J. of Math. and Its Appl. ISSN: 1829-605X Vol. 1, No. 1 (2004), 41–47

## Pendekatan Regresi Spline Untuk Memprediksi Model Hubungan Temperatur Dengan Produksi Pythalic Anhydride Dalam Proses Reaksi Oksidasi

## Nur Asiyah
Jurusan Matematika Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya

## Abstrak
Pemodelan Regresi apabila ada asumsi bahwa bentuk fungsional dan sebaran tertentu telah diketahui dikategorikan sebagai regresi parametrik, apabila tidak ada informasi atau tidak ada asumsi-asumsi dengan model sehingga dibiarkan mengikuti perilaku data maka dikelompokkan sebagai regresi nonparametrik.
Kebutuhan aplikasi yang komplek dengan pemodelan non linier dan kemampuan kom- putasi salah satunya adalah pendekatan analisis data melalui melalui pemodelan non- parametrik yang mana menghasilkan pendekatan analisis yang mengkaji sruktur data tersem- bunyi lebih menyeluruh dan mereduksi bias pada pemodelan parametrik. Regresi Spline dapat digunakan untuk memperoleh solusi yang optimum dari pemodelan nonparametrik. Melalui pendekatan spline ini, diaplikasikan pada proses Oksidasi, yaitu menentukan pola hubungan temperatur dan produk Phytalic Anhydride dengan katalis Vanadium Pentoksida.
Kata kunci : Reproducing Kernel, Penalized Least Square, Spline Smothing

## 1 Pendahuluan
Analisa Regresi merupakan salah satu anal- isis dalam statistika yang banyak digunakan untuk melihat hubungan antara variabel- variabel penjelas dan variabel respon. Diberian data ( t i , y i ), i = 1 , 2 , . . . , n dan hubungan an- tara t i dan y i diasumsikan mengikuti model re- gresi:
y i = f ( t i ) + ε i , i = 1 , . . . , n, t i ∈ [ a, b ] (1)
dengan i sesatan random independent N (0 , σ 2 ), dan f fungsi regresi. Ada dua pen- dekatan untuk mengestimasi kurva regresi f . Bila ada informasi sebelumnya tentang ben- tuk kurva regresi f , berdasarkan teori atau pengalaman masa lalu, maka pendekatan re- gresi parametrik merupakan pendekatan yang
baik dan efisien. Tetapi sebaliknya, apabila tidak ada informasi tentang bentuk kurva re- gresi, maka pendekatan regresi nonparametrik dapat digunakan (Eubang, 1988). Regresi non- parametrik tidak memberikan asumsi terhadap bentuk kurva regresi. Akibatnya pendekatan ini lebih fleksibel dibandingkan dengan pen- dekatan regresi parametrik. Regresi spline merupakan salah satu regresi nonparametrik yang memiliki sifat tersegmen, sehingga memu- ngkinkan untuk menyesuaikan diri secara efek- tif terhadap karakteristik lokal dari suatu fungsi [8]. Umumnya fungsi regresi non- parametrik diasumsikan termuat dalam suatu ruang fungsi berdimensi tak hingga. Pemi- lihan ruang fungsi ini biasanya dilandasi oleh sifat kemulusan (smothness) yang diasumsikan dimiliki oleh fungsi regresi tersebut [7].

## Nur Asiyah
Estimator spline diperoleh dengan memini- mumkan Penalized Least Square , yaitu kriteria estimasi yang menggabungkan goodness of-fit dengan kemulusan kurva (Ansley dkk , 1993). Oleh karena itu estimasi kurva regresi diperoleh dengan miminimumkan:
min f ∈ W m
2 [ a,b ]   m X j =1 { y j − f ( t j ) } + 1 λ Z b a { D m f ( t ) } 2 dt # , λ > 0 (2)
dengan W m 2 [ a, b ] = { f | D m − 1 f kontinu abso- lute dan D m f ∈ L 2 [ a, b ] } , parameter peng- halus dan Dm menyatakan operator differen- sial [8].Diasumsikan setidaknya ada k knot t i yang berbeda. Dengan pendekatan Bayessian, apabila f ( t ) pada (1) berupa fungsi polinomial maka distribusi prior improper dibangun oleh persamaan [3].
