## SOLUSI DARI PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA LINIER ORDE 2 DALAM BENTUK POLINOMIAL TAYLOR

## Herlyn Basrina, Yuni Yulida, Thresye
Program Studi Matematika Fakultas MIPA
Universitas Lambung Mangkurat Email : herlynbasrinaa@gmail.com

## ABSTRAK
Persamaan diferensial biasa (PDB) adalah persamaan diferensial yang hanya mengandung turunan biasa dari satu atau lebih variabel tak bebas terhadap satu variabel bebas.  Persamaan diferensial biasa dapat dikatakan linier jika tidak ada perkalian antara variabel-variabel tak bebas dan turunannya.  Solusi persamaan diferensial dapat berupa solusi pendekatan. Salah satu  metode untuk menentukan solusi pendekatan dari  persamaan diferensial linier  adalah metode  Taylor- Matrix. Tujuan dari penelitian ini adalah untuk menentukan solusi dari persamaan diferensial biasa linier orde 2 dalam bentuk polinomial Taylor. Penelitian ini dilakukan dengan cara studi literatur dari berbagai sumber, baik buku, artikel maupun jurnal. Hasil dari penelitian ini menunjukkan bahwa  solusi dari persamaan diferensial biasa linier orde 2 berbentuk polinomial Taylor. Solusi tersebut diperoleh dengan mengasumsikan setiap fungsi pada persamaan diferensial biasa linier orde 2 dapat dinyatakan dalam bentuk polinomial Taylor, kemudian persamaan diferensial tersebut berserta kondisi yang diberikan diubah dalam bentuk matriks. Setelah itu matriks tersebut dibentuk menjadi matriks diperbesar dan diselesaikan.
Kata kunci : Persamaan Diferensial Biasa Linier, Polinomial Taylor.

## ABSTRACT
Ordinary differential equations (ODE) is  a differential equation that contains only ordinary derivatives of one or more dependent variables to one independent variable. Ordinary differential equations can be said to be linear if there is no multiplication between dependent variables and its derivatives. The solution of differential equation can be an approach solution. One of the methods for determine the approach solution of linear differential equations is the method of Taylor-Matrix. The purpose of the research is to determine the solutions of  the second-order  linear ordinary differential equations in the form of a Taylor polynomial. This research is conducted by literature study from any related source, books and some journal.  The result of this research show that solutions of  the second-order  linear ordinary differential equations shaped  of a Taylor polynomial. The solution is obtained by assume each function of the second-order linear ordinary differential equations can be expressed in the form of Taylor polynomials, then the differential equations and the given conditions transformed in the form of a matrix. After that, this matrix be formed into an augmented matrix and be solved.
Keywords : Linear ordinary differential equations , Taylor polynomials.

## 1. PENDAHULUAN
Persamaan diferensial biasa (PDB) adalah persamaan diferensial yang hanya mengandung turunan biasa dari satu atau  lebih variabel tak bebas terhadap satu variabel  bebas.  Persamaan diferensial biasa dapat dikatakan linier jika tidak ada perkalian antara variabel-variabel tak bebas dan turunannya.  Persamaan diferensial linier ditinjau dari koefisien ada 2, yaitu koefisien fungsi konstan dan koefisien fungsi dalam variabel bebas. Salah satu contoh persamaan diferensial linier dengan koefisien fungsi dalam variabel bebas adalah persamaan Cauchy Euler. Persamaan Cauchy Euler bentuk koefisien fungsinya beraturan dan ditransformasi menjadi persamaan diferensial linier koefisien konstan sehingga solusi eksak mudah ditentukan. Disisi lain, Jika persamaan diferensial linier dengan koefisien fungsi dalam variabel bebas yang bentuk koefisien fungsinya
lebih umum tidak bisa ditransformasi. Salah satu solusinya dapat ditentukan melalui metode numerik.
Menurut Munir [8] metode numerik merupakan metode yang menghasilkan solusi hampiran ( approximation )  atau  solusi pendekatan.    Metode  Taylor-Matrix adalah salah satu metode  untuk menyelesaikan persamaan diferensial linier, dengan solusi yang dihasilkan berupa solusi pendekatan. Pada dasarnya solusi pendekatan pada metode ini berbentuk deret Taylor. Dalam menentukan koefisien deret  Taylor yang belum diketahui digunakan hubungan rekursif dari koefisien deret  Taylor yang  ditransformasi ke dalam bentuk matriks, kemudian dibentuk matriks yang diperbesar. Solusi dari persamaan diferensial linier diperoleh dengan menyelesaikan matriks yang diperbesar tersebut, sebagaimana  yang dinyatakan dalam C. Kesan [5].

## 2. TINJAUAN PUSTAKA
2.1 Deret Taylor
Definisi 2.1.1 [8] Andaikan f dan semua turunannya 𝑓𝑓 ′ , 𝑓𝑓 ′′ , 𝑓𝑓 ′′′ , …, kontinu di dalam selang [a,b]. Misalkan x 0 ∈ [a,b], maka untuk nilai-nilai x disekitar x 0 dan x ∈ [a,b], f(x) dapat diperluas ke dalam deret Taylor:
𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥 ) = 𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥 0 ) + ( 𝑥𝑥 − 𝑥𝑥 0 ) 1! 𝑓𝑓 ′ ( 𝑥𝑥 0 ) + ( 𝑥𝑥 − 𝑥𝑥 0 ) 2 2! 𝑓𝑓 ′′ ( 𝑥𝑥 0 ) + ⋯ + ( 𝑥𝑥 − 𝑥𝑥 0 ) 𝑚𝑚 𝑚𝑚 ! 𝑓𝑓 ( 𝑚𝑚 ) ( 𝑥𝑥 0 ) + ⋯ … (1)

