This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License CC-BY

## Perbandingan Luas Segitiga Pada Teorema Cross Bertingkat
Yunisa Fadhilah Hartati* Pendidikan Matematika, STKIP Insan Madani Airmolek, Indragiri Hulu, 29352 yunisafadhillah@gmail.com
* Corresponding author
Abstrak — Awal  mula Teorema  cross berlaku  pada segitiga.  Penelitian  terus  berkembang  hingga  dapat diterapkan  pada  persegi  panjang  dan  segiempat.  Pada matematika  sekolah,  teori  geometri  cenderung  mengarah pada bangun datar ruang sederhana. Padahal bangun datar atau  bangun  ruang  tersebut  jika  dimodifikasi  maka  akan menghasilkan bentuk baru yang lebih kreatif namun masih dengan  pembuktian  menggunakan  berbagai  pendekatan yang  sederhana.  Sehingga  satu  materi  tersebut  dapat memuat dan menghubungkan beberapa submateri melalui pembuktiannya  serta  materi  tidak  monoton  dari  masa  ke masa  tanpa  pengembangan.  Pada  tulisan  ini  dibahas mengenai  perbandingan  luas  segitiga teorema  cross bertingkat dengan  mengonstruksi persegi bertingkat pada masing-masing sisi bagian luar segitiga asal. Pembuktian dilakukan dengan menggunakan pendekatan luas segitiga dan pendekatan trigonometri. Studi kepustakaan merupakan  metode  yang  digunakan  dalam  penelitian  ini dan memanfaatkan aplikasi geogebra dalam memodifikasi.  Hasil yang diperoleh adalah perbandingan segitiga  pada teorema  Cross tingkat  pertama  yaitu  1:1, untuk tingkat kedua 1:4, untuk tingkat ketiga 1:9, tingkat keempat  1:16  dan  untuk  tingkatan  kelima  adalah  1:25. Sehingga  disimpulkan  bahwa  perbandingan  luas  antara segitiga asal  ABC dengan segitiga  hasil tingkatan adalah bilangan kuadrat yaitu 1:4, 1:9, 1:16, 1:25, ..., 1: 𝑛 2 . Pola perbandingannya adalah bilangan ganjil atau dapat ditulis dengan  bentuk  umum 2𝑛 − 1 untuk  setiap  tingkatannya adalah bilangan kuadrat dan berpola bilangan ganjil.
Kata  Kunci — Teorema  Cross,  Luas,  Segitiga,  Persegi Bertingkat, Perbandingan.

