## Contemporary Mathematics and Applications
Vol. 4, No. 1, 2022, pp. 28-41.

## Analisis Kestabilan Model Matematika Predator-Prey pada
Dinamika Sosial
Laurensia Regina Bestari Gepak 1 , Miswanto 1,* & Cicik Alfiniyah 1
1 Departemen Matematika, Fakultas Sains dan Teknologi, Universitas Airlangga, Indonesia
* Corresponding author: miswanto@fst.unair.ac.id
Abstract. In  social  life,  difference  and  diversity  is  something  that  cannot  be  denied  by  anyone. Starting  from  differences  horizontally  concerning  ethnicity,  language,  customs  to  religion  and vertically concerning the political, social, cultural to economic fields. The existence of these many differences  can  certainly  bring  positive  and  negative  impacts  in  social  life.  With  diversity, interaction in society is dynamic, but it results in the emergence of negative attitudes such as egoism and  competition  between  groups.  From  the  occurrence  of  this  can  trigger  the  problem  of  social inequality in the community. Social inequality can occur because of national development efforts that only focus on economic aspects and forget about social aspects. The purpose of this thesis is to discuss the stability analysis of the predator-prey mathematical model on social dynamics with the Holling type II functional response. From this model analysis, we obtained four equilibrium points, which are the equilibrium point for the extinction of all population ( E 0 ) which is unstable, then the equilibrium point for the extinction of the non-poor population and the poor ( E 1 ) and the extinction of the non-poor population ( E 2 ) which are stable with certain conditions and coexistence ( E 3 ) which is  to  be  asymptotically  stable.  Also  in  the  final  section,  we  perform  the  numerical  simulation  to supports the analytical result.
Keywords: predator-prey, social dynamics, Holling type II functional response, stability.

## 1 Pendahuluan
Manusia  sebagai  makhluk  sosial  tidak  dapat  hidup  sendiri,  melainkan  selalu membutuhkan manusia lain untuk memenuhi kebutuhannya. Dalam kehidupan bersama, manusia  memerlukan  pula  adanya  organisasi  yaitu  jaringan  interaksi  sosial.  Interaksi sosial  itulah  yang  kemudian  melahirkan  lingkungan  hidup  seperti  kelompok  atau golongan masyarakat. Masyarakat merupakan manusia yang senantiasa berhubungan atau berinteraksi  dengan  manusia  lainnya  dalam  suatu  kelompok  [1].  Dalam  kehidupan bermasyarakat,  perbedaan  dan  keberagaman  menjadi  suatu  hal  yang  tidak  dapat dipungkiri oleh siapapun. Mulai dari perbedaan secara horizontal yang menyangkut suku bangsa, bahasa, adat istiadat hingga agama dan secara vertikal yang menyangkut bidang politik,  sosial,  budaya  hingga  ekonomi.  Adanya  banyak  perbedaan  tersebut  tentu  bisa membawa dampak positif dan dampak negatif dalam kehidupan bermasyarakat. Dengan
keberagaman  menjadikan  interaksi  didalam  masyarakat  berjalan  dinamis,  namun berakibat munculnya sikap negatif seperti egoisme dan persaingan antar kelompok atau golongan. Dari terjadinya hal tersebut dapat memicu adanya masalah ketimpangan sosial di lingkungan masyarakat.
Ketimpangan  sosial  di  lingkungan  masyarakat  meliputi  berbagai  macam  bentuk  yakni ketimpangan  antar  golongan  sosial  ekonomi,  budaya, gender ,  informasi  digital  dan wilayah. Pada tulisan ini hanya akan difokuskan mengenai ketimpangan antar golongan sosial  ekonomi.  Ketimpangan  atau  kesenjangan  sosial  ekonomi  adalah  suatu ketidakseimbangan sosial yang ada di masyarakat sehingga menjadikan suatu perbedaan yang  sangat  mencolok,  atau  dapat  juga  diartikan  sebagai  suatu  keadaan  dimana  orang kaya mempunyai kedudukan yang lebih tinggi dan lebih berkuasa dari pada orang miskin [2].  Perbedaannya,  penduduk  miskin  merupakan  penduduk  yang  memiliki  rata-rata pengeluaran  perkapita  per  bulan  dibawah  garis  kemiskinan  dan  penduduk  kaya merupakan  penduduk  yang  memiliki  rata-rata  pengeluaran  perkapita  per  bulan  diatas garis kemiskinan. Garis kemiskinan adalah penjumlahan dari Garis Kemiskinan Makanan (GKM) dan Garis Kemiskinan Non Makanan (GKNM) [3].
Bagian paling sederhana dalam bermasyarakat adalah interaksi. Salah satu alasan yang memunculkan  adanya  interaksi  antar  individu  adalah  untuk  memenuhi  kebutuhan. Kebutuhan dapat terpenuhi dengan cara memengaruhi individu lainnya saat berada dalam keseluruhan  masyarakat.  Hal  ini  dapat  menimbulkan  pola  perilaku  persaingan  antara individu  yang  satu  dengan  yang  lainnya.  Adapun  salah  satu  model  yang  dapat menggambarkan  perilaku  tersebut  adalah  model predator-prey .  Model predator-prey pertama  kali  dikenalkan  oleh  Lotka  pada  tahun  1925  dan  Volterra  pada  tahun  1926, sehingga model ini juga disebut model Lotka Volterra [4]. Interaksi predator-prey adalah suatu interaksi antar individu yang sangat menarik untuk dikaji secara matematika. Model matematika tentang predator-prey menggambarkan perilaku dinamis antara predator dan prey .
