Vol. xx,No. xx (20xx),pp. xx-xx p-ISSN XXXX-XXXX − e-ISSN YYYY-YYYY URL:http://journal.unirow.ac.id/index.php/mv
PEMODELAN MATEMATIKA DAN ANALISIS PENYEBARAN DEMAM BERDARAH
Egi Safitri 1* , Hendra Kurniawan 2 , Sri Karnila 3 , Neni Purwati 4 ,Nurjoko 5 , dan Ruki Rizal 6 Institut Informatika dan Bisnis Darmajaya 1,2,3,4,5,6
Corresponding author * : egisafitri@darmajaya.ac.id
Abstrak —Demam berdarah merupakan permasala- han kesehatan yang serius di seluruh dunia den- gan jumlah kematian yang signifikan sebagai akibat penyakit ini. Penelitian ini mengusulkan sebuah model SIR untuk populasi manusia dan model UV untuk pop- ulasi vektor dengan tingkat saturasi insiden, bertujuan untuk menggambarkan transmisi demam berdarah. Dilakukan perhitungan titik keseimbangan dan basic reproduction number , serta identifikasi kondisi yang memengaruhi keseimbangan bebas penyakit dan ke- seimbangan endemik. Stabilitas lokal titik keseimban- gan dianalisis menggunakan nilai eigen dari matriks Jacobi. Hasil penelitian menunjukkan bahwa stabilitas titik keseimbangan bebas penyakit (DFE) dipengaruhi oleh nilai R 0 < 1 , sedangkan R 0 > 1 menunjukkan stabilitas keseimbangan endemik. Analisis elastisitas dan sensitivitas terhadap parameter model dilakukan terhadap R 0 . Hasil akhir mengidentifikasi parameter β v sebagai parameter yang paling sensitif, dengan pengaruh tertinggi terhadap R 0 . Kata kunci —demam berdarah, model matematika, basic reproduction number, elastisitas dan sensitivitas.

## I. P ENDAHULUAN
Demam berdarah merupakan kondisi yang disebarkan oleh vektor dan menjangkit manusia melalui gigitan nyamuk Aedes aegypti dan Aedes albopictus [1]. Hal ini dianggap sebagai masalah serius dalam bidang kesehatan masyarakat di negara-negara tropis dan subtropis di berba- gai belahan dunia. Demam berdarah menjadi masalah kesehatan global yang signifikan, den-
Matematika Terapan :
Tanggal masuk: dd-mm-yyyy; Revisi: dd-mm-yyyy Diterima: dd-mm-yyyy
gan dampaknya yang meluas menimbulkan be- ban besar pada sistem kesehatan masyarakat di seluruh dunia [2]. Menurut Organisasi Kesehatan Dunia (WHO), sekitar 3,9 miliar orang berisiko terkena demam berdarah [3], dengan perkiraan 96 juta kasus baru setiap tahunnya [4]. Penyakit yang disebabkan oleh virus dengue ini tersebar luas di lebih dari 100 negara di seluruh dunia, dengan risiko terutama tinggi di daerah tropis dan subtropis [5].
Pemahaman mendalam tentang dinamika penyebaran demam berdarah menjadi sangat penting dalam upaya pencegahan dan pengendalian penyakit ini [6], [7]. Upaya untuk mengurangi dampaknya memerlukan pendekatan yang komprehensif, termasuk penggunaan model matematika untuk memprediksi pola penyebaran dan merancang strategi intervensi yang efektif [8].
Beberapa penelitian sebelumnya telah menye- lidiki model matematika untuk memahami penyebaran demam berdarah [9], [10], [11] den- gan mengeksplorasi dampak heterogenitas popu- lasi [12], dinamika vektor [13], [14], dan strategi intervensi [15], [16], [17].
Oleh karena itu, penelitian ini bertujuan untuk mengembangkan model matematika yang mem- perhitungkan saturasi insiden dalam penyebaran demam berdarah. Model ini diharapkan dapat memberikan pemahaman yang lebih mendalam tentang pola penyebaran penyakit, terutama di wilayah-wilayah di mana demam berdarah telah menjadi endemik dan laju infeksi baru mungkin telah mencapai titik jenuh. Melalui pendekatan ini, diharapkan dapat meningkatkan kemampuan
Vol. xx,No. xx (20xx),pp. xx-xx p-ISSN XXXX-XXXX − e-ISSN YYYY-YYYY URL:http://journal.unirow.ac.id/index.php/mv
prediktif model matematika dalam memprediksi penyebaran demam berdarah dan memberikan dasar yang lebih kuat untuk perencanaan dan im- plementasi intervensi kesehatan masyarakat yang tepat.

