## MODEL EKSPONENSIAL GANDA PADA PROSES STOKASTIK (STUDI KASUS DI STASIUN PURWOSARI)
Sugito 1 , Yuciana Wilandari 2
1,2 Staf Pengajar Jurusan Statistika FSM Undip sugitozafi@undip.ac.id , yucianawilandari@gmail.com

## Abstract
In  general,  mathematical  modeling  is  divided  into  two,  namely  the  model  of  deterministic  and stochastic models. On stochastic modeling involves several processes among them are the Poisson process, the process of Bernoulli, Gaussian processes, the process of renewal and other processes. Specifically  for  the  Poisson  process  often  found  in  modeling  queuing  theory.  At  Poisson  process there are four kinds  of sub  model that can be formed  that is Double Poisson  models,  Exponential Poisson  models,  Poisson  Exponential  model,  and  Double  Exponential  models.  In  this  paper  will discuss the Double Exponential model in stochastic processes , specifically for the Poisson process. Analysis was performed on the data arrival time and service time. The model is a model (M / M / c) : ( GD / ~, ~) which is a double exponential model in stochastic processes.
Keywords: Double Exponential, Poisson Process, Stochastic Process

## 1. Pendahuluan
Secara  garis  besar  pemodelan  matematika  dapat  dikelompokkan  menjadi  2  bagian yaitu pemodelan deterministik dan pemodelan stokastik. Pada Pemodean stokastik terbagi beberapa proses diantaranya yaitu proses poisson, proses bernoulli, proses gaussian, proses pembaharuan dan lain-lain [5] . Pemodelan yang terjadi pada kehidupan sehari-hari sebagian besar bisa didekati dengan pendekatan proses stokastik poisson.
Proses  poisson  banyak  dijumpai  pada  pemodelan  teori  antrian.  Antrian  merupakan bagian  dari  proses  poisson  yaitu  suatu  fenomena  menunggu  yang  menjadi  bagian  dari kehidupan  sehari-hari  manusia [6] .  Sebagian  besar  manusia  secara  sadar  atau  tidak  sadar, pernah  mengalami  situasi  antrian  atau  sering  disebut  dengan  situasi  menunggu.  Situasi menunggu  juga  merupakan  bagian  dari  keadaan  yang  terjadi    dalam  rangkaian  kegiatan operasional  yang  bersifat  random  dalam  suatu  fasilitas  pelayanan.  Pelanggan  datang  ke suatu tempat dengan waktu yang acak, tidak teratur dan tidak dapat segera dilayani. Situasi antrian yang pada umunya terjadi pada kehidupan sehari-hari diantaranya yaitu: kereta api yang masuk di stasiun kereta api, pesawat yang akan mendarat atau tinggal landas, mesin yang akan diperbaiki, pasien yang ingin periksa ke dokter, orang yang mengantri membeli bensin  di  pom  bensin  dan  nasabah  yang  akan  melakukan  transaksi  di  bank  serta  bis-bis yang ngantri diterminal.
Pada proses poisson ini terdapat 4 macam model yang dibentuk yaitu model poisson ganda,  model  poisson  eksponensial,  model    eksponensial  poisson,  dan    model eksponensial  ganda [5] .  Hal  ini  tergantung  pada  jenis  data  yang  digunakan  untuk menentukan  model  antriannya  khususnya  penentuan  notasi  a  dan  notasi  b  pada  model antrian  (a/b/c):(d/e/f).  Pada  penentuan  model  antrian  notasi  a  bisa  menggunakan  data jumlah  kedatangan  atau  waktu  antar  kedatangan.  Sedangkan  untuk  menentukan  notasi  b bisa menggunakan data jumlah yang terlayani atau waktu pelayanan. Pada tulisan ini akan dibahas  model    eksponensial  ganda  pada  proses  stokastik.  Model  eksponensial  ganda
adalah model proses stokastik poisson khususnya model antrian dimana distribusi notasi a dan  notasi  b  keduanya  berdistribusi  eksponensial.  Sehingga  yang  akan  digunakan  untuk menetukan  notasi  a  dan  b  pada  model  antriannya  akan  menggunakan  data  waktu  antar kedatangan dan waktu pelayanan.
Masalah antrian kereta api di stasiun merupakan salah satu masalah yang sangat perlu diperhatikan.  Fenomena  antrian  tampak  ditemukan  dalam  fasilitas-fasilitas  pelayanan umum,  salah  satunya  terlihat  pada  antrian  kereta  api  di  Stasiun  Purwosari  Solo.  Dengan banyaknya  jenis  dan  jumlah  kereta  api  yang  melewati  Stasiun  Purwosari  menyebabkan terjadinya  antrian  panjang  pada  kereta  api  yang  akan  datang  atau  pergi  dari  stasiun tersebut.  Adanya  antrian  kereta  api  tersebut  maka  penumpang  yang  menunggu pemberangkatan dari stasiun semakin bertambah banyak.
Berdasarkan  kajian  diatas  yang  menjadi  fokus  dalam  tulisan  ini  yaitu  bagaimana memodelkan dan  menganalisis sistem kedatangan dan keberangkatan  kereta api di stasiun Purwosari  dengan  menggunakan  pendekatan  model  eksponensial  ganda  pada  proses stokastik.

