SQUARE : Journal of Mathematics and Mathematics Education
http://dx.doi.org/10.21580/square.2024.6.1.21018

## Analisis Kestabilan Lokal Model Transmisi Demam Berdarah Dengue
Arista Fitri Diana 1* , Muhammad Ibnu Hajar 2 , Zakaria Bani Ikhtiyar 3 , Lathifatul Aulia 4 1,2,3,4 Institut Teknologi Statistika dan Bisnis Muhammadiyah Semarang
* arista.fitri@itesa.ac.id

## ABSTRAK
Penularan  demam  berdarah dengue di  Indonesia  menunjukkan  jumlah  yang  cukup  besar,  hingga Maret 2024 kasus DBD dilaporlan mencapai 53.131 kasus dengan kasus kematian mencapai 404. Pada  artikel  ini,  membahas  tentang  model  dinamik  interaksi  antara  manusia  dan  nyamuk Aedes aegypti. Pada  penelitian  ini  menggunakan  model  dinamik  SEIRD  ( Sesceptible  Exposed  Infected Recovered Deceased ). Tujuan dari penelitian ini adalah untuk mendeskripsikan kestabilan transmisi demam  berdarah dengue sehingga  dapat  kita  analisis  perkembangan  model  epidemi  dalam  sudut pandang ilmu matematika. Adapun bilangan reproduksi dasar diperoleh dari metode matriks NGM (Next  Generation  Matrix),  sedangkan  analisis  kestabilan  menggunakan  metode  kriteria  Routh- Hurwitz.  Selanjutnya  dari  model  dinamik,  diperoleh  dua  titik  kesetimbangan  yaitu  titik kesetimbangan  endemic  dan  non-endemic  (bebas  penyakit).  Titik  kesetimbangan  kemudian dianalisis kestabilannya. Dalam penelitian ini, kestabilan model yang dianalisis adalah kestabilan lokal.  Apabila  nilai  bilangan  reproduksi  dasar ℜ 0 > 1 satu  maka  titik  endemik  bersifat  stabil asimtotik  lokal  dan  sebaliknya.  Lebih  jauh  lagi,  dilakukan  analisis  numerik  untuk  menjelaskan penyebaran  penyakit  demam  berdarah dengue .  Sehingga  dapat  diketahui  penyebaran  penyakit demam  berdarah dengue bersifat  endemik  atau  non-endemic  beserta  kestabilan  penyebarannya. Setelah  diketahui  penyebaran  penyakit  demam  berdarah dengue maka  dapat  dijadikan  bahan pertimbangan  dalam  pengambilan  keputusan  terkait  usaha  penanganan  kasus  demam  berdarah dengue. Apabila kasus penyebaran penyakit DBD bersifat endemik, maka diperlukan strategi yang lebih serius dalam penanganan kasus DBD, sehingga kasus DBD dapat dikendalikan.
Kata Kunci : model dinamik SEIRD, model epidemi, titik kesetimbangan, kestabilan lokal, Routh Hurwitz.

## ABSTRACT
Dengue fever transmission in Indonesia has an advanced amount, as of March 2024 dengue fever cases were reported to have reached 53.131 cases with deaths reaching 404 cases. In this article, dynamic model of interaction between human and Aedes aegypti mosquitos is learned. The SEIRD (Susceptible, Exposed, Infected, Recovered, Deceased) model is used in this article. The purpose in this model is to describe the stability of dengue transmission, so that we can analyze the developed of epidemic model in mathemtic field. Using NGM method  to analyze basic reproduction number and  applying  Routh-Hurwitz  criteria  method  to  show  the  local  stability  of  model.  Then,  two equilibrium points, called endemic and non-endemic equilibrium points, are obtained. The result of basic reproduction number is described the stability analysis. In this research, the stability of the model  analyzed is local stability.  If  basic reproduction ℜ 0 > 1 , the endemic equilibrium point is locally  asymptotically  stable  and  otherwise.  Local  stability  analysis  at  the  equilibrium  point  is determined  through  parameter  analysis.  Furthermore,  numerical  simulations  are  carried  out  by fitting the data to obtaine the result of the parameters. The results of numerical simulations explaine the spread of dengue transmission is endemic or non-endemic and the stability of its spread. Once the spread of dengue transmission is known, it can be taken into consideration in making decisions regarding  efforts  to  handle  dengue  fever  cases.  If  cases  of  the  spread  dengue  transmission  are endemic, more seroius strategy is needed in  handling dengue cases, so that dengue cases can be controlled.
Keywords: dynamic model SEIRD, epidemic model, equilibrium point, local stability, Routh Hurwitz

## 1. PENDAHULUAN
Demam berdarah merupakan penyakit yang dapat mengancam jiwa. Penyakit ini disebabkan oleh infeksi virus dengue yang ditularkan melalui gigitan nyamuk Aedes aegypti (Nurbaya, 2019). Penderita yang terinfeksi akan mengalami gejala berupa demam ringan hingga tinggi, disertai sakit kepala, nyeri pada mata, otot dan persendian, bahkan ppendarahan spontan (M. Faid, 2019). Terdapat empat  jenis  virus  demam  berdarah.  Di  Indonesia,  kasus  demam  berdarah  masih  terus  meningkat, hampir 10% diantaranya meninggal. Negara-negara beriklim tropis dan subtropis mempunyai risiko tinggi penularan virus, terutama pada musim hujan yang lembab (Dewi, 2015). Oraganisasi kesehatan dunia  memeperkirakan  setiap  tahunnya terdapat  50-100  juta  kasus  infeksi  virus dengue di  seluruh dunia.  Demam  berdarah  akut  disertai  dengan  pendarahan  menyebabkan  syok  yang  dapat mengakibatkan kematian (Agustina, 2023), penyakit ini terjadi secara akut dan menyerang baik orang dewasa maupun anak-anak di bawah usia 15 tahun (Podung et al., 2021). Jadi kasus DBD harus segera mendapat pengobatan yang tepat agar penularan virus DBD tidak semakin meluas. Oleh karena itu, kasus DBD ini tidak bisa diabaikan begitu saja, sehingga kita harus mengetahui pola penyebaran virus DBD. Dalam pemodelan matematika, berbagai penelitian terdahulu telah mengkaji model penularan demam berdarah, beberapa diantaranya adalah model SIR-SI yang dikemukakan oleh (Murugadoss et al., 2023), kemudian model SIR dikembangkan oleh (B. Wang et al., 2023), yang memasukkan variabel terpapar pada manusia menjadi model SEIR-SI. Kemudian dengan (R. Pandey et al., 2023) menambahkan variabel terpapar pada nyamuk sehingga diperoleh model SEIR-SEI. Dalam penelitian ini, penulis membahas pengembangan model SEIR-SEI yang dikemukakan oleh (R. Pandey et al., 2023)  dengan  menambahkan  variabel  kematian  pada  penyebaran  penyakit  demam  berdarah. Penambahan variabel kematian pada penelitian ini dengan mempertimbangkan kasus DBD yang telah menyebabkan kematian. Pemodelan penyakit dengan adanya kasus kematian dapat membentuk satu variabel kematian seperti kasus penyebaran virus covid-19 yang memiliki model dinamik SEQIRD ( Suceptible-Exposed-Quarantined-Infected-Recovered-Deceased )  (Kartono  et  al.,  2024).  Sehingga penambahan  variabel  kematian  dalam  penelitian  ini  dapat  menjadi  keterbaruan  model  dari  model penyakit  DBD  sebelumnya.  Selain  itu,  kita  juga  melakukan  analisis  kestabilan  pada  model  untuk menghasilkan dua titik kesetimbangan  yaitu, titik kesetimbangan endemik dan titik kesetimbangan non-endemik.  Selanjutnya  dengan  menggunakan  bilangan  reproduksi  dasar  dan  kriteria  Routh Hurwitz,  akan  di  analisis  kestabilan  lokal.  Hasil ℜ 0 dapat  digunakan  untuk  menentukan  kondisi kestabilan  model.  Selanjutnya  akan  dilakukan  simulasi  numerik  untuk  menunjukkan  dinamika penyebaran penyakit demam berdarah, dengan data yang digunakan merupakan data sekunder yang merujuk pada jurnal model dinamik penyebaran DBD di Nepal (R. Pandey et al., 2023).

## 2. METODE
Metode  penelitian  yang  digunakan  dalam  artikel  ini  yaitu  dimulai  dari  formulasi  model, kemudian  dilanjutkan  dengan  pencarian  titik  kesetimbangan,  selanjutnya  dilakukan  analisis  titik kesetimbangan model dengan metode Routh Hurwitz dan Bilangan Reproduksi Dasar.

