Estimasi: Journal of Statistics and Its Application e-ISSN: 2721-3803, p-ISSN: 2721-379X http://journal.unhas.ac.id/index.php/ESTIMASI

## Rancangan Faktorial Model Campuran Dengan Metode Maksimum Likelihood
Andi Tenri Riski Amalia 1* , Raupong 2* , dan Andi Kresna Jaya 3*
1,2,3 Departemen Statistika, Fakultas MIPA, Universitas Hasanuddin, Makassar, 90245, Indonesia *Corresponding author, email address: anditenririzkyam@gmail.com

## Abstract
Variance  is  the  amount  of  statistics  which  measures  how  far  a  set  of  numbers  in observation are spread out from its mean. In experimental design, variance are caused by the effect of treatment, block and error of experimental can be estimated by variability of  error  that  commonly  referred  to  variance  component.  In  this  study,  the  maximum likelihood  method  with  Hartley  Rou  modification  was  used  followed  by  the  Newton Raphson  method  which  was  applied  to  a  complete  randomized  block  factorial  design mixed  model  with  factor  A  being  fixed  and factor  B  being  random.  The  results  of  this study for rice production data showed that there is a significant effect on the interaction of  genotype  and  location  on  rice  production.  The  estimated  value  of  the  variance component  obtained  indicates  that  there  are  variations  in  the  influence  of  location factors, and genotype and location interaction factors on rice production.
Keywords :  Factorial RAKL, Hartley-Rou, Likelihood Method, Maximum, Mixed Model,

## Variance Component

## Abstrak
Variansi merupakan besaran statistika yang menunjukkan seberapa jauh persebaran nilai observasi  terhadap  nilai  rata-ratanya.  Dalam  rancangan  percobaan,  untuk  mengetahui variansi  dari  pengaruh  perlakuan,  pengaruh  kelompok,  dan  pengaruh  galat  percobaan dapat diestimasi dari variansi galat, disebut sebagai komponen variansi. Pada penelitian ini,  digunakan  metode  maksimum  likelihood  dengan  modifikasi  Hartley  Rou  yang dilanjutkan dengan metode Newton Raphson yang diterapkan pada data rancangan acak faktorial kelompok lengkap model campuran dengan faktor A bersifat tetap dan faktor B bersifat  acak.  Hasil  penelitian  pada  data  hasil  produksi  padi  menunjukkan    terdapat pengaruh nyata interaksi genotipe dan lokasi teradap hasil produksi padi. Nilai estimasi komponen  variansi  yang  diperoleh  menunjukkan  terdapat  adanya  keragaman  pengaruh faktor lokasi dan faktor interaksi genotipe dan lokasi terhadap hasil produksi padi.
Kata Kunci : Komponen  Variansi,  RAK  Faktorial,  Model  Campuran,  Metode Maksimum Likelihood

## Andi Tenri Riski Amalia, Raupong, Andi Kresna Jaya

## 1. Pendahuluan
Percobaan  faktorial  adalah  percobaan  yang  dipengaruhi  oleh  beberapa  faktor  dan dicirikan  dengan  perlakuan  yang  merupakan  kombinasi  dari  taraf-taraf  faktor  yang dicobakan  [2].  Rancangan  faktorial  dengan  Rancangan  Acak  Kelompok  Lengkap (RAKL)  merupakan  percobaan  faktorial  dengan  rancangan  dasar  RAKL,  faktor  yang digunakan terdiri dari dua  faktor yaitu  faktor A dengan a taraf, dan  faktor B dengan b taraf, serta kedua faktor yang saling berinteraksi.
Variansi atau keragaman merupakan ukuran seberapa tersebarnya data. Semakin besar nilai variansi, maka semakin menyebar suatu data, begitupun sebaliknya.  Dalam rancangan  percobaan,  untuk  mengetahui  variansi  dari  pengaruh  perlkuan,  pengaruh kelompok  dan  pengaruh  galat  percobaan  dapat  destimasi  dari  variansi  galat  yang  bisa disebut sebagai komponen variansi [13].
Metode yang dapat diguakan dalam mengestimai komponen variansi diantaranya adalah  Analisis  Variansi  (ANAVA),  metode  Maksimum  Likelihood  (MLE)  dan Restricted  Maksimum  Likelihood  (REML).  Dalam  kajian  ini  metode  yang  penulis gunakan  adalah  metode  maksimum  likelihood  pada  rancangan  factorial  RAKL  model campuran dimana faktor A merupakan model tetap dan faktor B merupakan model acak. Karena  kesulian  dalam  mengestimasi  komponen  variansi  pada  model  campuran,  maka penulis menggunakan modifikasi Hartley-Rou pada metode MLE [12]. Meskipun metode Hartley-Rou  masih  memerlukan  usaha  komputasi  numeric,  namun  hasil  estimasi komponen  variansi  selalu  bernilai  nonnegative  sehingga  penulis  tertarik  menggunakan metode  maksimum  likelihood  dengan  modifikasi  Hartley  Rou  dalam  mengestimasi komponen variansi pada rancangan factorial model campuran.

