## Studi Perancangan Sistem Kontrol Kinematik Dan Dinamik Non Linier Watanabe Pada Wahana Nirawak Quadrotor

## Steven Aurecianus, Estiyanti Ekawati dan Endra Joelianto
Program Studi Teknik Fisika – Institut Teknologi Bandung

## Abstrak
Penelitian difokuskan pada desain  sistem kontrol kinematik dan dinamik non linier  Quadrotor hasil pemodelan  Watanabe  (2009).  Model  Quadrotor  yang  digunakan  merupakan  model  dinamik  yang dikontrol  menggunakan  metode backstepping .  Model  ini  memiliki  masukan  dan  keluaran  jamak. Desain  dilakukan  dengan  menentukan  letak  pole-pole  lup  tertutup  sehingga  diperoleh  matriks penguat  umpan  balik  sebagai  salah  satu  komponen  masukan.  Rentang  pole  yang  baik  diperoleh dengan  melakukan  pengujian  dan  analisis  terhadap  pengaruh  perubahan  dari  masing-masing  pole terhadap  respon  sistem  dan  perhitungan  nilai integral  absolute  error .  Simulasi  dilakukan  tanpa memperhitungkan variabel fisis dari Quadrotor.
Hasil penelitian ini adalah diperolehnya program matlab untuk mensimulasikan model kinematik dan dinamik  quadrotor  Watanabe  (2009).  Percobaan  yang  dilakukan  menunjukkan  bahwa  jumlah pembulatan angka dibelakang koma yang  baik adalah minimal dua angka dibelakang koma, dipilih konstanta  k  bernilai  1,  dan  rentang  letak  pole  dari  masing-masing  pole  dengan  pengaruh  yang signifikan namun tetap memenuhi syarat tidak terjadi overshoot dan osilasi yang besar untuk pole ke 1 berada dikisaran -1 sampai -3, pole 2 dikisaran -1 sampai -6, pole 3 dikisaran -1 sampai -6, pole 4 dikisaran-1 sampai -6, dan pole 5 dikisaran -1 sampai -5.
Kata  Kunci:  unmanned  air  vehicles,  wahana  nirawak  quadrotor,  pole  placement,  backstepping, kontrol dinamik.

## Abstract
The focuses of this research are the design of the kinematic control system and dynamic non linear quadrotor of Watanabe (2009) model. Quadrotor model that is used in this research is the dynamic model with backstepping controlled. This model has multiple input and output. Closed loop was used to  design  the  model  in  obtaining  amplifier  feedback  as  one  of  the  input.  A  good  pole  range  wad obtained by testing and analyzing the impact of pole changes respect to the response of the system and  integral  of  absolute  error  calculation.  Simulation  was  developed  by  excluding  calculation  of physical variable of quadrotor. In this study, kinematic simulation model of Watanabe (2009) dynamic quadrotor was developed using Matlab. Simulation obtained range of poles: 1 st pole is -1 to -3; 2 nd , 3 rd and 4 th pole are -1 to -6; the 5 th pole is -1 to -5.
Keyword: unmanned air vehicles, quadrotor, pole placement, backstepping, dynamic control.

## 1 Pendahuluan

## 1.1 Latar Belakang
Quadrotor dikendalikan menggunakan empat  rotor dengan konfigurasi silang, ini  berbeda dengan  helikopter  pada  umumnya  yang  memiliki  satu  buah  rotor  utama  dan  satu  rotor tambahan.  Walaupun  quadrotor  memiliki  konstruksi  mekanik  yang  lebih  sederhana dibandingkan  helikopter  biasa,  terdapat  beberapa  kendala  yang  membuatnya  sulit diaplikasikan.  Salah  satunya  yaitu  sulitnya  menstabilkan  kendali  dan  mengarahkan quadrotor secara simultan karena perilaku dinamik yang tidak linear. Selain itu, quadrotor
juga  memiliki  batasan-batasan  perilaku,  seperti  sudut  maksimum  dan  selisih  kecepatan putar dari masing-masing rotor yang diperbolehkan.
Penelitian  ini  difokuskan  pada  desain  sistem  kontrol  quadrotor.  Model  yang  digunakan merupakan  model  yang  kinematik  dan  dinamik  yang  telah  dirancang  sebelumnya  oleh Watanabe dan kawan-kawan. Watanabe mensimulasikan model dinamik yang telah dibuat dengan  menggunakan  metode backstepping dimana  salah  satu  komponen  masukannya berasal  dari  pengontrol  kinematik.  Pada  penelitian  ini  akan  dilakukan  analisis  untuk menentukan  letak  pole  lup  tertutup  dengan  tepat  sehingga  diperoleh  respon  yang diinginkan pada model kinematik dan dinamik.

