Perilaku Beban-Perpindahan Aksial Pre-Buckling dan Post-Buckling pada Struktur Kolom Elastis

## Sumirin
Jurusan Teknik Sipil, Fakultas Teknik, Universitas Islam Sultan Agung Jl. Raya Kaligawe Km. 04 Semarang E-mail: sumirinms@gmail.com

## Abstract
The analysis of column buckling is generally based on the analysis of linear eigenvalue problem to obtain the buckling load. In the linear analysis we do not know the load-displacement behavior especially after buckling occurs. This research studied the behavior of the elastic column on the stage pre-buckling and post-buckling by  finite  gemetrically  nonlinear  of  finite  element  method. Difficulties  in  equilibrium  problem  at around  the point  of  buckling  load  solved  by  using  the  Newton-Raphson  incremental  method  with  constant  arc-  length technique. To generate the initial touch of buckling columns are very small lateral load or by providing the initial lateral deformation is very small. Axial load-displacement curve column finite element analysis results compared  to  the  results  of  previous  reseacher.  An  axial  load-displacement  curve  bilinear  proposed  in  this study.
Keywords: Column, Buckling, Finite element, Geometrically nonlinear analysis.

## Abstrak
Analisis  buckling  pada  kolom  pada  umumnya  didasarkan  pada  analisis  linier  masalah  nilai  eigen  untuk mendapatkan  beban  buckling.  Pada  analisis  linier  tidak  diketahui  perilaku  beban-perpindahan  terutama setelah terjadi buckling. Penelitian ini mempelajari perilaku kolom elastik pada tahap sebelum dan sesudah buckling  dengan  metode  elemen  hingga  nonlinier  geometri.  Kesulitan  pada  masalah  kesetimbangan  pada beban  di  sekitar  titik  buckling  diatasi  dengan  menggunakan  metode  inkremental  Newton-Raphson  dengan teknik panjang busur konstan. Untuk membangkitkan terjadinya buckling kolom diberi sentuhan awal beban lateral yang sangat kecil atau dengan memberikan deformasi awal lateral yang sangat kecil. Kurva beban- perpindahan  aksial  kolom  hasil  analisis  elemen  hingga  dibandingkan  dengan  hasil  peneliti  terdahulu. Sebuah kurva beban-perpindahan aksial bilinier diusulkan dalam penelitian ini.
Kata-kata Kunci : Kolom, Buckling, Elemen hingga, Analisis nonlinier geometri .

## Pendahuluan
Tekuk  atau buckling pada  batang  kolom  langsing merupakan  fenomena  instabilitas  pada  struktur. Perilaku  deformasi  perpindahan buckling tidak dapat  diketahui  dengan  analisis  linier  tetapi dapat  diselesaikan  dengan  menggunakan  analisis nonlinier geometri (geometrically nonlinear analysis) . Pelopor terkemuka dalam studi perilaku buckling kolom  adalah  Leonhard  Euler (1707-1783  M)  pada  tahun  1759  M  (Timoshenko dan  Gere,  1961).  Hubungan  antara  beban  kritis buckling dengan  sifat  bahan  dan  geometri  kolom telah  dirumuskan  yang  terkenal  dengan  rumus Euler.  Timoshenko  dan  Gere  (1961)  merumuskan beban kritis buckling pada kolom dan perpindahan
besar (large  displacement) dengan  solusi  integral elips.  Penelitian  selanjutnya  yang  memberikan perhatian  pada  masalah  perilaku post-buckling kolom  antara  lain  dijumpai  pada  pada  Bazant  dan Cedolin (1991), Meguro dan Tagel-Din (1999).
Penelitian post-buckling kolom  terdahulu  pada umumnya  memberikan  perhatian  kepada  perilaku nonlinier  pada  kurva  beban  perpindahan  lateral. Perilaku  kurva  beban-perpindahan  aksial  belum banyak  mendapat  perhatian.  Menurut  penulis, kurva  beban-perpindahan  aksial  pada post- buckling kolom  sangat  penting  untuk  pelajari untuk  diterapkan  pada  analisis  beban  batas  pada sistem  struktur  rangka  batang  atau  sistem frame . Salah  satu  atau  beberapa  komponen  batang  yang
mengalami buckling dapat mempengaruhi perilaku sistem struktur secara keseluruhan.
Tujuan  penelitian  ini  adalah  untuk  mengetahui perilaku beban-perpindahan aksial struktur kolom  elastis  pada  tahap  beban pre-buckling dan post-buckling .  Model  elemen  hingga  nonlinier geometri balok-kolom 2 dimensi digunakan dalam penelitian ini. Untuk menimbulkan awal terjadinya buckling pada kolom diberikan 2 cara yaitu dengan gaya  sentuhan  lateral  awal  yang  sangat  kecil  dan perpindahan awal yang sangat kecil pada kolom.

