## KADIKMA: Jurnal Matematika dan Pendidikan Matematika
Vol. 13, No. 1, April 2022, Hal. 51-58 e-ISSN : 2686-3243 ; p-ISSN : 2085-0662 https://jurnal.unej.ac.id/index.php/kadikma https://doi.org/10.19184/kdma.v13i1.31309

## PENERAPAN MODEL PREDICTIVE CONTROL (MPC) PADA FLOW LINE SISTEM PRODUKSI MENGGUNAKAN ALJABAR MAX-PLUS
Imam Fauzi 1 *, Dicky Adzkiya 2
1 Universitas Abdurachman Saleh, Situbondo, Indonesia
2 Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya, Indonesia *E-mail: imam_fauzi@unars.ac.id
Article History: Received: 29-12-2021 ; Revised: 22-01-2022 ; Accepted: 28-02-2022

## ABSTRAK
Model Predictive Control (MPC) merupakan salah satu metode perancangan kontroler yang populer digunakan di dunia industri. Pada penelitian ini akan dipaparkan aplikasi MPC pada sistem produksi flow  line  yang  dimodelkan  dengan  menggunakan  sistem  linear  max-plus.  Kelebihan  utama  dari MPC  adalah  kemampuannya  dalam  memberikan  kendala  atau  batasan  tertentu  pada  input  dan output  sinyal  kontrol.  Flow  line  sistem  produksi  adalah  diagram  yang  menggambarkan  urutan proses dalam sistem produksi, mulai dari input, proses dan output. Dari flow line sistem produksi tersebut, dapat diterapkan MPC sebagai kontrol optimasi waktu proses produksi. Selanjutnya, hasil konstruksi  MPC  input  dan  output  dari  flow  line  sistem  produksi  dapat  diperoleh  dengan menggunakan program matlab.
Keywords: Sistem Linier Max-Plus, Flow Line, Sistem Produksi, Model Predictive Control.

## ABSTRACT
Model Predictive Control (MPC) is a controller design method is popularly used in the industrial world.  This  research  will  be  presented  at  the  MPC  application  of  flow  line  production  system modeled using max-plus linear systems. The main advantage of the MPC is its ability to provide certain constraints or limits on the control signal input and output. Flow line of production systems is a diagram illustrating the process sequence in the production system, ranging from the input, processing and output. Of flow line production system, be applicable MPC as time optimization control  of  the  production  process.  Furthermore,  the  results  of  the  input  and  output  MPC construction of a flow line production system can be obtained by using matlab program.
Keywords: Max-Plus Linier System, Flow Line, Production System, Model Predictive Control.

## PENDAHULUAN
Dalam  dunia  industri,  efisiensi  waktu  sangatlah  penting,  karena  tuntutan  produksi yang  semakin  meningkat  untuk  memenuhi  kebutuhan  pasar.  Oleh  karena  itu,  ketepatan waktu  sangatlah  dibutuhkan  dalam  dunia  industri.  Dalam  satu  dekade  terakhir,  model predictive control (MPC) atau dengan kata lain model kendali terprediksi adalah salah satu
metode yang populer digunakan dalam dunia industri, karena MPC adalah cara yang efektif dalam  proses  kontrol  yang  praktis,  dan  dapat  diterima  secara  luas  dalam  proses  industri. Keuntungan  utama  dari  MPC  adalah  kemampuannya  untuk  memberikan  constraint  atau batasan tertentu pada sinyal pengendali input maupun output.
Sebelum memodelkan sistem produksi kebentuk persamaan aljabar max-plus, terlebih dahulu  dikonstruksi  bentuk flow  line dari  sistem  produksi,  yaitu  diagram  yang mengambarkan skema urutan proses dari sustu sistem produksi mulai dari input, pemroses, dan output. setelah terbentuk flow line dari sistem produksi kemudian dimodelkan sebagai sistem MPL. Selanjutnya diterapkan MPC pada flow line sistem produksi dalam sistem MPL untuk mendapatkan waktu optimal terprediksi.
