## PENENTUAN LUAS FRAKTAL KOCH SNOWFLAKE
(D etermination of Fractal Area of the Koch Snowflake )

## Abdul Kamil, Rusli Hidayat, Kosala Dwidja Purnomo
Jurusan Matematika, Fakultas MIPA, Universitas Jember Jl. Kalimantan 37 Jember 68121, Indonesia
Abstract. The Koch Snowflake Island (Koch Snowflake) is composed of three Koch curves rotated by suitable angles and fitted together. The Koch curve is constructed using an iterative procedure beginning with the initiator of the set as the unit line segment. The unit line segment is divided into thirds and the middle third removed, then replaced with equilateral triangle without base. In this article to  get  formulation  of  the  area  fractals  Koch  Snowflake  and  its  variations, generated by generator equilateral triangle, isosceles triangle and square to the sides of the regular polygon which has n sides.
Keywords: Generator, Initiator, Koch Curve, Koch Snowflake,
MSC2020: 52B99

## 1. Pendahuluan
Alam semesta banyak menyimpan benda-benda yang bersifat self-similarity . Sebagai contoh, jika kita melihat garis pantai dari tempat yang sangat tinggi, seolah-olah kita melihat garis lurus yang patah-patah. Tetapi semakin ketinggian tersebut dikurangi, akan  terlihat  bentuk  garis  pantai  yang  lebih  jelas,  apabila  diperbesar  akan menampilkan  ketidakrataan  sesungguhnya.  Contoh  lain  adalah  gumpalan  awan, pegunungan, struktur molekul di dalam daun dan sebagainya ([1] & [8]).
Tampilan-tampilan alam ini disajikan sebagai topik tersendiri dalam matematika yang dikenal  dengan  geometri  fraktal.  Salah  satu  contoh  fraktal  adalah  Koch  Snowflake merupakan  sebuah  fraktal  yang  juga  dikenal  sebagai  pulau  Koch,  pertama  kali digambarkan oleh Helge Von Koch pada tahun 1904. Awalnya merupakan kurva Koch takhingga  yang  digandakan  tiga,  dibangkitkan  pada  sisi-sisi  segitiga  sama  sisi, didasarkan pada garis-garis yang mempunyai arah tertentu dan dihubungkan satu sama lain ([2] & [10]).
Dalam  artikel  ini    bertujuan  untuk  mendapatkan  rumusan  menentukan  luas  fraktal Koch Snowflake dan variasinya yang dibangkitkan oleh generator segitiga samasisi, samakaki, dan bujursangkar pada inisiator  poligon beraturan bersisi- n .
Berikut ini diberikan definisi dari poligon, segitiga dan bujur sangkar.
Definisi  1 :  Poligon  beraturan  adalah  suatu  poligon  yang  sisi-sisinya  dan  sudut- sudutnya kongruen.
Definisi 2 : Segitiga adalah poligon yang bersisi tiga.
Berdasarkan sisi-sisi pembentuknya dikenal beberapa macam segitiga, diantaranya:
a. Segitiga sama sisi yaitu segitiga yang ketiga sisinya sama panjang.
b.    Segitiga  sama  kaki  yaitu  segitiga  yang  mempunyai  dua  buah  sisi  yang  sama panjang.
Definisi  3 :  Bujur  sangkar  adalah  persegi  panjang  dengan  dua  sisi  bersisiannya kongruen.
Misalkan diketahui segitiga ABC dengan alas a , dan tinggi t , maka luas ( A ) segitiga ABC = ½ a . t Untuk segitiga sama sisi dengan  panjang sisi L , luasnya
( A ) = ½ a . t    4 2 2 2 L L L 2 4 3 L atau  luas ( A )=       3 cot 3 4 1 2  L (1)
Perumusan luas bujur sangkar dengan L adalah panjang sisi bujur sangkar, dengan demikian diperoleh
A =       4 cot 2  L = L 2 (2)
Luas  poligon  tak  beraturan  dapat  ditentukan  dari  penjumlahan  segitiga-segitiga penyusun, sehingga luas poligon adalah jumlah luas
1 1 3 2 2 1 OP P OP P OP P OP P n n n           , atau n n A A A A A A        1 3 2 1  (3)
Dengan cara yang sama, untuk poligon beraturan luas ( A ) jumlah seluruh luas segitiga yang menyusunnya.
n n A A A A A A        1 3
2 1  =     n k k A 1 (4)
karena segitiga penyusun pada poligon beraturan kongruen, maka luasnya adalah n kali luas segitiga. Jadi, diperoleh
A =   k A n dengan k = 1, 2, 3, …, n (5)
Poligon  beraturan  memiliki  panjang  sisi  dan  besar  sudut  yang  sama,  yaitu  masing- masing L dan n  2 , maka dapat dituliskan ([6] & [7])
A =       n nL  cot 4 1 2     n n L n   sin cos 4 2  (6)
Kata fraktal selain diambil dari bahasa latin fractus (memecahkan/ menguraikan), juga berasal  dari  kata  kerja  dalam  bahasa  latin frangere ,  yang  berarti  meretakkan  atau membagi  menjadi  kepingan-kepingan.  Paul  Bourke    mengambil  istilah  Mandelbrot yang mendefinisikan fraktal sebagai bentuk geometri yang tampak kasar atau berupa sebuah pecahan yang dapat dibagi lagi pada bagian-bagiannya. Definisi matematiknya adalah suatu himpunan titik-titik yang dimensi fraktalnya melebihi dimensi topologi ([4] & [5]).
Kurva  Koch  didasarkan  pada  garis-garis  yang  mempunyai  arah  tertentu  dan dihubungkan satu sama lain, sehingga terbentuk suatu garis yang sangat panjang pada suatu daerah yang terbatas. Fraktal Koch Snowflake (Gambar 1) dibentuk dari kurva Koch yang dibangkitkan pada inisiator berupa poligon dengan sisi yang sama. Variasi Koch Snowflake dapat dikombinasikan antara inisiator segitiga sama sisi atau bujur sangkar  dengan  generator  segitiga  dan  bujur  sangkar,  atau  dengan  bidang  lainnya dengan prasyarat kurva Koch yang dibentuk menghasilkan segmen garis yang sama ([4] & [5]).

