Jurnal Ilmiah Matematika dan Pendidikan Matematika (JMP) Vol. 11 No. 1, Juni 2019, hal. 11-20 ISSN (Cetak) : 2085-1456; ISSN ( Online ) : 2550-0422

## KARAKTERISTIK SEGITIGA LUCAS

## Siti Rahmah Nurshiami
Jurusan Matematika FMIPA Universitas Jenderal Soedirman Email: rahmahnurshiami@gmail.com

## Ari Wardayani
Jurusan Matematika FMIPA Universitas Jenderal Soedirman Email: ariwardayani@yahoo.co.id

## Kana Hasmi Setiani

## Jurusan Matematika FMIPA Universitas Jenderal Soedirman
ABSTRACT . Lucas triangle is an array of coeficients of a polynomial forming a pattern which  is  similar  to  Pascal  triangle . This  research  studies  Lucas  triangle  and  its properties.  The  research  results  show  that  every  row  in  Lucas  triangle  is  begun  by  the number  1  and  is  ended  by  the  number  2 , the  sum  of  the  first  n  terms  of  number  of  1 th column  is  equal  to the  number  at (     ) th row,  2 nd column . Besides , the  number  at  n th row and (     ) th column of Lucas triangle is (     ) for , the sum of the first n terms of number of j th column is equal to the number at (     ) th row, (     ) column for . The number of Lucas triangle is the sum of two number terms in preceded row, that  is  the  number  at (     ) th row, (     ) and  the  number  at (     ) th row, .
Then, the sum of coefficients of each row of Lucas triangle is 1 3 2 n   .
Keywords : Pascal triangle, Lucas number, Lucas triangle .
ABSTRAK. Segitiga  Lucas  merupakan  susunan  koefisien-koefisien  dari  suatu polinomial yang disusun membentuk pola segitiga memyerupai segitiga Pascal. Penelitian ini  mengkaji  segitiga  Lucas  dan  karakteristik  dari  segitiga  Lucas.  Hasil  penelitian menunjukkan  bahwa,  setiap  baris  pada  segitiga  Lucas  diawali  dengan  angka  1  dan diakhiri  dengan  angka  2,  jumlah  dari n suku  bilangan  pertama  pada  kolom  ke-1  sama dengan bilangan pada baris ke-   1 n  kolom ke-2 . Selain itu, bilangan pada baris ke- n kolom  ke-   2 n  pada  segitiga  Lucas  adalah   2 1 n  untuk 2 n  ,  jumlah n suku bilangan pertama pada kolom ke- j sama dengan bilangan pada baris ke-   1 n  kolom ke-
  1 j  untuk 1 j  .  Bilangan  pada  segitiga  Lucas  merupakan  penjumlahan  dari  dua suku  bilangan  pada  baris  sebelumnya,  yaitu  bilangan  pada  baris  ke-   1 n  kolom  ke-
  1 j  dan  bilangan  pada  baris  ke-   1 n  kolom  ke- j .  Kemudian,  jumlah  koefisien setiap baris ke- n pada segitiga Lucas adalah 1 3 2 n   .
Kata Kunci : Segitiga Pascal, Bilangan Lucas, Segitiga Lucas

## 1. PENDAHULUAN
Bilangan  Lucas  ke- n atau didefinisikan  secara  relasi  rekuren  dari
penjumlahan dua buah bilangan Lucas ke- (     ) dan bilangan Lucas ke- (     )
atau ,  dengan .  Bilangan  Lucas memiliki relasi yang sama dengan bilangan Fibonacci. Perbandingan dua bilangan Fibonacci  yaitu  antara dengan hampir  selalu  sama  mendekati
1,61803339887  atau  disebut golden  ratio .  Begitu  pula  pada  bilangan  Lucas,
perbandingan dua bilangan antara dengan juga hampir selalu sama dan mendekati golden  ratio .  Bilangan  Lucas  ke- n dapat  diperoleh  dari  pembulatan golden ratio yang dipangkatkan n dengan .
Bilangan  Fibonacci  dapat  ditemukan  dengan  menjumlahkan  setiap diagonal  pada  segitiga  Pascal.  Segitiga  Pascal  merupakan  pola  bilangan  yang tersusun  membentuk  sebuah  segitiga,  dan  bilangan-bilangan  tersebut  dinamakan koefisien  binomial.  Karena  bilangan  Lucas  memiliki  relasi  rekuren  yang  sama dengan bilangan Fibonacci, Mark Feinberg pada tahun 1967 mempelajari tentang koefisien  pada  ekspansi  suatu  polinomial.  Koefisien-koefisien  tersebut  disusun membentuk  pola  segitiga  seperti  pola  segitiga  Pascal,  yang  dikenal  dengan Segitiga  Lucas.  Segitiga  Pascal  memiliki  sifat  simetris  yaitu  bagian  kanan  dan kirinya memiliki nilai yang sama. Selain itu, Jumlah bilangan pada setiap baris di segitiga  Pascal  habis  dibagi  2.  Berdasarkan  hal  tersebut,  penelitian  ini  mengkaji tentang segitiga Lucas dan karakteristik dari segitiga Lucas.

