Jurnal Matematika Murni dan Terapan “εpsilon” Vol.8 No.2 (2014) Hal. 39-45

## APLIKASI METODE DEKOMPOSISI ADOMIAN UNTUK MENENTUKAN FORMULA TRANSFORMASI LAPLACE

## Aji Wiratama, Yuni Yulida, Thresye
Program Studi Matematika Fakultas MIPA Universitas Lambung Mangkurat Jl. Jend. A. Yani km 36 Banjarbaru

## ABSTRAK
Dalam tulisan ini akan membahas tentang terbentuknya formula transformasi Laplace dari solusi persamaan diferensial linier orde satu. Salah satu metode pendekatan untuk solusi persamaan diferensial linier orde satu dapat mengaplikasikan metode dekomposisi Adomian. Solusi tersebut dituliskan dalam bentuk deret tak hingga. Selanjutnya,  solusi menggunakan metode dekomposisi Adomian  dan  solusi eksak yang diperoleh dengan faktor integrasi dibandingkan sehingga diperoleh formula Transformasi Laplace.
Kata kunci:    persamaan diferensial linier orde satu, metode dekomposisi Adomian, transformasi

## Laplace

## 1. PENDAHULUAN
Salah satu bentuk dari persamaan diferensial biasa adalah  persamaan diferensial  linier orde satu. Solusi eksak persamaan diferensial linier orde satu dapat dicari dengan faktor integrasi. Selain itu terdapat suatu metode yang dapat menyelesaikan persamaan diferensial linier orde satu yaitu metode dekomposisi Adomian.  Metode dekomposisi Adomian dikemukakan oleh Seorang Ahli Ilmu Matematika dari Amerika yaitu George Adomian (1922 – 1996). Dalam tulisan ini akan membahas mengenai solusi persamaan diferensial linier orde satu  dengan menggunakan  metode dekomposisi Adomian. Solusi  tersebut dituliskan  dalam bentuk deret tak hingga. Berdasarkan solusi menggunakan  metode dekomposisi Adomian  yang dibandingkan dengan solusi eksak dengan faktor integrasi akan ditentukan formula Transformasi Laplace.

## 2.  TINJAUAN PUSTAKA

## 2.1 Persamaan Diferensial Linier Orde Satu
Persamaan  diferensial linier orde  satu  memiliki  variabel  tak  bebas 𝑦𝑦 dan variabel bebas 𝑥𝑥 . Bentuk umum persamaan diferensial linier orde satu adalah 𝑑𝑑𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑥𝑥 + 𝑃𝑃 (𝑥𝑥)𝑦𝑦 = 𝑄𝑄(𝑥𝑥).                                                                                             (2.1)
dengan P dan Q adalah fungsi-fungsi dari x.
Persamaan (2.1) memiliki faktor integrasi 𝑒𝑒 ∫ 𝑃𝑃(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑥𝑥 , dengan mengalikan setiap ruas dengan faktor integrasi diperoleh solusi Persamaan (2.1) adalah :

## Jurnal Matematika Murni dan Terapan “εpsilon”
𝑦𝑦 = 𝑒𝑒 − ∫ 𝑃𝑃(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑥𝑥 �� 𝑄𝑄(𝑥𝑥)𝑒𝑒 ∫ 𝑃𝑃(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑥𝑥 + 𝐶𝐶�                                                        (2.2)
[4]

