## Kajian Fraktal k-Fibonacci Word Menggunakan Natural Drawing Rule (Fractal k-Fibonacci Word Using Natural Drawing Rule)
Ulfi Mega Prastiwi, Kosala Dwidja Purnomo, Firdaus Ubaidillah Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Jember (UNEJ) Jln. Kalimantan 37, Jember 68121
E-mail : kosala.fmipa@unej.ac.id

## Abstrak
Fraktal k-Fibonacci Word dapat dibentuk dari suatu barisan khusus dari bilangan biner {0,1}. Barisan ini didefinisikan secara   rekursif   sebagai, f k , 0 = 0 , f k , 1 = 0 k − 1 1 ,   f k ,n = f k ,n − 1 k f k , n − 2 untuk n ≥ 2 d a n   k ≥ 1 .   Pembangkitan fraktal k-Fibonacci   word dapat   dilakukan   dengan   cara   memodifikasi   barisan   baru   yaitu   menggunakan   barisan Dense Fibonacci Word untuk menghasilkan kurva fraktal dengan menggunakan tiga digit {0,1,2}, kemudian untuk membangkitkan kurva fraktalnya menggunakan aturan garis sederhana yang disebut natural drawing rule . Tujuan dari penelitian ini adalah bagaimana cara menerapkan natural drawing rule untuk membangkitkan kurva fraktal k-Fibonacci Word dan mengetahui perubahan bentuk kurva generalisasi k genap dan k ganjil. Karakteristik yang diperoleh untuk barisan Dense Fibonacci word generalisasi k ganjil dan k genap berbeda untuk generalisasi k ganjil mempunyai kesamaan kurva F k − 2 , n sedangkan untuk generalisasi k genap mempunyai kesamaan kurva yaitu F k − 4 , n .
Kata Kunci: fraktal k-Fibonacci Word , barisan Dense Fibonacci Word , natural drawing rule

## Abstract
Fractal   k-Fibonacci   Word   can   be  formed   from   a  special   sequence   of   binary   numbers   {0,1}.This   sequence   is   defined recursively   as, f k , 0 = 0 , f k , 1 = 0 k − 1 1 ,   f k ,n = f k ,n − 1 k f k , n − 2 for n ≥ 2 a n d   k ≥ 1 .   The   fractal   generation   k- Fibonacci word can be done by modifying the new sequence ie using Dense Fibonacci Word sequence to generate fractal curves by using three digits {0,1,2,} then to generate the fractal curves can be generated by natural drawing rule. The purpose of this research is how to apply natural drawing rule to generate fractal k-Fibonacci Word curve and to know the change   of   curve   form   generalization   k   even   and   k   odd.   The   characteristics   obtained   for   the   Dense   Fibonacci   word generalization sequence k odd and k even different for the generalization of k odd have the same curve F k − 2 , n where as for generalization even k has the same curve ie F k − 4 , n .
Keywords: k-Fibonacci word fractal, Dense Fibonacci word, natural drawing rule.

