## PEMROGRAMAN LINEAR INTEGER DENGAN ENAM VARIABEL ORIENTASI KARGO UNTUK MASALAH MINIMISASI BIAYA PEMUATAN MULTI-KONTAINER
Dian Pratiwi Sahar, Mohammad Thezar Afifudin*
Departemen Teknik Industri, Fakultas Teknik, Universitas Pattimura, Jl. Ir. M. Putuhena, Kampus Unpatti, Ambon, Maluku, Indonesia 97233
(Received: March 25, 2020/ Accepted: August 29, 2020)

## Abstrak
Penelitian  ini  bertujuan  untuk  mengembangkan  model  matematika  untuk  masalah  minimisasi  biaya pemuatan multi-kontainer dengan enam variabel orientasi kargo. Masalah ini dirumuskan sebagai model pemrograman linier biner integer untuk meminimalkan biaya. Faktor-faktor yang dipertimbangkan dalam formulasi termasuk alokasi kargo, lokasi kargo, hubungan kargo, dan orientasi kargo. Sedangkan, biaya yang dipertimbangkan termasuk biaya muatan volume kontainer ke kargo dan biaya transportasi kargo ke kontainer. Validasi model dilakukan melalui percobaan numerik pada ukuran kecil kargo dan kontainer. Hasil  penelitian  menunjukkan  bahwa  model  dengan  konsep  orientasi  kargo  yang  dikembangkan  dapat menyelesaikan masalah sesuai dengan parameter numerik yang diberikan.
Kata kunci: pemrograman integer; orientasi kargo; pemuatan kontainer; minimisasi biaya

## Abstract
[Integer Linear Programming with Six Cargo Orientation Variables for Multi-Container Loading Cost Minimization Problem] This research aims to develop the mathematic model for multi-container loading cost minimization problems  with six cargo orientation variables. The problem is formulated as a binary integer  linear  programming  model  to  minimize  costs.  The  factors  considered  in  the  formulation  include cargo  allocation,  cargo  location,  cargo  relations,  and  cargo  orientation.  Whereas,  the  costs  considered include  the  container  volume  load  cost  to  cargo  and  the  cargo  transport  cost  to  the  container.  Model validation  is  performed  through  numerical  experiments  on  the  small  size  of  cargo  and  containers.  The results show that the model with developed cargo orientation concept can solve the problem according to the given numerical parameters.
Keywords: integer programming; cargo orientation; container loading; cost minimization

## 1. Pendahuluan
Pemuatan  kontainer  adalah  fungsi  penting  untuk mengoperasikan  rantai  pasokan  secara  efisien.  Kinerja yang kurang baik dalam fungsi ini menghasilkan biaya- biaya tambahan (seperti biaya kontainer tambahan yang akan dikirim) dan ketidakpuasan pelanggan. Oleh karena itu,  tidak  mengherankan  bahwa  masalah  pemuatan kontainer  ( container  loading  problem  - CLP)  sangat intens frekuensinya dalam literatur penelitian operasi.
Dalam  penelitian  ini,  masalah  CLP  yang disinggung  adalah  masalah  minimisasi  biaya  pemuatan multi-kontainer ( multi-container loading
cost minimization problem - MCLCMP). Kami mengembangkan  model  MCLCMP  dengan  pendekatan integer  programming ,  yang  berbeda  dari  model  yang telah  dikembangkan  oleh  Che et  al. (2011b) sebelumnya.  Pengembangan  model  dilakukan  pada konsep  orientasi  kargo  yang  dimodifikasi  dari  konsep Huang  dan  He  (2009).  Dalam  penelitian  tersebut,  satu variabel integer general digunakan dengan nilai range 1 sampai  6  untuk  enam  orientasi  kargo.  Sedangkan  kami memodifikasinya menjadi enam variabel biner.
Berdasarkan  topologi  CLP  yang  diperkenalkan oleh  Wäscher et  al .  (2007),  MCLCMP  dikategorikan sebagai  varian  dari multiple  stock-size  cutting  stock problem (MSSCSP)  atau multiple  bin-size  bin  packing problem (MBSBPP), tergantung pada skala
*Penulis Korespondensi. E-mail: thezar.afifudin@fatek.unpatti.ac.id
heterogenitas  kargo  dan  kontainer.  Tujuan  dari MCLCMP adalah untuk meminimasi biaya penggunaan kontainer (Che et al. , 2011b).
