## Kestabilan Model Epidemi SEIR Dengan  Laju Insidensi
Stability of a SEIR Epidemic Model with Incidence Rate
Roni Tri Putra 1) , Sukatik 2) & Sri Nita 3)
1),2) Jurusan Teknik Sipil, Politeknik Negeri Padang, Kampus Unand Limau Manis Padang Telp. 0751-72590 Fax. 0751-72576. Email : putra_tryronny@yahoo.co.id dan atik_wiryosentono@yahoo.co.id
3) Jurusan Teknik Elektro, Politeknik Negeri Padang, Kampus Unand Limau Manis Padang Telp. 0751-72590 Fax. 0751-72576. Email : srinita0610@gmail.com

## Abstract
In this paper, it will be studied stability for a SEIR epidemic model with infectious force in latent, infected and  immune  period  with  incidence  rate.  From  the  model  it  will  be  found  investigated  the  existence  and uniqueness  solution    of  points  its  equilibrium.  Existence  solution  of  points  equilibrium  proved  by  show  its differential equations system of equilibrium continue, and uniqueness solution of points equilibrium proved by show its differential equation system of equilibrium differentiable continue.
Keywords : existence solution, uniqueness solution, equilibrium points, incidence rate

## PENDAHULUAN
Pemodelan matematika merupakan bidang  matematika  yang  berusaha  untuk merepresentasi  dan  menjelaskan  sistem- sistem  fisik  atau  problem  pada  dunia  riil dalam pernyataan matematik, sehingga diperoleh pemahaman dari problem dunia riil menjadi lebih tepat. Representasi matematika yang  dihasilkan  dari  proses  ini  dikenal sebagai  “Model  Matematika”.  Konstruksi, analisis  dan  penggunaan  model  matematika dipandang  sebagai  salah  satu  aplikasi matematika yang paling penting.
Model  matematika  digunakan  dalam banyak  disiplin  ilmu  dan  bidang  studi  yang berbeda.  Kita  dapat  mencari  aplikasi  model matematika  di  bidang-bidang  seperti  fisika, ilmu  sosial  dan  politik,  ekonomi,  bisnis  dan keuangan, problem-problem jaringan komputer, serta ilmu biologi dan kedokteran. Diantara  aplikasi  model  matematika  pada bidang  ilmu  biologi  dan  kedokteran  adalah model  matematika  yang  berkaitan  dengan penyakit menular. Pemodelan penyakit menular  mendapat  perhatian  besar  dalam studi  epidemiologi.  Tujuan  utama  dari pemodelan  adalah  menjawab  peran  infeksi penyakit  dalam  mengatur  populasi  alami,
yaitu  mengurangi  fluktuasi  alami  populasi yang terinfeksi.
Penerapan  model  matematika  dan  teknik matematika untuk mendalami masalah biosciences dipelajari  dalam mathematical biosciences . Salah satu cabang mathematical biosciences
adalah mathematical epidemiology ,  yang  mempelajari  tentang penyebaran  dan  pengendalian  penyakit. Mempelajari model epidemi yang didalamnya  termasuk  penyakit  penyebab kematian  pada  suatu  populasi  total  yang berubah  merupakan  hal  penting  dalam mathematical epidemiology .
Banyak  model-model  matematika  yang telah dikembangkan, bertujuan untuk mempelajari  penularan  penyakit,  untuk mengevaluasi penyebaran dari epidemi, dapat mencegah  adanya  penyakit  atau  untuk meminimalisir  penyebaran  penyakit.  Dalam kurun  waktu  yang  panjang,  memahami perilaku  penyakit  akan  membantu  untuk mengetahui apakah epidemi akan menghilang  atau  tetap  berada  dalam  suatu populasi. Epidemi merupakan suatu keadaan dimana berjangkitnya suatu penyakit menular dalam    populasi  pada  suatu  tempat  yang melebihi  perkiraan  kejadian  normal  dalam
periode  yang  singkat.  Bila  penyakit  tersebut selalu terdapat dalam suatu tempat begitupun  dengan  faktor  penyebabnya  maka dikatakan Endemic ,  kemudian  bila  penyakit tersebut mempunyai ruang lingkup penyebaran  yang  sangat  luas  (global)  maka disebut Pandemic .  Model  epidemi  adalah model  matematika  yang  digunakan  untuk mengetahui  penyebaran  penyakit  menular, khususnya  menyangkut  terjadi  atau  tidaknya keadaan  epidemi  serta  pengaruh  yang ditimbulkan.
