## ANALISIS KUALITAS INTENSITAS LASER ATOM TERKOPEL LEMAH
T. B. Prayitno* 1 dan Iwan Sugihartono* 2
*Universitas Negeri Jakarta, Jl. Pemuda Rawamangun No. 10
1 teguh-budi@unj.ac.id, 2 isugihar@hotmail.com

## Abstrak
Dalam  makalah  ini  telah  dikaji  beberapa  profil  intensitas  laser  atom  terkopel  lemah  untuk  beberapa parameter  yang  didapatkan  dengan  menyelesaikan  persamaan  Schrödinger  yang  merepresentasikan persamaan  gerak  laser  atom.  Persamaan  Schrödinger  ini  hasil  reduksi  dari  persamaan  Gross-Pitaevskii yang terkopel antara kondensat dan atom laser, dimana laser atom tersebut dikeluarkan dari kondensat. Pada  kasus  ini,  kita  hanya  meninjau  perambatan  laser  atom  dalam  arah  longitudinal  karena  kita mengambil kasus perangkap berbentuk cerutu (cigar-shaped trap).
Keywords: intensitas, persamaan Schrödinger, laser atom.

## 1. Pendahuluan
Kajian  mengenai  kondensasi  Bose-Einstein merupakan salah satu kajian yang menarik dalam bidang fisika energi rendah. Kondensasi ini terjadi dengan melakukan pendinginan terhadap kumpulan  atom-atom,  terutama  atom  alkali, sampai  mendekati  suhu  0  Kelvin  atau  mendekati suhu  kritis  dari  atom-atom  yang  dipilih,  contoh serangkaian  eksperimen  yang  pernah  dilakukan yaitu, kondensasi Bose-Einstein di dalam gas dari atom rubidium [1], sodium [2], dan litium [3]. Hal ini ditandai dengan munculnya puncak yang tajam pada distribusi momentum dan posisi yang dilihat melalui metode optik [4]. Apabila kondensasi telah terjadi,  masing-masing gelombang de Broglie dari setiap  atom  tersebut  akan  saling  tumpang  tindih sehingga  untuk  kasus  yang  istimewa  akan terciptalah  satu  gelombang  de  Broglie.  Secara kuantum, kita dapat mengatakan bahwa sebagian besar  atom-atom  tersebut  berada  pada  tingkat energi  terendah  yang  dikelilingi  oleh  awan  gas hasil  dari  kondensasi  yang  dikenal  sebagai kondensat.
Percobaan  kondensasi  Bose-Einstein  biasanya dilakukan  dengan  membuat  suatu  perangkap magnetik  untuk  mengurung  atom-atom  tersebut [5].  Secara  kuantum,  kita  dapat  mengatakan bahwa  atom-atom  tersebut  dalam  kondisi terperangkap. Untuk membuat atom-atom tersebut  bebas  dari  perangkap  tersbut,  maka dibutuhkan  suatu  gelombang  elektromagnetik yang  ditembakkan  ke  kumpulan  atom-atom tersebut, dimana atom tersebut akan menggunakan  energi  yang  ditangkap  dari gelombang elektromagnetik itu untuk keluar. Cara inilah yang nantinya digunakan untuk menghasilkan suatu  laser  atom. Laser atom dapat dihasilkan  dengan  membebaskan  atom-atom tersebut  secara  kuantum  dengan  menembakkan gelombang  elektromagnetik pada kumpulan atom
yang  dikelilingi oleh  kondensat. Dengan kata lain, laser  atom  dihasilkan  dengan  mengekstrak  atom dari kondensat [6-12].
Menurut hasil percobaan, laser atom merupakan  sejenis  laser,  namun  mempunyai karakteristik  yang  unik  yang  tidak  dimiliki  oleh laser  pada  umumnya.  Menurut  teori  kuantum laser  merupakan  salah  satu  wujud  gelombang elektromagnetik  yang  mempunyai  massa  nol sebagai  akibat  adanya  tafsiran  teori  relativitas khusus. Namun demikian, hal di atas tidak berlaku atom laser atom karena pada dasarnya laser atom tercipta dari atom yang terekstrak dari kondensat. Dengan  demikian,  laser  atom  mempunyai  massa yang  signifikan  sehingga  pergerakan  dari  laser atom  tersebut  akan  dipengaruhi  oleh  gravitasi bumi  [13].  Pengaruh  dari  gravitasi  bumi itu akan mempercepat  pergerakan  laser  atom  tersebut sehingga  gelombang  de  Broglie  dari  laser  atom tersebut akan terus menerus. Hal ini menyebabkan  kualitas  dari  laser  atom  tersebut menurun  karena  intensitas  laser  atom  tersebut berbanding  lurus  dengan  rapat  probabilitas  yang dihasilkan.  Dengan  demikian,  kita  memerlukan potensial  tambahan  untuk  mengatasi  percepatan gravitasi bumi tersebut.
Upaya  untuk  mencari  intensitas  laser  atom umumnya sangat sulit dilakukan karena persamaan yang mendeskripsikan pergeraan laser atom  merupakan  persamaan  Gross-Pitaevskii yang  nonlinear  dan  terkopel  dengan  persamaan Gross-Pitaevskii  yang  mendeskripsikan  gerak kondensat.  Namun  demikian,  apabila  kita menganggap  bahwa  gas  boson  yang  dihasilkan bersifat  cair,  maka  persamaan  Gross-Pitaevskii yang terkopel tersebut akan dapat dipisahkan satu sama  lain  menjadi  persamaan  Schrodinger  [14]. Istilah  cair  dalam  kasus  ini  berarti  bahwa  jarak interaksi antar atom jauh lebih kecil dibandingkan jarak  atom  satu  sama  lain.  Kedua  persamaan tersebut  adalah  persamaan  Schrodinger  non
homogen yang mendeskripsikan persamaan gerak laser  atom  dan  persamaan  Schrodinger  homogen yang mendeskripsikan gerak kondensat.
Pada  makalah  ini  kita  akan  menampilkan beberapa  intensitas  laser  atom  untuk  beberapa kasus,  yaitu  dengan  mengubah  parameter- parameter  yang  terkait.  Hal  ini  diharapkan sebagai  pembanding  untuk  dapat  mengkaji seberapa  besar  pengaruh  percepatan  gravitasi tersebut.  Pada  sesi  berikutnya  kita  akan membahas bentuk matematis yang terkait dengan gerak  kondensat  dan  laser  atom  dan  cara menyelesaikan  persamaan  berikut.  Hasil  dari komputasi  persamaan  gerak  tersebut  untuk beberapa kasus akan diberikan pada sesi hasil dan pembahasan.  Rangkuman  dari  semua  hasil pembahasan akan diberikan dalam sesi kesimpulan.

