Modeling Dengue Fever by using Conditional Autoregressive Bessag-York-Mollie *
Jajang 1 , Budi Pratikno 2‡ , and Mashuri 3
1,2,3 Department of Mathematics, University of Jenderal Soedirman, Indonesia
‡ corresponding author: jajang@unsoed.ac.id
Copyright © 2022 Jajang, Budi Pratikno, and Mashuri.  This is an open-access article distributed under the  Creative  Commons  Attribution  License,  which  permits  unrestricted  use,  distribution,  and reproduction in any medium, provided the original work is properly cited.

## Abstract
Dengue  fever  is  a  tropical  disease  caused  by  the  dengue  virus.    The  small proportional  of  this  dengue  fever  disease  can  develops  into  a  more  severe  dengue hemorrhagic fever (DHF). This research discussed about the model for disease mapping in  Ciamis  District.      The  purpose  of  this  research  is  to  characterize  relative  risk  and factors  correlated  with  case  DHF.    Independent  variables  used  in  this  research  are population density, attitude of region, and the number of health worker. To analysis this data,  we  used  conditional  autoregressive  Bessag-York-Mollie  (CAR-BYM)  model. Based on descriptive statistic, the maximum and minimum DHF cases are Ciamis and Sukamantri,  respectively.    Furthermore,  basedon  model  results,  we  found  that  the maximum  and  minimum  relative  risk  are  Cijeungjing  and  Sukamantri,  respectively. Furthermore, there were 7 sub districts which relative risk are greater than one and 20 sub districts which relative risk are less than one.  The sub districts which relative risk are  greater  than  one  show  that  DHF  cases  in  these  sub  districts  are  greater  than expectation.    Based  on  the  CAR-BYM  model  result  showed  that  Each  increase  the population density by one unit contributes to the addition of DHF cases by 0.0012 units. Each additional health worker one unit, it will reduce the number of DHF cases by 0.0675 units. Each additional altitude of one unit will reduce the number of dengue cases by 0.0011 units.  Based on relative risk (RR) value of the CAR-BYM model we found that the Cijengjing and Ciamis Districts have darkest color.  The RR values in the two sub- districts are 3,449 and 3,240, respectively. The RR values of the two sub-districts are more than expected values.
Keywords : DHF, mapping, CAR-BYM, relative risk.
* Received: Sep 2021; Reviewed: Apr 2022; Published: May 2022

## 1.  Pendahuluan
Penyajian  data  untuk  mendapatkan  informasi  dalam  data  dan  mudah  ditangkap merupakan  salah  satu  tujuan  dalam  analisis  data.    Dalam  bidang  epidemiologi, khususnya penyakit menular penyajian informasi yang tepat sangat membantu untuk lebih  cepat  melakukan  penanganan.    Analisis  statistik  deskripsi  merupakan  teknik statistic  yang  sederhana  untuk  menggambarkan  data,  namun  analisis  ini  tidak digunakan  untuk  menarik  kesimpulan  lebih  jauh.    Oleh  karena  itu  kajian  melalui pemodelan diperlukan.
Kajian pola persebaran persebaran data, khususnya penyakit menular di sebuah wilayah,  menarik  untuk  dikaji.    Hal  ini  karena  sifat  dari  independensi  yang  menjadi asumsi statistika klasik tidak terpenuhi.  Metode yang diperlukan untuk analisa  data pola ini adalah metode yang dapat mengakomodasi adanya dependensi spasial.  Disisi lain, sajian hasil analisa juga sangat perlu untuk mendapatkan informasi dalam data. Salah satu penyajian untuk analisa data seperti persebaran penyakit adalah melalui disease mapping. Dalam penelitian ini adalah kasus deman berdarah dengue.
Disease mapping bermanfaat untuk memberikan gambaran bagaimana distribusi geografis  dari disease  burden dan disease  incident berdasarkan  tingkat  resikonya. Informasi relative risk sebuah penyakit yang disajikan melalui pemetaan akan mudah ditangkap dengan cepat, terutama ketika menggunaan degradasi warna. Clustering terhadap relative risk (RR) disease mapping mirip dengan sajian hotspot model spasial umum, misalnya dalam penentuan landscap oleh (Nelson & Boots, 2008).
Dalam pemodelan data spasial khususnya terkait pola sebaran penyakit, adanya pengaruh  spasial  diatasi  dengan  melibatkan  matriks  pembobot  spasial  (W)  dalam model.    Elemen  matriks  W  yang  umum  digunakan  bernilai  1  jika  antar  wilayah berdekatan dan 0 jika tidak berdekatan atau dengan dirinya sendiri. Salah satu model untuk data spasial adalah model conditional autoregressive (CAR).  Model CAR telah banyak digunakan dalam analisis disease mapping (Lawson, 2018a; Obaromi, 2019a). Lebih  lanjut,  model  CAR  juga  telah  dikembangkan  oleh  Bessag  York  Mollie  yang dikenal Model CAR-BYM. Model ini sudah banyak diaplikasikan (Cheng, Norris, Bao, Liang,  Hu,  Wu,  Tang,  Liu,  Ding,  &  Zhao,  2012;  Zhi-Hang,  Yue-Jia,  Reilly,  Lu,  Qian- Qian, Zheng-Wei, Guo-Wei, Ke-Qin, Rong-Bin, & Feng, 2011).  Keuntungan dari model CAR-BYM adalah dapat mengakomodir adanya aspek spasial dan non-spasial yang diakibatkan adanya kehetoregan kasus antar wilayah.
