Vol. 20, No. 2, January 2024, pp. 332-339 DOI: 10.20956/j.v20i2.31418

## Szeged Index and Padmakar-Ivan Index of Nilpotent Graph of Integer Modulo Ring with Prime Power Order

## Indeks Szeged dan Indeks Padmakar-Ivan pada Graf Nilpoten pada Gelanggang Bilangan Bulat Modulo Berorde Pangkat Prima
Muhammad Naoval Husni 1 , I Gede Adhitya Wisnu Wardhana 2* , Putu Kartika Dewi 3 , I Nengah Suparta 4
1,2 Program Studi Matematika, FMIPA, Universitas Mataram
3,4 Program Studi Matematika, FMIPA, Universitas Pendidikan Ganesha
Email: 1) naovalhusni50@gmail.com, 2*) adhitya.wardhana@unram.ac.id
3) kartika.dewi@undiksha.ac.id, 4) nengah.suparta@undiksha.ac.id

## Abstract
Recently, graphs have started to be used to represent a finite ring. Nikmehr and  Khojasteh in the article  defined the nilpotent graph of a ring 𝑆 . Denoted 𝛤 𝑆 , is a graph with the set of vertices being  all  the  elements  in  the  ring 𝑆. Two  vertices 𝑎 and 𝑏 are  adjacent  if  and  only  if 𝑎𝑏 is nilpotent elements in the ring 𝑆 . Topological index is a field that discusses graph structure based on the degree of each vertex of a graph and the distance between vertices.  In this study, the author  will  gives  the  general  formula  of  the  Szeged  index  and  Padmakar-Ivan  index  of  the nilpotent graph graph of the modulo ring with prime power order. The result of this research is a  general  formula  for  the  topological  indices  of  nilpotent  graphs  of  the  integer  modulo  ring, called the Szeged index and the Padmakar-Ivan index.
Keywords: nilpotent graph, Szedge Index, Padmakar-Ivan index .

## Abstrak
Beberapa  tahun  terakhir,  graf  mulai  digunakan  untuk  merepresentasikan  suatu  gelanggang hingga. Nikmehr and  Khojasteh dalam artikel mendefinisikan graf nipolten dari gelanggang R, disimbolkan 𝛤 𝑅 , adalah graf dengan himpunan simpul adalah semua unsur di gelanggang 𝑅. D ua simpul  berbeda 𝑥, 𝑦 bertetangga  jika  dan  hanya  jika 𝑥𝑦 merupakan  unsur  nilpoten  pada gelangggang 𝑅 . Indeks topologi adalah salah satu bidang yang membahas mengenai struktur graf berdasarkan pada jarak dan derajat dari setiap simpul, dalam penelitian ini penulis akan memberikan rumus umum dari indeks Szeged dan Index Padmakar-Ivan dari graf nilpoten dari gelanggang bilangan bulat modulo dengan orde pangkat prima. Hasil dari penelitian ini adalah rumus umum untuk indeks topologi graf nilpoten dari gelanggang modulo yaitu indeks Szeged dan indeks Padmakar-Ivan.
Kata kunci: graf nilpoten, indeks Szeged, indeks Padmakar-Ivan.
Muhammad Naoval Husni, I Gede Adhitya Wisnu Wardhana, Putu Kartika Dewi, I Nengah Suparta

## 1.  PENDAHULUAN
Graf 𝐺 didefinisikan sebagai pasangan himpunan tak hampa simpul ( 𝑉 ) dan himpunan sisi yang menghubungan simpul ( 𝐸 ), ditulis dengan notasi 𝐺 = (𝑉, 𝐸) [3]. Nikmehr and  Khojasteh pada [9] memperkenalkan definisi terkait dengan graf nilpotent atas gelanggang 𝑅 , dengan unsur- unsur di 𝑅 merupakan simpul graf dan dua buah simpul dikatakan bertetangga jika dan hanya jika perkalian dua  simpul  merupakan  unsur  nilpotent.  Unsur  nilpoten  adalah  suatu  unsur  di  graf 𝐺 jika dipangkatkan suatu bilangan asli 𝑛 , maka didapatkan unsur identitas [4]. Berbeda dengan Nikmehr and  Khojasteh, Basnet dkk pada [2] dan Tahya dan Persulessy pada [12] memperkenalkan definisi lain  dari  graf  nilpoten  dimana  graf  nilpotent  atas  gelanggang 𝑅 ,  dengan  unsur  non-  nilpotent merupakan simpul dari graf dan dua simpul berbeda bertetangga jika dan hanya jika penjumlahan dua simpul merupakan unsur nilpoten. Malik dkk pada [8], berdasarkan pendefinisian  graf nilpoten oleh Nikmehr and  Khojasteh [9] , berhasil menemukan beberapa karakteristik graf nilpoten atas gelanggang  bilangan  bulat modulo  berorde pangkat prima,  salah  satu  karakteristik  yang didapat adalah bentuk graf yaitu terdiri dari subgraf lengkap dan subgraf bintang yang mendasari artikel ini.
Beberapa peneliti telah membahas mengenai indeks topologi pada graf, salah satunya adalah Husni  dkk  [6]  yang  telah  membahas  mengenai  indeks  Harmonik  dan  indeks  Gutman  pada  graf coprima dari grup modulo dengan orde pangkat prima, kemudian Asmarani dkk [1] mengangkat kasus indeks Zagreb, indeks Weiner dan indeks Harmonik pada graf pangkat atas grup dihedral, dan Putra dkk [10] juga membahas mengenai indeks topologi dari graf pangkat pada grup bilangan bulat modulo, serta Ismail yang memberikan formulasi indeks Zagreb dari graf pembagi nol [11]. Penelitian ini khusus difokuskan pada indeks topologi Szeged dan indeks topologi Padmakar-Ivan (PI)  pada  graf  nilpoten  yang  telah  dijelaskan  sebelumnya.  Misalkan 𝑅 suatu  gelanggang,  graf Nilpoten dari 𝑅 dinotasikan dengan Γ 𝑅 , indeks topologi Szged dari Γ 𝑅 didefinisikan sebagai berikut: 𝑆𝑧(Γ 𝑅 )   =   ∑ 𝑛 𝑢 𝑢𝑣∈𝐸(Γ 𝑅 ) (𝑢𝑣|Γ 𝑅 )𝑛 𝑣 (𝑢𝑣|Γ 𝑅 dengan 𝑒 = 𝑢𝑣 merupakan sisi yang terbentuk oleh dua simpul 𝑢, 𝑣 ∈ 𝑉(Γ 𝑅 ) yang berbeda yang memenuhi, 𝑛 𝑢 (𝑢𝑣|Γ 𝑅 ) = |{𝑤 ∈ V(Γ 𝑅 )| 𝑑(𝑤, 𝑢) < 𝑑(𝑤, 𝑣)}| 𝑛 𝑣 (𝑢𝑣|Γ 𝑅 ) = |{𝑤 ∈ 𝑉(Γ 𝑅 )| 𝑑(𝑤, 𝑣) < 𝑑(𝑤, 𝑢)}| dimana 𝑛 𝑢 (𝑢𝑣|Γ 𝑅 ) merupakan banyak simpul dengan jarak ke simpul 𝑢 lebih kecil dari jarak ke simpul 𝑣 ,dan 𝑛 𝑣 (𝑢𝑣|Γ 𝑅 ) merupakan banyak simpul dengan jarak ke simpul 𝑣 lebih kecil dari jarak ke  simpul 𝑢 dengan 𝑢, 𝑣 ∈ 𝑉(Γ 𝑅 ) [5].  Topologi  indeks  selanjutnya  merupakan  modifikasi  dari indeks Szeged yaitu indeks topologi Padmakar-Ivan (PI) yang didefinisikan sebagai berikut [13]:
𝑃𝐼(Γ 𝑅 ) =   ∑ 𝑛 𝑢 𝑢𝑣∈𝐸(Γ 𝑅 ) (𝑢𝑣|Γ 𝑅 ) + 𝑛 𝑣 (𝑢𝑣|Γ 𝑅 )
modifikasi yang dimaksud pada poin diatas adalah pada indeks Szeged digunakan operasi perkalian 𝑛 𝑢 dan 𝑛 𝑣 ,  sedangkan  pada  indeks  Padmakar-Ivan  digunakan  operasi  penjumlahan 𝑛 𝑢 dan 𝑛 𝑣 . Namun, untuk istilah dari 𝑛 𝑢 dan 𝑛 𝑣 pada indeks Szeged dan Indeks Padmakar-Ivan sama .

