1 Prodi  Sarjana  Teknik  Elektro  (Mekatronika),  Universitas Katolik  Parahyangan,  Jl.  Ciumbuleuit  no.  94,  Bandung  40141, INDONESIA  (tlp:  022-203-2655;  fax:  022-203-1110;  e-mail: 2017630031@student.unpar.ac.id)
2 Jurusan  Teknik  Elektro,  Universitas  Katolik  Parahyangan,  Jl. Ciumbuleuit  no.  94,  Bandung  40141,  INDONESIA  (tlp:  022-203- 2655; fax: 022-203-1110; e-mail: ttamba@unpar.ac.id)
* Penulis korespondensi

## Perancangan Kontrol Pelacakan Lintasan untuk Robot Otonom Bergerak Beroda dengan Penggerak Diferensial

## (Design of Trajectory Tracking Controller for Differential-Drive Autonomous
Wheeled Mobile Robots)
Stephen I.C. Gulo 1 , Tua A. Tamba 2,*
Abstract—Differential Drive Wheeled Mobile Robot (DDWMR)  is  a  class  of  mobile  robots  which  has  been  used  in various  applications  due  to  its  mobile  abilities.  One  important issue  in  the  development  of  DDWMR  is  regarding  the  design  of control methods to ensure the DDWMR can move autonomously from initial to final poses. The main challenge in such an issue is the need to design a controller which respects the non-holonomic constraint of DDWMR movements. To address such a challenge, this paper proposes a control method which combines techniques in  smooth  reference  trajectory  generation  and  Lyapunov-based tracking  control  designs.  In  the  proposed  method,  a  reference trajectory  that  is  represented  as  polynomial  function  is  first generated  to  connect  the  initial  and  final  poses  based  on  some waypoints  information  between  them.  A  feedback  control  law based  on  Lyapunov’s  stability  method  is  then  designed  to  help control  the  DDWMR  in  tracking  the  generated  reference trajectory with minimum error. Numerical simulation results are given to illustrate the effectiveness of the proposed method.
I ntisari — Robot bergerak beroda dengan penggerak diferensial  (DDWMR)  merupakan  salah  satu  jenis  robot bergerak  yang  telah  digunakan  di  berbagai  aplikasi  karena kemampuan  mobilitasnya.  Salah  satu  isu  penting  dalam  desain DDWMR  adalah  terkait  penentuan  metode  kontrol  untuk memastikan  DDWMR  tersebut  dapat  berpindah  secara  otonom dari  satu  pose  awal  menuju  pose  akhir  tertentu.  Tantangan utama pada isu tersebut adalah perlunya merancang pengontrol yang mampu mengatasi batasan non-holonomic pada pergerakan DDWMR.  Untuk  menjawab  tantangan  tersebut,  makalah  ini mengajukan  suatu  metode  kontrol  yang  menggabungkan  teknik perancangan  lintasan  halus  dan  teknik  kontrol  pelacakan lintasan  berbasis  analisis  kestabilan  Lyapunov.  Pada  metode yang  diajukan,  lintasan  referensi  berbentuk  fungsi  polinomial terlebih dahulu dirancang untuk menghubungkan pose awal dan akhir  DDWMR  yang  diinginkan  berdasarkan  informasi  titik jalan  (waypoints)  di  antara  keduanya.  Sinyal  kontrol  umpan balik berbasis metode kestabilan Lyapunov kemudian dirancang untuk  mengontrol  DDWMR  dalam  mengikuti  lintasan  referensi yang  diperoleh  dengan  error  pelacakan  seminimal  mungkin.
Hasil  simulasi  numerik  ditunjukkan  untuk  mengilustrasikan keandalan metode kontrol yang diusulkan.
Kata  Kunci — Robot  Bergerak  Beroda,  Penggerak  Diferensial, DDWMR,  Analisis  Kestabilan  Lyapunov,  Batasan  Non- holonomic .

## I. P ENDAHULUAN
Robot  bergerak  beroda  ( Wheeled  Mobile  Robots , WMR) merupakan robot yang dapat bergerak dari posisi dan orientasi (pose) awal tertentu ke pose lain secara otonom tanpa bantuan eksternal (manusia) [1]. Kemampuan mobilitas WMR tersebut membuatnya banyak digunakan pada aplikasi kehidupan nyata, baik  di  lingkungan  terstruktur  maupun  tidak  terstruktur. Contoh penggunaan WMR antara lain untuk tujuan pelayanan medis,  inspeksi,  serta  pengawasan  terhadap  area  yang berbahaya  [2].  Salah  satu  jenis  WMR  yang  banyak dikembangkan  hingga  saat  ini  adalah  jenis  WMR  dengan penggerak diferensial atau Differential Drive Wheeled Mobile Robot (DDWMR).
Salah  satu  isu penting dalam desain  dan  operasi  DDWMR adalah  terkait  penentuan  metode  kontrol  untuk  memastikan DDWMR  tersebut  dapat  berpindah  secara  otonom  dari  satu pose  awal  menuju  pose  akhir  dengan  mengikuti  lintasan referensi  tertentu.  Tantangan  utama  dalam  upaya  kontrol tersebut  adalah  perlunya  merancang  pengontrol  yang  mampu mengatasi batasan non-holonomic pada pergerakan DDWMR. Pada dasarnya, batasan non-holonomi c muncul akibat struktur mekanik  dari  robot  yang  tidak  memungkinkannya  untuk melakukan  gerak  translasi  horizontal  secara  langsung  pada arah yang tegak lurus dengan vektor arah putaran roda. Dalam hal  ini,  DDWMR  harus  melakukan  urutan  gerak  berbentuk kurva  jika  ingin  melakukan  perpindahan  secara  horizontal pada  arah  sumbu  putar  dari  roda.  Sebagai  akibatnya, DDWMR umumnya membutuhkan sekuen lintasan berbentuk kurva halus untuk berpindah dari satu pose ke pose lainnya [3].
Secara  umum,  struktur  DDWMR  terbagi  menjadi  tiga subsistem,  yaitu  struktur  mekanis,  aktuator,  dan  sumber tenaga.  Pengontrolan  DDWMR  hingga  kini  telah  dilakukan dengan  berbagai  pendekatan  dengan  mempertimbangkan kombinasi  subsistem  tersebut.  Berdasarkan  jenis  model  yang digunakan,  pengontrolan  dapat  dilakukan  berdasarkan  model kinematika  [4]-[10]  atau  dinamika  [11]-[14]  DDWMR. Terkait  metode,  beberapa  algoritme  kontrol  yang  telah diterapkan  pada  model  DDWMR  antara  lain  mencakup kontrol  pelacakan  lintasan  dengan hierarchichal  switching antara differential  flatness dan  proporsional-integral  (PI)  [4],
kontrol  pelacakan  lintasan  berbasis  metode  Lyapunov  [5], kontrol  torsi  dinamik  berbasis  metode adaptive  backstepping [15],  serta  kontrol  cerdas  berbasis  jaringan  saraf  tiruan  [16]. Selain  itu,  metode  lain  yang  juga  telah  digunakan  dalam melakukan  pelacakan  lintasan  mencakup  kontrol  pelacakan lintasan  dengan  logika fuzzy [17],  kontrol  pelacakan  lintasan dengan hierarchical  fuzzy  sliding-mode [18],  kontrol pelacakan  lintasan  dengan  pengontrol  kinematika  adaptif berdasarkan  sistem  jaringan  saraf  tiruan  dengan  basis  fungsi radial  [19],  kontrol  pelacakan  lintasan  berbasis  sistem inferensi fuzzy terparameterisasi [20], dan metode backstepping berbasis fuzzy sliding-mode [21].
Untuk  implementasi  operasional  secara  otonom,  DDWMR perlu  dirancang  agar  memiliki  komponen  perencana  lintasan ( path  planner )  yang  berfungsi  mendesain  lintasan  referensi yang akan diikuti ketika bergerak dari pose awal menuju pose akhir.  Perancangan  lintasan  referensi  tersebut  pada  dasarnya harus  tetap  memperhitungkan  batasan non-holonomic pada DDWMR  untuk  mengeliminasi  kandidat  lintasan  yang  tidak layak  ( infeasible )  untuk  diikuti  [22].  Dalam  hal  ini,  lintasan referensi  DDWMR  antara  pose  awal  dan  akhir  tertentu umumnya dirancang secara sekuensial menggunakan beberapa titik jalan ( waypoint ) di antara kedua pose [23]. Secara praktis, lintasan  referensi  dapat  didesain  sebagai  fungsi  polinomial dengan  kelengkungan  halus  ( smooth  curve )  serta  memenuhi batasan  kondisi  tertentu  (posisi,  kecepatan,  dan  percepatan kontinu) pada kedua titik jalan yang ditinjau [24].
Di  berbagai  studi/literatur,  perancangan  lintasan  referensi dan  desain  kontrol  pelacakan  DDWMR  umumnya  dilakukan secara  terpisah.  Pada  makalah  ini,  pengontrolan  pergerakan DDWMR antara dua pose yang berbeda diajukan dalam suatu metode terintegrasi yang secara sekuensial merancang lintasan antara kedua pose untuk kemudian dijadikan sebagai referensi dalam  desain  pengontrol  penjejakan.  Lintasan  referensi  yang dirancang  pada  tahap  pertama  dalam  metode  yang  diusulkan adalah  kurva  polinomial  fungsi  waktu  dengan  kelengkungan halus  yang  menginterpolasikan  beberapa  titik  jalan  yang terletak  di  antara  pose  awal  dan  akhir  yang  diinginkan. Berdasarkan lintasan referensi yang diperoleh tersebut, sinyal kontrol  umpan  balik  berbasis  analisis  kestabilan  Lyapunov kemudian  ditentukan  untuk  menjamin  nilai error antara  pose aktual  robot  dan  pose  lintasan  referensi  selama  pergerakan robot  menjadi  seminimal  mungkin.  Hasil  simulasi  numerik dipaparkan di makalah ini untuk mengilustrasikan keefektifan metode perancangan kontrol penjejakan yang diusulkan.

