Received
Revised
Accepted Online Published
: 15 Maret 2020 : 2 April 2020 : 20 April 2020 : 27 April 2020 : 30 April 2020

## Kajian Integral Lintasan Lévy dalam Mekanika Kuantum Fraksional untuk Membentuk Persamaan Schrödinger Fraksional
Chandra Halim 1, a) , M. Farchani Rosyid 1, b) ,
1) Departemen Fisika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Gadjah Mada
✉ : a) chandra.halim.m@mail.ugm.ac.id, b) farchani@ugm.ac.id.

## ABSTRACT
The  implementation  of  Lévy  path  integral  generated  by  Lévy  stochastic  process  on  fractional Schrödinger equation has been investigated in the framework of fractional quantum mechanics. As the  comparison,  the  implementation  of  Feynmann  path  integral  generated  by  Wiener  stochastic process on Schrödinger equation also has been investigated in the framework of standard quantum mechanics.  There are two stochastic processes. There are  Lévy stochastic  and Wiener  stochastic process. Both of them are able to produce fractal. In fractal’s concept, there is a value known as fractal dimension. The implementation of fractal dimension is the diffusion equation obtained by using  Fokker  Planck  equation.  In  this  paper,  Lévy  and  Wiener  fractal  dimension  have  been obtained.  There  are    for  Lévy  and  2  for  Wiener/Brown  fractal  dimension.  Fractional  quantum mechanics is generalization of standard quantum mechanics. A fractional quantum mechanics state is  represented  by  wave  function  from  fractional  Schrödinger  equation.  Fractional  Schrödinger equation is obtained by using kernel of Lévy path integral generated by Lévy stochastic process. Otherwise,  standard  quantum  mechanics  state  is  represented  by  wave  function  from  standard Schrödinger equation. Standard Schrödinger equation is obtained by using kernel of Feynmann path integral  generated  by  Wiener/Brown  stochastic  process.    Both  Lévy  and  Feynmann  Kernel  have been investigated and the outputs are the Fourier Integral momentum phase of those kernels. We find that the forms of those kernels have similiraty. Therefore, we obtain Schrödinger equation from Lévy  and  Feynmann  Kernel  and  also  the  comparison  of  Lévy  energy  in  fractional  quantum mechanics and particle energy in standard quantum mechanics.
Keywords : Lévy, Quantum Mechanics, Schrödinger.

## ABSTRAK
Telah dilakukan kajian mengenai penerapan integral lintasan Lévy yang dibangkitkan dengan proses stokastik Lévy pada persamaan Schrödinger yang lebih umum dalam mekanika kuantum fraksional. Sebagai perbandingan, telah dikaji pula penerapan integral lintasan Feynmann dengan proses stokastik Wiener pada persamaan Schrödinger dalam mekanika kuantum standar. Terdapat dua proses stokastik yang digunakan yaitu proses stokastik Wiener dan proses stokastik Lévy. Kedua proses ini memiliki kesamaan  yaitu  proses  yang  menghasilkan  fraktal.  Dalam  konsep  fraktal,  terdapat  suatu  nilai  yang disebut sebagai dimensi fraktal. Penerapan konsep dimensi fraktal ini terletak pada persamaan difusi yang merupakan persamaan Fokker Planck pada proses stokastik Lévy dan Wiener. Pada kaji  ulang ini,  ditemukan  dimensi  fraktal  Lévy  sebesar    dan  dimensi  fraktal  Wiener  sebesar  dua.  Mekanika kuantum  fraksional  merupakan  perumuman  dari  mekanika  kuantum  standar.  Suatu  keadaan  dalam mekanika  kuantum  fraksional  diwakili  oleh  bentuk  fungsi  gelombang  pada  persamaan  Schrödinger fraksional yang dibangkitkan dari kernel integral lintasan Lévy. Sedangkan keadaan dalam mekanika kuantum  standar  diwakili  oleh  bentuk  fungsi  gelombang  pada  persamaan  Schrödinger  standar  yang dibangkitkan  dari  kernel  integral  lintasan  Feynmann  Nilai  kernel  Lévy  dan  Feynmann  ditinjau sedemikian rupa sehingga diperoleh bentuk yang paling sederhana dalam bentuk integral Fourier ruang momentum. Selanjutnya, dilakukan kaji ulang terhadap persamaan Schrödinger yang diteliti melalui nilai kernel integral lintasan masing-masing.  Pada perhitungan  akhir, diperoleh perbandingan antara nilai energi Lévy dengan energi pada mekanika kuantum standar.
Kata-kata kunci : Lévy, Quantum Mechanics, Schrödinger.