Dalam model CAR, permasalah yang sering muncul adalah estimasi parameter. Metode estimasi parameter yang umum seperti estimasi ordinary least square (OLS) atau maximum likelihood estimation (MLE) menjadi kurang sesuai digunakan dalam estimasi parameter model ini.   Metode Bayes dengan dengan Marcov Chain Monte Carlo (MCMC) merupakan metode yang seringkali digunakan oleh beberapa peneliti (Han & Lee, 2013a; Hendricks & Neumann, 2020a; MacNab et al., 2004a; Srinivasan & Venkatesan, 2014a; Stern & Cressie, 2000a).
Kabupaten Ciamis merupakan salah satu dari 27 kabupaten/kota yang berada di Provinsi Jawa Barat. Kasus demam berdarah dengue (DBD) di Kabupaten Ciamis
tahun  2019  meningkat  dari  tahun-tahun  sebelumnya.  Penelitian  ini  bertujuan  untuk mengkarakterisasi relative risk kasus DBD kecamatan – kecamatan di di Kabupaten Ciamis  dengan  model  CAR-BYM  dan  mengidentifikasi  faktor  yang  mempengaruhi kasus DBD di Kabupaten Ciamis.  Dalam penelitian ini faktor-faktor yang digunakan adalah kepadatan penduduk, jumlah tenaga kesehatan dan ketinggian wilayah.

## 2.  Metodologi

## 2.1  Bahan dan Data
Data yang digunakan dalam penelitian ini adalah data sekunder yang diperoleh dari dinas  Kesehatan  Kabupaten  Ciamis  dan  data  pendukung  yang  diperoleh  dari informasi  BPS  Kabupaten  Ciamis  tahun  2020.    Variabel  penelitian  yang  digunakan antara lain jumlah kasus DBD sebagai variabel respon, sedangkan variabel prediktor yang  digunakan  antara  lain  kepadatan  penduduk,  jumlah  tenaga  keshatan  yang meliputi jumlah bidan, jumlah tenaga kesehatan masyarakat, jumlah tenaga kesehatan lingkungan, ketinggian wilayah kecamatan di atas permukaan laut (dpl).

## 2.2  Matriks pembobot spasial
Data area merupakan salah satu dari data spasial disamping data point refereren ce dan point pattern (Gaetan & Guyon, 2010a).  Apabila D merupakan wilayah yang terdiri dari sub-sub wilayah yang tidak beririsan, maka tipe data area mempunyai karakteristik dimana D yang bersifat tetap dipartisi ke dalam jumlah berhingga unit area  (Sudipto Banerjee et al., 2014; Noel AC Cressie, 1993).  Matriks pembobot spasial ( W ) adalah matriks nxn tak  negatif  yang  menspesifikasi  himpunan  ketetanggaan  untuk  setiap observasi.  Matriks W yang  umum  yang  sering  digunakan  adalah  menggunakan informasi geografis ( spatial contiguity , jarak invers ( inverse distance ) dan k tetangga terdekat  ( k-nearest  neighbors,  k-NN ).    Matriks W dengan  konsep  jarak  geografis, bernilai  1 untuk antar  area yang saling berdekatan dan bernilai  0 untuk  antara area yang berjauhan.

## 2.3  Model Poison Log Normal
Model condtional autoregressive (CAR) didasari oleh model Poisson-Lognormal. Oleh karena itu, sebelum memasuki model CAR, maka kajian awal yang diperlukan adalah model Poisson-Lognormal.
Model Poisson-Lognormal diturunkan dari campuran distribusi Poisson dengan lognormal.  Model ini mengasumsikan bahwa parameter Poisson mempunyai tingkat heteroskedastisitas signifikan sehingga parameter tersebut perlu dimodelkan kembali. Model  regresi  Poisson  digunakan  untuk  mengestimasi relative  risk ,  untuk  suatu wilayah spasial.
