Volume 1, No.1, Juli 2019, pp. 51-61

## PENGEMBANGAN SOAL-SOAL KONTEKSTUAL PADA MATA KULIAH ALJABAR LINEAR BERBASIS MATRIKS LESLIE
Ferryansyah 1
1 Jurusan Pendidikan Matematika, Universitas Borneo Tarakan
1 vrsyah.math@gmail.com

## Abstract
Understanding  the  exact  mathematical  concepts  in  students  can  be  obtained  through  an  in-depth  process  by practicing  existing  problems  in  daily  life  known  as  contextual  learning.  Linear  Algebra  is  one  of  the mathematics courses in the Department of Mathematics Education, Faculty of Teacher Training and Education, University of Borneo Tarakan. But in practicing problem solving students need contextual questions so that the learning  abilities obtained by students are  more meaningful  and students can  find out the usefulness of  Linear Algebra courses in daily life, especially on matrix material. Eigenvalues and eigenvectors in matrix material are one sub material that can be associated with the Leslie matrix. The Leslie Matrix is a matrix used to predict the number  and  rate  of  growth  of  female  population  in  the  City  of  Tarakan.  The  development  of  contextual questions related to the Leslie matrix includes calculating the predicted number of female population growth in one  of  the  kelurahans  in  the  City  of  Tarakan  in  the  next  5  years  and  calculating  the  prediction  of  the  rate  of female population growth in one of the kelurahans in the City of Tarakan in the next 5 years.
Keywords: Leslie Matrix, Linear Algebra, Contextual Problem Development.

## Abstrak
Pemahaman  konsep  matematika  yang  tepat  pada  mahasiswa  dapat  diperoleh  melalui  proses  yang  mendalam dengan  melatih  permasalahan  yang  ada  dalam  kehidupan  sehari-hari  yang  dikenal  dengan  pembelajaran kontekstual.  Aljabar  Linear  merupakan  salah  satu  mata  kuliah  matematika  pada  jurusan  Pendidikan Matematika,  Fakultas  Keguruan  dan  Ilmu  pendidikan,  Universitas  Borneo  Tarakan.  Namun  dalam  melatih pemecahan masalah mahasiswa diperlukan soal-soal kontekstual agar kemampuan pembelajaran yang diperoleh oleh mahasiswa lebih bermakna dan mahasiswa dapat mengetahui kegunaan mata kuliah Aljabar Linear dalam kehidupan  sehari-hari  khususnya  pada  materi  matriks.  Nilai  eigen  dan  vektor  eigen  pada  materi  matriks merupakan  salah  satu  sub  materi  yang  dapat  dikaitkan  dengan  matriks  Leslie.  Matriks  Leslie  merupakan matriks  yang  digunakan  untuk  memprediksi  jumlah  dan  laju  pertumbuhan  penduduk  perempuan  di  Kota Tarakan. Pengembangan soal kontekstual yang berkaitan dengan matriks Leslie diantaranya meliputi mengitung prediksi  jumlah  pertambahan  penduduk  perempuan  pada  salah  satu  kelurahan  di  Kota  Tarakan  5  tahun mendatang dan menghitung prediksi laju pertambahan penduduk perempuan pada salah satu kelurahan di Kota Tarakan 5 tahun mendatang.
Kata kunci: Matriks Leslie, Aljabar Linear, Pengembangan Soal Kontekstual.
Matematika  pada  dasarnya  diajarkan  peserta  didik  agar  dapat  digunakan  untuk  berfikir sistematis  dan  logis.  Akan  tetapi  sebagian  orang  beranggapan  bahwa  matematika  hanya  digunakan untuk memecahkan masalah dengan cara berhitung atau mengerjakan soal matematika di kelas. Lebih anehnya lagi ada yang menganggap matematika hanya sebatas kumpulan rumus-rumus dan teorema- teorema yang digunakan untuk menjawab soal matematika. Hal ini tentu tidak sesuai dengan hakikat matematika.  Sebagaimana  yang  dijelaskan  oleh  Suherman  (2003)  bahwa  matematika  adalah  disiplin pemikiran dan prosedur pengolahan logika, baik secara kuantitatif maupun kualitatif.
Pemahaman konsep matematika yang tepat pada peserta didik dapat diperoleh melalui proses yang mendalam dengan melatih permasalahan yang ada dalam kehidupan sehari-hari. Konsep ini yang dikenal  dengan  pembelajaran  kontekstual.  Sehingga  untuk  mendapatakan  cara  berfikir  logis  dan
sistematis  perlu  latihan  pemecahan  masalah.  Latihan  pemacahan  masalah  berkaitan  dengan matematika  sudah  sering  diberikan  pada  peserta  didik  mulai  dari  tingkat  sekolah  sampai  perguruan tinggi.  Tentu  pada  tingkat  perguruan  tinggi  pemecahan  masalah  yang  ada  jauh  lebih  kompleks dibandingkan dengan pemecahan masalah yang ada di tingkat sekolah.
Aljabar  Linear  merupakan  salah  satu  mata  kuliah  matematika  pada  jurusan  Pendidikan Matematika,  Fakultas  Keguruan  dan  Ilmu  pendidikan,  Universitas  Borneo  Tarakan.  Peneliti  sebagai salah  satu  pengajar  bidang  matematika  sejauh  ini  saat  memberikan  latihan  soal  kepada  mahasiswa hanya  berdasarkan  soal-soal  normatif  yang  ada  di  buku.  Mahasiswa  jarang  mengerjakan  soal-soal kontekstual apalagi yang berkaitan dengan kehidupan masyarakat yang ada di wilayah Kota Tarakan. Berkaitan  dengan  permasalahan  tersebut  diperlukan  pengembangan  soal-soal  kontekstual  agar kemampuan  pembelajaran  yang  diperoleh  oleh  mahasiswa  lebih  bermakna  dan  mahasiswa  dapat mengetahui  kegunaan  mata  kuliah  Aljabar  Linear  dalam  kehidupan  sehari-hari  khususnya  pada  sub materi matriks. Oleh karena itu pada studi literatur  ini dilakukan pengembangan soal Aljabar Linear berbasis kontekstual yang berkaitan dengan penerapan matriks Leslie dalam memprediksi jumlah dan laju penduduk perempuan di wilayah Kota Tarakan Provinsi Kalimantan Utara.