## 2.2 Transformasi Laplace
Definisi 1 [5] Misalkan 𝐹𝐹(𝑡𝑡) suatu fungsi dari t dengan 𝑡𝑡 > 0 . Transformasi Laplace dari 𝐹𝐹(𝑡𝑡) , yang dinyatakan oleh ℒ{𝐹𝐹(𝑡𝑡)} , didefinisikan sebagai,
𝐿𝐿{𝐹𝐹(𝑡𝑡)} = 𝑓𝑓(𝑠𝑠) = ∫ 𝑒𝑒 −𝑠𝑠𝑠𝑠 𝐹𝐹(𝑡𝑡)𝑑𝑑𝑡𝑡 ∞ 0
(2.3)
dengan parameter s adalah riil sehingga nilai integral ada.
Bila suatu fungsi dari t dinyatakan dengan huruf besar, seperti F(t), G(t), Y(t) dan seterusnya, maka Transformasi Laplace  dari fungsi ini dinyatakan oleh huruf  kecil yang bersangkutan seperti f(s), g(s), y(s) dan seterusnya.
Tabel 2.1 Transformasi Laplace dari beberapa fungsi sederhana
No. 𝐹𝐹(𝑡𝑡)
ℒ{𝐹𝐹(𝑡𝑡)} = 𝑓𝑓(𝑠𝑠) 1. 1
1 s s > 0
2. t 1 s 2 s > 0 3. t n n = 0,1,2,…… n! 𝑠𝑠 𝑛𝑛+1 s > 0
Catatan: Faktorial n = n ! = 1 2 ∙∙∙ n dengan 0 ! = 1 4. 𝑒𝑒 𝑎𝑎𝑠𝑠 1 s−𝑎𝑎 s > a 5. sin 𝑎𝑎𝑡𝑡
𝑎𝑎 𝑠𝑠 2 +𝑎𝑎 2 s > 0
6. cos 𝑎𝑎𝑡𝑡
𝑠𝑠 𝑠𝑠 2 +𝑎𝑎 2 s > 0
Tabel  2.1  di atas memperlihatkan Transformasi Laplace dari berbagai fungsi sederhana [5]

## 2.3 Metode Dekomposisi Adomian
Metode Dekomposisi Adomian dikemukakan oleh Seorang Ahli Ilmu Matematika dari Amerika yaitu  George  Adomian (1922 –  1996). Metode
dekomposisi Adomian merupakan suatu metode yang digunakan untuk memudahkan dalam menyelesaikan solusi dari persamaan diferensial linier dan nonlinier.
Diberikan persamaan dalam bentuk:
G(x(t)) = F(t) (2.4) Dimana G adalah operator diferensial biasa yang memuat bagian linier dan non liniernya. F(t) adalah  suatu fungsi sebarang dalam variabel bebas. Bagian linier dari G dapat didekomposisi/diuraikan dalam bentuk L + R, dimana L adalah suatu operator invertible sebagai turunan, dan R adalah operator linier.  Untuk bagian nonlinier  dari G dalam bentuk N, dimana N adalah operator nonlinier. Maka persamaan dapat ditulis sebagai:
(L + R + N ) x(t) = F(t) L(x(t)) + R(x(t)) + N( x(t)) = F(t) (2.5)
atau L(x(t)) = F(t) – R(x(t)) – N( x(t)) (2.6)
