## HUBUNGAN ANALITIS TINGGI MASSA TERPUSAT BANGUNAN TINGKAT TINGGI TERHADAP SIMPANGAN ANTAR-LANTAI AKIBAT GETARAN BEBAS TAKBEREDAMAN
Ricky H. Dakabesy 1 (rickyhandayani19@gmail.com)
Jusuf J. S. Pah 2 (yuserpbdaniel@yahoo.co.id)
Dolly W. Karels 3 (dollywkarels@gmail.com)

## ABSTRAK
Analisis  getaran  bebas  sangat  penting  dilakukan  karena  dapat  membantu  mengetahui karakteristik suatu struktur seperti frekuensi natural (ω) dan periode getar struktur (T). Penelitian ini  dilakukan  guna  mengetahui  hubungan  secara  analitis  antara  massa  lantai  yang  dipusatkan sebesar 1,5 massa pada suatu taraf lantai tertentu yang lebih besar dari massa lantai lainnya, pada 10 model gedung lantai 10 terhadap simpangan antar lantai akibat getaran bebas tanpa redaman menggunakan metode kekakuan. Dari hasil analisis peroleh bahwa semakin tinggi lantai struktur maka semakin besar frekuensi natural dan semakin kecil periode getar struktur tersebut, dan juga semakin tinggi letak massa lantai terpusat maka semakin besar pula simpangan antar lantai yang terjadi. Terdapat tiga kondisi perubahan periode getar  lantai tiap pemodelan gedung, yaitu  yang pertama pada lantai 1 tiap model gedung, semakin tinggi massa dipusatkan maka semakin besar periode  getar  lantai  1  pada  tiap  model  gedung,  yang  kedua  pada  lantai  yang  ketinggiannya setengah  dari  dari  tinggi  gedung,  periode  getar  struktur  akan  berubah  naik  turun  tiap  satu perubahan  pemusatan  massa,  dan  yang  ketiga  pada  lantai  10  tiap  model  gedung,  periode  getar terbesar  berada  pada  model  gedung  yang  pemusatan  massanya  berada  pada  lantai  yang ketinggiannya setengah dari tinggi gedung. *
Kata Kunci: Massa, Simpangan, Getaran, Redaman.

## ABSTRACT
Free vibration analysis is very important because it can help determine the characteristics of a structure such as the natural  frequency  (ω) and the vibration period  of  the  structure  (T).  This research was conducted to determine the analytical relationship between the floor mass centered at 1.5 masses at a certain floor level which is larger than the other floor masses, on 10 models of the  10th  floor  building  against  the  drift  between  floors  due  to  free  vibration  without  damping using the stiffness method.  From the results of the analysis, it is found that the higher the floor of the structure, the greater the natural frequency and the smaller the period of vibration  of the structure, and also the higher the location of the centralized floor mass, the greater the deviation between floors that occurs. There are three conditions of change in  the vibration period  of the floor of each building model, namely the first on the 1st floor of each building model, the higher the concentrated mass, the greater the vibration period  of the 1st floor in each building model, the second on the floor whose height is half of the building height. The vibration of the structure will change up and down every time the concentration of mass changes, and the third is on the 10th floor of each building model, the largest vibration period is in the building model where the concentration of mass is on a floor whose height is half of the building's height.
Keywords: Mass, Drift, Vibration, Damping.
1 Prodi Teknik Sipil, FST Undana (Penulis Korespondensi);
2 Prodi Teknik Sipil, FST Undana;
3 Prodi Teknik Sipil, FST Undana.

## PENDAHULUAN
Walaupun dalam kenyataannya getaran bebas pada bangunan tingkat tinggi sangat jarang terjadi, namun menganalisis atau mempelajari tentang getaran ini sangat penting dilakukan karena dapat membantu  mengetahui  karakteristik  dari  suatu  struktur  seperti  frekuensi  sudut,  periode  getar, frekuensi  alami,  dan normal  modes .  Getaran  bebas  yang  terjadi  pada  stuktur  banguan  tingkat tinggi  akan  mengakibatkan  terjadinya  simpangan  horisontal  antar  lantai (drift) pada  struktur tersebut.  Karena  akan  terjadi  simpangan  horisontal  pada  lantai  struktur,  maka  besarnya  massa lantai  dan  tinggi  letak  massa  lantai  terpusat  stuktur  merupakan  suatu  hal  yang  perlu  diketahui hubungannya dengan simpangan antar lantai yang terjadi tersebut.  Agar lebih sederhana dalam menganalisis getaran bebas tersebut maka redaman pada struktur diabaikan atau diaanggap tanpa redaman.