## 2.2 Polinomial Taylor
Menurut James [9] jumlahan parsial ke- n dari deret (2.2) disebut  sebagai polinomial Taylor berderajat ke- n dari 𝑓𝑓 di 𝑥𝑥 0 yang dinotasikan sebagai 𝑇𝑇 𝑛𝑛 ( 𝑥𝑥 ) adalah:
𝑇𝑇 𝑛𝑛 ( 𝑥𝑥 )   = � 𝑓𝑓 ( 𝑖𝑖 ) ( 𝑥𝑥 0 ) 𝑖𝑖 ! 𝑛𝑛 𝑖𝑖=0 ( 𝑥𝑥 − 𝑥𝑥 0 ) 𝑖𝑖
= 𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥 0 ) + 𝑓𝑓 ′ ( 𝑥𝑥 0 ) 1! ( 𝑥𝑥 − 𝑥𝑥 0 ) + 𝑓𝑓 ′′ ( 𝑥𝑥 0 ) 2! ( 𝑥𝑥 − 𝑥𝑥 0 ) 2 + ⋯ + 𝑓𝑓 ( 𝑛𝑛 ) ( 𝑥𝑥 0 ) 𝑛𝑛 ! ( 𝑥𝑥 − 𝑥𝑥 0 ) 𝑛𝑛 … (2)

## 2.3 Matriks
Definisi 2.3.1 [7] Matriks ialah suatu kumpulan angka-angka (sering disebut elemen-elemen) yang disusun menurut baris dan kolom sehingga berbentuk empat persegi panjang, dimana panjangnya dan lebarnya ditunjukkan oleh banyaknya kolom-kolom dan baris-baris.
Berikut diberikan beberapa jenis matriks:

## 2.3.1   Matriks Baris dan Kolom
Menurut Anton [1] sebuah matriks dengan hanya satu kolom disebut matriks kolom dan sebuah matriks dengan hanya satu baris disebut matriks baris .

## 2.3.2 Matriks Persegi
Matriks persegi ( square matriks ) ialah suatu matriks dimana banyaknya baris sama dengan banyaknya kolom ( 𝑚𝑚 = 𝑛𝑛 ) . Apabila 𝑚𝑚 = 𝑛𝑛 , maka matriks 𝑨𝑨 disebut square  matriks orde n. Sering disebut matriks kuadrat atau matriks jajar genjang [7].
2.4 Operasi Matriks
Definisi 2.4.1 [1] Jika 𝑨𝑨 dan 𝑩𝑩 adalah matriks-matriks berukuran sama, maka jumlah 𝑨𝑨 + 𝑩𝑩 adalah matriks yang diperoleh dengan menambahkan anggota-anggota 𝑨𝑨 dengan anggota-anggota 𝑩𝑩 yang berpadanan, dan selisih 𝑨𝑨 − 𝑩𝑩 adalah matriks yang diperoleh dengan mengurangkan anggota-anggota 𝑨𝑨 dengan anggota-anggota 𝑩𝑩 yang berpadanan. Matriks-matriks berukuran berbeda tidak bisa ditambahkan atau dikurangkan.
Definisi 2.4.2 [1] Jika 𝑨𝑨 adalh sebarang matriks dan 𝑐𝑐 adalah sebarang skalar, maka hasil kali, 𝑐𝑐𝑨𝑨 adalah matriks yang diperoleh dengan mengalikan setiap anggota 𝑨𝑨 dengan 𝑐𝑐 .
Definisi 2.4.3 [1] Jika 𝑨𝑨 sebuah matriks 𝑚𝑚 × 𝑟𝑟 dan 𝑩𝑩 adalah sebuah matriks 𝑟𝑟 × 𝑛𝑛 , maka hasil kali 𝑨𝑨𝑩𝑩 adalah matriks 𝑚𝑚 × 𝑛𝑛 yang anggota-anggotanya didefinisikan sebagai berikut. Untuk mencari anggota dalam baris I dan kolom j dari 𝑨𝑨𝑩𝑩 , pilih baris I dari matriks 𝑨𝑨 dan kolom j dari matriks 𝑩𝑩 . Kalikan anggota-anggotanya yang berpadanan dari baris dan kolom secara bersama-sama dan kemudian jumlahkan hasil kalinya.

## 2.5 Sistem Persamaan Linier
Sebarang sistem persamaan linear 𝑚𝑚 dalam 𝑛𝑛 peubah bisa ditulis sebagai 𝑎𝑎 11 𝑥𝑥 1 + 𝑎𝑎 12 𝑥𝑥 2 + ⋯ + 𝑎𝑎 1𝑛𝑛 𝑥𝑥 𝑛𝑛 = 𝑏𝑏 1 𝑎𝑎 21 𝑥𝑥 1 + 𝑎𝑎 22 𝑥𝑥 2 + ⋯ + 𝑎𝑎 2𝑛𝑛 𝑥𝑥 𝑛𝑛 = 𝑏𝑏 2 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ … (3) 𝑎𝑎 𝑚𝑚1 𝑥𝑥 1 + 𝑎𝑎 𝑚𝑚2 𝑥𝑥 2 + ⋯ + 𝑎𝑎 𝑚𝑚𝑛𝑛 𝑥𝑥 𝑛𝑛 = 𝑏𝑏 𝑚𝑚 sistem persamaan (3) dapat dituliskan sebagai persamaan matriks 𝑨𝑨𝑨𝑨 = 𝒃𝒃 … (4) dengan 𝑨𝑨 adalah matriks koefisien, 𝑨𝑨 matriks peubah, dan 𝒃𝒃 matriks konstanta. Matriks (4) bisa disingkat dengan menggandengkan 𝒃𝒃 ke 𝑨𝑨 sebagai kolom terakhir
� 𝑎𝑎 11 𝑎𝑎 21 𝑎𝑎 12 … 𝑎𝑎 1𝑛𝑛 𝑏𝑏 1 𝑎𝑎 22 … 𝑎𝑎 2𝑛𝑛 𝑏𝑏 2 ⋮ 𝑎𝑎 𝑚𝑚1 ⋮ … ⋮ ⋮ 𝑎𝑎 𝑚𝑚2 … 𝑎𝑎 𝑚𝑚𝑛𝑛 𝑏𝑏 𝑛𝑛 �
ini disebut matriks  diperbesar (augment matrix) atau matriks yang diperbanyak untuk sistem tersebut [1].
...(5)
...(6)

