PENGEMBANGAN BAHAN AJAR KALKULUS VEKTOR BERDASARKAN MODEL PEMBELAJARAN MATEMATIKA KNISLEY SEBAGAI UPAYA MENINGKATKAN KOMPETENSI MATEMATIKA MAHASISWA
Endang Dedy, Endang Mulyana, Eyus Sudihartinih Universitas Pendidikan Indonesia, Jl. Dr. Setiabudhi No. 229 Bandung HP: 08172348003, E-mail: endangdedy@yahoo.com

## Abstract
This  research  is  a  study  of    Vector  Calculus  teaching  material  development  that  is  designed  to activate all parts of students brain in learning process. The purpose of this research is to improve student’s understanding  on  mathematic  subject.  This  teaching  material  development  is  based  on  Knisley’s Mathematic  Learning  Model.  The  steps  in  this  model  of  learning  are  exploration,  elaboration,  and confirmation activities as guided in learning process standards.
The  research  method  adopted  follows  a  series  of  research development  developmental research) through  thought  experiments  and  instruction  experimentation.  The  study  begins  with  an  in-depth  study theoretically  develop the syllabus according to Vector Calculus curriculum structure and the distribution of subjects contained in the curriculum UPI 2010. The next step compile teaching materials presented in print media which comes with interactive computer programs.
Lectures by using teaching materials and student assignments that have been developed following the  steps  Knisley’s  Mathematic  Learning  Model  effective  in  improving  student  competence  in  vector calculus. This is presumably  because the students have the opportunity to develop ideas collaboratively with peers in completing tasks.
Keywords: Knisley’s Mathematic Learning Model, exploration, elaboration, confirmation.

## PENDAHULUAN
Pandangan learning    as  knowing menganggap  bahwa  matematika  telah dipahami  jika  siswa  telah  mengetahui dan  hafal  konsep-konsep  dan  terampil menggunakan  suatu  prosedur,  sehingga pembelajaran  yang  didasarkan  atas pandangan  ini    hanya  menghasilkan siswa dengan pengetahuan ingatan yang terpisah-pisah  ( disconneccted  and  me- morized knowledge ) disebut pemahaman tingkat  permukaan  ( surface  level ).
Pandangan learning  as  understanding berpendapat  bahwa  seorang  siswa  telah mengetahui    suatu  konsep  matematika
tidaklah  cukup  sebelum  konsep  itu terinternalisasi dan terkait dengan pengetahuan  yang  telah dimiliki  siswa (An, Kulm dan Wu, 2004). Banyak guru yang  telah  mengetahui  berbagai  pen- dekatan  pembelajaran  yang  didasarkan atas learning  as  understanding ,  tetapi mendapat  kesulitan  dalam  mengem- bangkan  bahan  ajar  dan  memilih  media pembelajaran yang efektif serta efisien.
Karena  mahasiswa  pendidikan matematika  sebagai  calon  guru  di sekolah lanjutan, maka paradigma dalam pembelajaran  disesuaikan  juga  dengan padadigma yang dianut dalam
kurikulum 2006 atau sering disebut juga Kurikulum  Tingkat  Satuan  Pendidikan (KTSP).  Paradigma  tersebut,  proses pembelajaran  untuk  mencapai  semua kompetensi  matematika  tersebut  meng- gunakan  metode  yang  sesuai  dengan karakteristik dan mata pelajaran melalui aktivitas  eksplorasi,  elaborasi,  dan konfirmasi. Dalam melaksanakan aktivitas tersebut dapat dilakukan secara interaktif, inspiratif, menyenangkan, dan menantang,  sehingga  memotivasi  siswa untuk  berpartisipasi  aktif  dalam  proses pembelajaran  (Departemen  Pendidikan Nasional,  2007).  Hal  ini  sejalan  dengan pandangan  pembelajaran learning  as understanding .
Salah  satu  model  pembelajaran yang didasarkan atas pandangan learning    as  understanding adalah Model Pembelajaran Matematika Empat Tahap  yang  dikembangkan  Knisley, selanjutnya disebut Model Pembelajaran Matematika  Knisley  (MPMK).  Model ini  dikembangkan  atas  dasar Kolb Learning Styles (KLS) yang menyatakan terdapat  empat  gaya  belajar  ketika sesorang  mempelajari  konsep  baru. Keempat  gaya  belajar  itu  adalah kongkrit-reflektif atau allegorisasi , kongkrit-aktif atau integrasi , abstraks-
reflektif atau analisis ,  dan abstrak-aktif atau sintesis (Knisley, 2003).
Kalkulus  Vektor  merupakan  ilmu dasar  yang  perlu  dikuasai  secara  lebih luas  dan  mendalam  oleh  para  maha- siswa,  calon  guru,  atau  calon  ilmuwan. Karena  itu  diperlukan  upaya  pengem- bangan  model  belajar  yang  lebih  baik, menarik  minat,  menumbuhkan  motivasi, dan  menyenangkan.  Salah  satu  pilihan adalah  digunakannya  Model  Pembe- lajaran  Matematika  Empat  Tahap  yang dikembangkan  Knisley  dan  mengha- silkan  bahan  ajar  dengan  menggunakan media cetak dan media visual.
Kelebihan  dari  MPMK  adalah memudahkan  mengidentifikasi  tingkat pemahaman mahasiswa yang telah dica- pai  ketika  pembelajaran  sedang  ber- langsung  (Knisley,  2003).    Dengan demikian  MPMK  layak  menjadi  acuan pengembangan  bahan  ajar  kalkulus vektor di tingkat Perguruan Tinggi.