## METODE
Penelitian  ini  adalah  penelitian  studi  literatur  yang  bertujuan  mengkaji  referensi  tentang pengembangan soal Aljabar Linear dari penerapan matriks Leslie dalam memprediksi jumlah dan laju pertumbuhan populasi perempuan di Kota Tarakan. Adapun tahapan penelitian yang sebagai berikut:
1) Menyusun rencana topik yang akan dikaji.
2) Mencari pustaka yang relevan dan memilih materi dari berbagai sumber pustaka yang sesuai.
3) Membuat  soal  dari  penerapan  matriks  Leslie  dalam  memprediksi  jumlah  dan  laju  pertumbuhan populasi perempuan di Kota Tarakan .
4) Data yang diperoleh dari pengkajian materi dan soal yang dibuat digunakan sebagai acuan untuk membuat pembahasan dan kesimpulan pada penelitian ini

## HASIL DAN PEMBAHASAN

## Nilai Eigen Dan Vektor Eigen
Definisi 1 :
Jika adalah matriks , maka vektor tak nol di dalam dinamakan vektor eigen dari . Jika adalah kelipatan skalar dari , yaitu :
untuk  suatu  skalar .  Skalar disebut  nilai  eigen dari dan dikatakan  vektor  eigen  yang bersesuaian dengan . Masalah untuk mencari vektor
dan adalah bilangan real yang
memenuhi persamaan :
, disebut masalah nilai eigen (Sutojo dkk, 2010:222).

## Menghitung Nilai Eigen
Untuk mencari nilai eigen matriks yang berukuran maka kita menuliskannya kembali sebagai

## Atau

## –
Dan persamaan diatas akan mempunyai penyelesaian jika
|A- λI| = 0
Persamaan  diatas  disebut  sebagai  persamaan  karakteristik .  Mencari  nilai  eigen  berarti  menghitung determinan tersebut sehingga diperoleh nilai-nilai .

