## Model Grey (1,1) dan Grey-Markov pada Peramalan Realisasi Penerimaan Negara

## Atina Ahdika
Program Studi Statistika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Islam Indonesia, Jalan Kaliurang Km 14,5 Sleman Yogyakarta 55584, Indonesia
Korespondensi; Email: atina.a@uii.ac.id

## Abstrak
Setiap Negara memerlukan sumber penerimaan untuk mewujudkan pembangunan nasional dan membiayai segala keperluannya. Di Indonesia, terdapat tiga sumber utama penerimaan Negara; penerimaan pajak, penerimaan bukan pajak, serta penerimaan hibah baik dari dalam maupun luar negeri. Untuk mengantisipasi berbagai keperluan serta mengoptimalkan penggunaan penerimaan Negara, maka perlu adanya  proyeksi realisasi penerimaan Negara dari ketiga  sumber  tersebut.  Proyeksi  tersebut  dapat  dilakukan  dengan  menggunakan  model  deret  waktu  klasik  baik model deterministik maupun model stokastik. Namun demikian, pada model deret waktu klasik terdapat beberapa asumsi yang harus dipenuhi seperti pola data atau jumlah minimal data. Sebagai alternatif, pada penelitian ini akan dilakukan  peramalan  dengan  menggunakan  model  Grey  (1,1)  dan  Grey-Markov;  perpaduan  antara  model  Grey dengan analisis Rantai Markov. Model ini memiliki keunggulan dibandingkan model deret waktu klasik, yaitu tidak perlu adanya asumsi mengenai pola data serta peramalan dapat dilakukan meskipun data yang dimiliki cukup kecil (minimal  4  data).  Hasil  analisis  menunjukkan  bahwa  model  Grey-Markov  secara  umum  memberikan  akurasi peramalan yang lebih baik dibandingkan dengan model Grey (1,1).
Kata Kunci Grey (1,1); Grey-Markov; Penerimaan Negara; Peramalan

## Abstract
Every state requires a source of revenue to realize its national development and fund its needs. In Indonesia, there are three main sources of state revenues; tax, non-tax, and grant revenues both from within and outside the country. To anticipate various purposes and optimize the use of state revenues, it is necessary to project the realization of the  revenues  from  these  three  sources.  The  projection  can  be  done  using  a  classical  time  series  model  in  both deterministic and stochastic models. However, in the classical time series model there are several assumptions that must be met such as data patterns or minimal amount of data. Alternatively, in this study the data will be forecasted using Grey (1,1) model and Grey-Markov model; a combination of the Grey model with Markov Chain analysis. This models have advantages over the classical time series models, ie no need for assumption about data pattern and forecasting can be done even though there are small size data (at least 4 data). The results of the analysis show that generally Grey-Markov model provides better forecasting accuracy compared with Grey (1,1) model.
Keywords Grey (1,1); Grey-Markov; State Revenues; Forecasting

## Pendahuluan
Salah satu elemen penting yang diperlukan dalam mewujudkan tujuan nasional suatu negara adalah ketersediaan sumber keuangan. Segala kebijakan yang disusun untuk mendukung pertumbuhan ekonomi dalam rangka pembangunan nasional dapat dipertahankan melalui peningkatan penerimaan Negara. Berdasarkan  UU  Republik  Indonesia  Nomor  17  Tahun  2003  [1],  pendapatan  Negara  terdiri  atas penerimaan pajak, penerimaan bukan pajak, dan hibah. Menurut Remsky K. Judisseno (1997:5) dalam Zaki dkk [2], pajak adalah suatu kewajiban  kenegaraan dan pengabdian peran aktif warga Negara dan anggota masyarakat lainnya untuk membiayai berbagai keperluan Negara berupa pembangunan nasional  yang  pelaksanaannya  diatur  dalam  Undang-Undang  dan  peraturan-peraturan  untuk  tujuan kesejahteraan Negara.  Penerimaan pajak  sendiri  meliputi penerimaan  yang  terdiri dari  pajak  dalam negeri maupun pajak perdagangan internasional. Menurut UU Republik Indonesia Nomor 20 Tahun
1997 [3], Penerimaan Negara Bukan Pajak (PNBP) adalah seluruh penerimaan Pemerintah Pusat yang tidak berasal dari penerimaan perpajakan. Kelompok PNBP ini meliputi penerimaan yang bersumber dari pengelolaan dana Pemerintah, penerimaan dari pemanfaatan sumber daya alam, penerimaan hasil- hasil pengelolaan kekayaan Negara yang dipisahkan, penerimaan dari pelayanan yang dilaksanakan Pemerintah,  penerimaan  berdasarkan  putusan  pengadilan  dan  yang  berasal  dari  pengenaan  denda administrasi,  penerimaan  berupa  hibah  yang  merupakan  hak  Pemerintah,  serta  penerimaan  lainnya yang  diatur  dalam  Undang-undang  tersendiri.  Sementara  itu,  penerimaan  hibah  adalah  semua penerimaan  Negara  yang  berasal  dari  sumbangan  swasta  dalam  negeri  serta  sumbangan  lembaga swasta dan pemerintah luar negeri.
