## Jurnal Sains dan Teknologi
Volume 12 Number 2, Tahun 2023, pp. 446-456 P-ISSN: 2303-3142 E-ISSN: 2548-8570 Open Access: https://doi.org/10.23887/jstundiksha.v12i2.48960

## Komparasi Model Gerak
Brown Geometrik Termodifikasi dan Model Kecerdasan Buatan untuk Prediksi Harga Saham Sektor Kesehatan di Indonesia
RR. Kurnia Novita Sari 1* , Wilan Sutisna 2 , Martha Joanadiva Majesty Wororomi 3 , Venansius Ryan Tjahjono 4
1 Kelompok Keahlian Statistika, Institut Teknologi Bandung, Bandung, Indonesia
2,3,4 Magister Aktuaria, Institut Teknologi Bandung, Bandung, Indonesia

## A B S T R A K
Selama pandemi COVID-19 di Indonesia, pergerakan saham di berbagai sektor mengalami  dampak  yang  signifikan.  Akan  tetapi,  harga  saham  pada  sektor kesehatan mengalami pertumbuhan sebesar 3,71%. Penelitian ini bertujuan menerapkan model Gerak Brown Geometrik yang Termodifikasi (MBM) dan model kecerdasan buatan untuk memprediksi pergerakan penutupan harga pada data harga penutupan saham PT. Kalbe Farma Tbk. Lalu, hasil prediksi dibandingkan  untuk  mengetahui  model  terbaik.  Pada  MBM,  dilakukan konstruksi  tren  dan  volatilitas  yang  memuat  variabel  waktu.  Hasil  ini kemudian  dibandingkan  dengan  model  kecerdasan  buatan,  yaitu  Light Gradient  Boosting  Machine  (LightGBM)  dan  Multi  Layer  Perceptron  (MLP). Selain itu, pada konstruksi model kecerdasan buatan, dilakukan pendekatan baru  yang  mana  input  dari  model  tersebut  adalah  tanggal  dan  titik  urutan deret waktu. Hasil simulasi menunjukkan bahwa MBM mampu memberikan nilai  MAPE  yang  lebih  kecil  dibandingkan  GBM.  Akan  tetapi,  model kecerdasan buatan, khususnya LightGBM, masih lebih unggul bila digunakan untuk  memodelkan  harga  saham  sektor  kesehatan.  Model  ini  memberikan nilai MAPE dibawah 1%.

## A B S T R A C T
During the COVID-19 pandemic in Indonesia, the stock price movement experienced a significant loss.  Nevertheless, the stock prices in the health sector show an increase of 3.71%. This study intends to apply the Modified Geometric Brownian Motion (MBM) and machine learning model to build a predictive model on PT. Kalbe Farma Tbk. data. The predicted results are then compared to give an insight into the best model for predicting the stock price in the health sector in Indonesia. The  proposed  novelty  for  MBM  are  constructing  the  trend  and  volatility  that  depends  on  the  time.  This  model  is  then resembled with the artificial intelligence models, which are Light Gradient Boosting Machine (LightGBM) and Multi Layer Perceptron (MLP). Furthermore, we also apply a novel modification for the AI-based model. We propose the input of the artificial intelligence model is the date and time series sequence point. The simulation results show the MBM is able to provide a smaller MAPE value than the GBM. Moreover, an artificial intelligence model, specifically LightGBM, shows a superiority when applied to model the stock prices. This model presents a MAPE value below 1%.

## 1. PENDAHULUAN
Pandemi COVID-19 terjadi di Indonesia sejak awal 2020 hingga saat ini telah berdampak secara signifikan  pada  hampir  seluruh  sektor  ekonomi.  Dalam  jangka  pendek,  banyak  negara  menerapkan kebijakan  karantina  ketat  yang  mengakibatkan  kegiatan  ekonomi  menjadi  sangat  terbatas  dan  jangka panjangnya dapat meningkatkan jumlah pengangguran dan kegagalan bisnis seperti pada sektor pariwisata dan penerbangan (D., M., & Q., 2020; Ichev, 2021) . Berbeda dengan sektor kesehatan, Badan Pusat Statistik (BPS) mencatat Produk Domestik Bruto (PDB) di sektor kesehatan mengalami pertumbuhan secara y-o-y ( year of year ) di setiap triwulan. Pada triwulan kedua 2020, sektor kesehatan mengalami pertumbuhan sebesar 3,71% terhadap triwulan kedua 2019 (y-o-y). Hal ini berbanding terbalik dengan pertumbuhan ekonomi Indonesia di sektor lain yang mengalami kontraksi pertumbuhan sebesar 5,32%. Tumbuhnya PDB sektor kesehatan beriringan dengan minat investor untuk menanamkan modal pada perusahaan kesehatan. Hal ini sejalan dengan pergerakan indeks saham IDX Healthcare . Sejak dirilis pada 25 Januari 2021, IDX Healthcare terdapat 21 emiten, antara lain: Kimia Farma Tbk., Kalbe Farma Tbk., Industri Jamu dan Farmasi

