## MODEL MATEMATIKA KANKER PARU – PARU AKIBAT PENGARUH SISA ASAP ROKOK DAN PENCEGAHANNYA
Roni Al Maududi Program Studi Informatika, Universitas Indraprasta PGRI E-Mail: ronialmaududi@gmail.com

## Abstrak
Kanker  paru  –  paru  adalah  salah  satu  kanker  yang  paling  banyak  menyebabkan  kasus kematian di dunia. Salah satu faktor risiko yang paling penting dalam perkembangan kanker paru – paru adalah sisa asap rokok. Dalam artikel ini, digunakan sebuah model Matematika kanker paru – paru yang direpresentasikan oleh sistem persamaan diferensial nonlinear yang bertujuan  untuk  memodelkan  dinamika  dari  suatu  populasi  yang  terdapat  perokok  di dalamnya. Basic  reproduction  number ( 𝑅 0 )  dari  model  tersebut  akan  ditentukan  dan selanjutnya dari 𝑅 0 ini dapat dianalisis sensitivitas dari sistem dengan mengamati parameter- parameter  yang  dapat  mempengaruhi  perubahan  nilai  dari 𝑅 0 secara  signifikan.  Simulasi numerik  menggunakan  data-data  yang  realistis  pada  parameter-parameter  penyusun  model akan disajikan untuk menggambarkan dinamika dari populasi tersebut. Hasil yang diperoleh dalam  artikel  ini  adalah  suatu  model  Matematika  yang  dapat  menjelaskan  dinamika  yang terjadi dalam suatu populasi yang berkaitan dengan perkembangan kanker paru – paru akibat keberadaan perokok dan sisa asap rokoknya dalam populasi tersebut dan usaha – usaha yang relevan dalam pencegahannya.
Kata kunci : dinamika populasi, basic reproduction number ( 𝑅 0 ).

## Abstract
Lung cancer is one of the most common cancers that cause many death cases in the world. Cigarette  smoke  or  secondhand  smoke  is  one  of  the  most  important  risk  factors  in  the development of lung cancer. In this study, a Mathematical model for lung cancer represented by a non-linear system of differential equation is used to model the dynamics of a population which  includes  smokers.  The  basic  reproduction  number  ( 𝑅 0 )  from  the  model  will  be determined and then by looking at this 𝑅 0 , we can analyze the sensitivity of the system by observing  the  parameters  that  can  significantly  change  the  value  of 𝑅 0 .  Numerical simulation using realistic data toward the model’s parameters will be provided to illustrate the dynamics of this population. The result of this study is a Mathematical model which can explain the dynamics of development of lung cancer in a population as a consequence of the existence of smokers and secondhand smoke in that population and the relevant efforts as prevention.
Keywords: population dynamics, basic reproduction number ( 𝑅 0 )

## Pendahuluan
Kanker paru-paru ( Bronchogenic Carcinomas ) adalah salah satu penyebab utama  kematian di dunia yang diakibatkan oleh penyakit kanker. Kanker ini menyebabkan kerusakan sel-sel tubuh yang berada di dalam paru-paru dan saluran udara Broncheal .
Menurut  hasil  laporan  dari International Agency  for  Research  on  Cancer (IARC),  diakses dari  http://globocan.iarc.fr/Pages/fact_sheets_population.aspx,  pada  tahun  2012  ada  sekitar 1.589.925 kasus dari 8.201.575 kasus kematian yang terjadi akibat kanker paru-paru (19,4% kasus  kematian).  Dan  dari  14.067.894  kasus  kanker  yang  terjadi  di  dunia,  13%  kasus diantaranya  (1.824.701  kasus)  merupakan  kasus  kanker  paru-paru.  Kanker  paru-paru termasuk ke dalam 5 besar kanker yang paling sering terjadi di dunia.
Merokok  tembakau  merupakan  faktor  risiko  paling  utama  penyebab  kanker  paru-paru. Merokok menyebabkan terjadinya 9 dari 10 kasus kanker paru-paru pada pria dan 8 dari 10 kasus kanker paru-paru pada wanita.
Penelitian menunjukkan bahwa risiko terkena kanker paru-paru akibat merokok  meningkat sesuai dengan jumlah banyaknya rokok yang diisap per hari atau per tahun. Karena di dalam asap  rokok  terkandung  lebih  dari  7.000  zat  kimia,  dengan  lebih  dari  250  zat  diantaranya beracun  dan  sekitar  70  zat  bersifat  karsinogenik  (menyebabkan  kanker),  sehingga  perokok aktif mempunyai risiko untuk terkena kanker paru-paru 20 kali lebih besar dari perokok pasif atau bukan perokok.