Penelitian  tentang  pemodelan  sistem  produksi  menggunakan  aljabar  max-plus  telah banyak dilakukan sebelumnya. Misalnya Seleim  dan ElMaraghy dalam  papernya (Seleim dan ElMaraghy, 2014a) membahas tentang pemodelan sistem produksi dengan aljabar max- plus. Selanjutnya Seleim dan ElMaraghy dalam papernya (Seleim dan ElMaraghy, 2014b) mengembangkan  paper  mereka  sendiri  dengan  menambahkan  bahasan  tentang flow  line sistem  produksi  yang  memuat  pemroses  yang  tersusun  secara  campuran  seri  dan  paralel dengan buffer terbatas. Kemudian Pohet Bintoto pada tesisnya (Pohet B., 2015) menjelaskan bentuk  umum  dari  suatu  model flow  line sistem  produksi  yang  dimodelkan  sebagai persamaan aljabar max-plus.
Selanjutnya De Schutter dan van den Boom dalam papernya (De Schutter dan van den Boom,  2001)  menjelaskan  tentang  penerapan  MPC  pada flow  line sistem  produksi sederhana.  Untuk  itu  penelitian  ini  mengembangkan  penelitian-penelitian  sebelumnya dengan menerapkan MPC pada flow line sistem produksi dalam bentuk sebarang baik tanpa buffer maupun  dengan buffer yang  dimodelkan  sebagai  sistem  MPL.  Untuk  memperjelas pemahaman tentang penerapan MPC pada flow line sistem produksi,  dalam  penelitian ini diberikan  contoh  dari  model  tersebut  dalam  suatu flow  line sistem  produksi.  Selanjutnya penerapan MPC pada sistem produksi tersebut diimplementasikan kedalam program matlab untuk mendapatkan waktu optimal terprediksi pada sistem produksi.

## METODE PENELITIAN
Tahapan-tahapan yang dilakukan dalam penelitian ini adalah sebagai berikut.
1. Studi literatur Pada  tahap  ini  dikumpulkan  informasi  mengenai  model  predictive  control  (MPC), sistem  max-plus  linier  (MPL),  dan flow  line sistem  produksi.  Informasi-informasi tersebut  akan  didapatkan  dari  buku-buku,  journal  ilmiah, paper-paper ,  dan  artikel- artikel  yang  terkait  dengan  penerapan  MPC  pada flow  line sistem  produksi  yang dimodelkan sebagai sistem MPL.
2. Mempelajari bentuk sistem MPL dari flow line sistem produksi (Pohet B. 2015) Pada  tahap  ini  mempelajari  bagaimana  cara  penyusunan  sistem  MPL  dari flow  line sistem produksi dalam bentuk sebarang baik tanpa buffer maupun dengan buffer .
3. Penerapan model predictive control (MPC) pada sistem produksi Setelah mempelajari bentuk sistem MPL dari flow line sistem produksi dalam bentuk sebarang  baik  tanpa buffer maupun  dengan buffer ,  kemudian  diterapkan  MPC  pada sistem  produksi  tersebut,  untuk  mendapatkan  waktu  optimal  terprediksi  dari  sistem produksi.
4. Menyajikan suatu contoh Untuk  mempermudah  pemahaman  tentang  bagaimana  menerapkan  MPC  pada flow line sistem  produksi  dalam  bentuk  sebarang  yang  dimodelkan  sebagai  sistem  MPL,
maka diberikan contoh dari bentuk model MPC-MPL dari flow line sistem produksi tersebut.
5. Penyelesaian MPC dan menganalisa hasil simulasi Pada  tahap  ini  akan  dicari  penyelesaian  dari  penerapan  MPC  pada flow  line sistem produksi  dengan  menggunakan  program  matlab  dan  menganalisa  hasil  simulasi, kemudian akan diperoleh waktu optimal terprediksi pada sistem produksi.

