Jurnal PHENOMENON , Volume 1 Nomor 1, Juli 2013

## PENGGUNAAN SOFTWARE MATRIX LABORATORY

## ( MATLAB ) DALAM  PEMBELAJARAN ALJABAR LINIER

## Budi Cahyono
DosenJurusan Tadris Matematika FITK IAIN Walsiongo

## Abstrak
Perkembangan  dan  kehadiran  teknologi  komputer telah memberikan kemudahan berbagai pihak untuk meng- gunakannya  dalam  bidang  kehidupan,  termasuk  pendi- dikan,  sebagai  sarana  penunjang  pendidikan.  Komputer semakin  memberikan  manfaat  yang  besar  di  dunia  pen- didikan, khususnya dalam proses pembelajaran. Terdapat ratusan  bahkan  ribuan  program  aplikasi  komputer  atau perangkat lunak yang dapat dimanfaatkan untuk pembe- lajaran matematika, khususnya Aljabar Linier. Salah satu perangkat lunak bantu yang dapat digunakan dalam pem- belajaran Aljabar linier yaitu Matrix Laboratory (MATLAB) . Program  ini  dapat  dimanfaatkan  untuk  meningkatkan kecepatan,  dan  keakuratan  dalam  berbagai  perhitungan dalam pembelajaran aljabar linier sehingga waktu yang di- perlukan untuk mengerjakan lebih e sien dan hasil yang diperoleh lebih akurat dibandingkan dengan perhitungan yang dilakukan secara manual, selain itu juga dapat mem- visualisasikan  gra k  dalam  bentuk  2  dimensi  maupun  3 dimensi, misalnya dalam penyelesaian Sistem Persamaan Linier sehingga diharapkan dapat meningkatkan pemaha- man terhadap materi yang diberikan.
Kata Kunci : Aljabar Linier, Matrix Laboratory (MATLAB)

## Budi Cahyono

## PENDAHULUAN
Perkembangan dan kehadiran teknologi komputer dewasa ini telah memberikan kemudahan berbagai pihak untuk meng- gunakannya  dalam  bidang  kehidupan,  termasuk  pendidikan, sebagai  sarana  penunjang  pendidikan.  Hal  ini  dikarenakan dengan menggunakan komputer dapat mempertinggi e siensi suatu  pekerjaan  yang  disebabkan  adanya  kelebihan/manfaat dari  komputer.  Kelebihan  tersebut  diantaranya  adalah  dapat mengerjakan pekerjaan dengan cepat dan tepat, dapat menyim- pan data maupun memanggilnya kembali dan dapat mempros- es data/informasi dalam cakupan besar. Bahkan dengan adanya perkembangan  teknologi  khususnya  dalam  program-program aplikasinya,  saat  ini  komputer  semakin  memberikan  manfaat yang besar di dunia pendidikan, khususnya dalam proses pem- belajaran.
Terdapat  ratusan  bahkan  ribuan  program  aplikasi  atau perangkat lunak yang dapat dimanfaatkan untuk pembelajaran matematika, yang terpenting adalah bahwa pengajar harus me- miliki pengetahuan/wawasan dan keterampilan menggunakan berbagai  perangkat  lunak  tersebut  serta  mampu  memilih  per- angkat lunak yang sesuai untuk mendukung pembelajaran topik tertentu, dalam hal ini topik aljabar linier. Salah satu perangkat lunak bantu yang dapat digunakan dalam pembelajaran Aljabar linier yaitu Matrix Laboratory (MATLAB) . Program ini dapat di- manfaatkan  untuk    meningkatkan  kecepatan,  dan  keakuratan dalam berbagai perhitungan dalam materi aljabar linier sehing- ga waktu yang diperlukan untuk mengerjakan lebih e sien dan hasil yang diperoleh lebih akurat dibandingkan dengan perhi- tungan yang dilakukan secara manual, juga dapat memvisual- isasikan gra k dalam bentuk 2 dimensi maupun 3 dimensi, yang tentu saja sulit jika digambar secara manual, sehingga diharap- kan dapat meningkatkan pemahaman terhadap materi yang di- pelajari.