## 2. METODE
Metode  yang  digunakan  dalam  studi  ini  adalah  dimulai  dengan  kajian  pustaka  yang  kemudian melakukan analisis pada kasus-kasus dengan pola orde grup tertentu, dan kemudian menemukan pola  terhadap  bentuk  graf  nilpoten  yang  terbentuk.  Dari  pola  yang  dibangun,  konjektur  indeks topologi szedge dan indeks topologi Padmakar-Ivan (PI)  ditentukan  pada graf nilpoten tersebut. Terakhir konjektur tersebut secara deduktif akan dibuktikan, sehingga didapatkan sebuah teorema baru.

## 3.  HASIL DAN PEMBAHASAN

## JURNAL MATEMATIKA, STATISTIKA DAN KOMPUTASI
Muhammad Naoval Husni, I Gede Adhitya Wisnu Wardhana, Putu Kartika Dewi, I Nengah Suparta
Berdasarkan latar belakang penelitian diatas, hal ini menarik  dilakukan untuk mengembangkan pengetahuan  mengenai  perumuman  indeks  Szeged  dan  Padmakar-  Ivan  pada  graf  nilpoten  atas gelanggang  bilangan  bulat  modulo  berorde  pangkat  prima.  Adapun  beberapa  terminologi  yang mendasari penelitian ini sebagai berikut.
Definisi 3.1. [4] Unsur 𝑎 pada suatu ring dikatakan unsur nilpoten apabila terdapat bilangan bulat positif 𝑛 sehingga 𝑎 𝑛 = 0 . Pada gelanggang ℤ 𝑛 dengan orde pangkat prima perumuman himpunan unsur-unsur nilpoten disajikan pada Teorema 3.1.
Teorema 3.1. [8] Misalkan ℤ 𝑛 suatu gelanggang bilangan bulat modulo berorde 𝑛 = 𝑝 𝑘 dengan 𝑘 ∈ ℕ , maka himpunan semua unsur nilpoten dari ℤ 𝑛 adalah 𝑁(ℤ 𝑛 ) = {0̅, 𝑝̅, 2𝑝 ̅̅̅̅, 3𝑝 ̅̅̅̅, … , 𝑝 𝑘 − 𝑝 ̅̅̅̅̅̅̅̅̅} . Definisi 3.2. [8] Graf nipolten dari gelanggang ℤ 𝑛 , disimbolkan 𝛤 ℤ 𝑛 , adalah graf dengan himpunan simpul adalah semua unsur digelanggang ℤ 𝑛 . D ua simpul berbeda 𝑥, 𝑦 bertetangga jika dan hanya jika 𝑥𝑦 ∈ 𝑁(ℤ 𝑛 ) dengan 𝑁(ℤ 𝑛 ) merupakan unsur nilpoten pada gelanggang ℤ 𝑛 . Selanjutnya didapatkan bentuk graf nilpotent dari gelanggang ℤ 𝑛 dengan orde pangkat prima berdasarkan pada Definisi 3.2 didapatkan Teorema 3.2 dan Teorema 3.3 sebagai berikut:
Teorema 3.2. [8] Misalkan ℤ 𝑛 suatu gelanggang bilangan bulat modulo berorde 𝑛 = 𝑝 𝑘 dengan 𝑘 ∈ ℕ , maka Γ ℤ 𝑛 memiliki suatu subgraf lengkap 𝐾 𝑝 𝑘−1 .
Teorema 3.3. [8] Misalkan ℤ 𝑛 suatu gelanggang bilangan bulat modulo berorde 𝑛 = 𝑝 𝑘 dengan 𝑘 ∈ ℕ , maka Γ ℤ 𝑛 memiliki 𝑛 − 𝑝 𝑘−1 subgraf bintang 𝐾 1,𝑝 𝑘−1 .
Berdasarkan [8] didapatkan dua buah subgraf yakni subgraf lengkap yang dibentuk dari seluruh unsur nilpotennya dan subgraf bintang dibentuk dari unsur nilpoten dengan non nilpoten. Lemma 3.1. [8] Misalkan ℤ 𝑛 suatu gelanggang bilangan bulat modulo berorde pangkat prima dan 𝑁(ℤ 𝑛 ) himpunan seluruh unsur nilpoten pada ℤ 𝑛 . Jarak dua buah simpul pada 𝛤 ℤ 𝑛 adalah :
𝑑(𝑣 𝑖 , 𝑣 𝑗 ) = { 1     𝑣 𝑖 , 𝑣 𝑗 ∈ 𝑁(ℤ 𝑛 ) dengan 𝑖 ≠ 𝑗 1      𝑣 𝑖 ∈ 𝑁(ℤ 𝑛 ) dan 𝑣 𝑗 ∉ 𝑁(ℤ 𝑛 ) 2            𝑣 𝑖 , 𝑣 𝑗 ∉ 𝑁(ℤ 𝑛 ) dan 𝑖 ≠ 𝑗
Banyak  sisi  graf  lengkap 𝐾 𝑛 yaitu 𝑛(𝑛−1) 2 ,  kemudian  pada  Teorema  3.3  sudah  didapatkan banyak subgraf bintang 𝐾 1,𝑝 𝑘−1 yang terdapat pada 𝛤 ℤ 𝑛 sehingga,
Lemma 3.2. [8] Banyak sisi subgraf lengkap 𝐾 𝑝 𝑘−1 dan subgraf bintang 𝐾 1,𝑝 𝑘−1 secara berturut turut  pada  bentuk  graf  nilpotent  atas  gelanggang ℤ 𝑛 yaitu 𝑝 𝑘−1 (𝑝 𝑘−1 −1) 2 dan (𝑛 − 𝑝 𝑘−1 )(𝑝 𝑘−1 ) . Lebih lanjut, simpul dari graf nilpoten atas ℤ 𝑛 mewakili unsur-unsur pada ℤ 𝑛 . Diperhatikan pula, ℤ 𝑛 merupakan gabungan dari 𝑁(ℤ 𝑛 ) dan komplemennya.
𝑉(Γ ℤ 𝑛 ) = ℤ 𝑛 = {𝑈 ∪ 𝑉} 𝑈 = {𝑢 ∈ 𝑁(𝑍 𝑛 )} dan 𝑉 = {𝑣 ∉ 𝑁(𝑍 𝑛 )}
dengan |𝑈| = 𝑝 𝑘−1 dan |𝑉| = 𝑝 𝑘 − (𝑝 𝑘−1 ) = 𝑝 𝑘 − 𝑝 𝑘−1 .
Setelah  peneliti  mengetahui  karakteristik  dari  graf  seperti  jarak  dan  banyak  sisi,  peneliti selanjutnya  merumuskan  beberapa  teorema  mengenai  indeks  Szeged  pada  graf  nilpoten  atas gelanggang ℤ 𝑛 dengan orde pangkat prima sebagai berikut.
Teorema 3.4. Diberikan Γ ℤ 𝑛 graf nilpoten atas gelanggang ℤ 𝑛 . Jika 𝑛 = 𝑝 𝑘 untuk suatu bilangan asli 𝑘 maka Sz(Γ ℤ 𝑛 ) = 1 2 𝑝 𝑘−2 (𝑝 𝑘 − 𝑝 + 2(𝑝 − 1) 2 𝑝 2𝑘−1 ).
Bukti. Indeks Szeged pada Γ ℤ 𝑛 didefinisikan sebagai berikut :
𝑆𝑧(Γ ℤ 𝑛 ) = ∑ 𝑛 𝑥 𝑥𝑦∈𝐸(Γ ℤ𝑛 ) (𝑥𝑦|Γ ℤ 𝑛 )𝑛 𝑦 (𝑥𝑦|Γ ℤ 𝑛 )

