## Contemporary Mathematics and Applications
Vol. 1, No. 2, 2019, pp. 104-120.

## Analisis Kontrol Optimal Model Matematika Penyebaran Penyakit Mosaic pada Tanaman Jarak Pagar
Adiluhung Setya Pambudi 1 , Fatmawati 2,* , dan Windarto 3
1,2,3 Departemen Matematika, Fakultas Sains dan Teknologi, Universitas Airlangga, Indonesia
*Corresponding author: fatmawati@fst.unair.ac.id
Abstract. Mosaic  disease  is  an  infectious  disease  that  attacks Jatropha  curcas caused  by Begomoviruses. Mosaic disease can be transmitted through the bite of a whitefly as a vector. In this paper,  we  studied  a  mathematical  model  of  mosaic disease  spreading  of Jatropha  curcas with awareness effect. We also studied the effect of prevention and extermination strategies as optimal control variables. Based on the results of the model analysis, we found two equilibriums namely the mosaic-free equilibrium and the endemic equilibrium. The stability of equilibriums and the existence of  endemic  equilibrium  depend  on  basic  reproduction  number  ( 𝑅 0 ).  When 𝑅 0 < 1 ,  the  spread  of mosaic disease does not occur in the population, while when 𝑅 0 > 1 , the spread of mosaic disease occurs in the population. Furthermore, we determined existence of the optimal control variable by Pontryagin's  Maximum  Principle  method.  Simulation  results  show  that  prevention  and extermination have a significant effect in eliminating mosaic disease.
Keywords: mosaic disease, awareness effects, mathematics model, optimal control, stability .

## 1 Pendahuluan
Penggunaan  bahan  bakar  minyak  yang  meningkat  setiap  tahun  dengan  produksi  yang semakin terbatas membuat neraca impor minyak bumi meningkat dan persediaan minyak bumi di alam terus berkurang [1]. Tanaman jarak pagar ( Jatropha curcas L. ) merupakan salah  satu  sumber  energi  non  pangan  dengan  kandungan  minyak  dalam  biji  berkisar antara 25%–30% [2]. Sebagai sumber potensial bahan bakar nabati, tanaman jarak pagar memiliki  beberapa  banyak  keunggulan.  Salah  satunya  adalah  tanaman  jarak  pagar merupakan  tanaman  tahunan  yang  tahan  kekeringan  sehingga  mampu  tumbuh  dan berkembang dengan baik di lahan marginal. Selain itu budidaya tanaman jarak pagar oleh petani  kecil  mudah  dilakukan  karena  tanaman  jarak  pagar  dapat  ditanam  dilahan  yang kering dan tidak begitu banyak membutuhkan air dan pupuk [3].
Dengan kelebihan yang dimiliki tersebut, tanaman jarak pagar sangat berpotensi sebagai alternatif pengganti sumber bahan bakar. Namun ada beberapa faktor yang menghambat yaitu adalah hama dan penyakit. Salah satu faktor yang sangat mengancam tanaman jarak pagar adalah penyakit mosaic yang diakibatkan oleh begomovirus ( Genus Begomovirus ) yang disebarkan oleh serangga lalat putih [4]. Gejala tanaman terserang lalat putih secara
umum  adalah  daun  seperti  menggulung  atau  keriting.  Pada  bagian  daun  yang  luka berubah  warna,  dan  daun  akhirnya  layu.  Serangan  pada  tanaman  jarak  pagar mengakibatkan tanaman tumbuh tidak normal dan pada bawah daun ditumbuhi sejenis zat putih yang berlilin dan lengket. Sedangkan pada tulang dan urat daun terlihatan seperti bertepung atau kapas putih [5].
Hama lalat putih dapat dikendalikan dengan memeriksa bibit tanaman yang akan ditanam, dan  mengurangi  kerapatan  tanaman,  serta  menghindari  pemupukan  nitrogen  berlebih. Selain  itu  juga  dapat  memanfaatkan  musuh  alami  seperti  kumbang Coccinella ,  kepik, Syrphid hijau, dan parasitoid  dari jenis tawon kecil  yang dapat  menekan populasi lalat putih. Pengendalian lain yaitu penggunaan pestisida berbahan minyak nabati. Pemberian pestisida dilakukan saat kondisi nimfa muda, apabila dilakukan pada saat lalat putih sudah dewasa  maka  pemberian  pestisida  kurang  efektif.  Selain  itu  juga  dapat  menggunakan sticky yellow yaitu kertas perekat yang dipasang pada tanaman untuk mencegah lalat putih hinggap pada tanaman dan lalat putih melekat pada sticky yellow . Jika pengendalian di atas belum dapat mengatasi serangan kutu putih dapat digunakan pestisida kimia secara bijak yaitu tepat dosis dan waktu [5].
Penelitian  mengenai  penyakit  mosaic  pada  jarak  pagar  sudah  dilakukan  di  beberapa bidang keilmuan, salah satunya adalah pada bidang matematika, yaitu dengan pendekatan model matematika. Penelitian yang sudah pernah dilakukan sebelumnya, antara lain oleh Venturino dkk (2016) [6] yang mengkontruksi model penyebaran penyakit mosaic pada jarak pagar dan memodifikasi  dengan memberikan kontrol pemberian pestisida. Selain itu  penelitian  yang  dilakukan  oleh  Basir  dkk  (2016)  [7]  yang  mengkontruksi  model matematika penyebaran penyakit mosaic pada jarak pagar. Model ini dimodifikasi dengan memberikan  kompartemen  populasi  manusia  aware.  Selanjutnya  Basir  dkk  (2017)  [8] mengembangkan model penyebaran penyakit mosaic pada jarak pagar dengan pemberian kontrol roguing pada  tanaman  yang  terinfeksi.  Berikutnya,  Basir  dkk  (2018)  [9]  juga mengembangkan  model  penyebaran  penyakit  mosaic  pada  jarak  pagar  dari  model  [8] dengan  menambahkan  laju  pemberian  pestisida  pada  tanaman  jarak  pagar  yang bergantung pada kompartemen populasi manusia aware terhadap penyakit mosaic.
