## PENERAPAN KURVA BEZIER KARAKTER SIMETRIK DAN PUTAR PADA MODEL KAP LAMPU DUDUK MENGGUNAKAN MAPLE
1 Juhari, 2 Erny Octafiatiningsih
1,2 Jurusan Matematika, Universitas Islam Negeri Maulana Malik Ibrahim Malang
Email: jo_alkanderi57@yahoo.co.id , erny.octafia1710@gmail.com

## ABSTRAK
Penelitian  ini  bertujuan  untuk  memperoleh  prosedur  mengkonstruksi  bentuk  kap  lampu  duduk melalui  penggabungan  dan  pemilihan  parameter  pengubah  bentuk  permukaan  Bezier.  Sehingga, menghasilkan kap lampu duduk secara utuh yang simetri dan bervariasi. Pada pembuatan kap lampu duduk  memerlukan  studi  tentang  aspek  fisis  (pencahayaan)  maupun  geometri.  Dari  segi  geometri, model pembuatan kap lampu duduk yang telah ada pada umumnya monoton dan terbangun dari suatu model potongan benda. Sehubungan dengan permasalahan tersebut maka penelitian ini dibagi menjadi empat  tahap  yaitu:  Pertama,  menyiapkan  data  untuk  membangun  kap  lampu  duduk.  Kedua,  studi teknik  untuk  membangun  kesimetrian  bentuk  kap  lampu  duduk.  Ketiga,  mengkonstruksi  bagian- bagian kap lampu duduk (bagian alas, bagian utama, bagian atap), dan Keempat, mengkonstruksi kap lampu  duduk  secara  utuh.  Hasil  penelitian  ini  mendapatkan  prosedur  mengkonstruksi  kap  lampu duduk yaitu: Pertama, membagi sumbu utama menjadi tiga sumbu sub segmen non homogen. Kedua, Membangun bagian-bagian dari kap lampu duduk (bagian alas, bagian utama, bagian atap) dengan cara menggabungkan  komponen-komponen  kap  lampu  duduk  hasil  deformasi  benda-benda  geometri. Ketiga,  mengisi  setiap  bagian  sub  segmen  non  homogen  dengan  bagian-bagian  dari  kap  lampu  dan membangun kurva batas sehingga menghasilkan model kap lampu duduk yang bervaiasi, inovasi dan simetri.
Kata kunci : Kap Lampu Duduk, Kura Hermit, Kurva Bezier

## ABSTRACT
This  research  aimed  to  obtain  construction  procedures  lampshade  form  through  incorporation  and election  of  parameters  shape  shifter  Bezier  surface.  Thus,  it  product  a  sholid  lampshade  that  both symmetrical and varied. In contruction lampshade it requires learning about the physical (expose) and geometrical  aspects.  In  terms  of  geometry  model-making  of  lampshade  sitting  which  has  existed  in general still monotone and built of object cut model. Dealing with the problem, so this research is divided into four stages: Firstly, prepare the data of building sitting lampshade. Secondly, study about technique of  building  symmetrical  sitting  lampshade.  Thirdly,  construct  overall  lampshade.  The  results  of  this research  is  procedures  by  contruction  of  sitting  lampshade:  First,  The  main  axis  split  into  three  sub segments axis non-homogeneous. Second, build  parts of the sitting lampshade (the base, the main part, the roof) by combining the components lampshade deformation results geometry objects. Third, fill each sub-segment  of  non-homogeneous  parts  with  parts  of  the  lampshade  and  build  a  boundary  curve resulting lampshade varied models, innovation, and symmetry.
Keywords : Bezier Curve, Hermit Curve, Standing Lamp Shading

## PENDAHULUAN
Geometri  merupakan  cabang  matematika yang  mempelajari  tentang  garis,  sudut,  bidang, benda-benda ruang dan sifat-sifat serta hubungnnya  dengan  yang  lain.  Geometri mempunyai  banyak  kegunaan  dalam  kehidupan sehari-hari. Benda-benda yang ada di alam raya ini mempunyai  bentuk  geometri  berbentuk  bidang maupun  ruang.  Walaupun  benda-benda  yang dijumpai tidak sempurna, namun dapat digambarkan  atau  ditunjukkan  kemiripannya terhadap  bangun  geometri  tertentu.  Pada
perkembangannya  geometri  dapat  digolongkan berdasarkan  ruang  atau  bidang  kajian,  yaitu geometri  bidang  (dua-dimensi),  geometri  ruang (tiga-dimensi),  dan  geometri  dimensi 𝑛 .  Geometri bidang dan ruang dapat digunakan sebagai sarana untuk  mendesain  model  kerajinan,  seperti  kap lampu, vas bunga, knop, guci, dan lain-lain.
Kap  lampu  duduk  merupakan  salah  satu aksesoris  didalam  desain  interior  ruangan.  Selain berfungsi  sebagai  penerangan,  lampu  kini mengalami perkembangan dengan banyak inovasi. Pada  dasarnya  kap  lampu  duduk  dapat ditempatkan di setiap sudut ruangan. Akan tetapi,
tidak  dapat  sebarang  memilih  kap  lampu  duduk yang akan dipakai didalam ruangan. Ragam model dan  ukuran  kap  lampu  duduk  yang  bervariasi dapat  disesuaikan  dengan  kebutuhan  ruangan. Bentuk  dan  model  yang  selalu up  to  date dan cahayanya  dapat  membuat  ruangan  terlihat  lebih indah.
