PELABELAN ODD-GRACEFUL PADA GRAF PRODUK SISIR
(Odd Graceful Labelling on Comb Product Graph)
Juan Daniel, Zeveliano Zidane Barack, Pandu Setya Ilham, Kiki Ariyanti Sugeng* )
Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Indonesia, Depok, 16424, Indonesia e-mail: juan.daniel@sci.ui.ac.id, zeveliano.zidane@sci.ui.ac.id pandu.setya@sci.ui.ac.id, * ) kiki@sci.ui.ac.id * ) penulis korespondensi
Abstract. Gnanajothi defined a graph 𝐺 with 𝑞 edges to be odd-graceful if there is an  injective  function 𝑓: 𝑉(𝐺) → {0,1, … , 2𝑞 − 1} such  that  if  every  edge 𝑥𝑦 is labelled  with |𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑦)| the  resulting  edge  labels  are {1, 3, 5, … , 2𝑞 − 1} .  She proved that the graph obtained by joining one pendant to every vertex in 𝐶 𝑛 is odd- graceful if and only if 𝑛 is even. In this paper, we extend her results by proving that 𝐶 𝑛 ⊳ 𝑣 𝑃 3 is odd-graceful if and only if 𝑛 is even.
Keywords: Vertex-labelling, odd-graceful, cycle
MSC 2020: 05C78
Received: 15-02-2022, accepted: 07-03-2022

## 1. Pendahuluan
Pada [1], Rosa memperkenalkan pelabelan graceful . Suatu graf 𝐺 dengan 𝑞 busur disebut graceful jika  terdapat  fungsi  injektif 𝑓: 𝑉(𝐺) → {0, 1, 2, … , 𝑞} sedemikian  sehingga himpunan semua label busur yang dihasilkan adalah {1, 2, … , 𝑞} apabila setiap busur 𝑥𝑦 dilabeli |𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑦)| .  Banyak  hasil  yang  diperoleh  terkait  dengan  konjektur  terkait dengan  keberadaan  pelabelan graceful pada  graf  pohon.  Brankovic  dan  Wanless membuat survey pelabelan graceful yang sudah ditemukan pada tahun 2011 [2]. Suparta dan Ariawan [3–4] menunjukkan beberapa konstrusi untuk membangun pohon graceful . Catell [5] menunjukkan untuk graf lintasan dapat dibuat palabelan graceful yang tak unik. Barientos  membuktikan  pelabelan  graceful  pada  graf  yang  diberi  pendan  [6–7]. Truszcynski  [8]  memberikan  konjektur  bahawa  graf  unisiklik  adalah graceful .  Biatch dkk. [9] melakukan survey dari graf unisiklik yang graceful . Pada 1991, Gnanajothi [10] memperkenalkan pelabelan busur yang merupakan hasil modifikasi pelabelan graceful, yaitu pelabelan odd-graceful .
Graf 𝐺 dengan 𝑞 busur  disebut odd-graceful jika  terdapat  fungsi  injektif 𝑓: 𝑉(𝐺) → {0, 1, 2, … , 2𝑞 − 1} sedemikian  sehingga  jika  setiap  busur 𝑥𝑦 dilabeli |𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑦)| diperoleh hasil pelabelan busur adalah {1, 3, 5, … , 2𝑞 − 1} . Fungsi 𝑓 yang memiliki sifat seperti ini disebut pelabelan odd-graceful. Gnanajothi [10] telah membuktikan bahwa 𝑃 𝑚
adalah graf yang odd-graceful dan 𝐶 𝑛 adalah graf yang odd-graceful jika dan hanya jika 𝑛 adalah  bilangan  genap.  Gnanajothi  juga  telah  menunjukkan  bahwa  setiap  graf  yang memiliki subgraph lingkaran ganjil tidaklah odd-graceful. Gnanajothi telah membuktikan bahwa 𝐶 𝑛 ⊙ 𝐾 1 adalah  graf  yang odd-graceful jika  dan  hanya  jika 𝑛 bilangan  genap. Moussa  dan  Badr  [11]  memperluas  hasil  ini,  dengan  menunjukkan  bahwa 𝐶 𝑛 ⊙ 𝑚𝐾 1 adalah graf yang odd-graceful jika dan hanya jika 𝑛 bilangan genap. Pada penelitian lain, Badr,  Moussa,  dan  Kathiresan  [12]  telah  menunjukkan  bahwa  graf  subdivisi  dari  graf ladder 𝐿 𝑛 , 𝑆(𝐿 𝑛 ), adalah  graf  yang odd-graceful. Pada  [13],  Moussa  membuktikan bahwa 𝐶 𝑚 ∪ 𝑃 𝑛 adalah  graf  yang odd-graceful untuk  beberapa  nilai 𝑚 dan 𝑛 . Perkembangan terbaru penelitian pelabelan odd-graceful lainnya dapat dilihat pada survei yang dilakukan oleh Gallian [14]. Terkait dengan konjektur dari Truszcynski [8] untuk graf unisiklik dalam kasus pelabelan graceful , maka dalam paper ini dibahas salah satu graf unisiklik yang akan dibuktikan odd-graceful.
Misalkan 𝐻 1 dan 𝐻 2 adalah dua graf terhubung. Misalkan 𝑣 adalah simpul di 𝐻 1 . Produk sisir ( comb product) antara 𝐻 1 dan 𝐻 2 , dinotasikan sebagai by 𝐻 1 ⊳ 𝑣 𝐻 2 , merupakan graf yang diperoleh dengan mengambil satu salinan graf 𝐻 1 dan |𝑉(𝐻 1 )| salinan graf 𝐻 2 serta menempelkan  simpul 𝑣 pada  salinan  ke- 𝑖 dari 𝐻 2 dengan  simpul  ke  - 𝑖 dari 𝐻 1 . Menggunakan  definisi  graf  sisir,  maka 𝑉(𝐻 1 ⊳ 𝑣 𝐻 2 ) = {(𝑎, 𝑥)|𝑎 ∈ 𝑉(𝐻 1 ), 𝑥 ∈ 𝑉(𝐻 2 )} dan (𝑎, 𝑥)(𝑏, 𝑦)   ∈  𝐸(𝐻 1 ⊳ 𝑣 𝐻 2 ) apabila 𝑎  =  𝑏 dan 𝑥𝑦  ∈  𝐸(𝐻 2 ) ,  atau 𝑎𝑏  ∈  𝐸(𝐻 1 ) dan 𝑥 = 𝑦 = 𝑣 [15]. Pada penelitian ini, akan ditunjukkan bahwa 𝐶 𝑛 ⊳ 𝑣 𝑃 3 adalah graf yang odd-graceful jika dan hanya jika 𝑛 adalah bilangan genap.

