J. Math. and Its Appl. E-ISSN: 2579-8936 P-ISSN: 1829-605X Vol. 15, No. 1, Maret 2018, 55-69

## Pendekatan Numerik pada Model Penyebaran SARS dengan

## Method of Lines
Patria Arif Bijaksana 1 , Windarto 2 , Fatmawati 3*
1,2,3 Departemen Matematika, Universitas Airlangga, Surabaya Indonesia 1 patriaarif@gmail.com
2 windarto@fst.unair.ac.id
3 fatmawati@fst.unair.ac.id

## Abstrak
Pada paper ini dikaji pendekatan numerik model matematika penyebaran SARS dengan adanya  suku  difusi.  Suku  difusi  pada  model  tersebut  mengilustrasikan  penyebaran  SARS berdasarkan  lokasi.  Solusi  numerik  dilakukan  dengan  menggunakan Method  of  Lines . Selanjutnya dibandingkan hasil simulasi numerik antara model penyebaran SARS tanpa suku difusi dan dengan adanya suku difusi. Hasil simulasi dari model penyebaran penyakit SARS tanpa  suku  difusi  hanya  menunjukkan  terjadinya  penyebaran  SARS  secara  periodik  waktu. Berdasarkan  hasil  simulasi  pada  model  SARS  dengan  adanya  suku  difusi  dapat  diketahui bahwa penyebaran SARS dapat ditinjau dari titik awal penyebaran SARS secara spasial dan juga perodik waktu. Lebih lanjut, dari hasil simulasi menunjukkan bahwa semakin jauh dari pusat penyebaran SARS, laju penyebaran penyakit SARS akan semakin kecil.
Kata Kunci : Model Matematika, SARS, Difusi, Method of Lines

## Abstract
In  this  paper,  we  study  a  numerical  approach  on  the  spread  of  SARS  model  with diffusion.  The  diffusion  in  this  model  is  to  illustrate  the  spread  of  SARS  by  location. Numerical solutions are performed using Method of Lines. Next, we compared the numerical simulation  results  between  SARS  transmission  model  without  and  with  the  diffusion  rate. From the numerical simulations on the spread of SARS model without diffusion, it is known that there is an endemic . Based on simulation results on SARS model with diffusion rate, it can be seen that SARS deployment can be observed from the starting point of spread of SARS spatially  and  also  periodic  time.  Furthermore,  the  simulation  results  show  that  the  farther away from the center of SARS, the spread rate of SARS disease will be smaller.
Keywords: Mathematical Modeling, SARS, Diffusion, Method of Lines

