## EULER: Jurnal Ilmiah Matematika, Sains dan Teknologi
Submit: 18 November 2021, Diterima: 7 Maret 2022, Online: 22 April 2022 Copyright ©2022 by F. Zubedi, N. Achmad, S. L. Mahmud, R. Mowuu Diterbitkan oleh: Jurusan Matematika Universitas Negeri Gorontalo | Under the licence CC BY-NC 4.0

## Penentuan Harga Beli Opsi Asia Menggunakan Monte Carlo- Antithetic Variate dan Monte Carlo-Control
Fahrezal Zubedi 1 , Novianita Achmad 2 , Sri Lestari Mahmud 3* , Rusli Mowuu 4
1,2,3,4 Jurusan Matematika, Universitas Negeri Gorontalo, Bone Bolango 96119, Indonesia *Penulis Korespondensi. Email: sri.lestari@ung.ac.id

## Abstrak
Matematika  adalah  ilmu  yang  dapat  diterapkan  diberbagai  bidang,  salah  satunya  dalam  bidang komputasi keuangan yang membahas tentang opsi. Opsi merupakan suatu kontrak atau perjanjian antara dua pihak yaitu pihak pertama dan pihak kedua. Pihak pertama adalah pihak yang memiliki hak  bukan  kewajiban  untuk membeli  atau  menjual  dari  pihak  kedua  terhadap  suatu  aset  tertentu pada harga dan waktu yang telah ditetapkan. Tujuan dari penelitian ini yaitu membandingkan monte carlo-Antithetic Variate dan monte carlo-Control Variate dalam menentukan harga beli opsi Asia. Penelitian ini menggunakan data harga penutupan saham harian dari PT Adhi Karya Tbk dimulai dari 01 Oktober 2018 - 27 November 2019. Penelitian ini menghasilakan harga ospi dan standar error  yang  berbeda,  pada  metode  monte  Carlo-Antithetic  Variate  menghasilkan  harga  opsi  Rp. 246,6821 dan standar error sebesar 0,071495 pada simulasi ke-10000000, sedangkan pada metode monte  Carlo-Control  Variate  menghasilkan  harga  opsi  Rp.  183,2139  dan  standar  error  sebesar 0,09716 pada simulasi ke-5000. Penggunaan monte Carlo-Control Variate dalam menentukan harga beli opsi Asia lebih baik karena menghasilkan harga opsi lebih kecil dengan standar error yang cepat mendekati nol.
Kata Kunci: Opsi Asia; Monte Carlo-Antithetic Variate; Monte Carlo-Control Variate

## Abstract
Math is applicable in many fields, including financial computing and discussing options. Options are contracts between two parties. The first part acts as a buyer with non-obligatory rights to buy or sell from the second party, who act as the seller with particular assets of predetermined time and  price. This research aims  to compare the monte Carlo-Antithetic Variate and monte Carlo- Control Variate in determining the purchase price of the Asian option. This study uses data from the closing price of the daily stock of PT Adhi Karya Tbk from October 1st, 2018 – to November 27th,  2019.  The  findings  revealed  varying  option  prices  and  different  error  standards.  The Antithetic Variate simulation produces option price Rp. 246,6821 and error standard 0,071495 in 10000000th simulation and the Control Variate simulation produce option price Rp. 183,2139 and error  standard  0,09716  in  the  5000th  simulation.    The  result  was  that  the  Control  Variate  was considered better at determining Asian option purchase price because of the smaller option and faster error standard in approaching zero.
Keywords: Asian Option; Monte Carlo-Antithetic Variate; Monte Carlo-Control Variate