## II. H ASIL DAN P EMBAHASAN

## A. Pembagian Populasi
Total populasi manusia pada waktu ke- t ( N = N ( t ) ) dibagi menjadi tiga subpopulasi berdasarkan status kesehatan dan intervensi yang diberikan pada individu. Manusia rentan atau susceptible ( S h ) adalah manusia sehat yang belum pernah terinfeksi demam berdarah dan dapat terinfeksi penyakit. Manusia terinfeksi atau infected ( I h ) merupakan manusia yang terinfeksi demam berdarah dan dapat menularkan penyakit kepada manusia lainnya melalui nyamuk. Semen- tara manusia pulih atau recovered ( R h ) adalah mereka yang telah pulih dan memiliki kekebalan selamanya terhadap infeksi dari serotipe tertentu, sehingga tidak dapat tertular untuk kedua kalinya dengan serotipe yang sama. Adapun populasi nyamuk terbagi menjadi dua subpopulasi: nya- muk rentan ( U ), yaitu nyamuk sehat yang belum pernah terinfeksi demam berdarah dan rentan terinfeksi penyakit, dan nyamuk terinfeksi ( V ), yang telah terinfeksi virus demam berdarah dan dapat menularkan virus tersebut kepada manusia.

## B. Asumsi Model
Asumsi yang digunakan untuk membentuk model deterministik penyebaran penyakit demam berdarah yaitu,
1) Populasi individu (nyamuk dan manusia) bersifat tertutup dan homogen.
2) Jumlah populasi manusia bersifat tidak kon- stan.
3) Setiap individu yang baru lahir masuk ke dalam kelompok individu susceptible walaupun individu tersebut terlahir dari in- dividu terinfeksi.
4) Kematian yang terjadi pada setiap indi- vidu hanya kematian alami kecuali subpop- ulasi I h yang mengalami kematian karena penyakit. Dalam artikel ini, laju kematian alami setiap kelompok adalah sama.
5) Penularan penyakit hanya terjadi melalui kontak antara individu susceptible dengan nyamuk terinfeksi atau nyamuk susceptible dengan individu terinfeksi.
6) Tidak adanya intervensi yang dilakukan.
7) Diasumsikan bahwa penularan penyakit de- mam berdarah hanya terjadi satu kali.
8) Tidak ada status pulih atau sembuh pada populasi nyamuk karena waktu hidup nya- muk yang singkat.
9) Setiap nyamuk yang menetas dan kemu- dian menjadi dewasa akan masuk ke dalam kelompok nyamuk rentan.
Adapun parameter yang digunakan dalam pembentukan model penyebaran demam berdarah ini ditunjukan oleh Tabel I
Dengan mempertimbangkan asumsi, variabel dan parameter yang diajukan, model penyebaran demam berdarah dengan tingkat saturasi diilustrasikan dalam Gambar (1).
Gambar 1. Diagram transmisi penyebaran penyakit demam berdarah
Berdasarkan penjelasan dan diagram trans- misi, maka penyebaran penyakit demam berdarah dapat dimodelkan secara matematis dalam ben- tuk sistem persamaan diferensial biasa sebagai berikut.
Vol. xx,No. xx (20xx),pp. xx-xx p-ISSN XXXX-XXXX − e-ISSN YYYY-YYYY URL:http://journal.unirow.ac.id/index.php/mv

## Tabel I D EFINISI PARAMETER PENYEBARAN DEMAM BERDARAH
Par. Definisi
Λ h Banyaknya manusia yang lahir per satuan waktu Λ v Banyaknya nyamuk yang menetas per satuan waktu
N Total populasi manusia
M Total populasi nyamuk
β h Banyaknya gigitan nyamuk ke manusia rentan per satu ekor nyamuk per waktu
β v Banyaknya gigitan nyamuk ke manu- sia terinfeksi per satu ekor nyamuk per waktu
a h Probabilitas transmisi dari manusia terin- feksi ke nyamuk saat digigit
b h Koefisien saturasi pada peluang sukses nyamuk terinfeksi menggigit manusia se- hat
µ h Laju kematian alami dari manusia
µ v Laju kematian alami dari nyamuk
α Laju Kesembuhan
δ Kematian yang terjadi karena penyakit
dS h dt = Λ h − β h ( I h a h + 1 ) I h 2 b h + 1 S h V N − µ h S h dI h dt = β h ( I h a h + 1 ) I h 2 b h + 1 S h V N − α I h − µ h I h − δ I h dR h dt = α I h − µ h R h dU dt = Λ v − β v ( a h In + 1 ) b h I h 2 + 1 U I h N − µ v U dV dt = β v ( a h In + 1 ) b h I h 2 + 1 U I h N − µ v V (1)