## 1    Pendahuluan
Severe Acute Respiratory Syndrome (SARS) merupakan penyakit  yang menyerang sistem respirasi [1]. SARS disebabkan oleh virus khusus yaitu Coronavirus (CoV) yang sering disebut dengan SARS-CoV. Virus tersebut mudah menular dari satu orang ke orang lain. Di dalam tubuh, SARS-CoV  melakukan  replikasi  virus  pada  sistem  pernapasan  dan  menyerang  paru-paru  yang berakibat  sulit  bernafas.  Selain  itu,  virus  penyebab  SARS  ini  dapat  aktif  selama  24-48  jam  di dalam medium (manusia atau hewan) dan 24 jam di luar medium [2].
Berdasarkan  penelitian Eramus  Medical  Center di  Rotterdam  dalam  Chowell,  dkk.  [3] menyatakan bahwa CoV merupakan penyebab SARS yang penularannya belum diketahui secara pasti.  Mengacu  pada  hipotesis  alur  penyebaran  SARS,  sebagaian  besar  penyebarannya  melalui orang ke orang, tetapi memungkinkan juga melalui udara atau benda mati. Saat ini, SARS-CoV diketahui  dapat  menyebar  melalui  beberapa  cara  baik  dengan  kontak  langsung  maupun  tak langsung.  Penularan  dengan  kontak  langsung  dari  hasil  sekresi  pernafasan  penderita  SARS melalui  udara  atau  melalui  sekresi  tubuh  (keringat,  urin,  atau  feses).  Sedangkan  tak  langsung dengan menyentuh benda mati yang sudah terkontaminasi oleh CoV atau berkunjung ke daerah endemik  SARS  [2].  Pada  umunya  seseorang  tertular  SARS  ketika  penderita  SARS  mengalami batuk atau bersin sehingga mengakibatkan penyebaran virus melalui udara dan masuk ke dalam mulut, hidung atau mata seseorang yang berada disekitar penderita.
Pengobatan  dan  pencegahan  penularan  SARS  dapat  dilakukan  berdasarkan  pada identifikasi  dan  pengaturan  kebiasan  pasien  SARS  secara  tepat  [2].  Sampai  saat  ini  belum  ada obat  atau  vaksin  yang  tepat  untuk  penyakit  SARS  dan  masih  dalam  tahap  pengembangan. Identifikasi  dan  pengaturan  kebiasan  penderita  SARS  dilakukan  dengan  cara  mengisolasi  dan mengkarantina [4]. Isolasi dilakukan pada individu yang menunjukkan gejala SARS, seperti flu, demam  tinggi,  sakit  kepala,  tidak  enak  badan  dan  diare.  Sedangkan  karantina  dilakukan  pada individu  yang  rentan  menjadi exposed SARS.  Kedua  tindakan  tersebut  merupakan  tindakan- tindakan  pencegahan  penyebaran  SARS  yang  dapat  dilakukan  oleh  ahli  medis.  Selain  itu, tindakan  pencegahan  yang    lebih  sering  dilakukan  masyarakat  untuk  melakukan  pencegahan tertular  SARS  adalah  dengan  menggunakan  penutup  hidung  ( masker ),  sering  melakukan  cuci tangan, serta menggunakan baju seperti jubah.
Pada  bulan  Mei  2003  kasus  SARS  mencapai  7.861  kasus  dan  jumlah  orang  meninggal akibat  penyakit  SARS  sebanyak  664  orang di  dunia  [1].  Awal  Desember  2003,  SARS  telah menyebabkan  lebih  dari  800  orang  meninggal  dan  lebih  dari  8.400  orang  terinfeksi  SARS  [2]. Hal  tersebut  menjadikan  SARS  sebagai  penyakit  yang  banyak  merenggut  nyawa  dengan
penyebaran  yang  cepat  dalam  selang  waktu  yang  singkat.  Kondisi  tersebut  menjadi  salah  satu faktor untuk melakukan penelitian terhadap permasalahan ini.
Banyaknya  penelitian  terhadap  penularan  penyakit  SARS  membuat  para  peneliti  di berbagai  disiplin  ilmu  mencoba  untuk  menemukan  penyebab  dan  pola  penyebaran  dari  SARS pada  2003.  Penelitian  yang  sudah  pernah  dilakukan  diantaranya  menganalisis  pola  dari  SARS dan  memprediksi  aliran  epidemik  SARS  dengan  menetapkan  subpopulasi  dari  model berdasarkan data dari Guangdong dan Hong Kong [5]. Penelitian yang lain yaitu menggunakan model SEIJR ( Susceptible, Exposed, Infected, Diagnoned, Recovery ) untuk epidemik SARS dari data  Toronto,  Hong  Kong,  dan  Singapore  [3].  Dalam  penelitian  tersebut  juga  diprediksi  pola perilaku, aturan mendiagnosis, dan pengasingan.
Dalam  penelitian  di  atas  belum  ada  yang  mengkaji  model  penyebaran  SARS  dengan memperhatikan  faktor  lokasi  penyebarannya.  Naheed,  dkk.,  [6]  telah  mengembangkan  model penyebaran  SARS  dengan  menambahkan  suku  difusi  pada  masing-masing  subpopulasi. Suku difusi  disini  merepresentasikan  aspek  spasial  atau  lokasi  penyebaran  SARS. Pada  penelitian Naheed,  metode  yang  digunakan  untuk  menyelesaiakan  bagian  suku  difusi  adalah  metode Forwaard  Times  Center  Space (FTCS).  Dari  sini,  penulis  tertarik  mengkaji  ulang  model  yang dikembangkan  Naheed,  dkk.,  [6]  tersebut,  dengan  menggunakan  metode  yang  berbeda  untuk menyelesaikan bagian suku difusinya yakni menggunakan Method of Lines. Pendekatan method of lines merupakan salah satu metode untuk menyelesaikan permasalahan persamaan differensial parsial  (PDP)  dengan  menggunakan  metode  beda  hingga.  Selanjutnya  akan  dibandingkan simulasi antara model penyebaran SARS tanpa suku difusi dan model penyebaran SARS dengan adanya suku difusi.