## PENDAHULUAN
Mekanika kuantum merupakan ilmu dasar yang dapat menjelaskan berbagai sistem mikroskopik. Mekanika kuantum menjadi hal yang fundamental dalam penelusuran sistem mikroskopik dikarenakan mekanika kuantum mempelajari materi dan interaksinya dengan energi pada skala atom dan partikel subatomik.  Dalam  mekanika  kuantum,  perilaku  dari  partikel  diwakili  misalnya  oleh  suatu  fungsi gelombang. Fungsi gelombang yang mewakili dinamika keadaan suatu partikel merupakan solusi dari persamaan Schrödinger gayut waktu (Suparmi 2011).
Persamaan Schrödinger adalah persamaan yang mengambarkan perkembangan (dinamika) keadaan suatu partikel dalam mekanika kuantum. Bentuk persamaan Schrödinger sejatinya adalah persamaan differensial berorde satu terhadap waktu yang solusinya merupakan vektor keadaan partikel. Vektor keadaan tersebut dapat disajikan dalam bentuk fungsi gelombang. Melalui fungsi gelombang tersebut, maka  diperoleh  penggambaran  dinamika  keadaan  berupa  besaran  observabel  seperti  posisi  dan momentum dari suatu partikel dalam dunia mekanika kuantum (Rosyid 2005). Persamaan Schrödinger merupakan persamaan mendasar dalam pengamatan dunia mikroskopik. Persamaan Schrödinger dapat mendeskripsikan  perilaku  materi  dan  interaksi  partikel  yang  berukuran  subatomik.  Oleh  sebab  itu, formulasi persamaan Schrödinger menjadi hal yang penting dalam menguak dunia mikroskopis dalam fisika kuantum.
Istilah  “ fractal ”  pertama  kali  diperkenalkan  oleh  Mandelbrot  ke  dalam  ilmu  pengetahuan. Berdasarkan sejarah, contoh objek fisik fraksional adalah gerak Brown. Objek ini diteliti lebih lanjut dan  dihubungkan  dalam  dunia  kuantum.  Dalam  fisika  kuantum,  hasil  pertama  yang  diperoleh  dari penerapan  konsep  fraktalitas  adalah  integral  lintasan  Feynman  pada  pendekatan  mekanika  kuantum (Mandelbrot 1982). Feynman dan Hibbs (1965) merumuskan ulang mekanika kuantum non-relativistik sebagai integral lintasan yang berada pada lintasan gerak Brown. Oleh karena itu, latar belakang konsep fraksional yang dikembangkan oleh Feynman dan Hibbs mengarah ke mekanika kuantum standar ( non- fractional ).
Pada  penelitian  ini,  akan  dilakukan  kaji  ulang  terhadap  perluasan  bagi  konsep  fraktalitas  dalam fisika  kuantum,  yaitu  kaji  ulang  konstruksi  integral  lintasan  fraksional  yang  baru  dan  merumuskan ulang mekanika kuantum fraksional ( Fractional Quantum Mechanics atau FQM) pada integral lintasan
Lévy.  Lebih  tepatnya,  FQM  dalam  bentuk  integral  lintasan  merupakan  ukuran  fungsional  yang dibangkitkan  oleh  proses  stokastik  Lévy.  Proses  stokastik  Lévy  merupakan  perumuman  bagi  gerak Brown. Landasan bagi perumuman ini adalah teori distribusi probabilitas stabil yang dikembangkan oleh  Lévy.  Oleh  karena  itu,  dari  sudut  pandang  teori  probabilitas  ini  disimpulkan  bahwa  hukum probabilitas  stabil  adalah  bentuk  umum  bagi  hukum  probabilitas  Gauss.  Proses  Lévy  stabil  dikarakterisasi oleh index Lévy  , 2 0    . Untuk nilai 2 =  , diperoleh proses Gauss atau proses gerak  brown  yang  kemudian  menghasilkan  persamaan  Schrödinger  standar  (Gardiner  1985).  Secara umum, akan diformulasikan persamaan Schrödinger fraksional. Persamaan ini tentunya juga mencakup persamaan Schrödinger standar yakni pada persamaan diferensial dengan nilai 2 =  . Oleh karena itu, bentuk  perumuman  yang  akan  dilakukan  disebut  dengan  istilah  “Mekanika  Kuantum  Fraksional”- FQM..  Bentuk  formulasi  mekanika  kuantum  fraksional  dapat  menjelaskan  fenomena  teleportasi kuantum yang sebelumnya tidak dapat dijelaskan dengan mekanika kuantum standar. Hal ini didasari oleh  perbedaan  persamaan  kontinuitas  antara  mekanika  kuantum  standar  dan  mekanika  kuantum fraksional.  Pada  persamaan  kontinuitas  mekanika  kuantum  fraksional,  suku  kanan  yakni  rapat  arus bernilai tidak nol. Sedangkan, persamaan kontinuitas mekanika  kuantum standar, rapat arus bernilai nol.  Kemunculan  nilai  rapat  arus  pada  mekanika  kuantum  fraksional  akan  menjadi  titik  awal  dalam penelusuran fenomena teleportasi kuantum (Wei 2016). Dengan demikian, kaji ulang ini diharapkan dapat membantu penelitian selanjutnya untuk mengungkapkan dunia teleportasi dalam dunia nyata.

