## PARADOKS SI KEMBAR DALAM TEORI RELATIVITAS KHUSUS SEBAGAI MATERI PENGAYAAN FISIKA DI SMA

## Hery Kustanto
SMA  N 1 Kota  Magelang, Jawa Tengah E-mail : hery_kustanto1969@yahoo.com
Raden Oktova
Program Studi Pendidikan Fisika, Universitas Ahmad Dahlan Yogyakarta
Kampus II, Jl. Pramuka 42 Lt. 3, Yogyakarta 55161

## INTISARI
Tulisan ini mengkaji ulang berbagai upaya penjelasan tentang paradoks si kembar dalam teori relativitas khusus. Didapatkan  banyak  penjelasan  tentang  paradoks  kembar,  di  antaranya  adalah  penjelasan  menggunakan  efek Doppler, ruang-waktu Minkowski, metode dinamika Lagrange, diagram Brehme, kontraksi panjang, dan tinjauan kerangka inersial.  Dari berbagai  penjelasan  itu, kemudian  dipilih tiga  penjelasan  tentang paradoks  si  kembar yang mungkin untuk  diberikan di  Sekolah  Menengah Atas (SMA)  sebagai materi pengayaan  pada topik  teori relativitas khusus, yaitu dengan pendekatan kontraksi panjang, kerangka inersial, dan efek Doppler .
Kata kunci: paradoks si kembar, teori relativitas khusus, fisika SMA

## THE TWIN PARADOX IN THE THEORY ON SPECIAL RELATIVITY AS AN ENRICHMENT TOPIC FOR HIGH SCHOOL PHYSICS

## ABSTRACT
This  paper  reviews  various  efforts  to  explain  the  twin  paradox  in  the  theory  on  special  relativity.  Many explanations can be found, including those using the Doppler effect argument, the  Minkowski space-time, the Lagrange dynamic method, the Brehme diagram, length contraction, and inertial frame argument. Three of them are  chosen  as  enrichment  material  for  high  school  physics  on  the  theory  on  special  relativity;  these  are approaches using length contraction, inertial frame and Doppler effect.
Keywords: twin paradox, theory on special relativity, high school physics.

## I. PENDAHULUAN
Paradoks si kembar (D'Auria dan Trigiante, 2011) merupakan satu kasus yang muncul dari efek relativistik dan sampai saat ini masih ramai dibicarakan orang, termasuk para ilmuwan, guru-guru fisika dan orang-orang awam  yang  sekedar  tertarik  dengan  kasus  tersebut.  Para  ilmuwan  dari  waktu  ke  waktu  selalu  mencari  ide, membuat model maupun ilustrasi bagaimana dapat meyakinkan orang bahwa paradoks merupakan sesuatu yang berada  pada  jalur  ilmiah  dan  logis,  bukan  sekedar  cerita  fiksi.  Sedangkan  guru-guru  fisika  berupaya  untuk mengemas  paradoks  si  kembar  agar  bisa  dijelaskan  kepada  siswanya  dengan  mudah,  dapat  dipahami  dan diterima oleh para siswa sebagai suatu kebenaran ilmu.
Kasus paradoks si kembar yang merupakan materi pengayaan dalam teori relativitas khusus untuk siswa kelas tiga pada pelajaran fisika di sekolah menengah atas selalu menyisakan tanda tanya bagi para siswa setiap tahun,  hal  itu  karena  pemahaman  sebagian  besar  guru  fisika  SMA  tentang  kasus  paradoks  si  kembar  masih belum  memadai,  dan  juga  karena  sampai  saat  inipun  kasus  si  kembar  memang  masih  merupakan  sebuah paradoks.
Kesulitan  pengajaran  paradoks  si  kembar  di  sekolah  menengah  atas  ternyata  bukan  hanya  terjadi  di Indonesia, tetapi juga terjadi  di negara-negara lain  di dunia.  Meskipun  akan memunculkan banyak  kesulitan dalam  mengajarkan  pada  siswa,  paradoks  si  kembar  dapat  dijelaskan  terutama  kepada  siswa  yang  pintar  dan punya rasa ingin tahu yang besar. Yang penting adalah guru harus menguasai dan yakin dulu bahwa peristiwa itu mungkin  untuk  dijelaskan,  sehingga  guru  dapat  merencanakan  suatu  metode  pengajaran  yang  ilmiah  dengan penyajian khusus sesuai kebutuhan dan kemampuan siswanya (Shadmi, 1985).
Dengan  tujuan  yang  sama,  yaitu  untuk  memberikan  pemahaman  yang  baik  terhadap  siswa  tentang paradoks  si  kembar,  dapat  digunakan  pendekatan  peristiwa  gerak  dipercepat  beraturan  dan  menitikberatkan
tinjauan  lokal  dari  masing-masing  si  kembar  mengenai  pertukaran  sinyal  cahaya  antar  keduanya  seperti perbedaan tinjauan antara keduanya tentang stellar di ruang angkasa (Müller, 2008).
Berpijak  dari  masih  kurangnya  pemahaman  sebagian  guru  fisika  tentang  paradoks  si  kembar  diatas, penulisan ini bertujuan untuk memberikan penjelasan tentang masalah tersebut sehingga pengajaran paradoks si kembar sebagai materi pengayaan  yang  selama ini lebih sering  dihindari oleh para  guru dan menjadi  sesuatu yang  tak  terjawab  secara  tuntas,  menjadi  sesuatu  yang  mungkin  dijelaskan  dan  dapat  memuaskan  rasa keingintahuan siswa di sekolah.

