J. Math. and Its Appl. ISSN: 1829-605X Vol. 7, No. 2, November 2010, 1–12

## PENYELESAIAN NUMERIK UNTUK MENENTUKAN NILAI OPTIMAL PADA AMERICAN OPTION DENGAN METODE BEDA HINGGA FULLY

## IMPLISIT DAN CRANK-NICOLSON
Lukman Hanafi, Endah Rohmati M.P., G. M. Puspita
Jurusan Matematika FMIPA-ITS Surabaya email: lukman@matematika.its.ac.id

## Abstrak
Option adalah sebuah kontrak keuangan yang memberikan hak kepada pemiliknya untuk membeli atau menjual sejumlah aset dasar dalam jangka waktu tertentu sesuai dengan harga yang disepakati pada saat penandatanganan kontrak option. American option sifat- nya dapat di exercise sewaktu-waktu mulai dari penandatanganan kontrak sampai jatuh tempo. Melakukan exercise pada saat optimal adalah stategi yang dilakukan holder untuk mendapatkan keuntung- an yang maksimal, namun waktu yang tepat untuk mendapatkan hasil yang optimal tersebut belum diketahui (free boundary-value problem). Penentuan harga optimal American option berdasarkan free boundary-value problem dilakukan pendiskritan persamaan Black-Scholes menggunakan metode Beda Hingga Fully Implisit dan Crank-Nicolson. Selanjutnya, kedua penyelesaian tersebut dibandingkan didapat bahwa Metode Beda Hingga Crank-Nicolson lebih baik berdasarkan kestabilan, konvergensi, dan akurasi. Katakunci: American option, persamaan Black-Scholes, metode be- da hingga

## 1. Pendahuluan
Option adalah sebuah kontrak yang memberikan hak (bukan suatu ke- wajiban) kepada pemiliknya (holder) untuk membeli ( call ) atau menjual ( put ) sejumlah aset dasar ( underlying asset ) dalam jangka waktu tertentu
(maturity date/expiration date) sesuai dengan harga yang disepakati pada saat penandatanganan kontrak option ( strike price ) [4].
Dari sifat early exercise , American option memberikan holder hak yang lebih besar dibandingkan dengan European option , sehingga dengan early exercise tersebut American Option menjadi lebih bernilai (valuabl e) dari- pada European option [3], [6]. Atau dapat dinotasikan VPamP = VPeurP artinya nilai dari American option selalu lebih besar atau sama dengan European option [9]. Melakukan exercise pada saat optimal adalah strate- gi yang dilakukan holder untuk mendapatkan keuntungan yang maksimal atau disebut juga strategi optimal exercise. Tentu saja waktu yang tepat untuk mendapatkan hasil yang optimal tersebut belum diketahui karena pada kenyataannya waktu yang optimal untuk meng exercise option ber- dasarkan harga saham yang optimal [8], [12]. Strategi optimal exercise ini termasuk dalam masalah dari free boundary-value problem [11].
Pada paper ini dikaji mengenai penentuan nilai optimal American option berdasarkan harga saham yang optimal yaitu saat harga saham yang dipilih mencapai nilai minimum untuk put option dan harga saham maksimum untuk call option dengan Metode Beda Hingga Fully Implisit dan Crank-Nicolson.

## 2. Persamaan Black-Scholes
Persamaan untuk American option tanpa pembagian dividen diberikan dalam persamaan Black-Scholes berikut [4], [7]:
∂f ∂t + 1 2 σ 2 S 2 ∂ 2 f ∂S 2 + rS ∂f ∂S − rf = 0 (1)
Fungsi payoff untuk American Option diberikan:
( f ( t, S ) > max( X − S, 0) , ∀ S > S f ( t ) f ( t, S ) = max( X − S, 0) , ∀ S ≤ S f ( t ) (2)
f : Nilai option (option value) σ : Volatilitas
S : Harga saham saat waktu t
r : Suku bunga bebas resiko
X : Strike price
Persamaan Black-Scholes dengan waktu exercise option ( T ), dapat dibagi ke dalam N grid dengan panjang interval ∆ t = T N . Total waktu ( T ) jika dilihat ke dalam grid yaitu N + 1 sehingga menjadi 0 , ∆ t, 2∆ t, ..., T Misal S max adalah harga saham yang tertinggi saat di exercise, sehingga berdasarkan fungsi payoff untuk put option menjadi tidak bernilai. Hal tersebut didefinisikan ∆ S = S max M dan dimasukkan ke dalam grid yaitu M + 1 sehingga menjadi: 0 , ∆ S, 2∆ S, ..., S max Jumlah titik-titik pada grid dari harga saham ( S )dan waktu ( t ) adalah ( M + 1)( N + 1) titik. Koordinat titik ( i, j ) pada grid adalah titik yang menghubungkan antara waktu i ∆ t dengan harga saham j ∆ S , sehingga untuk titik ( i, j ) dapat digunakan variabel f i,j .

## 3. Pendiskritan Dengan Metode Fully Implisit
Metode Beda Hingga Fully Implisit adalah metode yang menggunakan pendekatan satu node penuh. Diskritisasi ke dalam bentuk Fully Implisit dilakukan dengan pendekatan beda maju. Pendekatan beda maju di titik ( i + 1 , j ) dan titik ( i, j ) sebagai titik interior, maka untuk Metode Fully Implisit dengan pendekatan maju diperoleh Gambar 1. Variabel-variabel
Gambar 1: Pembagian Grid pada Metode Beda Hingga Fully Implisit Beda Maju
yang akan digunakan dinotasikan sebagai
f ( t, S ) = f ( i ∆ t, j ∆ S ) = f i,j
Dengan mengambil S = j ∆ S dan t = i ∆ t untuk setiap j = 1 , 2 , ..., M − 1 dan i = 0 , 1 , ..., N − 1 maka persamaan (1) akan didapat [1], [10]:
f i +1 ,j − f i,j ∆ t + r j ∆ S f i,j +1 − f i,j − 1 2∆ S + 1 2 σ 2 j 2 (∆ S ) 2 f i,j +1 − 2 f i,j + f i,j − 1 (∆ S ) 2 − r f i,j = 0
Persamaan ini disusun kembali menjadi :
f i +1 ,j = 1 2 r j ∆ t − 1 2 ζ ∆ t f i,j − 1 + [1 + ζ ∆ t + r ∆ t ] f i,j + − 1 2 r j ∆ t − 1 2 ζ ∆ t f i,j +1
dengan
ζ = σ 2 j 2 .
Persamaan ini ditulis
f i +1 ,j = a j f i,j − 1 + b j f i,j + c j f i,j +1 (3)
dengan:
a j = 1 2 r j ∆ t − 1 2 σ 2 j 2 ∆ t b j = 1 + σ 2 j 2 ∆ t + r ∆ t c j = − 1 2 r j ∆ t − 1 2 σ 2 j 2 ∆ t
Untuk setiap j merupakan grid yang membagi sisi S dengan interval [0 , M ] yaitu sebanyak M + 1 dimensi vektor, demikian pula dengan i yang me- rupakan bagian dari grid yang membagi sisi t dengan interval [0 , N ] yaitu sebanyak N + 1 dimensi vektor sehingga persamaan (3) jika ditulis dalam
perkalian matriks :
        1 0 0 · · · 0 a j b j c j · · · 0 0 a j b j · · · 0 .. . .. . . .. .. . 0 0 · · · 0 1                  f N min ,M min − 1 · · · f N max ,M min f N min ,M min f N max ,M min .. . f N min ,M max − 2 .. . .. . f N min ,M max − 1 · · · f N max ,M max          =          f N min +1 ,M min − 1 f N min +2 ,M min − 1 · · · BC f N min +1 ,M min f N min +2 ,M min BC .. . f N min +1 ,M max − 2 .. . .. . f N min +1 ,M max − 1 f N min +2 ,M max · · · f N max ,M max          (4)
Syarat batas atau Boundary Condition (BC) diberikan persamaan (2) adalah :
f N +1 ,j = max[ X − j ∆ S, 0] , untuk setiap j = 0 , 1 , 2 , ..., M
Nilai dari option saat harga saham 0 adalah X , sehingga:
f i, 0 = X, untuk setiap i = 0 , 1 , 2 , ..., M
Untuk S = S max nilai option bernilai 0, sehingga;
f i,M +1 = 0 , untuk setiap j = 0 , 1 , 2 , ..., M
Persamaan (4) diatas dapat ditulis ke dalam persamaan kompak:
Af N,M = f N +1 .M
Sehingga untuk mendapat nilai f N,M maka dapat dicari dengan menda- patkan nilai invers dari A dikalikan dengan f N +1 ,M . Dengan demikian
f N,M = A − 1 f N +1 .M
6 Penyelesaian numerik untuk menentukan nilai optimal pada American Option 4. Pendiskritan Metode Beda Hingga Crank-

## Nicolson
Metode Crank-Nicolson adalah rata-rata dari metode Eksplisit dan meto- de Implisit [2]. Pendekatan yang dilakukan adalah pendekatan beda ma- ju dan pendekatan beda mundur. Titik-titik yang dipakai pada Metode Crank-Nicolson terlihat pada Gambar 2. Metode Crank-Nicolson dengan
Gambar 2: Pembagian Grid pada Metode Beda Hingga Crank-Nicolson pendekatan beda maju diperoleh melalui rata-rata dari metode Implisit dan metode Eksplisit. Persamaan Black-Scholes pada persamaan (1) jika didiskritkan Dengan Metode Crank-Nicolson diperoleh [5] :
( f i +1 ,j − f i,j ) ∆ t + r S 1 2 f i,j +1 − f i,j − 1 2∆ S + 1 2 f i +1 ,j +1 − f i +1 ,j − 1 2∆ S + 1 2 σ 2 S 2 1 2 f i,j +1 − 2 f i,j + f i,j − 1 (∆ S ) 2 + 1 2 f i +1 ,j +1 − 2 f i +1 ,j + f i +1 ,j − 1 (∆ S ) 2 − r 1 2 ( f i +1 ,j + f i,j ) = 0
Karena S = j ∆ S dan t = i ∆ t untuk setiap j = 0 , 1 , 2 , ..., M dan i = 0 , 1 , 2 , ..., N maka didapat:
f i +1 ,j − f i,j = a ∗ j f i,j − 1 + b ∗ j f i,j + c ∗ j f i,j +1 + a ∗ j f i +1 ,j − 1 + b ∗ j f i +1 ,j + c ∗ j f i +1 ,j +1
dengan
a ∗ j = ∆ t 4 σ 2 j 2 − r j b ∗ j = − ∆ t 2 ( σ 2 j 2 + r ) c ∗ j = ∆ t 4 ( σ 2 j 2 + r j )
Persamaan diubah kedalam suku-suku yang bersesuaian, didapat:
a ∗ j f i +1 ,j − 1 +( b ∗ j +1) f i +1 ,j + c ∗ j f i +1 ,j +1 = − a ∗ j f i,j − 1 − ( b ∗ j − 1) f i,j − c ∗ j f i,j +1 (5)
Pendekatan dengan metode Crank-Nicolson :
a ∗ j f i +1 ,j − 1 + ( b ∗ j + 1) f i +1 ,j + c ∗ j f i +1 ,j +1 = g i,j
dengan
g i,j = − a ∗ j f i,j − 1 − ( b ∗ j − 1) f i,j − c ∗ j f i,j +1
Untuk setiap j merupakan grid yang membagi sisi S dengan interval [1 , M + 1] yaitu sebanyak M + 1 dimensi vektor, begitu juga dengan i yang merupakan bagian dari grid yang membagi sisi t dengan interval [1 , N + 1] yaitu sebanyak N + 1 dimensi vektor sehingga persamaan (5) dapat ditulis dalam bentuk perkalian matriks:
        1 0 0 · · · 0 a ∗ j b ∗ j + 1 c ∗ j · · · 0 0 a j b ∗ j + 1 · · · 0 .. . .. . . .. .. . 0 0 · · · 0 1                  f N min ,M min · · · f N max ,M min f N min ,M min +1 f N max ,M min +1 .. . f N min ,M max .. . f N min ,M max · · · f N max ,M max          =         1 0 0 · · · 0 − a ∗ j 1 − b ∗ j − c ∗ j · · · 0 0 − a j 1 − b ∗ j · · · 0 .. . .. . . .. .. .
0 0 · · · 0 1                  f N min − 1 ,M min · · · BC f N min − 1 ,M min +1 BC .. . f N min − 1 ,M max − 1 .. . f N min − 1 ,M max · · · BC          (6)
Persamaan (6) dapat ditulis bentuk ke dalam persamaan kompak :
Cf N +1 ,M = Bf N,M
Sehingga untuk mencari maka dapat dicari dengan mendapatkan nilai invers dari B dikalikan Cf N +1 ,M . Dengan demikian :
f N,M = B − 1 Cf N +1 ,M
8 Penyelesaian numerik untuk menentukan nilai optimal pada American Option
Syarat batas atau Boundary Condition (BC) diberikan persamaan (2) adalah :
f N +1 ,j = max[ X − j ∆ S, 0] , untuk setiap j = 0 , 1 , 2 , ..., M.
Nilai dari option saat harga saham 0 adalah X , sehingga:
f i, 0 = X, i = 0 , 1 , 2 , ..., M.
Untuk S = S max nilai option bernilai 0, sehingga;
f i,M +1 = 0 , i = 0 , 1 , 2 , ..., M.