f ( m )( t ) = σλ 1 / 2 dW ( t ) dt (3)
Dengan W ( t ) suatu proses Wiener dengan mean nol, dengan nilai awal terdefinisi
f 0 = h f ( a ) , . . . , f ( m − 1) ( a ) i T ∼ N (0 , kI m ) (4)
Dalam penelitian ini dibahas mengenai per- masalahan: (i) Bagaimana memperoleh es- timator spline yang mempertimbangkan sifat kemulusan penalti sebagai informasi prior; (ii) Menyelidiki pengaruh Salt Bath Temper- atur terhadap Produksi Phythalic Anhydride dengan metode spline.

## 2 Bentuk Distribusi Prior Kurva Polinomial
Pendekatan bayes untuk menghitung ˆ f jika in- formasi prior berupa fungsi polinomial berder- ajat m − 1
f ( t ) = b 0 + b 1 t + · · · + b m − 1 t m − 1
maka distribusi improper prior dibangun oleh persamaan differensial stokastik (3) dengan nilai awal (4). Misalkan didefinisikan e X ( t ) = ( x 1 , x 2 , . . . , x n ) dengan
x 1 ( t ) = f ( t ) , x 2 ( t ) = x 0 1 ( t ) , . . . ,
x m ( t ) = x 0 m − 1 ( t ) , x 0 m = σλ 1 / 2 dW ( t ) dt (5)
maka (3) menjadi
d dt e X ( t ) = A ( t ) e X ( t ) + σλ 1 / 2 ˜ b dW ( t ) dt (6)
(2.2) dengan ˜ b = (0 , ..., 0 , 1), A ( t ) adalah ma- triks m × m dengan elemen A i,i +1 ( t ) = 1,
i = 1 , . . . , m − 1 dan bernilai 0 untuk lain- nya. Penyelesaian persamaan diferensial ho- mogen (6) adalah
φ ( t ) = e at C =           1 t 1 2 t 2 . . . . . . 1 ( m − 1)! t m − 1 0 1 t . . . . . . 1 ( m − 2)! t m − 2 0 0 1 . . . . . . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . 0 0 0 . . . 1 t 0 0 0 . . . 0 1           C (7)
dengan C sembarang vektor konstan. Oleh karena matriks fundamental dari (6) adalah e At
maka matriks transisi untuk (6) yang disebut dengan Struktur Marcov (Wecker & Ansley) adalah
F ( t, a ) = e A ( t − a ) (8)
Persamaan (1) dan (8) dapat ditulis dalam ben- tuk state space [2] sebagai
y i = x 1 ( t i ) + ε i e X ( t ) = F ( t, a ) e X ( a ) + e Z ( t, a ) (9)
dengan F ( t, a ) pada (8) dan e Z ( t, a ) adalah
e Z = Z t a F ( t, h ) σλ 1 / 2 ˜ b dW ( h ) (10)
Jika e Z ( t, a ) = ( z 1 , . . . , z m ) maka elemen ke- satu dari e Z ( t, a ) adalah
z 1 ( t, a ) = σλ 1 / 2 Z t a ( t − h ) m − k ( m − k ) dW ( h ) (11)
Distribusi Prior dari e X ( t ) untuk t ∈ [ a, t ] mengikuti bentuk (9) sehingga prior improper untuk x 1 ( t ), t ∈ [ a, t ] (Wecker & Ansley) adalah
x 1 ( t ) = m − 1 X i =0 ( t − a ) i i ! + σλ 1 / 2 Z t a ( t − h ) m − k ( m − k )! dW ( h ) (12)
Limits Journal of Mathematics and Its Applications, Volume 1, Number 1, May 2004
Tanpa mengurang sifat keumuman dibatasi t pada interval [0 , 1], dan oleh karena x 1 ( t ) = f ( t ) dan f ( t ) merupakan fungsi piecewise dalam interval [0 , 1] dengan knot t i , i = 1 , . . . , n maka distribusi prior [8] diberikan oleh persamaan
f ( t ) = m − 1 X i =0 α i φ i ( t ) + σλ 1 / 2 z 1 ( t ) (13)
dengan α i = x i (0), φ i ( t ) = t i /i !, i = 0, 1, . . . , m − 1, dan z 1 ( t ) = R 1 0 ( t − h ) m − 1 ( m − 1)! dW ( h )

## 3 Estimasi Kurva Regresi Bayes
Diberikan observasi
sampling ( t 1 , y 1 ), ( t 2 , y 2 ) , . . . , ( t n , y n ) yang diperoleh dari proses stokastik { Y ( t ) | t ∈ [ a, b ] } pada titik-titik 0 = t 1 < t 2 < · · · < t n = 1. Diasumsikan fungsi regresi pada observasi ke- i mengikuti bentuk (1). Untuk proses Y = ( y 1 , . . . , y n ) dengan F = ( f ( t 1 ) , . . . , f ( t n )) mengikuti model
Y = F + ε dimana { ε } proses normal dengan mean nol dan Cov( ε i , ε j ) = ( σ 2 , i = j, 0 , i 6 = j.