Pada paper ini, penulis mengembangkan model matematika penyebaran penyakit mosaic pada jarak pagar dari model Basir dkk (2018) [9] dengan mengaplikasikan control optimal berupa upaya pemberian sticky yellow dan predator alami.

## 2 Formulasi Model Matematika
Pada  bagian  ini,  diformulasikan  model  matematika  penyebaran  penyakit  mosaic  pada jarak pagar yang terdiri dari lima kompartemen (populasi ) yang dinotasikankan dengan 𝑋, 𝐿, 𝑌, 𝑉 dan 𝑀 .  Secara  berurutan,  lima  kompartemen  tersebut  menyatakan  densitas populasi tanaman jarak pagar yang rentan ( 𝑋 ), densitas populasi tanaman jarak pagar yang terinfeksi namun belum bisa menyebarkan penyakit ( 𝐿 ), densitas populasi tanaman jarak
pagar  yang terinfeksi  dan dapat  menyebarkan penyakit ( 𝑌 ), densitas populasi  serangga lalat  putih  yang  terinfeksi  ( 𝑉 )  dan  jumlah  populasi  manusia  aware  terhadap  penyakit mosaic ( 𝑀 ).
Faktor  yang  mempengaruhi  penyebaran  penyakit  mosaic  tidak  sedikit,  sehingga  perlu beberapa asumsi untuk menyederhanakan permasalahan yang akan dimodelkan. Asumsi pertama adalah tanaman jarak pagar yang rentan dapat menjadi terinfeksi penyakit mosaic karena adanya gigitan oleh serangga lalat putih yang terinfeksi dengan laju 𝛽 . Populasi tanaman rentan bertambah karena pertumbuhan tanaman dengan laju logistik dengan laju pertumbuhan  sebesar 𝑟 dan  kapasitas  maksimum 𝐾 .  Populasi  serangga  rentan  tidak diperhatikan.  Populasi  serangga  terinfeksi  bertambah  karena  memakan  tanaman  jarak pagar yang terinfeksi dengan laju 𝑏 . Saat serangga terinfeksi maka serangga tidak akan bisa sembuh.
Selanjutnya, saat tanaman terinfeksi penyakit mosaic maka tanaman tidak dapat sembuh dan  akan  mati  dengan  laju 𝑚 .  Populasi  manusia  yang  aware  akan  bertambah  karena banyaknya tanaman yang terinveksi penyakit mosaic dengan laju 𝜎 dan bertambah karena pengaruh  media  dengan  laju 𝜔 .  Efek  dari  populasi  manusia aware akan  mengurangi populasi  serangga  terinfeksi  dengan  menggunakan  pestisida  dengan  laju 𝜖 ,  sehingga serangga terinfeksi akan mengalami kematian akibat pestisida dengan laju 𝛾 . Serangga terinfeksi mengalami kematian alami dengan laju 𝜂 .
Berdasarkan  asumsi-asumsi  yang  telah  dipaparkan,  model  dapat  digambarkan  dalam diagram transmisi berikut ini:
Gambar 1. Diagram transmisi model penyebaran penyakit mosaic pada jarak pagar 𝜏𝑀 𝜎𝑌 𝜔 𝛾𝑉 𝜂𝑉 𝑏𝑌 𝑚𝑌 𝛼𝐿 𝛽𝑋𝑉 𝑟𝑋  1 − 𝑋 + 𝐿 + 𝑌 𝐾 X M V Y L
Berdasarkan  diagram  transmis  pada  Gambar  1,  maka  dapat  dibentuk  sebuah  model matematika berupa sistem persamaan diferensial biasa tak linear sebagai berikut:
𝑑𝑋 𝑑𝑡 = 𝑟𝑋 (1 − 𝑋+𝐿+𝑌 𝐾 ) − 𝛽𝑋𝑉
𝑑𝐿 𝑑𝑡 = 𝛽𝑋𝑉 − 𝛼𝐿
𝑑𝑌 𝑑𝑡 = 𝛼𝐿 − 𝑚𝑌 (1)
𝑑𝑉 𝑑𝑡 = 𝑏𝑌 − 𝜂𝑉 − 𝛾𝑉
𝑑𝑀 𝑑𝑡 = 𝜔 + 𝜎𝑌 − 𝜏𝑀
dengan,
𝛾 = 𝑃(𝑀) = 𝜖 𝑀 1+𝑀 .
Agar  mempunyai  makna  secara  biologis,  diasumsikan  semua  variable  bernilai  non- negatif dan semua parameter bernilai positif.

## 3 Analisis Model

## 3.1 Titik Setimbang
Keadaan  setimbang  adalah  suatu  keadaan  tertentu  saat  perubahan  populasinya  konstan atau bernilai nol. Sehingga, model matematika penyebaran  penyakit mosaic pada jarak pagar berada  dalam  keadaan  setimbang  jika  memenuhi 𝑑𝑋 𝑑𝑡 = 𝑑𝐿 𝑑𝑡 = 𝑑𝑌 𝑑𝑡 = 𝑑𝑉 𝑑𝑡 = 𝑑𝑀 𝑑𝑡 = 0 . Pada penelitian ini, terdapat dua titik setimbang yaitu titik setimbang bebas penyakit dan titik setimbang penyebaran penyakit mosaic .