## 5. Tahap Perbandingan
Nilai optimal yang didapat dengan Metode Fully Implisit dan Crank- Nicolson untuk pembagian grid N = M = 100,200,...,1900,2000 akan di- bandingkan untuk mendapatkan metode mana yang lebih baik.
a. Akurasi dan Konvergensi
Nilai yang dipilih S = 50, X = 55, Smax = 100, T = 5 12 , σ = 0 . 3, r = 10% = 0 . 1, α = ∆ t (∆ S ) 2 dan nilai market untuk American put option didapat 7.0284
Nilai optimal dari Metode Fully Implisit dan Crank-Nicolson dapat dilihat pada Tabel 1.
Terlihat bahwa semakin banyak grid yang dipakai maka semakin kecil error yang terjadi terhadap nilai market untuk American put option sehingga semakin akurat nilai tersebut. Prosentase error dari metode Fully Implisit dengan error rata-rata 6.0188 adalah
ε ∗ 1 = | 7 . 0284 − 6 . 0188 | 7 . 0284 × 100% = 14 . 364578%
Sehingga tingkat akurasi nilai optimal option adalah 85.635422%
Prosentase error dari metode Crank-Nicolson dengan error rata-rata 6.0226
ε ∗ 2 = | 7 . 0284 − 6 . 0226 | 7 . 0284 × 100% = 14 . 31051164%
Tabel 1: Nilai optimal dari Metode Fully Implisit dan Crank-Nicolson Fully Implisit Crank-Nicolson Grid Aprok Error Aprok Error α simasi simasi 100 6.0062 1.0222 6.0148 1.0136 0.0042 200 6.0159 1.0125 6.0205 1.0079 0.0083 300 6.0187 1.0097 6.0218 1.0066 0.0125 400 6.0200 1.0084 6.0224 1.0061 0.0167 500 6.0208 1.0076 6.0227 1.0057 0.0208 600 6.0213 1.0071 6.0229 1.0056 0.0250 700 6.0216 1.0068 6.0230 1.0054 0.0292 800 6.0219 1.0065 6.0231 1.0053 0.0333 900 6.0221 1.0063 6.0232 1.0052 0.0375 1000 6.0222 1.0062 6.0232 1.0052 0.0417 1100 6.0224 1.0060 6.0233 1.0052 0.0458 1200 6.0225 1.0059 6.0233 1.0051 0.0500 1300 6.0226 1.0058 6.0233 1.0050 0.0542 1400 6.0227 1.0057 6.0234 1.0050 0.0583 1500 6.0227 1.0056 6.0234 1.0050 0.0604 1600 6.0228 1.0056 6.0234 1.0050 0.0625 1700 6.0229 1.0055 6.0234 1.0050 0.0708 1800 6.0229 1.0055 6.0234 1.0050 0.0750 1900 6.023 1.0054 6.0235 1.0049 0.0768 2000 6.023 1.0054 6.0235 1.0049 0.0773
Sehingga tingkat akurasi nilai optimal option adalah 85.6894883% Pada Gambar 3 perubahan nilai aproksimasi semakin konvergen menuju nilai Black-Scholes. Namun terdapat perbedaan pada Metode Fully Implisit dan Crank-Nicolson. Metode Fully Implisit konvergen pada titik 6.023 dan Metode Crank-Nicolson konvergen pada titik 6.0235. Jadi dapat disimpulkan bahwa dari perbandingan Akurasi dan Konvergensi Meto- de Crank-Nicolson lebih baik dibanding Metode Fully Implisit dalam penyelesaian persamaan Black-Scholes

## b. Stabilitas
Untuk setiap α = ∆ t (∆ S ) 2 semakin besar ∆ S maka semakin kecil nilai α , dan juga berlaku sebaliknya semakin kecil. ∆ S maka semakin besar nilai α untuk 0 < α ≤ 1. Terlihat pada Gambar 4 bahwa perubahan nilai α terhadap nilai error dimana grafik Fully Implisit terletak di atas grafik Crank-Nicolson, sehingga dapat disimpulkan bahwa nilai Aprok- simasi Metode Beda Hingga Fully Implisit dan Crank-Nicolson stabil. Metode Crank-Nicolson memiliki nilai α yang lebih kecil dibandingkan dengan Metode Fully Implisit pada grid yang sama. Sehingga dapat disimpulkan bahwa Metode Crank-Nicolson memiliki kestabilan yang lebih baik dibanding dengan Metode Fully Implisit.
Gambar 3: Nilai Apoximasi Metode Beda Hingga

## 6. Kesimpulan
Penentuan nilai optimal American put option dilakukan melalui pendiskritan pada persamaan Black-Scholes dengan Metode Fully Implisit dan Metode Crank-Nicolson didapat persamaan diskrit: a. Metode Fully Implisit
f i +1 ,j = a j f i,j − 1 + b j f i,j + c j f i,j +1
Gambar 4: Grafik Nilai Alpha Terhadap Error Sebenarnya
dengan :
a j = 1 2 r j ∆ t − 1 2 σ 2 j 2 ∆ t b j = 1 + σ 2 j 2 ∆ t + r ∆ t c j = − 1 2 r j ∆ t − 1 2 σ 2 j 2 ∆ t
b. Metode Crank-Nicolson
a ∗ j f i +1 ,j − 1 + ( b ∗ j + 1) f i +1 ,j + c ∗ j f i +1 ,j +1 = − a ∗ j f i,j − 1 − ( b ∗ j − 1) f i,j − c ∗ j f i,j +1
dengan :
a ∗ j = ∆ t 4 σ 2 j 2 − rj b ∗ j = − ∆ t 2 ( σ 2 j 2 + r ) c ∗ j = ∆ t
4 ( σ 2 j 2 + rj )
Untuk harga saham saat itu S = 50 harga saham max ( S max ) = 100, strike price ( X ) = 55, volat ( σ ) = 0.3, suku bunga ( r )=10% atau 0.1, pembagian grid untuk N diambil sama dengan M yaitu 100,200,. . . ,1900,2000 didapat nilai optimal untuk Metode Fully Implisit adalah 6.023 dan untuk metode Crank-Nicolson adalah 6.0235.
Nilai optimal tersebut menunjukkan bahwa harga saham yang tepat untuk melakukan exercise option adalah saat harga saham berubah menjadi S + ∆ S M +1 untuk pembagian N = M genap dan S + ∆ S M untuk pembagian N = M ganjil.
Metode Crank-Nicolson lebih baik dibandingkan Metode Fully Implisit, karena dengan pembagian grid yang sama Metode Crank-Nicolson memiliki
nilai aproksimasi yang lebih mendekati nilai sebenarnya dibanding Metode Fully Implisit.

## Pustaka
[1] Basaruddin, T., Metode Beda Hingga untuk Persamaan Differensial , Jakarta: Elex Media Komputindo, 1994.
[2] Brandimarte, Paolo, Numerical Methods in Finance , A Wiley- Interscience Publication, USA, 2002.
[3] Dewinne, J., Howison, S., Willmot. P, The Mathematics of Financial Derivatives , Cambridge University Press, Australia, 1995.
[4] Hull, John C., Option Future and Other Derivatives , Prentice Hall, New Jersey, 2002.
[5] Kerman, J, Numerical Methods for Option Pricing: Binomial and Finite-Difference Aproximaion , New York University, USA, 2002.
[6] Kusumaningtyas, K, Estimasi Harga American Put Option Tanpa Di- viden Menggunakan Metode Binomial , Skripsi ITS, Surabaya, 2007.
[7] Salim, Lani, Derivatif : Option & Warrant , Elex Media Komputin- do, Jakarta, 2003
[8] Sembel, Roy & Fardiansyah, Tedy, Sekuritas Derivatif : madu atau racun? , Salemba Empat, Jakarta, 2002.
[9] Seydel, R, Tools of Computation Finance , Springer, Jerman, 2002.
[10] Smith, G.D., Numerical Solution of Partial Differential Equation: Finite Difference Methods , Oxford University Press, New York, USA, 1985.
[11] Sukha, S, Advance Mathematics of Finance Honour Projects Finite- Difference Methods for Pricing the American Put Option , 2001.
[12] www.finance.yahoo.com/q/op?s=JPM&m=2008-02U, diakses pada tanggal 04 Februari 2008 pukul 09.45
J. Math. and Its Appl. ISSN: 1829-605X Vol. 7, No. 2, November 2010, 13–25

## PENGKLASTERAN PASIEN KANKER LEUKEMIA BERDASARKAN DATA EKSPRESI GEN DENGAN MENGGUNAKAN DEKOMPOSISI NILAI SINGULAR
Evi Noviani 1 , Yoga Satria Putra 2
1 Jurusan Matematika, 2 Jurusan Fisika FMIPA Universitas Tanjungpura Kalimantan
1 evi − noviani@mipa.untan.ac.id

## Abstrak
Informasi yang terkandung di dalam rangkaian molekular Deo- xyribonucleic acid (DNA) makhluk hidup dapat diketahui melalui teknologi microarray. Data microarray menyajikan data tingkat ekspresi gen yang umumnya berukuran besar. Satu sampel pada data microarray bisa memiliki ribuan atau puluhan ribu gen. Pada penelitian ini diolah data pasien kanker darah (leukemia) yang berukuran 500032dengan entri tak negatif. Data microarray pasien leukemia dapat diolah dengan menggunakan Dekomposisi Nilai Singular sedemikian sehingga sampel yang memiliki sifat yang sama dikelompokkan dalam satu kelompok. Dekomposisi Nilai Singular digunakan untuk mengelompokkan data dengan dua macam keragaman (bi-clustering), yaitu menggunakan nilai vektor singular kedua dan ketiga. Dari implementasi pada data, pasien kanker dapat dikelompokkan menjadi penyakit AML, dan ALL beserta sub tipe penyakit ALL, yakni ALL-T dan ALL-B. Katakunci: Data microarray , leukemia, bi-clustering , dekomposisi nilai singular.

## 1. Pendahuluan
Setiap makhluk hidup, termasuk manusia, tersusun atas unit kerja terke- cil yang dinamakan sel. Setiap sel yang menyusun tubuh makhluk hidup melakukan berbagai macam pekerjaan seperti metabolisme, perbanyakan diri dan lain-lain, sesuai fungsi selnya secara teratur, sehingga makhluk hidup tersebut dapat melakukan berbagai macam aktifitas. Berbagai akti- fitas yang dilakukan sel telah terkodekan dalam rangkaian kode informasi genetik yang terdapat dalam rantai panjang Deoxyribonucleic acid (DNA). Kode informasi genetik ini mengandung bagaimana ciri-ciri, sifat, dan se- mua informasi lengkap tentang makhluk hidup tersebut. Pada organisme eukariotik, organisme yang memiliki membran inti sel, rangkaian DNA ini terdapat dalam inti sel.
Rangkaian informasi genetik dalam DNA pada akhirnya merupakan in- truksi untuk membentuk protein tertentu. Dari perkembangan ilmu biologi dalam bidang molekuler yang semakin pesat, terdapat teknologi microar- ray yang dapat menyajikan data tingkat ekspresi gen yang dapat mengukur proses pembentukan protein ini. Satu sampel pada microarray bisa memi- liki ribuan atau ratusan ribu gen. Sampel ini bisa berupa banyaknya orang atau organisme yang diteliti pada jaringan tertentu, atau bisa juga dari data seorang atau satu organisme saja yang diambil pada waktu yang ber- beda. Sehingga data ekspresi gen yang didapatkan berupa matriks ukuran besar dengan entri dari matriks yang menunjukkan level ekspresi dari gen pada suatu sampel.
Dari data microarray ini perlu dianalisis sehingga dapat diketahui in- formasi yang terkandung di dalamnya. Salah satu informasi yang bisa dida- patkan adalah pengelompokkan gen atau sampel. Sampel yang mempunyai sifat yang hampir sama digolongkan dalam kelompok yang sama dan yang memiliki sifat berbeda dalam kelas yang berbeda. Proses pengelompokan ini dikenal dengan nama pengklasteran. Pengelompokan tipe-tipe kanker pada pasien sangat diperlukan sebagai pendukung diagnosa sehingga pe- nanganannya menjadi tepat. Terdapat jenis kanker dengan ciri fisik yang sama tetapi jenisnya berbeda. Jika terdapat kekeliruan dalam diagnosa maka akan memperparah kondisi pasien. Salah satu metoda yang dapat dipakai untuk mengklasterkan data adalah menggunakan dekomposisi nilai singular yang merupakan metoda yang dipakai pada penelitian ini.

## 2. Landasan Teori
Deoxyribonucleic acid (DNA) merupakan pembawa informasi utama pada sebuah sel [1]. Rangkaian instruksi yang tersimpan dalam DNA mengatur aktifitas sel seperti metabolisme dan pembelahan sel. DNA ini tersusun dari molekul kecil bernama nukleotida. Terdapat empat nukleotida berbe- da yang digolongkan ke dalam dua grup, yakni purin , terdiri dari adenosine dan guanine , serta pyrimidin terdiri dari cytosine dan thymin . Keempat nu- kleotida ini dinotasikan secara berurutan dengan A, G, C dan T . Kemudian nukleotida ini membentuk rangkaian DNA yang panjang dan membentuk struktur double helix .
Rangkaian DNA ini memiliki kode-kode yang merepresentasikan ciri fi- sik makhluk hidup, cara bekerja sel dan lain-lain. Kerja sel dapat dilihat dari protein yang dihasilkan dari kombinasi DNA ini. DNA akan meng- alami transkripsi menjadi RNA ( Ribo-nucleic acid ), yaitu rangkaian nu- kleotida seperti halnya DNA, namun nukleotida Thymine diganti dengan Uracil (U). Pada proses transkripsi, molekul DNA pada salah satu be- nang disalin menjadi pre mRNA. Proses selanjutnya adalah splicing , yaitu membuang potongan rangkaian DNA introns dan menyambung rangkaian yang akan dikodekan yakni exons menjadi satu rangkaian mRNA. Selanjut- nya dilakukan proses translasi, mRNA menuju ke ribosom yang merupakan tempat translasi. mRNA ini terbaca oleh ribosom sebagai triplet codons. Rangkaian tiga nukleotida pada DNA mengkodekan asam amino. Pada proses translasi dibentuk protein dengan menyatukan asam amino yang terkodekan pada mRNA. Protein yang dihasilkan inilah yang dapat melak- sanakan fungsi yang dibutuhkan oleh sel tubuh.
Central dogma of molecular biology menyebutkan bahwa informasi tidak dapat ditransfer kembali dari protein kepada protein yang lain atau kepa- da asam amino. Hal ini berarti satu rangkaian DNA akan mengkodekan ekspresi gen yang menghasilkan suatu jenis protein yang unik.
Seiring perkembangan teknologi, telah ditemukan metode untuk mene- mukan urutan rangkaian DNA secara lengkap pada suatu makhluk hidup. Selanjutnya, perkembangan teknologi juga berhasil menemukan teknologi cDNA dan microarray yang dapat mengukur tingkat ekspresi gen dari pu- luhan ribu gen secara parallel dan menghasilkan data yang sangat besar dan berharga [2]. Ekspresi gen muncul ketika informasi molekuler tertentu

