## PENGGUNAAN METODE FINITE DIFFERENCE TIME DOMAIN (FDTD) DALAM SIMULASI PHASED ARRAY ANTENNA
Hadi Teguh Yudistira 1 , Hermawan K. Dipojono 2,3 , Andriyan Bayu Suksmono 4 1 Program Studi Teknik Mesin, Institut Teknologi Sumatera, Lampung, Indonesia
2 Kelompok Keahlian Teknik Fisika, Institut Teknologi Bandung, Bandung, Indonesia
3 Pusat Penelitian Nanosains dan Nanoteknologi Institut Teknologi Bandung, Bandung, Indonesia 4 Sekolah Teknik Elektro dan Informatika, Institut Teknologi Bandung, Bandung, Indonesia

## Abstract:
Finite  Diffrence  Time  Domain  is  a  simulation  method  which  is  used  in  the  simulation  of electromagnetic waves that uses the basic principle of numerical approach of differential equations in the domain of space and time. Phased array antenna is one type of antenna that can be applied to automotive radar. The simulated phased array antenna consists of microstrip antenna with the number of  64  antennas  (8  rows,  8  columns).  Microstrip  antenna  consists  of  3  parts  of  patch,  substrate  and ground. The patch size on the microstrip antenna is 1.2 x 2.6 mm. The relative permittivity of substrate was used is 10.2. The simulation result is the radiation pattern of   phased array antenna in form of directional.
Keyword: Finite  Difference  time  domain,  electromagnetic  wave,  Maxwell  equation,  phased  array antenna, micristrip antenna, patch

## 1. Pendahuluan
Gelombang  elektromagnetik  merupakan  salah  satu  gelombang  yang  digunakan  dalam  kehidupan sehari-hari.  Salah  satu  aplikasi  dari  gelombang  elektromagnetik  adalah  antena.  Telepon  genggam merupakan salah satu teknologi yang menggunakan antena. Phased Array Antenna (PAA) merupakan salah  satu  jenis  antena  yang  dapat  dikembangkan  menjadi  automotive  radar. Antena  merupakan suatu  sistem  pemancaran  dan  penerima  yang  dirancang  untuk  memancarkan  atau  menerima gelombang elektromagnetik [1].  Simulasi merupakan metode yang digunakan untuk memahami suatu fenomena  fisis  dalam  tingkat  perancangan.  Dalam  perancangan  suatu  teknologi  aplikasi  gelombang elektromagnetik  diperlukan  simulasi  pola  radiasi  gelombang  elektromagnetik.  Dasar  dari  gelombang elektromagnetik  adalah  persamaan  Maxwell.  Oleh  karena  itu,  simulasi  gelombang  elektromagnetik pada dasarnya adalah menyelesaikan  persamaan Maxwell.
FDTD ( Finite Difference Time Domain ) merupakan metode numerik diferensial yang sering digunakan dalam  simulasi  gelombang  elektromagnetik.  Metode  FDTD  menggunakan  pendekatan  diferensial dalam domain ruang secara eksplisit dan menggunakan pendekatan diferensial dalam domain waktu secara implisit. Pertama kali diperkenalkan oleh Yee, metode FDTD telah digunakan dalam berbagai masalah  [2,3]. Algoritma  yang  digunakan  cukup  sederhana  dalam  pendekatan  secara  numerik  dari bentuk  diferensial  persamaan  Maxwell. Yee  menggunakan  kisi  medan  listrik  (E)  dan  medan  magnet (H)  berselang  dalam  ruang  dan  waktu  agar  komputasi  dapat  dilakukan  dengan  menghitung persamaan medan sebagai fungsi medan sebelumnya. Dasar dari algoritma Yee adalah aproksimasi dengan ekspansi Taylor orde dua dalam ruang dan waktu. Dispersi numerik dan kesalahan akibat kisi yang   tidak beraturan dapat diminimalkan dengan memberikan jumlah kisi ruang persatuan panjang gelombang yang sesuai [3].

