## TEOREMA TITIK TETAP DI RUANG BANACH
Amanatul Husnia, Hairur Rahman
Jurusan Matematika Universitas Islam Negeri Maulana Malik Ibrahim Malang
e-mail: niaja10@yahoo.com

## ABSTRAK
Ruang Banach merupakan suatu konsep penting dalam analisis fungsional. Pada tahun 1992, seorang ahli  matematika  berasal  dari  Polandia  membuktikan  teorema  yang  menyatakan  ketunggalan  titik  tetap. Teorema tersebut disebut  juga dengan teorema titik tetap Banach. Teorema titik tetap Banach (teorema kontraksi)  merupakan  teorema  ketunggalan  dari  suatu  titik  tetap  pada  suatu  pemetaan  yang  disebut kontraksi  dari  ruang  metrik  lengkap  ke  dalam  dirinya  sendiri.  Pengertian  ruang  Banach  sendiri  adalah ruang  norm  yang  lengkap,  dikatakan  lengkap  jika  barisan  Cauchy  tersebut  konvergen.  Penelitian  ini bertujuan untuk mengetahui pembuktian titik tetap di ruang Banach dengan kondisi yang diberikan yaitu pada pemetaan Kannan dan pemetaan Fisher. Berdasarkan hasil pembahasan, diperoleh bahwa pemetaan Kannan  dan  pemetaan  Fisher  mempunyai  titik  tetap  yang  tunggal 𝑇(𝑥) = 𝑥 dan  pemetaan  tersebut merupakan pemetaan titik tetap terhadap dirinya sendiri di ruang metrik lengkap.
Kata Kunci : Titik Tetap, Pemetaan Kontraksi, Ruang Metrik Lengkap, Ruang Banach

## ABSTRACT
Banach space is an important concept in functional  analysis. In 1992, a mathematician from Poland proved the uniqueness of fixed point. The theorem is also called Banach fixed point theorem. Banach fixed point theorem  (contraction  theorem)  is  a  unique  fixed  point  theorem  on  a  mapping  called  the  contraction  of  a complete metric space into itself. The definition of Banach space itself is a complete norm space, to be said complete if the Cauchy sequence is convergent. This study aims to determine the evidence of fixed point in Banach space with the given conditions, namely Kannan mapping and Fisher mapping. Based on the results of the discussion, it is obtained that Kannan mapping and Fisher mapping has a single fixed point 𝑇(𝑥) = 𝑥 and the mapping is a fixed point mapping to itself in a complete metric space .
Keywords: Fixed Point, Contraction Mapping, Complete Metric Space, Banach Space

## PENDAHULUAN
Matematika  merupakan  abstraksi  dari dunia  nyata.  Abstraksi  secara  bahasa  berarti proses  pengabstrakan.  Abstraksi  sendiri  dapat diartikan  sebagai  upaya  untuk  menciptakan definisi  dengan  jalan  memusatkan  perhatian pada  sifat  yang  umum  dari  berbagai  objek  dan mengabaikan  sifat-sifat  yang  berlainan.  Untuk menyatakan  hasil  abstraksi,  diperlukan  suatu media  komunikasi  atau  bahasa.  Bahasa  yang digunakan  dalam  matematika  adalah  bahasa simbol.  Penggunaan  bahasa  simbol  mempunyai dua  keuntungan  yaitu  sederhana  dan  universal. Sederhana  di  sini  berarti  sangat  singkat  dan universal  berarti  bahwa  ahli  matematika  di belahan bumi manapun akan dapat memahaminya (Abdussakir, 2009).
Menurut  Kreyzig  (1978:1-2)  misalnya dalam analisis fungsional memusatkan perhatian pada “ruang” .  Hal  ini  merupakan  dasar  penting untuk  mengkaji  ruang  Banach,  ruang  norma,
ruang  metrik,  dan  ruang  Hilbert  dengan  sangat rinci.
Dalam hubungan ini konsep “ruang” yang digunakan dalam ruang Banach mempunyai arti yang  sangat  luas.  Ruang  Banach  adalah  ruang norma  yang  lengkap,  artinya  bahwa  ruang Banach  adalah  ruang  norma,  ruang  yang memenuhi  sifat-sifat  ruang  norma,  dikatakan lengkap  bahwa  barisan  Cauchy  tersebut konvergen (Wilde, 2003:84).
Ruang  Banach  merupakan  suatu  konsep penting  dalam  analisis  fungsional.  Pada  tahun 1992,  seorang  ahli  matematika  berasal  dari Polandia membuktikan teorema yang menyatakan  keberadaan  dan  ketunggalan  suatu titik tetap. Teorema tersebut disebut juga dengan teorema titik tetap Banach atau prinsip kontraksi Banach. Teorema ini  menyediakan  teknik untuk memecahkan berbagai masalah yang diterapkan dalam matematika sains (ilmu matematika) dan ilmu teknik. Teorema titik tetap Banach (teorema kontraksi) merupakan teorema ketunggalan dari
suatu  titik  tetap  pada  suatu  pemetaan  yang disebut  kontraksi  dari  ruang  metrik  lengkap  ke dalam dirinya sendiri.

## KAJIAN TEORI

## 1. Ruang Metrik
Ruang  metrik  memperjelas  konsep  jarak. Definisi dari metrik bermanfaat untuk mengetahui  aplikasi  yang  lebih  umum  dari konsep  jarak.  Di  dalam  kalkulus  dipelajari tentang fungsi-fungsi yang terdefinisi dalam garis bilangan  real ℝ .  Di  dalam  bilangan  real ℝ terdefinisi  fungsi  jarak,  yaitu  memasangankan 𝑑(𝑥, 𝑦) =   |𝑥 − 𝑦| dengan  setiap  pasangan  titik 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ ,  jadi ℝ mempunyai  fungsi  jarak  atau disebut dengan 𝑑 , dimana jarak 𝑑 (𝑥, 𝑦) = |𝑥 − 𝑦| dengan  setiap pasangan  titik 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ (Kreyszig, 1978:2-3).

## Definisi 2.1.1
Ruang metrik (𝑋, 𝑑) , dimana 𝑋 merupakan himpunan dan 𝑑 merupakan metrik di 𝑋 (fungsi jarak 𝑋 ) yaitu fungsi yang didefinisikan pada 𝑋 × 𝑋 untuk setiap 𝑥, 𝑦, 𝑧  ∈ 𝑋 , sehingga diperoleh
1. 𝑑(𝑥, 𝑦) ≥ 0 ( 𝑑 adalah bernilai real, terbatas, dan tidak negatif)
2. 𝑑(𝑥, 𝑦) = 0 ⇔ 𝑥 = 𝑦
3. 𝑑(𝑥, 𝑦) = 𝑑(𝑦, 𝑥) (simetri)
4. 𝑑(𝑥, 𝑦) ≤ 𝑑(𝑥, 𝑧) + 𝑑(𝑧, 𝑦) (ketaksamaan segitiga) (Kreyszig, 1978:3).
Contoh
Didefinisikan fungsi 𝑑: ℝ 2 × ℝ 2 → ℝ yaitu
𝑑(𝑎, 𝑏) = √(𝑥 1 − 𝑦 1 ) 2 + (𝑥 2 − 𝑦 2 ) 2 dengan 𝑎 = (𝑥 1 , 𝑥 2 ) dan 𝑏 = (𝑦 1 , 𝑦 2 ) . Tunjukkan bahwa fungsi 𝑑 adalah metrik!