## Metodologi

## Definisi masalah
Struktur  kolom  ditumpu  pada  kedua  ujungnya dengan  beban  aksial  sentris  dengan  geometri seperti  ditunjukkan  pada  Gambar  1a  Panjang kolom  L=1000  mm;  luas  penampang  kolom A=1256,64  mm 2 ;  momen  inersia  penampang I=125633  mm 4 dan  modulus  elastisitas  bahan E=2x105  N/mm 2 .  Penelitian  ini  menggunakan metode  simulasi  komputasi  numerik  Metode Elemen  Hingga  dengan  bantuan  Program  ANSYS Release  12  dengan  fasilitas  dari  Laboratorium Perancangan  dan  Tribologi  Jurusan  Teknik  Mesin Universitas  Diponegoro  Semarang.  Pemodelan elemen hingga ditunjukkan pada Gambar 1b. Jenis elemen  hingga  yang  digunakan  adalah  elemen balok-kolom  bidang  BEAM3,  analisis  nonlinier geometri  perpindahan  besar  dengan  asumsi  sifat bahan  masih  dalam  batas  elastis.  Beban  aksial sentris  P  atau  Fy  dikerjakan  pada  sumbu  batang. Untuk  membangkitkan  terjadinya  buckling  pada kolom  diberikan  gaya  atau  perpindahan  awal pembangkit  pada  tengah-tengah  tinggi  kolom. Besarnya  gaya  atau  perpindahan  awal  sebagai pembangkit  sangat  kecil  yaitu  Fx=1x10-5  Fy  dan  x=1/1000*L. L P Y X F y Fx (a) Geometri Struktur Kolom (b) Model Elemen Hingga Kolom 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 2 3 4 5 6 7 8 9 10 L = 1000 mm E = 2e5 N/mm 2
A = 1256.64 mm 2
I  = 125663 mm 4
Gambar 1. Geometri dan model elemen hingga struktur kolom.
Analisis linear buckling kolom
Sebuah kolom dengan panjang L, dibebani gaya P yang  bekerja  pada  sumbu  batang  yang  tumpuan ujung-ujungnya sendi dan rol, seperti terlihat pada Gambar  2.  Hubungan  antara  beban  kritis buckling dengan  sifat  bahan  dan  geometri  kolom  telah dirumuskan oleh Leonhard Euler (Timoshenko dan Gere, 1961), yaitu:
2 2 cr L El P π  ..........................................................  (1) dimana: P cr = beban kritis terkecilm
E = modulus elastisitas bahan
I = momen inersia penampang
L = panjang tekuk batang.
Persamaan  (1)  yang  dikenal  sebagai  rumus  Euler untuk  kolom,  memberikan  gambaran  bahwa karakteristik  keruntuhan buckling tergantung kepada  modulus  elastisitas  bahan  E,  momen inersia  batang  I,  dan  panjang  L  dan  tidak tergantung  kepada  kekuatan  bahan  atau  batas kelelehan bahan.
L Y x P P (a) Geometri kolom terdeformasi (b) Free body diagram P y P M x  a s q Gambar 2. Geometri kolom terdeformasi dan free body diagram.
Analisis non-linear buckling kolom
Pada analisis linear buckling kolom tidak diketahui hubungan  antara  beban  dengan  perpindahan. Untuk  mengetahui  perilaku  hubungan  beban- perpindahan  kolom sebelum  dan sesudah buckling dapat  dilakukan  dengan  analisis nonliniear buckling kolom  dapat  didekati  dengan  teori lendutan  besar  ( large  deflection  theory ).  Solusi persamaan  diferensial  pada  kasus  lendutan  besar setelah  terjadi  buckling  dapat  dilihat  pada Timoshenko  dan  Gere  (1961)  dan  Chajes  (1974).
a. Geometri struktur kolom b. Model elemen hingga kolom b. Free body diagram