Literatur terkait MCLCMP sangat jarang ditemukan. Dalam review Bortfeldt dan Wäscher (2013) terhadap  163 paper ,  dijelaskan  bahwa  publikasi  terkait MSSCSP  dan  MBSBPP  tergolong  sangat  sedikit  (e.g. Almeida  dan  Figueiredo,  2010;  Arenales  dan  Morabito, 1997;  Brunetta  dan  Grégoire,  2005;  Ceschia  dan Schaerf, 2013; Che et al. , 2011a; Che et al. , 2011b; De Queiroz et  al. , 2012;  Eley,  2003;  Fraser  dan  George, 1994;  Ivancic et  al. ,  1989;  Jin et  al. ,  2003;  Lin et  al. , 2006; Ren et al. , 2011; Techanitisawad dan Tangwiwatwong,  2004;  Westerlund et  al. , 2005; Westerlund et al. , 2007). Diantara artikel-artikel tersebut hanya  tiga  artikel  yang  menyinggung  mengenai  tujuan minimisasi cost dan orientasi kargo.
Che et  al. (2011b)  dan  Che et  al. (2011a), menggunakan pendekatan yang sama untuk menyelesaikan MCLCMP. Mereka mengubah MCLCMP  menjadi extended  set  cover  problem yang dirumuskan  menggunakan  pemrograman  integer  linier dan menyelesaikannya dengan heuristik untuk menggenerasi  kolom.  Tujuannya  adalah  untuk  memuat produk  dari  berbagai  jenis  ke  dalam  kontainer  dengan berbagai  ukuran  untuk  meminimalkan  biaya  total. Ceschia dan Schaerf (2013) mempelajari masalah serupa (MBSBPP)  dimana  mereka  menyelesaikannya  dengan teknik  mereka  berdasarkan  pada  metaheuristik local search . Tujuannya adalah untuk meminimalkan kombinasi  tiga  tujuan  (kargo  tidak  dimuat,  biaya  tetap penggunaan  kontainer,  dan  ruang  kosong).  Dalam makalah  ini,  kami  mengembangkan  konsep  orientasi kargo  untuk  dapat  diintegrasikan  ke  dalam  model pure integer  programming ,  berbeda  dengan  pendekatan  dari tiga artikel terkait di atas.
Terkait dengan konsep orientasi untuk pemrograman  integer,  kami  temukan  pada  beberapa artikel  yang  membahas  mengenai  varian  CLP  berbeda. Chen et  al .  (1995)  mengembangkan  model mixed integer  programming (MIP)  dengan  menggunakan sembilan  variabel  binari  untuk  menentukan  orientasi kargo  secara  ortogonal  pada  masalah  pemuatan kontainer  tiga-dimensional,  yaitu l xi ,  l yi ,  l zi ,  w xi ,  w yi ,  w zi , h xi ,  h yi , dan h zi .  Notasi l menyatakan  panjang  kargo, w menyatakan  lebar  kargo, h menyatakan  tinggi  kargo. Notasi x , y , dan z menyatakan axis kontainer. Sedangkan indeks i menyatakan  kargo.  Jika l xi bernilai  1,  maka berarti  bahwa  panjang  kargo i paralel  dengan  axis X kontainer.  Chien et  al .  (2009)  mengembangkan  model MIP  dengan  prosedur  komputasional  dua  fase  untuk menentukan  pola  pemuatan  kontainer  pada  masalah knapsack tiga-dimensional . Kargo  diasumsikan  dapat berorientasi  secara  horisontal  jika  karakteristik  kargo lainnya  berubah.  Orientasi  ditentukan  oleh  kombinasi fungsi generasi strip vertikal f ( l i ,w j ,H ) ke dalam dinding
lateral V w ( l i ,W,H )  dan  longitudinal V L ( L,w j ,H ),  serta kombinasi  dinding  lateral  dan  longitudinal  ke  dalam kontainer  ( V w ( L,W,H )  dan V L ( L,W,H )).  Junqueira et  al .