## 2. Segitiga Lucas
Misal  diberikan  polinomial sebagai berikut
1 ( , ) ( ) ( 2 ) n n f x y x y x y     untuk 1 n  …………………..  (1)
Enam ekspansi pertama dari polinomial (1) adalah:
1 2 2 2 3 2 2 3 3 4 3 2 2 3 4 4 5 4 3 2 2 3 4 5 5 6 5 4 2 3 3 2 4 5 6 6
( , ) 2 ( , ) 3 2
( , ) 4 5 2
( , ) 5 9 7 2 ( , ) 6 14 16 9 2 ( , ) 7 20 30 25 11 2 f x y x y
f x y x xy y
f x y x x y xy y
f x y x x y x y xy y
f x y x x y x y x y xy y
f x y x x y x y x y x y xy y
                           ……………………………   (2) Misalkan   , A n j merupakan koefisien dari n j j x y  pada fungsi
1 ( , ) ( ) ( 2 ) n n f x y x y x y     .  Sebagai  contoh,  dengan 5 n  dan 3 j  ,   5,3 A
merupakan  koefisien  dari 5 3 3 2 3 x y x y   pada  fungsi   5 , f x y .  Berdasarkan persamaan (2) diperoleh   5,3 16 A  . Koefisien-koefisien dari polinomial tersebut dapat
disusun dalam bentuk sebuah segitiga, seperti terlihat pada Gambar 1.
j n 0 1 2 3 4 5 6 1 1 2 2 1 3 2 3
1 4 5 2 4 1 5 9 7 2 5 1 6 14 16 9 2 6 1 7 20 30 25 11 2
Gambar 1. Segitiga Lucas
Pada  Gambar  1,  pembentukan  segitiga  Lucas  diperoleh  dengan  cara  menuliskan koefisien-koefisien  hasil  ekspansi  polinomial  (1)  untuk  1  ≤ n ≤  6.  Penentuan koefisien  hasil  ekspansi  untuk n yang  sangat  besar  akan  sulit  didapatkan  apabila
dilakukan  secara  manual.  Oleh  karena  itu  diperlukan  suatu  rumusan  untuk menentukan koefisien dengan melihat pola bilangan.

## 3. Hasil dan Pembahasan
Penentuan
koefisien-koefisien
pada ekspansi polinomial 1 ( , ) ( ) ( 2 ) n n f x y x y x y     untuk n yang  sangat  kecil  dapat  dilakukan  dengan menjabarkan  perkalian  dua  buah  persamaan.  Namun  untuk n yang  cukup  besar, akan  memerlukan  waktu  yang  tidak  singkat.  Berdasarkan  hal  ini  perlu  suatu rumusan  dalam  penentuan  koefisien  dengan  menggunakan  Teorema  Binomial, seperti tertuang dalam proposisi berikut.

## Proposisi 1
Jika 1 ( , ) ( ) ( 2 ) n n f x y x y x y     untuk setiap 1 n  , maka   , A n j  koefisien dari
n j j x y  dari fungsi   , n f x y  adalah
1 , 0 j 
  , A n j  1 1 n n j j     
          , 1,  2, 3, , 1 j n  
2 , j n 
Bukti :
Karena 0 ( ) n n n j j j n x y x y j            ,  sehingga  fungsi  polinomial (    ) dapat
ditulis menjadi
(    )   [∑ ( ) ] (      ) ∑ ( ) [∑ ( ) ]
*( )    + *( )     ( )+ *( )     ( )+ *      ( )+ ∑ [( )     ( )]
∑ [( )   ( )]
karena untuk setiap koefisien pada (    ) adalah 1, hal ini berarti   , 0 1 A n  .
Koefisien pada (    ) adalah 2 atau dengan kata lain   , 2 A n n  . Koefisien dari adalah 1 1 n n j j                yang  dinotasikan  sebagai (    ) ,  dengan
dan . ■ Proposisi 2
Misalkan   , A n j merupakan  koefisien  dari n j j x y  pada  ekspansi  polinomial
1 ( , ) ( ) ( 2 ) n n f x y x y x y     , maka:
(i)     2 , 2 1 A n n n    , untuk 2 n 
(ii)     1 ,1 1, 2 n k A k A n     ,untuk 1, 1 n j  
(iii)     1 , 1, 1 n k A k j A n j 
    , untuk 1, 1 n j  

