Vol. 7, No.1,  56-61,  Juli  2010
Penentuan Nilai R 0 dengan Menggunakan Operator The Next Generation
Kasbawati 

## Abstrak
Model  epidemiologi  merupakan  salah  satu  model  matematika  yang  banyak  diaplikasikan untuk menggambarkan proses penularan suatu penyakit yang infektif dalam dunia kedokteran, ke  dalam  bahasa  matematika.  Model  ini  pada  umumnya  menggambarkan  mengenai  perilaku umum sebuah penyakit yang berkembang dalam suatu sistem. Salah satu besaran yang sangat penting  dalam  model  epidemiologi  adalah  besaran  yang  disebut  sebagai basic  reproductive number yang biasa dilambangkan dengan R 0 . Besaran ini banyak memberikan makna dalam interpretasi  model  matematika  untuk  menjelaskan  seberapa  besar  proses  penularan  suatu penyakit  dapat  terjadi.  Dalam  tulisan  ini  akan  diberikan  suatu  metode  yang  dapat  digunakan dalam menentukan nilai R 0 .
Kata  Kunci : Model  Epidemiologi,  Basic  Reproductive  Number,  Metode  The  Next Generation.

## 1.  Pendahuluan
Pada  jaman  ini  berbagai  jenis  penyakit  menular  bermunculan  seiring  dengan perkembangan  teknologi  dan  gaya  hidup  yang  semakin  berubah.  Bagi  para  sebagian matematikawan  yang  bergerak  di  bidang  pemodelan,  hal  ini  menjadi  suatu  fenomena  yang menarik untuk diteliti, bukan hanya dalam dunia kedokteran tetapi juga dalam dunia pemodelan matematika,  khususnya  dalam  pemodelan  epidemiologi.  Secara  matematika,  baik  proses penularan maupun cara penanggulangan, suatu penyakit yang infektif dapat dianalisis dan dikaji dengan  memanfaatkan  teori-teori  yang  ada  dalam  dunia  matematika.  Dalam  tulisan  ini,  akan diulas  suatu  metode  yang  dapat  digunakan  untuk  mendapatkan  atau  menentukan  suatu  besaran yang dapat memberikan makna yang sangat penting dalam penginterpretasian model matematika ke dalam kasus real yang dimodelkan.

