Vol. 11, No. 1,  77-83,  Juli  2014
Taksiran Kurva Regresi Spline pada Data Longitudinal dengan Kuadrat Terkecil
Anna Islamiyati *

## Abstrak
Makalah  ini  mengkaji  tentang  estimasi  regresi  spline  khususnya  penggunaan  pada  data  longitudinal. Data  longitudinaladalah  data  yang  mampu  membedakan  keragaman  respon  yang  disebabkan  karena pengukuran  yang  berulang.  Kurva  regresi  spline  diestimasi  dengan  menggunakan  kuadrat  terkecil. Terlihat bahwa taksiran kurva regresi spline untuk data longitudinal merupakan kelas pendugaan linear dalam observasi respon ̃ dan sangat tergantung pada titik knot k 1 , k 2 , ..., k r .
Keywords : data longitudinal, kuadrat terkecil, dan regresi spline.

## 1. Pendahuluan
Regresi  nonparametrik  digunakan  apabila  bentuk  kurva  regresi  diasumsikan  tidak diketahui.  Regresi  nonparametrik  memiliki  fleksibilitas  yang  tinggi  dalam  mengestimasi kurva regresi. Berbeda dengan regresi parametrik yang mengasumsikan bentuk kurva regresi diketahui seperti linear, kuadratik, kubik, eksponensial atau yang lainnya, pendekatan regresi nonparametrik  tidak  mengasumsikan  bentuk  awal  dari  kurva  regresi.  Sehingga  diperlukan pendekatan  dalam  mengestimasi  kurva  regresi  nonparametrik,salah  satunya  adalah  metode spline.  Eubank  [4]    menyatakan  spline  merupakan  salah  satu  model  yang  mempunyai interpretasi statistik dan interpretasi visual sangat khusus dan sangat baik, melalui pemilihan titik knot optimal Di samping itu, spline mampu menangani karakter data fungsi yang bersifat mulus ( smooth ) melalui pemilihan parameter penghalus optimal.
Islamiyati (2010) menguraikan penggunaan regresi spline polynomial truncuted pada data  cross  sectional.  Namun  dalam  perkembangan  riset  selama  ini,  telah  banyak  jenis  data pengukuran  yang  diperoleh  di  lapangan,  bukan  hanya  dalam  bentuk  cross  sectional, diantaranya  data  longitudinal. Wu dan  Zhang  [9]   menyatakan  data longitudinal adalah  data pengamatan yang dilakukan terhadap n obyek yang saling independen, setiap obyek diamati secara  berulang  dan  kontinu  dalam  kurun  waktu  tertentu,  dimana  pengamatan  dalam  obyek yang  sama  saling  berkorelasi.  Perbedaan  struktur  data  tersebut  menyebabkan  perlu  kajian tentang penggunaan regresi spline pada data longitudinal.
Makalah  ini  mengkaji  tentang  estimasi  kurva  regresi  spline  pada  data  longitudinal, dimana metode estimasi yang digunakan adalah metode kuadrat terkecil, dengan memilih titik knot optimal berdasarkan nilai Gross Cross Validation (GCV) terkecil.

## 2. Data Longitudinal
Data  longitudinal  merupakan  data  yang  diamati  dan  diukur  berulangkali  pada  suatu interval waktu tertentu. Dibandingkan dengan data yang diperoleh pada studi cross sectional yang  umumnya  dilakukan  pada  bidang  sosial  dan  ekonomi,  dimana  pengukuran    terhadap obyek  hanya  dilakukan  sekali  saja,  maka  data  longitudinal  memiliki  keunggulan,  yaitu
kemampuannya  dalam  mengenali  pengaruh  waktu  pengukuran  terhadap  respon.  Data longitudinal  diasumsikan  obyek-obyek  saling  independen  satu  sama  lainnya,  tetapi  antara pengamatan di dalam obyek yang sama saling dependen, karena cenderung berkorelasi [3].
Dalam studi tentang data longitudinal, pada umumnya pengamatan dilakukan terhadap n obyek  yang  saling  independen,  dimana  setiap  obyek  diamati  secara  berulang  ( repeated measurement ) dalam kurun waktu yang berbeda. Misalkan ij t menyatakan pengamatan pada waktu  ke- j dari  obyek  ke- i dan ij y menyatakan  variabel  respon  pada  waktu ij t ,  maka  data longitudinal  diberikan  oleh ( ) dimana i n menyatakan banyaknya  pengukuran  berulang  dari  individu  ke- i atau  dapat  ditulis  dalam  bentuk persamaan:
( ) (1)
[9].