## 2.6 Eliminasi Gaussian dan Eliminasi Gauss-Jordan
Mereduksi suatu matriks menjadi bentuk baris-eselon  disebut eliminasi Gaussian. Mereduksi suatu matriks menjadi bentuk baris-eselon tereduksi disebut eliminasi Gauss-Jordan [1].

## 2.7 Tranpose Suatu Matriks
Definisi 2.7.1 [1] Jika 𝑨𝑨 adalah sebarang matriks 𝑚𝑚 × 𝑛𝑛 , maka transpose 𝑨𝑨 dinyatakan dengan 𝑨𝑨 𝑻𝑻 , didefinisikan sebagai matriks 𝑛𝑛 × 𝑚𝑚 yang didapat dengan mempertukarkan baris dan kolom dari 𝑨𝑨 ; yaitu kolom pertama dari 𝑨𝑨 𝑻𝑻 adalah baris pertama dari 𝑨𝑨 , kolom kedua dari 𝑨𝑨 𝑻𝑻 adalah baris kedua dari 𝑨𝑨 , dan seterusnya.

## 2.8 Matriks Identitas
Definisi 2.8.1 [6] Matriks identitas adalah matriks I = ( 𝛿𝛿 𝑖𝑖𝑖𝑖 ) berorde 𝑛𝑛 × 𝑛𝑛 , dimana
𝛿𝛿 𝑖𝑖𝑖𝑖 = � 1 𝑗𝑗𝑖𝑖𝑗𝑗𝑎𝑎 𝑖𝑖 = 𝑗𝑗 0 𝑗𝑗𝑖𝑖𝑗𝑗𝑎𝑎 𝑖𝑖 ≠ 𝑗𝑗 𝑰𝑰 sebagai matriks 𝑛𝑛 × 𝑛𝑛 dengan bilangan-bilangan 1 pada diagonal utamanya dan 0 selain itu,  maka 𝑰𝑰 memenuhi 𝑨𝑨𝑰𝑰 = 𝑰𝑰𝑨𝑨 = 𝑨𝑨 dengan 𝑨𝑨 adalah matriks persegi.

## 2.9 Determinan Matriks
Definisi 2.9.1 [6] Determinan dari suatu matriks 𝑨𝑨 berorde n x n, dinyatakan sebagai det(A), adalah suatu skalar yang diasosiasikan dengan matriks A dan didefinisikan secara induktif sebagai:
det( 𝐴𝐴 ) = � 𝑎𝑎 11 𝑗𝑗𝑖𝑖𝑗𝑗𝑎𝑎 𝑛𝑛 = 1
𝑎𝑎 11 𝐴𝐴 11 + 𝑎𝑎 12 𝐴𝐴 12 + ⋯ + 𝑎𝑎 1𝑛𝑛 𝐴𝐴 1𝑛𝑛 𝑗𝑗𝑖𝑖𝑗𝑗𝑎𝑎 𝑛𝑛 > 1 dimana
𝐴𝐴 11 = ( − 1) 1+𝑖𝑖 det �𝑀𝑀 𝑖𝑖𝑖𝑖 � 𝑗𝑗 = 1, 2, … , 𝑛𝑛
Adalah kofaktor-kofaktor yang diasosiasikan dengan entri-entri dalam baris pertama dari 𝑨𝑨 .

## 2.10 Invers Suatu Matriks
Definisi 2.10.1 [1] Jika A adalah sebuh matriks bujur sangkar, dan jika sebuah matriks B yang berukuran sama bisa didapatkan sedemikian sehingga 𝑨𝑨𝑩𝑩 = 𝑩𝑩𝑨𝑨 = 𝑰𝑰 , maka 𝑨𝑨 disebut bisa dibalik dan 𝑩𝑩 disebut invers 𝑨𝑨 . Jika A bisa dibalik, maka inversnya akan dinyatakan dengan simbol 𝑨𝑨 −𝟏𝟏 . Jadi,
𝑨𝑨𝑨𝑨 −𝟏𝟏 = 𝑰𝑰 dan 𝑨𝑨 −𝟏𝟏 𝑨𝑨 = 𝑰𝑰
Teorema 2.10.2 [1] Jika 𝑨𝑨 dalah suatu matriks 𝑛𝑛 × 𝑛𝑛 yang bisa dibalik, maka untuk setiap matriks 𝒃𝒃 , 𝑛𝑛 × 1 , sistem persamaan 𝑨𝑨𝑨𝑨 = 𝒃𝒃 tepat  mempunyai satu penyelesaian, yaitu, 𝑨𝑨 = 𝑨𝑨 −𝟏𝟏 𝒃𝒃 .
Teorema 2.10.3 [1] Suatu matriks bujur sangkar 𝑨𝑨 dapat dibalik jika dan hanya jika 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 ( 𝐴𝐴 ) ≠ 0 .