## Menghitung Vektor Eigen
Apabila nilai-nilai eigen diketahui, kemudian nilai-nilai ini dimasukkan ke persamaan :
–
Maka akan diperoleh vektor-vektor eigen yang bersesuaian dengan nilai eigen .
Contoh  1 Tentukan nilai eigen dan vektor eigen untuk matriks berikut :
= * +
Jawab :
= * +
|      | |( )     ( )| | | (-5 - )(-2 –  ) – 4 = 0 + 7   + 6 = 0 (  + 1) (  + 6) = 0 Diperoleh nilai-nilai eigen = -1 , = -6. Masukkan nilai-nilai ini kepersamaan
* + * + = 0
Untuk -1, diperoleh persamaan berikut
* + * + = 0 misalkan
, dimana adalah skalar bilangan real sembarang 0, maka
= s * +
bila diambil nilai = 1, maka diperoleh vektor eigen: = * + yang berkaitan dengan = -1.
Untuk = -6, diperoleh persamaan berikut
* + * + = 0
misalkan , dimana s adalah skalar bilangan real sembarang 0, maka = * +
bila diambil nilai = 1, maka diperoleh vektor eigen : = * + yang berkaitan dengan = -6.

## Membuat Model Matriks Leslie
Membuat  model  matriks  leslie  untuk  menghitung  prediksi  jumlah  populasi  perempuan  yang digunakan adalah tabel penentuan kelas umur (Tabel 2.1). Tabel penentuan kelas umur ini akan dibuat dalam  bentuk  tabel,  yaitu  tabel  populasi  perempuan  di  Kelurahan  Selumit  Pantai  yang  terdiri  dari  5 kolom yaitu Kelas Umur ( , Interval Umur, Populasi Awal ( ) , Kelahiran ( dan Kematian ( . Berikut  adalah  tabel  populasi  perempuan,  dengan  penentuan  kelas  umur  dimana L adalah  umur maksimum dari populasi perempuan, dan n adalah banyaknya kelas umur.
Tabel 1. Penentuan Kelas Umur Kelas umur ( i) Interval umur Populasi awal Kelahiran Kematian
1 [ ]
2 [ ] [ ⁄    ]
(Sumber : Modifikasi dari Anton Rorres, 2005)
Membentuk model matriks leslie untuk memprediksi jumlah pertumbuhan populasi perempuan a. Mencari nilai tingkat kesuburan yaitu rata-rata jumlah anak perempuan yang lahir dari tiap
perempuan ketika si ibu berada dalam kelas umur ke-
Dimana :
Tingkat kesuburan
banyaknya kelahiran pada kelas umur ke- i
populasi awal
b. Mencari nilai tingkat ketahanan hidup
yaitu perbandingan perempuan pada kelas umur ke-
yang diharapkan dapat bertahan dan mencapai kelas umur ke-
(1 - )
Dimana:
= rata-rata jumlah kematian dari tiap kelas umur
= banyaknya kematian pada kelas umur ke- i
tingkat ketahanan hidup
c. Menentukan model Matriks Leslie
[

## ]

## Penyelesaian Model Matriks Leslie
a. Menghitung Prediksi Jumlah Pertumbuhan Penduduk
Model  matriks  Leslie  yang  telah  dibuat  sebelumnya  dikalikan  dengan  populasi  awal, diselesaikan  menggunakan
.  Peneliti  menggunakan  operasi  perkalian  matriks  yang berbantu aplikasi  Matrix  Calculator untuk  mendapatkan  hasil  jumlah  populasi  perempuan  pada  tiap kelas umur. Kemudian jumlah populasi perempuan pada tiap kelas umur di total, sehingga diperolah jumlah populasi perempuan pada tahun 2023.
b. Menghitung Prediksi Laju Pertumbuhan Penduduk
Selanjutnya untuk menghitung prediksi laju pertumbuhan pennduduk, model matriks leslie yang telah  dbuat  sebelumnya,  diselesaikan  dengan  persamaan  karakteristik  yaitu = |      | dengan mencari nilai eigen berarti menghitung determinan persamaan tersebut, sehingga diperoleh persamaan karakteristiknya.  Peneliti  menggunakan  operasi  perkalian  dan  pengurangan  matriks.  Setelah mendapatkan persamaan karakteristiknya kemudian diselesaikan dengan berbantu software MATLAB untuk mendapatkan nilai-nilai eigennya. Dari nilai-nilai eigen dicari nilai eigen positif .
Tiga kasus yang muncul berkaitan dengan nilai dari nilai eigen positif , yaitu:
1). Suatu populasi akhirnya meningkat jika
2). Suatu populasi akhirnya berkurang jika

