Vol. 17, No. 2,  304-313,  January, 2021 DOI: 10.20956/jmsk.v17i2.11918
* Departemen Statistika, FMIPA, Universitas Hasanuddin, 1 idilislami4@gmail.com, 2 amran@science.unhas.ac.id, 3 andikresna.jaya@gmail.com **Departemen Teknik Sipil, Fakultas Teknik, Universitas Hasanuddin,
4 bambangbakri@gmail.com
This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial 4.0 International License

## Spatio-Temporal Model of Rainfall Data Using Kalman Filter and Expectation-Maximization Algorithm

## MODEL SPATIO TEMPORAL DATA CURAH HUJAN MENGGUNAKAN KALMAN FILTER DAN ALGORITMA EKSPEKTASI-MAKSIMISASI
Muh. Idil Islami *1 , Amran Rahim *2 , A. Kresna Jaya 3 , Bambang Bakri 4

## Abstract
Location  and  time  dimension  data  modeling,  also  known  as  spatial-temporal  data,  generally  has  high complexity.  This  study  analyzes  a  spatial-temporal  model  of  rainfall  data  and  climate  variables,  namely temperature,  and  humidity.  The  complexity  of  the  relationship  between  variables  and  parameters  in  the spatial-temporal  model  is  simplified  by  a  hierarchical  approach.  The  parameter  estimation  of  the  ratio- temporal  model  uses  the  Kalman  Filter  approaches  and  the  Expectation-Maximization  (EM)  method combined  with  the  bootstrap  method  to  calculate  the  standard  error  estimation.  Implementation  of  the spatial-temporal  model  on  rainfall  data  in  South  Sulawesi  Province  with  temperature  and  humidity  shows that there is a relationship between rainfall and temperature and humidity.
Keywords : Bootstrap Method, Expectation-Maximization Algorithm, Kalman Filter, Rainfall, Spatial-Temporal Model.

## Abstrak
Pemodelan  data  berdimensi  lokasi  dan  waktu  atau  dikenal  sebagai  data  spasial-temporal,  umumnya memiliki  kompleksitas  yang tinggi.  Penelitian ini  menganalisis pola data  curah  hujan  menggunakan  model spasial-temporal dan  hubungannya dengan variable  iklim  yakni temperatur dan  kelembaban.  Kompleksitas hubungan antara variabel dan parameter dalam  model  spasial-temporal disederhanakan  dengan pendekatan hierarki.  Estimasi  parameter  model  spasio-temporal  menggunakan  pendekatan  Kalaman  Filter  dan  metode Ekspektasi-Maksimisasi  (EM)  yang  dikombinasikan  dengan  metode  bootstrap  untuk  menghitung  standar eror penaksiran parameter. Implementasi model spasial-temporal pada data curah hujan di Provinsi Sulawesi Selatan  dengan  kovariat  temperatur  dan  kelembaban  udara  menunjukkan  bahwa  terdapat  hubungan  antara curah hujan dengan temperatur dan kelembaban .

## Jurnal Matematika, Statistika & Komputasi
Kata Kunci : Algoritma Ekspektasi-Maksimisasi, Curah hujan, Kalman Filter, Metode Bootstrap Model Spasial-Temporal .

