Jurnal Matematika Murni dan Terapan “εpsilon” http://ppjp.ulm.ac.id/journals/index.php/epsilon p-ISSN: 1978-4422 | e-ISSN 2656-7660 Vol.14 No.1 (Juni 2020) Hal. 1 -9

## SIFAT TURUNAN PADA ALJABAR LIE AFFINE BERDIMENSI 6

## Edi Kurniadi
1 Departement Matematika FMIPA Unpad Jl.Raya Bandung-Simedang Km.21 Jatinangor Sumedang 45361 Jawa Barat,Indonesia email : edi.kurniadi@unpad.ac.id

## ABSTRACT
In this paper we study that any derivation of affine Lie algebra of dimension 6, denoted by aff(2) , is inner. We give another approach to prove it by direct computations of transformation matrix of derivation of aff(2) . We show that  transformation matrix  for the derivation of any element in aff(2) equals to  transformation  matrix  of adjoint representation of its element. Furthermore,  we give an alternative to prove that aff(2) is Frobenius Lie algebra.
Keywords :Affine Lie algebra, Derivation of a Lie algebra, Frobenius Lie algebra

## ABSTRAK
Dalam artikel ini, ditunjukkan bahwa sembarang turunan pada aljabar Lie affine  berdimensi 6, dinotasikan dengan aff(2) ,  adalah inner .  Pembuktian tersebut didapat  dengan  cara  menghitung langsung matriks transformasi dari turunan aff(2) . Dalam hal ini, dibuktikan bahwa matriks transformasi dari  turunan sembarang unsur di aff(2) sama dengan matriks transformasi representasi adjoint dari unsur tersebut. Lebih jauh, diberikan juga pendekatan yang berbeda untuk membuktikan bahwa aff(2) adalah aljabar Lie Frobenius.
Kata kunci: Aljabar Lie affine, aljabar Lie Frobenius, Turunan aljabar Lie.

## 1. PENDAHULUAN
Dalam artikel ini aljabar Lie affine yang dimaksud adalah aljabar Lie affine atas lapangan real ℝ .  Aljabar Lie affine berdimensi 𝑛𝑛 ( 𝑛𝑛 + 1) , dinotasikan oleh aff( 𝑛𝑛 ) , adalah kasus khusus dari hasil kali semi langsung aljabar Lie 𝔤𝔤 ≔ 𝑀𝑀 𝑛𝑛 , 𝑝𝑝 ⋊ 𝔤𝔤𝔤𝔤 𝑛𝑛 ( ℝ ) yaitu untuk 𝑝𝑝 = 1 (lihat  [1]).  Dalam hal ini, 𝑀𝑀 𝑛𝑛 , 𝑝𝑝 adalah ruang matriks berukuran 𝑛𝑛 × 𝑝𝑝 dan 𝔤𝔤𝔤𝔤 𝑛𝑛 ( ℝ ) adalah aljabar Lie matriks real berukuran 𝑛𝑛 × 𝑛𝑛 . Perhatikan bahwa untuk 𝑝𝑝 = 1 , 𝑀𝑀 𝑛𝑛 , 𝑝𝑝 = 𝑀𝑀 𝑛𝑛 , 1 isomorfik dengan ℝ 𝑛𝑛 . Akibatnya untuk 𝑛𝑛 = 1 diperoleh 𝔤𝔤 = ℝ 𝑛𝑛 ⋊ 𝔤𝔤𝔤𝔤 𝑛𝑛 ( ℝ ) = : aff( 𝑛𝑛 ) . Untuk kasus 𝑛𝑛 = 2 , aljabar Lie 𝔤𝔤 tiada lain adalah aljabar Lie aff(2) berdimensi 6. Jadi, aff(2) dapat ditulis sebagai hasil kali semi langsung antara ℝ 2 dengan 𝔤𝔤𝔤𝔤 2 ( ℝ ) dan  dinotasikan oleh aff(2): = ℝ 2 ⋊ 𝔤𝔤𝔤𝔤 2 ( ℝ ) .
Jurnal Matematika Murni dan Terapan “εpsilon” http://ppjp.ulm.ac.id/journals/index.php/epsilon p-ISSN: 1978-4422 | e-ISSN 2656-7660 Vol.14 No.1 (Juni 2020) Hal. 1 -9
Aljabar Lie affine aff(2) adalah ruang tangent dari grup automorfisma affine Aff(2) ≔ ℝ 2 ⋊ GL 2 ( ℝ ) .  Kajian tentang Aff(2) dan juga aljabar Lie-nya telah banyak dilakukan. Misalnya  [2]  telah mengklasifikasikan dimensi orbit Aff(2) untuk kasus sistem diferensial kuadratik. Di sisi lain penelitian untuk kasus 𝑛𝑛 = 1 yaitu aff(1) ≔ ℝ ⋊ ℝ + telah menjadi model yang bagus untuk mempelajari square-integrable representations (lihat [3], [4], dan [5]).