## 2. Teori Dasar

## 2.1 Persamaan Maxwell
Fenomena  listrik  dan  magnet  dalam  tingkat  makroskopik  dapat  dimodelkan  melalui  persamaan Maxwell  yang  ditemukan  oleh  Maxwell  pada  tahun  1873.  Persamaan  Maxwell  ini  merupakan  hasil simpulan  dari  ilmu  pengetahuan  elektromagnetik  pada  saat  masa  tersebut  dan  hipotesa  dari  teori pergerakan arus listrik yang ditemukan oleh Hertz dan Marconi. Maxwell memanfaatkan dasar empirik dan  teori  yang  dikembangkan  oleh  Gauss, Ampere,  Faraday  dan  ilmuwan  yang  lainnya  [4].  Secara umum persamaan Maxwell yang tergantung terhadap waktu adalah sebagai berikut:
dimana persamaan (1) adalah hukum induksi Faraday, (2) merupakan hukum Ampere, dan (3) serta (4) adalah hukum Gauss masing-masing untuk medan listrik dan magnet. Ketika ! bernilai nol maka persamaan Maxwell akan menjadi persamaan Maxwell untuk keadaan tanpa sumber [3]. Pada ruang bebas sumber, hubungan antara medan listrik dan medan magnet dengan fluks medan listrik dan fluks medan magnet adalah sebagai berikut:
dimana permeabilitas udara = 4 π x 10 -7 Henry/m dan permitivitas udara = 8.854 x 10 -12 farad/m [4,5].

## 2.2 Penurunan Algoritma FDTD
Dari persamaan 1 dan persamaan 2 dapat diketahui bahwa E dan H merupakan besaran vektor pada ruang  tiga  dimensi.  Misalkan  diambil  satu  dimensi  yaitu  hanya  E x dan  H y jadi  persamaan  1  dan persamaan 2 menjadi
Dari persamaan 7 dan persamaan 8 dapat diketahui bahwa medan listrik memiliki harga pada sumbu x, medan magnet memiliki harga pada sumbu y. Medan listrik dan medan magnet akan memiliki arah propagasi ke arah sumbu z.
Persamaan  7  dan  persamaan  8  dapat  diubah  dalam  bentuk  pendekatan  diferensial  secara  numerik sehingga diperoleh:
Pada persaman 9 dan persamaan 10, peubah n menyatakan peubah jumlah waktu ( time step ). Untuk menentukan  waktu  sebenarnya  adalah  dengan  cara  mengalikan  jumlah  waktu  dengan  perbedaan waktu. Gambar 1 merupakan gambar penjelasan mengenai algoritma FDTD untuk domain waktu dan domain ruang.
(1) (2) (3) (4) t ∂ ∇ × = − ∂ B E 0 ∇ ⋅ = B t ∂ ∇ × = + ∂ D H J ρ ∇ ⋅ = D J (5) (6) B = ! H o µ D = ! E o ε o µ o ε (7) 0 0 1 1 y x H E t t z ε ε ∂ ∂ ∂ = ∇ × → = − ∂ ∂ ∂ E H (8) 0 0 1 1 y x H E t t z µ µ ∂ ∂ ∂ = ∇ × → = − ∂ ∂ ∂ H E (9) (10) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 0 1 2 1 2 1 n n n n y y x x
H k H k E k E k t z ε + − + − − − = − Δ
Δ
( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 1 2 0 1 2 1 2 1 1 n n n n
y y x x H k H k E k E k t z µ + + + + −
+ + − = − Δ
Δ
!
Gambar 1 Kisi FDTD Yee terhadap ruang dan waktu [3]
Dari Gambar 1 dapat dilihat bahwa untuk mencari besar H y pada waktu sekarang dibutuhkan besar dari E x yang terletak pada kisi di sebelahnya dan pada waktu sebelumnya. Begitu juga untuk mencari besar  E x pada  waktu  sekarang  dibutuhkan  besar  dari  H y yang  terletak  pada  kisi  di  sebelahnya  dan pada  waktu  sebelumnya.  Perhitungan  yang  dideskripsikan  pada Gambar  1 berlaku  untuk  semua domain  ruang.  Di  sini  akan  digunakan  unit  (Gaussian)  normalisasi  pada  persamaan  diferensial Maxwell dengan mensubstitusikan
yang  digunakan  untuk  menyederhanakan  formula  FDTD  [6]. Persamaan  11  disubstitusikan  ke persamaan 9 dan persamaan 10 maka diperoleh nilai baru masing-masing komponen medan sebagai berikut:
(12)
(13)