## 2.1. Formulasi Model
Berdasarkan  proses  penyebaran  dan  penularan  virus dengue ,  dikembangkan  model  SEIR ( Suceptible-Exposed-Infected-Recovered )  dengan  menambahkan  variabel  meninggal  ( Deceased ) pada manusia dan  mengembangkan moel SI ( Susceptible-Infected ) dengan menambahkan variabel terpapar pada nyamuk. Pada model ini menggunakan 5 subpopulasi, yaitu subpopulasi manusia rentan ( Suceptible ),  subpopulasi  manusia  terpapar  ( Exposed ),  subpopulasi  manusia  terinfeksi  ( Infected ), subpopulasi  manusia  sembuh  ( Recovered ),  dan  subpopulasi  manusia  meninggal  ( Deceased ). Selanjutnya  untuk  populasi  nyamuk,  digunakan  3  subpopulasi  yaitu  nyamuk  rentan  ( Suceptible ), subpopulasi  nyamuk  terpapar  ( Exposed ),  dan  subpopulasi  nyamuk  terinfeksi  ( Infected ).  Beberapa asumsi yang digunakan dalam formulasi model matematika yaitu,
a) Populasi nyamuk dan manusia tertutup
b) Hanya nyamuk dan manusia yang terinfeksi yang dapat menyebarkan  penyakit
c) Semua populasi nyamuk yang terinfeksi akan mati
Berikut diagram model yang digunakan dalam artikel ini,
Gambar 1. Deskripsi Model SEIRD-SEI Tabel 1. Deskripsi Parameter No
Persentase Ketuntasan 𝜇 ℎ Laju kematian lamai manusia 𝛽 ℎ Laju Peluang Transmisi Nyamuk-Manusia 𝜌 ℎ Laju Inkubasi Manusia 𝛾 ℎ Laju Manusia Terinfeksi menjadi Meninggal 𝑏 Laju Gigitan Nyamuk 𝜇 𝑚 Laju Kemmatian Alami Nyamuk 𝛽 𝑚 Laju Peluang Transmisi Manusia-Nyamuk 𝜌 𝑚 Laju Inkubasi Nyamuk 1 − 𝛾 ℎ2
Laju Manusia Terinfeksi menjadi Sembuh
Tabel 2. Deskripsi Variabel No Persentase Ketuntasan 𝑆 ℎ Subpopulasi manusia rentan 𝐸 ℎ Subpopulasi manusia terpapar 𝐼 ℎ Subpopulasi manusia terinfeksi 𝑅 ℎ Subpopulasi manusia sembuh 𝐷 ℎ Subpopulasi manusia meninggal 𝑆 𝑚 Subpopulasi nyamuk rentan 𝐸 𝑚 Subpopulasi nyamuk terpapar 𝐼 𝑚 Subpopulasi nyamuk terinfeksi
Pengembangan model matematika mengikuti model (R. Pandey et al., 2023). Model dari (R. Pandey et al., 2023) memberikan model SEIR untuk manusia dan model SEI untuk nyamuk.
Penelitian ini mengembangkan model dengan menambahkan variabel meninggal pada manusia dan variabel terpapar pada nyamuk, sehingga menjadi model transmisi demam berdarah dengue SEIRD- SEI. Jadi dapat diperoleh formulasi model dinamik sebagai berikut,
𝑑𝑆 ℎ 𝑑𝑡 = 𝜇 ℎ 𝑁 − 𝑏𝛽 ℎ 𝑆 ℎ 𝐼 𝑚 𝑁 − 𝜇 ℎ 𝑆 ℎ 𝑑𝐸 ℎ 𝑑𝑡 = 𝑏𝛽 ℎ 𝑆 ℎ 𝐼 𝑚 𝑁 − 𝜌 ℎ 𝐸 ℎ − 𝜇 ℎ 𝐸 ℎ 𝑑𝐼 ℎ 𝑑𝑡 = 𝜌 ℎ 𝐸 ℎ − (𝛾 + 𝜇 ℎ )𝐼 ℎ − (1 − 𝛾)𝐼 ℎ 𝑑𝑅 ℎ 𝑑𝑡 = (1 − 𝛾)𝐼 ℎ − 𝜇 ℎ 𝑅 ℎ 𝑑𝐷 ℎ 𝑑𝑡 = 𝛾 ℎ 𝐼 ℎ 𝑑𝑆 𝑚 𝑑𝑡 = 𝑀 − 𝑏𝛽 𝑚 𝑆 𝑚 𝐼 ℎ 𝑁 − 𝜇 𝑚 𝑆 𝑚 𝑑𝐸 𝑚 𝑑𝑡 = 𝑏𝛽 𝑚 𝑆 𝑚 𝐼 ℎ 𝑁 − (𝜌 𝑚 + 𝜇 𝑚 )𝐸 𝑚 𝑑𝐼 𝑚 𝑑𝑡 = 𝜌 𝑚 𝐸 𝑚 + 𝜇 𝑚 𝐼 𝑚
Dengan kondisi awal 𝑆 ℎ (0) ≥ 0, 𝐸 ℎ (0) ≥ 0, 𝐼 ℎ (0) ≥ 0, 𝑅 ℎ (0) ≥ 0, 𝐷 ℎ (0) ≥ 0, 𝑆 𝑚 (0) ≥ 0, 𝐸 𝑚 (0) ≥ 0, 𝐼 𝑚 (0) ≥ 0 dan parameter yang diberikan pada tabel 1.

## 2.2.  Titik Kesetimbangan
Titik kesetimbangan adalah kondisi dimana tidak terjadi perubahan pada setiap populasi dalam waktu yang lama, sehingga sistem dinamik dari model dapat dituliskan sebagai berikut.
{
𝑑𝑆 ℎ 𝑑𝑡 = 𝜇 ℎ 𝑁 − 𝑏𝛽 ℎ 𝑆 ℎ 𝐼 𝑚 𝑁 − 𝜇 ℎ 𝑆 ℎ = 0 𝑑𝐸 ℎ 𝑑𝑡 = 𝑏𝛽 ℎ 𝑆 ℎ 𝐼 𝑚 𝑁 − 𝜌 ℎ 𝐸 ℎ − 𝜇 ℎ 𝐸 ℎ = 0 𝑑𝐼 ℎ 𝑑𝑡 = 𝜌 ℎ 𝐸 ℎ − (𝛾 + 𝜇 ℎ )𝐼 ℎ − (1 − 𝛾)𝐼 ℎ = 0 𝑑𝑅 ℎ 𝑑𝑡 = (1 − 𝛾)𝐼 ℎ − 𝜇 ℎ 𝑅 ℎ = 0 𝑑𝐷 ℎ 𝑑𝑡 = 𝛾 ℎ 𝐼 ℎ = 0 𝑑𝑆 𝑚 𝑑𝑡 = 𝑀 − 𝑏𝛽 𝑚 𝑆 𝑚 𝐼 ℎ 𝑁 − 𝜇 𝑚 𝑆 𝑚 = 0 𝑑𝐸 𝑚 𝑑𝑡 = 𝑏𝛽 𝑚 𝑆 𝑚 𝐼 ℎ 𝑁 − (𝜌 𝑚 + 𝜇 𝑚 )𝐸 𝑚 = 0 𝑑𝐼 𝑚 𝑑𝑡 = 𝜌 𝑚 𝐸 𝑚 + 𝜇 𝑚 𝐼 𝑚 = 0 (1)
Sistem pada model (1) menghasilkan 2 titik kesetimbangan, yaitu titik endemik (EE) dan titik non-endemik/bebas penyakit (DFE). Berikut kedua titik kesetimbangan dari model (1). Titik Non-endemik :
ℇ 0 (𝑆 ℎ0 , 𝐸 ℎ0 , 𝐼 ℎ0 , 𝑅 ℎ0 , 𝑆 𝑚0 , 𝐸 𝑚0 , 𝐼 𝑚0 ) = (𝑁, 0,0,0, 𝑀 𝜇 𝑚 , 0,0)
Titik Endemik :
ℇ ∗ (𝑆 ℎ ∗ , 𝐸 ℎ ∗ , 𝐼 ℎ ∗ , 𝑅 ℎ ∗ , 𝑆 𝑚 ∗ , 𝐸 𝑚 ∗ , 𝐼 𝑚 ∗ )
Dimana,
𝑆 ℎ ∗ = 𝑁 2 𝜇 𝑚 𝐸𝐶 𝛽 𝑚 𝜌 ℎ 𝑏(𝑀𝑏𝛽 ℎ 𝜌 𝑚 + 𝑁𝜌 𝑚 𝜇 𝑚 𝜇 ℎ + 𝑁𝜇 𝑚 2 𝜇 ℎ ) 𝐸 ℎ ∗ = (𝑁𝜇 ℎ (𝑀𝑏 2 𝛽 ℎ 𝜌 𝑚 𝛽 𝑚 − 𝜇 𝑚 𝐴)) 𝛽 𝑚 𝜌 ℎ 𝑏(𝑀𝑏𝛽 ℎ 𝜌 𝑚 𝐶 + 𝐴 − 𝐵)
𝐼 ℎ ∗ = (𝑁𝜇 ℎ (𝑀𝑏 2 𝛽 ℎ 𝜌 𝑚 𝛽 𝑚 − 𝜇 𝑚 𝐴)) 𝛽 𝑚 𝑏(𝜇 ℎ + 1)(𝑀𝑏𝛽 ℎ 𝜌 𝑚 𝐶 + 𝐴 − 𝐵) 𝑅 ℎ ∗ = (𝑁(1 − 𝛾)(𝑀𝑏 2 𝛽 ℎ 𝜌 𝑚 𝜌 ℎ 𝛽 𝑚 − 𝐴)) 𝛽 𝑚 𝑏(𝜇 ℎ + 1)(𝑀𝑏𝛽 ℎ 𝜌 𝑚 𝐶 + 𝐴 − 𝐵)
𝐸 𝑚 ∗ = (𝜇 ℎ (𝑀𝑏 2 𝛽 ℎ 𝜌 𝑚 𝜌 ℎ 𝛽 𝑚 − 𝐴)) 𝜌 𝑚 𝐶(𝐷 + 𝑏 2 𝛽 ℎ 𝜇 ℎ 𝜌 ℎ 𝛽 𝑚 ) 𝐼 𝑚 ∗ = (𝜇 ℎ (𝑀𝑏 2 𝛽 ℎ 𝜌 𝑚 𝜌 ℎ 𝛽 𝑚 − 𝐴)) 𝜇 𝑚 𝐶(𝐷 + 𝑏 2 𝛽 ℎ 𝜇 ℎ 𝜌 ℎ 𝛽 𝑚 ) 𝑆 𝑚 ∗ = (𝜇 ℎ + 1)(𝑀𝑏𝛽 ℎ 𝜌 𝑚 𝐶 + 𝐴 − 𝐵)
𝛽 ℎ 𝜌 𝑚 𝑏𝐸 Dengan,
𝐴 = 𝑁𝜇 𝑚 (𝜌 𝑚 𝜇 ℎ 2 + 𝜌 𝑚 𝜇 ℎ 𝜌 ℎ + 𝜇 𝑚 𝜇 ℎ 2 + 𝜇 𝑚 𝜇 ℎ 𝜌 ℎ + 𝜌 𝑚 𝜇 ℎ + 𝜌 𝑚 𝜌 ℎ + 𝜇 𝑚 𝜇 ℎ + 𝜇 𝑚 𝜌 ℎ ) 𝐵 = 𝑁𝜇 𝑚 (𝜌 𝑚 𝜇 ℎ + 𝜌 𝑚 𝜌 ℎ + 𝜇 𝑚 𝜇 ℎ + 𝜇 𝑚 𝜌 ℎ )
𝐶 = 𝜇 ℎ + 𝜌 ℎ 𝐷 = 𝛽 ℎ 𝑏𝜇 𝑚 (𝜇 ℎ 2 + 𝜇 ℎ 𝜌 ℎ + 𝜇 ℎ + 𝜌 ℎ )
𝐸 = 𝛽 ℎ 𝑏𝜇 𝑚 (𝑏𝜇 ℎ 𝜌 ℎ 𝛽 𝑚 + 𝜇 𝑚 𝜇 ℎ 2 + 𝜇 𝑚 𝜇 ℎ 𝜌 ℎ + 𝜇 𝑚 𝜇 ℎ + 𝜇 𝑚 𝜌 ℎ )
2.3.   Bilangan Reproduksi Dasar
46  | Arista Fitri Diana, Muhammad Ibnu Hajar, Zakaria Bani Ikhtiyar, Lathifatul Aulia- Analisis Kestabilan Lokal Model Transmisi ...