Misalkan 𝒀 𝒊 , i=1,2,…,n adalah variabel acak yang mengikuti distribusi Poisson 𝒀 𝒊 ~𝑷𝑶𝑰(𝝁 𝒊 ), dan 𝝁 𝒊 = 𝑬 𝒊 𝜽 𝒊 , maka fungsi masa probabilita Yi dapat dinyatakan dengan
𝑷( 𝒀 𝒊 = 𝒚 𝒊 ) = 𝒆 −𝑬𝒊𝜽𝒊 (𝑬 𝒊 𝜽 𝒊 ) 𝒚𝒊 𝒚 𝒊 ! , 𝒊 = 𝟏, … , 𝒏 (1)
Jika 𝜽 𝒊 = exp (𝜼 𝒊 ) , maka parameter mean ( μ i ) dapat dituliskan kembali sebagai μ i = E i exp(η i ) .  Perhatikan  bahwa 𝜽 𝒊 = exp (𝜼 𝒊 ) tidak  identik, oleh  karena  itu  dapat dimodelkan  lebih  lanjut  menjadi η i = x i ′ β + ν i ,  dengan x i adalah  vector  variabel prediktor.  Lebih lanjut, μ i dapat dituliskan kembali menjadi
𝝁 𝒊 = 𝑬 𝒊 𝑒𝑥𝑝 ( 𝑥 𝑖 ′ 𝜷 + 𝝂 𝒊 , ) . (2)
Berdasarkan karakteristik exponential family distribution (McCullagh & Nelder, 1989b),  dan  fungsi  massa  probabilitas  Poisson  dengan  mean 𝝁 𝒊 seperti  pada persamaan  (1),  maka  fungsi  penghubung  ( link  function ) yang  digunakan  adalah  log (disini mengambil basis e)
log(𝝁 𝒊 ) = 𝑙𝑜𝑔(𝑬 𝒊 ) +  𝑥 𝑖 ′ 𝜷 + 𝝂 𝒊 , (3)
dengan 𝜇 𝑖 adalah  mean  dari  Yi, log(𝐸 i ) adalah  offset, 𝒙 𝒊 adalah  vektor  variabel prediktor, 𝜷 adalah vektor parameter, dan 𝜈 i adalah komponen error acak.

## 2.4  Model Intrinsic Conditional Autoregressive (ICAR)
Data  area  terdiri  dari  sekumpulan  wilayah  terbatas  dengan  batas-batas  yang  jelas yang  masing-masing  memiliki  satu  pengukuran  yang  dikumpulkan  dari  populasinya. Jumlah  peristiwa  jarang  terjadi  di  sebuah  wilayah  kecil  merupakan  sebuah noisy . Kajian  menarik  dari  fenomena  ini  adalah  pengilangan noisy .    Model Conditional Autoregressive (CAR)  merupakan  model  yang  relevan  digunakan  untuk  kasus  ini. Model CAR mengasumsikan bahwa struktur dependensi spasial untuk distribusi error diketahui  (Feng  et  al.,  2016a).    Model  Gaussian  CAR  adalah  model  yang  banyak digunakan  dalam  analisis  interaksi  spasial  dan  analisis Bayesian  image yang  dapat menggambarkan interaksi antar variabel acak di lokasi dalam ruang Euclid (Besag & Kooperberg, 1995a).
Jika diberikan sebuah wilayah 𝑁 yang terdiri dari sub-sub wilayah 𝑁 i yang tidak tumpang  tindih,  setiap  sub  area  yang  saling  bertetangga  yang  mempunyai  batas bersama,  diberi  bobot  1  dan  selainnya  diberi  bobot  0.    Interaksi  spasial  antara pasangan wilayah i dan j dapat dimodelkan sebagai normal bersyarat, 𝝂 𝒊 |𝝂 𝒊≠𝒋 ~𝑵(∑ 𝝋 𝒊𝒋 𝒗 𝒋 𝒊≠𝒋 , 𝝉 𝝂 𝟐 ) , 𝑬(𝝂 𝒊 |𝝂 𝒊≠𝒋 ) = ∑ 𝝋 𝒊𝒋 𝒋𝝐𝑵 𝒊 (𝒗 𝒋 − 𝝁 𝒊 ) , dan
𝑉𝑎𝑟(𝝂 𝒊 |𝝂 𝒊≠𝒋 ) = 𝝉 𝝂 𝟐 , 𝑵 𝒊 unit spasial tetangga i.  dengan demikian fungsi densitas peluang (pdf) dari
𝒇(𝝂 𝒊 |𝝂 𝒊≠𝒋 𝝐𝑺) = ( 𝟏 𝟐𝝅𝝉 𝒊 𝟐 ) 𝟏 𝟐 𝒆𝒙𝒑 (− 𝟏 𝟐 ∑ ((𝒗 𝒋 −𝝁 𝒊 )𝝆 ∑ 𝝋 𝒊𝒋 𝒋𝝐𝑵𝒊 (𝒗 𝒋 −𝝁 𝒊 )) 𝟐 𝝉 𝒊 𝟐 𝒏 𝒊=𝟎 ) (4)
𝝁 𝒊 𝝐𝑹 , 𝝉 𝒊 𝟐 𝝐𝑹 + , |𝝆| < 𝟏 , 𝝋 𝒊𝒋 = 𝝋 𝒋𝒊 , dan 𝝋 𝒊𝒊 =0, dimana 𝜑 𝑖𝑗 merupakan ukuran proksimitas. Lebih  lanjut,  dalam  aplikasi  dan  pemodelan  spasial  seperti  dalam  model spatial autoregressive (SAR),  digunakan  notasi  matriks 𝑊 = (𝒘 𝒊𝒋 ) , 𝒘 𝒊𝒋 = 𝟎 untuk i = j dan 𝒘 𝒊𝒋 = 𝝋 𝒊𝒋 untuk  selainnya.      Umumnya  nilai 𝝋 𝒊𝒋 didasarkan  pada ukuran  jarak geografis,  seperti  bernilai  1  jika  berbatasan,  atau  berada  tidak  lebih  dari  jarak  yang ditentukan.

