisa dijumpai
† Staf Pengajar pada Jurusan Matematika FMIPA Universitas Hasanuddin Makassar
di banyak tempat. Bahkan ada pula benda-benda (abstrak) yang hanya berada di dalam pikiran manusia (normal) yang tentu saja tak akan terlihat, tak bisa dipegang atau dirasakan secara fisik. Khususnya  dalam  kasus  bahasa  matematika,  semua  benda  yang  dilambangkan  oleh  bahasa matematika hanya terdapat dalam pikiran manusia. Jadi bilangan yang dilambangkan „3‟ hanya terdapat  dalam  pikiran.  Saat  sekarang  anda  sedang  melihat lambang (bukan  melihat benda/bilangan yang dilambangkan „3‟) di halaman kertas yang memuat paper ini.
Bilangan  bulat  berlambang  „3‟  adalah  satu  contoh  lambang  matematika    -  contoh sebuah  benda  abstrak  -    yang  masih  bisa  dimengerti  maknanya  dan  masih  terjangkau keberadaannya oleh seorang manusia normal yang bisa berpikir, termasuk oleh anak-anak yang belum atau tak pernah sekolah. Secara lisan atau tulisan, masing-masing individu menggunakan bahasa  ibu  ( mother  tongue )  atau  lambang  tertulis  yang  berbeda  satu  sama  lain  untuk melambangkan  bilangan  tersebut.  Misalnya  orang  Inggris  melambangkan  bilangan  tersebut secara lisan atau tulisan dengan kata „three‟ sedangkan orang Jawa melambangkannya dengan kata „telu‟.
Lebih  jauh,  semua  konsep-konsep  matematika  kontinu  hanya  menjadi  model pendekatan dari  fenomena  nyata,  sebab  semua  konsep  matematika  seperti  „segitiga‟,  „bujur sangkar‟,  „seperempat‟,  dan  seterusnya  hanya  bisa didekati ,  tak  bisa  dinyatakan  secara  persis oleh  benda-benda  nyata.  Misalnya,  memotong  „seperempat‟  kue  tidak  akan  bisa  secara  tepat menghasilkan  seperempat  bagian  kue  tersebut.  Walaupun  demikian,  berbagai  konsep matematika  diskrit  dengan  model  hingga  bisa  langsung    diterapkan  secara  persis  ke  femena nyata.
Sesungguhnya setiap konsep  matematis  terletak  di  dalam  suatu  alam  ideal  tetapi universal,  yaitu  ( satu )  konsep  tersebut  bisa  berada  di  dalam  pikiran  jutaan  manusia  yang berbeda-beda dari  ribuan  suku  bangsa  yang berbeda-beda .  Keberadaan  satu  alam  ideal  (di dalam  pikiran  kita)  yang  memuat  obyek-obyek  abstrak  matematis  sudah  disinggung  ribuan tahun yang lalu oleh seorang pemikir Yunani, yaitu Plato. Karena itulah, matematikawan Roger Penrose dalam [5] menyebut alam di dalam pikiran ini sebagai Platonic world.
Jadi  setiap  suku  bangsa  dan  setiap  etnis,  apa  pun  bahasa  lisan  dan  tulisan  yang digunakannya,  telah  terbukti  mengenal  dan  memiliki secara  bersama-sama beberapa  konsep matematis, walaupun untuk berkomunikasi satu sama lain (khususnya di masa lalu)  dan untuk menunjuk konsep-konsep bersama yang sama tersebut, mereka menggunakan lambang ciptaan masing-masing.  Misalnya,  masing-masing  suku/etnis  memakai  lambang  yang  berbeda-beda untuk  bilangan  yang  berlambang  „3‟.  Ini  merupakan  indikasi  kuat,  kalau  tidak  bisa  dikatakan suatu bukti, bahwa setiap konsep matematis bersifat universal.

## 3. Bahasa Komunikasi Yang Efisien dan Tak Bermakna Ganda
Pengaruh  globalisasi  secara  tak  sengaja  menciptakan  kompetisi  antar  bahasa  yang membuat sebagian bahasa-bahasa yang pernah ada atau yang tak bisa mengikuti tuntutan jaman dilupakan  orang  atau  hanya  dipakai  secara  terbatas.  Operasi  tambah  dan  operasi  kali  antar bilangan bulat dalam ilmu hitung dimiliki oleh berbagai suku bangsa, tetapi cara penyajian dan metoda  yang  digunakan  oleh  masing-masing  suku  bangsa  tersebut  di  masa  lalu  bisa  berbeda satu  sama  lain.  Di  masa  sekarang,  hampir  semua  turunan  suku-suku  bangsa  tersebut menggunakan satu sistem bilangan yang sama dalam berhitung, yaitu sistem yang diadopsi dari sistem bilangan Yunani.
