## ESTIMASI KURVA REGRESI SEMIPARAMETRIK PADA DATA LONGITUDINAL BERDASARKAN ESTIMATOR POLINOMIAL LOKAL

## Tiani Wahyu Utami
1 Program Studi S1 Statistika Universitas Muhammadiyah Semarang, Jl. Kedung Mundu Raya no 18 Semarang;
Email: tiani.utami88@gmail.com

## ABSTRAK
Diberikan  model  regresi  semiparametrik  untuk  data  longitudinal = + + , dengan komponen parametrik dan komponen nonparametrik yang didekati dengan Polinomial  Lokal.  Estimator  Polinomial  Lokal  diperoleh  dengan  metode WLS (Weighted Least Square). Estimasi model regresi semiparametrik pada data longitudinal adalah = ∗ ( ) , dengan ∗ ( ) = [ ( − ) ( − ) ] ( − ) ( − ) +
( − [ ( − ) ( − ) ] ( − ) ( − ) , = ( )
.
Estimator  Polinomial  Lokal  sangat  tergantung  pada bandwidth (h)  optimal.  Penentuan bandwidth optimal dengan menggunakan metode GCV (Generalized Cross Validation). Selanjutnya  model regresi  semiparametrik  Polinomial  Lokal  pada  data  longitudinal diaplikasikan  untuk  memodelkan  hubungan  pengaruh  antara  kadar  trombosit  penderita Demam  Berdarah  Dengue  terhadap  kadar  hematrokit  dan  waktu  pemeriksaan,  dimana kadar  hematrokit  sebagai  komponen nonparametrik  dan  waktu  pemeriksaan  sebagai komponen  parametrik.  Hasil  estimasi  menujukkan  bahwa  waktu  pemeriksaan  berpola kuadratik untuk setiap subjek sedangkan kadar hematrokit pada subjek 1 mengikuti pola polinomial lokal berorde 1, sedangkan kadar hematrokit pada subjek 2  mengikuti pola polinomial  lokal  berorde  4  dan  pada  subjek  3  kadar  hematrokit  memgikuti  pola polinomial  lokal  berorde  4. Model  ini  mempunyai  nilai  MSE  sebesar  146.7636  dan koefisien determinasi R 2 = 93,9249 %.
Kata kunci : Data Longitudinal, Estimator Polinomial Lokal, GCV, Regresi Semiparametrik, WLS.

## PENDAHULUAN
Analisis  regresi  merupakan  metode statistika yang telah lama dikembangkan untuk  menyelidiki  pola  hubungan  dan pengaruh  variabel  prediktor  terhadap variabel  respon,  melalui  estimasi  kurva regresinya. Berkaitan dengan pengestimasian  kurva  regresi,  terdapat tiga model regresi yang dapat digunakan yaitu  model  regresi  parametrik,  model regresi nonparametrik, dan model regresi semiparametrik [2].  Dalam  beberapa kasus,  variabel  respon  diketahui  pola hubungannya dengan salah satu variabel
prediktor, tetapi dengan variabel prediktor  yang  lain  tidak  diketahui bentuk pola hubungannya. Dalam keadaan  seperti  ini,  maka  digunakan pendekatan regresi semiparametrik [1].
Dalam    regresi,  terdapat  jenis data longitudinal yang pangamatan dilakukan sebanyak n subjek saling  independen dengan  setiap  subjek  diamati  secara berulang  dalam  kurun waktu  yang berbeda  [3]. Data  longitudinal  memiliki kelebihan  diantaranya  dalam jumlah subjek yang sama,  hasil  pengukuran error menghasilkan penaksir efek perlakuan yang lebih efisien dikarenakan
pada data longitudinal dilakukan
estimasi  untuk  setiap pengamatan dan lebih powerfull walaupun hanya menggunakan subjek  yang  lebih  sedikit [6].
Pengamatan  longitudinal  diberikan oleh ; ,..., 2 , 1 )}; , , {( n i t x y ij ij ij  m j ,..., 2 , 1  .
