## EVIEW NILAI RATA-RATA OPERATOR GAYA POTENSIAL STEP PADA PARTIKEL SATU DIMENSI DALAM TINJAUAN PERSAMAAN SCHRÖDINGER, KLEIN-FOCK-GORDON, DAN DIRAC
Alfin Saputra Gedje Dima * , Herry F. Lalus,  Fakhruddin Pendidikan Fisika, Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan, Universitas Nusa Cendana, Kupang, 8500, Indonesia
* email: alfingedjedima2709@gmail.com

## ABSTRAK
Telah dilakukan analisis review untuk menentukan nilai rata-rata operator gaya partikel pada potensial step satu dimensi dalam tinjauan  persamaan  Schrödinger,  Persamaan  Klein-Fock-Gordon  dan  persamaan  Dirac.  Review  ini  dimaksudkan  untuk memberikan penjelasan secara terperinci dan mudah dipahami. Menentukan operator gaya pada kasus ini digunakan teorema Ehrenfest yang akan dianalisis untuk mencari nilai rata-rata operator gaya itu sendiri dengan menggunakan formula nilai rata- rata suatu operator. Hasil yang diperoleh dari review, memberikan bahwa nilai rata-rata operator gaya memiliki hubungan dengan kerapatan probabilitas dari masing-masing kasus dengan kajian masing-masing persamaan gelombang. Nilai rata-rata operator  gaya  untuk  kasus  ini  dalam  kajian  persamaan  Schrödinger  dan  Persamaan  Dirac  memberikan  hasil  yang  mirip, dikarenakan kerapatan probabilitas masing-masing persamaan gelombang adalah fungsi yang kontinu pada titik batas. Berbeda dengan kasus yang sama dengan kajian persamaan Klein-Fock-Gordon diperoleh bahwa nilai rata-rata operator gaya tidak dapat digunakan formula umum nilai rata-rata, karena kerapatan probabilitasnya merupakan fungsi yang diskontinu. Sehingga diberikan solusi menggunakan persamaan Fescbach-Villars untuk menentukan operator gaya pada kasus ini dalam tinjauan persamaan Klein-Fock-Gordon.
Kata  Kunci: Operator  gaya  eksternal  klasik  ;  Persamaan  Schrödinger;  Persamaan  Klein-Fock-Gordon;  Persamaan  Dirac; Teorema Ehrenfest

## ABSTRACT
[Title: Review of The Analysis on The Mean Value of Step Potential Force Operators One-Dimensional Particles in A Review of The Schrödinger, Klein-Fock-Gordon, and Dirac Equations] A review analysis had been  conducted  to  determine  the  mean  value  of  particle  force  operator  in  one-dimensional  potential  step  in  the  review  of Schrödinger equation, Klein-Fock-Gordon equation and Dirac equation. This research is intended to provide a detailed and easy- to-understand explanation. Determining the force operator in this case uses the Ehrenfest theorem which will be used to find the average value of the force operator itself using the mean value formula of an operator. The results obtained from the research provide that the mean value of the force operator has a relationship with the probability density of each case with the study of each wave equation. The mean value of the force operator for this case in the study of the Schrödinger equation and Dirac equation gives related results because the probability density of each wave equation is a continuous function at the boundary point. In contrast to the same case with the study of the Klein-Fock-Gordon equation, it is found that the average value of the force operator cannot be used the general mean value formula, because the probability density is a discontinuous function. Therefore, a solution is given using the Feshbach-Villars equation to determine the force operator in this case in terms of the Klein-Fock-Gordon equation.
Keywords: Classic  external  force  operator;  Schrödinger  equation;  Klein-Fock-Gordon  equation;  Dirac  equation; Ehrenfest theorem

## PENDAHULUAN
Suatu  operator  dalam  sistem  kuantum memiliki kesamaan dengan besaran pada sistem klasik dalam hal relasi matematisnya. Hal ini, sesuai dengan teorema  Ehrenfest  yang  memberikan  hubungan turunan  ekspektasi  (nilai  rata-rata)  suatu  operator terhadap waktu yang memberikan hasil yang “sedekat mungkin”  dengan  persamaan  klasik  yang  sesuai (Gilmore,  2010;  D.  J.  Griffiths,  2005).  Dengan demikian, untuk menentukan nilai rata-rata operator gaya dalam hal ini gaya eksternal klasik, maka perlu dicari  definisi  gaya  pada  persamaan  klasik.  Pada persamaan  klasik  ditemukan  dua  definisi  matematis (Abdullah,  2007).  Pertama,  gaya  merupakan penyebab  perubahan  energi  potensial (𝑑𝑉) pada benda  pada  rentang  perubahan  posisi (𝑑𝑥) benda, yang secara matematis dinyatakan sebagai berikut:
𝐹 = − 𝑑𝑉 𝑑𝑥 ( 1 )
Kedua,  gaya  sebagai  penyebab  adanya  perubahan momentum (𝑑𝑃) pada  suatu  benda  dalam  selang waktu  tertentu (𝑑𝑡) ,  yang  dinyatakan  sebagai berikut:
𝐹 = − 𝑑𝑝 𝑑𝑡 . ( 2 )
Dengan dua definisi matematis di atas, dalam Review ini  digunakan  persamaan  hubungan  gaya  dengan momentum.  Di  mana  untuk  formulasi  umum teorema Ehrenfest (Gilmore, 2010) diberikan oleh
𝑑 𝑑𝑡 ⟨𝐴̂⟩ = ⟨ 𝜕𝐴̂(𝑥, 𝑡) 𝜕𝑡 ⟩ + 𝑖 ℏ ⟨[𝐻 ̂, 𝐴̂]⟩ ( 3 )
Sebagaimana ⟨𝐴̂⟩ merupakan  simbol  nillai  rata-rata untuk  sebuah  operator 𝐴̂ , ℏ merupakan    simbol untuk konstanta Plank tereduksi, 𝐻 ̂ adalah operator Hamiltonian  atau  total  energi  sistem,  dan [𝐻 ̂, 𝐴̂] menunjukkan sifat komutatif sebuah operator terhadap  Hamiltonian-nya.  Untuk  nilai  rata-rata turunan  waktu  dari  sebuah  operator  dapat  juga didefinisikan sebagai berikut (De Vincenzo, 2015):
𝑑 𝑑𝑡 ⟨𝐴̂⟩ = 𝑖 ℏ (⟨𝐻 ̂𝜓, 𝐴̂𝜓⟩ − ⟨𝐻̂𝐴̂⟩) + 𝑖 ℏ ⟨[𝐻 ̂, 𝐴̂]⟩ ( 4 )
Dengan 𝐴̂ merupakan  sebuah  operator, 𝜕𝜓/𝜕𝑡 = −𝑖𝐻 ̂𝜓/ℏ, dan [𝐻 ̂, 𝐴̂] = 𝐻̂𝐴̂ − 𝐴̂𝐻̂ menyatakan sifat  komutatif  sebuah  operator  terhadap hamiltoniannya.  Untuk 𝜓, 𝐻 ̂𝐴̂𝜓 = 𝐻̂𝐴̂ dan ⟨𝜓, [𝐻 ̂, 𝐴̂]𝜓⟩ = ⟨[𝐻̂, 𝐴̂]⟩.