## 2.5  Model Conditional Autoregressive –BYM (CAR-BYM)
Model Conditional  Autoregressive – Bessag-York-Mollie ( CAR-BYM)  adalah  model Poisson log normal yang dikembangkan.   Model ini mencakup komponen ICAR untuk penghalusan  spasial  dan  komponen  efek  acak  untuk  heterogenitas  non-spasial. Model Conditional Autoregressive –BYM (CAR-BYM) adalah model CAR pada dengan mengambil
𝜂 𝑖 = 𝜇 + 𝑥 ′ 𝑖 𝛽 + 𝜙 𝑖 + 𝜃 𝑖 , 𝑖 = 1,2, … , 𝑛 , (5)
dengan 𝛽 adalah  vektor  koefisien  regresi, 𝜙 𝑖 adalah  komponen  ICAR, 𝜇 =  rata-rata level risk, dan 𝜃 𝑖 = efek acak komponen heterogenitas non-spasial.
Model pada persamaan (5) dapat mengakomodasi komponen spasial ( 𝜙 𝑖 ) dan komponen  non  spasial  ( 𝜃 𝑖 )  untuk  efek  pengaruh  overdispersi  yang  tidak  bisa dipecahkan dengan regresi Poisson biasa.  Pada model Conditional Autoregressive – BYM  (CAR-BYM)  Karena  sifatnya  yang  conditional  Estimasi  parameter  dengan metode  Bayes  merupakan  pilihan  dalam  hal  ini  karena  selain  relatif  lebih  longgar asumsi, metode ini bisa digunakan untuk masalah distribusi bersyarat seperti yang ada dalam model CAR.

## 3.  Hasil dan Pembahasan

## 3.1  Kerangka Estimasi Bayesian pada model CAR
Metode  estimasi  Bayesian  merupakan  metode  estimasi  parameter  yang menggunakan  informasi prior dari  distribusi  parameter  yang  akan  diestimasi  yang selanjutnya  akan  dicari  distribusi  ditentukan  oleh  distribusi  posteriornya.  Misalkan pada  kasus  Poisson, 𝑦 𝑖 ,  untuk  i=1,2,…,n  adalah  sampel  acak  yang  dari  fungsi probabilitas 𝑃(𝑦 𝑖 |𝜇) .  Fungsi probabilitas bersama, 𝑃(𝒚|𝜇) = ∏ 𝑃(𝑦 𝑖 |𝜇) 𝑛 𝑖=1 .
Ambil untuk satu parameter 𝜇 , dengan distribusi priornya 𝑝(𝜇) , maka distribusi posteriornya 𝑃(𝜇|𝑦)   = 𝑃(𝑦|𝜇)𝑃(𝜇) 𝑝(𝑦) ,  p(y)  distribusi  marginal  dan 𝑃(𝜇) distribusi  prior.
Estimator dengan metode Bayes adalah 𝜇̂ = E(𝜇|y) (J. Ibrahim et al., 2001).
Kembali pada model, perhatikan bahwa 𝜽 𝒊 = 𝐞𝐱𝐩 (𝑥 𝑖 ′ 𝜷 + 𝝂 𝒊 , ) , sehingga f ungsi likelihood dari 𝜃 𝑖 adalah 𝒍(𝜷, 𝝂) = ∏ 𝒆 −𝑬𝒊𝜽𝒊 (𝑬 𝒊 𝜽 𝒊 ) 𝒚𝒊 𝒚 𝒊 ! 𝒏 𝒊=𝟏 = 𝑷(𝒚, 𝑬, 𝜽|𝜷, 𝝂) .
Tahapan estimasi parameter model dengan metode Bayes adalah sebagai berikut
(1) Membentuk fungsi likelihood 𝒍(𝜷, 𝝂) = ∏ 𝒆 −𝑬𝒊𝜽𝒊 (𝑬 𝒊 𝜽 𝒊 ) 𝒚𝒊 𝒚 𝒊 ! 𝒏 𝒊=𝟏
(2) Menentukan prior 𝛽 dan 𝜈 i .