## II. D ESKRIPSI DAN M ODEL DDWMR

## A. Deskripsi dan Model Kinematika DDWMR
Sketsa  struktur  DDWMR  yang  ditinjau  pada  makalah  ini ditunjukkan  pada  Gbr.  1.  Robot  memiliki  dua  roda  yang masing-masing memiliki diameter 2𝑟 m dan terpisah sejauh 2𝑙 m  satu  sama  lain.  Roda  kiri  dan  kanan  masing-masing memiliki  kecepatan  sudut 𝜔 𝐿 dan 𝜔 𝑅 rad/s.  Posisi  robot  pada suatu  subset  terbatas 𝜒 di  koordinat  inersial  Kartesian  dua dimensi (𝑋, 𝑌) dinyatakan sebagai posisi titik pusat (𝑥, 𝑦) dari koordinat  lokal  robot (𝑥 𝑟𝑜𝑏𝑜𝑡 , 𝑦 𝑟𝑜𝑏𝑜𝑡 ) di  bidang (𝑋, 𝑌) .  Sudut orientasi  robot 𝜑 rad  didefinisikan  antara  vektor  kecepatan
liniernya dengan sumbu 𝑋 di koordinat inersial. Titik (𝑥, 𝑦, 𝜑) merupakan  pose  robot  dengan  arah  vektor  kecepatan  linier υ m/s  yang  tegak  lurus  terhadap  sumbu  putar  roda  serta kecepatan sudut 𝜔 rad/s searah dengan orientasi robot.
Berdasarkan  geometri  yang  ditunjukkan  pada  Gbr.  1  dan dengan  menggunakan  analisis  aljabar  vektor,  model kinematika untuk pose DDWMR dapat dituliskan pada (1) [3], [4], [25].
[ 𝑥̇ 𝑦̇ 𝜑̇ ] =   [ cos(𝜑) 0 sin (𝜑) 0 0 1 ] [ 𝜐 𝜔 ] (1)
dengan  kecepatan  linier 𝜐 dan  kecepatan  sudut ω merupakan sinyal kontrol masukan yang memenuhi persamaan berikut:
[ 𝜐 𝜔 ] =   [ 𝑟 2 𝑟 2 𝑟 2𝑙 − 𝑟 2𝑙 ] [ 𝜔 𝑅 𝜔 𝐿 ] . (2)
Dengan menggabungkan (1) dan (2), model kinematika (1) dapat ditulis ulang sebagai berikut:
[ 𝑥̇ 𝑦̇ 𝜑̇ ] = [ 𝑟 2 cos(𝜑) 𝑟 2 cos(𝜑) 𝑟 2 sin(𝜑) 𝑟 2 sin(𝜑) 𝑟 2𝑙 − 𝑟 2𝑙 ] [ 𝜔 𝑅 𝜔 𝐿 ] . (3)
Persamaan  (3)  menunjukkan  bahwa  pose  DDWMR  dapat dikontrol  dengan  mengatur  kecepatan  sudut  roda  kiri  dan kanan.

## B. Kontrol Penjejakan Lintasan
Salah  satu  tujuan  operasional  DDWMR  adalah  terkait pengontrolan  geraknya  dari pose  awal ke  pose  akhir  tertentu. Pada  makalah  ini,  pengontrolan  gerak  antara  kedua  pose tersebut dilakukan dengan metode kontrol pelacakan lintasan. Lebih  spesifik,  DDWMR  dikontrol  untuk  menjejaki  lintasan referensi  tertentu  yang  menghubungkan  pose  awal  dan  akhir yang  diinginkan.  Pada  makalah  ini,  lintasan  referensi  untuk dijejaki  dinyatakan  sebagai  pose  referensi (𝑥 ∗ , 𝑦 ∗ , 𝜑 ∗ ) yang berdasarkan (1) memenuhi model kinematika berikut [4].
[ 𝑥 ∗ ̇ 𝑦 ∗ ̇ φ ∗ ̇ ] =   [ cos(𝜑 ∗ )      0 sin(𝜑 ∗ )      0 0              1 ] [ υ ∗ 𝜔 ∗ ] (4)
Y X
Gbr. 1 Sketsa DDWMR yang ditinjau.
dengan υ ∗ dan 𝜔 ∗ merupakan  kecepatan  linier  dan  kecepatan sudut referensi. Gbr. 2 secara geometri mengilustrasikan nilai error antara pose aktual DDWMR dan lintasan referensi.
Berdasarkan  Gbr.  2,  dapat  didefinisikan  tiga  komponen error antara pose lintasan referensi (𝑥 ∗ , 𝑦 ∗ , 𝜑 ∗ ) dan pose aktual (𝑥, 𝑦, 𝜑) DDWMR  sebagai  berikut. Error posisi 𝑒 1 merupakan jarak antara posisi aktual dari DDWMR dan posisi lintasan  referensi  di  sumbu 𝑥 𝑟𝑜𝑏𝑜𝑡 ; error posisi 𝑒 2 merupakan jarak  antara  posisi  aktual  DDWMR  dan  posisi  lintasan referensi  di  sumbu 𝑦 𝑟𝑜𝑏𝑜𝑡 ;  serta error orientasi 𝑒 3 merupakan selisih  sudut  antara  sudut  orientasi  referensi 𝜑 ∗ dan  sudut orientasi  aktual 𝜑 [15],  [26].  Dengan  menggunakan  analisis geometri di Gbr. 2, nilai setiap komponen error pose tersebut dapat ditentukan sebagai berikut:
[ 𝑒 1 𝑒 2 𝑒 3 ] = [ 𝑒 1 ′′ + 𝑒 1 ′ −𝑡  +  𝑠 𝜑 ∗ −  𝜑 ] = [ (𝑥 ∗ − 𝑥) cos(𝜑) + (𝑦 ∗ − 𝑦) sin(𝜑) −(𝑥 ∗ − 𝑥) sin(𝜑) + (𝑦 ∗ − 𝑦) cos(𝜑)
𝜑 ∗ − 𝜑 ] (5)
= [ cos(𝜑)  sin(𝜑)    0 − sin(𝜑)  cos(𝜑)   0 0             0 1 ] [ (𝑥 ∗ − 𝑥) (𝑦 ∗ − 𝑦) (φ ∗ − φ) ] .
Dengan menghitung turunan terhadap waktu dari model error pada  (5)  serta  menggunakan  model  kinematika  pada  (1)  dan (4),  maka  dinamika error penjejakan  DDWMR pada  lintasan referensi dalam (4) dapat dituliskan sebagai berikut [15]:
[ 𝑒 1 ̇ 𝑒 2 ̇ 𝑒 3 ̇ ] = 𝑑 𝑑𝑡 [ 𝑒 1 𝑒 2 𝑒 3 ] = [ −1 𝑒 2 0 −𝑒 1 0 −1 ] [ 𝜐 𝜔 ]   +   [ υ ∗ cos(𝑒 3 ) υ ∗ sin(𝑒 3 ) 𝜔 ∗ ] . (6)
Model  dalam  (6)  menunjukkan  bahwa  dinamika error penjejakan lintasan referensi bergantung pada  nilai kecepatan linier  dan  kecepatan  sudut yang,  berdasarkan  model (1),  juga merupakan  sinyal  kontrol  masukan  pada  DDWMR.  Oleh karena  itu,  dapat  disimpulkan  bahwa  untuk  memastikan bahwa DDWMR mampu menjejaki lintasan referensi tertentu, kecepatan  linier  dan  kecepatan  sudut  sebagai  sinyal  kontrol masukan harus dirancang sedemikian rupa sehingga dinamika
error penjejakan  pada  (2)  stabil asymptotic .  Makalah  ini meninjau  perancangan  sinyal  kontrol 𝜐 dan 𝜔 dengan  metode berbasis  analisis  kestabilan  Lyapunov.  Secara  khusus, dinamika  sistem error pada  (6)  disebut  stabil asymptotic jika memenuhi syarat kestabilan Lyapunov pada Definisi 1 [27].
Definisi  1. Tinjau  dinamika error penjejakan 𝑒̇ = 𝑓(𝑒, 𝜐, 𝜔) di (6) dengan 𝑒 = [𝑒 1 , 𝑒 2 , 𝑒 3 ] 𝑇 . Titik ekuilibrium 𝑒 = 0 dari (6) disebut  stabil asymptotic dalam  pengertian  Lyapunov  jika terdapat  suatu  fungsi  Lyapunov 𝑉(𝑒) kontinu  dengan  turunan kontinu yang secara simultan memenuhi kondisi berikut:
(i) 𝑉(0) = 0 ,
(ii) 𝑉(𝑒) > 0 untuk setiap nilai 𝑒 ≠ 0 ,
(iii) 𝑉̇(𝑒) = [ ∂𝑉(𝑒)
∂𝑒 ] 𝑇 𝑑𝑒 𝑑𝑡 < 0 untuk setiap 𝑒  ≠  0 .
Pada  makalah  ini,  lintasan  referensi  pada  (4)  dirancang sebagai suatu kurva fungsi polinomial dengan variabel waktu 𝑡 dan  kelengkungan  halus  yang  menginterpolasikan  beberapa titik  jalan  yang  terletak  di  antara  pose  awal  dan  akhir  yang diinginkan.  Sinyal  aksi  kontrol 𝜐 dan 𝜔 untuk  penjejakan lintasan  referensi  tersebut  kemudian  dirancang  berdasarkan kondisi kestabilan Lyapunov pada Definisi 1.