## I. P ENDAHULUAN
Matematika  adalah  salah  satu  cabang  dari  ilmu pengetahuan yang terus mengalami perkembangan. Dalam (Marsigit,  2012)  disebutkan  bahwa  matematika  secara garus besar adalah pengembangan semua jenis pengetahuan  yang  bersifat  formal  dan  penalarannya bersifat  deduktif.  Boole  berpendapat  bahwa  matematika adalah  ide-ide  atau  gagasan-gagasan  tentang  jumlah  dan kuantitas.  Kant  mengemukakan  bahwa  ilmu  matematika adalah  model  yg  paling  brilian  &  kentara  mengenai
bagaimana  logika  murni  berhasil  mampu  memperoleh kesuksesannya menggunakan bantuan pengalaman.
Geometri  merupakan  salah  satu  cabang  ilmu  dari matematika. Menurut (Iswadji, D & Mukhlisin, M, 2010) Geometri  merupakan  salah  satu  cabang  matematika. Geometri  diangkat  dari  pengalaman  manusia  dalam berinteraksi dengan bumi dengan segala aspeknya. Karena itu geometri  erat  kaitannya dengan kehidupan  sehari-hari manusia.  Secara  sadar  atau  tidak,  setiap  saat  atau  dalam sebagian besar hidupnya, manusia senantiasa dekat dengan bentuk-bentuk  geometris  tersebut.  Materi  geometri  telah dipelajari  dari  sekolah  dasar  sampai  dengan  perguruan tinggi. Salah satu materi geometri adalah tentang bangun datar.  Berbagai  macam  bangun  datar  yang  dipelajari contohnya segitiga, segiempat dan lainnya. Bangun datar yang termasuk segiempat seperti jajargenjang, trapesium, persegi, persegi panjang, belah ketupat dan layang-layang. Selain itu juga terdapat banyak teorema berkaitan dengan geometri.
Satu  dari  sekian  banyak  teorema  dalam  bidang geometri yang membahas tentang segitiga adalah teorema Cross. Dalam (Mashadi, 2020) dikatakan bahwa Teorema Cross menyatakan jika sebarang segitiga ABC, pada setiap sisi-sisinya  dikonstruksi  persegi  dan  titik  sudut  persegi- persegi  tersebut  dihubungkan  maka  akan  membentuk segitiga  lainnya  yang  mempunyai  luas  sama  dengan segitiga 𝐴𝐵𝐶 .
Pada umumnya teorema Cross ini hanya berlaku pada segitiga, namun beberapa peneliti telah mengembangkan Teorema Cross ini seperti teorema Cross pada  segitiga  dengan  menggunakan  persegi  Panjang (Manuel  &  Luis,  2006),    dan  Teorema  Cross  pada segiempat (Villiers, 2007). Hasil kedua penelitian tersebut mengungkapkan  bahwa ada  hubungan antara luas daerah yang  terbentuk  dari  titik-titik  sudut  bangun  datar  yang dihubungkan  dengan  luas  daerah  bangun  datar  awal. Beragam pembuktian teorema Cross juga telah dipaparkan dalam  (Faux,  2004),  (Gilbey,  2005)  dan  (Syawaludin, Mashadi, & Gemawati, 2019).
Pada  matematika  sekolah,  teori  geometri cenderung mengarah pada bangun datar atau bangun ruang sederhana  seperti  segiempat,  segitiga,  kubus,  balok, prisma  dan  limas.  Bangun  datar  atau  bangun  ruang  yang sederhana jika dimodifikasi atau dikolaborasi, maka akan menghasilkan  bentuk  baru  dengan  pola  tertentu  yang saling  berhubungan.  Pembuktiannya  dapat  menggunakan
This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License CC-BY
berbagai  pendekatan  seperti  pendekatan  trigonometeri, pendekatan  luas  segitiga  dan  konsep  induksi  matematika yang  sudah  di  pelajari  di  bangku  sekolah.  Dengan demikian,  satu  materi  tersebut  dapat  memuat  dan menghubungkan  beberapa  submateri  lainnya  melalui pembuktiannya  yang  sederhana.  Dengan  cara  ini,  materi yang disampaikan kepada siswa tidak monoton dari waktu ke  waktu,  tetapi  dikembangkan  teori-teori  baru  yang didasarkan  pada  teori  asli  tetapi  tetap  menggunakan metode pembuktian sederhana. Dalam (Kariadinata, 2018) dikatakan bahwa trigonometri merupakan ilmu matematika  yang  mempelajari  sudut  segitiga  dan  fungsi trigonometri seperti sinus, cosinus, dan tangen . Sedangkan konsep  induksi  matematika  dijelaskan dalam (Manullang &  dkk,  2017)    bahwa  prinsip  induksi  matematika  itu adalah:  Misalkan  P( n )  merupakan  suatu  pernyataan bilangan  asli.  Pernyataan  P( n )  benar  jika  memenuhi langkah berikut ini:
a. Tunjukkan P(1) benar.
b. Asumsikan P(k) benar.
c. Jika  P( k )  benar,  maka  P( k +  1)  benar,  untuk  setiap k bilangan asli.
Melihat adanya gejala seperti  yang dijelaskan di atas dan adanya  pengembangan  teorema  Cross  oleh  peneliti sebelumnya,  maka  peneliti  tertarik  untuk  meneliti pengembangan lain dari teorema Cross tersebut.
Dalam  tulisan  ini  digunakan  aplikasi Geogebra yang sangat membantu dalam pengkonstruksian titik atau garis.  (Nur,  2016)  menjelaskan  bahwa Geogebra adalah perangkat  lunak  serbaguna  yang  dapat  digunakan  untul pembelajaran  matematika  disekolah  sampai  perguruan tinggi,  pada  pembelajaran  matematika Geogebra dapat digunakan  sebagai  alat  peraga  dan  visualisasi,  alat  bantu konstruksi,  alat  bantu  penemuan  konsep  matematika  dan penyusunan  bahan  ajar.  Sedangkan  menurut  (Subiono, 2021)  GeoGebra  Classic  adalah  perangkat  lunak matematika dinamis untuk semua tingkat pendidikan yang menggabungkan  geometri,  aljabar,  fungsi,  spreadsheet, grafik, statistik, dan kalkulus dalam satu paket yang mudah digunakan.  (Syahbana,  2016)  dalam  pembelajaran matematika  terdapat  manfaat  penggunaan  aplikasi geogebra yaitu sebagai berikut:
a. Untuk  membuat  lukisan  geometris  yang  rumit dengan mudah dan teliti.
b. Adanya  fasilitas  animasi  dan  gerakan  manipulasi yang  dapat  memberikan  pengalaman  visual  dalam memahami konsep geometri.
c. Dapat  digunakankan  sebagai  bahan  evaluasi  atau penilaian untuk memastikan bahwa lukisan geometri yang telah dibuat memang benar.
d. Memudahkan dalam  menyelidiki atau menunjukkan sifat-sifat yang berlaku pada suatu objek geometri
Dengan  menggunakan  aplikasi  geogebra  tersebut teorema cross dimodifikasi  yaitu  mengkonstruksi persegi bertingkat  pada  sisi  segitiga  bagian  luar.  Jika  pada penelitian  sebelumnya  menunjukkan  hubungan  luas segitiga  hanya  pada  satu  tingkatan  saja  maka  pada penelitian  ini  ditunjukkan  hubungan  luas  segitiga  setiap tingkatan  memiliki  pola  tertentu  berdasarkan  pendekatan luas  segitiga  dan  pendekatan  trigonometri.  Kemudian
dibuktikan  bahwa  pola  yang  diperoleh  tersebut  adalah benar menggunakan konsep induksi matematika.