Titik  setimbang  bebas  penyakit mosaic terjadi  ketika  tidak  ada  manusia  yang menyebarkan  penyakit mosaic ,  keadaan  ini  didapatkan  saat 𝐼 = 0 .  Misalkan  titik setimbang bebas penyebaran penyakit dinyatakan dengan 𝐸 0 = (𝑋 0 , 𝐿 0 , 𝑌 0 , 𝑉 0 , 𝑀 0 ) .  Dari hasil  perhitungan  diperoleh  titik  setimbang  bebas  penyakit mosaic adalah 𝐸 0 = (𝐾, 0, 0, 0, 𝜔 𝜏 ) .
Sebelum  membahas  titik  setimbang  endemik,  berikutnya  akan  ditentukan  bilangan reproduksi  dasar (𝑅 0 ) yang  digunakan  untuk  mengukur  potensi  penyebaran  penyakit dalam  sebuah  populasi.  Metode  yang  digunakan  untuk  mendapatkan  nilai 𝑅 0 adalah dengan Metode Next-Generation Matrix (NGM). Subpopulasi yang diperhatikan adalah populasi tanaman jarak pagar dalam masa laten (𝐿) , tanaman jarak pagar terinfeksi (𝑌) ,
dan serangga lalat putih yang terinfeksi (𝑉) . Dengan metode NGM didapatkan bilangan reproduksi dasar 𝑅 0 = 𝛽𝑏𝐾 𝑚(𝜂+𝛾) .
Selanjutnya adalah menentukan titik setimbang penyebaran penyakit mosaic , yaitu suatu kondisi  ketika  terjadi  penyebaran  penyakit  atau  saat 𝑌 ≠ 0 .  Misalkan  titik  setimbang penyebaran mosaic dinyatakan  dengan 𝐸 ∗ = (𝑋 ∗ , 𝐿 ∗ , 𝑌 ∗ , 𝑉 ∗ , 𝑀 ∗ ) .    Dengan  demikian, diperoleh titik setimbang penyebaran penyakit mosaic sebagai berikut:
𝑋 ∗ = 𝑚(𝜂 + 𝛾)
𝛽𝑏
𝐿 ∗ = 𝑚(𝜏𝑀 ∗ − 𝜔) 𝛼𝜎 𝑌 ∗ = 𝜏𝑀 ∗ − 𝜔 𝜎 𝑉 ∗ = 𝑏(𝜏𝑀 ∗ − 𝜔) 𝜎(𝜂 + 𝛾)
dengan 𝑀 ∗ adalah akar-akar positif dari persamaan
𝑀 3 + 𝑎 1 𝑀 2 + 𝑎 2 𝑀 + 𝑎 3 = 0, dengan  koefisien 𝑎 1 , 𝑎 2 dan 𝑎 3 cukup  panjang  jika  diuraikan  di  sini.  Dari  hasil perhitungan, persamaan pangkat tiga tersebut akan mempunyai satu akar yang positif jika memenuhi syarat 𝑀 ∗ > 𝜔 𝜏 dan 𝑅 0 > 1 .

## 3.2 Analisis Kestabilan
Pada bagian ini akan dikaji kestabilan lokal titik setimbang bebas penyakit dan endemic mosaic.    Matriks  Jacobian  dari  model  (1)  ketika  dievaluasi  di  titik  setimbang  bebas penyebaran penyakit 𝐸 0 adalah sebagai berikut:
𝐽 𝐸 0 = ( −𝑟 −𝑟 −𝑟 −𝛽𝐾 0 0 −𝛼 0 𝛽𝐾 0 0 𝛼 −𝑚 0 0 0 0 𝑏 −𝜂 − 𝛾 0 0 0 𝜎 0 −𝜏) .
Nilai eigen dari matriks 𝐽 𝐸 0 merupakan akar-akar persamaan karakteristik sebagai berikut: (λ + r)(λ + τ)[𝜆 3 + 𝑏 1 𝜆 2 + 𝑏 2 𝜆 + 𝑏 3 ] = 0 (2)
Dari sini, nilai eigen dari matriks 𝐽 𝐸 0 adalah λ 1 = −𝑟 , λ 2 = −𝜏 dan sisanya merupakan akar-akar persamaan dari
𝜆 3 + 𝑏 1 𝜆 2 + 𝑏 2 𝜆 + 𝑏 3 = 0 ,
dengan 𝑏 1 = 𝜂 + 𝛾 + 𝛼 + 𝑚
𝑏 2 = 𝛼(𝜂 + 𝛾) + 𝑚(𝜂 + 𝛾) + 𝛼𝑚
𝑏 3 = 𝛼𝑚(𝜂 + 𝛾) [1 − 𝛽𝐾𝑏 𝑚(𝜂+𝛾) ] = 𝛼𝑚(𝜂 + 𝛾)[1 − 𝑅 0 ] .
Dengan  menggunakan  kriteria  kriteria  Routh-Hurwitz,  persamaan  karakteristik 𝜆 3 + 𝑏 1 𝜆 2 + 𝑏 2 𝜆 + 𝑏 3 = 0 ,  memiliki  akar-akar  yang  negative  atau  mempunyai  bagian  real negatif  jika  nilai  dari 𝑏 1 , 𝑏 2 , 𝑏 3 > 0 dan 𝑏 1 𝑏 2 −   𝑏 3 > 0 .  Dari  hasil  perhitungan diperoleh  fakta  bahwa  semua  nilai  eigen  dari  matriks 𝐽 𝐸 0 akan  bernilai  negative  atau mempunyai bagian real negative jika memenuhi 𝑅 0 < 1 .