## RUMUSAN MASALAH
Berdasarkan  pada  latar  belakang masalah  yang  telah  dikemukakan  sebe- lumnya,  secara  umum  rumusan  masalah dalam  penelitian  ini  adalah  “Bagaimana mengembangkan  bahan  ajar  kalkulus vektor  berdasarkan  model  pembelajaran matematika  Knisley  sebagai  upaya
meningkatkan  kompetensi    matematika mahasiswa?”.  Adapun  secara  khusus rumusan masalah adalah
1. Bagaimana    urutan    sajian  materi ajar  kalkulus  vektor  berdasarkan konsep, aksioma, prinsip, dan prosedur?
2. Bagaimana  bahan  ajar  kalkulus vector dikembangkan untuk mening- katkan  kompetensi matematika ma-
hasiswa sesuai dengan MPMK?

## TUJUAN PENELITIAN
Kegiatan  pembelajaran  ini  secara umum  bertujuan  untuk  mengembangkan bahan  ajar  matematika  yang  sesuai dengan  MPMK  sehingga  kompetensi matematika mahasiswa meningkat. Tujuan tersebut diperoleh melalui identifikasi  kebutuhan  dan  pengem- bangan  bahan  ajar,  pemilihan  media untuk  menyajikan  bahan ajar, penerapan bahan ajar, serta evaluasi dan diseminasi produk yang dikembangkan.
Pada  penelitian  ini,  dilakukan identifikasi  kebutuhan  dan  pengem- bangan  bahan  ajar.  Dengan  demikian tujuan penelitian adalah sebagai berikut:
1. Tersusunnya    urutan    sajian  materi ajar  kalkulus  vektor  berdasarkan konsep, aksioma, prinsip, dan prosedur  yang  dapat  membantu
mengembangkan kompetensi
matematika mahasiswa melalui
MPMK.
2. Tersusunnya  bahan  ajar  kalkulus yang  dapat  membantu  mengem- bangkan  kompetensi  matematika mahasiswa  melalui  MPMK  dalam bentuk  handout,  lembar  aktivitas mahasiswa, dan powerpoint.