## 2 Method of Lines
Method  of  lines adalah  salah  satu  metode  untuk  menyelesaikan  permasalahan  Persamaan Diferensial  Parsial  (PDP)  dengan  cara  mengubah  sistem  PDP  ke  sistem  Persamaan  Diferensial Biasa (PDB), salah satunya dengan bantuan metode beda hingga. Misalkan diberikan persamaan difusi satu dimensi [7] yang berbentuk
, , 2 2          x x u k t u (1)
dengan syarat awal
), ( ) 0 , ( x f x u   (2)
dan syarat batas
,
(3)
. (4)
Untuk  menyelesaikan  masalah  syarat  batas  di  atas  dengan Method  of  Lines ,  yaitu  dengan mempartisi menjadi   interval  yang  sama,  sehingga  ada titik  partisi.  Selanjutnya, bagian spasial didekati dengan beda hingga, sehingga diperoleh
. 2 ) , ( 1 1 x u u t x u i i x      (5)
. 2 ) , ( 2 1 1 x u u u t x u i i i xx       (6)
Untuk   titik interior subtitusikan persamaan (6) ke (1),
diperoleh ). 2 ( 1
1 2       i i i i u u u x k dt du Untuk atau subtitusikan persamaan (5) ke (3), diperoleh
, 0 2 ) , ( 1 1         x u u t x u i i 
sehingga . Akibatnya, untuk diperoleh
). 2 2 ( 0 1 2 0 u u x k dt du   
Untuk atau subtitusikan persamaan (5) ke (4), diperoleh
, 0 2 ) , ( 1 1         x u u t x u n n 
sehingga . Akibatnya, untuk
diperoleh
). 2 2 ( 1 2 n n u u x k dt du n    

## 3 Pengertian Suku Difusi
Dalam paper ini, suku difusi digunakan untuk menggambarkan (memodelkan) penyebaran suatu  penyakit  secara  spasial,  yaitu  penyebaran  penyakit  dari  suatu  region  (wilayah)  ke  region disekitarnya.  Suku  difusi  diadopsi  dari  persamaan  diferensial  parsial  difusi.  Misalkan u ( x , t ) menyatakan  kepadatan  (densitas)  suatu  material  pada  suatu  region  (daerah)  tertentu.  Dengan menggunakan hukum konservasi massa, diperoleh persamaan kontinuitas sebagai berikut:
(7)
dengan   menyatakan  fluks  material  yang  terdifusi.  Dengan  menggunakan  prinsip  Fick,  yaitu dengan mengasumsikan bahwa fluks material terdifusi adalah sebanding dengan gradien densitas material tersebut, maka   dapat dinyatakan dengan
. (8)
Dengan melakukan subtitusi persamaan (8) ke dalam persamaan (7), diperoleh persamaan difusi yang berbentuk
. (9)

## 4 Model SARS
Model  yang digunakan  pada penelitian ini  adalah model penyebaran SARS tanpa adanya suku  difusi  dan  model  penyebaran  SARS  dengan  adanya  suku  difusi.  Model  yang  digunakan pada paper ini merujuk pada Naheed, dkk. [6].

## 4.1 Model SARS tanpa Adanya Suku Difusi
Secara  garis  besar  penyebaran  SARS  dapat  terjadi  melalui  kontak  langsung  dengan  hasil sekresi pernapasan atau melalui hasil sekresi cairan tubuh pasien yang diketahui terinfeki SARS. Selain  itu,  menyentuh  permukaan  yang  telah  terkontaminasi  SARS  dan  berkunjung  ke  daerah epidemik  SARS  juga  faktor  penyebaran  SARS  secara  tak  langsung.  Seseorang  yang  telah menyentuh  permukaan  atau  memegang  objek  yang  sudah  terkontaminasi  SARS.  Kemudian orang tersebut  menyentuh mulut,  hidung atau bagian mata dapat  mengakibatkan orang tersebut tertular    SARS. Model  penyebaran  SARS  tanpa  suku  difusi  dapat  disajikan  dalam  persamaan diferensial sebagai berikut:
S S N J qE I dt dS          E S N J qE I dt dE ) (          I E dt dI ) ( 1           (10) J I dt dJ ) ( 2        
, 2 1 R J I dt dR      
dimana
Individu yang rentan terhadap SARS
Individu yang terdiri dari individu tanpa gejala dan memungkinkan menularkan SARS
Individu yang terinfeksi, dengan gejala, menular dan tidak terdiagnosis SARS
Individu yang terdiagnosis dokter terkena SARS dan dirawat secara medis
Individu yang mengalami kesembuhan dari SARS.