## 2.11 Pangkat Suatu Matriks
Definisi 2.11.1 (Anton, 2000)
Jika A adalah suatu matriks bujur sangkar, maka didefinisikan pangkat bulat tak- negatif dari 𝑨𝑨 sebagai 𝑨𝑨 𝟎𝟎 = 𝑰𝑰 𝑨𝑨 𝒏𝒏 = 𝑨𝑨 𝑨𝑨 … 𝑨𝑨 ( 𝑛𝑛 > 0) 𝑛𝑛 faktor Lebih jauh, jika 𝑨𝑨 bisa dibalik, maka didefinisikan pangkat bulat negatif sebagai ( 𝑨𝑨 −𝟏𝟏 ) 𝑛𝑛 = 𝑨𝑨 −𝟏𝟏 𝑨𝑨 −𝟏𝟏 … 𝑨𝑨 −𝟏𝟏 𝑛𝑛 faktor
2.12

## Persamaan Diferensial
Definisi 2.12.1 [10] Persamaan yang mengandung turunan satu atau lebih variabel tak bebas, terhadap satu atau lebih variabel bebas, disebut persamaan diferensial (PD).

## Definisi 2.12.2 [2]
Tingkat (orde) dari persamaan diferensial adalah pangkat  tertinggi dari turunan yang termuat dalam persamaan diferensial.

## Definisi 2.12.3 [2]
Derajat (degree) dari persamaan diferensial adalah pangkat dari turunan tingkat tertinggi yang termuat dalam persamaan diferensial.

## 2.13 Persamaan Diferensial Biasa
Definisi 2.13.1 [4] Suatu persamaan diferensial biasa orde n adalah suatu persaman yang dapat ditulis dalam bentuk 𝑦𝑦 ( 𝑛𝑛 ) = 𝐹𝐹�𝑥𝑥 , 𝑦𝑦 , 𝑦𝑦 ′ , … , 𝑦𝑦 ( 𝑛𝑛−1 ) � … (7)
dimana y, 𝑦𝑦 ′ , …, y (n) semua ditentukan nilainya oleh x.

## 2.14 Persamaan Diferensial Linier
Definisi 2.14.1 [3]
Persamaan diferensial biasa orde n adalah linier jika dapat ditulis dalam bentuk 𝑎𝑎 0 ( 𝑥𝑥 ) 𝑦𝑦 ( 𝑛𝑛 ) + 𝑎𝑎 1 ( 𝑥𝑥 ) 𝑦𝑦 ( 𝑛𝑛−1 ) + ⋯ + 𝑎𝑎 𝑛𝑛−1 ( 𝑥𝑥 ) 𝑦𝑦 ′ + 𝑎𝑎 𝑛𝑛 ( 𝑥𝑥 ) 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥 )     ( 𝑎𝑎 0 ( 𝑥𝑥 ) ≠ 0) … (8)
fungsi 𝑎𝑎 0 ( 𝑥𝑥 ), 𝑎𝑎 1 ( 𝑥𝑥 ), … , 𝑎𝑎 𝑛𝑛 ( 𝑥𝑥 ) merupakan koefisien-koefisien dari persamaan diferensial, dan 𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥 ) disebut suku nonhomogen. Jika koefisien fungsinya konstan,
...(10)
persamaan diferensial disebut mempunyai koefisien konstan. Selanjutnya, persamaan diferensial dikatakan homogen jika 𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥 ) = 0 dan nonhomogen jika 𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥 ) ≠ 0 . Persamaan diferensial biasa yang tidak dapat ditulis dalam bentuk persamaan (2.11) disebut persamaan diferensial biasa nonlinier.

## 3. METODE PENELITIAN
Metode yang digunakan dalam penelitian ini adalah studi literatur. Adapun prosedur pada menentukan solusi persamaan diferensial biasa linier orde 2 yang berbentuk polinomial Taylor adalah  menentukan hubungan rekursif dari koefisien deret Taylor, kemudian  hubungan rekursif dari koefisien deret Taylor dibentuk dalam hubungan matriks  dan membentuk matriks yang diperbesar, lalu menentukan koefisien Taylor dengan menyelesaikan matriks yang diperbesar menggunakan eliminasi Gauss-Jordan, sehingga diperoleh solusi dari persamaan diferensial biasa linier orde 2 dalam bentuk polinomial Taylor.