## METODE PENELITIAN
Metode  penelitian  yang  digunakan  adalah  studi  pustaka  yakni  dengan  meninjau  secara  teoritis terkait  mekanika  kuantum  fraksional  yang  didekati  dengan  penerapan  integral  lintasan  Lévy  dan mengaitkannya  dengan  mekanika  kuantum  standar  yang  selama  ini  telah  diketahui  (Laskin  2000). Adapun langkah-langkah penelitian yang dilakukan adalah.
1. Kajian tentang mekanika kuantum secara umum serta urgensinya dalam menghasilkan persamaan Schrödinger dengan menggunakan integral lintasan Feynman.
2. Mengkaji  lebih  dalam  tentang  proses  stokastik  Lévy  yang  menjadi  pondasi  dasar  dalam memperoleh integral lintasan Lévy.
3. Mengkaji  keterkaitan  antara  integral  lintasan  Lévy  dan  integral  lintasan  Feynman  dalam keberlakuannya pada mekanika kuantum.
4. Merumuskan bentuk umum persamaan Schrödinger yaitu persamaan Schrödinger fraksional dalam mekanika kuantum fraksional.
5. Membuktikan  bahwa  mekanika  kuantum  fraksional  merupakan  bentuk  umum  dari  mekanika kuantum  standar  dengan  membandingkan  persamaan  Schrödinger  standar  dan  persamaan Schrödinger fraksional.

## HASIL DAN PEMBAHASAN
Penelitian  ini  bertujuan  untuk  mengkaji  ulang  terhadap  perluasan  bagi  konsep  fraktalitas  dalam mekanika kuantum yaitu kaji ulang konstruksi integral lintasan fraksional yang baru dan merumuskan ulang mekanika kuantum fraksional ( Fractional Quantum Mechanics atau FQM) pada integral lintasan Lévy. Dalam melakukan kaji ulang ini, ditelaah pula proses kontruksi integral lintasan Feynmann yang merupakan persamaan fundamental untuk memperoleh persamaan Schrödinger standar pada mekanika kuantum  standar.  Oleh  karena  itu,  diperoleh  bahwasanya  mekanika  kuantum  fraksional  merupakan perluasan konsep fraktalitas dari mekanika kuantum standar dengan persamaan Schrödinger standar di dalamnya.
Agar pemaparan hasil dan pembahasan lebih runtut dan jelas, hasil dibagi kedalam 2 subbab penjelasan yaitu mekanika kuantum standar sebagai kasus khusus dan mekanika kuantum  fraksional sebagai perumuman dari mekanika kuantum standar. Pada subbab terakhir, ditunjukkan bentuk analog dari persamaan mekanika kuantum standar dengan mekanika kuantum fraksional jika disubsitusikan nilai  α  =  2  pada  persamaan  Schrödinger  fraksional.  Dengan  demikian,  dapat  diperoleh  kesimpulan bahwasanya mekanika kuantum fraksional merupakan perumuman dari mekanika kuantum standar.

