Vol. 5, No.1, 47-51,  Juli  2008
Isomorfisma Barisan Eksak

## Nur Erawaty †

## Abstrak
Modul  yang  saling  isomorfik  mempunyai  struktur  yang  mirip  satu  sama  lain.  Demikian  pula halnya bagi barisan modul yang saling isomorfik. Jika yang satu eksak, yang lainnya juga eksak. Begitu  pula  barisan  eksak  yang  sebagian  besar  modulnya  saling  isomorfik  maka  dapat ditunjukkan bahwa semua modulnya isomorfik.
Kata Kunci : Isomorfik, barisan eksak.

## 1. Pendahuluan
Salah  satu  obyek  aljabar  yang  lebih  umum  dari  grup,  gelanggang,  lapangan  maupun ruang  vektor  adalah  modul.  Seperti  pada  obyek  aljabar  yang  lain,  modul  dapat  dibandingkan dengan  modul  yang  lain,  apakah  mereka  isomorfik  atau  tidak,  apakah  cuma  pemetaan  satu-satu atau  pada  saja.  Tulisan  ini  akan  difokuskan  pada  barisan  eksak  dari  modul,  apakah  isomorfik mempertahankan sifat eksak dari barisan modul.

## 2.  Pembahasan
Tulisan ini diawali dengan memperkenalkan modul dan homomorfisma modul.
Definisi 1.
Misalkan R gelanggang. Grup abel    , A disebut modul atas R atau lebih sederhana R -modul jika  ada  operasi A RxA  yang  ditulis   a r a r * ,  sedemikian  sehingga  untuk  setiap A b a  , dan R s r  , memenuhi kondisi berikut:
1.   a r b a r * *
  2.   a s a r a s r * * *    3.     a s r a rs * * * 
Jika R memiliki unsur 1 sedemikian sehingga
4. a a  * 1 untuk setiap A a  maka A disebut R -modul uniter.
Contoh: a. Jika K lapangan maka K -modul uniter merupakan ruang vektor atas K . b. Z -modul uniter sama dengan grup abel, aksi Z ditulis a a a n    ... * jika 0  n . c. Setiap  grup  abel A dapat  dijadikan  suatu  modul  atas  gelanggang R sebarang  dengan  aksi trivial 0 *  a r untuk setiap R r  dan setiap A a  .
† Jurusan Matematika FMIPA Universitas Hasanuddin Makassar
Nur Erawaty
d. Misalkan R gelanggang,  jika I ideal R maka I suatu R -modul  dengan rx x r  : *
(perkalian  dalam R )  dan  gelanggang  kuosien I R suatu R -modul  dengan   I ry I y r    : * .
Berikut  ini  akan  didefinisikan  submodul  dan  homomorfisma  modul.  Untuk  menyederhanakan notasi, selanjutnya aksi * ditulis dalam notasi justaposition.
Definisi 2.
Misalkan A suatu R -modul.
a. Dubgrup A U  disebut R -modul  dari A jika U u r   untuk  setiap R r  dan setiap U u  , yaitu U sendiri merupakan modul atas aksi pada R . b. Jika A U  suatu R -submodul maka grup kuosien U A menjadi R -modul dengan     U a r U a r      : . Modul ini disebut modul kuosien dari A modulo U .
Definisi 3.
Misalkan A dan B R -modul.  Pemetaan A A f  : disebut  homomorfisma R -modul  jika       ' ' a f a f a a f    dan     a f r a r f    untuk  semua A a a  ' , dan R r  .  Dengan kata lain, homomorfisma R -modul merupakan homomorfisma grup yang R -linear dalam artian komutatif dengan aksi R .
Homomorfisma  modul yang bijektif f disebut isomorfisma  modul. Dalam  kasus ini, pemetaan inversnya 1  f juga merupakan homomorfisma modul.
Teorema-teorema yang berlaku pada grup juga berlaku di dalam modul.
Teorema isomorfisma.
1. Misalkan B A  :  homomorfisma R -modul maka
  ker  im . 2. Misalkan C B A   submodul atas R -modul maka B C A B A C  . 3. Misalkan B A , submodul dari R -modul C maka B A A B B A    .
Berikut ini akan dipaparkan konsep barisan eksak modul-modul.
Definisi 4.
Misalkan R gelanggang.  Barisan ...
...
1 1 1           n f n f n A A A n n R -modul  dan homomorfisma R -modul disebut barisan eksak jika
    n n f f im ker 1   untuk setiap n .
Barisan  eksak  dalam  bentuk  khusus     0 0       C B A   disebut  barisan  eksak pendek. Di sini  injektif,  surjektif dan       ker  im .
Perhatikan diagram berikut.
Diagram  ini  komutatif  dalam  artian  komutatif  modul  dan  isomorfisma  dengan
   ,
, isomorfisma  dapat  ditulis f h    dan g k    .  Barisan  atas  eksak  jika  dan  hanya  jika barisan bawah eksak. Hal ini dapat dibuktikan sebagai berikut.
Misalkan barisan atas eksak, artinya     k h im ker  . 1. Ambil   h im x  sebarang,  maka
  ' a h x  untuk  suatu ' ' A a  .  Karena  isomorfisma, ada A a  sehingga .             a f a h a h a h x        ' .  Karena
diagramnya komutatif,
f h    . Dan           a f k a f k x k     .  Karena  diagramnya  komutatif, g k    sehingga               0 0        a f g a f g x k (karena     g f im ker  dan  homomorfisma). Dengan demikian   0  x k dan K x ker  . Jadi     k h im ker  .
2. Ambil
  k y ker '  sebarang, maka   0 '  y k . Karena ' ' B y  dan  pada maka   k y   ' untuk suatu B y    0 '  y k     0  y k  Karena g k    maka        0   y k y g   .  homomorfisma 1-1 sehingga   0  y g akibatnya     f im g y   ker . Tulis   a f y  untuk suatu A a  .
Sekarang                 a h a h a f a f y y           ' . Sebut   ' a a   ,   berarti
ada ' ' A a  sedemikian  sehingga   ' ' a h y  .  Dengan  demikian   h im y  ' ,  dan     h im k  ker .
Dari 1 dan 2,     k h im ker  . Dengan kata lain barisan bawah eksak.
Sebaliknya misalkan barisan bawah eksak,     k h im ker  . Akan dibuktikan bahwa barisan atas
eksak atau     g f im ker  .
(i).  Jika   f im x  sebarang, maka
  a f x  untuk setiap A a  sehingga          
        a h k a f k a f k x k    
   dan             a f g a f k a f k      . Perhatikan  bahwa     0  a h k  karena     k h im ker 
.  Akibat     0  a f g  .  Karena  homomorfisma satu-satu maka   0  a gf . Dengan demikian   0  x g (karena   a f x  ).
Jadi
  g x ker  dan     g f im ker  .
  a a   '     0 0       C B A g f     0 ' ' ' 0       C B A k h   
(ii).  Jika   g x ker  maka   0  x g dan                 0 0           x g x g x k x k
akibatnya       h im k x   ker  dan
    ' a h x   untuk suatu ' ' A a  . Perhatikan bahwa  pada, sehingga A a     a a   ' . Dengan demikian                   a f a f a h a h a h x           '
Dan  pemetaan satu-satu, sehingga   a f x  . Jadi ada A a  sehingga   a f x  atau   f im x  dan     f im g  ker .
Dari (i)dan (ii)     g f im ker  , artinya bahwa barisan bawah eksak.
Selanjutnya  hasil  ini  dapat  diperluas  menjadi  barisan  eksak  dari  5  modul  yang  dikenal  hasilnya dengan Lemma Lima ( five lemma ) .
Lemma Lima.
Diagram komutatif berikut mempunyai barisan-barisan eksak
Jika    , , dan  isomorfisma maka  juga isomorfisma.
Bukti:
Misalkan barisan atas dan barisan bawah merupakan barisan eksak.
Sehingga pemetaan w v u t s r q p , , , , , , , merupakan pemetaan homomorfisma dan      , , , , juga homomorfisma. Dan  
                      w v im v u im u t im s r im r q im q p im ker , ker , ker , ker , ker , ker       Diketahui pula r v q u p t          , , dan s w    .
Jika     , , , isomorfisma,  jelas  bahwa  homomorfisma,  sehingga  tinggal  ditunjukkan bahwa  pemetaan bijektif.
Jika
    0 , ker   x x   ,  sehingga                 0 0      v x v x v x r x r     dan  suatu homomorfisma satu-satu, maka   0  x r sehingga     q im r x   ker . Misalkan   y q x  untuk suatu B y                  y u y u y q y q x           0 . Dengan demikian       t im u y   ker  . E D C B A         ' ' ' ' ' E D C B A              E D C B A s r q p         ' ' ' ' ' E D C B A w v u t      
  