(2012)  menggunakan  satu  variabel  binari a ixyz untuk menentukan  orientasi  item  dalam  model  ILP  masalah pemuatan kontainer tiga-dimensional. a ixyz bernilai 1 jika kargo i ditempatkan  dengan  posisi  ( x,y,z )  sesuai kornernya ( front-left-bottom ) sehingga 0 ≤ x ≤ L-l i , 0 ≤ y ≤ W-w i , dan 0 ≤ z ≤ H-h i . Variabel L, W, dan H masing- masing merupakan panjang, lebar, dan tinggi kontainer, sedangkan l, w, h untuk panjang, lebar, dan tinggi kargo. Paquay et  al .  (2016)  menggunakan  delapan  belas variabel  binari  untuk  menentukan  orientasi  item  dalam model mixed integer linear programming (MILP) untuk masalah pemuatan kontainer tiga-dimensional. Kedelapan  belas  variabel  tersebut  diaproksimasikan sebagai r iab ,  dimana i merupakan  indeks  kargo, a menyatakan  axis  ( a =  { x :=1 ,  y :=2 ,  z :=3}),  dan b menyatakan  sumbu  (ukuran)  kargo  ( b =  { l :=1 ,  w :=2 , h :=3}).  Huang  dan  He  (2009)  menggunakan  satu variabel  binari O i untuk  menentukan  enam  orientasi (ortogonal)  kargo i dalam  pemuatannya  ke  kontainer, dimana O i =  {( l i ,w i ,h i ):=1 , ( l i ,h i ,w i ):=2 , ( w i ,l i ,h i ):=3, ( w i ,h i ,l i ):=4 , ( h i ,l i ,w i ):=5 , ( h i ,w i ,l i ):=6}.  Misalkan,  jika panjang,  lebar,  dan  tinggi  kargo i ( l i ,w i ,h i )  masing- masing  sejajar  dengan  sumbu  kontainer  ( X,Y,Z ),  maka kargo i akan berorientasi dengan posisi pertama ( O i =1). Konsep ini juga diadopsi oleh He et al . (2012).
Diantara  konsep-konsep  tersebut,  kami  tertarik dengan  konsep  yang  diperkenalkan  oleh  Huang  dan  He (2009). Konsep tersebut kami modifikasi menjadi enam variabel binary  integer yang  dibahas  lebih  rinci  pada Bagian  2.  Konsep  orientasi  yang  dimodifikasi, selanjutnya  diintegrasikan  ke  dalam  model  masalah pemuatan kontainer yang dikembangkan oleh Hifi et al .
(2010).  Mereka  memperkenalkan three-dimensional bin packing  problem (3D-BPP)  dimana  bin  (kontainer) diasumsikan  sama  (homogen).  Konsekuensi  dari integrasi  konsep  orientasi  adalah  adanya  beberapa penyesuaian pada formulasi matematis. Namun, penyesuaian  yang  kami  lakukan  tidak  menghilangkan prinsip-prinsip  formulasi  terkait  alokasi  kargo,  lokasi (koordinat)  kargo,  dan  relasi  antar  kargo  ( left-behind- bellow ).  Pembahasan  mengenai  formulasi  matematis dapat  dilihat  pada  Bagian  3.  Selain  itu,  untuk menentukan  tujuan  dari  model  ini,  biaya-biaya  yang dipertimbangkan pada model ini hanya pada biaya beban kargo  (volume/  berat)  dan  transportasi,  berbeda  dengan Che et al. (2011b), Che et al. (2011a), dan Ceschia dan Schaerf (2013).
Percobaan numerikal dilakukan dengan menggunakan  ukuran  kecil  kargo  dan  kontainer  standar dari  representasi  salah  satu  kasus  yang  dihadapi  oleh industri-industri  kecil  di  daerah  kepulauan.  Kontribusi dari  makalah  ini  adalah  sebagai  berikut.  Pertama, memperkenalkan  konsep  baru  yang  terkait  dengan
orientasi kargo dalam formulasi MCLCMP menggunakan  pemrograman  linear  integer.  Kedua, merumuskan model MCLCMP dengan konsep orientasi tersebut.
2. Metode Penelitian
Fokus penelitian
ini adalah untuk mengembangkan model penyelesaian MCLCMP dengan menggunakan  konsep  enam  variabel  orientasi  kargo. Penelitian  ini  dibagi  menjadi  3  tahapan  utama,  yaitu: pengumpulan  dan  pengolahan  data,  pengembangan model, dan validasi model.

## 2.1. Pengumpulan dan Pengolahan Data
Penelitian  dilakukan  berdasarkan  hasil  kajian literatur-literatur  yang  terkait  dengan  pendekatan  dan model  masalah  minimisasi  biaya  pemuatan  kontainer dan  konsep  orientasi  kargo,  serta  wawancara  dengan pelaku  industri  (khususnya  industri  kecil)  terkait  kasus- kasus pengiriman barang (kargo) yang sering dihadapi di daerah kepulauan.
Data  primer  pada  penelitian  ini  berupa  model Hifi et  al .  (2010)  dan  faktor-faktor  yang  akan dipertimbangkan  dalam  model  seperti  orientasi  kargo, alokasi  kargo  ke  kontainer,  lokasi  (koordinat)  kargo  di kontainer,  dan  relasi  antar  kargo.  Untuk  mendukung validasi  model,  maka  diperlukan  beberapa  data  yang akan  digunakan  sebagai  variabel input ,  seperti  ukuran kargo,  ukuran  kontainer  standar,  biaya  pemuatan  kargo ke  kontainer,  dan  biaya  transportasi  kargo  ke  lokasi kontainer.
