## Perhitungan  Konstanta  Dielektrik  Lapisan  Tipis  Graphene  Monolayer
Si-Face  Hasil  Pengukuran  Synchrotron  dengan  Metode  Kramers- Kronig dan Newton-Raphson
Lisa’ Yihaa Roodhiyah 1* , Andrivo Rusydi 2 dan Iman Santoso 1**
1 Jurusan Fisika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Gadjah Mada, Yogyakarta 55281, Indonesia
2 Department of Physics, National University of Singapore, Singapore 117542, Singapore * Email: yihaa92@gmail.com **Email: iman.santoso@ugm.ac.id
Abstrak – Telah dilakukan perhitungan konstanta dielektrik nanostruktur epitaxial graphene monolayer pada substrat Si-face  SiC  dari  hasil  pengukuran  data  reflektivitas  dengan  metode  Kramers-Kronig dan Newton-Raphson.  Data  yang digunakan  yaitu  data  reflektivitas  pada  rentang  energi  0.5  –  30  eV  dari  pengukuran  di  Hasylab  Synchroton.  Metode Kramers-Kronig menghasilkan  beda  fase  δ dan  dengan  menggunakan  persamaan  Fresnel  dan  persamaan Snelliusdigunakan untuk mengekstraksi konstanta dielektrik. Permasalahan pencarian titik nol dalam persamaan Fresnel ketika  mengekstraksi  konstanta  dielektrik  dapat  diselesaikan  dengan  metode  numerik  Newton-Raphson.  Hasil  yang diperoleh  menunjukkan  beberapa  hal  penting  :  1)  metode  Kramers-Kronig  dan  numerik  Newton-Raphson  dapat digunakan  untuk  mengekstraksi konstanta  dielektrik  graphene  monolayer  Si-face,  2)  adanya  puncak  absorbsi  asimetri pada energi 4,6, 6,1 dan 8,4 eV ditinjau dari bagian imajiner konstanta dielektrik dan indeks bias, 3) puncak pada energi 6,1 dan 8,4 eV berasal dari resonansi exitonic akibat adanya interaksi elektron-elektron dan elektron-hole dan puncak pada  energi  4,6  eV  berasal  tr ansisi  antar  pita  (interband)  dari  π  band  ke  π*  band  yang  dimiliki  material  graphene monolayer.
Kata kunci : Graphene, Konstanta dielektrik, Kramers-Kronig, Newton-Raphson, synchrotron
Abstract – Calculation of the dielectric constant of epitaxial monolayer-graphene nanostructure grown on Si-face SiC substrate of reflectivity measurement using Kramers-Kronig and Newton-Raphson method has been done.  The data was taken  from  Reflectivity  datameasured  fromHasylab  Synchrotron  radiation  with  energy  of  0.5-30  eV.  The  result  of Kramers-Kro nig method is phase shift δ.  U sing Fresnel and Snellius equation the phase shift can be used to extract the dielectric constant. The problem in determining the root of Fresnel equation is resolved using Newton-Raphson method. The  results  showed  three  important  things  :  1)  the  method  of  Kramers-Kronig  and  Newton-Raphson  can  be  used  to extract the dielectric constant of Si-face monolayer graphene, 2) asymmetric absorption peak at 4,6, 6,1 and 8,4 eV in terms of the imaginary part of the dielectric constant and refractive index, 3) The asymmetric absorption peak at 6,1 and 8,4 eV are originally from excitonic resonance arising from a background single-particle continuum of dipole forbidden transitions whereas the asymmetric absorption peak at 4,6 eV is originally from interband transition of graphene from π band to π* band.
Keywords: Graphene, Dielectric constant, Kramers-Kronig, Newton-Raphson, synchrotron.