Pembuatan  kap  lampu  duduk  memerlukan studi  tentang  aspek  fisis  (pencahayaan)  maupun geometris. Dari segi geometris, model pembuatan kap  lampu  duduk  yang  telah  ada  pada  umumnya masih  monoton  dan  terbangun  dari  satu  model potongan benda. Hal ini dapat dilihat dari produk industri  kap  lampu  duduk  yang  masih  sederhana dan  teknik  desain  yang  digunakan  masih menggunakan  cara  konvensional.  Teknik  tersebut membutuhkan  waktu  yang  sangat  lama  sehingga pesanan  pelanggan  sering  tidak  selesai  pada waktunya.  Selain  itu  produk  yang  dihasilkan pengrajin  yang  menggunakan  teknik  desain konvensional  pada  umumnya  model  yang dihasilkan  tidak  berubah  (tetap),  tidak  diimbangi oleh  peningkatan  seni  dan  inovasi  yang dibutuhkan  oleh  pelanggan  yang  sangat  beragam ditinjau dari aspek tingkat kesimetrian, keserasian, dan variasi model maupun dari aspek ragam jenis dan ukuran barang yang ditawarkan.
Artikel ini merupakan upaya ilmiah untuk memperoleh model-model kap lampu duduk yang inovatif dan bervariasi. Artikel ini dilakukan upaya mengknstruksi kap lampu duuk, sehingga dapat diketahui prosedur mengkonstruksi kap lampu duduk.

## KAJIAN TEORI

## 1. Kurva Hermit Kuadratik
Bentuk kurva Hermit adalah
𝑃(𝑢) = 𝑃(0)𝐾 1 (𝑢) + 𝑃(1)𝐾 2 (𝑢) + 𝑃 ′ (1)𝐾 3 (𝑢) (1)
dengan:
𝐾 1 (𝑢) = (1 − 2𝑢 + 𝑢 2 )
𝐾 2 (𝑢) = (2𝑢 − 𝑢 2 ) 𝐾 3 (𝑢) = (−𝑢 + 𝑢 2 ) 𝑃(0)    = titik awal kurva berbentuk (𝑥 0 , 𝑦 0 , 𝑧 0 ) 𝑃(1)    = titik akhir kurva berbentuk (𝑥 1 , 𝑦 1 , 𝑧 1 ) 𝑃 ′ (1)   = titik kontrol kelengkungan kurva dengan 0 ≤ 𝑢 ≤ 1
[1]

## 2. Kurva Bezier Berderajat Dua
Kurva  Bezier  berderajat-dua  dinyatakan dalam bentuk parametrik yaitu:
𝑉(𝑢) = 𝐾 0 (1 − 2𝑢 + 𝑢 2 ) + 𝐾 1 (2𝑢 − 2𝑢 2 ) + 𝐾 2 (𝑢 2 ) ( 2)
dengan 0 ≤ 𝑢 ≤ 1
[2]
Contoh:
Diketahui 𝐾 0 = (5,0,0) ; 𝐾 1 = (10,0,3) dan 𝐾 2 = (7,0,5) ,  maka  kurva  Bezier  berderajat  dua dapat dinyatakan sebagai berikut:
𝑉(𝑢) = (5,0,0)(1 − 2𝑢 + 𝑢 2 ) + (10,0,5)(2𝑢 −
2𝑢 2 ) + (7,0,5)(𝑢 2 ) = (5(1 − 2𝑢 + 𝑢 2 ), 0(1 − 2𝑢 + 𝑢 2 ), 0(1 −
2𝑢 + 𝑢 2 )) + (10(2𝑢 − 2𝑢 2 ), 0(2𝑢 −
2𝑢 2 ), 5(2𝑢 − 2𝑢 2 )) + (7(𝑢 2 ), 0𝑢 2 , 5(𝑢 2 )) = (5 − 10𝑢 + 5𝑢 2 , 0,0) + (20𝑢 − 20𝑢 2 , 0,10𝑢 − 10𝑢 2 ) + (7𝑢 2 , 0,5𝑢 2 ) = (5 + 10𝑢 − 8𝑢 2 , 0 ,6𝑢 − 𝑢 2 ) dengan 0 ≤ 𝑢 ≤ 1 sehingga diperoleh kurva seperti pada (Gambar 1).
Gambar 1. Kurva Bezier Berderajat Dua

## 3. Perputaran (Rotasi)
Rotasi  adalah  perubahan  dari  suatu koordinat objek ke dalam kedudukan baru dengan menggerakkan  seluruh  titik  koordinat  yang didefinisikan  pada  bentuk  awal  dengan  suatu besaran  sudut  pada  suatu  sumbu  putar.  Jika 𝑄(𝑥 𝑞 , 𝑦 𝑞 , 𝑧 𝑞 ) adalah  posisi  setelah  rotasi  pada sumbu  putar, 𝑃(𝑥 𝑝 , 𝑦 𝑝 , 𝑧 𝑝 ) adalah  posisi  awal sebelum  dilakukan  rotasi,  dan 𝑅 adalah  matriks rotasi  pada  suatu  sumbu  putar.  Sistem  koordinat 𝑅 3 mempunyai  tiga  sumbu  putar,  maka  rotasi setiap sumbu dapat ditulis sebagai berikut, dengan 𝜃 menunjukkan sudut putar.
