Limits: Journal of Mathematics and Its Applications E-ISSN: 2579-8936 P-ISSN: 1829-605X Vol. 21, No. 1, Maret 2024, 117-137 DOI: http://dx.doi.org/10.12962/limits.v21i1.20053

## Analisis Kestabilan dan Kontrol Optimal pada Model Matematika Penyebaran Penyakit Mumps
Miswanto 1* , Farah Biba 2 , Windarto 3 1,2,3 Departemen Matematika, Universitas Airlangga, Surabaya Indonesia * Corresponding author: miswanto@fst.unair.ac.id
Diajukan: 10 Februari 2024, Diperbaiki: 1 April 2024, Diterima: 4 April 2024

## Abstrak
Mumps adalah penyakit akut pada anak-anak dan dewasa, yang disebabkan oleh virus paramyxovirus. Pada penelitian ini, dilakukan analisis kestabilan model matematika penyebaran penyakit mumps dan penerapan kontrol optimal yaitu pencegahan dengan pemberian vaksinasi dan pengobatan. Berdasarkan analisis model tanpa kontrol diperoleh titik setimbang non endemik dan titik setimbang endemik. Titik setimbang non endemik stabil asimtotis lokal jika basic reproduction number kurang dari satu ( 𝑅𝑅 0 < 1) , sedangkan titik setimbang endemik cenderung stabil asimtotis lokal jika basic reproduction number lebih dari satu ( 𝑅𝑅 0 > 1) . Kontrol optimal pada model matematika penyebaran penyakit mumps dilakukan dengan menggunakan Prinsip Maksimum Pontryagin. Hasil simulasi numerik menunjukkan bahwa pemberian kontrol yaitu pencegahan dan pengobatan secara bersamaan dinilai paling efektif dan efisien untuk meminimumkan jumlah populasi individu yang terinfeksi penyakit mumps dengan biaya lebih minimal. Kata Kunci : Mumps , Titik Setimbang, Kestabilan, Basic Reproduction Number, Kontrol Optimal.

## Abstract
Mumps is an acute disease in children and adults, caused by paramyxovirus. In this research, a mathematical model analysis of the spread of mumps disease was carried out and the application of optimal control, namely prevention by giving vaccinations and treatment. Based on the analysis of the model without control obtained a non-endemic equilibrium point and an endemic equilibrium point. The non-endemic equilibrium point is local asymptotic stable if the basic reproduction number is less than one ( 𝑅𝑅 0 < 1), while the endemic equilibrium point tends to be local asymptotic stable if the basic reproduction number is more than one ( 𝑅𝑅 0 > 1) . Optimal control on the mathematical model of the spread of mumps disease was carried out using the Pontryagin’s Maximum Principle. The results of numerical simulations show that the provision of control, namely prevention and treatment, is simultaneously considered the most effective and efficient to minimize the number of individual populations infected with mumps disease with minimum cost.
Keywords : Mumps, Equilibrium Point, Stability, Basic Reproduction Number , Optimal Control.

## 1  Pendahuluan
Mumps adalah penyakit akut pada anak-anak dan dewasa, yang disebabkan oleh paramyxovirus . Diketahui bahwa manusia adalah satu-satunya inang untuk virus mumps. Mumps sering dilaporkan pada anak usia 5-9 tahun, tetapi remaja dan orang dewasa tidak menutup kemungkinan juga dapat terkena [1].  Di seluruh dunia, mumps merupakan penyakit yang tidak

## 118 Analisis Kestabilan dan Kontrol Optimal pada Model Matematika Penyebaran Penyakit Mumps
dikontrol sebaik campak dan rubella sehingga diketahui bahwa terdapat 500.000 kasus mumps dari tahun 1999-2019 yang tercatat menurut laporan tahunan WHO [2].
Proses penularan virus mumps yaitu virus tersebut bereplikasi pada saluran pernapasan dan ditularkan melalui kontak langsung dengan air liur atau tetesan pernapasan antara individu yang terinfeksi dengan individu yang rentan. Risiko penyebaran virus meningkat apabila terjadi kontak secara terus menerus antara individu rentan dengan individu yang menderita. Periode infeksi virus mumps sekitar  2 hari sebelum munculnya parotitis hingga 5 hari setelah munculnya parotitis , meskipun virus tersebut telah diisolasi pada air liur sebelum munculnya parotitis [3].  Pada umumnya reinfeksi penyakit mumps sangat jarang terjadi karena tubuh akan mendapat kekebalan terhadap virus mumps seumur hidup setelah terinfeksi virus tersebut [4].
Penyakit mumps dapat menyebabkan komplikasi yang umumnya terjadi pada orang dewasa dibanding dengan anak-anak. Komplikasi mumps yang paling umum terjadi dibandingkan dengan komplikasi mumps lainnya adalah gangguan pendengaran (ketulian). Ketulian yang disebabkan oleh mumps biasanya sangat serius dan permanen. Atrofi dari sel-sel rambut yang telah diamati, menunjukkan bahwa gangguan pendengaran akibat mumps disebabkan karena kerusakan parah pada koklea akibat infeksi virus [5].
Tindakan pencegahan sangat perlu dilakukan untuk menekan angka komplikasi yang disebabkan oleh virus mumps . Vaksin tersebut dapat berupa vaksin MMR (Measles-Mumps- Rubella) dan MMRV (Measles-Mumps-Rubella-varicella). Dua dosis vaksin MMR dapat mencegah tertular penyakit mumps secara efektif hingga 88%.  Selain tindakan pencegahan terdapat tindakan pengobatan. Pengobatan untuk mumps dilakukan secara suportif. Pengobatan tersebut dilakukan ketika gejala klinis pembengkakan pada kelenjar saliva muncul. Obat analgesik dan kompres dingin atau hangat bermanfaat untuk meredakan pembengkakan parotis [6].
Penelitian mengenai penyebaran penyakit mumps menarik untuk dimodelkan secara matematika. Beberapa ilmuan telah mengembangkan model matematika yang berhubungan dengan mumps diantaranya yang ditulis oleh Li dkk  [7]  yang mengkaji model matematika penyebaran penyakit mumps di dataran Cina. Pada jurnal ini terdapat enam kompartemen yaitu populasi manusia rentan, populasi manusia yang terpapar dan belum bisa menginfeksi, populasi manusia yang terinfeksi dengan gejala klinis, populasi manusia yang terinfeksi tanpa gejala klinis, populasi manusia yang sudah divaksinasi, dan populasi manusia yang sembuh. Kitano  [8] mengkaji model matematika penyebaran vaksinasi mumps di Jepang. Pada jurnal ini memodelkan insiden dari populasi manusia yang terinfeksi dengan transmisi antara populasi rentan dan populasi terinfeksi dengan standard incidence rate. Pongsumpun  [9]  mengkaji model matematika penyebaran mumps di Thailand. Pada jurnal ini terdapat empat kompartemen yaitu 𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑅𝑅 , dengan
𝑆𝑆 merupakan populasi manusia rentan, 𝑆𝑆 merupakan populasi manusia yang terpapar, 𝑆𝑆 merupakan populasi manusia yang terinfeksi, dan 𝑅𝑅 adalah populasi manusia yang sembuh. Ayoade dkk. [10] mengkaji model matematika penyebaran penyakit mumps dengan model 𝑆𝑆𝑆𝑆𝑅𝑅 (Susceptible, Infectious, Recovered) . Peng dkk.  [11]  mengkaji model matematika penyebaran penyakit mumps di Wuhan, China dengan estimasi parameter terhadap jumlah populasi individu yang terinfeksi mumps di Wuhan. Mohammadi dkk. [12] mengkaji model matematika penyebaran penyebaran penyakit mumps dengan memperhatikan populasi individu yang terkena gangguan pendengaran (ketulian) saat terinfeksi mumps . Model matematika tersebut memiliki 3 kompartemen yaitu individu rentan dengan pendengaran normal ( 𝑆𝑆 ), individu yang mengalami gangguan pendengaran (ketulian) saat terinfeksi mumps ( 𝐿𝐿 ), individu yang sembuh pendengarannya ( 𝑅𝑅 ).
Berdasarkan pemaparan di atas, penulis tertarik untuk mengkaji dan memodifikasi model yang merujuk pada paper berjudul “ A theoretical study of the Caputo–Fabrizio fractional modeling for hearing loss due to Mumps virus with optimal control ” yang ditulis oleh Mohammadi dkk. [12]. Modifikasi yang dilakukan yaitu menambahkan kompartemen populasi individu yang terekspose ( 𝑆𝑆 ) dan populasi individu yang terinfeksi ( 𝑆𝑆 ).  Kemudian penulis juga memodifikasi laju penyebaran penyakit mumps yang semula bilinear incidence rate menjadi saturated incidence rate . Modifikasi ini didasari pada jumlah penyebaran penyakit mumps yang tinggi pada beberapa waktu lalu, dikarenakan tingkat kesadaran populasi manusia sehat masih cukup rendah. Saturated incidence rate memperhatikan efek kejenuhan (kepadatan) populasi terinfeksi. Ketika kepadatan populasi terinfeksi semakin meningkat, populasi sehat cenderung berhati-hati sehingga tidak mudah tertular oleh individu terinfeksi.