## POLA PEMBELAJARAN MATEMATIKA
Matematika  memiliki  karekteristik  yang  unik  dengan
Penggunaan Software Matrix Laboratory...
berbeda dengan mata pelajaran lain. Karakteristik inilah maka penyusunan bahan ajar matematikapun memiliki pola tersend- iri. Obyek dasar mata pelajaran matematika adalah obyek yang abstrak, karenanya bahan ajarnya dituntut sebisa mungkin un- tuk menvisualisasikan obyek yang abstrak tersebut, dengan vi- sualisasi  ini  obyek  yang  abstrak  akan  dapat  memperoleh  per- wakilannya  atau  gambaran  yang  tepat  dan  mudah  dipahami. Menurut Thohari, bahwa  Obyek matematika tersebut meliputi ; fakta, konsep, de nisi, operasi, prinsip dan skill yang diuraiakan sebagai berikut.

## 1. Fakta
Fakta  berupa  konvensi-konvensi  atau  kesepakatan  yang disetujui  bersama  sebagai  kebenaran,  yang  diungkap  dengan simbol tertentu. Misalnya simbol “3” dipahami sebagai bilangan “tiga”, simbol “2+4=” dipahami sebagai “dua tambah empat dan bisa dinyatakan dalam hasil tunggal sebuah operasi penjumla- han yaitu bilangan ”5”. Simbol “//” bermakna “sejajar”, simbol (a,b) sebagai pasangan berurutan atau dalam kalkulus sebagai interval terbuka. Jika materi Fakta maka sajikan bahan ajar pre- sentasi atau referensi yang menampilkan konsep yang dimaksud seperti: macam macam bilangan, jenis segitiga, Janis-jenis bina- tang memamah biak, tanaman berbiji tunggal.

## 2. Konsep
Konsep  adalah  ide  abstrak  yang  dapat  digunakan  untuk mengolongkan  sejumlah  obyek. Apakah obyek  tertentu  meru- pakan contoh konsep ataukah bukan konsep.Jenis bahan ajarnya bisa presentasi atau interaktif belajar mandir dengan menampil- kan materi yang dimaksud dengan memberikan contoh dan bu- kan contoh secara interaktif untuyk menguji pemahaman konsep siswa. Seperti konsep “Segitiga” macam macam segitiga, “fung- si” dan berbagai jenis fungsi,“variabel”, “konstanta”, “matriks”, “vektor”, “group”, dan “ruang metrik”
3. De nisi
De nisi  adalah  ungkapan  yang  membatasi  suatu  konsep

## Budi Cahyono
“Trapesium  adalah  segiempat  yang  sepasang  sisinya  sejajar” (de nisi analitik). “Segiempat yang terjadi jika sebuah segitiga dipotong oleh sebuah garis yg sejajar salah satu sisinya adl tra- pesium”  (de nisi  generik).  Apakah  kompetensi  dasar  berupa mengemukakan suatu de nisi, menjelaskan, mengklari kasikan beberapa contoh sesuai dengan de nisi? Bujur sangkar ialah em- pat persegi panjang yang ke empat sisinya sama panjang. Usa- hakan sebelum de nisi itu ungkap dahului dengan kegiatamn- kegiatan yang nantinya siswa mempu membuat generalisi dan de nisi  itu  dengan  metode penemuan  terbimbing .  Bahan  Ajar yang harus dipersiapkan jelas adalah tipe interaktif belajar mandiri atau presentasi yang mengedepankan contoh-contoh intyeraktif untuk menguji de nisi, atau juga akti tas-akti tas yang mem- bawa siwa pada pross pendi nisian konsep.

## 4. Operasi
Operasi  adalah  suatu  relasi  khusus,  yang  menghubung- kan dua anggota himpunan atau lebih dengan aturan tertentu untuk memperoleh elemen tunggal dari satu atau lebih elemen yang diketahui Operasi unair, operasi biner pengerjaan hitung, pengerjaan  aljabar,  dan  pengerjaan  matematika  seperti  “pen- jumlahan”,  “perkalian”,  “gabungan”,  “irisan”  ”komplemen” dst. Bahan ajar yang tepat adalah presentasi dan Interaktif , Dima- na pola penekanan adalah pada akti tas siswa dalam penerapan prinsip prinsip oprasi agar lebih berkembang, dan menemukan sifat-sifat  oprasi  misalkan  tertutup  atau  terbuka,  dimana  keg- iatan dibuat sedemikian hingga menggiring siswa menemukan hal-halbaru dalam konsep oprasi. Disamping itu latihan interak- tif itu juga diharapkan mampu melatih kecepatan dalam meny- elesaiakn suatu oprasi.

