Abstrak — Sistem  Pendulum  Kereta  adalah  suatu plant nonlinear dan tidak stabil yang terdiri dari batang pendulum yang berayun searah atau  berlawanan arah jarum jam  dan bersumbu pada kedua sisi kereta yang dapat bergerak secara horisontal. Makalah ini  membahas tentang  kontrol tracking berbasis model servo tipe 1 dengan plant tanpa integrator agar Sistem Pendulum Kereta mampu bergerak mengikuti sinyal referensi  berupa  sinyal step .  Model nonlinear Sistem Pendulum  Kereta  direpresentasikan  dengan  model fuzzy Takagi-Sugeno  dengan  didasarkan  aturan  PDC  ( Paralel Distributed  Compensation )  untuk  memperoleh  aturan kontroler. Gain  state  feedback dan gain integrator diperoleh dengan  menggunakan  pendekatan  LMI  ( Linear  Matrix Inequalities ).  Hasil  simulasi  menunjukkan  bahwa  posisi kereta mampu mengikuti sinyal referensi berupa sinyal step dengan nilai IAE ( Integral Absolute Error ) sebesar 0,1986 m.
Kata  Kunci — Sistem  Pendulum  Kereta, Tracking,  Fuzzy Takagi  Sugeno,  Sistem  Servo  Tipe  1, Linear  Matrix Inequalities.

## I. PENDAHULUAN
ISTEM Pendulum Kereta merupakan salah satu sistem yang sangat penting untuk penelitian di bidang kontrol. Berbagai  teori  metode  kontrol  banyak  diuji  dan dibandingkan melalui pengujian terhadap Sistem Pendulum  Kereta.  Hal  ini  dikarenakan  Sistem  Pendulum Kereta merupakan sistem nonlinear dan tidak stabil serta dapat dilinearkan di sekitar titik keseimbangannya. Sistem Pendulum  Kereta  adalah  suatu plant yang  terdiri  dari batang pendulum yang bergerak secara rotasi searah atau berlawan  arah  jarum  jam  dan  bersumbu  pada  kedua  sisi kereta  yang  dapat  bergerak  secara  vertikal  pada  suatu lintasan.  Tujuan  utama  dari  penelitian  ini  adalah merancang  kontrol fuzzy T-S  menggunakan  pendekatan LMI  dengan  batasan  penempatan pole. Hasil  yang diharapkan  adalah  nilai error tracking mendekati  nol dengan sinyal referensi step melalui optimasi menggunakan LMI.
Beberapa metode telah dikembangkan untuk menangani permasalahan tracking. Pada  [1]  kontrol tracking menggunakan  model fuzzy T-S  berbasis  kontrol  optimal. Kontrol tracking berbasis  model following telah dikembangkan pada [2]. Sistem kontrol tracking berbasis Sistem  Servo  Tipe  1  untuk plant tanpa integrator juga telah  diterapkan  pada  [3]  dengan  menggunakan  metode pole placement.
Penyelesaian  permasalahan  dari  Sistem  Pendulum Kereta menggunakan desain Sistem Servo Tipe 1 dengan plant tanpa integrator menggunakan  pendekatan  LMI
( Linear  Matrix  Inequality )  untuk  bisa  mendapatkan  nilai gain kontroler dan gain  integrator diharapakan  dapat memberikan  respon  yang  lebih  baik  agar plant dapat mengikuti sinyal referensi berupa sinya step . Karakteristik Sistem Pendulum Kereta yang nonlinear direpresentasikan ke  dalam  model linear dengan  model fuzzy T-S  yang didasarkan  pada  aturan  PDC  ( Paralel  Distributed Compensation ).

## II. MODEL MATEMATIKA
Sistem Pendulum Kereta merupakan sebuah benchmark yang  digunakan  untuk  menguji  suatu  metode  kontrol. Sistem  Pendulum  kereta  merupakan  sistem nonlinear . Sistem  Pendulum  Kereta  terdiri  dari  sepasang  batang pendulum  yang  bebas  berayun  secara  vertikal  dan terpasang pada kereta yang bergerak horizontal pada suatu lintasan dengan panjang lintasan tertentu.