## TINJAUAN PUSTAKA

## Getaran Bebas Tanpa Redaman Pada Struktur MDOF
Pada  getaran  bebas  di  struktur  yang  mempunyai  derajat  kebebasan  banyak  (MDOF),  maka matriks persamaan diferensial gerakannya adalah,
[ m ] [ẍ] +[ c ][ ẋ ] +[ k ][ x ] = 0 (1)
Pada  struktur  dengan  redaman,  frekuensi  sudut  yang  dihasilkan  hampir  sama  dengan  frekuensi sudut  pada struktur yang dianggap tanpa redaman. Apabila prinsip  ini digunakan untuk struktur dengan derajat kebebasan banyak, maka nilai C = 0, maka persamaan 1 akan menjadi,
[m] [ẍ] +[k][x] = 0 (2)
Karena  persamaan  2  adalah  persamaan  diferensial  pada  struktur  MDOF  yang  dianggap  tidak mempunyai  redaman,  maka  penyelesaian  persamaan  diferensial  tersebut  diharapkan  dalam fungsi  harmonik  menurut  bentuk,  solusi  dari  persamaan  gerak  bebas  tanpa  redaman  bangunan geser adalah :
xi = ϕ i sin ωt   atau dalam notasi vektor [x] = [ϕ] sin ωt (3) ẋi = ω ϕ cos ωt  atau dalam notasi vektor  [ẋ]= ω [ϕ] cos ωt (4)
ẍ i = - ω² ϕ i sin  ωt  atau dalam notasi vektor  [ẍ ]= - ω² [ϕ] sin ωt (5) dimana :
[ Ẍ ]   = vektor percepatan [x]    = vektor perpindahan [ ϕ ]    = vektor amplitudo gerak pada lantai ke-i ω = Frekuensi natural
yang apabila disubtitusikan kedalam persaman persamaan 2 maka akan menjadi :
[M][ Ẍ ]  + [K][X]    = [0] [M] (- ω² [ϕ] sin ωt) + [K] ([ϕ] sin ωt) = [0]
[ [K] - ω² [M] ] [ϕ] sin ωt  = [0]
dapat di selesaikan jika dan hanya jika :
│[K] - ω² [M]│ [ϕ ] = [0] (6)
masalah di atas adalah masalah matematis yamg lebih dikenah dengn eigen problem solusi non- trivial  dari  masalah  tersebut  adalah  setiap  nilai ϕ i tidak  sama  dengan  0 ( ϕi≠0) memerlukan determinan dari faktor faktor matriks [ϕ] = 0 atau :
│ [K] - ω² [M] │= 0
(7)

## Hubungan Orthogonal
Hubungan  Orthogonal  yaitu  hubungan  unik  yang  bermanfaat  dalam  menyelesikan  problema dinamik.  Hubungan  orthogonal  tersebut  dapat  diketahui  dengan  menggunakan  persamaan  nilai eigen seperti pada persamaan 6. Diketahui bahwa persamaan 2.6 merupakan persamaan simultan yang  terdiri  dari  beberapa  persamaan.  Apabila  persamaan  simultan  tersebut  mempunyai  n- persamaan  maka persamaan tersebut akan  mempunyai  n-akardan  masing-masing akan  memberi ordinat  modes  ke-1,2..i,  j...n  yangditunjukan  oleh ф 1  , ф 2  ,.... ф i  , ф j  ,.... ф n  . Untuk    memulai pembahasan  maka  diambil  persamaan  nilai  eigen  yang  menghasilkan  mode  ke-i  ,  dan  ke-j  dari persamaan.
ω i ²[ m ] [Ø] i = [ k ] [Ø] i (8) ω j ²[ m ][Ø] j = [ k ][Ø] j (9)
Apabila nilai transpose persamaan 7 dikalikan Ø j maka akan diperoleh suatu persamaaan ,
[ω i²[m][Ø]i]T [Ø]j  = [ [k] [Ø]i ]T  [Ø]j (10) Karena matriks massa dan matriks kekakuan adalah matriks simetri maka [ m ] T =[ m ] dan [ k ] T =[ k ], sehingga perkalian pada persamaan 8 setelah disesuaikan orde matriksnya akan menjadi,
ω i ²[Ø] i T [ m ] [Ø] j = [Ø] i T [ k ][Ø] j (11)
Apabila  persamaan  11  dikalikan  [Ø] i T dan  dengan  mengambil  sifat-sifat  diatas  dan  dengan memperhatikan orde matriks maka akan diperoleh,
ω i ²[Ø] i T [ m ] [Ø] j = [Ø] i T [ k ][Ø] j (12)
Karena ruas kanan persamaan 11dan 12 sama maka apabila persamaan 11 dikurangi persamaan 12  maka akan menjadi,
[ω i ² - ω j ²][Ø] i T [ m ] [Ø] j = 0                                                         (13) Persamaan 13 adalah suatu perkalian yang hasilnya sama dengan nol. Oleh karena itu salah satu penggali tersebut harus sama dengan nol.  Pada kenyataannya tidak akan dijumpai bahwa ω i = ω j sehingga nilai yang sama dengan nol adalah :
[Ø] i T [ m ] [Ø] j = 0                                                                         (14)