2.2. Pengembangan Model
Pengembangan model dilakukan dengan pendekatan pemrograman
integer untuk memformulasikan  masalah  pemuatan  kontainer  sebagai model linear integer. Masalah diformulasi dengan tujuan meminimisasi  biaya  dengan  mengintegrasikan  konsep enam-variabel  yang  dimodifikasi  dari  Huang  dan  He
(2009) ke dalam model Hifi et al . (2010).
Adapun  konsep  enam-variabel  dapat  dijelaskan sebagai  berikut.  Terdapat  enam  variabel binary  integer ( O i 1 , O i 2 , O i 3 , O i 4 , O i 5 , O i 6 )  yang  digunakan  untuk menentukan  orientasi  kargo i .  Jumlah  keenam  variabel untuk  setiap  kargo  harus  sama  dengan  1. O i 1 bernilai  1 jika  panjang  kargo i ( l i cr )  paralel  dengan  panjang kontainer k ( l k cn )  dan  lebar kargo i ( w i cr )  paralel  dengan lebar  kontainer k ( w k cn ). O i 2 bernilai  1  jika l i cr paralel dengan w k cn dan w i cr paralel  dengan l k cn . O i 3 bernilai  1 jika l i cr paralel dengan l k cn dan w i cr paralel dengan tinggi kontainer k ( h k cn ). O i 4 bernilai  1  jika l i cr paralel  dengan h k cn dan w i cr paralel  dengan w k cn . O i 5 bernilai  1  jika l i cr paralel  dengan w k cn dan w i cr paralel  dengan h k cn . O i 6 bernilai  1  jika l i cr paralel  dengan h k cn dan w i cr paralel dengan l k cn yang dapat dilihat pada Gambar 1 .

## 2.3. Validasi Model
Validasi  model  dilakukan  melalui  uji  numerikal model  terhadap  kesesuaian  variabel input dan output . Uji  numerikal  dilakukan  dengan  ukuran-kecil  kontainer dan  kargo,  serta  biaya-biaya.  Untuk  memudahkan pengujian,  maka  formulasi  model  diprogram  dengan bantuan software Lingo.  Model  dijalankan  dengan menggunakan tipe solver branch-and-bound .

## 3. Hasil dan Pembahasan
3.1. Formulasi Model
Graf masalah terdiri dari set-set dan link sebagai berikut. U =  {1,2 ,...,M }  merupakan  set  dari  kargo rektanguler  yang  memiliki  variasi  ukuran  panjang l i cr , lebar w i cr ,  dan  tinggi h i cr ,  dimana i adalah  indeks  untuk kargo.  Sedangkan, V =  {1,2 ,...,N }  merupakan  set  dari kontainer  rektanguler  yang  memiliki  variasi  ukuran panjang l k cn , lebar w k cn , tinggi h k cn , dimana k merupakan indeks  untuk  kontainer.  Total  volume  kargo  yang  akan dimuat  tidak  lebih  dari  volume  kontainer.  Faktor-faktor yang  dipertimbangkan  dalam  formulasi,  yaitu  alokasi kargo  ke  kontainer,  lokasi  kargo  di  kontainer,  relasi
antar kargo, dan orientasi kargo.
Alokasi  kargo  ke  kontainer  ditentukan  oleh variabel  (binari)  keputusan lc ik , dimana  akan  bernilai  1 jika  kargo i dilokasikan  ke  kontainer k ,  dan  bernilai  0 jika  tidak.  Jumlah lc ik untuk  setiap  kargo i harus  sama dengan  1. Lokasi  ( corner )  kargo i di  kontainer ditunjukkan  secara  geometrikal  oleh  variabel  keputusan x i , y i , dan z i . Ketiganya merupakan variabel kontinu non- negatif untuk menentukan letak kargo i terhadap sumbu panjang, lebar, dan tinggi  kontainer. Untuk menentukan relasi  antar  kargo  yang  berada  dalam  satu  kontainer digunakan  teknik left-behind-below .  Artinya,  jika  kargo i dan j dimuat  dalam  kontainer  yang  sama  dan  kargo i dimuat  sebelum  kargo j ,  maka  posisi  kargo j akan terletak  di  kiri,  di  belakang,  atau  di  bawah  kargo i . Relasi  antar  kargo  ditentukan  oleh lf ij ,  bh ij , dan bl ij .  lf ij bernilai 1 jika kargo i terletak di kiri kargo j, bh ij bernilai 1  jika  kargo i terletak  di  belakang  kargo j, dan bl ij bernilai  1  jika  kargo i terletak  di  bawah  kargo j. Sedangkan  untuk  orientasi kargo, penentuannya didasarkan pada konsep orientasi enam-variabel.