## C. Reduksi Model
Pada tahap ini, akan mereduksi Sistem (1) yang bermula 5 dimensi, dengan reduksi akan dilakukan pada kompartemen nyamuk. Misalkan,
M = U + V
Sehingga diperoleh persamaan (2) berikut.
dS h dt = Λ h − β h ( I h a h + 1 ) I h 2 b h + 1 S h V N − µ h S h dI h dt = β h ( I h a h + 1 ) I h 2 b h + 1 S h V N − α I h − µ h I h − δ I h dR h dt = α I h − µ h R h dV dt = β v ( a h In + 1 ) b h I h 2 + 1 ( M − V ) I h N − µ v V (2)

## D. Properti Dasar
Pada bagian ini dibahas mengenai kepositifan dan keterbatasan dari sistem (2). Berdasarkan ukuran populasi dan sistem persamaan diferen- sial (2) diperoleh hasil sebagai berikut,
dN dt = dS h dt + dI h dt + dR h dt = Λ h − µ h S h − δ h I h − µ h I h − µ h R h = Λ h − µ h ( S h + I h + R h ) − δ h I h = Λ h − µ h N − δ h I h (3)
Berdasarkan asumsi, banyaknya manusia yang lahir sama dengan kematian alami sehingga diperoleh,
Λ h = µ h N N = Λ h µ h (4)
Subtitusi persamaan (4) ke dalam (3) sehingga diperoleh,
dN dt = Λ h − µ h N − δ h I h , = Λ h − µ h Λ h µ h − δ h I h , = − δ h I h . (5)
Vol. xx,No. xx (20xx),pp. xx-xx p-ISSN XXXX-XXXX − e-ISSN YYYY-YYYY URL:http://journal.unirow.ac.id/index.php/mv
Variabel I h bermakna biologis jika I h bernilai nonnegatif yang membuat populasi semakin tu- run jika ada kematian karena penyakit, sehingga total populasi manusia tidak konstan.

## E. Solusi Kepositifan, Solusi Keterbatasan dan Daerah Invarian Positif
Suatu model akan memiliki makna epidemi- ologi [18] ditunjukkan bahwa model memi- liki solusi kepositifan dan keterbatasan sebagai berikut.

## Solusi Kepositifan
Teorema II.1. Jika nilai awal Ω ( 0 ) ≥ 0 atau Ω ( 0 ) non-negatif, dengan
Ω ( t ) = { S h ( t ) , I h ( t ) , R h ( t ) , V ( t ) } pada sistem per- samaan (2) , maka solusi akan selalu non-negatif untuk setiap t > 0 .
B UKTI . Berdasarkan persamaan (2), untuk S h ( 0 ) > 0 , I h ( 0 ) > 0 , R h ( 0 ) > 0, dan V ( 0 ) > 0, jika S h ( t i ) → 0 saat t = t i dan t 6 = 0, maka dS h ( t ) dt → Λ h > 0, artinya S h ( t ) ≥ S h ( t i ) untuk t > t i , sehingga S h ≥ 0 untuk t > 0. Dengan cara yang sama, dapat dibuktikan bahwa I h ( t ) ≥ 0 , R h ( t ) ≥ 0 , V ( t ) ≥ 0 untuk setiap t > 0.

## Solusi Keterbatasan
Teorema II.2. Pada sistem (2) jumlah populasi manusia dan nyamuk akan terbatas pada :
lim t → ∞ sup N ( t ) ≤ Λ h µ h , dan lim t → ∞ sup M ( t ) ≤ Λ v µ v .

