Jurnal Matematika, Sains, dan Pembelajarannya
Vol.10, No.2, Juli 2024, pp. 303~317
DOI:10.31605/saintifik.v10i2.501
ISSN 2622-8904 (online)
Penerapan Model Markov Pada Perkembangan Penyakit HIV/AIDS di Kota Medan
Dara Nurul Hasnah* 1 , Riri Syafitri Lubis 2 , Rina Widyasari 3 1,2,3 Program Studi Matematika, Universitas Islam Negeri Sumatera Utara, Indonesia e-mail: daranhdn31@gmail.com

## Abstrak
HIV/AIDS merupakan salah satu penyakit menular yang menjadi perhatian khusus oleh pemerintah di  seluruh  dunia,  termasuk  Indonesia.  Di  Indonesia,  Khususnya  Kota  Medan,  Penyakit  HIV/AIDS  terjadi peningkatan. Sehingga, target pemerintah dalam mencapai Three Zero HIV/AIDS 2030 semakin jauh. Oleh karena itu, diperlukan suatu persoalan dengan cara memperhatikan setiap transisi dari waktu ke waktu. Untuk melakukan persiapan tersebut dapat menggunakan model Markov. Model Markov merupakan model stokastik yang digunakan pada suatu sistem yang berubah secara acak di setiap keadaan yang berbeda. Tujuan dari penelitian ini adalah untuk mengetahui perkembangan penyakit HIV/AIDS dalam 8 tahun kedepan menuju tahun  2030.  Penelitian  ini  menggunakan  data  sekunder  perkembangan  penyakit  HIV/AIDS  yaitu  data HIV/AIDS, data ODHA On ART dan data meninggal pada tahun 2019 hingga tahun 2022 di Kota Medan. Dari hasil penelitian yang diperoleh, peluang transisi yang diperoleh pada tahun pertama, state HIV/AIDS memperoleh peluang sebesar 0.59 (60%) , state HIV/AIDS menuju ODHA On Art sebesar 0.36 (37%) , state HIV/AIDS  menuju  keadaan  meninggal  sebesar 0,05 (2,5%) dan  pada  keadaan  ODHA  ON  ART  menuju keadaan meninggal cukup tinggi yaitu sebesar 0,06 (12%) , ini diakibatkan adanya penderita HIV/AIDS yang tidak patuh dalam menggunakan terapi ARV dan meningkatkan resiko kematian.
Kata Kunci—Model Markov, Rantai Markov, HIV/AIDS.

## 1. PENDAHULUAN
Penyakit  menular  masih  menjadi  perhatian  utama  pemerintah  di  seluruh  dunia,  termasuk  HIV/AIDS.  HIV (Human  Immunodeficiency  Virus)  menginfeksi  sel  darah  putih,  menurunkan  kekebalan  tubuh,  sementara AIDS (Acquired Immune Deficiency Syndrome) adalah kondisi yang disebabkan oleh penurunan kekebalan tersebut  (Pusdatin,  2020).  Penelitian  oleh  Aldila  (2018)  menunjukkan  bahwa  HIV/AIDS  adalah  salah  satu Penyakit Menular Seksual (PMS) yang menyebar melalui hubungan seks bebas, penggunaan jarum suntik tidak steril,  dan  transfusi  darah  dari  individu  yang  terinfeksi  HIV.  AIDS  adalah  tahap  akhir  infeksi  HIV  yang menyebabkan kerusakan parah pada sistem kekebalan tubuh. Perkembangan HIV/AIDS bervariasi di antara individu, dipengaruhi oleh faktor imunologis, genetik, lingkungan, dan virologis (Dessie et al., 2020). AIDS pertama kali ditemukan pada tahun 1981 di Los Angeles, AS, dan dilaporkan telah ada di Afrika Tengah sejak pertengahan  tahun  1970-an,  meskipun  tidak  diakui  oleh  pemerintah  setempat  (Simanungkalit  &  Tarutung, 2019).
Pada tahun 1982, istilah AIDS diperkenalkan, dengan 593 kasus dilaporkan dan 243 kematian akibat AIDS. Hingga tahun 1985, penyakit HIV ditemukan pada penderita AIDS (Simanungkalit & Tarutung, 2019). Di Indonesia, kasus pertama HIV/AIDS dilaporkan pada tahun 1987 dari seorang warga Belanda di Bali. Pada akhir 1996, terdeteksi 381 kasus HIV positif dan 154 kasus AIDS di Indonesia (Kebijakan AIDS Indonesia, 2017). Pada tahun 2021, UNAIDS melaporkan 540.000 orang hidup dengan HIV di Indonesia, dengan 27.000 kasus baru, 28% menerima pengobatan ARV, dan 26.000 kematian akibat AIDS (UNAIDS, 2022).
Hingga  kini,  belum  ada  obat  untuk  menyembuhkan  HIV/AIDS,  namun  pengobatan  dapat meningkatkan  sistem  kekebalan  tubuh  ODHA,  menekan  viral  load,  dan  meningkatkan  jumlah  CD4. Pemerintah  Indonesia  telah  melakukan  berbagai  upaya  untuk  mengendalikan  HIV/AIDS,  termasuk peningkatan deteksi dini, kualitas pelayanan kesehatan, dan cakupan pengobatan ARV (Kemenkes, 2017).
https://jurnal.unsulbar.ac.id/index.php/saintifik
Sumatera Utara merupakan salah satu provinsi dengan tingkat epidemi HIV/AIDS tertinggi, dengan 13.150 kasus terkonfirmasi pada Desember 2021 (detik Sumut, 2022). Kota Medan, ibu kota provinsi, memiliki kasus HIV/AIDS tertinggi di wilayah tersebut, meskipun penularan cenderung menurun selama pandemi, penurunan ini diduga akibat kurangnya testing. Setelah pandemi mereda, kasus HIV kembali meningkat (Tribun Medan, 2022).
Gambar 1. Grafik kasus HIV/AIDS dari Tahun 2018-2022.
Pemerintah  Kota  Medan  telah  melakukan  berbagai  upaya  pencegahan  sesuai  dengan  Perda  No.  1 Tahun  2012 tentang  Pencegahan  dan  Penanggulangan  HIV/AIDS,  termasuk sosialisasi perubahan  perilaku, pencegahan penularan dari ibu ke bayi, dan pemberian pengobatan ART. Upaya ini bertujuan mencapai Three Zero 2030: nol kasus HIV baru, nol kematian akibat AIDS, dan nol diskriminasi terhadap ODHA (Republika, 2022).
Meskipun begitu, banyak masyarakat yang masih belum memahami bahaya HIV/AIDS dan enggan melakukan pemeriksaan karena stigma sosial. Akibatnya, penyebaran kasus HIV/AIDS masih meningkat, jauh dari  target  pemerintah  untuk  mencapai  nol  kasus  pada  tahun 2030.  Untuk itu, diperlukan  pendekatan  lebih lanjut,  seperti  penggunaan Model Markov  untuk memprediksi  perkembangan  HIV/AIDS  dalam  8  tahun  ke depan di Kota Medan, guna membantu pemerintah merancang strategi yang lebih efektif.

## 2. METODE PENELITIAN
Tempat penelitian dilaksanakan di Dinas Kesehatan Kota Medan yang beralamat Jl. Rotan, Petisah Tengah, Kec. Medan Petisah, Kota Medan, Sumatera Utara. variabel yang akan digunakan, yaitu; 1. State 1, data “infeksi HIV” yang ditandai dengan gejala awal demam, nyeri otot, sakit kepala, influenza, sakit tenggorokan, gangguan gastrointestinal dan munculnya bercak merah.