## a. Geometri kolom terdeformasi
Perilaku Beban-Perpindahan Aksial Pre-Buckling dan Post-Buckling pada Struktur Kolom Elastis
Hubungan  antara  beban  dan  lendutan  dapat dirumuskan dalam bentuk (Chajes,1974):
2   2 cr 4 P 
P ........................................................   (2)
dimana  adalah sebuah sebuah fungsi:
     2 2 sin 1 p     d (p) /2 0 .........................   (3)
dimana:
 = sebuah  variabel  yang  didefinisikan  sebagai  p sin  = sin ( q /2) q = sudut rotasi batang.
Persamaan  (3)  dapat  dihitung  menggunakan  tabel integral  ellips  ( elliptic  integrals ).  Timoshenko  & Gere (1961) menyusun tabel hubungan beban kritis kolom  P cr dengan  perpindahan  vertikal  v  dan horizontal  h,  Persamaan  (2)  dan  Persamaan  (3) untuk  kolom  bertumpuan  jepit-bebas  dengan ringkasan seperti pada Tabel 1. Berdasarkan Tabel 1  ini  dapat  digunakan  untuk  kasus  kolom bertumpuan sendi-rol pada kedua ujungnya dengan menggantikan panjang kolom L dengan 0.5*L.

## Tabel 1. Data hubungan beban-perpindahan
buckling pada batang kolom ( buckled bar ) (Timoshenko & Gere,1961).
a 0 0 20 0 40 0 60 0
80 0 P/P cr 1.00 1.015 1.063 1.152 1.293  v /L 1.00 0.970 0.881 0.741 0.560  h /L 0.00 0.220 0.422 0.593 0.719 a 100 0 120 0 140 0 160 0 176 0 P/P cr 1.518 1.884 2.541 4.029 9.116  v /L 0.349 0.123 -0.107 -0.340 -0.577  h /L 0.792 0.803 0.750 0.625 0.421

## Pemodelan elemen hingga kolom
Jenis  elemen  yang  digunakan  untuk  pemodelan kolom  dalam  penelitian  ini  adalah  elemen  balok- kolom  BEAM3  (ANSYS,  2006)  yang  memiliki  2 titik  nodal  tiap  elemen,  masing-masing  titik  nodal memiliki  3  derajat  kebebasan,  yaitu:  translasi nodal  pada  sumbu  X  dan  pada  sumbu  Y  serta rotasi  terhadap  sumbu  Z,  dinotasikan  dengan  U x , U y , q z (atau  ROT Z ),  ditunjukkan  pada  Gambar  3. Data  elemen  BEAM3  meliputi:  luas  penampang, momen  inersia,  tinggi  penampang  dan  propertis material. Jenis elemen BEAM3 yang dipilih dalam penelitian  ini  dengan  memperhitungkan  pengaruh nonlinier  lendutan  besar  dan  pengaruh  penguatan tegangan dalam analisis buckling .
EI L . I X U . I Y U . I Z q . J Z U . J Y U . J Z q I J X Y Z Gambar 3. Notasi derajat kebebasan titik nodal pada elemen batang 2 dimensi untuk pemodelan kolom.
Analisis eigen buckling elemen hingga
Analisis linear  buckling disebut  juga eigenvalue buckling merupakan metode yang digunakan untuk mendapatkan  beban  kritis buckling dari  titik bifurkasi  ( bifurcation  point )  pada  struktur  elastis- linier.  Metode  elemen  hingga  untuk  mendapatkan beban  kritis  dan  ragam  bentuk buckling dilakukan dengan  menyelesaikan  persamaan  kesetimbangan homogen  (Cook,  1981;  Weaver  dan  Johnston, 1984 ; ANSYS, 2009):
          0 P K K σ k 0   λ ..................................   (4)
dimana:
[K 0 ]  = matriks kekakuan umum
[K  ]  = matriks kekakuan tegangan atau matriks geometri
 k = nilai  eigen  yaitu  faktor  ragam  bentuk buckling mode shape .
Beban buckling dari  hasil  penyelesaian eigen value yang  diturunkan  dari  Persamaan  (4) biasanya diambil yang terkecil {P cr }=  k {P}.
Prosedur  analisis eigenvalue  linear  buckling dengan  Program  ANSYS  adalah  (ANSYS, 2009):
a. bentuk model stuktur  masukkan data koordinat titik nodal, real constants , propertis  material,  elemen  dan  kondisi tumpuan;
b. lakukan  solusi  statis  aktifkan  matriks kekakuan  tegangan  “PRESTRES,  ON”, berikan beban satuan dan selesaikan;
c. lakukan solusi eigenvalue buckling mengaktifkan  analisis eigenvalue  buckling dengan  perintah  “ANTYPE,  BUCKLE”. Gunakan  pilihan  metode  iterasi  “BUCOPT, LANB” menggunakan metode iterasi subspace Lanczos;
d. perluas  solusi eigenvalue  buckling untuk ragam
lainnya
dengan perintah
“MXPAND”;
e. review  hasil  untuk  mendapatkan  faktor beban buckling dan bentuk ragam buckling .

