## Penentuan Distribusi Suhu pada Permukaan Geometri Tak Tentu Menggunakan Metode Random Walk
Balduyanus Yosep Godja a) , Andi Ihwan a)* , Apriansyah b)
a Jurusan Fisika Fakultas Matematika dan Ilmu pengetahuan Alam , b Jurusan Ilmu Kelautan Fakultas Matematika dan Ilmu pengetahuan Alam Universitas Tanjungpura Jalan Prof. Dr. Hadari Nawawi, Pontianak, Indonesia *Email : andihwan@physics.untan.ac.id

## Abstrak
Telah  dilakukan  penentuan  distribusi  suhu  dalam  keadaan  tunak  pada  sebuah  plat  bergeometri  tak  tentu menggunakan  metode  Random  Walk  yang  dilengkapi  fungsi  green.  Setiap  sisi  plat  dikondisikan  bervariasi terhadap  suhu  dalam  rentang  10°C  sampai  100°C  dengan  4  (empat)  konfigurasi  berkeadaan steady . Persamaan  Laplace  yang  mendeskripsikan  permasalahan  ini  dihampiri  dengan  mensimulasikan  sejumlah walker pada setiap titik domain permasalahan untuk kemudian secara acak disebar menuju ke setiap sisi plat. Hasil  yang  diperoleh  untuk  setiap  kondisi  plat  menunjukkan  kesalahan  relatif  terhadap  solusi  numerik metode iterasi jacobi yang telah menghampiri solusi analitik, secara rata-rata adalah 0,85%. Nilai kesalahan tersebut  diperoleh  dengan  menggunakan  5000 walker .  Penelitian  ini  juga  mendapatkan  bahwa  akurasi hampiran ditentukan oleh banyaknya walker yang digunakan. Secara umum, semakin banyak jumlah walker yang digunakan maka akurasi hampiran akan semakin baik.
Kata Kunci : Persamaan Laplace, Distribusi Suhu, Random Walk, Walker, Geometri Tak Tentu

## 1. Latar Belakang
Fenomena  fisis  terkait  distribusi  suhu keadaan  tunak  pada  sebuah  permukaan  maupun ruangan  direpresentasikan  secara  matematis menggunakan  persamaan  diferensial  parsial  [1]. Untuk  beberapa  fenomena  sederhana,  persamaan diferensial  dapat  dicari  solusinya  secara  analitik baik  menggunakan  teknik  separasi  variabel maupun  teknik  perhitungan  matematis  lainnya. Namun  untuk  kasus  yang  lebih  kompleks, penyelesaian  solusi  analitik  sangat  sulit  untuk dilakukan  karena  kerumitan  penerapan  syarat batas maupun faktor simetri permasalahan.
Untuk memecahkan permasalahan tersebut,  dilakukan  pencarian  solusi  alternatif menggunakan metode numerik,
yaitu menghampiri  persamaan  diferensial  secara langsung  menggunakan  deret  Taylor  dan  teknik kalkulus  variasi  [2]  maupun  memanfaatkan variabel acak [3] untuk mendekati fenomena yang ditinjau. Untuk pilihan pertama, kerumitan masih terkandung di dalam proses pencarian. Sedangkan pada pilihan kedua kerumitan masih akan muncul pada  penerapan  syarat  batas  dan  jenis  geometri permasalahan  yang  ditinjau.  Khusus  untuk pendekatan  menggunakan  variabel  acak,  tingkat kerumitan  sedikit  tereduksi  karena  metode  ini menirukan  proses  fisis  yang  terjadi  secara  acak atau random hanya  dengan  memperhitungkan probabilitasnya.  Pemilihan  metode  ini  bagi
sebagian  kasus  distribusi  didasarkan  pada kesederhanaan operasi matematisnya.
Pada  penelitian  ini  dilakukan  pencarian distribusi suhu pada sebuah permukaan geometri tak  tentu  menggunakan  metode random  walk . Geometri permasalahan awal yang ditinjau adalah benda  bersimetri  bujur  sangkar  yang  diberi perlakuan  suhu  tertentu  untuk  kemudian  dicari distribusi  suhunya  pada  keadaan  steady.
Persamaan diferensial parsial yang merepresentasikan keadaan ini adalah persamaan Laplace  [1].  Faktor  geometri  yang  menjadi kerumitan  untuk  metode  numerik  yang  lain direduksi  kerumitannya  dengan  menghitung fungsi  Green  pada  fungsi  ditribusi  suhu  yang ditinjau.  Fungsi  Green  tersebut  akan  diperoleh dengan  memanfaatkan  sejumlah walker yang disebar  ke  seluruh  domain  permasalahan  yang kemudian akan dihitung frekuensi transitnya pada batas domain.
2. Metodologi 2.1 Metode Random Walk
Dalam  penelitian  ini,  penentuan  distribusi suhu  dihitung  menggunakan  metode  Random walk dimana solusi persamaannya adalah [4]:
T(x,y)= ∑ (1)
Gambar 1.  Metode random walk Algoritma metode random walk (Gambar 1) untuk  menghitung  solusi  persamaan  Laplace dituliskan sebagai berikut:
a Dimulai  dari  titik dimana  nilai temperatur yang diinginkan. Langkah diambil dalam arah acak.
b Selanjutnya walker dijalankan hingga mencapai  permukaan. dicatat  sebagai temperatur pada batas (i)
c Langkah  1  dan  2  diulangi  setiap  waktu  dan temperatur  yang  didapat  dijumlahkan  pada permukaan.
d Nilai  dari  temperatur  pada  titik dihasilkan  oleh  persamaan  (1)  dimana  n jumlah walker dari random walk .

