Jurnal Kajian Pendidikan Sains

## MENENTUKAN PERSAMAAN GELOMBANG SCHRÖDINGER POTENSIAL NON-SENTRAL SCARF HIPERBOLIK PLUS ROSEN-MORSE TRIGONOMETRIK MENGGUNAKANMETODE SUPERSIMETRI MEKANIKA KUANTUM
M. SYAIFUDIN
SMA Negeri 1 Purbalingga, Jalan Letjen M.T. Haryono, Purbalingga 53312 e-mail: sae_mr@yahoo.com

## ABSTRAK
Penelitian ini  bertujuan  untuk  menentukan  persamaan  gelombang  Schrödinger  potensial  non-sentral  Scarf  hiperbolik  plus Rosen-Morse  trigonometrik  menggunakan  metode  Supersimetri  Mekanika  Kuantum  (SUSI  MK).  Persamaangelombang radial diperoleh dari persamaan Schrödinger bagian radial, sedangkan persamaan gelombang sudut diperoleh dari persamaan Schrödinger bagian sudut polar. Penentuan persamaan gelombang tingkat dasar ditentukan dengan sifat lowering operator dan  persamaan  gelombang  tereksitasi  ditentukan  dengan  sifat raising  operator .  Jadi,  baik  untuk  bagian  radial  maupun bagian  polar  ditentukan  dengan  menggunakan  metode  operator  supersimetri.  Adapun  tampilan  gambar  dari  fungsi gelombang bagian polar menggunakan aplikasi program maple 12.
Kata  Kunci: Persamaan  Schrödinger,  Potensial  non-sentral  Scarf  hiperbolik  plus  Rosen-Morse  trigonometrik, Supersimetri mekanika kuantum

## ABSTRACT
The purpose of this research is to determine the Schrödinger equation of non-central potential Scarf hyperbolic plus Rosen- Morse trigonometric method Supersymmetry Quantum Mechanics (SUSY QM). Wavefunctions of the radialderivedfromthe completion  ofthe  radialpart  ofthe  Schrödingerequation,  while  thewavefunctions  ofthe  cornersobtainedfromthe Schrödingerequationpart  ofthe  polar  angle.Determination  ofthe  wavefunctions  ofthe  base  rateis  determinedbythe  nature ofloweringoperatorsandthe  excitedwavefunctionis  determinedby  thenature  of  theraisingoperator.  So,  both  for theradialandpolarpartsdeterminedby using method supersymmetry operator. As for the image display of the polar part wave function using maple 12 program app.
Keywords: Schrödinger  equation,  the  non-central  potential  Scarf  hiperbolic  plus  Rosen-Morse  trigonometric, Supersymmetry QuantumMechanics

## PENDAHULUAN
Mekanika  kuantum  merupakan  ‘ilmu dasar’  bagi  penelaahan  gejala  dan  sifat  berbagai sistem mikroskopik . 1 Mekanika kuantum merupakan cabang  ilmu fisika yang mempelajari perilaku  materi  dan  interaksinya  dengan  energi pada  skala  atom  dan  partikel  subatomik.  Dalam mekanika  kuantum,  perilaku  dari  partikel  dapat direpresentasikan dalam bentuk fungsi gelombang  yang  diperoleh  dari  penyelesaian persamaan Schrödinger. 2
1 M.  O.  Tjia, Mekanika  Kuantum, (Bandung:  ITB, 1999), hal 7a-9a.
2 Suparmi, Mekanika Kuantum II , (Surakarta: Jurusan Fisika FMIPA Universitas Sebelas Maret, 2011)
Persamaan
Schrödinger merupakan
persamaan
diferensial orde dua yang mendeskripsikan  bagaimana  keadaan  kuantum suatu sistem fisika yang berubah terhadap waktu. Persamaan  Schrödinger  merupakan  jantung mekanika  kuantum.    Jadi,  pada  intinya  bahwa hasil  dari  penyelesaian  persamaan  Schrödinger berupa  fungsi  gelombang  yang  memberikan informasi tentang perilaku partikel yang dipengaruhi oleh potensial tersebut. 3
Metode  Supersimetri  Mekanika  Kuantum (SUSI  MK)  merupakan  ‘pilihan  peneliti’  dalam
3 Carl, Mekanika  Kuantum  Penyelesaian  Potensial Non-Sentral dengan Supersimetri,  Hypergeometry, Nikivarov  Uvarov,  dan  Polinomial  Romanovski, (Surakarta: Sebelas Maret University Press, 2013)
Jurnal Kajian Pendidikan Sains
menyelesaikan  persamaan  Schrödinger  untuk potensial  non-sentral  Scarf  hiperbolik  plus Rosen-Morse  trigonometrik.  Hal  ini  didasarkan pada  suatu  alasan  bahwa  dengan  menggunakan metode  SUSI  MK,  penyelesaian  persamaan Schrödinger  melalui  sifat  degenerasinya  menjadi lebih  sederhana  yaitu  dari  persamaan  diferensial orde  dua  dapat  difaktorkan  menjadi  persamaan diferensial orde satu.