## 2. Model Epidemiologi
Pemodelan  suatu  masalah  real  atau  fenomena  real  yang  terjadi  dalam  masyarakat memerlukan  adanya  data  dan  informasi  yang  cukup  yang  dapat  digunakan  untuk  membangun model  yang  akan  dibentuk  ke  dalam  bahasa  matematika.  Informasi  dan  data  yang  diperlukan dapat diperoleh dari berbagai sumber informasi yang ada.  Model epidemiologi merupakan salah satu model matematika yang banyak digunakan untuk memodelkan kasus penyakit atau kasus lain yang  bersifat  menular.  Pada  umumnya,  model  ini  banyak  berfokus  pada  dinamik  dari  transmisi atau  perpindahan  ciri  atau  karakter  antara  individu  dengan  individu,  populasi  dengan  populasi, komunitas  dengan  komunitas,  daerah  dengan  daerah  bahkan  negara  dengan  negara.  Ciri  atau karakter  yang  berpindah  tersebut  dapat  berbentuk  penyakit  seperti  influenza,  malaria,
 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Hasanuddin Makassar
Vol. 6, No. 1, 59-64, Juli 2009
tuberkulosis, HIV; berupa karakteristik genetik seperti gender, ras, penyakit genetic; dan berbagai bentuk  lainnya  (Brauer et  al. ,  2001).  Istilah  yang  banyak  didengar  baik  dalam  dunia  kesehatan maupun  dalam  dunia  pemodelan  epidemiologi  diantaranya  adalah  epidemik  dan  endemik. Epidemik  merupakan  sebuah  fenomena  dimana  sebuah  penyakit  tiba-tiba  muncul  dalam  suatu populasi dan menjangkit secara cepat sebelum penyakit tersebut menghilang dan kemudian akan muncul  kembali  dalam  interval  waktu  tertentu  (penyakit  yang  muncul  secara  temporal). Sedangkan  endemik  merupakan  sebuah  fenomena  dimana  sebuah  penyakit  yang  muncul  akan selalu ada dalam suatu populasi (Diekmann, 2000).
Penguraian  model  epidemiologi  ke  dalam  bahasa  matematika  pada  umumnya menggunakan  bentuk  persamaan  differensial  yang  dibangun  dari  asumsi  bahwa  setiap  fungsi dalam kompartemen  model  merupakan fungsi yang  kontinu. Selain itu diasumsikan pula bahwa proses epidemik yang terjadi merupakan bentuk yang deterministik yaitu kelakukan dari populasi dan  aturan  yang  membangun  perkembangan  model  seluruhnya  ditentukan  dari  latar  belakang epidemik tersebut. Bentuk kompartemen model yang dimaksud di atas umumnya dibagi menjadi beberapa  bagian.  Pembagian  tersebut  pertamakali  diperkenalkan  oleh  Kermack-Mckendrick, 1927, yang disebut sebagai model kompartemen ( compartmental model ).
Kompartemen dalam model epidemiologi umumnya dibagi menjadi tiga yaitu susceptible population , dilambangkan dengan S ( t ), yaitu populasi sehat yang rentan sehingga dapat terinfeksi penyakit; infective population , dilambangkan dengan I ( t ), yaitu populasi yang terinfeksi pada saat t dan dapat menularkan penyakit melalui kontak dengan populasi sehat; dan removed population , dilambangkan  dengan R ( t )  yaitu  populasi  yang  pernah  terinfeksi  dan  kemudian  sembuh.  Akan tetapi  kesembuhan  tersebut  dapat  permanen  atau  sebaliknya.  Metode removal merupakan  suatu proses perpindahan populasi yang terinfeksi menjadi populasi yang sehat yang dilakukan melalui isolasi, imunisasi, recovery atau melalui kematian (Brauer et al. , 2001).
Model  epidemiologi  dasar  yang  diperkenalkan  oleh  Kermack-Mckendrick  disebut sebagai model S-I-R ( Susceptible-Infective-Removed ), yaitu
, , , I R I N I S I N I S S            
dengan pembentukan model tersebut didasarkan pada asumsi-asumsi:
1. Populasi  yang  infektif  melakukan  kontak  yang  cukup  untuk  mentransmisikan  penyakit  ke N  orang lainnnya per satuan waktu, dengan N menyatakan total jumlah populasi.
2. Ada sebanyak  persen populasi infektif yang sembuh persatuan waktu.
3. Tidak  ada  populasi  yang  masuk  atau  keluar  dari  sistem  kecuali  melalui  kematian  dan kelahiran (jumlah populasi yang konstan setiap saat).
Model  dasar  inilah  yang  banyak  dikembangkan  menjadi  model  yang  lebih  kompleks  yang tentunya dikembangkan berdasarkan data penyakit yang diamati.

## 3. Besaran Basic Reproductive Number ( R 0 )
Besaran R 0 didefinisikan  sebagai  jumlah  ekspektasi  dari  kasus  kedua  (kasus  sekunder) yang dihasilkan dari satu penderita yang mempunyai kemampuan menularkan penyakit, pada saat ia  masuk  dalam  sebuah  populasi  yang  semuanya  sehat,  selama  masa  menularnya  atau  masa infeksi  (Diekmann et  al. ,  1990).  Dengan  kata  lain  besaran  tersebut  berupa  faktor  kelipatan
( multiplication  factor )  dari  kasus  awal  (kasus  primer).  Besaran  ini  dapat  pula  didefinisikan sebagai  jumlah  ekspektasi  dari  kasus  sekunder  per  kasus  primer  dalam  sebuah  populasi  yang ‘ virgin ’ (Diekmann & Heesterbeek, 2000).
Secara matematika besaran ini mempunyai nilai ambang satu. Jika diperoleh nilai R 0 > 1, ini  berarti  bahwa  selama  masa  infeksi,  telah  dihasilkan  lebih  dari  satu  kasus  sekunder  dari  satu kasus  primer.  Tetapi  sebaliknya,  jika R 0 < 1  maka  selama  masa  infeksi  terjadi,  interaksi  tidak menghasilkan kasus sekunder dari kasus primer tersebut [2, 3].
Basic  reproductive  number merupakan  besaran  yang  tidak  berdimensi  dan  pada umumnya  merupakan  titik  bifurkasi  ( transcritical  bifurcation )  dari  suatu  sistem.  Perubahan kestabilan  ini  terjadi  pada  nilai  ambang  ( threshold  value ), R 0 =  1,  dimana  kestabilan  lokal berubah dari kondisi tak endemik (bebas infeksi) menjadi kondisi yang endemik. Nilai R 0 , secara umum  dapat  diperoleh  melalui  pencarian  syarat  eksistensi  dari  titik  kesetimbangan  sistem  yang endemik  atau  melalui  analisis  kestabilan  titik  tetap  tak  endemik  (bebas  penyakit)  maupun kestabilan titik tetap endemik. Akibatnya besaran ini secara langsung menentukan eksistensi dan kestabilan  dari  suatu  sistem  yang  diamati.  Akan  tetapi,  untuk  model  yang  mempunyai  tingkat kompleksitas  yang  tinggi,  terkadang  sulit  mendapatkan  nilai  R 0 melalui  kedua  cara  tersebut. Metode  pencarian  nilai  R0  yang  akan  dikaji  dan  diperkenalkan  dalam  tulisan  ini  memberikan kemudahan  dalam  menentukan  nilai  R0  dari  sistem  yang  diamati  dengan  tingkat  kompleksitas dan heterogenitas yang tinggi.