Pada  analisis  model  transmisi  penyakit  demam  berdarah dengue ,  penentuan  bilangan reproduksi dasar sangat penting. Besarnya bilangan reproduksi dasar yang disimbolkan dengan ℜ 0 menyatakan jumlah rata-rata kejadian baru yang disebabkan oleh penyebaran penyakit dari individu yang terinfeksi. Jika nilai ℜ 0 > 1 maka setiap individu yang sakit dapat menularkan penyakitnya ke lebih dari satu individu. Pada kondisi tersebut titik kesetimbangan bebas penyakit tidak stabil, namun sebaliknya jika ℜ 0 < 1 maka titik kesetimbangan bebas penyakit akan stabil asimtotik loka, sehingga kondisi  penyebaran  penyakit  dapat  terkendali.  Bilangan  reproduksi  dasar  dapat  dicari  dengan menggunakan  matriks  NGM  ( Next  Generation  Matrix). Berikut  perhitungan  bilangan  reproduksi dasar pada model dinamik transmisi demam berdarah dengue .
Dari model dinamik (1) dapat ditentukan,
ℱ(ℇ ∗ ) = [ ℱ 1 ℱ 2 ℱ 3 ℱ 4 ] [ 𝑏𝛽 ℎ 𝑆 ℎ 𝐼 𝑚 𝑁 0 𝑏𝛽 𝑚 𝑆 𝑚 𝐼 ℎ 𝑁 0 ] 𝑉 = [ 𝑉 1 𝑉 2 𝑉 3 𝑉 4 ] = [ −(𝜇 ℎ + 𝜌 ℎ )𝐸 ℎ 𝜌 ℎ 𝐸 ℎ − (𝛾 ℎ + 𝜇 ℎ )𝐼 ℎ − (1 − 𝛾 ℎ )𝐼 ℎ −(𝜌 𝑚 + 𝜇 𝑚 )𝐸 𝑚 𝜌 𝑚 𝐸 𝑚 − 𝜇 𝑚 𝐼 𝑚 ]
Untuk mencari bilangan reproduksi dasar, maka akan ditentukan radius spectral dari matriks generation 𝐹𝑉 −1 dan diperoleh formula bilangan reproduksi dasar sebagai berikut,
ℜ 0 = (√ 𝜇 𝑚 𝛽 𝑚 𝜌 ℎ 𝑁𝑀𝛽 ℎ 𝑏𝜇 𝑚 (𝜇 ℎ 2 + 𝜇 ℎ 𝜌 ℎ + 𝜇 ℎ + 𝜌 ℎ ) 𝑁𝜇 𝑚 (𝜌 𝑚 𝜇 ℎ 2 + 𝜌 𝑚 𝜇 ℎ 𝜌 ℎ + 𝜇 𝑚 𝜇 ℎ 2 + 𝜇 𝑚 𝜇 ℎ 𝜌 ℎ + 𝜌 𝑚 𝜇 ℎ + 𝜌 𝑚 𝜌 ℎ + 𝜇 𝑚 𝜇 ℎ + 𝜇 𝑚 𝜌 ℎ ) )

## 2.4.   Eksistensi Titik Kesetimbangan
Sebelum  menganalisis  kestabilan  titik  kesetimbangan  maka  akan  di  analisis  terlebih  dahulu eksistensi dari masing-masing titik kesetimbangan.
Titik Kesetimbangan Bebas Penyakit
ℇ 0 (𝑆 ℎ0 , 𝐸 ℎ0 , 𝐼 ℎ0 , 𝑅 ℎ0 , 𝑆 𝑚0 , 𝐸 𝑚0 , 𝐼 𝑚0 ) = (𝑁, 0,0,0, 𝑀 𝜇 𝑚 , 0,0)
Titik kesetimbangan bebas penyakit akan selalu eksis.
Titik Kesetimbangan Endemik
ℇ ∗ (𝑆 ℎ ∗ , 𝐸 ℎ ∗ , 𝐼 ℎ ∗ , 𝑅 ℎ ∗ , 𝑆 𝑚 ∗ , 𝐸 𝑚 ∗ , 𝐼 𝑚 ∗ ), Titik kesetimbangan endemik ℇ ∗ akan eksis jika,
𝑀𝑏 2 𝛽 ℎ 𝜌 𝑚 𝜌 ℎ 𝛽 𝑚 − 𝜇 𝑚 𝐴 > 0
𝑀𝑏 2 𝛽 ℎ 𝜌 𝑚 𝜌 ℎ 𝛽 𝑚 − 𝜇 𝑚 2 𝛽 𝑚 𝜌 ℎ 𝑁𝑀𝐷 ℜ 0 2 > 0 𝑀𝑏 2 𝛽 ℎ 𝜌 𝑚 𝜌 ℎ 𝛽 𝑚 > 𝜇 𝑚 2 𝛽 𝑚 𝜌 ℎ 𝑁𝑀𝐷
ℜ 0 2
ℜ 0 2 > 𝜇 𝑚 2 𝛽 𝑚 𝜌 ℎ 𝑁𝑀𝐷 𝑀𝑏 2 𝛽 ℎ 𝜌 𝑚 𝜌 ℎ 𝛽 𝑚
ℜ 0 2 > 𝜇 𝑚 2 𝑁𝐷 𝑏 2 𝛽 ℎ 𝜌 𝑚
ℜ 0 > 𝜇 𝑚 2 𝑁𝐷 𝑏 2 𝛽 ℎ 𝜌 𝑚 ℜ 0 > 1
Sehingga titik kesetimbangan endemik akan eksis jika ℜ 0 > 1

## 2.5.   Kestabilan Titik Kesetimbangan
Teorema 5.1 Diberikan ℜ 0 = (√ 𝜇 𝑚 𝛽 𝑚 𝜌 ℎ 𝑁𝑀𝛽 ℎ 𝑏𝜇 𝑚 (𝜇 ℎ 2 +𝜇 ℎ 𝜌 ℎ +𝜇 ℎ +𝜌 ℎ ) 𝑁𝜇 𝑚 (𝜌 𝑚 𝜇 ℎ 2 +𝜌 𝑚 𝜇 ℎ 𝜌 ℎ +𝜇 𝑚 𝜇 ℎ 2 +𝜇 𝑚 𝜇 ℎ 𝜌 ℎ +𝜌 𝑚 𝜇 ℎ +𝜌 𝑚 𝜌 ℎ +𝜇 𝑚 𝜇 ℎ +𝜇 𝑚 𝜌 ℎ ) ), Titik kesetimbangan  endemik ℇ ∗ (𝑆 ℎ ∗ , 𝐸 ℎ ∗ , 𝐼 ℎ ∗ , 𝑅 ℎ ∗ , 𝑆 𝑚 ∗ , 𝐸 𝑚 ∗ , 𝐼 𝑚 ∗ ) bersifat  stabil  jika ℜ 0 > 1 dan  tidak  stabil jika ℜ 0 < 1 Bukti.
Untuk  membuktikan  kestabilan  titik  endemik  akan  stabil  jika ℜ 0 > 1, akan  dilakukan  analisis karakteristik polynomial. Langkah awal yang dilakukan yaitu linearisasi system (1).