## Hubungan Normalisasi
Penyelesaian  persamaan  simultan  homogen  yang  dalam  hal  ini  adalah  mencari  koordinat mode shapes Øij tidaklah  memberikan  nilai  yang pasti melainkan hanyalah  merupakan perbandingan. Sebagai  contoh  koordinat  untuk  massa  ke-1 Øij, umumnya  memberikan  nilai Øij  =  1 . Sebenarnya  nilai tersebut tidak selalu diberi  nilai  1, tetapi  nilai apa saja asalkan  nilai koordinat yang  lain  sebanding  dengan  nilai  tersebut.  Pengambilan  nilai Øij=1 tersebut  sebenarnya merupakan usaha normalisasi ( normalizing ).
Ada cara lain untuk membuat normalisasi yaitu melalui suatu skala vector Sc.
Sc = [Ø] i T [ m ][Ø] j (15)
Dengan j =1,2, ... n adalah sembarang modes.
Normalisasi elemen mode shape Ø ij dapat diperoleh dengan hubungan ,
Фij = 𝜙𝑖𝑗 √[𝜙𝑖] [𝑀] [𝜙𝑗] (16)
Untuk  struktur  yang  mempunyai  matriks  diagonal  maka  normalisasi  elemen mode  shape s tersebut dapat dihitung dengan,
𝜙𝑖𝑗 ̅̅̅̅ =
𝜙𝑖𝑗
√∑ 𝑚𝑖 𝜙𝑖𝑗 ² 𝑛 𝑖=1 (17)
Selanjutnya  nilai-nilai  normalisasi  elemen mode  shape tersebut  dapat  ditulis  dalam  beentuk normalized modal matriks,
[ Ф ] = [ 𝜙11 ̅̅̅̅̅̅ 𝜙12 ̅̅̅̅̅̅ 𝜙13 ̅̅̅̅̅̅ … 𝜙1𝑛 ̅̅̅̅̅̅ 𝜙21 ̅̅̅̅̅̅ 𝜙22 ̅̅̅̅̅̅ 𝜙23 ̅̅̅̅̅̅ … 𝜙2𝑛 ̅̅̅̅̅̅ … … … … … 𝜙𝑛1 ̅̅̅̅̅̅ 𝜙𝑛2 ̅̅̅̅̅̅ 𝜙𝑛3 ̅̅̅̅̅̅ … 𝜙𝑛𝑛 ̅̅̅̅̅̅ ] (18)
Maka diperoleh suatu hubungan untuk mengontrol koordinat mode shape yaitu,
[Ф] T [M] [Ф]  = [ I ]                                                   (19)

## METODE PENELITIAN
Spesimen  Yang  Digunakan  Dalam  Penelitian  Ini  Adalah  Pemodelan  Bangunan  10  Lantai Dengan  Banyak Derajat Perpindahan (Multi  Degress Of Freedom-Mdof) Dan Termasuk Dalam Struktur  Gedung  Beraturan.  Massa  Lantai  Pada  Suatu  Tingkat  Bangunan  Sebesar  150%  Lebih Besar  Dari  Massa  Lantai  Pada  Tingkat  Lainnya  Yang  Hanya  Sebesar  100%  Massa,  Dan Letaknya  Berbeda-Beda  Pada  Masing-Masing  Pemodelan  Gedung.  Terhadap  10  Jenis Pemodelan  Gedung  Yaitu  Gedung  1(G1),  Gedung  2(G2),  Gedung  3  (G3),  Gedung  4  (G4), Gedung 5 (G5), Gedung 6 (G6), Gedung 7 (G7), Gedung 8 (G8), Gedung 9 (G9), Dan Gedung 10 (G10).
Terlebih  dahulu  membuat  formulasi  persamaan  gerak,model  matematik  dan  diagram free  body dari  bangunan  geser  10  lantai  agar  dapat  diperoleh  formulasi  matriks  massa  dan  matriks kekakuan,  kemudian  kesepuluh  model  gedung  tersebut  dianalisis  menggunakan  metode Kekakuan (stiffness) dengan langkah-langkah sebagai berikut:
1. Menentukan frekuensi natural (ω)
2.Menentukan pola perubahan bentuk (mode shape) dan persamaan simpangan horisontal antar lantai (drift)
3. Menentukan matriks pola ( modal matriks)
setelah itu dilakukan kontrol kondisi orthogonalitas terhadap matriks pola yang diperoleh.

