## Contemporary Mathematics and Applications
Vol. 5, No. 2, 2023, pp. 102-121.

## Analisis Kestabilan dan Kontrol Optimal Model Matematika Penyebaran Leptospirosis dengan Saturated Incidence Rate
Nisrina Firsta Ammara 1 , Miswanto 2 , dan Windarto 3
1,2,3 Departemen Matematika, Fakultas Sains dan Teknologi, Universitas Airlangga
2 Corresponding author : miswanto@fst.unair.ac.id
Abstrak. Leptospirosis  is  a  disease  caused  by  the  bacteria  Leptospira  inchterohemorrhagiaea. Leptospirosis can attack humans and other animals, through rodents, especially rats. This research aims to analyze the stability of the equilibrium point in the mathematical model of the spread of Leptospirosis and apply optimal control variables in the form of prevention and treatment efforts. Based on the results of  the  mathematical  model  analysis  of  the  spread  of  Leptospirosis,  two  equilibrium  points  were obtained, there are the non-endemic equilibrium point and the endemic equilibrium point. Local stability and  the  existence  of  an  equilibrium  point  depend  on  the  basic  reproduction  number 𝑅 0 .  The  non- endemic equilibrium point is local asymptotically stable if 𝑅 0 < 1 , while the endemic equilibrium point tends  to  be  asymptotically  stable  if 𝑅 0 > 1 .  Next,  the  problem  of  control  variables  in  the  model  is determined using Pontryagin's Maximum Principle. Numerical simulation results show that providing control in the form of prevention efforts and treatment efforts simultaneously provides effective results in  minimizing  the  population  of  individuals  exposed  to  and  infected  by  Leptospirosis  at  the  cost  of providing optimal control.
Keywords: Leptospirosis , Model Matematika , Analisis Kestabilan , Kontrol Optimal .

## 1 Pendahuluan
Leptospirosis  merupakan  penyakit  zoonosis  yang  disebabkan  oleh  bakteri Leptospira inchterohemorrhagiaea yang  dapat  menyerang  manusia  dan  hewan  lain,  dengan perantara yaitu hewan pengerat terutama pada tikus [1].  Bakteri Leptospira berpotensi menginfeksi manusia yang memiliki perilaku kesehatan yang buruk melalui kulit yang terluka dan mukosa pada tubuhnya. Gejala pada penyakit Leptospirosis ini beragam yaitu demam, menggigil, sakit kepala, nyeri otot, dan batuk, yang sangat mirip dengan demam dengue, malaria, dan scrub thypus, sehingga membuat tenaga medis kurang tepat dalam pemberian pengobatan pada penderita. Leptospirosis juga dapat menimbulkan kerusakan beberapa organ seperti kegagalan hati, kegagalan ginjal, pendarahan pada paru-paru dan meningoencephalitis yang berakhir pada kematian [8].
Menurut [5], pada tahun 2010 terdapat 410 kasus Leptospirosis di 8 (delapan) provinsi di Indonesia  dengan  46  kasus  kematian.  Tahun  2011  menjadi  tahun  dengan  kasus Leptospirosis terbanyak  di  Indonesia  sebanyak  857  kasus  dengan  82  kasus  kematian. Kemudian  pada  tahun  2014  terdapat  411  kasus Leptospirosis dengan  kasus  kematian sebanyak  56  kasus  karena  terjadi  bencana  berupa  banjir  pada  daerah  DKI  Jakarta  dan Jawa Tengah.
Manusia berpotensi terinfeksi oleh Leptospirosis karena berinteraksi dengan hewan yang terinfeksi baik secara langsung maupun tidak langsung. Penularan secara langsung yang terjadi  melalui  kontak  langsung  dengan  hewan  yang  terinfeksi  oleh  bakteri Leptospira icterohemorrhagiae .  Sedangkan  penularan  tidak  langsung  terjadi  melalui  makanan, minuman,  dan  genangan  air  yang  terkontaminasi  oleh  urin  hewan  yang  terinfeksi Leptospirosis . Penularan pada manusia dengan manusia dapat terjadi melalui plasenta ibu ke janin, air susu ibu dan hubungan seksual [3]. Menurut [5] pengobatan pada penderita penyakit Leptospirosis yaitu  dengan  pemberian  antibiotik  yang  sesuai  dilakukan  sejak kasus suspek ditegakkan secara klinis dengan menggunakan Doksisiklin 2x100mg selama 7 (tujuh) hari.
Upaya  pencegahan  dalam  mengurangi  risiko  terjadinya  penyebaran  penyakit Leptospirosis melalui jalur penularan dapat dilakukan dengan membersihkan tempat yang menjadi habitat tikus dan mengurangi kontak dengan sumber infeksi air yang tercemar Leptospira , hewan yang terinfeksi atau hewan karier [7].
Penelitian  mengenai  penyebaran Leptospirosis telah  dikembangkan  oleh  beberapa peneliti,  diantaranya  yakni  [6]  mengembangkan  model  matematika  penyebaran Leptospirosis dengan  pengendalian  optimal  menggunakan  model  SIR  (Susceptible  – Infected – Recovered) dengan Saturated Incidence Rate. Selanjutnya terdapat penelitian yang  dilakukan  oleh  [2],  dalam  artikelnya  yang  berjudul  Modelling Leptospirosis in livestock, penulis menggunakan model SI (Susceptible – Infected). Dengan menambah waktu  mengembala  hewan  ternak  di  padang  rumput  dapat  menurunkan  laju  infeksi Leptospirosis pada  hewan  ternak.  Serta  berpotensi  mengurangi  biaya  pengobatan, kehilangan produktivitas kerja, dan meningkatkan hasil bagi petani maupun pengembala.
Berdasarkan uraian diatas, penulis tertarik untuk menganalisis kestabilan titik setimbang dalam dinamika penyebaran Leptospirosis . Mengacu pada model matematika yang ditulis oleh  [4].  Model  yang  dirumuskan  menggunakan  modifikasi  tipe  SIR  dengan bilinier incidence  rate .  Penulis  tertarik  untuk  memodifikasi  dari  bentuk  bilinear  incidence  rate menjadi  saturated  incidence  rate  serta  menambahkan  kompartemen  berupa  populasi individu  yang  terpapar.  Karena  penyebaran Leptospirosis pasti  akan  memiliki  batas maksimal  atau  mencapai  titik  jenuhnya  di  suatu  waktu,  sehingga  bentuk  saturated incidence  rate  dianggap  lebih  tepat  untuk  model  tersebut  dan  diberikan  penambahan kontrol berupa pencegahan dan pengobatan.