Untuk  mengantisipasi  segala  keperluan  keuangan  Negara  pada  tahun-tahun  berikutnya  serta mengoptimalkan penerimaan Negara, maka lembaga-lembaga tertentu seperti Biro APBN atau Badan Pusat Statistik (BPS) biasanya melakukan proyeksi realisasi penerimaan Negara. Dalam ilmu Statistika sendiri, proyeksi/peramalan untuk data keuangan Negara dapat dilakukan dengan menggunakan model deret  waktu  klasik  baik  model  deterministik  maupun  model  stokastik  seperti  model  Exponential Smoothing, Moving Average, ARIMA, SARIMA, dan sebagainya. Namun demikian, terdapat beberapa asumsi yang harus dipenuhi jika menggunakan model deret waktu klasik yaitu adanya penentuan pola data atau jumlah minimal data yang bisa digunakan untuk melakukan peramalan. Perlu terpenuhinya asumsi-asumsi tersebut membuat model deret waktu klasik cukup memakan waktu untuk digunakan. Untuk itu, pada penelitian ini akan dilakukan peramalan penerimaan Negara dengan model alternatif yaitu model Grey (1,1) dan model Grey-Markov.
Teori sistem Grey pertama diperkenalkan oleh Deng Julong pada tahun 1982 [4]. Menurut Julong, jika  dalam suatu data/sistem terdapat  kekurangan informasi, seperti struktur data, jumlah data yang terbatas, serta mekanisme operasi, maka sistem tersebut termasuk ke dalam sistem Grey. Sistem Grey ini  kemudian  dikembangkan  menjadi  suatu  metode  peramalan  Grey  sebagai  pengganti  dari  model deret waktu dan metode regresi dengan menggunakan model diferensial pada teknik penyelesaiannya. Model Grey telah banyak diaplikasikan pada penelitian-penelitian berbasis peramalan, seperti model predikasi volume lalu lintas [5], prediksi kecelakaan kebakaran [6], serta prediksi permintaan produk [7]. Model Grey ini secara umum dikenal dengan nama model Grey (𝑑, 𝑝) , dimana 𝑑 menunjukkan berapa kali diferensial dilakukan dan 𝑝 menunjukkan jumlah variabel yang digunakan.
Dalam perkembangannya, model Grey ini dikombinasikan dengan analisis Rantai Markov dan diberi nama  model  Grey-Markov.  Model  Grey-Markov  ini  menggunakan  konsep  transisi  keadaan  dimana perubahan keadaan dari waktu ke waktu pada suatu data bersifat tidak pasti. Sifat ketidakpastian inilah yang mendukung disertakannya analisis Rantai Markov pada model Grey.
Pada data penerimaan Negara,  pendapatan yang  diperoleh Negara  dari tahun ke tahun mengalami perubahan yang sifatnya tidak pasti. Selain itu, data yang tersedia dan dapat diakses memiliki jumlah yang tidak terlalu besar sehingga pada penelitian ini dipilihlah model Grey (1,1) serta model Grey- Markov  untuk  meramalkan  penerimaan  Negara  baik  pajak,  non-pajak,  maupun  hibah.  Model  Grey (1,1)  dipilih  karena  proses  diferensiasi  yang  digunakan  hanya  sekali  serta  jumlah  variabel  yang digunakan pada setiap peramalan hanya terdiri atas satu variabel, yaitu variabel penerimaan tersebut.

## Landasan Teori
Model Grey (1,1)
Model Grey (1,1) (dikenal  juga dengan nama GM (1,1)) merupakan metode yang paling sederhana dari pengembangan teori sistem Grey dimana proses diferensiasi yang digunakan hanya satu kali serta variabel penelitian yang digunakan hanya satu.
Adapun langkah-langkah peramalan dengan menggunakan model Grey (1,1) adalah sebagai berikut [8].
Pertama, buat data asli ke dalam bentuk barisan 𝑥 (0) (𝑘), 𝑘 = 1,2,3, … , 𝑛 yaitu
𝑥 (0) (𝑘) = {𝑥 (0) (1), 𝑥 (0) (2), 𝑥 (0) (3), … , 𝑥 (0) (𝑛)} (1)
Selanjutnya, buat barisan baru 𝑥 (1) (𝑘) yang merupakan akumulasi dari 𝑘 barisan pertama melalui operasi 1-AGO (one time Accumulated Generating Operation).
𝑥 (1) (𝑘) = {𝑥 (1) (1), 𝑥 (1) (2), 𝑥 (1) (3), … , 𝑥 (1) (𝑛) (2)
dimana 𝑥 (1) (𝑘) = ∑ 𝑥 (0) (𝑖) 𝑘 𝑖=1 , 𝑘 = 1,2,3, … , 𝑛
Barisan  data  asli  dan baru  pada  persamaan  (1)  dan  (2)  kemudian  digunakan  untuk  membangun persamaan diferensial orde 1, yaitu
𝑥 (0) (𝑘) + 𝑎𝑥 (1) (𝑘) = 𝑏,   𝑘 = 2,3, … , 𝑛 (3)
dimana 𝑎 menyatakan developing coefficient dan 𝑏 menyatakan input grey.
