Perancangan Algoritma Untuk Menghitung Harga Opsi Reset dan Opsi Barrier dengan Metode Binomial
Bony Marbun 1 , Vivi Y. Pakpahan 2 , Bongguk Pangaribuan 2 , Andri D. Simbolon 2
1,2 Politeknik Informatika Del
Jl. Sisingamangaraja, Laguboti 22381, North Sumatera, Indonesia
E-mail: 1 bony@del.ac.id
2 {if07003, if07070, if07085}@students.del.ac.id

## Abstrak
Pada makalah ini dipaparkan isi sebuah tugas akhir D3 di Politeknik Informatika Del (PI Del) yang berjudul ”Perancangan  Algoritma  untuk  Menentukan Harga Opsi Reset dan Opsi Barrier”. Opsi reset dan opsi barrier adalah  termasuk  opsi  eksotik  atau  opsi path-dependent ( Error! Reference source not found. , Error! Reference source not found. ), yaitu opsi yang payoff -nya  bergantung  pada  perilaku  harga  aset  pokok antara  waktu 0  t dan  waktu  jatuh  tempo,  bukan semata-mata bergantung pada harga akhir aset pokok.
Opsi reset yang dibahas di sini adalah opsi reset dengan satu waktu reset . Opsi barrier yang dibahas di sini terdiri atas  beberapa  jenis,  yaitu  opsi down  and  in, opsi down and out, opsi up and in, dan opsi up and out. Pada opsi barrier ,  harga barrier bisa  lebih  kecil  daripada strike price, atau  sebaliknya  harga barrier bisa  lebih  besar daripada strike  price  ( Error!  Reference  source  not found. ). Berdasarkan  ada  tidaknya  fasilitas early exercise, opsi reset dan  opsi  barrier  terdiri  atas  opsi Eropa dan Amerika.
Pada  makalah  ini  diuraikan  perancangan  algoritma penghitungan  harga  opsi reset dan  opsi barrier dengan metode  binomial.  Selanjutnya,  pada  makalah  ini dipaparkan juga implementasi algoritma yang dilakukan dalam  tugas  akhir  tersebut  di  atas.  Implementasi algoritma  dilakukan  dengan  mengembangkan  aplikasi sederhana  menggunakan  bahasa  pemrograman  Java. Setelah melakukan implementasi dan pengujian diperoleh hasil  bahwa  algoritma  yang  dirancang  cukup  akurat berdasarkan  pembandingan  dengan  hasil  perhitungan sejenis menggunakan Ms. Excel (lihat Error! Reference source not found. ) .
Kata kunci: opsi reset , opsi barrier , metode binomial

## 1 Pendahuluan

## 1.1. Umum
Pertama-tama  perlu  disampaikan  bahwa  makalah  ini adalah  intisari  dari  salah  satu  tugas  akhir  D3  Politeknik Informatika Del  yang berjudul ” Perancangan Algoritma
untuk Menentukan Harga Opsi Reset dan Opsi Barrier ”. Judul atau topik ini muncul dari ketertarikan pembimbing dalam mengkaji topik-topik dalam disiplin ilmu
Matematika Keuangan. Pembimbing juga menilai bahwa topik  ini  cocok  untuk  mahasiswa  D3  Politeknik Informatika  karena  pembimbing  beranggapan  bahwa topik ini dapat menambah wawasan mahasiswa yaitu ilmu yang  mereka  peroleh  dapat  diterapkan  pada  Matematika Keuangan.