## A R T I C L E   I N F O
Article history: Received June 27, 2022 Revised June 30, 2022 Accepted February 22, 2023 Available online July 25, 2023
Kata Kunci: harga Saham, Gerak Brown Geometrik, Kecerdasan Buatan
Keywords: Stock Prices, Geometric Brownian Motion, Artificial Intelligence
This is an open access article under the CC BY-SA license. Copyright © 2023 by Author. Published by Universitas Pendidikan Ganesha.
Sido Muncul Tbk. Indeks saham gabungan sektor kesehatan ini mencapai pertumbuhan sebesar 17,8% y-o- y di 2020.
Investor  melihat  kontribusi  sektor  kesehatan  dapat  memberikan  keuntungan  investasi  di  masa pandemi  COVID-19.  Pada  awal  2021,  jumlah  pasien  terinfeksi  COVID-19  di  Indonesia  mengalami peningkatan. PT. Kalbe Farma Tbk. melihat bahwa penjualan vitamin dan suplemen tumbuh antara 10% dan 20% setiap tahun sehingga mereka memanfaatkan platform digital seperti klikdokter. Selain itu, PT. Kalbe  Farma  Tbk.  juga  bekerja  sama  dengan  perusahaan  Bioteknologi  Korea  Selatan  dalam mengembangkan vaksin menggunakan platform virus DNA dan pengujian klinis kandidat vaksin COVID-19 di Indonesia. PT. Kalbe Farma Tbk. mencatat kenaikan pendapatan pada triwulan pertama 2021, hal ini didukung oleh peningkatan penjualan di segmen jasa distribusi, obat resep, dan produk kesehatan. Pandemi COVID-19  ini  telah  membawa  ketidakpastian  terutama  pada  pergerakan  harga  saham  dengan  tingkat volatilitas yang tinggi (Ashraf, 2021; Zhang, Ding, Hang, & He, 2022) . Oleh karena itu, prediksi saham ini menjadi  penting  sehingga  perkiraan  harga  saham  di  masa  yang  akan  datang  dapat  diketahui  dan  tidak membawa kerugian besar bagi investor. Prediksi saham bertujuan untuk memberikan gambaran kepada investor dan pemegang saham mengenai pergerakan aset. Namun, prediksi saham terkadang cukup sulit disebabkan adanya faktor eksternal yang dapat menimbulkan fluktuasi harga saham sehingga volatilitasnya tinggi (Ruslan & Mokhtar, 2021; Salisu & Vo, 2020) .
Pergerakan saham dapat dimodelkan secara matematis menggunakan model probabilistik dan juga kecerdasan buatan (Na & Kim, 2021; Syaifudin & Putri, 2021) . Pada penelitian ini, dibuat beberapa jenis model  prediksi  yang  berbasis  model  konvensional  runtun  waktu  dan  model  yang  berbasis  kecerdasan buatan.  Model  runtun  waktu  yang  bisa  digunakan  adalah  ARIMA  dan  GARCH.  Model  ini  memiliki kemampuan untuk menangkap fenomena tren (kecenderungan naik atau turun) dan volatilitas. Akan tetapi, kedua  model  hanya  bisa  digunakan  untuk  memrediksi  satu  langkah  saja  ( one - step forecast ).  Dengan demikian, pengamatan secara jangka panjang ( long term ) tidak bisa dilakukan dengan model ini. Sehingga pada penelitian ini diusulkan model stokastik Gerak Brown Geometrik (GBM) yang memuat faktor tren dan volatilitas (Feng, Jiang, & Volkmer, 2021; Hull, 2018) . Faktor tren dan volatilitas pada GBM dibuat konstan yang menjadi kelemahan pada model ini. Terdapat beberapa penelitian untuk mengantisipasi kelemahan model GBM  tersebut. Salah  satunya adalah  model hibrid GBM  dengan metode Predictive Control . Model hibrid ini mampu meningkatkan akurasi dari GBM tetapi belum cukup baik dan menimbulkan fenomenal out  sample (Syaifudin  &  Putri,  2021) .  Oleh  sebab  itu,  dikonstruksi  model  Gerak  Brown  Geometrik Termodifikasi (MBM) yang mengubah faktor tren dan volatilitas konstan menjadi suatu fungsi terhadap waktu. Fungsi tren memuat beberapa jenis fungsi, sedangkan fungsi volatilitas menggunakan model 3/4- volatilitas. Model 3/4-volatilitas mampu memberikan performansi yang lebih baik dibandingkan dengan faktor volatilitas pada GBM yang kemudian digunakan untuk valuasi opsi keuangan (Oud & Goard, 2015; Tong & Liu, 2018) . Hasil pemodelan MBM dianalisis dan dikomparasikan dengan model berbasis kecerdasan buatan. Beberapa  model  berbasis  kecerdasan  buatan  yang  bisa  digunakan  untuk  memodelkan  pergerakan  aset adalah model jaringan saraf tiruan (Na & Kim, 2021; Yu, Qin, Chen, & Parmar, 2020; Zolfaghari & Gholami, 2021) dan model pohon keputusan (Sun, Liu, & Sima, 2020; Zhou, Zhang, Sornette, & Jiang, 2019) . Pada penelitian yang sudah ada, data yang digunakan sebagai input adalah harga buka, harga tertinggi, harga terendah, dan volume pasar asset (Daul, Jaisson, & Nagy, 2022; Kamara, Chen, E., & Pan, 2022; Tao, Gao, Mao, & Huang, 2022) . Namun, pada saat digunakan untuk melakukan prediksi jangka pendek, data harga buka, harga tinggi, harga rendah, dan volume pasar aset tidak diketahui. Untuk melakukan prediksi jangka panjang,  dibuat  suatu  mekanisme  baru  yaitu  model  kecerdasan  buatan  berbasis  komponen  tanggal (tanggal,  hari,  minggu,  bulan,  dan  deret).  Pembentukan  data input melibatkan  skema one-hot  encoding . Kemudian, model berbasis kecerdasan yang digunakan adalah Light Gradient Boosting Machine (LightGBM) dan Multi Layer Perceptron (MLP). Model LightGBM merupakan salah satu jenis pohon keputusan gradient boosting yang bisa digunakan di berbagai jenis data dan berpotensi melampaui model kecerdasan buatan lainnya dalam hal prediksi harga (Jabeur, Khalfaoui, & Arfi, 2021; Qu, Zhang, & Qin, 2020; Sun et al., 2020) . Sedangkan, model MLP dipilih karena merupakan model komputasi non-linier yang mampu mempelajari perilaku data dengan hasil yang memuaskan (Chhajer, Shah, & Kshirsagar, 2022; Huang et al., 2021; Khang et al., 2021; Rezaei, Faaljou, & Mansourfar, 2021) .
Pada  artikel  ilmiah  ini,  latar  belakang  mengenai  alasan  dan  tujuan  penelitian  dijelaskan  pada Bagian 1. Bagian 2 memuat metode yang digunakan yaitu Gerak Brown Geometrik, Gerak Brown Geometrik Termodifikasi, Light Gradient Boosting Machine , dan Multi Layer Perceptron . Keempat model tersebut akan diaplikasikan  pada  data  saham  PT.  Kalbe  Farma  Tbk.  Pada  Bagian  3  akan  diuraikan  deskripsi  data, visualisasi, hasil, dan pembahasan. Kesimpulan dijelaskan pada Bagian 4.

## 2. METODE
Pada penelitian ini, data pergerakan harga saham kesehatan yang akan digunakan adalah harga penutupan saham PT. Kalbe Farma Tbk. Data yang diambil sebanyak 489 data yaitu pada periode Januari 2020 s.d Desember 2021. Adapun metode analisis yang digunakan untuk memprediksi harga penutupan saham,  yaitu  model  matematis  konvensional  (Gerak  Brown  Geometrik  dan  Gerak  Brown  Geometrik Termodifikasi) dan model kecerdasan buatan ( Light Gradient Boosting Machine dan Multi Layer Perceptron ). Kedua  jenis  model  tersebut  akan  dianalisis  dan  dibandingkan,  kemudian  dipilih  model  terbaik  untuk memprediksi harga saham.  Simulasi model dilakukan menggunakan perangkat lunak Python v3.7.6 dan MATLAB R2021a 64bit, Student License .