## I. PENDAHULUAN
Metode pengkajian konstanta dielektrik ( ɛ ) menggunakan  pendekatan  makroskopis  yang  banyak digunakan seperti  pemodelan fungsi dielektrik misalnya model  Drude-Lorentz,  Sellmeier  dan  Cauchy  diketahui masih mempunyai beberapa kelemahan dalam penerapannya,  antara  lain  yaitu  untuk  model  Drude- Lorentz,  diperlukan  sistem  banyak  osilator  dengan jumlah  parameter  yang  banyak  untuk  mengekstraksi konstanta  dielektrik  dan  indeks  bias  pada  data  dengan rentang energi yang lebar sehingga kurang efisien dalam pengerjaannya,  untuk  model  Sellmeier  dan  Cauchy, hanya  berlaku  untuk  daerah  non-dispersif,  sedangkan untuk metode numerik inversi Gauss-Newton, diperlukan pengelolaan  matriks  invers  pada  metode  Newton-
Raphson multivariable yang tidak mudah dan memerlukan  tingkat  ketelitian  yang  tinggi  untuk  data dengan  rentang  energi  yang  lebar.Dalam  penelitian  ini, metode  Kramers-Kronig  diasumsikan akan lebih  mudah. Hal  ini  karena  metode  Kramers-Kronig  menggunakan prinsip  relasi  bagian  imajiner  dan  bagian  real  dari  suatu fungsi kompleks, dimana jika bagian real diketahui maka bagian imajiner dapat diekstrak maupun sebaliknya  yang diturunkan  secara  terpisah  oleh  Kramers  (1926)  dan Kronig (1927) [1].
Dalam  penelitian  ini  metode  Kramers-Kronig digunakan  untuk  mengekstrak ɛ dari  data  sekunder berupa  reflektivitas  Si -face SiC  dan  reflektivitas graphene Si- face yang berupa graphene monolayer yang ditumbuhkan  pada  substrat  Si -face SiC  yang  mana  data
tersebut  diperoleh  dari  grup  riset  Prof.  Andrivo  Rusydi National  University  of  Singapore  (NUS).  Data  diperoleh dari pengukuran spektroskopi ellipsometry untuk rentang energi  1,5-5,3  eV  dan  pengukuran  reflektivitas  di HASYLAB  ( Hamburg  synchrotron  laboratory )  untuk rentang energi 3,6-30 eV seperti pada Gambar 1[2]. Pada penelitian  sebelumnya  Ref.  [2]  dengan  data  yang  sama telah  berhasil  diperoleh  konstanta  dielektrik graphene dengan  menggunakan  pemodelan  fungsi  dielektrik Drude-Lorentz.  Pemodelan  fungsi  dielektrik  Drude- Lorentz  pada  penelitian  sebelumnya  menggunakan  50 osilator  sehingga  terdapat  150  parameter  yang  harus  di- fitting satu  per  satu  untuk  mendapatkan  hasil  konstanta dielektrik  yang  tepat[2].Dapat  disimpulkan  bahwa metode  Drude-Lorentz  masih  kurang  efisien  dalam pengerjaannya untuk rentang data energi yang lebar. Oleh karena  itu,  penerapan  metode  Kramers-Kronig  dalam penelitian ini akan sangat membantu dalam menghasilkan ekstraksi  konstanta  dielektrik  dan  indeks  bias  dengan lebih  mudah  dan  lebih  efisien  karena  pada  pengelolaan terhadap  data  reflektansi  dengan  rentang  energi  yang lebar  tidak  memerlukan  sistem  banyak  osilator  dengan banyak parameter yang harus diatur satu per satu seperti pada penelitian sebelumnya Ref. [2].
Gambar  1. Data  reflektivitas  versus  energi  untuk  material monolayer  epitaxial graphene yang  ditumbuhkan di atas substrat SiC Si- face . (Ref. [2])

## II. METODE PENELITIAN
Relasi  Kramers-Kronig  merupakan  relasi  bagian imajiner  dan  bagian  real  dari  suatu  fungsi  kompleks, dimana  jika  bagian  real  diketahui  maka  bagian  imajiner dapat diekstrak maupun sebaliknya. Secara umum, relasi Kramers-Kronig diberikan sebagai berikut[1]
( ) = ∫ ( ) , (1)
( ) = − ∫ ( ) , (2)
dimana ( ) merupakan bagian real yang dihasilkan dari perhitungan jika ( ) merupakan bagian imajiner yang diketahui, ( ) merupakan  bagian  imajiner  yang
dihasilkan  dari  perhitungan  jika ( ) merupakan bagian  real  yang  diketahui, P merupakan  nilai  Cauchy (Cauchy  principal  value) serta dan merupakan parameter  yang  digunakan.  Jika  diketahui  melalui persamaan Fresnel bahwa reflektivitas merupakan bagian real dan beda fase merupakan bagian imajiner dari suatu material  [1]  maka  beda  fase    yang  merupakan  bagian imajiner  dapat  dihitung  dengan  menggunakan  relasi Kramers-Kronig pada persamaan (2) sehingga menghasilkan ( ) = − 2 ∫ ( ( )) , (3)
yang    kemudian  digunakan  untuk  menghitung  beda  fase dari data reflektivitas pada rentang energi yang diketahui.