## 2. Material dan Metode
Data yang digunakan dalam penelitian ini adalah data sekunder Hasil Produksi Padi yang  dipengaruhi  oleh  2  faktor  yaitu  faktor  A  (genotipe)  dan  faktor  B  (lokasi)  yang diperoleh  dari  Balai  Penelitian  Tanaman  Padi  Sukamandi.  Data  ini  merupakan  data rancangan  factorial  dengan  rancangan  dasar  RAKL  model  campuran  dimana  Faktor  A bersifat  tetap  dan  faktor  B  bersifat  acak.  Variable  dalam  penelitian  ini  terdiri  dari  1 variabel  respon  dan  3  variabel  bebas.  Hasil  Produksi  Padi  (ton/ha)  sebagai  variable respon, faktor genotipe, faktor lokasi dan kelompok  sebagai variable bebas.
Metode  yang  digunakan  dalam  mengestimasi  komponen  variansi  pada  data  rancangan factorial RAKL yaitu metode maksimum likelihood. Menurut Sudjana (2002) percobaan faktorial adalah percobaan yang semua  perlakuan suatu faktor tertentu dikombinasikan atau disilangkan dengan semua perlakuan tiap faktor lainnya yang ada pada percobaan itu [11]. Percobaan faktorial dapat juga diaplikasikan terhadap seluruh unit-unit percobaan secara  berkelompok.  Hal  ini  dilakukan  jika  unit  percobaan  yang  digunakan  tidak homogen.  Percobaan  ini  sering  disebut  percobaan  dua  faktor  dalam  RAKL.  Adapun model linear aditif rancangan acak kelompok lengkap dua faktor adalah
Andi Tenri Riski Amalia, Raupong, Andi Kresna Jaya
𝑦 𝑖𝑗𝑘 = 𝜇 + 𝛼 𝑖 + 𝛽 𝑗 + (𝛼𝛽) 𝑖𝑗 + 𝜌 𝑘 + 𝜀 𝑖𝑗𝑘 (1)
𝑦 𝑖𝑗𝑘 merupakan  nilai  pengamatan  (respon)  dari  kelompok  ke -k yang  memperoleh perlakuan taraf ke- i faktor A dan taraf ke- j faktor B, 𝜇 adalah rata-rata umum, 𝛼 𝑖 adalah pengaruh perlakuan taraf ke- i faktor A, 𝛽 𝑗 adalah pengaruh perlakuan taraf ke- j faktor B,
(𝛼𝛽) 𝑖𝑗 adalah  pengaruh  interaksi  taraf  ke- i faktor  A  dan  taraf  ke- j faktor  B, a adalah banyaknya  taraf  faktor  A, b adalah banyaknya  taraf  faktor  B, r adalah banyaknya kelompok, 𝜌 𝑘 adalah  pengaruh  kelompok  ke- k (diasumsikan  tidak  berinteraksi  dengan perlakuan), dan 𝜀 𝑖𝑗𝑘 adalah galat percobaan taraf ke- i faktor A dan taraf ke- j faktor B pada data kelompok ke- k (𝜀 𝑖𝑗𝑘 ~𝑁(0, 𝜎 𝜀 2 ))
Beberapa  model  pada  rancangan  faktorial  diantaranya  adalah  model  tetap,  model acak, dan model campuran. Jika faktor A dengan a taraf dan faktor B dengan b taraf tetap, maka disebut model tetap. Jika faktor A dengan a taraf dan faktor B dengan b taraf acak, maka  disebut  model  acak.  Sedangkan  jika  faktor  A  dengan  a  taraf  tetap  dan  faktor  B dengan b taraf acak atau sebaliknya disebut dengan model campuran. Persamaan (2.1) dalam persamaan regresi dapat ditulis:
𝑦 = 𝟏𝜇 + 𝒁 1 𝛼 + 𝒁 2 𝛽 + 𝒁 3 𝛼𝛽 + 𝒁 4 𝜌 + 𝒁 0 𝜀 (2) 𝜇 adalah rataan umum yaitu rataan untuk keseluruhan data pengamatan. 𝒁 0 adalah matriks identitas yang berukuran 𝑎𝑏𝑟 × 𝑎𝑏𝑟 , 𝒁 𝑖 (𝑖 = 1,2,3 𝑑𝑎𝑛 4) adalah matriks indikator yang berhubungan  dengan  kompenen  variansi  ke-i, 𝜺 adalah  vektor  galat  yang  berukuran (𝑎𝑏𝑟 × 1) , sedangkan 𝜶 adalah vektor efek tetap, 𝜷 adalah vektor efek acak yang terkait dengan komponen variansi ke-i.
Data  yang  digunakan  dalam  penelitian  ini  merupakan  model  campuran,  menurut Ojeda & Sahai (2005) model linear dari model campuran dirumuskan sebagai berikut [6]:
𝒚 = 𝑋𝜹 + 𝒁 𝟏 𝒖 𝟏 + 𝒁 𝟐 𝒖 𝟐 + ⋯ + 𝒁 𝒄 𝒖 𝒄 + 𝒆 (3)
Sebagai konsekuensi dari persamaan (2.3) maka:
𝑦~𝑁(𝜇, 𝑉)
Dimana
𝜇 = 𝐸(𝒚) = 𝑋𝜹
Dan
𝑉 = 𝑉𝑎𝑟(𝑦) = 𝜎 𝑖 2 𝒁 𝑖 𝒁 𝑖 𝑡 + 𝜎 𝑒 2 𝐼 = 𝜎 𝑒 2 𝑯 (4)
Dengan
𝑯 = 𝛾 𝑖 𝒁 𝑖 𝒁 𝑖 𝑡 + 𝐼 𝒏 (5)
𝛾 𝑖 = 𝜎 𝑖 2 𝜎 𝑒 2 (6)
𝑯 merupakan  matriks  ukuran 𝑁 × 𝑁 , 𝛾 𝑖 adalah  parameter  khusus  yang  akan  dipakai dalam mengkonstruksi komponen varian pada metode maksimum  likelihood, 𝜎 𝑖 2 adalah komponen  varian  acak  yang  diperoleh  dengan  metode  ANAVA,  dan 𝜎 𝑒 2 adalah komponen varian galat yang diperoleh dengan metode ANAVA.

