## PENYELESAIAN INVERS MOORE-PENROSE MENGGUNAKAN DEKOMPOSISI NILAI SINGULAR

## Irwan
Prodi Matematika, Fakultas Sains dan Teknologi, UINAM Irwan.msi@uin-alauddin.ac.id

## Nurjannah
Mahasiswa Prodi Matematika, Fakultas Sains dan Teknologi, UINAM
Info:
Jurnal MSA Vol. 4 No. 1 Edisi: Januari – Juni 2016 Artikel No.: 3 Halaman: 13 - 19 ISSN: 2355-083X
Prodi Matematika UINAM

## ABSTRAK
Tulisan  ini  membahas tentang  mendapatkan  invers  moore-penrose dari suatu  matriks  menggunakan  metode  dekomposisi  nilai  singular  dan mendapatkan  invers  moore-penrose  dari  suatu  matriks  menggunakan metode  dekomposisi  singular  dengan  program  Matlab.  Penyelesaian invers  Moore-Penrose  dengan  menggunakan  metode  Dekomposisi  Nilai Singular  yaitu
T U V A 1 6 dimana > @ n v v v V " 1 1 dengan i i i x x v 1
,  WHUEHQWXN GDUL QLODL VLQJXODU PDWULNV  GDQ
> @ n u u u U " 2 1 dengan i i i Av u V 1 .    Sehingga  jika
diberikan    matriks: ۯ ଷ௫ଶ = ൥ ݅ ݅ 1 0 0 1 ൩ maka  didapatkan  invers  Moore-
Penrosenya  adalah  : ۯ ଶ௫ଷ ା = ൤ െ݅ /3 1/3 2/3 െ݅ /3 2/3 െ 1/3 ൨ . ܪ al  yang  sama diperoleh  dengan  menggunakan  program  Matlab. Namun  dengan menggunakan program Matlab penyelesaiannya akan lebih cepat.
Kata Kunci: Invers Moore-Penrose, Nilai Singular, Dekomposisi Nilai Singular.

## 1. PENDAHULUAN
Masalah  yang  sering  muncul  dalam  mencari invers  matriks  biasanya  berhubungan  dengan ukuran  matriks  yang  akan  dicari  inversnya. Semakin  besar  matriksnya,  semakin  rumit  juga perhitungannya,  sehingga  dibutuhkan  metode yang  tepat. Invers  matriks  digunakan  untuk menyelesaikan  persamaan  matriks  dan  sistem persamaan  linear.  Perlu  diingat  bahwa  pada perkalian  matriks tidak  berlaku  sifat  komutatif. Dalam invers matriks terdapat istilah invers semu ( pseudoinverse )  yang  salah  satu  bagian  dari invers semu ini adalah Invers Moore-Penrose.
Invers  Moore-Penrose  adalah  salah  satu  jenis matriks  invers  yang  dinotasikan  dengan A + . Invers Moore-Penrose merupakan perluasan dari konsep invers matriks. Jika invers matriks yang sudah kita kenal adalah invers dari suatu matriks bujur,  maka  Invers  Moore-Penrose  ada  untuk
setiap  matriks  baik  matriks  bujur  sangkar  dan bahkan  untuk  matriks  yang  tidak  bujur  sangkar sekalipun [8].
Ada  beberapa  metode  yang  dapat  digunakan untuk  menentukan  invers  Moore-Penrose  suatu matriks  yaitu  metode  Dekomposisi  Nilai Singular  (Singular  Value  Decomposition), metode Pendiagonalan Matriks (Matrix Diagonalization), dan  Dekomposisi  Segitiga Terpotong ( Truncated Triangular Decomposition ). Jika ditinjau dari kaidah-kaidah matematika yang digunakan oleh masing-masing metode  tersebut  terhadap  efektifitas  proses hitungan  dan  tingkat  keakuratan  hasil  yang diperoleh,  metode Dekomposisi  Nilai  Singular (Singular  Value  Decomposition)  merupakan metode  yang  paling  baik  dibandingkan  dengan kedua metode lainnya [9].

