## Pengontrolan Penjejak Dinding dengan Batasan Orientasi pada Kursi Roda Robotik
1 Stephen Andronicus, 1 Amrizal Nainggolan, 1 Antony Anggriawan Siswoyo & 2 Augie Widyotriatmo *)
1 Program Studi Instrumentasi & Kontrol, Fakultas Teknologi Industri, ITB, Bandung, Indonesia
2 Kelompok Keahlian Instrumentasi & Kontrol, Fakultas Teknologi Industri, ITB, Bandung,
Indonesia
augie@tf.itb.ac.id *)

## Abstrak
Pada  makalah  ilmiah  ini  disajikan  desain  sistem  kontrol  penjejak  dinding  pada  kursi  roda  robotik dengan  keterbatasan  pada  pembacaan  sensor.  Rangkaian  sensor  ultrasonik  digunakan  untuk menentukan jarak dan sudut orientasi dari kursi roda robotik terhadap dinding yang menjadi acuan. Algoritma  kontrol  diturunkan  menggunakan  fungsi  Lyapunov  Barrier  untuk  menjamin  kestabilan asimtotik dari sistem dengan batasan sudut pembacaan sensor ultrasonik. Hasil simulasi dari sistem kontrol memperlihatkan kursi roda robotik dapat bergerak dengan jarak yang diinginkan dari dinding dengan mempertahankan sudut orientasi tidak melebihi batasan pembacaan sensor ultrasonik.
Kata Kunci: Kursi roda robotik, kontrol penjejak dinding, sensor ultrasonik, fungsi Lyapunov Barrier