## KAJIAN TEORITIS

## Kompetensi  Matematika
Terdapat  berbagai    kerangka berpikir  mengenai  pemahaman  mate- matika,    Skemp  (Even  &  Tirosh,  2002: 223),  membedakan  pemahaman  mate- matika  dalam  dua  jenis  yaitu  pema- haman relasional dan pemahaman instrumental.  “ Relational  understanding is described as knowing both what to do and why, whereas instrumental understanding entails  without reasons” . Sedangkan Hiebert dan Carpenter (1992)  mengklasifikasikan  pemahaman matematika  secara  dikhotomi  antara pemahaman prosedural dan pemahaman konseptual.
Tingkat-tingkat  pemahaman  suatu disiplin  ilmu  menurut    Perkins  dan Simmons  (1988:  305)  terbagi  ke  dalam empat  tingkatan, “  four  interlocked levels of  knowledge : the content frame,
the problem-solving frame, the epistemic frame,  and  the  inquiry  frame  “ .
Selanjutnya
Kinach (2002: 157), merekonstruksi  klasifikasi  pemahaman dari  Skemp  untuk  memodifikasi levels of  disciplinary  understanding sehingga terdapat  lima  tingkatan  pemahaman yaitu,  “ content,  concept,  problem solving, epistemic, and inquiry ”t.
Kinach (2002), memodifikasi tingkat  pemahaman  dari  Perkins  dan Simmons  untuk  bidang  matematika menjadi  enam    level  pemahaman    de- ngan  menguraikan content  frame menjadi  dua  tahap  pemahaman  yaitu content-level understanding (tahap pemahaman konten) dan concept level of disciplinary understanding (tahap pemahaman konsep). Tahap pemahaman konten    terkait  dengan  kemampuan memberikan  contoh–contoh  yang  benar tentang    kosa  kata  (istilah  dan  notasi), mengingat fakta-fakta dasar, dan terampil    menggunakan  algoritma  atau mereplikasi  strategi  berpikir  dalam situasi  tertentu  yang  telah  diajarkan sebelumnya.  Pengetahuan    pada  tahap ini  adalah  pengetahuan  yang  “diterima” siswa,  diberikan  kepada  mereka  dalam bentuk  informasi  atau  keterampilan yang  terisolasi,  bukan  diperoleh  siswa secara  aktif.    Pemahaman  seperti  itu
merupakan pemahaman matematika yang paling dangkal.
Tiga tahap pemahaman berikutnya dari  Kinach  (2002),  yaitu problem- solving  level  understanding (tahap pemahaman pemecahan masalah),
epistemic-level  understanding (tahap pemahaman epistemik) dan inquiry-level understanding (tahap pemahaman inkuiri),    masing-masing  setara  dengan masing-masing  kerangka  tingkat  pema- haman    dari  Perkins  dan  Simmons yaitu, problem-solving frame , epistemic frame dan inquiry  frame .  Tingkat pemahaman pemecahan masalah, diartikan  sebagai  alat  analisis  dan metode  ilmiah  dan  pebelajar  meng- gunakannya  untuk  mengajukan  dan memecahkan  masalah  dan  dilemna matematika.  Ciri  dari  tingkat  pema- haman  pemecahan  masalah  adalah kemampuan  berpikir  menemukan  suatu pola, working  backward (bekerja  mun- dur),  memecahkan  suatu  masalah  yang serupa,    mengaplikasikan  suatu  strategi dalam situasi yang berbeda  atau menciptakan representasi matematika ke dalam fenomena fisik atau sosial.
Tingkat  pemahaman  epistemik, diartikan  sebagai  memberikan  bukti  – bukti  yang  sahih  dalam  matematika, termasuk  strategi    dalam  menguji  suatu
pernyataan    matematika.  Pemahaman pada  tingkat  epistemik  ini    menguatkan cara  berpikir  yang  digunakan  pada tingkat pemahaman konsep dan pemecahan  masalah.  Tingkat  pema- haman  inkuiri,  diartikan  sebagai  menu- runkan  pengetahuan  atau  teori  yang benar-benar  baru,  bukan  menemukan kembali.  Pemahaman  inkuiri  meliputi keyakinan  dan  strategi,  baik  secara umum  maupun  khusus  dalam  bekerja untuk memperluas pengetahuan.
Tingkat  pemahaman    matematika di  atas    sejalan  dengan  kompetensi matematika  yang  dikemukakan  oleh Kilpatrick,  Swafford,  dan  Findel  (2001) yaitu, conceptual understanding,
procedural  fluency, strategic  com- petence, adaptive  reasoning, dan pro- ductive disposition. Kompetensi concep- tual  understanding dalam  kemampuan memahamai  konsep-konsep,  operasi- operasi,  dan  relasi-relasi  matematika dalam berbagai
representasi.
Kompetensi ini sejalan dengan mamahami  konsep  matematika,  menje- laskan  keterkaitan  antar  konsep  dan mengkomunikasikannya  dalam  berbagai representasi.  Kompetensi procedural fluency adalah  trampil  menggunakan prosedur-prosedur secara fleksibel, akurat,  efisien  dan  tepat.  Kompetensi
strategic competence
adalah
kemampuan merumuskan, me-
representasikan dan memecahkan maslah-masalah  matematika.  Kompe- tensi  ini  termasuk  ke  dalam  tahap pemahaman  pemecahan  masalah.  Kom- petensi adaptive reasoning adalah menggunakan  penalaran  pada  pola, menyusun generalisasi atau bukti, dalam menjustifikasi  pernyataan  matematika. Kompetensi  productive  disposition  ber- korespondensi  perubahan  sikap  ke  arah yang  lebih  positif  terhadap    kegunaan matematika  dalam  kehidupan,  sehingga ulet dan percaya diri dalam memcahkan masalah.