## 2 Model Matematika
Pada  bagian  ini  disajikan  hasil  konstruksi  model  matematika  penyebaran Leptospirosi yang ditulis oleh [4]. Pada model ini populasi akan dibagi menjadi enam kompartemen yaitu populasi populasi rodent yang rentan terinfeksi Leptospirosis (𝑆 𝑟 ) , populasi rodent yang  terinfeksi  dan  dapat  menularkan Leptospirosis (𝐼 𝑟 ) ,  populasi  manusia  rentan terinfeksi Leptospirosis (𝑆 ℎ ) ,  populasi  manusia  terpapar Leptospirosis (𝐸 ℎ ) ,  populasi manusia yang terinfeksi dan dapat menularkan Leptospirosis (𝐼 ℎ ) , dan populasi manusia
yang sembuh dari Leptospirosis (𝑅 ℎ ) . Berikut ini notasi dan deskripsi dari setiap variabel dan parameter yang digunakan pada model penyebaran Leptospirosis :
Tabel 1 Notasi dan Deskripsi Variabel Model Matematika Penyebaran Leptospirosis
Variabel Deskripsi 𝑆 𝑟 (𝑡) Populasi hewan pengerat rentan terinfeksi Leptospirosis pada saat 𝑡 𝐼 𝑟 (𝑡) Populasi hewan pengerat terinfeksi Leptospirosis pada saat 𝑡 𝑆 ℎ (𝑡) Populasi manusia rentan terinfeksi Leptospirosis pada saat 𝑡 𝐸 ℎ (𝑡) Populasi manusia terpapar Leptospirosis pada saat 𝑡 𝐼 ℎ (𝑡) Populasi Manusia terinfeksi Leptospirosis pada saat 𝑡 𝑅 ℎ (𝑡) Populasi manusia sembuh dari Leptospirosis pada saat 𝑡
Tabel 2 Notasi dan Deskripsi Parameter Model Matematika Penyebaran Leptospirosis Parameter Deskripsi Satuan 𝑡 ℎ Laju penyebaran Leptospirosis pada manusia
(𝐼𝑛𝑑𝑖𝑣𝑖𝑑𝑢 𝑥 𝐻𝑎𝑟𝑖) −1 𝑡 𝑟 Laju penyebaran Leptospirosis pada hewan pengerat
(𝐸𝑘𝑜𝑟 𝑥 𝐻𝑎𝑟𝑖) −1 𝛿 ℎ Laju transmisi manusia terpapar Leptospirosis 𝐻𝑎𝑟𝑖 −1 𝑑 ℎ Laju kematian manusia karena terinfeksi Leptospirosis 𝐻𝑎𝑟𝑖 −1 𝜇 ℎ Laju kematian alami manusia 𝐻𝑎𝑟𝑖 −1 𝑏 ℎ Laju kelahiran alami manusia 𝐻𝑎𝑟𝑖 −1 𝜇 𝑟 Laju kematian alami hewan pengerat
𝐻𝑎𝑟𝑖 −1
𝑐 𝑟 Laju kelahiran alami hewan pengerat
𝐻𝑎𝑟𝑖 −1 𝑟 ℎ Laju kesembuhan manusia
𝐻𝑎𝑟𝑖 −1 𝑎 ℎ Tingkat menurunnya imunitas manusia 𝐻𝑎𝑟𝑖 −1 𝑀 1 Kapasitas pendukung dari populasi hewan pengerat rentan terinfeksi Leptospirosis 𝐸𝑘𝑜𝑟 𝑀 2 Kapasitas pendukung dari populasi manusia rentan terinfeksi Leptospirosis 𝐼𝑛𝑑𝑖𝑣𝑖𝑑𝑢
Parameter Deskripsi Satuan 𝛼 Tingkat kejenuhan populasi hewan pengerat (tikus) terinfeksi 𝐸𝑘𝑜𝑟 −1 𝛽 Tingkat kejenuhan populasi manusia terinfeksi
𝐼𝑛𝑑𝑖𝑣𝑖𝑑𝑢 −1
Berdasarkan  asumsi,  pendefinisian  variabel,  dan  parameter  yang  tertera,  maka  dapat dikonstruksikan  diagram  transmisi  dari  model  matematika  penyebaran Leptospirosis seperti berikut:
Gambar 1 Diagram transmisi model matematika penyebaran Leptospirosis
Berdasarkan  diagram  transmisi  pada  Gambar  1,  maka  dapat  dibentuk  sebuah  model matematika berupa sistem persamaan diferensial biasa tak linier sebagai berikut:
𝑑𝑆 𝑟 𝑑𝑡 = 𝑐 𝑟 𝑆 𝑟 (1 − 𝑆 𝑟 𝑀 1 ) − 𝑡 𝑟 𝑆 𝑟 𝐼 𝑟 1+𝛼𝐼 𝑟 (1)
𝑑𝐼 𝑟 𝑑𝑡 = 𝑡 𝑟 𝑆 𝑟 𝐼 𝑟 1+𝛼𝐼 𝑟 − 𝜇 𝑟 𝐼 𝑟 (2)
𝑑𝑆 ℎ 𝑑𝑡 = 𝑏 ℎ 𝑆 ℎ (1 − 𝑆 ℎ 𝑀 2 ) − 𝑡 ℎ 𝑆 ℎ 𝐼 𝑟 1+𝛽𝐼 ℎ + 𝑎 ℎ 𝑅 ℎ (3)
𝑑𝐸 ℎ 𝑑𝑡 = 𝑡 ℎ 𝑆 ℎ 𝐼 𝑟 1+𝛽𝐼 ℎ − 𝜇 ℎ 𝐸 ℎ − 𝛿 ℎ 𝐸 ℎ (4)
𝑑𝐼 ℎ 𝑑𝑡 = 𝛿 ℎ 𝐸 ℎ − 𝜇 ℎ 𝐼 ℎ − 𝑑 ℎ 𝐼 ℎ − 𝑟 ℎ 𝐼 ℎ (5)
𝑑𝑅 ℎ 𝑑𝑡 = 𝑟 ℎ 𝐼 ℎ − 𝑎 ℎ 𝑅 ℎ − 𝜇 ℎ 𝑅 ℎ (6)
Dengan 𝑆 𝑟 , 𝐼 𝑟 , 𝑆 ℎ , 𝐸 ℎ , 𝐼 ℎ , 𝑅 ℎ ≥ 0 , 𝑡 ℎ, 𝑡 𝑟 , 𝛿 ℎ , 𝑑 ℎ , 𝜇 ℎ , 𝑏 ℎ , 𝜇 𝑟 , 𝑐 𝑟 , 𝑟 ℎ , 𝑎 ℎ , 𝛽, 𝑀 1 , 𝑀 2 > 0

## 3 Titik Setimbang Model
Keadaan  setimbang  adalah  suatu  kondisi  ketika  perubahan  jumlah  populasi  tertentu sepanjang waktu adalah nol. Model matematika penyebaran Leptospirosis akan memiliki titik  setimbang  jika  memenuhi 𝑑𝑆 𝑟 𝑑𝑡 = 𝑑𝐼 𝑟 𝑑𝑡 = 𝑑𝑆 ℎ 𝑑𝑡 = 𝑑𝐸 ℎ 𝑑𝑡 = 𝑑𝐼 ℎ 𝑑𝑡 = 𝑑𝑅 ℎ 𝑑𝑡 = 0 .  Berdasarkan persamaan (1) – (6) diperoleh dua titik setimbang yakni titik setimbang non endemik dan titik setimbang endemik.
Titik  setimbang  non  endemik  adalah  suatu  kondisi  ketika  tidak  terjadi  penyebaran Leptospirosis dalam populasi. Keadaan ini terjadi ketika populasi individu yang terinfeksi bernilai nol (𝐼 𝑟 = 𝐼 ℎ = 0) . Misalkan titik setimbang non endemik dinyatakan dalam 𝐸 0 = (𝑆 𝑟 , 𝐼 𝑟 , 𝑆 ℎ , 𝐸 ℎ , 𝐼 ℎ , 𝑅 ℎ ) ,  maka  dengan  mensubstitusikan  nilai 𝐼 𝑟 = 𝐼 ℎ = 0 ke  dalam persamaan  (1)  –  (6)  sehingga  diperoleh  titik  setimbang  non  endemik  dari  model matematika penyebaran Leptospirosis 𝐸 0 = (𝑀 1 , 0, 𝑀 2 , 0,0,0) .
Selanjutnya  akan  ditentukan  nilai  dari  bilangan  reproduksi  dasar (𝑅 0 ) yang  akan digunakan  sebagai  parameter  ambang  batas  untuk  menentukan  apakah  dalam  populasi tersebut  terjadi  penyebaran  atau  tidak.  Dalam  menentukan  bilangan  reproduksi  dasar menggunakan  titik  setimbang  non  endemik.  Metode  yang  digunakan  adalah  metode NGM  (Next  Generation  Matrix).  Melalui  beberapa  langkah  perhitungan,  didapatkan 𝑅 0 = 𝑡 𝑟 𝑀 1 𝜇 𝑟 .
Titik setimbang selanjutnya dari model penyebaran Leptospirosis adalah titik setimbang endemik. Misalkan titik setimbang endemik dinyatakan sebagai 𝐸 1 = (𝑆 𝑟 ∗ , 𝐼 𝑟 ∗ , 𝑆 ℎ ∗ , 𝐸 ℎ ∗ , 𝐼 ℎ ∗ , 𝑅 ℎ ∗ ) . Berdasarkan  persamaan  (1)  –  (6),  diperoleh  titik  setimbang endemik dari model matematika penyebaran Leptospirosis adalah sebagai berikut: 𝑆 𝑟 ∗ = 𝑀 1 𝑐 𝑟 (𝑐 𝑟 − 𝑡 𝑟 𝐼 𝑟 1+𝛼𝐼 𝑟 ) , 𝑆 ℎ ∗ = 𝐸 ℎ (𝜇 ℎ +𝛿 ℎ )(1+ 𝛽𝛿ℎ𝐸ℎ (𝜇ℎ+𝑑ℎ+𝑟ℎ) ) 𝑡 ℎ 𝐼 𝑟 , 𝐸 ℎ ∗ = 𝑡 ℎ 𝑆 ℎ 𝐼 𝑟 (1+𝛽𝐼 ℎ )(𝜇 ℎ +𝛿 ℎ ) , 𝐼 ℎ ∗ = 𝛿 ℎ 𝐸 ℎ (𝜇 ℎ +𝑑 ℎ +𝑟 ℎ ) , 𝑅 ℎ ∗ = 𝑟 ℎ 𝐼 ℎ ∗ (𝑎 ℎ +𝜇 ℎ ) .