## Gambar 1. Diagram Fisik Sistem Pendulum Kereta
Model  matematika  Sistem  Pendulum  Kereta  dalam bentuk persamaan state dapat dituliskan sebagai berikut: 𝑥̇ 1 = 𝑥 3 𝑥̇ 2 = 𝑥 4 𝑥̇ 3 = 𝑎(𝑢−𝑇𝑐−𝜇𝑥42  sin 𝑥2)+𝑙 cos 𝑥2(𝜇𝑔 sin 𝑥2− 𝑓𝑝𝑥4)
𝐽+ 𝜇𝑙 sin2 𝑥2 𝑥̇ 4 = 𝑙 cos  𝑥2(𝑢−𝑇𝑐−𝜇𝑥42  sin 𝑥2)+𝜇𝑔 sin 𝑥2− 𝑓𝑝𝑥4
𝐽+ 𝜇𝑙 sin2 𝑥2 (1)
dengan
𝑎 = 𝑙 2 + 𝐽 𝑚𝑐+𝑚𝑝 𝜇 = (𝑚 𝑐 + 𝑚 𝑝 )𝑙

## III. SISTEM KONTROL TRACKING
Struktur kontrol tracking menggunakan struktrur servo tipe 1 dirancang untuk mengontrol posisi kereta agar dapat mengikuti sinyal referensi yang diberikan. Sinyal referensi berupa sinyal step.
Sistem  nonlinear  Sistem  Pendulum  Kereta  dapat didekati menjadi sistem linear berdasarkan hasil linearisasi

## Kontrol Tracking Fuzzy untuk Sistem Pendulum Kereta Menggunakan Pendekatan Linear Matrix Inequalities
S 𝑚 𝑝 Titik Tengah Rel 𝑥 2 𝑥 1 𝑙 𝑚 𝑐
Rizki Wijayanti, Trihastuti Agustinah Departemen Teknik Elektro - Fakultas Teknologi Elektro Institut Teknologi Sepuluh Nopember E-mail: trihastuti@elect-eng.its.ac.id
lokal  di  sekitar  titik  ekuilibriumnya  dan  dapat direpresentasikan pada persamaan berikut:
𝑥̇ = 𝑓(𝑥) + ℎ(𝑥, 𝑢)                             (2)
Pada penelitian ini linearisasi dilakukan pada tiga daerah kerja, yaitu ±0 radian , ±0,3 radian , ±0,5 radian .
𝑓(𝑥) = [ 𝑓 1 (𝑥) 𝑓 2 (𝑥) 𝑓 3 (𝑥) 𝑓 4 (𝑥) ] = [ 𝑥 3 𝑥 4 𝑎(𝑢−𝑇𝑐−𝜇𝑥4 2 𝑠𝑖𝑛 𝑥2)+𝑙 𝑐𝑜𝑠𝑥2(𝜇𝑔𝑠𝑖𝑛𝑥2−𝑓𝑝𝑥4) 𝐽+𝑠𝑖𝑛2𝑥2 𝑙 𝑐𝑜𝑠𝑥2(𝑢−𝑇𝑐−𝜇𝑥4 2 𝑠𝑖𝑛 𝑥2)+ 𝜇𝑔𝑠𝑖𝑛𝑥2−𝑓𝑝𝑥4 𝐽+𝜇𝑙𝑠𝑖𝑛2𝑥2 ] (3) ℎ(𝑥, 𝑢) =
[ ℎ 1 (𝑥, 𝑢) ℎ 2 (𝑥, 𝑢) ℎ 3 (𝑥, 𝑢) ℎ 4 (𝑥, 𝑢)] = [ 0 0 𝑎𝑢 𝐽+ 𝜇𝑙𝑠𝑖𝑛2𝑥2 𝑢𝑙 𝑐𝑜𝑠𝑥2
𝐽+ 𝜇𝑙𝑠𝑖𝑛2𝑥2 ] (4)
Untuk titik kerja pertama : 𝑥 2 = 0 , 𝑥 = [0 0 0 0] 𝑇 dan 𝑢 = 0 diperoleh 𝒙̇ = 𝑨 𝟏 𝒙 + 𝑩 𝟏 𝒖 dengan
𝑨 𝟏 = [ 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0,2541 0 −0,0001
0 15,1225 0 −0,0074 ] ; 𝑩 𝟏 = [ 0 0 0,8274 1,2444 ]

## (5)
Untuk titik kerja kedua : 𝑥 2 = ±0,3 , 𝑥 = [0 ±0,3 0 0] 𝑇 dan 𝑢 = 0 diperoleh 𝒙̇ = 𝑨 𝟐 𝒙 + 𝑩 𝟐 𝒖 dengan
𝑨 𝟐 = [ 0 0 1
0 0 0 0 1 0 0,2082 0 −0,0001 0 14,3493 0 −0,0074 ] ; 𝑩 𝟐 = [ 0 0 0,8255 1,1862 ]