## Analisis nonlinier geometri elemen hingga
Pada  analisis  nonlinier  geometri  metode  elemen hingga, persamaan kesetimbangan dilakukan pada konfigurasi  akhir  dan  solusi  yang  digunakan untuk mendapatkan hubungan beban-perpindahan dengan formulasi inkremental dari teori Lagrangian.  Matriks  kekakuan  elemen  dan  vektor beban  diturunkan  menggunakan  sebuah  formulasi Updated Lagrangian . Prosedur selengkapnya telah diturunkan oleh Bathe (1982) dan ANSYS (2009).
Metode  nonlinier  elemen  hingga  menggunakan persamaan  matriks  dengan  prosedur  beban bertahap.  Persamaan  kesetimbangan  struktur  pada tahap beban ke-n dan iterasi ke-i adalah:
[K i T ]{  u i }={F a }-{F i nr } ...................................   (5)
dimana:
[K i T ]  = matriks kekakuan tangent
i dan n  = subskrip  yang  menunjukkan  urutan iterasi  ke-i,  dan  step  atau  tahapan  beban ke-n
{F i nr }  = vektor  beban  pemulihan  ( restoring loads) sesuai dengan gaya atau tegangan elemen.
[K i T ]  dan  {F i nr } dievaluasi  berdasarkan  nilai perpindahan  {  u i } yang  diberikan.  Ruas  kanan Persamaan(4)  adalah  residu  atau  vektor  beban out-of-balance.
Untuk  mengatasi  masalah  respon  struktur setelah titik kritis pada post-buckling digunakan metode  Newton-Raphson  dengan  teknik  solusi panjang busur contant arc-length yang dikembangkan  oleh  Crisfield  dari  metode sebelumnya  oleh  Wempner  dan  Risk  (Crisfield, 1980).
Prosedur  analisis  analisis  elemen  hingga  nonlnier dengan  program  komputer  ANSYS  APDL  secara garis besar adalah sebagai berikut:
a. Penentuan  model  elemen  hingga:  definisi  titik nodal, elemen dan pembagian elemen (meshing), propertis  material  serta  kondisi  batas  dalam format input data;
b. Formulasi matriks kekakuan elemen dan matriks kekakuan  struktur  serta  solusi  persamaan kesetimbangan;
c. Analisis  hasil:  perpindahan,  gaya  elemen  dan reaksi tumpuan;
d. Penyajian  hasil:  pengurutan  data  dan  hasil, penyajian  dalam  bentuk  tabel  dan  gambar deformasi  maupun  penggambaran  grafik  relasi antar variabel.