## Pengklasteran pasien kanker leukemia berdasarkan data ekspresi gen
yang mengandung DNA direkam untuk menampilkan RNA-nya. Molekul inilah yang membuat protein untuk melakukan berbagai fungsi sel. Me- nurut Central dogma of molecular biology , setiap gen akan menghasilkan satu mRNA yang kemudian menghasilkan satu protein, maka level ekspresi gen satu gen dengan gen yang lain akan berbeda-beda. Teknologi micro- array dapat mengukur ekspresi gen dalam jumlah besar secara simultan. Fragmen DNA ditempatkan dalam slide, lalu RNA yang telah diekstrak dari jaringan dan diberi label fluorescent , akan menyebar dalam microar- ray. Selanjutnya mengubah scan data image menjadi bentuk ekspresi gen. Seperti yang diilustrasikan [3], contoh membuat data microarray dari or- ganisme ragi ( yeast ) dan [6] yang menjelaskan prosedur pembuatan data microarray .
Data mentah pada eksperimen microarray berbentuk gambar. Untuk mendapatkan data mengenai tingkat ekspresi gen, gambar tersebut ha- rus dianalisa. Masing-masing titik diidentifikasi, diukur intensitasnya dan dibandingkan dengan latar belakangnya. Data tersebut kemudian dimasukkan kedalam sebuah hasil akhir berupa matriks ekspresi gen. Ma- triks inilah yang nantinya dianalisa untuk proses lebih lanjut. Pada matriks ini, baris merepresentasikan gen, dan kolom merepresentasikan berbagai macam sampel. Angka pada baris dan kolom yang bersesuaian merepre- sentasikan tingkat ekspresi gen tertentu pada sampel tertentu.
Data ekspresi gen disajikan dalam matriks W M × N dengan N merupakan banyaknya sampel, sedangkan M adalah banyaknya gen yang diteliti. Entri dari matriks W yaitu W ij merupakan level ekspresi dari gen i pada sampel j . Nilai W ij yang lebih besar diantara yang lain mengandung arti level aktifitasnya lebih besar dari yang lain.
Pada penelitian ini digunakan metode Dekomposisi Nilai Singular.
Teorema 2.1 (Dekomposisi nilai singular) Misalkan A ∈ R ( m × n ) maka terdapat matriks orthogonal U = [ u 1 , ..., u m ] ∈ R m × m , V = [ v 1 , ..., v n ] ∈ R n × n dan matriks diagonal Σ 1 ∈ R r × r dengan r ≤ min { m, n } , sedemikian sehingga
A = U Σ V T
Dengan Σ berukuran m × n yang mempunyai bentuk
Σ 1 0 0 0 !
Vektor-vektor kolom pada U disebut vektor singular kiri dan vektor-vektor kolom pada V disebut vektor singular kanan.
Pada penelitian ini dikelompokkan data pasien kanker darah (leukemia) [4]. Leukemia adalah penyakit yang ditandai oleh adanya akumulasi leukosit ganas dalam sumsum tulang dan darah. Sel- sel abnormal ini menyebabkan timbulnya gejala karena :
Kegagalan sumsum tulang (anemia, netropenia, trombositopenia) dan
Infiltrasi organ ( hati, limpa, kelenjar getah bening).
Secara tradisional Leukemia diklasifikasikan berdasarkan tipe sel yang ter- lihat dan bentuk maturasi sel Leukemia, yaitu:
a. Leukemia akut [8]
Leukemia akut merupakan suatu penyakit yang serius, berkembang dengan cepat, dan apabila tidak diterapi dapat menyebabkan kematian dalam beberapa minggu atau bulan. Leukemia akut dapat mempengaruhi jalan perkembangan sel limfoid akut atau jalur perkembangan sel mieolid akut [7]. Leukemia akut dapat dibagi menjadi:
1. Leukemia Limfositik Akut (LLA)
LLA adalah keganasan klonal dari sel-sel precursor limfoid. Lebih dari 80% kasus, sel-sel ganas berasal dari limfosit B dan sisanya merupakan Leukemia sel T . LLA terjadi pada 80% kasus Leukemia akut anak-anak. Insidensi puncak LLA adalah pada umur 3-7 tahun. LLA juga dapat tam- pak pada orang dewasa, menyebabkan 20% Leukemia akut dewasa. Tanpa pengobatan rata-rata hidup penderita LLA 3-6 bulan. Dengan pengobat- an, 50% penderita LLA yang berumur antara 2-10 tahun rata-rata hidup 2-10 tahun.
2. Leukemia Granulostik/Mielositik Akut (LGA/LMA)

## Pengklasteran pasien kanker leukemia berdasarkan data ekspresi gen
LGA/LMA adalah suatu penyakit yang ditandai dengan transformasi neo- plastik dan gangguan differensiasi sel-sel progenitor dari sel myeloid. Pada LGA/LMA terjadi proliferasi dari salah satu unsur sel yang memproduk- si sel darah yang ganas. Sel yang ganas tersebut menginfiltrasi sumsum tulang dengan menyebabkan kegagalan fungsi tulang normal dalam proses hematopoetik normal. Dengan pengobatan angka remisi (waktu berku- rangnya gejala penyakit) penderita LGA/LMA mencapai 50- 75%, tetapi angka rata-rata hidup masih 2 tahun dan yang dapat hidup lebih dari 5 tahun hanya 10%. Pada saat ini 50% anak-anak dan kira-kira 35% orang dewasa muda disembuhkan dengan kemoterapi intensif. Jika tidak ada pe- ngobatan, penderita LGA/LMA meninggal kira-kira 3-6 bulan.
b. Leukimia kronik [5]
Leukemia kronik ditandai dengan keberadaan jumlah leukosit darah tepi yang sangat tinggi. Sel-sel ini adalah sel matur. Leukemia kronik biasanya memiliki awitan samar dan perkembangannya yang lambat. Sebagian pa- sien mengalami perkembangan yang lambat dan pembesaran organ yang infiltrasi oleh sel-sel Leukemia.

## 3. Penjelasan metodologi riset
Data ekspresi gen dari data kanker leukemia dinyatakan dalam matriks W M N dengan entri w ij ≥ 0 yang merepresentasikan aktifitas gen ke- i pada sampel ke- j . Data ekspresi gen ini dapat dinyatakan menjadi graf bipar- tite terboboti tak negatif [6]. Titik dapat dikelompokkan ke dalam dua grup, yakni gen dan sampel, dan sisi terboboti antara keduanya ada ji- ka pasangan titik terdapat pada grup yang berbeda (grup gen dan grup sampel). Grup gen dibagi menjadi beberapa kelompok, misalkan A, B, C, . Grup sampel juga dibagi menjadi beberapa kelompok, misalkan ˆ A, ˆ B, ˆ C , .... Gen di grup A cenderung aktif di sampel ˆ A dan tidak aktif di sampel lain. Demikian juga gen di grup B aktif di grup ˆ B dan tidak aktif di grup lain. Secara biologi, gen yang bersama dilibatkan pada fungsi tertentu ak- an aktif pada himpunan sampel tertentu yang memiliki kesamaan, sebagai contoh memiliki kesamaan penyakit tertentu.
Misalkan p ∈ R M dan q ∈ R N secara berturut-turut merupakan vektor indikator apakah suatu gen dan suatu sampel dikelompokkan pada grup
tertentu. Sampel/gen akan digolongkan menjadi kelompok-kelompok se- demikian sehingga jumlah w ij terboboti yang tidak matching antara gen dan sampelnya menjadi minimum. Sehingga objektifnya adalah akan dicari p i dan q j yang meminimumkan resiko ketidaktepatan menempatkan gen i dan sampel j pada grup tertentu. Sehingga masalah pengklasteran dapat didekati dengan masalah minimisasi sebagai berikut:
min M X i =1 N X j =1 ( p i − q j ) 2 w ij (1)
Kemudian dihitung jumlah total ekspresi bobot untuk setiap sampel dari gen tertentu, sebagai contoh gen i , dinotasikan d gen ( i ) = N P k =1 w ik , dan jumlah total ekspresi bobot untuk setiap gen dari sampel tertentu, sebagai contoh sampel j , dinotasikan d sampel ( j ) = N P k =1 w kj . Dalam bentuk matriks W M × N , d gen ( i ) adalah jumlah elemen dari baris i dan d sampel ( j ) adalah jumlah elemen dari kolom ke- j . Dari masing-masing jumlah total elemen baris, dibentuk vektor d gen berukuran M dan vektor d sampel berukuran N yang dibentuk dari masing-masing jumlah total elemen kolom. Dari vektor ini dibentuk matriks diagonal dengan elemen diagonal adalah elemen dari d gen dan d sampel .
D gen = diag ( d gen ) ∈ R M × M dan D sampel = diag ( d sampel ) ∈ R N × N
dengan asumsi D gen dan D sampel matriks nonsingular.
Dengan notasi tersebut, masalah minimisasi (1) dapat ditulis
min p T D gen p + q T D sampel q − 2 p T W q
Sehingga dapat dinyatakan dalam masalah maksimisasi:
max p T W q
Supaya gen dan sampel tidak hanya digolongkan ke dalam satu kelom- pok saja dan level ekspresi terbagi seimbang, maka ditambahkan kendala sebagai berikut:
M X i =1 p i d gen ( i ) ≈ 0 dan N X j =1 q j d sampel ( j ) ≈ 0

## Pengklasteran pasien kanker leukemia berdasarkan data ekspresi gen
Pada penelitian ini ditulis dalam bentuk perkalian vektor:
p T d gen = q T d sampel = 0
Untuk menghindari solusi trivial p = 0 dan q = 0, ditambahkan kendala normalisasi:
M X i =1 p 2 i d gen ( i ) = 1 dan N X i =1 q 2 i d sampel ( j ) = 1 (2)
Persamaan (2) merupakan kendala dimana jika terdapat d gen ( i ) dan d sampel ( j ) yang relatif besar (over expressed) maka akan menghasilkan p i dan q j yang relatif kecil,mendekati nol. Persamaan (2) dapat ditulis:
p T D gen p = 1 (3)
q T D sampel q = 1 (4)
Misalkan dinotasikan D 1 2 gen adalah matriks diagonal dengan elemen diago- nal p d gen ( i ) dan D 1 2 sampel adalah matriks diagonal dengan elemen diagonal p d sampel ( j ) . Maka persamaan (3) dan (4) dapat ditulis
k D 1 2 gen p k 2 = 1 k D 1 2 sampel q k 2 = 1
Sehingga masalah yang akan diselesaikan adalah berupa maksimisasi seba- gai berikut:
max { p T W q : p ∈ R M , q ∈ R N , p T d gen = q T d sampel = 0 , k D 1 2 gen p k 2 = k D 1 2 sampel q k 2 = 1 }
Untuk implementasi pada data, akan dilihat bagaimana SVD dapat menge- lompokkan data microarray . Data microarray yang digunakan disini adalah data pasien Leukemia yang digunakan oleh [4] dimana akan dikelompokkan pasien yang termasuk acute lymphoblastic leukemia/leukemia limfositik akut (ALL) dan acute myeloid leukemia/leukemia mielositik akut (AML). Untuk kepentingan implementasi program, pada penelitian ini digunakan program matlab sehingga data dapat dibaca dengan lebih mudah melalui visualisasi.

## 4. Hasil diskusi
Untuk aplikasi algoritma, digunakan data microarray yang dipublikasikan pada [4]. Data terdiri dari 38 data gen pada jaringan tulang belakang pa- sien dengan ekspresi gen sebanyak 5000 gen. Dua puluh tujuh didiagnosa menderita acute lymphoblastic leukemia (ALL) dan 11 lainnya didiagnosa menderita acute myeloid leukemia (AML). Berikut daftar pasien berdasar- kan data pada [4]:
Tabel 1: Diagnosa penyakit pada 38 pasien NS Diagnosa NS Diagnosa NS Diagnosa NS Diagnosa 1 ALL B 11 ALL B 21 ALL T 31 AM L 2 ALL B 12 ALL B 22 ALL T 32 AM L 3 ALL B 13 ALL B 23 ALL T 33 AM L 4 ALL B 14 ALL B 24 ALL T 34 AM L 5 ALL B 15 ALL B 25 ALL T 35 AM L 6 ALL B 16 ALL B 26 ALL T 36 AM L 7 ALL B 17 ALL B 27 ALL T 37 AM L 8 ALL B 18 ALL B 28 AM L 38 AM L 9 ALL B 19 ALL B 29 AM L 10 ALL B 20 ALL T 30 AM L
NS: Nomor sampel.
Dari data awal, pertama kolom data diacak dengan tetap mengingat nomor sampel awal. Berikut penomoran baru yang digunakan:
Tabel 2: Diagnosa penyakit pada 38 pasien NS 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 NB 38 10 23 20 32 27 18 3 30 16 24 28 35 NS 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 NB 25 6 13 37 34 14 33 4 12 29 1 5 9
NS 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38
NB 7 22 11 8 2 26 17 36 19 15 31 21
NS: Nomor sampel, NB: Nomor baru.

## Pengklasteran pasien kanker leukemia berdasarkan data ekspresi gen
Berikut pada Gambar 1(a) diplot nilai D − 1 2 sampel v (2) dengan v (2) merupakan vektor singular kanan kedua dari matriks D − 1 2 gen W D − 1 2 sampel setelah diurutk- an dari yang terkecil ke yang terbesar. Angka yang terletak di atas titik (*) menunjukkan nomor sampel baru hasil pengacakan. Dari gambar ter- sebut dapat terlihat adanya dua pengelompokkan sampel, yakni yang me- miliki nilai vektor singular kanan yang positif dan negatif. Nomor sam- pel { 8 , 2 , 21 , 19 , 36 , 26 , 22 , 17 , 15 , 31 , 27 , 37 , 11 } memiliki nilai singular vek- tor kanan yang kedua yang negatif. Hal ini bersesuaian dengan nomor sampel yang didiagnosa memiliki penyakit AML(lihat tabel 1 dan 2), ke- cuali nomor sampel 27 dan 37, yang bersesuaian dengan nomor sampel awal 6 dan 17 sebelumnya didiagnosa memiliki penyakit ALL-B. Ketidak- sesuaian ini bisa disebabkan karena ketidakkonsistenan data, seperti pem- bulatan atau pada saat pemilihan gen pada data yang tidak melibatkan semua gen (dalam contoh ini hanya 5000 gen). Ketidaksesuaian ini ju- ga bisa disebabkan kesalahan pada diagnosa sehingga diperlukan metode lebih lanjut untuk menelitinya. Sedangkan sisanya memiliki nilai vektor singular kanan kedua yang positif. Hal ini bersesuaian dengan nomor sam- pel yang didiagnosa memiliki penyakit ALL. Dari Gambar 1(a) ini terlihat bahwa vektor singular kanan kedua dapat mengelompokkan pasien dengan diagnosa penyakit AML dan ALL. Berikut pada Gambar 1(b) diplot nilai D − 1 2 sampel v (3) dengan v (3) merupakan vektor singular kanan ketiga dari ma- triks D − 1 2 gen W D − 1 2 sampel setelah diurutkan dari yang terkecil ke yang terbesar.
Dari Gambar 1(b) dapat terlihat adanya pengelompokan sampel. Sam- pel dengan nomor 12, 7, 4, 29, 1, 5, 9, dan 33 tergolong kedalam satu kelompok yang sama, sebut sebagai kelompok A dan nomor sampel yang lain (8, 19, 15, 16, 22, 2, 26, 31, 36, 21, 11, 17, 27, 20, 14, 10, 23, 37, 30, 32, 13, 25, 24, 6, 38, 3, 34, 18, 28 dan 36) ke dalam kelompok lain, sebut kelompok B. Sampel yang termasuk kelompok A bersesuaian dengan sampel yang didiagnosa memiliki penyakit ALL-T, sedangkan sampel yang termasuk kelompok B didiagnosa memiliki penyakit ALL-B atau memiliki penyakit AML (lihat Tabel 1 dan 2). Dari gambar ini dapat terlihat bahwa nilai vektor singular kanan ketiga dapat mengelompokkan secara nyata sub penyakit ALL, yakni ALL-T dari ALL-B dan AML. Jika diplot antara nilai
Gambar 1: Nilai dari vektor singular kanan kedua (a) dan ketiga (b) setelah pengurutan
Gambar 2: Pengelompokan sampel berdasarkan vektor singular kanan ke- dua dan ketiga
vektor singular kanan kedua dan ketiga maka akan menghasilkan pengelom- pokan seperti pada Gambar 2. Pada gambar tersebut dapat terlihat adanya pengelompokan sampel pasien menjadi tiga kelompok. Pada perhitungan ini, nilai singular kesatu sampai keempat yang didapatkan secara berturut- turut adalah 1, 0.38, 0.296 dan 0.234. Adapun persentase kontribusinya jika digunakan singular kedua dan ketiga adalah 13.7. Dengan nilai kon- tribusi tersebut dapat dikelompokkan data sampel dengan penyakit AML, dan ALL beserta sub tipe penyakit ALL, yakni ALL-T dan ALL-B meski

## Pengklasteran pasien kanker leukemia berdasarkan data ekspresi gen
pengelompokkannya tidak secara nyata, yakni jarak antar kelompok tidak terpisah jauh.