## PENDAHULUAN
Ilmu   matematika   memberikan   pengetahuan   yang   luas dalam kehidupan era modern seperti saat ini. Matematika lebih berkembang pesat saat mulai ditemukannya teknologi komputer. Melalui komputer manusia lebih mudah dalam mempelajari   ilmu   pengetahuan   dalam   berbagai   bidang, salah   satunya   adalah   perhitungan   matematika.   Geometri fraktal merupakan salah satu cabang dari ilmu matematika yang berkembang pesat dengan adanya komputer.
Geometri   fraktal   adalah   ilmu   matematika   yang digunakan untuk mempelajari sifat-sifat dan prilaku fraktal yang tidak beraturan dan terpecah-pecah, serta mempelajari aspek-aspek rumit di alam sebagai suatu basis matematika [1].   Fraktal   berasal   dari   bahasa   latin   “ fractus” yang mempunyai   arti   patah   atau   bentuknya   tidak   beraturan. Fraktal   memiliki   sifat self-similarity ,   yaitu   setiap   bagian kecil   dalam   sebuah   fraktal   dapat   dipandang   sebagai replikasi skala kecil dari bentuk keseluruhan. Objek fraktal dibagi menjadi dua jenis yaitu himpunan fraktal dan fraktal alam.   Beberapa   contoh   dari   himpunan   fraktal   yaitu himpunan   Cantor,   segitiga   Sierpinski,   Koch   snowflake, Mandelbrot set dan Julia set. Sedangkan contoh dari fraktal
alam yaitu awan, gunung, jaringan sungai dan garis pantai [2].
Dumaine   [3]   mengatakan   bahwa   fraktal Fibonacci Word adalah salah satu jenis fraktal  yang dihasilkan dari barisan Fibonacci Word yang berisi angka 1 dan 0 yang mempunyai   makna   geometris   yaitu   menggambarkan segmen garis pada arah tertentu. Fibonacci Word kemudian berkembang salah satunya yaitu menjadi k-Fibonacci Word yang pertama kali diperkenalkan oleh Ramirez dan Rubiano [4]. Barisan dari k-Fibonacci Word ini dapat didefinisikan secara
rekursif
sebagai F k , 0 = 0 ; F k , 1 = 1 ;   F k , n + 1 F k , n + F k ,n − 1 n ≥ 1 n
menunjukkan   suku   ke- n dan k menunjukkan   generalisasi dari k-Fibonacci Word .
Pembangkitan fraktal k-Fibonacci Word menggunakan aturan   ganjil   genap   mengacu   berdasarkan   pada   barisan Fibonacci   Word ,   sedangkan   untuk   menggambar   barisan dari k-Fibonacci   Word dapat   dilakukan   dengan   cara memodifikasi   barisan   baru   sehingga   menjadikan   aturan menggambarnya lebih sederhana. Barisan Dense Fibonacci Word adalah salah satu modifikasi yang digunakan untuk
menghasilkan kurva fraktal dengan menggunakan tiga digit {0,1,2}, kemudian untuk membangkitkan kurva fraktalnya menggunakan aturan garis sederhana yang disebut natural drawing   rule . Natural   drawing   rule merupakan   aturan konstruksi   dengan   menghubungkan   suatu   kurva menggunakan gambar garis, mengikuti gerak dari  simbol barisan Dense Fibonacci Word [5].
Berdasarkan   uraian   di   atas,   penulis   tertarik   untuk mengkaji lebih lanjut mengenai pembangkitan kurva fraktal k-Fibonacci   Word berdasarkan   barisan Dense   Fibonacci Word dengan   menggunakan natural   drawing   rule dan memvisualisasikan   perubahan   genaralisasi   k  ganjil   dan  k genap menggunakan software Matlab .

## METODE PENELITIAN
Langkah-langkah yang dilakukan untuk menyelesaikan permasalahan ini diantaranya meliputi penafsiran fraktal k- Fibonacci   Word   berdasarkan   barisan   Dense   Fibonacci Word. Langkah awal untuk melakukan penelitian ini adalah dengan   cara   menafsirkan   fraktal   k-Fibonacci   Word berdasarkan barisan Dense Fibonacci Word. Pada langkah ini   akan   ditentukan   aturan   produksi   untuk   membangun fraktal k-Fibonacci Word. Bentuk fraktal k-Fibonacci Word juga   dapat   diperoleh   dari   hasil   aturan   produksi   dengan menggunakan aturan ganjil-genap. Berdasarkan aturan yang tersedia maka akan diperoleh beberapa aturan dari fraktal k- Fibonacci Word. Pada langkah selanjutnya akan dilakukan penafsiran fraktal k-Fibonacci Word menggunakan natural drawing rule secara grafis sesuai dengan hasil dari generasi dan aturan produksi yang telah diberikan. Penafsiran fraktal k-Fibonacci   Word   menggunakan   natural   drawing   rule secara   grafis   ini   akan   digambarkan   hingga   beberapa generasi sebagai pembanding dengan hasil visualisasi pada program. Langkah selanjutnya yaitu pembuatan program k- Fibonacci   Word   menggunakan   natural   drawing   rule. Algoritma program penerapan natural drawing rule dalam membangun   fraktal   k-Fibonacci   word   meliputi menggunakan aksioma dan aturan produksi yang telah ada untuk menafsifkan barisan k-Fibonacci Word dan barisan Dense Fibonacci Word, menggunakan aksioma dan aturan produksi untuk variasi kurva, mendefinisikan simbol untuk menggambar {0,1,2} sesuai dengan aturan natural drawing rule   dengan   posisi   titik   awal   adalah ( X 0 , Y 0 ) =( 0,0 ) menghadap utara dan mengiterasikan nilai generasi hingga iterasi ke-n berdasarkan aksioma dan aturan produksi yang diberikan.   Hasil   yang   diperoleh   dari   pembuatan   program adalah visualisasi fraktal k-Fibonacci Word yang digunakan untuk   mengetahui   perubahan   fraktal   k-Fibonacci   Word untuk k ganjil dan k genap secara visual. Analisis secara matematis juga digunakan untuk mengetahui perubahan k- Fibonacci   Word   untuk   k   ganjil   dan   k   genap   untuk mengetahui bentuk kurva k-Fibonacci Word. Berdasarkan definisi barisan k-Fibonacci  Word akan dikaji bagaimana identifikasi   perubahan   fraktal   k-Fibonacci   Word   untuk generalisasi k ganjil dan k genap .

