Jurnal Teknologi Dan Sistem Informasi Bisnis Vol. 5 No. 2 April 2023 Hal. 164 -169 http://jurnal.unidha.ac.id/index.php/jteksis

## Mengontruksi Kontrol Optimal Berkendala Pada Sistem LTI

## Dengan Keadaan Berkendala Menggunakan Metode Fungsi Penalti
Nurweni Putri a , Iswan Rina b a Universitas Dharma Andalas, nurweniputri@gmail.com
b Universitas Dharma Andalas, iswanrina0@gmail.com
Submitted: 15-04-2023, Reviewed: 03-05-2023, Accepted 10-05-2023 https://doi.org/10.47233/jteksis.v5i2.801

## Abstract
The optimal control problem is defined as a problem in determining the control u(t) that depends on time t, such that it produces  the  optimum  value  for  the  objective  function.  The  optimal  control  system  with  constrained  conditions  can  be changed to an optimal control system without constraints by constructing the value of u(t) so that u(t) is not constrained. In  this  research,  we  will  examine  how  to  determine  an  optimal  control  of  a  system  of  time-independent  state  space  or Linear Time Invariant (LTI) with constrained states and minimize a given objective function. In addition, how to construct an  optimal  controller  that is  constrained  to  become  an optimal  controller  without  constraints  using  the  penalty function method and its implementation using Matlab. The results of this study are that the optimal control is:.
𝒎𝒊𝒏 |𝒖(𝒕)|≤𝑼 {𝓗(𝒙 ∗ (𝒕), 𝒖(𝒕), 𝝀 ∗ (𝒕), 𝝀 𝒏+𝟏 ∗ (𝒕), 𝒕)}   = 𝓗(𝒙 ∗ (𝒕), 𝒖(𝒕), 𝝀 ∗ (𝒕), 𝝀 𝒏+𝟏 ∗ (𝒕), 𝒕)
Keywords: Constraint LTI System, Optimum Control, Penalty Function

## Abstrak
Masalah  kontrol  optimal  didefinisikan  sebagai  suatu  masalah  dalam  menentukan  kontrol 𝐮(t) yang  bergantung  tehadap waktu t, sedemikian sehingga menghasilkan nilai optimum bagi fungsi tujuan. Sistem kontrol optimal berkendala dengan keadaan  berkendala  dapat  diubah  menjadi  sistem  kontrol  optimal  tidak  berkendala  dengan  mengkonstruksi  nilai  u(t) sehingga  u(t)  tidak  berkendala.  Dalam  penelitian  ini  akan  dikaji  tentang  bagaimana  menentukan  suatu  kontrol  yang optimal dari sistem ruang keadaan tidak bergantung waktu atau Linear Time Invariant (LTI) dengan keadaan berkendala dan  meminimumkan  fungsi  objektif  yang  diberikan.  Selain  itu,  bagaimana  mengkonstruksi  pengontrol  optimal  yang berkendala  tersebut  menjadi  pengontrol  optimal  tak  berkendala  dengan  menggunakan  metode  fungsi  penalti  serta implementasinya menggunakan Matlab. Adapun hasil dari penelitian ini adalah kontrol optimalnya harus memenuhi :
𝒎𝒊𝒏 |𝒖(𝒕)|≤𝑼 {𝓗(𝒙 ∗ (𝒕), 𝒖(𝒕), 𝝀 ∗ (𝒕), 𝝀 𝒏+𝟏 ∗ (𝒕), 𝒕)}   = 𝓗(𝒙 ∗ (𝒕), 𝒖(𝒕), 𝝀 ∗ (𝒕), 𝝀 𝒏+𝟏 ∗ (𝒕), 𝒕)
Kata Kunci: Sistem LTI Berkdendala, Kontrol Optimal, Fungsi Penalti
This work is licen sed under Creative Commons Attribution License 4.0 CC-BY International license

