Vol. 3, No.2, 80-85,  Januari 2007
Batas Nilai Eigen Maksimal Dari Matriks Tak Negatif

## A. Kresna Jaya 

## Abstrak
Ide  utama  skripsi  ini  adalah  untuk  mendapatkan  metode  dalam  menentukan  batas  dari  nilai  eigen maksimal dari matriks tak negatif, dengan berdasarkan batas Frobenius. Yaitu R r    , dimana  adalah  jumlah  baris  atau  kolom  minimum  dan R adalah  jumlah  baris  atau  kolom  maksimum. Kemudian  dengan  menggunakan  batas  bawah  adalah  maksimum  dari  jumlah  baris  atau  kolom minimum  sedangkan  batas  atas  adalah  jumlah  minimum  dari  jumlah  baris  atau  kolom  maksimum. Metode yang diperoleh adalah 
   } { }, { min } { min }, { min i i i i i i i i c maks r maks r c r maks   .
Setelah  diperoleh  metode  baru  kemudian  dibandingkan  dengan  metode  sebelumnya,  untuk  beberapa kasus diperoleh  batas nilai eigen maksimal yang lebih optimal untuk metode ini.
Kata Kunci : batas nilai eigen maksimal, nilai eigen maksimal, matriks tak negatif.

## 1. Pendahuluan
Menurut  Howard  Anton  (1991),  secara  teoritis,  nilai-nilai  eigen  dari  matriks A dapat diperoleh dengan mencari n akar dari f (  ) = det ( A -  I ), kemudian dapat diperoleh vektor-vektor eigen yang bersesuaian dengan nilai eigen-nilai eigennya.
Dalam penempatan nilai eigen maksimal dari suatu matriks nonnegatif mempunyai arti penting tidak hanya pada matematika teoritis tetapi juga pada perhitungan dimana proses iterasi yang  memerlukan  suatu  perkiraan  awal  menyangkut  nilai  eigen  maksimal.  Untuk  itu  kita  perlu mengetahui perkiraan awal tersebut dengan membatasi nilai eigen maksimal dengan fungsi entri- entri yang dapat diperhitungkan dari matriks, misalnya penjumlahan baris atau kolom. Misalkan i r didefinisikan jumlah baris ke- i dan j c didefinisikan  jumlah kolom   ke- j dari suatu matriks     C M a n ij   A , yang berturut-turut, adalah :
n i a a a r in i i i , ... , 2 , 1 ... 2 1      dan n j a a a c nj j j j , ... , 2 , 1 ... 2 1     
Batas yang  dikenal dan paling sering digunakan untuk nilai eigen maksimal dari suatu matriks tak negatif adalah batas nilai eigen Frobenious , yaitu:
jika A adalah suatu matriks tak negatif dengan nilai eigen  maksimal r dan n r r r r ,..., , , 3 2 1 adalah jumlah baris ke-1 hingga ke-n,  maka
R r  
 di mana   min i i r dan  R max i i r . (Minc Henryk, 1988).
Matriks nonnegatif adalah matriks yang entri-entrinya adalah bilangan riil tak negatif. Matriks  ini  biasanya  banyak  digunakan  dalam  teori  graph  (membuat  matriks  adjacency)  atau dalam statistik khususnya proses stokastik.
 Staf pengajar  pada Jurusan Matematika  F.MIPA Universitas Hasanuddin  Makassar
A. Kresna Jaya, Suparman
2. Teorema-Teorema tentang Batas Nilai Eigen Maksimal
Teorema 1 (Probenius)
Jika A adalah  suatu  matriks  taknegatif  dengan  nilai  eigen  maksimal r dan n r r r r ,..., , , 3 2 1 adalah jumlah baris  ke 1, 2, . . . , n berturut-turut, maka
R r    di mana   min i i r dan  R max i i r .Jika A adalah matriks tak tereduksi, maka persamaan berlaku jika dan hanya jika jumlah baris dari matriks A adalah sama.
Lemma 1
Misalkan  adalah nilai eigen  dari matriks A , misalkan   n 2 1 x ..., , x , x adalah vektor eigen yang  sesuai  untuk  dari A dan   n 2 1 y ..., , y , y adalah  vektor  eigen  yang  sesuai  dengan  dari T A Teorema 2
Misalkan matriks   ij a A  adalah suatu matriks taknegatif dengan n r r r ..., , , 2 1 jumlah baris yang taknol  dan r nilai eigen maksimal. kemudian
                  n t t it i i n t t it i i r a r r r a r 1 1 1 max 1 min
Teorema 3 ( Ledermann )
Misalkan  matriks   i j a A  adalah  matriks  positif  dengan r nilai  eigen  maksimal  dan
n r r r ..., , , 2 1 jumlah baris. Jika
       R dan a r r R ij j i i i i i , min , min , max ,
maka
                   1 1 1
R r dengan   j i r r r r j i / max   
Teorema 4 ( Ostrowski )
Misalkan  matriks   i j a A  adalah  matriks  positif  dengan r nilai  eigen  maksimal  dan
n r r r ..., , , 2 1 jumlah baris. Jika ij j i i i i i a r r R , min , min , max      , maka                    1 1 1 R r dimana            R /
3. Metode Baru Untuk Batas Nilai Eigen Maksimal