## II. METODOLOGI

## A. Jenis Penelitian
Penelitian  ini  murni  tentang  pengembangan  teori. Penelitian  dilakukan  dalam  bentuk  studi  kepustakaan (penelitian  kepustakaan)  dengan  materi  dari  jurnal  dan buku-buku teks yang berkaitan dengan pembahasan  pada penelitian  ini.  Dalam (Nurjanah, 2020) dijelaskan bahwa Penelitian  kepustakaan  ( library  research ),  adalah Penelitian yang dilakukan melalui kegiatan pengumpulan data  atau  tulisan  ilmiah  yang  ditujukan  untuk  objek bahasan  penelitian  kepustakaan  atau  pengumpulan  data, atau  studi  yang  dilakukan  untuk  memecahkan  suatu masalah dan pada hakikatnya menitikberatkan pada kajian kritis dan mendalam terhadap bahan pustaka yang relevan. Sedangkan  menurut  (Sari,  2020)  dikatakan  bahwa Penelitian  kepustakaan  adalah  kegiatan  penelitian  yang dilakukan  dengan  mengumpulkan  informasi  dan  data dengan bantuan berbagai bahan yang ada di perpustakaan, seperti  buku  referensi,  penelitian  sejenis  sebelumnya, artikel,  catatan,  dan  berbagai  jurnal  yang  berhubungan dengan  topik  penelitian.  Kegiatan  mengumpulkan, mengolah, dan menyimpulkan data dengan menggunakan metode/teknik  tertentu  dilakukan  secara  sistematis  untuk menemukan  jawaban  atas  permasalahan  yang  dihadapi. Tujuan penelitian kepustakaan adalah untuk mengembangan  teori  atau  ilmu  pengetahuan  terkait dengan  topik  yang  dipilih  berdasarkan  hasil  penelitian- penelitian sebelumnya.

## B. Instrumen Penelitian
Instrumen pada penelitian ini adalah dalam bentuk verbal simbolik,  yaitu  mengumpulkan  naskah  atau  bahan-bahan yang belum dianalisis dan juga berupa modifikasi bentuk pengembangan  teorema  cross  yang  dirancang  pada aplikasi geogebra.

## C. Teknik Analisis Data
(Mirzaqon  &  Purwoko,  2018)  mengemukakan  pada penelitian  kepustakaan,  teknik  analisis  data  yang digunakan  adalah  metode  analisis  isi  ( Content  Analysis ). Metode  analisis  isi  pada  penelitian  ini  yaitu  dengan  cara melakukan  uji  coba  modifikasi  bentuk  teorema  cross segitiga  menggunakan  aplikasi  geogebra.  Kemudian menganalisis  apakah  terdapat  bentuk  dan  pola  baru  hasil modifikasi tersebut.

