Vol. 8, No.1,  1-11,  Juli  2011
Perluasan Teorema Cayley-Hamilton pada Matriks
Nur Erawati, Azmimy Basis Panrita 

## Abstrak
Teorema  Cayley-Hamilton  menyatakan  bahwa  setiap  matriks  bujur  sangkar  memenuhi persamaan karakteristiknya. Jika ( ) adalah polinom karakteristik dari sebuah matriks bujur sangkar maka ( ) Dalam  tulisan  ini  akan  dibahas  bukti  dari  teorema  Cayley- Hamilton  dan    perluasannya    pada  matriks
serta  penerapan  teorema  pada  sistem
matriks .
Kata Kunci: Teorema Cayley-Hamilton, matriks .

## 1. Pendahuluan
Setiap  matriks  bujur  sangkar  dengan  elemen    real  maupun  kompleks  memenuhi persamaan karakteristiknya. Dengan kata lain jika ( ) adalah polinom karakteristik dari sebuah matriks  bujur sangkar maka ( ) .  Pertama  kali  dikemukakan  oleh  Arthur  Cayley pada tahun 1858. Walaupun Cayley hanya membuktikannya untuk matriks
, dan berdasarkan hal tersebut  Cayley  yakin    bahwa    bukti  tersebut    berlaku  untuk  matriks
.  Lima  tahun sebelumnya, William Rowan Hamilton telah memperlihatkan  bahwa sebuah transformasi rotasi pada  ruang  berdimensi  tiga    memenuhi  persamaan  karakteristiknya.  Dengan  jelas,  baik  Cayley ataupun Hamilton pernah menerbitkan sebuah bukti dari ide tersebut secara umum.  Ide tersebut kemudian  dinamakan  teorema    Cayley-Hamilton    atau  teorema  Hamilton-Cayley.  Teorema  ini adalah  salah  satu  teori  matriks  yang  sangat  kuat  dan  klasik.  Banyak  aplikasi  yang  hasilnya diperoleh dari torema ini. Bukti lain dari teorema Cayley-Hamilton dikeluarkan pada tahun 1878 oleh  George  Frobenius  dan  banyak  orang  lain  setelah  itu.  Teorema  Cayley-Hamilton  telah diperluas ke dalam  matriks
, matriks blok dan pasangan matriks blok.
Teorema  Cayley-Hamilton  dan  generalisasinya  juga  telah  digunakan  dalam  sistem kontrol, jaringan listrik, sistem dengan waktu tunda, sistem singular, sistem linear 2-D dan lain- lain.  Selain  itu  teorema  Cayley-Hamilton  telah  diperluas  sampai  ke  dimensi- matriks  polinom real  dan  sistem  linear  waktu  diskrit  dengan  waktu  tunda  [4].  Berdasarkan  uraian  di  atas  maka penulis  ingin  mempelajari  tentang  teorema  Cayley-Hamilton  dan  salah  satu  perluasan  baru  dari teorema  Cayley-Hamilton  yaitu  pada  matriks
.  Tulisan  ini  juga  menampilkan  bukti  dari Teorema Cayley-Hamilton.

## 2. Landasan Teori

## 2.1. Matriks Blok
Definisi 1.
 Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Hasanuddin, Jl. Perintis Kemerdekaan Km.10 Makassar

## Nur Erawati, Azmimy Basis Panrita
Matriks adalah jajaran empat persegi panjang dari bilangan-bilangan. Bilangan-bilangan dalam jajaran tersebut disebut entri dalam matriks.
Diberikan  sebuah  matriks [ ] .  Jika  beberapa  baris  dan  kolom    dihapus, diperoleh sebuah matriks baru yang dinamakan submatriks dari .
Contoh 1. Misalkan diberikan matriks:
[ ]
Matriks tersebut dapat dipatrisi menjadi
[ ]
atau
[ ] dimana [ ] [ ] [    ] [   ] .

