## Implementasi Algoritma Greedy Pada Pewarnaan Wilayah Kecamatan Sukodadi Lamongan
Umi Maftukhah 1 , Siti Amiroch 2 , Mohammad Syaiful Pradana 3
1 Universitas Islam Darul Ulum Lamongan, maftukha367@gmail.com
2 Universitas Islam Darul Ulum Lamongan, siti.amiroch@unisda.ac.id
3 Universitas Islam Darul Ulum Lamongan, syaifulp@unisda.ac.id
Abstract. Graph  theory  can  be  applied  in  various  fields  of  science  such  as transportation  problems,  communication  networks,  operations  research,  chemistry, cartography  and  so  on.  Graph  theory  does  not  only  represent  structure  but  in  its application,  a  graph  can  also  be  colored.  Many  problems  have  graph  coloring characteristics such as regional coloring. This regional coloring  theory was applied to  the  map  area  of  Sukodadi  District  which  consists  of  20  villages.  In  this  area coloring  uses  the  Greedy  algorithm  by  first  making  a  dual  graph  consisting  of  20 vertices  and  43  edges.  Based  on  the  results  of  regional  coloring,  the  minimum number  of  colors  is  4,  namely  red,  blue,  green  and  yellow,  with  each  neighboring village having a different color.
Keywords: Graph Theory, Greedy Algorithm, Region Coloring
Abstrak. Teori  graf  dapat  diterapkan  dalam  berbagai  bidang  ilmu  seperti  masalah transportasi,  jaringan  komunikasi,  riset  operasi,  ilmu  kimia,  kartografi  dan  lain sebagainya.  Teori  graf  tidak  hanya  sekedar  merepresentasikan  struktur  saja  tetapi dalam  aplikasinya  suatu  graf  juga  dapat  diwarnai.  Banyak  persoalan  yang mempunyai  karakteristik  pewarnaan  graf  seperti  pewarnaan  wilayah.  Teori pewarnaan  wilayah  ini  diaplikasikan  pada  wilayah  peta  Kecamatan  Sukodadi  yang terdiri  atas  20  desa.  Pada  pewarnaan  wilayah  ini  menggunakan  algoritma  Greedy dengan  cara  membuat  graf  dualnya  terlebih  dahulu  yang  terdiri  dari  20  simpul  dan 43  sisi.  Berdasarkan  hasil  pewarnaan  wilayah  diperoleh  jumlah  warna  minimum sebanyak  4  warna  yaitu  merah,  biru,  hijau  dan  kuning  dengan  setiap  desa  yang bertetangga memiliki warna yang berbeda.
Kata kunci : Teori Graf, Algoritma Greedy, Pewarnaan Wilayah

## 1 Pendahuluan
Teori  graf  merupakan  salah  satu  studi  terhadap  bidang  matematika  yang diperkenalkan  pertama  kali  oleh  seorang  ahli  matematika  asal  Swiss,  Leonhard Euler 1736. Teori graf merupakan pokok bahasan  yang sudah tua usianya namun memiliki  banyak  terapan  sampai  saat  ini  dan  merupakan  topik  yang  banyak mendapat  perhatian  saat  ini,  karena  model-model  yang  ada  pada  teori  graf berguna  untuk  aplikasi  yang  luas.  Secara  kasar,  graf  adalah  suatu  diagram  yang memuat  informasi  tertentu  jika  diinterpretasikan  secara  tepat.  Tujuannya  sebagai visualisasi  objek-objek  agar  lebih  mudah  dimengerti  [1].  Secara  definisi,  graf adalah  suatu  cabang  matematika  yang  mempelajari  hubugan  himpunan  tidak