## Definisi 2.1.2 (Persekitaran)
Misalkan (𝑋, 𝑑) adalah ruang metrik, maka untuk  suatu 𝜀 > 0 ,  persekitaran  titik  di 𝑥 0 ∈ 𝑋 merupakan himpunan
𝑣 𝜀 (𝑥 0 ) = {𝑥 ∈ 𝑋: 𝑑(𝑥 0 , 𝑥) < 𝜀} (Sherbert dan Bartle, 2000:329).
2. Himpunan Terbuka dan Himpunan
Tertutup

## Definisi 2.2.1
Misalkan (𝑋, 𝑑) adalah  ruang  metrik, untuk  sebarang 𝑥 ∈ 𝑋 dan  setiap 𝑟 > 0 , himpunan-himpunan
1. 𝐵 𝑥 (𝑟) = (𝑦 ∈ 𝑋 ⃓ 𝑑(𝑥, 𝑦) < 𝑟) disebut  bola terbuka
2. 𝐵 𝑥 (𝑟) = (𝑦 ∈ 𝑋 ⃓ 𝑑(𝑥, 𝑦) ≤ 𝑟) disebut  bola tertutup (Rynne dan Youngson, 2008:13).

## Contoh
a. Diketahui  ruang  metrik (𝑋, 𝑑) dengan metrik 𝑑(𝑥, 𝑦) = |𝑥 − 𝑦|
b. 𝐵(0,1) = (𝑦 ∈ 𝑋 ⃓ − 1 < 𝑦 < 1)
disebut bola terbuka berpusat di 0 dengan jari-jari 1 pada ruang metrik (𝑋, 𝑑) .
c. Diketahui  ruang  metrik (𝑋, 𝑑) dengan metrik 𝑑(𝑥, 𝑦) = |𝑥 − 𝑦|
d. 𝐵(0,1) = (𝑦 ∈ 𝑋 ⃓ − 1 ≤ 𝑦 ≤ 1) disebut bola tertutup berpusat di 0 dengan jari-jari 1 pada ruang metrik (𝑋, 𝑑) .

## Definisi 2.2.2 (Titik Interior)
Titik 𝑝 disebut  suatu  titik  interior himpunan 𝐸 jika terdapat suatu persekitaran dari 𝑝 yang  merupakan  subset  dari 𝐸 (Soemantri, 1988).

## Definisi 2.2.3 (Himpunan Terbuka)
Himpunan 𝐸 disebut  himpunan  terbuka jika  setiap  anggotanya  merupakan  titik  interior himpunan 𝐸 (Soemantri, 1988).

## Definisi 2.2.4 (Titik Limit)
Misalkan 𝐴 ⊆ ℝ , suatu titik 𝑐 ∈ ℝ disebut titik limit jika untuk setiap 𝛿 > 0 terdapat paling sedikit  satu  titik 𝑥 ∈ 𝐴 , 𝑥 ≠ 𝑐 sedemikian sehingga |𝑥 − 𝑐| < 𝛿 (Bartle  dan  Sherbert, 2000:97).
Menurut  Soemantri  (1988)  titik 𝑝 ∈ 𝑋 disebut  titik  limit  himpunan 𝐸 subset 𝑋 ,  bila setiap sekitar titik 𝑝 memuat paling sedikit satu titik 𝑞 ∈ 𝑋 dan 𝑞 ≠ 𝑝 .

## Definisi 2.2.5 (Himpunan Tertutup)
Himpunan 𝐸 disebut  tertutup  jika  semua titik  limitnya  termuat    di  dalam 𝐸 (Soemantri, 1988).

## Definisi 2.2.6 (Himpunan Terbatas)
Himpunan 𝐸 dalam  ruang  metrik (𝑋) disebut  terbatas  jika  terdapat  titik 𝑝 ∈ 𝑋 dan bilangan 𝑀 > 0 sehingga  untuk  setiap 𝑥 ∈ 𝑋 , maka jarak 𝑑(𝑝, 𝑥) ≤ 𝑀 (Soemantri, 1988).
3. Kekonvergenan dan Kelengkapan
Definisi 2.3.1 (Barisan Terbatas) Barisan 〈𝑥 𝑛 〉 di  ruang  metrik 𝑋 = (𝑋, 𝑑) disebut  barisan  terbatas  jika  daerah  jangkauan (range) dari  barisan  tersebut  merupakan  himpunan bagian terbatas di 𝑋 (Soemantri, 1988).

## Definisi 2.3.2 (Barisan Konvergen)
Barisan 〈𝑥 𝑛 〉 di  ruang  metrik 𝑋 = (𝑋, 𝑑) dikatakan konvergen jika ada 𝑥 ∈ 𝑋 , maka
lim 𝑛→∞ 𝑑(𝑥 𝑛 , 𝑥) = 0
𝑥 disebut limit dari 〈𝑥 𝑛 〉 dapat juga ditulis dengan lim 𝑛→∞ 𝑥 𝑛 = 𝑥
atau
𝑥 𝑛 → 𝑥 Barisan 〈𝑥 𝑛 〉 yang tidak konvergen disebut divergen (Kreyszig, 1978:25).

## Teorema 2.3.3
Jika  barisan 〈𝑥 𝑛 〉 konvergen  di  dalam ruang metrik (𝑋, 𝑑) , maka  barisan 〈𝑥 𝑛 〉 tersebut terbatas dan limit barisan 〈𝑥 𝑛 〉 tunggal.
Definisi 2.3.4 (Barisan Cauchy)
Barisan 〈𝑥 𝑛 〉 di dalam ruang metrik (𝑋, 𝑑) dikatakan barisan Cauchy jika untuk setiap 𝜀 > 0 , terdapat 𝑁 ∈ ℕ sedemikian  sehingga  untuk semua 𝑚, 𝑛 > 𝑁 berlaku
𝑑(𝑥 𝑚 , 𝑥 𝑛 ) < 𝜀 (Ghozali, 2010:12). Teorema 2.3.5
Setiap  barisan  yang  konvergen  dalam suatu metrik (𝑋, 𝑑) merupakan barisan Cauchy

## Definisi 2.3.6 (Ruang Metrik Lengkap)
Ruang  metrik (𝑋, 𝑑) dikatakan  lengkap jika setiap barisan Cauchy konvergen di dalam 𝑋 (Sherbet dan Bartle, 2000:330).

## 4. Ruang Vektor Bernorma

## Definisi 2.4.1 (Ruang Vektor Bernorma)
Ruang  vektor  bernorma  adalah  ruang vektor 𝑋 dengan  pemetaan ∥ ∥: 𝑋 → 𝑅 + ,  dengan sifat-sifat
1. ∥ 𝑥 ∥= 0 jika dan hanya jika 𝑥 = 0 (𝑥 ∈ 𝑋)
2. ‖𝛼𝑥‖ = |𝛼|‖𝑥‖ untuk setiap 𝑥 ∈ 𝑋 dan skalar 𝛼
3. ‖𝑥 + 𝑦‖ ≤ ‖𝑥‖ + ‖𝑦‖ untuk setiap 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋
Ruang  vektor  bernorma  ini  dinotasikan dengan (𝑥, ∥ ∥) dan  pemetaan  ini ∥ ∥ disebut “norma” pada ruang (Cohen, 2003:174).