Hubungan  antara ij x , ij t dan ij y mengikuti model regresi semiparametrik. Bentuk kurva regresi yang tidak diketahui diasumsikan smooth atau mulus. Estimator kurva regresi diperoleh dengan  mengestimasi  parameternya [7]. Terdapat  beberapa  pendekatan  untuk mengestimasi kurva regresi salah
satunya adalah dengan estimator Polinomial Lokal. Salah  satu kelebihan estimator Polinomial Lokal adalah dapat mengurangi asimtotik bias dan
menghasilkan  estimasi  yang  baik [5].
Estimator Polinomial Lokal dapat diperoleh dengan optimasi WLS (Weighted  Least  Square).  Sedangkan untuk mengestimasi parameter penghalus  (bandwidth)  dengan  metode Generalized Cross Validation (GCV). Penelitian  sebelumnya telah  banyak dikembangkan mengenai data longitudinal yang menggunakan pendekatan  spline  untuk  estimasi  kurva regresi nonparametrik  [11],  maupun model regresi semiparametrik [8]. Estimator Polinomial Lokal dalam mengestimasi model regresi
nonparametrik  diteliti  pertama  kali menggunakan data cross-section [4]. Selain itu telah dilakukan juga penelitian tentang  estimasi  selang  kepercayaan kurva  regresi  nonparametrik  dengan error  lognormal  berdasarkan estimator Polinomial  Lokal, akan  tetapi  dalam penelitiannya  menggunakan  data cross- section [9].
Penyakit  Demam  Berdarah  Dengue atau Dengue Haemorrhagic Fever (DHF) adalah penyakit yang disebabkan oleh  virus  dengue  yang  ditularkan melalui  gigitan  nyamuk Aedes  aegypti dan Aedes albopictus. Salah satu kriteria
laboratorium non spesifik untuk menegakkan diagnosis DBD yang ditetapkan  oleh  WHO  adalah  adanya Trombositopenia (trombosit<100.000/ml).  Menurut  ahli penyakit  infeksi  tropis  yang  banyak meneliti tentang demam berdarah,
dr.Leonard  Nainggolan,  Sp.PD-KPT,
penderita DBD jumlah trombosit menjadi rendah atau kurang dari 100.000 per  mm 3 merupakan  akibat  adanya kebocoran  plasma  di  pembuluh  darah kapiler sehingga tubuh berupaya menutup  celah  itu  dengan  bantuan trombosit. Kebocoran  itu  menyebabkan darah  menjadi  pekat  yang  dapat  dilihat dari naiknya kadar hematokrit.
Pada tulisan ini akan dibahas bagaimana mengestimasi  kurva  regresi semiparametrik  pada  data  longitudinal menggunakan estimator Polinomial Lokal. Selanjutnya  menerapkan model regresi tersebut pada data kadar trombosit penderita DBD selama dirawat di  Rumah  Sakit  Haji  tahun  2011 berdasarkan  waktu  pemeriksaan,  dan kadar hematrokit pasien.

## METODE PENELITIAN
Data yang digunakan dalam penelitian ini adalah data sekunder  yang diperoleh dari rekam medik Rumah Sakit Haji Surabaya tahun 2011. Data tersebut mengenai  kadar  trombosit  penderita DBD  (Demam  Berdarah  Dengue)  yang dipengaruhi  oleh  kadar  hematrokit  dan waktu  pemeriksaan  selama  dirawat  di rumah sakit. Banyak subjek dari penelitian  ini  ada tiga subjek  yang masing-masing  disebut  subjek  1 untuk penderitaDBD  derajat/grade  I,  subjek  2 untuk penderitaDBD derajat/grade II dan subjek 3 untuk penderitaDBD derajat/grade  III. Masing-masing  subjek dilakukan pengukuran berulang sebanyak 7 kali pengamatan. Metodologi  yang  dilakukan  pada penelitian ini adalah
1. Mengestimasi kurva regresi semiparametrik untuk data longitudinal  berdasarkan  estimator Polinomial Lokal  dengan langkah- langkah sebagai berikut : a. Diberikan data observasi , , , yang memenuhi model regresi semiparametrik. b. Menyatakan  model  dalam  bentuk matriks ∗ = + dengan ∗ = − .