## 2. Metode
Pada  bagian  ini  akan  dikaji  ulang  beberapa persamaan  yang  terkait  dengan  persamaan  laser atom  yang  terkopel lemah. Persamaan laser atom yang terkopel lemah yang berada di dalam dan di luar  daerah  kondensat  berturut-turut  diberikan oleh dua persamaan berikut [13-15]
       
  
             2 2 2 2 c c g V m t i (1)         
        
    2 2 2 2 c c g V m t i (2)
dengan   adalah  fungsi  gelombang  laser  atom sedangkan c  merupakan  persamaan  gerak kondensat  yang  memenuhi  persamaan  gerak  [14, 15]
c c cc c c g V m t i                 2 2 2 2   (3)
Selain itu,  pada kasus ini potensial eksternal yang diterapkan  pada  laser  atom  di  dalam  dan  di  luar daerah kondensat memenuhi hubungan [14, 15]
  2 2 2 2 2 ) ( 2 1 ) ( z y x m r V z           
2 2 2 1     m (4)   2 2 2 2 2 ) ( 2 1 2 1 ) ( q q y x m m r V           
(5) dengan 2 /     g dan 2 /   g q  merupakan kuantitas pergeseran yang dialami oleh laser atom
akibat adanya medan gravitasi bumi yang berarah pada sumbu-y.
Untuk  mencari  profil  dari  solusi  gelombang laser  atom,  kita  harus  terlebih  dahulu  mencari solusi  fungsi  gelombang  kondensat.  Dengan menerapkan perangkap berbentuk cerutu
  2 2 2 2 2 2 1 ) ( z y x m r V z c      
(6) dengan 1 /       z z ,  solusi  gelombang stabil  dapat  diperoleh  dengan  menggunakan koordinat silinder
  2 / 2 / exp ) , , ( 2 2 4 / 3 8 / 1 3 0 z a N t z z c            t i ] [ exp     (7)
Untuk  mencari  solusi  fungsi  gelombnag  laser atom  dalam  daerah  kondensat,  kita  melakukan transformasi berikut ini [15-16]
z     2 / /      (8)
z t t  2 /  (9)
0 / ) , , ( ) , , ( a z y x z y x  (10)
Dalam  hal  ini  kita  mendefinisikan z  sebagai frekuensi  dalam  arah  longitudinal,   sebagai frekuensi  dalam  arah  radial, 0 a adalah  panjang osilator  harmonik.  Pada  makalah  kami  yang terakhir,  dengan  melakukan  transformasi  yang dinyatakan dalam koordinat silinder
t i e z        ) ( ) (  (11) t i e z        ) ( ) ( (12)
kita  akan  mendapatkan  persamaan  differensial tak  bermassa  dalam  arah  longitudinal  yang berbentuk persamaan
            2 2 2 2 c c g z dz d  (13) dengan definisi z z m      / /
2 1 2 2     .
Pada  kasus  persamaan laser atom  yang  berada di luar daerah kondensat kita hanya dapat bekerja pada  koordinat  kartesis  mengingat  metode separasi  variabel  tidak  dapat  dilakukan  dalam koordinat  silinder.  Oleh  sebab  itu,  dengan menerapkan transformasi dalam koordinat kartesis berikut
iEt e z Z y Y x X   ) ( ) ( ) (   (14)
z t t  2 /  (15) 0 / ) , , ( ) , , ( a z y x z y x  (16)
z z z   2 z    2 z    2 z 
Kita  akan  mendapatkan  persamaan  gelombang dalam arah longitudinal berikut
Z E Z z dz Z d z z z               2 3 4 1 2 2 3 4 1 2 2 2 2 2 2      
(17)
dengan definisi z c g      / 2  .