## 2.3 Microstrip Antenna (MA)
MA  mendapat  perhatian  pada  tahun  1970-an,  walaupun  ide  dari  MA  muncul  pada  tahun  1953  dan menjadi paten pada tahun 1955. MA terdiri dari logam yang sangat tipis dan bahan substrat. Susunan dari  MA  adalah  sebagai  berikut:  bidang  dasar  ( ground ),  bahan  substrat,  dan  logam  tipis  ( patch ). Gambar 2 merupakan gambar MA.
! Gambar 2 Gambar Microstrip Antenna [7]
(11)
! 0 0 ε µ = E E (14) (15) ! 0 2 x t c Δ Δ =
! 0 0 0 0 ( 2) 1 1 2 x c t c x x ε µ Δ Δ = = Δ Δ
( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 0 0 1 1 2 1 2 n n n n x x y y t E k E k H k H k z ε µ + − Δ ⎡ ⎤ = − + − − ⎣ ⎦ Δ ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 1 2 0 0 1 1 2 1 2 1 n n n n y y x x t H k
H k E k E k z ε µ + + + Δ ⎡ ⎤ + = + − + − ⎣ ⎦ Δ
Dari Gambar 2 terlihat bahwa patch terletak pada bagian atas bahan substrat yang memiliki ketebalan h.  Bagian  bawah  dari  MA  adalah  bidang  dasar  yang memiliki  sifat  seperti  bahan  konduktor sebagaimana halnya patch . Besar permitivitas relatif bahan substrat yang digunakan untuk MA berada di  daerah  2.2  sampai  12  [7]. Patch memiliki  beberapa  bentuk,  yaitu  persegi,  persegi  panjang, lingkaran, elips, segitiga dan berbagai bentuk yang lain.

## 2.4 PHASED ARRAY ANTENNA (PAA)
PAA  merupakan  antena  yang  dapat  memancarkan  dan  juga  menerima  radiasi  gelombang elektromagnetik dari sudut arah yang cukup luas tanpa menggerakkan antenanya. Untuk pemancaran gelombang  elektromagnetik  biasanya  dikendalikan  oleh  penggeser  fasa  [8]. Gambar  3 merupakan sketsa dari PAA dengan menggunakan penggeser fasa dan rangkaian distribusi arus.
! Gambar 3 Sketsa Phased Array Antenna [8]
Dari Gambar  3 dapat  dilihat  bahwa  pada  titik  tertentu  PAA  akan  memancarkan  radiasi  gelombang elektromagnetik  pada  sudut  tertentu.  Gelombang  elektromagnetik  akan  dipancarkan  pada  berbagai sudut dikarenakan adanya susunan beberapa antena dengan pola tertentu pada PAA.

## 3. Simulasi

## 3.1 Pemodelan Antena
Antena  yang  akan  disimulasikan  merupakan  PAA.  Setiap  elemen array pada  PAA  merupakan  MA dengan patch berbentuk  persegi  panjang. Gambar  4 merupakan  sketsa  PAA  yang  disimulasikan dalam tugas akhir ini.
!

## Gambar 4 Sketsa Phased Array Antenna
Dari Gambar 4 dapat dilihat bahwa pada permukaan bahan substrat terdapat 64 elemen patch (8x8 elemen). Patch terbuat  dari  logam  yang  memiliki  sifat  seperti  konduktor.  Di  antara patch dengan bidang dasar terdapat substrat yang terbuat dari bahan dielektrik. Permitivitas relatif  bahan dielektrik yang digunakan adalah 10,2.  Bidang dasar terletak pada lapisan terbawah.
Patch yang  digunakan  berbentuk  persegi  panjang  dengan  ukuran  1.2  x  2.6  mm.  Tebal  dari patch adalah 0.2 mm.

## 3.2 Pemodelan Sumber
Sumber  yang  digunakan  adalah Ultra  Wide  Band  (UWB)  pulse  excitation merupakan  sinyal  pulsa Gausian dikalikan dengan sinyal sinusoida [9]. Script sinyal pulsa Gausian adalah sebagai berikut: dz(is,jlo,1:kt)=J0*(n-ndelay)*exp(-((n-ndelay)^2/tau^2));
script sinyal  pulsa  Gausian  ini  digunakan  oleh  Keely  J.  Willis  dari University  of  Wisconsin-Madison pada penelitiannya.
Script untuk sinyal UWB pulse excitation adalah sebagai berikut:
dz(is,jlo,1:kt)=J0*(n-ndelay)*exp(-((n-ndelay)^2/tau^2)) *sin(2*pi*fc*(n-ndelay));.
Gambar  5 merupakan  gambar  grafik  sinyal UWB  pulse  excitation antara  amplituda  dengan  jumlah waktu.
!

## Gambar 5 Grafik Sinyal UWB Pulse Excitation
Dari Gambar 5 dapat dilihat bahwa sumber yang diberikan memiliki amplituda yang besar adalah di antara  jumlah  waktu  ke  100  sampai  jumlah  waktu  ke  800.  Sehingga  daerah  pengamatan  radiasi gelombang elektromagnetik yang efektif terletak di daerah jumlah waktu ke 100 sampai jumlah waktu ke 800.