## ANALISIS DAN PEMBAHASAN.

## Formulasi Persamaan Gerak Bangunan Geser 10 Lantai
Untuk  menentukan  persamaan  gerak  dari  suatu  bangunan  geser  10  lantai  maka  dibuat  model MDOF,  model  matematis  dan  diagram freebody dari  bangunan  10  lantai.  Dari  persamaan kesetimbangan dinamis bangunan geser 10 lantai diperoleh:
m ₁ ẍ ₁ + (c ₁ + c ₂ ) ẋ ₁ - c ₂ ẋ ₂ + (k ₁ +k ₂ )x ₁ -  k ₂ x ₂ = F ₁ (t)
m ₂ ẍ ₂ - c ₂ ẋ ₁ +( c ₂ +c ₃ )ẋ ₂ - c ₃ ẋ ₃ -k ₂ x ₁ + (k ₂ +k ₃ )x ₂ - k ₃ x ₃ = F ₂ (t)
m ₃ ẍ ₃ - c ₃ ẋ ₂ +( c ₃ +c ₄ )ẋ ₃ - c ₄ ẋ ₄ - k ₃ x ₂ + (k ₃ +k ₄ )x ₃ - k ₄ x ₄ = F ₃ (t)
m ₄ ẍ ₄ - c ₄ ẋ ₃ +( c ₄ +c ₅ )ẋ ₄ - c ₅ ẋ ₅ - k ₄ x ₃ + (k ₄ +k ₅ )x ₄ - k ₅ x ₅ = F ₄ (t)
m ₅ ẍ ₅ - c ₅ ẋ ₄ +( c ₅ +c ₆ )ẋ ₅ - c ₆ ẋ ₆ - k ₅ x ₄ + (k ₅ +k ₆ )x ₅ - k ₆ x ₆ = F ₅ (t)
m ₆ ẍ ₆ - c ₆ ẋ ₅ +( c ₆ +c ₇ )ẋ ₆ - c ₇ ẋ ₇ - k ₆ x ₅ + (k ₆ +k ₇ )x ₆ - k ₇ x ₇ = F ₆ (t)
m ₇ ẍ ₇ - c ₇ ẋ ₆ +( c ₇ +c ₈ )ẋ ₇ - c ₈ ẋ ₈ - k ₇ x ₆ + (k ₇ +k ₈ )x ₇ - k ₈ x ₈ = F ₇ (t)
m ₈ ẍ ₈ - c ₈ ẋ ₇ +( c ₈ +c ₉ )ẋ ₈ - c ₉ ẋ ₉ - k ₈ x ₇ + (k ₈ +k ₉ )x ₈ - k ₉ x ₉ = F ₈ (t)
m ₉ ẍ ₉ - c ₉ ẋ ₈ +( c ₉ +c ₁₀ )ẋ ₉ - c ₁₀ ẋ ₁₀ - k ₉ x ₈ + (k ₉ +k ₁₀ )x ₉ - k ₁₀ x ₁₀ = F ₉ (t)
m ₁₀ ẍ ₁₀ - c ₉ ẋ ₉ + c ₁₀ ẋ ₁₀ - k ₉ x ₉ + k ₁₀ x ₁₀ = F ₁₀ (t)
Persamaan    diatas  merupakan  formulasi  kekakuan  ( stiffness )  dari  persamaan  gerak  bangunan geser  10  lantai.  Secara  umum  persamaan  gerak  bangunan  geser  ditulis  dalam  bentuk  notasi matriks persamaan 1, [M] [Ẍ] + [C][ẋ] + [K][x] = [F]
Karena  bangunan  geser  mengalami  kondisi  gerak  bebas  tanpa  redaman  maka  bangunan  geser sama  sekali  tidak  dipengaruhi  oleh  gaya  luar  atau  redaman.  Redaman  (C)  dan  gaya  (F)    pada persamaan  gerak  bangunan  geser  dihilangkan  sehingga  akan  menghasilkan  persamaan  gerak pada persamaan 2, [M] [Ẍ]  + [K][x] = [0]
Formulasi Matriks Massa Tiap Pemodelan Gedung Dan Formulasi Matriks Kekakuan.
Formulasi Matriks Massa Tiap Pemodelan Gedung adalah sebagai berikut :
[M]   = [ m₁ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 m₂ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 m₃ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 m₄ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 m₅ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 m₆ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 m₇ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 m₈ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 m₉ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 m₁₀ ]
Dengan  formulasi  matriks  massa  tersebut  maka  dapat  dibuat  formulasi  dari  matriks  massa  tiap model  gedung  yaitu  model  G1,G2,G3,G4,G5,G6,G7,G8,G9  dan  G10  dimana  massa  suatu  taraf lantai  tertentu  pada tiap  model  Gedung  (G)  akan  mempunyai  massa  sebesar  150  %  lebih  besar dari  lantai  lainnya  yang  hanya  100%  massa,  yang  letaknya  berbeda  tiap  model  gedung.  150  % massa  dan  100%  massa  lantai  itu  akan  dimasukan  ke  dalam  notasi  sebagai  1,5  massa  (1,5  m) dan 1 massa (1 m)
Formulasi matriks kekakuan untuk bangunan 10 lantai ini  adalah sebagai berikut :
[K] = [ 𝑘1 + 𝑘2 −𝑘2 0 0
0 0 0 0 0 0 −𝑘2 𝑘3 + 𝑘3 – 𝑘3 0 0 0 0 0 0 0 0 −𝑘3 𝑘2 + 𝑘4 – 𝑘4 0 0 0 0 0 0 0 0 −𝑘4 𝑘4 + 𝑘5 – 𝑘5 0 0 0 0 0 0 0 0 −𝑘5 𝑘5 + 𝑘6 – 𝑘6 0 0 0 0 0 0 0 0 −𝑘6 𝑘6 + 𝑘7 – 𝑘7 0 0 0 0 0 0 0 0 −𝑘7 𝑘7 + 𝑘8 – 𝑘8 0 0 0 0 0 0 0 0 −𝑘8 𝑘8 + 𝑘9 −𝑘9 0 0 0 0 0 0
0 0 −𝑘9 𝑘9 + 𝑘10  – 𝑘10 0 0 0 0 0 0 0 0 −𝑘10 𝑘10  ]
rumus kekakuan :

## K = 12𝐸𝐼 ℎᶟ
Apabila  dilakuakan  substitusi  rumus  kekakuan  kedalam  formulasi  matriks  kekakuan  diatas  dan apabila  disederhanakan  maka  akan  menghasilkan  formulasi  matriks  kekakuan  [K]  sebagai berikut :
[K] = 𝐸𝐼 ℎᶟ [ 48 −24 0 0 0 0 0 0 0 0 −24 48 −24 0 0 0 0 0 0 0 0 −24 48 −24 0 0 0 0 0 0 0 0 −24 48 −24 0 0 0 0 0 0 0 0 −24 48 −24 0 0 0 0 0 0 0 0 −24 48 −24 0 0 0 0 0 0 0 0 −24 48 −24 0 0 0 0 0 0 0 0 −24 48 −24 0 0 0 0 0 0 0 0 −24 48 −24 0 0 0 0 0 0 0 0 −24 24 ]
Konfigurasi  matriks  kekakuan  diatas  berlaku  pada  semua  jenis  pemodelan  baik  itu  pada pemodelan G1,G2,G3,G4,G5,G6,G7,G8,G9 dan G10.