a. Rotasi terhadap sumbu 𝑋 (𝑥 𝑞 , 𝑦 𝑞 , 𝑧 𝑞 ) = (𝑥 𝑝 , 𝑦 𝑝 ⋅ cos 𝜃 − 𝑧 𝑝 ⋅ sin 𝜃 , 𝑦 𝑝 ⋅ sin 𝜃 + 𝑧 𝑝 ⋅ cos 𝜃) ( 3)
b. Rotasi terhadap sumbu 𝑌 (𝑥 𝑞 , 𝑦 𝑞 , 𝑧 𝑞 ) = (𝑥 𝑝 ⋅ cos 𝜃 + 𝑧 𝑝 ⋅ sin 𝜃 , 𝑦 𝑝 𝑥 𝑝 ⋅ (−sin 𝜃) + 𝑧 𝑝 ⋅ cos 𝜃) ( 4)
c. Rotasi terhadap sumbu 𝑍
(𝑥 𝑞 , 𝑦 𝑞 , 𝑧 𝑞 ) = (𝑥 𝑝 ⋅ cos 𝜃 + 𝑦 𝑝 ⋅ sin 𝜃, 𝑥 𝑝 ⋅ (− sin 𝜃) + 𝑦 𝑝 ⋅ cos 𝜃 , 𝑧 𝑝 ) ( 5) [3]
1 K 0 K 2 K

## 4. Pergeseran
Jika 𝑃(𝑥 𝑝 , 𝑦 𝑝 , 𝑧 𝑝 ) adalah  posisi  titik  asal, 𝑄(𝑥 𝑞 , 𝑦 𝑞 , 𝑧 𝑞 ) adalah  posisi  setelah  titik  digeser, 𝐼 adalah  matriks  identitas,  dan (𝑡𝑟 𝑥 , 𝑡𝑟 𝑦 , 𝑡𝑟 𝑧 ) merupakan  nilai  konstanta  yang  menunjukkan besarnya  penggeseran  pada  setiap  sumbu koordinat,  maka  hasil  penggeseran  dapat dinyatakan sebagai berikut [3].
(𝑥 𝑞 , 𝑦 𝑞 , 𝑧 𝑞 ) = (𝑥 𝑝 + 𝑡𝑟 𝑥 , 𝑦 𝑝 + 𝑡𝑟 𝑦 , 𝑥 𝑝 + 𝑡𝑟 𝑥 ) ( 6)
5. Interpolasi  di  Antara  Segmen  Garis  dan Kurva di Ruang
Misalkan terdapat dua segmen garis 𝐴𝐵 ̅̅̅̅ dan 𝐶𝐷 ̅̅̅̅ didefinisikan masing-masing oleh 𝐴(𝑥 1 , 𝑦 1 , 𝑧 1 ), 𝐵(𝑥 2 , 𝑦 2 , 𝑧 3 ), 𝐶(𝑥 3 , 𝑦 3 , 𝑧 3 ) dan 𝐷(𝑥 4 , 𝑦 4 , 𝑧 4 ) dalam bentuk  parametrik 𝐼 1 (𝑢) dan 𝐼 2 (𝑢) ,  maka permukaan  parametrik  hasil  interpolasi  linier kedua segmen garis tersebut diformulasikan,
𝑆(𝑢, 𝑣) = (1 − 𝑣)𝐼 1 (𝑢) + 𝑣𝐼 2 (𝑢) ( 7)
dengan 0 ≤ 𝑢 ≤ 1 dan 0 ≤ 𝑣 ≤ 1 Terdapat  beberapa  kasus  khusus  bentuk interpolasi  linier  kedua  garis  tersebut. Jika 𝐴 = 𝐵 maka  hasil  interpolasi  persamaan  (7)    akan menghasilkan bidang segitiga. Jika 𝐴𝐵 ̅̅̅̅ ∕∕ 𝐶𝐷 ̅̅̅̅ maka secara umum akan membentuk bidang segiempat. Jika bidang tersebut dibentuk dari interpolasi dua garis  yang  bersilang  maka  menghasilkan permukaan  yang  tidak  datar  (dapat  berbentuk lengkung  maupun  puntiran)  di  sebagian permukaan tersebut [4]
Dapat  dibangun  permukaan  lengkung hasil  interpolasi  kurva  ruang  melalui  persamaan berikut:
𝑆(𝑢, 𝑣) = (1 − 𝑣)𝐶 1 (𝑢) + 𝑣𝐶 2 (𝑢) ( 8)
dengan 𝐶 1 (𝑢) dan 𝐶 2 (𝑢) merupakan  kurva batas (Gambar 3) [4]
Gambar 2. Contoh Kasus Khusus Interpolasi Linier Dua Segmen Garis
Gambar 3. Interpolasi Linier pada Kurva
6. Dilatasi Titik Pada 𝑹 𝟑
Transformasi  dilatasi  yang  memetakkan titik 𝑃(𝑥, 𝑦, 𝑧) ke 𝑃 ′ (𝑥 ′ , 𝑦 ′ , 𝑧 ′ ) didefinisikan dengan bentuk formula berikut:
[ 𝑥 ′ 𝑦 ′ 𝑧 ′ ] = [ 𝑘 1 0 0 0 𝑘 2 0 0 0 𝑘 3 ] [ 𝑥 𝑦 𝑧 ] ( 9)
Dalam hal ini pemilihan nilai 𝑘 1 menyajikan sekala ke arah sumbu 𝑋 , 𝑘 2 ke arah sumbu 𝑌 dan 𝑘 3 menyajikan  skala  ke  arah  sumbu 𝑍 ,  jika 𝑘 1 = 𝑘 2 = 𝑘 3 ,  maka  peta  objek  yang  didapat  sebangun dengan objek aslinya (diperbesar, diperkecil; atau tetap) [1].
