## PEMBELAJARAN SISTEM TRANSFORMASI MӦBIUS (𝓜,∘) SEBAGAI SARANA MENYAMPAIKAN KONSEP GRUP
Guntur Maulana Muhammad * Dan Iden Rainal Ihsan **
* Dosen Prodi Pendidikan Matematika FKIP Universitas Suryakancana ** Dosen Prodi Pendidikan Matematika FKIP Universitas Islam Nusantara Surel : guntur@unsur.ac.id irainalihsan@uninus.ac.id

## ABSTRAK
Transformasi  Mӧbius  dengan  bentuk  umum 𝑓 𝑧  = 𝑎𝑧 +𝑏 𝑐𝑧+𝑑 dengan 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 ∈ ℂ dan  Δ = 𝑎𝑑 − 𝑏𝑐 ≠ 0 membentuk  suatu  grup  terhadap  operasi  komposisi. Pembelajaran mengenai grup transformasi Mӧbius (ℳ,∘) dapat dijadikan sarana melakukan  proses  abstraksi  dan  generalisasi  dalam  kuliah  struktur  aljabar khususnya  pada  pembelajaran  grup.  Dalam  desain  pembelajarannya  terdapat ruang untuk mahasiswa dalam memeriksa suatu sistem termasuk grup atau tidak. Pembelajaran  dapat  pula  memberika  ruang  bagi  mahasiswa  untuk  memahami konsep  homomorfisma  dan  isomorfisma  suatu  grup.  Dalam  pembelajaran  ini mahasiswa diarahkan untuk  memahami bahwa grup 𝑃𝑆𝐿 2 (ℂ) isomorfis dengan grup ℳ,∘ yang  dapat  membri  ruang  bagi  mahasiswa  untuk  memahami isomorfisma grup.
Kata Kunci: Grup, Transformasi Mӧbius, Grup 𝑃𝑆𝐿 2 (ℂ)

## PENDAHULUAN
Dalam mempelajari konsep- konsep aljabar yang abstrak, diperlukan kesempatan untuk melakukan proses abstraksi, generalisasi,  dan  analogi.  Termasuk dalam kuliah struktur aljabar mengenai  grup,  mahasiswa  harus memiliki  ruang  atau  kesempatan melakukan proses abstraksi,
generalisasi, dan analogi.
Dalam  menyampaikan  konsep- konsep  abstrak  yang  fundamental dalam  aljabar  seorang  pendidik, dalam  hal  ini  dosen,  harus  dapat membangun pemahaman peserta didik,  dalam  hal  ini  mahasiswa. Dalam  menyampaikan  konsep  grup yang  abstrak,  dibutuhkan  jembatan atau  perantara  agar  mahassiwa  dapat memahaminya.  Pembelajaran  harus dapat  didesain  sedemikian  rupa
sehingga mahasiswa dapat memahami  konsep  abstrak  pada materi  grup.  Desain  pembelajaran yang diaplikasikan tentu harus memberi  ruang  kepada  mahasiswa untuk  melakukan  proses  abstraksi, generalisasi, dan analogi.
Perantara  yang  dapat  digunakan salah  satunya  adalah  pembelajaran sistem  transformasi  M ӧ bius (ℳ,∘) . Sistem tersebut merupaka suatu grup yang  dapat  dipelajari  strukturnya untuk  kemudian  dijadikan  sebagai perantara  bagi  mahasiswa  untuk memahami  konsep  grup.  Sistem  ini dapat  memberikan  gambaran  bagi mahasiswa  dalam  mempelajari  grup.