## III. P ERANCANGAN K URVA L INTASAN R EFERENSI
Bagian  ini  memaparkan  metode  perancangan  lintasan referensi  antara  pose  awal  dan  akhir  dari  DDWMR  yang diinginkan.

## A. Lintasan Referensi Antara Dua Posisi
Lintasan referensi untuk dijejaki DDWMR ketika bergerak dari  titik  awal  ( 𝑥 0 , 𝑦 0 )  dan  akhir  ( 𝑥 𝑓 , 𝑦 𝑓 )  tertentu  di  koordinat inersial (𝑋, 𝑌) dapat  ditentukan  sebagai  fungsi  polinomial parametrik  orde 𝑛 dengan  variabel  waktu 𝑡. Dalam  hal  ini, posisi referensi robot (𝑥 ∗ (𝑡), 𝑦 ∗ (𝑡)) pada setiap waktu 𝑡 dapat diasumsikan sebagai fungsi polinomial parametrik berikut:
𝑥 ∗ (𝑡) = [𝑎 0 … 𝑎 𝑛 ] 𝑝(𝑡) , (7a)
𝑦 ∗ (𝑡) = [𝑏 0 … 𝑏 𝑛 ]𝑝(𝑡) (7b)
dengan 𝑎 𝑖 dan 𝑏 𝑖 ( 𝑖 = 0,1, ⋯ , 𝑛 )  merupakan  konstanta  dan 𝑝(𝑡) merupakan vektor monomial orde 𝑛 dengan variabel 𝑡 :
𝑝(𝑡) = [1 𝑡 ⋯ 𝑡 𝑛 ] 𝑇 . (8)
Penentuan solusi untuk konstanta parameter 𝑎 𝑖 dan 𝑏 𝑖 pada (7) dilakukan  dengan  meninjau  batasan  kondisi  waktu 𝑡 0 di  titik awal  ( 𝑥 0 , 𝑦 0 )  dan  waktu  akhir 𝑡 𝑓 di  titik  akhir  ( 𝑥 𝑓 , 𝑦 𝑓 )  yang diinginkan sebagai berikut:
𝑥 ∗ (𝑡 0 ), 𝑦 ∗ (𝑡 0 ),  𝑥̇ ∗ (𝑡)| 𝑡=𝑡 0 , 𝑦̇ ∗ (𝑡)| 𝑡=𝑡 0 , 𝑥̈ ∗ (𝑡)| 𝑡=𝑡 0 , 𝑦̈ ∗ (𝑡)| 𝑡=𝑡 0 , (9a)
𝑥 ∗ (𝑡 𝑓 ), 𝑦 ∗ (𝑡 𝑓 ), 𝑥̇ ∗ (𝑡)| 𝑡=𝑡 𝑓 , 𝑦̇ ∗ (𝑡)| 𝑡=𝑡 𝑓 , 𝑥̈ ∗ (𝑡)| 𝑡=𝑡 𝑓 , 𝑦̈ ∗ (𝑡)| 𝑡=𝑡 𝑓 . (9b)
Berdasarkan titik awal ( 𝑥 0 , 𝑦 0 ) dan akhir ( 𝑥 𝑓 , 𝑦 𝑓 ) serta kondisi (9)  untuk  durasi  waktu 𝑡 0 dan 𝑡 𝑓 yang  diinginkan,  solusi lintasan referensi yang diinginkan ditentukan sebagai berikut:
Y X Lintasan referensi 3 Gbr. 2 Geometri error antara pose aktual DDWMR dan lintasan referensi.
𝑥 ∗ (𝑡) = [𝐺 −1 (𝐸 − 𝐻𝑎 𝑛 ) 𝑎 𝑛 ] 𝑝(𝑡) (10a)
𝑦 ∗ (𝑡) = [𝐺 −1 (𝐹 − 𝐻𝑏 𝑛 ) 𝑏 𝑛 ] 𝑝(𝑡) . (10b)
Sebagai  ilustrasi,  jika 𝑝(𝑡) di  (8)  ditentukan  sebagai  vektor dengan  komponen  monomial  orde  maksimum 𝑛 = 6 ,  maka matriks dan vektor 𝐸, 𝐹, 𝐺 dan 𝐻 pada (10) menjadi
𝐺  =
[ 1 𝑡 0 𝑡 0 2 𝑡 0 3 𝑡 0 4 𝑡 0 5 1 𝑡 𝑓 𝑡 𝑓 2 𝑡 𝑓 3 𝑡 𝑓 4 𝑡 𝑓 5 0 1 2𝑡 0 3𝑡 0 2 4𝑡 0 3 5𝑡 0 4 0 1 2𝑡 𝑓 3𝑡 𝑓 2 4𝑡 𝑓 3 5𝑡 𝑓 4 0 0 2 6𝑡 0 12𝑡 0 2 20𝑡 0 3 0 0 2 6𝑡 𝑓 12𝑡 𝑓 2 20𝑡 𝑓 3 ] (11a)
𝐸 = [𝑥 0 𝑦 0 𝑑𝑥 𝑑𝑡 | 𝑡 0 𝑑𝑦 𝑑𝑡 | 𝑡 0 𝑑 2 𝑥 𝑑𝑡 2 | 𝑡 0 𝑑 2 𝑦 𝑑𝑡 2 | 𝑡 0 ] 𝑇 (11b)
𝐹 = [𝑥 𝑓 𝑦 𝑓 𝑑𝑥 𝑑𝑡 | 𝑡 𝑓 𝑑𝑦 𝑑𝑡 | 𝑡 𝑓 𝑑 2 𝑥 𝑑𝑡 2 | 𝑡 𝑓 𝑑 2 𝑦 𝑑𝑡 2 | 𝑡 𝑓 ] 𝑇 (11c)
𝐻 = [𝑡 0 6 𝑡 𝑓 6 6𝑡 0 5 6𝑡 𝑓 5 30𝑡 0 4 30𝑡 𝑓 4 ] 𝑇 . (11d)

