## ANALISIS NUMERIK PENYEBARAN PANAS PADA KONSTRUKSI BETON MENGGUNAKAN SKEMA BEDA HINGGA

## NUMERICAL ANALYSIS OF HEAT TRANSFER IN CONCRETE CONSTRUCTION WITH FINITE DIFFERENCE SCHEMES
Rofila El Maghfiroh 1§ , Muhammad Badaruz Zaman 2,3
1 Jurusan Teknik Sipil, Politeknik Negeri Malang, Indonesia [Email: rofila.elma@gmail.com]
2 Jurusan Teknik Elektro, Politeknik Negeri Malang, Indonesia [Email: muhbadaruzzaman@gmail.com]
3 Jurusan Teknik Mesin, Universitas Yudharta Pasuruan, Indonesia [Email: muhbadaruzzaman@gmail.com]
§ Corresponding Author
Received Mei 2020; Accepted Juni 2020; Published Juni 2020;

## Abstrak
Beton sangat sering digunakan dalam bidang konstruksi. Ketahanan panas pada konstruksi beton sangat penting  sebagai  ketahanan  struktur  bangunan  terhadap  kebakaran.  Salah  satu  cara  untuk  mengamati ketahanan panas pada konstruksi beton adalah dengan analisis numerik. Skema beda hingga merupakan salah  satu  metode  numerik  terbaik  yang  dapat  digunakan  untuk  analisis  penyebaran  panas  guna mengetahui ketahanan panas suatu bahan. Skema beda hingga pada metode Crank-Nicolson memberikan solusi numerik dengan tingkat ketelitian yang sangat baik.
Kata Kunci : analisis numerik, konstruksi beton, skema beda hingga

## Abstract
Concrete is used extensively in the building industry. The heat resistance of concrete construction is very important  as  the  structure  of  a  building  against  fire.  One  way  to  observe  concrete  construction’s  heat resistance is by numerical analysis. Finite difference schemes are one of the best numerical methods that can  be  used  to  evaluate  heat  dispersion  of  material’s  heat  resistance.  Finite  difference  schemes  with Crank-Nicolson method provides an excellent level of accuracy.
Keywords : numerical analysis, concrete construction, finite differences schemes

## 1. Pendahuluan
Beton  merupakan  campuran  semen Portland , agregat  halus,  agregat  kasar  dan  air.  Air  dan semen Portland bereaksi secara kimia membentuk  pasta  yang  akan  mengisi  rongga- rongga  diantara  butir-butir  pasir  dan  kerikil, sedangkan  agregat  kasar  dan  agregat  halus  tidak mengalami  proses  kimia  karena  hanya  berfungsi
sebagai  bahan  pengisi  yang  diikat  oleh  pasta. Dalam  perkembangannya  digunakan  berbagai bahan tambah ( admixture ) untuk campuran beton, dengan  harapan  dapat  mengubah  sifat  dan meningkatkan mutu beton [1].
Pada  pekerjaan  konstruksi  beton  massa, sering  kali  dihadapkan  dengan  masalah-masalah
Rofila El Maghfiroh, Muhammad Badaruz Zaman                                                  Analisis Numerik Penyebaran Panas Pada Konstruksi Beton
tertentu yang biasanya diakibatkan oleh kelalaian dalam  pembuatan  beton  massa  tersebut.  Salah satunya adalah timbulnya crack pada permukaan beton massa. Crack ini biasanya diakibatkan oleh proses curing yang  kurang  tepat,  ataupun pemakaian  semen  yang  berlebih.  Dimensinya yang  besar  juga  dapat  mengakibatkan  bagian dalam  beton  sulit  untuk  melepaskan  panas.
Adanya  perbedaan  temperatur  yang  besar  antara permukaan  dan  inti  beton  dapat  menimbulkan tegangan  yang  mana  dikhawatirkan  akan
melampaui kuat tarik beton, sehingga menimbulkan retak pada permukaan beton [2].
Dalam  suhu  tinggi  beton  akan  kehilangan banyak  kekuatannya  dan  bila  sudah  mendingin kembali, sisa kekuatannya lebih rendah [3]. Jadi, diperlukan  analisis  numerik  penyebaran  panas pada beton dengan tingkat ketelitian yang sangat tinggi,  agar  segala  permasalahan  yang  dihadapi dalam suhu tinggi beton dapat segera teratasi.
Penyebaran  panas  pada  beton  merupakan salah  satu  contoh  dari  penyebaran  panas konduksi,  dimana  perbedaan  suhu  pada  benda padat  terjadi  dikarenakan  panas  yang  mengalir dari  daerah  dengan  suhu  yang  lebih  tinggi  ke daerah  yang  mempunyai  suhu  lebih  rendah  [4].
Penyebaran  panas  pada  beton  dapat  diketahui dengan suatu metode numerik. Salah satu metode numerik  yang  digunakan  adalah  metode  Crank- Nicolson  dengan  skema  beda  hingga  pusat.
Penggunaan  metode  tersebut  diharapkan  dapat menghasilkan  analisis  suhu  penyebaran  panas dengan tingkat ketelitian yang tinggi.
Terdapat penelitian terkait tentang
penyebaran panas adalah solusi penyebaran panas
pada  batang  konduktor  menggunakan  metode Crank-Nicolson  dengan  syarat  batas  campuran memiliki  keakuratan  yang  sama  dengan  solusi analitiknya  [5].  Oleh  karena  itu,  pada  penelitian ini  akan  dibahas  analisis  numerik  penyebaran panas dengan mengkombinasikan metode Crank- Nicolson  dengan  skema  beda  hingga  yang diterapkan pada batangan beton 1-dimensi.