## 2.Tinjauan Pustaka

## 2.1 Konsep Dasar Antrian
Teori  antrian  dikemukakan  dan  dikembangkan  oleh  AK.  Erlang,  seorang  insinyur Denmark,  pada  tahun  1910.  Proses  antrian  sendiri  merupakan  suatu  proses  yang berhubungan  dengan  kedatangan  pelanggan  pada  suatu  fasilitas  pelayanan,  menunggu dalam baris antrian jika belum dapat dilayani, dilayani dan akhirnya meninggalkan fasilitas tersebut sesudah dilayani. Terdapat beberapa faktor penting yang terkait erat dengan sistem antrian yaitu [4] : 1. Distribusi Kedatangan
2. Distribusi Waktu Pelayanan
3. Fasilitas Pelayanan
a. Bentuk Series
b. Bentuk Pararel
c. Bentuk Network Station
4. Disiplin Pelayanan
5. Ukuran dalam Antrian
a. Ukuran kedatangan secara tidak terbatas
b. Ukuran kedatangan secara tidak terbatas
6. Sumber Pemanggilan
a. Sumber Panggilan terbatas
b. Sumber Panggilan tak terbatas

## 2.2 Notasi Kendall
Notasi  kendall  digunakan  untuk  merinci  ciri  dari  suatu  antrian.  Notasi  yang  sesuai untuk  meringkaskan  karakteristik  utama  dari  antrian  paralel  telah  secara  universal dibakukan dalam format berikut [6] : ( a / b / c ) : ( d / e / f  )
a  : Distribusi kedatangan
b  : Distribusi waktu pelayanan
c  : Fasilitas pelayanan atau banyaknya tempat servis (stasiun serial)
d  : Disiplin pelayanan
Pertama datang pertama dilayani (FCFS), terakhir datang pertama dilayani (LCFS), Pelayanan dalam random order (SIRO) dan prioritas pelayanan e  : Ukuran sistem dalam antrian (terhingga atau tak terhingga) f   : Sumber pemanggilan (terhingga atau tak terhingga)

## 2.3 Ukuran Steady-state
Probabilitas steady-state dalam sistem  yang ditentukan  yaitu λ < μ, dimana λ adalah rata-rata  laju  kedatangan  dan  μ  adalah  rata-rata  laju  pelayanan,  maka  ρ  dapat  ditulis sebagai berikut [6] :     < 1. Notasi dalam kondisi steady-state:
L s = jumlah  pelanggan yang diperkirakan dalam system L q = jumlah  pelanggan yang diperkirakan dalam antrian W s = Waktu menunggu yang diperkirakan dalam system W q = Waktu menunggu yang diperkirakan dalam antrian

