## DISTRIBUSI PROBABILITAS RADIAL ELEKTRON SISTEM MOLEKUL DALAM PENGARUH POTENSIAL KRATZER DENGAN METODE PARAMETRIK NIKIFOROV-UVAROV
PROBABILISTIC RADIAL ELECTRON DISTRIBUTION IN MOLECULAR SYSTEMS UNDER THE INFLUENCE OF KRATZER POTENTIAL USING THE PARAMETRIC NIKIFOROV-UVAROV METHOD
Nani Sunarmi 1*
1 Program Studi Tadris Fisika , Fakultas Tarbiyah dan Ilmu Keguruan, Universitas Islam Negeri Sayyid Ali Rahmatullah Tulungagung, Indonesia
Email: nanisunarmi@gmail.com
Diterima: 15 September 2023. Disetujui: 21 Nopember 2023. Dipublikasikan: 18 Desember 2023
Abstrak: Sistem molekul yang dipengaruhi oleh potensial Kratzer telah diselidiki menggunakan metode parametrik Nikiforov-Uvarov.  Penelitian  ini  bertujuan  untuk  memperoleh  distribusi  probabilitas  radial  elektron  dari  sistem yang  berada  dalam  pengaruh  potensial  Kratzer  tanpa  modifikasi,  dan  untuk  melakukan  simulasi  distribusi probabilitas  radial  untuk  molekul  oksigen,  iodin,  karbon  monoksida,  dan  nitrogen  monoksida.  Distribusi probabilitas  radial  elektron  diperoleh  melalui  pemecahan  persamaan  Schrodinger  pada  bagian  radial.  Persamaan Schrodinger bagian radial  ini diperoleh  dengan  memisahkan persamaan Schrodinger sistem  molekul  menjadi  tiga bagian:  radial,  zenithal,  dan  azimuthal.  Pemecahan  persamaan  Schrodinger  pada  bagian  radial  menghasilkan persamaan  gelombang  radial,  di  mana  nilai  mutlak  kuadratnya  memberikan  distribusi  probabilitas  radial  posisi elektron  terhadap  inti  atom.  Penyelesaian  persamaan  Schrodinger  bagian  radial  dilakukan  dengan  menerapkan metode  parametrik  Nikiforov-Uvarov.  Penyelesaian  terhadap  persamaan  Schrodinger  pada  bagian  radial  ini melibatkan reduksi persamaan menjadi persamaan diferensial tipe hipergeometrik. Komputasi numerik dan simulasi grafik  distribusi  probabilitas  radial  dilakukan  dengan  menggunakan  perangkat  lunak  Matlab.  Hasil  penelitian menunjukkan  bahwa  penyelesaian  distribusi  probabilitas  radial  elektron  bergantung  pada  parameter  spektroskopi seperti energi disosiasi, panjang ikatan kesetimbangan, dan massa molekul, serta bilangan kuantum seperti bilangan kuantum vibrasional ( 𝑛 ) dan bilangan kuantum azimuth ( 𝑙 ). Molekul iodin menunjukkan amplitudo plot distribusi probabilitas paling tinggi dibandingkan dengan molekul oksigen, karbon monoksida, dan nitrogen monoksida.
Kata Kunci : Distribusi probabilitas radial elektron, Potensial Kratzer, Metode Parametrik Nikiforov-Uvarov
Abstract: Molecular  systems  influenced  by  the  Kratzer  potential  have  been  investigated  using  the  parametric Nikiforov-Uvarov method. This research aims to obtain the radial electron probability distribution of systems under the  influence  of  the  Kratzer  potential  without  modifications,  and  to  perform  simulations  of  the  radial  probability distribution for oxygen, iodine, carbon monoxide, and nitrogen monoxide molecules. The radial electron probability distribution  is  obtained  through  the  solution  of  the  Schrodinger  equation  in  the  radial  component.  The  radial component of the Schrodinger equation is obtained by separating the molecular system Schrodinger equation into three components: radial, zenithal, and azimuthal. The solution of the radial Schrodinger equation  yields a radial wave equation, where the square of the absolute value provides the radial probability distribution of the electron's position  with respect to the atomic  nucleus.  The solution  to the radial component of the Schrodinger equation  is achieved by applying the parametric Nikiforov-Uvarov method. Solving the radial component of  the Schrodinger equation  involves  reducing  the  equation  to  a  hypergeometric-type  differential  equation.  Numerical  computations and  graphical  simulations  of  the  radial  probability  distribution  are  performed  using  the  Matlab  software.  The research results indicate that the solutions for the radial electron probability distribution depend on spectroscopic parameters such as dissociation energy, equilibrium bond length, and molecular mass, as well as quantum numbers such as vibrational quantum number ( 𝑛 ) and azimuthal quantum number ( 𝑙 ). Iodine molecules exhibit the highest amplitude in the probability distribution plot compared to oxygen, carbon monoxide, and nitrogen monoxide.
Keywords : Probabilistic radial electron distribution  Kratzer Potential, The Parametric Nikiforov-Uvarov Method

## PENDAHULUAN
Studi  molekul  diatomik  sangat  penting  dan dapat  diterapkan  dalam  banyak  bidang  ilmu  kimia dan fisika. Pengeksitasi pada atom beberapa molekul diatomik,  terutama  molekul  diatomik  homonuklir, adalah  prinsip  yang  digunakan  dalam  teknik spektrofotometri. Molekul diatomik mengandung dua atom  per  molekul  dan  bisa  homonuklir  jika mengandung dua atom jenis  yang sama per molekul atau  heteronuklir  jika  mengandung  dua  atom  jenis
yang  berbeda  per  molekul  [1].  Menurut  prinsip dualisme gelombang, karakteristik serta tingkah laku sistem partikel bisa dijelaskan dengan menggunakan persamaan fungsi gelombang yang diperoleh melalui solusi  dari  persamaan  Schrodinger  [2].  Solusi  dari persamaan  Schrodinger  tidak  hanya  memberikan hasil  dalam  bentuk  fungsi  gelombang  sistem,  tetapi juga  menghasilkan  persamaan  energi  tingkat[3]. Persamaan  gelombang  menjadi  hal  yang  mendasar untuk  memahami spektrum  molekul  diatomik  dalam
mekanika  kuantum  non  relativistik,  karena  fungsi gelombang  yang  dihasilkan  berisi  semua  informasi yang  diperlukan  untuk  menggambarkan  sistem kuantum secara menyeluruh.