Pada pembelajaran sistem transformasi M ӧ bius (ℳ,∘) ,
mahasiswa  dapat  mengamati  dua grup sekaligus, yakni grup
transformasi M ӧ bius (ℳ,∘) dan grup matriks  bilangan  kompleks 2 × 2 atau 𝐺𝐿 2 (ℂ) .  Dalam  pembelajaran sistem  transformasi  M ӧ bius (ℳ,∘) mahasiswa difasilitasi untuk memahami konsep transformasi, matriks,  dan  bilangan  kompleks. Pada  artikel  ini  akan  dikaji  konsep grup apa saja yang
dapat disampaikan  melalui  pembelajaran sistem transformasi M ӧ bius ℳ,∘ . HASIL PENELITIAN
DAN PEMBAHASAN Transformasi M ӧ bius
Transformasi  M ӧ bius  dikenal  pula dengan istilah homographic transformations , linear  fractional transformations , atau bilinear transformations . Sebagai
penghormatan  dan  dedikasi  kepada yang  pertama  kali  menggali  materi ini,  yaitu  Auguste  Ferdinand  M ӧ bius (seorang  geometer  Jerman)  (Deaux, 2008: 127), dinamakanlah transformasi M ӧ bius yang didefinisikan sebagai berikut
𝑓 𝑧  = 𝑎𝑧 + 𝑏 𝑐𝑧 + 𝑑 , 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 ∈ ℂ, Δ

## = 𝑎𝑑 − 𝑏𝑐 ≠ 0
Terdapat  sifat  penting  mengenai ketidak-tunggalan dari koefisien transformasi M ӧ bius. Misalkan terdapat transformasi M ӧ bius 𝑓 𝑧  = 𝑎𝑧 +𝑏 𝑐𝑧 +𝑑 , yang disebut koefisien dalam  hal  ini  adalah 𝑎, 𝑏, 𝑐, dan 𝑑 . Apabila  terdapat 𝑘 ∈ ℂ yang  tidak sama dengan nol, maka 𝑎𝑧 + 𝑏 𝑐𝑧 + 𝑑 = 𝑓 𝑧  = 𝑘𝑎𝑧 + 𝑘𝑏 𝑘𝑐𝑧 + 𝑘𝑑
Dengan  sifat  ketidak  tunggalan  ini, transformasi  M ӧ bius  dan  inversnya dapat  direpresentasikan  secara  tidak unik.  Dengan  kata  lain  perkalian skalar  dengan  koefisien-koefisien transformasi  M ӧ bius  sama  sekali tidak merubah transformasinya
(Ihsan, 2015) Grup Transformasi M ӧ bius Berdasarkan definisi, transformasi  M ӧ bius  dapat  dikatakan sebagai  himpunan  tak  hampa.  Hal tersebut  dikarenakan  kita  dapat membentuk transformasi M ӧ bius dengan  memilih 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 ∈ ℂ, 𝑎𝑑 − 𝑏𝑐 ≠ 0 . Kemudian pada transformasi M ӧ bius berlaku juga operasi komposisi  fungsi.  Dengan  demikian transformasi  M ӧ bius  dengan  operasi komposisi  fungsi  membentuk  sistem matematika, misalkan kita simbolkan (ℳ,∘) .
Kita dapat memeriksa apakah operasi komposisi pada himpunan transformasi M ӧ bius terdefinisi
dengan  baik  atau  tidak.  Misalkan 𝑚 1 (𝑧) dan 𝑚 2 (𝑧) merupakan transformasi M ӧ bius dengan 𝑚 1 (𝑧)   = 𝑎 1 𝑧+𝑏 1 𝑐 1 𝑧+𝑑 1 dan 𝑚 1 (𝑧)   = 𝑎 2 𝑧+𝑏 2 𝑐 2 𝑧+𝑑 2 . sedemikian Sehingga
𝑚 1 ∘ 𝑚 2 𝑧  = 𝑎 1 ( 𝑎2𝑧+𝑏2 𝑐2𝑧+𝑑2 )+𝑏 1 𝑐 1 ( 𝑎2𝑧+𝑏2 𝑐2𝑧+𝑑2 )+𝑑 1 = 𝑎 1 𝑎 2 +𝑏 1 𝑐 2 𝑧+𝑎 1 𝑏 2 +𝑏 1 𝑑 2 𝑐 1 𝑎 2 +𝑑 1 𝑐 2 𝑧+𝑐 1 𝑏 2 +𝑑 1 𝑑 2 .