## 1. Pendahuluan
Opsi merupakan suatu kontrak atau perjanjian antara dua pihak yaitu pihak pertama dan pihak kedua. Pihak pertama adalah pihak yang memiliki hak bukan kewajiban untuk membeli atau menjual dari pihak kedua terhadap suatu aset tertentu pada harga dan waktu yang telah ditetapkan [1].  Hak untuk  membeli  aset  berdasarkan  pada  waktu  tertentu  dengan  harga  tertentu  disebut  opsi  call.  Hak untuk menjual asset berdasarkan pada waktu tertentu dengan harga tertentu disebut opsi put [2]. Pada opsi harga kesepakatan disebut exercise price atau strike price , waktu jatuh tempo disebut expiry date .
Dalam opsi terdapat opsi standar ( vanilla option ) dan opsi eksotik ( exotic option ). Opsi eksotik merupakan suatu opsi yang payoff -nya tidak hanya bergantung pada harga asset saat dilaksanakan, tapi  juga  bergantung  pada  harga-harga  asset  selama  masa  hidup opsi.  Dalam  opsi  eksotik  terdapat opsi Asia, opsi Barrier dan opsi Lookback [1]. Karakteristik yang dimiliki oleh opsi Asia yaitu nilai payoff -nya  bergantung  pada  rata-rata  harga  aset  selama  periode  opsi,  pada  opsi  Asia  ini  dapat meminimalisir manipulasi harga asset yang didapat pada akhir periode opsi, karena harga opsi yang didapatkan  bergantung  pada  rata-rata  harga  aset  selama  masa  hidup  opsi  [2].  Metode  yang  dapat digunakan  dalam  menentukan  harga  opsi  asia  yaitu  menggunakan  Binomial  dan  Simulasi  Monte Carlo. Simulasi Monte Carlo merupakan sebuah teknik yang digunakan untuk menyelesaikan suatu masalah dengan menjalankan suatu percobaan dalam jumlah banyak. Monte Carlo digunakan untuk perhitungan  numerik  yang  mengandung  integral  multidimensi  dalam  komputasi  keuangan.  Untuk menghasilkan  nilai  pendekatan  yang  sangat  akurat,  penentuan  harga  opsi  saham  dengan  metode Monte Carlo memerlukan jumlah partisi waktu dan pembangkitan data yang cukup besar. Penggunaan jumlah partisi waktu dan pembangkitan data yang cukup besar akan memerlukan waktu komputasi yang cukup lama. Oleh karena itu, untuk mengefisiensikan waktu komputasi, dalam proses penentuan harga  opsi  saham  dengan metode  Monte  Carlo  dapat  diterapkan teknik reduksi variansi [3] pada simulasi Monte Carlo ini terdapat dua teknik reduksi variansi yaitu Antithetic Variate dan Control Variate [1]. Antithetic Variate adalah suatu cara untuk mengurangi varians dengan cara mengganti peubah acak dengan  peubah  acak  lainnya  yang  berkorelasi  negatif  tanpa  meningkatkan  ukuran  sampel  dalam mensimulasi  harga  opsi  [4]  sedangkan  Control  Variate  adalah  suatu  teknik  dengan  memanfaatkan informasi  error  dalam  menaksir  kuantitas  yang  diketahui  untuk  mereduksi  error  dalam  penaksiran kuantitas yang tidak diketahui [5].
Monte Carlo-Antithetic Variate telah dikaji pada penelitian yang dilakukan oleh [6] mengenai penentuan harga beli opsi eropa kemudian dianalisis berdasarkan harga beli opsi eropa yang dihitung berdasarkan  model  Black-Scholes  dan  Binomial,  diperoleh  Harga call opsi  Eropa  yang  dihasilkan oleh Antithetic Variate dan Binomial konvergen ke harga call opsi Eropa yang dihasilkan oleh Model Black-Scholes sedangkan Monte Carlo-Control Variate ini telah dikaji oleh [7] tentang penentuan opsi Asia  yang  dibandingkan  dengan  monte  carlo  standar,  diperoleh.  Pada  penelitian  tersebut menghasilkan  bahwa  metode  monte  carlo-control  variate  lebih  cepat  menuju  konvergen  daripada monte carlo standar. Oleh karena itu, perlu dianalisis lebih lanjut terkait perbandingan Monte Carlo- Control Variate dan Monte Carlo-Antithetic Variate pada harga beli opsi Asia.
Penelitian ini mengkaji kedua teknik pengurangan varians pada monte carlo yaitu monte carlo- Antithetic  Variate  dan  monte  carlo-Control  Variate  yang  diterapkan  dalam  menentukan  harga  beli opsi Asia. Tujuan pada penelitian ini yaitu untuk melihat perbandingan dari monte carlo-Antithetic Variate dan monte carlo-Control Variate dalam menentukan harga beli opsi Asia.