## 2.4 Proses Poisson dan Distribusi Eksponensial
Pada umumnya proses antrian diasumsikan bahwa waktu antar kedatangan dan waktu pelayanan  mengikuti  distribusi  eksponensial,  atau  sama  dengan  jumlah  kedatangan  dan jumlah pelayanannya mengikuti distribusi Poisson [2] .
Proses  Poisson  adalah  proses  cacah  yang  mempunyai  batasan  tertentu,  yaitu diantaranya N(t) mengikuti distribusi Poisson dengan rata-rata λt dimana λ suatu konstanta, sehingga  pada  distribusi  Poisson  harga  rata-ratanya  bergantung  pada  t  atau  merupakan fungsi t [3] . Beberapa asumsi untuk proses Poisson yaitu [5] :
1. Independen
N(t)  merupakan  banyaknya  kejadian  dimana  peristiwa  E  terjadi  selama  waktu  t, sejak  awal  proses,  atau  selama  interval  waktu  (0,t).  N(t)  independen  terhadap banyaknya  kejadian  peristiwa  E  yang  terjadi  di  dalam  selang  waktu  yang  lalu artinya N(t) tak tergantung pada pengalaman yang lalu.
2. Homogenitas dalam waktu
Yang  dimaksud  dengan  homogenitas  dalam  waktu  ialah  P n (t)  hanya  tergantung pada  panjang  t  atau  panjang  selang  waktu  tetapi  tidak  tergantung  dimana  selang waktu berada.
P n (t)  =  probabilitas  banyaknya  kejadian  peristiwa  E  terjadi  selama  waktu  t  atau dalam selang waktu (t 1 , t+t 1 ), untuk setiap harga t 1 .
3. Regularitas
Di  dalam  suatu  interval  kecil  ∆t,  probabilitas  bahwa  tepat  satu  kejadian  terjadi adalah  λ∆t+ o (∆t)  dan  probabilitas  bahwa  banyaknya  kejadian  terjadi  lebih  dari sekali  adalah o (∆t)  dalam  interval  ∆t,  sedangkan  simbol o (∆t)  digunakan  untuk menyatakan  fungsi  ∆t  yang  mendekati  0  lebih  cepat  dari  ∆t  sendiri  mendekati  0,
dinotasikan 0 ) ( lim 0      t t o t [3] .

## 2.5 Uji Kecocokan Distribusi
Pengujian Kolmogorov-Smirnov merupakan  salah  satu  uji  perbandingan  dalam statistika  non-parametrik [4] .  Pengujian  ini  dapat  dinyatakan  sebagai  suatu  cara  untuk menguji “apakah terdapat perbedaan yang signifikan antara distribusi frekuensi observasi dengan distribusi frekuensi teoritis”.
Menurut [1] , langkah-langkah uji Kolmogorov-Smirnov yaitu:
1. Menentukan hipotesis
H 0 : Sampel yang diambil berasal dari populasi berdistribusi A H 1 : Sampel yang diambil tidak berasal dari populasi berdistribusi A
2. Menentukan taraf signifikansi
3. Statistik Uji : D = sup | S(x) – F 0 (x)|
dengan S(x)  : fungsi distribusi empiris
F 0 (x) : fungsi distribusi yang dihipotesiskan 4. Kriteria Uji:
Tolak H 0 jika D > D*( 2  ;N) dengan D*( 2  ;N) adalah nilai kritis tabel Kolmogorov-
Smirnov , karena  nilai  D selalu positif  sehingga tidak ada daerah penolakannya yang di sebelah kiri.

## 2.6 Model (M/M/c):(GD/∞/∞)
Model  antrian  (M/M/c):(GD/∞/∞)  adalah  model  antrian  dengan  pola  kedatangan berdistribusi  Poisson/Eksponensial,  pola  pelayanan  berdistribusi  Poisson/Eksponensial dengan  jumlah  pelayan  adalah  c.  Disiplin  antrian  yang  digunakan  pada  model  ini  adalah umum  FCFS  ( First  Come  First  Served ),  dan  ∞  menyatakan  bahwa  kapasitas  sistem  dan sumber pemanggilannya tidak terbatas.
Pada perhitungan kondisi steady state [2] , dengan memisalkan    r dan    c c r   ,
diperoleh probabilitas pelayanan ketika tidak ada pelanggan yang datang sebagai berikut:
1 1 0 0 ) - (1 ! ) ( ! ) (             c n c n c r n r P 
Sedangkan probabilitas untuk n pelanggan dapat ditulis:
0 c - n c - n 0 c ! c ! P c r c P P n n          
Dengan  demikian  diperoleh  ukuran  kinerja  sistem  untuk  model  (M/M/c)  :  (GD/∞/∞) sebagai berikut:
1. Jumlah rata-rata pelanggan yang diperkirakan dalam antrian
0 2 ) - (1 ! P c r L c q         
2. Jumlah rata-rata pelanggan yang diperkirakan dalam sistem
r L L q s   r P c r c         0 2 ) - (1 !  
3. Waktu rata-rata menunggu yang diperkirakan dalam antrian
 q q L W  0 2 ) - )(1 (c ! P c r c         
4. Waktu rata-rata menunggu yang diperkirakan dalam sistem
q s W W    1 0 2 ) - )(1 (c ! 1 P c r c           