Kemudian  hitung  MGO (Mean  Generating  Operation) 𝑧 (1) (𝑘) untuk  menyelesaikan  persamaan diferensial (3) dan menentukan nilai 𝑎 dan 𝑏 .
𝑧 (1) (𝑘) = 0.5𝑥 (1) (𝑘) + 0.5𝑥 (1) (𝑘 − 1), 𝑘 = 1,2, … , 𝑛 (4)
Dengan menggunakan metode kuadrat terkecil, diperoleh penyelesaian koefisien 𝑎 dan 𝑏 yaitu
𝑐̂ = [ 𝑎 𝑏 ] = (𝐵 𝑇 𝐵) −1 𝐵 𝑇 𝑌 𝑁 (5)
dimana
𝐵 = [ −𝑧 (1) (2) 1 −𝑧 (1) (3) ⋮ −𝑧 (1) (𝑛) 1 ⋮ 1] ,        𝑌 𝑁 = [ 𝑥 (0) (2) 𝑥 (0) (3) ⋮ 𝑥 (0) (𝑛)]
Solusi dari persamaan (3) berdasarkan nilai koefisien 𝑎 dan 𝑏 yang diperoleh adalah
𝑥̂ (1) (𝑘 + 1) = (𝑥 (0) (1) − 𝑏 𝑎 ) 𝑒 −𝑎𝑘 + 𝑏 𝑎 (6)
Terakhir,  gunakan  IAGO (Inverse  Accumulated Generating  Operation)  pada  persamaan  (6)  untuk memperoleh formula prediksi dari model Grey (1,1) yaitu
𝑥̂ (0) (𝑘 + 1) = (1 − 𝑒 𝑎 ) (𝑥 (0) (1) − 𝑏 𝑎 ) 𝑒 −𝑎𝑘 (7)
Model Grey-Markov
Pada  model  ini,  formula  prediksi  dari  model  Grey  (1,1)  pada  persamaan  (7)  diintegrasikan dengan analisis Rantai Markov. Mula-mula, susun barisan data yang terdiri dari nilai prediksi Grey (1,1) dan pandang sebagai suatu barisan asli yang baru sebagai berikut.
𝑥̂ (0) (𝑘) = {𝑥̂ (0) (1), 𝑥̂ (0) (2), 𝑥̂ (0) (3), … , 𝑥̂ (0) (𝑛)} (8)
Transisi keadaan yang dimaksudkan pada analisis Rantai Markov adalah perubahan keadaan dari 𝑥̂ (0) (1) ke 𝑥̂ (0) (2) , kemudian dari 𝑥̂ (0) (2) ke 𝑥̂ (0) (3) , dan seterusnya. Untuk  menentukan transisi keadaan  tersebut,  terlebih  dahulu  definisikan  keadaan  yang  akan  digunakan  berdasarkan  nilai  eror relatifnya (𝑒𝑟) , yaitu

## Atina Ahdika
𝑒𝑟 𝑘 = 𝑥 (0) (𝑘)−𝑥̂ (0) (𝑘) 𝑥 (0) (𝑘) ⋅ 100 (9)
Selanjutnya buat interval-internal eror relatif yang menyatakan keadaannya yaitu
𝑒𝑟 𝑘 = [𝑒𝑟 𝑘 − , 𝑒𝑟 𝑘 + ] (10)
dengan 𝑒𝑟 𝑘 − = 𝑥̂ (0) (𝑘) + 𝑎 𝑘 dan 𝑒𝑟 𝑘 + = 𝑥̂ (0) (𝑘) + 𝑏 𝑘 .