## 2. Metode Penelitian
Pada bagian ini dibahas tentang Opsi Call dan langkah-langkah yang dilakukan pada penelitian ini.  Data harga saham yang dipakai adalah data harga saham penutupan  saham harian selama satu tahun  dimulai 01 Oktober 2018 – 27 November 2019 dari PT Adhi Karya Tbk yang diperoleh dari [8].

## 2.1. Opsi Call
Opsi  beli  ( call  option ),  yaitu  opsi  yang  memberikan  hak  (tetapi  bukan  kewajiban)  kepada pemegangnya untuk membeli aset tertentu pada harga tertentu dan waktu yang telah ditentukan [9]. Opsi call juga merupakan hak untuk membeli suatu saham pada harga kesepakatan atau strike price dan dalam jangka waktu yang telah disepakati bersama. Untuk menghitung nilai payoff dari opsi call, yaitu:
= ( − , 0)
(2.1)
dimana,   adalah nilai payoff opsi call, adalah harga saham saat   dan   adalah harga kesepakatan [1].

## 2.2. Menentukan Rata-rata Return Saham
Return adalah tingkat pengembalian atau hasil yang diperoleh akibat melakukan investasi [10] Jika   adalah interval waktu pengamatan adalah harga  saham pada waktu ke- ,  maka adalah return harga saham ke-  dapat dihitung dengan menngunakan persamaan sebagai berikut [1]:
= ( ) − ( ) (2.2)
kemudian,  untuk  menentukan  rata-rata  return  saham  dapat  ditentukan  menggunakan  persamaan sebagai berikut:
= 1 (2.3)
Nilai  rata-rata  return  saham  digunakan  untuk  menghitung  variansi  dan  dilanjutkan  untuk menghitung volatilitas.

## 2.3. Menghitung Varians dan Volatilitas
Tujuan menghitung Varians dan Volatilitas untuk melihat naik turunnya harga saham. Apabila merupakan banyaknya data yang diamati, merupakan return saham dan var merupakan variansi dari , maka nilai variansi dapat dihitung menggunakan persamaan berikut:
var = 1 − 1 ( − )                                          (2.4)
Besarnya fluktuasi atau perubahan harga dari suatu saham disebut volatilitas. Volatilitas ini digunakan untuk  mengukur  tingkat  risiko  dari  suatu  saham  Qisti  Nissa  [11]. Semakin  besar  nilai  volatilitas  saham maka  semakin  besar  kemungkinan  mengalami  keuntungan  atau  kerugian  [6].    Untuk  menentukan volatilitas harga saham dapat ditentukan menggunakan persamaan [6] berikut:
= √var 1 (2.5)

## 2.4. Standar Error dan Selang Kepercayaan
Untuk menentukan standar error dapat dihitung menggunakan persamaan sebagai berikut:
= √ (2.6)
Jika  besar  selang  kepercayaannya  dinyatakan  dalam  95%,  maka  nilai  derivatifnya  yaitu  sebagai berikut:
̅ − 1.96 √ < < ̅ + 1.96 √ (2.7)

