Jurnal Penelitian dan Pengkajian Ilmu Pendidikan: e-Saintika
https://journal-center.litpam.com/index.php/e-Saintika/index

## Bukti yang Membuktikan dan Bukti yang Menjelaskan dalam Kelas Matematika
1 Deni Hamdani, 1 J. Junaidi, 1 Dwi Novitasari, 1 Nilza Humaira Salsabila, 1 Ratna Yulis Tyaningsih
1 Mathematics Education Department, Faculty of Teacher Training and Education, Universitas Mataram. Jl. Majapahit No. 62, Mataram, West Nusa Tenggara, 83115, Indonesia.
*Corresponding Author e-mail: deni.math@unram.ac.id
Received: March 2020; Revised: June 2020; Published: July 2020

## Abstrak
Tujuan  penelitian  ini  adalah  mendeskripsikan  secara  komprehensif  perbedaan  bukti  yang membuktikan dan bukti yang menjelaskan berdasarkan pertimbangan implikasi kedua bukti tersebut sebagai  dasar  konstruksi  penalaran  dan  bukti  dalam  matematika.  Kajian  dijalani  dengan  kegiatan menguraikan perbedaan spesifik antara keduanya serta memberikan contoh kasus kedua bukti, dan memberikan justifikasi atas pentingnya pengenalan kedua bukti dalam kelas matematika. Kedua bukti digambarkan dengan permasalahan konsep barisan bilangan ganjil. Bukti yang membuktikan hanya menunjukkan  dengan  menggunakan  induksi  matematis,  sementara  bukti  yang  menjelaskan menunjukkan dengan bukti Gauss, representasi geometrik bangun titik, dan garis zig-zag. Perbedaan antara  keduanya  tampak  pada  pemberian  alasan  yang  berasal  dari  bukti  itu  sendiri.  Hasil  kajian mengindikasikan bahwa peran bukti dalam kelas matematika pada tingkat perguruan tinggi adalah membuktikan/meyakinkan, pada tingkat menengah atas adalah membuktikan dan menjelaskan, dan pada tingkat sekolah menengah pertama dan dasar peran utamanya adalah menjelaskan. Akibatnya bukti  matematis  tidak  hanya  membuktikan/menyakinkan,  melainkan  juga  menjelaskan. Karenanya penting mempertimbangkan implikasi bukti dalam kurikulum matematika di sekolah, serta perlunya menyajikan  bab  materi  kepada  mahasiswa  pendidikan  matematika  tidak  hanya  bukti  yang membuktikan, melainkan juga bukti yang menjelaskan.

## Kata kunci: Bukti yang Membuktikan, Bukti yang Menjelaskan

## Proofs that Prove and Proofs that Explain in Mathematics Classroom

## Abstract
The purpose of this study was to comprehensively describe the differences of the proofs that prove and proofs that explain based on the consideration of the implications of the two proofs as the basis for the construction reasoning and  proofs  in  mathematics.  The  study  was  undertaken  with  the  activity  of  describing  the  specific  differences between the two and providing examples of cases of both proofs; and provide justification for the importance of introducing both proofs in mathematics classrooms. Both proofs are illustrated by the problem of the odd number sequence concept. Proofs that prove is only shown using mathematical induction, while proofs that explain shows with Gaussian proof, a geometric representation of point shape, and zigzag line. The difference between the two appears to be the reasoning that comes from the proof itself. The results of the study indicate that the role of proof in mathematics classes at the tertiary level is proving/convincing, at the senior secondary level it is proving and explaining, and at the junior and elementary school level its main role is explaining. As a result, mathematical proof does not only prove/convince, but also explain. It is therefore important to consider the implications of proof in  the  mathematics  curriculum  in  schools,  as  well  as  the  need  to  present  chapter  materials  to  mathematics education students not only proofs that prove but also proof that explain.
Key words: Proofs that Prove, Proofs that Explain
How to Cite: Hamdani, D., Junaidi, J., Novitasari, D., Salsabila, N., H., & Tyaningsih, R., Y. (2020). Bukti yang  Membuktikan  dan  Bukti  yang  Menjelaskan  dalam  Kelas  Matematika.  Jurnal  Penelitian  dan Pengkajian Ilmu Pendidikan: e-Saintika, 4(2), 248-258. doi: https://doi.org/10.36312/e-saintika.v4i2.253
https://doi.org/10.36312/e-saintika.v4i2.253
Copyright© 2020, Hamdani et al
This is an open-access article under the CC-BY-SA License.

