Vol. 4, No.2, 66-75,  Januari  2008
Model Dengan Tundaan Waktu

## Syamsuddin Toaha 

## Abstrak
Pada  tulisan  ini  dibahas  model  matematika  yang  melibatkan  tundaan  waktu,  termasuk bagaimana  munculnya  tundaan  waktu  dalam  suatu  model  dan  urgensinya  dilibatkan  dalam model.  Selanjutnya  diberikan  beberapa  model  yang  melibatkan  tundaan  waktu.  Beberapa metode yang biasa digunakan untuk menyelesaikan model dengan tundaan waktu, dan metode- metode yang digunakan dalam menganalisis kestabilan titik keseimbangan suatu model dengan tundaan waktu juga diberikan.
Kata Kunci : margin tundaan waktu,  kestabilan, tundaan waktu.

## 1. Pendahuluan
Persamaan  diferensial  adalah  suatu  persamaan  yang  melibatkan  turunan-turunan  dari satu  atau  beberapa  fungsi  yang  tidak  diketahui.  Persamaan  diferensial  biasa  hanya  melibatkan suatu  fungsi  yang  tidak  diketahui  dan  turunan-turunannya  yang  semuanya  dievaluasi  pada  saat yang  sama,  yaitu  pada  saat t .  Jenis  yang  lebih  umum  dari  persamaan  diferensial,  yang  biasa disebut persamaan diferensial fungsional, adalah suatu fungsi yang tidak diketahui yang muncul dengan berbagai argumen yang berbeda. Sebagai contoh; ) 2 ( 3 ) ( '    t x t x , ) 1 ( ) 3 / ( ) ( ) ( ' '     t x t x t x t x , ) 1 ( ) 1 ( ) ( ) ( 2 '     t x t t x t x t x , atau dalam bentuk ) ( sin 3 ) 1 ( ) ( ) ( ' ' " t x t x t x t x      .  Persamaan  diferensial  ini  juga  biasa  disebut  sebagai persamaan diferensial dengan deviasi argumen.
Suatu jenis persamaan diferensial fungsional yang sederhana dan mungkin lebih sering muncul  dalam  persoalan  nyata  adalah  persamaan  diferensial  tunda  (atau  persamaan  diferensial dengan argumen yang diperlambat). Hal ini berarti bahwa persamaan yang menyatakan beberapa turunan dari x pada waktu t , terhadap x dan turunan-turunannya yang lebih rendah pada waktu t , dan pada beberapa waktu sebelumnya. Contoh pertama dan keempat termasuk dalam jenis ini.
Model-model  sederhana  dalam  bentuk  persamaan  diferensial  atau  sistem  persamaan diferensial  yang  sering  dijumpai,  pada  umumnya  tidak  melibatkan  tundaan  waktu.  Sebagai contoh,  model  pertumbuhan  populasi  logistik ) ( ) ( ) ( 2 ' t bx t ax t x   ,  model  gerak
0 ) ( ) ( ) ( ' "    t kx t bx t mx , dan masih banyak lagi contoh model-model dalam bidang lain yang serupa tetapi tidak melibatkan tundaan waktu.
Tundaan  waktu  ( time  delay atau time  lag )  penting  dalam  pemodelan  masalah  nyata sebab  keputusan  biasanya  dibuat  berdasarkan  informasi  pada  keadaan  sebelumnya.  Haberman (1998) menyatakan bahwa hal ini penting untuk dipertimbangkan dalam  memodel pertumbuhan populasi  karena  laju  pertumbuhan  populasi  tidak  hanya  bergantung  pada  jumlah  populasi  pada waktu sekarang t tetapi juga bergantung pada jumlah populasi pada waktu sebelumnya atau pada
 Staf Pengajar pada Jurusan Matematika, FMIPA Universitas Hasanuddin Makassar
e-mail : syamsuddint@yahoo.com
Syamsuddin Toaha
waktu ) (   t .  Sebagai  contoh,  laju  pertumbuhan  populasi  manusia  pada  saat  sekarang bergantung  pada  jumlah  populasi  9  bulan  yang  lalu  sebab  seorang  ibu  membutuhkan  waktu  9 bulan untuk melahirkan anak.  Jadi sebenarnya jumlah populasi manusia bergantung pada kapan seorang  ibu  positif  hamil.  Contoh  lain,  sejumlah  telur  ikan  memerlukan  waktu  beberapa  hari untuk menjadi larva dan untuk menjadi ikan dewasa. Dalam sistem kontrol, output suatu sistem bergantung  pada  input  dan  obyek  yang  masuk  dalam  input  perlu  beberapa  saat  untuk  menjadi suatu output.
Salah satu model yang melibatkan tundaan waktu adalah model pertumbuhan populasi Australian  sheep-blowfly (Barnes  &  Fulford,  2002).  Forys  &  Czochra  (2003)  memodifikasi model  logistik  tunda  untuk  memodel  pertumbuhan  tumor  dan  sangat  mungkin  untuk mempertimbangkan tipe-tipe persamaan diferensial tunda yang lain untuk memodel pertumbuhan tumor (Kowalczyk & Forys, 2002).