## 1.2. Latar belakang dan tujuan
Harga  saham  dapat  mengalami  kenaikan  ataupun penurunan  seiring  dengan  kondisi  yang  ada.  Opsi merupakan salah satu pilihan yang dapat digunakan untuk meminimalisasi  resiko  dan  sekaligus  memaksimalkan keuntungan  dalam  penjualbelian  saham  (lihat Error! Reference source not found. ).
Opsi reset dan  opsi barrier merupakan  jenis  opsi  yang dapat  ditemukan  di  pasar  opsi.  Kedua  jenis  opsi mempunyai keunikan tersendiri. Pada opsi reset , penjual dan  pembeli  opsi  diperkenalkan  dengan  waktu reset . Sedangkan pada opsi barrier dikenal istilah garis barrier , yang  menjadi  salah  satu  patokan  apakah  perjanjian penjualbelian  saham  akan  tetap  diteruskan  atau  harus dihentikan, sesuai dengan jenis opsinya.
Seiring  dengan  berkembangnya  pengetahuan  manusia mengenai opsi dan saham, banyak metode penghitungan harga  opsi  yang  muncul,  di  antaranya  adalah  metode trinomial, binomial, dan Black-Scholes. Penulis memilih untuk menggunakan metode binomial karena metode ini termasuk salah satu teknik penghitungan harga opsi yang banyak digunakan dan merupakan salah satu teknik yang sederhana.
Akan tetapi, meskipun metode binomial dapat digunakan untuk  memodelkan  harga  saham  dengan  cara  yang sederhana,  namun  belum  tentu  mudah  untuk  merancang algoritma  yang  efisien.  Hal  inilah  yang  menumbuhkan niat penulis untuk membuat algoritma yang efisien yang dapat digunakan sebagai salah satu acuan untuk membuat kode program atau aplikasi untuk menentukan harga opsi dengan menggunakan metode binomial.
Tujuan  penelitian  pada  makalah  ini  adalah  merancang algoritma metode binomial yang akurat dan efisien untuk menentukan  harga  opsi reset dan  opsi barrier ; membuktikan apakah algoritma penghitungan harga opsi yang  telah  dibuat  oleh  penulis  dapat  diimplementasikan menjadi sebuah aplikasi; dan untuk mengetahui efisiensi algoritma yang telah dibuat.
Adapun  spesifikasi  kebutuhan  dari  perangkat  lunak aplikasi ini adalah:
1. Menerima  masukan  data  dari  pengguna  berupa  nilai variabel-variabel yang dibutuhkan dalam menentukan harga opsi.
2. Dapat digunakan untuk menyelesaikan penghitungan harga  opsi  sesuai  dengan  jenis  opsi  yang  ditentukan oleh pengguna.

## 2 Studi Literatur
Berikut ini dijelaskan pengertian opsi reset , opsi barrier , dan metode binomial, yaitu:
1. Opsi Reset
Opsi reset merupakan salah satu opsi path-dependent yang strike  price -nya  dapat  di- reset berdasarkan kriteria tertentu. Pada opsi reset dikenal istilah waktu reset .  Ini  merupakan  waktu  yang  diberikan  kepada pemilik  opsi  untuk  mengubah  harga strike  price ( Error! Reference source not found. ).
2. Opsi Barrier ( Error! Reference source not found. )
Opsi barrier merupakan  opsi path-dependent yang hadir  dalam  berbagai  jenis,  tetapi  memiliki karakteristik  kunci  yaitu  dapat  tetap  diteruskan  atau dihentikan.  Secara  umum  opsi barrier terdiri  dari beberapa jenis, yaitu:
a. Opsi up and in
Pada  opsi  ini  apabila  pada  suatu  waktu  harga saham  naik  dan  melewati  garis barrier maka perjanjian jual beli saham diteruskan.
b. Opsi up and out
Pada  opsi  ini  apabila  pada  suatu  waktu  harga saham  naik  dan  melewati  garis barrier maka perjanjian jual beli saham dihentikan.
c. Opsi down and in
Pada  opsi  ini  apabila  pada  suatu  waktu  harga saham  turun  dan  melewati  garis barrier maka perjanjian jual beli saham diteruskan.
d. Opsi down and out
Pada  opsi  ini  apabila  pada  suatu  waktu  harga saham  turun  dan  melewati  garis barrier maka perjanjian jual beli saham dihentikan.
3. Metode Binomial
Metode  binomial  merupakan  salah  satu  teknik  yang dapat  digunakan  untuk  menentukan  harga  saham. Dengan menggunakan metode binomial, harga saham dimodelkan  secara  sederhana  dengan  menggunakan pohon  binomial,  dan  harga  saham  pada  setiap langkahnya akan mengalami kenaikan atau penurunan harga.
Dalam  menentukan  pergerakan  harga  saham  dengan menggunakan metode binomial, harga saham ( S ) akan ditentukan  dari  hasil  eksperimen  acak  Bernoulli berupa pelantunan koin. Bila pelantunan koin tersebut menghasilkan muka (H) maka harga saham akan naik dengan  P(T)  = p dan  jika  pelantunan  menghasilkan belakang (T) maka harga saham akan turun P(T) = 1- p = q (lihat Error! Reference source not found. ).