## 4. Metode Pendekatan Operator The Next Generation
Metode  Operator The  Next  Generation adalah  suatu  metode  pencarian  nilai  R 0 yang pertama kali diperkenalkan oleh Diekmann et al. (1990). Disini, besaran R 0 didefinisikan sebagai jari-jari spektral ( spectral radius ) dari matriks operator The Next Generation (Castillo & Huang, 2002). Misalkan diberikan suatu sistem persamaan differensial:
), , , ( Z Y X f dt dX  (1) ), , , ( Z Y X g dt dY  (2) ), , , ( Z Y X h dt dZ  (3) dengan
, , , n s r R Z R Y R X    0 , ,  n s r dan 0 ) 0 , 0 , (  X h .
Komponen X memuat  subpopulasi  individu  yang  sehat  ( susceptible )  atau  sembuh ( recover ); komponen Y memuat subpopulasi individu yang terinfeksi (dalam masa inkubasi); dan komponen Z memuat  subpopulasi  individu  yang  terinfeksi  dan  dapat  mentransmisikan  penyakit (dalam  masa  menular).  Penentuan  nilai R 0 dilakukan  dengan  cara  mencari  matriks the  next generation dari sistem (1-3) melalui langkah berikut:
1. Misalkan n s r R X E      ) 0 , 0 , ( 0 adalah  titik  tetap  tak  endemik  dari  sistem  (1-3)  yang memenuhi
0 ) 0 , 0 , ( ) 0 , 0 , ( ) 0 , 0 , (       X h X g X f . (4)

## Kasbawati
2. Asumsikan 0 ) , , (   Z Y X g yang secara implisit menentukan fungsi
) , ( ~ Z X g Y   . (5)
3. Subtitusi persamaan (5) dan titik tetap tak endemik ke persamaan (3), diperoleh 4.
) ), , ( ~ , ( Z Z X g X h dt dZ    . (6)
5. Turunkan persamaan (6) terhadap variabel Z dan kemudian dievaluasi di Z = 0, diperoleh 6.
0 ) ), , ( ~ , (    Z dZ Z Z X g X dh . (7) 7. Misalkan 0 ) ), , ( ~ , ( :     Z dZ Z Z X g X dh A .
Asumsikan matriks A dapat ditulis dalam bentuk D M A   , dengan M adalah matriks tak negatif, 0  M ( 0  ij m ), dan D > 0 suatu matriks diagonal.
Dari matriks M dan D diperoleh matriks the next generation dari sistem (1)-(3) yaitu matriks 1  MD , dimana matriks M dapat diartikan sebagai rata-rata infeksi per satuan waktu dan 1  D merupakan periode infeksi.
8. Misalkan )} ( : ) ( sup{ ) ( A A m     
 didefinisikan sebagai batas spektral dari matriks A
dengan ) (   merupakan bagian real dari nilai eigen  . Misalkan pula n n
n A A / 1 lim ) (    
yang didefinisikan sebagai radius spektral ( dominant eigenvalue ) dari matriks A , maka
1 ) ( 0 ) ( 1     MD A m  , atau
1 ) ( 0 ) ( 1     MD A m  .
(pembuktian ketidaksamaan tersebut selengkapnya dapat dilihat di Diekmann et al. (1990)).
9. Karena basic  reproductive  number ( R 0 )  dinyatakan  sebagai  radius  spektral  dari  matriks 1  MD maka diperoleh
  1 0   MD R  , dengan 1  MD disebut matriks (operator) the next generation (Castillo & Huang, 2002).