## (6)
Untuk titik kerja ketiga : 𝑥 2 = ±0,5 , 𝑥 = [0 ±0,5 0 0] 𝑇 dan 𝑢 = 0 diperoleh 𝒙̇ = 𝑨 𝟑 𝒙 + 𝑩 𝟑 𝒖 dengan
𝑨 𝟑 = [ 0 0 1
0 0 0
0 1
0 0,1342 0 −0,0001 0 13,0363 0 −0,0074 ] ; 𝑩 𝟑 = [ 0 0 0,8225 1,0856 ]

## (7)
Matriks keluaran untuk ketiga titik kerja adalah: C 1 = C 3 = C 3 =   [1 0 0 0]
Berdasarkan  nilai  matriks 𝐴 dan 𝐵 ,  dapat  dibangun model fuzzy T-S untuk aturan plant sebagai berikut : Aturan plant ke-1:
𝒊𝒇 𝑥 2 (t)is 𝑀 1 (Sekitar 0 radian) 𝑻𝒉𝒆𝒏 𝒙̇(𝒕) = 𝑨 𝟏 𝒙(𝒕) + 𝑩 𝟏 𝒖(𝒕) 𝒚(𝒕) = 𝑪 𝟏 𝒙(𝒕)
(8)
Aturan plant ke-2: 𝒊𝒇 𝑥 2 (t)is 𝑀 2 ( ±0,3 radian) 𝑻𝒉𝒆𝒏 𝒙̇(𝒕) = 𝒙̇(𝒕) = 𝑨 𝟐 𝒙(𝒕) + 𝑩 𝟐 𝒖(𝒕)
𝒚(𝒕) = 𝑪 𝟐 𝒙(𝒕) (9)
Aturan plant ke-3: 𝒊𝒇 𝑥 2 (t)is 𝑀 3 ( ±0,5 radian) 𝑻𝒉𝒆𝒏 𝒙̇(𝒕) = 𝑨 𝟑 𝒙(𝒕) + 𝑩 𝟑 𝒖(𝒕) 𝒚(𝒕) = 𝑪 𝟑 𝒙(𝒕) (10)
Untuk  menjaga  batanng  pendulum  tetap  pada  titik ekuilibriumnya  dan  mengontrol  posisi  dari  kereta  pada Sistem  Pendulum  Kereta  maka  digunakan  sistem servo tipe 1. Pada sistem servo tipe 1 posisi kereta  kembali  ke input dan  menambahkan  integrator  pada feedforward seperti pada Gambar 2 [4].  Berdasarkan Gambar 2 dapat diperoleh:
𝑥̇ = 𝐴𝑥 + 𝐵𝑢 𝑦 = 𝐶𝑥 𝜉̇ = 𝑟 − 𝑦 = 𝑟 − 𝐶𝑥 (11)
maka dapat dibuat augmented system
[ 𝑥̇(𝑡) 𝜉̇(𝑡) ] = [ 𝐴 0 −𝐶 0 ] [ 𝑥(𝑡) 𝜉(𝑡) ] + [ 𝐵 0 ] 𝑢(𝑡) + [ 0 1 ] 𝑟(𝑡) (12)
dimana
𝐴̅ = [ 𝐴 0 −𝐶 0 ] ; 𝐵̅ = [ 𝐵 0 ]
dan sinyal kontrol 𝐮 = −𝐊 ̅𝐱̅ dimana
𝐾 ̅ = −[𝐾 𝑘 𝐼 ] (13)
dengan 𝐾 adalah gain  feedback dan 𝑘 𝐼 adalah gain integrator. 𝐾 dan 𝑘 𝐼 dapat  dihitung  menggunakan pendekatan Linear Matrix Inequelity (LMI).
Gambar 2. Sistem Kontrol Tracking Model Servo Tipe 1 [4]
Berdasarkan  Persamaan  (12)  dapat  dibentuk  tiga subsistem close  loop untuk  ketiga  model  linear  sistem pendulum kereta sebagai berikut:
𝒙 ̅̇ = 𝐴̅ 𝑖 𝑥 + 𝐵̅ 𝑖 𝑢 atau
𝒙 ̅̇ = [ 𝐴 𝑖 0 −𝐶 𝑖 0 ] 𝑥 + [ 𝐵 𝑖 0 ] 𝑢     , 𝑖 = 1,2,3 (14)
dengan
𝐴̅ 1 = [ 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0,2541 0 −0,0001 0 0 15,1225 0 −0,0074 0 −1 0 0 0 0] ; 𝐵̅ 1 = [ 0 0 0,8274 1,2444 0 ]
(15)
𝑥 𝑟 C + + + 𝑘 𝐼
B ∫ - - ∫ A K 𝜉̇ 𝜉 𝑢 𝑦 𝑥̇
-
𝐴̅ 2 = [ 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0,2082 0 −0,0001 0 0 14,3493 0 −0,0074 0 −1 0 0 0 0] ; 𝐵̅ 2 = [ 0 0 0,8255 1,1862 0 ]
(16)
dan
𝐴̅ 3 =
[ 0
0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0.1342 0 −0,0001 0 0 13,0363 0 −0.0074 0 −1 0 0 0 0] ; 𝐵̅ 3 =