## Bukti
Berdasarkan Proposisi 1 dan definisi koefisien Binomial, diperoleh
(        )   ( )   ( )
(     )(      ) (     )
Kemudian (i) dan (iii) dapat dibuktikan dengan menggunakan induksi matematika.
■
Proposisi 3
Jika 1 ( , ) ( ) ( 2 ) n n f x y x y x y     untuk  setiap 1 n  ,  dan   , A n j koefisien  dari
n j j x y  dari  fungsi (    ) dengan   , 0 1 A n  ,   , 2 A n n  maka   , A n j dapat dituliskan secara rekursif adalah
      , 1, 1 1, , 1, 1 A n j A n j A n j n j         .
Bukti
Berdasarkan proposisi 1 untuk 1 dan j 1 n   ,
  1 , 1 n n A n j j j                 Karena 1 1 1 n n n j j j  
                     , sehingga
        1 1 1 1 1 1 , 1 1 1 1 n n n n A n j j j j j                                       1 2 1 2
1 2 1 n n n n j j j j                                   
    1, 1 1, A n j A n j     
■
Proposisi  1  sampai  dengan  proposisi  3  mengkaji  tentang  penentuan koefisien  dari n j j x y  pada  fungsi   , n f x y .  Selanjutnya  akan  dilihat  pola  dari penjumlahan  koefisien-koefisien  pada  setiap  baris  segitiga  Lucas.  Perhatikan bahwa, dengan memilih 1 x  dan 1 y  pada persamaan (1), sehingga diperoleh
(   )   ( )
Hal  ini  menunjukkan  bahwa  jumlah  koefisien  setiap  baris  pada  segitiga  Lucas adalah , seperti tertuang pada proposisi berikut.

## Proposisi 4
Untuk setiap 1 n  dan 1 j  berlaku     1 0 1,1 , 3 2 n n n j f A n j       Bukti
Misal   P n pernyataan     1 0 1,1 , 3 2 n n n j f A n j       . a. Langkah basis
Untuk 1 n  maka         1 0 1 1 0 1 : 1, 1, 0 1,1 1 2 3 2 3 2
j P A j A A            Sehingga   1 P bernilai benar.
b. Langkah induksi
Asumsikan   P m benar,  artinya
  1 0 , 3 2 m m j A m j      .  Akan  ditunjukkan bahwa   1 P m  benar.
Perhatikan bahwa
          1 0 1, 1, 0 1,1 1, 2 1, 1 m j A m j A m A m A m A m m              
.
Karena       , 1, 1 1, A n j A n j A n j      , sehingga
                  1 0 1, , 0 , 0 ,1 ,1 , 2 , 2 , , 1 m j A m j A m A m A m A m A m A m A m m A m m                          
2 , 0 ,1 , 2 , , 1 A m A m A m A m m A m m       
    1 0 2 , , 1 m j A m j A m m      
  1 2 3 2 3 2 m m     
Terbukti  benar  bahwa     1 0 1,1 , 3 2 n n n j f A n j       . ■

## 4. Kesimpulan
Misalkan   , A n j merupakan  koefisien  dari n j j x y  pada  fungsi
1 ( , ) ( ) ( 2 ) n n f x y x y x y     .  Berdasarkan  hasil  dan  pembahasan,  diperoleh kesimpulan sebagai berikut:
1. (    )   { ( )   ( )
2.     2 , 2 1 A n n n    , untuk 2 n  .
3.     1 ,1 1, 2 n k A k A n     , dengan 1 n  .
4.     1 , 1, 1 n k A k j A n j      untuk 1, 1 n j   . 5.       , 1, 1 1, , , 1 A n j A n j A n j n j        .
6. Untuk setiap 1 n  dan 1 j  berlaku     1 0 1,1 , 3 2 n n n j f A n j       7. Jumlah setiap baris pada segitiga Lucas adalah
    1 0 1,1 , 3 2 n n n j f A n j       .

## DAFTAR PUSTAKA
Koshy, T. , Fibonacci and Lucas Numbers with Applications . New York: A Wiley- Interscience Publication, 2001.
Rosen,  K.  H., Discrete  Mathematics  and  Its  Applications (6 th ed.), McGraw-Hill ,
New York , 2007 .
Varberg, D. d . k . k. , Kalkulus, Jilid Dua . (Edisi ke-9), Erlangga , Jakarta, 2011 .