## D. Prosedur Penelitian
Adapun  Langkah-langkah  atau  prosedur  pada  penelitian kepustakaan menurut (Mirzaqon & Purwoko, 2018) adalah sebagai berikut:
1. Pemilihan topik
2. Eksplorasi informasi
3. Menentukan fokus penelitian
4. Pengumpulan sumber data
5. Persiapan penyajian data
6. Penyusunan laporan
This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License CC-BY
Sejalan dengan (Yaniawati, 2020) bahwa prosedur penelitian kepustakaan adalah seperti pada Gambar 1.
Gambar 1. Prosedur Penelitian kepustakaan
Berdasarkan penjelasan diatasm, Adapun langkah-langkah penelitian ini adalah:
1. Mengumpulkan informasi atau literasi terkait dengan teorema cross,
2. Mengkonstruksi  bentuk  teorema  cross  segitiga menggunakan aplikasi geogebra,
3. Uji  coba  modifikasi  bentuk  teorema  cross  segitiga menggunakan  aplikasi  geogebra.  Uji  coba  ini dilakukan  berulang-ulang  dengan  berbagai  macam bentuk  sampai  menemukan  bentuk  baru  yang memiliki  pola  tertentu.  Bentuk  modifikasi  yang diperoleh  adalah  menambahkan  tingkatan  pada persegi  pada  teorema  cross  menjadi  tak  hingga tingkatan
4. Membuktikan  pengembangan  teorema  cross  yang sudah dibentuk. Untuk menunjukkan hubungan luas segitiga tiap tingkatan tersebut digunakan pendekatan luas segitiga dan pendekatan trigonometri sehingga diperoleh pola tertentu.
5. Untuk  menunjukan  bahwa  pola  yang  diperoleh adalah benar, maka di buktikan menggunakan konsep induksi matematika.
6. Menarik kesimpulan berdasarkan hasil pembuktian.

## III. HASIL DAN PEMBAHASAN
Tulisan  ini  membahas  tentang  perbandingan  luas segitiga teorema cross bertingkat dengan cara mengkonstruksi  persegi  bertingkat  pada  masing-masing sisi bagian luar segitiga asal. Kemudian akan dihitung luas segitiga  yang terbentuk untuk setiap tingkatannya hingga diperoleh perbandingannya dengan pola tertentu. Berikut Teorema dan pembuktiannya.
Teorema. Diketahui sebarang ∆ABC , pada masing-masing sisi  bagian  luar  segitiga,  dikonstruksi  persegi  bertingkat sebanyak 𝑛 tingkat (𝑛𝜖𝑁). Jika  masing-masing  sudut persegi dihubungkan dengan sudut persegi lainnya, maka akan terbentuk segitiga bertingkat dengan perbandingannya  adalah  bilangan  kuadrat  dan  berpola bilangan ganjil.

## A. Teorema Cross Tingkat Pertama
Berdasarkan teorema di atas, maka akan dibuktikan untuk teorema cross tingkat pertama seperti pada gambar 2. Bukti. Misalkan 𝐴𝐵 = 𝑐 , 𝐵𝐶 = 𝑎 dan 𝐴𝐶 = 𝑏 ,  dengan menggunakan  aturan  sinus  pada  trigonometri  untuk
menghitung  luas  segitiga ABC ,  diperoleh  bahwa  luas
daerah
segitiga
𝐴𝐵𝐶 = 1 2 𝑎𝑐 sin  ∠𝐴𝐵𝐶 = 1 2 𝑎𝑏 sin  ∠𝐴𝐶𝐵 = 1 2 𝑏𝑐 sin  ∠𝐵𝐴𝐶 . Selanjutnya dari Gambar  2,  dengan  memperhatikan ∆𝐴 2 𝐵 1 𝐶 diperoleh ∠𝐴 2 𝐶𝐵 1 = 180 𝑂 − ∠𝐴𝐶𝐵 , 𝐶𝐴 2 = 𝑎 , 𝐶𝐵 1 = 𝑏 ,
Gambar 2. Pengembangan Teorema Cross Tingkat Pertama
Sehingga untuk luas daerah
𝐿∆𝐴 2 𝐵 1 𝐶 = 1 2 𝑎𝑏 sin ∠𝐴 2 𝐶𝐵 1 𝐿∆𝐴 2 𝐵 1 𝐶 = 1 2 𝑎𝑏 sin(180 𝑂 − ∠𝐴𝐶𝐵) 𝐿∆𝐴 2 𝐵 1 𝐶 = 1 2 𝑎𝑏 sin ∠𝐴𝐶𝐵 𝐿∆𝐴 2 𝐵 1 𝐶 = 𝐿∆𝐴𝐵𝐶                                                       (1)
Dengan  cara  yang  sama,  perhatikan ∆𝐴 1 𝐶 2 𝐵 dan ∆𝐵 2 𝐶 1 𝐴 berturut-turut  diperoleh ∠𝐴 1 𝐵𝐶 2 = 180 𝑂 − ∠𝐴𝐵𝐶 dan ∠𝐵 2 𝐴𝐶 1 = 180 𝑂 − ∠𝐵𝐴𝐶 , 𝐵𝐴 1 = 𝑎 , 𝐴𝐵 2 = 𝑏 , 𝐵𝐶 2 = 𝐴𝐶 1 = 𝑐 , Sehingga diperoleh luas daerah,
𝐿∆𝐴 1 𝐶 2 𝐵 = 1 2 𝑎𝑐 sin ∠𝐴 1 𝐵𝐶 1 𝐿∆𝐴 1 𝐶 2 𝐵 = 1 2 𝑎𝑐 sin(180 𝑂 − ∠𝐴𝐵𝐶)
𝐿∆𝐴 1 𝐶 2 𝐵 = 𝐿∆𝐴𝐵𝐶                                                        (2)
dan 𝐿∆𝐵 2 𝐶 1 𝐴 = 1 2 𝑏𝑐 sin ∠𝐵 2 𝐴𝐶 1 𝐿∆𝐵 2 𝐶 1 𝐴 = 1 2 𝑏𝑐 sin(180 𝑂 − ∠𝐵𝐴𝐶)
𝐿∆𝐵 2 𝐶 1 𝐴 = 𝐿∆𝐴𝐵𝐶                                                        (3)
Berdasarkan  persamaan  (1),  (2)  dan  (3)  terlihat  bahwa segitiga yang diperoleh luasnya sama dengan segitiga asal. Sehingga perbandingannya adalah 1:1.