## Contoh
Misalkan 𝑋 merupakan  ruang  vektor berdimensi hingga di 𝔽 dengan basis {𝑒 1 , 𝑒 2 , 𝑒 3 , … , 𝑒 𝑛 } yang  mana 𝑥 ∈ 𝑋 dapat  juga ditulis dengan 𝑥 = ∑ 𝜆 𝑗 𝑒 𝑗 𝑛 𝑗=1 dengan 𝜆 1 , 𝜆 2 , 𝜆 3 , … , 𝜆 𝑛 ∈ 𝔽 .  Maka  fungsi ‖𝑥‖: 𝑋 → ℝ didefinisikan dengan
‖𝑥‖ = (∑|𝜆 𝑗 | 2 ) 1 2 𝑛 𝑗=1 Merupakan norma di 𝑋
5. Kekonvergenan dalam Ruang Bernorma
Menurut Cohen (2003:178) dalam mempertimbangkan  ruang  bernorma  menjadi ruang  metrik  dapat  diketahui  dengan  satu  cara. Kemudian gagasan yang terkait pada kekonvergenan  barisan  di  ruang  metrik  dapat dipindahkan ke ruang bernorma. Oleh sebab itu, dapat disimpulkan dengan barisan 〈𝑥 𝑛 〉 di ruang norma  konvergen  jika  terdapat  bilangan 𝜀 > 0 dan  terdapat  elemen 𝑥 ∈ 𝑋 serta  terdapat bilangan bulat positif 𝑁 seperti
‖𝑥 𝑛 − 𝑥‖ < 𝜀 dimana 𝑛 > 𝑁
dapat  ditulis dengan 𝑥 𝑛 → 𝑥 atau 𝑙𝑖𝑚 𝑥 𝑛 = 𝑥 dan 𝑥 disebut limit pada barisan.

## Definisi 2.5.1 (Ruang Banach)
Setiap  ruang  vektor  bernorma  yang lengkap disebut ruang Banach (Cohen, 2003:178).

## 6. Teorema Titik Tetap

## Definisi 2.6.1
Misalkan 𝑇 merupakan  pemetaan  dari ruang metrik (𝑋, 𝑑) ke dalam dirinya sendiri
a. Sebuah titik 𝑥 ∈ 𝑋 sedemikian sehingga 𝑇(𝑥) = 𝑥 maka 𝑥 disebut titik tetap pada pemetaan 𝑇 b. Jika ada 𝛼 , dengan 0 < 𝛼 < 1 , maka untuk setiap pasangan dari titik 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋 diperoleh
𝑑(𝑇 𝑥 , 𝑇 𝑦 ) ≤ 𝛼 𝑑(𝑥, 𝑦)
Kemudian 𝑇 disebut  pemetaan  kontraksi atau  kontraksi  sederhana,  sedangkan 𝛼 disebut kontraksi konstan di 𝑇 (Cohen, 2003:116).

## Teorema 2.6.2
Jika 𝑇 adalah pemetaan kontraksi di ruang metrik 𝑋 maka 𝑇 kontinu di 𝑋 .
Teorema  2.6.3 (Teorema  Titik  Tetap/  Titik  Tetap Banach)
Setiap pemetaan kontraksi di ruang metrik lengkap hanya mempunyai titik tetap tunggal.

## 7. Pemetaan

## Definisi 2.7.1 (Pemetaan)
Misalkan 𝑋 dan 𝑦 adalah  ruang  metrik.
Pemetaan 𝑇 dari  himpunan 𝑋 ke  himpunan 𝑌 dinotasikan  dengan 𝑇: 𝑋 → 𝑌 adalah  suatu
pengawanan  setiap 𝑥 ∈ 𝑋 dikawankan  secara tunggal dengan 𝑦 ∈ 𝑌 dan ditulis 𝑦 = 𝑇(𝑥) .
Definisi 2.7.2 (Pemetaan Kontinu)
Misalkan 𝑋 = (𝑋, 𝑑 1 ) dan 𝑌 = (𝑌, 𝑑 2 ) adalah  ruang  metrik.  Pemetaan 𝑇: 𝑋 → 𝑌 dikatakan kontinu di titik 𝑥 0 ∈ 𝑋 jika untuk setiap 𝜀 > 0 terdapat 𝛿 > 0 sedemikian sehingga untuk setiap 𝑥 ∈ 𝑋 dengan 𝑑 1 (𝑥, 𝑥 0 ) < 𝛿 maka berlaku
𝑑 2 (𝑇(𝑥), 𝑇(𝑥 0 )) < 𝜀
Pemetaan 𝑇 dikatakan kontinu pada 𝑋 jika 𝑇 kontinu di setiap titik anggota 𝑋 .

## Definisi 2.7.3 (Komposisi Pemetaan)
Misalkan 𝐴, 𝐵 dan 𝐶 adalah ruang metrik. jika 𝑓: 𝐴 → 𝐵 dan 𝑔: 𝐵 → 𝐶 maka  komposisi pemetaan 𝑔𝑜𝑓 merupakan pemetaan dari 𝐴 → 𝐶 yang didefinisikan
(𝑔𝑜𝑓)(𝑥) = 𝑔(𝑓(𝑥)) untuk setiap 𝑥 ∈ 𝑋
Komposisi (𝑓𝑜𝑓)(𝑥) = 𝑓(𝑓(𝑥)) = 𝑓 2 (𝑥) dan  jika komposisi sebanyak 𝑛 suku, maka (𝑓𝑜𝑓𝑜𝑓𝑜 … 𝑜𝑓) = 𝑓 𝑛 (𝑥)

## Definisi 2.7.4 (Pemetaan Kontraksi)
Misalkan (𝑋, 𝑑) merupakan ruang metrik. Pemetaan 𝑇: 𝑋 → 𝑋 dikatakan pemetaan kontraksi, jika ada konstanta 𝑐 dengan 0 ≤ 𝑐 ≤ 1 berlaku
𝑑(𝑇(𝑥)𝑇(𝑦)) ≤ 𝑐𝑑(𝑥, 𝑦) untuk setiap 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋

## PEMBAHASAN
Dalam  matematika  teorema  titik  tetap Banach  juga  dikenal  sebagai  teorema  pemetaan kontraksi  yang  merupakan  alat  penting  dalam teori ruang metrik, untuk menjamin keberadaan dan  ketunggalan  titik  tetap  pemetaan  diri  pada ruang  metrik,  dan  menyediakan  metode kontraksi untuk menemukan titik tetap (Banach, 1992:133).

## Teorema 3.1.2
Misalkan 𝑇 adalah  pemetaan  kontraksi pada  ruang  metrik (𝑋, 𝑑) ke  dalam  dirinya sendiri. Maka 𝑇 𝑛 adalah pemetaan Kannan, untuk setiap 𝑛 adalah  bilangan  bulat  positif  (Kannan, 1969:71-78).