## JURNAL MATEMATIKA, STATISTIKA DAN KOMPUTASI
Muhammad Naoval Husni, I Gede Adhitya Wisnu Wardhana, Putu Kartika Dewi, I Nengah Suparta
dengan 𝑒 = 𝑥𝑦 merupakan sisi yang terbentuk oleh dua simpul 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑉(Γ ℤ 𝑛 ) yang berbeda.
𝑛 𝑥 (𝑥𝑦|Γ ℤ 𝑛 ) = |{𝑧 ∈ V(Γ ℤ 𝑛 )| 𝑑(𝑧, 𝑥) < 𝑑(𝑧, 𝑦)}| 𝑛 𝑦 (𝑥𝑦|Γ ℤ 𝑛 ) = |{𝑧 ∈ 𝑉(Γ ℤ 𝑛 )| 𝑑(𝑧, 𝑦) < 𝑑(𝑧, 𝑥)}| Kasus 1. Jika 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑁(ℤ 𝑛 ) . Untuk 𝑧 ∈ 𝑁(ℤ 𝑛 ), 𝑧 ≠ 𝑥 dan 𝑧 ≠ 𝑦 , berlaku 𝑑(𝑧, 𝑥) = 𝑑(𝑧, 𝑦) = 1 . Untuk 𝑧 = 𝑥 atau 𝑧 = 𝑦 , diketahui 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑁(ℤ 𝑛 ) , 𝑧 = 𝑥 maka 𝑑(𝑧, 𝑥) = 𝑑(𝑥, 𝑥) = 0 < 𝑑(𝑧, 𝑦) = 1 . 𝑧 = 𝑦 maka 𝑑(𝑧, 𝑥) = 1 > 𝑑(𝑧, 𝑦) = 𝑑(𝑦, 𝑦) = 0 . Untuk 𝑧 ∉ 𝑁(ℤ 𝑛 ), 𝑧 ≠ 𝑥 dan 𝑧 ≠ 𝑥 , berlaku 𝑑(𝑧, 𝑥) = 𝑑(𝑧, 𝑦) = 1 Sehingga diperoleh,
𝑛 𝑥 (𝑥𝑦|Γ ℤ 𝑛 ) = |{𝑧 ∈ V(Γ ℤ 𝑛 )| 𝑑(𝑧, 𝑥) < 𝑑(𝑧, 𝑦)}| 𝑛 𝑥 (𝑥𝑦|Γ ℤ 𝑛 ) = |{𝑧 ∈ 𝑁(ℤ 𝑛 ), 𝑧 ≠ 𝑥 dan 𝑧 ≠ 𝑦| 𝑑(𝑧, 𝑥) < 𝑑(𝑧, 𝑦)} ∪ {𝑧 = 𝑥 atau 𝑧 = 𝑦| 𝑑(𝑧, 𝑥) < 𝑑(𝑧, 𝑦)} ∪ {𝑧 ∉ 𝑁(ℤ 𝑛 ), 𝑧 ≠ 𝑥 dan 𝑧 ≠ 𝑦}|𝑑(𝑧, 𝑥) < 𝑑(𝑧, 𝑦)}| 𝑛 𝑥 (𝑥𝑦|Γ ℤ 𝑛 ) = |∅ ∪ {𝑥} ∪ ∅| 𝑛 𝑥 (𝑥𝑦|Γ ℤ 𝑛 ) = |{𝑥}| 𝑛 𝑥 (𝑥𝑦|Γ ℤ 𝑛 ) = 1 𝑛 𝑦 (𝑥𝑦|Γ ℤ 𝑛 ) = |{𝑧 ∈ V(Γ ℤ 𝑛 )| 𝑑(𝑧, 𝑦) < 𝑑(𝑧, 𝑥)}| 𝑛 𝑦 (𝑥𝑦|Γ ℤ 𝑛 ) = |{𝑧 ∈ 𝑁(ℤ 𝑛 ), 𝑧 ≠ 𝑥 dan 𝑧 ≠ 𝑦| 𝑑(𝑧, 𝑦) < 𝑑(𝑧, 𝑥)} ∪ {𝑧 = 𝑥 atau 𝑧 = 𝑦| 𝑑(𝑧, 𝑦) < 𝑑(𝑧, 𝑥)} ∪ {𝑧 ∉ 𝑁( ℤ 𝑛 ), 𝑧 ≠ 𝑥 dan 𝑧 ≠ 𝑦}|𝑑(𝑧, 𝑦) < 𝑑(𝑧, 𝑥)}| 𝑛 𝑦 (𝑥𝑦|Γ ℤ 𝑛 ) = |∅ ∪ {𝑦} ∪ ∅| 𝑛 𝑦 (𝑥𝑦|Γ ℤ 𝑛 ) = |{𝑦}| 𝑛 𝑦 (𝑥𝑦|Γ ℤ 𝑛 ) = 1