## 1 Pendahuluan
Perkembangan  teknologi  robot saat ini sudah berkembang dengan  sangat pesat. Sebagai contoh dalam sebuah industri manufaktur, baik kualitas maupun kuantitas produksi dapat ditingkatkan  sehingga  meningkatkan  keuntungan  yang  dapat  diperoleh.  Berbagai  jenis aplikasi  seperti  penanganan  material,  pemadam  kebakaran,  robot  pelayanan,  serta  robot untuk  pertahanan  kini  sudah  tergolong  umum  bagi  negara-negara  maju  yang  saling bersaing  dalam  mengembangkan  teknologi-teknologi  robot  dengan  teknik  baru  ataupun mengembangkan  teknologi  robot  yang  sudah  ada  dengan  penambahan  fitur-fitur  tertentu untuk menyelesaikan permasalahan yang spesifik.
Pada dasarnya teknologi robot dapat dibagi menjadi dua jenis yaitu, robot manipulator dan robot  mobil.  Untuk  aplikasi  robot  mobil  beroda,  terdapat  tiga  jenis  permasalahan  utama dalam sistem kontrol yaitu stabilisasi, generasi lintasan, dan pelacakan lintasan [1]. Secara khusus dalam makalah ini, ketiga permasalahan ini akan diteliti dalam perancangan sistem kontrol penjejak dinding dari kursi roda robotik untuk pengguna berkebutuhan khusus.
Sistem  kontrol  penjejak  dinding  telah  banyak  diteliti  dalam  berbagai  literatur,  seperti kontrol  penjejak  jalur  menggunakan  metode  pembangkitan  dan  penjejakan  kurvatur  [2], kontrol  penjejak  lintasan  menggunakan back-stepping dengan  penentu  lokasi  GPS  [3], kontrol penjejak dinding untuk robot menggunakan  sistem  kontrol cerdas dengan particle swarm  optimization [4]  dan  pengontrolan  adaptif  dan  robust  dari  robot  mobil memanfaatkan  hasil  pemetaan  dari  kamera  dan  pemindai  laser  [5].  Namun  berdasarkan hasil  studi  literatur  oleh  penulis,  kerap  kali  keterbatasan  dari  komponen  pada  sistem seperti sensor tidak didefinisikan dengan spesifik dalam perancangan sistem kontrol robot mobil, sehingga aplikasi kontrol tidak tegar.
Pada  perancangan  sistem  kontrol  penjejak  dinding  sebelumnya  [6][7]  ,  batasan  orientasi dari  sensor  jarak  ultrasonik  untuk  mengestimasi  posisi  sebagai  parameter  kontrol  belum didefinisikan  secara  spesifik.  Sehingga  dalam  penelitian  ini  digunakan  metode perancangan sistem kontrol berbasis fungsi Lyapunov Barrier. Penggunaan fungsi Lyapunov barrier telah banyak diaplikasikan pada berbagai kasus, salah satunya dalam perancangan sistem  kontrol  kendaraan  otonom  dengan  keterbatasan nonholonomic dan  luas  bidang pandang  sensor  [8].  Pemberian  fungsi  Barrier  dapat  mengatasi  masalah  sistem  nonlinier yang  memiliki  batasan  tertentu  dengan  cara  mengoptimasi  penentuan  parameter  kontrol yang  akan  digunakan  untuk  mengontrol  sistem  agar  tetap  berada  dalam  batasan  yang ditentukan  [9].  Sehingga  dalam  penelitian  ini  dirancang  fungsi  Lyapunov  Barrier  dengan batasan  orientasi  kursi  roda  dari  sensor  jarak  ultrasonik  dalam  perancangan  kontrol penjejak dinding acuan.
Pada penelitian ini, model kinematika dari kursi roda robotik dijabarkan sebagai fungsi dari kecepatan  linear  kursi  roda  dan  sudut  orientasi  kursi  roda  terhadap  dinding  acuan. Selanjutnya sistem kontrol penjejak dinding dirancang sehingga kursi roda bergerak dengan jarak dan orientasi yang diinginkan terhadap dinding acuan. Dalam penelitian ini disajikan dua  pendekatan  kontrol  yang  berbeda  yaitu  kontrol  penjejak  dinding  dengan  batasan orientasi  menggunakan  fungsi  Lyapunov  Barrier,  dan  kontrol  penjejak  dinding  dengan fungsi Lyapunov kuadratik sebagai pembanding dari hasil perancangan sistem kontrol. Baik pembuktian  kestabilan  asimtotik  dan  hasil  simulasi  dari  kedua  rancangan  sistem  kontrol dijabarkan untuk memverifikasi hasil penelitian berpotensi untuk diimplementasikan pada sistem kursi roda robotik.
Kontribusi  yang  disajikan  dari  penelitian  ini  adalah  sebagai  berikut:  Pertama,  penurunan model dari kursi roda robotik untuk melakukan penjejakan dinding yang diturunkan dengan batasan  dari  sensor  jarak  ultrasonik.  Kedua,  penurunan  fungsi  Barrier  sebagai  dasar perancangan  sistem  kontrol  penjejak  dinding.  Ketiga,  perancangan  dengan  dilengkapi pembuktian  kestabilan  asismtotik  dari  pemberian  sinyal  kontrol  pada  sistem  untuk membuktikan bahwa hasil rancangan sistem kontrol dapat mengatasi masalah penjejakan dinding dengan batasan sensor ultrasonik.
Penulisan  makalah  ini  terdiri  dari  lima  buah  sub-topik.  Sub-topik  pertama  yaitu pendahuluan,  menjelaskan  secara  ringkas  latar  belakang,  tujuan,  serta  kontribusi  yang disajikan pada makalah. Sub-topik kedua yaitu konfigurasi sistem, menjabarkan komponen dari kursi roda  robotik serta penggunaan sensor jarak ultrasonik untuk menentukan jarak dan  sudut  orientasi  dari  kursi  roda  terhadap  dinding  acuan.  Sub-topik  ketiga  yaitu perumusan  masalah,  meliputi  penurunan  transformasi  kecepatan  roda  penggerak, pemodelan  kinematika  kursi  roda,  pembuktian  fungsi  barrier,  dan  perancangan  sistem kontrol  penjejak  dinding.  Sub-topik  keempat  yaitu  hasil  simulasi  untuk  membandingkan kontrol  penjejak  dinding  secara  umum  dengan  kontrol  penjajak  dinding  dengan  batasan orientasi  menggunakan  program  Matlab.  Terakhir  subtopik  kelima  yaitu  kesimpulan  dari hasil penelitian ini.