## 4.2.  Model SARS dengan Adanya Suku Difusi
Model penyebaran SARS dengan adanya suku difusi adalah model penyebaran SARS yang masing-masing  subpopulasinya  terdapat  suku  difusi.  Suku  difusi  dalam  model  ini mengilustrasikan penyebaran SARS pada suatu  lokasi  tertentu. Dengan  mengadopsi persamaan difusi pada persamaan (9), model matematika penyebaran SARS pada Bagian 4.1 dikembangkan menjadi  model  matematika  penyebaran  SARS  dengan  suku  difusi.  Suku  difusi  pada  model merepresentasikan penyebaran penyakit SARS secara spasial.
Sistem  persamaan differensial untuk  model penyebaran SARS dengan adanya suku difusi dinyatakan sebagai berikut:
2 2 1 x S d S S N J qE I t S               2 2 2 ) ( x E d E S N J qE I t E               2 2 3 1 ) ( x I d I E t I                (11) 2 2 4 2 ) ( x J d J I t J              , 2 2 5 2 1 x R d R J I t R            dengan , 0  t dan . 2 2    x
Keterangan dari parameter yang digunakan sebagai berikut:

Laju pertumbuhan individu susceptible
 Laju penyebaran penyakit  Laju kematian alami 
Proporsi resiko dari subpopulasi individu untuk terdiagnosis
 Laju perkembangan dari fase exposed menjadi terinfeksi q Proporsi dari subpopulasi individu menjadi individu exposed 
Laju perkembangan dari fase terinfeksi menjadi terdiagnosis
1 
Laju kesembuhan individu yang terinfeksi
2  Laju kesembuhan individu yang terdiagnosis


## Laju kematian akibat SARS
1 d Konstanta difusi dari kompartemen S
2 d
Konstanta difusi dari kompartemen E
3 d Konstanta difusi dari kompartemen I
4 d
Konstanta difusi dari kompartemen J
5 d
Konstanta difusi dari kompartemen R t  Selisih watu
x  Selisih tempat
Syarat batas yang digunakan berbentuk :
, 0 ) , 2 ( ) , 2 ( ) , 2 ( ) , 2 ( ) , 2 (                     x t R x t J x t I x t E x t S dan . 0 ) , 2 ( ) , 2 ( ) , 2 ( ) , 2 ( ) , 2 (                x t R x t J x t I x t E x t S (12)
Selanjutnya  akan  dikaji  model  penyebaran  SARS  dengan  adanya  suku  difusi.  Langkah pertama  yang  dilakukan  yaitu  dengan  mentransformasi  sistem  PDP  ke  sistem  PDB  dengan Method  of  Lines. Kemudian  melakukan  pendekatan  secara  numerik  dari  sistem  PDB  yang diperoleh tersebut.

## 5 Hasil dan Pembahasan
Pada  subbab  ini  akan  dibahas  mengenai  model  penyebaran  SARS  dengan  adanya  suku difusi dengan Method of Lines .