## PENDAHULUAN
Masalah  kontrol  optimal  didefinisikan  sebagai suatu  masalah  dalam  menentukan  kontrol 𝐮(t) yang  bergantung  tehadap  waktu t, sedemikian sehingga  menghasilkan  nilai  optimum  bagi  fungsi tujuan  [9].  Kontrol  optimal  merupakan  masalah penentuan  suatu  pengontrol  optimal u (t)  yang memenuhi  sistem  liear  tidak  bergantung  waktu sebagai berikut
(1) ) ( ) ( t B t A u x x + =  dan meminimumkan fungsi objektif
(2) ) ( ) ( 0 dt Q J T T u u x x u + =   dimana n R  x menyatakan  keadaan,
m
R  u menyatakan  kontrol, , , , n r m n n n C B A       R R R
m r
D   R dan n n Q   R adalah    matriks  simetris [9].  Sistem  (1)  merupakan  sistem  kontrol  optimal yang  tidak  bergantung  kepada  waktu  atau Linear Time Invariant (LTI) .
Berdasarkan  [9],  sistem  (1)  dikatakan berkendala  jika  kontrol u(t) yang  meminimumkan fungsi tujuan (1.1.2) berkendala, atau ditulis
( ) (3) t + −   U u U
Sehingga  syarat  cukup  untuk  merubah  sistem kontrol  optimal  berkendala  menjadi  sistem  kontrol optimal tidak berkendala yaitu dengan mengkonstruksi  kontrol u(t) sedemikian  sehingga u(t) menjadi tidak berkendala. Sekarang  pandang  sistem  (1)  dengan  keadaan berkendala.  Defenisikan  fungsi  kendala  dari keadaan sebagai berikut :
( ) ( ) (4) 0, t , t  x g dimana ( ) ( ) ( ) ( ) p i x x x g n i   , 2 , 1 0, t , t , , t , t 2 1 = 
Dengan  demikian,  dapat  didefinisikan  bahwa sistem  (1)  merupakan  sistem  kontrol  optimal berkendala  dengan  keadaan  yang  juga  berkendala, jika sistem tersebut memenuhi (3) dan (4).
Pada  [4]  dan  [8]  sudah  dikaji  tentang  metode fungsi  penalti  pada  masalah  kontrol  optimal
Jurnal Teknologi Dan Sistem Informasi Bisnis Vol. 5 No. 2 April 2023 Hal. 164 -169 http://jurnal.unidha.ac.id/index.php/jteksis
berkendala.  Artikel  ini  akan    mengkaji  bagaimana merubah sistem kontrol optimal berkendala dengan keadaan  yang  juga  berkendala  ini  menjadi  sistem kontrol  optimal  tanpa  kendala.  Setelah  dilakukan riset  literatur,  hal  ini  bisa  dilakukan  dengan  cara mengkonstruksi kontrol u(t) , sedemikian sehingga;
(1)  memenuhi  sistem  (1)  dengan  kendala  keadaan (4);  (2)  meminimumkan  fungsi tujuan  (2);  dan  (3) tidak memenuhi kendala (3).
Untuk  menemukan  kontrol  optimal  yang
memenuhi  ketiga  kriteria  ini  dapat  dilakukan dengan  menggunakan  beberapa  metode,  salah satunya  metode  fungsi  penalti.  Metode  fungsi penalti  merupakan  metode  yang  digunakan  untuk merubah permasalahan optimasi berkendala menjadi  masalah  optimasi  tanpa  kendala  dengan menambahkan  suatu  parameter  penalti  pada  fungsi tujuan [6].

