Jurnal Matematika, Sains, dan Pembelajarannya
Vol.10, No.2, Juli 2024, pp. 191~201
DOI:10.31605/saintifik.v10i2.514
ISSN 2622-8904 (online)

## Aplikasi Aljabar Max Plus pada Pengaturan Lampu Lalu Lintas di Perempatan Kasihan Yogyakarta

## Eka Susilowati
Universitas Nahdlatul Ulama Al Ghazali Cilacap e-mail: eka250@gmail.com

## Abstrak
Aplikasi penggunaan Aljabar max plus dapat digunakan dalam berbagai permasalahan sehari hari. Pada penelitian ini, dibahas mengenai aplikasi aljabar maks plus dalam masalah system antrian lampu lalu lintas. Hal ini sangat penting karena dapat mengurangi antrian kendaraan yang mengakibatkan macet lalu lintas. Tujuan penelitian ini adalah menerapkan aljabar maks plus dalam mengatur lama waktu lampu lalu lintas di Perempatan kasihan Yogyakarta. Data yang dipakai dalam penelitian ini adalah data berupa lama waktu lampu lalu lintas. Metode penelitian yang digunakan dalam penelitian ini adalah penggambaran graf kondidi  perempatan  kasihan  dan  menggambarkan  arah  dari  system  gerak  setiap  jalur.Kemudian  disusun atruran  sinkronisasi  yang  disesuaikan  dengan  graf  tadi  sehingga  didapat  model  aljabar  maks  plus. Berdasarkan pemodelan aljabar maks plus tadi, didapat pengaturan lampu lalu lintas dan lama periodic yang didasarkan pada vector eigen dan nilai eigen. Hasil penelitian ini adalah karena diperoleh nilai eigen 106,25, maka dapat digambarkan keperiodikan nyala lampu lalu lintas. Selain itu, diperoleh juga vektor eigen yang bersesuaian dengan nilai eigen 106,25 yaitu (438,75 437,5 431,25 425) T yang mendasari fase nyala lampu lalu lintas di setiap perempatan jalannya.
Kata Kunci— Aljabar max plus, lalu lintas, antrian, nilai eigen, vector eigen