## 2  Model Matematika
Model matematika penyebaran penyakit mumps ini merujuk pada penelitian yang dilakukan oleh Mohammadi dkk. [12] terdiri atas 3 kompartemen yaitu populasi manusia rentan dengan pendengaran normal ( 𝑆𝑆 ) , populasi manusia yang kehilangan pendengaran saat terinfeksi ( 𝐿𝐿 ) , populasi manusia yang pulih ( 𝑅𝑅 ) . Penulis akan melakukan modifikasi model dengan menambah kompartmen populasi yang terpapar ( 𝑆𝑆 ) dan populasi yang terinfeksi dengan pendengaran normal ( 𝑆𝑆 ) ,  serta  memodifikasi laju penyebaran penyakit mumps yang semula bilinear incidence rate menjadi saturated incidence rate. Adapun asumsi yang digunakan pada model matematika tersebut adalah sebagai berikut:
1. Tidak ada penyebaran penyakit lain selain penyakit mumps .
120 Analisis Kestabilan dan Kontrol Optimal pada Model Matematika Penyebaran Penyakit Mumps
2. Setiap manusia lahir dalam keadaan rentan terhadap penyakit mumps .
3. Populasi manusia rentan terinfeksi mumps ( 𝑆𝑆 ) bertambah karena adanya  laju pertumbuhan secara eksponensial.
4. Populasi yang sakit ( 𝑆𝑆 ) dan ( 𝐿𝐿 ) dapat menginfeksi populasi rentan ( 𝑆𝑆 ) .
5. Populasi terpapar ( 𝑆𝑆 ) dapat berkembang menjadi populasi terinfeksi ( 𝑆𝑆 ) dan ( 𝐿𝐿 ).
6. Populasi yang telah sembuh ( 𝑅𝑅 ) memiliki kekebalan sehingga tidak terjadi reinfeksi.
7. Semua parameter bernilai konstan positif.
Berikut ini notasi dan deskripsi dari setiap variabel dan parameterm yang akan digunakan pada model matematika penyebaran penyakit mumps.
Tabel 1. Notasi dan Deskripsi Variabel Kompartemen
Deskripsi
𝑆𝑆 ( 𝑡𝑡 ) Populasi individu yang rentan terhadap penyakit mumps pada saat t
𝑆𝑆 ( 𝑡𝑡 ) Populasi individu yang terpapar penyakit mumps dan belum dapat menginfeksi pada saat t.
𝑆𝑆 ( 𝑡𝑡 ) Populasi individu yang terinfeksi penyakit mumps dengan pendengaran normal pada saat t
𝐿𝐿 ( 𝑡𝑡 ) Populasi individu yang terinfeksi penyakit mumps dan kehilangan pendegaran pada saat t
𝑅𝑅 ( 𝑡𝑡 ) Populasi individu yang sembuh dari infeksi penyakit mumps pada saat t
Tabel 2. Notasi dan Deskripsi Parameter Parameter Deskripsi Λ Laju pertambahan individu baru yang rentan terinfeksi mumps 𝛽𝛽 1 Laju penyebaran penyakit mumps oleh populasi terinfeksi mumps
𝛽𝛽 2
Laju penyebaran penyakit mumps oleh populasi yang kehilangan pendengaran saat terinfeksi
𝜇𝜇 Laju kematian alami
𝛼𝛼 Laju perkembangan populasi terpapar menjadi populasi terinfeksi 𝜀𝜀 Laju perkembangan populasi terinfeksi dengan pendengaran normal menjadi populasi terinfeksi yang kehilangan pendengaran 𝜏𝜏 1 Laju kesembuhan untuk individu terinfeksi dengan pendengaran normal 𝜏𝜏 2 Laju kesembuhan individu terinfeksi yang kehilangan pendengaran 𝑝𝑝 proporsi individu yang terpapar 𝛾𝛾 Konstanta saturasi

## 121
Selanjutnya untuk mempermudah penulisan maka variabel 𝑆𝑆 ( 𝑡𝑡 ), 𝑆𝑆 ( 𝑡𝑡 ), 𝑆𝑆 ( 𝑡𝑡 ), 𝐿𝐿 ( 𝑡𝑡 ), dan 𝑅𝑅 ( 𝑡𝑡 ) berturut-turut ditulis dengan 𝑆𝑆 , 𝑆𝑆 , 𝑆𝑆 , 𝐿𝐿 , 𝑅𝑅 . Variabel tersebut menyatakan populasi tertentu, sehingga diasumsikan 𝑆𝑆 , 𝑆𝑆 , 𝑆𝑆 , 𝐿𝐿 , 𝑅𝑅 ≥ 0 . Selain itu, kelajuan merupakan besaran yang tidak bergantung pada arah, sehingga diasumsikan:
Λ , 𝛽𝛽 1 , 𝛽𝛽 2 , 𝜇𝜇 , 𝛼𝛼 , 𝜀𝜀 , 𝜏𝜏 1 , 𝜏𝜏 2 , 𝛾𝛾 , 𝑝𝑝 , σ ≥ 0
Karena 𝑝𝑝 merupakan proporsi individu yang terpapar, maka nilai 𝑝𝑝 adalah 0 ≤ 𝑝𝑝 ≤ 1.
Berdasarkan pemaparan sebelumnya, diagram transmisi model matematika penyebaran penyakit mumps adalah sebagai berikut:
Gambar 1. Diagram Transmisi Model Keterangan:
: Mengurangi populasi awal atau menambah populasi yang dituju.
Berdasarkan diagram transmisi pada gambar 1 maka dapat dibentuk model matematika penyebaran penyakit mumps sebagai berikut:
𝑑𝑑𝑆𝑆 𝑑𝑑𝑡𝑡 = Λ − 𝛽𝛽 1 𝑆𝑆𝑆𝑆 1 + 𝛾𝛾𝑆𝑆 − 𝛽𝛽 2 𝑆𝑆𝐿𝐿 − 𝜇𝜇𝑆𝑆 (1)
𝑑𝑑𝑆𝑆 𝑑𝑑𝑡𝑡 = 𝛽𝛽 1 𝑆𝑆𝑆𝑆 1 + 𝛾𝛾𝑆𝑆 + 𝛽𝛽 2 𝑆𝑆𝐿𝐿 − 𝛼𝛼𝑆𝑆 − 𝜇𝜇𝑆𝑆 (2)
𝑑𝑑𝑆𝑆 𝑑𝑑𝑡𝑡 = 𝑝𝑝𝛼𝛼𝑆𝑆 − 𝜀𝜀𝑆𝑆 − 𝜏𝜏 1 𝑆𝑆 − 𝜇𝜇𝑆𝑆 (3)
𝑑𝑑𝐿𝐿 𝑑𝑑𝑡𝑡 = (1 − 𝑝𝑝 ) 𝛼𝛼𝑆𝑆 + 𝜀𝜀𝑆𝑆 − 𝜏𝜏 2 𝐿𝐿 − 𝜇𝜇𝐿𝐿 (4)
𝑑𝑑𝑅𝑅 𝑑𝑑𝑡𝑡 = 𝜏𝜏 1 𝑆𝑆 + 𝜏𝜏 2 𝐿𝐿 − 𝜇𝜇𝑅𝑅 (5)

## 3  Hasil dan Pembahasan
Pada  bagian  ini akan dilakukan analisis kestabilan titik setimbang model matematika penyebaran penyakit mumps. Sebelum dilakukan uji kestabilan titik setimbang, akan ditentukan

## 122 Analisis Kestabilan dan Kontrol Optimal pada Model Matematika Penyebaran Penyakit Mumps
terlebih dahulu titik setimbang dengan syarat eksistensinya dan bilangan reproduksi dasar. Berdasarkan persamaan (1) – (5) didapatkan dua titik setimbang yaitu titik setimbang bebas  (non endemik) dan titik setimbang endemik.