Menjadi  perokok  pasif  juga  salah  satu  faktor  risiko  penyebab  terkena  kanker  paru-paru, meskipun  dalam  jumlah  yang  lebih  sedikit.  Perokok  pasif  adalah  orang  yang  menghirup udara  yang  terkontaminasi  oleh  sisa  asap  rokok  yang  dihembuskan  oleh  perokok  aktif. Kemungkinan untuk perokok (aktif/pasif) terkena kanker paru-paru tergantung dari beberapa aspek diantaranya : umur ketika mulai merokok, sudah berapa lama merokok, banyak rokok yang diisap per hari, dan seberapa dalam perokok menghirup/mengisap asap rokok. Sisa asap rokok  menyebabkan  lebih  dari  600.000  kasus  kematian  prematur  setiap  tahunnya.  Di Amerika  terjadi  lebih  dari  7.300  kasus  kematian  karena  kanker  paru-paru  akibat  sisa  asap rokok (menjadi perokok pasif) selama tahun 2005-2009.
Dari fakta – fakta tentang sisa asap rokok akibat merokok tembakau dan kanker paru-paru di atas  akan  dibahas  suatu  model  Matematika  tentang  kanker  paru-paru  akibat  pengaruh  sisa asap  rokok  dalam  suatu  populasi.  Tujuan  utama  dari  artikel  ini  adalah  untuk  menjelaskan hubungan antara terjadinya kanker paru – paru akibat pengaruh sisa asap rokok dalam suatu populasi.  Selain  itu  untuk  menunjukkan  pengaruh  interaksi  antara  perokok  dan  bukan perokok dalam hubungannya sehingga menyebabkan terkena kanker paru – paru dalam suatu populasi. Artikel ini juga bertujuan untuk menentukan usaha pencegahan yang efektif dalam mengurangi laju perkembangan kanker paru – paru pada perokok dan bukan perokok.
Diharapkan  dari  artikel  ini  akan  memberikan  manfaat  dalam  usaha  pencegahan perkembangan kanker paru – paru yang terjadi akibat pengaruh sisa asap rokok dalam suatu populasi  dengan  melihat  faktor  –  faktor  yang  menyebabkan  terjadinya  dinamika  dalam populasi tersebut dari model Matematika yang terbentuk.

## Tinjauan Pustaka
Menurut  Rinaldi  Munir  (2015)  model  Matematika  adalah  suatu  bentuk  persamaan Matematika  yang  memodelkan  permasalahan  yang  terjadi  di  dunia  nyata  untuk  mencari suatu solusi.
Menurut Brauer dan Chavez (2011) dinamika populasi adalah laju pertumbuhan populasi per kapita  yang  secara  alami  dibatasi  oleh  kapasitas  muatan  ( carrying  capacity )  yang  terus berubah  dalam  suatu  lingkungan  ( environment ).  Laju  pertumbuhan  dari  populasi  bersifat tidak  tetap  ( not  fixed ),  tetapi  merupakan  fungsi  –  fungsi  dari  perubahan  lingkungan ( functions  of  changing  environment ).  Bentang  darat  ( landscape )  dari  lingkungan  bersifat dinamis  dan  sering  kali  mengalami  perubahan  dramatis  karena  inovasi  teknologi  (seperti pengendalian  kelahiran,  penyakit,  kelaparan,  emisi  karbon,  dan  perang)  yang  terkadang mengubah batas – batas dari sesuatu hal yang mungkin terjadi.
Menurut  Jones  (2007) basic  reproduction  number ( 𝑅 0 )  adalah  nilai  ekspektasi  dari  kasus sekunder yang dihasilkan oleh infeksi tunggal (khusus) ke dalam suatu populasi yang rentan terinfeksi.

## Metodologi Penelitian
Dalam  penyusunan  artikel  ini,  digunakan  metode  pustaka  ( library  research )  dengan membaca beberapa literatur berupa buku-buku, paper , dan jurnal yang berhubungan dengan tema  dan  judul  dari  artikel  ini.  Kemudian  digunakan  juga  metode surfing internet  dengan membaca  laman-laman  yang  berhubungan  dengan  tema  dan  judul  artikel  ini  untuk menambah bahan-bahan penyusunan artikel.
Rancangan  kegiatan  yang  digunakan  dalam  penulisan  artikel  ini  dapat  dirinci  sebagai berikut:
1. Studi literatur dan surfing internet Mencari sumber – sumber bacaan yang berhubungan dengan tema dan judul yang dibahas dalam  artikel  ini  untuk  digunakan  dalam  pembentukan  asumsi  –  asumsi  yang  akan menjadi dasar dari pembentukan model Matematika.