Setelah transisi pada persamaan (8) ditentukan menggunakan persamaan (10), selanjutnya tentukan nilai peluang transisinya dengan menggunakan sifat Markovian. Misalkan 𝑛 𝑖 menyatakan banyaknya data yang berada pada keadaan 𝑖 , maka
𝑃 𝑖𝑗 (𝑘) = 𝑃(𝑋 𝑘 = 𝑗|𝑋 0 = 𝑖) = 𝑛 𝑖𝑗 (𝑘) 𝑛 𝑖 , 𝑖 = 1,2,3, … , 𝑛 (11)
Peluang transisi 𝑃 𝑖𝑗 (𝑘) dapat dinyatakan ke dalam bentuk matriks stokastik 𝑃 sebagai berikut
𝑃(𝑘) = [ 𝑃 11 (𝑘) 𝑃 12 (𝑘) 𝑃 21 (𝑘) 𝑃 22 (𝑘) ⋯ 𝑃 1𝑛 (𝑘) ⋯ 𝑃 2𝑛 (𝑘) ⋮ ⋮ 𝑃 𝑛1 (𝑘)  𝑃 𝑛2 (𝑘) ⋱ ⋮ ⋯ 𝑃 𝑛𝑛 (𝑘) ] (12)
Langkah selanjutnya adalah menentukan berapa kali transisi yang diperlukan untuk setiap keadaan awal pada setiap tahun data yang  digunakan untuk memprediksi data pada tahun yang diinginkan. Selanjutnya pilih perpindahan keadaan yang memiliki nilai jumlahan terbesar untuk menentukan pada keadaan mana tahun prediksi memiliki kemungkinan terbanyak. Setelah langkah tersebut dilakukan, kemudian tentukan nilai prediksi dari model Grey-Markov dengan menjumlahkan nilai prediksi model Grey (1,1) pada persamaan (7) dengan nilai eror relatifnya
𝑦̂(𝑘) = 𝑥̂(𝑘) (1 + 𝑒𝑟 𝑘− +𝑒𝑟 𝑘+ 2 %) (13)
Ukuran Keakuratan Model
Terdapat banyak ukuran keakuratan model, pada penelitian ini akan digunakan nilai absolut rata-rata dari eror relatifnya yang memiliki persamaan
|𝑟𝑒| = { | 1 𝑛 ∑ 𝑥 (0) (𝑘)−𝑥̂ (0) (𝑘) 𝑥 (0) (𝑘) ⋅ 100 𝑛 𝑘=1 | 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑚𝑜𝑑𝑒𝑙 𝐺𝑟𝑒𝑦 (1,1) | 1 𝑛 ∑ 𝑥 (0) (𝑘)−𝑦̂ (0) (𝑘) 𝑥 (0) (𝑘) ⋅ 100 𝑛 𝑘=1 | 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑚𝑜𝑑𝑒𝑙 𝐺𝑟𝑒𝑦 − 𝑀𝑎𝑟𝑘𝑜𝑣 (14)

## Bahan dan Metode
Data yang digunakan dalam penelitian ini merupakan data sekunder yaitu data realisasi penerimaan Negara (dalam Milyar rupiah) dari tahun 2007-2016 yang diakses dari website Badan Pusat Statistik. Data realisasi penerimaan Negara tersebut dibagi menjadi tiga sumber yaitu penerimaan pajak, non- pajak, dan hibah.
Adapun langkah-langkah penelitiannya digambarkan pada diagram alir berikut:

## Hasil dan Pembahasan
Realisasi penerimaan Negara dari tahun 2007 sampai dengan 2016 terbesar berasal dari penerimaan pajak yaitu sebesar 74,57%, kemudian dari penerimaan bukan pajak sebesar 25,13%, dan yang terkecil berasal dari hibah yaitu hanya sebesar 0,29%. Penerimaan pajak hampir selalu mengalami kenaikan setiap  tahun  kecuali  pada  tahun  2009,  sementara  penerimaan  bukan  pajak  dan  hibah  mengalami kenaikan maupun penurunan yang cukup berfluktuasi. Secara umum, kondisi tersebut ditunjukkan oleh Gambar 1 berikut:
Gambar 1. Fluktuasi Realisasi Penerimaan Pajak, Bukan Pajak, dan Hibah.
2007 2008 2009 2010
2011 2012 2013 2014 2015 2016 Pajak 490,988 658,701 619,922 723,307 873,874 980,518 1,077,3 1,146,8 1,489,2 1,565,7 Bukan Pajak 215,120 320,604 227,174 268,942 331,472 351,804 354,751 398,590 269,075 280,291 Hibah 1,697.7 2,304.0 1,666.6 3,023.0 5,253.9 5,786.7 6,832.5 5,034.5 3,311.9 2,031.8
0.00 200,000.00 400,000.00 600,000.00 800,000.00 1,000,000.00 1,200,000.00 1,400,000.00 1,600,000.00 1,800,000.00 Data Menentukan Barisan Data 𝑥 (0) (𝑘)
Menentukan Barisan Data 𝑥 (1) (𝑘) dengan 1-AGO
Menentukan Barisan Data 𝑧 (1) (𝑘) dengan MGO
Menentukan Parameter 𝑎 dan 𝑏 Menggunakan Metode Kuadrat Terkecil
Menentukan Prediksi Model Grey (1,1) 𝑥̂ (0) (𝑘 + 1) Menggunakan IAGO Menentukan Interval Keadaan dengan Eror Relatif Menentukan Transisi Keadaan Barisan 𝑥̂ (0) (𝑘) dari Hasil Prediksi Grey (1,1)
Menentukan Matriks Peluang Transisi dari Proses Markov Menentukan Prediksi Transisi untuk Tahun Diinginkan
Menentukan Hasil Prediksi Model Grey- Markov
Gambar 1 menunjukkan data asli dari realisasi penerimaan pajak pada tahun 2007-2016. Gambar tersebut  sekaligus  menunjukkan  barisan  data  asli 𝑥 (0) (𝑘) untuk  masing-masing  sumber  penerimaan pajak sesuai pada persamaan (1). Langkah selanjutnya adalah membentuk akumulasi dari 𝑘 barisan asli menjadi barisan baru 𝑥 (1) (𝑘) menggunakan operasi 1-AGO. Hasil akumulasinya ditunjukkan oleh Gambar 2 berikut:
Gambar 2. Barisan data 𝑥 (1) (𝑘) hasil operasi 1-AGO.