## 3.1 Titik Setimbang Model
Titik setimbang non endemik adalah suatu kondisi ketika tidak terjadi penyebaran penyakit mumps dalam populasi. Keadaan ini terjadi ketika populasi individu terinfeksi penyakit mumps dan populasi individu terinfeksi penyakit mumps yang kehilangan pendengaran bernilai nol ( 𝑰𝑰 = 𝑳𝑳 = 𝟎𝟎 ) sehingga menyebabkan populasi individu yang terpapar penyakit mumps dan sembuh dari penyakit mumps bernilai nol. Misalkan titik setimbang penyebaran penyakit mumps dinyatakan sebagai 𝑬𝑬 𝟎𝟎 = ( 𝑺𝑺 , 𝑬𝑬 , 𝑰𝑰 , 𝑳𝑳 , 𝑹𝑹 ) , maka dengan mensubtitusikan nilai 𝑬𝑬 = 𝑰𝑰 = 𝑳𝑳 = 𝑹𝑹 = 𝟎𝟎 kedalam persamaan (1) − (5) diperoleh titik setimbang non endemik dari model matematika penyebaran penyakit mumps 𝑬𝑬 𝒐𝒐 = � 𝚲𝚲 𝝁𝝁 , 𝟎𝟎 , 𝟎𝟎 , 𝟎𝟎 , 𝟎𝟎� .
Selanjutnya akan ditentukan nilai dari bilangan reproduksi dasar ( 𝑅𝑅 𝑜𝑜 ). Bilangan 𝑅𝑅 𝑜𝑜 merupakan kondisi ambang batas suatu keadaan untuk menentukan apakah dalam suatu populasi terjadi penyebaran penyakit atau tidak [13], [14]. Dalam menentukan bilangan reproduksi dasar ( 𝑅𝑅 𝑜𝑜 ) menggunakan titik setimbang non endemik. Dengan menggunakan metode Next Generation Matrix (NGM) diperoleh nilai 𝑅𝑅 0 sebagai berikut:
𝑅𝑅 0 = Λ𝛼𝛼 ( 𝛽𝛽 1 𝑝𝑝𝑐𝑐 3 +𝛽𝛽 2 𝑐𝑐 2 ( 1−𝑝𝑝 ) +𝛽𝛽 2 𝑝𝑝𝑝𝑝 ) 𝜇𝜇𝑐𝑐 1 𝑐𝑐 2 𝑐𝑐 3 . (6)
Titik setimbang selanjutnya dari model matematika penyebaran penyakit mumps adalah titik setimbang endemik. Titik setimbang endemik menunjukan suatu kondisi ketika terjadi penyebaran penyakit mumps dalam suatu populasi. Kondisi ini terjadi ketika terdapat populasi individu terinfeksi mumps dan populasi individu terinfeksi mumps yang kehilangan pendengaran ( 𝑆𝑆 ≠ 0, 𝐿𝐿 ≠ 0) . Selain itu, populasi individu yang rentan, individu yang terpapar, dan individu yang sembuh juga bernilai tidak sama dengan nol.
Misalkan titik setimbang endemik dinyatakan sebagai 𝑆𝑆 1 = ( 𝑆𝑆 ∗ , 𝑆𝑆 ∗ , 𝑆𝑆 ∗ , 𝐿𝐿 ∗ , 𝑅𝑅 ∗ ) . Berdasarkan perhitungan pada persamaan (1) − (5), diperoleh titik setimbang endemik dari model matematika penyebaran penyakit mumps sebagai berikut:
𝑆𝑆 ∗ = Λ (1 + 𝛾𝛾𝑆𝑆 ∗ ) 𝛽𝛽 1 𝑆𝑆 ∗ + ((1 − 𝑝𝑝 ) 𝛽𝛽 2 𝛼𝛼𝑏𝑏 1 𝑏𝑏 2 𝑐𝑐 2 𝑆𝑆 ∗ + 𝛽𝛽 2 𝜀𝜀𝑏𝑏 2 𝑆𝑆 ∗ + 𝜇𝜇 )(1 + 𝛾𝛾𝑆𝑆 ∗ ) 𝑆𝑆 ∗ = 𝑏𝑏 1 𝑐𝑐 2 𝑆𝑆 ∗
𝐿𝐿 ∗ = (1 − 𝑝𝑝 ) 𝛼𝛼𝑏𝑏 1 𝑏𝑏 2 𝑐𝑐 2 𝑆𝑆 ∗ + 𝜀𝜀𝑏𝑏 2 𝑆𝑆 ∗
𝑅𝑅 ∗ = 𝜏𝜏 1 𝑆𝑆 ∗ + 𝜏𝜏 2 ((1 − 𝑝𝑝 ) 𝛼𝛼𝑏𝑏 1 𝑏𝑏 2 𝑐𝑐 2 𝑆𝑆 ∗ + 𝜀𝜀𝑏𝑏 2 𝑆𝑆 ∗ ) 𝜇𝜇
dengan 𝑆𝑆 ∗ adalah akar positif dari persamaan
𝑘𝑘 1 𝑆𝑆 2 + 𝑘𝑘 2 𝑆𝑆 + 𝑘𝑘 3 = 0 (7)
dengan
𝑘𝑘 1 = 𝛽𝛽 2 𝛼𝛼𝑏𝑏 1 2 𝑏𝑏 2 𝑐𝑐 1 𝑐𝑐 2 2 𝛾𝛾 (1 − 𝑝𝑝 ) + 𝛽𝛽 2 𝑏𝑏 1 𝑏𝑏 2 𝑐𝑐 2 𝑐𝑐 1 𝜀𝜀𝛾𝛾 𝑘𝑘 2 = 𝛽𝛽 1 𝑏𝑏 1 𝑐𝑐 2 𝑐𝑐 1 + 𝛽𝛽 2 𝛼𝛼𝑏𝑏 1 2 𝑏𝑏 2 𝑐𝑐 1 𝑐𝑐 2 2 − 𝑝𝑝𝛽𝛽 2 𝛼𝛼𝑏𝑏 1 2 𝑏𝑏 2 𝑐𝑐 1 𝑐𝑐 2 2 + 𝛽𝛽 2 𝑏𝑏 1 𝑏𝑏 2 𝑐𝑐 1 𝑐𝑐 2 𝜀𝜀 + 𝜇𝜇𝑏𝑏 1 𝑐𝑐 2 𝑐𝑐 1 𝛾𝛾 − Λ𝛽𝛽 2 𝛼𝛼𝑏𝑏 1 𝑏𝑏 2 𝑐𝑐 2 𝛾𝛾 + Λ𝑝𝑝𝛽𝛽 2 𝛼𝛼𝑏𝑏 1 𝑏𝑏 2 𝑐𝑐 2 𝛾𝛾 − Λ𝛽𝛽 2 𝜀𝜀𝑏𝑏 2 𝛾𝛾 𝑘𝑘 3 = 𝑏𝑏 1 𝑐𝑐 2 𝑐𝑐 1 𝜇𝜇 − Λ𝛽𝛽 1 − Λ𝛽𝛽 2 𝛼𝛼𝑏𝑏 1 𝑏𝑏 2 𝑐𝑐 2 + Λ p 𝛽𝛽 2 𝛼𝛼𝑏𝑏 1 𝑏𝑏 2 𝑐𝑐 2 − Λ𝛽𝛽 2 𝜀𝜀𝑏𝑏 2 𝑏𝑏 1 = 1 𝑝𝑝𝛼𝛼 , (8)
𝑏𝑏 2 = 1 𝑐𝑐 3 (9)
𝑐𝑐 1 = 𝛼𝛼 + 𝜇𝜇 (10)
𝑐𝑐 2 = 𝜀𝜀 + 𝜏𝜏 1 + 𝜇𝜇 (11)
𝑐𝑐 3 = 𝜏𝜏 2 + 𝜇𝜇 (12)
Dari sini persamaan kuadrat (7) akan mempunyai satu akar positif jika 𝑘𝑘 3 𝑘𝑘 1 < 0. Kemudian karena semua parameter diasumsikan bernilai positif sehingga 𝑘𝑘 1 bernilai positif atau 𝑘𝑘 1 > 0 . Selanjutnya akan ditentukan syarat agar 𝑘𝑘 3 < 0 sehingga kondisi 𝑘𝑘 3 𝑘𝑘 1 < 0 terpenuhi.
Dari sini 𝑘𝑘 3 akan bernilai kurang dari nol jika memenuhi syarat berikut:
⟺ 𝑏𝑏 1 𝑐𝑐 2 𝑐𝑐 1 𝜇𝜇 − Λ𝛽𝛽 1 − Λ𝛽𝛽 2 𝛼𝛼𝑏𝑏 1 𝑏𝑏 2 𝑐𝑐 2 + Λ𝑝𝑝𝛽𝛽 2 𝛼𝛼𝑏𝑏 1 𝑏𝑏 2 𝑐𝑐 2 − Λ𝛽𝛽 2 𝜀𝜀𝑏𝑏 2 < 0
⟺ 1 < Λ𝛼𝛼�𝛽𝛽 1 𝑐𝑐 3 𝑝𝑝 − 𝛽𝛽 2 ( 𝑝𝑝𝑐𝑐 2 − 𝑝𝑝𝜀𝜀 − 𝑐𝑐 2 ) � 𝜇𝜇𝑐𝑐 2 𝑐𝑐 1 𝑐𝑐 3 ⟺ 𝑅𝑅 0 > 1
Karena populasi harus bernilai positif sebagai tanda keberadaan populasi tersebut, maka terdapat syarat eksistensi yang harus dipenuhi untuk menjamin 𝑆𝑆 ∗ > 0.
i. 𝑏𝑏 1 𝑐𝑐 2 𝑐𝑐 1 𝜇𝜇 − Λ𝛽𝛽 1 − Λ𝛽𝛽 2 𝛼𝛼𝑏𝑏 1 𝑏𝑏 2 𝑐𝑐 2 + Λ𝑝𝑝𝛽𝛽 2 𝛼𝛼𝑏𝑏 1 𝑏𝑏 2 𝑐𝑐 2 − Λ𝛽𝛽 2 𝜀𝜀𝑏𝑏 2 < 0 ⟺ 1 < Λ𝛼𝛼�𝛽𝛽 1 𝑐𝑐 3 𝑝𝑝 − 𝛽𝛽 2 ( 𝑝𝑝𝑐𝑐 2 − 𝑝𝑝𝜀𝜀 − 𝑐𝑐 2 ) � 𝜇𝜇𝑐𝑐 2 𝑐𝑐 1 𝑐𝑐 3 ⟺ 𝑅𝑅 0 > 1
Berdasarkan titik setimbang endemik ( 𝑆𝑆 1 ) yang telah diperoleh, 𝑆𝑆 1 akan eksis atau ada jika memenuhi syarat eksistensi 𝑅𝑅 0 > 1 [14]