## Gambar 1. Koch snowflake
I.

## 2. Hasil dan Pembahasan
Metode  untuk  menentukan  luas  Koch  Snowflake  adalah  dengan  membangun  deret geometri  yang merupakan penjumlahan luas semua bidang yang dibangkitkan oleh generator pada masing-masing tingkatan iterasi kurva Koch. Pertama, perlu ditentukan luas inisiator  yang berbentuk  poligon beraturan dengan panjang sisi L , misalkan A . Kedua, ditentukan penambahan atau pengurangan luas sebagai akibat dibangkitkannya suatu generator. Misalkan penambahan dan pengurangan luas pada setiap sisi-sisinya adalah K . Maka, luas Koch Snowflake dengan inisiator poligon bersisi- n adalah A + nK .

## 2.1 Koch Snowflake dengan inisiator poligon beraturan bersisi- n

## Generator Segitiga Sama Sisi
Koch  Snowflake  dengan  inisiator  poligon  beraturan  bersisi- n ,  memiliki n sisi  yang kongruen  (panjangnya L )  akan  menghasilkan n kurva  Koch  (Gambar  2)  yang  juga kongruen.
(a) Generator
(b) Kurva Koch
Gambar 2. Generator dan kurva koch
Luas  diantara  kurva  Koch  dan  inisiator  ( X )  = 20 3 2 L ,    dengan  demikian  luas  Koch Snowflake adalah:
                        5 3 sin cos 4 20 3 sin cos 4 luas 2 2 2 n n n n nL L n nL
    (7)

## Generator Segitiga Sama Kaki
Ada  beberapa  syarat  awal  yang  harus  dipenuhi  Koch  Anti-Snowflake,  generator segitiga sama kaki yang dibangkitkan pada inisiator segitiga sama sisi, yaitu:
1. perbandingan p dan q adalah tetap
2. 2 p > q . dengan p dan q masing-masing adalah ukuran sisi miring dan alas segitiga samakaki pada generator. Pada setiap iterasi berlaku 2 p + q =1 (Gambar 3). q p p p p Gambar 3. Ukuran sisi generator pada setiap iterasi
Pada generator segitiga sama kaki diperoleh luas antara kurva koch dan  inisiator ( Y )
=    4 1 1 4 4 2 1 2 2 / 1 2      
         p p p L dengan demikian luas Koch Snowflake adalah:
       4 1 1 4 4 2 1 sin cos 4 luas 2 2 / 1 2 2                  p p p L n nL n n   (8)

## Generator bujur sangkar
Luas  Koch  Snowflake  dengan  inisiator  poligon  bersisi- n yang  dibangkitkan  oleh generator bujur sangkar adalah:    
    1 sin cos 4 4 sin cos 4 luas 2 2 2           n n n n nL nL nL
    (9)

## 2.2 Koch Snowflake dengan Luas Berkurang (Koch Anti-Snowflake)
Pada  dasarnya  Koch  Snowflake  dengan  luas  berkurang  metode  penghitungan  dan rumusannya sama dengan Koch Snowflake dengan luas bertambah. Jika pada Koch Snowflake  luas  bertambah  merupakan  penjumlahan  inisiator  dengan  luas  diantara kurva  Koch  dan  inisiator,  maka  luas  Koch  Snowflake  dengan  luas  berkurang kebalikannya.  Inisiator  dikurangi  sebanyak  luas  diantara  kurva  Koch  dan  inisiator yang dihasilkan oleh sisi-sisi inisiator.