## Rancangan Faktorial Model Campuran…
Andi Tenri Riski Amalia, Raupong, Andi Kresna Jaya
Selanjutnya,  metode  yang  digunakan  dalam  mengestimasi  komponen  varian  yaitu metode  maksimum  likelihood.  Maksimum  likelihood  adalah  teknik  yang  sangat  luas dipakai  dalam  penaksiran  suatu  parameter  distribusi  data  dan  tetap  dominan  dipakai dalam pengembangan uji-uji yang baru. Misalkan 𝐿(𝜃) adalah fungsi likelihood (fungsi dari parameter 𝜃 yang memaksimumkan fungsi likelihood.
Misalkan 𝑌 1 , 𝑌 2 , … , 𝑌 𝑛 adalah  peubah  acak  yang  saling  bebas  dari  populasi  dengan fungsi kepadatan peluangnya dinyatakan oleh 𝑓(𝑦; 𝜃) dengan 𝜃 adalah parameter yang tidak  diketahui  yang  merupakan  parameter-parameter  yang  akan  diduga,  maka  fungsi likelihoodnya adalah:
𝐿(𝜃) = 𝐿(𝜃; 𝑦 1 , 𝑦 2 , … , 𝑦 𝑛 ) = ∏ 𝑓(𝑦 𝑖 , 𝜃) 𝑛 𝑖=1 (7)
Fungsi log-likelihood dapat ditulis dalam bentuk:
𝐼 = ln 𝐿(𝜃) (8) Untuk memaksimumkan fungsi log - likelihood, diperoleh dengan cara menurunkan fungsi log-likelihood terhadap 𝜃 lalu disamakan dengan nol [3].
𝜕 𝜕𝜃 ln[𝐿(𝜃)] = 0 (9) Menurut (Rou, 1967), apabila langkah mengestimasi parameter menggunakan metode maksimum  likelihood  menghasilkan  persamaan  yang  tidak  eksplisit,  maka  untuk memperoleh nilai estimasi parameternya dapat digunakan  metode Newton Raphson[8]. Persamaan  likelihood  dengan  parameter 𝜃 dapat  diselesaikan  dengan  menggunakan rumus  estimasi  untuk  parameter 𝜃̂ pada  iterasi  ke  - (𝑡 + 1) dalam  proses  iterasi  yang dituliskan sebagai berikut :
𝜃 𝑡+1 = 𝜃 𝑡 − 𝑓(𝜃 𝑡 ) 𝑓 ′ (𝜃 𝑡 ) ,         𝑓′(𝜃 𝑡 ) ≠ 0 (10)
Dengan 𝜃 𝑡+1 adalah  akar  persamaan  dari 𝑓(𝜃 𝑡 ) iterasi  ke- (𝑡 + 1); 𝜃 𝑡 adalah  akar persamaan dari 𝑓(𝜃 𝑡 ) iterasi ke 𝑡 dan 𝑓′(𝜃 𝑡 ) adalah turunan dari 𝑓(𝜃 𝑡 ) . Proses iterasi dengan menggunakan metode Newton Raphson sehingga didapatkan nilai 𝜃̂ yang konvergen yaitu sampai nilai | 𝜃 ̂ 𝑡+1 −𝜃 ̂ 𝑡 𝜃 ̂ 𝑡+1 | < 𝜀 , dengan 𝜀 adalah toleransi galat yang diinginkan [4].
3. Hasil dan Diskusi
3.1 Model  Rancangan  Percobaan  Faktorial  dengan  RAKL  dalam  Persamaan Regresi
Model linear dari rancangan percobaan faktorial dengan RAKL pada Persamaan (1) diterapkan  pada  data  Lampiran  1,  diketahui  bahwa  taraf  faktor  A  (genotipe) =  7, taraf faktor B (lokasi) =  4, dan taraf kelompok  =  3 dapat ditulis sebagai berikut:
𝑦 𝑖𝑗𝑘 =; 𝜇 + 𝛼 𝑖 + 𝛽 𝑗 + (𝛼𝛽) 𝑖𝑗 + 𝜌 𝑘 + 𝜀 𝑖𝑗𝑘 ;  𝑖 = 1,2, … ,7 𝑗 = 1,2, … ,4  𝑘 = 1,2,3 (11) 𝑦 𝑖𝑗𝑘 merupakan  nilai  pengamatan  hasil  produksi  padi  dari  kelompok  ke -k yang memperoleh perlakuan taraf ke- i faktor A dan taraf ke- j faktor B, 𝜇 merupakan rata-rata umum, 𝛼 𝑖 merupakan  pengaruh  perlakuan  taraf  ke- i faktor  A, 𝛽 𝑗 pengaruh  perlakuan taraf ke- j faktor B, (𝛼𝛽) 𝑖𝑗 merupakan pengaruh interaksi taraf ke- i faktor A dan taraf ke-
Andi Tenri Riski Amalia, Raupong, Andi Kresna Jaya
j faktor B, 𝜌 𝑘 merupakan pengaruh kelompok ke-k dan 𝜀 𝑖𝑗𝑘 merupakan Galat percobaan taraf ke- i faktor A dan taraf ke- j faktor B pada data kelompok ke- k
Karena rancangan faktorial RAKL yang digunakan adalah model campuran dengan faktor  A  sebagai  model  tetap  dan  faktor  B  sebagai  model  acak,  maka  Persamaan  (11) dapat ditulis sebagai berikut:
𝒚 = 𝑿𝜹 + 𝒁 𝟏 𝜷 + 𝒁 𝟐 (𝜶𝜷) + 𝜺 (12)
𝒚 merupakan vektor respon berukuran 84 × 1 , 𝑿 merupakan matriks berukuran 84 × 7 , 𝜹 merupakan  vektor  dari  parameter  tetap  berukuran 7 × 1 , 𝒁 𝟏 merupakan  matriks berukuran 84 × 4 , 𝒁 𝟐 merupakan matriks berukuran 84 × 28 , 𝜷 merupakan vektor acak berukuran 4 × 1 , 𝜶𝜷 merupkan vektor acak berukuran 28 × 1 , 𝜺 merupakan vektor galat pengamatan berukuran 84 × 1