## II. KAJIAN PUSTAKA

## a. Dilatasi Waktu
Dilatasi waktu merupakan suatu gejala dimana selang waktu antara dua detak dari suatu alat pengukur waktu akan mengalami kelambatan apabila alat tersebut bergerak relatif terhadap pengamat. Untuk menjelaskan hal itu, Gambar  1  menunjukkan  suatu  alat  pengukur  waktu  yang  di  buat  dengan  mengirimkan  sinyal  cahaya  menuju cermin pada jarak L dan kemudian kembali ke alat penerima. Setiap detak sama dengan perjalanan pergi pulang dari pengirim sinyal dan cermin. Pengukur waktu tersebut dalam keadaan diam terhadap kerangka laboratorium (Gambar 1.a). Gambar 1.b memperlihatkan pengukur waktu yang diamati dari laboratorium ketika alat tersebut diam didalam roket yang sedang bergerak ke kanan dengan kecepatan v . Sebenarnya alat tersebut berdetak setiap perjalanan sinyal pergi pulang, sehingga seharusnya c . t = 2 L , dimana c = kelajuan cahaya di ruang hampa, tetapi karena  kedua  kaki  dari  keseluruhan  perjalanan  adalah  sama,  maka  dalam  memudahkan  analisis,  kita menggunakan setengah perjalanan saja. Apabila t adalah waktu yang diperlukan sinyal untuk mencapai cermin di laboratorium untuk pengukur waktu yang diam di dalam roket (Gambar 1.b), t ’adalah waktu yang diperlukan sinyal untuk mencapai cermin di dalam roket pada kerangka diamnya (Gambar 1.a), dan L adalah jarak antara sumber sinyal ke cermin, maka diperoleh persamaan
t c L .  . (1)
Dari separuh segitiga pada Gambar 1.b, dan dengan menggunakan teorema pytagoras didapatkan persamaan,
2 2 2 2 2 . . t c t v L   . (2)
Dengan mensubstitusikan persamaan (1) ke dalam persamaan (2) diperoleh
2 2 1 . ' c v t t   . (3)
Karena 2 2 1 c v  < 1, arloji yang diam di dalam roket kelihatan lebih lambat menurut pengamat yang diam di laboratorium.  Dalam  perjalanan  balik  seperti  pada  Gambar  1.c,  di  mana  roket  bergerak  dengan  kecepatan v kekiri, pencatat waktunya juga akan melambat dibandingkan dengan yang ada di laboratorium. Akan tetapi itu juga akan terjadi pada pencatat waktu yang ada di laboratorium saat diamati oleh orang yang berada di dalam roket.
Gambar 1. (a) Perjalanan sinyal dari alat pencatat waktu menurut kerangka diam di laboratorium, (b) perjalanan sinyal  alat  pencatat  waktu  di  dalam  roket  yang  bergerak  dengan  kecepatan v ke  kanan  yang  diamati  dari laboratorium, (c) perjalanan sinyal alat pencatat waktu di dalam roket yang bergerak dengan kecepatan v ke kiri yang diamati dari laboratorium.
L L L
vt
vt Ω Ω Ω (a) (b) ( c) (Laboratorium) (Roket #1) (Roket #2)