Sedangkan untuk analisis kestabilan titik setimbang endemik penyakit mosaic, akar-akar dari  persamaan  karakteristiknya  sulit  untuk  ditentukan  secara  analitik.  Dari  sini,  akan dilakukan analisis kestabilannya melalui simulasi numerik dengan menggunakan bidang fase.    Berikut  diberikan  nilai  parameter  dan  tiga  nilai  awal  untuk  masing-masing kompartemen.
Tabel 1. Nilai parameter Parameter Nilai Satuan Sumber 𝐾 1 𝑘𝑔 ℎ𝑎𝑟𝑖 ⁄ [9] 𝑟 0.08 1 ℎ𝑎𝑟𝑖 ⁄ Asumsi 𝛼 0.006 1 ℎ𝑎𝑟𝑖 ⁄ Asumsi 𝛽 0.007 𝑘𝑔 𝑠𝑒𝑟𝑎𝑛𝑔𝑔𝑎 × ℎ𝑎𝑟𝑖 ⁄ [9] 𝑚 0.004 1 ℎ𝑎𝑟𝑖 ⁄ Asumsi 𝑏 0.47 1 ℎ𝑎𝑟𝑖 ⁄ [9] 𝜂 0.05 1 ℎ𝑎𝑟𝑖 ⁄ [9] 𝜔 0.01 𝑜𝑟𝑎𝑛𝑔 ℎ𝑎𝑟𝑖 ⁄ Asumsi 𝜎 0.04 𝑜𝑟𝑎𝑛𝑔 𝑘𝑔 × ℎ𝑎𝑟𝑖 ⁄ Asumsi 𝜏 0.05 1 ℎ𝑎𝑟𝑖 ⁄ [9] 𝜖 0.45 1 ℎ𝑎𝑟𝑖 ⁄ Asumsi Tabel 2. Nilai awal populasi Nilai awal ke- 𝑿(𝟎) 𝑳(𝟎) 𝒀(𝟎) 𝑽(𝟎) 𝑴(𝟎) Warna 1 0.6 0.15 0.05 0.2 0.2 Hijau 2 0.4 0.4 0.02 0.4 0.35 Biru 3 0.8 0.1 0.05 0.1 0.1 Merah
Berdasarkan  nilai  parameter  dan  nilai  awal  yang  telah  diberikan  pada  Tabel  1  dan Tabel 2, maka diperoleh grafik sebagai berikut:
Grafik bidang fase 𝐿(𝑡) terhadap 𝑌(𝑡) di atas menunjukkan bahwa pemberian tiga nilai awal  yang  berbeda  akan  menghasilkan  grafik  yang  cenderung  konvergen  ke  satu  titik. Titik tersebut yaitu (0.2682; 0.4024) yang tidak lain adalah bagian dari titik setimbang yang merupakan titik setimbang 𝐸 1 = (0.2484, 0.2682, 0.4024, 0.9256, 0.5219) . Selain itu, berdasarkan nilai parameter yang diberikan diperoleh nilai 𝑅 0 = 6.58 > 1 .

## 4 Analisis Sensitivitas
Pada  bagian  ini,  akan  dilakukan  analisis  sensitivitas  digunakan  untuk  mengetahui parameter yang paling berpengaruh pada suatu model dengan pendekatan [10] . Dalam hal ini  akan  ditentukan  indeks  sensitivitas  pada  setiap  parameter  yang  muncul  pada basic reproduction number ( 𝑅 0 ) dari model matematika penyebaran penyakit mosaic pada jarak pagar.
Nilai 𝑅 0 yang akan digunakan dalam analisis sensitivitas model matematika penyebaran penyakit mosaic adalah
𝑅 0 = 𝛽𝑏𝐾 𝑚(𝜂+𝛾) = 𝛽𝑏𝐾 𝑚(𝜂+ 𝜖𝜔 𝜏+𝜔 ) .
Indeks setiap parameter yang terlibat pada basic reproduction number ( 𝑅 0 ) dikalkulasi dengan rumus:
𝑖𝑛𝑑 = 𝜕𝑅 0 𝜕𝑝𝑎𝑟 𝑖 𝑝𝑎𝑟 𝑖 𝑅 0 . (3)
Gambar 2. Grafik bidang fase pada titik setimbang endemic mosaic.
dengan 𝑖𝑛𝑑 adalah  indeks  sensitivitas, 𝑝𝑎𝑟 𝑖 merupakan  parameter  ke- 𝑖 pada 𝑅 0 > 1 , untuk 𝑖 = 1,2,3, … ,8 .  Dengan  mensubstitusikan  nilai  parameter  pada  Tabel  1  ke persamaan (3), maka diperoleh nilai indeks sensitivitas ditulis dalam Tabel 3 berikut ini.
Tabel 3. Indeks sensitivitas model penyebaran penyakit mosaic pada jarak pagar Parameter Nilai Indeks Sensitivitas 𝐾 1 1 𝛽 0,007 1 𝑏 0,47 1 𝑚 0,004 -1 𝜂 0,05 -0,4 𝜖 0,45 -0,6 𝜔 0,01 -0,5 𝜏 0,05 0,5
Interpretasi indeks sensitivitas parameters dari Tabel 3, dapat diuraikan sebagai berikut. Jika indeks sensitivitas parameter bernilai positif maknanya adalah jika nilai parameter tersebut  naik  (turun),  maka  nilai 𝑅 0 juga  naik  (turun).  Sebaliknya  untuk  nilai  indeks sensitivitas bernilai negative mempunyai makna bahwa jika nilai parameter tersebut naik (turun), maka nilai 𝑅 0 akan turun (naik). Berdasarkan Tabel 3, terlihat bahwa parameter yang paling berpengaruh terhadap penyebaran penyakit mosaic adalah parameter 𝐾 , 𝛽 , 𝑏 dan 𝑚 .