## HASIL DAN PEMBAHASAN

## 1. Penerapan MPC pada flow line Sistem Produksi
Penerapan MPC pada flow line sistem produksi dibagi menjadi dua macam, yaitu penerapan MPC pada flow line sistem produksi bentuk sebarang  tanpa buffer dan penerapan MPC pada flow line sistem produksi bentuk sebarang dengan buffer seperti yang dijelaskan sebagai berikut.
a. Penerapan MPC Pada Flow Line Sistem Produksi Tanpa Buffer
Dalam  menerapkan  MPC  pada flow  line sistem  produksi  bentuk  sebarang  dengan pemrosesnya tidak disertai buffer , ada beberapa tahapan penyelasaian, yaitu sebagai berikut.
1) Tahap pertama
Mengetahui susunan skema dari suatu mesin produksi yang akan dimodelkan sebagai flow line sistem produksi. Untuk mengkonstruksi flow line sistem produksi, terlebih dahulu harus mengetahui susunan skema dari suatu mesin produksi yang akan dikonstruksi sebagai flow line sistem produksi mulai dari input, pemroses, sampai output.
2) Tahap kedua
Mengkonstruksi model flow line sistem produksi sesuai dengan susunan skema dari mesin  produksi  beserta  waktu  prosesnya.  Setelah  mengetahui  suatu  mesin  produksi  yang akan  dimodelkan,  kemudian  dikonstruksi  bentuk flow  line sistem  produksi  sesuai  dengan mesin produksi tersebut. Misalkan diberikan bentuk flow line sistem produksi pada Gambar 3  yang  mengambarkan  susunan  skema  dari  mesin  produksi  dengan  pemrosesnya  tidak disertai buffer sebagai berikut.
Gambar 1: Flow line dengan 𝒎 input, 𝒒 pemroses , 𝒍 output, dan 𝒍 waktu deadline [6].
3) Tahap ketiga
Mendapatkan  model  sistem  MPL  dari flow  line sistem  produksi  bentuk  sebarang dengan pemrosesnya tidak disertai buffer . Setelah mengkonstruksi bentuk flow line sistem produksi seperti yang terlihat pada Gambar 3, kemudian dimodelkan sebagai sistem MPL dari flow line sistem produksi tersebut. Persamaan aljabar max-plus dalam bentuk matriks dari flow line sistem produksi bentuk sebarang tanpa buffer pada Gambar 3 adalah sebagai berikut (Pohet B., 2015).
𝑋(𝑘 + 1) = 𝐴 ⊗ 𝑋(𝑘 + 1) ⊕ 𝐵 ⊗ 𝑋(𝑘) ⊕ 𝐷 ⊗ 𝑈(𝑘) 𝑌(𝑘) = 𝐶 ⊗ 𝑋(𝑘) (3.1) (3.2) dengan 𝐴, 𝐵 ∈ ℝ 𝜀 𝑞×𝑞 , 𝐶 ∈ ℝ 𝜀 𝑛×𝑞 , dan 𝐷 ∈ ℝ 𝜀 𝑞×𝑚 .
Dari  persamaan  (2.1)  dan  (2.2),  kemudian  persamaan  (3.1)  dan  (3.2)  dapat disederhanakan, sehingga didapatkan bentuk sistem MPL dari flow line sistem produksi pada Gambar 3 sebagai berikut.
𝑋(𝑘 + 1) = 𝐴̂ ⊗ 𝑋(𝑘) ⊕ 𝐵̂ ⊗ 𝑈(𝑘) 𝑌(𝑘) = 𝐶 ⊗ 𝑋(𝑘) (3.3) (3.4)
dengan 𝐴̂ = 𝐴 ∗ ⊗ 𝐵 dan 𝐵̂ = 𝐴 ∗ ⊗ 𝐷 .