Selain itu kuadrat dari nilai mutlak persamaan gelombang sistem menunjukan  probabilitas elektron berada  di  sekitar  inti[4].  Menurut  teori  mekanika kuantum,  posisi  sebuah  elektron  hanya  bisa digambarkan  secara  statistik.  Teori  ini  juga menjelaskan  metode  untuk  menghitung  probabilitas menemukan  sebuah  elektron  di  suatu  titik  tertentu. Perhitungan  ini  menghasilkan  suatu  besaran  yang disebut sebagai densitas/distribusi probabilitas radial elektron,  yaitu  suatu  angka  yang  memberi  tahu tentang  probabilitas  relatif  menemukan  sebuah elektron di titik tertentu dalam ruang.
Mekanika  kuantum  juga  menyatakan  bahwa sebuah  elektron  dapat  dianggap  sebagai  gelombang stasioner  atau  awan  muatan  negatif.  Menurut pandangan  ini,  densitas  elektron  adalah  suatu  angka yang  memberi  tahu  seberapa  besar  muatan  yang terletak di setiap titik dalam awan tersebut. Sehingga untuk  mengetahui  distribusi  probabilitas  elektron maka  harus  diketahui  terlebih  dahulu  persamaan fungsi  gelombang  yang  diperoleh  dari  penyelesaian persamaan Schrodinger.
Seringkali,  dalam  persamaan  Schrodinger untuk  sistem  partikel,  potensial  khusus  sering menjadi  faktor  utama  yang  mempengaruhi  sistem. Potensial  khusus  tersebut  diantaranya  Coulomb  [5], Osilator  Harmonik  [6],    Kratzer  [7].  Selain  itu, potensial  yang  dikaji  juga  dapat  berupa  gabungan dari  beberapa  jenis  potensial  seperti    Hulthen- Hellmann  [8],  Potensial  Quadratik  Yukawa  dan Eckart  [9],  Wood-Saxon  [10],  Hulthen-Non  Sentral Posch  Teller  [11]  dan  lain-lain.  Semakin  banyak kombinasi  potensial  yang  mempengaruhi  maka semakin  kompleks  penyelesaian      persamaan Schrodinger.  Hal  tersebut  mengakibatkan  metode yang  digunakan  untuk  memperoleh  penyelesaian menjadi  semakin  rumit.  Penyelesaian  persamaan Schrodinger  seringkali  menghasilkan  solusi  eksak maupun  berupa  pendekatan  menggunakan  metode aproksimasi.  Metode  tersebut  diantara  Metode Wentzel–Kramers–Brillouin [12], Asymptotic Iteration  Method [13], Supersymmetric  Quantum Mechanics [14], Nikiforov-Uvarov [15].
Dalam penelitian ini, potensial sistem partikel yang  dikaji  adalah  potensial  Kratzer.  Potensial Kratzer  memiliki  peran  besar  dalam  konteks  kimia molekuler dan fisika kuantum, dan  digunakan  untuk mendeskripsikan  struktur  serta  interaksi  molekuler [16].  Dinamika  antar  molekul  salah  satunya digambarkan  oleh  getaran  antar  inti  dalam  molekul diatomik  yang dimodelkan dengan potensial Kratzer dipandang sebagai model potensial yang menggambarkan  getaran  antar  inti  atom  dalam molekul  diatomik.  Bentuk  umum  potensial  Kratzer sebagai berikut [17]:
𝑉(𝑟) = 𝐴 − 𝐵 𝑟 + 𝐶 𝑟 . (1)
Parameter persamaan (1) menentukan konstanta yang berkaitan dengan energi disosiasi dan jarak ikatan molekul. Pada kondisi khusus, parameter 𝐴, 𝐵, 𝐶 bisa  merubah  bentuk  potensial  Kratzer menjadi  potensial  lain.  Misalnya  nilai  jika 𝐶 dan 𝐴 bernilai  0  bentuk  umum  persamaan  (1)  berubah menjadi  potensial  Coulomb.    Hal  ini  menunjukan bahwa  potensial  Coulomb  merupakan  varian  khusus dari  potensial  Kratzer.  Pada  kondisi  lain,  potensial Kratzer  termodifikasi  ketika 𝐴 = 𝐷  , 𝐵 = 2𝐷 𝑟 , 𝐶 =   𝐷 𝑟 dan  lebih  dikenal  potensial  Kratzer termodifikasi. 𝐷 adalah  energi  disosiasi,  yang sebenarnya  merupakan  jarak  vertikal  antara  titik minimum  pada  kurva  potensial  dan  titik  di  mana disosiasi terjadi, yang ditemukan saat panjang ikatan antara atom mencapai 𝑟 = 𝑟 pada titik kesetimbangan.
Pentingnya  meninjau  potensial  Kratzer terletak  pada  kemampuannya  sebagai  model  yang sangat  tepat  dalam  menggambarkan  interaksi  dalam struktur  molekuler  dalam  mekanika  kuantum. Beberapa  penelitian  telah  memodifikasi  bentuk umum  dari  potensial  Kratzer  dengan  mengubah parameter-parameter yang dapat disesuaikan misalnya shifting  parameters [18].  Modifikasi  lain dilakukan  dengan  kombinasi  potensial  Kratzer- potential ring  shaped dan  dikaji dengan  metode Nikiforov-Uvarov  [19] . Pada  penelitian  lainnya, dilakukan  penambahan  parameter  parameter  dan diselesaikan  menggunakan  metode    metode Nikiforov-Uvarov  [18].  Ketiga  penelitian  tersebut memiliki  kesamaan  yakni  penerapan  metode Nikiforov-Uvarov  dengan  bentuk  potensial  Kratzer telah dimodifikasi.