## 3.2 Estimasi Komponen Varian dengan Metode Maksimum Likelihood
Fungsi likelihood dengan asumsi berdistribusi normal dengan parameter 𝜹 dan 𝜎 𝑒 2 𝑯 untuk Persamaan (7) sebagai berikut:
𝐿(𝜹, 𝜎 𝑒 2 𝑯 ; 𝒚) = 1 (2𝜋𝜎 𝑒 2 ) 𝑛/2 |𝑯| 1/2 exp [− (𝒚 − 𝑿𝜹) 𝑡 𝑯 −1 (𝒚 − 𝑿𝜹) 2𝜎 𝑒 2 ] (13)
Untuk memaksimumkan nilai fungsi 𝐿(𝜹, 𝜎 𝑒 2 𝑯 ; 𝒚) dapat diperoleh dengan cara memaksimumkan fungsi log-likelihoodnya. Misalkan 𝑙 merupakan fungsi log likelihood dari persamaan (4.1), maka:
𝑙 = ln(𝐿(𝜹, 𝜎 𝑒 2 𝑯 ; 𝒚) = − 𝑛 2 ln(2𝜋) − 𝑛 2 ln(𝜎 𝑒 2 ) − 1 2 ln|𝑯| − 1 2𝜎 𝑒 2 (𝒚 − 𝑿𝜹) 𝑡 𝑯 −1 (𝒚 − 𝑿𝜹) (14)
Untuk  memaksimumkan 𝑙 ,  fungsi  tersebut  diturunkan  terhadap  parameternya (𝜹, 𝜎 𝑒 2 , 𝛾 𝑖 ) kemudian disamakan dengan nol.
a. Turunan terhadap 𝜹
𝑙 𝜹 = 𝜕𝑙 𝜕𝜹 | 𝛿=𝛿 ̂ = 1 𝜎 𝑒 2 [𝑿 𝑡 𝑯 −1 𝒚 − 𝑿 𝑡 𝑯 −1 𝑿𝜹]
Selanjutnya, hasil turunan disamakan dengan nol
𝑙 𝜹 = 1 𝜎 𝑒 2 [𝑿 𝑡 𝑯 −1 𝒚 − 𝑿 𝑡 𝑯 −1 𝑿𝜹] = 0
𝜹 ̂ = (𝑿 𝑡 𝑯 ̂ −1 𝑿) −1 𝑿 𝑡 𝑯 ̂ −1 𝒚 (15)
b. Turunan 𝑙 terhadap 𝜎 𝑒 2
𝑙 𝜎 𝑒 2 = 𝜕𝑙 𝜕𝜎 𝑒 2 =   − 𝑛 2𝜎 𝑒 2 + 1 2𝜎 𝑒 4 (𝒚 − 𝑿𝜹) 𝑡 𝑯 −1 (𝒚 − 𝑿𝜹)
Selanjutnya, hasil turunan fungsi disamakan dengan nol,
𝑙 𝜎 𝑒 2 =   − 𝑛 2𝜎 𝑒 2 + 1 2𝝈 𝒆 𝟒 (𝒚 − 𝑿𝜹) 𝑡 𝑯 −1 (𝒚 − 𝑿𝜹)   = 0
σ e 2 ̂ = 1 𝑛 (𝒚 − 𝑿𝜹) 𝑡 𝑯 −1 (𝒚 − 𝑿𝜹)
(16)
c. Turunan 𝑙 terhadap 𝛾 𝑖
𝑙 𝛾 𝑖 = 𝜕𝑙 𝜕𝛾 𝑖 = − 1 2 𝑡𝑟(𝑯 −1 𝒁 𝑖 𝒁 𝑖 𝑡 ) + 1 2𝜎 𝑒 2 (𝒚 − 𝑿𝜹) 𝑡 𝑯 −1 𝒁 𝑖 𝒁 𝑖 𝑡 𝑯 −1 (𝒚 − 𝑿𝜹) (17)
Selanjutnya, hasil turunan fungsi disamakan dengan nol.
𝒍 𝛾 𝑖 =   − 1 2 𝑡𝑟(𝑯 −1 𝒁 𝑖 𝒁 𝑖 𝑡 ) + 1 2𝜎 𝑒 2 (𝒚 − 𝑿𝜹) 𝑡 𝑯 −1 𝒁 𝑖 𝒁 𝑖 𝑡 𝑯 −1 (𝒚 − 𝑿𝜹) = 0
1 2 𝑡𝑟(𝑯 −1 𝒁 𝑖 𝒁 𝑖 𝑡 ) = 1 2𝜎 𝑒 2 (𝒚 − 𝑿𝜹) 𝑡 𝑯 −1 𝒁 𝑖 𝒁 𝑖 𝑡 𝑯 −1 (𝒚 − 𝑿𝜹) (18)
Persamaan  (18)  tidak  dapat  diselesaikan  secara  analitik  untuk  mendapatkan  hasil  yang eksplisit  dari  estimator 𝛾 𝑖 . Namun,  persamaan  (18)  dapat  diselesaikan  secara  numerik dengan prosedur Newton-Raphson.
Adapun  turunan  parsial  kedua  dari  fungsi  Log-Likelihood 𝑙 terhadap 𝛾 yang selanjutnya digunakan untuk prosedur iterasi Newton Raphson yaitu sebagai berikut :
𝑙 𝛾 𝑖 𝛾 𝑖 = 𝜕 2 𝑙 𝜕𝛾 𝑖 𝜕𝛾 𝑖 = 1 2 𝑡𝑟( 𝑯 −1 𝒁 𝑖 𝒁 𝑖 𝑡 𝑯 −1 𝒁 𝑖 𝒁 𝑖 𝑡 ) + 1 𝜎 𝑒 2 (𝒚 − 𝑿𝜹) 𝑡 𝑯 −1 𝒁 𝑖 𝒁 𝑖 𝑡 𝑯 −1 𝒁 𝑖 𝒁 𝑖 𝑡 𝑯 −1 (𝒚 − 𝑿𝜹) (19)
Selanjutnya dilakukan proses iterasi dilakukan untuk memperoleh nilai 𝛾 𝑖 ̂ yang konvergen.
𝛾 𝑖 ̂ 𝑡+1 =   𝛾 𝑖 ̂ 𝑡 − 𝑙 𝛾𝑖 𝑙 𝛾𝑖𝛾𝑖 (20)