## 2.7 Model (G/G/c):(GD/∞/∞)
Model  Antrian (G/G/c)  :  (GD/∞/∞) adalah  model  antrian dengan pola kedatangan berdistribusi  umum  ( General ),  pola  pelayanan  berdistribusi  umum  ( General ),  dengan jumlah  fasilitas pelayanan  sebanyak c pelayanan [2] . Disiplin antrian  yang digunakan pada model  ini  adalah  umum  FCFS  ( First  Come  First  Served ),  kapasitas  maksimum  yang diperbolehkan dalam sistem adalah ∞. Ukuran-ukuran kinerja sistem pada model General ini  mengikuti  ukuran  kinerja  pada  model  M/M/c,  terkecuali  untuk  perhitungan  jumlah pelanggan yang diperkirakan dalam antrian (L q ) adalah sebagai berikut
2 ) ' ( ) ( 2 2 / /   t v t v L L c M qM q   

## 3.  Metodologi

## 3.1.  Sumber Data
Data yang digunakan dalam tulisan ini adalah data primer. Data primer tersebut adalah data waktu antar kedatangan dan waktu pelayanan kereta api di stasiun Purwosari. Data ini meliputi  data  waktu  antar  kedatangan  kereta  api,  dan  data  waktu  pelayanan  kereta  api  di stasiun Purwosari selama 2 minggu.

## 3.2. Langkah-langkah Analisis
Adapun  langkah-langkah  dalam  pelaksanaan  penelitian  dan  analisis  data  adalah sebagai berikut:
1.   Melakukan  penelitian  secara  langsung  untuk  mendapatkan  data  waktu  antar kedatangan kereta api dan data waktu pelayanan kereta api dalam satuan waktu yang ditentukan.
2.  Melakukan  pengecekan steady-state. Data  yang  sudah  didapat  harus  memenuhi steady-state (     < 1), dimana λ adalah rata-rata  waktu antar  kedatangan dan  adalah rata-rata waktu pelayanan.
3.  Menguji  kecocokan  distribusi  untuk  pola  waktu  antar  kedatangan  dan  pola  waktu pelayanan  dengan  menggunakan  uji Kolmogorov-Smirnov ,  jika  hipotesa  diterima maka  dapat  disimpulkan  bahwa  data  mengikuti  distribusi  Eksponensial,  jika hipotesa ditolak maka data mengikuti distribusi umum ( general ).
5.   Menentukan model antrian yang sesuai dengan data.
6.   Menentukan  ukuran  kinerja  dari  sistem  antrian,  yaitu  jumlah  pelanggan  yang diperkirakan dalam sistem (L s ),  jumlah pelanggan  yang diperkirakan dalam antrian
(L q ), waktu menunggu  yang diperkirakan dalam  sistem (W s ) dan waktu  menunggu yang diperkirakan dalam antrian (W q ).
7.   Menentukan hasil dan pembahasan yang dapat diperoleh dari ukuran kinerja sistem antrian.
8.   Pengambilan kesimpulan tentang sistem pelayanan kereta api di stasiun Purwosari. Alat  yang  digunakan  dalam  pengolahan  dan  analisis  data  pada  penelitian  ini menggunakan software Ms. Excel, SPSS, dan WinQSB.