Jika distribusi prior 𝛽~𝑀𝑉𝑁(0, 𝐼𝜏 𝛽 2 ) , ), 𝑝(𝛽) = ( 1 2𝜋 ) 𝑃 2 ( 1 𝜏 𝛽 ) 𝑃 𝑒𝑥𝑝 (− 1 2 ∑ 𝛽 ℎ 2 𝜏 𝛽 2 𝑃 ℎ=0 ) dan dan 𝜈 i mengikuti conditional autoregressive (CARdan 𝜈 i mengikuti conditional autoregressive (CAR), (𝝂 𝒊 |𝝂 𝒊≠𝒋 , 𝝉 𝝂 𝟐 )~𝑪𝑨𝑹(𝟎, 𝝉 𝝂 𝟐 )~𝑵 (∑ 𝑤 𝑖𝑗 .𝑣 𝑗 𝑤 𝑖𝑗 , 𝑛 𝑖≠𝑗 𝝉 𝝂 𝟐 𝑤 𝑖𝑗 ) .
(3) Menentukan  distribusi  posterior.    Berdasarkan  informasi  dari  kedua  distribusi
prior pada langkah (2) dan langkah (2), maka diperoleh distribusi posterior
𝒑(𝜷, 𝝂, 𝝉 𝜷 𝟐 , 𝝉 𝝂 𝟐 |𝒚, 𝑬, 𝜽) = ∏ 𝒆 −𝑬𝒊𝜽𝒊 (𝑬 𝒊 𝜽 𝒊 ) 𝒚𝒊 𝒚 𝒊 ! 𝒏 𝒊=𝟏 𝑥 ( 𝟏 √𝟐𝝅 ) 𝑷 𝟐 ( 𝟏 𝝉 𝜷 ) 𝑷 𝒆𝒙𝒑 (− 𝟏 𝟐 ∑ 𝜷 𝒉 𝟐 𝝉 𝜷 𝟐 𝑷 𝒉=𝟎 ) 𝑥 ( 𝟏 𝟐𝝅 ) 𝒏 𝟐 𝒆𝒙𝒑 (− 𝟏 𝟐 ∑ ( 𝝂𝒊−∑ 𝑤𝑖𝑗.𝑣𝑗 𝑤𝑖𝑗 𝑛 𝑖≠𝑗 𝝉𝜷 ) 𝟐 𝒏 𝒊=𝟎 ) (6)
Berdasarkan persamaan (6), selanjutnya dilakukan estimasi parameter dengan metode  Bayes.    DIkarenakan  untuk  mengestimasi  parameter  dengan  cara  Bayes eksak  tidak  mudah,  maka  metode  estimasi  parameter  Bayes  melalui  Markov  Chain Monte  Carlo  (MCMC).    Metode  estimasi  parameter  Bayes  dengan  menggunakan Markov Chain Monte Carlo (MCMC) adalah sebagai berikut. Dimisalkan 𝛾 adalah vector parameter yang akan diestimasi, u ntuk t=1,2,…,T,
• Tahap 1. Ambil 𝛾 𝟏 𝒕 dari p( 𝛾 𝟏 | 𝛾 𝟐 𝒕−𝟏 , 𝛾 𝟑 𝒕−𝟏 , … , 𝛾 𝒌 𝒕−𝟏 , 𝑦)
• Tahap 2. Ambil 𝛾 𝟐 𝒕 dari p( 𝛾 𝟐 | 𝛾 𝟏 𝒕−𝟏 , 𝛾 𝟑 𝒕−𝟏 , … , 𝛾 𝒌 𝒕−𝟏 , 𝑦)
• …
• Tahap k. Ambil 𝛾 𝒌 𝒕 dari p( 𝛾 𝒌 | 𝛾 𝟏 𝒕−𝟏 , 𝛾 𝟐 𝒕−𝟏 , … , 𝛾 𝒌−𝟏 𝒕−𝟏 , 𝑦)
Selanjutnya estimasi untuk parameter 𝛾 𝒊 ditunjukkan oleh persamaan (7)
𝛾 ̂ 𝒊 = 𝑬 ̂( 𝛾 𝒊 |𝒚) = 𝟏 𝑻−𝒕 𝟎 ∑ 𝛾 𝒊 𝒕 𝑻 𝒕=𝒕 𝟎 +𝟏 (7)

## 3.2  Analisis Deskripsi
Variabel penelitian yang digunakan dalam penelitian ini adalah jumlah kasus demam berdarah dengue (DBD) di Kabupaten Ciamis sebagai variabel respon, dan beberapa variabel  prediktor  yang  digunakan  seperti  kepadatan  penduduk  jumlah  tenaga kesehatan,  dan  ketinggian  wilayah  kecamatan  di  atas  permukaan  laut.    Peta kabupaten  Ciamis  disajikan  pada  Gambar  1.  Jumlah  tenaga  Kesehatan  yang digunakan  adalah  total  dari  jumlah  tenaga  kesehatan  masyarakat,  kesehatan lingkungan  dan  bidan.    Di  sini  diasumsikan  bahwa  ketiga  tenaga  kesehatan  ini berkaitan dengan masalah pemberian penyuluhan, seperti dalam kegiatan rutin seperti kegiatan  posyandu.  Eksplorasi  variabel  respon  dan  variabel  prediktor  merupakan tahapan  awal  yang  dapat  membantu  dalam  melakukan  pemodelan.    Metode scatterplot antar variabel dapat memberikan gambaran awal.  Gambar  2 menyajikan scatterplot dari variabel yang digunakan.