## B. Lintasan Referensi dengan Beberapa Titik Jalan
Pada  subbagian  III.A,  batasan  kondisi  berupa  kecepatan dan  percepatan  dalam  (9)  dapat  ditentukan  bernilai  nol  agar dalam  pelacakan  lintasan  referensi  DDWMR  tidak  bergerak pada  waktu 𝑡 0 dan 𝑡 𝑓 .  Jika  lintasan  referensi  yang  diinginkan perlu  memperhitungkan  beberapa  titik  jalan,  maka  perlu ditentukan  nilai  batasan  kondisi  untuk  setiap  titik  jalan tersebut.  Untuk menentukan batasan kondisi tersebut, variasi metode  di  subbagian  III.A  dapat  digunakan  dengan  beberapa tambahan  syarat/kondisi.  Dalam  hal  ini,  ditinjau  kondisi ketika  titik  awal  ( 𝑥 0 , 𝑦 0 )  dan  titik  akhir  ( 𝑥 𝑓 , 𝑦 𝑓 )  yang diinginkan hendak dihubungkan oleh 𝑚 ≥ 3 titik jalan ( 𝑥̅ 𝑖 , 𝑦̅ 𝑖 ) untuk 𝑖 = 1, ⋯ , 𝑚 ,  dengan  ( 𝑥̅ 𝑖 , 𝑦̅ 𝑖 )  tersebut  juga  mencakup titik  awal  dan  akhir,  sehingga  lintasan  referensi  tersusun  atas 𝑑 = (𝑚 − 1) segmen lintasan referensi dengan dua titik ujung segmen  lintasan  referensi  ditentukan  sebagai  titik  awal  lokal dan  titik  akhir  lokal.  Nilai  batasan  kondisi  di  titik  awal  lokal dan titik akhir lokal tersebut ditentukan dengan memanfaatkan 𝑠 ≤ (𝑚 − 1) segmen,  yang  dalam  hal  ini  merupakan  fungsi polinomial  yang  menghubungkan 𝑞 ≤ (𝑚 − 1) buah  titik. Dalam  hal  ini,  masing-masing  kurva  lokal  tersebut  dapat ditentukan  sebagai  fungsi  polinomial  dengan  orde (𝑞 − 1). Lintasan referensi global antara titik awal dan akhir kemudian ditentukan  sebagai  kurva  penyambungan  dari 𝑑 segmen lintasan  referensi  yang  pada  setiap  titik  persambungannya bersifat kontinu dan memiliki kelengkungan halus [23].
Sebagai  ilustrasi,  ditinjau  penentuan  lintasan  referensi untuk  titik  jalan  ( 𝑥̅ 𝑖 , 𝑦̅ 𝑖 )  dengan 𝑖 = 1, ⋯ , 𝑚 = 6 , (𝑥 0 , 𝑦 0 ) = (𝑥̅ 1 , 𝑦̅ 1 ), dan (𝑥 𝑓 , 𝑦 𝑓 ) = (𝑥̅ 6 , 𝑦̅ 6 ). Lintasan  referensi  yang dirancang  terdiri  atas 𝑑 = 5 segmen  lintasan  referensi. Diasumsikan  bahwa  desain  setiap  segmen  lintasan  referensi dirancang  menggunakan 𝑠 = 3 segmen  kurva  lokal,  dengan masing-masing  kurva  lokal  tersebut  adalah  fungsi  polinomial variabel  waktu 𝑡 orde (𝑞 − 1) = 3 yang  menghubungkan 𝑞 =
4 buah titik jalan yang ditinjau. Dalam hal ini, enam titik jalan yang ditinjau merupakan sebuah set dengan tiga segmen kurva lokal, yaitu segmen kurva kiri (𝑡, 𝑥̅, 𝑦̅) 𝐿 , segmen kurva tengah (𝑡, 𝑥̅, 𝑦̅) 𝑀 , dan segmen kurva kanan (𝑡, 𝑥̅, 𝑦̅) 𝑅 sebagai berikut:
(𝑡, 𝑥, 𝑦) 𝐿 = {𝑡 1 , 𝑥̅ 1 , 𝑦̅ 1 , 𝑡 2 , 𝑥̅ 2 , 𝑦̅ 2 , 𝑡 3 , 𝑥̅ 3 , 𝑦̅ 3 , 𝑡 4 , 𝑥̅ 4 , 𝑦̅ 4 } (12a)
(𝑡, 𝑥, 𝑦) 𝑀 = {𝑡 2 , 𝑥̅ 2 , 𝑦̅ 2 , 𝑡 3 , 𝑥̅ 3 , 𝑦̅ 3 , 𝑡 4 , 𝑥̅ 4 , 𝑦̅ 4 , 𝑡 5 , 𝑥̅ 5 , 𝑦̅ 5 } (12b)
(𝑡, 𝑥, 𝑦) 𝑅 = {𝑡 3 , 𝑥̅ 3 , 𝑦̅ 3 , 𝑡 4 , 𝑥̅ 4 , 𝑦̅ 4 , 𝑡 5 , 𝑥̅ 5 , 𝑦̅ 5 , 𝑡 6 , 𝑥̅ 6 , 𝑦̅ 6 } . (12c)
Masing-masing segmen kurva lokal (12) didefinisikan sebagai fungsi polinomial kubik berikut
𝑥 Ξ = 𝑎 0 Ξ + 𝑎 1 Ξ 𝑡 + 𝑎 2 Ξ 𝑡 2 + 𝑎 3 Ξ 𝑡 3 (13a)
𝑦 Ξ = 𝑏 0 Ξ + 𝑏 1 Ξ 𝑡 + 𝑏 2 Ξ 𝑡 2 + 𝑏 3 Ξ 𝑡 3 (13b)
dengan 𝛯 = 𝐿, 𝑀, 𝑅, serta  konstanta 𝑎 0 Ξ ⋯ 𝑎 3 Ξ dan 𝑏 0 Ξ , ⋯ , 𝑏 3 Ξ untuk setiap segmen kurva dapat ditentukan sebagai
𝐴 Ξ = 𝑇 Ξ −1 𝑋 Ξ ,   dan 𝐵 Ξ = 𝑇 Ξ −1 𝑌 Ξ (14)
Pada (14), 𝐴 Ξ dan 𝐵 Ξ merupakan vektor berisi konstanta untuk setiap kurva sebagai berikut:
𝐴 𝛯 = [𝑎 0 Ξ 𝑎 1 Ξ 𝑎 2 Ξ 𝑎 3 Ξ ] 𝑇 (15a)
𝐵 Ξ = [𝑏 0 Ξ 𝑏 1 Ξ 𝑏 2 Ξ 𝑏 3 Ξ ] (15a)
sedangkan 𝑋 Ξ dan 𝑌 Ξ merupakan vektor yang mendefinisikan spesifikasi titik jalan pada (13)-(14) dengan bentuk
𝑋 𝐿 = [𝑥̅ 1 𝑥̅ 2 𝑥̅ 3 𝑥̅ 4 ] 𝑇 ,  𝑌 𝐿 = [𝑦̅ 1 𝑦̅ 2 𝑦̅ 3 𝑦̅ 4 ] 𝑇 (16a)
𝑋 𝑀 = [𝑥̅ 2 𝑥̅ 3 𝑥̅ 4 𝑥̅ 5 ] 𝑇 , 𝑌 𝑀 = [𝑦̅ 2 𝑦̅ 3 𝑦̅ 4 𝑦̅ 5 ] 𝑇 (16b)
𝑋 𝑅 = [𝑥̅ 3 𝑥̅ 4 𝑥̅ 5 𝑥̅ 6 ] 𝑇 , 𝑌 𝑅 = [𝑦̅ 3 𝑦̅ 4 𝑦̅ 5 𝑦̅ 6 ] 𝑇 (16c)
dan 𝑇 Ξ merupakan matriks variabel waktu 𝑡 sebagai berikut:
𝑇 𝐿 = [ 1 𝑡 1 𝑡 1 2 𝑡 1 3 1 𝑡 2 𝑡 2 2 𝑡 2 3 1 𝑡 3 𝑡 3 2 𝑡 3 3 1 𝑡 4 𝑡 4 2 𝑡 4 3 ] , 𝑇 𝑀 = [ 1 𝑡 2 𝑡 2 2 𝑡 2 3 1 𝑡 3 𝑡 3 2 𝑡 3 3 1 𝑡 4 𝑡 4 2 𝑡 4 3 1 𝑡 5 𝑡 5 2 𝑡 5 3 ] , 𝑇 𝑅 = [ 1 𝑡 3 𝑡 3 2 𝑡 3 3 1 𝑡 4 𝑡 4 2 𝑡 4 3 1 𝑡 5 𝑡 5 2 𝑡 5 3 1 𝑡 6 𝑡 6 2 𝑡 6 3 ] (17)