## 3 Analisis Algoritma
Berikut ini dijelaskan algoritma penghitungan harga opsi reset dan opsi barrier .

## 3.1.  Algoritma penghitungan harga opsi reset
Gambaran  pemodelan  opsi reset dapat  dilihat  pada Gambar 1.
Gambar  1.  Pemodelan  harga  saham  untuk  opsi

## reset dengan metode binomial
Algoritma  penghitungan  harga  opsi reset dijelaskan sebagai  berikut  (lihat Error!  Reference  source  not found. dan Error! Reference source not found. ). Pada opsi reset ada  1  waktu  jatuh  tempo  dan  1  waktu reset , yaitu secara berturut-turut T dan ' t . Selang waktu   ' , 0 t dibagi menjadi M subselang (banyak langkah) yang sama panjang yaitu Δ t dengan titik-titik bagi (sampai dengan ' t ) ' ... 0 1 0 t t t t m      di mana
           t T M m t t m i t i t i ' ,..., 1 , 0 , dan   i i t S S  adalah  harga  saham  pada  waktu i t . Asumsi-asumsi pada metode binomial adalah:
1. Dalam selang waktu t  harga saham dapat naik atau
turun menjadi u S 0 atau d S 0 dengan u d    1 0 .
2. Peluang harga saham naik adalah p .
3. Ekspekasi return harga saham besarnya sama dengan suku  bunga  bebas  resiko r ,  sehingga  untuk  harga saham  yang  bergerak  secara  acak  dari i S pada waktu i t menjadi
1  i S pada  waktu 1  i t berlaku   t r i i e S S E
   1 .
4. Pada makalah ini dipilih 1  ud .
Solusi-solusi dari p d u dan , , adalah: , , 1 , 1
2 2 d u d e p d u t r         
    
dengan     t r t r e e       
2 2 1   .
Misalkan  pada  waktu 0 0  t harga  saham  adalah 0 S , maka menurut metode binomial harga saham pada waktu t t   1 1 diberikan  oleh u S 0 atau d S 0 .  Selanjutnya  harga saham  mengambil  salah  satu  dari
, , 0 2 0 ud S d S atau 2 0 u S .
Jika  langkah  ini  diteruskan  maka  pada  waktu t i t i   akan  terdapat 1  i harga  saham  yang  mungkin  terjadi, yang diberikan oleh
i j d u S S j i j ji ,..., 1 , 0 , 0   
dengan ji S menyatakan  harga  saham  pada  waktu i t dan telah  terjadi  kenaikan  sebanyak j kali  serta  penurunan harga saham sebanyak i - j kali, dihitung dari waktu 0 0  t .
Pada waktu reset m t t  ' terdapat m+1 harga saham yang mungkin, yaitu m m m m S S S , , 1 , 0 ,..., , . Lalu dari masing-masing  harga  saham  ini  dibuat  lagi  pohon binomial sebanyak m + 1 . Untuk langkah i=m dan j = 0,..., m ,  misalkan   k l m M k j lk S ,..., 0 ; ,..., 0    .  Pada  waktu  jatuh tempo T ,  untuk  tiap j =  0,..., m terdapat M-m+ 1  harga
saham yang mungkin yaitu   m M l j m M l S    ,..., 0 , . Misalkan
  m M l j m M l RC    ,..., 0 , menyatakan  nilai-nilai payoff pada waktu  jatuh  tempo  untuk  opsi  call reset Eropa  yaitu         K S j m M l K S j m M l j m M l m j m j I K S I K S RC            , , , , , .  Dengan  cara yang  serupa,  nilai-nilai payoff pada  waktu  jatuh  tempo untuk opsi put Eropa diberikan oleh         K S j m M l K S j m M l m j j m M l m j m j I S K I S S RP            , , , , , ,
Harga-harga opsi call reset dan opsi put reset pada waktu ' t t i  ,  yang  berkaitan  dengan  harga  saham j lk S , diberikan secara berturutan oleh     j k l j k l t r j lk RC p pRC e RC 1 ,
1 , 1 1         dan     j k l j k l t r j lk RP p pRP e RP 1 ,
1 , 1 1        
dengan
k l ,..., 1 , 0  dan , 1    m M k . , 1 ..., m m  Untuk
k=l= 0 diperoleh
j jm RC RC 00  . Selanjutnya harga-harga opsi call reset dan opsi put reset pada waktu ' t t i  diberikan secara berturutan oleh     1 ,
1 , 1 1         i j i j t r ji RC p pRC e RC ...(1)     1 ,
1 , 1 1         i j i j t r ji RP p pRP e RP ...(2) dengan 0 ,..., 1   m i dan i j ,..., 0  . Persamaan-persamaan  (1)  dan  (2)  secara  berturut-turut adalah  rumus-rumus  harga  aplikasi  untuk  opsi  call reset Eropa dan opsi put reset Eropa.
Untuk opsi reset Amerika, pada persamaan (1) dan (2) di atas  harus  ditambahkan  uji  pembandingan  harga-harga
ji RC dan ji RP di  atas  dengan  nilai payoff yang diperoleh  seandainya  dilakukan early  exercise pada waktu i t . Jadi diperoleh
           