## 5. Prinsip dan skill
Prinsip dan skill merupakan obyek matematika yang kom- pleks. Prinsip dapat terdiri dari beberapa fakta, beberapa konsep yang dikaitkan oleh suatu relasi/operasi. Prinsip adalah hubun- gan  antara  berbagai  obyek  dasar  matematika.  Prinsip  dapat
Penggunaan Software Matrix Laboratory...
berupa aksioma, teorema, sifat. Skill adalah prosedur atau kum- pulan aturan-aturan yang digunakan untuk menyelesaikan soal matematika.  Contoh penyelesaian persamaan dengan ”meleng- kapkan  kuadrat  sempurna”.  Penyelesaian  system  persamaan denga  prinsip  ”Eliminasi”.  Ini  berarti  kompetensi  dasar  yang berupa  menjelasakan  langkah-langkah  mengerjakan  sesuatu sesuai dengan produser tertentu, maka bahan ajar yang paling tepat  adalah presentasi dan media  interaktif, dimana  penekanan bahan  ajar  pada  penguasaan  skill  pengerjaan,  pendalam  dan pemahaman  akan  konsep  perlu  penekanan,  maka  bahan  ajar yang disusun haruslah berfokus pada latihan dan kegiatan un- tuk  melakukan  akti tas.  Seperti  ketrampilan  melukis  macam- macam segitiga, kemampuan menyelesaikan model matematika dengan berbagai skill pendekatan penyelesaian.
Mengingat  obyek-obyek  matematika  di  atas,  maka  dalam proses  pembelajaran  berbantuan  computer    perlu  dipahami dengan baik bagaimana karaktristik setiap software yang akan digunakan,  termasuk Matrix  Labolatory (MATLAB)  sehing- ga  pembelajaran  matematika    akan  lebih  interaktif  dan  ban- yak  menggunakan  alat  peraga  untuk  memvisualisasikan  ide matematika yang abstrak.
MATLAB  SEBAGAI  MEDIA  PEMBELAJARAN  MATEMA- TIKA 1. Pengantar tentang  MATLAB MATLAB ( Matrix Laboratory ) adalah suatu program untuk analisis dan komputasi numerik dan merupakan suatu bahasa pemrograman matematika lanjutan yang dibentuk dengan dasar pemikiran menggunakan sifat dan bentuk matriks. Pada awal- nya, program ini merupakan interface untuk koleksi rutin-rutin numeric dari proyek LINPACK dan EISPACK, dan dikembang- kan  menggunkan  bahasa  FORTRAN  namun  sekarang  meru- pakan produk komersial dari perusahaan Mathworks, Inc.yang dalam perkembangan selanjutnya dikembangkan menggunakan bahasa C++ dan assembler (utamanya untuk fungsi-fungsi dasar MATLAB).

## Budi Cahyono
MATLAB  telah  berkembang  menjadi  sebuah environment pemrograman  yang  canggih  yang  berisi  fungsi-fungsi built-in untuk  melakukan  tugas  pengolahan  sinyal,  aljabar  linier,  dan kalkulasi matematis lainnya. MATLAB juga berisi toolbox yang berisi fungsi-fungsi tambahan untuk aplikasi khusus . MATLAB bersifat extensible ,  dalam  arti  bahwa  seorang  pengguna  dapat menulis  fungsi  baru  untuk  ditambahkan  pada library ketika fungsi-fungsi built-in yang tersedia tidak dapat melakukan tu- gas tertentu. Kemampuan pemrograman yang dibutuhkan tidak terlalu sulit bila Anda telah memiliki pengalaman dalam pem- rograman bahasa lain seperti C++, PASCAL, atau FORTRAN.
MATLAB  merupakan  merk  software  yang  dikembang- kan  oleh  Mathworks.Inc.(lihat  http://www.mathworks.com) merupakan software yang paling e sien untuk perhitungan nu- meric berbasis matriks. Dengan demikian jika di dalam perhi- tungan kita dapat menformulasikan masalah ke dalam format matriks  maka  MATLAB  merupakan  software  terbaik  untuk penyelesaian  numericnya.  MATLAB  yang  merupakan  bahasa pemrograman tingkat tinggi berbasis pada matriks sering digu- nakan untuk teknik komputasi numerik, untuk menyelesaikan masalah-masalah yang melibatkan operasi matematika elemen, matrik,  optimasi,  aproksimasi  dan  lain-lain.    Sehingga  Matlab banyak  digunakan  pada  :    (  1  )  Matematika  dan  Komputansi, (2) Pengembangan dan Algoritma, (3) Pemrograman modeling, simulasi, dan pembuatan prototype, (4) Analisa Data , eksplora- si  dan  visualisasi,  (5)  Analisis  numerik  dan  statistic,  dan  (6) Pengembangan aplikasi teknik.