## B
UKTI . Dari sistem (2) diketahui bahwa N = S h + I h + R h dan M = U + V sehingga berlaku bahwa :
1) 0 ≤ S h ( 0 ) ≤ N ( t ) , 0 ≤ I h ( 0 ) ≤ N ( t ) dan 0 ≤ R h ( 0 ) ≤ N ( t ) , . 2) 0 ≤ U ≤ M , dan 0 ≤ V ≤ M
Dengan menjumlahkan total populasi manusia pada sistem (2), diperoleh :
dN ( t ) dt = dS h ( t ) dt + dI h ( t ) dt + dR h ( t ) dt = Λ h − µ h ( S h ( t ) + I h ( t ) + R h ( t )) − δ I h = Λ h − µ h N ( t ) − δ I h ≤ Λ h − µ h N ( t ) . (6)
Dengan metode pemisahan variabel diperoleh
dN ( t ) dt = Λ h − µ h N ( t ) − δ I h ≤ Λ h − µ h N ( t ) Z dN ( t ) Λ h − µ h N ( t ) ≤ Z dt − 1 µ h ln | Λ h − µ h N ( t ) | ≤ t + C ln | Λ h − µ h N ( t ) | ≤ − µ h ( t + C ) Λ h − µ h N ( t ) ≤ exp ( − µ h ( t + C ))
N ( t ) ≤ Λ h − exp ( − µ h ( t + C )) µ h .
Saat t → ∞ maka N ( t ) → Λ h µ h Berdasarkan per- samaan sebelumnya maka
N ( t ) ≤ Λ h µ h − exp ( − µ h ( t + C ))
µ h
sehingga diperoleh,
lim t → ∞ sup N ( t ) = lim t → ∞ sup Λ h − exp ( − µ h ( t + C )) µ h ≤ Λ h µ h . (7)
Hal yang sama untuk populasi nyamuk ( M ) , diperoleh
Vol. xx,No. xx (20xx),pp. xx-xx p-ISSN XXXX-XXXX − e-ISSN YYYY-YYYY URL:http://journal.unirow.ac.id/index.php/mv
dM ( t ) dt = d dt ( U + V ) = dU ( t ) dt + dV ( t ) dt = Λ v + µ v ( U + V ) = Λ v + µ v M ( t )
Z dM ( t )
Λ v + µ v M ( t ) ≤ Z dt − 1 µ v ln | Λ v − µ v M ( t ) | ≤ t + C ln | Λ v − µ v M ( t ) | ≤ − µ v ( t + C ) Λ v − µ v M ( t ) ≤ exp ( − µ v ( t + C )) M ( t ) ≤ Λ v − exp ( − µ v ( t + C )) µ v .
Saat t → ∞ maka M ( t ) → Λ v µ v . Berdasarkan persamaan sebelumnya maka
M ( t ) = Λ v − exp ( − µ v ( t + C )) µ v = Λ v µ v − exp ( − µ v ( t + C )) µ v
sehingga diperoleh,
lim t → ∞ sup M ( t ) = lim t → ∞ sup Λ v − exp ( − µ v ( t + C )) µ v ≤ Λ v µ v (8)
dari persamaan 7 dan 8 yaitu
lim t → ∞ sup N ( t ) = ≤ Λ h µ h dan lim t → ∞ sup M ( t ) ≤ Λ v µ v Sehingga dapat disimpulkan bahwa populasi manusia ( N ) dan populasi nyamuk ( M ) memiliki solusi terbatas.

