Limits: Journal of Mathematics and Its Applications E-ISSN: 2579-8936 P-ISSN: 1829-605X Vol. 19, No. 1, Mei 2022, 15-25 DOI: http://dx.doi.org/10.12962/limits.v19i1.8974

## Pendekatan Analisis Derau Putih untuk Arus Stokastik dari Gerak Brown Subfraksional

## Herry Pribawanto Suryawan
Program Studi Matematika, Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Sanata Dharma, Yogyakarta, Indonesia e-mail: herrypribs@usd.ac.id
Diajukan: 23 Maret 2021, Diperbaiki: 21 Januari 2022, Diterima: 7 Maret 2022

## Abstrak
Gerak Brown subfraksional adalah sebuah generalisasi dari gerak Brown yang bersifat Gaussian tetapi tidak memiliki kenaikan yang stasioner. Di dalam makalah ini akan dipelajari arus stokastik dari gerak Brown subfraksional berdimensi satu. Metode yang digunakan adalah dengan menggunakan analisis derau putih yaitu gerak Brown subfraksional direpresentasikan sebagai fungsional stokastik dari derau putih. Sebagai hasil utama dibuktikan bahwa arus stokastik dari gerak Brown subfraksional berdimensi satu adalah sebuah fungsi yang diperumum di dalam ruang distribusi Hida.
Kata Kunci : gerak Brown subfraksional, arus stokastik, analisis derau putih

## Abstract
The subfractional Brownian motion is a Gaussian generalization of the Brownian motion whose increments are not stationary.  In this paper we study the stochastic current of the one dimensional subfractional Brownian motion. For this purpose we use the method from white noise analysis by representing the subfractional Brownian motion as stochastic functionals of white noise.  As the main result we prove that the stochastic current of the one dimensional subfractional Brownian motion is a generalized function in the space of Hida distributions.
Keywords : subfractional Brownian motion, stochastic current, white noise analysis

## 1 Pendahuluan
Konsep arus ( current ) berasal dari teori ukuran geometrik. Sebuah versi yang sederhana dari arus diberikan oleh fungsional
𝜑𝜑 ↦ � �𝜑𝜑�𝛾𝛾 ( 𝑡𝑡 ) � , 𝛾𝛾′ ( 𝑡𝑡 ) � ℝ 𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑡𝑡 ,        0 < 𝑇𝑇 < ∞ , 𝑇𝑇 0 dengan 𝜑𝜑 : ℝ 𝑑𝑑 → ℝ 𝑑𝑑 dan 𝛾𝛾 ( 𝑡𝑡 ) adalah sebuah kurva rektifiabel di ℝ 𝑑𝑑 . Fungsional ini dapat direpresentasikan dalam bentuk
𝜉𝜉 ( 𝑥𝑥 ) = � 𝛿𝛿�𝑥𝑥 − 𝛾𝛾 ( 𝑡𝑡 ) �𝛾𝛾 ′ ( 𝑡𝑡 ) 𝑑𝑑𝑡𝑡 ,

## 𝑇𝑇
0
dengan 𝛿𝛿 adalah fungsi delta Dirac. Pembahasan lebih lengkap terkait konsep arus dapat dilihat di dalam [1] dan [2]. Versi probabilistik dari arus muncul ketika kurva deterministik 𝛾𝛾 ( 𝑡𝑡 ), 𝑡𝑡 ∈ [0, 𝑇𝑇 ],

## 16 Pendekatan Analisis Derau Putih untuk Arus Stokastik dari Gerak Brown Subfraksional
diganti dengan lintasan sampel (trayektori) dari sebuah proses stokastik ( 𝑌𝑌 𝑡𝑡 ) 𝑡𝑡∈ [ 0 , 𝑇𝑇 ] . Dalam hal ini kita mendapatkan fungsional
𝜁𝜁 ( 𝑥𝑥 ) ≔ ∫ 𝛿𝛿 ( 𝑥𝑥 − 𝑌𝑌 𝑡𝑡 ) 𝑑𝑑𝑌𝑌 𝑡𝑡 𝑇𝑇 0 (1)
yang untuk selanjutnya disebut dengan arus stokastik ( stochastic current ). Integral stokastik (1) harus didefinisikan secara rigor bergantung pada kelas proses stokastik yang dibicarakan.  Arus stokastik dipelajari pertama kali oleh Flandolli et al. di dalam [3] untuk proses stokastik berupa gerak Brown.
Di dalam makalah ini kita akan mempelajari (1) dengan ( 𝑌𝑌 𝑡𝑡 ) 𝑡𝑡∈ [ 0 , 𝑇𝑇 ] adalah sebuah gerak Brown subfraksional berdimensi satu. Gerak Brown subfraksional pertama kali diperkenalkan oleh Bojdecki et al. di dalam [4] dalam kaitannya dengan kajian fluktuasi waktu okupasi dari sistem partikel bercabang dengan kondisi awal Poisson. Gerak Brown subfraksional dengan parameter 𝐻𝐻 ∈ (0,1) adalah sebuah proses Gaussian terpusat 𝑆𝑆 𝐻𝐻 = ( 𝑆𝑆 𝑡𝑡 𝐻𝐻 ) 𝑡𝑡≥0 dengan 𝑆𝑆 0 𝐻𝐻 = 0 hampir di mana- mana serta fungsi kovariansi
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 ( 𝑆𝑆 𝑡𝑡 𝐻𝐻 , 𝑆𝑆 𝑠𝑠 𝐻𝐻 ) = 𝑠𝑠 2𝐻𝐻 + 𝑡𝑡 2𝐻𝐻 − 1 2 (( 𝑠𝑠 + 𝑡𝑡 ) 2𝐻𝐻 + | 𝑡𝑡 − 𝑠𝑠 | 2𝐻𝐻 ), 𝑠𝑠 , 𝑡𝑡 ≥ 0 . (2)
Untuk 𝐻𝐻 = 1 2 kita mendapatkan gerak Brown baku. Salah satu cara menunjukkan eksistensi gerak Brown subfraksional adalah dengan memperhatikan proses stokastik 𝑋𝑋 𝐻𝐻 = ( 𝑋𝑋 𝑡𝑡 𝐻𝐻 ) 𝑡𝑡≥0 dengan
𝑋𝑋 𝑡𝑡 𝐻𝐻 ≔ 𝐵𝐵 𝑡𝑡 𝐻𝐻 + 𝐵𝐵 −𝑡𝑡 𝐻𝐻 √ 2 , 𝑡𝑡 ≥ 0,
dengan ( 𝐵𝐵 𝑡𝑡 𝐻𝐻 ) 𝑡𝑡∈ℝ adalah gerak Brown fraksional bersisi dua. Jelas bahwa 𝑋𝑋 𝐻𝐻 adalah proses Gaussian dan mudah diperiksa bahwa fungsi kovariansi dari 𝑋𝑋 𝐻𝐻 identik dengan (2). Gerak Brown subfraksional memiliki sifat-sifat yang hampir sama dengan gerak Brown fraksional seperti keserupaan-diri,  lintasan sampel yang kontinu Holder, kebergantungan dalam jangkauan yang panjang,  kenaikan yang tidak saling bebas, bukan semimartingale, dan bukan proses Markov. Perbedaan utama terletak pada fakta bahwa gerak Brown fraksional mempunyai kenaikan yang stasioner sementara gerak Brown subfraksional tidak mempunyai kenaikan yang stasioner. Untuk pembahasan yang lebih lengkap bisa ditemukan di dalam   [5].  Telah dibuktikan bahwa gerak Brown subfraksional adalah sebuah kuasi-heliks menurut Kahane, yakni untuk setiap 𝑠𝑠 , 𝑡𝑡 ≥ 0 berlaku ketaksamaan
� (2 − 2 2𝐻𝐻−1 ) ∧ 1 � ( 𝑡𝑡 − 𝑠𝑠 ) 2𝐻𝐻 ≤ 𝔼𝔼 ( 𝑆𝑆 𝑡𝑡 𝐻𝐻 − 𝑆𝑆 𝑠𝑠 𝐻𝐻 ) 2 ≤ � (2 − 2 2𝐻𝐻−1 ) ∨ 1 � ( 𝑡𝑡 − 𝑠𝑠 ) 2𝐻𝐻 .
Beberapa hasil penelitian terkait gerak Brown subfraksional, seperti sifat-sifatnya, waktu lokal, kalkulus stokastik, dan representasi derau putih dapat dilihat di dalam [6]-[12].