Perilaku  dinamik  dari    sistem  untuk menganalisis  dinamika  penyebaran  penyakit terdapat  beberapa  model  matematika  yang sering  digunakan.  Model-model  tersebut memiliki konsep yang sama yaitu compartmental epidemiologi (pembagian kelas)  yang  menggambarkan  penyebaran penyakit  dari  masing-masing  kelas.  Jadi dalam  suatu  populasi  akan  terbagi  menjadi beberapa  kelas  dimana  masing-masing  kelas mewakili  tahapan  yang  berbeda.  Kelas S ( susceptible )  digunakan  untuk  mewakili individu-individu yang  rentan  terhadap infeksi  virus,  kemudian  kelas I ( infectious ) digunakan  untuk  mewakili  individu-individu yang telah terinfeksi dan mampu menularkan atau menyebarkan penyakit ke  individu pada populasi  rentan,  untuk  kelas R ( recovered ) digunakan  untuk  mewakili  individu-individu terinfeksi  yang  telah  sembuh  dari  penyakit dan  memiliki  kekebalan  permanen  yang artinya individu tersebut tidak akan terinfeksi lagi untuk jenis penyakit  yang sama. Namun pada  model  SIRS,  kelas R ( recovered ) mewakili individu-individu yang telah sembuh  dan  akan  terbebas  dari  infeksi  virus kemudian  akan  memasuki  populasi  rentan ( susceptible )  kembali.  Pada  model-model epidemik yang memperhatikan adanya periode  laten(masa  inkubasi)  seperti  model SEIR,  MSEIR  terdapat  kelas E ( exposed ) yang  digunakan  untuk  mewakili  individu- individu  yang  baru  terinfeksi  dan  memasuki periode  latent,  dalam  periode  ini  individu tersebut  tidak  memiliki  kemampuan  untuk menularkan penyakit ke individu lain sedangkan kelas M
( Maternallyderivedimmunity ) digunakan
untuk  mewakili  individu-individu  yang  baru lahir  dan  memiliki  kekebalan  pasif  yang didapatkan dari  ibunya,  namun  hal  ini  hanya berlangsung  sementara  kemudian  individu pada kelas M ini akan memasuki kelas rentan ( susceptible ).  Model  matematika  epidemi diantaranya  SIR,  SIRS,  SEIR,  MSEIR  dan termasuk model SVID.
Berbagai macam penyakit epidemi seperti  campak (measles),  tubercoloses, malaria  dan Human  Immunodeficiency  Virus (HIV) mempunyai  periode  laten.  Periode laten  adalah  selang  waktu  dimana  suatu individu terinfeksi sampai munculnya penyakit.  Adanya  periode  laten  ini  menjadi alasan  pembentukan  model  epidemi  SEIR, yakni  munculnya  kelas exposed .  Dalam tulisan ini hanya akan dibahas model epidemi SEIR.
Ada  berbagai model matematika epidemi yang dikenal  berdasarkan  sifat atau ciri–ciri penyakitnya. Misalnya dan   berturut– turut menunjukkan Susceptible (kelas populasi yang rentan), Exposed (kelas populasi  yang  laten), Infectious (kelas populasi  yang  terinfeksi)  dan Recovered (kelas populasi yang sembuh).
Dengan berbagai asumsi, dikenal berbagai  model  epidemi,  diantaranya  SIR, SIRS, SEIR, SEIRS dan SEIS. Dalam model SIR,  individu  yang  sembuh  mempunyai kekebalan  sehingga  tidak  lagi  menjadi rentan,  sedangkan  untuk  model  SIRS individu  yang  sudah  sembuh  tidak  memiliki kekebalan terhadap penyakit tersebut sehingga  dapat  menjadi  rentan  lagi.  Dalam model SEIR, SEIRS dan SEIS individu yang rentan  melalui  masa  laten  setelah  terinfeksi sebelum menjadi terjangkit.
Dari  berbagai  literatur  belum  banyak yang  mengkaji  model  matematika  epidemi SEIR dengan laju insidensi secara sistematis. Sejalan  dengan  masalah  yang  akan  dibahas, penelitian  ini  mempunyai  tujuan  sebagai berikut :
1. Membentuk  model  matematika  epidemi SEIR  pada  populasi  manusia  dengan  laju insidensi.
2. Menentukan  titik  –  titik  ekuilibrium model epidemi SEIR tersebut.
3. Menyelidiki  eksistensi  dan  ketunggalan solusi  titik  ekuilibrium  model  epidemi SEIR.
Hasil penelitian ini diharapkan dapat : 1. Secara umum diharapkan dapat memberikan  manfaat  dan  sumbangan terhadap  ilmu  pengetahuan,  serta  untuk menambah  wawasan  khususnya  dalam bidang matematika terapan.
2. Secara khusus diharapkan dapat memberikan  gambaran  tentang  eksistensi dan  ketunggalan  solusi  titik  ekuilibrium model  epidemi  SEIR  dengan  kemampuan infeksi  pada  kelas  laten,  infeksi  dan sembuh dengan laju insidensi.

