## Sistem Kendali Eddy Current Brakes Dinamometer menggunakan Linear Quadratic
Regulator (LQR)
MUHAMMAD ARROFIQ 1 , LUKMAN SIDIQ NUGROHO 2 , FAHMIZAL 3 , ESA

## APRIASKAR
4
1,2,3 Departemen Teknik Elektro dan Informatika, Sekolah Vokasi, Universitas Gadjah Mada, Indonesia
4 Jurusan Teknik Elektro, Fakultas Teknik, Universitas Negeri Semarang, Indonesia Email: rofiq@ugm.ac.id
Received 4 Juni 2021 | Revised 6 Juli 2021 | Accepted 9 Juli 2021

## ABSTRAK
Makalah ini memberikan analisis perbandingan antara teknik kendali klasik yaitu kendali  PID  dengan  teknik  kendali  modern  pada  sistem  Eddy  current  brakes dinamometer. Eddy current brakes merupakan sistem pengereman modern yang membutuhkan  sebuah  sistem  kendali  untuk  menunjang  kinerja  pengereman. Selama ini kendali PID lebih sering digunakan, namun di beberapa kondisi dinilai kurang  optimal.  Dengan  demikian,  diperlukan  pengembangan  kendali  yang modern dan optimal yaitu full state feedback Linear Quadratic Regulator (LQR).
Perbandingan  respon  waktu  pengereman  disimulasikan  menggunakan Matlab/Simulink.  Hasil  simulasi  menunjukkan  respon  waktu  pengereman  pada kendali LQR lebih baik dibandingkan dengan kendali PID, dengan Ts = 2.12 detik, Tr = 1.18 detik, dan tanpa overshoot. Adapun kendali PID, meskipun menghasilkan Ts = 0.27 detik dan Tr = 0.18 detik, namun demikian masih terdapat overshoot sebesar 0.7%.
Kata kunci : Eddy brakes, PID, LQR, Matlab

## ABSTRACT
This  paper  provides  a  comparative  analysis  between  PID  control  as  a  classical control technique and modern control technique in the dinamometer Eddy current brakes system. Eddy current brakes is a modern braking system that requires a control system to support the braking performance. PID control is often used to be implemented but in some conditions it is less optimal. Therefore, it is necessary to  develop  a  modern  and  optimal  control,  such  as  a  full  state  feedback  Linear Quadratic Regulator (LQR). The comparison of the braking time responses were simulated using Matlab/Simulink. The simulation results show that the response of LQR control is better than the PID, with Ts = 2.12 seconds, Tr = 1.18 seconds, and without overshoot. On the other side, PID control, although having Ts = 0.27 seconds and Tr = 0.18 seconds, there is still an overshoot about 0.7%.
Keywords : Eddy brakes, PID, LQR, Matlab