Fakta tentang turunan dari aff( 𝑛𝑛 ) adalah inner telah diperoleh dalam hasil penelitian [6]. Meskipun demikian, dalam artikel ini akan dibuktikan turunan dari aff(2) adalah inner dengan cara yang berbeda dari hasil [6]. Pembuktian dilakukan  dengan cara menghitung langsung matriks transformasinya kemudian dibuktikan bahwa matriks transformasi  turunan  setiap  unsur di aff(2) sama dengan matriks transformasi dari representasi adjoint unsur yang berkorespondensi.
Dalam [7] disebutkan aljabar Lie aff(2) adalah nonsolvable dan aff(2) dapat dikonstruksi dari split torus ℱ = 〈𝑓𝑓〉 dengan 𝑓𝑓 = diag {0,0,0,1,1} sehingga aff(2) dapat ditulis menjadi aff(2): = ℝ 2 ⋊ ( 𝑠𝑠𝔤𝔤 2 ( ℝ ) ⊕ ℱ ) dengan 𝑠𝑠𝔤𝔤 2 ( ℝ ) ⊂ 𝔤𝔤𝔤𝔤 2 ( ℝ ) . adalah ruang matriks real 2 × 2 dengan trace nol. Selain itu, aff(2) adalah aljabar Lie Frobenius (lihat [1] dan  [7]). Berbeda dengan hasil sebelumnya, dalam artikel ini akan diberikan pendekatan yang berbeda untuk membuktikan bahwa aff(2) adalah aljabar Lie Frobenius.

## 2. TINJAUAN PUSTAKA
Beberapa notasi tentang turunan aljabar Lie, representasi adjoint aljabar Lie, aljabar Lie affine aff(2) , dan aljabar Lie Frobenius akan dibahas sekilas.
Definisi 1 [8] .  Misalkan 𝔤𝔤 aljabar Lie yang bracket-nya  adalah [, ] .  Pemetaan linear ℑ ∶ 𝔤𝔤 → 𝔤𝔤 dikatakan turunan dari 𝔤𝔤 jika untuk setiap 𝑥𝑥 , 𝑦𝑦 ∈ 𝔤𝔤 berlaku
ℑ ([ 𝑥𝑥 , 𝑦𝑦 ]) = [ ℑ ( 𝑥𝑥 ), 𝑦𝑦 ] + [ 𝑥𝑥 , ℑ ( 𝑦𝑦 )] . (1)
Himpunan semua turunan dari 𝔤𝔤 dinotasikan dengan 𝑇𝑇 ( ℑ ) , yaitu
𝑇𝑇 ( ℑ ) ≔ { ℑ ; ℑ ∶ 𝔤𝔤 → 𝔤𝔤 adalah turunan 𝔤𝔤 } . (2)
Definisi 2 [8] . Pemetaan ad ∶ 𝔤𝔤 → 𝔤𝔤 𝔤𝔤 ( 𝔤𝔤 ) yang didefinisikan oleh
ad 𝑥𝑥 ∶ 𝔤𝔤 ∋ 𝑦𝑦 ↦ ad 𝑥𝑥 ( 𝑦𝑦 ) ≔ [ 𝑥𝑥 , 𝑦𝑦 ] ∈ 𝔤𝔤 . (3)
Jurnal Matematika Murni dan Terapan “εpsilon” http://ppjp.ulm.ac.id/journals/index.php/epsilon p-ISSN: 1978-4422 | e-ISSN 2656-7660 Vol.14 No.1 (Juni 2020) Hal. 1 -9
disebut representasi adjoint dan Persamaan (3) disebut turunan inner. Himpunan semua turunan inner dinotasikan oleh ad 𝔤𝔤 . Dengan kata lain ,  turunan ℑ dikatakan inner jika 𝑇𝑇 ( ℑ ) = ad 𝔤𝔤 .
