## J. Sains Dasar 2015 4 (1)   7 - 9

## ANALISIS SIMULASI TOTALLY ASYMETRIC SIMPLE EXCLUSION PROCESS UNTUK MENENTUKAN PROFIL ONE-BODY CORRELATION FUNCTION, TWO-
BODY CORRELATION FUNCTION DAN THREE-BODY CORRELATION FUNCTION  DI SEKITAR UJUNG-UJUNG KEKISI DENGAN VARIASI JUMLAH

## KEKISI
SIMULATION ANALYSIS OF THE TOTALLY ASYMETRIC SIMPLE EXCLUSION PROCESS TO DETERMINE THE  PROFIL OF THE ONE-BODY CORRELATION FUNCTION, TWO-BODY CORRELATION FUNCTION, AND THREE-BODY CORRELATION FUNCTION AROUND THE ENDS OF THE LATTICE WITH LATTICE NUMBER VARIATION
R. A. Adipurno*, W. S. B. Dwandaru, Denny Darmawan dan Bambang Ruwanto
Laboratorium Fisika Teori dan Komputasi, Jurusan Pendidikan Fisika, FMIPA, Universitas Negeri Yogyakarta *email: raadipurno@yahoo.com
diterima 1 Desember 2014, disetujui 3 Maret 2015

## Abstrak
Penelitian ini bertujuan untuk mengetahui perilaku one-body, two-body, dan three-body correlation functions dari model  TASEP  dengan  aturan  dinamika  sequential  updating  dan  kondisi  batas  terbuka  terhadap  lalu  lintas  kendaraan  di sekitar  ujung  lampu  lalu  lintas  kendaraan.  Penelitian  ini  dimulai  dengan  menentukan  algoritma  pemrograman  simulasi model  TASEP  dilanjutkan  pembuatan  coding  (program)  dengan  variasi  nilai  laju  input  ( α ),  nilai  laju  output  ( β ),  dan jumlah kisi (N). Program dijalankan dengan batasan waktu (t) dan jumlah sistem (M) tertentu. Nilai one-body correlation function  menentukan  peluang  rata-rata  partikel  untuk  menduduki  kekisi  i  pada  waktu  t.  Two-body  correlation  function menentukan  peluang  rata-rata  partikel  untuk  menduduki  kekisi  i  ketika  ada  partikel  lain  menduduki  kekisi  tetangga terdekat,  i+1  pada  waktu  t.  Three-body  correlation  function  menentukan  peluang  rata-rata  partikel  untuk  menduduki kekisi i ketika ada partikel lain menduduki kekisi tetangga terdekat, i+1 dan i+2 pada waktu t. Nilai one-body correlation function>two-body  correlation  function>three-body  correlation  function  untuk  semua  fase.  Semakin  panjang  jalan tersebut, maka korelasi yang diberikan pada masing-masing kendaraan terhadap kendaraan yang lain akan semakin besar.
Kata kunci: TASEP, sequential updating, n-body correlation function

## Abstract
This  study  aimed  to  determine  the  behavior  of  one-body,  two-body,  and  three-body  correlation  functions  of  the model dynamics TASEP with sequential updating rules and open boundary conditions on vehicular traffic around the end of the traffic light. The study began with the determination of algorithm to model the dynamics of TASEP and coding, with the variation of the input rate ( α ) , the output rate ( β ), and the number of  lattice sites (N). Then the program  run with specific time limit (t) and number of  systems (M). The value of the one-body correlation function determines the average occupancy  of  particles  in  lattice  site-i  at  time  t.  Two-body  correlation  function  determines  the  average  occupancy  of particle  at  site-i  when  there  is  another  particle  occupying  the  nearest  neighbor  lattice,  i+1,  at  time  t.  Three-body correlation function determines the average occupancy of particles to occupy lattice site-i when there are other particles occupying  the  nearest  and  next  nearest  neighbor  lattice  sites,  i+1  and  i+2,  at  time  t.  The  value  of  the  one-body correlation function turns out to be larger than the value of the two-body correlation function. The value of the two-body correlation function is larger than the value of the three-body correlation function for all phases. The correlation between a vehicle to another vehicle will be even greater.
Keywords:  TASEP, sequential updating, n-body correlation function