## 3). Suatu populasi cenderung stabil jika

## Prediksi Jumlah dan Laju Pertumbuhan Penduduk Perempuan di Kota Tarakan
Penelitian  Paramitha  (2019)  diperoleh  data  banyaknya  perempuan  di  Selumit  Pantai  Kota Tarakan
Tabel 2. Banyak Perempuan Setiap RT No Rukun Tetangga Banyak Perempuan 1 RT 01 383 2 RT 02 239 3 RT 03 301 4 RT 04 220 5 RT 05 577 6 RT 06 55 7 RT 07 222 8 RT 08 251
9 RT 09 339 10 RT 10 255 11 RT 11 232 12 RT 12 317 13 RT 13 248 14 RT 14 317 15 RT 15 677 16 RT 16 419 17 RT 17 309 18 RT 18 572 19 RT 19 521 20 RT 20 282 21 RT 21 217 22 RT 22 301 23 RT 23 574 24 RT 24 173 25 RT 25 118 26 RT 26 412 27 RT 27 376 28 RT 28 374 29 RT 29 240
(Sumber : Paramitha, 2019)
Data yang diperoleh kemudian oleh masing-masing kelompok dibagi menjadi kelas-kelas umur dalam interval waktu yang sama. Kemudian disajikan data populasi perempuan di Kelurahan Selumit

## Pantai pada tabel berikut
Tabel 3. Data Populasi Perempuan di Kelurahan Selumit Pantai pada tahun 2013-2018
Kelas Umur Interval Umur Populasi Awal ( ) Kelahiran Kematian 1 0 – 4 191 0 0 2 5 – 9 274 0 0 3 10 – 14 527 0 0 4 15 – 19 843 271 2 5 20 – 24 1372 601 0 6 25 – 29 1501 520 1 7 30 – 34 1420 215 0 8 35 – 39 927 187 0 9 40 – 44 796 56 0 10 45 – 49 729 0 1 11 50– 54 403 0 0 12 55 – 59 249 0 0 13 60 – 64 93 0 0 14 65 – 69 81 0 2 15 70 – 74 46 0 0 16 75 – 79 41 0 0 17 80 – 84 8 0 2 18 85 – 89 11 0 0
19 90 – 94 2 0 0 20 95 – 99 6 0 3 Total 9520 1850 11
( Sumber : Paramitha, 2019)
Data  mengenai  populasi  perempuan  di  Kelurahan  Selumit  Pantai  yang  digunakan  untuk menghitung  jumlah  dan  laju  pertumbuhan  populasi  di  formulasikan  ke  dalam  bentuk  matriks  leslie.
Sehingga  dapat  diketahui  prediksi  jumlah  dan  laju  pertumbuhan  di  Kelurahan  selumit  Pantai  pada  5 tahun  mendatang.  Dengan  berbantu aplikasi  Matrix  Calculator untuk  menghitung  jumlah  populasi perempuan dan software MATLAB untuk menghitung laju pertumbuhan populasi perempuan.
Tabel 4. Tingkat Kesuburan dan Ketahanan hidup perempuan
di Kelurahan Selumit Pantai tahun 2013-2018 Kelas Umur Tingkat Kesuburan Rata-rata Kematian Tingkat Ketahanan 1 0 0 1 2 0 0 1 3 0 0 1 4 0,321 0,0023 0,997 5 0,438 0 1 6 0,346 0,0006 0,999 7 0,151 0 1 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 0,201 0,07 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0,0013 0 0 0 0,0246 0 0 0 0 0 0,5 1 1 0,998 1 1 1 0,975 1 1 1 1 1 0,5
( Sumber : Paramitha, 2019)
                                                               0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 975 , 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 998 , 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 999 , 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 997 , 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 07 , 0 201 , 0 151 , 0 346 , 0 438 , 0 321 , 0 0 0 0 L
Dari  hasil  analisis  Matriks  Leslie  mempersyaratkan  bahwa  durasi  antara  dua  waktu pengamatan berurutan sama dengan interval umur, yaitu 5 tahun. Jika distribusi umur awal permulaan perempuan  pada  tahun  2013,  dan  distribusi  umur  perempuan  pada  tahun  2018  (pengamatan  pada waktu ),  maka  dapat  diproyeksikan  distribusi  umur  perempuan  pada  tahun  2023  ( ),  dan seterusnya.  Sehingga  dari  persamaan  di  atas  diperoleh  model  pertumbuhan  populasi  perempuan  di Kelurahan Selumit Pantai yaitu :
                            