[ 0 0 0,8255 1,0856 0 ] (17) Berdasarkan  matrik augmented 𝐴̅ 𝑖 dan 𝐵̅ 𝑖 maka diperoleh  nilai 𝐾 𝑖 dan 𝑘 𝐼𝑖 .  Sehingga  dapat  ditentukan aturan  kontroler  yang  bersesuaian  dengan  aturan plant pada Persamaan (8) sampai (10) sebagai berikut:
Aturan kontroler ke-1: 𝒊𝒇 𝑥 2 (t)is 𝑀 1 (Sekitar 0 radian) 𝑻𝒉𝒆𝒏 𝒖(t) = −𝑲 ̅ 𝟏 𝒙(𝑡) (18) Aturan kontroler ke-2:
𝒊𝒇 𝑥 2 (t)is 𝑀 2 ( ±0,3 radian) 𝑻𝒉𝒆𝒏 𝒖(t) = −𝑲 ̅ 𝟐 𝒙(𝑡) (19) Aturan kontroler ke-3: 𝒊𝒇 𝑥 2 (t)is 𝑀 3 ( ±0,5 radian) 𝑻𝒉𝒆𝒏 𝒖(t) = −𝑲 ̅ 𝟑 𝒙(𝑡) (20)
Untuk  mendapatkan  nilai gain  feedback dan gain integrator digunakan algoritma LMI. Jika matrik 𝑃 definit positif maka sistem loop tertutup bersifat stabil asimtotik.
[(𝐴 𝑖 ̅ − 𝐵 𝑖 ̅ 𝐾 𝑗 ) 𝑇 𝑃 +  𝑃(𝐴 𝑖 ̅ − 𝐵 𝑖 ̅ 𝐾 𝑗 )] < 0    , 𝑖 = 1,2, … , 𝑟
(21) 𝐺 𝑖𝑗 𝑇 𝑃 + 𝑃𝐺 𝑖𝑗 < 0                                          , 𝑖 < 𝑗 ≤ 𝑟
(22) dengan
𝐺 𝑖𝑗 = 𝐴 𝑖 ̅ − 𝐵 𝑖 ̅ 𝐾 𝑗 + 𝐴 𝑗 ̅ − 𝐵 𝑗 ̅ 𝐾 𝑖 2 pre  multiplying dan post  multiplying kedua  sisi pertidaksamaan  dengan 𝑃 −1 dan  dengan  menggunakan variabel peubah:
𝑃 −1 = 𝑄 𝐾 𝑖 𝑄 = 𝑌 sehingga Persamaan (23) dan (24) menjadi
𝐴 𝑖 ̅ 𝑄 + 𝑄𝐴 𝑖 ̅ −1 − 𝐵 𝑖 ̅ 𝑌 𝑖 − 𝑌 𝑖 𝑇 𝐵 𝑖 ̅ 𝑇 < 0         , 𝑖 = 1,2, … , 𝑟 (23) 1 2 [(𝐴 𝑖 ̅ 𝑄 + 𝑄𝐴 𝑖 ̅ −1 − 𝐵 𝑖 ̅ 𝑌 𝑗 − 𝑌 𝑗 𝑇 𝐵 𝑖 ̅ 𝑇 ) + 1 2 [(𝐴 𝑖 ̅ 𝑄 + 𝑄𝐴 𝑖 ̅ −1 − 𝐵 𝑖 ̅ 𝑌 𝑖 − 𝑌 𝑖 𝑇 𝐵 𝑖 ̅ 𝑇 )] < 0    , 𝑖 < 𝑗 ≤ 𝑟
(24)
U ntuk  mendapatkan  hasil  yang  lebih  baik,  pada penelitian ini digunakan batasan berupa penempatan pole .
Menurut  Chilali  dan  Gahinet  [5],  daerah  LMI diilustrasikan pada Persamaan 25, yaitu
𝐷 𝑞,𝑟 = {𝑥 + 𝑗𝑦 ∈ 𝐶: (𝑥 + 𝑞) 2 + 𝑦 2 < 𝑟 2 (25)
Persamaan  (25),  jika  diilustrasikan  kedalam  gambar akan membentuk lingkaran dengan titik pusat lingkaran (-
q,  0)  dan  jari-jari  lingkaran  r  (dengan  r  >  0).  Lingkaran tersebut  berada  sebelah  kiri  sumbu  imajiner  seperti  pada Gambar 3.
Gambar 3. Lokasi Pole dari Lingkaran Daerah D
Jika 𝜆 = −𝜍𝜔 𝑛 + 𝑗𝜔 𝑑 diasumsikan  merupakan pole komplek pada 𝐷 𝑞,𝑟 , maka harus memenuhi kriteria berikut ini
ς > √1 − (𝑟 2 /𝑞 2 ) 𝜔 𝑛 < 𝑞 + 𝑟 𝜔 𝑑 < 𝑟
Sistem kontrol fuzzy akan stabil pada daerah D (dengan semua pole komplek berada pada daerah D) jika dan hanya jika memenuhi persamaan berikut ini.
[ −𝑟𝐐 𝑞𝐐 + 𝐐𝐴 𝑖 ̅ 𝑇 + 𝐘 𝑖 𝑇 𝐵 𝑖 ̅ 𝑇 𝑞𝐐 + 𝐐𝐴 𝑖 ̅ 𝑇 + 𝐁 𝑖 𝐘 𝑖 −𝑟𝐐 ] < 0   , 𝑖 < 𝑗 ≤
𝑟 (26)

