Vol.14, No. 2,  137-142,  Januari  2018
Penggunaan Bilangan Fuzzy Segitiga pada Perbandingan Kemampuan Proses
Muhammad Abdy 

## Abstrak
Kebanyakan  metode-metode  untuk  menilai  kemampuan  proses  manufaktur  menggunakan bilangan  biasa.  Dalam  tulisan  ini  dibahas  metode  untuk  menilai  kemampuan  proses (Perbandingan  Kemampuan  Proses)  dengan  menggunakan  bilangan  fuzzy  yang  mempunyai fungsi  keanggotaan  berbentuk  segitiga.  Perbandingan  Kemampuan  Proses  (PKP)  tersebut diperlukan  apabila  batas  spesifikasi  yang  diberikan  adalah  fuzzy.  Beberapa  hubungan  di antara PKP fuzzy tersebut juga akan diberikan.
Kata Kunci: Bilangan Fuzzy, PKP klasik, PKP Fuzzy.

## 1. Pendahuluan
Grafik  pengendali  akan  memberikan  banyak  informasi  mengenai  kemampuan penampilan proses. Suatu proses disebut kapabel jika karakteristik kualitas yang bernilai rill dari produk berada diantara batas spesifikasi bawah dan batas spesifikasi atas dari grafik  pengendali. Suatu  statistik  yang  biasa  digunakan  untuk  menyatakan  kemampuan  proses  adalah  melalui perbandingan kemampuan proses (PKP). PKP ini membandingkan output suatu proses terhadap batas spesifikasi. Terdapat beberapa PKP yang telah diperkenalkan oleh para statitikawan untuk mengestimasi  kemampuan  proses  suatu  manufaktur,  diantaranya  adalah C p , C pk , C pm dan sebagainya.  PKP  tersebut  akan  disebut  sebagai  PKP  klasik  dalam  tulisan  ini  untuk membedakannya dengan PKP fuzzy.
Sejak diperkenalkannya teori himpunan fuzzy oleh L. A. Zadeh pada 1965, telah banyak artikel/paper yang  membahas penggunaan teori fuzzy  dalam bidang statistik dan probability. Di antaranya  adalah  regresi  fuzzy,  hypotesis  fuzzy,  variabel  acak  fuzzy,  dan  sebagainya  (Taheri, 2003).  Demikian  juga  dalam  bidang  pengendalian  kualitas  statistik,  Youngtin  (1996) memperkenalkan batas spesifikasi sebagai suatu bilangan fuzzy, dan Jorg Hoppner & Hans Wolf (1995)  mengkonstruksi  suatu  bagan  kendali  Shewhart-Fuzzy.  Dalam  tulisan  ini  dibahas  batas spesifikasi dan PKP yang berbentuk bilangan fuzzy segitiga.

## 2. Bilangan Fuzzy
Di antara berbagai jenis himpunan fuzzy, maka himpunan fuzzy yang didefinisikan pada himpunan  bilangan  rill  R  mempunyai  arti  yang  khusus.  Himpunan  kabur  yang  demikian mempunyai  makna  kuantitatif  dan  disebut  sebagai  bilangan  fuzzy.  Bilangan  fuzzy  merupakan suatu bilangan yang tidak persis ( imprecise ) dalam garis rill  , misalnya ”kira-kira 10”, ”sekitar 20”, dan sebagainya.
 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Negeri Makassar, Makassar
Definisi 1.
Misalkan A adalah  suatu  himpunan  fuzzy  yang  didefinisikan  pada  bilangan  rill  .  Maka A merupakan suatu bilangan fuzzy jika memenuhi sifat berikut:
(i). A adalah himpunan fuzzy normal dan fuzzy konveks.
(ii). Potongan-  dari A merupakan interval tertutup   [0, 1].
Fungsi  keanggotaan  segitiga  dan  trapesium  sering  digunakan  sebagai  fungsi  keanggotaan bilangan fuzzy. Akan tetapi, bentuk-bentuk fungsi keanggotaan yang lain dapat juga digunakan.
Jika bilangan fuzzy A menggunakan fungsi keanggotaan segitiga, maka  disebut bilangan fuzzy segitiga yang dinyatakan sebagai:
( ) /( ) jika ( ) ( ; , , ) ( ) /( ) jika
0 yang lain A A
x a b a a x b x x a b c c x c b b x c                  .
Terdapat  dua  metode  untuk  melakukan  operasi  aritmetika  pada  bilangan  kabur,  yaitu  metode potongan-  dan  metode  prinsip  perluasan.  Dengan  metode  potongan-  ,  operasi  aritmetika pengurangan dan pembagian dengan bilangan rill diperoleh sebagai berikut.
Misalkan  bilangan  fuzzy  segitiga A dan B mempunyai  fungsi  keanggotaan  masing-masing adalah ( ; , , ) A x a b c  dan ( ; ', ', ') A x a b c  dimana k  R, k> 0 dan a  c ’, maka (i). A – B mempunyai fungsi keanngotaan ( ; ', ', ') A B x a c b b c a      . (iii). A /k  mempunyai fungsi keanngotaan . ( ; / , / , / ) A B x a k b k c k  .