dengan L(.) = dt d (.) adalah  turunan, L invertible  menggunakan  invers         atau sebagai operator invers yang merupakan operator integral. Gunakan penerapkan operator 1 − L pada kedua sisi dari persamaan (2.9) sehingga diperoleh persamaan :
1 − L L(x(t)) = 1 − L F(t) - 1 − L R(x(t)) - 1 − L N(x(t)) (2.7) x(t)= ∅ + 1 − L F(t) - 1 − L R(x(t)) - 1 − L N(x(t)) (2.8) dimana ∅ adalah suatu konstanta integrasi yang memenuhi L ∅ = 0. Kemudian Adomian, mendefinisikan solusi x(t) sebagai penjumlahan deret tak hingga yaitu:
x(t) = ) ( 0 t x n n ∑ ∞ = (2.9)
dengan menggunakan persamaan (2.7) dan (2.8) diperoleh :
) ( 0 t x n n ∑ ∞ = = ∅ + 1 − L F(t) - 1 − L R(x(t)) - 1 − L N(x(t)) (2.10)
Kemudian operator nonlinier N(x(t)) diuraikan Adomian menjadi sebuah deret tak hingga dalam bentuk :
N(x(t)) = ∑ ∞ = 0 n n A (t) (2.11)
Dimana  A n (t) tergantung pada )) ( ( , , )) ( ( )), ( ( , 1 0 t x t x t x n  yang disebut dengan polinomial Adomian yang diperoleh dengan menuliskan :
x(t)( λ ) = ∑ ∞ = 0 ) ( n n n t x λ ,N(x(t)( λ )) = ∑ ∞ = 0 ) ( n n n t A λ (2.12)
dimana λ adalah parameter. Dari persamaan (2.12) ) ( t A n dapat disimpulkan yaitu:
0 0 ) ( ! 1 ) ( = ∞ =             = ∑ λ λ λ n n n n n n t x f d d n t A , n=0, 1, 2, ... (2.13)
Beberapa polinomial Adomian yaitu:
1 − L 1 − L
Jurnal Matematika Murni dan Terapan “εpsilon” Vol.8 No.2 (2014) Hal. 39-45
)) ( ( ) ( 0 0 t x N t A = , )) ( ( ' )) ( ( ) ( 0 1 1 t x N t x t A = , )) ( ( " ! 2 )) ( ( )) ( ( ' )) ( ( ) ( 0 2 1 0 2 2 t x N t x t x N t x t A + = , )) ( ( ' " ! 3 )) ( ( )) ( ( " )) ( ))( ( ( )) ( ( ' )) ( ( ) ( 0 3 1 0 2 1 0 3 3 t x N t x t x N t x t x t x N t x t A + + = (2.14) 
Dari persamaan (2.10) dan (2.11) diperoleh :
) ( 0 t x n n ∑ ∞ = = ∅ + 1 − L F(t) - 1 − L Rx(t) - 1 − L ( ∑ ∞ = 0 n n A (t)) (2.15)
dan bentuk deret pada persamaan (2.15) dihitung secara rekursif, dengan
= )) ( ( 0 t x ∅ + 1 − L F(t) = )) ( ( t x n - 1 − L Rx n-1 (t) - 1 − L A n-1 (t), n = 1, 2, 3, …   [6]