## PENDAHULUAN
Bukti  adalah  argumen  logis  yang  diberikan  sesuai  dengan  aturan  sistem deduktif, dan digunakan sebagai pembenaran kebenaran pernyataan suatu teorema, serta merupakan bagian fundamental dari proses berpikir matematis  (Devlin, 2003; Koshy,  2007;  Dumas  &  McCarthy,  2015;  Wikipedia  contributors,  2020).  Sebagai argumen yang menyakinkan, bukti adalah penjelasan lengkap yang diberikan ketika penjelasan  lengkap  lebih  tepat  daripada  penjelasan  tidak  lengkap  atau  tidak  ada penjelasan (Hersh, 1993). Bukti mungkin kurang meyakinkan ketika hanya terbukti valid berdasarkan bentuknya saja, tanpa memperhatikan isinya. Bukti harus berasal dari tempat yang spesifik dan dapat diterima, harus menyajikan argumen yang tidak cacat,  dan  harus  mengarah  pada  hasil  yang,  bahkan  tidak  terduga,  nampak  pada refleksi untuk membuat masuk akal dalam konteks pengetahuan matematika lainnya (Hanna, 1990).
Bukti  dinilai  penting  untuk  memunculkan  hubungan  matematika  daripada hanya untuk menunjukkan kebenaran hasilnya (Hanna, 2000). Karenanya peran bukti sebagai  alat  komunikasi,  dan  proses  sosial  yang  memainkan  bagian  penting  yang didukung oleh matematikawan tentang hasil baru, dan pendidik lebih menekankan pada  konsep  bukti  sebagai  “argumen  yang  meyakinkan.”(Hanna,  1990).  Sehingga pentingnya menciptakan situasi kelas dimana siswa menjadi sadar akan kompleksitas masalah  dan  perlunya  menghasilkan  “argumen  yang  valid”  (Balacheff,  2017). Argument  dapat  dilihat  sebagai  bukti  yang  valid  (Weber,  2008).  Argumen  yang dikatakan valid adalah argumen yang bentuknya valid, maksudnya jika pada masing- masing baris yang semua premisnya benar (baris kritis) kesimpulannya juga benar (Purwanto, 2015).
Kontribusi substansial (pemahaman) tentang didaktik bukti, seperti argument sebagai bukti yang valid (Weber, 2008). Argument yang dikatakan valid bergantung pada  bentuk  argumennya  (Purwanto,  2015),  sehingga  perlunya  menghasilkan argument yang valid (Balacheff, 2017), dan bukti dapat dilihat sebagai argument yang menyakinkan  dan  menjelaskan  (Hanna,  1990),  dan  (Hersh,  1993),  dinilai  telah menawarkan cara baru yang spesifik dan menarik untuk mengajarkan bukti. Sebagai pembanding dari argumen yang harus valid dan menjelaskan, maka akan berguna untuk mendiskusi perbedaan eksplisit antara “bukti yang membuktikan” dan “bukti yang menjelaskan”.
Bukti yang menjelaskan dan bukti yang membuktikan keduanya adalah bukti yang  sah  dan  berfungsi  dalam  ukuran  yang  sama  untuk  menetapkan  validitas pernyataan matematis. Keduanya terdiri dari pernyataan yang merupakan aksioma sendiri  atau  mengikuti  dari  pernyataan  sebelumnya  sebagai  hasil  dari  penerapan aturan  inferensi  yang  benar  (Hanna,  1990).  Perbedaan  penting  antara  kedua  jenis bukti ini, kembali menurut (Hanna, 1990) menyatakan bahwa bukti yang membuktikan hanya  menunjukkan  bahwa  teorema  itu  benar;  dan  memberi  alasan  bukti  saja. Sementara  bukti  yang  menjelaskan,  juga  menunjukkan  mengapa  teorema  itu  benar; serta memberikan serangkaian alasan yang berasal dari fenomena itu sendiri. Selain (Hanna,  1990),  ahli  lain  juga  mengungkapkan  bahwa  bukti  matematis  harus meyakinkan dan menjelaskan (Hersh, 1993). Bukti yang menjelaskan adalah argumen yang menjelaskan, sering kali pada tingkat intuitif, mengapa hasilnya benar (Weber & Alcock, 2004; Weber, 2008).
Sebuah  bukti  yang  membuktikan  mungkin  bergantung  pada  induksi matematika  atau  bahkan  pada  pertimbangan  sintaksis  saja.  Tetapi  bukti  yang
menjelaskan harus memberikan alasan berdasarkan ide-ide matematika yang terlibat, sifat-sifat matematika yang menyebabkan teorema yang ditegaskan itu benar (Hersh, 1993; Hanna, 1990; Hanna, 2000). Kebutuhan untuk memahami dan terutama menulis bukti  dalam  kuliah-kuliah  matematika  sangatlah  penting  (Morash,  1987).  Bahkan NCTM (2000) dan Van de Walle et al. (2012) mengungkapkan bahwa kegiatan menulis bukti  (pembutian)  bertujuan  untuk  membantu  dalam  menentukan  apakah  dan mengapa  jawaban  kita  logis,  mengembangkan  kebiasaan  memberi  argumen,  dan menjadikan kegiatan menyelidiki sebagai bagian utuh dari setiap pemecahan masalah dan  merupakan  aktivitas  yang  dapat  mengembangkan  pemahaman  konsep. Sementara Weber (2003) menjelaskan bahwa tujuan dari pembuktian adalah untuk: (1)  menjelaskan,  (2)  sistemisasi,  (3)  komunikasi,  (4)  penemuan  hasil  baru,  (5) pertimbangan  suatu  definisi,  (6)  mengembangkan  intuisi,  dan  (7)  menyediakan otonomi.
Dari  beberapa  perspektif  ataupun  epistemologis  dari  bukti,  mulai  dari  bukti yang membuktikan dan bukti yang menjelaskan menurut Hanna (1990), bukti yang menyakinkan  dan  bukti  yang  menjelaskan  menurut  Hersh  (1993),  serta  argumen dapat dilihat sebagai bukti yang valid (Weber, 2008), dan argumen yang valid adalah argumen  yang  bentuknya  valid  (Purwanto,  2015).  Penelitian  ini  bertujuan  untuk memperkenalkan  kepada  mahasiswa,  guru,  atau  pembaca  lainnya  apa  yang membedakan  antara  bukti  yang  membuktikan  dan  bukti  yang  menjelaskan, kemudian  mempertimbangkan  implikasi  penyampaian  kedua  bukti  dalam  kelas matematika di sekolah, mengingat standar proses dalam kelas matematika di sekolah menurut  NCTM  (2000)  menuntut  pentingnya  mengembangkan  proses mengkonstruksi penalaran dan bukti (reasoning and proof).

