## Karakterisasi Modul Dedekind yang Dibangun Secara  Hingga Melalui Order Modul
La Ode Sirad Universitas Sembilanbelas November Kolaka email:  laodesirad.usnkolaka@gmail.com
Abstrak
Misalkan merupakan  gelanggang  komutatif  dengan  unsur  satuan  dan ! merupakan  himpunan  multiplikatif  dari  semua  unsur  regular .  Gelanggang  hasil  bagi dari ,  yaitu ! "# ,  senantiasa  dapat dikonstruksi  sehingga dapat  dilakukan  penyisipan ke dalam ! "# . Salah satu kaitan antara gelanggang dan modul adalah melalui order modul $(%) .  Order  modul  dapat  dipandang  sebagai  gelanggang  komutatif.  Lebih  jauh, order  modul  merupakan  subgelanggang  dari  gelanggang  hasil  bagi.  Gelanggang  yang setiap  ideal  tak-nolnya  dapat  dibalik  disebut  gelanggang  Dedekind.  Konsep  ideal  yang dapat  dibalik  diperumum  ke  dalam  teori  modul.  Pada  teori  modul,  telah  dikembangkan konsep  submodul  yang  dapat  dibalik.  Dengan  demikian  pengertian  modul  Dedekind dapat  dibangun.  Pada  pengkajian  keterkaitan  antara  struktur  dari % suatu  modul- dengan  modul- $(%) ,  ditemukan  bahwa  sifat-sifat  pada  modul- juga  mempengaruhi sifat-sifat  pada  modul- $(%) .  Modul- $(%) merupakan  modul  Dedekind,  order  modul merupakan  gelanggang  Dedekind  dan  order  modul  adalah  tertutup  secara  integral  jika % merupakan  modul- Dedekind  yang  dibangun  secara  hingga.  Hasil  utama  dalam penelitian  ini  membahas  karakterisasi  modul  Dedekind  yang  dibangun  secara  hingga terkait dengan sifat order modul.
Kata kunci : modul Dedekind, order modul, submodul yang dapat dibalik.

## 1. PENDAHULUAN
Dalam bidang Aljabar, dikenal suatu sistem matematika yaitu modul. Modul yang bersifat Dedekind  disebut  modul  Dedekind.  Pembahasan  mengenai  modul  tidak  terlepas  dari struktur grup dan gelanggang. Pembahasan konsep daerah Dedekind ke dalam area modul telah diperkenalkan oleh Naoum dan Al-Alwan dalam Garminia (2008). Konsep tersebut membuka jalan untuk penelaahan sifat-sifat yang berkaitan dengan modul Dedekind atas gelanggang komutatif.
Suatu disebut gelanggang Dedekind jika gelanggang dan setiap ideal tak-nol
& dari dapat  dibalik.  Konsep  inilah  yang  menurut Naoum  dan  Al-Alwan yang diperumum  menjadi  submodul  yang  dapat  dibalik.  Suatu  submodul  tak-nol ' dari % dapat  dibalik  jika ' * ' = % dengan '+ merupakan  subhimpunan  dari  gelanggang  hasil bagi !+ .    Jika  setiap  submodul  tak-nol ' dapat  dibalik  dari % modul  tak-nol  maka dikatakan % modul Dedekind.
Salah  satu  kaitan  antara  modul  Dedekind  dengan  gelanggang  adalah  melalui konsep order modul. Misalkan % modul- , order dari % di gelanggang hasil bagi ! "# didefinisikan dengan himpunan $(%) = {, -  ! "# .|.,%. / %} . Oleh karena itu peneliti tertarik  mengkaji  karakteristik  modul  Dedekind  yang  dibangun  secara  hingga  melalui order modul.
Tujuan  dari  penelitian  adalah  menentukan  hubungan  antara  modul  Dedekind yang  dibangun  secara  hingga  dengan  sifat-sifat  yang  terkait  dengan  order  modul  dan menentukan  syarat  perlu  dan  cukup  dari  modul  Dedekind  yang  dibangun  secara  hingga melalui order modul.

## 2. ORDER MODUL DAN MODUL DEDEKIND
Berikut adalah definisi tentang order modul beserta akibatnya dan definisi modul Dedekind serta kaitannya dengan modul hasil bagi.