## 2.2 Deskripsi  Model
Deskripsi  model  yang  digunakan  adalah plat  segi  empat  dengan  ukuran  (10  x  10  )  cm dengan perlakuan syarat batas seperti Gambar 2.
Gambar 2 . Plat Segi Empat
Persamaan  yang  digunakan  untuk  masalah model  adalah  persamaan  konduksi  panas  dua dimensi  keadaan  tunak  atau  dikenal  sebagai persamaan Laplace berikut:
(2) 2.3 Model Analitik dan Model Numerik Penyelesaian analitik persamaan (2)
dengan  nilai  awal dan  syarat  batas  sesuai  dengan deskripsi model yang selanjutnya disebut sebagai
Model  Analitik  dirumuskan  di  persamaan  (3) berikut:
∑ (3)
Diskritisasi numerik (Model Numerik/ MN) dalam penyelesaian persamaan (2) menggunakan metode iterasi jacobi [1]:
( ) (4)
Metode  iterasi  jacobi  digunakan  sebagai validasi  terhadap  solusi  analitik.  Kondisi  tersebut diilustrasikan pada Gambar 2.

## 2.4 Skenario Model
Skenario model pada penelitian adalah plat bergeometri tak tentu seperti pada Gambar 3.
Gambar 3. Geometri Tak Tentu Berikut  adalah  kondisi-kondisi  yang  akan disimulasi pada penelitian ini
Tabel 1 . Tabel Kondisi Suhu Geometri Tak Tentu Kondisi a ( o C) b ( o C) c ( o C) I 100 75 10 II 100 10 75
2.5 Selisih Relatif RMS Tingkat  kesalahan  pada  penelitian  ini menggunakan  persamaan  (5)  yaitu  Root  Mean Square  Error  (RMSE).  RMSE  adalah  parameter statistik yang menginformasikan pengguna model tentang  ukuran  aktual  error  yang  dihasilkan  oleh model [5].
√ (5) Keterangan: T(i,j) = Nilai suhu metode iterasi jacobi T(x,y) = Nilai suhu metode random walk N = jumlah data
0 ℃ 0 ℃ 100 ℃ 0 ℃
3. Hasil dan Simulasi
3.1 Validasi  Solusi  Metode  Random  walk terhadap Solusi Metode Iterasi jacobi
(a)
(b)
Gambar 4. Hasil Plot Solusi Metode Iterasi Jacobi (a) dan Solusi Analitik (b) Plat Segi Empat Untuk  solusi  metode  iterasi  jacobi  dan solusi analitik pada kasus plat segi empat memiliki pola distribusi suhu yang relatif sama seperti pada
Gambar 4 dan memilki RMS eror (0,8 %). Sehingga solusi  numerik  Metode  Iterasi  Jacobi  dapat digunakan untuk validasi Metode Random Walk.
3.2 Distribusi  Suhu  Permukaan  Geometri Tak Tentu menggunakan Metode
Random Walk pada Kondisi I (a) (b)