Berdasarkan  uraian  di  atas,  penulis  tertarik  untuk  mengkaji  ulang  model  matematika predator-prey pada dinamika sosial dengan menambahkan fungsi respon Holling Tipe II disetiap  interaksi  antara  populasi  total  masyarakat  dengan  populasi  masyarakat  non- miskin  dan  masyarakat  miskin  karena  adanya  keterbatasan  waktu  bagi  populasi  total masyarakat saat memengaruhi populasi lainnya. Kemudian, untuk pertumbuhan populasi masyarakat  mengikuti  model  logistik  karena  suatu  populasi  yang  tidak  mungkin bertambah  terus  menerus  menuju  tak  hingga,  sehingga  terdapat  batasan  jumlah maksimum populasi untuk bertumbuh. Setelah itu, juga akan dilakukan analisa keadaan setimbang dan kestabilan dari titik setimbang yang berlaku pada model tiga persamaan predator-prey .  Kemudian  dari  hasil  analitik,  akan  dilakukan  simulasi  numerik  serta menginterpretasikan  model  untuk  menunjang  kajian  analitik.  Dengan  demikian,
diharapkan  dapat  memperoleh  beberapa  kesimpulan  dari  masing-masing  kondisi  yang ada berdasarkan hasil analitik tersebut.

## 2 Formulasi Model
Pada  bagian  ini  akan  diformulasikan  model  matematika predator-prey pada  dinamika sosial dengan menggunakan fungsi respon Holling tipe II. Model dasar yang dikaji pada tulisan ini merujuk  pada jurnal  yang ditulis oleh [5]. Model  matematika predator-prey pada  dinamika  sosial  dibagi  menjadi  3  kompartemen,  yakni 𝑆(𝑡) yang  melambangkan jumlah populasi total masyarakat, 𝐶 1 (𝑡) yang melambangkan jumlah populasi masyarakat non-miskin dan 𝐶 2 (𝑡) yang melambangkan jumlah populasi masyarakat miskin.
Adapun  asumsi  yang  digunakan  dalam  pembentukan  model  matematika predator-prey pada dinamika sosial adalah sebagai berikut:
1. Populasi  total  masyarakat  dianggap  sebagai  populasi prey ,  sedangkan  populasi masyarakat non-miskin dan masyarakat miskin dianggap sebagai populasi predator .
2. Laju pertumbuhan populasi total masyarakat mengikuti model logistik.
3. Adanya  persaingan  antara  populasi  masyarakat  non-miskin  dengan  populasi masyarakat miskin saat berada dalam populasi total masyarakat.
4. Waktu untuk memengaruhi golongan sosial lainnya dalam populasi total masyarakat terbatas.
Adapun definisi parameter yang digunakan pada model matematika predator-prey pada dinamika sosial disajikan pada tabel berikut ini:
Tabel 1 Pendefinisian Parameter Model Parameter Keterangan 𝑟 Laju pertumbuhan intrinsik 𝐾 Kapasitas tampung 𝑎 1 Laju  golongan  sosial  non-miskin  yang  bergerak  dalam  menuntaskan kesenjangan sosial 𝑎 2 Laju golongan sosial miskin yang bergerak dalam menuntaskan kesenjangan sosial 𝑎 Waktu  untuk  memengaruhi  golongan  sosial  lainnya  dalam  populasi  total masyarakat 𝛽 1 Laju feedback masyarakat non miskin 𝛽 2 Laju feedback masyarakat miskin 𝛽 3 Laju  pemberian  bantuan  dari  masyarakat  non-miskin  untuk  masyarakat miskin 𝜇 Laju kematian alami
Oleh  karena  kelajuan  merupakan  besaran  skalar  yang  nilainya  selalu  positif,  maka parameter-parameter yang digunakan diasumsikan:
𝑟, 𝐾, 𝑎 1 , 𝑎 2 , 𝑎, 𝛽 1, 𝛽 2 , 𝛽 3 , 𝜇 > 0
Berdasarkan  asumsi-asumsi  tersebut  diatas  dapat  dibentuk  sistem  persamaan  sebagai berikut:
𝑑𝑆 𝑑𝑡 = 𝑟𝑆 (1 − 𝑆 𝐾 ) − 𝑎 1 𝑆𝐶 1 1+𝑎𝑆 − 𝑎 2 𝑆𝐶 2 1+𝑎𝑆
(1)
𝑑𝐶 1 𝑑𝑡 = 𝑎 1 𝑆𝐶 1 1+𝑎𝑆 − (𝛽 1 + 𝛽 3 + 𝜇)𝐶 1 (2)
𝑑𝐶 2 𝑑𝑡 = 𝑎 2 𝑆𝐶 2 1+𝑎𝑆 + 𝛽 3 𝐶 1 − (𝛽 2 +  𝜇)𝐶 2 (3)
Pada  persamaan  (1)  mempresentasikan  laju  perubahan  populasi  total  masyarakat  per satuan waktu. Populasi total masyarakat akan meningkat karena adanya laju pertumbuhan intrinsik  total  masyarakat  yang  berupa  model  logistik.  Lalu,  akan  berkurang  karena adanya  kompetisi  antara  keseluruhan  masyarakat  dengan  masyarakat  non-miskin  dan masyarakat miskin.
