Ekologia , Vol. 14  No.2 ,Oktober 2014:17-24

## PENDUGAAN PARAMETER MODEL PENINGKATAN POPULASI PEROKOK DENGAN METODE DEKOMPOSISI ADOMIAN MULTISTAGE
Hagni Wijayanti 1 dan Fajar Delli Wihartiko 2
1.2 Program Studi Matematika, FMIPA Universitas Pakuan, Bogor
E-mail : hagnizantix@gmail.com

## ABSTRACT
The  prevalence  of  smoking  in  Indonesia  over  the  years  tend  to  experience  increased. Increasing  cigarette  consumption  in  Indonesia  will  affect  public  health  conditions  and demanding  high  fees  from  the  public,  so  that  the  necessary  control  of  the  consumption  of cigarettes  wisely.  The  smoking  prevalence  of  the  problem,  can  be  made  a  mathematical formulation. There are three parameters involved, namely the active smoker population, the population  of  smokers  and  potential  smokers  who've  stopped  population,  along  with  the change  in  time.  Identify  the  parameter  is  very  important,  because  it  can  show  how  the problem  of  the  prevalence  of  smokers.  In  this  study  used  method  of  Multistage  Adomian Decomposition  (MADM) which  gives the solution of  the  model  population  increase  smokers as solution series t (time) for each subinterval m during the period from [0, T]. The resolution of the model and the simulation model do with programming in Mathematica version 8.
Key words : method of Multistage Adomian Decomposition (MADM),  prevalence of smokers

## PENDAHULUAN
Rokok  adalah  produk  berbahaya dan  aditif  yang  merupakan  penyebab kematian  terbesar  yang  dapat  dicegah  di dunia.  Menurut  data  dari World  Health Organization (WHO), satu dari 10 kematian  orang  dewasa  disebabkan  oleh konsumsi  rokok  dan  tiap  tahun  rokok menyebabkan  kematian  5,4  juta  orang (Soewarta Kosen, 2007).
Perokok  di  Indonesia  menduduki peringkat  ketiga  terbesar  di  dunia  setelah Cina  dan  India.  Prevalensi  merokok  di Indonesia  dari  tahun  ke  tahun  pun cenderung mengalami peningkatan. Hal ini dapat  dilihat  dari  Riskesdas  tahun  2007, penduduk  Indonesia  berusia  >15  tahun yang merokok setiap hari sebanyak 27,2%, yang  kadang-kadang  (tidak  setiap  hari) merokok  sebanyak  6,1%,  mantan  perokok sebesar  3,7  %  dan  yang  tidak  merokok sebesar  63%.  Sedangkan  menurut  hasil Riskesdas  2010,  penduduk  Indonesia berusia  >15  tahun  yang  merokok  setiap hari sebanyak 28,2%,  yang kadang-kadang
(tidak setiap hari) merokok sebanyak 6,5%, mantan  perokok  sebesar  5,4%  dan  yang tidak merokok sebesar 59,9%%.
Dibandingkan tahun 2007, pada tahun 2010 terlihat adanya prevalensi merokok penduduk berusia >15 tahun yang meningkat (TCSC-IAKMI, 2011).
Permasalahan  prevalensi  merokok, dapat  dibuat  sebuah  formulasi  matematika guna  melihat  interaksi  antara  populasi perokok  aktif,  populasi  perokok  potensial dan populasi perokok yang sudah berhenti, seiring  dengan  perubahan  waktu.  Model dinamik  untuk  masalah  populasi  perokok pertama  kali  diperkenalkan  oleh  Castillo- Garsow,  Jordan-Salivia  dan  Rodriguez- Herrera.  Model  ini  membagi  populasi dalam 3 kelompok populasi, yaitu populasi perokok  potensial,  populasi  perokok  aktif, dan  populasi  berhenti  merokok.  Penelitian perlu  dilakukan  untuk  memahami  bagai- mana masalah prevalensi merokok, sehingga dapat diambil langkah bijak untuk mengendalikan konsumsi rokok.
Pemodelan  matematika  adalah  alat yang  ampuh  yang  dapat  digunakan  untuk menganalisis  dan  menjelaskan  masalah prevalensi  merokok  yaitu  dinamika  dari masing-masing kelompok populasi.
Pendugaan  parameter  perokok  potensial, populasi  perokok  aktif,  dan  populasi berhenti  merokok  dapat  dilakukan  dengan menggunakan  berbagai  metode.  Dalam penelitian  ini  akan  menggunakan  metode Dekomposisi Adomian Multistage (MADM) yang diharapkan dapat memberikan solusi dari model peningkatan populasi  perokok  sebagai  solusi  seri  t (waktu)  untuk  setiap  m  subinterval  selama periode  [0,  T].  Penyelesaian  model  dan simulasi model dilakukan dengan pemrograman  pada  Mathematica  versi  8. Hasil yang diperoleh dapat dianalisis untuk menentukan  kesesuaian  dalam  menggu- nakan MADM.