## 2. Lingkungan Kerja Matlab

## 2.1 Window-window pada MATLAB
Ada  beberapa  macam  window  yang  tersedia  dalam MATLAB, yang dapat dijelaskan sebagai berikut:
a. Command window/editor
MATLAB  Command  window/editor  merupakan window yang dibuka pertama kali setiap kali MATLAB dijalankan pada window di atas dapat dilakukan akses-
Penggunaan Software Matrix Laboratory...
akses ke command MATLAB dengan cara mengetikkan barisan-barisan ekpresi MATLAB, seperti mengakses help window  dan  lain-lainnya.  Jika  perintah-perintah  yang sudah diketikkan dan hasil yang ditampilkan pada layar command  window  akan  disimpan  maka  dapat  dilaku- kan  dengan  menggunkan  command  diary.  Command windows juga digunakan untuk memanggil tool Matlab seperti editor, debugger atau fungsi. Command Window adalah tempat untuk menjalankan fungsi, mendeklarasi- kan variable, menjalankan proses-proses  , serta  melihat isi variable.

## b. Current Directory
Window ini menampilkan isi dari direktori kerja saat menggunakan matlab. Kita dapat mengganti direktori ini sesuai  dengan  tempat  direktori  kerja  yang  diinginkan. Default dari alamat direktori berada dalam folder works tempat program  les Matlab berada.

## c. Command History
Window ini berfungsi untuk menyimpan perintah- perintah apa saja yang sebelumnya dilakukan oleh peng- guna terhadap matlab.
d. Workspace Workspace  berfungsi  untuk  menampilkan  seluruh variabel-variabel yang sedang aktif pada saat pemakaian matlab.  Apabila  variabel  berupa  data  matriks  beruku- ran besar maka user dapat melihat isi dari seluruh data dengan  melakukan  double  klik  pada  variabel  tersebut. Matlab secara otomatis akan menampilkan window “ar- ray editor” yang berisikan data pada setiap variabel yang dipilih user.
2.2.  Getting Help Matlab  menyediakan  fungsi  help  yang  tidak  berisikan

## Budi Cahyono
tutorial  lengkap  mengenai  Matlab  dan  segala  keunggulan- nya.  User  dapat  menjalankan  fungsi  ini  dengan  menekan tombol  pada  toolbar  atau menulis perintah ‘ helpwin’ pada command window. Matlab juga menyediakan fungsi demos yang berisikan video tutorial matlab serta contoh-contoh pro- gram yang bias dibuat dengan MATLAB.

## 2.3.  Interupting dan Terminating dalam Matlab
Untuk menghentikan proses yang sedang berjalan pada matlab dapat dilakukan dengan menekan tombol Ctrl-C. Se- dangkan untuk keluar dari matlab dapat dilakukan dengan menuliskan perintah exit atau quit pada comamnd window atau dengan menekan menu exit pada bagian menu  le dari menu bar.

## 3. Variabel Pada Matlab
Matlab hanya memiliki dua jenis tipe data yaitu Numeric dan String. Dalam matlab setiap variabel akan disimpan dalam bentuk matrik. User dapat langsung menuliskan variabel baru tanpa  harus  mendeklarasikannya  terlebih  dahulu  pada  com- mand window.  Contoh pembuatan variabel pada matlab: >> varA = 1000  ; ans var A =1000 >> varB = [45 2 35 45] ; ans var B = 45 2 35 45 >> varC = ‘test variabel’  ; varC = test variable
Penamaan variabel pada matlab bersifat caseSensitif karena itu perlu diperhatikan penggunaan huruf besar dan kecil pada penamaan  variabel.  Apabila  terdapat  variabel  lama  dengan nama yang sama maka matlab secara otomatis akan me- replace variabel lama tersebut dengan variabel baru yang dibuat user.

