## PENALARAN MATEMATIS DALAM MENYELESAIKAN MASALAH MATEMATIKA SISWA SMP
Erni Puji Astuti FKIP, Universitas Muhammadiyah Purworejo
Email: erni_umpwr@mail.com

## ABSTRAK
Penelitian ini bertujuan untuk mengetahui deskripsi penalaran matematis siswa Sekolah  Menengah  Pertama  (SMP)  dalam  menyelesaikan  masalah  matematika. Metode yang digunakan adalah kualitatif. Jenis penelitiannya adalah studi kasus. Data yang  dikumpulkan  yaitu  hasil  pekerjaan  siswa. Snowball  sampling sebagai  teknik pengambilan  subjek.  Subjek  dalam  penelitian  ini  adalah  siswa  SMP  yang  berjumlah  2 siswa. Teknik yang digunakan untuk mengumpulkan data adalah dokumentasi. Teknik analisis  datanya  dengan  cara  reduksi  data,  penyajian  data,  menarik  kesimpulan,  dan verifikasi. Hasil penelitian ini menunjukkan bahwapenalaran matematis subjek S1 dan subjek  S2,  mempunyai  penalaran  matematis  yang  baik  karena  memenuhi  semua indikator  penalaran  matematis.  Hal  ini  menunjukkan  bahwa  penalaran  matematis siswa SMP baik.
Kata kunci : penalaran matematis,  masalah matematika

