## APLIKASI INTEGRAL UNTUK MEMBUKTIKAN RUMUS KELILING LINGKARAN
Ayyidatul Imaniyah 1 , Keto Susanto 2* , Andika Setyo Budi Lestari 3
1,2,3 Program Studi Pendidikan Matematika, Universitas PGRI Wiranegara, Pasuruan, Indonesia *Penulis Korespondensi. Email: ketosusanto@uniwara.ac.id

## Abstrak
Integral dapat digunakan untuk menentukan beberapa besaran, salah satunya adalah menentukan panjang  kurva  pada  bidang.  Hal  ini  dapat  diaplikasikan  untuk  membuktikan  rumus  keliling lingkaran. Penelitian ini bertujuan untuk menjelaskan cara membuktikan rumus keliling lingkaran dengan  menggunakan  integral  tunggal  yang  dinyatakan  dalam  koordinat  kartesius  maupun koordinat  polar.  Metode  yang  digunakan  dalam  penelitian  ini  adalah  studi  pustaka.  Hasil penelitian  menunjukkan  bahwa  pembuktian  rumus  keliling  lingkaran  dapat  dilakukan  dengan menentukan  turunan  implisit  dari  persamaan  lingkaran.  Selanjutnya,  persamaan  lingkaran  dan turunan  implisit  tersebut  disubstitusikan  ke  dalam  rumus  integral  untuk  menentukan  panjang kurva  yang  dinyatakan  dalam  koordinat  kartesius  maupun  koordinat  polar  sehingga  diperoleh rumus keliling lingkaran.
Kata Kunci: Integral; Keliling Lingkaran; Koordinat Kartesius, Koordinat Polar

## Abstract
Integral can be used to determine several quantities, one of them is to determine the length of a curve in the plane. It can be applied to prove the circumference formula of a circle. This research aims  to  explain  how  to  prove  the  circumference  formula  of  a  circle  using  a  single  integral expressed in both cartesian and polar coordinates. The method used in this research is a study of literature.  The  result  of  this  research  shows  that  proving  the  circumference  of  a  circle  can  be done by determining the implicit derivative of the circle equation. Then, the circle equation and its implicit derivative are substituted into the integral formula for determining the length of the curve  in  both  cartesian  and  polar  coordinates  so  that  the  circumference  formula  of  a  circle  is obtained.
Keywords: Integral; Circumference of a Circle; Cartesian Coordinates; Polar Coordinates

## 1. Pendahuluan
Integral  merupakan  salah  satu  teori  dalam  matematika  yang  penting  dan  tetap  berkembang, baik  secara  teoritis  maupun  penerapan.  Oleh  karena  itu,  integral  menjadi  materi  yang  dianggap perlu untuk dipelajari [1] [2]. Secara umum, terdapat dua konsep integral, yaitu integral tertentu dan integral  tak  tentu  [3].  Dalam  aplikasinya,  integral  tertentu  banyak  digunakan  untuk  menentukan beberapa besaran, di antaranya ialah luas daerah bidang datar, volume dan luas permukaan benda putar, serta panjang kurva pada bidang [4].
Penerapan  integral  dalam  menentukan  panjang  kurva  pada  bidang  dapat  digunakan  untuk membuktikan  rumus  keliling  lingkaran.  Lingkaran  merupakan  himpunan  titik-titik  pada  suatu bidang yang berjarak tetap dari titik tertentu yang disebut sebagai pusat lingkaran [5]. Negoro [6] menyatakan lingkaran sebagai kurva tertutup sederhana, panjang kurva tersebut dinamakan keliling lingkaran.
Penentuan panjang kurva yang memiliki batasan melengkung seperti lingkaran adalah dengan menggunakan  pendekatan  poligon,  yakni  melalui  aproksimasi  kurva  melalui  ruas-ruas  garis
poligon. Akan tetapi, metode ini hanya akan menghasilkan bilangan pendekatan. Oleh karena itu, untuk memperoleh hasil yang akurat, maka aproksimasi tersebut dilanjutkan dengan menjumlahkan panjang  totalnya,  kemudian  menghitung  limit  seiring  bertambahnya  ruas  garis  poligon  tersebut. Dengan  demikian,  keliling  lingkaran  dapat  diartikan  sebagai  limit  dari  panjang  poligon  yang membentuknya [7] [8]. Prosedur ini secara matematis dapat ditulis sebagai metode integral tertentu [9]. Sehingga, dalam penelitian ini rumus keliling lingkaran akan dibuktikan dengan menggunakan integral tertentu, baik dalam koordinat kartesius maupun koordinat polar.
Pada studi awal yang telah dilakukan peneliti untuk menentukan keliling lingkaran, diperoleh hasil bahwa bekerja dalam koordinat polar dinilai lebih mudah bila dibandingkan dalam koordinat kartesius. Hidayati [10] dalam penelitiannya menentukan rumus keliling dan luas lingkaran dengan menggunakan  integral  tunggal.  Akan  tetapi,  penelitian  yang  dilakukan  oleh  Imaniyah  [11]  dan Hidayati  [10]  hanya  melibatkan  lingkaran  yang  berpusat  di  titik (0,0) .  Oleh  karena  itu,  perlu dilakukan  penelitian  lebih  lanjut  terkait  pembuktian  rumus  keliling  lingkaran  pada  pusat (𝑎, 𝑏) dalam  koordinat  kartesius  serta  lingkaran  pada  pusat (𝑟, 𝜃) dalam  koordinat  polar  dengan menggunakan  integral  tunggal.  Berdasarkan  uraian  tersebut,  maka  penelitian  ini  bertujuan  untuk mengetahui bagaimana cara membuktikan rumus keliling lingkaran  dengan menggunakan integral baik dalam koordinat kartesius maupun koordinat polar.