Sedangkan 𝐼 𝑟 ∗ merupakan akar dari polynomial berderajat dua sebagai berikut:
𝐼 𝑟 ∗2 𝐴 + 𝐼 𝑟 ∗ 𝐵 + 𝐶 = 0
(7)
Dengan 𝐴 = 𝑎 2 𝑐 𝑟 𝜇 𝑟 , 𝐵 = 2𝑐 𝑟 𝜇 𝑟 𝑎 − 𝑡 𝑟 𝑀 1 𝑎 + 𝑡 𝑟 2 𝑀 1 , 𝐶 = 𝜇 𝑟 𝑐 𝑟 − 𝑡 𝑟 𝑀 1 𝑐 𝑟 .
Pada saat 𝐵 = 0 , karena semua parameter bernilai positif maka 𝐴 < 0 , sehingga kondisi yang harus dipenuhi agar 𝐼 𝑟 ∗ eksis yaitu 𝐶 > 0 . Akibatnya
⟺ 𝜇 𝑟 𝑐 𝑟 − 𝑡 𝑟 𝑀 1 𝑐 𝑟 > 0
⟺ 𝜇 𝑟 𝑐 𝑟 < 𝑡 𝑟 𝑀 1 𝑐 𝑟
⟺ 𝜇 𝑟 < 𝑡 𝑟 𝑀 1 ⟺ 1 < 𝑡 𝑟 𝑀 1 𝜇 𝑟 ⟺ 1 < 𝑅 0 ↔ 𝑅 0 > 1
Karena  populasi  harus  bernilai  positif  sebagai  tanda  keberadaan  populasi,  maka  titik setimbang endemik eksis ketika 𝑅 0 > 1.

## 4 Analisis Kestabilan Titik Setimbang
Pada  penjelasan  sebelumnya,  diperoleh  titik  setimbang  non  endemik (𝐸 0 ) dan  titik setimbang endemik (𝐸 1 ) dari model penyebaran Leptospirosis . Langkah selanjutnya yaitu menganalisis  kestabilan  lokal  sehingga  diperoleh  syarat  kestabilan  lokal  dari  masing- masing  titik  setimbang.  Karena  model  penyebaran Leptospirosis berupa  persamaan diferensial non linier, maka untuk mendapatkan kestabilan lokal dari masing-masing titik setimbang  perlu  dilakukan  linierisasi  model  dengan  menggunakan  matriks  Jacobian. diperoleh matriks Jacobian sebagai berikut:
𝐽 =
( (𝑐 𝑟 − 2𝑐 𝑟 𝑆 𝑟 𝑀 1 ) − 𝑡 𝑟 𝐼 𝑟 1 + 𝛼𝐼 𝑟 − 𝑡 𝑟 𝑆 𝑟 (1 + 𝛼𝐼 𝑟 ) 2
0 0 0 0
𝑡 𝑟 𝐼 𝑟 1 + 𝛼𝐼 𝑟 𝑡 𝑟 𝑆 𝑟 (1 + 𝛼𝐼 𝑟 ) 2 − 𝜇 𝑟
0 0 0 0 0 − 𝑡 ℎ 𝑆 ℎ 1 + 𝛽𝐼 ℎ (𝑏 ℎ − 2𝑏 ℎ 𝑆 ℎ 𝑀 2 ) − 𝑡 ℎ 𝐼 𝑟 1 + 𝛽𝐼 ℎ 0 − 𝑡 ℎ 𝛽𝑆 ℎ 𝐼 𝑟 (1 + 𝛽𝐼 ℎ ) 2 𝑎 ℎ
0 𝑡 ℎ 𝑆 ℎ 1 + 𝛽𝐼 ℎ 𝑡 ℎ 𝐼 𝑟 1 + 𝛽𝐼 ℎ −𝜇 ℎ − 𝛿 ℎ 𝑡 ℎ 𝛽𝑆 ℎ 𝐼 𝑟 (1 + 𝛽𝐼 ℎ ) 2 0
0 0 0 𝛿 ℎ −𝜇 ℎ − 𝑑 ℎ − 𝑟 ℎ 0 0 0 0 0 𝑟 ℎ −𝑎 ℎ − 𝜇 ℎ )

## 4.1  Kestabilan Titik Setimbang Non Endemik
Kestabilan  pada  titik  setimbang  non  endemik  diperoleh  dengan  cara  mensubstitusikan nilai  titik  setimbang  non  endemik  yang  didapatkan  sebelumnya,  yakni 𝐸 0 = (𝑆 𝑟 , 𝐼 𝑟 , 𝑆 ℎ , 𝐸 ℎ , 𝐼 ℎ , 𝑅 ℎ ) = (𝑀 1 , 0, 𝑀 2 , 0,0,0) ke dalam matriks Jacobian sehingga diperoleh:
𝐽𝐸 0 = ( −𝑐 𝑟 −𝑡 𝑟 𝑀 1 0 0
0 0 0 (𝑡 𝑟 𝑀 1 − 𝜇 𝑟 ) 0 0
0 0 0 −𝑡 ℎ 𝑀 2 −𝑏 ℎ
0 0 𝑎 ℎ
0 𝑡 ℎ 𝑀 2 0 (−𝜇 ℎ − 𝛿 ℎ ) 0 0 0 0 0 𝛿 ℎ −𝜇 ℎ − 𝑑 ℎ − 𝑟 ℎ 0 0
0 0 0 𝑟 ℎ −𝑎 ℎ − 𝜇 ℎ )
Kemudian dengan menghitung 𝑑𝑒𝑡(𝜆𝐼 − 𝐽𝐸 0 ) = 0 , sehingga diperoleh:
( 𝜆 + 𝑐 𝑟 )( 𝜆 + 𝑏 ℎ )(𝜆 + 𝑘 1 )(𝜆 + 𝑘 2 )(𝜆 + 𝑘 3 )(𝜆 + 𝑘 4 ) = 0 (8)
dengan: 𝑘 1 = 𝜇 𝑟 − 𝑡 𝑟 𝑀 1 , 𝑘 2 = 𝜇 𝑟 + 𝛿 ℎ , 𝑘 3 = 𝜇 ℎ + 𝑑 ℎ + 𝑟 ℎ , 𝑘 4 = 𝑎 ℎ + 𝜇 ℎ .
Secara  eksplisit  didapatkan  empat  nilai  eigen  yaitu,  eigen 𝜆 1 = −𝑐 𝑟 , 𝜆 2 = −𝑏 ℎ , 𝜆 3 = −(𝛿 ℎ + 𝜇 ℎ ) , 𝜆 4 = −(𝜇 ℎ + 𝑑 ℎ + 𝑟 ℎ ) , 𝜆 5 = −(𝑎 ℎ + 𝜇 ℎ ) ,  dan 𝜆 6 = 𝑡 𝑟 𝑀 1 − 𝜇 𝑟 .  Jelas bahwa 𝜆 1 , 𝜆 2 , 𝜆 3 , 𝜆 4 dan 𝜆 5 bernilai negatif karena parameter 𝑐 𝑟 , 𝑏 ℎ , 𝛿 ℎ , 𝜇 ℎ , 𝑑 ℎ , 𝑟 ℎ dan 𝑎 ℎ bernilai positif, sedangkan untuk 𝜆 6 diperoleh 𝜆 6 = 𝑡 𝑟 𝑀 1 − 𝜇 𝑟 . Agar titik setimbang non endemik stabil asimtotis maka 𝜆 6 < 0 , sehingga diperoleh syarat 𝜆 6 < 0 .
𝜆 6 = 𝑡 𝑟 𝑀 1 − 𝜇 𝑟 < 0 . ⟺ 𝑡 𝑟 𝑀 1 < 𝜇 𝑟 ⟺ 𝑡 𝑟 𝑀 1 𝜇 𝑟 < 1 ⟺ 𝑅 0 < 1
Berdasarkan  uraian  di  atas,  titik  setimbang  non  endemik 𝐸 0 akan  stabil  asimtotis  jika memenuhi syarat 𝑅 0 < 1 . Hal ini menunjukkan bahwa jika 𝑅 0 < 1 , maka setiap individu yang  terinfeksi  dapat  menularkan Leptospirosis kepada  rata-rata  kurang  dari  satu penderita baru atau dengan kata lain tidak ada penyebaran Leptospirosis.