Gambar 5. Hasil Plot Solusi Metode Random Walk (a) walker 5000 (b) Metode Iterasi Jacobi
Kondisi(I)
Pada  Gambar  5,  memperlihatkan  bahwa pola  distribusi  suhu  dari  kedua  metode  relatif sama.  Distribusi  suhu  cenderung  menyebar  tidak merata  pada  geometri  tak  tentu.  Pada  sisi  kiri gambar  diberi  kondisi  kalor  yang  lebih  besar dibanding  sisi  tengah  dan  sisi  kanan.  Gradasi temperatur  terlihat  landai  di  sisi  kanan  plat.  Hal ini  disebabkan  daerah  sisi  kanan  plat  merupakan
sumber  kalor  bagi  sisi  kiri  dan  sisi  tengah  plat. Sedangkan  sisi  kiri  plat  dijaga  dengan  batas domain  10 0 C  tidak  memberikan  kontribusi  suhu yang  signifikan  terhadap  aliran  kalor.  Untuk melihat  proses  perpindahan  suhu  disimulasikan grafik  penampang  melintang  domain  kondisi, seperti pada Gambar (6)
x y 2 4 6 8 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Suhu (oC) 10 20 30 40 50 60 x y 2 4 6 8 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Suhu (oC) 10 20 30 40 50 60 0 5 10 15 20 25 30 0 2 4 6 8 10 12 14 x y Suhu (oC) 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 0 5 10 15 20 25 30 0 2 4 6 8 10 12 14 x y Suhu (oC) 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
Gambar 6. Grafik Penampang Melintang Plat Geometri Tak Tentu Kondisi (I)
Dari  grafik  yang  ditunjukkan  Gambar  6 menjelaskan  bahwa  aliran  kalor  yang  terjadi adalah dari suhu tertinggi ke suhu rendah dengan 3 variasi batas domain. Hal ini diakibatkan adanya perbedaan suhu  yang menunjukan adanya proses perpindahan kalor.
Persamaan  (1)  fungsi  green  G  menyatakan banyaknya  frekuensi walker yang  berhenti  pada syarat batas. Ditinjau dari titik pada domain suhu yang  akan  ditentukan  secara  geometri walker
akan  cenderung  berhenti  pada  syarat  batas domain  terdekat  dari  sumber  panas.  Pada  syarat batas 100 0 C  titik domain suhu yang dekat dengan syarat  batas  ini  memiliki  jumlah walker lebih banyak  dari  titik  domain  suhu  yang  terdekat dengan  kedua  syarat  batas  lainnya.  Sama  halnya dengan  syarat  batas  50 0 C  dan  10 0 C.  Jumlah keseluruhan walker sama  dengan walker yang disimulasikan yaitu 5000.