4) Tahap keempat
Mendapatkan waktu optimal terprediksi dari flow line sistem produksi bentuk sebarang dengan  pemrosesnya  tidak  disertai buffer dengan  cara  menerapkan  MPC  pada flow  line sistem produksi tersebut. Setelah tersusun model sistem MPL dari flow line sistem produksi, kemudian  diterapkan  MPC  pada flow  line sistem  produksi  bentuk  sebarang  dengan pemrosesnya  tidak  disertai buffer yang  dimodelkan  sebagai  sistem  MPL,  yang  tentunya harus diketahui:
1) Batas waktu deadline maksimum 𝑅(𝑘) yaitu 𝑌̃(𝑘 + 𝑗|𝑘) ≤ 𝑅(𝑘 + 𝑗) untuk 𝑗 = 1, … , 𝑁 𝑝
2) Kondisi awal waktu input 𝑈(−1) ,
3) Kondisi awal waktu proses pada pemroses 𝑋(0) ,
4) Kontrol horizon 𝑁 c yaitu rentang waktu pengendalian,
5) Prediksi horizon 𝑁 p yaitu rentang waktu prediksi,
6) 𝑘 = 0 yaitu variabel pada setiap langkah waktu kejadian input maupun output,
7) Bilangan tak negatif 𝜆 ≥ 0 , yaitu sebagai trade-off antara kriteria biaya output 𝐽 out dan kriteria biaya input 𝐽 in ,
8) Batasan untuk selisih dari setiap langkah waktu ketika bahan baku masuk ke sistem (∆𝑈) , yaitu untuk batas maksimum 𝑏 1 dan batas minimum 𝑎 1 𝑎 1 (𝑘 + 𝑗) ≤ Δ𝑈(𝑘 + 𝑗 − 1) ≤ 𝑏 1 (𝑘 + 𝑗) untuk 𝑗 = 1, … , 𝑁 𝑐 . Setelah ditentukan nilai-nilai dari beberapa kondisi yang diketahui diatas, kemudian nilai-nilai tersebut disubtitusikan ke persamaan sistem MPL yang berbentuk taksiran atau estimasi, sehingga didapatkan bentuk matriks evolusi sistem sebagai berikut.
𝑌̆(𝑘) = 𝐻 ⊗ 𝑈 ̆(𝑘) ⊕ 𝐺(𝑘)
Setelah diperoleh model sistem MPL dari flow line sistem produksi bentuk sebarang dengan  pemrosesnya  disertai buffer ,  kemudian  didapatkan  waktu  optimal  terprediksi  dari flow  line sistem  produksi  dengan  cara  memasukkan  matriks  parameter  dari  sistem  MPL beserta  batasan  yang  berhubungan  dengan  MPC  ke  dalam toolbox MPC  program  matlab (Bart De Schutter, 2001), kemudian didapatkan urutan waktu optimal input [𝑈 opt ] 𝑘=0 𝑁 𝑝 −1 dan urutan waktu optimal output [𝑌 opt ] 𝑘=1 𝑁 𝑝 .
Dari persamaan (2.3) formula untuk kriteria biaya 𝐽 out adalah sebagai berikut.
𝐽 out = ∑ ∑ max(𝑌̃ 𝑖 (𝑘 + 𝑗|𝑘) − 𝑅 𝑖 (𝑘 + 𝑗), 0) 𝑙 𝑖=1 𝑁 𝑝 𝑗=1
Dari persamaan (2.4) formula untuk untuk kriteria biaya 𝐽 in adalah sebagai berikut.
𝐽 in = − ∑ ∑ 𝑈 𝑖 (𝑘 + 𝑗 − 1) 𝑚 𝑖=1 𝑁 𝑝 𝑗=1
Jadi,  dengan  memaksimumkan  waktu  ketika  bahan  baku  masuk  ke  sistem 𝐽 in sedemikian hingga waktu ketika bahan jadi meninggalkan sistem 𝐽 out tidak melewati atau sama dengan batas  waktu deadline maksimum 𝑅(𝑘) yang  telah  ditentukan.  Sehingga  formula  untuk mendapatkan waktu optimal terprediksi dari sistem produksi adalah sebagai berikut.
min 𝑈 ̆(𝑘) 𝐽 = min 𝑈 ̆(𝑘) (𝐽 out + 𝜆 𝐽 in )
dengan 𝜆 ≥ 0 .