2. Pembentukan model dan penyelesaian secara analitik dan numerik Membuat suatu model Matematika sesuai dengan bahasan artikel ini dari asumsi – asumsi yang telah ditentukan  dan selanjutnya mengumpulkan data yang relevan untuk menguji keabsahan model Matematika yang telah dibentuk. Data yang diperoleh dalam artikel ini bersifat  asumsi  dan  estimasi  berdasarkan  fakta  –  fakta  yang  terjadi  di  dunia  nyata. Sumber  estimasi  data  ditentukan  berdasarkan  fakta  –  fakta  yang  diambil  dari  internet. Penyelesaian secara analitik dilakukan untuk menentukan titik – titik penting dari model untuk  selanjutnya  digunakan  dalam  pengujian  keabsahan  model  dengan  simulasi. Pengujian keabsahan model dengan melakukan simulasi numerik menggunakan program Matlab 2010 dan hasilnya berupa grafik yang menjelaskan dinamika yang terjadi dalam suatu populasi. Selanjutnya dilakukan analisis terhadap hasil analitik dan simulasi yang dihasilkan
3. Interpretasi dan simpulan
Analisis  dari  penyelesaian  secara  analitik  dan  simulasi  menghasilkan  suatu  interpretasi dari  model  berupa  penjelasan  tentang  faktor  –  faktor  yang  memberikan  pengaruh  yang sangat signifikan terhadap dinamika yang terjadi dalam  suatu populasi. Dengan melihat faktor  –  faktor  tersebut  kemudian  dapat  diambil  suatu  simpulan  dan  kemudian  dapat ditentukan usaha – usaha pencegahan yang relevan terhadap perkembangan kanker paru – paru akibat pengaruh sisa asap rokok dalam suatu populasi.

## Hasil dan Pembahasan
Dalam  pembentukan  model  matematika  kanker  paru-paru  akibat  pengaruh  sisa  asap  rokok pada  artikel  ini,  digunakan  model  Matematika  pengaruh  penyebaran  perokok  dalam  suatu populasi yang telah diajukan oleh Carlos Castillo-Garsow, et al . dalam artikel dengan judul: Mathematical  Models  for  the  Dynamics  of  Tobacco  Use,  Recovery,  and  Relapse sebagai model dasar yang kemudian dikembangkan dengan menggunakan asumsi-asumsi yang akan ditentukan selanjutnya. Model dasar yang digunakan adalah model yang menjelaskan tentang pengaruh  adanya  perokok  reguler  dalam  suatu  populasi.  Dalam  model  dasar  ini  terdapat  3 variabel utama yang berperan penting terhadap dinamika perubahan dalam populasi tersebut. Pada waktu 𝑡 , populasi tersebut dibagi menjadi 3 kelas yang terdiri dari calon perokok yang dilambangkan  dengan 𝑆(𝑡) ,  perokok  reguler  yang  dilambangkan  dengan 𝐼(𝑡) ,  dan  mantan perokok yang dilambangkan dengan 𝑅(𝑡) . Perubahan jumlah populasi masing-masing kelas dipengaruhi  oleh  faktor-faktor  tertentu  yang  menjadi  parameter-parameter  dalam pembentukan model. Model tersebut dijelaskan dalam diagram alir berikut:
(1)
(2)
(3)

## Gambar 1. Diagram Model Pengaruh Perokok dalam Suatu Populasi
Dari diagram alir di atas, diperoleh persamaan untuk model Matematika pengaruh perokok dalam  suatu  populasi  yang  direpresentasikan  oleh  sistem  persamaan  diferensial  nonlinear berikut:
Selanjutnya dari model dasar ini kemudian akan dikembangkan menjadi model Matematika kanker  paru-paru  karena  pengaruh  sisa  asap  rokok  dengan  menggunakan  asumsi-asumsi berikut:
1. Populasi  dibagi  menjadi  dua  subpopulasi  yang  terdiri  dari  individu-individu  yang  tidak pernah  merokok  yang  respon  terhadap  penyuluhan  pencegahan  (subpopulasi terdidik/bukan  perokok)  yang  dilambangkan  dengan 𝑁 dan  individu-individu  yang kurang  respon  terhadap  penyuluhan  pencegahan  (subpopulasi  kurang  terdidik/calon perokok) yang dilambangkan dengan 𝑆 . Masing-masing subpopulasi dibagi menjadi 1 dan 6 kelas berbeda.
2. Setiap  individu  dapat  masuk  ke  dalam  populasi  melalui  dua  jalan  dengan  peluang tertentu,  yaitu  dengan  jalan  masuk  ke  dalam  kelas  bukan  perokok  ( 𝑁 )  atau  masuk  ke dalam kelas calon perokok ( 𝑆 ).
3. Individu-individu di setiap kelas rentan terkena kanker paru-paru sebagai akibat dari sisa asap rokok.
4. Individu dalam kelas calon perokok ( 𝑆 ) dapat menjadi perokok ringan ( 𝐼 1 ), yaitu individu yang  hanya  sedikit  merokok  karena  kurangnya  pendidikan/penyuluhan  atau  pengaruh pergaulan dari perokok reguler.
5. Individu  yang  telah  masuk  ke  dalam  kelas  perokok  ringan  ( 𝐼 1 )  tak  dapat  kembali  ke dalam kelas calon perokok ( 𝑆 ), tetapi hanya dapat masuk ke dalam kelas perokok berat ( 𝐼 2 )  atau  ke  dalam  kelas  mantan  perokok  sementara  ( 𝑅 )  atau  ke  dalam  kelas  mantan perokok permanen ( 𝑄 ) atau terkena kanker paru-paru ( 𝐿 ).
6. Individu  yang  masuk  ke  dalam  kelas  perokok  berat  ( 𝐼 2 )  dapat  berhenti  merokok sementara ( 𝑅 ) atau berhenti merokok permanen ( 𝑄 ) atau terkena kanker paru-paru ( 𝐿 ).