## 5. Penutup
Berdasarkan hasil dan pembahasan yang telah dijelaskan sebelumnya, ma- ka dapat diambil beberapa kesimpulan bahwa dekomposisi nilai singular dapat digunakan untuk mengelompokkan data dengan ukuran relatif besar dalam hal ini data pasien kanker leukemia. Data microarray dengan en- tri seluruhnya tak negatif dapat dikelompokkan dengan menggunakan nilai singular kedua sebagai hasil dekomposisi nilai singular yang diterapkan pa- da data dengan menggunakan normalisasi terlebih dahulu. Dan untuk ke- pentingan visualisasi dapat disertakan juga nilai vektor singular berikutnya ( kedua atau ketiga). Dari implementasi pada data, pasien kanker dapat dikelompokkan menjadi penyakit AML, dan ALL beserta sub tipe penyakit ALL, yakni ALL-T dan ALL-B.

## Pustaka
[1] Brazma, Alvis, Helen P., Thomas S., Mohammadreza S. ,
A quick introduction to elements of biology - cells, molecules, genes, functional genomics, microarray s , European Bioinformatics Institu- te, on-line tutorial di www.ebi.ac.uk/microarray/biology intro.html, 2001.
[2] Brazma, Alvis. and Jaak Vilo , Gene Expression Data Analysis , Federation of European Biochemical Scieties:480. p. 17-24, 2000.
[3] Brown, Patrick O. and David Botsteins , . Exploring the new world of the genome with DNA microarrays , Nature genetics supple- ment: 21, p. 33-37, 1999.
[4] Brunet, JP., Pablo Tamayo, T.R. Golub, and J.P. Me- sirov , Metagenes and Molecular Pattern Discovery Using Matrix
Factorization ., Procidings of The National Academy of Sciences: 101. p. 4164-4169, 2004
[5] Chandrasoma, P, Taylor, Clive R. , Ringkasan Patologi Anatomi , Edisi ke-2. Jakarta:EGC, 2005.
[6] Cheung, Vivian G , Michael Morley, Francisco Aguilar, Aldo Massimi,Raju Kucherlapati and Geoffrey Childs , Ma- king and reading microarrays , Nature genetics supplement: 21, p. 15-
19, 1999
[7] Rahmalia, A, Novianti R. , At a Glance Medicine , Jakarta: Erlangga., 2006.
[8] Setiawan, L , Kapita Selekta Hematologi , Edisi Keempat. Jakarta: EGC, 2005.
J. Math. and Its Appl. ISSN: 1829-605X Vol. 7, No. 2, November 2010, 27–40

## ESTIMASI MODEL EKSPONENSIAL LIFETIME

## DENGAN DOUBLE CENSORING
Farida Agustini W. 1 , Thathit Purwaningtyas 2
Jurusan Matematika, FMIPA ITS Surabaya
1 farida sahlan@yahoo.com, 2 thathit@sss sub.sig.co.id

## Abstrak
Analisis lifetime merupakan analisis statistik yang memodelkan lama waktu sampai terjadinya suatu kejadian. Penelitian ini meng- gunakan Distribusi Eksponensial untuk mengestimasi data lifetime dengan double censoring dan menggunakan metode Bayesian yang berdasarkan distribusi prior gamma. Informasi sampel (distribusi prior) tersebut dikombinasikan dengan fungsi likelihood untuk mendapatkan distribusi posterior, sehingga didapatkan estimator dari µ yaitu µ dan interval kepercayaan (1 − α ) 100% untuk µ , yaitu: P ( c 1 ≤ µ ≤ c 2 | x ) = 1 − α dimana penentuan nilai ( c 1 , c 2 ) didapatkan dengan pendekatan numerik dengan bantuan Matlab 7.0 pada penerapan kasus.
Katakunci: Distribusi eksponensial, double censoring, metode bayes- ian, distribusi posterior

## 1. Pendahuluan
Pengamatan data lifetime berguna dalam melakukan pengujian daya tahan dan keandalan suatu hasil teknologi dan industri. Selain sangat diperlukan dalam peningkatan kualitas suatu produk, analisis terhadap data lifetime
28
Estimasi model eksponensial lifetime dengan double censoring
pada kondisi perlakuan atau operasional tertentu banyak dilakukan oleh para ilmuwan di berbagai bidang ilmu.
Beberapa model distribusi yang sering digunakan dalam pengamatan data lifetime ini yaitu distribusi Weibull, distribusi Gamma, distribusi Eks- ponensial dan distribusi Lognormal. Pada penelitian ini distribusi yang digunakan adalah distribusi Eksponensial karena distribusi tersebut ba- nyak digunakan dalam analisis uji lifetime . Pengambilan sampel dalam uji lifetime dilakukan secara censoring sehingga waktu pengujian lebih efisi- en. Terdapat berbagai macam tipe sampel censoring yang bisa digunakan diantaranya sampel single censoring dan double censoring . Sampel dou- ble censoring adalah sampel data yang disensor kedua-duanya yaitu right censoring dan left censoring, sedangkan sampel single censoring merupak- an tipe censoring yang hanya dilakukan satu kali, yaitu right censoring saja atau left censoring. Penggunaan sampel double censoring lebih meng- hemat waktu dan tenaga jika dibandingkan dengan sampel single censoring karena pengamatan bisa dilakukan dengan mengunakan data yang terse- dia . Penelitian ini meliputi estimasi parameter yang menggunakan Metode Bayes , yang merupakan metode estimasi berdasarkan penggabungan infor- masi data sampel dengan pengetahuan subyektif mengenai distribusi pelu- ang parameter yang tidak diketahui yang disebut distribusi prior dan prior yang digunakan adalah prior inverse Gamma.
Tujuannya dari penelitian ini adalah untuk mendapatkan estimator pa- rameter distribusi Eksponensial pada data double censoring berdasarkan distribusi prior inverse Gamma serta interval kepercayaannya.

## 2. Dasar teori
Misalkan G ( x ) adalah fungsi dari variabel acak x , nilai harapan untuk G ( x ) adalah:
E [ G ( x )] = X x ∈ R G ( x ) f ( x ) jika x diskrit
E [ G ( x )] = ∞ Z −∞ G ( x ) f ( x ) dx jika x kontinu
Misalkan X dan Y adalah distribusi bersama dari variabel acak maka nilai harapan bersyarat dari Y dimana X = x adalah :
E [ Y | ( x )] = X y yf ( y | x ) jika X dan Y diskrit
E [ Y | ( x )] = ∞ Z −∞ yf ( y | x ) dx jika X dan Y kontinu
Definisi 2.1 [3] Sebuah variabel acak kontinu X dikatakan memiliki distribusi Inverse Gamma dengan parameter bentuk α dan parameter skala β , jika fungsi kepadatan probabilitas (pdf ) dari X berbentuk
f ( x ) = ( β α Γ( α ) x − ( α − 1) e − β x 0 ; untuk ; untuk x > 0 x lainnya dan α > 0 ; β > 0
Dalam analisis Bayesian biasanya keputusan penentuan distribusi prior me- megang peranan penting. Dengan menggunakan teorema Bayes, informasi awal (prior) ini digunakan untuk mendapatkan nilai dari estimasi µ , yang dinyatakan dengan fungsi likelihood yang dikombinasikan untuk memben- tuk distribusi posterior. Distribusi Prior dari parameter µ dilambangkan dengan p ( µ ) adalah fungsi probabilitas yang menyatakan tingkat keperca- yaan nilai µ , distribusi posterior ∞ likelihood x distribusi prior.
Beberapa censoring dalam analisis uji hidup adalah [11]:
a. Uncensored
Dalam uji sampel lengkap ini eksperimen akan dihentikan jika semua komponen yang diuji telah mati atau gagal.
b. Left Censoring
Jika sebuah titik point berada di bawah sebuah nilai tertentu tetapi tidak diketahui berapa banyaknya.
c. Right Censoring
Jika sebuah titik point berada diatas sebuah nilai tertentu tetapi tidak diketahui berapa banyaknya [2].
30
Estimasi model eksponensial lifetime dengan double censoring
Right Censoring terdiri dari:
i Censoring Tipe I: Dalam censoring tipe I, eksperimen akan dihen- tikan jika telah dicapai waktu tertentu (waktu censoring).
ii Censoring Tipe II: Suatu sampel dikatakan censoring tipe II apa- bila eksperimen dihentikan setelah kegagalan ke- r telah diperoleh..
d. Double Censoring [5]
Dalam Double Censoring, pengamatan terhadap waktu hidup n sampel acak dengan dua censoring yaitu right censoring dan left censoring, sedang- kan untuk yang right censoring digunakan right censoring tipe II . Double censoring dari n sample acak adalah pengamatan terhadap waktu hidup sampel ke X r , X r +1 , . . . , X s , yang terurut dengan ( r − 1) sampel terkecil serta ( n − s ) sampel terbesar disensor.
disensor disensor z }| { X 1 , X 2 , . . . , X r − 1 , X r , X r +1 , . . ., X s
| {z } , z }| { X s +1 , X s +2 , . . ., X n diamati
Salah satu metode yang digunakan untuk mendapatkan estimator dari pa- rameter adalah Metode Bayesian Estimation. Parameter µ dipandang se- bagai variabel acak dalam ruang parameter µ dan mempunyai distribusi probabilitas p ( µ ) yang merupakan tingkat kepercayaan awal tentang para- meter µ sebelum pengamatan dilakukan, disebut distribusi prior µ . Teore- ma umum dari Bayes [4]
p ( µ | y ) = p ( y | µ ) p ( µ ) p ( y )
dimana p ( µ | y )distribusi posterior µ . Distribusi bersama p ( y, µ ) dan distri- busi marginal p ( y ) pada umumnya tidak diketahui, biasanya hanya distri- busi prior dan fungsi likelihood nya yang dinyatakan. Rumus Bayes dapat juga ditulis [4]
p ( µ | y ) ∝ l ( µ, y ) p ( µ )
Distribusi posterior ∞ likelihood x distribusi prior
Interval ( c 1 , c 2 ) dari 100 (1 − α ) % disebut Interval Bayesian untuk µ jika c 1 < c 2 adalah dua konstanta, maka [7]:
1 − α ≤ P ( C | x ) =      R C π ( θ | x ) dθ, kontinu;
P θ ∈ C π ( θ | x ) , diskrit.
dengan π ( θ | x ) adalah distribusi posterior.

## 3. Analisis dan pembahasan

## 3.1. Estimasi parameter distribusi eksponensial
Distribusi Eksponensial secara luas digunakan sebagai suatu model lifetime yang didasarkan penelitian yang menyertakan ketahanan ( survival ). Jika x lifetime berdistribusi Eksponensial dengan parameter µ maka pdf f ( x ) adalah [6]
f ( x ) = 1 µ exp − x µ x > 0 µ > 0

## 3.2. Fungsi survival
Probabilitas suatu individu oleh distribusi Eksponensial yang akan bertah- an hidup sampai waktu x disebut fungsi survival adalah:
R ( x | µ ) = Pr ( X > x | µ ) (1)
Sehingga dari Persamaan (1) didapatkan fungsi survival sebagai berikut:
R ( x | µ ) = exp − x µ (2)

## 3.3. Fungsi Likelihood
Misalkan x variabel acak berdistribusi Eksponensial dengan fungsi proba- bilitas f ( x, µ ),dan µ adalah parameter yang tidak diketahui maka peng- konstruksian fungsi likelihood dapat dinyatakan dengan
32
Estimasi model eksponensial lifetime dengan double censoring
L ( x | µ ) = f ( x 1 , µ ) f ( x 2 , µ ) ...f ( x n µ ) = n Y i =1 f ( x i ; µ ) (3)
Fungsi likelihood pada Persamaan (2) berlaku untuk tipe complete sam- pling, karena data pada tipe ini semua uncensored, artinya semua unit yang diuji gagal. Sedangkan untuk tipe censored sampling mempunyai fung- si likelihood yang berbeda dengan complete sampling . Ketika mengerjak- an analisa maximum likelihood pada data dengan item yang belum gagal, fungsi likelihood perlu diperluas untuk menghitung item-item yang belum gagal. Secara keseluruhan teknik estimasinya tidak berubah, hanya saja pada fungsi likelihood dikenakan fungsi survivor. Fungsi likelihood untuk model survival dengan keadaan data censoring , diberikan formulasi berikut ini [8]:
i Untuk uncensored : Pr ( X = x | µ ) = f ( x | µ )
Uji pada sampel lengkap ini eksperimen akan dihentikan jika semua komponen yang diuji telah mati atau gagal.
ii Untuk left censoring : Pr ( X < x | µ ) = 1 − R ( x r | µ )
Jika sebuah titik point berada di bawah sebuah nilai tertentu tetapi tidak diketahui berapa banyaknya.
iii Untuk right censoring : Pr ( X > x | µ ) = R ( x r | µ )
Jika sebuah titik point berada diatas sebuah nilai tertentu tetapi tidak diketahui berapa banyaknya.
Sample acak berukuran n dari distribusi Exp ( µ ), dimana µ ∈ U = (0 , ∞ ) adalah parameter yang tidak diketahui, dan menurut Fernandez (2000) misalkan x r , . . . , x s merupakan pengamatan terurut dari ( r − 1) pengamatan terkecil dan ( n − s ) pengamatan terbesar pada double censoring adalah sebagai berikut:
disensor disensor z }| { x 1 , x 2 , . . . , x r − 1 , x r , x r +1 , . . ., x s | {z } , z }| { x s +1 , x s +2 , . . ., x n diamati
selanjutnya subtitusi Persamaan (2) dan (3) didapatkan fungsi likelihood untuk µ pada data double censoring adalah
L ( µ | x ) = n ! ( r − 1)!( n − s )! { 1 − R ( x r | µ ) } r − 1 { R ( x r | µ ) } n − s s Y i = r f ( x i | µ ) (4)
sehingga diperoleh
L ( µ | x ) = n ! ( r − 1)!( n − s )! ( 1 − exp − x r µ !) r − 1 × ( µ − ( s − r +1) exp − s P i = r x i + ( n − s ) x s µ !) (5)
Pada Persamaan (4) dimisalkan m = s − r + 1 dan ξ ( x ) = P s i = r x i + ( n − s ) x s sehingga
L ( µ | x ) = n ! ( r − 1)! ( n − s )! 1 − exp − x r µ r − 1 µ − m exp − ξ ( x ) µ (6)
dengan kesebandingan didapatkan fungsi likelihood untuk µ adalah
L ( µ | x ) ∞ 1 − exp − x r µ r − 1 µ − m exp − ξ ( x ) µ (7)

## 3.4. Distribusi prior
Menurut [5] distribusi yang tepat untuk normasi prior dari µ adalah distri- busi Inverse Gamma ( a, b ). Distribusi prior tersebut berbentuk
g ( µ ) = a b Γ ( b ) µ − ( b +1) exp − a µ
dimana µ > 0 a > 0 , b > 0. dengan kesebandingan didapatkan distribusi prior sebagai berikut:
g ( µ ) ∞ µ − ( b +1) exp − a µ dimana µ> 0 , a > 0 , b > 0 (8)
dengan a dan b diketahui.
34
Estimasi model eksponensial lifetime dengan double censoring