## METODE
Makalah  ini  mengeksplorasi  atau  menguraikan  perbedaan  antara  bukti  yang membuktikan dan menjelaskan dalam kelas matematika di sekolah dan memberikan justifikasi  atas  pentingnya  penyampaian/pengajaran  kedua  bukti  dalam  kelas matematika  sekaligus  memberikan  contoh  kasus  yang  terkait  dengan  bukti  yang membuktikan dan bukti yang menjelaskan. Sehingga dari kegiatan kajian ini, dapat dikatakan  sebagai  kegiatan  eksplorasi  bukti  yang  masuk  dalam  kajian/telaah deskriptif eksploratif yan dimulai dengan kegiatan menguraikan perbedaan spesifik antara “bukti yang membuktikan” dan “bukti yang menjelaskan” serta memberikan contoh  kasus  kedua  bukti;  dan  memberikan  justifikasi  teoritis  atas  pentingnya pengenalan kedua bukti dalam kelas matematika.

## HASIL DAN PEMBAHASAN
Kedua  jenis  bukti  ini  adalah  bukti  yang  sah  dan  berfungsi  sama  dalam menetapkan  validitas  pernyataan  matematis.  Namun  tidak  untuk  diajarkan  atau disampaikan secara berbarengan/bersamaan, misalnya saja pada tingkat dasar SD- SMP  bukti  dapat  disampaikan  dalam  perspektif  bukti  yang  menjelaskan,  tingkat menengah  SMA  bukti  dapat  disampaikan  dalam  perspektif  menjelaskan  dan membuktikan (induksi matematika kelas XI), dan tingkat lanjutan (perguruan tinggi) dalam  perspektif  membuktikan/menyakinkan.  Hal  yang  sama  sesuai  dengan pendapat  dari  Hersh  (1993)  yang  mengatakan  bahwa  bukti  matematis  dapat meyakinkan,  dan  dapat  pula  menjelaskan.  Dalam  penelitian  matematika,  peran utamanya adalah meyakinkan, dan ditingkat sekolah menengah atau sarjana, peran utamanya adalah menjelaskan.
Perbedaan penting antara kedua jenis bukti ini adalah bukti yang membuktikan hanya  menunjukkan  bahwa  teorema  itu  benar;  dan  memberikan  alasan  bukti  saja. Sementara  bukti  yang  menjelaskan,  juga  menunjukkan  mengapa  teorema  itu  benar, sekaligus memberikan serangkaian alasan yang berasal dari fenomena itu sendiri atau argumen yang menjelaskan (Hanna, 1990; Hersh, 1993; Weber & Alcock, 2004; Weber, 2008).  Uraian  berikut  memberikan  contoh  atau  gambaran  perbedaan  antara  bukti yang membuktikan dan bukti yang menjelaskan:
Buktikan bahwa jumlah n suku pertama bilangan ganjil positif 𝑆(𝑛) , adalah sama dengan 𝑛 2 atau 𝑆(𝑛) = 1 + 3 + 5 + ⋯ + (2𝑛 − 1) = 𝑛 2

## Bukti yang Membuktikan
Karena bukti yang membuktikan adalah bukti yang hanya menunjukkan bahwa teorema  itu  benar;  atau  dengan  kata  lainnya  hanya  memberikan  alasan  bukti  saja (Hanna, 1990). Maka berikut ini akan dikenalkan bukti dengan induksi matematika sebagai bukti yang membuktikan.