Misalkan  segitiga 𝑃𝑄𝑅 dengan  titik-titik sudut 𝑃(𝑥 1 , 𝑦 1 , 𝑧 1 ), 𝑄(𝑥 2 , 𝑦 2 , 𝑧 2 ) dan 𝑅(𝑥 3 , 𝑦 3 , 𝑧 3 ) didilatasikan  dengan  faktor  pengali 𝑘 > 1 , sehingga  didapatkan  segitiga  bayangan 𝑃′𝑄′𝑅′ dengan titik-titik sudut 𝑃 ′ (𝑘𝑥 1 , 𝑘𝑦 1 , 𝑘𝑧 1 ) , 𝑄 ′ (𝑘𝑥 2 , 𝑘𝑦 2 , 𝑘𝑧 2 ) dan 𝑅 ′ (𝑘𝑥 3 , ᡐ 𝑦 3 , 𝑘𝑧 3 ) seperti terlihat pada (Gambar 4)
Gambar 4. Kurva Bezier Berderajat Dua
7. Penyajian Benda-benda Geometri Ruang
a. Penyajian Tabung
Jika  diketahui  tabung  dengan  pusat  alas 𝑃 1 (𝑥 1 , 𝑦 1 , 𝑧 1 ) dengan jari-jari 𝑟 dan tinggi 𝑡 dapat di gambar dengan menggunakan persamaan sebagai berikut:
Jika sumbu pusat tabung sejajar sumbu 𝑍
𝑇(𝜃, 𝑧) = (𝑥 1 + 𝑟 cos 𝜃 , 𝑦 1 + 𝑟 sin 𝜃 , 𝑧) ( 10)
dengan 0 ≤ 𝜃 ≤ 2𝜋 dan r ∈ ℝ Jika sumbu pusat tabung sejajar smbu 𝑋
𝑇(𝜃, 𝑧) = (𝑥, 𝑦 1 + 𝑟 sin 𝜃 , 𝑧 1 + 𝑟 cos 𝜃) ( 11) dengan 0 ≤ 𝜃 ≤ 2𝜋 dan 𝑥 1 < 𝑥 ≤ 𝑥 1 + 𝑡 Jika sumbu pusta tabung sejajar sumbu 𝑌
𝑇(𝜃, 𝑧) = (𝑥 1 + 𝑟 cos 𝜃 , 𝑦, 𝑧 1 + 𝑟 sin 𝜃) ( 12)
dengan 0 ≤ 𝜃 ≤ 2𝜋 dan 𝑦 1 ≤ 𝑦 ≤ 𝑦 1 + 𝑡 [5].
Gambar 5. Tabung dengan Beragam Sumbu
Pusat
b. Penyajian Bola P Z X Y R Q ' P ' R ' Q
Menyatakan  persamaan  parametrik  bola dengan pusat 𝑄(𝑎, 𝑏, 𝑐) dan jari-jari 𝑟 , yaitu:
𝐵(𝜃, 𝛽) = (𝑟 sin 𝜃 cos 𝛽 + 𝑎, 𝑟 cos 𝜃 + 𝑐, 𝑟 sin 𝜃 sin 𝛽 + 𝑏)
( 13) dengan  paramer 0 ≤ 𝜃 ≤ 2𝜋 dan 0 ≤ 𝛽 ≤ 2𝜋 [5]. 8. Konstruksi Objek Pada Program Maple Disajikan  contoh  bahasa  pemrograman menggunakan softwere Maple 15 untuk mengkonstruksi objek geometri.
a. Mengkonstruksi Segmen Garis
Untuk  membangun  segmen  garis 𝐴𝐵 ̅̅̅̅ dengan  titik 𝐴(3,2,4) dan  titik 𝐵(9,8,12) pada Maple  15  (Gambar  2.23),  dengan  menggunakan persamaan sebagai berikut:
𝑃(𝑢) = 𝑎 + 𝑏𝑢 𝑃(0) = 𝑎 𝑃(1) = 𝑎 + 𝑏 sehingga 𝑃(𝑢) = 𝑃(0) + 𝑃(1)𝑢 dimana 𝑃(0) = titik awal kurva 𝑃(1) = titik akhir kurva (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑥 𝐴 + 𝑢 ⋅ (𝑥 𝐵 − 𝑥 𝐴 ), 𝑦 𝐴 + 𝑢 ⋅
(𝑦 𝐵 − 𝑦 𝐴 ), 𝑧 𝐴 + 𝑢 ⋅ (𝑧 𝐵 − 𝑧 𝐴 )) maka  dapat  ditulis  dengan  script  program yaitu,
>plot3d([3+u*(9-3),2+u*(8-2),4+u*(12-
4)],u=0..1);
Gambar 6. Segmen Garis pada Maple 15
b. Megkonstruksi Tabung
Tabung  adalah  sebuah  bidang  yang dibentuk  oleh  lingkaran  yang  berjari-jari 𝑟 dan bergerak  secara  paralel  pada  sumbu  pusat sepanjang 𝑡 .  Contoh  penulisan script pada  Maple 15  untuk  mengkonstruksi  tabung  dengan menggunakan  persamaan  (11)  seperti  pada (Gambar 7) adalah:
>plot3d([4*cos(u)+4,4*sin(u)+4,4*v],u=0..2 *Pi,v=0..4);
Tabung  terbentuk  dari  bidang  lingkaran berpusat  di 𝑥 = 4 dan 𝑦 = 4 dan 𝑟 = 4 dengan ketinggian 𝑧 = 4𝑣 dengan 𝑣 interval dari 0 sampai
4.