## 3.5. Distribusi posterior
Metode Bayesian mempunyai keuntungan dengan mengkombinasikan pe- ngetahuan subjektif dari distribusi prior dengan pengetahuan yang ada dalam data.
Dengan mengkombinasikan fungsi likelihood dan distribusi prior dida- patkan distribusi posteriornya. Persamaan umum dari distribusi posterior tersebut adalah :
h ( µ | x ) = L ( µ | x ) p ( µ ) R L ( µ | x ) p ( µ ) dµ (9)
dengan L ( µ | x ) adalah fungsi likelihood dan p ( µ ) adalah distribusi prior.
Berdasarkan Persamaan (6) dan (8) nilai dari R L ( µ | x ) p ( µ ) dµ adalah:
Z L ( µ | x ) p ( µ ) dµ = ∞ Z 0 µ − ( b +1) exp − a µ µ − m exp − ξ ( x ) µ 1 − exp − x r µ r − 1 dµ = ∞ Z 0 µ − ( m + b +1) exp − ( a + ξ ( x ) µ 1 − exp − x r µ r − 1 dµ (10)
dengan
1 − exp − x r µ r − 1 = r − 1 X i =0 r − 1 i ! − exp − x r µ (1) r − 1 − i = r − 1 X i =0 r − 1 i ! ( − 1) i exp − ix r µ (11)
Kemudian subtitusikan Persamaan (10) ke (11), sehingga didapatkan
Z L ( µ | x ) p ( µ ) dµ = ∞ Z 0 µ − ( m + b +1) exp − ( a + ξ ( x ) µ r − 1 X i =0 r − 1 i ! ( − 1) i exp − ix r µ dµ = r − 1 X i =0 r − 1 i ! ( − 1) i ∞ Z 0 µ − ( m + b +1) exp − ( a + ξ ( x ) + ix r µ dµ = r − 1 X i =0 r − 1 i ! ( − 1) i Γ ( − b + m ) ( a + ξ ( x ) + ix r ) ( b + m ) ∞ Z o ( a + ξ ( x ) + ix r ) ( b + m ) Γ ( b + m ) µ − ( m + b +1) exp − ( a + ξ ( x ) + ix r µ dµ (12)
maka ∞ Z o ( a + ξ ( x ) + ix r ) ( b + m ) Γ ( b + m ) µ − ( m + b +1) exp − ( a + ξ ( x )+ ix r µ dµ = 1
sehingga Persamaan (12) akan menjadi
Z L ( µ | x ) p ( µ ) dµ = Γ ( b + m ) r − 1 X i =0 r − 1 i ! ( − 1) i ∂ 1 + ix r ∂ − ( b + m )
dengan ∂ : a + ξ ( x ), diperoleh distribusi posteriornya dinyatakan sebagai berikut:
h ( µ | x ) = µ − ( b +1) exp − a µ µ − m exp − ξ ( x ) µ 1 − exp − x r µ r − 1 dµ Γ ( b + m ) r − 1 X i =0 r − 1 i ( − 1) − i a + ξ ( x ) 1 + ix r a + ξ ( x ) − ( b + m ) (13)
Misalkan
F r [ a + ξ ( x ) , b + m ] = r − 1 X i=0 r − 1 i ! ( − 1) − i 1 + ix a + ξ ( x ) − ( b + m )
dengan a + ξ ( x ) , m + b > 0. Sehingga distribusi posterior pada Persamaan
36
Estimasi model eksponensial lifetime dengan double censoring
(13) dapat dinyatakan sebagai berikut:
h ( µ | x ) = µ − ( b + m +1) exp − ( a + ξ ( x ) µ 1 − exp − x r µ r − 1 dµ Γ ( b + m ) ( a + ξ ( x )) − ( b + m ) F r [ a + ξ ( x ) , b + m ] (14)

## 3.6. Estimator Bayes
Dengan menggunakan fungsi kerugian kuadratik, estimator Bayes untuk µ (¯ µ ) adalah mean dari distribusi posterior. Estimasi Bayes dapat dinya- takan sebagai berikut:
¯ µ = E ( µ | x ) = ∞ Z 0 µh ( µ | x ) dµ (15)
dimana h ( µ | x ) adalah distribusi posterior sesuai Persamaan (14), sehingga Persamaan (15) menjadi
¯ µ = ∞ Z 0 µ ( a + ξ ( x )) ( b + m ) exp − ( a + ξ ( x ) µ 1 − exp − x r µ r − 1 dµ Γ(b + m) µ ( b + m +1) F r [ a + ξ ( x ) , b + m ] = ( a + ξ ( x )) ( b + m ) Γ ( b + m ) F r [ a + ξ ( x ) , b + m ] ∞ Z 0 µ − ( b + m ) exp − ( a + ξ ( x ) µ 1 − exp − x r µ r − 1 dµ (16)
Persamaan ∞ R 0 µ − ( b + m ) exp − ( a + ξ ( x ) µ 1 − exp − x r µ r − 1 dµ dapat ditulis sebagai berikut:
∞ Z 0 µ − ( b + m ) exp − ( a + ξ ( x ) µ 1 − exp − x r µ r − 1 dµ
karena
∞ Z 0 ( a + ξ ( x ) + ix r ) ( b + m − 1) Γ ( b + m + 1) µ − (( b + m − 1)+1) exp − ( a + ξ ( x ) + ix r ) µ dµ = 1
sehingga
∞ Z 0 µ − ( b + m ) exp − ( a + ξ ( x ) µ 1 − exp − x r µ r − 1 dµ = r − 1 X i =0 r − 1 i ! ( − 1) i Γ ( b + m − 1) ( a + ξ ( x ) + ix r ) ( b + m − 1) = Γ ( b + m − 1) ( ∂ ( x )) − ( b + m − 1) r − 1 X i =0 r − 1 i ! ( − 1) i 1 + ix r ∂ − ( b + m − 1) (17)
dengan ∂ : a + ξ ( x ).
Misalkan
F r [ a + ξ ( x ) , b + m − 1] = r − 1 X i=0 r − 1 i ! ( − 1) − i 1 + ix a + ξ ( x ) − ( b + m − 1)
dengan a + ξ ( x ) , m + b − 1 > 0
Sehingga Persamaan (17) dapat ditulis sebagai berikut:
∞ Z 0 µ − ( b + m ) exp − ( a + ξ ( x ) µ 1 − exp − x r µ r − 1 dµ = Γ ( b + m + 1) ( a + ξ ( x )) − ( b + m − 1) F r [ a + ξ ( x ) , b + m − 1] (18)
Dengan demikian estimator Bayes untuk µ pada Persamaan (16) dan sub- stitusi dari Persamaan (18) dapat dinyatakan sebagai berikut:
¯ µ = Γ ( b + m − 1) F r [ a + ξ ( x ) , b + m − 1] Γ ( b + m ) F r [ a + ξ ( x ) , b + m ] ( a + ξ ( x ))
dengan Γ ( b + m ) = ( b + m − 1) Γ ( b + m − 1), maka estimator Bayes untuk µ adalah sebagai berikut:
¯ µ = F r [ a + ξ ( x ) , b + m − 1] F r [ a + ξ ( x ) , b + m ] ( a + ξ ( x )) b + m − 1
dengan m = s − r − 1 dan ξ ( x ) = P s i = r x i + ( n − s ) x s
38
Estimasi model eksponensial lifetime dengan double censoring

## 3.7. Interval kepercayaan Bayes
Diketahui bahwa distribui posterior dari µ adalah:
h ( µ | x ) = ( a + ξ ( x )) ( b + m ) exp( − ( a + ξ ( x )) µ )(1 − exp( − x r µ )) r − 1 Γ( b + m ) µ ( b + m +1) F r [ a + ξ ( x ) , b + m ] ,
dengan µ > 0 yaitu 100 (1 − α ) % interval kepercayaan untuk µ dan (1 − α ) disebut koefisien kepercayaan
1 − α ≤ P ( C | x ) =      R C π ( θ | x ) dθ, kontinu;
P θ ∈ C π ( θ | x ) , diskrit.
dengan π ( θ | x ) adalah distribusi posterior.
Selanjutnya akan dicari interval kepercayaan (1 − α ) 100% untuk µ , yai- tu: P ( c 1 ≤ µ ≤ c 2 | x ) = 1 − α dimana µ adalah parameter yang tidak diketahui dengan batas bawah memenuhi persamaan
S ( c 1 | x ) = c 1 Z 0 h ( µ | x ) dµ = α 2
dan batas atas juga memenuhi persamaan
S ( c 2 | x ) = c 2 Z 0 h ( µ | x ) dµ = 1 − α 2
Batas bawah ( c 1 ) dan batas atas ( c 2 ) ditentukan dengan menggunakan pendekatan numerik. Pendekatan integrasi numerik yang digunakan pa- da penelitian adalah Aturan Simpson’s 1/3 berdasarkan dengan bantuan matlab 7.0.
Contoh kasus Ilustrasi permasalahan filure time (waktu kegagal- an)dengan satuan menit, untuk jenis sekatan listrik type B pada suatu percobaan dimana sekatan digunakan terus menerus untuk meningkatkan tekanan voltase.
. . . , 24 . 4 , 28 . 6 , 43 . 2 , 46 . 9 , 70 . 7 , 75 . 3 , 95 . 5 , . . .
Pada contoh ini pengamat gagal untuk mengamati dua waktu kegagalan paling kecil dan pengamatan dihentikan pada saat waktu kegagalan ke-9
dan diketahui a = 26 dan b = 27 . Oleh karena itu didapatkan n = 12 , r = 3 , s = 9, dan m = 7. sehingga diproleh: ¯ µ = 20,47555772 dan interval kepercayaannya
15 . 75 < µ < 28 . 75

## 4. Kesimpulan dan saran

## 4.1. Kesimpulan
Berdasarkan hasil dan pembahasan disimpulkan sebagai berikut:
a. Estimator parameter distribusi Eksponensial pada data double censor- ing berdasarkan prior inverse gamma adalah:
¯ µ = F r [ a + ξ ( x ) , b + m − 1] F r [ a + ξ ( x ) , b + m ] ( a + ξ ( x )) b + m − 1
b. Interval kepercayaan (1 − α ) 100% parameter distribusi Eksponensial pada data Double censoring berdasarkan distribusi prior inverse Gam- ma dengan α = 0 , 05, yaitu
P ( c 1 ≤ µ ≤ c 2 | x ) = 1 − α.
dengan batas = 0,025 dan batas atas = 0,975.
Nilai batas bawah ( c 1 ) dan batas atas ( c 2 ) didapatkan dengan pende- katan numerik Aturan Simpson’s 1/3 dengan bantuan Matlab 7.0 . Pada pe- nerapan contoh kasus didapatkan nilai estimasi ( µ )= 20,47555772 dengan α = 0 , 05 dan didapatkan interval kepercayaan bayes dengan nilai batas bawah ( c 1 )= 15.75 dan batas atas ( c 2 )= 28.75 sehingga interval kepercaya- annya 15 . 75 < µ < 28 . 75

## 4.2. Saran
Saran yang dapat diberikan pada pembahasan estimasi Eksponensial lifeti- me dengan double censoring yang menggunakan metode Estimasi Bayesi- an dan berdasarkan distribusi prior inverse gamma, dapat dikembangkan lebih lanjut dengan pendekatan distribusi prior yang lain misalnya : Non- Imformatif Prior, Conjugate Prior , Prior Proper, Prior Improper serta Reference Prior .
40 Estimasi model eksponensial lifetime dengan double censoring

## Pustaka
[1] Bain, L. J. dan Max E., Introduction to Probability and Mathematical Statistics , 2 nd edition, California: Duxbury Press, 1991.
[2] Berger, J.O., Statistical Decision Theory and Bayesian Analysis, 2nd ed. , Springer – Verlag, New York, 1998.
[3] Bernardo, J.M, dan Smith, A.F.M., Bayesian theory , Chichester : John Wiley & Sons, Ltd, 2000.
[4] Box, G., dan Tiao, G. C., Bayesian Inference in Statistical Analysis , Addison-Wesley Pubhlising Company, Inc., Philippines, 1973
[5] Fernandez, J. Arturo., Estimation and Hypothesis Testing for Ekspo- nential Lifetime Models with Double censoring and Prior Information , Journal of Economic and Social Research, 2000.
[6] Harinaldi., Prinsip-Prinsip Statistik Untuk Teknik dan Sains , Erlang- ga, Jakarta, 2006.
[7] Larson, H. J., Introduction to Probability Theory and Statistical Inference , John Wiley and Sons, Singapore, 1982.
[8] Miller, R. G., Survival Analysis , Wiley classics library, Stanford Uni- versity, Canada, 1998.
[9] Sarwoko, Statistik Inferensi untuk Ekonomi dan Bisnis , Andi, Yogya- karta, 2007.
[10] Soehardjo, Analisis Numerik , Dosen Matematika ITS dan Institut Adhi Tama Surabaya, Surabaya, 1986.
[11] Wikipedia, the free encyclopedia., Types Of Censoring ,
http://www.wikipedia.com., Diakses pada tanggal 23 Juni 2008.
J. Math. and Its Appl. ISSN: 1829-605X Vol. 7, No. 2, November 2010, 41–46

## CRITICAL SET OF EDGE MAGIC TOTAL LABELING OF EXPANDING CYCLE GRAPH ∗
Chairul Imron 1 and Suhud Wahyudi 2
Mathematics Department, FMIPA ITS Surabaya
1 imron-its@matematika.its.ac.id, 2 suhud@matematika.its.ac.id

## Abstract
This paper discusses about graph labeling. We will find edge magic total labeling of cycle and expanding cycle graph. In the final, we investigate the critical set of edge magic total labeling on cycle and expanding cycle graph.
Keyword: Cycle graph, edge-magic total labeling, critical set

## 1. Introduction
Let G = ( V, E ) be a finite simple and undirected graphs. That is to say, they contain neither loops nor multiple edges. The graph have vertex- set V ( G ) and edge-set E ( G ), and we denote | V ( G ) | and | E ( G ) | by p and q respectively. Graph Labeling is giving a label at vertices and edges of graph, so that each vertices and each edges having different label. Generally, label uses positive integer.
∗ This paper has been published on Names Conference 2009, UnLam, Banjarmasin, July 3 th − 4 st 2009.
Several ways to labeling graph, labeling by domain from set of vertices, set of edges or both which generally referred as vertices labeling, edges labeling and total labeling. At this paper, we will present total labeling, especially edge-magic total labeling (EMTL) on cycle graph.
The edge-magic total labeling is sum of edges label and vertices label which adjacent at edges always equal for each edges. The sum is named magic number with symbol a letter k . Idea of labeling is defined first by [3] at 1960 and here in after [2] made a formula at 1970. A graph is called disconnected if its vertex-set can be partitioned into two subsets, V 1 and V 2 , which have no common element, in such a way that there is no edge with one endpoint in V 1 and the other in V 2 ; if a graph is not disconnected, then it is connected. A cycle graph C n is connected graph that have n vertex and n edges.
Definition of edge-magic total labeling and super edge-magic total la- beling:
Definition 1.1 [4] Edge-Magic Total Labeling An edge-magic total labeling of a ( p, q )-graph G is bijective function
λ : V ( G ) ∪ E ( G ) → { 1 , 2 , 3 , . . . , p + q }
such that
λ ( u ) + λ ( uv ) + λ ( v ) = k
k is a constant for any edge uv of G and is called the magic sum of G . Any graph with an edge-magic total labeling will be called edge-magic. Morever, λ is a super-edge-magic total labeling of G if λ ( V ( G )) = { 1 , 2 , 3 , . . . , p + q } , and G is said to be super-edge-magic.
For each graph, we number all vertex and edges, we call these numbers positions. Thus, a graph labeling can be represented as a set of ordered pairs of position and its label.
A critical set of a graph G with labeling λ is a set Q λ = { ( x, y ) | x, y ∈ { 1 , 2 , 3 , . . . , p + q } , with the oredered pair ( x, y ) represents label y in position x , which satisfy [5]
a. λ is the only labeling of G which has label y in position x
b. No proper subset of Q λ