## HASIL DAN PEMBAHASAN
Dalam tulisan ini barisan k-Fibonacci Word dinotasikan dengan f n sedangkan   barisan Dense   Fibonacci   Word
dinotasikan   dengan f n ' .   Kurva   fraktal k-Fibonacci   Word dapat  dibangkitkan  berdasarkan   barisan Dense   Fibonacci Word dengan   memulai   penafsiran n ≥ 3 karena   bentuk kurva   akan   lebih   terlihat   pada f 3 ' hingga f n ' untuk memperolah bentuk kurva yang memiliki kemiripan dengan kurva lainnya. Penafsiran grafis barisan Dense Fibonacci Word dibangkitkan   menggunakan natural   drawing   rule dengan   menggunakan   tiga   digit   [0,1,2] . Aturan menggambar natural   drawing   rule yaitu   jika   “0”   maka menggambar   suatu   segmen   garis,   jika   “1”   maka menggambar segmen garis dan berbelok ke kanan, jika “2” maka   menggambar   segmen   garis   dan   berbelok   ke   kiri, asumsikan sudut yang digunakan adalah π 2 dan posisi titik awal menghadap ke utara.
Gambar   1.   Kurva k-Fibonacci   Word (a) F 1,3 ,   (b) F 2,3 , (c) F 3,3 , (d) F 4,3 , (e) F 5,3 dan (f) F 6,3 .
Hasil   yang   diperoleh   pada   penafsiran   grafis   pada Gambar   1.   di   atas   menunjukkan   bahwa   dengan   barisan Dense  Fibonacci  Word yang mengandung beberapa  digit angka yang hampir sama tetapi didalamnya menghasilkan jumlah   segmen   garis   yang   berbeda,   meskipun   terlihat mempunyai bentuk pola yang sama.
Visualisasi fraktal k-Fibonacci Word untuk F 3,13 hingga F 3,18 dapat dilihat pada Gambar 2.
Gambar   2.   Visualisasi   Fraktal k-Fibonacci   Word untuk
(a) F 3,13 , (b) F 3,14 ,(c) F 3,15 , (d) F 3,16 , (e)
F 3,17 dan    (f) F 3,18
Hasil   visualisasi   fraktal k-Fibonacci   Word secara keseluruhan untuk nilai k tetap dan nilai n yang bervariasi ternyata menghasilkan bentuk kurva yang mempunyai pola yang   hampir   serupa   dengan   kurva   yang   sejajar   terhadap sumbu x .   Bentuk   kurva   fraktal k-Fibonacci   Word yang dihasilkan   mempunyai   kesamaan   dengan   bentuk   kurva fraktal Fibonacci   Word, sifat   kurva   fraktalnya   yaitu F n memiliki kemiripan dengan F n − 3 , sedangkan pada kurva k-Fibonacci   Word yaitu F k , n memiliki   kemiripan   dengan
F k , n − 3 . Karakteristik   barisan Dense Fibonacci   Word meliputi,   pada   barisan Dense Fibonacci   Word dan ditemukan dua digit 1 dan 2 sebanyak dua kali (11) dan (22) sedangkan   untuk   0   tidak   ditemukan   adanya   dua   digit   0 secara berturut-turut, selanjutnya yaitu pada barisan Dense Fibonacci   Word k ≥ 3 adalah   kebalikan   dari f 1 ' dan f 2 ' pada k ≥ 3 tidak ditemukan digit 1 dan 2 sebanyak  dua kali, melainkan ditemukan digit 0 secara berturut-turut dan terdapat sedikit perbedaan pada barisan Dense Fibonacci Word untuk   generalisasi   genap   dan   hal   ini   berpengaruh terhadap kurva fraktalnya itu sendiri. Untuk f 4 ' dan f 8 ' dalam barisannya   mengandung   perulangan   0   berjumlah   genap, sedangkan untuk f 2 ' , f 6 ' dan f 10 ' mengandung perulangan 0 berjumlah ganjil.
Gambar   3.   Kurva k-Fibonacci   Word (a) F 1,8 dan   (b) F 1,13
Gambar   4.   Kurva k-Fibonacci   Word (a) F 5,8 dan(b)
F 5,13
Gambar   5.   Kurva k-Fibonacci   Word (a) F 25,8 dan (b) F 25,13 .
Hasil   visualisasi   pada   Gambar   3,   Gambar   4,   dan Gambar   5   di   atas   menunjukkan   bahwa   gambar   (a) merupakan potongan bagian kecil dari gambar (b) semakin besar n yang diberikan maka kurva akan bertambah segmen garisnya,   meskipun   pada   gambar   (a)   terdapat   perbedaan sedikit pola pada tiap k ganjilnya tetapi bentuk keseluruhan kurva pada gambar (b) memiliki keserupaan pada setiap k generalisasi   ganjil, semakin  bertambahnya k dan n maka bentuk geriginya semakin tidak nampak hal ini disebabkan oleh sangat banyaknya segmen garis yang terbentuk.
Gambar   6.   Kurva k-Fibonacci   Word (a) F 4,8 dan   (b)
F 4,13
BERKALA SAINSTEK 2018, VI (2): 67-70
Gambar   7.   Kurva k-Fibonacci   Word (a) F 6,7 dan   (b)
F 6,13
Gambar   8.   Kurva k-Fibonacci   Word (a) F 8,7 dan   (b)
F 8,13
Gambar   9.   Kurva k-Fibonacci   Word (a) F 10,7 dan
(b) F 10,13
Gambar   10.   Kurva k-Fibonacci   Word (a) F 34,7 dan   (b) F 34,13
Hasil visualisasi pada Gambar 6 hingga Gambar 10 di atas menunjukkan bahwa gambar (a) merupakan potongan bagian kecil dari gambar (b), meskipun pada gambar (a) terdapat   perubahan   pola   dan   pergeseran   sedikit   segmen garisnya   tetapi   mempunyai   bentuk   keseluruhan   yang hampir   serupa   untuk F k − 4 , n dan   semakin   besar k dan n maka   akan   menghasilkan   bentuk   kurva   yang   konvergen
pada   bentuk   persegi.   Berdasarkan   langkah-langkah   yang telah   dilakukan   yaitu   penafsiran k-Fibonacci   Word berdasarkan   barisan Dense   Fibonacci   Word dan dibangkitkan dengan Natural Drawing Rule di atas untuk k ganjil   dan k genap   diperoleh   bahwa   kurva k-Fibonacci Word memenuhi   karakteristik   sebagai   fraktal   yaitu memiliki sifat self-similarity, self-affinity, self-inverse dan self-squaring .

