## OPERASI  HITUNG  PADA  BILANGAN  KABUR
Rasiman a a Program Studi Pendidikan Matematika FPMIPA IKIP PGRI Jl. Dr. Cipto-Lontar No1  Semarang Telp. (024)8316377  Faks (024) 8448217

## Abstrak
Perkembangan  matematika  pada  abad  ke-20  relatif  cepat  sesuai  dengan  kebutuhan  pengguna matematika dalam  menunjang  perkembangan  ilmu  pengetahuan  dan  teknologi.  Salah  satu  mat eri  matematika  yang berkembang    adalah himpunan dan bilangan kabur. Istilah kabur diterjemahkan dari kata fuzzy, sehingga timbul istilah  fuzzy  set  (himpunan  kabur),  fuzzy  number  (bilangan  kabur),  dan  sebagainya.  Dalam  kehidupan  sehari- hari  gejala  kekaburan  banyak  dijumpai,  misalnya:  (1).  “kumpulan  siswa  yang  pandai”,  (2).“kumpulan  kurang lebih  15”,  dan  (3).  “kecepatan  mobil  sekitar  100  km/jam”.  Contoh-contoh tersebut berbeda dengan: (4). “siswa yang  mempunyai sepeda”, (5).“anaknya 3 orang”. Contoh 4 dan 5 termasuk himpunan tegas sedangkan contoh 1, 2,  dan 3 disebut himpunan tak tegas (kabur).
Zadeh  (1960),  mengatakan  bahwa  sistem  analisis matematika tradisional yang dikenal sampai saat bersifat terlalu  eksak,  sehingga  tidak  dapat  berfungsi  dalam  banyak  masalah  dunia  nyata  yang  sering  amat kompleks. Terobosan  baru  yang  diperkelnalkan  oleh  Zadeh  adalah  memperluas  konsep  himpunan  klasik  (tegas)  menjadi himpunan  kabur.  Dalam  himpunan  tegas,  fungsi  karakteristik      dari  himpunan  A,  bernilai  0  atau 1. Sedangkan dalam  himpunan  kabur  fungsi  karakteristik  menggunakan  konsep  fungsi  keanggotaan  (membership  function), yang  nilainya  berada  dalan  selang  tertutup  [0,1].    Konsep  tentang  himpunan  kabur  ini,  berkembang  meluas dalam  konsep  bilangan  kabur.  aplikasinya  dalam  bentuk besaran yang dinyatakan dengan bilangan yang tidak tepat,  misalnya  “sekitar  4  km”,  “mendekati  10”.  Berkaitan  dengan  konsep  bilangan  kabur,  tidak  terlepas  dari operasi hitung dasar yaitu penjumlahan, pengurangan, perkalian , dan pembagian pada bilangan kabur.
Kata  Kunci  : Himpunan  Kabur, bilangan kabur, operasi hitung

## A. Pendahuluan
Kita  mulai  dengan  deskripsi  dasar  tentang  bilangan  (Dubois  dan Prade 1979a,b, 1980; Djikman, van  Haringen,  dan  De  Lange  1983;  Kaufmann  dan  Gupta  1988).  Beberapa  definisi  telah  diberikan. Sebuah  definisi  yang  pragmatis  menyatakan  bilangan  kabur  sebagai  pemetaan  dari  garis  real  R  ke interval  satuan  yang  memenuhi  sifat-sifat  seperti  normalitas,  unimodalitas,  kontinuitas,  dan pendukung  terbatas.  Persyaratan-persyaratan  ini  dapat  diperlunak  jika  diperlukan.  Misalnya,  sifat kontinuitas  diganti  dengan  semikontinu  atas.  Menggunakan  terminologi  analisis  interval,  beberapa sifat di atas dapat dimaknai ke dalam persyaratan yang berorientasi himpunan. Misalnya, unimodalitas dan pendukung terbatas dimaknai sebagai potongan-   yang konveks dan  potongan-   tertutup pada R, dengan      [0 , 1].
Suatu  bilangan  kabur  bersifat  normal,  sebab  bilangan  kabur  kurang  lebih  a  mempunyai  fungsi keanggotaan  yang  nilainya  1  untuk  x  =  a.  Sedangkan  sifat  yang  lainnya  digunakan  untuk mendefinisikan  operasi  aritmetika  (penjumlahan,  pengurangan,  perkalian,  pembagian)  pada  bilangan- bilangan  kabur.