Kasus 2. Jika 𝑥 ∈ 𝑁( ℤ 𝑛 ) dan 𝑦 ∉ 𝑁( ℤ 𝑛 ) Untuk 𝑧 ∈ 𝑁( ℤ 𝑛 ), 𝑧 ≠ 𝑥 dan 𝑧 ≠ 𝑦 , berlaku 𝑑(𝑧, 𝑥) = 𝑑(𝑧, 𝑦) = 1 Untuk 𝑧 ∈ 𝑁( ℤ 𝑛 ), 𝑧 = 𝑥 dan 𝑧 ≠ 𝑦 , berlaku 𝑑(𝑧, 𝑥) = 𝑑(𝑥, 𝑥) = 0 < 𝑑(𝑧, 𝑦) = 1 Untuk 𝑧 ∉ 𝑁( ℤ 𝑛 ), 𝑧 ≠ 𝑥 dan 𝑧 ≠ 𝑦 , berlaku 𝑑(𝑧, 𝑥) = 1 < 𝑑(𝑧, 𝑦) = 2 Untuk 𝑧 ∉ 𝑁( ℤ 𝑛 ), 𝑧 = 𝑦 dan 𝑧 ≠ 𝑥 , berlaku 𝑑(𝑧, 𝑥) = 1 > 𝑑(𝑧, 𝑦) = 𝑑(𝑦, 𝑦) = 0 𝑛 𝑥 (𝑥𝑦| ℤ 𝑛 ) = |{𝑧 ∈ (Γ ℤ 𝑛 ), | 𝑑(𝑧, 𝑥) < 𝑑(𝑧, 𝑦)}| 𝑛 𝑥 (𝑥𝑦|Γ ℤ 𝑛 ) = |{𝑧 ∈ 𝑁( ℤ 𝑛 ), 𝑧 ≠ 𝑥 dan 𝑧 ≠ 𝑣|𝑑(𝑧, 𝑥) < 𝑑(𝑧, 𝑦)} ∪ {𝑧 ∈ 𝑁( ℤ 𝑛 ), 𝑧 = 𝑥 dan 𝑧 ≠ 𝑦|𝑑(𝑧, 𝑥) < 𝑑(𝑧, 𝑦)} ∪ {𝑧 ∉ 𝑁( ℤ 𝑛 ), 𝑧 ≠ 𝑥 dan 𝑧 ≠ 𝑣|𝑑(𝑧, 𝑥) < 𝑑(𝑧, 𝑦)} ∪ {𝑧 ∉ 𝑁( ℤ 𝑛 ), 𝑧 = 𝑦 dan 𝑧 ≠ 𝑥|𝑑(𝑧, 𝑥) < 𝑑(𝑧, 𝑦)}|
𝑛 𝑥 (𝑥𝑦|Γ ℤ 𝑛 ) = |∅ ∪ {𝑥} ∪ ℤ 𝑛 − (𝑁( ℤ 𝑛 )⋃{𝑦}) ∪ ∅} 𝑛 𝑥 (𝑥𝑦|Γ ℤ 𝑛 ) = |{𝑥, ℤ 𝑛 − (𝑁( ℤ 𝑛 )⋃{𝑦})}| 𝑛 𝑥 (𝑥𝑦|Γ ℤ 𝑛 ) = 𝑝 𝑘 − 𝑝 𝑘−1 𝑛 𝑦 (𝑥𝑦|Γ ℤ 𝑛 ) = |{𝑧 ∈ 𝑉(Γ ℤ 𝑛 )| 𝑑(𝑧, 𝑦) < 𝑑(𝑧, 𝑥)}| 𝑛 𝑦 (𝑥𝑦|Γ ℤ 𝑛 ) = |{𝑧 ∈ 𝑁(ℤ 𝑛 ), 𝑧 ≠ 𝑥 dan 𝑧 ≠ 𝑦| 𝑑(𝑧, 𝑦) < 𝑑(𝑧, 𝑥)} ∪ {𝑧 ∈ 𝑁(ℤ 𝑛 ), 𝑧 = 𝑥 dan 𝑧 ≠ 𝑦|𝑑(𝑧, 𝑦) < 𝑑(𝑧, 𝑥)} ∪ {𝑧 ∉ 𝑁(ℤ 𝑛 ), 𝑧 ≠ 𝑥|𝑑(𝑧, 𝑥) > 𝑑(𝑧, 𝑦} ∪ {𝑧 ∉ 𝑁( ℤ 𝑛 ), 𝑧 = 𝑦 dan 𝑧 ≠ 𝑥|𝑑(𝑧, 𝑦) < 𝑑(𝑧, 𝑥)}|
𝑛 𝑦 (𝑥𝑦|Γ ℤ 𝑛 ) = |{∅ ∪ ∅ ∪ ∅ ∪ {𝑦}}| 𝑛 𝑦 (𝑥𝑦|Γ ℤ 𝑛 ) = 1
Sebelum menghitung indeks Szeged, diperhatikan bahwa  graf nilpoten disusun oleh subgraf bintang dan subgraf lengkap serta telah disebutkan pada  Teorema 3.3 dan Lemma 3.2 mengenai banyak sisi dari Γ ℤ 𝑛 adalah banyak sisi dari subgraf bintang 𝐾 1,𝑝 𝑘−1 sebanyak (𝑝 𝑘 − 𝑝 𝑘−1 )(𝑝 𝑘−1 )