## Determinan
Determinan dalam sebuah matriks adalah sebuah scalar  (angka),  yang  diperoleh  dari  elemen- elemen matriks tersebut dengan operasi tertentu, yang  merupakan  karakteristik  matriks  tersebut. Determinan  hanya  ditetapkan  untuk  matriks bujur sangkar [4].
Determinan matriks 2 x 2
» ¼ º « ¬ ª 22 21 12 11 a a a a A Dinyatakan dengan Det 21 12 22 11 a a a a A A
Sama halnya, determinan matriks 3 x 3
» » » ¼ º « « « ¬ ª 33 32 31 23 22 21 13 12 11 a a a a a a a a a A
dinyatakan dengan,
12 21 33 11 32 23 31 22 13 21 32 13 31 23 12 33 22 11 a a a a a a a a a a a a a a a a a a A
Definisi 2.1 Jika A adalah sebuah matriks n x n, maka sebuah vektor  yang  tak  nol x di  dalam R n dinamakan sebuah vektor eigen (eigen vektor) dari A jika Ax adalah kelipatan skalar dari x , yakni :
Ax Ȝ x XQWXN VXDWX VNDODU Ȝ 6NDODU Ȝ GLQDPDNDQ QLODL eigen  (eigen  value)  dari A dan x dikatakan VHEXDKYHNWRUHLJHQ\DQJEHUVHVXDLDQGHQJDQȜ Untuk mencari nilai eigen dari sebuah matriks A yang  berukuran  n  x  n  maka  kita  menuliskan kembali Ax Ȝ x sebagai Ax = Ȝ I x atau secara ekivalen ( Ȝ I – A ) x = 0 6XSD\D Ȝ DGDODK QLODL HLJHQ PDND KDUXV DGD pemecahan  tak  nol  dari  persamaan  ini.  Akan tetapi,  persamaan  ini  akan  mempunyai persamaan tak nol jika dan hanya jika det( Ȝ, – A ) = 0
Ini  dinamakan  persamaan  karakteristik  dari A . Skalar  yang  memenuhi  persamaan  ini  adalah nilai  eigen  dari  A.  Bila  diekspansikan,  maka determinan               det ( Ȝ I – A ) adalah sebuah SROLQRPLDO GL GDODP Ȝ \DQJ GLQDPDNDQ polinomial karakteristik dari A [1].

## Invers Moore-Penrose
Invers  Moore-Penrose  adalah  salah  satu  jenis matriks  invers  yang  dinotasikan  dengan A + . Invers Moore-Penrose merupakan perluasan dari konsep invers matriks. Jika invers matriks yang sudah kita kenal adalah invers dari suatu matriks bujur  sangkar  dan  non  singular  (determinannya tidak nol), maka Invers Moore-Penrose ada untuk setiap  matriks  baik  matriks  bujur  sangkar  yang singular  dan  bahkan  untuk  matriks  yang  tidak bujur sangkar sekalipun.

## Definisi 2.2
Misalkan  matriks A =  (a ij )  C mxn .  Sebuah matriks X =  (x ij )  C mxn dikatakan  sebagai generalized  atau  pseudo  invers  dari  matriks A jika dan hanya jika X memenuhi satu atau lebih dari sifat-sifat berikut :
(i) AXA = A (ii) XAX = X (iii) ( AX ) H = AX (iv) ( XA ) H = XA A H = ( ۯ ഥ ) P T ĺFRQMXJDWHWUDQVSRVHGDULPDWULNV A . Jika elemen-elemen dari matriks A  R maka A H = A T .
Definisi 2.3 a) Matriks X dikatakan sebagai Moore-Penrose Generalized  Invers  dari  matriks  A  jika  dan hanya  jika  matriks  X  memenuhi  keempat sifat  yang  diberikan  pada  definisi  dai  atas dan dinotasikan dengan A + [5].

## Dekomposisi Nilai Singular
Suatu proses dekomposisi akan memfaktorkan sebuah matriks menjadi lebih dari satu matriks. Singular Value Decomposition atau Dekomposisi  Nilai  Singular  yang  selanjutnya ditulis  dengan  SVD  adalah  suatu  teknik  yang digunakan secara luas untuk
mendekomposisikan  suatu  matriks  ke  dalam beberapa  matriks  yang  berkaitan  erat  dengan nilai singular dari matriksnya. Proses dekomposisi  ini  sering  juga  disebut  dengan Faktorisasi.  Dalam  SVD,  suatu  matriks difaktorkan  menjadi  tiga  buah  matriks,  dimana salah  satu  matriks  tersebut  entrinya  merupakan
nilai  singular  dari  matriksnya.  Berikut  ini  akan diberikan definisi nilai singular [3].