Bilangan  kabur  yang  paling  banyak  digunakan  dalam  aplikasi  adalah  bilangan  kabur  dengan fungsi  keanggotaan  segitiga,  yang  disebut  bilangan  kabur  segitiga.  Dengan  demikian  bilangan  kabur segitiga memenuhi  keempat sifat bilangan kabur seperti yang didefinisikan  di atas.

## B. Pembahasan
1. Bilangan  Kabur Segitiga
Dalam  bagian  ini    perhatian  kita  terfokus  pada  kumpulan  bilangan  kabur  segitiga.  Ada  model yang  paling sederhana dari besaran numerik tak tentu. Fokus analisis pada kelas ini memperkenalkan kita sifat yang paling nyata dari aritmetika kabur. Perhatikan dua bilangan kabur A = ( x ; a, m, b ) dan B= ( x ; c,  n,  d ).  Lebih  khusus  lagi,  fungsi  keanggotaan  dari  kedua  bilangan  ini  didefinisikan  melalui penggalan fungsi linier  terhubung berikut:
x-a , jika x [a,m) m-b b-x A(x ; a,m,b) , jika x [m,b] b-m 0, untuk yang lain x-c ,    jika [c,n) n-c d-x ,    jika [n,d] B(x ;c,n,d) d-n 0,         untuk yang lain. x x
Nilai  modal  ( m dan n )  menunjuk  suatu  nilai  yang  dominan  (penciri)  dari  kuantitas  yang  sesuai, sementara  batas  bawah  ( a atau c )  dan  batas  atas  ( b atau d )  mencerminkan  perluasan  konsep  itu. Selanjutnya,  untuk  menyederhanakan  komputasi,  untuk  sementara  kita  perhatikan  bilangan  kabur dengan batas bawah positip.

## 2. Analisis  Interval Bilangan  Kabur
Akar  komputasi  dengan  bilangan  kabur  berasal  dari  analisis  interval  (Moore,  1966).  Cabang matematika  yang  dikembangkan  untuk  keperluan  ini  adalah  kalkulus  toleransi.  Dalam  kaitan  ini, objek  dasar yang menjadi pusat perhatian adalah interval dalam R, seperti [4 , 6],  [a , b], [-1,5 , 3,2]
dan  seterusnya.  Formula  yang  dihasilkan  menggambarkan  operasi-operasi  aritmetika  dasar: penjumlahan,  pengurangan, perkalian,  dan pembagian.
Definisi
a. [a , b]   [c , d] = [a + c, b + d]
b. [a , b] - [c , d] = [a - d, b - c]
c. [a , b]   [c , d] = [min(ac, ad, bc, bd) , max(ac, ad, bc, bd)]
d. [a , b] / [c , d] = [min(a/c, a/d, b/c, b/d) , max(a/c, a/d, b/c,  b/d)]
Sebagai  contoh,  tentukan  nilai  dari  penjumlahan,  pengurangan,  perkalian,  dan  pembagian dari [2 , 7] dan [-5, 1]
Penyelesaian :
a. [a , b]   [c , d] = [a + c, b + d]
[2 , 7]   [-5 , 1]  = [2 -5, 7 + 1]
= [-3, 8]
b. [a , b] - [c , d] = [a - d, b - c]
[2 , 7] - [-5 , 1]   = [2 - 1, 7 – (-5)]
= [1, 12]
c. [a , b]   [c , d] = [min(ac, ad, bc, bd) , max(ac, ad, bc, bd)]
[2 , 7]   [-5 , 1] = [min(-10,  2, -35, 7) , max(-10, 2, -35, 7)]
= [-35, 7]
d. [a , b] / [c , d] = [min(a/c, a/d, b/c, b/d) , max(a/c, a/d, b/c, b/d)]
[2 , 7] / [-5 , 1] = [min(2/-5,  2/1, 7/-5, 7/1), maks(2/-5, 2/1, 7/-5, 7/1)] = [-7/5 , 7]
3. Penjumlahan
Penerapan prinsip perluasan pada A dan B menghasilkan
, R: z ( , ) C(z) sup A(x) B(y) x y f x y
.
Bilangan kabur yang dihasilkan adalah normal; yakni C ( z ) = 1 untuk z = m + n.  Dua kasus yang memperhatikan komputasi  perluasan C dilakukan  secara terpisah.