## 4.2   Kestabilan Titik Setimbang Endemik
Penentuan  kestabilan  pada  titik  setimbang  endemik  diperoleh  dengan  cara mensubsitusikan  nilai  titik  setimbang 𝐸 1 = (𝑆 𝑟 ∗ , 𝐼 𝑟 ∗ , 𝑆 ℎ ∗ , 𝐸 ℎ ∗ , 𝐼 ℎ ∗ , 𝑅 ℎ ∗ ) ,  ke  dalam  matriks Jacobian  (J),  bentuk  persamaan  karakteristik  dengan  menggunakan det( 𝜆𝐼−𝐽𝐸 1 )=0 , sehingga diperoleh persamaan sebagai berikut:
(𝜆 2 + 𝐴𝜆 + 𝐵)(𝜆 4 + 𝜆 3 𝐶 + 𝜆 2 𝐷 + 𝜆𝐸 + 𝐹) = 0 (9)
dengan: 𝐴 = −𝑘 4 − 𝑘 1 , 𝐵 = 𝑘 1 𝑘 4 − 𝑘 2 𝑘 3 , 𝐶 = −𝑘 10 − 𝑘 11 − 𝑘 6 − 𝑘 14 , 𝐷 = 𝑘 12 𝑘 14 + 𝑘 10 𝑘 14 + 𝑘 10 𝑘 12 − 𝑘 7 𝑘 11 + 𝑘 6 𝑘 14 + 𝑘 6 𝑘 12 + 𝑘 6 𝑘 10 , 𝐸 = 𝑘 7 𝑘 11 − 𝑘 10 𝑘 12 𝑘 14 − 𝑘 6 𝑘 12 𝑘 14 − 𝑘 6 𝑘 10 𝑘 14 − 𝑘 6 𝑘 10 𝑘 12 + 𝑘 6 𝑘 9 𝑘 11 , 𝐹 = 𝑘 6 𝑘 10 𝑘 12 𝑘 14 − 𝑘 9 𝑘 11 𝑘 7 𝑘 12 − 𝑘 6 𝑘 14 𝑘 7 𝑘 11 + 𝑘 9 𝑘 11 𝑘 8 𝑘 14
Selanjutnya  akan  ditentukan  akar-akar  dari  persamaan  karakteristik  (9),  penyelesian solusinya sulit dilakukan secara analitik karena berupa persamaan karakteristik berderajat empat  sehingga  titik  setimbang  endemik  ini  akan  dianalisis  melalui  simulasi  numerik dengan menggunakan bidang fase dengan bantuan software MATLAB. Simulasi numerik dilakukan  dengan  memberikan  nilai  parameter  dam  tiga  nilai  awal  yang  berbeda  pada masing-masing  kompartemen.  Adapun  nilai  parameter  yang  digunakan  disajikan  pada Tabel 3 .
Tabel 3 Nilai Parameter Model Matematika Penyebaran Leptospirosis Parameter Nilai Parameter Sumber 𝑡 ℎ 0.02 Asumsi 𝑡 𝑟 0.0001 Asumsi 𝑐 𝑟 0.003 Asumsi 𝜇 ℎ 0.00003913 Asumsi
𝜇 𝑟 0.001815 [4] 𝑑 ℎ 0.01 Asumsi 𝑏 ℎ 0.5 Asumsi 𝑟 ℎ 0.00005 Asumsi 𝑎 ℎ 0.013 Asumsi 𝛿 ℎ 0.05 Asumsi 𝛼 0.05 Asumsi 𝛽 0.0083 Asumsi 𝑀 1 30 Asumsi 𝑀 2 300 Asumsi
Berikut ini diberikan tiga nilai awal yang berbeda untuk masing-masing populasi pada model  matematika  penyebaran Leptospirosis .  Hal  ini  bertujuan  untuk  mengetahui kekonvergenan  solusi  dari  masing-masing  nilai  awal  dan  parameter  yang  digunakan. Simulasi dilakukan pada saat 𝑡 = 0 sampai 𝑡 = 300 . Adapun nilai awal yang digunakan disajikan pada Tabel 4.
Tabel 4 Nilai Awal Tiap Kompartemen untuk Simulai Numerik
Nilai Awal 𝑺 𝒓 (𝟎) 𝑰 𝒓 (𝟎) 𝑺 𝒉 (𝟎) 𝑬 𝒉 (𝟎) 𝑰 𝒉 (𝟎) 𝑹 𝒉 (𝟎) Warna Nilai Awal 1 2500 550 1600 50 195 120 Biru Nilai Awal 2 2400 545 1200 40 193 118 Hijau Nilai Awal 3 2300 540 1050 30 180 116 Merah
Berikut ini adalah gambar dari bidang fase model matematika penyebaran Leptospirosis
Gambar 2 Grafik Bidang Fase Model Matematika Penyebaran Leptospirosis
Gambar  2 menunjukkan  simulasi  bidang  fase  untuk  populasi  manusia  rentan  dan populasi manusia terinfeksi pada model penyebaran Leptospirosis . Berdasarkan tiga nilai awal  berbeda  yang  telah  diberikan,  terlihat  bahwa  grafik  kedua  populasi  cenderung konvergen  ke  satu  titik (𝑆 ℎ , 𝐼 ℎ ) = (1.0091; 472.9464). Hal  ini  berarti  secara keseluruhan  dinamika  dari  setiap  populasi  pada  model  matematika  penyebaran Leptospirosis bergerak mendekati titik setimbang endemik 𝐸 1 . Nilai 𝐸 1 diperoleh dengan mensubstitusikan nilai parameter pada Tabel 3 ke titik setimbang endemik 𝐸 1 yang telah diperoleh  secara  analitik.  Berdasarkan  nilai  parameter  yang  diberikan  pada Tabel  3 , didapatkan nilai 𝑅 0 = 1.6207 > 1 .
Berdasarkan hasil simulasi pada Gambar 2 diperoleh kesimpulan bahwa titik setimbang endemik  pada  model  matematika  penyebaran Leptospirosis akan  cenderung  stabil asimtotis  jika 𝑅 0 > 1 .  Hal  ini  menunjukkan  bahwa  jika 𝑅 0 > 1 ,  maka  individu  yang terinfeksi Leptospirosis dapat  menularkan  kepada  rata-rata  lebih  dari  satu  individu lainnya atau dengan kata lain terjadi penyebaran Leptospirosis .

## 4.3 Analisis Sensitivitas
Analisis  sensitivitas  parameter  dilakukan  untuk  mengetahui  parameter  yang  paling berpengaruh terhadap nilai 𝑅 0 . Adapun indeks parameter dirumuskan sebagai 𝑖𝑛𝑑 𝑚 = ( 𝜕𝑅 0 𝜕𝑚 ) 𝑚 𝑅 0 ,  dengan 𝑚 merupakan  parameter  yang  akan  dianalisis.  Hasil  perhitungan disajikan pada Tabel 5 .
Tabel 5 Hasil Perhitungan Indeks Sensitivitas Parameter
Parameter Indeks Sensitivitas 𝑡 𝑟 1 𝑀 1 1
𝜇 𝑟
-1
Tabel 6 Hubungan antara Perubahan Nilai Parameter terhadap Nilai dari 𝑅 0
Parameter
(𝒑) Indeks Sensitivitas 𝑹 𝟎 = 𝟏. 𝟔𝟐𝟎𝟕
𝒑 − 𝟏𝟎% 𝒑 − 𝟏𝟓% 𝒑 + 𝟏𝟎% 𝒑 + 𝟏𝟓% 𝑡 𝑟 1 0.16197 0.243005 0.16217 0.243205 𝑀 1 1 29.83793 29.756895 30.16207 30.243105 𝜇 𝑟 -1 0.163921 0.244956 0.160219 0.241254
Berdasarkan Tabel  6 terlihat  bahwa  untuk  indeks  sensitivitas  yang  bernilai  positif menunjukkan  bahwa  jika  nilai  parameter  bertambah,  maka  nilai 𝑅 0 akan  bertambah. Sebaliknya,  apabila  indeks  sensitivitas  bernilai  negatif  menunjukkan  bahwa  jika  nilai parameter bertambah, maka nilai 𝑅 0 akan bertambah. Sebagai contoh, diperoleh indeks sensitivitas parameter 𝑡 𝑟 adalah 1, artinya jika laju penyebaran Leptospirosis pada hewan pengerat (𝑡 𝑟 ) bertambah (berkurang) sebesar 10%, maka mengakibatkan 𝑅 0 bertambah (berkurang) sebesar 10%. Demikian pula dengan parameter 𝜇 𝑟 dengan indeks sensitivitas
sebesar -1, artinya jika laju kematian alami hewan pengerat (𝜇 𝑟 ) bertambah (berkurang) sebesar 10%, maka mengakibatkan 𝑅 0 berkurang (bertambah) sebesar 10%.