## Mekanika Kuantum Standar

## Integral Lintasan Feynman
Jika sebuah partikel dengan waktu awal a t pada posisi a x berangkat menuju titik pada posisi b x pada waktu b t , maka partikel tersebut menempuh lintasan posisi sebagai fungsi waktu ) ( t x dengan a a x t x = ) ( dan b b x t x = ) ( .  Dalam  mekanika  kuantum,  untuk  setiap  kemungkinan  lintasan  berbeda yang  ditempuh  oleh  partikel  memberikan  kontribusi  suatu  besaran  yang  disebut  sebagai  kernel mekanika  kuantum a a b b F t x t x K . Kernel  merupakan  besaran  yang  menggambarkan  suatu  nilai probabilitas  dari  seluruh  lintasan  partikel  yang  mungkin  terjadi  dari  suatu  titik  awal  ke  titik  akhir (Feynmann  dan  Hibbs  1965).  Nilai  kernel  mekanika  kuantum  dapat  digunakan  untuk  menemukan persamaan  Schrödinger  dalam  wakilan  fungsi  gelombang.  Jika  terdapat  partikel  kuantum  yang bergerak  dalam  potensial ) ( x V sebagai  fungsional  dari  lintasan  partikel ) (  x ,  maka  nilai  kernel
a a b b F t x t x K secara  matematis  dapat  dirumuskan  sebagai  berikut  (Laskin  2006).  Nilai  kernel
a a b b F t x t x K secara matematis dapat dirumuskan sebagai berikut.
  = =      − = b b a a b a x t x x t x t t a a b b F d x V i Dx t x t x K ) ( ) ( )) ( ( exp ) (    
dengan
( )      − − = − − = =  → − =       −       = N t t x x im m i dx dx Dx a b j j N j N x t x x t x N b b a a      , 2 exp 2 ... lim )... ( 2 1 1 2 1 1 1 ) ( ) (  
dengan m adalah  massa  partikel  kuantum  dan    adalah  konstanta  planck. Jika  dinyatakan  dalam integral  Fourier  maka  Kernel  integral  lintasan  Feynmann  pada  kasus  partikel  bebas  dapat  ditulis sebagai berikut.
( )    −       − − − = dp m t t ip x x ip t x t x K a b a b a a b b F    2 ) ( exp 2 1 2 

## Persamaan Schrödinger Standar
Kernel
a a b b F t x t x K yang telah didefinisikan pada persamaan mengambarkan perubahan dari sistem mekanika kuantum standar.
( ) ( )    −  =  a a i a a b b F a b b f t x t x t x K dx t x , ,
Untuk mendapatkan persamaan Schrödinger, dilakukan pendekatan infinitesimal pada t:
( ) ( )    −  + = +  t x t x t x K dx t x a i a b F a b f , , , ,   Pada pendekatan infinitesimal dan menggunakan definisi turunan fraksional kuantum Rietz pada nilai 2 =  serta transformasi Fourier diperoleh.
( )    
    − =    m t i 2 2  
(1) (2) (3) (4)
(5)
p-ISSN : 2502-5643 | e-ISSN : 2720-9571
 =    H t i  dengan adalah operator hamiltonan. ( ) m p m H 2 2 2 2 =        − = 
Persamaan (6) disebut sebagai persamaan Schrödinger standar pada partikel yang bergerak dalam satu dimensi (Laskin 2000).

## Mekanika Kuantum Fraksional
Integral Lintasan Lévy
Nilai kernel levy a a b b L t x t x K secara matematis dapat dirumuskan sebagai berikut.
       − = b a b a x x t t a a b b L d x V i Dx t x t x K    )) ( ( exp ) ( 
dengan )) ( (  x V adalah potensial sebagai fungsional dari partikel lintasan Lévy ) (  x , dan ukuran integral lintasan fraksional didefinisikan sebagai.
( )      − − = − − −  →         −             = ..., 1 ... lim )... ( 1 1 1 1 1 j j N j N N N x x N x x iD L iD dx dx Dx b a            
dengan  D adalah koefisien difusi kuantum fraksional dengan satuan . sec 1    − − cm erg  adalah konstanta  planck, b n a x x x x = = , 0 ,  dan N t t a b − =  .  Distribusi  Lévy  L dapat  dituliskan  sebagai fungsi H fox yaitu.
( )               =                     − − ) 2 1 , 1 ( ), 1 , 1 ( ) 2 1 , 1 ( ), 1 , 1 ( 1 1 , 1 2 , 2 1 1 1 1 1 1          x t iD H x x t iD L t iD      
dengan  adalah indeks Lévy pada interval 2 1    (Laskin 2000).
Pada kasus partikel bebas 0 ) ( = x V , maka nilai kernel integral lintasan  Lévy hanya bergantung pada bagian ukuran integral lintasan saja. Untuk nilai N = 1 , maka nilai kernel integral lintasan Lévy dapat  dinyatakan  dalam  bentuk  fungsi  H-Fox
) , ( ), , ( ) , ( ), , ( 2 2 1 1 2 2 1 1 . , B b B b A a A a z H n m q p yang  lebih  lanjut  dapat dilihat pada (Fox 1961) yaitu.
( )               − − =    
    −       −       − − − ) 2 1 , 1 ( ), 1 , 1 ( ) 2 1 , 1 ( ), 1 , 1 ( 1 1 , 1 2 , 2 1 1 1 ) ( 1 1 ) ( 1 ) (          x t t iD H x x x x t t iD L t t iD a b a b a b a b a b      
(6) (7)
(8)
(9)
(10) (11)
Dalam  bentuk  integral  fourier,  kernel  Lévy  pada  kasus  partikel  bebas  dapat  dituliskan  sebagai berikut
( )    −         − − − = dp t t p iD x x ip t x t x K a b a b a a b b L       ) ( exp 2 1 Persamaan Schrödinger Fraksional
Kernel
a a b b L t x t x K yang telah didefinisikan pada persamaan diatas mengambarkan perubahan dari sistem mekanika kuantum fraksional.
( ) ( )    −  =  a a i a a b b L a b b f t x t x t x K dx t x , ,
Untuk mendapatkan persamaan Schrödinger fraksional dilakukan pendekatan infinitesimal pada t
( ) ( )    −  + = +  t x t x t x K dx t x a i a b L a b f , , , ,  
Pada pendekatan infinitesimal , menggunakan turunan fraksional kuantum Rietz serta transformasi Fourier maka diperoleh.
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) t x D i t x t t x t x , , , ,   +  =    +        ( )     − =        D t i  =     H t i 
dengan  H adalah operator hamiltoninan fraksional.
( ) ( )          − = =  − = =   p p D D E H ,
Persamaan  (16)  disebut  sebagai  persamaan  Schrödinger  fraksional  pada  partikel  bebas  yang bergerak dalam satu dimensi (Laskin 2000).