## 2. Landasan Teori

## 2.1 Beton
Beton  adalah  campuran  dari  semen,  agregat kasar  dan  halus,  air  dengan  komposisi  tertentu. Beton  banyak  dipakai  sebagai  bahan  struktur pemikul  beban  karena  sifat  kekuatan  tekannya yang  tinggi.  Namun  beton  tidak  kuat  menahan tarik sehingga untuk konstruksi diperkuat dengan tulangan baja [3].
Sifat  yang  umum  pada  adukan  beton  ( fresh concrete ) adalah kemampuan dikerjakan
( workability ),  sifat  tahan  lama  ( durability )  dan sifat  kedap  air  ( permeability ).  Beton  mempunyai kelebihan  dibanding  kayu  dan  baja,  antara  lain disebabkan:
a. harganya relatif lebih murah,
b. tidak  memerlukan  biaya  perawatan  yang banyak,
c. tahan  lama,  karena  tidak  membususk  atau berkarat,
d. mudah dibentuk sesuai dengan keinginan [1].

## 2.2 Persamaan Konduksi Panas
Dalam  perpindahan  panas  konduksi,  laju perpindahan  panas  per  satuan  luas  permukaan benda  sebanding  dengan  perbedaan  suhu  dalam
Rofila El Maghfiroh, Muhammad Badaruz Zaman                                                  Analisis Numerik Penyebaran Panas Pada Konstruksi Beton
arah  aliran  panas  yang  disimbolkan  sebagai berikut
  x q u A x
dengan q x adalah  laju  perpindahan  panas konduksi, A adalah  luas  permukaan  sistem  dan perbedaan  suhu  dalam  arah  aliran  panas dinyatakan  sebagai   u x .  Berikut  merupakan ilustrasi  dari  perpindahan  konduksi  panas  1- dimensi  dengan  asumsi  suhu  berubah  terhadap waktu t dan terdapat sumber panas s ( x , t ).

## Gambar 1. Energi pada perpindahan panas konduksi
Berdasarkan  Hukum  Kesetimbangan  Energi berikut ini
    x generated x x
q q Q q
diperoleh  persamaan  konduksi  panas  1-dimensi dengan sumber panas sebagai berikut.
        2 2 , u u k s x t t x (1)
dengan k suatu  konstanta  konduktivitas  termal [6].
Nilai  konstanta  konduktivitas  termal  suatu bahan sebagai berikut [7].
Tabel 1. Konstanta konduktivitas termal
kcal/s.m. ° C METALS Aluminium 4,9 x 10 -2 Brass 2,6 x 10 -2 Copper 9,2 x 10 -2
Lead 8,3 x 10 -3 Silver 9,9 x 10 -2 Steel 1,1 x 10 -2 GASES Air 5,7 x 10 -6 Hydrogen 3,3 x 10 -5 Oxygen 5,6 x 10 -6 OTHERS Asbestos 2 x 10 -5 Concrete 2 x 10 -4 Cork 4 x 10 -5 Glass 2 x 10 -4 Ice 4 x 10 -4 Wood 2 x 10 -5

