## PENYELESAIAN PERSAMAAN DIFERENSIAL  DENGAN METODE ADAMS BASHFORTH MENGGUNAKAN MATLAB

## Ratih Ayuninghemi, S. ST
Pratyaksa Kepakisan

## ABSTRAKSI
Banyak  metode  yang  bisa  digunakan  untuk  menyelesaikan  persamaan  diferensial.  Salah satunya  adalah  Metode  Adams  Bashforth  ,  metode  ini  tidak  bisa  berdiri  sendiri,  metode  ini memerlukan  metode  lain  untuk  memulai  perhitungan.  Metode  lain  yang  digunakan  adalah  metode Runge-Kutta orde empat untuk mencari empat nilai awal yaitu yo, y 1 , y 2 , y 3 .
Persamaan    diferensial  dengan  metode  Adams  Bashforth    dapat  dicari  penyelesaiannya dalam  bentuk  tabel  dan  grafik  apabila infut data  dan  variabel  yang  digunakan  harus  disesuaikan terlebih dahulu dengan variabel yang digunakan dalam program komputer guna memudahkan dalam melihat  hasil  penyelesaiannya.  Bahasa  pemrograman  yang  digunakan  untuk  membuat  program penyelesaian  persamaan  diferensial  dengan  metode  Adams  Bashforth  adalah  bahasa  komputasi MATLAB ( Matrix Laboratory ).

## PENDAHULUAN

## 1. Latar Belakang
Dengan  kemajuan  teknologi  komputer  yang  sangat  pesat,  pemakaian  metode  numerik dalam  menyelesaikan  permasalahan  juga  semakin  berkembang  pesat.  Metode  numerik  merupakan cara  untuk  menyelesaikan  permasalahan-permasalahan  yang  diformulasikan  secara  matematis dengan  cara  operasi  hitungan  yang  berulang-ulang  dalam  jumlah  yang  banyak.  Oleh  karena  itu diperlukan suatu program komputer yang dapat menyelesaikan perhitungan dengan cepat dan teliti sehingga  kesalahan  perhitungan  dapat  dihindari.  Seperti  misalnya  penyelesaian  persamaan diferensial,  bila  dikerjakan  secara  manual  maka  akan  memerlukan  waktu  yang  lama  dan  resiko kesalahan perhitungan yang dilakukan ( human error) sangat besar.
Banyak  masalah  dalam  bidang  teknik  mesin  dan  ilmu  pengetahuan  alam  yang  dapat dirumuskan dalam persamaan diferensial. Sebagian besar dari persamaan diferensial yang dijumpai dalam  praktek,  tidak  dapat  diselesaikan  secara  analitis,  sehingga  harus  menggunakan  metode numerik.  Metode  untuk  menyelesaikan  persamaan  diferensial  secara  numerik  banyak dikembangkan oleh ilmuwan seperti : Euler, Runge Kutta dan Adams Bashforth.

## 2. Rumusan Masalah
Bagaimana  menyelesaikan    persamaan  diferensial  dengan  Metode  Adams  Bashforth menggunakan MATLAB.

## 3. Batasan Masalah
Menyelesaikan  persamaan  diferensial  biasa  dengan  menggunakan  metode  Adams Bashforth.
4. Tujuan Dan Manfaat
1. Agar  dapat  memahami  cara  untuk  menyelesaikan  persamaan  diferensial menggunakan  metode  Adams  Bashforth  kemudian  mengimplentasikan  dalam program komputer.
2. Mengetahui  cara  kerja  dari  metode  Adams  Bashforth  dalam  menyelesaikan  masalah persamaan diferensial.
3. Agar  dapat  digunakan  sebagai  bahan  studi  banding  dengan  metode  lain  dalam menyelesaikan masalah persamaan diferensial.

## 5. Metode Penelitian
Metode yang digunakan untuk mengumpulkan data dan informasi adalah sebagai berikut :
1. Studi pustaka
Metode  ini  dilakukan  dengan  cara  mempelajari  literatur-literatur  atau  referensi  yang secara langsung dapat mendukung proses penyusunan karya tulis ini.
2. Praktek
Metode  ini  dilakukan  dengan  menyelesaikan  persamaan  diferensial  dengan menggunakan  metode  Adams  Bashforth  secara  manual.  Hasil  yang  diperoleh  secara manual dibandingkan dengan hasil perhitungan dengan program komputer.
.