## 1. PENDAHULUAN
Perkembangan  sektor  otomotif  khususnya  di  Indonesia  berkembang  cukup  pesat  dalam beberapa dekade ini, khususnya pada sektor mesin kendaraan. Dalam dunia otomotif setiap mesin  memiliki  karakteristik  dan  kemampuan  yang  berbeda  mulai  dari  tenaga  mesin,  torsi mesin,  dan  emisi  bahan  bakar  mesin  tersebut.  Oleh  karena  itu  digunakanlah  dinamometer sebagai alat yang dapat memberikan informasi karakteristik dari sebuah mesin. Alat tersebut dapat digunakan untuk menganalisis performa mesin lebih lanjut. Secara umum, terdapat dua tipe  percobaan  yang  dilakukan  untuk  mendapatkan  performa  mesin  yaitu constant  brakes testing  dan  maximum  brakes  testing (Nahari,  dkk,  2012) .  Guna  mendukung  kinerja pengereman  dinamometer  yang  optimal,  maka  digunakanlah  sistem  Eddy current  brakes dinamometer.
Eddy current brakes dinamometer dipilih karena mampu memberikan laju perubahan beban yang cepat, memiliki pengereman yang baik pada kecepatan yang tinggi, kondisi yang cepat, stabil  dan  akselerasi  yang  mudah  dikendalikan.  Sehingga  menjadikan  Eddy current  brakes dinamometer  ini  sangat  fleksibel  dan  ideal  untuk  pengujian  performa  mesin  dibandingkan dengan  dinamometer  inersia (Nunes  &  Brojo,  2020) .  Sistem  Eddy current  brakes dinamometer  memanfaatkan  arus  yang ditimbulkan oleh  adanya perubahan fluks  magnetis pada  piringan  konduktor  sebagai  pemicu  untuk  menciptakan  gaya  pengereman  pada pengetesan  performa  mesin (Cho,  dkk,  2017) .  Parameter  waktu,  besarnya  gaya pengereman, dan kestabilan sistem saat pengereman merupakan parameter yang dianalisis untuk mendapatkan kinerja Eddy current brakes dinamometer yang optimal.
Untuk mendapatkan kinerja respon waktu pengereman yang sesuai kriteria, maka diperlukan desain  sistem  kendali  yang  optimal.  Desain  kendali  yang  masih  umum  digunakan  dalam industri adalah kendali klasik PID. Beberapa pertimbangan pemanfaatan metode kendali ini adalah karena mudah dan fleksibel untuk dirancang dan diimplementasikan (Apriaskar, dkk, 2019)(Munadi,  dkk,  2020) .  Namun  kendali  PID  dalam  beberapa  kondisi  dinilai  belum optimal  dalam  mengendalikan plant  seperti  Eddy  current  brakes  dinamometer.  Beberapa penelitian  yang  berkaitan  dengan  pemanfaatan  kendali  PID,  umumnya  mengarah  pada optimasi tuning  parameter  kendali (Alkhafaji,  dkk,  2018)(Rao,  dkk,  2020) .  Namun demikian, untuk menghasilkan suatu sistem kendali yang optimal, pengendali yang berbasis full state feedback juga dapat digunakan.
Dalam beberapa kasus pengendali berbasis full state feedback memiliki respon yang lebih baik jika  dibandingkan  dengan  pengendali  PID.  Sebagaimana  penelitian  yang  dilakukan  oleh (Ma’arif & Setiawan, 2021), menggunakan metode kendali integral state feedback untuk studi  kasus  pengendalian  motor  DC.  Pada  penelitian  tersebut,  pengujian  dilakukan  secara implementasi  menggunakan embedded  system  Arduino.  Hasil  pengujian  menunjukkan pengendali yang berbasis full state feedback memiliki respon yang lebih baik dari pada PID karena waktu yang dibutuhkan untuk mencapai nilai referensi lebih cepat. Penelitian terkait lain dilakukan oleh (Handaya & Fauziah, 2021) yang membandingkan performa pengendali PID dan full state feedback Linear Quadratic Regulator (LQR) untuk kontrol posisi motor DC. Pada penelitian tersebut pengendali LQR memiliki performa yang lebih baik, khususnya dari sisi kriteria settling time dan overshoot yang lebih kecil. Perbandingan antara PID dan LQR juga  telah  dilakukan  oleh (Houari,  dkk,  2020) untuk  studi  kasus  kontrol  pada tilt  rotor airplane. Penelitian tersebut juga menghasilkan hasil yang positif untuk pengendali LQR dilihat dari kriteria overshoot dan response time. Oleh karena itu, peggunaan pengendali LQR untuk sistem Eddy current brakes dinamometer sebagai pengembangan desain kendali kearah yang lebih modern layak untuk diuji guna mendapatkan respon waktu pengereman yang optimal.
Makalah  ini  membahas  simulasi  perancangan  kendali  pada  sistem  Eddy current  brakes dinamometer menggunakan metode kendali LQR. Simulasi dibangun menggunakan software Matlab.  Model sistem Eddy current brakes yang digunakan adalah dalam bentuk state space.
Pengamatan respon sistem dengan dan tanpa pengendali menggunakan fitur Simulink pada Matlab.  Dari  hasil  pengamatan  respon  tersebut,  kemudian  dilakukan  analisis  terhadap perbandingan  hasil  respon  antara  menggunakan  kendali  klasik PID  dengan kendali  optimal LQR.