## 2 Teori Dasar

## 2.1 Quadrotor (Wu, 2009) (Bresciani, 2008) (Watanabe, 2008)
Quadrotor  merupakan  salah  satu  jenis  wahana  nirawak  atau Unmanned  Aerieal  Vehicles (UAV)  berjenis Vertical  Take-Off  and  Landing  (VTOL) atau  memiliki  memampuan  untuk terbang dan mendarat secara vertikal . Quadrotor terdiri dari empat buah rotor atau baling- baling yang terletak pada keempat sudut kerangkanya  yang berbentuk persegi sama sisi. Quadrotor  merupakan  suatu  sistem  yang  terdiri  dari  empat  buah  masukan  dan  enam variabel keadaan. Quadrotor dapat dilengkapi dengan berbagai macam sensor dan kamera sehingga dapat diaplikasikan untuk berbagai macam kegunaan.

## 2.2 Konstruksi dan Sistem Koordinat Quadrotor (Bresciani, 2008)
Quadrotor  dikendalikan  oleh  empat  buah  rotor  atau  baling-baling  yang  terletak  pada keempat  sisinya.  Rotor  yang  saling  berhadapan  memiliki  arah  putaran  yang  searah, sedangkan  rotor  yang  bersebelahan  memiliki  arah  putaran  yang  berlawanan.  Rotor  pada quadrotor bersifat tetap dan hanya memberikan gaya dorong keatas sebesar f. Oleh karena itu,  untuk  bergerak  ke  arah  lain,  kecepatan  dari  masing-masing  rotor  dapat  diatur sedemikian rupa sehingga quadrotor mengalami rotasi.
Gambar 1 Konstruksi Quadrotor (Watanabe, 2009)
Sistem koordinat pada quadrotor ditunjukan pada gambar 1, adalah sebagai berikut:
X : posisi Quadrotor pada sumbu x (m)
Y : posisi Quadrotor pada sumbu y (m)
Z : posisi Quadrotor pada sumbu z (m)
φ : sudut rotasi searah jarum jam dengan sumbu putar x (rad) θ : sudut rotasi searah jarum jam dengan sumbu putar y (rad) ψ : sudut rotasi searah jarum jam dengan sumbu putar z (rad)

## 2.3 Pemodelan Kinematik Quadrotor (Watanabe, 2009) [4]
Persamaan kinematik dari quadrotor secara umum didefinisikan sebagai
(1)
(2)
(3)
(4)
Dimana sinyal masukan sistem adalah
: kecepatan translasi pada sumbu z
: kecepatan sudut rotasi.
Quadrotor memiliki dinamika non linier sehingga dilakukan pendekatan kontrol diskontinu menggunakan chained form .

## 2.4 Chained Form (Watanabe, 2009)
Didefinisikan  variabel  keadaan
dimana  letak    dan    ditukar  dan
. Dengan menggunakan transformasi Chained Form diperoleh
(6) Sehingga, vektor kontrol masukan yang baru dapat dituliskan menjadi (1)
dan vektor variabel keadaan yang baru
dapat dituliskan menjadi
(2)
(3)
Hasil  dari  transformasi  menggunakan  chained  form  ditunjukkan  oleh  persamaan  (9) dimana persamaan ini akan dikontrol menggunakan pendekatan kontrol diskontinu.

## 2.5 Kontrol Diskontinu (Watanabe, 2009)
Model  sistem  pada  persamaan  9  dibuat  menjadi  diskontinu  dengan  melakukan transformasi koordinat menjadi
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
Variabel keadaan diatas kemudian diturunkan dan didefinisikan
dan sehingga diperoleh persamaan
(16)
Selanjutnya  dicari  masukan  berupa  matriks  penguat  umpan  balik  dengan  menggunakan metode pole placement sebagai pengontrol sistem kinematik.