Selanjutnya  akan  dilakukan  simulasi  parameter, simulasi  pertama  dipilih  nilai 𝑡 𝑟 = 0.00001, 𝑡 𝑟 = 0.0001, dan 𝑡 𝑟 = 0.001 dengan 𝜇 𝑟 berada  pada  interval 0.01 ≤ 𝜇 𝑟 ≤ 0.05 .  Pada  simulasi  kedua,  dipilih  nilai 𝜇 𝑟 = 0.0001815, 𝜇 𝑟 = 0.001815, dan 𝜇 𝑟 = 0.01815 dengan 𝑡 𝑟 berada pada interval 0 ≤ 𝑡 𝑟 ≤ 0.005 . Hasil simulasi berupa grafik sensitivitas 𝑡 𝑟 dan 𝜇 𝑟 terhadap 𝑅 0 dapat dilihat pada Gambar 3 dan Gambar 4 .
Berdasarkan Gambar 3 dapat dilihat bahwa ketika dipilih tiga nilai 𝑡 𝑟 yang berbeda  yaitu 𝑡 𝑟 = 0.00001, 𝑡 𝑟 = 0.0001, dan 𝑡 𝑟 = 0.001 pada  interval 0 ≤ 𝑡 𝑟 ≤ 0.005 ,  jika  nilai parameter 𝜇 𝑟 meningkat, maka nilai 𝑅 0 akan menurun untuk seluruh nilai 𝑡 𝑟 . Berdasarkan Gambar  4 dapat  dilihat  bahwa  ketika  dipilih  tiga  nilai 𝜇 𝑟 yang  berbeda    yaitu 𝜇 𝑟 = 0.0001815, 𝜇 𝑟 = 0.001815, dan 𝜇 𝑟 = 0.01815 pada  interval 0.01 ≤ 𝜇 𝑟 ≤ 0.05 ,  jika nilai parameter 𝑡 𝑟 meningkat, maka nilai 𝑅 0 akan meningkat untuk seluruh nilai 𝜇 𝑟 .
Gambar 3 Sensitivitas 𝜇 𝑟 terhadap 𝑅 0 dengan tiga nilai 𝑡 𝑟 yang berbeda
Gambar 4 Sensitivitas 𝑡 𝑟 terhadap 𝑅 0 dengan tiga nilai 𝜇 𝑟 yang berbeda

## 5 Masalah Kontrol Optimal
Berikut  diberikan  beberapa  notasi  dan  pengertian  dari  masing-masing  variabel  beserta parameter yang digunakan dalam mengonstruksikan model kontrol optimal.
Tabel 7 Notasi dan Deskripsi berserta Parameter dengan Adanya Variabel Kontrol
Notasi Keterangan 𝑢 1 (𝑡) Variabel input kontrol berupa sanitasi lingkungan pada saat 𝑡 𝑢 2 (𝑡) Variabel input kontrol berupa pengobatan pada saat 𝑡 𝑡 0 Waktu awal pengamatan ketika dilakukan kontrol 𝑡 𝑓 Waktu akhir pengamatan ketika dilakukan kontrol 𝐴 Konstanta pembobot berupa biaya untuk upaya sanitasi lingkungan 𝐵 Konstanta pembobot berupa biaya untuk upaya pengobatan
Adapun  model  matematika  penyebaran Leptospirosis yang  dikonstruksikan  dengan penambahan kontrol optimal adalah sebagai berikut:
𝑑𝑆 𝑟 𝑑𝑡 = 𝑐 𝑟 𝑆 𝑟 (1 − 𝑆 𝑟 𝑀 1 ) − 𝑡 𝑟 𝑆 𝑟 𝐼 𝑟 1+𝛼𝐼 𝑟 (10)
𝑑𝐼 𝑟 𝑑𝑡 = 𝑡 𝑟 𝑆 𝑟 𝐼 𝑟 1+𝛼𝐼 𝑟 − 𝜇 𝑟 𝐼 𝑟 (11)
𝑑𝑆 ℎ 𝑑𝑡 = 𝑏 ℎ 𝑆 ℎ (1 − 𝑆 ℎ 𝑀 2 ) − (1 − 𝑢 1 ) 𝑡 ℎ 𝑆 ℎ 𝐼 𝑟 1+𝛽𝐼 ℎ + 𝑎 ℎ 𝑅 ℎ (12)
𝑑𝐸 ℎ 𝑑𝑡 = (1 − 𝑢 1 ) 𝑡 ℎ 𝑆 ℎ 𝐼 𝑟 1+𝛽𝐼 ℎ − 𝜇 ℎ 𝐸 ℎ − 𝛿 ℎ 𝐸 ℎ (13)
𝑑𝐼 ℎ 𝑑𝑡 = 𝛿 ℎ 𝐸 ℎ − 𝜇 ℎ 𝐼 ℎ − 𝑑 ℎ 𝐼 ℎ − 𝑟 ℎ 𝐼 ℎ − 𝑢 2 𝐼 ℎ (14) 𝑑𝑅 ℎ 𝑑𝑡 = 𝑟 ℎ 𝐼 ℎ − 𝑎 ℎ 𝑅 ℎ − 𝜇 ℎ 𝑅 ℎ + 𝑢 2 𝐼 ℎ (15)
Penjelasan mengenai variabel dan parameter yang terdapat pada persamaan (10) – (15) mengacu pada Tabel 1 , Tabel 2 serta penjelasan terkait variabel kontrol mengacu pada Tabel  7 .  Selanjutnya,  fungsi  ongkos  atau  indeks  performansi  dari  model  matematika penyebaran Leptospirosis disertai kontrol optimal diformulasikan sebagai berikut:
min 𝐽 (𝑢 1 ) = ∫ [𝐸 ℎ + 𝐼 ℎ + 1 2 𝐴𝑢 1 2 + 1 2 𝐵𝑢 2 2 ] 𝑑𝑡 𝑡 𝑓 𝑡 0
dengan 0 ≤ 𝑢(𝑡) ≤ 1 dan 𝑡 0 ≤ 𝑡 ≤ 𝑡 𝑓 , serta untuk koefisien biaya 𝐴, 𝐵 > 0 .
Fungsi  ongkos  ini  bertujuan  untuk  meminimumkan  jumlah  populasi  manusia  yang terpapar Leptospirosis ( 𝐸 ℎ ) dan populasi manusia yang terinfeksi Leptospirosis ( 𝐼 ℎ ). Input kontrol 𝑢 1 dan 𝑢 2 memiliki  kisaran  nilai 0 ≤ 𝑢(𝑡) ≤ 1 menunjukkan  bahwa  strategi kontrol  model  matematika Leptospirosis memiliki  peluang  sukses  antara  0  sampai  1.
Batas waktu kontrol optimal berada pada interval 𝑡 0 ≤ 𝑡 ≤ 𝑡 𝑓 yang menyatakan waktu pengamatan yaitu waktu awal pemberian kontrol hingga waktu akhir pemberian kontrol.