## JURNAL MATEMATIKA, STATISTIKA DAN KOMPUTASI
Muhammad Naoval Husni, I Gede Adhitya Wisnu Wardhana, Putu Kartika Dewi, I Nengah Suparta
dan subgraf lengkap memilii banyak sisi 𝑝 𝑘−1 (𝑝 𝑘−1 −1) 2 . Sehingga diperoleh bahwa indeks Szeged pada Γ ℤ 𝑛 sebagai berikut :
𝑆𝑧(Γ ℤ 𝑛 ) = ∑ 𝑛 𝑥 𝑥𝑦∈𝐸(Γ ℤ𝑛 ) (𝑥𝑦|Γ ℤ 𝑛 )𝑛 𝑦 (𝑥𝑦|Γ ℤ 𝑛 ) 𝑆𝑧(Γ ℤ 𝑛 ) = ∑ 𝑛 𝑥 (𝑥𝑦|Γ ℤ 𝑛 ). 𝑛 𝑦 (𝑥𝑦|Γ ℤ 𝑛 )
𝑥𝑦∈𝐸(𝐾 𝑝𝑘−1 ) + ∑ 𝑛 𝑥 (𝑥𝑦|Γ ℤ 𝑛 ). 𝑛 𝑦 (𝑥𝑦|Γ ℤ 𝑛 ) 𝑥𝑦∈𝐸(𝐾1,𝑝 𝑘−1 ) 𝑆𝑧(Γ ℤ 𝑛 ) = 𝑝 𝑘−1 (𝑝 𝑘−1 − 1)
2 (1)(1) + (𝑝 𝑘 − 𝑝 𝑘−1 )(𝑝 𝑘−1 )(𝑝 𝑘 − 𝑝 𝑘−1 )(1) 𝑆𝑧𝑒(Γ ℤ 𝑛 ) = 𝑝 𝑘−1 (𝑝 𝑘−1 − 1) 2 + (𝑝 𝑘 − 𝑝 𝑘−1 ) 2 (𝑝 𝑘−1 )(1) 𝑆𝑧(Γ ℤ 𝑛 ) = 𝑝 𝑘−1 (𝑝 𝑘−1 − 1) 2 + (𝑝 2𝑘 − 𝑝 2𝑘−1 − 𝑝 2𝑘−1 + 𝑝 2𝑘−2 )(𝑝 𝑘−1 ) 𝑆𝑧(Γ ℤ 𝑛 ) = 𝑝 𝑘−1 [(𝑝 𝑘−1 − 1) + 2(𝑝 2𝑘 − 2𝑝 2𝑘−1 + 𝑝 2𝑘−2 )] 2 𝑆𝑧(Γ ℤ 𝑛 ) = 𝑝 𝑘−1 [(𝑝 𝑘−1 − 1) + 2(𝑝 2 − 2𝑝 + 1)𝑝 2𝑘−2 ] 2 𝑆𝑧(Γ ℤ 𝑛 ) = 1 2 𝑝 𝑘−2 (𝑝 𝑘 − 𝑝 + 2(𝑝 − 1) 2 𝑝 2𝑘−1 )
Teorema 3.5. Diberikan Γ Z n graf nilpoten dari ring 𝑍 𝑛 . Jika 𝑛 = 𝑝 𝑘 untuk suatu 𝑘 bilangan asli maka PI(Γ ℤ 𝑛 ) = 𝑝 𝑘−3 (−𝑝 2 + 𝑝 2𝑘 + 𝑝 𝑘+2 − 2𝑝 2𝑘+1 + 𝑝 2𝑘+2 ).
Bukti.
Indeks Szeged didefinisikan sebagai berikut :
𝑃𝐼(Γ ℤ 𝑛 )   =   ∑ 𝑛 𝑢 𝑢𝑣∈𝐸(Γ ℤ𝑛 ) (𝑢𝑣|Γ ℤ 𝑛 )+𝑛 𝑣 (𝑢𝑣|Γ ℤ 𝑛 )
dengan 𝑒 = 𝑢𝑣 merupakan sisi yang terbentuk oleh dua simpul 𝑢, 𝑣 ∈ 𝑉(Γ ℤ 𝑛 ) yang berbeda. 𝑛 𝑢 (𝑢𝑣|Γ ℤ 𝑛 ) = |{𝑤 ∈ 𝑉(Γ ℤ 𝑛 )| 𝑑(𝑤, 𝑢) < 𝑑(𝑤, 𝑣)}| 𝑛 𝑣 (𝑢𝑣|Γ ℤ 𝑛 ) = |{𝑤 ∈ 𝑉(Γ ℤ 𝑛 )| 𝑑(𝑤, 𝑣) < 𝑑(𝑤, 𝑢)}|
Berdasarkan pemaparan pada bukti teorema 4, untuk 𝑒 = 𝑢𝑣 dengan 𝑢, 𝑣 ∈ 𝑁(ℤ 𝑛 ) , didapatkan nilai 𝑛 𝑢 (𝑢𝑣|Γ ℤ 𝑛 ) = 1 dan 𝑛 𝑣 (𝑢𝑣|Γ ℤ 𝑛 ) = 1 .  Untuk 𝑒 = 𝑢𝑣 dengan 𝑢 ∈ 𝑁(ℤ 𝑛 ) dan 𝑣 ∉ 𝑁(ℤ 𝑛 ) , diperoleh  nilai 𝑛 𝑢 (𝑢𝑣|Γ ℤ 𝑛 ) = 𝑝 𝑘 − 𝑝 𝑘−1 dan 𝑛 𝑣 (𝑢𝑣|Γ ℤ 𝑛 ) = 1 .  Sama  halnya  juga  dengan  kasus indeks  Szeged  pada  indeks  Padmakar-Ivan  (PI)  juga  mempartisi  bentuk  graf  nilpoten  atas gelanggang  bilangan  bulat  modulo  kedalam  subgraf  lengkap  dan  subgraf  bintang.  Sehingga didapatkann index Padmakar-Ivan (PI) sebagai berikut ;
𝑃𝐼(Γ ℤ 𝑛 ) = ∑ 𝑛 𝑢 𝑢𝑣∈𝐸(Γ ℤ𝑛 ) (𝑢𝑣|Γ ℤ 𝑛 )+𝑛 𝑣 (𝑢𝑣|Γ ℤ 𝑛 ) 𝑃𝐼(Γ ℤ 𝑛 ) = ∑ [𝑛 𝑢 (𝑢𝑣|Γ ℤ 𝑛 )+𝑛 𝑣 (𝑢𝑣|Γ ℤ 𝑛 )] 𝑢𝑣∈𝐸(𝐾 𝑝𝑘−1 ) + ∑ [𝑛 𝑢 (𝑢𝑣|Γ ℤ 𝑛 )+𝑛 𝑣 (𝑢𝑣|Γ ℤ 𝑛 )] 𝑢𝑣∈𝐸(𝐾1,𝑝 𝑘−1 ) 𝑃𝐼(𝛤 ℤ 𝑛 ) = 𝑝 𝑘−1 (𝑝 𝑘−1 − 1) 2 (1 + 1)[+(𝑝 𝑘 − 𝑝 𝑘−1 )(𝑝 𝑘−1 )(𝑝 𝑘 − 𝑝 𝑘−1 + 1) 𝑃𝐼(𝛤 ℤ 𝑛 ) = 𝑝 𝑘−1 (𝑝 𝑘−1 − 1) + (𝑝 2𝑘−1 − 𝑝 2𝑘−2 )(𝑝 𝑘 − 𝑝 𝑘−1 + 1) 𝑃𝐼(𝛤 ℤ 𝑛 ) = 𝑝 𝑘−1 (𝑝 𝑘−1 − 1) + (𝑝 2𝑘−2 )(𝑝 − 1)(𝑝 𝑘 − 𝑝 𝑘−1 + 1) 𝑃𝐼(𝛤 ℤ 𝑛 ) = 𝑝 𝑘−3 (−𝑝 2 + 𝑝 2𝑘 + 𝑝 𝑘+2 − 2𝑝 2𝑘+1 + 𝑝 2𝑘+2 ) .
Contoh 3.1. Pada gelanggang ℤ 4 himpunan nilpotennya adalah {0,2} . Himpunan simpulnya adalah 𝑉(Γ ℤ 4 ) = {0,1,2,3} , dan karena perkalian unsur 0 dengna yang lain nol, maka 0