## Daerah Invarian Positif
Berdasarkan Teorema (II.1) tentang solusi ke- positifan dan Teorema (II.2) tentang solusi keter-
batasan, dapat diperoleh daerah invarian positif sebagai berikut:
Akibat 3. Daerah Ω ⊂ R 4 + merupakan invarian dari Sistem (2) dengan kondisi awal non-negatif di R 4 + dimana
{ Ω = { ( S h ( t ) , I h ( t ) , R h ( t ) , V ( t )) ∈ R 4 + : N ≤ Λ h µ h , M ≤ Λ v µ v }
F. Basic Reproduction Number ( R 0 )
Basic Reproduction Number ( R 0 merupakan banyaknya infeksi sekunder yang disebabkan oleh seorang individu yang terinfeksi primer selama periode infeksi di populasi yang semua individunya susceptible [19]. Untuk memper- oleh R 0 , maka harus membangaun NGM ( Next Generation Matrix ) terlebih dahulu. Pertama, lakukan linearisasi pada subsistem terinfeksi dari Sistem (2) untuk memperoleh matriks Jacobi di sekitar titik keseimbangan bebas penyakit. Kemudian, dengan mensubstitusi titik keseim- bangan bebas penyakit (DFE) ke dalam matriks Jacobi sebagai berikut
J | DFE =   − α − µ h − δ β h M β v µ h Λ h − µ v   .
Dekomposisi matriks Jacobi yang telah disub- stitusi dengan DFE menjadi J = T + ∑ , dengan T merupakan bagian matriks transmisi yang berkai- tan dengan proses penularan dan ∑ merupakan bagian matriks transisi yang berkaitan dengan proses kompartemen infeksi (termasuk kema- tian dan pemberian imunisasi). Berdasarkan ma- triks Jacobi yang telah disubstitusi DFE, matriks transmisi dan transisi dapat dinyatakan sebagai berikut:
T =   0 β h M β v µ h Λ h 0   , ∑ = − α − µ h − δ 0 0 − µ v .
Vol. xx,No. xx (20xx),pp. xx-xx p-ISSN XXXX-XXXX − e-ISSN YYYY-YYYY URL:http://journal.unirow.ac.id/index.php/mv
Setelah diperoleh matriks T dan ∑ , NGM dari matriks-matriks tersebut dapat dihitung sebagai berikut:
NGM = − T ∑ − 1 =     0 β h µ v M β v µ h Λ h ( α + δ + µ h ) 0     .
Dengan demikian, nilai R 0 dari persamaan
model adalah
M β h β v µ h
µ v Λ h ( α + δ + µ h ) .
G. Kestabilan Titik Keseimbangan Bebas Penyakit (DFE)
Titik DFE ( Disease-Free Equilibrium ) adalah keadaan di mana penyakit tidak pernah muncul dan menghilang seiring berjalannya waktu dalam suatu populasi. Pada sistem yang diberikan, ini dapat dinyatakan dengan tidak adanya komparte- men yang terinfeksi ( I h = 0 , V = 0). Titik ke- seimbangan bebas penyakit untuk Sistem (2) dinyatakan sebagai berikut,
DFE = S † h , I † h , R † h , V † = Λ h µ h , 0 , 0 , 0 . (9)
Setiap komponen pada DFE yang terdapat pada (9) memiliki nilai non-negatif. Oleh karena itu, DFE pada (9) memiliki makna biologis den- gan kata lain titik DFE muncul tanpa ada syarat eksistensi. Selanjutnya akan diperiksa kestabilan titik keseimbangan bebas penyaki dari Sistem (2).
Teorema II.3. Sistem persamaan (2) memiliki titik keseimbangan bebas penyakit yang bersifat stabil asimtotik lokal jika R 0 < 1 .
B UKTI . Untuk menentukan kestabilan DFE dihi- tung matriks jacobi disekitar titik tersebut seba- gai berikut.
J | DFE =         − µ h 0 0 − β h 0 − α − µ h − δ 0 β h 0 α − µ h 0 0 β v U µ h Λ h 0 − µ v        
Setelah memperoleh matriks J | DFE , selanjutnya dicari nilai eigen dari J | DFE .
( λ + µ h ) 2 − ( β h β v M µ h − α λ Λ h − α Λ h µ v − δ λ Λ h ) Λ h − δ Λ h µ v − λ 2 Λ h − λ Λ h µ h − λ Λ h µ v − Λ h µ h µ v Λ h (10)
Titik keseimbangan bebas penyakit akan stabil ketika nilai eigen J | DFE bernilai negatif. Per- hatikan persamaan (10), terdapat dua nilai eigen J | DFE yang dapat dinyatakan secara eksplisit yaitu sebagai berikut.
λ 1 = − µ h < 0 λ 2 = − µ h < 0 (11)
Perhatikan persamaan β h β v M µ h − α λ Λ h − α Λ h µ v − δ λ Λ h − δ Λ h µ v − λ 2 Λ h − λ Λ h µ h − λ Λ h µ v − Λ h µ h µ v = 0, yang dapat disederhanakan menjadi
a 2 λ 2 + a 1 λ + a 0 = 0
dengan :
a 2 = − Λ h a 1 = − Λ h ( α + δ + µ h + µ v ) a 0 = β h β v M µ h − α Λ h µ v − δ Λ h µ v − Λ h µ h µ v
Agar kedua akar negatif maka :
1) λ 1 λ 2 = a 0 a 1 > 0. Karena a 2 bernilai negatif, maka a 0 harus negatif, sehingga :
Vol. xx,No. xx (20xx),pp. xx-xx p-ISSN XXXX-XXXX − e-ISSN YYYY-YYYY URL:http://journal.unirow.ac.id/index.php/mv
β h β v M µ h − α Λ h µ v − δ Λ h µ v − Λ h µ h µ v < 0 β h β v M µ h Λ h µ v ( α + δ + µ h ) < 1 R 0 < 1 2) λ 1 + λ 2 = − a 1 a 2 < 0. Karena a 1 dan a 2
bernilai negatif, maka λ 1 + λ 2 = − a 1 a 2 < 0
terpenuhi.
Terbukti bahwa DFE stabil asimtotik lokal ketika R 0 < 1.