Pertama,  perhatikan  z  <  m  +  n.  Dalam  situasi  ini,  kalkulasi  melibatkan bagian  yang meningkat dari  fungsi  keanggotaan  A  dan  B.  Terdapat  nilai  x  dan  y  sedemikian  hingga  x  <  m  dan  y  <  n  dan memenuhi  hubungan
A(x) = B(y) =   , 0,1
a          c    m a+c  n    b m+n  d       b+d
Gambar 1: Penjumlahan bilangan Kabur Segitiga
Bagian  yang  naik  secara  linier  dari  fungsi  keanggotaan A dan B (lihat  Gambar  1)  terdapat pada selang [a,n]. Berdasar  pada hal tersebut, diturunkan:
x-a =ω m-a begitu juga dengan
y-c =ω n-c x    [a,m] dan y   [c,n].
Dengan menyatakan  x dan y sebagai fungsi dari  , diperoleh
x = a + (m – a)
y = c + (n – c) .
Selanjutnya,  karena z = x + y, hal ini  menghasilkan
z = x + y = a + (m – a)  + c + (n – c) .=a + c + (m+n – a – c) .
Sekarang  kita  turunkan  hubungan  yang  serupa  untuk  bagian  yang  turun  secara  linier  dari  fungsi keanggotaan A dan B . Formula berikut berlaku untuk keadaan x  [m,b] dan y   [n,d]:
x-m 1- =ω, b-m
y-n 1- =ω, d-n
Atau secara ekivalen
x = m + (1 –  )(b – m) y = n + (1 –  )(d – n)
Dengan menambahkan x dan y memberikan
z = x + y = m + (1 –  )(b – m) + n + (1 –  )(d – n)
= m + n + (1 –  )(b+d – m – n)
Secara ringkas, fungsi keanggotaan  dari A   B sama dengan
B A A B= C
z-(a+c) jika z<m+n
(m+n)-(a+c) C(z)= 1                         jika z=m+n z-(m+n) 1- jika z>m+n
(b+d)-(m+n)
Ternyata, C juga  merupakan  suatu  fungsi  keanggotaan  segitiga.  Untuk  mempertegas  C,  kita singkat dengan notasi :
C=(x;a+c,m+n,b+d) yang ditunjukkan  pada Gambar 1.
Secara  umum,  jika  bilangan-bilangan  kabur  segitiga  ditambahkan,  maka  hasilnya    suatu himpunan  kabur  berbentuk  segitiga  juga.  Lebih tepatnya, jika i i i i A = (x;a , m , b ),  i = 1, 2,..., n ., maka jumlah  dari bilangan-bilangan  ini  sama dengan
n n n n i i i i i=1 i=1 i=1 i=1 A= A ,    A=(x;a,m,b)=A(x; a , m , b ).
Kita  dapat  mengamati  bahwa penyebaran dari hasilnya berakumulasi dari awal. Sebagai contoh, misalkan . ,..., 2 , 1 semua untuk 05 . 1 , 95 . 0 , 1 n i b a m i i i Dengan iterasi, didapatkan sebuah barisan bilangan-bilangan  kabur
A 1 A 2 = (x, 1.90, 2.00, 2.10),
A 1 A 2 A 3 = (x, 2.85, 3.00, 3.15)
Penjumlahan dua bilangan  kabur dengan menggunakan potongan- :
Misalkan bilangan  kabur ~ 2 dan ~ 5  mempunyai fungsi  keanggotaan segitiga sebagai berikut:
~
0 untuk x 0 untuk 0 2 2 2 ( ; 0, 2, 4) 4 untuk 2 4
2 0 untuk x 4 x x A x x
x
~
0 untuk x 2 2 untuk 2 5 3 5 ( ; 2, 5,8) 8 untuk 5 8
3 0 untuk 8
x x
B x x x x Ambil  potongan- untuk ] 1 , 0 [ , ) 2 ( ) 2 ( A A yaitu
2 2 4 2 2
sehingga diperoleh:
2 2 dan 2 4 2
Jadi  potongan dari
~ 2 adalah ] 2 4 , 2 [ 2 juga  potongan-   untuk ] 1 , 0 [ ,
) 5 ( ) 5 ( B B yaitu 3 5 8 3 2 5
sehingga diperoleh: 2 3 5 dan 3 8 5 Jadi potongan   dari ~ 5  adalah ] 3 8 , 2 3 [ 5
Dengan demikian   potongan dari bilangan kabur ~
2 + ~ 5  adalah (2 + 5)  = ] 5 12 , 2 5 [ Karena 2 5 dan 5 12 adalah fungsi fungsi liner dari dengan nilai berturut-turut = 0 adalah
bernilai  2  dan  12  serta  berturut-turut =  1 adalah keduanya bernilai 7, maka bilangan kabur ~ ~ 2 5
