## Perhitungan Kompleksitas Metode Golden Section dalam Optimasi Parameter Pemulusan Eksponensial Ganda Brown dan Holt
Nurrahim Dwi Saputra 1 , Abdul Aziz 2 , Bambang Harjito 3
Jurnal Algoritma Universitas Sebelas Maret
Jl. Ir. Sutami No.36, Kentingan, Kec. Jebres, Kota Surakarta, Jawa Tengah 57126 Indonesia E-mail: campus@mail.uns.ac.id
1 nurrahim@student.uns.ac.id
2 aaziz@staff.uns.ac.id
3 bambang_harjito@staff.uns.ac.id
Abstrak  – Algoritma  yang  baik,  selain  memiliki  nilai  galat  yang  minimum,  diharapkan  juga memiliki waktu eksekusi dan ruang memori yang efisien. Penelitian ini melakukan perhitungan kompleksitas  waktu  menggunakan  pendekatan  teoretis  dan  eksperimental  dari  metode golden section yang digunakan sebagai optimator parameter dalam prediksi menggunakan pemulusan eksponensial ganda Brown dan Holt. Hasil menunjukkan bahwa metode golden section untuk optimasi  parameter  α  pada  pemulusan  eksponensial  ganda  Brown,  metode modified  golden section untuk  optimasi  parameter  α  dan  γ  pada  pemulusan  eksponensial  ganda  Holt,  metode pemulusan eksponensial ganda Brown, dan metode pemulusan eksponensial ganda Holt memiliki kompleksitas waktu linear O ( n ), dengan n adalah banyaknya data.
Kata  Kunci  – Golden  Section ;  Kompleksitas  Waktu;  Optimasi  Parameter;  Pemulusan Eksponensial Ganda Brown; Pemulusan Eksponensial Ganda Holt.

## I. PENDAHULUAN
Sebuah algoritma  dapat dikatakan baik jika memiliki nilai galat yang minimum serta diharapkan memiliki waktu  eksekusi  dan  ruang  memori  yang  efisien.  Metode  optimasi golden  section telah  diterapkan  untuk optimasi pemulusan ganda Brown dan Holt dengan hasil galat ( mean absolute percentage error /MAPE) yang kecil (10% < MAPE  20%) sehingga dapat dikategorikan sebagai estimator dan prediktor yang baik [1]. Namun, selain memiliki galat yang minimal, metode yang bagus adalah yang efisien dalam jumlah waktu dan ruang  memori  yang  dibutuhkannya  ketika  diimplementasikan  dalam  algoritma  program.  Penelitian sebelumnya [1] hanya melakukan implementasi metode, namun belum dilakukan pengujian uji kompleksitas terhadapnya. Penelitian ini melakukan perhitungan kompleksitas waktu eksekusi menggunakan pendekatan teoretis dan eksperimental dari metode golden section yang digunakan sebagai optimator parameter dalam prediksi menggunakan pemulusan eksponensial ganda Brown dan Holt.
Secara  teoretis,  model  abstrak  pengukuran  waktu/ruang  harus  independen  terhadap  mesin  yang  digunakan untuk kompilasi. Model abstrak tersebut dapat digunakan untuk membandingkan beberapa algoritma. Model abstrak seperti ini  disebut kompleksitas algoritma [2]. Terdapat  dua macam  kompleksitas  algoritma,  yakni kompleksitas waktu dan kompleksitas ruang. Kompleksitas waktu dapat dikatakan merupakan jumlah tahapan komputasi yang dibutuhkan untuk menjalankan algoritma sebagai fungsi ukuran input n . Kompleksitas ruang dapat  dikatakan  merupakan  jumlah  memori  yang  digunakan  oleh  struktur  data  yang  terdapat  di  dalam algoritma sebagai fungsi dari ukuran input n . Kompleksitas waktu biasanya direpresentasikan dalam bentuk kompleksitas waktu  asimtotik. Tabel 1 menunjukkan kelompok algoritma berdasarkan kompleksitas waktu asimtotiknya [3].