## 1. PENDAHULUAN
Pola  curah  hujan  sangat  penting  peranannya  dalam  kegiatan  sosial-ekonomi  masyarakat. Informasi pola curah hujan dapat digunakan untuk menentukan waktu pelaksanaan kegiatan sosial- ekonomi yang dapat memberikan keuntungan dan mencegah kerugian yang mungkin terjadi. Oleh karena itu, pemahaman tentang pola curah hujan diperlukan dalam rangka untuk mengoptimalkan kegiatan sosial-ekonomi  masyarakat [1]. Pola curah hujan dapat dinyatakan dalam  model spasial maupun model temporal atau model spasial dan temporal.
Model  Spatio-Temporal  (ST)  adalah  model  yang  merepresentasikan  fenomena  alam  yang diobservasi  dalam  dimensi  spasial  dan  temporal  [4].  Analisis  datanya  mempertimbangkan dependensi spasial antar wilayah pengamatan dan korelasi satu atau beberapa lag waktu. Observasi secara  temporal  memiliki  kecenderungan  yang  tidak  independen  tapi  membentuk  sebuah  runtun waktu. Model ST mulai dikembangkan oleh Bilonick & Nicholas  pada tahun 1983 yang meneliti data  curah  hujan  dengan  3  pendekatan  yang  berbeda  yaitu,  pertama  fokus  pada  efek  temporal dengan  mengabaikan  efek  spasial,  kedua  fokus  pada  efek  spasial  dengan  mengabaikan  efek temporal dan analisis spasial temporal [10].

## 2.   TINJAUAN PUSTAKA

## Data Spasial
2.1.
Analisis  data  geostatistika  dilakukan  untuk  menaksis  nilai  peubah  di  suatu  lokasi  yang belum  diobservasi .  Nilai  dari  suatu  variabel  yang  diamati  dapat  dinyatakan  sebagai  peubah
acak spasial
dengan merupakan vektor lokasi [12]. Misalkan peubah acak didefinisikan  sebagai  peubah  acak  spasial di  lokasi dan  peubah  acak didefinisikan sebagai peubah acak spasial di lokasi dengan merupakan jarak antara dan . Jika mendekati  nol  maka  pengaruh  antara dan semakin  kuat  dan  jika membesar  maka pengaruh dan semakin lemah.

## Stasioner 2.2.
Kestasioneran data dapat diuji menggunakan uji Augmented Dickley-Fuller (ADF). Uji ADF dilakukan  untuk  mengetahui  adanya  akar  unit.  Jika  data  stasioner  maka  tidak  terdapat  akar  unit, maupun sebaliknya. Langkah-langkah uji ADF, adalah sebagai berikut:
1. Hipotesis
: (data time series tidak stasioner)
: (data time series stasioner)
2. Statistik uji
̂
(  ( ̂))
3. Kriteria pengujian
Tolak jika | |   | | Dickley-Fuller , dengan adalah parameter yang ditaksir, adalah jumlah data, adalah taraf signifikan dan adalah konstanta [9].

## Jurnal Matematika, Statistika & Komputasi

## Indeks Moran
2.3.
Perhitungan autokorelasi spasial menggunakan Indeks Moran dengan matriks pembobot 𝑾 berdasarkan perkalian silang adalah (Banerjee, 2004):
∑ ∑ ̅ ( ̅) ∑ ∑ ̅
Langkah pengujian menggunakan Indeks Moran adalah sebagai berikut : 1. Hipotesis
: (tidak ada autokorelasi antar lokasi)
: (ada autokorelasi antar lokasi)
2. Statistik uji
√
dimana:
[    ] ∑ ∑ ∑ ∑( )
∑ (∑ ∑ )

## 3. Kriteria pengujian
Apabila |    | maka ditolak.
diperoleh  dari  tabel  distribusi  normal [16].

## Proses Markov 2.4.
Proses Markov merupakan fenomena dimana kejadian masa datang hanya dipengaruhi oleh masa sekarang dan tidak dipengaruhi masa lalu [17].
| |

## Model Spatio-Temporal 2.5.
Model  Spatio-Temporal  yang  digunakan  dalam  penelitian  ini  mengadopsi  model  yang diteliti  oleh  Fassò  and  Cameletti  di  tahun  2017  [8].  Misalkan adalah  proses  Spatio- Temporal  yang  diamati  pada  waktu di  lokasi dan { } merupakan dataset pada waktu sebanyak lokasi . Misalkan { } adalah vektor berdimensi p dari proses temporal yang tidak terobservasi pada waktu dengan . Prosedur penaksiran parameter untuk
dilakukan tiga tahap sebagai berikut [5, 6]:
Muh. Idil Islami, Amran Rahim, A. Kresna Jaya, Bambang Bakri