## 4 . Hasil dan Pembahasan
Pada Stasiun Purwosari, jalur kereta api menuju dari arah barat dan atau arah timur. Untuk arah barat, jalur rel kereta api menuju arah Jakarta, Bandung, Cirebon, Purwokerto, dan  Yogyakarta,  sedangkan  untuk  arah  timur  jalur  rel  kereta  api  menuju  arah  Madiun, Malang,  Jember  dan  Surabaya.  Sistem  antrian  kereta  api  di  Stasiun  Purwosari  adalah sebagai berikut
Gambar 1 . Sistem Antrian Kereta Api di Stasiun Purwosari
Stasiun  Purwosari  memiliki  4  buah  jalur  utama,  dimana  jalur  1  dan  4  lebih  sering digunakan  untuk  menaikkan  penumpang  kereta  yang  berasal  dari  Stasiun  Purwosari. Sedangkan jalur 2 dan 3 merupakan jalur lurus yang digunakan untuk efisiensi waktu dan merupakan jalur kereta langsung ataupun transit.
Sistem  antrian  kereta  api  untuk  pelayanan  jalur  1  dan  4  di  Stasiun  Purwosari  dapat digambarkan sebagai berikut
Gambar 2 . Sistem Antrian Kereta Api untuk Pelayanan Jalur 1 dan 4 di Stasiun Purwosari
Sedangkan sistem antrian kereta api untuk pelayanan jalur 2 dan 3 di Stasiun Purwosari dapat digambarkan sebagai berikut
Gambar 3 . Sistem Antrian Kereta Api untuk Pelayanan Jalur 2 dan 3 di Stasiun Purwosari
Pada Gambar 2 dan Gambar 3 ini merupakan ilustrasi dari sistem antrian kereta api yang merupakan contoh pemodelan eksponensial ganda pada proses stokastik.

## 4.1. Ukuran Steady state
Kondisi steady  state terpenuhi  jika  nilai  tingkat  kegunaan  (ρ)  <  1  artinya  rata-rata waktu  antar  kedatangan  kereta  di  jalur  tersebut  lebih  kecil  dari  waktu  rata-rata  laju pelayanan. Hal ini juga dapat diartikan suatu kondisi dimana laju kedatangan kereta masih mampu  dilayani  secara  efektif  sebaliknya  bila  laju  kedatangan  kereta  terlalu  banyak sehingga server tidak  mampu  melayani  semuanya  maka akan terjadi penumpukan antrian kereta.  Untuk  menghitung  nilai  ρ  tersebut  perlu  diketahui  nilai  rata-rata  waktu  antar kedatangan  dan  rata-rata  waktu  pelayanan.  Dari  data  penelitian  diperoleh  nilai  ρ  sebagai berikut:
Tabel 1 . Ukuran Steady State Jalur c  µ    x c 
1 dan 4 2 0,31269 2,841225 0,055028 2 dan 3 2 3,14959 23,25616 0,067715 Keterangan proses penentuan parameter ada di Lampiran
Berdasarkan Tabel 1, didapatkan hasil bahwa nilai tingkat kegunaan kurang dari satu yang berarti  kondisi steady  state terpenuhi  sehingga  sistem  pelayanan  kereta  api  di  Stasiun Purwosari sudah baik dan hasil yang diperoleh dapat digunakan untuk menentukan ukuran kinerja sistem.

## 4.2 Uji Kecocokan Distribusi
Uji kecocokan distribusi yang digunakan untuk menguji data waktu antar kedatangan dan  waktu  pelayanan  kereta  di  purwosari  adalah  menggunakan  uji  Kolmogorov  Smirnov dengan  H 0 :  data  waktu  antar  kedatangan/data  waktu  pelayanan  kereta  berdistribusi eksponensial  dan  H 1 :  data  waktu  antar  kedatangan/data  waktu  pelayanan  kereta  tidak berdistribusi eksponensial serta  taraf signifikansi 5%.
Tabel 2 . Uji Kecocokan Distribusi Jalur 1 dan 4 Data D D tabel Nilai Sig. Keputusan Waktu Antar Kedatangan 0,148 0,190 0,211 H 0 diterima Waktu Pelayanan 0,093 0,190 0,770 H 0 diterima
Berdasarkan  Tabel  2  dapat  disimpulkan  bahwa  data  waktu  antar kedatangan  dan  waktu pelayanan berdistribusi eksponensial.
Tabel 3 . Uji Kecocokan Distribusi Jalur 2 dan 3 Data D D tabel Nilai Sig. Keputusan Waktu Antar Kedatangan 0,107 0,059 0,000 H 0 ditolak Waktu Pelayanan 0,321 0,059 0,000 H 0 ditolak
Berdasarkan  Tabel  3  dapat  disimpulkan  bahwa  data  waktu  antar kedatangan  dan  waktu pelayanan berdistribusi umum ( general ) tidak berdistribusi eksponensial.