Penyelesaian  persamaan  Schrodinger  dengan potensial-potensial  khusus  banyak  melibatkan metode  analitik  untuk  memperoleh  solusi  eksak  dan aproksimasi.  Salah  satunya  yang  sering  digunakan adalah metode Nikiforov-Uvarov. Hal ini dikarenakan adanya potensial khusus pada persamaan  Schrodinger  membuat  bentuk  umum persamaan menjadi persamaan diferensial orde 2 tipe hipergeometrik  [20].  Namun,  metode  Nikiforov- Uvarov memiliki langkah-langkah yang cukup rumit dan  memakan  waktu.  Untungnya,  ada  metode  yang lebih  sederhana  yang  disebut  metode  Parametrik Nikiforov-Uvarov  (PNU)  yang  dikembangkan  dari metode  Nikiforov-Uvarov.  Selain  itu,  beberapa penelitian  juga  menggunakan  metode  lain,  yaitu Metode  Iterasi  Asimtotik,  untuk  menganalisis potensial  Kratzer.  Metode  ini  telah  dikembangkan lebih lanjut dengan memperkenalkan parameter slope energi  untuk  membuatnya  lebih  efisien[13].  Dalam penelitian ini, Potensial Kratzer yang diselidiki tidak mengalami  modifikasi  seperti  yang  telah  dibahas sebelumnya. Sebaliknya, penelitian ini berfokus pada bentuk  umum  dari  Potensial  Kratzer,  sebagaimana dijelaskan  dalam  persamaan  (1).  Penyelesaian
persamaan  Schrodinger  sistem  dilakukan  dengan metode analisis yang menerapkan metode Parametrik Nikiforov-Uvarov.
Memperoleh distribusi probabilitas  radial  elektron  dari  sistem  dalam pengaruh  potensial  Kratzer    tanpa  modifikasi  serta melakukan  simulasi  rapat  peluang  radial  untuk molekul 𝑁𝑂, 𝐶𝑂, 𝑂 , 𝐼 menjadi  tujuan  pada penelitian ini. Molekul 𝑁𝑂, 𝐶𝑂, 𝑂 , 𝐼 dipilih sebagai contoh kasus.

## METODE PENELITIAN
Analisis  dan  simulasi  penyelesaian  distribusi probabilitas  radial  elektron    dilakukan  dalam  dua tahap. Tahap pertama adalah menentukan persamaan fungsi gelombang radial sistem molekul yang berada dalam  pengaruh  potensial  Kratzer.  Tahap  ini dilakukan dengan memisahkan persamaan schrodinger  bagian  radial  dari  persamaan  utama dengan teknik pemisahan variabel. Setelah persamaan  Schrodinger  bagian  radial    diperoleh maka  langkah  selanjutnya  adalah  menyelesaikan persamaan tersebut menggunakan metode Parametrik Nikiforov-Uvarov.  Penyelesaian  ini  tahap  ini menghasilkan  persamaan  fungsi  gelombang  radial. Dengan  demikian,    distribusi  probabilitas  radial elektron  dapat  diketahui  melalui  nilai  kuadrat persamaan  fungsi  gelombang  radialnya.  Hubungan probabilitas radial elektron dengan  persamaan fungsi gelombang radial ditunjukan persamaan
℘( 𝑟 ) = 𝑅 , . (2)
Berdasarkan hubungan tersebut, tahap berikutnya  dilakukan  komputasi  numerik  dan simulasi  terhadap  persamaan  probabilitas  radial berdasarkan persamaan (2). Pada tahap ini dilakukan komputasi  dan  simulasi  dengan  menggunakan perangkat lunak Matlab. Molekul yang akan ditinjau tingkat energinya adalah molekul 𝑁𝑂, 𝐶𝑂, 𝑂 , 𝐼 .