MCLCMP terjadi ketika terdapat pilihan terhadap  sejumlah  kontainer  yang  memiliki  variasi biaya.  Dalam  industri  logistik  dan  pengiriman,  bukan spesifikasi (heterogenitas) kontainer saja yang berpengaruh,  namun  juga  persaingan  harga  antar perusahaan  penyedia  jasa.  Bagi  perusahaan  pengguna jasa,  faktor  pemilihan  kontainer  dapat  ditentukan berdasarkan  biaya  beban  kargo  (seperti  volume  atau berat)  dan  biaya  transportasi  (seperti  biaya  pengiriman dari  gudang  ke  kontainer).  Jika  setiap  kontainer k mengenakan  biaya  beban  (volume)  sebesar cv k untuk setiap  kargo  dan  setiap  kargo x dikenai  biaya transportasi  ke  kontainer k sebesar ct ik ,  maka  masalah dapat diformulasi seperti pada Fungsi ( )  + M i N k ik k cr i cr i cr i ik ct cv h w l lc Min (1  sampai U i O O O O O O i i i i i i    ;
} 1 , 0 { , , , , , 6 5 4 3 2 1 (11. Fungsi ( )  + M i N k ik k cr i cr i cr i ik ct cv h w l lc Min
(1 menyatakan  bahwa  tujuan  untuk  meminimisasi  biaya beban  volume  dan  transportasi  kargo.  Inekualitas
V k h w l h w l lc cn k cn k cn k M i cr i cr i cr i ik     ;
(2
menyatakan bahwa jumlah volume kargo tidak lebih dari volume kontainer. Persamaan U i O O O O O O i i i i i i   = + + + + + ; 1 6 5 4 3 2 1 (3
menyatakan  bahwa  kargo  hanya  dapat  melakukan  satu
orientasi. Persamaan
U i lc N k ik   =  ; 1
(4
menyatakan  bahwa  kargo  hanya  dapat  dimuat  ke  satu kontainer. Inekualitas V k j i U j i lc lc bl bl bh bh lf lf jk ik ji ij ji ij ji ij       − + − + + + + + + , , , ; 1 ) 1 ( ) 1 ( (5) dan ( ) ( ) ( )   ( ) ( ) ( )   ( ) ( ) ( )   V k j i U j i O O h O O w O O l h bl h z z
O O h O O w O O l w bh w y y
O O h O O w O O l l lf l x x
i i cr i i i cr i i i cr i cn k ij cn k j i
i i cr i i i cr i i i cr i cn k ij cn k j i i i cr i i i cr i i i cr i cn k ij cn k j i
          
+ + + + + −  + − + + + + + −  + − + + + + + −  + − , , , ; 2 1 5 3 6 4 6 3 4 1 5 2 5 4 6 2 3 1
(6)  menyatakan  bahwa overlap antar  kargo tidak dibolehkan. Inekualitas ( ) ( ) ( )   ( ) ( ) ( )   ( ) ( ) ( )   V k j i U j i lc h O O h O O w O O l h z lc w O O h O O w O O l w y lc l O O h O O w O O l l x ik cn k i i cr i i i cr i i i cr i cn k i ik cn k i i cr i i i cr i i i cr i cn k i
ik cn k i i cr i i i cr i i i cr i cn k i           − + + + + + + − 
− + + + + + + − 
− + + + + + + − 
, , , ; ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( 2 1 5 3 6 4 6 3 4 1 5 2 5 4 6 2 3 1 (7) dan U i z y x i i i    0 , , (8)
menyatakan  batasan  ruang  untuk  kargo.  Fungsi
V k U i lc ik      , ; } 1 , 0 {
(9) sampai U i O O O O O O i i i i i i    ; } 1 , 0 { , , , , , 6 5 4 3 2 1
(11)
menyatakan  bahwa  variabel-variabel  keputusan  terkait relasi  antar  kargo  ( lf ij ,bh ij ,bl ij ),  orientasi  kargo  ( O i 1 , O i 2 , O i 3 , O i 4 , O i 5 , O i 6 ),  dan  alokasi  kargo  ke  kontainer  ( lc ik ) berupa binary integer.