## 4.3   Model Antrian
1.  Jalur 1 dan 4
Berdasarkan  hasil  analisis steady-state serta  uji  kecocokan  distribusi  waktu  antar kedatangan  dan  waktu  pelayanan  kereta  dapat  ditentukan  bahwa  model  sistem  antrian untuk  jalur  1  dan  4  adalah  (M/M/2)  :  (GD/∞/∞).  Model  tersebut  adalah  model  sistem antrian  dengan  distribusi  waktu  antar  kedatangan  dan  waktu  pelayanan  kereta berdistribusi Eksponensial, dengan  jumlah  fasilitas pelayanan  sebanyak 2  jalur, disiplin antrian yang digunakan adalah yang pertama datang yang pertama dilayani (FCFS), serta jumlah kapasitas pelanggan yang datang dan sumber pemanggilan tidak terbatas. Interval waktu yang digunakan adalah 1 jam. Model (M/M/2) : (GD/∞/∞) ini merupakan contoh model  eksponensial ganda.
2. Jalur 2 dan 3
Berdasarkan  hasil  analisis steady-state serta  uji  kecocokan  distribusi  waktu  antar kedatangan  dan  waktu  pelayanan  kereta  dapat  ditentukan  bahwa  model  sistem  antrian untuk  jalur  2  dan  3  adalah  (G/G/2)  :  (GD/∞/∞).  Model  tersebut  adalah  model  sistem antrian  dengan  distribusi  waktu  antar  kedatangan  dan  waktu  pelayanan  kereta berdistribusi  General,  dengan  jumlah  pelayanan  sebanyak  2  jalur,  disiplin  antrian  yang digunakan  adalah  yang  pertama  datang  yang  pertama  dilayani  (FCFS),  serta  jumlah kapasitas pelanggan yang datang dan sumber pemanggilan tidak terbatas. Interval waktu yang digunakan adalah 1  jam.  Model  ini  merupakan contoh  model  eksponensial ganda yang gagal.

## 4.4 Ukuran Kinerja Sistem
1. Jalur 1 dan 4
Tabel 4 . Ukuran Kinerja Sistem Jalur 1 dan 4 c  µ L s L q W s W q P 0 2 0,31269  2,841225 0,1104 0,0003 0,35303 0,0011  0,89569
Berdasarkan hasil output dapat diketahui bahwa:
1. Rata-rata waktu antar kedatangan ( λ ) = 0,31269 kereta per jam.
2. Rata-rata waktu pelayanan ( μ ) = 2,841225 kereta per jam.
3. Jumlah kereta yang diperkirakan dalam sistem (L s ) = 0,1104 kereta per jam.
4. Jumlah kereta yang diperkirakan dalam antrian (L q ) = 0,0003 kereta per jam.
5. Waktu  menunggu  yang  diperkirakan  dalam  sistem  (W s )  =  0,35303  per  jam  yaitu sekitar 21,1818 menit.
6. Waktu  menunggu  yang  diperkirakan  dalam  antrian  (W q )  =  0,0011  per  jam  yaitu sekitar 0,066 menit.
7. Probabilitas  bahwa  jalur tersebut menganggur ketika tidak ada kereta yang datang (P 0 ) = 0,89569.