Gambar  2  menunjukkan  barisan  data  baru 𝑥 (1) (𝑘) hasil  operasi  1-AGO.  Jika  dilihat  dari  plot datanya, maka dapat diketahui bahwa hasil akumulasi tersebut bersifat menghaluskan data dan nilainya selalu naik. Langkah selanjutnya adalah menentukan parameter 𝑎 dan 𝑏 pada persamaan diferensial orde 1 sesuai dengan persamaan (5). Hasil parameter 𝑎 dan 𝑏 untuk masing-masing sumber penerimaan pajak ditunjukkan oleh Tabel 1.
Tabel 1. Parameter 𝑎 dan 𝑏 pada Persamaan Diferensial Grey (1,1).
Sumber Penerimaan 𝒂 𝒃 Pajak -0,12348804 490346,1632 Bukan Pajak -0,0123412 291801,2823 Hibah -0,02916657 3383,218236
Langkah  selanjutnya  adalah  mendapatkan  prediksi  model  Grey  (1,1)  berdasarkan  persamaan  (7) dengan  menggunakan  operasi  IAGO.  Setelah  prediksi  menggunakan  model  Grey  (1,1)  diperoleh, selanjutnya akan ditentukan interval-interval keadaan untuk model Grey-Markov. Pada penelitian ini, keadaan untuk masing-masing sumber penerimaan dibagi menjadi 4 keadaan, interval keadaan masing- masing sumber penerimaan ditunjukkan oleh Tabel 2.
Tabel 2. Interval keadaan.
Keadaan Pajak Bukan Pajak Hibah 𝒆𝒓 𝒌 − 𝒆𝒓 𝒌 + 𝒆𝒓 𝒌 − 𝒆𝒓 𝒌 + 𝒆𝒓 𝒌 − 𝒆𝒓 𝒌 + 1 -7,273671625 -2,712754382  -32,03962901  -19,04098807  -116,4926223 -77,1157913 2 -2,712754382 1,848162862 -19,04098807  -6,042347129 -77,1157913 -37,73896028 3 1,848162862 6,409080106 -6,042347129 6,95629381 -37,73896028  1,637870746 4 6,409080106 10,96999735 6,95629381 19,95493475 1,637870746 41,01470177
1 2 3 4 5 6
7 8 9 10 Pajak 490988 1149689 1769611 2492918 3366792 4347310 5424617 6571483 8060738 9626522 Bukan Pajak 215120 535724 762898 1031840 1363312 1715117 2069869 2468459 2737535 3017826
Hibah 1697.7 4001.7 5668.3 8691.3 13945.2 19731.9 26564.4 31598.9 34910.8 36942.6 0 2000000 4000000 6000000 8000000 10000000 12000000
Dengan  menggunakan  keadaan-keadaan  pada  Tabel  2,  selanjutnya  dapat  ditentukan  keadaan- keadaan setiap tahun dari masing-masing sumber penerimaan berdasarkan nilai eror relatif dari hasil prediksi Grey (1,1) dengan data asli. Hasil klasifikasi keadaan ditunjukkan oleh Tabel 3.
Tabel 3. Hasil prediksi Model Grey (1,1).
Tahun Penerimaan Pajak 𝒙 (𝟎) (𝒌) 𝒙 ̂ (𝟎) (𝒌) Eror Relatif Keadaan 2007 490.988,00 490988 0 2 2008 658.701,00 586441,5178 10,96999735 4 2009 619.922,00 663521,3202 -7,03303322 1 2010 723.307,00 750732,2197 -3,791643066 1 2011 873.874,00 849405,8119 2,79996751 3 2012 980.518,10 961048,7127 1,985622428 3 2013 1.077.306,70 1087365,562 -0,933704593 2 2014 1.146.865,80 1230285,052 -7,273671625 1 2015 1.489.255,50 1391989,376 6,531191219 4 2016 1.565.784,10 1574947,544 -0,585230374 2 2017 1781953,088 Tahun Penerimaan Bukan Pajak 𝒙 (𝟎) (𝒌) 𝒙 ̂ (𝟎) (𝒌) Eror Relatif Keadaan 2007 215.120,00 215120 0 3 2008 320.604,00 296280,5916 7,586745134 4 2009 227.174,00 299959,7068 -32,03962901 1 2010 268.942,00 303684,508 -12,91821583 2 2011 331.472,00 307455,5626 7,245389478 4 2012 351.804,70 311273,4449 11,52095328 4 2013 354.751,90 315138,7364 11,16644157 4 2014 398.590,50 319052,0258 19,95493475 4 2015 269.075,40 323013,9092 -20,04587159 1 2016 280.291,40 327024,9899 -16,67321577 2 2017 331085,8789 Tahun Penerimaan Hibah 𝒙 (𝟎) (𝒌) 𝒙 ̂ (𝟎) (𝒌) Eror Relatif Keadaan 2007 1.697,70 1697,7 0 3 2008 2.304,00 3483,285122 -51,18425008 2 2009 1.666,60 3586,376696 -115,1912094 1 2010 3.023,00 3692,519376 -22,1475149 3 2011 5.253,90 3801,803462 27,63845025 4 2012 5.786,70 3914,321929 32,35657751 4 2013 6.832,50 4030,170501 41,01470177 4 2014 5.034,50 4149,447737 17,57974502 4 2015 3.311,90 4272,25511 -28,9971047 3 2016 2.031,80 4398,697101 -116,4926223 4 2017 4528,881277
Data yang akan diprediksi adalah realisasi penerimaan dari masing-masing sumber penerimaan pada tahun 2017. Karena data asli yang digunakan mulai tahun 2007 sampai dengan 2016, maka ada 10 jenis transisi yang diperlukan oleh masing-masing tahun untuk dapat berpindah ke keadaan pada tahun 2017.  Matriks  peluang  transisi 𝑃(𝑘) yang  diperlukan  ditampilkan  pada  Lampiran.  Sementara  itu berdasarkan Lampiran, maka prediksi untuk tahun 2017 dipilih dari perpindahan keadaan yang memiliki kemungkinan terbesar. Penentuan keadaan tersebut ditunjukkan oleh Tabel 4.
