## Pelabelan  -Anti Ajaib dan  -Anti Ajaib untuk Graf Tangga
-Antimagic and  -Antimagic Labeling for Ladder Graph
Quinoza Guvil 1) , Roni Tri Putra 2)
1) Jurusan Teknik Geodesi, Institut Teknologi Padang, Telp. 0751-7055202. Email: quinozaguvil@gmail.com
2) Jurusan Teknik Sipil, Politeknik Negeri Padang, Kampus Limau Manis Padang 25163   Telp. 0751- 72590 Fax. 0751-72575. Email : putra_tryronny@yahoo.co.id

## Abstract
For a connected graph   and a subset   of . For a vertex the distance betwen and    is .  For  an  ordered  k-partition  of , the representation of    with respect to   is The k-partition   is a resolving partition if are distinct for every The minimum  k for  which there is a resolving
partition  of
is  the  partition  dimension  of
In  this  paper  will  shown  resolving  partition  of
connected graph order   where is a bipartite graph. Then it is shown dimension partition of bipartite graph, are
Key words: Connected Graph, Bipartite Graph, Resolving Partition and Dimension Partition

## PENDAHULUAN
Teori graf merupakan salah satu bidang dalam  matematika  yang  cukup  penting untuk  dipelajari  dan  dikembangkan.  Salah satu  topik  kajian  dalam  teori  graf  adalah pelabelan  graf.  Objek  kajian  pada  graf secara  umum  direpresentasikan  oleh  titik ( vertex ),  sisi  ( edge ),  dan  muka  ( face )  yang disebut label .  Pelabelan  pertama  kali diperkenalkan  oleh  Sedlàček  (1964), kemudian Stewart (1966), Kotzig dan Rosa (1970).  Teori  Graf  mempunyai  berbagai terapan  dalam  berbagai  bidang  ilmu pengetahuan,  diantaranya  dalam  model jaringan  transportasi,  sistem  komunikasi, silsilah keluarga, desain arsitektur.
Harstfield dan Ringel (1990)
menyatakan  bahwa  pelabelan  tipe adalah  pemetaan  satu-satu  dari ke suatu himpunan bilangan bulat
Pelabelan  titik  adalah  pelabelan  dengan daerah  asal  himpunan  titik,  pelabelan  sisi adalah  pelabelan  dengan  domain  himpunan
sisi,  dan  pelabelan  muka  adalah  pelabelan dengan domain himpunan muka.
Jika  pada  pelabelan  bobot  titik,  bobot sisi,  atau  bobot  muka  berbeda,  maka pelabelan  ini  dikatakan  dengan  pelabelan anti  ajaib.  Jika  bobot  muka  membentuk barisan  aritmatika  dengan  beda d, maka pelabelan  tersebut  dinamakan pelabelan d- anti  ajaib ,  sedangkan  pelabelan  ajaib  jika memiliki  bobot  titik,  bobot  sisi,  dan  bobot muka  yang  sama,  maka  pelabelan  disebut pelabelan ajaib.
Sejalan  dengan  masalah  yang  akan dibahas,  penelitian  ini  mempunyai  tujuan untuk  menentukan    pelabelan  anti  ajaib untuk graf tangga dimana sehingga memiliki pelabelan tipe (1, 1, 1) dengan .

## METODOLOGI
Metode  penelitian  dalam  tulisan  ini adalah  pelabelan d- anti  ajaib  untuk  plane graf dimana
dan sehingga memiliki pelabelan tipe (1, 1, 1). Serta untuk memeriksa bahwa nilai-nilai dari Jika maka pelabelan  sisi menggunakan  setiap bilangan bulat tepat satu. Jika maka pelabelan sisi berturut-turut dan nilai . Nama titik dan sisi dari oleh  pelabelan  titik pelabelan  sisi .  Dengan  perhitungan langsung kita memperoleh bahwa: a. Jika  j  ganjil, dan
maka bobot dari 3-side face
(under pelabelan  titik dan  pelabelan sisi 0 adalah
b. Jika  j  genap,
dan maka  bobot  dari 3-side  face
adalah
Jika  kita    menamakan  titik  dan  sisi dari oleh ,  masing-masing,  maka untuk kita memperoleh suatu pelabelan dengan
nilai
kita  mempunyai  sebuah    hasil  pelabelan dengan nilai
Kita dapat melihat bahwa bobot dari semua 3-side  faces under hasil  pelabelan merupakan  sebuah  himpunan W dari bilangan bulat yang berurutan
Lengkapi pelabelan face dari sehingga nilai akan diberikan untuk 3-side face dan tanpa batas eksternal mendapat nilai atau nilai Kita  mampu  menyusun  nilai face dari 3-sided  faces sehingga  pelabelan , dan dikombinasikan bersama  dengan  memberi  suatu  pelabelan dari tipe (1,1,1) dimana (i) Seluruh 3-sided faces memiliki persamaan bobot atau
(ii) Bobot  dari 3-sided  faces membentuk barisan aritmatika dengan beda d= 2