## METODOLOGI
Metode  penelitian  dalam  tulisan  ini adalah dengan cara studi literatur serta bahan pustaka  sebagai  referensi  untuk  mempelajari model  epidemi  SEIR  dengan  laju  insidensi. Langkah pertama adalah dengan menentukan asumsi-asumsi  yang  berkaitan dengan  model epidemi  SEIR  sesuai  dengan  karakteristik penyakit  yang  dimodelkan,  kemudian  akan dibuat  model  matematika  epidemi  SEIR dalam bentuk sistem persamaan diferensial.
Selanjutnya, menentukan titik-titik ekuilibrium  model  epidemi  SEIR  tersebut dengan menggunakan definisi titik ekuilibrium suatu sistem persamaan diferensial.  Setelah  menentukan  titik  –  titik ekuilibrium model tersebut, langkah selanjutnya menyelidiki eksistensi dan ketunggalan  solusi  dari  titik  ekuilibrium model epidemi SEIR tersebut.
Eksistensi  solusi  dari  titik  ekuilibrium model  epidemi  SEIR  dibuktikan  dengan menunjukkan bahwa  sistem  persamaan diferensial  dari  titik  ekuilibrium  model epidemi  SEIR  tersebut  kontinu,  sedangan ketunggalan  solusi  dari  titik  ekuilibrium model  epidemi  SEIR  dibuktikan  dengan menunjukkan bahwa  sistem  persamaan diferensial  dari  titik  ekuilibrium  model epidemi SEIR tersebut diferensiabel kontinu.