## b.    Penerapan MPC Pada Flow Line Sistem Produksi yang Disertai Buffer
Penerapan MPC pada flow line sistem produksi bentuk sebarang dengan pemrosesnya disertai buffer juga memiliki beberapa tahapan penyelesaian, yaitu sebagai berikut.
1) Tahap pertama
Mengetahui susunan skema dari suatu mesin produksi yang akan dimodelkan sebagai flow line sistem produksi. Untuk mengkonstruksi flow line sistem produksi, terlebih dahulu harus mengetahui susunan skema dari suatu mesin produksi yang akan dikonstruksi sebagai flow line sistem produksi mulai dari input, pemroses, dan output.
2) Tahap kedua
Mengkonstruksi model flow line sistem produksi sesuai dengan susunan skema dari mesin  produksi  beserta  waktu  prosesnya.  Setelah  mengetahui  suatu  mesin  produksi  yang akan  dimodelkan,  kemudian  dikonstruksi flow  line sistem  produksi  sesuai  dengan  mesin produksi tersebut. Misalkan diberikan bentuk model flow line sistem produksi pada Gambar 4 yang mengambarkan susunan skema dari mesin produksi sebagai berikut.
Gambar 1: Flow line dengan 𝒎 input, 𝒒 pemroses, 𝒍 output, 𝒍 waktu deadline, dan disertai buffer pada pemroses 𝑷 𝟐 , 𝑷 𝟑 , ... , 𝑷 𝒒 [6].

## 3) Tahap ketiga
Mendapatkan  model  sistem  MPL  dari flow  line sistem  produksi  bentuk  sebarang dengan  pemrosesnya  disertai buffer .  Setelah  mengkonstruksi  bentuk flow  line sistem produksi seperti yang terlihat pada Gambar 4, kemudian dimodelkan sebagai sistem MPL dari flow line sistem produksi tersebut. Persamaan aljabar max-plus dalam bentuk matriks
dari flow  line sistem  produksi  bentuk  sebarang  dengan  pemrosesnya  disertai buffer pada Gambar 4 adalah sebagai berikut (Pohet B. 2015).
𝑋(𝑘 + 1) = 𝐴 ⊗ 𝑋(𝑘 + 1) ⊕ 𝐵 ⊗ 𝑋(𝑘) ⊕ 𝐷 ⊗ 𝑈(𝑘) ⊕ 𝐴 2 ⊗ 𝑋 2 (𝑘 − 𝐹 2 ) ⊕ 𝐴 3 ⊗ 𝑋 3 (𝑘 − 𝐹 3 ) ⊕ … ⊕ 𝐴 𝑞 ⊗ 𝑋 𝑞 (𝑘 − 𝐹 𝑞 ) 𝑌(𝑘) = 𝐶 ⊗ 𝑋(𝑘) (3.5) (3.6)
dengan 𝐴, 𝐵, 𝐴 2 , … , 𝐴 𝑞 ∈ ℝ 𝜀 𝑞×𝑞 , 𝐶 ∈ ℝ 𝜀 𝑛×𝑞 , dan 𝐷 ∈ ℝ 𝜀 𝑞×𝑚 .
Dari  persamaan  (2.1)  dan  (2.2),  Persamaan  (3.5)  dapat  disederhanakan  dengan mendapatkan  matriks 𝐴 ∗ .  Sehingga  persamaan  (4.5)  dan  (4.6)  dapat  dituliskan  sebagai berikut.