Dalam  Review  bertujuan  menganalisis  partikel kuantum  satu  dimensi  di  dalam  potensial  step  ( step potential ) yaitu
𝑉(𝑥) = 𝑉 0 Θ(𝑥), ( 5 )
Di mana 𝑥 ∈ ℝ , 𝑉 0 merupakan konstanta, dan Θ(𝑥) merupakan  fungsi  langkah  Heaviside  dengan  syarat (Θ(𝑥 > 𝑥) = 1) dan Θ(𝑥 < 0) = 0 .  Untuk fungsi gelombangnya diberikan oleh, Ψ = Ψ(𝑥, 𝑡) , dan bisa dinormalisasikan dengan Ψ(𝑥 → ±∞, 𝑡) =
0 , dan untuk produk skalarnya ⟨Ψ, Ψ⟩ = 1 .
Untuk  mencari  nilai  rata-rata  dari  operator  gaya sebelumnya  harus  mendefinisikan  operator  gaya  itu sendiri yaitu dengan berpatokan pada persamaan (1) maka
𝐹̂ = − 𝑑𝑉(𝑥) 𝑑𝑥 = −𝑉 0 𝛿(𝑥) ( 6 )
Di mana 𝛿(𝑥) merupakan fungsi delta Dirac sebagai turunan  fungsi  Heaviside  terhadap  posisi.  Sehingga dengan  menggunakan  formula  nilai  rata-rata mekanika kuantum
⟨𝐹̂⟩ 𝐴 =   ∫ 𝑑𝑥 ∞ −∞ 𝐹̂𝜌 𝐴 , ( 7 )
Dengan 𝐴 = 𝑆; 𝐾𝐹𝐺; 𝐷 ,  di  mana 𝑆 adalah persamaan  gelombang  Schrödinger, 𝐾𝐹𝐺 adalah persamaan  Klein-Fock-Gordon,  dan 𝐷 adalah persamaan  gelombang  Dirac, 𝜌 𝐴 adalah  nilai kerapatan  probabilitas  dari  tiap  persamaan gelombang.  Dengan  demikian,  gaya  yang  dialami partikel  merupakan  penyebab  perubahan  perilaku pada partikel dalam hal ini perubahan potensial dan momentum pada partikel yang diberikan oleh fungsi gelombang.  Dengan  berfokus  pada  Teorema Ehrefest,  maka  penting  untuk  mencari  penyetaraan persamaan klasik besaran gaya dengan operator gaya pada  persamaan  kuantum  demi  membuktikan Teorema Ehrenfest dalam menentukan nilai rata-rata operator  kuantum  yang  tidak  biasa  yaitu  operator gaya khususnya untuk persamaan KFG dan persamaan Dirac,  karena  dalam  mekanika  kuantum  operator
yang  sering  dijumpai  adalah  operator  posisi (𝑥̂) , operator  momentum (𝑃̂) dan  operator  kecepatan (𝑣̂) .  Perihal,  nilai  rata-rata  operator  gaya  untuk persamaan  Schrödinger  dan  persamaan  Dirac  sudah ada  yang  melakukan  penelitian  ini  seperti  yang dilakukan  oleh  De  Vincenzo  (De  Vincenzo,  2015, 2021)  dan  untuk  nilai  rata-rata  operator  gaya  pada persamaan  Klein-Fock-Gordon  (KFG)  pertama  kali diberikan oleh penelitian De Vincenzo (De Vincenzo, 2021,  2023),  Sebagaimana  ketiga  persamaan  ini menjadi  dasar  dalam  mempelajari  mekanika kuantum, maka dilakukan analisis review untuk nilai rata-rata  operator  gaya  partikel  pada  step  potensial menurut  ketiga  persamaan  gelombang.  Tujuan  dari review ini adalah untuk memberikan penjelasan yang terperinci  untuk  meningkatkan  pemahaman  pada persamaan-persamaan yang diberikan pada referensi utama review ini (De Vincenzo, 2021).

## METODE
Untuk  menentukan  nilai  rata-rata  operator gaya  pada  review  ini,  digunakan  Teorema  Ehrefest yang  memberikan  solusi  jembatan  mekanika  klasik dengan mekanika kuantum. Kuantitas ini dapat dicari dengan  menganalisis  perilaku  partikel  yang  berada pada  potensial  step  melalui  analisis  operator Hamiltonian  yang  menjadi  sebuah  alat  untuk menganalisis  fungsi  gelombang  partikel.  Dengan analisis ini, akan memberikan suatu fungsi kerapatan probabilitas  yang  memberikan  peluang  keberadaan partikel dalam suatu ruang kuantum, fungsi kerapatan probabilitas  diberikan  oleh  fungsi  gelombang  yang mengisyaratkan  kekontinuitasan  partikel  pada  tiap kasus. Untuk mencari operator gaya dari kasus pada review ini digunakan Teorema Ehrenfest, yang akan dikerjakan  dengan  operator  Hamiltonian  demi penyetaraan  persamaan  klasik  dan  kuantum  untuk operator  gaya.  Setelah  menemukan  operator  gaya maka dilakukan perhitungan rata-rata operator gaya yang  dialami  partikel  dalam  potensial  step  yang mengakibatkan perubahan momentum partikel dalam kurang waktu tertentu.

## HASIL DAN PEMBAHASAN

## Kasus Schrödinger
Partikel  yang  berada  pada  step  potensial, diasumsikan  bergerak  dari  daerah 𝑥 < 0 menuju daerah 𝑥 > 0 . Pada daerah 𝑥 < 0 , partikel bergerak bebas  dan  ketika  partikel  bergerak  dan  berinteraksi dengan  step  potensial  di  sini,  terdapat  pengaruh potensial  sehingga  mengakibatkan  adanya  partikel
yang dipantulkan dan ditransmisikan. Sehingga untuk kasus ini, berlaku persamaan Schrödinger
𝐻 ̂𝜓 = − ℏ 2𝑚 𝜕 2 𝜓 𝜕𝑥 2 + 𝜙(𝑥)𝜓 ( 8 )
Sebagaimana 𝐻 ̂ merupakan energi total system maka, energi total diberikan oleh penjumlahan dari energi potensial dan energi kinetik.
Dengan adanya interaksi antara partikel dan step  potensial  mengakibatkan  adanya  perubahan momentum  pada  partikel  dengan  perubahan  ini mengindikasikan  adanya  gaya.  Dualisme  partikel- gelombang  memberikan  suatu  fungsi  yang  memuat segala  informasi  pada  partikel  yang  disebut  fungsi gelombang (𝜓) memiliki  perubahan  arah  ketika berinteraksi  dengan  step  potensial  di  mana  adanya partikel  yang  memantul  dan  adanya  partikel  yang ditransmisikan  sebagai  akibat  dari  energi  partikel 𝐸 > 𝑉 0 untuk partikel yang memiliki energi 𝐸 > 𝑉 0 diteruskan dan fungsi gelombang akan meluruh secara eksponensial.  Dengan  memang  pada  syarat  fungsi kontinuitas maka fungsi gelombang dan  turunannya harus  kontinu  pada  titik  batas 𝑥 = 0 untuk memastikan  bahwa  partikel  yang  sama  ditemukan pada  kedua  daerah  tadi.  Dengan  syarat  tersebut diperoleh  bahwa  fungsi  gelombang  untuk  kasus  ini adalah  fungsi  yang  kontinu (𝜓(0−, 𝑡) = 𝜓(0+, 𝑡) = 𝜓(0, 𝑡)) ,  maka  dengan  sendirinya kerapatan  pribabilitasnya  adalah  fungsi  kontinu (𝜌 𝑠 (0−, 𝑡) = 𝜌 𝑆 (0+, 𝑡) = 𝜌 𝑆 (0, 𝑡)).