## 1. Model dengan Tundaan Waktu

## 2.1 Model Logistik dengan Tundaan Waktu
Model pertumbuhan populasi logistik diberikan oleh
        K t x t rx dt t dx ) ( 1 ) ( ) (
dengan r dan K adalah konstanta positif.  Model di atas dapat ditulis sebagai
        K t x r dt t x t dx ) ( 1 ) ( ) (
yang  menyatakan  rata-rata  laju  pertumbuhan  populasi  pada  waktu t yang  bergantung  kepada jumlah populasi pada waktu t .
Kalau diperhatikan lebih jauh mengenai faktor-faktor yang mempengaruhi rata-rata laju perubahan  populasi,  maka  akan  terlihat  kenyataan  bahwa  salah  satu  faktor  yang  mempengaruhi adalah  jumlah  populasi  pada  beberapa  waktu  yang  lalu.  Ini  disebabkan  karena  jumlah  populasi sekarang  tidak  serta  merta  mempengaruhi  laju  pertumbahan  populasi,  namun  memerlukan beberapa  saat  untuk  memberikan  respon  pada  laju  pertumbuhan  populasi.  Rata-rata  laju pertumbuhan  populasi  sebenarnya  bergantung  pada ) ( 1   t x , ) ( 2   t x , ) ( 3   t x ,  dan seterusnya, dengan  , , , 3 2 1    merupakan konstanta positif.
Hutchinson  dalam  May  (1974)  mengusulkan  untuk  mengganti  bentuk        K t x ) ( 1
dengan bentuk         K t x ) ( 1  pada model pertumbuhan populasi logistik, sehingga diperoleh
         K t x r dt t x t dx ) ( 1 ) ( ) (  Bentuk         K t x ) ( 1  pada  model  terakhir  ini  menyatakan  suatu  mekanisme  yang  bergantung pada  pengaruh  jumlah  populasi  sebelumnya  yang  memerlukan  unit  waktu  untuk  merespon perubahan pada rata-rata laju perubahan jumlah populasi. Selanjutnya model di atas dapat ditulis sebagai
Syamsuddin Toaha
         K t x t rx dt t dx ) ( 1 ) ( ) ( 
yang dikenal sebagai model logistik dengan tundaan waktu.
Bentuk umum dari model logistik dengan tundaan waktu di atas adalah
           ) ( ) ( ) ( 1 j n j j t x b r t x dt t dx 
dengan r , j b , j  ( n j , , 2 , 1   ) adalah konstanta positif. Bentuk umum ini masih mempunyai varian-varian yang lain (Gopalsamy, 1992).