## Bukti
Menurut  definisi  pemetaan  kontraksi (definisi 2.7.4) bahwa misalkan (𝑋, 𝑑) merupakan  ruang  metrik.  Pemetaan 𝑇: 𝑋 → 𝑋 dikatakan pemetaan kontraksi, jika ada konstanta 𝑐 dengan 0 ≤ 𝑐 ≤ 1 sehingga
𝑑(𝑇(𝑥)𝑇(𝑦)) ≤ 𝑐𝑑(𝑥, 𝑦)
untuk setiap 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋 .
Sekarang  akan  ditunjukkan  bahwa 𝑇 𝑛 adalah pemetaan  Kannan,  jika  ada  konstanta 𝑘 dengan 0 ≤ 𝑘 ≤ 1 sehingga
𝑑(𝑇 𝑛 (𝑥), 𝑇 𝑛 (𝑦)) ≤ 𝑘[𝑑(𝑇(𝑥), 𝑥) + 𝑑(𝑇(𝑦), 𝑦)]
untuk setiap 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋 .
𝑑(𝑇 𝑛 (𝑥), 𝑇 𝑛 (𝑦)) = 𝑑(𝑇𝑇 𝑛−1 (𝑥), 𝑇𝑇 𝑛−1 (𝑦)) ≤ 𝑐𝑑(𝑇 𝑛−1 (𝑥), 𝑇 𝑛−1 (𝑦)) = 𝑐𝑑(𝑇𝑇 𝑛−2 (𝑥), 𝑇𝑇 𝑛−2 (𝑦))
≤ 𝑐 2 𝑑(𝑇 𝑛−2 (𝑥), 𝑇 𝑛−2 (𝑦))
Sehingga diperoleh
𝑑(𝑇 𝑛 (𝑥), 𝑇 𝑛 (𝑦)) ≤ 𝑐 𝑛 𝑑(𝑥, 𝑦) (3.1)
untuk setiap 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋 .
Karena 𝑑(𝑥, 𝑦) ≤ 𝑑(𝑇 𝑛 (𝑥), 𝑥) + 𝑑(𝑇 𝑛 (𝑥), 𝑇 𝑛 (𝑦)) +                   𝑑(𝑇 𝑛 (𝑦), 𝑦)
Dengan menggunakan ketaksamaan (3.1) , maka diperoleh
𝑑(𝑇 𝑛 (𝑥), 𝑇 𝑛 (𝑦)) ≤ 𝑐 𝑛 𝑑(𝑥, 𝑦) ≤ 𝑐 𝑛 [𝑑(𝑇 𝑛 (𝑥), 𝑥) + 𝑑(𝑇 𝑛 (𝑥), 𝑇 𝑛 (𝑦)) + 𝑑(𝑇 𝑛 (𝑦), 𝑦)] = 𝑐 𝑛 𝑑(𝑇 𝑛 (𝑥), 𝑥) + 𝑐 𝑛 𝑑(𝑇 𝑛 (𝑥), 𝑇 𝑛 (𝑦)) + 𝑐 𝑛 𝑑(𝑇 𝑛 (𝑦), 𝑦)
Sehingga mengakibatkan
(1 − 𝑐 𝑛 )𝑑(𝑇 𝑛 (𝑥), 𝑇 𝑛 (𝑦)) ≤ 𝑐 𝑛 [𝑑(𝑇 𝑛 (𝑥), 𝑥) + 𝑑(𝑇 𝑛 (𝑦), 𝑦)] 𝑑(𝑇 𝑛 (𝑥), 𝑇 𝑛 (𝑦)) ≤ 𝑐 𝑛 (1−𝑐 𝑛 ) [𝑑(𝑇 𝑛 (𝑥), 𝑥) + 𝑑(𝑇 𝑛 (𝑦), 𝑦)] (3.2)
untuk setiap 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋 .
Karena 𝑐 < 1 ,  maka  dapat  diambil 𝑛 sebarang dengan 𝑐 𝑛 < 1 3 , sehingga
(1 − 𝑐 𝑛 ) > 1 − 1 3 (1 − 𝑐 𝑛 ) > 2 3 atau 1 (1−𝑐 𝑛 ) < 3 2
Oleh karena itu 𝑐 𝑛 (1−𝑐 𝑛 ) < 1 2 Dimana 𝑐 𝑛 (1−𝑐 𝑛 ) = 𝑘 , dengan menggunakan ketaksamaan (3.2) diperoleh 𝑑(𝑇 𝑛 (𝑥), 𝑇 𝑛 (𝑦)) ≤ [𝑑(𝑇 𝑛 (𝑥), 𝑥) + 𝑑(𝑇 𝑛 (𝑦), 𝑦)] untuk setiap 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋 , dimana 0 ≤ 𝑘 ≤ 1 2 .
Sehingga  terbukti  bahwa 𝑇 𝑛 adalah  pemetaan Kannan.
Contoh
Misalkan 𝑋 adalah himpunan bilangan real dengan −2 < 𝑥 < 2 dan  didefinisikan  metrik dengan
𝑑(𝑥, 𝑦) = |𝑥 − 𝑦|
𝑇 adalah pemetaan  pada ruang metrik (𝑋, 𝑑) ke dalam dirinya sendiri dengan
𝑇𝑥 = { − 𝑥 4 , |𝑥| ≤ 1 𝑥 4 , 1 < |𝑥| < 2
Maka
𝑑(𝑇𝑥, 𝑇𝑦) = |𝑇𝑥 − 𝑇𝑦|
≤ |𝑇𝑥| + |𝑇𝑦| = | 𝑥 4 | + | 𝑥
4 |
Sehingga mengakibatkan
𝑑(𝑇𝑥, 𝑇𝑦) ≤ 1 4 |𝑥| + |𝑦| (3.3)
untuk setiap 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋 .
𝑑(𝑥, 𝑇𝑥) = |𝑥 − 𝑇𝑥| ≥ |𝑥| − |𝑇𝑥| dan 𝑑(𝑦, 𝑇𝑦) = |𝑦 − 𝑇𝑦| ≥ |𝑦| − |𝑇𝑦|

## Sehingga
𝑑(𝑥, 𝑇𝑥) + 𝑑(𝑦, 𝑇𝑦) ≥ |𝑥| − |𝑇𝑥| + |𝑦| − |𝑇𝑦| = |𝑥| − | 𝑥 4 | + |𝑦| − | 𝑦 4 | = |𝑥| (1 − 1 4 ) + |𝑦|(1 − 1 4 ) = |𝑥| ( 3 4 ) + |𝑦|( 3 4 ) = 3 4 (|𝑥| + |𝑦|)
Maka
𝑑(𝑥, 𝑇𝑥) + 𝑑(𝑦, 𝑇𝑦) ≥ 3 4 (|𝑥| + |𝑦|) (3.4)
Oleh karena itu, dengan menggunakan ketaksamaan (3.3) dan (3.4) diperoleh
𝑑(𝑇𝑥, 𝑇𝑦) ≤ 1 3 [𝑑(𝑥, 𝑇𝑥) + 𝑑(𝑦, 𝑇𝑦)]
untuk setiap 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋 .
Jadi, terbukti bahwa 𝑇 adalah pemetaan Kannan.
Dari  teorema  dan  contoh  di  atas  akan ditunjukkan bahwa pemetaan Kannan mempunyai titik tetap yang tunggal.
Pertama  akan  ditunjukkan  bahwa  ruang metrik (𝑋, 𝑑) adalah  lengkap,  dapat  diketahui bahwa kondisi pemetaan Kannan adalah
𝑑(𝑇(𝑥), 𝑇(𝑦)) ≤ 𝑘[𝑑(𝑇(𝑥), 𝑥) + 𝑑(𝑇(𝑦), 𝑦)] (3.5)
untuk setiap 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋 , dimana 0 ≤ 𝑘 < 1 2 . 𝑑(𝑇 𝑛 (𝑥), 𝑇 𝑛+1 (𝑥)) = 𝑑(𝑇𝑇 𝑛−1 (𝑥), 𝑇𝑇 𝑛 (𝑥))
Dengan  menggunakan ketaksamaan (3.5) , diperoleh
𝑑(𝑇 𝑛 (𝑥), 𝑇 𝑛+1 (𝑥)) ≤ 𝑘[𝑑(𝑇 𝑛−1 (𝑥), 𝑇 𝑛 (𝑥)) + 𝑑(𝑇 𝑛 (𝑥), 𝑇 𝑛+1 (𝑥))]