## 2.1  Order Modul
Secara sederhana, order modul adalah suatu gelanggang yang memenuhi kriteria tertentu.  Untuk  pendefinisian  order  modul  diperlukan  pengertian  gelanggang  hasil  bagi. Misalkan merupakan  gelanggang  komutatif, ! merupakan  himpunan  bagian multiplikatif dari . Telah diketahui bahwa dapat disisipkan ke dalam gelanggang hasil bagi yaitu ! "# = 0 1 2 .|.3. -  4 5 - !}6 .
Definisi 2.1.1 Misalkan % adalah modul- , order dari % di ! "# didefinisikan sebagai
$(%) = {, -  ! "# .|.,%. / %} . Himpunan dari $(%) merupakan Order Modul .
Akibat dari pendefinisian diatas diperoleh sifat-sifat order modul sebagai berikut. 1. Order  modul (!) merupakan  suatu  gelanggang  bagian  dari "# $% dengan " & (!) . Bukti :
(a) (!) ' *
(b) (!) & "# $% berdasarkan definisi.
(c) Ambil  sebarang + , (- . /)! & ! ,  maka + = (- . /)01 20 , ! .  Karena -! & !1 /! & ! ,  maka + = (- . /)0 = -0 . /0 , ! .  Sehingga (./)! & ! . Jadi - . / ,  (!) .
(d) Ambil  sebarang 3 , (-/)! & ! ,  maka 3 = (-/)01 240 , ! .  Karena "# $% tertutup  terhadap  operasi  perkalian  maka -/ , "# $% .  Maka 3 = (-/)0 , !
, sehingga (-/)! & ! . Sehingga -/ ,  (!) . Jadi (!) merupakan suatu gelanggang.
5
2. Modul ! merupakan modul- (!) . Bukti : Definisikan :
(!) × ! 6 ! dengan (71 0) = 701 27 ,  (!) dan 0 , ! . Diketahui (!1 8) merupakan grup. Maka akan ditunjukkan sifat aksi skalar terhadap modul. (a) Ambil 7 ,  (!) dan 01 9 , ! . Akan ditunjukkan (0 8 9)7 = 07 8 97 .
(0 8 9)7 = (0 8 9)(:; $% ) = <(0 8 9):>; $% = 0:; $% 8 9:; $% = 07 8 97 . (b) Ambil 71 ? ,  (!) dan 0 , ! . Akan ditunjukkan 0(7 8 ?) = 07 8 0? .
0(7 8 ?) = (0)(: % ; % $% 8 : @ ; @ $% ) = 0(: % ; @ 8 : @ ; % )(; % ; @ ) $% = 0: % ; % 8 0: @ ; @
= 07 8 0?
(c) Ambil 71 ? ,  (!) dan 0 , ! . Akan ditunjukkan 0(7?) = (07)? . 0(7?) = (0)(A(: % ; % $% )(: @ ; @ $% )B = (0(: % : @ )(; @ ; % ) $% = (0: % ; % $% )(: @ ; @ $% ) = (07)?
(d) Ambil 0 , ! . Akan ditunjukkan 0 C D E(F) = 0 .
0 C D E(F) = 0(DGD $% ) = (0 C D)D $% = 0 C D $% = 0 . Jadi ! merupakan modul- (!)
5
2.2. Modul Hasil Bagi dan Modul Dedekind
Misalkan H(-) suatu  polinom  dan "[-] merupakan  gelanggang  polinom,  unsur H(-) , "[-] dikatakan  polinom  monik  bila  koefisien - dengan  pangkat  tertingginya adalah  1.  Misalkan " dan I gelanggang  dengan " subgelanggang  dari I .  Unsur J , I dikatakan  integral  atas " jika  terdapat  polinom  monik H(-) , "[-] sehingga H(J) = K . Gelanggang " dikatakan tertutup secara  integral di I jika untuk setiap unsur J , I yang integral atas " berlaku J , " .