## Inisiator Segitiga Samasisi

## Generator Segitiga Sama Sisi
Luas  yang  dihasilkan  dengan  inisiator  segitiga  sama  sisi  dibangkitkan  generator segitiga sama sisi adalah:
         4 3 5 2 20 3 3 4 3 Luas 2 2 2 L L L (10)

## Generator Segitiga Sama Kaki
Ada  beberapa  syarat  awal  yang  harus  dipenuhi  Koch  Anti-Snowflake,  generator segitiga sama kaki yang dibangkitkan pada inisiator segitiga sama sisi, yaitu:
1. perbandingan p dan q adalah tetap
2. q 3 1  3. 2 p > q atau p > 6 1 .
dengan p dan q masing-masing adalah ukuran sisi miring dan alas segitiga samakaki pada generator. Pada setiap iterasi berlaku 2 p + q =1. sehingga diperoleh perumusan luas:
              2 2 2 4 1 1 4 1 4 2 1 3 4 3 luas 2 1 p p p L L (11)

## Inisiator poligon beraturan bersisi- n

## Generator Segitiga Sama Sisi
                  5 3 sin cos 4 20 3 sin cos 4 luas 2 2 2 n n n n nL L n nL     (12)

## Generator Segitiga Sama Kaki
                q q nL n n 2 2 1 sin cos 4 luas 2   (13)

## Generator Bujur Sangkar
        1 sin cos 4 4 sin cos 4 luas 2 2 2
          n n n n nL nL nL
    (14)
Untuk n = 4 akan dihasilkan luas = 0, inisiator dimungkinkan Koch Anti-Snowflake pada  inisiator  bujursangkar  yang  dibangkitkan  oleh  generator  bujur  sangkar,  pada iterasi menuju takhingga akan menghasilkan bentuk berupa garis-garis (Gambar 4).
(a) iterasi ke-2
(b) iterasi ke-3
(c) Koch Anti-Snowflake dengan iterasi menuju takhingga Gambar 4. Koch Anti-Snowflake inisiator dan generator bujursangkar

## 3. Kesimpulan
Dari  hasil  penelitian  penentuan  luas  fraktal  Koch  Snowflake  dapat  disimpulkan bahwa:  (1)  Koch  Snowflake  dengan  luas  bertambah  diperoleh  dari  luas  inisiator ditambah dengan luas yang dibatasi kurva Koch dan sisi inisiator, (2) Koch Snowflake dengan luas berkurang (Anti-Snowflake) diperoleh dari luas inisiator dikurangi luas antara sisi inisiator dengan kurva Koch, (3) Koch Anti-Snowflake inisiator segitiga sama sisi, hanya generator segitiga sama kaki dengan alas generator lebih dari atau sama dengan 1/3 panjang sisi inisiator yang bisa digunakan, sedangkan pada generator lainnya akan menghasilkan objek fraktal yang tumpang tindih.
Penelitian tentang Koch Snowflake ini masih dapat dikembangkan pada variasi-variasi bentuk Koch Snowflake lainnya, seperti yang menghasilkan segmen garis yang tidak kongruen, maupun segmen garis acak. Demikian juga pada topik tentang fraktal yang lain masih terbuka lebar bagi peneliti untuk menganalisanya.

## Daftar Pustaka
[1] Addison, Paul. S., 1997, Fractals and Chaos an Illustrated Cours ,  Institute of Publishing, London.
[2] Beek, Alan, 1996, What is a Fractal and Who is This Guy Mandelbrot?, http:// www. glyphs.com/ art/ fractals/ what is. html.
[3] Bouldry,  W.C.,  dkk,  1995,  C alculus  Projects  with  Maple  Project  20.  Koch’s Fractal , Cole Pub. Co.
[4] Bourke,  Paul,  1991, An  Introduction  to  Fractals ,  http://  www.  astronomy. swim.edu.au/ ~pbourke/ fractals/ fracinto. htm.
[5] Falkoner,  Kenneth,  1990, Fractal  Geometry  Mathematical  Foundations  and Applications ,  John  Wiley  &  Sons,  Chichester,  New  York,  Brisbane,  Toronto, Singapore.
[6] Kusno,  2003, Diktat  Kuliah  Geometri ,  Fakultas  MIPA  Universitas  Jember, Jember.
[7] Purcel,  E.J,  Vaberg,  Dale,  1999. Calculus  with  Analytic  Geometry  5 th Edition (Terjemahan  oleh  I  Nyoman  Susila,  Bana  Kartasasmita,  Rawuh),  Erlangga, Jakarta.
[8] Sandefur,  James  T.,  1996. Using  Self-Similarity  to  Find  Length , Area , and Dimension , The American Mathematical Monthly, Washington D.C.
[9] Spiegel,  Murray  R.,  1968. Mathematical  Hand  Book  of  Formula (Terjemahan oleh M.O. Tjia), Erlangga, Jakarta.
[10] Weisstein, E. W., 1999. CRC Concise Encyclopedia of Mathematics , Boca  Raton, London, New York, Washington D. C.