## Mengakibatkan
(1 − 𝑘)𝑑(𝑇 𝑛 (𝑥), 𝑇 𝑛+1 (𝑥)) ≤ 𝑘𝑑(𝑇 𝑛−1 (𝑥), 𝑇 𝑛 (𝑥)) 𝑑(𝑇 𝑛 (𝑥), 𝑇 𝑛+1 (𝑥))   ≤ 𝑘 (1−𝑘) 𝑑(𝑇 𝑛−1 (𝑥), 𝑇 𝑛 (𝑥)) (3.6)
Dengan  mengubah 𝑛 menjadi 𝑛 − 1 dari persamaan di atas, diperoleh
𝑑(𝑇 𝑛−1 (𝑥), 𝑇 𝑛 (𝑥)) ≤ 𝑘 (1 − 𝑘) 𝑑(𝑇 𝑛−2 (𝑥), 𝑇 𝑛−1 (𝑥))
Maka dari ketaksamaan (3.6) , diperoleh
𝑑(𝑇 𝑛 (𝑥), 𝑇 𝑛+1 (𝑥)) ≤ 𝑘 (1−𝑘) 𝑘 (1−𝑘) 𝑑(𝑇 𝑛−2 (𝑥), 𝑇 𝑛−1 (𝑥)) = ( 𝑘 (1−𝑘) ) 2 𝑑(𝑇 𝑛−2 (𝑥), 𝑇 𝑛−1 (𝑥)) ≤ ( 𝑘 (1−𝑘) ) 𝑛 𝑑((𝑥), 𝑇(𝑥))
untuk setiap 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋 , dimana 0 ≤ 𝑘 < 1 2 . 𝑑(𝑇 𝑛 (𝑥), 𝑇 𝑛+𝑟 (𝑥)) ≤ 𝑑(𝑇 𝑛 (𝑥), 𝑇 𝑛+ (𝑥)) + 𝑑(𝑇 𝑛+1 (𝑥), 𝑇 𝑛+2 (𝑥)) + ⋯ + 𝑑(𝑇 𝑛+𝑟−1 (𝑥), 𝑇 𝑛+𝑟 (𝑥))
Dengan  menggunakan  ketaksamaan  segitiga, diperoleh
𝑑(𝑇 𝑛 (𝑥), 𝑇 𝑛+𝑟 (𝑥)) ≤ ( 𝑘 (1−𝑘) ) 𝑛 𝑑((𝑥), 𝑇(𝑥))+≤
( 𝑘 (1−𝑘) ) 𝑛+1 𝑑((𝑥), 𝑇(𝑥)) +
… +≤
( 𝑘 (1−𝑘) ) 𝑛+𝑟−1 𝑑((𝑥), 𝑇(𝑥))
= ( 𝑘 (1−𝑘) ) 𝑛 [1 + ( 𝑘 (1−𝑘) ) + ( 𝑘 (1−𝑘) ) 2 + ⋯ + ( 𝑘 (1−𝑘) ) 𝑛+𝑟−1 ] 𝑑((𝑥), 𝑇(𝑥)) ≤ ( 𝑘 (1−𝑘) ) 𝑛 [1 + ( 𝑘 (1−𝑘) ) + ( 𝑘 (1−𝑘) ) 2 + ⋯ + ∞] 𝑑((𝑥), 𝑇(𝑥))
Dengan  rasio 𝑘 (1−𝑘) < 1 ,  maka  barisan  tersebut konvergen yaitu konvergen terhadap 1 1−( 𝑘 (1−𝑘) ) . Maka 1 + ( 𝑘 (1 − 𝑘) ) + ( 𝑘 (1 − 𝑘) ) 2 + ⋯ + ∞ = 1 1 − ( 𝑘 (1 − 𝑘) ) = 1 − 𝑘 1 − 2𝑘
Dari persamaan di atas diperoleh
𝑑(𝑇 𝑛 (𝑥), 𝑇 𝑛+𝑟 (𝑥)) ≤ ( 𝑘 (1 − 𝑘) ) 𝑛 ( 1 − 𝑘 1 − 2𝑘 ) 𝑑((𝑥), 𝑇(𝑥))
Karena  barisan 〈𝑇 𝑛 (𝑥)〉 adalah  barisan  Cauchy yang  konvergen  maka 𝑥 mempunyai  titik  tetap tunggal yaitu 𝑇(𝑥) = 𝑥 .
Teorema 3.1.4
Misalkan 𝑥 , 𝑦 ∈ 𝑋 dan 𝛼 , 𝛽 ∈ [0, 1
2 ] dengan
𝑑(𝑇(𝑥), 𝑇(𝑦)) ≤ 𝛼[𝑑(𝑇(𝑥), 𝑥) + 𝑑(𝑇(𝑦), 𝑦) + 𝛽𝑑(𝑥, 𝑦)]
Maka 𝑇 mempunyai  titik  tetap  tunggal  di 𝑋 (Fisher, 1976:193-194).