Untuk  menjelaskan  penyebabnya,  bandingkan  notasi  angka  orang  Yunani  dan Romawi kuno. Walaupun bangsa Romawi kuno ketika menulis angka „I‟ dan „V‟ dan bangsa Yunani  kuno  ketika  menulis  angka  „1‟  dan  „5‟  sama-sama  menunjuk  bilangan  yang  identik, tetapi untuk menunjuk bilangan-bilangan yang lebih besar kedua suku bangsa ini menggunakan metoda yang sama sekali berbeda. Misalnya, walaupun kedua pasang angka di atas bisa ditulis dengan  cara  yang  sama,  yaitu  keduanya  diletakkan  secara  berurutan:  „IV‟  dan  „15‟,  kedua lambang yang dihasilkan dengan dua pasang angka ini menunjuk dua bilangan yang sama sekali

## Loeky Haryanto
berbeda.  Cara  penulisan  oleh  kedua  bangsa  kuno  ini,  walaupun  secara  visual  terlihat  sama, tetapi pemaknaanya (semantiknya) bisa berbeda jauh.
Tuntutan efisiensi dan komputerisasi telah membawa sistem bilangan Yunani menjadi lebih  unggul  dan  populer  daripada  sistem  bilangan  Romawi.  Sesungguhnya  bangsa  Yunani telah  membuat  sistem  penulisan  bilangan  yang  sangat  efisien  berdasarkan  metoda  bilangan basis  10  yang  oleh  para  matematikawan  dan  oleh  pakar  komputer  dengan  mudah  bisa ditransformasi  menjadi  sistem  bilangan  dengan  bilangan  basis  yang  lain,  misalnya  sistem bilangan biner yang berbasis bilangan 2.
Efisiensi dari sistem bilangan menggunakan basis akan terasa lebih nyata bagi mereka yang  pernah  mempelajari  algoritma  dan  implementasi  operasi  tambah  dan  operasi  kali  antar bilangan,  misalnya  dalam  pembuatan  sirkuit  digital.  Sebaliknya  dengan  menggunakan  angka- angka Romawi, implementasi perkalian CLV  DCI menjadi sangat tidak efisien dibandingkan perkalian  dua  bilangan  yang  sama  tetapi  menggunakan  sistem  yang  diadopsi  dari  sistem bilangan bangsa Yunani, 155  601.
Ada  keunggulan-keunggulan  lain  apabila  kita  meminjam  sistem  bilangan  Yunani, misalnya ketika mengajarkan perkalian 200  4000 kepada anak-anak SD, kita cukup meminta mereka menghitung 2  4 dan menambahkan lima buah angka 0 di belakang hasil kalinya, cara yang  tidak  bisa  diterapkan  pada  sistem  bilangan  Romawi.  Cara  mengajar  ini  sahih  (bisa dipertanggungjawabkan secara ilmiah)  sebab berdasarkan bilangan basis 10,
200 = 2  10 2 + 0  10 1 + 0  10 0 = 2  10 2
Demikian pula, 4000 = 4  10 3 . Jadi dengan menggunakan hukum pengelompokkan (asosiatif) dan hukum pertukaran (komutatif), diperoleh
200  4000 = (2  10 2 )  (4  10 3 ) = 2  (10 2  4)  10 3 = 2  (4  10 2 )  10 3 = (2  4)  (10 2  10 3 ) = 8  10 5
Karena setiap bahasa memiliki aturan dan struktur khusus, misalnya aturan penulisan (sintaks)  dan  aturan  penafsiran  makna  (semantik),  baik  dalam  bentuk  tata-bahasa  atau  dalam bentuk-bentuk aturan lain, sesungguhnya setiap pemakai suatu bahasa perlu mempelajari sistem dalam  bahasa  tersebut,  baik  berupa  sintaks  atau  semantik,  atau  aturan  cara  komunikasi  yang lain, untuk bisa berkomunikasi secara lancar dengan menggunakan bahasa tersebut.