## 3. Hasil dan Pembahasan
Dari  persamaan  differensial  pada  persamaan (13)  dan  (17),  kita  akan  menurunkan  solusi analitik  atau  pun  numerik.  Persamaan  (13)  tidak mempunyai  solusi  analitik  karena  keberadaan suku non homogen di sisi kanannya sehingga kita hanya  bisa  mendapatkan  solusi  numerik.  Dengan mensubstitusikan  fungsi c  pada  persamaan  (7) ke persamaan (13), lalu diikuti dengan mengintegrasikan  kedua  ruas  persamaan  (13) terhadap seluruh ruang, kemudian kita
menerapkan  kondisi 2 2 2 1 2 z e z    ,  kita  akan mendapatkan persamaan differensial yang merupakan  persamaan  gerak  laser  atom  dalam arah longitudinal
           ) ( ) 1 2 ( 2 2 2   c c g z g dz d (18)
Berikut ini beberapa profil rapat probabilitas dari fungsi gelombang laser atom untuk beberapa nilai  dan  [15].
Gambar 1. Grafik   2 z  terhadap koordinat z
untuk kondisi z  
Gambar 2. Grafik   2 z  terhadap koordinat z
untuk kondisi z sin   Gambar 3. Grafik   2 z  terhadap koordinat z
untuk kondisi z cos  
Pada kasus ini, kita telah membedakan paramater
 dengan kondisi
----------- menunjukkan 0   menunjukkan 2  
Untuk persamaan gelombang laser atom di luar daerah  kondensat  hanya  nilai  negatif  yang dapat  memberikan  solusi,  yaitu  solusi  analitik. Solusi  analitik  tersebut  dinyatakan  dalam  fungsi Hermit yang dapat dituliskan
          z H e n z Z n z n n 2 / 1 2 / 8 / 1 2 ! 2 1 ) (     (19)
dimana  kita  telah  mendefinisikan  hubungan
2 / 3 4 / 1 2 2       z dan n H adalah  polinomial Hermit.  Berikut  ini  adalah  beberapa  profil  rapat probabilitas  dari  fungsi  laser  atom  terhadap koordinat z
  2 z Z   2 z Z   2 z Z z z z Gambar 4. Grafik   2 z Z terhadap koordinat z
untuk kondisi 1  n Gambar 5. Grafik   2 z Z terhadap koordinat z
untuk kondisi 2  n Gambar 6. Grafik   2 z Z terhadap koordinat z
untuk kondisi 3  n