𝑑 𝑑𝑡 [ 𝑆 ℎ 𝐸 ℎ 𝐼 ℎ 𝑅 ℎ 𝑆 𝑚 𝐸 𝑚 𝐼 𝑚 ] = [ 𝜕𝑓 1 𝜕𝑆 ℎ 𝜕𝑓 1 𝜕𝐸 ℎ 𝜕𝑓 1 𝜕𝐼 ℎ 𝜕𝑓 1 𝜕𝑅 ℎ 𝜕𝑓 1 𝜕𝑆 𝑚 𝜕𝑓 1 𝜕𝐸 𝑚 𝜕𝑓 1 𝜕𝐼 𝑚 𝜕𝑓 2 𝜕𝑆 ℎ 𝜕𝑓 2 𝜕𝐸 ℎ 𝜕𝑓 2 𝜕𝐼 ℎ 𝜕𝑓 2 𝜕𝑅 ℎ 𝜕𝑓 2 𝜕𝑆 𝑚 𝜕𝑓 2 𝜕𝐸 𝑚 𝜕𝑓 2 𝜕𝐼 𝑚 𝜕𝑓 3 𝜕𝑆 ℎ 𝜕𝑓 3 𝜕𝐸 ℎ 𝜕𝑓 3 𝜕𝐼 ℎ 𝜕𝑓 3 𝜕𝑅 ℎ 𝜕𝑓 3 𝜕𝑆 𝑚 𝜕𝑓 3 𝜕𝐸 𝑚 𝜕𝑓 3 𝜕𝐼 𝑚 𝜕𝑓 4 𝜕𝑆 ℎ 𝜕𝑓 4 𝜕𝐸 ℎ 𝜕𝑓 4 𝜕𝐼 ℎ 𝜕𝑓 4 𝜕𝑅 ℎ 𝜕𝑓 4 𝜕𝑆 𝑚 𝜕𝑓 4 𝜕𝐸 𝑚 𝜕𝑓 4 𝜕𝐼 𝑚 𝜕𝑓 5 𝜕𝑆 ℎ 𝜕𝑓 5 𝜕𝐸 ℎ 𝜕𝑓 5 𝜕𝐼 ℎ 𝜕𝑓 5 𝜕𝑅 ℎ 𝜕𝑓 5 𝜕𝑆 𝑚 𝜕𝑓 5 𝜕𝐸 𝑚 𝜕𝑓 5 𝜕𝐼 𝑚 𝜕𝑓 6 𝜕𝑆 ℎ 𝜕𝑓 6 𝜕𝐸 ℎ 𝜕𝑓 6 𝜕𝐼 ℎ 𝜕𝑓 6 𝜕𝑅 ℎ 𝜕𝑓 6 𝜕𝑆 𝑚 𝜕𝑓 6 𝜕𝐸 𝑚 𝜕𝑓 6 𝜕𝐼 𝑚 𝜕𝑓 7 𝜕𝑆 ℎ 𝜕𝑓 7 𝜕𝐸 ℎ 𝜕𝑓 7 𝜕𝐼 ℎ 𝜕𝑓 7 𝜕𝑅 ℎ 𝜕𝑓 7 𝜕𝑆 𝑚 𝜕𝑓 7 𝜕𝐸 𝑚 𝜕𝑓 7 𝜕𝐼 𝑚 ] (𝑆 ℎ ∗ , 𝐸 ℎ ∗ , 𝐼 ℎ ∗ , 𝑅 ℎ ∗ , 𝑆 𝑚 ∗ , 𝐸 𝑚 ∗ , 𝐼 𝑚 ∗ ) , [ 𝑆 ℎ ̅̅̅ 𝐸 ℎ ̅̅̅ 𝐼 ℎ ̅ 𝑅 ℎ ̅̅̅̅ 𝑆 𝑚 ̅̅̅̅ 𝐸 𝑚 ̅̅̅̅ 𝐼 𝑚 ̅̅̅ ]
Dengan aplikasi Maple versi 15 diperoleh :
𝑑 𝑑𝑡 [ 𝑆 ℎ 𝐸 ℎ 𝐼 ℎ 𝑅 ℎ 𝑆 𝑚 𝐸 𝑚 𝐼 𝑚 ] = [ − 𝑏𝛽 ℎ 𝐼 𝑚 𝑁 − 𝜇 ℎ 0 0 0 0 0 − 𝑏𝛽 ℎ 𝑆 ℎ 𝑁 𝑏𝛽 ℎ 𝐼 𝑚 𝑁 −𝜇 ℎ − 𝜌 ℎ 0 0 0 0 𝑏𝛽 ℎ 𝑆 ℎ 𝑁 0 𝜌 ℎ −𝜇 ℎ − 1 0 0 0 0 0 0 1 − 𝛾 ℎ −𝜇 ℎ 0 0 0 0 0 − 𝑏𝛽 𝑚 𝑆 𝑚 𝑁 0 − 𝑏𝛽 𝑚 𝐼 ℎ 𝑁 − 𝜇 𝑚 0 0 0 0 𝑏𝛽 𝑚 𝑆 𝑚 𝑁 0 𝑏𝛽 𝑚 𝐼 ℎ 𝑁 −𝜌 𝑚 − 𝜇 𝑚 0
0 0 0 0 0 𝜌 𝑚 −𝜇 𝑚 ] , [ 𝑆 ℎ ̅̅̅ 𝐸 ℎ ̅̅̅ 𝐼 ℎ ̅ 𝑅 ℎ ̅̅̅̅ 𝑆 𝑚 ̅̅̅̅ 𝐸 𝑚 ̅̅̅̅ 𝐼 𝑚 ̅̅̅ ] (2)
Selanjutnya  substitusikan  titik  endemik  ke  persamaan  (2)  dan  diperoleh  Matriks  Jacobi  di  titik ℇ ∗ (𝑆 ℎ ∗ , 𝐸 ℎ ∗ , 𝐼 ℎ ∗ , 𝑅 ℎ ∗ , 𝑆 𝑚 ∗ , 𝐸 𝑚 ∗ , 𝐼 𝑚 ∗ ) sebagai berikut:
𝐽(ℇ ∗ ) = [ 𝑏 1 0 0 0 0 0 𝑏 2 𝑏 3 𝑏 4 0 0 0 0 𝑏 5 0 𝑏 6 𝑏 7 0 0 0 0 0 0 𝑏 8 𝑏 9 0 0 0 0 0 𝑏 10 0 𝑏 11 0 0 0 0 𝑏 12 0 𝑏 13 𝑏 14 0 0 0 0 0 0 𝑏 15 𝑏 16 ]
Dengan,
𝑏 1 = − 𝑏𝛽 ℎ (𝜇 ℎ (𝑀𝑏 2 𝛽 ℎ 𝜌 𝑚 𝜌 ℎ 𝛽 𝑚 − 𝐴)) 𝑁𝜇 𝑚 𝐶(𝐷 + 𝑏 2 𝛽 ℎ 𝜇 ℎ 𝜌 ℎ 𝛽 𝑚 ) − 𝜇 ℎ 𝑏 2 = − 𝑏𝛽 ℎ 𝑁 2 𝜇 𝑚 𝐸𝐶 𝑁𝛽 𝑚 𝜌 ℎ 𝑏(𝑀𝑏𝛽 ℎ 𝜌 𝑚 + 𝑁𝜌 𝑚 𝜇 𝑚 𝜇 ℎ + 𝑁𝜇 𝑚 2 𝜇 ℎ ) 𝑏 3 = 𝑏𝛽 ℎ (𝜇 ℎ (𝑀𝑏 2 𝛽 ℎ 𝜌 𝑚 𝜌 ℎ 𝛽 𝑚 − 𝐴)) 𝑁𝜇 𝑚 𝐶(𝐷 + 𝑏 2 𝛽 ℎ 𝜇 ℎ 𝜌 ℎ 𝛽 𝑚 ) 𝑏 4 = −𝜇 ℎ − 𝜌 ℎ 𝑏 5 = 𝑏𝛽 ℎ 𝑁 2 𝜇 𝑚 𝐸𝐶 𝑁𝛽 𝑚 𝜌 ℎ 𝑏(𝑀𝑏𝛽 ℎ 𝜌 𝑚 + 𝑁𝜌 𝑚 𝜇 𝑚 𝜇 ℎ + 𝑁𝜇 𝑚 2 𝜇 ℎ ) 𝑏 6 = 𝜌 ℎ 𝑏 7 = −𝜇 ℎ − 1 𝑏 8 = 1 − 𝛾 ℎ 𝑏 9 = −𝜇 ℎ 𝑏 10 = − 𝑏𝛽 𝑚 𝑁 2 𝜇 𝑚 𝐸𝐶 𝑁𝛽 𝑚 𝜌 ℎ 𝑏(𝑀𝑏𝛽 ℎ 𝜌 𝑚 + 𝑁𝜌 𝑚 𝜇 𝑚 𝜇 ℎ + 𝑁𝜇 𝑚 2 𝜇 ℎ ) 𝑏 11 = − 𝑏𝛽 𝑚 (𝑁𝜇 ℎ (𝑀𝑏 2 𝛽 ℎ 𝜌 𝑚 𝛽 𝑚 − 𝜇 𝑚 𝐴)) 𝑁𝛽 𝑚 𝑏(𝜇 ℎ + 1)(𝑀𝑏𝛽 ℎ 𝜌 𝑚 𝐶 + 𝐴 − 𝐵) − 𝜇 𝑚 𝑏 12 = 𝑏𝛽 𝑚 𝑁 2 𝜇 𝑚 𝐸𝐶 𝑁𝛽 𝑚 𝜌 ℎ 𝑏(𝑀𝑏𝛽 ℎ 𝜌 𝑚 + 𝑁𝜌 𝑚 𝜇 𝑚 𝜇 ℎ + 𝑁𝜇 𝑚 2 𝜇 ℎ ) 𝑏 13 = 𝑏𝛽 𝑚 (𝑁𝜇 ℎ (𝑀𝑏 2 𝛽 ℎ 𝜌 𝑚 𝛽 𝑚 − 𝜇 𝑚 𝐴)) 𝑁𝛽 𝑚 𝑏(𝜇 ℎ + 1)(𝑀𝑏𝛽 ℎ 𝜌 𝑚 𝐶 + 𝐴 − 𝐵)
𝑏 14 = −𝜌 𝑚 − 𝜇 𝑚 𝑏 15 = 𝜌 𝑚 𝑏 16 − 𝜇 𝑚
Dari  Matriks  Jacobian  di  titik ℇ ∗ (𝑆 ℎ ∗ , 𝐸 ℎ ∗ , 𝐼 ℎ ∗ , 𝑅 ℎ ∗ , 𝑆 𝑚 ∗ , 𝐸 𝑚 ∗ , 𝐼 𝑚 ∗ ) ,  kita  peroleh  persamaan  karakteristik polynomial sebagai berikut :
𝑃𝑜𝑙(𝑋 7 ) = 𝑐 0 𝑥 7 + 𝑐 1 𝑥 6 + 𝑐 2 𝑥 5 + 𝑐 3 𝑥 4 + 𝑐 4 𝑥 3 + 𝑐 5 𝑥 2 + 𝑐 6 𝑥 + 𝑐 7 (3)
Dimana,
𝑐 0 = 1 𝑐 1 = −𝑏 16 − 𝑏 14 − 𝑏 11 − 𝑏 9 − 𝑏 7 − 𝑏 4 − 𝑏 1 𝑐 2 = 𝑏 1 𝑏 11 + 𝑏 1 𝑏 14 + 𝑏 1 𝑏 16 + 𝑏 1 𝑏 4 + 𝑏 1 𝑏 7 + 𝑏 1 𝑏 9 + 𝑏 11 𝑏 14 + 𝑏 11 𝑏 16 + 𝑏 11 𝑏 4 + 𝑏 11 𝐵 7 + 𝑏 11 𝑏 9 + 𝑏 14 𝑏 16 + 𝑏 14 𝑏 4 + 𝑏 15 𝑏 7 + 𝑏 14 𝑏 9 + 𝑏 16 𝑏 4 + 𝑏 16 𝑏 7 + 𝑏 16 𝑏 9 + 𝑏 4 𝑏 7 + 𝑏 4 𝑏 9 + 𝑏 7 𝑏 9 𝑐 3 = −𝑏 1 𝑏 11 𝑏 14 − (𝑏 1 𝑏 11 + 𝑏 1 𝑏 14 + 𝑏 11 𝑏 14 )(𝑏 16 + 𝑏 4 + 𝑏 7 + 𝑏 9 ) − (𝑏 1 𝑏 16 + 𝑏 11 𝑏 16 + 𝑏 14 𝑏 16 )(𝑏 4 + 𝑏 7 + 𝑏 9 ) − (𝑏 1 𝑏 4 + 𝑏 11 𝑏 4 + 𝑏 14 𝑏 4 + 𝑏 16 𝑏 4 )(𝑏 7 + 𝑏 9 ) − (𝑏 1
