## APLIKASI ALGORITMA FUZZY C-MEANS CLUSTERING UNTUK PENGELOMPOKKAN LULUSAN
Abdul Aziz, S.Si, M.Si.

## Abstrak
Teknik Fuzzy  c-means  clustering termasuk  dalam  salah  satu  keluarga  clustering.  Seperti teknik  clustering  lainnya,  tekhnik  inipun  mencoba  mengelompokkan  sejumlah  objek.  Pada  artikel ini  dengan  menggunakan    teknik fuzzy  c-means  clustering akan  mencoba  mengelompokan  objek para lulusan yang akan dibagi kedalam 3 cluster, adapun besar pangkat bobot dipilih m = 2, iterasi maksimum pada pelaksanaan perhitungan adalah 10, criteria penghentian iterasi adalah bila selisih antara  2  solusi  yang  berururtan  telah  bernilai  kurang  dari  10 -5 ,  hasil  dari  perhitungan  adalah didapatkannya pusat cluster atau center, derajat keanggotaan atau markis U serta nilai fungsi tujuan atau ObjFcn. Hasil klasifikasi ini diharapkan  dapat memberikan gambaran mengenai lulusan suatu program  studi  atau  perguruan  tinggi  berdasarkan  kualitas  lulusan.  dinyatakan  oleh  IPK  dan  lama studi
Kata kunci: Fuzzy c-means clustering, pelompokan, lulusan

## 1. Pendahuluan
Lulusan  sebagai  output  terakhir    dari  sebuah  pergururn  tinggi,  biasa  diberi  predikat kelulusan.  Dasar  dari  pemeberian  predikat  adalah  indeks  prestasi  kumulatif  (IPK).  Klasifikasi predikat  kelulusan  adala  sebagai  berikut:  IPK  2,  25  –  2,75  memuaskan,  2,  76  –  3,  50  sangat memuaskan, 3, 51  – 4, 00 terpuji. Selain  IPK untuk mengukur  tingkat  keberhasilan lulusan dalam menyerap  ilmu  pengetahuan  adalah  lama  studi.  Semakin  tinggi  IPK  dan  semakin  kecil  lama  studi lulusan  maka  akan  semakin  baik,  sehingga  jika  IPK  dan  lama  studi  dijadikan  sebagai  dasar klasifikasi,  maka  dapat  mengukur  tingkat  keberhasilan  dan  kecepatan  lulusan  menyelesaikan studinya.  Hasil  klasifikasi  ini  diharapkan  dapat  memberikan  gambaran  mengenai  lulusan  suatu program  studi  atau  perguruan  tinggi  berdasarkan  kualitas  lulusan.  dinyatakan  oleh  IPK  dan  lama studi.
Bagaimanakah klasifikasi atau pengelompokkan  lulusan itu akan dilakukan? Teknik Fuzzy c-means clustering termasuk dalam salah satu keluarga clustering. Seperti teknik clustering lainnya, tekhnik inipun mencoba mengelompokkan sejumlah objek. Dalam tekhnik clustering, untuk istilah “kelompok”  digunakan  kata  “cluster”.  Pengelompokkan  yang  diharapkan  adalah  yang  memenuhi sifat sedemikian rupa sehingga objek-objek dalam suatu cluster “semirip” mungkin satu sama lain, dan “seberbeda” munkin dengan objek-objek yang tidak berada pada cluster tersebut.
Pada umumnya teknik clustering, relasi yang ada diantara suatu objek dengan suatu cluster hanya  berada  pada  2  kemungkinan  ekstrim.  Kemungkinan  ekstrim  pertama,  suatu  objek  adalah anggota penuh dari suatu cluster, atau derajat keanggotaan suatu objek terhadap suatu cluster adalah 100%.  Kemungkinan  ekstrim  kedua,  suatun  objek  sama  sekali  bukan  anggota  dari  suatu  cluster, atau  derajat  keanggotaan  suatu  objek  terhadap  suatu  cluster  adalah  0  %.  Tidak  demikian  halnya pada tekhnik fazzy c-means clustering , pada tekhnik ini reaksi yang ada diantara suatu objek dengan suatu  cluster  dimungkinkan  pula  untuk  berada  diantar  kedua  ekstrim  tersebut,  artinya  relasi  suatu objek  terhadap  suatu  cluster  dimungkinkan  berderajat  keanggotaan  0%  atau  100%  atau  bahkan diantaranya.
