Spektra: Jurnal Fisika dan Aplikasinya http://doi.org/10.21009/SPEKTRA
DOI: doi.org/10.21009/SPEKTRA.021.01
STUDI BRANEWORLD DIMENSI LIMA

## Dewi Wulandari 1,a)
1 Jurusan  Fisika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Negeri Medan, Jalan Willem Iskandar Pasar V Medan 20221, Indonesia
Email: a) wulziephyc@gmail.com

## Abstrak
Studi  yang  berkaitan  dengan  braneworld  dimensi  lima  dengan  brane  tunggal  yang  terletak  di telah diakukan, model Randall-Sundrum dan modifikasi Randall-Sundrum. Aspek yang ditinjau adalah  skalar  Ricci,  persamaan  Einstein,  tensor  energi-momentum,  konsanta  kosmologi  dan  massa Planck efektif dalam dimensi-empat. Dari ekspresi skalar Ricci dan analisis persamaan medan Einstein pada brane dan bulk dapat diinterpretasikan bahwa kedua metrik memiliki ruang-waktu yang berbeda.
Kata-kata kunci: Brane-world, Dimensi Ekstra, Model Randall-Sundrum, Model Modifikasi Randall- Sundrum.

## Abstract
The  five-dimensional  braneworld  models  with  single  brane  placed  at
have  been  studied, Randall-Sundrum model and a Modified Randall-Sundrum model. In this case,  in terms of Ricci scalar, Einstein equations and energy-momentum tensor, cosmological constant  and four-dimensional Planck efective mass have been investigated. From the Ricci scalar and Einstein equation expressions both on brane and bulk indicate that those metrics have different space-time.
Keywords: Brane-world,  Extra  Dimension,  Randall-Sundrum  Model,  Modified  Randall-Sundrum Model.

## PENDAHULUAN
Ide skenario braneworld bahwa alam semesta dimensi-empat yaitu t empat medan materi hidup adalah sebuah brane dan brane ini dikurung dalam ruang-waku berdimensi lebih tinggi yang disebut bulk telah  memberikan  paradigma  baru  dalam  menyelesaikan  masalah  hirarki  dan  konstanta kosmologi.  Dalam framework  braneworld hanya  gravitasi  yang  bebas  berpropagasi  pada  ruang- waktu brane dan bulk sedangkan  seluruh  medan  materi  hanya  dapat  berpropagasi  pada brane . Perspektif  inilah  yang  pada  akhirnya  dapat  menjeslakan  mengapa  interaksi  gravitasi  sangat  kecil dibandingkan  dengan  interaksi  lain,  sehingga  dalam  model  sandar  pengaruh  efek  gravitasi  dapat diabaikan.
Salah satu  model braneworld yang cukup popular adalah model Randall-Sundrum, dengan satu dimensi tambahan (koordinat- y ). Lisa Randall dan Raman Sundrum [1,2] mengusulkan model brane- world tipe I dan II. Dalam model Randall-Sundrum I dibangun berdasarkan asumsi terdapat dua buah brane yang identik yang terletak pada y=0 yang disebut dengan Planck brane ( invisible brane ) dan
Spektra: Jurnal Fisika dan Aplikasinya http://doi.org/10.21009/SPEKTRA
visible  brane yang  terleak  pada ,  dimana L adalah  jarak  antara  kedua brane .  Model Randall-Sundrum  I  ini  memberikan  pendekatan  untuk  menyelesaikan  masalah  hirarki.    Model Randall-Sundrum  II  diusulkan  hanya  ada  satu brane yang  digunakan  untuk  menganalisis  prilaku medan materi dalam brane termasuk sifat lokalisasi.
Mekanisme  lokalisasi  medan  materi  pada  brane  secara  natural  menjadi  sesuatu  yang  penting dalam framework  brane  world. Tidak  semua  medan  materi  dapat  terlokalisasi  pada  brane  metrik Randall-Sundrum  [3,4,5].  Mengacu  pada  referensi  [6,7]  yang  mengusulkan  metrik  dimensi-lima (koordinat- r )  yang  merupakan  modifikasi  metrik  Randall-Sundrum  ternyata  menghasilkan  sifat lokalisasi yang cukup berbeda jika dibandingkan dengan metrik asli Randall-Sundrum. Medan vektor spin-1yang  tidak  dapat  terlokalisasi  pada brane metrikasli  Randall-Sundrum  ternyata  dapat terlokalisasi  pada brane metrik  modifikasi  Randall-Sundrum  untuk  kasus decreasing  warp  factor . Hal  yang  cukup  menarik  terjadi  untuk  kasus  medan  skalar  bermassa  yang  terlokaliasi  pada brane metrik  modifikasi  Randall-Sundrum  yaitu  munculnya  mekanisme  pembangkit  massa  sendiri    yang mengingatkan pada mekanisme self-consistent Nambu dan Jona-Lasinio [8].
Perbedaan  sifat  lokalisasi  medan  materi  pada  metrik  asli  Randall-Sundrum  dengan  metrik modifikasi Randall-Sundrum membawa ketertarikan untuk menganalisis aspek-aspek yang berkaitan dengan  kedua  metrik  dimensi-lima  ini.  Aspek  yang  dikaji  meliputi  ekpresi  skalar  Ricci,  persamaan medan Einstein, konstanta  kosmologi, tensor energi-momentum dan massa Planck efektif.