## Model Peningkatan Populasi Perokok
Gunawan  dan  Nurtamam  (2008)  membuat model  peningkatan populasi  perokok berupa  tiga  persamaan  yang  berbentuk taklinear  dengan  populasi  tertutup.  Sifat tertutup  dari  sistem  tersebut  dikarenakan populasi  dikelompokkan  pada  populasi kelompok umur tertentu.
Beberapa  batasan  yang  digunakan dalam  mengkontruksi  model  peningkatan populasi  perokok  oleh  Gunawan  dan Nurtamam (2008) adalah:
1. Banyaknya  populasi  setiap  saat   t N adalah konstan
2. Populasi  dalam  sistem  dibedakan
menjadi  tiga  kelompok,  yaitu  populasi perokok  potensial   t x * ,  populasi perokok  aktif   t y * dan  populasi  yang berhenti merokok   t z * . Dengan
demikian,         t z t y t x t N * *
*   
3. Orang yang berhenti merokok dimungkinkan  untuk  kembali  menjadi perokok.
4. Penambahan  jumlah  perokok  aktif diakibatkan  oleh  adanya  kontak  atau
interaksi  antara  perokok  potensial   t x * dengan perokok aktif   t y * , dan penambahan  dari  sebagian  poppulasi berhenti  merokok   t z * yang  menjadi perokok aktif   t y * .
5. Terdapat  sejumlah  orang  dari  masing- masing  kelompok  yang  meninggalkan sistem.
Model  peningkatan  populasi  perokok oleh  Gunawan  dan  Nurtamam  tidak bergantung  pada  dimensi  dengan mendefinisikan peubah:
      t N t x t x *  ,       t N t y t y *  ,       t N t z t z *  dan * t t  
dan parameter-parameter
   *  ,    *  dan    * 
Parameter-parameter yang digunakan dalam model dinamik peningkatan populasi perokok  adalah  sebagai  berikut  (Gunawan dan Nurtamam, 2008):
  t x = Proporsi populasi perokok potensial
tak berdimensi   t y =  Proporsi  populasi  perokok  aktif  tak berdimensi
  t z =  Proporsi  populasi  yang  berhenti merokok tak berdimensi
 =  Laju  populasi  yang  keluar  masuk sistem
*  =  Laju populasi yang berhenti merokok  kembali  menjadi  perokok aktif
 = Parameter *  tak berdimensi
*  =  Laju  populasi  perokok  potensial menjadi populasi perokok aktif
 = Parameter *  tak berdimensi
*  =  Laju populasi perokok aktif menjadi  populasi  yang  berhenti merokok
 = Parameter *  tak berdimensi Secara  skematis,  pola  interaksi populasi  perokok  potensial,  aktif  dan
berhenti dapat digambarkan dalam diagram kompartemen berikut :
Keterangan : Perpindahanpenduduk

## Pengaruh
Gambar 1. Interaksi populasi perokok potensial, aktif dan berhenti.
Adapun  model  peningkatan  populasi perokok  oleh  Gunawan  dan  Nurtamam (2008):
x y x dt dx     1
  z y y x dt dy        1   z y dt dz      1
(1) Dengan syarat awal:       0 , 0 0 , 1 0    t z y x