Sumber :https://bapenda.jabarprov.go.id/bapenda-jabar-peta-ktmdu-cabang-kabupaten-ciamis-i/
Gambar 1:  Peta Kabupaten Ciamis
Gambar  2  menyajikan  korelasi  antara  jumlah  kasus  demam  berdarah  dengue (DBD)  dengan  variabel  prediktor.    Dari  Gambar  2  dapat  terlihat  trend  jumlah  kasus DBD mempunyai hubungan negatif dengan ketinggian wilayah kecamatan dan jumlah DBD mempunyai hubungan yang positif dengan kepadatan penduduk.  Sementara itu hubungan antara jumlah kasus DBD dengan jumlah tenaga kesehatan (nakes) tidak terlalu Nampak.
Gambar 2:  Scatterplot variabel respon dan variabel prediktor

## 3.3  Model CAR-BYM
Tahap  awal  yang  penting  sebelum  melakukan  pemodelan,  khususnya  yang melibatkan  variabel  prediktor  yang  lebih  dari  1,  adalah  identifikasi  apakah  terjadi multikolinear atau tidak.  Multikolinear adalah hubungan linier antar variabel prediktor. Deteksi  multikolinear  dapat  dideteksi  dengan variance  inflation  factor (VIF),  hasil  uji multikolinear disajikan pada Tabel 1.
Tabel 1: Nilai VIF variabel prediktor Variabel prediktor VIF Kepadatan 1,421 Nakes 1,446 Ketinggian 1,021
Berdasarkan Tabel 1, maka dapat disimpulkan bahwa antar variabel prediktor tidak  terjadi  multikolinear  karena  nilai  VIF  kurang  dari  10.    Berkutnya  adalah pemodelan  dengan  CAR-BYM  dan  pemetaan relative  risk (RR).    Pada  pemodelan distribusi RR yang perlu disiapkan adalah file SHP dari wilayah yang akan dianalisis
datanya,  dalam  penelitian  ini  digunakan  file  SHP  Kabupaten  Ciamis.    Kabupaten Ciamis terdiri dari 27 kecamatan.
Berdasarkan  hasil  deteksi  multikolinear  pada  variabel  prediktor,  selanjutnya model CAR-BYM dibentuk.  Software yang digunakan untuk membentuk model CAR- BYM adalah software R.4.1.0.  Hasil outputnya disajikan pada table 2.
Tabel 2: Model CAR-BYM dengan estimasi Bayesian
Koeifisien Median 2,50%  97,50%  n,effective  Geweke,diag (Intercept) 0,2514  -0,4553 1,0594 16,7 0,8 Kepadatan 0,0012 0,0007 0,0018 7,9 -1,3 Nakes -0,0675  -0,0959  -0,0191 7,5 -0,7 Ketinggian -0,0011 -0,003 0,0004 7,7 1,7 tau2 0,0207 0,0036 0,159 86,2 0,8 sigma2 0,5295 0,2891 1,0312 128,2 1,3
DIC = 197.2032       p.d = 27.03264       LMPL = -129.02
Berdasakan Tabel 2, dapat dilihat bahwa antara kepadat penduduk dan jumlah kasus  DBD  mempunyai  hubungan  yang  positif,  artinya  bahwa  kepadatan  penduduk yang  tinggi  memungkinkan  terjadinya  penularan  kasus  DBD  yang  cepat  sehingga jumlah  kasus  menjadi  banyak.    Hal  ini  berarti  bahwa  setiap  kenaikan  kepadatan pendduk sebesar satu satuan maka berkontribusi terhadap penambahan kasus DBD sebesar 0,0012 satuan.
Hubungan antara kasus DBD dan nakes negatif, disini dapat diartikan bahwa pemberian penyuluhan akan pentingnya menjaga lingkungan agar tidak memberikan peluang nyamuk berkembang cukup baik.   Namun demikian perlu di perhatikan pula bahwa  kesadaran  masyarakat  terhadap  hasil  penyuluhan  tentu  menjadi  sangat penting.    Setiap  penambahan  tenaga  kesehatan  (nakes)  satu  satuan,  maka  akan menurunkan jumlah kasus DBD sebesar 0,0675 satuan.