Tabel 4. Prediksi keadaan untuk tahun 2017.
Penerimaan Pajak Tahun Keadaan Awal Transisi Keadaan 1 Keadaan 2 Keadaan 3 Keadaan 4 2007 2 10 0 1 0 0 2008 4 9 0 0 0 0 2009 1 8 0 0 0 0 2010 1 7 0 1 0 0 2011 3 6 0 0 0 0 2012 3 5 0 1 0 0 2013 2 4 0 0 1 0 2014 1 3 0 0.5 0.5 0 2015 4 2 1 0 0 0 2016 2 1 0.5 0 0 0.5 Persentase Perpindahan 1 2 1 0 25% 50% 25% 0% Penerimaan Bukan Pajak Tahun Keadaan Awal Transisi Keadaan 1 Keadaan 2 Keadaan 3 Keadaan 4 2007 3 10 0 1 0 0 2008 4 9 0 0 0 0 2009 1 8 0 0 0 0 2010 2 7 0 0 0 0 2011 4 6 0 0 0 1 2012 4 5 0 0.5 0 0.5 2013 4 4 0.3333 0.3333 0 0.3333 2014 4 3 0.25 0.25 0 0,5 2015 1 2 0 0 0 1 2016 2 1 0 0 0 1 Persentase Perpindahan 0 1 0 3,5 0% 22,22% 0% 77,78% Penerimaan Hibah Tahun Keadaan Awal Transisi Keadaan 1 Keadaan 2 Keadaan 3 Keadaan 4 2007 3 10 0 0 0 1 2008 2 9 0 0 0 1 2009 1 8 0 0 0 0 2010 3 7 0 0 0 1 2011 4 6 0 0 0 0 2012 4 5 0 0 0 1 2013 4 4 0 0 0.5 0.5 2014 4 3 0 0 0,3333 0,6667 2015 3 2 0,5 0 0 0.5 2016 4 1 0 0 0,25 0,75 Persentase Perpindahan 1 0 0,3333 4,6667 8,33% 0% 5,56% 77,78%
Berdasarkan  Tabel  4,  diperoleh  informasi  bahwa  prediksi  keadaan  pada  tahun  2017  untuk penerimaan pajak adalah di keadaan 2 dengan persentase 50%, untuk penerimaan bukan pajak adalah di  keadaan  4  dengan  persentase  77,78%,  dan  untuk  penerimaan  hibah  adalah  di  keadaan  4  juga dengan  persentase  77,78%.  Selanjutnya  dengan  menggunakan  persamaan  (13)  dan  hasil  prediksi keadaan dari Tabel 4, diperoleh perbandingan prediksi penerimaan dari model Grey (1,1) dan model Grey-Markov untuk tahun 2017 serta nilai absolut rata-rata eror relatifnya yang ditunjukkan oleh Tabel 5.
Tabel 5. Hasil prediksi dan nilai absolut rata-rata dari Relatif Erornya.