Pada  artikel  ini  dengan  menggunakan    teknik fuzzy  c-means  clustering akan  mencoba mengelompokkan objek para lulusan. Adapun masalah yang akan dibahas dalam artikel ini adalah: 1. Bagaimana hasil pengelompokan lulusan dengan menggunakan algoritma Fazzy C-Means Clustering ?
2. Dimana titik pusat cluster pada Fazzy C-Means Clustering pada pengelompokan lulusan?
Teknik  yang  digunakan  dalam  memecahkan  masalah  ini  adalah  dengan  menggunakan teknik Fazzy C-Means Clustering. Dengan jenis data yang diambil adalah data IPK dan lama studi dari keempat puluh lulusan Universitas Islam Negeri (UIN) Malang semester ganjil tahun akademik 2005/2006.

## 2. Teknik Fuzzy c-means clustering
Bentuk umum dari masalah clustering adalah sebagai berikut:
 Terdapat n buah objek , yaitu 0 1, 0 2 ,…,0 k,…, 0 n,  Objek  ke-k  (0 k )  dirincikan  oleh  p  buah  atribut,  yang  dinyatakan  dalam  bentuk  vector  x k = (x k1 x k2 …x kj… x kp ) dengan x kj menayatakan nilai atribut ke-j dari objek ke-k(0 k ),
 Berdasarkan  ke-p  buah  atribut  yang  dimiliki  setiap  objek,  ke-n  buah  objek  ini  akan dikelompokkan kedalam c buah cluster, yaitu cluster-1, cluster-2, …, cluster-c,
 Yangbharus ditentukan adalah besaran:
 Matriks  U  =  (U ik ) cxn, yaitu  matriks  dengan  sel  pada  baris  ke-i  dan  kolom  ke-k menyatakan  besarnya  derajat  keanggotaan  0 k terhadap  cluster-i,  sehingga  objek-objek se-cluster akan semirip mungkin satu sama lain, dan seberbeda mungkin dengan objek- objek yang tidak secluster.
 Besaran vector baris yang terdiri atas p kolom, v i = (v i1 v i2 … v ij … v ip ), dengan elemen meneyatakan  nilai-nilai  rata-rata  dari  atribut  ke-j  yang  dimiliki  oleh  setiap  objek  yang merupakan anggota cluster ke-i
Adapun range dari indeks-indeks diatas adalah: i = 1, 2,…, c: j = 1, 2, …, p dan k = 1, 2, …, n.
Bila  masalah  umum  diatas  dimodelkan  kedalam  masalah fuzzy  c-means  clustering maka akan diperoleh masalah optimasi terkendala ( constrained optimization ) berikut ini (Bezdek, 1981):
 Diberikan n buah vector baris x k = (x k1 x k2 ... x kj … x kp )
 Harus ditentukan dua besaran berikut:
* Matriks U = (U ik ) cxn , dan * Vector baris v i = (v i1 v i2 … v ij … v ip )
 Sehinggga niali fungsional berikut menjadi minimum:
  2 i k n 1 k c ik v x u v) , J(      m i  (1)
Dalam  hal  ini  m  [0,  1]  disebut  pangkat  bobot  (dalam  penelitian  ini  nilai  yang  umum digunakan , yaitu m = 2 )
 Dan kendala-kendala berikut terpenuhi:
U ik  [0,1] (2)
, 1 u c 1 i ik    untuk setiap k = 1, 2, …, n (3)
0 < , n u n 1 k ik    untuk setiap k = 1, 2, …,c (4)
Pada persamaan (1), besaran i k v x  menyatakan jarak antara atribut dari objek ke-k (x k ) terhadap “titik pusat” dari cluster-i (v i ). Mengingat elemen-elemen vector v menyatakan nilai rata- rata  atribut dari semua objek menjadi anggota cluster i, maka vector ini merupakan prototype atau representasi dari seluruh objek yangmenjadi anggota cluster-i. semakin kecil nilai i k v x  , maka semakin  mirip  atribut  dari  objek  ke-k  dengan  proportype  (representas)  dari  cluster-I,  sehingga semakin  pantas  objek  ini  untuk  menjadi  anggota  cluster-i,  yang  berarti  semakin  besar  nilai  u ik . Sebaliknya semakin besar nialai i k v x  maka semakin kecil nilai u ik .