## Definisi 2.4
Diberikan  matriks  dengan  elemen-elemennya anggota  himpunan  kompleks A  C mxn dengan rank ( A UGLPDQDU min (m,n), nilai eigen dari matriks A T $DGDODKȜ 1 Ȝ 2 «Ȝ r Ȝ r+1 « Ȝ n = 0 akar nilai eigen positif dari A T A GLVHEXW QLODL VLQJXODU ı GDUL PDWULNV $ GDQ dinyatakan dengan
ı i = ඥɉ ௜ ,           i = 1,2,…,n [5]
Matriks A DGDODKPDWULNVP[QGLPDQDPQ (Asumsi ini hanya dibuat untuk mempermudah, semua  hasil  juga  akan  berlaku  jika  m  <  n). Metode  yang  akan  digunakan  adalah  suatu metode  untuk  menentukan  seberapa  dekat A pada  suatu  matriks  dengan  rank  lebih  kecil. Metode  tersebut  melibatkan  pemfaktoran A ke dalam  hasil  kali U  V T ,  dimana  DGDODK matriks  yang  semua  entri  di  luar  diagonalnya adalah  0,  dan  elemen-elemen  diagonalnya memenuhi
ߪ ଵ ൒ ߪ ଶ ൒ ڮ ൒ ߪ ௡ > 0
ȭ = ۉ ۇ ߪ ଵ ߪ ଶ ڰ ߪ ௡ ی ۊ
Semua ߪ ௜ yang ditentukan dengan faktorisasi ini adalah  tunggal  dan  disebut  nilai-nilai  singular dari  matriks  A.  Faktorisasi U  V T disebut dekomposisi  nilai  singular  ( singular value decomposition ) dari matriks A . Rank dari matriks A sama dengan jumlah nilai singular taknolnya, dan  besarnya  nilai-nilai  singular  taknol  ini menjadi  suatu  ukuran mengenai  seberapa  dekat matriks A terhadap suatu matriks yang ranknya lebih rendah [7].

## 2. METODOLOGI PENELITIAN
Untuk mendapatkan penyelesaian invers Moore- Penrose dari suatu matriks menggunakan metode Dekomposisi  Nilai  Singular,  maka  langkah- langkah yang diambil sebagai berikut:
1. Menentukan matriks m x n yang akan dicari nilai invers Moore-Penrosenya.
2. Menentukan  hasil  perkalian  dari  matriks
A T A kemudian  mencari  nilai  eigen  dan vektor eigen dari matriks tersebut.
3. Menyusun  matriks V yang  elemen- elemennya adalah vektor eigen dari A T A . 4. Menyusun Matriks U
5. Nilai singular dalam  adalah akar pangkat dua dari nilai-nilai eigen matriks A T A .
6. Nilai  singular  adalah  elemen-elemen diagonal GDULGDQGLVXVXQGHQJDQXUXWDQ menurun.
7. Menentukan dekomposisi nilai singular dari matriks A .
8. Menentukan  invers  Moore-Penrose  dari matriks A .
Invers  Moore-Penrose  dari  matriks A telah didapatkan.