## 2. Metode Penelitian
Penelitian ini merupakan penelitian kualitatif yang mendeskripsikan cara membuktikan rumus keliling lingkaran dengan menggunakan integral. Adapun metode yang digunakan dalam penelitian ini adalah studi pustaka, di mana data diperoleh berdasarkan analisis sumber pustaka yang relevan. Data  yang  dikumpulkan  berupa  definisi  dan  hasil-hasil  yang  telah  dibuktikan  sebelumnya  untuk selanjutnya digunakan dalam pembuktian rumus keliling lingkaran.
Pembuktian  rumus  keliling  lingkaran  dilakukan  menggunakan  integral  tunggal  yang melibatkan  lingkaran  dengan  pusat (0,0) dan (𝑎, 𝑏 )  dalam  koordinat  kartesius  serta  lingkaran dengan pusat (0,0) dan (𝑟, 𝜃) dalam koordinat polar. Prosedur yang digunakan untuk membuktikan rumus  keliling  lingkaran  menggunakan  integral  dalam  koordinat  kartesius  adalah  dengan menentukan  turunan  implisit  dari  persamaan  lingkaran,  kemudian  menyubstitusikannya  ke  dalam rumus  panjang  kurva  pada  bidang.  Demikian  pula  prosedur  yang  digunakan  dalam  membuktikan rumus keliling lingkaran dengan menggunakan integral dalam koordinat polar.

## 3. Hasil dan Pembahasan

## 3.1 Pembuktian Rumus Keliling Lingkaran dengan Integral dalam Koordinat Kartesius
Dalam  membuktikan  rumus  keliling  lingkaran  dengan  menggunakan  integral,  diperlukan turunan  implisit  dari  persamaan  lingkaran  dalam  koordinat  kartesius.  Gambar  keliling  lingkaran yang berpusat di (0,0) pada koordinat kartesius diberikan pada Gambar 1.
𝑂 𝑅 𝑦 𝑥 𝑅
Persamaan lingkaran dengan pusat (0,0) dan berjari-jari 𝑅 dalam koordinat kartesius adalah
𝑥 2 + 𝑦 2 = 𝑅 2 (1)
Dengan menentukan turunan implisit dari persamaan (1), diperoleh
2𝑥 𝑑𝑥 + 2𝑦 𝑑𝑦 = 0 ⇔ 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = − 𝑥 𝑦 (2)
Dapat  dilihat  pada  Gambar  1  bahwa  keliling  lingkaran  adalah  empat  kali  panjang  kurva  pada interval [0, 𝑅] .  Dengan  demikian,  rumus  keliling  lingkaran  dengan  pusat (0,0) menggunakan integral dalam koordinat kartesius ditentukan sebagai berikut.
1 4 𝐾 = ∫ √(𝑑𝑥) 2 + (𝑑𝑦) 2 𝑅 0 = ∫ √1 + ( 𝑑𝑦 𝑑𝑥 ) 2 𝑅 0 𝑑𝑥 (3)
Dengan menyubstitusikan (1) dan (2) ke dalam persamaan (3), diperoleh
1 4 𝐾 = ∫ 1 √1 − ( 𝑥 𝑅 ) 2 𝑅 0 𝑑𝑥 (4)