## 2.2 Sistem Kontrol
Suatu  sistem  yang  melibatkan  kontrol feedback tentunya  akan  selalu  melibatkan tundaan waktu. Ini disebabkan  karena diperlukan beberapa saat untuk merespon informasi yang diterima dan kemudian memberikan reaksi.
Tinjau  suatu  sistem  gerak  yang  dibangun  oleh  persamaan  diferensial  linear  homogen orde dua dengan koefisien konstanta positif
0 ) ( ) ( ) ( ' "    t kx t bx t mx .
Penurunan  rumus  untuk  mendapatkan  persamaan  gerak  di  atas  dapat  dilihat  pada  Haberman (1998) atau pada Kaplan & Glass (1995).
Solusi dari persamaan di atas dengan syarat awal ) ( 0 t x dan ) ( 0 ' t x adalah suatu fungsi yang  meluruh  secara  eksponesial  menuju  ke  nol.  Misalkan  solusi  persamaan  diklasifikasikan berdasarkan  nilai  koefisien damping  b .  Dalam  kasus mk b 4 2  ( underdamped ),  solusi beroskilasi  dan  juga  menuju  ke  nol, mk b 4 2  ( overdamped )  solusi  tidak  beroskilasi  tetapi menuju ke nol secara eksponesial, dan mk b 4 2  ( critically damped ) solusi menuju ke nol lebih cepat dalam kasus ini.
Dalam  kasus  sistem  fisik  di  dalam  laboratoirum,  nilai b dapat  dengan  mudah  diubah dan  dinaikkan.  Jika  sistem  gerak  yang  ditinjau  adalah  gerak  kapal  di  atas  gelombang,  kasus Minorsky, dan x adalah sudut kemiringan dari posisi normal ke atas, maka seharusnya dipikirkan bagaimana cara mengubah nilai b . Mungkin perlu diperkenalkan suatu tangki yang secara parsial diisi air pada kedua sisi kapal, dan mungkin perlu dirancang servomekanis untuk  memompa air dari  satu  tangki  ke  tangki  yang  lain  sebagai  usaha  untuk  menetralkan  goyangan  kapal.
Harapannya, ini akan memunculkan suatu bentuk yang lain yang proporsional dengan ) ( ' t x pada persamaan  diferensial  di  atas,  katakan ) ( ' t qx .  Dengan  demikian  akan  dipertimbangkan persamaan
0 ) ( ) ( ) ( ) ( ' ' "     t kx t qx t bx t mx .
Namun perlu diperhatikan bahwa servomekanis tidak dapat merespon secara serta merta. Dengan itu, persamaan di atas diubah menjadi
0 ) ( ) ( ) ( ) ( ' ' "      t kx t qx t bx t mx  . Sistem  kontrol  memerlukan  waktu 0   untuk  merespon  dan  seterusnya,  sehingga    bentuk kontrol tersebut proporsional dengan kecepatan pada waktu sebelumnya,   t .

## Syamsuddin Toaha
Banyak fenomena yang telah diketahui yang melibatkan laju perubahan keadaan  pada suatu  waktu t yang  ditentukan  tidak  hanya  oleh  keadaan  sekarang,  tetapi  juga  ditentukan  oleh keadaan  sebelumnya.  Sebagai  contoh,  dalam  mekanika  meliputi  viskoelastisitas,  model  gerak, kontrol gerak pada benda kaku, model pengkristalan polimer, peregangan filamen polimer. Juga pada  fenomena  dalam  fisika  meliputi  dinamika  oskilator,  dinamika  yang  bersifat  relatif, reaktor nuklir, distribusi jaringan, aliran panas dalam material. Contoh lain, model dengan tundaan waktu pada masalah teknikal meliputi  proses penggilingan dan pemotongan, tundaan dengan teknologi, proses stabilisasi kapal, proses chasing mobil. Dalam biologi, contohnya  meliputi model evolusi satu  spesies,  interaksi  dua  spesies,  model  dinamika  populasi  untuk  interaksi n spesies, koeksistensi  mikro  organisma  yang  bersaing,  masalah  kontrol  dalam  ekologi,  masalah  kontrol dalam  mikro  biologi.  Sedangkan  dalam  kedokteran  meliputi  model  kadar  gula  dalam  darah, kemoterapi  kanker,  model  epidemi  HIV,  dan  masih  banyak  lagi  pada  bidang  lainnya (Kolmanovskii & Myshkis, 1992).