## Hasil dan Pembahasan
Beban kritis linear buckling
Beban  kritis buckling dapat  diprediksi  dengan menghitung nilai-nilai eigen ( eigenvalues ) struktur berdasarkan  data  propertis  dan  kondisi  tumpuan yang  ditentukan.  Dalam  studi  ini  analisis  elemen hingga  juga  dilakukan  untuk  memperoleh  hasil linear buckling kolom.
Hasil  analisis eigen  linear  buckling terhadap kolom  tunggal  ditumpu  sederhana  pada  kedua ujungnya  disajikan  pada  Gambar  4.  Beban  kritis juga dapat dihitung berdasarkan rumus Euler pada Persamaan  (1).  Dengan  data  kolom  seperti  pada Gambar  1  diperoleh  beban  kritis  dari  Persamaan (1)  Pcr  =  248.049  kN.  Dari  hasil  analisis linear buckling dengan  model  elemen  hingga  10  elemen dengan  jenis  elemen  BEAM3  diperoleh  hasil P cr = 248.052 kN untuk ragam bentuk 1. Sedangkan untuk  ragam  bentuk  2  dan  3  hasilnya  lebih  besar, sehingga  yang  menentukan  ragam  bentuk  1. Perbedaan hasil antara rumus Euler dengan analisis linear  buckling metode  elemen  hingga  dalam  hal ini  sangat  kecil  yaitu  0.0007%.  Hal  ini menunjukkan bahwa pemilihan jumlah elemen (10 buah)  dan  jenis  elemen  batang  (BEAM3)  pada penelitian ini cukup akurat.
Pola 1 : cr.1 P = 248.052 kN Pola 2 : cr.2 P =992.406 kN Pola 3 : cr.3 P = 2230.0 kN L = 1000 mm E = 2e5 N/mm 2 A = 1256.64 mm 4 I  = 125663 mm 4 (a) Model Elemen Hingga Kolom (b) Pola BentukDeformasi 1, 2 dan 3 Gambar 4. Hasil analisis linear buckling struktur kolom
a. Model elemen hingga
kolom b. Pola bentuk deformasi 1, 2dan 3 kolom
Perilaku Beban-Perpindahan Aksial Pre-Buckling dan Post-Buckling pada Struktur Kolom Elastis
Analisis nonlinier post-buckling
Hasil  analisis  elemen  hingga nonlinear kolom dapat  menggambarkan  perilaku  kolom  hubungan beban-perpindahan  tahap post-buckling .  Berbeda dengan  analisis eigen  linear  buckling yang  hanya untuk  mengetahui  besarnya  beban buckling dan pola  deformasi  geometri,  hasil  analisis  elemen hingga nonlinear dapat  menggambarkan  perilaku beban  terhadap  perpindahan  pada  setiap  tahap pembebanan yang telah memperhitungkan pengaruh lendutan besar ( large-deflection ).
Analisis  elemen  hingga  kolom  dilakukan  dengan model  sebagaimana  terlihat  pada  Gambar  1. Pembagian  jumlah  elemen  sebanyak  10  buah  dan jumlah titik  nodal 11 buah. Jumlah titik dipilih 11 buah agar beban lateral horizontal dapat dikerjakan tepat di tengah panjang batang yaitu 0.5 L .
Besarnya  beban  awal  F y dalam  analisis  nonlinier diprediksi  berdasarkan  beban  kritis  rumus  Euler. Cara  untuk  membangkitkan  terjadinya buckling dalam  analisis  nonlinier  yang  digunakan  dalam penelitian  ini  ada  2  macam  yaitu,  cara  pertama dengan  memberikan  sentuhan  gaya  horizontal yang  sangat  kecil  F x di  titik  tengah  tinggi  kolom. Beban  horizontal  F x diambil  sangat  kecil disimulasi  untuk  3  jenis  yaitu  1x10 -3 ,  1x10 -4 dan 1x10 -5 dari  beban  aksial  F y yang  bekerja.  Cara yang  kedua  adalah  memberikan  perpindahan  awal
maksimum yang sangat kecil yaitu antara 1/200*L sampai 1/1000*L di tengah tinggi kolom.
Perilaku beban-perpindahan P-U y dan P-U x
Hasil  analisis  perilaku  beban-perpindahan  vertikal P-U y atau  F y -U y disajikan  pada  Gambar  5.  Pada tahap beban F y mulai nol sampai beban mendekati beban  kritis  P cr struktur  berperilaku  linier ditunjukkan dengan  kurva garis lurus. Kemiringan garis  ini  merupakan  kekakuan  aksial  kolom pre- buckling .  Beban  kritis buckling tercapai  pada P cr =F y =251.501 kN dengan perpindahan U y =1.000 mm. Penambahan beban sedikit di atas beban kritis P cr menghasilkan  tambahan  perpindahan  yang besar.  Pada  beban post-buckling P=267.123  kN perpindahan  vertikal  sebesar  U y =117.784  mm, sedangkan  untuk  beban post-buckling P=288.127 kN perpindahan vertikal sebesar U y =255.013mm.
Kurva beban-perpindahan horizontal P-U x atau F y - U x kolom  disajikan  pada  Gambar  6.  Beban  yang dikerjakan  adalah  P  atau  F y yang  menghasilkan perpindahan horisontal di titik tengah kolom U x(6) . Beban  kritis buckling tercapai  pada  P cr =251.501 kN  dengan  perpindahan  horisontal  U x(6) =7.707 mm.  Pada  beban post-buckling P=274.123  kN perpindahan  horisontal  sebesar  U x(6) =  10.319  mm, sedangkan untuk beban P=288.127 kN perpindahan horisontal sebesar U x(6) =295.555 mm. (a) Model Elemen Hingga Kolom (b) Kurva Beban-Perpindahan Vertikal Fy-Uy 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 L P Y 4 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 X 1 F y Fx L = 1000 mm E = 2e5 N/mm 2 A = 1256.64 mm 2 I = 125663
Gambar 5. Geometri dan kurva beban perpindahan vertikal (F y -U y ) struktur kolom.
b. Model elemen hingga kolom
a. Kurva beban-perpindahan vertical Fy-Uy
(a) Model Elemen Hingga Kolom (b) Kurva Beban-Perpindahan Vertikal Fy-Uy 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 L P Y 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 X 1 F y Fx L = 1000 mm E = 2e5 N/mm 2 A = 1256.64 mm 2 I = 125663 mm 4 4 (a) Model Elemen Hingga Kolom (b) Kurva Beban-Perpindahan Horisontal Fy-Ux (6) 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 L P Y 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 X 1 F y Fx L = 1000 mm E = 2e5 N/mm 2 A = 1256.64 mm 2 I  = 125663 mm 4
Gambar 6. Geometri dan kurva beban perpindahan horizontal (F y -U x ) struktur kolom.
Perbedaan  bentuk  kurva  F y -  U y dan  F y -  U x pada Gambar 5 dan Gambar 6 adalah:
a. kurva pre-buckling yaitu  kurva  sebelum  titik bifurkasi buckling untuk  F y -  U y berupa  garis lurus  atau  hampir  lurus,  sedangkan  kurva pre- buckling F y - U x berupa kurva lengkung. Kurva pre-buckling F y -  U y linier  karena  sebelum terjadi buckling perpindahan  vertikal  diperoleh dari  perpendekan  batang,  yaitu  U y =F y L/(EA) yang merupakan hubungan linier antara F y - U y karena  L,  E  dan  A  konstan.  Sedangkan hubungan antara beban F y -U x bersifat nonlinier geometri;
b. kurva post-buckling yaitu  kurva  setelah  titik bifurkasi buckling untuk  F y -  U x berupa lengkung  pengerasan  ke  atas,  sedangkan  untuk kurva  F y -  U y cenderung  linier  berupa  garis lurus.
Untuk menguji perbedaan jumlah elemen pemodelan kolom maka dilakukan studi perbandingan  antara  jumlah  elemen  10  buah  dan 20  buah  dengan  data  kolom  yang  sama.  Hasil analisis  kurva  F y –U y perbandingan  antara  10 elemen dan 20 elemen disajikan dalam kurva pada Gambar  7.  Dari  gambar  ini  terlihat  kurva  F y –  U y antara  pemodelan  10  elemen  dan  20  elemen berimpit, yang berarti perbedaannya tidak signifikan.
Gambar 8 menyajikan deformasi arah x dan arah y struktur  kolom  dalam  studi  ini  dari  hasil  analisis elemen hingga nonlinier geometri. Pada perpindahan  vertikal  ujung  atas  kolom  Uy=0.259 L;  perpindahan  horizontal  di  tengah  kolom mencapai  Ux=0.295  L.  Hasil  analisis The  elastica beam dari Timoshenko dan Gere (1961) Uy=0.297 L,  dengan  perbedaan  yang  relatif  kecil  yaitu
0.67%.  Bentuk  deformasi  kolom  elastis  seperti
Gambar 8 juga untuk kolom elastis yang lain dapat dijumpai pada Tongyun (2004).
MODEL KOLOM  20 ELEMEN MODEL KOLOM  10 ELEMEN 350 300 250 200 150 100 50 0 0 100 200 300 PERPINDAHAN   U y (mm) G A Y A A K S IA L K O L O M , F y ( k N ) Gambar 7. Perbandingan kurva beban- perpindahan vertikal (F y -U y ) hasil analisis nonlinier kolom B01 antara model 10 elemen dan 20 elemen.
PERPINDAHAN HORISONTAL   Ux  (MM)
P E R P IN D A H A N V E R T IK A L 1 0 0 0 -U y (M M ) L = 1 0 0 0 m m P L = 1 0 0 0 m m P E R P IN D A H A N V E R T IK A L 1 0 0 0 -U y ( m m )
PERPINDAHAN HORISONTAL   Ux (mm)
Gambar 8. Deformasi horizontal dan vertikal riwayat beban struktur kolom elastis nonlinier.

