http://e-journal.ikip-veteran.ac.id/index.php/matematika/article/view/527

## PENGEMBANGAN TEOREMA NAPOLEON PADA SEGIENAM
Novita Yuliardani * , Mashadi, Sri Gemawati Program Studi Magister Matematika Universitas Riau *novitayuliardani@gmail.com
Diterima: Nopember 2017. Disetujui: Desember 2017. Dipublikasikan: Januari 2018

## ABSTRAK
Pada  umumnya  teorema  Napoleon  diberlakukan  pada  segitiga.  Dalam  tulisan  ini  dibahas teorema Napoleon pada segienam, yaitu segienam yang memiliki tiga pasang sisi sejajar dan sama panjang dengan kasus segienam beraturan yang dibangun mengarah ke luar. Pembuktian pada  teorema  Napoleon  ini  dengan  menggunakan  konsep  kesebangunan  dan  konsep trigonometri.
Kata kunci : Teorema Napoleon, konsep kekongruenan, trigonometri.

## ABSTRACT
Napoleon’s Theorem generally applies in triangle. This paper applied Napoleon’s Theorem in hexagons that have three pairs of parallel sides in same length and regular hexagons that are built outward. Provided proofs use the congruence and trigonometric concepts.
Keywords:  Napoleon’s Theorem, congruency concept, trigonometry.
How to Cite: Yuliardani, N., Mashadi., & Gemawati, S. (2018). Pengembangan Teorema Napoleon pada Segienam. Journal of Medives , 2 (1),  51-56.

## PENDAHULUAN
Pada  bidang  geometri  salah  satu teorema yang membahas tentang segitiga adalah  teorema  Napoleon.  Teorema Napoleon  ditemukan  oleh  Napoleon Bonaparte (1769-1821) dalam (Georgiev &  Mushkarov,  2017).  Setelah  empat tahun  meninggalnya  Napoleon,  teorema ini  dipublikasikan  pertama  kali  oleh  W.
Rutherford di New
Mathematical
Question (Grumbaum, 2012).
Gambar 1. Teorema Napoleon pada segitiga
Teorema  Napoleon  merupakan teorema  yang  berkaitan  dengan  titik, garis,  dan  segitiga  pada  bidang  datar. Teorema  Napoleon  menyatakan  bahwa jika  segitiga  sama  sisi  dibangun  pada setiap  sisi  segitiga  sebarang,  baik dibangun mengarah ke dalam ataupun ke luar maka dari ketiga titik pusat segitiga sama  sisi  tersebut  terbentuklah  sebuah segitiga  sama  sisi  yang  baru  (Wetzel, 1992).  Kemudian  menurut  (Georgiev  & Mushkarov,  2017)    segitiga  sama  sisi yang  baru  tersebut  disebut  segitiga Napoleon (Gambar 1).
Teorema  Napoleon  pada  segitiga terdiri  dari  dua  kasus.  Kasus  pertama menjelaskan  segitiga  sama  sisi  yang terbentuk  dari  tiga  titik  pusat  segitiga sama sisi yang dibangun pada setiap sisi
segitiga  sebarang  mengarah  keluar. Kasus  kedua  menjelaskan  segitiga  sama sisi  yang  terbentuk  dari  tiga  titik  pusat segitiga  sama  sisi  yang  dibangun  pada setiap sisi segitiga sebarang mengarah ke dalam.
Adapun  teorema  Napoleon  pada segitiga  untuk  kasus  mengarah  ke  luar berbunyi sebagai berikut.

## Teorema 1
(Georgiev  &  Mushkarov,  2017) Diketahui ∆𝐴𝐵𝐶 adalah segitiga sebarang.  Pada  setiap  sisi ∆𝐴𝐵𝐶 dibangun segitiga sama sisi ∆𝐴𝐵𝐷, ∆𝐴𝐶𝐸, dan ∆𝐵𝐶𝐹 mengarah  ke luar.  Misalkan 𝑃, 𝑄, dan 𝑅 adalah masing-masing  titik  pusat  dari  segitiga sama  sisi  yang  dibangun  tersebut.  Jika ketiga  titik  pusat  tersebut  dihubungkan maka terbentuk segitiga sama sisi ∆𝑃𝑄𝑅 (Gambar 2).

## Gambar 2. Segitiga Sama Sisi yang Dibangun Mengarah ke Luar
Sedangkan teorema Napoleon pada segitiga untuk kasus mengarah ke dalam berbunyi sebagai berikut.