## HASIL DAN PEMBAHASAN
Model  SEIR  ( Susceptible,  Exposed, infectious, recovered ) pertama kali dikembangkan oleh Kermack dan Mckendrick  (1927)  dengan  memakai  asumsi sederhana  tentang  laju  penyebaran  dan penyembuhan  penyakit.  Dalam  modelnya, Kermack dan Mckendrick membagi populasi total  ( N )  menjadi  empat  kelas,  yaitu Susceptible   ) ( t S merupakan jumlah individu  yang  rentan  terinfeksi  dan  mudah ditulari penyakit, Exposed   ) ( t E merupakan jumlah  individu  yang  sudah  terinfeksi  tetapi belum  menginfeksi, Infectious )) ( ( t I adalah jumlah individu yang terinfeksi, dan
Recovered )) ( ( t R menotasikan jumlah individu yang telah sembuh dari penyakit.
Laju  insidensi  adalah  situasi  dimana jumlah kontak per infective dalam unit waktu adalah  konstan.  Laju  kontak  adalah  dan incidence yang  berhubungan  adalah I N S  .
Ketika  jumlah  total  populasi N cukup  besar, sejak  itu  jumlah  kontak  yang  dibuat  satu individu infective per  unit  waktu  akan terbatas,  atau  menurun  dengan  cepat  seiring meningkatnya N .
Insidensi  adalah  gambaran  tentang  frekuensi penderita baru suatu penyakit yang ditemukan  pada  suatu  waktu  tertentu  di  satu kelompok masyarakat.
Untuk  dapat  menghitung  angka  insidensi suatu  penyakit,  sebelumnya  harus  diketahui terlebih dahulu tentang :
- Data tentang jumlah penderita baru.
- Jumlah  penduduk  yang  mungkin terkena  penyakit  baru (Population  at risk ) .
Secara  umum  angka  insiden  ini  dapat dibedakan menjadi 3 macam, yaitu :
a. Incidence Rate (Laju Insidensi) Yaitu Jumlah  penderita baru  suatu penyakit  yang  ditemukan  pada  suatu  jangka waktu tertentu (umumnya 1 tahun) dibandingkan dengan jumlah penduduk yang mungkin terkena penyakit baru tersebut pada
pertengahan jangka waktu yang
bersangkutan.
Manfaat laju insidensi adalah :
-  Mengetahui  masalah  kesehatan  yang dihadapi
-   Mengetahui Resiko untuk terkena masalah kesehatan yang dihadapi
-  Mengetahui  beban  tugas  yang  harus diselenggarakan oleh suatu fasilitas pelayanan kesehatan.
b. Attack Rate
Yaitu  Jumlah  penderita  baru  suatu penyakit  yang  ditemukan  pada  suatu  saat dibandingkan dengan jumlah penduduk yang mungkin  terkena  penyakit  tersebut  pada  saat yang  sama.  Manfaat  Attack  Rate  adalah memperkirakan derajat serangan atau penularan  suatu  penyakit.  Makin    tinggi nilai    Attack  Rate,   maka  makin  tinggi  pula kemampuan Penularan penyakit tersebut.

## c. Secondary Attack Rate
Yaitu  jumlah  penderita  baru  suatu penyakit yang terjangkit pada serangan kedua dibandingkan  dengan  jumlah  penduduk dikurangi  orang/penduduk  yang  pernah terkena  penyakit  pada  serangan  pertama. Secondary  Attack  Rate digunakan  untuk menghitung  suatu  penyakit  menular  dan dalam suatu populasi yang kecil (misalnya dalam satu keluarga).
Dari  3  ukuran  yang  ada  di  atas  yang  paling sering  dipakai  dan  menjadi  ukuran  dasar adalah  laju  insidensi.  Laju  insidensi  ini digunakan  dalam  pengukuruan  epidemiologi baik penyakit maupun kematian.