## Metode Parametrik Nikiforov-Uvarov
Paramerik  Nikiforov-Uvarov  adalah  perluasan  dari metode  Nikiforov-Uvarov  (NU).  Metode  ini dikembangkan  dari  metode  Nikiforov-Uvarov  untuk pendekatan  yang  bertujuan  untuk  memperoleh penyelesaian  persamaan  diferensial  orde  dua  tipe hipergeometrik dengan memanfaatkan sifat ortogonalitas  fungsi  khusus  dengan  lebih  sederhana. Hal  ini  dikarenakan  metode  Nikiforov-Uvarov memiliki  langkah  yang  panjang  dan  rumit  dalam memperoleh  solusi.  Meski  demikian,  metode Parametrik Nikiforov-Uvarov tetap mempertahankan bentuk  umum  persamaan  Nikiforov-Uvarov  dalam langkah  awalnya.  Tahap  awal  dalam  penyelesaian persamaan Schrodinger adalah melakukan transformasi  koordinat.  Dalam  situasi  khusus, misalnya persamaan diferensial melibatkan potensial tertentu  maka  koordinat  yang  digunakan  perlu disesuaikan.  Umumnya  koordinat  yang  digunakan adalah  sistem  koordinat  bola.  Koordinat  ini memerlukan  penyederhanaan  dengan  melakukan
transformasi  koordinat.  Pendekatan  yang  digunakan dalam  transformasi  koordinat  adalah 𝑟 → 𝑠 .  Hasil transformasi  koordinat  menghasilkan  persamaan diferensial orde 2 tipe hipergeometrik yang memiliki bentuk umum [20]:
𝜓(𝑠) 𝜕𝑠 + 𝜏(𝑠) 𝜎(𝑠) 𝜕𝜓(𝑠) 𝜕𝑠 + 𝜎(𝑠) 𝜎 𝜓(𝑠) = 0 (3)
dengan  polinomial  berderajat  satu (𝑠) dan polinomial  berderajat  dua (𝑠) dan (𝑠) .  Pada metode Parametrik
Nikiforov-Uvarov (PNU) dilakukan  perluasan  dari  metode  Nikiforov-Uvarov dengan  memunculkan  parameter-parameter  khusus berdasarkan  bentuk  umum  persamaan  diferensial orde  2  tipe  hipergeometrik  pada  metode  Nikiforov- Uvarov.  Parameter  yang  diperoleh  tersebut  mampu memberikan  hasil  yang  lebih  akurat  dalam perhitungan  tingkat  energi  untuk  beberapa  sistem kuantum  tertentu  yang  dianalisis[9].  Selain  itu penyelesaian persamaan fungsi gelombang didefinisikan  dengan  lebih  sederhana.  Persamaan diferensial  orde  dua  untuk  metode  Parametrik Nikiforov-Uvarov dituliskan sebagai berikut [21];
𝜓"(𝑠) + ( ) 𝜓′(𝑠) + [ ] ( ) 𝜓(𝑠) = 0. (4)
Jika  membandingkan  persamaan  (4)  dan  (5), diperoleh  bahwa  metode  Parametrik  Nikiforov- Uvarov  merubah  persamaan  fungsi (𝑠) , (𝑠) dan (𝑠) yang  ada  pada  metode  Nikiforov-Uvarov menjadi  parameter-parameter 𝑐 , 𝑐 , 𝑐 .  Hubungan
(𝑠) , (𝑠) dan (𝑠) dan  parameter 𝑐 , 𝑐 , 𝑐 ditunjukan oleh persamaan  berikut:
( 𝑠 ) = 𝑐 1 − 𝑐 2 𝑠 (5) ( 𝑠 ) = 𝑠 ( 1 − 𝑐 3 𝑠 ) (6) ( 𝑠 ) =   −𝜒 1 𝑠 2 + 𝜒 2 𝑠 − 𝜒 3 (7)
Parameter-parameter  inilah  yang  dikenal  sebagai Konstanta
Parametrik. Konstanta parametrik digunakan dalam menentukan eigen nilai yang tidak lain adalah persamaan 𝐸 dan fungsi eigen yang tidak lain  adalah (𝑠) .  Selain  ketiga  parameter 𝑐 , 𝑐 , 𝑐 pada  persamaan  (4)  terdapat  konstanta  parametrik lainnya.  Konstanta  parametrik  lainnya  yang ditentukan dengan persamaan berikut [22]:
𝑐 = (1 − 𝑐 )
(8) 𝑐 = (𝑐 − 2𝑐 ) (9)
𝑐 =   𝜒 + 𝑐 (10) 𝑐 = −𝜒 + 2 𝑐 𝑐 (11) 𝑐 = 𝜒 + 𝑐 (12) 𝑐 = 𝑐 + 𝑐 𝑐 + 𝑐 𝑐 (13) 𝑐 = 4𝑐 + 𝑐 + 2𝑐 (14)
𝑐 = 𝑐 + 2 𝑐 𝑐 + 𝑐   − 2𝑐 (15)
𝑐 = 𝑐 + 𝑐 (16)
𝑐 = 𝑐 −   𝑐 𝑐 + 𝑐 . (17) Berdasarkan konstanta
parametrik tersebut, persamaan energi dapat ditentukan dengan persamaan berikut[23]:
𝑐 𝑛 − (2𝑛 + 1)𝑐
+ (2𝑛 + 1) 𝑐 + 𝑐 𝑐 +𝑛(𝑛 − 1)𝑐 + 𝑐 + 2𝑐 𝑐 + 2 𝑐 𝑐 = 0
(18)
Persamaan tersebut tidak lain adalah persamaan yang digunakan  untuk  mencari  eigen  nilai  energi. Sedangkan  untuk  penyelesaian  persamaan  fungsi gelombang diketahui dengan menggunakan persamaan [24] ( 𝑠 ) = 𝜙 ( 𝑠 ) 𝜒 𝑛 ( 𝑠 ) = 𝑁 𝑠 (1 − 𝑐 𝑠) 𝑃 , (1 − 2𝑐 𝑠)
(19)
dengan 𝑁 adalah  konstanta  normalisasi  dan 𝑃 ( , ) adalah polinomial Jacobi.

## HASIL DAN PEMBAHASAN
Penyelesaian  Persamaan  Schrodinger  Radial Sistem dengan Potensial Kratzer
Bentuk  umum  persamaan  Schrodinger  dari sistem partikel dituliskan sebagai berikut:
− ℏ 𝛻 + 𝑉(𝑟) 𝛹(𝑟, 𝜃, 𝜙) = 𝐸 𝛹(𝑟, 𝜃, 𝜙).
(20)
𝑉(𝑟) pada persamaan 20 merupakan bagian potensial yang mempengaruhi sistem. Pada penelitian ini 𝑉(𝑟) merupakan persamaan Potensial Kratzer seperti yang ditunjukan  oleh  persamaan  (1)  dan  hanya  memiliki variabel radial. Dengan demikian potensial ini hanya berpengaruh  terhadap  bagian  radial  dari  sistem. Sehingga  persamaan  Schrodinger  yang  dipengaruhi juga  hanya  pada  bagian  radial.  Dengan  demikian persamaan  Schrodinger  (20)  perlu  mengalami pemisahan variabel.  Bentuk persamaan Schrodinger bagian  radial  potensial  Kratzer  dituliskan  sebagai berikut:
𝑑 𝑅(𝑟) 𝑑𝑟 + 2 𝑟 𝑑𝑅(𝑟) 𝑑𝑟 + 2𝜇 ℏ 𝐸 − 𝐴 − 𝐵 𝑟 + 𝐶 𝑟 − ℏ 𝑙(𝑙 + 1) 2𝜇𝑟 𝑅(𝑟) = 0 (21)
Bentuk  persamaan  Schrodinger  bagian  radial (21)  berupa  persamaan  diferensial  orde  dua  tipe hipergeometrik.  Penyelesaian  persamaan  (21)
menghasilkan  persamaan  fungsi  gelombang  yang merupakan penyelesaian  yang memuat bagian radial saja.  Meski  demikian  penyelesaian  bagian  radial memuat aspek energi tingkat dari partikel.