Gbr. 3 menunjukkan kurva polinomial dari masing-masing segmen  kurva  lokal  kiri,  tengah,  dan  kanan  yang  akan dikombinasikan  untuk  membentuk  segmen  lintasan  referensi antara  titik  ( 𝑥̅ 3 , 𝑦̅ 3 )  dan  ( 𝑥̅ 4 , 𝑦̅ 4 ).  Dapat  dilihat  pada  gambar tersebut  bahwa  pertemuan  ketiga  kurva  di  titik  ( 𝑥̅ 3 , 𝑦̅ 3 )  dan ( 𝑥̅ 4 , 𝑦̅ 4 )  dapat  dimanfaatkan  untuk  memperoleh  nilai  batasan kondisi  yang  mengompensasi  munculnya  potensi  sambungan yang  tidak  kontinu.  Dalam  hal  ini,  batasan  kondisi  pada  (9) digunakan  untuk  memperoleh  segmen  lintasan  referensi berupa  kurva  interpolasi  ( 𝑥 Ξ , 𝑦 Ξ ) antara  titik (𝑥̅ 3 , 𝑦̅ 3 ) dan ( 𝑥̅ 4 , 𝑦̅ 4 ).  Formulasi  kondisi  pada  (9)  untuk  dua  titik  jalan tersebut menjadi
𝑥̇ ∗ (𝑡)| 𝑡 3 = 1 2 [𝑥̇ 𝐿 (𝑡)| 𝑡 3 + 𝑥̇ 𝑀 (𝑡)| 𝑡 3 ] (18a)
𝑦̇ ∗ (𝑡)| 𝑡 3 = 1 2 [𝑦̇ 𝐿 (𝑡)| 𝑡 3 + 𝑦̇ 𝑀 (𝑡)| 𝑡 3 ] (18b)
𝑥̈ ∗ (𝑡)| 𝑡 3 = 1 2 [𝑥̈ 𝐿 (𝑡)| 𝑡 3 + 𝑥̈ 𝑀 (𝑡)| 𝑡 3 ] (18c)
𝑦̈ ∗ (𝑡)| 𝑡 3 = 1 2 [𝑦̈ 𝐿 (𝑡)| 𝑡 3 + 𝑦̈ 𝑀 (𝑡)| 𝑡 3 ] (18d)
dan
𝑥̇ ∗ (𝑡)| 𝑡 4 = 1 2 [𝑥̇ 𝑀 (𝑡)| 𝑡 4 + 𝑥̇ 𝑅 (𝑡)| 𝑡 4 ] (19a)
𝑦̇ ∗ (𝑡)| 𝑡 4 = 1 2 [𝑦̇ 𝑀 (𝑡)| 𝑡 4 + 𝑦̇ 𝑅 (𝑡)| 𝑡 4 ] (19b)
𝑥̈ ∗ (𝑡)| 𝑡 4 = 1 2 [𝑥̈ 𝑀 (𝑡)| 𝑡 4 + 𝑥̈ 𝑅 (𝑡)| 𝑡 4 ] (19c)
𝑦̈ ∗ (𝑡)| 𝑡 4 = 1 2 [𝑦̈ 𝑀 (𝑡)| 𝑡 4 + 𝑦̈ 𝑅 (𝑡)| 𝑡 4 ] . (19d)
Perlu  diperhatikan  bahwa  kecepatan  linier  dan  kecepatan sudut  referensi  dapat  ditentukan  berdasarkan  nilai  kecepatan linier  referensi 𝑥̇ ∗ ( 𝑡 ) dan 𝑦̇ ∗ ( 𝑡 ) pada  sumbu  koordinat  inersial sebagai berikut:
𝜐 ∗ = √(𝑥̇ ∗ (𝑡)) 2 + (𝑦̇ ∗ (𝑡)) 2 (20a)
𝜔 ∗ = 𝜑̇ ∗ , dengan 𝜑̇ ∗ = tan −1 ( 𝑦̇ ∗ (𝑡) 𝑥̇ ∗ (𝑡) ) . (20b)
Kurva  hasil  interpolasi  berdasarkan  batasan  kondisi  tersebut ditunjukkan sebagai kurva berwarna merah di Gbr. 3.
Untuk memperoleh empat segmen lintasan referensi global yang  lain,  dilakukan  proses  interpolasi  berdasarkan  batasan kondisi di  setiap  titik  jalan  lainnya.  Pada dua titik  jalan  yang pertama,  tiga  kurva  interpolasi  disusun  dengan  asumsi terdapat  dua  titik  tambahan 𝛾 dengan  susunan  seperti  pada (12).  Dua  titik  tersebut  diletakkan  di  dekat  titik  awal  pada sebuah garis lurus yang menghubungkan titik ( 𝑥̅ 1 , 𝑦̅ 1 ), ( 𝑥̅ 2 , 𝑦̅ 2 ). Hal  yang  sama  dilakukan  untuk  menentukan  batasan  kondisi dua  titik  jalan  terakhir.  Ilustrasi  penentuan  titik  tambahan 𝛾 𝑔 dengan 𝑔  =  1, ⋯ , 4 ditunjukkan pada Gbr. 4.
Berdasarkan  penentuan  tersebut,  susunan  segmen  untuk menentukan batasan kondisi untuk dua titik jalan pertama dan dua titik jalan terakhir pada Gbr. 3 tersusun sebagai berikut:
• Batasan kondisi untuk titik ( 𝑥̅ 1 , 𝑦̅ 1 ) dan ( 𝑥̅ 2 , 𝑦̅ 2 ) diperoleh dengan  tambahan  titik 𝛾 𝑔 untuk 𝑔 = {1,2} ,  sehingga  set terdiri  atas  ( 𝑡 𝛾 , 𝑥̅ 𝛾 , 𝑦̅ 𝛾 ),  ( 𝑡 1 , 𝑥̅ 1 , 𝑦̅ 1 ),  ( 𝑡 2 , 𝑥̅ 2 , 𝑦̅ 2 ),  ( 𝑡 3 , 𝑥̅ 3 , 𝑦̅ 3 ), dan ( 𝑡 4 , 𝑥̅ 4 , 𝑦̅ 4 ).
• Batasan kondisi untuk titik ( 𝑥̅ 5 , 𝑦̅ 5 ) dan ( 𝑥̅ 6 , 𝑦̅ 6 ) diperoleh dengan  tambahan  titik 𝛾 𝑔 untuk 𝑔 = {3,4} ,  sehingga  set terdiri  atas  ( 𝑡 3 , 𝑥̅ 3 , 𝑦̅ 3 ),  ( 𝑡 4 , 𝑥̅ 4 , 𝑦̅ 4 ),  ( 𝑡 5 , 𝑥̅ 5 , 𝑦̅ 5 ),  ( 𝑡 6 , 𝑥̅ 6 , 𝑦̅ 6 ), ( 𝑡 𝛾 , 𝑥̅ 𝛾 , 𝑦̅ 𝛾 )
Dapat  divalidasi  berdasarkan  pemenuhan  batasan  kondisi pada (9) dalam bentuk (18)-(19) untuk setiap titik jalan bahwa kurva  lintasan  referensi  global  yang  diperoleh  selalu  kontinu di setiap titik jalan yang ditentukan.
Komentar  1. Perlu  diperhatikan  bahwa  model  polinomial parametrik  pada  (7)-(8)  yang  menghubungkan  titik  awal  dan titik  akhir  tertentu  dapat  langsung  ditentukan  (misalnya dengan interpolasi atau curve fitting ) tanpa memperhitungkan batasan turunan fungsi di (9). Peninjauan batasan kondisi pada (9)  dalam  penentuan  solusi  dalam  (10)  dilakukan  untuk memastikan  bahwa  nilai  referensi  kecepatan  awal  dan  akhir dari  pergerakan  robot  realistis  secara  praktis.  Sebagaimana diilustrasikan  pada  contoh  simulasi  di  bagian  V,  penentuan kurva  lintasan  referensi  pada  (7)  tanpa  memperhitungkan
batasan  kondisi  pada  (9)  akan  menghasilkan  referensi kecepatan awal dan akhir DDWMR yang tidak realistis secara praktis.