## 3.3 Penerapan pada Data
3.3.1 Pengujian Asumsi Rancangan
1. Uji normalitas
Uji yang digunakan untuk mengetahui apakah data menyebar secara normal yaitu uji Liliefors. Dalam uji ini data terlebih dahulu disusun dari yang terkecil ke yang terbesar. Berdasarkan  prosedur  diperoleh  nilai 𝐿 0 = 0,0798 sedangkan  nilai 𝐿 (0.05,84) sebesar 0,0967 .  Karena 𝐿 0 = 0,0798  < 𝐿 (0.05,84) = 0,0967 .  Maka  data  itu  dapat  disimpulkan bahwa 𝐻 0 diterma yang artinya data berdistribusi normal.
2. Kehomogenan variansi
Uji  yang digunakan untuk memeriksa asumsi kehomogenan galat  adalah uji Barlet. Hasil perhitungan 𝜒 ℎ𝑖𝑡 2 diperoleh 𝜒 ℎ𝑖𝑡 2 = 2.458 . nilai ini kemudian dibandingkan dengan nilai 𝜒 𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙 2 dengan 𝑣 = 2 dan 𝛼 = 0.05 ,  diperoleh 𝜒 (2;0.05) 2 = 5.9915 .  Karena 𝜒 ℎ𝑖𝑡 2 <
𝜒 (2;0.05) 2 yaitu 2.458 < 5.9915 , maka 𝐻 0 diterima, bahwa asumsi kehomogenan variansi terpenuhi.
3. Kebebasan galat
Plot antara nilai sisaan dan nilai dugaan pengamatan ditunjukkan pada Gambar 1.
4.5 4.0 3.5 3.0 2.5 2.0 1.5 1.0 0.50 0.25 0.00 -0.25 -0.50 Fitted Value R e s id u a l Versus Fits (response is HP)
Gambar 1. Plot antara nilai sisaan dan nilai dugaan
Pada Gambar 1. dapat dilihat bahwa titik-titik galat menyebar secara acak atau tidak membentuk pola sehingga dapat disimpulkan bahwa asumsi kebebasan galat terpenuhi.