## 1. PENDAHULUAN
Dengan berkembangnya suatu daerah, biasanya dapat dilihat dari perkembangan sistem transportasi, jaringan telekomunikasi, sistem lalu lintas yang lebih tertata, serta adanya perkembangan daerah pemukinan masyarakat  yang  menimbulkan  kepadatan  penduduk.  Sebenarnya  kepadatan  penduduk  ini  juga  berkaitan dengan adanya perkembangan sarana transportasi dan sistem lalu lintas yang ada dalam daerah tersenut. Hal ini dikarenakan banyaknya masyarakat yang menggunakan transportasi pribadi. Dengan demikian berakibat padatnya jalan raya dan kemacetan lalu lintas.
Yogyakarta  merupakan  kota  yang  termasuk  padat  lalu  lintas.  Hal  ini  dikarenakan  banyaknya pendatang yang terdiri dari wisatawan dan pelajar yang menuntut ilmu di yogyakarta. Kemacetan lalu lintas pun  tidak  terhindarkan  karena  hal  tersebut.  Salah  satu  usaha  untuk  mengurangi  terjadinya  konflik  di persimpangan jalan adalah dengan dipasang lampu lalu lintas (traffic light) (Watiy et al., 2023). Pengaturan lalu lintas ini dilakukan agar tidak terjadi kekacauan jalan raya akibat saling berebut jalan. Akan tetapi masih banyak  ditemui  area  lampu  lintas  yang  pengaturannya  masih  menimbulkan  kemacetan  panjang.  Hal  ini biasanya terjadi pada saat jam jam berangkat kantor atau sekolah serta jam jam dimana banyak yang pulang kerja atau sekolah. Ketidaknyamanan para pengendara pun tidak dapat dihindarkan. Dengan masalah tersebut muncul antrian kendaraan yang menumpuk di lampu lalu lintas. Bagi pengendara yang tidak sabar, banyak yang  akhirnya  melanggar  aturan  seperti  berhenti  lewat  marka  jalan  dan  sedikit  mendahului  lampu  hijau. Sebenarnya,  hal  tersebut  sangat  membahayakan  pengendara  itu  sendiri.  Oleh  karena  itu,  dibutuhkan pengaturan  sistem  lalu  lintas  khususnya  di  perempatan  yang  sering  menimbulkan  kemacetan  antruian kendaraan.
Aljabar maks plus merupakan salah satu struktur khusus dalam aljabar.  Aljabar maks plus merupakan semifield  atas  himpunan    − dengan merupakan  himpunan  bilangan  real  yang  dilengkapi  oleh operasi maksimum dengan notasi  dan operasi penjumlahan yang dimotasikan  . Bentuk umum system
https://jurnal.unsulbar.ac.id/index.php/saintifik
persamaan linear aljabar maks plus adalah A x b  = . Sistem persamaan linear A x b  = ini dapat dijadikan salah satu cara untuk  permasalah aljabar terapan. Permasalahan yang dapat diselesaikan dengan persamaan linear A x b  = adalah  salah  satunya  pengaturan  lampu  lalu  lintas.  Penelitian  yang  mengangkat  materi tentang  aljabar  maks  plus  sudah  banyak  dilakukan.  Seperti  penelitian  yang  diteliti  oleh  (Susilowati,  2018; Susilowati,  2023)  mengenai  penerapan  aljabar  max  plus  untuk  pemecahan  masalah  ground  handling  dan mencari rute terpendek suatu rute angkot. Sebenarnya, penelitian lain mengenai pengaturan lampu lalu lintas dengan menggunakan nilai eigen dan vector eigen matriks atas aljabar maks plus sudah banyak yang meneliti. Salah satu penelitian (Cesari & Rudhito, 2016). meneliti tentang bagaimana menggunakan aljabar max- plus sehingga  dapat  mengatur  durasi  lampu  lalu lintas.    Selanjutnya,  terdapat  penelitian  lain  tentang  bagaimana menganalisa lamanya waktu nyala lampu lalu lintas pada suatu persimpangan yang saling berdekatan dengan menggunakan  pengaplikasian  matriks  atas  aljabar  max-plus  (Watiy et  al., 2023).  Penelitian  mengenai pengaturan  lalu  lintas  sebenarnya  termotivasi  dari  penelitian  aljabar  maks  plus  pada  system  antrian  seperti penelitian  yang  dilakukan  oleh  (Subiono,  2009;  Wibowo et  al., 2018;  Osniman  &  Marcellinus,  2019). Berdasarkan hal tersebut, akan dikaji lebih dalam mengenai penerapan system persamaan linear aljabar maks plus pada system antrian lampu lalu lintas terutama pada pengaturan waktu lampu lalu lintas. Aljabar maks plus  memang  dapat  digunakan  untuk  membuat  model  dan  analisis  jaringan  seperti  system  antrian.  Dalam penelitian ini, dikaji penggunaan model dalam aljabar maks plus untuk mengatur lampu lalu lintas perempatan Kasihan Yogyakarta.
Untuk mengerucutkan penelitian ini, dilakukan pembatasan masalah  yaitu diasumsikan kondisi lalu lintas pada saat sibuk di pagi jam 06.30 -08.30 WIB dan pada saat sibuk di sore hari yaitu jam 16.00 – 18.00 WIB  pada  hari  kerja  dan  bukan  tanggal  merah.  Hal  tersebut  karena  pada  jam  tersebut  biasanya  terjadi kemacetan lalu lintas.Tujuan penelitian ini adalah untuk mengatasi kemacetan lalu lintas dengan melakukan pengaturan durasi lampu lintas menggunakan aljabar maks plus di perempatan Kasihan Yogyakarta.