Penerimaan Pajak Tahun Data Asli 𝒙 (𝟎) (𝒌) Grey (1,1) 𝒙 ̂ (𝟎) (𝒌) 𝒆𝒓 (%)
Grey (1,1) Keadaan Grey-Markov 𝒚 ̂ (𝟎) (𝒌) 𝒆𝒓 (%) Grey-Markov 2007 490.988,00 490988 0 2 488865,5 0,432296 2008 658.701,00 586441,5 10,97 4 637400,6 3,233701 2009 619.922,00 663521,3 -7,03303 1 630390,3 -1,68865 2010 723.307,00 750732,2 -3,79164 1 713246,6 1,390895 2011 873.874,00 849405,8 2,799968 3 884474,6 -1,21305 2012 980.518,10 961048,7 1,985622 3 1000727 -2,06102 2013 1.077.306,70 1087366 -0,9337 2 1082665 -0,49737 2014 1.146.865,80 1230285 -7,27367 1 1168854 -1,91727 2015 1.489.255,50 1391989 6,531191 4 1512947 -1,59082 2016 1.565.784,10 1574948 -0,58523 2 1568139 -0,1504 2017 1781953,088 1774249,781 |𝒆𝒓| 0,26695 |𝒆𝒓| 0,406169 Penerimaan Bukan Pajak Tahun Data Asli 𝒙 (𝟎) (𝒌) Grey (1,1) 𝒙 ̂ (𝟎) (𝒌) 𝒆𝒓 (%)
Grey (1,1) Keadaan Grey-Markov 𝒚 ̂ (𝟎) (𝒌) 𝒆𝒓 (%) Grey-Markov 2007 215.120,00 215120 0 3 216103 -0,45697 2008 320.604,00 296280,6 7,586745 4 336147 -4,84803 2009 227.174,00 299959,7 -32,0396 1 223349,1 1,6837 2010 268.942,00 303684,5 -12,9182 2 265597,4 1,243611 2011 331.472,00 307455,6 7,245389 4 348825,6 -5,23531 2012 351.804,70 311273,4 11,52095 4 353157,2 -0,38445 2013 354.751,90 315138,7 11,16644 4 357542,6 -0,78666 2014 398.590,50 319052 19,95493 4 361982,4 9,18438 2015 269.075,40 323013,9 -20,0459 1 240515,2 10,61421 2016 280.291,40 327025 -16,6732 2 286010,6 -2,04045 2017 331085,8789 375635,5177 |𝒆𝒓| 2,420247 |𝒆𝒓| 0,897404 Penerimaan Hibah Tahun Data Asli 𝒙 (𝟎) (𝒌) Grey (1,1) 𝒙 ̂ (𝟎) (𝒌) 𝒆𝒓 (%)
Grey (1,1) Keadaan Grey-Markov 𝒚 ̂ (𝟎) (𝒌) 𝒆𝒓 (%) Grey-Markov 2007 1.697,70 1697,7 0 3 1391,256 18,05054 2008 2.304,00 3483,285 -51,1843 2 1482,926 35,6369 2009 1.666,60 3586,377 -115,191 1 114,6132 93,12293 2010 3.023,00 3692,519 -22,1475 3 3026 -0,09922 2011 5.253,90 3801,803 27,63845 4 4612,587 12,20642 2012 5.786,70 3914,322 32,35658 4 4749,101 17,93075 2013 6.832,50 4030,171 41,0147 4 4889,656 28,43533 2014 5.034,50 4149,448 17,57975 4 5034,371 0,002566 2015 3.311,90 4272,255 -28,9971 3 3501,09 -5,71242 2016 2.031,80 4398,697 -116,493 4 5336,776 -162,662 2017 4528,881277 5494,723463 |𝒆𝒓| 21,54232 |𝒆𝒓| 3,691133
Berdasarkan Tabel 5, dapat diperoleh hasil bahwa untuk prediksi penerimaan pajak, model Grey (1,1) memberikan hasil yang lebih baik dengan nilai |𝑒𝑟| sebesar 0,26695% dibandingkan model Grey- Markov dengan |𝑒𝑟| sebesar 0,406169%. Namun demikian, perbedaannya tidak terlalu besar sehingga kedua model dapat digunakan. Sementara untuk prediksi penerimaan bukan pajak dan hibah, model Grey-Markov memberikan hasil akurasi yang lebih baik dengan nilai |𝑒𝑟| masing-masing 0,897404% dan 3,691133% dibandingkan dengan  model Grey (1,1) yang nilai |𝑒𝑟| -nya masing-masing 2,420247%
dan  21,54232%.  Untuk  memudahkan  perbandingan  antara  model  Grey  (1,1)  dengan  model  Grey- Markov, maka hasil prediksinya ditunjukkan oleh Gambar 3 berikut
(A) Penerimaan Pajak (B) Penerimaan Bukan Pajak (C) Penerimaan Hibah
Gambar 3. Perbandingan data asli dengan prediksi Model Grey (1,1) dan Model Grey-Markov.