## Bukti
Ambil  titik 𝑥 0 ∈ 𝑋 dan 〈𝑥 𝑛 〉 barisan  di 𝑋 didefinisikan dengan
𝑥 𝑛 = 𝑇𝑥 𝑛−1 ,             𝑛 ∈ 𝑁 Maka 𝑥 0 ,  𝑥 1 = 𝑇(𝑥 0 ),  𝑥 2 = 𝑇(𝑥 1 ),  𝑥 3 = 𝑇(𝑥 2 ), … , 𝑥 𝑛−1 = 𝑇(𝑥 𝑛−2 ), 𝑥 𝑛 = 𝑇(𝑥 𝑛−1 )
Akan  ditunjukkan  bahwa 〈𝑥 𝑛 〉 adalah  barisan Cauchy
𝑑(𝑥 1 , 𝑥 2 ) = 𝑑(𝑇(𝑥 0 ), 𝑇(𝑥 1 )) ≤ 𝛼[𝑑(𝑇(𝑥 0 ), 𝑥 0 ) + 𝑑(𝑇(𝑥 1 ), 𝑥 1 )] + 𝛽𝑑(𝑥 0 , 𝑥 1 ) = 𝛼[𝑑(𝑥 1 , 𝑥 0 ) + 𝑑(𝑥 2 , 𝑥 1 )] + 𝛽𝑑(𝑥 0 , 𝑥 1 ) = 𝛼[𝑑(𝑥 1 , 𝑥 2 ) + 𝑑(𝑥 0 , 𝑥 1 )] + 𝛽𝑑(𝑥 0 , 𝑥 1 ) ≤ 𝛼 1−𝛼 𝑑(𝑥 0 , 𝑥 1 ) + 𝛽𝑑(𝑥 0 , 𝑥 1 )
𝑑(𝑥 2 , 𝑥 3 ) = 𝑑(𝑇(𝑥 1 ), 𝑇(𝑥 2 )) ≤ 𝛼[𝑑(𝑇(𝑥 1 ), 𝑥 1 ) + 𝑑(𝑇(𝑥 2 ), 𝑥 2 )] + 𝛽𝑑(𝑥 1 , 𝑥 2 ) = 𝛼[𝑑(𝑥 2 , 𝑥 1 ) + 𝑑(𝑥 3 , 𝑥 2 )] + 𝛽𝑑(𝑥 1 , 𝑥 2 ) = 𝛼[𝑑(𝑥 2 , 𝑥 3 ) + 𝑑(𝑥 1 , 𝑥 2 )] + 𝛽𝑑(𝑥 1 , 𝑥 2 ) ≤ 𝛼 1−𝛼 𝑑(𝑥 1 , 𝑥 2 ) + 𝛽𝑑(𝑥 1 , 𝑥 2 ) ≤ ( 𝛼 1−𝛼 ) 2 𝑑(𝑥 0 , 𝑥 1 ) + 𝛽 2 𝑑(𝑥 0 , 𝑥 1 ) 𝑑(𝑥 3 , 𝑥 4 ) = 𝑑(𝑇(𝑥 2 ), 𝑇(𝑥 3 )) ≤ 𝛼[𝑑(𝑇(𝑥 2 ), 𝑥 2 ) + 𝑑(𝑇(𝑥 3 ), 𝑥 3 )] + 𝛽𝑑(𝑥 2 , 𝑥 3 ) = 𝛼[𝑑(𝑥 3 , 𝑥 2 ) + 𝑑(𝑥 4 , 𝑥 3 )] + 𝛽𝑑(𝑥 2 , 𝑥 3 ) = 𝛼[𝑑(𝑥 3 , 𝑥 4 ) + 𝑑(𝑥 2 , 𝑥 3 )] + 𝛽𝑑(𝑥 2 , 𝑥 3 ) ≤ 𝛼 1−𝛼 𝑑(𝑥 2 , 𝑥 3 ) + 𝛽𝑑(𝑥 2 , 𝑥 3 ) ≤ ( 𝛼 1−𝛼 ) 3 𝑑(𝑥 0 , 𝑥 1 ) + 𝛽 3 𝑑(𝑥 0 , 𝑥 1 )
. . . 𝑑(𝑥 𝑛 , 𝑥 𝑛−1 ) = 𝑑(𝑇(𝑥 𝑛 ), 𝑇(𝑥 𝑛−1 ))
≤ 𝛼[𝑑(𝑇(𝑥 𝑛 ), 𝑥 𝑛 ) + 𝑑(𝑇(𝑥 𝑛−1 ), 𝑥 𝑛−1 )] + 𝛽𝑑(𝑥 𝑛 , 𝑥 𝑛−1 ) = 𝛼[𝑑(𝑥 𝑛 , 𝑥 𝑛−1 ) + 𝑑(𝑥 𝑛+1 , 𝑥 𝑛 )] + 𝛽𝑑(𝑥 𝑛 , 𝑥 𝑛−1 ) = 𝛼[𝑑(𝑥 𝑛−1 , 𝑥 𝑛+1 ) + 𝑑(𝑥 𝑛 , 𝑥 𝑛−1 )] + 𝛽𝑑(𝑥 𝑛 , 𝑥 𝑛−1 ) ≤ 𝛼 1−𝛼 𝑑(𝑥 𝑛 , 𝑥 𝑛−1 ) + 𝛽𝑑(𝑥 𝑛 , 𝑥 𝑛−1 ) ≤ ( 𝛼 1−𝛼 ) 𝑛 𝑑(𝑥 𝑛 , 𝑥 𝑛−1 ) + 𝛽 𝑛 𝑑(𝑥 𝑛 , 𝑥 𝑛−1 )
Secara umum diperoleh jika 𝑚 merupakan bilangan bulat positif maka berlaku
𝑑(𝑥 𝑚 , 𝑥 𝑚+1 ) ≤ ( 𝛼 1−𝛼 ) 𝑚 𝑑(𝑥 0 , 𝑥 1 ) + 𝛽 𝑚 𝑑(𝑥 0 , 𝑥 1 ) = (𝑞) 𝑚 𝑑(𝑥 0 , 𝑥 1 ) + 𝑟 𝑚 𝑑(𝑥 0 , 𝑥 1 ) (3.7)
dengan 𝑞 = 𝛼 1− 𝛼 dan 𝑟 = 𝛽 .
Karena 𝛼, 𝛽 ∈ [0, 1 2 ] ,  jelas  bahwa 0 < 𝑞 < 1 dan 0 < 𝑟 < 1
Ambil 𝜀 > 0 dan ambil bilangan 𝑛, 𝑚 ∈ ℕ dengan sifat  ketaksamaan  segitiga  pada  metrik  dan jumlah dari  barisan  geometri, didapatkan  untuk 𝑛 > 𝑚
𝑑(𝑥 𝑚 , 𝑥 𝑛 ) ≤ 𝑑(𝑥 𝑚 , 𝑥 𝑚+1 ) + 𝑑(𝑥 𝑚+1 , 𝑥 𝑚+2 ) + 𝑑(𝑥 𝑚+2 , 𝑥 𝑚+3 ) + ⋯ + 𝑑(𝑥 𝑛−1 , 𝑥 𝑛 ) ≤ (𝑞 𝑚 + 𝑞 𝑚+1 + 𝑞 𝑚+2 + 𝑞 𝑚+3 + ⋯ + 𝑞 𝑛−1 )𝑑(𝑥 0 , 𝑥 1 ) + (𝑟 𝑚 + 𝑟 𝑚+1 + 𝑟 𝑚+2 + 𝑟 𝑚+3 + ⋯ + 𝑟 𝑛−1 )𝑑(𝑥 0 , 𝑥 1 ) ≤ 𝑞 𝑚 (1 + 𝑞 + 𝑞 2 + 𝑞 3 + ⋯ + 𝑞 𝑛−𝑚−1 )𝑑(𝑥 0 , 𝑥 1 ) + 𝑟 𝑚 (1 + 𝑟 + 𝑟 2 + 𝑟 3 + ⋯ + 𝑟 𝑛−𝑚−1 ) 𝑑(𝑥 0 , 𝑥 1 ) = 𝑞 𝑚 ∑ 𝑞 𝑖 𝑛−𝑚−1 𝑖=0 𝑑(𝑥 0 , 𝑥 1 ) + 𝑟 𝑚 ∑ 𝑟 𝑖 𝑛−𝑚−1 𝑖=0 𝑑(𝑥 0 , 𝑥 1 ) = 𝑞 𝑚 ∑ 𝑞 𝑖 ∞ 𝑖=0 𝑑(𝑥 0 , 𝑥 1 ) + 𝑟 𝑚 ∑ 𝑟 𝑖 ∞ 𝑖=0 𝑑(𝑥 0 , 𝑥 1 ) (3.8)
Karena 0 < 𝑞 < 1 dan 0 < 𝑟 < 1 ,    maka deret ∑ 𝑞 𝑖 ∞ 𝑖=0 pada ketaksamaan (3.8) konvergen ke 1 1−𝑞 dan deret ∑ 𝑟 𝑖 ∞ 𝑖=0 konvergen ke 1 1−𝑟
Sehingga diperoleh
𝑑(𝑥 𝑚 , 𝑥 𝑛 ) ≤ 𝑞 𝑚 1 − 𝑞 𝑑(𝑥 0 , 𝑥 1 ) + 𝑟 𝑚 1 − 𝑟 𝑑(𝑥 0 , 𝑥 1 )
untuk 𝑛 > 𝑚 > 𝑁 .
Karena 𝑙𝑖𝑚 𝑚 →∞ 𝑞 𝑚 = 0 dan 𝑙𝑖𝑚 𝑚 →∞ 𝑟 𝑚 = 0 ,  maka 𝑙𝑖𝑚 𝑚 →∞ 𝑑 ( 𝑥 𝑚 , 𝑥 𝑛 ) = 0 maka 〈𝑥 𝑛 〉 adalah barisan Cauchy.
Karena 𝑋 lengkap, maka 〈𝑥 𝑛 〉 konvergen.
Katakan 𝑥 𝑛 → 𝑥 .  Artinya  sedemikian  sehingga jika 𝑁 ∈ ℕ, untuk  setiap 𝑛 ≥ 𝑁 berlaku 𝑑(𝑥 𝑛 , 𝑥) < 𝜀 2
Akan ditunjukkan bahwa 𝑥 adalah titik tetap dari pemetaan 𝑇 . Dari sifat ketaksamaan segitiga dan prinsip Fisher, didapatkan
𝑑(𝑥, 𝑇(𝑥)) ≤ 𝑑(𝑥, 𝑥 𝑛 ) + 𝑑(𝑥 𝑛 , 𝑇(𝑥))
= 𝑑(𝑥, 𝑥 𝑛 ) + (𝑇(𝑥 𝑛−1 ), 𝑇(𝑥))
≤ 𝑑(𝑥, 𝑥 𝑛 ) + 𝛼[𝑑(𝑇(𝑥 𝑛−1 ), 𝑥 𝑛−1 ) + 𝑑(𝑇(𝑥), 𝑥)] + 𝛽𝑑(𝑥 𝑛−1 , 𝑥) Karena 𝑥 𝑛 → 𝑥 diperoleh ketaksamaan 𝑑(𝑥, 𝑇(𝑥)) < 𝜀 2 + 𝛼[𝑑(𝑇(𝑥 𝑛−1 ), 𝑥 𝑛−1 ) + 𝑑(𝑇(𝑥), 𝑥)] + 𝛽𝑑(𝑥 𝑛−1 , 𝑥)
< 𝜀 2(1−𝛼) + ( 𝛼 1−𝛼 ) 𝑑(𝑇(𝑥 𝑛−1 ), 𝑥 𝑛−1 ) + 𝛽𝑑(𝑥 𝑛−1 , 𝑥)
= 𝜀 2(1−𝛼) + ( 𝛼 1−𝛼 ) 𝑑(𝑥 𝑛−1 , 𝑥 𝑛 ) + 𝛽𝑑(𝑥 𝑛−1 , 𝑥)
Menurut ketaksamaan (3.8)
𝑑(𝑥 𝑛−1 , 𝑥 𝑛 ) ≤ ( 𝛼 1 − 𝛼 ) 𝑛−1 𝑑(𝑥 0 , 𝑥 1 ) + (𝛽) 𝑛−1 𝑑(𝑥 0 , 𝑥 1 )
Sehingga diperoleh
𝑑 ≤ 𝜀 2(1−𝛼) + ( 𝛼 1−𝛼 ) ( 𝛼 1−𝛼 ) 𝑛−1 𝑑(𝑥 0 , 𝑥 1 ) + ( 𝛽 1−𝛽 ) 𝑛−1 𝑑(𝑥 0 , 𝑥 1 ) + 𝛽𝑑(𝑥 𝑛−1 , 𝑥) = 𝜀 2(1−𝛼) + ( 𝛼 1−𝛼 ) 𝑛 𝑑(𝑥 0 , 𝑥 1 ) + ( 𝛽 1−𝛽 ) 𝑛 𝑑(𝑥 0 , 𝑥 1 ) = 𝜀 2(1−𝛼) + 𝑞 𝑛 𝑑(𝑥 0 , 𝑥 1 ) + (𝑟) 𝑛−1 𝑑(𝑥 0 , 𝑥 1 )
Untuk 𝑛 → ∞ , maka 𝑞 𝑛 → 0 dan 𝑟 𝑛 → 0 , sehingga
𝑑(𝑥, 𝑇(𝑥)) < 𝜀
2(1 − 𝛼)
Karena 𝜀 sebarang,  maka 𝑑(𝑥, 𝑇(𝑥)) = 0 atau 𝑇(𝑥) = 𝑥 , dengan demikian terbukti bahwa pemetaan  Fisher  pada 𝑋 yang  lengkap mempunyai titik tetap tunggal.