## 2.2. Nilai Eigen dan Vektor Eigen
Definisi 2. Misalkan A adalah  suatu  matriks n n  .  Skalar  disebut  nilai  eigen  atau  nilai  karakteristik dari A jika terdapat suatu vektor tak nol x , sehingga x x A   . Vektor x disebut vektor eigen atau vektor karakteristik dari  .
Sembarang  kelipatan  tak  nol  dari  vektor  eigen x akan  menjadi  vektor  eigen,  karena  
  x x A x A x A         . Persamaan x x A   dapat dituliskan dalam bentuk
  0 x A   I  (1)
Menurut teori sistem persamaan linear  adalah nilai eigen dari A jika dan hanya jika (1)  memiliki  suatu  penyelesaian  non  trivial.  Himpunan  penyelesaian  dari  persamaan  (1)  adalah   , I A   N yang merupakan ruang bagian dari . n R Jadi, jika adalah nilai eigen dari A , maka   0 x I A    dan  sembarang  vektor  tak  nol  dalam   I A   N adalah  vektor  eigen  yang bersesuaian  dengan  .  Ruang  bagian   I A   N dinamakan  ruang  eigen  yang  berhubungan dengan nilai eigen . 
Persamaan (1) akan mempunyai penyelesaian non trivial jika dan hanya jika I A   singular atau
Nur Erawati, Azmimy Basis Panrita
  0 det   I A  (2)
Jika determinan pada Persamaan (2) diuraikan, maka diperoleh suatu polinom berderajat n dalam peubah  atau     . det I A     p
Polinom  di  atas  disebut polinom  karakteristik, dan  persamaan  (2)  disebut  persamaan karakteristik  untuk  matriks A .  Akar  dari  polinom  karakteristik  adalah  nilai  eigen  dari A .  Jika dihitung akar menurut kelipatannya, maka polinom karakteristik pasti akan mempunyai n akar. Jadi, A akan  mempunyai n nilai  eigen  dimana  beberapa  di  antaranya  kemungkinan  akan berulang  dan  beberapa  nilai  eigen  lainnya  kemungkinan  berupa  bilangan  kompleks.  Untuk mengatasi  kasus  terakhir,  perlu  memperluas  medan  skalar  menjadi  bilangan  kompleks  serta memperbolehkan dipergunakannya entri-entri kompleks untuk vektor dan matriks.

## Contoh 2. Misalkan
dan 1 1 2 4
        A . 1 2        x Karena
x. x A 3 1 2 3 3 6 1 2 1 1 2 4                             
Dari  persamaan  ini  terlihat  bahwa 3   adalah  nilai  eigen  dari A dan   T 2,1  x merupakan vektor  eigen  dari  dan   T 4,2 juga  merupakan  vektor  eigen  yang  bersesuaian  dengan 3   , karena
                           2 4 3 6 12 2 4 1 1 2 4
.

## 2.3. Minors, Kofaktor dan Adjoin Matriks
Definisi 3.
Jika adalah suatu matriks bujur sangkar, maka minor dari entri dinyatakan sebagai dan  didefinisikan  sebagai  determinan  dari  submatriks  yang  tersisa  setelah  baris dan kolom dihilangkan  dari .  Bilangan (  ) dinotasikan  dengan dan  disebut sebagai kofaktor dari entri .
Definisi 4. Jika adalah matriks
sebarang dan adalah kofaktor dari , maka matriks [ ]
disebut    matriks  kofaktor  dari . Transpose  dari  matriks  tersebut  disebut  adjoin  dari dinotasikan dengan ( )
Misalkan diberikan sebuah matriks [ ] sehingga diperoleh: | |   | |
atau
Teorema 1 . Lihat [3]. Misalkan adalah adjoint dari , maka ( ) .