## 2. Hasil dan Pembahasan
Teorema  2.1. Untuk 𝑛 ≥ 3 dan 𝑣 adalah  simpul  berderajat  satu  di 𝑃 3 ,  graf 𝐶 𝑛 ⊳ 𝑣 𝑃 3 adalah odd-graceful jika dan hanya jika 𝑛 bilangan genap.
Bukti. Untuk bagian “hanya jika”, jika 𝐶 𝑛 ⊳ 𝑣 𝑃 3 memiliki pelabelan yang odd-graceful, maka graf tersebut tidak memiliki subgraf lingkaran ganjil. Jika 𝑛 ganjil, maka 𝐶 𝑛 ⊳ 𝑣 𝑃 3 memiliki  subgraf  lingkaran  ganjil,  sehingga 𝐶 𝑛 ⊳ 𝑣 𝑃 3 tidak  memiliki  pelabelan odd- graceful. Akibatnya, 𝑛 harus merupakan bilangan genap.
Untuk bagian “jika”, pertama-tama dikonstruksi graf 𝐶 𝑛 ⊳ 𝑣 𝑃 3 . Bagi simpul-simpul di 𝐶 𝑛 menjadi dua lintasan terpisah, lintasan pertama dilalui 𝑛 2 simpul berikut: 𝑣 1 , … , 𝑣 𝑛 2 −1 , 𝑣 0 dan  lintasan  kedua  dilalui 𝑛 2 simpul  berikut: 𝑢 0 , 𝑢 1 , , … , 𝑢 𝑛 2 −1 .  Simpul 𝑢 0 bertetangga dengan 𝑣 1 dan simpul 𝑢 𝑛 2 −1 bertetangga dengan 𝑣 0 . Jadi 𝑉(𝐶 𝑛 ) = {𝑢 0 , 𝑢 1 , … , 𝑢 𝑛 2 −1 , 𝑣 1 , … , 𝑣 𝑛 2 −1 , 𝑣 0 } .  Notasi  simpul-simpul  dari 𝑛 2 lintasan 𝑃 3 adalah 𝑢 1𝑖 , 𝑢 2𝑖 , 𝑢 3𝑖 dengan 𝑖 = 0,1, … , 𝑛 2 − 1. Notasi simpul-simpul dari 𝑛 2 lintasan 𝑃 3 lainnya
adalah 𝑣 1𝑗 , 𝑣 2𝑗 , 𝑣 3𝑗 dengan 𝑗 = 0, 1, … , 𝑛 2 − 1. Kemudian, tempelkan simpul 𝑣 0 dengan simpul 𝑣 10 dan  simpul 𝑢 0 dengan  simpul 𝑢 10 .  Lalu,  tempelkan  setiap  simpul 𝑢 𝑖 di lingkaran dengan 𝑢 1𝑖 pada lintasan 𝑃 3 dan setiap simpul 𝑣 𝑖 di lingkaran dengan 𝑣 1𝑖 pada lintasan 𝑃 3 .  Namakan  simpul-simpul  di  lingkaran  dengan  nama  simpul 𝑃 3 yang ditempelkan.
Sebagai ilustrasi, pada Gambar 1, ditampilkan graf 𝐶 6 ⊳ 𝑣 𝑃 3 dengan penamaan simpul seperti yang dijelaskan pada paragraf sebelumnya.
Gambar 1. Graf 𝐶 6 ⊳ 𝑣 𝑃 3
Untuk 𝑛 genap, pembuktian 𝐶 𝑛 ⊳ 𝑣 𝑃 3 memiliki pelabelan odd-graceful dibagi menjadi tiga kasus, yaitu 𝑛 = 4, 𝑛 ≡ 0 (mod 4) dengan 𝑛 > 4 , dan 𝑛 ≡ 2 (mod 4) .
Kasus  1. Untuk 𝑛 = 4 ,  dapat  dilihat  bahwa  skema  pelabelan  pada  Gambar  2  adalah pelabelan odd-graceful pada 𝐶 4 ⊳ 𝑣 𝑃 3
Gambar 2. Pelabelan odd-graceful pada 𝐶 4 ⊳ 𝑣 𝑃 3
Kasus 2. Untuk 𝑛 > 4, 𝑛 ≡ 0(mod 4) , perhatikan pelabelan simpul 𝑓 berikut:
𝑓(𝑢 1𝑖 ) = { 0 , 𝑖 = 0, 6𝑛 − 3𝑖 + 2 , 𝑖 ganjil, 3𝑖 + 2 , 𝑖 genap dan 𝑖 > 0, 𝑓(𝑢 2𝑖 ) = { 1 , 𝑖 = 0, 2 , 𝑖 = 1, 1 + 3𝑖 , 𝑖 ganjil dan 𝑖 > 1, 6𝑛 − 3𝑖 + 1 , 𝑖 genap dan 𝑖 > 0, 𝑓(𝑢 3𝑖 ) = { 6𝑛 − 6 , 𝑖 = 0, 6𝑛 − 3𝑖 , 𝑖 ganjil, 3𝑖 , 𝑖 genap dan 𝑖 > 0,
𝑓(𝑣 1𝑖 ) = { 3𝑛 2 + 2 , 𝑖 = 0, 3𝑛 + 1 , 𝑖 = 1, 3𝑛 + 3𝑖 , 𝑖 ganjil dan 𝑖 > 1, 3𝑛 − 3𝑖 + 2 , 𝑖 genap dan 𝑖 > 0,
𝑓(𝑣 2𝑖 ) = { 9𝑛 2 + 1
, 𝑖 = 0, 3𝑛 + 4 , 𝑖 = 1, 3𝑛 − 3𝑖 + 3 , 𝑖 ganjil dan 𝑖 > 1, 3𝑛 + 3𝑖 + 1 , 𝑖 genap dan 𝑖 > 0,
𝑓(𝑣 3𝑖 ) = { 3𝑛 2 + 4
, 𝑖 = 0, 3𝑛 − 3 , 𝑖 = 1, 3𝑛 + 3𝑖 + 2 , 𝑖 ganjil dan 𝑖 > 1, 3𝑛 − 3𝑖 + 4 , 𝑖 genap dan 𝑖 > 0.