## 4. Kesimpulan
Di  dalam  makalah  ini  telah  diturunkan  solusi analitik dan numerik untuk persamaan gerak laser atom  terkopel  lemah  di  luar  dan  di  dalam daerah kondensat  dengan  melakukan  terlebih  dahulu
metode  separasi  variabel.  Untuk  laser  atom  yang berada  di  dalam  daerah  kondensat,  kita  hanya dapat  mencari  solusi  numerik  karena  adanya keberadaan  suku  non  homogen  sedangkan  solusi analitik  untuk  laser  atom  yang  berada  di  luar daerah  kondensat  hanya  dapat  diperoleh  untuk nilai  negatif. Kita melihat dari gambar 1 dan 2 bahwa  rapat  probabilitas  dari  laser  atom  pada
2   lebih  tinggi  dari 0   ,  sedangkan  rapat probabilitas  dari  laser  atom  pada 0   lebih tinggi  dari 2   seperti  yang  ditunjukkan  pada gambar  meskipun  semua  profil  yang  terlihat  dari gambar  1-3  terlihat  bahwa  profil  osilasi  mirip seperti  osilasi  teredam.  Dengan  demikian,  kita dapat  menyimpulkan  secara  kualitatif    bahwa intensitas  dari  laser  atom  akan  tereduksi  dengan cepat akibat dari adanya faktor redaman.
Untuk kasus selanjutnya, yaitu gelombang laser atom  di  luar  daerah  kondensat,  kita  melihat bahwa semua profil rapat probabilitas bergantung kepada indeks diskrit n yang hanya berlaku untuk  negatif.  Di  samping  itu, untuk   z , semua
profil  akan  menuju  ke  nilai  nol  meskipun  profil osilasi  masih  dapat  dilihat.  Namun  demikian, osilasi  pada  daerah  ini  tidak  secepat  pada  profil rapat  densitas  gelombang  laser  di  dalam  daerah kondensat.

## Ucapan Terima Kasih
Penelitian  ini  dibiayai  oleh  dana  PNBP-BLU Fakultas  Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas  Negeri  Jakarta  tahun  anggaran  2015 dengan nomor kontrak
No. 36/SPK Penelitian/6.FMIPA/2015.

## References
[1]  M.H.  Anderson,  J.R.  Ensher,  M.R.  Matthews, C.E. Wieman, E.A. Cornell, Science 269 (1995) 198.
[2]  K.B.  Davis,  M.O.  Mewes,  M.R.  Andrews,  N.J. van  Druten,  D.S.  Durfee,  D.M.  Kurn,  W. Ketterle, Phys. Rev. Lett. 75 (1995) 3969.
[3]  C.C. Bradley, C.A. Sackett, J.J. Tollett, and R.G. Hulet, Phys. Rev. Lett. 75 (1995) 1687.
[4]  F.  Dalfovo,  S.  Giorgini,  L.P.  Pitaevskii,  S. Stringari, Rev. Mod. Phys. 71 (1999) 463.
[5]  Y.  S.  Kivshar,  T.  J.  Alexander,  and  S.  K. Turitsyn, Phys. Lett. A 278 (2001) 225.
[6]  I. Bloch, T. W. Hänsch, T. Esslinger, Phys. Rev. Lett. 82 (1999) 3008,  arXiv:  cond- mat/9812258
[7]  J.  Schneider,  A.  Schenzle,  Appl.  Phys.  B.  69 (1999) 353.
[8]   F.  Gerbier,  P.  Bouyer  and  A.  Aspect,  Phys. Rev. Lett. 86 (2001) 4729.
[9]  Th.  Busch,  M.  Köhl,  T.  Esslinger,  and  K. Mølmer, Phys. Rev. A 65 (2002) 043615.
[10]  G.  Cennini, G. Ritt, C. Geckeler, and M. Weitz, Phys Rev. Lett. 91(2003) 240408.
[11] A. J. Leggett, Rev. Mod. Phys. 73 (2001) 307.
[12] J.-F.  Riou,  W.  Guerin,  Y.  Le  Coq,  M. Fauquemberque,  V.  Josse,  P.  Bouyer,  A. Aspect,  Phys  Rev.  Lett.  96  (2006)  070404, arXiv: cond-mat/0509281.
[13]  T. B. Prayitno. Makara J. Sci. 18 (2014) 119.
[14]  J.-F. Riou, Y. Le Coq, F. Impens, W. Guerin, C.J. Bordé,  A.  Aspect,  P.  Bouyer,  Phys.  Rev.  A  77 (2008) 033630.
[15]  T.  B.  Prayitno  dan  Iwan  Sugihartono, Laporan  Penelitian  FMIPA  UNJ  dengan  dana PNBP-BLU UNJ (2015).
[16]  T.  B.  Prayitno,  Widyanirmala,  I.  H.  Belfaqih, T.  E.  K.  Sutantyo,  and  I.  M.  Astra,  Adv.  Mat. Res. 1123 (2015) 13.