## METODE
Objek dalam penelitian ini adalah
persamaan Schrödinger daripotensial Scarf hiperbolik plus Rosen-Morse trigonometrik, yaitu :
a. Persamaan  Schrödinger  bagian  radial  untuk potensial  Scarf  hiperbolik  plus  Rosen-Morse trigonometrik
− ћ 2 2𝑚 𝑑 2 𝜓 𝑑 𝑟 2 + ћ 2 2𝑚 𝑀 2 +𝐾 2 − 1 4 sinh 2 𝑟 − 2𝑀𝐾 cosh  𝑟 sinh 2 𝑟 𝜓 = Eψ (1) (3.3)
dengan , 2𝑀𝐾 = 2𝑏  𝑎 + 1 2 dan
𝑀 2 + 𝐾 2 = 𝑏 2 +  𝑎 + 1 2 2 + 𝑙 𝑙 + 1
b. Persamaan  Schrödinger  bagian  sudut  untuk potensial  Scarf  hiperbolik  plus  Rosen-Morse trigonometrik
− ћ 2 2𝑚 𝑑 2 𝑄 𝑑𝜃 2 + ћ 2 2𝑚 𝜈  𝜈 +1 +𝑚 2 − 1 4 𝑠𝑖𝑛 2 𝜃 − 2𝜇 cot 𝜃  𝑄 = 𝐸𝑄 (2)
(3.4)
dengan , 𝜈 ′ =  𝜈 𝜈 + 1  + 𝑚 2 − 1 2 dan 𝐸 = ћ 2 2𝑚 𝑙 + 1 2 2 Instrumen yang digunakan
dalam penelitian  ini  berupa  persamaan-persamaan dalam metode SUSI MK, yaitu :
a. persamaan potensial efektif 𝑉 𝑒𝑓𝑓 = 𝑉 − 𝑥; 𝑎 0 + 𝐸 0 (3) (3.5)   (3.9)
b. persamaan fungsi gelombang tingkat dasar
𝜓 0 − 𝑥  = 𝑁 exp  − 2𝑚 ћ 𝑊 𝑥  𝑑𝑥 x (4) (3.10)
c. persamaan operator penaik
𝐴 + = − ћ 2𝑚 𝑑 𝑑𝑥 +  𝑊 𝑥 (5) (3.11)
d. persamaan fungsi gelombang tingkat ke- n 𝜓 𝑛 − 𝑥; 𝑎 0 ~𝐴 + 𝑥; 𝑎 0 𝜓 𝑛−1 − 𝑥; 𝑎 1 (6)
(3.12) Tujuan dari penelitian ini adalah menentukan persamaan gelombang dengan menggunakan  metode  SUSI  MK.  Adapun langkah-langkahnya  dapat  ditempuh  sebagai berikut :
a. Menentukan  persamaan  Schrödinger  bagian radial  dan  sudut  dari  potensial  non-sentral yang diketahui.
b. Menentukan potensial efektif  ( V eff ).
c. Menentukan  persamaan  spektrum  energi tingkat dasar ( E 0 ). d. Menentukan persamaan superpotensial 𝑊 𝑥 .
e. Menentukan  persamaan  fungsi  gelombang tingkat dasar 𝜓 0 − .
f. Menentukan  persamaan  fungsi  gelombang
tingkat ke -n 𝜓 𝑛 − .