Dalam  penelitian  ini,  diperlukan  pemodelan  optik untuk  memudahkan  dalam  proses  perumusan  persamaan Fresnel  yang  digunakan.  Pemodelan  optik  yang  pertama yaitu berupa model optik bulk yang terdiri dari udara dan SiC.Selanjutnya,  model  optik  kedua  yaitu  model  optik lapisan  tipis buffer  layer yang  terdiri  dari  udara, buffer layer dan  SiC.Model  sistem  optik  yang  terakhir  yaitu model  optik  lapisan  tipis graphene yang  terdiri  dari udara, graphene , buffer layer dan SiC. Persamaan Fresnel yang  digunakan  yaitu  persamaan  Fresnel  untuk  empat layer yaitu sebagai berikut : [1]
̃ = ̃ ̃ ( ) ̃ ̃ ( ) , (4)
dengan diketahui bahwa
̃ = ̃ ̃ ( ) ̃ ̃ ( ) , (5)
̃ = ( ) / ( ) / (6)
̃ = ( ) / ( ) / ( ) / ( ) / (7)
dimana  diketahui  bahwa ̃ , ̃ , ̃ , ̃ merupakan amplitudo  koefisien  refleksi, d 1 dan d 2 berturut-  turut yaitu ketebalan graphene dan ketebalan buffer layer serta diketahui bahwa = ( − ) /
dan = ( − ) / .
Berikut  ini  diberikan  model  optik  yang  digunakan pada  Gambar  2  dan  diagram  alir  penelitian  secara  garis besar  pada  Gambar  3.Alur  penelitian  ini  diawali  dengan permodelan sistem optik bulk , yang mana hasil ekstraksi
dari  pemodelan  ini  yaitu  indeks  bias  kompleks  Si- face SiC.  Selanjutnya,  indeks  bias  kompleks  Si- face SiCdigunakan  sebagai  input  dalam  pemodelan  optik sistem  lapisan  tipis buffer  layer ,  yang  mana  akan menghasilkan  hasil  ekstraksi  yang  berupa  indeks  bias kompleks buffer  layer Si- face SiC.Kemudian,  hasil ekstraksi  yang  berupa  indeks  bias  kompleks buffer layer Si- face SiCdan indeks bias kompleks Si- face SiCdigunakan pada tahap pemodelan optik sistem lapisan tipis graphene untuk  mengekstraksi  indeks  bias  dan konstanta  dielektrikkompleks graphene .  Pada  ekstraksi konstanta  dielektrik  kompleks  digunakan  metode Newton-Raphson untuk menyelesaikan persamaan Fresnel (4).
Gambar 2. Model sistem optik (a) bulk, (b) lapisan tipis buffer layer , (c) lapisan tipis graphene
Gambar 3. Diagram alir perhitungan secara garis besar

## III. HASIL DAN PEMBAHASAN
Ekstraksi  konstanta  dielektrik  graphene  pada substrat  Si- face SiC  diawali  dengan  menghasilkan ekstraksi nilai indeks bias Si -face SiCmurni, yang diawali dengan  melakukan  interpolasi  dan  ekstrapolasi  data reflektivitas  Si -face SiC  yang  dilanjutkan  dengan penerapan  persamaan  relasi  Kramers-Kronig  sehingga menghasilkan  beda  fase.  Beda  fase  dan  persamaan Fresnel  digunakan  untuk  menghasilkan  ekstraksi  nilai indeks  bias  Si- face SiC  dengan  menggunakan  bantuan metode  Newton-Raphson.  Hasil  ekstraksi  konstanta dielektrik  kompleks  Si- face SiC  yaitu  ditunjukkan  pada Gambar  4a,  yang  mana  kemudian  dibandingkan  dengan referensi  [3]  untuk  menentukan  parameter  ekstrapolasi s yang digunakan, yaitu s=4 . Tahap selanjutnya yang dilakukan yaitu mengekstrak  indeks  bias  dan  konstanta  dielektrik buffer
layer Si- face SiC  dengan  menyelesaikan  persamaan Fresnel  untuk  sistem  3  layer  pada  model  optik buffer layer . Dengan tahapan yang sama dengan pengekstraksian  Si- face SiC,  dilakukan  pengekstraksian indeks  bias  dan  konstanta  dielektrik buffer  layer Si- face SiC dengan ketebalan buffer layer yang divariasi. Berikut ini merupakan hasil ekstraksi indeks bias buffer layer Si- face SiC ditunjukkan pada Gambar 5.