+ 𝑏 11 +𝑏 14 + 𝑏 16 + 𝑏 4 )𝑏 7 𝑏 9
𝑐 4 = 𝑏 1 𝑏 11 𝑏 14 𝑏 16 + (𝑏 1 𝑏 11 𝑏 14 )(𝑏 16 + 𝑏 4 + 𝑏 7 + 𝑏 9 ) + (𝑏 1 𝑏 11 𝑏 16 + 𝑏 1 𝑏 14 𝑏 16 + 𝑏 11 𝑏 14 𝑏 16 )(𝑏 4 + 𝑏 7 + 𝑏 9 ) + (𝑏 1 𝑏 11 𝑏 4 + 𝑏 4 + 𝑏 1 𝑏 14 𝑏 4 + 𝑏 11 𝑏 14 𝑏 4 + 𝑏 11 𝑏 16 𝑏 4 + 𝑏 1 𝑏 16 𝑏 4 + 𝑏 1 4𝑏 16 𝑏 4 )(𝑏 7 + 𝑏 9 ) + (𝑏 1 𝑏 16 + 𝑏 1 𝑏 14 + 𝑏 11 𝑏 14 + 𝑏 11 𝑏 16 + 𝑏 14 𝑏 16 + 𝑏 11 𝑏 4 + 𝑏 14 𝑏 4 + 𝑏 16 𝑏 4 + 𝑏 1 𝑏 4 )𝑏 7 𝑏 9 − 𝑏 12 𝑏 15 𝑏 5 𝑏 6
𝑐 5 = −(𝑏 1 𝑏 11 𝑏 14 𝑏 16 (𝑏 4 + 𝑏 7 + 𝑏 9 )(𝑏 1 𝑏 11 𝑏 14 + 𝑏 1 𝑏 11 𝑏 4 + 𝑏 1 𝑏 14 𝑏 16 + 𝑏 1 𝑏 14 𝑏 4 +𝑏 1 𝑏 16 𝑏 4 + 𝑏 11 𝑏 14 𝑏 4 + 𝑏 11 𝑏 16 𝑏 4 + 𝑏 16 𝑏 14 𝑏 4 )𝑏 7 𝑏 9 − (𝑏 1 𝑏 11 𝑏 14 𝑏 4 + 𝑏 1 𝑏 11 𝑏 16 𝑏 4 + 𝑏 1 𝑏 14 𝑏 16 𝑏 4 + 𝑏 11 𝑏 14 𝑏 16 𝑏 4 )(𝑏 7 + 𝑏 9 ) + 𝑏 1 𝑏 12 𝑏 15 𝑏 5 𝑏 6 − 𝑏 10 𝑏 13 𝑏 15 𝑏 5 𝑏 6 + 𝑏 11 𝑏 12 𝑏 15 𝑏 5 𝑏 6 − 𝑏 2 𝑏 12 𝑏 15 𝑏 3 𝑏 6 + 𝑏 5 𝑏 12 𝑏 15 𝑏 9 𝑏 6 𝑐 6 = (𝑏 1 𝑏 10 𝑏 15 𝑏 13 + 𝑏 1 𝑏 11 𝑏 15 𝑏 12 )(𝑏 5 𝑏 6 ) + 𝑏 1 𝑏 11 𝑏 14 𝑏 16 𝑏 4 (𝑏 7 + 𝑏 9 )+(𝑏 1 𝑏 11 𝑏 14 𝑏 4 + 𝑏 1 𝑏 11 𝑏 16 𝑏 4 + 𝑏 1 𝑏 14 𝑏 16 𝑏 4 + 𝑏 11 𝑏 14 𝑏 16 𝑏 4 )𝑏 7 𝑏 9 − 𝑏 1 𝑏 12 𝑏 15 𝑏 9 𝑏 5 𝑏 6 𝑏 2 𝑏 10 𝑏 15 𝑏 13 𝑏 3 𝑏 6 − 𝑏 11 𝑏 12 𝑏 15 𝑏 9 𝑏 5 𝑏 6 + 𝑏 12 𝑏 2 𝑏 15 𝑏 3 𝑏 9 𝑏 6 𝑐 7 = −𝑏 9 (𝑏 1 𝑏 10 𝑏 15 𝑏 13 𝑏 5 𝑏 6 − 𝑏 1 𝑏 11 𝑏 15 𝑏 12 𝑏 5 𝑏 6 + 𝑏 1 𝑏 11 𝑏 14 𝑏 16 𝑏 4 𝑏 7 − 𝑏 10 𝑏 15 𝑏 13 𝑏 3 𝑏 6 +𝑏 11 𝑏 15 𝑏 12 𝑏 3 𝑏 6 Dari persamaan (3) , digunakan metode Routh Hurwitz (Ndendya, et al., 2023) untuk menganalisis kestabilan local titik endemik . Matriks Hurwitz pada persamaan (3) sebagai berikut,
𝐻 = ( 𝑐 1 𝑐 0 0 0 𝑐 3 𝑐 2 𝑐 1 𝑐 0 𝑐 5 𝑐 4 𝑐 3 𝑐 2 𝑐 7 𝑐 6 𝑐 5 𝑐 4 )     (4)
Determinan matriks Hurwitz (4) yang pertama, |𝐻 1 | = |𝑐 1 | |𝐻 1 | = −𝑏 16 − 𝑏 14 − 𝑏 11 − 𝑏 9 − 𝑏 7 − 𝑏 4 − 𝑏 1 Karena 𝑏 16 , 𝑏 14 , 𝑏 11 , 𝑏 9 , 𝑏 7 , 𝑏 4 , 𝑏 1 < 0 maka |𝐻 1 | bernilai positif Determinan matriks Hurwitz (4) yang kedua,
|𝐻 2 | = |( 𝑐 1 𝑐 0 𝑐 3 𝑐 2 )|
|𝐻 2 | = −𝑘 − (−𝑘 − 𝜇 𝑚 ) − (− 𝜇 ℎ (𝑀𝑏 2 𝛽 ℎ 𝜌 𝑚 𝜌 ℎ 𝛽 𝑚 −𝜇 𝑚 𝐴) 𝐶(𝑀𝑏𝛽 ℎ 𝜌 𝑚 +𝑁𝜌 𝑚 𝜇 𝑚 𝜇 ℎ +𝑁𝜇 𝑚 2 𝜇 ℎ )(𝜇 ℎ +1) − 𝜇 𝑚 ) − (−𝜇) − (−𝜇 − 1) −
(−𝜌 − 𝜇) − (− 𝜇 ℎ (𝑀𝑏 2 𝛽 ℎ 𝜌 𝑚 𝜌 ℎ 𝛽 𝑚 −𝜇 𝑚 𝐴) 𝑁𝜇 𝑚 𝐶(𝑏𝜇 ℎ 𝜌 𝑚 𝛽 𝑚 + 𝐷 𝛽ℎ𝑏 )(𝜇 ℎ +1) − 𝜇) |𝐻 2 | = 2𝜇 𝑚 + 𝜇 ℎ (𝑀𝑏 2 𝛽 ℎ 𝜌 𝑚 𝜌 ℎ 𝛽 𝑚 − 𝜇 𝑚 𝐴) 𝐶(𝑀𝑏𝛽 ℎ 𝜌 𝑚 + 𝑁𝜌 𝑚 𝜇 𝑚 𝜇 ℎ + 𝑁𝜇 𝑚 2 𝜇 ℎ )(𝜇 ℎ + 1) + 4𝜇 ℎ + 1 + 𝜌 ℎ + 𝜇 ℎ (𝑀𝑏 2 𝛽 ℎ 𝜌 𝑚 𝜌 ℎ 𝛽 𝑚 − 𝜇 𝑚 𝐴) 𝑁𝜇 𝑚 𝐶 (𝑏𝜇 ℎ 𝜌 𝑚 𝛽 𝑚 + 𝐷 𝛽 ℎ 𝑏 ) (𝜇 ℎ + 1)
Matriks Hurwitz bernilai positif jika,
𝑀𝑏 2 𝛽 ℎ 𝜌 𝑚 𝜌 ℎ 𝛽 𝑚 − 𝜇 𝑚 𝐴 > 0
𝑀𝑏 2 𝛽 ℎ 𝜌 𝑚 𝜌 ℎ 𝛽 𝑚 − 𝜇 𝑚 2 𝛽 𝑚 𝜌 ℎ 𝑁𝑀𝐷 ℜ 0 2 > 0 𝑀𝑏 2 𝛽 ℎ 𝜌 𝑚 𝜌 ℎ 𝛽 𝑚 > 𝜇 𝑚 2 𝛽 𝑚 𝜌 ℎ 𝑁𝑀𝐷
ℜ 0 2
50  | Arista Fitri Diana, Muhammad Ibnu Hajar, Zakaria Bani Ikhtiyar, Lathifatul Aulia- Analisis Kestabilan Lokal Model Transmisi ...