Ketinggan dan kasus DBD mempunyai hubungan negatif, yang artinya bahwa perkembangan dan penularan di wilayah yang tinggi lebih kecil dibandingkan dengan wilayah  yang  lebih  rendah.    Hasil  ini  selaras  sebelumnya  dimana  korelasi  antara ketinggian tempat dan kedua indeks jentik yang diteliti menunjukkan adanya hubungan bersifat terbalik antara ketinggian tempat dengan House Index, Container Index dan Pupae Index (Hendri et al., 2015a).  Dalam penelitian ini menunjukkan bahwa setiap penambahan  ketinggian  (dpl)  satu  satuan  akan  menurunkan  jumlah  kasus  DBD sebesar 0,0011 satuan.
Nilai  prediksi  dan  RR  untuk  setiap  kecamatan  dari  hasil  pemodelan  dengan CAR-BYM disajikan pada Tabel 3.  Untuk memudahkan dalam mengambil informasi, selanjutnya  nilai-nilai  RR  disajikan  dalam  peta  Kabupaten  Ciamis  (Gambar  3). Gambar  3  merupakan  sajian  nilai  RR  dalam  bentuk  Map.    Informasi  nilai  RR  dari Gambar 3 terlihat lebih cepat ketika akan diidentifikasi wilayah mana saja dengan RR
yang  paling  tinggi  sampai  paling  rendah.    Berdasarkan  informasi  pada  Gambar  1, dapat  dilihat  bahwa  Kecamatan  Cijengjing  mempunyai  warna  yang  paling  gelap degradasinya, dan begitu juga dengan Kecamatan Ciamis.Berdasarkan Tabel 3, dapat dilihat secara numerik bahwa kedua kecamatan ini mempunyai RR di atas 3.  Nilai RR kecamatan  Cijeungjing  dan  Ciamis  berturut-turut  3,449  dan  3,240.    Apabila dihubungkan  dengan  jumlah  kasus  DBD,  ternyata  kedua  kecamatan  ini  mempunyai kasus DBD yang sangat tinggi, dimana masing-masing adalah 222 untuk Kecamatan Cijengjing dan 382 untuk Kecamatan Ciamis.
Tabel 3:  Jumlah kasus, nilai prediksi, dan RR disetiap kecamatan
No Kecamatan DBD_Aktual  DBD_prediksi RR 1 Banjarsari 63 63,061 0,763 2 Banjaranyar 15 16,839 0,352 3 Lakbok 10 11,345 0,168 4 Purwadadi 18 19,281 0,410 5 Pamarican 35 35,767 0,439 6 Cidolog 12 11,618 0,492 7 Cimaragas 29 26,953 1,389 8 Cijeungjing 222 218,869 3,449 9 Cisaga 123 120,947 2,697 10 Tambaksari 6 6,675 0,259 11 Rancah 27 28,071 0,414 12 Rajadesa 27 27,066 0,425 13 Sukadana 40 38,774 1,402 14 Ciamis 382 382,594 3,240 15 Baregbeg 78 78,486 1,491 16 Cikoneng 59 59,657 0,903 17 Sindangkasih 29 29,107 0,473 18 Cihaurbeuti 15 15,73 0,254 19 Sadananya 26 26,334 0,574 20 Cipaku 94 93,354 1,181 21 Jatinagara 25 24,043 0,714 22 Panawangan 13 12,560 0,203 23 Kawali 50 49,008 0,975 24 Lumbung 12 13,845 0,379 25 Panjalu 29 28,484 0,514 26 Sukamantri 4 4,440 0,153 27 Panumbangan 24 24,661 0,340
Gambar 3:  Pemetaan pola persebaran kasus DBD berdasarkan nilai RR di Kabupaten Ciamis
Lebih  lanjut  plot  antara  nilai-nilai  RR  dan  jumlah  kasus  DBD  di  setiap kecamatan, disajikan pada Gambar 4.   Berdasarkan Gambar 4, dapat terlihat bahwa Nilai RR di setiap kecamatan mempunyai kecenderungan yang proporsional terhadap jumlah kasus DBD, kecuali untuk beberapa kasus seperti Kecamatan Cijeungjing dan Ciamis.  Kecamatan Cijengjing dengan dengan kasus DBD 222 mempunyai nilai RR yang lebih besar dibandingkan dengan Kecamatan Ciamis dengan kasus DBD 382.
Gambar 4: Scatterplot RR dan jumlah kasus DBD di setiap kecamatan
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 re la ti v e ri sk (R R ) jumlah kasus DBD

## 4.  Simpulan dan Saran
Hasil  statistik  deskriptif  menunjukkan  bahwa  jumlah  kasus  DBD  dengan  ketinggian berbanding  terbaik  dan  jumlah  DBD  kepadatan  penduduk  berbanding  lurus, sementara itu hubungan jumlah kasus DBD tenaga kesehatan (nakes) belum nampak jelas.