## METODE PENELITIAN
Metode  penelitian  menjelaskan  pendekatan, rancangan  kegiatan,  ruang  lingkup  atau  objek, bahan dan alat utama, tempat, teknik pengumpulan data,  definisi  operasional  variabel  penelitian,  dan teknik  analisis.  [Times  New  Roman,  10,  normal], spasi 1.
2.3 Sistem Linier Kontinu Positif
Berikut  akan  diberikan  teorema  tentang kriteria kepositifan untuk sistem (3) yang diperluas dari Teorema 2 pada [7].
Teorema 1 [13] Sistem (3) adalah positif jika dan hanya jika A adalah matriks Metzle r, . dan , , , , q r q n m r n r m n F E D C B  +  +  +  +  +      R R R R R
Definisi  2 [13]  Suatu  sistem  LTI  positif  dikatakan stabilizable jika  terdapat  suatu  kontrol u  =  Kx sedemikian sehingga untuk suatu matriks n m
K  +  R diperoleh  ( A  +  BK )  adalah  matriks Metzler Hurwitz.
2.2 Sistem Kontrol Optimal Berkendala Diberikan masalah optimisasi sebagai berikut :
( ) (5) L min u x, ( ) (6) 1,2,...n i 0, f s.t i = = x.u
dimana x ∈   ℝ 𝑛 dan u ∈   ℝ 𝑚 ,  yaitu  jumlah konstrain  persamaan  sama  dengan  dimensi x permasalahanya  adalah  memilih u ∈   ℝ 𝑚 yang meminimumkan ( ) L u x, dan  memenuhi  konstrain ( ) [8] 0 f i = x.u .
Untuk menentukan kontrol u (t) yang meminimumkan  (5)  pada  prinsipnya  memiliki
syarat  orde  bahwa  variasi  (pertambahan)  fungsi objektif L (5) dan vektor konstrain f (6) terhadap x dan u adalah sebagai berikut
(7) 0 =             =       u x d d f f L L df dL u x T u T x
Seperti  yang  telah  disebutkan  diatas,  untuk  suatu optimun, persamaan (7)  haruslah sama dengan nol.
Perhatikan  bahwa  matriks
      u x T u T x f f L L berukuran
( ) ( ) 1 m n n +  + ,  maka  agar  (7)  mempunyai  solusi non  trivial  untuk ( ) T T T d d u x ,  haruslah  rank
1 +        n f f L L u x T u T x yaitu  baris-barisnya  bergantung
linier.  Yaitu  ada  vektor 𝜆 yang  terdiri  atas n komponen sedemikian sehingga
( ) T λ 1 (8) 0 =       u x T u T x f f L L
Persamaan  (8)  dapat  juga  diperoleh  dengan mengkonstruksi  fungsi  hamiltonian  dimana  fungsi hamiltonian didefenisikan sebagai berikut
H( x,u, 𝛌) = L(x, u) + λ T f(x, u)
Berikut  ini  adalah  langkah-langkah  yang  akan dilakukan dalam menyelesaikan penelitian ini.
1. Mengumpulkan  referensi  yang  relevan  berupa buku teks, jurnal, dan artikel terkait di internet maupun secara langsung.
2. Mereview  hasil-hasil  penelitian  terdahulu tentang  Metode  Fungsi  Penalti  pada  sistem kontrol optimal berkendala,.
3. Menganalisa  defenisi  dari  sistem  kontrol optimal,  sistem  berkendala,  sistem  berkendala dengan  keadaan  juga  berkendala,  dan  metode fungsi  penalti,  serta  teorema-teorema  yang terkait.
4. Memperhatikan  syarat  cukup  untuk  merubah sistem  kontrol  optimal  berkendala  dengan keadaan  yang  juga  berkendala  menjadi  sistem kontrol optimal tanpa kendala.
5. Memberikan  contoh  kasus  yang  terkait  dan melakukan  implementasi  terhadap  hasil-hasil menggunakan Matlab.
Langkah-langkah  penelitian  digambarkan  dalam diagram alir berikut:
Jurnal Teknologi Dan Sistem Informasi Bisnis Vol. 5 No. 2 April 2023 Hal. 164 -169 http://jurnal.unidha.ac.id/index.php/jteksis

## Gambar 1. Diagram alir metode penelitian

## HASIL DAN PEMBAHASAN
A. Metode Fungsi Penalti pada Sistem Kontrol
Optimal Berkendala
Didefinisikan  sistem  ruang  keadaan  liear  tidak bergantung waktu sebagai berikut :
(9) ) ( ) ( t B t A u x x + = 
dan meminimumkan fungsi objektif
(10) ) ( ) ( 0 dt Q J T T u u x x u + = 

dimana n R  x menyatakan keadaan, m R  u menyatakan kontrol, , , , n r m n n n C B A       R R R m r
D   R dan n n Q   R . Fungsi tujuan (10) dapat
diubah menjadi
( ) ( ) ( ) , t , t , t ) ( 0 u x V u  = f t t J dengan ( ) ( ) ( ) , 0 , t , t , t 0 = + = t Q T T u u x x u x V . dan  = f t