                                                                          
                      6 2 11 8 41 46 81 93 249 403 729 796 927 1420 1501 1372 843 527 274 191 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 975 , 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 998 , 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 999 , 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 997 , 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 07 , 0 201 , 0 151 , 0 346 , 0 438 , 0 321 , 0 0 0 0 5 5 x                                                                46 9 , 78 6 , 90 7 , 242 9 , 392 3 , 709 4 , 794 1 , 925 1 , 1417 5 , 1496 6 , 1370 6 , 839 8 , 524 9 , 272 4 , 190 8 , 1841 7 , 1588 6 , 1216 870 9 , 1114
Sehingga dengan pembulatan  nilai, maka prediksi populasi pada tiap-tiap  kelas dijumlahkan  sebagai berikut :
Sehingga  pada  tahun  2023  prediksi  jumlah  populasi  perempuan  di  Kelurahan  Selumit  Pantai  adalah 16.025  jiwa  perempuan  dibandingkan  dengan  popuasi  perempuan  pada  tahun  2018  yaitu  hanya 11.370 jiwa.
Dengan  menggunakan  nilai  eigen  dari  Matriks  Leslie  dapat  ditentukan  prediksi  laju pertumbuhan populasi penduduk perempuan di Kelurahan Selumit Pantai. Maka akan ditentukan nilai eigen positif dari . Dalam kasus ini akan menentukan suatu populasi akan cenderung meningkat, cenderung menurun, atau suatu populasi akan cenderung stabil. Adapun rumus yang digunakan untuk mencari nilai eigen dari Matriks Leslie yaitu :

## |      |
Dengan menggunakan aplikasi MATLAB maka diperoleh nilai eigen dari Matriks Leslie yaitu :
 
                               
                                0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 975 , 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 998 , 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 999 , 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 997 , 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 07 , 0 201 , 0 151 , 0 346 , 0 438 , 0 321 , 0 0 0 0  p                             


                            
                      0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
                                
                                                                         1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 975 , 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 998 , 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 999 , 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 997 , 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 07 , 0 201 , 0 151 , 0 346 , 0 438 , 0 321 , 0 0 0 p
Sehingga diperoleh persamaan karakteristiknya yaitu :
Dari persamaan karakteristik diatas diperoleh nilai eigen sebagai berikut :
,
, , , , , , ,
,
, , ,
,
, , , , , ,
Dan  nilai  eigen  dominan  adalah
.  Sedemikian  sehinggga  dengan  nilai  eigen dominan  ini  dapat  menunjukkan  pertumbuhan  populasi  perempuan  di  Kelurahan  Selumit  Pantai. Karena  nilai  eigen  dominan  lebih  besar  dari  satu,  maka  nilai  ini  menunjukkan  bahwa  laju pertumbuhan penduduk di Kelurahan Selumit Pantai cenderung meningkat.