Persamaan  fungsi  gelombang  radial  dapat  diketahui dengan  melakukan  penyelesaian  pada  persamaan Schrodinger  bagian  radial  tersebut.  Langkah  awal yang dilakukan adalah dengan melakukan transformasi  pada  persamaan  (21)  agar  menjadi persamaan diferensial tipe hipergeometrik. Persamaan (21) dapat ditulis ulang sebagai berikut:
( ) + ( ) + ( ) ℏ 𝑟 + ℏ 𝑟 − ℏ + 𝑙(𝑙 + 1) 𝑅(𝑟) = 0. (22)
Persamaan (22) tersebut dapat disederhanakan
( ) + ( ) + [−𝛼𝑟 + 𝛽𝑟 − 𝛾]𝑅(𝑟) = 0. (23)
dimana
𝛼 = − 2𝜇 (𝐸 − 𝐴) ℏ (24)
= 2𝜇 𝐵 ℏ 2 (25) = 2𝜇 𝐶 ℏ 2 + 𝑙(𝑙 + 1). (26)
Persamaan  (23),  yang  dihasilkan  melalui transformasi  persamaan  (21),  telah  sesuai  dengan bentuk  umum  dari  persamaan  diferensial  orde  dua yang digunakan dalam metode Parametrik Nikiforov- Uvarov,  sebagaimana  terlihat  dalam  persamaan  (4). Konstanta  Parametrik  pada  metode  Parametrik Nikiforov-Uvarov diperoleh dengan membandingkan persamaan (21) dengan persamaan 4. Parameter yang diperoleh diantaranya
𝑐 = 2 (27) 𝑐 = 0 (28) 𝑐 = 0 (29) 𝑐 = −1/2 (30) 𝑐 = 0 (31) 𝑐 =  𝛼 (32) 𝑐 = − 𝛽 (33) 𝑐 = 1/4 + 𝛾 (34)
𝑐 = 𝛼 (35) 𝑐 = 1 +   1 + 4𝛾 (36)
𝑐 = √4𝛼 (37)
𝑐 = −1/2 + 1/4 + 𝛾 (38) 𝑐 = −√𝛼. (39) Persamaan  fungsi  gelombang  ditentukan menggunakan persamaan (19) dengan
mensubstitusikan  parameter  yang  telah  diperoleh pada  persamaan  (27-39).  Pada  penelitian  ini diperoleh
𝑐 = 0 sehingga dilakukan pendekatan[24]:
𝑃 , (1 − 2𝑐 𝑠) = 𝐿 (𝑐 𝑠) (40) (1 − 𝑐 𝑠) = 𝑒 𝑠 . (41)
Penyelesaian  persamaan  fungsi  gelombang  bagian radial diperoleh dengan mensubstitusikan persamaan (40)  dan  (41)  pada  persamaan  (19)  sehingga diperoleh
𝑅(𝑟) = 𝑁 𝑛 𝑟 𝑐 12 𝑒 𝑐 13 𝐿 𝑛 𝑐 10 −1 ( 𝑐 11 𝑟 ) . (42)
= 𝑁 𝑟
/ / 𝑒 √ 𝐿 / 2√𝛼𝑟 . (43)
Dan  dengan 𝑁 adalah  konstanta  normalisasi  dan 𝐿 (𝑐 𝑟) adalah  polynomial  Laguerre.  Persamaan fungsi  gelombang  radial  (43)  tersebut  mengandung besaran yang  berhubungan  dengan  besaran  tingkat energi yang dimiliki oleh partikel. Untuk persamaan energi  tingkat  berdasarkan  metode  Parametrik Nikiforov-Uvarov ditentukan dengan persamaan (18) dan diperoleh[25]:
𝐸 = 𝐴 − 𝜇𝐵
2ℏ 𝑛 + 1 2 + 2𝜇 𝐶 ℏ + 𝑙 + 1 2 . (44)
Berdasarkan  persamaan  (44),  persamaan  tingkat energi  sistem  partikel  dalam  pengaruh  potensial Kratzer bergantung pada parameter parameter 𝐴, 𝐵, 𝐶 yang merupakan konstanta pada persamaan potensial Kratzer.  Persamaan  energi  tingkat  juga  dipengaruhi oleh  bilangan  kuantum 𝑛 dan 𝑙 .  Bilangan 𝑛 menggambarkan bilangan kuantum vibrasi,
sementara 𝑙 menggambarkan  bilangan  kuantum azimut. Parameter 𝐴, 𝐵, 𝐶 berbeda-beda untuk setiap molekul.  Dalam  penelitian  ini,  dipilih  nilai-nilai 𝐴 = 0, 𝐵 = 2𝐷 𝑟 , dan 𝐶 =   𝐷 𝑟 , yang mengakibatkan  persamaan  penyelesaian  tingkat energi sistem dalam pengaruh potensial Kratzer pada persamaan (44) mengalami perubahan menjadi[25]:
𝐸 = − 𝜇𝐷 𝑟 ℏ 𝑛 + 1 2 + 2𝜇 𝐷 𝑟 ℏ + 𝑙 + 1 2 . (45)
Nilai 𝐷 , 𝑟 adalah  parameter  spektroskopi  dari molekul. Parameter spektroskopi tersebut ditunjukan oleh tabel berikut [13]:
Tabel 1 . Parameter spektroskopi dari berbagai molekul diatomik. Moleku l (amu) 𝐷 (eV) 𝑟 ( Å ) 𝐶𝑂 6,860586000  10,84514471   1,128 2 𝐼 63,45223502  1,581791863   2,662 0 𝑂 7,997457504  5,156658828 1,208 0 𝑁𝑂 7,468441000  8,043782568   1,150 8