## IV. P ERANCANGAN K ONTROL P ENJEJAKAN B ERBASIS

## A NALISIS K ESTABILAN L YAPUNOV
Berdasarkan  model  kinematika  pada  (3), error penjejakan pada  (6),  dan  lintasan  referensi  dalam  (7),  metode  kontrol penjejakan  suatu  lintasan  referensi  berdasarkan  kriteria kestabilan  Lyapunov  (lihat  juga  Definisi  1)  dapat  didesain. Gbr.  5  menunjukkan  diagram  blok  sistem  umpan-balik putaran tertutup ( closed loop feedback system ) DDWMR yang ditinjau  pada  makalah  ini,  dengan  sinyal  kontrol  penjejakan merupakan  fungsi  dari  dinamika error penjejakan  pada  (4). Dalam  hal  ini,  sinyal  kontrol  dapat  dirancang  secara konstruktif dengan mengasumsikan terlebih dahulu keberadaan suatu kandidat fungsi Lyapunov terparameterisasi 𝑉(𝑒) untuk  sistem  umpan-balik  putaran  tertutup  DDWMR tersebut. Dengan mengevaluasi kondisi pada parameter fungsi 𝑉(𝑒) dengan 𝑒 = [𝑒 1 𝑒 2 𝑒 3 ] 𝑇 yang  menjamin  kestabilan dinamika error penjejakan pada (4), sinyal kontrol penjejakan untuk  dinamika  putaran  tertutup  DDWMR  dapat  ditentukan. Sistematika  perancangan  sinyal  kontrol  tersebut  dijelaskan secara detail sebagai berikut.
Ditinjau kandidat fungsi Lyapunov terparameterisasi untuk dinamika error penjejakan pada (6) berikut:
𝑉(𝑒 1 , 𝑒 2 , 𝑒 3 ) = 1 2 (𝑒 1 2 + 𝑒 2 2 ) + 1 𝐾 2 [1 − cos(𝑒 3 )] (21)
Gbr. 3 Visualisasi penentuan kurva lintasan referensi.
(𝑥 1 , 𝑦 1 ) ( 𝑥 2 , 𝑦 2 ) (𝑥 𝑚− 1 , 𝑦 𝑚 − 1 ) (𝑥 𝑚 , 𝑦 𝑚 ) 1 2 3 4 Gbr. 4 Ilustrasi penentuan titik tambahan γ 𝑔 .
dengan 𝐾 2 > 0 merupakan  parameter  konstanta.  Perlu diperhatikan  bahwa  untuk  bidang  kerja  berbentuk  subset terbatas 𝜒 pada  koordinat  Kartesian  dua  dimensi,  fungsi 𝑉(𝑒) dan  turunannya  selalu  kontinu.  Untuk  menentukan  sinyal kontrol  DDWMR  yang  memastikan  dinamika error penjejakan  pada  (6)  stabil asymptotic ,  fungsi  Lyapunov 𝑉(𝑒) di (21) dievaluasi berdasarkan kondisi (i)-(iii) pada Definisi 1.
• Untuk  nilai 𝑒 = 0 ,  diperoleh  bahwa 𝑉(𝑒) = 0 ,  sehingga disimpulkan bahwa bahwa 𝑉(𝑒) memenuhi kondisi (i).
• Untuk semua nilai (𝑒 1 , 𝑒 2 , 𝑒 3 ) ≠ 0, maka 𝑒 1 2 + 𝑒 2 2 ≠ 0 dan [1 − cos(𝑒 3 )] 𝐾 2 ≠ 0 ⁄ ,  sehingga 𝑉(𝑒) ≠ 0 untuk 𝑒 ≠ 0 dan disimpulkan 𝑉(𝑒) memenuhi kondisi (ii).
• Untuk setiap 𝑒 ≠ 0, turunan 𝑉(𝑒) terhadap waktu adalah:
𝑉̇(𝑒) = 𝑒 1 𝑒 1 ̇ + 𝑒 2 𝑒 2 ̇ − 1 𝐾 2 2 (− sin(𝑒 3 ) 𝑒 3 ̇ 𝐾 2 ). (22)
Dengan mensubstitusikan (6) ke (22), diperoleh
𝑉̇(𝑒) = 𝑒 1 (𝜐 ∗ cos(𝑒 3 ) − 𝜐) + sin(𝑒 3 ) [ 1 𝐾 2 (𝜔 ∗ − ω) + 𝜐 ∗ 𝑒 2 ]. (23)
Untuk  memenuhi  syarat 𝑉̇(𝑒) ≤ 0 pada  kondisi  (iii), ditinjau parameterisasi turunan 𝑉(𝑒) terhadap waktu berikut:
𝑉̇(𝑒) = −(𝐾 1 𝑒 1 2 + 𝐾 3 sin 2 (𝑒 3 )) (24)
dengan 𝐾 1 , 𝐾 3 > 0 merupakan  parameter  konstanta  untuk turunan 𝑉̇(𝑒) . Dengan membandingkan nilai turunan pada (23) dan  asumsi  bentuk  parameterisasi  pada  (24),  dapat  diperoleh dua persamaan sebagai berikut:
−𝐾 1 𝑒 1 2 =   𝑒 1 (𝜐 ∗ cos(𝑒 3 ) − 𝜐) (25a)
−𝐾 3 sin 2 (𝑒 3 )   = sin(𝑒 3 ) ( 𝜔 ∗ 𝐾 2 + 𝜐 ∗ 𝑒 2 − ω 𝐾 2 ) (25b)
sehingga  sinyal  kontrol  berupa  kecepatan  linier 𝜐 berikut dapat diperoleh dari (25a):
𝜐 = 𝜐 ∗ cos(𝑒 3 ) + 𝐾 1 𝑒 1 (26)
serta  sinyal  kontrol  berupa  kecepatan  sudut 𝜔 berikut  dapat diperoleh dari (25b):
𝜔 = 𝜔 ∗ + 𝐾 2 𝜐 ∗ 𝑒 2 + 𝐾 2 𝐾 3 sin(𝑒 3 ). (27)
Berdasarkan  relasi  antara  kecepatan (𝜐, 𝜔) DDWMR  dan kecepatan sudut (𝜔 𝑅 , 𝜔 𝐿 ) dari roda kiri dan kanannya pada (2), sinyal  kontrol  untuk  penjejakan  lintasan  dalam  bentuk kecepatan putar roda kiri dan kanan adalah:
ω 𝑅 = 1 𝑟 [𝜐 ∗ (cos(𝑒 3 ) + 𝑙𝐾 2 𝑒 2 ) + β] (28a)
ω 𝐿 = 1 𝑟 [𝜐 ∗ (cos(𝑒 3 ) − 𝑙𝐾 2 𝑒 2 ) − α] (28b)
dengan α = 𝑙(𝜔 ∗ + 𝐾 2 𝐾 3 sin(𝑒 3 )) − 𝐾 1 𝑒 1 ,  dan β = 𝐾 1 𝑒 1 + 𝑙(𝜔 ∗ + 𝐾 2 𝐾 3 sin(𝑒 3 )) .

## V. S IMULASI DAN A NALISIS
Bagian  ini  menjelaskan  skenario  simulasi  yang  ditinjau serta  hasil  yang  diperoleh  ketika  memvalidasi  metode perancangan  lintasan  referensi  dan  desain  pengontrol pelacakan  lintasan  sebagaimana  dipaparkan  di  bagian  III  dan IV.  Skenario  yang  ditinjau  mengasumsikan 𝑖 = 5 titik  jalan sebagai  referensi  pergerakan  robot,  seperti  ditunjukkan  pada Tabel  I,  dengan  kecepatan  awal  dan  kecepatan  akhir  bernilai nol.  Simulasi  numerik  dilakukan  pada  MATLAB  dengan asumsi  nilai  parameter 𝑟 = 0.075 𝑚 dan 𝑙 = 0.19 𝑚 pada model robot di Gbr. 1.