## 124 Analisis Kestabilan dan Kontrol Optimal pada Model Matematika Penyebaran Penyakit Mumps

## 3.2 Analisis Kestabilan Titik Setimbang Model
3.2.1 Analisis Kestabilan Titik Setimbang Non Endemik
Selanjutnya,  untuk melakukan analisis kestabilan titik setimbang non endemik, akan disubstitusikan titik setimbang non endemik pada matriks Jacobian sehingga diperoleh sebagai berikut:
𝐽𝐽 ( 𝑆𝑆 0 ) = ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎛ −𝜇𝜇 0 −𝛽𝛽 1 Λ 𝜇𝜇 −𝛽𝛽 2 Λ 𝜇𝜇 0 0 −𝑐𝑐 1 𝛽𝛽 1 Λ 𝜇𝜇 −𝛽𝛽 2 Λ 𝜇𝜇 0 0 𝑝𝑝𝛼𝛼 −𝑐𝑐 2 0 0 0 (1 − 𝑝𝑝 ) 𝛼𝛼 𝜀𝜀 −𝑐𝑐 3 0 0 0 𝜏𝜏 1 𝜏𝜏 2 −𝜇𝜇⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎞
dengan 𝑐𝑐 1 − 𝑐𝑐 3 dapat dilihat pada persamaan (10) – (12).
Akibatnya, diperoleh persamaan karakteristik sebagai berikut:
( 𝜆𝜆 + 𝜇𝜇 )( 𝜆𝜆 + 𝜇𝜇 )( 𝜆𝜆 3 + 𝑎𝑎 1 𝜆𝜆 2 + 𝑎𝑎 2 𝜆𝜆 + 𝑎𝑎 3 ) = 0 (13)
dengan
𝑎𝑎 1 = 𝑐𝑐 1 + 𝑐𝑐 2 + 𝑐𝑐 3
𝑎𝑎 2 = 𝑐𝑐 1 𝑐𝑐 3 + 𝑐𝑐 2 𝑐𝑐 3 + 𝑐𝑐 1 𝑐𝑐 2 − 𝛽𝛽 2 Λα 𝜇𝜇 + 𝑝𝑝𝛽𝛽 2 Λα 𝜇𝜇 − 𝑝𝑝𝛽𝛽 1 Λα 𝜇𝜇
𝑎𝑎 3 = 𝑐𝑐 1 𝑐𝑐 2 𝑐𝑐 3 − 𝛽𝛽 2 Λ𝑝𝑝𝛼𝛼𝜀𝜀 𝜇𝜇 − 𝛽𝛽 2 Λα𝑐𝑐 2 𝜇𝜇 + 𝑝𝑝𝛽𝛽 2 Λα𝑐𝑐 2 𝜇𝜇 − 𝑝𝑝𝛽𝛽 1 Λα𝑐𝑐 3 𝜇𝜇
Dari persamaan karakteristik (13), diperoleh akar-akar persamaannya adalah
𝜆𝜆 1 , 2 = − 𝜇𝜇 < 0 dan sisanya adalah akar dari persamaan berikut:
𝜆𝜆 3 + 𝑎𝑎 1 𝜆𝜆 2 + 𝑎𝑎 2 𝜆𝜆 + 𝑎𝑎 3 (14)
Berdasarkan kriteria Routh-Hurwitz, karena semua paramter model diasumsikan bernilai positif, maka 𝑎𝑎 1 > 0 , 𝑎𝑎 2 > 0 jika 𝑐𝑐 1 𝑐𝑐 3 + 𝑐𝑐 2 𝑐𝑐 3 + 𝑐𝑐 1 𝑐𝑐 2 + 𝑝𝑝𝛽𝛽 2 Λα 𝜇𝜇 > 𝛽𝛽 2 Λα 𝜇𝜇 + 𝑝𝑝𝛽𝛽 1 Λα 𝜇𝜇 , 𝑎𝑎 3 > 0 dan 𝑎𝑎 1 𝑎𝑎 2 − 𝑎𝑎 3 > 0 . Dengan demikian agar 𝑎𝑎 3 > 0 maka:
𝑐𝑐 1 𝑐𝑐 2 𝑐𝑐 3 + 𝛽𝛽 2 Λ𝑝𝑝𝛼𝛼𝑝𝑝 𝜇𝜇 − 𝛽𝛽 2 Λα𝑐𝑐 2 𝜇𝜇 + 𝑝𝑝𝛽𝛽 2 Λα𝑐𝑐 2 𝜇𝜇 − 𝑝𝑝𝛽𝛽 1 Λα𝑐𝑐 3 𝜇𝜇 > 0 , sehingga diperoleh:
⟺ −𝑐𝑐 1 𝑐𝑐 2 𝑐𝑐 3 �− 1 + Λ𝛼𝛼 ( 𝛽𝛽 1 𝑝𝑝𝑐𝑐 3 + 𝛽𝛽 2 𝑐𝑐 2 (1 − 𝑝𝑝 ) + 𝛽𝛽 2 𝑝𝑝𝜀𝜀 ) 𝜇𝜇𝑐𝑐 1 𝑐𝑐 2 𝑐𝑐 3 � > 0
⟺ 𝑐𝑐 1 𝑐𝑐 2 𝑐𝑐 3 (1 − 𝑅𝑅 0 ) > 0 .
Hal ini berarti diperoleh: 𝑅𝑅 0 < 1 .
Kemudian ditunjukkan 𝑎𝑎 1 𝑎𝑎 2 − 𝑎𝑎 3 > 0 ,
( 𝑐𝑐 1 + 𝑐𝑐 2 + 𝑐𝑐 3 ) �𝑐𝑐 1 𝑐𝑐 3 + 𝑐𝑐 2 𝑐𝑐 3 + 𝑐𝑐 1 𝑐𝑐 2 − 𝛽𝛽 2 Λα 𝜇𝜇 + 𝑝𝑝𝛽𝛽 2 Λα 𝜇𝜇 − 𝑝𝑝𝛽𝛽 1 Λα 𝜇𝜇 � − ( 𝑐𝑐 1 𝑐𝑐 2 𝑐𝑐 3(1 − 𝑅𝑅 0 ) > 0 ⟺ Λ𝛽𝛽 2 𝑝𝑝𝜀𝜀 𝜇𝜇 + 𝑐𝑐 1 2 𝑐𝑐 2 + 𝑐𝑐 1 2 𝑐𝑐 3 + 𝑐𝑐 1 𝑐𝑐 2 2 + 2 𝑐𝑐 1 𝑐𝑐 2 𝑐𝑐 3 + 𝑐𝑐 1 𝑐𝑐 3 2 + 𝑐𝑐 2 2 𝑐𝑐 3 𝜇𝜇 + 𝑐𝑐 2 𝑐𝑐 3 2 > Λ𝛼𝛼𝑐𝑐 1 𝜇𝜇 ( 𝛽𝛽 1 𝑝𝑝 + 𝛽𝛽 2 (1 − 𝑝𝑝 )) + Λ𝛼𝛼 𝜇𝜇 ( 𝛽𝛽 1 𝑐𝑐 2 𝑝𝑝 + 𝛽𝛽 2 𝑐𝑐 3 (1 − 𝑝𝑝 ))
Berdasarkan uaraian diatas, titik setimbang non endemik akan stabil asimtotis jika memenuhi syarat:
i. 𝑅𝑅 0 < 1
ii. Λ𝛽𝛽 2 𝑝𝑝𝑝𝑝 𝜇𝜇 + 𝑐𝑐 1 2 𝑐𝑐 2 + 𝑐𝑐 1 2 𝑐𝑐 3 + 𝑐𝑐 1 𝑐𝑐 2 2 + 2 𝑐𝑐 1 𝑐𝑐 2 𝑐𝑐 3 + 𝑐𝑐 1 𝑐𝑐 3 2 + 𝑐𝑐 2
2 𝑐𝑐 3 𝜇𝜇 + 𝑐𝑐 2 𝑐𝑐 3 2 > Λ𝛼𝛼𝑐𝑐 1 𝜇𝜇 �𝛽𝛽 1 𝑝𝑝 + 𝛽𝛽 2 (1 − 𝑝𝑝 ) � + Λ𝛼𝛼 𝜇𝜇 �𝛽𝛽 1 𝑐𝑐 2 𝑝𝑝 + 𝛽𝛽 2 𝑐𝑐 3 (1 − 𝑝𝑝 ) �
Hal ini menunjukkan bahwa jika kedua syarat di atas terpenuhi, maka setiap populasi individu yang terinfeksi penyakit mumps dapat menularkan mumps kepada rata-rata kurang dari satu penderita baru atau dengan kata lain mumps akan menghilang dari populasi atau tidak ada penyebaran mumps .
3.2.2 Analisis Kestabilan Titik Setimbang Endemik
Selanjutnya, untuk melakukan analisis kestabilan titik setimbang endemik, akan disubstitusikan titik setimbang endemik pada matriks Jacobian, diperoleh
𝐽𝐽 ( 𝑆𝑆 1 ) = ⎝ ⎜ ⎛ −𝑛𝑛 1 0 𝑛𝑛 2 −𝑛𝑛 3 0 𝑛𝑛 4
−𝑐𝑐 1 𝑛𝑛 5 𝑛𝑛 3 0 0 𝑝𝑝𝛼𝛼 −𝑐𝑐 2 0 0 0 (1 − 𝑝𝑝 ) 𝛼𝛼 𝜀𝜀 −𝑐𝑐 3 0 0 0 𝜏𝜏 1 𝜏𝜏 2 −𝜇𝜇⎠ ⎟ ⎞
dengan,
𝑛𝑛 1 = 𝛽𝛽 1 𝐼𝐼 ∗ 1+𝛾𝛾𝐼𝐼 ∗ + 𝛽𝛽 2 𝐿𝐿 ∗ + 𝜇𝜇
𝑛𝑛 2 = − 𝛽𝛽 1 𝑆𝑆 1 + 𝛾𝛾𝑆𝑆 + 𝛽𝛽 1 𝑆𝑆𝛾𝛾𝑆𝑆 (1 + 𝛾𝛾𝑆𝑆 ) 2
𝑛𝑛 3 = 𝛽𝛽 2 𝑆𝑆 ∗
𝑛𝑛 4 = 𝛽𝛽 1 𝑆𝑆 ∗ 1 + 𝛾𝛾𝑆𝑆 ∗ + 𝛽𝛽 2 𝐿𝐿 ∗
𝑛𝑛 5 = 𝛽𝛽 1 𝑆𝑆 1 + 𝛾𝛾𝑆𝑆 − 𝛽𝛽 1 𝑆𝑆𝛾𝛾𝑆𝑆 (1 + 𝛾𝛾𝑆𝑆 ) 2 dengan 𝑐𝑐 1 , 𝑐𝑐 2 , dan 𝑐𝑐 3 secara berurutan dapat dilihat pada persamaan (10), (11), dan (12).
Selanjutnya, diperoleh persamaan karakteristik sebagai berikut:
𝜆𝜆 5 + 𝑑𝑑 1 𝜆𝜆 4 + 𝑑𝑑 2 𝜆𝜆 3 + 𝑑𝑑 3 𝜆𝜆 2 + 𝑑𝑑 4 𝜆𝜆 + 𝑑𝑑 5 = 0 (15)