## TINJAUAN PUSTAKA
1 Persamaan Diferensial
Persamamaan diferensial  merupakan  bagian  dari  metode  numerik  yang  mengaplikasikan pada  turunan  fungsi.  Persamaan  diferensial  dapat  dibedakan  menjadi  dua  macam  yang  tergantung pada  jumlah  variabel  bebas.  Yaitu  apabila  hanya  mengandung  satu  variabel  bebas,  persamaan tersebut  dikatakan  sebagai  persamaan  diferensial  biasa.  Dan  jika  mengandung  dua  variabel  bebas disebut dengan persamaan diferensial parsial.
Penyelesaian  persamaan  diferensial  adalah  suatu  fungsi  yang  memenuhi  persamaan diferensial  dan  juga  memenuhi  kondisi  awal  yang  diberikan  pada  persamaan  tersebut  (Dr.  Ir. Bambang  Triatmojo,  1992).  Di  dalam  penyelesaian  persamaan  diferensial  secara  analitis  adalah mencari  penyelesaian  umum  yang  mengandung  konstanta  sembarang,  kemudian  mengevaluasi konstanta  tersebut  sedemikian  rupa  hingga  hasilnya  sesuai  dengan  kondisi  awal.  Metode penyelesaian persamaan diferensial terbatas pada persamaan-persamaan dengan bentuk tertentu, dan biasa  hanya  untuk  menyelesaikan  persamaan  linear  dengan  koefisien  konstan.  Misalkan  suatu persamaan diferensial biasa order satu seperti dalam persamaan (2.1) berikut:
y dx dy  (2.1)
Penyelesaian dari persamaan (2.1) adalah persamaan (2.2) berikut:
x Ce y  (2.2)
Yang  memberikan  banyak  fungsi  untuk  koefisien C .  Untuk  mendapatkan  penyelesaian  tunggal diperlukan  informasi  tambahan,  misalkan  nilai y(x) dan/  atau  turunannya  pada  nilai x tertentu. Untuk  persamaan  order  n  biasanya  diperlukan n kondisi  untuk  mendapatkan  penyelesaian  tunggal y(x) . Apabila semua n kondisi diberikan kepada x yang sama (misal x 0 ), maka permasalahan disebut dengan  masalah  nilai  awal.  Apabila  dilibatkan  lebih  dari  satu x ,  permasalahan  disebut  dengan problem  nilai  batas.  Misalkan  persamaan  (2.1)  disertai  dengan  kondisi  awal  seperti  dalam persamaan (2.3) berikut:
x = 0, y(0) = 1 (2.3) substitusi persamaan (2.3) ke dalam persamaan (2.2) memberikan:
1 = Ce 0
Atau C = 1 Dengan demikian penyelesaian tunggal yang memenuhi persamaan:
y dx dy  , y(0) = 1 adalah: y = e x
Metode penyelesaian numerik tidak  ada batasan mengenai bentuk persamaan diferensial. Penyelesaian  berupa  tabel  nilai-nilai  numerik  dari  fungsi  untuk  berbagai  variabel  bebas. Penyelelesaian suatu persamaan dilakukan pada titik-titik yang ditentukan secara berurutan. Untuk mendapatkan  hasil  yang  lebih  teliti,  maka  jarak  ( interval )  antara  titik-titik  yang  berurutan  tersebut dibuat kecil.
Misalkan  akan  diselesaikan  persamaan  (2.1)  dan  (2.3).  Penyelesaian  dari  persamaan tersebut adalah mencari nilai y sebagai fungsi dari x. Persamaan diferensial memberikan kemiringan kurva pada setiap titik sebagai fungsi x dan y .
2 Beberapa Pengertian Dalam Persamaan Diferensial
Di dalam persamaan diferensial dikenal beberapa pengertian yaitu:
a. Orde dari persamaan diferensial ditentukan oleh orde tertinggi dari turunan yang terdapat di  dalamnya.  Sedangkan  derajat  dari  persamaan  diferensial  ditentukan  oleh  pangkat tertinggi dari orde turunan.
b. Persamaan diferensial parsial disajikan dalam persamaan (2.4) berikut:
0 2 2 2         yx y x z x z (2.4)
c. Persamaan diferensial tak linier orde n dapat ditulis dalam bentuk persamaan (2.5) berikut: F(x,y,y',y",y’''',….,yn) = 0 (2.5)
d. Penyelesaian  umum  adalah  penyelesaian  yang  memuat  konstanta  parameter  yang banyaknya sama dengan orde persamaan diferensial tersebut.
e. Kondisi  awal  yaitu  suatu  nilai  tertentu  yang  digunakan  untuk  mencari  penyelesaian partikuler.
f. Penyelesaian  partikuler  adalah  suatu  penyelesaian,  bila  konstanta  parameter  telah dinyatakan dengan suatu harga tertentu.
3 Jenis Persamaan Diferensial
Persamaan diferensial ada beberapa jenis antara lain:
a. Persamaan diferensial orde satu ditulis dalam bentuk persamaan (2.6) berikut:
 dx dy y x
F ) , (  ( x,y) = 0 atau bisa juga ditulis:
F ( x,y ) dy +  ( x,y ) dx = 0 (2.6)
b. Persamaan diferensial yang ditulis dalam bentuk persamaan (2.7) berikut:
dx dy = Py 2 + Qy + R (2.7)
c. Persamaan diferensial orde satu derajat tinggi yang ditulis dalam bentuk persamaan (2.8) berikut:
0 , .        dx dy y x f (2.8)
d. Persamaan diferensial orde tinggi yang ditulis dalam bentuk persamaan (2.9) berikut:
) ( 1 0 x f y a dx y d a d y d a n n n n n n   
(2.9)