## PENDAHULUAN
Pendidikan  merupakan  salah  satu  proses  dimana  dapat  merubah  pola  pikir melalui  pengajaran  dan  pelatihan  untuk  menambah  wawasan  agar  siswa  lebih  aktif untuk  mengembangkan  pola  pikirnya.  Mata  pelajaran  matematika  merupakan  salah satu pelajaran yang dapat mengembangkan pola pikir siswa. Matematika adalah suatu ilmu pengetahuan yang tergolong ilmu dasar serta mempunyai peranan penting dalam perkembangan ilmu pengetahuan dan teknologi. Pembelajaran matematika di sekolah menengah  pertama  mampu  mengembangkan  potensi  yang  dimiliki  siswa,  sehingga mereka  mampu  memahami  matematika  secara  benar.  Pada  pembelajaran matematika  berhasil  tidaknya  suatu  pembelajaran  tergantung  pada  proses pembelajarannya,  semua  itu  tidak  bisa  lepas  dari  peran  serta  guru.  Oleh  karena  itu, peran guru sangat penting dalam membantu siswa memahami dan menguasai materi pelajaran.  Selain  harus  mempunyai  pengetahuan  matematika  yang  cukup,  seorang
guru  matematika  perlu  mempunyai  kemampuan  matematis  yang  baik  agar  tujuan pembelajaran dapat tercapai.
Kemampuan  matematis  adalah  kemampuan  untuk  menghadapi  permasalahan baik  dalam  matematika  maupun  kehidupan  nyata. National  Council  of  Teachers  of Mathematics (NCTM)  tahun  2000  menyatakan  bahwa  lima  kemampuan  matematis yang  harus  dimiliki  siswa  yaitu  (1)  belajar  untuk  berkomunikasi  ( mathematical communication );  (2)  belajar  untuk  bernalar  ( mathematical  reasoning );  (3)  belajar untuk  memecahkan  masalah  ( mathematicalproblem  solving );  (4)  belajar  untuk mengaitkan ide ( mathematical connection ); (5)  belajar untuk merepresentasikan ide- ide ( mathematical representation ).
Penalaran  dalam  matematika  sulit  dipisahkan  dari  kaidah-kaidah  logika.  Menurut Shadiq dalam Tina Sri Sumartini (2015: 3) mengemukakan bahwa
“penalaran adalah suatu proses atau suatu aktifitas berpikir untuk menarik suatu kesimpulan  atau  membuat  suatu  pernyataan  baru  yang  benar  berdasar  pada beberapa  pernyataan  yang  kebenarannya  telah  dibuktikan  atau  diasumsikan sebelumnya”.
Menurut Asep Jihat dan Abdul Haris (2008: 149) menyatakan bahwa “penalaran merupakan  kompetensi  yang  ditunjukkan  siswa  dalam  melakukan  penalaran  dan mengkomunikasikan gagasan matematika”.
Dengan demikian, kemampuan penalaran ini diperlukan siswa untuk membantu siswa  dalam  menyimpulkan  dan  membuktikan  suatu  pernyataan  sampai  pada menyelesaikan  masalah  dalam  matematika.  Penalaran  matematis  merupakan  proses atau aktivitas berpikir dalam menarik kesimpulan berdasarkan pada pernyataan yang telah dibuktikan kebenarannya.
Menurut  Sumarno  dalam  Asmar  Bani  (2011:  15),  memberikan  indikator kemampuan yang termasuk pada kemampuan penalaran matematis yaitu:
a. membuat analogi dan generalisasi;
b. memberikan penjelasan dengan menggunakan model;
c. menggunakan pola dan hubungan untuk menganalisis situasi matematika;
d. menyusun dan menguji konjektur;
e. memeriksa validitas argument;
f. menyususn pembuktian langsung;
g. menyusun pembuktian tidak langsung;
h. memberikan contoh penyangkalan; dan
i. mengikuti aturan inferensi.
Menurut Bingham dalam Dilek, Lynn, dan Recai (2012: 173) menyatakan bahwa: “ Problem    solving,    which    is    one    of    the    important    elements    of    school mathematics, can  be  defined  as  the  process  of  finding  the  best  way  to  clear the  hurdle  that  is  faced,  which  requires  series  of attempts  with regards  to eliminating  difficulties that are faced in order to achieve a certain objective ”.
Pernyataan tersebut menjelaskan bahwa pemecahan masalah, yang merupakan salah satu elemen penting dari matematika sekolah, dapat didefinisikan sebagai proses menemukan  cara  terbaik  untuk  menghapus  rintangan  yang  dihadapi,  yang mengharuskan  serangkaian  upaya  berkaitan  dengan  menghilangkan  kesulitan  yang dihadapi untuk mencapai tujuan tertentu.
Pembicaraan  mengenai  pemecahan  masalah  matematika  tidak  terlepas  dari tokoh utamanya yaitu George Polya. Menurut Polya dalam Ahmad Susanto (2013: 202) menyebutkan ada empat langkah dalam pembelajaran pemecahan masalah , yaitu:
a. memahami  masalah,  langkah  ini  meliputi:  1)  apa  yang  diketahui,  keterangan apa  yang  diberikan,  atau  bagaimana  keterangan  soal;  2)  apakah  keterangan yang  diberikan  cukup  untuk  mencari  apa  yang  ditanyakan;  3)  apakah keterangan  tersebut  tidak  cukup,  atau  keterangan  itu  berlebihan;  dan  4) buatlah gambar atau notasi yang sesuai;
b. merencanakan  penyelesaian,  langkah  ini  terdiri  atas:  1)  pernahkah  Anda menemukan  soal  seperti  ini  sebelumnya,  pernahkah  ada  soal  yang  serupa dalam bentuk lain; 2) rumus mana yang dapat digunakan dalam masalah ini; 3) perhatika apa yang ditanyakan; dan 4) dapatkah hasil dan metode yang lalu digunakan disini;
c. melalui  perhitungan,  langkah  ini  menekankan  pada  pelaksanaan  rencana penyelesaian yang meliputi: 1) memeriksa setiap langkah apakah sudah benar atau  belum;  2)  bagaimana  membuktikan  bahwa  langkah  yang  dipilih  sudah benar; dan 3) melaksanakan perhitungan sesuai dengan rencana yang dibuat; dan
d. memeriksa  kembali  proses  dan  hasil.  Langkah  ini  menekankan  pada bagaimana  cara  memeriksa  kebenaran  jawaban  yang  diperoleh,  yang  terdiri dari: 1) dapatkah diperiksa kebenaran jawaban; 2) dapatkah jawaban itu dicari dengan  cara  lain;  3)  dapatkah  jawaban  atau  cara  tersebut  digunakan  untuk soal-soal lain.
Menurut  Asep  Jihat  dan  Abdul  Haris  (2008:  149-150)  “pemecahan  masalah merupakan  kompetensi  strategik  yang  ditunjukkan  siswa  dalam  memahami,  memilih pendekatan dan strategi pemecahan, dan menyelesaikan model untuk menyelesaikan masalah”.  Indikator  yang  menunjukkan  pemecahan  masalah  menurut  Asep  Jihat  dan Abdul Haris adalah:
a. menunjukkan pemahaman masalah;
b. mengorganisasi  data  dan  memilih  informasi  yang  relevan  dalam  pemecahan masalah;
c. menyajikan masalah secara matematik dalam berbagai bentuk;
d. memilih pendekatan dan metode metode pemecahan masalah secara tepat;
e. mengembangkan strategi pemecahan masalah;
f. membuat dan menafsirkan model matematika dari suatu masalah; dan
g. menyelesaikan masalah yang tidak rutin.
Dari  pengertian  pemecahan  masalah  yang  telah  dijabarkan  maka  dapat disimpulkan bahwa pemecahan masalah adalah usaha nyata dalam rangka mencari ide yang berkenaan dengan tujuan yang ingin dicapai.
Mengingat pentingnya  penalaran  matematis  bagi  siswa,  maka  tujuan penelitian ini  adalah  untuk  mengetahui  penalaran  matematis  siswa  sekolah  menengah  pertama dalam menyelesaikan masalah matematika.