## Jurnal Matematika, Statistika & Komputasi
dimana,
U t : Proses Spatio-Temporal yang tidak teramati : Galat pengukuran . Proses U t dipengaruhi oleh kovariat dan proses temporal laten sebagai berikut:
dimana,
ialah matriks kovariat yang diamati pada waktu di lokasi ialah parameter model regresi ialah proses latent temporal dengan lokasi tetap ialah  matriks pembobot dari untuk setiap lokasi spasial ialah galat model
Proses  temporal  laten  diasumsikan  bergantung  pada  proses  laten  satu  lag  sebelumnya  ditambah dengan galat inovasi sebagai berikut:
dimana,
ialah proses autoregressive berdimensi ialah matriks transisi
ialah galat inovasi

## Algoritma Ekspektasi-Maksimasi (EM)
2.6.
Algoritma  EM  bekerja  dengan  mendapatkan  MLE  dari  marjinal likelihood ,  secara  iteratif menerapkan dua tahap berikut [2, 13]:
1. Tahap-E
Menghitung  nilai  ekspektasi  bersyarat  dari  fungsi log-likelihood, sehubungan  dengan distribusi bersyarat dari jika diketahui dibawah estimasi parameter saat ini
, didefinisikan sebagai berikut: ( | )    [ | ]
2. Tahap-M
Tahap-M menemukan parameter yang memaksimalkan kuantitas di bawah ini:
( | )

## 2.7. Metode Bootstrap
Misalkan  peubah  acak 𝑥 , =  1,2,  …  , memiliki  peluang  1⁄ untuk  setiap 𝑥 dengan distribusi  empirik 𝐹 .  Sampel  bootstrap  didefinisikan  sebagai  sampel  acak  dengan  ukuran yang  diambil  dari 𝐹 ,  sehingga  diperoleh 𝐱 ⋆ =  ( 𝑥 1 ⋆ , 𝑥 2 ⋆ ,  …  , 𝑥 ⋆ ).  Notasi ⋆ pada 𝐱 ⋆ menyatakan  versi  resample  dari  peubah  acak 𝐱 .  Data  bootstrap 𝑥 1 ⋆ , 𝑥 2 ⋆ ,  …  , 𝑥 ⋆ , dapat dikatakan  sebagai  sampel  acak  dengan  ukuran yang  diambil  dengan  pengembalian  dari sebuah populasi sebanyak objek 𝐱 = ( 𝑥 1 , 𝑥 2 , … , 𝑥 ) [8].

## Jurnal Matematika, Statistika & Komputasi

## 3. METODE PENELITIAN

## 3.1. Sumber Data
Data yang digunakan dalam penelitian ini merupakan data cuaca yang dikumpulkan melalui satelit  di  24  titik  di  Sulawesi  Selatan  (Gambar  1)  dengan  koordinat  Longitude  ialah sampai  dengan
dan  Latitude  ialah
sampai  dengan ,  yang  diperoleh dari NOAA ( National Oceanic and Atmospheric Administration ) melalui  alamat website berikut: (https://www.avl.class.noaa.gov/saa/products/catSearch)
Gambar 1 : Lokasi pengukuran data curah hujan

## 3.2. Identifikasi Peubah
Peubah-peubah yang digunakan dalam penelitian ini sebagai berikut: a. Peubah respon, yaitu pengukuran curah hujan di beberapa titik di Sulawesi Selatan .
b. Peubah prediktor (kovariat), yang terdiri dari:
1. Peubah  prediktor,  yaitu  suhu  rata-rata  lokasi  pengamatan dan  kelembaban  lokasi pengamatan .
2. Peubah prediktor, koordinat lokasi pengamatan Longitude dan Latitude .