## JURNAL MATEMATIKA, STATISTIKA DAN KOMPUTASI
Muhammad Naoval Husni, I Gede Adhitya Wisnu Wardhana, Putu Kartika Dewi, I Nengah Suparta
bertetangga dengan semua simpul lainnya, demikian juga didapatkan 1.2 = 2.3 = 2 sehingga didapatkan himpunan sisinya adalah 𝐸(Γ ℤ 4 ) = {01,02,03,12,23} . Dan didapatkan bentuk graf sebagai berikut :
Gambar 1. Graf nilpoten ℤ 4 Kasus 1. Jika 𝑢, 𝑣 ∈ 𝑁(ℤ 4 ) 𝑛 𝑢 (𝑢𝑣|Γ ℤ 𝑛 ) = |{𝑤 ∈ 𝑉(Γ ℤ 𝑛 )| 𝑑(𝑤, 𝑢) < 𝑑(𝑤, 𝑣)}| 𝑛 𝑣 (𝑢𝑣|Γ ℤ 𝑛 ) = |{𝑤 ∈ 𝑉(Γ ℤ 𝑛 )| 𝑑(𝑤, 𝑣) < 𝑑(𝑤, 𝑢)}| Berdasarkan Lemma 3.1, 𝑑(𝑤, 𝑢) = 1 dan 𝑑(𝑤, 𝑣) = 1 . Mudah dilihat bahwa banyak simpul yang lebih  dekat  dengan simpul 𝑢 daripada  ke  simpul 𝑣 adalah  satu  yaitu 𝑢 sendiri,  sehinggan 𝑛 𝑢 = |{𝑢}| = 1 .  Sedangkan  banyak  simpul  yang  lebih  dekat  dengan  simpul 𝑣 daripada  ke  simpul 𝑢 adalah 1 yaitu 𝑣 itu sendiri, sehingga 𝑛 𝑣 = |{𝑣}| = 1 . 𝑒 1 = {𝑢, 𝑣} = {0,2} 𝑛 𝑢 (𝑒 1 |ℤ 4 ) = |{0}| = 1 𝑛 𝑣 (𝑒 1 |ℤ 4 ) = |{2}| = 1 Kasus 2. Jika 𝑢 ∈ 𝑁(ℤ 4 ) , 𝑣 ∉ 𝑁(ℤ 4 ) Berdasarkan Lemma 3.1, 𝑑(𝑣, 𝑥) = 1 dan untuk 𝑤 ∈ 𝑁(ℤ 4 ) maka 𝑑(𝑤, 𝑣) = 1 , untuk 𝑤 ∉ 𝑁(ℤ 4 ) maka 𝑑(𝑤, 𝑣) = 2 . Mudah dilihat bahwa simpul yang lebih dekat dengan simpul 𝑢 daripada ke simpul 𝑣 adalah simpul yang merepresentasikan unsur non nilpoten kecuali 𝑣 , serta 𝑢 , misalkan 𝑈 = {𝑢 ∉ 𝑁(ℤ 𝑛 )} sehingan 𝑛 𝑢 = |{𝑢}⋃𝑈\{𝑣}}| = 𝑝 𝑘 − 𝑝 𝑘−1 . 𝑒 2 = {𝑢, 𝑣} = {0,3} 𝑛 𝑢 (𝑒 1 |Γ ℤ 4 ) = |{0,1}| = 2 𝑛 𝑣 (𝑒 1 |Γ ℤ 4 ) = |{0}| = 1
𝑒 4 = {𝑢, 𝑣} = {0,1} 𝑛 𝑢 (𝑒 1 |Γ ℤ 4 ) = |{0,3}| = 2 𝑛 𝑣 (𝑒 1 |Γ ℤ 4 ) = |{0}| = 1 𝑒 3 = {𝑢, 𝑣} = {2,3} 𝑛 𝑢 (𝑒 1 |Γ ℤ 4 ) = |{2,1}| = 2 𝑛 𝑣 (𝑒 1 |Γ ℤ 4 ) = |{2}| = 1 𝑒 5 = {𝑢, 𝑣} = {2,1} 𝑛 𝑢 (𝑒 1 |Γ ℤ 4 ) = |{2,3}| = 2 𝑛 𝑣 (𝑒 1 |Γ 4 ) = |{2}| = 1
Sehingga didapatkan nilai untuk 𝑛 𝑢 dan 𝑛 𝑣 sebagai berikut : 𝑒 𝑒 1 𝑒 2 𝑒 3 𝑒 4 𝑒 5 𝑛 𝑢 1 2 2 2 2 𝑛 𝑣 1 1 1 1 1
Sz(Γ ℤ 4 ) = ∑ 𝑛 𝑢 (𝑢𝑣|Γ ℤ 4 ) 𝑢𝑣∈𝐸(Γ ℤ4 ) 𝑛 𝑣 (𝑢𝑣|ℤ 4 ) 𝑆𝑧(Γ ℤ 4 ) = ∑ 𝑛 𝑢 (𝑢𝑣|Γ ℤ 4 ). 𝑛 𝑣 (𝑢𝑣|Γ ℤ 4 ) 𝑢𝑣∈𝐸(𝐾 𝑝𝑘−1 ) + ∑ 𝑛 𝑢 (𝑢𝑣|Γ ℤ 4 ). 𝑛 𝑣 (𝑢𝑣|Γ ℤ 4 ) 𝑢𝑣∈𝐸(𝐾1,𝑝 𝑘−1 )
Sz(Γ ℤ 4 ) = (1)(1) + (2)(1) + (2)(1) + (2)(1) + (2)(1)
Sz(Γ ℤ 4 ) = (1)(1) + (4)(2)(1) Sz(Γ ℤ 4 ) = 9