## 3. METODE PENELITIAN
Penelitian ini dilakukan berdasarkan studi literatur. Metodologi yang digunakan adalah mengumpulkan bahan tulisan mengenai Persamaan Diferensial Linier orde Satu, Metode Dekomposisi Adomian, Transformasi Laplace.  Pada tahap awal bahan tersebut dipelajari, kemudian akan dicari hubungan solusi Persamaan Diferensial Linier orde Satu dengan menggunakan metode Dekomposisi Adomian dan menggunakan faktor integrasi. Selanjutnya ditentukan formulasi transformasi Laplace dari hubungan solusi tersebut.

## 4. HASIL DAN PEMBAHASAN
4.1    Metode Dekomposisi Adomian Pada Persamaan Diferensial  Linier Orde Satu
Berikut diberikan persamaan diferensial linier orde satu : 𝑑𝑑𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑥𝑥 + 𝑃𝑃 (𝑥𝑥)𝑦𝑦 = 𝑄𝑄(𝑥𝑥)                                                                                                      (4.1)
dengan 𝑃𝑃(𝑥𝑥) dan 𝑄𝑄(𝑥𝑥) adalah fungsi-fungsi dari x. Disyaratkan hanya untuk
P(x) = -p fungsi konstan.Persamaan (4.1) dapat ditulis
𝑦𝑦 = 𝑄𝑄(𝑥𝑥) 𝑃𝑃(𝑥𝑥) − 1 𝑃𝑃(𝑥𝑥) 𝑑𝑑𝑦𝑦
𝑑𝑑𝑥𝑥                                                                                              (4.2)
atau 𝑦𝑦 = 𝑄𝑄(𝑥𝑥)
𝑃𝑃(𝑥𝑥) − 1 𝑃𝑃(𝑥𝑥)  𝐿𝐿𝑦𝑦                                                                                               (4.3)
dengan dx dy = Ly .
Karena  fungsi y kontinu dan turunannya ada  maka fungsi y dapat dideretkan dengan asumsi  solusi dari y pada persamaan (4.1)  dapat dinyatakan dalam bentuk deret tak hingga yaitu:
𝑦𝑦 = ∑ ∞ = 0 n n y (4.4)
Selanjutnya persamaan (4.4) disubstitusikan ke persamaan (4.3) diperoleh :
� � = 𝑄𝑄(𝑥𝑥) 𝑃𝑃(𝑥𝑥) − 1 𝑃𝑃(𝑥𝑥)  𝐿𝐿 � � ⇔ 𝑦𝑦 0 + 𝑦𝑦 1 + 𝑦𝑦 2 + 𝑦𝑦 3 + … + 𝑦𝑦 𝑛𝑛 + ⋯ = 𝑄𝑄(𝑥𝑥) 𝑃𝑃(𝑥𝑥) −
1 𝑃𝑃(𝑥𝑥)  𝐿𝐿 (𝑦𝑦 0 ) − 1 𝑃𝑃(𝑥𝑥)  𝐿𝐿 (𝑦𝑦 1 ) −
1 𝑃𝑃(𝑥𝑥) 𝐿𝐿 (𝑦𝑦 3 ) + ⋯ − 1 𝑃𝑃(𝑥𝑥)  𝐿𝐿 (𝑦𝑦 𝑛𝑛 ) + ⋯                                                       (4.5)
Karena n y dihitung secara rekursif, maka persamaan (4.5) dapat diuraikan sebagai berikut : 𝑦𝑦 0 = 𝑄𝑄(𝑥𝑥) 𝑃𝑃(𝑥𝑥) , 𝑦𝑦 1 = − 1 𝑃𝑃(𝑥𝑥) 𝐿𝐿(𝑦𝑦 0 ) , 𝑦𝑦 2 = − 1 𝑃𝑃(𝑥𝑥) 𝐿𝐿(𝑦𝑦 1 ) , 𝑦𝑦 3 = − 1 𝑃𝑃(𝑥𝑥) 𝐿𝐿(𝑦𝑦 2 ) , ..., 𝑦𝑦 𝑛𝑛 = − 1
𝑃𝑃(𝑥𝑥)  𝐿𝐿 (𝑦𝑦 𝑛𝑛−1 ), …                                                                                             (4.6)
Selanjutnya disubstitusikan P(x) = -p ke persamaan (4.6), diperoleh 𝑦𝑦 0 =   − 𝑄𝑄(𝑥𝑥) 𝑃𝑃 , 𝑦𝑦 1 = (−1) 1 𝑃𝑃 𝐿𝐿 � 𝑄𝑄(𝑥𝑥) 𝑃𝑃 �, 𝑦𝑦 2 = (−1) 2 1 (𝑝𝑝) 2 𝐿𝐿 2 � 𝑄𝑄(𝑥𝑥) 𝑝𝑝 � ,
𝑦𝑦 3 = (−1) 3 1 (𝑝𝑝) 3 𝐿𝐿 3 � 𝑄𝑄(𝑥𝑥) 𝑝𝑝 � ,
 𝑦𝑦 𝑛𝑛 = (−1) 𝑛𝑛 1 (𝑝𝑝) 𝑛𝑛 𝐿𝐿 𝑛𝑛 � 𝑄𝑄(𝑥𝑥)
𝑝𝑝 �,                                                                                  (4.7)

dimana L n = n n dt d adalah suatu operator yang dideferensialkan sebanyak n kali, untuk n = 1, 2, 3, ...

## 4.2  Menentukan Formula Transformasi Laplace dengan Metode Dekomposisi Adomian Pada Persamaan  Diferensial  Linier  Orde  Satu
Solusi eksak dari persamaan diferensial linier orde satu pada persamaan (4.1) menggunakan faktor integrasi adalah
𝑦𝑦 = 𝑒𝑒 − ∫ 𝑃𝑃(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑥𝑥 �� 𝑄𝑄(𝑥𝑥)𝑒𝑒 ∫ 𝑃𝑃(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑥𝑥 + 𝐶𝐶�                                                               (4.8)
Jika diambil C = 0 maka persamaan (4.8) menjadi
𝑦𝑦 𝑒𝑒 ∫ 𝑃𝑃(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑥𝑥 = � 𝑄𝑄(𝑥𝑥)𝑒𝑒 ∫ 𝑃𝑃(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑥𝑥                                                                               (4.9)
∑ ∞ = 0 n n y ∑ ∞ = 0 n n y