7. Individu perokok berat ( 𝐼 2 ) awalnya selalu perokok ringan ( 𝐼 1 ).
8. Individu  perokok  yang  berhenti  merokok  sementara  ( 𝑅 )  dapat  menjadi  perokok  ringan ( 𝐼 1 ) kembali atau terkena kanker paru-paru ( 𝐿 ).
9. Individu mantan perokok permanen ( 𝑄 ) mempunyai peluang lebih besar terkena kanker paru-paru daripada bukan perokok ( 𝑁 ).
𝑑𝑆 𝑑𝑡 = 𝜇𝑇 − 𝛽𝑆𝐼 𝑇 − 𝜇𝑆 𝑑𝐼 𝑑𝑡 = 𝛽𝑆𝐼 𝑇 + 𝛿𝑅 − (𝜇 + 𝛾)𝐼
𝑑𝑅
𝑑𝑡 = 𝛾𝐼 − 𝛿𝑅 − 𝜇𝑅
10. Laju kematian alami per kapita sama untuk semua kelas kecuali untuk kelas kanker paru- paru ( 𝐿 ) yang mempunyai laju kematian yang lebih besar.
Dari model dasar dan asumsi-asumsi di atas, selanjutnya akan dibentuk model Matematika kanker  paru-paru  akibat  pengaruh  sisa  asap  rokok  dalam  suatu  populasi.  Model  ini  sudah pernah  diajukan  oleh  Carlos A. Acevedo  –  Estefanía,  et  al.  dalam  jurnal  dengan  judul: A Mathematical Model for Lung Cancer: The Effects of Second-Hand Smoke and Education . Pembentukan model tersebut digambarkan melalui diagram alir berikut:

## Gambar 2. Diagram Model Kanker Paru-paru karena Pengaruh Sisa Asap Rokok
Dari  diagram  alir  di  atas  kemudian  diperoleh  bentuk  model  Matematika  kanker  paru-paru akibat pengaruh sisa asap rokok dalam suatu populasi yang direpresentasikan melalui sistem persamaan diferensial nonlinear dengan 7 variabel berikut:
𝑑𝑆 𝑑𝑡 = (1 − 𝑞)𝜆 − 𝛽𝑆(𝐼 1 + 𝐼 2 ) 𝑇 − 𝜇𝑆 𝑑𝐼 1 𝑑𝑡 = (1 − 𝑃 𝑆 )𝛽𝑆 + (1 − 𝑃 𝑅 )𝛽𝑅 (𝐼 1 + 𝐼 2 ) 𝑇 − (𝜎 1 + 𝛾 1 + 𝛿 1 + 𝜇)𝐼 1 (4) (5)
𝑑𝐼 2 𝑑𝑡 = 𝛾 1 𝐼 1 − (𝛾 2 + 𝛿 2 + 𝜇)𝐼 2 𝑑𝑄 𝑑𝑡 = 𝑝 2 𝛾 2 𝐼 2 + 𝑝 1 𝜎 1 𝐼 1 −  𝛿 𝑞 + 𝜇 𝑄 𝑑𝑅 𝑑𝑡 = (1 − 𝑝 1 )𝜎 1 𝐼 1 + (1 − 𝑝 2 )𝛾 2 𝐼 2 − 𝛽𝑅(𝐼 1 + 𝐼 2 ) 𝑇 − 𝜇𝑅 𝑑𝐿 𝑑𝑡 = (𝑃 𝑆 𝛽𝑆 + 𝑃 𝑅 𝛽𝑅 + 𝛽 𝑛 𝑁)(𝐼 1 + 𝐼 2 ) 𝑇 + 𝛿 1 𝐼 1 + 𝛿 2 𝐼 2 + 𝛿 𝑞 𝑄 − (𝜇 + 𝑑)𝐿
𝑑𝑁 𝑑𝑡 = 𝑞𝜆 − 𝛽 𝑛 𝑁(𝐼 1 + 𝐼 2 ) 𝑇 − 𝜇𝑁 (6) (7) (8)
(9)
(10)
dengan 𝑇 = 𝑁 + 𝑆 + 𝐼 1 + 𝐼 2 + 𝑅 + 𝑄 + 𝐿
Persamaan (4) menyatakan perubahan jumlah kelas calon perokok ( 𝑆(𝑡) ) terhadap waktu 𝑡 . Persamaan (5) menyatakan perubahan jumlah kelas perokok ringan ( 𝐼 1 (𝑡) ) terhadap waktu 𝑡 . Persamaan (6)  meyatakan perubahan jumlah  kelas  perokok  berat  ( 𝐼 2 (𝑡) ) terhadap  waktu 𝑡 . Persamaan  (7)  menyatakan  perubahan  jumlah  kelas  mantan  perokok  permanen  ( 𝑄(𝑡) ) terhadap  waktu  t.  Persamaan  (8)  menyatakan  perubahan  jumlah  kelas  mantan  perokok sementara  ( 𝑅(𝑡) )  terhadap  waktu  t.  Persamaan  (9)  menyatakan  perubahan  jumlah  kelas individu  yang  terkena  kanker  paru-paru  ( 𝐿(𝑡) )  terhadap  waktu 𝑡 .  Dan  persamaan  (10) menyatakan perubahan jumlah kelas bukan perokok ( 𝑁(𝑡) ) terhadap waktu 𝑡 .