## Teorema 2
(Bredehoft, 2014) Diketahui ∆𝐴𝐵𝐶 adalah segitiga sebarang. Pada setiap sisi ∆𝐴𝐵𝐶 dibangun  segitiga  sama  sisi
∆𝐴𝐵𝐷′ , ∆𝐴𝐶𝐸′ , dan ∆𝐵𝐶𝐹′ mengarah ke dalam.  Misalkan 𝑋 , 𝑌 ,  dan 𝑍 adalah masing-masing  titik  pusat  dari  segitiga sama  sisi  yang  dibangun  tersebut.  Jika ketiga  titik  pusat  tersebut  dihubungkan maka terbentuk segitiga sama sisi ∆𝑋𝑌𝑍 (Gambar 3).
Beberapa  bukti  dari  Teorema Napoleon  tersebut  telah  ditemukan  oleh beberapa  matematikawan  seperti  (Abed, 2009)  menggunakan  pendekatan  trigo- nometri dengan aturan cosinus dan aturan sinus  serta  (Jariah,  2017)  dengan pendekatan  luas  segitiga.  Selanjutnya (Lafleur,  2017)  menggunakan  konsep kekongruenan.  Dari  penjelasan  singkat mengenai  teorema  Napoleon  tersebut, maka pada tulisan ini penulis membahas tentang  pengembangan  teorema  Napo- leon  pada  segienam.  Segienam  yang dibahas  yakni  segienam  yang  memiliki tiga pasang sisi sejajar dan sama panjang.

## Gambar 3. Segitiga Sama Sisi yang Dibangun Mengarah Kedalam
Teorema  Napoleon  pada  segienam dibuktikan dengan menggunakan konsep kekongruenan  dan  trigonometri.  Ide pembuktian  dengan  menggunakan  kon- sep  kekongruenan  dan  trigonometri dibahas  dalam  (Mashadi  &  Gemawati,
2017; Mashadi, 2015[a]; Mashadi,
2015[b]; Mashadi, 2016; Valentika, et al.,
2016).

## HASIL DAN PEMBAHASAN
Tulisan  ini  membahas  pengem- bangan teorema Napoleon pada segienam yang memiliki  tiga  pasang  sisi  yang sejajar dan sama panjang yang kemudian dibangun segienam beraturan pada setiap sisinya yang mengarah ke luar. Pengembangan  teorema  Napoleon  pada segienam  mengarah  ke  luar  penulis nyatakan dalam teorema sebagai berikut.

## Teorema 3
Diketahui segienam 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹 adalah  segienam  yang  memiliki  tiga pasang  sisi  yang  sejajar  dan  sama panjang.  Pada  setiap  sisi  segienam dibangun  segienam  beraturan  mengarah ke  luar.  Misalkan 𝐾, 𝐿, 𝑀, 𝑁, 𝑂, dan 𝑃
adalah  masing-masing  titik  potong diagonal segienam yang dibangun mengarah  ke  luar.  Jika  keenam  titik potong  diagonal  tersebut  dihubungkan maka membentuk segienam 𝐾𝐿𝑀𝑁𝑂𝑃 .
Gambar 4. Teorema Napoleon pada Segienam yang Mengarah ke Luar
Bukti 1 (Konsep Kekongruenan)
Akan  ditunjukkan 𝐾𝐿𝑀𝑁𝑂𝑃 ada- lah  segienam  beraturan  dengan  mem- buktikan 𝐾𝐿 = 𝐿𝑀 = 𝑀𝑁 = 𝑁𝑂 = 𝑂𝑃 = 𝑃𝐾 , dan ∠𝐾 = ∠𝐿 = ∠𝑀 = ∠𝑁 = ∠𝑂 = ∠𝑃 = 120° .  Akan  dibuktikan  de- ngan konsep kekongruenan (Gambar 4).
Setiap  titik  potong  diagonal  pada segienam beraturan dihubungkan ke titik- titik  pada  segienam 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹 sehingga
membentuk ∆𝐴𝐾𝐵, ∆𝐵𝐿𝐶, ∆𝐶𝑀𝐷, ∆𝐷𝑁𝐸, ∆𝐸𝑂𝐹 , dan ∆𝐹𝑃𝐴 (Gambar 5).
Gambar 5. Titik Potong Diagonal Segienam Beraturan Dihubungkan ke Titik Segienam