## 2 Konfigurasi Sistem
Dalam penelitian ini digunakan kursi roda elektrik dengan dua roda penggerak pada bagian belakang dan dua roda caster pada bagian depan. Masing-masing roda belakang terhubung dengan  sebuah  motor  DC  yang  memperoleh  suplai  arus  dan  tegangan  dari  driver  motor. Driver motor memperoleh masukan  tegangan  dengan Pulse Width Modulation (PWM) dari
mikrokontroler untuk menentukan kecepatan putaran pada masing-masing roda belakang. Untuk  menghitung  jumlah  rotasi  pada  masing-masing  roda  belakang  digunakan  rotary encoder yang juga terhubung dengan mikrokontroler.
Selanjutnya pada setiap sisi kanan dan kiri dari kursi roda terpasang dua buah sensor jarak ultrasonik pada bagian depan dan belakang dengan jarak u L seperti diilustrasikan Gambar 1.  Ketika  kursi  roda  bergerak  pada  posisi  disebelah  sebuah  dinding,  kedua  sensor  jarak ultrasonik  dapat  memperoleh  jarak  dari  bagian  depan  kursi  roda  dengan  dinding a dan jarak dari bagian belakang kursi roda dengan dinding b .
Gambar 2 Estimasi jarak dan sudut orientasi kursi roda
Dengan  memanfaatkan  informasi  jarak  yang  telah  diperoleh  masing-masing  sensor ultrasonik  maka  variabel-variabel  pengukuran  posisi  kursi  roda  terhadap  dinding h dan orientasi  sudut  dari  kursi  roda  terhadap  dinding  dapat  diperoleh  melalui  persamaan berikut:
 cos 2         b a h (1)          u L b a 1 tan  (2)

## 3 Perumusan Masalah

## 3.1 Transformasi Kecepatan Roda
Gambar  2  merupakan  skematik  dari  sistem  kursi  roda  yang  dikembangkan  dalam penelitian ini.
Gambar 2 Skema sistem kursi roda robotik
Kecepatan linier v dan kecepatan sudut  dari kursi roda dengan lebar tertentu L 2 dapat dinyatakan sebagai fungsi dari kecepatan linier roda belakang kanan r v dan roda belakang kiri l v .
2 l r v v v   (3) L v v l r 2    (4)
Kecepatan linier kedua roda belakang dengan jari-jari R merupakan fungsi dari kecepatan sudut roda belakang kanan r  dan roda belakang kiri l  R v r r   (5) R v l l   (6)
Persamaan (3) dan (4) dapat disubtitusikan pada persamaan (5) dan (6) menjadi:
  2 R v l r    
(7)
  L R l r 2      (8)
Kemudian persamaan (7) dan (8) dapat saling disubtitusikan untuk memperoleh kecepatan sudut kedua roda belakang sebagai fungsi dari kecepatan linier dan kecepatan sudut dari kursi roda.
  R L v r    
(9)
  R L v l     (10)
Dengan  demikian  desain  kontrol  kecepatan  linear  dan  kecepatan  sudut  dapat  digunakan untuk menentukan kecepatan roda belakang kanan dan kiri dari kursi roda.

## 3.2 Pemodelan Kinematika
Mengacu skema sistem Gambar 2, kinematika dari pergerakan kursi roda yang dirancang dapat dinyatakan sebagai fungsi dari kecepatan linier dan orientasi sudut berikut:
 cos v v x x    (11)  sin v v y h y      (12)

   (13)