## Persamaan   kurva   hubungan   beban - perpindahan   vertikal   kolom
Hubungan  beban-perpindahan  aksial  kolom  dapat diturunkan  secara  matematik  berdasarkan  teori lendutan  besar  ( large  deflection .  Persamaan
a. Model elemen hingga kolom
b. Kurva beban-perpindahan vertical Fy-Uy
hubungan  beban-perpindahan  aksial  kolom  elastis lendutan besar yang ditumpu sendi-rol pada kedua ujungnya  dirumuskan  sebagai  berikut  (Bazant  dan Cedolin,1991); Timoshenko dan Gere, 1961):
cr cr cr cr P P ; ) (u/L /(EA) P 2 P P P     ....................   (6)
dimana:
2
2 cr L / EI P π  adalah  beban  kritis  kolom  dari rumus Euler.
Persamaan (6) dapat disajikan dalam bentuk kurva beban  perpindahan  F y –  U y pada  Gambar  9.  Bila titik 1 dengan titik 2 dan titik 2 dengan titik 3 pada kurva F y – U y Gambar 9 dihubungkan dengan garis lurus  maka  diperoleh  hubungan  F y –  U y sebagai kurva bilinier 1–2–3. Dengan memperhatikan hasil analisis  elemen  hingga  nonlinier  untuk  kolom dalam studi ini dan memperhatikan Persamaan (6) serta  mengambil  data  hasil  analisis elastica (buckled-bar) dari  Timoshenko  dan  Gere  (1961) maka  diusulkan  sebuah  kurva  bilinier  F y- U y untuk kolom elastis disajikan pada Gambar 9.
Verifikasi  terhadap  model  kurva  bilinier  F y –  U y Gambar  10  untuk  kolom  elastis  dilakukan  dengan membandingkan kurva beban-perpindahan F y – U y sebagai  berikut:  (a)  Model  FEM  dengan  sentuhan gaya  Fx;  (2)  Model  FEM  dengan  perpindahan awal  x;  (3)  Model  bilinier;  (4)  Teori elastica Timoshenko & Gere (1961); (5) Bazant & Cedolin (1991).  Kurva perbandingan disajikan pada Tabel 2 dan Gambar 11.
Nilai  perbandingan  P/P cr model  F y –  U y bilinier pada  perpindahan  antara  0.03  u y /L  sampai  0.259 u y /L berada di tengah-tengah antara model (1) dan (2)  dengan  (4)  dan  (5).  Pada  perpindahan u y /L=0.259  nilai  P/P cr sama  antara  model  bilinier (3)  dengan  model  (4)  teori  elastica  Timoshenko dan  Gere  (1961).  Hal  ini  karena  model  (3) mengambil koordinat pada u y /L=0.259 pada model Timoshenko  dan  Gere  (1961)  sebagai  kemiringan
garis post-buckling .  Dari  Gambar  4.48  dan  4.49 terlihat  bahwa  lima  model  kurva  F y -  U y relatif hampir  berimpit.  Bila  dilihat  secara  detail perbedaan P/P cr antar kurva terbesar adalah 8.2%.
Kurva  beban-perpindahan  vertikal  F y -  U y hasil analisis  nonlinier  elemen  hingga  kolom  serta model bilinier F y - U y Gambar 10 dalam penelitian ini  digunakan  model nonlinear  spring kolom elastis elemen hingga.
1 2 3 PERPINDAHAN U y B E B A N P 2 2 cr L / I E P π  A E L P cr P n P cr A E L P u cr 0  L / u) (u u 0 n   cr cr cr cr P P ; ) (u/L /(EA) P 2 P P P     1 1/2 cr cr cr cr P P ; ) (u/L /(EA) P 2 P P P     1/2 1 2 2 cr L / I E P π  L / u) (u u 0 n   EA / P u cr 0  A E L P cr B E B A N 1 Uy 2 3 PERPINDAHAN P cr P n P Gambar 9. Model bilinier kurva beban- perpindahan aksial P - U y , dari model Bazant dan Cedolin(1991 ).
1.0*Pcr 0 B : (0.259*L, 1.152*Pcr) A :  (L*Pcr/EA, Pcr) B E B A N A K S IA L F y PERPINDAHAN VERTIKAL     Uy 2 Ky 1.152*Pcr u 1 =L*Pcr/EA u 2 =0.259*L F y U y F y L EA = Ky 1 B : (0.259*L, 1.152*Pcr) 1.152*Pcr 1.0*Pcr A : (L*Pcr/EA, Pcr) Fy Uy Fy Ky 1 = EA/L B E B A N R E A K S I A K S IA L F y u1 = L*Pcr/EA u2 = 0.259*L Ky 2