## 3. Kemampuan Proses (PKP) Klasik
Perbandingan  kemampuan  proses  (PKP)  merupakan  ukuran  kemampuan  proses  untuk menghasilkan produk yang memenuhi spesifikasi ([7]). Beberapa PKP klasik telah diperkenalkan, diantaranya adalah:
C p = 6 6
A B l     ([4]) (1)
dimana A = batas spesifikasi atas; B = batas spesifikasi atas; l = A – B,
C pk = 2 | | min[ , ] 6 3 l M A B           ([5]), (2)
dimana M = (B + A)/2,
C pm = 2 2 2 6 ( ) 6 [( ) ] l l T E X T       ([2]), (3)
dimana T adalah nilai target dan E(.) adalah nilai harapan,
C pmk = 2 2 2 2 | |
2 | |
6 ( ) 6 [( ) ] l M l M
T E X T             ([9]). (4)
Dari keempat PKP di atas, maka akan terdapat hubungan sebagai berikut:
C pk = C p – 1 3 M    , (5)
C pm =   2
1 p T C     , (6)
C pmk =   2
1 pk T C     , (7)
atau
C pmk = pm pk p C C C . (8)

## 4. Perbandingan Kemampuan Proses Fuzzy
Suatu PKP fuzzy akan  memuat informasi lebih banyak dibandingkan dengan PKP yang menggunakan  bilangan  biasa.  Pada  bagian  ini  akan  diberikan  PKP  fuzzy  dengan  menggunakan bilangan fuzzy segitiga seperti yang dibahas pada bagian 2. Batas spesifikasinya juga merupakan bilangan  fuzzy  segitiga.  Diasumsikan  juga  bahwa  proses  yang  diberikan  adalah  berdistribusi normal  atau  sekurang-kurangnya  mendekati  distribusi  normal.  Berikut  ini  diberikan  beberapa definisi.

## Definisi 2.
Misalkan suatu proses fuzzy dengan simpangan baku  , batas spesifikasi atas dan bawah masing- masing  adalah  bilangan  fuzzy A dengan  fungsi  keanggotaan ( ; , , ) a a a A x a b c  dan  bilangan fuzzy  B dengan fungsi keanggotaan ( ; , , ) b b b B x a b c  , dimana a a  b b , maka:
a) Lebar  diantara  batas  spesifikasi  proses  fuzzy  adalah  sebuah  bilangan  fuzzy  segitiga  yang didefinisikan sebagai BS l = A –  B
b) PKP  fuzzy  adalah  sebuah  bilangan  fuzzy  segitiga  yang  berbentuk : 6 p BS C l   dengan
fungsi keanggotaan 6 6 6 ( ; , , ) a b a b a b a c b b c a C x        (9)

## Contoh.
Misalkan suatu batas spesifikasi atas dan bawah suatu produk masing-masing adalah ”kira-kira 5” dan  ”kira-kira  10”  dengan  fungsi  keanggotaan  masing-masing  adalah ( ;9,10,11) A x  dan
( ;3,5, 7) B x  . Andaikan bahwa rataan proses  = 7,5 dan simpangan baku proses  = 2/3, maka akan diperoleh lebar diantara batas spesifikasi proses sebagai bilangan kabur BS l dengan fungsi keanggotaan ( ; 2, 5, 9)
BS l x  atau BS l = ”kira-kira 5” dan  PKP fuzzy dari proses tersebut adalah bilangan fuzzy p C dengan fungsi keanggotaan
5 9 2 4 4 4 ( ; , , ) P C x  atau p C = ”kira-kira 5/4”.
Definisi 3.
Misalkan A dan  B   dengan  fungsi  keanggotaan  seperti  dalam  Definisi  4.1  masing-masing adalah  batas  spesifikasi  atas  dan  bawah  suatu  proses,  maka  berdasarkan  definisi  4.1.  dan persamaan (2) – (4), diperoleh
pk C  dengan fungsi keanggotaan:
2 2 2 ; , , 6 6 6 a b a b a b a c m b b m c a m x                       , (10)
pm C dengan fungsi keanggotaan:
2 2 2 2 2 2 ;
, , 6 ( ) 6 ( ) 6 ( ) a b a b a b a c b b c a x
t t t