## 3. HASIL DAN PEMBAHASAN

## Hasil
Menentukan  invers  Moore-Penrose  matriks dengan  menggunakan  Metode  Dekomposisi Nilai  Singular.  Untuk  menjawab  permasalahan yang  ada  digunakan  langkah-langkah  berikut yang  dapat  berlaku  secara  umum  sehingga pengerjaannya dapat dikerjakan secara konsisten dan  khusus  pada  matriks  yang  bujur  sangkar maupun tidak bujur sangkar.
» » » » ¼ º « « « « ¬ ª mn n m n n a a a a a a a a a " # % # # " " 2 1 2 22 21 1 12 11 A Invers Moore-Penrose dari matriks A yaitu: T U V A 1 6
Contoh :
Menentukan invers Moore-Penrose matriks 3 x 2 menggunakan metode dekomposisi nilai singular:
ۯ = ൥ i i 0 1 1 0 ൩
Penyelesaian :
ۯ ܂ = ቂ െ i 0 1 െ i 1 0 ቃ
Maka
ۯ ܂ ۯ = ቂ െ i 0 1 െ i 1 0 ቃ ൥ i i 0 1 1 0 ൩ = ቂ 2 1 1 2 ቃ
Langkah  selanjutnya  adalah  menentukan  nilai eigen dari matriks A T A yaitu sebagai berikut :
GHWȜ I - A T A) = det ቀߣ ቂ 1 0 0 1 ቃ െ ቂ 2 1 1 2 ቃቁ = ߣ ଶ െ 4 ߣ + 3 = ( ߣ െ 3)( ߣ െ 1) 6HKLQJJDGLSHUROHKȜ 1 GDQȜ 2 =1.
Vektor-vektor  yang  bersesuaian  dengan  nilai HLJHQ Ȝ 1 =3  yaitu  [1  1] T .  Vektor-vektor  yang EHUVHVXDLDQ GHQJDQ QLODL HLJHQ Ȝ 2 =1  yaitu  [-1 1] T . Dengan demikian,
ܠ ଵ = ቂ 1 1 ቃ , ܠ ଶ = ቂ െ 1 1 ቃ /DQJNDKVHODQMXWQ\DDGDODKPHQ\XVXQPDWULNV yaitu :
ߪ ଵ = ඥߣ ଵ = ξ 3
ߪ ଶ = ඥߣ ଶ = ξ 1 = 1 0DWULNV\DQJWHUEHQWXNDGDODK
ȭ = ൤ξ 3 0 0 ξ 1 ൨
Langkah selanjutnya adalah menentukan matriks V yaitu :
ܞ ଵ = 1 ԡܠ ଵ ԡ ܠ ଵ = 1 ඥ (1) ଶ + (1) ଶ ቂ 1 1 ቃ = ۏ ێ ێ ۍ 1 ξ 2 1 ξ 2 ے ۑ ۑ ې ܞ ଶ = 1 ԡܠ ଶ ԡ ܠ ଶ = 1 ඥ ( െ 1) ଶ + (1) ଶ ቂ െ 1 1 ቃ = ۏ ێ ێ ۍെ 1 ξ 2 1 ξ 2 ے ۑ ۑ ې
Jadi,
܄ =
ۏ ێ ێ ۍ 1 ξ 2 െ 1 ξ 2 1 ξ 2 1 ξ 2 ے ۑ ۑ ې
Langkah selanjutnya adalah menentukan matriks U yaitu :
ܝ ଵ = 1 ߪ ଵ ۯܞ ଵ = 1 ξ 3 ൥ i i 0 1 1 0 ൩ ቈ 1/ ξ 2 1/ ξ 2 ቉ = ൦ i ξ 6/3 ξ 6/6 ξ 6/6 ൪ ܝ ଶ = 1 ߪ ଶ ۯܞ ଶ = 1 1 ൥ i i 0 1 1 0 ൩ ቈ െ 1/ ξ 2 1/ ξ 2 ቉ = ቎ 0 ξ 2/2 െξ 2/2 ቏
diperoleh :
܃ = ۏ ێ ێ ێ ێ ێ ۍ i ξ 6 3 0 ξ 6 6 ξ 2 2 ξ 6 6 െ ξ 2 2 ے ۑ ۑ ۑ ۑ ۑ ې
Jadi,  dekomposisi  nilai  singular  dari  matriks A yaitu :
ۯ = ܃઱܄ ୘ = ൦ i ξ 6/3 0 ξ 6/6 ξ 2/2 ξ 6/6 െξ 2/2 ൪ ൤ξ 3 0 0 1 ൨ ቈ 1/ ξ 2 1/ ξ 2 െ 1/ ξ 2 1/ ξ 2 ቉
Langkah  selanjutnya  adalah  menentukan  invers Moore-Penrose dari matriks A yaitu :
ۯ ା = ܄઱ ିଵ ܃ ୘ = ۏ ێ ێ ۍ 1 ξ 2 െ 1 ξ 2 1 ξ 2 1 ξ 2 ے ۑ ۑ ې ൤ 1/ ξ 3  0 0 1 ൨ ۏ ێ ێ ێ ۍെ i ξ 6 3 ξ 6 6 ξ 6 6 0 ξ 2 2 െ ξ 2 2 ے ۑ ۑ ۑ ې
= ൦ െ i 3 െ 1 3 2 3 െ i 3 2 3 െ 1 3 ൪
Jadi, invers Moore-Penrose dari matriks A yaitu:
ۯ ା = ൦ െ i 3 െ 1 3 2 3 െ i 3 2 3 െ 1 3 ൪