## Deret Maclaurin
Menurut  Syamsidar  (2009),  deret
Maclaurin  digunakan  untuk  memperoleh polinomial
Adomian dari Metode Dekomposisi  Adomian.  Deret  Maclaurin dapat  dipeoleh  dari  deret  Taylor.  Uraian deret  Taylor  dari  suatu  fungsi ) ( x f di sekitar a x  dinyatakan sebagai berikut
n n a x n a f a x a f a x a f a x a f a f x f ) ( ! ) ( ... ) ( ! 3 ) ( ' ' ' ) ( ! 2 ) ( " ) ( ! 1 ) ( ' ) ( ) ( ) ( 3 2           Jika a = 0, maka diperoleh deret Maclaurin berikut n n x n f x f x f x f f x f ! ) 0 ( ... ! 3 ) 0 ( ' ' ' ! 2 ) 0 ( " ! 1 ) 0 ( ' ) 0 ( ) ( ) ( 3 2       Prinsip-prinsip Dasar dari Metode Dekomposisi Adomian (ADM) Metode Dekomposisi Adomian (ADM)  pertama  kali  diperkenalkan  pada awal  tahun  1980  untuk  digunakan  dalam memecahkan  masalah stokastik dan. ADM memberikan solusi analitis dalam hal  yang deret  infinite  dan  dapat  diperoleh  tanpa linearisasi,  perturbasi,  atau  transformasi diskritisasi.
Setiap  persamaan  diferensial  dapat direpresentasikan sebagai
(1)
dengan  L  adalah  urutan  turunan  tertinggi (order  n  )  yang  invertible.  Ini  membuat  L -
1 menjadi  integrasi  n  -  kali  lipat.  R  adalah operator  diferensial  linear  (order  <  N) sedangkan  Nu  adalah  istilah  non  linier. Memecahkan persamaan (1) untuk Lu, dan menerapkan  operator  invers    L -1 untuk kedua  belah  pihak  ,  dengan  kondisi tersebut, akan diperoleh
(  ) (  )
(2)
Bagian  a,  dihasilkan  dari  kondisi  yang diberikan. Dekomposisi dari bagian nonlinier  Nu  dapat  diberikan  sebagai  deret terbatas ∑ (3)
Dalam  persamaan  (3)  ,  A n adalah polynomial  A  domain  dan  dapat  diperoleh untuk  berbagai  bagian  nonlinier.  Jika
Poten sial x * (t)
Aktif y * (t) Berh entiz * (t)
 N(t)  x * (t)  x * (t) ( ) ( )  y * (t)  z * (t)  y * (t)  z * (t)
Keterangan :
Perpindahanpenduduk Pengaruh
∑ ,  maka  persamaan  (2)  dapat ditulis sebagai
∑ (  ∑ ) ∑ (4)
Persamaan (4) kemudian digunakan sebagai  solusi  perkiraan  untuk  persamaan (1) Metode Dekomposisi

## Adomian
Multistage ( MADM ) Dalam  menggunakan  prinsip  ADM
untuk  memecahkan  sistem  persamaan diferensial,  solusi  dapat  diperoleh  dengan terasi  setiap  persamaan.  Algoritma  ini digunakan  MADM  untuk  memecahkan berbagai  sistem  persamaan.  Namun,  solusi yang  diperoleh  melalui  ADM  tidak  akan konvergen  secara  global.  Untuk  mengatasi hal  ini,  ADM  diterapkan  selama  interval waktu berturut-turut [0, t 1 ), [t 1 , t 2 ),.....,[t m-1 ,
T] dengan membagi interval waktu [ 0 , T ] ke  m  subinterval  dengan  kondisi  awal  di [t * , t m+1 ). Keuntungan utama dari membagi domain  adalah  bahwa  beberapa  bagian deret diperlukan untuk mendapatkan pendugaan yang baik dalam interval waktu yang kecil .
Bentuk umum dari sistem persamaan diferensial yang diberikan sebagai berikut :
∑ ∑ ∑
(5)
Untuk semua t ≥ t * , diberikan solusi umum dari persamaan (5) menjadi
( )   ∑ ( )
(6)
Koefisien d im diberikan untuk ( ) dan              n j n p n q m k ipq m j ij im a m d a d 1 1 1 1 0 ) 1 ( ! 1     1 , ! 1 ! ! 1      m k m k k d d k m p qk (7)