Gambar  4. Konstanta  dielektrikSi -face SiC  murni  (a)  dengan metode Kramers-KronigdanNewton-Raphson(b) hasil eksperimen Ref. [3]
Gambar  5. Indeks  bias buffer  layer dengan  metode  Kramers- Kronig  danNewton-Raphson  dengan  variasi ketebalan buffer layer.
Tahap  terakhir  yaitu  mengekstraksi  indeks  bias  dan konstanta  dielektrik graphene monolayer  dengan menghitung  beda  fase  data  reflektivitas graphene monolayer  menggunakan  metode  Kramers-Kronig  dan menyelesaikan  persamaan  Fresnel  4  layer  pada  model optik lapisan tipis graphene menggunakan Newton-
(a) (b) (c) (b) (a)
Lisa’ Yihaa  Roodhiyah  /  Perhitungan Konstanta Dielektrik Lapisan  Tipis Graphene  Monolayer Si-Face Hasil Pengukuran Synchrotron dengan Metode Kramers-Kronig dan Newton-Raphson
B A C B C A
Raphson.Hasil  ekstraksi  konstanta  dielektrik graphene monolayer  ditampilkan  pada  Gambar  6.  Walaupun ketebalan buffer layer tidak mempengaruhi hasil ekstraksi indeks  bias graphene monolayer,  ketebalan buffer layer yang  logis  untuk  dipilih,  yaitu  0,67  nm.  Ketebalan ini  ditetapkanberdasar  pada    referensi  [4]bahwa terbentuknya buffer  layer terjadi  bersamaan  dengan terbentuknya graphene ,  sehingga  ketebalan buffer  layer yang  sama  dengan  ketebalan  graphene  yaitu  0,67  nm diasumsikan  ketebalan  paling  logis.  Sedangkan  hasil akhir  ekstraksi graphene monolayer  diberikan  pada Gambar 7. Hasil tersebut kemudian dibandingkan dengan referensi  [5]  pada  Gambar  8  untuk  membantu menjelaskan  puncak-puncak  serapan  pada graphene monolayer yaitu puncak A, B, dan C.
Puncak  B  yaitu  konstanta exctinctiongraphene monolayer  pada  energi  6,1  eV  yang  berhasil  diekstrak dalam  penelitian  ini  merupakan  bukti  adanya resonant exciton pada  energi  tinggi  yang  dimiliki  material graphene monolayer. Resonant  exciton terjadi  karena transisi  dipol  dari  serangkaian  partikel  tunggal (single- particle  continuum) [2].  Hal  ini  dibuktikan  dengan Gambar 8 yang menunjukkan bahwa terdapat transisi dari σband ke quasicontinuum  of  free  electronlike  bands di sekitar 6,3 eV. Puncak A yaitu konstanta exctinctiongraphene monolayer pada energi 4,6 eV  yang berhasil  diekstrak  dalam  penelitian  ini  merupakan  bukti adanya  transisi  antar  pita  ( interband )  dari πband ke π*band yang  dimiliki  material graphene monolayer. Selain  puncak  A  dan  B,  dalam  penelitian  ini  diketahui terdapat  pula  puncak  C  dari  hasil  ekstraksi  konstanta exctinction dan konstanta dielektrik graphene monolayer. Posisi  puncak  C  ini  yaitu  pada  energi  8,4  eV. Berdasarkan  referensi  [2],  puncak  C  ini  diketahui  tidak ada.  Namun,  pada  referensi  lain  yang  berupa  referensi teoritik  [6]menyebutkan  bahwa  berdasarkan  perhitungan ab  initio GW-BSE  (GW-Bethe-Salpeter equation )  dari spektrum absorpsi optik dengan melibatkan efek elektron dengan  elektron,  elektron  dengan hole dan local  field effect (LE)  memprediksi  adanya  efek exitonic pada graphene pada tingkat energi tinggi 8 eV, diatas tingkat energi  transisi  pita π ke  pita π* .  Selain  itu,  berdasarkan Gambar  8,  dapat  ditunjukkan  bahwa  adanya  serapan graphene monolayer  di  sekitar  8,4  eV  dari σband ke quasicontinuum of free electronlike bands di sekitar titik Γ  dan  M.  Sehingga  dimungkinkan  puncak  C  ini  dapat berasal  dari  efek exitonic .  Namun,  analisis  ini  masih belum  cukup  akurat  untuk  membuktikan  asal  puncak  C pada  energi  8,4  eV  ini.  Perlu  adanya  kajian  lebih  lanjut baik  secara  teoritik  maupun  eksperimen  terhadap keakuratan asal puncak C.