## 4 Metode Euler
Metode  Euler  adalah  salah  satu  metode  satu  langkah  yang  paling  sederhana,  bila dibandingkan  dengan  beberapa  metod  lainnya,  metode  ini  penting  untuk  mempelajari  metode lainnya. Metode Euler dapat diturunkan dari deret Taylor dalam persamaan (2.10) berikut:
y n+1 = y n + hy n + ! 2 2 h y"+ ! 3 3 h y”’+… (2.10)
Apabila nilai h kecil, maka suku yang mengandung pangkat lebih tinggi atau sama dengan 2 adalah sangat kecil dan dapat diabaikan, sehingga didapat persamaan (2.11) berikut:
y n+1 = y n + hy’ n (2.11)
Dengan  membandingkan  persamaan  (2.10)  dan  (2.11)  maka  dapat  disimpulkan  bahwa dalam metode Euler, kemiringan  = y’ n = f (x n ,y n ) sehingga persamaan (2.11) dapat ditulis dalam persamaan (2.12) berikut:
y n+1 = y n + hf(x n , y n ) (2.12)
Formula  ini  akan  digunakan  di  titik  yang  menghubungkan  x n untuk  mendapatkan penyelesaian  numerik  untuk  persamaan  diferensial y’  =  f(x,y) yang  dapat  diuraikan  dalam persamaan (2.13) berikut:
y 1 = y 0 + hf (x 0 , y 0 ) y 2 = y 1 + hf(x 1 , y 1 ) y n = y n-1 + hf(x n-1 , y n-1 ) dengan  memilih  nilai h ,  nilai y 1 dapat  dihitung  dengan  menggunakan  syarat  awal  ( y 0 )  yang diberikan dalam persamaan diferesial.

## Algoritma Euler
1. Untuk persamaan y ’ = f(x.y), dengan y(x 0 ) = y 0 , diantara interval [a,b].
2. Pilih langkah nilai awal h= n a b  dan tentukan x n+1 = x n + nh n =0,1,2,3…,n
3. Bentuk aproksimasi y n terhadap y(x n ) dari rekursi: y n+1 = y n + hf(x n ,y n )
4. Tentukan nilai kesalahan dengan menggunakan rumus: E = ) ( ' 2 2  y h