Untuk membuktikan pelabelan 𝑓 menghasilkan pelabelan odd-graceful, akan dibuktikan bahwa max 𝑥∈𝑉(𝐺) 𝑓(𝑥) = 6𝑛 − 1 , f adalah  pemetaan  satu-satu,  dan  hasil  pelabelan  busur adalah himpunan bilangan ganjil {1, 3, 5, … , 6𝑛 − 1} .
Pertama,  akan  ditunjukan  bahwa max 𝑥∈𝑉(𝐺) 𝑓(𝑥) = 6𝑛 − 1 .  Untuk  menunjukkan  bahwa pernyataan tersebut benar, perhatikan bahwa
max 𝑥∈𝑉 𝑓(𝑥) = max { max 0≤𝑖≤ 𝑛 2 −1 𝑓(𝑢 1𝑖 ), max 0≤𝑖≤ 𝑛 2 −1 𝑓(𝑢 2𝑖 ), max 0≤𝑖≤ 𝑛 2 −1 𝑓(𝑢 3𝑖 ), max 0≤𝑖≤ 𝑛 2 −1 𝑓(𝑣 1𝑖 ) , max 0≤𝑖≤ 𝑛 2 −1 𝑓(𝑣 2𝑖 ) , max 0≤𝑖≤ 𝑛 2 −1 𝑓(𝑣 3𝑖 )} .
Karena 𝑛 > 4, 𝑛 ≡ 0(mod 4) dan 0 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 2 − 1 diperoleh
max 0≤𝑖≤ 𝑛 2 −1 𝑓(𝑢 1𝑖 ) = max { 0, max{6𝑛 − 3𝑖 + 2} 1≤𝑖≤ 𝑛 2 −1 𝑖 ganjil , max{3𝑖 + 2 } 1≤𝑖≤ 𝑛 2 −1 𝑖 genap } = 6𝑛 − 1,
max 0≤𝑖≤ 𝑛 2 −1 𝑓(𝑢 2𝑖 ) = max { 1, 2, max{1 + 3𝑖} 2≤𝑖≤ 𝑛 2 −1 𝑖 ganjil , max{6𝑛 − 3𝑖 + 1 } 2≤𝑖≤ 𝑛 2 −1 𝑖 genap } = 6𝑛 − 5,
max 0≤𝑖≤ 𝑛 2 −1 𝑓(𝑢 3𝑖 ) = max
{ 6𝑛 − 6, max{6𝑛 − 3𝑖} 1≤𝑖≤ 𝑛 2 −1 𝑖 ganjil
, max{3𝑖 } 1≤𝑖≤ 𝑛 2 −1 𝑖 genap } = 6𝑛 − 3,
max 0≤𝑖≤ 𝑛 2 −1 𝑓(𝑣 1𝑖 ) = max { 3𝑛 2 + 2, 3𝑛 + 1, max{3𝑛 + 3𝑖} 2≤𝑖≤ 𝑛 2 −1 𝑖 ganjil , max{3𝑛 − 3𝑖 + 2 } 2≤𝑖≤ 𝑛 2 −1 𝑖 genap } = 3𝑛 + 3 ( 𝑛 2 − 1) ,
max 0≤𝑖≤ 𝑛 2 −1 𝑓(𝑣 2𝑖 ) = max { 9𝑛 2 + 1, 3𝑛 + 4, max{3𝑛 − 3𝑖 + 3} 2≤𝑖≤ 𝑛 2 −1 𝑖 ganjil , max{3𝑛 + 3𝑖 + 1}
2≤𝑖≤ 𝑛 2 −1 𝑖 genap } = 9𝑛 2 + 1,
max 0≤𝑖≤ 𝑛 2 −1 𝑓(𝑣 3𝑖 ) = max { 3𝑛 2 + 4, 3𝑛 − 3, max{3𝑛 + 3𝑖 + 2} 2≤𝑖≤ 𝑛 2 −1 𝑖 ganjil , max{3𝑛 − 3𝑖 + 4 } 2≤𝑖≤ 𝑛 2 −1 𝑖 genap } = 3𝑛 + 3 ( 𝑛 2 − 1) + 2,
sehingga max 𝑥∈𝑉(𝐺) 𝑓(𝑥) = 6𝑛 − 1.
Selanjutnya,  akan  dibuktikan  bahwa 𝑓 adalah  pemetaan  satu-satu  ke { 0,1, … , 2𝑞 − 1} . Akan ditinjau daerah hasil dari 𝑓(𝑢 1𝑖 ), 𝑓(𝑢 2𝑖 ), 𝑓(𝑢 3𝑖 ), 𝑓(𝑣 1𝑖 ), 𝑓(𝑣 2𝑖 ), dan 𝑓(𝑣 3𝑖 ) .
• Untuk 𝑓(𝑢 1𝑖 ) ,  daerah  hasilnya  adalah {0} ∪ {6𝑛 − 1} ∪ {6𝑛 − 3(2𝑘 + 1) +
2} 𝑘=1 𝑛 4 −1 ∪ {3(2𝑘) + 2} 𝑘=1 𝑛 4 −1 = {0, 8, 14, … , 3𝑛 2 − 10, 3𝑛 2 − 4, 6𝑛 − ( 3𝑛 2 − 3) , 6𝑛 − ( 3𝑛 2 − 9) , … , 6𝑛 − 13, 6𝑛 − 7, 6𝑛 − 1  } .
• Untuk 𝑓(𝑢 2𝑖 ), daerah  hasilnya  adalah {1} ∪ {2} ∪ {1 + 3(2𝑘 + 1)} 𝑘=1 𝑛 4 −1 ∪ {6𝑛 −
3(2𝑘) + 1} 𝑘=1 𝑛 4 −1 = {1, 2, 10, 16, … , 3𝑛 2 − 8, 3𝑛 2 − 2, 9𝑛 2 + 7, 9𝑛 2 + 13, … , 6𝑛 − 11, 6𝑛 − 5} .
• Untuk, 𝑓(𝑢 3𝑖 ), daerah  hasilnya  adalah {6𝑛 − 6} ∪ {6𝑛 − 3} ∪ {6𝑛 − 3(2𝑘 +
1)} 𝑘=1 𝑛 4 −1 ∪ {3(2𝑘)} 𝑘=1 𝑛 4 −1 = {6, 12, 18, … , 3𝑛 2 − 12, 3𝑛 2 − 6, 9𝑛 2 + 9, 9𝑛 2 + 15, … ,
6𝑛 − 15, 6𝑛 − 9, 6𝑛 − 6, 6𝑛 − 3} .