Gambar 7. Tabung pada Maple 15 c. Mengkonstruksi Bola Untuk mengkonstruksi bola dengan jari-jari
3  dan  berpuata  di  titik (1,4,3) dengan
menggunakan  persamaan  (13)  seperti  pada (Gambar 8) pada Maple 15 adalah:
>plot3d([3*sin(v)*cos(u)+1,
3*sin(v)*sin(u)+4, 3*cos(v)+3], u = 0 .. 2*Pi, v = 0 .. 2*Pi);

## Gambar 8. Bola pada Maple 15

## PEMBAHASAN
Di  dalam  artikel  ini  dijelaskan  bagaimana prosedur  untuk  mengkonstruksi  kap  lampu duduk. Prosedur yang pertama yaitu mengkonstruksi komponen-komponen kap lampu duduk  duduk  yang  akan  digunakan.  Langkah selanjutnya  yaitu  mengkonstruksi  bagian-bagian kap lampu duduk yaitu bagian alas, bagian utama dan  bagian  atap.  Prosedur  yang  terakhir  yaitu mengkonstruksi kap duduk secarah utuh.
A. Mengkonstruksi  Kompnen-komponen  Kap Lampu Duduk
1. Mendeformasi Tabung Misalkan diberikan tabung yang berjari-jari
𝑟 ,  batas  minimum  jari-jari  tabung  yaitu  10  cm sedangkan  batas  maximum  jari-jari  tabung  yaitu 20  cm,  tinggi  minimum  tabung  yaitu  10  cm sedangkan tinggi maximum tabung yaitu   30  cm, dan alas berpusat di 𝑃(𝑥 0 , 𝑦 0 , 𝑧 0 ) . Sehingga, selang ukuran  tabung  yaitu 10 cm ≤ 𝑡 ≤ 30 cm dan 10 cm ≤ 𝑟 ≤ 20 cm . Pemilihan nilai 𝑟 dan 𝑡 dalam selang  tersebut  bertujuan  untuk  perbedaan ukuran  bentuk  komponen  penyusun  kap  lampu duduk.  Berdasarkan  data  tersebut  didesain beragam  bentuk  komponen  penyusun  kap  lampu duduk  menggunakan  teknik  modifikasi  kurva selimut dan teknik dilatasi lengkung selimut.
Algoritma  untuk  mendoformasi  tabung dengan  modifikasi  pada  kurva  selimut  adalah sebagai berikut:
a. Ditentukan  titik  pusat  pada  lingkaran  alas tabung yaitu (𝑥 1 , 𝑦 1 , 𝑧 1 ) = (0,0,0) , bangun lingkaran  alas  tabung  dengan  menggunakan persamaan  lingkaran  dan  menetapkan  nilai 𝜃 = 0 sehingga didapat satu titik yaitu 𝑃(0) . 𝑃(0) = (𝑥 1 + 𝑟 1 cos 𝜃 , 𝑦 1 + 𝑟 1 sin 𝜃 , 𝑧 1 ) = (𝑟 1 , 0,0)
b. Ditentukan  titik  pusat  pada  lingkaran  atap tabung  yaitu (𝑥 1 , 𝑦 1 , 𝑧 1 ) = (0,0, 𝑡) ,  bangun lingkaran  atap  tabung  dengan  dengan menggunakan  persamaan  lingkaran  dan menetapkan nilai 𝜃 = 0 sehingga didapatkan satu titik yaitu 𝑃(1) . 𝑃(1) = (𝑥 1 + 𝑟 2 cos 𝜃 , 𝑦 1 + 𝑟 2 sin 𝜃 , 𝑧 1 ) = (𝑟 2 , 0, 𝑡)
c. Ditentukan  titik  kontrol 𝑃 ′ (1) untuk mengontrol  kelengkungan  kurva  Hermit sehingga
𝑃 ′ (1) = (𝑥, 0, 𝑧) dengan −2𝑟 ≤ 𝑥, 𝑧 ≤ 2𝑡 dan 𝑥, 𝑧 ∈ ℝ .