Proses f ( t ) diasumsikan mempunyai distri- busi prior persamaan (13). Sedangkan α = ( α 0 , . . . , α m − 1 ) T berdistribusi normal dengan mean nol dan varian covarian kI . Misalkan Q 1 = σλ 1 / 2 z 1 ( t, a ) proses normal (Wecker,
Ansley, 1983) dengan mean nol dan covarian R 1 ( s, v ) dengan
R 1 ( s, v ) = σ 2 λ Z 1 0 ( s − u ) m − 1 + ( v − u ) m − 1 + { ( m − 1)! } 2 du (14)
Dari persamaan (9) diperoleh X ( t ) = F = T T α + σλ 1 / 2 Z ( t ), dengan T m × n adalah matriks [ φ i ( t j )] j =1 ,n i =1 ,m , selanjutnya didapat E ( F F T ) yaitu
E ( F F T ) = E ³ T T α + σλ 1 / 2 Z ( t ) ´ ³ T T α + σλ 1 / 2 Z ( t ) ´ T = σλ 1 / 2 £ ( σ 2 λ ) − 1 T T kIT + σ 2 λR 1 ( t ) ¤ = σ 2 λR 1 F F (15)
Sedangkan Covarian error
Cov( ε ) = E ( εε T ) − ( E ( ε )) 2 = σ 2 I
Lemma 3.1 Diketahui Y , F , ε vektor random berdistribusi n variat yang mempunyai hubun- gan Y = F + ε , dengan E ( F ) = E ( ε ) = E ( F ε T ) = 0 , E ( F F T ) = σ 2 λR 1 F F , E ( εε T ) = σ 2 I . Jika H berdistribusi n variat normal dan memenuhi E ( H ) = E ( Hε T ) = 0 , E ( HF T ) = σ 2 λR 1 F F , E ( HH T ) = σ 2 λR 1 HH , maka
E [ H | Y ] = R 1 HF ¡ R 1 f + 1 λ I ¢ − 1 Y (16)
Bukti: Distribusi multivariat normal bersyarat dari H jika diberikan Y , adalah
E [ H | Y ] = E ( H ) + Σ 12 Σ − 1 22 ( Y − E ( Y )) (17)
Dengan
Σ 12 = E ( H − E ( H ))( Y − E ( Y )) T = σ 2 λR 1 HF Σ 12 = E ( Y − E ( Y ))( Y − E ( Y )) T = E ( F F T ) + E ( εε T ) = σ 2 λR 1 F F + σ 2 = σ 2 λ ¡ R + 1 λ I ¢
maka E [ H | Y ] = σ 2 λR 1 HF £ σ 2 λ ¡ R
1 F + 1 λ I ¢¤ − 1 Y = σ 2 λR 1 HF ¡ σ 2 λ ¢ − 1 ¡ R 1 HF + 1 λ I ¢ − 1 Y = R 1 HF ¡ R 1 F + 1 λ I ¢ − 1 Y ¤
Teorema 3.2 Mean posterior dari f ( t ) adalah
E ( f ( t ) | Y ) = φ T KT ¡ KT T T + M ¢ − 1 Y + ψ T ¡ KT T T + M ¢ − 1 Y (18)
dengan T m × n adalah matriks [ φ i ( t j )] j =1 ,n i =1 ,m , M n × n = 1 λ I + Σ , Σ = £ R 1 ( t j , t j ) ¤ j =1 ,n i =1 ,m ,
R 1 ( s, v ) = Z 1 0 ( s − u ) m − 1 + ( v − u ) m − 1 + { ( m − 1)! } 2 du , ψ =
( R
1 ( t, t i )) T i =1 ,n , dan K = ( σ 2 λ ) − 1 k
Bukti: Didefinisikan F = ( f ( t 1 ) , . . . , f ( t n )) T dan ε = ( ε 1 , . . . , ε n ) T mbox Apabila diambil H = f ( t ) dan dari (15) diper- oleh
