Vol. 4, No.2, 90-96,  Januari  2008

## Ketaksamaan Gronwall
A. Wahidah A.K  , Kasbawati 

## Abstrak
Ada berbagai cara menentukan solusi persamaan diferensial biasa (PDB). Pada tulisan ini, kita menggunakan  ketaksamaan Gronwall untuk  menentukan  solusi  PDB  dengan  menghampiri perbedaan  solusi  dari  dua  persamaan  diferensial y(t) f (t, y(t))
 dan z(t) g(t, z(t))  .
PDB  yang  digunakan  adalah  PDB  yang  memiliki  kondisi  Lipschitz.  Ketaksamaan Gronwall ini dapat diperluas kegunaannya untuk menyelesaikan persamaan diferensial orde tinggi.
Kata Kunci : Persamaan  diferensial  biasa  (PDB),  solusi  PDB,  kondisi  Lipschitz, persamaan diferensial orde tinggi.

## 1. Pendahuluan
Ada  beberapa  versi  ketaksamaan Gronwall yang  digunakan  untuk  menentukan keberadaan solusi dari persamaan diferensial yang dilengkapi dengan kondisi awal dari Masalah Nilai  Awal  (MNA).  Pada  kasus  ini,  kita  akan  menentukan  keberadaan  solusi  dua  MNA  dengan menghampiri  perbedaan  solusi  atau  jarak  dari  kedua  solusi  MNA y(t) f (t, y(t))  dan z(t) g(t, z(t))  . Pada  persamaan  tersebut,  akan  diperhatikan  dua  perbedaan,  yakni  perbedaan kondisi awal antara PDB, dan perbedaan fungsi f dan g. Pada versi biasa ketaksamaan Gronwall digunakan  pada  fungsi  yang  sama g f  ,  namun  ketaksamaan  ini  tidak  dapat  diterapkan  pada kasus-kasus umum.

## 2.  Teorema Ketaksamaan Gronwall
Misal X ruang  Banach  dan U X  suatu  himpunan  buka  di X. Misal   f , g : a, b U X
  fungsi kontinu dan
  y, z : a, b U  memenuhi masalah nilai awal 0 0 y(t) f (t, y(t)); y(a) y ...(1.1) z(t) g(t, y(t)); z(a) z ...(1.2)    
Juga diasumsikan terdapat C 0  sedemikian sehingga
2 1 2 1 g(t, x ) g(t, x ) C x x ...(1.3)   
dan terdapat suatu fungsi kontinu     : a, b 0,    sedemikian sehingga
 Staf Pengajar pada Jurusan Matematika  Universitas Islam Negeri  Makassar
 Staf Pengajar pada Jurusan Matematika  FMIPA Universitas Hasanuddin Makassar ; e-mail : kasbawati_sains_98@yahoo.com
A. Wahidah A.K, Kasbawati
f (t, y(t)) g(t, y(t)) (t) ...(1.4)    Maka untuk   t a, b  , berlaku
t C t a
C t a C t a 0 0
a
y(t) z(t) e y z e e (s) ds ...(1.5)         
Teorema  di  atas  menyatakan  bahwa  jika  salah  satu  MNA  di  atas  memenuhi  kondisi  Lipschitz, maka ketaksamaan Gronwall dapat menjamin eksistensi solusi dari dua MNA pada interval waktu tertentu.  Kondisi  Lipschitz  ini  menjamin  MNA  tersebut  memiliki  solusi  tunggal.  Syarat  ini ditunjukkan oleh persamaan (1.3). Selain itu, kedua persamaan diferensial di atas saling berkaitan ( nearby ). Seberapa dekat kedua PDB itu bergantung dari pemilihan (t)  . Syarat ini ditunjukkan dari persamaan (1.4). Namun terdapat beberapa kelemahan pada teorema di atas, yakni
 Pada  persamaan  (1.4),  berlaku  ketaksamaan  sepanjang  solusi y(t) ,  sedangkan    solusi y(t) tersebut belum ketahui.
 Tidak ada asumsi bahwa f memenuhi kondisi Lipschitz. Akibatnya tidak bisa dijamin bahwa solusi untuk masalah nilai awal y(t) f (t, y(t))  dengan kondisi awal
0 y(a) y  tunggal.
Untuk itu, dengan mengubah persamaan (1.4) menggunakan hipotesis
x U f (t, x) g(t, x) (t) ...(1.6)      
Dengan  demikian,  dapat  dipilih (t)  yang  lebih  besar.  Namun,  semakin  besar (t)  maka semakin  memungkinkan error yang kecil pula. Pada kelemahan yang  kedua, ketaksamaan dapat digunakan  untuk  menghampiri  solusi y(t) dengan  cara  membandingkan  solusi y(t) dengan solusi  masalah  nilai  awal z(t) g(t, z(t))  ,  dengan  kondisi  awal  yang  sama  yaitu
0 y(a) y z(a)   .  Hal  ini  dikarenakan g(t, z(t)) telah  diketahui  memenuhi  kondisi  Lipschitz, sehingga g(t, z(t)) memiliki ketunggalan solusi. Dengan demikian, diperolehketaksamaan
t C t a
C s a a y(t) z(t) e e (s)ds ...(1.7)       
Berikutnya, jika diasumsikan bahwa ketaksamaan (1.6) terpenuhi, dan jika ada masalah nilai awal baru 1 1 y (t) f (t, y (t))  dengan 1 1 y (a) y  maka 1 1 y(t) y (t) y(t) z(t) z(t) y (t) ...(1.8)     
Dengan mensubstitusi persamaan (1.5) dan (1.7) ke (1.8), diperoleh ketaksamaan
t C t a C t a C s a 1 0 1
a
y(t) y (t) e y y 2e e (s) ds ...(1.9)         