## 3.3.2 Hipotesis
Hipotesis yang akan diuji sebagai berikut:
a. Pengaruh utama faktor A
𝐻 0 : 𝛼 1 = 𝛼 2 = ⋯ = 𝛼 7 = 0 (ada  faktor  A  atau  genotipe  tidak  berpengaruh terhadap respons atau hasil produksi padi yang diamati)
𝐻 1 : ∃𝛼 𝑖 ≠ 0, 𝑖 = 1,2, … ,7 (ada  faktor  A  atau  genotipe  berpengaruh  terhadap respons atau hasil produksi padi yang diamati)
b. Pengaruh utama faktor B
𝐻 0 : 𝜎 𝛽 2 = 0 (tidak ada keragaman antar taraf faktor B)
𝐻 1 : 𝜎 𝛽 2 > 0 (ada keragaman antar faktor B)
c. Pengaruh interaksi faktor A dan faktor B
𝐻 0 : 𝜎 𝛼𝛽 2 = 0 (tidak ada keragaman antar taraf faktor interaksi AB)
𝐻 1 : 𝜎 𝛼𝛽 2 > 0 (ada keragaman antar faktor interaksi AB)
Sebagai kaidah keputusan untuk uji hipotesis adalah tolak 𝐻 0 jika 𝐹 ℎ𝑖𝑡 > 𝐹 𝛼(𝑣 1 ,𝑣 2 )