ℜ 0 2 > 𝜇 𝑚 2 𝛽 𝑚 𝜌 ℎ 𝑁𝑀𝐷 𝑀𝑏 2 𝛽 ℎ 𝜌 𝑚 𝜌 ℎ 𝛽 𝑚 ℜ 0 2 > 𝜇 𝑚 2 𝑁𝐷 𝑏 2 𝛽 ℎ 𝜌 𝑚 ℜ 0 > 𝜇 𝑚 2 𝑁𝐷 𝑏 2 𝛽 ℎ 𝜌 𝑚 ℜ 0 > 1
Terbukti bahwa solusi titik endemik bernilai negatif jika determinan matriks Hurwitz bernilai positif. Kondisi  tersebut  memenuhi  syarat  bahwa  titik  kesetimbangan  endemik  stabil  asimtotik  lokal  jika ℜ 0 > 1 .
Theorem 5.2  Let ℜ 0 = (√ 𝜇 𝑚 𝛽 𝑚 𝜌 ℎ 𝑁𝑀𝛽 ℎ 𝑏𝜇 𝑚 (𝜇 ℎ 2 +𝜇 ℎ 𝜌 ℎ +𝜇 ℎ +𝜌 ℎ ) 𝑁𝜇 𝑚 (𝜌 𝑚 𝜇 ℎ 2 +𝜌 𝑚 𝜇 ℎ 𝜌 ℎ +𝜇 𝑚 𝜇 ℎ 2 +𝜇 𝑚 𝜇 ℎ 𝜌 ℎ +𝜌 𝑚 𝜇 ℎ +𝜌 𝑚 𝜌 ℎ +𝜇 𝑚 𝜇 ℎ +𝜇 𝑚 𝜌 ℎ ) ), the disease free equilibrium will be locally asymptotically stable  if ℜ 0 < 1 and unstable if ℜ 0 > 1 . Bukti.
Untuk membuktikan titik bebas penyakit stabil jika ℜ 0 < 1 , kita gunakan persamaan karakteristik polynomial. Langkah awal yaitu linearisasi dari system persamaan (1).
𝑑 𝑑𝑡
[ 𝑆 ℎ 𝐸 ℎ 𝐼 ℎ 𝑅 ℎ 𝑆 𝑚 𝐸 𝑚 𝐼 𝑚 ] = [ 𝜕𝑓 1 𝜕𝑆 ℎ 𝜕𝑓 1 𝜕𝐸 ℎ 𝜕𝑓 1 𝜕𝐼 ℎ 𝜕𝑓 1 𝜕𝑅 ℎ 𝜕𝑓 1 𝜕𝑆 𝑚 𝜕𝑓 1 𝜕𝐸 𝑚 𝜕𝑓 1 𝜕𝐼 𝑚 𝜕𝑓 2 𝜕𝑆 ℎ 𝜕𝑓 2 𝜕𝐸 ℎ 𝜕𝑓 2 𝜕𝐼 ℎ 𝜕𝑓 2 𝜕𝑅 ℎ 𝜕𝑓 2 𝜕𝑆 𝑚 𝜕𝑓 2 𝜕𝐸 𝑚 𝜕𝑓 2 𝜕𝐼 𝑚 𝜕𝑓 3 𝜕𝑆 ℎ 𝜕𝑓 3 𝜕𝐸 ℎ 𝜕𝑓 3 𝜕𝐼 ℎ 𝜕𝑓 3 𝜕𝑅 ℎ 𝜕𝑓 3 𝜕𝑆 𝑚 𝜕𝑓 3 𝜕𝐸 𝑚 𝜕𝑓 3 𝜕𝐼 𝑚 𝜕𝑓 4 𝜕𝑆 ℎ 𝜕𝑓 4 𝜕𝐸 ℎ 𝜕𝑓 4 𝜕𝐼 ℎ 𝜕𝑓 4 𝜕𝑅 ℎ 𝜕𝑓 4 𝜕𝑆 𝑚 𝜕𝑓 4 𝜕𝐸 𝑚 𝜕𝑓 4 𝜕𝐼 𝑚 𝜕𝑓 5 𝜕𝑆 ℎ 𝜕𝑓 5 𝜕𝐸 ℎ 𝜕𝑓 5 𝜕𝐼 ℎ 𝜕𝑓 5 𝜕𝑅 ℎ 𝜕𝑓 5 𝜕𝑆 𝑚 𝜕𝑓 5 𝜕𝐸 𝑚 𝜕𝑓 5 𝜕𝐼 𝑚 𝜕𝑓 6 𝜕𝑆 ℎ 𝜕𝑓 6 𝜕𝐸 ℎ 𝜕𝑓 6 𝜕𝐼 ℎ 𝜕𝑓 6 𝜕𝑅 ℎ 𝜕𝑓 6 𝜕𝑆 𝑚 𝜕𝑓 6 𝜕𝐸 𝑚 𝜕𝑓 6 𝜕𝐼 𝑚 𝜕𝑓 7 𝜕𝑆 ℎ 𝜕𝑓 7 𝜕𝐸 ℎ 𝜕𝑓 7 𝜕𝐼 ℎ 𝜕𝑓 7 𝜕𝑅 ℎ 𝜕𝑓 7 𝜕𝑆 𝑚 𝜕𝑓 7 𝜕𝐸 𝑚 𝜕𝑓 7 𝜕𝐼 𝑚 ] (𝑆 ℎ0 , 𝐸 ℎ0 , 𝐼 ℎ0 , 𝑅 ℎ0 , 𝑆 𝑚0 , 𝐸 𝑚0 , 𝐼 𝑚0 ) ,
[ 𝑆 ℎ ̅̅̅ 𝐸 ℎ ̅̅̅ 𝐼 ℎ ̅ 𝑅 ℎ ̅̅̅̅ 𝑆 𝑚 ̅̅̅̅ 𝐸 𝑚 ̅̅̅̅ 𝐼 𝑚 ̅̅̅ ]
Selanjutnya dengan apliakasi maple kita peroleh :
𝑑 𝑑𝑡 [ 𝑆 ℎ 𝐸 ℎ 𝐼 ℎ 𝑅 ℎ 𝑆 𝑚 𝐸 𝑚 𝐼 𝑚 ] = [ − 𝑏𝛽 ℎ 𝐼 𝑚 𝑁 − 𝜇 ℎ 0 0 0 0 0 − 𝑏𝛽 ℎ 𝑆 ℎ 𝑁 𝑏𝛽 ℎ 𝐼 𝑚 𝑁 −𝜇 ℎ − 𝜌 ℎ 0 0 0 0 𝑏𝛽 ℎ 𝑆 ℎ 𝑁 0 𝜌 ℎ −𝜇 ℎ − 1 0 0 0 0 0 0 1 − 𝛾 ℎ −𝜇 ℎ 0 0 0 0 0 − 𝑏𝛽 𝑚 𝑆 𝑚 𝑁 0 − 𝑏𝛽 𝑚 𝐼 ℎ 𝑁 − 𝜇 𝑚 0 0 0 0 𝑏𝛽 𝑚 𝑆 𝑚 𝑁 0 𝑏𝛽 𝑚 𝐼 ℎ 𝑁 −𝜌 𝑚 − 𝜇 𝑚 0
0 0 0 0 0 𝜌 𝑚 −𝜇 𝑚 ] , [ 𝑆 ℎ ̅̅̅ 𝐸 ℎ ̅̅̅ 𝐼 ℎ ̅ 𝑅 ℎ ̅̅̅̅ 𝑆 𝑚 ̅̅̅̅ 𝐸 𝑚 ̅̅̅̅ 𝐼 𝑚 ̅̅̅ ] (5)
Kemudian  substitusikan  titik  non-endemik  ke  persamaan  (5)  dan  kita  peroleh  Matriks  Jacobian  di titik ℇ 0 (𝑆 ℎ0 , 𝐸 ℎ0 , 𝐼 ℎ0 , 𝑅 ℎ0 , 𝑆 𝑚0 , 𝐸 𝑚0 , 𝐼 𝑚0 ) = (𝑁, 0,0,0, 𝑀 𝜇 𝑚 , 0,0) sebagai berikut :
𝐽(ℇ 0 ) =
( −𝜇 ℎ 0 0
0 0 0 −𝑏𝛽 ℎ 0 −𝜇 ℎ − 𝜌 ℎ 0 0 0 0 𝑏𝛽 ℎ 0 𝜌 ℎ −𝜇 ℎ − 1 0 0 0 0 0 0 1 − 𝛾 ℎ −𝜇 ℎ 0 0 0 0 0 − 𝑏𝛽 𝑚 𝑀 𝜇 𝑚 𝑁 0 −𝜇 𝑚 0 0
0 0 𝑏𝛽 𝑚 𝑀 𝜇 𝑚 𝑁 0 𝑏𝛽 𝑚 𝐼 ℎ 𝑁 −𝜌 𝑚 − 𝜇 𝑚 0 0 0 0 0 0 𝜌 𝑚 −𝜇 𝑚 ) (6)
Dari Matriks Jacobian (6) kita peroleh persamaan karakteristik polynomial sebagai berikut :
𝑃(𝑋 6 ) = − 1 𝑁𝑀 (𝜇 ℎ + 𝑥) 2 (𝜇 𝑚 + 𝑥)(𝑀𝑏 2 𝛽 ℎ 𝜌 𝑚 𝜌 ℎ 𝛽 𝑚 − 𝑁𝜌 𝑚 𝜇 𝑚 2 𝜇 ℎ 2 − 𝑁𝜌 𝑚 𝜇 𝑚 2 𝜇 ℎ 𝜌 𝑚 − 2𝑁𝜌 ℎ 𝜇 𝑚 2 𝜇 ℎ 𝑥 − 𝑁𝜌 𝑚 𝜇 𝑚 2 𝜌 𝑚 𝑥 − 𝑁𝜌 𝑚 𝜇 𝑚 2 𝑥 2 − 𝑁𝜌 𝑚 𝜇 𝑚 𝜇 ℎ 2 𝑥 − 𝑁𝜌 𝑚 𝜇 𝑚 𝜇 ℎ 𝜌 𝑚 𝑥 − 2𝑁𝜌 ℎ 𝜇 𝑚 2 𝜇 ℎ 𝑥 2 − 𝑁𝜌 𝑚 𝜇 𝑚 𝜌 𝑚 𝑥 2 − 𝑁𝜌 𝑚 𝜇 𝑚 𝑥 3 − 𝑁𝜇 𝑚 3 𝜇 ℎ 2 − 𝑁𝜇 𝑚 3 𝜇 ℎ 𝜌 ℎ − 2𝑁𝜇 𝑚 3 𝜇 ℎ 𝑥 − 𝑁𝜇 𝑚 3 𝜌 ℎ 𝑥 − 𝑁𝜇 𝑚 3 𝑥 2 − 2𝑁𝜇 𝑚 2 𝜇 ℎ 2 𝑥 − 2𝑁𝜇 𝑚 2 𝜇 ℎ 𝜌 ℎ 𝑥 − 4𝑁𝑚 2 𝜇 ℎ 𝑥 2 − 2𝑁𝜇 𝑚 2 𝜌 ℎ 𝑥 2 − 2𝑁𝜇 ℎ 2 𝑥 3 − 𝑁𝜇 𝑚 𝜇 ℎ 2 𝑥 2 − 𝑁𝜇 𝑚 𝜇 ℎ 𝜌 ℎ 𝑥 2 − 2𝑁𝜇 𝑚 𝜇 ℎ 𝑥 3 − 𝑁𝜇 𝑚 𝜌 ℎ 𝑥 3 − 𝑁𝜇 𝑚 𝑥 4 − 𝑁𝜌 𝑚 𝜇 𝑚 2 𝜇 ℎ − 𝑁𝜌 𝑚 𝜇 𝑚 2 𝜌 ℎ − 𝑁𝜌 𝑚 𝜇 𝑚 2 𝑥 − 𝑁𝜌 𝑚 𝜇 𝑚 𝜇 ℎ 𝑥 − 𝑁𝜌 𝑚 𝜇 𝑚 𝑥 2 − 𝑁𝜇 𝑚 3 𝜇 ℎ − 𝑁𝜇 𝑚 3 𝜌 ℎ − 𝑁𝜇 𝑚 3 𝑥 − 2𝑁𝜇 𝑚 2 𝜇 ℎ 𝑥 − 2𝑁𝜇 𝑚 2 𝜌 ℎ 𝑥 − 2𝑁𝜇 𝑚 2 𝑥 2 − 𝑁𝜇 𝑚 𝜇 𝑥 ℎ 2 2 − 𝑁𝜇 𝑚 𝜌 ℎ 𝑥 2 − 𝑁𝜇 𝑚 𝑥 3 (7)