Definisi 3 [8] . Skalar real 𝑎𝑎 𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑘𝑘 disebut konstanta struktur dari suatu aljabar Lie 𝔤𝔤 terhadap basis { 𝑥𝑥 1 , 𝑥𝑥 2 , … , 𝑥𝑥 𝑛𝑛 } jika  persamaan berikut ini dipenuhi
�𝑥𝑥 𝑖𝑖 , 𝑥𝑥 𝑖𝑖 � = ∑ 𝑎𝑎 𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑘𝑘 𝑥𝑥 𝑘𝑘 𝑛𝑛 𝑘𝑘=1 . (4)
Proposisi 4 [9] .  Misalkan 𝔤𝔤 aljabar Lie dengan basis { 𝑠𝑠 1 , 𝑠𝑠 2 , 𝑠𝑠 3 , … , 𝑠𝑠 𝑛𝑛 } dan misalkan pula 𝑎𝑎 𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑘𝑘 konstanta strukturnya. Misalkan �𝜇𝜇 𝑖𝑖𝑖𝑖 � 𝑇𝑇 matriks transformasi untuk pemetaan linear ℑ ∶ 𝔤𝔤 → 𝔤𝔤 dengan �𝜇𝜇 𝑖𝑖𝑖𝑖 � 𝑇𝑇 transpos [ 𝜇𝜇 𝑖𝑖𝑖𝑖 ] . ℑ turunan dari 𝔤𝔤 jika dan hanya jika
∑ 𝑎𝑎 𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑘𝑘 𝜇𝜇 𝑘𝑘𝑝𝑝 𝑛𝑛 𝑘𝑘=1 = ∑ ( 𝜇𝜇 𝑖𝑖𝑘𝑘 𝑎𝑎 𝑘𝑘𝑖𝑖 𝑝𝑝 + 𝜇𝜇 𝑖𝑖𝑘𝑘 𝑎𝑎 𝑖𝑖𝑘𝑘 𝑝𝑝 𝑛𝑛 𝑘𝑘=1 ) . (5)
dengan 1 ≤ 𝑖𝑖 , 𝑗𝑗 , 𝑝𝑝 ≤ 𝑛𝑛 .
Misalkan 𝔤𝔤 aljabar Lie berdimensi 𝑛𝑛 dengan ruang dualnya 𝔤𝔤 ∗ dan hubungan keduanya diberikan oleh
〈𝑓𝑓 , 𝑠𝑠〉 : = 𝑓𝑓 ( 𝑠𝑠 ), 𝑓𝑓 ∈ 𝔤𝔤 ∗ , 𝑠𝑠 ∈ 𝔤𝔤 .                       (6)
Definisi 5 [10] . Aljabar Lie 𝔤𝔤 dengan basis { 𝑠𝑠 1 , 𝑠𝑠 2 , 𝑠𝑠 3 , … , 𝑠𝑠 𝑛𝑛 } dikatakan Frobenius jika terdapat fungsional linear 𝑓𝑓 ∈ 𝔤𝔤 ∗ sedemikian sehingga determinan matriks yang entri-entrinya diberikan oleh 〈𝑓𝑓 , �𝑠𝑠 𝑖𝑖 , 𝑠𝑠 𝑖𝑖 �〉 ≔ 𝑓𝑓 ( �𝑠𝑠 𝑖𝑖 , 𝑠𝑠 𝑖𝑖 � ) tidak sama dengan nol.

## 3. METODE PENELITIAN
Penelitian ini menggunakan metode studi literatur dengan fokus kajian pada paper  [6]. Dengan menghitung matriks transformasi dari turunan ℑ dari aff(2) diperoleh  bahwa 𝑇𝑇 ( ℑ ) = ad 𝔤𝔤 . Dengan kata lain, turunan ℑ dari aff(2) adalah inner . Selanjutnya dengan memilih unsur 𝑓𝑓 di ruang dual aff(2) ∗ diperoleh bahwa  determinan matriks yang entri-entrinya diberikan oleh 〈𝑓𝑓 , �𝑠𝑠 𝑖𝑖 , 𝑠𝑠 𝑖𝑖 �〉 ≔ 𝑓𝑓 ( �𝑠𝑠 𝑖𝑖 , 𝑠𝑠 𝑖𝑖 � ) tidak sama dengan nol. Akibatnya, aff(2) adalah aljabar Lie Frobenius.
Jurnal Matematika Murni dan Terapan “εpsilon” http://ppjp.ulm.ac.id/journals/index.php/epsilon p-ISSN: 1978-4422 | e-ISSN 2656-7660
Vol.14 No.1 (Juni 2020) Hal. 1 -9

## 4. HASIL DAN PEMBAHASAN
Dalam Hasil dan Pembahasan ini setidaknya ada dua sifat aljabar Lie affine aff(2) yang dipelajari. Untuk mempermudah dalam pembahasan, unsur di aff(2) dapat diekspresikan dalam bentuk matriks sebagai berikut:
�𝐴𝐴 ∈ 𝔤𝔤𝔤𝔤 2 ( ℝ ) 𝑥𝑥 ∈ ℝ 2 0 0 � . (7)
Selanjutnya, unsur di ruang dual aff(2) ∗ dapat diekspresikan juga dalam bentuk matriks sebagai berikut:
� 𝐴𝐴 ∈ 𝔤𝔤𝔤𝔤 2 ( ℝ ) ∗ 𝑦𝑦 ∈ ( ℝ 2 ) ∗ ∗� . (8)
dan identifikasi keduanya dinyatakan oleh
〈𝑓𝑓 , 𝑋𝑋〉 = trace ( 𝑝𝑝𝑥𝑥 ) + trace ( α A) .                 (9)
dengan 𝑓𝑓 ≔ 𝑓𝑓 ( 𝛼𝛼 , 𝑝𝑝 ) ∈ aff(2) ∗ dan 𝑋𝑋 ≔ 𝑋𝑋 ( 𝐴𝐴 , 𝑥𝑥 ) ∈ aff(2) .