Pada persamaan (2) mempresentasikan laju perubahan populasi masyarakat non-miskin per satuan waktu. Populasi masyarakat non-miskin meningkat karena adanya kompetisi antara keseluruhan masyarakat dengan masyarakat non-miskin. Lalu, berkurang karena adanya laju feedback masyarakat non-miskin, laju pemberian bantuan untuk masyarakat miskin dan laju kematian alami.
Pada persamaan (3) mempresentasikan laju perubahan populasi masyarakat miskin per satuan  waktu.  Populasi  masyarakat  miskin  meningkat  karena  adanya  kompetisi  antara keseluruhan  masyarakat  dengan  masyarakat  miskin dan  penerimaan  bantuan  dari masyarakat non-miskin. Lalu, populasi masyarakat miskin berkurang karena adanya laju feedback masyarakat miskin dan laju kematian alami.

## 3 Analisis Kestabilan Titik Setimbang
Sebelum  dilakukan  uji  kestabilan  titik  setimbang,  akan  ditentukan  dahulu  titik setimbangnya.  Berdasarkan persamaan (1)  –  (3) diperoleh 4 titik setimbang  yakni  titik setimbang  kepunahan  ketiga  populasi,  titik  setimbang  kepunahan  populasi  masyarakat non-miskin dan masyarakat miskin, titik setimbang kepunahan populasi masyarakat non- miskin dan titik setimbang koeksistensi.
Titik  setimbang  kepunahan  ketiga  populasi  adalah  kondisi  ketika  populasi  total masyarakat,  populasi  masyarakat  non-miskin  dan  populasi  masyarakat  non-miskin mengalami kepunahan. Kondisi ini terjadi pada saat 𝑆 = 0, 𝐶 1 = 0 dan 𝐶 2 = 0 . Misalkan titik  setimbang  kepunahan  ketiga  populasi  dinyatakan  sebagai 𝐸 0 = (𝑆, 𝐶 1 , 𝐶 2 ) maka dengan mensubstitusikan nilai 𝑆 = 0, 𝐶 1 = 0 dan 𝐶 2 = 0 ke dalam persamaan (1) – (3) diperoleh titik setimbang kepunahan ketiga populasi berikut 𝐸 0 = (𝑆, 𝐶 1 , 𝐶 2 ) = (0,0,0) .
Titik  setimbang  kepunahan  populasi  masyarakat  non-miskin  dan  masyarakat  miskin adalah kondisi ketika populasi masyarakat non-miskin dan masyarakat miskin mengalami kepunahan.  Kondisi  ini  terjadi  pada  saat 𝑆 ≠ 0, 𝐶 1 = 0 dan 𝐶 2 = 0 .  Misalkan  titik setimbang kepunahan ketiga populasi dinyatakan sebagai 𝐸 1 = (𝑆, 𝐶 1 , 𝐶 2 ) maka dengan mensubstitusikan nilai 𝑆 ≠ 0, 𝐶 1 = 0 dan 𝐶 2 = 0 ke dalam persamaan (1) – (3) diperoleh titik setimbang kepunahan ketiga populasi berikut 𝐸 1 = (𝑆, 𝐶 1 , 𝐶 2 ) = (𝐾, 0,0) .
Titik  setimbang  kepunahan  populasi  masyarakat  non-miskin  adalah  kondisi  ketika populasi masyarakat non-miskin mengalami kepunahan. Kondisi ini terjadi pada saat 𝑆 ≠ 0, 𝐶 1 = 0 dan 𝐶 2 ≠ 0 .  Misalkan  titik  setimbang  kepunahan  ketiga  populasi  dinyatakan sebagai 𝐸 2 = (𝑆, 𝐶 1 , 𝐶 2 ) maka dengan mensubstitusikan nilai 𝑆 ≠ 0, 𝐶 1 = 0 dan 𝐶 2 ≠ 0 ke dalam persamaan (1) – (3) diperoleh titik setimbang kepunahan ketiga populasi berikut 𝐸 2 = (𝑆, 𝐶 1 , 𝐶 2 ) = ( 𝛽 2 +𝜇 𝑎 2 −𝑎(𝛽 2 +𝜇) , 0, 𝑟𝐾(𝑎 2 −𝛽 2 𝑎−𝜇𝑎)−𝛽 2 𝑟−𝜇𝑟 (𝑎 2 −𝛽 2 𝑎− 𝜇𝑎) 2 𝐾 ) .