Kita dapat memeriksa bentuk tersebut merupakan transformasi
M ӧ bius  atau  bukan.  Dapat  kita  lihat dari bentuk terakhir Δ = 𝑎 1 𝑎 2 + 𝑏 1 𝑐 2 𝑐 1 𝑏 2 + 𝑑 1 𝑑 2 − 𝑐 1 𝑎 2 + 𝑑 1 𝑐 2 𝑎 1 𝑏 2 + 𝑏 1 𝑑 2 . Proses
aljabar dapat kita lanjutkan sedemikian hingga kita mendapatkan bentuk seperti berikut Δ = 𝑎 1 𝑑 1 𝑎 2 𝑑 2 − 𝑏 2 𝑐 2 − 𝑏 1 𝑐 1 𝑎 2 𝑑 2 − 𝑏 2 𝑐 2 =  𝑎 1 𝑑 1 − 𝑏 1 𝑐 1 (𝑎 2 𝑑 2 − 𝑏 2 𝑐 2 )
Dari pemisalan awal diketahui bahwa 𝑎 1 𝑑 1 − 𝑏 1 𝑐 1 ≠ 0 dan 𝑎 2 𝑑 2 − 𝑏 2 𝑑 2 ≠ 0 .  Dengan  demikian  karena  Δ ≠ 0 , maka 𝑚 1 ∘ 𝑚 2 merupakan transformasi M ӧ bius. Hal ini menunjukkan bahwa koleksi transformasi M ӧ bius tertutup terhadap operasi komposisi. Langkah selanjutnya akan diperiksa  apakah  semua  sifat  pada definisi grup berlaku atau tidak pada transformasi M ӧ bius. Untuk memeriksa  sifat  assosiatif  terlebih dahulu  kita  misalkan  transformasi M ӧ bius 𝑚 1 , 𝑚 2
; 𝑚 3 . Misalkan 𝑚 1 = 𝑎 1 𝑧+𝑏 1 𝑐 1 𝑧+𝑑 1 , 𝑚 2 = 𝑎 2 𝑧+𝑏 2 𝑐 2 𝑧+𝑑 2 , dan 𝑚 3 = 𝑎 3 𝑧+𝑏 3 𝑐 3 𝑧+𝑑 3 .  Dengan  proses  aljabar kita  dapat  menunjukkan 𝑚 1 ∘ (𝑚 2 ∘ 𝑚 3 )   =   (𝑚 1 ∘ 𝑚 2 ) ∘ 𝑚 3 . Sehingga
transformasi M ӧ bius terhadap operasi komposisi memenuhi sifat assosiatif. Transformasi atau fungsi identitas 𝑒(𝑧)   =  𝑧 dapat  dikatakan sebagai  suatu  transformasi  M ӧ bius.
Hal  tersebut  dikarenakan 𝑒(𝑧)   =  𝑧
memenuhi syarat transformasi
M ӧ bius, yakni nilai Δ ≠  0. Sehingga
dalam himpunan transformasi
terdapat  suatu  unsur  identitas 𝑒 , sedemikian sehingga 𝑒 ∘  𝑚  =  𝑚  = 𝑚  ∘ 𝑒, ∀𝑚 ∈ ℳ .  Sehingga  dalam sistem  transformasi  M ӧ bius  terhadap
operasi  komposisi,  terdapat  unsur identitas.
Pemeriksaan  dilanjutkan  dengan melihat  ada  atau  tidaknya  pada (ℳ,∘) invers untuk setiap anggotanya.  Untuk  setiap 𝑚(𝑧) transformasi  M ӧ bius,  kita  dapat mencari  inversnya (𝑚 −1 (𝑧)) .  Invers dari 𝑚(𝑧) adalah
𝑚 −1 𝑧  = −𝑑𝑧 +𝑏 𝑐𝑧−𝑎 .
Diketahui  Δ =    −𝑑  −𝑎  −  𝑏𝑐  = 𝑑𝑎 −  𝑏𝑐 ≠  0 ,  sehingga 𝑚 −1 (𝑧) juga merupakan transformasi M ӧ bius.  Dengan  terpenuhinya  sifat assosiatif, kemudian terdapatnya unsur  identitas  dan  untuk  setiap anggota  terdapat  inversnya,  maka (ℳ,∘) merupakan  grup  terhadap operasi komposisi.