## 2. Jalur 2 dan 3
Tabel 5 . Ukuran Kinerja Sistem Jalur 2 dan 3 c  µ L s L q W s W q P 0 2 3,1496 23,2558 0,1362 0,0008 0,0432 0,0002 0,873156
Berdasarkan hasil output dapat diketahui bahwa:
1. Rata-rata waktu antar kedatangan ( λ ) = 3,1496 kereta per jam.
2. Rata-rata waktu pelayanan ( μ ) = 23,2558 kereta per jam.
3. Jumlah kereta yang diperkirakan dalam sistem (L s ) = 0,1362 kereta per jam.
4. Jumlah kereta yang diperkirakan dalam antrian (L q ) = 0,0008 kereta per jam.
5. Waktu  menunggu  yang  diperkirakan  dalam  sistem  (W s )  =  0,0432  per  jam  yaitu sekitar 2,592 menit.
6. Waktu  menunggu  yang  diperkirakan  dalam  antrian  (W q )  =  0,0002  dari  per  jam yaitu sekitar 0,012 menit.
7. Probabilitas  bahwa  jalur tersebut menganggur ketika tidak ada kereta yang datang (P 0 ) = 0,873156.

## 5. Kesimpulan
Berdasarkan hasil dan analisis dapat diambil kesimpulan sebagai berikut:
1. Model antrian pada jalur 1 dan 4 di stasiun Purwosari adalah (M/M/2) : (GD/∞/∞). Model ini adalah merupakan model eksponensial ganda.
2. Berdasarkan  hasil  analisis steady-state serta  uji  kecocokan  distribusi  waktu  antar kedatangan  dan  waktu  pelayanan  kereta  dapat  ditentukan  bahwa  model  sistem antrian untuk jalur 2 dan 3 adalah (G/G/2) : (GD/∞/∞). Model ini merupakan model eksponensial ganda yang gagal.

## DAFTAR PUSTAKA
1. Daniel,  W.W., Statistika  Nonparametrik  Terapan ,  diterjemahkan  oleh  Alex  Tri Kantjono W., Gramedia, Jakarta, 1989.
2. Gross,  D  and  Harris,  C.M., Fundamental  of  Queueing  Theory  Third  Edition ,  John Wiley and Sons Inc., New York, 1998.
3. Gupta and Kapoor, K., Mathematical Statistics , Daryaganj, New Delhi, 1982.
4. Kakiay, T.J., Dasar Teori Antrian Untuk Kehidupan Nyata , Andi,Yogyakarta, 2004. 5. Praptono, Pengantar Proses Stokastik I ,  Karunika, Jakarta, 1986.
6. Taha,  H.A., Riset  Operasi  Jilid  2 ,  diterjemahkan  oleh  Daniel  Wirajaya,  Binarupa Aksara, Jakarta, 1996.

## LAMPIRAN

## 1. Jalur 1 dan 4
Waktu Antar Kedatangan Waktu Pelayanan Jumlah Total 9786 Jumlah Total 1077 N 51 N 51 Mean (menit) 191,882353 Mean (menit) 21,11765 Mean (1 jam) 0,312692 Mean (1 jam) 2,841225 1 / Mean 3,198039 1 / Mean 0,351961 SD (menit) 130,339349 SD (menit) 22,29228 SD (1 jam) 0,460337 SD (1 jam) 2,691515 1 / SD (1 jam) 2,172323 1 / SD (1 jam) 0,371538 Steady state Waktu Antar Kedatangan dan Waktu Pelayanan  0,312692 µ 2,841225  / µ 0,110055  0,055028

## 2. Jalur 2 dan 3
Waktu Antar Kedatangan Waktu Pelayanan Jumlah Total 9887 Jumlah Total 1339 N 519 N 519 Mean (menit) 19,050096 Mean (menit) 2,579961 Mean (1 jam) 3,149590 Mean (1 jam) 23,256160 1 / Mean 0,317502 1 / Mean 0,042999 SD (menit) 15,990990 SD (menit) 3,432873 SD (1 jam) 3,752113 SD (1 jam) 17,478070 1 / SD (1 jam) 0,266517 1 / SD (1 jam) 0,057215 Steady state Waktu Antar Kedatangan dan Waktu Pelayanan  3,149590 µ 23,256161  / µ 0,135430  0,067715