Ketaksamaan  (1.9)  merupakan  versi  ketaksamaan Gronwall untuk  persamaan  diferensial  yang tidak  memenuhi kondisi Lipschitz, namun berada di dekat ( nearby ) suatu persamaan diferensial yang memiliki konstanta Lipschitz. Kata “ nearby ” ini ditandai dengan ukuran (t)  . .

## 2.1 Bukti Teorema Ketaksamaan Gronwall
Pada fungsi   1 C x : a, b X  , berlaku ketaksamaan d x(t) x(t) ...(1.10) dt  Akibatnya d y(t) z(t) y(t) z(t) dt f (t, y(t)) g(t, z(t)) f (t, y(t)) g(t, y(t)) g(t, y(t)) g(t, z(t))
(t) C y(t) z(t)    
         Akibatnya d y(t) z(t) C y(t) z(t) (t) dt     
Masing-masing sisi dikalikan dengan faktor Ct e  , sehingga   Ct Ct d e y(t) z(t) e (t) dt     
kedua sisi diintegralkan dari a ke t , diperoleh
t Ct Ca Cs 0 0 a e y(t) z(t) e y z e (s)ds         
Masing-masing sisi dikalikan dengan Ca e  , diperoleh
  t C s a C( t a ) C( t a ) 0 0 a y(t) z(t) e y z e e (s)ds          
Ketaksamaan di atas ekuivalen dengan ketaksamaan (1.5).
Akibat 1.4 .
Misal  X  ruang  Banach  dan U X  himpunan  buka  di  X.  Misal   f : a, b U X   fungsi kontinu dan   y, z : a, b U  memenuhi masalah nilai awal 0 0 y(t) f (t, y(t)); y(a) y ...(1.11) z(t) g(t, z(t)); z(a) z ...(1.l2)    
Diasumsikan terdapat konstanta C 0  sedemikian sehingga memenuhi
2 1 2 1 f (t, x ) f (t, x ) C x x ...(1.13)   
Maka untuk   t a, b  berlaku
C t a 0 0 y(t) z(t) e y z ...(1.14)    
Bukti : Andaikan f g  ,  berdasarkan  teorema  Ketaksamaan  Gronwall  pada  persaman  (1.1)  ,  maka (t) 0   . Selanjutnya, (t) 0   disubstitusi ke ketaksamaan (1.5), akibatnya diperoleh
C t a 0 0
y(t) z(t) e y z    
2.2 Ketaksamaan Gronwall pada Persamaan Diferensial Orde Tinggi
Pandang masalah nilai awal orde th n  berikut
    (n ) (1) (n 1) (n )
(1) (n 1) y (t) f t, y(t), y (t),..., y (t) ...(1.15) z (t) g t, z(t), z (t),..., z (t) ...(1.16)    
Dengan kondisi awal
(1) ( n 1) 0 1 n 1 (1) ( n 1) 0 1 n 1
y(0) y , y (0) y ,..., y (0) y z(0) z , z (0) z ,..., z (0) z       
  
Persamaan (1.15)-(1.6) dapat direduksi ke dalam bentuk persamaan orde pertama. Misal
0 (1) * 1 (2)
(1) * 2
(n ) (n 1) 1 (n 1) * n 1 y(t) x y (t) y (t) x
y (t) y (t) x
y (t) y (t) f (t, y(t), y (t),..., y (t)) x        
  
atau dapat dituliskan
(1) (n 1) y(t) y (t) Y(t) y (t)     
    
 
    dengan 1 2 n 1 0 1 n 1 x x F(t, Y(t)) x f (t, x , x ,..., x )    
              
dengan  kondisi  awal   T 0 0 1 n 1 Y y , y ,..., y   .  Perilaku  yang  sama  juga  diterapkan  pada persamaan  (1.15),  akibatnya  diperoleh  dua  masalah  nilai  awal  orde  pertama  untuk  vektor Y(t) dan Z(t)
   