## 5 Metode Runge-Kutta
Metode  Runge-Kutta  adalah  suatu  metode  persamaan  diferensiasi  langkah  satu  yang dikembangkan  oleh  dua  ahli  yaitu  Runge  dan  Kutta,  seperti  yang  telah  dijelaskan  di  atas,  dalam menyelesaikan  persamaan  diferensiasi  membutuhkan  turunan  yang  lebih  tinggi  untuk  mencapai derajat  ketelitian  tepat,  akan  tetapi  dalam  metode  Runge-Kutta  ini,  dalam  mencapai  derajat  yang lebih  tinggi  tidak  membutuhkan  turunan  yang  sangat  kompleks,  hal  ini  didasarkan  atas pertimbangan  bahwa  bila  turunan f(x) yang  dikembangkan  sampai  mencapai  derajat  yang  lebih tinggi  akan  mencapai  suatu  kerumitan  dalam  memecahkan  permasalahan  tersebut,  sehingga pemecahan  seperti algoritma  Taylor tidak bisa diterima  sebagai prosedur  umum serbaguna. Dalam mencapai suatu derajat ketelitian yang tinggi, metode Runge-Kutta mengevaluasi fungsi f(x,y) pada titik  terpilih  dalam  setiap  subselang,  sehingga  tidak  membutuhkan  turunan  dari  fungsi.  Bentuk umum metode Runge-Kutta adalah dalam persamaan (2.4) berikut:
y n+1 = y n +  (x n ,y n, h) h (2.4)
Dengan  ( x n ,y n, h) adalah  fungsi  pertambahan  yang  merupakan  kemiringan  rerata  pada interval. Fungsi pertambahan dapat ditulis dalam bentuk persamaan (2.5) berikut:
 a 1 k 1 .a 2 k 2 …………..a 1 k 1 (2.5)
dengan a adalah konstanta dan k adalah:
k 1 h.f(x n .y n ) k 2 hf(x n +p 1 h,y n +q 11 k 1 ) k 3 hf(x n +p 2 h,y n +q 21 k 2 ) k n f(x n +p i-1 h,y n +q i-1 k 1 h+q i-1,2 k 2 h+… +q i-1,i-1 k i-1 h) Persamaan  tersebut  menunjukkan  bahwa  nilai k mempunyai  hubungan  berurutan.  Nilai k muncul  dalam  permasalahan k 2 , yang  keduanya  juga  muncul  dalam  persamaan k 3 , dan  seterusnya. Hubungan  yang  berurutan  ini  membuat  metode  Runge-Kutta  adalah  efisien  untuk  hitungan komputer.
Ada  beberapa  tipe  metode  Runge-Kutta  yang  tergantung  pada  nilai  n  yang  digunakan. Untuk  n  =  1,  yang  disebut  metode  Runge-Kutta  orde  satu,  di  sini  untuk  menghitung  penyelesaian persamaan  diferensial  dengan  menggunakan  metode  Adams  Bashforth  akan  digunakan  metode Runge-Kutta orde empat untuk menentukan (y 0 ,f 0 ), (y 1 ,f 1 ),(y 2 ,f 2 ) dan (y 3 ,f 3 ). Rumus metode Runge- Kutta orde empat adalah seperti persamaan (2.7) berikut:
y n+1 = y n + 6 1 (k 1 + 2k 2 + 2k 3 + k 4 ) (2.7)
dimana: k 1 = hf(x n ,y n ) k 2 = hf(x n ,+ 2 h ,y n + 2 1 k ) (2.8)
k 3 = hf(x n ,+ 2 h ,y n + 2 2 k ) k 4 = hf(x n ,+ h,y n + k 3 )
Metode  Runge-Kutta  merupakan  bagian  dari  langkah  yang  bisa  digunakan  di  dalam  algoritma metode Adams Bashforth
6 Algoritma Runge-Kutta Orde 4
1. Tentukan dx dy = f(x,y), n,  pilih  interval  penyelesaian  yaitu  I=[a,b]  atau  dibentuk  partisi pada interval [a,b]. a  = x 0 < x 1 < x 2 <…. <x n = b sedemikian hingga h cukup kecil
2. Hitung nilai
n a b h  
3. Tnetukan nilai awal x 2 yaitu: x 0 = a x n+1 = x n + h 4. Harga pendekatan y n+1 dari y(x n+1 ) diperoleh dari formula:
y n+1 = y n + 6 1 ( k 1 + 2k 2 + 2k 3 + k 4 )
dimana: k 1 = hf(x n ,y n ) k 2 = hf(x n + 2 h ,y n + 2 1 k ) k 3 = hf(x n + 2 h ,y n + 2 2 k ) k 4 = hf(x n + h,y n + k 3 )
Iterasi 1 i  =  0
y 1 =  y 0 + 6 1 (k 1 + 2k 2 + 2k 3 + k 4 )
dimana k 1 = hf(x 0 ,y 0 ) k 2 = hf         2 , 2 1 1 0 k y h x
k 3 = hf         2 , 2 2 1 0 k y h x k 4 = hf(x 0 ,+ h,y 0 + k 3 )
Iterasi 2 i  =  1
y 2 =  y 1 + 6 1 (k 1 + 2k 2 + 2k 3 + k 4 )
dimana k 1 = hf(x 1 ,y 1 ) k 2 = hf         2 , 2 1 1 1 k y h x k 3 = hf         2 , 2 2 1 1 k y h x k 4 = hf(x 1 ,+ h,y 1 + k 3 )
Iterasi n i  = n-1
y n+1 =  y n + 6 1 (k 1 + 2k 2 + 2k 3 + k 4 )
dimana: k 1 = hf(x n-1 ,y n-1 ) k 2 = hf           2 , 2 1 1 1 k y h x n n k 3 = hf           2 , 2 2 1 1 k y h x n n k 4 = hf(x n-1 ,+ h,y n-1 + k 3 )
5. Barisan  {y1,  y2,  y3,….y n-1 }  merupakan  barisa  penyeleasaian  numerik  dari  persamaan yang diberikan.