Contoh  :  Gelanggang  bilangan  bulat L tertutup  secara  integral  pada  gelanggang bilangan  rasional M . Misalkan N O , M yang integral atas L dengan (J1 ;) = D , ada H(-) = P Q R - S , L[-] T H A N O B = K U SVW .  Dari  sini  diperoleh K = H A N O B = P Q S A N O B S U SVW 1 akibatnya A N O B U = .(P Q S A N O B S U$% SVW atau J U = .(P Q S A N O B S U$% SVW ; U atau J U = . P Q S J S ; U$%$S );
U$% SVW
. Sehingga ;4|4J U akibatnya ;4|4J . Karena (J1 ;) = D . Jadi ; adalah unit.  Akibatnya N O , L . Jadi L tertutup secara integral di M . 5
Misalkan " suatu daerah integral dengan gelanggang hasil bagi "# $% dan X ideal dari " . Definisikan  himpunan X $% = {- , "# $% 4|4-X4 & "} ,  dengan  himpunan X $% merupakan submodul- " dari "# $% dengn " & X $% dan X $% X = {P 3 S Q S 4, " Y 3 S , X $% 1 Q S , X U SV% } ideal dari " dengan X & X $% X . Suatu " daerah  integarl  dengan  setiap  ideal  tak-nol  dari " mempunyai  balikan  disebut daerah Dedekind . Sebagai contoh, daerah integral L dengan lapangan hasil bagi M adalah daerah  Dedekind.  Contoh  lain  daerah  Dedekind  adalah  daerah  ideal  utama  tak-nol "Q adalah  ideal  yang  dapat  dibalik.  Konsep  ideal  yang  dapat  dibalik  kemudian  diperumum menjadi  submodul  yang  dapat  dibalik.  Sebelum  diuraikan  definisi  submodul  yang  dapat dibalik, terlebih dahulu diberikan suatu teorema berkaitan dengan gelanggang hasil bagi.
Teorema 2.2.1 Misalkan ! adalah  suatu  modul- " dan Z adalah  suatu  submodul- " tak-nol  dari ! .  Himpunan Z \ ^ {- , "# $% 4|4-Z & !} adalah  suatu  modul- " dengan " & Z_ dan Z_Z & ! . Bukti:
1. Jelas Z_ ' *
2. Berdasarkan definisi Z \ & "# $%
3. Tertutup terhadap operasi penjumlahan yaitu - . / , Z_
Ambil sebarang , ! " #$ . " #$ yaitu = % & ' & ( " )* +& , -% & " ), ' & " * ,  dengan # . / . ! " # ( maka ! = % 0 ' 0 ( " )* +& , -% 0 " ), ' 0 " * ,  dengan # . / .  Perhatikan  bahwa 1% & ' 0 2 % 2 ' 1 ") , ' 1 ' 2 "* .  Sehingga 2! = % 1 ' 1 2 1 2% 2 ' 2 2 1= % 1 ' 2 2% 2 ' 1 ' 1 ' 2 ")*2 1.
Akan  ditunjukkan 1  2 !3# . / ,  maka 4 = 1  2 !35, -65 " # .  Karena # . /, !# . / , maka 4 = 1  2 !35 =  5 2 !5 " / . Sehingga 1  2 !3# . / . Jadi 2 ! " #$ .
4. Untuk setiap " #$ dan 7 " ) . Akan ditunjukkan 7  " #$ . " #$ yaitu = % & ' & ( " )* +& , -% & " ), ' & " * , dengan # . / . Maka 7  = 71%' +& 3 = 17%3' +& " )* +& .  Akan  ditunjukkan 17 3# . / .  Ambil sebarang 8 " 17 3# maka 8 = 17 35, -5 " # . Karena 7# . / dan # modul bagian dari / , maka 8 = 17 35 = 71 53 " / sehingga 17 3# . / . Jadi 7  " #$ . Jadi #$ adalah modul atas )* +& , dengan ) . #$ dan #$# . / jelas berdasarkan definisi dari # ’. 9
Hal ini memotivasi untuk mendefinisikan submodul yang dapat dibalik sebagai berikut. Definisi 2.2 Misalkan / adalah  suatu  modul- ) dan # adalah  submodul- ) taknol  dari / . Himpunan # ( : {  " )* +& 6|6 # . /} dikatakan submodul yang mempunyai balikan di / jika # ( # = / .
Dari  teorema  2.2.1  dan  definisi  2.2  maka  dapat  didefinisikan  suatu  modul  yang menjadi kajian utama dalam penelitian ini yaitu modul Dedekind.
Definisi 2.3 Suatu / modul- ) tak-nol  adalah  dikatakan modul  Dedekind jika  setiap submodul tak-nol dari / adalah mempunyai balikan.