Vol. 18; No. 2; 2021; Hal 330-341

## Tabel 1: Kelompok Algoritma Berdasarkan Kompleksitas Waktu Asimtotiknya
Kelompok Algoritma Nama O (1) Konstan O (log n ) Logaritmik O ( n ) Linear O ( n log n ) n log n O ( n 2 ) Kuadratik O ( n 3 ) Kubik
O (2 n ) Eksponensial O ( n !) Faktorial
Pemulusan eksponensial adalah metode yang umum digunakan untuk melakukan prediksi. Beberapa penelitian telah  melakukan  prediksi  berbagai  jenis  data  menggunakan  metode  pemulusan  eksponensial  [1],  [4]–[8]. Pemulusan eksponensial ( exponential smoothing ) adalah suatu prosedur yang mengulang perhitungan secara terus-menerus  dengan  menggunakan  data  terbaru  yang  didasarkan  pada  perhitungan  rata-rata  (pemulusan) data-data masa lalu secara eksponensial serta setiap data diberi bobot dengan ketentuan data yang lebih baru diberi bobot yang lebih besar [9]. Bentuk umum metode ini ditunjukkan pada persamaan (1) [10].
t t t F X F ) 1 ( 1   − + = + (1)
dengan
F t +1 = prediksi satu periode ke depan X t = data aktual periode t F t = prediksi pada periode t α = parameter pemulusan (0 < α < 1)
Implikasi  pemulusan  eksponensial  dapat  dilihat  dengan  lebih  baik  bila  persamaan  (1)  diperluas  dengan substitusi F t dengan  komponennya.  Jika  proses  substitusi  diulang  dengan  cara  mengganti F t -1 , F t -2 ,  dan seterusnya  dengan  komponennya,  diperoleh  bahwa  bobot  untuk X t , X t-1 ,  dan  seterusnya  menurun  secara eksponensial, sehingga metode ini disebut pemulusan eksponensial [10].
Salah satu permasalahan dalam metode pemulusan eksponensial adalah penentuan nilai parameter pemulusan sehingga diperoleh galat yang minimum. Optimasi parameter pemulusan ini dapat dilakukan menggunakan metode  optimasi  nonlinear  [10].  Salah  satu  metode  optimasi  nonlinear  adalah golden  section [11].  Pada umumnya,  metode golden  section digunakan  untuk  menyelesaikan  NLP  ( non-linier  programming )  satu variabel yang berbentuk maksimasi atau minimasi : ) ( x f
dengan kendala : d x a   [2]
Metode golden section menggunakan prinsip mengurangi daerah batas x yang mungkin menghasilkan nilai fungsi objektif optimum (maksimum atau minimum) secara iteratif. Misalkan pada suatu tahap iterasi nilai fungsi optimum mungkin terletak pada interval x [ a , d ]. Kemudian menentukan dua nilai x yang simetris dalam interval tersebut yaitu b dan c , dan interval kemungkinan fungsi berharga optimum dikurangi dari [ a , d ] menjadi [ a , c ] atau [ b , d ] tergantung dari nilai di x = b dan di x = c [5]. Ilustrasi tersaji pada Gambar 1.
Pada  setiap  tahapan  iterasi  ditentukan  dua  buah  titik  di  dalam  interval  yang  ada.  Namun,  untuk  tujuan penghematan langkah perhitungan, pada setiap tahapan iterasi hanya ditentukan sebuah titik baru. Titik yang lain adalah titik yang ditentukan pada tahap sebelumnya. Misalnya, interval telah dapat dikurangi dari [ a , d ] menjadi [ a , c ]. Interval [ a , c ] merupakan interval yang baru sehingga dapat dituliskan menjadi [ a 1 , d 1 ]. Hanya ditentukan satu titik baru yaitu b 1 karena titik b dijadikan titik c 1 , sehingga diperoleh hubungan seperti pada persamaan berikut.