R 1 F F = ( σ 2 λ ) − 1 E ( F F T ) = ( σ λ ) − 1 E [( T T α + σλ 1 / 2 Z )( T T α + σλ 1 / 2 Z ) T ] = ( σ λ ) − 1 kT T T + R 1 = KT T T + Σ
Limits Journal of Mathematics and Its Applications, Volume 1, Number 1, May 2004
Nur Asiyah
R 1 f ( t ) F = ( σ 2 λ ) − 1 E ( f ( t ) F T )
= ( σ λ ) − 1 E [( φ T α + σλ 1 / 2 Z 1 ( t ))( T T α + σλ 1 / 2 Z ) T ] = ( σ λ ) − 1 kφ T T + ( R 1 ( t, t 1 ) , . . . , R 1 ( t, t n )) = Kφ T T + ψ T
Berdasarkan Lemma 3.1
E [ f ( t ) | Y ] = R 1 f ( t ) F µ R 1 F + 1 λ I ¶ − 1 Y = φ T KT ( ¡ KT T T + M ¢ − 1 Y + ψ T ¡ KT T T + M ¢ − 1 Y. ¤ Untuk memperoleh
fungsi
estimasi ˆ f λ diberikan teorema berikut (Wahba,G, 1978 ).
Teorema 3.3 Jika f ( t ) , t ∈ [0 , 1] mem- punyai distribusi prior (13) dengan ˜ α ∼ N ( o, kI m ) , φ j ( t ) = t j /j ! , j = 0 , 1 , . . . , m − 1 dan Z 1 ( t ) proses Weiner dengan z 1 ( t ) = R t a ( t − h ) m − 1 ( m − 1)! dW ( h ) , maka spline polinomial f λ ( t ) yang meminimumkan
n X i =1 ( y i − f ( t i )) 2 + 1 λ Z 1 0 ³ f ( m ) ( t ) ´ 2 dt
adalah
J λ ( t ) = lim
k →∞ E k ( f ( t ) | Y ) = φ T ( T M − 1 T T ) − 1 T M − 1 Y + ψ T M − 1 [ I − T T ( T M − 1 T T ) − 1 T M − 1 ] Y
Bukti: Pandang kembali (18)
E ( f ( t ) | Y ) = φ T KT ( KT T T + M ) − 1 Y + ψ T ( KT T T + M ) − 1 Y
Selanjutnya diperoleh (Schott, 1997):
( KT T T + M ) − 1 = M − 1 − M − 1 KT T ( T M T T ) − 1 [( T M T T ) − 1 + T M − 1 KT T ( T M T T ) − 1 ] − 1 T M − 1 = M − 1 £ I − T T ( T M − 1 T T ) − 1 · [( KT M − 1 T T ) − 1 + I ] − 1 T M − 1 ¤
dan akibatnya
lim K →∞ ( KT T T + M ) − 1 = lim K →∞ M − 1 © I − T T ( T M − 1 T T ) T M − 1 + T T K − 1 ( T M − 1 T T ) − 2 T M − 1 − T T K − 2 ( T M − 1 T T ) − 3 T M − 1 + · · · ª = M − 1 © I − T T ( T M − 1 T T ) − 1 T M − 1 ª
Demikian pula suku pertama dari ruas kanan diperoleh
lim K →∞ KT ( KT T + M ) − 1 = lim K →∞ £ KT M − 1 © I − T T ( T M − 1 T T ) − 1 T M − 1 + T T K − 1 ( T M − 1 T T ) − 2 T M − 1 − T T K − 2 ( T M − 1 T T ) − 3 T M − 1 + · · · ª¤ = lim K →∞ £ KT M − 1 − KT M − 1 +( T M − 1 T T ) T M − 1 − K − 1 ( T M − 1 T T ) − 2 + · · · ¤ = ( T M − 1 T T ) − 1 T M − 1
akibatnya