## Jurnal Matematika Murni dan Terapan “εpsilon”
Dimisalkan f(x) = 𝑒𝑒 ∫ 𝑃𝑃(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑥𝑥 , sehingga persamaan (4.9) diperoleh :
𝑦𝑦 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = � 𝑄𝑄(𝑥𝑥)𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑥𝑥                                                                                          (4.10)
Diberikan nilai khusus P(x) = -p dengan p adalah konstanta positif , sehingga diperoleh :
f(x)= 𝑒𝑒 ∫ 𝑃𝑃(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑥𝑥 = 𝑒𝑒 −𝑝𝑝𝑥𝑥
Selanjutnya persamaan (4.10) menjadi :
𝑦𝑦 𝑒𝑒 −𝑝𝑝𝑥𝑥 = � 𝑄𝑄(𝑥𝑥) 𝑒𝑒 −𝑝𝑝𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑥𝑥                                                                                         (4.11)
Telah diketahui solusi dari persamaan diferensial linier orde satu  dengan menggunakan metode Dekomposisi Adomian yaitu :
𝑦𝑦 = ∑ ∞ = 0 n n y dengan 𝑦𝑦 0 , 𝑦𝑦 1 , 𝑦𝑦 2 , … , 𝑦𝑦 𝑛𝑛 , … pada persamaan (4.7).  Sehingga persamaan (4.11) menjadi :
� � 𝑒𝑒 −𝑝𝑝𝑥𝑥 = � 𝑄𝑄(𝑥𝑥) 𝑒𝑒 −𝑝𝑝𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑥𝑥
atau
� 𝑄𝑄(𝑥𝑥) 𝑒𝑒 −𝑝𝑝𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑥𝑥 = 𝑒𝑒 −𝑝𝑝𝑥𝑥 � �                                                                           (4.12)
Dengan mengambil batasan x pada selang [0, ∞ ), maka persamaan (4.12) dapat ditulis menjadi:
� 𝑄𝑄(𝑥𝑥) 𝑒𝑒 −𝑝𝑝𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑥𝑥 ∞ 0 = �𝑒𝑒 −𝑝𝑝𝑥𝑥 ∑ ∞ = 0 n n y � � ∞ 0 (4.13)
Dari persamaan (4.13) ruas kiri merupakan definisi Transformasi Laplace fungsi 𝑄𝑄(𝑥𝑥) , yaitu: 𝑄𝑄(𝑥𝑥) 𝑒𝑒 −𝑝𝑝𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑥𝑥 = ℒ{𝑄𝑄(𝑥𝑥)} , sehingga persamaan (4.13) dapat ditulis menjadi:
ℒ{𝑄𝑄(𝑥𝑥)} = � 𝑄𝑄(𝑥𝑥) 𝑒𝑒 −𝑝𝑝𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑥𝑥 ∞ 0 = �𝑒𝑒 −𝑝𝑝𝑥𝑥 ∑ ∞ = 0 n n y � � ∞ 0 (4.14)
Jadi diperoleh formula Transformasi Laplace  (Definisi 1)  dengan metode Dekomposisi Adomian pada persamaan diferensial linier orde satu adalah:
∑ ∞ = 0 n n y ∑ ∞ = 0 n n y
ℒ{𝑄𝑄(𝑥𝑥)} =
�𝑒𝑒 −𝑝𝑝𝑥𝑥 ∑ ∞ = 0 n n y � � ∞ 0 (4.15)
dengan 𝑦𝑦 0 , 𝑦𝑦 1 , 𝑦𝑦 2 , … , 𝑦𝑦 𝑛𝑛 , … pada persamaan (4.7)

## 5. DAFTAR PUSTAKA
[1]. Ayres, F. Jr. 1999. Persamaan Diferensial . Erlangga, Jakarta.
[2]. Babolian, E. 2004. “ A New Computational Method For Laplace Transform by Decomposition Method ”. Applied Mathematics and Computation , vol. 150, pp 841-846.
[3]. Renreng, Abdullah. 1990. Asas-asas Metode Matematika dalam Fisika. Angkasa Bandung. Bandung.
[4]. Ross, S. L. 1984. Differential Equations . Third Edition. John Wiley & Sons. New York.
[5]. Spiegel, Murray R. 1999. Seri Buku Schaum Teori dan Soal-soal Transformasi Laplace (Alih Bahasa Pantur Silaban dan Hans Wospakrik). Erlangga. Jakarta.
[6]. Vahidi, A. R. 2006. “Modifying Adomian Decomposition Method for Linier Ordinary Differential Equations”. Journal of Applied Mathematics , vol. 3, no. 10, Autumn.