## PERANCANGAN SISTEM
1. Rancangan Input dan Output
a. Rancangan Input
Input  /  masukan  yang  diperlukan  dalam  penyelesaian  persamaan  diferensial  adalah sebagai berikut :
1. ) , ( y x f dx dy 
persamaan diferensial yang akan dicari penyelesaiannya. Dengan menggunakan fungsi eksak  ini  maka  akan  dicari  penyelesaian  secara  eksak  sehingga  hasilnya  nanti  bisa dibandingkan  dengan  penyelesaian  secara  numeris.  Jika  fungsi  eksak  tidak  diketahui maka untuk fungsi eksak tidak perlu di inputkan.
2. Nilai a dan b
Nilai awal interval yang dijadikan sebagai pendekatan rata  – rata pada semua interval. Nilai a adalah nilai x awal (x o ) dan nilai b adalah nilai x akhir (x akhir ).
3. Nilai yo adalah nilai awal y
4. Nilai n  adalah banyaknya partisi dalam interval antara a dan b
b. Rancangan Output
Output / keluaran yang akan ditampilkan adalah sebagai berikut :
1. Nilai x
2. Nilai y dihitung secara numeris
3. Nilai  y  eksak  dimana  nilai  y  eksak  merupakan  penyelesaian  eksak  dari  persamaan diferensial,  jika  funsi  eksak  tidak  diinputkan  ,  maka  output  nilai  y  eksak  tidak ditampilkan.
4. Nilai  error  adalah  didapatkan    dari  nilai  absolut  selisih  antara  nilai  y  di  hitung  secara numeris  dan  nila  y  eksak,  jika  nilai  eksak  tidak  ada  maka  output  nilai  error  tidak ditampilkan.

## 2. Metode Adams Bashforth
Metode Adams Bashforth penggunaannya tidak dapat berdiri sendiri. Agar metode ini dapat digunakan  diperlukan  data  awal  sebanyak  m  buah.  Untuk  mencari  ke  m  data  tersebut  (yang merupakan pasangan nilai (xi, yi) untuk i = 1, 2, ……, m dengan yi merupakan nilai pendekatan y (xi) yang merupakan penyelesaian yang dicari harus mempergunakan metode lain. misalnya dalam karya tulis ini akan dipergunakan metode Runge-Kutta. Disamping  metode Runge-Kutta bisa juga digunakan  metode  lainnya  untuk  mencari  penyelesaian  masalah  nilai  persamaan  nilai  biasa  orde satu.
dx dy =  f (x,y) y (a) = y 0
Pada interval   b a ,
Terutama pada penggunaan algoritma Taylor dan metode Runge – Kutta hanya diperlukan data pada suatu titik x  =  x n dan dengan data ini dipergunakan untuk menentukan nilai pendekatan y pada titik x = x n + 1.
Pada  penggunaan  metode  Adams  Bashforth  diperlukan  data  untuk  beberapa    titik,    yaitu  misalkan diketahui  nilai-nilai  y  dan  y  pada  titik-titik  x 0, x 1, x 2 …,  x n .  Dasar  pemikiran  pada  metode  Adams Bashforth ini adalah prinsip pada intergrasi numerik.
Bila  kedua  ruas  persamaan  differensial y’  =  f  (x,y) diintergralkan  dari  x n sampai  x n +  1 maka akan diperoleh :
     1 x x 1 x x n n n n dx (x)) y (x, f dx y'
Atau dapat juga ditulis seperti dalam persamaan (3.1) berikut :
y n  + 1 =  y n +   1 n n x x f (x,y (x)) dx                          (3.1)
Untuk  mencari  integral  diruas  kanan  dapat  dipergunakan  rumus  mundur  dari  Newton dengan  memanfaatkan  nilai-nilai  pendekatan  f  (x,y) (x)) pada (m + 1) buah titik x n, x n + 1 , ….., x n + m , yaitu (m + 1) buah diantara data yang diberikan, maka notasinya menjadi sebagai berikut : F (x k , y (x k ))  =  f k
Rumus mundur  dari Newton  orde m digunakan untuk :
P m (x)  = k n k s k k f Δ 1) (          
s  = h x x n 
Jika  dimasukkan  ke  dalam  persamaan  (3.1)  maka  akan  diperoleh  rumus  seperti  dalam  persamaan (3.2) berikut :
Y n  + 1 =  y n + h   m n m m 1 n 1 v 0 f Δ y ..... Δf y f y      (3.2)
Untuk  m  =  3  digunakan  tabel  deferensi  maka  rumus  (3.2)  akan  menjadi  seperti  dalam  persamaan (3.3) berikut :
Y n  + 1 =  y n + h             3 n 3 2 n 2 1 n n f Δ 8 3 f Δ 12 5 Δf 2 1 f (3.3)
Dengan menggunakan definisi operator deferensi maju maka :
1 n n 1 n f f Δf     2 n 1 n n 2 n 2 f 2f f f Δ       3 n 2 n 1 n n 3 n 3 f f 3 3f f f Δ
       