## 2.3 Metode Crank-Nicolson
Diperhatikan  persamaan  panas  1-dimensi berikut ini [8].
 t xx U U dengan syarat awal      0 ,0 u x u x
dan syarat batas Direchlet
      ,0 1, 0 u x u t
untuk menentukan solusi numerik dari persamaan panas  tersebut,  maka  akan  ditentukan  skema pendekatan menggunakan metode Crank-
Nicolson.
Turunan tingkat satu terhadap variabel waktu akan  didekati  dengan  skema  beda  hingga  pusat berorde dua sebagai berikut [9].
           1 2 1 2 t n n n i i u u u O t t t (2)
Turunan  tingkat  dua  terhadap  variabel  ruang akan  didekati  dengan  skema  beda  hingga  pusat orde dua sebagai berikut [9].
        2 1 1 2 2 i i i i u u u u O h h (3) Pada  metode  Crank-Nicolson,  pendekatan turunan  tingkat  satu  terhadap  variabel  waktu
sesuai pada Persamaan (2), sedangkan
pendekatan turunan tingkat dua terhadap variabel
Rofila El Maghfiroh, Muhammad Badaruz Zaman                                                  Analisis Numerik Penyebaran Panas Pada Konstruksi Beton
ruang  diperoleh  dengan  menentukan  nilai  rata-
rata dari 2 2 u x   di titik x j saat waktu t = t n dan t =
t n+1 .  Sedemikian  sehingga  diperoleh  suatu pendekatan  untuk  menentukan  solusi  numerik persamaan  konduksi  panas  1-dimensi  dengan metode Crank-Nicolson sebagai berikut.
                 1 1 w w n n I A I A (4)
dengan I adalah  matriks  identitas,   2 2 t x     ,
dan A adalah matriks berikut ini [9].
2 1 0 0 1 2 1 0
0 1 2 1 0 0 1 2 A         
                   

## 3. Hasil Dan Pembahasan
Secara  umum,  batangan  beton  dengan panjang L memiliki  luas  penampang  melintang yang  sama  di  setiap  titik,  yaitu A ,  serta diasumsikan terdapat sumber panas dan sekeliling permukaan batangan diisolasi.
Oleh  karena  itu,  diperhatikan  persamaan konduksi panas 1-dimensi dengan syarat awal dan syarat batas berikut ini.
            2 2 , , , u x t u x t k s x t t x
dengan syarat awal
     ,0
u x f x
dan syarat batas Dirichlet
       
  0, , , A B u t u t u L t u t
atau syarat batas Neumann           0, , , x C x D u t u t u L t u t
Suhu  di  titik x saat  waktu t disimbolkan  dengan u ( x , t ), k adalah  konstanta  konduktivitas  termal batangan dan s ( x , t ) adalah sumber panas.
Untuk  memverikafikasi  akurasi  skema pendekatan  Crank-Nicolson,  maka  akan  skema akan diaplikasikan pada persamaan berikut [10].
    2 1 , , 8 16 t xx u x t u x t t x    (5)
dengan syarat awal
    , 0 2sin 2 u x x
 