( f ( t ) | Y ) = φ T ( T M − 1 T T ) − 1
T M − 1 Y + ψ T M − 1 © I − T T ( T M − 1 T T ) − 1 T M − 1 ª Y ¤ 4 Aplikasi Regresi

## Non- parametrik Spline
Bentuk estimator spline (14) merupakan kurva polinomial kontinu sepotong-sepotong ( piece- wise ) dengan beberapa batasan kontinuitas. Spline order m dengan knots ζ 1 , . . . , ζ k adalah suatu fungsi yang mempunyai bentuk:
f ( t ) = m − 1 X i =0 α i t i + k X i =1 δ i ( t − ζ i ) m − 1 + (19)
dengan α 0 , . . . , α m − 1 , δ 1 , . . . , δ k koefisien- koefisien bernilai real. Spline order m mem- punyai sifat (Eubank, 1988):
i. f merupakan polinomial piecewise derajat m − 1 pada tiap subinterval ( ζ i , ζ i +1 ).
ii. f mempunyai turunan yang kontinu tingkat m − 2.
iii. f memiliki turunan ke m − 1 berupa fungsi step dengan lompatan pada ζ 1 . . . , ζ k .
Pemilihan nilai λ optimal dari (2) akan di- dapatkan estimator spline yang optimal yang mana sangat dipengaruhi oleh lokasi titik-titik knots (Suatu titik dimana terjadi perubahan gradien yang sangat besar). Pemilihan knots untuk mendapatkan nilai λ optimal diperoleh dari minimum GCV ( λ ) yang didefinisikan:
GCV ( λ ) = n X k =1 ( y k − L k f λ ) 2 ( n − Tr A ( λ )) 2
Limits Journal of Mathematics and Its Applications, Volume 1, Number 1, May 2004
Jika λ optimal adalah nilai λ dengan titik- titik knots ζ 1 , . . . , ζ k , yaitu:
λ opt = ( ζ 1 , . . . , ζ k ) maka estimator spline f λ dapat diperoleh dengan menggunakan metode Kuadrat terke- cil. Didefinisikan: x 1 ( t ) = 1 , . . . , x m +1 ( t ) = ( t − ζ 1 ) m − 1 + , . . . , x m + k ( t ) = ( t − ζ k ) m − 1 + Pen- duga kuadrat terkecil dari f adalah:
f λ = m + k X j =1 β λ j x j (20)
dengan β λ = ( α λ 0 , . . . , α λ ( m − 1) , δ λ 1 , . . . , δ λ k ) yang diperoleh dari meminimumkan
MSE( β, λ ) = n X i =1   y i − m + k X j =1 β λ j x j ( t i )   2 (21)
Jika X ( λ ) = { x j ( t i ) } i =1 ,n j =1 ,m + k , dan merupakan matriks dengan rank penuh maka β λ adalah penyelesaian persamaan normal:
X ( λ ) T X ( λ ) β = X ( λ ) T Y
Persamaan normal ini memberikan:
β λ = £ X ( λ ) T X ( λ )] − 1 X ( λ ) T Y, (22)
dengan Y = ( y 1 , . . . , y n ) T .