Persamaan  (40)  selain  mengandung  polinomial Laguerre  juga  mengandung 𝑁 sebagai  konstanta normalisasi.  Konstanta  normalisasi  ini  diperoleh dengan syarat kondisi normalisasi
𝑟 𝑅(𝑟) 𝑑𝑟 = 1. (46)
Dengan  memasukan  persamaan  fungsi  gelombang (43) maka akan diperoleh 𝑁 = 𝜔 𝑛! (2𝑛 + 𝜈 + 1)𝛤(𝑛 + 𝜈 + 1) (47)
dengan 1 + 4𝛾 = 𝜈 dan √4𝛼 = 𝜔 .  Dengan  demikian persamaan gelombang radial (43) menjadi
𝑅(𝜌) = 𝜔 𝛤(𝑛 + 1) (2𝑛 + 𝜈 + 1)𝛤(𝑛 + 𝜈 + 1) 𝜌 𝑒 𝐿 (𝜌) (48)
Dengan 𝜌 = 𝜔 𝑟 . Bentuk umum polinomial Laguerre dapat dituliskan[26]
𝐿 (𝜌) = (−1) 𝑑 𝑑𝜌 𝐿 (𝜌) (49)
𝐿 (𝜌) = 𝑥 𝑒 𝑛! 𝑑 𝑑𝜌 (𝜌 𝑒 ). (50)
Distribusi  probabilitas  radial  elektron  secara  umum dapat ditentukan dengan persamaan
℘(𝑟) = 𝑅 , . (51)
Jika persamaan gelombang yang telah diperoleh pada persamaan (47) disubstitusikan pada persamaan (51) maka,  distribusi  probabilitas  radial  elektron  dapat dituliskan
℘(𝜌) = 𝜔 𝛤(𝑛 + 1) (2𝑛 + 𝜈 + 1)𝛤(𝑛 + 𝜈 + 1) 𝜌 𝑒 𝐿 (𝜌) 2 . (52 )
Persamaan  52  menunjukan  adanya  ketergantungan distribusi probabilitas radial elektron terhadap dan .  Persamaan merupakan permisalan dari √4𝛼 yang tidak  lain  memiliki  ketergantungan  pada  energi partikel  ( 𝐸 )  yang  dirumuskan  oleh  persamaan  (44). Dengan  demikian dipengaruhi  oleh  bilangan 𝑛 yang  tidak  lain  bilangan  kuantum  vibrasional. Sedangkan  untuk merupakan  permisalan 1 + 4𝛾 yang  memiliki  ketergantungan  terhadap 𝑙 yang  tidak lain adalah bilangan kuantum azimut. Selain dan
persamaan  52  memiliki  kebergantungan  terhadap parameter spektroskopi yang ditunjukan oleh tabel 1.
Simulasi  Numerik  Rapat  Peluang  Radial  sistem dengan Potensial Kratzer
Rapat  peluang  radial  dari  sistem  molekul  dalam pengaruh  potensial  Kratzer  ditunjukan  oleh persamaan (52). Dengan mempertimbangkan parameter  spektroskopi  pada  tabel  1  dan  persamaan tingkat  energi  (44)  dilakukan  perhitungan  secara numerik menggunakan perangkat lunak Matlab untuk memperoleh  distribusi  probabilitas  radial  elektron. Komputasi  numerik  dan    simulasi  terhadap persamaan distribusi probabilitas radial elektron (52) dilakukan  untuk  mendapatkan  plotting  distribusi distribusi probabilitas radial elektron yang menyatakan  ketergantungan  peluang  posisi  elektron terhadap  jaraknya  ke  inti.  Penelitian  ini  meninjau distribusi  probabilitas  radial  elektron  dengan  pada keadaan 𝑛 = 0 sampai  dengan 𝑛 = 4 .  Persamaan (52)  mengandung  polynomial  Laguerre  bervariabel 𝜌. Variabel 𝜌 sebelumnya  dimisalkan  dengan variabel  radial  yang  dikalikan  dengan yang merupakan persamaan √4𝛼 yang tidak lain memiliki ketergantungan pada energi tingkat partikel ( 𝐸 ). Oleh karena itu pada simulasi distribusi probabilitas radial elektron dilakukan dengan bilangan radial berkelipatan yang  memiliki  nilai  berbeda  untuk setiap  molekul  karena  energi  tingkat  partikel (𝐸) berbeda. Berdasarkan hasil komputasi numeriknya  dihasilkan  simulasi  rapat  peluang  radial pada  sistem  molekul  molekul 𝑂 , 𝐼 , 𝐶𝑂, 𝑁𝑂 seperti yang ditunjukan oleh gambar 1-4.