d. Kurva Hermit dibangun dengan mensubtitusikan nilai 𝑃(0), 𝑃(1) dan 𝑃 ′ (1) ke persamaan (1) sehingga didapat
𝑃(𝑢) = (𝑟𝐻 1 (𝑢) + 𝑟𝐻 2 (𝑢) + 𝑥𝐻 3 (𝑢), 0𝐻 1 (𝑢) +
0𝐻 2 (𝑢) + 0𝐻 3 (𝑢), 0𝐻 1 (𝑢) + 𝑡𝐻 2 (𝑢) + 𝑧𝐻 3 (𝑢) )
dengan 𝐻 1 (𝑢) = (1 − 𝑢 − 𝑢 2 )
𝐻 2 (𝑢) = (2𝑢 − 𝑢 2 ) 𝐻 3 (𝑢) = (−𝑢 + 𝑢 2 )
0 ≤ 𝑢 ≤ 1
e. Kurva  Hermit  diputar  terhadap  sumbu 𝑍 dengan menggunakan persamaan (5) dan 0 ≤ 𝜃 ≤ 360 0 sehingga 𝑃(𝑢) = ((𝑟𝐻 1 (𝑢) + 𝑟𝐻 2 (𝑢) + 𝑥𝐻 3 (𝑢)) cos 𝜃,
(𝑟𝐻 1 (𝑢) + 𝑟𝐻 2 (𝑢) + 𝑥𝐻 3 (𝑢)) sin 𝜃, 0𝐻 1 (𝑢) + 𝑡𝐻 2 (𝑢) + 𝑡𝐻 3 (𝑢))
Gambar 9. Variasi Hasil Deformasi Tabung
2. Mendeformas Prisma Segi Enam
Misalkan  diberikan  prisma  segienam beraturan  dengan  koordinat  pasangan  titik  ujung rusuk [𝐾 𝑖 (𝑥 𝑖 , 𝑦 𝑖 , 𝑧 𝑖 ), 𝐾 𝑖 ′ (𝑥 𝑖 , 𝑦 𝑖 , 𝑧 𝑖 + 𝑡)] dengan 𝑖 = 1,2, 3, … ,6 dan tinggi 𝑡 dengan 5 cm ≤ 𝑡 ≤ 15 cm. masing-masing  tutupnya  bertitik  berat  dititik 𝐾(𝑥 0 , 𝑦 0 , 𝑧 0 ) dan 𝐾 ′ (𝑥 0 , 𝑦 0 , 𝑧 0 + 𝑡) .  Jarak  titik  K  ke 𝐾 𝐼 dan 𝐾′ ke 𝐾 𝑖 ′ adalah  6 cm ≤ 𝑟 ≤ 10 cm .  Dalam hal  ini, 𝐾𝐾′ ̅̅̅̅̅ diambil  sebagai  sumbu  simetri deformasi prisma segienam.
Langkah-langkah  deformasi  sisi  tegak prisma menjadi lengkung cekung yaitu:
a. Ditentukan 𝐾 𝑖 dan 𝐾 𝑖 ′ dengan 𝑖 = 0,1,2,3,4,5 sebagai  titik  kontrol  untuk  beberapa  kurva Bezier linier dengan menggunakan persamaan  lingkaran  dengan  menetapkan
𝜃 = 𝑖𝜋 3 dan (𝑥 1 , 𝑦 1 , 𝑧 1 ) = (0,0,0) . 𝐾 𝑖 (𝜃) = (𝑟 cos 𝑖𝜋 3 , 𝑟 sin 𝑖𝜋 3 , 0) 𝐾 𝑖 ′(𝜃) = (𝑟 cos 𝑖𝜋 3 , 𝑟 sin 𝑖𝜋 3 , 𝑡)
b. Ditetapkan  titik  kontrol 𝑄 untuk mengontrol kelengkungan kurva Bezier kuadratik 𝑄 = (𝑥 0 , 𝑦 0 , 𝑧) dengan 𝑧 ∈ [𝑧 0 , 𝑡] . c. Kurva  Bezier  berderajat  dua  untuk  setiap pasang  titik  kontrol (𝐾 𝑖 , 𝑄, 𝐾 𝑖 ′ ) dibangun dengan menggunakan persamaan (2)
𝑉 𝑖 (𝑢) = (1 − 𝑢) 2 𝐾 𝑖 + 2(1 − 𝑢)(𝑢)𝑄 + 𝑢 2 𝐾 𝑖 ′
dengan 0 ≤ 𝑢 ≤ 1 .
d. Diinterpolasikan secara linier masing-masing kurva  Bezier  melalui  persamaan  (8)  secara berpasangan dan berurutan berlawanan arah jarum jam
S(u, v) = ((1 − 𝑣)(1 − 𝑢) 2 𝑟 cos 𝑖𝜋 3 +
(1 − 𝑣)(2𝑢 − 2𝑢 2 )𝑥 0 +
(1 − 𝑣)𝑢 2 𝑟 cos 𝑖𝜋 3 + 𝑣(1 − 𝑢) 2 𝑟 cos (𝑖+1)𝜋 3 + 𝑣(2𝑢 − 2𝑢 2 )𝑥 0 + 𝑣𝑢 2 𝑟 cos (𝑖+1)𝜋 3 , (1 − 𝑣)(1 − 𝑢) 2 𝑟 sin 𝑖𝜋 3 + (1 − 𝑣)(2𝑢 −
2𝑢 2 )𝑦 0 + (1 − 𝑣)𝑢 2 𝑟 sin 𝑖𝜋 3 + 𝑣(1 − 𝑢) 2 𝑟 sin (𝑖+1)𝜋
3 + 𝑣(2𝑢 − 2𝑢 2 )𝑦 0 + 𝑣𝑢 2 𝑟 sin (𝑖+1)𝜋
3 , (1 − 𝑣)(1 − 𝑢) 2 0 + (1 − 𝑣)(2𝑢 − 2𝑢 2 )𝑧 + (1 − 𝑣)𝑢 2 0 + 𝑣 0(1 −
𝑢) 2 + 𝑣(2𝑢 − 2𝑢 2 )𝑧 + 𝑣0𝑢 2 ) dengan 0 ≤ 𝑣 ≤ 1 dan 0 ≤ 𝑢 ≤ 1
Gambar 10. Variasi Hasil Deformasi Tabung B. Mengkonstruksi  Bagian-bagian  Kap  Lampu Dudu
Sebelum  dilakukan  perangkaian  bagian- bagian  kap  lampu  duduk  yang  dilakukan  terlebih dahulu yaitu menetapkan sumbu sepanjang tinggi kap  lampu  duduk  kemudian  membagi  segmen tersebut  menjadi  tiga  sub  segmen  non-homogen yaitu 𝑆 3 𝑆 4 ̅̅̅̅̅̅ bagian alas, 𝑆 2 𝑆 3 ̅̅̅̅̅̅ bagian utama, dan 𝑆 1 𝑆 2 ̅̅̅̅̅̅ bagian atap.