Sayangnya,  tak  semua  bagian  dari  sebuah  bahasa  bisa  dipelajari  dengan  mudah  oleh pemakai  bahasa  lain.  Sebab  bisa  saja  semua  pelajar  lulusan  SLTA  sudah  mampu  menulis angka-angka dalam kata-kata bahasa Inggris, seperti halnya setiap anak-anak lulusan SD sudah mampu menulis dan menambahkah bilangan-bilangan bulat, tetapi hal ini tidak bisa ditafsirkan bahwa  para  pelajar  tersebut  sudah  bisa  berbahasa  Inggris,  atau  anak-anak  SD  tersebut  sudah menguasai bahasa matematika.
Angka  „3‟  adalah  sebuah  contoh  yang  paling  sederhana  dari  sebuah  lambang matematika dan umumnya  setiap orang tak perlu belajar matematika dalam waktu lama untuk bisa  memahami  makna  angka  tersebut.  Tetapi  tak  semua  konsep  bahasa  matematika  bisa dipahami semudah memahami konsep bilangan bulat dan operasi tambah antara bilangan bulat, sebab  setiap  bahasa  memiliki  bagian-bagian  yang  mudah  dipelajari  dan  bagian-bagian  yang sangat sulit untuk dipelajari.
Sebuah  contoh  lambang  yang  memerlukan  waktu  relatif  lama  untuk  bisa memahaminya, paling tidak  membutuhkan waktu belajar matematika secara formal sampai  ke tingkat  Sekolah  Menengah  Pertama  (SMP),  adalah  lambang  berupa  gambar-gambar  dengan sedikit huruf dan teks berikut.
(1)
Alat  komunikasi  atau  bahasa  lain  untuk  mengkomunikasikan  lambang  di  atas  adalah  dengan menggunakan  lambang  kata-kata  berupa  kalimat  dalam  bahasa  sehari-hari  atau  bahasa  ibu semacam berikut:
“Jumlah  kuadrat  panjang  kedua  sisi  siku-siku  suatu  segitiga  siku-siku sama dengan kuadrat panjang sisi miringnya”.
Ini  adalah  contoh  penggunaan  bahasa  gado-gado,  bahasa  matematika  dengan  nuansa  bahasa sehari-hari. Bahasa sehari-hari, bukan bahasa khusus untuk matematika (yang tak pernah secara resmi ditetapkan) tetap diperlukan untuk mengkomunikasikan konsep-konsep matematis sebab bahasa sehari-hari adalah alat komunikasi yang umumnya sudah dikuasai oleh setiap pengguna matematika.  Walaupun  demikian,  bahasa  sehari-hari  yang  dipakai  dan  digunakan  dalam matematika,  atau  dalam  disiplin  ilmu  yang  lain,  seringkali  mengandung  perubahan  yang menghasilkan kata-kata, kalimat-kalimat bahkan tata-bahasa baru yang tidak ada dalam bahasa aslinya.
Perubahan  atau  modifikasi  terhadap  bahasa  sehari-hari  biasanya  berbentuk  penambahan  kata- kata  bermakna  baru,  misalnya  berbagai  istilah  teknis  ( technical  terminologies ) dari  suatu disiplin  ilmu,  bahkan  berbentuk  perubahan  tata-bahasa  dan  sekaligus  lambang-lambangnya. Sebagai contoh, lambang
“ li m x a  f (x) = L”
(2)
diadopsi oleh para matematikawan karena maknanya terlalu panjang atau cukup sulit untuk bisa dinyatakan secara efisien dan secara „jelas‟ dalam bahasa sehari-hari.
Salah  satu  cara  lain  untuk  menyatakan  makna  dari  lambang  (2)  adalah  dengan menambahkan dan membuat lambang-lambang khusus secara tertulis ke dalam bahasa sehari- hari.  Dengan  tambahan  lambang-lambang  khusus  untuk  menyatakan  suatu  kalimat  dalam bahasa sehari-hari, hasil yang diperoleh semacam bentuk tertulis
“  >  0.   >  0.  x  D f . (0  <  | x  a |  <   | f ( x )  L |  <  )  ” (3)
seolah-olah  menjadi  bagian  dari  suatu  bahasa  yang  sama  sekali  baru.  Padahal  bentuk  (3)  bisa dianggap  sebagai  singkatan  dari  suatu  kalimat  yang  terlalu  panjang  dan  terlalu  rancu ( ambigious ) untuk ditulis dengan bahasa sehari-hari. Tetapi bagi mereka yang tak cukup lama belajar  (bahasa)  matematika,  penggunaan  bahasa  sehari-hari  secara  murni  dianggap  lebih mudah daripada penggunaan bahasa sehari-hari yang disingkat, semacam pernyataan (3).