• Untuk 𝑓(𝑣 1𝑖 ), daerah  hasilnya  adalah { 3𝑛 2 + 2} ∪ {3𝑛 + 1} ∪ {3𝑛 + 3(2𝑘 +
1)} 𝑘=1 𝑛 4 −1 ∪ {3𝑛 − 3(2𝑘) + 2} 𝑘=1 𝑛 4 −1 = { 3𝑛 2 + 2, 3𝑛 2 + 8,
3𝑛 2 + 14, … , 3𝑛 − 10, 3𝑛 − 4, 3𝑛 + 1, 3𝑛 + 9, 3𝑛 + 15, … , 9𝑛 2 − 3} .
• Untuk 𝑓(𝑣 2𝑖 ) , daerah hasilnya adalah { 9𝑛 2 + 1} ∪ {3𝑛 + 4} ∪ {3𝑛 − 3(2𝑘 + 1) +
3} 𝑘=1 𝑛 4 −1 ∪ {3𝑛 + 3(2𝑘) + 1} 𝑘=1 𝑛 4 −1 = { 3𝑛 2 + 6, 3𝑛
2 + 12, … , 3𝑛 − 12, 3𝑛 − 6, 3𝑛 + 4, 3𝑛 + 7, 3𝑛 + 13, … . , 9𝑛 2 − 11. 9𝑛 2 − 5, 9𝑛 2 + 1}.
• Untuk 𝑓(𝑣 3𝑖 ) , daerah hasilnya adalah { 3𝑛 2 + 4} ∪ {3𝑛 − 3} ∪ {3𝑛 + 3(2𝑘 + 1) +
2} 𝑘=1 𝑛 4 −1 ∪ {3𝑛 − 3(2𝑘) + 4} 𝑘=1 𝑛 4 −1 = { 3𝑛 2 + 4, 3𝑛 2 + 10, 3𝑛 2 + 16, … , 3𝑛 − 8, 3𝑛 − 2,
3𝑛 − 3, 3𝑛 + 11, 3𝑛 + 17, … , 9𝑛
2 − 7, 9𝑛 2 − 1}.
Dari uraian di atas, terbukti bahwa 𝑓 adalah pemetaan satu-satu ke { 0,1, … , 2𝑞 − 1} .
Terakhir, akan ditunjukkan bahwa label busur yang dihasilkan oleh pemetaan 𝑓 adalah himpunan bilangan ganjil {1, 3, 5, … , 6𝑛 − 1}.
Tinjau label busur 𝑢 1𝑖 𝑢 1𝑖+1 untuk 0 ≤ 𝑖 < 𝑛 2 − 1 :
• untuk 𝑖 = 0 , |0 − (6𝑛 − 3 + 2)| = 6𝑛 − 1 ;
• untuk 0 < 𝑖 < 𝑛 2 − 1 dan 𝑖 genap, |3𝑖 + 2 − (6𝑛 − 3(𝑖 + 1) + 2)| = 6𝑛 − 6𝑖 − 3 ;
• untuk 0 < 𝑖 < 𝑛 2 − 1 dan 𝑖 ganjil, |6𝑛 − 3𝑖 + 2 − (3(𝑖 + 1) + 2)| = 6𝑛 − 6𝑖 − 3 .
Dengan demikian, diperoleh label busur 𝑢 1𝑖 𝑢 1𝑖+1 adalah {6𝑛 − 1, 6𝑛 − 9, 6𝑛 − 15, 6𝑛 − 21, 6𝑛 − 27, … ,3𝑛 + 9} ,
Tinjau label busur 𝑢 1𝑖 𝑢 2𝑖 untuk 0 ≤ 𝑖 < 𝑛 2 − 1 :
• untuk 𝑖 = 0 , |0 − 1| = 1 ;
• untuk 𝑖 = 1 , |6𝑛 − 3 + 2 − 2| = 6𝑛 − 3 ;
• untuk 0 < 𝑖 < 𝑛 2 − 1 dan 𝑖 genap, |3𝑖 + 2 − (6𝑛 − 3𝑖 + 1)| = 6𝑛 − 6𝑖 − 1 ; dan
• untuk 1 < 𝑖 < 𝑛 2 − 1 dan 𝑖 ganjil, |6𝑛 − 3𝑖 + 2 − (3𝑖 + 1)| = 6𝑛 − 6𝑖 + 1 .
Dengan demikian, diperoleh label busur 𝑢 1𝑖 𝑢 2𝑖 adalah {1,6𝑛 − 3,6𝑛 − 13,6𝑛 − 17,6𝑛 − 25,6𝑛 − 29, … ,3𝑛 + 11,3𝑛 + 7}.
Tinjau label busur 𝑢 2𝑖 𝑢 3𝑖 untuk 0 ≤ 𝑖 < 𝑛 2 − 1 :
• untuk 𝑖 = 0 , |1 − (6𝑛 − 6)| = 6𝑛 − 7 ;
• untuk 𝑖 = 1 , |6𝑛 − 3 − 2| = 6𝑛 − 5 ;
• untuk 0 < 𝑖 < 𝑛 2 − 1 dan 𝑖 genap, |6𝑛 − 3𝑖 + 1 − 3𝑖| = 6𝑛 − 6𝑖 + 1 ; dan
• untuk 1 < 𝑖 < 𝑛 2 − 1 dan 𝑖 ganjil, |6𝑛 − 3𝑖 − (3𝑖 + 1)| = 6𝑛 − 6𝑖 − 1 .
Dengan  demikian,  diperoleh  label  busur 𝑢 2𝑖 𝑢 3𝑖 adalah {6𝑛 − 5,6𝑛 − 7,6𝑛 − 11,6𝑛 − 19,6𝑛 − 23,6𝑛 − 31, … ,3𝑛 + 13,3𝑛 + 5}.
Tinjau label busur 𝑣 1𝑖 𝑣 1𝑖+1 untuk 1 ≤ 𝑖 < 𝑛 2 − 1:
• untuk 𝑖 = 0 , |1 − (6𝑛 − 6)| = 6𝑛 − 7 ;
• untuk 𝑖 = 1 , |6𝑛 − 3 − 2| = 6𝑛 − 5 ;
• untuk 0 < 𝑖 < 𝑛 2 − 1 dan 𝑖 genap, |6𝑛 − 3𝑖 + 1 − 3𝑖| = 6𝑛 − 6𝑖 + 1 ; dan
• untuk 1 < 𝑖 < 𝑛 2 − 1 dan 𝑖 ganjil, |6𝑛 − 3𝑖 − (3𝑖 + 1)| = 6𝑛 − 6𝑖 − 1 .