## Herry Pribawanto Suryawan
Objek utama di dalam makalah ini adalah arus stokastik dari gerak Brown subfraksional yakni integral stokastik (1) dengan proses stokastik ( 𝑋𝑋 𝑡𝑡 ) 𝑡𝑡∈ [ 0 , 𝑇𝑇 ] adalah gerak Brown subfraksional 𝑋𝑋 𝐻𝐻 = ( 𝑋𝑋 𝑡𝑡 𝐻𝐻 ) 𝑡𝑡∈ [ 0 , 𝑇𝑇 ] :
𝜁𝜁 ( 𝑥𝑥 ) = ∫ 𝛿𝛿 ( 𝑥𝑥 − 𝑋𝑋 𝑡𝑡 𝐻𝐻 ) 𝑑𝑑𝑋𝑋 𝑡𝑡 𝐻𝐻 𝑇𝑇 0 (3)
Beberapa hasil penelitian terkait arus stokastik yang telah dikerjakan beberapa peneliti lain adalah melalui pendekatan kalkulus Malliavin dan integral stokastik dengan regularisasi  dan  proses stokastik yang dikaji adalah  gerak Brown serta gerak Brown fraksional, lihat [13]-[14].  Pada makalah ini akan digunakan pendekatan analisis derau putih dan secara lebih spesifik, integral stokastik (3) diinterpretasikan sebagai integral stokastik tipe Wick, yakni sebuah perluasan dari integral Hitsuda-Skorokhod yang dibicarakan di dalam [15].
Di dalam bagian 2 akan dirangkum metode penelitian atau pendekatan yang digunakan yakni teori analisis derau putih. Bagian 3 memuat hasil utama dan baru di dalam makalah ini yakni bukti eksistensi arus stokastik tipe Wick dari gerak Brown subfraksional berdimensi satu sebagai distribusi Hida. Terakhir, di bab 4 akan diberikan simpulan dan rencana pengembangan penelitian.

## 2 Metode Penelitian
Arus stokastik untuk gerak Brown subfraksional (3) akan dipelajari dengan menggunakan pendekatan analisis derau putih atau yang dikenal juga dengan nama kalkulus Hida. Analisis derau putih merupakan cabang dari analisis stokastik dengan peubah acak yang menjadi dasarnya adalah derau putih ( white noise ) yang merupakan turunan distribusional dari gerak Brown. Kita akan merangkum beberapa konsep dasar dari analisis derau putih yang digunakan di dalam makalah ini. Untuk pembahasan yang lengkap dapat dilihat pada [15]-[17].
Kita mulai dengan tripel Gelfand
𝑆𝑆 ( ℝ ) ↪ 𝐿𝐿 2 ( ℝ ) ↪ 𝑆𝑆′ ( ℝ )
dengan 𝐿𝐿 2 ( ℝ ) adalah ruang Hilbert dari fungsi yang kuadratnya terintegral Lebesgue pada ℝ , 𝑆𝑆 ( ℝ ) adalah ruang fungsi tes Schwartz dan 𝑆𝑆′ ( ℝ ) adalah ruang distribusi tempered . Norma baku pada 𝐿𝐿 2 ( ℝ ) dinotasikan dengan | ⋅ | 0 sementara pasangan dual antara 𝑆𝑆′ ( ℝ ) dengan 𝑆𝑆 ( ℝ ) dinotasikan dengan 〈⋅ , ⋅〉 . Menurut Teorema Bochner-Minlos, terdapat dengan tunggal ukuran peluang 𝜇𝜇 pada aljabar- 𝜎𝜎 ℬ yang dibangun oleh himpunan silinder di dalam 𝑆𝑆′ ( ℝ ) dengan fungsi karakteristik yang diberikan oleh
𝐶𝐶 ( 𝜑𝜑 ) = � 𝑒𝑒 𝑖𝑖〈𝜔𝜔 , 𝜑𝜑〉 𝑆𝑆 ′ ( ℝ ) 𝑑𝑑𝜇𝜇 ( 𝜔𝜔 ) = 𝑒𝑒 −12 | 𝜑𝜑 | 0 2 , 𝜑𝜑 ∈ 𝑆𝑆 ( ℝ ).