## Unisda Journal of Mathematics and Computer Science
kosong yang memuat elemen-elemen yang disebut titik dan suatu daftar pasangan elemen itu yang disebut sisi [2].
Teori  graf  tidak  hanya  sekedar  merepresentasikan  struktur  saja  tetapi  dalam aplikasinya  suatu  graf  juga  dapat  diwarnai.  Banyak  persoalan  yang  mempunyai karakteristik  seperti  pewarnaan  graf,  sehingga  menjadikan  pewarnaan  graf  ini menarik untuk dipelajari lebih dalam. Masalah pewarnaan di dalam graf memiliki banyak  variasi  dengan  tipe  yang  berbeda.  Pewarnaan  graf  dibagi  dalam  tiga bagian, yaitu pewarnaan simpul ( vertex coloring ), pewarnaan sisi ( edge coloring ) dan  pewarnaan  wilayah  ( region coloring )  [3].  Persoalan  pewarnaan  graf,  tidak hanya  sekedar  mewarnai  simpul-simpul  atau  sisi  dengan  warna  berbeda  dari warna simpul atau sisi tetangganya saja, namun juga menggunakan jumlah warna minimum yang disebut dengan bilangan kromatik pada graf.
Kecamatan sukodadi ini dipilih karena pada peta wilayah kecamatan sukodadi belum  memiliki  warna,  sehingga  daerah-daerah  yang  berbatasan  langsung memiliki  warna  yang  sama.  Salah  satu  algoritma  yang  dapat  digunakan  untuk menentukan  jumlah  warna  minimum  pada  pewarnaan  peta  kecamatan  sukodadi adalah  algoritma  greedy.  Algoritma  greedy merupakan  salah  satu  metode  yang digunakan  untuk  memecahkan  masalah  optimasi  dengan  memanfaatkan  strategi algoritmik  yang  dapat  memecahkan  masalah  langkah  demi  langkah,  yang  setiap langkahnya mengambil pilihan terbaik pada saat itu dengan gagasan dasar adalah membangun  solusi  optimal  di  atas  solusi  lokal.  Algoritma  greedy  dipilih  dalam pewarnaan  peta  karena  tidak  membutuhkan  waktu  yang  lama  dalam menyelesaikan persoalan optimasi.

## 2    Tinjauan Pustaka
Pewarnaan  graf  adalah  pemberian  warna,  yang  biasanya  direpresentasikan sebagai  bilangan  terurut  mulai  dari  1  atau  dapat juga  direpresentasikan  langsung dengan  menggunakan  warna  merah,  biru,  hijau  dan  lain-lain  pada  objek  tertentu pada  suatu  graf.  Objek  tersebut  dapat  berupa  simpul,  sisi  dan  wilayah.  Setiap simpul  yang  berdekatan  atau  bertetangga  tidak  mempunyai  warna  yang  sama Terdapat  persoalan  di  dalam  pewarnaan  graf,  yaitu  mewarnai  graf  tidak  hanya sekedar  mewarnai  simpul-simpul  dengan  warna  berbeda  dari  warna  simpul tetangganya  saja,  namun  dalam  mewarnainya  juga  menginginkan  jumlah macam warna  yang  digunakan  sesedikit  mungkin  [4].  Pewarnaan  pada  graf  dibedakan menjadi  tiga  yaitu,  Pewarnaan  Simpul  ( Vertex  Coloring ),  Pewarnaan  Sisi  ( Edge Coloring ) dan Pewarnaan Wilayah ( Region Coloring ). Pewarnaan simpul dari graf G adalah sebuah proses pemberian warna-warna ke simpul-simpul  suatu  graf  sedemikian  sehingga  tidak  ada  dua  buah  simpul  yang bertetangga memiliki warna yang sama  (Li et all, 2010). Graf G berwarna n jika terdapat  sebuah  pewarnaan  dari G yang  menggunakan n warna  [3].  Pewarnaan simpul  erat  kaitannya  dengan  penentuan  bilangan  kromatik X  (G) ,  yaitu  jumlah minimal warna yang digunakan dalam mewarnai simpul [3].
Suatu  pewarnaan  sisi- k untuk  graf G adalah  suatu  penggunaan  sebagian  atau semua k warna untuk mewarnai semua sisi di G , sehingga setiap pasang sisi yang mempunyai simpul yang sama diberi warna yang berbeda [3].
Pewarnaan wilayah adalah warna yang diberikan ke setiap wilayah pada graf, sehingga  tidak  ada  wilayah  yang  bersebelahan  memiliki  warna  yang  sama  [3]. Pewarnaan  wilayah  ini  diterapkan  pada  pewarnaan  peta,  dengan  memberikan

## Unisda Journal of Mathematics and Computer Science
warna  berbeda  pada  setiap  wilayah  yang  saling  bertetangga.  Mewarnai  wilayah pada suatu graf dapat menggunakan prinsip pewarnaan simpul pada graf [2].
Lebih lanjut, [2] menyebutkan beberapa prinsip yang harus diperhatikan dalam mewarnai peta yaitu:
1. Banyaknya warna yang harus digunakan harus seminimum mungkin.
2. Mewarnai wilayah pada peta berarti mewarnai simpul pada graf.
3. Dua buah simpul yang terhubung oleh satu atau lebih sisi tidak boleh diberi warna yang sama.
4. Mewarnai  peta  pakailah  sebuah  warna  secara  optimum,  artinya  warna  baru digunakan setelah warna pertama tidak dapat digunakan lagi.