Titik  setimbang  koeksistensi  adalah  kondisi  ketika  populasi  total  masyarakat,  populasi masyarakat  non-miskin  dan  populasi  masyarakat  miskin  tidak  mengalami  kepunahan. Kondisi ini terjadi pada saat 𝑆 ≠ 0, 𝐶 1 ≠ 0 dan 𝐶 2 ≠ 0 . Titik setimbang koeksistensi tidak dapat  diperoleh  dengan  perhitungan  analitik,  sehingga  akan  dianalisis  secara  numerik dengan menggunakan bidang fase.
Setelah  diperoleh  titik  setimbang,  akan  dilakukan  analisis  kestabilan  terhadap  titik setimbang.  Model  matematika predator-prey pada  dinamika  sosial  merupakan  model non-linear,  maka  akan  dilakukan  linearisasi  model  dengan  menggunakan  matriks Jacobian. Matriks Jacobian dari model matematika predator-prey pada dinamika sosial adalah sebagai berikut:
𝐽 =
[ 𝜕𝑓 1 𝜕𝑆 𝜕𝑓 1 𝜕𝐶 1 𝜕𝑓 1 𝜕𝐶 2 𝜕𝑓 2 𝜕𝑆 𝜕𝑓 2 𝜕𝐶 1 𝜕𝑓 2 𝜕𝐶 2 𝜕𝑓 3 𝜕𝑆 𝜕𝑓 3 𝜕𝐶 1 𝜕𝑓 3 𝜕𝐶 2 ] = [ 𝑝 1 𝑝 2 𝑝 3 𝑝 4 𝑝 5 0 𝑝 6 𝑝 7 𝑝 8 ] (4)
dengan
𝑝 1 = 𝑟 (1 − 𝑆 𝐾 ) − 𝑟𝑆 𝐾 − 𝑎 1 𝐶 1 1+𝑎𝑆 + 𝑎 1 𝑆𝐶 1 𝑎 (1+𝑎𝑆) 2 − 𝑎 2 𝐶 2 1+𝑎𝑆 + 𝑎 2 𝑆𝐶 2 𝑎 (1+𝑎𝑆) 2 𝑝 2 = − 𝑎 1 𝑆 1+𝑎𝑆 𝑝 3 = − 𝑎 2 𝑆 1+𝑎𝑆 𝑝 4 = 𝑎 1 𝐶 1 1+𝑎𝑆 − 𝑎 1 𝑆𝐶 1 𝑎 (1+𝑎𝑆) 2 𝑝 5 = 𝑎 1 𝑆 1+𝑎𝑆 – 𝛽 1 − 𝛽 3 − 𝜇
𝑝 6 = 𝑎 2 𝐶 2 1+𝑎𝑆 – 𝑎 2 𝑆𝐶 2 𝑎 (1+𝑎𝑆) 2 𝑝 7 = 𝛽 3
𝑝 8 = 𝑎 2 𝑆 1+𝑎𝑆 – 𝛽 2 − 𝜇
Selanjutnya akan dilakukan analisis kestabilan dari titik setimbang yang telah diperoleh menggunakan nilai eigen dari matriks Jacobian (𝐽) pada persamaan (4).
Kestabilan  titik  setimbang  kepunahan  ketiga  populasi  dapat  diperoleh  dengan mensubstitusikan  nilai  titik  setimbang  kepunahan  ketiga  populasi  yakni 𝐸 0 ke  hasil linearisasi dengan matriks Jacobian (𝐽) pada persamaan (4), sehingga dapat diperoleh:
𝐽 𝐸 0 = [ 𝑟 0 0 0 −𝛽 1 − 𝛽 3 − 𝜇 0 0 𝛽 3 −𝛽 2 − 𝜇 ]
Berdasarkan matriks Jacobian 𝐽 𝐸 0 dapat dibentuk persamaan karakteristik sebagai berikut: det (𝜆𝐼 − 𝐽 𝐸0 ) = 0
⟺ | 𝜆 − 𝑟 0 0 0 𝜆 + 𝛽 1 + 𝛽 3 + 𝜇 0
0 −𝛽 3 𝜆 + 𝛽 2 + 𝜇 | = 0 (𝜆 − 𝑟)(𝜆 + 𝛽 1 + 𝛽 3 + 𝜇)(𝜆 + 𝛽 2 + 𝜇) = 0 (5)
Dari persamaan karakteristik (5) diperoleh nilai eigen untuk 𝐽 𝐸 0 adalah 𝜆 1 = 𝑟 , 𝜆 2 = −𝛽 1 − 𝛽 3 − 𝜇 dan 𝜆 3 = −𝛽 2 − 𝜇
Syarat agar titik setimbang stabil asimtotis adalah semua nilai eigen harus bernilai negatif. Karena  semua  nilai  parameter  diasumsikan  bernilai  positif,  maka  jelas  bahwa  titik setimbang kepunahan ketiga populasi 𝐸 0 = (0,0,0) akan stabil asimtotis jika 𝜆 1 , 𝜆 2 , 𝜆 3 < 0 . Sedangkan nilai eigen yang diperoleh yakni 𝜆 1 = 𝑟 > 0 , sehingga titik setimbang 𝐸 0 = (0,0,0) tidak  stabil.  Dengan demikian kondisi  saat  populasi total  masyarakat,  populasi masyarakat  non-miskin  dan  populasi  masyarakat  miskin  mengalami  kepunahan  tidak dapat terjadi.