## b. Kontraksi Panjang
Kontraksi  panjang  merupakan  gejala  berkurangnya  panjang  suatu  benda  saat  benda  tersebut  bergerak relatif terhadap pengamat. Gambar  2 menunjukkan suatu sinyal cahaya memantul dari sebuah cermin menuju penerima  sinyal.  Sinyal  cahaya  tersebut  berlaku  sebagai  alat  pengukur  panjang    yang  dipergunakan  untuk mengukur  panjang  dari  suatu  batang  di  dalam  laboratorium  dan  di  dalam  roket.  Apabila L’ adalah  panjang batang  di  dalam  roket, L adalah  panjang  batang  di  laboratorium, t 1 adalah  waktu  tempuh  dari  sinyal  cahaya menuju ke ujung batang di laboratorium, t 2 adalah waktu tempuh dari sinyal cahaya kembali dari ujung batang di laboratorium, t=t 1 +t 2 adalah waktu tempuh total di laboratorium , dan t’ adalah waktu tempuh total di dalam roket yang bergerak dengan kecepatan v, maka di dalam laboratorium
1 1 . . t c t v L   , (4)
2 2 ct vt L   , (5)
                2 2 2 1 1 2 c v c l t t t , (6)
sedangkan di dalam roket, ' . ' 2 t c L  , atau
c L t ' 2 '  . (7)
Dari persamaan pemuluran waktu,
2 2 1 . ' c v t t   . (8)
Dengan memasukkan persamaan (7) ke dalam persamaan (8), diperoleh
2 2 1 '. c v L L   , (9)
dan  terlihat bahwa batang kelihatan lebih pendek di dalam kerangka laboratorium, karena
2 2 1 c v  < 1.
Gambar 2. Sinyal cahaya yang dipancarkan dari sumber sinyal memantul dari sebuah cermin menuju penerima sinyal dalam sebuah roket yang bergerak dengan kecepatan v .
c. Muon
Salah  satu  peristiwa  alam  yang  membuktikan  kontraksi  panjang  dan    dilatasi  waktu  adalah  teramatinya peluruhan  muon  di  atmosfer.  Muon  merupakan  sebuah  partikel  dasar  yang  bermuatan  listrik  negatif  dan mempunyai spin ½. Muon bersama dengan elektron, tauon dan neutrino diklasifikasikan dalam keluarga lepton dari fermion. Muon memiliki massa 207 kali massa elektron dan dilambangkan μ - . Di atmosfer , muon tercipta ketika pion meluruh. Umur muon hanya sekitar 2,2 x 10 -6 s, namun ia bergerak dengan kecepatan yang sangat
Ω L v
tinggi. Karena geraknya tersebut (sekitar 0,988c =2,994 x 10 8 m/s), maka umur muon tersebut akan memanjang terhadap kerangka acuan bumi,  menjadi
2 2 1 ' c v t t   =34,76 x 10 -6 s,
sehingga dengan waktu hidup sebesar itu, muon dapat menempuh jarak (2,994 x 108) x (34 x 10-6) = 10.410 m (Beiser, 1991:12). Dengan jarak tempuh tersebut, ia dapat mencapai tanah dan dapat teramati oleh orang yang berada di bumi.