## Pendahuluan
Ditinjau  perilaku  kendaraan  yang  berada  di sekitar  lampu  lalu  lintas.  Jika  lampu  lalu  lintas
sedang  berada  pada  kondisi  berwarna  hijau,  laju kendaraan  yang  ada  di  belakang  akan  sangat
ditentukan oleh laju kendaraan yang berada paling depan. Jika kendaraan paling depan mulai melaju sesaat  setelah  lampu  hijau  menyala  dengan kelajuan  yang  lambat,  maka  kendaraan  yang  ada di  paling  belakang  akan  lama  menunggu kendaraan untuk bergerak.
Salah  satu  metode  dalam  ilmu  Fisika  yang cocok  untuk  menganalisis  masalah  tersebut adalah  Fisika  Komputasi.  Di  dalam  Fisika Komputasi  terdapat  model  TASEP  (Totally Asymmetric  Simple  Exclusion  Process)  [1]. TASEP  merupakan  proses  stokastik  dimana partikel  yang  menempati  sebuah  kekisi  akan bergerak (melompat) kekisi sebelah atau tetangga terdekat  selama  kekisi  tetangga  tersebut  tidak ditempati  oleh  partikel  lain  [2].  TASEP merupakan  salah  satu  model  yang  dapat diselesaikan  dengan  mekanika  statistik  tak setimbang  [3].  Dalam  model  TASEP  dapat ditentukan  kerapatan  dan  arus  partikel  yang melalui  kekisi.  Selain  itu,  dapat  pula  ditentukan korelasi  atau  hubungan  probabilitas  antara  dua partikel yang berada pada dua kisi sembarang dua kisi  [4].  Hal  ini  disebut  sebagai  two-body correlation  function.  Dapat  pula  ditentukan korelasi antara tiga partikel yang berada pada tiga kisi  sembarang  tiga  kisi  yang  disebut  sebagai three-body  correlation  function,  dan  seterusnya [5].  Dari  besaran-besaran  tersebut  di  atas, permasalahan  kepadatan  kendaraan  di  sekitar lampu lalu lintas akan dibahas.
Dipilihnya  model  TASEP  dalam  penelitian ini dikarenakan  model  fisisnya  mirip  dengan  lalu lintas  kendaraan  yang  bergerak  pada  ruas  jalan searah.  Pada  lalu  lintas  searah,  kendaraan bermotor sama perannya seperti partikel di dalam kisi, sedangkan ruas jalan adalah kisi tersebut [6]. Syarat batas terbuka pada TASEP satu dimensi ini menggunakan sequential updating.

## Metode Penelitian
Waktu dan Tempat Penelitian. Penelitian ini dilakukan  pada  bulan  Mei-Juli  2013.  Penelitian dilakukan  di  Laboratorium  Fisika  Komputasi Universitas  Negeri  Yogyakarta  dan  di  kediaman peneliti.
Teknik Pengumpulan Data. Teknik pengumpulan  data  penelitian  ini  dilakukan dengan  menentukan  algoritma  pemrograman simulasi  model  TASEP  dengan  aturan  dinamika sequential  updating.  Selanjutnya,  dibuat  coding (program)  untuk  menyelesaikan  permasalahan menggunakan  bahasa  C++.  Pada  program  yang
telah dibuat divariasi nilai laju input ( α ), nilai laju output  ( β ),  dan  jumlah  kisi  (N).  Kemudian menjalankan  program  dengan  batasan  waktu  (t) dan  jumlah  sistem  (M)  tertentu.  Data  yang dihasilkan  oleh  pemrograman  berupa  kepadatan partikel  (one-body  correlation  function),  two- body  correlation  function,  dan  three-body correlation  function.  Data  tersebut  selanjutnya dibuat dalam bentuk grafik.