Selanjutnya, dengan operator Hamiltonaian atau  energi  total  sistem  dikerjakan  pada  Teorema Ehrenfest.  Maka  persamaan  (8)  dikerjakan  pada persamaan (4), sehingga
𝑑⟨𝑝̂⟩ 𝑆 𝑑𝑡 = 𝑖 ℏ (⟨𝐻 ̂𝜓, 𝑝̂𝜓⟩ − ⟨𝐻̂𝑝̂⟩) + 𝑖 ℏ ⟨[𝐻 ̂, 𝑝̂]⟩. ( 9 )
Dengan 𝐴 = 𝑝̂ , dalam hal ini 𝑝̂ merupakan operator momentum.  Melalui  operasi  matematis  sebagai berikut:
⟨𝐻 ̂𝜓, 𝑝̂𝜓⟩ = 𝑖ℏ ℏ 2 2𝑚 ∫ 𝜕 2 𝜓 ∗ 𝜕𝑥 2 𝜕𝜓 𝜕𝑥 𝑑𝑥 𝑅 − 𝑖ℏ ∫ 𝜙(𝑥)𝜓 ∗ 𝜕𝜓 𝜕𝑥 𝑑𝑥 𝑅
⟨𝐻 ̂𝑝̂⟩ = 𝑖ℏ ℏ 2 2𝑚 ∫ 𝜓 ∗ 𝜕 3 𝜓 𝜕𝑥 3 𝑑𝑥 𝑅 − 𝑖ℏ ∫ 𝜙(𝑥)𝜓 ∗ 𝜕𝜓 𝜕𝑥 𝑑𝑥 𝑅 ⟨𝐻 ̂𝜓, 𝑝̂𝜓⟩ − ⟨𝜓, 𝐻̂𝑝̂𝜓⟩ =  𝑖ℏ ℏ 2 2𝑚 ([ 𝜕𝜓 𝜕𝑥 𝜕𝜓 ∗ 𝜕𝑥 ] − [ 𝜓 ∗ 𝜕 2 𝜓 𝜕𝑥 2 ])| 0− 0+ , ( 10 )
dengan  melihat  pada  prinsip  bahwa  untuk  fungsi gelombang  yang  menuju  tak  hingga  dalam  hal  ini menuju 0 + akan  menuju  nol,  sehingga
𝑖ℏ ℏ 2 2𝑚 ([ 𝜕𝜓 𝜕𝑥 𝜕𝜓 ∗ 𝜕𝑥 ] − [ 𝜓 ∗ 𝜕 2 𝜓 𝜕𝑥 2 ])| 0− 0+ + 0 .
Selanjutnya  mengerjakan  suku  kedua  yaitu ⟨[𝐻 ̂𝑝̂]⟩, dengan menggunakan sifat komutatif antar operator yang Hermitian diperoleh
⟨[𝐻 ̂𝑝̂]⟩ = 𝑖ℏ ∫ 𝜓 ∗ 𝜕𝜙(𝑥) 𝜕𝑥 𝜓 𝑑𝑥 𝑅 = 𝑖ℏ  ⟨ 𝑑𝜙(𝑥) 𝑑𝑥 ⟩ ≡ −𝑖ℏ ⟨𝐹̂⟩,
𝑑 𝑑𝑡 ⟨𝑝̂⟩ = 〈𝐹̂〉 𝑆 = ⟨− 𝑑𝜙(𝑥)
𝑑𝑥 ⟩. ( 11 )
Dengan melihat persamaan (6), maka
𝐹̂ 𝑆 = −𝑉 0 𝛿(𝑥) ( 12 )
Akhirnya, dengan diperoleh nilai operator gaya, maka untuk mencari nilai rata-rata operator gaya digunakan formula nilai rata-rata yang diberikan persamaan (7)
⟨𝐹̂⟩ 𝑆 = −𝑉 0 ∫ 𝛿(𝑥) 𝑅 𝜌 𝑆 (𝑥, 𝑡) 𝑑𝑥 ( 13 )
Karena kerapatan probabilitas kasus ini, adalah fungsi kontinu maka dapat diperoleh
⟨𝐹̂⟩ 𝑆 = −𝑉 0 ∫ −𝑉 0 𝜌 𝑆 (0, 𝑡) ∞ −∞ ( 14 )
Jadi,  nilai  rata-rata  operator  gaya  eksternal  klasik pada  partikel  yang  berada  dalam  system  non-
relativistik  potensial  step  dalam  tinjauan  persamaan Schrödinger adalah ⟨𝐹̂⟩ 𝑆 = −𝑉 0 𝜌 𝑆 (0, 𝑡) .