1 1 1 ) 1 ( d r ra b − + = (2)
1 1 1 1 b d a c − + = (3)
Gambar 1: Proses Pengurangan Interval Pencarian x Optimum (i) dari [ a , d ] Menjadi [ a , c ] (ii) dari [ a , d ] Menjadi [ b , d ] [5]
Nilai r adalah 0,5(–1 – √5) atau 0,5(–1 + √5). Agar didapat interval yang semakin kecil diperlukan syarat yakni 0 < r  1 sehingga nilai r yang digunakan adalah 0,5(–1 + √5) atau sekitar 0,61803. Metode golden section yang hanya dapat menyelesaikan NLP dengan satu variabel dapat dimodifikasi untuk menyelesaikan permasalahan dengan banyak variabel [4]. Bentuk umum NLP tersebut adalah maksimasi atau minimasi : ) ,..., , , ( 3 2 1 n x x x x f
dengan kendala                            :
                n n d x a d x a d x a d x a  3 3 2 2 1 1
Metode golden  section telah  diterapkan  untuk  optimasi  parameter  pemulusan  eksponensial,  seperti  pada metode single exponential smoothing (SES), double exponential smoothing (DES) Brown dan Holt, dan triple exponential smoothing (TES) Holt-Winters aditif dan multiplikatif [1], [4], [5]. Penelitian ini berfokus pada metode pemulusan eksponensial ganda Brown dan Holt.
Pemulusan eksponensial ganda linear satu parameter dari Brown sesuai untuk data yang ada menunjukkan sifat tren atau dipengaruhi unsur tren . Pada metode pemulusan eksponensial ini dilakukan proses pemulusan dua kali dan pemulusan tren sebagai berikut [10]. Pemulusan eksponensial tunggal:
1 ' ) 1 ( ' − − + = t t t S X
S   (4)
Pemulusan eksponensial ganda:
1 '' ) 1 ( ' '' − − + = t t t S S
S   (5)
Pemulusan tren:
t t t t t t S S S S S a ' ' ' 2 ) ' ' ' ( ' − = − + = (6)
) ' ' ' ( 1 t t t S S b − − =  
(7)
Ramalan:
m b a F t t m t + = + (8)
dengan
X t = nilai aktual pada periode t  = konstanta pemulusan (0 <  <1)
Vol. 18; No. 2; 2021; Hal 330-341
F t+m = ramalan untuk m periode ke depan dari t
Untuk dapat menggunakan persamaan (4) dan (5), nilai S’ t- 1 dan S’’ t- 1 harus tersedia. Pada t = 1, nilai-nilai tersebut  belum  tersedia  dan  harus  ditentukan  di  awal  periode.  Hal  ini  dapat  dilakukan  dengan  hanya menetapkan S’ t dan S’’ t sama dengan X t atau dengan menggunakan suatu nilai rata-rata dari beberapa nilai pertama sebagai titik awal [10].
Pemulusan eksponensial ganda dua parameter dari Holt pada dasarnya sama dengan Brown yang sesuai untuk data yang ada menunjukkan sifat tren atau dipengaruhi unsur tren . Prinsipnya sama dengan Brown, namun Holt tidak menggunakan rumus pemulusan berganda secara langsung. Sebagai gantinya, Holt memuluskan tren  dengan  menggunakan  parameter  yang  berbeda  dari  parameter  pada  deret  asli.  Ramalan  pemulusan eksponensial Holt diperoleh menggunakan dua konstanta pemulusan dan tiga persamaan [10].
Pemulusan keseluruhan: ( )( ) 1 1 1 − − + − + = t t t t b S X
S   (9)
Pemulusan tren:
( ) ( ) 1 1 1 − − − + − = t t t t b S S b  
(10)
Ramalan:
m b S F t t m t + = +
(11)
dengan X t = nilai aktual pada periode t  = konstanta pemulusan keseluruhan (0 <  <1) γ = konstanta pemulusan tren (0 < γ <1) F t+m = ramalan untuk m periode ke depan dari t
Untuk menggunakan persamaan (9) dan (10) diperlukan proses inisialisasi melalui dua taksiran, yakni untuk S 1 dan b 1 .  Untuk  taksiran S 1 dapat  menggunakan  nilai  aktual X 1 .  Untuk  taksiran  tren  terdapat  beberapa kemungkinan (persamaan (12) dan (13)) berikut [4].
1 2 1 X X b − = (12)
( ) ( ) ( ) 3 3 4 2 3 1 2 1 X X X X X X b − + − + − =
(13)

## II. URAIAN PENELITIAN

## A.   Implementasi Metode
Pada tahap ini dilakukan implementasi metode ke dalam bentuk aplikasi menggunakan bahasa pemrograman Java. Optimasi dilakukan untuk parameter α pada DES Brown dan α dan γ pada DES Holt yang nilainya berada di antara 0 dan 1. Optimasi parameter dilakukan untuk meminimumkan nilai MAPE. Berikut adalah langkah dalam penerapan DES Brown, DES Holt, golden section , dan modified golden section .