Sebaliknya  bagi  mereka  yang  sudah  mendalami  (bahasa)  matematika  dalam  jangka waktu  cukup  lama,  bentuk  (3)  selain  singkat,  juga  jauh  lebih  efisien.  Hal  ini  disebabkan matematika  sebagai  disiplin  yang  berbasis  logika  dua  nilai  ( two-valued  logic ) atau  logika Benar-Salah  ( True-False  logic ),  negasi  dari  (3)  lebih  mudah  dilakukan  secara  otomatis  dan kalimat tersebut atau negasinya hanya memiliki dua kemungkinan penafsiran: bernilai „Benar‟ atau bernilai „Salah‟.
Secara  umum,  bahasa  matematika  yang  berbasis  logika  dua  nilai  lebih  mudah  dan lebih  berpeluang  untuk  bisa  diimplementasikan  ke  dalam  suatu  algoritma,  bahkan  ke  dalam suatu  sistem  komputer,  seperti  yang  dilakukan  oleh  para  pencipta  bahasa  komputer  Prolog ketika  mengimplementasikan  konsep-konsep  logika  ke  dalam  bahasa  komputer  tersebut  atau
x 2 + y 2 = z 2
x y z

## Loeky Haryanto
oleh para pengguna format (tata-bahasa) Backus-Naur dalam spesifikasi sintaks untuk berbagai bahasa komputer (ALGOL, Java, LISP, ADA, dan sebagainya).
Sebagai  ilustrasi  kemudahan  implementasi  bahasa  matematika,  melambangkan pernyataan  (negasi)  yang  nilai  kebenarannya  berlawanan  dengan  nilai  pernyataan  matematika lain,  bisa  dilakukan  secara  sistematis.  Misalnya,  negasi  dari  pernyataan  (3)  dilakukan  secara „otomatis‟  dengan  mengubah  semua  kuantor  ( quantifiers )  dan  dilanjutkan  dengan  membuat negasi semua pernyataan bagian terbuka yang terdapat dalam pernyataan tersebut. Negasi dari pernyataan terbuka di dalam (3) berikut.
0 < | x  a | <   | f ( x )  L | < 
adalah pernyataan terbuka
0 < | x  a | <   | f ( x )  L |   .
Dari  sisi  pembelajaran  matematika,  untuk  menghindari  pola-pola  kesalahan pemahaman  konsep-konsep  matematika,  sebuah  konsep  matematika  sebaiknya  didefinisikan dengan  beberapa  lambang,  nama,  istilah  atau  cara  yang  berbeda  kadar  formalnya.  Hal  ini disebabkan  karena  ketika  seseorang  belajar  bahasa  apapun  yang  banyak  menggunakan lambang-lambang,  nama  dan  istilah-istilah  baru,  diperlukan  tahapan  langkah-langkah  agar akrab dengan vocabulary dan terbiasa mengekspresikan semua lambang, nama dan istilah yang terdapat dalam bahasa tersebut.
Sebagai  contoh,  setiap  pernyataan  berikut  adalah  ekuivalen  satu  sama  lain  dan salah satu pernyataan di antaranya bisa digunakan untuk mendefinisikan pernyataan lain yang ditulis sebelumnya.