## 3.3 Fungsi Lyapunov Barier
Untuk  menjamin  kondisi  dari  variabel  keadaan  tidak  pernah  melanggar  batasan  variabel keadaan, didefinisikan fungsi Lyapunov Barrier.
Berikut dirancang fungsi Barrier setiap keadaan i  untuk seluruh variabel keadaan i x .   
 R x x t x i i i i ) , ( : )) ( ( ; q p n n i   ,..., 1 (14)
Fungsi Barrier ini kemudian digunakan dalam kandidat fungsi Lyapunov Barrier i V [9,10]:
        ) ( ln 2 1 )) ( ( 2 2 2 t x x x t x V i i i i i (15)
Dengan  nilai i x berada  dalam  rentang ) , ( i i x x  ,  maka i V yang  didefinisikan  berdefinit positif  dan  memiliki  nilai  menuju  tak  hingga
  )) ( ( t x V i i seiring  dengan i x menuju batasnya i i x t x   ) ( .  Penggunaan  fungsi  Barrier  sebagai  kandidat  fungsi  Lyapunov ditunjukkan oleh lemma berikut. [11][12]
Lemma .
Diberikan suatu sistem dengan variabel keadaan i z ; z n i ,..., 1  . n T n R t z t z t z   )] ( ),..., ( [ ) ( 1 (16)
Untuk  sembarang  batasan  variabel  keadaan i z ; z n i ,..., 1  ,  didefinisikan  fungsi  Barrier
z  : } ,..., 1 ; ) ( : ) ( { z i i n z n i z t z R t z z      (17)
Dengan dinamika dari sistem dapat diturunkan:
) , ( ) ( z t f t z   ; n n R R R f    : (18)
Didefinisikan suatu kandidat fungsi Lyapunov : i V :
   R z z V i i i ) , ( : ;
z n i ,..., 1  (19)
berdefinit positif dan dapat diturunkan secara kontinyu  pada z  . Dirancang i V memiliki nilai  menuju  tak  hingga
  ) ( i i z V jika  nilai  variabel  keadaan  menuju  batasnya
i i z z   ,
z n i ,..., 1  .
Didefinisikan fungsi Lyapunov sistem V
   z n i i i t z V t z V 1 )) ( ( )) ( ( (20)
dengan kondisi awal variabel keadaan merupakan anggota fungsi Barrier z z   ) 0 ( . Jika,
0 )) ( (  t z V  (21)
dalam set z  ,  variabel keadaan  ada  pada  rentang batasnya
z t z   ) ( setiap waktunya ) , 0 [   t .
Pembuktian.
Bentuk definit positif fungsi Lyapunov V dan semi-definit negatif V  pada persamaan (20) dan  (21)  menunjukkan
)) ( ( t z V terbatas  pada  rentangnya  untuk  setiap  waktu
)) 0 ( ( )) ( ( z V t z V  ; ) , 0 [    t . Karena (20) adalah fungsi definit positif, maka  fungsi ini juga terbatas untuk setiap waktu
) , 0 [    t . Dari sifat fungsi barrier, yaitu i V memiliki nilai tak hingga   ) ( i i z V hanya jika variabel keadaan mencapai batasannya
i i z z  
, z n i ,..., 1  ,  dan  kondisi  awal  sistem  juga  berada  dalam  batasannya
z i z   ) 0 ( ,  maka variabel  keadaan  berada  dalam  batasannya  setiap  waktu z i t z   ) ( ; z n i ,..., 1  ; ) , 0 [  
 t .

## 3.4 Desain Kontrol Penjejak Dinding
Berikut  dijabarkan  penurunan  kontrol  penjejak  dinding  pada  kursi  roda  robotik  yang dirancang seperti digambarkan pada Gambar 3. Akan dibandingkan desain kontrol penjejak dinding  tanpa  batasan  orientasi  menggunakan  fungsi  Lyapunov  kuadratik  dan  dengan batasan orientasi menggunakan fungsi Lyapunov Barrier.
Gambar 3 Skema penjejak dinding
Dalam permasalahan kontrol penjejak dinding, kursi roda dirancang untuk bergerak dengan jarak d h dan  orientasi d  sejajar  terhadap  dinding  acuan  serta  tetap  mempertahankan kecepatan  liniernya.  Dengan  memberi  nilai  jarak  dan  sudut  orientasi  yang  diinginkan konstan  terhadap  dinding  acuan,  selisih  antara  jarak h e dan  sudut  e dari  kursi  roda dengan set point yang diinginkan adalah
d h h h e   (22) d e      (23)
Dinamika  dari h e dan  e dapat  diturunkan  dari  persamaan  kinematika  pergerakan  kursi roda sebagai berikut:
 e v h e h sin     (24)
       e (25)