## 126 Analisis Kestabilan dan Kontrol Optimal pada Model Matematika Penyebaran Penyakit Mumps
Untuk menentukan akar-akar dari persamaan karakteristik (15) sulit untuk dilakukan secara analitik, sehingga titik setimbang endemik akan dianalisis melalui simulasi numerik menggunakan bidang fase.
Simulasi ini dapat dilakukan dengan memberi nilai parameter dan tiga nilai awal untuk 𝑆𝑆 (0), 𝑆𝑆 (0), 𝑆𝑆 (0), 𝐿𝐿 (0), dan 𝑅𝑅 (0) yang diketahui. Berikut adalah tabel nilai awal dan nilai parameter yang digunakan pada model matematika penyebaran penyakit mumps . Simulasi yang dilakukan untuk interval waktu dari 𝑡𝑡 = 0 sampai 𝑡𝑡 = 1000 .
Tabel 3. Nilai Awal Bidang Fase
Nilai Awal
𝑺𝑺 ( 𝟎𝟎 ) 𝑬𝑬 ( 𝟎𝟎 ) 𝑰𝑰 ( 𝟎𝟎 ) 𝑳𝑳 ( 𝟎𝟎 ) 𝑹𝑹 ( 𝟎𝟎 ) Warna 1 4000 2000 1300 500 900 Biru 2 4500 2300 1600 800 1100 Merah 3 3800 2600 1900 1000 1000 Hijau Tabel 4. Nilai Parameter Bidang Fase Variabel Nilai Parameter Satuan Sumber Λ 20 𝑆𝑆𝑛𝑛𝑑𝑑𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝑑𝑑𝐼𝐼 . ℎ𝑎𝑎𝑎𝑎𝐼𝐼 −1 Asumsi 𝛽𝛽 1 0.0008 𝐼𝐼𝑛𝑛𝑑𝑑𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝑑𝑑𝐼𝐼 −1 . ℎ𝑎𝑎𝑎𝑎𝐼𝐼 −1 Asumsi 𝛽𝛽 2 0.0004 𝐼𝐼𝑛𝑛𝑑𝑑𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝑑𝑑𝐼𝐼 −1 . ℎ𝑎𝑎𝑎𝑎𝐼𝐼 −1 Asumsi 𝜇𝜇 0.0037 ℎ𝑎𝑎𝑎𝑎𝐼𝐼 −1 Asumsi 𝛼𝛼 0.3 ℎ𝑎𝑎𝑎𝑎𝐼𝐼 −1 Asumsi 𝜀𝜀 0.1 ℎ𝑎𝑎𝑎𝑎𝐼𝐼 −1 Asumsi 𝜏𝜏 1 0.05882 ℎ𝑎𝑎𝑎𝑎𝐼𝐼 −1 Peng dkk. (2021) 𝜏𝜏 2 0.05882 ℎ𝑎𝑎𝑎𝑎𝐼𝐼 −1 Peng dkk. (2021) 𝑝𝑝 0.2 Peng dkk. (2021) 𝛾𝛾 0.02 𝑆𝑆𝑛𝑛𝑑𝑑𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝑑𝑑𝐼𝐼 −1 Asumsi
Dengan menggunakan nilai awal pada Tabel 3 dan nilai parameter pada Tabel 4 diperoleh grafik pada Gambar 2 berikut.

## 127
Gambar 2 menunjukkan simulasi bidang fase untuk populasi individu terinfeksi mumps ( 𝑆𝑆 ) dan populasi individu terinfeksi mumps yang kehilangan pendengaran ( 𝐿𝐿 ) pada model matematika penyebaran penyakit mumps . Berdasarkan tiga nilai awal yang berbeda dan nilai parameter yang diberikan, terlihat bahwa grafik populasi 𝑆𝑆 dan 𝐿𝐿 cenderung konvergen ke satu titik, yaitu ( 𝑆𝑆 , 𝐿𝐿 ) = (7,715; 92,54) . Hal ini berarti secara keseluruhan dinamika dari setiap populasi pada model penyebaran penyakit mumps bergerak menuju titik setimbang endemik 𝑆𝑆 1 = (188,864; 20,897; 7,715; 92,54; 138,545) . Nilai 𝑆𝑆 1 diperoleh dengan mensubtitusikan nilai parameter yang terdapat pada Tabel 4 ke titik setimbang endemik 𝑆𝑆 1 yang diperoleh secara analitik. Berdasarkan nilai parameter tersebut, kemudian diperoleh 𝑅𝑅 0 = 11,959 > 1 .
Berdasarkan hasil simulasi pada Gambar 2 diperoleh kesimpulan bahwa titik setimbang endemik model matematika penyebaran penyakit mumps akan cenderung stabil asimtotis jika 𝑅𝑅 0 > 1. Hal ini menunjukkan bahwa jika 𝑅𝑅 0 > 1, maka individu yang terinfeksi penyakit mumps dapat menularkan mumps kepada rata-rata lebih dari satu penderita baru atau dengan kata lain terjadi penyebaran mumps .

## 4  Analisis Sensitivitas Parameter
Analisis sensitivitas parameter dilakukan untuk mengetahui parameter memiliki pengaruh besar pada suatu model [15]. Langkah yang dilakukan dalam analisis sensitivitas parameter adalah menghitung indeks sensitivitas dari masing-masing parameter. Adapun indeks sensitivitas parameteeryang dirumuskan sebagai berikut.
𝐼𝐼𝑛𝑛𝑑𝑑 𝑚𝑚 = � 𝜕𝜕𝑅𝑅 0 𝜕𝜕𝑚𝑚 � 𝑚𝑚 𝑅𝑅 0 dengan 𝑚𝑚 merupakan parameter yang dianalisis dan 𝐼𝐼𝑛𝑛𝑑𝑑 𝑚𝑚 merupakan indeks sensitivitas parameter 𝑚𝑚 . Pada skripsi ini telah diperoleh 𝑅𝑅 0 sebagai berikut:
𝑅𝑅 0 = Λ𝛼𝛼 ( 𝛽𝛽 1 𝑝𝑝𝑐𝑐 3 − 𝛽𝛽 2 ( 𝑐𝑐 2 𝑝𝑝 − 𝑝𝑝𝜀𝜀 − 𝑐𝑐 2 ))
𝜇𝜇𝑐𝑐 1 𝑐𝑐 2 𝑐𝑐
3
Hasil perhitungan indeks parameter model matematika penyebaran penyakit mumps dapat dilihat pada Tabel 5 berikut.
Tabel 5. Nilai Indeks Sensitivitas Parameter Parameter Indeks Sensitivitas Λ 1 𝛽𝛽 1 0.769 𝛽𝛽 2 0.231 𝜇𝜇
− 1.04 𝛼𝛼 0.012 𝜀𝜀 − 0.461

## 128 Analisis Kestabilan dan Kontrol Optimal pada Model Matematika Penyebaran Penyakit Mumps
Parameter Indeks Sensitivitas 𝜏𝜏 1 − 0.289 𝜏𝜏 2 − 0.217 𝑝𝑝 0.750
Tabel 6. Hubungan antara Perubahan pada Nilai Parameter terhadap Nilai 𝑅𝑅 0 Parameter Indeks Sensitivitas 𝑹𝑹 𝟎𝟎 = 𝟏𝟏𝟏𝟏 . 𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗
𝒑𝒑 − 𝟏𝟏𝟎𝟎 % 𝒑𝒑 − 𝟏𝟏𝟗𝟗 % 𝒑𝒑 + 𝟏𝟏𝟎𝟎 % 𝒑𝒑 + 𝟏𝟏𝟗𝟗 % Λ 1 10.763 10.165 13.154 13.752 𝛽𝛽 1 0.769 11.039 10.579 12.878 13.338 𝛽𝛽 2 0.231 11.683 11.535 12.234 12.372 𝜇𝜇 − 1.04 13.346 14.162 10.824 10.33 𝛼𝛼 0.012 11.942 11.933 11.972 11.978 𝜀𝜀 − 0.461 12.547 12.871 11.437 11.201 𝜏𝜏 1 − 0.289 12.318 12.508 11.624 11.466 𝜏𝜏 2 − 0.217 12.245 12.412 11.721 11.617 𝑝𝑝 0.750 11.062 10.613 12.855 13.304
Berdasarkan  Tabel 6, terlihat bahwa untuk indeks sensitivitas yang bernilai positif menunjukkan jika nilai parameter bertambah, maka nilai 𝑅𝑅 0 akan bertambah. Sebaliknya, apabila indeks sensitivitas yang bernilai negatif menunjukkan jika nilai parameter bertambah, maka nilai 𝑅𝑅 0 akan berkurang. Hasil dari indeks sensitivitas pada Tabel 6, parameter yang memiliki pengaruh besar pada model adalah Λ , 𝛽𝛽 1 , 𝜇𝜇 , dan 𝑝𝑝 .  Hal tersebut karena nilai indeks sensitivitas parameter Λ , 𝛽𝛽 1 , 𝜇𝜇 , dan 𝑝𝑝 memiliki nilai mutlak tertinggi dibandingkan parameter lainnya. Namun karena parameter laju perekrutan individu baru rentan terhadap mumps ( Λ ) dan laju kematian alami ( 𝜇𝜇 ) tidak dapat dikontrol, maka parameter yang berpengaruh adalah parameter 𝛽𝛽 1 dan 𝑝𝑝 .
Selanjutnya, akan dilakukan simulasi parameter 𝛽𝛽 1 , 𝑝𝑝 terhadap 𝑅𝑅 0 yang masing-masing merupakan probabilitas laju penyebaran penyakit mumps oleh populasi yang terinfeksi, laju kesembuhan populasi individu terinfeksi yang kehilangan pendengaran, serta proporsi individu yang terpapar. Pada simulasi ini akan dilakukan untuk parameter 𝑝𝑝 dan 𝛽𝛽 1 terhadap 𝑅𝑅 0 , dipilih nilai 𝑝𝑝 = 0.2, 𝑝𝑝 = 0.02, 𝑝𝑝 = 0.002 dan simulasi tersebut berada pada interval 0.001 < 𝛽𝛽 1 < 0.009.
Hasil simulasi berupa 𝛽𝛽 1 dan 𝑝𝑝 terhadap 𝑅𝑅 0 dapat ditunjukkan pada Gambar 3.
Gambar 3. Sensitivitas 𝛽𝛽 1 terhadap 𝑅𝑅 0 dengan Tiga Nilai 𝑝𝑝 yang Berbeda
Gambar 3 menunjukkan bahwa ketika dipilih tiga nilai 𝑝𝑝 yang berbeda yaitu 𝑝𝑝 1 = 0.2, 𝑝𝑝 = 0.02, dan 𝑝𝑝 = 0.002 pada interval 0.001 < 𝛽𝛽 1 < 0.009, semakin besar nilai 𝑝𝑝 maka semakin besar nilai 𝑅𝑅 0 . Selain itu, semakin besar nilai 𝛽𝛽 1 maka semakin besar juga nilai 𝑅𝑅 0 .