c. Fungsi ) ( ij x  dapat  didekati  oleh polinomial berderajat p.
d. Mengestimasi dengan
meminimumkan kriteria Weighted Least Square. e. Mendapatkan bentuk matriks A berukuran NxN dengan cara menyelesaikan persamaan = ∗ , atau = ( − ).
f. Mensubstitusikan ̂ untuk memperoleh estimasi yaitu . 2. Menerapkan  hasil  estimasi  untuk menganalisis pengaruh kadar trombosit  penderita  DBD  terhadap waktu pemeriksaan dan kadar hematrokit  dengan  langkah  sebagai berikut : a. Membuat plot data berpasangan
, , , = 1,2,3; = 1,2, … ,7. b. Menentukan matriks
A(h)
berukuran NxN.
c. Memilih orde  polinomial p dan nilai bandwidth optimal  yang meminimumkan GCV(h).
d. Memodelkan orde  polinomial p dan  nilai bandwidth optimal  dari langkah c secara simultan.
e. Menghitung nilai MSE(h).

## HASIL DAN PEMBAHASAN
Estimasi Kurva Regresi Semiparametrik pada Data Longitudinal  Berdasarkan  Estimator Polinomial Lokal Diberikan  data  longitudinal  sebanyak n subjek  yang  setiap subjek  diukur
sebanyak
m, } ,..., 2 , 1 ; ,..., 2 , 1 ); , , {( m j n i t x y ij ij ij   dengan ij y menyatakan variabel  respon pengamatan  untuk subjek  ke- i pada waktu    ke- j , ij x dan ij t menyatakan variabel prediktor. Hubungan ij y dengan ij x tidak  diketahui  bentuk  fungsinya, sedangkan  antara ij y dengan ij t bentuk fungsinya  diketahui,  maka kita dapat memodelkan hubungan antara ij x , ij t dan
ij y menggunakan model semiparametrik
seperti  pada  persamaan  (1).  Model tersebut dapat ditulis dalam bentuk : = + + (1) dengan = ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ ⋮ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤ , = ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤ , = ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ ( ) ⋮ ( ) ( ) ⋮ ( ) ⋮ ( ) ⋮ ( )⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤ , = ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡1⋮ 1 ⋮ … ⋮ ⋱ ⋮ … 1 … ⋮ 1 ⋮ 1 ⋮ 1 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ … ⋱ ⋯ ⋮… ⋮ ⋮ ⋮ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤ dan = ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤ .
Persamaan  (1) mengandung dua
bagian,  yaitu  komponen parametrik dan komponen nonparametrik . Asumsikan bahwa nilai diketahui, sehingga dapat dibentuk persamaan : ∗ = −
dengan ∗ = [ ∗ … ∗ ∗ … ∗ … ∗ … ∗ ] .
Fungsi ) ( ij x  tidak diketahui bentuknya maka diestimasi menggunakan estimator Polinomial Lokal. Untuk  menduga ) ( ij x  pada
pengukuran ke-j objek ke-i maka
didekati dengan polinomial derajat p
pi p ij i ij i ij i ij x x x x x x x      ) ( ... ) ( ) ( ) ( 2 2 1 0        
(2) Persamaaan (2) dapat ditulis menjadi :
=
dengan T pi i i i ] ,.., , , [ 2 1 0      β dan              ) ( ) ( ) ( 2 1 n h h h X 0 0 0 0 0 0 X 0 0 0 X C     ,                     
p im im p i i p i i i x x x x x x x x x x x x h ) ( ) ( 1 ) ( ) ( 1 ) ( ) ( 1 ) ( 2 2 1 1        X
didapatkan dengan cara meminimumkan  kriteria Weighted  Least Square (WLS) ( ) = ( ∗ − ) ( ∗ − ) (3) dengan = ( , , … , ) dan = ( ( − ), ( − ), … , ( −
)) . Matriks adalah  matriks  yang  berisi fungsi  pembobot, dengan (∙) =
⋅ . K(.) adalah fungsi Kernel dan h adalah bandwidth.