## 2. MODEL SISTEM
Eddy  current  brakes  dengan  kemampuan  pengereman  menggunakan  komponen elektromekanikal  yang  dapat  dikatakan  sebagai  sistem  pengereman  yang  lebih  modern dibandingkan dengan sistem pengereman secara mekanik (Gulbahce, dkk, 2013) . Sistem pengereman  menggunakan  Eddy current  brakes  dinamometer  memberikan  kecepatan pengereman yang lebih responsif pada kondisi kecepatan yang tinggi, lebih awet karena tidak melibatkan komponen mekanik yang memerlukan perawatan khusus, dan model Eddy current brakes dinamometer sangat mudah untuk dikendalikan menggunakan berbagai jenis kendali (Brin, 2013) . Struktur dari model Eddy current brakes terdiri dari bagian piringan konduktor yang berputar dan bagian coil yang dialiri arus atau permanen magnet untuk menciptakan medan magnet pada bagian piringan konduktor (Chen, dkk, 2019) . Jika dilihat berdasarkan strukturnya Eddy current brakes dibagi menjadi empat bagian seperti pada Gambar 1, dengan keterangan sebagai berikut: (1) core dan exciting coil, (2) celah tanpa udara, (3) piringan besi dan (4) sisi luar piringan besi.
Gambar 1. Model Dua Dimensi Sistem Eddy Current Brakes
Sistem kinerja dari Eddy current brakes dinamometer adalah ketika disc piringan besi yang terhubung dengan shaft mesin berputar dan diberikan input gaya pengereman sistem akan mendeteksi besarnya gaya pengereman melalui sensor Load cell. Sensor ini berfungsi sebagai pendeteksi besarnya gaya pengereman yang dikonversi dalam bentuk sinyal analog, kemudian sinyal tersebut menjadi variabel yang akan dideteksi oleh mikrokontroller. Setelah feedback dari load cell data diproses pada mikrokontroller untuk dilihat kestabilan respon pengereman sistem.
Eddy current  merupakan  arus  yang  muncul  akibat  adanya  perubahan  fluks  magnetik  yang terjadi pada sebuah konduktor (Nahari, dkk, 2012) , dimana konduktor merupakan iron disk dengan diameter 10 cm yang terintegrasi dengan shaft pada sebuah mesin (dinamo). Menurut hukum  Lenz,  Eddy current  menciptakan  medan  magnet  yang  arahnya  berlawanan  dengan perubahan medan magnet yang menciptakannya. Oleh karena itu, Eddy current dimanfaatkan sebagai  gaya  pengereman  dinamometer  (Fb).  Gaya  Fb  ini  muncul  diantara  vektor  medan magnet dan Eddy current.
Keterangan:
1. Core dan exciting coil 2. Celah tanpa udara 3. Piringan besi 4. Sisi luar piringan besi
Dalam kondisi kecepatan rendah putaran piringan besi induksi magnetik menyebabkan Eddy current  sangat  kecil  sehingga  dapat  diabaikan  dikarenakan  induksi  magnetis  hampir  tegak lurus  terhadap  piringan  besi.  Pada  kondisi  kecepatan  menengah  akan  menghasil  gaya pengereman yang lebih besar dibandingkan sebelumnya sehingga induksi pada kutub < B0 (induksi  magnetik  awal).  Pada  kondisi  kecepatan  tinggi  mengakibatkan  induksi pada  kutub dari Eddy current > B0 sehingga nilai induksi magnetik awal dapat diabaikan.
Skema desain Eddy current brakes ditunjukkan pada Gambar 2, dengan beberapa parameter yang disajikan pada Tabel 1. Berdasarkan pemodelan sistem, total gaya pengereman Eddy current brakes diformulasikan seperti pada Persamaan (1).
2 0 g e Router g Rinner F dz d F rdr         (1) Tabel 1. Parameter Desain Sistem Eddy Current Brakes Parameter Nilai Ketebalan disk (d) 1 cm Kecepatan sudut (ω) 3000 RPM Jarak disk dan pole (x) 0.5 m
Gambar 2. Skema Desain Eddy Current Brakes Dinamometer
Persamaan (2) dan (3) merupakan hasil penyelesaian persamaan gaya pengereman total pada Eddy current brakes. Dengan F adalah gaya pengereman (N), D adalah  elektromagnetik pole diameter (m), d adalah  disk thickness (cm), B adalah induksi magnetik (Tesla), c adalah faktor proportional, ω adalah kecepatan sudut (RPM), x adalah jarak disk dan pole (m) dan R adalah disk radius (m).
2 2 0.25 4 F
D dB c    (2) 2 2 0.25 0.5 1 1 c R x R D    
                         (3)
Dari semua spesifikasi dapat ditemukan persamaan hubungan antara arus (I) dengan gaya pengereman (F) seperti pada Persamaan (4). Desain pemodelan sistem Eddy current brakes dinamometer yang direpresentasikan dalam bentuk state space dan fungsi alih berdasarkan
penurunan dari Persamaan (2)-(3) menjadi Persamaan (5) untuk pemodelan state space dan fungsi alih pada pada Persamaan (6).
  2.106 ln 5.288 I F  
(4)
 
1 2 2.029 2.826 2 ( ) ( ); 0 1.413 ( ) 4 0 0 x x t u t y x t x                  
    
& (5)
  2 11.304 2.029 11.304 s G s s    (6)
Melalui pemodelan dengan menggunakan state space dan fungsi alih dapat dianalisis respon sistem gaya pengereman secara open loop untuk mendapatkan karakteristik transien respon sistem awal sebelum merancang desain kendali menggunakan PID ataupun LQR. Model open loop  dalam  bentuk  state  space  dari  sistem  Eddy  current  brakes  dinamometer  yang direpresentasikan pada blok Simulink ditunjukkan pada Gambar 3. Tujuan analisis dari kedua jenis  pengendali  PID  dan  LQR  adalah  untuk  membandingkan  respon  sistem  yang  paling optimal untuk mencapai kriteria respon sistem.

## Gambar 3. Blok Simulink Sistem Eddy Current Brakes Dinamometer Open Loop

## 3. PERANCANGAN SISTEM KENDALI
Setelah  didapatkan  karakteristik  dalam  kondisi open  loop  maka,  dilakukan  perancangan kendali  PID  dan  LQR.  Perancangan  kendali  dilakukan  dengan  berdasarkan  penerapan  teori kajian literatur sebagai dasar perancangan kendali sistem Eddy current brakes dinamometer pada simulasi Matlab/Simulink, berikut ini merupakan dasar persamaan yang digunakan untuk perancangan kendali.

## 3.1 Kendali Proporsional Integral Derivatif (PID)
Kendali  proporsional,  integral  dan  derivatif  (PID)  merupakan  tipe  kendali  yang  digunakan umumnya pada sistem single input dan single output (SISO). Sistem kendali tersebut akan membandingkan  sinyal  kesalahan  ( error)  dengan  sinyal  masukan  (set  point)  dengan menggunakan  parameter  proporsional,  integral  dan  derivatif (Isdaryani,  dkk,  2021) . Kendali PID secara konvensional dibedakan menjadi dua tipe yaitu dependent pada Persamaan (7) dan independent pada Persamaan (8). Jika dinyatakan dalam fungsi alih dalam domain s menjadi  pada  Persamaan  (9)-(10).  Dengan u  adalah  output  controller,  e  adalah  nilai kesalahan ,  K p adalah  proportional  constant,  K i adalah integral  constant  dan  K d adalah derivative constant.
1 ( ) ( ) ( ) ( ) p d i d u t K e t e t dt e t dt     
    