## IV. HASIL DAN ANALISA
Simulasi  dilakukan  dengan  kondisi  awal  sudut pendulum  adalah  0,3  radian.  Kondisi  awal  untuk  posisi kereta,  kecepatan  kereta  dan  kecepatan  sudut  pendulum adalah  0.  Sedangkan  sinyal  referensi  yang  diberikan adalah sinyal step Kondisi penempatan daerah pole yang diinginkan adalah: Pertama   : 𝑟 = 32 dan 𝑞 = 70
Kedua    : 𝑟 = 72 dan 𝑞 = 150 Ketiga     : 𝑟 = 162 dan 𝑞 = 330
Simulasi  dilakukan  dengan  kondisi  awal  sudut pendulum  adalah  0,3  radian.  Kondisi  awal  untuk  posisi kereta,  kecepatan  kereta  dan  kecepatan  sudut  pendulum adalah 0.
Pada Gambar 3 menunjukkan posisi kereta pada sistem pendulum kereta dalam satuan meter untuk ketiga kondisi penempatan pole . Terlihat bahwa respon posisi kereta pada ketiga kondisi penempatan pole dapat melakukan tracking terhadap sinyal referensi yang diberikan. Pada penempatan pole pertama  memiliki  nilai overshoot -0,133  meter  dan waktu yang dibutuhkan agar kereta dapat mengikuti sinyal referensi  sebesar  5,5  detik.  Nilai  respon  posisi  kereta memiliki nilai overshoot sebesar -0,118 pada penempatan pole kedua  dan  nilai overshoot sebesar  -0,112  dengan waktu agar posisi kereta dapat  mengikuti  sinyal referensi sama pada penempatan pole pertama yaitu 5,5 detik.
Gambar 4. Posisi Kereta pada Simulasi Variasi Penempatan Pole
Simulasi  dengan  berbagai  kondisi  awal  disimulasikan dengan  memberikan  kondisi  awal  pada  sudut  pendulum yaitu 0,3 radian dan 0,5 radian. Kondisi awal untuk posisi kereta,  kecepatan  kereta  dan  kecepatan  sudut  pendulum adalah  0.  Pada  simulasi  ini  digunakan  skenario penempatan pole yang  ketiga,  dengan  [r,q]=[162,330] karena  memiliki  hasil  respon  yang  lebih  baik dibandingkan  dengan  penempatan  daerah pole yang  lain dan nilai IAE yang terkecil.
Pada  Gambar  4  menunjukkan  respon  posisi  kereta dalam  satuan  meter  dengan  berbagai  kondisi  awal  pada sudut  pendulum.  Respon  menunjukkan  bahwa  posisi kereta pada kedua kondisi awal dapat melakukan tracking dengan mengikuti nilai referensi yang diberikan.   Pada kondisi awal 0,3 rad respon memiliki overshoot sebesar - 0,112 rad. Sedangkan pada kondisi awal kedua, yaitu 0,5 rad nilai overshoot sebesar -0,15 rad.
Gambar 5. Posisi Kereta pada Simulasi dengan Berbagai Kondisi Awal
Gambar  5  menunjukkan  posisi  kereta  ketika  sistem diberikan  gangguan.  Ketika  gangguan  diberikan  terjadi penyimpangan  sekitar  0,012  meter.  Selanjutnya  sistem dapat mengatasi  gangguan dan kembali  mengikuti  sinyal referensi setelah 11 detik.
Gambar 6. Posisi Kereta dengan Gangguan
Pada  simulasi  kedua  digunakan  sinyal  referensi  sinus yang  dihasilkan  dari Signal  Generator yang  dapat ditemukan di library source pada Simulink .
Gambar  6  menampilkan  hasil  simulasi  posisi  kereta dengan  sinyal  referensi  berupa  sinyal  sinus,  dengan membandingkan beberapa kondisi penempatan pole .
Gambar 7. Posisi Kereta pada Simulasi Varaisi Penempatan Pole dengan Referensi Sinyal Sinus
Pada simulasi digunakan variasi penempatan pole yang ketiga yaitu [r,q]=[162,330] dengan berbagai kondisi awal. Kondisi awal sudut pendulum yang digunakan adalah 0,3 radian dan 0,5 radian.
Gambar  7  menunjukkan  posisi  kereta  dalam  satuan meter dengan kedua kondisi awal sudut pendulum.
Gambar  8.  Posisi  Kereta  pada  simulasi  dengan  berbagai  kondisi  awal menggunakan referensi sinyal sinus