## Perhatikan kembali fungsi penalti
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )   ( ) ( ) ( )   ( ) ( ) ( )   ( ) , t , t ... t , t t , t g
(4.1.3) , t , t t 2 2 2 2 1 2 1 1 1 p p n n g H g g H g g H f x x p
x x x x + + + =  = + +  dimana ( ) ( ) ( ) ( ) ( )      = , 0 , jika , 1 , 0 , jika , 0 t t x g t t x g g H i i i
Perhatikan bahwa, untuk kondisi 𝑔 i (x(t), u(t), t) ≥ 0, ∀ 𝑖 = 1, … 𝑝 maka  sudah  jelas 𝐻(𝑔 𝑖 ) = 0, ∀ 𝑖 =
1, … , 𝑝 sehingga dapat diperoleh 𝑥̇ 𝑛+1 = 0 Selanjutnya,  defenisikan  variabel  baru 𝑥 𝑛+1 (𝑡) yang memiliki syarat batas
𝑥 𝑛+1 (𝑡 0 ) = 0 dan 𝑥 𝑛+1 (𝑡 𝑓 ) = 0 ,
Sehingga,  dari  bentuk  (4.1.3)  didapatkan  fungsi keadaan baru sebagai berikut :
( ) ( ) dt t x t x f t t n n  + + = 0 1 1  ( ) ( )   ( ) ( ) ( )   ( ) ( ) ( )   ( ) t g H t , t g ... g H t , t g g H t , t g 0 p 2 p 2 2 2 1 2 1 d f t t          + + + = x x x Akibatnya, sistem (4.1.1) berubah menjadi ) ( ) ( ) ( t B t A t u x x + =  , x ∈ ℝ n+1 (11)
Perhatikan kembali bentuk fungsi Hamiltonian dari sistem kontrol optimal sebagai berikut :
H( x,u, 𝛌) = 𝐋(𝐱, 𝐮) + 𝛌 T 𝐟(𝐱, 𝐮) ,
dimana  L  menyatakan  fungsi  tujuan  dan  f menyatakan  sistem  kontrol  optimal,  untuk  sistem (11) dan fungsi tujuan (10) maka diperoleh
H( x,u, 𝛌) = 𝐕(𝐱, 𝐮) + 𝛌 T ) ( t x  (12)
dimana 𝐱 𝜖 ℝ 𝑛+1 dan u 𝜖 ℝ 𝑟 .
Mulai Studi literatur dan Mereview hasil penelitian
Menganalisa dan memahami definisi Sistem kontrol optimal berkendala Sistem kontrol optimal berkendala dengan keadaan berkendala Sistem kontrol optimal Metode fungsi penalti Bentuk
Hamilt onian Persa maan Kead aan Kon- disi Optim al Bentuk Kon- trol Optim al
Imple men tasi Selesai Implementasi menggunakan program Matlab Sistem kontrol optimal tidak berkendala
Jurnal Teknologi Dan Sistem Informasi Bisnis Vol. 5 No. 2 April 2023 Hal. 164 -169 http://jurnal.unidha.ac.id/index.php/jteksis