## HASIL DAN PEMBAHASAN Setimbang Model Peningkatan Populasi Perokok.
Titik  Setimbang  Model  Pening- katan  Populasi  Perokok  adalah  titik  yang diperoleh  ketika  sistem  (1)  berada  dalam keadaan  setimbang,  yaitu  saat  perubahan populasi  perokok  potensial,  populasi perokok  aktif  dan  populasi  perokok berhenti, sepanjang waktu adalah nol.
Titik  setimbang  adalah  titik  yang invarian  terhadap  waktu,  maka  titik setimbang diperoleh saat
0    dt dz dt dy dt dx Untuk 0    dt dz dt dy dt dx , Jika didefinisikan suatu besaran   0 1 1 R        
Maka diperoleh titik kesetimbangan
endemik     0 0 1 0 1 1 1 , , 1 R R E R               
Untuk  titik  kesetimbangan  bukan  endemik yang  memperlihatkan  bahwa  untuk  jangka waktu yang lama, lingkungan atau komunitas tertentu akan bebas dari perokok aktif  ( 0 y Y   ),  maka 1, 0, x z  
sehingga   2 1, 0, 0 E merupakan titik kesetimbangan bukan endemik.

## KestabilanTitik Setimbang
Menentukan  kestabilan  dari  suatu sistem  dengan  langkah  awal  membentuk Matriks Jacobian (MJ) dari sistem persamaan(1)  yang  diturunkan  secara parsial.
Karena memiliki dua titik setimbang, yaitu
    0 0 1 0 1 1 1 , , 1 R R E R                dan   2 1, 0, 0 E ,
maka  Matriks  Jacobian  harus  merupakan rekonstruksi dari kedua titik tersebut.
Untuk     0 0 1 0 1 1 1 , , 1 R R E R                diperoleh jika 0 1 R  , maka titik setimbang
    0 0 1 0 1 1 1 , , 1 R R E R                stabil asimtot
secara lokal. Selanjutnya  dengan  dengan  mensubstitusi- kan  titik  kritis   2 1, 0, 0 E kedalam  matriks
MJ ,  maka  untuk 0 1 R  ,   0 1 1 R         ,
maka
  1 1         , sehingga
(1 (1 )) 0          , jadi terdapat paling sedikit 1 nilai karakteristik λ dengan bagian  real  positif.  Dengan  demikian, untuk 0 1 R  , titik kesetimbangan   2 1, 0, 0 E tidak stabil secara lokal.
Sedangkan untuk 0 1 R  , atau   1
1         , sehingga
(1 (1 )) 0          , jadi terdapat paling  nilai  karakteristik  λ  dengan  bagian real  negatif.  Dengan  demikian,  untuk
0 1 R  ,  titik  kesetimbangan
  2 1, 0, 0 E stabil secara lokal.
Pendugaan Parameter  Model  Peningkat- an  Populasi  Perokok  dengan  Metode Dekomposisi
Adomian Multistage
(MADM)
Penyelesaian  menggunakan  metode dekomposisi adomian multistage (MADM) dapat  diperoleh  dengan  mendefinisikan operator  linear 1 i R dan  operator  nonlinear
2 i R ,  oleh  karena  itu  sistem  di  atas  dapat ditulis dalam bentuk operator n i R R Lx i i i ,..., 2 , 1 , 2 1   
Dengan  menerapkan inversnya  maka diperoleh     2 1 1 1 i i i i R L R L t x t x       , n i ,..., 2 , 1 
dengan  asumsi  sistem  di  atas  adalah masalah  nilai  awal.  Solusinya  adalah
tunggal, maka solusi untuk   t x i dinyatakanoleh     n i t x t x m im i ,..., 2 , 1 , 0     
kemudian 1 i R menjadi      n j m im ij i x a R 1 0 1 Sehingga 1 1 i R L  diberikan oleh :
        n j m t t im ij i dt x a R L 1 0 1 1 dan 2 i R nonlinear ditunjukkan sebagai
       n p n q m q p im ipq i A a R 1 1 0 , , 2 dengan q p im A , , adalah polynomial adomian berikut
0 0 0 , , ! 1                         k k kq k kp k m m q p im x x M d d m A Dimana   2 1 2 1 , x x x x M  untuk ,... 2 , 1 , 0  m dan          n p n q m t t q p im ipq i dt A a R L 1 1 0 , , 2 1