## 3. Metode untuk Persamaan Diferensial Tunda
Tidak  seperti  pada  persamaan  diferensial  biasa,  masih  sangat  sedikit  metode-metode yang  telah  ditemukan  untuk  menyelesaikan  persamaan  diferensial  tunda.  Metode  yang  adapun hanya terbatas untuk menyelesaikan kasus-kasus tertentu. Sebagai contoh, persamaan diferensial tunda ) ( ) ( '     t x t x . Jika 2    , maka solusinya adalah
) sin( ) cos( ) ( 2 1 t c t c t x   dengan
1 c dan 2 c adalah konstanta sebarang. Tetapi jika
2   k  untuk k bilangan bulat positif, maka solusi yang diperoleh tidak lagi dalam kelas
) sin( ) cos( ) ( 2 1 t c t c t x   .

## 3.1. Solusi Analitik (Metode Step)
Masalah nilai awal untuk persamaan diferensial tunda ditulis sebagai
         . ), ( ) ( ), ( , ), ( , ( ) ( 0 0 1 t t t t x t t t y t x t f t x n     
Selanjutnya, akan ditinjau suatu masalah nilai awal yang sederhana sebagai berikut
            . 0 , : ), ( ) ( 0 ), ( ) (     t t x t t x t x 
Masalah nilai awal ini dapat diselesaikan secara eksplisit seperti berikut
       t ds s t x 0 1 1 ) ( ) ( untuk    , 0  t ,
2 0 1 1 2 ) ( ) ( ds ds s t x t s          untuk     2 ,  t ,        t s s ds ds ds s t x    
  2 3 2 0 1 1 3 2 ) ( ) ( untuk     4 , 2  t , dan seterusnya.
Metode  ini  dikenal  sebagai  metode  Step  karena  solusi  diperoleh  step  demi  step  sesuai  dengan interval dimana fungsi awal yang diberikan didefinisikan.

## Syamsuddin Toaha
Contoh 1 . Tinjau masalah nilai awal
            . 0 , 1 , 1 ) (
0 ), 1 ( ) ( t t x t t x t x 
Dengan diketahuinya fungsi awal yang terdefinisi pada interval   0 , 1  maka pada interval   1 , 0 persamaan  diferensial  tunda  di  atas  dapat  ditulis  sebagai 1 ) (   t x  ,  dan  selanjutnya  diperoleh
solusi 1 ) (    t t x .  Pada  interval   2 , 1 diperoleh ) 1 ( ) (     t t x  dengan  solusi 2 1 2 1 ) ( 2    t t t x . Proses ini dapat diteruskan sebanyak interval waktu yang diinginkan. Mudah dilihat bahwa solusi yang diperoleh adalah suatu polinomial dengan orde yang membesar dengan bertambahnya  interval  yang  diberikan,  serta  pada  ujung-ujung  interval  solusinya  secara  umum tidak licin.