## 5 Analisis Masalah Kontrol Optimal
Pada  bagian  ini,  model  matematika  penyebaran  penyakit mosaic pada  jarak  pagar  ini dikembangkan dengan penambahan variabel kontrol berupa upaya pencegahan (𝑢 1 ) dan upaya  pembasmian (𝑢 2 ) .  Upaya  pencegahan  di  sini  adalah  berupa  pemberian sticky yellow , sedangkan upaya pembasmian berupa upaya pemberian predator alami lalat putih. Berikut adalah model matematika penyebaran penyakit mosaic pada jarak pagar dengan variabel kontrol berupa upaya pencegahan (𝑢 1 ) dan upaya pembasmian (𝑢 2 ) .
𝑑𝑋 𝑑𝑡 = 𝑟𝑋 (1 − 𝑋+𝐿+𝑌 𝐾 ) − (1 −   𝑢 1 )𝛽𝑋𝑉 𝑑𝐿 𝑑𝑡 = (1 −   𝑢 1 )𝛽𝑋𝑉 − 𝛼𝐿
𝑑𝑌 𝑑𝑡 = 𝛼𝐿 − 𝑚𝑌 (4)
𝑑𝑉 𝑑𝑡 = 𝑏𝑌 − 𝜂𝑉 − 𝛾𝑉 − 𝑢 2 𝜇𝑉
𝑑𝑀 𝑑𝑡 = 𝜔 + 𝜎𝑌 − 𝜏𝑀
Variabel  dan  parameter  yang  digunakan  mengacu  pada  Bagian  2.  Pengaplikasian pemberian variabel  kontrol  ini bertujuan untuk mengurangi  jumlah tanaman terinfeksi, mengurangi  jumlah  tanaman  laten  dan  mengurangi  jumlah  serangga  lalat  putih  yang terinfeksi  serta  meminimumkan  biaya  yang  dikeluarkan  untuk  pencegahan  tersebut. Untuk  mencapai  tujuan  ini  digunakan  metode  Prinsip  Maksimum  Pontryagin.  Fungsi ongkos  atau  indeks  performansi  yang  dapat  dibentuk  berdasarkan  penjelasan  di  atas adalah sebagai berikut:
Min 𝐽( 𝑢 1 , 𝑢 2 ) = ∫  𝐿(𝑡) + 𝑌(𝑡) + 𝑉(𝑡) + 𝐴 1 2 𝑢 1 2 (𝑡) + 𝐴 2 2 𝑢 2 2 (𝑡)  𝑑𝑡 𝑡 𝑓
0 ,
dengan koefisien 𝐴 1 dan 𝐴 2 berturut-turut adalah konstanta pembobot berupa biaya yang harus  dikeluarkan  untuk  pemberian sticky  yellow dan  pemberian  predator  alami  lalat putih.  Batas  kontrol  optimal  berada  pada 0 ≤ 𝑢 1,2 (𝑡) ≤ 1, 0 ≤ 𝑡 ≤ 𝑡 𝑓 dengan 𝑡 𝑓 merupakan waktu akhir. Pada paper ini, bentuk biaya kontrol yang dipilih berupa fungsi kuadrat dengan merujuk pada [11, 12].

## 5.1 Penyelesaian Kontrol Optimal
Berdasarkan  prinsip  Maksimum  Pontryagin  [13,  14],  langkah  pertama  yang  dilakukan adalah membentuk fungsi Hamiltonian pada model sebagai berikut:
𝐻 = 𝐿(𝑡) + 𝑌(𝑡) + 𝑉(𝑡) + 𝐴 1 2 𝑢 1 2 (𝑡) + 𝐴 2 2 𝑢 2 2 (𝑡) + 𝜃 𝑇 (𝑡)(𝑓(𝑥(𝑡), 𝑢(𝑡), 𝑡)
(5)
dengan 𝑓(𝑥(𝑡), 𝑢(𝑡), 𝑡) adalah ruas kanan dari model matematika penyebaran penyakit mosaic pada  jarak  pagar  yang  disertai  variabel  kontrol,  sedangkan 𝜃(𝑡) menyatakan pengali  Lagrange  atau  variabel  co-state  dengan 𝜃 𝑇 (𝑡) adalah  transpos  dari 𝜃(𝑡) . Selanjutnya, agar diperoleh kondisi optimal maka fungsi Hamiltonian harus memenuhi kondisi stasioner yaitu
𝜕ℋ 𝜕𝑢 𝑖 = 0, untuk 𝑖 = 1,2 sehingga didapatkan 𝑢 1 = (𝜃 2 −𝜃 1 )𝛽𝑋𝑉 𝐴 1 dan 𝑢 2 = 𝜃 4 𝑉 𝐴 2 .
Oleh karena 𝑢 1 ∈ [0,1] dan 𝑢 2 ∈ [0,1] , maka diperoleh nilai kontrol yang optimal adalah sebagai berikut
𝑢 1 ∗ = 𝑚𝑖𝑛 (1, 𝑚𝑎𝑥 (0, (𝜃 2 −𝜃 1 )𝛽𝑋𝑉 𝐴 1 )) (6)
𝑢 2 ∗ = 𝑚𝑖𝑛 (1, 𝑚𝑎𝑥 (0, 𝜃 4 𝑉 𝐴 2 )) (7)
Selanjutnya, karena dalam  bentuk  pengontrol 𝑢 1 ∗ dan 𝑢 2 ∗ terdapat  variabel state yaitu 𝑥 = (𝑋, 𝐿, 𝑌, 𝑉, 𝑀) 𝑇 ,  maka  perlu  diselesaikan  persamaan state dan co-state untuk memperoleh variabel tersebut. Berikut adalah penyelesaian persamaan state yang dapat diperoleh melalui 𝑥̇ = 𝜕𝐻 𝜕𝜃 , yang diberikan pada persamaan (4).