## B. Teorema Cross Tingkat Kedua
Selanjutnya  perhatikan  persegi  tingkat  kedua seperti  pada  gambar  3.  Segitiga  bagian  luarnya  adalah ∆𝐴 4 𝐵 3 𝐶 dan ∆𝐴 3 𝐶 4 𝐵 dan ∆𝐵 4 𝐶 3 𝐴 . Kemudian ∠𝐴 2 𝐶𝐵 1 = ∠𝐴 4 𝐶𝐵 3 , ∠𝐴 1 𝐵𝐶 2 = ∠𝐴 3 𝐵𝐶 4 dan ∠𝐵 2 𝐴𝐶 1 = ∠𝐵 4 𝐴𝐶 3 . Dan  sisinya  adalah 𝐶𝐴 4 = 𝐵𝐴 3 = 2𝑎 , 𝐶𝐵 3 = 𝐴𝐵 4 = 2𝑏 dan 𝐵𝐶 4 = 𝐴𝐶 3 = 2𝑐 .
This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License CC-BY
Gambar 3. Pengembangan Teorema Cross Tingkat Kedua

## Sehingga diperoleh luas daerah
𝐿∆𝐴 4 𝐵 3 𝐶 = 1 2 2𝑎. 2𝑏 sin ∠𝐴 4 𝐶𝐵 3 𝐿∆𝐴 4 𝐵 3 𝐶 = 4 ( 1 2 𝑎𝑏 sin(180 𝑂 − ∠𝐴𝐶𝐵))
𝐿∆𝐴 4 𝐵 3 𝐶 = 4𝐿∆𝐴𝐵𝐶                                                  (4)
Luas daerah ∆𝐴 4 𝐵 3 𝐶 adalah
𝐿∆𝐴 3 𝐶 4 𝐵 = 1 2 2𝑎. 2𝑐 sin ∠𝐴 3 𝐵𝐶 4 𝐿∆𝐴 3 𝐶 4 𝐵 = 4 ( 1 2 𝑎𝑐 sin(180 𝑂 − ∠𝐴𝐵𝐶))
𝐿∆𝐴 3 𝐶 4 𝐵 = 4𝐿∆𝐴𝐵𝐶                                                   (5) dan
𝐿∆𝐵 4 𝐶 3 𝐴 = 1 2 2𝑏. 2𝑐 sin ∠𝐵 4 𝐴𝐶 3 𝐿∆𝐵 4 𝐶 3 𝐴 = 4 ( 1 2 𝑏𝑐 sin(180 𝑂 − ∠𝐵𝐴𝐶))
𝐿∆𝐵 4 𝐶 3 𝐴 = 4𝐿∆𝐴𝐵𝐶                                                   (6)
Dari  persamaan  (4),  (5)  dan  (6)  terlihat  bahwa perbandingan segitiga asal dan segitiga hasil adalah 1:4.