2. State 2,  data  “ODHA On ART”  merupakan  tahap  penderita  HIV/AIDS  menerima  terapi  Antiretroviral (ART)  sebagai  terapi  untuk  mengurangi  penularan  HIV/AIDS  dan  penderita  yang  baru  memulai menggunakan ART.
3. State 3, data “meninggal” ialah penderita yang dinyatakan meninggal akibat HIV/AIDS dan meninggal akibat ketidakpatuhan penggunaan ART.
Prosedur  penelitian  pada  suatu  penelitian  kuantitatif  adalah  operasionalisasi  metode  ilmiah  dengan memperhatikan  unsur-unsur  keilmuan.  Kegiatan  penelitian  diawali  dengan  mengidentifikasi  masalah, mereview  kepustakaan,  menetapkan  tujuan  penelitian,  mengumpulkan  data,  menganalisis  dan menginterpretasi  data,  dan  melaporkan  serta  mengevaluasi  penelitian.  Pada  prosedur  penelitian  ini  akan dijelaskan langkah-langkah pengolahan data. Langkah-langkah yang akan dilakukan, ialah:
1. Menentukan State sistem dan Diagram State pada variabel perkembangan penyakit HIV/AIDS Pada  tahap  ini  akan  ditentukan State sistem  dan  memberi  tanda  pada  setiap State sistem  untuk menggambarkan  diagram State pada  variabel  perkembangan  penyakit  HIV/AIDS,  yaitu 𝑥 𝑛 = [1,2,3] . Selanjutnya, State sistem tersebut dibuat menjadi suatu Diagram State sebagai transisi dari satu keadaan ke keadaan lainnya. Berikut diagram State perkembangan penyakit HIV/AIDS.
https://jurnal.unsulbar.ac.id/index.php/saintifik
Gambar 2. Diagram State Penyakit HIV/AIDS yang digunakan untuk mendeskripsikan Perkembangan Penyakit HIV/AIDS
2. Menentukan Matriks Probabilitas Transisi
Pada tahap ini akan ditentukan probabilitas transisi.  Probabilitas transisi merupakan perubahan dari satu State ke State yang lain pada periode waktu (t) dan merupakan proses random yang dibentuk dalam suatu probabilitas. Sehingga diasumsikan markov memiliki probabilitas transisi yaitu: 𝑃 𝑖𝑗 = 𝑃(𝑋 𝑛+1 = 𝑗|𝑋 𝑛 = 𝑖) Maka perubahan tersebut akan dibentuk ke dalam suatu tabel matriks kemungkinan transisi, yaitu;
Tabel 1. Matriks Kemungkinan Transisi Perkembangan Penyakit HIV/AIDS State 1 2 3 1 𝑝 11 𝑝 12 𝑝 13 2 0 𝑝 22 𝑝 23 3 0 0 1
Maka,  Matriks  Probabilitas  transisi  untuk  perubahan State 𝑖 ke 𝑗 untuk 𝑥 𝑛 = 1,23 ,  adalah: 𝑃 = [𝑝 11 𝑝 12 𝑝 13 0 𝑝 22 𝑝 23 0 0 1 ]
3. Menghitung Probabilitas n-langkah
Setelah menentukan probabilitas matriks transisi, selanjutnya akan ditentukan Probabilitas n-langkah sebagai  langkah  untuk  menentukan  peluang  kejadian  di  masa  depan.  Dalam  menentukan  probabilitas  n- langkah, akan digunakan persamaan Chapman-Kolmogorov dalam matriks; 𝑃 𝑛 = 𝑃 𝑛−1 . 𝑃 4. Menentukan Klasifikasi State
Klasifikasi State digunakan  untuk  mengetahui  karakteristik  dari  bentuk  rantai  Markov.  Penentuan karakteristik ini penting, karena digunakan untuk menentukan probabilitas Steady-state . Pada klasifikasi State , akan ditentukan apakah State tersebut terjadi accessible atau communication , irreducible , absorbing dan dapat ditentukan berdasarkan period .
5. Menghitung Probabilitas Steady-state
Probabilitas Steady-state adalah suatu Probabilitas transisi yang telah mencapai kondisi seimbang atau kondisi tetap. Pada tahap probabilitas Steady-state , Secara umum State - State tersebut termasuk pada klasifikasi irreducible , Positive recurrent , aperiodic markov chain. Jika telah memenuhi klasifikasi State , maka dapat ditentukan dengan menggunakan definisi yang diberikan oleh probabilitas Steady-state , yaitu (𝜋 0 𝜋 1 ⋮   𝜋 𝑛 ) = (𝑝 00 𝑝 10 ⋯ 𝑝 𝑛0 𝑝 01 𝑝 11 ⋯ 𝑝 𝑛1 ⋮   𝑝 0𝑛 ⋮   𝑝 1𝑛 ⋮ ⋮    ⋯ 𝑝 𝑛𝑛 ) = (𝜋 0 𝜋 1 ⋮   𝜋 𝑛 ) Setelah mencapai hasil dari nilai tertentu dan memenuhi 𝑗 ≥ 0, 𝑙𝑖𝑚 𝑛→∞ 𝑝 𝑖𝑗 𝑛 ada dan tidak tergantung pada 𝑖 , maka probabilitas tersebut telah mencapai kondisi tetap atau kondisi seimbang.
6. Hasil prediksi Perkembangan Penyakit HIV/AIDS di Kota Medan dari tahun 2022-2030
Tahap ini akan diperoleh hasil dari proses probabilitas n-langkah dan proses akhir Steady-state . Pada proses  probabilitas  n-langkah  akan  diperoleh  hasil  prediksi  dari  tahun  2022-2030  dan  pada  proses  akhir probabilitas Steady-state akan diperoleh hasil prediksi dalam keadaan seimbang atau dalam keadaan tetap.
https://jurnal.unsulbar.ac.id/index.php/saintifik
Gambar 3. Alir Penelitian
3. HASIL DAN PEMBAHASAN 3.1 Hasil
3.1.1 Mendefinisikan State Markov dan Diagram State
State markov yang akan dimodelkan pada penelitian ini adalah;
Tabel 2. State Markov Penyakit HIV/AIDS State Status Keterangan 1 HIV/AIDS Pasien yang melaku tes didiagnosis HIV/AIDS 2 ODHA On ART Penderita HIV/AIDS menerima rujukan terapi Antiretroviral (ART) dan telah memulai ART 3 Meninggal Penderita yang dinyatakan meninggal akibat HIV/AIDS dan ketidakpatuhan penggunaan ART
Selanjutnya state tersebut dibentuk menjadi suatu diagram state sebagai transisi dari satu keadaan ke keadaan lainnya. Maka diagram state yang sesuai dengan perkembangan penyakit HIV/AIDS, sebagai berikut;
Gambar 4. Diagram State Penyakit HIV/AIDS
https://jurnal.unsulbar.ac.id/index.php/saintifik
Berdasarkan  Gambar  4.2,  perpindahan  state  yang  mungkin  terjadi  pada  perkembangan  penyakit HIV/AIDS memiliki 6 transisi yaitu perpindahan dari state 1 ke state 1, state 1 ke state 2, state 1 ke state 3, state 2 ke state 2, state 2 ke state 3, state 3 ke state 3.