## 2. Edge-Magic Total Labeling
Cycle graph is including graph regular, that is graph having same degree, usually notation of cycle graph with C n . A cycle graph is connected graph that have n vertices and n edges.
Theorem 2.1 [1] Every cycle graph C n has an edge-magic total labeling with range of magic sum is
5 n + 3 2 ≤ k ≤ 7 n + 3 2 , with n is odd
and 5 n + 4 2 ≤ k ≤ 7 n + 2 2 , with n is even
Figure 1: EMTL Cycle graph with k = 14 and k = 19
Theorem 2.2 Expanding cycle graph C n plus a edge has an edge-magic total labeling with range of magic sum is
5 n 2 + 7 n + 8 2( n + 1) ≤ k ≤ 7 n 2 + 17 n + 4 2( n + 1)
Proof: Lets S v denote the sum of vertex labels and S e denote the sum of the edge labels in a edge-magic labeling λ . In the expanding cycle graph, sum of vertex is p = n and sum of edge is q = p + 1. Therefore, k as magic sum of G is
( n + 1) k = 2 S v + S e + v i + v j = S v + 1 + 2 + . . . + (2 n + 1) + v i + v j = S v + 2 n 2 + 3 n + 1 + v i + v j
Among the labels, write S for the set { v i | 1 ≤ i ≤ n } of vertex labels, and k for the sum of elements of S . Then S can consist of the smallest labels, the largest labels, or somewhere in between, so
1 + 2 + 3 + . . . + n + 3 ≤ S v + v i + v j ≤ ( n + 2) + ( n + 3) + . . . + (2 n + 1) + 4 n + 1
or
n 2 + n + 6 2 ≤ S v + v i + v j ≤ 3 n 2 + 11 n + 2 2
or
5 n 2 + 7 n + 8 2( n + 1) ≤ k ≤ 7 n 2 + 17 n + 4 2( n + 1)
Theorem 2.3 Expanding cycle graph C n plus a edge has an super edge- magic total labeling with range of magic sum is
5 n 2 + 7 n + 12 2( n + 1) ≤ k ≤ 5 n 2 + 11 n + 4 2( n + 1)
Proof: Lets S v denote the sum of vertex labels and S e denote the sum of the edge labels in a edge-magic labeling λ . In the expanding cycle graph, sum of vertex is p = n and sum of edge is q = p + 1. Therefore, k as magic sum of G is
( n + 1) k = 2 S v + S e + v i + v j = 2(1 + 2 + · · · + n ) + ( n + 1) + ( n + 2) + . . . + (2 n + 1) + v i + v j = 5 n 2 + 7 n + 6 + v i + v j
Among the labels, write S for the set { v i | 1 ≤ i ≤ n } of vertex labels, and k for the sum of elements of S . Then S can consist of the smallest labels, the largest labels, or somewhere in between, so
1 + 2 ≤ v i + v j ≤ n + ( n − 1)
or
3 ≤ v i + v j ≤ 2 n − 1
or
5 n 2 + 7 n + 12 2( n + 1) ≤ k ≤ 5 n 2 + 11 n + 4 2( n + 1)
Figure 2: EMTL Expanding Cycle Graph with k = 14, k = 19 and k = 17
Figure 3: Positon and Labeling of Expanding Cycle Graph

## 3. Critical set
Figure 3(a), shows of position label of vertices and edges, such that we have edge- magic total labeling of expanding cycle (Figure 3 (b)) with position is
L 1 = { (1 , 1) , (2 , 5) , (3 , 13) , (4 , 2) , (5 , 4) , (6 , 8) , (7 , 7) , (8 , 9) , (9 , 3) , (10 , 10) , (11 , 6) , (12 , 12) , (13 , 11) }
and position label of vertices and edges, such that we have edge-magic total label- ing with position of another expanding cycle (Figure 3 (b)) is
L 1 = { (1 , 1) , (2 , 7) , (3 , 9) , (4 , 6) , (5 , 2) , (6 , 12) , (7 , 3) ,
(8 , 10) , (9 , 4) , (10 , 6) , (11 , 5) , (12 , 11) , (13 , 13) }
If Q is critical set and minimal number of critical set in expanding cycle graph that have many variation, big more and more expanding cycle more and more many
critical set members and critical set of expanding cycle are Q 1 = { (1,1),(2,5) } Q 2 = { (1,1),(2,7) } obviously after reconstruction, Q 2 have more than one edge-magic total labeling, which are
L 11 = { (1 , 1) , (2 , 7) , (3 , 9) , (4 , 6) , (5 , 2) , (6 , 12) , (7 , 3) ,
(8 , 10) , (9 , 4) , (10 , 6) , (11 , 5) , (12 , 11) , (13 , 13) } L 12 = { (1 , 1) , (2 , 7) , (3 , 12) , (4 , 3) , (5 , 5) , (6 , 9) , (7 , 6) ,
(8 , 4) , (9 , 10) , (10 , 2) , (11 , 8) , (12 , 11) , (13 , 13) } L 13 = { (1 , 1) , (2 , 7) , (3 , 12) , (4 , 5) , (5 , 3) , (6 , 9) , (7 , 8) , (8 , 2) , (9 , 10) , (10 , 4) , (11 , 6) , (12 , 13) , (13 , 11) }
so Q 2 is not critical set because the reconstruction is not unique, but Q 1 is critical set because reconstruction of Q 1 only one construction.

## 4. Conclusion
Critical set of expanding cycle graph depended on position and label of position, but expanding cycle graph in form of circle hence distance of position which and label influencing from to the number of members of critical set.

## References
[1] Chairul Imron, Bandung A.S. , Magic Graph on Cycle, The First In- ternational Conference on Mathematics and Statistics , UNISBA, Bandung, 19-21 Juni 2006.
[2] Kotzig, A. and A. Rosa , Magic Valuations of Finite Graph , Canad. Math. Bull. 13, 451-461, 1970.
[3] Sedlacek, J. , problem 27, Theory of Graphs and it’s Applications , 163-164, Publ. House Czechoslovak Acad. Sci.,Prague, 1964
[4] Wallis, W.D., E.T. Baskoro, M.Miller and Slamin , Edge-Magic Total Labelings, Australian Journal of Combinatorics 22, 177-190, 2000.
[5] E.T. Baskoro , Critical Sets in Edge-Magic Total Labelings , 2005.
J. Math. and Its Appl. ISSN: 1829-605X Vol. 7, No. 2, November 2010, 47–55

## INDEKS KEMAMPUAN PROSES BERDASARKAN PROPORSI PERSESUAIAN UNTUK DISTRIBUSI NON NORMAL
Laksmi P Wardhani 1 , Resty Z Fahrida, Nur Hasanah
Jurusan Matematika FMIPA ITS Surabaya
1 wmarbun@indo.net.id

## Abstrak
Indeks Kemampuan proses adalah suatu alat untuk menganalisa kemampuan proses produksi apakah sesuai dengan spesifikasi yang diberikan. Indeks C p , C pk , C pm , dan C pmk adalah indeks yang sering digunakan untuk mengukur kemampuan proses dengan berdasarkan proporsi bagian yang tidak sesuai ( Proportion non Conforming ) dan pada indeks ini data diasumsikan berdistribusi Normal.
Indeks Kemampuan proses berdasarkan bagian yang sesuai ( proportion of conforming ) yaitu C pc dapat mengatasi kelemahan- kelemahan dari indeks kemampuan proses yang berdasarkan Proportion non Conforming diatas dimana data tidak harus berdis- tribusi Normal. Dalam tulisan ini dibahas analisis tentang indeks C pc dengan menggunakan asumsi berdistribusi Non Normal yaitu distribusi Poisson dan distribusi Eksponensial berikut estimasi dari C pc yaitu b C pc .
Katakunci: Indeks kemampuan proses, distribusi Poisson, distribusi Eksponensial , MLE, limit kepercayaan.

## 1. Pendahuluan
Pengendalian Kualitas terhadap suatu produk menjadi hal yang penting dalam dunia industri disebabkan adanya berbagai penyimpangan yang se- ring terjadi dalam suatu proses produksi. Berbagai penyimpangan terja- di apabila produk yang dihasilkan tidak sesuai dengan dengan spesifikasi yang telah ditetapkan. Setelah proses produksi terken-dali maka dilakukan analisis kemampuan proses, yaitu analisi tentang kemampuan proses untuk memproduksi suatu produk apakah sesuai dengan batas-batas spesifikasi yang telah ditetapkan perusahaan. Analisis kemampuan proses memerluk- an indeks kemampuan proses untuk mengukur dan menganalisis potensial dan performa dari suatu proses produksi.
Indeks kemampuan proses sering digunakan adalah C p , C pk , C pm , dan C pmk dengan dasar perhitungannya berdasarkan proportion of non confor- ming (bagian yang tidak sesuai) . Kelemahan indeks indeks tersebut adalah peubah acak yang digunakan harus ber-distribusi Normal dan batas spesifi- kasi bawah (BSB ) dan batas spesifikasi atas(BSA) harus diketahui terlebih dahulu.
Telah diusulkan sebuah indeks kemampuan proses yang baru untuk mengatasi kelemahan dari indeks-indeks sebelumnya, yaitu indeks C pc . In- deks C pc adalah indeks kemampuan proses yang berdasarkan proportion of conforming (bagian yang sesuai). Salah satu kelebihan indeks C pc adalah dapat digunakan untuk data yang berdistribusi non Normal, baik diskrit ataupun kontinu. Pada tulisan ini akan dianalisis indeks C pc untuk asumsi distribusi diskrit yaitu distribusi Poisson dan distribusi kontinu yaitu distri- busi Eksponensial. Analisa yang akan dilakukan adalah estimator dari C pc dan limit kepercayaannya.

## 2. Indeks C pc
Indeks C pc yaitu indeks kemampuan proses berdasarkan proportion of con- forming (bagian yang sesuai) atau jumlah unit produksi yang memenuhi satu atau beberapa spesifikasi dari proses produksi tersebut/tidak cacat. Indeks C pc didefinisikan sebagai berikut [4]:
C pc = 1 − p 0 1 − p (1)
Dengan p : bagian yang sesuai p 0 : proses minimun yang diijinkan.
Nilai p 0 adalah 0,9973, yaitu luasan dari sebaran alamiah dari suatu proses yang besarnya 6 σ . Nilai-nilai dibawah atau diatas 0,9973 diijinkan, namun hasil yang diperoleh menjadi tidak maksimum.
Selain itu, indeks C pc juga didefinisikan sebagai berikut:
C pc = min p L 0 p 1 , p U 0 p 2
Dengan p 1 = P ( X < U ), U batas spesifikasi atas.
p 2 = P ( X > L ), L batas spesifikasi bawah.
Sedangkan p L 0 dan p U 0 adalah bagian proses yang cacat (tidak sesuai) yang dapat diterima sesuai dengan batas spesifikasi bawah dan atas yang diberikan.
Nilai minimum yang yang diperkenankan dalam proporsi yang sesuai p 0 secara intuisi dikehendaki yang mendekati nilai 1. Walaupun nilai p 0 tidak spesifik, tetapi nilai 0,9973 lebih senang dipilih karena mempunyai sifat- sifat yang mendekati satu dan proses rata-rata tepat berlokasi pada titik tengah spesifikasi M = ( L + U ) / 2 dan nilai tersebut merupakan nilai standar dari Indeks Kemampuan Proses [4]. Dalam tulisan ini, supaya memudahkan diasumsikan nilai p 0 = 0 , 9973. Jadi indeks C pc dalam persamaan (1) dapat ditulis kembali dalam bentuk berikut:
C pc = 0 , 0027 1 − p (2)
Dengan demikian analisa indeks ini selanjutnya dapat dimodifikasi sesuai asumsi nilai p 0 lain yang diinginkan, sedangkan tulisan ini analisa selanjut- nya akan memakai persamaan (2).
Pengujian nilai yang berbeda untuk nilai p , akan menghasilkan nilai C pc sebagai berikut:
(a) Jika nilai p = 0 , 9973 , maka nilai indeks C pc = 1
(b) Jika nilai p > 0 , 9973 , maka nilai indeks C pc > 1 (c) Jika nilai p > 0 , 9973 , maka nilai indeks C pc < 1

## Indeks kemampuan proses berdasarkan proporsi persesuaian
Satu-satunya parameter yang tidak diketahui dalam indeks C pc adalah p , nilai p tergantung pada bentuk distribusi yang diguanakan dalam proses produksi, dan dapat diestimasi dalam bentuk sampel acak dalam proses yang diuji. Hasil estimasinya dinotasikan dalam bentuk b p , sehingga esti- mator indeks C pc adalah
b C pc = 0 , 0027 1 − b p (3)

## 3. Analisa inferensia indeks C pc untuk proses

## berdistribusi Poisson
Dalam bagian ini indeks C pc dianalisa dalam kasus dimana proses produksi yang diberikan berkarakteristik distribusi Poisson dengan parameter λ . Ji- ka nilai U diketahui, maka indeks dinotasikan dengan C pcu , demikian juga jika nilai L yang diberikan, maka indeks dinotasikan dengan C pcl . Indeks C pcu didefinisikan sebagai [2], [5]:
C pcu = 0 , 0027 1 − p 1 , dengan p 1 = P ( X < U ) (4)
Indeks C pcl didefinisikan sebagai
C pcl = 0 , 0027 1 − p 2 , dengan p 2 = P ( X > L ) (5)
dengan p 1 dan p 2 merupakan Fungsi Distribusi Kumulatif (CDF) dari distribusi Poisson dengan parameter λ , jadi
p 1 = P ( X ≤ U − 1) = U − 1 X x =0 e − λ λ x x ! (6)
Karena adanya hubungan antara Distribusi Poisson dengan distribusi Gamma maka persamaan (6) dapat ditulis sebagai,
p 1 = P ( X ≤ U − 1) = P ( χ 2 2 U > 2 λ )
Dengan χ 2 2 U distribusi chi-kuadrat dengan derajat kebebasan 2U . Oleh ka- rena itu berdasarkan sifat-sifat probabilitas Persamaan (4) dapat ditulis kembali sebagai
C pcu = 0 , 0027 P ( χ 2 2 U < 2 λ ) (7)
Dengan cara yang serupa, indeks C pcl dapat ditulis kembali dalam bentuk
C pcl = 0 , 0027 P ( χ 2 2( L +1) > 2 λ ) (8)
3.1. Estimasi C pcu dan C pcl untuk proses distribusi Poisson
Jika parameter λ tidak diketahui maka harus diganti dengan estimasinya seperti diketahui MLE( Maximum Likelihood Estimation ) dari parameter λ untuk n sampel acak ( X 1 , X 2 , . . . , X n ) dari distribusi Poisson adalah mean (rata-rata dari sampel) yaitu b λ = ¯ X . Jadi estimator untuk C pcu dan C pcl masing-masing adalah [2], [5]:
C pcu = 0 , 0027 P ( χ 2 2 U < 2 b λ ) dan C pcl = 0 , 0027 P ( χ 2 2( L +1) > 2 b λ ) (9)
Untuk menganalisan apakah estimator untuk C pcu dan C pcl yaitu b C pcu dan b C pcl merupakan estimator yang tak bias, dilihat terlebih dahulu nilai harapan dari estimator tersebut.
E ( b C pcu ) = C pcu × 1 1 − [ e − nλ ( nλ + ( nλ ) − 2 )]
Sehingga estimator tak bias dari C pcu adalah b n × b C pcu dengan b n sebagai faktor koreksi, dan b n = 1 − [ e − nλ ( nλ + ( nλ ) − 2 )].