## 3    Metode Penelitian
Algoritma Greedy merupakan  algoritma  yang  menghasilkan  solusi  melalui penyelesaian langkah perlangkah ( step by step ) dengan menerapkan 2 hal berikut pada tiap langkahnya [5]:
1. Pilihan  yang  diambil  merupakan  pilihan  terbaik  yang  dapat  diperoleh  pada saat  itu  tanpa  memperhatikan  konsekuansinya  kedepan  nanti,  hal  ini bersesuaian  dengan  prinsip  Algoritma  Greedyyaitu “take  what  you  canget now”.
2. Berharap  dengan  memilih  pilihan  terbaik  saat  itu  ( optimum  lokal )  dapat mencapai solusi terbaik dari permasalahan yang dihadapi ( optimum global ).
Berdasarkan  komponen  algoritma  greedy,  untuk  menemukan  solusi  optimal dari permasalahan pewarnaan peta ini digunakan rancangan algoritma greedyyang akan dipaparkan sebagai berikut [6].
1. Himpunan  Kandidat  C:  himpunan  kandidat  dalam  kasus  pewarnaan  peta  ini merupakan  himpunan  kandidat  seluruh  jenis  warna  yang  akan  digunakan untuk mewarnai peta.
2. Himpunan Solusi S: himpunan solusi akan diisi dengan himpunan warna yang sudah digunakan untuk mewarnai peta.
3. Fungsi Seleksi: pada kasus ini fungsi seleksi terbagi menjadi 2, yaitu:
a. Fungsi seleksi simpul Fungsi  yang  menyeleksi  simpul  mana  yang  harus  dikerjakan  terlebih dahulu.  Prioritas  pengerjaan  dilihat  dari  simpul  yang  memiliki  sisi terbanyak (derajat)
b. Fungsi seleksi warna Fungsi  ini  akan  memilih  warna  yang  akan  digunakan  untuk  mewarnai simpul  pada  peta.  Penyeleksian  warna  ini  akan  dibagi  menjadi  2  tahap, yaitu:
1) Jika  layak  warna  akan  diambil  dari  himpunan  solusi,  yaitu  warna yang sudah dipakai sebelumnya.
2) Jika tidak satu pun warna dari himpunan solusi layak atau himpunan solusi  masih  kosong  maka  akan  diambil  warna  dari  himpunan kandidat, yaitu warna yang sama sekali belum digunakan.
4. Fungsi  Kelayakan:  fungsi  yang  akan  memeriksa  apakah  suatu  warna  layak untuk  digunakan  pada  sebuah  simpul.  Pemeriksaan  kelayakan  dapat