## 18 Pendekatan Analisis Derau Putih untuk Arus Stokastik dari Gerak Brown Subfraksional
Ruang peluang ( 𝑆𝑆 ′ ( ℝ ), ℬ , 𝜇𝜇 ) disebut dengan ruang derau putih. Di dalam kerangka ini gerak Brown baku ( 𝐵𝐵 𝑡𝑡 ) 𝑡𝑡≥0 diberikan oleh
𝐵𝐵 𝑡𝑡 ( 𝜔𝜔 ) ≔ 〈𝜔𝜔 , 1 [ 0 , 𝑡𝑡 ) 〉 , 𝜔𝜔 ∈ 𝑆𝑆 ′ ( ℝ ), 𝑡𝑡 ≥ 0
dan 1 𝐴𝐴 menotasikan fungsi indikator dari himpunan 𝐴𝐴 ⊆ ℝ .
Kita akan memanfaatkan sebuah representasi dari gerak Brown subfraksional pada ruang derau putih dengan menggunakan operator 𝑀𝑀 − 𝐻𝐻 dengan definisi
𝑀𝑀 − 𝐻𝐻 𝑓𝑓 ≔ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎧𝐶𝐶 𝐻𝐻 𝐷𝐷 − − ( 𝐻𝐻−12 ) 𝑓𝑓 , 𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗 0 < 𝐻𝐻 < 1
2
𝑓𝑓 , 𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗 𝐻𝐻 = 1 2 𝐶𝐶 𝐻𝐻 𝐼𝐼 − 𝐻𝐻−12 𝑓𝑓 , 𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗 1 2 < 𝐻𝐻 < 1
dengan 𝐶𝐶 𝐻𝐻 = � 2 𝐻𝐻𝑠𝑠𝑗𝑗𝐻𝐻 ( 𝜋𝜋𝐻𝐻 ) Γ (2 𝐻𝐻 ) dan Γ adalah fungsi gamma. Di sini, untuk 0 < 𝛽𝛽 < 1 , 𝐼𝐼 − 𝛽𝛽 adalah operator integral fraksional Weyl dengan definisi
�𝐼𝐼 − 𝛽𝛽 𝑓𝑓� ( 𝑥𝑥 ) ≔ 1 Γ ( 𝛽𝛽 ) � 𝑓𝑓 ( 𝑡𝑡 )( 𝑡𝑡 − 𝑥𝑥 ) 𝛽𝛽−1 𝑑𝑑𝑡𝑡 ∞ 𝑥𝑥 ,
asalkan integral ini ada untuk hampir semua 𝑥𝑥 ∈ ℝ . Sementara itu 𝐷𝐷 − 𝛽𝛽 adalah operator turunan fraksional Marchaud dengan definisi
�𝐷𝐷 − 𝛽𝛽 𝑓𝑓� ( 𝑥𝑥 ) ≔ lim ℎ→0 + 𝛽𝛽 Γ (1 − 𝛽𝛽 ) � 𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥 ) − 𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥 + 𝑡𝑡 ) 𝑡𝑡 1+𝛽𝛽 𝑑𝑑𝑡𝑡 ∞ ℎ ,
asalkan limit ini ada di dalam 𝐿𝐿 𝑝𝑝 ( ℝ ) untuk suatu 𝑝𝑝 > 1 . Daerah asal operator 𝑀𝑀 − 𝐻𝐻 memuat 𝑆𝑆 ( ℝ ) dan juga himpunan semua fungsi indikator. Kita juga akan menggunakan perluasan ganjil dari fungsi Borel 𝑓𝑓 pada [0, ∞ ) yang didefinisikan dengan
𝑓𝑓 𝑜𝑜 ( 𝑥𝑥 ) ≔ � 𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥 )       , 𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗 𝑥𝑥 ≥ 0 −𝑓𝑓 ( −𝑥𝑥 )   , 𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗 𝑥𝑥 < 0.
Teorema 1 [18] Diberikan ( 𝐵𝐵 𝑡𝑡 ) 𝑡𝑡∈ℝ adalah gerak Brown baku pada ℝ . Berlaku 𝑀𝑀 − 𝐻𝐻 1 [ 0 , 𝑡𝑡 ) 𝑜𝑜 ∈ 𝐿𝐿 2 ( ℝ ) dan
𝑋𝑋 𝑡𝑡 𝐻𝐻 = 1 √ 2 � �𝑀𝑀 − 𝐻𝐻 1 [ 0 , 𝑡𝑡 ) 𝑜𝑜 � ( 𝑠𝑠 ) 𝑑𝑑𝐵𝐵 𝑠𝑠 ℝ = 〈⋅ , 1 √ 2 𝑀𝑀 − 𝐻𝐻 1 [ 0 , 𝑡𝑡 ) 𝑜𝑜 〉 .
Dari ruang derau putih ( 𝑆𝑆 ′ ( ℝ ), ℬ , 𝜇𝜇 ) dapat dibentuk, misalnya dengan menggunakan operator kuantisasi kedua, tripel Gelfand yang kedua yakni
( 𝑆𝑆 ) ↪ 𝐿𝐿 2 ( 𝜇𝜇 ) ≔ 𝐿𝐿 2 ( 𝑆𝑆 ′ ( ℝ ), ℬ , 𝜇𝜇 ) ↪ ( 𝑆𝑆 ) ′