Berikutnya, persamaan co-state pada pengontrol 𝑢 1 ∗ dan 𝑢 2 ∗ dapat  diperoleh dari 𝜃̇ = − 𝜕𝐻 𝜕𝑥
sehingga, diperoleh
𝜃 1 ̇ = − 𝜕𝐻 𝜕𝑋 = − [𝜃 1 [𝑟 (1 − 2𝑋+𝐿+𝑌 𝐾 ) − (1 −   𝑢 1 )𝛽𝑉] + 𝜃 2 [(1 −   𝑢 1 )𝛽𝑉]]
𝜃 2 ̇ = − 𝜕𝐻 𝜕𝐿 = − [1 + 𝜃 1 (− 𝑟𝑋 𝐾 ) − 𝜃 2 𝛼 + 𝜃 3 𝛼]
𝜃 3 ̇ = − 𝜕𝐻 𝜕𝑌 = − [1 + 𝜃 1 (− 𝑟𝑋 𝐾 ) − 𝜃 3 𝑚 + 𝜃 4 𝑏 + 𝜃 5 𝜎]
𝜃 4 ̇ = − 𝜕𝐻 𝜕𝑉 = −[1 + 𝜃 1 (−(1 −  𝑢 1 )𝛽𝑋) + 𝜃 2 (1 −   𝑢 1 )𝛽𝑋 + 𝜃 4 (−𝜂 − 𝛾 −  𝑢 2 )]
𝜃 5 ̇ = − 𝜕𝐻 𝜕𝑀 = −[−𝜃 5 𝜏] ,
dengan 𝜃 5 ̇ (𝑡 𝑓 ) = 0 , 𝑖 = 1, 2, 3, 4, 5 . Selanjutnya, masalah kontrol optimal tersebut akan diselesaikan secara numerik.

## 5.2 Simulasi Numerik
Bagian  ini  membahas  mengenai  simulasi  numerik  model  matematika  penyebaran penyakit mosaic pada jarak pagar dengan penerapan kontrol. Terdapat tiga skenario yang disimulasikan,  yaitu  penerapan  upaya  pencegahan (𝑢 1 ) ,  penerapan  upaya  pembasmian (𝑢 2 ) ,  dan  penerapan  upaya  pencegahan (𝑢 1 ) dan  pembasmian (𝑢 2 ) secara  bersamaan. Simulasi  dilakukan  dengan  metode  Runge-Kutta  orde  4.  Adapun  nilai  awal  yang diberikan adalah (𝑋, 𝐿, 𝑌, 𝑉, 𝑀) = (0.6,0.15,0.05,0.2,0.2) .
Simulasi  dilakukan  untuk 𝑡 = 0 sampai 𝑡 = 2000 dalam  satuan  hari.  Konstanta pembobot  untuk  biaya  upaya  pencegahan  dan  pembasmian  sebesar 𝐴 = 5 .  Nilai-nilai parameter yang digunakan diberikan pada Tabel 1.
Gambar 3. Simulasi Pemberian Kontrol pada Populasi Jarak Pagar dalam Masa Laten
Dari Gambar 3 dapat diperoleh perbandingan jumlah populasi jarak pagar dalam masa laten sebelum dan sesudah diberi kontrol. Perbandingan tersebut dapat dilihat pada Tabel 4 berikut ini.
Tabel 4. Perbandingan Populasi Jarak Pagar dalam Masa Laten pada Akhir Pengamatan
Skenario Jumlah Populasi Tanpa adanya kontrol 0.2682 Kontrol 𝑢 1 0.2686 Kontrol 𝑢 2 0.1838 Kontrol 𝑢 1 dan 𝑢 2 0.1715
Berdasarkan Tabel 4 secara umum terlihat terjadi perbedaan antara populasi jarak pagar pada masa laten sebelum diberi kontrol, setelah diberi kontrol berupa upaya pencegahan saja,  setelah  diberi  kontrol  berupa  upaya  pembasmian  saja,  dan  diberi  kontrol  berupa upaya pencegahan dan pembasmian. Dari beberapa skenario pemberian kontrol, upaya pencegahan  dan  pembasmian  yang  diterapkan  secara  bersamaan  paling  efektif mengurangi populasi jarak pagar dalam masa laten hingga akhir pengamatan. Penurunan jumlah  populasi  setelah  diberi  kontrol  pencegahan  dan  pembasmian  secara  bersamaan sebesar 36,0552 % .
Gambar 4. Simulasi Pemberian Kontrol pada Populasi Jarak Pagar yang Terinfeksi
Dari Gambar 4 dapat diperoleh perbandingan jumlah populasi jarak pagar yang terinfeksi sebelum  dan  sesudah  diberi  kontrol.  Perbandingan  tersebut  dapat  dilihat  pada  Tabel  5 berikut ini.
Tabel 5. Perbandingan Populasi Jarak Pagar yang Terinfeksi pada Akhir Pengamatan
Skenario Jumlah Populasi Tanpa adanya kontrol 0.4024 Kontrol 𝑢 1 0.3986 Kontrol 𝑢 2 0.2446 Kontrol 𝑢 1 dan 𝑢 2 0.2135
Berdasarkan Tabel 5, secara umum terlihat bahwa ada perbedaan antara populasi jarak pagar terinfeksi sebelum diberi kontrol dan setelah diberi kontrol optimal. Dari beberapa skenario pemberian kontrol, upaya pencegahan dan pembasmian yang diterapkan secara bersamaan  paling  efektif  mengurangi  populasi  jarak  pagar  terinfeksi  hingga  akhir pengamatan.  Penurunan  jumlah  populasi  setelah  diberi  kontrol  pencegahan  dan pembasmian secara bersamaan sebesar 46,7343 % .