## Kasus Klein-Fock-Gordon
Persamaan  Klein-Fock-Gordon  adalah  persamaan Hamiltonian  dari  persamaan  Klein-Gordon,  yang merupakan persamaan orde dua (Amrulloh, 2021; Khan  &  Rasheed,  2015) .  Sehingga  dengan demikian,  energi  total  system  akan  menghasilkan energi  positif  dan  negatif  sebagai  akibat  dari  akar kuadratnya.  Sehingga  diberikan  Solusi  yaitu persamaan  Klein-Fock-Gordon  diubah  ke  bentuk orde  pertama  dalam  waktu  yang  sering  dikenal dengan persamaan Feshbach-Villars (Feshbach  & Villars, 1958; Greiner, 2000;  Merad et al., 2000;  Wachter,  2010) Persamaan  Klein-Fock- Gordon diberikan oleh
𝑖ℏ 𝜕 2 Ψ 𝜕𝑡 2 = −ℏ 2 𝑐 2 𝜕 2 Ψ 𝜕𝑥 2 + 𝑚𝑐 2 Ψ + 𝜙 2 Ψ. ( 15 )
Persamaan  (15),  terdiri  atas  dua  komponen  vector fungsi gelombang yaitu
Ψ = [ 𝜑 𝜒] = 1 2 [ 𝜓 + 1 𝑚𝑐 2 (𝑖ℏ 𝜕 𝜕𝑡 − 𝜙) 𝜓 𝜓 − 1 𝑚𝑐 2 (𝑖ℏ 𝜕 𝜕𝑡 − 𝜙) 𝜓 ], ( 16 )
fungsi  gelombang  yang  memiliki  dua  komponen vektor Ψ memiliki  hubungan  dengan  fungsi gelombang satu komponen 𝜓 sebagai berikut:
𝜓 = 𝜑 + 𝜒, dan 1 𝑚𝑐 2 (𝑖ℏ 𝜕 𝜕𝑡 −
𝜙) 𝜓 = 𝜑 − 𝜒. ( 17 )
Fungsi  gelombang  dalam  kasus  in,  terdiri  atas  dua fungsi  gelombang  yaitu 𝜑 dan 𝜒 yang  untuk persamaan diferensialnya
𝑖ℏ 𝜕𝜑 𝜕𝑡 = − ℏ 2 2𝑚 𝜕 𝜕𝑥 (𝜑 + 𝜒) + 𝑚𝑐 2 𝜑 + 𝜙𝜑, ( 18 )
𝑖ℏ 𝜕𝜒 𝜕𝑡 = − ℏ 2 2𝑚 𝜕 𝜕𝑥 (𝜑 + 𝜒) − 𝑚𝑐 2 𝜒 + 𝜙𝜒
yang  di  mana  persamaan  (18)  sebanding  dengan persamaan (15) yaitu persamaan Klein-Fock-Gordon. Untuk membentuk persamaan Hamiltonian orde satu diperkenalkan matriks Pauli 2 × 2 ,
𝜎̂ 1 = [ 0 1 1 0 ] , 𝜎̂ ̂2 = [ 0 −𝑖 𝑖 0 ] 𝜎̂ 3 = [ 1 0 0 −1 ] , 1̂ = [ 1 0 0 1 ]
Matriks ini identic denga matriks Pauli, namun tidak bekerja dalam ruang spin, dengan hubungan aljabar
𝜎̂ 𝑘 2 = 1̂, 𝜎̂ 𝑘 𝜎̂ 𝑙 = −𝜎̂ 𝑘 𝜎̂ 𝑙 = 𝑖𝜎̂ 𝑚
Dengan 𝑘, 𝑙, 𝑚 = 1,2,3 yang  cyclic.  Persamaan Klein-Fock-Gordon dalam bentuk Hamiltonian yang merupakan persamaan Feshbach-Villarsc(Feshbach & Villars, 1958) dalam dituliskan sebagai berikut:
𝐻 ̂ 𝐾𝐹𝐺 Ψ = (− ℏ 2 2𝑚 (𝜎 3 + 𝑖𝜎 2 ) 𝜕 2 𝜕𝑥 2 + 𝑚𝑐 2 𝜎 3 + 𝜙(𝑥)) Ψ ( 19 )
Penggunaan  matriks  Pauli  ini,  dikarenakan  pada persamaan  Klein-Fock-Gordon  taat  statistik  Fermi- Dirac, yang di mana berlaku prinsip larangan Pauli. Sehingga  dengan  sendiri  partikel  yang  dikaji  adalah partikel Fermion lebih tepatnya pion yang tersusun atas quark dan antiquark (Wittig, n.d.).
Kerapatan  probabilitas  dari  persamaan  gelombang pada  kasus  ini  (Baym,  2018;  Greiner,  2000; Wachter, 2010), diberikan oleh
𝜌 𝐾𝐹𝐺 = 𝑖ℏ 2𝑚𝑐 2 (𝜓 ∗ 𝜕𝜓 𝜕𝑡 − 𝜓 𝜕𝜓 ∗ 𝜕𝑡 ) − 𝜙 𝑚𝑐 2 𝜓 ∗ 𝜓 ( 20 )
Dari  persamaan  (11)  memberikan  nilai  kerapatan probabilitas  persamaan  gelombang  Klein-Fock- Gordon 𝜌 𝐾𝐹𝐺 = Ψ † 𝜎 3 Ψ = |𝜑| 2 − |𝜒| 2 dalam fungsi  gelombang  satu  komponen.  Dengan  melihat potensial pada persamaan (5), ketika diplot pada step
potensial, maka pada daerah I (𝑥 < 0) memberikan 𝜙(𝑥) = 0 dalam  hal  ini,  partikel  bergerak  bebas, sehingga tidak terjadi interaksi dengan step potensial yang akan menghasilkan gaya. Pada daerah II (𝑥 > 0) memberikan 𝜙(𝑥) = 𝑉 0 ,  sehingga  untuk  fungsi gelombang  masing-masing  daerah  dapat  dituliskan menjadi
Ψ = 1 2 [ 𝜓 + 𝑖ℏ 𝑚𝑐 2 𝜕𝜓 𝜕𝑡 𝜓 − 𝑖ℏ 𝑚𝑐 2 𝜕𝜓 𝜕𝑡 ] ( 21 )
Untuk turunan dari Ψ Ψ 𝑥 = 1 2 [ 𝜓 𝑥 + 𝑖ℏ 𝑚𝑐 2 𝜕𝜓 𝑥 𝜕𝑡 𝜓 𝑥 − 𝑖ℏ 𝑚𝑐 2 𝜕𝜓 𝑥 𝜕𝑡 ] ( 22 )
Persamaan  (21)  dan  persamaan  (22)  merupakan fungsi  gelombang  pada  daerah  I  yaitu 𝑥 > 0 . Selanjutnya  untuk  daerah  II  yaitu 𝑥 > 0 diberikan oleh persamaan yang mirip, hanya saya pada daerah II terdapat variabel potensial 𝜙(𝑥) dikarenakan adanya interaksi dengan step potensial serta nilai 𝜙(𝑥) = 𝑉 0
Ψ = 1 2 [ 𝜓 + 𝑖ℏ 𝑚𝑐 2 𝜕𝜓 𝜕𝑡 − 𝑉 0 𝑚𝑐 2 𝜓 𝜓 − 𝑖ℏ 𝑚𝑐 2 𝜕𝜓 𝜕𝑡 + 𝑉 0 𝑚𝑐 2 𝜓 ] ( 23 )
Untuk bentuk turunannya
Ψ 𝑥 = 1 2 [ 𝜓 𝑥 + 𝑖ℏ 𝑚𝑐 2 𝜕𝜓 𝑥 𝜕𝑡 − 𝑉 0 𝑚𝑐 2 𝜓 𝑥 𝜓 𝑥 − 𝑖ℏ 𝑚𝑐 2 𝜕𝜓 𝑥 𝜕𝑡 + 𝑉 0 𝑚𝑐 2 𝜓 𝑥 ]. ( 24 )
Mengingat bahwa untuk setiap fungsi gelombang dan turunannya harus kontinu pada titik batas, dan ketika diperhatikan  akan  dengan  jelas  fungsi  gelombang daerah II yaitu 𝑥 > 0 merupakan penggabungan dari fungsi  gelombang  pada  daerah  I  dengan  variabel potensial  maka  didapatkan  kondisi  batasnya  sebagai berikut:
Ψ(0+, 𝑡) = Ψ(0−, 𝑡) + 1 2 𝑉 0 𝑚𝑐 2 [ −1 +1 ] 𝜓(0, 𝑡) ( 25 )
Dan untuk bentuk turunannya menjadi
Ψ 𝑥 (0+, 𝑡) = Ψ 𝑥 (0−, 𝑡) + 1 2 𝑉 0 𝑚𝑐 2 [ −1 +1 ] 𝜓 𝑥 (0, 𝑡) ( 26 )
Dari kedua persamaan (25) dan persamaan (26) dapat diketahui  bahwa  fungsi  gelombang  dan  turunannya tidak kontinu (diskontinu) pada titik batas (𝑥 = 0) . Dengan  demikian,  kerapatan  probabilitas  untuk persamaan  Klein-Fock-Gordon  dalam  kasus  ini merupakan fungsi yang diskontinu (L. Chetouani; A. Bounames, 2001; Merad et al., 2000):
𝜌 𝐾𝐹𝐺 (0+, 𝑡) = 𝜌 𝐾𝐹𝐺 (0−, 𝑡) − 𝑉 0 𝑚𝑐 2 𝜓 ∗ (0, 𝑡)𝜓(0, 𝑡). ( 27 )
Ketidakkontinu kerapatan probabilitas pada kasus  ini,  dikarenakan  partikel  pion  menciptakan pasangan  partikel-antipartikel  ketika  partikel berinteraksi dengan potensial (Haouat & Chetouani, 2005). Ketika partikel Klein-Fock-Gordon diplotkan pada potensial step, terdapat beberapa rentang kasus, pertama pada rentang 𝐸 > 𝑉 0 + 𝑚, rentang ini tidak menyiptakan  pasangan  partikel-antipartikel.  Karena tidak adanya gangguna yang signifikan dari potensial terhdapat  energi  gelombang  partikel.  Pasangan partikel-antipartikel memberikan perbedaan kerapatan  probabilitas  ketika  energi  partikel  dalam rentang 𝑉 0 + 𝑚 > 𝐸 < 𝑉 0 dengan  kerapatan probabilitas  positif  dan  ketika  pada  rentang 𝑉 0 > 𝐸 > 𝑉 0 − 𝑚 memberikan  kerapatan  probabilitas negatif.  Selain  itu,  pada  rentang  tersebut  terjadi proses  creation  dan  annhilation  pada  pasangan partikel-antipartikel.  Penciptaan  pasangan  partikel dan  antipartikel  disebabkan  adanya  gangguan  dari potensial.  Semakin  besar  gangguan  yang  diterima energi partikel semakin bertahan pasangan partikel- antipartikel untuk survive. Pada rentang 𝑉 0 − 𝑚 < 𝐸 ,  partikel  yang  tertransmisi  terpantul  kembali karena adanya gaya dorong oleh potensial. Namun, pada  saat  yang  bersamaan  untuk  antipartikel  akan bertahan dan bergerak ke kanan sebagai gelombang transmisi (Wittig, n.d.).
Sebagai imbas dari kondisi batas di atas maka matriks Pauli merupakan fungsi kontinu di titik batas, di mana
(𝜎 3 + 𝑖𝜎 2 )Ψ(0+, 𝑡)
= (𝜎 3 + 𝑖𝜎 2 )Ψ(0−, 𝑡),
(𝜎 3 + 𝑖𝜎 2 )Ψ 𝑥 (0+, 𝑡) = (𝜎 3 + 𝑖𝜎 2 )Ψ 𝑥 (0−, 𝑡). ( 28 )
Sekarang,  untuk  menemukan  nilai  operator gaya dengan berlandaskan pada Teorema Ehrenfest, maka
𝑑⟨𝑝̂⟩ 𝐾𝐹𝐺 𝑑𝑡 = 𝑖 ℏ (⟨𝐻 ̂𝜓, 𝑝̂𝜓⟩
− ⟨𝐻 ̂𝑝̂⟩) + 𝑖 ℏ ⟨[𝐻 ̂, 𝑝̂]⟩.
( 29 )
Untuk ⟨𝐻 ̂𝜓, 𝑝̂𝜓⟩ − ⟨𝐻̂𝑝̂⟩
⟨𝐻 ̂𝜓, 𝑝̂𝜓⟩ − ⟨𝐻̂𝑝̂⟩
= 𝑖ℏ ℏ 2 2𝑚 ∫ 𝜓 ∗ (1̂ + 𝜏̂ 1 ) 𝜕 3 𝜓 𝜕𝑥 3 𝑅 − 𝜕 2 𝜓 ∗ 𝜕𝑥 2 1̂ 𝜕𝜓 𝜕𝑥 𝑑𝑥 ( 30 )
Untuk ⟨[𝐻 ̂, 𝑝̂]⟩ = ⟨𝐻̂𝑝̂⟩ − ⟨𝑝̂𝐻̂⟩
⟨[𝐻 ̂, 𝑝̂]⟩ = 𝑖ℏ ∫ 𝜓 ∗ 𝜕𝜙(𝑥) 𝜕𝑥 𝜓 𝑑𝑥 𝑅 = 𝑖ℏ  ⟨ 𝑑𝜙(𝑥) 𝑑𝑥 ⟩ ≡ −𝑖ℏ ⟨𝐹̂⟩ ( 31 )
Dengan  demikian  ketika  persamaan  (31)  diplotkan kembali  ke  persamaan  Teorema  Ehrenfest  dengan berpegang pada prinsip normalisasi fungsi gelombang diperoleh
𝑑⟨𝑝̂⟩ 𝐾𝐹𝐺 𝑑𝑡 = ⟨𝐹̂⟩ 𝐾𝐹𝐺 . ( 32 )
Melihat  pada  persamaan  (32)  dapat  didefinisikan bahwa  nilai  rata-rata  operator  gaya  merupakan turunan nilai rata-rata operator momentum terhadap waktu  atau  minus  gradien  potensial.  Maka  dengan mudah, nilai operator gaya yang diberikan adalah
𝐹̂ 𝐾𝐹𝐺 = − 𝑑𝜙(𝑥) 𝑑𝑥 = − 𝑑 𝑑𝑥 (𝑉 0 Θ(𝑥)), ( 33 )
Karena 𝑉 0 adalah  konstanta  maka  tersisa  hanya turunan fungsi Heaviside terhadap posisi yang tidak lain adalah delta Dirac:
𝐹̂ 𝐾𝐹𝐺 = −𝑉 0 𝛿(𝑥).
( 34 )
Maka, nilai rata-rata dari operator gaya pada kasus ini dalam  kajian  persamaan  Klein-Fock-Gordon diberikan oleh
⟨𝐹̂ 𝐾𝐹𝐺 ⟩ = ∫ 𝑑𝑥  𝐹̂ 𝐾𝐹𝐺 𝜌 𝐾𝐹𝐺 (𝑥, 𝑡)
⟨𝐹̂ 𝐾𝐹𝐺 ⟩ = −𝑉 0 ∫ 𝑑𝑥  𝛿(𝑥)𝜌 𝐾𝐹𝐺 (𝑥, 𝑡) ( 35 )
Karena,  kerapatan  probabilitas  dalam  kasus  ini merupakan  fungsi  yang  diskontinu  (D.  Griffiths  &
Walborn, 1999), maka
∫ 𝑑𝑥  𝛿(𝑥)𝜌 𝐾𝐹𝐺 (𝑥, 𝑡)
= 1 2 [𝜌 𝐾𝐹𝐺 (0+, 𝑡) − 𝜌 𝐾𝐹𝐺 (0−, 𝑡)]
( 36 )
Sehingga nilai rata-rata operator gaya dalam kasus ini menjadi
⟨𝐹̂ 𝐾𝐹𝐺 ⟩ = − 𝑉 0 2 [𝜌 𝐾𝐹𝐺 (0+, 𝑡) − 𝜌 𝐾𝐹𝐺 (0−, 𝑡)] ( 37 )
Kemudian,  dengan  melihat  persamaan  (27),  untuk 𝜌 𝐾𝐹𝐺 (0+, 𝑡) dapat diubah menjadi
⟨𝐹̂⟩ 𝐾𝐹𝐺 = − 𝑉 0 2 [𝜌 𝐾𝐹𝐺 (0−, 𝑡) − 𝑉 0 𝑚𝑐 2 𝜓 ∗ (0, 𝑡)𝜓(0, 𝑡). −𝜌 𝐾𝐹𝐺 (0−, 𝑡)].