## 2.5. Metode Monte Carlo pada Opsi Asia
Salah satu bagian dari teknik pengurangan varian yang ada pada simulasi Monte Carlo adalah Antithetic Variate . Dasar dari teknik ini yaitu melibatkan perhitungan dari dua buah nilai opsi yaitu S+  dan  S-  [12].  Perhitungan  harga  opsi  menggunakan  teknik  Antithetic  Variate  dengan
membangkitkan  dua  bilangan  acak,  yaitu
∈ ~  (0,1)
∈ ~  (0,1) kemudian hitung nilai penduga atau estimatornya yaitu [6]:
= ∆ √∆ (2.8) = ∆ √∆ (2.9)
kemudian menggabungkan kedua penduga yaitu:
= + 2 (2.10)
maka  pembentukan  penduga  antithetic  dapat  digunakan  untuk  membentuk  penduga  baru  yang memiliki varians yang lebih kecil [4].
Pada Control Variate, teknik yang digunakan yaitu dengan memanfaatkan informasi nilai error dalam  menaksir  kuantitas  yang  diketahui  untuk  mereduksi  error  dalam  penaksiran  kuantitas  yang tidak  diketahui  [5].  Teknik  Control  Variate  ini  pertama  kali  diperkenalkan  oleh  Boyle,  dalam perhitungan harga opsi. Teknik ini menggunakan keuntungan dari variabel acak dengan nilai harapan yang diketahui dan berkorelasi positif dengan variabel yang dipertimbangkan [7] = ( , , . . . , ) dimana nilai masing-masing elemen vektor   dihitung sebagai berikut:
= − 2 + √ bilanganacak (1,1) = − 2 + √ bilanganacak (2,1) . . . = − 2 + √ bilanganacak ( , 1)
Pada  perhitungan  tersebut,  terdapat  barisan-barisan  bilangan  acak  yang  termuat  dalam  vektor = ( , , . . . , ) . Setelah seluruh harga saham dibangkitkan dalam simulasi pertama kemudian dihitung rataan aritmatika barisan tersebut, yaitu:
̅ = + + ⋯ + (2.11)
dengan menggunakan cara yang sama, dilakukan simulasi ke-2 sampai ke-N untuk mendapatkan rata- rata  harga  saham,  kemudian  harga  opsi  untuk  simulasi  pertama  dihitung  dengan  formula  sebagai berikut:
= max ( ̅ − , 0) = max ( ̅ − , 0) . (2.12) . .
= max ( ̅ − , 0)
dari sejumlah N simulasi maka akan mendapatkan estimasi harga yang lebih baik dengan menghitung rataan dari keseluruhan simulasi yaitu:
= + + ⋯ + (2.13)
dimana nilai adalah rata-rata dari setiap simulasi yang telah dilakukan. Payyoff dari average price option dapat dihitung dengan cara memasukan nilai dan strike price untuk menghasilkan suatu harga opsi.

## 3. Hasil dan Pembahasan
Sebelum dilakukan perhitungan nilai opsi, langkah awal yang harus dilakukan yaitu menentukan harga saham awal, strike price, suku bunga bebas resiko dan waktu jatuh tempo yang akan dijadikan acuan dalam penelitian ini. Harga saham acuan dalam penelitian ini adalah harga saham close dengan nilai = Rp. 1335. Nilai harga kesepakatan atau strike price yang digunakan dalam penelitian ini yaitu sebesar   = Rp. 1200 sesuai informasi opsi saham PT Adhi Karya yang diperdagangkan mulai 01 Oktober 2018 sampai dengan 27 September 2019. Pada penelitian ini penulis mengansumsikan bahwa perusahaan tidak memberikan dividen . Waktu jatuh tempo yang digunakan dalam penelitian ini yaitu selama satu tahun.

## 3.1 Rata-Rata Harga Saham
Sebelum  menentukan  rata-rata  harga  saham,  dicari return saham  setiap    menggunakan persamaan (2.2) yaitu:
= ( ) − ( ) = (1373) − (0) 0 = 0 = (1368) − (1373) 1373 = −0,00364 . . . = (1335) − (1345) 1345 = −0,00743
berdasarkan  hasil return yang  didapatkan  menunjukan  bahwa  terdapat  nilai return yang  bernilai positif, negatif maupun nol. Jika nilai return bernilai positif maka mengalami suatu keuntungan, jika nilai return bernilai negatif maka mengalami suatu kerugian dan jika nilai return bernilai nol maka tidak mengalami apapun baik keuntungan ataupun kerugian. Kemudian, untuk menentukan rata-rata return saham dapat ditentukan menggunakan persamaan (2.3) yaitu:
= 1 = 1 260 (0,02920961)
= 0,000112345
Jadi, rata-rata return saham adalah 0,000112345.