dan syarat batas Dirichlet sebagai berikut.
    0, 0,    1, 8
u t u t t  
Persamaan  tersebut  mempunyai  solusi  analitik sebagai berikut
    2 4 2 , 2 sin 2 8 t u x t e x x t            
Persamaan  (5)  mempunyai  syarat  batas Dirichlet  tak  nol  dan  terdapat  sumber  panas, sehingga skema pendekatan Crank-Nicolson pada Persamaan  (4)  harus  dimodifikasi  sesuai  dengan syarat  batas  dan  sumber  panas.  Skema pendekatan Crank-Nicolson yang akan digunakan sebagai berikut.
                                               1 1 1 1 1 1 w w 2 n n n n n n I A I A
I A SB SB
t I A SP SP (6)
dengan w ( n ) adalah syarat awal, SB ( n ) syarat batas saat t = t 0 dan SP ( n ) sumber panas saat t = t 0 .
Rofila El Maghfiroh, Muhammad Badaruz Zaman                                                  Analisis Numerik Penyebaran Panas Pada Konstruksi Beton
Solusi numerik Persamaan (5) saat t = 1 jika dibandingkan  dengan  solusi  analitiknya  adalah sebagai berikut.
Gambar 2. Solusi numerik Persamaan (5) saat t = 1
Berdasarkan  Gambar  2,  maka  dapat dikatakan  bahwa  solusi  numerik  Persamaan  (5) sangat  mendekati  solusi  analitiknya  dengan tingkat  ketelitian  skema  pendekatan  yang ditunjukkan pada gambar berikut.

## Gambar 3. Tingkat ketelitian skema
Berdasarkan  Gambar  3,  skema  pendekatan bekerja  dengan  sangat  baik  dengan  tingkat ketelitian yang sangat kecil dan hampir mencapai 1,2  ×  10 -4 .  Akan  tetapi  pada  ujung  dan  tengah batang tingkat ketelitian tidak sebaik pada bagian yang  lain,  hal  ini  dikarenakan  penyebaran  suhu pada  ujung-ujung  batang  harus  menyesuaikan dengan kondisi syarat batas yang ada.
Solusi numerik dari Persamaan (5) dari t = 0 sampai t = 0,5 adalah sebagai berikut.
Gambar  4.  Solusi  numerik  Persamaan  (5)  dari t =  0 sampai t = 0,5
Dalam  Gambar  4,  terlihat  penyebaran  panas mulai dari syarat awal hingga saat t = 0,5. Dapat dikatakan  penyebaran  panas  ditiap  level waktunya  tetap  mempertahankan  kondisi  syarat batas  yang  ada.  Solusi  numerik  dari  Persamaan (5) tiap level waktu sebagai berikut.
Gambar  5.  Solusi  numerik  Persamaan  (5)  tiap  level waktu
Penyebaran  panas  mulai  dari  syarat  awal sampai t = 1 terlihat pada Gambar 5. Seperti pada gambar  sebelumnya,  penyebaran  panas  ditiap level waktu tetap mempertahankan kondisi syarat batas.
Pembahasan  selanjutnya  adalah  aplikasi skema Crank-Nicolson  pada Persamaan  (6)  yang diterapkan  pada  persamaan  konduksi  panas batangan  beton  1-dimensi  sesuai  Persamaan  (5).
Berikut  adalah  solusi  numerik  Persamaan  (5) yang  diaplikasikan  pada  batangan  beton  dengan konstanta konduktivitas termal beton k = 2 × 10 -4
Rofila El Maghfiroh, Muhammad Badaruz Zaman                                                  Analisis Numerik Penyebaran Panas Pada Konstruksi Beton

## (sesuai Tabel 1).

## Gambar 6. Penyebaran panas pada batangan beton

## Gambar 6 merupakan penyebaran panas pada
batang  beton  saat t =  1.  Gambar  grafik  pada Gambar  6  dipengaruhi  oleh  syarat  awal  yaitu fungsi  sinus     , 0 2sin 2 u x x   .  Meskipun sudah  mempertahankan  kondisi  syarat  batas, tetapi  pada  ujung-ujung  batang  terlihat  terdapat sedikit  selisih  dengan  syarat  batas.  Hal  ini dipengaruhi konstanta konduktivitas termal beton yang  sangat  kecil.  Berbeda  jika  dibandingkan dengan material lain yaitu baja dengan konstanta konduktivitas  termal  baja  yaitu k =  1,1  ×  10 -2 , maka diperoleh hasil sebagai berikut.