## C. Teorema Cross Tingkat Ketiga
Perhatikan  persegi  tingkat  ketiga  seperti  pada gambar  4.  Segitiga  bagian  luarnya  adalah ∆𝐴 6 𝐵 5 𝐶 dan ∆𝐴 5 𝐶 6 𝐵 dan ∆𝐵 6 𝐶 5 𝐴 .  Kemudian ∠𝐴 2 𝐶𝐵 1 = ∠𝐴 6 𝐶𝐵 5 , ∠𝐴 1 𝐵𝐶 2 = ∠𝐴 5 𝐵𝐶 6 dan ∠𝐵 2 𝐴𝐶 1 = ∠𝐵 6 𝐴𝐶 5 . Dan sisinya adalah 𝐶𝐴 6 = 𝐵𝐴 5 = 3𝑎 , 𝐶𝐵 5 = 𝐴𝐵 6 = 3𝑏 dan 𝐵𝐶 6 = 𝐴𝐶 5 = 3𝑐 .
Gambar 4. Pengembangan Teorema Cross Tingkat Ketiga
Sehingga diperoleh luas daerah
𝐿∆𝐴 6 𝐵 5 𝐶 = 1 2 3𝑎. 3𝑏 sin ∠𝐴 6 𝐶𝐵 5
𝐿∆𝐴 6 𝐵 5 𝐶 = 9 ( 1 2 𝑎𝑏 sin(180 𝑂 − ∠𝐴𝐶𝐵))
𝐿∆𝐴 6 𝐵 5 𝐶 = 9𝐿∆𝐴𝐵𝐶                                                  (7)
Luas daerah ∆𝐴 5 𝐶 6 𝐵 adalah 𝐿∆𝐴 5 𝐶 6 𝐵 = 1 2 3𝑎. 3𝑐 sin ∠𝐴 5 𝐵𝐶 6 𝐿∆𝐴 5 𝐶 6 𝐵 = 9 ( 1 2 𝑎𝑐 sin(180 𝑂 − ∠𝐴𝐵𝐶)) 𝐿∆𝐴 5 𝐶 6 𝐵 = 9𝐿∆𝐴𝐵𝐶                                                   (8)
dan 𝐿∆𝐵 6 𝐶 5 𝐴 = 1 2 3𝑏. 3𝑐 sin ∠𝐵 6 𝐴𝐶 5 𝐿∆𝐵 6 𝐶 5 𝐴 = 9 ( 1 2 𝑏𝑐 sin(180 𝑂 − ∠𝐵𝐴𝐶))
𝐿∆𝐵 6 𝐶 5 𝐴 = 9𝐿∆𝐴𝐵𝐶                                                   (9)
Dari  persamaan  (7),  (8)  dan  (9)  terlihat  bahwa perbandingan segitiga asal dan segitiga hasil adalah 1:9.

## D. Teorema Cross Tingkat Keempat
Selanjutnya  perhatikan  persegi  tingkat  keempat seperti  pada  gambar  5.  Segitiga  bagian  luarnya  adalah ∆𝐴 8 𝐵 7 𝐶 dan ∆𝐴 7 𝐶 8 𝐵 dan ∆𝐵 8 𝐶 7 𝐴 . Kemudian ∠𝐴 2 𝐶𝐵 1 = ∠𝐴 8 𝐶𝐵 7 , ∠𝐴 1 𝐵𝐶 2 = ∠𝐴 7 𝐵𝐶 8 dan ∠𝐵 2 𝐴𝐶 1 = ∠𝐵 8 𝐴𝐶 7 . Dan  sisinya  adalah 𝐶𝐴 8 = 𝐵𝐴 7 = 4𝑎 , 𝐶𝐵 7 = 𝐴𝐵 8 = 4𝑏 dan 𝐵𝐶 8 = 𝐴𝐶 7 = 4𝑐 .
This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License CC-BY
Gambar 5. Teorema Cross Tingkat ke Empat
Sehingga diperoleh luas daerah
𝐿∆𝐴 8 𝐵 7 𝐶  = 1 2 4𝑎. 4𝑏 sin ∠𝐴 8 𝐶𝐵 7
𝐿∆𝐴 8 𝐵 7 𝐶  = 16 ( 1 2 𝑎𝑏 sin(180 𝑂 − ∠𝐴𝐶𝐵))
𝐿∆𝐴 8 𝐵 7 𝐶  = 16𝐿∆𝐴𝐵𝐶                                            (10)
Luas daerah ∆𝐴 7 𝐶 8 𝐵 adalah
𝐿∆𝐴 7 𝐶 8 𝐵 = 1 2 4𝑎. 4𝑐 sin ∠𝐴 7 𝐵𝐶 8
𝐿∆𝐴 7 𝐶 8 𝐵 = 16 ( 1 2 𝑎𝑐 sin(180 𝑂 − ∠𝐴𝐵𝐶))
𝐿∆𝐴 7 𝐶 8 𝐵 = 16𝐿∆𝐴𝐵𝐶                                              (11) dan
𝐿∆𝐵 8 𝐶 7 𝐴 = 1 2 4𝑏. 4𝑐 sin ∠𝐵 8 𝐴𝐶 7 𝐿∆𝐵 8 𝐶 7 𝐴 = 16 ( 1 2 𝑏𝑐 sin(180 𝑂 − ∠𝐵𝐴𝐶))
𝐿∆𝐵 8 𝐶 7 𝐴 = 16𝐿∆𝐴𝐵𝐶                                              (12)
Dari  persamaan  (10),  (11)  dan  (12)  terlihat  bahwa perbandingan segitiga asal dan segitiga hasil adalah 1:16.