Selanjutnya akan dibuktikan sifat-sifat aljabar Lie affine aff(2) dalam dua proposisi berikut ini:
Proposisi 6. Turunan aljabar Lie affine aff(2) berdimensi 6 adalah inner .
Bukti . Aljabar Lie affine aff(2) dapat dinyatakan sebagai hasil kali semi langsung antara torus ℱ = 〈𝑓𝑓〉 dengan ℝ 2 ⋊ 𝑠𝑠𝔤𝔤 2 ( ℝ ) , yaitu aff(2) = ℱ ⊕ �ℝ 2 ⋊ 𝑠𝑠𝔤𝔤 2 ( ℝ ) � = ℝ 2 ⋊ ( 𝑠𝑠𝔤𝔤 2 ( ℝ ) ⊕ ℱ ) . Dalam hal ini, split torus ℱ adalah turunan yang dapat didiagonalkan dari Der ( ℝ 2 ⋊ 𝑠𝑠𝔤𝔤 2 ( ℝ )) . Kemudian pilih 𝑆𝑆 ≔ { 𝑠𝑠 1 , 𝑠𝑠 2 , 𝑠𝑠 3 , 𝑠𝑠 4 , 𝑠𝑠 5 , 𝑠𝑠 6 } basis untuk aff(2) , dengan 𝑆𝑆 1 ≔ { 𝑒𝑒 1 , 𝑒𝑒 2 } basis standard untuk ℝ 2 , 𝑆𝑆 2 ≔ { 𝑠𝑠 3 , 𝑠𝑠 4 , 𝑠𝑠 5 } basis untuk 𝑠𝑠𝔤𝔤 2 ( ℝ ) dan 𝑆𝑆 3 = { 𝑠𝑠 6 } basis untuk ℱ .  Unsur-unsur dalam basis 𝑆𝑆 1 , 𝑆𝑆 2 , 𝑆𝑆 3 dapat dituliskan dalam bentuk matriks sebagai berikut:
1. 𝑠𝑠 1 = � 1
0 � dan 𝑠𝑠 2 = � 0 1 � . 2. 𝑠𝑠 3 = � 0 1 0 0 � , 𝑠𝑠 4 = � 0 0 1 0 � , dan 𝑠𝑠 5 = � 1
0 0 − 1 � .
3. 𝑠𝑠 6 = � 1 0 0 1 � .
Bracket tak nol dari aff(2) dan konstanta  strukturnya  diberikan    Tabel  1 berikut ini
Jurnal Matematika Murni dan Terapan “εpsilon” http://ppjp.ulm.ac.id/journals/index.php/epsilon p-ISSN: 1978-4422 | e-ISSN 2656-7660
Vol.14 No.1 (Juni 2020) Hal. 1 -9
Tabel 1. Bracket tak nol dan konstanta struktur aff(2)
Bracket tak nol Konstanta struktur [ 𝑠𝑠 5 , 𝑠𝑠 3 ] = 2 𝑠𝑠 3 𝑎𝑎 53 3 = 2 [ 𝑠𝑠 5 , 𝑠𝑠 4 ] = − 2 𝑠𝑠 4 𝑎𝑎 45 4 = 2 [ 𝑠𝑠 3 , 𝑠𝑠 4 ] = 𝑠𝑠 5 , 𝑎𝑎 34 5 = 1 [ 𝑠𝑠 5 , 𝑠𝑠 1 ] = 𝑠𝑠 1 𝑎𝑎 51 1 = 1 [ 𝑠𝑠 5 , 𝑠𝑠 2 ] = −𝑠𝑠 2 𝑎𝑎 25 2 = 1 [ 𝑠𝑠 3 , 𝑠𝑠 2 ] = 𝑠𝑠 1 𝑎𝑎 32 1 = 1 [ 𝑠𝑠 4 , 𝑠𝑠 1 ] = 𝑠𝑠 2 𝑎𝑎 41 2 = 1 [ 𝑠𝑠 6 , 𝑠𝑠 1 ] = 𝑠𝑠 1 𝑎𝑎 61 1 = 1 [ 𝑠𝑠 6 , 𝑠𝑠 2 ] = 𝑠𝑠 2 𝑎𝑎 62 2 = 1