0.00 200,000.00 400,000.00 600,000.00 800,000.00 1,000,000.00 1,200,000.00 1,400,000.00 1,600,000.00 1,800,000.00 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016 Actual Grey-Model Grey-Markov 0.00 50,000.00 100,000.00 150,000.00 200,000.00 250,000.00 300,000.00 350,000.00 400,000.00 450,000.00 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016 Actual Grey-Model Grey-Markov 0.00 1,000.00 2,000.00 3,000.00 4,000.00 5,000.00 6,000.00 7,000.00 8,000.00 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016 Actual Grey-Model Grey-Markov

## Kesimpulan
Berdasarkan hasil analisis, diperoleh kesimpulan sebagai berikut; pada prediksi realisasi penerimaan pajak model Grey (1,1) memberikan hasil yang lebih baik dibandingkan model Grey-Markov. Hal ini dikarenakan data perubahan realisasi penerimaan pajak dari tahun ke tahun tidak terlalu berfluktuasi sehingga pemulusan dengan model Grey (1,1) saja sudah cukup memberikan hasil yang baik. Namun demikian,  nilai  absolut  rata-rata  dari  relatif  eror  untuk  model  Grey-Markov  cukup  kecil  dan  tidak memiliki  selisih  yang  cukup  besar  dibandingkan  model  Grey  (1,1)  sehingga  kedua  model  dapat digunakan untuk memprediksi data yang fluktuasinya tidak terlalu besar. Sementara itu, untuk prediksi realisasi penerimaan bukan pajak dan hibah, model Grey-Markov memberikan hasil yang lebih baik dibandingkan  model  Grey  (1,1).  Hal  ini  dikarenakan  data  pada  kedua  jenis  penerimaan  cukup berfluktuasi. Untuk itu dapat disimpulkan bahwa secara umum model Grey-Markov memberikan hasil prediksi yang lebih baik untuk data yang memiliki fluktuasi cukup besar. Model Grey (1,1) dan model Grey-Markov dapat digunakan untuk data yang tidak terlalu berfluktuasi.

## Referensi
[1] Undang-Undang Republik Indonesia Nomor 17 Tahun 2003 tentang Keuangan Negara. Diakses pada 28 September 2017, dari https://luk.staff.ugm.ac.id/atur/UU17-2003KeuanganNegara.pdf
[2] Zaki, A., Oktaresa, B., Situmeang, I.S., Parowung, P., dan Subandoro, Y.K. 2014. Kebijakan Penerimaan Pemerintah. Sekolah Tinggi Akuntansi Negara, Diploma IV-Kelas 8B BPKP.
[3] Undang-Undang Republik Indonesia Nomor 20 Tahun 1997 tentang Penerimaan Negara Bukan Pajak. Diakses pada 28 September 2017, dari https://luk.staff.ugm.ac.id/atur/UU20-1997PNBP.pdf
[4] Julong, D. 1982. Control Problems of Grey Systems. System and Control Letters, 5, 288-94.
[5] Zhang, Y. 2010. Predicting Model of Traffic Volume Based on Grey-Markov. Modern Applied Science, Vol.4, No.3.
[6] Zhan-li,  M.  dan  Jin-hua,  S.  2011.  Application  of  Grey-Markov  Model  in  Forecasting  Fire  Accidents.  Procedia Engineering 11 (2011) 314-318.
[7] Ozdemir, A. dan Ozdagoglu, G. Predicting Product Demand from Small-Sized Data: Grey Models. Emerald Insight, Grey Systems: Theory and Application, Vol. 7 Iss 1 pp. 80-96.
[8] Julong, D. 1989. Introduction to Grey System Theory. The Journal of Grey System 1 (1989) 1-24.

## Lampiran
Matriks Peluang Transisi Penerimaan Pajak 0,333 0 0,333 0,333 0 0.5 0 0.5 P(1) 0.5 0 0 0.5 P(6) 0 1 0 0 0 0.5 0.5 0 0 0 0 0 0.5 0.5 0 0 1 0 0 0 0 0,333 0,667 0 0 1 0 0 P(2) 0.5 0 0 0.5 P(7) 1 0 0 0 0.5 0.5 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0.5 0.5 0 0 0 0 0 P(3) 0.5 0.5 0 0 P(8) 0 0 0 1 0.5 0 0 0.5 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0.5 0.5 0 0 0 0 0 0 P(4) 0 0 1 0 P(9) 0 1 0 0 0 0.5 0 0.5 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0.5 0 0 0.5 0 0 0 0 P(5) 0 0 1 0 P(10) 0 1 0 0
0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 Matriks Peluang Transisi Penerimaan Bukan Pajak 0 1 0 0 1 0 0 0 P(1) 0 0 0 1 P(6) 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0.4 0 0 0.6 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 P(2) 0 0 0 1 P(7) 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0.2 0.4 0 0.4 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 P(3) 0 0 0 1 P(8) 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0.25 0.25 0 0,5 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 P(4) 0 0 0 1 P(9) 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0.3333 0.3333 0 0.3333 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 P(5) 1 0 0 0 P(10) 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0.5 0 0.5 0 0 0 0 Matriks Peluang Transisi Penerimaan Hibah 0 0 1 0 0 0 1 0 P(1) 1 0 0 0 P(6) 0 0 0 1 0 0,3333 0 0,6667 0 0 0 1 0 0 0,25 0,75 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 P(2) 0 0 1 0 P(7) 0 0 1 0 0,5 0 0 0.5 0 0 0 1 0 0 0,25 0,75 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 P(3) 0 0 0 1 P(8) 0 0 0 1 0 0 0,5 0,5 0 0 1 0 0 0 0,3333 0,6667 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 P(4) 0 0 0 1 P(9) 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0,5 0,5 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 P(5) 0 0 0 1 P(10) 0 0 0 0 0 0 0,5 0,5 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0