Contoh : Bilangan rasional ; merupakan suatu modul- < Dedekind. Misalkan < merupakan  gelanggang  bilangan  bulat  dan  misalkan > ? 5 " < .  Tetapkan @ = 5< . Karena himpunan A pembagi tanpa-nol dari < adalah < 2 {>} ’ * = *@ +& = {B " < 2 {>}|B5 = >, C 5 = >} Sehingga 15<3 ( = @ ( = {  " ;6|6 15;3 . <} ,  dengan ; adalah  lapangan  dari  bilangan rasional. Jelas bahwa @ ( = @ +& . Perhatikan bahwa @ adalah suatu ideal yang dapat dibalik di < ,  oleh  karena  itu @ +& = @ ( @ = < ,  yaitu,  ideal @ adalah  juga  dapat  dibalik  sebagai submodul- < .  Ambil D = E< sebagai  suatu  submodul- < dari F< modul- < .  Sehingga D ( = {  " ;6|6 1E<3 . F<} .  Misalkan D ( = GHF< ,  maka D ( D = 1GHF<31E<3 = F< ,  yaitu, E< adalah suatu submodul yang dapat dibalik di F< . 9
Gelanggang  hasil  bagi  dapat  diperumum  menjadi  modul  hasil  bagi.  Jika / merupakan modul- ) Dedekind, maka /* +& = {[I, B]6|6I " /, B " *} merupakan suatu modul- )* +& Dedekind,  dan /* +& merupakan  modul  sederhana  atas  gelanggang  hasil bagi )* +& .
Proposisi 2.2.1 Misalkan modul- ! Dedekind  dan " = {# $ %&|#' = 0, ( ' = 0} adalah himpunan  bagian  multiplikatif.  Modul  hasil  bagi " )* merupakan  modul- !" )* sederhana.
Bukti : Misalkan 0 + - merupakan modul bagian dari " )* . Sehingga - = ." )* untuk suatu . submodul  dari .  Misalkan '/1 $  " )* untuk  suatu ' $  , 1 $ " .  Karena  untuk setiap 2 $ . , submodul !2 adalah submodul yang dapat dibalik maka terdapat # $ " dan 3 $ ! 4 #' = 32 .  Akibatnya '/1 $ ." )* .  Maka - = ." )* =  " )* .  Jadi " )* adalah modul- !" )* sederhana.
5
Karena " )* adalah modul- !" )* sederhana, akibatnya merupakan modul- ! sederhana sehingga memiliki rank 6 7 = 8 .

## 3. Struktur Modul Dedekind atas Order Modul
Beberapa jenis modul yang terkait dengan pembahasan modul pada penelitian ini akan  disajikan  pada  bagian  ini.  Jenis  modul  yang  dimaksud  adalah  jenis  modul  yang dibangun secara hingga dan modul bebas-torsi.
Misalkan ! merupakan  gelanggang  dan suatu  modul- ! .  Suatu  himpunan % = {9 * , 9 : , ; , 9 < } dikatakan membangun , jika >' $ , maka dapat ditulis dalam bentuk ' = ? 3 @ 9 @ = 3 * 9 * A 3 : 9 : A&; A 3 < 9 < < @B* dengan 3 * , 3 : , ; , 3 < $ ! .  Modul dikatakan dibangun  secara  hingga jika  terdapat {' @ $  &|&8 C D C 2} dan >'& $   4 ' = ? ' @ 3 @ < @B< dengan 3 @ $ ! .
Sesuai  definisi  modul,  suatu  gelanggang  dengan  unsur  satuan  dapat  dipandang sebagai  modul  atas  dirinya  sendiri.  Diperhatikan  pada  kasus  ketika  gelanggang  tersebut memuat  unsur  pembagi  nol.  Ingat  kembali  bahwa  unsur  pembagi  nol  pada  suatu gelanggang  adalah  jika  untuk  setiap 0 + E $ !& terapat F $ ! 4 EF = 0 .  Hal  ini  yang mendasari sehingga didefinisikan modul bebas torsi.
Misalkan merupakan  modul- ! ,  dikatakan ' $ unsur  torsi  jika  terdapat 3 $ !\{0 G } sehingga 3' = 0 H .  Misalkan modul- ! ,  modul dikatakan bebas  torsi jika >&0 + ' $ dan 0 + 3 $ !& 4 3' + 0 .  Dengan  kata  lain,  suatu  modul  yang  tidak memiliki unsur torsi tak-nol adalah dikatakan modul bebas torsi .