## Model  Pembelajaran  Matematika Knisley
Model  ini  dikembangkan  Knisley dalam perkuliahan matematika (Kalkulus dan  Statistika)  untuk  mahasiswa  tingkat dasar  di  perguruan  tinggi.  Model  ini mengadopsi  gaya-gaya  belajar    yang termuat dalam teori experential learning y ang  disusun    oleh  Kolb  (Smith,  2001.
Lange, 1996).
Knisley  (2003),  mengartikan  gaya belajar  dari  Kolb  sebagai  gaya  belajar matematika.  Ketika  seorang  pebelajar melakukan gaya belajar kongkrit- reflektif,  pebelajar  itu  bertindak  sebagai
allegorizer.  Ketika  pebelajar  melakukan gaya  belajar  kongkrit  aktif,  ia  bertindak sebagai  integrator,  ketika  melakukan gaya belajar abstrak-reflektif ia bertindak  sebagai  analiser,  dan  ketika melakukan  gaya  belajar  abstrak-aktif  ia
bertindak  sebagai  sintesiser.  Korespon- densi  antara  gaya  belajar  Kolb  dan interpretasi  Knisley  (2003:  3)  seperti terlihat pada Tabel 1.
Tabel 1. Kolb’s Learning Styles in a Mathematical Context KOLB’S LEARNING STYLES EQUIVALENT MATHEMATICAL STYLE Concrete, Reflective Concrete, Active Abstract, Reflective Abstract, Active Allegorizer Integrator Analyzer Synthesizer
Knisley  (2003),  mengembangkan model  pembelajaran  dalam  perkuliahan Kalkulus dan Statistika   yang   mengacu pada  model  siklus  belajar  dari  Kolb yang  disebut  pembelajaran  matematika empat tahap. Adapun tahap-tahap pembelajaran  mengacu  kepada  istilah gaya belajar yang digunakan Hartman di atas  yaitu,  kongkrit-reflektif,  kongkrit- aktif, abstrak-reflektif, dan abstrak-aktif.
McCarthy (Knisley, 2003), menganjurkan  pembelajaran  di  dalam kelas secara ideal melalui setiap tahap dari  empat  proses  pembelajaran  itu. Sementara    peranan  guru  yang didasarkan  atas  siklus  belajar  Kolb terdapat  paling  sedikit  empat  peranan yang  berbeda  dari  guru  matematika. Pada  proses  tahap  kongkrit-reflektif
guru  berperan  sebagai storyteller
(pencerita),  pada  tahap  kongkrit-aktif guru  berperan  sebagai  pembimbing dan  pemberi  motivasi,  pada  tahap abstrak-reflektif guru berperan sebagai sumber  informasi,  dan  pada  tahap abstrak-aktif  guru  berperan  sebagai coach (pelatih).  Pada  tahap  kongkrit- reflektif  dan  tahap  abstrak-reflektif guru  relatif lebih  aktif sebagai pemimpin,  sedangkan  pada  tahap kongkrit-aktif  dan  abstrak-aktif  siswa lebih  aktif  melakukan  eksplorasi  dan ekspresi kreatif sementara guru berperan  sebagai  mentor,  pengarah, dan  motivator  (knisley,  2003).  Siklus MPMK sangat menarik, karena tingkat keaktifan  siswa  dan  guru  saling
bergantian,  tahap  pertama  dan  tahap ketiga guru lebih aktif dari pada siswa, sedangkan  pada  tahap  kedua  dan keempat  siswa  lebih  aktif  dari  pada guru.
MPMK  yang  memuat  aktivitas eksplorasi,  elaborasi,  dan  konfirmasi
yang menganut paradigma
pembelajaran.  Paradigma  ini  sejalan
dengan pandangan learning as understanding yang memiliki  berbagai keunggulan  yaitu,  (i)  bersifat  generatif, (ii) mendukung daya ingat, (iii)
mengurangi  yang  harus  diingat,  (iv) meningkatkan tranfer, dan (v)
mempengaruhi belief (pandangan) ( Hiebert & Carpenter,  1992).