  (7)
( ) ( )
( ) ( ) p i d d u t K e t K e t dt K e t dt    
     
(8)
1 ( ) 1 ( ) p d i u s K s e s s            (9)
( ) ( ) i p d K u s K K s e s s  
       (10)
Pencarian parameter konstanta K p , K i dan K d untuk pengendali PID mengadaptasi dari rumus Ackermann pole  placement  pada  Persamaan  (12)  dengan  persamaan  karakteristik  pada Persamaan (11).
     1 1 2 1 1 ... ... n n a n n n
sI A BK s s s s s s                    (11)

   1 0 0 ... 0 1 ... a n B AB K A A B     
          (12)
Dimana 𝜙(𝐴) adalah 𝜙(𝐴) = 𝐴 + 𝛼 𝐴
+ ⋯ + 𝛼 𝐴 + 𝛼 𝐼 ,  dan  nilai gain  full  state feedback  K a pada  Persamaan  (12)  adalah  sebagaimana  yang  ditunjukkan  pada  Persamaan (13). Dengan 𝐾 untuk menemukan parameter K p , K i dan K d adalah sebagaimana yang terdapat pada Persamaan (14).
2 0 a C K K CA
CB CA CAB
        
  ) (13)
  1 1 p p i a i d d K K K K K CB K
K K                         ) ) ) ) (14)
Gambar 4  menunjukkan  diagram  blok state space  pada  Simulink untuk pengendalian  plant sistem Eddy current brakes dinamometer dengan menggunakan kendali PID. Sehingga perlu dilakukan pembuatan persamaan sistem augmented seperti pada Persamaan (15).
0 , , , 0 0 1 a a a a a a a a a a a x A x B u A B
x A B u K x x u                        
&
(15)
Gambar 4. Blok Simulink Sistem Eddy Current Brakes Dinamometer dengan Kendali PID

## 3.2 Kendali Linear Quadratic Regulator (LQR)
Kendali Linear Quadratic Regulator (LQR) merupakan optimalisasi sistem dengan representasi state space. LQR memiliki struktur yang sama dengan pole placement yaitu menggunakan full state  feedback,  akan  tetapi  perbedaan  antara  LQR  dan  pole  placement  adalah  bagaimana menentukan matriks K sebagai gain feedback (Fahmizal, dkk, 2019) . Diagram blok kendali sistem full state feedback LQR pada sistem Eddy current brakes dinamometer disajikan pada Gambar 5.
Gambar 5. Blok Simulink Sistem Eddy Current Brakes Dinamometer dengan Kendali LQR Pada  kendali pole  placement  memiliki  kelemahan  dalam  pencarian  matriks  gain  K  yang digunakan  untuk  memindahkan pole  sistem  menuju  ke  pole  yang  diinginkan.  Kelemahan tersebut  merujuk  pada  aspek effort  sistem  yang  seringkali  tidak  diperhatikan.  Sehingga berakibat  pada  konsumsi  energi  kinerja  aktuator  yang  tinggi  pada  saat  berusaha  untuk menstabilkan respon sistem. Melalui kendali LQR permasalahan tersebut dapat diselesaikan dengan menggunakan matriks gain K yang diperoleh dari matriks Q dan R pada konsep sistem kendali LQR. Sistem kendali LQR memiliki kemampuan untuk mengoptimalkan matriks gain K dengan  mempertimbangkan  faktor performance  dan effort  sistem  dengan  mengoptimalkan indeks  performansi  sistem (Purnawan,  dkk,  2017) .  Indeks  performansi  yang  optimal didapatkan dengan meminimalkan nilai indeks performansi pada Persamaan (16).
  0 T T J x Qx u Ru dt   
 (16)
Melalui Persamaan (16) terdapat matriks Q real simetris yang merupakan positif definit (atau positif  semidefinit)  dan  matriks  R  real  simetris  yang  merupakan  positif  definit.  Matriks  Q digunakan untuk mengatur performa dari sistem sehingga berhubungan dengan vektor state sistem,  sedangkan  matriks  Q  berpengaruh  pada  nilai steady  state  error  pada  tanggapan sistem, semakin besar nilai Q maka semakin kecil nilai steady state error. Matriks R digunakan untuk memodifikasi setiap state input pada sistem untuk mencapai gain yang diinginkan, hal ini  akan  berpengaruh  pada  efisiensi  kinerja actuator  untuk  menstabilkan  sistem.  Matriks  R akan berperan untuk mengendalikan setiap state input pada sistem guna mengatur tingkat efisiensi effort suatu actuator. Melalui persamaan indeks performansi dapat dihitung nilai gain K  dengan  persamaan  sebagaimana  yang  ditunjukkan  pada  Persamaan  (17).  Matriks  P merupakan penyelesaian dari persamaan Riccati yang direpresentasikan pada Persamaan (18).
1 T K R B P  
(17) 1 0 T T A P PA PBR B P Q      (18)
Namun, adapun syarat yang harus dipenuhi sebelum merancang desain kendali menggunakan LQR adalah sistem harus bersifat controllable . Itu artinya sinyal masukan u dapat mengontrol dinamika  dari  setiap state  vector  variable  x.  Apabila  sinyal  masukan  u  tidak  dapat mengendalikan  dinamika  setiap state-nya  akan  berakibat  pada  pengaturan  dinamika  state menggunakan matriks Q yang tidak dapat mengatur performance dan matriks R yang tidak dapat mengatur effort dari sistem. Sifat controllability dapat diketahui dengan menggunakan pengujian controllability  matriks   M C seperti  pada  Persamaan  (19).  Apabila rank  n  dari controllability  matriks  menunjukkan  hasil  yang  sama  dengan  orde  sistem  maka  dapat dikatakan sistem adalah fully controllable.
2 1 ... n M C B AB A B A B       (19)