## 3.2. Limit kepercayaan untuk indeks C pc
Selang kepercayaan 100(1 − α )% untuk indeks C pc memunyai lebar selang sebagai berikut:
P ( L ≤ C pc ≤ U ) = 1 − α
Untuk membangun selang kepercayaan, dilakukan pendekatan dengan distribisi sampling Chi-Kuadrat.
Jika diberikan n sampel acak ( X 1 , X 2 , . . . , X n ) dengan X i ∼ P OI ( λ ) maka Y = P n i =1 x i juga berdistri- busi Poisson dengan parameter nλ . Karena ada hubungan antara distribusi Poisson dengan distribusi Chi-Kuadrat seperti pada awal tulisan diatas, se- lang kepercayaan 100(1 − α )% untuk indeks nλ adalah
1 2 χ 2 2 Y , α < nλ < 1 2 χ 2 2( Y +1) , 1 − α (10)

## Indeks kemampuan proses berdasarkan proporsi persesuaian
Dengan cara yang serupa, didapat limit kepercayaan atas 100(1 − α )% untuk nλ yaitu
P nλ < 1 2 χ 2 2( Y +1) , 1 − α = 1 − α
atau
P 2 λ < χ 2 2( Y +1) , 1 − α n ! = 1 − α (11)
Selang kepercayaan 100(1 − α )% untuk C pcl didapat dari persamaan (8) dan (11) didapat adalah
0 , 0027 P χ 2 2 U < χ 2 2( Y +1) , 1 − α n (12)
Dengan cara yang similar didapat selang kepercayaan 100(1- α )% untuk C pcu sebagai berikut:
0 , 0027 1 − P χ 2 2( L +1) < χ 2 2 Y,α n (13)
4. Analisis inferensia indeks C pc untuk proses

## berdistribusi Eksponensial
Dalam bagian ini indeks C pc dianalisa dalam kasus dimana proses produksi yang diberikan berkarakteristik distribusi Eksponensial dengan parameter θ .
Distribusi Eksponensial diasumsikan sangat beralasan karena dipakai pada uji reliabilitas tentang uji hidup suatu produk . Karena distribusi ini non normal maka akan dilihat selang kepercayaannya satu sisi seperti pada distribusi Poisson pada subbab 3.
Dengan menggunakan batasan seperti persamaan (4) dan (5) didapat masing-masing indeks C pcu dan C pcl pada distribusi Eksponensial adalah [3], [4]:
C pcu = 0 , 0027 e − θU (14)
dan
C pcl = 0 , 0027 1 − e − θL (15)
Dengan CDF untuk X ∼ EXP ( θ ) adalah F ( x, θ ) = 1 − e − θx , x > 0.
4.1. Estimasi C pcu dan C pcl untuk proses distribusi ekspo- nensial
Selanjutnya dicari estimator untuk C pcu dan C pcl dari asumsi distribusi Eksponensial dengan cara mencari estimator untuk parameter θ . M L E untuk θ adalah b θ = 1 ¯ X , sehingga diperoleh estimator untuk C pcu dan C pcl masing-masing adalah,
b C pcu = 0 , 0027 e − b θU = 0 , 0027 e − U ¯ X (16)
dan
b C pcl = 0 , 0027 1 − e − b θL = 0 , 0027 1 − e − L ¯ X (17)
Dengan menggunakan pdf ( probability density functions ) dari distribusi Eksponential, metode transformasi satu-satu [1] dan Y = P n i =1 X i ∼ GAM ( θ, n ) didapat distribusi dari b C pcu dan b C pcl .
Jika W = b C cpu maka W = 0 , 0027 e ¯ X − 1 U dan pdf dari W yaitu
f W ( w ) = ( θnU ) n Γ( n ) (ln w + 5 , 9145) − n − 1 w − 1 e ( − θnU ) / (ln w +5 , 9145) ,
untuk 0 , 0027 < w < ∞ . Jika V = b C cpl , maka dengan cara yang similar seperti W didapat pdf untuk V adalah [3]:
f V ( v ) = ( θnL ) n Γ( n ) ( − ln 1 − 0 , 0027 v ) − n − 1 e ( θnL ) / (ln(1 − 0 , 0027 /v ) 0 , 0027 v 2 − 0 , 0027 v , untuk 0 , 0027 < w < ∞ .

## 4.2. Limit Kepercayaan untuk indeks C pc
Selang kepercayaan 100(1 − α )% untuk indeks C pc mempunyai lebar selang sebagai berikut:
P ( L ≤ C pc ≤ U ) = 1 − α
Untuk membangun selang kepercayaan, dilakukan pendekatan dengan distribusi sampling . Jika diberikan n sampel acak ( X 1 , X 2 , ..., X n ) dengan X i ∼ EXP ( θ ) maka Y = P n i =1 X i ∼ GAM ( θ, n )dan Z = θY didapat
Z ∼ GAM (1 , n ) terlihat Z tidak bergantung dari parameter θ . Limit ke- percayaan bawah 100(1 − α )% untuk θ diperoleh dengan menggunakan percentil α dari distribusi Z yiatu c 1 , sehingga dengan melihat persamaan (14) dan (15) didapat
P ( Z > c 1 ) = P ( θ > c 1 Y ) = P ( c 1 Y < θ ) = P ( e − U c 1 Y < e − θU ) = P C pcu > 0 , 0027 e − U c 1 Y = 1 − α
Jadi limit kepercayaan bawah 100(1 − α )% untuk C pcu adalah
0 , 0027 e − U c 1 P xi
Dengan cara yang similar didapat limit kepercayaan bawah 100(1 − α )% untuk C pcl adalah 0 , 0027
1 − e − Lc 2 P xi dengan c 2 adalah percentile 1 − α dari distribusi Z.

## 5. Kesimpulan
Dari kajian diatas terlihat bahwa indeks kemampuan Proses C pc banyak menanggulangi beberapa kekurangan dari indeks kemampuan Proses yang lama antara lain hanya diasumsikan untuk distribusi normal, sedangkan in- deks C pc dapat digunakan untuk distribusi Non-Normal baik untuk proses diskrit seperti distribusi Poisson dan kontinyu seperti distribusi Eksponen- sial.
Estimasi Parameter dari Indeks C pc untuk kedua distribusi cukup dengan melihat MLE dari parameter distribusi tersebut, sedangkan limit kepercayaan hanya untuk satu sisi saja.

## Pustaka
[1] Bain, L.J. dan Engelhardt, M., Introduction to Probability and Mathe- matical Statistics , 2nd edition, Duxbury Press, California, 1991.
[2] Fahrida, R. Z., Kajian Indeks Kemampuan Proses C pc dengan meng- gunakan asumsi distribusi Poisson , Tugas Akhir, Jurusan Matematika
FMIPA ITS, 2008.
[3] Nur, H, Kajian Indeks Kemampuan Process C pc dengan menggunakan asumsi distribusi Eksponensial Tugas Akhir. Jurusan Matematika FMI- PA ITS, 2009.
[4] Perakis, M. dan Xekalaki, E. 2002. A Process Capability Index that it based on the Proportion of Conformance . Journal Statistical Computa- tion and Simulation, 2002, Vol 72(9), pp. 707-718.
[5] Perakis, M. dan , Xekalaki, E., A Process Capability Indeks For Discre- te Processes . Journal Statistical Computation and Simulation, March 2005, vol 75 No.3, pp 175-187.
J. Math. and Its Appl. ISSN: 1829-605X Vol. 7, No. 2, November 2010, 57–69

## OPTIMASI DALAM PENENTUAN DOSIS OPTIMAL PADA KEMOTERAPI TUMOR
Yopi Andry Lesnussa 1 , Subchan 2
1 Jurusan Matematika, FMIPA Universitas Pattimura Ambon
2 Jurusan Matematika, FMIPA ITS Surabaya
1 yopi − lesnussa@yahoo.com, 2 subchan@matematika.its.ac.id

## Abstrak
Konstruksi model matematis dari suatu fenomena dalam bidang matematika biologi merupakan hal yang sangat penting. Salah satunya dapat diterapkan dalam proses kemoterapi tumor. Sebagai salah satu penyakit yang mematikan, pengobatan kemoterapi tumor perlu dioptimalkan untuk mencegah proliferasi sel yang tidak terken- dali. Namun proses kemoterapi yang tidak tepat, dapat berakibat fatal bagi pasien penyakit tumor. Sehingga interval waktu dan dosis yang tepat dalam kemoterapi sangat efektif untuk mengurangi ukuran tumor. Permasalahan kemoterapi tumor dimodelkan sebagai permasalahan optimal dimana penentuan dosis obat optimum merupakan fungsi tujuannya. Permasalahan optimal selanjutnya ditransformasikan menjadi permasalahan pemrograman nonlinier (PNL), yang selanjutnya diselesaikan dengan software pemrograman nonlinier (PNL).
Katakunci: Kendali optimum, kemoterapi tumor, dosis optimum.

## 1. Pendahuluan
Tumor adalah segolongan penyakit paling berbahaya yang ditandai dengan pembelahan sel yang tidak terkendali. Sel-sel tersebut mampu menyerang jaringan biologis lainnya dengan pertumbuhan langsung di jaringan yang bersebelahan (invasi) atau migrasi sel ke tempat yang jauh (metastasis). Pertumbuhan yang tidak terkendali tersebut menyebabkan mutasi di gen vital yang mengendalikan pembelahan sel. Beberapa mutasi dapat mengu- bah sel normal menjadi sel tumor. Penyakit tumor disebabkan oleh bebe- rapa faktor, antara lain : virus, kecanduan rokok, radiasi sinar ultraviolet, zat kimia, makanan berlemak, faktor keturunan, dan lain-lain [5], [1]. Pe- nyakit tumor merupakan salah satu penyebab kematian terbesar di dunia, oleh karena itu perlu perawatan sejak awal. Beberapa jenis pengobatan pe- nyakit tumor antara lain: bedah (operasi), radioterapi, kemoterapi, terapi hormon, immunoterapi, dan kombinasinya [8]. Kemoterapi adalah tindak- an/terapi pemberian senyawa kimia (obat tumor) untuk mengurangi, meng- hilangkan atau menghambat pertumbuhan parasit atau mikroba di tubuh pasien (hospes). Obat-obatan yang sering digunakan dalam kemoterapi mi- salnya golongan siklofosfamid, methotreksat, dan beberapa obat sitotoksik seperti amsacrine, cisplatin, cyclophosphamide, dan lain-lain. Kemotera- pi dengan dosis obat yang berlebihan atau tidak tepat dapat membunuh atau merusak jaringan dan sel tubuh yang normal, serta menyebabkan efek samping bagi penderita penyakit tumor seperti lemas, mual dan muntah, gangguan pencernaan, rambut rontok, dan lain-lain. Obat tumor meru- pakan obat spesialistik sehingga hanya dibenarkan penggunaannya oleh dokter yang berpengalaman di bidang pengobatan ini. Karena itu durasi dan dosis obat yang tepat sangat penting dalam pengobatan tumor [3].
Di bidang matematika biologi, fenomena ini dapat diselesaikan dengan mengkonstruksi suatu model matematis dan menerapkan teori kendali op- timal untuk menentukan kapan dan sejauh mana dosis yang tepat dalam proses kemoterapi tumor [9], [4]. Beberapa penelitian di bidang kendali optimum untuk kemoterapi tumor antara lain : [11] meneliti tentang in- teraksi teori kendali optimum dengan kemoterapi tumor yang meliputi 3 bidang yaitu melibatkan model kinetik pertumbuhan miscellaneous, mo- del siklus sel dan klasifikasi model. [6] meneliti obat-obatan anti tumor yang ditujukan untuk meminimalkan ukuran tumor dimana secara anali-
tik gradien dari semua konstrain dikonstruksikan dan masalah diselesaikan secara umum dengan menggunakan persamaan Gompertz dan persamaan Bellman. [7] meneliti tentang teori kendali optimum untuk menganalisis bagaimana menghitung pengaruh negatif dan kendala dari tumor pada sel normal yang mempengaruhi penerapan obat optimum dalam kemoterapi tumor dan menentukan aturan optimum yang meminimalkan sel tumor pa- da akhir periode terapi dengan mempertahankan populasi sel normal. [2] meneliti tentang hubungan kendali optimal dengan terapi obat dan meng- uji atau membandingkan berbagai strategi pengendalian optimal termasuk kendali kuadrat, kendali linier dan ruang kendala. [8] meneliti tentang ma- salah kendali optimum yang dirumuskan dan diselesaikan untuk model sel cycle nonspesifik dan sel cycle spesifik sehingga mendapatkan jadwal ke- moterapi yang efektif untuk meminimalkan ukuran tumor dan membatasi kerusakan pada sel normal. Simulasi model pertumbuhan tumor dilakukan untuk mengetahui pola pertumbuhan tumor dan aplikasinya untuk me- ningkatkan terapi tumor supaya dapat untuk memahami dinamika respon obat dalam tubuh. Kendali optimal kemoterapi sangat dibutuhkan untuk mengoptimalkan efek pemberian obat dengan cara mengatur dosis obat dan rentang waktu pemberian obat, sehingga dalam penelitian ini ditujuk- an untuk bagaimana menentukan interval waktu dan dosis optimal dalam kemoterapi tumor.

## 2. Hasil dan Pembahasan

## 2.1. Model matematika kemoterapi tumor
Model matematika yang dikembangkan dalam penelitian ini terdiri dari : tiga model populasi sel, diantaranya sel tumor, sel effektor-immun dan sel sirkulasi limposit serta satu model konsentrasi obat dalam peredaran darah. Komponen sistem kekebalan tubuh ( immun ), meliputi populasi sel effektor- immun yang secara aktif berfungsi membunuh sel tumor sedangkan popu- lasi sel sirkulasi limposit berfungsi mengawasi atau menekan peningkatan kerusakan sel akibat efek samping kemoterapi. Model sirkulasi sel limposit mewakili ukuran kesehatan pasien sehingga digunakan sebagai penggan- ti populasi sel normal. Sistem dari persamaan differensial yang digunakan menggambarkan pertumbuhan, kematian, dan interaksi dari masing-masing
populasi dengan pengobatan kemoterapi yang diberikan oleh sistem berikut [2] :
˙ T = aT (1 − bT ) − c 1 N T − K T M T (1)
˙ N = α 1 − f N + g T h + T N − pN T − K N M N (2)
˙ C = α 2 − βC − K C M C (3)
˙ M = γM + V M ( t ) (4)
Dengan populasi sel tumor, populasi sel kekebalan dan konsentrasi obat dalam waktu t dinotasikan sebagai berikut :
T ( t ) : Populasi sel tumor N ( t ) : Populasi sel effektor-immun
C ( t ) : Populasi sirkulasi limposit
M ( t ) : Konsentrasi kemoterapi obat
Setiap persamaan diatas memiliki kondisi awal secara umum, yaitu :
T (0) = T 0 ≥ 0 , N (0) = N 0 ≥ 0 , C (0) = C 0 ≥ 0 , dan M (0) = M 0 ≥ 0 .
Pada persamaan (1) populasi sel tumor diasumsikan tumbuh secara lo- gistik, walaupun sel tumor dibunuh oleh sel effektor melalui aksi masa dinamik. Persamaan (2) pada sel effektor memiliki laju konstanta sumber α 1 dan − f N merupakan laju kematian seimbang. Sel effektor juga direk- rut oleh sel tumor melalui persamaan Michael-Menten g T h + T . Sirkulasi sel limposit pada persamaan (3) memiliki laju konstanta sumber α 2 dan − βC merupakan bentuk kematian seimbangnya. Pada persamaan (4) V M ( t ) me- notasikan dosis obat pada konsentrasi kemoterapi dan − γM merupakan kemunduran sistem secara seimbang untuk konsentrasi.