## 2.4. Sistem Matriks Bujur Sangkar
Jika determinan pada persamaan (2) diuraikan, maka diperoleh suatu bentuk
̇( )    (    ) ( )    (    ) ( ) (3)
dimana ( ) menyatakan  vektor, ( ) adalah  vektor  masukan  dan (    ) (    ) Telah  diketahui  polinomial  karakteristik  untuk  sistem  linier  dapat diperluas untuk sistem non linier persamaaan (3) sebagai berikut.
Definisi 5. Lihat [4].
( )      [ (    )] (4) dengan  koefisien (    ) adalah
polinomial  karakteristik  dari  sistem  (3).  Persamaan ( ) adalah  polinomial  karakteristik dari sistem (3).

## 3. Pembahasan
3.1. Bukti Teorema Cayley-Hamilton
Nur Erawati, Azmimy Basis Panrita
Teorema 2. Lihat [6]. Misalkan adalah matriks persegi , dan ( ) adalah polinom karakteristik dari , maka ( )
, dikatakan matriks memenuhi persamaan karakteristiknya.
Banyak cara untuk  membuktikan teorema Cayley-Hamilton, salah satu cara yang cukup mudah dipahami adalah pembuktian yang diberikan dalam paper ini.
Bukti:
Perhatikan  bahwa  untuk  sembarang  matriks  bujur  sangkar berlaku ( ) , dengan adalah  adjoint  dari . Persamaan ( ) berlaku  untuk  semua  matriks  bujur sangkar,  maka  pasti  berlaku  untuk  matriks
sehingga  dapat  dituliskan (      )( ) (      )     ( ) .
Entri-entri dari (      ) adalah polinom berderajat . Karena itu,     I A  dapat ditulis sebagai sebuah polinom  berderajat dengan koefisien berbentuk  matriks, yaitu
(      ) (5) dengan adalah koefisien berbentuk matriks. Perhatikan bahwa (      )    (       )(      ) (      )( ) ( )        ( ) (6) Karena ( ) , maka ( ) (7)
Dengan menyamakan kedua persamaan di atas, yaitu (7) dan (6), diperoleh
( ) . (8) Dengan menyamakan koefisien dari pada ruas kiri dan ruas kanan diperoleh persaman
sebagai berikut.
(0) dari suku konstan (1) suku linear (2) dari koefisien  (     ) dari koefisien ( ) dari koefisien . Jika  persamaan dikalikan  dengan (     ) dan  menghasilkan dan  persamaan berikut (0) (1) ( ) (2) ( ) 
(     ) ( )
Kemudian ditambahkan, maka jumlah ruas kiri adalah . Sedangkan jumlah ruas  kanan adalah
( )
.
Karenanya, ( ) .

## 3.2. Perluasan Teorema Cayley-Hamilton untuk matriks
Teorema 3.
Misalkan [ ] (   ) (     ) ,              (9) dan misalkan pula ( )      [ ]   ∑ ( ) (10) adalah polinomial karakteristik dari , maka ∑ [ ] ,                                                 (11) dimana adalah matriks nol (     ) .
Bukti:
Pertama akan ditunjukkan bahwa [ ] [ ] Dengan menggunakan  induksi matematika pada , ikuti langkah berikut. Untuk , berlaku [ ] [ ] Asumsikan benar untuk , yaitu [ ] [ ] . Akan ditunjukkan benar untuk . [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] .
Jadi terbukti bahwa
[ ] [ ] . (12) Dengan menggunakan persamaan (10) diperoleh [ ] [ ] (13) ( ) ∑ . Misalkan [ ] suatu  matriks  bujur  sangkar.  Dengan  menggunakan  Teorema  2, diperoleh
( )   ∑ [ ] ( ) (14)
Substitusi persamaan (7) ke persamaan (14) menghasilkan
( )     ∑ [ ] . (15)
Dengan hanya mempertimbangkan baris pertama dari persamaan (15) maka diperoleh persamaan (11).
Teorema  3  berlaku  untuk  pada  matriks  persegi dimana .  Untuk  kasus
maka digunakan Teorema 4 di bawah ini.