## Dengan memisalkan
𝑥 𝑅 = sin 𝑢,
(5)
maka
𝑑𝑥 = 𝑅 cos 𝑢 𝑑𝑢 ,
𝑥 = 0 → 𝑢 = 0, dan         𝑥 = 𝑅 → 𝑢 = 𝜋 2 . (6)
Oleh karena itu, persamaan (4) dapat ditulis sebagai
1 4 𝐾 = ∫ 1 √1 − sin 2 𝑢 𝜋 2 0 𝑅 cos 𝑢 𝑑𝑢 = 1 2 𝜋𝑅 (7)
sehingga rumus keliling lingkaran adalah
𝐾 = 2𝜋𝑅
(8)
Keliling  lingkaran  juga  dapat  ditentukan  dengan  merepresentasikan  turunan  implisit  dari persamaan (1) ke dalam bentuk 𝑑𝑥 𝑑𝑦 [9] [8].
2𝑥 𝑑𝑥 + 2𝑦 𝑑𝑦 = 0 ⇔ 𝑑𝑥 𝑑𝑦 = − 𝑦 𝑥 (9)
Berdasarkan  (1)  dan  (9),  rumus  keliling  lingkaran  berpusat  di (0,0) menggunakan  integral  dalam koordinat kartesius adalah
1 4 𝐾 = ∫ 1 √1 − ( 𝑦 𝑅 ) 2 𝑅 0 𝑑𝑦 (10)

## Dengan memisalkan
𝑦 𝑅 = sin 𝑢,
(10)
dengan cara yang sama diperoleh rumus keliling lingkaran seperti pada persamaan (8).
Selanjutnya,  dibuktikan  rumus  keliling  lingkaran  berpusat  di (𝑎, 𝑏), 𝑎, 𝑏 ≠ 0 menggunakan integral.  Gambar  2  adalah  gambar  keliling  lingkaran  dengan  pusat  di (𝑎, 𝑏) pada  koordinat kartesius.
Gambar 2. Keliling lingkaran dengan pusat (𝑎, 𝑏) pada interval [𝑎 − 𝑅, 𝑎 + 𝑅]
Persamaan lingkaran dengan pusat (𝑎, 𝑏), 𝑎, 𝑏 ≠ 0 adalah
(𝑥 − 𝑎) 2 + (𝑦 − 𝑏) 2 = 𝑅 2 (11)
atau
𝑥 2 − 2𝑎𝑥 + 𝑎 2 + 𝑦 2 − 2𝑏𝑦 + 𝑏 2 = 𝑅 2 (12)
Jika persamaan (12) diturunkan secara implisit, diperoleh:
2(𝑥 − 𝑎) 𝑑𝑥 + 2(𝑦 − 𝑏)𝑑𝑦 = 0 ⇔ 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = − 𝑥 − 𝑎 𝑦 − 𝑏 (13)
Dengan  membagi  lingkaran  menjadi  dua  seperti  pada  Gambar  2,  maka  keliling  lingkaran sama  dengan  dua  kali  panjang  kurva  pada  interval [𝑎 − 𝑅, 𝑎 + 𝑅] .  Sehingga,  rumus  keliling lingkaran ditentukan oleh persamaan berikut.
1 2 𝐾 = ∫ √(𝑑𝑥) 2 + (𝑑𝑦) 2 𝑎+𝑅 𝑎−𝑅 𝑑𝑥 = ∫ √1 + ( 𝑑𝑦 𝑑𝑥 ) 2 𝑎+𝑅 𝑎−𝑅 𝑑𝑥. (14)
Persamaan berikut diperoleh dengan menyubstitusikan (11) dan (13) pada (14).
𝑦 𝑥 ( 𝑎 , 𝑏 ) 𝑂 𝑎 − 𝑅 𝑎 + 𝑅 𝑎 𝑏
1 2 𝐾 = ∫ 1 √1 − ( 𝑥−𝑎 𝑅 ) 2 𝑎+𝑅 𝑎−𝑅 𝑑𝑥. (15)
Selanjutnya dilakukan cara  yang sama dengan (5)-(7) dan dengan memisalkan 𝑥−𝑎 𝑅 = sin 𝑢 . maka persamaan (15) menjadi
1 2 𝐾 = ∫ 1 √1 − sin 2 𝑢 𝜋 2 − 𝜋 2 𝑅 cos 𝑢 𝑑𝑢 = 𝜋𝑅, (16)
sehingga diperoleh rumus keliling lingkaran yang sama dengan (8). Rumus keliling lingkaran (11) juga  dapat  diperoleh  dengan  menghitung  panjang  kurva  pada  interval 𝑦 ∈ [𝑏 − 𝑅, 𝑏 + 𝑅] dan memisalkan 𝑦−𝑏 𝑅 = sin 𝑢.