## HASIL DAN PEMBAHASAN
Persamaan  fungsi  gelombang 𝜓 pada potensial  non-sentral  Scarf  hiperbolik  plus Rosen-Morse  trigonometrik  ditentukan  dengan cara  menyelesaikan  persamaan  Schrödinger potensial  tersebut.  Persamaan  Schrödinger  tiga dimensi  untuk  potensial  non-sentral  Scarf hiperbolik  plus  Rosen-Morse  trigonometrik dituliskan sebagai berikut :
− ћ 2 2𝑚 1 𝑟 2 𝜕 𝜕𝑟 𝑟 2 𝜕𝜓 𝜕𝑟 + 1 𝑟 2 sin 𝜃 𝜕 𝜕𝜃 sin 𝜃 𝜕𝜓 𝜕𝜃 + 1 𝑟 2 sin 2 𝜃 𝜕 2 𝜓 𝜕𝜑 2 + ћ 2 2𝑚 𝑏 2 +𝑎 𝑎 +1 sinh 2 𝑟 − 2𝑏 𝑎 + 1 2 cosh  𝑟 si nh 2 𝑟 𝜓 + ћ 2 2𝑚 𝑟 2 𝜈(𝜈 +1) sin 2 𝜃 −
2𝜇cot𝜃𝜓=𝐸𝜓 (7) (4.62)
Secara matematis, pers.(7)dapat dipisahkan menjadi  tiga  persamaan  diferensial  orde  dua, yaitu  persamaan  bagian  radial,  bagian  polar,  dan bagian azimuth sebagai berikut :
Persamaan bagian radial
− ћ 2 2𝑚 𝑑2𝜓 𝑑 𝑟 2 + ћ 2 2𝑚 𝑏2+𝑎 𝑎 +1 sinh 2 𝑟 − 2𝑏 𝑎 + 1 2 cosh  𝑟 sinh 2 𝑟 + ћ 22𝑚𝑙𝑙+1𝑟2𝜓=𝐸𝜓 (8) (4.63)
atau
− ћ 2 2𝑚 𝑑2𝜓 𝑑 𝑟 2 + ћ 2 2𝑚 𝑀2+𝐾2− 1 4 sinh 2 𝑟 − 2𝑀𝐾 cosh  𝑟 sinh 2 𝑟 𝜓 = 𝐸𝜓 (9) (4.64)
dengan 2𝑀𝐾 = 2𝑏  𝑎 + 1 2 , dan
𝑀 2 + 𝐾 2 = 𝑏 2 +  𝑎 + 1 2 2 + 𝑙 𝑙 + 1

## Persamaan bagian polar
− ћ 2 2𝑚 𝑑 2 𝑄 𝑑𝜃 2 + ћ 2 2𝑚 𝜈  𝜈 +1 +𝑚 2 − 1 4 𝑠𝑖𝑛 2 𝜃 − 2𝜇 cot 𝜃  𝑄 = 𝐸𝑄 (10) (4.65)
dengan 𝐸 = ћ2 2𝑚 𝑙 + 1 2 2 atau
S P E K T R A   |   Vol. IV No. 01, April 2018 P-ISSN : 2442-9910   |   E-ISSN : 2548-642X
Jurnal Kajian Pendidikan Sains
− ћ 2 2𝑚 𝑑2𝑄 𝑑𝜃 2 + ћ 2 2𝑚 𝜈 ′ (𝜈 ′ +1)
𝑠𝑖𝑛 2𝜃 − 2𝜇 cot 𝜃  𝑄 = 𝐸𝑄 (11) (4.66)
dengan 𝜈 ′ =  𝜈 𝜈 + 1  + 𝑚 2 − 1 2
Persamaan bagian azimuth 1  𝜕2 
𝜕  2 = −𝑚 2 atau 1  𝜕2  𝜕  2 + 𝑚 2 = 0 (12)
(4.67)
dengan   = 𝑒 𝑖𝑚 
Berdasarkan  bentuk  persamaan  potensial efektif dari potensial non-sentral Scarf hiperbolik plus  Rosen-Morse  trigonometrik  bagian  radial pada  pers.(9),  dapat  dimisalkan  persamaan superpotensialnya sebagai berikut:
𝑊 𝑟  = 𝐴 coth 𝑟  + B csch 𝑟 (13) Dengan menggunakan pers.(3), yaitu 𝑉 𝑒𝑓𝑓 = 𝑉 − 𝑥; 𝑎 0 + 𝐸 0 sehingga
𝑉 𝑒𝑓𝑓 − 𝐸 0 = 𝑊 2 𝑟  − ћ 2𝑚 𝑊 ′ 𝑟 (14) (4.70)
maka diperoleh :
ћ 2 2𝑚 𝑀2+𝐾2− 1 4 sinh 2𝑟 − ћ 2
2𝑚 2𝑀𝐾 cosh  𝑟 sinh 2 𝑟 − 𝐸 0 = 𝐴2+𝐵2+ ћ 2𝑚 𝐴 sinh 2𝑟 +
2𝐴𝐵+ ћ 2𝑚 𝐵  cosh  𝑟
sinh 2 𝑟
− 𝐴 2 (15) (4.71)
Dengan  menyamakan  ruas  kiri  dan  kanan diperoleh
𝐴 = − ћ 2𝑚 𝑀 + 1 2 (16.a) (4.72a)
𝐵 = ћ 2𝑚 𝐾 (16.b) (4.72b)
dan diperoleh persamaan spektrum energi tingkat dasar sebagai berikut :
𝐸 0 = ћ 2 2𝑚 𝑀 + 1 2 2 (16.c)
(4.72c)
Dengan  mensubtitusikan  pers.(16.a)  dan  (16.b) ke  pers.(13),  maka  persamaan  superpotensial untuk potensial non-sentral Scarf hiperbolik plus Rosen-Morse  trigonometrik  bagian  radial  dapat ditulis kembali sebagai :
𝑊 𝑟  = − ћ 2𝑚 𝑀 + 1 2 coth 𝑟  + ћ 2𝑚 𝐾 csch 𝑟 (17) (4.73)
sehingga
𝑊 2 𝑟  = ћ 2 2𝑚 𝑀 + 1 2 2 + 𝐾 2 csch 2 𝑟  − ћ 2 2𝑚 2  𝑀 +
12𝐾coth𝑟csch𝑟 −ћ 22𝑚𝑀+122 (18) (4.74)
dan
𝑊 ′ 𝑟  = ћ 2𝑚 𝑀 + 1 2 csch 2 𝑟  − 𝐾 coth 𝑟  csch 𝑟 (19) (4.75) (4.82)
Persamaan  fungsi  gelombang  untuk  potensial non-sentral  Scarf  hiperbolik  plus  Rosen-Morse trigonometrik  bagian  radial  ditentukan  dengan menggunakan  metode  operator  supersimetri.
Dengan  mensubtitusikan  pers.(17)  ke  dalam pers.(4) yaitu :
𝜓 0 − 𝑟; 𝑎 0 = 𝑁 exp  − 2𝑚 ћ 𝑊 𝑟; 𝑎 0 𝑑𝑟 r sehingga 𝜓 0 − 𝑟; 𝑎 0 = 𝑁exp  −    K csch 𝑟  − r 𝑀+12 coth 𝑟𝑑𝑟 (4.85)
dan diperoleh :
𝜓 0 − 𝑟; 𝑎 0 = 𝑁 cosh 𝑟  − 1−𝐾sinh⁡(𝑟)𝑀+𝐾+12 (20) (4.86)
Persamaan  (20)  merupakan  persamaan  umum fungsi  gelombang  tingkat  dasar  untuk  potensial non-sentral  Scarf  hiperbolik  plus  Rosen-Morse trigonometrik bagian radial.