## Analisis Model Gedung 1 (G1)
Analisis dilakukan menggunakan Metode Direct (langsung) atau disebut juga Metode Kekakuan (stiffness) ,didasarkan  pada  formulasi  persamaan  kekakuan (stiffness  equation) dari  bangunan geser, untuk analisis model gedung  lainnya dapat dilihat pada Lampiran 1.

## Frekuensi Natural (ω) Model Gedung 1 (G1)
Substitusikan matriks kekakuan dan matriks massa G1 kedalam persamaan 2.
Maka akan Menjadi :
| | | 𝐸𝐼 ℎᶟ [ 48 −24 0 0 0 0 0 0 0 0 −24 48 −24 0 0 0 0 0 0 0 0 −24 48 −24 0 0 0 0 0 0 0 0 −24 48 −24 0 0 0 0 0
0 0 0 −24 48 −24 0 0 0 0 0 0 0 0 −24 48 −24 0 0 0
0 0 0 0 0 −24 48 −24 0 0 0 0 0 0 0 0 −24 48 −24 0 0 0 0 0 0 0 0 −24 48 −24 0 0 0 0 0 0 0 0 −24 24 ] − ω² 𝑚 2
[
3 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 2] | | | = 0
untuk lebih memudahkan dalam menghitung nilai frekuensi getaran dari persamaan determinan diatas maka dimisalkan :
ω² 𝑚 2 = 𝐸𝐼 ℎᶟ 𝜆 𝜆 = 𝑚ω²/2 𝐸𝐼/ℎᶟ = 𝑚ℎᶟ
𝐸𝐼 ω²
Sehingga apabila disubtitusikan kedalam persamaan  2, Maka akan diperoleh :
| | | 𝐸𝐼 ℎᶟ [ 48 − 3λ −24 0 0
0 0 0 0 0 0 −24 48 − 2λ −24 0 0 0 0 0 0 0 0 −24 48 − 2λ −24 0 0 0 0 0 0 0 0 −24 48 − 2λ −24 0
0 0 0 0 0 0 0 −24 48 − 2λ −24 0 0 0 0 0 0 0 0 −24 48 − 2λ −24 0 0 0 0 0 0 0 0 −24 48 − 2λ −24 0 0 0 0 0 0 0 0 −24 48 − 2λ −24 0 0 0 0 0 0 0 0 −24 48 − 2λ −24 0 0 0 0 0 0 0 0 −24 24 − 2λ] | | | = 0
determinan dari matriks diatas dihitung menggunakan aplikasi MATLAB didapat : y = 1536 λ 10 – 337920 λ 9 + 31408128 λ 8 -1605795840 λ 7 + 49272717312 λ 6 –
929142669312 λ 5 +10594748989440 λ 4 - 69017221988352 λ 3 + 227855900344320 λ 2 –
293240636964864 λ + 63403380965376
Menggunakan    aplikasi  MATLAB  (Lampiran  2)    maka    nilai  koefisien  polinomial  dari  hasil determinan tersebut adalah :
λ 1=0,2675 λ 4=11,0682 λ =31,1983 λ 10=46,7866 λ 2=2,3316 λ 5=17,0928 λ 8 =37,8818 λ 3=6,0907 λ 6 =24,0000 λ 9=43,2825
setelah diperoleh niali λ maka disubtitusikan kedalam persamaan :
λ = 𝑚ℎ ᶟ EI ω²
maka frekuensi natural (ω) tiap lantai dapat dicari dengan :
ω1² = 𝐸𝐼 mhᶟ λ =  0,2675 𝐸𝐼 mhᶟ ω6 ² = 𝐸𝐼 mhᶟ λ = 24,0000 𝐸𝐼 mhᶟ
ω1 =  0,5172 √ 𝐸𝐼 mhᶟ
ω6 =  4,8990 √ 𝐸𝐼 mhᶟ
ω2² = 𝐸𝐼 mhᶟ λ =2,3316 𝐸𝐼 mhᶟ ω7² = 𝐸𝐼 mhᶟ λ = 31,1983 𝐸𝐼 mhᶟ
ω2 =  1,5270 √ 𝐸𝐼 mhᶟ ω7 =  5,5855 √ 𝐸𝐼 mhᶟ
ω3² = 𝐸𝐼 mhᶟ λ =6,0907 𝐸𝐼 mhᶟ ω8² = 𝐸𝐼 mhᶟ λ = 37,8818 𝐸𝐼 mhᶟ
ω3 =  2,4679 √ 𝐸𝐼 mhᶟ ω8 =  6,1548 √ 𝐸𝐼 mhᶟ
ω4² = 𝐸𝐼 mhᶟ λ = 11,0682 𝐸𝐼 mhᶟ ω9² = 𝐸𝐼 mhᶟ λ = 43,2825 𝐸𝐼 mhᶟ
ω4 =  3,3269 √ 𝐸𝐼 mhᶟ ω9 =  6,5789 √ 𝐸𝐼 mhᶟ
ω5² = 𝐸𝐼 mhᶟ λ =17,0928 𝐸𝐼 mhᶟ ω10 ² = 𝐸𝐼 mhᶟ λ = 46,7866 𝐸𝐼 mhᶟ
ω5 =  4,1343 √ 𝐸𝐼 mhᶟ ω10 =  6,8401 √ 𝐸𝐼 mhᶟ
Pola Perubahan Bentuk ( Mode shapes ) Model Gedung 1 (G1)