## H. Kestabilan Titik Keseimbangan Endemik(EE)
Titik keseimbangan endemik (endemic equi- librium point) adalah keadaan ketika penyakit mewabah dalam suatu populasi. Dengan meng- gunakan perangkat lunak titik keseimbangan en- demik tidak dapat diperoleh secara eksplisit. Namun, dapat dinyatakan dalam pesamaan yang bergantung pada manusia terinfeksi penyakit DBD ( I h ) . Sehingga didapatkan titik keseimban- gan endemik sebagai berikut,
S † h = α I h + δ I h + µ h I h − Λ h µ h , R † h = α I h µ h , V † h = I h M β v µ h ( a v I h + 1 ) I h δ µ v − I h β v µ h − Λ h µ v I h M β v µ h ( a v I h + 1 ) I h 3 δ b v µ v − I h 2 Λ h b v µ v − I h 2 a v β v µ h (12)
dan I h merupakan solusi dari persamaan karak- teristik berderajad enam yaitu :
p 6 I 6 h + p 5 I 5 h + p 4 I 4 h + p 3 I 3 h + p 2 I 2 h + p 1 I h + p 0 = 0 . (13)
dan berikut adalah Koefisien dari persamaan (13).
p 6 = − δ 2 b h b v µ v ( α + δ + µ h ) p 5 = δ b h ( 2 Λ h b v µ v + a v β v µ h ) ( α + δ + µ h ) p 4 = − Λ h 2 b h b v µ v + Λ h a v b h β v µ h + δ 2 b h µ v + δ 2 b v µ v − δ b h β v µ h ( α + δ + µ h ) p 3 = − ( α + δ + µ h ) ( Ma h a v β h β v µ h ) − ( α + δ + µ h ) ( − 2 δ Λ h b h µ v ) − ( α + δ + µ h ) ( − 2 δ Λ h b v µ v ) − ( α + δ + µ h ) ( − δ a v β v µ h + Λ h b h β v µ h ) p 2 = − β v ( − δ + a v Λ h + ( Ma h + Ma v ) β h ) µ h 2 + δ 2 + ( − a v Λ h − M ( a h + a v ) β h + α ) δ + a v (( Ma h β h − α ) Λ h − M β h α ( a h + a v )) β v − µ v δ 2 + Λ h 2 ( b h + b v ) µ h − ( α + δ ) µ v δ 2 + Λ h 2 ( b h + b v ) p 1 = − β v ( M β h + Λ h ) µ h 2 + M ( a h + a v ) β h Λ h µ h (( − α − δ ) β v + 2 δ µ v ) Λ h µ h − M β h β v ( α + δ ) µ h + 2 Λ h δ µ v ( α + δ ) p 0 = Λ h ( R 0 − 1 )
Variabel I h merupakan solusi dari persamaan karakteristik berderajat enam, maka untuk men- cari akar-akar positif dari I h diperlukan bantuan aturan tanda Descartes [20], [21]. Perhatikan Gambar (2) berikut.
Gambar 2. Jumlah maksimum akar positif untuk I h berdasarkan aturan Descartes
Gambar (2) menunjukkan jumlah maksi- mum akar positif untuk I h berdasarkan aturan
Vol. xx,No. xx (20xx),pp. xx-xx p-ISSN XXXX-XXXX − e-ISSN YYYY-YYYY URL:http://journal.unirow.ac.id/index.php/mv
Descartes. Selanjutnya karena titik endemik tidak dapat ditentukan secara implisit maupun eksplisit sehingga untuk mengetahui eksistensi titik ke- seimbangan endemik dilakukan secara numerik dengan menggunakan nilai-nilai pada Tabel II menghasilkan titik endemik sebagai berikut,
S h = 7 . 11492227 × 10 − 2
I h = 9 . 97202012 × 10 − 2
R h = 2 . 22980792 × 10 0
V = 8 . 80076446 × 10 3
Kestabilan titik endemik dilakukan dengan menghitung matriks jacobi disekitar titik en- demik sebagai berikut,
J EE =     j 11 j 12 j 13 j 14 j 21 j 22 j 23 j 24 j 31 j 32 j 33 j 34 j 41 j 42 j 43 j 44     (14)
dengan :
j 11 = − 356 . 0642604 j 12 = 10 . 6658417
j 13 = 10 . 87458392 j 14 = − 0 . 0029663749
j 21 = 356 . 0495545 j 22 = − 11 . 05938067
j 23 = − 10 . 8745839 j 24 = 0 . 0029663749
j 31 = 0 j 32 = 0 . 328833
j 33 = − 1 68 j 34 = 0 j 41 = − 519 . 1292035 j 42 = 12077 . 02094
j 43 = − 519 . 1292035 j 44 = − 0 . 034590660
Nilai eigen untuk matriks (14) adalah sebagai berikut,
λ 1 = − 366 . 833342531656
λ 2 = − 0 . 282988915094122
λ 3 = − 0 . 0419002799316368
λ 4 = − 0 . 0147058861585881
Semua nilai eigen memiliki bagian real negatif, sehingga diperoleh hasil sebagai berikut. K ONJEKTUR . Sistem persamaan (2) memiliki titik keseimbangan endemik bersifat stabil asim-
totik lokal ketika R 0 > 1.

## I. Analisis Numerik
Informasi mengenai parameter-parameter yang digunakan dalam analisis numerik dapat dite- mukan dalam Tabel II yang terlampir di bawah ini.