## Perhatikan bahwa
( )   1 1 1 1 2 2 1 1 1 2 1 1 2 1 T H + + + + + + + + = + + + + + =                 + = + = n n n n n n n n n n x x λ x λ .... x λ x λ x x x x λ λ λ λ               x λ V V V x λ V λ u, x, T Sedemikian sehingga dengan menggunakan
pendekatan  Hamiltonian  untuk  meminimalkan fungsi  tujuan  (2)  dari  sistem  (1).  Defenisikan
Hamiltonian sebagai berikut :
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 n t , t λ , t , t , t Η + + + + + = n n x    x λ V λ u x T
Untuk meminimalkan fungsi tujuan (10) dan sistem (11) memiliki syarat cukup sebagai berikut
𝐱̇ ∗ (t) = ∂ℋ ∂λ = x  (t), ẋ n+1 ∗ (t) = ∂ℋ ∂λ n+1 = 1 + n x  ,
𝛌̇ ∗ (t) = − ∂ℋ ∂x = 0,
λ̇ n+1 ∗ (t) = − ∂ℋ ∂x n+1 = 0
Sehingga  kontrol  dalam  keadaan  yang  optimal, maka  u(t)  harus  memenuhi  pertidaksamaan sebagai berikut :
min |𝐮(t)|≤𝐔 {ℋ(𝐱 ∗ (t), 𝐮(t), 𝛌 ∗ (t), λ n+1 ∗ (t), t)} = ℋ(𝐱 ∗ (t), 𝐮(t), 𝛌 ∗ (t), λ n+1 ∗ (t), t)

## B.
Algoritma  Mengkonstruksi  Sistem  Kontrol Optimal  Berkendala  dengan  Menggunakan Metode Fungsi Penalti
Dari  hasil  pembahasan  diatas  maka  dapat dirangkum langkah-langkah merubah sistem kontrol  optimal  dari  sistem  berkendala  dengan keadaan  yang  juga  berkendala  menjadi  tidak berkendala  menggunakan  metode  fungsi  penalti sebagai berikut :
1. Identifikasi Masalah
Dimana diberikan sistem
) ( ) ( ) ( t B t A t u x x + = 
dan fungsi tujuan ( ) ( ) ( ) , t , t , t J 0 dt f t t u x V  = dengan batasan keadaan ( ) ( ) , 0 t , t  x g dan syarat batas ( ) ( ) bebas dan f 0 x x x x 0 = = f t t 2. Bentuk fungsi Hamiltonian ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 n 1 n λ t , t λ , t , t , t + + + + + = n T x H x λ V λ u x 
3. Tentukan syarat cukup untuk meminimumkan
𝐱̇ ∗ (t) = ∂ℋ ∂λ , 𝛌̇ ∗ (t) = − ∂ℋ ∂x ẋ n+1 ∗ (t) = ∂ℋ ∂λn+1 , λ̇ n+1 ∗ (t) = − ∂ℋ ∂xn+1 = 0