( )  + M i N k ik k cr i cr i cr i ik ct cv h w l lc Min (1)
V k h w l h w l lc cn k cn k cn k M i cr i cr i cr i ik     ; (2)
U i O O O O O O i i i i i i   = + + + + + ; 1 6 5 4 3 2 1 (3) U i lc N k ik   =  ; 1 (4)
V k j i U j i lc lc bl bl bh bh lf lf jk ik ji ij ji ij ji ij       − + − + + + + + + , , , ; 1 ) 1 ( ) 1 ( (5)
( ) ( ) ( )   ( ) ( ) ( )   ( ) ( ) ( )   V k j i U j i O O h O O w O O l h bl h z z O O h O O w O O l w bh w y y O O h O O w O O l l lf l x x i i cr i i i cr i i i cr i cn k ij cn k j i i i cr i i i cr i i i cr i cn k ij cn k j i i i cr i i i cr i i i cr i cn k ij cn k j i            + + + + + −  + − + + + + + −  + − + + + + + −  + − , , , ; 2 1 5 3 6 4 6 3 4 1 5 2 5 4 6 2 3 1 (6) ( ) ( ) ( )   ( ) ( ) ( )   ( ) ( ) ( )   V k j i U j i lc h O O h O O w O O l h z lc w O O h O O w O O l w y lc l O O h O O w O O l l x ik cn k i i cr i i i cr i i i cr i cn k i ik cn k i i cr i i i cr i i i cr i cn k i ik cn k i i cr i i i cr i i i cr i cn k i           − + + + + + + −  − + + + + + + −  − + + + + + + −  , , , ; ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( 2 1 5 3 6 4 6 3 4 1 5 2 5 4 6 2 3 1 (7) U i z y x i i i    0 , , (8)
V k U i lc ik      , ; } 1 , 0 { (9)
U j i bl bh lf ij ij ij    , ; } 1 , 0 { , , (10)
U i O O O O O O i i i i i i    ;
} 1 , 0 { , , , , , 6 5 4 3 2 1 (11)

## 3.2. Uji Numerikal
Uji numerikal dilakukan pada kasus dimana salah
satu perusahaan pengguna jasa akan memilih 3 kontainer heterogen  untuk  memuat  6  kargo  heterogen  miliknya.
Tabel 1. Dimensi dan Biaya Beban Kontainer No. Kontainer Dimensi (Feet) Biaya beban volume kargo (Rp. 1000) (cv k ) Panjang (l k cn ) Lebar (w k cn ) Tinggi (h k cn ) 1 10 8 8 5.2 2 15 8 8 5.4 3 20 8 8 5.6 Tabel 2. Dimensi dan Biaya Transportasi Kargo No. Kargo Dimensi (Feet) Biaya transport ke kontainer (Rp.1000) (ct ik ) Panjang (l i cr ) Lebar (w i cr ) Tinggi (h i cr ) 1 2 3 1 10 7 4 0.7 0.5 0.4 2 10 5 4 0.68 0.48 0.38 3 10 4 4 0.67 0.47 0.37 4 9 4 3 0.65 0.45 0.35 5 3 1 5 0.4 0.22 0.17 6 8 5 5 0.55 0.37 0.29 Tabel 3. Solusi Optimal Alokasi, Lokasi, Relasi, dan Orientasi Kargo No. Kargo Alokasi kargo di kontainer (lc ik ) Koordinat kargo di kontainer Orientasi kargo di kontainer Relasi antar kargo Kont. 1 (lc i1 ) Kont.2 (lc i2 ) Kont. 3 (lc i3 ) x i y i z i O i 1 O i 2 O i 3 O i 4 O i 5 O i 6 Kargo pair lf ij bh i j bl ij 1 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 2 1 0 0 3 0 0 0 4 1 0 0 5 0 0 0 6 0 0 0 2 1 0 0 0 4 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 3 0 0 0 4 0 0 1 5 0 0 0 6 0 0 0 3 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 2 1 0 0 4 0 0 1 5 0 0 0 6 0 0 0 4 1 0 0 0 4 5 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 2 0 0 0 3 0 0 0 5 0 0 0 6 0 0 0 5 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 2 1 0 0 3 0 0 1 4 1 0 0 6 0 0 1 6 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 2 0 0 0 3 0 0 0 4 0 0 0 5 0 0 0
Ketiga  kontainer  memiliki  dimensi  dan  biaya  beban volume yang berbeda. Dimensi dan biaya volume dapat dilihat  pada Tabel  1 .  Setiap  kargo  akan  dikenai  biaya transportasi  ke  kontainer  pilihan  berdasarkan  dimensi. Dimensi dan biaya transportasi kargo dapat dilihat pada Tabel 2 . Pemrograman  masalah  dengan  menggunakan software Lingo  memberikan  solusi  biaya  optimal  (= 5114.77) tanpa adanya overlap antar kargo. Kargo 1, 2, 4,  dan  5  akan  dialokasikan  ke  kontainer  1,  kargo  6 dialokasikan  ke  kontainer  2,  sedangkan  kargo  3 dialokasikan  ke  kontainer  3. Orientasi  1  ( O 1 )  dilakukan pada kargo 3, 4, dan 6. Orientasi 3 ( O 3 ) dilakukan pada kargo  1  dan  2.  Sedangkan  orientasi  5  ( O 5 )  dilakukan pada  kargo  5.  Hasil running secara  detil  dapat  dilihat pada Tabel  3 ,  sedangkan  secara  geometrikal  dapat dilihat pada
Gambar 2. Dari hasil yang didapat, menunjukkan  adanya  kesesuaian  antara  nilai-nilai  yang diberikan  pada  variabel input terhadap  variabel output . Pengujian  ini  dilakukan  pada  komputer  standar office dengan waktu running selama 6 detik.