## 3.2. Metode Lyapunov
Analisis  persamaan  karakteristik  untuk  persamaan  diferensial  linear  tunda  maupun pada sistem persamaan diferensial tunda kadang sulit dilakukan, meskipun persamaan atau sistem persamaan hanya mengandung satu atau dua nilai tunda. Tidak seperti pada persamaan diferensial linear tanpa tunda, kriteria Routh-Hurwitz sudah cukup untuk mengalisis persamaan karakteristik dan  selanjutnya  jenis  kestabilan  titik  keseimbangan  dari  persamaan  diferensial  atau  sistem persamaan diferensial dapat ditentukan.
Kesulitan  ini  dapat  diatasi  dengan  menggunakan  metode  fungsional  Lyapunov,  untuk mendapatkan  syarat  cukup  kestabilan  dan  ketidakstabilan  titik  keseimbangan  dari  persamaan diferensial  tunda  dengan  cara  yang  sama  pada  metode  kedua  Lyapunov  untuk  persamaan diferensial biasa.
Tinjau persamaan diferensial tunda
) , ( ) ( t x t f t x   (1) dimana n C f  
  : adalah  suatu  fungsi  kontinu,  dan 0 ) 0 , (  t f .  Misalkan     C V : adalah  suatu  fungsi  yang  kontinu,  dan ) , (   x adalah  solusi  dari  (1)  yang melalui ) , (   , maka
  ) , ( )) , ( , , ( 1 lim ) , ( 0    t V t x h t V h t V V h t h         .
Didefinisikan C x t  ,  seperti   0 , ), ( ) ( r t x x t    
   ,  dengan     n b a C C   , , adalah ruang  Banach  dari  fungsi  kontinu  yang  memetakan  interval   b a , ke  dalam n  , n  adalah ruang Euclidian real dimensi n .
Teorema 1. (Kuang, 1993).
Misalkan      : ) ( ), ( ), ( s w s v s u adalah  fungsi  yang  kontinu  dan  tidak  turun, 0 ) (  s u , 0 ) (  s v untuk 0  s , dan 0 ) 0 ( ) 0 ( ) 0 (    w v u . Maka pernyataan berikut adalah benar : (i) Jika terdapat suatu fungsi     C V : sedemikian sehingga
       v t V u   ) , ( ) 0 (
,
Syamsuddin Toaha
    D w t V   ) , (  ,
maka 0  x stabil secara seragam.
(ii) Jika,  pada  (i)  ditambahkan
    ) ( lim s u s ,  maka    solusi  dari  (1)  terbatas  secara seragam  (yaitu,  untuk  sebarang 0   terdapat  suatu 0 ) (      sedemikian sehingga,  untuk  setiap    , C   ,    maka  berlaku     ) )( , ( t x untuk setiap   t .)
(iii) Jika, pada  (i)  ditambahkan 0 ) (  s w untuk 0  s ,  maka 0  x stabil  secara  asimptot dan seragam.
Lemma 2. (Kuang, 1993).
Misalkan ) ( t a , ) ( t b terdiferensial,  dan  misalkan ) (   adalah  fungsi  dengan  variasi  total terbatas sedemikian sehingga
1 ) ( ) 0 (       . Maka )), ( ( ) ( )) ( ( ) ( ) ( ) ( ) ( t b x t b t a x t a d x dt d t a t b              0 ), ( ) ( ) (     t x t x d t x dt d                0 0 ) ( ) ( ) ( ) ( ) (         d t x t x d ds s x dt d t t
.
Contoh 2.
Tinjau persamaan diferensial tunda
) ( ) ( ) ( t ax t x c t x
       ,
dengan 1  c dan 0  a . Untuk persamaan di atas, diperoleh ) ( ) 0 (        c D yang stabil
karena 1  c . Karena ) ( t x  bergantung pada ) (   t x  , suatu fungsi dalam bentuk )) ( ( t x V akan mempunyai  turunannya V  yang  meliputi ) ( t x dan ) (   t x  .  Hal  ini  ternyata  sangat  kompleks untuk  menentukan  tanda  dari V  .  Untuk  membuang  bentuk ) (   t x  ,  maka  akan  dicobakan
  2 2 1 ) ( ) ( ) ( ) (      t cx t x Dx Dx V t t dan diperoleh   . ) ( ) ( 2 ) ( 2 )) ( ( ) ( ) ( 2 2 1           t x t acx t ax t ax t cx t x V 
Dengan menggunakan Lemma 2, maka disarankan menggunakan
    t t t t ds s x ac Dx x V  ) ( ) ( ) ( 2 2 2 .
Sehingga diperoleh
  ). ( ) 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 2 ) ( 2 ) ( 2 2 2 2 2 2 2 t x c a t cx t x a t x ac t x ac t x t acx t ax x V t                 
Bagian  (iii)  dari  Teorema  1  dipenuhi  oleh ) ( t x V ,  dan  disimpulkan  bahwa  solusi  trivial  stabil global secara asimptot dan seragam.