Pola  perubahan  bentuk  dari  masing  masing  nilai  frekuensi  natural  (ωi)  diperoleh  dengan menentukan nilai vektor ordinat nilai amplitudo [ ϕ i] dari persamaan 6 sebagai berikut :
│[K] - ωi² [M] │ [ ϕ ]  = [0]
Maka  diperoleh  nilai  ordinat  amplitudo  mode  shape  ( ϕ ) tiap  mode  shape  model  Gedung  1(G1) adalah sebagai berikut:
Mode Shape 1 Mode Shape 2       Mode Shape 3     Mode Shape 4  Mode Shape 5
ϕ 11=0.1510 ϕ12= -0.4827 ϕ13=0.8604 ϕ14= -1.1352 ϕ15=1,1392 ϕ21=0.2969 ϕ22= -0.8247 ϕ23=1.0657 ϕ24= -0.6998 ϕ25= -0,1556 ϕ31=0.4362 ϕ32= -1.0064 ϕ33 =0.7301 ϕ34=0.3811 ϕ35= -1,2289 ϕ41=0.5657 ϕ42= -0.9926 ϕ43=0.0240 ϕ44=1.1105 ϕ45= -0,5518 ϕ51=0.6827 ϕ52= -0.7860 ϕ53= -0.6944 ϕ54=0.8156 ϕ55=0,9113 ϕ61=0.7845 ϕ62= -0.4266 ϕ63= -1.0603 ϕ64= -0.2315 ϕ65=1,0763
ϕ71=0.868 7 ϕ72=0.0156 ϕ73= -0.8880 ϕ74= -1.0651 ϕ75= -0,2918
ϕ81=0.9336 ϕ82=0.4549 ϕ83= -0.2651 ϕ84= -0.9163 ϕ85= -1,2443 ϕ91=0.9777 ϕ92=0.8057 ϕ93=0.4924 ϕ94=0.0777 ϕ95= -0,4244 ϕ101=1 ϕ102=1 ϕ103=1 ϕ104=1 ϕ105= 1
Mode Shape 6      Mode Shape 7       Mode Shape 8      Mode Shape 9      Mode Shape 10
ϕ16= -1,0000 ϕ 17=0,8656 ϕ18= -0,7705 ϕ19=0,7103 ϕ110= -0,6771 ϕ26=1,0000 ϕ27= -1,6445 ϕ28=2,1075 ϕ29= -2,4222 ϕ210=2,6057 ϕ36=1,0000 ϕ37=0,1208 ϕ38= -1,6675 ϕ39=3,1818 ϕ310= -4,2711 ϕ46= -1,0000 ϕ47=1,5720 ϕ48= -0,1785 ϕ49= -2,6906 ϕ410=5,5046 ϕ56= -1,0000 ϕ57= -1,0638 ϕ58=1,8740 ϕ59=1,1417 ϕ510= -6,1815 ϕ66=1,0000 ϕ67= -0,9339 ϕ68= -1,9894 ϕ69=0,8561 ϕ610=6,2334 ϕ76=1,0000 ϕ77=1,6240 ϕ78=0,4273 ϕ79= -2,5173 ϕ710= -5,6549 ϕ86= -1,0000 ϕ87= -0,0403 ϕ88=1,4950 ϕ89=3,1889 ϕ810=4,5046 ϕ96= -1,0000 ϕ97= -1,5999 ϕ98= -2,1568 ϕ99= -2,6069 ϕ910= -2,8989 ϕ106=1 ϕ107=1 ϕ108=1 ϕ109=1 ϕ1010=1
Menentukan matriks pola (modal matrix) Model Gedung 1 (G1)
Untuk  membuat  matriks  pola  maka  perlu  dilakukan  normalisasi mode  shape menggunakan persamaan 17.
Kemudian normalisai mode shape dapat disusun dalam matriks pola (modal  matriks) dari sistem seperti persamaan 18,  sebagai berikut :
[Ф] =
[ 0.0656 −0.2025 0.3378 −0.4145 0.3887 −0.3086 0.2272 −0.1583 0.1001 −0.0485 0.1290 −0.3459 0.4184 −0.2555 −0.0531 0.3086 −0.4316 0.4331 −0.3414 0.1867 0.1895 −0.4221 0.2867 0.1391 −0.4193 0.3086 0.0317 −0.3426 0.4485 −0.3060 0.2458 −0.4164 0.0094 0.4055 −0.1883 −0.3086 0.4126 −0.0367 −0.3793 0.3944 0.2967 −0.3297 −0.2726 0.2978 0.3110 −0.3086 −0.2792 0.3851 0.1609 −0.4429 0.3409 −0.1790 −0.4163 −0.0845 0.3673 0.3086 −0.2451 −0.4088 0.1207 0.4467 0.3775 0.0066 −0.3486 −0.3889 −0.0996 0.3086 0.4262 0.0878 −0.3549 −0.4052 0.4057 0.1908 −0.1041 −0.3346 −0.4246 −0.3086 −0.0106 0.3072 0.4495 0.3228 0.4248 0.3380 0.1933 0.0284 −0.1448 −0.3086 −0.4199 −0.4432 −0.3675 −0.2077 0.4345 0.4194 0.3926 0.3651 0.3412 0.3086 0.2625 0.2055 0.1410 0.0717 ]