Pada  kendala  (2),  nilai  keanggotaan  objek  ke-k  (o k )  berada  pada  selang  0  sampai  1.  pada kendala  (3),  untuk  setiap  objek,  jumlah  dari  seluruh  nilai  derajat  keanggotaannya    adalah  1.  pada kendala  (4), setiap objek pasti menjadi anggota salah satu  cluster, namun  untuk setiap objek tidak mungkin menjadi anggota dari seluruh cluster.
Penerapan teknik fazzy c-means clustering ini dapat diuraikan sebagai berikut. Terdapat 40 lulusan sebagai sample penelitian, dan setiap lulusan ini dirincikan oleh dua jenis data (atribut) yang dimilikinya,  yaitu  IPK  (berskala  0-4)  dan  lama  studi  (dalam  tahun).  Ke-40  lulusan  ini  akan dikelompokkkan kedalam sekian buah cluster. Kedua atribut dari setiap lulusan inilah yang menjadi dasar pengelompokkan. Pada teknik fazzy c-means clustering terlebih dahulu menentukkan besaran banyaknya  jumlah  cluster  yang  diharapkan.  Dari  hasil  akhir  upaya  pengelompokkan  diharapkan dapat  mengetahui  derajat  keanggotaan  seorang  lulusan  tertentu  terhadap      suatu  cluster  tertentu, Lulusan yang mana sajakah yang akan menjadi anggota dari suatu cluster tertentu, Setelah cluster- cluster dari pada lulusan terbentuk bagaimana gambaran dari cluster-cluster tersebut.

## 3. Data Nilai IPK Lulusan
Data yang terambil disajikan pada tabel berikut:
No sampel IPK (X i ) Lama Studi (Y i ) 1 2.75 5.50 2 2.76 5.50 3 2.60 5.83 4 2.83 5.83 5 2.81 5.83 6 2.49 6.17 7 2.55 6.17 8 2.53 6.17 9 2.60 6.83 10 2.45 7.25 11 3.49 4.85 12 3.42 4.83 13 3.11 5.17 14 2.76 5.17 15 2.63 5.83 16 2.62 6.42 17 2.63 6.42 18 2.62 6.67 19 3.37 4.17 20 2.96 4.50
21 2.79 4.50 22 3.21 4.83 23 3.05 4.83 24 2.77 6.25 25 3.13 5.42 26 3.72 4.25 27 3.10 5.17 28 2.92 5.42 29 3.12 5.42 30 2.94 5.42 31 2.98 5.42 32 2.86 3.67 33 2.93 7.83 34 2.67 6.83 35 2.84 5.83 36 2.77 4.83 37 2.37 8.17 38 2.72 4.17 39 2.84 5.25 40 2.68 5.33
Tabel 1. IPK dan lama studi 40 lulusan (sumber: Ernawati, 2003)
Data IPK dan lama studi dari setiap mahasiswa dapat dinyatakan sebagai vector baris yang terdiri  atas  2  kolom.  Sebagai  contoh  untuk  mahasiswa  ke-1,  ke  dua  data  ini  dapat  dinyatakan sebagai vektor x 1 = (x 11 x 12 ) = (2.75   5.50), x 2 = (2.76   5.50), …, x 40 = (2.68   5.33) Ke-40  lulusan  yang  akan  menjadi  objek  dari teknik  fuzzy  c-means  clustering dapat dikelompokkan menjadi c cluster, dengan c = 1, 2,…, 40. mengelompokkan 40 lulusan menjadi 1 atau  40  cluster  tidak  menimbulkan  kesulitan  untuk  mengidentifikasi  lulusan  yang  mana  sajakah yang  akan  menjadi  anggota  cluster-cluster  tersebut.  Tidak  demikian  halnya  bila  ke-40  lulusan  itu hendak  kita  kelompokkan  kedalam  2,  3,  …,  38  cluster.  Pada  bagian  ini  ke-40  lulusan  ini  akan dikelompokkan menjadi 3 cluster.