## METODE PENELITIAN
Metode yang digunakan dalam penelitian ini adalah kualitatif. Metode penelitian kualitatif adalah metode penelitian yang digunakan untuk meneliti pada kondisi obyek yang  alamiah,  dimana  peneliti  adalah  sebagai  instrumen  kunci,  teknik  pengumpulan data  dilakukan  secara  triangulasi  (gabungan)  dan  hasil  penelitian  kualitatif  lebih menekankan  makna  dari  pada  generalisasi  (Sugiyono,  2015:  1).  Jenis  penelitian  yang digunakan  dalam  penelitian  ini  adalah  studi  kasus.  Studi  kasus  adalah  deskripsi  dan analisis  intensif terhadap  suatu fenomena,  unit sosial,  atau  sistem  yang dibatasi  oleh tempat dan waktu (Bloomberg & Volpe, 2008). Desain studi kasus dalam penelitian ini dilakukan  untuk  memperoleh  pemahaman  mendalam  dari  situasi  dan  makna, perhatian lebih diutamakan pada proses daripada hasil.
Snowball  sampling sebagai  teknik  pengambilan  subjek  dalam  penelitian  ini. Subjek  dalam  penelitian  ini  adalah  siswa  Sekolah  Menengah  Pertama  (SMP)  yang
berjumlah  2  siswa.  Teknik  pengumpulan  data  menurut  Sugiyono  (2015)  merupakan langkah  yang  paling  strategis  dalam  penelitian  karena  tujuan  utama  dari  penelitian adalah mendapatkan data. Tanpa mengetahui teknik pengumpulan data maka peneliti tidak  akan  mendapatkan  data  yang  memenuhi  standar  data  yang  ditetapkan.  Teknik yang  digunakan  untuk  mengumpulkan  data  saat  pelaksanaan  penelitian  adalah dokumentasi  dan  data  hasil  pekerjaan  siswa.  Teknik  analisis  data  menurut  Miles  & Huberman  (Sugiyono,  2015)  aktivitas  dalam  analisis  data  kualitatif  dilakukan  secara interaktif  dan  berlangsung  secara  terus-menerus  sampai  tuntas,  sehingga  datanya sudah  jenuh.  Aktivitas  dalam  analisis  data  dilakukan  dengan  cara  reduksi  data, penyajian data, menarik kesimpulan, dan verifikasi.

## HASIL DAN PEMBAHASAN
Kemampuan  penalaran  sangat  diperlukan  untuk  membantu  siswa  dalam menyimpulkan  dan  membuktikan  suatu  pernyataan  sampai  pada  penyelesaian masalah  matematika.  Penalaran  matematis  merupakan  proses  atau  aktivitas  berpikir dalam  menarik  kesimpulan  berdasarkan  pada  pernyataan  yang  telah  dibuktikan kebenaranya.  Adapun  indikator  penalaran  matematis  dalam  penelitian  ini  disajikan pada tabel berikut ini.
Tabel 1. Indikator Penalaran Matematis No Aspek yang diamati
1. Kemampuan siswa untuk menyajikan pernyataan matematika secara tertulis
2. Kemampuan siswa mengajukan dugaan
3. Kemampuan siswa memanipulasi matematika
4. Siswa dapat menarik kesimpulan dari suatu pernyataan.
Soal yang dipakai untuk mengukur penalaran matematis siswa SMP adalah soal faktorisasi  suku  aljabar,  sebagai  berikut.  Jika ,  maka selesaikanlah
!
Berikut ini adalah contoh jawaban subjek S1 yang dapat dilihat pada Gambar 1.