Kestabilan  pada  titik  setimbang  kepunahan  populasi  masyarakat  non-miskin  dan masyarakat  miskin  dapat  diperoleh  dengan  mensubstitusikan  nilai  titik  setimbang kepunahan populasi 𝐶 1 dan 𝐶 2 yakni 𝐸 1 ke hasil linearisasi dengan matriks Jacobian (𝐽) pada persamaan (4), sehingga dapat diperoleh:
𝐽 𝐸 1 = [ −𝑟 − 𝑎 1 𝐾 1+𝑎𝐾 − 𝑎 2 𝐾 1+𝑎𝐾 0 𝑎 1 𝐾 1+𝑎𝐾 − 𝛽 1 − 𝛽 3 − 𝜇 0 0 𝛽 3 𝑎 2 𝐾 1+𝑎𝐾 − 𝛽 2 − 𝜇]
Berdasarkan matriks Jacobian 𝐽 𝐸 1 dapat dibentuk persamaan karakteristik sebagai berikut: det (𝜆𝐼 − 𝐽 𝐸1 ) = 0
⟺ | | 𝜆 + 𝑟 𝑎 1 𝐾
1 + 𝑎𝐾 𝑎 2 𝐾 1 + 𝑎𝐾 0 𝜆 − 𝑎 1 𝐾 1 + 𝑎𝐾 + 𝛽 1 + 𝛽 3 + 𝜇 0 0 −𝛽 3 𝜆 − 𝑎 2 𝐾 1 + 𝑎𝐾 + 𝛽 2 + 𝜇 | | = 0 (𝜆 + 𝑟) (𝜆 − 𝑎 1 𝐾 1+𝑎𝐾 + 𝛽 1 + 𝛽 3 + 𝜇) (𝜆 − 𝑎 2 𝐾 1+𝑎𝐾 + 𝛽 2 + 𝜇) = 0 (6)
Dari persamaan karakteristik (6) diperoleh nilai eigen untuk 𝐽 𝐸 1 adalah 𝜆 1 = −𝑟, 𝜆 2 = 𝑎 1 𝐾 1+𝑎𝐾 − 𝛽 1 − 𝛽 3 − 𝜇 dan 𝜆 3 = 𝑎 2 𝐾 1+𝑎𝐾 − 𝛽 2 − 𝜇
Syarat agar titik setimbang stabil asimtotis adalah semua nilai eigen harus bernilai negatif. Karena  semua  nilai  parameter  diasumsikan  bernilai  positif,  maka  jelas  bahwa  titik setimbang kepunahan populasi 𝐶 1 dan 𝐶 2 yakni 𝐸 1 = (𝐾, 0,0) akan stabil asimtotis jika 𝜆 1 , 𝜆 2 , 𝜆 3 < 0 . Jelas bahwa untuk nilai eigen 𝜆 1 = −𝑟 < 0 , sedangkan untuk nilai eigen 𝜆 2 = 𝑎 1 𝐾 1+𝑎𝐾 − 𝛽 1 − 𝛽 3 − 𝜇  < 0 ⟺ 𝑎 1 𝐾 < (𝛽 1 + 𝛽 3 + 𝜇 )(1 + 𝑎𝐾) dan 𝜆 3 = 𝑎 2 𝐾 1+𝑎𝐾 − 𝛽 2 − 𝜇 < 0 ⟺ 𝑎 2 𝐾 < (𝛽 2 + 𝜇)(1 + 𝑎𝐾) .
Dengan  demikian,  titik  setimbang  kepunahan  populasi  masyarakat  non-miskin  dan masyarakat miskin stabil asimtotis apabila memenuhi:
1. 𝑎 1 𝐾 < (𝛽 1 + 𝛽 3 + 𝜇 )(1 + 𝑎𝐾)
2. 𝑎 2 𝐾 < (𝛽 2 + 𝜇)(1 + 𝑎𝐾)
Kestabilan  pada  titik  setimbang  kepunahan  populasi  masyarakat  non-miskin  dapat diperoleh dengan mensubstitusikan nilai titik setimbang kepunahan populasi 𝐶 1 yakni 𝐸 2 ke  hasil  linearisasi  dengan  matriks  Jacobian (𝐽) pada  persamaan  (4),  sehingga  dapat diperoleh:
𝐽 𝐸 2 = [ 𝑞 1 𝑞 2 𝑞 3 0 𝑞 4 0 𝑞 5 𝑞 6 0 ] dengan 𝑞 1 = 𝑟(𝛽 2 +𝜇)(𝑎 2 𝜇𝐾+𝑎 2 𝛽 2 𝐾−𝑎𝑎 2 𝐾+𝑎𝜇+𝑎𝛽 2 +𝑎 2 ) 𝑎 2 𝐾(𝑎𝜇+𝑎𝛽 2 −𝑎 2 ) 𝑞 2 = − 𝑎 1 (𝛽 2 +𝜇) 𝑎 2 𝑞 3 = −(𝛽 2 + 𝜇)
𝑞 4 = 𝑎 1 (𝛽 2 +𝜇)−𝑎 2 (𝛽 1 +𝛽 3 +𝜇) 𝑎 2 𝑞 5 = − 𝑟(𝑎𝜇𝐾+𝑎𝛽 2 𝐾−𝑎 2 𝐾+𝜇+𝛽 2 ) 𝑎 2 𝐾 𝑞 6 = 𝛽 3 Berdasarkan matriks Jacobian 𝐽 𝐸 2 dapat dibentuk persamaan karakteristik sebagai berikut: det (𝜆𝐼 − 𝐽 𝐸2 ) = 0
⟺ |
𝜆 − 𝑞 1 −𝑞 2 −𝑞 3 0 𝜆 − 𝑞 4 0 −𝑞 5 −𝑞 6 𝜆 | = 0
Dari sini diperoleh persamaan karakteristiknya sebagai berikut: 𝜆 3 + 𝑏 1 𝜆 2 + 𝑏 2 𝜆 + 𝑏 3 = 0 dengan 𝑏 1 = −𝑞 1 − 𝑞 4 𝑏 2 = 𝑞 1 𝑞 4 + 𝑞 3 𝑞 5 𝑏 3 = −𝑞 3 𝑞 4 𝑞 5