## d. Kajian Terdahulu
Paradoks si kembar merupakan suatu efek relativistik, dimana selang waktu dari dua kejadian (misalnya selang waktu antara dua detak arloji) akan mengalami perlambatan apabila benda itu bergerak relatif terhadap seorang  pengamat.  Peristiwa  itu  sering  dianalogikan  dengan  dua  anak  kembar,  dimana  salah  satu  dari  anak kembar  tersebut  melakukan  perjalanan  ke  antariksa  dengan  roket  berkecepatan  tinggi  (mendekati  keceptan cahaya), saat kembali ke bumi ia mendapati usianya lebih muda dari kembarannya yang tinggal di bumi. Hal ini membingungkan, karena situasinya nampak simetris. Menurut pandangan si anak yang bepergian, kembarannya yang tinggal di bumi yang melakukan perjalanan terhadapnya, sehingga menurutnya, kembarannya yang di bumi yang  akan  lebih  muda.  Di  sinilah  paradoks  dari  kasus  "si  kembar"dalam  teori  relativitas  khusus  (Beiser, 1991;14). Sebuah paradoks dalam logika dan secara  ilmiah mengacu pada hasil-hasil yang tidak sesuai,  yang secara logika tidak mungkin.
Adalah  Langevin  (1911)  orang  yang  pertama  menjelaskan  laju  usia  kedua  anak  kembar  tersebut,  ia mengemukakan  bahwa  "hanya  orang  yang  melakukan  perjalanan  yang  mengalami  percepatan  (mengalami perubahan arah kecepatan), percepatan inilah yang menjadi penyebab ketidaksamaan (bukan usia itu sendiri)". Ia menganggap efek itu sebagai suatu kejadian dari gerak mutlak. J. H. Fremlin (1980) menyatakan bahwa banyak orang belum bisa menerima hasil-hasil teoretis pada kasus paradoks si kembar, karena mereka tidak mengetahui mengapa si kembar yang bergerak tidak dapat menggunakan persamaan-persamaan relativitas untuk menghitung usia saudaranya yang tinggal di bumi. Pendapat itu sebenarnya merupakan penekanan dari beberapa pendapat yang  dikemukakan  sebelumnya  oleh  Langevin  (1911),  Romer  (1959),  dan  Muller  (1972).  Model  lain dikemukakan oleh Dray (1990). Ia mengulas tentang ketidaksimetrian yang mendasar antara kedua anak kembar, karena hanya satu dari mereka yang berubah arah sehingga mengalami percepatan. Lalu, apa yang terjadi jika alam  semesta  ini  "tertutup",  sehingga  si  kembar  yang  bepergian  dengan  roket  dapat  kembali  ke  bumi  tanpa mengubah  arah  ?  Dengan  mengandaikan  kedua  anak  kembar  dalam  suatu  sistem    berbentuk  silinder,  masih didapatkan ketidaksimetrian  antara kedua anak kembar tersebut.
Penjelasan mengenai paradoks si kembar dengan pendekatan efek Doppler disampaikan oleh M. Mariconi (2006). Dengan menggunakan efek Doppler ia membahas paradoks lonceng pesawat angkasa dan transformasi lorentz untuk sembarang kecepatan dalam satu dimensi.
Masih menggunakan pendekatan efek Doppler, Greenwood (1976), melakukan studi tentang paradoks si kembar dengan mengilustrasikan bahwa tiap anak kembar mengirim sinyal cahaya dengan frekuensi fo terhadap yang  lain,  dan  diperoleh  bahwa  sinyal-sinyal  yang  diterima  oleh  masing-masing  anak  mengalami  pergeseran frekuensi segera beraturan karena percepatan dari salah satu anak kembar yang melakukan perjalanan dengan roket.
Penjelasan yang lebih rumit tentang paradoks  si  kembar yaitu dengan meninjau dari pandangan  bahwa semua  kejadian  terdapat  pada  kontinu  berdimensi  empat  yang  disebut  ruang  –  waktu  (disebut  ruang  –  waktu minkowski).  Salah  satunya  adalah  Edward  B.  Manoukian  (1993)  dalam  makalahnya  yang  berjudul  "On  The Reversal  of  The  Triangle  Inequality  In  Minkowski  Space  Time  In  Relativity".  Dalam  intisarinya  dinyatakan bahwa bukti langsung dan mendasar dari pembalikan tentang pertidaksamaan segitiga dimana pernyataan bahwa garis lurus diantara dua titik bukanlah yang terpendek, tapi sebenarnya yang terpanjang, kecuali situasinya dalam ruang Euclidean. Paradoks si kembar merupakan kasus khusus dari pertidaksamaan ini.
Tinjauan lain dari paradoks si kembar dikemukakan oleh ø. Gr ø n (2006), yaitu dengan metode dinamika Lagrange dalam  kerangka acuan  yang dipecepat  beraturan, sedangkan  Sears (1963)  menganalisis paradoks  si kembar dengan "diagram Brehme".