## 4. HASIL DAN PEMBAHASAN
Diberikan persamaan diferensial biasa linier orde 2 𝑃𝑃 ( 𝑥𝑥 ) 𝑦𝑦 ′′ + 𝑄𝑄 ( 𝑥𝑥 ) 𝑦𝑦 ′ + 𝑅𝑅 ( 𝑥𝑥 ) 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥 )                               … (9) dengan 𝑃𝑃 ( 𝑥𝑥 ) , 𝑄𝑄 ( 𝑥𝑥 ) , 𝑅𝑅 ( 𝑥𝑥 ) , dan 𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥 ) diasumsikan sebagai fungsi-fungsi yang kontinu dan dapat diekspansi Taylor pada interval 𝑎𝑎 ≤ 𝑥𝑥 ≤ 𝑏𝑏 , dan diberikan syarat tambahan, yaitu:
��𝑎𝑎 𝑖𝑖 𝑦𝑦 ( 𝑖𝑖 ) ( 𝑎𝑎 ) + 𝑏𝑏 𝑖𝑖 𝑦𝑦 ( 𝑖𝑖 ) ( 𝑏𝑏 ) + 𝑐𝑐 𝑖𝑖 𝑦𝑦 ( 𝑖𝑖 ) ( 𝑐𝑐 ) � 1 𝑖𝑖=0 = 𝜆𝜆
��𝛼𝛼 𝑖𝑖 𝑦𝑦 ( 𝑖𝑖 ) ( 𝑎𝑎 ) + 𝛽𝛽 𝑖𝑖 𝑦𝑦 ( 𝑖𝑖 ) ( 𝑏𝑏 ) + 𝛾𝛾 𝑖𝑖 𝑦𝑦 ( 𝑖𝑖 ) ( 𝑐𝑐 ) � 1 𝑖𝑖=0 = 𝜇𝜇
dengan 𝑎𝑎 ≤ 𝑐𝑐 ≤ 𝑏𝑏 , koefisien 𝑎𝑎 𝑖𝑖 , 𝑏𝑏 𝑖𝑖 , 𝑐𝑐 𝑖𝑖 , 𝛼𝛼 𝑖𝑖 , 𝛽𝛽 𝑖𝑖 , 𝛾𝛾 𝑖𝑖 , 𝜆𝜆 , dan 𝜇𝜇 adalah konstanta riil dan solusi (9) dinyatakan dalam bentuk deret berikut
𝑦𝑦 ( 𝑥𝑥 ) = � 1 𝑛𝑛 ! 𝑦𝑦 ( 𝑛𝑛 ) ( 𝑐𝑐 )( 𝑥𝑥 − 𝑐𝑐 ) 𝑛𝑛 , 𝑎𝑎 ≤ 𝑐𝑐 ≤ 𝑏𝑏 … (11) 𝑁𝑁 𝑛𝑛=0 yang mana persamaan (11) adalah polinomial Taylor berderajat 𝑁𝑁 dengan 𝑥𝑥 = 𝑐𝑐 , dengan 𝑦𝑦 ( 𝑛𝑛 ) ( 𝑐𝑐 ), 𝑛𝑛 = 0, 1, 2, … , 𝑁𝑁 adalah koefisien yang akan ditentukan.
4.1 Membentuk Persamaan Matriks dari Hubungan Rekursif Antara Koefisien Taylor
Misalkan sutu fungsi 𝑦𝑦 ( 𝑥𝑥 ) dan turunannya diasumsikan dapat diekspansi dalam deret Taylor disekitar 𝑥𝑥 = 𝑐𝑐 sebagai berikut
𝑦𝑦 ( 𝑥𝑥 ) = � 𝑎𝑎 𝑟𝑟 ( 𝑥𝑥 − 𝑐𝑐 ) 𝑟𝑟 … (12) ~ 𝑟𝑟=0
dan
𝑦𝑦 ( 𝑛𝑛 ) ( 𝑥𝑥 ) = � 𝑎𝑎 𝑟𝑟 ( 𝑛𝑛 ) ( 𝑥𝑥 − 𝑐𝑐 ) 𝑟𝑟 … (13) ~ 𝑟𝑟=0 selanjutnaya turunkan persamaan (13) terhadap 𝑥𝑥 sehingga diperoleh
𝑦𝑦 ( 𝑛𝑛+1 ) ( 𝑥𝑥 ) = � 𝑟𝑟𝑎𝑎 𝑟𝑟 ( 𝑛𝑛 ) ( 𝑥𝑥 − 𝑐𝑐 ) 𝑟𝑟−1 … (14) ~ 𝑟𝑟=1 kemudian ganti 𝑟𝑟 dengan 𝑟𝑟 + 1 , sehingga persamaan (14) dapat ditulis menjadi
𝑦𝑦 ( 𝑛𝑛+1 ) ( 𝑥𝑥 ) = � ( 𝑟𝑟 + 1) 𝑎𝑎 ( 𝑟𝑟+1 ) ( 𝑛𝑛 ) ( 𝑥𝑥 − 𝑐𝑐 ) 𝑟𝑟 … (15) ~ 𝑟𝑟=0
Berdasarkan persamaan (13), diperoleh
𝑦𝑦 ( 𝑛𝑛+1 ) ( 𝑥𝑥 ) = � 𝑎𝑎 𝑟𝑟 ( 𝑛𝑛+1 ) ( 𝑥𝑥 − 𝑐𝑐 ) 𝑟𝑟 … (16) ~ 𝑟𝑟=0
Selanjutnya, dengan menggunakan persamaan (15) dan (16) , diperoleh hubungan rekursif sebagai berikut
𝑎𝑎 𝑟𝑟 ( 𝑛𝑛+1 ) = ( 𝑟𝑟 + 1) 𝑎𝑎 ( 𝑟𝑟+1 ) ( 𝑛𝑛 ) ; 𝑟𝑟 , 𝑛𝑛 = 0,1,2, …                  … (17)
Misalkan 𝑟𝑟 = 0,1,2, … , 𝑁𝑁 dan asumsikan nilai 𝑎𝑎 𝑟𝑟 ( 𝑛𝑛 ) = 0 untuk 𝑟𝑟 > 𝑁𝑁 .  Kemudian dari persamaan (17) diperoleh 𝑨𝑨 ( 𝒏𝒏+𝟏𝟏 ) = 𝑴𝑴𝑨𝑨 ( 𝒏𝒏 ) , 𝑛𝑛 = 0,1,2, …                                     … (18) dengan