## 3.4.1 Kontrol Tanpa Batasan Orientasi
Didefinisikan fungsi Lyapunov kuadratik berdefinit positif untuk merancang kontrol penjejak dinding sebagai berikut:
2 2 2 2  e e V h   (26)
Fungsi Lypunov yang telah didefinisikan kemudian dapat diturunkan dalam domain waktu sebagai berikut:
  e e e e V h h      (27)
Dengan mensubtitusikan persamaan (22) dan (23) kedalam turunun fungsi Lyapunov akan diperoleh:
   e e v e V h   sin  (28)
Selanjutnya dirancang masukan kontrol penjajak dinding yang diberikan pada kursi roda:
c v v  ; c v bernilai konstan (29)     e e v e e h sin    (30)
Dengan memberikan kontrol yang diinginkan, maka persamaan (17) akan menjadi:
2  e V    (31)
Teorema 1.
Perhatikan dinamika pada persamaan (24) dan (25). Dengan memberikan masukan kontrol (29)  dan  (30),  nilai h e dan  e akan  menuju  titik  kesetimbangan     0 , 0 ,   e e h sehingga dapat dinyatakan sistem stabil asimtotik.
Pembuktian.
Jika  e memiliki nilai tertentu, turunan dari fungsi Lyapunov V  pada persamaan (31) akan selalu  memberikan  nilai  negatif. V  adalah  fungsi  semi-definit  negatif 0  V  ,  sehingga mengacu pada Barbalat lemma maka  e akan menuju nol 0   e seiring waktu menuju tak  hingga
  t
.  Sistem  yang  telah  dirancang  pun  dapat  dinyatakan  stabil  asimtotik global.
Kini  dengan  memberikan  kontrol  penjejak  dinding  pada  persamaan  (18)  dan  (19),  lup tertutup dari sistem menjadi:
 e e h sin   (32)
    e e v e e e c h sin     (33)
Dengan  e akan menuju nol 0   e seiring waktu menuju tak hingga   t , h e akan menuju  nol 0  h e seiring  waktu  menuju  tak  hingga
  t
,  sehingga  kursi  roda  akan bergerak pada posisi sejajar terhadap dinding dengan jarak yang diinginkan.

## 3.4.2 Kontrol Dengan Batasan Orientasi
Untuk kontrol dengan batasan orientasi, sudut orientasi dari kursi roda  e dirancang agar tidak  mencapai  batas  maksimum  sudut  e untuk  memperoleh  bacaan  dari  sensor  jarak ultrasonik dan kondisi awal sudut orientasi
  0  e dirancang berada dalam rentang batas maksimum sudut.
  e e  (34)
    e e  0 (35)
Didefinisikan  fungsi  Lyapunov  Barrier  berdefinit  positif  untuk  merancang  kontrol  penjejak dinding dengan batasan orientasi sebagai berikut
           2 2 2 2 ln 2 1 2    e e e e V h B (36)
Fungsi  Lypunov  Barrier  yang  telah  didefinisikan  dapat  diturunkan  dalam  domain  waktu menjadi:
2
2     e e e e e e V h h B       (37)
Disubtitusikan persamaan (22) dan (23) kedalam turunun fungsi Lyapunov Barier sehingga diperoleh:
2 2 sin      e e e e v e V h B     (38)
Selanjutnya  dirancang  kontrol  penjajak  dinding  dengan  batasan  orientasi  yang  diberikan pada kursi roda sebagai berikut:
c v v  ; c v bernilai konstan (39)
            e e v e e e e e e h sin 2 2 2 2      (40)
Dengan memberikan kontrol yang diinginkan, maka persamaan (32) akan menjadi:
2  e V    (41)
Teorema 2.
Jika  sistem  yang  dirancang  memenuhi  persyaratan  kondisi  awal  (29)  maka  pada  setiap waktu ) , 0 [   t ,  maka  e tidak  akan  melebihi  batas  e yang  telah  didefinisikan  sesuai persamaan (28).
Selanjutnya  dengan  memberikan  masukan  kontrol  (39)  dan  (40)  kedalam  sistem  pada persamaan  (24)  dan  (25),  nilai h e dan  e akan  menuju  titik  kesetimbangan
    0 , 0 ,
  e e h sehingga dapat dinyatakan sistem stabil asimtotik.
Pembuktian.
Dengan  turunan  dari  fungsi  Lyapunov V  adalah  fungsi  semi-definit  negatif
0  V  untuk  e anggota  fungsi  Barrier  dibawah  nilai  batasnya  pada  persamaan  (34),  maka  fungsi
Lyapunov V terbatas  pada  rentangnya  untuk  setiap  waktu
)) 0 ( ( )) ( (   e V t e V  ;
) , 0 [  
 t . ■
Kemudian  bentuk  penurunan  yang  sama  dengan  sebelumnya,  jika  e memiliki  nilai tertentu,  turunan  dari  fungsi  Lyapunov V  pada  persamaan  (41)  akan  selalu  memberikan nilai  negatif. V  adalah  fungsi  semi-definit  negatif 0  V  ,  sehingga  mengacu  pada
J.Oto.Ktrl.Inst (J.Auto.Ctrl.Inst)
Barbalat  lemma  maka  e akan  menuju  nol 0   e seiring  waktu  menuju  tak  hingga   t . Sistem yang telah dirancang pun dapat dinyatakan stabil asimtotik.
Dengan  memberikan  kontrol  penjejak  dinding  pada  persamaan  (39)  dan  (40)  ke  dalam sistem (22) dan (23), lup tertutup dari sistem menjadi:
 e v e c h sin   (42)             e e v e e e e e e e c h sin 2 2 2 2       (43)
Dari persamaan (36) dan (37) terlihat bahwa dengan  e akan menuju nol 0   e seiring waktu menuju tak hingga   t dengan,
1 sin lim 0      e e e (44)
maka persamaan (43) hanya akan benar jika selisih h e menuju nol 0  h e seiring waktu menuju  tak  hingga
  t .  Dengan  demikian  akan  diperoleh  e dan h e menuju  nol
    0 , 0 ,
  e e h seiring waktu menuju tak hingga
  t .