adalah bilangan  kabur dengan fungsi  keanggotaan:
~ ~
0 untuk x 2 2 untuk 2 7 5 2 5 ( ; 2, 7,12) 12 untuk 7 12
5
0 untuk 12 x x C x x x x
4. Perkalian
Seperti  dalam  penjumlahan,  peta  kita  lihat  pada  bagian  peningkatan  fungsi  keanggotaan,  yang dinyatakn  sebagai  berikut
x = ω(m-a)+a y = ω(n-c)+c
Dan  hasil  perkaliannya  adalah
2 i z = xy=[ω(m-a)+a][ω(n-c)+c] = ac +ωx(m-a) +ωa(n-c)+ ω (n-a)(n-c)= F (c) Jika  ac z mn,  maka  fungsi  keanggotaan  dari  C adalah  kebalikan   dari -1 1
1 F :(A B)(z) = F (z)
Demikian  pula,  mempertimbangkan  penurunan  bagian  A  dan  B,  yang  berarti  bahwa mn z bd:
2 2
z = xy=[m+(1-ω)(b-m)][n+(1-ω)(d-n)]
= mn+(1-ω)[b-m+d-n]+(1-ω) (b-m)(d-n)= F (c)
Seperti  sebelumnya,  untuk  beberapa z di  [mn,bd]  diperoleh
-1 2 (A B)(z) = F (z)
Jelas,  perkalian  tidak  mengembalikan  sebuah  fungsi  keanggotaan  liner  sepotong-sepotong dan  menghasilkan  bentuk  kuadrat  dari  bilangan  kabur.  Linearitas  bentuk  kuadrat  ini  dapat dianggap  pendekatan  dari  fungsi  keanggotaan  diturunkan  sebelumnya.  Kita  peroleh    bahwa linearisasi  ini  terdiri  dari  dua  fungsi  linear  dengan  Cz=mn,  ac,  dan  bd.  Kualitas  linearisasi  ini sangat  tergantung  pada  rentangan  dari  bilangan  kabur  itu.  Untuk  mengukur  kesalahan linearisasi  yang  dihasilkan,  perhatikan  bahwa  m=n=1  dan a=1- , c=1- , b=1, dan d=1+ .
Contoh  Perkalian  bilangan  kabur segitiga
Bilangan  kabur ~ 2 =  ( x ;  0 ,  2,  4 )  dan ~ 3 = ( x ; 2,  3,  4 ).  mempunyai  fungsi  keanggotaan sebagai  berikut:
, jika x [0, 2) 2 4 A(x ;0,2,4)= , jika x [2, 4] 2 0 , untuk yang lain x x lain. yang untuk , 0 ] 4 , 3 [ jika , 4 ) 3 , 2 [ jika , 2 ) 4 , 3 , 2 ; ( x x x x x B
Jika   0  z  6 (bagian  yang  naik) z =xy  = F 1 (ω)= ac + ωc(m -a)+ ωa(n - c) + ω 2 (m - a) (n - c) =0.2 +2ω(2-0)+ 0ω(3-2)+ ω 2 (2-0)(3-2) z= F 1 (ω)    =  0 +4 ω + 0+2ω 2
z = 4 ω + 2ω 2
F 1 -1 (z)= 1 2 1 z
Jika  6  z   16 (bagian  yang  menurun)
z = xy  = F 2 (ω)= mn  + (1 - ω ) [b - m + d - n] + (l - ω) 2 (b - m) (d - n)
= 2.3+(1 – ω)[4-2+4-3]+(1- ω) 2 (4-2)(4-3)
=6+(1- ω)(3)+(1- ω) 2 (2)(1)
z =6+3 (1- ω)+2(1- ω) 2
F 2 -1 (z)= 1 – 4
3 16 39 8 z
Sehingga  diperoleh  fungsi  keanggotaan  dari ~ 2 ~ 3 adalah  sebagi  berikut:
1 1 , jika z [0,6) 2
8 39 3 1 , jika z [6,16] ( ;0,6,16) 16 4 0 , untuk yang lain z z C z 5. Pembagian
Seperti  perkalian,  operasi  pembagian  tidak  menjaga  linieritas  argumen  fungsi  keanggotaan.  Untuk meningkatkan  bagian A dan B, ekspresi berikut berlaku untuk
1 a m x ω(m-a)+a
z , dengan z= = = G (ω)
c n y ω(n-c)+c
Sehingga
(A/B)(z)  = G 1 -1 (z)
Secara analog, untuk  z  [m/n, b/d] diperoleh
2 x m+(1-ω)(b-m) z= = = G (ω) y n+(1-ω)(d-n)
Yang mengarah pada bentuk (A/B)(z)  = G 2 -1 (z)
Perhatikan  bahwa  fungsi  keanggotaan  A/B  adalah  fungsi  rasional  dari  z.  Pada  bagian  berikut, diperoleh  rumus  rinci  untuk  fungsi  tunggal-argumen  yang  dipilih  operasi  pada  bilangan  kabur segitiga. Secara umum, hasilnya adalah bilangan   kabur dengan fungsi keanggotaan nonlinier.