0 0 Y(t) F t, Y(t) ; Y(0) Y ...(1.17) Z(t) G t, Z(t) ; Z(0) Z ...(1.18)    
Apakah  teorema  ketaksamaan Gronwall dapat  diterapkan  untuk  kedua  persamaan  vektor  orde pertama (16)-(17).
Misal  X  ruang  Banach  dan U X  suatu  himpunan  buka  di  X.  Misal
 
F, G : a, b U X   fungsi kontinu dan   Y, Z : a, b U  memenuhi masalah nilai awal (16)- (17).
Pilih C 0  sedemikian sehingga
2 1 2 1 G(t, X ) f (t, X ) C X X ...(1.19)    Selanjutnya pilih fungsi     : a, b 0,    sedemikian sehingga F(t, Y(t)) G(t, Y(t)) (t) ...(1.20)   
Pada persamaan vektor juga berlaku ketaksamaan d X(t) X(t) dt  , maka d Y(t) Z(t) Y(t) Z(t) dt F(t, Y(t)) G(t, Z(t)) F(t, Y(t)) G(t, Y(t)) G(t, Y(t)) G(t, Z(t))
(t) C Y(t) Z(t)             
Akibatnya
       
Ct Ct t Ct Ca Ct 0 0 a C t a 0 0 t C t a C s a a d Y(t) Z(t) C Y(t) Z(t) (t) dt d e Y(t) Z(t) e (t) dt e Y(t) Z(t) e Y Z e (s)ds Y(t) Z(t) e Y Z e e (s)ds               
     
      
 

## 
Dengan demikian kita dapat mengatakan bahwa ketaksamaan Gronwall juga dapat diaplikasikan ke persamaan diferensial orde tinggi.
2.3  Aplikasi Ketaksamaan Gronwall pada PDB Orde Satu
Diberikan Masalah Nilai Awal pada interval waktu 0.01 t 10   ,
A. Wahidah A.K, Kasbawati
z 1 y(t) f (t, y(t)) ; y(0.01) 0 ...(1.21) y 2 z(t) g(t, z(t)) e ; z(0.01) 1 ...(1.22)        
Akan ditunjukkan apakah teorema ketaksamaan Gronwall berlaku pada kedua masalah nilai awal yang diberikan.
Pilih 1 C 0 2   , dan ambil 1 2 x , x U  sedemikian sehingga
    2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 1 2 2 1 x 2 x 2 1 1 x 2 x 2 x 2 x 2 x x x 2 x 2 x 2 x 2
1 x x 2
                 
Dengan demikian persamaan f (t, y(t)) memenuhi kondisi Lipschitz.
Berikut akan ditunjukkan  kedua masalah nilai awal (20)-(21) saling berdekatan. Pilih k (t) t   dengan k 1  sedemikian sehingga,
z z z log( t ) 3 log( t )
1 g(t, z(t)) f (t, z(t)) e z 2 1 e z 2 ke ke k ke t          
       Jadi, g(t, z(t)) f (t, z(t)) (t)    .  Dengan  demikian  masalah  nilai  awal  (1.20)-(1.21)  saling berdekatan ( nearby ).
Berikut, akan diselidiki apakah jarak kedua solusi MNA di atas terpenuhi oleh teorema ketaksamaan Gronwall. d y(t) z(t) y(t) z(t) dt f (t, y(t)) g(t, z(t)) f (t, y(t)) g(t, y(t)) g(t, y(t)) g(t, z(t)) (t) C y(t) z(t) k 1 y(t) z(t) t 2
               
Akibatnya,
d 1 k y(t) z(t) y(t) z(t) dt 2 t     Diperoleh
1 10 4,99 2 5 2 0.01 e y(10) z(10) ke dt e t     
Karena solusi dari kedua MNA (20)-(21) adalah
2 3 3 y(t) t 0.0001 ...(1.23) 2 z(t) log(t) 3 ...(1.24)        
  Akibatnya 3 y(10) z(10) 2.0821 6.664 10 k 12.1217     
dengan k 1  .  Ini  menunjukkan  teorema  ketaksamaan Gronwall berlaku  pada  kedua  MNA  di atas.

## 3.  Kesimpulan
Ketaksamaan Gronwall menjamin  keberadaan  solusi  dari  dua  MNA,  baik  yang fungsinya berbeda dengan kondisi awalnya sama, maupun fungsi yang sama  dengan kondisi awal berbeda.  Demikian  juga  ketaksamaan Gronwall dapat  menjamin  keberadaan  solusi  persamaan diferensial orde tinggi.

## Daftar Pustaka
[1] O.  Neswan,  2006,  “Ketunggalan  solusi”, Literatur  Persamaan  Diferensial  Biasa ,  Jurusan Matematika FMIPA ITB, Bandung.