## 4 Hasil Simulasi
Berikut  dilakukan  evaluasi  dari  hasil  simulasi  pada  MATLAB  untuk  membandingkan  hasil rancangan  pengontrol  penjejak  dinding  tanpa  batasan  orientasi  dengan  fungsi  Lyapunov kuadratik dan hasil rancangan pengontrol penjejak dinding dengan batasan orientasi sudut menggunakan fungsi Lyapunov Barrier.
Dalam simulasi yang dilakukan, ditetapkan kondisi awal ) 0 ( h e sebesar 3 m dan v sebesar 0.1  m/s.  Untuk batas  pembacaan  sensor  jarak  ultrasonik  ditetapkan  sebesar
4 /    e radian.  Nilai  e ini  diperoleh  dari  hasil  penelitian  yang  telah  dilakukan  sebelumnya  [6] dengan menggunakan rangkaian sensor jarak ultrasonik PING))) Parallax.
Respon h e dan  e kursi roda terhadap dinding acuan dengan keadaan awal ) 0 (  e sama dengan nol 0 ) 0 (   e ditunjukkan pada Gambar 4 dan Gambar 5. Kemudian untuk respon sistem dengan ) 0 (  e mendekati batas atas orientasi sudut
  e e  ) 0 ( bergerak menuju titik  nol  ditunjukan  pada  Gambar  6  dan  Gambar  7,  serta  respon  sistem  dengan ) 0 (  e mendekati batas bawah orientasi sudut   e e   ) 0 ( bergerak menuju titik nol ditunjukan pada Gambar 8 dan Gambar 9.
Gambar 4 Respon e θ dengan kondisi awal e θ =0, e θ1 Lyapunov kuadratik, e θ2 dengan Lyapunov barrier
Gambar 5 Respon e h dengan kondisi awal e θ =0, e h1 Lyapunov kuadratik, e h2 dengan Lyapunov barrier
Gambar 6 Respon e θ dengan kondisi awal e θ ≈ ē θ , e θ1 Lyapunov kuadratik, e θ2 dengan Lyapunov barrier
J.Oto.Ktrl.Inst (J.Auto.Ctrl.Inst)
Gambar 7 Respon e h dengan kondisi awal e θ ≈ ē θ , e h1 Lyapunov kuadratik, e h2 dengan Lyapunov barrier
Gambar 8 Respon e θ dengan kondisi awal e θ ≈ - ē θ , e θ1 Lyapunov kuadratik, e θ2 dengan Lyapunov barrier
Gambar 9 Respon e h dengan kondisi awal e θ ≈ - ē θ , e h1 Lyapunov kuadratik, e h2 dengan
Lyapunov barrier
Berdasarkan  hasil  simulasi  pada  Gambar  4  sampai  dengan  Gambar  9  memperlihatkan bahwa untuk ketiga kasus kondisi awal ) 0 (  e yang berbeda, respon  e pada pengontrol berbasis  Lyapunov  barrier  tidak  melewati  batasan  e yang  telah  ditetapkan,  sementara
respon  e pada  engontrol  berbasis  Lyapunov  kuadratik  pada  ketiga  kasus  ini  melewati batasan  e yang ditetapkan.
Pada hasil simulasi ini juga dapat terlihat kestabilan asimtotik sistem, dengan nilai h e dan  e dari  kedua  pengontrol  menuju  titik setimbang     0 , 0 ,   e e h seiring  waktu  menuju tak hingga   t
.
Beda respon  e pada kedua pengontrol berdampak pada profil respon h e . Pada Gambar 7 dan  Gambar  9  terlihat  terjadi overshoot pada  respon h e ,  menandakan  besar  simpangan perlu  diperhatikan  dengan  mempertimbangkan  batasan  fisis h baik  diakibatkan keterbatasan sensor jarak ultrasonik, maupun besarnya d h yang ditetapkan. Berikut dapat diliihat  pada  Gambar  10  merupakan  respon h e terhadap x pada  pengontrol  penjejak dinding berbasis Lyapunov Barrier.
Gambar 10 Simulasi kursi roda robotic dengan kondisi awal θ=0