1. Metode pemulusan eksponensial ganda linear satu parameter dari Brown (DES Brown)
a. Menset nilai parameter pemulusan α dengan ketentuan 0 < α < 1. Nilai α dipilih secara acak. b. Menginisialisasi nilai S’ dan S’’ pertama yakni S’ 1 = S’’ 1 = X 1 .
c. Menghitung untuk satu periode berikutnya nilai
S’ menggunakan persamaan (4);
S’’ menggunakan persamaan (5); a menggunakan persamaan (6); dan
b menggunakan persamaan (7).
d. Melakukan prediksi satu periode berikutnya menggunakan persamaan (8).
e. Mengulang langkah 3 dan 4 untuk seluruh kelompok data inisialisasi.
f. Menggunakan nilai a dan b terakhir untuk prediksi beberapa periode ke depan.
g. Menghitung nilai MAPE menggunakan persamaan (14) dengan membandingkan nilai prediksi dari langkah f dengan kelompok data pengujian.
n PE MAPE n i i  = = 1
(14)
dengan X t = nilai data aktual periode t F t = nilai ramalan periode t n = banyaknya data
100       − = t t t t X F X PE
2. Metode pemulusan eksponensial ganda dua parameter dari Holt (DES Holt)
a. Menset nilai parameter pemulusan α dan γ dengan ketentuan 0 < α < 1 dan 0 < γ < 1. Nilai α dan γ dipilih secara acak.
b. Menginisialisasi nilai S pertama yakni S 1 = X 1 dan b pertama menggunakan persamaan (12).
c. Menghitung untuk satu periode berikutnya nilai S menggunakan persamaan (9) dan
b menggunakan persamaan (10).
d. Melakukan prediksi satu periode berikutnya menggunakan persamaan (11).
e. Mengulang langkah 3 dan 4 untuk seluruh kelompok data inisialisasi.
f. Menggunakan nilai S dan b terakhir untuk prediksi beberapa periode ke depan.
g. Menghitung nilai MAPE menggunakan persamaan (14) dengan membandingkan nilai prediksi dari langkah f dengan kelompok data pengujian.
3. Metode golden section untuk optimasi parameter α pada DES Brown
a. Menentukan selang ketidakpastian pertama [ a,d ] = [0,1] yang merupakan kendala dari optimasi yakni batas nilai α yaitu 0 < α < 1.
b. Menghitung nilai b menggunakan persamaan (2) dan nilai c menggunakan persamaan (3).
c. Menghitung nilai f(b) dan f(c) yang merupakan nilai MAPE data testing jika menggunakan nilai α = b dan α = c . d. Menghitung d – a dan membandingkannya dengan toleransi ( ε ).
Jika d – a  ε atau jumlah iterasi mencapai iterasi maksimum, iterasi selesai dan diperoleh nilai b = c = α (konvergen).
Jika tidak, lakukan langkah e kemudian ulangi langkah c dan d.
e. Membandingkan  nilai f ( b )  dan f ( c )  dan  melakukan  pembaruan  selang  dengan  ketentuan  sebagai berikut.
Jika f ( b ) < f ( c ),  
     − + = = = = . ) 1 ( , , , d r ra b a a b c c d Jika f ( b ) ≥ f ( c ),
       − + = = = = . , , , b d a c d d c b b a

## 4. Modifikasi golden section untuk optimasi parameter α dan γ pada DES Holt
a. Menentukan selang ketidakpastian pertama [ a 1 ,d 1 ] = [0,1] yang merupakan kendala dari optimasi yakni batas nilai α yaitu 0 < α < 1 dan [ a 2 ,d 2 ] = [0,1] yang merupakan kendala dari optimasi yakni 0 < γ < 1.
b. Menghitung nilai b 1 menggunakan persamaan (2) dan nilai c 1 menggunakan persamaan (3). Menghitung nilai b 2 menggunakan persamaan (2) dan nilai c 2 menggunakan persamaan (3). c. Menghitung nilai f ( b 1 ,b 2 ), f ( b 1 ,c 2 ), f ( c 1 ,b 2 ), dan f (c 1 ,c 2 ) yang merupakan nilai MAPE data testing jika menggunakan nilai α = b 1 dan γ = b 2 , α = b 1 dan γ = c 2 , dan seterusnya.