## 4. Hasil Pengelompokan
Misalkan  ke-40  lulusan    akan  dikelompokkan  kedalam  3  cluster  maka  nilai  c  adalah  3. Misalkan data pada tabel sebelumnya disimpan diberi nama “DATA.dat”dan disimpan pada drive C,  untuk  mengolah  data  ini  digunakan  dengan  bantuan  software  MATLAB  6.5,  dengan  perintah sebagai berikut:
>> X = load(‘c:\DATA.dat’); >> [center,U,ObjFcn] = fcm(X,3,[2,10,10^-5])
Perintah “X =  load(‘c:\DATA.dat’)” akan membaca file dengan nama  “DATA.dat” dan  komputer akan  membacanya  dalam  variabel  X.  Perintah  “[center,U,ObjFcn]  =  fcm(X,3,[2,10,10^-5])”  akan memasukkan nilai variabel X kedalam fungsi fcm  (fuzzy c-means) dan data pada  variabel  ini akan dibagi  kedalam  3  cluster,  adapun  besar  pangkat  bobot  dipilih  m  =  2,  iterasi  maksimum  pada
pelaksanaan  perhitungan  adalah  10,  criteria  penghentian  iterasi  adalah  bila  selisih  antara  2  solusi yang  berururtan  telah  bernilai  kurang  dari  10 -5 ,  hasil  dari  perhitungan  adalah  didapatkannya  pusat cluster atau center, derajat keanggotaan atau markis U serta nilai fungsi tujuan atau ObjFcn . Setelah kedua perintah diberikan , didapat 3 bagian hasil berikut ini
Hasil pertama , yaitu hasil perhitungan nilai fungsional, sebagai berikut:
Iterasi count = 1,obj.fcn = 16.098602 Iterasi count = 2,obj.fcn = 12.126401 Iterasi count = 3,obj.fcn = 10.444322 Iterasi count = 4,obj.fcn = 9.553445
Iterasi count = 5,obj.fcn = 8.984033 Iterasi count = 6,obj.fcn = 8.188539
Iterasi count = 7,obj.fcn = 7.629264 Iterasi count = 8,obj.fcn = 7.366269 Iterasi count = 9,obj.fcn = 7.249556 Iterasi count = 10,obj.fcn = 7.201554
Interpretasinya,  software  MATLAB  6.5  memerlukan  iterasi  10  kali  sebelum  memperoleh solusi optimal bagi nilai fungsional J(U,v) sebesar 7.201554.
Hasil kedua, yaitu hasil perhitungan dari nilai-nilai v ij , sebagai berikut:
Center = 2.7173 7.0516 2.7660 5.7233 3.0681         4.6110
Nilai-nilai  ini  merupakan  nilai  dari  “koordinat”  titik  pusat  ketiga  cluster  dan  memberikan  garis besar citra tiap cluster:
 Untuk cluster-1,  “koordinat” dari titik pusat cluster ini adalah v 1 = (2.7173  7.0516), yang arti  fisisnya,  cluster  1  akan  beranggotakan  lulusan    yang  dengan  rata-rata  IPK  2.7173 dan rata-rata lama lulus 7.0516 tahun;
 Untuk  cluster-2,    “koordiat”  dari  titik  pusat  cluster  ini  adalah  v 2 =  (2.7660    5.7233),  yang arti  fisisnya,  cluster  3  akan  beranggotakan  lulusan    yang  dengan  rata-rata  IPK  2.7660 dan rata-rata lama lulus 5.7233 tahun; sedangkan
 Untuk  cluster-3,    “koordiat”  dari  titik  pusat  cluster  ini  adalah  v 3 =  (3.0681    4.6110),  yang arti  fisisnya,  cluster  3  akan  beranggotakan  lulusan    yang  dengan  rata-rata  IPK  2.7660 dan rata-rata lama lulus 5.7233 tahun Dari hasil perhitungan dari nilai-nilai u ik didapat pola yang menarik, bahwa semakin tinggi nilai IPK seorang alumni, semakin singkat masa studinya.