## Gerak Brown Geometrik
Harga saham dapat dipandang sebagai barisan peubah acak {𝑆 𝑡 , t ≥ 0} dengan indeks parameter waktu t .  Harga  saham  ini  merupakan  salah  satu  realisasi  dari  data  runtun  waktu  stokastik  pada  sektor keuangan. Salah satu model matematis yang bisa digunakan untuk melakukan valuasi dan prediksi harga saham adalah Gerak Brown Geometrik ( Geometric Brownian Motion ), yang disebut GBM. GBM untuk proses pergerakan harga saham diformulasikan sebagai suatu persamaan diferensial stokastik yaitu (Hull, 2018) . 𝑑𝑆 𝑡 = 𝜇 𝑆 𝑡 𝑑𝑡 + 𝜎 𝑆 𝑡 𝑑𝑊 𝑡 (1)
dengan 𝑑𝑆 𝑡 adalah perubahan harga saham 𝑆 𝑡 pada interval waktu 𝑑𝑡 dan 𝑊 𝑡 adalah Gerak Brown standar  yang  berdistribusi  normal  standar.  Parameter 𝜇 dan 𝜎 masing-masing  menyatakan  tren  dan volatilitas dari harga saham. Dengan menerapkan Lema Ito pada Persamaan 1, diperoleh
𝑆 𝑡 = 𝑆 0 𝑒𝑥𝑝 exp ([𝜇 − 𝜎 2 2 ] 𝑡 + 𝜎𝑊 𝑡 ) . (2)
Persamaan  2  adalah  solusi  dari  persamaan  diferensial  stokastik  GBM  yang  memberikan  solusi analitik dari pergerakan acak harga saham. Tinjau, bahwa pada Persamaan 2, terdapat faktor Gerak Brown yang memiliki distribusi normal standar. Hal ini berarti,
ln ( 𝑆 𝑡 𝑆 0 ) ∼ 𝑁 ([𝜇 − 𝜎 2 2 ] 𝑡, 𝜎 2 𝑡) . (3)
Untuk mengestimasi parameter 𝜇 dan 𝜎 pada Persamaan 3, digunakan metode Maximum Likelihood Estimation (MLE) yang estimatornya sebagai berikut (Hull, 2018)
𝜇̂ = ∑ 𝑟 𝑡 𝑛 𝑡=1 𝑛 𝛥𝑡 + 𝜎̂ 2 2𝛥𝑡 dan    𝜎̂ 2 = √ 1 (𝑛 − 1) 𝛥𝑡 ∑(𝑟 𝑡 − 𝑟̅) 2 𝑛 𝑡=1 . (4)
Gerak Brown Geometrik Termodifikasi Kelemahan  dari  model  GBM  terletak  pada 𝜇 dan 𝜎 yang  merupakan  konstanta.  Konstanta  ini membatasi  pergerakan  tren  dan  volatilitas (Putri,  Tjahjono,  &  Imron,  2021) .  Model  GBM  ini  dapat diperumum dengan membuat 𝜇 dan 𝜎 menjadi suatu fungsi mean dan volatilitas sehingga
𝑑𝑆 𝑡 = 𝜃(𝜇, 𝑆 𝑡 ) 𝑑𝑡 + 𝜉(𝜎, 𝑆 𝑡 ) 𝑑𝑊 𝑡 (5)
dengan 𝜃(𝜇, 𝑆 𝑡 ) dan 𝜉(𝜎, 𝑆 𝑡 ) adalah fungsi mean dan volatilitas yang memuat parameter GBM dan harga saham. Aba Oud dan Goard memodifikasi faktor tren dan volatilitas menjadi (Oud & Goard, 2015).
𝜃(𝜇, 𝑆 𝑡 ) = 𝑎√𝑆 𝑡 + 𝑏𝑆 𝑡 (6)
𝜉(𝜎, 𝑆 𝑡 ) = 𝜎𝑆 𝑡 3 4 . (7)
Hasil  prediksi  yang  melibatkan  model  3/4-volatilitas  memberikan  hasil  yang  lebih  akurat dibandingkan dengan model stokastik yang umum digunakan (Oud & Goard, 2015; Tong & Liu, 2018) . Pada
penelitian ini, dilakukan perumuman pada fungsi tren dengan menambahkan dua jenis faktor baru yaitu suku konstan dan suku logaritma natural menjadi
𝜃(𝜇, 𝑆 𝑡 ) = 𝑎 + 𝑏𝑆 𝑡 + 𝑐 ln(𝑆 𝑡 ) + 𝑑√𝑆 𝑡 . (8)
Suku konstan akan memberikan suatu kapabilitas untuk mendeteksi adanya perubahan tren secara linier. Sedangkan faktor logaritma natural akan menambahkan efek perubahan imbal hasil terhadap tren perubahan  harga  saham  secara  logaritmik.  Adapun  diberikan  perilaku  geometri  dari  masing-masing parameter  pada  tren  yang  dimodifikasi  yang  diberikan  pada Gambar  1 .  Parameter 𝑎 memberikan  sifat linier-simetris  pada  pergerakan  harga  saham.  Parameter 𝑏 menambahkan  unsur  ‘kelengkungan’  pada pergerakan tren saham. Sedangkan parameter 𝑐 dan 𝑑 masing-masing bersifat kebalikan dengan parameter 𝑐 mengontrol  pergerakan  tren  ke  arah  bawah  dan 𝑑 mengontrol  pergerakan  tren  ke  arah  atas.  Dengan demikian, keempat parameter yang ditambahkan mampu memberikan sifat dinamis pada pergerakan tren saham.  Sifat  ini  diperlukan  agar  pergerakan  prediksi  saham  bisa  semakin  akurat  dan  mendekati  harga aktualnya.
Gambar 1. Perubahan Parameter 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 terhadap Pergerakan Tren Harga Saham
Untuk  faktor  volatilitas,  kami  mengadopsi  model  3/4-volatilitas  sebab  model  ini  mampu menjelaskan  suatu  proses mean-reverting yang  menggambarkan  penurunan  harga  secara  cepat  setelah adanya  lonjakan  pada  harga (Oud  &  Goard,  2015) .  Dengan  demikian,  model  GBM  Termodifikasi  yang digunakan adalah
𝑑𝑆̃ 𝑡 = (𝑎 + 𝑏𝑆̃ 𝑡 + 𝑐 ln(𝑆̃ 𝑡 ) + 𝑑√𝑆̃ 𝑡 )  𝑑𝑡 + 𝜎𝑆̃ 𝑡 3 4 𝑑𝑊 𝑡 ̃ (9)
dengan 𝑊 ̃ 𝑡 merupakan  Gerak  Brown  standar.  Untuk  menyelesaikan  persamaan  diferensial stokastik pada Persamaan 9, diterapkan Lema Ito yang diberikan oleh
𝑑𝑃 𝑡 = [𝑔(𝑆̃ 𝑡 , 𝑡) 𝜕𝑃 𝑡 𝜕𝑆̃ 𝑡𝑡 + 𝜕𝑃 𝑡 𝜕𝑡 + ℎ(𝑆̃ 𝑡 , 𝑡) 2 𝜕 2 𝑃 𝑡 𝜕𝑆̃ 𝑡 2 ] 𝑑𝑡 + [ℎ(𝑆̃ 𝑡 , 𝑡) 𝜕𝑃 𝑡 𝜕𝑆̃ 𝑡 ] 𝑑𝑊 ̃ 𝑡 . (10)
Namun,  bentuk  persamaan  yang  diperoleh  tidaklah closed - form sehingga  untuk  mendapatkan bagaimana  pergerakan 𝑆̃ 𝑡 harus  menggunakan  simulasi  numerik.  Kemudian,  untuk  melakukan  estimasi parameter pada MBM, digunakan teknik Hyperparameter Optimization yaitu algoritma Adaptive Random Search (ARS). Algoritma ini akan mencari secara acak kombinasi parameter terbaik yang meminimumkan fungsi fitness berikut
𝑓(𝒑) = √ 1 𝑛 ∑(𝑆̃ 𝑡 𝑝𝑟𝑒𝑑 (𝒑) − 𝑆̃ 𝑡 𝑎𝑘𝑡 ) 2 𝑛 𝑡=1 (11)
dengan 𝑛 banyaknya  titik  observasi, 𝑆̃ 𝑡 𝑝𝑟𝑒𝑑 (𝑝) merupakan  nilai  prediksi  yang  diberikan  oleh Persamaan  9  dengan  vektor  parameter 𝑝 ,  dan 𝑆̃ 𝑡 𝑎𝑘𝑡 adalah  data  aktual.  Algoritma  untuk  mendapatkan
melakukan  estimasi  parameter  dari  MBM  yang  diadopsi  dari  penelitian  disajikan  pada Tabel  1 . (Konstantinov, Diveev, Balandina, & Baryshnikov, 2019) .
Tabel 1. Algoritma Adaptive Random Search
Input
1. Tetapkan 𝑀 sebagai banyak iterasi.
2. Tetapkan 𝑚 sebagai banyak populasi awal.
3. Bangkitkan vektor 𝑎 ∼ 𝑈 𝑚 (0,85𝑆 0 ; 1,15S 0 ) , 𝑏 ∼ 𝑈 𝑚 (0; 0,0002) , 𝑐 ∼ 𝑈 𝑚 (0; 0,0002) , 𝑑 ∼ 𝑈 𝑚 (0; 0,0002) , dan 𝜎 ∼ 𝑈 𝑚 (0; 0,125) .
4. Tetapkan 𝑓 0 sebagai nilai awal fungsi fitness , 𝑓(𝒑) . Proses 1. Pilih 𝒑 (𝑖) = (𝑎 (𝑖) , 𝑏 (𝑖) , 𝑐 (𝑖) , 𝑑 (𝑖) , 𝜎 (𝑖) ) secara acak dari data bangkitan.
2. Hitung nilai 𝑓(𝒑 (𝑖) ) .
3. Apabila 𝑓(𝒑 (𝑖) ) < ℎ 0 , simpan nilai 𝒑 (𝑖) dan perbarui 𝑓 0 = 𝑓(𝒑 (𝑖) ) .
4. Ulangi langkah proses 1 sampai dengan 3 sebanyak 𝑀 kali.
Output arg min 𝑓(𝒑 (𝑖) )