Gambar 5. Simulasi Pemberian Kontrol pada Populasi Serangga Lalat Putih yang Terinfeksi
Dari Gambar 5 dapat diperoleh perbandingan jumlah populasi serangga lalat putih yang terinfeksi sebelum dan sesudah diberi kontrol. Perbandingan tersebut dapat dilihat pada Tabel 6 berikut ini.
Tabel 6 Perbandingan Populasi Serangga Lalat Putih yang Terinfeksi pada Akhir Skenario Jumlah Populasi Tanpa adanya kontrol 0.9256 Kontrol 𝑢 1 0.9197 Kontrol 𝑢 2 0.3102 Kontrol 𝑢 1 dan 𝑢 2 0.2823
Berdasarkan Tabel 6 terlihat bahwa ada perbedaan antara populasi serangga lalat putih yang terinfeksi sebelum diberi control dan setelah diberi control. Berdasarkan beberapa skenario pemberian kontrol, upaya pencegahan dan pembasmian yang diterapkan secara bersamaan paling efektif mengurangi populasi serangga lalat putih yang terinfeksi hingga akhir  pengamatan.  Penurunan  jumlah  populasi  setelah  diberi  kontrol  pencegahan  dan pembasmian secara bersamaan sebesar 69,5009 % .
Selanjutnya,  hasil  simulasi  untuk  profil  usaha  dari  beberapa  skenario  disajikan  pada Gambar 6 – Gambar 8.
Gambar 6. Grafik Profil Kontrol Upaya Pencegahan (𝑢 1 )
Grafik  6  menunjukkan  bahwa  presentase  strategi 𝑢 1 yaitu  usaha  pencegahan  yang dilakukan untuk mengurangi populasi jarak pagar yang terinfeksi pada awal pengamatan adalah  sebesar 21,38 % dan  terus  menurun  hingga  hari  ke-900  adalah  sebesar 6,57 % dimana pada hari ke-1 usaha pencegahan dilakukan secara maksimal. Selanjutnya, pada rentang hari ke-900 hingga hari ke-1600 presentase usaha pencegahan cenderung tetap. Selanjutnya  pada  hari  ke-1601  terus  menurun  hingga  akhir  pengamatan  yaitu  hari  ke- 2000 presentase usaha pencegahan turun menjadi 1,696 % . Adapun fungsi ongkos untuk strategi 𝑢 1 adalah 2870,14 .
Gambar 7. Grafik Profil Kontrol Upaya Pembasmian (𝑢 2 )
Grafik  7  menunjukkan  bahwa  presentase  strategi 𝑢 2 yaitu  usaha  pembasmian  yang dilakukan untuk mengurangi serangga lalat putih yang terinfeksi pada awal pengamatan adalah sebesar 31,81 % dan terus meningkat hingga hari ke-300 adalah sebesar 35,86 % dimana  pada  hari  ke-300  usaha  pembasmian  dilakukan  secara  maksimal.  Selanjutnya, pada hari ke-400 presentase usaha pembasmian terus menurun hingga akhir pengamatan yaitu hari ke-2000 presentase usaha pembasmian turun menjadi 19,3 % . Adapun fungsi ongkos untuk strategi 𝑢 2 adalah 1461,97 .
Gambar 8. Grafik Profil Kontrol Upaya Pencegahan (𝑢 1 ) dan Pembasmian (𝑢 2 )
Grafik 8 menunjukkan bahwa presentase strategi 𝑢 1 dan 𝑢 2 yaitu usaha pencegahan yang dilakukan untuk  mengurangi  serangga lalat putih  yang terinfeksi  dan jarak pagar  yang terinfeksi  pada  awal  pengamatan  secara  berturut-turu  adalah  sebesar 14,15 % dan 30,82 % . Setelah itu presentase usaha terus meningkat hingga hari ke-300 sebesar 18,4 % untuk usaha pencegahan (𝑢 1 ) dan hari ke-300 sebesar 34,67 % untuk usaha pembasmian (𝑢 2 ) ,  dimana  pada  saat  tersebut  usaha  pencegahan  dan  usahan  pembasmian  dilakukan secara  maksimal.  Selanjutnya,  pada  hari  ke-400  presentase  usaha  pencegahan  terus menurun hingga akhir pengamatan yaitu hari ke-2000 presentase usaha pencegahan turun menjadi 1,299 % dan  pada  hari  ke-400  presentase  usaha  pembasmian  terus  menurun hingga akhir pengamatan yaitu hari ke-2000 presentase usaha pembasmian turun menjadi 18,36 % . Adapun fungsi ongkos yang disajikan pada Tabel 5.4 berikut ini.
Tabel 7 Perbandingan Fungsi Ongkos Skenario Fungsi Ongkos Kontrol 𝑢 1 2870,14 Kontrol 𝑢 2 1461,97 Kontrol 𝑢 1 dan 𝑢 2 1374,25
Berdasarkan Tabel 7,  fungsi ongkos yang dikeluarkan untuk skenario kontrol 𝑢 1 sebesar 2870,14 ,  untuk  skenario  kontrol 𝑢 2 sebesar 1461,97 ,  dan  untuk  skenario 𝑢 1 dan 𝑢 2 secara simultan sebesar 1374,25 . Berdasarkan hasil tersebut, nilai fungsi ongkos paling minimum adalah pada skenario penerapan kontrol 𝑢 1 dan 𝑢 2 secara bersamaan.