    1 , 1 , 1 1 , i j i j t r ji ji RC p pRC e K S RC ...(3)          
      1 , 1 , 1 1 , i j i j t r ji ji RP p pRP e S K
RP ...(4) dengan 0 ,..., 1 
 m i dan i j ,..., 0  .

## 3.2.  Algoritma penghitungan harga opsi barrier
Gambaran  pemodelan  opsi barrier dapat  dilihat  pada Gambar 2 dan Gambar 3.
Gambar  2.  Pemodelan  harga  saham  untuk  opsi barrier  untuk  K  <  garis  barrier  dengan  metode binomial
Gambar  3.  Pemodelan  harga  saham  untuk  opsi barrier  untuk  K  >  garis  barrier  dengan  metode binomial
Secara  garis  besar  algoritma  penghitungan  harga  opsi barrier mirip  dengan  algoritma  pada  opsi reset ( Error! Reference source not found. ). Yang membedakan ialah pada  opsi barrier tidak  dikenal  istilah reset ,  namun  ada istilah barrier di  mana  status  opsi  bisa  dihentikan  atau diteruskan apabila harga saham menyentuh atau melewati barrier tersebut.
Pada opsi down and out dan opsi up and out , jika harga saham ji S pernah  menyentuh barrier maka 0  ji BC atau
0  ji BP .  Sebaliknya  pada  opsi down  and  in dan opsi up  and  in ,  jika  harga  saham ji S tidak  pernah melewati barrier maka 0  ji BC atau 0  ji BP .
Kemudian untuk menghitung harga opsi dengan langkah mundur diperoleh melalui rumus:
  1 , 1 , 1 ,        i j i j t r i j qBC pBC e BC ...(5)   1 , 1 , 1 ,        i j i j t r i j qBP pBP e BP ...(6) dengan 0 ,..., 1   m i dan i j ,..., 0  .
Seperti  halnya  opsi reset Amerika,  pada  opsi barrier
Amerika juga ditambahkan uji pembandingan harga-harga ji BC dan
ji BP di  atas  dengan  nilai payoff yang diperoleh seandainya dilakukan early exercise pada waktu i t . Jadi diperoleh
                1 , 1 , 1 1 , i j i j t r ji ji BC p pBC e K S BC ...(7)                 1 , 1 , 1 1 , i j i j t r ji ji BP p pBP e S K BP ...(8) dengan 0 ,..., 1
  m i dan i j ,..., 0  .

## 4 Implementasi
Kedua  algoritma  di  atas  diimplementasikan  ke  dalam sebuah  aplikasi  yang  dibangun  untuk  menentukan  harga opsi.  Hasil  kalkulasi  dari  aplikasi,  yang  disebut  harga aplikasi,  dibandingkan  dengan  hasil  penghitungan  harga opsi menggunakan Ms. excel, yang disebut harga excel.
Adapun  spesifikasi  perangkat  keras  yang  digunakan adalah sebagai berikut:
 Prosesor : Pentium 4 Intel 3.00 GHz
 RAM : 1 GB  Hard disk  : 80 GB
Sedangkan  spesifikasi  perangkat  lunak  yang  digunakan adalah sebagai berikut:
 Sistem Operasi : Microsoft Windows XP Professional
 Bahasa Pemrograman  :  Java  Standard  Edition (JSE)
 Development Tools : JCreator, Edit plus 3

## 5 Hasil
Berikut diberikan beberapa contoh hasil dalam pengujian penghitungan  harga  opsi  dengan  membandingkan  harga aplikasi dengan harga excel. Input data yang dimasukkan dapat berbeda dalam setiap pengujian.