## Tabel II
N ILAI PARAMETER UNTUK SIMULASI NUMERIK Parameter Nilai Referensi Λ h 1000 68 × 365 [22] µ h 1 68 [22] Λ v 1000 28 [23] α 0.328833 [24] β h 0.1 Asumsi δ 0.05 Asumsi a h 0.01 Asumsi β v 0.03 Asumsi b h 0.01 Asumsi µ v 1 30 [23]
Pada Sistem (2), dilakukan analisis indeks sensitivitas pada bilangan reproduksi dasar ( R 0 ) dimana parameter-parameter yang menjadi objek analisis sensitivitasnya adalah β h , β v , µ h , µ v , α , δ . Elastisitas R 0 terhadap parameternya dilakukan dengan menghitung turunan parsial dari R 0 ter- hadap setiap parameter dan mengevaluasinya di titik kesetimbangan. Pertama indeks sensitivitas R 0 untuk β h diperoleh,
ε R 0 β h = ∂ R 0 ∂ β h × β h R 0 ≈ % ∆ R 0 % ∆ β h = M β v µ h µ v Λ h ( α + δ + µ h ) = 834 . 73327472986080 dengan cara yang sama, turunan parsial R 0 ter- hadap masing-masing parameter lainnya. Nilai- nilai parameter yang digunakan untuk menghi-
Vol. xx,No. xx (20xx),pp. xx-xx p-ISSN XXXX-XXXX − e-ISSN YYYY-YYYY URL:http://journal.unirow.ac.id/index.php/mv
tung indeks sensitivitas diberikan oleh Tabel II dan indeks sensitivitas atau nilai elastisitas R 0 ditunjukkan pada Tabel III.
Tabel III N ILAI ELASTISITAS R 0 TERHADAP PARAMETER Parameter Nilai Elastisitas Λ h 2071 . 80798787951430 Λ v − 2504 . 1998241895817 µ h − 212 . 10947943416656 α − 212 . 10947943416656 β h 834 . 73327472986080 δ − 212 . 10947943416656 β v 2782 . 44424909953570 µ v 2504 . 19982418958170
a h 0 b h 0 Sensitivitas atau elastisitas R 0 terhadap parameter-parameternya menunjukkan, jika pa- rameter bernilai positif maka R 0 akan meningkat dan menurun ketika parameternya bernilai negatif [25]. Makna elastisitas dapat dilihat pada Gambar (3).
Gambar 3. Analisis sensitivitas terhadap parameter R 0
Gambar (3) menunjukkan bagaimana nilai- nilai parameter membuat R 0 meningkat ataupun
menurun. Berdasarkan Gambar (3) dilakukan analisis untuk makna hasil pada Tabel III yang ditunjukkan oleh Gambar (4).
Gambar 4. Analisis sensitivitas R 0 terhadap parameter α dan β h
Gambar (4) memperlihatkan analisis sensi- tivitas R 0 terhadap α dan β h yang menun- jukkan bahwa laju infeksi dan laju kesembuhan adalah faktor penting yang memengaruhi nilai R 0 penyakit demam berdarah. R 0 meningkat dengan meningkatnya β h , menandakan bahwa semakin tinggi laju infeksi, semakin tinggi pula nilai reproduksi dasar. Artinya, semakin mudah transmisi virus demam berdarah terjadi di an- tara individu, semakin banyak kasus yang akan muncul. Sebaliknya, R 0 menurun dengan pen- ingkatan α , menunjukkan bahwa semakin tinggi laju kesembuhan, semakin rendah nilai repro- duksi dasar. Oleh karena itu, semakin cepat in- dividu pulih dari infeksi, semakin kecil kemu- ngkinan mereka untuk menularkan virus kepada orang lain.

## III. K ESIMPULAN
Dalam penelitian ini, telah dikembangkan se- buah model matematika untuk menginvestigasi penyebaran penyakit Demam Berdarah Dengue (DBD), yang melibatkan kompartemen manusia dan nyamuk. Populasi manusia dibagi menjadi tiga sub-populasi ( SIR ), sedangkan populasi nya- muk terbagi menjadi dua sub-populasi ( UV ). Model tersebut kemudian dianalisis secara anali- tik dan numerik, termasuk analisis terhadap titik

## Egi Safitri, Hendra Kurniawan, neni Purwati, Sri Karnila, Nurjoko, Ruki Rizal
keseimbangan bebas penyakit, titik keseimban- gan endemik, basic reproduction number ( R 0 ), dan stabilitas titik keseimbangan bebas penyakit.
Analisis elastisitas dan sensitivitas menun- jukkan bahwa laju penyembuhan memainkan peran penting dalam mengurangi jumlah manusia yang terinfeksi. Semakin tinggi laju penyem- buhan, semakin besar pengurangan jumlah manu- sia yang terinfeksi. Selain itu, dalam konteks DBD, saturasi juga berperan dalam memengaruhi dinamika penyebaran penyakit tersebut. Saturasi dapat menggambarkan batasan alamiah dalam tingkat kontak yang dapat dilakukan oleh nya- muk terhadap manusia, dan hal ini dapat memen- garuhi efektivitas penularan penyakit.