## A. Kresna Jaya, Suparman
Batas  nilai  eigen  maksimal  dengan  menggunakan  batas  dasar    dalam  hal  ini  batas Frobenius  kita  mempunyai  metode  baru.  Misalkan  matriks   ij a A  adalah  matriks  positif dengan r nilai  eigen  maksimal  dan n r r r ..., , , 2 1 jumlah  baris,  dimana   min i i r atau  min i i c dan  R max i i r atau max i i c ,
Maka,
    n j i j ij n i rx x a 1 ,..., 3 , 2 , 1 ,
Sekarang, jika j x x   maka n j ,..., 2 , 1  , maka rx Ax  dengan:
     n j j j x a x r 1 1   n n x a x a x a x         ... 1 2 2 1 1           x x a x x a x x a n n ... 2 2 1 1 1 1 1     a x x a          n n n a x x a a x x a  2 2 2         n 1 j j j n 1 j j a x x a         r a n 1 j j rx x A T       n j j j x a x r 1 1   n n x a x a x a x     
   .. 1 2 2 1 1     1 1 1 a x x a
         n n n a x x a a x x a  2 2 2         n 1 j j j n 1 j j a x x a       c a n 1 j j   r r i i  min atau r c i i  min   r c r maks i i i i   } { min }, { min (1)
rx Ax      n j i j ij n i rx x a 1 ,..., 3 , 2 , 1 ,
Sekarang, jika j m x x  untuk n j ,..., 2 , 1  . Maka
   n j j mj m x a x r 1 1   n n m m m m x a x a x a x     ... 1 2 2 1 1 m n mn m m m m x x a x x a x x a     ... 2 2 1 1 1 1 1 m m m a x x a     mn m n mn m m m a x x a a x x a  2 2 2      n 1 j mj m j n 1 j mj a x x a R r a m n 1 j mj      rx x A T 
A. Kresna Jaya, Suparman
   n j j jm m x a x r 1 1   n nm m m m x a x a x a x     .. 1 2 2 1 1 m m m a x x a 1 1 1     nm m n nm m m m a x x a a x x a  2 2 2      n 1 j jm m j n 1 j jm a x x a R c a m n 1 j jm      r r maks i i  atau r c maks i i    r c maks r maks i i i i   } { }, { min (2) Dari persamaan (1) dan (2) kita peroleh     } { }, { min } { min }, { min i i i i i i i i c maks r maks r c r maks  
selanjutnya kita sebut dengan metode baru 1.
Metode baru 1 kita kombinasikan dengan teorema 4, maka     } { }, { min } { min }, { min i i i i i i i i c maks r maks r c r maks  
sedangkan teorema 4 mengatakan bahwa
  n n x r r r             1 1 1 1      n n x c r c             1 1 1 1    maka kita dapatkan                       1 } { }, { min 1 1 } { min }, { min i i i i i i i i c maks r maks r c r maks
selanjutnya kita sebut dengan metode baru 2.

## Contoh 1 Perbandingan
Hitunglah batas yang diberikan dari teorema 1, 2, 3 ,.4, metode baru 1,  metode baru  dan metode yang masih dalam bentuk hipotesis yang kita dapatkan, untuk nilai eigen maksimal r dari
           6 2 1 1 3 1 1 3 1 A
Teorema 1 (Frobenius): 9 5   r (baris) 8 3   r (kolom) Teorema 2: 66 , 7 8 , 5   r (baris) 7 12 , 6   r (kolom) Teorema 3 (Ledermann): 658 , 8 342 , 5   r (baris) 612 , 7 633 , 3   r (kolom) Teorema 4 (Ostrowski): 707 , 8 414 , 5   r (baris) 707 , 7 414 , 3   r (kolom) Metode baru 1: 8 5   r Metode baru 2: 707 , 7 414 , 5   r
Nilai eigen maksimal yang sebenarnya adalah
7  r

## 4. Penutup
Batas nilai eigen matriks tak negatif selalu berada dalam rentang
    } { }, { min } { min }, { min i i i i i i i i c maks r maks r c r maks   atau dalam rentang yang lebih baik
         
            1 } { }, { min 1 1 } { min }, { min i i i i i i i i c maks r maks r c r maks ,
dengan r i adalah jumlah baris ke- i untuk i = 1, 2, ..., n , c i adalah jumlah kolom ke- i untuk i = 1, 2, ..., n , ij j i i i i i a r r R , min , min , max      dan            R / .

## Daftar Pustaka
[1] Howard Anton,1988, ” Aljabar Linear Elementer”, Edisi Kelima, Erlangga Jakarta.
[2] A. Kresna Jaya, 2001, “ Masalah Nilai Karakteristik Invers Real Nonnegatif” . Tesis.
[3] A.Kresna Jaya,2005, “ Batas Himpunan Spektrum Nilai Eigen Real untuk Masalah Balikan Nilai Eigen dari Matriks Tak Negatif”, . Makalah.
[4] Erwin Kreyszig,1993, ” Advanced Engineering Mathematics”, Seventh Edition. John Wiley & Sons, Inc. Canada.
[5] Henryk  Minc.,1988,” Nonegative  Matrices”, Departement  of  Mathematics  University  of California Santa Barbara.