Vol. 5, No.2, 93-98,  Januari  2009
Bukti Teorema Sisa China dengan Menggunakan Ideal Maksimal
Nur Erawaty †

## Abstrak
Sistem perkongruenan yang dapat dicari penyelesaiannya secara teori bilangan dasar ternyata dapat dibuktikan melalui teori-teori struktur aljabar khususnya dengan ideal maksimal.
Kata Kunci : Ideal maksimal, system kongruen, teorema sisa

## 1. Pendahuluan
Misalkan  dipunyai  system  perkongruenan   1 1 mod a r x  ,   2 2 mod a r x  ,  …   n n a r x mod  .  Dengan  teori  bilangan  dapat  ditentukan  solusinya.  Dalam  tulisan  ini,  solusi system perkongruenan di atas pun dapat ditentukan dengan menggunakan konsep-konsep struktur aljabar  khususnya  dengan  konsep  ideal  maksimal  pada  gelanggang  dengan  unsur  1  dan  konsep homomorfisma gelanggang.

## 2.  Pembahasan
Definisi 1. Misalkan R gelanggang. R I  ideal I disebut  ideal  maksimal  jika  tidak  ada  ideal J , J subgroup normal R sedemikian sehingga R J I   .
Teorema Isomorfisma.
1. Misalkan S R f  : homomorfisma  gelanggang  maka
    R f f R  ker :  terdefenisi dengan baik dan merupakan isomorfisma.
2. Jika R S  dan R I  maka   I S S I S    / / . 3. Misalkan R I  maka  pemetaan  semua  ideal R yang  memuat I ke  dalam himpunan semua ideal I R merupakan bijeksi. Lebih lanjut jika R J I   maka     J R I J I R  / .
Proposisi berikut lebih memperjelas bagaimana ideal maksimal.
Proposisi 1. Misal R gelanggang dan R I  ideal R maka pernyataan berikut ekivalen a. I ideal maksimal.
† Jurusan Matematika FMIPA Universitas Hasanuddin Makassar
b.   R x I x I     untuk setiap . \ I R x 
c. I R gelanggang sederhana.
Bukti:
Jika I R x \  maka   x I  merupakan ideal yang lebih besar dan tidak sama dengan I , Jika I maksimal  berarti
  R x I   .  Ini  menunjukkan  bahwa  pernyataan a mengakibatkan b . Sebaliknya,  jika   R x I   untuk  setiap I R x \  maka  tidak  ada  ideal  sejati R yang sepenuhnya memuat I . Ini berarti I maksimal. Terakhir  ekivalensi  pernyataan a dan c merupakan  akibat langsung  teorema  isomorfisma  3  di atas.
Pada gelanggang komutatif dengan unsur 1,
  Rx I x I    .
Contoh 1.
1. Ideal maksimal dari Z adalah ideal-ideal pZ p  dengan p bilangan prima.
2. Misal   R C gelanggang  senua  fungsi-fungsi  kontinu
R R f  : untuk  setiap R x  , himpunan       0    x f R C f I x merupakan  ideal  maksimal   R C .  Lebih  lanjut, pemetaan   x f f  merupakan homomorfisma pada   R R C  dengan kernel x I . Dengan  demikian   R I R C x  / suatu  lapangan  dan  juga  gelanggang  sederhana  yang mengakibatkan bahwa x I ideal maksimal.
Hasil berikut menjamin sumbangan besar ideal maksimal dalam gelanggang dengan unsur 1.
Proposisi 2.
Misal R gelanggang dengan unsur 1 dan R I  ideal R maka I termuat dalam ideal maksimal R .
Bukti: Misalkan I ideal di R dengan R I  .
Misal µ := { J subgroup normal R | J memuat I dan J subset sejati R  }    karena   I .
 merupakan himpunan terurut parsial dengan relasi  . Misal C sebarang rantai di  .
Definisikan  C J J K   , maka untuk setiap C J  , K J  .
Akan ditunjukkan   K . 1.   Untuk setiap C J  , K J  dan J ideal di R     J dengan demikian   K . 2.  Misalkan K y x  , dan R r  sebarang,  maka  dapat  dicari C J J  2 1 , sedemikian sehingga 2 1 , J y J x   .
Karena C rantai, maka berlaku 2 1 J J  atau 1 2 J J  . Dengan demikian terdapat   C J J maks J   2 1 3 , sedemikian sehingga
3 , J y x  .
Karena 3 J ideal maka K J rx K J y x     3 3 , , . Jadi K ideal di R . 3. Untuk setiap K J I C J    , , jadi K I  . 4. Andaikan R K  ,  maka K I  .  Akibatnya  ada C J  0 sehingga 0 J I  dan
R J  0 . Hal ini bertentangan dengan   R J J   0 0  . Jadi R K  .
Berdasarkan  1,  2,  3,  4  disimpulkan  bahwa
  K .  Karena  untuk  setiap   J , K J  maka K merupakan batas atas C . Berdasarkan Lemma Zorn, maka  memiliki unsur maksimal. Misalkan M J unsur maksimal di  . Perhatikan bahwa M J ideal di R dengan R J M  dan M J I  . M J ideal maksimal. Jadi
I termuat dalam suatu ideal maksimal.
Definisi 2. Dua ideal I dan J pada gelanggang R disebut KOMAXIMAL jika R J I   .
Teorema Sisa Cina ( Chinese Remainder Theorem ).
Misalkan R gelanggang  dan n I I ..., , 1 ideal-ideal  di R sedemikian  sehingga R I R k   2 untuk setiap k . Jika n I I ..., , 1 KOMAXIMAL sepasang-sepasang, yaitu jika R I I s r   untuk semua s r  , maka
n I R x x I R R ... : 1     n I r I r r   ,..., 1 
Merupakan homomorfisma pada dengan kernel n I I    ... 1  .
Bukti:
1. Akan ditunjukkan  homomorfisma.
Ambil
R y x  , ,         
     y x I y I y I x I x I y I x I y I x I y I x J y x y x n n n n n n                          , ... , ... , ..., , ..., , 1 1 1 1                    y x I y I y I x I x I y I x I y I x I xy I xy xy n n n n n                  ..., , ..., , ..., , ..., , 1 1 1 1 1 Jadi  pemetaan homomorfisma. 2. Akan ditunjukkan   n I I I     ... ker 2 1  . Ambil    ker  x sebarang, maka     n I I x ..., , 0 1    padahal
    n I x I x I x x     ..., , , 2 1 
sehingga 
   n n I I I x I x I x ..., ,
..., , ..., , 1 2 1    
akibatnya i I x  untuk setiap i , atau n I I I x     ... 2 1 . Jadi
  n I I I Ker     ... 2 1  . Sebaliknya  jika n I I I x     ... 2 1 maka i I x  untuk  setiap i .  Dengan  demikian
i i I I x   untuk setiap i .
    n I x I x x    ..., , 1  =   0 ..., , 1  n I I Jadi    Ker x  dan    Ker I I I n     ... 2 1
Disimpulkan bahwa   n I I Ker    ... 1  .
3.  Akan ditunjukkan  pada.
Klaim bahwa  1 1    k k I I R .
Jelas    3 1 2 1 1 2 1 I I I I I R I R        3 2 1 3 2 1 2 3 1 2 1 1 I I I I I I I I I I I        
           3 2 1 I I I    Tetapi,          4 3 2 1 4 3 2 4 3 2 4 1 1 4 1 3 2 1 1 2 1 4 3 2 1 I I I I I I I I I I I I I I I I I I I R I R I I I I                                  
Dan seterusnya, sehingga diperoleh
  n I I I I R      ... 3 2 1 (klaim) Dengan cara yang sama    n k k n k k k k I I I I I I R           ... 3 3 2 2 Misalkan n r r ,..., 1 sebarang.
Dapat dicari k k I a  dan  k v v k I b   sedemikian sehingga k k k b a r  
Maka
k k n r b b b r      ... : 1 modulo k I yang merupakan jalan lain untuk menyatakan
    n n I r I r I r r     ..., , , 2 2 1 1 
Hasil ini terlihat abstrak, tapi ketika dikhususkan untuk ideal-ideal di Z , diperoleh hasil penting teori bilangan dasar yang menyangkut penyelesaian dari sistem perkongruenan.