Contoh Pembagian bilangan  kabur segitiga
Bilangan  kabur ~ 2 =  ( x ;  0 ,  2,  4 )  dan ~ 3 = ( x ; 2,  3, 4 ). mempunyai fungsi keanggotaan sebagai berikut:
x , jika x [0, 2) 2 4-x , jika x [2, 4] A(x ;0,2,4) 2 0, untuk yang lain lain. yang untuk , 0
] 4 , 3 [ jika , 4 ) 3 , 2 [ jika , 2
) 4 , 3 , 2 ; ( x x x x x B
Jika  0/2  z  2/3 (bagian yang naik)
z  = x ω(m-a)+a = y ω(n-c)+c = G 1 ( ω)
z =  G 1 (ω)= 2 ) 2 3 ( 0 ) 0 2 ( z = G 1 (ω)= 2 2
G 1 -1 (z)= - 2
2 z z
Jika 2/3  z   4/4 (bagian yang menurun)
z = x/y = G 2 (ω) = m + (1-ω) (b-m) n+(1-ω) (d-n)
= ) 3 4 ( ) 1 ( 3 ) 2 4 ( ) 1 ( 2
= 4-2ω 4-ω
Sehingga diperoleh
G 2 -1 (z)  = z z 2 4 4
Sehingga diperoleh  fungsi  keanggotaan dari ~ 2 / ~ 3  adalah sebagi berikut:
0 2 2 3 2 4 3 4 2 , jika z [ , ) 2 4 4
, jika z [ , ] 0 2 4 C(z; , , ) 2
2 3 4 0 , untuk yang lain
z z z z

## C. Penutup
Saat  ini  konsep  bilangan  kabur  sangat  dibutuhkan  dalam  kehidupan  sehari-hari  maupun  dalam aplikasinya.  Teori  bilangan  kabur  biasanya  dinyatakan  dalam  bentuk  besaran,  misalnya  kurang  lebih 10 kg, kira-kira  5 jam, dan sebagainya.
Secara intuitif dapat diterima bahwa ungkapan kurang lebih 10 kg dapat dinyatakan dengan suatu himpunan  kabur  pada  semesta R, dimana bilangan 10 mempunyai derajad keanggotaan sama dengan
1,  bilangan-bilangan  sekitar  10  mempunyai  derajad  keanggotan  kurang  1,  dan  semakin jauh bilangan itu dari 10 maka derajad keanggotaannya semakin mendekati 0.
Secara  formal  bilangan  kabur  didefinisikan  sebagai  himpunan  kabur  dalam  semesta  himpunan semua  bilangan  real  R  yang memenuhi 4 sifat :   normalitas, unimodalitas, kontinuitas, dan pendukung terbatas.  Bilangan  kabur  yang  banyak  digunakan  dalam  aplikasi  adalah  yang fungsi keanggotaannya segitiga,  yang disebut bilangan  kabur segitiga.
Setiap  kali  kita  membicarakan  bilangan  kabur, maka tidak bisa lepas dari operasi dasar bilangan kabur,  yaitu  :  penjumlahan,  pengurangan,  perkalian  ,  dan  pembagian.  Untuk  memahami  operasi- operasi  tersebut  harus  didasari  beberapa  konsep  antara  lain  analisis  interval  bilangan  kabur  dan potongan-α bilangan  kabur.

## Daftar Pustaka
Frans Susilo. 2006. Himpunan dan Logika Kabur Serta Aplikasinya. Yogyakarta : Graha Ilmu Klir,  G.J, St.Clair,  U.H and Yuan B. 1997. Fuzzy Set Theory : Foundations and Aplications. Upper Saddle River, NJ : Prentice Hall
Pedrycz, Witold,  dan Gomide,  Fernando. 1998. An Introduction To Fuzzy Sets: Analysis and Design . Cambridge,  Massachusetts: The MIT Press.
Zadeh, LA and Kacprzyk J. 1992. Fuzzy Logic For The Management of Uncertainty. New York : John Wiley.