## 2. METODE PENELITIAN
Penelitian ini merupakan bentuk penerapan dari aljabar maks plus ke dalam masalah sistem antrian lampu lalu lintas. Obyek penelitian yang dipilih dalam penelitian ini adalah perempatan Kasiha Yogyakarta. Pemilihan obyek ini dikarenakan perempatan ini merupakan jalan sibuk yang menyebabkan kemacetan dan ada ruas jalan yang kecil. Karena ada ruas jalan yang kecil di perempatan Kasihan ini, menyebabkan antrian kendaraan  yang  panjang  pada  saat  lampu  merah.  Data  diperoleh  dengan  melakukan  observasi  langsung  ke lapangan. Pada penelitian ini, awalnya dilakukan dulu analisis data setelah data mentah diperoleh.  Tahapan analisis data yang dilakukan diuraikan sebagai berikut :
a. Merepresentasikan sistem lalu lintas pada perempatan Kasihan Yogyakarta. Pertama, digambarkan sistem lampu lalu lintas yang kemudian dikonstruksikan ke bentuk graf yang memaparkan bagaimana keadaan lalu lintas di perempatan tersebut. Selanjutnya ditetapkan aturan arah dari sistem lalu lintas yang berlaku di perempatan tersebut. Setelah jadi graf berarahnya, selanjutnya dibuat model aljabar maks plus dengan menerapkan aturan sinkronisasi pada sistem lalu lintas perempatan Kasihan Yogyakarta.
b. Melakukan konstruksi model yang didasarkan pada aturan aljabar maks plus ( ) ( ) 1 x k A x k + =  . Sistem
persamaan  linear ( ) ( ) 1 x k A x k + =  merupakan  aturan  aljabar  maks  plus  dalam  penerapan  pada masalah system antrian dan penjadwalan, dalam penelitian ini kasus system atrian lampu lalu lintas. Sistem tersebut menjadi patokan untuk menyesuaikan model perempatan dan membuat matriks adjesensi yang disesuaikan dengan persaman linear yang didapat.
c. Menghitung nilai eigen dan vector eigen atas matriks aljabar maks plus yang diperoleh dari tahap analisis sebelumnya  yang  merepresentasikan  arus  yang  ada  di  system  lampu  lalu  lintas  dengan  menggunakan program MATLAB.
d. Membandingkan hasil durasi periodic lampu lalu lintas yang lama dengan durasi periodic lampu lalu lintas yang lama. Proses terakhir adalah menganalisis hasil dari system lampu lalu lintas yang baru.
https://jurnal.unsulbar.ac.id/index.php/saintifik

## 3. HASIL DAN PEMBAHASAN
Operasi  dan  pada max dapat diperluas menjadi operasi  dan  pada matriks atas max n n  .
Definisi Diberikan
( )   max max | P , 1, 2, , , 1, 2, , n n n ij ij P P i m j  = =  = =
.
a. Diketahui max k  , max , n n P Q   . Didefinisikan k P  adalah matriks yang unsur ke ij nya
( ) ij ij k P k P  =  untuk 1, 2, , , 1, 2, , n i m j = =
Dan P Q  adalah penjumlahan matriks P dan BQyang unsur ke ij nya adalah sebagai berikut
( ) ij ij ij P Q P Q  =  untuk 1, 2, , , 1, 2, , n i m j = = .
b. Diberikan max max , Q m p p n P     . Didefinisikan P Q  adalah perkalian matriks A dan B sebagai berikut:
( ) 1 p i ik kj ij P Q P Q =  =   untuk 1, 2, , , 1, 2, , n i m j = =
Selanjutnya akan dibahas mengenai nilai eigen dan vektor eigen yang digunakan dalam pengaturan lampu lalu lintas secara periodic.

## Definisi
Diberikan max n n P   , Skalar max   dikatakan sebagai nilai eigen maks plus dari matriks P jika terdapat suatu vector max n  v dengan 1 n   v ε , sedemikian sehingga P   =  v v . Vektor v tersebut dikatakan vector eigen maks plus dari matriks P yang bersesuaian dengan  .
Berikut ini diberikan teorema yang mendasari algoritma power:
Teorema
Jika keadaan awal ( ) 0  x ε system persamaan memenuhi ( ) ( ) s c t =  x x untuk beberapa bilangan bulat s,t dengan 0 s t   dan beberapa bilangan real c maka ( ) ( ) lim T k x k k    → =
Dengan c s t  = − selanjutnya  adalah suatu nilai eigen dari matriks A dengan vector eigen yang diberikan oleh
( ) ( ) ( ) 1 1 s t i s t i v x t i   − − − = =   + −
Apabila  didasarkan  pada  teroma  diatas,  maka  dapat  dibentuk  algoritma  yang  dapat  dipergunakan  untuk memperoleh  nilai  eigen  dan  vector  eigen  dari  suatu  matriks  bujur  sangkar  yang  disebut  algoritma  power. Dengan  algoritma  ini,  dapat  memudahkan  dalam  menyelesaikan  suatu  permasalahan  yang  dimodelkan menggunakan aljabar maks plus.