## Contoh
Misalkan 〈𝑥 𝑛 〉 adalah barisan Cauchy di 𝑙 2
Akan  ditunjukkan  bahwa  barisan  di 𝑙 2 tersebut konvergen,  untuk  setiap 𝑛 ∈ 𝑁 dan 𝑥 𝑛 = (𝑥 𝑛1 , 𝑥 𝑛2 , 𝑥 𝑛3 , … ) yang  telah  didefinisikan  pada ruang 𝑙 2 atau ∑ |𝑥 𝑛𝑘 | 2 ∞ 𝑘=1 konvergen terhadap 𝑛 .
Dimana 〈𝑥 𝑛 〉 adalah  barisan  Cauchy,  untuk  setiap 𝜀 > 0 terdapat bilangan bulat positif 𝑁 , sehingga
√∑|𝑥 𝑛𝑘 − 𝑥 𝑚𝑘 | 2 ∞ 𝑘=1 < 𝜀
dengan 𝑚, 𝑛 > 𝑁 . Dengan menggunakan definisi 𝑙 2 , diperoleh
∑ |𝑥 𝑛𝑘 − 𝑥 𝑚𝑘 | 2 ∞ 𝑘=1 < 𝜀 2 ,      𝑚, 𝑛 > 𝑁
sehingga
|𝑥 𝑛𝑘 − 𝑥 𝑚𝑘 | < 𝜀,     𝑚, 𝑛 > 𝑁
untuk  setiap 𝑘 ∈ 𝑁 .  Maka  untuk  setiap 𝑘, (𝑥 𝑛𝑘 ) adalah barisan Cauchy di 𝐶 sehingga 𝑙𝑖𝑚 𝑛→∞ 𝑥 𝑛𝑘 ada ketika 𝐶 merupakan ruang metrik lengkap.
𝑙𝑖𝑚 𝑛 →∞ 𝑥 𝑛𝑘 dimana 𝑥 = ( 𝑥 1 , 𝑥 2 , 𝑥 3 , … )
Akan  ditunjukkan  bahwa 𝑥 ∈ 𝑙 2 dan 〈𝑥 𝑛 〉 konvergen  terhadap 𝑥 . Maka 𝑙 2 dapat  dikatakan lengkap
∑ |𝑥 𝑛𝑘 − 𝑥 𝑚𝑘 | 2 𝑟 𝑘=1 < 𝜀 2 ,      𝑚, 𝑛 > 𝑁
Dapat diperhatikan bahwa 𝑟 = 1,2,3, …
Maka 𝑛 merupakan titik dan 𝑙𝑖𝑚 𝑚 →∞ 𝑥 𝑚𝑘 = 𝑥 · 𝑘 ∑ |𝑥 𝑛𝑘 − 𝑥 · 𝑘| 2 𝑟 𝑘=1 < 𝜀 2 ,      𝑛 > 𝑁
Ambil titik
(𝑎 1 , 𝑎 2 , 𝑎 3 , … , 𝑎 𝑟 ), (𝑏 1 , 𝑏 2 , 𝑏 3 , … , 𝑏 𝑟 ), (𝑐 1 , 𝑐 2 , 𝑐 3 , … , 𝑐 𝑟 ) ∈ 𝐶 𝑟
dengan  menggunakan  ketaksamaan  segitiga  di 𝐶 𝑟 , diperoleh
√∑|𝑎 𝑘 − 𝑐 𝑘 | 2 𝑟 𝑘=1 ≤ √∑|𝑎 𝑘 − 𝑏 𝑘 | 2 𝑟 𝑘=1 + √∑|𝑏 𝑘 − 𝑐 𝑘 | 2 𝑟 𝑘=1
Misalkan 𝑎 𝑘 = 𝑥 · 𝑘 , 𝑏 𝑘 = 𝑥 𝑛𝑘 dan 𝑐 𝑘 = 0 ,  sehingga diperoleh
√∑|𝑥 · 𝑘| 2 𝑟 𝑘=1 ≤ √∑|𝑥 · 𝑘 − 𝑥 𝑛𝑘 | 2 𝑟 𝑘=1 + √∑|𝑥 𝑛𝑘 | 2 𝑟 𝑘=1
≤ 𝜀 + √∑ |𝑥 𝑛𝑘 | 2 𝑟 𝑘=1 ≤ 𝜀 + √∑ |𝑥 𝑛𝑘 | 2 ∞ 𝑘=1
Jika 𝑛 > 𝑁 dan  konvergen  terhadap ∑ |𝑥 𝑛𝑘 | 2 ∞ 𝑘=1 , tentu 𝑥 ∈ 𝑙 2 .  Oleh  karena  itu,  dapat  dilihat  pada ketaksamaan segitiga sebelumnya
√∑|𝑥 𝑛𝑘 − 𝑥 · 𝑘| 2 ∞ 𝑘=1 < 𝜀,      𝑛 > 𝑁
Yang  mengakibatkan  bahwa  barisan 〈𝑥 𝑛 〉 konvergen terhadap 𝑥 dan 𝑙 2 adalah lengkap.