## III. PARADOKS SI KEMBAR SEBAGAI MATERI PENGAYAAN DI SMA
Untuk  keperluan  sebagai  materi  pengayaan  di  sekolah,  kita  perlu  memilih  penjelasan  yang  sederhana mengenai  paradoks  si  kembar  sesuai  dengan  kemampuan  dan  logika  anak-anak  SMA.  Pertama  yang  bisa  kita lakukan yaitu memberikan ilustrasi sederhana tentang si kembar yang bepergian menggunakan pesawat dengan kecepatan luar biasa meninggalkan bumi dan kembali lagi. Sebagai contoh, sebuah pesawat ruang angkasa yang bergerak dari bumi ke suatu sistem bintang dimana jaraknya d = 12 tahun cahaya dan dengan kecepatan v = 0,60 c
relatif terhadap bumi. Kita beranggapan bahwa pesawat mencapai kecepatan penuh (0,60 c ) segera setelah lepas landas dari bumi. Waktu yang dibutuhkan oleh pesawat selama gerak pergi-pulang = t , dimana
40 2   v d t
tahun dalam perhitungan waktu dibumi (sehingga semua orang yang ada dibumi akan bertambah umur 40 tahun ketika pesawat itu kembali). Selama dalam perjalanan, putaran waktu didalam pesawat dan usia si kembar yang
bepergian  akan  melambat  dengan  faktor  1 ,  dengan  faktor  Lorentz
2 2 1 c     ,  sehingga  si  kembar  yang bepergian  akan  bertambah  usia  sebesar  0,8  x  40  =  32 tahun ketika  ia  kembali  ke  bumi.  Dibandingkan dengan orang  yang  usianya  sama  ketika  ia  meninggalkan  bumi,  waktu  kembali,  si  kembar  yang  bepergian  akan  lebih muda.  Mendengarkan  penjelasan  seperti  itu,  siswa  biasanya  akan  menanyakan  bagaimana  kalau  prosesnya dibalik.  Bukankah  gerak  itu  relatif,  sehingga  si  kembar  yang  bepergian  juga  bisa  menganggap  bumilah  yang bergerak terhadap dirinya? Sehingga didapati bahwa orang-orang dibumilah yang akan lebih muda?
Untuk menjawab pertanyaan tersebut, ada beberapa alasan yang dapat diutarakan, sebagai berikut.