## Bukti dengan induksi matematika
Selain metode langsung (direct proofs), dan metode tak langsung (indirect proofs: contrapositive proofs dan contradiction proof) yang bersifat deduksi (kesimpulan yang bersifat  khusus  dari  informasi-informasi  bersifat  umum).  Dikenal  juga  metode induksi (kesimpulan yang bersifat umum dari informasi-informasi bersifat khusus). Bukti  dengan  metode  induksi,  dalam  makalah  ini  dikenalkan  sebagai  contoh  dari bukti yang membuktikan.
Misalkan akan dibuktikan bahwa 𝑆(𝑛) = 1 + 3 + 5 + ⋯ + (2𝑛 − 1) = 𝑛 2 maka langkah yang dilakukan sebagai berikut:
Basis Induksi : Untuk 𝑛 = 1 , teorema benar 𝑆(1) = 1 2 = 1 Langkah Induksi : Asumsikan benar untuk suatu 𝑛 = 𝑘 , maka 𝑆(𝑘) = 1 + 3 + 5+. . +(2𝑘 − 1) = 𝑘 2
Karena 𝑛 = 1 dan 𝑛 = 𝑘 benar, maka 𝑛 = 𝑘 + 1 juga benar, sehingga: 𝑆(𝑘 + 1) = 1 + 3 + 5+. . +(2𝑘) = (𝑘 + 1) 2 Bukti:
1 + 3 + 5+. . +(2𝑘 − 1) ⏟
𝑘 2 + (2𝑘 + 1) = 𝑘 2 + (2𝑘 + 1) = 𝑘 2 + 2𝑘 + 1 = (𝑘 + 1) 2
Berdasarkan tahap basis induksi dan langkah induksi ,maka dapat disimpulkan bahwa Benar jumlah 𝑛 pertama bilangan ganjil positif adalah 𝑛 2 .
Hasil bukti di atas  ini tentu saja merupakan bukti yang dapat diterima.  Oleh karena  telah  menunjukkan  bahwa  pernyataan  “jumlah 𝑛 pertama  bilangan  ganjil positif  adalah 𝑛 2 ”  terbukti  berdasarkan  metode  pembuktian  induksi  matematika. Induksi  matematika  adalah  metode pembuktian  yang  kuat  yang  sering  digunakan untuk  menetapkan  validitas  pernyataan  yang  diberikan  dalam  hal  bilangan  asli. Meskipun  kegunaannya  terbatas  pada  konteks  yang  agak  khusus  ini,  induksi matematika adalah alat yang sangat diperlukan di semua cabang matematika (Bartle & Sherbert, 2011). Prinsip induksi matematika menggunakan bilangan  bulat positif oleh  karena  bilangan  bulat  positif  memiliki  sifat  terurut  dengan  baik  (well-ordering
property)  (Gilbert  &  Gilbert,  2009).  Definisi  sifat  terurut  dengan  baik  “setiap subhimpunan tak-kosong dari ℕ memiliki elemen terkecil. Untuk lebih detailnya, jika 𝑆 ⊆ 𝑁 , 𝑆 ≠ ∅ ,  maka ∃ 𝑚 ∈ 𝑆 sedemikian  sehingga  m ≤ 𝑘 , ∀𝑘 ∈ 𝑆 (Bartle &  Sherbert, 2011) .
Berbeda dengan Hanna (1990), bukti dengan menggunakan induksi matematika tidak  jelas  pada  umumnya.  Pernyataan  ini  menerangkan  atas  apa  yang  tidak dilakukan dengan metode induksi matematika adalah menunjukkan mengapa jumlah 𝑛 suku pertama bilangan ganjil positif adalah 𝑛 2 atau karakteristik sifat dari jumlah 𝑛 suku  pertama  bilangan  ganjil  positif  menguatkan  tanggung  jawab  atas  nilai 𝑛 2 . Permasalahan  jumlah  bilangan  ganjil  positif  di  atas  hampir  sama  dengan permasalahan Gauss berikut, yang menggunakan sifat simetri (dari dua representasi penjumlahan yang berbeda) untuk menunjukkan mengapa pernyataan itu benar.

