## PERBAIKAN HASIL AUTOREGRESSIVE ORDE SATU (AR(1) DENGAN TEKNIK ENSEMBLE KALMAN FILTER

## Hery Andi Sitompul
Dosen L2 DiktiWilayah I Sumatera Utara, Dpk Universitas Darma Agung email : herystpl@gmail.com

## ABSTRACT
The accuracy of the results of a forecasting method is the main consideration for using the forecasting model in statistical decision making. The size of the accuracy can be seen from the percentage of errors generated by the forecasting model. There are various forecasting methods in statistics, where one of them is the autoregressive first order or AR (1) model, this  model  is  known  to  be  good  enough  to  predict  a  random  process  value  in  a  short period  of  time,  but  by  applying  the  Ensemble  Kalman  Filter  method  to  forecasting methods this is expected to produce more accurate results. In this paper it will be shown that the Ensemble Kalman Filter (EnKF) technique can improve the forecasting results.
Keywords: Autoregressive, AR (1), EnKF, Forecasting

## PENDAHULUAN Latar Belakang
Ensemble  Kalman  Filter  telah menjadi  sebuah  metode  yang  sangat populer,  sudah  banyak  diuji  dan diaplikasikan  dalam  berbagai  studi dalam  dua  dekade  terakhir  ini  sejak diperkenalkan  oleh  Geir  Evensen  pada tahun  1994.Hal  ini  dikarenakan  oleh metode  ini  cukup  sederhana  secara konseptual  dan  tidak  terlalu  sulit  untuk diaplikasikan.
Pada  dasarnya  metode  ini menggunakan simulasi Monte Carlo pada konsep  Kalman  Filter.Kalman  Fiter  itu sendiri  dikenal  sebagai  sebuah  metode estimasi kuadratik linier, yang merupakan  sebuah  algoritma  yang menggunakan rangkaian observasi pengukuran  pada  saat  tertentu  dan mengassimilasikan  data  tersebut  pada model estimasi.
Kesuksesan  metode  Ensemble Kalman  Filter  (EnKF)  pada  berbagai model  estimasi  yang  dilakukan  dalam berbagai studi sebelumnya menjadi latar belakang  untuk  menerapkan  metode  ini pada  model  peramalan  yang  sudah  ada, oleh  karena  itu  dalam  tulisan  ini  akan dibahas  bagaimana  merepakan  metode ini  dalam  peramalan  dengan  model autoregressive  orde  satu  AR(1)  dan melihat hasil yang ditimbulkan.

## Maksud dan Tujuan
Maksud  dari  tulisan  ini  adalah untuk melakukan pembahasan bagaimana menerapkan algoritma Ensemble  Kalman  Filter  (EnKF)  pada model peramalanAR(1). Sedangkan tujuan dari tulisan ini adalah : 1. Mendapat sebuah metode peramalan  yang  memberikan hasil yang lebih akurat.
2. Menunjukkan  bahwa  metode EnKF  dapat  diterapkam  pada model  peramalan  yang  sudah ada, khususnya model AR(1).

## LANDASAN TEORI Kalman Filter dan EnKF
Kalman Filter merupakan metode pendekatan  estimasi  fungsi  parameter dalam  peramalan  deret  waktu  ( time series ), berupa algoritma yang menggabungkan model dan pengukuran  (observasi).  Algoritma  ini mengestimasi keadaan dari suatu proses dengan cara meminimumkan rataan dari galat ( Mean square Error ) secara rekursif dan  efisien,  sehingga  sering  disebut penduga  rekursif.  Data  pegukuran terbaru menjadi bagian penting dari algoritma ini, karena data  terbaru  ini  akan  mengoreksi  hasil prediksi,  sehingga  hasil  estimasi  selalu mendekati kondisi sebenarnya. Sedangkan  Ensemble  Kalman  Filter adalah  kelanjutan  dari  Kalman  Filter untuk masalah nonlinier,
yaitu  merupakan  pendekatan  metode Monte  Carlo  pada  algoritma  Kalman
Filter.

## Kalman Filter
Misalkan adalah  suatu proses  stokastik  dan  asumsikan  bahwa memenuhi persamaan linier berikut : ….(1) ………………………….(2)
Dimana :
Aadalah matriks model linier B adalah matriks kontrol masukan
adalah variabel control adalah gangguan pada system
adalah variabela state
adalah pengukuran atau observasi
adalah gangguan pada pengukuran adalah indeks integer waktu Dengan  keadaan  awal diberikan berdistribusi normal : …………………………….(3) Dimana adalah  matriks  kovariansi untuk proses stokastik dan dimana adalah  matriks  kovariansi  gangguan pada  sistem, adalah  matriks kovariansi untuk gangguan pada pengukuran. Misalkan didefenisikan sebagai  keadaan  ( state )  pada  waktu dan
menyatakan keadaan pada saat
,  dan  misalkan ̂ menyatakan estimasi  prior  dari  proses state berdasarkan  informasi  yang  diperoleh hingga  waktu ,  dan  misalkan ̂ menyatakan estimasi terbaik dari proses state (posterior)  sistem  yang  telah difilter  hingga  waktu ,  maka  dapat dirumuskan bahwa : ̂ ̂ Dimana adalah  hasil  pengukuran hingga waktu . Dengan demikian model posterior  untuk  satu  tahap  waktu kedepan dapat dicari dengan : ̂ ̂ ……………………..(4) Dan  matriks  kovariansi  dapat  dihitung dengan persamaan berikut : Dimana ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ tahap  pemfilteran  adalah  tahap  dimana estimasi  posterior  dihitung,  yang  dapat ditentukan melalui persamaan berikut : ̂ ̂ ̂ Dengan adalah  kalman  Gain  yang dapat dihitung dengan : …………...(5)
dan  matriks  kovariansi  posterior  dapat diperbaharui  melalui  persamaan  berikut :