3.1 Keterkaitan Struktur Modul- ! dengan Modul- I6 7
Misalkan !& gelanggang  komutatif  dengan  unsur  satuan  dan modul- ! yang dibangun  secara  hingga.  Perhatikan  bahwa I6 7 merupakan  gelanggang  komutatif  dan tidak  memuat  pembagi  nol.  Kaitan  antara modul- ! Dedekind  yang  dibangun  secara hingga dengan modul- I6 7 disajikan dalam lemma berikut.
Lemma 3.1.1 Misalkan adalah  modul- ! yang  dibangun  secara  hingga  dan merupakan modul- ! Dedekind maka adalah suatu modul- I6 7 bebas torsi yang dibangun secara hingga.
Bukti: Misalkan pembangun dari modul- ! , himpunan {' * , ' : , ; , ' J } dengan K $ L . Untuk setiap ' $ dapat dituliskan sebagai
' = M 1 @ ' @ J @B*
dengan 1 @ $ ! N I6 7 .
Jadi merupakan modul- I6 7 yang dibangun secara hingga. Karena I6 7 merupakan gelanggang yang tidak memuat pembagi nol, maka >1 @ $ I6 7 dan ' @ $ , yaitu 1 @ ' @ + 0 , dengan 1 @ + 0 dan ' @ + 0 . Jadi merupakan modul- I6 7 bebas-torsi yang dibangun secara hingga.
5
Jika diberikan ! adalah gelanggang komutatif dengan unsur satuan dan modul- ! Dedekind yang dibangun secara hingga. Sifat berikut ini akan menjelaskan bagaimana sifat-sifat dari I6 7 order modul.
Lemma 3.1.2 Misalkan dibangun  secara  hingga  dan modul- ! Dedekind.  Modul merupakan  modul- I6 7 Dedekind  dan  gelanggang I6 7 merupakan  daerah  Dedekind. Lebih lanjut I6 7 adalah tertutup secara integral di !" )* .
Bukti: Misalkan . + 0 submodul  dari modul- I6 7 .  Karena ! O I6 7 sehingga . + 0 submodul dari modul- sehingga . P . = . Sehingga modul adalah suatu modul- I6 7 Dedekind.
Misalkan Q sebarang  idel  tak-nol  dari I6 7 . 6Q 7 P = {R $ -&|&RQ& O I6 7} , merupakan invers dari Q pada I6 7 . Oleh karena itu, Q )* Q  = sebagai modul- I6 7 . Karena modul- I6 7 adalah dibangun secara hingga, maka Q )* Q = I6 7 . Jadi setiap ideal  tak-nol  dari I6 7 adalah  dapat  dibalik.  Akibtanya I6 7 adalah  suatu  daerah Dedekind.  Misalkan merupakan  modul- ! yang  dibangun  secara  hingga,  berdasarkan Lema  3.1.1,  modul merupakan  modul- I6 7 yang  dibangun  secara  hingga.  Jika adalah  modul- ! Dedekind,  maka I6 7 adalah  daerah  Dedekind  dan  akibatnya
I6 7
adalah tertutup secara integral.
5

## 3.2 Submodul Prima dan Submodul Maksimal.
Definisi 3.2.1 Jika merupakan  modul- ! dan . submodul  dari .  Submodul . dikatakan submodul- ! prima dari ,  jika 3' $ . dan >3 $ !, ' $ maka ' $ . atau 3 $
6. S  7 dengan 6. S  7 = {3 $ !&|&3  O .} .
Jika .& merupakan submodul prima, maka 6. S  7 merupakan ideal prima dari ! . Misalkan merupakan modul- ! , suatu annihilator dari modul yang didefinisikan dengan E22 G 6 7 =&{3 $ !&|&3' = 0 H , >' $  } .  Berdasarkan  definisi  diatas,  khususnya  jika 60 S  7 maka  dikatakan  annihilator  dari dan  dinotasikan  dengan E226 7 .  Jika
.& adalah submodul prima dari maka annihilator 6. S  7 dari modul /. adalah ideal prima  dari ! .  Contoh,  submodul TL di  modul- L dengan T merupakan  bilangan  prima tertentu merupakan submodul prima.
Karakterisasi  dari  submodul  prima  dari modul  Dedekind  dinyatakan  dalama Lemma berikut ini, khususnya jika submodul dari merupakan submodul nol.