Terdapat  suatu  koneksi  atau hubungan antara koleksi transformasi M ӧ bius  dengan  koleksi  matriks bilangan  kompleks  berorde 2 × 2 yang  memiliki  invers  (invertible). Misalkan 𝑚 1 , 𝑚 2 ∈ ℳ dengan 𝑚 1 (𝑧)   = 𝑎 1 𝑧+𝑏 1 𝑐 1 𝑧+𝑑 1 dan 𝑚 2 (𝑧)   = 𝑎 2 𝑧+𝑏 2 𝑐 2 𝑧+𝑑 2 ,  terdapat    matriks  bilangan kompleks  berorde 2 × 2 ,  misalkan 𝑀 1 dan 𝑀 2 yang berturut-turut dapat dikaitkan  dengan 𝑚 1 (𝑧) dan 𝑚 2 (𝑧).
Misalkan 𝑀 1 dan 𝑀 2 disajikan sebagai  berikut 𝑀 1 = 𝑎 1 𝑏 1 𝑐 1 𝑑 1 ,  dan
𝑀 2 = 𝑎 2 𝑏 2 𝑐 2 𝑑 2 dengan 𝑎 1 𝑑 1 − 𝑏 1 𝑐 1 ≠ 0 dan 𝑎 2 𝑑 2 − 𝑏 2 𝑐 2 ≠ 0 Sebagaimana  telah  dijelaskan sebelumnya 𝑚 1 ∘ 𝑚 2 𝑧  ∈ ℳ , begitu juga dengan 𝑀1 × 𝑀2 merupakan anggota dari grup matriks
bilangan  kompleks  yang  berorde 2 × 2 dengan  determinan  berbeda dengan  0,  atau  disebut 𝐺𝐿 2 (𝐶) . Penyelidikan  lebih  lanjut  dengan melihat  hubungan  antara 𝑀 1 ×  𝑀 2
dengan 𝑚 1 ∘ 𝑚 2 . Sebagaimana
diketahui,  hasil 𝑀 1 × 𝑀 2 adalah sebagai berikut
𝑀 1 × 𝑀 2 = 𝑎 1 𝑎 2 + 𝑏 1 𝑐 2 𝑎 1 𝑏 2 + 𝑏 1 𝑑 2 c 1 a 2 + d 1 c 2 c 1 b 2 + d 1 d 2 .
Matriks tersebut adalah matriks yang menyatakan koefisien dari transformasi (𝑚 1 ∘ 𝑚 2 )(𝑧) .  Dengan demikian  terdapat  hubungan  atau pengaitan dari grup 𝐺𝐿 2 (ℂ) ke ℳ .
Pengaitan  dari 𝐺𝐿 2 (ℂ) ke ℳ terdapat juga ketika membahas unsur
identitas  dan  invers.  Sebagaimana telah  dibahas,  unsur  identitas  pada ℳ adalah  pemetaan  identitas  yaitu 𝑒(𝑧)   =  𝑧. Berikut ini adalah matriks yang dapat dikaitkan dengan pemetaan identitas
𝐼  =  1 0 0 1
Matriks  tersebut  adalah  matriks identitas  di  grup 𝐺𝐿 2 (ℂ) .  Kemudian apabila kita membahas invers, matriks 1 𝑎𝑑 −𝑏𝑐 𝑑 −𝑏 −𝑐 𝑎 sebagai
invers dari matriks 𝑀 1 dapat dikaitkan  dengan  invers  dari 𝑚 1 . Pengaitan  tersebut  dapat  dilakukan berdasarkan  ketidak  tunggalan  dari koefisien transformasi M ӧ bius.
Misalkan 𝑎𝑑 − 𝑏𝑐  =  𝑘 ,  maka  kita dapat  mengalikan  setiap  koefisien dari 𝑚 1 −1 (𝑧) dengan − 1 𝑘 sedemikian sehingga 𝑚 1 −1 𝑧  = 𝑑 𝑘 𝑧+ −𝑏 𝑘 −𝑐 𝑘 𝑧+ 𝑎 𝑘 .  Dengan demikian  terlihat  jelas  bahwa 𝑀 −1 dapat dikaitkan dengan 𝑚 −1 .