## Maka diperoleh persamaan berikut
           
               n p n q m t t q p im ip q t t im m n j m ij i im dt A a dt x a t x t x 1 0 0 , , 0 1 0 dengan koefisien im d sebagai berikut   t x d i i  0 Setelah menghitung polynomial dan diintegralkan,  maka  untk  semua   t t diperoleh
    n i m t t d t x m m im i ,..., 2 , 1 , ! 0                         n p n q m k k m p qk ipq n j m j ij im
k m k d k d a m d a d
1 1 1 0 ) 1 ( 1 ) 1 ( )! 1 ( ! ! ! 1
Penyelesaian  model  peningkatan  populasi perokok  dilakukan  dengan  mengimple- mentasikan  metode  pada  Mathematica versi 8.
0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0.2 0.4 0.6 0.8 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0.2 0.4 0.6 0.8 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0.2 0.4 0.6 0.8 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0.2 0.4 0.6 0.8

## Simulasi  Model  Peningkatan  Populasi
Perokok dengan Software Mathematica.
Hasil  utama  yang  diperoleh  dalam penelitian  ini  adalah  dapat  diduga  nilai parameter  yang  selanjutnya  disimulasikan untuk    dapat     melihat    pengaruh    nilai parameter dalam peningkatan perokok aktif dari  dinamika  model.  Nilai  awal  yang digunakan  adalah  x(0)=0.8,  y(0)=0.2  dan
z(0)=0. Populasi potensial aktif t a) β=1.5,γ=1.5, α=0.5, R 0=0.75 Populasi potensial berhenti aktif t b) β=5,γ=2, α=0.07, R 0= 1.734 pulasi potensial aktif berhenti t c) β=5,γ=2, α=8, R 0= 4.09
Populasi potensial aktif t d) β=3,γ=5, α=5, R 0= 1.363
Gambar 2 .  Simulasi Model Populasi
Perokok Kesetimbangan Model Populasi Perokok  diperoleh  jika 0 1 R  . Titik setimbang endemik memperlihatkan bahwa untuk  jangka  waktu  yang  lama  dalam lingkungan  atau  komunitas  tertentu  akan selalu  ada  perokok  aktif  (y≠0).  Pada
persamaan (9),   0 1 1 R         , maka   1 1 1         . Untuk 0 1 R  ,   1 1      
sehingga untuk α yang cukup besar, β akan menuju 1. Sedangkan jika  α cukup kecil, β akan  menuju  1+  γ.  Jika  0 1    , maka berapapun  nilai  α  akan  memberikan 0 1 R 
. Jika  0 1      , maka didapat nilai kritis α k sehingga jika α < α k , maka pasangan α dan  β  akan  memberikan  nilai 0 1 R  , s edangkan jika      α > α k , maka pasangan α  dan  β  akan  memberikan  nilai 0 1 R  .
Untuk 1     , berapapun  nilai α,  maka
0 1 R  .
Untuk  nilai  α  yang  kecil,  dan perubahan kecil ternyata solusi kesetimbangan  hanya  bergeser  sedikit. Tetapi  untuk  α  yang  sama,  dan  parameter
lain berbeda, ternyata solusi kesetimbangan berbeda.
Untuk nilai β yang kecil memberikan  hasil  solusi  kesetimbangan perokok  potensial  naik  sedikit,  tetapi  β yang  besar,  memberikan  hasil  solusi kesetimbangan perokok potensial menurun. Jika  terdapat  populasi  berhenti  merokok kembali  menjadi  perokok  aktif,  maka interaksi  yang  kecil  antara  populasi perokok  aktif  dengan  populasi  potensial sudah cukup menaikkan populasi perokokaktif dari populasi perokok awal.