## 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹
Pada  segienam 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹 yang memiliki  3  pasang  sisi  sejajar  dan  sama panjang dibangun segitiga sama sisi pada setiap  sisinya.  Dengan  mudah  dapat ditunjukkan ∆𝐴𝐾𝐵 ≅ ∆𝐷𝑁𝐸 , ∆𝐵𝐿𝐶 ≅ ∆𝐸𝑂𝐹 , dan ∆𝐶𝑀𝐷 ≅ ∆𝐹𝑃𝐴 yang meng- akibatkan ∆𝐾𝐵𝐿 ≅ ∆𝑁𝐸𝑂 , ∆𝐿𝐶𝑀 ≅ ∆𝑂𝐹𝑃 dan ∆𝑀𝐷𝑁 ≅ ∆𝑃𝐴𝐾 sehingga mengakibatkan 𝐾𝐿 = 𝑁𝑂 , 𝐿𝑀 = 𝑂𝑃 ,
dan 𝑀𝑁 = 𝑃𝐾 .
Kemudian  tarik  garis 𝐿𝑃 dan 𝑀𝑂 yang  tegak  lurus  ke 𝑃𝑂 sehingga membentuk  persegi  panjang 𝐿𝑀𝑂𝑃 (Gambar 6).
Gambar 6. Garis 𝐿𝑃 dan 𝑀𝑂 yang Tegak Lurus ke 𝑃𝑂
Perhatikan ∆𝐾𝐿𝑃 dan ∆𝑁𝑀𝑂 , dengan mudah dapat ditunjukkan ∆𝐾𝐿𝑃 ≅ ∆𝑁𝑀𝑂 yang  mengakibatkan 𝐾𝐿 = 𝑁𝑀 dan 𝐾𝑃 = 𝑁𝑂 ,  sehingga diperoleh 𝐾𝐿 = 𝑁𝑀 = 𝐾𝑃 = 𝑁𝑂 . (1) Selanjutnya tarik garis 𝐾𝑂 dan 𝐿𝑁
yang  tegak  lurus  ke 𝑁𝑂 sehingga membentuk  persegi  panjang 𝐾𝐿𝑁𝑂
(Gambar 7).
Gambar 7. Garis 𝐾𝑂 dan 𝐿𝑁 yang Tegak Lurus ke 𝑁𝑂
Perhatikan ∆𝑃𝐾𝑂 dan ∆𝑀𝐿𝑁 , dengan mudah dapat ditunjukkan ∆𝑃𝐾𝑂 ≅ ∆𝑀𝐿𝑁 yang  mengakibatkan
𝑃𝐾 = 𝑀𝐿 dan 𝑃𝑂 = 𝑀𝑁 ,  sehingga diperoleh 𝑃𝐾 = 𝑀𝐿 =  𝑃𝑂 = 𝑀𝑁 . (2) Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh 𝐾𝐿 = 𝐿𝑀 = 𝑀𝑁 = 𝑁𝑂 = 𝑂𝑃 = 𝑃𝐾. (3) Selanjutnya untuk membuktikan ∠𝐾 = ∠𝐿 = ∠𝑀 = ∠𝑁 = ∠𝑂 = ∠𝑃 = 120° .
Besar ∠𝑃𝐾𝐿 diperoleh dari ∠𝑃𝐾𝐿 = ∠𝑃𝐾𝐴 + ∠𝐴𝐾𝐵 + ∠𝐵𝐾𝐿 .    (4) Besar ∠𝑀𝑁𝑂 diperoleh dari ∠𝑀𝑁𝑂 = ∠𝑀𝑁𝐷 + ∠𝐷𝑁𝐸 + ∠𝐸𝑁𝑂. (5) Karena  segitiga ∆𝑃𝐾𝐴 ≅ ∆𝑀𝐷𝑁 , ∆𝐴𝐾𝐵 dan ∆𝐷𝑁𝐸 sama sisi dan ∆𝐾𝐵𝐿 ≅ ∆𝑁𝐸𝑂 maka diperoleh ∠𝑃𝐾𝐿 = ∠𝑀𝑁𝑂. (6) Dengan  cara  yang  sama  maka  diperoleh juga ∠𝐾𝐿𝑀 = ∠𝑁𝑂𝑃 (7) ∠𝐿𝑀𝑁 = ∠𝑂𝑃𝐾 (8)
Dengan cara eliminasi  dan subtitusi  dari persamaan  (6),  (7)  dan  (8)  maka diperoleh ∠𝐾 = ∠𝐿 = ∠𝑀 = ∠𝑁 = ∠𝑂 = ∠𝑃 = 120° .
Gambar 8. Pembuktian Teorema Napoleon pada Segienam dengan Konsep Trigonometri
Bukti 2 (Konsep Trigonometri)
Pada  segienam 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹 yang memiliki tiga pasang sisi sejajar dan sama panjang,  misalkan  sisi 𝐵𝐶 = 𝐸𝐹 = 𝑎 ,
𝐴𝐵 = 𝐸𝐷 = 𝑏 , dan 𝐴𝐹 = 𝐶𝐷 = 𝑐 . Akan dibuktikan 𝐾𝐿𝑀𝑁𝑂𝑃 adalah  segienam beraturan dengan cara menunjukan 𝐾𝐿 = 𝐾𝑃 = 𝐿𝑀 dengan  menggunakan  aturan cosinus dan sinus. Perhatikan bahwa garis 𝐶𝐿, 𝐵𝐿, 𝐵𝐾, 𝐴𝐾, 𝐴𝑃 , dan 𝐹𝑃 adalah garis yang  berpotongan  dari  segienam  luar yang membentuk segitiga sama sisi yaitu ∆𝐶𝐿𝐵 , ∆𝐵𝐾𝐴 , dan ∆𝐴𝑃𝐹 (Gambar 8). Diketahui bahwa ∠𝐹𝐴𝐵 + ∠𝐴𝐵𝐶 + ∠𝐵𝐶𝐷 = 360° . Selanjutnya
dengan  menggunakan  aturan  cosinus diperoleh
𝐾𝑃 2 = 𝑏 2 + 𝑐 2 +2𝑏𝑐 cos(∠𝐹𝐴𝐵 − √3) (9) 𝐾𝐿 2 = 𝑎 2 + 𝑏 2 +2𝑎𝑏 cos(∠𝐴𝐵𝐶 − √3) (10) 𝐿𝑀 2 = 𝑎 2 + 𝑐 2 +2𝑎𝑐 cos(∠𝐵𝐶𝐷 − √3) (11)
Selanjutnya  dengan  proses  eliminasi persamaan  (9),  (10),  dan  (11)  diperoleh bahwa
𝐾𝑃 = 𝐾𝐿 = 𝐿𝑀 .            (12)