## 3.3 Desain Kendali Zero Steady State Error
Hasil dari perancangan kendali full state feedback dengan metode LQR menghasilkan respon transien yang akan sesuai dengan kriteria yang diinginkan, akan tetapi terdapat permasalahan pada steady state error response. Masalah ini merupakan selisih antara respon input dengan output  sistem  dalam  waktu  yang  tidak  terhingga.  Respon  input  yang  dimaksud  ini  adalah masukan dari sistem closed loop, atau dalam istilah lain disebut nilai referensi atau set point.
Analisis zero  steady  state  error  dilakukan  setelah  diketahui  bahwa  sistem  sudah  mencapai kestabilan. Analisis tersebut digunakan untuk memperbaiki error sistem agar mencapai kondisi zero steady state error yang artinya sudah tidak terdapat error dalam kondisi steady state. Terdapat beberapa metode analisis zero steady state error yaitu menggunakan gain reference input non feedback mengunakan Nbar   N dan atau menggunakan integral control (K e ).
Namun  pada  pembahasan  perancangan  kendali  LQR  Eddy current  brakes  dinamometer  ini menggunakan steady state error dengan gain reference input Nbar ( N ) yang nantinya akan menghasilkan respon sistem yang zero steady state error ketika diberikan input sinyal step. Sehingga  struktur  desain  sistem  kendali  dapat  digambarkan  seperti  pada  Gambar  5  yang dinotasikan dengan gain N . Nilai penguatan dapat dihitung dengan Persamaan (20) dan (21), atau dengan Persamaan (22) sebagai persamaan sinyal kendali. Kemudian dapat diperoleh penguatan N pada Persamaan (23).
1 0 1 x u N A B N C D                     (20)
  u x u Kx N
KN r     (21) u Kx Nr    (22)
u x N N KN   (23)
Dari semua perhitungan secara teoritical mulai dari pemodelan sistem, perancangan desain kendali  PID  dengan  menentukan  parameter K p , K i dan K d yang  diadaptasi  dari  persamaan Ackerman pole placement, kemudian perancangan kendali LQR dengan menentukan matriks Q dan matriks R untuk menentukan full state feedback gain K dan untuk mencapai kondisi zero steady state error menggunakan gain reference input dilakukan dengan komputasi pada Matlab.  Hasil  komputasi  kemudian  disimulasikan  untuk  setiap  implementasi  kendali  PID maupun LQR pada sistem Eddy currrent brakes menggunakan Simulink.

## 4. HASIL DAN PEMBAHASAN
Simulasi perancangan sistem kendali pada sistem Eddy current brakes dinamometer dilakukan menggunakan Matlab/Simulink untuk melihat respon waktu pengereman. Adapaun tujuan dari perancangan sistem kendali ini adalah agar kriteria respon mencapai sebagai berikut: (1) nilai overshoot kurang dari 10%, (2) nilai settling time kurang dari 5 detik, (3) nilai rise time kurang dari 4 detik, dan tercapainya zero steady state error.

## 4.1 Pengujian Sistem Tanpa Pengendali
Pengujian sistem tanpa pengendali dilakukan dengan memberi masukan sistem berupa sinyal step sebesar 5 Newton (N), sehingga menghasilkan respon waktu pengereman seperti pada Gambar 6. Hasil simulasi menunjukkan nilai gaya pengereman sebesar 6.85 N yang melebihi nilai input 5 N artinya mengalami overshoot dan menghasilkan transien respon sistem dengan nilai settling time 3.34 detik, rise time 0.394 detik dan overshoot sebesar 1.85 N atau 36.9 %. Nilai settling time dan rise time sudah cukup baik, namun perlu dilakukan perbaikan untuk nilai overshoot agar sesuai dengan spesifikasi yang diharapkan.
Gambar 6. Hasil Pengujian Sistem Tanpa Pengendali ( Open Loop)

## 4.2 Eigen value dan pole-zero map
Melihat dari respon sistem open loop yang masih memiliki overshoot, pencarian nilai eigen value  digunakan  untuk  melihat  nilai  kestabilan  dari  sistem  yang  dimodelkan  dalam  bentuk state space. Hasil perhitungan nilai eigen value sistem dapat diperoleh dengan menggunakan Persamaan (24) dengan hasil sebagaimana yang tercantum pada Persamaan (25).
𝑑𝑒𝑡(𝜆𝐼 − 𝐴) = 0 (24) 𝜆 = −1.0145 + 3.2054𝑖 0 0 −1.0145 − 3.2054𝑖 (25)
Diperoleh bahwa pole sistem berada pada (-1.0145-3.2054i, -1.0145+3.2054i) daerah negatif yang artinya sistem Eddy current brakes tergolong sistem yang stabil. Namun pada sistem ini diperlukan adanya desain kendali yang dapat mengurangi nilai overshoot pada sistem sesuai
dengan kriteria rancangan. Desain kendali yang diuji pada penelitian ini menggunakan kendali PID dan LQR.