## 3.1.2 Menentukan Matriks Probabilitas Transisi
Data yang digunakan pada penelitian adalah Data Sekunder. Data ini diperoleh dari Dinas Kesehatan Provinsi Sumatera Utara yang beralamat Jl. Prof. H. M. Yamin No. 31AA, Perintis, Kec. Medan Tim., Kota Medan,  Sumatera  Utara.  Data  yang  akan  digunakan  pada  penelitian ini  adalah  data  laporan  kasus  penyakit HIV/AIDS di Kota Medan dalam periode 4 tahun, yang dimulai dari tahun 2019 hingga tahun 2022. Selain itu data yang diambil ialah data Kasus HIV, ODHA On ART (Orang Dengan HIV/AIDS dalam Antiretroviral) dan kasus meninggal Akibat HIV/AIDS. Berikut grafik kasus HIV, ODHA On ART dan Kasus Meninggal di Kota Medan:
Gambar 5. Grafik Kasus HIV/AIDS di Kota Medan
di Kota Medan, dari tahun 2019 hingga tahun 2022 terdapat 170,086 orang yang telah melakukan tes HIV/AIDS berdasarkan pasien yang secara sukarela melakukan tes HIV/AIDS dan inisiasi petugas kesehatan, dari seluruh pasien yang melakukan tes terdapat 5790 penderita yang diDiagnosa HIV/AIDS. Sehingga, total kemungkinan transisi yang terjadi di Kota Medan pada tahun 2019 hingga 2022 berdasarkan 3 state, ialah;
Tabel 3 . Jumlah total transisi pasien yang diamati berdasarkan 3 state (keadaan), dari tahun 2019 hingga
2022 State (𝑖) To (𝑗) State 1 State 2 State 3 Total HIV/AIDS ODHA On ART Meninggal Ringkasan kemungkinan transisi tahun 2019-2022 State 1 5790 3556 486 9832 HIV/AIDS State 2 0 1117 75 1192 ART State 3 0 0 1332 1332 Meninggal Total 5790 4673 483 12346
Pada tabel 4 terlihat jika jumlah keseluruhan laporan kasus penyakit HIV/AIDS di Kota Medan pada periode tahun 2019 hingga 2022 terdapat 5790 pasien yang di Diagnosis HIV/AIDS, terdapat 3556 pasien yang
0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000 2019 2020 2021 2022
Laporan HIV/AIDS Di Kota Medan
HIV+ ODHA on ART Meninggal
dirujuk terapi Antiretroviral, terdapat 1117 pasien yang baru memulai terapi Antiretroviral, terdapat 486 pasien yang  meninggal  akibat  HIV/AIDS,  terdapat  75  pasien  ART  yang  meninggal  akibat  adanya  ketidakpatuhan pada penggunaan terapi Antiretroviral  dan terdapat 1332 pasien yang meninggal akibat penyakit terkait. Maka, berdasarkan  tabel  4  diperoleh  suatu  Matriks  Kemungkinan  transisi  merupakan  proses  random  yang  akan dibentuk dalam suatu probabilitas, sebagai berikut:
Tabel 4. Matriks Kemungkinan Transisi Perkembangan Penyakit HIV/AIDS di Kota Medan
State (i) To (𝑗) State 1 State 2 State 3 HIV/AIDS ODHA On ART Meninggal State 1 0,59 0,36 0,05 HIV/AIDS State 2 0 0,94 0,06 ART State 3 0 0 1 Meninggal
Perhitungan probabilitas diatas dihitung dengan menggunakan persamaan 2.2;
𝑃 𝑖𝑗 = 𝑃 ( 𝑋 𝑛+1 = 𝑗 | 𝑋 𝑛 = 𝑖) = ∑ ⬚ ⬚ 𝑗 𝑥 𝑖𝑗 𝑁 𝑖
(1) State 1 (HIV/AIDS) → State 1 (HIV/AIDS): 𝑃 11 = 5790 9832 = 0,59
(2) State 1 (HIV/AIDS) → State 2 (ODHA ON ART) = 𝑃 12 = 3556 9832 = 0,36
(3) State 1 (HIV/AIDS) → State 3 (Meninggal) = 𝑃 13 = 486 9832 = 0,05
(4) State 2 (ODHA ON ART) → State 2 (ODHA ON ART) = 𝑃 22 = 1117 1192 = 0,94
(5) State 2 (ODHA ON ART) → State 3 (Meninggal) = 𝑃 23 = 75 1192 = 0,06
Dari  hasil  tersebut,  menunjukkan  bahwa  probabilitas  perkembangan  penyakit  HIV/AIDS  di  kota medan adalah pada state 1 (HIV) bernilai 0.59 state 1 menuju state 2 bernilai 0.36 , state 1 menuju state 3 bernilai 0.05 ,  state  2  (ODHA  On  ART)  bernilai 0.94 ,  state  2  menuju  state  3  bernilai 0.06 dan  state  3 merupakan state absorbing , karena pada state tersebut tidak ada kemungkinan transisi pada state meninggal sehingga  nilai  yang  diperoleh  ialah  1.  Berdasarkan  nilai  yang  telah  diperoleh,  Maka  matriks  probabilitas transisi dari perkembangan penyakit HIV/AIDS di Kota Medan ialah:
𝑃 = [𝑝 11 𝑝 12 𝑝 13 0 𝑝 22 𝑝 23 0 0 1 ] = [0,59 0,36 0,05 0 0,94 0,06 0 0 1 ]
Diagram Transisi untuk State Probabilitas Transisi berdasarkan matriks probabilitas transisi yang telah diperoleh, sebagai berikut:
Gambar 6. Diagram State Transisi Penyakit HIV/AIDS di Kota Medan

## 3.2.3 Menghitung Probabilitas n-langkah
Probabilitas n-langkah adalah suatu peluang bersyarat pada suatu sistem yang berada pada state 𝑖 dan akan berada pada state 𝑗 setelah melewati proses matriks probabilitas transisi. Tahap probabilitas n–langkah ini digunakan untuk menentukan hasil perkembangan penyakit HIV/AIDS atau kejadian yang akan terjadi di
masa depan. Dalam penelitian ini, akan ditentukan perkembangan Penyakit HIV/AIDS dalam 8 tahun kedepan untuk mengetahui pencapaian pemerintah pada target Three Zero 2030 atau bebas insiden pada tahun 2030. Dengan matriks probabilitas transisi nya,
𝑷 = [0,59 0,36 0,05 0 0,94 0,06 0 0 1 ]
Sehingga probabilitas n-langkah dengan 𝑛 = 1,2,3,4,5,6,7,8 Menggunakan persamaaan 2.7
𝑃 (𝑛) = 𝑃 (𝑛−1) ∙ 𝑃 (1) = 𝑃 𝑛−1 ∙ 𝑃 Maka diperoleh, Probabilitas perkembangan penyakit HIV/AIDS dengan 𝑛 = 1 . 𝑃 1 = 𝑃 (1−1) ∙ 𝑃 (1) = 𝑃 0 . 𝑃 1 = 1. [0,59 0,36 0,05 0 0,94 0,06 0 0 1 ] = [0,59 0,36 0,05 0 0,94 0,06 0 0 1 ]
𝑃 1 = [0,59 0,36 0,05 0 0,94 0,06 0 0 1 ]
Probabilitas perkembangan penyakit HIV/AIDS dengan 𝑛 = 2 . 𝑃 2 = 𝑃 (2−1) ∙ 𝑃 (1) = 𝑃 1 . 𝑃 1 = [0,59 0,36 0,05 0 0,94 0,06 0 0 1 ]. [0,59 0,36 0,05 0 0,94 0,06 0 0 1 ] = [0,34 0,55 0,1 0 0,88 0,12 0 0 1 ] 𝑃 2 = [0,34 0,55 0,1 0 0,88 0,12 0 0 1 ]