## A. Perancangan Kurva Lintasan Referensi
1)  Solusi  tanpa  Batasan  Kondisi: Untuk  lima  titik  jalan yang ditentukan, perancangan lintasan referensi tanpa batasan berdasarkan  kondisi  pada  (9)  dilakukan  menggunakan  fungsi polinomial  orde (𝑖 − 1) = 4 .  Kurva  lintasan  referensi  dan sudut  orientasi  referensi  yang  menghubungkan  semua  titik
Generator lintasan referensi Pose Awal Pose Akhir Fungsi Lintasan Pengontrol berbasis analisis kestabilan Lyapunov Model eror Pengukuran pose aktual menggunakan sensor Model Kinematika [ 𝑒 1 𝑒 2 𝑒 3 ] [ 𝜔 𝑟 𝜔 𝑙 ] [ 𝑥̇ 𝑦̇ 𝜑̇ ] [ 𝑥 0 𝑦 0 𝜑 0 ] [ 𝑥 𝑓 𝑦 𝑓 𝜑 𝑓 ] [ 𝑥 𝑦 𝜑 ] [ 𝑥 ∗ 𝑦 ∗ 𝜑 ∗ ] [ 𝑥 𝑦 𝜑 ]
Gbr. 5 Diagram blok sistem kontrol penjejakan putaran tertutup.
T ABEL I K OORDINAT TITIK JALAN REFERENSI
Titik Jalan ke- 𝒊 𝒙 ̅ 𝒊 𝒚 ̅ 𝒊 𝒕 𝒊
𝑖 = 1 0 0 0,1 𝑖 = 2 2 2 5 𝑖 = 3 3 1 10 𝑖 = 4 4 2 15
𝑖 = 5 5 1 20
jalan  ditunjukkan  pada  Gbr.  6  dan  Gbr.  7.  Profil  kecepatan linier  dan  kecepatan  sudut  untuk  kurva  lintasan  referensi tersebut masing-masing ditunjukkan pada Gbr. 8 dan Gbr. 9.
Dapat dilihat pada Gbr. 6 dan Gbr. 7 bahwa kurva lintasan referensi yang  dihasilkan  selalu  kontinu  pada  titik  jalan  yang ditentukan. Namun, profil kecepatan referensi pada Gbr. 8 dan Gbr.  9  menunjukkan  bahwa  referensi  kecepatan  linier  dan kecepatan sudut tidak bernilai nol sebagaimana diinginkan.
2)  Solusi  dengan  Batasan  Kondisi: Dengan  meninjau skenario  simulasi  di  bagian  V.A.1  dan  titik  tambahan γ 𝑔 di Tabel  II,  perancangan  lintasan  referensi  dilakukan  dengan batasan  kondisi  pada  (9).  Kurva  lintasan  dan  sudut  orientasi referensi  pada  Gbr.  10  dan  Gbr.  11  untuk  kasus  ini menunjukkan  bahwa  lintasan  referensi yang  dihasilkan  selalu kontinu  di  titik  jalan  yang  ditentukan.  Lebih  jauh,  referensi profil  kecepatan  linier  dan  sudut  di  Gbr.  12  dan  Gbr.  13 menunjukkan kecepatan awal dan akhir DDWMR bernilai nol sebagaimana  diinginkan.  Dapat  disimpulkan  bahwa  kondisi pada  (9)  menghasilkan  lintasan  referensi  yang  lebih  realistis untuk implementasi praktis.

## B. Perancangan Pengontrol Penjejak Lintasan Referensi
Berdasarkan  kurva  lintasan  referensi  yang  diperoleh  pada bagian  V.A,  simulasi  dilanjutkan  dengan  evaluasi  keandalan sinyal  kontrol  pada  (28)  dalam  menjejaki  lintasan  referensi yang  diperoleh.  Simulasi  dilakukan  dengan  menggunakan parameter 𝐾 1 = 5 , 𝐾 2 = 6 ,  dan 𝐾 3 = 5 pada  formulasi  sinyal kontrol dalam (28).
1)  Simulasi  Putaran  Tertutup  tanpa  Batasan  Kondisi: Untuk kurva lintasan referensi  di Gbr. 6, perbandingan kurva posisi  aktual  dan  posisi  referensi  hasil  simulasi  putaran tertutup  ditunjukkan  pada  Gbr.  14,  sedangkan  perbandingan orientasi aktual dan orientasi referensi ditunjukkan di Gbr. 15.
Gbr. 6 Lintasan/posisi referensi tanpa batasan kondisi.
Gbr. 7 Profil sudut orientasi referensi tanpa batasan kondisi.
Gbr. 8 Profil kecepatan linier referensi tanpa batasan kondisi.
Gbr. 9 Profil kecepatan sudut referensi tanpa batasan kondisi.
T ABEL II K OORDINAT T ITIK T AMBAHAN
Titik Tambahan ke- 𝒈 𝒙 ̅ 𝒈 𝒚 ̅ 𝒈 𝒕 𝒈 𝑔 = 1 0,9999998 0,9999998 0 𝑔 = 2 0,9999999 0,9999999 0.05 𝑔 = 3 5,0000001 0,9999999 20,05 𝑔 = 4 5,0000002 0,9999998 20,1
Gbr. 10 Lintasan/posisi referensi tanpa batasan kondisi.
Gbr. 11 Profil sudut orientasi referensi dengan batasan kondisi.
Lebih  jauh,  perbandingan  sinyal  kontrol  kecepatan  linier dan kecepatan sudut dalam hal ini ditunjukkan di Gbr. 16 dan Gbr. 17. Dapat dilihat pada Gbr. 14 bahwa posisi aktual robot tidak  mampu menjejaki  posisi  referensi  secara  sempurna dari awal hingga  akhir  simulasi. Selain  itu, kecepatan  awal aktual robot yang tidak sama dengan nol membuat sinyal kontrol ini kurang realistis untuk diimplementasikan secara praktis.
2)  Simulasi  Putaran  Tertutup  dengan  Batasan  Kondisi: Untuk  kurva  lintasan  referensi  pada  Gbr.  10,  perbandingan kurva posisi aktual dan posisi referensi hasil simulasi putaran tertutup  ditunjukkan  pada  Gbr.  18,  sedangkan  perbandingan orientasi aktual dan orientasi referensi ditunjukkan pada Gbr. 19.  Sementara  itu,  perbandingan  sinyal  kontrol  antara  hasil
Gbr. 12 Profil kecepatan linier referensi dengan batasan kondisi.
Gbr. 13 Profil kecepatan sudut referensi dengan batasan kondisi.
Gbr.  14  Perbandingan  posisi  referensi  dan  aktual  pada  simulasi  putaran tertutup tanpa batasan kondisi.
Gbr.  15  Perbandingan  orientasi  referensi  dan  aktual  pada  simulasi  putaran tertutup tanpa batasan kondisi.
Gbr.  16  Perbandingan  kecepatan  linier  referensi  dan  aktual  pada  simulasi putaran tertutup tanpa batasan kondisi.
Gbr.  17  Perbandingan  kecepatan  sudut  referensi  dan  aktual  pada  simulasi putaran tertutup tanpa batasan kondisi.
Gbr.  18  Perbandingan  posisi  referensi  dan  aktual  pada  simulasi  putaran tertutup dengan batasan kondisi.
Gbr.  19  Perbandingan  orientasi  referensi  dan  aktual  pada  simulasi  putaran tertutup dengan batasan kondisi.
simulasi  dan  referensi  berupa  kecepatan  linier  dan  kecepatan sudut  untuk  kasus  ini  masing-masing  ditunjukkan  pada  Gbr. 20 dan Gbr. 21.
Gbr. 18 menunjukkan bahwa posisi aktual robot menjejaki posisi  referensi  dengan  baik  dari  awal  hingga  akhir  simulasi. Selain itu, kecepatan aktual robot di titik awal dan akhir yang bernilai  nol  mengindikasikan  sinyal  kontrol  ini  lebih  realistis untuk diimplementasikan secara praktis. Hal ini menunjukkan efektivitas metode desain lintasan dan kontrol yang diusulkan.

## VI. K ESIMPULAN
Makalah  ini telah  memaparkan  suatu metode  pengontrolan pergerakan DDWMR dalam menjejaki suatu lintasan referensi yang  menghubungkan  pose  awal  dan  pose  akhir  tertentu. Metode yang diusulkan  secara  sekuensial  merancang  lintasan antara kedua pose untuk kemudian dijadikan sebagai referensi dalam  desain  pengontrol  penjejakan.  Lintasan  referensi  yang dirancang  merupakan  kurva  polinomial  fungsi  waktu  dengan kelengkungan  halus  yang  menginterpolasikan  beberapa  titik jalan  yang  terletak  di  antara  pose  awal  dan  pose  akhir  yang diinginkan.  Berdasarkan  lintasan  referensi  yang  diperoleh, sinyal kontrol berbasis analisis kestabilan Lyapunov kemudian ditentukan secara konstruktif untuk meminimalkan nilai error antara  pose  aktual  robot  dan  pose  lintasan  referensi.  Hasil simulasi  numerik  menunjukkan  bahwa  metode  kontrol  yang diusulkan efektif dalam penjejakan DDWMR yang diusulkan.