## Syamsuddin Toaha

## 3.3.  Penentuan Margin Tundaan Waktu untuk Kestabilan dan Ketidakstabilan
Suatu model yang  merupakan persamaan diferensial tunda dengan titik keseimbangan yang stabil jika nilai waktu tundanya sama dengan nol juga akan tetap stabil jika waktu tundanya positif  dan  nilainya  dekat  dengan  nol.  Hal  ini  terjadi  karena  fungsi  karakteristiknya  bergantung pada  waktu  tunda.  Pada  kasus  yang  demikian,  maka  analisis  yang  biasanya  dilakukan  adalah menentukan  suatu  nilai  waktu  tunda  yang  merupakan  nilai  margin  kestabilan  dan  setelah  nilai margin tersebut kondisi berubah menjadi tidak stabil.
Sekarang mari kita tinjau kestabilan persamaan deferensial-diferensi
        0 1 0 0         k t y a t y j n j q k kj n
.                                                         (2)
Koefisien kj a , q k , , 1 , 0   , 1 , , 1 , 0   n j  adalah  konstanta  real,  dan 0   adalah parameter  tundaan  waktu.  Kondisi  kestabilan  dari  (2)  dapat  ditentukan  dari  persamaan karakteristiknya,  sebagai  contoh  dapat  dilihat  pada  Barnett  (1983),  Chen  (1994),  Gu  &  Lee (1989), dan Hale et al. (1985).
Teorema 3. (Chen et al. , 1995).
Anggap bahwa persamaan (2) stabil untuk 0   . Misalkan , 0 :  n H I T n  : , dan                 qj j qj j j q qj j a a a a a a H        0 0 0 : 2 1 , 1 ,                  j j q j q j j j j a a a a a a T 0 , 2 , 1 0 1 0 0 0 0 :        ,
dimana 1 , , 1 , 0   n j  ,                    T j j T j j j j i j j T i H i H i T i
U : ,   dimana n j , , 1 , 0   .
Lebih lanjut, definisikan
                    1 1 1 1 0 1 0 0 0 0 : n n n n U U U U U U I I U        .
Maka,     jika   0     R U  atau     0    R U  . Misalkan juga
                           s a s a s a s F q 1 1 0 0 0 0 1 0 :
       
,
      s a diag s G q 1 1 :   .

## Syamsuddin Toaha
Maka  jika       0 ,       D i G i F k
k  untuk  setiap        R U k  0 ,     .  Dalam kasus persamaan (2) stabil untuk setiap      , 0 . Jika tidak demikian, maka
k k nq k        2 1 min ,
dimana        R U k  0 dan      2 , 0 k memenuhi  relasi       k k i i G i F e k       , .
Persamaan (2) stabil untuk setiap       , 0 dan tidak stabil pada     .
Teorema 3 digunakan untuk menganalisis dan menentukan margin tundaan waktu. Dari teorema  di  atas  diketahui  bahwa  pada     titik  keseimbangan  kehilangan  kestabilan  dan bifurkasi Hopf mungkin terjadi pada titik tersebut (Hale, 1977).
Contoh 3 .
Tinjau persamaan diferensial tunda
. 0 ) ( 26059 . 1 ) ( 10299 . 0 ) 2 ( 36427 . 0 ) ( 06953 . 0 ) ( 11893 . 0 ) (             t y t y t y t y t y t y
   