## KESIMPULAN
Berdasarkan   hasil   dan   pembahasan,   diperoleh kesimpulan   bahwa   Fraktal k-Fibonacci   Word dapat dibangkitkan   menggunakan natural   drawing   rule berdasarkan   barisan Dense   Fibonacci   Word dengan   cara mengkonversi   bilangan   biner   ke   desimal   {0,1,2}   untuk setiap   pasangan   angka   dari   barisan   k- Fibonacci   Word menjadi   barisan Dense   Fibonacci   Word, dengan menggunakan metode natural drawing rule. Karakteristik fraktal k-Fibonacci  Word generalisasi k ganjil dan genap meliputi pada generalisasi k ganjil bentuk kurva fraktalnya hampir sama antara k ganjil  yang satu dengan  yang lain yaitu F k − 2 , n .   Pada   generalisasi k genap   bentuk   kurva fraktalnya mempunyai kesamaan yaitu F k − 4 , n , kurva k- Fibonacci   Word merupakan family   curve dari   fraktal Fibonacci   word karena   karakteristiknya   memiliki kemiripan.

## DAFTAR PUSTAKA
[1] Peitgen,   H.O.   dan   Soupe,   D.   1988. The   Science   of Fractal Images . New York: Springer-Verlag.
[2] Mandelbrot,   B.   B.   1977. The   Fractal   Geometry   of Nature . New York: W. H. Freeman and Company.
[3] Dumaine, A. M. 2009. The Fibonacci Word Fractal . https://hal.archivesouvertes.fr/file/index/docid/367972 /filename/The_Fibonacci_word_fractal.pdf.[11
November 2017].
[4] Ramirez, Jose L dan G.N.Rubiano. 2013. Properties and Generalizations of the Fibonacci Word Fractal. London: IOP Publishing.
[5] Wright,   D.   J. Dynamical   Systems   and   Fractals Lecture .
http://www.math.okstate /fractals/mathdept/dynamics/l ecnotes/lecnotes.html.[11November2017].