Vol. 18; No. 2; 2021; Hal 330-341
d. Menghitung d 1 – a 1 dan d 2 – a 2 dan membandingkan dengan toleransi ( ε ).
Jika d 1 – a 1  ε atau d 2 – a 2  ε atau jumlah iterasi mencapai iterasi maksimum, iterasi selesai dan diperoleh nilai b 1 = c 1 = α dan b 2 = c 2 = γ (konvergen). Jika tidak, lakukan langkah 5 kemudian ulangi langkah 3 dan 4. e. Membandingkan nilai f ( b 1 ,b 2 ), f ( b 1 ,c 2 ), f ( c 1 ,b 2 ), dan f (c 1 ,c 2 ) dan melakukan pembaruan selang dengan ketentuan berikut.
Jika f ( b 1 ,b 2 ) maksimum,              − + = = = = − + = = = = . , , , , , , , 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 b d a c d d c b b a b d a c d d c b b a Jika f ( b 1 ,c 2 ) maksimum,
             − + = = = = − + = = = = . ) 1 ( , , , , , , , 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 d r ra b a a b c c d b d a c d d c b b a Jika f ( c 1 ,b 2 ) maksimum,
             − + = = = = − + = = = = . , , , , ) 1 ( , , , 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 b d a c d d c b b a d r ra b a a b c c d Jika f (c 1 ,c 2 ) maksimum,
    
        − + = = = = − + = = = = . ) 1 ( , , , , ) 1 ( , , , 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 d r ra b a a b c c d d r ra b a a b c c d

## B.   Perhitungan Kompleksitas
Perhitungan kompleksitas waktu dilakukan menggunakan pendekatan teoretis  dan  eksperimen.  Pendekatan teoretis  dilakukan  dengan  melakukan  analisis  jumlah  operasi  dalam  algoritma,  sedangkan  pendekatan eksperimen dilakukan dengan melakukan uji coba untuk mengetahui running time algoritma menggunakan beberapa percobaan jumlah masukan n .
Pengujian running time dilakukan menggunakan laptop Dell Vostro 1088 dengan spesifikasi prosesor Intel Core  2  Duo  2.20  GHz  dan  RAM  4  GB  DDR2  SDRAM  800  MHz.  Perhitungan  kompleksitas  dilakukan terhadap implementasi metode DES Brown, DES Holt, golden section , dan modified golden section .

## III. HASIL DAN PEMBAHASAN

## A.   Perhitungan Kompleksitas DES Brown
Tabel  2  menampilkan  perhitungan  jumlah  operasi  dalam  implementasi  DES  Brown  untuk  mengetahui kompleksitas waktu teoretisnya.
Tabel 2: Perhitungan Jumlah Operasi Implementasi DES Brown
Implementasi Subjumlah  Jumlah Operasi St[0] = dataTraining[0]; 1 11 Stt[0] = dataTraining[0]; 1 at[0] = 0; 1 bt[0] = 0; 1 Ft[0] = 0; 1 Ft[1] = 0; 1 Et[0] = 0; 1 PEt[0] = 0; 1 APEt[0] = 0; 1 jmlAPEt = 0; 1 MAPE = 0; 1 for (i = 1; i < dataTraining.length; i++) { (4/5) n - 1 5((4/5) n - 1)
= 4 n - 5 St[i] = (alfa * dataTraining[i]) + ((1 - alfa) * St[i - 1]); 1 Stt[i] = (alfa * St[i]) + ((1 - alfa) * Stt[i - 1]); 1 at[i] = 2 * St[i] - Stt[i]; 1 bt[i] = (alfa / (1 - alfa)) * (St[i] - Stt[i]); 1 Ft[i + 1] = at[i] + bt[i] * 1; 1 } for (j = 1; j <= dataTesting.length; j++, i++) { (1/5) n 5(1/5) n = n Ft[i] = at[dataTraining.length - 1] + bt[dataTraining.length - 1] * j; 1 Et[i] = dataTesting[j - 1] - Ft[i]; 1 PEt[i] = (Et[i] / dataTesting[j - 1]) * 100; 1 APEt[i] = abs(PEt[i]); 1 jmlAPEt = jmlAPEt + APEt[i]; 1 } MAPE = jmlAPEt / dataTesting.length; 1 1
Berdasarkan perhitungan jumlah operasi diperoleh kompleksitas waktu berikut.