## 5  Analisis Masalah Optimal Kontrol
Pada Bagian ini akan dilakukan analisis kontrol optimal model matematika penyebaran penyakit mumps. Untuk menentukan kontrol optimal maka dilakukan konstruksi model dengan penambahan variabel kontrol berupa kontrol ( 𝐼𝐼 1 ) berupa pencegahan dengan vaksinasi dan ( 𝐼𝐼 2 ) berupa pengobatan terhadap populasi individu yang terinfeksi mumps.
Berikut diberikan beberapa notasi dan pengertian dari masing masing variabel yang digunakan dalam mengkonstruksi model kontrol optimal.
Tabel 7. Notasi Variabel Kontrol pada Model Matematika Penyebaran Penyakit Mumps .
Adapun model matematika penyebaran penyakit dengan adanya kontrol adalah sebagai berikut: 𝑑𝑑𝑆𝑆 𝑑𝑑𝑡𝑡 = Λ − (1 − 𝐼𝐼 1 ) 𝛽𝛽 1 𝑆𝑆𝑆𝑆 1 + 𝛾𝛾𝑆𝑆 − (1 − 𝐼𝐼 1 ) 𝛽𝛽 2 𝑆𝑆𝐿𝐿 − 𝜇𝜇𝑆𝑆 𝑑𝑑𝑆𝑆 𝑑𝑑𝑡𝑡 = (1 − 𝐼𝐼 1 ) 𝛽𝛽 1 𝑆𝑆𝑆𝑆 1 + 𝛾𝛾𝑆𝑆 + (1 − 𝐼𝐼 1 ) 𝛽𝛽 2 𝑆𝑆𝐿𝐿 − 𝛼𝛼𝑆𝑆 − 𝜇𝜇𝑆𝑆 𝑑𝑑𝑆𝑆 𝑑𝑑𝑡𝑡 = 𝑝𝑝𝛼𝛼𝑆𝑆 − 𝜀𝜀𝑆𝑆 − 𝜏𝜏 1 𝑆𝑆 − 𝜇𝜇𝑆𝑆 − 𝐼𝐼 2 𝑆𝑆

## Variabel
Keterangan 𝐼𝐼 1 ( 𝑡𝑡 ) Variabel input kontrol berupa pencegahan dengan vaksinasi pada saat 𝑡𝑡 𝐼𝐼 2 ( 𝑡𝑡 ) Variabel input kontrol berupa pengobatan pada saat 𝑡𝑡 𝑡𝑡 0 Waktu awal pengamatan saat dilakukan kontrol
𝑡𝑡 𝑓𝑓 Waktu akhir pengamatan saat dilakukan kontrol 𝐴𝐴 1 Konstanta pembobot berupa biaya untuk upaya pencegahan 𝐴𝐴 2
Konstanta pembobot berupa biaya untuk upaya pengobatan

## 130 Analisis Kestabilan dan Kontrol Optimal pada Model Matematika Penyebaran Penyakit Mumps
𝑑𝑑𝐿𝐿 𝑑𝑑𝑡𝑡 = (1 − 𝑝𝑝 ) 𝛼𝛼𝑆𝑆 + 𝜀𝜀𝑆𝑆 − 𝜏𝜏 2 𝐿𝐿 − 𝜇𝜇𝐿𝐿−𝐼𝐼 2 𝑆𝑆 𝑑𝑑𝑅𝑅 𝑑𝑑𝑡𝑡 = 𝜏𝜏 1 𝑆𝑆 + 𝜏𝜏 2 𝐿𝐿 − 𝜇𝜇𝑅𝑅 + 𝐼𝐼 2 𝑆𝑆
Penjelasan terkait variabel dan parameter pada persamaan diatas mengacu pada Tabel 1 dan Tabel 2 serta penjelasan terkait variabel kontrol mengacu pada Tabel 7. Selanjutnya, fungsi ongkos atau indeks performansi dari model matematika penyebaran penyakit mumps disertai variabel kontrol  berupa  pencegahan berupa vaksinasi dan pengobatan terhadap populasi individu yang terinfeksi mumps berdasarkan penjelasan diatas adalah sebagai berikut:
𝑀𝑀𝐼𝐼𝑛𝑛 𝐽𝐽 ( 𝐼𝐼 1 , 𝐼𝐼 2 ) = � ( 𝑆𝑆 ( 𝑡𝑡 ) + 𝐿𝐿 ( 𝑡𝑡 ) + 1 2 ( 𝐴𝐴 1 𝐼𝐼 1 2 ( 𝑡𝑡 ) + 𝐴𝐴 2 𝐼𝐼 2 2 ( 𝑡𝑡 )) 𝑑𝑑𝑡𝑡 𝑡𝑡 𝑓𝑓 0
dengan 0 ≤ 𝐼𝐼 1 ( 𝑡𝑡 ) ≤ 1 , 0 ≤ 𝐼𝐼 2 ( 𝑡𝑡 ) ≤ 1 dan 𝑡𝑡 0 ≤ 𝑡𝑡 ≤ 𝑡𝑡 𝑓𝑓 dan 𝐴𝐴 1 , 𝐴𝐴 2 > 0
Fungsi Ongkos atau indeks performansi bertujuan meminimumkan populasi yang terinfeksi dengan pendengaran normal dan populasi yang kehilangan pendengaran saat terinfeksi serta meminimumkan biaya yang dikeluarkan untuk kontrol tersebut. Input kontrol 𝐼𝐼 1 dan 𝐼𝐼 2 memiliki kisaran nilai 0 ≤ 𝐼𝐼 1 , 𝐼𝐼 2 ≤ 1 menunjukan bahwa strategi kontrol penyebaran penyakit mumps memiliki peluang sukses antara 0 dan 1. Batas waktu kontrol optimal berada pada interval 𝑡𝑡 0 ≤ 𝑡𝑡 ≤ 𝑡𝑡 𝑓𝑓 yang menyatakan waktu pengamatan yaitu waktu awal pemberian kontrol hingga waktu akhir pemberian kontrol.

## 6  Penyelesaian Kontrol Optimal
Masalah kontrol optimal pada model matematika penyebaran penyakit mumps ini diselesaikan dengan menggunakan Prinsip Maksimum Pontryagin. Misalkan variabel keadaan ( state ) pada model matematika penyebaran penyakit mumps disertai kontrol adalah
𝑥𝑥 = ( 𝑆𝑆 , 𝑆𝑆 , 𝑆𝑆 , 𝐿𝐿 , 𝑅𝑅 ) 𝑇𝑇 dengan nilai awal dari semua populasi diasumsikan non negatif yang dinyatakan sebagai berikut.
𝑆𝑆 (0), 𝑆𝑆 (0), 𝑆𝑆 (0), 𝐿𝐿 (0), 𝑅𝑅 (0) ≥ 0 Berdasarkan Prinsip Maksimum Pontryagin, langkah awal yang dilakukan dalam menyelesaikan masalah kontrol optimal adalah membentuk fungsi Hamiltonian. Berikut ini merupakan fungsi Hamiltonian pada model matematika penyebaran penyakit mumps .
ℋ = �𝑆𝑆 ( 𝑡𝑡 ) + 𝐿𝐿 ( 𝑡𝑡 ) + 1 2 𝐴𝐴 1 𝐼𝐼 1 2 ( 𝑡𝑡 ) + 1 2 𝐴𝐴 2 𝐼𝐼 2 2 ( 𝑡𝑡 ) � + 𝜙𝜙 𝑇𝑇 ( 𝑡𝑡 ) 𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥 ( 𝑡𝑡 ), 𝐼𝐼 ( 𝑡𝑡 ))
dengan 𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥 ( 𝑡𝑡 ), 𝐼𝐼 ( 𝑡𝑡 )) adalah ruas kanan dari model yang disertai variabel kontrol. Sedangkan 𝜙𝜙 ( 𝑡𝑡 ) menyatakan pengali Lagrange atau variabel co-state dengan 𝜙𝜙 𝑇𝑇 ( 𝑡𝑡 ) adalah transpos dari 𝜙𝜙 ( 𝑡𝑡 ) .