## Aplikasi Program Matlab
Penyelesaian Invers Moore-Penrose dari Matriks dengan  Menggunakan  Dekomposisi  Nilai Singular dengan Program Matlab ordo 3x2 yaitu:
Menentukan  Invers  Moore-Penrose  dengan Menggunakan  Metode  Dekomposisi  Nilai Singular --------------------------------------------------- MASUKKAN  MATRIKS  A: [complex(0,1)
complex(0,1);1 0;0 1] A = 0 + 1.0000i        0 + 1.0000i 1.0000                0 0 1.0000

## Menyusun Matriks V
V = -0.7071    0.7071 0.7071    0.7071 Menyusun Matriks Sigma sig = 1.0000         0
0 1.7321
Matriks U :
U = 0 0 + 0.8165i
-0.7071             0.4082 0.7071             0.4082 Invers Moore-Penrose dari Matriks A yaitu :
MP = 0 - 0.3333i   0.6667 -0.3333 0 - 0.3333i -0.3333             0.6667
Berikut  adalah  script program  matlab  yang digunakan  dalam  menentukan  invers  Moore- Penrose  menggunakan  metode  Dekomposisi Nilai Singular :
clc clear disp( 'Menentukan Invers Moore-Penrose dengan Menggunakan Metode Dekomposisi Nilai Singular' ) disp( '------------------------' )
A=input( 'MASUKKAN MATRIKS A: ' )
[b,k]=size(A); AT=A'; ATA=AT*A; if det(ATA)==0 ATA=AT*A disp( 'Determinan Matriks ATA' ) det(ATA) disp( 'Matriks yang diinput adalah matriks singular' ) else if k==3 disp( 'Transpose dari matriks A yaitu :' ) AT=A' disp( 'Hasil perkalian dari matriks ATA :' ) ATA=AT*A [x D]=eig(ATA); disp( 'Nilai Eigen dari Matriks ATA : ' )
eig(ATA) disp( 'Vektor Eigen dari Matriks ATA : ' ) x disp( 'Menyusun Matriks V ' ) x1=x(:,1) px1=norm(x1) Vx1=(1/px1)*x1 %menormalisasikan vektor eigen x2=x(:,2) px2=norm(x2) Vx2=(1/px2)*x2 x3=x(:,3) px3=norm(x3) Vx3=(1/px3)*x3 V=[Vx1 Vx2 Vx3] Vt=V' %Menentukan nilai singular Matriks A o=diag(D) p=sqrt(D) c=sqrt(o);
[n,m]=size(p); disp( 'Menyusun Matriks Sigma' ) sig=eye(n,n)*p eye(n,n)*p; disp( 'Invers dari Matriks sigma' ) inv(sig)
disp( 'Matriks U' ) c1=c(1,:) c2=c(2,:)
c3=c(3,:) U1=(1/c1)*A*Vx1 U2=(1/c2)*A*Vx2 U3=(1/c3)*A*Vx3
U=[U1 U2 U3] disp( 'Transpos dari matriks U :' ) Ut=U' disp( 'Invers Moore-Penrose dari matriks A yaitu :' ) MP=V*(inv(sig))*Ut else if k==4
Jurnal MSA Vol. 4 No. 1 Ed. Jan-Juni 2016
disp( 'Transpose dari matriks A yaitu :' ) AT=A' disp( 'Hasil perkalian dari matriks ATA:' ) ATA=AT*A [x D]=eig(ATA); disp( 'Nilai Eigen dari Matriks ATA : ' ) eig(ATA) disp( 'Vektor Eigen dari Matriks ATA : ' ) x disp( 'Menyusun Matriks V ' ) x1=x(:,1) px1=norm(x1) Vx1=(1/px1)*x1 %menormalisasikan vektor eigen x2=x(:,2) px2=norm(x2) Vx2=(1/px2)*x2 x3=x(:,3) px3=norm(x3) Vx3=(1/px3)*x3 x4=x(:,4) px4=norm(x4) Vx4=(1/px4)*x4 V=[Vx1 Vx2 Vx3 Vx4] Vt=V' %Menentukan nilai singular dari Matriks A o=diag(D) p=sqrt(D) c=sqrt(o); [n,m]=size(p); disp( 'Menyusun Matriks Sigma' ) sig=eye(n,n)*p eye(n,n)*p; disp( 'Invers dari Matriks sigma' ) inv(sig) disp( 'Matriks U' ) c1=c(1,:) c2=c(2,:)
c3=c(3,:) c4=c(4,:)
U1=(1/c1)*A*Vx1
U2=(1/c2)*A*Vx2 U3=(1/c3)*A*Vx3
U4=(1/c4)*A*Vx4 U=[U1 U2 U3 U4] disp( 'Transpos dari matriks U :' ) Ut=U' disp( 'Invers Moore-Penrose dari matriks A yaitu :' ) MP=V*(inv(sig))*Ut else disp( 'Transpose dari matriks A yaitu :' ) AT=A' disp( 'Hasil perkalian dari matriks ATA :' ) ATA=AT*A [x D]=eig(ATA); disp( 'Nilai Eigen dari Matriks ATA : ' )
eig(ATA) disp( 'Vektor Eigen dari Matriks ATA : ' ) x disp( 'Menyusun Matriks V ' ) x1=x(:,1) px1=norm(x1); Vx1=(1/px1)*x1 %menormalisasikan vektor eigen x2=x(:,2); px2=norm(x2); Vx2=(1/px2)*x2 V=[Vx1 Vx2] Vt=V' %Menentukan nilai singular Matriks A o=diag(D); p=sqrt(D); c=sqrt(o);
[n,m]=size(p); disp( 'Menyusun Matriks Sigma' ) sig=eye(n,n)*p eye(n,n)*p; disp( 'Invers dari Matriks sigma' ) inv(sig) disp( 'Matriks U :' ) c1=c(1,:); c2=c(2,:);
U1=(1/c1)*(A*Vx1) U2=(1/c2)*(A*Vx2)
U=[U1 U2] disp( 'Transpose dari Matriks U' ) Ut=U' disp( 'Invers Moore-Penrose dari Matriks A yaitu :' ) MP=V*(inv(sig))*Ut end end end