Berikut diberikan suatu aplikasi dari model spline pada proses oksidasi reaksi kimia an- tara Ortho-Xylene dengan udara yang meng- hasilkan Phythalic Anhydride (PA) [4]. Uraian singkat Proses produksi PA sebagai berikut. Ortho-Xylene diterima terus menerus dari tangki o-X dan diumpankan ke campuran Ortho-Xylene dan udara dengan menggunakan pompa aliran Ortho-Xylene dan dikendalikan rationya dengan aliran udara. Ortho-Xylene sebelum masuk pada mixer dipanaskan 130 ◦ C dalam preheater sedangkan udara atmosfir di- hisap oleh blower dan ditekan sampai 170 ◦ C, dimana aliran udara dikontrol dengan variasi Turbine Speed. Reaksi terjadi di Reaktor yang dilengkapi dengan tube-tube dimana tube diisi dengan katalis Vanadium Pentoksida (V 2 O 5 ) dengan reaksi sebagai berikut
V 2 O 5 C 8 H 1 0 + 2O 2 −→ C 8 H 4 O + 3H 2 O o-X udara PA air
Pada kondisi normal reaksi dengan katalis Vanadium Pentoksida akan menghasilkan PA
minimum 112% dari 100% o-X yang direak- sikan. Supaya hasil reaksi sesuai dengan spe- sifikasi maka temperatur reaksi oksidasi SBT ( Salt Bath Temperature ) harus dijaga pada kondisi optimum. Plot antara temperatur ( t ) dan Produksi PA ( y ) yang telah distan- darkan disajikan dalam Gambar 1. Berdasar- kan plot Gambar 1, terlihat bahwa tidak ada pola hubungan yang jelas antara temperatur dengan produksi PA. Terdapat kecenderungan pola hubungan tersebut berubah antara tem- peratur yang kurang dari − 1 . 3, temperatur antara − 1 . 3 sampai 0 . 2 dan temperatur yang lebih dari 0 . 2. Berdasarkan pada realita ini digunakan pendekatan spline untuk model hubungan antara temperatur dan produksi PA. Untuk mendapatkan titik-titik knots optimal digunakan metode GCV . Ringkasan nilai GCV untuk berbagai titik knots diberikan dalam Tabel 1.
114.5 113.5 112.5 111.5 -2 -1 0 1 t y Gambar 1 Tabel 1: Ringkasan nilai GCV untuk berbagai titik knots
TITIK KNOTS NILAI GCV − 1 . 20 , 1 . 20 0 . 3438399 − 1 . 20 , 0 . 20 0 . 2593792 − 1.30, 0.20 0.2589715 − 1 . 40 , 0 . 20 0 . 2597656 − 1 . 50 , 0 . 20 0 . 2640690 − 1 . 53 , 0 . 20 0 . 2654958 − 1 . 53 , 0 . 50 0 . 2828348 − 1 . 53 , 0 . 60 0 . 2962743 − 1 . 53 , 0 . 70 0 . 3114871 − 1 . 53 , 0 . 80 0 . 3253901
Terlihat dari Tabel 1, nilai GCV yang terkecil diberikan oleh titik knots − 1 . 3 dan 0 . 2, dengan nilai GCV = 0 . 2589715. Berdasarkan titik- titik knots ini didapat model spline kuadrat
Limits Journal of Mathematics and Its Applications, Volume 1, Number 1, May 2004
Nur Asiyah
dengan dua knots dapat ditulis sebagai
b Y = β 0 + β 1 z + β 2 z 2 + β 3 ( z +1 . 3) 2 + + β 4 ( z − 0 . 2) 2 +
Berdasarkan metode kuadrat terkecil dida- pat model estimasi spline: b Y = 102 . 2519 − 15 . 53653 z − 5 . 303263 z 2 − 6 . 321492( z + 1 . 3) 2 + − 3 . 131489( z − 0 . 2) 2 + . Plot data dan estimasi kurva spline proses oksidasi dengan dua knots disajikan dalam Gambar 2.
-1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 111.5 112.0 112.5 113.0 113.5 114.0 x y Gambar 2 Selanjutnya diselidiki signifikansi dari model spline kuadrat dengan dua titik knots. Tabel 2 dan Tabel 3 (dalam Lampiran) bertu- rut turut menyajikan Ringkasan ANOVA dan estimasi koefisien-koefisien dari model spline kuadrat.
-2 -1 0 1 2 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 Plot Normal dari Residual Quantiles of Standard Normal Residual 0 20 40 60 -2 -1 0 1 2 Plot Residual Standar Residual Standar d 0.0 0.5 1.0 -0.5 -1.0 112.0 112.5 113.0 113.5 Residual Fits Residuals vs Fits -1.5 -0.5 0.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 Residual x Gambar 3
Pertama dilakukan uji hipotesis,
H 0 : β 0 = β 1 = β 2 = β 3 = β 4 = 0 H 1 : Tidak semua β j = 0, j = 0 , 1 , 2 , 3 , 4 .