Sedangkan  untuk  fungsi  gelombang  tingkat  satu ditentukan  dengan  mengoperasikan  operator penaik    ( 𝐴 + )  (pers.(5)  ke  dalam  persamaan gelombang  tingkat  dasar  (pers.(20))  dengan menggunakan pers.(6), yaitu
𝜓 1 − 𝑟; 𝑎 0 = 𝐴 + 𝑟; 𝑎 0 𝜓 0 − 𝑟; 𝑎 1 maka 𝜓 1 − 𝑟; 𝑎 0 =  − ћ 2𝑚 𝑑 𝑑𝑟 +  𝑊 𝑟; 𝑎 0 𝜓 0 − 𝑟; 𝑎 1 (4.87)
sehingga
𝜓 1 − 𝑟; 𝑎 0 = 𝑁  − ћ 2𝑚 𝑑 𝑑𝑟 + ħ
2𝑚 K csch 𝑟  −
𝑀+12coth𝑟cosh𝑟−1−𝐾sinh⁡(𝑟)𝑀+𝐾+12 (21) (4.88)
Dan dengan penjabaran sederhana diperoleh :
𝜓 1 − 𝑟; 𝑎 0 = 𝑁 ћ 2𝑚 𝐾 cosh 𝑟  − 1 −1 sinh⁡(𝑟) 2 −  2𝑀 + 𝐾 + 2  cosh 𝑟  + 𝐾 cosh 𝑟  − 1 −𝐾 sinh⁡(𝑟) 𝑀+𝐾+ 1 2 (22) (4.89)
Berdasarkan  bentuk  persamaan  potensial  efektif dari  potensial  non-sentral  Scarf  hiperbolik  plus Rosen-Morse  trigonometrik  bagian  polar  pada pers. (11), dapat dimisalkan persamaan superpotensialnya sebagai berikut :
𝑊 𝜃  = 𝐴  cot  𝜃  − 𝐵 𝐴 (23)
(4.93)
Dengan menggunakan persamaan (14) yaitu :
𝑉 𝑒𝑓𝑓 − 𝐸 0 = 𝑊 2 𝑟  − ћ 2𝑚 𝑊 ′ 𝑟 (4.94)
maka diperoleh :
𝐴 2 csc 2 𝜃  − 2𝐵  cot  𝜃  + 𝐵2 𝐴2 − 𝐴 2 +
ћ 2𝑚 𝐴 csc 2 𝜃  = ћ2 2𝑚 𝜈′ (𝜈′ +1) sin 2 𝜃 − ћ2 𝑚 𝜇 cot 𝜃 − 𝐸 0 (24) (4.95)
atau
𝐴 2 + ћ 2𝑚 𝐴  csc 2 𝜃  − 2𝐵  cot 𝜃  + 𝐵2 𝐴2 − 𝐴 2 = ћ2 2𝑚 𝜈′ (𝜈′ +1)
sin 2 𝜃 − ћ2 𝑚 𝜇 cot  𝜃  − 𝐸 0 (25)
(4.96)
Jurnal Kajian Pendidikan Sains
Dengan  menyamakan  ruas  kiri  dan  kanan, diperoleh :
𝐴 = − ћ 2𝑚 𝜐 ′ + 1 (26a) (4.97a)
𝐵 = ћ 2 𝜇 2𝑚 (26b)
(4.97b)
Dan  didapatkan  persamaan  spektrum  energi tingkat dasar sebagai berikut :
𝐸 0 = − ћ2 2𝑚 𝜇 2 𝜐′ +1 2 −  𝜐 ′ + 1 2 (26c) (4.97c) Dengan mensubtitusikan pers.(26a) dan pers.(26b) ke pers.(23), maka persamaan superpotensial  untuk  potensial  non-sentral  Scarf hiperbolik plus Rosen-Morse trigonometrik dapat ditulis kembali sebagai berikut :
𝑊 𝜃  = − ћ 2𝑚 𝜐 ′ + 1  cot  𝜃  − 𝜇 𝜐′ +1 (27)
(4.98)
sehingga
𝑊 2 𝜃  = ћ2 2𝑚 𝜐 ′ + 1 2 csc 2 𝜃  − ћ2𝜇 𝑚 cot  𝜃  + ћ2 2𝑚 𝜇 2 𝜐′ +1 2 −  𝜐 ′ + 1 2 (28) (4.99)
dan
𝑊 ′ 𝜃  = ћ 2𝑚 𝜐 ′ + 1 csc 2 𝜃 (29)
(4.100)
(4.113)
Sebagaimana  pada  bagian  radial,  persamaan fungsi  gelombang  bagian  polar  untuk  potensial non-sentral  Scarf  hiperbolik  plus  Rosen-Morse trigonometrik  ditentukan  dengan  menggunakan metode operator supersimetri. Dengan mensubtitusikan pers.(27) ke dalam pers.(4) yaitu :
𝜓 0 − 𝜃; 𝑎 0 = 𝑁exp  − 2𝑚 ћ 𝑊 𝜃 𝑑𝜃 θ
sehingga
𝜓 0 − 𝜃; 𝑎 0 = 𝑁 exp  − 2𝑚 ћ − ћ 2𝑚 𝜐 ′ + 1  cot  𝜃 − θ
𝜇𝜐′+1𝑑𝜃
(4.114)
dan diperoleh:
𝜓 0 − 𝜃; 𝑎 0 = 𝑁 sin 𝜃 𝜐 ′ +1 𝑒 − 𝜇 𝜐 ′ +1 𝜃 (30) (4.115)
Persamaan  (30)  merupakan  persamaan  umum fungsi  gelombang  tingkat  dasar  untuk  potensial non-sentral  Scarf  hiperbolik  plus  Rosen-Morse trigonometrik bagian polar.