## Unisda Journal of Mathematics and Computer Science
dilakukan  dengan  melihat  simpul-simpul  yang  bertetangga  dengan  simpul yang akan diwarnai.
5. Fungsi  Obyektif:  dalam  kasus  pewarnaan  peta,  fungsi  obyektif  adalah meminimalkan  (minimasi)  jumlah  jenis  warna  yang  digunakan  pada  proses pewarnaan seluruh simpul.
Cara  kerja  algoritma  greedy  dalam  kasus  pewarnaan  peta  akan  dijabarkan sebagai berikut [6]:
1. Inisialisasi himpunan solusi dengan kosong.
2. Pemilihan simpul yang akan diisi warnanya dengan fungsi seleksi simpul.
3. Memilih kandidat warna menggunakan fungsi seleksi warna. Kurangi warna pada himpunan kandidat C, jika warna diambil dari himpunan kandidat C .
4. Periksa kelayakan warna yang dipilih menggunakan fungsi kelayakan. Warna yang  layak  digunakan  untuk  simpul  terpilih  akan  dimasukkan  ke  dalam himpunan solusi, jika tidak layak maka proses kembali kelangkah 2.
5. Periksa apakah solusi sudah meliputi pewarnaan seluruh simpul dengan solusi optimal  dengan  fungsi  obyektif.  Proses  pewarnaan  akan  berhenti  jika pewarnaan telah mendapatkan solusi optimal, jika belum optimal kembali ke langkah 2.
Metodologi  pewarnaan  wilayah  yang  digunakan  dalam  penyelesaian pewarnaan wilayah kecamatan Sukodadi Lamongan ini sebagai berikut:
1. Merepresentasikan  batas-batas  wilayah  setiap  desa  sebagai  sisi  dan perpotongan antar batas wilayah sebagai simpul.
2. Membuat graf dual dari peta kecamatan Sukodadi.
3. Merepresentasikan  graf  dual  kedalam  matriks  ketetanggan  yang  menyatakan keterhubungan antar wilayah setiap Desa.
4. Menentukan  derajat  masing-masing  simpul,  yaitu  menghitung  jumlah  batas- batas wilayah kecamatan yang saling bertetangga.
5. Mewarnai peta kecamatan menggunakan algoritma greedy.
6. Menentukan jumlah warna minimum yang diperoleh untuk mewarnai peta.

## 4    Hasil dan Pembahasan
Kecamatan  Sukodadi  berada  di  wilayah  kabupaten  Lamongan  Provinsi  Jawa Timur.  Kecamatan  ini  memiliki  luas  wilayah  4.590,13  Ha.  Kecamatan  Sukodadi terdiri  atas  20  desa.  Dengan  wilayah  terluas  adalah  desa  gedangan  (3,37 km 2 ). Desa  tersebut  berbatasan  dengan  desa  sumberagung,  desa  banjarjo  dan  desa baturono.  Gambar  1  merupakan  gambar  peta  wilayah  kecamtan  sukodadi  [1]. Setiap  desa  bertetangga  dengan  desa  lain.  Masing-masing  ada  yang  bertetangga dengan dua desa, ada tiga desa dan paling banyakadalah yang bertetangga dengan 6 desa.

## Unisda Journal of Mathematics and Computer Science
Gambar 1. Peta wilayah kecamatan sukodadi
Untuk  mempresentasikan  wilayah  Kecamatan  Sukodadi  kedalam  bentuk  graf, langkah  pertama  adalah  memberikan  indeks  masing-masing  wilayah  di Kecamatan  Sukodadi  diberi  nama 𝑟 1 , 𝑟 2 , 𝑟 3 ,..., 𝑟 20 ditunjukkan  pada  Tabel  1 berikut.
Tabel 1. Indeks Desa Kecamatan Sukodadi Indeks Desa Nama Desa Indeks Desa Nama Desa 𝑟 1 Siwalanrejo 𝑟 11 Bandungsari 𝑟 2 Sumberagung 𝑟 12 Plumpang 𝑟 3 Gedangan 𝑟 13 Tlogorejo 𝑟 4 Baturono 𝑟 14 Surabayan 𝑟 5 Banjarjo 𝑟 15 Sidogembul 𝑟 6 Sumberaji 𝑟 16 Sukodadi 𝑟 7 Kadung Rembug 𝑟 17 Kebonsari 𝑟 8 Menongo 𝑟 18 Sukolilo 𝑟 9 Balung Tawun 𝑟 19 Pajangan 𝑟 10 Sugihrejo 𝑟 20 Madulegi
Gambar  1  merepresentasikan  wilayah  Kecamatan  Sukodadi  kedalam  suatu graf.  Berdasarkan  Gambar  1  kecamatan  sukodadi  merupakan  graf  bidang  yang membagi  ruang  atau  bidang  kedalam  daerah-daerah  terhubung  yang  disebut dengan  wilayah  ( region ). Region terdiri  dari  simpul  dan  sisi  yang menghubungkannya,  maka  Gambar  1  terdiri  dari  simpul  dan  sisi  yang menghubungkannya yaitu:
( ) , G V E =   1 2 3 4 5 36 , , , , ,... V v v v v v v =   1 2 3 4 5 54 , , , , ,..., E e e e e e e =