## 5.1.   Pengujian untuk menghitung opsi barrier
Secara keseluruhan ada 16 jenis opsi barrier , yaitu:
1. untuk opsi call Eropa
a. call Eropa up and out ,
b. call Eropa up and in ,
c. call Eropa down and out ,
d. call Eropa down and in .
2. untuk opsi call Amerika
a. call Amerika up and out ,
b. call Amerika up and in ,
c. call Amerika down and out ,
d. call Amerika down and in .
3. untuk opsi put Eropa
a. put Eropa up and out ,
b. put Eropa up and in ,
c. put Eropa down and out ,
d. put Eropa down and in .
4. untuk opsi put Amerika
a. put Amerika up and out ,
b. put Amerika up and in ,
c. put Amerika down and out ,
d. put Amerika down and in .
Pada  makalah  ini,  karena  pembatasan  jumlah  halaman tidaklah  mungkin  ditampilkan  semua  hasil  pengujian untuk ke-16 jenis opsi reset . Oleh karena itu di sini hanya ditampilkan hasil pengujian untuk opsi call barrier Eropa. Hasil-hasil  pengujian  untuk  opsi  call barrier Amerika, opsi  put barrier Eropa,  dan  opsi  put barrier Amerika dapat dilihat di Error! Reference source not found. .
Data  masukan  yang digunakan  untuk  menguji algoritma adalah:
 suku bunga ( r) = 0.1,
 volatilitas ( σ ) = 0.2,
 waktu jatuh tempo ( T ) = 1.6,
 strike price ( K ) = 100,
 banyak langkah ( M ) = 8.
Pada  pengujian  untuk  menghitung  opsi  call up  and  out Eropa dan  opsi  call up  and  in Eropa  dimisalkan  harga barrier (B) sebesar 260, sehingga diperoleh hasil seperti yang ditunjukkan pada tabel 1 dan tabel 2.
Tabel 1 Harga binomial opsi call Eropa up and out
0 S Harga aplikasi Harga Excel 210 4.422648837267350 4.422648837267120 220 5.293073335233620 5.293073335233370 230 6.163497833199880 6.163497833199620 240 7.033922331166150 7.033922331165870 250 7.904346829132420 7.904346829132130 260 8.774771327098680 8.774771327098390 270 0 0 280 0 0 0 S Harga aplikasi Harga Excel 290 0 0 300 0 0
Tabel 2 Harga binomial opsi call Eropa up and in 0 S Harga aplikasi Harga Excel 210 0 0 220 0 0 230 0 0 240 0 0 250 0 0 260 0 0 270 22.647024400357200 22.647024400356600 280 23.704767036714400 23.704767036713700 290 24.762509673071600 24.762509670000000 300 25.820252309428800 25.820252309428100
Pada pengujian untuk menghitung opsi call down and out Eropa dimisalkan harga barrier (B) sebesar 270, sehingga diperoleh hasil seperti yang ditunjukkan pada tabel 3.
Tabel 3 Harga binomial opsi call Eropa down and out
0 S Harga aplikasi Harga Excel 210 0 0 220 0 0 230 0 0 240 0 0 250 0 0 260 0 0 270 0 0 280 23.704767036714400 23.705023712052200 290 24.762509673071600 24.762777801652000 300 25.820252309428800 25.820531891251900
Pada pengujian untuk menghitung opsi call down and in Eropa dimisalkan harga barrier (B) sebesar 240, sehingga diperoleh hasil seperti yang ditunjukkan pada tabel 4.
Tabel 4 Harga binomial opsi call Eropa down and in
0
S Harga aplikasi Harga Excel 210 4.422648837267350 4.422648837267120 220 5.293073335233620 5.293073335233370 230 6.163497833199880 6.163497833199620 240 7.033922331166150 7.033922331165870 250 0 0 260 0 0 270 0 0 280 0 0 290 0 0
0 S Harga aplikasi Harga Excel 300 0 0