Sistem persamaan pada model (1) akan stabil asismtotik lokal jika akar dari persamaan karakteristik polynomial  (7)  di  titik  bebas  penyakit,  bernilai  negatif.  Dari  persamaan (7), kita  peroleh  2  akar sebagai berikut :
𝑥 1 = −𝜇 ℎ 𝑥 2 = −𝜇 𝑚
Selanjutnya untuk mengetahui solusi akar persamaan karakteristik yang lain, kita gunakan persamaan polynomial berikut :
𝑃(𝑋 6 ) = 𝑎 0 𝑥 4 + 𝑎 1 𝑥 3 + 𝑎 2 𝑥 2 + 𝑎 3 𝑥 + 𝑎 4 Dengan,
𝑎 0 = 1 𝑎 1 = 𝜌 𝑚 + 2𝜇 𝑚 + 𝜌 ℎ + 1 𝑎 2 = 𝜌 𝑚 𝜇 𝑚 + 2𝜌 𝑚 𝜇 ℎ + 𝜌 𝑚 𝜌 ℎ + 𝜇 𝑚 2 + 4𝜇 𝑚 𝜇 ℎ + 2𝜇 𝑚 𝜌 ℎ + 𝜇 ℎ 2 + 𝜇 ℎ 𝜌 ℎ + 𝜌 𝑚 + 2𝜇 𝑚 + 𝜇 ℎ + 𝜌 ℎ 𝑎 3 = 2𝜌 𝑚 𝜇 𝑚 𝜇 ℎ + 𝜌 𝑚 𝜇 𝑚 𝜌 ℎ + 𝜌 𝑚 𝜇 ℎ 2 + +𝜌 𝑚 𝜇 ℎ 𝜌 ℎ + 2𝜇 𝑚 2 𝜇 ℎ + 𝜇 𝑚 2 𝜌 ℎ + 2𝜇 𝑚 𝜇 ℎ 2 + 2𝜇 𝑚 𝜇 ℎ 𝜌 ℎ + 𝜌 𝑚 𝜇 ℎ + 𝜌 𝑚 𝜌 ℎ + 𝜇 𝑚 2 + 2𝜇 𝑚 𝜇 ℎ + 2𝜇 𝑚 𝜌 ℎ 𝑎 4 = − 1 𝑁𝑀 (𝑀𝑏 2 𝛽 ℎ 𝜌 𝑚 𝜌 ℎ 𝛽 𝑚 − 𝜌 𝑚 𝜇 ℎ 2 − 𝜌 𝑚 𝜇 ℎ 𝜌 ℎ − 𝜇 𝑚 𝜇 ℎ 2 − 𝜇 𝑚 𝜇 ℎ 𝜌 ℎ − 𝜌 𝑚 𝜇 ℎ − 𝜌 𝑚 𝜌 ℎ − 𝜇 𝑚 𝜇 ℎ − 𝜇 𝑚 𝜌 ℎ )
Diperoleh solusi persamaan karakterikstik (7) sebagai berikut:
𝑥 3 + 𝑥 4 + 𝑥 5 + 𝑥 6 = − 𝑎 1 𝑎 0 = − 𝜌 𝑚 + 2𝜇 𝑚 + 𝜌 ℎ + 1
52  | Arista Fitri Diana, Muhammad Ibnu Hajar, Zakaria Bani Ikhtiyar, Lathifatul Aulia- Analisis Kestabilan Lokal Model Transmisi ...
𝑥 3 . 𝑥 4 +𝑥 3 . 𝑥 5 + 𝑥 3 . 𝑥 6 + 𝑥 4 . 𝑥 5 + 𝑥 4 . 𝑥 6 + 𝑥 5 . 𝑥 6 = 𝑎 2 𝑎 0 = 𝜌 𝑚 𝜇 𝑚 + 2𝜌 𝑚 𝜇 ℎ + 𝜌 𝑚 𝜌 ℎ + 𝜇 𝑚 2 + 4𝜇 𝑚 𝜇 ℎ + 2𝜇 𝑚 𝜌 ℎ + 𝜇 ℎ 2 + 𝜇 ℎ 𝜌 ℎ + 𝜌 𝑚 + 2𝜇 𝑚 + 𝜇 ℎ + 𝜌 ℎ 1
𝑥 3 . 𝑥 4 . 𝑥 5 + 𝑥 3 . 𝑥 4 . 𝑥 6 + 𝑥 4 . 𝑥 5 . 𝑥 6 = − 𝑎 3 𝑎 0 = − 2𝜌 𝑚 𝜇 𝑚 𝜇 ℎ + 𝜌 𝑚 𝜇 𝑚 𝜌 ℎ + 𝜌 𝑚 𝜇 ℎ 2 + +𝜌 𝑚 𝜇 ℎ 𝜌 ℎ + 2𝜇 𝑚 2 𝜇 ℎ + 𝜇 𝑚 2 𝜌 ℎ + 2𝜇 𝑚 𝜇 ℎ 2 + 2𝜇 𝑚 𝜇 ℎ 𝜌 ℎ + 𝜌 𝑚 𝜇 ℎ + 𝜌 𝑚 𝜌 ℎ + 𝜇 𝑚 2 + 2𝜇 𝑚 𝜇 ℎ + 2𝜇 𝑚 𝜌 ℎ 1
𝑥 3 . 𝑥 4 . 𝑥 5 . 𝑥 6 = 𝑎 4 𝑎 0 = − 1 𝑁𝑀 (𝑀𝑏 2 𝛽 ℎ 𝜌 𝑚 𝜌 ℎ 𝛽 𝑚 − 𝜌 𝑚 𝜇 ℎ 2 − 𝜌 𝑚 𝜇 ℎ 𝜌 ℎ − 𝜇 𝑚 𝜇 ℎ 2 − 𝜇 𝑚 𝜇 ℎ 𝜌 ℎ − 𝜌 𝑚 𝜇 ℎ − 𝜌 𝑚 𝜌 ℎ − 𝜇 𝑚 𝜇 ℎ − 𝜇 𝑚 𝜌 ℎ )
Solusi akar persamaan (7) bernilai negatif jika,
− 1 𝑁𝑀 (𝑀𝑏 2 𝛽 ℎ 𝜌 𝑚 𝜌 ℎ 𝛽 𝑚 − 𝜌 𝑚 𝜇 ℎ 2 − 𝜌 𝑚 𝜇 ℎ 𝜌 ℎ − 𝜇 𝑚 𝜇 ℎ 2 − 𝜇 𝑚 𝜇 ℎ 𝜌 ℎ − 𝜌 𝑚 𝜇 ℎ − 𝜌 𝑚 𝜌 ℎ − 𝜇 𝑚 𝜇 ℎ − 𝜇 𝑚 𝜌 ℎ ) > 0 − 1 𝑁𝑀 (𝑀𝑏 2 𝛽 ℎ 𝜌 𝑚 𝜌 ℎ 𝛽 𝑚 − 𝐴 𝑁𝜇 𝑚 ) > 0 − 1 𝑁𝑀 (𝑀𝑏 2 𝛽 ℎ 𝜌 𝑚 𝜌 ℎ 𝛽 𝑚 − 𝜇 𝑚 𝛽 𝑚 𝜌 ℎ 𝑁𝑀𝐷 ℜ 0 2 𝑁𝜇 𝑚 ) > 0 𝑀𝑏 2 𝛽 ℎ 𝜌 𝑚 𝜌 ℎ 𝛽 𝑚 < 𝜇 𝑚 𝛽 𝑚 𝜌 ℎ 𝑁𝑀𝐷 𝑁𝜇 𝑚 ℜ 0 2 𝑀𝑏 2 𝛽 ℎ 𝜌 𝑚 𝜌 ℎ 𝛽 𝑚 ℜ 0 2 < 𝛽 𝑚 𝜌 ℎ 𝑀𝐷 ℜ 0 2 < 𝛽 𝑚 𝜌 ℎ 𝑀𝐷 𝑀𝑏 2 𝛽 ℎ 𝜌 𝑚 𝜌 ℎ 𝛽 𝑚 ℜ 0 2 < 𝐷 𝑏 2 𝛽 ℎ 𝜌 𝑚 ℜ 0 < √ 𝐷 𝑏 2 𝛽 ℎ 𝜌 𝑚
Karena 0 ≤ 𝐷 ≤ 1 dan 𝑏 ≥ 1 maka, ℜ 0 < 1
Terbukti  bahwa  titik  kesetimbangan  bebas  penyakit  akan  stabil  asimtotik  local  jika  nilai ℜ 0 < 1 . Lebih jauh lagi, pada kasus ini menjelaskan bahwa, jika kondisi titik bebas penyakit stabil, artinya penyebaran penyakit DBD masih terkontrol.