## Unisda Journal of Mathematics and Computer Science
Gambar 1. Wilayah kecamatan terdiri dari 36 simpul dan 54 sisi
Selanjutnya,  cara  membuat  graf  dual  dari  peta  Kecamatan  Sukodadi  adalah dengan  merepresentasikan  wilayah  setiap  desa  sebagai  simpul  pada  graf  dengan notasi V =  {1,2,3,4,5,  .  .  .,20}  dan  merepresentasikan  wilayah  setiap  desa  yang saling bertetangga sebagai sebuah sisi.
G = ( V,E )
V = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20} E =  {(1,2),  (1,6),  (2,3),  (2,5),  (2,6),  (3,4),  (3,5),  (4,5),  (4,9),  (5,6),  (5,9),  (6,7),
(6,8), (6,9), (7,8), (7,16), (7,17), (8,9), (8,11), (8,12), (8,16), (9,10), (9,11),
(10,11), (10,13), (11,12), (11,13), (12,13), (12,14), (12,15), (12,16), (13,14),
(14,15), (14,20), (15,16), (15,18), (15,20), (16,17), (16,18), (17,18), (18,19),
(18,20), (19,20) }
Graf dual peta Kecamatan Sukodadi ditunjukkan oleh Gambar 2 berikut.

## Unisda Journal of Mathematics and Computer Science
Jurusan Matematika, UNISDA, Lamongan
Matriks  ketetanggaan  merupakan  suatu  matriks  yang  dapat  menyatakan keterhubungan  antar  simpul,  yang  mana  pada  kasus  sebuah  peta  matriks  ini berfungsi  untuk  mengetahui  apakah  wilayah  satu  dengan  wilayah  lainnya  saling berhubungan. Matriks ketetanggaan peta Kecamatan Sukodadi yang terdiri dari 20 wilayah desa dapat direpresentasikan sebagai simpul dan dapat dibentuk ke dalam matriks 20 x 20 sebagai berikut:
Derajat  setiap  wilayah  yang  direpresentasikan  sebagai  simpul  dapat  dihitung dengan  cara  menghitung  berapa  banyak  sisi  yang  terhubung  pada  setiap  simpul pada  graf  dualnya.  Derajat  setiap  simpul  dapat  ditentukan  dengan  mudah  dari matriks ketetanggannya, yaitu dengan menjumlahkan setiap baris atau kolom pada setiap simpul. Berdasarkan matriks ketetanggaan pada peta Kecamatan Sukodadi di  atas  dapat  ditentukan  derajat  setiap  simpulnya,  dapat  dilihat  pada  Tabel  2 berikut.
Tabel 2. Derajat simpul graf dual pada peta Wilayah Kecamatan Simpul Graf Derajat Simpul Wilayah Kecamatan Simpul Graf Derajat Simpul Siwalanrejo 1 2 Bandungsari 11 5 Sumberagung 2 4 Plumpang 12 6 Gedangan 3 3 Tlogorejo 13 4 Baturono 4 3 Surabayan 14 4 Banjarjo 5 5 Sidogembul 15 5 Sumberaji 6 6 Sukodadi 16 6 Kadung Rembug 7 4 Kebonsari 17 3 Menongo 8 6 Sukolilo 18 5 Balung Tawun 9 6 Pajangan 19 2 Sugihrejo 10 3 Madu Legi 20 4

## Unisda Journal of Mathematics and Computer Science
Berikut  ini  adalah  tahap-tahap  pewarnaan  peta  menggunakan  Algoritma Greedy:
1. Membangun himpunan kandidat warna (misalkan ada 10 kandidat warna) C =  { Merah,  Biru,  Hijau,  Kuning,  Ungu,  Abu-abu,  Coklat,  Orange,  Biru Muda, Merah Muda }
2. Melakukan inisialisasi himpunan solusi S
Inisialisasi  himpunan  dengan  kosong,  karena  pada  tahap  selanjutnya  nanti himpunan  solusi  akan  memuat  elemen  warna  yang  telah  digunakan  untuk mewarnai simpul. Himpunan S = {}.
3. Mengurutkan Simpul
Urutkan  simpul  dari  yang  mempunyai  jumlah  sisi  terbanyak  hingga  yang paling sedikit.
Tabel 3. Urutan simpul peta berdasarkan jumlah derajat tertinggi
Simpul graf 6 8 9  12 16 5 11 15 18 2 7 13 14 20 3 4 10 17 1 19 Derajat simpul 6 6 6 6 6 5 5 5 5 4 4 4 4 4 3 3 3 3 2 2