𝑨𝑨 ( 𝒏𝒏+𝟏𝟏 ) = ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡𝑎𝑎 0 ( 𝑛𝑛+1 ) 𝑎𝑎 1 ( 𝑛𝑛+1 ) 𝑎𝑎 2 ( 𝑛𝑛+1 ) ⋮ 𝑎𝑎 𝑁𝑁−1 ( 𝑛𝑛+1 ) 𝑎𝑎 𝑁𝑁 ( 𝑛𝑛+1 ) ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤ , 𝑴𝑴 = ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ 0 1 0 … 0 0 0 2 … 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 0 … 𝑁𝑁 0 0 0 … 0 ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤ , 𝑨𝑨 ( 𝒏𝒏 ) = ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡𝑎𝑎 0 ( 𝑛𝑛 ) 𝑎𝑎 1 ( 𝑛𝑛 ) 𝑎𝑎 2 ( 𝑛𝑛 ) ⋮ 𝑎𝑎 𝑁𝑁 ( 𝑛𝑛 ) ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤ berdasarkan persamaan (18) , diperoleh hubungan
𝑨𝑨 ( 𝟏𝟏 ) = 𝑴𝑴𝑨𝑨 𝑨𝑨 ( 𝟐𝟐 ) = 𝑴𝑴𝑨𝑨 ( 𝟏𝟏 ) = 𝑴𝑴𝑴𝑴𝑨𝑨 = 𝑴𝑴 𝟐𝟐 𝑨𝑨 𝑨𝑨 ( 𝟑𝟑 ) = 𝑴𝑴𝑨𝑨 ( 𝟐𝟐 ) = 𝑴𝑴𝑴𝑴 𝟐𝟐 𝑨𝑨 = 𝑴𝑴 𝟑𝟑 𝑨𝑨 ⋮ 𝑨𝑨 ( 𝒏𝒏 ) = 𝑴𝑴𝑨𝑨 ( 𝒏𝒏−𝟏𝟏 ) = 𝑴𝑴𝑴𝑴 ( 𝒏𝒏−𝟏𝟏 ) 𝑨𝑨 = 𝑴𝑴 𝒏𝒏 𝑨𝑨 … (19)
dengan
𝑨𝑨 ( 𝟎𝟎 ) = 𝑨𝑨 = [ 𝑎𝑎 0 𝑎𝑎 1 𝑎𝑎 2 … 𝑎𝑎 𝑁𝑁 ] 𝑇𝑇
Oleh karena itu, persamaan matriks (19) memberikan hubungan antara koefisien Taylor  matriks 𝑨𝑨 dari 𝑦𝑦 ( 𝑥𝑥 ) dan koefisien Taylor matriks 𝑨𝑨 ( 𝒏𝒏 ) dari turunan ke 𝑛𝑛 dari 𝑦𝑦 ( 𝑥𝑥 ) .
4.2 Metode  Taylor  –  Matrix  untuk Persamaan Diferensial Biasa Linier Orde 2
Untuk memperoleh solusi dari persamaan (9) yang dinyatakan dalam bentuk (11) yaitu
𝑦𝑦 ( 𝑥𝑥 ) = � 𝑎𝑎 𝑟𝑟 ( 𝑥𝑥 − 𝑐𝑐 ) 𝑟𝑟 , dengan 𝑎𝑎 𝑟𝑟 = 𝑦𝑦 ( 𝑟𝑟 ) ( 𝑐𝑐 ) 𝑟𝑟 ! , 𝑟𝑟 = 0,1,2, … , 𝑁𝑁 … (20) 𝑁𝑁 𝑟𝑟=0 asumsikan fungsi 𝑃𝑃 ( 𝑥𝑥 ) , 𝑄𝑄 ( 𝑥𝑥 ) , dan 𝑅𝑅 ( 𝑥𝑥 ) dapat dinyatakan dalam bentuk polinomial Taylor berderajat 𝑁𝑁 , sebagai berikut:
𝑃𝑃 ( 𝑥𝑥 ) = � 𝑝𝑝 𝑖𝑖 ( 𝑥𝑥 − 𝑐𝑐 ) 𝑖𝑖 , 𝑁𝑁 𝑖𝑖=0 𝑄𝑄 ( 𝑥𝑥 ) = � 𝑞𝑞 𝑖𝑖 ( 𝑥𝑥 − 𝑐𝑐 ) 𝑖𝑖 , 𝑁𝑁 𝑖𝑖=0 𝑅𝑅 ( 𝑥𝑥 ) = � 𝑟𝑟 𝑖𝑖 ( 𝑥𝑥 − 𝑐𝑐 ) 𝑖𝑖 𝑁𝑁 𝑖𝑖=0 … (21) selanjutnya persamaan (21) disubstitusi ke persamaan (9) , diperoleh
��𝑝𝑝 𝑖𝑖 ( 𝑥𝑥 − 𝑐𝑐 ) 𝑖𝑖 𝑦𝑦 ′′ + 𝑞𝑞 𝑖𝑖 ( 𝑥𝑥 − 𝑐𝑐 ) 𝑖𝑖 𝑦𝑦 ′ + 𝑟𝑟 𝑖𝑖 ( 𝑥𝑥 − 𝑐𝑐 ) 𝑖𝑖 𝑦𝑦� = 𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥 ) 𝑁𝑁 𝑖𝑖=0 … (22)
Bentuk matriks dari ekspansi Taylor secara umum, yaitu
( 𝑥𝑥 − 𝑐𝑐 ) 𝑝𝑝 𝑦𝑦 ( 𝑠𝑠 ) ( 𝑥𝑥 ) = 𝑿𝑿𝑪𝑪 𝑷𝑷 𝑨𝑨 ( 𝒔𝒔 ) … (23) berdasarkan hubungan dari persamaan (19) , diperoleh
𝑨𝑨 ( 𝒔𝒔 ) = 𝑴𝑴 𝒔𝒔 𝑨𝑨
maka persamaan (23) menjadi ( 𝑥𝑥 − 𝑐𝑐 ) 𝑝𝑝 𝑦𝑦 ( 𝑠𝑠 ) ( 𝑥𝑥 ) = 𝑿𝑿𝑪𝑪 𝑷𝑷 𝑴𝑴 𝒔𝒔 𝑨𝑨 , 𝑠𝑠 = 0, 1, 2; 𝑝𝑝 = 0, 1, 2, … , 𝐼𝐼 … (24)
dengan 𝑿𝑿 =  [1 ( 𝑥𝑥 − 𝑐𝑐 ) ( 𝑥𝑥 − 𝑐𝑐 ) 2 … ( 𝑥𝑥 − 𝑐𝑐 ) 𝑁𝑁 ]
dan
𝑪𝑪 𝒑𝒑 = �𝐶𝐶 𝑖𝑖𝑖𝑖 � ( 𝑁𝑁+1 )×( 𝑁𝑁+1 ) � 1; 𝑢𝑢𝑛𝑛𝑑𝑑𝑢𝑢𝑗𝑗 𝑖𝑖 − 𝑗𝑗 = 𝑝𝑝
0; 𝑠𝑠𝑑𝑑𝑠𝑠𝑎𝑎𝑖𝑖𝑛𝑛𝑛𝑛𝑦𝑦𝑎𝑎 Selanjutnya, diasumsikan fungsi 𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥 ) dapat diekspansi dalam deret Taylor dan dapat dinyatakan dalam bentuk matriks sebagai berikut:
𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥 ) = � 𝑓𝑓 𝑟𝑟 ( 𝑥𝑥 − 𝑐𝑐 ) 𝑟𝑟 𝑁𝑁 𝑟𝑟=0 atau dalam bentuk matriks [ 𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥 )] = 𝑿𝑿𝑿𝑿 … (25) persamaan (24) dan persamaan (25) disubstitusi ke persamaan (22) diperoleh