## METODE PENELITIAN
Metode  penelitian  yang  sudah ditempuh    mengikuti  rangkaian  pene- litian  pengembangan  ( developmen-tal research )  melalui thought  experiments dan instruction expe-rimentation .
Kegiatan  penelitian      secara  lengkap seperti terlihat dalam Gambar 1.

## HASIL PENELITIAN
Berdasarkan  sekuen  sajian  materi dan  peta  konsep,  prinsip  dan  prosedur
yang  dikembangkan,  materi  perkuliahan Kalkulus  Vektor  dapat  dibagi  ke  dalam tujuh topik yaitu,  (a)  fungsi vektor dan operasinya,  (b)  limit  dan  kekontinuan fungsi vektor,   (c) turunan fungsi vektor, (d)    operator  diferensial  vektor,    (e) integral  fungsi  vektor,  (f)  integral  garis dan teorema Green, (g) integral permukaan, teorema Gauss, dan teorema Stokes.
Dalam  mengembangkan    bahan ajar    yang  terstruktur  diperlukan  sekuen sajian  materi  yang  meliputi  konsep, fakta, dan prinsip, sehingga menghasilkan  prosedur  untuk  menye- lesaikan    permasalahan  tertentu  dalam suatu  topik.  Rumus  dan  prosedur  itu tidak  muncul  begitu  saja,  tetapi  didasari atas  konsep  yang  disepakati  para matematikawan,  serta  fakta-fakta  yang ditemukan  (ulang)  melalui  eksplorasi. Berdasarkan analisis berbagai fakta yang ditemukan,  keterkaitan  antara  berbagai fakta memungkinkan  munculnya dugaan (konjektur)  yang  diantaranya  dapat dibuktikan    sebagai  prinsip  atau  rumus. Proses ini termasuk elaborasi, sedangkan pembuktian rumus secara deduktif termasuk proses konfirmasi
TAHAP SIFAT KAJIAN JENIS METODE LANGKAH-LANGKAH PENELITIAN Teoritis                     Studi                                MENGANALISIS SILABUS dokumentasi KALKULUS VEKTOR
Persiapan           Empiris                Studi deskriptif                     MENYUSUN URUTAN SAJIAN
Naturalistik                         MATERI AJAR KALKULUS VEKTOR
Teoritis                   Studi deskriptif          WACANA  ALLEGORISASI,  INTEGRASI, teoritis                        DAN SINTESIS  MATERI SUBYEK

## SESUAI  MPMK
Teoritis                   Studi deskriptif               BAHAN AJAR DALAM MEDIA CETAK Teoritis                               DAN MEDIA VISUAL UNTUK MENINGKATKAN KOMPETENSI
Pelaksanaan  Teoritis dan Studi kuasi                                      PELAKSANAAN Empiris                 eksperimen                         BAHAN AJAR KALKULUS VEKTOR Evaluasi       Teoritis dan
Studi kuasi EVALUASI BAHAN AJAR
Empiris                    eksperimen                                  KALKULUS VEKTOR