Jika disubstitusikan ke dalam (3.1) maka akan diperoleh rumus persamaan (3.4) berikut :
y n+1 =  y n + 24 h (55f n – 59f n-1 + 37f n-2 – 9f n-3 )                    (3.4)
a. Algoritma Metode Bashforth
1. Tentukan dx dy = f (x,y) , interval = (a,b), y 0 , n, x 0 = a.
2. Hitung h  = n a b 
3. Untuk i  =  1 sampai dengan n + 1 hitung x 1 + 1 = a + ih. 4. Gunakan formula metode Runge Kutta atau metode Euler  untuk menentukan y 0, y 1, y 2, y 3 dan f 0, f 1, f 2, f 3. 5. Hitung nilay y n+1 untuk n = 3, 4, ….. dengan menggunakan rumus :
y n+1 =  y n + 24 h (55f n – 59f n-1 + 37f n-2 – 9f n-3 )
6. Hitung nilai  :  f n+1 =  f (x n+1, y n+1 )
b. Diagram Alir Metode Adams Bashforth
Mulai input f(x,y),y0,n, I=[a,b] Metode Euler/Rk y0,y1,y2,y3 dan f0,f1,f2,f3 cetak n,x(n),y(n) Selesai x(0)=a x(n+1)=x(n)+h y(n+1)=y(n)+h(55*f(n)-59*f(n-1)+37*f(n-2)-9*f(n-3))/24 f(n)=f(x(n),y(n)) for 3 : n for n=0:3 for n=a:b
c. Penyelesaian Contoh Soal Secara Manual Menggunakan Metode Adams BashForth
Berikut  ini  contoh  soal  yang  akan  diselesaikan  secara  manual    dengan  menggunakan Metode Bashforth.
Contoh :
dx dy =  x + y . yo = 1, interval =   1 , 0 , n  =  5
Jawab :
h = n a b  h = 5 1 2  =  0.2
x n+1 = xn + h n=0,1,2,3,4,5 x 0
=  0 x 1 =  0 + 0.2  =  0.2
x 2 =  0.2 + 0.2  = 0.4 x 3 =  0.4 + 0.2  =  0.6 x 4 =  0.6 + 0.2  = 0.8 x 5 =  0.8 + 0.2  =  1 Dihitung  dengan  menggunakan  metode  Runge  –  Kutta  maka  didapatkan  nilai  y 0 ,  y 1 ,  y 2 dan  Y 3 sebagai berikut  : y 0 =  0 y 1 =  1.2428
y 2 =  1.5836
y 3 =  2.0442 y n + 1 =  y n + 24 h (55 f n – 1 + 37 f n – 2 – 9 f n – 3 )
Dengan h  =  0.2 Dimana : f 0 =  f (x 0 , y 0 ) f 0 =  0 + 0  = 0
f 1 =  f (x 1 , y 1 ) f 1 =  0.2 + 0.0214  =  0.2214
f 2 =  f (x 2 , y 2 ) f 2 =  0.4 + 0,0918180 f 2 =  0.4918180
f 3 =  f (x 3 , y 3 ) f 3 =  0.6 + 0.2221065 f 3 =  0.8221065
n = 3 y 4 =  y 4 + 24 h (55 f 3 – 59 f 2 + 37 f 1 -  9 f 0 ) y 4 =  0.2221065 + 24 2 . 0 (55 * 0.8221065 – 59 * 0.4918180 + 37 * 0.2214 – 9 * 0)
y 4 =  2,6507 n = 4
y 5 =  y 4 + 24 h (55 f 4 – 59 f 3 + 37 f 2 -  9 f 1 )
y 5 =    0.4253598  + 24 2 . 0 (55  *  1.2253598  –  59  *  0.8221065  +  37  *  0.4918180  –  9  *
0.2214) y 5 =  0.4253598 + 24 2 . 0 (35.0951715)
y 5 =  3.4356
Sehingga didapat tabel penyelesaian sebagai berikut :
x Y 0 1.0000 0.2 1.2428 0.4 1.5836 0.6 2.0442 0.8 2.6507 1 3.4356