�� 𝑝𝑝 𝑖𝑖 𝑪𝑪 𝒊𝒊 𝑴𝑴 𝟐𝟐 𝑁𝑁 𝑖𝑖=0 + 𝑞𝑞 𝑖𝑖 𝑪𝑪 𝒊𝒊 𝑴𝑴 + 𝑟𝑟 𝑖𝑖 𝑪𝑪 𝒊𝒊 � 𝑨𝑨 = 𝑿𝑿 … (26)
secara singkat, persamaan (26) dapat ditulis dalam bentuk 𝑾𝑾𝑨𝑨 = 𝑿𝑿 … (27) dengan
𝑾𝑾 = [ 𝑊𝑊 𝑚𝑚𝑛𝑛 ] = �� 𝑝𝑝 𝑖𝑖 𝑪𝑪 𝒊𝒊 𝑴𝑴 𝟐𝟐 𝐼𝐼 𝑖𝑖=0 + 𝑞𝑞 𝑖𝑖 𝑪𝑪 𝒊𝒊 𝑴𝑴 + 𝑟𝑟 𝑖𝑖 𝑪𝑪 𝒊𝒊 � , 𝑚𝑚 , 𝑛𝑛 = 0,1,2, … , 𝑁𝑁 ; 𝐼𝐼 = 0,1, …
dengan demikian maka persamaan (27) dapat dibentuk matriks yang diperbesar, yaitu sebagai berikut:
[ 𝑾𝑾 ; 𝑿𝑿 ] atau 𝑾𝑾 ��� = ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡𝑤𝑤 00 𝑤𝑤 01 . . . 𝑤𝑤 0𝑁𝑁 ; 𝑓𝑓 0 𝑤𝑤 10 𝑤𝑤 11 . . . 𝑤𝑤 1𝑁𝑁 ; 𝑓𝑓 1 . . 𝑤𝑤 𝑁𝑁0 . . 𝑤𝑤 𝑁𝑁1 . . .   .     .   . . .  .  .     .    . . . . 𝑤𝑤 𝑁𝑁𝑁𝑁 ; 𝑓𝑓 𝑁𝑁 ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤ … (28)
berikutnya, dapat diperoleh bentuk matriks dari kondisi (10) dengan mengikuti persamaan (11) dan turunannya yang sama dengan persamaan matriks 𝑦𝑦 ( 0 ) ( 𝑥𝑥 ) = [1 ( 𝑥𝑥 − 𝑐𝑐 ) ( 𝑥𝑥 − 𝑐𝑐 ) 2 … ( 𝑥𝑥 − 𝑐𝑐 ) 𝑁𝑁 ] 𝑨𝑨 dan … (29) 𝑦𝑦 ( 1 ) ( 𝑥𝑥 ) = [0     1 2( 𝑥𝑥 − 𝑐𝑐 ) 3( 𝑥𝑥 − 𝑐𝑐 ) 2 … 𝑁𝑁 ( 𝑥𝑥 − 𝑐𝑐 ) 𝑁𝑁 ] 𝑨𝑨
dengan menggunakan persamaan (29) ,  maka 𝑦𝑦 ( 𝑖𝑖 ) ( 𝑎𝑎 ) , 𝑦𝑦 ( 𝑖𝑖 ) ( 𝑏𝑏 ) , dan 𝑦𝑦 ( 𝑖𝑖 ) ( 𝑐𝑐 ) ,
𝑖𝑖 = 0,1 , dapat ditulis sebagai berikut 𝑦𝑦 ( 0 ) ( 𝑐𝑐 ) = [1 0 0 … 0] 𝑨𝑨 𝑦𝑦 ( 0 ) ( 𝑎𝑎 ) = [1 ℎ ℎ 2 … ℎ 𝑁𝑁 ] 𝑨𝑨 𝑦𝑦 ( 0 ) ( 𝑏𝑏 ) = [1 𝑗𝑗 𝑗𝑗 2 … 𝑗𝑗 𝑁𝑁 ] 𝑨𝑨 … (30) 𝑦𝑦 ( 1 ) ( 𝑐𝑐 ) = [0 1 0 … 0] 𝑨𝑨 𝑦𝑦 ( 1 ) ( 𝑎𝑎 ) = [0 1 2ℎ … 𝑁𝑁ℎ 𝑁𝑁−1 ] 𝑨𝑨 𝑦𝑦 ( 1 ) ( 𝑏𝑏 ) = [0 1 2 𝑗𝑗 … 𝑁𝑁𝑗𝑗 𝑁𝑁−1 ] 𝑨𝑨
dengan ℎ = 𝑎𝑎 − 𝑐𝑐 dan 𝑗𝑗 = 𝑏𝑏 − 𝑐𝑐 Selanjutnya, persamaan (30) disubstitusi ke dalam persamaan (10) dan disederhanakan hingga dipeoleh bentuk matriks dari persamaan (10) , yaitu
𝑼𝑼𝑨𝑨 =   [ 𝜆𝜆 ]   dan 𝑽𝑽𝑨𝑨 =   [ 𝜇𝜇 ]
atau matriks diperbesar 𝑼𝑼� = [ 𝑢𝑢 0 𝑢𝑢 1 𝑢𝑢 2 … 𝑢𝑢 𝑁𝑁 ; 𝜆𝜆 ] dan 𝑽𝑽� = [ 𝑣𝑣 0 𝑣𝑣 1 𝑣𝑣 2 … 𝑣𝑣 𝑁𝑁 ; 𝜇𝜇 ] … (31)
dimana 𝑢𝑢 𝑖𝑖 dan 𝑣𝑣 𝑖𝑖 adalah konstanta yang berkaitan dengan koefisien 𝑎𝑎 𝑖𝑖 , 𝑏𝑏 𝑖𝑖 , 𝑐𝑐 𝑖𝑖 , 𝛼𝛼 𝑖𝑖 , 𝛽𝛽 𝑖𝑖 , dan 𝛾𝛾 𝑖𝑖 dalam persamaan (10) dan ℎ dan 𝑗𝑗 dalam persamaan (30) . Selanjutnya, dua baris terakhir dari matriks diperbesar (28) diganti dengan matriks diperbesar (31) , sehingga diperoleh
𝑾𝑾 ∗ ���� = ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ 𝑤𝑤 00 𝑤𝑤 01 … 𝑤𝑤 0𝑁𝑁 ; 𝑓𝑓 0 𝑤𝑤 10 𝑤𝑤 11 … 𝑤𝑤 1𝑁𝑁 ; 𝑓𝑓 1 ⋮ 𝑤𝑤 𝑁𝑁−2 , 0 𝑢𝑢 0 𝑣𝑣 0 ⋮ 𝑤𝑤 𝑁𝑁−2 , 1 𝑢𝑢 1 𝑣𝑣 1 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ … 𝑤𝑤 𝑁𝑁−2 , 𝑁𝑁 ; 𝑓𝑓 𝑁𝑁−2 … 𝑢𝑢 𝑁𝑁 ; 𝜆𝜆 … 𝑣𝑣 𝑁𝑁 ; 𝜇𝜇 ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤ … (32)
jika determinan 𝑾𝑾 ∗ ≠ 0 , maka dapat ditulis 𝑨𝑨 = ( 𝑾𝑾 ∗ ) −𝟏𝟏 𝑿𝑿 … (33) dengan demikian matriks 𝑨𝑨 atau koefisien 𝑎𝑎 𝑟𝑟 dapat ditentukan.