## Algoritma Power
a. dimulai dengan sebarang vector awal ( ) 0  x ε .
b. Iterasi ( ) 1 ( ) k P k + =  x x sampai ada bilangan bulat 0 s t   dan bilangan riil c sehingga suatu perilaku periodic terjadi , yaitu . ( ) ( ) s c t =  x x .
https://jurnal.unsulbar.ac.id/index.php/saintifik
c. Mencari nilai c s t  = −
d. Mencari calon vector eigen dengan
( ) ( ) ( ) 1 1 s t i s t i v x t i   − − − = =   + − .
e. Selanjutnya tunjukkan P   =  v v . Jika v dapat memenuhi persamaan P   =  v v maka v merupakan vector eigen yang bersesuaian dengan nilai eigen  dari matriks A dan proses berhenti. f. Jika tidak, maka mulai ( ) ( ) 1 k P k + =  x x dengan ( ) 0 = x v hingga ditemukan bilangan 0 r  , sedemikian sehingga ( ) ( ) 1 r r  + =  x x . Dengan demikian, ( ) r x menjadi vector eigen yang bersesuaian dengan nilai eigen  .
Ilustrasi Sistem Lampu Lalu Lintas Perempatan Kasihan Yogyakarta
Gambar 1. Sistem lampu lalu lintas Perempatan Kasihan Yogyakarta
Jika melihat gambar di atas menggambarkan arus yang terjadi pada perempatan Kasihan Yogyakarta dan peraturan yang diterapkan dalam arus yang bergerak pada perempatan tersebut. Peneliti mengumpulkan data berupa lama waktu lampu hijau, lama waktu lampu kuning, lama waktu lampu merah dan juga selang waktu lampu lalu lintas. Populasi yang diteliti pada penelitian ini adalah lama waktu lalu lintas di perempatan Kasihan Yogyakarta.
Simpang Lama Waktu lampu hijau (detik) Lama Waktu lampu Kuning (detik) Lama Waktu selang (detik) Lama Waktu lampu merah (detik) 1 20 5 5 105 2 22 5 5 100 3 26 5 5 95 4 28 5 5 95
Pengambilan data tersebut diperoleh pada tanggal 13 Mei 2024 pukul 07.00 – 08.00 WIB dan 16.00 – 17.00 WIB. Berdasarkan dua waktu tersebut, didapat data yang tidak jauh berbeda dengan data sebelumnya.
https://jurnal.unsulbar.ac.id/index.php/saintifik
Gambar 2. Graf Berbobot Sistem Lampu Lalu Lintas Perempatan Kasihan Yogyakarta
Graf berbobot yang diperoleh, menunjukkan bahwa sistem perempatan Kasihan Yogyakarta terhubung kuat karena adanya lintasan pada setiap titik dari fase awal hingga fase akhir pada siklus tersebut. Langkah berikutnya, diberikan aturan sinkronisasi pada sistem lampu lalu lintas yang dirancang dalam graf berbobot bersebut. Sebelumnya didefinisikan terlebih dahulu :
( ) i x k = lama awal lampu merah menyala pada simpang I di fase ke k, 1, 2,3, 4, i k = 
( ) i t k = lama waktu lampu merah pada simpang I di fase ke k, 1, 2,3, 4, i k = 
, i j m = lama waktu selang antara lampu merah simpang I dan awal lampu hijau simpang j, , 1, 2,3, 4 i j = .
Jika disajikan dalam bentuk persamaan matriks, maka model matematika untuk masalah lampu lalu lintas ini adalah sebagai berikut :
4 4,1 1 1 1,2 2 2 2,3 3 3 3,4 4 ( ) ( 1) ( ) ( 1) ( ) ( ) ( 1)
( ) ( 1) t k m x k t k m x k k t k m x k t k m x k         
   + + 

      + + 
   =    
  + +     
 + +     x ε
Dimana 1, 2,3, 4 k = dengan ( ) 1 2 3 4 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) T x k x k x k x k x k = dan ( ) T     = ε .
Persamaan matriks tersebut dapat dituliskan sebagai berikut :
( ) 1 ( ) k P k Q + = 
 x x Dalam kasus penelitian ini, maka kita dapat peroleh matriks A adalah 120 105 100 100 P   
  
  
         =  
 
 
Nilai eigen dan vektor eigen atas matriks P dapat dicari dengan menggunakan langkah langkah di bawah ini : 1. Mengawali dengan vektor awal sebarang (0) x  
https://jurnal.unsulbar.ac.id/index.php/saintifik
2. Iterasi ( ) 1 ( ) k P k + =  x x hingga ada bilangan bulat s t 0   serta bilangan riil c sedemikian sehingga
suatu perilaku periodic terjadi yaitu ( ) ( ) x s c x t =  , Pada iterasi pertama ( )
120 0 120 105 0 105 (1) 0 100 0 100
100 0 100 x P x  