## 4. Kesimpulan
Dalam  penelitian  ini,  dikembangkan  konsep enam  orientasi  ortogonal  kargo  dalam  pemrograman integer  (binari)  untuk  MCLCMP.  Model  dapat digunakan  dalam  pengambilan  keputusan  perusahaan pengguna  jasa  dalam  menyeleksi  set  kontainer  yang ditawarkan  oleh  perusahaan  penyedia  layanan  logistik dan  pengiriman,  dimana  kargo  terkendala  biaya  beban (volume)  kontainer dan  transportasi.  Faktor-faktor  yang dipertimbangkan  meliputi  alokasi  kargo  ke  kontainer, lokasi ( coordinat ) kargo di kontainer, relasi antar kargo, dan  orientasi  kargo  terhadap  kontainer.  Selain  itu, kapasitas  maksimum  berat  muatan  untuk  setiap kontainer dimasukkan untuk menambah isu yang sering dihadapi dalam praktik di lapangan.
Untuk  pengembangan  ke  depan,  beberapa kendala  yang  dapat  dipertimbangkan  meliputi  stabilitas kontainer,  susunan  kargo,  dan  prioritas  pengiriman. Selain itu, beberapa metode atau prosedur solusi lainnya dibutuhkan  untuk  menyelesaikan  masalah  pemuatan kontainer dengan skala besar.

## 5. Ucapan Terima Kasih
Terima  kasih  disampaikan  kepada  Fakultas Teknik Unpatti yang telah mendanai penelitian ini.

## 6. Daftar Pustaka
Almeida,  A.  de,    Figueiredo,  M.  B.  (2010).  A particular  approach  for  the  Three-dimensional Packing  Problem  with  additional  constraints. Computers  and  Operations  Research , 37 (11), 1968–1976.
https://doi.org/10.1016/j.cor.2010.01.010
Arenales,  M.,    Morabito,  R.  (1997).  An  overview  of AND/OR-graph  approaches  to  cutting  and packing  problems. In:  Mukhacheva,  E.A.  (Ed.), Decision Making under Conditions of Uncertainty  (Cutting–Packing  Problems).  Ufa State  Aviation  Technical  University,  Ufa ,  207– 224.
Bortfeldt,  A.,    Wäscher,  G.  (2013).  Constraints  in container  loading-A  state-of-the-art  review. European  Journal  of  Operational  Research , 229 (1),
1–20. https://doi.org/10.1016/j.ejor.2012.12.006
Brunetta,  L.,    Grégoire,  P.  (2005).  A  general  purpose algorithm for three-dimensional packing. INFORMS  Journal  on  Computing , 17 (3),  328– 338. https://doi.org/10.1287/ijoc.1030.0068
Ceschia,  S.,    Schaerf,  A.  (2013).  Local  search  for  a multi-drop  multi-container  loading  problem. Journal of Heuristics , 19 (2), 275–294. https://doi.org/10.1007/s10732-011-9162-6
Che, C. H., Huang, W., Lim, A.,  Zhu, W. (2011a). A Heuristic  for  the  Multiple  Container  Loading Cost  Minimization  Problem. In:  Mehrotra,  K.G. et  Al.  (Eds.),  Lecture  Notes  on  Artificial Intelligence, 6704/2011. Springer, Berlin, Heidelberg , 276–285.
Che,  C.  H.,  Huang,  W.,  Lim,  A.,    Zhu,  W.  (2011b). The multiple container loading cost minimization problem. European  Journal  of  Operational Research , 214 (3), 501–511.
https://doi.org/10.1016/j.ejor.2011.04.017
Chen,  C.  S.,  Lee,  S.  M.,    Shen,  Q.  S.  (1995).  An
Gambar 2. Geometrikal Pemuatan Kargo ke Kontainer
analytical  model  for  the  container  loading
problem. European  Journal  of  Operational
Research , 80 (1), 68–76. https://doi.org/10.1016/0377-2217(94)00002-T
Chien,  C.  F.,  Lee,  C.  Y.,  Huang,  Y.  C.,    Wu,  W.  T.