## 4. PEMBAHASAN
Dalam penelitian ini, matriks yang diangkat pada contoh  adalah  matriks  berordo  3  x  2  yang diselesaikan dalam dua tahap  yaitu perhitungan secara  manual  dan  dengan  menggunakan program  Matlab.  Namun  sebelumnya,  peneliti membahas  tentang  penyelesaian  umum  invers Moore-Penrose  dengan  menggunakan  metode Dekomposisi  Nilai  Singular  agar  lebih  terarah dalam  menyelesaikan  invers  Moore-Penrose secara manual maupun dalam program Matlab.
Pada  penyelesaian  secara  manual,  penulis terlebih  dahulu  menentukan  matriks  yang  akan dicari  nilai  invers  Moore-Penrosenya  (misalnya matriks A) kemudian menentukan transpose dari matriks A ( A T ). Langkah  selanjutnya  adalah mengalikan  matriks A T dengan  matriks A kemudian  menentukan  nilai  eigen  dan  vektor
eigen dari hasil perkalian matriks A T A . Langkah selanjutnya adalah menentukan matriks  yang elemen-elemen  dari  diagonal  utamanya  adalah nilai  singular  dari  matriks A T A sedangkan elemen-elemen  selain  diagonal  utamanya bernilai  nol.  Langkah  selanjutnya  adalah menyusun  matriks V yang  elemen-elemennya adalah vektor-vektor
eigen
yang dinormalisasikan. Selanjutnya menyusun matriks U yang  elemen-elemennya  adalah  basis ortonormal  dari  matriks.  Karena  matriks  , V , dan U telah  didapatkan,  maka  langkah selanjutnya  adalah  menentukan  dekomposisi nilai  singular  dari  matriks A yaitu U  V T . Dengan demikian, akan lebih mudah menentukan  invers  Moore-Penrose  dari matriks A yaitu A + =V  -1 U T .
Dengan  menggunakan  program  Matlab  seperti pada  script  program  di  atas,  langkah  pertama yang  dilakukan  adalah  menginput  matriks A yang  berukuran  mxn GHQJDQ Q    NHPXGLDQ mengecek  apakah  matriks  yang  diinput  adalah matriks  singular  maka  matriks  tersebut  tidak akan  diproses.  Untuk  matriks  berukuran  m  x  n dengan  m  <  n  determinannya  adalah  nol  dan tidak  memiliki  invers  Moore-Penrose.  Jika matriks yang diinput adalah matriks non singular maka matriks tersebut akan diproses sampai nilai invers Moore-Penrose dari matriks tersebut telah didapatkan.  Pada  penelitian  ini,  nilai  invers Moore-Penrose  dari  hasil  perhitungan  manual sama  dengan  hasil  yang  didapatkan  dengan menggunakan program Matlab. Tetapi, kelebihan  menggunakan  program  Matlab  yaitu waktu  yang  digunakan  untuk  mendapatkan invers  Moore-Penrose  dari  suatu  matriks  akan lebih  sedikit  dibandingkan  perhitungan  secara manual.