Dengan demikian, diperoleh label busur 𝑣 1𝑖 𝑣 1(𝑖+1) adalah {5,13,19,25, … ,3𝑛 − 11} .
Tinjau label busur 𝑣 1𝑖 𝑣 2𝑖 untuk 0 ≤ 𝑖 < 𝑛 2 − 1 : • untuk 𝑖 = 0 , | 3𝑛 2 + 2 − ( 9𝑛 2 + 1)| = 3𝑛 − 1 ;
• untuk 𝑖 = 1 , |3𝑛 + 4 − (3𝑛 + 1)| = 3 ;
• untuk 0 < 𝑖 < 𝑛 2 − 1 dan 𝑖 genap, |(3𝑛 − 3𝑖 + 2) − (3𝑛 + 3𝑖 + 1)| = 6𝑖 − 1 ;
• untuk 1 < 𝑖 < 𝑛 2 − 1 dan 𝑖 ganjil, |3𝑖 + 3𝑛 − (3𝑛 − 3𝑖 + 3)| = 6𝑖 − 3 .
Dengan  demikian,  diperoleh  label  busur 𝑣 1𝑖 𝑣 2𝑖 adalah {3, 11, 15, 23, 27, … , 3𝑛 − 13, 3𝑛 − 9, 3𝑛 − 1} .
Tinjau label busur 𝑣 2𝑖 𝑣 3𝑖 untuk 0 ≤ 𝑖 < 𝑛 2 − 1 : • untuk 𝑖 = 0 , | 3𝑛 2 + 4 − ( 9𝑛 2 + 1)| = 3𝑛 − 3 ;
• untuk 𝑖 = 1 , |3𝑛 + 4 − (3𝑛 − 3)| = 7 ;
• untuk 0 < 𝑖 < 𝑛 2 − 1 dan 𝑖 genap, |(3𝑛 − 3𝑖 + 4) − (3𝑛 + 3𝑖 + 1)| = 6𝑖 − 3 ;
• untuk 1 < 𝑖 < 𝑛 2 − 1 dan 𝑖 ganjil, |3𝑛 − 3𝑖 + 3 − (3𝑛 + 3𝑖 + 2)| = 6𝑖 − 1 .
Dengan  demikian,  diperoleh  label  busur 𝑣 2𝑖 𝑣 3𝑖 adalah {7, 9, 17, 21, … , 3𝑛 − 15, 3𝑛 − 7, 3𝑛 − 3}.
Perhatikan  pula  label  busur 𝑢 10 𝑣 11 adalah |0 − 3𝑛 − 1| = 3𝑛 + 1 .  Label  busur 𝑣 10 𝑢 1( 𝑛 2 −1) adalah | 3𝑛 2 + 2 − ( 9𝑛 2 − 1)| = 3𝑛 + 3 .  Label  busur 𝑣 1( 𝑛 2 −1) 𝑣 10 adalah
|3𝑛 + 3 ( 𝑛 2 − 1) − 3𝑛 2 − 2| = 3𝑛 − 5 .  Akibatnya,  terbukti  bahwa  label  busur  yang dihasilkan oleh pemetaan 𝑓 adalah himpunan bilangan ganjil {1, 3, 5, … , 6𝑛 − 1} . Dengan demikian, dapat disimpulkan bahwa untuk 𝑛 ≡ 0(mod 4) , 𝐶 𝑛 ⊳ 𝑣 𝑃 3 odd-graceful .
Kasus 3. Untuk 𝑛 > 4, 𝑛 ≡ 2(mod 4) , perhatikan pelabelan simpul 𝑓 berikut:
𝑓(𝑢 1𝑖 ) = { 0 , 𝑖 = 0, 6𝑛 − 3𝑖 + 2 , 𝑖 ganjil, 3𝑖 + 2 , 𝑖 genap dan 𝑖 > 0, 𝑓(𝑢 2𝑖 ) = { 1 , 𝑖 = 0, 2 , 𝑖 = 1, 1 + 3𝑖 , 𝑖 ganjil dan 𝑖 > 1, 6𝑛 − 3𝑖 + 1 , 𝑖 genap dan 𝑖 > 0, 𝑓(𝑢 3𝑖 ) = { 6𝑛 − 6 , 𝑖 = 0, 6𝑛 − 3𝑖 , 𝑖 ganjil, 3𝑖 , 𝑖 genap dan 𝑖 > 0, 𝑓(𝑣 1𝑖 ) = { 9𝑛 2 , 𝑖 = 0, 3𝑛 + 3𝑖 , 𝑖 ganjil, 3𝑛 − 3𝑖 + 2 , 𝑖 genap dan 𝑖 > 0,
𝑓(𝑣 2𝑖 ) = { 3𝑛 2 + 1 , 𝑖 = 0, 3𝑛 − 3𝑖 + 1 , 𝑖 ganjil, 3𝑛 + 3𝑖 − 1 , 𝑖 genap dan 𝑖 > 0, 𝑓(𝑣 3𝑖 ) = { 9𝑛 2 − 2 , 𝑖 = 0, 3𝑛 + 3𝑖 − 2 , 𝑖 ganjil, 3𝑛 − 3𝑖 , 𝑖 genap dan 𝑖 > 0.
Serupa dengan kasus  2, untuk  membuktikan pelabelan 𝑓 menghasilkan pelabelan odd- graceful, akan dibuktikan bahwa max 𝑥∈𝑉(𝐺) 𝑓(𝑥) = 6𝑛 − 1 , f adalah pemetaan satu-satu, dan hasil pelabelan busur adalah himpunan bilangan ganjil {1, 3, 5, … , 6𝑛 − 1} .
Pertama,  akan  ditunjukan  bahwa max 𝑥∈𝑉(𝐺) 𝑓(𝑥) = 6𝑛 − 1 .  Dengan  cara  yang  serupa, perhatikan bahwa
max 𝑥∈𝑉 𝑓(𝑥) = max { max 0≤𝑖≤ 𝑛 2 −1 𝑓(𝑢 1𝑖 ), max 0≤𝑖≤ 𝑛 2 −1 𝑓(𝑢 2𝑖 ), max 0≤𝑖≤ 𝑛 2 −1 𝑓(𝑢 3𝑖 ), max 0≤𝑖≤ 𝑛 2 −1 𝑓(𝑣 1𝑖 ) , max 0≤𝑖≤ 𝑛 2 −1 𝑓(𝑣 2𝑖 ) , max 0≤𝑖≤ 𝑛 2 −1 𝑓(𝑣 3𝑖 )} .