## 5 Kesimpulan
Makalah  ini  menyajikan  penurunan  model  kursi  roda  robotik  untuk  kasus  pengontrolan penjajak  dinding  dengan  mempertimbangkan  batasan  orientasi  sudut  dari  sensor  jarak ultrasonik  terhadap  dinding  acuan.  Pengontrol  dengan  batasan  orientasi  sudut  yang dirancang  berbasis  pada  fungsi  Lyapunov  Barrier.  Kestabilan  asimtotik  sistem  dengan pengontrol dan perbandingan hasil simulasi dari respon sistem dengan pengontrol penjajak dinding umum berbasis fungsi Lyapunov kuadratik yang dirancang memperlihatkan bahwa pengontrol  penjejak  dinding  berbasis  fungsi  Lyapunov  Barrier  dapat  menjaga  orientasi sudut tidak akan melanggar batasannya.

## 6 Daftar Pustaka
[1] M.W. Spong, S. Hutchinson, M. Vidyasagar, “Robot modelling and control,” 1 st ed., John Wiley & Sons, 2006, pp. 23.
[2] Y.-S.  Xu,  and  S.K.-W  Au,  “Stabilization  and  path  following  of  a  single  wheel  robot,” IEEE/ASME Transaction on Mechatronics, Vol.9, No.2, June 2004, pp. 407-419.
[3] C.B.  Low  and  D.-W.  Wang,  “GPS-based  path  following  control  for  a  car-like  wheeled mobile  robot  with  skidding  and  slipping,”  IEEE  Transactions  on  Control  System Technology, Vol.16, No.2, March 2008, pp. 340-347.
[4] Y.-L. Chen, J. Cheng, C. Lin, X.-Y Wu, Y.-S. Ou, Y.-S. Xu, “Classification-based learning by particle swarm optimization  for wall-following robot navigation,” Neuro-computing, Vol. 113, 2013, pp. 27-35.
[5] A.A.  Pyrkin,  A.A.  Bobtsov,  S.A.  Kolyubin,  M.V.  Faronov,  O.I.  Borisov,  V.S.  Gromov,  S.M. Vlasov,  N.A.  Nikolaev,  “Simple  robust  and  adaptive  tracking  control  for  mobile  robot,” International Federation of Automatic Control, 2015.
[6] Gunachandra, S. Chrisander, A. Widyotriatmo dan Suprijanto, “Wall following control for the application of a brain-controlled wheelchair,” International Conference on Intelligent Autonomous Agents, Network and Systems, August 2014, pp. 36-41.
[7] A.  Widyotriatmo,  Suprijanto,  and  S.  Andronicus,  “A  collaborative  control  of  brain computer interface and robotic wheelchair,” 10 th Asian Control Conference, pp. 24-29
[8] A.Widyotriatmo and K.-S. Hong, “Configuration control of an autonomous vehicle under nonholonomic  and  field  of  view  constraints,”  International  Journal  of  Imaging  and Robotics, Vol. 15, No. 3, 2015, pp. 126-139
[9] A.Widyotriatmo and K.-S. Hong. “Asymtotic stabilization of nonLinear systems with state constraints,” International Journal of Applied Mathematics and Statistics, Vol. 53, No. 3, 2015.
[10] Ngo,K. B., Mahony, R.,Jiang, Z. P., “Integrator backstepping functions for systems with multiple state constraints,” IEEE Conf. Decision Control, Vol. 44, 2005, pp. 8306-8312.
[11] Tee,  K.  P.,  Ge,  S.  S.,  Tay,  E.  H.,  “Barrie  Lyapunov  functions  for  the  control  of  output- constrained nonlinear systems,” Automatica, Vol. 45, 2009, pp. 918-927.
[12] Do,  K.,  “Control  of  nonlinear  systems  with  output  tracking  error  constraints  and  its application to magnetic bearings,” Int. J. Control, Vol. 83, 2010, pp. 1999-1216.