## Soal-soal Kontekstul Mata Kuliah Aljabar Linear
Pengembangan  soal  kontekstual  yang  dapat  dibuat  berkaitan  dengan  penggunaan  matriks Leslie dalam memprediksi jumlah dan laju pertumbuhan perempuan di Kota Tarakan sebagai berikut :
Kota  Tarakan  adalah  sebuah  kota  di  Provinsi  Kalimantan  Utara,  Indonesia  dan  juga merupakan  kota  terbesar  di  Kalimantan  Utara,  sekaligus  kota  terkaya  ke-17  di  Indonesia.  Sesuai dengan data Badan Kependudukan Catatan Sipil dan Keluarga Berencana, Kota Tarakan berpenduduk sebanyak 253.026 jiwa pada tahun 2019 dengan luas wilayah 250,80 km². Perempuan dengan tingkat kesuburan  dan  ketahanan  hidup  tinggi  merupakan  penyumbang  padatnya  jumlah  penduduk  disuatu wilayah.  Oleh  karena  itu,  Coba  Kalian  lakukan  prediksi  terhadap  jumlah  dan  laju  pertambahan penduduk perempuan pada salah satu kelurahan di Kota Tarakan tersebut 5 tahun mendatang dengan terlebih  dahulu  mengidentifikasi  jumlah  penduduk  perempuan  salah  satu  kelurahan  di  Kota  Tarakan pada  tahun  2019.  Hasil  identifikasi  tersebut  kemudian  sajikan  ke  dalam  tabel  penentuan  kelas  umur
agar  dapat  dihitung  tingkat  kesuburan  dan  tingkat  ketahanan  hidup  penduduk  perempuan  tersebut, serta dapat dibuat model matriks Leslie dari data penduduk perempuan tersebut.

## KESIMPULAN
Matrik  Leslie  adalah  matriks  yang  dapat  digunakan  untuk  menghitung  prediksi  jumlah  dan laju  pertumbuhan  penduduk  perempuan  pada  suatu  daerah.  Penelitian  terhadap  penerapan  matriks Leslie  telah  dilakukan  pada  Kelurahan  Selumit  Pantai  di  Kota  Tarakan  Provinsi  Kalimantan  Utara.
Adapun  hasil  penelitian  tersebut  diperoleh  pada  tahun  2023  prediksi  jumlah  populasi  perempuan  di Kelurahan  Selumit  Pantai  adalah  16.025  jiwa  perempuan  dibandingkan  dengan  popuasi  perempuan pada  tahun  2018  yaitu  hanya  11.370  jiwa  dan  laju  pertumbuhan  penduduk  di  Kelurahan  Selumit Pantai  cenderung  meningkat.  Berdasarkan  hasil  penelitian  tersebut  dapat  dikembangkan  soal  pada mata  kuliah  Aljabar  Linear  berkaitan  dengan  penggunaan  nilai  eigen  dan  vektor  eigen  dalam kehidupan  masyarakat  di  Kota  Tarakan.  Pengembangan  soal  tersebut  diantaranya  meliputi menghitung  prediksi  jumlah  pertambahan  penduduk  perempuan  pada  salah  satu  kelurahan  di  Kota Tarakan    5  tahun  mendatang  dan  menghitung  prediksi  laju  pertambahan  penduduk  perempuan  pada salah satu kelurahan di Kota Tarakan  5 tahun mendatang

## DAFTAR PUSTAKA
Anton, Howard dan Chris Rorres. 2005. Aljabar Linear Elementer (Versi Aplikasi ). Erlangga, Jakarta. Paramitha, Ferryansyah, & Hermansyah. (2019). Prediksi Jumlah Dan Laju Pertumbuhan Perempuan Dengan  Menggunakan  Matriks  Leslie  Pada  Tahun  2023  (Studi  Kasus:  Kelurahan  Selumit Pantai Kota Tarakan, Kalimantan Utara). Univeristas Borneo Tarakan. Skripsi Tidak diterbitkan Suherman,  Erman.  (2003).  Strategi  Pembelajaran  Matematika  Kontemporer.  Bandung:  JICA
Universitas Pendidikan Indonesia.
Sutojo, dkk. (2009).  Teori dan Aplikasi Aljabar Linier & Matriks. Yogyakarta : ANDI.