Nilai  dugaan untuk β adalah β ˆ yang bila disubstitusikan ke dalam persamaan (3) akan meminimumkan ( ) diperoleh : = ( ) ∗ (4) Dengan demikian dapat  dinyatakan sebagai berikut : = ∗ = ( − ) dengan = ( ) . Selanjutnya dicari dengan
meminimumkan Weighted  Least  Square
(WLS) sebagai berikut : ( ) = ( − ) − ( − ) (( − ) − ( − ) ) .
Nilai  dugaan adalah . Nilai dugaan  tersebut  dapat  diperoleh  dengan cara  meminimumkan  persamaan ( ) sehingga diperoleh = [ ( − ) ( − ) ] ( − ) ( − ) Berdasarkan diperoleh persamaan : = (5) (4.16) dengan, = [ ( − ) ( − ) ] ( − ) ( − ) . Selanjutnya mendapatkan estimator Polinomial Lokal : = ( − ) = (6) dengan, = ( − ) .
Berdasarkan  persamaan  (5)  dan (6),  maka estimasi  model regresi  semiparametrik pada persamaan (1) diperoleh :
= ∗ ( ) (7) dengan, ∗ ( ) = + ( − ) .
Berikut  ini  diberikan  sifat-sifat  yang dimiliki oleh estimator Polinomial
Lokal. Persamaan  (1)  dapat  diubah kedalam bentuk sebagai berikut : = ( , ) + dengan ( , ) = ( , ) ( , ) ⋮ ( , ) , ). ( ... ) , ( 1 0 ij qi q ij i ij i ij ij x t t t x    
     
Estimasi kurva regresi ( , ) adalah ( , ) = [ [ ( − ) ( − ) ] ( − ) (
− ) +
[ − [ ( − ) ( − ) ] ( − ) ( − )] = [ ] (8) dengan [ ] = [ [ ( − ) ( − ) ] ( ( − ) ( − )) + [ − [ ( − ) ( − ) ] ( − ) ( − )]. Berdasarkan persamaan  (8) terlihat estimator  Polinomial  Lokal ( , ) merupakan estimator linier dalam
observasi
. Selanjutnya akan
diperlihatkan estimator Polinomial Lokal mempunyai  sifat  bias  untuk  kurva regresi ( , ).
Berikut  akan  dicari  ekspektasi  dari
( , ) adalah
( , ) = ( [ ] )
= [ ] ( ( , )) ( ( , )) ⋮ ( ( , ))
( , ) ≠ ( ( , ))
( ( , )) ⋮ ( ( , )) Karena ( , ) ≠ ( , ) , maka estimator bias untuk kurva regresi.
Kriteria  GCV  merupakan  salah  satu metode  untuk  memilih bandwidth yang optimal.  Fungsi  GCV  didefinisikan sebagai berikut :
GCV( ℎ ) = ( − ) ( − ) ( [ − ∗ ( )]) = ( ∗( )) ( ∗( )) ( [ ∗( )]) (9) dengan, N=nxm. Selanjutnya untuk pemilihan bandwidth optimal  dengan  mengunakan GCV, dilakukan dengan
cara mensubstitusikan  nilai bandwidth (h Є (0, ∞))  kedalam  matrik ∗ ( ) sehingga diperoleh nilai minimum GCV(h).