## 5.1  Transformasi Sistem PDP ke dalam Sistem PDB dengan Method of Lines
Dengan menggunakan Method of Lines sistem PDP pada model penyebaran SARS dengan adanya suku difusi dapat diubah menjadi sistem PDB, dengan cara pada bagian spasial didekati dengan beda hingga. Berikut langkah-langkah penyelesaiannya, yaitu:
(a) Interval ] 2 , 2 [  dipartisi menjadi 40 interval yang sama, dengan lebar 1 , 0   x [6]. Misalkan
, 1 x , 2 x , 3 x ..., 41 x merupakan  titik-titik  partisi  dengan 2 1   x dan , 2 41   x dan x k x x k     ) 1 ( 1 dengan , 1  k , 2 , 3 . 41 ...,
(b) Berdasarkan  syarat  batas  pada  (12),  dengan  menerapkan  hampiran  beda  terpusat  untuk turunan pertama, yaitu x S S t    maka diperoleh titik-titik batasnya sebagai berikut
, 0 2 ) , 2 ( 0 2        x S S x t S sehingga ,
2 0 S S 
, 0 2 ) , 2 ( 0 2        x E E x t E sehingga ,
2 0 E E  , 0 2 ) , 2 ( 0 2        x I I x t I sehingga , 2 0 I I 
, 0 2 ) , 2 ( 0 2        x J J x t J sehingga , 2 0 J J 
, 0 2 ) , 2 ( 0 2        x R R x t R sehingga ,
2 0 R R 
dan , 0 2 ) , 2 ( 40 42       x S S x t S sehingga
,
42 40 S S 
, 0 2 ) , 2 ( 40 42       x E E x t E sehingga ,
42 40 E E 
, 0 2 ) , 2 ( 40 42       x I I x t I sehingga ,
42 40 I I 
, 0 2 ) , 2 ( 40 42       x J J x t J sehingga ,
42 40 J J 
, 0 2 ) , 2 ( 40 42       x R R x t R sehingga
. 42 40 R R 
Berdasarkan uraian di atas didapat
, 2 0 S S  , 2 0 E E  , 2 0 I I 
, 2 0 J J  , 2 0 R R  , 42 40 S S  , 42 40 E E  , 42 40 I I  , 42 40 J J  dan .
42 40 R R  (13)
(c) Dengan  menerapkan  beda  terpusat  untuk  turunan  kedua,  yaitu
2 2 x S S xx    , sehingga persamaan (11) dapat ditulis sebagai berikut
2 1 1 1 2 x S S S d S S N J qE I dt dS i i i i i i i i i i                2 1 1 2 2 ) ( x E E E d E S N J qE I dt dE i i i i i i i i i i                2 1 1 3 1 2 ) ( x I I I d I E dt dI i i i i i i                
(14)
2 1 1 4 2 2 ) ( x J J J d J I dt dJ i i i i i i               2 1 1 5 2 1 2 x R R R d R J I dt dR i i i i i i i             dengan . 41 ,..., 3 , 2 , 1  i
Selanjutnya, sistem persamaan pada titik batas , 1  i diperoleh dengan mensubtitusikan (13) ke model (14) sebagai berikut
2 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 x S S d S S N J qE I dt dS             2 1 2 2 1 1 1 1 1 1 1 2 2 ) ( x E E d E S N J qE I dt dE i             2 1 2 3 1 1 1 1 2 2 ) ( x I I d I E dt dI              (15)
2 1 2 4 1 2 1 1 2 2 ) ( x J J d J I dt dJ            , 2 2 2 1 2 5 1 1 2 1 1 1 x R R d R J I dt dR         
sedangkan untuk titik batasnya saat 41  i diperoleh persamaan
2 41 40 1 41 41 41 41 41 41 41 2 2 x S S d S S N J qE I dt dS             2 41 40 2 41 41 41 41 41 41 41 2 2 ) ( x E E d E S N J qE I dt dE i             2 41 40 3 41 1 41 41 2 2 ) ( x I I d I E dt dI
             (16)
2 41 40 4 41 2 41 41 2 2 ) ( x J J d J I dt dJ            . 2 2 2 41 40 5 41 41 2 41 1 41 x R R d R J I dt dR         
Dari sistem PDB untuk titik interior dan titik batas yang terbentuk di atas, selanjutnya akan dilakukan simulasi numerik.
5.2  Simulasi Model Penyebaran SARS dengan Adanya Suku Difusi
Tujuan  melakukan  pendekatan  secara  numerik  pada  model  penyebaran  SARS  dengan adanya  suku  difusi  yaitu  untuk  mengetahui  dinamika  populasi  yang  terinfeksi  dengan memperhatikan  endemik  dan  struktur  lokasi  SARS.  Dalam  melakukan  pendekatan  numerik, parameter yang digunakan merujuk pada Tabel 1 dan Tabel 2, sedangkan nilai syarat awal dari masing-masing  variabel  merujuk  pada  Tabel  3.  Pada  simulasi  numerik  ini  diambil  waktu dalam satuan hari.
Tabel 1. Nilai parameter model SARS tanpa adanya suku difusi
Notasi Nilai Sumber  0,000033 Naheed, 2014  0,75 Naheed, 2014  0,000034 Naheed, 2014  0,38 Naheed, 2014  0,33 Naheed, 2014 q 0,1 Naheed, 2014  0,33 Naheed, 2014
1  0,125 Naheed, 2014 2  0,2 Naheed, 2014  0,006 Naheed, 2014
Gambar 1 mengilustrasikan jumlah subpopulasi dari masing-masing  subpopulasi rentan , exposed , terinfeksi , terdiagnosis , dan recovery , dengan adanya suku difusi. Dari waktu dipilih empat waktu berbeda untuk ditampilkan dalam gambar tersebut,
yaitu satuan  hari, satuan  hari,