Probabilitas perkembangan penyakit HIV/AIDS dengan 𝑛 = 3 . 𝑃 3 = 𝑃 (3−1) ∙ 𝑃 (1) = 𝑃 2 . 𝑃 1 = [0,34 0,55 0,1 0 0,88 0,12 0 0 1 ]. [0,59 0,36 0,05 0 0,94 0,06 0 0 1 ] = [0,21 0,64 0,15 0 0,83 0,2 0 0 1 ] 𝑃 3 = [0,21 0,64 0,15 0 0,83 0,2 0 0 1 ]
Probabilitas perkembangan penyakit HIV/AIDS dengan 𝑛 = 4 . 𝑃 4 = 𝑃 (4−1) ∙ 𝑃 (1) = 𝑃 3 . 𝑃 1 = [0,21 0,64 0,15 0 0,83 0,2 0 0 1 ]. [0,59 0,36 0,05 0 0,94 0,06 0 0 1 ] = [ 0,12 0,67 0,25 0 0,78 0,30 0 0 1 ] 𝑃 4 = [ 0,12 0,67 0,25 0 0,78 0,30 0 0 1 ]
Probabilitas perkembangan penyakit HIV/AIDS dengan 𝑛 = 5 𝑃 5 = 𝑃 (5−1) ∙ 𝑃 (1) = 𝑃 4 . 𝑃 1 = [ 0,12 0,67 0,25 0 0,78 0,30 0 0 1 ]. [0,59 0,36 0,05 0 0,94 0,06 0 0 1 ] = [ 0,07 0,67 0,25 0 0,73 0,30 0 0 1 ] 𝑃 5 = [ 0,07 0,67 0,25 0 0,73 0,30 0 0 1 ]
Probabilitas perkembangan penyakit HIV/AIDS dengan 𝑛 = 6 𝑃 6 = 𝑃 (6−1) ∙ 𝑃 (1) = 𝑃 5 . 𝑃 1 = [ 0,07 0,67 0,25 0 0,73 0,30 0 0 1 ]. [0,59 0,36 0,05 0 0,94 0,06 0 0 1 ] = [ 0,04 0,65 0,30 0 0,68 0,34 0 0 1 ] 𝑃 6 = [ 0,04 0,65 0,30 0 0,68 0,34 0 0 1 ]
Probabilitas perkembangan penyakit HIV/AIDS dengan 𝑛 = 7 𝑃 7 = 𝑃 (7−1) ∙ 𝑃 (1) = 𝑃 6 . 𝑃 1 = [ 0,04 0,65 0,30 0 0,68 0,34 0 0 1 ]. [0,59 0,36 0,05 0 0,94 0,06 0 0 1 ] =
0,02 0,62 0,34 0 0,60 0,38 0 0 1
𝑃 7 = [0,02 0,62 0,34 0 0,60 0,38 0 0 1 ]
Probabilitas perkembangan penyakit HIV/AIDS dengan 𝑛 = 8 𝑃 8 = 𝑃 (8−1) ∙ 𝑃 (1) = 𝑃 7 . 𝑃 1 = [ 0,02 0,62 0,34 0 0,60 0,38 0 0 1 ]. [0,59 0,36 0,05 0 0,94 0,06 0 0 1 ] = [ 0,01 0,59 0,40 0 0,56 0,43 0 0 1 ]
𝑃 8 = [  0,01 0,59 0,40 0 0,56 0,43 0 0 1 ]
Pada periode pertama atau pada 𝑛 = 1 , probabilitas pada tahun pertama, pada keadaan HIV memiliki probabilitas 0.59 , keadaan HIV menuju Keadaan ODHA On ART memiliki Probabilitas 0.36 , keadaan HIV menuju  keadaan  meninggal  memiliki  probabilitas 0.05 dimana  dalam  8  tahun  mengalami  peningkatan, keadaan ODHA On ART memiliki probabilitas 0.94 , namun pada keadaan ODHA On ART menuju keadaan meninggal memiliki probabilitas yang cukup tinggi yaitu 0.06 , pada keadaan meninggal pada ODHA On ART ini dikarenakan adanya penderita yang tidak melanjutkan terapi ARV atau ART, sehingga keadaan tersebut meningkatkan  resiko  kematian  pada  penderita  HIV/AIDS.  Selanjutnya,  pada  periode  ke-8  atau 𝑛 = 8 , probabilitas  pada  periode  tersebut,  pada  keadaan  HIV  memiliki  probabilitas 0.01 ,  keadaan  HIV  menuju Keadaan  ODHA  On  ART  memiliki  Probabilitas 0.60 ,  keadaan  HIV  menuju  keadaan  meninggal  memiliki probabilitas 0.38 dimana  dalam  8  tahun  mengalami  peningkatan,  keadaan  ODHA  On  ART  memiliki probabilitas 0.59 ,  namun  pada keadaan  ODHA  On  ART menuju  keadaan meninggal memiliki  probabilitas 0.40 dan  pada  periode  ke-8  keadaan  meninggal  diakibatkan  berhenti  melakukan  terapi  Antiretroviral  atau ART.  Namun, pada periode ke-8 atau pada tahun 2030, target pemerintah menuju three zero HIV/AIDS di Kota Medan masih belum tercapai. Sehingga, dengan ini akan ditentukan nilai probabilitas dengan keadaan HIV/AIDS mencapai nol serta nilai peluang konvergen, sebagai berikut;
https://jurnal.unsulbar.ac.id/index.php/saintifik
1) 𝑛 = 10 𝑃 10 = 𝑃 9 . 𝑃 1 = [0,008 0,57 0,42 0 0,56 0,44 0 0 1 ] ∙ [0,59 0,36 0,05 0 0,94 0,06 0 0 1 ] = [0,005 0,53 0,45 0 0,52 0,47 0 0 1 ]
2) 𝑛 = 19 𝑃 19 = 𝑃 18 . 𝑃 1 = [0,0001 0,32 0,68 0 0,31 0,69 0 0 1 ] ∙ [0,59 0,36 0,05 0 0,94 0,06 0 0 1 ] = [0 0,31 0,69 0 0,35 0,71 0 0 1 ]
3) 𝑛 = 50
𝑃 50 = 𝑃 49 . 𝑃 1 = [0 0,05 0,99 0 0,05 0,99 0 0 1 ] ∙ [0,59 0,36 0,05 0 0,94 0,06 0 0 1 ] = [0 0,04 0,99 0 0,04 0,99 0 0 1 ]
4) 𝑛 = 80
𝑃 80 = 𝑃 79 . 𝑃 1 = [0 0,008 0,99 0 0,008 0,99 0 0 1 ] ∙ [0,59 0,36 0,05 0 0,94 0,06 0 0 1 ] = [0 0 1 0 0 1 0 0 1 ]
Berdasarkan hasil perhitungan probabilitas yang telah dihitung menggunakan persamaan Chapman- Kolmogorov , probabilitas yang diperoleh seseorang individu ke setiap keadaan dalam waktu 8 tahun dan telah mencapai keadaan konvergen ialah:
Tabel 5. Probabilitas perpindahan dari keadaan 𝑖 ke keadaan 𝑗 pada waktu 𝑡 n STATE 1 →1 1→2 1→3 2→2 2→3 1 0,59 0,36 0,05 0,94 0,06 2 0,34 0,55 0,10 0,88 0,12 3 0,21 0,64 0,15 0,83 0,20 4 0,12 0,67 0,20 0,78 0,25 5 0,07 0,67 0,25 0,73 0,30 6 0,04 0,65 0,30 0,68 0,34 7 0,02 0,62 0,34 0,60 0,38 8 0,01 0,59 0,40 0,56 0,43 10 0,005 0,53 0,45 0,52 0,47 19 0 0,30 0,70 0,29 0,71 50 0 0,04 0,99 0,04 0,99 80 0 0 1 0 1
Sehingga berdasarkan tabel 6 pada periode 8, HIV/AIDS semakin menurun, namun belum mencapai target  pemerintah  dalam  mencapai Three  Zero HIV/AIDS.  Dan  pada  periode  8,  keadaan  ODHA on ART menuju keadaan meninggal meningkat diakibatkan adanya ketidakpatuhan terhadap penggunaan terapi ARV atau ART.  Target pemerintah dalam mencapai Three Zero HIV/AIDS, tercapai pada periode ke-19 (𝑛 = 19) . Pada  periode  tersebut,  penderita  HIV/AIDS  sudah  mencapai  nilai  nol.  Namun,  pada  tahun  tersebut  masih terdapat penderita HIV/AIDS yang sedang melaksanakan terapi Antiretroviral serta meningkatnya pasien yang meninggal  akibat  HIV/AIDS  dan  akibat  ketidakpatuhan  pada  terapi  antiretroviral.  Peluang  konvergen  atau keadaan konstan dicapai pada periode ke-80. Pada periode tersebut, keadan HIV/AIDS dan ODHA On ART berada  pada  probabilitas  0  atau  0%,  sedangkan  keadaaan  meninggal  akibat  HIV/AIDS  dan  berhentinya penderita dalam melakukan terapi ART memiliki probabilitas 1 atau 100%.