⟨𝐹̂⟩ 𝐾𝐹𝐺 = 𝑉 0 2 𝑉 0 𝑚𝑐 2 𝜓 ∗ (0, 𝑡)𝜓(0, 𝑡). ( 38 )
Inilah  nilai  rata-rata  operator  gaya  klasik  eksternal dalam kasus ini.
Pada persamaan (35), diberitahukan bahwa integral yang diberikan pada sisi kiri pada persamaan (36) tidak selalu sama dengan rata-rata diskontinuitas fungsi  yang  menyertai  delta  Dirac  pada  integral tersebut  yaitu  fungsi 𝜌 𝐾𝐹𝐺 yang  berada  pada  sisi kanan dari persamaan (36) yang di mana belum tentu sama dengan 1 2 [𝜌 𝐾𝐹𝐺 (0+, 𝑡) + 𝜌 𝐾𝐹𝐺 (0−, 𝑡)] .
Dengan  demikian,  dikembangkan  pendekatan  non- relativistik (Greiner, 1997; Wachter, 2010) dari hasil pada  persamaan  (35)  maupun  hasil  pada  persamaan (37). Untuk melakukan hal ini, pertama-tama fungsi gelombang  Kein-Fock-Gordon  dituliskan  dalam bentuk 𝜓(𝑥, 𝑡) = Ψ 𝑆 (𝑥, 𝑡) exp (− 𝑖𝑚𝑐 2 𝑡 ℏ ) ,
dimana Ψ 𝑆 adalah  fungsi  gelombang  Schrödinger. Dan oleh karena itu, 𝜓̇(𝑥, 𝑡) =
(−𝑖 𝑚𝑐 2 ℏ ) Ψ 𝑠 (𝑥, 𝑡) exp (− 𝑖𝑚𝑐 2 𝑡 ℏ ) pada  batas  ini,
|𝑖ℏ Ψ̇ 𝑆 | ≪ 𝑚𝑐 2 |Ψ 𝑠 |.
Dengan  menggunakan  batas  non-relativistik, kerapatan  probabilitas  Klein-Fock-Gordon  yang diberikan persamaan (27) menjadi
𝜌 𝐾𝐹𝐺 = 𝜌 𝑆 − 𝑉 𝑚𝑐 2 𝜌 𝑆 . ( 39 )
Demikian  juga,  dengan  menggunakan  hasil  pada persamaan (30)
⟨𝐹̂⟩ 𝐾𝐹𝐺 = ⟨𝐹̂⟩ 𝑆 + 𝑉 0 𝑚𝑐 2 ∫ 𝛿(𝑥) 𝑅 𝜙(0)𝜌 𝑆 (0, 𝑡), ( 40 )
Dengan  mengingat 𝜌 𝑆 = Ψ 𝑆 ∗ Ψ 𝑠 ,  maka ⟨𝐹̂⟩ 𝐾𝐹𝐺 dalam batas non-relativistik, yaitu
⟨𝐹̂⟩ 𝐾𝐹𝐺 = V 0 2 𝑉 0 𝑚𝑐 2 𝜌 𝑆 (0, 𝑡), ( 41 )
hasil  pada  persamaan  (41)  memberikan  hasil  yang sesuai  dengan  persamaan  (38)  yang  menunjukkan bahwa pada batas non-relativistik gaya yang dialami partikel adalah sama besar (Greiner, 2000; Wachter, 2010) demikian juga, dengan menggunakan hasil pada persamaan (39)
⟨𝐹̂⟩ 𝐾𝐹𝐺 = ⟨𝐹̂⟩ 𝑆 + 𝑉 0 𝑚𝑐 2 ∫ 𝛿(𝑥)𝜙(0)𝜌 𝑆 (0, 𝑡). ( 42 )
Integral terakhir tidak dapat diselesaikan dengan tepat karena 𝜙(𝑥) tidak kontinu pada 𝑥 = 0 . Walaupun demikian,  perlu  dilakukan  pendefinisian  ulang  nilai integral  tersebut  sebagai 𝜙(0)𝜌 𝑆 (0, 𝑡) ,  maka persamaan (42) menjadi
⟨𝐹̂⟩ 𝐾𝐹𝐺 = ∫ 𝐹̂𝜌 𝐾𝐹𝐺 𝑑𝑥 𝑅 = ⟨𝐹̂⟩ 𝑆 + 𝑉 0 𝑚𝑐 2 𝜙(0)𝜌 𝑆 (0, 𝑡), ( 43 )
Akhirnya,  dengan  menyamakan  hasil  yang diberikan oleh persamaan (41) dan persamaan (42), diperoleh
⟨𝐹̂⟩ 𝑆 = − [𝜙(0) − 𝑉 0 2 ] 𝑉 0 𝑚𝑐 2 𝜌 𝑆 (0, 𝑡). ( 44 )
Hasil terakhir tersebut dapat diperoleh dengan cara sebagai  berikut:  pertama,  persamaan  gelombang Klein-Fock-Gordon  satu  dimensi  dalam  bentuk Hamiltonian  sepenuhnya  setara  dengan  pasangan persamaan diferensial berikut:
𝑖ℏ 𝜕𝜑 𝜕𝑡 = − ℏ 2 2𝑚 𝜕 𝜕𝑥 2 (𝜑 + 𝜒) + 𝜙𝜑 + 𝑚𝑐 2 𝜑 , ( 45 )
𝑖ℏ 𝜕𝜒 𝜕𝑡 = − ℏ 2 2𝑚 𝜕 𝜕𝑥 2 (𝜑 + 𝜒) + 𝜙𝜒 − 𝑚𝑐 2 𝜒 ( 46 )
di  mana  persamaan  diferensial  di  atas  merupakan komponen atas dan bawah vektor kolom Ψ , 𝜑 dan 𝜒 , yang diberikan dalam persamaan (2). Kemudian, jika mempertimbangkan ansat 𝜓 = Ψ 𝑠 exp(−𝑖 𝑚𝑐 2 𝑡/ ℏ), dengan  demikian 𝜓̇ = (−𝑖 𝑚𝑐 2 /ℏ)𝜓 (yang merupakan  batas  nonrelativistik),  diperoleh perkiraan  ini, 𝜑 = (1 − 𝜙/2𝑚𝑐 2 )𝜓 (lihat persamaan (2)). Selain itu di dapat juga bahwa 𝜑 + 𝜒 = 𝜓 (lihat  persamaan  (3)).  Dengan  demikian, untuk  medan  eksternal  yang  lemah  (hingga  orde terendah), 𝜑 = 𝜓 memenuhi persamaan Schrödinger nonrelativistic tetapi dengan pergantian 𝜑 + 𝑚𝑐 2 → 𝜙 (lihat  persamaan  pertama  pada persamaan  (45)),  dan  oleh  karena  itu, 𝜙(0) + 𝑚𝑐 2 → 𝜙(0) ,  dan  juga 𝑉 0 2 + 𝑚𝑐 2 → 𝜙(0) (≡
𝑉 0 2 ) dalam  hubungan  terakhir  ini,  dapat  ditetapkan nilai 𝜙 ≡ 𝑉 0 2 pada 𝑥 = 0 .