satuan  hari  dan satuan  hari.  Pada Gambar 1 dapat diketahui bahwa untuk subpopulasi S dan I terdapat populasi sedangkan subpopulasi E, J, dan R, tidak ada populasinya. Kondisi pada waktu ini merupakan hasil ilustrasi pada nilai awal yang merujuk pada Tabel 2. Pada saat satuan hari dapat diketahui bahwa subpoulasi S sudah  mulai  berkurang  karena  meninggal  akibat  selain  SARS  dan  akibat  adanya interaksi dengan SARS yang cukup besar, yaitu variabel E, I, dan J. Oleh karena itu, subpopulasi E, I, dan J pada kondisi ini jumlah subpopulasinya mulai meningkat. Meningkatnya subpopulasi E,  I, dan J juga  berpengaruh  pada  meningkatnya  subpopulasi R, karena  sudah  ada  diantara subpopulasi E, I, dan J yang sudah mulai sembuh dari penyakit SARS.
Tabel 2. Nilai parameter model SARS pada suku difusi
Notasi Nilai Sumber 1 d 0,025
Naheed, 2014
2 d 0,01
Naheed, 2014
3 d 0,001 Naheed, 2014
4 d 0,0
Naheed, 2014 5 d 0,0 Naheed, 2014 t  0,1
Naheed, 2014
Tabel 3. Nilai syarat awal model dengan adanya suku difusi Variabel Nilai Awal
Syarat
0 0 0 Pada waktu
satuan hari, jumlah subpopulasi pada subpopulasi exposed, terinfeksi dan  terdiagnosis  sudah  mulai  berkurang  karena  ada  yang  sembuh  dari  SARS,  sehingga  jumlah subpopulasi dari subpopulasi R meningkat. Hal tersebut juga mengakibatkan jumlah poulasi dari
subpopulasi S menurun karena interaksi antar subpopulasi S dengan E, I, dan J mulai melemah. Sedangkan  pada satuan  hari  diketahui  bahwa  jumlah  subpopulasi S disekitar  pusat penyebaran  sangat  sedikit.  Untuk  subpopulasi E,  I, dan J jumlah  subpopulasinya  tidak  ada, dengan  kata  lain,  pada  hari  ke  100  individu-individu  yang  sebelumnya  masuk  ke  dalam subpopulasi E,  I dan J sudah  mengalami  kesembuhan.  Oleh  karena  itu,  individu-individu  yang sembuh dari SARS berpindah ke komparetemen R, sehingga jumlah subpopulasi R meningkat.
5.3  Simulasi Model Penyebaran SARS Tanpa Suku Difusi
Pada  subbab  ini  akan  dijelaskan  hasil  simulasi  numerik  model  penyebaran  SARS  tanpa suku difusi. Satuan waktu yang digunakan adalah 100 hari. Parameter yang digunakan merujuk pada Tabel 1.
Gambar 2 . Grafik dinamika masing-masing variabel dari model tanpa suku difusi
Nilai  awal  yang  digunakan  untuk  model  tanpa  suku  difusi  adalah  sebagai  berikut ), 10 , 10 , 40 , 150 , 500 ( )) 0 ( ), 0 ( ), 0 ( ), 0 ( ), 0 ( (  R J I E S sedangkan  model  penyebaran  SARS  dengan adanya  suku  difusi,  nilai  awalnya  merujuk  pada  Tabel  3.  Untuk  hasil  simulasi  dari  model penyebaran SARS tanpa adanya suku difusi dapat dilihat pada  Gambar 2.
Dari  Gambar  1  dan  Gambar  2  di  atas  dapat  diketahui  bahwa  faktor  lokasi  sangat berpengaruh  pada  penyebaran  SARS.  Pada  Gambar  1  terlihat  bahwa  pada  populasi S, di  pusat penyebaran  SARS ) 0 (  x dan  sekitarnya,  individu  yang  rentan  terhadap  SARS  lebih  banyak dibanding dengan daerah yang lebih jauh dari pusat penyebaran SARS. Sedangkan berdasarkan waktu,  jumlah populasi  yang  rentan SARS mengalami  peluruhan dari awal  hingga  akhir waktu penelitian.  Berdasarkan  Gambar  2  terlihat  bahwa  populasi S berdasarkan  rentang  waktu
penelitian  yang  dipilih  terus  mengalami  peluruhan  dari  awal  sampai  akhir  waktu  pengamatan. Pada Gambar 2 juga terlihat bahwa populasi E, I, dan J mengalami perubahan jumlah populasi yang  fluktuatif,  yaitu  pada  awal  waktu  rendah  terus  naik  di  pertengahan  waktu  dan  kemudian turun  lagi  menuju  nol  di  akhir  waktu  pengamatan.  Sedangkan  untuk  populasi R terbanding terbalik  dengan  variabel S ,  yakni  sejak  awal  waktu  pengamatan  populasi R mengalami peningkatan dan kemudian konstan hingga akhir waktu pengamatan.
Dari  uraian  di  atas  dapat  terlihat  bahwa  suku  difusi  berfungsi  untuk  mengetahui penyebaran  dari  suatu  penyakit  pada  area  sekitar  pusat  penyebaran  penyakit  secara  spasial. Selain  itu  model  dengan  adanya  suku  difusi  juga  dapat  dilihat  dari  perubahan  waktu,  sehingga dapat diketahui perubahan jumlah populasi dari model tersebut pada setiap waktu.