## 3.3 Tahap-Tahap Penelitian
1. Menentukan  estimator  parameter maximum likelihood menggunakan  algoritma  EM  dan Kalman filter
a. Tahap-E
Menghitung nilai ekspektasi bersyarat dari fungsi log-likelihood, sehubungan dengan distribusi  bersyarat  dari jika  diketahui dibawah  estimasi  parameter  saat  ini , didefinisikan sebagai berikut: ( | )    [ | ]
b. Tahap-M
Tahap-M menemukan parameter yang memaksimumkan persamaan berikut:
( | )
2. Menentukan  intensitas  curah  hujan  perbulan  di  setiap  lokasi  pada  setiap  tahun pengamatan
3. Simulasikan data observasi
4. Melakukan uji stasioner data di setiap titik lokasi
5. Melakukan uji korelasi spasial
Muh. Idil Islami, Amran Rahim, A. Kresna Jaya, Bambang Bakri

## Jurnal Matematika, Statistika & Komputasi
6. Menentukan fungsi likelihood
7. Melakukan pengujian normalitas menggunakan uji Shapiro-Wilk .

## 4. HASIL UTAMA
Untuk  membahas  hasil  yang  dicapai  dalam  paper  ini,  terlebih  dahulu  diuraikan  tentang Model ST dengan pendekatan metode Kalman Filter . Pada uraian ini ditunjukkan parameter model yang digunakan serta pembahasan tentang hasil penaksirannya menggunakan algoritma EM.

## 4.1. Metode Kalman
Estimasi state dan  parameter  dari  suatu state pada  waktu dengan  data pengukuran  sampai  waktu  ke didefinisikan  sebagai { } diperoleh  melalui algoritma  kalman  filter  dan  proses smoother .  Untuk
terjadi  proses  filtering, proses prediksi, dan proses smooth pada state [14, 15]. Nilai peluang bersyarat
| (4.1)
memuat  semua  informasi  mengenai state pada  waktu diberikan  data  pengamatan  sampai waktu  ke- .  Peluang  bersyarat  dalam  persamaan  (4.1)  diasumsikan  berdistribusi  Gaussian, sehingga  parameter  yang  diestimasi  adalah mean dan covariance .  Tahap  pemodelan  adalah sebagai berikut:
1. Proses filtering ̂ ̂ 𝐱 ̂ dimana, merupakan Kalman gain 2. Tahap smothering menggunakan persamaan berikut: ̂ ̂ ̂ ̂

## 4.2. Hasil Estimasi Model ST
Hasil estimasi menggunakan metode Kalman dan algoritma EM menggunakan hasil metode bootstrap untuk  membangkitkan  sampel  dari  parameter  hasil  estimasi  sebanyak  400  kali  dan menguji distribusinya menggunakan uji Shapiro-Wilk . Proses bootsrap juga menghasilkan Standar deviasi  residual  masing-masing  parameter.  Prosedur bootstrap ,  uji Shapiro-Wilk ,  dan  standar deviasi  residual  masing-masing  dilakukan  menggunakan  bantuan  RStudio  Versi  1.1.456  yang hasilnya ditampilkan pada Tabel 1.
Nilai  estimasi  parameter dalam  Tabel  1  menunjukkan  bahwa  intensitas  hujan  rata-rata ialah  sebesar  3,66  mm  tanpa  adanya  pengaruh  dari  besaran  faktor  suhu  rata-rata dan kelembaban  udara berdasarkan  model  ST  yang  digunakan.  Umumnya  interpretasi  hasil estimasi berkaitan dengan nilai estimasi parameter suhu rata-rata dan kelembaban udara.
Nilai  estimasi  suhu  rata-rata  menunjukkan  adanya  peningkatan  instensitas  hujan  di  suatu lokasi  seiring  dengan  meningkatnya  suhu  di  lokasi  tersebut.  Hal  ini  terjadi  karena  pada  lokasi dengan suhu yang tinggi  membuat pergerakan  angin banyak  menuju daerah tersebut.  Pergerakan angin  ke  daerah  yang  bersuhu  tinggi  dapat  membawa  kumpulan  awan  yang  menyebabkan intensitas curah hujan di daerah tersebut menjadi meningkat.
Muh. Idil Islami, Amran Rahim, A. Kresna Jaya, Bambang Bakri