## PENYEMPURNAAN BAHAN AJAR

## BAHAN AJAR  KALKLUS VEKTOR
SIAP PAKAI

## Gambar 1. Tahapan Penelitian
Mengembangkan  bahan  ajar  yang terstruktur  dengan  baik  dapat  dibangun melalui  proses  eksplorasi,  elaborasi  dan konfirmasi,  diperlukan  kajian  ulang secara  mendalam  tentang  topik  itu.
Berdasar repersonalisasi tersebut, selanjutnya  disusun  sekuen  materi  ajar yang  diharapkan  dapat  meningkatkan kompetensi matematika mahasiswa. Dari sekuen  materi  ajar  tersebut  dam  model
pembelajaran yang digunakan, dikembangkan  bahan  ajar  dan  tugas-
tugas  mahasiswa  secara  rinci  yang disesuaikan dengan tahap-tahap pembelajaran  MPMK  yaitu  kongkrit- reflektif, kongkrit-aktif, abstrak-reflektif, dan abstrak-aktif. Selanjutnya bahan ajar dan  tugas  mahasiswa    yang  disesuaikan dengan tahap-tahap pembelajaran MPMK disajikan dalam bentuk Handout, Lembar  Kerja  Mahasiswa  (LKM),    dan media Powerpoint.
Perkuliahan atau pembelajaran dengan  menggunakan  tugas-tugas  yang telah  dikembangkan  tersebut  mendapat respon yang positif dari para mahasiswa. Dengan  model  perkuliahan  MPMK  ini para  mahasiswa    terlihat  lebih  senang dan  lebih  terlibat  aktif  dalam  belajar, khususnya    mendiskusikan  tugas-tugas. Bila  mereka  mendapat  kesulitan  tidak canggung  untuk  bertanya  kepada  teman maupun  dosen.  Hal  ini  sejalan  dengan konsep  belajar  dari  Dewey  yaitu,  proses belajar  siswa  bukan  mengajarkan  apa, melainkan  bagaimana  untuk  berpikir .
Belajar  adalah    proses  merekonstruksi pengalaman baru dari berdasarkan pengalaman  sebelumnya.  Jadi,  menurut Dewey,  dari  lahir  sampai  kematian, manusia  mampu  selalu  belajar  dalam
banyak hal, dalam lingkungan apapun,dan setiap saat (Kelly, 2012).
Berdasarkan angket yang disebarkan kepada  mahasiswa,  profil    kegiatan pembelajaran  Kalkulus  Vektor  dengan menggunakan  MPMK,  para  mahasiswa merasakan  bahwa: Pembelajaran dengan menggunakan  MPMK    mendorong mahasiswa aktif dalam belajar, mahasiswa  merasa  senang      pembe- lajaran  dengan  menggunakan  MPMK, karena  terdapat  ruang  untuk  dialog dengan  sesama  teman  maupun  dosen diskusi  kelompok  (sharing)  sehingga belajar menjadi lebih efektif. Kesempatan ini membuat suasana belajar  lebih  cair,    tidak  tegang  dan gugup selama pembelajaran dan menciptakan  keberanian    mahasiswa dalam mengemukakan  pendapat. Situasi pembelajaran  tersebut  berakibat  pada peningkatan    pemahaman    mahasiswa atas  konsep,  fakta,  dan  prinsip,  dan pemahaman yang lebih baik ini, mendorong  mahasiswa  lebih  tertantang dan rajin dalam menyelesaikan persoalan yang  diberikan,  sehingga  kompetensi matematika  mereka  dalam  kalkulus vektor meningkat.
Pembelajaran dalam kalkulus vektor  dengan  menggunakan  MPMK, merupakan  sesuatu  hal  yang  baru,  juga
dalam perkuliahan mata kuliah matematika  lainnya.  Model  perkuliahan seperti  ini  dirasakan  mereka  sebagai pengalaman    belajar  yang  baru  dan berbeda, sehingga diperlukan waktu bagi mereka  untuk  beradaptasi.  Hal  ini ditunjukan  oleh  beberapa  mahasiswa pada tahap Kongkrit-reflektif mengalami kesulitan dalam memahami dan menyatakan  arti  geometri  dari  definisi yang  diberikan.  Pada  tahap Kongkrit- aktif ,  beberapa  mahasiswa  kesulitan dalam  memberikan  contoh  penggunaan definisi,  dan  menduga  suatu  sifat  yang diperoleh  dari  penggunaan  definisi tersebut. Sedangkan pada tahap Abstrak- reflektif ,  beberapa  mahasiswa  kesulitan dalam  membuktikan  teorema  dengan menggunakan definisi sebelumnya.
Kelemahan    mahasiswa  dalam pemaknaan geometri atas definisi (konsep),  referensi  pola  pembuktian teorema,  serta  mengembangkan  strategi dalam  memecahkan  masalah,  diduga karena  mereka  belum  terbiasa  atau kurang diberikan ruang untuk mengembangkan gagasan-gagasannya sendiri,  khususnya  merepresentasikan konsep  dalam  bentuk    yang  lebih  visual (misal,  grafik).  Salah  satu  upaya  untuk mengatasinya adalah dengan lebih memperkaya  representasi  baik  konsep,
fakta  maupun  prinsip  yang  lebih  visual. Pembiasaan  pembelajaran  cenderung kontruktivis,  akan  lebih  cepat  bila dilakukan bersama-sama melalui perkuliahan matematika lainnya.