Jadi, nilai rata-rata operator gaya partikel satu dimensi pada potensial step dalam kajian persamaan
Klein-Fock-Gordon,
yaitu
⟨𝐹̂⟩ =
− 𝑉 0 2 [𝜌 𝐾𝐹𝐺 (0+, 𝑡) + 𝜌 𝐾𝐹𝐺 (0−, 𝑡)] atau 𝑉 0 2 + 𝑉 0 𝑚𝑐 2 𝜓 ∗ (0, 𝑡)𝜓(0, 𝑡). Jika  ditinjau  pada  limit  non- relativistik  diperoleh  nilai  rata-rata  operator  gaya dalam tinjauan persamaan Klein-Fock-Gordon adalah
⟨𝐹̂⟩ 𝑆 + 𝑉 0 𝑚𝑐 2 𝜙(0)𝜌 𝑆 (0, 𝑡).

## Kasus Dirac
Partikel  yang  memenuhi  persamaan  Dirac, ketika  berada  pada  step  potensial  satu  dimensi memenuhi persamaan berikut:
𝑖ℏ 𝜕Ψ 𝜕𝑡 = −𝑖ℏ𝑐𝛼𝑝̂Ψ + 𝑚𝑐 2 𝛽Ψ + 𝜙(𝑥)Ψ, ( 47 )
dengan 𝑖ℏ 𝜕𝜓 𝜕𝑡 = 𝐻 ̂ yang  merupakan  energi  total system, 𝑝̂ = −𝑖ℏ 𝜕 𝜕𝑥 dan 𝛼 , 𝛽 merupakan  matriks Dirac 2 × 2 yang  memenuhi  relasi  aljabar 𝛼̂ 2 = 𝛽̂ 2 = 1̂ dan 𝛼̂𝛽̂ + 𝛽̂𝛼̂ = 0̂ (Greiner,  1997; Wachter,  2010).  Matriks  ini  hadir  sebagai konsekuensi  dari  fungsi  gelombang  pada  kasus  ini terdiri  dari  dua  komponen.  Partikel  Dirac  yang
berinteraksi  dengan  step  potensial  memenuhi keadaan batas yaitu fungsi gelombang harus kontinu pada  titik  batas 𝑥 = 0 .  Sehingga  perilaku  partikel dalam  hal  ini,  baik  memantul  maupun  tertransmisi memenuhi 𝑅 + 𝑇 = 1 (De  Vincenzo,  2015; Juherwin,  2015).  Kerapatan  probabilitasnya  adalah fungsi  kontinu,  sehingga  ketika  dicari  peluang  pada daerah yang berbeda merupakan partikel yang sama (De Vincenzo, 2015; Juherwin, 2015). Maka untuk fungsi gelombang 𝜓 𝐷 (0−, 𝑡) = 𝜓(0+, 𝑡) = 𝜓(0, 𝑡) dan untuk kerapatan probabilitasnya 𝜌 𝐷 = (0−, 𝑡) = 𝜌 𝐷 (0+, 𝑡) = 𝜌 𝐷 (0, 𝑡) .
Selanjutnya, operator Hamiltonian
dikerjakan pada persamaan (4) diperoleh
⟨𝐻 ̂𝜓, 𝑝̂𝜓⟩ = ℏ 2 𝑐 ∫ 𝜕𝜓 † 𝜕𝑥 𝑅 𝛼̂ 𝜕𝜓 𝜕𝑥 𝑑𝑥 − 𝑖ℏ𝑚𝑐 2 ∫ 𝜓 † 𝛽̂ 𝜕𝜓 𝜕𝑥 𝑑𝑥 𝑅 − 𝑖ℏ ∫ 𝜓 † 𝜙(𝑥) 𝜕𝜓 𝜕𝑥 𝑅 𝑑𝑥 ⟨𝐻 ̂𝑝̂⟩ 𝐷 = −ℏ 𝟐 𝑐 ∫ 𝜓 † 𝑅 𝛼̂ 𝜕 2 𝜓 𝜕𝑥 2 𝑑𝑥 − 𝑖ℏ𝑚𝑐 2 ∫ 𝜓 † 𝛽̂ 𝜕𝜓 𝜕𝑥 𝑑𝑥 𝑅 − 𝑖ℏ ∫ 𝜓 † 𝜙(𝑥) 𝜕𝜓 𝜕𝑥 𝑅 𝑑𝑥 𝑖 ℏ (⟨𝐻 ̂𝜓, 𝑝̂𝜓⟩ − ⟨𝐻̂𝑝̂⟩ 𝐷 ) = 𝑖 ℏ (ℏ 2 𝑐 ∫ 𝜕𝜓 † 𝜕𝑥 𝑅 𝛼̂ 𝜕𝜓 𝜕𝑥 𝑑𝑥 + ∫ 𝜓 † 𝑅 𝛼̂ 𝜕 2 𝜓 𝜕𝑥 2 𝑑𝑥), ( 48 )
Dengan  menggunakan  metode  integral  pembagian maka persamaan (48) menjadi
𝑖 ℏ (⟨𝐻 ̂𝜓, 𝑝̂𝜓⟩ − ⟨𝐻̂𝑝̂⟩ 𝜓 ) = 𝑖 ℏ (ℏ 2 𝑐  ∫ 𝜓 † 𝛼̂ 𝜕𝜓 𝜕𝑥 | 0− 0+ 𝑅 ) = 𝒊 ℏ (𝑖ℏ𝜓 † 𝑐𝛼̂𝑝̂𝜓| 0− 0+ ),
𝑖 ℏ ⟨[𝐻 ̂, 𝑝̂]⟩ 𝐷 = − ∫ 𝜓 𝑑𝜙(𝑥) 𝑑𝑥 𝜓 † = ∞ −∞ ⟨𝐹̂⟩ 𝐷 . ( 49 )
Dengan  mengingat  bahwa  untuk  fungsi  gelombang yang  bergerak  menuju  tak  hingga  akan  menuju  nol dengan demikian, 𝑖 ℏ (𝑖ℏ𝜓 † 𝑐𝛼̂𝑝̂𝜓| 0− 0+ ) = 0 𝑑 𝑑𝑡 ⟨𝑝̂⟩ = ⟨𝐹̂⟩ 𝐷 . ( 50 )
Akhirnya,  persamaan  di  atas,  dikerjakan  pada persamaan (8) menjadi
⟨𝐹̂⟩ 𝐷 = −𝑉 0 ∫ 𝑑𝑥 𝛿(𝑥) 𝑅 𝜌 𝐷 (𝑥, 𝑡) ( 51 )
Untuk    integral  fungsi  delta  Dirac  pada  kasus  ini diperoleh ∫ 𝑑𝑥 𝛿(𝑥) = 1 𝑅 untuk  fungsi  kontinu. Maka  untuk  hasil  akhir  dari  nilai  rata-rata  operator gaya eksternal klasik diberikan oleh
⟨𝐹̂⟩ 𝐷 = −𝑉 0 𝜌(0, 𝑡). ( 52 )
Jadi,  nilai  rata-rata  operator  gaya  eksternal  klasik pada  kasus  Dirac  diberikan  oleh −𝑉 0 yang mempertimbangkan peluang keberadaan partikel.