## Jurnal Matematika, Statistika & Komputasi
Tabel 1: P- value uji Shapiro-Wilk , standar deviasi residual, dan interval kepercayaan
Parameter Nilai Estimasi p- value Standar Deviasi residual Batas Bawah Batas Atas 3,66 0,0010480 0,540205 2,93182 5,15395 0,0433 0,1135000 0,012392 0,01189 0,06013 -0,833 0,0000004 0,295193 -1,73718 -0,49189 0.752 0,0000017 0,046690 0,67398 0,86183 0,279 0,0597000 0,035568 0,23085 0,36763 0,939 0,2297000 1,246160 -0,62805 4,33195 0,098 0,1779000 0,004389 0,19064 0,20823 0,19 3,2 10 -38 0,009239 0,09542 0,10449 0,00019 2,6 10 -31 0,000085 0,00007 0,00049
Pada  nilai  estimasi  kelembaban  udara  menunjukkan  bahwa  peningkatan  kelembaban  di suatu lokasi berkaitan dengan penurunan intensitas hujan di lokasi tersebut. Hal ini sejalan dengan penelitian  Nasrullah,  dkk  [11]  yang  menunjukkann  bahwa  kelembaban  tinggi  cenderung  terjadi pada  bulan  September,  Oktober,  Maret,  Mei,  Juli  dan  Agustus  yang  merupakan  periode  musim kemarau. Adapun bulan November, Desember, Januari, April serta Juni merupakan periode waktu terjadinya  kelembaban  yang  rendah  dan  bersamaan  dengan  periode  musim  hujan  di  Propinsi Sulawesi-Selatan. Berdasarkan Tabel 1 nilai p- value dari uji Shapiro-Wilk terlihat bahwa estimasi parameter , dan berasal dari distribusi normal dengan p- value yang lebih besar dari 0,05.
Gambar 2 : Plot parameter bootstrap
Muh. Idil Islami, Amran Rahim, A. Kresna Jaya, Bambang Bakri

## Jurnal Matematika, Statistika & Komputasi
Gambar  2  menunjukkan  bahwa  prosedur  pembangkitan  sampel  dengan  metode  bootstrap untuk setiap parameter model menunjukkan bahwa asumsi distribusi normal dipenuhi. Hal tersebut ditunjukkan  dengan  hasil  uji Shapiro-Wilks yang  ditampilkan  pada  Gambar  3,  dimana  sebaran sampel  setiap  parameter  dapat  dihampiri  dengan  distribusi  normal.  Histogram  sampel  yang dibangkitkan  melalui  metode  Bootstrap  berbentuk  histogram  distribusi  normal.  Perbandingan sampel dan hasil estimasi parameter yang dinyatakan sebagai titik dalam Gambar 3 menunjukkan bahwa  keduanya  terletak  pada  suatu  garis  lurus.  Hal  ini  menunjukkan  bahwa  asumsi  distribusi normal dapat dipenuhi.
Gambar 3 : QQ Plot distribusi parameter dan

## Jurnal Matematika, Statistika & Komputasi

## 5. KESIMPULAN
Pemodelan  data  ST  menggunakan  model  Kalman  Filter  dengan  metode  estimasi  EM  dan metode  bootstrap  telah  digunakan  dalam  penelitian  ini.  Hasil  penelitian  menunjukkan  bahwa penggunaan  metode  bootstrap  dapat  menghasilkan  interval  kepercayaan  dari  estimasi  parameter menggunakan metode EM. Hal ini dapat membantu menghitung ukuran ketidakpastian penaksiran parameter. Implementasi model ST pada data curah hujan Provinsi Sulawesi Selatan menunjukkan penggunaan  metode  Kalman  Filter  dan  metode  Bootstrap  dapat  memberikan  hasil  yang  cukup baik. bahwa terdapat hubungan antara curah hujan,  temperatur, dan kelembaban udara. Intensitas curah hujan tinggi akan meningkat seiring dengan peningkatan suhu. Pergerakan angin ke daerah yang bersuhu tinggi dapat membawa kumpulan awan yang menyebabkan intensitas curah hujan di daerah tersebut menjadi meningkat.