𝑋(𝑘 + 1) = 𝐴̂ ⊗ 𝑋(𝑘) ⊕ 𝐵̂ ⊗ 𝑈(𝑘) ⊕ 𝐴𝐵 ̂ 2 ⊗ 𝑋 2 (𝑘 − 𝐹 2 ) ⊕ 𝐴𝐵 ̂ 3 ⊗ 𝑋 3 (𝑘 − 𝐹 3 ) ⊕ … ⊕ 𝐴𝐵 ̂ 𝑞 ⊗ 𝑋 𝑞 (𝑘 − 𝐹 𝑞 ) 𝑌(𝑘) = 𝐶 ⊗ 𝑋(𝑘) (3.7)
dengan 𝐴̂ = 𝐴 ∗ ⊗ 𝐵 , 𝐵̂ = 𝐴 ∗ ⊗ 𝐷 , dan 𝐴𝐵 ̂ 𝑖 = 𝐴 ∗ ⊗ 𝐴 𝑖 . Karena  operasi ⊕ pada  aljabar  max-plus  bersifat  komutatif  maka  persamaan  (4.7) dapat dituliskan sebagai berikut.
𝑋(𝑘 + 1) = 𝐴̂ ⊗ 𝑋(𝑘) ⊕ 𝐴𝐵 ̂ 2 ⊗ 𝑋 2 (𝑘 − 𝐹 2 ) ⊕ 𝐴𝐵 ̂ 3 ⊗ 𝑋 3 (𝑘 − 𝐹 3 ) ⊕ … ⊕ 𝐴𝐵 ̂ 𝑞 ⊗ 𝑋 𝑞 (𝑘 − 𝐹 𝑞 ) ⊕ 𝐵̂ ⊗ 𝑈(𝑘) (3.8)
𝑌(𝑘) = 𝐶 ⊗ 𝑋(𝑘)
Dari  persamaan  (3.8),  kemudian  diperoleh  persamaan  sistem  MPL  dari flow  line sistem produksi bentuk sebarang yang pemrosesnya disertai buffer adalah sebagai berikut.
𝑋̌(𝑘 + 1) = 𝐴̌ ⊗ 𝑋̌(𝑘) ⊕ 𝐵̌ ⊗ 𝑈(𝑘) 𝑌(𝑘) = 𝐶̌ ⊗ 𝑋̌(𝑘) (3.9) (3.10) dengan 𝐴̌ ∈ ℝ 𝜀 𝑞̌×𝑞̌ , 𝐵̌ ∈ ℝ 𝜀 𝑞̌×𝑚 , dan 𝐶̌ ∈ ℝ 𝜀 𝑛×𝑞̌ untuk 𝑞̌ = 𝑞(max (𝐹 1 , 𝐹 2 , ⋯ , 𝐹 𝑞 ) + 1)
4) Tahap keempat
Mendapatkan waktu optimal terprediksi dari flow line sistem produksi bentuk sebarang dengan  pemrosesnya  disertai buffer dengan  cara  menerapkan  MPC  pada flow  line sistem produksi tersebut. Setelah tersusun model sistem MPL dari flow line sistem produksi dengan pemrosesnya yang disertai bufer , kemudian diterapkan MPC pada flow line sistem produksi bentuk sebarang yang disertai buffer yang dimodelkan sebagai sistem MPL, yang tentunya harus diketahui:
1) Batas waktu deadline maksimum 𝑅(𝑘) yaitu 𝑌̃(𝑘 + 𝑗|𝑘) ≤ 𝑅(𝑘 + 𝑗) untuk 𝑗 = 1, … , 𝑁 𝑝
2) Kondisi awal waktu input 𝑈(−1) ,
3) Kondisi awal waktu proses pada pemroses 𝑋(0) ,
4) Kontrol horizon 𝑁 c yaitu rentang waktu pengendalian,
5) Prediksi horizon 𝑁 p yaitu rentang waktu prediksi,
6) 𝑘 = 0 yaitu variabel pada setiap langkah waktu kejadian input maupun output,
7) Bilangan tak negatif 𝜆 ≥ 0 yaitu sebagai trade-off antara kriteria biaya output 𝐽 𝑜𝑢𝑡 dan kriteria biaya input 𝐽 𝑖𝑛 ,
8) Batas untuk selisih dari setiap langkah waktu pada saat bahan baku masuk ke sistem (∆𝑈) yaitu untuk batas maksimum 𝑏 1 dan batas minimum 𝑎 1 . 𝑎 1 (𝑘 + 𝑗) ≤ Δ𝑈(𝑘 + 𝑗 − 1) ≤ 𝑏 1 (𝑘 + 𝑗) untuk 𝑗 = 1, … , 𝑁 𝑐 . Setelah ditentukan nilai-nilai dari beberapa kondisi yang diketahui diatas, kemudian nilai-nilai tersebut disubtitusikan ke persamaan sistem MPL yang berbentuk taksiran atau estimasi,  sehingga  didapatkan  bentuk  matriks  rekursif  sistem,  yaitu  sebagi  langkah  untuk
mendapatkan waktu optimal output terprediksi, sebagai syarat untuk mendapatkan kriteria biaya. Dengan rekursif sistem dalam bentuk matriks sebagai berikut.