## Herry Pribawanto Suryawan
dengan ( 𝑆𝑆 ) adalah ruang fungsi tes Hida dan ( 𝑆𝑆 ) ′ adalah ruang dual topologi dari ( 𝑆𝑆 ) yang dikenal dengan nama ruang distribusi Hida. Untuk setiap 𝑡𝑡 ≥ 0 berlaku 𝑋𝑋 𝑡𝑡 𝐻𝐻 ∈ 𝐿𝐿 2 ( 𝜇𝜇 ) . Proses stokastik ( 𝑊𝑊 𝑡𝑡 𝐻𝐻 ) 𝑡𝑡≥0 yang didefinisikan melalui
𝑊𝑊 𝑡𝑡 𝐻𝐻 ≔ 𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑡𝑡 𝑋𝑋 𝑡𝑡 𝐻𝐻 ,
dengan kekonvergenan berlaku di ( 𝑆𝑆 ) ′ terhadap topologi limit induktif,  disebut derau putih subfraksional. Untuk setiap 𝑡𝑡 ≥ 0 berlaku 𝑊𝑊 𝑡𝑡 𝐻𝐻 ∈ ( 𝑆𝑆 ) ′ ∖ 𝐿𝐿 2 ( 𝜇𝜇 ) .
Sebuah alat yang penting di dalam analisis derau putih adalah transformasi 𝑆𝑆 yang didefinisikan pada ( 𝑆𝑆 ) ′ dengan
𝑆𝑆Φ ( 𝜑𝜑 ) ≔ 〈〈Φ , 𝑒𝑒 𝑤𝑤 〈⋅ , 𝜑𝜑〉 〉〉 , Φ ∈ ( 𝑆𝑆 ) ′ , 𝜑𝜑 ∈ 𝑆𝑆 ( ℝ ).
Di sini 𝑒𝑒 𝑤𝑤 〈⋅ , 𝜑𝜑〉 = 𝐶𝐶 ( 𝜑𝜑 ) 𝑒𝑒 〈⋅ , 𝜑𝜑〉 disebut eksponensial Wick dan 〈〈⋅ , ⋅〉〉 adalah simbol untuk pasangan dual antara ( 𝑆𝑆 ) ′ dengan ( 𝑆𝑆 ) . Transformasi 𝑆𝑆 dapat dipandang sebagai analogi transformasi Laplace terhadap ukuran Gaussian di ruang berdimensi takhingga. Secara umum, perkalian titik demi titik ( pointwise product ) dari dua distribusi tidak bisa didefinisikan. Dengan menggunakan transformasi 𝑆𝑆 kita dapat mendefinisikan sebuah perkalian dari dua distribusi derau putih. Perkalian Wick ⋄ dari Φ , Ψ ∈ ( 𝑆𝑆 ) ′ diberikan oleh
Φ ⋄ Ψ ≔ 𝑆𝑆 −1 ( 𝑆𝑆Φ ⋅ 𝑆𝑆Ψ ).
Perkalian Wick terdefinisi dengan baik sebab transformasi 𝑆𝑆 bersifat injektif dan daerah hasil dari transformasi 𝑆𝑆 merupakan sebuah aljabar.
Untuk selanjutnya kita juga akan menggunakan operator dual dari 𝑀𝑀 − 𝐻𝐻 yang dinotasikan dengan 𝑀𝑀 + 𝐻𝐻 dan definisinya diberikan oleh
𝑀𝑀 + 𝐻𝐻 𝑓𝑓 ≔ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎧𝐶𝐶 𝐻𝐻 𝐷𝐷 + − ( 𝐻𝐻−12 ) 𝑓𝑓 , 𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗 0 < 𝐻𝐻 < 1
2
𝑓𝑓 , 𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗 𝐻𝐻 = 1 2 𝐶𝐶 𝐻𝐻 𝐼𝐼 + 𝐻𝐻−12 𝑓𝑓 , 𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗 1 2 < 𝐻𝐻 < 1
dimana, untuk 0 < 𝛽𝛽 < 1 , 𝐼𝐼 + 𝛽𝛽 adalah operator integral fraksional Weyl dengan definisi
�𝐼𝐼 + 𝛽𝛽 𝑓𝑓� ( 𝑥𝑥 ) ≔ 1 Γ ( 𝛽𝛽 ) � 𝑓𝑓 ( 𝑡𝑡 )( 𝑥𝑥 − 𝑡𝑡 ) 𝛽𝛽−1 𝑑𝑑𝑡𝑡 𝑥𝑥 −∞ ,
asalkan integral ini ada untuk hampir semua 𝑥𝑥 ∈ ℝ dan 𝐷𝐷 + 𝛽𝛽 adalah operator turunan fraksional Marchaud dengan definisi
�𝐷𝐷 + 𝛽𝛽 𝑓𝑓� ( 𝑥𝑥 ) ≔ lim ℎ→0 + 𝛽𝛽 Γ (1 − 𝛽𝛽 ) � 𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥 ) − 𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥 − 𝑡𝑡 ) 𝑡𝑡 1+𝛽𝛽 𝑑𝑑𝑡𝑡 ∞ ℎ ,
asalkan limit ini ada di dalam 𝐿𝐿 𝑝𝑝 ( ℝ ) untuk suatu 𝑝𝑝 > 1 .