## IMPLEMENTASI DAN PEMBAHASAN

## 1. Pembahasan
Berikut  ini  akan  dibahas  beberapa  contoh  soal  yang  pernah  dijumpai  dalam  kehidupan manusia,  yang  akan  diselesaikan  dengan  menggunakan  program  komputer  yang  mengaplikasikan metode Adams Bashforth.
Contoh 4.1 Suatu kakas yang arahnya tetap, besarnya berubah dengan waktu dinyatakan sebagai persamaan F = 30 - 2t 2 , dimana F dalam Newton dan t dalam sekon, bekerja pada sebuah titik massa 3 kg, selama 3 sekon. Jika titik massa tersebut mula-mula diam, berapa kecepatan akhir  titik massa tersebut ? Penyelesaian :
Rumus percepatan titik massa adalah  a= m F , dengan F = 30 – 2t 2 dan titik massa (m) adalah 3 kg
maka  didapat , 3 2 30 2 t dt dv   pada  persamaan  percepatan  titik  massa  variabel  yang  digunakan untuk  kecepatan  adalah  v  (dalam  m/s)  dan  waktu  adaalah  t  (dalam  s).  Sebelum  melakukan pemasukkan  data  variabel  yang  digunakan  dalam  persamaan  percepatan  titik  massa,  dimodifikasi
sesuai dengan variabel  yang digunakan dalam program komputer, maka  variabelnya akan menjadi variabel x untuk waktu dan variabel y untuk kecepatan. Maka persamaan diferensialnya menjadi :
3 2 30 2 x dx dy  
dimana titik massa mula-mula diam berarti saat waktunya 0 kecepatannya juga 0, sehingga : y0 = 0, antara selang waktu a sampai b = [0,3], dengan n = 15 sehingga didapat selisih waktu 2 . 0 ) (   x . Dengan memasukkan data tersebut, maka  akan diperoleh  hasil perhitungan oleh komputer sebagai berikut :
Penyelesaian Persamaan Diferensial Menggunakan Metode Adams Bashforth dy/dx = (30-2*x^2)/3 fungsi eksak = - y0 = 0.000 n = 15.000 a = 0.000 b = 3.000 Diperoleh Hasil Perhitungan Sebagai Berikut :
|------|----------|------------------|---------------|--------| |   i  |    x     |     y Numeris    |    y Eksak    |  error | |      |          |                  |               |        | |      |          |                  |               |        | |------|----------|------------------|---------------|--------| 0     0.0000        0.000000000            -              - 1     0.2000        1.998222222            -              - 2     0.4000        3.985777778            -              - 3     0.6000        5.952000000            -              - 4     0.8000        7.886222222            -              - 5     1.0000        9.777777778            -              - 6     1.2000       11.616000000            -              - 7     1.4000       13.390222222            -              - 8     1.6000       15.089777778            -              - 9     1.8000       16.704000000            -              - 10     2.0000       18.222222222            -              - 11     2.2000       19.633777778            -              - 12     2.4000       20.928000000            -              - 13     2.6000       22.094222222            -              - 14     2.8000       23.121777778            -              - 15     3.0000       24.000000000            -              -
Pada  penyelesaian  di  atas  dapat  dilihat  untuk  kolom  x  adalah  waktu  (dalam  detik  )  dan kolom y adalah kecepatan (dalam m/s), pada perhitungan akhir didapat bahwa kecepatan akhir titik massa adalah 24 m/s.
Perubahan kecepatan titik massa dalam selaaang waktu 0.2 juga dapat dalam bentuk grafik, seperti pada Gambar berikut :
Gambar Grafik Penyelesaian Diferensial
3 2 30 2 x dx dy  
Keterangan : Sumbu x untuk waktu (dalam satuan sekon) Sumbu y untuk kecepatan (dalam satuan m/s)
Contoh 4.2
Laju  seorang  penerjun  payung  selama  melayang  di  udara  setelah  payungnya  mengembang  adalah   m ct e c gm t v / 1 ) (    dimana g = 9.8 masyarakat -2 adalah percepatan gravitasi, m = 68.1 kg adalah masa  penerjun,  c  =  12.5  kgs -1 adalah  hambatan  udara.  Berapa  jarak  yang  ditempuh  oleh  penerjun tersebut  selama  10  detik  ?  Sebagai  titik  awal  adalah  [0.0],  yaitu  posisi  penerjun  pada  waktu meninggalkan pesawat terbang.
Penyelesaian
Bila jarak  yang dilalui oleh penerjun diselesaikan secara analitis, maka  akan dihitung dengan cara mengitegralkan  persamaan  laju  penerjun,  dengan  cara  menyelesaikan  persamaan  diferensial  yang terjadi dari hubungan :
dt t dh t v ) ( ) ( 
Karena dalam program computer menggunakan variable x dan y, sedangkan persamaan diferensial diatas menggunakan variable t dan h maka persamaaan laju diatas dimodifikasi sebagai berikut:
  m cx e c gm dx dy / 1   
dimana  :  g  =  9.8  ms -2 ,  m  =  68.1  kg,  c  =  12.5  kgs –1 .Untuk  selisih  waktu 5 . 0 ) (   X .Dengan menginputkan data tersebut, maka akan diperoleh hasil perhitungan oleh komputer sebagai berikut :