## Light Gradient Boosting Machine
Machine Learning (ML)  merupakan  pendekatan  dalam Artificial Intelligence (AI)  yang  banyak digunakan untuk menirukan perilaku manusia untuk menyelesaikan masalah atau melakukan otomatisasi. ML mencoba menirukan bagaimana proses manusia belajar dan menggeneralisasi. Adapun tahap prediksi digunakan oleh mesin untuk menerka output dari suatu data input berdasarkan data yang sudah dipelajari dalam training (Ke et al., 2017) . Salah satu ML yang akan digunakan adalah Light Gradient Boosting Machine (LightGBM). LightGBM adalah  model kerangka kerja peningkatan  baru  yang  merupakan pengembangan dari Gradient Boosting Decision Tree (GBDT) yang merupakan algoritma pembelajaran mesin yang banyak digunakan karena efisiensi dan akurasi. Dengan munculnya big data , GBDT menghadapi tantangan baru, terutama dalam tradeoff antara efisiensi dan akurasi. Implementasi konvensional GBDT diperlukan, untuk setiap  fitur,  memindai  semua  contoh  data  untuk  memperkirakan  perolehan  informasi  dari  semua kemungkinan split points . Hal ini menyebabkan implementasi ini membutuhkan waktu yang sangat lama saat  menangani big  data (Ke  et  al.,  2017) .  Saat  proses training ,  GBDT  akan  membuat  serangkaian pengklasifikasian dasar ( decision tree ) dan menghitung parameter bobot dari setiap classifier dalam iterasi. Semua pengklasifikasian dasar dan bobotnya digabungkan untuk membentuk model akhir dan didefiniskan sebagai rumus
𝐹 𝑚 (𝑋) = 𝜔 1 𝑓 1 (𝑋) + 𝜔 2 𝑓 2 (𝑋) + ⋯ + 𝜔 𝑚 𝑓 𝑚 (𝑋) (12)
dengan 𝑓 𝑚 (𝑋) adalah base classifier dan 𝜔 𝑚 adalah  bobot  parameter  dari  setiap classifier .  Dua teknik baru diperkenalkan: Gradient - based One - Side Sampling (GOSS) dan Exclusive Feature Bundling (EFB). GOSS  merupakan  metode  yang  menyimpan  semua  atribut  data  dengan  gradien  besar  dan  melakukan r andom sampling pada atribut data dengan gradien kecil. Pada saat menghitung perolehan informasi, GOSS meinput sebuah konstanta multiplier pada data dengan gradien kecil dengan tujuan untuk mengimbangi pengaruh dari distribusi data. EFB merupakan teknik yang bertujuan untuk mengelompokkan fitur-fitur eksklusif untuk mengurangi jumlah fitur tanpa merusak akurasi penentuan split points (Ke et al., 2017). LightGBM merupakan salah satu ML yang sering digunakan untuk memprediksi harga saham dan terbukti kinerjanya bagus (Jabeur et al., 2021) dengan nilai error yang sangat kecil (Sun et al., 2020) . Algoritma Light GBM dapat dilihat pada Tabel 2 .