Bagian ketiga , yaitu hasil perhitungan dari nilai-nilai u ik , sebagai berikut:
U =
Columns 1 through 7
0.0193        0.0192      0.0246      0.0101      0.0087 0.0513   0.2188
0.9285        0.9284      0.9536      0.9801      0.9828
0.9052   0.7159 0.0522        0.0523      0.0218      0.0098      0.0084 0.0435   0.0653
Columns 8 through 14
0.2231      0.2091      0.8979      0.7622      0.0286 0.0092  0.0470 0.7102      0.7285      0.0817      0.1699      0.1282
0.0510   0.5441
0.0666      0.0624      0.0204      0.0679      0.8433 0.9398   0.4089 Columns 15 through 21 0.0192      0.5198      0.5197      0.8306      0.0288 0.0036   0.0128 0.9637      0.4190      0.4193      0.1404      0.0905 0.0154   0.0558 0.0172      0.0611      0.0610      0.0290      0.8806 0.9811   0.9314 Columns 22 through 28 0.0122      0.0090      0.2810      0.0558      0.0505 0.0463   0.0353
0.0633      0.0516      0.6537      0.7041      0.1450
0.4089   0.8253 0.9246   0.9394   0.0653   0.2401   0.8045  0
.5448   0.1409
Columns 29 through 35 0.0547      0.0367      0.0401      0.0623      0.8274 0.9508   0.0109
0.7104      0.8148      0.7946      0.1690      0.1207
0.0396   0.9783 0.2349      0.1485      0.1653      0.7687      0.0519 0.0096   0.0107 Columns 36 through 40 0.0231   0.7533   0.0325   0.0449   0.0421 0.1430   0.1682   0.1118   0.6374   0.7708
0.8339   0.0785   0.8556   0.3177   0.1871
Nilai-nilai  ini  seperti  telah  diungkapkan  pada  tinjauan  pustaka,  menggambarkan  derajat keanggotaan suatu objek (dalam hal ini lulusan) terhadap ketiga cluster. Untuk lulusan ke-1,2,…, 40 didapatkan vector berikut (lihat kolom ke-1,2,…, 40):
u 11 0.0193 u 12 0.0192 u 1,40 0.0421 u 21 = 0.9285, u 22 = 0.9284  …, u 2,40 = 0.7708 u 31 0.0522 u 32 0.0523 u 3,40 0.1871
Bagaimana interpretasi dari besaran-besaran ini? Tinjau misalnya untuk lulusan ke-40, ia dapat
- menjadi anggota cluster-1 dengan derajat keanggotaan 0.0421
- menjadi anggota cluster-2 dengan derajat keanggotaan 0.7708, atau
- menjadi anggota cluster-3 dengan derajat keanggotaan 0.1871 Namun karena derajat keanggotaan terbesarnya adalah terhadap cluster-2, maka lulusan ke-
40 ini akan dimasukkan kedalam cluster-2
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 X Y Hasil selengkapnya pengelompokan ke-40 lulusan  kedalam 3 cluster adalah:
- cluster-1 beranggotakan lulusan nomor 10, 11, 16, 17, 18, 33, 34 dan 37,
- cluster-2  beranggotakan  lulusan  nomor  1,2,3,4,5,6,7,8,9,14,  15,  24,  25,28,29,  30,  31,  35, dan 40,
- cluster-3 beranggotakan lulusan nomor 12, 13, 19, 20,21,22,23, 32, 36 dan 38.
a. Hasil selengkapnya pengelompokkan 40 lulusan ke dalam 1-10 cluster.
Disajikan dalam bentuk tabel, pada tabel 2
Grafik.  Hasil Akhir Clustering untuk 40 lulusan yang dikelompokkan dalam 3 cluster
Keterangan gambar:
Dari grafik diatas dapat kita lihat bahwa titik hitam itu merupakan nilai dari “koordinat” titik pusat ketiga cluster. Yang terbagi menjadi tiga kelompok dan masing-masing kelompok mempunyai satu titik pusat (center).