## 131
Selanjutnya untuk mendapatkan kondisi yang optimal dari ℋ , yaitu melalui kondisi stasioner dari ℋ yang dipenuhi dengan meminimumkan ℋ terhadap semua vektor kontrol 𝐼𝐼 ( 𝑡𝑡 ) sebagai berikut.
𝜕𝜕ℋ 𝜕𝜕𝐼𝐼 1 = 𝜕𝜕ℋ 𝜕𝜕𝐼𝐼 2 = 0
Karena batas nilai 𝐼𝐼 𝑖𝑖 ( 𝑡𝑡 ) adalah 0 ≤ 𝐼𝐼 𝑖𝑖 ( 𝑡𝑡 ) ≤ 1 dengan 𝐼𝐼 = 1,2 maka nilai untuk 𝐼𝐼 1 dan 𝐼𝐼 2 dapat dinyatakan dalam beberapa kemungkinan sebagai berikut.
𝐼𝐼 1 = � 0 ( 𝛽𝛽 1 𝑆𝑆𝑆𝑆 + 𝛽𝛽 2 𝑆𝑆𝐿𝐿 (1 + 𝛾𝛾𝑆𝑆 ))( 𝜙𝜙 2 − 𝜙𝜙 1 ) (1 + 𝛾𝛾𝑆𝑆 ) 𝐴𝐴 1 1 𝐼𝐼 2 = � 0 ( 𝜙𝜙 3 − 𝜙𝜙 5 ) 𝑆𝑆 + ( 𝜙𝜙 4 − 𝜙𝜙 5 ) 𝐿𝐿 𝐴𝐴 2 1
Berdasarkan kemungkinan di atas, maka diperoleh nilai kontrol yang optimal adalah sebagai berikut
𝐼𝐼 1 ∗ = min � 1, max � 0, ( 𝛽𝛽 1 𝑆𝑆𝑆𝑆 + 𝛽𝛽 2 𝑆𝑆𝐿𝐿 (1 + 𝛾𝛾𝑆𝑆 ))( 𝜙𝜙 2 − 𝜙𝜙 1 ) (1 + 𝛾𝛾𝑆𝑆 ) 𝐴𝐴 1 ��
𝐼𝐼 2 ∗ = min � 1, max � 0, ( 𝜙𝜙 3 − 𝜙𝜙 5 ) 𝑆𝑆 + ( 𝜙𝜙 4 − 𝜙𝜙 5 ) 𝐿𝐿
𝐴𝐴 2 ��
Diketahui bahwa nilai kontrol 𝐼𝐼 1 ∗ dan 𝐼𝐼 2 ∗ bergantung pada variabel state dan variabel co-state , sehingga perlu adanya penyelesaian persamaan state dan persamaan co-state untuk memperoleh variabel tersebut.
Persamaan state diperoleh melalui 𝑥𝑥̇ = 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕𝜙𝜙 , sehingga diperoleh:
𝑆𝑆̇ = 𝜕𝜕ℋ 𝜕𝜕𝜙𝜙 1 = Λ − (1 − ( 𝛽𝛽 1 𝑆𝑆𝑆𝑆 + 𝛽𝛽 2 𝑆𝑆𝐿𝐿 (1 + 𝛾𝛾𝑆𝑆 ))( 𝜙𝜙 2 − 𝜙𝜙 1 ) (1 + 𝛾𝛾𝑆𝑆 ) 𝐴𝐴 1 ) 𝛽𝛽 1 𝑆𝑆𝑆𝑆 1 + 𝛾𝛾𝑆𝑆 − (1 − ( 𝛽𝛽 1 𝑆𝑆𝑆𝑆 + 𝛽𝛽 2 𝑆𝑆𝐿𝐿 (1 + 𝛾𝛾𝑆𝑆 ))( 𝜙𝜙 2 − 𝜙𝜙 1 ) (1 + 𝛾𝛾𝑆𝑆 ) 𝐴𝐴 1 ) 𝛽𝛽 2 𝑆𝑆𝐿𝐿 − 𝜇𝜇𝑆𝑆
𝑆𝑆̇ = 𝜕𝜕ℋ 𝜕𝜕𝜙𝜙 2 = (1 − ( 𝛽𝛽 1 𝑆𝑆𝑆𝑆 + 𝛽𝛽 2 𝑆𝑆𝐿𝐿 (1 + 𝛾𝛾𝑆𝑆 ))( 𝜙𝜙 2 − 𝜙𝜙 1 ) (1 + 𝛾𝛾𝑆𝑆 ) 𝐴𝐴 1 ) 𝛽𝛽 1 𝑆𝑆𝑆𝑆 1 + 𝛾𝛾𝑆𝑆 + (1 − ( 𝛽𝛽 1 𝑆𝑆𝑆𝑆 + 𝛽𝛽 2 𝑆𝑆𝐿𝐿 (1 + 𝛾𝛾𝑆𝑆 ))( 𝜙𝜙 2 − 𝜙𝜙 1 ) (1 + 𝛾𝛾𝑆𝑆 ) 𝐴𝐴 1 ) 𝛽𝛽 2 𝑆𝑆𝐿𝐿 − 𝛼𝛼𝑆𝑆 − 𝜇𝜇𝑆𝑆
𝑆𝑆̇ = 𝜕𝜕ℋ 𝜕𝜕𝜙𝜙 3 = 𝑝𝑝𝛼𝛼𝑆𝑆 − 𝜀𝜀𝑆𝑆 − 𝜏𝜏 1 𝑆𝑆 − 𝜇𝜇𝑆𝑆 − ( 𝜙𝜙 3 − 𝜙𝜙 5 ) 𝑆𝑆 + ( 𝜙𝜙 4 − 𝜙𝜙 5 ) 𝐿𝐿 𝐴𝐴 2
𝑆𝑆 𝐿𝐿̇ = 𝜕𝜕ℋ 𝜕𝜕𝜙𝜙 4 = (1 − 𝑝𝑝 ) 𝛼𝛼𝑆𝑆 + 𝜀𝜀𝑆𝑆 − 𝜏𝜏 2 𝐿𝐿 − 𝜇𝜇𝐿𝐿 − ( 𝜙𝜙 3 − 𝜙𝜙 5 ) 𝑆𝑆 + ( 𝜙𝜙 4 − 𝜙𝜙 5 ) 𝐿𝐿 𝐴𝐴 2 𝑆𝑆 𝑅𝑅̇ = 𝜕𝜕ℋ 𝜕𝜕𝜙𝜙5 = 𝜏𝜏 1 𝑆𝑆 + 𝜏𝜏 2 𝐿𝐿 − 𝜇𝜇𝑅𝑅 + ( 𝜙𝜙3−𝜙𝜙5 ) 𝐼𝐼+ ( 𝜙𝜙4−𝜙𝜙5 ) 𝐿𝐿 𝐴𝐴2 𝑆𝑆 + ( 𝜙𝜙3−𝜙𝜙5 ) 𝐼𝐼+ ( 𝜙𝜙4−𝜙𝜙5 ) 𝐿𝐿 𝐴𝐴2 𝐿𝐿
Setelah diperoleh nilai dari variabel state seperti di atas, kemudian untuk mendapatkan 𝑆𝑆 , 𝑆𝑆 , 𝑆𝑆 , 𝐿𝐿 , dan 𝑅𝑅 dari bentuk 𝐼𝐼 1 ∗ dan 𝐼𝐼 2 ∗ yang optimal maka langkah yang harus dilakukan
untuk 𝐼𝐼 1 ≤ 0 untuk 0 < 𝐼𝐼 1 ≤ 1 untuk 𝐼𝐼 1 ≥ 1 untuk 𝐼𝐼 2 ≤ 0 untuk 0 < 𝐼𝐼 2 ≤ 1 untuk 𝐼𝐼 2 ≥ 1

## 132 Analisis Kestabilan dan Kontrol Optimal pada Model Matematika Penyebaran Penyakit Mumps
selanjutnya adalah menyelesaikan persamaan state yang berbentuk persamaan diferensial non linier. Karena penyelesaian persamaan diferensial non linier sulit untuk diselesaikan secara analitik, maka dilakukan pendekatan numerik dengan menggunakan software MATLAB.

## 7  Simulasi Numerik
Penyelesaian bentuk kontrol optimal sulit diselesaikan secara analitik sehingga penyesaiannya akan diselesaikan secara numerik. Penyelesaian secara numerik dilakukan dengan mensimulasikan permasalahan kontrol optimal menggunakan program DOTcvp pada software MATLAB.
Pada simulasi ini akan dilakukan tiga skenario, yaitu penerapan upaya pencegahan ( 𝐼𝐼 1 ) sehingga 𝐼𝐼 2 = 0, penerapan upaya pengobatan ( 𝐼𝐼 2 ) sehingga 𝐼𝐼 1 = 0 , dan penerapan upaya pencegahan ( 𝐼𝐼 1 ) dan pengobatan ( 𝐼𝐼 2 ) secara bersamaan. Selanjutnya, dari hasil ketiga skenario tersebut akan dibandingkan dengan simulasi model tanpa pemberian kontrol.
Berikut adalah hasil simulasi numerik model matematika penyearan penyakit mumps dengan kontrol optimal.
Gambar 4. Grafik Populasi Individu yang Terinfeksi Penyakit Mumps Sebelum dan Sesudah diberi Kontrol.
Berdasarkan Gambar 4, diperoleh perbandingan populasi inividu yang terinfeksi mumps sebelum dan sesudah diberi kontrol dengan tiga skenario. Perbandingan tersebut dapat dilihat pada Tabel 8.
Tabel 8. Perbandingan Populasi Individu yang Terinfeksi Penyakit Mumps pada Akhir Pengamatan.
Berdasarkan Tabel 8 terlihat adanya perbedaan jumlah individu yang terinfeksi penyakit mumps sebelum dan sesudah diberi kontrol. Hal ini ditunjukkan dengan adanya penurunan jumlah
Kondisi Jumlah Populasi 𝑰𝑰 Tanpa Kontrol 10 Dengan Kontrol 𝐼𝐼 1 0.08 Dengan Kontrol 𝐼𝐼 2 1
Dengan Kontrol 𝐼𝐼 1 dan 𝐼𝐼 2 0.07

## 133
individu setelah pemberian kontrol upaya pencegahan, setelah pemberian kontrol upaya pengobatan, dan setelah pemberian kontrol upaya pencegahan dan pengobatan secara bersamaan. Dari beberapa skenario pemberian kontrol, upaya pencegahan dan pengobatan paling efektif mengurangi jumlah invidu yang terinfeksi penyakit mumps pada akhir pengamatan.
Gambar 5. Grafik Populasi Individu yang Terinfeksi Penyakit Mumps dan Kehilangan Pendengaran Sebelum dan Sesudah diberi Kontrol.
Berdasarkan  Gambar  5,  diperoleh perbandingan populasi inividu yang terinfeksi mumps dan kehilangan pendengaran sebelum dan sesudah diberi kontrol dengan tiga skenario. Perbandingan tersebut dapat dilihat pada Tabel 9.
Tabel 9. Perbandingan Populasi Individu yang Terinfeksi Penyakit Mumps dan Kehilangan Pendengaran pada Akhir Pengamatan.
Berdasarkan  Tabel  9  terlihat adanya perbedaan jumlah individu yang terinfeksi mumps dan kehilangan pendengaran sebelum dan sesudah diberi kontrol. Hal ini ditunjukkan dengan adanya penurunan jumlah individu setelah pemberian kontrol upaya pencegahan, setelah pemberian kontrol upaya pengobatan, dan setelah pemberian kontrol upaya pencegahan dan pengobatan secara bersamaan. Dari beberapa skenario pemberian kontrol, upaya pencegahan dan pengobatan paling efektif mengurangi jumlah invidu yang terinfeksi penyakit mumps pada akhir pengamatan. Selanjutnya, hasil simulasi untuk profil kontrol 𝐼𝐼 1 , 𝐼𝐼 2 , serta 𝐼𝐼 1 dan 𝐼𝐼 2 berturut-turut disajikan pada Gambar 6, Gambar 7, dan Gambar 8.
Kondisi Jumlah Populasi 𝑳𝑳 Tanpa Kontrol 110 Dengan Kontrol 𝐼𝐼 1 1 Dengan Kontrol 𝐼𝐼 2 6
Dengan Kontrol 𝐼𝐼 1 dan 𝐼𝐼 2 0.4
Gambar 6. Grafik Profil Kontrol Upaya Pencegahan 𝐼𝐼 1
Gambar 6 menunjukkan bahwa presentase strategi 𝐼𝐼 1 yaitu upaya pencegahan berupa vaksinasi yang dilakukan untuk mengurangi individu yang terinfeksi penyakit mumps pada awal pengamatan hingga hari ke-90 adalah sebesar 100% yang artinya upaya pencegahan berupa vaksinasi dilakukan sepenuhnya secara intensif. Selanjutnya, pada hari ke-90 hingga akhir pengamatan upaya pencegahan mengalami penurunan secara drastis hingga menjadi 14,19%.
Gambar 7. Grafik Profil Kontrol Upaya Pengobatan 𝐼𝐼 2
Gambar 7 menunjukkan bahwa presentase strategi 𝐼𝐼 2 yaitu upaya pengobatan yang dilakukan untuk mengurangi individu yang terinfeksi penyakit mumps pada awal pengamatan hingga hari ke-5 adalah sebesar 100% yang artinya upaya pengobatan dilakukan sepenuhnya secara intensif. Selanjutnya, pada hari ke-5 hingga akhir pengamatan upaya pengobatan mengalami penurunan secara berangsur-angsur hingga menjadi 64,69%.
Gambar 8. Grafik Profil Kontrol Upaya Pencegahan 𝐼𝐼 1 dan Pengobatan 𝐼𝐼 2