## 4. Tentukan kontrol optimal
min |𝐮(t)|≤𝐔 {ℋ(𝐱 ∗ (t), 𝐮(t), 𝛌 ∗ (t), λ n+1 ∗ (t), t)}
= ℋ(𝐱 ∗ (t), 𝐮(t), 𝛌 ∗ (t), λ n+1 ∗ (t), t)
Untuk  lebih  memahami  bagaimana  menentukan kontrol  optimal  dari  sistem  bekendala  dengan keadaan yang juga berkendala dengan menggunakan  metode  fungsi  penalti,  perhatikan contoh soal sebagai berikut :
Diberikan  sistem  kontrol  optimal  sebagai  berikut
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (13) 1 0 0 0 0 0 1 0 2 1 2 1 2 1             − +             =       t u t u t x t x t x t x  
dan fungsi tujuan sebagai berikut
( )   (14) 2 1 0 1   + = dt T T u u x x u J 1
dimana  keadaan  x  ( 𝑡 𝑓 ) bebas  dan  kontrol  u(t) berkendala dengan
( ) ( )   t , t untuk  t 1 t u atau 1 t u 1 f 0  +  +   −
dan keadaan 𝑥 2 (𝑡) berkendala dengan
( ) ( )   f 0 2 2 t , t untuk  t 3 t x atau 3 t x 3  +  +   −
Langkah 1. Identifikasi masalah Untuk  menyatakan  kendala  keadaan  berkendala diatas sebagai keadaan dengan batasan   (4), maka kita tentukan batasan g dan g 2 1 sebagai berikut ( ) (15) , 0 3 2  + t x ( ) (16) 0 3 2  − t x
Dari  defenisi  fungsi  (4)  dapat  kita  ketahui  bahwa ( ) ( ) 0 ,  t t x g dan  dari  fungsi  kendala  diketahui
Jurnal Teknologi Dan Sistem Informasi Bisnis Vol. 5 No. 2 April 2023 Hal. 164 -169 http://jurnal.unidha.ac.id/index.php/jteksis
bahwa ( ) 2 t x dibatasi  dengan 3 3 2 +   − x
sedemikian sehingga diperoleh g dan g 2 1 sebagai berikut ( ) ( ) ( )   (17) 0, 3 t x t g 2 1  + = x ( ) ( ) ( )   (18) 0. t x 3 t g 2 2  − = x
Berdasarkan soal diketahui bahwa : 1) Nilai V sebagai berikut :
( )   ( ) dt t dt J T T , , 2 1 0 0 1     = + = u x V u u x x u 1 2) Nilai ( ) t x λ T  sebagai berikut : ( ) ( ) ( ) t u . λ t x . λ 2 2 1 − = t x λ T 
3) Nilai
1 n 1 n . λ + + x sebagai berikut : ( ) ( )   ( ) ( ) ( )   ( ) ( )         − − + + + = + + t x 3 H . t x 3 3 t x H . 3 t x t λ . λ 2 2 2 2 2 2 3 1 n 1 n x
Langkah 3. Hitung syarat cukup untuk meminimumkan.
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )   ( ) ( ) ( )   ( ) ( ) , 3 3 3 3 , , 2 2 2 2 2 2 3 * 3 * 2 * 2 * 2 1 * 1 t x H t x t x H t x H t x t u H t x t x H t x − − + + + =   = =   = =   =       ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )   ( ) ( ) ( ) ( )   ( ) ( ) ( ) ( ) konstant. 0 3 3 2 3 3 2 , * 3 3 * 3 * 2 * 2 * 3 * 2 * 2 * 3 * 1 2 * 2 * 1 1 * 1 = → =   − = − − + + + − − =   − = − =   − = t x H t t x H t x t t x H t x t t x H t t x x H t           Langkah 4 . Tentukan kontrol optimal.
min |𝐮(t)|≤𝐔 {ℋ(𝐱 ∗ (t), 𝐮(t), 𝛌 ∗ (t), λ n+1 ∗ (t), t)} = ℋ(𝐱 ∗ (t), 𝐮(t), 𝛌 ∗ (t), λ n+1 ∗ (t), t)
hitung  kontrol  menggunakan  bentuk  hamiltonian mengabaikan  semua  yang  tidak  mengandung kontrol ( ) t u , sehingga diperoleh
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (19) . 2 1 min 2 1 2 1 2 2 1 2 2 2 2       + = +  +  t u t λ t u t u t λ t u t u t λ t u * u * * * * gunakan kalkulus sederhana maka diperoleh ( ) ( ) ( ) ( ) (20) 0 0 * 2 * * 2 * t t u t t u u H   − = → = + → =  
dari  sistem  kontrol  optimal  berkendala  (13),  kita bisa ketahui bahwa berdasarkan (19) dan (20)
( ) ( ) ( ) ( ) ( )      +   − − +  − −  + = . 1 t λ 1 jika , t λ (21) 1 t λ jika 1, 1 t λ jika 1, * 2 * 2 * 2 *
2 * t u
Akibatnya  pada  situasi  (21)  menunjukkan  bahwa ( ) t u * adalah  sistem  kontrol  optimal  untuk  sistem yang  tidak  berkendala  dengan ( ) t λ * 2 adalah keadaan  yang  juga  tidak  berkendala.  Berikut gambar  dari  sistem  kontrol  optimal  berkendala dengan  keadaan  yang  juga  berkendala  dan  sistem kontrol  optimal  tidak  berkendala  dengan  keadaan yang juga tidak berkendala berturut-turut diberikan pada Gambar 2 dan Gambar  3  berikut
Gambar 2. Sistem Kontrol Optimal Berkendala dengan Keadaan yang juga Berkendala
Gambar 3. Sistem Kontrol tidak Berkendala dan Keadaan yang juga tidak Berkendala
Jurnal Teknologi Dan Sistem Informasi Bisnis Vol. 5 No. 2 April 2023 Hal. 164 -169 http://jurnal.unidha.ac.id/index.php/jteksis