## DAFTAR PUSTAKA
[1] Amran,  Nur  Iriawan,  Subiono,  Irhamah.,  2011. Model  Bayesian  Hirarki  Spatio- Temporal  Nonstasioner  Berbasis  Kopula. Surabaya:  Institut  Teknologi  Sepuluh November.
[2] Bilmes,  J.  A.,  1998. A  Gentle  Tutorial  of  the  EM  Algorithm  and  its  Application  to Parameter  Estimation  for  Gaussian  Mixture  and  Hidden  Markov  Models .  Retrieved November 2, 2016, from http://www.melodi.ee.washingto.edu/people/bilmes/mypapers/em.pdf
[3] Bilonick,  R.A.,  1983.  Risk  qualified  maps  of  hidrogen  ion  contentration  for  the  New York Stat area for 1966–1978. Atmospheric Environment , 2513–2524.
[4] Cressie, N. A., 1993. Statistics for Spatial Data. New York: John Wiley & Sons.
[5] Cressie,  N.,  &  Wikle,  C.,  2002.  Space-time  kalman  filter. Encyclopedia  of environmetrics , 2045-2049.
[6] Durbin,  J.,  &  Koopman,  S.,  2001. Time  series  analysis  by  state  space  methods. New York: Oxford University Press.
[7] Efron,  B.,  &  J.  Tibshirani,  R.,  1993. An  Introduction  to  the  Bootstrap. Washington: Chapman & Hall/Crc.
[8] Fasso, A., & Cameletti, M., 2017. A general spatio-temporal model for environmental data. Bergamo: GRASPA.
[9] Kharis,  M.  N.,  2014. Analisis  Peramalan  Pendaftaran  Siswa  Baru  Menggunakan Metode  Seasonal  ARIMA  dan  Metode  Dekomposisi. Jakarta:  Universitas  Islam  Negeri Syarif Hidayatullah.
[10] Mardia,  K.  A.,  1993.  Spatial-temporal  analysis  of  mulitvariate  environmental monitoring data. Multivariate Environmental Statistics , 347–386.
[11]
[12]
Nasrullah,  Ramli  R.,  Baharuddin,  Rosady  M.,  Nurul  J.,  Asniawaty  K.,  2015. Temperatur  dan  Kelembaban  Relatif  Udara Outdoor . Prosiding  Temu  Ilmiah  IPLBI , D045-D050.
Pfeiffer,  D.,  2008.  Spatial  Analysis  in  Epidemiologi.  New  York:  Oxford  University Press.
[13] Shumway,  R.  H.,  &  Stoffer,  D.  S.,  1982.  An  approach  to  time  series  smoothing  and forecasting using the EM algorithm. Journal of Time Series Analysis, Wiley Blackwell , 253-264.
[14] Vazquez, A., & Syversveen, A., 2006. The Ensemble Kalman Filter. Norwegia: Norsk Regnesentral.
Muh. Idil Islami, Amran Rahim, A. Kresna Jaya, Bambang Bakri

## Jurnal Matematika, Statistika & Komputasi
[15]  Welling, M., 2010. The Kalman Filter. California: California Institure of Technology.
[16] Wuryandari, T. D., 2014. Identifikasi Autokorelasi Spasial pada Jumlah Pengangguran di Jawa Tengah menggunakan Indeks Moran. Media Statistika , 1-10.
[17] Zucchini,  W.,  &  Mac  Donald,  I.,  2009. Hidden  Markov  Models  for  Time  Series-an Introduction Using R. London: Chapman & Hall.