Sedangkan  untuk  fungsi  gelombang  tingkat  satu ditentukan  dengan  mengoperasikan  operator penaik    ( 𝐴 + )  (pers.(5))  ke  dalam  persamaan gelombang  tingkat  dasar  (pers.(30))  dengan menggunakan pers.(6), yaitu
𝜓 1 − 𝜃; 𝑎 0 = 𝐴 + 𝜃; 𝑎 0 𝜓 0 − 𝜃; 𝑎 1
maka 𝜓 1 − 𝜃; 𝑎 0 = − ћ 2𝑚 𝑑 𝑑𝜃 +  𝑊 𝜃   𝜓 0 − 𝜃; 𝑎 1 (31)
(4.116) sehingga
𝜓 1 − 𝜃; 𝑎 0 =  − ћ 2𝑚 𝑑 𝑑𝜃 − ћ 2𝑚 𝜐 ′ + 1  cot  𝜃 −
𝜇𝜐′+1𝑁 sin 𝜃𝜐 ′ +2𝑒 − 𝜇𝜐 ′ +2𝜃 (32)
(4.117)
Dan dengan penjabaran sederhana diperoleh :
𝜓 1 − 𝜃; 𝑎 0 = ћ 2𝑚 𝑁 2𝜐′ +3 𝜇 𝜐′ +2  𝜐′ +1 sin 𝜃 −
2𝜐 ′ +3 cos 𝜃 sin 𝜃𝜐 ′ +1𝑒 − 𝜇𝜐 ′ +2𝜃 (33)

## Gambar 3.1. Fungsi Gelombang Potensial
Non-Sentral Scarf Hiperbolik plus Rosen- Morse Trigonometrik Bagian Polar  (m = 0)
No n l m  ν  μ 𝝍 𝒏 − 𝜽; 𝒂 𝟎 1. 1 0  0  0 −2 cos 𝜃 2. 1 0  4  0 −10,9 cos 𝜃  sin 𝜃 4.5 3. 1 0  0  4 10,7 sin 𝜃 − 2 cos 𝜃 𝑒 − 2,7𝜃
Jurnal Kajian Pendidikan Sains
4. 1 0  4  4 1.5 sin 𝜃 − 10.9 cos 𝜃  sin 𝜃 4.5 𝑒 − 0,7 𝜃
5.  2  0  0  0 8 𝑐𝑜𝑠 𝜃 2 6.  2  0  4  0 141,7 cos 𝜃 2 sin 𝜃 4,5 7.  2  0  0  4 41 sin 𝜃 2 − 46,9 sin 𝜃 cos 𝜃 − 4,3 cos 𝜃 + 8 cos 𝜃 2 𝑒 − 1,6 𝜃

## 8.  2  0  4  4
1,0  sin 𝜃 2 − 15,9 sin 𝜃 cos 𝜃 − 0,9 cos 𝜃 + 61,4 cos 𝜃 2 sin 𝜃 2,4 𝑒 − 0,4 𝜃
Gambar 3.2. Fungsi Gelombang Potensial Non- Sentral Scarf Hiperbolik plus Rosen-Morse Trigonometrik Bagian Polar  (m = 1)
No n l m  ν  μ 𝝍 𝒏 − 𝜽; 𝒂 𝟎 1. 1  1  0  0 −4 cos 𝜃 sin 𝜃 2. 1  1  4  0 −11,2 cos 𝜃  sin 𝜃 4.6 3. 1  1  0  4 4,3 sin 𝜃 − 4 cos 𝜃  sin 𝜃 𝑒 − 1,6 𝜃
S P E K T R A   |   Vol. IV No. 01, April 2018 P-ISSN : 2442-9910   |   E-ISSN : 2548-642X
4. 1  1  4  4 1.4 sin 𝜃 − 11,2 cos 𝜃  sin 𝜃 4.6 𝑒 − 0,7 𝜃 5. 2  1  0  0 24 𝑐𝑜𝑠 𝜃 2 sin 𝜃 6. 2  1  4  0 147 cos 𝜃 2 sin 𝜃 4,6 7. 2  1  0  4 10,4 sin 𝜃 2 − 33,8  sin 𝜃 cos 𝜃 − 2,7 cos 𝜃
+ 24 cos 𝜃 2 sin 𝜃 𝑒 − 1,1 𝜃
8. 2  1  4  4
0,9  sin 𝜃 2 − 15,9 sin 𝜃 cos 𝜃 − 0,9 cos 𝜃
+ 67,7 cos 𝜃 2 sin 𝜃 2,6 𝑒 − 0,4 𝜃
Dari  gambar  3.1  dan  3.2  dapat  dicermati  bahwa hadirnya cos 𝜃 2 sangat  mempengaruhi  bentuk gelombang.  Untuk  dapat  menampilkan  2  bentuk gelombang  atau  lebih,  maka  hanya  bisa didapatkan  apabila  muncul cos 𝜃 2 . Apabila nilai ν = μ ,  maka  terjadi  penumpukan gelombang, dan apabila ν ˃ μ maka bagian atas gelombang  tampak  mengerucut,  akan  tetapi  jika ν ˂ μ maka  bagian  bawah  gelombang  tampak mengerucut.