## 6 Simpulan
Berdasarkan  pendekatan  numerik  pada  model  penyebaran  SARS  dengan  adanya  suku difusi diketahui bahwa pada area sekitar pusat penyebaran penyakit SARS jumlah populasi dari masing-masing  subpopulasi  lebih  banyak  dibanding  dengan  area  yang  lebih  jauh  dari  pusat penyebaran  penyakit  SARS.  Lebih  lanjut,  model  dengan  adanya  suku  difusi  mengindikasikan perubahan  jumlah  populasi  berdasarkan  satuan  waktu  dari  masing-masing  variabel  tetapi  tetap mengacu  pada  pusat  penyebaran  penyakit  SARS.  Pada  model  tanpa  suku  difusi  penyebaran penyakit hanya dapat dilihat berdasakan periodik waktu. Sedangkan pada model dengan adanya suku  difusi,  penyebaran  SARS  dapat  ditinjau  baik  dari  segi  periodik  waktu  dan  juga  titik  awal penyebaran SARS secara spasial. Dengan demikian dinamika penyebaran penyakit SARS pada area yang cukup jauh dengan pusat penyebaran SARS dapat dikaji lebih lanjut apakah berpotensi terjadinya endemic SARS atau tidak.

## 7 Ucapan Terimakasih
Penulis mengucapkan banyak terimakasih kepada  tim reviewer atas revisi dan saran  yang telah diberikan demi kesempurnaan paper ini.

## 8 Daftar Pustaka
[1] WHO, How a global epidemic was stopped . WHOpress: Western Pasific Region., 2006.
[2] J. Serradell, Deadly Diseases and Epidemic SARS Second Edition . New York, 2010.
[3] G. Chowell, P. W. Fenimore, M. A. Castillo-Garsow, and C. Castillo-Chavez, “SARS oubreaks in Ontario, Hong Kong and Singapore: the role of diagnosis and isolation as a
control mechanism,” pp. 1–18, 2005.
[4] A. B. Gumel et al. , “Modelling strategies for controlling SARS outbreaks,” Proc. R. Soc. B Biol. Sci. , vol. 271, no. 1554, pp. 2223–2232, 2004.
[5] G. K. Xia, J.L., Yao, C., and Zhang, “Analysis of Piecewise Compartmental Modelling for Epidemic of SARS in Guangdong,” Chin. J. Heal. Stat , vol. 20, pp. 162–163, 2003.
[6] A. Naheed, M. Singh, and D. Lucy, “Numerical study of SARS epidemic model with the inclusion of diffusion in the system,” Appl. Math. Comput. , vol. 229, pp. 480–498, 2014.
[7] W. E. Schiesser and G. W. Griffiths, A Compendium of Partial Differential Equation Models . 2009.