Ketiga kasus ini, memberikan perbedaan pada sistem  yang  berlaku  untuk  tiap  kasus  dan  partikel yang  memenuhi  syarat  tiap  kasus,  namun  terdapat pula persamaan yaitu potensial yang dikaji, persamaan matematis tiap kasus yang mirip.

## KESIMPULAN DAN SARAN
Nilai rata-rata operator gaya pada tiap kasus diperoleh dengan mengerjakan operator Hamiltonian yang  sesuai  dengan  kasusnya  yaitu  dengan menganalisis  kekontinuitasan  fungsi  kerapatan probabilitas  dari  tiap  kasus.  Operator  Hamiltonian kemudian dikerjakan pada Teorema Ehrenfest untuk mencari  kesetaraan  operator  gaya  eksternal  klasik untuk setiap partikel pada tiap kasus yang diperoleh. Dan  pada  akhirnya  dalam  mencari  nilai  rata-rata operator  gaya  tiap  kasus  diperoleh  dengan mengerjakan  melalui  formula  nilai  rata-rata  sebuah operator. Di mana untuk nilai rata-rata operator gaya eksternal klasik dalam kajian persamaan Schrödinger, persamaan Dirac, dan persamaan Klein-Fock-Gordon memiliki kesamaan yaitu bergantung pada kerapatan probabilitas dari masing-masing persamaan gelombang.  Namun,  dalam  kasus  Schrödinger  dan kasus  Dirac  kerapatan  probabilitas  yang  diberikan adalah fungsi yang kontinu pada titik batas, berbeda dengan  kasus  Klein-Fock-Gordon  kerapatan probabilitas  untuk  persamaan  ini  merupakan  fungsi yang  diskontinu  pada  titik  batas . Review  ini,  hanya berfokus  pada  potensial  step  (potensial  tangga; step
potential )  sebagai  permasalahan  dasar  untuk mempelajari perilaku partikel dalam dunia mekanika kuantum, dan masih banyak lagi jenis potensial yang bisa kembali dikaji untuk menentukan nilai rata-rata operator gaya partikel.

## DAFTAR PUSTAKA
Abdullah,  M.  (2007).  Fisika  Dasar  I  (edisi  revisi).
Bandung: ITB .
Amrulloh, A. H. K. (2021). STUDI PERSAMAAN KLEIN-GORDON  DAN  PERSAMAAN DIRAC  DALAM  SUMUR  POTENSIAL PERSEGI  GANDA  SIMETRI.  In Universitas Islam  Negeri  Maulana  Malik  Ibrahim . Universitas  Islam  Negeri  Maulana  Malik Ibrahim Malang.
Baym,  G.  (2018).  Lectures  On  Quantum Mechanics.  In  J.  D.  Jackson  &  D.  Pines (Eds.), Lecture Notes And Supplements In Physics (Vol. 21, Issue 1, pp. 1–9). CRC Press. De  Vincenzo,  S.  (2015).  Operators  and  bilinear densities  in  the  Dirac  formal  1D  Ehrenfest theorem. Journal of Physical Studies [Initiated by West  Ukrainian  Physical  Society  &  Ivan  Franko National  University  of  Lviv,  Ukraine,  and Recognized  by  European  Physical  Society] , 19 , 1003.
De Vincenzo, S. (2021). On the mean value of the force  operator  for  1D  particles  in  the  step potential. Revista Brasileira de Ensino de Fisica , 43 (1),
1–6. https://doi.org/10.1590/1806-9126-
RBEF-2020-0422
De Vincenzo, S. (2023). General pseudo self-adjoint boundary conditions for a 1D KFG particle in a box.
Physics Open , 15 .
https://doi.org/10.1016/j.physo.2023.100 151
Feshbach,  H.,  &  Villars,  F.  (1958).  Elementary relativistic wave mechanics of spin 0 and spin 1/2 particles. Reviews of Modern Physics , 30 (1),
24–45.
https://doi.org/10.1103/REVMODPHYS. 30.24
Gilmore, R. (2010). Ehrenfest Theorems. Physics Department, Drexel University , 1 (5), 180–182. https://doi.org/10.1007/978-3-540- 70626-7_58
Greiner,  W.  (1997). Relativistic  quantum  mechanics Wave equations (Second Ed.). Springer-Verlag Berlin Heidelberg GmbH. Greiner,  W.  (2000). Relativistic  quantum  mechanics Wave equations (3rd .Ed). Springer.
Griffiths,  D.  J.  (2005). Introduction  to  Quantum Mechanics (Second  Edi).  Pearson  Education, Inc.
Griffiths, D., & Walborn, S.  (1999). Dirac Deltas and  Discontinuous  Functions. American
Journal  of  Physics , 67 (5),  446–447. https://doi.org/10.1119/1.19283
Haouat, S., & Chetouani, L. (2005). Pair creation in Feshbach-Villars  formalism  with  two components. European  Physical  Journal  C ,
41 (3),
297–303. https://doi.org/10.1140/EPJC/S2005-
02236-7 Juherwin, M. (2015). Solusi Numerik Persamaan Dirac Dimensi  (1+1)  Menggunakan  Metode  Finite Difference  Time  Domain   (FDTD) .  Universitas Mataram.
Khan,  N.  A.,  &  Rasheed,  S.  (2015).  Analytical solutions of linear and nonlinear klein-fock-
gordon equation. Nonlinear Engineering , 4 (1), 43–48.  https://doi.org/10.1515/NLENG- 2014-0028/HTML
L. Chetouani; A. Bounames. (2001). Solution of the Feshbach–Villars  equation  for  the  step potential. Physics Letters A , 4 (267), 139–150. https://doi.org/10.1016/S0375- 9601(00)00833-1
Merad, M., Chetouani, L., & Bounames, A. (2000).
Boundary  conditions  for  one-dimensional Feshbach–Villars  equation. Physics  Letters  A , 267 (4),
225–231. https://doi.org/10.1016/S0375-
9601(00)00107-9
Wachter,  A.  (2010). Theoritical  and  Mathematical Physics :  Relativistic  Quantum  Mechanics . Springer.
Wittig,  C.  (n.d.).  Introduction  to  Relativistic
Quantum Mechanics . Https://Curtwittig.Com/ . Retrieved November 14, 2023, from https://curtwittig.com/wp- content/uploads/V.-CH-4.pdf