a) x adalah bilangan genap
b) x habis dibagi dua
c) x adalah kelipatan 2
d) x  {0,  2,  4,  6,  8,  }. e) x = 2 k untuk suatu bilangan bulat k f) terdapat bilangan bulat k sedemikian rupa sehingga x = 2 k g) (  k  Z )( x = 2 k )
Ketujuh  pernyataan  dengan  bahasa  „gado-gado‟  ini  diurutkan  agar  pernyataan  yang  lebih belakangan secara umum dinyatakan dalam notasi dengan kadar yang lebih formal dan kurang akrab,  yaitu  dalam  bentuk  yang  lebih  menjauhi  bentuk  bahasa  sehari-hari,  daripada  notasi pernyataan sebelumnya. Pada khususnya, pernyataan yang lebih formal
e) x = 2 k untuk suatu bilangan bulat k
bisa digunakan untuk mendefinisikan pernyataan dalam bahasa sehari-hari berikut
c) x adalah kelipatan 2 atau
a) x adalah bilangan genap
Efisiensi bahasa matematika yang berbasis logika dua nilai bisa tercapai sebab sistem logika  dua  nilai  sangat  berbeda  dengan  sistem  logika  dari  bahasa  sehari-hari  yang memungkinkan  kebenaran  suatu  pernyataan  bersifat  relatif,  bisa  „separoh‟  benar  dan  bisa „separoh‟ salah, bisa juga bernilai banyak bahkan bisa multitafsir, saling kontradiksi atau sama sekali tak memiliki nilai kebenaran (seperti dalam kalimat-kalimat perintah). Sebaliknya setiap pernyataan  matematis  semacam  pernyataan  (3)  hanya  memiliki  dua  kemungkinan  penafsiran: bernilai „Benar‟ atau bernilai „Salah‟.
Nilai „kebenaran‟  suatu  pernyataan  dalam  bahasa sehari-hari  sangat  tergantung  pada „Siapa‟  yang  menyatakannya,  jadi  pada  faktor  eksternal  di  luar  isi  pernyataan  itu  sendiri. Sebaliknya  nilai  kebenaran  isi  suatu  pernyataan  matematis,  misalnya  kebenaran  pembuktian

## Loeky Haryanto
Teorema  Terakhir  Fermat  (Lihat  [7]),  telah  disepakati  oleh  hampir  seluruh  matematikawan  di dunia,  walaupun  sebagian  besar  di  antara  mereka  tak  mengerti  isi  pembuktian  teorema  yang dirintis oleh Andrew Wyles pada tahun 1993 dan baru diterima kebenarannya secara resmi pada tahun 1995.

## 4. Satu Konsep Matematika dengan Tiga Bahasa Matematika
Pada Bagian 3 telah diberikan banyak contoh lambang-lambang matematika, misalnya angka-angka,  yang  berbeda-beda  walaupun  menunjuk  satu  konsep  matematis  (misalnya bilangan)  yang  sama.  Sejauh  ini,  contoh  konsep  yang  diberikan  masih  sangat  sederhana  dan sebagian  besar  bahasa  yang  diperlukan  untuk  mengkomunikasikannya  masih  didominasi  oleh penggunaan lambang-lambang.
Dalam seksi ini akan dibahas secara khusus satu konsep yang cukup canggih sehingga untuk  mengkomunikasikannya  diperlukan  konsep  matematis  tingkat  lanjut  yang  memerlukan tiga cabang matematika dari disiplin logika formal, khususnya aljabar Boole, teori pengkodean dan  disiplin  geometri  Euklid.  Karena  hanya  sebagai  ilustrasi,  ketiga  konsep  ini  akan  dibahas secara selintas dan umum, tidak mendalam.
Aljabar Boole yang terdiri atas semua ekspresi atau polinom berderajat paling tinggi n yang direntang oleh dua konstan 0 dan 1 serta n peubah x 1 , x 2 , x 3 , …, x n bersama dua operator biner tambah „+‟ dan operator kali dalam notasi juxtaposition (yang tak memerlukan lambang) serta  satu  operator  uner  „ ¯ ‟  sedemikian  rupa  sehingga  memenuhi  beberapa  aksioma-aksioma.
Sebagai akibat definisi dan aksioma-aksioma ini, diperoleh bermacam-macam sifat, misalnya 1 = 0 , 0 = 1 , x + x = x = xx ,  dan  sebagainya,  termasuk  sifat  terkenal  yang  disebut Hukum  de Morgan : ( ) x y  = x y .
Dalam  aljabar  Boole  tiga  peubah,  kode  Reed-Muller RM (1,3)  didefinisikan  sebagai himpunan  semua  polinom-polinom  dalam  tiga  peubah  yang  berderajat  paling  tinggi  1. Penjelasan  singkat  kode  Reed-Muller  yang  didefinisikan  sebagai  ruang  vektor  biner  atau sebagai salah satu ruang dalam geometri Euklid akan lebih mudah dilakukan setelah diberikan tabel berikut yang bukan hanya menunjukkan adanya korespondensi satu-satu di antara unsur- unsur  ketiga  struktur  matematis  di  atas,  tetapi  juga  adanya  kesesuaian  struktur-struktur matematis di dalam masing-masing konsep.