## R EFERENSI
[1] S.G. Tzafestas, Introduction to Mobile Robot Control , London, England: Elsevier, 2013.
[2] G.  Klancar,  A.  Zdesar,  dan  S.  Blazic, Wheeled  Mobile  Robotics:  From Fundamentals  towards  Autonomous  Systems ,  London,  England: Butterworth-Heinemann, 2017.
[3] J.L. Avendaño-Juárez, V.M. Hernández-Guzmán, dan R. Silva-Ortigoza, “Velocity and Current Inner Loops in a Wheeled  Mobile Robot,” Adv. Robot., Vol. 24, No. 8-9, hal. 1385–1404, 2010.
[4] J.R.  Garcı ́a-Sánchez,  S.  Tavera-Mosqueda,  R.  Silva-Ortigoza,  V.M. Hernández-Guzmán,  J.  Sandoval-Gutiérrez,  M.  Marcelino-Aranda,  H. Taud,  dan  M.  Marciano-Melchor,  “Robust  Switched  Tracking  Control for  Wheeled  Mobile  Robots  Considering  the  Actuators  and  Drivers,” Sensors, Vol. 18, No. 12, hal. 1-21, 2018.
[5] C. Liu, J. Gao, dan D. Xu, “Lyapunov-based Model Predictive Control for Tracking of Nonholonomic Mobile Robots Under Input Constraints,” Int. J. Control Autom. Syst., Vol. 15, hal. 2313–2319, 2017.
[6] K.R. Simba, N. Uchiyama, dan S. Sano, “Real-Time Smooth Trajectory Generation  for  Nonholonomic  Mobile  Robots  using  Bézier  Curves,” Robot. Com.-Int. Manuf., Vol. 41, hal. 31–42, 2016.
[7] C.M. Sanchez, J.R.G. Sanchez, C.Y.S. Cervantes, R.S. Ortigoza, V.M.H. Guzman,  J.N.A.  Juarez,  dan  M.M.  Aranda,  “Trajectory  Generation  for Wheeled Mobile Robots via Bézier Polynomials,” IEEE Lat. Am. Trans., Vol. 14, No. 11, hal. 4482–4490, 2016.
[8] J. Mu, X.-G. Yan, S.K. Spurgeon, dan Z. Mao, “Nonlinear Sliding Mode Control of a Two-Wheeled Mobile Robot System,” Int. J. Model. Identif. Control. , Vol. 27, No. 2, hal. 75–83, 2017.
[9] J.R.  Garcı ́a-Sánchez,  R.  Silva-Ortigoza,  S.  Tavera-Mosqueda,  C. Márquez-Sánchez,  V.M.  Hernández-Guzmán,  M.  Antonio-Cruz,  G. Silva-Ortigoza,  dan  H.  Taud,  “Tracking  Control  for  Mobile  Robots Considering  the  Dynamics  of  All  Their  Subsystems:  Experimental Implementation,” Complexity , Vol. 2017, hal. 1-18, 2017.
[10] R.S.  Ortigoza,  J.R.G.  Sanchez,  V.M.H.  Guzman,  C.M.  Sanchez,  dan M.M.  Aranda,  “Trajectory  Tracking  Control  for  a  Differential  Drive Wheeled Mobile Robot Considering the Dynamics Related to Actuators and Power Stage,” IEEE Lat. Am. Trans ., Vol. 14, No. 2, hal. 657–664, 2016.
[11] D.  Huang,  J.  Zhai,  W.  Ai,  dan  S.  Fei,  “Disturbance  Observer-based Robust  Control  for  Trajectory  Tracking  of  Wheeled  Mobile  Robots,” Neurocomputing, Vol. 198, hal. 74–79, 2016.
[12] S. Roy  dan I.N. Kar,  “Adaptive  Robust  Tracking Control of a  Class of Nonlinear Systems with  Input  Delay,” Nonlinear Dyn ., Vol. 85, No. 2, hal. 1127–1139, 2016.
[13] Y.  Kim  dan  B.K.  Kim,  “Time-Optimal  Trajectory  Planning  Based  on Dynamics  for  Differential-Wheeled  Mobile  Robots  with  a  Geometric Corridor,” IEEE Trans. Ind. Electron ., Vol. 64, No. 7, hal. 5502–5512,
2017.
[14] C.-L.  Hwang  dan  W.-L.  Fang,  “Global  Fuzzy  Adaptive  Hierarchical Path Tracking Control of a Mobile Robot with Experimental Validation,” IEEE Trans. Fuzzy Syst ., Vol. 24, No. 3, hal. 724–740, 2015.
[15] T. Fukao, H. Nakagawa, dan N. Adachi, “Adaptive Tracking Control of a  Nonholonomic  Mobile  Robot,” IEEE  Trans.  Robot  Autom., Vol.  16, No. 5, hal. 609–615, 2000.
[16] Z.  Peng,  G.  Wen,  S.  Yang,  dan  A.  Rahmani,  “Distributed  Consensus- based  Formation  Control  for  Nonholonomic  Wheeled  Mobile  Robots Using  Adaptive  Neural  Network,” Nonlinear  Dyn .,  Vol.  86,  No.1,  hal. 605–622, 2016.
[17] M. Abdelwahab, V. Parque, A.M.R. Fath Elbab, A.A. Abouelsoud, dan S.  Sugano,  “Trajectory  Tracking  of  Wheeled  Mobile  Robots  using  Z- Number  Based  Fuzzy  Logic,” IEEE  Access ,  Vol.  8,  hal.  18426–18441, 2020.
[18] H.M. Wu dan M. Karkoub, “Hierarchical Fuzzy Sliding-Mode Adaptive Control  for  the  Trajectory  Tracking  of  Differential-Driven  Mobile Robots,” Int. J. Fuzzy Syst. , Vol. 21, No. 1, hal. 33–49, 2019.
[19] T.Q.  Khai  dan  Y.J.  Ryoo,  “Design  of  Adaptive  Kinematic  Controller Using  Radial  Basis  Function  Neural  Network  for  Trajectory  Tracking Control  of  Differential-Drive  Mobile  Robot,” Int  J.  Fuzzy  Log.  Intell. Syst. , Vol. 19, No. 4, hal. 349–359, 2019.
[20] T.Q.  Khai,  Y.J.  Ryoo,  W.R.  Gill,  dan  D.Y.  Im,  “Design  of  Kinematic Controller  Based  on  Parameter  Tuning  by  Fuzzy  Inference  System  for Trajectory  Tracking  of  Differential-Drive  Mobile  Robot,” Int.  J.  Fuzzy Syst. , Vol. 22, No. 6, hal. 1972–1978, 2020.
[21] X.  Wu,  P.  Jin,  T.  Zou,  Z.  Qi,  H.  Xiao,  dan  P.  Lou,  “Backstepping Trajectory  Tracking  Based  on  Fuzzy  Sliding  Mode  Control  for
Gbr.  20  Perbandingan  kecepatan  linier  referensi  dan  aktual  pada  simulasi putaran tertutup dengan batasan kondisi.
Gbr.  21  Perbandingan  kecepatan  sudut  referensi  dan  aktual  pada  simulasi putaran tertutup dengan batasan kondisi.
Differential Mobile Robots,” J. Intell. Robot Syst. Theory Appl ., Vol. 96, No. 1, hal. 109–121, 2019.
[22] Y.  Guo,  Z.  Qu,  dan  J.  Wang,  “A  New  Performance-based  Motion Planner for Nonholonomic Mobile Robots,” Proc. 3 rd PerMIS , 2003, hal. 1-8.
[23] Y.  Guo,  Y.  Long,  dan  W.  Sheng,  “Global  Trajectory  Generation  for Nonholonomic  Robots  in  Dynamic  Environments,” Proc.  IEEE  ICRA , 2007, hal. 1324–1329.
[24] J.L. Junkins, J.R. Jancaitis, dan G.W. Miller, “Smooth Irregular Curves,” Photogramm. Eng. Rem. S. , Vol. 38, No. 6, hal. 565-573, 1972.
[25] Y.  Kanayama,  Y.  Kimura,  F.  Miyazaki,  dan  T.  Noguchi,  “A  Stable Tracking  Control  Method  for  an  Autonomous  Mobile  Robot,” Proc. IEEE ICRA , 1990, hal. 384-389.
[26] R.  Fierro  dan  F.L.  Lewis,  “Control  of  a  Nonholonomic  Mobile  Robot: Backstepping Kinematics into Dynamics,” Proc. 34th IEEE CDC , 1995, hal. 3805-3810.
[27] S.G. Tzafestas, “Mobile Robot Control I: The Lyapunov-Based Method,” dalam Introduction  to  Mobile  Robot  Control ,  Oxford,  UK:  Elsevier, 2014, hal. 137–183.