## 2.2. Analisis sistem dinamik
Analisis Sistem Dinamik Sistem dinamik dari persamaan (1)-(4) dapat dianggap sebagai suatu titik tetap dan dapat ditentukan karakteristik sta- bilitasnya. Jika V M ( t ) adalah suatu konstanta dengan nilai V M ( t ) = V M , maka persamaan (4) dapat menjadi :
M = V M γ (5)
Tabel 1: Estimasi nilai parameter Parameter Unit Deskripsi Nilai Estimasi a hari − 1 Laju pertumbuhan tumor 4,31 × 10 − 3 b sel − 1 1 b adalah kapasitas tumor 1,02 × 10 − 14 c 1 sel − 1 hari − 1 Bagian sel tumor yang 3,41 × 10 − 10 dibunuh oleh sel effektor f hari − 1 Laju kematian sel effektor 4,12 × 10 − 2 g hari − 1 Laju rekruitment sel 1,50 × 10 − 2
effektor maksimum oleh sel tumor h sel 2 Koefisien steepnes dari 2,02 × 10 1
kurva rekruitment sel effektor K C , K N hari − 1 Bagian sel effektor dan 6,00 × 10 − 1
sirkulasi limposit
yang dibunuh oleh kemoterapi K T sel − 1 Bagian sel tumor yang 8,00 × 10 − 1 dibunuh oleh kemoterapi p hari − 1 Laju inaktivasi sel effektor 2,00 × 10 − 11 oleh sel tumor α 1 sel − 1 hari − 1 Konstanta sumber 1,20 × 10 4 dari sel effektor α 2 sel − 1 hari − 1 Konstanta sumber 7,50 × 10 8 dari sirkulasi limposit β hari − 1 Laju kematian 1,2 × 10 − 2 dari sirkulasi limposit γ hari − 1 Laju penurunan 9,00 × 10 − 1
kemoterapi obat
Substitusi nilai M pada persamaan (5) ke persamaan (3) diperoleh :
C = α 2 γ γβ + K C V M (6)
Juga untuk persamaan (1) didapat
0 = T [ a (1 − bT ) − c 1 N − K T M ] (7)
Untuk T = 0 terdapat suatu titik keseimbangan ( equilibrium ), sehingga jika disubstitusikan ke persamaan (2), diperoleh :
N = α 1 γ γf + K N V M (8)
Untuk analisa kestabilan dari titik keseimbangan T = 0, dapat dibentuk matriks Jacobian dari persamaan (1)-(4), sebagai berikut :
J =      χ − c 1 T 0 − K T T − pN + gN h ( h + T ) 2 ζ 0 − K N N 0 0 − β − K C M − K C C 0 0 0 − γ     
dengan χ = − 2 abT + a − c 1 N − K T M, ζ = − f − pT − K N M + g T ( h + T ) .
Dengan mensubstitusi nilai T = 0, dapat diperoleh matriks berikut :
J =      a − c 1 N − K T M 0 0 0 − pN − f − K N M 0 − K N N 0 0 − β − K C M − K C C 0 0 0 − γ      .
Matriks Jacobian diatas dipartisi ke dalam bentuk matriks ordo 2 × 2, sebagai berikut :
J 11 = a − c 1 N − K T M 0 − pN − f − K N M ! J 12 = 0 0 0 − K N N ! J 21 = 0 0 0 0 ! J 22 = − β − K C M − K C C 0 − γ ! .
Setiap matriks hasil pertisi diatas diselesaikan dengan menggunakan
persamaan J − eI = 0, sehingga diperoleh nilai eigen sebagai berikut :
e 1 = a − c 1 N − K T M e 2 = − f − K N M e 3 = − β − K C M e 4 = − γ
Substitusi nilai M , C dan N pada persamaan (5) - (8) pada nilai-nilai eigen diatas, diperoleh :
e 1 = a − c 1 α 1 γ γf + K N V M − K T V M γ e 2 = − f − K N V M γ e 3 = − β − K C V m γ e 4 = − γ
dimana semua parameter positif e 2 , e 3 , e 4 bernilai negatif. Sehingga pada titik keseimbangan T = 0 berlaku stabil asimtotik lokal, dengan
a − c 1 α 1 γ γf + K N V M − K T V M γ < 0 (9)
Ketika V M = 0 (tidak ada pengobatan), substitusi nilai V M = 0 ke M , C , dan N persamaan (5) - (8), maka diperoleh :
T = 0 , N = α 1 f , C = α 2 β dan M = 0
Titik-titik ini dengan menggunakan nilai-nilai estimasi parameter yang di- berikan pada tabel 1, hasilnya tidak akan memenuhi persamaan (9). Tetapi ketika V M = 1 maka diperoleh :
T = 0 , M = 1 γ , N = α 1 f + K N γ dan C = α 2 β + K C γ
Titik-titik T , M , N dan C , yang baru ini merupakan titik tetap stabil kare- na memenuhi persamaan (9). Ini mengindikasikan bahwa jika pengobatan diterapkan secara optimal pada waktu yang tepat maka keseimbangan tu- mor akan semakin stabil atau menuju ke titik keseimbangan nol ( T = 0).

## 2.3. Masalah kendali optimum
Masalah kendali optimum yang akan dioptimalkan adalah dosis obat opti- mal yang bertujuan untuk meminimalkan ukuran populasi sel tumor. Ben- tuk kendali optimum yang akan diteliti dalam penelitian ini adalah bentuk kendali kuadratik, yang diterapkan pada suatu fungsi objektif untuk memi- nimalkan ukuran populasi sel tumor, sehingga dapat diperoleh dosis opti- mal yang tepat. Fungsi objektif (indeks performa) yang akan diminimalkan yaitu :
J ( V M ) = t f Z 0 T ( t ) + ε 2 V 2 M ( t ) ! dt (10)

## 2.4. Simulasi numerik dan analisa hasil simulasi
Simulasi dari model matematika untuk populasi sel tumor, sel effektor- immun , sel limposit dan konsentrasi obat, diselesaikan dengan mengguna- kan program DOTcvpSB versi R2010 − E3 (Dynamic Optimization Traje- ctory Control Vector Parameterization System Biology). Hasil simulasi ini bertujuan untuk mendapatkan nilai optimasi secara numerik dari fungsi kendali kuadratik yang mengindikasikan dosis obat optimal, dengan meng- gunakan estimasi nilai parameter pada Tabel 1.
i. Simulasi secara numerik
Proses simulasi sel tumor, sel kekebalan dan konsentrasi obat dilakukan dengan waktu awal t 0 = 0 dan waktu akhir t f = 180 atau proses simulasi dilakukan selama 180 hari. nilai variabel kendali untuk dosis obat V M berkisar antara 0 < V M < 1 . Analisa proses simulasi dibagi dalam 4 kasus, sebagai berikut:
a. Kasus T 0 > N 0 dan T 0 > C 0 .
Untuk kondisi awal populasi sel tumor 6 × 10 10 sel, populasi sel effektor-immun 3 , 5 × 10 2 sel, populasi awal sel limposit 6 , 25 × 10 3 sel. Dari Gambar (1)-(4) dapat dilihat bahwa pada saat popula- si sel tumor turun menuju ke titik keseimbangan tumor nol pada awal pengobatan akibat pengaruh obat, sel effektor dan limposit akan tumbuh secara perlahan, sedangkan konsentrasi obat akan
Gambar 1: Populasi sel tumor ( T 0 > N 0 & T 0 > C 0 ) Gambar 2: Populasi sel effektor ( T 0 > N 0 & T 0 > C 0 )
Gambar 3: Populasi sel limposit ( T 0 > N 0 & T 0 > C 0 ) Gambar 4: Konsentrasi Obat ( T 0 > N 0 & T 0 > C 0 )
Gambar 5: Variabel kendali ( T 0 > N 0 & T 0 > C 0 ) Gambar 6: Kurva konvergen ( T 0 > N 0 & T 0 > C 0 )
dikurangi seiring dengan berkurangnya populasi sel tumor. Se- dangkan kurva konvergen menunjukan bahwa fungsi tujuan akan semakin lama konvergen ke titik keseimbangan.
b. Kasus T 0 < N 0 dan T 0 < C 0 .
Untuk kondisi awal populasi sel tumor 10 3 sel, populasi sel effektor-
immun 3 , 5 × 10 5 sel, populasi awal sirkulasi limposit 6 , 25 × 10 3 sel.
Gambar 7: Populasi sel tumor ( T 0 < N 0 & T 0 < C 0 ) Gambar 8: Populasi sel effektor
( T 0 < N 0 & T 0 < C 0 )
Gambar 9: Populasi sel limposit ( T 0 < N 0 & T 0 < C 0 ) Gambar 10: Konsentrasi Obat ( T 0 < N 0 & T 0 < C 0 )
Gambar 11: Variabel kendali ( T 0 < N 0 & T 0 < C 0 ) Gambar 12: Kurva konvergen ( T 0 < N 0 & T 0 < C 0 )
Dari Gambar (7)-(12) dapat dilihat bahwa pada saat populasi sel tumor turun menuju ke titik keseimbangan tumor nol, sel effektor dan limposit akan berkurang juga sampai mendekati titik mini- mum dan tumbuh secara perlahan, untuk konsentrasi obat akan dikurangi seiring dengan berkurangnya populasi sel tumor. Se- dangkan kurva konvergen menunjukan bahwa fungsi tujuan sema- kin cepat konvergen ke titik keseimbangan.
Tabel 2: Hasil simulasi numerik untuk dosis obat No. Simulasi untuk kasus
Dosis optimum J ( V M ) 1 T 0 > N 0 dan T 0 > C 0 116229226840,05139 2 T 0 < N 0 dan T 0 < C 0 1946,92209964
ii. Analisa hasil simulasi
Dari hasil simulasi secara numerik dengan menggunakan DOTcvpSB diperoleh nilai numerik dari fungsi objektif yang diminimumkan ter- hadap ukuran populasi sel tumor untuk mendapatkan nilai dosis obat optimal sebagai variabel kendali. Tabel 2, menunjukan bahwa pada saat populasi sel tumor jauh lebih kecil dari populasi sel kekebalan tu- buh maka dosis obat yang dibutuhkan dalam proses kemoterapi lebih kecil dibandingkan dengan dosis obat yang diterapkan untuk populasi tumor yang lebih besar dari populasi sel kekebalan tubuh.
Ini merupakan dosis optimal yang dicapai dalam menekan ukuran po- pulasi sel tumor seminimal mungkin. Proses ini menunjukan bahwa penggunaan dosis obat dalam suatu periode pengobatan kemoterapi tumor akan dikurangi dosisnya seiring dengan berkurangnya ukuran populasi sel tumor dan meningkatnya populasi sel kekebalan tubuh. Selain itu, peranan sel effektor-immun dengan populasinya yang se- makin besar juga sangat berpengaruh dalam membunuh dan menekan populasi sel tumor seminimal mungkin. Oleh karena itu, obat yang dipakai dalam proses kemoterapi, selain berfungsi membunuh dan me- nekan populasi sel tumor diharapkan dapat merangsang pertumbuhan populasi sel kekebalan tubuh. Sehingga pada saat populasi sel tumor mencapai titik keseimbangan nol dan reaksi dari proses pengobatan
kemoterapi berhenti, maka fungsi pertahanan dan kekebalan tubuh dapat digantikan oleh sel kekebalan tubuh.

## 3. Kesimpulan
Kondisi awal yang mewakili ukuran populasi sel tumor ( T 0 ), populasi effektor-immun ( N 0 ) dan populasi sel sirkulasi limposit ( C 0 ) sangat ber- pengaruh terhadap dosis obat optimal ( V M ) yang diterapkan dalam proses kemoterapi tumor. Semakin besar ukuran populasi sel tumor, maka sema- kin besar pula dosis obat optimal yang diterapkan. Titik keseimbangan (equilibrium) T = 0 , merupakan titik stabil dan dapat dipenuhi ketika nilai variabel kendali V M = 1 (pengobatan mencapai dosis optimal). Tra- yektori konsentrasi obat menurun drastis pada saat ukuran populasi tumor mencapai keseimbangan tumor nol, pada saat titik keseimbangan tumor nol maka populasi sel effektor-immun dan populasi sel sirkulasi limposit akan meningkat drastis.

## Pustaka
[1] Afenya E. , Mathematical Model of Cancer and Their Relevant Insights , Mathematical Biology and Medicine 9, 173-223, 1996.
[2] de Phillis L.G., Gu W., Fister K.R, Head T., Maples K.,
Murugan A., Neal T., dan Yoshida K. , Chemoterapy for Tumors : an Analysis of the Dynamics and a Study of Quadratic and Linear Optimal Control , Mathematical Biosciences 29, 292-315, 2007.
[3] Harold J.M., dan Parker R.S. , Clinically Relevant Cancer Che- moterapy Dose Scheduling via Mixed Integer Optimization , Computer and Chemical Engineering 33, 2042-2054, 2009.
[4] Itik M., Salamci M.U. dan Banks, S.P. , Optimal Control of Drug Therapy in Cancer Treatment , Nonlinear Analysis 71, e1473-e1486, 2009.
[5] Macdonald, F., Ford, C.H.J, dan Casson, A.G. , Molecular Biology of Cancer , Second Edition, Garland Science/BIOS Scientific Publishers, London, 2005
[6] Martin, R.B. , Optimal Control Drug Scheduling of Cancer Chemo- terapy , Pergamon Press Ltd, Automatica 28, 1113-1123, 1992
[7] Matveev A.S., dan Savkin A.V. , Application of Optimal Control Theory to Analysis of Cancer Chemoterapy Regimens , Systems & Con- trol Letters 46, 311-321, 2002
[8] Pinky D., Vivek D., dan Pistikopoulos, E.N. , Optimal Deli- very of Chemotherapeutic Agents in Cancer , Computers and Chemical Engineering 32, 99-107, 2008
[9] Preziosi, L. , Cancer Modeling and Simulation , Chapman & Hall/CRC Mathematical Biology and Medicine, New York, 2003.
[10] Subchan, S., dan Zbikowski, R. , Computational Optimal Control Tools and Practise , John Willey and Sons, Ltd, publication, United Kingdom, 2003.
[11] Swan, G.W. , Role of Optimal Control Theory in Cancer Chemothe- rapy , Mathematical Biosciences 101, 237-284, 1990.