## 5.2.  Pengujian untuk menghitung opsi reset
Secara keseluruhan ada 4 jenis opsi reset , yaitu:
1. call reset Eropa,
2. call reset Amerika,
3. put reset Eropa,
4. put reset Amerika.
Data  masukan  yang digunakan  untuk  menguji algoritma untuk keempat jenis opsi reset di atas adalah:
 suku bunga ( r) = 0.1,
 volatilitas ( σ ) = 0.2,
 waktu jatuh tempo ( T ) = 1.6,
 waktu reset ( t ’) = 1,
 strike price ( K ) = 300,
 banyak langkah ( M ) = 8.
Pengujian dilakukan untuk harga-harga saham awal yang bernilai 160, 170, ..., 240, 250 dan diperoleh hasil seperti yang ditunjukkan pada tabel 5 sampai tabel 8.
Tabel 5 Harga binomial opsi call reset Eropa
0 S Harga aplikasi Harga Excel 160 16.41472806502810 16.41473 170 18.072637603410600 18.07264 180 19.972777788734000 19.97278 190 21.882408912493300 21.88241 200 23.792040036252500 23.79204 210 25.701671160011700 25.70167 220 27.686472529365700 27.68647 230 30.526656159486700 30.52666 240 33.915896045929000 33.91590 250 37.331826240208000 37.33183
Tabel 6 Harga binomial opsi call reset Amerika 0 S Harga aplikasi Harga Excel 160 12.819207186301100 12.81921 170 13.965100580018700 13.96510 180 15.180155902906000 15.18016 190 16.395211225793200 16.39521 200 17.610266548680500 17.61027 210 18.825321871567800 18.82532
0 S Harga aplikasi Harga Excel 220 20.040377194455000 20.04038 230 21.618499848356800 21.61850 240 23.235158061278800 23.23516 250 24.851816274200900 24.85180 Tabel 7 Harga binomial opsi put reset Eropa 0 S Harga aplikasi Harga Excel 160 26.925051819572600 26.92505 170 28.360575031131200 28.36058 180 29.865260171859400 29.86526 190 31.369945312587600 31.36995 200 32.874630453315800 32.87463 210 34.379315594043900 34.37932 220 35.884000734772100 35.88400 230 36.212367040422600 36.21237 240 36.415880185175300 36.41588 250 36.619393329928000 36.61939
Tabel 8 Harga binomial opsi put reset Amerika 0 S Harga aplikasi Harga Excel 160 16.414728065028100 16.41473 170 18.072637603410600 18.07264 180 19.972777788734000 19.97278 190 21.882408912493300 21.88241 200 23.792040036252500 23.79204 210 25.701671160011700 25.70167 220 27.686472529365700 27.68647 230 30.526656159486700 30.52666 240 33.915896045929000 33.91590 250 37.331826240208000 37.33183
5.3.  Pengujian  batas  banyak  langkah  penghitungan opsi
Pengujian  ini  dilakukan  untuk  mengetahui  banyak langkah  yang  masih valid untuk  menghitung harga opsi. Dalam  hal  ini  pengujian  dilakukan  untuk  opsi reset . Pengujian dilakukan untuk data masukan:
 suku bunga ( r) = 0.1,
 volatilitas ( σ ) = 0.2,
 waktu jatuh tempo ( T ) = 1.6,
 waktu reset ( t ’) = 1,
 harga saham awal ( 0 S ) = 250,
 strike price ( K ) = 300,
 banyak langkah ( M ) = 92 dan 93.
Untuk M =  92  diperoleh  hasil  bahwa  aplikasi  tidak mengalami hang ,  namun  untuk M =  93  diperoleh  hasil bahwa aplikasi mengalami hang .