## METRIK BRANE WORLD DIMENSI LIMA
Aksi  dari  gravitasi  untuk  model  brane  world  dimensi  lima  dengan  melibatkan  konstanta kosmologi didefenisikan sebagai berikut [3-5]:
(1)
dimana   adalah  determinan  tensor  metrik  dimensi-lima, adalah  skalar  Ricci  dimensi-lima, adalah konstanta kosmologi dan   adalah konstanta kopling.
Metrik yang diusulkan dalam model Randall-Sundrum didefensikan:
(2)
dimana
adalah  metrik  Minkowski  dimensi-empat, k adalah  konstanta yang  diperoleh  dari  persamaan  Einstein    melalui  ketertalaan  ( fine-tuning )    dengan  konstanta kosmologi.
Metrik  yang  diusulkan  pada  referensi  [6,7]  yang  merupakan  metrik  modifikasi  model  Randall- Sundrum didefensikan:
(3)
Pada  metrik  modifikasi  Randall-Sundrum, warp  factor , tidak  hanya  muncul  pada komponen  dimensi-empat  tapi  juga  muncul  pada  komponen  dimensi  ekstra.  Metrik  (3)  juga  dapat ditulis  dengan
.  Dari  perspektif  dimensi-empat,  metrik  (2)  dan  (3)  dapat dihubungkan  dengan  koordinat  transformasi
dan  untuk  komponen  dimensi
ekstra  dinyatakan  dengan
.  Kedua  metrik  (2)  dan  (3)  secara  konformal  adalah flat dengan  koordinat  tranformasi  untuk  komponen  dimensi  ekstra  pada  metrik  (2)  didefenisikan dengan [9-11].
Spektra: Jurnal Fisika dan Aplikasinya http://doi.org/10.21009/SPEKTRA
Nilai symbol Christofell dan tensor Ricci yang tidak nol untuk metric koordinat- y adalah:
; , ; ,
(4a)
dan Skalar Ricci untuk metrik (2) didefenisikan sebagai berikut:
, (4b)
Nilai symbol Christofell dan tensor Ricci yang tidak nol untuk metric koordinat- r adalah:
; ; , ; ,
(5a)
dan skalar Ricci untuk metrik (3) didefenisikan sebagai berikut:
. (5b)
Ekspresi dari tensor Ricci dan skalar Ricci yang berbeda dari kedua metrik tersebut mengidentifikasi bahwa kedua metrik merepresentasikan ruang-waktu yang berbeda.
Dengan  memberlakukan  prinsip  variasi  aksi  terkecil  pada  aksi  (1)  terhadap  metrik ,  maka diperoleh persamaan medan gravitasi, persamaan Einstein dalam dimensi-lima:
, (6a)
dimana adalah  tensor  Einstein  dimensi-lima, adalah  tensor  energi-momentum  yang menggambarkan distribusi materi dan energi yang didefenisikan melalui persamaan sebagai berikut:
. (6b)
Tensor  Einstein pada brane untuk masing-masing sistem koordinat didefenisikan sebagai berikut:
,
(7a) (7b)
dan tensor Einstein pada bulk :
(8)
Dengan mensubsitusi komponen tensor Einstein untuk masing-masing sistem koordinat kepersamaan (6a), maka diperoleh persamaan medan Einstein pada brane sebagai berikut:
, . (9a) (9b)
Spektra: Jurnal Fisika dan Aplikasinya http://doi.org/10.21009/SPEKTRA
Kehadiran fungsi delta pada persamaan (9a) dan (9b) menginterpretasikan bahwa sumber materi yang  diindikasikan  dengan  tensor  energi-momentum    terkurung  pada brane yang  berada  pada titik .
Persamaan Einstein pada bulk didefenisikan sebagai berikut:
, . (10a) (10b)
Dalam  model  Randall-Sundrum,  ruang-waktu bulk merupakan  ruang-waktu Anti  de-Sitter yang dikarakteristik  dengan  konstanta  kosmologi  yang  bernilai  negatif.  Karena  di  dalam bulk tidak  ada materi  (vakum)  maka
,  sehingga    melalui  ketertalaan  dengan  konstanta  kosmologi,  akan
diperoleh .
Dari hasil yang diperoleh di atas, maka dapat didefenisikan tensor energi-momentum pada brane untuk model Randall-Sundrum sebagaiberikut:
(11)
dan tegangan brane ( brane tension ) didefenisikan sebagai berikut:
  . 6 6 2 2    y k     (12)
Dari persamaan (12) diperoleh ketertalaan ( fine-tuning ) antara konstanta k , konstanta kosmologi, dan juga tegangan brane ,  .  Dari perumusan persamaan (6b) dan (11) dapat disimpulkan, dalam model  Randall-Sundrum, dapat  diindikasikan  oleh  fungsi  delta  tegangan brane dimensi- empat  yaitu, .  Hal  yang  berbeda  terjadi  pada  modifikasi  Randall-Sundrum, yang diperoleh tidak hanya diindikasikan oleh fungsi delta tegangan brane tetapi juga diindikasikan oleh momentum-energi bulk.
Untuk  modifikasi  Randall-Sundrum,  dari  persamaan  (9a)  dan  (10b),  tidak  memungkinkan mendapatkan  ketertalaan  ( fine-tuning ).  Hal  paling  sederhana  yang  dapat  dilakukan  adalah  dengan mendefenisikan , sehingga tensor energi-momentum untuk sistem koordinat- r didefenisikan sebagai berikut:
    r k k T      2 2 2   2 55 2 6 k T    (13a) (13b)
Dari persamaan (13b) diperoleh komponen kelima tensor energi-momentum merupakan konstanta bulk , sedangkan  komponen  tensor  energi-momentum  dimensi-empat, didefenisikan  dengan  suku  konstanta bulk dan  suku  fungsi  delta, .  Fungsi  delta  dirac mengindikasikan  distribusi  materi  yang  terkurung  dalam brane .  Untuk  pengamat    yang    terkurung dalam brane , tensor energi-momentum efektif  dimensi empat akan muncul sebagai suku konstanta kosmologi efektif dimensi-empat [6], dengan . Konstanta kosmologi efektif  dapat  bernilai  negatif  untuk 0<k<2 dan  positif    untuk k<0 atau k>2 .  Untuk k=2 ,  konsanta kosmologi  efektif  akan  lenyap.  Dari  kondisi  lokalisasi  medan  skalar  yang  terkopel  dengan  medan vektor  [12],  medan  skalar  bermassa  maupun  tak  bermassa  dan  medan  vektor  tak  bermassa  dapat terlokaliasi  pada brane metrik  modifikasi  Randall-Sundrum  untuk  kasus  decreasing  warp  factor
Spektra: Jurnal Fisika dan Aplikasinya http://doi.org/10.21009/SPEKTRA
dengan k=1 . Kondisi ini akan memberikan nilai konstanta kosmologi negatif  yang mengindikasikan ruang-waktu Anti de-Sitter.