Merujuk pada Teorema 3, maka dari persamaan diferensial tunda diperoleh
        3643 . 0 0
0695 . 0 3643 . 0 0 H ,        0 0 2606 . 1 0 1 H ,           1189 . 0 0695 . 0 0 1189 . 0 0 T dan          1030 . 0 2606 . 1 0
1030 . 0 1 T .
Selanjutnya diperoleh
                     1189 . 0 0
3643 . 0 0695 . 0 0695 . 0 1189 . 0 0 3643 . 0 3643 . 0 0
1189 . 0 0695 . 0 0695 . 0 3643 . 0 0 1189 . 0 0 U ,    
 
           i i i i i i i i U 1030 . 0 0 0 2606 . 1
2606 . 1 1030 . 0 0 0 0 0 1030 . 0 2606 . 1 2606 . 1 0 0 1030 . 0 1 ,                  1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 2 U            
                           i i i i i i i i U 103 . 0 0 0 261 . 1 119 . 0 0
364 . 0 070 . 0 261 . 1 103 . 0 0
0 070 . 0 119 . 0 0 364 . 0 0 0 103 . 0 261 . 1 364 . 0 0
119 . 0 070 . 0 261 . 1 0 0 103 . 0 070 . 0 364 . 0 0 119 . 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0

## Syamsuddin Toaha
Dengan  menggunakan  Maple,  diperoleh  dua  nilai  eigen  real  yang  positif
59 0.53938142 1   dan 84 0.43640773 2   . Untuk 59 0.53938142 1   , diperoleh            i i i F 67994 . 0 06953 . 0 05555 . 0 40986 . 0 1 0 1 1  dan
 
      
36427 . 0 0 0 1 1 1  i G .
Selanjutnya diperoleh
                 36427 . 0
67994 . 0 06953 . 0 05555 . 0 40986 . 0
1 ) ( ) ( 1 1 1 1 i i i G i F , dan    , 9083 . 0 4182 . 0 ) ( ), ( 1 1 1 1 i i G i F        i 9583 . 0 6091 . 0  .
Nilai  egien  yang  pertama  berada  pada D  tetapi  yang  kedua  tidak  berada  pada D  .  Dengan demikian   0 ) ( ), ( 1 1 1 1       D i G i F  ,  dan  diperoleh 002296476 . 2 1   .  Lebih  lanjut diperoleh 712208801 . 3 1   . Sedangkan untuk 84 0.43640773 2   , diperoleh            i i i F 55013 . 0 06953 . 0 04495 . 0 30938 . 0 1 0 2 2  dan
            36427 . 0 0 0 1 2 2 i G .
Selanjutnya diperoleh
                 36427 . 0
55013 . 0 06953 . 0 04495 . 0 30938 . 0 1 ) ( ) ( 2 2 2 2 i i i G i F dan    , 7358 . 0 4418 . 0 ) ( ), ( 2 2 2 2 i i G i F        i 7744 . 0 6327 . 0  .
Nilai eigen yang pertama tidak berada pada D  , tetapi yang kedua berada pada D  . Oleh karena itu   0 ) ( ), ( 2 2 2 2       D i G i F  ,  dan  diperoleh 8858175195 . 0 2   .  Lebih  lanjut diperoleh 0297933337 . 2 2   ,  dan  margin  tundaan  waktunya  adalah 2     .  Dengan demikian disimpulkan bahwa titik keseimbangan trivial stabil untuk
0297933337 . 2 0    . Metode  yang  lain  yang  biasa  juga  digunakan  untuk  menyelesaikan  persamaan diferensial  tunda  adalah  dengan  melakukan  pendekatan  dan  mengubahnya  dalam  bentuk persamaan  diferensi.  Selanjutnya,  analisis  kestabilannya  juga  dengan  menggunakan  persamaan karakteristik  dan  nilai  eigen.  Metode  numerik  biasanya  hanya  digunakan  untuk  memplot  kurva solusi persamaan diferensial. Metode numerik yang biasa digunakan adalah metode Runge-Kutta untuk  persamaan  diferensial  tunda. DDE  solver pada  software  Matlab  dapat  digunakan  untuk memplot  kurva  solusi  untuk  persamaan  diferensial  tunda  maupun  sistem  persamaan  diferensial tunda dengan beberapa nilai waktu tunda yang berbeda.