## 2.6 Pemodelan Dinamik Quadrotor (Watanabe, 2009)
Model dinamik dari quadrotor didefinisikan dalam persamaan matriks
(17)
Dimana
adalah matriks inersia
adalah matriks sentrifugal dan koriolis adalah vektor gravitasi adalah matriks transformasi input adalah vektor gaya

## 2.7 Degenerate State-Space Model (Watanabe, 2009)
Degenerate  State-Space  Model  diperoleh  dengan  mengkombinasikan  persamaan kinematik dan dinamik berikut
(18) (19)
Sehingga persamaan degenerate state-space model dapat dideskripsikan sebagai.
(20)
(21)
Untuk melinierkan model dinamik, diberikan umpan balik nonlinier.
(22)
Pada persamaan (21), dimana   adalah vektor kecepatan, sehingga persamaan  (17) dan (21) dapat direduksi menjadi.
(23) (24) Kemudian didefinisikan vektor keadaan sebagai
dan vektor masukan sebagai
.
(25)
Dimana   adalah matriks identitas.

## 2.8 Metode Backstepping (Watanabe, 2009)
Pada persamaan 23, jika   dapat dianggap sebagai masukan, maka sistem dapat dikontrol menggunakan  kontrol  diskontinu  Astolfi.  Diasumsikan masukan  virtual,  nilai  yang diinginkan adalah fungsi penstabil, dan
adalah variabel kesalahan.
Dengan mensubstitusi variabel kesalahan pada model kinematik diperoleh.
(26)
Dipilih persamaan energi Lyapunov.
(27)
Kemudian diturunkan terhadap waktu sehingga diperoleh.
(28)
Sehingga masukan kontrol   didefinisikan sebagai.
(29)
Dimana adalah matriks definit positif.

## 3 Perancangan Sistem Kontrol
Gambar 2 Diagram blok sistem kontrol kinematik quadrotor

## Gambar 3 Diagram blok sistem kontrol dinamik quadrotor

## 4 Hasil dan Analisis
Dengan  menggunakan  kondisi  awal  [-2  1.5  1.5
]  pada  model  kinematik
diperoleh grafik hasil simulasi.

## Gambar 4 Grafik hasil simulasi model kinematik
Dari  kedua  grafik  ini  dapat  kita  ketahui  bahwa  pengontrol  kinematik  berupa  matriks penguat  umpan  balik  bekerja  menstabilkan  quadrotor  menuju  titik  nol  dimana  kondisi tanpa adanya gangguan dari luar. Hal lain yang perlu diperhatikan adalah nilai z mencapai titik  nol  paling  akhir  dibandingkan  koordinat  lainnya.  Transformasi  variabel  keadaan memiliki  kelemahan  di  mana  sumbu  z  merupakan  pembagi  pada  beberapa  variabelnya sehingga  koordinat  sumbu  z  tidak  boleh  mencapai  atau  melewati  titik  nol  saat  koordinat lainnya tidak berada di titik nol. Secara matematis hal ini akan menyebabkan perhitungan menjadi tidak terdefinisi.
Gambar  4  ini  serupa  dengan  grafik  hasil  simulasi  model  kinematik  yang  telah  dilakukan Wanabe (2009), sehingga rekonstruksi dianggap valid untuk digunakan pada perancangan kontrol kinematik dan dinamik.
Selanjutnya dengan menggunakan kondisi awal [0 0 0
] dan kondisi akhir
[-3 3 3 0 0 0] pada model dinamik diperoleh grafik hasil simulasi
(a)
(b)