7 5 1 5 4 11 ) ( + = + + − + = n n n n T
Kompleksitas tersebut sama untuk kasus worst case dan best case , atau dapat ditulis dalam notasi asimtotik ) ( ) ( ) ( n n O n T  = = .
Selanjutnya dilakukan perhitungan running time untuk beberapa jumlah data n . Gambar 2 menunjukkan grafik pertambahan running time eksekusi DES Brown untuk n = 10000 (sepuluh ribu) s.d. n = 2000000 (dua juta) dengan laju pertambahan n = 10000 (sepuluh ribu) per percobaan. Grafik menunjukkan bahwa pertambahan running time sebanding dengan pertambahan n . Hal ini sesuai dengan hasil analisis teoretis yang menunjukkan
Vol. 18; No. 2; 2021; Hal 330-341
bahwa DES Brown memiliki kompleksitas waktu O ( n ).
Gambar 2: Grafik Pertambahan Running Time DES Brown untuk Beberapa Jumlah Data n

## B.  Perhitungan Kompleksitas DES Holt
Tabel  3  menampilkan  perhitungan  jumlah  operasi  dalam  implementasi  DES  Holt  untuk  mengetahui kompleksitas waktu teoretisnya.
Tabel 3: Perhitungan Jumlah Operasi Implementasi DES Holt
Implementasi Subjumlah Jumlah Operasi St[0] = dataTraining[0]; 1 9 bt[0] = dataTraining[1] - dataTraining[0]; 1 Ft[0] = 0; 1 Ft[1] = 0; 1 Et[0] = 0; 1 PEt[0] = 0; 1 APEt[0] = 0; 1 jmlAPEt = 0; 1 MAPE = 0; 1 for (i = 1; i < dataTraining.length; i++) { (4/5) n - 1 3((4/5) n - 1)
= (12/5) n - 3 St[i] = alfa * dataTraining[i] + (1 - alfa) * (St[i - 1] + bt[i - 1]); 1 bt[i] = gama * (St[i] - St[i - 1]) + (1 - gama) * bt[i - 1]; 1 Ft[i + 1] = St[i] + bt[i] * 1; 1 } for (j = 1; j <= dataTesting.length; j++, i++) { (1/5) n 5(1/5) n = n Ft[i]=St[dataTraining.length - 1] + bt[dataTraining.length - 1] * j;  1 Et[i] = dataTesting[j - 1] - Ft[i]; 1 PEt[i] = (Et[i] / dataTesting[j - 1]) * 100; 1 APEt[i] = abs(PEt[i]); 1 jmlAPEt = jmlAPEt + APEt[i]; 1 } MAPE = jmlAPEt / dataTesting.length; 1 1
Berdasarkan perhitungan jumlah operasi diperoleh kompleksitas waktu berikut.
7
5 17 1 3 5 12 9 ) ( + = + + − + = n n n n T
Kompleksitas tersebut sama untuk kasus worst case dan best case , atau dapat ditulis dalam notasi asimtotik ) ( ) ( ) ( n n O n T  = = . Lalu  dilakukan  perhitungan running  time untuk  beberapa  jumlah  data n .  Gambar  3  menunjukkan  grafik pertambahan running time eksekusi DES Holt untuk n = 10000 (sepuluh ribu) s.d. n = 2000000 (dua juta) dengan laju pertambahan n = 10000 (sepuluh ribu) per percobaan. Grafik menunjukkan bahwa pertambahan running time sebanding dengan pertambahan n. Hal ini sesuai dengan hasil analisis teoretis yang menunjukkan bahwa DES Holt memiliki kompleksitas waktu O ( n ).
Gambar 3: Grafik Pertambahan Running Time DES Holt untuk Beberapa Jumlah Data n

## C.  Perhitungan Kompleksitas Metode Golden Section
Tabel  4  menampilkan  perhitungan  jumlah  operasi  dalam  implementasi  metode golden  section untuk mengetahui kompleksitas waktu teoretisnya.