Dalam tabel berikut, operator „ ¯ ‟ apabila dikenakan pada polinom p ( x , y , z ) tidak akan ditulis sebagai
( , , ) p x y z tetapi akan ditulis sebagai 1 + p ( x , y , z ) SUB-ALJABAR KODE GEOMETRI BOOLE RM (1, 3) EUKLID EG(3,2)  0 0   0   0   0   0   0   0   0  1 1  1   1  1  1  1   1   1  {0, 1,  2,  3,  4,  5,  6,  7} z 1   1  1   1   0  0   0   0 {0,  1,  2,  3} y 1   1   0   0   1   1   0  0 {0,  1, 4,  5 } x 1   0  1  0  1   0  1  0 {0, 2, 4, 6    } y + z 0   0   1  1  1   1   0  0 { 2,  3,  4,  5 } x + z 0   1   0   1  1   0   1  0 { 1, 3,  4, 6    } x + y 0   1  1  0   0  1  1  0 { 1,  2, 5,  6    } x + y + z
1    0   0   1  0   1   1  0 {0, 3, 5,  6    } 1  + z 0   0   0   0   1   1   1   1 { 4,  5,  6, 7} 1  + y 0   0   1   1   0   0   1   1 { 2,  3, 6, 7}
1  + x 0   1   0   1   0   1   0   1 { 1, 3, 5, 7} 1   + y + z 1    1   0   0     0    0    1     1 {0,  1, 6, 7} 1   + x z 1    0   1   0     0     1    0    1 {0, 2, 5, 7} 1   + x + y 1     0     0    1    1    0    0    1 {0, 3,  4, 7} 1   + x + y + z 0   1     1     0     1     0     0     1 { 1,  2, 4,
7}
Sumber: ([1], Fig. 5.4), dengan sedikit modifikasi dan tambahan.
Dalam  bahasa  vektor  biner,  struktur  kode  Reed-Muller RM (1,  3)  tak  berbeda  jauh dengan  struktur  ruang  vektor  elementer  lainnya.  Yang  perlu  diperhatikan  adalah  bobot (banyaknya  bit-1)  minimum  dari  setiap  vektor  biner  dalam RM (1,  3)  adalah  4,  selain  sifat tertutup terhadap operator „+‟ dan terhadap jumlahan dengan vektor 1 = 11111111. Jadi jika u , v  RM (1, 3), maka u + v  RM (1, 3) dan 1 + u  RM (1, 3). Sebagai ruang geometri Euklid EG(3, 2), unsur-unsur dari kode Reed-Muller RM (1,
3) adalah  himpunan-himpunan  yang  bersifat  tertutup  terhadap  operator  selisih  simetri
( symmetric  difference )  dan  terhadap  operator  komplemen.  Kecuali  himpunan  kosong  , banyaknya  bilangan  dalam  setiap  himpunan  (yang  berperan  sebagai  unsur)  dalam  EG(3,  2) paling sedikit adalah 4, kalau bukan 6 atau 8.
Warna geometri dalam EG(3, 2) bisa diperoleh apabila setiap bilangan 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,  7  ditafsirkan  sebagai  delapan  buah  titik-titik  ( a , b , c ) dalam  ruang  vektor  biner GF (2) 3 , misalnya melalui pengawanan 1-1 sbb: 0  000, 1  001, 2  010, 3  011, 4  100, 5  101, 6  110 dan 7  111 (Lihat [2]). Dengan demikian, konsep sebuah „garis‟ dan „bidang‟ bisa didefinisikan dalam GF (2) 3 seperti halnya kita mendefinisikan konsep garis (ruang vektor berdimensi 1) dan bidang (ruang vektor berdimensi 2) pada ruang vektor Euklid real R 3 . Sebagai  ruang  vektor  biner,  kode RM (1,  3)  juga  dilengkapi  dengan  operator  biner yang bersesuaian dengan operator symmetric difference dalam EG(3,2). Lebih jauh, konsep dual dalam RM (1,  3),  yang  didefinisikan  melalui  konsep  ketegaklurusan  ( ortogonality )  bersesuaian dengan  konsep  dual  dalam  aljabar  Boole  yang  didefinisikan  lewat  operator  uner  komplemen dan hasil dual kedua konsep ini secara sempurna bisa bersesuaian satu sama lain.