## Hasil dan Pembahasan
Hasil penelitian merupakan grafik hubungan antara  kepadatan  partikel  (one-body  correlation function),  two-body  correlation  function,  dan three-body correlation function dengan kekisi dan divariasi  berdasarkan  empat  fase  yang  terdapat dalam  model  TASEP  yakni  coexistence  phase, low  density,  high  density,  dan  maximum  current. Adapun yang terdapat pada pembahasan ini hanya dibahas coexistence phase pada ujung akhir kisi.
Gambar 1. One-body correlation function pada sekitar ujung akhir kisi untuk TASEP 1D dengan aturan dinamika sequential updating dan syarat batas terbuka, serta α = β = 0,2 (coexistence phase)
Dapat  diamati  dari  Gambar  1,2,  dan  3,  nilai kerapatan  (one-body  correlation  function)  lebih besar  daripada  two-body  correlation  function sedangkan  nilai  two-body  correlation  function lebih  besar  daripada  three-body  correlation function, atau nilai kerapatan partikel > two-body correlation  function  >  three-body  correlation function.  Tampak  pula,  nilai  kerapatan  partikel cenderung  mendekati  nilai  0,75  dengan  semakin mendekati  akhir  kisi,  two-body  correlation function  cenderung  konvergen  menuju  sekitar nilai  0,55  dan  three-body  correlation  function mendekati  nilai  0,45.  Hal  ini  berarti  dengan semakin  banyak  kisi,  nilai  two-body  correlation
function  dan  three-body  correlation  function cenderung naik di sekitar ujung kisi.
Gambar 2. Two-body correlation function pada sekitar ujung akhir kisi untuk TASEP 1D dengan aturan dinamika sequential updating dan syarat batas terbuka, serta α = β = 0,2 (coexistence phase)
Gambar 3. Three-body correlation function pada sekitar ujung akhir kisi untuk TASEP 1D dengan aturan dinamika sequential updating dan syarat batas terbuka, serta α = β = 0,2 (coexistence phase)
Setelah  melakukan  analisis  terhadap  one- body  correlation  function,  two-body  correlation function,  dan  three-body  correlation  function, maka  dapat  diperoleh  korelasi  model  tersebut dengan  lalu  lintas  kendaraan.  Semakin  panjang suatu jalan (bertambahnya jumlah kisi pada model TASEP) untuk perilaku kendaraan di ujung jalan, maka  kerapatan  antar  kendaraan  justru  semakin tinggi  dikarenakan  laju  output  kecil  ( β =0,2). Selanjutnya,  hubungan  kendaraan  di  ujung  akhir jalan semakin besar pula untuk sebuah kendaraan yang  berada  satu  kendaraan  di  belakangnya sebesar  0,55  atau  55  %.  Lebih  jauh  lagi,
kelancaran  gerak  jalan  dipengaruhi  oleh  dua kendaraan di belakangnya sebesar 0,45 atau 45 %.

## Simpulan
Nilai  one-body  correlation  function  >  two- body correlation function > three-body correlation  function.  Keterkaitan  model  TASEP dengan  lalu  lintas  kendaraan  ini  adalah  semakin panjang  jalan  tersebut,  maka  korelasi  yang diberikan pada masing-masing kendaraan terhadap kendaraan yang lain akan semakin besar, seperti  yang  terdapat  pada  coexistence  phase dengan korelasi antar kendaraan sebesar 45% dan 55%.

## Pustaka
[1] Parmeggiani  A.,  Franosch  T.,  dan  Frey  E., (2004),  The  Totally  Asymmetric  Simple Exclusion  Process  with  Langmuir  Kinetics, Phys. Rev. E70, 46101-46121.
[2] Dwandaru W.S.B. dan Schmidt M. (2006) J.
Phys. A: Math. Theor.40,13209 [3] Brankov, J.G. (2006) The Totally Asymmetric Exclusion process On a Ring:Exact Relaxation  Dynamics  and  Associated  Model of  Clustering  Transition.  Bulgaria:  Institute of Mechanics.
[4] Chowdry dan Debashis (2003) Traffic flow of interacting  self-driven  particles:  rails  and trails,  vehicles  and  vesicles.  Kanpur:  Indian Institute of Technology.
[5] Perros,  H.  (2009)  Computer  Simulation Techniques:The definitive introduction. Computer  Science  Department  NC  State University Raleigh, NC.
[6] Dwandaru,  W.S.B.  (2010)  Various  Corres- pondences  Between  Simple  Driven  and Equilibrium  Statistical  Hard  Core  Models. University  of  Bristol:  H  H  Will  Physics Laboratory.