## 135
Gambar 8 menunjukkan bahwa presentase strategi 𝐼𝐼 1 dan 𝐼𝐼 2 yaitu upaya pencegahan dan upaya pengobatan yang dilakukan untuk mengurangi individu yang terinfeksi penyakit mumps. Upaya pencegahan pada awal pengamatan hingga hari ke-80 adalah sebesar 100% kemudian mengalami penurunan secara drastis dari hari ke-80 hingga akhir pengamatan menjadi 9,15%. Sedangkan upaya pengobatan pada awal pengamatan hingga hari ke-5 adalah sebesar 100%. Selanjutnya pada hari ke-5 hingga akhir pengamatan mengalami penurunan berangsur-angsur hingga menjadi 5,5%. Adapun fungsi ongkos yang dibutuhkan untuk setiap skenario yang disimulasikan disajikan pada Tabel 10.
Tabel 10. Perbandingan Fungsi Ongkos. Skenario Nilai Fungsi Ongkos Dengan Kontrol 𝐼𝐼 1 2282,378 Dengan Kontrol 𝐼𝐼 2 705,486 Dengan Kontrol 𝐼𝐼 1 dan 𝐼𝐼 2 310,558
Tabel 8 menunjukkan nilai fungsi ongkos atau indeks performansi yang dikeluarkan dalam jangka waktu 100 hari. Nilai fungsi ongkos terbesar adalah pada saat penerapan skenario ke-1 yaitu upaya pencegahan. Sedangkan fungsi ongkos terkecil adalah pada saat penerapan skenario ke-3 yaitu upaya pencegahan dan upaya pengobatan.
Penerapan kontrol yang optimal dilihat berdasarkan perubahan jumlah populasi sebelum dan sesudah pemberian kontrol serta nilai fungsi ongkos yang dikeluarkan. Berdasarkan simulasi sebelum dan sesudah pemberian kontrol menggunakan metode DOTcvp, dengan menerapkan tiga skenario dapat dilihat bahwa penerapan upaya pencegahan ( 𝐼𝐼 1 ) serta upaya pengobatan ( 𝐼𝐼 2 ) yang dilakukan secara bersamaan merupakan langkah yang selalu mereduksi populasi individu yang terinfeksi mumps dan populasi individu yang terinfeksi mumps yang kehilanganan pendengaran.
Dengan demikian dapat ditarik kesimpulan bahwa strategi kontrol yang optimal untuk diterapkan adalah dengan menerapkan upaya pencegahan ( 𝐼𝐼 1 ) serta upaya pengobatan ( 𝐼𝐼 2 ) yang dilakukan secara bersamaan.

## 8  Simpulan
Artikel ini membahas tentang analisis kestabilan dan kontrol optimal model matematika penyebaran penyakit mumps. Berdasarkan hasil analisis diperoleh bahwa model ini mempunyai dua titik setimbang yaitu titik setimbang non endemik, yaitu 𝑆𝑆 𝑜𝑜 = ( 𝑆𝑆 , 𝑆𝑆 , 𝑆𝑆 , 𝐿𝐿 , 𝑅𝑅 ) = � Λ 𝜇𝜇 , 0,0,0,0 � yang bersifat stabil asimtotis lokal jika memenuhi 𝑅𝑅 0 < 1 dan titik setimbang endemik, yaitu
136 Analisis Kestabilan dan Kontrol Optimal pada Model Matematika Penyebaran Penyakit Mumps
𝑆𝑆 1 = ( 𝑆𝑆 ∗ , 𝑆𝑆 ∗ , 𝑆𝑆 ∗ , 𝐿𝐿 ∗ , 𝑅𝑅 ∗ ) titik setimbang ini akan eksis jika 𝑅𝑅 0 > 1 . Dengan menggunakan bidang fase, titik setimbang 𝑆𝑆 1 cenderung stabil asimtotis lokal dengan
𝑅𝑅 0 = Λ𝛼𝛼 ( 𝛽𝛽 1 𝑝𝑝𝑐𝑐 3 + 𝛽𝛽 2 𝑐𝑐 2 (1 − 𝑝𝑝 ) + 𝛽𝛽 2 𝑝𝑝𝜀𝜀 ) 𝜇𝜇𝑐𝑐 1 𝑐𝑐 2 𝑐𝑐 3
Sedangkan bentuk kontrol optimal 𝐼𝐼 ∗ pada model dengan 𝐼𝐼 1 ∗ pencegahan dan 𝐼𝐼 2 ∗ pengobatan adalah sebagai berikut:
𝐼𝐼 1 ∗ = min � 1, max � 0, ( 𝛽𝛽 1 𝑆𝑆𝑆𝑆 + 𝛽𝛽 2 𝑆𝑆𝐿𝐿 (1 + 𝛾𝛾𝑆𝑆 ))( 𝜙𝜙 2 − 𝜙𝜙 1 ) (1 + 𝛾𝛾𝑆𝑆 ) 𝐴𝐴 1 �� 𝐼𝐼 2 ∗ = min � 1, max � 0, ( 𝜙𝜙 3 − 𝜙𝜙 5 ) 𝑆𝑆 + ( 𝜙𝜙 4 − 𝜙𝜙 5 ) 𝐿𝐿 𝐴𝐴 2 ��
hasil simulasi numerik menunjukkan bahwa upaya pemberian kontrol berupa pencegahan ( 𝐼𝐼 1 ) dan pengobatan ( 𝐼𝐼 2 ) secara bersamaan lebih efektif dan efisien dalam menekan penyebaran penyakit mumps dengan biaya paling minimal.

## 9  Daftar Pustaka
[1]  “Mumps.” Accessed: Apr. 03, 2023. [Online]. Available: https://www.who.int/teams/health-product-policy-and-standards/standards-and- specifications/vaccine-standardization/mumps
[2]  N. B. Masters et al. , “Manual for the Surveillance of Vaccine-Preventable Diseases Disease Description.” [Online]. Available: https://www.cdc.gov/vaccines/pubs/surv- manual/chpt09-mumps.html#print
[3]  “For Healthcare Providers,” 2015. [Online]. Available: https://www.cdc.gov/mumps/hcp.html
[4]  J. P. Gut, C. Lablache, S. Behr, and A. Kirn, “Symptomatic mumps virus reinfections,” J Med Virol , vol. 45, no. 1, pp. 17–23, 1995.
[5]  Y. J. Zhou et al. , “The potential dysfunction of otolith organs in patients after mumps infection,” PLoS One , vol. 12, no. 7, Jul. 2017, doi: 10.1371/journal.pone.0181907.
[6]  A. Hviid, S. Rubin, and K. Muhlemann, “Mumps,” The Lancet , vol. 371, no. 9616, pp. 932– 944, 2008.
[7]  Y. Li, X. Liu, and L. Wang, “Modelling the transmission dynamics and control of mumps in mainland China,” Int J Environ Res Public Health , vol. 15, no. 1, Jan. 2018, doi: 10.3390/ijerph15010033.

## 137
[8]  T. Kitano, “Dynamic transmission model of routine mumps vaccination in Japan,” Epidemiol Infect , vol. 147, 2019, doi: 10.1017/S0950268818003230.
[9]  P. Pongsumpun, “Mathematical  Model for Mump Disease in Thailand,” Universal Researchers, Aug. 2019. doi: 10.17758/uruae5.ul0819103.
[10]  A. A. Ayoade, O. J. Peter, A. I. Abioye, T. F. Aminu, and O. A. Uwaheren, “Application of homotopy perturbation method to an sir mumps model,” Advances in Mathematics: Scientific Journal , vol. 9, no. 3, pp. 1329–1340, 2020, doi: 10.37418/amsj.9.3.57.
[11]  Y. Peng et al. , “Estimating the Transmissibility of Mumps: A Modelling Study in Wuhan City, China,” Front Med (Lausanne) , vol. 8, Aug. 2021, doi: 10.3389/fmed.2021.683720.
[12]  H. Mohammadi, S. Kumar, S. Rezapour, and S. Etemad, “A theoretical study of the Caputo– Fabrizio fractional modeling for hearing loss due to Mumps virus with optimal control,” Chaos Solitons Fractals , vol. 144, Mar. 2021, doi: 10.1016/j.chaos.2021.110668.
[13]  P. Van Den Driessche and J. Watmough, “Reproduction numbers and sub-threshold endemic equilibria for compartmental models of disease transmission,” 2002. [Online]. Available: www.elsevier.com/locate/mbs
[14]  F. Brauer and C. Castillo-Chaves, Mathematical Models in Population Biology and Epidemiology . Springer, 2012.
[15]  N. Chitnis, J. M. Hyman, and J. M. Cushing, “Determining important parameters in the spread of malaria through the sensitivity analysis of a mathematical model,” Bull Math Biol , vol. 70, no. 5, pp. 1272–1296, Jul. 2008, doi: 10.1007/s11538-008-9299-0.