## JURNAL MATEMATIKA, STATISTIKA DAN KOMPUTASI
Muhammad Naoval Husni, I Gede Adhitya Wisnu Wardhana, Putu Kartika Dewi, I Nengah Suparta
PI(Γ ℤ 4 ) = ∑ 𝑛 𝑢 (𝑢𝑣|Γ ℤ 4 )
𝑢𝑣∈𝐸(Γ ℤ4 ) 𝑛 𝑣 (𝑢𝑣|Γ ℤ 4 ) 𝑃𝐼(Γ ℤ 4 ) = ∑ [𝑛 𝑢 (𝑢𝑣|Γ ℤ 4 )+𝑛 𝑣 (𝑢𝑣|Γ ℤ 4 )] 𝑢𝑣∈𝐸(𝐾 𝑝𝑘−1 ) +
∑ [𝑛 𝑢 (𝑢𝑣|Γ ℤ 4 )+𝑛 𝑣 (𝑢𝑣|Γ ℤ 4 )] 𝑢𝑣∈𝐸(𝐾1,𝑝 𝑘−1 ) PI(Γ ℤ 4 ) = (1 + 1) + (2 + 1) + (2 + 1) + (2 + 1) + (2 + 1)
PI(Γ ℤ 4 ) = 13
Teorema  3.4  dan  Teorema  3.5  pada  studi  ini,  secara  khusus  melengkapi  hasil  karakterisasi oleh  Malik  dan  koleganya  (Malik  et  al.,  2023).  Sekaligus  juga  memperkaya  formulasi  indeks topologi lain yang telah diberikan oleh beberapa penulis pada representasi graf yang berbeda dan dari struktur aljabar yang berbeda, diantaranya indeks Zagreb, indeks Harmonic, indeks Gutman, hingga indeks Weiner (Asmarani et al., 2023; Husni et al., 2022; Putra et al., 2023; Semil @ Ismail et al., 2023).  Formulasi indeks Szeged dan indeks Padmakar-Ivan dalam penelitian ini diharapkan dapat memberikan pandangan baru mengenai ukuran numerik dari hubungan antar elemen-elemen dalam gelanggang, terutama dalam konteks hubungannya dengan unsur-unsur nilpoten.