## Bukti yang Menjelaskan
Selain menunjukkan mengapa teorema itu benar, bukti yang menjelaskan juga memberikan  serangkaian  alasan  yang  berasal  dari  fenomena  itu  sendiri  (Hanna, 1990),  dan  sering  kali  pada  tingkatan  intuitif,  mengapa  hasilnya  benar  (Weber  & Alcock, 2004). Berikut ini akan dikenalkan tiga contoh bukti yang menjelaskan, yakni:

## 1. Bukti Gauss
𝑆(𝑛) = 1 + 3 + 5 + ⋯ + (2𝑛 − 1) 𝑆(𝑛) = (2𝑛 − 1) + (2𝑛 − 3) + (2𝑛 − 5) + ⋯ + 1 2𝑆(𝑛) = 2𝑛 + 2𝑛 + 2𝑛 + ⋯ + 2𝑛 ⏟ 2𝑛 sebanyak 𝑛 kali 2𝑆(𝑛) = 2𝑛(𝑛) 2𝑆(𝑛) = 2𝑛 2
𝑆(𝑛) = 𝑛 2
2. Representasi geometrik “bangun titik”
Bukti yang menjelaskan kedua dari pernyataan yang sama adalah representasi geometrik dari 𝑛 suku pertama bilangan ganjil positif dengan bangun titik yang sama sekali  tidak  sama;  ciri  khasnya  adalah  pola  geometris  yang  mendorong  kebenaran pernyataan  itu.  Kita  dapat  mewakili  jumlah  dari 𝑛 suku  pertama  bilangan  ganjil positif menggunakan pola titik-titik berikut.

## Titik-titik yang sama di setiap suku membentuk sudut siku-siku
𝑆(𝑛) = 1 titik + 3 titik + 5 titik + ⋯ + (2𝑛 − 1)titik Dua jumlah tersebut 𝑆(𝑛) + 𝑆(𝑛) memberikan hasil 2𝑛 titik sebanyak 𝑛 kali. Karena itu:
2𝑆(𝑛) = 2𝑛 + 2𝑛 + 2𝑛 + ⋯ + 2𝑛 2𝑆(𝑛) = 2𝑛(𝑛) 𝑆(𝑛) = 𝑛 2
…
1 3 5
7 2n-1 Gambar 1. Pola bilangan ganjil positif