## Tabel 2. Algoritma LightGBM
Input
1. Tetapkan 𝑀 sebagai banyak iterasi.
2. Training data 𝑋 = (𝑥⃗ 𝑖 , 𝑦 𝑖 ) 𝑖=1 𝑛 , dengan 𝑥⃗ 𝑖 = (𝑥 𝑖 (1) , 𝑥 𝑖 (2) , 𝑥 𝑖 (3) , 𝑥 𝑖 (4) , 𝑥 𝑖 (5) )
Proses
1. Hitung nilai 𝑓 𝑇 (𝑋) = ∑ 𝑓 𝑇 (𝑋) 𝑇 𝑡=1 2. Hitung nilai 𝛤 𝑡 = ∑ 𝐿(𝑦 𝑖 , 𝐹 𝑡−1 (𝑥 𝑖 ) + 𝑓 𝑡 (𝑥 𝑖 )) 𝑛 𝑖=1 .
3. Perbaharui bobot 𝜔 𝑗 ∗ = − ∑ 𝑔𝑖 𝑖∈𝐼𝑗
∑ ℎ𝑖𝜆 𝑖∈𝐼𝑗 .
4. Perbaharui 𝛤 𝑡 ∗ = − 1 2 ∑ (∑ 𝑔𝑖 𝑖∈𝐼𝑗 ) 2 ∑ ℎ𝑖+𝜆 𝑖∈𝐼𝑗 . 𝐽 𝑗=1
5. Ulangi langkah proses 1 sampai dengan 4 sebanyak 𝑀 kali.
Output
arg min(𝛤 𝑡 ∗ )

## Multi Layer Perceptron
Deep  Learning (DL)  adalah  jaringan  saraf  tiruan  yang  menggunakan  teknik  tertentu  untuk mempercepat proses pembelajaran dengan menggunakan beberapa layer atau lebih. Multi Layer Perceptron (MLP) adalah salah satu jaringan saraf feed forward neural network yang sederhana dan paling efisien yang dapat digunakan untuk melakukan prediksi, meminimalkan kesalahan di setiap iterasi hingga nilai yang diinginkan  tercapai (Tiwari,  Bharadwaj,  &  Gupta,  2017). MLP  yang  paling  sederhana  terdiri  dari  tiga lapisan: input layer , hidden layer , dan output layer . Setiap layer berisi beberapa neuron, dan input dari setiap neuron  dari output  layer sesuai  dengan output dari layer sebelumnya  dikalikan  dengan  matriks  bobot diikuti  dengan  menambahkan  matriks  bias (Namdari  &  Li,  2018) . Input  layer menerima input (tanpa melakukan operasi apapun) kemudian nilai input tersebut diteruskan ke hidden layer . Pada hidden layer , nilai input akan diproses dan dilakukan proses perhitungan hasil fungsi aktivasi pada setiap neuron, lalu hasilnya  akan  diteruskan  ke layer selanjutnya. Output dari input layer akan  diterima  sebagai input bagi hidden layer . Begitu pula output dari hidden layer akan diterima sebagai input bagi output layer . Kegiatan ini dinamakan feed  forward .  MLP  menggunakan backpropagation sebagai  teknik  untuk training . Backpropagation adalah proses yang dilakukan untuk memperbaharui bobot secara bertahap dari output layer ke hidden  layer berdasarkan error .  Kemudian error tersebut  dipropagasi  ke  lapisan  sebelumnya  . Kinerja  MLP  dapat  dievaluasi  berdasarkan  dua  ukuran:  akurasi  dan  kesalahan  generalisasi.  Akurasi merepresentasikan  kemampuan  belajar  model.  Kesalahan  generalisasi  menunjukkan  seberapa  akurat model mampu memprediksi data yang tidak terlihat (Yu et al., 2020) . Banyak ahli menggunakan MLP untuk meramalkan  harga  saham  secara  efektif  dan  terbukti  bahwa  MLP  merupakan  model  terbaik  karena menghasilkan error yang kecil. Algoritma model training MLP dapat dilihat pada Tabel 3 .
Tabel 3. Algoritma Backpropagation
Input
1. Tetapkan 𝑀 sebagai banyak iterasi.
2. Training data 𝑋 = (𝑥⃗ 𝑖 , 𝑦 𝑖 ) 𝑖=1 𝑛 , dengan 𝑥⃗ 𝑖 = (𝑥 𝑖 (1) , 𝑥 𝑖 (2) , 𝑥 𝑖 (3) , 𝑥 𝑖 (4) , 𝑥 𝑖 (5) ) Proses 1. Hitung  nilai 𝑜 𝑗 = 𝜎(∑ 𝑥⃗ 𝑘 𝑤 𝑘,𝑗 + 𝛽 𝑗 𝐾 𝑘=1 ) ,  dengan 𝜎(𝑥) = max(0, 𝑥) dan 𝛽 𝑗 adalah vektor noise .
2. Hitung nilai 𝑣 𝑖 = 𝜎(∑ 𝑜 𝑗 𝑢 𝑗,𝑖 + 𝛾 𝑖 𝐽 𝑗=1 ) . 3. Perbaharui bobot output layer ke hidden layer 𝛿 𝑖 = (𝑦 𝑖 − 𝑣 𝑖 )𝑣 𝑖 (1 − 𝑣 𝑖 ) 𝛥𝑢 𝑗,𝑖 = −𝜂(𝑡)𝛿 𝑖 𝑜 𝑗 𝛥𝛾 𝑖 = −𝜂(𝑡)𝛿 𝑖 4. Perbaharui bobot hidden layer ke input layer
𝜑 𝑗 = ∑ 𝛿 𝑖 𝑢 𝑗,𝑖 𝑜 𝑗 (1 − 𝑜 𝑗 ) 𝑁 𝑛=1 𝛥𝑤 𝑘,𝑗 = −𝜂(𝑡)𝜑 𝑗 𝑥 𝑘 𝛥𝛽 𝑗 = −𝜂(𝑡)𝜑 𝑗
5. Hitung nilai error
𝐿(𝜃) = 1 2 ∑(𝑦 𝑖 − 𝑣 𝑖 ) 2 𝑁 𝑛=1 6. Hitung nilai error yang diturunkan terhadap tiap learning parameter
𝑢 𝑖,𝑗 = 𝛿𝐿(𝜃) 𝛿𝑢 𝑗,𝑖 = (𝑦 𝑖 − 𝑣 𝑖 )𝑣 𝑖 (1 − 𝑣 𝑖 )𝑜 𝑗 𝑤 𝑗,𝑘 = 𝛿𝐿(𝜃) 𝛿𝑤 𝑗,𝑘 = ∑(𝑦 𝑖 − 𝑣 𝑖 )(𝑣 𝑖 (1 − 𝑣 𝑖 )𝑢 𝑗,𝑖 )(𝑜 𝑗 (1 − 0 𝑗 )𝑥 𝑘 ) 𝑁 𝑛=1 7. Ulangi langkah satu sampai dengan enam sebanyak 𝑀 kali. Output arg min 𝐿(𝜃)