## Penyelesaian Persamaan Diferensial
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 0 5 10 15 20 25 x y Grafik Penyelesaian Persamaan Diferensial dy/dx =(30-2*x 2 )/3
Menggunakan Metode Adams Bashforth dy/dx = 9.8*68.1/12.5*(1-exp(-12.5*x/68.1)) fungsi eksak = - y0 = 0.000 n = 20.000 a = 0.000 b = 10.000 Diperoleh Hasil Perhitungan Sebagai Berikut :
|------|-------------|-----------------------|---------------|---------------| i         x              y Numeris           y Eksak          error
|------|-------------|-----------------------|---------------|---------------| 0      0.0000          0.000000000             -                  - 1      0.5000          1.188368147             -                  - 2      1.0000          4.613462130             -                  - 3      1.5000        10.079140676             -                  - 4      2.0000        17.407015813             -                  - 5      2.5000        26.433235776             -                  - 6      3.0000        37.008870592             -                  - 7      3.5000        48.998050145             -                  - 8      4.0000        62.276818937             -                  - 9      4.5000        76.732091282             -                  - 10     5.0000        92.260698119             -                  - 11     5.5000       108.768517411            -                  - 12     6.0000       126.169680798            -                  - 13     6.5000       144.385849825            -                  - 14     7.0000       163.345555633            -                  - 15     7.5000       182.983596555            -                  - 16     8.0000       203.240488542            -                  - 17     8.5000       224.061963773            -                  - 18     9.0000       245.398513240            -                  -
19     9.5000       267.204969443            -                  - 20    10.0000       289.440125675            -                  -
Untuk  pemasukan  data  fungsi  eksak  tidak  diisikan  karena  penulis  menganggap  persamaan laju    penerjun  sulit  untuk  dicari  fungsi  eksaknya  sehingga  penyelesaiannya  dicari  secara  numeris saja. Pada penyelesaian di atas dapat dilihat untuk kolom x adalah waktu (dalam detik) dan kolom y adalah jarak (dalam meter) yang ditempuh oleh penerjun, semakin lama semakin panjang jarak yang dilalui oleh penerjun.
Jarak yang ditempuh penerjun juga dapat dalam bentuk grafik, seperti dalam Gambar berikut :
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 50 100 150 200 250 300 x y Grafik Penyelesaian Persamaan Diferensial dy/dx =9.8*68.1/12.5*(1-exp(-12.5*x/68.1)) Gambar Grafik Penyelesaian Persamaan Diferensial   5 . 68 / * 5 . 12 1 5 . 12 1 . 68 * 8 . 9 x e dx dy   
Keterangan : Sumbu x untuk waktu (dalam satuan sekon) Sumbu y untuk jarak (dalam satuan m)

## PENUTUP
1. Kesimpulan
1. Penyelesaian  persamaan  diferensial  adalah  suatu  fungsi  yang  memenuhi  persamaan diferensial dan juga memenuhi kondisi awal yang diberikan pada persamaan tersebut.
2. Untuk mencari penyelesaian persamaan diferensial diperlukan suatu syarat nilai awal yaitu nilai y 0 , nilai x 0 = a, x akhir = b, dan n banyaknya partisi dalam  interval a sampai b.
3. Rumus  metode  Adams  Bashforth  tidak  dapat  berdiri  sendiri,  tetapi  memerlukan  rumus metode lain.
4. MATLAB mempunyai karakteristik sedikit lebih lambat bila dibandingkan dengan Fortran atau C karena bahasanya langsung diartikan.
5. Dengan  adanya  program  penyelesaian  persamaan  diferensial  maka  solusi  dapat  dicari dengan cepat tanpa ada resiko kesalahan dalam perhitungan.
2. Saran
1. Program  ini  hanya  mampu  untuk  menyelesaikan  persamaan  diferensial  biasa  orde  satu. Untuk itu perlu dikembangkan program yang dapat menyelesaikan persamaan diferensial orde yang lebih tinggi.
2. Program  ini  hanya  mampu  menampilkan  solusi  dalam  bentuk  tabel  dan  grafik.  Supaya pengguna  lebih  mengerti  dengan  solusi  yang  diperoleh,  solusi  perlu  ditampilkan  dalam bentuk lain.

## DAFTAR PUSTAKA
Bambang Triatmodjo, Dr., Ir., CES., DEA, Metode Numerik, Beta Offset, Yogyakarta, 1992.
Duance  Hanselman  &  Bruce  Littlefield, MATLAB  Bahasa  Komputasi  Teknis, Andi  Offset, Yogyakarta, 2000.
Hasyim Baisuni, H.M., Kalkulus, Universitas Indonesia, Jakarta, 1986.
John H. Mathews, Numerical Methods, Prentice-Hall International, Inc, 1987.
John  Penny,  Dr.,  &  George  Lindfield, Numerical  Methods  Using  Matlab, Department  of Mechanical Engineering, Aston University, 1995.
Conte,  D.D.,  &  Carl  de  Boor, Dasar-dasar  Analisis  Numerik  Suatu  Pendekatan  Algoritma, Erlangga, Jakarta, 1993.