## 3. Representasi geometrik “garis zig - zag”
Bukti  yang  menjelaskan  lainnya  adalah  representasi  jumlah 𝑛 suku  pertama bilangan ganjil positif dengan area berbentuk tangga berikut: persegi panjang dengan panjang sisinya 𝑛 dan 2𝑛 dibagi garis zig-zag (hijau dan biru) (lihat Gambar 2) .
2n 0  1 3 5 7 …  …  …  … 2n-1
Gambar 2. Representasi jumlah 𝑛 suku pertama bilangan ganjil positif
Luas daerah (hijau dan biru) adalah 2𝑛 × 𝑛 . Sehingga luas daerah bertangga hijau atau biru adalah 𝑛 2 atau luas daerah bertangga hijau atau biru
1 + 3 + 5 + ⋯ + 2𝑛 − 1
= 2𝑛 × 𝑛 2 = 𝑛 2
Baik  bukti  Gauss  maupun  representasi  geometrik  menunjukkan  bahwa seseorang dapat mengadopsi pendekatan bukti yang menjelaskan untuk pengajaran bukti di kelas tanpa meninggalkan kriteria bukti matematika yang sah dan kembali bergantung  pada  intuisi  saja.  Yang  harus  dilakukan  seseorang  adalah  mengganti suatu bukti, dari jenis yang tidak jelas, dengan bukti lain yang sama-sama sah yang memiliki kekuatan penjelas, kekuatan untuk mengeluarkan pesan matematika dalam sebuah  teorema.  Bukti  yang  hanya  mengandalkan  logika  matematika  tidak  akan pernah bisa memberikan alasan yang jelas. Bukti-bukti semacam itu hanya melihat pada bentuk argument saja (Hanna, 1990; Hanna, 2000).
Fokus  dari  bukti  yang  menjelaskan  jelas  pada  pemahaman,  bukan  pada mekanisme  deduktif.  Sehingga  baiknya  dalam  pendidikan  matematika  kita  harus lebih  fokus  sebanyak  mungkin  pada  penjelasan  matematika,  baik  yang  menyoroti bagaimana  mahasiswa  menyelesaikan  permasalahan  bukti  dari  suatu  teorema tentang  ide-ide  matematika  penting  yang  mengarah  pada  kebenarannya,  ataupun bagaimana ide-ide dalam struktur kognitif dapat mengkontruksi permasalahan bukti. Peran bukti dan pembuktian dalam matematika mengarahkan kita pada kebutuhan akan pengajaran bukti di kelas-kelas matematika. Menurut de Villiers (1990); Hanna (2000);  dan  Rav  (1999)  mengatakan  peran  sentral  bukti  dalam  matematika  adalah untuk: memvalidasi, menjelaskan, menemukan, sistemisasi hasil, penggabungan ke dalam kerangka kerja, dan menyampaikan pengetahuan matematika.
Lebih  lanjut  Hanna  (2000)  dan  Thurston  (1994)  bukti  dapat  menunjukkan pernyataan  matematika  itu  benar  dengan  asumsi  aksioma  tertentu,  namun matematikawan  lebih  melihat  kepada  membangun  kebenaran  untuk  mencari wawasan  mengapa;  bukti  dapat  memiliki  kekuatan  penjelas;  dan  melalui  proses pembuktian,  dapat  menemukan  hasil  baru.  Sehingga  akhirnya,  bukti mengkomunikasikan pengetahuan matematika dan menempatkan pengetahuan itu secara sistematis dalam suatu kerangka kerja. Selanjutnya Rav (1999) mengusulkan bahwa bukti adalah yang paling penting dalam matematika oleh karena bukti dapat menjadi alat, metode, dan strategi untuk memecahkan masalah. Oleh karena itu, salah satu  kebutuhan  mengajar  bukti  di  kelas  matematika  adalah  untuk  mendukung pemahaman siswa.
Kegiatan  menulis  bukti  (pembutian)  bertujuan  untuk  membantu  dalam menentukan  apakah  dan  mengapa  jawaban  kita  logis,  melatih  kebiasaan  memberi argumen (penalaran deduktif), dan menjadikan kegiatan menyelidiki sebagai bagian utuh  dari  setiap  pemecahan  masalah  dan  merupakan  aktivitas  yang  dapat mengembangkan pemahaman konsep (Balacheff, 1991; NCTM, 2000; Healy & Hoyles, 2000;  Herbst,  2002;  Kunimune  et  al.,  2009;  Van  de  Walle  et  al.,  2012).    Sementara, Weber  (2003)  menjelaskan  bahwa  tujuan  dari  pembuktian  adalah  untuk:  (1) menjelaskan,  (2)  sistemisasi,  (3)  komunikasi,  (4)  penemuan  hasil  baru,  (5) pertimbangan  suatu  definisi,  (6)  mengembangkan  intuisi,  dan  (7)  menyediakan otonomi.
Peran  lain  bukti  dalam  matematika  adalah  menjelaskan  mengapa  pernyataan matematika  itu  benar  dengan  asumsi  tertentu  (de  Villiers,  1990;  de  Villiers,  2010; Weber,  2008).  Bukti  mengkomunikasikan  pengetahuan  matematika  dan  tempatnya dalam struktur yang terorganisir. Oleh karena itu, kebutuhan lain untuk  mengajar bukti adalah untuk “menjelaskan” asal-usul dan hubungannya dengan pengetahuan matematika  (Zaslavsky  et  al.,  2012).  Pengalaman  siswa  terhadap  bukti  (proof)  dan pembuktian (proving) berbeda jelas dengan pengalaman matematikawan (akademisi)
oleh  karena  tujuan  mereka  berbeda,  yakni  siswa  di  sekolah  bahkan  mahasiswa semester  awal  tidak  terlibat  dalam  kegiatan  pembuktian  untuk  menemukan  hasil matematika baru (Herbst & Brach, 2006; Hilbert et al., 2008). Namun tujuannya adalah agar siswa memiliki pengalaman dalam penalaran yang mirip dengan yang dilakukan oleh  matematikawan  (akademisi);  serta  mempelajari  bangunan  pengetahuan matematika  dan  mendapatkan  wawasan  mengapa  pernyataan  itu  benar.  Di  kelas matematika, bukti disajikan untuk mengajarkan kepada siswa proses berpikir logis dan berkomunikasi dan mungkin secara implisit memecahkan masalah sesuai dengan contoh (Herbst, 2002; Herbst & Brach, 2006).
Dari perspektif ini, di kelas matematika (sekolah) kegiatan membuktikan hanya dijadikan sebagai latihan dalam mengkonfirmasikan pernyataan dan teorema belajar yang  tidak  memiliki  tujuan  intelektual,  oleh  karena  dalam  situasi  seperti ini  siswa tidak  sepenuhnya  terlibat  dalam  upaya  untuk  mencari  solusi  untuk  masalah matematika  yang  mereka  hargai.  Secara  historis,  bukti  adalah  alat  retoris  untuk meyakinkan orang lain bahwa pernyataan matematika itu benar  (Harel & Sowder, 2007;  Krantz,  2007).  Untuk  meyakinkan,  bukti  harus  selaras  dengan  norma-norma (misalnya,  bentuk  penalaran,  aturan  logis  inferensi,  mode  argumentasi  dan  mode representasi  argumen)  dari  komunitas  yang  disajikan  (Harel  &  Sowder,  2007;  Siu, 2008; Stylianides, 2007). Bukti yang diajarkan di sekolah saat ini mengkomunikasikan bahwa bukti lebih kepada membangun kebenaran daripada memvalidasi pernyataan berdasarkan pada aksioma yang disepakati (Jahnke, 2010).