## 3. HASIL DAN PEMBAHASAN
Hasil Dataset yang digunakan adalah data saham PT. Kalbe Farma Tbk. sebanyak 489 data yang telah divisualisasikan pada Gambar 2 . Data tersebut dibagi menjadi dua yaitu 467 data train dan 22 data test . Selain itu, statistik deskriptif data Saham PT. Kalbe Farma Tbk. dapat dilihat pada Tabel 4 dengan satuan rupiah.
Gambar 2. Visualisasi data Pergerakan Saham PT. Kalbe Farma Tbk.
Tabel 4. Statistik Deskriptif Data Saham PT. Kalbe Farma Tbk.
Statistik Dataset Train Test Rataan 1439,11 1431,34 1604,09 Median 1459,61 1452,28 1610 Modus 1460,99 1460,99 1615 Minimum 833,38 833,38 1570 Q1 1380 1376,36 1597,50 Q3 1535,69 1525,88 1615 Maksimum 1727,04 1727,38 1625 Standar Deviasi 137,46 135,76 14,53 Skewness -1,41 -1,45 -1,13 Kurtosis 2,83 2,96 0,47

## Hasil
Adapun sebagai tahap persiapan simulasi dari semua model prediksi saham PT. Kalbe Farm Tbk. yaitu melakukan estimasi parameter dengan menggunakan algoritma ARS pada GBM dan MBM, beserta spesifikasi parameter dari LightGBM dan MLP sebagai input pada Tabel 2 dan Tabel 3 disajikan pada Tabel 5 .
Tabel 5. Tabel Spesifikasi Parameter untuk GBM, MBM, LightGBM, dan MLP
Model Parameter Nilai GBM 𝜇 𝜎 0,00070 0,01183
MBM 𝑎
𝑏 𝑐 𝑑 𝜎 0,13059 0,00016 0,00005 0,00005 0,07118 LightGBM boosting_type num_iteratons ‘ gbdt’ 100 MLP hidden_layer_sizes activation learning_rate solver max_iter (50, 75, 100, 75, 50) ‘ relu’
‘ adaptive’ ‘ adam’ 5000
Kemudian, simulasi dilakukan dengan menggunakan konfigurasi pada Tabel 5 . Simulasi diulang sebanyak 50 kali yang kemudian dirata-rata untuk melihat apakah hasil yang diperoleh sudah konvergen ke  suatu  nilai.  Hasil  pertama  pada Gambar  3 menunjukkan  bahwa  GBM  dan  MBM  memberikan  wujud
distribusi yang kurang sesuai dengan data aktual. Namun, MBM menunjukkan hasil yang cukup menarik dengan  distribusinya  tepat  berada  di  persekitaran  modus  dari  data  aktual.  Dengan  kata  lain,  bentuk distribusi GBM digeser ke kiri. Hasil kedua memberikan informasi bahwa model kecerdasan buatan yang digunakan memiliki distribusi yang hampir sama dengan data aktual.