## MASSA PLANCK EFEKTIF DIMENSI EMPAT
Konstanta  gravitasi  Newton, G dapat  dikaitkan  dengan  massa  Plank  melalui  persamaan  berikut ini:
2 1 pl M G  (14a)
Massa  Planck  efektif  dimeni-empat,  diperoleh  dengan  membandingkan  aksi  gravitasi  dalam dimensi-lima dengan aksi gravitasi dalam dimensi-empat,
, 16 1 5 5 3 5 5 5 2 R g x d M R g x d S         (15)
dengan adalah determinan metrik dimensi-lima, adalah massa Planck dalam dimensi lima, dan adalah  skalar  Ricci  dalam  dimensi-lima.  Untuk  metrik  asli  model  Randall-Sundrum  (2),
, skalar Ricci dalam dimensi-lima dapat dijabarkan sebagai berikut:
,.. ... ... 4 2 2         R e R e R g R y k y k      (16)
Sehingga aksi dimensi-lima untuk  model asli Randall-Sundrum didefenisikan sebagai berikut:
                  ... det 16 ... det 16 16 4 2 4 4 3 5 4 2 4 5 3 5 5 5 3 5 R dye xe d M S R e xe d M R g x d M S y k y k y k y k       
(17)
Jika persamaan (17) diintegralkan terhadapdimensi-ekstra ( sampai ) maka persamaan (17) akan menjadi:
... det 2 1 16 4 4 3 5     R k x d M S   
(18)
dan aksi gravitasi dalam dimensi-empat didefenisikan sebagai berikut:
. 16 1 4 4 4 R g x d G S     (19)
Dengan  membandingkan  persamaan  (18)  dan  (19)  dan  dengan  menggunakan  hubungan persamaan (14), maka massa Planck efektif dimensi-empat dalam model Randall Sundrum diperoleh sebagai berikut:
Spektra: Jurnal Fisika dan Aplikasinya http://doi.org/10.21009/SPEKTRA
  k M M y pl 2 3 5 2  (20)
Dengan  cara  yang  sama,  untuk  brane  metrik  modifikasi  Randall-Sundrum,
, skalar  Ricci,
,  maka  massa  Planck  efektif  dimensi-empat  dalam  model  modifikasi
Randall Sundrum diperoleh sebagai berikut:
  k M M r pl 3 3 5 2  (21)
Dari persamaan (20) dan (21) dapat disimpulkan, untuk kedua  model braneworld dimensi lima ini dengan brane tunggal, meskipun dimensi ekstra berukuran besar (menuju tak berhingga), nilai massa Planck  efektif    belum  tereduksi  mendekati  orde  skala  elektroweak  karena  hanya  bergantung  pada massa Planck dimensi-lima dengan konstanta k.