## 4. Operator
Beberapa penggunaan operator aritmatika antara dua oper- and (A dan B) ditunjukkan pada table berikut ini

## Tabel 1 :  Penggunaan Operator Aritmatika antara dua Operand
(A dan B). Operasi Bentuk Al- jabar Bentuk Matlab Contoh Perkalian AxB A * B 5 * 3 Pembagian A : B A /B 8/2 Penambahan A + B A + B 6 + 7 Pengurangan A – B A - B 9 – 4 Eksponensial A B A^B 2^3

## 5. Fungsi Matematika lainnya
Beberapa  fungsi  matematika  lainnya  yang  dapat  kita  gu- nakan untuk operasi matematika antara lain sebagai berikut:
• abs(x) : fungsi untuk menghasilkan nilai absolut dari x
• sign(x) : fungsi untuk menghasilkan nilai -1 jika x<0, 0 jika x=0 dan 1 jika x>1
• exp(x) : untuk menghasilkan nilai eksponensian natural, e x • log(x) : untuk menghasilkan nilai logaritma natural x, ln x • log10(x) : untuk menghasilkan nilai logaritma dengan basis
10, x 10 log
• sqrt(x) : untuk menghasilkan akar dari nilai x, x
• rem(x,y) : untuk menghasilkan nilai modulus (sisa pemba- gian) x terhadap y

## APLIKASI MATLAB DALAM  ALJABAR LINIER
Dewasa ini proses pembelajaran matematika sudah lebih maju, yakni dengan menggunakan Matlab sebagai alat komuni- kasi yang dapat membantu guru dalam pembelajaran matema- tika. Matlab dikembangkan sebagai bahasa pemrograman seka- ligus  alat  visualisasi  yang  menawarkan  banyak  kemampuan untuk menyelesaikan berbagai kasus yang berhubungan lang- sung  dengan  matematika.  Dalam  pembelajaran  matematika, Matlab dapat membantu guru dan peserta didik untuk meng- komunikasikan  konsep  matematika.  Manurut  Caesarendra,  W dan Ariyanto,M (2011 : 121) bahwa beberapa konsep matematika

## Budi Cahyono
yang dapat diuraikan dengan menggunakan Matlab diantaran- ya meliputi ; matriks, vector, aljabar linier, statistic, polynomial, analisis fungsi, pencocokan kurva, interpolasi, limit, differensial, integral, transformasi Laplace, transformasi Fourier, Persamaan differensial  biasa,  ( Ordinary  Differential  Equation ,  ODE)  serta, persamaan differensial parsial ( Partial Differential Equation (PDE). Selanjutnya, akan ditunjukkan konsep matematika pada aljabar  linier  yang  dapat  dikomunikasi  dengan  menggunakan Matlab. Uraian ini bersifat sebagai contoh penggunaan Matlab dan  berupaya  memberikan  motivasi  Mahasiswa  untuk  dapat mengembangkan  kemampuannya  terhadap  penggunaan  soft- ware Matlab.

## MATRIKS
Terdapat tiga jenis format data di MATLAB, yaitu skalar, vektor, dan matriks.
• Skalar , ialah suatu bilangan tunggal
• Vektor , ialah sekelompok bilangan yang tersusun 1-dimensi. Dalam MATLAB biasanya disajikan sebagai vektor-baris atau vektor-kolom
• Matriks ,  ialah  sekelompok  bilangan  yang  tersusun  dalam segi-empat 2-dimensi. Di dalam MATLAB, matriks dide nisi- kan dengan jumlah baris dan kolomnya. Di MATLAB terdapat pula matriks berdimensi 3, 4, atau lebih, namun dalam buku ini kita batasi hingga 2-dimensi saja.
Sebenarnya,  semua  data  bisa  dinyatakan  sebagai  matriks. Skalar  bisa dianggap sebagai matriks satu baris – satu kolom (matriks  1×1),  dan  vektor  bisa  dianggap  sebagai  matriks  1-di- mensi: satu baris – n kolom, atau n baris – 1 kolom (matriks 1×n atau n×1). Semua perhitungan di MATLAB dilakukan dengan matriks, sehingga disebut MATrix LABoratory.
Matriks dide nisikan dengan kurung siku ( [ ] ) dan biasan- ya dituliskan baris-per-baris. Tanda koma (,) digunakan untuk memisahkan kolom, dan titik-koma (;)  untuk memisahkan baris. Kita  juga  bisa  menggunakan  spasi  untuk  memisahkan  kolom
dan menekan Enter ke baris baru untuk memisahkan baris. Perhatikan cara mende nisikan skalar dengan ataupun tan- pa kurung siku.
>> skalar1 = 3.1415
skalar1 = 3.1415 >> skalar2 = [2.71828] skalar2 = 2.7183