Dari  model  Matematika  yang  telah  terbentuk  selanjutnya  akan  ditentukan  titik-titik kesetimbangan  dari  model  Matematika  tersebut.  Ada  dua  jenis  titik  kesetimbangan  yang diperoleh  dari  model  Matematika  kanker  paru-paru  akibat  pengaruh  sisa  asap  rokok  ini, yaitu:
1. Titik 𝐸 1 = ( 𝜆(1−𝑞) 𝜇 , 0,0,0,0,0, 𝑞𝜆 𝜇 ) yaitu titik kesetimbangan bebas sisa asap rokok ( smoke- free  equilibrium ).  Titik 𝐸 1 ini  mempunyai  interpretasi  bahwa  dalam  suatu  populasi tertentu  untuk  selang  waktu  menuju  tak  hingga,  pada  saat  waktu 𝑡 di  dalamnya  tidak terdapat perokok ( 𝐼 1 = 0 dan 𝐼 2 = 0 ) sehingga di dalam populasi tersebut hanya dihuni oleh kelas calon perokok ( 𝑆(𝑡) ) dan kelas bukan perokok ( 𝑁(𝑡) ) yang akan mengalami perubahan terhadap waktu.
2. Titik  kesetimbangan 𝐸 2 = (𝑆, 𝐼 1 , 𝐼 2 , 𝑄, 𝑅, 𝐿, 𝑁) yaitu  titik  kesetimbangan  endemik ( endemic equilibria ). Titik 𝐸 2 ini mempunyai interpretasi yang menyatakan bahwa dalam suatu  populasi  tertentu  untuk  selang  waktu  menuju  tak  hingga,  pada  saat  waktu 𝑡 di dalamnya  diisi  oleh  seluruh  komponen  penyusun  populasi  tersebut  yang  terdiri  dari  7 kelas  berbeda  yang  semua  komponennya  mengalami  perubahan  terhadap  waktu,  yaitu kelas 𝑆(𝑡) , 𝐼 1 (𝑡) , 𝐼 2 (𝑡) , 𝑄(𝑡) , 𝑅(𝑡) , 𝐿(𝑡) ,  dan 𝑁(𝑡) .  Dengan  kata  lain  bahwa  titik  ini menunjukkan  adanya  kelas  perokok  yang  mempengaruhi  populasi  tersebut  sehingga individu di setiap kelas rentan terkena kanker paru-paru akibat pengaruh sisa asap rokok. Titik  ini  diperoleh  dengan  melakukan  penyelesaian  persamaan  aljabar  pada  setiap persamaan (4) hingga persamaan (10) yang sama dengan 0, sehingga diperoleh titik 𝐸 2 dalam bentuk implisit.
Selanjutnya  akan  dibahas  mengenai  eksistensi  dan  kestabilan  dari  titik  kesetimbangan endemik  ini  dengan  menggunakan basic  reproduction  number ( 𝑅 0 )  yang  merupakan  nilai ekspektasi  dari  terjadinya  kasus  kelahiran  populasi perokok  reguler  baru  karena  masuknya satu  perokok  reguler lama ke  dalam  suatu  populasi  yang  semuanya  bukan  perokok. 𝑅 0 ini akan  sangat  berguna  untuk  membantu  menentukan  pengaruh  keberadaan  perokok  dalam suatu  populasi  terhadap  risiko  terkena  kanker  paru-paru  akibat  pengaruh  sisa  asap  rokok. Dengan  menggunakan 𝑅 0 ini dapat dilihat dinamika dari model  yang telah terbentuk yaitu kestabilan  dari  titik-titik  kesetimbangan  yang  sudah  diperoleh.  Dengan  menggunakan  nilai eigen  dari  matriks  Jacobi  pada  model  Matematika  kanker  paru  –  paru  di  atas  untuk  titik kesetimbangan bebas asap rokok 𝐸 1 , diperoleh definisi dari 𝑅 0 dalam ketaksamaan berikut:
Dari nilai 𝑅 0 ini dapat dikatakan bahwa jika nilai 𝑅 0 < 1 , maka populasi tersebut bebas dari pengaruh sisa asap rokok karena ketiadaaan kelas perokok (ringan atau berat), sehingga tidak
𝑅 0 = (1 − 𝑃 𝑆 )𝛽(1 − 𝑞)(𝛾 1 + 𝛾 2 + 𝛿 2 + 𝜇) (𝛾 2 + 𝛿 2 + 𝜇)(𝛾 1 + 𝜎 1 + 𝛿 1 + 𝜇) = (1 − 𝑞)(1 − 𝑃 𝑆 )𝛽 𝛾 1 + 𝜎 1 + 𝛿 1 + 𝜇 + 𝛾 1 𝛾 1 + 𝜎 1 + 𝛿 1 + 𝜇 (1 − 𝑞)(1 − 𝑃 𝑆 )𝛽 𝛾 2 + 𝛿 2 + 𝜇 < 1
e-ISSN: 2549 - 2837
ada  individu-individu  dalam  populasi  tersebut  yang  terkena  kanker  paru-paru  karena pengaruh  sisa  asap  rokok.  Jika 𝑅 0 > 1 ,  maka  titik  kesetimbangan  bebas  asap  rokok  ini menjadi  tidak  stabil  dan  titik-titik  kesetimbangan  endemik  menjadi  stabil.  Hal  ini menunjukkan  bahwa  dalam  populasi  tersebut  terdapat  pengaruh  dari  sisa  asap  rokok  yang signifikan  terhadap  dinamika  dalam  populasi  itu,  sehingga  populasi  tersebut  rentan  untuk terkena kanker paru-paru akibat pengaruh sisa asap rokok.