## KESIMPULAN
Berdasarkan  hasil  yang  telah  dikaji  dapat  disimpulkan  bahwa  persamaan  Schrödinger  memiliki bentuk  yang  sama  dengan  persamaan  Schrödinger  standar  dalam  kasus  partikel  bebas.  Hanya  saja, dalam  persamaan  Schrödinger  fraksional  terdapat  tambahan  variabel  D yakni  koefisien  difusi kuantum  fraksional  dengan  satuan . sec 1    − − cm erg Tetapi  pada  persamaan  Schrödinger  standar tidak ditemukan tambahan variabel. Melalui kaji ulang persamaan, diperoleh nilai  D pada pada nilai indeks Lévy 2 =  adalah m 2 1 . Jika nilai 2 D dimasukkan kedalam persamaan Schrödinger fraksional maka  diperoleh  persamaan  Schrödinger  standar  dalam  kasus  partikel  bebas.  Perbandingan  antara mekanika  kuantum  standar  dan  mekanika  kuantum  fraksional  terlihat  pada  persamaan  Schrödinger yang  diperoleh  dari  kedua  jenis  integral  lintasan  yang  berbeda.  Persamaan  Schrödinger  fraksional menggunakan  integral  lintasan  Lévy  sebagai  pendekatannya  sedangkan  persamaan  Schrödinger standar  menggunakan  integral  lintasan  Feynmann.  Walaupun  demikian,  terlihat  bahwa  mekanika kuantum  fraksional  merupakan  perumuman  dari  mekanika  kuantum  standar  yakni  pada  nilai  indeks Lévy 2 =  .
(12)
(13)
(14)
(15)
(16)

## UCAPAN TERIMAKASIH
Ucapan  terima  kasih  penulis  kepada  bapak  Dr.rer.nat.  M.  Farchani  Rosyid,  M.Si  sebagai pembimbing  dalam  menulis  paper  ini  kepada  bapak  Romy  Hanang  Setya  Budhi,  Ph,D  dan  Mirza Satriawan Ph.D. yang telah memberikan saran yang konstruktif dalam penulis untuk menyempurnakan karya tulis ini.

## REFERENSI
Feynman, R. P. & Hibbs A. R. (1965). Quantum Mechanics and Path Integrals . New York : McGraw- Hill.
Fox, C. (1961). The G and H Functions as Symmetrical Fourier Kernels. Transactions of the American Mathematical Society, 98 (3): 395-429.
Gardiner, C.W.(1985). Handbook of Stochastic Methods , Berlin : Springer.
Laskin, N. (2000). Fractional Quantum Mechanics and Lévy Path Integrals. Physics Letter A 268 , 298-
305.
Laskin, N.(2006).Lévy Flight over Quantum Paths. New York : Sciencedirect.
Mandelbrot, B.B.(1982). The Fractal Geometry of Nature . New York : Freeman.
Rosyid, M.F.(2005). Mekanika Kuantum Model Matematis Bagi Fenomena Alam Mikroskopis Tinjauan Nonrelativistik . Skripsi, Fisika FMIPA UGM.
Suparmi. (2011). Mekanika Kuantum II. Surakarta : Fisika FMIPA Universitas Sebelas Maret. . Wei, Y. (2016).  The Quantum Mechanics Based on a General Kinetic Energy, Int. J. Sci. Res. 4: 121 .