## Konstruksi Model
Pertama  ditentukan  beberapa  asumsi dasar  serta  notasi  yang  digunakan  sebagai berikut
1. Populasi  bercampur  secara  homogen, artinya setiap individu mempunyai kemungkinan yang sama untuk melakukan kontak  dengan  individu  lain  dalam populasi.
2. Terdapat periode inkubasi, sehinga
individu susceptible yang terinfeksi
penyakit  tidak  dapat  secara  langsung menularkan  penyakitnya  kepada  individu lain. 3. Rata-rata banyaknya individu yang terinfeksi oleh kelas I adalah SI  , dengan
 adalah  laju  kontak  harian,  yaitu  rata- rata  banyaknya  kontak  per  hari  yang cukup  bagi  satu  individu infectious untuk menularkan  penyakit  kepada  individu susceptible .
4. Individu  yang  baru  lahir  masuk  ke  kelas susceptible .
Model  epidemi  SEIR  dengan  laju insidensi adalah :
S N SI b dt dS      ; 0  t ,   E e N SI dt dE      ; 0  t ,                 (1)
  ; I eE dt dI      0  t , ; R I dt dR     0  t , 0 ) 0 ( S S  , 0 ) 0 ( E E  , 0 ) 0 ( I I  , dengan ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( t N t R t I t E t S     ,
b adalah  laju  rekrutmen  populasi,  adalah laju  kematian  alami  populasi,  adalah  laju kontak, e adalah  laju  perubahan  individu exposed menjadi  individu infectious ,  dan  adalah  laju  kesembuhan  individu infectious . Diasumsikan  nilai  parameter  bernilai  positif, 0 , , , , ,      e b ,  dan  nilai  awal  bernilai nonnegatif, 0 ) 0 ( , , , 0 0 0  R I E S . Dengan
menjumlahkan semua persamaan pada Sistem (1) diperoleh :
N b dt dN    .
Sistem  (1)  dapat  direduksi  menjadi sistem  tiga  dimensi,  karena  variabel R tidak muncul pada persamaan pertama, kedua, dan ketiga.  Sehingga  dalam  hal  ini,  diperoleh sistem yang lebih sederhana
S N SI b dt dS      ; 0  t ,   E e N SI dt dE      ; 0  t ,                   (2)
  ; I eE dt dI      0  t .

## Titik Ekuilibrium
Sistem  (2)    mencapai  ekuilibrium  jika memenuhi :
0     S N SI b dt dS   ,   0     E e N SI dt dE   ,                        (3)
  0     I eE dt dI   , Diketahui N b dt dN    ,  sehingga  jumlah
populasi total pada saat mencapai ekuilibrium adalah
0    N b dt dN   b N  
Dari persamaan ketiga Sistem (3) diperoleh
  I e E     (4)
Jika  nilai E disubstitusikan  pada  persamaan kedua diperoleh:    0     I e e N SI         0           I e e N S     (5)
Persamaan (5) dipenuhi untuk         e e b S    atau 0  I .
Untuk 0  I , jika nilai I tersebut disubstitusikan  pada  persamaan  pertama  dan ketiga Sistem (3) diperoleh :
0    b S dan 0  E .
Jadi, titik ekuilibrium bebas penyakit Sistem (2) adalah :
          0 , 0 , , ,  b I E S Q (6) Untuk    0          e e b S , dari persamaan pertama diperoleh :
      0                     e e b b e e Ib b     b b I e e b                                       e b e b b I                e e b b I               1       e e b I               1      e e b I (7)
Jika nilai I disubstitusikan pada persamaan
(4) diperoleh :
                1        e e e b E (8)
Dari persamaan (7) dan (8), diperoleh : 0 0    I E dan 0  I     1        e e
Selanjutnya, dimisalkan      
    e e R i (9)
Jadi,  titik  ekuilibrium  endemik  Sistem  (2) adalah :     * * * * , , I E S Q                                       1 , 1 ,                  e e b e e e b e e b
               1 , 1 , i i i R b R e b R b      (10) Teorema 1.
Diberikan  Q , * Q , dan i R berturut-turut diberikan oleh ( 6 ), ( 9 ), dan ( 10 ). (i) Jika 1  i R ,    maka  Sistem ( 2 ) mempunyai satu titik ekuilibrium  Q .
(ii) Jika 1  i R , maka Sistem ( 2 ) mempunyai  dua  titik  ekuilibrium,  yaitu Q dan * Q .

## Kestabilan Titik Ekuilibrium
Pada  bagian  ini  dianalisis  kestabilan lokal dan global masing-masing titik ekuilibrium dari Sistem (2).
Teorema 2. Diberikan  nilai  awal   3 0 0 0 , ,   R I E S ,  serta
Q , * Q , dan i R berturut-turut diberikan oleh ( 6 ), ( 9 ), dan ( 10 ).
(i) Jika 1  i R , maka  titik  ekuilibrium Q stabil  asimtotik  lokal  dan  stabil asimtotik global di 3  R .
(ii) Jika 1  i R , maka  titik  ekuilibrium * Q
stabil asimtotik lokal.