Aplikasi Model Regresi Semiparametrik Polinomial Lokal untuk  Data  Longitudinal  pada  Kadar Trombosit Penderita DBD Estimasi kurva regresi semiparametrik  Polinomial  Lokal  untuk data  longitudinal,  diterapakan  pada  data kadar trombosit penderita Demam Berdarah  Dengue  selama  dirawat  di Rumah  Sakit  Haji. Pada  penelitian  ini, difokuskan  untuk  mengetahui  hubungan antara waktu pemeriksaan selama dirawat  di  rumah  sakit  dan  kadar hematrokit  terhadap  kadar  trombosit penderita  Demam  Berdarah  Dengue (DBD). Terdapat tiga derajat/grade DBD yang  diamati,  dimana  di  dalam  setiap subjek (derajat/grade DBD) yang teramati diukur secara berulang dari hari ke hari. Kadar trombosit sebagai variabel respon  (y),  waktu  pemeriksaan  (t)
merupakan variabel prediktor komponen parametrik, sedangakan kadar hematrokit  (x)  merupakan  variabel prediktor komponen nonparametrik pada model regresi semiparametrik. Estimasi model semiparametrik Polinomial  Lokal  sangat  bergantung pada  pemilihan banwidth optimal  dan derajat  polinomial,  dimana penentuan bandwidth optimal dan derajat polinomial dapat dilihat pada nilai GCV minimum. Langkah awal dalam pemilihan bandwidth optimal  dan  orde polinomial adalah menentukan nilai awal bandwidth dan orde polinomial. Adapun cara  untuk  menentukan  nilai  awal bandwidth dan  orde  polinomial  adalah dengan  melakukan  pemilihan bandwidth optimal  dan  orde  polinomial  pada masing-masing  subjek secara  parsial. Dalam  penelitian  ini  fungsi  kernel  yang digunakan adalah fungsi Kernel
Gaussian,  Kernel  Epachenikov,  dan Kernel  Kuadrat. Setelah dicobakan  pada berbagai fungsi kernel tersebut diperoleh model  yang  paling  baik  adalah model regresi  menggunakan  fungsi  Kenel
Gaussian  dengan GCV=1011,295  dan MSE=146,7639 serta R 2 = 93,92485%.
Oleh  karena  itu,  dalam  pemodelan simultan  akan  digunakan  fungi  Kernel Gaussian.  Sebelum  melakukan  estimasi, dilakukan  terlebih  dahulu  pemilihan bandwidth optimum dan orde polinomial secara  simultan. Nilai  GCV  minimum sebesar  1011,2931,  dimana  subjek  1 mempunyai bandwidth optimal  sebesar 0,005  dan  orde  polinomial p 1 =1.  Subjek 2 mempunyai bandwidth optimal sebesar 63,3 dan orde polinomial p 2 =4. Subjek 3 mempunyai bandwidth optimal  sebesar 30,6 dengan orde polinomial p 3 =4. Setelah  diperoleh bandwidth optimal dan  orde  polinomial  masing-masing subjek secara  simultan maka  estimasi model  semiparametrik  Polinomial  Lokal untuk  masing-masing  subjek  diberikan oleh :
Subjek 1 :
= −61.1241 + 9.59263 + 148.805 Subjek 2 : = −61.124 + 9.59263 + 138.7746 − 2.4065( − 41.6) − 17.125( −
41.6) + 4.688( − 41.6) − 0.318( − 41.6) Subjek 3 : = −61.124 + 9.5926 + 64.5623 − 25.1( − 36.4) − 21.983( − 36.4) −
3.392( − 36.4) + 0.145( − 36.4)
Model  tersebut  mempunyai  nilai  MSE  = 146.7636 dan  koefisien  determinasi R 2 = 93,925 %.

## KESIMPULAN
Berdasarkan hasil penelitian diperoleh  kesimpulan  bahwa melalui pendekatan estimator Polinomial Lokal, 1. Estimasi model regresi semiparametrik untuk data longitudinal adalah sebagai berikut: = ∗ ( ) , dengan
∗ ( ) = + ( − ) , = ( − ) , = [ ( − ) ( − ) ] ( − ) ( − ), dan = ( ) 2. Pola hubungan antara kadar trombosit penderita DBD terhadap kadar
trombosit  secara  bersama-sama  dapat dibentuk dalam model regresi semiparametrik  Polinomial  Lokal, dengan  kadar  hematrokit  sebagai komponen  nonparametrik  dan  waktu pemeriksaan sebagai komponen parametrik. Model  semiparametrik kadar  trombosit  yang  diestimasi dengan  pendekatan  Polinomial  Lokal diberikan oleh :
Subjek 1 : = −61.1241 + 9.59263
+ 148.805
Subjek 2 :
= −61.124 + 9.59263 + 138.7746 − 2.4065( − 41.6) − 17.125( − 41.6) + 4.688( − 41.6) − 0.318( − 41.6) Subjek 3 : = −61.124 + 9.5926 + 64.5623 − 25.1( − 36.4) − 21.983( − 36.4) −
3.392( − 36.4) + 0.145( − 36.4)
Model tersebut mempunyai nilai MSE = 146.7636 dan koefisien determinasi R 2 = 93,925 %.