## a. Terjadinya Kontraksi Lorentz
Menurut pandangan si kembar yang bepergian (pesawat), sistem bintang jauh dan bumi sedang bergerak relatif  terhadap  pesawat  dengan  kecepatan  v  selama  perjalanannya.  Dalam  kerangka  diamnya,  jarak  antara bintang jauh dan bumi adalah =  1 . d = 0,8 . 12 = 9,6 tahun cahaya (mengalami pengerutan panjang), untuk
tiap-tiap  perjalanan  pergi  maupun  pulang.  Setiap  setengah  perjalanan  memakan  waktu 16 6 , 0 6 , 9  tahun, sehingga  keseluruhan  perjalanan  =  2  x  16  =  32 tahun.  Perhitungan  si  kembar  yang  bepergian memperlihatkan bahwa  mereka  akan  kembali  ke  bumi  dengan  pertambahan  usia  32  tahun.  Ini  sesuai  dengan  perhitungan  si kembar yang di bumi, meskipun keduanya (si kembar yang bepergian   dan si kembar  yang di bumi) mengalami perjalanan yang berbeda.

## b. Terjadinya perubahan kerangka inersial yang dialami si kembar yang bepergian
Si  kembar  yang  ada  di  bumi  selalu  berada  pada  kerangka  inersial  pada  seluruh  waktunya,  sehingga berdasarkan  postulat  Einstein  ia  boleh  menggunakan  perumusan  pemuaian  waktu  untuk  perjalanan  si  kembar yang bepergian bersama pesawat ruang angkasanya (kecuali saat pesawat ruang angkasa mengalami percepatan yaitu  di  awal  perjalanan,  waktu  membalik  dan  diakhir  perjalanan),  tapi  selang  waktu  tersebut  dianggap  kecil dibandingkan  dengan  keseluruhan  perjalanan  si  kembar  yang  bepergian.  Sebaliknya  si  kembar  yang  bepergian harus  berubah  dari  satu  kerangka  inersial  ke  kerangka  inersial  yang  lain  ketika  ia  membalikkan  pesawat, sehingga  penggunaan  rumus  pemuaian  waktu  oleh  si  kembar  yang  bepergian  hanya  diperbolehkan  sewaktu perjalanan  menjauh.  Berdasarkan  alasan  diatas, maka  perhitungan  si  kembar  yang ada  di  bumilah  yang  benar, yaitu si kembar yang bepergianlah yang lebih muda.

## c. Analisis Efek Doppler
Untuk  memperjelas  perbedaan  usia  si  kembar,  kita  juga  bisa  menganalisisnya  dengan  Efek  Doppler.  Pada waktu  pengamat  dan  sumber  cahaya  saling  menjauh,  selang  waktu  sinyal  cahaya  yang  diukur  oleh  pengamat sebesar
c c t t       1 1 0 , (10)
sedangkan  saat  pengamat  dan  sumber  cahaya  saling  mendekat,  selang  waktu  sinyal  cahaya  yang  diukur  oleh pengamat dirumuskan sebagai
) 1 ( ) 1 ( 0 c c t t    
  . (11)
Misalkan  kedua  anak  kembar  tersebut  masing-masing  memancarkan  sinyal  cahaya  dalam  selang  waktu  satu tahun,  maka  pada  waktu  mereka  saling  menjauhi  (dalam  perjalanan  pergi  ke  bintang),  selang  waktu  yang teramati
sebesar
2 4 , 0 60 , 1 60 , 0 1 60 , 0 1 1       c c c c t tahun.
Pada waktu saling mendekat (dalam perjalanan pulang ke bumi), selang waktu yang teramati sebesar
5 , 0 6 , 1 4 , 0 60 , 0 1 60 , 0 1 1       c c c c t tahun.
Dalam  waktu  16 tahun  dalam perhitungan  si  kembar  yang bepergian  dalam perjalanan meninggalkan  bumi,  ia menerima  sinyal  sebanyak 8 2 16  sinyal.  Sedangkan  pada  waktu  perjalanan  pulang  ke  bumi,  ia  menerima
sinyal  sebanyak 32 5 , 0 16  sinyal.  Sehingga  ia  menyimpulkan  bahwa  usia  saudara  kembarnya  di  bumi bertambah  usia  sebesar  8  +  32  =  40  th.  Dalam  kerangka  anak  yang  ada  di  bumi,  si  kembar  yang  bepergian memerlukan  waktu 20 6 , 0 12  tahun.  Karena  jarak  bintang  tersebut  12  tahun  cahaya,  maka  anak  yang  ada
dibumi menerima sinyal dalam selang waktu 2 tahun selama 20 + 12 tahun 16 2 32   sinyal. Untuk sisa waktu
perjalanan sebesar 40 tahun – 32 tahun = 8 tahun, ia menerima sinyal lebih sering, yaitu selama selang waktu 0,5 tahun.  Jadi  dalam  selang  waktu  tersebut  ia  menerima  sinyal  sebanyak 16 5 , 0 8  sinyal,  sehingga  selama perjalanan  si  kembar  yang  bepergian,  si  kembar  yang  ada  di  bumi  menerima  sinyal  sebanyak  16  +  16  =  32 sinyal,  dan  si  kembar  yang  di  bumi    menyimpulkan  bahwa  kembarannya  yang  bepergian  bertambah  usia sebanyak 32 tahun.