## Ensemble Kalman Filter (EnKF)
Ensemble  Kalman  Filter  (EnKF) dikembangkan  dan  diperkenalkan  oleh Geir  Evensen  tahun  1994,  untuk mengatasi masalah nonlinier pada model oceanografi  dan  menunjukkan  bahwa EnKF  adalah  suatu  metode  yang menjanjikan. Misalkan adalah  suatu proses stokastik, dan diasumsikan bahwa memenuhi  persamaan  nonlinier berikut : …………………….(6) …………………………(7) Gagasan  dari  ensemble  adalah simulasi  Monte  Carlo  pada  model state ( ),  dimana  satu  kumpulan  ensemble dibangkitkan  untuk  model state ( ) kemudian  setiap  anggota  ensemble dievaluasi  melalui  persamaan  (6)  untuk mendapatkan  sekelompok  ensemble baru  yang  disebut  dengan  prior  yang selanjutnya  dilakukan  estimasi  dengan proses  Kalman  Filter  biasa.  Hal  yang sama  juga  dilakukan  terhadap  model observasi  (7)  dengan  membangkitkan sekelompok melalui observasi sebenarnya, dengan ensemble ini proses updating/filter dilakukan dengan Kalman Filter. Berikut ini adalah tahapan dalam proses Ensemble Kalman Filter (EnKF) :

adalah  matriks  ensemble
untuk state .  adalah  vektor  rata  –  rata ensemble.  adalah vektor observasi  adalah  matriks kovariansi ensemble.  adalah matriks observasi dengan gangguan.  adalah  vektor gangguan dimana setiap ∑  adalah matriks observasi dengan gangguan.

## Peramalan
Peramalan  adalah  seni  dan  ilmu yang  memprediksi  peristiwa  – peristiwa yang  akan  terjadi  dengan  menggunakan data historis dan memproyeksikannya ke masa  depan  dengan  beberapa  bentuk model matematis.
Secara  umum  dalam  statsitika peramalan dapat dikelompokkan menjadi : a. Model  peramalan  yang  menggunakan sekumpulan  data  masa  lalu  untuk peramalan  ( time  series )  yang  mana metode  ini  dikelompokkan  kembali menjadi  metode  rata  –  rata  bergerak ( moving average ) Pemulusan
eksponensial( exponential smoothing ).
b. Model  Peramalan  yang  menggunakan hubungan sebab akibat yang dikelompokkan  kembali  menjadi  : metode  proyeksi  trendlinier  dan metode regresi linier.
Autoregressive Orde Satu (AR(1)) Autoregressive merupakan sebuah metode peramalan yang menggunakan  deret  data  masa  lalu. Model  ini  menggambarkan  sebuah proses  acak  yang  berlangsung  dalam
variasi  waktu  tertentu,  dimana  variabel keluaran  hanya  tegantung  pada  nilai proses  sebelumnya  secara  linier.  AR(1) adalah  salah  satu  bentuk  model autoregressive  dimana  nilai  proses  acak sekarang  hanya  dipengaruhi  oleh  nilai proses  acak  satu  periode  waktu sebelumnya.
Proses  autoregressive  orde  satu AR(1) didefenisikan sebagai :
Dengan adalah proses gannguan putih
dengan rata – rata hitung 0 dan variansi
.

## METODOLOGI PENELITIAN
Untuk mengimplementasikan teknik  Ensemble  Kalman  Filter  (EnKF) pada  metode  peramalan  dilakukan dengan  mengikuti  langkah  –  langkah dalam diagram alir berikut :
Selanjutnya  pada  tahap  estimasi dengan EnKF dilakukan dengan mengikuti algoritma berikut : Pada saat  Masukkan  ensemble  variabel awal : ∑  Langkah  prediksi  :  bangkitkan gangguan pada model ∑ , prediksi satu tahap kedepan ̂ ̂  Tahap filter/updating : bangkitkan gangguan pada observasi ∑ , ̂  Tentukan Kalman Gain :  Perbaharui state dengan pengukuran  (assimilasi  data) : ̂ ̂ ̂ . Sebagai  langkah  konkrit  dari penerapan metode Ensemble Kalman Filter pada peramalan, akan diperlihatkan  dalam  contoh  berikut ini.
Data berikut ini adalah data yang disajikan dalam bentuk grafik (data yang sudah diplot)