## HASIL DAN PEMBAHASAN
Banyaknya titik di graf tangga
dengan 3-sisi muka adalah dan dengan , . Misal adalah  muka  ( face )  dari  graf
tangga dengan dan ,  maka banyaknya muka , dengan . Definisi 1. Misal dan adalah himpunan indeks dimana   adalah titik dan adalah bidang.  Untuk graf
dikatakan  graf  tangga  dengan  3-sisi  muka memiliki  himpunan  titik  dan  himpunan  sisi sebagai berikut:
V
Gambar 1. berikut mengilustrasikan sebuah graf tangga 3-sisi  muka dengan dan . Gambar 1. Graf Tangga
Teorema 1. Misalkan ,
sebuah  graf  tangga.  Misalkan  pelabelan titik adalah  pelabelan -anti  ajaib, pelabelan  sisi pelabelan - anti  ajaib  merupakan  dan adalah pelabelan  muka  untuk Jika  pelabelan
,
digabungkan  menjadi  sebuah  pelabelan  d-
anti ajaib dari tipe (1,1,1) maka parameter
Bobot Muka  -Anti Ajaib pada Graf

## Tangga
Bobot  pada  suatu  graf G adalah jumlah  nilai  label  untuk  setiap  titik,  sisi, dan  muka  pada  graf G tersebut.  Bobot muka dalam pelabelan didefinisikan sebagai jumlah dari hasil pelabelan muka, titik-titik, dan sisi-sisi disekitar muka tersebut.
Pelabelan graf bidang disebut d- anti ajaib jika  untuk  setiap s ,  bobot  dari himpunan s -sisi muka adalah
untuk suatu dan d bilangan bulat
dimana   adalah jumlah
muka dengan s -sisi. Bobot berbeda untuk setiap s berbeda.
Teorema 2. Jika maka
graf  bidang  memiliki  sebuah  pelabelan  d- anti ajaib dari tipe (1,1,1).

## Bukti :
Lakukan pelabelan untuk semua titik dan pelabelan sisi dengan cara sebagai berikut:
 Pelabelan titik
jika
dan
 Pelabelan sisi Berdasarkan Teorema 2, pelabelan sisi dapat dikonstruksikan dengan cara sebagai berikut:
Kemudian tentukan bobot dari graf tangga terhadap pelabelan titik dan pelabelan sisi sebagai berikut:
dan  Jika j genap ,
dan
Setelah  bobot  titik  dan  bobot  sisi diperoleh,  tentukan  bobot  setiap  muka dengan  menjumlahkan  bobot  titik,  bobot sisi, dan pelabelan muka .

 Jika j genap ,
Jika  bobot  titik,  bobot  sisi,  dan pelabelan muka digabungkan, maka diperoleh  pelabelan  dengan  tipe dimana  bobot W membentuk  himpunan bilangan bulat berurutan untuk setiap muka yang bertetangga. Bobot muka dengan 3- sisi  muka  membentuk  barisan  aritmatika dengan beda atau . Contoh 1. (kasus 1: ) Misal diberikan . Akan ditunjukkkan bahwa graf tangga memiliki pelabelan muka d -anti ajaib dengan 3-sisi muka dimana
.
Untuk diperoleh dan dan  graf tangga memiliki himpunan titik dan
himpunan sisi sebagai berikut: .
Maka diperoleh,
Selanjutnya dilakukan pelabelan terhadap  graf  tangga berdasarkan  titik-
titik, sisi-sisi  dan muka internal  serta muka eksternal yang telah diperoleh.
Berikut adalah langkah-langkah untuk melabeli graf tangga
1. Akan  dilakukan  pelabelan  titik untuk
Berdasarkan definisi dari pelabelan titik
yaitu,