## 3. Model Regresi Spline
Spline  adalah  potongan  polinomial  order p dengan  titik  bersama  dari  potongan- potongan  tersebut  disebut  dengan  knot.  Titik  knot  merupakan  perpaduan  dua  kurva  yang menunjukkan pola perubahan perilaku kurva pada selang yang berbeda. Penggunaan titik knot banyak  digunakan  dalam  regresi  nonparametrik,  karena  secara  visual  dapat  menunjukkan setiap perubahan pola perilaku yang terjadi dalam interval waktu tertentu (Islamiyati, 2009). Misalkan pola perubahan yang terjadi pada data sebanyak lima pola perubahan, dimana titik terjadinya pola perubahan tersebut disebut titik knot. Pola perubahan yang terjadi, yaitu pola pertama  cenderung  naik,  kemudian  menurun  pada  pola  kedua.  Selanjutnya  pola  ketiga  juga menunjukkan  kecenderungan  turun  tetapi  penurunannya  berbeda  dengan  pola  kedua.  Pola keempat  mengalami  kenaikan  kembali  dan  terus  naik  pada  pola  kelima  tetapi  dengan kecenderungan naik yang berbeda pula. Contoh ini menunjukkan bahwa dengan penggunaan regresi  spline,  sangat  memungkinkan  dalam  satu  data  terdapat  beberapa  pola  perubahan dalam setiap interval waktu berbeda.
Spline orde p dengan knot 1 2 , , , m k k k K diberikan dalam fungsi f dengan bentuk:
0 1 ( ) ( ) , p m j p i j i j p i j j j f t t t k            (2)
dengan 0 1 , , , p j
    K adalah parameter regresi, dan
( ) , ( ) 0 ( ) 0 , ( ) 0 p i j i j p i j i j t k t k t k t k             
[4].
Salah satu cara pemilihan titik knot optimal adalah menggunakan metode generalized c ross validation (GCV). Kriteria GCV didefenisikan:
( ) ( )
[ (   ( ))] , (3)
dengan:
MSE ( k ) = ̃ ((     ( )) (     ( ))) ̃ adalah titik knots, A( k ) = ( ) ( ) adalah  matriks  yang  berukuran n x n , ̃ ( ̃ ̃ ̃) .  [5]