## 20 Pendekatan Analisis Derau Putih untuk Arus Stokastik dari Gerak Brown Subfraksional
Kita akan memerlukan sifat terkait keterbatasan operator 𝑀𝑀 ± 𝐻𝐻 berikut.
Teorema 2 [18] Diberikan 𝐻𝐻 ∈ (0,1) dan 𝜑𝜑 ∈ 𝑆𝑆 ( ℝ ) . Maka, 𝑀𝑀 ± 𝐻𝐻 𝜑𝜑 ada dan lebih lanjut, terdapat konstanta 𝐶𝐶 𝐻𝐻 , yang tidak bergantung pada 𝜑𝜑 , sehingga sup ��𝑀𝑀 ± 𝐻𝐻 𝜑𝜑 ( 𝑥𝑥 ) � : 𝑥𝑥 ∈ ℝ� ≤ 𝐶𝐶 𝐻𝐻 � sup{| 𝜑𝜑 ( 𝑥𝑥 )|: 𝑥𝑥 ∈ ℝ } + sup{| 𝜑𝜑′ ( 𝑥𝑥 )|: 𝑥𝑥 ∈ ℝ } + | 𝜑𝜑 | 𝐿𝐿 1 ( ℝ ) � , dengan | 𝜑𝜑 | 𝐿𝐿 1 ( ℝ ) = ∫ | 𝜑𝜑 ( 𝑥𝑥 )| 𝑑𝑑𝑥𝑥 ℝ .
Transformasi 𝑆𝑆 dari gerak Brown subfraksional dan derau putih subfraksional dapat ditentukan secara eksplisit dengan menggunakan operator 𝑀𝑀 ± 𝐻𝐻 .
Teorema 3 [19] Untuk setiap 𝜑𝜑 ∈ 𝑆𝑆 ( ℝ ) berlaku
𝑆𝑆𝑋𝑋 𝑡𝑡 𝐻𝐻 ( 𝜑𝜑 ) = 〈𝜑𝜑 , 1 √ 2 𝑀𝑀 − 𝐻𝐻 1 [ 0 , 𝑡𝑡 ) 𝑜𝑜 〉 = 1 √ 2 �� ( 𝑀𝑀 + 𝐻𝐻 𝜑𝜑 )( 𝑠𝑠 ) 𝑑𝑑𝑠𝑠 − � ( 𝑀𝑀 + 𝐻𝐻 𝜑𝜑 )( 𝑠𝑠 ) 𝑑𝑑𝑠𝑠 0 −𝑡𝑡 𝑡𝑡 0 �
dan
𝑆𝑆𝑊𝑊 𝑡𝑡 𝐻𝐻 ( 𝜑𝜑 ) = 1 √ 2 � ( 𝑀𝑀 + 𝐻𝐻 𝜑𝜑 )( 𝑡𝑡 ) − ( 𝑀𝑀 + 𝐻𝐻 𝜑𝜑 )( −𝑡𝑡 ) � .
Terakhir di bagian ini akan dituliskan sebuah teorema terkait keterintegralan distribusi Hida yang memegang peranan penting di dalam pembuktian hasil utama di dalam makalah ini. Teorema 4[ 20] Diberikan ruang ukuran ( Ω , 𝒜𝒜 , 𝜈𝜈 ) dan fungsi 𝜆𝜆 ↦ Φ 𝜆𝜆 dari Ω ke ( 𝑆𝑆 ) ′ . Jika (1). Fungsi 𝜆𝜆 ↦ 𝑆𝑆Φ 𝜆𝜆 ( 𝜑𝜑 ) terukur untuk setiap 𝜑𝜑 ∈ 𝑆𝑆 ( ℝ ) , dan (2).  Terdapat 𝐶𝐶 1 ( 𝜆𝜆 ) ∈ 𝐿𝐿 1 ( Ω , 𝒜𝒜 , 𝜈𝜈 ) , 𝐶𝐶 2 ( 𝜆𝜆 ) ∈ 𝐿𝐿 ∞ ( Ω , 𝒜𝒜 , 𝜈𝜈 ) , dan norma kontinu ‖⋅‖ pada 𝑆𝑆 ( ℝ ) sehingga untuk 𝜑𝜑 ∈ 𝑆𝑆 ( ℝ ) dan 𝑧𝑧 ∈ ℂ berlaku
| 𝑆𝑆Φ 𝜆𝜆 ( 𝑧𝑧𝜑𝜑 )| ≤ 𝐶𝐶 1 ( 𝜆𝜆 ) 𝑒𝑒 𝐶𝐶 2 ( 𝜆𝜆 )| 𝑧𝑧 | 2 ‖𝜑𝜑‖ 2 ,
maka 𝛷𝛷 𝜆𝜆 terintegral Bochner di dalam ( 𝑆𝑆 ) ′ . Lebih jauh berlaku ∫ 𝛷𝛷 𝜆𝜆 𝑑𝑑𝜈𝜈 ( 𝜆𝜆 ) ∈ ( 𝑆𝑆 ) ′ 𝛺𝛺 dan
𝑆𝑆 �� 𝛷𝛷 𝜆𝜆 𝑑𝑑𝜈𝜈 ( 𝜆𝜆 ) 𝛺𝛺 � = � 𝑆𝑆𝛷𝛷 𝜆𝜆 𝑑𝑑𝜈𝜈 ( 𝜆𝜆 ). 𝛺𝛺