Dengan menggunakan Tabel 1 di atas, diperoleh matriks transformasi dari representasi adjoint ad 𝑥𝑥 ∶ aff(2) → aff(2) dengan 𝑥𝑥 ∈ aff(2) terhadap basis 𝑆𝑆 sebagai berikut:
1. ad s 1 ≔ ⎝ ⎜ ⎜ ⎛ 0 0 0 0 − 1 − 1 0 0 0 − 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎠ ⎟ ⎟ ⎞ , 2. ad s 2 ≔ ⎝ ⎜ ⎜ ⎛ 0 0 − 1 0 0 0 0 0 0 0 1 − 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎠ ⎟ ⎟ ⎞ , 3. ad s 3 ≔ ⎝ ⎜ ⎜ ⎛ 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 − 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎠ ⎟ ⎟ ⎞ , 4. ad s 4 ≔ ⎝ ⎜ ⎜ ⎛ 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 − 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎠ ⎟ ⎟ ⎞ ,
Jurnal Matematika Murni dan Terapan “εpsilon” http://ppjp.ulm.ac.id/journals/index.php/epsilon p-ISSN: 1978-4422 | e-ISSN 2656-7660
Vol.14 No.1 (Juni 2020) Hal. 1 -9 5. ad s 5 ≔ ⎝ ⎜ ⎜ ⎛ 1 0 0 0 0 0 0 − 1 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 − 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎠ ⎟ ⎟ ⎞ , 6. ad s 6 ≔ ⎝ ⎜ ⎜ ⎛ 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎠ ⎟ ⎟ ⎞ .
Sedangkan matriks transformasi dari turunan ℑ ∶ aff(2) → aff(2) dapat dihitung menggunakan Persamaan (5), yaitu
� 𝑎𝑎 𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑘𝑘 𝜇𝜇 𝑘𝑘𝑝𝑝 6 𝑘𝑘=1 = � ( 𝜇𝜇 𝑖𝑖𝑘𝑘 𝑎𝑎 𝑘𝑘𝑖𝑖 𝑝𝑝 + 𝜇𝜇 𝑖𝑖𝑘𝑘 𝑎𝑎 𝑖𝑖𝑘𝑘 𝑝𝑝 6 𝑘𝑘=1 )