## Kontrol Kondisi Orthogonalitas
Kontrol kondisi orthogonalitas berdasarkan persamaan 19 , [Ф]ᵀ[M] [Ф]  = [ I ] Perhitungan dilakukan menggunakan aplikasi MATLAB  (Lampiran 3) dan diperoleh hasil:
[ 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 1] =
[ 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 1] ......(OK)
Dengan hasil tersebut maka koordinat amplitudo mode shape (ϕ) yang di cari sud ah betul
Frekuensi Natural (ω) dan Periode Getar (T) Tiap Model Gedung.
Rekapitulasi frekuensi  natural  (ω)    tiap  model  ge dung  yang  terdapat  pada  Lampiran  1  dapat dilihat pada tabel 1 dibawah ini.

## Tabel 1.Rekapitulasi Frekuensi natural (ω)  tiap model gedung
Dari  tabel  1  dapat  dilakuakan  perhitungan  periode  getar  (T)  tiap  model  gedung  dengan menggunakan persamaan T= 2𝜋 ω dan hasilnya dapat dilihat pada tabel 2 berikut ini :
Tabel 2.Rekapitulasi Periode Getar  (T)  tiap model gedung
Dari  Tabel  1  dan  Tabel  2    juga  diketahui  bahwa  periode  getar (T)  struktur  berbanding  terbalik dengan Frekuensi natural (ω) semakin besar frekuensi natural maka semakin kecil periode getar struktur, dan juga terdapat 3 kondisi utama pada perubahan frekuensi natural struktur yaitu pada pucak gedung atau pada lantai 10 tiap model gedung, pada tengah ketinggian gedung atau pada lantai  5  dan  6  tiap  model  gedung,  dan  pada  lantai  dasar  atau  pada  lantai  1  tiap  model  gedung yang dapat dilihat pada gambar berikut :
Pada puncak gedung (lantai 10 tiap model gedung)
Gambar 1. Frekuensi Natural Lantai 1 Tiap       Gambar 2. Frekuensi Natural Lantai 1 Tiap

## Model Gedung                                                     Model Gedung
Model  gedung  10  (G10)  atau  ketika  massa  lantai  sebesar  1,5  massa  berada  pada  lantai  10 merupakan  model  gedung  yang  memiliki  frekuensi  natural  terbesar  dan  periode  getar  terkecil pada  tiap  lantainya  dibandingkan  model  gedung  lain,  hal  ini  dikarenakan  ketika  massa  sebesar 1,5  massa  lebih  besar  massa  lantai  lainnya  dipusatkan  pada  lantai  10  yang  merupakan  lantai tertinggi  dan  tidak  terdapat  lantai  lagi  diatasnya  maka  kekakuan  kolom  yang  mempengaruhi massa tersebut sangat kecil karena hanya kekakuan kolom lantai 10 saja.
Pada setengah ketinggian gedung (lantai 6 tiap model gedung)

## Gambar 3. Frekuensi Natural Lantai 1 Tiap       Gambar 4. Frekuensi Natural Lantai 1 Tiap Model Gedung                                                     Model Gedung
Frekuensi natural dan periode getar lantai 5 dan lantai 6 tiap gedungnya berubah naik dan turun setiap 1 model gedung, atau setiap 1 perubahan ketinggian pemusatan massa, hal ini dikarenakan lantai  5  dan  lantai  6  letaknya  berada  pada  pusat  massa  vertikal  dari  gedung.  Pada  lantai  yang ketinggiannya semakin  menjauh dari tengah tinggi gedung  besar perubahan naik dan turun dari frekuensi naturalnya harus melewati lebih banyak  perubahan pemusatan massa.
Pada dasar gedung (lantai 1 tiap model gedung)
Gambar 5. Frekuensi Natural Lantai 1 Tiap       Gambar 6. Frekuensi Natural Lantai 1 Tiap Model Gedung                                                     Model Gedung
Frekuensi  natural  lantai  1  tiap  model  gedung  besarnya  berkurang  tiap  model  gedungya  dan menggalami  pembesaran  pada  model gedung 10 (G10), semakin tinggi  massa  lantai dipusatkan maka semakin kecil frekuensi natural lantai 1 bangunan tersebut.
Rekapitulasi Nilai Ordinat Amplitudo ( ϕ) Mode shape 1 Tiap Model Gedung.
Karena  terdapat  10  pola  perubahan  bentuk  atau mode  shape maka  salah  satu mode  shape akan dipakai  sebagai  dasar  atau  patokan  untuk  menjelaskan  hubungan  antara  tinggi  massa  terpusat terhadap simpangan antar lantai (drift) dan mode shape yang dipakai adalah mode shape 1 yang dapat dilihat pada Tabel 2 berikut ini :