## 4. Fungsi Seleksi
a. Fungsi seleksi simpul Berdasarkan  Tabel  3  simpul  yang  memiliki  derajat  terbanyak  adalah simpul 6, 8, 9, 12, 16 dengan derajat simpul adalah 6 dan dipilih simpul 6.
b. Fungsi Seleksi Warna
1. Jika  layak  warna  akan  diambil  dari  himpunan  solusi  (warna  yang sudah dipakai pada simpul sebelumnya)
2. Jika  tidak  satupun  warna  dari  himpunan  solusi  layak  atau  himpunan solusi  masih  kosong,  akan  diambil  warna  dari  himpunan  kandidat C .
untuk simpul 6 diambil dari himpunan kandidat C , dipilih warna merah yang merupakan kandidat warna pertama dari himpunan kandidat C .
5. Fungsi Kelayakan
Dapat  dilihat  dari  gambar  2  bahwa  simpul  6  bertetangga  dengan  6  buah simpul  yang  belum  diwarnai.  Sehingga,  warna  merah  ini  otomatis  dianggap layak digunakan untuk simpul 6.

## Unisda Journal of Mathematics and Computer Science
6. Himpunan Solusi Memasukkan  warna  merah  yang  digunakan  untuk  simpul  6  kedalam himpunan solusi:
S = { Merah }
7. Fungsi Obyektif
Proses  selanjutnya  adalah  memeriksa  apakah  solusi  sudah  meliputi pewarnaan  seluruh  simpul  dengan  solusi  optimal,  jika  sudah  maka  berhenti dan  jika  belum  kembali  ke  langkah  seleksi  simpul.  Pewarnaan  simpul  pada tahap  ini  belum  optimal  karena  simpul  belum  diwarnai  semua  (optimum local) sehingga solusi optimal belum didapat.
Maka  selanjutnya  akan  kembali  pada  seleksi  simpul  hingga  seluruh  simpul telah  diwarnai  semua  (optimum  global)  sehingga  proses  pewarnaan  simpul pada  peta  Kecamatan  Sukodadi  selesai.  Gambar  4  berikut  merupakan  hasil optimum global yang sudah tercapai.
Gambar 4. Pewarnaan peta pada seluruh simpul (optimum global)
Jumlah warna minimum atau disebut dengan bilangan kromatik yangdiperoleh pada  pewarnaan  peta  wilayah  Kecamatan  Sukodadi  menggunakan  algoritma Greedydapat  dilihat  dari  berapa  banyak  anggota  warna  dalam  himpunan  solusi. Tujuan  dari  pewarnaan  wilayah  ini  tercapai,  karena  solusi  optimal  ( Optimum Global )  yang  didapatkan  sesuai  dengan  yang  diharapkan  yaitu  meminimumkan nilai  solusi  dalam  hal  ini  warna  yang  digunakan  hanya  4  warna  dari  10  jenis warna yang disediakan.

## 5   Simpulan
Jumlah  warna  minimum  (bilangan  kromatik)  pewarnaan  wilayah  pada  peta Kecamatan Sukodadi diperoleh 4 warna, warna antar desa yang terhubung dengan satu sisi memiliki warna yang berbeda.

## 6    Daftar Pustaka
[1] J.  J.  Siang,  “Metematika  Diskrit  dan  Aplikasinya  padsa  Ilmu  Komputer,” 2006.
[2] S. Wibisono, Matematika Diskrit . Jakarta: Graha Ilmu, 2004.
[3] J.  L.  Gross  and  J.  Yellen, Graph  theory  and  its  applications .  CRC  press, 2005.
[4] R.  Munir,  “Ilmu  Komputer  Matematika  Diskrit,” Ed.  Ketiga.  Inform. Bandung , 2005.
[5] H.  S.  Lubis,  “Perbandingan  Algoritma  Greedy  dan  Dijkstra  untuk menentukan lintasan terpendek,” Dep. Mat. Univ. Sumatera Utara, Medan , 2009.
[6] M.  Amrimirza,  “Aplikasi  Algoritma  Greedy  pada  Pewarnaan  Peta.” Makalah IF2251 Strategi Algoritmik Institut Teknologi Bandung, 2007.