(2009). An efficient computational procedure for determining the container-loading pattern. Computers  and  Industrial  Engineering , 56 (3), 965–978. https://doi.org/10.1016/j.cie.2008.09.019
De  Queiroz,  T.  A.,  Miyazawa,  F.  K.,  Wakabayashi,  Y., Xavier,  E.  C.  (2012).  Algorithms  for  3D guillotine cutting problems: Unbounded knapsack,  cutting  stock  and  strip  packing. Computers  and  Operations  Research , 39 (2), 200–212. https://doi.org/10.1016/j.cor.2011.03.011
Eley,  M.  (2003).  A  bottleneck  assignment  approach  to the multiple container loading problem. Operations Research Spectrum , 25 , 45–60.
Fraser,  H.  J.,    George,  J.  A.  (1994).  Integrated container  loading  software  for  pulp  and  paper industry. European  Journal  of  Operational Research , 77 (3),
466–474. https://doi.org/10.1016/0377-2217(94)90410-3
He, Y., Wu, Y.,  De Souza, R. (2012). A global search framework for practical three-dimensional packing  with  variable  carton  orientations. Computers  and  Operations  Research , 39 (10), 2395–2414. https://doi.org/10.1016/j.cor.2011.12.007
Hifi,  M.,  Kacem,  I.,  Nègre,  S.,    Wu,  L.  (2010).  A linear  programming  approach  for  the  three- dimensional  bin-packing  problem. Electronic Notes in Discrete Mathematics , 36 (C), 993–1000. https://doi.org/10.1016/j.endm.2010.05.126 Huang, W.,  He, K. (2009). A caving degree approach for  the  single  container  loading  problem. European  Journal  of  Operational  Research , 196 (1), 93–101. https://doi.org/10.1016/j.ejor.2008.02.024
Ivancic,  N.,  Mathur,  K.,    Mohanty,  B.  B.  (1989).  An integer-programming based heuristic approach to the  three-dimensional  packing  problem. Journal of  Manufacturing  and  Operations  Management , 2 , 268–289.
Jin,  Z.,  Ito,  T.,    Ohno,  K.  (2003).  The  three- dimensional  bin  packing  problem  and  its practical  algorithm.  In JSME  International
Journal, Series C: Mechanical Systems, Machine Elements  and  Manufacturing (Vol.  46,  Issue  1, pp. 60–66). https://doi.org/10.1299/jsmec.46.60
Junqueira,  L.,  Morabito,  R.,    Sato  Yamashita,  D. (2012).  Three-dimensional  container  loading models  with  cargo  stability  and  load  bearing constraints. Computers and Operations Research ,
39 (1), 74–85. https://doi.org/10.1016/j.cor.2010.07.017
Lin, J. L., Chang, C. H.,  Yang, J. Y. (2006). A study of  optimal  system  for  multiple-constraint multiple-container  packing  problems. Lecture Notes  in  Computer  Science  (Including  Subseries Lecture  Notes  in  Artificial  Intelligence  and Lecture  Notes  in  Bioinformatics) , 4031  LNAI , 1200–1210.
https://doi.org/10.1007/11779568_127
Paquay,  C.,  Schyns,  M.,    Limbourg,  S.  (2016).  A mixed  integer  programming  formulation  for  the three-dimensional  bin  packing  problem  deriving from  an  air  cargo  application. International Transactions  in  Operational  Research , 23 (1–2), 187–213. https://doi.org/10.1111/itor.12111 Ren,  J.,  Tian,  Y.,    Sawaragi,  T.  (2011).  A  priority- considering  approach  for  the  multiple  container loading  problem. International  Journal  of Metaheuristics , 1 (4), 298. https://doi.org/10.1504/ijmheur.2011.044314 Techanitisawad, A.,  Tangwiwatwong, ·paisitt. (2004). A  GA-based  Heuristic  for  the  Interrelated Container  Selection  Loading  Problems. Iems ,
3 (1), 22–37. https://doi.org/10.1.1.127.2898 Wäscher, G., Haußner, H.,  Schumann, H. (2007). An improved  typology  of  cutting  and  packing problems. European  Journal  of  Operational Research , 183 (3), 1109–1130.
https://doi.org/10.1016/j.ejor.2005.12.047
Westerlund,  J.,  Papageorgiou,  L.  G.,    Westerlund,  T. (2005).  A  problem  formulation  for  optimal mixed-sized  box  packing. Computer  Aided Chemical Engineering , 20 (C), 913–918.
https://doi.org/10.1016/S1570-7946(05)80274-3
Westerlund,  J.,  Papageorgiou,  L.  G.,    Westerlund,  T. (2007).  A  MILP  model  for  N-dimensional allocation. Computers and Chemical Engineering , 31 (12), 1702–1714.
https://doi.org/10.1016/j.compchemeng.2007.02. 006