Pembahasan lebih rinci mengenai kode Reed-Muller RM (1, m ) dan geometrinya bisa dijumpai  dalam  banyak  buku  teks,  misalnya  dalam  [3].  Untuk  pengenalan  aljabar  Boole elementer (dan juga bahasa formal elementer), silakan baca [6].

## 5. Pendidikan dan Pengajaran Matematika
Selama  ini,  berbagai  teori-teori  pendidikan  dan  pengajaran  dalam  beberapa  disiplin, termasuk    matematika,  selalu  menekankan  perubahan  terhadap  faktor-faktor  di  luar  materi disiplin atau di luar ilmu itu sendiri tanpa memperhatikan perbedaan proses internal pihak yang belajar  ( learner ),  termasuk  prilaku  mental  dan  pola  pikir  para  pelajar  dan  mahasiswa,  yang bersifat tergantung ( dependent ) pada jenis disiplin.
Padahal  proses  internal  yang  mendominasi  prilaku  mental  dan  pola  pikir  seseorang ketika  sedang  melakukan  penarikan  kesimpulan  data-data  statistik,  atau  ketika  belajar mengemudi  mobil,  berbeda  dengan  proses  internal  yang  terjadi  ketika  seseorang  berusaha membuktikan  kebenaran  pembuktian  sebuah  teorema  matematis  atau  ketika  berusaha memahami ekuivalensi dari kedua pernyataan (2) dan (3).
Walaupun  dalam  teori  jenjang  berpikir  kognitif  Bloom  menggunakan  istilah-istilah semacam „menghapal‟, „memahami‟, dan seterusnya, yang jelas-jelas merupakan proses internal yang terjadi di dalam pikiran individu yang belajar (seorang pelajar atau mahasiswa, misalnya),

## Loeky Haryanto
tetapi  dalam  usaha  mengarahkan  dan  memperbaiki  proses  proses  dalam  ranah  kognitif  ini, mayoritas „pakar‟ dan praktisi pendidikan lebih banyak memberikan rangsangan ( stimuli ) yang mendorong  faktor-faktor  eksternal  di  luar  materi  disiplin  itu  sendiri:  misalnya  merangsang perubahan lingkungan kelas dan lingkungan sekolah, perubahan prilaku pengajar atau fasilitator yang  diasumsikan  akan  diikuti  oleh  perubahan  prilaku  (fisik  dan  mental?) learner ,  tanpa memperhatikan discipline-depedency ketergantungan learner pada  perbedaan  proses  internal yang harus dilakukan oleh subyek relatif terhadap obyek, atau terhadap jenis disiplin ilmu yang sedang dipelajarinya.
Kalau  pun  ada  model  kurikulum  instruksional  yang  diseragamkan  untuk  setiap  mata ajaran,  tetapi  pemilihan  kumpulan  instruksi-instruksi  yang  harus  diberikan  dalam  kurikulum tersebut  selalu  menjadi  bahan  perdebatan  sehingga  tidak  bersifat  universil,  selain  multitafsir. Lebih jauh, implementasi suatu kurikulum yang sama pun bisa berbeda-beda, tergantung pada individu-individu yang melaksanakannya.
Multitafsir terhadap instruksional dalam kurikulum disebabkan oleh fakta bahwa para penyusun  kurikulum  instruksional  masih  tergantung  pada  interpretasi  masing-masing,  kalau tidak  bisa  dikatakan  saling  menebak-nebak,  tentang  proses  yang  terjadi secara internal,  dalam pikiran  seorang  anak  misalnya  ketika  anak  tersebut  sedang  belajar  dalil  Pythagoras,  dan kemudian  membuat  asumsi,  kalau  bukan  tebakan  semata,  adanya  perbedaan  proses  internal anak tersebut dengan proses internal (yang dikira-kiranya) sedang terjadi ketika anak yang sama sedang belajar bahasa Inggris.
Kesimpulan  bagian  ini,  khusus  untuk  telaah  pendidikan/pengajaran  matematika,  ada baiknya  metoda  pembelajaran  suatu  materi  matematika  cukup  disesuaikan  dengan  isi  materi matematika  tersebut  yang  jelas-jelas  tidak  multitafsir,  bukan  pada  proses  belajar  internal  - misalnya  lewat  jenjang  proses  belajar  kognitif  sesuai  taxonomi  Bloom  -  yang diperkirakan sedang terjadi ketika seseorang mempelajari materi matematika tersebut.