## OPERASI MATRIKS 1.  Himpunan Persamaan Linier
Semula  MATLAB  diciptakan  untuk  menyederhanakan komputasi matriks dan aljabar linier yang terdapat di berbagai aplikasi.
Contoh : A.x = b
Dalam  MATLAB  perkalian  matriks  dilambangkan  asterik (*). Jika terdapat suatu penyelesaian, maka juga terdapat bebera- pa metode untuk menyelesaikannya, seperti eliminasi gaus, fak- torisasi LU, atau penggunaan langsung dari A -1 . secara analisis, penyelesaian ditulis sebagai x = A -1 .b. Untuk menyelesaikan masalah tersebut di atas diperlukan cara untuk memasukkan A dan b.
» A=[1 2 3;4 5 6;7 8 0]
A = 1     2     3 4     5     6 7     8     0
» b=[366;804;351] b = 366 804 351

## Budi Cahyono
Jika anda mempunyai dasar aljabar linier maka sangat mu- dah untuk menentukan bahwa masalah mempunyai satu jawa- ban tunggal jika determinan matriks A tidak sama dengan nol.
» det(A) ans = 27 » inv(A) ans = -1.7778    0.8889   -0.1111 1.5556   -0.7778    0.2222 -0.1111    0.2222   -0.1111 Penyelesaian persamaan linier tersebut dapat diselesai den- gan tiga cara :
Cara I , dengan menggunakan invers matriks » x=inv(A)*b x = 25.0000 22.0000 99.0000
Cara II , dengan  menggunakan operasi pembagian matriks » x=A\b x = 25.0000 22.0000 99.0000
Cara III , dengan menggunakan factorisasi lu dari hasil dari upper af lower matrik triangular , A=LU, dimana X diperoleh dari X = U -1 L -1 B.
» A = [1 2 3;4 5 6;7 8 0];
» B = [366;804;351];
» [L,U] = lu(A)
L = 0.1429    1.0000         0
0.5714    0.5000    1.0000
1.0000         0             0
Jurnal PHENOMENON , Volume 1 Nomor 1, Juli 2013
U = 7.0000    8.0000         0 0        0.8571    3.0000 0             0        4.5000 » X=inv(U)*inv(L)*B X = 25.0000 22.0000 99.0000
Untuk mencari nilai eigen values dan eigen vektor » [x,D]=eig(A) x = 0.7471   -0.2998   -0.2763 -0.6582   -0.7075   -0.3884 0.0931   -0.6400    0.8791
D = -0.3884         0               0 0        12.1229         0 0             0          -5.7345 atau » eig(A) ans = -0.3884 12.1229 -5.734 5
2.  Fungsi-fungsi Matriks yang umum digunakan det (A) determinan d=eig(A) Nilai eigen [V,D] = eig(A) nilai eigen dan eigen vektor expm(A) pemangkatan matriks inv(A) invers matriks