Berdasarkan  model  CAR-BYM  diperoleh  koefisien  kepadatan,  nakes  dan ketinggian  berturut-turut  0,0012,  -0,0675,  dan  -0,0011.  Hal  ini  berarti  bahwa  setiap kenaikan  kepadatan  pendduk  sebesar  satu  satuan  maka  berkontribusi  terhadap penambahan  kasus  DBD  sebesar  0,0012  satuan.    Setiap  penambahan  tenaga kesehatan (nakes) satu satuan, maka akan menurunkan jumlah kasus DBD sebesar 0,0675  satuan.  Setiap  penambahan  ketinggian  (dpl)  satu  satuan  akan  menurunkan jumlah kasus DBD sebesar 0,0011 satuan.
Kecamatan Cijengjing mempunyai warna yang paling gelap degradasinya, dan begitu juga dengan Kecamatan Ciamis, nilai RR di kedua kecamatan tersebut berturut- turut adalah 3,449 dan 3,240.  Nilai RR kedua kecamatan tersebut jauh melebihi nilai ekspektasi.
Ucapan Terima Kasih .
Penulis  mengucapkan  terima  kasih  kepada  Universitas  Jenderal  Soedirman  melalui Hibah Penelitian Dasar.

## Daftar Pustaka
Banerjee, S, Carlin, B. P., & Gelfand, A. E. (2014). Hierarchical modeling and analysis for spatial data . CRC press.
Besag,  J.,  &  Kooperberg,  C.  (1995b).  On  conditional  and  intrinsic  autoregressions. Biometrika , 82 (4): 733 –746.
Cheng,  Y.-J.,  Norris,  J.,  Bao,  C.-J.,  Liang,  Q.,  Hu,  J.- L.,  Wu,  Y.,  …  others.  (2012). Geographical  information  systems-based  spatial  analysis  and  implications  for syphilis  interventions  in  Jiangsu  province,  People’s  Republic  of  China. Geospatial Health , 7 (1): 63 –72.
Cressie, N A. (1993). Statistics for spatial data . New York: John Willy and Sons. Inc.
Feng, W., Lim, C. Y., Maiti, T., & Zhang, Z. (2016b). Spatial regression and estimation of  disease  risks:  A  clustering-based  approach. Statistical  Analysis  and  Data Mining: The ASA Data Science Journal , 9 (6): 417 –434.
Gaetan, C., & Guyon, X. (2010b). Spatial statistics and modeling (Vol. 90). Springer.
Han, X., & Lee, L. (2013b). Bayesian estimation and model selection for spatial Durbin error model with finite distributed lags. Regional Science and Urban Economics , 43 (5): 816 –837.
Hendri, J., Santya, R. N. R. E., & Prasetyowati, H. (2015b). Distribusi dan kepadatan vektor  demam  berdarah  dengue  (DBD)  berdasarkan  ketinggian  tempat  di Kabupaten  Ciamis  Jawa  Barat. Indonesian  Journal  of  Health  Ecology , 14 (1):
17 –28.
Hendricks, J., & Neumann, C. (2020b). A Bayesian approach for the analysis of error rate studies in forensic science. Forensic Science International , 306 : 110047.
Ibrahim,  J.  G.,  Chen,  M.-H.,  Sinha,  D.,  Ibrahim,  J.,  &  Chen,  M.  (2001). Bayesian survival analysis (Vol. 2). Springer.
Lawson,  A.  B.  (2018b). Bayesian  disease  mapping:  hierarchical  modeling  in  spatial epidemiology . Chapman and Hall/CRC.
MacNab, Y. C., Farrell, P. J., Gustafson, P., & Wen, S. (2004b). Estimation in Bayesian disease mapping. Biometrics , 60 (4): 865 –873.
McCullagh, P., & Nelder, J. (1989a). Generalized linear models (Vol. 37) CRC press .
Nelson, T. A., & Boots, B. (2008). Detecting spatial hot spots in landscape ecology.
Ecography , 31 (5): 556 –566.
Obaromi, D. (2019b). Spatial modelling of some conditional autoregressive priors in a disease  mapping  model:  the  Bayesian  approach. Biomedical  Journal  of Scientific & Technical Research , 14 (3).
Srinivasan, R., & Venkatesan, P. (2014b). Bayesian random effects model for disease mapping of relative risks. Ann Biol Res , 5 (1): 23 –31.
Stern,  H.  S.,  &  Cressie,  N.  (2000b).  Posterior  predictive  model  checks  for  disease mapping models. Statistics in Medicine , 19 (17 –18): 2377–2397.
Zhi-Hang,  P.,  Yue-Jia,  C.,  Reilly,  K.  H.,  Lu,  W.,  Qian-Qian,  Q.,  Zheng- Wei,  D.,  … others. (2011). Spatial distribution of  HIV/AIDS in Yunnan  province, People’s Republic of China. Geospatial Health , 5 (2): 177 –182.