dengan 1 ≤ 𝑖𝑖 , 𝑗𝑗 , 𝑝𝑝 ≤ 6 . Untuk lebih jelasnya perhatikan Tabel 2 berikut ini :
Tabel 2 . Perhitungan entri matriks �𝜇𝜇 𝑖𝑖𝑖𝑖 � 𝑇𝑇
Pasang ( 𝑖𝑖 , 𝑗𝑗 ) Persamaan entri-entri matriks (1,2) ∑ 𝑎𝑎 12 𝑘𝑘 𝜇𝜇 𝑘𝑘𝑝𝑝 6 𝑘𝑘=1 = ∑ ( 𝜇𝜇 1𝑘𝑘 𝑎𝑎 𝑘𝑘2 𝑝𝑝 + 𝜇𝜇 2𝑘𝑘 𝑎𝑎 1𝑘𝑘 𝑝𝑝 6 𝑘𝑘=1 ) . (1,3) ∑ 𝑎𝑎 13 𝑘𝑘 𝜇𝜇 𝑘𝑘𝑝𝑝 6 𝑘𝑘=1 = ∑ ( 𝜇𝜇 1𝑘𝑘 𝑎𝑎 𝑘𝑘3 𝑝𝑝 + 𝜇𝜇 3𝑘𝑘 𝑎𝑎 1𝑘𝑘 𝑝𝑝 6 𝑘𝑘=1 ) . (1,4) ∑ 𝑎𝑎 14 𝑘𝑘 𝜇𝜇 𝑘𝑘𝑝𝑝 6 𝑘𝑘=1 = ∑ ( 𝜇𝜇 1𝑘𝑘 𝑎𝑎 𝑘𝑘4 𝑝𝑝 + 𝜇𝜇 4𝑘𝑘 𝑎𝑎 1𝑘𝑘 𝑝𝑝 6 𝑘𝑘=1 ) . (1,5) ∑ 𝑎𝑎 15 𝑘𝑘 𝜇𝜇 𝑘𝑘𝑝𝑝 6 𝑘𝑘=1 = ∑ ( 𝜇𝜇 1𝑘𝑘 𝑎𝑎 𝑘𝑘5 𝑝𝑝 + 𝜇𝜇 5𝑘𝑘 𝑎𝑎 1𝑘𝑘 𝑝𝑝 6 𝑘𝑘=1 ) . (1,6) ∑ 𝑎𝑎 16 𝑘𝑘 𝜇𝜇 𝑘𝑘𝑝𝑝 6 𝑘𝑘=1 = ∑ ( 𝜇𝜇 1𝑘𝑘 𝑎𝑎 𝑘𝑘6 𝑝𝑝 + 𝜇𝜇 6𝑘𝑘 𝑎𝑎 1𝑘𝑘 𝑝𝑝 6 𝑘𝑘=1 ) . (2,3) ∑ 𝑎𝑎 23 𝑘𝑘 𝜇𝜇 𝑘𝑘𝑝𝑝 6 𝑘𝑘=1 = ∑ ( 𝜇𝜇 2𝑘𝑘 𝑎𝑎 𝑘𝑘3 𝑝𝑝 + 𝜇𝜇 3𝑘𝑘 𝑎𝑎 2𝑘𝑘 𝑝𝑝 6 𝑘𝑘=1 ) . (2,4) ∑ 𝑎𝑎 24 𝑘𝑘 𝜇𝜇 𝑘𝑘𝑝𝑝 6 𝑘𝑘=1 = ∑ ( 𝜇𝜇 2𝑘𝑘 𝑎𝑎 𝑘𝑘4 𝑝𝑝 + 𝜇𝜇 4𝑘𝑘 𝑎𝑎 2𝑘𝑘 𝑝𝑝 6 𝑘𝑘=1 ) . (2,5) ∑ 𝑎𝑎 25 𝑘𝑘 𝜇𝜇 𝑘𝑘𝑝𝑝 6 𝑘𝑘=1 = ∑ ( 𝜇𝜇 2𝑘𝑘 𝑎𝑎 𝑘𝑘5 𝑝𝑝 + 𝜇𝜇 5𝑘𝑘 𝑎𝑎 2𝑘𝑘 𝑝𝑝 6 𝑘𝑘=1 ) .
(2,6) ∑ 𝑎𝑎 26 𝑘𝑘 𝜇𝜇 𝑘𝑘𝑝𝑝 6 𝑘𝑘=1 = ∑ ( 𝜇𝜇 2𝑘𝑘 𝑎𝑎 𝑘𝑘6 𝑝𝑝 + 𝜇𝜇 6𝑘𝑘 𝑎𝑎 2𝑘𝑘 𝑝𝑝 6 𝑘𝑘=1 ) . (3,4) ∑ 𝑎𝑎 34 𝑘𝑘 𝜇𝜇 𝑘𝑘𝑝𝑝 6 𝑘𝑘=1 = ∑ ( 𝜇𝜇 3𝑘𝑘 𝑎𝑎 𝑘𝑘4 𝑝𝑝 + 𝜇𝜇 4𝑘𝑘 𝑎𝑎 3𝑘𝑘 𝑝𝑝 6 𝑘𝑘=1 ) .
Jurnal Matematika Murni dan Terapan “εpsilon” http://ppjp.ulm.ac.id/journals/index.php/epsilon p-ISSN: 1978-4422 | e-ISSN 2656-7660 Vol.14 No.1 (Juni 2020) Hal. 1 -9
(3,5) ∑ 𝑎𝑎 35 𝑘𝑘 𝜇𝜇 𝑘𝑘𝑝𝑝 6 𝑘𝑘=1 = ∑ ( 𝜇𝜇 3𝑘𝑘 𝑎𝑎 𝑘𝑘5 𝑝𝑝 + 𝜇𝜇 5𝑘𝑘 𝑎𝑎 3𝑘𝑘 𝑝𝑝 6 𝑘𝑘=1 ) .
(3,6) ∑ 𝑎𝑎 36 𝑘𝑘 𝜇𝜇 𝑘𝑘𝑝𝑝 6 𝑘𝑘=1 = ∑ ( 𝜇𝜇 3𝑘𝑘 𝑎𝑎 𝑘𝑘6 𝑝𝑝 + 𝜇𝜇 6𝑘𝑘 𝑎𝑎 3𝑘𝑘 𝑝𝑝 6 𝑘𝑘=1 ) .
(4,5)
∑ 𝑎𝑎 45 𝑘𝑘 𝜇𝜇 𝑘𝑘𝑝𝑝 6 𝑘𝑘=1 = ∑ ( 𝜇𝜇 4𝑘𝑘 𝑎𝑎 𝑘𝑘5 𝑝𝑝 + 𝜇𝜇 5𝑘𝑘 𝑎𝑎 4𝑘𝑘 𝑝𝑝 6 𝑘𝑘=1 ) .