## Gambar 3. Hasil Proses Training
Hasil  ketiga  adalah  peninjauan  kuantitatif  pada  performa  dari  masing-masing  model.  Metrik performa yang dipilih adalah Mean Absolute Percentage Error (MAPE) yang diberikan di Tabel 6 . Metrik MAPE digunakan untuk melihat seberapa jauh tingkat kesalahan yang diberikan model terhadap data aktual dalam bentuk persentase yang relatif lebih mudah diinterpretasikan.
Tabel 6. Nilai MAPE pada Proses Training dan Testing
Model MAPE (%) Proses Training Proses Testing GBM 6,89 1,13 MBM 5,80 1,08 LightGBM 1,01 ∗ 0,73 ∗ MLP 5,09 1,08
Hasil  keempat  adalah  pemodelan  pergerakan  harga  saham  kesehatan  dari  KLBF.JK  lebih  cocok  apabila dimodelkan  menggunakan  LightGBM,  yang  mana  memberikan  MAPE  di  bawah  angka 1% .  Hal  ini  juga mendukung hasil analisis secara visual pada bagian sebelumnya yang mana hasil prediksi LightGBM mampu memberikan hasil histogram yang relatif mirip dengan data aktualnya. Hal ini dapat dilihat pada Gambar 4 .
Gambar 4. Hasil Testing
Hasil  kelima  adalah  informasi  pada  proses testing yang  mana  semua  model  memberikan  hasil prediksi dengan tingkat kesalahan di kisaran angka 1% . MBM mampu memberikan perbaikan pada GBM yang  mana  ditunjukkan  oleh  MAPE  yang  lebih  kecil  dibandingkan  dengan  GBM,  yaitu  sebesar 1,08% . Meskipun hasil training MLP lebih baik daripada MBM, MBM memberikan tingkat MAPE yang lebih kecil pada proses testing , dimana hanya berselisih sebesar 0,008% , dibandingkan dengan MLP. Namun, model terbaik  pada  proses testing masih  pada  LightGBM  dengan  tingkat  kesalahan  dibawah 1% yaitu  sebesar 0,73% .
Pembahasan
Sebagai aplikasi, terdapat empat model yang digunakan yaitu, Model pertama adalah Model Gerak Brown  Geometrik  (GBM)  dengan  estimasi  parameternya  menggunakan Maximum  Likelihood  Estimation (MLE) (Hull,  2018) ,  Model  kedua  adalah  Gerak  Brown  Geometrik  Termodifikasi  (MBM).  MBM  adalah modifikasi  model  GBM  yang  komponen  tren  dan  volatilitasnya  diperumum  menjadi  suatu  fungsi  yang bergantung pada waktu. Model kedua adalah model yang terinspirasi dari penelitian (Oud & Goard, 2015) yang  kemudian  dikembangkan  pada  model  opsi (Tong  &  Liu,  2018) .  Proses  estimasi  pada  MBM menggunakan algoritma ARS yang terinspirasi dari (Konstantinov et al., 2019) yaitu dengan melakukan random searching pada suatu domain tertentu. Penggunaan algoritma ARS pada Tabel 1 digunakan untuk proses estimasi parameter sebab MBM tidak memiliki bentuk yang closed-form . Hasil studi dan simulasi, khususnya  pada Gambar  3 , Gambar  4 dan Tabel  6 memberikan  suatu  bukti  teoritis  bahwa  model  3/4- volatilitas mampu mengurangi tingkat kesalahan dari model GBM (Oud & Goard, 2015) . Model ketiga dan keempat  mengadopsi  model  kecerdasan  buatan  yaitu, Light  Gradient  Boosting  Machine (LightGBM)  dan Multi  Layer  Perceptron (MLP).  Alasan  pemilihan  kedua  model  adalah  sifat  dominasi  ( superiority )  yang dimiliki  MLP  dan  LightGBM  dalam  melakukan  prediksi  pergerakan  harga (Chen,  Zhang,  &  Lou,  2020; Chhajer et al., 2022; Khang et al., 2021; Rezeki & Ishafit, 2017) . Selain itu, hasil training dengan LightGBM dan  MLP  juga  tampak  memberikan  ekor  kiri  yang  mana  mengindikasikan  bisa  menangkap  fenomena skewness . Namun, model MLP masih belum bisa menghampiri wujud keruncingan atau kurtosis dari data aktual. Adapun pada Gambar 3 , tampak posisi modus dari hasil LightGBM menempati daerah interval yang sama dengan data aktual. Dengan demikian, secara visual dapat disimpulkan bahwa hasil simulasi dengan LightGBM  lebih  mendekati  data  aktual  apabila  dibandingkan  dengan  metode  lain.  Penelitain  lainnya menyatakan bahwa  yang memberikan hasil bahwa LightGBM adalah model yang cocok untuk memodelkan harga dan menangkap tren suatu harga aset (Jabeur et al., 2021; Sun et al., 2020) . Apabila keempat model dibandingkan nilai MAPEnya, maka diperoleh LightGBM merupakan model prediksi  terbaik  untuk  menghampiri  pergerakan  harga  saham  KLBF.JK.  Selain  itu,  diperoleh  informasi menarik  bahwa  meskipun  MAPE  model  MBM  lebih  dari  model  LightGBM,  MBM  mampu  melampaui performa  model  MLP  pada  proses testing .  Dengan  demikian,  hal  ini  menunjukkan  bahwa  MBM  mampu disandingkan dengan model kecerdasan buatan dan berpotensi menjadi benchmark model prediksi saham.

## 4. SIMPULAN
Empat jenis model prediksi pergerakan saham PT. Kalbe Farma Tbk. telah dibuat. Model pertama adalah  GBM  yang  memuat  komponen  tren  dan  volatilitas  konstan.  Model  kedua  adalah  MBM  yang memodifikasi  komponen  tren  menjadi  fungsi  waktu  dan  juga  mengubah  komponen  volatilitas  menjadi model 3/4-volatilitas. Hasil studi dan simulasi memberikan informasi bahwa MBM bisa memperbaiki hasil prediksi GBM menjadi lebih akurat yang ditunjukkan dengan nilai MAPE yang lebih rendah. Model ketiga dan keempat adalah model kecerdasan buatan, yaitu LightGBM dan MLP. Kedua model memberikan nilai MAPE training yang lebih kecil dibandingkan dengan GBM dan MBM. Akan tetapi, saat proses testing , nilai MAPE terkecil diberikan oleh LightGBM sebesar 0,73%. Selain itu, hasil simulasi juga menunjukkan bahwa MAPE testing dari MBM dan MLP adalah bernilai sama. Artinya, bisa dilakukan suatu deduksi bahwa MBM memiliki potensi untuk melampaui model kecerdasan buatan.

## 5. UCAPAN TERIMAKASIH
Penulis  mengucapkan  terima  kasih  kepada  Riset  PPMI  KK  FMIPA  ITB  2022  atas  dukungan pendanaan dalam penelitian ini.