## PENUTUP
Dari  pembahasan  pada  bab  sebelumnya, dapat  ditarik  kesimpulan  bahwa  teorema  titik tetap  Banach  juga  dikenal  sebagai  teorema pemetaan kontraksi, sebelum mencari ketunggalan titik tetap dapat dicari kelengkapan ruang  metrik,  dikatakan  lengkap  jika  suatu barisan  Cauchy  tersebut  konvergen,  sehingga dapat  dibuktikan  bahwa  teorema  titik  tetap  di ruang  Banach  mempunyai  titik  tetap  yang tunggal. Dalam membuktikan teorema titik tetap di ruang Banach, diperlukan suatu teorema yaitu:
Pemetaan Kannan 𝑑(𝑇(𝑥), 𝑇(𝑦)) ≤ 𝑘[𝑑(𝑇(𝑥), 𝑥) + 𝑑(𝑇(𝑦), 𝑦)] untuk  setiap 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋 dan 𝛼 ∈ [0, 1 2 ] , maka 𝑇 mempunyai titik tetap tunggal di 𝑋 .  Dan  Pemetaan  Fisher 𝑑(𝑇(𝑥), 𝑇(𝑦)) ≤ 𝛼[𝑑(𝑇(𝑥), 𝑥) + 𝑑(𝑇(𝑦), 𝑦) + 𝛽𝑑(𝑥, 𝑦)] untuk setiap 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋 dan 𝛼, 𝛽 ∈ [0, 1 2 ] , maka 𝑇 mempunyai titik tetap tunggal di 𝑋 .

## 1. Saran
Dalam  penulisan  skripsi  ini,  penulis menggunakan  pemetaan  Kannan  dan  pemetaan Fisher  untuk  membuktikan  titik  tetap  di  ruang Banach. Oleh karena itu penulis memberikan saran kepada pembaca yang tertarik pada permasalahan ini supaya  mengembangkannya  dengan  menggunakan pada fungsi ruang yang lainnya

## BIBLIOGRAPHY
[1]  Abdussakir.  2009 .  Pentingnya  Matematika dalam  Pemikiran  Islam :  State  Islamic University of
Malang. (Online: http://abdussakir.wordpress.com/artikel/ diakses 20 Desember 2013).
[2] Al-Mahali, M.J.A. dan As-Suyuthi, A.J.A.. 2010. Tafsir  Jalalain  1. Surabaya:  Bina  Ilmu Surabaya
[3]  Al-Maraghi, M.A.. 1993. Tafsir Al-Maraghi 2 . Mesir: Musthafa Al-Babi Al-Halabi
[4]  Banach, S.. 1992. Sur Les Operations Dans Les Ensembles Abstraits Et Leur Application Aux Equations Integrales , Fund. Math . 133-181.
[5]  Bartle,  R.G.  and  Sherbert,  D.R..  (2000). Introduction  to  Real  Analysis ,  Third  Edition. New York: John Wiley and Sons.
[6]   Cohen, G.. 2003. A Course in Modern Analysis and Its Applications. United States of America: Cambridge University Press.
[7]  Fisher.  1976.  A  fixed  Point  Theorem  for Compact  Metric  space. Publ.  Inst.  Math .  25,
193-194.
[8]  Ghozali, M.S.. 2010. Analisis Real 1 . Bandung. Pusat Perbukuan Departemen Pendidikan
[9]    Kreyzig,  E..  1989. Introductory  Functional Analysis with  Application .  United  States  of America.
[10] Kannan, R.. 1969. Some Result on Fixed Point Theorems, Bull. Calcutta. Math. Soc , Vol. 60, 71-78.
[11] Nasoetion, A.H.. 1980. Landasan Matematika . Jakarta: PT. Bharatara Karya Aksara.
[12]  Quth, S.. 2002 . Tafsir Fi  Dzilalil  Qur’an jilid
24 . Jakarta: Bina Insani
[13] Rynne, B.P. and Youngson, M.A.. 2008. Linear Functional  Analysis .  New  York:  Springger- Verlag.
[14]  Soemantri.  1988. Analisis  Real  1 .  Jakarta: Universitas Terbuka
[15] Wijaya, B.T.. 2011. Spectrum Detour Graf m- Partisi  Komplit. Skripsi  S1 .  Malang:  UIN Maulana Malik Ibrahim Malang.
[16]  Wilde,  F.I..  2003. Topological  Vector  Space .
London.