## SIMPULAN DAN SARAN Simpulan
Diperoleh  titik  setimbang  endemik Model  Peningkatan  Populasi  Perokok     0 0 1 0 1 1 1 , , 1 R R E R                dengan   0 1 1 R         sebagai  bilangan  reproduksi
dasar.  Untuk  titik  kesetimbangan  bukan endemik ( 0 y Y   ) , diperoleh   2 1, 0, 0 E .Analisis kestabilan yang diperoleh yaitu untuk 0 1 R  , titik kesetimbangan   2 1, 0, 0 E tidak stabil secara  lokal.  Sedangkan  untuk 0 1 R  ,  titik kesetimbangan   2 1, 0, 0 E stabil secara
lokal.Untuk 0 1 R  , titik setimbang
    0 0 1 0 1 1 1 , , 1 R R E R                stabil asimtot
secara lokal.
Hasil  pendugaan  parameter  yaitu
untuk 0 1 R  ,   1 1       , sehingga
untuk  α  yang cukup besar, β akan menuju 1.  Sedangkan  jika    α  cukup  kecil,  β  akan menuju  1+  γ.  Jika  0 1    , maka berapapun  nilai  α  akan  memberikan 0 1 R 
. Jika  0 1 
    , maka didapat nilai kritis α k sehingga jika α < α k , maka pasangan α
dan  β  akan  memberikan  nilai 0 1 R  , s edangkan jika      α > α k , maka pasangan α  dan  β  akan  memberikan  nilai 0 1 R  .
Untuk 1     , berapapun  nilai α,  maka

## 0 1 R  .
Metode  Dekomposisi  Adomian
Multistage (MADM) adalah metode dekomposisi yang digunakan dalam mencari  perkiraan  solusi  dari  sistem persamaan  diferensial  non  linier.  Metode ini  merupakan  metode  alternatif  yang numerik,  sehingga dapat dilakukan dengan bantuan  komputer.  Model  Matematika peningkatan Populasi Perokok yang merupakan  sistem  persamaan  diferensial non  linier  diselesaikan  dengan  metode MADM, yang selanjutnya disimulasikan.

## Saran
Hasil  penelitian  ini  bisa  digunakan sebagai salah satu referensi untuk mengetahui  peningkatan  populasi  perokok, sehingga pemerintah dapat segera menentukan kebijakan pengendalian populasi  perokok  dalam  melindungi  dan meningkatkan kesehatan masyarakat.
Kemudian penelitian ini dapat dikembangkan  lagi  dengan  menyertakan data  real  sebagai  bahan  evaluasi  untuk model matematika yang telah dibuat.

## DAFTAR PUSTAKA
C. Castillo-Garsow, G. Jordan-Salivia, and A.  Rodriguez  Herrera.  2000. Mathematical  Models  For  The
Dynamics Of Tobacco Use,
Recovery, And Relapse .  Technical Report Series BU-1505M, Cornell University, Ithaca, NY, USA.
Gunawan,  A  Y  dan  Nuratamam,  M  E.
2008.  Model  Dinamik  Sederhana untuk Masalah Peningkatan
Populasi  Perokok. Journal  of  the Indonesian  Mathematical  Society . vol. 14, no. 1 2008 [63 – 72].
Nuraini Yusoff, Harun Budin, dan Salemah Ismail. 2010. Parameter Estimation of  The  SIR  Model  Using  The
Multistage Adomian Decomposition Method .  Proceedings  of  the  6th IMT-GT Conference on Mathematics,  Statistics  and  its Applications (ICMSA 2010) Universiti  Tunku  Abdul  Rahman, Kuala Lumpur, Malaysia 635.
Soewarta  Kosen  ,  2007.  Profil  Tembakau
Indonesia. TCSC, SEATCA, WHO.
Syamsidar,  H.  2009.  Metode  Dekomposisi
Adomian untuk Menyelesaikan Persamaan Diferensial Abelian. IPB [Skripsi].
TCSC-IAKMI 2011.  http://www.indofbh. org/tcscindo/assets/applets/Fact_Sh eet_Fakta_Tembakau_Di_Indonesi a.pdf.