## E. Teorema Cross Tingkat Ke lima
Selanjutnya  perhatikan  persegi  tingkat  keempat seperti  pada  gambar  6.  Segitiga  bagian  luarnya  adalah ∆𝐴 8 𝐵 7 𝐶 dan ∆𝐴 7 𝐶 8 𝐵 dan ∆𝐵 8 𝐶 7 𝐴 . Kemudian ∠𝐴 2 𝐶𝐵 1 = ∠𝐴 8 𝐶𝐵 7 , ∠𝐴 1 𝐵𝐶 2 = ∠𝐴 7 𝐵𝐶 8 dan ∠𝐵 2 𝐴𝐶 1 = ∠𝐵 8 𝐴𝐶 7 . Dan  sisinya  adalah 𝐶𝐴 8 = 𝐵𝐴 7 = 4𝑎 , 𝐶𝐵 7 = 𝐴𝐵 8 = 4𝑏 dan 𝐵𝐶 8 = 𝐴𝐶 7 = 4𝑐 .
Gambar 6. Teorema Cross Tingkat ke lima
Sehingga diperoleh luas daerah
𝐿∆𝐴 10 𝐵 9 𝐶  = 1 2 5𝑎. 5𝑏 sin ∠𝐴 10 𝐶𝐵 9 𝐿∆𝐴 10 𝐵 9 𝐶  = 25 ( 1 2 𝑎𝑏 sin(180 𝑂 − ∠𝐴𝐶𝐵)) 𝐿∆𝐴 10 𝐵 9 𝐶  = 25𝐿∆𝐴𝐵𝐶                                            (13)
Luas daerah ∆𝐴 9 𝐶 10 𝐵 adalah
𝐿∆𝐴 9 𝐶 10 𝐵 = 1 2 5𝑎. 5𝑐 sin ∠𝐴 9 𝐵𝐶 10
𝐿∆𝐴 9 𝐶 10 𝐵 = 25 ( 1 2 𝑎𝑐 sin(180 𝑂 − ∠𝐴𝐵𝐶))
𝐿∆𝐴 9 𝐶 10 𝐵 = 25𝐿∆𝐴𝐵𝐶                                              (14) dan
𝐿∆𝐵 10 𝐶 9 𝐴 = 1
2 5𝑏. 5𝑐 sin ∠𝐵 10 𝐴𝐶 9
𝐿∆𝐵 10 𝐶 9 𝐴 = 25 ( 1 2 𝑏𝑐 sin(180 𝑂 − ∠𝐵𝐴𝐶))
𝐿∆𝐵 10 𝐶 9 𝐴 = 25𝐿∆𝐴𝐵𝐶                                              (15)
Dari  persamaan  (13),  (14)  dan  (15)  terlihat  bahwa perbandingan segitiga asal dan segitiga hasil adalah 1:25.
Dari  penjelasan  di  atas  dapat  dilihat  bahwa perbandingan luas segitiga pada Teorema Cross bertingkat adalah 1: 4: 9: 16: 25: . . . : 𝑛 2 (bilangan  kuadrat).  Adapun pola  perbandingannya  adalah 2𝑛 − 1 (bilangan  ganjil), seperti pada gambar 7.
Gambar 7. Pola Perbandingan Luas Segitiga Pada Teorema Cross Bertingkat
This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License CC-BY
Berikutnya  akan  dibuktikan  bahwa 1 + 3 + 5 + 7 + ⋯ + 2𝑛 − 1 = 𝑛 2 , 𝑛 ∈ 𝑁 menggunakan  metode  pembuktian induksi matematika.
Langkah 1 Buktikan 𝑃(1) bernilai benar 2𝑛 − 1  = 𝑛 2 2.1 − 1 = 1 2
1 = 1 (Benar)
Langkah 2 Asumsikan 𝑃(𝑘) bernilai benar 1 + 3 + 5 + 7 + ⋯ + 2𝑘 − 1 = 𝑘 2
Langkah 3 Akan dibuktikan untuk 𝑃(𝑘 + 1) benar 1 + 3 + 5 + 7 + ⋯ + (2𝑘 − 1) + (2(𝑘 + 1) − 1) = 𝑘 2 + (2(𝑘 + 1) − 1) 𝑘 2 + (2(𝑘 + 1) − 1) = 𝑘 2 + 2𝑘 + 1 𝑘 2 + 2𝑘 + 1   = 𝑘 2 + 2𝑘 + 1 (𝑘 + 1) 2 = (𝑘 + 1) 2 (13) Maka terbukti bahwa 1 + 3 + 5 + 7 + ⋯ + 2𝑛 − 1 = 𝑛 2 , 𝑛 ∈ 𝑁