Karena 𝑛 > 4, 𝑛 ≡ 2(mod 4) dan 0 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 2 − 1 didapat
max 0≤𝑖≤ 𝑛 2 −1 𝑓(𝑢 1𝑖 ) = max { 0, max{6𝑛 − 3𝑖 + 2} 1≤𝑖≤ 𝑛 2 −1 𝑖 ganjil , max{3𝑖 + 2 } 1≤𝑖≤ 𝑛 2 −1 𝑖 genap } = max {0,6𝑛 − 1,3 ( 𝑛 2 − 2) + 2} = 6𝑛 − 1,
max 0≤𝑖≤ 𝑛 2 −1 𝑓(𝑢 2𝑖 ) = max { 1, 2, max{1 + 3𝑖} 2≤𝑖≤ 𝑛 2 −1 𝑖 ganjil , max{6𝑛 − 3𝑖 + 1 } 2≤𝑖≤ 𝑛 2 −1 𝑖 genap } = max {1, 2, 1 + 3 ( 𝑛 2 − 1) , 6𝑛 − 5} = 6𝑛 − 5,
max 0≤𝑖≤ 𝑛 2 −1 𝑓(𝑢 3𝑖 ) = max
{ 6𝑛 − 6, max{6𝑛 − 3𝑖} 1≤𝑖≤ 𝑛 2 −1
𝑖 ganjil , max{3𝑖 } 1≤𝑖≤ 𝑛 2 −1 𝑖 genap } = max {6𝑛 − 6,6𝑛 − 3,3 ( 𝑛
2 − 2)} = 6𝑛 − 3,
max 0≤𝑖≤ 𝑛 2 −1 𝑓(𝑣 1𝑖 ) = max { 9𝑛 2 , max{3𝑛 + 3𝑖} 0≤𝑖≤ 𝑛 2 −1 𝑖 ganjil , max{3𝑛 − 3𝑖 + 2 } 2≤𝑖≤ 𝑛 2 −1 𝑖 genap } = max { 9𝑛 2 , 3𝑛 + 3 ( 𝑛 2 − 1) , 3𝑛 − 4} = 9𝑛 2 , max 0≤𝑖≤ 𝑛 2 −1 𝑓(𝑣 2𝑖 ) = max { 3𝑛 2 + 1, max{3𝑛 − 3𝑖 + 1} 0≤𝑖≤ 𝑛 2 −1 𝑖 ganjil , max{3𝑛 + 3𝑖 − 1} 2≤𝑖≤ 𝑛 2 −1 𝑖 genap } = max { 3𝑛 2 + 1, 3𝑛 − 2,3𝑛 + 3 ( 𝑛 2 − 1) − 1} = 3𝑛 + 3 ( 𝑛 2 − 1) − 1,
max 0≤𝑖≤ 𝑛 2 −1 𝑓(𝑣 3𝑖 ) = max { 9𝑛 2 − 2, max{3𝑛 + 3𝑖 − 2} 0≤𝑖≤ 𝑛 2 −1 𝑖 ganjil , max{3𝑛 − 3𝑖 } 2≤𝑖≤ 𝑛 2 −1 𝑖 genap } = max { 9𝑛 2 − 2, 3𝑛 + 3 ( 𝑛 2 − 1) − 2,3𝑛 − 6} = 9𝑛 2 − 2,
sehingga max 𝑥∈𝑉(𝐺) 𝑓(𝑥) = 6𝑛 − 1.
Selanjutnya,  akan  dibuktikan  bahwa 𝑓 adalah  pemetaan  satu-satu  ke { 0,1, … , 2𝑞 − 1} . Akan ditinjau daerah hasil dari 𝑓(𝑢 1𝑖 ), 𝑓(𝑢 2𝑖 ), 𝑓(𝑢 3𝑖 ), 𝑓(𝑣 1𝑖 ), 𝑓(𝑣 2𝑖 ), dan 𝑓(𝑣 3𝑖 ) . • Untuk 𝑓(𝑢 1𝑖 ) ,  daerah  hasilnya  adalah {0} ∪ {6𝑛 − 1} ∪ {6𝑛 − 3(2𝑘 + 1) +
2} 𝑘=1 𝑛−6 4 ∪ {3(2𝑘) + 2} 𝑘=1 𝑛−2 4 = {0, 8, 14, … , 3𝑛 2 − 1, 6𝑛 − ( 3𝑛 2 − 8) , 6𝑛 − ( 3𝑛 2 −
14) , … , 6𝑛 − 13, 6𝑛 − 7, 6𝑛 − 1} .
• Untuk 𝑓(𝑢 2𝑖 ) , daerah hasilnya adalah {1} ∪ {2} ∪ {1 + 3(2𝑘 + 1)} 𝑘=1 𝑛−6 4 ∪ {6𝑛 −
3(2𝑘) + 1} 𝑘=1
𝑛−2 4 = {1, 2, 10, 16, … , 3𝑛 2 − 11, 3𝑛 2 − 5, 6𝑛 − ( 3𝑛 2 − 4) , 6𝑛 − ( 3𝑛 2 − 10) , … ,6𝑛 − 11, 6𝑛 − 5 } .
• Untuk 𝑓(𝑢 3𝑖 ) ,  daerah  hasilnya  adalah {6𝑛 − 6} ∪ {6𝑛 − 3(2𝑘 + 1)} 𝑘=0 𝑛−6 4 ∪
{3(2𝑘)} 𝑘=1 𝑛−2 4 = {6, 12, 18, … , 3𝑛 2 − 9, 3𝑛 2 − 3, 6𝑛 − ( 3𝑛 2 − 6) , 6𝑛 − ( 3𝑛 2 −
12) , … , 6𝑛 − 9, 6𝑛 − 3} .