## 5. KESIMPULAN
Berdasarkan hasil dan pembahasan dalam penelitian mengenai solusi dari persamaan diferensial biasa linier orde 2 dalam bentuk polinomial Taylor maka dapat disimpulkan bahwa langkah-langkah untuk menyelesaikan persamaan diferensial biasa linier menggunakan metode Taylor-matrix  adalah sebagai berikut:
1. setiap fungsi pada persamaan diferensial biasa linier orde 2 diasumsikan dapat dinyatakan dalam bentuk polinomial Taylor berderajat 𝑁𝑁 , sehingga persamaan diferensial biasa linier orde 2 tersebut dapat ditulis dalam bentuk matriks 𝑾𝑾𝑨𝑨 = 𝑿𝑿 atau matriks diperbesar 𝑾𝑾 ���
2. syarat yang diberikan  pada persaman diferensial biasa linier orde 2 dibentuk menjadi matriks 𝑼𝑼� dan 𝑽𝑽�
3. dua baris terakhir dari matriks 𝑾𝑾 ��� diganti dengan matriks 𝑼𝑼� dan 𝑽𝑽� sehingga diperoleh matriks 𝑾𝑾 ∗ ����
4. solusi polinomial Taylor diperoleh dengan  menyelesaikan matriks 𝑾𝑾 ∗ ���� sehingga diperoleh matriks 𝑨𝑨 =  [ 𝑎𝑎 0 𝑎𝑎 1 𝑎𝑎 2 … 𝑎𝑎 𝑁𝑁 ] 𝑇𝑇 .
.
6. DAFTAR PUSTAKA
[1] Anton, Howard. 2000. Dasar-dasar Aljabar Linier Edisi Ketujuh. Interaksara. Batam.
[2] Ayres .JR, Frank. 1981. Theory  and Problem of differential Equations. Schaum’s Outline Series. Mc Graw Hill.
[3] Farlow, Stanly. J. 1994. An Introduction to Differential Equation and Their Application. Mc Graw Hill, Inc. USA.
[4] Finzio, N dan Ladas, G. 1988. Persamaan Diferensial Biasa Edisi Kedua. Erlangga. Jakarta.
[5] Kesan, Cenk. (2003). “ Taylor Polynomial Solution of Differential Equations” . Journal of Aplied Mathematics and Computation . 142, 155-156.
[6] Leon, Steven.J. 2001. Aljabar Linier dan Aplikasinya Edisi Kelima. Erlangga. Jakarta.
[7] Supranto, J. 1998. Pengantar Matrix Edisi Keenam. Rineka Cipta. Jakarta.
[8] Munir, Rinaldi. 2003. Metode Numerik. Informatika Bandung. Bandung.
[9] Stewart, James. 2003. Kalkulus Edisi Keempat. Erlangga. Jakarta.
[10] Zill, Dennis. G. 2005. A First Course Differential Equations with Modeling Applications Eighth Edition. Thompson Learning. Inc USA.