## 3.3.3 Perhitungan ANAVA
Tabel 1. Hasil Perhitungan Analisis Variansi pada Data Hasil Produksi Padi Sumber Variansi Db JK KT F hit F tab A 6 10,245 1,708 1,324 2,66 B 3 5,089 1,696 31,407 2,798 AB 18 23,213 1,290 23,889 1,823 Kelompok 2 0,198 0,099 1,833 3,168 Galat 54 2,94 0,054 Total 83 41,686
Sumber: Hasil Olahan, 2020
Berdasarkan  hipotesis  dengan  menggunakan 𝛼 = 0,05 ,  kesimpulan  yang  diperoleh sebagai berikut:
1. Nilai 𝐹 ℎ𝑖𝑡𝑢𝑛𝑔 (𝐴) = 1,324 < 𝐹 𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙 = 2,66 sehingga 𝐻 0 diterima  yang  berarti  tidak terdapat pengaruh nyata genotipe terhadap hasil produksi padi
2. Nilai 𝐹 ℎ𝑖𝑡𝑢𝑛𝑔 (𝐵) = 31,047 > 𝐹 𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙 = 2, 798  sehingga 𝐻 0 ditolak  yang  berarti terdapat pengaruh nyata lokasi terhadap hasil produksi padi
3. Nilai 𝐹 ℎ𝑖𝑡𝑢𝑛𝑔 (𝐴𝐵) = 23,882 > 𝐹 𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙 = 1,823 sehingga 𝐻 0 ditolak  yang  berarti terdapat pengaruh nyata interaksi antara genotipe dan lokasi terhadap hasil produksi padi

## 3.3.4 Estimasi Komponen Varian pada Rancangan Faktorial Acak Kelompok
Berdasarkan data pada lampiran 1 adalah data faktorial RAKL model campuran dengan  faktor    genotipe  sebagai  model  tetap  dan  faktor  lokasi  sebagai  model  acak sehingga Persamaan (12) dapat ditulis sebagai berikut:
𝒚 = 𝑿𝜹 + 𝒁 𝟏 𝜷 + 𝒁 𝟐 (𝜶𝜷) + 𝜺 Selanjutnya berdasarkan persamaan (2.8) dan (2.9), dipelroleh:
𝑯 = 𝛾 1 𝒁 1 𝒁 1 𝑡 + 𝛾 2 𝒁 2 𝒁 2 𝑡 + 𝐼 𝟒𝟖 (21)
𝛾 1 = 𝜎 𝛽 2 𝜎 𝑒 2 𝑑𝑎𝑛 𝛾 2 = 𝜎 𝛼𝛽 2 𝜎 𝑒 2 (22)
dengan 𝜎 𝛽 2 , 𝜎 𝛼𝛽 2 , 𝑑𝑎𝑛 𝜎 𝑒 2 merupakan  komponen  varian  yang  akan  ditaksir  dengan menggunakan metode maksimum likelihood.  Nilai taksiran untuk komponen variannya berdasarkan Persamaan (4), (5), dan (6) sebagai berikut:
𝜎 𝜀 2 = 𝐾𝑇𝐺 = 0,054 (23)
𝜎 𝛽 2 = 1 𝑎𝑟 [𝐾𝑇𝐵 − 𝜎 𝜀 2 ] = 1 7(3) [1,696 − 0,054] = 0,078 (24)
𝜎 𝛼𝛽 2 = 1 𝑟 [𝐾𝑇𝐴𝐵 − 𝜎 𝜀 2 ] = 1 3 [1,290 − 0,054] = 0,412 (25)
Berdasarkan persamaan (23), (24), dan (25) diperoleh matriks 𝑯 sesuai persamaan (21) sebagai berikut:

## Rancangan Faktorial Model Campuran…
𝑯 = 1,444 𝒁 1 𝒁 1 𝑡 + 7,629 𝒁 2 𝒁 2 𝑡 + 𝐼 𝟖𝟒
dengan 𝒁 1 dan 𝒁 2 merupakan kontruksi matriks.
Berdasarkan output program MATLAB diperoleh nilai penduga komponen varian pada  rancangan  faktorial  acak  kelompok  dengan  metode  maksimum  likelihood,  yaitu 𝜎̃ 𝑒 2 = 0,3644 , 𝜎̃ 𝛽 2 = 0,069 , 𝑑𝑎𝑛 𝜎̃ 𝛼𝛽 2 = 0,46
Selanjutnya, kesimpulan yang diperoleh sebagai berikut:
a. Nilai 𝜎̃ 𝛽 2 yang diperoleh yaitu 0,069 > 0 sehingga 𝐻 0 ditolak yang berarti terdapat keragaman  antar  faktor  B.  Artinya,  terdapat  pengaruh  nyata  antara  faktor  lokasi terhadap hasil produksi padi.
b. Nilai 𝜎̃ 𝛼𝛽 2 yang diperoleh yaitu 0,46 > 0 sehingga 𝐻 0 ditolak yang berarti terdapat keragaman  antar  interaksi  faktor  A  dan  faktor  B.  Artinya,  terdapat  pengaruh  nyata interaksi antara faktor genotipe dan lokasi terhadap hasil produksi padi.

## 4. Kesimpulan
Estimasi komponen varian pada data hasil produksi padi dengan metode maksimum likelihood yang diperoleh adalah nilai variansi pengaruh galat percobaan 𝜎̃ 𝑒 2 = 0,3644 , variansi  pengaruh  faktor  lokasi 𝜎̃ 𝛽 2 = 0,069 ,  dan  variansi  pengaruh  faktor  interaksi genotipe  dan  lokasi 𝜎̃ 𝛼𝛽 2 = 0,46 .  Berdasarkan  hipotesis  terhadap  rancangan  faktorial acak  kelompok,  tidak  terdapat  pengaruh  nyata  genotipe  terhadap  hasil  produksi  padi, terdapat pengaruh nyata lokasi terhadap hasil produksi padi, dan terdapat pengaruh nyata interaksi antara genotipe dan lokasi terhadap hasil produksi padi.
Penelitian selanjutnya dapat dilakukan kajian tentang estimasi  komponen varian pada rancangan faktorial acak kelompok tidak lengkap dan menggunakan metode lain seperti metode restricted maximum likelihood.

## Daftar Pustaka
[1]   Gasperz, V. Metode Perancangan Percobaan. Bandung: CV. ARMICO, 1991.
[2]   Mattjik, A. d. Perancangan Percobaan dengan Aplikasi SAS dan Minitab (Jilid I Edisi Kedua). Bogor: IPB-Press. 2000.
.[3]   Montgomery, D. Design and Analysis of Experiments, fifth Edition. John Wilson & Sons. 2001.
[4]   Munir, R. Metode Numerik. Bandung: Informatika Bandung. 2008.
[5]   Nuryadi,  Astuti,  T.  D.,  Utami,  E.  S.,  &  Budiantara,  M. Dasar-Dasar  Statistik Penelitian. Yogyakarta: Sibuku Media. 2017.
[6]   Ojeda,  M.  M.,  &  Sahai,  H. Analysis  of  Variance  for  Random  Models. USA: Birkhauser Boston. 2005.
[7]   Prihartini,  R.  R. Mixed  Additive  Main  Effect  and  Multiplicative  Interaction  (M- AMMI) dan Aplikasinya. Yogyakarta: Univrsitas Negeri Yogyakarta. 2011.
[8]   Rou, H. O. Maximum-likelihood Estimation for The Mixed Analysis of Variance. Biometrics , 93-108, 1967.
[9]   Sahid. Analisis  dan  Implementasi  Metode  Newton  Raphson. Yogyakarta: Universitas Negeri Yogyakarta. 2002.
[10]   Searle. Variance Component. New York: John Wiley & Sons. 2002.
[11]   Sudjana. Desain dan Analisis Eksperimen (edisi IV). Bandung: Tarsito. 2002.
[12] Usman,  L. Estimasi  Komponen  Varian  Pada  Rancangan  Acak  Kelompok. Makassar: Dept Statistik, Universitas Hasanudin. 2016.
[13]   Wahyuni,  S. Estimasi  Komponen  Varian  pada  Rancangan  Petak  Terbagi  dalam Rancangan  Acak  Lengkap  dengan  Metode  Maximum  Likelihood. Makassar: Universitas Hasanuddin. 2015.