## 4.  KESIMPULAN
Pada artikel ini, didapatkan dua bentuk umum rumus untuk menghitung indeks topologi dari graf  nilpoten  atas  gelanggang  modulo  berorde  pangkat  prima.  Pertama  adalah  indeks  Szedge didapatkan  rumus  umumnya 1 2 𝑝 𝑘−2 (−𝑝 + 𝑝 𝑘 + 2(−1 + 𝑝) 2 𝑝 2𝑘−1 ) dan  indeks  Padmakar-Ivan didapatkan rumus umumnya 𝑝 𝑘−3 (−𝑝 2 + 𝑝 2𝑘 + 𝑝 𝑘+2 − 2𝑝 2𝑘+1 + 𝑝 2𝑘+2 ) .

## DAFTAR PUSTAKA
[1] Asmarani, E. Y., Lestari, S. T., Purnamasari, D., Syarifudin, A. G., Salwa, S., & Wardhana, I. G. A. W., 2023. The First Zagreb Index, The Wiener Index, and The Gutman Index of The Power of Dihedral Group. CAUCHY: Jurnal Matematika Murni Dan Aplikasi , 7 (4), 513– 520.
[2] Basnet, D. K., Sharma, A., & Dutta, R., 2021. Nilpotent graph. Theory and Applications of Graphs , 8 (1), 1–8.
[3] Chartrand, G., Lesniak, L., & Zhang, P., 2010. Graphs & digraphs (Taylor & Francis group, Ed.; 5th ed.). CRC Press.
[4] Gallian, J., 2009. Contemporary Abstract Algebra (M. Julet, Ed.; 7th ed.). Richad Stratton.
[5] Gutman, I., & Dobrynin, A. A., 1998. The Szeged index -- A success story. Graph Theory Notes of New York , 34 (December), 37—44.
[6] Husni, M. N., Syafitri, H., Siboro, A. M., Syarifudin, A. G., Aini, Q., & Wardhana, I. G. A. W., 2022. The Harmonic Index And The Gutman Index Of Coprime Graph Of Integer Group Modulo With Order Of Prime Power. BAREKENG: Jurnal Ilmu Matematika Dan Terapan , 16 (3), 961–966.
[7] Khadikar,  P.  V.,  Karmarkar,  S.,  &  Agrawal,  V.  K.,  2001.  A  Novel  PI  Index  and  its Applications  to  QSPR/QSAR  Studies. Journal  of  Chemical  Information  and  Computer Sciences , 41 (4), 934–949.

## JURNAL MATEMATIKA, STATISTIKA DAN KOMPUTASI
Muhammad Naoval Husni, I Gede Adhitya Wisnu Wardhana, Putu Kartika Dewi, I Nengah Suparta
[8] Malik, D. P., Wardhana, I. G. A. W., Dewi, P. K., Widiastuti, R. S., Maulana, F., Syarifudin, A.  G.,  &  Awanis,  Z.  Y.,  2023.  Graf  Nilpoten  dari  Gelanggang  Bilangan  Bulat  Modulo Berorde  Pangkat  Prima  (A  Note  on  Nilpotent  Graph  of  Ring  Integer  Modulo  with  Order Prime Power). JMPM: Jurnal Matematika Dan Pendidikan Matematika , 8 (1), 28–33.
[9] Nikmehr, M. J., & Khojasteh, S., 2013. On the nilpotent graph of a ring. Turkish Journal of Mathematics , 37 (4), 553–559.
[10] Putra, L. R. W., Awanis, Z. Y., Salwa, S., Aini, Q., & Wardhana, I. G. A. W., 2023. The Power  Graph  Representation  For  Integer  Modulo  Group  With  Power  Prime  Order. BAREKENG: Jurnal Ilmu Matematika Dan Terapan , 17 (3), 1393–1400.
[11] Semil @ Ismail, G., Sarmin, N. H., Alimon, N. I., & Maulana, F., 2023. The First Zagreb Index  of  the  Zero  Divisor  Graph  for  the  Ring  of  Integers  Modulo  Power  of  Primes. Malaysian Journal of Fundamental and Applied Sciences , 19 (5), 892–900.
[12] Tahya,  F.,  &  Persulessy,  E.  R.,  2020.  Nilpotent  Graph  in  Ring  Zn. Journal  of  Physics: Conference Series , 1463 (1).
[13] Yatin, B. Z., Gayatri, M. R., Wardhana, I. G. A. W., & Prayanti, B. D. A., 2023. Indeks Hyper-Wiener Dan Indeks Padmakar-Ivan Dari Graf Koprima Dari Grup Dihedral. Jurnal Riset dan Aplikasi Matematika (JRAM) , 7(2), 138-147.