## Anna Islamiyati

## 4. Taksiran Kurva Regresi Spline pada Data Longitudinal
Data  longitudinal  yang  diukur  berulangkali  berdasarkan  waktu  diberikan  oleh ( )
,  dimana i n menyatakan  banyaknya  pengukuran berulang dari obyek ke- i .Jika diberikan model regresi nonparametrik untuk data longitudinal maka diperoleh suatu bentuk seperti pada (1).
Spline pada data longitudinal diberikan dengan bentuk persamaan :
( )     ∑ ∑ (   ) ( ) (4) Dimana = titik knot = jumlah orde = pengaruh variabel waktu pada objek ke-i dengan pengulangan ke-j
=  parameter
Spline orde , dapat dimodelkan sebagai berikut: ( ) ∑ (   ) ( ) (5)
Menurut  model  spline  pada  (5),  maka  model  regresi  nonparametrik  berdasarkan    (1)    dapat ditulis :
( )
(   ) ( ) (   ) ( )
(   ) ( )
(6)
yang dapat disajikan dengan bentuk matriks, yaitu:
Anna Islamiyati [ ] [ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ]
[
(   ) (   ) (   ) (   )
(   ) (   ) ]
[ ] (7)
Model matriks pada (7) dapat disederhanakan dalam bentuk:
[ ̃ ̃ ̃ ] [ ̃ ̃ ̃ ̃ ̃ ̃
̃ ̃ ̃ ̃ ( ̃ ) ( ̃ ) ̃ ( ̃ ) ( ̃ ) ̃ ( ̃ ) ( ̃ ) ] [
̃
̃
̃] [ ̃ ̃
̃ ]
Jika dituliskan dalam notasi matriks, dapat ditulis menjadi :
̃     ̃      ̃ (8)
Untuk  memperoleh  bentuk  pendugaan ̃ dilakukan  melalui  metode  kuadrat  terkecil  dengan cara meminimumkan Jumlah Kuadrat Galat (JKG):
( ̃ ̃) ( ̃ ̃) ( ̃ ̃) ( ̃ ̃)
= [ ̃ ̃ ̃ ̃ ̃ ̃] .
Selanjutnya diperoleh:
̃ = ( ̃ ̃ ̃ ̃ ̃ ̃) ̃
Anna Islamiyati ̃ ̃
Kemudian :
̃ ̃ = 0 ̃ ̃ ̃ ̃
̃ ̂   ( ) ̃ atau ( ) ̃
Akibatnya pendugaan kurva regresi ( ) diberikan oleh: ̃̂( ) ( ) ̃ = A ( ) ̃ ; dengan matriks A (
)    ( )
Terlihat  bahwa  pendugaan  untuk  kurva  regresi  spline  untuk  data  longitudinal merupakan  kelas  pendugaan  linear  dalam  observasi  respon ̃ dan  sangat  tergantung  pada titik knot k 1 , k 2 , ..., k r .

## 5. Kesimpulan
Estimasi kurva regresi spline untuk data longitudinal dapat disajikan dalam bentuk:
̃̂( )                                                 ( ) ̃ = A ( ) ̃ ;
dengan y adalah variabel respon berorde 1 N  diberikan oleh:
1 2 ( , , , ) T r y y y y  .

## DAFTAR PUSTAKA
[1].   Besse,  P.C.,  Cardot,  H.,  dan  Ferraty,  F.  (1997),  “Simultaneous  Nonparametric Regression  of  Unbalanced  Longitudinal  Data”, Computational  Statistics  and  Data Analysis 24 , 255 – 270.

## Anna Islamiyati
[2].   Carroll, R.J., Hall, P., Apanasovich, T.V., dan Lin, X. (2004), “Histospline Method in Nonparametric  Regression Models  with  Application  to  Clustered/Longitudinal  Data”, Statistica Sinica 14 , 649 – 674.
[3].   Diggle,  P.J.K.,  Liang,  K.Y.,  dan  Zeger,  S.L.  (1995), Analysis  of  Longitudinal  Data, Clarendon Press, Oxford.
[4] Eubank,  R.  L.  (1988), Spline  smoothing  and  Nonparametrik  Regression ,  Marcel Dekker, New York.
[5] Green, P.J., dan Silverman, B.W. (1994), Nonparametrik Regression and Generalized Linear  Models (a Roughness Penalty Approach ), Chapman & Hall, New York.
[6] Islamiyati, Anna. (2009). Estimasi Spline untuk Data Longitudinal dengan Penalized Likelihood . Seminar Nasional Matematika IV ITS, Surabaya.
[7] Islamiyati,  Anna  (2012).  “Regresi  Nonparametrik  untuk  Data  Longitudinal”. Jurnal Matematika Statistika & Komputasi , Unhas, Makassar.
[8] Wahba,  G.  (1990), Spline  Model  for  Observational  Data ,  Society  For  Industrial  and Applied Mathematics, Philadelphia.
[9] Wu, H., dan Zhang, J.T. (2006), Nonparametric Regression Methods for Longitudinal Data Analysis , John Wiley & Sons, New Jersey.