## PERPINDAHAN VERTIKAL   Uy
Gambar 10. Model kurva bilinier beban- pepindahan vertikal kolom F y - U y yang diusulkan .
Tabel 2. Perbandingan koordinat kurva P-Uy kolom non-dimensional.
No Model Titik kritis u y2 /L=0.03 u y3 /L=0.119 u y4 /L=0.259 u y1 /L P cr1 /P cr u y2 /L P 2 /P cr u y3 /L P 3 /P cr u y4 /L r P 4 /P cr 1 Analisis FEM; sentuhan Fx 1.000e-3 1.014 0,03 1.031 0,117 1.077 0,255 1.161 2 Analisis FEM; perpindahan awal,  x 3.188e-3 0,984 0,03 1.022 0,119 1.075 0,259 1.164 3 Bi-linier; Fy-Uy 0.987e-3 1.000 0,03 1.018 0,119 1.070 0,259 1.152 4 Teori Elastica, Timoshenko dan Gere (1961) 0.987e-3 1.000 0,03 1.015 0,119 1.063 0,259 1.152 5 Bazant dan Cedolin (1991) 0.987e-3 1.000 0,03 1.015 0,119 1.059 0,259 1.076
Gambar 11. Perbandingan kurva beban-pepindahan vertikal kolom F y - U y .