Syarat agar titik setimbang stabil asimtotis adalah semua nilai eigen harus bernilai negatif. Serta nilai dari akar-akar persamaan karakteristik akan bernilai negatif jika 𝑏 1 , 𝑏 2 , 𝑏 3 > 0 dan 𝑏 1 𝑏 2 − 𝑏 3 > 0 .  Sehingga  dapat  disimpulkan  bahwa  titik  setimbang  kepunahan populasi masyarakat non-miskin stabil asimtotis jika 𝑏 1 , 𝑏 2 , 𝑏 3 > 0 dan 𝑏 1 𝑏 2 − 𝑏 3 > 0 . Berdasarkan  uraian  titik  setimbang  yang  telah  diperoleh,  untuk  mengetahui  kestabilan titik setimbang koeksistensi tidak dapat diperoleh secara analitik. Dengan demikian akan dilakukan  analisis  kestabilan  titik  setimbang  koeksistensi  secara  numerik  dengan menggunakan software Matlab.  Simulasi  ini  dilakukan  dengan  memberikan  nilai parameter dan tiga nilai  awal  yang berbeda untuk 𝑆, 𝐶 1 dan 𝐶 2 . Berikut disajikan tabel nilai awal dan nilai paremeter yang digunakan.
Tabel 2 Nilai Awal Bidang Fase Titik Setimbang Koeksistensi
Notasi 𝑆 𝐶 1 𝐶 2 Warna Nilai Awal 1 14 3.10 3 Biru Nilai Awal 2 15 3.08 4 Hijau Nilai Awal 3 16 3.20 2 Merah
Tabel 3 Nilai Parameter Titik Setimbang Koeksistensi Parameter Nilai Sumber 𝑟 1 Asumsi 𝐾 100 Asumsi 𝑎 1 0.048 Asumsi 𝑎 2 0.091 Asumsi 𝑎 0.005 Asumsi 𝛽 1 0.32 Isea dan Lonngren (2020) 𝛽 2 0.64 Isea dan Lonngren (2020) 𝛽 3 0.009 Isea dan Lonngren (2020) 𝜇 0.013 Isea dan Lonngren (2020)
Hasil simulasi bidang fase pada titik setimbang koeksistensi ditunjukkan pada Gambar 1 berikut.
Gambar 1 Bidang Fase Titik Setimbang Koeksistensi
Gambar  1  menunjukkan  simulasi  bidang  fase  untuk  populasi  total  masyarakat, masyarakat  non-miskin  dan  masyarakat  miskin  pada  model  matematika predator-prey pada dinamika sosial. Berdasarkan tiga nilai awal berbeda yang telah diberikan, terlihat bahwa ketiga garis akan menuju pada satu titik. Oleh karena itu, secara numerik dapat dikatakan  bahwa  titik  setimbang  koeksistensi  bersifat  cenderung  asimtotis.  Dari  hasil bidang fase tersebut diperoleh titik setimbang 𝐸 3 = (7.8235; 5.1475; 6.634) .

## 4 Simulasi Numerik
Simulasi  numerik  ini  dilakukan  bertujuan  untuk  mengetahui  dinamika  populasi  total masyarakat, masyarakat non-miskin dan masyarakat miskin pada selang waktu tertentu. Simulasi  numerik  model  matematika predator-prey saat  kondisi  kepunahan  populasi masyarakat non-miskin dan masyarakat miskin yang memenuhi kondisi kestabilan titik setimbang  kepunahan  populasi  masyarakat  non-miskin  dan  masyarakat  miskin.  Pada simulasi  digunakan  nilai  awal 𝑆(0) = 10, 𝐶 1 (0) = 20, 𝐶 2 (0) = 30 dan  waktu 𝑡 = 0 hingga 𝑡 = 100 .  Nilai  parameter  yang  digunakan  untuk  simulasi  disajikan  pada  tabel berikut.