(4,6)
∑ 𝑎𝑎 46 𝑘𝑘 𝜇𝜇 𝑘𝑘𝑝𝑝 6 𝑘𝑘=1 = ∑ ( 𝜇𝜇 4𝑘𝑘 𝑎𝑎 𝑘𝑘6 𝑝𝑝 + 𝜇𝜇 6𝑘𝑘 𝑎𝑎 4𝑘𝑘 𝑝𝑝 6 𝑘𝑘=1 ) .
(5,6)
∑ 𝑎𝑎 56 𝑘𝑘 𝜇𝜇 𝑘𝑘𝑝𝑝 6 𝑘𝑘=1 = ∑ ( 𝜇𝜇 5𝑘𝑘 𝑎𝑎 𝑘𝑘6 𝑝𝑝 + 𝜇𝜇 6𝑘𝑘 𝑎𝑎 5𝑘𝑘 𝑝𝑝 6 𝑘𝑘=1 ) .
Selanjutnya, dengan menyelesaikan semua sistem persamaan linear dalam Tabel 2 di atas maka diperoleh matriks transformasi dari turunan ℑ ∶ aff(2) → aff(2) sebagai berikut:
�𝜇𝜇 𝑖𝑖𝑖𝑖 � 𝑇𝑇 ≔ ⎝ ⎜ ⎜ ⎛ 𝛼𝛼 + 𝛽𝛽 𝜉𝜉 𝜓𝜓 0 𝛾𝛾 𝛾𝛾 𝜁𝜁 𝛼𝛼 0 𝛾𝛾 −𝜓𝜓 𝜓𝜓 0 0 𝛽𝛽 0 − 2 𝜉𝜉 0 0 0 0 −𝛽𝛽 2 𝜁𝜁 0 0 0 −𝜁𝜁 𝜉𝜉 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎠ ⎟ ⎟ ⎞ (10)
Perhatikan bahwa matriks transformasi �𝜇𝜇 𝑖𝑖𝑖𝑖 � 𝑇𝑇 dari ℑ 𝑠𝑠 𝑖𝑖 sama dengan matriks transformasi dari representasi adjoint ad s i untuk setiap 𝑖𝑖 = 1,2,3,4,5,6 .  Dengan kata lain, Der aff(2) = ad aff(2). Oleh karena itu,  turunan aljabar Lie affine aff(2) adalah inner.
∎
Selanjutnya  akan dibuktikan bahwa   aljabar Lie affine aff(2) adalah  aljabar Lie Frobenius sebagai berikut:
Proposisi 7. Aljabar Lie affine aff(2) adalah Frobenius.

## Bukti .
Meskipun dalam  [7]  telah ditunjukkan bahwa aff(2) adalah aljabar Lie Frobenius yaitu dengan menunjukkan bahwa determinan matriks �𝑠𝑠 𝑖𝑖 , 𝑠𝑠 𝑖𝑖 � =
4( 𝑠𝑠 2 2 𝑠𝑠 3 + 𝑠𝑠 1 𝑠𝑠 2 𝑠𝑠 5 − 𝑠𝑠 1 2 𝑥𝑥 4 ) 2 ≠ 0 , akan tetapi dalam pembuktian kali ini akan digunakan  Definisi 5 yaitu dengan menunjukkan bahwa terdapat 𝑓𝑓 ( 𝑝𝑝 , 𝛼𝛼 ) ∈ aff(2) ∗ sedemikian sehingga determinan matriks yang entri-entrinya didefinisikan oleh 〈𝑓𝑓 , �𝑠𝑠 𝑖𝑖 , 𝑠𝑠 𝑖𝑖 �〉 tidak sama dengan nol.
Menggunakan hasil dari [7], diperoleh matriks [ 𝑠𝑠 𝑖𝑖 , 𝑠𝑠 𝑖𝑖 ] , yaitu matriks yang entri-entrinya bracket [ 𝑠𝑠 𝑖𝑖 , 𝑠𝑠 𝑖𝑖 ] terhadap basis 𝑆𝑆 .