## 3.2 Varians dan Volatilitas Harga Saham
Setelah  mendapatkan  rata-rata return saham,  maka  akan  mencari  nilai  variansi  dengan memasukan nilai rata-rata return saham pada persamaan (2.4) yaitu:
var = 1 − 1 ( − )
= 1 259 (0,114918965)

## = 0,0004437
Jadi,  nilai  varians  adalah  0,0004437.  Kemudian,  untuk  menentukan  volatilitas  harga  saham  dapat ditentukan menggunakan persamaan (2.5) yaitu:
= √var 1
= √0,0004437
1
260
= 0,33965

## Jadi, nilai volatilitas sebesar 0,33965.
3.3 Harga  beli  opsi  Asia  menggunakan  metode  Monte  Carlo- Antithetic  Variate dan  Monte Carlo- Control Variate
Tabel 1 . Hasil harga beli opsi Asia menggunakan Monte Carlo- Antithetic Variate M Harga Opsi Standar Error 10 Rp. 199,4945 52,55972 100 Rp. 251,0501 24,20781 1000 Rp. 236,0058 6,750499 1100 Rp. 243,7773 6,74427 2000 Rp. 246,5898 5,058815 3000 Rp. 248,0237 4,120544 5000 Rp. 248,7988 3,2533647 10000 Rp. 246,4320 2,256442 100000 Rp. 245,7337 0,712533 1000000 Rp. 246,5810 0,225893 10000000 Rp. 246,6821 0,071495 Tabel 2. Hasil harga beli opsi Asia menggunakan Monte Carlo- Control Variate M Harga Opsi Standar Error 10 Rp. 216,2303 49,0186 100 Rp. 184,6786 10,03407 1000 Rp. 175,09 0,38544 1100 Rp. 174,6121 0,34675 2000 Rp. 174,9925 0,19323 3000 Rp. 175,1483 0,13065 5000 Rp. 183,2139 0,09716
Berdasarkan Tabel 1 dan Tabel 2 menunjukan bahwa jumlah simulasi pada kedua metode yang berbeda  menghasilkan  nilai  standard  error  dan  harga  opsi  yang  berbeda  pula.  Pada  monte  Carlo- Antithetic Variate menghasilkan harga opsi Rp. 246,6821 dan standar error sebesar 0,071495 pada simulasi ke-10000000. Pada monte Carlo-Control Variate menghasilkan harga opsi Rp. 183,2139 dan standard error sebesar 0,09716 pada simulasi ke-5000.
Hasil tersebut menunjukan bahwa monte Carlo-Antithetic Variate membutuhkan banyak simulasi agar standard error-nya mendekati nol dan mendapatkan harga opsi yang konvergen sedangkan pada monte  Carlo-Control  Variate  tidak  membutuhkan  banyak  simulsi,  karena  metode  ini  dapat mengurangi varians dari awal simulasi dengan standard error yang sudah mendekati nol dan harga opsi yang lebih cepat konvergen. Hal ini disebabkan karena pada monte Carlo-Control Variate dalam perhitungannya menggunakan perhitungan nilai opsi sebanyak jumlah sampel dalam penelitian yaitu
= ( , , . . . , ) sedangkan  pada  monte  Carlo  Antithetic  Variate  dalam  perhitungannya menggunakan dua buah nilai opsi yaitu dan
Perbedaan  pada  harga  opsi  yang  telah  didapatkan  dari  kedua  simulasi  ini  menunjukan  bahwa monte Carlo-Control Variate dapat mengurangi varians lebih baik dan tidak membutuhkan banyak simulasi dari pada monte Carlo-Antithetic Variate. Pengurangan varians pada simulasi Monte Carlo- Control  Variate  ini  yang menyebabkan  harga  opsi  yang  lebih  cepat  menuju  konvergen  dibandikan dengan simulasi Monte Carlo Antithetic Variate.