## V. KESIMPULAN
Setelah  melakukan  pengujian  pada  makalah  ini menggunakan sistem kontrol fuzzy Takagi-Sugeno dengan struktur Sistem Servo Tipe 1 dengan plant tanpa integrator yang  telah  dirancang  menggunakan  pendekatan  LMI ( Linear  Matrix  Inequalies )  dapat  diambil  kesimpulan sebagai berikut:
1. Hasil  simulasi  dari  sistem  kontrol fuzzy Takagi- Sugeno  yang  telah  dibuat  menunjukkan  bahwa posisi  kereta  dapat  mengikuti  masukan  berupa sinyal  referensi step dengan  batang  pendulum dapat distabilkan pada titik di sekitar nol radian.
2. Beda  fase  yang  terjadi  ketika  sinyal  referensi yang diberikan berupa sinyal sinus menunjukkan bahwa  kereta  dapat  mengikuti  referensi  tetapi terdapat beda fase
3. Berdasarkan simulasi yang dilakukan didapatkan hasil respon terbaik dihasilkan dengan menggunakan penempatan pole [r,q] = [162, 330] dan kondisi awal sudut pendulum yaitu 0,3 radian
4. Hasil simulasi untuk sinyal referensi step melalui optimasi  menggunkan  LMI  menghasilkan  nilai IAE ( Integral Absolute Error ) sebesar 0,1986 m.

## DAFTAR PUSTAKA
[1] R. P. Adenia, “Kontrol Tracking Fuzzy-Optimal untuk Sistem Pendulum Kereta,” ITS, 2013.
[2] J. H. S. Putra, “Kontrol Tracking Fuzzy Menggunakan Model Following Untuk Sistem Pendulum Kereta,” ITS, 2016.
[3] H. Indrawati, “Kontrol Fuzzy Takagi-Sugeno Berbasis Sistem Servo Tipe 1 Untuk Sistem Pendulum Kereta,” ITS, 2013.
[4] K. Ogata, Modern Control Engineering,” 3rd ed . New Jersey: Prentice-Hall, 1997.
[5] M.  C.  and  P.  Gahinet,  “H∞  Design  with  Pole  Placement Constraints: An LMI Approach,” IEEE Trans. Autom. Control , vol. 41, pp. 358–367, 1996.