## 3. HASIL DAN PEMBAHASAN
Dengan  menggunakan  software  Maple  versi  “Maple  15”  dan  data  dari  referensi  jurnal  (R. Pandey  et  al.,  2023),  dilakukan  simulasi  numerik  model  (1),  dengan  kondisi  awal 𝑆 ℎ (0) = 3.000.000, 𝐸 ℎ (0) = 200000, 𝐼 ℎ (0) = 10000, 𝑅 ℎ (0) = 9000, 𝐷 ℎ (0) = 2000, 𝑆 𝑚 (0) = 5000, 𝐸 𝑚 (0) = 4000, 𝐼 𝑚 (0) = 3500 dan nilai parameter yang ditunjukkan pada Tabel 2.
Tabel 1. Parameter Values
Notasi Nilai Satuan Referensi 𝝁 𝒉 0,012 day -1 (R. Pandey et al., 2023) 𝜷 𝒉 0,1 day -1 (R. Pandey et al., 2023) 𝝆 𝒉 0,3 day -1 (R. Pandey et al., 2023) 𝜸 𝒉 1,5 day -1 (R. Pandey et al., 2023) 𝝁 𝒎 0,003 day -1 (R. Pandey et al., 2023) 𝜷 𝒎 0,001 day -1 (R. Pandey et al., 2023) 𝝆 𝒎 2,1428 day -1 (R. Pandey et al., 2023) 𝒃 1000 Unit (R. Pandey et al., 2023)
Gambar 2. Model Transmisi Demam Berdarah Dengue
Pada Gambar 1, dengan parameter yang diberikan, simulasi model transmisi dengue menunjukkan nilai 𝕽 𝟎 = 𝟓, 𝟏𝟕𝟑 > 𝟏. Berdasarkan  gambar  tersebut,  kondisi  subpopulasi  manusia  rentan mengalami penurunan karena interaksi dengan subpopulasi nyamuk terinfeksi, sehingga subpopulasi manusia  rentan  menjadi  terpapar,  kemudian  seiring  berjalannya  waktu  akan  menjadi  subpopulasi manusia  terinfeksi.  Dari  simulasi  numerik,  manusia  yang  tertular  lebih  banyak  yang  meninggal dibandingkan  yang  sembuh.  Subpopulasi  manusia  yang  meninggal  meningkat  dan  stabil  seiring waktu.  Hal  ini  menunjukkan  bahwa  terdapat  nyamuk  yang  terinfeksi  dan  menularkan  penyakit tersebut ke lebih dari satu individu manusia dalam jangka waktu tertentu. Oleh karena itu, terdapat sejumlah besar nyamuk yang terinfeksi dari waktu ke waktu yang dapat menyebabkan wabah dalam waktu yang singkat. Sehingga titik kesetimbangan endemic bersifat stabil asimtotik lokal.

## 4. SIMPULAN
Dalam penelitian ini, telah dipelajari model SEIRD-SEI untuk penularan demam berdarah dengue. Model  ini  mencakup  8  subpopulasi  yaitu  manusia  rentan,  manusia  terpapar,  manusia  terinfeksi, manusia  sembuh,  manusia  meninggal,  nyamuk  rentan,  nyamuk  terpapar,  dan  nyamuk  terinfeksi.
Secara  teoritis  terbukti  bahwa  transmisi  virus dengue bergantung  dengan  nilai 𝕽 𝟎 pada  titik kesetimbangan, dan nilainya menentukan kestabilan dari model. Metode Routh Hurwitz merupakan
54  | Arista Fitri Diana, Muhammad Ibnu Hajar, Zakaria Bani Ikhtiyar, Lathifatul Aulia- Analisis Kestabilan Lokal Model Transmisi ...
pendekatan yang digunakan untuk menganalisis kestabilan lokal. Berdasarkan analsis, nilai 𝕽 𝟎 > 𝟏 yang  menunjukkan  bahwa  model  (1)  stabil  asimtotik  lokal  pada  titik  kesetimbangan  endemik. Simulasi  numerik  menggambarkan  perilaku  model  penyebaran  penyakit  DBD.  Adapun  parameter model  di  ambil  dari  referensi  (R.  Pandey et  al., 2023),  dan  diperoleh  nilai 𝕽 𝟎 = 𝟓, 𝟏𝟕𝟑 yang menunjukkan  bahwa  model  penularan  Demam  Berdarah Dengue stabil  asimtotik  lokal  pada  titik kesetimbangan  endemik.  Dengan  mengetahui  bahwa  titik  endemik  bersifat  stabil  maka  dapat dijadikan  sebagai  acuan  untuk  memprediksi  persebaran  penyakit  dalam  jangka  panjang  dan  juga dapat  menentukan  perencanaan  respon  yang  tepat  dalam  menghadapi  wabah  penyakit  demam berdarah dengue yang bersifat endemik.

## 5. DAFTAR PUSTAKA
A. Pardi and A. Agustina. (2023). Analisis Model SIR-ASI Pada Penyakit Demam Berdarah Dengue. Mathematics & Applications Journal, vol 5, no. 1.
B. Wang, X, et al. (2023). Threshold dynamics and optimal control of a dengue epidemic model with time delay and saturated incidence. J. Appl. Math. Comput., vol. 69, no. 1, pp. 871–893.
C. Xu, Y. Yu, G. Ren, Y. Sun, and X. Si. (2023). Stability analysis and optimal control of a fractional- order generalized SEIR model for the COVID-19 pandemic. Appl. Math. Comput., vol. 457, p. 128210.
F.  Nurbaya  and  J.  Pertiwi.  (2019).  Analisis  Penanggulangan  Demam  Berdarah  Dengue  (Dbd)  Di Kabupaten Sragen.  J. Manaj. Inf. dan Adm. Kesehat., vol. 2, no. 2.
G. C. D. Podung, S. N. N. Tatura, and M. F. J. Mantik. (2021). Faktor Risiko Terjadinya Sindroma Syok Dengue pada Demam Berdarah Dengue. J. Biomedik, vol. 13, no. 2, p. 161.
H. R. Pandey, G. R. Phaijoo, and D. B. Gurung. (2023). Analysis of dengue infection transmission dynamics in Nepal using fractional order mathematical modeling. Chaos, Solitons Fractals X, vol. 11.
J.  Z.  Ndendya,  L.  Leandry, and  A.  M.  Kipingu.  (2023).  A  next-generation  matrix  approach  using Routh–Hurwitz  criterion and  quadratic  Lyapunov  function  for modeling  animal  rabies  with infective immigrants.  Healthc. Anal., vol. 4, p. 100260.
Kartono, et al. (2024). Dynamic Modeling And Optimal Control Strategies To Reduce The Spread Of Covid-19. Commun. Math. Biol. Neurosci. ISSN: 2052-2541.
M.  Faid  and  D.  D.  Purwanto.  (2019).  Desain  Sistem  Pakar  Untuk  Mendiagnosa  Penyakit  Demam Berdarah Dengue (DBD). J. Inf. Syst. Hosp. Technol., vol. 1, no. 01, pp. 25–29.
N. Anandika. (2020). Demam Berdarah. p. 38;64.
N. R. Dewi. (2015). Demam Berdarah Dengue. Bul. Jendela Epidemiol., vol. 2, p. 48, 2015,
P. R. Murugadoss, et al. (2023). Analysis of  Dengue Transmission Dynamic Model by Stability and Hopf Bifurcation with Two-Time Delays. Front. Biosci. Landmark, vol. 28, no. 6.