## 3.2 Pembuktian Rumus Keliling Lingkaran dengan Integral dalam Koordinat Polar
Keliling  lingkaran  yang  berpusat  di  titik (0,0) dalam  koordinat  polar  dapat  dilihat  pada Gambar 3.
Gambar 3. Keliling lingkaran dengan pusat (0,0) dalam koordinat polar Dimisalkan 𝑟 adalah jari-jari lingkaran pada koordinat polar. Dengan demikian, 𝑟 = 𝑅 dan
𝑑𝑟 𝑑𝜃 = 0. (17)
Keliling  lingkaran  adalah 4 kali  panjang  kurva  pada  interval [0, 𝜋 2 ] (Gambar  3),  sehingga  dapat ditentukan rumus seperempat keliling lingkaran dengan pusat (0,0) dalam koordinat polar sebagai berikut.
1 4 𝐾 = ∫ √𝑟 2 + ( 𝑑𝑟 𝑑𝜃 ) 2 𝜋 2
0 𝑑𝜃 = ∫ √𝑅 2 + 0 2 𝜋 2 0 𝑑𝜃 = 𝑅 ∫ 𝑑𝜃 𝜋 2 0 = 𝜋 2 𝑅. (18)
Dengan demikian, diperoleh rumus keliling lingkaran yang sama, yakni 𝐾 = 2𝜋𝑅. 0 𝜋 2 𝑂
Selanjutnya, ditentukan rumus keliling lingkaran dengan pusat (𝑟 0 , 𝜃 0 ) dalam koordinat polar dengan 𝑟 0 ≠ 0 dan 𝜃 0 ≠ 0 berturut-urut adalah modulus dan argumen titik pusat lingkaran. Keliling lingkaran dengan pusat (𝑟 0 , 𝜃 0 ) diilustrasikan seperti pada Gambar 4.
Gambar 4. Keliling lingkaran dengan pusat (𝑟 0 , 𝜃 0 ) dalam koordinat polar Pada ilustrasi Gambar 4, dipenuhi
𝑟 = 2𝑅 cos(𝜃 − 𝜃 0 ) (19)
Dengan menentukan turunan implisit dari persamaan (19) diperoleh
𝑑𝑟 𝑑𝜃 = −2𝑅 sin(𝜃 − 𝜃 0 ) (1)
Selanjutnya, rumus keliling lingkaran dengan pusat (𝑟 0 , 𝜃 0 ) ditentukan sebagai berikut.
𝐾 = ∫ √𝑟 2 + ( 𝑑𝑟 𝑑𝜃 ) 2 𝜋 0 𝑑𝜃 = ∫ √4𝑅 2 cos 2 (𝜃 − 𝜃 0 ) + 4𝑅 2 sin 2 (𝜃 − 𝜃 0 ) 𝜋
0 𝑑𝜃 = ∫ √4𝑅 2 cos 2 (𝜃 − 𝜃 0 ) + 4𝑅 2 sin 2 (𝜃 − 𝜃 0 ) 𝜋 0 𝑑𝜃 = ∫ √4𝑅 2 (cos 2 (𝜃 − 𝜃 0 ) + sin 2 (𝜃 − 𝜃 0 )) 𝜋 0 𝑑𝜃 = ∫ √4𝑅 2 𝜋 0 𝑑𝜃 = 2𝑅 ∫ 𝑑𝜃 𝜋 0 = 2𝑅[𝜃] 0 𝜋 = 2𝜋𝑅
Metode pengintegralan dalam menentukan rumus keliling lingkaran dapat dilakukan dengan menggunakan integral tunggal. Prosedur yang ditempuh dapat dilakukan dalam koordinat kartesius maupun koordinat polar. Keduanya memiliki tingkat kesulitan masing-masing. Pembuktian dalam koordinat kartesius membutuhkan teknik pengintegralan yang panjang, sebagaimana yang jelaskan Imaniyah [11]. Sementara itu, sesuai dengan yang dikemukakan oleh Apriandi [12] dan Utari [13],
𝑂 𝐴 ( 𝑟 , 𝜃 ) 𝜃 0 𝑃 ( 𝑟 0 , 𝜃 0 ) 𝜃 − 𝜃 0 𝑅
menggunakan  prosedur  dalam  koordinat  polar  membutuhkan  kecermatan  pada  proses  konversi variabel, penentuan batas, serta penulisan bentuk integrasi dalam koordinat polar.