## 3.2.4 Menentukan Klasifikasi State
Klasifikasi state digunakan untuk menyelidiki dan mengklasifikasikan beberapa jenis keadaan yang lebih umum yang dapat terjadi dalam suatu markov. Dalam markov, state akan diklasifikasi ke beberapa jenis keadaan  yang  sering  terjadi.  Sehingga  dalam  kasus  perkembangan  penyakit  HIV/AIDS,  dengan  peluang transisi,
𝑃 = [0,59 0,36 0,05 0 0,94 0,06 0 0 1 ] dan diagram transisi yang dimiliki,
https://jurnal.unsulbar.ac.id/index.php/saintifik
Gambar 6. Diagram Transisi Perkembangan Penyakit HIV/AIDS
Sehingga klasifikasi state yang diperoleh berdasarkan diagram transisi pada gambar 4.4, ialah;
1. State Accessible , karena 1 →2, 1→3, 2→3.
2. State tidak saling berkomunikasi ( communication ), karena pada diagram transisi pada gambar 4.4, tidak terdapat state yang memenuhi 𝑖 ↔ 𝑗 ⟺ 𝑖 → 𝑗 ∧ 𝑗 → 𝑖 . 3. State tidak irreducible, karena state tidak saling berkomunikasi satu sama lain.
4. Terdapat state absorbing , yaitu pada 𝑃 33 = 1 memenuhi probabilitas yang dicirikan dengan 𝑝 𝑖𝑖 = 1 , karena pada state tersebut tidak ada jalan keluar dari State absorbing . 5. State dikatakan transient , proses probabilitas tidak pernah kembali ke keadaan 𝑖 pada state 1 dan state 2. Berdasarkan diagram transisi yang ditunjukkan pada gambar 4.4, Untuk 𝑃 1 ,
𝑃 1 (1) = 0,59, 𝑃 1 (2) = 0,59 ∙ 0,36 = 0,21, 𝑃 1 (3) = 0,59 ∙ 0,36 ∙ 0,05 = 0,01,
Maka, ∑ ⬚ ∞ 𝑛=1 𝑝 1 (𝑛) < ∞ .
Untuk 𝑃 2 ,
𝑃 2 (1) = 0,94, 𝑃 2 (2) = 0,94 ∙ 0,06 = 0,56
Maka, ∑ ⬚ ∞ 𝑛=1 𝑝 2 (𝑛) < ∞ .
Sehingga memenuhi ∑ ⬚ ∞ 𝑛=1 𝑝 1 (𝑛) < ∞ .
6. State tersebut merupakan state aperiodic , karena 1 periode.

## 3.2.5 Menghitung Probabilitas Steady-state
Probabilitas Steady-state adalah  suatu  probabilitas  transisi  yang  telah  mencapai  keadaan  yang seimbang  atau  kondisi  tetap.  Dalam  kasus  perkembangan  penyakit  HIV/AIDS, Steady-state diartikan  jika kasus penyakit HIV/AIDS telah mencapai keadaan seimbang atau telah mencapai nilai konvergensi. Untuk menentukan keadaan steady-state , akan digunakan persamaan (12) berikut; ∏ = 𝑃 𝑇 ∏ (𝜋 0 𝜋 1 ⋮   𝜋 𝑛 ) = ( 𝑝 00 𝑝 10 ⋯ 𝑝 𝑛0 𝑝 01 𝑝 11 ⋯ 𝑝 𝑛1 ⋮ 𝑝 0𝑛 ⋮ 𝑝 1𝑛 ⋮ ⋮    ⋯ 𝑝 𝑛𝑛 )(𝜋 0 𝜋 1 ⋮   𝜋 𝑛 ) Sehingga diperoleh,
[𝜋 1 𝜋 2 𝜋 3 ] = [ 0,59 0 0 0,36 0,94 0 0,05 0,06 1 ][𝜋 1 𝜋 2 𝜋 3 ] Dengan persamaan 𝜋 1 + 𝜋 2 + 𝜋 3 = 1 , maka berdasarkan matriks tersebut, diperoleh suatu persamaan sebagai berikut;
{ 0,59 𝜋 1 = 𝜋 1 ( 1 ) 0,36𝜋 1 + 0,94𝜋 2 = 𝜋 2 ( 2 ) 0,05𝜋 1 + 0,06𝜋 2 +𝜋 3 = 𝜋 3 ( 3 )   𝜋 1 + 𝜋 2 + 𝜋 3 = 1 (4) Dengan menggunakan metode substitusi. Maka hasil yang diperoleh dari persamaan tersebut, sebagai berikut;
Persamaan (1)
0,59 𝜋 1 = 𝜋 1 (1)
0,59 𝜋 1 = 𝜋 1 0,59 𝜋 1 − 𝜋 1 = 0 −0,40 𝜋 1 = 0 𝜋 1 = − 0 0,4 𝜋 1 = 0
Persamaan (2)
https://jurnal.unsulbar.ac.id/index.php/saintifik
0,36𝜋 1 + 0,94𝜋 2 = 𝜋 2 (2) 0,36𝜋 1 + 0,94𝜋 2 = 𝜋 2 Dengan 𝜋 1 = 0 , maka
0,36(0) + 0,94𝜋 2 = 𝜋 2 0,94𝜋 2 = 𝜋 2 0,94𝜋 2 − 𝜋 2 = 0 −0,06𝜋 2 = 0 𝜋 2 = − 0 0,06
𝜋 2 = 0 Persamaan (4)
𝜋 1 + 𝜋 2 + 𝜋 3 = 1 (4) 𝜋 1 + 𝜋 2 + 𝜋 3 = 1 0 + 0 + 𝜋 3 = 1
𝜋 3 = 1 Berdasarkan  hasil  yang  diperoleh  hasil  yang  diperoleh  dari  persamaan  tersebut  ialah 𝜋 1 = 0 𝜋 2 = 0 𝜋 3 = 1 . Karena rantai tersebut menunjukkan keadaan aperiodic , probabilitas tersebut telah mencapai limit probabilitas  atau limiting  Probability .  Sehingga,  probabilitas  kemungkinan  pada  masa  depan  keadaan HIV/AIDS mencapai probabilitas 0 , keadaan ODHA On ART mencapai 0 dan pada keadaan meninggal 1 . Maka, dapat diartikan di masa depan keadaan HIV/AIDS telah mencapai 0% atau nol HIV/AIDS dan pada pengguna ART telah mencapai 0%, namun pada keadaan meninggal telah mencapai keadaan 100% meninggal akibat HIV/AIDS.