Dengan tingkat Signifikansi α = 5% dapat di- ambil kesimpulan bahwa hipotesis H 0 ditolak. Jadi tidak semua β j = 0, j = 0 , 1 , 2 , 3 , 4. Se- lanjutnya dilakukan uji Hipotesis individu:
H 0 : β 0 = 0, H 1 : β 0 6 = 0 H 0 : β 1 = 0, H 1 : β 1 6 = 0
..
. H 0 : β 4 = 0, H 1 : β 4 6 = 0
Dengan tingkat signifikansi 5% dapat diambil kesimpulkan semua j tidak sama dengan nol, j = 0 , 1 , 2 , 3 , 4.
Langkah berikutnya adalah melakukan analisis residual untuk model spline kuadrat dengan dua titik knots.
Analisis residual untuk model spline diberikan dalam Gam- bar 3. Terlihat dari Gambar 3, bahwa tidak ada indikasi penyimpangan dari model spline kuadrat. Dengan demikian model pendekatan nonparametrik spline kuadrat dengan dua titik knots cukup memadai sebagai salah satu model pendekatan untuk menyelidiki pola hubungan antara temperatur dan produksi PA.

## 5 Kesimpulan
a. Estimasi kurva regresi dengan metode spline diberikan oleh Teorema 3.3.
b. Model pola hubungan antara antara temper- atur dengan produksi Phythalic Anhidride mengikuti bentuk:
ˆ Y = 102 . 2519 − 15 . 53653 z − 5 . 303263 z 2 − 6 . 321492( z + 1 . 3) 2 + − 3 . 131489( z − 0 . 2) 2 + . Uji Hipotesis maupun uji individu sig- nifikan dan tidak ada indikasi penyim- pangan model.

## Daftar Pustaka
[1] Anik, Analisis Optimasi Salt Bath Temper- ature (SBT) dan Mix Ratio dalam proses reaksi Gas pada produksi Phythalic Anhy- dride dan Maleic Anhydride di PT. Petro Widada , Tugas Akhir Sarjana, Jurusan
Statistika, ITS, 1999.
[2] Ansley, C.F. & Khon, R., “Estimation, Fil- tering and smothing in state space mod- els with incompletely specified initial condi- tion,” The Annal. of Stattistics , 13, (1985) 1286–1316.
[3] Ansley, C.F, Kohn, R., and Wong, C.M, “Nonparametric spline Regression with Prior Information,” Biometrika , 80, 1,
(1993) 75–88.
Limits Journal of Mathematics and Its Applications, Volume 1, Number 1, May 2004
[4] Asiyah, N., Regresi Non Parametrik Spline dengan Informasi Prior Kurva Plonomial , Tesis, ITS, 2002.
[5] Budiantara, I.N. & Subanar, Regresi Spline dan Permasalahannya , Naskah Publikasi, UGM, 1996.
[6] Craven, P., Wahba, G., “Smothing Noisy Data with Spline Functions,” Numerrische
Mathematic , 31, (1979) 377–403.
[7] Kimeldorf, G.S & Wahba, G., “Some Result on Tchebycheffian spline”, The Annals. of Mathematic , 33, (1971) 82–95.
[8] Wahba, G., Spline Models for Observa- tional Data , Society for Industrial and Aplied Mathematics, Philadelphia, Pensil- vania, 1990.

## Lampiran
Tabel 2: ANOVA model spline kuadrat SV df SS MS F-Hit F-Tabel Regresi 5 14.285 2.856999 11.82011 2.345586 Galat 70 16.91947 0.2417067 Total 75 31.20447 Tabel 3: Estimasi koefien-koefisien model spline Koefisien Estimasi Stdev t-hit β 0 102 . 2519 0 ∼ β 1 − 15 . 53653 0 ∼ β 2 − 5 . 303263 1 . 117595 − 4 . 745247 β 3 6 . 321492 1 . 171767 5 . 394838 β 4 − 3 . 131489 0 . 274033 − 11 . 42742
nilai tabel t 95%: 1.994437 dan Koef. Determinasi: 0.4577869