## 5.1 Penyelesaian Kontrol Optimal Model Matematika Penyebaran Leptospirosis
Berdasarkan  Prinsip  Maksimum  Pontryagin  langkah  pertama  yang  dilakukan  adalah membentuk fungsi Hamiltonian berikut:
ℋ = 𝐸 + 𝐼 + 1 2 𝐴𝑢 1 2 + 1 2 𝐵𝑢 2 2 + 𝛾 𝑇 (𝑡)𝑓(𝑥(𝑡), 𝑢(𝑡), 𝑡)
(16)
dengan 𝑓(𝑥(𝑡), 𝑢(𝑡), 𝑡) adalah ruas kanan dari model yang disertai penambahan variabel kontrol.  Sedangkan 𝛾 ( 𝑡 ) menyatakan  pengali Lagrange atau  variabel co-state dengan 𝛾 𝑇 (𝑡) adalah transpose  dari 𝛾 ( 𝑡 ) . Fungsi Hamiltonian tersebut  dapat  diuraikan sebagai berikut:
ℋ = 𝐸 ℎ + 𝐼 ℎ + 1 2 𝐴𝑢 1 2 + 1 2 𝐵𝑢 2 2 (𝛾 1 𝛾 2 𝛾 3 𝛾 4 𝛾 5 𝛾 6 ) ( 𝑐 𝑟 𝑆 𝑟 (1 − 𝑆 𝑟 𝑀 1 ) − 𝑡 𝑟 𝑆 𝑟 𝐼 𝑟 1 + 𝛼𝐼 𝑟 𝑡 𝑟 𝑆 𝑟 𝐼 𝑟 1 + 𝛼𝐼 𝑟 − 𝜇 𝑟 𝐼 𝑟 𝑏 ℎ 𝑆 ℎ (1 − 𝑆 ℎ 𝑀 2 ) − (1 − 𝑢 1 ) 𝑡 ℎ 𝑆 ℎ 𝐼 𝑟 1 + 𝛽𝐼 ℎ + 𝑎 ℎ 𝑅 ℎ (1 − 𝑢 1 ) 𝑡 ℎ 𝑆 ℎ 𝐼 𝑟 1 + 𝛽𝐼 ℎ − 𝜇 ℎ 𝐸 ℎ − 𝛿 ℎ 𝐸 ℎ 𝛿 ℎ 𝐸 ℎ − 𝜇 ℎ 𝐼 ℎ − 𝑑 ℎ 𝐼 ℎ − 𝑟 ℎ 𝐼 ℎ − 𝑢 2 𝐼 ℎ 𝑟 ℎ 𝐼 ℎ − 𝑎 ℎ 𝑅 ℎ − 𝜇 ℎ 𝑅 ℎ + 𝑢 2 𝐼 ℎ ) ⟺ ℋ = 𝐸 ℎ + 𝐼 ℎ + 1 2 𝐴𝑢 1 2 + 1 2 𝐵𝑢 2 2 + 𝛾 1 [𝑐 𝑟 𝑆 𝑟 (1 − 𝑆 𝑟 𝑀 1 ) − 𝑡 𝑟 𝑆 𝑟 𝐼 𝑟 1 + 𝛼𝐼 𝑟 ] + 𝛾 2 [ 𝑡 𝑟 𝑆 𝑟 𝐼 𝑟 1 + 𝛼𝐼 𝑟 − 𝜇 𝑟 𝐼 𝑟 ] + 𝛾 3 [𝑏 ℎ 𝑆 ℎ (1 − 𝑆 ℎ 𝑀 2 ) − (1 − 𝑢 1 ) 𝑡 ℎ 𝑆 ℎ 𝐼 𝑟 1 + 𝛽𝐼 ℎ + 𝑎 ℎ 𝑅 ℎ ] + 𝛾 4 [(1 − 𝑢 1 ) 𝑡 ℎ 𝑆 ℎ 𝐼 𝑟 1 + 𝛽𝐼 ℎ − 𝜇 ℎ 𝐸 ℎ − 𝛿 ℎ 𝐸 ℎ ] + 𝛾 5 [𝛿 ℎ 𝐸 ℎ − 𝜇 ℎ 𝐼 ℎ − 𝑑 ℎ 𝐼 ℎ − 𝑟 ℎ 𝐼 ℎ − 𝑢 2 𝐼 ℎ ] + 𝛾 6 [𝑟 ℎ 𝐼 ℎ − 𝑎 ℎ 𝑅 ℎ − 𝜇 ℎ 𝑅 ℎ + 𝑢 2 𝐼 ℎ ]
Selanjutnya untuk menentukan kondisi 𝐻 yang optimal melalui kondisi stasioner 𝐻 yang dipenuhi  dengan  meminimalkan 𝐻 terhadap  vektor  kontrol 𝑢 1 (𝑡) dan 𝑢 2 (𝑡) sebagai berikut: 𝜕ℋ 𝜕𝑢 1 = 𝜕ℋ 𝜕𝑢 2 = 0.
𝜕ℋ 𝜕𝑢 1 = 0
⟺ 𝐴𝑢 1 + 𝛾 3 𝑡 ℎ 𝑆 ℎ 𝐼 𝑟 1 + 𝛽𝐼 ℎ − 𝛾 4 𝑡 ℎ 𝑆 ℎ 𝐼 𝑟 1 + 𝛽𝐼 ℎ = 0
⟺ 𝑢 1 = 𝑡 ℎ 𝑆 ℎ 𝐼 𝑟 1 + 𝛽𝐼 ℎ ( 𝛾 4 − 𝛾 3 𝐴 ) 𝜕ℋ 𝜕𝑢 2 = 0
⟺ 𝐵𝑢 2 + 𝛾 5 (−𝐼 ℎ ) + 𝛾 6 (𝐼 ℎ ) = 0
⟺ 𝑢 2 = 𝐼 ℎ 𝐵 (𝛾 5 − 𝛾 6 )
Karena  batas  nilai 𝑢 1 (𝑡) adalah 0 ≤ 𝑢(𝑡) ≤ 1 ,  maka  nilai  untuk 𝑢 1 dan 𝑢 2 dapat dinyatakan dalam beberapa kemungkinan sebagai berikut.
𝑢 1 = { 0 untuk 𝑢 1 ≤ 0 𝑡 ℎ 𝑆 ℎ 𝐼 𝑟 1+𝛽𝐼 ℎ ( 𝛾 4 −𝛾 3 𝐴 ) untuk 0  𝑢 1 1 1 untuk 𝑢 1 ≥ 0
𝑢 2 = { 0 untuk 𝑢 2 ≤ 0 𝐼 ℎ 𝐵 (𝛾 5 − 𝛾 6 ) untuk 0  𝑢 2 1 1 untuk 𝑢 2 ≥ 0
Berdasarkan  kemungkinan-kemungkinan  tersebut,  maka  diperoleh  nilai  kontrol  yang optimal adalah sebagai berikut:
𝑢 1 ∗ = min  (1, 𝑚𝑎𝑥 (0, 𝑡 ℎ 𝑆 ℎ 𝐼 𝑟 1+𝛽𝐼 ℎ ( 𝛾 4 −𝛾 3 𝐴 ))) , 𝑢 2 ∗ = min  (1, 𝑚𝑎𝑥 (0, 𝐼 ℎ 𝐵 (𝛾 5 − 𝛾 6 ))) .
Pada  pengontrol 𝑢 1 ∗ dan 𝑢 2 ∗ diketahui  terdapat  variabel state dan co-state .  Sehingga langkah  selanjutnya  yaitu  menyelesaikan  persamaan state dan  persamaan co-state . Persamaan state dapat diselesaikan melalui 𝑥̇ = 𝜕ℋ 𝜕𝛾 , sehingga diperoleh:
𝑆 𝑟 ̇ = 𝜕ℋ 𝜕𝛾 1 = 𝑐 𝑟 𝑆 𝑟 (1 − 𝑆 𝑟 𝑀 1 ) − 𝑡 𝑟 𝑆 𝑟 𝐼 𝑟 1+𝛼𝐼 𝑟 𝐼 𝑟 ̇ = 𝜕ℋ 𝜕𝛾 2 = 𝑡 𝑟 𝑆 𝑟 𝐼 𝑟 1+𝛼𝐼 𝑟 − 𝜇 𝑟 𝐼 𝑟 𝑆 ℎ ̇ = 𝜕ℋ 𝜕𝛾 3 = 𝑏 ℎ 𝑆 ℎ (1 − 𝑆 ℎ 𝑀 2 ) − (1 − 𝑢 1 ) 𝑡 ℎ 𝑆 ℎ 𝐼 𝑟 1+𝛽𝐼 ℎ + 𝑎 ℎ 𝑅 ℎ 𝐸 ℎ ̇ = 𝜕ℋ 𝜕𝛾 4 = (1 − 𝑢 1 ) 𝑡 ℎ 𝑆 ℎ 𝐼 𝑟 1+𝛽𝐼 ℎ − 𝜇 ℎ 𝐸 ℎ − 𝛿 ℎ 𝐸 ℎ 𝐼 ℎ ̇ = 𝜕ℋ 𝜕𝛾 5 = 𝛿 ℎ 𝐸 ℎ − 𝜇 ℎ 𝐼 ℎ − 𝑑 ℎ 𝐼 ℎ − 𝑟 ℎ 𝐼 ℎ − 𝑢 2 𝐼 ℎ 𝑅 ℎ ̇ = 𝜕ℋ 𝜕𝛾 6 = 𝑟 ℎ 𝐼 ℎ − 𝑎 ℎ 𝑅 ℎ − 𝜇 ℎ 𝑅 ℎ + 𝑢 2 𝐼 ℎ
Persamaan co-state diperoleh melalui 𝛾̇ = − 𝜕ℋ 𝜕𝑥 , dengan demikian diperoleh:
𝛾 1 ̇ = − 𝜕ℋ 𝜕𝑆 𝑟 = − [𝛾 1 (𝑐 𝑟 (1 − 𝑆 𝑟 𝑀 1 ) + 𝑐 𝑟 𝑆 𝑟 (− 1 𝑀 1 ) − 𝑡 𝑟 𝐼 𝑟 1+𝛼𝐼 𝑟 ) + 𝛾 2 ( 𝑡 𝑟 𝐼 𝑟 1+𝛼𝐼 𝑟 )] 𝛾 2 ̇ = − 𝜕ℋ 𝜕𝐼 𝑟 = − [𝛾 1 ( −𝑡 𝑟 𝑆 𝑟 (1 + 𝛼𝐼 𝑟 ) + 𝑡 𝑟 𝑆 𝑟 𝐼 𝑟 𝛼 (1 + 𝛼𝐼 𝑟 ) 2 ) + 𝛾 2 ( 𝑡 𝑟 𝑆 𝑟 (1 + 𝛼𝐼 𝑟 ) − 𝑡 𝑟 𝑆 𝑟 𝐼 𝑟 𝛼 (1 + 𝛼𝐼 𝑟 ) 2 − 𝜇 𝑟 ) + 𝛾 3 ( −(1 − 𝑢 1 )𝑡 ℎ 𝑆 ℎ (1 + 𝛽𝐼 𝑟 ) + (1 − 𝑢 1 )𝑡 ℎ 𝑆 ℎ 𝐼 𝑟 𝛽
(1 + 𝛽𝐼 𝑟 ) 2 ) + 𝛾 4 ( (1 − 𝑢 1 )𝑡 ℎ 𝑆 ℎ (1 + 𝛽𝐼 𝑟 ) − (1 − 𝑢 1 )𝑡 ℎ 𝑆 ℎ 𝐼 𝑟 𝛽 (1 + 𝛽𝐼 𝑟 ) 2 )] 𝛾 3 ̇ = − 𝜕ℋ 𝜕𝑆 ℎ = − [𝛾 3 (𝑏 ℎ (1 − 𝑆 ℎ 𝑀 2 ) + 𝑏 ℎ 𝑆 ℎ (− 1 𝑀 2 ) − (1 − 𝑢 1 )(𝑡 ℎ 𝐼 𝑟 (1 + 𝛽𝐼 ℎ ) + 𝑡 ℎ 𝑆 ℎ 𝐼 𝑟 𝛽)) + 𝛾 4 ((1 − 𝑢 1 )(𝑡 ℎ 𝐼 𝑟 (1 + 𝛽𝐼 ℎ ) + 𝑡 ℎ 𝑆 ℎ 𝐼 𝑟 𝛽))] 𝛾 4 ̇ = − 𝜕ℋ 𝜕𝐸 ℎ = 𝛿 ℎ (𝛾 4 − 𝛾 5 ) + 𝜇 ℎ 𝛾 4
𝛾 5 ̇ = − 𝜕ℋ 𝜕𝐼 ℎ = (1 − 𝑢 1 )𝑡 ℎ 𝑆 ℎ 𝐼 𝑟 𝛽 (1 + 𝛽𝐼 𝑟 ) 2 (𝛾 4 − 𝛾 3 ) + 𝑟 ℎ (𝛾 5 − 𝛾 6 ) + 𝛾 5 𝜇 ℎ + 𝛾 5 𝑑 ℎ + 𝑢 2 (𝛾 5 − 𝛾 6 ) 𝛾 6 ̇ = − 𝜕ℋ 𝜕𝑅 ℎ = 𝑎 ℎ (𝛾 6 − 𝛾 3 ) + 𝛾 6 𝜇 ℎ
dengan 𝛾 𝑖 (𝑡 𝑓 ) = 0 , 𝑖 = 1,2,3,4,5,6 .