## 3  Hasil dan Pembahasan
Pada bagian ini kita akan membuktikan hasil utama di dalam makalah ini yakni eksistensi arus stokastik tipe Wick dari gerak Brown subfraksional sebagai sebuah distribusi Hida. Kebaruan di dalam makalah ini adalah interpretasi arus stokastik (3) dengan menggunakan perkalian Wick. Untuk itu terlebih dahulu akan dibuktikan sebuah hasil terkait fungsional delta Donsker. Secara informal, fungsional delta Donsker adalah komposisi dari fungsi delta Dirac dengan gerak Brown subfraksional.
Teorema 5 Diberikan gerak Brown subfraksional ( 𝑋𝑋 𝑡𝑡 𝐻𝐻 ) 𝑡𝑡≥0 dan 𝑥𝑥 ∈ ℝ . Fungsional delta Donsker
𝛿𝛿 ( 𝑥𝑥 − 𝑋𝑋 𝑡𝑡 𝐻𝐻 ) ≔ 1 2 𝜋𝜋 � exp( 𝑗𝑗〈𝜆𝜆 , 𝑥𝑥 − 𝑋𝑋 𝑡𝑡 𝐻𝐻 〉 ) 𝑑𝑑𝜆𝜆 ℝ
adalah distribusi Hida dengan transformasi 𝑆𝑆 berbentuk
𝑆𝑆𝛿𝛿 ( 𝑥𝑥 − 𝑋𝑋 𝑡𝑡 𝐻𝐻 )( 𝜑𝜑 ) = 1 � 2 𝜋𝜋 (2 − 2 2𝐻𝐻−1 ) 𝑡𝑡 2𝐻𝐻 exp �− 1 2(2 − 2 2𝐻𝐻−1 ) 𝑡𝑡 2𝐻𝐻 �𝑥𝑥 − 〈𝜑𝜑 , 1 √ 2 𝑀𝑀 − 𝐻𝐻 1 [ 0 , 𝑡𝑡 ) 𝑜𝑜 〉� 2 � untuk setiap 𝜑𝜑 ∈ 𝑆𝑆 ( ℝ ) .
Bukti . Untuk sebarang 𝜑𝜑 ∈ 𝑆𝑆 ( ℝ ) berlaku
𝑆𝑆 exp( 𝑗𝑗〈𝜆𝜆 , 𝑥𝑥 − 𝑋𝑋 𝑡𝑡 𝐻𝐻 〉 )( 𝜑𝜑 ) = 〈〈 exp( 𝑗𝑗〈𝜆𝜆 , 𝑥𝑥 − 𝑋𝑋 𝑡𝑡 𝐻𝐻 〉 ), 𝐶𝐶 ( 𝜑𝜑 ) exp( 〈⋅ , 𝜑𝜑〉 ) 〉〉 = exp �𝑗𝑗 ( 𝜆𝜆 , 𝑥𝑥 ) − 1 2 | 𝜑𝜑 | 0 2 � � exp �〈𝜔𝜔 , 𝜑𝜑 − 𝑗𝑗𝜆𝜆 √ 2 𝑀𝑀 − 𝐻𝐻 1 [ 0 , 𝑡𝑡 ) 𝑜𝑜 〉� 𝑑𝑑𝜇𝜇 ( 𝜔𝜔 ) 𝑆𝑆 ( ℝ ) = exp �𝑗𝑗 ( 𝜆𝜆 , 𝑥𝑥 ) − 1 2 | 𝜑𝜑 | 0 2 � exp � 1 2 �𝜑𝜑 − 𝑗𝑗𝜆𝜆 √ 2 𝑀𝑀 − 𝐻𝐻 1 [ 0 , 𝑡𝑡 ) 𝑜𝑜 � 0 2 �
= exp �𝑗𝑗 �𝜆𝜆 , 𝑥𝑥 − 〈𝜑𝜑 , 1 √ 2 𝑀𝑀 − 𝐻𝐻 1 [ 0 , 𝑡𝑡 ) 𝑜𝑜 〉� − 1 2 𝜆𝜆 2 � 1 √ 2 𝑀𝑀 − 𝐻𝐻 1 [ 0 , 𝑡𝑡 ) 𝑜𝑜 � 0 2 �
adalah fungsi terukur Lebesgue pada ℝ . Lebih jauh, untuk setiap 𝜑𝜑 ∈ 𝑆𝑆 ( ℝ ) dan 𝑧𝑧 ∈ ℂ berlaku | 𝑆𝑆 exp( 𝑗𝑗〈𝜆𝜆 , 𝑥𝑥 − 𝑋𝑋 𝑡𝑡 𝐻𝐻 〉 )( 𝑧𝑧𝜑𝜑 )|
≤ exp �− 1 2 𝜆𝜆 2 𝑉𝑉𝑗𝑗𝑉𝑉 ( 𝑋𝑋 𝑡𝑡 𝐻𝐻 ) � exp � | 𝑧𝑧 || 𝜆𝜆 | �𝜑𝜑 , 1 √ 2 𝑀𝑀 − 𝐻𝐻 1 [ 0 , 𝑡𝑡 ) 𝑜𝑜 �� ≤ exp �− 1 2 𝜆𝜆 2 𝑉𝑉𝑗𝑗𝑉𝑉 ( 𝑋𝑋 𝑡𝑡 𝐻𝐻 ) � exp � 1 4 𝜆𝜆 2 𝑉𝑉𝑗𝑗𝑉𝑉 ( 𝑋𝑋 𝑡𝑡 𝐻𝐻 ) � exp(| 𝑧𝑧 | 2 | 𝜑𝜑 | 0 2 ) ≤ exp �− 2 − 2 2𝐻𝐻−1 2 𝑡𝑡 2𝐻𝐻 | 𝜆𝜆 | 2 � exp(| 𝑧𝑧 | 2 | 𝜑𝜑 | 0 2 ).
Pada bentuk terakhir, faktor pertama adalah fungsi terintegral terhadap ukuran Lebesgue 𝑑𝑑𝜆𝜆 dan faktor kedua konstan terhadap 𝜆𝜆 . Jadi, menurut Teorema 4 berlaku 𝛿𝛿 ( 𝑥𝑥 − 𝑋𝑋 𝑡𝑡 𝐻𝐻 ) ∈ ( 𝑆𝑆 ) ′ . Selanjutnya, pegintegralan terhadap 𝜆𝜆 , yaitu dengan menggunakan rumus integral Gaussian
� exp( −𝑝𝑝 2 𝑥𝑥 2 ± 𝑞𝑞𝑥𝑥 ) 𝑑𝑑𝑥𝑥 = exp � 𝑞𝑞 2 4 𝑝𝑝 2 � √𝜋𝜋 𝑝𝑝 ℝ , 𝑅𝑅𝑒𝑒 ( 𝑝𝑝 2 ) > 0.
Kita memperoleh