## 3.2.6 Hasil Perkembangan Penyakit HIV/AIDS di Kota Medan
Dalam  penelitian  ini,  model  Markov  digunakan  untuk  mendeskripsikan  perkembangan  penyakit HIV/AIDS di Kota Medan. Data yang digunakan untuk mengetahui perkembangan penyakit HIV/AIDS yang digunakan  pada  penelitian  ini  adalah  populasi  yang  terinfeksi  HIV/AIDS,  menerima  terapi  ART,  dan meninggal.  Untuk  menentukan  perkembangan  dengan  model  Markov  hal  yang  harus  dilakukan  adalah menentukan state serta diagram transisi. Selanjutnya, hal utama dalam menentukan perkembangan penyakit HIV/AIDS adalah matriks probabilitas transisi. Pada penelitian ini, maka diperoleh suatu diagram transisi yang ditunjukkan  pada  gambar  4.1.  dari  diagram  tersebut  diperoleh  suatu  probabilitas  perkembangan  penyakit HIV/AIDS yang ditentukan dengan menggunakan matriks probabilitas transisi. Dari penelitian ini, Matriks probabilitas transisi nya ialah;
𝑃 = [0,59 0,36 0,05 0 0,94 0,06 0 0 1 ]
Berdasarkan matriks tersebut, maka probabilitas yang diperoleh pada state 1 (HIV/AIDS) ke state 2 (ODHA On ART) ialah 0,36 , state 1 (HIV/AIDS) ke state 3 (Meninggal) ialah 0,05 , state 2 (ODHA On ART) menuju  state  3  (meninggal)  ialah 0,06 .  Dalam  penelitian  ini  juga,  diperoleh  perkembangan  penyakit HIV/AIDS dalam 8 tahun kedepan. Untuk menentukan perkembangan penyakit dalam 8 tahun kedepan, maka digunakan  probabilitas  n-langkah  dengan  persamaan chapman-kolmogorov (2.8), 𝑃 (𝑛) = 𝑃 (𝑛−1) ∙ 𝑃 (1) = 𝑃 𝑛−1 ∙ 𝑃 ,  Sehingga  dengan  menggunakan  persamaan  tersebut,  maka  diperoleh  hasil  probabilitas perkembangan HIV/AIDS dalam 8 tahun kedepan, yang ditampilkan pada tabel berikut:
Tabel 6. Perkembangan Penyakit HIV/AIDS di Kota Medan dalam Periode 8 tahun, dari tahun 2019-2030
𝑛 Tahun State 1-1 HIV/AIDS State 1-2 HIV/AIDS → ODHA On ART State 1-3 HIV/AIDS →Meningg al State 2-2 ODHA On ART State 2-3 ODHA On ART→Me ninggal 1 2023 0,59 0,36 0,05 0,94 0,06 2 2024 0,34 0,55 0,10 0,88 0,12 3 2025 0,21 0,64 0,15 0,83 0,20
https://jurnal.unsulbar.ac.id/index.php/saintifik
4 2026 0,12 0,67 0,20 0,78 0,25 5 2027 0,07 0,67 0,25 0,73 0,30 6 2028 0,04 0,65 0,30 0,68 0,34 7 2029 0,02 0,62 0,34 0,60 0,38 8 2030 0,01 0,59 0,40 0,56 0,43 10 2032 0,005 0,53 0,45 0,52 0,47 19 2041 0 0,30 0,70 0,29 0,71
Dari tabel tersebut, maka dapat disimpulkan pada tahun 2030 target pemerintah dalam mencapai Three Zero HIV/AIDS belum tercapai, karena pada keadaan HIV/AIDS masih memiliki probabilitas 0.59 (59%), perpindahan keadaan HIV/AIDS ke keadaan ODHA On ART memiliki probabilitas 0.36 (36%) , perpindahan keadaan HIV/AIDS menuju keadaan meninggal akibat HIV/AIDS memiliki probabilitas 0.05 (5%) , keadaan ODHA On ART 0.94 (94%) dan pada perpindahan keadaan ODHA On ART menuju keadaan meninggal cukup tinggi  yaitu  0.06  (6%).  Hal  yang  mengakibatkan  keadaan  ODHA  On  ART  menuju  keadaan  meninggal  ini cukup tinggi ialah akibat adanya pasien yang tidak melanjutkan terapi Antretroviral atau tidak patuh terhadap penggunaan terapi Antiretroviral.
Maka  berdasarkan  hasil  yang  telah  diperoleh,  pada  tahun  2030  keadaan  HIV/AIDS  cenderung menurun,  sedangkan  keadaan  meninggal  akibat  HIV/AIDS  serta  akibat  ketidakpatuhan  pada  penggunaan terapi Antiretroviral terdapat peningkatan. Selain itu target pemerintah dalam mencapai Three Zero HIV/AIDS tercapai  pada  periode 𝑛 = 19 atau  tahun  2041,  berdasarkan  tabel  kasus  HIV/AIDS  di  periode  19  telah mencapai  nol  kasus  HIV/AIDS,  namun  masih  terdapat  penderita  HIV/AIDS  yang  menjalankan  terapi Antiretroviral dan kasus meninggal akibat HIV/AIDS.
Hasil  Rekapitulasi  peningkatan  atau  penurunan  setiap  tahunnya  dapat  digambarkan  melalui  grafik, sebagai berikut;
Gambar 7. Grafik Perkembangan Penyakit HIV/AIDS di Kota Medan Tahun 2023-2030

## 3.2 Pembahasan
Tahap  pertama  yang  dilakukan  untuk  mengetahui  penerapan  model  markov  pada  perkembangan penyakit HIV/AIDS ialah mendefinisikan state markov dan diagram state. State markov yang digunakan pada penelitian ini adalah 𝑥 = [1,2,3] dengan state 1 merupakan keadaan pasien yang didiagnosis HIV/AIDS, state 2  merupakan  penderita  yang  sedang  melaksanakan  terapi  ART  dan  yang  baru  memulai  art  dan  state  3 merupakan pasien yang meninggal akibat HIV/AIDS dan akibat berhenti menggunakan ART. Hasil ini dapat dilihat pada tabel 3 dan gambar 4.2, dimana pada tabel 3 dijelaskan state yang akan digunakan dan pada gambar 4.2 dijelaskan diagram state atau transisi perkembangan penyakit HIV/AIDS.
Pada tahap kedua ditentukan Matriks Probabilitas Transisi. Berdasarkan tabel 3 dengan menggunakan persamaan 2.2, maka diperoleh suatu probabilitas transisi dan matriks probabilitas transisi. Maka hasil yang diperoleh  adalah  HIV  memiliki  probabilitas  sebesar 0.59 ,  ODHA  On  ART  sebesar 0.94 dan  Meninggal bernilai 1. Setelah itu akan diperoleh suatu diagram state transisi berdasarkan dari hasil probabilitas transisi yang telah diperoleh pada gambar 4.3. Pada gambar 4.3, dijelaskan jika state HIV memiliki probabilitas transisi
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 Perkembangan Penyakit HIV/AIDS Di Kota Medan State 1-1 HIV/AIDS State 1-2 (HIV/AIDS®ODHA on ART) State 1-3 (HIV/AIDS®Meninggal) State 2-2 ODHA On ART State 2-3 (ODHA On ART®Meninggal)
https://jurnal.unsulbar.ac.id/index.php/saintifik
sebesar 0.59 , state HIV menuju State ODHA On ART memiliki probabilitas sebesar 0.36 , state HIV menuju state  meninggal  memiliki  probabilitas  transisi  sebesar 0.05 ,  state  ODHA  On  ART  memiliki  probabilitas transisi  sebesar 0.94 ,  state  ODHA  On  ART  menuju  state  meninggal 0.06 dan  state  meninggal  memiliki probabilitas transisi sebesar 1.