## Gambar 1. Jawaban Subjek S1
Terlihat  pada  jawaban  subjek  S1  di  atas,  subjek  S1  dapat  menuliskan  maksud soal.  Dapat  dikatakan  subjek  S1  sudah  dapat  menyajikan  pernyataan  matematika secara tertulis, sehingga akan lebih mudah dalam menyelesaikan masalah matematika.
Berikut ini adalah contoh jawaban subjek S1 yang dapat dilihat pada Gambar 2.

## Gambar 2. Jawaban Subjek S1
Terlihat  pada  jawaban  subjek  S1  di  atas,  subjek  S1  sudah  dapat  mengajukan dugaan.  Terbukti  bahwa  subjek  S1  menuliskan  pemfaktoran  dari ( ) (     )(     ) . Hal ini menunjukkan bahwa subjek S1 dapat memahami bahwa dalam menjumlahkan pecahan aljabar dengan penyebut yang tidak sama maka penyebutnya harus disamakan terlebih  dahulu  dengan  melihat  langkah  dari  yang diketahui.  Subjek S1  melihat  salah  satu  penyebutnya  dari  soal  tersebut,  kemudian  menduga  bahwa (     ) merupakan  salah  satu hasil pemfaktoran dari ( ) .  Oleh  karena  itu  yang dilakukan oleh Subjek S1 yaitu memfaktorkan ( ) .
Berikut ini adalah contoh jawaban subjek S1 yang dapat dilihat pada Gambar 3.
Gambar 3. Jawaban Subjek S1
Terlihat pada jawaban subjek S1 di atas, subjek S1 sudah dapat melakukan manipulasi matematika. Terbukti subjek S1 ketika akan menjumlahkan pecahan aljabar, Subjek S1 melakukan  manipulasi  dengan  menyamakan  penyebutnya  terlebih  dahulu.  Hal  ini menunjukkan  bahwa  Subjek  S1  memahami  bahwa  ketika  penyebutnya  tidak  sama maka  harus  disamakan  terlebih  dahulu,  setelah  penyebutnya  sama  baru menjumlahkan pembilangnya untuk mendapatkan penyelesaian.
Berikut ini adalah contoh jawaban subjek S1 yang dapat dilihat pada Gambar 4.

## Gambar 4. Jawaban Subjek S1
Terlihat  pada  jawaban  subjek  S1  di  atas,  subjek  S1  sudah  dapat  menarik kesimpulan  dari  suatu  pernyataan  dengan  melihat  yang  diketahui  dengan  hasil penyelesaian yang diperoleh.
Berikut ini adalah contoh jawaban subjek S2 yang dapat dilihat pada Gambar 5.

## Gambar 5. Jawaban Subjek S2
Terlihat  pada  jawaban  subjek  S2  di  atas,  subjek  S2  dapat  menuliskan  maksud soal.  Dapat  dikatakan  subjek  S2  sudah  dapat  menyajikan  pernyataan  matematika secara tertulis, sehingga akan lebih mudah dalam menyelesaikan masalah matematika.
Berikut ini adalah contoh jawaban subjek S2 yang dapat dilihat pada Gambar 6.