• Untuk 𝑓(𝑣 1𝑖 ) ,  daerah  hasilnya  adalah { 9𝑛 2 } ∪ {3𝑛 + 3(2𝑘 + 1)} 𝑘=0 𝑛−6 4 ∪ {3𝑛 − 3(2𝑘) + 2} 𝑘=1 𝑛−2 4 = {3𝑛 − ( 3𝑛 2 − 5) , 3𝑛 − ( 3𝑛 2 + 11) , … ,3𝑛 − 10, 3𝑛 − 4, 3𝑛 + 3, 3𝑛 + 9, … ,3𝑛 + ( 3𝑛 2 − 12) , 3𝑛 + ( 3𝑛 2 − 6) , 9𝑛 2 } . • Untuk 𝑓(𝑣 2𝑖 ) ,  daerah  hasilnya  adalah { 3𝑛 2 + 1} ∪ {3𝑛 − 3(2𝑘 + 1) + 1} 𝑘=0 𝑛−6 4 ∪ {3𝑛 + 3(2𝑘) − 1} 𝑘=1 𝑛−2 4 = { 3𝑛 2 + 1, 3𝑛 − ( 3𝑛 2 − 7) , 3𝑛 − ( 3𝑛 2 − 13 ) , … , 3𝑛 − 8, 3𝑛 − 2, 3𝑛 + 5, 3𝑛 + 11, 3𝑛 + 17, … ,3𝑛 + ( 3𝑛 2 − 10) , 3𝑛 + ( 3𝑛 2 − 4)} . • Untuk 𝑓(𝑣 3𝑖 ) , daerah hasilnya adalah { 9𝑛 2 − 2} ∪ {3𝑛 + 1} ∪ {3𝑛 + 3(2𝑘 + 1) −
2} 𝑘=1 𝑛−6 4 ∪ {3𝑛 − 3(2𝑘)} 𝑘=1 𝑛−2 4 = {3𝑛 − ( 3𝑛 2 − 3) , 3𝑛 − ( 3𝑛 2 − 9) , … ,3𝑛 − 12, 3𝑛 − 6, 3𝑛 + 1, 3𝑛 + 7, 3𝑛 + 13, … , 3𝑛 + ( 3𝑛 2 − 14) , 3𝑛 + ( 3𝑛 2 − 8) , 9𝑛 2 − 2 } .
Dari uraian di atas, terlihat bahwa fungsi 𝑓 adalah pemetaan injektif ke {0,1, … , 2𝑞 − 1} .
Terakhir, akan ditunjukkan bahwa label busur yang dihasilkan oleh pemetaan 𝑓 adalah himpunan bilangan ganjil {1, 3, 5, … , 6𝑛 − 1}.
Tinjau label busur 𝑢 1𝑖 𝑢 1𝑖+1 untuk 0 ≤ 𝑖 < 𝑛 2 − 1 :
• untuk 𝑖 = 0 , |0 − (6𝑛 − 3 + 2)| = 6𝑛 − 1 ;
• untuk 0 < 𝑖 < 𝑛 2 − 1 dan 𝑖 genap, |3𝑖 + 2 − (6𝑛 − 3(𝑖 + 1) + 2)| = 6𝑛 − 6𝑖 − 3 ;
• untuk 0 < 𝑖 < 𝑛 2 − 1 dan 𝑖 ganjil, |6𝑛 − 3𝑖 + 2 − (3(𝑖 + 1) + 2)| = 6𝑛 − 6𝑖 − 3 .
Dengan  demikian,  diperoleh  labelnya  adalah {6𝑛 − 1, 6𝑛 − 9, 6𝑛 − 15, 6𝑛 − 21, 6𝑛 − 27, … ,3𝑛 + 9}.
Tinjau label busur 𝑢 1𝑖 𝑢 2𝑖 untuk 0 ≤ 𝑖 < 𝑛 2 − 1 : • untuk 𝑖 = 0 , |0 − 1| = 1 ;
• untuk 𝑖 = 1 , |6𝑛 − 3 + 2 − 2| = 6𝑛 − 3 ; • untuk 0 < 𝑖 < 𝑛 2 − 1 dan 𝑖 genap, |3𝑖 + 2 − (6𝑛 − 3𝑖 + 1)| = 6𝑛 − 6𝑖 − 1 ; dan
• untuk 1 < 𝑖 < 𝑛 2 − 1 dan 𝑖 ganjil, |6𝑛 − 3𝑖 + 2 − (3𝑖 + 1)| = 6𝑛 − 6𝑖 + 1 .
Dengan  demikian,  diperoleh  labelnya  adalah {1, 6𝑛 − 3, 6𝑛 − 13, 6𝑛 − 17, 6𝑛 − 25, 6𝑛 − 29, … , 3𝑛 + 11, 3𝑛 + 7} .
Tinjau label busur 𝑢 2𝑖 𝑢 3𝑖 untuk 0 ≤ 𝑖 < 𝑛 2 − 1 :
• untuk 𝑖 = 0 , |1 − (6𝑛 − 6)| = 6𝑛 − 7 ;
• untuk 𝑖 = 1 , |6𝑛 − 3 − 2| = 6𝑛 − 5 ;
• untuk 0 < 𝑖 < 𝑛 2 − 1 dan 𝑖 genap, |6𝑛 − 3𝑖 + 1 − 3𝑖| = 6𝑛 − 6𝑖 + 1 ; dan
• untuk 1 < 𝑖 < 𝑛 2 − 1 dan 𝑖 ganjil, |6𝑛 − 3𝑖 − (3𝑖 + 1)| = 6𝑛 − 6𝑖 − 1 .
Dengan  demikian,  diperoleh  labelnya  adalah {6𝑛 − 5, 6𝑛 − 7, 6𝑛 − 11, 6𝑛 − 19, 6𝑛 − 23, 6𝑛 − 31, … , 3𝑛 + 13, 3𝑛 + 5} .
Tinjau label busur 𝑣 1𝑖 𝑣 1𝑖+1 untuk 0 ≤ 𝑖 < 𝑛 2 − 1 : • untuk 0 < 𝑖 < 𝑛 2 − 1 dan 𝑖 genap, |3𝑛 − 3𝑖 + 2 − (3𝑛 + 3(𝑖 + 1))| = 6𝑖 + 1 ;
• untuk 1 ≤ 𝑖 < 𝑛 2 − 1 dan 𝑖 ganjil, |3𝑛 + 3𝑖 − (3𝑛 − 3(𝑖 + 1) + 2| = 6𝑖 + 1 .
Dengan demikian, diperoleh labelnya adalah {7, 13, 19, … , 3𝑛 − 17, 3𝑛 − 11} .