## KESIMPULAN DAN SARAN
Berpijak dari telaah materi tentang paradoks si kembar sebagaimana diuraikan di muka, dimungkinkan untuk  menjelaskan  paradoks  si  kembar  dalam  teori  Relativitas  Khusus  pada  pelajaran  fisika  di  Sekolah Menengah  Atas  dengan  beberapa  pendekatan,  di  antaranya  terjadinya  kontraksi  panjang,  perubahan  kerangka acuan inersial, dan analisis efek Doppler.
Mengingat kenyataan  bahwa sampai saat ini kasus si kembar masih merupakan sebuah paradoks, maka dalam  pengajarannya  kepada  siswa  perlu  disampaikan  bahwa  beberapa  pendekatan  mengenai  paradoks  si kembar  tersebut  di  atas  hanyalah  suatu  upaya  untuk  menjelaskan  masalah  paradoks  si  kembar,  dan  bukanlah suatu penyelesaian paradoks si kembar.

## DAFTAR PUSTAKA
Beiser, A., 1991,”Konsep fisika modern”. Jakarta: Penerbit Erlangga
D'Auria,  R.,  dan  Trigiante,  M.,  2011,  “From  special  relativity  to  Feynman  diagrams:  a  course  of  theoretical particle physics for beginners (illustrated ed.)”, Springer Science & Business Media, 541.
Dray, T., 1990, “The twin paradox revisited”. Am. J. Phys . 58 (9), 822–825. Fremlin, J.H., 1980. “The twin paradox from the other side”. Eur. J. Phys . I ., 1 (1), 59 – 62.
Greenwood, M.S., 1976. “Use of Doppler–shifted light beams to measure time during acceleration”, Am. J. Phys. 44 , 1015.
Gr ø n, ø ., 2006, “The twin paradox in the theory of relativity”, Eur. J. Phys., 27 , 885 – 889.
Muller, R.A., 1972, “The twin paradox in special relativity”, Am. J. Phys ., 40 , 966-969. Manoukian, E. B., 1993, “On the reversal of the triangle inequality in Minkowski space time in relativity”, Eur. J. Phys. , 14 , 43.
Mariconi, M., 2006, ” Special relativity through the Doppler effect”. Eur. J. Phys ., 27 , 1409 – 1423.
Müller, T.,  King,  A.,  dan  Adis,  D.,  2008,  “A  trip to  the  end  of  the  universe  and  the twin  "paradox " ”, Am. J. Phys ., 76 (4 & 5), 360-373. Roomer, R.H., 1959, “Twin paradox in special relativity”, Am. J. Phys ., 27 , 131 – 135. Sears, F. W., 1963, “Some applications of the Brehme diagram”, Am. J. Phys ., 31 (4), 269 – 273. Shadmi,Y.,1985, “The twin paradox”, Phys. Educ ., 20 (1), 33–38.