 
 
Nur Erawaty
Tulis     ' a t y   untuk suatu ' ' A a  . Karena  pada, diperoleh A a  ,   a a   ' sehingga                 a p a p a t a t y        
 .  satu-satu mengakibatkan   a p y  . Dengan demikian     q p im y ker   .  Jadi   0  y q padahal   y q x  .  Jadi 0  x sehingga  pemetaan satu-satu.
Selanjutnya akan ditunjukkan  pemetaan pada.
Misalkan ' ' C c  sebarang.  Perhatikan  bahwa   0 '  c v .  Karena  pada,  maka     d c v   ' untuk suatu D d  sehingga         0 '   c v w d w  (     v im w  ker ). Padahal               d s d s d w d w       
.  Akibatnya     0  d s  .  Dengan  demikian karena  satu-satu, s   0  d dan d     r im s 
 ker . Selanjutnya tulis   c r d  dengan C c  dan
                  c v c v c r c r d c            ' sehingga       0 '   c v c v  .  homomorfisma,     0 '   c c   dengan  demikian       u im v c c    ker '  artinya  ada
' ' B b  sedemikian  sehingga     ' ' b u c c    .  Karena  pada,  ada B b  sehingga   b b   '
dan                   b q b q b u b u b u c c            ' ' Atau
          b q c b q c c        ' .  Sebut   1 c b q c   .  Sehingga  ada C c  1 sehingga   1 ' c c   . Jadi  pemetaan pada.
Kesimpulannya  homomorfisma satu-satu pada atau  isomorfisma.

## 3. Kesimpulan
Dari hasil penjabaran di atas dapat disimpulkan :
1. Barisan modul yang isomorfik, akan sama-sama eksak atau sama-sama tidak eksak.
2. Jika  dipunyai  barisan-barisan  eksak  yang  beberapa  modulnya  saling  isomorfik  maka dapat dipastikan seluruh barisan tersebut isomorfik.

## Daftar Pustaka
1. Lang, S., Algebra , Addison-Wesley. 1965.
2. Passman, D. S., A  Course in Ring Theory , Wadsworth. Inc., Belmont, California, 1991.
3. Spindler, K., Abstract Algebra with Applications, Volume II, Marcel Dekker Inc., 1994.