## Tabel 3 Ordinat  Amplitudo Mode Shape ( ϕ ) 1 Tiap Model Gedung (G)
Berdasarkan  Tabel  3  dapat  dilihat  bahwa  nilai  ordinat  amplitudo mode  shape 1  pada  masing – masing  gedung  besarnya  semakin  meningkat  atau  bertambah  tiap  lantainya  mendekati  nilai  1 pada  lantai  10  (Lt10)  sehingga  dapat  disimpulan  bahwa  semakin  tinggi  letak  massa  lantai terpusat sebesar 1,5 massa maka ordinat amplitudo tiap lantainya juga semakin besar.
Berdasarkan  tabel  3  dapat  diperoleh  persamaan  simpangan  antar  lantai  dengan  menggunakan persamaan gerakan harmonik struktur ( Persamaan 3) Sehingga diperoleh rekapitulasi persamaan simpangan antar lantai mode shape 1 tiap model gedung yang dapat dilihat pada tabel 4 berikut ini :
Tabel 4. Persamaan Simpangan antar Lantai (Drift) Mode Shape 1 tiap Model Gedung
Pada  Tabel  4  dapat  dilihat  bahwa  besarnya  nilai  pada  persamaan  simpangan  antar  lantai (drift) mode shape 1 pada masing – masing  model gedung semakin  meningkat atau besar tiap  lantainya dikarenakan nilai ordinat amplitudo yang juga semakin meningkat tiap lantai nya mendekati nilai 1 pada lantai 10 (Lt10). Maka dapat disimpulkan bahwa besarnya nilai ordinat amplitudo sangat berpengaruh  terhadap  besarnya  simpangan  antar  lantai  (drift),  semakin  besar  ordinat  amplitudo maka semakin besar pula nilai simpanagan antar lantainya
Lantai Ordinat  Amplitudo Mode Shape ( ϕ ) 1 Tiap Model Gedung (G) G1 G2 G3 G4 G5 G6 G7 G8 G9 G10 Lt 1 0.151  0.152  0.152  0.152  0.152  0.150  0.149  0.147 0.146 0.076 Lt 2 0.297  0.301  0.302  0.301  0.300  0.298  0.295  0.292 0.288 0.226 Lt 3 0.436  0.439  0.444  0.444  0.442  0.439  0.435  0.430 0.425 0.370 Lt 4 0.566  0.568  0.572  0.577  0.575  0.571  0.565  0.559 0.553 0.506 Lt 5 0.683  0.685  0.687  0.691  0.695  0.690  0.684  0.677 0.669 0.631 Lt 6 0.784  0.786  0.788  0.790  0.793  0.796  0.789  0.781 0.772 0.742 Lt 7 0.869  0.870  0.871  0.872  0.874  0.876  0.877  0.869 0.859 0.836 Lt 8 0.934  0.934  0.935  0.935  0.936  0.937  0.938  0.939 0.929 0.911 Lt 9 0.978  0.978  0.978  0.978  0.979  0.979  0.979  0.979 0.980 0.966 Lt 10 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

## Tabel 4. Persamaan Simpangan antar Lantai (Drift) Mode Shape 1 tiap Model Gedung
(lanjutan)

## KESIMPULAN
Berdasarkan  pembahasan  diperoleh  frekuensi  natural  terbesar  berada  pada  model  gedung  10 (G10)  atau  saat  massa  lantai  sebesar  1,5  massa  berada  pada  lantai  10,  dan    hubungan  analitis tinggi  massa  terpusat  bangunan  tingkat  tinggi  terhadap  simpangan  antar  lantai (drift) akibat getaran bebas takberedaman adalah semakin tinggi letak massa lantai terpusat sebesar 1,5 massa maka semakin besar pula nilai ordinat amplitudo lantainya, yang kemudian akan mempengaruhi simpangan antar lantai (drift) gedung tersebut.

## SARAN
1. Perlu dilakukan analisis lebih lanjut dengan memasukan data-data pemodelan gedung  seperti dimensi struktur,  tinggi bangunan dan tinggi antar lantai,mutu baja tulangan dan mutu beton agar  simpangan  antar  lantai  tidak  lagi  diperoleh  dalam  bentuk  persamaan,  atau  bisa  juga dengan mensubstitusikan data tersebut kedalam persamaan simpangan antar lantai yang telah diperoleh dalam penilitian ini agar nilainya dapat diketahui.
2. Perlu  dilakukan  juga  analisis  pada  jenis  getaran  bebas  dengan  redaman  maupun  pada  jenis getaran paksa (forced vibration)
3. Analitis  dalam  penilitian  ini  menggunakan  Metode Direct (langsung)  atau  disebut  juga Metode Kekakuan (stiffness) yang didasarkan pada formulasi  persamaan kekakuan (stiffness equation) dari  bangunan geser, maka perlu  juga dilakukan analisis pembanding   metode ini yaitu dengan melakukan analisis  menggunakan metode Stodola (metode iterasi) atau disebut juga  Metode  Fleksibilitas  yang  didasarkan  pada  formulasi  persamaan  kelenturan (flexibility equation) struktur .

## Daftar Pustaka
Manubulu C dkk. 2020. Getaran Bebas Pada Struktur MDOF Bangunan Penahan Geser. Jurnal Teknik Sipil vol.1 no.1. Fakultas Teknik. Universitas Katolik Widya Mandira. Kupang.
PawirodikromoW.2012. Seismologi Teknik & Rekayasa Kegempaan. Pustaka Pelajar.Yogyakarta.
Widodo. 2001. Respon dinamik struktur elastik. UII pres , Yogyakarta.
Widodo.2011. Seismologi teknik dan rekayasa kegempaan. Pustaka pelajar, Yogyakarta.
Lampiran 1 :Analisis model gedung 2 (G2) sampai model gedung 10 (G10) https://drive.google.com/file/d/1EqMYkckqp-3Vbf51aqUCPeVLcAzF19-h/view?usp=sharing

## Lampiran  2:Hasil  perhitungan  determinan  (y)  pada  perhitungan  nilai Frekuensi Natural
https://drive.google.com/file/d/1v4RGNEk92F4Eh1qQLZad0fUvarum8rWg/view?usp=sharing

## Lampiran 3 : Perhitungan kotrol kondisi orthogonalitas
https://drive.google.com/file/d/1oZVQ-Jqfiu6r2Yab8zUQcfW3zLsEjEOf/view?usp=sharing