1. Merangkai Alas Kap Lampu Duduk Langkah-langkah  penyusunan  alas  kap lampu duduk:
a. Bagian 𝑆 3 𝑆 4 ̅̅̅̅̅̅ diisi  dengan  komponen- komponen kap lampu duduk.
b. Dipilih parameter-parameter pengubah bentuk  permukaan  seperti  ukuran  dan  titik kontrol  kelengkungan  sehingga  didapat bentuk  kap  lampu  duduk  bagian  alas  yang diinginkan.
c. Dibangun  bidang  tutup  bawah  dengan prosedur sebagai berikut.
1) Ditetapkan lingkaran tutup bawah bagian alas dengan jari-jari 𝑟 1 ;
2) Dibangun bola dengan jari-jari 𝑟 1 dengan 𝑧 = 0 sebagai  tutup  bawah  dengan persamaan (13).
Gambar 11. Beberapa Variasi Alas Kap Lampu Duduk
2. Mengkonstruksi Bagian Utama Kap Lampu Duduk
Langkah-langkah penyusunan bagian utama kap  lampu  duduk  yang  terbentuk  dari  beberapa benda dasar sebagi berikut:
a. Segmen  garis 𝑆 2 𝑆 3 ̅̅̅̅̅̅ dibagi  menjadi  beberapa sub segmen.
b. Setiap  sub  segmen  diisi  dengan  komponen- komponen kap lampu duduk.
1) Sub  segmen  bagian  bawah  diisi  dengan komponen kap lampu duduk.
2) Dipilih  parameter  pengubah  bentuk permukaan  komponen  kap  lampu  duduk seperti  ukuran  dan  titik  kontrol kelengkungan
sehingga didapat komponen  kap  lampu  duduk  sesuai keinginan.
3) Dilakukan  langkah  1)  dan  2)  untuk mengisi sub segmen selanjutnya kemudian translasikan komponen
tersebut  searah  sumbu 𝑍 sejauh  panjang sub segmen sebelumnya.
4) Dilakukan  langkah  1)  sampai  3)  untuk mengisi  sub  segmen  selanjutnya  hingga bagian sub segmen dari segmen garis 𝑆 2 𝑆 3 ̅̅̅̅̅̅ terisi semua.
c. Beberapa  bangun  komponen  bagian  utama kap  lampu  duduk  digabung  dengan  cara membangun  bidang  batas  antara  dua komponen  berdekatan  dengan  prosedur sebagai berikut.
1) Ditetapkan  lingkaran  tutup  atas  bagian komponen  kap  lampu  duduk  yang pertama dengan jari-jari 𝑟 1 sebagai kurva batas 𝐶 1 (𝑢) .
2) Ditetapkan  lingkaran  tutup  bawa  bagian komponen  kap  lampu  duduk  yang  kedua dengan  jari-jari 𝑟 2 sebagai  kurva  batas 𝐶 2 (𝑢) .
3) Dibangun  bidang  batas  antara 𝐶 1 (𝑢) dan 𝐶 2 (𝑢) dengan
interpolasi linier menggunaan persamaan (8).
4) Dilakukan  langkah  (a)  sampai  (c)  untuk membangun  bidang  batas  antara  bagian komponen-komponen  utama  kap  lampu duduk.
Gambar 12. Variasi Bagian Utama
3. Mengkonstruksi  Bagian  Atap  Kap  Lampu Duduk Langkah-langkah  penyusunan  atap  kap lampu duduk:
a. Bagian 𝑆 1 𝑆 2 ̅̅̅̅̅̅ diiisi  dengan  komponen- komponen kap lampu duduk.
b. Dibangun bidang tutup atas dengan prosedur sebagai berikut.
Jika  permukaan  atas  berbentuk lingkaran.
1) Ditetapkan  lingkaran  tutup  atas  bagian alas dengan jari-jari 𝑟 1 .
2) Dibangun  bola  dengan  jari-jari 𝑟 1 dengan 𝑧 = 0 tutup  bawah  dengan  persamaan (13). Jika  permukaan  atas  berbentuk segienam.