## R EFERENSI
[1] Laura, L., Supriatna, A. K., Khumaeroh, M. S. dan Anggri- ani, N., “Biological and mechanical transmission models of dengue fever,” Communication in Biomathematical Sci- ences , vol. 2, no. 1, pp. 12–22, 2098.
[2] W. H. Organization, “Dengue and severe dengue,” 2021. https://www.who.int/news-room/fact-sheets/detail/dengue- and-severe-dengue.
[3] W. H. Organization, “Ending the neglect to attain the sustainable development goals – a road map for neglected tropical diseases 2021–2030,” 2020. https://www.who.int/publications/i/item/9789240010352.
[4] Bhatt, S., Gething, P. W., Brady, O. J., Messina, J. P., Farlow, A. W., Moyes, C. L., ... & Myers, M. F, “The global distribution and burden of dengue,” nature , vol. 496, no. 7446, pp. 504–507, 2013.
[5] E. C. for Disease Prevention and Control, “Factsheet about dengue,” 2023. https://www.ecdc.europa.eu/en/dengue- fever/facts.
[6] Wilder-Smith, A., “Dengue vaccine development by the year 2020: challenges and prospects,” Current Opinion in Virology , vol. 43, 2020.
[7] Schwartz, L. M., Halloran, M. E., Durbin, A. P., & Longini, I. M., “The dengue vaccine pipeline: Implications for the future of dengue control,” Vaccine , 2015.
[8] K. Kesehatan,
“Kesiapsiagaan menghadapi peningkatan kejadian dbd tahun 2019,” 2019.
https://p2p.kemkes.go.id/kesiapsiagaan-menghadapi- peningkatan-kejadian-demam-berdarah-dengue-tahun- 2019/.
[9] Eguda, A. J., & Yakubu, F., “Analysis of a Mathematical Model to Investigate the Dynamics of Dengue Fever,” Jour- nal of Applied Sciences and Environmental Management , vol. 21, no. 4, 2017.
[10] Edussuriya, C., Deegalla, S., & Gawarammana, I., “An accurate mathematical model predicting the number of dengue cases in the tropics,” PLoS Neglected Tropical Diseases , vol. 15, no. 11, 2021.
[11] Zhang, M., et al., “Epidemiological Characteristics and the Dynamic Transmission Model of Dengue Fever in Zhanjiang City, Guangdong Province in 2018,” Tropical Medicine and Infectious Disease , vol. 7, no. 9, 2022.
[12] Camargo, F. A., Oliveira, T. M., Rodrigues, D. S., Mancera, P. F. A., & Santos, F. L. P., “A Mathematical Model for Accessing Dengue Hemorrhagic Fever in Infants,” Trends in Computational and Applied Mathematics , vol. 23, no. 1, 2022.
[13] Side, S., Zaki, A., & Sari, N., “Analisis Model Matem- atika Penyebaran Demam Berdarah Dengue dengan Fungsi Lyapunov,” Journal of Mathematics, Computations, and Statistics , vol. 1, no. 2, 2019.
[14] Olarte, J. A., & Mu˜noz, A., “Modeling the dengue fever transmission in a periodic environment,” Revista Colom- biana de Matematicas , vol. 55, no. 1, 2021.
[15] Hou, J., Ye, W., & Chen, J., “Current Development and Challenges of Tetravalent Live-Attenuated Dengue Vac- cines,” Frontiers in Immunology , 2022.
[16] Prompetchara, E., Ketloy, C., Thomas, S. J., & Ruxrungtham, K., “Dengue vaccine: Global development update,” Asian Pacific Journal of Allergy and Immunology , vol. 38, no. 3, 2020.
[17] Wilder-Smith, A., “Dengue vaccine development: status and future,” Bundesgesundheitsblatt - Gesundheitsforschung - Gesundheitsschutz , 2020.
[18] Agusto, F.B. dan Khan, M.A., “Optimal strategies for dengue transmission in Pakistan,” Mathematical Bioscience , 2018.
[19] Diekmann, O., Heesterbeek, J. A. P., & Metz, J. A. J., “On the definition and the computation of the basic reproduction ratio R 0 in models for infectious diseases in heterogeneous populations,” Journal of Mathematical Biology , vol. 28, no. 4, 1990.
[20] Cameron T., R.Psarrakos P. J., “On descartes’ rule of signs for matrix polynomials,” Operator and Matrices , 2019.
[21] Feliu E., Telek M. L., “On generalizing Descartes’ rule of signs to hypersurfaces. Advances in Mathematics,” vol. 408, p. 3477–3491, 2022.
[22] T. W.
B. Data, “Life expectancy at birth, total (years)-indonesia,” 2021. https://data.worldbank.org/indicator/SP.DYN.LE00.IN?locations=ID.
[23] W. M. Program, “How long does an aedes ae- gypti mosquito live and how far does it fly?,” 2018. https://www.worldmosquitoprogram.org/en/learn/faqs.
[24] S. Side and S. M. Noorani., “A SIR model for spread of dengue fever disease (simulation for South Sulawesi, Indonesia and Selangor, Malaysia),” World Journal of Mod- elling and Simulation , vol. 9, no. 2, p. 96–105, 2013.
[25] Martcheva, M., “An Introduction to Mathematical Epidemi- ology,” 2015.