Tabel 4: Perhitungan Jumlah Operasi Implementasi Metode Golden Section
Besarnya selisih | d – a | pada iterasi k atau L k dapat diketahui menggunakan rumus berikut [12].
0 L r a d r L k k k = − =
(15)
Dengan menyelesaikan persamaan (15), jumlah iterasi pada while dapat diketahui menggunakan formula (16).
0 0 0 0 0 0 log log log log log log log L k r L
k
L r k L r L r L r r k k k       = = = = = =
Vol. 18; No. 2; 2021; Hal 330-341
Karena L 0 = 1, maka k = r log ε .
Berdasarkan perhitungan jumlah operasi diperoleh kompleksitas waktu untuk best case adalah 11 3 8 ) ( = + = n T
atau dalam notasi asimtotik ) 1 ( ) (  = n T , sedangkan untuk worst case adalah
) log ( 20 ) log ( 10 8 ) log )( 20 10 ( 8 ) (    r r r n n n T + + = + + = ) log ( 20 ) log ( 10 8 ) log )( 20 10 ( 8 ) (    r r r n n n T + + = + + = atau dalam notasi asimtotik ditulis ) ( ) ( n O n T = karena r log ε konstan.
Selanjutnya dilakukan perhitungan running time untuk beberapa jumlah data n . Gambar 4 menunjukkan grafik pertambahan running time eksekusi metode golden section untuk n = 100 s.d. n = 20000 (dua puluh ribu) dengan  laju  pertambahan n =  100  per  percobaan.  Grafik  menunjukkan  bahwa  pertambahan running  time sebanding  dengan  pertambahan n .  Hal  ini  sesuai  dengan  hasil  analisis  teoretis  yang  menunjukkan  bahwa metode golden section memiliki kompleksitas waktu O ( n ).
Gambar 4: Grafik Pertambahan Running Time Metode Golden Section untuk Beberapa Jumlah Data n

## D.   Perhitungan Kompleksitas Metode Modified Golden Section
Tabel  5  menampilkan  perhitungan  jumlah  operasi  dalam  implementasi  metode golden  section untuk mengetahui kompleksitas waktu teoretisnya. Berdasarkan perhitungan jumlah operasi diperoleh kompleksitas waktu untuk best case adalah
17 5 12 ) ( = + = n T
atau dalam notasi asimtotik
) 1 ( ) (  = n T ,
sedangkan untuk worst case adalah
) log ( 38 ) log ( 5 68 12 ) log )( 38 5 68 ( 12 ) (    r r r n n n T + + = + + = ) log ( 38 ) log ( 5 68 12 ) log )( 38 5 68 ( 12 ) (    r r r n n n T + + = + + =
atau dalam notasi asimtotik ditulis ) ( ) ( n O n T = karena r log ε konstan.
Tabel 5: Perhitungan Jumlah Operasi Implementasi Modified Golden Section
Selanjutnya dilakukan perhitungan running time untuk beberapa jumlah data n . Gambar 5 menunjukkan grafik pertambahan running time eksekusi metode golden section untuk n = 100 s.d. n = 20000 (dua puluh ribu) dengan  laju  pertambahan n =  100  per  percobaan.  Grafik  menunjukkan  bahwa  pertambahan running  time sebanding  dengan  pertambahan n .  Hal  ini  sesuai  dengan  hasil  analisis  teoretis  yang  menunjukkan  bahwa metode modified golden section memiliki kompleksitas waktu O ( n ).
Gambar 5: Grafik Pertambahan Running Time Metode Modified Golden Section untuk Beberapa Jumlah Data n

## IV. KESIMPULAN
Perhitungan kompleksitas waktu menggunakan pendekatan teoretis dan eksperimen telah dilakukan terhadap metode DES Brown, DES Holt, golden section dan modified golden section dan kesemua metode memiliki kompleksitas waktu linear atau O (n), dengan n adalah banyaknya data. Algoritma yang memiliki waktu linear biasanya terdapat pada kasus yang setiap elemen masukannya dikenai proses yang sama. Bila n dijadikan dua kali semula, waktu pelaksanaan algoritma juga dua kali semula.