Berdasarkan persamaan state dan co-state akan diperoleh nilai variabel state dan co-state yang selanjutnya disubsitusikan pada variabel kontrol 𝑢 1 ∗ dan 𝑢 2 ∗ . Kemudian persamaan 𝑢 1 ∗ dan 𝑢 2 ∗ disubsitusikan ke dalam persamaan state untuk memperoleh bentuk solusi yang optimal.  Kemudian  untuk  mendapatkan 𝑆 𝑟 , 𝐼 𝑟 , 𝑆 ℎ , 𝐸 ℎ , 𝐼 ℎ dan 𝑅 ℎ dari  bentuk 𝑢 1 ∗ dan 𝑢 2 ∗ yang  optimal  maka  langkah  yang  harus  dilakukan  selanjutnya  adalah  menyelesaikan persamaan state yang berbentuk persamaan diferensial non linier. Karena penyelesaian persamaan diferensial non linier sulit untuk diselesaikan secara analitik, maka dilakukan pendekatan numerik dengan menggunakan software MATLAB.

## 6 Simulasi Numerik
Simulasi  numerik  ini  bertujuan  untuk  mengetahui  sejauh  mana  efektivitas  dari  upaya pencegahan  dan  upaya  pengobatan  sebagai  bentuk  kontrol  mampu  meminimalkan penyebaran Leptospirosis . Pada simulasi ini, persamaan state didefinisikan dengan 𝑆 𝑟 = 𝑦(1), 𝐼 𝑟 = 𝑦(2), 𝑆 ℎ = 𝑦(3), 𝐸 ℎ = 𝑦(4), 𝐼 ℎ = 𝑦(5) dan 𝑅 ℎ = 𝑦(6) .  Selain  itu,  indeks performansi didefinisikan sebagai state baru yakni 𝑦(7) , sedangkan untuk pengontrol 𝑢 1 didefinisikan dengan 𝑢(1) dan pengontrol 𝑢 2 didefinisikan dengan 𝑢(2) .
Simulasi  tersebut  dilakukan  dengan  membandingkan  model  matematika Leptospirosis sebelum  dan  setelah  pemberian  kontrol.  Nilai  awal  yang  diberikan  pada  simulasi  ini adalah 𝑆 𝑟 (0) = 80, 𝐼 𝑟 (0) = 50, 𝑆 ℎ (0) = 180, 𝐸 ℎ (0) = 50, 𝐼 ℎ (0) = 50 dan 𝑅 ℎ (0) = 30 dengan waktu pengamatan dilakukan pada saat 𝑡 = 0 hingga 𝑡 = 300 dalam satuan hari. Selain itu, konstanta pembobot untuk biaya pencegahan dan biaya pengobatan berturut- turut  adalah 𝐴 = 1 dan 𝐵 = 1 .  Adapun  nilai  parameter  yang  digunakan  sesuai  dengan Tabel  3 .  Berikut  adalah  hasil  simulasi  numerik  model  matematika  penyebaran Leptospirosis dengan kontrol optimal.
Gambar 5 Grafik Populasi Individu yang Terpapar Leptospirosis Sebelum dan Sesudah Diberi Kontrol
Berdasarkan Gambar  5 ,  diperoleh  perbandingan  populasi  individu  yang  terpapar Leptospirosis sebelum  dan  sesudah  diberi  kontrol  dengan  tiga  skenario.  Perbandingan tersebut dapat dilihat pada Tabel 6 berikut.
Tabel 6 Perbandingan populasi individu yang terpapar Leptospirosis (𝐸 ℎ ) pada waktu akhir pengamatan
S kenario Jumlah Populasi 𝑬 𝒉 Tanpa Kontrol 399 Dengan Kontrol 𝑢 1 0 Dengan Kontrol 𝑢 2 1315 Dengan Kontrol 𝑢 1 𝑢 2 0
Berdasarkan Tabel 6 terlihat adanya perbedaan jumlah populasi individu yang terpapar Leptospirosis (𝐸 ℎ ) sebelum diberi dan setelah diberi kontrol. Hal ini ditunjukkan dengan adanya  penurunan  jumlah  individu  setelah  pemberian  kontrol  upaya  pencegahan  dan setelah  pemberian  kontrol  upaya  pencegahan  dan  pengobatan  secara  bersamaan.  Dari beberapa skenario pemberian kontrol, upaya pencegahan dan pengobatan yang diterapkan secara  bersamaan  paling  efektif  dalam  mengurangi  jumlah  individu  yang  terpapar Leptospirosis (𝐸 ℎ ) pada akhir pengamatan.
Gambar 6 Grafik Populasi Individu yang Terinfeksi Leptospirosis Sebelum dan Sesudah Diberi Kontrol
Berdasarkan Gambar  6 ,  diperoleh  perbandingan  populasi  individu  yang  terpapar Leptospirosis sebelum  dan  sesudah  diberi  kontrol  dengan  tiga  skenario.  Perbandingan tersebut dapat dilihat pada Tabel 7 berikut.
Tabel 7 Perbandingan populasi individu yang terinfeksi Leptospirosis (𝐼 ℎ ) pada waktu akhir pengamatan Kondisi Jumlah Populasi 𝑰 𝒉 Tanpa Kontrol 1940 Dengan Kontrol 𝑢 1 63 Dengan Kontrol 𝑢 2 64 Dengan Kontrol 𝑢 1 𝑢 2 0
Berdasarkan Tabel 7 terlihat adanya perbedaan jumlah populasi individu yang terinfeksi Leptospirosis (𝐼 ℎ ) sebelum diberi dan setelah diberi kontrol. Hal ini ditunjukkan dengan adanya  penurunan  jumlah  individu  setelah  pemberian  kontrol  upaya  pencegahan  dan setelah  pemberian  kontrol  upaya  pencegahan  dan  pengobatan  secara  bersamaan.  Dari beberapa skenario pemberian kontrol, upaya pencegahan dan pengobatan yang diterapkan secara  bersamaan  paling  efektif  dalam  mengurangi  jumlah  individu  yang  terinfeksi Leptospirosis (𝐼 ℎ ) pada  akhir  pengamatan. Selanjutnya,  hasil  simulasi  numerik  untuk profil  kontrol 𝑢 1 , 𝑢 2 , s erta 𝑢 1 dan 𝑢 2 berturut-turut  akan  disajikan  pada Gambar  7, Gambar 8, dan Gambar 9 berikut.