## Contoh 2.
Misalkan bahwa bilangan-bilangan asli n a a ..., , 1 relatif prim.
Diberikan  sebarang  bilangan  bulat n r r ..., , 1 sehingga  dapat  ditentukan  bilangan  bulat m sedemikian sehingga
  n n a r m a r m a r m mod ... * mod mod 2 2 1 1   
Lebih jauh, jika m dan ' m dua solusi dari sistem perkongruenan di atas   *  maka ' m m  mod
n a a a ... 2 1 .
Bukti:
Dengan mengaplikasikan teorema sisa china dengan
Z R  dan Z a I k k  untuk mendapatkan
  * . Perhatikan bahwa   Z a a a Z a Z a Z a I I n n n ... ... ... 2 1 2 1 1        , karena n a a ..., , 1 relatif prim. Sehingga diperoleh ' m m  mod n a a a ... 2 1 .
Contoh 3. Tentukan  semua  bilangan  bulat Z x  dengan 1  x (mod  2), 2  x (mod  3)      dan 3  x (mod  5).  Ideal  yang  terlibat Z I 2 1  , Z I 3 2  dan Z I 5 3  .  Mengikuti  bukti  teorema  sisa china diperoleh bilangan-bilangan Z b a i i  , sedemikian sehingga
1 1 1 b a   dengan Z I a 2 1 1   dan Z I I b 15 3 2 1    , 2 2 2 b a   dengan Z I a 3 2 2   dan Z I I b 10 3 1 2    dan
3 3 3 b a   dengan Z I a 5 3 3   dan . Ambil     15 , 16 , 1 1   b a     20 , 18 , 2 2   b a     18 , 15 , 3 3   b a Maka
23 : 3 2 1     b b b x adalah solusi, dan semua solusi yang lain adalah k 30 23  dengan Z k  .

## 3. Kesimpulan
Dari pemaparan di atas dapat ditarik beberapa kesimpulan:
1. Lapangan pecahan dari suatu  gelanggang evaluasi  sama dengan lapangannya sendiri.
2. Gelanggang evaluasi akan selalu juga merupakan gelanggang lokal.
3. Ideal-ideal  dari  suatu  gelanggang  evaluasi  dapat  diurutkan  dengan menggunakan  urutan  himpunan  bagian.  Begitu  juga  sebaliknya,  jika  ideal- ideal dari suatu gelanggang dapat diurutkan, maka gelanggang tesebut adalah gelanggang evalusi.
4. Jika  suatu  gelanggang  sekaligus  merupakan  gelanggang  evaluasi  dan Noetherian, maka gelanggang tersebut merupakan daerah ideal utama.
Z I I b 6 2 1 3   

## Daftar Pustaka
1. Lang, S., Algebra , Addison-Wesley. 1965.
2. Passman,  D.  S., A    Course  in  Ring  Theory ,  Wadsworth.,  Inc  Belmont,  California, 1991.
3. Spindler, K., Abstract Algebra with Applications , Volume II, Marcel Dekker, Inc., 1994.