## 6. DAFTAR PUSTAKA
Ashraf, B. N. /. (2021). Stock markets’ reaction to COVID -19: Moderating role of national culture. Finance Research Letters , 41 . https://doi.org/10.1016/j.frl.2020.101857.
Chen,  Q.,  Zhang,  W.,  &  Lou,  Y.  (2020).  Forecasting  stock  prices  using  a  hybrid  deep  learning  model integrating  attention  mechanism,  multi-layer  Perceptron,  and  bidirectional  long-short  term memory neural network. IEEE Access , 8 . https://doi.org/10.1109/access.2020.3004284.
Chhajer, P., Shah, M., & Kshirsagar, A. (2022). The applications of artificial neural networks, support vector machines, and long – short term memory for stock market prediction. Decision Analytics Journal , 2 . https://doi.org/10.1016/j.dajour.2021.100015.
D., Z., M., H., & Q., J. (2020). Financial Markets Under the Global Pandemic of COVID-19. Finace Research Letters , 36 . https://doi.org/10.1016/j.frl.2020.101528.
Daul,  S.,  Jaisson,  T.,  &  Nagy,  A.  (2022).  Performance  attribution  of  machine  learning  methods  for  stock returns prediction. The Journal of Finance and Data Science , 8 , 86 – 104. https://doi.org/10.1016/j.jfds.2022.04.002.
Feng, R., Jiang, P., & Volkmer, H. (2021). Geometric brownian motion with affine drift and its time-integral. Applied Mathematics and Computation , 395 . https://doi.org/10.1016/j.amc.2020.125874. Huang,  L.,  Leng,  H.,  Li,  X.,  Ren,  K.,  Song,  J.,  &  Wang,  D.  (2021).  A  data-driven  method  for  hybrid  data assimilation with Multilayer Perceptron. Big Data
Research , 23 . https://doi.org/10.1016/j.bdr.2020.100179.
Hull, J. C. (2018). Options, Futures, and Other Derivatives. Pearson Education Limited. Ichev, R. (2021). Stock price reaction to appointment of a chief health officer during COVID-19. Journal of Behavioral and Experimental Finance , 31 . https://doi.org/10.1016/j.jbef.2021.100541.
Jabeur, B. S., Khalfaoui, R., & Arfi, B. W. (2021). The effect of green energy, global environmental indexes, and stock markets in predicting  oil price crashes: Evidence from explainable  machine learning. Journal of Environmental Management , 298 . https://doi.org/10.1016/j.jenvman.2021.113511.
Kamara, A. F., Chen, E., &, & Pan, Z. (2022). An ensemble of a boosted hybrid of deep learning models and technical  analysis  for  forecasting  stock  prices. Information  Sciences , 594 ,  1 – 19. https://doi.org/10.1016/j.ins.2022.02.015.
Ke, G., Meng, Q., Finley, T., Wang, T., Chen, W., Ma, W., … Liu, T. Y. (2017). LightGBM: a highly efficient gradient boosting  decision  tree  [Conference  session]. NIPS’17:  Proceedings  of  the  31st  International Conference on Neural Information Processing Systems, USA.
Khang,  P.  Q.,  Kaczmarczyk,  K.,  Tutak,  P.,  Golec,  P.,  Kuziak,  K.,  Depczyński,  R.,  …  Rot,  A.  (2021).  Machine learning  for  liquidity  prediction  on  Vietnamese  stock  market. Procedia  Computer  Science , 192 , 3590 – 3597. https://doi.org/10.1016/j.procs.2021.09.132.
Konstantinov,  S.,  Diveev,  A.,  Balandina,  G.,  &  Baryshnikov,  A.  (2019).  Comparative  research  of  random search algorithms and evolutionary algorithms for the optimal control problem of the mobile robot. Procedia Computer Science , 150 , 462 – 470. https://doi.org/10.1016/j.procs.2019.02.080.
Na, H., & Kim, S. (2021). Predicting stock prices based on informed traders’ activities using deep neural networks. Economics Letters, 204 . https://doi.org/10.1016/j.econlet.2021.109917. Namdari, A., & Li, Z. S. (2018). Integrating fundamental and technical analysis of stock market through multi- layer  Perceptron. 2018  IEEE  Technology  and  Engineering  Management  Conference  (TEMSCON) . https://doi.org/10.1109/temscon.2018.8488440. Oud,  M.  A.,  &  Goard,  J.  (2015).  Valuation  of  Options  on  Oil  Futures  under  the  3/4  Oil  Price  Model.  ,.
International Journal of Theoretical and Applied
Finance , 18 (8). https://doi.org/10.1142/s0219024915500508.
Putri,  E.  R.,  Tjahjono,  V.  R.,  &  Imron,  C.  (2021).  A  deposit  insurance  pricing  with  a  multi-state  regime- switching  volatility. International  Journal  of  Applied  and  Computational  Mathematics , 7 (6). https://doi.org/10.1007/s40819-021-01176-2.
Qu, Y., Zhang, Z., & Qin, Z. (2020). Wavelet-aided stock forecasting model based on Ensembled machine learning. 2020  The  3rd  International  Conference  on  Machine  Learning  and  Machine  Intelligence . https://doi.org/10.1145/3426826.3426834.
Rezaei, H., Faaljou, H., & Mansourfar, G. (2021). Stock price prediction using deep learning and frequency decomposition.
Expert Systems with Applications , 169 . https://doi.org/10.1016/j.eswa.2020.114332.
Rezeki, S., & Ishafit, I. (2017). Pengembangan Media Pembelajaran Interaktif untuk Sekolah Menengah Atas Kelas XI  pada Pokok Bahasan Momentum. Jurnal Penelitian & Pengembangan Pendidikan Fisika , 3 (1), 29. https://doi.org/10.21009/1.03104. Ruslan,  S.  M.,  &  Mokhtar,  K.  (2021).  Stock  market  volatility  on  shipping  stock  prices:  GARCH  models approach. The Journal of Economic Asymmetries , 24 . https://doi.org/10.1016/j.jeca.2021.e00232.
Salisu, A. A., & Vo, X. V. (2020). Predicting stock returns in the presence of COVID-19 pandemic: The role of health news. International
Review
of Financial
Analysis , 71 . https://doi.org/10.1016/j.irfa.2020.101546.
Sun, X., Liu, M., & Sima, Z. (2020). A novel cryptocurrency price trend forecasting model based on LightGBM. Finance Research Letters , 32 . https://doi.org/10.1016/j.frl.2018.12.032.
Syaifudin,  W.  H.,  &  Putri,  E.  R.  (2021).  The  Application  of  Model  Predictive  Control  on  Stock  Portfolio Optimization  with  prediction  based  on  geometric  brownian  Motion-Kalman  filter. Journal  of Industrial & Management Optimization . https://doi.org/10.3934/jimo.2021119.
Tao, M., Gao, S., Mao, D., & Huang, H. (2022). Knowledge graph and deep learning combined with a stock price  prediction  network  focusing  on  related  stocks  and  mutation  points. Journal  of  King  Saud University - Computer and Information Sciences , 34 (7), 4322 – 4334.
https://doi.org/10.1016/j.jksuci.2022.05.014.
Tiwari,  S.,  Bharadwaj,  A.,  &  Gupta,  S.  (2017).  Stock  price  prediction  using  data  analytics. International Conference on Advances in Computing, Communication and Control (ICAC3). https://doi.org/10.1109/icac3.2017.8318783.
Tong, Z.,  & Liu, A. (2018). Analytical pricing of discrete arithmetic Asian options under generalized CIR process  with  time  change.  ,. International  Journal  of  Financial  Engineering , 5 (1). https://doi.org/10.1142/s2424786318500020.
Yu, Z., Qin, L., Chen, Y., & Parmar, M. D. (2020). Stock price forecasting based on LLE-BP neural network model. ,. Physica A: Statistical Mechanics and Its Applications , 553 . https://doi.org/10.1016/j.physa.2020.124197. Zhang, X., Ding, Z., Hang, J., & He, Q. (2022). How do stock price indices absorb the COVID-19 pandemic shocks? The North American Journal of Economics and Finance , 60 . https://doi.org/10.1016/j.najef.2022.101672.
Zhou,  F.,  Zhang,  Q.,  Sornette,  D.,  &  Jiang,  L.  (2019).  Cascading  logistic  regression  onto  gradient  boosted decision  trees  for  forecasting  and  trading  stock  indices. Applied  Soft  Computing , 84 . https://doi.org/10.1016/j.asoc.2019.105747.
Zolfaghari, M., & Gholami,  S. (2021). A hybrid approach  of adaptive  wavelet transform, long short-term memory  and  ARIMA-GARCH  family  models  for  the  stock  index  prediction. Expert  Systems  with Applications , 182 . https://doi.org/10.1016/j.eswa.2021.115149.