Gambar  6. Konstanta  dielektrik graphene monolayer  dengan metode  Kramers-Kronig  danNewton-Raphson dengan variasi ketebalan buffer layer
Gambar 7. Hasil ekstraksi (a) indeks bias (b) konstantadielektrik graphene monolayer  dengan metode Kramers-Kronig dan Newton-Raphson
Gambar  8. Struktur  pita  energi  graphene free-standing hasil perhitungan berbasisLDA+GW( many-body ) (Ref.[5]).
(b) (a)

## IV. KESIMPULAN
Berdasarkan  analisis  data  yang  telah  dilakukan, didapatkan kesimpulan sebagai berikut:
1) Telah  berhasil  dilakukan  perhitungan  sifat  optik dan  listrik  berupa  indeks  bias  dan  konstanta
dielektrik graphene monolayeryang
ditumbuhkan  diatas  substrat  Si- face SiC  dengan metode langsung Kramers-Kronig menggunakan bantuan metode numerik Newton-Raphson.
2) Adanya puncak serapan pada koefisien
extinction (garis merah) di energi 4,6 eV, 6,1 eV dan  8,4  eV  pada  material graphene monolayer yang ditumbuhkan diatas substrat Si- face SiC.
3) Puncak pada energi 6,1 eV berasal dari excitonic resonance yang terjadi karena transisi dipol dari serangkaian  partikel  tunggal  ( single-particle continuum )  dan  puncak  4,6  eV  berasal  dari transisi  antar  pita  ( interband )  dari πband ke
π*band yang  dimiliki  material graphene monolayer.  Sedangkan  puncak  pada  energi  8,4 eV dimungkinkan berasal dari excitonic resonance , perlu adanya kajian lebih lanjut baik secara  teoritik  maupun  eksperimen  terhadap keakuratanasal puncak ini.

## UCAPAN TERIMA KASIH
Penulis menyampaikan ucapan terima kasih banyak kepada  bapak  Iman  Santosa  yang  telah  memberikan bimbingan  kepada  penulis  sehingga  karya  ini  dapat dihasilkan  dan  kepada  grup  riset  Prof.  Andrivo  Rusydi National  University  of  Singapore  (NUS)  yang  datanya digunakan dalam penelitian ini.

## PUSTAKA
[1] Fujiwara,  Hiroyuki.,  2007, Spectroscopic  Ellipsometry Principles  and  Applications ,  John  Wiley    Sons,  Ltd., England.
[2] Santoso, I., Gogoi, P.K., Su, H.B., Huang, H., Lu, Y., Qi, D., Chen, W., Majidi, M.A., Feng, Y.P, Wee, A.T.S., Loh, K.P., Venkatesan, T., Saichu, R.P., Goos, A., Kotlov,  A., Rubhausen,  M.  dan  Rusydi,  A.,  2011,  Observation  of Room-temperature High-energy Resonant Exitonic Effects in Graphene, Phys. Rev. B , 8, 84, 081403.
[3] Logothetidis, S. dan Petalas, J., 1995, Dielectric Function and  Reflectivity  of  3C-Silicon  Carbide  and  The Component  Perpendicular  to  The c Axis  of  6H-Silicon
Carbide  in  The  Energy  Region  1,5-9,5  eV, J.Appl.Phys. ,
3, 80, 1769.
[4] Raza,  H.,  2012, Graphene  Nanoelectronic:  Metrology, Synthesis,  Properties  and  Application ,  Springer,  New York.
[5] Wehling,  T.O.,  Grigorenko,  I.,  Lichtensetein,  A.I.  dan Balatsky,  A.V.,  2008,  Phonon-Mediated  Tunneling  into Graphene, Phys.Rev.Lett. , 08, 101, 216803.
[6] Trevisanutto, P.E., Holzmann, M., Cote, M. dan Olevano, V.,  2010,  Ab  initio  High-energy  Exitonic  Effects  in Graphite and Graphene, Phys. Rev. B , 12, 81, 121405.