Linearitas  waktu  terjadi  karena  proses  implementasi  tidak  memiliki loop bersarang.  Meskipun  pada implementasi metode golden section dan modified golden section memiliki jumlah looping yang logaritmik, namun nilainya adalah konstan sehingga tidak berpengaruh pada kompleksitas waktunya.
Secara umum metode DES Brown dan DES Holt memiliki running time lebih kecil dibandingkan metode golden section dan modified golden section . Hal ini terjadi karena dalam pencarian parameter optimal, kedua metode golden  section beberapa  kali  memanggil  metode  DES  Brown  dan  DES  Holt.  Proses  pencobaan berulang-ulang inilah yang menyebabkan adanya perbedaan waktu signifikan.
Penelitan selanjutnya selain menghitung kompleksitas waktu diharapkan juga dapat melakukan perhitungan kompleksitas ruang memori.

## DAFTAR PUSTAKA
[1]  N.  D.  Saputra,  A.  Aziz,  and  B.  Harjito,  “Parameter  Optimization  of  Brown’s  and  Holt’s  Double Exponential Smoothing Using Golden Section Method for Predicting Indonesian Crude Oil Price (ICP),” in Proceedings  of  2016  3rd  International  Conference  on  Information  Technology,  Computer,  and Electrical Engineering (ICITACEE) , 2016, p. 352—356.
[2]  R. Munir, Metode Numerik, Revisi Ketiga . Bandung: Penerbit Informatika, 2013.
[3]  D.  W.  Nugraha,  “Penerapan  Kompleksitas  Waktu  Algoritma  Prim  untuk  Menghitung  Kemampuan Komputer dalam Melaksanakan Perintah,” J. Ilm. Foristek , vol. 2, no. 2, p. 195—207, 2012.
[4]  D. al Mahkya, H. Yasin, and M. A. Mukid, “Aplikasi Metode Golden Section untuk Optimasi Parameter pada Metode Exponential Smoothing,” J. Gaussian , vol. 3, no. 4, p. 605—614, 2014.
[5]  N. Yuwida,  L.  Hanafi,  and  N. Wahyuningsih,  “Estimasi  Parameter Alfa  dan  Gama  dalam  Pemulusan Eksponensial Ganda Dua Parameter dengan Metode Modifikasi Golden Section,” J. Sains dan Seni ITS , vol. 1, no. 1, p. A-18—A-22, 2012.
[6]  M.  F.  Qudratullah,  “Prediksi  Harga  Rata-Rata  Minyak  Mentah  Indonesia  (Indonesian  Crude  Oil Price/ICP) Menggunakan Berbagai Teknik Analisis Data Timeseries dan Implikasinya Terhadap Harga Bahan Bakar Minyak (BBM) Bersubsidi di Indonesia,” Integr. Lab J. , vol. I, no. 1, p. 1—19, 2013.
[7]  R. Halimi, W. Anggraeni, and R. Tyasnurita, “Pembuatan Aplikasi Peramalan Jumlah Permintaan Produk dengan Metode Time Series Exponential Smoothing Holts Winter di PT Telekomunikasi Indonesia Tbk,” J. Tek. POMITS , vol. 1, no. 1, p. 1—6, 2013.
[8]  A. Yulitasari, “Perbandingan Metode Pemulusan Eksponensial Ganda Holt dengan Metode Pemulusan Eksponensial Ganda Brown,” Universitas Negeri Semarang, 2011.
[9]  P. S. Kalekar, “Time series Forecasting using Holt-Winters Exponential Smoothing,” Mumbai, 2004.
[10] S. Makridakis, S. C. Wheelwright, V. E. McGee, U. S. Andriyanto, and A. Basith, Metode dan Aplikasi Peramalan Jilid 1, Edisi Kedua . Jakarta: Penerbit Erlangga, 1995.
[11] D. Luknanto, “Pengantar Optimasi Nonlinear, Bahan Penataran Jurusan Teknik Sipil,” Yogyakarta, 2000.
[12] E.  Sumarminingsih,  “Algoritma  Golden  Section  Search  untuk  Mencari  Solusi  Optimal  pada Pemrograman Non Linear Tanpa Kendala, Bahan Kuliah Jurusan Matematika,” Malang, 2011.