Pada berbagai disiplin ilmu yang didominasi oleh ketrampilan yang dalam taksonomi Bloom masuk dalam ranah psikomotorik atau pada disiplin ilmu yang lebih menekankan proses pengamatan data fisik dan penarikan kesimpulan ( inference ) dari hasil pengamatan secara fisik ini,  mungkin  saja  penerapan  taksonomi  Bloom  cukup  sahih  (bisa  dipertanggung-jawabkan secara ilmiah). Tetapi dalam proses pendidikan dan pengajaran matematika yang secara internal memiliki  warna  tersendiri,  faktor-faktor  eksternal  yang  mendapat  rangsangan  perubahan  bisa saja menjadi faktor-faktor sekunder.
Untuk  mengetahui  pandangan  seorang  matematikawan  tentang  proses  berpikir matematis  dan  logis,  selain  pandangannya  tentang  logika  dan  matematika  itu  sendiri,  penulis menganjurkan  pembaca  agar  membaca  tulisan  Roger  Penrose  dalam  [4],  walaupun  [4] sesungguhnya  ditulis  dengan  tujuan  untuk  menyanggah  anggapan  bahwa  otak  manusia  bisa ditiru, paling tidak secara teoritis, seperti asumsi sebagian pendukung AI ( artificial intelligent ), termasuk salah satu perintis AI, yaitu pakar bahasa formal dan linguistics Noam Chomsky.

## 6. Penutup
Tulisan  ini  ingin  mengajak  semua  pendidik  dan  pengajar  matematika  untuk memperhatikan salah satu faktor yang sangat jarang atau tak pernah dibahas oleh para „pakar‟ di bidang  pendidikan,  yaitu  faktor  matematika  sebagai  bahasa  universal  yang  membuat  proses penguasaan  (bahasa)  matematika  secara  mental  menjadi  jauh  berbeda  dengan  proses penguasaan  disiplin  ilmu-ilmu  lain,  selain  berbeda  jauh  dengan  proses  penguasaan  bahasa sehari-hari.
Dengan  melihat  matematika  sebagai  obyek  dengan  berbagai  sifat-sifat  internal  yang unik,  pengajaran  dan  pendidikan  matematika  pada  hematnya  memerlukan  model  dan  metoda pendidikan  dan  pengajaran  tersendiri.  Sebagai  indikasi  kuat  keberadaan  sifat  unik  dari  hasil proses  pembelajaran  matematika,  para  matematikawan  dengan  (alat  komunikasi)  matematika secara  bersama-sama  selalu  bisa  bersepakat  terhadap  ribuan,  bahkan  jutaan,  konsep-konsep

## Loeky Haryanto
matematis  yang  bersifat  abstrak  dan  tak  bisa  diamati,  walaupun  seringkali  keberadaan  para matematikawan  ini  secara  fisik  terpisah  satu  sama  lain  oleh  jarak  ribuan  kilometer  dan  juga terpisah oleh jangka waktu yang berjarak ratusan tahun.

## Daftar Pustaka
[1].  Haryanto, L., 2000, “Constructing snake-in-the-box codes and families of such codes covering  the  hypercube”, Ph.D.  Dissertation ,  Delft  University  of  Technology, Netherlands.
[2].  Haryanto,  L.,  Zanten,  A.J.van,  2004,  “Snakes-in-the-box  codes  and  Euclidean geometry”, Proc.  of  the  9 th Int.  Workshop  on  Algebraic  and  Combinatorial  Coding Theory , June 19-25, 2004, Kranevo, Bulgaria.
[3].   MacWilliams,  F.J.,  Sloane,  N.J.A.,  1977,  “ The  Theory  of  Error  Correcting  Codes ”, North Holland Mathematical Library.
[4].   Penrose, R., 1989, “ The Emperor’s New Mind ”, Oxford University Press.
[5].   --------------, 2005, “ The Road to Reality ”, Vintage Books, London.
[6].   Rosen, K.,  1999, “ Discrete Mathematics and Its Applications ”, McGraw-Hill.
[7].     Singh, S., 1997, “ Fermat’s Last Theorem ”, Fourth Estate.