𝑌̆(𝑘) = 𝐻 ⊗ 𝑈 ̆(𝑘) ⊕ 𝐺(𝑘)
Setelah diperoleh model sistem MPL dari flow line sistem produksi bentuk sebarang dengan  pemrosesnya  disertai buffer ,  kemudian  didapatkan  waktu  optimal  terprediksi  dari flow  line sistem  produksi  dengan  cara  memasukkan  matriks  parameter  dari  sistem  MPL beserta batasan-batasan yang berhubungan dengan MPC  ke dalam toolbox MPC program matlab  (Bart  De  Schutter,  2001),  kemudian  didapatkan  urutan  waktu  optimal  input [𝑈 opt ] 𝑘=0 𝑁 𝑝 −1 dan urutan waktu optimal output [𝑌 opt ] 𝑘=1 𝑁 𝑝 .
Dari persamaan (2.3) formula untuk kriteria biaya 𝐽 out adalah sebagai berikut.
𝐽 out = ∑ ∑ max(𝑌̃ 𝑖 (𝑘 + 𝑗|𝑘) − 𝑅 𝑖 (𝑘 + 𝑗), 0) 𝑙 𝑖=1 𝑁 𝑝 𝑗=1
Dari persamaan (2.4) formula untuk untuk kriteria biaya 𝐽 in adalah sebagai berikut.
𝐽 in = − ∑ ∑ 𝑈 𝑖 (𝑘 + 𝑗 − 1) 𝑚 𝑖=1 𝑁 𝑝 𝑗=1
Jadi,  dengan  memaksimumkan  waktu  ketika  bahan  baku  masuk  ke  sistem 𝐽 in sedemikian hingga waktu ketika bahan jadi meninggalkan sistem 𝐽 out tidak melewati atau sama dengan batas  waktu deadline maksimum 𝑅(𝑘) yang  telah  ditentukan.  Sehingga  formula  untuk mendapatkan waktu optimal terprediksi dari sistem produksi adalah sebagai berikut.
min 𝑈 ̆(𝑘) 𝐽 = min 𝑈 ̆(𝑘) (𝐽 out + 𝜆 𝐽 in )
dengan 𝜆 ≥ 0 .

## KESIMPULAN
Penerapan  MPC  pada flow  line sistem  produksi  terdapat  beberapa  tahapan penyelesaian, yaitu 1) Tahap pertama mengetahui susunan skema dari suatu mesin produksi yang akan dikonstruksi sebagai flow line sistem produksi mulai dari input, pemroses, sampai output.  2)  Tahap  kedua  mengkonstruksi  bentuk flow  line sistem  produksi  sesuai  dengan susunan  skema  dari  mesin  produksi  tersebut  beserta  waktu  prosesnya.  3)  Tahap  ketiga mendapatkan  model  sistem  MPL  dari flow  line sistem  produksi  bentuk  sebarang  dengan pemrosesnya tidak disertai buffer maupun disertai buffer . 4) Tahap keempat mendapatkan waktu  optimal  terprediksi  dari flow  line sistem  produksi  bentuk  sebarang  dengan pemrosesnya tidak disertai buffer maupun disertai buffer degan cara menerapkan MPC pada flow line sistem produksi tersebut.