Tabel 4 Nilai Parameter Simulasi Numerik saat Kondisi Kepunahan Populasi Masyarakat Non-Miskin dan Masyarakat Miskin
Parameter Nilai Sumber 𝑟 1 Asumsi 𝐾 100 Asumsi 𝑎 1 0.048 Asumsi 𝑎 2 0.091 Asumsi 𝑎 0.5 Asumsi 𝛽 1 0.32 Isea dan Lonngren (2020) 𝛽 2 0.64 Isea dan Lonngren (2020) 𝛽 3 0.009 Isea dan Lonngren (2020) 𝜇 0.013 Isea dan Lonngren (2020)
Berdasarkan nilai awal dan nilai parameter yang disajikan diatas, maka hasil simulasinya adalah sebagai berikut.
Gambar  2 Grafik  Populasi  Total  Masyarakat,  Masyarakat  Non-Miskin  dan Masyarakat Miskin pada Saat Kondisi Kepunahan Populasi Masyarakat Non-Miskin dan Masyarakat Miskin
Gambar 2 memperlihatkan dinamika populasi total masyarakat, masyarakat non-miskin dan masyarakat miskin terhadap waktu. Populasi total masyarakat mengalami kenaikan hingga 𝑡 = 15 dan  stabil  hingga 𝑡 = 100 .  Kenaikan  populasi  total  masyarakat disebabkan oleh laju pertumbuhan intrinsik. Populasi masyarakat non-miskin mengalami penurunan hingga 𝑡 = 24 dan pada akhirnya mengalami kepunahan. Penurunan populasi masyarakat  non-miskin  terjadi  karena  adanya feedback dari  masyarakat  non-miskin, pemberian  bantuan  bagi  masyarakat  miskin  dan  adanya  kematian  alami  sehingga menyebabkan kepunahan. Populasi masyarakat miskin mengalami penurunan hingga 𝑡 =
17 dan  pada  akhirnya  mengalami  kepunahan.  Penurunan  populasi  masyarakat  miskin terjadi  karena  adanya feedback dari  masyarakat  miskin  dan  adanya  kematian  alami sehingga menyebabkan kepunahan.
Simulasi  numerik  model  matematika predator-prey saat  kondisi  kepunahan  populasi masyarakat  non-miskin  yang  memenuhi  kondisi  kestabilan  titik  setimbang  kepunahan populasi  masyarakat  non-miskin.  Pada  simulasi  digunakan  nilai  awal 𝑆(0) = 15, 𝐶 1 (0) = 10, 𝐶 2 (0) = 30 dan  waktu 𝑡 = 0 hingga 𝑡 = 100 .  Nilai  parameter  yang digunakan untuk simulasi disajikan pada tabel berikut.
Tabel 5 Nilai Parameter Simulasi Numerik saat Kondisi Kepunahan Populasi Masyarakat
Non-Miskin Parameter Nilai Sumber 𝑟 100 Asumsi 𝐾 200 Asumsi 𝑎 1 0.048 Asumsi 𝑎 2 0.091 Asumsi 𝑎 0.5 Asumsi 𝛽 1 0.32 Isea dan Lonngren (2020) 𝛽 2 0.064 Asumsi 𝛽 3 0.009 Isea dan Lonngren (2020) 𝜇 0.013 Asumsi
Berdasarkan nilai awal dan nilai parameter yang disajikan diatas, maka hasil simulasinya adalah sebagai berikut.
Gambar  3 Grafik  Populasi  Total  Masyarakat,  Masyarakat  Non-Miskin  dan Masyarakat Miskin pada Saat Kondisi Kepunahan Populasi Masyarakat Non-Miskin
Gambar 3 memperlihatkan dinamika populasi total masyarakat, masyarakat non-miskin dan masyarakat miskin terhadap waktu. Populasi total masyarakat berjumlah 15 pada saat 𝑡 = 0 lalu mencapai 200 dan stabil hingga 𝑡 = 100 . Kenaikan populasi total masyarakat disebabkan oleh laju pertumbuhan intrinsik. Populasi masyarakat non-miskin mengalami penurunan hingga 𝑡 = 16 dan pada akhirnya mengalami kepunahan. Penurunan populasi masyarakat  non-miskin  terjadi  karena  adanya feedback dari  masyarakat  non-miskin, pemberian  bantuan  bagi  masyarakat  miskin  dan  adanya  kematian  alami  sehingga menyebabkan kepunahan. Populasi masyarakat miskin mengalami kenaikan hingga 𝑡 = 150 .  Kenaikan  populasi  masyarakat  miskin  terjadi  karena  adanya  interaksi  dengan populasi total masyarakat dan penerimaan bantuan yang diberikan oleh masyarakat non- miskin.
Simulasi  numerik  model  matematika predator-prey saat  kondisi  koeksistensi  yang memenuhi kondisi kestabilan titik setimbang koeksistensi. Pada simulasi digunakan nilai awal 𝑆(0) = 14, 𝐶 1 (0) = 3.10, 𝐶 2 (0) = 3 dan  waktu 𝑡 = 0 hingga 𝑡 = 100 .  Nilai parameter yang digunakan untuk simulasi disajikan pada tabel berikut.