## Bukti
(i) Diketahui    1         e e R i            e e     0         e e (11)
Kestabilan lokal  titik  ekuilibrium Q diselidiki  dengan  mengevaluasi  linearisasi dari  Sistem  (2)  di  titik  tersebut.  Sebelumnya ditentukan matriks Jacobian
          
                  V f I f Z f V f I f Z f V f I f Z f J 3 3 3 2 2 2 1 1 1 .
Ruas kanan Sistem (2) berturut-turut merupakan 1 f , 2 f , dan 3 f , sehingga                     ) ( 0 ) ( 0         e e J N S N I N S N I
(12)
Jika titik ekuilibrium           0 , 0 , , ,  b I E S Q dan S b N    dievaluasi-kan pada matriks J pada persamaan (12) diperoleh :
                   ) ( 0 ) ( 0 0       e e Q J .
Dari  matriks   Q J diperoleh  persamaan karakteristik sebagai berikut
      Q J I  det       0 ) )( ( 2 2          e e e           . (13)
Persamaan (13) dipenuhi untuk     ,
atau
  0 ) )( ( 2 2         e e e         (14)
sehingga  diperoleh  satu  nilai  eigen  negatif. Dengan  demikian,  tinggal  menentukan  nilai eigen  dari  persamaan  (14)  yang  merupakan persamaan karakteristik dari matriks
           ) ( ) ( 1     e e J .
Dari matriks tersebut diperoleh :
tr   1 J 0 ) ( 2        e dan   0 ) )( ( det 1      e e J     .
Akibatnya  semua  nilai  eigen  matriks 1 J mempunyai  bagian  real  negatif.    Jadi,  titik ekuilibrium Q stabil asimtotik lokal.
Selanjutnya  kestabilan  global  titik ekuilibrium
Q dibuktikan dengan menggunakan metode Lyapunov.
Didefinisikan :
} : ) , , {( 3  b I E S R I E S D       dan R R D    3 0 :  ,
dengan fungsi     I e eE I E S      , , 0 .         (15)
Akan  dibuktikan  persamaan  (15)  merupakan fungsi  Lyapunov  untuk  Sistem  (2)  terhadap titik Q .
(a) Karena     I e eE I E S      , ,
0
fungsi  linear  maka  dapat  ditunjukkan bahwa 0  fungsi kontinu.
Selanjutnya  turunan  parsial  fungsi
0  adalah
0 0     S , e E     0 , dan e I       0 .
Fungsi 0  mempunyai  turunan parsial pertama kontinu karena bernilai  konstan.  Jadi  fungsi
0  kontinu  dan  mempunyai  derivatif parsial  yang  kontinu  pada D atau ) ( ' 0 D C   . (b) Untuk sebarang D x  , dengan        0 , 0 ,  b x maka 0 ) ( 0   x . Kemudian  untuk D b        0 , 0 ,  maka 0 0 , 0 , 0          b
. Jadi fungsi 0 ) ( 0   x untuk  setiap D x  dan
       0 , 0 ,  b x ,  dan 0 ) ( 0   x untuk        0 , 0 ,  b x . (c)   I E S , , 0
   I I E E S S               0 0 0     ) )( ( ) ( I eE e E e N SI e             eE e eE e I e N eSI ) ( ) ( ) )( (               I e N eS           ) )( (       I e e ) )( (       
 (karena N S  ) I e e e ) )( ( 1 ) )( (                       I e R i ) )( ( 1        Karena 1 1  R dan 0  I , sehingga   0 , , 0   I E S  .
Dari  (a),  (b),  dan  (c)  maka 0   merupakan fungsi Lyapunov. Kemudian akan ditentukan himpunan yang memenuhi sifat   0 , , 0   I E S
 , misal :
  } 0 , , : ) , , {( 0     I E S D I E S
H  . Diambil H I E S  ) , , ( ,  berarti * 0 I I   .
Untuk 0  I , berturut-turut diperoleh E e dt dE ) (     dan R dt dR    ,  sehingga
0  E dan 0  R .    Karena  N  b  ,
sehingga
 b S  . Jadi,             0 , 0 ,  b merupakan  himpunan
invarian  terbesar  dalam H .  Selanjutnya, karena H tidak  memuat  solusi  kecuali  titik ekuilibrium        0 , 0 ,  b Q ,  maka  setiap
solusi  dalam D menuju Q untuk   t . Karena 3   R D himpunan  invarian  dan setiap  solusi  dalam D menuju Q untuk   t , maka Q stabil asimtotik global.
(ii) Kestabilan  lokal  titik  ekuilibrium * Q diselidiki
dengan mengevaluasi linearisasi  Sistem  (2)  di  titik  tersebut. Jika  titik  ekuilibrium * Q dievaluasikan pada  matriks J pada  persamaan  (12) diperoleh
 