Jadi, dapat disimpulkan bahwa titik bebas asap rokok 𝐸 1 akan stabil asimtotik lokal jika dan hanya jika 𝑅 0 < 1 . Jika 𝑅 0 > 1 , maka titik kesetimbangan bebas asap rokok 𝐸 1 ini menjadi tidak stabil dan titik-titik kesetimbangan endemik 𝐸 2 akan menjadi stabil.
Selanjutnya dilakukan simulasi numerik menggunakan MATLAB, dengan data – data nilai – nilai variabel dan parameter (berubah – ubah) berikut:
Tabel 1. Asumsi Nilai-Nilai Variabel
Tabel 2. Estimasi Nilai-Nilai Parameter
Gambar 3. Grafik Banyak Individu Kelas Calon Perokok ( 𝑺 ) (kiri) dan Banyak Individu Kelas Perokok Ringan ( 𝑰 𝟏 ) (kanan) dengan 𝒒 = 𝟎, 𝟖𝟓 , 𝑹 𝟎 = 𝟎, 𝟖𝟑𝟓𝟔𝟔 < 𝟏 , Titik 𝑬 𝟏 stabil No Variabel Nilai 1. 𝑆(0) 750 2. 𝐼 1 (0) 350 3. 𝐼 2 (0) 350 4. 𝑄(0) 350 5. 𝑅(0) 350 6. 𝐿(0) 350 7. 𝑁(0) 350 8. 𝑇(0) 2.850 No Parameter Nilai No Parameter Nilai 1. 𝜆 14 9. 𝛾 2 0,25 2. 𝜇 0,014 10. 𝜎 1 0,50 3. 𝛽 2 11. 𝑑 0,016 4. 𝛽 𝑛 0,00001 12. 𝑞 0,85 5. 𝛿 1 0,015 13. 𝑃 𝑆 0,00001 6. 𝛿 2 0,03 14. 𝑃 𝑅 0,0001 7. 𝛿 𝑞 0,005 15. 𝑝 1 0,04 8. 𝛾 1 0,769 16. 𝑝 2 0,04
Gambar 4. Grafik Banyak Individu Kelas Perokok Berat ( 𝑰 𝟐 ) (kiri) dan Banyak Individu Kelas Kanker Paru - paru ( 𝑳 ) (kanan) dengan 𝒒 = 𝟎, 𝟖𝟓 , 𝑹 𝟎 = 𝟎, 𝟖𝟑𝟓𝟔𝟔 < 𝟏 , Titik 𝑬 𝟏 Stabil
Gambar 5. Grafik Banyak Individu Kelas Mantan Perokok Sementara ( 𝑹 ) (kiri) dan Banyak Individu Kelas Mantan Perokok Permanen ( 𝑸 ) (kanan) dengan 𝒒 = 𝟎, 𝟖𝟓 , 𝑹 𝟎 = 𝟎, 𝟖𝟑𝟓𝟔𝟔 < 𝟏 , Titik 𝑬 𝟏 Stabil
Gambar 6. Grafik Banyak Individu Kelas Bukan Perokok ( 𝑵 ) dengan 𝒒 = 𝟎, 𝟖𝟓 , 𝑹 𝟎 = 𝟎, 𝟖𝟑𝟓𝟔𝟔 < 𝟏 , Titik 𝑬 𝟏 Stabil
e-ISSN: 2549 - 2837
Simulasi dilakukan dengan mengubah – ubah (menaikkan atau menurunkan) beberapa nilai parameter  tertentu  yaitu 𝑞 , 𝛽 , 𝜎 1 ,  dan 𝛾 2 ,  dengan  tujuan  untuk  menganalisis  sensitivitas perubahan  nilai  –  nilai  parameter  tersebut  terhadap  nilai 𝑅 0 ,  sehingga  diperoleh  beberapa kesimpulan berikut:
1. Semakin besar nilai parameter 𝑞 hingga mendekati 1, maka nilai 𝑅 0 akan semakin lebih kecil dari 1 dan semakin kecil nilai parameter 𝑞 hingga mendekati 0, maka nilai 𝑅 0 akan semakin lebih besar dari 1.