## PENUTUP
Teorema  Napoleon  pada  segienam yang  dibahas  dalam  tulisan  ini  adalah segienam  yang memiliki tiga pasang sisi sejajar  dan  sama  panjang  dengan segienam beraturan dibangun pada setiap sisi  segienam  yang  mengarah  ke  luar maka  keenam  titik  potong  diagonal segienam  tersebut  membentuk  segienam beraturan yang disebut segienam
Napoleon  luar.  Teorema  Napoleon  pada segienam  ini  dapat  diterapkan  ke pembelajaran  siswa  SMP  dan  SMA karena  pembuktian  menggunakan  cara yang  sederhana  yaitu  materi  kekong- ruenan dan trigonometri.

## DAFTAR PUSTAKA
Abed,  J.  A.  (2009).  A  proof  of
Napoleon’s theorem.
The General Science Journal . 1-4.
Bredehoft,  P.  (2014). Special  Cases of Napoleon Triangle .  Disertasi Master of Science: University of Central Missouri.
Georgiev,  V.,  &  Mushkarov,  O.
(2014). Around  Napoleon’s theorem.
( http://www.dynamat.v3d.sk/up loadpdf/2012’0221528150.pdf)
di akses pada 12 Januari 2017.
Grunbaum,  B.  (2012).  Is  Napoleon’s
theorem really Napoleon’s theorem?. The American Mathematical  Monthly .  119,
495-501.
Jariah,  N.  A.  (2014). Pembuktian teorema Napoleon dengan pendekatan trigonometri . (http://www.academia.edu/1202 5134/  Isi NOVIKA ANDRIANI J  06121008018)  di  akses  pada tanggal 10 Januari 2017.
Lafleur, P. (2013). Napoleons theorem .
(www.Scimath.unl.edu/MIM/fil
es/MATEexamFiles)  di  akses pada tanggal 4 Januari 2017.
Mashadi, C. V., & Gemawati, S. (2017). Development of Napoleon’s Theorem on the Rectanglesin Case of Inside Direction. International Journal of Theoretical and Applied
Mathematics , 3 (2), 54-57.
Mashadi.  (2015)[a]. Geometri  Edisi Kedua . UR Press. Pekanbaru.
Mashadi. (2015)[b]. Geometri Lanjut . UR Press. Pekanbaru.
Mashadi. (2016). Pengajaran Matematika . UR Press. Pekanbaru. Wetzel,  J.  E.  (1992).  Converses  of Napoleon’s theorem. The American Mathematical Monthly . 99, 339-351.