Langkah selanjutnya ialah menghitung perkembangan Penyakit HIV/AIDS di Kota Medan dalam 8 tahun yaitu periode 2023 hingga 2030. Untuk menghitung perkembangan penyakit HIV/AIDS di Kota Medan, akan  dilakukan  dengan  menggunakan  persamaan  2.7  yang  merupakan  persamaan  Chapman-Kolmogorov. Hasil yang peroleh dengan menggunakan persamaan Chapman-Kolmogorov adalah Perkembangan Penyakit HIV/AIDS di Kota Medan dalam 8 tahun adanya penurunan pasien yang terdiagnosa HIV/AIDS, kenaikan dan penurunan yang signifikan pada ODHA On ART, namun pada keadaan meninggal terdapat peningkatan. Pada periode 8, target pemerintah dalam mencapai Three Zero HIV/AIDS belum tercapai. Namun, pada periode ke- 20,  target  pemerintah  untuk  mencapai  nilai  nol  penderita  HIV/AIDS  telah  tercapai.  Selain  itu,  peluang konvergen atau nilai yang mendekati batas probabilitas berada pada periode ke-80 atau 𝑃 80 . Selanjutnya akan ditentukan  klasifikasi  state  yang  digunakan  untuk  mengetahui  hasil  probabilitas Steady-state atau  keadaan seimbang. Untuk menentukan klasifikasi state, akan digunakan pembahasan 2.3.5. maka, klasifikasi state yang diperoleh ialah state Accessible , state tidak saling berkomunikasi, tidak Irreducible , namun state mengalami absorbing , transient State¸serta state Aperiodic . Pada langkah terakhir akan ditentukan Probabilitas Steady- state atau  batas  dari  probabilitas  ( Limiting  Probability) .  Probabilitas steady-state yang  diperoleh  pada perkembangan  penyakit  HIV/AIDS  di  Kota  medan  dapat  dilihat  pada  pembahasan  4.1.5,  dimana  hasil perkembangan  Penyakit  HIV/AIDS  memiliki  batas  probabilitas 𝜋 1 = 0 𝜋 2 = 0 𝜋 3 = 1 ,  artinya  keadaan HIV/AIDS  dan  ODHA  On  ART  memiliki  probabilitas  0  atau  0%,  dan  terdapat  probabilitas  1  atau  100% meninggal akibat HIV/AIDS dan akibat ketidakpatuhan penderita pada terapi antiretroviral.

## 4. KESIMPULAN
Berdasarkan  penelitian  yang  telah  dilaksanakan,  maka  dapat  ditarik  kesimpulan,  sebagai  berikut; Penerapan Markov pada Perkembangan Penyakit HIV/AIDS di Kota Medan ditentukan dengan menggunakan matriks probabilitas transisi., nilai transisi pada state 1 (HIV) 0,59 , state 1 (HIV) menuju state 2 (ODHA On ART) 0,36 , state 1 (HIV) menuju state 3 (Meninggal) 0,05 , State 2 (ODHA On ART) 0,94 , state 2 (ODHA On ART) menuju State 3 (meninggal) 0,06 , dan state 3 (meninggal) 1. Pada state 3 (meninggal), state tersebut menunjukan klasifikasi state dalam keadaan absorbing .  Perkembangan HIV/AIDS di Kota Medan dalam 8 tahun  kedepan  ditentukan  dengan  menggunakan  persamaan  Chapman-kolmogorov  pada  probabilitas  n- langkah.  Dari  penelitian  yang  telah  dilakukan,  perkembangan  HIV/AIDS  di  Kota  Medan  dalam  8  tahun kedepan, mengalami peningkatan dan penurunan yang signifikan. Dari hasil penelitian yang diperoleh, pada periode ke-8 atau tahun 2030, kasus HIV/AIDS dan ODHA On ART terjadi penurunan, sedangkan pada kasus meninggal  akibat  HIV/AIDS  serta  akibat  adanya  ketidakpatuhan  terhadap  penggunaan  ART  terjadi peningkatan. Dan target pemerintah dalam mencapai nol kasus HIV/AIDS terjadi pada periode ke-19.

## DAFTAR PUSTAKA
Apriani,  A.,  Hanum,  H.,  &  Sukanda,  D.  C.  (2022). Penentuan  Probabilitas  Transisi  Kasus  Tingkat  Risiko Covid-19 Di Kabupaten Ogan Ilir Melalui Rantai Markov [PhD Thesis]. Sriwijaya University.
Azimi, S., Hassannayebi, E., Boroun, M., & Tahmoures, M. (2020). Probabilistic analysis of long-term climate drought  using Steady-state Markov  chain  approach. Water  Resources  Management , 34 (15),  4703– 4724.
BPK RI. (2022). PERDA Prov. Sumatera Utara No. 3 Tahun 2022 tentang Pencegahan dan Penanggulangan Human  Immunodeficiency  Virus  dan  Acquired  Immune  Deficiency  Syndrome  [JDIH  BPK  RI] . https://peraturan.bpk.go.id/Home/Details/226239/perda-prov-sumatera-utara-no-3-tahun-2022
CarltOn, M. A., & Devore, J. L. (2017). Probability with applications in engineering, science, and technology . Springer.
https://jurnal.unsulbar.ac.id/index.php/saintifik
DetikSumut,  T.  (2022). Tertinggi  ke  5,  Puluhan  Ribu  Warga  Sumut  Mengidap  HIV/AIDS .  detiksumut. https://www.detik.com/sumut/berita/d-6033806/tertinggi-ke-5-puluhan-ribu-warga-sumut-mengidap- hivaids
Dobrow, R. P. (2016). Introduction to stochastic processes with R . John Wiley & SOns.
Ghahramani, S. (2018). Fundamentals of probability: With stochastic processes . Chapman and Hall/CRC.
Giawa, F., Lubis, R. S., & Widyasari, R. (2021). Analisis Penjualan Dan Persaingan Air Mineral Kemasan Botol  Selama  Pandemi  Covid-19  Di  Kota  Medan  Menggunakan  Rantai  Markov  Orde  Dua. Math Educa Journal , 5 (1), 74-81.
Goel, K., Grover, G., Sharma, A., & Bae, S. (2018). Multistate Markov model for predicting the natural disease progression of type 2 diabetes based On hemoglobin A1c. Journal of Nephropharmacology , 8 (1), e04– e04.
Hou, Y., Jia, Y., & Hou, J. (2018). Natural Course of Clinically Isolated Syndrome: A Longitudinal Analysis Using a Markov Model. Scientific Reports , 8 (1), Article 1. https://doi.org/10.1038/s41598-018-29206- y
Ibri,  S.,  &  Slimane,  M.  (2022). Probability  Stochastic  Processes  and  Simulation  In  Python  en . https://www.researchgate.net/publication/360767027_Probability_Stochastic_Processes_and_Simula tion_In_Python_en
Irwan. (2018). Irwan: Buku Epidemiologi Penyakit Menular . 1782 . https://repository.ung.ac.id/karyailmiah/show/1782/irwan-buku-epidemiologi-penyakit-menular.html JOnes, P. W., & Smith, P. (2018). Stochastic processes an introduction . Chapman and Hall/CRC.
Kuperberg, M. (2005). Markov Models. 4909 , 48–55. https://doi.org/10.1007/978-3-540-68947-8_8
Lakatos, L., Szeidl, L., & Telek, M. (2019). Markov Chains. In L. Lakatos, L. Szeidl, & M. Telek, Introduction to  Queueing  Systems  with  Telecommunication  Applications (pp.  93–177).  Springer  Internati on al Publishing. https://doi.org/10.1007/978-3-030-15142-3_3
Latifah,  S.,  &  Astuti,  Y.  P.  (2021). Penerapan  Rantai  Markov  Dalam  Menganalisis  Persaingan  Jasa Pengiriman Barang (Ekspedisi) . volume 09 No 03 .