## 4.3 Hasil Pengujian Pengendali PID
Penentuan parameter K p , K i dan K d pada pengendali PID mengadaptasi dari Ackermann pole placement dengan langkah pertama yaitu menentukan persamaan karakteristik berdasarkan Persamaan (12) dari pole yang akan ditentukan. Kendali PID membutuhkan tiga parameter, sementara sistem hanya memiliki dua pole, sehingga diperlukan penambahan satu pole untuk memunculkan pole dominan yang ditempatkan pada lokasi paling kiri. Sehingga sistem akhir memiliki tiga pole yang terbentuk dari sistem augmented baru seperti pada Persamaan (15).
Kemudian nilai K p , K i dan K d dapat dicari dengan sistem augmented tersebut.
Nilai K a gain full  state  feedback  dicari  dengan  Persamaan  (13),  atau  dapat  dengan menggunakan perintah “acker” pada Matlab. Setelah didapatkan nilai K a maka dapat diperoleh nilai 𝐾 dari Persamaan (14), melalui nilai 𝐾 tersebut didapatkan nilai K p , K i dan K d . Melalui semua  perhitungan  tersebut  dengan  asumsi  lokasi pole  terbaik  [-1  -5.2  -999]  dengan menggunakan perhitungan Matlab didapatkan nilai K p = 459.5541, K i = 547.3900 dan K d = 88.7448.  Setelah  didapatkan  nilai  parameter  PID  kemudian  disimulasikan  respon  sistem menggunakan Simulink dengan model sistem dalam bentuk state space seperti pada Gambar 4 yang menghasilkan respon sistem Eddy current brakes dengan input gaya pengereman 5 N menggunakan kendali PID seperti pada Gambar 7.

## Gambar 7. Hasil Pengujian Sistem dengan Pengendali PID
Berdasarkan respon sistem pada Gambar 7 didapatkan nilai settling time (Ts) sekitar 0.27 detik yang masih tergolong sesuai dengan kriteria yaitu kurang dari 5 detik. Namun nilai tersebut sangat tidak realistis dikarenakan respon sistem pada kondisi riil tidak memungkinkan dengan waktu kurang dari 1 detik. Begitu juga untuk nilai rise time (Tr) yang ada di sekitar 0.18 detik. Selain itu, setelah dikendalikan menggunakan kendali PID masih didapatkan nilai overshoot sebesar 0.7 %. Hasil tersebut menunjukkan bahwa penggunaan pengendali PID menghasilkan respon sistem yang dapat mencapai kestabilan sesuai dengan kriteria, meskipun mengalami peningkatan gain yang cukup signifikan dengan gain sekitar 5.7 N dalam waktu kurang dari 1 detik. Oleh karena itu dilakukan percobaan dengan pengendali LQR sebagai pembanding.

## 4.4 Hasil Pengujian Pengendali LQR
Pada pengujian sistem dengan pengendali LQR diawali dengan menentukan Matriks diagonal Q untuk mengatur performance sistem dan matriks diagonal R untuk mengatur input sistem yang nantinya digunakan untuk mendapatkan gain full state feedback matriks K berdasarkan Persamaan  (17).  Dengan  bantuan  Matlab  perhitungan  tersebut  dapat  dilakukan  dengan menggunakan perintah “lqr()”.
Namun  sebelum  dilakukan  perancangan  kendali  LQR  dilakukan  pengecekan  terharap controllability dari sistem menggunakan Matriks controllability sebagaimana yang ditunjukkan pada Persamaan (19). Dari pengecekan tersebut, kemudian dihasilkan nilai rank untuk Matriks controllability adalah 2. Nilai tersebut menunjukkan bahwa semua variable state pada sistem Eddy current  brakes  bersifat  fully  controllable  atau  dapat  dikendalikan  secara  menyeluruh karena nilai rank dari matriks sama dengan orde sistem. Perhitungan gain K melalui Persamaan (17) dari penyelesaian Persamaan (18) dengan nilai matriks Q dan R pada pengujian pertama sebagaimana yang terlihat pada Persamaan (26).
1 0 , 1 0 1
Q R         (26)
Dari  pengujian  pertama  menghasilkan  nilai  penguatan gain 𝐾 = [0.8025 0.3181] . Penambahan gain reference input yang dihitung berdasarkan Persamaan (20), (21), (22), dan (23) didapatkan nilai penguatan sebesar 1.2251. Setelah didapatkan nilai gain reference input untuk mencapai zero steady state response, maka dilakukan pengujian respon sistem Eddy current  brakes  dengan  kendali  LQR  menggunakan  Matlab.  Pengujian  respon  Eddy  current brakes menggunakan Simulink dengan model dalam bentuk state space seperti pada Gambar 5 menghasilkan respon waktu pengereman seperti pada Gambar 8.