## KESIMPULAN
Persamaangelombang  radial  diperoleh  dari persamaan Schrödinger bagian radial, sedangkan persamaan  gelombang  sudut  diperoleh  dari persamaan  Schrödinger  bagian  sudut  polar. Penentuan  persamaan  gelombang  tingkat  dasar ditentukan  dengan  sifat lowering  operator dan persamaan  gelombang  tereksitasi  ditentukan dengan  sifat raising  operator .  Jadi,  baik  untuk bagian  radial  maupun  bagian  polar  ditentukan dengan menggunakan metode operator supersimetri.
S P E K T R A   |   Vol. IV No. 01, April 2018 P-ISSN : 2442-9910   |   E-ISSN : 2548-642X
Jurnal Kajian Pendidikan Sains

## DAFTAR PUSTAKA
Aktas  M. Exact  Solutions  to  a  New  Generalized Noncentral  Potensial  in  Three  Dimensons . arXiv:quant-ph/0701063v1 11 Jan 2007
Carl. 2013. Mekanika Kuantum Penyelesaian Potensial Non-Sentral dengan Supersimetri, Hypergeometry,Nikivarov Uvarov, dan
Polinomial Romanovski. Surakarta,  Sebelas Maret
University Press
Carl, Suparmi, dan Heti Marini, “Penentuan Spektrum Energi  dan  Fungsi  Gelombang  Potensial  Morse dengan  Koreksi  Sentrifugal  Menggunakan Metode SWKB dan Operator SUSY,”
IndonesianJournal  of  Applied  Physics (2012) Vol.2 No.2 hal. 112-116.
Cooper,  F.,  Khare,  A  dan  Sukhatme,  U. Supersymetry in    Quantum  Mekhanics .  World  Scientific, Singapure (2001).
Griffiths  DJ. Introduction  to  Quantum  Mechanics. Prentice Hall, USA (1994).
Ikhdair SM, dan Sever R. Polynomial Solution of Non- Central Potentials, arXiv:quant-ph/0702186v1 19
Feb 2007
Khare  A,  dan  Bhaduri  RK.  Supersymmetry,  Shape Invariance  and  Exactly  Solvable  Noncentral Potentials, arXiv:hep-th/9310104v1 16 Oct 1993
Mandel  BM.  “Path  Integral  Solution  of  Noncentral Potential,” International  Journal  of  Modern Physics A , Vol. 15, No. 9, 2000, pp. 1225-1238.
Rodrigues,  R.  D.  L. The  Quantum  Mechanics  SUSY algebra:  An  Introductory  Review .(2002),CBPF- MO-003/01
Sadeghi  J.  Factorization  Method  and  Solution  of  the Non-Central  Modifed  Kratzer  Potential, Acta Physica Polonica, Vol. 112 (2007) , A No. 1
Suparmi. Mekanika  Kuantum  II .  Surakarta,Jurusan Fisika FMIPA Universitas Sebelas Maret.(2011).
Tjia, M.O, Mekanika Kuantum. Bandung, ITB (1999), hal 7a-9a
Witten  E  .Dynamical  Breaking  of  Supersymmetry, Nucl. Phys .(1981)B185,513-554