Setelah tersusun model sistem MPL dari flow line sistem produksi tersebut, kemudian diterapkan MPC pada flow line sistem produksi yang dimodelkan sebagai sistem MPL yang tentunya diberikan batasan-batasan yang berhubungan dengan MPC. Kemudian didapatkan waktu optimal terprediksi dari flow line sistem produksi dengan cara memasukkan matriks parameter  dari  sistem  MPL  beserta  batasan-batasan  yang  berhubungan  dengan  MPC  ke dalam toolbox MPC program matlab (Bart De Schutter, 2001). Hasil simulasi dan analisa penerapan  MPC  pada flow  line sistem  produksi  dengan  program  matlab  kemudian
didapatkan  urutan  waktu  optimal  input [𝑈 opt ] 𝑘=0 𝑁 𝑝 −1 dan  urutan  waktu  optimal  output [𝑌 opt ] 𝑘=1 𝑁 𝑝 .  Selanjutnya  dari  urutan  waktu  optimal  input  dan  output  tersebut  kemudian diperoleh kriteria biaya output 𝐽 out dan kriteria biaya input 𝐽 in , sehingga didapatkan kriteria biaya sistem produksi 𝐽 .

## DAFTAR PUSTAKA
[1]    Baccelli, F., Cohen, G., Olsder G.J., and Quadrat, J.P., (1992). Synchronization and Linearity: An Algebra for Discrete Event Systems . John Wiley & Sons. New York.
[2]    De Schutter, B. and van den Boom,  T., (2000). Model  Predictive Control  for  Max- Plus-Linear  Discrete  Event  Systems . Automatica ,  vol.37,  no.7,  pp.  1049-1056,  July 2001.
[3]    Gross, J. L. and Yallen, J., (2006). Graph Theory and Application (Second Edition) . Chapman & Hall/CRC Taylor & Francis Group, Boca Raton London New York.
[4]    Heidergott,  B.,  Olsder,  G.J.,  Woude,  J.,  (2006). Max-Plus  At  Work:  Modelling  and Analysis of Synchronized Systems: A Course on Max-plus Algebra and Its Application . Princeton University Press, New Jersey.
[5]    Nila  N.,  (2014). Penjadwalan  dan  Alokasi  Resource  Sebagai  Perbaikan  Produksi Menggunakan  Holonic  Manufacturing  System,  Petri  Net,  dan  Aljabar  Max-Plus . Tesis. Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya.
[6]    Pohet B., (2015). Generalisasi Model Sistem Produksi Menggunakan Aljabar Max- Plus . Tesis. Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya.
[7]     Seborg,  D.E.,  Edger,  T.F.,  Mellichamp,  D.A.,  and  Doyle  III,  F.J.,  (2011). Process Dynamics and Control: Chapter 20: Model Predictive Control (Third Edition). John Wiley & Sons. New York.
[8]    Seleim,  A.,  Elmaraghy,  H.,  (2014a). Generating  Max-Plus  Equation  for  Efficient Analysis of Manufacturing Flow Lines . Proceeding of the 47th CIRP Conference on Manufacturing Systems.
[9]    Seleim,  A.,  Elmaraghy,  H.,  (2014b). Generating  Max-Plus  Equation  for  Efficient Analysis of Manufacturing Flow Lines . Journal of Manufacturing Systems, Vol. 314.
[10]  Subiono,  (2015). Aljabar  Min-Max-Plus  dan  Terpannya .  Institut  Teknologi  Sepuluh Nopember, Surabaya.