## Gambar 6. Jawaban Subjek S2
Terlihat  pada  jawaban  subjek  S2  di  atas,  subjek  S2  sudah  dapat  mengajukan dugaan.  Terbukti  bahwa  subjek  S2  menuliskan  pemfaktoran  dari ( ) (     )(     ) . Hal ini menunjukkan bahwa subjek S1 dapat memahami bahwa dalam
menjumlahkan pecahan aljabar dengan penyebut yang tidak sama maka penyebutnya harus disamakan terlebih  dahulu  dengan  melihat  langkah  dari  yang diketahui.  Subjek S2  melihat  salah  satu  penyebutnya  dari  soal  tersebut,  kemudian  menduga  bahwa (     ) merupakan  salah  satu hasil pemfaktoran dari ( ) .  Oleh  karena  itu  yang dilakukan oleh Subjek S2 yaitu memfaktorkan ( ) .
Berikut ini adalah contoh jawaban subjek S2 yang dapat dilihat pada Gambar 7.
Gambar 7. Jawaban Subjek S2
Terlihat  pada  jawaban  subjek  S2  di  atas,  subjek  S2  sudah  dapat  melakukan manipulasi  matematika.  Terbukti  subjek  S2  ketika  akan  menjumlahkan  pecahan aljabar,  Subjek  S2  melakukan  manipulasi  dengan  menyamakan  penyebutnya  terlebih dahulu. Hal ini menunjukkan bahwa Subjek S2 memahami bahwa ketika penyebutnya tidak  sama  maka  harus  disamakan  terlebih  dahulu,  setelah  penyebutnya  sama  baru menjumlahkan pembilangnya untuk mendapatkan penyelesaian.
Berikut ini adalah contoh jawaban subjek S2 yang dapat dilihat pada Gambar 8.

## Gambar 8. Jawaban Subjek S2
Terlihat  pada  jawaban  subjek  S2  di  atas,  subjek  S2  sudah  dapat  menarik kesimpulan  dari  suatu  pernyataan  dengan  melihat  yang  diketahui  dengan  hasil penyelesaian yang diperoleh.
Berdasarkan  hasil  temuan-temuan  tersebut,  dapat  dikatakan  bahwa  kedua subjek  memiliki  penalaran  matematika.  Hal  ini  diketahui  dari  kemampuan  kedua subjek  dalam  menyelesaikan  soal  penalaran  matematika,  keempat  indikator  dari penalaran matematika muncul. Keempat indikator tersebut adalah Kemampuan siswa untuk  menyajikan  pernyataan  matematika  secara  tertulis,  Kemampuan  siswa mengajukan  dugaan,  Kemampuan  siswa  memanipulasi  matematika,  dan  Siswa  dapat
menarik kesimpulan dari suatu pernyataan. Artinya penalaran matematika siswa SMP baik berdasarkan temuan tersebut.

## SIMPULAN
Berdasarkan  hasil  penelitian  dan  pembahasan  di  atas,  penalaran  matematis subjek  S1  dan  subjek  S2,  mempunyai  penalaran  matematis  yang  baik  karena memenuhi  semua  indikator  penalaran  matematis.  Hal  ini  menunjukkan  bahwa penalaran matematis siswa SMP baik berdasarkan temuan tersebut.

## DAFTAR PUSTAKA
Ahmad  Susanto.  2013. Teori  Belajar  dan  Pembelajaran  di  Sekolah  Dasar .  Jakarta: Kencana Prenada.
Asep Jihad dan Abdul Haris. 2008. Evaluasi Pembelajaran . Yogyakarta: Multi Pressindo.
Asmar  Bani.  2011. Meningkatkan  Kemampuan  Pemahaman  dan  Penalarann Matematik  Siswa  Sekolah  Menengah  Pertama  Melalui  Pembelajaran Penemuan  Terbimbing,  SPS  UPI,  Bandung .  ISSN  1412-565X . [Online]. Tersedia:  http://repository.upi.edu/id/eprint/9490.  Diakses  pada  tanggal 20 November 2015.
Dilek, Lynn, dan Recai. 2012. A Research on the Mathematical Problem Solving Beliefs of  Mathematics,  Science  and  Elementary  Pre-Service  Teachers  in  Turkey  in terms of Different Variables. International Journal of Humanities and Social Science Vol. 2 No. 24, Special is December 2012: 172-184.
NCTM. 2000. Principles and Standars for School Mathematics . Reston, VA: NCTM.
Sugiyono. 2015. Metode Penelitian Kuantitatif, Kualitatif, dan R&D . Bandung: Alfabeta.
Tina  Sri  Sumartini.  2015. Peningkatan  Kemampuan  Panalaran  Matematis  Siswa Melalui  Pembelajaran  Berbasis  Masalah .  Jurnal  Pendidikan  Matematika Vol.  5  No.  1  ISSN:  2086-4299.  [Online].  Tersedia:  http://jurnalmtk.stkip- garut.ac.id/data/edisi5/vol1/tina.pdf.