Tinjau label busur 𝑣 1𝑖 𝑣 2𝑖 untuk 0 ≤ 𝑖 < 𝑛 2 − 1 : • untuk 𝑖 = 0 , | 9𝑛 2 − 3𝑛 2 − 1| = 3𝑛 − 1 ; • untuk 0 < 𝑖 < 𝑛 2 − 1 dan 𝑖 genap, |(3𝑛 − 3𝑖 + 2) − (3𝑛 + 3𝑖 − 1)| = 6𝑖 − 3 ;
• untuk 1 ≤ 𝑖 < 𝑛 2 − 1 dan 𝑖 ganjil, |3𝑖 + 3𝑛 − (3𝑛 − 3𝑖 + 3)| = 6𝑖 − 3 .
Dengan  demikian,  diperoleh  labelnya  adalah {5, 9, 17, 21, 29, 33, … , 3𝑛 − 13, 3𝑛 − 9, 3𝑛 − 1} .
Tinjau label busur 𝑣 2𝑖 𝑣 3𝑖 untuk 0 ≤ 𝑖 < 𝑛 2 − 1 : • untuk 𝑖 = 0 , | 3𝑛 2 + 1 − ( 9𝑛 2 − 2)| = 3𝑛 − 3 ;
• untuk 0 < 𝑖 < 𝑛 2 − 1 dan 𝑖 genap, |(3𝑛 + 3𝑖 − 1) − (3𝑛 − 3𝑖)| = 6𝑖 − 1 ; dan
• untuk 0 < 𝑖 < 𝑛 2 − 1 dan 𝑖 ganjil, |3𝑛 − 3𝑖 + 1 − (3𝑛 + 3𝑖 − 2)| = 6𝑖 − 3 .
Dengan demikian, diperoleh labelnya adalah {3,11,15,23, … ,3𝑛 − 15,3𝑛 − 7,3𝑛 − 3}.
Label  busur 𝑢 10 𝑣 11 adalah |0 − 3𝑛 − 1| = 3𝑛 + 1. Label  busur 𝑣 10 𝑢 1( 𝑛 2 −1) adalah | 9𝑛 2 − ( 3𝑛 2 − 3)| = 3𝑛 + 3 .  Label  busur 𝑣 1( 𝑛 2 −1) 𝑣 10 adalah |3𝑛 − 3( 𝑛 2 − 1) + 2 − 9𝑛 2 | = 3𝑛 − 5 . Akibatnya, terbukti bahwa label busur yang dihasilkan oleh pemetaan 𝑓 adalah himpunan  bilangan  ganjil {1, 3, 5, … , 6𝑛 − 1} .  Dengan  demikian,  dapat  disimpulkan bahwa untuk 𝑛 ≡ 2(mod 4) , 𝐶 𝑛 ⊳ 𝑣 𝑃 3 odd-graceful . □

## 3. Kesimpulan
Pada  penelitian  ini,  telah  diperlihatkan  bahwa  graf 𝐶 𝑛 ⊳ 𝑣 𝑃 3 adalah  graf  yang odd- graceful . Ke depannya, dapat diselidiki apakah graf 𝐶 𝑛 ⊳ 𝑣 𝑃 𝑛 memiliki pelabelan odd- graceful atau tidak.

## Daftar Pustaka
[1] Rosa,  A.,  (1996),  On  certain  valuations  of  the  vertices  of  a  graph, Theory  of Graphs (Internat. Symposium, Rome, July 1966), Gordon and Breach, N. Y. and Dunod Paris , 349-355.
[2] Brankovic,  L.,  Wanless,  I.M.,  (2011),  Graceful  labelling:  State  of  the  art, applications and future directions, Math. Comput. Sci. 5 , 11-20.
[3] Suparta,  I.N., Ariawan, I.D.M.A., (2018), Some methods for constructing some classes of graceful uniform trees, Indonesian Journal of Combinatorics 2(2) , 123- 135. https://doi.org/10.19184/ijc.2018.2.2.7
[4] Suparta,  I.N.,  Ariawan,  I.D.M.A.,  (2020),  Expanding  graceful  trees, Electronic Journal of Graph Theory and Applications 8(2) , 217-232.
http://dx.doi.org/10.5614/ejgta.2020.8.2.2
[5] Cattell, R., (2007), Graceful labellings of paths, Discrete Mathematics 307 , 3161- 3176. https://doi.org/10.1016/j.disc.2007.03.046
[6] Barrientos, C., (2005), Graceful graphs with pendant edges, Australasian Journal of Combinatorics 33 , 99-107.
[7] Barrientos,  C.,  (2020),  Alpha  graphs  with  different  pendant  paths, Electronic Journal of Graph Theory and Applications 8(2) , 301-317.
https://dx.doi.org/10.5614/ejgta.2020.8.2.8
[8] Truszczynski, M., (1984), Graceful unicyclic graphs, Demonstratio Mathematica 17(2) , 377-387.
[9] Biatch, M.P.,  Bagga,  J.S., Arumugam, S., (2020), A survey and  a new class  of graceful  unicylic  graphs, AKCE  International  Journal  of  Graphs  and Combinatorics 17(2) , 673-678. https://doi.org/10.1080/09728600.2020.1832853
[10] Gnanajothi, R., (1991), Topics in Graph Theory, Ph.D. Thesis , Madurai Kamaraj University, p. 182.
[11] Moussa,  M.I.,  Badr,  E.,  (2009),  Odd  graceful  labelings  of  crown  graphs,  1 st Internat. Conf. Comp. Sci. Algor. Appl ., 1-5.
[12] Badr, E., Moussa, M.I., Kathiresan, K., (2011), Crown graphs and subdivision of ladders  are  odd  graceful, Internat.  J.  Computer  Math. 88(17) ,  3570-3576. https://doi.org/10.1080/00207160.2011.610893
[13] Moussa, M.I., (2010), An algorithm for odd graceful labeling of the union of paths and cycles, Internat. J. Appl. Graph Theory in Wireless ad hoc Networks (Graph Hoc) 2(1) , 112-119. DOI:10.5121/jgraphhoc.2010.2108 https://zenodo.org/record/1324619#.Yi4R53pBw2w
[14] Gallian, J., (2020), A dynamic survey of graph labeling, The Electronic Journal of Combinatorics 19 #DS6 , 73-76. https://doi.org/10.37236/27
[15] Saputro,  S.W.,  Mardiana,  N.,  Purwasih,  I.A.,  (2017),  The  metric  dimension  of comb product graphs, Math. Vesnik 69(4) , 248-258.