## Kesimpulan
Dari hasil dan pembahasan diatas dapat disimpulkan:
1. Kurva  hubungan  beban-perpindahan  lateral tahap post-buckling kolom  lengkung  ke  arah penguatan (stiffening) sedangkan  kurva  beban- perpindahan aksial cenderung linier.
2. Perbandingan  kurva  beban-perpindahan  aksial antara  hasil  analisis  nonlinier  lendutan  besar metode elemen hingga dengan kurva linier dari Timoshenko  dan  Gere  (1961)  dan  Bazant  & Cedolin  (1991)  menunjukkan  kurva  yang hampir  berimpit.  Dari  hasil  penelitian  ini diusulkan  sebuah  kurva  hubungan  beban- perpindahan aksial bilinier kolom pada Gambar 10  yang  dapat  dipakai  sebagai  model  elemen nonlinear spring pada  analisis  elemen  hingga struktur  gabungan  pada frame atau  rangka batang.
3. Tidak terdapat perbedaan signifikan pada kurva beban-perpindahan  aksial  antara  hasil  analisis nonlinear  buckling dengan  cara  pembangkit awal buckling antara  beban  lateral  awal  yang sangat kecil dengan deformasi lateral awal yang sangat kecil.
4. Perbandingan hasil antara hasil analisis elemen hingga linear  buckling dengan  hasil  rumus
Euler  relatif  kecil  (kurang  dari  0.0007%).  Hal
ini  menunjukkan  bahwa  pemilihan  jumlah elemen  (10  buah)  dan  jenis  elemen  balok- kolom  (BEAM3)  pada  penelitian  ini  cukup akurat.

## Ucapan terima kasih
Penelitian  ini  merupakan  bagian  dari  penelitian disertasi  pada  Program  Doktor  Teknik  Sipil Universitas  Dinonegoro  Semarang,  Indonesia.
Ucapakan terimakasih kepada Kepala Laboratorium  Perancangan  dan  Tribologi  dan dosen Jurusan Teknik Mesin Universitas Diponegoro  Semarang  atas  ijin  dan  bantuannya dalam  penelitian  ini  menggunakan  fasilitas simulasi  komputasi  numerik Finite  Element Method ( FEM )  dengan  Program  ANSYS Release 12.0.

## Daftar Pustaka
ANSYS,  2009 .  Theory  Reference  for  the Mechanical  APDL  and  Mechanical  Applications, Release  12.1 ,  ANSYS,  Inc.  Southpointe  275 Technology Drive, Canonsburg.
Bathe,  K.J.,  1982. Finite  Element  Procedures  in Engineering Analysis , Prentice-Hall, New Jersey.
Bazant,  Z.P.,  2000. Stability  of  Elastic,  Anelastic, and  Disintegrating  Structures ,  Zamm  Z.  Angew. Math. Mech. 80 (2000) 11-12, 709-732.
Fy Uy B E B A N A K S IA L - F y PERPINDAHAN VERTIKAL - Uy Fy (1) (2) (3) (4)
(5) KETERANGAN : (1) Analisis FEM (Fx) (2) Analisis FEM (Ux) (3) Bilinier   Fy-Uy (4) Teori Elastica Timoshenko dan Gere(1961)
(5) Bazant dan Cedolin (1991)
Perilaku Beban-Perpindahan Aksial Pre-Buckling dan Post-Buckling pada Struktur Kolom Elastis
Chajes, A., 1974. Principles of Structural Stability Theory . Englewood Cliffs, Inc. New Jersey.
Cook,  R.D.,  1981. Concepts  and  Applications  of Finite Element Analysis . John Wiley  & Sons Inc. USA.
Crisfield, M.A., 1980. A Fast Incremental/Iterative Solution  Procedure  that  Handles  “Snap-Through . Computer  and  Structures  Vol.13  pp.55-62, England.
Crisfield,  M.A.,  2000. Non-Linear  Finite  Element Analysis  of  Solids  and  Structures  -  Volume  1  : Essestials . John Wiley & Sons, England.
Timoshenko,  S.  P.,  dan  Gere,  J.M.,  1961. Theory of Elastic Stability, McGraw-Hill Book Company, Inc. New York.
Tongyun,  W.,  2004. A  Numerical  Studi of  Elastica Using  Constrained  Optimization  Methods ,  Thesis, Department  of  Civil  Engineering,  National University of Singapore.
Weaver,W.Jr.,  dan  Johnston,  P.R.,  1984. Finite Elements  for  Structural  Analysis .  Prentice  Hall,
Inc., New Jersey.