## Gambar 5 Grafik hasil simulasi model dinamik
Respon  quadrotor  menuju  kondisi  stabil  dimana  sudut  rotasinya  nol  ditunjukkan  oleh Gambar  5  (b)  Quadrotor  memberikan  respon  berupa  perubahan  sudut  rotasi  agar  dapat berpindah  tempat  dari  titik  awal  menuju  titik  akhir.  Saat  quadrotor  telah  mencapai  titik yang  dituju  maka  quadrotor  akan  kembali  pada  kondisi  normalnya  yaitu  sudut  rotasi  nol. Gambar 5 (a) dan 5  (b) ini serupa dengan grafik hasil simulasi model dinamik yang telah dilakukan  Wanabe  (2009),  sehingga  rekonstruksi  dianggap  valid  untuk  digunakan  pada penelitian.
Dilakukan  simulasi  dengan  melakukan  perubahan  letak  pole  lup  tertutup.  Dengan mengamati perubahan dan kecenderungan dari setiap perubahan letak pole pada masing- masing  pole  dapat  diketahui  pengaruh  dari  setiap  pole.  Perubahan  dari  letak  pole umumnya  memberikan  perubahan  pada  respon  dan  nilai  IAE  baik  besar  maupun  kecil. Namun  perubahan  letak  pole  dengan  pengaruh  yang  kecil  sebaiknya  tidak  dipilih  karena tidak efektif. Nilai IAE pada  koordinat    dapat diperkecil  dengan  memperbesar  pole  ke 3
atau  memperkecil  pole  4  dan  5.  Nilai  IAE  pada  koordinat dapat  diperkecil  dengan memperkecil  pole  ke  2  dan  ke  3.  Nilai  IAE  pada  koordinat    tidak  terpengaruh  secara signifikan  oleh  perubahan  letak  pole.  Nilai  IAE  pada  koordinat   dapat  diperkecil  dengan memperkecil  letak  pole  ke  2,3,4,  atau  5  namun  perubahannya  menjadi  tidak  signifikan ketika letaknya sudah lebih kecil dari -3, -6, -6, dan -5 untuk masing-masing pole. Nilai IAE pada koordinat   dapat diperkecil dengan memperbesar pole ke 3 atau memperkecil pole ke 5. Nilai IAE pada koordinat 𝜓 dapat diperkecil dengan memperkecil letak pole ke 1.
Letak pole untuk masing-masing pole sebaiknya tidak diletakkan diantara 0 dan -1 karena membuat  respon  sistem  menjadi  lambat  dan  nilai  IAEnya  jauh  lebih  besar  dari  keadaan awal.  Letak  pole  sebaiknya  tidak  lebih  kecil  dari  -10  untuk  setiap  pole  karena  walaupun memberikan  nilai  IAE  yang  lebih  kecil  namun  bentuk  respon  yang  diberikan  memiliki undershoot yang besar dan  menghasilkan overshoot . Dengan diketahuinya  pengaruh dari masing-masing  pole  maka  dapat  diatur  respon  perubahan  dari  suatu  koordinat  dengan tujuan meminimalisir kesalahan atau dengan kata lain mempercepat gerak quadrotor pada suatu sumbu koordinat. Selain itu, dengan diketahuinya rentang pole dengan nilai IAE yang minimal  maka  dapat  membantu  dalam  menentukan  letak  pole  lup  tertutup  dalam perancangan sistem kontrol.

## 5 Kesimpulan
Rekonstruksi model persamaan kinematik dan dinamik berhasil dilakukan sesuai dengan model  Watanabe  (2009).  Nilai  konstanta  k  yang  digunakan  adalah  1.  Pembulatan  pada perhitungan  dilakukan  dengan  dua  angka  dibelakang  koma.  Dengan  dilakukannya perubahan  letak  pole  lup  tertutup  saja,  respon  dari  sistem  tidak  dapat  memenuhi  syarat sudut  yang  diinginkan.  Diperloleh  rentang  letak  pole  dari  masing-masing  pole  dengan pengaruh yang signifikan namun tetap memenuhi syarat tidak terjadi overshoot dan osilasi yang besar untuk pole ke 1 berada dikisaran  -1 sampai -3, pole 2 dikisaran -1 sampai -6, pole 3 dikisaran -1 sampai -6, pole 4 dikisaran -1 sampai -6, dan pole 5 dikisaran -1 sampai -5.

## 6 Daftar Pustaka
[1] Bresciani,  T.  (2008). Modelling,  Identification,  and  Control  of  a  Quadrotor  Helicopter. Lund: Department of Automatic Control Lund University.
[2] Ogata, K. (2010). Modern Control Engineering Fifth Edition. New Jersey: Prentice Halls.
[3] Sarris, Z. (2001). Survey of UAV Applications in Civil Markets. Crete: STN ATLAS-3Sigma AE and Technical University of Crete.
[4] Watanabe,  K.,  &  Izumi,  K.  (2009).  Unmanned  Vehicles  Control  Systems:  The Development of Underactuated Control Systems for Vehicles with Six States and Four Inputs. International Conference on Instrumentation, Control & Automation .
[5] Watanabe, K., Tanaka, K., & Izumi, K. (2009). Discontinuous and Backstepping Method for the Underactuated Control of VTOL Aerial Robots with Four Rotors. Springer-Verlag Berlin Heidelberg .
[6] Wu, Y. (2009). Development and Implementation of a Control System for a Quadrotor UAV. Weingarten:  Master  Thesis  UniHochschule  Ravensberg-Weingarten  University  of Applied Science.