1) Ditetapkan  titik  kontrol 𝐾 𝑖 dengan 𝑖 = 0, 1, 2, 3, 4, dan  5  pada  poligon  segienam bagian atas atap kap lampu duduk dengan menggunakan
persamaan (10), menetaapkan 𝜃 = 𝑖𝜋 3 dan 𝑟 merupakan jarak antara titik 𝑆 1 dengan 𝐾 𝑖 sehingga
𝐾 𝑖 = (𝑟 cos 𝑖𝜋 3 , 𝑟 sin 𝑖𝜋 3 , 𝑡)
2) Diinterpolasikan  secara  linier  masing- masing  pasangan  titik  kontrol  dengan menggunakan persamaan (8) sehingga
𝑆(𝑢, 𝑣) = ((1 − 𝑣) 𝑟 cos 𝑖𝜋 3 + (1 −
𝑣) 𝑢 𝑟 cos (𝑖+1)𝜋 3 + (1 − 𝑣) 𝑢 𝑟 cos 𝑖𝜋 3 + 0𝑣, (1 −
𝑣)𝑟 sin 𝑖𝜋 3 + (1 − 𝑣) 𝑢 𝑟 sin (𝑖+1)𝜋 3 + (1 − 𝑣) 𝑢 𝑟 sin 𝑖𝜋 3 + 0𝑣, (1 − 𝑣)𝑡 +
(1 − 𝑣) 𝑢 𝑡 + (1 − 𝑣) 𝑢 𝑡 + 𝑡𝑣)
Gambar 13. Variasi Bagian Utama

## C. Mengkonstruksi Kap Lampu Secarah Utuh
Selanjutnya  untuk  mendapatkan  bentuk utuh  kap  lampu  duduk  yang  tergabung  secara kontinyu  pada  bagian  ini  dilakukan  perangkaian beberapa  benda-benda  dasar  komponen  kap lampu  duduk  dengan  cara  menggabungkan komponen-komponen  bagian  dari  kap  lampu duduk.
Langkah-langkah  perangkaian  kap  lampu duduk secara utuh:
1. Bagian  segmen  garis 𝑆 3 𝑆 4 ̅̅̅̅̅̅ diisi  dengan komponen bagian alas kap lampu duduk.
2. Bagian  segmen  garis 𝑆 2 𝑆 3 ̅̅̅̅̅̅ diisi  dengan komponen  bagian  utama  kap  lampu  duduk dan sesuaikan tingginya.
3. Bagian  segmen  garis 𝑆 2 𝑆 1 ̅̅̅̅̅̅ diisi  dengan komponen bagian atap  kap lampu duduk dan sesuaikan tingginya.
4. Beberapa komponen bagian kap lampu duduk digabung  dengan  cara  membangun  bidang batas  antara  dua  komponen  berdekatan dengan prosedur sebagai berikut.
a. Ditetapkan lingkaran atau poligon
segienam beraturan tutup atas bagian alas komponen kap lampu duduk dengan jari- jari 𝑟 1 sebagai kurva batas 𝐶 1 (𝑢) .
b. Ditetapkan lingkaran atau poligon segienam  beraturan  tutup  bawa  bagian utama  komponen  kap  lampu  duduk dengan  jari-jari 𝑟 2 sebagai  kurva  batas 𝐶 2 (𝑢) . c. Bidang  batas  antara 𝐶 1 (𝑢) dan 𝐶 2 (𝑢) dibangun  dengan  interpolasi  linier menggunaan persamaan (8).
d. Dilakukan  langkah  (a)  sampai  (c)  untuk membangun bidang batas
antara komponen  utama  kap  lampu  duduk dengan komponen atap kap lampu duduk.
Gambar 14. Variasi Bagian Utama

## KESIMPULAN
Berdasarkan hasil penelitian, diperoleh bahwa:
1. Merangkai komponen kap lampu duduk secarah utuh yaitu mengkonstruksi komponen-komponen kap lampu duduk, mengkonstruksi bagian-bagian dari kap lampu duduk (bagian alas, bagian utama dan bagian atap), langkah yang terakhir yaitu merangkai komponen kap lampu duduk secarah utuh.
2. Pemilihan parameter-parameter dan titik kontrol kelengkungan kurva akan menghasilkan bentuk-bentuk kelengkungan kurva yang berbeda sehingga bentuk kap lampu yang diperoleh bervariatif.

## DAFTAR PUSTAKA
[1] Kusno, Geometri Rancang Bangun Studi Tentang Desain dan Pemodelan Benda dengan Kurva dan Permukaan Berbantu Komputer, Jember: Jember University Press, 2010.
[2]  Kusno, A. Cahaya and M. Darsin, "Modelisasi Benda Onyx dan Marmer Melalui Penggabungan dan Pemilihan Parameter Pengubah Bentuk Permukaan Putar Bezier,"
Jurnal Ilmu Dasar, pp. 175-185, 2014.
[3]  A. Cristiyyanto, "Perancangan Objek Tiga Dimensi dengan Teknik Flat Shading dan Gouraund Menggunakan Bahasa Turbo Pascal 7.0," Skripsi tidak dipublikasikan, 2003.
[4]  M. Roifah, "Modelisasi Knop Melalui Penggabungan Benda Dasar Hasl Deformasi Tabung, Prisma Segienam Beraturan dan Permukaan Putar," Skripsi tidak dipublikasikan, 2013.
[5]  A. Bastian, "Desain Kap LAmpu Duduk Melalui Penggabungan Benda-benda Geometi Ruang," Skripsi tidak dipublikasikan, 2010.