Dari  penjelasan  yang  telah dipaparkan,  dapat  dikatakan  terdapat suatu  pengaitan  dari  grup 𝐺𝐿 2 (ℂ) terhadap  grup  ke ℳ .  Misalkan pengaitan tersebut adalah 𝛿 ∶
𝐺𝐿 2 ℂ  →  ℳ Pengaitan 𝛿 tersebut
merupakan suatu homomorfisma
grup.
Pengaitan  berdasarkan  struktur aljabar  dapat  dikaji  lebih  lanjut.
Terdapat  pengaitan  grup ℳ dengan grup  matriks  bilangan  kompleks
2 × 2 dengan  determinan  sama dengan  1  yaitu 𝑆𝐿 2 (ℂ) .  Terdapat pula  kaitan  antara  grup ℳ dengan grup  kuosien  dari  grup 𝑆𝐿 2 (ℂ) yaitu 𝑆𝐿 2 (ℂ)/±𝐼 atau  grup  yang  diberi nama 𝑃𝑆𝐿 2 (ℂ) . Berdasarkan teorema isomorfisma  grup,  dapat  dikatakan grup 𝑃𝑆𝐿 2 ℂ isomorfis dengan grup ℳ .  Hal  tersebut  berdampak ∀𝑚 ∈ ℳ dapat  dikaitkan  dan  disajikan dengan  bentuk ±𝑀 dengan 𝑀 ∈ 𝑃𝑆𝐿 2 (ℂ) .  Dengan  penyajian  dalam bentuk  matriks,  nilai  trace  dapat digunakan dalam mengklasifikasikan penyajian geometris dari transformasi M ӧ bius. Hubungan pengaitan-pengaitan  tersebut  dapat disajikan  dalam  bentuk  gambar sebagai berikut
Gambar 1 . Hubungan 𝑆𝐿 2 (ℂ) , 𝑃𝑆𝐿 2 ℂ , dan ℳ
Sumber : Ihsan (2015)
Relevansi Pembelajaran Sistem Transformasi M ӧ bius terhadap
Penyampaian Konsep Grup Melalui  pembelajaran  sistem transformasi M ӧ bius, mahasiswa memiliki  ruang  untuk  mempelajari konsep grup. Diawali dari memeriksa suatu  operasi  koposisi  terdefinisi dengan baik atau tidak pada himpunan transformasi M ӧ bius (ℳ) . Pada  proses  tersebut  mahasiswa dapat  diarahkan  untuk  memahami pengertian  dari  sifat  tertutup  suatu operasi.
Pembelajaran  dapat  dilanjutkan pada  proses  pemeriksaan  struktur sistem  transformasi  M ӧ bius (ℳ,∘) .
Mahasiswa  diarahkan  untuk  dapat menunjukkan bahwa ℳ,∘
merupakan  suatu  grup.  Mahasiswa dapat  diarahkan  untuk  memahami konsep sifat assosiatif pada operasasi komposisi.  Mahasiswa  diarahkan pula  untuk dapat menunjukkan
adanya unsur identitas, yaitu
transformasi identitas 𝑒 𝑧  = 𝑧, ∀𝑧 ∈ ℂ .  Kemudian  mahasiswa  diarahkan untuk dapat menunjukkan dan meyakinkan  bahwa  setiap  unsur  di
ℳ memiliki  invers  terhadap  operasi komposisi.  Mahasiswa  diharapkan dapat beragumen dengan valid mengenai  kepastian  setiap  unsur memiliki invers. Pembelajaran  dilanjutkan  pada
proses  yang  sama,  namun  pada himpunan  dan  sistem  yang  berbeda. Pembelajaran  dapat  dilanjutkan  pada pembahasan  grup  matriks  bilangan kompleks berorde 2 × 2 yang memiliki invers yang disebut 𝐺𝐿 2 (ℂ) .    Pembelajaran  berlanjut pada  pembahasan  grup  matriks bilangan kompleks 2 × 2 yang memiliki  determinan  sama  dengan  1 yakni 𝑆𝐿 2 (ℂ)
Pada pembelajaran dapat diperkenalkan  pula  contoh  grup kuosien,  yakni 𝑆𝐿 2 (ℂ)/± atau  grup yang  diberi  nama 𝑃𝑆𝐿 2 (ℂ) .  Setelah proses  tersebut,  mahasiswa  dapat diarahkan untuk mengetahui hubungan ℳ,∘ , 𝐺𝐿 2 ℂ , 𝑆𝐿 2 (ℂ) , dan 𝑃𝑆𝐿 2 (ℂ) . Dengan proses tersebut, terdapat ruang bagi mahasiswa untuk memahami isomorfisma grup.