Lemma 3.2.1
Misalkan . merupakan  submodul  dari modul  Dedekind.  Maka . = 0 jika dan hanya jika 6. S  7 = 0 . Bukti: 6(7 Jika . = 0 ,  maka  berdasarkan  definisi
3  O . = 0 yaitu 3  O 0 .  Karena .
submodul dari , maka 0 = 30 $ 3 , sehingga 0 O 3 . Jadi 6. S  7 = 0 . 6U7 Jika 6. S  7 = 0 yaitu 6. S  7 = {3 $ !&|&3  O .} = 0 .  Misalkan . + 0 submodul dari . Pilih 0 + 2 $ . . Misalkan = !' @ , untuk suatu ' @ $ dan untuk setiap D = 8, ; , K .  Akan  ditunjukkan 3 @ ' @ $ . .  Dari  Proposisi  2.2.1  diperoleh rank 6 7 = 8 ,  sehingga  untuk  setiap D = 8, ; , K terdapat # @ $ " O !, 3 @ $ ! 4 # @ 2 @ = 3 @ ' @ $ . . Berdasarkan definisi diperoleh 0 + 3 * ; 3 J $ 6. S  7 yaitu suatu kontradiksi. Jadi jika . = 0 , maka 0 $ 6. S  7 .
5
Definisi 3.2 Suatu modul- ! ,  submodul . dikatakan submodul  maksimal dari jika . + dan untuk setiap submodul V , jika . O V O maka V = . atau V = .
Dari  dua  definisi  diatas,  maka  setiap  submodul  maksimal  merupakan  submodul prima seperti yang dinyatakan dalam proposisi berikut ini.
Proposisi 3.2.1 Misalkan ! merupakan  gelanggang  dan adalah  modul- ! .  Untuk  setiap submodul maksimal dari adalah submodul prima.
Bukti : Misalkan . merupakan submodul maksimal. Asumsi bahwa
E $ ! dan 9 $ 4 E!W 9 O
. .  Misalkan  bahwa 9 X . ,  maka 0 + 9 A . $  /. ,  yang  berarti 9 A . adalah  siklik untuk  modul  ini.  Akibatnya,  untuk  setiap Y $ terdapat F $ !& 4 Y A . = FW 69 A .7 . Sehingga  diperoleh Y Z FW 9 $ . dan  oleh  karena  itu  a W Y Z EFW 9 $ . .  Berdasarkan
asumsi  bahw . adalah  submodul  maksimal,  maka EFW 9 $ . sehingga EW Y $ . . akibatnya E $ 6. S  7 . Jadi . merupakan submdul prima.
5 Lemma 3.2.2 Misalkan dibangun  secara  hingga  dan modul  Dedekind  sebagai  suatu
modul- ! dan  misalkan . suatu  submodul- ! dari sedemikian  hingga /. adalah modul- ! bebas torsi. Sehingga . = 0 atau . = .
Bukti : Berdasarkan  Lemma  3.2.1,  jika . + 0 submodul  dari maka 0 + 3 * ; 3 J $ 6. S  7 . Akan  ditunjukkan  bahwa 0 + 3 $ Q226 /.7 .  Misalkan 3 $ 6. S  7 ,  yang  berarti 3  O . .  Misalkan ' A . $  /. sebarang,  untuk  suatu ' $ . .  Karena /. bebas torsi,  sehingga  terdapat
0 + 3 $ ! 4 36  A .7 = 3' A . .  Karena 3' $ . maka 36' A .7 = 3' A . = 0 A . .  Jadi 3 $ Q226 /.7 .  Dengan  demikian 0 $  /. yang berarti = . .
5
Misalkan merupakan modul- ! dan . submodul prima dari modul- ! , maka submodul . merupakan  submodul  maksimal  dari .  Ini  akan  diperumum  jika merupakan  modul- ! Dedekind  yang  dibangun  secara  hingga,  sehingga  diperoleh merupakan modul- I6 7 yang dibangun secara hingga.
Lemma 3.2.3 Misalkan dibangun secara hingga dan Dedekind sebagai suatu modul- ! . Untuk setiap submodul prima tak-nol dari modul- I6 7 merupakan submodul maksimal.