## 4. Kesimpulan
Perbedaan pada harga opsi yang telah diperoleh dari kedua metode ini menunjukan bahwa Monte Carlo-Control Variate dapat mengurangi varians lebih baik dan tidak membutuhkan banyak simulasi dibanding dengan monte Carlo-Antithetic Variate. Pengurangan varians pada monte Carlo-Control Variate ini yang menyebabkan harga opsi yang lebih cepat menuju konvergen dibandingkan dengan monte  Carlo-Antithetic  Variate.  Pengurangan  varians  pada  monte  Carlo-Control  Variate  ini  juga menyebabkan  dari  awal simulasi  standard  error  pada  Monte  Carlo-Control  Variate  lebih kecil  dan cepat mendekati nol dibandingkan dengan monte Carlo-Antithetic Variate.
Hal ini dapat dilihat dari banyaknya simulasi dan perbedaan dari standard error dan harga opsi yang diperoleh. Jika dilihat dari harga opsi maka pada Monte Carlo-Control Variate memiliki harga opsi  lebih  kecil  dan  jika  dilihat  dari  standar  error  maka  Monte  Carlo-Antithetic  Variate  memiliki standar  error  lebih  kecil  akan  tetapi  memiliki  jumlah  simulasi  lebih  banyak  dibandingkan  dengan Monte  Carlo-Control  Variate.  Pada  Monte  Carlo-Antithetic  Variate  menghasilkan  harga  opsi  Rp. 246,6821  dan  standar  error  sebesar  0,071495  pada  simulasi  ke-10000000,  sedangkan  pada  monte Carlo-Control Variate menghasilkan harga opsi Rp. 183,2139 dan standar error sebesar 0,09716 pada simulasi ke-5000.

## Referensi
[1] D. J. Higham, An Introduction to Financial Option Valution (1st ed.) . Cambridge, 2004.
[2] J. C. Hull, Options, Futures, and Other Derivatives: Solutions Manual , vol. 59, no. 2. 2002.
[3] A. R. Habaib Taufik, Mariani Scolastika, “Unnes Journal of Mathematics Education,” UNNES J. Math. , vol. 7, no. 1, 2018.
[4] L. H. T. W. Putri, K. Dharmawan, and I. W. Sumarjaya, “Penentuan Harga Jual Opsi Barrier Tipe Eropa Dengan Metode Antithetic Variate Pada Simulasi Monte Carlo,” E-Jurnal Mat. , vol. 7, no. 2, p. 71, 2018, doi: 10.24843/mtk.2018.v07.i02.p187.
[5] P. Glasserman, Monte Carlo Simulation In Financial Engineering . 2003.
[6] F.  Zubedi,  F.  A.  Oroh,  and  M.  A.  Aliu,  “Penentuan  Harga  Call  Opsi  Eropa  Dengan Menggunakan Model Black-Scholes, Antithetic Variate Dan Binomial,” J. Ris. dan Apl. Mat. , vol. 4, no. 2, p. 74, 2020, doi: 10.26740/jram.v4n2.p74-81.
[7] N.  Artanadi,  K.  Dharmawan,  and  K.  Jayanegara,  “Penentuan  Harga  Opsi  Beli  Tipe  Asia Dengan Metode Monte Carlo-Control Variate,” E-Jurnal Mat. , vol. 6, no. 1, p. 29, 2017, doi: 10.24843/mtk.2017.v06.i01.p145.
[8] P.  A.  K.  Tbk,  “Data  Harga  Saham  Penutupan  Saham  Harian  selama  1  Tahun,” http://finance.yahoo.com , 2019. .
[9] N.  M.  Marthin,  A.  Rusgiyono,  and  R.  Rahmawati,  “Penentuan  harga  opsi  put  dan  call  tipe eropa terhadap saham menggunakan model black-scholes,” J. Gaussian , vol. 6, no. 3, pp. 407– 417, 2017.
[10]  M. D. Ruppert David, Linear Smoothers . 2015.
[11]  P. H. Nissa Qisti, Sathayadewi Neva, “Penentuan Harga Opsi Beli Tipe Eropa Menggunakan Metode Trinomial,” Bul. Ilm. Math. Stat. dan Ter. , vol. 9, no. 3, pp. 379–386, 2020.
[12]  P. Atika, R. Lestari, and Y. Asdi, “Penerapan Simulasi Monte Carlo Dalam Penentuan Harga Opsi Asia,” J. Mat. UNAND , vol. 6, no. 3, p. 40, 2017, doi: 10.25077/jmu.6.3.40-46.2017.