## SIMPULAN
Ekspresi dari skalar Ricci dan analisis persamaan medan Einstein mengindikasikan  ruang-waktu yang  didefenisikan  dari  metrik  asli  Randall-Sundrum  dan  metrik  modifikasi  Randall-Sundrum merepresentasikan  ruang-waktu yang berbeda.
Dari  persamaan  Einstein  pada bulk ,  untuk  model  Randall-Sundrum  memungkinkan    melakukan ketertalaan yang menyebabkan lenyapnya komponen kelima tensor energi-momentum dan diperoleh hubungan ,  sedangkan  untuk  model  modifikasi  Randall-Sundrum  tidak  memungkinkan melakukan ketertalaan tetapi dengan mendefenisikan .
Melalui keterkaitan antara tensor energi dengan aksi materi, pada model Randall-Sundrum, didefenisikan dalam fungsi delta tegangan brane , sedangkan pada model modifikasi Randall- Sundrum tidak hanya didefenisikan dalam fungsi delta tegangan brane , tetapi disertai
suku konstanta momentum-energi bulk , .
Dari  rumusan  massa  Planck  efektif  dimensi-empat,  meskipun  dengan  dimensi ekstra  yang  besar (tak berhingga) untuk kedua model brane world , tidak  membuat massa Planck tereduksi mendekati orde skala elektroweak.

## UCAPAN TERIMAKASIH
DW  mengucapkan  terimakasih  atas  dukungan  beasiswa  BPPDN  DIKTI.  Penelitian  ini  didanai oleh DIKTI melalui  hibah disertasi tahun 2016.

## DAFTAR ACUAN
[1] Randall, L., dan Sundrum, R., Phys. Rev. Lett. 83, 3370 (1999).
[2] Randall, L., dan Sundrum,R., Phys. Rev. Lett. 83, 4690 (1999).
[3] M. Gogberashvili, Int. J. Mod. Phys. D 11, 1635 (2002)
[4] A. Pomarol, Phys. Lett. B 486, 153 (2000)..
[5] B. Bajc and G. Gabadadze, Phys. Lett. B 474, 282 (2000).
[6] Jones P., Singleton D., Triyanta, Phys. Rev. D 88, 025048 (2013)
[7] Triyanta, D. Singleton, P. Jones, G. Munoz, AIP Conference Proceedings 1617, 96 (2014).
Spektra: Jurnal Fisika dan Aplikasinya http://doi.org/10.21009/SPEKTRA
[8] Y. Nambu and G. Jona-Lasinio, Phys. Rev. 122, 345 (1961).
[9] A. Perez-Lorenzana, arXiv: hep-ph/04066279
[10] K. Koyama, J. Comol. Asropart. Phys. 09 (2004) 010
[11] N.  Arkani-Hamed,  S.  Dimopoulos,  G.  Dvali,  and  N.  Kaloper,  Phys.  Rev.  Lett.  84,  586 (2000).
[12] D. Wulandari, Triyanta, Jusak S. Kosasih, D. Singleton AIP Conference Proceedings 1677, 040003 (2015)
Spektra: Jurnal Fisika dan Aplikasinya http://doi.org/10.21009/SPEKTRA