## Gambar 8. Hasil Pengujian Pertama menggunakan Pengendali LQR
Berdasarkan hasil respon pada Gambar 8, penggunaan nilai Matriks Q dan R pada pengujian pertama menghasilkan respon sistem yang stabil pada 4.61 N dan terdapat overshoot sebesar 0.5 % dengan nilai input 5 N. Hal tersebut menunjukkan bahwa dengan Matriks Q dan R pada pengujian pertama belum memenuhi kriteria overshoot sistem 0 %. Nilai settling time (Ts)
sebesar 2.19 detik sudah baik dikarenakan masih dibawah batas kriteria 5 detik dan masih sesuai dengan kondisi riil. Dari percobaan pertama diperlukan perbaikan nilai pada Matriks Q dan R  untuk  dapat  menaikkan  respon ke  5  N  dan  memperbaiki  nilai  presentase  overshoot menjadi 0 %.
Pada  pengujian  kedua,  dilakukan  modifikasi  nilai  Matriks Q  dan  R  sebagaimana  yang ditunjukkan  pada  Persamaan  (27),  yang  kemudian  diperoleh  nilai gain 𝐾 = [2.7815 0.0117] . Selanjutnya, nilai gain Nbar 𝑁 diperoleh sebesar 1.0083
40 0 , 3 0 0.1 Q R         (27)
Setelah dilakukan modifikasi, didapatkan grafik respon sebagaimana yang ditunjukkan pada Gambar 9. Dari respon tersebut, terlihat setelah dilakukan perbaikan Matriks Q dan R serta gain reference input 𝑁 sebagai precompensation terlihat hasil respon sistem dapat mencapai kestabilan dengan nilai gaya pengereman 5 N tanpa adanya overshoot. Nilai settling time (Ts) mencapai 2.12 detik yang sudah memenuhi kriteria dan nilai rise time (Tr) pada 1.18 detik yang  juga  masih  sesuai  dengan  kriteria  yang  telah  ditentukan.  Penambahan 𝑁 mampu meningkatkan gain output sistem, sehingga sesuai dengan nilai referensi dan mencapai kondisi zero steady state error. Dari hasil pengujian kedua menggunakan pengendali LQR ditambah dengan gain reference input 𝑁 mampu memberikan respon waktu pengereman yang sesuai dengan kriteria.
Gambar 9. Hasil Pengujian Kedua menggunakan Pengendali LQR

## 4.5 Perbandingan Respon Sistem Kendali PID dan LQR
Tabel 2 menunjukkan bahwa dengan menggunakan kendali LQR dapat menghasilkan respon waktu pengereman Eddy current brakes yang lebih baik dibandingkan dengan menggunakan kendali PID, hal ini dikarenakan dengan menggunakan kendali LQR memiliki hasil transient response yang sesuai dengan kriteria dengan nilai settling time (Ts) < 5 detik dan rise time (Tr) < 4 detik yang masih dapat dikatakan reasonable apabila diimplementasikan.
Tabel 2. Perbandingan Respon Pengendali PID dan LQR Kriteria PID LQR Settling time 0.27 s 2.12 s Rise time 0.18 s 1.18 s % Overshoot 0.7 0 Steady state error 0 0 F b (Gaya Pengereman) 5 N 5 N
Dari hasil pengamatan respons sistem, penggunaan kendali LQR dapat dikatakan lebih optimal sebagai pengendali pada sistem Eddy current brakes dikarenakan dengan menggunakan full state feedback LQR mampu mengatur performance untuk dinamika setiap state vector sistem dengan menggunakan matriks Q dan mengatur efisiensi kinerja aktuator melalui state vector input sistem menggunakan matriks R, sehingga dapat menghasilkan respon sistem yang lebih optimal dengan transient response yang sesuai dengan kriteria.

## 5. KESIMPULAN
Sistem  Eddy current  brakes  dengan  menggunakan  kendali  PID  menghasilkan  transient response yang sangat cepat meliputi dari nilai settling time (Ts) = 0.27 detik dan rise time (Tr) = 0.18 detik, serta adanya overshoot 0.7 % di luar kriteria sistem. Respon tersebut dapat dikatakan kurang optimal dalam implementasi pada sistem Eddy current brakes, dikarenakan membutuhkan effort  yang  sangat  tinggi  dalam  mengendalikan  respons  gaya  pengereman dengan waktu yang sangat cepat sehingga berakibat pada borosnya konsumsi energi untuk menstabilkan gaya pengereman dan jika diimplentasikan ke sisi hardware akan tidak optimal karena respon waktu pengereman yang terlalu cepat. Adapun kelemahan pada pengendalian sistem  menggunakan  kendali  PID  menggunakan  parameter K p , K i dan K d yaitu  belum mampunya mengendalikan setiap dinamika variable state yang diinginkan pada sistem Eddy current brakes. Berbeda dengan kendali full state feedback LQR yang dapat dikatakan  tepat dan  optimal  untuk  diimplementasikan  pada  sistem  Eddy current  brakes  yang  mampu menghasilkan respon waktu yang sesuai dengan kriteria settling time (Ts) = 2.12 detik dan rise time (Tr) = 0.18 detik tanpa adanya overshoot sehingga waktu pengereman diberikan jeda 2 detik yang dapat menjadikan konsumsi energi controller untuk mengendalikan Eddy current  brakes  lebih  efisien.  Hal  tersebut,  dikarenakan  kendali  LQR  mampu  mengatur performance sistem dan mengatur efisiensi kinerja aktuator terhadap input sistem, dan kendali full state feedback memiliki metode untuk menghilangkan steady state error melalui tambahan gain reference input yang dapat menghasilkan respon sistem lebih optimal dengan transient response  yang  sesuai  dengan  kriteria  respon  waktu  pengereman.  Dengan  demikian  jenis kendali  LQR  sebagai  kendali  modern  dapat  menjadi  pilihan  pertimbangan  pengembangan metode kendali klasik PID yang masih sering digunakan pada sistem Eddy current brakes untuk memperoleh  kinerja  gaya  pengereman  yang  lebih  optimal  dan  efisiensi  energi  dalam pengendalian gaya pengereman yang lebih baik.