## SIMPULAN
Sistem kontrol optimal berkendala dengan keadaan berkendala  dapat  diubah  menjadi  sistem  kontrol optimal  tidak  berkendala  dengan  mengkonstruksi nilai  u(t)  sehingga  u(t)  tidak  berkendala.  Dengan menggunakan  metode  fungsi  penalti,  kontrol optimalnya harus memenuhi : 𝒎𝒊𝒏 |𝒖(𝒕)|≤𝑼 {𝓗(𝒙 ∗ (𝒕), 𝒖(𝒕), 𝝀 ∗ (𝒕), 𝝀 𝒏+𝟏 ∗ (𝒕), 𝒕)} = 𝓗(𝒙 ∗ (𝒕), 𝒖(𝒕), 𝝀 ∗ (𝒕), 𝝀 𝒏+𝟏 ∗ (𝒕), 𝒕)

## UCAPAN TERIMAKASIH
Kami  mengucapkan  terima kasih  yang  tulus atas  kerjasama  pihak  JTeksis  Universitas Dharma  Andalas  yang  telah  banyak  membantu kami dalam penyelesaian artikel ini.

## DAFTAR PUSTAKA
[1] Anton, H. 1991. Aljabar Linier Elementer Edisi Kedelapan- Jilid 1 . Erlangga. Jakarta.
[2]  Beauthier,  C.  dan  Joseph  J.  Winkin.  2010. LQ-Optimal Control of Positive Linear System . Wiley Online Library.
[3]  Bahri,  S.  2017. Teori  Pengoptimuman .  FMIPA  UNRAM. Mataram
[4]  Budi,  W.S.  2001. Kalkulus  Peubah  Banyak  dan
Penggunaannya . ITB Press. Bandung.
[5] B.W. Kort and D.P Bertsekas. 1972. A New Penalti function method  for  constrained  minimization. IEEE  Conference  on Decision and Control.
[6]  Coit,  A.E.1997. Penalti Funcion .  USA:  IOP  Publishing  Ltd and Oxford University Press.
[7]  Hendricks. Elbert,  Ole.  Jannerup dan  P.  H.  Sorensen.  2008 . Linear Systems Control . Springer- Verlag Berlin Heidelberg.
[8]  Lewis,  F.L.  Vrabie,  D.L.,  &  Syrmos,  V.L.  2012. Optimal Control Third Edition . Wiley. New Jersey.
[9]  Lian,  S.  Meng,  S.  &  Wang,  Y.  2018. An  Objective  Penalty Function-Based Method  for Inequality Constrained Minimization Proble. Hindawi.
[10] Meyer. Carl  D.  2000. Matrix Analysis  and  Applied  Linear Algebra . SIAM
[11]  Naidu,  D.S.  2002. Optimal  Control  Systems .  CRC  Press, Idaho.
[12]  Purcell.  Varberg.,  &  Rigdon.  2010. Kalkulus  Edisi Kesembilan-Jilid 2 . Erlangga. Jakarta
[13]  Roszak,  B.  dan  Davidson,  E.  J.  2009. Necessary  and Sufficient  Conditions  for  Stabilizability  of  Positive  LTI System . System and Control Letters 58(2009). 474-481.
[14]  Rina,  I.,  &  Putri,  N.  (2022).  Menentukan  Panjang  Pipa Terpendek  Untuk  Pemasangan  Jaringan  Pipa  Pdam  Di Kecamatan  Koto  Tangah  Kota  Padang. Jurnal  Teknologi Dan Sistem Informasi Bisnis , 4 (1), 84-88.
[15] Sulfayanti. Toaha, S., & Khaerudin. 2014. Aplikasi Kontrol Optimal  pada  Perubahan  Perilaku  Manusia. Jurnal
Matematika, Statistika, dan Komputasi. Vol.11, No.1.
[16]  Yu.  C,  Teo.  K  &  Zhang,  L.  2010. A  New  Exact  Penalty Function  Method  For  Continuous  Inequality  Constrained Optimization  Problems. Journal  of  Industrial  And Management Optimization Vol 6, No 4.