    
             ) ( 0 ) ( ) 1 ( 0 *        e e R R Q J i i R i R i .
Dari  matriks   * Q J diperoleh  persamaan karakteristik sebagai berikut.
    * det Q J I                        
    
   e e R i   0 2               i i i R e R R e      (16)
Persamaan (16) dapat ditulis dalam bentuk
0 3 2 2 1 3     b b b    dengan     i R e b          1 ,          i i R e R e e b                 2       , i R e        
   i i R e e R b          3
                    e e R i     1     i R e    
Berdasarkan kriteria kestabilan Reouth
Hurwitz,  semua  nilai  eigen  matriks   * Q J
mempunyai  bagian  real  negatif  jika  dan hanya jika
0 1 1    b ,
0 1 3 2 1 2 3 1 2      b b b b b b ,   0 3 2 1 3 2 3 3       b b b b b .
(a) Karena 0 , ,    e dan 0  i R , sehingga 0 1  b . (b)   3 2 1 b b b               i i R e R e                    1     i R e     i i i i i i R e R R R e R R 2 2 3 2 2 2 2 2 3 4 4 4 2                     e e R e R e R i i i        2 2 3 2 2 2       i i i i i i i R R e R R R e R R         2 2 2 3 2 2 2 2 2 3 1 4 1 4 1 4 2             i i R e R e   2 1 2  
 . Karena 0  i R , sehingga 0 3 2 1   b b b .
(c) Karena 0 3  b dan 0 3 2 1   b b b , sehingga   0 3 2 1 3   b b b b .
Dari (a), (b), dan (c) maka semua nilai eigen
  * Q J mempunyai  bagian  real  negatif.  Jadi, titik ekuilibrium * Q stabil asimtotik lokal.

## SIMPULAN
Adapun   kesimpulan    dari   penelitian ini adalah :
1. Model  epidemi  SEIR  merupakan  model penyebaran  penyakit  yang  terjadi  pada kelompok-kelompok individu yang berbeda,  yaitu  kelas susceptible (kelas individu  yang  rentan  penyakit),  kelas exposed (kelas  individu  yang  telah terinfeksi  namun  belum  sakit  atau  masa laten),  kelas infected (kelas  individu yang telah terjangkit penyakit) dan kelas
recovered (kelas  individu  yang  telah sembuh).
2. Model matematika epidemi SEIR dengan  laju  insidensi  yang  memiliki kemampuan  infeksi  pada  periode  laten, infeksi dan sembuh adalah :
S N SI b dt dS      ; 0  t ,   E e N SI dt dE      ; 0  t ,   ; I eE dt dI      0  t , 0, t ;    R I dt dR   0 ) 0 ( S S  , 0 ) 0 ( E E  , 0 ) 0 ( I I 
3. Kestabilan  titik-titik  ekuilibrium  model epidemi  SEIR  diatas  adalah  stabil asimtotik  lokal  dengan  menyelidiki linearisasi dari sistem persamaan
diferensial model epidemi SEIR. Selanjutnya titik-titik ekuilibrium
tersebut  diselidiki  dengan  menggunakan metode  Lyapunov  dan  diperoleh  bahwa titik  ekuilibriumnya  stabil  asimtotik global.