## 22 Pendekatan Analisis Derau Putih untuk Arus Stokastik dari Gerak Brown Subfraksional
𝑆𝑆𝛿𝛿 ( 𝑥𝑥 − 𝑋𝑋 𝑡𝑡 𝐻𝐻 )( 𝜑𝜑 ) = 1 2 𝜋𝜋 � 𝑆𝑆 exp ( 𝑗𝑗〈𝜆𝜆 , 𝑥𝑥 − 𝑋𝑋 𝑡𝑡 𝐻𝐻 〉 )( 𝜑𝜑 ) 𝑑𝑑𝜆𝜆 ℝ = 1 2 𝜋𝜋 � exp �𝑗𝑗𝜆𝜆 �𝑥𝑥 − 〈𝜑𝜑 , 1 √ 2 𝑀𝑀 − 𝐻𝐻 1 [ 0 , 𝑡𝑡 ) 𝑜𝑜 〉� − 1 2 𝜆𝜆 2 𝑉𝑉𝑗𝑗𝑉𝑉 ( 𝑋𝑋 𝑡𝑡 𝐻𝐻 ) � 𝑑𝑑𝜆𝜆 ℝ = 1 � 2 𝜋𝜋𝑉𝑉𝑗𝑗𝑉𝑉 ( 𝑋𝑋 𝑡𝑡 𝐻𝐻 ) exp �− 1 2(2 − 2 2𝐻𝐻−1 ) 𝑡𝑡 2𝐻𝐻 �𝑥𝑥 − 〈𝜑𝜑 , 1 √ 2 𝑀𝑀 − 𝐻𝐻 1 [ 0 , 𝑡𝑡 ) 𝑜𝑜 〉� 2 � = 1 � 2 𝜋𝜋 (2 − 2 2𝐻𝐻−1 ) 𝑡𝑡 2𝐻𝐻 exp �− 1 2(2 − 2 2𝐻𝐻−1 ) 𝑡𝑡 2𝐻𝐻 �𝑥𝑥 − 〈𝜑𝜑 , 𝑀𝑀 − 𝐻𝐻 1 [ 0 , 𝑡𝑡 ) 𝑜𝑜 〉� 2 � . █
Sekarang kita akan membuktikan hasil utama di dalam  makalah ini  yaitu eksistensi sebagai distribusi derau putih dari arus stokastik untuk gerak Brown subfraksional.
Teorema 6 Untuk setiap 𝑥𝑥 ∈ ℝ ∖ {0}, 𝐻𝐻 ∈ (0,1) dan 0 < 𝑇𝑇 < ∞ arus stokastik tipe Wick
𝜁𝜁 ⋄ ( 𝑥𝑥 ) ≔ � 𝛿𝛿 ( 𝑥𝑥 − 𝑋𝑋 𝑡𝑡 𝐻𝐻 ) 𝑑𝑑 ⋄ 𝑋𝑋 𝑡𝑡 𝐻𝐻 𝑇𝑇 0 ≔ � 𝛿𝛿 ( 𝑥𝑥 − 𝑋𝑋 𝑡𝑡 𝐻𝐻 ) ⋄ 𝑊𝑊 𝑡𝑡 𝐻𝐻 𝑑𝑑𝑡𝑡 𝑇𝑇 0
adalah distribusi Hida.
Bukti . Sebut Φ ≔ 𝛿𝛿 ( 𝑥𝑥 − 𝑋𝑋 𝑡𝑡 𝐻𝐻 ) ⋄ 𝑊𝑊 𝑡𝑡 𝐻𝐻 ∈ ( 𝑆𝑆 ) ′ . Kita akan menunjukkan keterintegralan Bochner dari Φ dengan menggunakan Teorema 4.  Dari Teorema 5 kita dapatkan
𝑆𝑆Φ ( 𝜑𝜑 )
= 𝑆𝑆 ( 𝛿𝛿 ( 𝑥𝑥 − 𝑋𝑋 𝑡𝑡 𝐻𝐻 ) ⋄ 𝑊𝑊 𝑡𝑡 𝐻𝐻 )( 𝜑𝜑 )
= 𝑆𝑆𝛿𝛿 ( 𝑥𝑥 − 𝑋𝑋 𝑡𝑡 𝐻𝐻 )( 𝜑𝜑 ) 𝑆𝑆𝑊𝑊 𝑡𝑡 𝐻𝐻 ( 𝜑𝜑 )
= � ( 𝑀𝑀 + 𝐻𝐻 𝜑𝜑 )( 𝑡𝑡 ) − ( 𝑀𝑀 + 𝐻𝐻 𝜑𝜑 )( −𝑡𝑡 ) � � 4 𝜋𝜋 (2 − 2 2𝐻𝐻−1 ) 𝑡𝑡 2𝐻𝐻 exp �− 1 2(2 − 2 2𝐻𝐻−1 ) 𝑡𝑡 2𝐻𝐻 �𝑥𝑥 − 〈𝜑𝜑 , 1 √ 2 𝑀𝑀 − 𝐻𝐻 1 [ 0 , 𝑡𝑡 ) 𝑜𝑜 〉� 2 � ,
untuk setiap 𝜑𝜑 ∈ 𝑆𝑆 ( ℝ ). Cukup jelas bahwa bentuk terakhir ini terukur Lebesgue . Selanjutnya, untuk setiap 𝜑𝜑 ∈ 𝑆𝑆 ( ℝ ) dan 𝑧𝑧 ∈ ℂ berlaku
| 𝑆𝑆Φ ( 𝑧𝑧𝜑𝜑 )|
= ��𝑀𝑀 + 𝐻𝐻 ( 𝑧𝑧𝜑𝜑 ) � ( 𝑡𝑡 ) − �𝑀𝑀 + 𝐻𝐻 ( 𝑧𝑧𝜑𝜑 ) � ( −𝑡𝑡 ) � � 4 𝜋𝜋 (2 − 2 2𝐻𝐻−1 ) 𝑡𝑡 2𝐻𝐻 � exp �− 1 2(2 − 2 2𝐻𝐻−1 ) 𝑡𝑡 2𝐻𝐻 �𝑥𝑥 − 〈𝑧𝑧𝜑𝜑 , 1 √ 2 𝑀𝑀 − 𝐻𝐻 1 [ 0 , 𝑡𝑡 ) 𝑜𝑜 〉� 2 ��
≤ ��𝑀𝑀 + 𝐻𝐻 ( 𝑧𝑧𝜑𝜑 ) � ( 𝑡𝑡 ) � + ��𝑀𝑀 + 𝐻𝐻 ( 𝑧𝑧𝜑𝜑 ) � ( −𝑡𝑡 ) � � 4 𝜋𝜋 (2 − 2 2𝐻𝐻−1 ) 𝑡𝑡 2𝐻𝐻 exp �− 1 2(2 − 2 2𝐻𝐻−1 ) 𝑡𝑡 2𝐻𝐻 𝑥𝑥 2 �
exp � 1 (2 − 2 2𝐻𝐻−1 ) 𝑡𝑡 2𝐻𝐻 ��𝑥𝑥𝑧𝑧 〈𝜑𝜑 , 1 √ 2 𝑀𝑀 − 𝐻𝐻 1 [ 0 , 𝑡𝑡 ) 𝑜𝑜 〉� − 1 2 | 𝑧𝑧 | 2 �𝜑𝜑 , 1 √ 2 𝑀𝑀 − 𝐻𝐻 1 [ 0 , 𝑡𝑡 ) 𝑜𝑜 � 2 �� ≤ 2| 𝑧𝑧 || 𝑀𝑀 + 𝐻𝐻 𝜑𝜑 | ∞ � 4 𝜋𝜋 (2 − 2 2𝐻𝐻−1 ) 𝑡𝑡 2𝐻𝐻 exp �− 1 2(2 − 2 2𝐻𝐻−1 ) 𝑡𝑡 2𝐻𝐻 𝑥𝑥 2 � exp � 1 2(2 − 2 2𝐻𝐻−1 ) 𝑡𝑡 2𝐻𝐻 𝑥𝑥 2 + | 𝑧𝑧 | 2 | 𝜑𝜑 | 0 2 �
Herry Pribawanto Suryawan
≤ 𝑐𝑐 � 4 𝜋𝜋 (2 − 2 2𝐻𝐻−1 ) 𝑡𝑡 2𝐻𝐻 exp(| 𝑧𝑧 | 2 | 𝜑𝜑 | 0 2 )   exp(2| 𝑧𝑧 | 2 | 𝑀𝑀 + 𝐻𝐻 𝜑𝜑 | ∞ 2 ),      | 𝜂𝜂 | ∞ ≔ sup{| 𝜂𝜂 ( 𝑥𝑥 )|: 𝑥𝑥 ∈ ℝ }
≤ 𝑐𝑐 � 4 𝜋𝜋 (2 − 2 2𝐻𝐻−1 ) 𝑡𝑡 2𝐻𝐻 exp( 𝐾𝐾 𝐻𝐻 | 𝑧𝑧 | 2 ‖𝜑𝜑‖ 2 )
dengan 𝑐𝑐 dan 𝐾𝐾 𝐻𝐻 adalah konstanta dan ‖⋅‖ adalah norma kontinu pada 𝑆𝑆 ( ℝ ) dengan definisi
‖𝜑𝜑‖ 2 ≔ | 𝜑𝜑 | 0 2 + � | 𝜑𝜑 | ∞ + | 𝜑𝜑 ′ | ∞ + | 𝜑𝜑 | 𝐿𝐿 1 ( ℝ ) � 2 , 𝜑𝜑 ∈ 𝑆𝑆 ( ℝ ).
Di sini kita telah menggunakan Teorema 2. Karena 𝐻𝐻 ∈ (0,1) maka
𝐶𝐶 1 ( 𝑡𝑡 ) ≔ 𝑐𝑐 � 4 𝜋𝜋 (2 − 2 2𝐻𝐻−1 ) 𝑡𝑡 2𝐻𝐻 ∈ 𝐿𝐿 1 [0, 𝑇𝑇 ]
sementara faktor exp( 𝐾𝐾 𝐻𝐻 | 𝑧𝑧 | 2 ‖𝜑𝜑‖ 2 ) konstan terhadap 𝑡𝑡 . Dengan menggunakan Teorema 4 kita dapat menyimpulkan bahwa ∫ 𝛿𝛿 ( 𝑥𝑥 − 𝑋𝑋 𝑡𝑡 𝐻𝐻 ) ⋄ 𝑊𝑊 𝑡𝑡 𝐻𝐻 𝑑𝑑𝑡𝑡 𝑇𝑇 0 ∈ ( 𝑆𝑆 ) ′ . ■