## 5. Penerapan Metode Pendekatan Operator The Next Generation
Sebagai  ilustrasi,  berikut  akan  diberikan  contoh  penerapan  metode  pendekatan  operator The Next Generation pada beberapa model epidemiologi.
1. Tinjau  model  epidemiologi  S-I-R  yang  diperkenalkan  oleh  Kermack-Mckendrick  yang  telah dibahas pada bagian sebelumya yaitu
Kasbawati
2.
, N I S dt dS    (8) , I N I S dt dI     (9)
I dt dR   , (10)
dengan N = S + I + R .
Misalkan X = ( S,R ), Z = ( I ). Dari persamaan (8-10) diperoleh titik tetap tak endemik sistem yaitu   0 , 0 ,
0 N E  . Dari persaman (9) diperoleh
  ) ( ) ( ) ), , ( ~ , ( : 0 0 0                         I I Z dI I d dI I N I N d dZ Z Z X g X dh A
. Jadi diperoleh ) (     A . Misalkan   M dan   D sehingga diperoleh
     1 0 MD R ,
dengan  merupakan rata-rata banyaknya individu sehat yang terinfeksi oleh satu individu yang infektif  ( infectious  individual )  per  satuan  waktu,  dan  merupakan  rata-rata  kesembuhan individu I ( recovery rate ).
3. Tinjau model (generik) oleh Kermack dan Mckendrick, dengan faktor kelahiran dan kematian sebagai berikut:
4.
, S N I S A dt dS      (11) , ) ( I N I S dt dI       (12) , R I dt dR     (13)
dengan N = S + I + R .
Misalkan X = ( S,R ), Z = ( I ), dan I N I S Z X h ) ( ) , (       .
Dari persamaan (11-13) diperoleh titik tetap tak endemik sistem yaitu        0 , 0 , 0  A E .
Dari persaman (12) diperoleh
  ) ( )) ( ( ) ( ) ), , ( ~ , ( : 0 0 0                                I I Z dI I d dI I N I A d
dZ Z Z X g X dh A
,
dengan N A   merupakan  banyaknya  kelahiran  alami  per  satuan  waktu  (  adalah  rata-rata kelahiran alami per satuan waktu dan N merupakan total populasi            pada saat t ).
Jadi diperoleh ) (       A . Misalkan   M dan ) (     D maka diperoleh
) ( 1 0        MD
R ,
dengan  merupakan rata-rata banyaknya individu sehat yang terinfeksi oleh satu individu yang infektif  ( infectious  individual )  per  satuan  waktu,  dan ) ( 1    dapat  diinterpretasikan  sebagai rata-rata panjangnya periode infeksi.
Jadi  secara  umum R 0 yang  diperoleh  tersebut  menyatakan  jumlah  kasus  infeksi  kedua yang  tercipta  oleh  satu  individu  yang  menginfeksi  individu  yang  sehat  lainnya  selama  periode infeksi terjadi.

## 6. Kesimpulan
Dari  bagian  sebelumnya  telah  diuraikan  suatu  metode  pencarian  nilai R 0 ,  yang  mana besaran ini merupakan besaran yang tak berdimensi yang mempunyai makna yang sangat penting dalam  pemodelan  epidemiologi.  Contoh  penerapan  metode  tersebut  juga  diberikan,  dan  dengan cara  yang  sama,  proses  pencarian  nilai R 0 dapat  dilakukan  pada  model  epidemiologi  lainnya, khususnya pada model-model dengan tingkat kompleksitas yang cukup tinggi.

## Daftar Pustaka
[1] Brauer,  Fred  and  Castillo,  C.  C.,  2001, Mathematical  Models  in  Population  Biology  and Epidemologi, Springer-Verlag Inc., New York.
[2] Castillo, C. C., Feng, Z. dan Huang, W., 2002, On the Computation of R 0 and Its Role on Global Stability, IMA , Volume 125, 229 – 250, Springer-Verlag Inc., New York.
[3] Diekmann,  O.,  Heesterbeek,  J.  A.  P.,  2000, Mathematical  Epidemiology  of  Infectious Disease , John Wiley & Sons Ltd., Chicester.
[4] Diekmann ,  O.,  Heesterbeek,  J.  A.  P.  dan  Metz,  J.A.J.,  1990,  On  The  Defnition  and  The Computation  of  The  Basic  Reproductive  Ratio R 0 in  Models  for  Infectious  Disease  in Heterogeneous  Populations, Journal  of  Mathematical  Biology ,  Springer-Verlag,  New York.