Gambar 1. Distribusi probabilitas radial elektron pada 𝐼
Gambar 2. Distribusi probabilitas radial elektron pada 𝐶𝑂
Gambar 3. Distribusi probabilitas radial elektron pada 𝑁𝑂
Gambar 5. Distribusi probabilitas radial elektron
pada 𝑂 dengan variasi 𝑙
Berdasarkan gambar 1-4 terlihat secara umum variasi  nilai 𝑛 tidak  mempengaruhi  bentuk  grafik rapat  peluang  radial  pada  masing-masing  molekul 𝑂 , 𝐼 , 𝐶𝑂, 𝑁𝑂 . Selain itu semakin jauh elektron dari inti  atom  menunjukan  probabilitasnya  semakin berkurang  hingga  menuju  0.  Akan  tetapi  nilai amplitudo  grafik  distribusi  probabilitas  radial elektron memiliki perbedaan dari setiap 𝑂 , 𝐼 , 𝐶𝑂, 𝑁𝑂 dengan  urutan  molekul  dengan amplitudo  grafik  distribusi  probabilitas  radial elektron  radial  dari  besar  ke  kecil  adalah 𝐼 , 𝐶𝑂, 𝑁𝑂, 𝑂 . Perbedaan  amplitudo  pada  grafik distribusi  probabilitas  radial  elektron  pada  molekul 𝐼 , 𝐶𝑂, 𝑁𝑂, 𝑂 dipengaruhi  oleh  banyak  faktor diantaranya  adalah  parameter  spektroskopi  yang tersusun  atas 𝐷 , 𝑟 , 𝜇 yang  berbeda-beda  setiap molekul.  Parameter  spektroskopi  mengakibatkan besar energi tingkat yang berbeda meskipun molekul tersebut  dalam 𝑛 dan 𝑙 yang  sama  seperti  yang ditunjukan oleh persamaan (44). Selain itu parameter spektroskopi 𝐷 , 𝑟 , 𝜇 menentukan  nilai yang  tidak lain  permisalan  dari 2 1/4 + 𝛾 .  Nilai pada dirumuskan  oleh  persamaan  (26).  Dimana menjadi salah  satu  parameter  dalam  persamaan  distribusi probabilitas radial elektron.
Simulasi berikutnya dilakukan dengan melihat variasi  bilangan  kuantum  vibrasional 𝑛 terhadap distribusi probabilitas radial elektron pada salah satu molekul yakni O 2 dengan bilangan kuantum azimut 𝑙 sama.  Hasil  simulasi  ditunjukan  oleh  gambar  5. Berdasarkan  gambar  5,  seiring  bertambahnya bilangan  kuantum  vibrasional 𝑛 membuat  distribusi probabilitas  radial  elektron  semakin  berkurang  yang ditunjukan  oleh    amplitudo  grafik  rapat  peluang radial  semakin  rendah.  Selain  itu  semakin  jauh elektron  dari  inti  atom  maka  semakin  kecil  rapat peluang  untuk  mendapati  elektron  pada  posisi tersebut.

## KESIMPULAN
Distribusi  probabilitas  radial  elektron  pada  molekul dalam  pengaruh  potensial  Kratzer  berbentuk
polinomial  Laguerre  dan  konstanta  normalisasi. Distribusi  probabilitas  radial  tersebut  dipengaruhi oleh  dipengaruhi  oleh  banyak  faktor  diantaranya adalah  parameter  spektroskopi  yang  tersusun atas 𝐷 , 𝑟 , 𝜇 yang  berbeda-beda  setiap  molekul. Selain  itu  bilangan  kuantum  vibrasional 𝑛 dan bilangan kuantum azimuth 𝑙 menghasilkan amplitudo distribusi probabilitas radial elektron berbeda.

## DAFTAR PUSTAKA
[1] I. B. Okon, O.  Popoola, dan  C. N. Isonguyo, “Approximate  Solutions  of  Schrodinger Equation  with  Some  Diatomic  Molecular Interactions Using Nikiforov-Uvarov Method,” Adv. High Energy Phys. , vol. 2017,
2017, doi: 10.1155/2017/9671816.
[2] R.  E.  Siregar, Fisika  Kuantum .  Jatinagor: Universitas Padjajaran, 2018.
[3] N.  Sunarmi,  “Analisis  Persamaan  Energi Menggunakan  Metode  Parametrik  Nikiforov- Uvarov  Untuk  Atom  Berelektron  Tunggal Dengan  potensial  Hulthen,” J.  Pendidik.  Fis. dan Sains , vol. 5, no. 2, hal. 68–74, Sep 2022, doi: 10.52188/jpfs.v5i2.275.
[4] Sutopo, Pengantar  Fisika  Kuantum .  Malang: Jurusan Fisika FMIPA UM, 2005.
[5] S. A. Karomah, A. R. Jannah, N. R. Aini,  R. Zumarotin,  dan  N.  Sunarmi,  “Visualisasi Rapat Peluang Posisi Elektron terhadap Sudut pada  Atom  Deuterium,” Newthon-Maxwell  J.
Phys. , vol. 2, no. 2, hal. 35–44, 2021.
[6] E.  Rusmini et  al. ,  “Visualisasi  osilator harmonik kuantum dengan polinomial hermitte menggunakan simulasi pemrograman matlab,” J. MIPA dan Pembelajarannya , vol. 2,  no.  3,  hal.  183–189,  2022,  doi:  10.17977/ um067v2i3p183-189.
[7] C.  P.  Onyenegecha,  I.  J.  Njoku,  A.  Omame, C.  J.  Okereke,  dan  E.  Onyeocha,  “Dirac equation  and  thermodynamic  properties  with the Modified Kratzer potential,” Heliyon , vol. 7,  no.  9,  hal.  e08023,  2021,  doi: 10.1016/j.heliyon.2021.e08023.
[8] I. O. Akpan, E. P. Inyang, dan E. S. William, “Approximate  solutions  of  the  Schrödinger equation  with  Hulthén-Hellmann  potentials for  a  quarkonium  system,” Rev.  Mex.  Fis. , vol.  67,  no.  3,  hal.  482–490,  2021,  doi: 10.31349/RevMexFis.67.482.
[9] A. D. Antia, I. B. Okon, A. O. Akankpo, dan J.  B.  Usanga,  “Non-Relativistic  Bound  State Solutions of Modified Quadratic Yukawa plus
&lt;i&gt;q&lt;/i&gt;-Deformed Eckart Potential,” J.  Appl.  Math.  Phys. ,  vol.  08,  no. 04, hal. 660–671, 2020, doi: 10.4236/jamp.2020.84051.