Gambar 7 Grafik profil kontrol upaya pencegahan (𝑢 1 )
Gambar 7 menunjukkan bahwa presentase strategi 𝑢 1 yaitu pencegahan berupa sanitasi lingkungan untuk mengurangi jumlah individu yang terpapar dan terinfeksi Leptospirosis. Upaya pencegahan berupa sanitasi lingkungan pada awal pengamatan hingga hari ke-120 adalah  sebesar  0%.  Kemudian  mengalami  peningkatan  hingga  akhir  pengamatan  yaitu hari  ke-300  mejadi  100%  yang  artinya  upaya  pencegahan  berupa  sanitasi  lingkungan dilakukan sepenuhnya secara intensif.
Gambar 8 Grafik profil kontrol upaya pengobatan (𝑢 2 )
Berdasarkan Gambar 8 menunjukkan bahwa  strategi 𝑢 2 yaitu upaya pengobatan yang dilakukan untuk mengurangi jumlah individu yang terpapar dan terinfeksi Leptospirosis. Upaya  pengobatan  pada  awal  pengamatan  hingga  hari  ke-209  adalah  sebesar  100%. Selanjutnya pada hari ke-210 upaya pengobatan mengalami penurunan hingga menjadi 12%, kemudian mengalami peningkatan secara bertahap pada hari ke-285 menjadi 16%,
hingga akhir pengamatan menjadi yaitu hari ke-300 menjadi 100% yang artinya upaya pencegahan berupa pengobatan dilakukan sepenuhnya secara intensif.
Gambar 9 Grafik profil kontrol upaya pencegahan (𝑢 1 ) dan pengobatan (𝑢 2 )
Berdasarkan Gambar 9 menunjukkan bahwa presentase strategi 𝑢 1 dan 𝑢 2 yaitu upaya pencegahan  berupa  sanitasi  lingkungan    dan  upaya  pengobatan  yang  dilakukan  secara bersamaan untuk mengurangi jumlah individu yang terpapar dan terinfeksi Leptospirosis. Upaya pencegahan berupa sanitasi lingkungan pada awal pengamatan hingga hari ke-120 adalah  sebesar  0%.  Kemudian  mengalami  peningkatan  hingga  akhir  pengamatan  yaitu hari ke-300 mejadi 100%. Sedangkan upaya pengobatan pada awal pengamatan hingga hari ke-164 adalah sebesar 100%. Selanjutnya pada hari ke-165 hingga akhir pengamatan upaya pengobatan berangsur-angsur mengalami penurunan hingga menjadi 15%. Adapun perbandingan fungsi ongkos yang dibutuhkan untuk setiap skenario yang disimulasikan disajikan pada Tabel 8 .

## Tabel 8 Perbandingan Fungsi Ongkos
No Skenario Nilai Fungsi Ongkos 1 Dengan kontrol 𝑢 1 102984.2067 2 Dengan kontrol 𝑢 2 199401.4827 3 Dengan kontrol 𝑢 1 dan 𝑢 2 36797.0218
Tabel  8 menunjukkan  nilai  fungsi  ongkos  atas  indeks  performansi  yang  dikeluarkan dalam jangka waktu 300 hari. Nilai fungsi ongkos terbesar adalah pada saat penerapan skenario 2 yaitu upaya pengobatan. Sedangkan untuk nilai fungsi ongkos terkecil adalah pada saat penerapan skenario 3, yaitu upaya pencegahan berupa sanitasi lingkungan dan pengobatan yang dilakukan secara bersamaan.
Penerapan kontrol yang optimal dilihat berdasarkan perubahan jumlah populasi sebelum dan sesudah pemberian kontrol serta nilai fungsi ongkos yang dikeluarkan. Berdasarkan simulai sebelum dan sesudah pemberian kontrol menggunakan metode DOTcvp, dengan menerapkan  tiga  skenario  dapat  dilihat  bahwa  penerapan  upaya  pencegahan  berupa sanitasi lingkungan (𝑢 1 ) serta upaya pengobatan (𝑢 2 ) yang dilakukan secara bersamaan merupakan  Langkah  yang  selali  mengurangi  populasi  individu  yang  terpapar Leptospirosis (𝐸 ℎ ) dan  populasi  individu  yang  terinfeksi Leptospirosis (𝑢 2 ) .  Dengan demikian dapat ditarik kesimpulan bahwa strategi kontrol yang optimal untuk diterapkan adalah  dengan  menerapkan  upaya  pencegahan  berupa  sanitasi  lingkungan (𝑢 1 ) serta upaya pengobatan (𝑢 2 ) yang dilakukan secara bersamaan.

## 7 Kesimpulan
Berdasarkan pembahasan yang telah diuraikan pada bab sebelumnya, maka dapat ditarik kesimpulan sebagai berikut:
1. Model  matematika  penyebaran Leptospirosis dengan saturated  incidence  rate memiliki dua titik setimbang yaitu titik setimbang non endemik dan titik setimbang endemik.  Titik  setimbang  non  endemik  akan  stabil  asimtotis  jika  memenuh  syarat yaitu 𝑅 0 1 .  Sedangkan  titik  setimbang  endemik  cenderung  stabil  asimtotis  jika 𝑅 0 1 dengan 𝑅 0 = 𝑡 𝑟 𝑀 1 𝜇 𝑟 .
2. Bentuk  kontrol  optimal  model  matematika  penyebaran Leptospirosis dengan
saturatedincidence  rate adalah 𝑢 1 ∗ = min  (1, 𝑚𝑎𝑥 (0, 𝑡 ℎ 𝑆 ℎ 𝐼 𝑟 1+𝛽𝐼 ℎ ( 𝛾 4 −𝛾 3 𝐴 ))) dan 𝑢 2 ∗ = min  (1, 𝑚𝑎𝑥 (0, 𝐼 ℎ 𝐵 (𝛾 5 − 𝛾 6 )))
3. Hasil  simulasi  numerik  pada  model  matematika  penyebaran Leptospirosis dengan saturated  incidence  rate sebelum  dan    sesudah  pemberian  kontrol  menunjukkan bahwa  pemberian  kontrol  upaya  berupa  sanitasi  lingkungan (𝑢 1 ) serta  upaya pengobatan (𝑢 2 ) yang dilakukan secara bersamaan merupakan Langkah yang efektif untuk  meminimalkan  jumlah  populasi  individu  yang  terpapar Leptosipirosis (𝐸 ℎ ) , populasi individu yang terinfeksi Leptosipirosis (𝐼 ℎ ) , sekaligus meminimalkan biaya yang dikeluarkan untuk masing-masing kontrol.

## 8 Daftar Pustaka
[1] Adler,  B.    Moctezuma,  A,  2010, Leptospira  and  Leptospirosis ,  Journal  of Vetenary Microbiology, 140 , 287-296.
[2] Babylon, A.M., Roberts, M.G.,  Wake, G.C., 2018, Modelling leptospirosis in livestock . Theoretical Population Biology, 121 , 26–32.
[3] Devishree, R.A., 2015, Management of Leptospirosis; A Short Review , Journal of Pharmaceutical Sciences and Research, 7 , 759-761.
[4] Gallego, M.A.,  Simoy, M.V., 2021, Mathematical modeling of leptospirosis: A dynamic  regulated  by  environmental  carrying  capacity ,  Chaos,  Solitions  and Fractals. 152 , 111425.
[5] Kementerian  Kesehatan  Republik  Indonesia,  2017, Buku  Petunjuk  Teknis Pengendalian Leptospirosis , Cetakan ke-3, pp. 8-9.
[6] Khan,  M.A.,  Saddiq,  S.F.,  Islam,  S.,  Khan,  I.    Shafie,  S.,  2015, Dynamic Behavior  of  Leptospirosis  Disease  with  Saturated  Incidence  Rate ,  International Journal of Applied Mathematics and Informations Sciences, 8 , 1049-1056.
[7] Kusmiyati, Noor, S.M.  Supar, 2005, Leptospirosis pada Hewan dan Manusia di Indonesia . WARTAZOA. 15 (4), 213-220.
[8] Widjajanti, W., 2019, Epidemiologi, Diagnosis, dan Pencegahan Leptospirosis , Journal of Health Epidemiology and Communicable Disease, 5 (2), 62-68.