## KESIMPULAN DAN

## REKOMENDASI

## Kesimpulan
Berdasarkan  hasil  penelitian  dan pembahasan diperoleh kesimpulan sebagai berikut.
1. Berdasarkan  urutan  sajian  dan  peta konsep,  prinsip  dan  prosedur  yang dikembangkan,  materi  perkuliahan Kalkulus  Vektor  dapat  dibagi  ke dalam tujuh topik  yaitu,   (a)   fungsi vektor dan operasinya, (b)  limit dan kekontinuan  fungsi  vektor,      (c) turunan fungsi vektor,  (d)  operator diferensial  vektor,    (e)    integral fungsi  vektor,  (f)  integral  garis  dan teorema Green, (g) integral permukaan,  teorema  Gauss,  dan teorema  Stokes.  Bahan  ajar  ini dituangkan  dalam  bentuk  hand-out, lembar kerja mahasiswa, dan powerpoint.
2. Perkuliahan  dengan  menggunakan bahan  ajar  dan  tugas-tugas  maha- siswa  yang    telah    dikembangkan mengikuti  tahapan  MPMK  cukup efektif dalam meningkatkan
kompetensi mahasiswa dalam
kalkulus vektor.

## Rekomendasi
Berdasarkan  kesimpulan  di  atas,  dapat diajukan rekomendasi  berikut.
1. Memperkaya  representasi  geometri dari  setiap  definisi  (konsep)  dari bahan  ajar  Kalkulus  Vektor,  serta mengelompokkan  pola  pembuktian teorema-teorema  serta  memperkaya berbagai masalah aplikasi.
2. Mengembangkan  bahan  ajar  mata
kuliah  materi  matematika  lainnya serta menyajikannya menurut model perkuliahan MPMK.

## DAFTAR PUSTAKA
An,  S.,  Kulm,  G.,  dan  Wu,  Z.  (2004).
The  Pedagogical  Content  Know- ledge  of  Middle  School.  Mathe- matics  Teachers  in  China  and  The U.S. Journal  of  Mathematics
Teacher Education, 7, 145-172. Departemen Pendidikan Nasional (2007). Peraturan Menteri
Pendidikan    Nasional  Republik Indonesia  No.  41  Tahun  2007 tentang  Standar    Proses  untuk Satuan  Pendidikan  Dasar  dan Menengah [Online]. Tersedia:
http://www.bsnp- indonesia.org/standards- proses.php.
Even, R. dan Tirosh, D. (2002). Teacher Knowledge  and  Understanding  of Students’  Mathematical  Learning. Dalam  L. D. English (Ed.) Hand- book  of  International  Research  in
Mathematics Education . New
Jersey:  Lawrence  Erlbaum  Asso-
ciates.
Hiebert,  J.  &  Carpenter  P.  T.  (1992).
Learning and Teaching withUnderstanding.  Dalam  D.  A. Grouws (Ed.) Handbook of
Research  on  Mathematics    Tea- ching  and    Learning. (h.  65–100).
New  York:  Macmillan  Publishing Company.
Kelly, S. N. (2012). John Dewey and James Mursell: Progressive educators for contemporary music education. Visions of Research in Music Education,
21 . Retrieved from
http://www.rider.edu/~vrme
Kilpatrick,  J.,  Swafford,  J.,  dan  Findel, B. (2001). Adding + It Up Helping
Children Learn Mathematics . Washington, DC: National Academy Press.
Kinach,  M.,  B.  (2002).  Understanding
and  Learning  to  Explain  by Representing Mathematics: Epistemological  Dilemmas  Facing Teacher Educators in the Secondary  Mathematics  “Method”
Course.
Journal  of  MathematicsTeacher Education, 5, 153-186.
Knisley,  J.  (2003).  A  Four-Stage  Model of  Mathematical  Learning.  Dalam Mathematics  Educator [Online],
Vol  12  (1)  10  halaman.  Tersedia: http//Wilson Coe.uga.edu/DEPT/TME/Issues/v1 2n1/3knisley.HTML.
Lange,  J.,  de  (1996).  Using  and
Applyaing
Mathematics in Education.  Dalam  A.  J.Bishop (Ed.) International  Handbook  of
Mathematics Education. Dordrecht
: Kluwer Academics Publihers.
Perkins, D. N. & Simmons, R. (1988).
Patterns of Misunderstanding: An Inte-grative Model for Science,
Math, and Programming. Review of             Educational Research, Vol. 58, No. 3 (Autumn, 1988),
303-326. Smith, D., A. (2001). The Active/Interactive Classroom. Dalam  D.  Holton  (Ed.) The Teaching and Learning of
Mathematics  at    University  Level .
Dordrecht: Kluwer Academic Publishers.