[10] A. Suparmi, L. K. Permatahati, S. Faniandari, Y.  Iriani,  dan  A.  Marzuki,  “Study  of  Bohr Mottelson  Hamiltonian  with  minimal  length effect  for  Woods-Saxon  potential  and  its thermodynamic  properties,” Heliyon ,  vol.  7,
no. 5, hal. e06861, 2021,
doi:
10.1016/j.heliyon.2021.e06861.
[11] N. Sunarmi, S. Suparmi, dan C. Cari, “Solusi Persamaan  Schrödinger  untuk  Potensial Hulthen  +  Non-Sentral  Poschl-Teller  dengan Menggunakan  Metode  Nikiforov-Uvarov,” Indones.  J.  Appl.  Phys. ,  vol.  3,  no.  2,  hal. 169–180, 2013, doi: 10.13057/ijap.v3i02.1266. [12] E. Omugbe, “Non-relativistic Energy Spectrum  of  the  Deng-Fan  Oscillator  via  the WKB  Approximation  Method,” Asian  J. Phys.  Chem.  Sci. ,  hal.  26–36,  2020,  doi: 10.9734/ajopacs/2020/v8i130107.
[13] A. N. Ikot et al. , “Bound state solutions of the Schrödinger  equation  with  energy-dependent molecular  Kratzer  potential  via  asymptotic iteration method,” Eclet. Quim. , vol. 45, no. 1, hal.  65–76,  2020,  doi:  10.26850/1678- 4618eqj.v45.1.p65-76.
[14] K.  R.  Purohit,  R.  H.  Parmar,  dan  A.  K.  Rai, “Energy and momentum eigenspectrum of the Hulthén-screened  cosine  Kratzer  potential using proper quantization rule and SUSYQM method,” J.  Mol.  Model. ,  vol.  27,  no.  12, 2021, doi: 10.1007/s00894-021-04965-0.
[15] S. N. Fitriani dan Suparmi, “Solusi Persamaan Dirac  Dengan  Spin  Simetri  Untuk  Potensial Scarf  Ii  Hiperbolik  Terdeformasi-Q  Plus Tensor Tipe  Coulomb  Dengan  Menggunakan Metode Nikiforov Uvarov,” Kappa J. , vol. 1, no. 1, hal. 13, 2017, doi: 10.29408/kappa.v1i1.407.
[16] M.  R.  Setare  dan  E.  Karimi,  “Algebraic approach to the Kratzer potential,” Phys. Scr. , vol.  75,  no.  1,  hal.  90–93,  2007,  doi:
10.1088/0031-8949/75/1/015.
[17] [17]
C. Berkdemir, Theoretical Concepts  of  Quantum  Mechanics .  USA: InTech, 2012.
[18] N.  Ibrahim, U. S. Okorie, N. Sulaiman, G. J. Rampho, dan M. Ramantswana, “Solutions of the  Schrodinger  equation  of  the  shifted screened Kratzer potential and its
thermodynamic  functions  using  the  extended Nikiforov–Uvarov method,” Front. Phys. , vol. 10,  no.  September,  hal.  1–12,  2022,  doi: 10.3389/fphy.2022.988279.
[19] S.  M.  Ikhdair  dan  R.  Sever,  “Exact  solutions of  the  modified  kratzer  potential  plus  ring- shaped  potential  in  the  D-dimensional Schrödinger  equation  by  the  nikiforovuvarov method,” Int. J. Mod. Phys. C , vol. 19, no. 2, hal.
221–235, 2008, doi:
10.1142/S0129183108012030.
[20] A.  F.  Nikiforov  dan  V.  B.  Uvarov, Special Functions of Mathematical Physics: A Unified Introduction  with  Applications .  Birkhauser:
Birkhauser Verlag Basel, 1988.
[21] B.  I.  Ita,  H.  Louis,  dan  T.  O.  Magu,  “Bound State Solutions of the Klein Gordon Equation
with  Woods-Saxon  Plus  Attractive  Inversely Quadratic Potential Via Parametric Nikiforov- Uvarov  Method,” World  Sci.  News ,  vol.  74, hal. 280–287, 2017.
[22] I.  B.  Okon,  E.  Omugbe,  A.  D.  Antia,  C.  A. Onate,  L.  E.  Akpabio,  dan  O.  E.  Osafile, “Spin  and  pseudospin  solutions  to  Dirac equation  and  its  thermodynamic  properties using  hyperbolic  Hulthen  plus  hyperbolic exponential  inversely  quadratic  potential,”
Sci. Rep. , vol. 11, no. 1, hal. 1–21, 2021, doi: 10.1038/s41598-020-77756-x.
[23] I. B. Okon, A. D. Antia, A. O. Akankpo, dan I. E. Essien, “Eigen-Solutions to  Schrodinger Equation  with  Trigonometric  Inversely Quadratic  Plus  Coulombic  Hyperbolic Potential,” Phys.  Sci.  Int.  J. ,  vol.  24,  no.  3, hal. 61–75, 2020, doi: 10.9734/psij/2020/v24i330183.
[24] M.  Abu-Shady  dan  H.  .  Fath-Allah,  “The Parametric  Generalized  Fractional  Nikiforov- Uvarov Method And Its  Applications,” EAST Eur. J. PHYSICS. , vol. 3, hal. 248–262, 2023, doi: 10.26565/2312-4334-2023-3-22.
[25] N.  Sunarmi,  “Simulasi  Penyelesaian  Tingkat Energi  Sistem  Molekul  Dalam  Pengaruh Pengaruh  Potensial  Kratzer  Dengan  Metode Parametrik  Nikiforov-Uvarov,” ORBITA  J. Has. Kaji.  Inov. dan Apl.  Pendidik. Fis. , vol. 8,  no.  2,  hal.  383–389,  2022,  doi: https://doi.org/10.31764/orbita.v8i2.11452.
[26] M.  L.  Boas, Mathematical  Methods  in  the Physical Sciences , 3 ed. USA: John Wiley & Sons, Inc, 1983.