## 3.3 Hasil Simulasi
Gambar 6 merupakan gambar yang menjelaskan daerah pengamatan radiasi medan listrik.
! Gambar 6 Visualisasi Daerah Pengamatan pada j=25
Pada Gambar  6 terdapat  bidang  yang  membelah  bagian phased  array  antenna .  Bidang  ini merupakan bidang pengamatan radiasi medan listrik. Hasil pola radiasi yang diperoleh dengan daerah pengamatan yang sesuai dengan Gambar 6 adalah Gambar 7 .
!
(a) Jumlah waktu 202 ! (b) Jumlah waktu 300 ! (c) Jumlah waktu 401 !
(d) Jumlah waktu 620
Gambar 7 Radiasi Medan Listrik Komponen z pada j=25
Gambar  7 merupakan  gambar  radiasi  medan  listrik  komponen  z  pada  j=25.  Dari Gambar  7 dapat dilihat  bahwa  pada  saat  jumlah  waktu 202  memiliki  radiasi  medan  listrik  komponen  z  lebih  kecil dibandingkan pada saat jumlah waktu 300, 401 dan 620. Hal ini dikarenakan pada saat jumlah waktu 202  sumber  pada antenna memancarkan  medan  listrik  lebih  kecil  dibandingkan  pada  jumlah  waktu 300, 401 dan 620. Dari Gambar 7 dapat dilihat bahwa radiasi medan listrik komponen z membentuk sudut terhadap normal bidang. Pada Gambar 7.c dan Gambar 7.d terlihat bahwa radiasi dari medan listrik tidak seperti pada Gambar 7.a dan Gambar 7.b yang beam medan listrik masih terlihat jelas. Hal ini dikarenakan adanya propagasi medan listrik dari beam .

## 4. Kesimpulan
Dari hasil simulasi yang diperoleh dapat disimpulkan bahwa:
1. Pola  radiasi  yang  dipancarkan  oleh  PAA adalah directional dengan  sudut  tertentu  terhadap normal bidang
2. Jika  medan  yang  dihasilkan  besar  maka  medan  tersebut  dengan  mudah  meradiasi  ke lingkungan sekitar beam utama.
3. Medan  listrik  pada  komponen  z  memiliki  nilai  medan  terbesar  dibandingkan  dengan komponen  y  dan  komponen  x.  Hal  ini  dikarenakan  sumber  yang  diberikan  hanya  pada komponen z.
4. Medan  listrik  pada  komponen  x  memiliki beam utama  hasil  radiasi  lebih  rapi  dibandingkan dengan medan listrik komponen yang lain. Hal ini dikarenakan medan listrik pada komponen x memiliki nilai medan yang terendah.

## 5. Penghargaan
Hadi  Teguh  Yudistira  (Penulis)  mengucapkan  terima  kasih  kepada  program  studi  Teknik  Fisika  ITB dikarenakan  hasil  ini  merupakan  hasil  penelitian  penulisa  ketika  menumpuh  pendidikan  sarjana  di Teknik  Fisika  ITB.  Penulis  juga  mengucapkan  terima  kasih  kepada  Prof.  Ir.  Hermawan  K.  Dipojono, MSEE,  Ph.D  dan  Prof.  Andriyan  Bayu  Suksmono,  Ph.D  sebagai  pembimbing  penulis  selama mengerjakan penelitian ini.

## 6. Daftar Pustaka
[1]  A. Taflove, Computational Electrodynamics: The Finite-Difference Time-Domain Method, Boston: Artech House, 1995, pp. 477.
[2]  Gregory M. Turner, and Christos Christodoulou, “FDTD Analysis of Phased Array Antennas” IEEE Transactions on Antennas and Propagation, vol. 47, No. 4, April 1999.
[3]  Musa, “Perfectly Matched Layer Pada Elektromagnetik,” Tugas Akhir S1 Teknik Fisika, Institut Teknologi.
[4] D.M. Pozar, Microwave Engineering Third Edition, New York: John Wiley & Sons, Inc, 2005, pp. 5-6.
[5] W. H. Hayt,Jr, Elektromagnetika Teknologi, Jakarta: Penerbit Erlangga, 1989, pp. 111-123.
[6] D.M. Sullivan, Electromagnetic Simulation Using The FDTD Method, IEEE Press, 2000.
[7] C. A. Balanis, Antenna Theory Analysis and Design, New York: John Wiley & Sons, Inc, 1997, pp. 723-730.
[8] R.C Johnson and H. Jasik, Antenna Engineering Handbook second Edition, New York: Mc Graw Hill, 1984, Chapter 20.
[9] R.W. Brocato, “FDTD Simulation Tools for UWB Antenna Analysis”, Sandia National Laboratories, California, 2004.