Tabel 2. Hasil Akhir Clustering untuk 40 lulusan yang dikelompokkan kedalam 1,2, …, 10 Cluster
Jml
Clus ter
Anggota cluster ke- 1 2 3
4 5 6 7 8 9 10
10 1,2,40 19,26 10,11,18, 34 14,39 33,37 12,13,20, 22,23,36 3,4,5,6 15,35 25,27,28, 29,30,31 21,32, 38 7,8,9 16,17, 24 9 10,11,18,
34 3,6,15 1,2,25,27 , 28,29,30, 31
4,5,35
12,13,20, 21,22,23, 26,36
14,39,40 7,8,9,16,
17,24 33,37
19,32, 38
8 11,33,37 32 10,16,17,
18,34 20,21,36, 38 12,13,22,
23
1,2,14,
25,27,28,
29,30,31, 39,40 3,4,5,6,7, 8,9,15, 24,35 19,26 7 10,16,17, 18,34 21,32,38 1,2,14,25
, 27,28,30,
31,39,40 12,13,22, 23,36 3,4,5,6,7,
8,9,15,
24,35 19,26 11,33,37
6 12,13,20, 21,22,23,
36 3,4,5,6,7, 8,9,15, 24,35 1,2,14, 25,27,28, 29,30,31, 39,40 10,16,17, 18,34 11,33,37 19,26,32, 38 5 1,2,3,4,5,
6,14,15, 22,25,28, 29,30,31,
39,40 12,13,20,
22,23,27,
36 11,33,37 7,8,9,10, 16,17,18, 24,34 19,21,26, 32,38
4 12,13,19, 20,21,22,
23,26,32, 36,38 3,6,7,8,9,
10,15,16, 17,18,24, 34
1,2,4,5,
14,25,27, 28,29,30, 31,35,39, 40
1,33,37
3 10,11,16, 17,18,33,
34,37
1,2,3,4,5,
6,7,8,9,14,
15, 24,25,28, 29,30,31, 35,39,40 12,13,19, 20,21,22, 23,26,27, 32,36,36
2 1,2,12,13,
14,19,20, 21,22,23, 25,26,27, 28,29,30, 31,32,36, 38,39,40
1 1-.40

## 4. Kesimpulan
Dari hasil yang telah diperoleh maka dapat diambil kesimpulan bahwa:
1.  Hasil perhitungan dari nilai-nilai u ik Hasil selengkapnya pengelompokan ke-40 lulusan  kedalam 3 cluster adalah:
 cluster-1 beranggotakan lulusan nomor 10, 11, 16, 17, 18, 33, 34 dan 37,
 cluster-2  beranggotakan  lulusan  nomor  1,2,3,4,5,6,7,8,9,14,  15,  24,  25,28,29,  30,  31,  35, dan 40,
 cluster-3 beranggotakan lulusan nomor 12, 13, 19, 20,21,22,23, 32, 36 dan 38.
2.  Hasil perhitungan dari nilai-nilai v ij , sebagai berikut:
Center = 2.7174 7.0516 2.7661 5.7233 3.0681         4.6110
Nilai-nilai  ini  merupakan  nilai  dari  “koordinat”  titik  pusat  ketiga  cluster  dan  memberikan  garis besar citra tiap cluster:
 Untuk cluster-1,  “koordinat” dari titik pusat cluster ini adalah v 1 = (2.7173  7.0516), yang arti  fisisnya,  cluster  1  akan  beranggotakan  lulusan    yang  dengan  rata-rata  IPK  2.7173 dan rata-rata lama lulus 7.0516 tahun;
 Untuk  cluster-2,    “koordiat”  dari  titik  pusat  cluster  ini  adalah  v 2 =  (2.7660    5.7233),  yang arti  fisisnya,  cluster  3  akan  beranggotakan  lulusan    yang  dengan  rata-rata  IPK  2.7660 dan rata-rata lama lulus 5.7233 tahun; sedangkan
 Untuk  cluster-3,    “koordiat”  dari  titik  pusat  cluster  ini  adalah  v 3 =  (3.0681    4.6110),  yang arti  fisisnya,  cluster  3  akan  beranggotakan  lulusan    yang  dengan  rata-rata  IPK  2.7660 dan rata-rata lama lulus 5.7233 tahun

## Daftar Pustaka
Kusumadewi,  Sri.  2004. Aplikasi  Logika  Fuzzy  Untuk  Pendukung  Keputusan .  Yogyakarta.    Graha ilmu.
Kusumadewi, Sri. 2002. Analisis Desain System Fuzzy Menggunakan Tool box Matlab. Yogyakarta. Graha ilmu