Bukti : Misalkan . merupakan  submodul  prima  tak-nol  dari modul- I6 7 .  Misalkan V = 6.[ ]6H7 7 .  Ideal V adalah  ideal  maksimal  dari I6 7 .  Jika V = 0 ,  maka /. adalah modul- I6 7 bebas torsi sehingga /. juga modul- ! bebas torsi dan . = 0 berdasarkan Lemma  3.2.2,  yaitu  suatu  kontradiksi.  Jadi V + 0 .  Berdasarkan  Lemma  3.1.2, V adalah ideal maksimal. Sehingga
V  O .
. P 6V 7 O . P . = .^6V 7 O V O .^V O I6 7
Andaikan . P V = V . Berdasarkan Lemma 3.2.2, ideal V merupakan modul- I6 7 yang  dibangun  secara  hingga.  Karena I6 7 adalah  tertutup  secara  integral,  maka . P = I6 7 sehingga = . P . = &I6 7. = . .  Jadi, = . ,  yaitu  kontradiksi. Akibatnya . P V = I6 7 .  Maka . = I6 7. = V6.^.7 = V .  Jadi . adalah  submodul maksimal dari modul- I6 7 .
5

## 3.3 Keterkaitan Order Modul dan Modul  Dedekind
Sifat  suatu  modul  dapat  dikaitkan  dengan  dengan  gelanggang  tumpuannya, sebaliknya gelanggang tumpuannya dapat dikaitkan dengan suatu modul. Hal ini pulalah yang  dilakukan  dalam  penelitian  ini  yaitu  mengkarakterisasi  modul  Dedekind  yang
dibangun secara hingga melalui order modul. Teorema berikut memberikan karakterisasi penting  modul  Dedekind  dan  juga  akan  dibutuhkan  dalam  membuktikan  teorema  utama dalam penelitian ini.
Teorema 3.3.1 Misalkan  setiap  submodul  prima  tak-nol  dari modul  adalah  mempunyai balikan, maka modul merupakan modul Dedekind.
Bukti: Andaikan bahwa bukan modul Dedekind. Definisikan _ = {. C  &|&. + 0&&`E2&#D`EK&'a'Tb2YED&FEcDKE2}
Asumsikan _ + d . Misalkan . e 6f $ g7 merupakan rantai dari unsur-unsur _ . Misalkan . = h . e e$i adalah  submodul  tak-nol  dari .  Submodul . $ _ dan  berdasarkan  lema Zorn’s memiliki suatu unsur maksimal. Misalkan merupakan unsur maksimal untuk ! yang dibangun secara hingga. Akan ditunjukkan bahwa adalah submodul prima dari ! . Jika  tidak,  maka  terdapat " # $, % # ! dengan "% # dan % & .  Definisikan ' = + $% .  Karena % & maka ' & ( .  Sehingga ' adalah  submodul  yang  dapat  dibalik dari ! .  Karena ' =   + $% submodul  yang  dapat  dibalik  di ! maka  terdapat ) submodul  dari *! sedemikian  hingga )-  + $%. = ! .  Lebih  lanjut, / )  / ! sehingga )  = atau ) adalah  submodul  yang  dapat  dibalik  dari ! .  Jika ) adalah submodul  yang  dapat  dibalik  dan ) submodul  dari $0 12 ,  maka adalah  dapat  dibalik, yaitu suatu kontradiksi bahwa # ( . Maka haruslah )  = .
)  + )% =   + )% )  + )$% = )  + )% =   + )% )-  + $%. = )  + )$% = )  + )% =   + )% ! = )-  + $%. = )  + )$% = )  + )% =   + )%
Jadi, ! =   + )% sehingga "! = "-  + )%. =  " + )$% /  " + )  =  " +   = Jadi, "! / . Akibatnya submodul prima dari ! , yang kontradiksi. Jadi, haruslah ! modul Dedekind.
3
Pada  konsep  order  modul,  struktur  order  modul  dilakukan  melalui  modul  yang dibangun  secara  hingga.  Sejalan  dengan  hal  tersebut,  sifat  submodul  prima  yang mempunyai  balikan  dari  suatu  modul  akan  dikembangkan  untuk  sebarang  submodul- submodul dari modul atas order modul sehingga diperoleh teorema berikut ini.
Teorema 3.3.2 Jika ! adalah dibangun secara hingga sebagai modul- $ . Modul ! adalah modul- $ Dedekind jika dan hanya jika:
1. Submodul-submodul prima dari ! modul- 4-!. adalah maksimal.
2. 4-!. adalah Daerah Dedekind.