Jurnal Matematika Murni dan Terapan “εpsilon” http://ppjp.ulm.ac.id/journals/index.php/epsilon p-ISSN: 1978-4422 | e-ISSN 2656-7660 Vol.14 No.1 (Juni 2020) Hal. 1 -9
[ 𝑠𝑠 𝑖𝑖 , 𝑠𝑠 𝑖𝑖 ] ≔ ⎝ ⎜ ⎜ ⎛ 0 0 0 −𝑠𝑠 2 −𝑠𝑠 1 −𝑠𝑠 1 0 0 −𝑠𝑠 1 0 𝑠𝑠 2 −𝑠𝑠 2 0 𝑠𝑠 1 0 𝑠𝑠 5 − 2 𝑠𝑠 3 0 𝑠𝑠 2 0 −𝑠𝑠 5 0 2 𝑠𝑠 4 0 𝑠𝑠 1 −𝑠𝑠 2 2 𝑠𝑠 3 − 2 𝑠𝑠 4 0 0 𝑠𝑠 1 𝑠𝑠 2 0 0 0 0 ⎠ ⎟ ⎟ ⎞ (11)
Kemudian pilih 𝑓𝑓 ( 𝑝𝑝 , 𝛼𝛼 ) ∈ aff(2) ∗ dengan 𝑝𝑝 = � 0 1 � ∈ ( ℝ 2 ) ∗ dan 𝛼𝛼 = � 0 0 1 0 � ∈
𝔤𝔤𝔤𝔤 2 ( ℝ ) . Dengan kata lain, 𝑓𝑓 ( 𝑝𝑝 , 𝛼𝛼 ) = � 0 0 ∗ 1 0 ∗ 0 1 ∗ � ∈ aff(2) ∗ . Selanjutnya dengan
menggunakan Persamaan (9), diperoleh matriks 〈𝑓𝑓 , �𝑠𝑠 𝑖𝑖 , 𝑠𝑠 𝑖𝑖 �〉 sebagai berikut: 〈𝑓𝑓 , �𝑠𝑠 𝑖𝑖 , 𝑠𝑠 𝑖𝑖 �〉 ≔ ⎝ ⎜ ⎜ ⎛ 0 0 0 − 1 0 0 0 0 0 0 1 − 1 0 0 0 0 − 2 0 1 0 0 0 0 0 0 − 1 2 0 0 0 0 1 0 0 0 0 ⎠ ⎟ ⎟ ⎞ (12)
Menggunakan perluasan kofaktor, diperoleh det 〈𝑓𝑓 , �𝑠𝑠 𝑖𝑖 , 𝑠𝑠 𝑖𝑖 �〉 = − 4 ≠ 0 . Jadi, aff(2) adalah aljabar Lie  Frobenius.
∎

## 5. KESIMPULAN
Dari pembahasan di atas dapat diambil kesimpulan bahwa turunan aljabar Lie affine berdimensi 6 aff(2) adalah inner dan aljabar Lie affine berdimensi 6 aff(2) adalah aljabar Lie Frobenius.  Disarankan untuk meneliti lebih lanjut tentang analisis harmonik aff(2) dan mempelajari sifat-sifat lainnya serta mempelajari untuk kasus aljabar Lie affine berdimensi 𝑛𝑛 2 + 𝑛𝑛 seperti bagaimana mendapatkan rumus umum pfaffian aff( 𝑛𝑛 ) .

## 6. REFERENSI
[1] M. Rais, “La representation du groupe affine,” Ann.Inst.Fourier,Grenoble , vol. 26, pp. 207--237, 1978.
[2] N. Ghegerstega and V. Orlov, “Applications of Aff(2,R)-  orbits for quadratic differential systems,” Bul. Acad. S¸TIINT¸E A REPUBLICII
Jurnal Matematika Murni dan Terapan “εpsilon” http://ppjp.ulm.ac.id/journals/index.php/epsilon p-ISSN: 1978-4422 | e-ISSN 2656-7660 Vol.14 No.1 (Juni 2020) Hal. 1 -9
Mold. Mat. , vol. 2, no. 57, pp. 122--126, 2008.
[3] A. Grossmann, J. Morlet, and T. Paul, “Transform associated to square- integrable group of representations I,” J.Math.Phys , vol. 26, pp. 2473-- 2479, 1985.
[4] A. Grossmann, J. Morlet, and T. Paul, “Trsansform associated to square- integrable group representations .II. Examples,” Ann.Inst.H.Poincare Phys.Theor , vol. 45, pp. 293--309, 1986.
[5] V. Gayral and et al, “Fourier analysis on the affine group, quantization and noncompact Connes geometries,” J. Noncommutative Geom. , vol. 2, pp. 215--261, 2008.
[6] A. Diatta and B. Manga, “On properties of principal elements of frobenius lie algebras,” J. Lie Theory , vol. 24, no. 3, pp. 849–864, 2014.
[7] A. I. Ooms, “Computing invariants and semi-invariants by means of Frobenius Lie algebras,” J. Algebra. , vol. 321, pp. 1293--1312, 2009.
[8] J. Hilgert and K.-H. Neeb, Structure and Geometry of Lie Groups . New York: Springer Monographs in Mathematics, Springer, 2012.
[9] V. Ayala, E. Kizil, and I. D. A. Tribuzy, “On an algorithm for finding derivations of lie algebras,” Proyecciones J. Math. , vol. 31, no. 1, pp. 81– 90, 2012.
[10]  A. I. Ooms, “On frobenius Lie algebras,” Comm. Algebra. , vol. 8, pp. 13-- 52, 1980.