## jika
 Untuk ,jika  maka  maka  maka  Untuk
, jika  maka  maka  maka  Untuk
, jika
 maka  maka  maka Pelabelan menghasilakan  himpunan
sebagai himpunan label untuk titik.
2. Akan dilakukan pelabelan sisi dengan
definisi,

jika  Untuk , jika  maka  maka
 maka  Untuk , jika maka  maka  maka

 Untuk , jika  maka
 maka  Untuk , jika
 maka  maka  Untuk , jika maka

##  maka
 ,  jika dan j ganjil,
 Untuk , jika
 maka  Untuk , jika 
maka
 jika  Untuk
, jika
 maka
 Untuk , jika
 maka
Diperoleh himpunan label untuk sisi berdasarkan pelabelan yaitu
.
3. Akan  dilakukan  pelabelan  muka dengan definisi sebagai berikut,
 Himpunan pelabelan muka internal
 Untuk pelabelan muka eksternal
4. Akan  ditentukan  bobot  untuk  setiap muka  terhadap  terhadap pelabelan  titik dengan cara sebagai berikut,  Jika  j  ganjil, dan maka bobot dari 3- sisi muka adalah
 Untuk

##  Untuk
 Jika  j  genap, dan maka  bobot  dari 3- sisi  muka
adalah
 Untuk
 Untuk

## Himpunan bobot titik graf
5. Akan  ditentukan  bobot  untuk  setiap muka terhadap terhadap pelabelan sisi dengan cara sebagai berikut,
 Jika  j  ganjil, dan
maka bobot dari 3- sisi muka
adalah
 Untuk
 Untuk
 Jika  j  genap, dan maka  bobot  dari 3- sisi  muka adalah
 Untuk

##  Untuk

## Himpunan bobot sisi graf
6. Akan  ditentukan  bobot  muka  dari penggabungan bobot titik, bobot sisi dan pelabelan dengan  cara  sebagai
berikut: Jadi diperoleh himpunan bobot muka graf . Defenisikan  pelabelan  titik-titik,  sisi-sisi, dan muka berturut-turut sebagai
dan
.  Akan  diperoleh  pelabelan  dengan  tipe dan  3-sisi  muka  pada  graf  tangga
Jadi  diperoleh  himpunan  bobot  muka .
Dari  himpunan  bobot  muka W pada  graf tangga dengan  3-sisi  muka  membentuk barisan  aritmatika  dengan  beda seperti Gambar 2.
Gambar 2. Pelabelan Tipe
Graf Tangga dengan Setiap  3-sisi  muka  memiliki  bobot muka  yang  membentuk  barisan  aritmatika dengan . Dengan demikian pelabelan  graf  tangga merupakan
pelabelan  muka -anti  ajaib  dengan  tipe .

## SIMPULAN
Adapun  kesimpulan  dari  penelitian ini  bahwa  bobot  muka  dari  graf  tangga dengan - sisi  muka, dan
dapat  disusun  sedemikian  sehingga  jika pelabelan , dan
digabung  diperoleh  pelabelan  tipe  (1,1,1) dimana 1. Seluruh - sisi        muka  memiliki  bobot yang sama untuk dan 2. Bobot  dari - sisi  muka membentuk barisan aritmatika dengan beda .

## SARAN
Karena berbagai keterbatasan, penulis menyadari  penelitian  dan  tulisan  ini  masih banyak  kekurangannya.  Banyak  hal  yang belum tercakup dalam  penelitan ini. Dalam penelitian  ini  hanya  dibahas  pelabelan muka d- anti  ajaib  untuk  graf  tangga dengan 3-sisi muka. Perlu dikaji lebih lanjut pelabelan  muka  untuk  graf  tangga  lainnya seperti graf honeycomb dan graf grid .

## DAFTAR PUSTAKA
Baca,  M  dan  Miller,M,  2008, Super  Edge- Antimagic  Graphs ,  Brown  Walker Press,Boca Raton-Florida.
Bondy,  J.A.  dan  Murty,  U.S.R..  1976. Graph Theory with Applications . The Macmillan Press LTD. London. Hartsfield, N dan Ringel, G. 1990. Pearls in Graph  Theory ,  Academic  Press.
Boston.
Ko-  Wei  Lih.  1983. On  Magic  and Consecutive Labeling Of Plane Graphs , Utilitas Math. 24 .165-197.
Oss,  S.L., Differential  Equations ,
edition, John Wiley & Sons, University of  New Hampshire, 1984. Verhultz,  Ferdinand,  1990, Nonlinear Differential Equations and Dynamical Systems ,    Springer –
Verlag, Berlin.
Wiggins  S,  1990, Introduction  to  Applied Nonlinear  Dynamical  Systems  and
Chaos ,    Springer  –  Verlag,  New York.
Wallis, W.D. 2001. Magic Graphs, Birkhauser , Berlin. Boston-Basel.
West, D.B. 1996. An Introduction to Graph Theory . Prentice – Hall.