## KESIMPULAN
Berdasarkan pembahasan terdapat  beberapa  konsep  grup  yang dapat disampaikan melalui pembelajaran mengenai sistem transformasi M ӧ bius ℳ,∘ . Mahasiswa  dapat  diarahkan  untuk memahami  sifat  ketertutupan  dari suatu  operasi.  Mahasiswa  dapat  pula diarahkan  untuk  menunjukan  suatu sistem  termasuk  grup  atau  bukan. Dengan  pengaitan  dengan 𝐺𝐿 2 ℂ , 𝑆𝐿 2 (ℂ) ,  dan 𝑃𝑆𝐿 2 (ℂ) mahasiswa
dapat  diarahkan  untuk  memahami konsep  grup  kuosien.  Kemudian dengan  pengaitan  tersebut  pula, mahasiswa  dapat  diarahkan  untuk memahami konsep isomorfis.
Dengan  proses  ini  mahasiswa memiliki ruang untuk mengembangkan pemahamannya untuk  memahami  konsep  abstrak. Pembelajaran mengenai sistem transformasi M ӧ bius ℳ,∘ dipandang cocok, karena selain dapat menjadi sarana menyampaikan konsep abstrak, pembelajaran membantu  mahasiswa  berpikir  lebih general,  tidak  terpaku  pada  sistem bilangan  saja.  Mahasiswa  diberi ruang untuk  mempelajari grup selain dari sistem bilangan.
Sebagai  bahan  lanjutan,  dapat dilakukan  penelitian-penelitian  dan kajian-kajian yang dapat memperkaya  pembahasan  ini.  Dapat diteliti  ada  atau  tidaknya  pengaruh pembelajaran  sistem  transformasi M ӧ bius terhadap pemahaman mahasiswa  mengenai  konsep  grup. Kemudian  dapat  dikaji  pula  secara lebih lanjut mengenai sistem transformasi  M ӧ bius  agar  dapat menjembatani  penyampaian  konsep grup  yang  lebih  lanjut  seperti  kelas konjugasi dan lain sebagainya.

## DAFTAR RUJUKAN
Arifin, Ahmad 2000. Aljabar . Bandung: Penerbit ITB. Anderson, James W. 2005. Hyperbolic Geometry , London: Springer-Verlag. Budhi, Wono S. 2003. Langkah Awal Menuju ke Olimpiade Matematika. Jakarta: C.V. Ricardo. Deaux, Roland. 2008. Introduction to The Geometry of Complex
Numbers. New  York:  Dover
Publications Inc.
Ihsan,  Iden  R.  2015. Klasifikasi Geometris  dari  Transformasi M ӧ bius . Tesis. Institut Teknologi Bandung. Tidak diterbitkan.
Jones,  Gareth  A  &  Singerman,
David.  1987. Complex  Function
:  An  Algebraic  and  Geometric
Viewpoint . Cambridge: Cambridge University. Needham,  Tristan.  1997. Visual Complex Analysis. Oxford: Oxford University Press.
Olsen,  John.  2010. The  Geometry  of M ӧ bius Transformations. Rochester: University of Rochester. Schwerdtfeger, Hans. 1980. Complex Numbers: Circle Geometry, Mobius  Transformation,  Non-
Euclidean Geometry . New York:
Dover Publication Inc.
Tall,  David  (Ed)  2002, Advance
Mathematical  Thinking. New York: Kluwer Academic Publisher.
Yaglom,  I.  M.  1968. Complex Numbers  in  Geometry. London: Academic Press.