## KESIMPULAN
Perbedaan  antara kedua bukti ini adalah pada pemberian  alasan yang berasal dari  bukti  itu  sendiri  atau  argumen  yang  penjelas.  Bukti  matematis  dapat meyakinkan/membuktikan,  dan  dapat  pula  menjelaskan.  Kedua  jenis  bukti  ini adalah bukti yang sah dan berfungsi sama dalam menetapkan validitas pernyataan matematis.  Jika  permasalahan  bukti  (pola  bilangan:  suku  ke-n  dan  jumlah  n  suku pertama)  disampaikan  dalam  perspektif  bukti  yang  menjelaskan  pada  tingkat  SD- SMP tidaklah masalah bahkan pada kenyataannya secara tidak sadar pendidik telah menyampaikannya,  begitu  pula  pada  tingkat  menengah  SMA  konsep  bukti  dapat disampaikan dalam perspektif bukti yang menjelaskan dan bukti yang membuktikan (induksi matematika kelas XI); dan terakhir pada tingkat lanjutan (perguruan tinggi) harus disampaikan dalam perspektif bukti yang membuktikan/menyakinkan.
Peran  bukti  dalam  kelas  matematika  pada  tingkat  perguruan  tinggi  adalah membuktikan/meyakinkan, pada tingkat menengah atas adalah membuktikan dan menjelaskan, dan di tingkat sekolah menengah pertama dan dasar peran utamanya adalah menjelaskan. Akibatnya bukti matematis tidak hanya membuktikan/menyakinkan, melainkan juga menjelaskan.
Siswa atau mahasiswa awal (mahasiswa yang masih teringat ingatan  sekolah menengah),  tidaklah  seperti  ahli  matematika,  sebelum  belajar  pentingnya mengenalkan berbagai topik matematika, sehingga tidak terlalu diberatkan dengan mekanisme  deduktif.  Tujuan  dari  memperkenalkan  penggunaan  bukti  sebagai penjelas  (bukti  yang  menjelaskan)  adalah  untuk  lebih  menekankan  kepada pemahaman  matematika,  dan  pemahaman  membutuhkan  daya  tarik  pengalaman matematika sebelumnya.

## REKOMENDASI
Meneliti  hambatan  siswa  atau  mahasiswa  dalam  memahami,  menggunakan bukti,  dan  menghargai  bukti  matematika  sebagai  konstruk  matematika  yang fundamental  dan  terarah.  Mengidentifikasi  proses  kognitif  siswa  atau  mahasiswa dalam  mengkonstruksi  bukti  yang  menjelaskan  sebagai  alternatif  dari  bukti  yang tidak  menjelaskan  (bukti  yang  hanya  membuktikan).  Serta  mengeksplorasi  aspek kognitif dan aspek pedagogis dari sebuah bukti.

## UCAPAN TERIMAKASIH
Penelitian ini tidak menerima hibah khusus dari agensi pendanaan mana pun di sektor publik, komersial, atau nirlaba.