                       , (11)
pmk C dengan fungsi keanggotaan:
2 2 2 2 2 2 2
2 2
; , , 6 ( ) 6 ( ) 6 ( ) a b a b a b a c m b b m c a m x
t t t   

                             , (12)
dengan m = (b a + b b )/2 dan t nilai target.
Apabila nilai batas spesifikasi atas dan bawah diubah menjadi bilangan biasa, yaitu jika a a = b a = c a dan a b = b b = c b maka PKP fuzzy tersebut akan sama dengan PKP klasik.
Seperti pada PKP klasik yang dapat dikaitkan satu sama lain, maka demikian juga pada PKP fuzzy yang dapat dikaitkan melalui teorema berikut.
Teorema 1. Dalam sebuah proses fuzzy, hubungan diantara PKP fuzzy pada (9) – (12) adalah:
pk C (x) = ( / 3 ), p C x m     (13)
pm C (x) =   2 2 1 ( ) / p C x t 
   , (14)
pmk C (x) =   2 2 1 ( ) / pk C x t
    . (15)
Bukti :
Muhammad Abdy
Misalkan k = |  – m |/3  , maka dengan beberapa manipulasi aljabar, akan dapat diperoleh bahwa
6 ( ) jika ( ) / 6 ( ) / 6 6 ( ) ( ) jika ( ) / 6 ( ) / 6
0 yang lain b a a b a b a b b a a b p a b a b a b b a c a x k a c x k b b b c b a c a x k C x k b b x k c a c b a b                                        ,
dan
6 ( ) jika ( ) / 6 ( ) / 6 6 ( ) ( ) jika ( ) / 6 ( ) / 6
0 yang lain b a a b a b a b b a a b pk a b a b a b b a c a x k a c k x b b k b c b a c a x k C x b b k x c a k
c b a b
                                       
,
sehingga (13) terbukti. Dengan cara perhitungan yang serupa, (14) dan (15) dapat dibuktikan.  ■

## 5. Kesimpulan dan Saran
Nilai PKP fuzzy akan sama dengan nilai PKP klasik apabila batas spesifikasi dari proses merupakan  bilangan  non-fuzzy.  PKP  fuzzy  akan  lebih  fleksibel  dalam  memberikan  ukuran kemampuan  proses  karena  akan  dapat  menyesuaikan  diri  terhapap  lingkungan  dari  proses. Penggunaan bilangan fuzzy segitiga memberikan perhitungan yang sederhana dan simpel karena sifat  dari  fungsi  keanggotaannya  yang  berbentuk  linear.  Penggunaan  bilangan  fuzzy  dengan fungsi keanggotaan bukan segitiga kemungkinan dapat juga dikaji.

## Daftar Pustaka
[1] Abdy, M., 2008, Dasar-Dasar Teori Himpunan Kabur dan Logika Kabur , Badan Penerbit UNM, Makassar.
[2]   Hsiang,  T.C.,  Taguchi,  G.,  1985,  Tutorial  on  Quality  Control  and  Assurance  –  The Taghuci Method, Joint Meeting of American Statistical Association .
[3] Jorg  Hoppner  &  Hans  Wolf,  1995,    The  Design  of  Fuzzy  Shewhart  Control  Chart, Technical Report , Abteilung Stochastik , Universitat Ulm, Germany.
[4]   Juran, J. M, 1974, Juran’s Quality Control Handbook , (3 rd ed), McGraw-Hill, New York.
[5]   Kane, V. E, 1986, Process Capability Indices, Journal of Quality Technology , 18, 41- 52.
[6]   Kotz, S, 1993, Process Capability Indices , Chapman and Hill, New York.

## Muhammad Abdy
[7]   Montgomery,  D.  C,  2001, Introduction  to  Statistical  Quality  Control ,  John  Wiley,  New York.
[8]   Parchami et al ., 2006, Process Capability Indices as Fuzzy Number, Australian Journal of Statistics, 34, 301-321.
[9]   Pearn et al .,  1992, Distribution and Inferential Properties of Capability Indices, Journal of Quality Technology , 24, 41-52.
[10]  Taheri, S. M, 2003, Trends in Fuzzy Statistics , Austrian Journal of Statistics , 32, 239-257.
[11] Youngtin, C, 1996, Fuzzy Quality and Analysis on Fuzzy Probability, Fuzzy Set and System , 83, 283-290.