## Budi Cahyono
lu(A)
faktor dari eliminasi gaus
orth(A) ortognalisasi pinv(A) pseudoinvers poly(A) karakteristik polynomial polyeig(A1,A2,..)  menyelesaikan  masalah  nilai  eigen  poli- nomial sqrtm(A) akar kuadrat matriks svd(A) dekomposisi nilai singular trace(A) jumlah elemen-elemen diagonal
3.  Matriks Khusus
Matriks dengan kegunaan umum meliputi » zeros(3) ans = 0     0     0 0     0     0 0     0     0
» ones(2,4) % 2x4 matriks berelemen satu ans = 1     1     1     1 1     1     1     1
» zeros(3)+pi ans = 3.1416    3.1416    3.1416 3.1416    3.1416    3.1416 3.1416    3.1416    3.1416
» eye(3) % matriks identitas ans = 1     0     0 0     1     0 0     0     1
Contoh; carilah nilai v dan gambar nilai yang diperoleh.
kita dapat menyelesaikan dengan MATLAB dalam M-File : % pl1.m  nama proram clear A(1,1)=1/2; A(1,2)=-1/2; A(2,1)=-1/2; A(2,2)=1/2+0.2j+1/10j; A(2,3)=-1/10j; A(3,2)=-1/10j; A(3,3)=1/10+1/10j; y=[-1 0 0]’;
% Penyelesaian persamaan v=A\y vmag=abs(v) sudutv=angle(v)*180/pi % menggambar hasil terhadap waktu theta=linspace(0,2*pi); v1=vmag(1)*cos(theta-sudutv(1)); v2=vmag(2)*cos(theta-sudutv(2)); v3=vmag(3)*cos(theta-sudutv(3)); thd=theta*180*pi; plot(thd,v1,thd,v2,thd,v3);
jika program tersebut dijalankan, hasilnya seperti dibawah ini ;
» pl1 v = -4.0000 + 6.0000i -2.0000 + 6.0000i 2.0000 + 4.0000i vmag = 7.2111 6.3246 4.4721 sudutv = 123.6901 108.4349 63.4349
Beberapa contoh diatas jika digambar secara manual mem- butuhkan  keterampilan  tertentu,  maka  penggunaan  MATLAB merupakan solusi pemecahannya.

## KESIMPULAN
MATLAB  adalah  suatu  paket  komputasi  numerik  sangat kuat  dan  memungkinkan  untuk  digunakan  sebagai  software alternative dalam pembelajaran matematika. Diharapkan, bah- wa  dengan  penggunaan Matlab sebagai  media  pembelajaran matematika mengantarkan siswa dapat belajar matematika yang lebih cepat, lebih baik dan lebih mudah, serta lebih berkualitas.
Pembelajaran  matematika menggunakan MATLAB sebagai
Penggunaan Software Matrix Laboratory...
alat bantu komputasi tentunya tidak menjadi masalah dan akan efektif  apabila  dilaksanakan  dalam  ruang  laboratorium  kom- puter yang setiap komputernya sudah terinstal MATLAB. Selain itu waktu, ruang, dan jumlah komputer yang disediakan juga cukup memadai. Namun dalam kenyataannya tentu saja wak- tu, ruang, sarana dan prasarana dalam kelas atau laboratorium komputer adalah terbatas. Hal ini dapat menjadikan ketidake- fektifan proses pembelajaran. Dengan adanya aplikasi ini, akan dapat menge siensikan biaya dan juga waktu dalam operasion- al pembelajaran. Selain itu, manfaat dari aplikasi ini adalah me- mungkinkan siswa mampu menggali lebih banyak tentang kon- sep numerik karena eksperimen numerik dapat dengan mudah dilakukan serta didukung dengan representasi gra k.

## DAFTAR PUSTAKA
Anton,  Howard. (1984).  ALJABAR LINIER. Erlangga, Bandung
Caesarendra,W.,dan  Ariyanto  M.,(2011) Panduan  Belajar
Mandiri MATLAB . Media Komputindo, Jakarta.
Firmansyah,  A.  (2007).  Dasar-Dasar  Pemrograman  MATLAB. http:// ilmukomputer. org/2006/08/25/pengantar-pem- rograman-berbasis-aspek/,  diakses tanggal, 2 Juni 2012.
Sahid. (2004). Aplikasi Komputer dengan MATLAB . Petunjuk Prak- tekum  MATLAB,  Edisi  Revisi,  Laboratorium  Komputer Jurusan Pendidikan Matematika, UNY. http://www.lim- itedbookstore.com/buku/pengantar-komputasi-numerik- dengan-matlab-drs-sahid-msc.htm, diakses tanggal, 3 Juni 2013.
Sahid,  (2007). Pengantar  Komputasi  Numerik  Dengan  Matlab . http://www.belbuk.com/pengantar-komputasi-numer- ik-dengan-matlab-p-3486.html
Hohari, K. (2010). Mengajar Matematika Secara Interaktif dengan Winplot  dan  Wingeom.    http://bdksurabaya.kemenag. go.id/ le/dokumen/wingeom.pdf, Diakses pada tanggal 3 Juni 2013.