2. Semakin  besar  nilai  parameter 𝛽 ,  maka  nilai 𝑅 0 akan  semakin  lebih  besar  dari  1,  dan sebaliknya semakin kecil nilai parameter 𝛽 , maka nilai 𝑅 0 akan semakin lebih kecil dari 1.
3. Semakin  besar  nilai  parameter 𝛾 2 ,  maka  nilai  dari 𝑅 0 akan  semakin  mendekati  1,  dan dapat dibuat menjadi lebih kecil dari 1 jika nilai dari parameter 𝛾 2 ini dibuat cukup besar (nilai 𝛾 2 → ∞ ).
4. Semakin besar nilai parameter 𝜎 1 , maka nilai dari 𝑅 0 akan semakin lebih kecil dari 1, dan semakin kecil nilai parameter 𝜎 1 , maka nilai dari 𝑅 0 akan semakin besar dari 1.
Dari kesimpulan berkaitan dengan analisis sensitivitas perubahan parameter 𝑞 , 𝛽 , 𝛾 2 , dan 𝜎 1 terhadap  nilai 𝑅 0 di  atas,  parameter-parameter  yang  memberikan  pengaruh  yang  paling signifikan  terhadap  perubahan  nilai 𝑅 0 adalah  parameter 𝑞 dan 𝛽 .  Hal  ini  menunjukkan bahwa semakin besar atau kecilnya peluang individu baru untuk masuk  ke dalam populasi tersebut melalu jalan masuk ke dalam kelas bukan perokok ( 𝑁 ), akan memberikan pengaruh signifikan  terhadap  dinamika  yang  terjadi  di  dalam  populasi  itu  yang  berkaitan  dengan terjadinya  endemik  kanker  paru-paru  akibat  pengaruh  sisa  asap  rokok.  Dan  hal  ini  juga menunjukkan bahwa semakin besar atau kecilnya laju perpindahan individu antar kelas pada subpopulasi  kurang  terdidik,  akan  memberikan  pengaruh  yang  signifikan  terhadap perkembangan kanker paru-paru akibat pengaruh sisa asap rokok di dalam populasi tersebut.
Sensitivitas perubahan nilai parameter 𝑞 dan 𝛽 terhadap nilai 𝑅 0 yang telah dijelaskan di atas dapat dilihat pada grafik berikut:
Gambar 7. Grafik Sensitivitas Perubahan Nilai Parameter 𝒒 dan 𝜷 terhadap Nilai 𝐑 𝟎 (kiri) dan Kurva Ketinggian ( level set ) dari Perubahan Nilai 𝐪 dan 𝛃 terhadap Nilai 𝐑 𝟎 (kanan) .
Dari grafik di atas dapat dilihat sensitivitas dari perubahan nilai parameter 𝑞 dan 𝛽 terhadap nilai 𝑅 0 . Semakin besar nilai parameter 𝑞 hingga mendekati 1 dengan nilai parameter 𝛽 yang semakin kecil atau semakin besar dan dibuat tetap, maka nilai dari 𝑅 0 akan semakin lebih kecil  dari  1.  Tetapi  semakin  kecil  nilai  parameter 𝑞 hingga  mendekati  0  dan  dibuat  tetap dengan nilai parameter 𝛽 yang semakin besar, maka nilai dari 𝑅 0 akan semakin lebih besar dari  1.  Dari  sini  dapat  dilihat  bahwa  semakin  besar  peluang  individu  baru  yang  masuk  ke dalam  suatu  populasi  dengan  jalan  masuk  ke  dalam  kelas  bukan  perokok,  maka  populasi tersebut akan semakin bisa bebas dari endemik kanker paru-paru akibat pengaruh sisa asap rokok.

## Simpulan dan Saran

## Simpulan
Dari seluruh pembahasan yang telah dijelaskan, dapat diambil beberapa kesimpulan yaitu:
1. Model  Matematika  kanker  paru-paru  akibat  pengaruh  sisa  asap  rokok  dalam  suatu populasi yang telah terbentuk menjelaskan tentang adanya pengaruh dari perokok dalam kaitannya  terhadap  risiko  terkena  kanker  paru-paru  akibat  pengaruh  sisa  asap  rokok dalam suatu populasi tertentu.
2. Interaksi yang terjadi di dalam suatu populasi antara kelas bukan perokok dan kelas calon perokok  dengan  kelas  perokok  (ringan  atau  berat)  dalam  hubungannya  terkait perkembangan  kanker  paru-paru  akibat  pengaruh  sisa  asap  rokok  dapat  dilihat  dari banyaknya individu baru yang masuk ke dalam bukan perokok atau masuk ke dalam kelas calon perokok. Semakin besar peluang individu baru untuk masuk ke dalam kelas bukan perokok, maka populasi tersebut akan semakin bisa bebas dari terjadinya endemik kanker paru-paru  akibat  pengaruh  sisa  asap  rokok,  karena  individu  yang  menjadi  perokok semakin  berkurang  sehingga  dalam  populasi  tersebut  tidak  ada  sisa  asap  rokok  yang menyebabkan  terjadinya  kanker  paru-paru.  Sebaliknya  jika  semakin  kecil  peluang individu  baru  untuk  masuk  ke  dalam  kelas  bukan  perokok,  maka  hal  ini  akan memperbesar peluang individu baru tersebut untuk masuk ke dalam kelas calon perokok, sehingga  perkembangan  banyaknya  individu  yang  akan  menjadi  perokok  menjadi semakin  besar. Jika  laju  individu  calon  perokok  untuk  menjadi  perokok  semakin  besar, maka perkembangan endemik kanker paru-paru akibat pengaruh sisa asap rokok di dalam populasi tersebut akan semakin besar pula.