Bukti: -5. Berdasarkan Lema 3.1.2 maka diperoleh (2). Berdasarkan Lema 3.2.3, maka diperoleh (1). -6.
Misalkan 7 8 9 submodul prima dari ! modul- 4-!. . Berdasarkan 1, 7 adalah submodul  maksimal  dari ! .  Sehingga  terdapat  ideal  maksimal dari 4-!. sedemikian sehingga ! / 7 .  Karena ! adalah  submodul  prima  dari ! modul- 4-!. ,  sehingga berdasarkan 1, submodul !* merupakan submodul maksimal. Jadi 7 =  ! . Karena : = {; # $0 12 *|*;  / 4-!.} dengan : / 7< . Akibatnya, berdasarkan 2, <  = 4-!. 4-!.! = - < .!
! = 4-!.! = : - !. / 7<7 / !
Jadi, 7<7 = ! . Jadi 7 adalah mempunyai balikan dari ! . Berdasarkan teorema 3.3.1, maka ! modul- 4-!. adalah modul Dedekind. Misalkan > sebarang submodul dari ! modul- $ . Maka > : = {; # $0 12 *|*;> / !} = {; # $0 12 *|;-4-!..> / !} Sehingga 4-!.>< / >< dan -4-!.><.> / ><> ><-4-!.>. = -4-!.><.> / ><> ! = > : -4-!.>. = -4-!.><.> / ><>
Jadi > mempunyai balikan di ! . Jadi ! adalah modul- $ Dedekind. 3

## 4. KESIMPULAN
Dalam penelitian ini membahas sifat-sifat modul Dedekind yang dibangun secara hingga  atas  order  modul.    Misalkan ! adalah    modul- $ Dedekind  yang  dibangun secara  hingga  maka ! adalah  suatu   modul- 4-!. bebas  torsi yang  dibangun   secara hingga.    Lebih  lanjut, ! merupakan    modul- 4-!. Dedekind,    gelanggang 4-!. merupakan    daerah    atau    gelanggang  Dedekind    dan  gelanggang 4-!. adalah tertutup  secara  integral. Pengkajian   yang  telah  dilakukan  menunjukkan  bahwa  suatu modul  Dedekind yang  dibangun   secara  hingga  atas   order  modul  merupakan   modul Dedekind atas   gelanggang $ jika  dan   hanya   jika  submodul-submodul   prima   dari M modul- 4-!. adalah  maksimal  dan 4-!. adalah  gelanggang  Dedekind.

## DAFTAR PUSTAKA
Anderson,  F.  W.,  Fuller,  K.  R.  (1974):  Rings  and  Categories  of  Modules, Graduate Texts  in  Mathematics ,  vol.  13, Springer-Verlag,  New York. Garminia,   H.(1998):  Gelanggang  Hasil  Bagi. Tugas  Akhir ,  ITB. Garminia,   H.,  Astuti,   P.,  Irawati.   (2008):  Modul  Hasil  Bagi  dan  Modul  Dedekind,
Jurnal   Matematika  Sains ,  13(4),  114-117.
Kaplansky,  I.  (1970):  Commutative Rings, Boston :   Allyn and  Bacon.
Khoramdel,    M.,  Hesari,  S.  D.  P.  (2011):  Some  Notes  On  Dedekind  Modules, Hacetepe  Journal   of Mathematics  and  Statistics ,   40(5),  627 - 634. Naoum,  A.G.,  Al-Alwan,  F.  H.  (2007):  Dedekind  Modules, Communications  in Algebra ,  24,  397-412.
Passman,   D.  S.  (1991):  A  Course  in  Ring  Theory, Wadsworth  and  Brooks/  Cole Advanced  Books and  Software,  Pacific  Grove ,  CA.
Roman,  S  (2008):  Advanced  Linier  Algebra, Third  Edition,    Springer  Science +Business  Media .
Sarac,  B.,  Smith,  P.  F.,  Tiras,  Y.  (2007):  On  Dedekind  Modules. Communi-cations in  Algebra ,  35,  1533 - 1538.
Tiras,  Y.,  Sarac,  B.  (2005):  Dedekind  Modules. Communications    in  Algebra ,  33, 1617- 1626.