## Teorema 4.
Misalkan [ ]
dan  misalkan  polinom  karakteristik  dari bentuknya seperti pada persamaan (10), maka ∑ [ ] (16)
Langkah untuk membuktikan teorema ini sama dengan langkah-langkah pembuktian Teorema 3.
Bukti:
Pertama akan ditunjukan [ ] [ ] . Dengan menggunakan  induksi matematika pada , perhatikan langkah berikut. Untuk , diperoleh [ ] [ ] Asumsikan benar untuk
, yaitu
[ ] [ ] Akan ditunjukkan benar untuk , perhatikan bahwa [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

## Jadi terbukti bahwa
[ ] [ ] . (17) Dengan menggunakan persamaan (10) diperoleh [ ] [ ] ∑ . (18) Misal [ ] suatu matriks bujur sangkar. Dengan menggunakan Teorema 2 diperoleh
∑ [ ] ( ) (19)
Substitusi persamaan (12) ke persamaan (14) menghasilkan
∑ [ ] (20)
Dengan  hanya  mempertimbangkan  kolom  pertama  dari  persamaan  (20)  maka  diperoleh persamaan (16).
3.3. Penerapan Teorema Cayley-Hamilton untuk Nonlinear time-varying System

## 3.3.1   Sistem Matriks
Teorema Cayley-Hamilton dapat diterapkan pada sistem  matriks baik itu sistem matriks bujur sangkar dan sistem matriks .
Teorema 5 . Sistem matriks (    ) memenuhi persamaan
∑ (    ) ( ) (21)
Perhatikan sebuah sistem matriks (    ) dengan jumlah kolom lebih besar dari jumlah baris ,
(    )   [ (    ) (    )] (22) (    ) (    ) (   )

## Misalkan
( )      [ (    )] (23) dimana koefisien (    )

## Teorema 6.
Misalkan  polinomial  karakteristik  dari (    ) mempunyai  bentuk  pada  persamaan (23) ,  maka matriks (22) memenuhi persamaan
∑ [ (    ) (    ) (    )] ( ) (24) dimana adalah matriks nol . Contoh 3. Perhatikan sistem matriks , yaitu (    )   [ (    ) (    )] [ ] (25) dimana [ ] . Polinomial karakteristik matriks (    ) adalah ( )      [ (    )] [ ] ( ) ( ) (26)
dimana
(    )    ( ) (    ) ( )

## Dengan menerapkan  Teorema 6 diperoleh
[ (    ) (    ) (    )] (    )[ (    ) (    ) (    )] (    )[ (    ) (    )] .
[ (    ) (    ) (    )]
[
( ) ( ) ]
(    )[ (    ) (    ) (    )]
(
) [
]
[
] (    )[ (    ) (    )] ( ) [ ]
[
]
Maka
[
( )
( ) ]
[
]
[
]   [ ]

## Nur Erawati, Azmimy Basis Panrita
Oleh karena itu sistem matriks di atas memenuhi persamaan (24).

## Daftar Pustaka
[1] Anton H. dan Rorres C., 2004. Aljabar Linear Elementer Versi Aplikasi .
[2] Gantmacher F.R., 1960. The Theory of Matrices .
[3] Golberg J.L., 1991. Matrix Theory with Applications . McGraw-Hill Inc., New York.
[4] Kaczorek  T.,  2006. New  Extensions  of  The  Cayley-Hamilton  Theorem  with  Applications. Technical University of Bialystok.
[5] Lancaster  P.  dan  Tismenetsky  M.,  1985. The  Theory  of  Matrices,  Second  Edition  with Aplications .
[6] Landesman E.M. dan Hestenes M.R., 1992. Linear Algebra for Mathematics Science and Enggineering .
[7] Steven J.L, 1988. Aljabar Linear dan Aplikasinya . Penerbit Erlangga, Jakarta.