Penerapan  kontrol  yang  optimal  dilihat  dari  perubahan  populasi  sebelum  dan  setelah diberi  kontrol  seta  nilai  fungsi  ongkos  yang  dikeluarkan.  Berdasarkan  simulasi  yang diperoleh sebelum dan sesudah diberi  kontrol, dengan menerapkan tiga skenario dapat dilihat  bahwa  populasi  jarak  pagar  laten,  populasi  jarak  pagar  terinfeksi,  dan  populasi serangga terinfeksi  dapat direduksi secara optimal  dengan  upaya pencegahan (𝑢 1 ) dan upaya  pembasmian (𝑢 2 ) yang  diterapkan  bersamaan.  Dari  nilai  fungsi  ongkos  ketiga skenario, penerapan kontrol upaya pencegahan (𝑢 1 ) dan upaya pembasmian (𝑢 2 ) yang diterapkan  bersamaan  merupakan  langkah  yang  optimal  agar  nilai  fungsi  ongkos  yang dikeluarkan minimum.

## 6 Kesimpulan
Pada  paper  ini  telah  dikaji  model  matematika  penyebaran  penyakit mosaic pada  jarak pagar  dan penerapan optimal  control berupa upaya  pencegahan dan pembasmian. Dari hasil  analisis  model  tanpa  variable  control,  model  matematika  penyebaran  penyakit mosaic pada  jarak  pagar    memiliki  dua  titik  setimbang,  yakni  titik  setimbang  bebas penyakit (𝐸 0 ) dan endemic penyakit mosaik (𝐸 1 ) . Titik setimbang bebas penyakit akan stabil  asimtotis  jika 𝑅 0 < 1 ,  sedangkan  titik  setimbang  endemik  secara  numeric  akan stabil asimtotis jika memenuhi 𝑅 0 > 1 , dengan 𝑅 0 merupakan bilangan reproduksi dasar. Pada  paper  ini,  juga  dilakukan  analisis  sensitivitas  parameter  model.  Selanjutnya  pada model penyebaran penyakit mosaic pada jarak pagar diaplikasikan kontrol optimal berupa upaya pencegahan dan pembasmian. Berdasarkan hasil simulasi numerik terlihat bahwa strategi  berupa  upaya  pencegahan (𝑢 1 ) dan  upaya  pembasmian (𝑢 2 ) yang  diterapkan bersamaan  merupakan  langkah  yang  efektif  untuk  mengurangi  penyebaran  penyakit mosaic pada jarak pagar.

## Daftar Pustaka
[1] Syakir, M., 2010, Prospek dan Kendala Pengembangan Jarak Pagar (Jatropha curcas  L.)  Sebagai  Bahan  Bakar  Nabati  di  Indonesia ,  Indonesian  Center  for Estate Crops Research and Deleopment, 9(2):55-65.
[2] Supriyadi dan Riajaya, P. D., 2015, Analisis Usaha Tani Jarak Pagar (Jatropha curcas  L.)  Hasil  Peremajaan, Buletin  Tanaman  Tembakau,  Serat  dan  Minyak Industri, 7(2):90-101.
[3] Gomes,  J., 2016, Petunjuk Praktis Budidaya Jarak Pagar  (Jatropha  curcas L.) dan Proses Pengolahan Minyak , Universitas Brawijaya Press, Malang, Indonesia.
[4] Venturino, E., Roy, P. K., Basir, F. A., dan Datta, A., 2016, A model for the control of the mosaic virus disease in Jatropha curcas plantation, Energy, Ecology, and Environment, 1(6):360-369.
[5] Puslitbang  Perkebunan,  2016, Hama  Kutu  Putih  Planococcus  Minor  (Maskell) pada Jarak Pagar , http://perkebunan.litbang.pertanian.go.id/?p=16459 , Diakses pada tanggal 10 Februari 2019.
[6] Venturino, E., Roy, P. K., Basir, F. A., dan Datta, A., 2016, A model for the control of the mosaic virus disease in Jatropha curcas plantation, Energy, Ecology, and Environment, 1(6):360-369
[7] Basir, F. A., Venturino, E., dan Roy, P. K., 2016, Effect of awareness program for  controlling  mosaic  disease  in  Jatropha  curcas  plantations, Mathematical Methods in the Applied Sciences, 6(2):104-105.
[8] Basir, F. A., dan Roy, P. K., 2017 , Dynamics of mosaic disease with roguing and delay  in  Jatropha  curcas  plantations, Applied  Mathematics  and  Computation, 58:1-31.
[9] Basir, F. A., Blyuss, K. B., dan Ray, S., 2018, Modelling the effect of awareness- based interventions to control the mosaic disease of Jatropha curcas, Ecological Complexity, 36:92-100.
[10] Chitnis,  N.,  Smith,  T.  dan  Steketee,  R.,  2009, A  Mathematical  Model  for  the Dynamics  of  Malaria  in  Mosquitoes  Feeding  on  a  Heterogeneous  Host Population, Journal of Biological Dynamics, 2(3), 259-285.
[11] Ahmadin  dan  Fatmawati,  2014, Mathematical  modelling  of  drug  resistance  in tuberculosis  trasmission  and  optimal  control, Applied  Mathematical  Science, 8( 92), 4547–4559.
[12] Fatmawati dan Tasman H, 2013, A malaria model with controls on mass treatment and insecticide, Applied Mathematical Sciences , 7(68), 3379 – 3391.
[13] Pontryagin,  L.S., Boltyanskii,  V.G., Gamkrelidze, R.V., dan Mishchenko, E.F., 1962, The Mathematical Theory of Optimal Processes , Wiley, New York.
[14]   Naidu, D S, 2002, Optimal Control Systems, CRC PRESS, New York.