3. Usaha  pencegahan  yang  efektif  yang  dapat  dilakukan  untuk  mengurangi  risiko  terkena kanker  paru-paru  akibat  pengaruh  sisa  asap  rokok  dalam  suatu  populasi  adalah  dengan memaksimalkan  usaha  pendidikan  dan  meningkatkan  upaya  penyadaran  di  masyarakat mengenai  bahaya  rokok  dan  sisa  asap  rokok,  sehingga  peluang  individu  baru  untuk menjadi  calon  perokok  menjadi  semakin  kecil  dan  peluang  individu  baru  untuk  tidak menjadi  perokok  menjadi  semakin  besar.  Usaha  pencegahan  lainnya  adalah  dengan mencegah pengenalan produk tembakau kepada individu calon perokok sehingga individu tersebut  cenderung  untuk  tidak  tertarik  menjadi  perokok  dan  dapat  mengurangi  laju banyaknya  individu  calon  perokok  tersebut  untuk  menjadi  perokok.  Selain  itu  juga dengan  cara  memaksimalkan  suatu  usaha  agar  perokok  ringan  dan  perokok  berat  dapat segera berhenti merokok.

## Saran
Dalam  artikel  ini  pembentukan  model  Matematika  kanker  paru-paru  akibat  sisa  pengaruh asap rokok dalam suatu populasi hanya terfokus pada bertambahnya kelas kanker paru-paru sebagai akibat adanya interaksi berupa perpindahan kelas dan adanya pengaruh dari sisa asap rokok sehingga individu di kelas bukan perokok juga mempunyai risiko terkena kanker paru-
paru  akibat  pengaruh  dari  sisa  asap  rokok  tersebut.  Sementara  itu  pengurangan  dari banyaknya  individu  di  kelas  kanker  paru-paru  hanya  berasal  dari  faktor  kematian  dari individu  yang  berada  di  kelas  ini.  Padahal  dapat  dibentuk  model  yang  memperhitungkan sembuhnya  penderita  kanker  paru-paru  dari  penyakitnya  tersebut,  yaitu  dengan menambahkan 1 kelas baru dalam populasi tersebut dimana individu dari kelas kanker paru- paru  dapat  menuju  kelas  baru  tersebut.  Untuk  itu  masih  diperlukan  banyak  perbaikan  dari pembentukan  model  Matematika  kanker  paru-paru  akibat  pengaruh  sisa  asap  rokok  dalam suatu populasi ini. Simulasi yang lebih rinci diperlukan yaitu dengan mengamati perubahan nilai-nilai semua parameter yang menyusun model yang dapat mempengaruhi dinamika dari populasi yang dimodelkan tersebut.

## Daftar Pustaka
A. Acevedo – Estefanía, Carlos, et al. (2000). A Mathematical Model for Lung Cancer: The Effects of Second-Hand Smoke and Education. BU-1525-M , Agustus 2000. 521 – 548. Castillo-Garsow,  Carlos,  et  al.  (1997).  Mathematical Models for  the  Dynamics of Tobacco Use, Recovery, and Relapse. BU-1505-M , Januari 1997. 17 – 44.
Munir, Rinaldi. (2015). Metode Numerik . Edisi ke – 4. Bandung: Informatika Brauer,  Fred  and  Carlos  Castillo-Chavez.  (2011). Mathematical  Models  in  Population Biology and Epidemiology (2 nd ed.). New York: Springer Jones,  James  Holland.  (2007). Notes  On 𝑅 0 . Departement  of  Anthropological  Sciences, Stanford University.
International Agency for Research on Cancer (IARC). (2012). Diakses dari IARC website: http://globocan.iarc.fr/Pages/fact_sheets_population.aspx
Centers  for  Disease  Control  and  Prevention.  (2009).  Diakses  dari  CDC  website: http://www.cdc.gov/mmwr/preview/mmwrhtml/mm6347a4.htm?s_cid=mm6347a4_w.
American Association  for Cancer  Research (AACR).  (2013).  Diakses dari AACR  website: http://www.aacr.org/AdvocacyPolicy/GovernmentAffairs/Documents/AACRStatement_ TobaccoUseCancerPat
American Lung Association. (2009). Diakses dari website: http://www.lung.org/lung-disease/lung-cancer/resources/facts-figures/lung-cancer-fact- sheet.html#1
World Population Prospects – UN DESA – the United Nations. (2015). Diakses dari website: http://esa.un.org/unpd/wpp/Publications/Files/Key_Findings_WPP_2015.pdf, hal 5.