Tabel 6 Nilai Parameter Simulasi Numerik saat Kondisi Koeksistensi
Parameter Nilai Sumber 𝑟 1 Asumsi 𝐾 100 Asumsi 𝑎 1 0.048 Asumsi 𝑎 2 0.091 Asumsi 𝑎 0.005 Asumsi 𝛽 1 0.32 Isea dan Lonngren (2020) 𝛽 2 0.64 Isea dan Lonngren (2020) 𝛽 3 0.009 Isea dan Lonngren (2020) 𝜇 0.013 Isea dan Lonngren (2020)
Berdasarkan nilai awal dan nilai parameter yang disajikan diatas, maka hasil simulasinya adalah sebagai berikut.
Gambar  4 Grafik  Populasi  Total  Masyarakat,  Masyarakat  Non-Miskin  dan Masyarakat Miskin pada Saat Kondisi Koeksistensi
Gambar 4 memperlihatkan dinamika populasi total masyarakat, masyarakat non-miskin dan masyarakat miskin terhadap waktu. Populasi total masyarakat berjumlah 14 pada saat 𝑡 = 0 lalu mencapai 19 pada saat 𝑡 = 2 dan menurun hingga saat 𝑡 = 5 dengan berjumlah 2.  Populasi  total  masyarakat  mengalami  kenaikan  karena  disebabkan  oleh  laju pertumbuhan  intrinsik  dan  mengalami  penurunan  karena  disebabkan  oleh  adanya kompetisi antara keseluruhan masyarakat dengan masyarakat non-miskin dan masyarakat miskin. Populasi total masyarakat mengalami kenaikan dan penurunan secara berulang hingga saat 𝑡 = 100 . Populasi masyarakat non-miskin berjumlah 3 pada saat 𝑡 = 0 lalu mencapai 8 pada saat 𝑡 = 3 dan menurun hingga saat 𝑡 = 8 dengan berjumlah 3. Populasi masyarakat non-miskin mengalami kenaikan karena disebabkan oleh adanya kompetisi antara keseluruhan masyarakat dengan masyarakat non-miskin dan mengalami penurunan karena  disebabkan  oleh  laju feedback masyarakat  non-miskin,  laju  pemberian  bantuan untuk  masyarakat  miskin  dan  laju  kematian  alami.  Populasi  masyarakat  non-miskin mengalami kenaikan dan penurunan secara berulang hingga pada saat 𝑡 = 100 . Populasi masyarakat  miskin berjumlah 3 pada  saat 𝑡 = 0 lalu mencapai  18 pada saat 𝑡 = 3 dan menurun hingga saat 𝑡 = 8 dengan berjumlah 3. Populasi masyarakat miskin mengalami kenaikan  karena  disebabkan  oleh  adanya  kompetisi  antara  keseluruhan  masyarakat dengan  masyarakat  miskin dan  penerimaan  bantuan  dari  masyarakat  non-miskin  dan mengalami penurunan karena disebabkan oleh laju feedback masyarakat miskin dan laju kematian alami. Populasi masyarakat miskin mengalami kenaikan dan penurunan secara berulang hingga pada saat 𝑡 = 100 .

## 5 Kesimpulan
Berdasarkan  hasil  pembahasan  yang  telah  diuraikan  pada  bab  sebelumnya,  diperoleh kesimpualan sebagai berikut:
1. Dari  model  matematika predator-prey pada  dinamika  sosial  diperoleh  empat  titik setimbang, yakni titik setimbang kepunahan ketiga populasi (𝐸 0 ) yang bersifat tidak stabil,  kemudian  titik  setimbang  kepunahan  populasi  masyarakat  non-miskin  dan masyarakat miskin (𝐸 1 ) serta kepunahan populasi masyarakat non-miskin (𝐸 2 ) yang bersifat  stabil  asimtotis  bersyarat  dan  koeksistensi (𝐸 3 ) yang  bersifat  cenderung stabil asimtotis.
2. Hasil  simulasi  numerik  model  matematika predator-prey pada  dinamika  sosial menunjukkan  bahwa  kenaikan  dan  penurunan  jumlah  populasi  terjadi  berdasarkan tingkat  pertumbuhan,  kematian  alami  dari  populasi,  serta  adanya  interaksi  berupa pengaruh  dan feedback yang  diberikan  individu  dari  suatu  populasi  ke  populasi lainnya.

## 6 Daftar Pustaka
[1] Setiadi, Elly M., & Usman K., 2013, Pengantar Sosiologi Pemahaman Fakta dan Gejala  Permasalahan  Sosial:  Teori,  Aplikasi  dan  Pemecahannya ,  Kencana Prenada Media Group, 5.
[2] Badruzaman,  Abad,  2009, Dari  Teologi  Menuju  Aksi:  Membela  yang  Lemah, Menggempur Kesenjangan , Pustaka Belajar, 284.
[3] Badan Pusat Statistika, Kemiskinan dan Ketimpangan,
https://www.bps.go.id/subject/23/kemiskinan-dan-ketimpangan.Html#subjekView Tab1 , diakses pada tanggal 5 Februari 2021.
[4] Boyce,  W.  E.  &  Diprima,  R.  C.,  2009, Elementary  Differential  Equations  and Boundary Value Problems , John Wiley and Son: New York.
[5] Isea, R. & Lonngren, K., 2020, A mathematical model that could explain the social dynamics in a country , Research Gate, 6:2610-8216.