## 4  Simpulan
Di dalam makalah ini teori analisis derau putih telah digunakan untuk membuktikan eksistensi arus stokastik tipe Wick dari gerak Brown subfraksional sebagai sebuah anggota di dalam ruang distribusi Hida. Penelitian selanjutnya adalah perumuman hasil ini ke ruang Euclide ℝ 𝑑𝑑 dan perumuman hasil untuk kelas proses stokastik yang memuat gerak Brown subfraksional.

## 5 Ucapan Terima Kasih
Penulis mengucapkan terima kasih kepada LPPM Universitas Sanata Dharma atas hibah penelitian skema internal reguler tahun 2020 di mana makalah ini menjadi salah satu luarannya.

## 6 Daftar Pustaka
[1]  H. Federer, Geometric Measure Theory . Springer, 1996. https://doi.org/10.1007/978-3-642- 62010-2
[2]  F. Morgan, Geometric Measure Theory. A Beginner's Guide . Academic Press, 2016. https://doi.org/10.1016/C2015-0-01918-9
[3]   F. Flandoli et al., “Stochastic Currents,” Stochastic Processes and Applications , vol. 115, no. 9, pp. 1583–1601, 2005. https://doi.org/10.1016/j.spa.2005.04.007
[4]   T. Bojdecki et al., “Sub-fractional Brownian Motion and Its Relation to Occupation Times,” Statistics and Probability Letters , vol. 69, no. 4, pp. 405–419, 2004. https://doi.org/10.1016/j.spl.2004.06.035

## 24 Pendekatan Analisis Derau Putih untuk Arus Stokastik dari Gerak Brown Subfraksional
[5]  Y. Mishura and M. Zili, Stochastic Analysis of Mixed Fractional Gaussian Processes . ISTE Press, 2018. https://doi.org/10.1016/C2017-0-00186-6
[6]   C. Tudor, “Some Properties of the Sub-fractional Brownian Motion,” Stochastics , vol. 79, no. 5, pp. 431–448, 2007. https://doi.org/10.1080/17442500601100331
[7]   H. Qi and L. Yan, “A Law of Iterated Logarithm for the Subfractional Brownian Motion and An Application,” Journal of Inequalities and Applications , vol. 2018, no. 96, pp. 1–18, 2018. https://doi.org/10.1186/s13660-018-1675-1
[8]   L. Yan et al., “Ito's Formula for a the Sub-fractional Brownian Motion,” Communications on Stochastic Analysis , vol. 5, no. 1, pp. 135–159, 2011. https://doi.org/10.31390/cosa.5.1.09
[9]   G. Shen and C. Chen, “Stochastic Integration with respect to the Sub-fractional Brownian Motion with H ∈ (0, 1 2 ) ,” Statistics and Probability Letters , vol. 2012, no. 82, pp. 240–251, 2012. https://doi.org/10.1016/j.spl.2011.10.002
[10]   I. Mendy, “On the Local Time of Sub-fractional  Brownian Motion,” Annales Mathematiques Blaise Pascal , vol. 17, no. 2, pp. 357–374, 2011. https://doi.org/10.5802/ambp.288
[11]   J. Liu et al., “On the Self-intersection Local Time Subfractional Brownian Motion,” Abstract and Applied Analysis , vol. 2012, Article ID 414195, pp. 1–27, 2012. https://doi.org/10.1155/2012/414195
[12]   H.  P. Suryawan,  “A White Noise Approach to Subfractional Brownian Motion,” AIP Conference Proceedings , vol. 2286,  Article ID 020003, pp. 1–9, 2020. https://doi.org/10.1063/5.0029753
[13]   F. Flandoli et al., “On The Regularity of Stochastic Currents, fractional Brownian Motion and Applications to a Turbulence Model,” Annales Henri Poincare , vol. 45, no. 2, pp. 545– 576, 2009. https://doi.org/10.1214/08-AIHP174
[14]   F.  Flandoli and C.  Tudor,  “Brownian and Fractional Brownian Stochastic Currents via Malliavin Calculus,” Journal of Functional Analysis , vol. 258, no. 1, pp. 279–306, 2010. https://doi.org/10.1016/j.jfa.2009.05.001
[15]  T. Hida et al., Lectures on White Noise Functionals . World Scientific,
2008. https://doi.org/10.1007/978-94-017-3680-0
[16]  T. Hida and L. Streit, Let Us Use White Noise .  World Scientific,  2017. https://doi.org/10.1201/9780203733813

## Herry Pribawanto Suryawan
[17]  Z. Huang and J. Yan, Introduction to Infinite Dimensional Stochastic Analysis . Kluwer Academic Publisher, 2000. https://doi.org/10.1007/978-94-011-4108-6
[18]   C. Bender, “An Ito Formula for Generalized Functionals of a Fractional Brownian Motion with Arbitrary Hurst Parameter,” Stochastic Processes and Applications , vol. 104, no. 1, pp. 81–106, 2003. https://doi.org/10.1016/S0304-4149(02)00212-0
[19]   Z. Wang and L. Yan, “The S-Transform of Sub-fBm and an Application to a Class of Linear Subfractional BSDEs,” Advances in Mathematical Physics , vol. 2013, Article ID 827192, pp. 1–11, 2013. https://doi.org/10.1155/2013/827192
[20]   Y. Kondratiev et al., “Generalized Functionals in Gaussian Spaces: The Characterization Theorem Revisited,” Journal of Functional Analysis , vol. 141, no. 2, pp. 301–318, 1996. https://doi.org/10.1006/jfan.1996.0130