## Gambar 7. Penyebaran panas pada batangan beton dan batangan baja
Terdapat  perbedaan  penyebaran  panas  pada beton  dan  baja  sesuai  Gambar  7.  Berikut  adalah perbesaran Gambar 7 pada ujung-ujung batang.
Gambar 8. Penyebaran panas pada batangan beton dan batangan baja di x = 0,01 sampai x = 0,06
Perbedaan  penyebaran  panas  pada  batangan beton  dan  batangan  baja  di x =  0,01  sampai x = 0,06 terlihat jelas pada Gambar 8.
Gambar 9. Penyebaran panas pada batangan beton dan batangan baja di x = 0,9 sampai x = 1
Pada  Gambar  9,  penyebaran  panas  pada batangan  beton  dan  batangan  baja  di x =  0,9 sampai x = 1 terlihat perbedaannya.
Perbedaan penyebaran panas pada beton dan baja  dipengaruhi  konstanta  konduktivitas  termal yang  berbeda,  namun  digunakan  syarat  awal, syarat  batas  dan  sumber  panas  yang  sama. Berdasarkan  Gambar  7,  pada  ujung  batang,
penyebaran panas pada baja tetap
mempertahankan kondisi syarat batas.

## 4. Kesimpulan Dan Saran
Skema  pendekatan  dengan  menggunakan metode  Crank-Nicolson  memberikan  solusi numerik  dengan  tingkat  ketelitian  yang  sangat
Rofila El Maghfiroh, Muhammad Badaruz Zaman                                                  Analisis Numerik Penyebaran Panas Pada Konstruksi Beton
baik. Solusi numerik pada persamaan panas yang diaplikasikan  pada  material  beton  sangat dipengaruhi  oleh  konstanta  konduktivitas  termal beton, syarat awal, syarat batas dan sumber panas yang ada.
Pada  beberapa  bagian,  penyebaran  panas pada  batang  beton  berbeda  dengan  batang  baja.
Perbedaan  semakin  terlihat  pada  ujung-ujung batang. Perbedaan tersebut dipengaruhi oleh nilai konstanta  konduktivitas  termal  berbeda,  namun digunakan  syarat  awal,  syarat  batas  dan  sumber panas yang sama.

## 5. Ucapan Terima Kasih
Terima kasih disampaikan kepada
Politeknik  Negeri  Malang  dan  Universitas
Yudharta  Pasuruan  yang  telah  memfasilitasi keberlangsungan  penelitian  dalam  artikel  ini, serta  terima  kasih  kepada  Universitas  Islam Negeri  Imam  Bonjol  Padang  yang  telah bersedia  memberikan  ruang  publikasi  artikel kami.

## Daftar Pustaka
[1] Nurlina,  S.  2011. Teknologi  Bahan  I .  Bargie
Media, Malang [2] Setiawan, B., Supartono, F.X. 2018. Analisis Heat Transfer Pda Beton Massa Menggunakan OPC Tipe  I Dalam Hubungan Dengan  Cara  Curing. Jurnal  Mitra  Teknik
Sipil 1(1), p.187-194.
[3] Umiati,  S.  2008.  Ketahanan  Material  Baja Sebagai Struktur Bangunan Terhadap Kebakaran. Teknik A 1(29), p.9-12.
[4] Kreith,  F.,  et  al.  2011. Principles  Of  Heat Transfer, Seventh Edition . Cengage Learning, Inc., USA.
[5] Noviantri, V. 2012. Solusi Penyebaran Panas Pada  Batang  Konduktor  Menggunakan Metode  Crank-Nicolson. Jurnal  Mat.stat
12(2), p.133-142.
[6] Holman,  J.,P.  2010. Heat  Transfer,  Tenth Edition .  The  Mc.Graw-Hill  Companies,  Inc., New York.
[7] Halliday,  D.  and  Resnick,  R.  1978. Physics Parts  1  and  2,  Third  Edition,  Combined Edition . John Wiley and Sons, Canada.
[8] Morton,  K.W.  and  Mayers,  D.  2005. Numerical  Solution  of  Partial  Differential Equations,  Second  Edition .  Cambridge University Press, New York.
[9] Humi  and  Miller.  1992. Boundary  Value Problems and Partial Differential Equations . PWS-KENT Publishing, Boston.
[10] Bradie,  B.  2006. A  Friendly  Introduction  to Numerical Analysis. Pearson Education, Inc., Jersey.