## 5. KESIMPULAN
1. Penyelesaian invers Moore-Penrose dengan menggunakan  metode  Dekomposisi  Nilai
Singular  yaitu T U
V A 1 6 dimana
> @ n v v v
V " 1 1 dengan i i i x x v 1 ,
WHUEHQWXNGDULQLODLVLQJXODUPDWULNVGDQ
> @ n u u u U " 2 1 dengan i i i Av u V 1
.  Sehingga jika diberikan  matriks:
ۯ ଷ௫ଶ = ൥ ݅ ݅ 1 0 0 1 ൩
maka  didapatkan  invers  Moore-Penrosenya adalah :
ۯ ଶ௫ଷ ା = ൤ െ݅ /3 1/3 2/3 െ݅ /3 2/3 െ 1/3 ൨
2. Penyelesaian  invers  Moore-Penrose  dari suatu matriks dengan menggunakan program  Matlab.  Program  yang  dibuat sesuai  dengan  langkah-langkah  pada prosedur  penelitian  sehingga  didapatkan invers Moore-Penrose
ۯ ଶ௫ଷ ା = ൤ െ݅ /3 1/3 2/3 െ݅ /3 2/3 െ 1/3 ൨
yang  memiliki  hasil  yang  sama  dengan penyelesaian secara manual. dengan menggunakan program Matlab penyelesaiannya akan  lebih  cepat  walaupun  mariks  yang digunakan berukuran besar. Untuk matriks m x n dengan  m  <  n  tidak  memiliki  invers  Moore- Penrose karena determinannya bernilai nol.

## DAFTAR PUSTAKA
[1] Anton  Howard . Aljabar Linear Elementer Edisi Ketiga. Jakarta: Erlangga, 1991.
[2] ___________. Dasar-Dasar Aljabar Linear Edisi 7 Jilid 1. Batam : Interaksara, 2000.
[3]    Ariyanti, G., Dekomposisi Nilai Singular dan Aplikasinya (Yogyakarta : Universitas Widya Mandala Madiun, 2010), h.35
[4] BSW,  Pudjiastuti. Matriks Teori dan Aplikasi, Yogyakarta : Graha Ilmu, 2006.
[5] Haidir, Irdam  dan  Lucia  Ratnasari.
“Menyelesaikan  Sistem  Persamaan  Linier Menggunakan  Analisis  SVD”, Jurnal Matematika Vol.13 No.1 .  Semarang  :
FMIPA UNDIP, 2010  (21 Mei 2014)
[6] Halim,  Siana. Diktat Aljabar Linear .
Bandung : Teknik Industri UK Petra, 2013.
[7] Leon, Steven  J. Aljabar Linear dan Aplikasinya Edisi Kelima . Jakarta  :
Erlangga, 2001.
[8] Misshobah  Ida. Matriks Invers Moore- penrose dalam Penyelesaian Sistem
Persamaan Linier. Semarang : Universitas Diponegoro, 2008.
[9] Subekti.  B, Perbandingan Metode-metode
Penyelesaian dari Sistem Persamaan Linear yang Singular , https://www.google.com/search?q=jurnal+p erbandingan+metode- metode+penyelesaian+dari+sistem+persam aan+linear+yang+singular  (Diakses  pada tanggal 20 Mei 2014), h.1