## REFERENSI
Balacheff, N. (1991). The Benefits and Limits of Social Interaction: The Case of Mathematical Proof.  (Alan  J.  Bi,  pp.  175–192).  Kluwer  Academic  Publishers,Mathematics education library. hal-01550051. https://doi.org/10.1007/978-94-017-2195-0_9 Balacheff, N. (2017). A study of students’ proving processes at the junior high school level.  Proceedings  of  the  Second  UCSMP  International  Conference  on  Mathematics Education, December, 284–297.
Bartle, R. G., & Sherbert, D. R. (2011). Introduction to Real Analysis (Fourth Edi). John Wiley & Sons, Inc.
de Villiers, M. (1990). The role and function of proof in Mathematics. Pythagoras. de Villiers, M. (2010). Experimentation and proof in mathematics. In Explanation and Proof in Mathematics: Philosophical and Educational Perspectives. https://doi.org/10.1007/978-1-4419-0576-5_14
Devlin,  K.  (2003).  Sets,  Functions,  and  Logic:  An  Introduction  to  Abstract Mathematics. In Sets, Functions, and Logic (Third Edit). CRC Press.
Dumas, B. A., & McCarthy, J. E. (2015). Transition to Higher Mathematics: Structure and  Proof  (Second  Edition).  In  Creative  Commons  Attribu-  tion,  NonCommercial License. https://doi.org/10.7936/K7Z899HJ
Gilbert,  L.,  &  Gilbert,  J.  (2009).  Elements  of  Modern  Algebra  (Seventh  Ed,  Issue  1). Brooks/Cole:  Cengage  Learning.  https://doi.org/10.16309/j.cnki.issn.1007- 1776.2003.03.004
Hanna,  G.  (1990).  Some  pedagogical  aspects  of  proof.  Interchange. https://doi.org/10.1007/BF01809605
Hanna, G. (2000). Proof, explanation and exploration: An overview. Educational Studies in Mathematics. https://doi.org/10.1023/A:1012737223465
Harel, G., & Sowder, L. (2007). Toward comprehensive perspectives on the learning and teaching of proof. Second Handbook of Research on Mathematics Teaching and Learning. https://doi.org/10.4324/9780203882009
Healy, L., & Hoyles, C. (2000). A  study of proof conceptions in algebra.  Journal for
Research in Mathematics
Education,
31(4), 396–428. https://doi.org/10.2307/749651
Herbst,  P.,  &  Brach,  C.  (2006).  Proving  and  doing  proofs  in  high  school  geometry classes: What is it that is going on for students? Cognition and Instruction, 24(1), 73–122. https://doi.org/10.1207/s1532690xci2401_2
Herbst, P. G. (2002). Establishing a custom of proving in American school geometry: Evolution of the two-column proof in the early twentieth century.  Educational Studies in Mathematics, 49, 283–312. https://doi.org/10.1023/A:1020264906740
Hersh,  R.  (1993).  Proving  is  convincing  and  explaining.  Educational  Studies  in Mathematics. https://doi.org/10.1007/BF01273372
Hilbert, T. S., Renkl, A., Kessler, S., & Reiss, K. (2008). Learning to prove in geometry:
Learning  from  heuristic  examples  and  how  it  can  be  supported.  Learning  and Instruction, 18, 54–65. https://doi.org/10.1016/j.learninstruc.2006.10.008
Jahnke,  H.  N.  (2010).  The  conjoint  origin  of  proof  and  theoretical  physics.  In Explanation  and  Proof  in  Mathematics:  Philosophical  and  Educational  Perspectives. https://doi.org/10.1007/978-1-4419-0576-5_2
Koshy, T. (2007). Elementary Number Theory with Applications Second Edition (Second). Elsevier Inc.
Krantz, S. G. (2007). The History and Concept of Mathematical Proof. In The History and Concept of Mathematical Proof.
Kunimune, S., Fujita, T., & Jones, K. (2009). “Why do we have to prove this?” Fostering students’ understanding of ‘proof’ in geometry in lower secondary school. ICMI Study 19: Proof and Proving in Mathematics Education.
Morash,  R.  P.  (1987).  Bridge  to  abstract  mathematics:  Mathematical  Proof  and Structures.  In  Choice  Reviews  Online  (Vol.  50,  Issue  06).  Random  House,  Inc. https://doi.org/10.5860/choice.50-3317
NCTM. (2000). Principles and Standards for School Mathematics. In School Science and Mathematics. The Council.
Purwanto.  (2015).  Argumen  Valid.  In  Pidato  Pengukuhan  Jabatan  Guru  Besar  dalam Bidang  Ilmu  Matematika  pada  Fakultas  Matematika  dan  Ilmu  Pengetahuan  Alam disampaikan pada Sidang Terbuka Senat Universitas Negeri Malang tanggal 26 Oktober 2015 (pp.
1–27). Universitas Negeri Malang. http://library.um.ac.id/images/2015-Argumen-Valid- Prof-Drs-Purwanto-
Ph.D.pdf
Rav,  Y.  (1999).  Why  Do  We  Prove  Theorems?  Philosophia  Mathematica,  7,  5–41. https://doi.org/10.1093/philmat/7.1.5
Siu,  M.  K.  (2008).  Proof  as  a  practice  of  mathematical  pursuit  in  a  cultural,  socio- political  and  intellectual  context.  ZDM  -  International  Journal  on  Mathematics Education. https://doi.org/10.1007/s11858-008-0087-y
Stylianides, A. J. (2007). Proof and proving in school mathematics. Journal for Research in Mathematics Education.
Thurston, W. P. (1994). On proof and progress in mathematics. Bulletin of the American Mathematical Society, 30(2), 161–177. https://doi.org/10.1090/S0273-0979-1994- 00502-6
Van de Walle, J. A., Karp, K. S., & Bay-Williams, J. M. (2012). Elementary and Middle School Mathematics: Teaching Developmentally (Seventh Ed). Allyn & Bacon is an Imprint of Pearson.
Weber,  K.  (2003).  Research  Sampler  8:  students’  difficulties  with  proof.  The Mathematical Association of America: Online,
1, 1–8.
http://www.maa.org/programs/faculty-and-departments/curriculum- department-guidelines-recommendations/teaching-and-learning/research- sampler-8-students-difficulties-with-proof
Weber,  K.  (2008).  How  mathematicians  determine  if  an  argument  is  a  valid  proof. Journal for Research in Mathematics Education, 39(4), 431–459.
Weber, K., & Alcock, L. (2004). Semantic and syntactic proof productions. Educational Studies in Mathematics. https://doi.org/10.1023/B:EDUC.0000040410.57253.a1
Wikipedia  contributors.  (2020).  Theorem.  Wikipedia,  The  Free  Encyclopedia. https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Theorem&oldid=944519294 Zaslavsky, O., Nickerson, S. D., Stylianides, A. J., Kidron, I., & Winicki-Landman, G. (2012).  Chapter  9  The  Need  for  Proof  and  Proving:  Mathematical  and Pedagogical Perspectives. G. Hanna and M. de Villiers (Eds.), Proof and Proving in Mathematics Education,
New
ICMI Study Series 15, 215–230.
https://doi.org/10.1007/s11858-008-0073-4