Lie, H. (2019). Infeksi Human Immunodeficiency Virus (HIV) dalam Kehamilan. Cermin Dunia Kedokteran , 46 (5), 346–351.
Limalvin, N. P., Putri, W. C. W. S., & Sari, K. A. K. (2020). Gambaran dampak psikologis, sosial dan ekonomi pada ODHA di Yayasan Spirit Paramacitta Denpasar. Intisari Sains Medis , 11 (1), 81–91.
Apriani,  A.,  Hanum,  H.,  &  Sukanda,  D.  C.  (2022). Penentuan  Probabilitas  Transisi  Kasus  Tingkat  Risiko Covid-19 Di Kabupaten Ogan Ilir Melalui Rantai Markov [PhD Thesis]. Sriwijaya University.
Azimi, S., Hassannayebi, E., Boroun, M., & Tahmoures, M. (2020). Probabilistic analysis of long-term climate drought  using Steady-state Markov  chain  approach. Water  Resources  Management , 34 (15),  4703– 4724.
https://jurnal.unsulbar.ac.id/index.php/saintifik
BPK RI. (2022). PERDA Prov. Sumatera Utara No. 3 Tahun 2022 tentang Pencegahan dan Penanggulangan Human  Immunodeficiency  Virus  dan  Acquired  Immune  Deficiency  Syndrome  [JDIH  BPK  RI] . https://peraturan.bpk.go.id/Home/Details/226239/perda-prov-sumatera-utara-no-3-tahun-2022
CarltOn, M. A., & Devore, J. L. (2017). Probability with applications in engineering, science, and technology . Springer.
DetikSumut,  T.  (2022). Tertinggi  ke  5,  Puluhan  Ribu  Warga  Sumut  Mengidap  HIV/AIDS .  detiksumut. https://www.detik.com/sumut/berita/d-6033806/tertinggi-ke-5-puluhan-ribu-warga-sumut-mengidap- hivaids
Dobrow, R. P. (2016). Introduction to stochastic processes with R . John Wiley & SOns.
Ghahramani, S. (2018). Fundamentals of probability: With stochastic processes . Chapman and Hall/CRC.
Giawa, F., Lubis, R. S., & Widyasari, R. (2021). Analisis Penjualan Dan Persaingan Air Mineral Kemasan Botol  Selama  Pandemi  Covid-19  Di  Kota  Medan  Menggunakan  Rantai  Markov  Orde  Dua. Math Educa Journal , 5 (1), 74-81.
Goel, K., Grover, G., Sharma, A., & Bae, S. (2018). Multistate Markov model for predicting the natural disease progression of type 2 diabetes based On hemoglobin A1c. Journal of Nephropharmacology , 8 (1), e04– e04.
Hou, Y., Jia, Y., & Hou, J. (2018). Natural Course of Clinically Isolated Syndrome: A Longitudinal Analysis Using a Markov Model. Scientific Reports , 8 (1), Article 1. https://doi.org/10.1038/s41598-018-29206- y
Ibri,  S.,  &  Slimane,  M.  (2022). Probability  Stochastic  Processes  and  Simulation  In  Python  en . https://www.researchgate.net/publication/360767027_Probability_Stochastic_Processes_and_Simula tion_In_Python_en
Irwan.
(2018). Irwan: Buku Epidemiologi Penyakit Menular . 1782 . https://repository.ung.ac.id/karyailmiah/show/1782/irwan-buku-epidemiologi-penyakit-menular.html
JOnes, P. W., & Smith, P. (2018). Stochastic processes an introduction . Chapman and Hall/CRC.
Kuperberg, M. (2005). Markov Models. 4909 , 48–55. https://doi.org/10.1007/978-3-540-68947-8_8
Lakatos, L., Szeidl, L., & Telek, M. (2019). Markov Chains. In L. Lakatos, L. Szeidl, & M. Telek, Introduction to  Queueing  Systems  with  Telecommunication  Applications (pp.  93–177).  Springer  Internati on al Publishing. https://doi.org/10.1007/978-3-030-15142-3_3
Latifah,  S.,  &  Astuti,  Y.  P.  (2021). Penerapan  Rantai  Markov  Dalam  Menganalisis  Persaingan  Jasa Pengiriman Barang (Ekspedisi) . volume 09 No 03 .
Lie, H. (2019). Infeksi Human Immunodeficiency Virus (HIV) dalam Kehamilan. Cermin Dunia Kedokteran , 46 (5), 346–351.
Limalvin, N. P., Putri, W. C. W. S., & Sari, K. A. K. (2020). Gambaran dampak psikologis, sosial dan ekonomi pada ODHA di Yayasan Spirit Paramacitta Denpasar. Intisari Sains Medis , 11 (1), 81–91.
https://jurnal.unsulbar.ac.id/index.php/saintifik
Octavia, T. (2018). Penentuan Peluang Transisi HIV-AIDS Progression Model Menggunakan Metode Matriks Force Of Transition Determination Of Transition Probability Of HIV-AIDS Progression Model Using The Force Of Transition Matrix Method [PhD Thesis]. Universitas Mataram.
Prahutama, A., Warsito, B., Mukid, M. A., & Sari, N. P. (2017). Model Stokhastik Antrian Non Poisson Pada Pelayanan Perbankan. Jurnal Statistika Universitas Muhammadiyah Semarang , 5 (1).
Purwono,  F.  H.,  Ulya,  A.  U.,  Purnasari,  N.,  &  Juniatmoko,  R.  (2019). Metodologi  Penelitian  (Kuantitatif, Kualitatif dan Mix Method) . GUEPEDIA.
Republika.  (2022,  November  29). Target  Indonesia  Menuju  “Three  Zero  HIV/AIDS  2030”  Masih  Belum Optimal | Republika On line . https://www.republika.co.id/berita/rm48v9463/target-Indonesia-menuju- three-zero-hivaids-2030-masih-belum-optimal
Sazali, A., Setiadji, B. H., & Haryadi, B. (2019). Aplikasi Model Rantai Markov Dalam Pengelolaan Jalan di Kabupaten Bangka Barat. Rekayasa , 12 (2), 141–150.
Shoko, C., & Chikobvu, D. (2018). Time-homogeneous Markov process for HIV/AIDS progression under a combination  treatment  therapy:  Cohort  study,  South  Africa. Theoretical  Biology  and  Medical Modelling , 15 (1), 1–14.
Siergar, H. C. (2017). Model Rantai Markov Pada Pergerakan Kurs Mata Uang Asing Terhadap Rupiah . 72.
SugiyOno, D. (2013). Metode penelitian pendidikan pendekatan kuantitatif, kualitatif dan R&D .
Taylor, S. (2020). Markov Models: An Introduction to Markov Models . Steven Taylor.
Tribun Medan. (2022). Hingga September 2022, Ada 187 Orang di Kota Medan Tertular HIV, Didominasi Laki-laki .  Tribun-medan.com.  https://medan.tribunnews.com/2022/09/10/hingga-september-2022- ada-187-orang-di-kota-medan-tertular-hiv-didominasi-laki-laki
Urban, D. L., & Wallin, D. O. (2017). Introduction to Markov models. In Learning landscape ecology (pp. 129–142). Springer.
Wahyudi,  S.  R.,  Sari,  R.  F.,  &  Widyasari,  R.  (2021).  Penentuan  Pola  Penyebaran  Curah  Hujan  Harian Kabupaten Karo Dengan Menggunakan Rantai Markov Orde-N. Jurnal Riset dan Aplikasi Matematika (JRAM) , 5 (2), 144-157.