## 4. Kesimpulan
Integral  dapat  diaplikasikan  untuk  membuktikan  rumus  keliling  lingkaran,  baik  dalam koordinat  kartesius  maupun  koordinat  polar.  Secara  geometris,  lingkaran  dapat  dibagi  menjadi beberapa busur dengan panjang yang sama untuk selanjutnya ditentukan batas-batas integrasi yang tepat.  Prosedur  membuktikan  rumus  keliling  lingkaran  dengan  menggunakan  integral  dalam koordinat  kartesius  yaitu  dengan  menurunkan  persamaan  lingkaran  secara  implisit  dan menggunakan  rumus  panjang  kurva  dengan  integral  tunggal,  yakni 𝐾 = ∫ √(𝑑𝑥) 2 + (𝑑𝑦) 2
𝑏
𝑎 . Demikian  juga  dalam  membuktikan  rumus  keliling  lingkaran  dalam  koordinat  polar.  Persamaan lingkaran  diturunkan  secara  implisit  untuk  selanjutnya  disubstitusikan  ke  dalam  rumus  panjang kurva 𝐾 = ∫ √𝑟 2 + ( 𝑑𝑟 𝑑𝜃 ) 2 𝛽 𝛼 𝑑𝜃 sehingga didapatkan rumus keliling lingkaran (2𝜋𝑅) .

## Referensi
[1] A.  S.  B.  Lestari,  “Analisis  Kesulitan  Mahasiswa  Angkatan  2013  Program  Studi  Pendidikan Matematika  STKIP  PGRI  Pasuruan  pada  Pokok  Bahasan  Teknik  Pen gintegralan,” Jurnal Ilmiah Edukasi & Sosial , vol. 5, no. 1, pp. 1 – 11, 2014.
[2]  K.  Susanto  dan  F. Fuat,  “Karakteristik  Fungs i  Dua  Variabel  Pembentuk  Benda  dalam Menentukan  Volumenya  Menggunakan  Integral  Rangkap  d engan  Shell  Method,” Jurnal Ilmiah Edukasi & Sosial , vol. 5, no. 1, pp. 50 – 54, Sep 2017.
[3]  R.  P.  A.  Astatik,  W.  Wuryanto,  dan  M.  Masrukan “ Aplikasi  Integral  Lipat  Dua  dalam Perhitungan  Volume  Bangun  Ruang  di  R3  d engan  Menggunakan  Program  Maple,” Unnes Journal of Mathematics, vol. 2, no.1, pp. 24 – 31, 2013.
[4]  M. H. Baisuni, Kalkulus . Jakarta: UI Press, 1986.
[5]  D.  C.  Alexander  dan  G.  M.  Koeberlein, Elementary  Geometry  for  College  Students ,  Sixth Edition. Stamford: Cengage Learning, 2014.
[6]  S.  T.  Negoro  dan  B.  Harahap, Ensiklopedia  Matematika ,  Edisi  Ketiga.  Bogor:  Ghalia Indonesia, 2017.
[7]  J. Stewart, Kalkulus , Edisi 5 Buku 2. Jakarta: Salemba Teknika, 2011.
[8]  D.  Varberg,  E.  J.  Purcell,  dan  S.  E.  Rigdon, Pearson  New  International  Edition  Calculus Early Transcendentals , First Edition. London: Pearson Education Limited, 2014.
[9]  F. Ayres dan E. Mendelson, Schaum’s Outline Calculus, 6th Edition by Frank Ayres, Elliott Mendelson , Sixth Edition. New York: The McGraw-Hill Companies, 2013.
[10] L. N. Hidayati, “Aplikasi Integral untuk Menentukan Keliling dan Luas  Lingkaran,” STKIP PGRI Pasuruan, Pasuruan, 2016.
[11] A. Imaniyah, “Pembuktian Rumus Keliling Lingkaran dengan Integral Polar,” dalam Seminar Nasional Pendidikan dan Ilmu Matematika (SENANDIKA) 2019 , Malang, 2019, pp. 52 – 58. [12]  D.  Apriand i  dan  I.  Krisdiana,  “Analisis  Kesulitan  Mahasiswa  d alam  Memahami  Materi Integral  Lipat  Dua  pada  Koordinat  Polar  Mata  Kuliah  Kalkulus  Lanjut,” Al- Jabar :  Jurnal Pendidikan Matematika , vol. 7, no. 2, pp. 123 – 134, Des 2016, doi: 10.24042/ajpm.v7i2.19. [13]  R. S.  Utari,  “Kesalahan  Pemahaman  Konsep  Peserta  Didi k  dalam  Menyelesaikan  Soal-Soal Integral Lipat Dua pada Koordinat Polar,” Jurnal Inovasi Matematika , vol. 3, pp. 51 – 61, Jan 2021, doi: 10.35438/inomatika.v3i1.226.