## IV. KESIMPULAN
Pada Teorema Cross segitiga, segitiga asal  memiliki hubungan  dengan  segitiga  baru  yang  terbentuk  yaitu memiliki  luas  yang  sama  atau  perbandingan  luasnya adalah  1:1.  Setelah  dilakukan  pengembangan  pada teorema  cross  segitiga  dengan  cara  mengkonstruksi persegi  bertingkat  pada  masing-masing  sisi  bagian  luar segitiga asal. Diperoleh segitiga bertingkat yang baru yang perbandingan luasnya dengan segitiga asal adalah bilangan kuadrat  yaitu  1:4,  1:9,  1:16,  ...,  1: 𝑛 2 dan  pola perbandingannya adalah bilangan ganjil atau dapat ditulis dengan bentuk umum 2𝑛 − 1 .

## DAFTAR PUSTAKA
Faux.  2004.  “Happy  21st  birthday  cockcroft  243 and  all the other threes”, dalam Mathematics Teaching 189 , 10-13. Gilbey, J. 2005. “Responding to Geoff Fauxs challenge”, dalam Mathematics Teaching 190 , 16. Iswadji,  D  &  Mukhlisin,  M.  2010. Diktat  Geometri , Yogykarta:FKIP Universitas Ahmad Dahlan. Kariadinata, R. 2018. Trigonometri Dasar . Bandung: CV Setia Mustika Manuel  &  Luis.  2006. Students  Development  of Mathematical  Practices  Based  on  the  Use  of Computational Technologies . Mexico’s. NJ: Center for Research and Andvanced Studies. Manullang,  S.  dkk.  2017. Matematika  Kelas  XI Edisi Revisi .  Jakarta:  Pusat  Kurikulum  dan  Perbukuan, Balitbang, Kemendikbud Marsigit.  2012. Sejarah  dan  Filsafat  Matematika . Yogyakarta:Fakultas Pascasarajana UNY.
Mashadi.  2020. Geometri  Lanjut  II .  Pekanbaru.  NJ:  UR Press.
Mirzaqon.  T,  A  dan  Budi  Purwoko  .  (2018).  Studi Kepustakaan  Mengenai  Landasan  Teori  dan  Praktik Konseling Expressive Writing. Jurnal BK Unesa , 8(1), 1-8
Nur,  I.M.  2016.  Pemanfaatan  program  geogebra  dalam pembelajaran  matematika, Jurnal  Matematika  dan
Pendidikan Matematika , 10-19. Nurjanah, A.S. 2020. Peran Guru Dalam Mengembangkan  Keterampilan  Resolusi  Konflik Melalui  Pembelajaran  IPS. Bandung: Universitas Pendidikan Indonesia . Sari,  Milya.  2020.  “Penelitian  Kepustakaan  ( Library Research )  Dalam  Penelitian  Pendidikan  IPA”,  dalam NATURAL  SCIENCE:  Jurnal  Penelitian  Bidang  IPA dan Pendidikan IPA , 6 (1), 2020, (41-53) ISSN: 2715- 470X.
Syawaludin,  M.R.  Mashadi,  Gemawati,  S.  2019. “Modification  Cross  Theorem  on  Triangle  with Congruence”,  dalam International Journal of Theoretical  and Applied Mathematics, New  York, 40- 44. doi: 10.11648/j.ijtam.20180405.11.
Villiers. 2007. “An example of the discovery function of proof”, dalam Mathematics in School , 36(4): 9-11. Syahbana,  Ali.  2016 .  Belajar  Menguasai  GeoGebra (Program Aplikasi Pembelajaran Matematika) . Palembang: NoerFikri Offset.
Subiono. 2021. GeoGebra . Surabaya:  Institut Teknologi Sepuluh Nopember.
Yaniawati,  R.P.  2020. Penelitian  Studi  Kepustakaan (Library Research) . Bandung: Universitas Pasundan.