## SARAN
Karena  berbagai  keterbatasan,  penulis menyadari  penelitian  dan  tulisan  ini  masih banyak  kekurangannya.  Banyak  hal  yang belum  tercakup  dalam  penelitan  ini.  Perlu dikaji lebih lanjut generalisasi untuk kestabilan  model  epidemi  lainnya  dan simulasi numeriknya.

## DAFTAR PUSTAKA
Anton H, dan Rorres,C.,2004. Aljabar Linear Elementer Versi Aplikasi , Edisi Kedelapan, alih  bahasa oleh Indriasari,R dan Harmaen,I., Erlangga, Jakarta.
Arrowsmith,  D.R.  dan  Place,  C.M.,  1992, Dynamical System Differential Equation, Maps  and  Chaotic Behaviour ,  Chapman
& Hall Mathematic, London.
Bazaraa,  M.S.,  Sheraly,  H.D,  and  Shetty,
C.M., Nonlinear  Programming  Theory
and    Algorithms ,  John  Wiley  &  Sons, Inc, New York, 1993.
Becerra, M.V., 2008. La Salle’s Invariant Set Theory , http://www.personal.rdg.ac.uk/~shs99v mb/notes/anc/lecture3.pdf
Boyd,  Stephen,  2008, Basic  Lyapunov Theory , Stanford University, http://www.stanford.edu/class/ee363/lya p.pdf Capazzo,  V., Mathematical  Structures  of Epidemic Systems , Springer-Verlag, Heidelberg, 2008.
Chong,  K.P  and  Stainslow,  H.Z., An Introduction  to  Optimization ,  John Wiley &   Sons,  University  of  New Hampshire, 1984.
Debarre,  F., SIR  Models  of  Epidemics ,
Theoretical Biology.
Gantmacher,  F.R.,  1959, The  Theory  of Matrices ,  Chelsea  Publishing  Company, New York.
Hanh,  Wolfgang,  1967, Stability  of  Motion ,
Springer – Verlag, New York.
Hirsch, M.W., dan Smith, Monotone
Dynamical Systems , University of California, Berkeley, 2004.
Iwami.  S,  Takeuchi,  Y.,  dan  Liu,  X.,  2007. Avian  –  human  Influenza  Epidemic Model ,  Mathematical  Biosciences  2007, hal 1-25.
Feng  J.,  dan  Hadeler,K.P., Qualitative Behaviour  of  Some  Simple  Networks , Mathematical Gen. 1996, hal 5019-5033.
Kocak,  H.  dan  Hole,  J.K.,  1991, Dynamic and Bifurcation , Springer – Verlag, New York.
Leon,  J.S., Aljabar  Linear  dan  Aplikasinya , Edisi Kelima, Alih bahasa olehBondan,A. Erlangga, Jakarta, 1998.
Luenberger,  G.D.,  1979, Introduction  to Dynamic  System  Theory ,  Models  & Aplication,  John  Wiley  &  Sons,  New
York.
Ngwenga,  O., The  Role  of  Incidence Functions  on  the  Dynamics  of  SEIR Model , African Institute for Mathematical Science (AIMS), 2009.
Olsder,  G.J.,  1994, Mathematical  System Theory , Delftse Uitgevers Maatschappij, Netherlands.
Perko  L.,  1991, Differential  Equations  and Dynamical  Systems ,  Springer  –  Verlag, New York.
Ross,  S.L., Differential  Equations , edition,  John  Wiley  &  Sons,  University of  New Hampshire, 1984.
Verhultz, Ferdinand, 1990, Nonlinear
Differential  Equations  and  Dynamical Systems ,   Springer – Verlag, Berlin.
Wiggins  S,  1990, Introduction  to  Applied Nonlinear  Dynamical  Systems  and Chaos ,  Springer – Verlag, New York.