## 6 Pembahasan
Pada  tabel  1  sampai  tabel  8  penghitungan  harga  opsi dilakukan  untuk M =  8  agar  bisa  dibandingkan  dengan harga  opsi  yang  diperoleh  dari  Ms.  Excel.  Pada  tabel  1, tabel  2,  tabel  4  sampai  tabel  8  diperoleh  selisih  yang relatif  kecil  antara  harga  aplikasi  dan  harga  excel,  yaitu lebih kecil dari 10 -3 . Bahkan pada tabel-tabel 1, 2, dan 4 selisih  antara  harga  aplikasi  dan  harga  excel  lebih  kecil dari 10 -8 . Ini berarti aplikasi yang dibangun cukup akurat untuk menghitung harga opsi reset dan opsi barrier .
Pada  aplikasi  yang  dibangun  dilakukan  pengujian  untuk beberapa M .  Ketika M =  92  aplikasi  masih  dapat melakukan  penghitungan  harga  opsi,  namun  ketika M = 93 aplikasi mengalami hang . Hal ini mungkin disebabkan algoritma  yang  digunakan  kurang  efisien  untuk perhitungan matematis yang rumit. Perhitungan matematis menggunakan metode binomial ini melibatkan ukuran  matriks  yang  besar  apabila  banyaknya  langkah besar.

## 7 Kesimpulan
Berdasarkan  hasil  dan  pembahasan  di  atas  diperoleh beberapa kesimpulan sebagai berikut:
1. Penulis  telah  membuat  algoritma  untuk  menentukan harga  opsi  untuk  jenis  opsi reset dan  opsi barrier dengan menggunakan metode binomial.
2. Dengan  menggunakan  aplikasi  yang  dikembangkan oleh  penulis,  penghitungan  harga  opsi  yang  dapat dilakukan  adalah  sampai M =92  langkah  dan  ketika menggunakan data dengan M =93 aplikasi mengalami hang .  Hal  ini  mungkin  disebabkan  algoritma  yang digunakan kurang efisien untuk perhitungan matematis yang rumit.
3. Setelah  melakukan  pengujian  penghitungan  harga opsi  dengan  menggunakan  kode  program  dan membandingkannya dengan penghitungan harga opsi dengan  menggunakan  excel,  selisihnya  diperoleh lebih  kecil  dari  10 -4 .  Ini  menunjukkan  aplikasi  yang dibangun cukup akurat.

## 8 Penutup
Aspek  riset  dalam  tugas  akhir  yang  disarikan  pada makalah  ini  sebenarnya  tidak  terlalu  dalam,  namun melalui  tugas  akhir  ini  mahasiswa  dapat  mempelajari beberapa  hal  yang  tidak  diajarkan  di  perkuliahan,  yaitu mempelajari  opsi  dan  istilah-istilah  dalam  Matematika
Keuangan. Selain itu juga mahasiswa mempelajari salah satu contoh metode numerik yaitu metode binomial.
Kendala  yang  dihadapi  mahasiswa  antara  lain  mereka kurang  dapat  memahami  dan  memilih tools apa  yang tepat  untuk  membangun  aplikasi  yang  menggunakan metode binomial karena metode binomial membutuhkan jumlah subselang yang besar agar hasil penghitungannya akurat.
Pengerjaan tugas akhir ini diharapkan menjadi dasar bagi mahasiswa-mahasiswa  PI  Del  selanjutnya  yang  ingin meneliti  topik-topik  mengenai  opsi  atau  Matematika Keuangan  pada  umumnya.  Semoga  isi  makalah  ini  juga menarik  minat  para  dosen  dan  mahasiswa  politeknik informatika  untuk  mendalami  pembuatan  aplikasi  yang berhubungan dengan Matematika Keuangan.

## 9 Daftar Pustaka
[1] Cheng, K, “An Overview of Barrier Options” (paper draft), Global  Derivatives  Working  Paper, pp.  1-18, 2003.
[2] Shparber,  M.  and  S.  Resheff,  “Valuation  of  Cliquet Options”, The  Leon  Recanati  Graduate  School  of Business Administration, Tel Aviv University, Israel, pp. 1-46, 2004.
[3] Pakpahan, V., et. al., ”Perancangan Algoritma untuk Menentukan  Harga  Opsi Reset dan  Opsi Barrier ”, Diploma  3  Final  Project ,  Del  Polytechnic  of Informatics, North Sumatera, Indonesia, 2010.
[4] Wikipedia, Opsi(keuangan), http://id.wikipedia.org/wiki/Opsi
(keuangan) , 11/9/2009, diakses 06/10/2009.
[5] Marbun,  B.,  “Penghitungan  Harga  Opsi  Compound Menggunakan  Metode  Martingale  dan  Metode Binomial”, Master  Thesis ,  Bandung  Institute  of Technology, Bandung, Indonesia, 2008.