## 3.3 Distribusi  Suhu  Permukaan  Geometri
Tak Tentu menggunakan Metode Random Walk pada Kondisi II
(a) (b)
Gambar 7. Hasil Plot Solusi Metode RandomWalk (a) walker 5000 (b) Metode Iterasi Jacobi Kondisi (II)
Dapat dilihat dari Gambar 7, bahwa kedua metode  memilki  pola  sebaran  suhu  yang  relatif sama.  Bagian  tengah  plat  geometri  tak  tentu merupakan  domain  dengan  kondisi  suhu  terkecil. Hal  ini  mengakibatkan  daerah  ini  merupakan daerah transfer kalor dari kedua sisi. Gradasi suhu
yang  terjadi  terlihat  curam  di  tengah  dan  sedikit melandai ke arah domain batas ujung plat.
Grafik  penampang  melintang  domain kondisi dapat menunjukkan pola aliran suhu:
0 5 10 15 20 25 30 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 x s u h u walker 5000 jacobi
0 5 10 15 20 25 30 0 2 4 6 8 10 12 14 x y Suhu (oC) 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 0 5 10 15 20 25 30 0 2 4 6 8 10 12 14 x y Suhu (oC) 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
Gambar 8. Grafik Penampang Melintang Plat Geometri Tak Tentu Kondisi (II)
Grafik  pada  Gambar  8  menggambarkan perpindahan  panas  dari  suhu  tinggi  ke  suhu rendah. Indikatornya adalah titik minimum grafik menunjukkan domain bersuhu rendah. Sedangkan kedua  puncak  grafik  mewakili  domain  bersuhu tinggi. Perbedaan suhu inilah yang mengakibatkan aliran kalor dapat terjadi.
Hasil plot dan simulasi distribusi suhu pada permukaan  geometri  tak  tentu  dengan  metode random  walk dan  jumlah walker hingga  5000 untuk  semua  kondisi  secara  umum  memiliki penurunan  selisih  relatif  rms  terhadap  metode iterasi jacobi seperti terlihat pada Gambar (8)
Gambar 9. Grafik Pengaruh Penambahan Walker terhadap Selisih Relatif Rms 2 Kondisi Grafik  Pengaruh  Penambahan Walker terhadap  Selisih  Relatif  Rms  menunjukkan penurunan  selisih  relatif  RMS.  Penurunan  secara signifikan terjadi dengan jumlah walker 500-1500 untuk semua kondisi. Lewat dari jumlah itu selisih relatif  rms  mengalami  penurunan  dan  kenaikan yang tidak fluktuatif.  Namun nilai yang dihasilkan cenderung  mengecil  dan  mencapai  konvergen dengan walker di  atas  5000.  Keterbatasan
perangkat lunak membuat walker yang disimulasi tidak lebih dari 5000.
Seperti  pada  kondisi  I  fungsi  green  G menyatakan  banyaknya  frekuensi walker yang berhenti  pada  syarat  batas.  Secara  geometri walker akan cenderung berhenti pada syarat batas domain terdekat dari sumber panas. Pola ini sama dengan pada kondisi 1. Hal ini disebabkan peluang walker singgah  pada  syarat  batas  terjauh  tidak lebih besar dari sebaliknya.
0 5 10 15 20 25 30 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 x s u h u walker 5000 jacobi 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 walker s e lis ih r e la ti f R M S Kondisi 1 Kondisi 2 Kondisi 3 Kondisi 4

## 4. Kesimpulan
Dari  penelitian  ini  untuk  kasus  distribusi suhu dalam keadaan tunak pada plat bergeometri tak tentu dapat disimpulkan bahwa solusi Metode Iterasi  Jacobi  dapat  menghampiri  solusi  analitik dengan baik. Selisih relatif kedua metode  sebesar 0,8  %.  Sehingga  Metode  iterasi  Jacobi  dapat dijadikan  sebagai  validasi  untuk  Metode Random Walk. Solusi  Metode Random  Walk dapat menghampiri solusi numerik metode iterasi Jacobi dengan  rentang  selisih  relatif  rms  (0,74-3,55)  %. Solusi  Metode Random  Walk mencapai  nilai konvergen dengan jumlah walker di atas 5000.

## Daftar Pustaka
[1] Apriansyah.  Simulasi  Distribusi  Temperatur
Keadaan Tunak (steady state) Pada Lempeng 2 Dimensi  Dengan  Menggunakan  Metode Cellular  Automata  Pontianak:  Jurusan  Fisika FMIPA UNTAN; 2008 (skripsi).
[2] Gapar, Arman Y, Apriansyah. Solusi Persamaan Laplace  Menggunakan  Metode  Random  Walk. Positron. 2015; 5(2): p. 65-69.
[3] Sumarji.  Simulasi  Distribusi  Suhu  Pada  Plat Dua  Dimensi  Menggunakan  Metode  Elemen Hingga  (Finite  Elemen  Method)  Pontianak: Jurusan Fisika FMIPA UNTAN; 2012 (skripsi).
[4] Gould  H,  Tobochnik  J,  Christian  W.  An Introduction to Computer Simulation Method : Aplication to Physical Systems. 3rd ed. Inc PE, editor. San Francisco: Addison-Wesley; 2007.
[5] Kasman.  Analisa  Zona  Pesisir  Terdampak Berdasarkan  Model  Dispersi  Thermal  dari  Air Buangan  Sistem  Air  Pendingin  Bandung: Institut Pertanian Bogor; 2011.