Dalam  penelitian  ini,  permasalahan yang  dikaji  masih  sangat  terbatas  hanya pada  pemodelan  pola  hubungan  antara variabel respon terhadap variabel prediktor  dengan  pendekatan  Polinomial Lokal,  belum  ada  menguji  signifikansi parameter model yang dihasilkan. Pemilihan variabel prediktor yang digunakan  dalam  penelitian  ini  hanya satu variabel prediktor komponen parametrik  dan  satu  variabel  prediktor komponen nonparametrik untuk penelitian selanjutnya masih perlu untuk dikembangkan  untuk  beberapa  variabel prediktor dan dilakukan penelitian tentang  uji  parameter  model  dalam regresi semiparametrik Polinomial Lokal.

## DAFTAR PUSTAKA
A.H. Welsh, and  T.Y. Yee,  2005.  Local Regression  for  Vector  Responses.
Journal of Statistical Planning and Inference. Vol. 136: 3007-3031.

## G. Wahba.  1990. Spline  Models for
Observation Data ” , SIAM: Philadelphia. CBMS-NSF Regional  Conference  Series  in Applied Mathematics. Vol. 59. H.  Basri.  2009. Estimasi  Kurva  Regresi Nonparametrik pada Data Longitudinal  dengan Pendekatan Spline. Tesis,  Jurusan  Statistika, FMIPA Institut Teknologi Sepuluh November, Surabaya.R.L. Eubank. 1988. Spline Smoothing and Nonparametric Regression, Marcel Dekker: New York.
H.  Kuswantoro.  2005. Model  Gamma- Frailty  untuk  Data  Longitudinal dan  Pendugaan  Korelasi  Serial dengan Metode Composite Likelihood. Tesis Jurusan Statistika FMIPA ITS: Surabaya.
H. Wu, and J.T. Zhang. 2006. Nonparametric Regression Methods  for  Longitudinal  Data Analysis,  A  John-Wiley  and  Sons Inc. Publication, New Jersey. I.  N. Budiantara, B.  Lestari,  dan  A. Islamiyati.  2010. Estimator Spline Terbobot dalam Regresi Nonparametrik dan Semiparametrik Heteroskedastisitas  untuk  Data Longitudinal. Hibah  Penelitian Kompetensi. DP2M-Dikti: Jakarta. I.N. Budiantara.  dan  Mulianah.  2007. Pemilihan Banwidth Optimal Dalam  Regresi  Semiparametrik Kernel  dan  Aplikasinya, Journal Sains  dan Teknologi  SIGMA,  10  :
159-166.
L. Laome. 2009. Model Regresi Semiparametrik  Spline  untuk  Data Longitudinal  pada  Kasus  Kadar
CD4  Penderita  HIV. Paradigma. Vol. 13, No.2: 189-194.
M.  P. Wand dan  M.  C. Jones, 1995. Kernel  Smoothing, Chapman and Hall, London. N.  Chamidah.  2008. Inferensi  Kurva Regresi Nonparametrik Berdasarkan  Estimator  Polinomial Lokal Dengan Error Lognormal. J. Peneliti. Med. Eksakta, Vol. 7, No.
1, hal. 61-6.
P.  J.  Diggle,  Y.  K.  Liang  dan  S.  L.
Zeger. 1994. Analysis of Longitudinal Data, Oxford Statistical  Science  Series  13,  New York. S. Y. Hong. 1999. “ Automatic Bandwith Choice in a Semiparametric Regression Model ” , Statistica Sinica, 9 : 775-794. W. Hardle. 1990. Applied Nonparametric Regression. Cambridge  University  Press,  New York.