## Hasil dan Pembahasan
Dari  hasil  plot  data  tersebut diatas dapat disimpulkan datanya adalah data  runtun  waktu  ( time  series  data ), dengan demikian metode yang digunakan untuk peramalan data tersebut adalah peramalan dengan deret berkala. Selanjutnya dilakukan
identifikasi  model  untuk  data  tersebut yang meliputi :
 Plotting  input  dan  output  data time  series .  Sudah  dilakukan dalam grafik diatas.
 Grafik  fungsi  autokorelasi  (ACF) dan grafik fungsi parsial autokorelasi (PACF) sebagai berikut :
 Identifikasi  model  data  :  dilihat dari  plotting  data  diatas  dan ditunjang  dengan  nilai  ACF  dan PACF  terlihat  bahwa  data  sudah stasioner dan menunjukkan model  time  series  adalah  model Auto  Regressive  -  AR(1)  yang mempunyai  bentuk  umum: ,  dimana adalah konstanta  AR(1)  dan white noise.
 Taksiran konstanta modelAR(1). Dengan  pendekatan  metode  Yule
Walker diperoleh :
Dengan  demikian  model  peramalan AR(1) adalah :
Penerapan EnKF Pada AR(1) Model state untuk EnKFadalah :
Ensemble variabel awal : dengan ukuran ensemble Tahap prediksi : ̂ ̂ Tahap Filter : ̂ dengan ) Hitung Kalman Gain : Tahap pembaruan/ updating : ̂ ̂ ̂ Proses ini diulang terus menerus hingga ̂ Seluruh proses simulasi perhitungan  tersebut  diatas  dilakukan dalam  pemograman  matlab  R2015a dengan  mencoba  beberapa  ukuran ensemble,  yang  hasilnya  adalah  sebagai berikut :
Berikut ini adalah tabel persentase rata – rata kesalahan absolut yang  dihasilkan  oleh  peramalan  dengan model  autoregressive  orde-1  atau  AR(1) dengan  penerapan  metode  EnKF  pada peramalan dengan model AR(1).
Metode MAPE AR(1) 14.5182% EnKF(10) 8.0031% EnKF(50) 7.4752% EnKF(100) 5.9591% EnKF(200) 4.6235% Dari hasil menganalisa grafik dan tabel  persentase  nilai mean  absolute percentage error (MAPE) yang dihasilkan oleh  kedua  metode  terlihat  bahwa terdapat perbaikan hasil peramalan yang dihasilkan  dengan  menerapkan  metode Ensemble  Kalman  Filter  terhadap  suatu metode peramalan.
Metode  EnKF  memberikan  hasil yang  lebih  baik  jika  jumlah  ensemble semakin besar, dapat dilihat dalam tabel jika  jumlah  ensemble  10  MAPE  adalah 8.0031%,  jika  jumlah  ensemble  200 MAPE adalah 4.6235%. Dapat disimpulkan  bahwa  Ensemble  Kalman Filter  memberikan  perbaikan  nilai ramalan atau hasil yang lebih akurat.

## KESIMPULAN DAN SARAN Kesimpulan
Setelah  melakukan  hasil  dan pembahasan  dalam  tulisan  ini,  dapat diambil beberapa kesimpulan yaitu : 1. Metode  EnKF  memberikan  hasil peramalan  yang  lebih  akurat  jika diterapkan  pada  metode  peramalan autoregressive orde-1 2. Metode  EnKF  dapat  diterapkan  pada metode  peramalan  yang  sudah  ada dengan mudah.

## Saran
Karena faktor acak dalam metode EnKF  ini  sangat  tinggi  maka  disarankan pada  saat  menjalankan  program  untuk dilakukan  berulang  –  ulang  sampai dicapai hasil yang terbaik.

## DAFTAR PUSTAKA
Adi  Asri  dan  Taryo  (2005), Model  Time  Series  Autoregressive  untuk Menentukan  Nilai  Tukar  Uang  Rupiah Terhadap Dollar Amerika .
Geir  Evensen  (2003), The Ensemble  Kalman  Filter  :  Theorical Formulation and Practical Implementation . Ocean Dynamics Vol.53 Hery  Andi  Sitompul  (2011),
Estimasi  Parameter  Reservoir  Komposit dengan  Teknik  Ensemble  Kalman  Filter dan Algoritma Genetika , Thesis ITB.
https://en.wikipedia.org/wiki/A utoregressive_model
Jan  Mandel  (2006), Efficient Implementation  of  The  Ensemble  Kalman Filte r.  University  of  Colorado  at  Denver and Health Science Center.
John  Petter  Jensen  (2007), Ensemble  Kalman  Filtering  for  Stateand Parameter Estimation on a Reservoir Model. NTNU