## 4.  Kesimpulan
Dalam  memodelkan  suatu  masalah  real  yang  melibatkan  waktu,  seyogyanya  faktor tundaan waktu juga dipertimbangkan dalam proses pemodelan. Hal ini disebabkan karena banyak keputusan-keputusan yang diambil sekarang sebenarnya tidak lepas informasi atau kejadian yang telah terjadi sebelumnya. Dengan melibatkan tundaan waktu dalam model, maka model tersebut lebih mendekati fenomena yang sebenarnya.

## Syamsuddin Toaha
Metode  yang  digunakan  untuk  menganalisis  model  dengan  tundaan  waktu  berbeda dengan metode yang digunakan untuk model tanpa tundaan waktu. Analisis untuk model dengan tundaan waktu biasanya lebih kompleks dan masih sangat sedikit metode yang telah ditemukan. Simulasi  numerik  biasanya  digunakan  untuk  menyelesaikan  model  dengan  tundaan  waktu  yang kompleks,  dan  fasilitas  yang  ada  pada  software  MATLAB  dewasa  ini,  dapat  membantu  untuk memplotkan kurva solusi dari model dengan tundaan waktu.

## Daftar Pustaka
[1]. B.  Barnes  dan  G.R.  Fulford,  2002,  “ Mathematical  modelling  with  case  studies”, New York: Taylor & Francis Inc.
[2]. S. Barnett, 1983, “ Polynomial and Linear Control Systems”, New York: Marcel Dekker.
[3]. J. Chen,  1994, “ On computing the maximal delay intervals for stability of delay systems”, Proc. American Control Conference . pp 1934-1938.
[4]. J.  Chen,  G.  Gu  dan  C.N.  Nett,  1995,  ” A  new  method  for  computing  delay  margins  for stability of linear delay systems ”, Systems & Control Letters 26:107-117.
[5]. U. Forys,  dan A.M. Czochra, 2003, ” Logistic equations in tumour growth modeling”, Int. J. Appl. Math. Comput. Sci . 13(3):317-325.
[6]. K.  Gopalsamy,    1992,  “ Stability  and  oscillations  in  delay  differential  equations  of population dynamics”, Netherlands: Kluwer Academic Publishers.
[7]. G. Gu dan E.B. Lee, 1989, “ Stability testing of time delay systems”, Automatica 35:777- 780.
[8]. R. Haberman, 1998, “ Mathematical Models: Mechanical Vibrations, Population Dynamics, and Traffic Flow ”,  Philadelphia: SIAM.
[9]. J.K.  Hale,  1977,  “ Theory  of  functional  differential  equations”, Heidelberg:  Springer- Verlag.
[10]. J.K.  Hale,  E.F.  Infante  and  F.S.P.  Tsen,  1985,  “ Stability  in  linear  delay  equations ”, Journal of Math. Anal. App . 105:533-555.
[11]. D.  Kaplan  dan  L.  Glass,  1995,  ” Understanding  Nonlinear  Dynamics”, Springer-Verlag, New York.
[12]. V.  Kolmanovskii  dan  A.  Myshkis,  1992,  “ Applied  theory  of  functional  differential equations”, Dordrecht, The Netherlands: Kluwer Academic Publishers.
[13]. R. Kowalczyk dan U. Forys, 2002, “ Qualitative analysis on the initial value problem to the logistic equation with delay” , Math. Comp. Model 35(1-2): 1-13.
[14]. Y. Kuang, 1993, “ Delay  differential  equations  with  application  in  population  dynamics”, New York: Academic Press.
[15]  R.M. May, 1974, “ Stability and c omplexity of model ecosystems ”, Princeton, New Jersey: Princeton University Press.