## UCAPAN TERIMA KASIH
Penulis  mengucapkan  terima  kasih  kepada  Laboratorium  Instrumentasi  dan  Kendali Departemen  Teknik  Elektro  dan  Informatika  Sekolah  Vokasi  Universitas  Gadjah  Mada  atas dukungan yang telah diberikan kepada penulis.

## DAFTAR RUJUKAN
Alkhafaji, F. S. M., Hasan, W. Z. W., Isa, M. M., & Sulaiman, N. (2018). A novel method for tuning  PID  controller. Journal  of  Telecommunication,  Electronic  and  Computer Engineering, 10(1–12), 33–38.
Apriaskar, E., Fahmizal, F., Salim, N. A., & Prastiyanto, D. (2019). Performance Evaluation of Balancing Bicopter using P, PI, and PID Controller. Jurnal Teknik Elektro, 11(2), 44–49. Brin, W. (2013). Design and Fabrication of an Eddy Current Brake Dynamometer for Efficiency
Determination of Electric Wheelchair Motors [Wright State University].
Chen, C., Xu, J., & Wu, X. (2019). Analytical Calculation of Braking Force of Super-High Speed Maglev Eddy Current Braking System. 2019 22nd International Conference on Electrical Machines and Systems (ICEMS), (pp. 1–5).
Cho, S., Liu, H.-C., Ahn, H., Lee, J., & Lee, H.-W. (2017). Eddy Current Brake With a Two- Layer  Structure:  Calculation  and  Characterization  of  Braking  Performance. IEEE Transactions on Magnetics, 53(11), 1–5.
Fahmizal, F., Arrofiq, M., Adrian, R., & Mayub, A. (2019). Robot Inverted Pendulum Beroda Dua (IPBD) dengan Kendali Linear Quadratic Regulator (LQR). ELKOMIKA: Jurnal Teknik Energi Elektrik, Teknik Telekomunikasi, & Teknik Elektronika, 7(2), 224.
Gulbahce,  M.  O.,  Kocabas,  D.  A.,  &  Atalay,  A.  K.  (2013).  A  study  to  determine  the  act  of excitation  current  on  braking  torque  for  a  low  power  eddy  current  brake. 2013 International Electric Machines & Drives Conference, (pp. 1321–1325).
Handaya,  D.,  &  Fauziah,  R.  (2021).  Proportional-Integral-Derivative  and  Linear  Quadratic Regulator Control of Direct Current Motor Position using Multi-Turn Based on LabView. Journal of Robotics and Control (JRC), 2(4).
Houari, A., Bachir, I., Mohame, D. K., & Mohamed, M. K. (2020). PID vs LQR controller for tilt rotor  airplane. International  Journal  of  Electrical  and  Computer  Engineering  (IJECE), 10(6), 6309.
Isdaryani, F., Hesya, M. F. V., & Feriyonika, F. (2021). Sintesis Kendali PID Digital dengan Diskritisasi Langsung dan Backward Difference. ELKOMIKA: Jurnal Teknik Energi Elektrik, Teknik Telekomunikasi, & Teknik Elektronika, 9(2), 467.
Ma’arif, A., & Setiawan, N. R. (2021). Control of DC Motor Using Integral State Feedback and Comparison with PID: Simulation and Arduino Implementation. Journal of Robotics and Control (JRC), 2(5).
Munadi, M., Pandu, R. A., Wiradinata, R., Julianti, H. P., & Setiawan, R. (2020). Model and prototype  of  mobile  incubator  using  PID  controller  based  on  Arduino  Uno. Jurnal
Teknologi Dan Sistem Komputer, 8(1), 69–77.
Nahari, T., Joelianto, E., & Suyatman. (2012). An eddy brakes dynamometer control system design using state space based PID controller. 2012 IEEE Conference on Control, Systems & Industrial Informatics, (pp. 163–168).
Nunes, A. J. R., & Brojo, F. M. R. P. (2020, June 2). Designing an Eddy Current Brake for Engine Testing. International Congress on Engineering - Engineering for Evolution.
Purnawan, H., Mardlijah, & Purwanto, E. B. (2017). Design of linear quadratic regulator (LQR) control system for flight stability of LSU-05. Journal of Physics: Conference Series, 890, 012056.
Rao,  C.  S.,  Santosh,  S.,  &  V,  D.  R.  (2020).  Tuning  optimal  PID  controllers  for  open  loop unstable  first  order  plus  time  delay  systems  by  minimizing  ITAE  criterion. IFAC- PapersOnLine, 53(1), 123–128.