   
     
                 =  =  =                   Iterasi kedua dilanjutkan
( )
120 120 220
105
105 225 (2) 1 100 100 205 100 100 200 x P x
                 
           
=  =
 = 
                
Iterasi ketiga masih berlanjut ( )
120 220 320
105
225 325 (3) 2 100 205 325 100
200 305
x P x
 

                           =  =  =                  
Iterasi keempat masih berlanjut ( )
120 320 425
105
325 425 (4) 3 100 325 425 100 305 425 x P x
 

              
           
=  =  = 
                
Berdasarkna proses iterasi yang dilaksanakan, maka diperoleh hasil yang memenuhi algoritma power sebagau berikut :
( ) ( ) 425 0 425 0
425 4 425 0
425 0 425 0 x x    
   
    =   =     
       
3. Dengan menggunakan program Matlab maka diperoleh nilai eigennya 106,25 yang sama hasilnya jikan dicari menggunakan
425 106, 25 4 0 c s t  = = = − −
4. Selanjutnya dicari calon dari vector eigen dengan ( ) ( ) ( ) 1 1 s t i s t i v x t i   − − − = =   + − . Jadi vector eigen yang bersesuaian adalah
0
0 (0) 0
0 x       =      
https://jurnal.unsulbar.ac.id/index.php/saintifik
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 4 4 1 3 2 1 0 106, 25 1
106, 25 0 106, 25 1 106, 25 2 106, 25 3 0 120 220 320 0 105 225 325 318, 75 , 212, 5 ,106, 25 , 0 0 100 225 325
0 100 200 305
i i v x i x x x x maks  − =     =   − =                                      = + + + +
                             
332, 5
331, 25 325 318, 75
 
 
 
 
=  
 
 
5. Selanjutnya diselidiki apakah v memenuhi A v v   =  . 120 332,5 105 331, 25
100
325
100 318, 75 P v   
                      =     
       
332,5 438, 75
331, 25 437,5 106, 25 325 431, 25 318, 75 425 v               =  = 
      
   
Dengan demikian, vector eigen atas matriks P yang bersesuaian dengan 106, 25  = adalah 438, 75 437,5 431, 25 425    
     
  .
Penggunaan vector eigen ini untuk dapat menetapkan kapan waktu awal menyalanya lampu lalu lintas. Awal menyalanya lampu lalu lintas dapat didapatkan dengan cara pengurangan setiap elemen yang ada pada vector eigen  dengan  elemen  pada  vector  eigen  yang  paling  kecil.  Dalam  permasalahan  ini,  elemen  vector  eigen terkecil  adalah  425.  Di  pihak  lain,  nilai  eigen  yang  diperoleh  dipergunakan  untuk  menetapkan  berapa keperiodikan  lamanya  nyala  lampu  lalu  lintas  baik  yang  hijau  maupun  yang  merah.  Karena  diperoleh 106, 25  = ,  maka  diadakan  pembulatan  keperiodikan  lama  nyala  lampu  lalu  lintas  menjadi 106  = . Bagaimana  pengaturan  waktu  nyala  lampu  lalu  lintas  untuk  setiap  fase  dituliskan  pada  table  di  bawah  ini dengan waktu awal nyala lampu lalu lintas aliran kendaraan pada fase ke 1 yaitu 0:00:00. Pada table di bawah ini, waktu nyala hijau ditandai dengan warna hijau dan nyala merah ditandai warna merah.
Simpang Fase 1 Fase 2 Fase 3 Fase 4 Fase 5 dst 1 00:15 02:01 03:47 05:33 07:19 … 2 00:12 01:58 03:44 05:30 07:16 …. 3 00:06 01:52 03:38 05:24 07:10 … 4 00:00 01:46 03:32 05:18 07:04 …..
Berdasarkan analisis model perempatan Kasihan Yogyakarta didapat durasi lampu lalu lintas yang baru sebagai berikut :
https://jurnal.unsulbar.ac.id/index.php/saintifik
Simpang i Akhir Lampu merah Menyala pada simpang i+1 Awal Lampu merah Menyala pada simpang i Lama waktu selang Lama waktu lampu merah 1 118 15 5 98 2 218 118 5 95 3 318 218 5 95 4 439 318 5 116
Dalam kasus penelitian ini juga, diteliti periode lampu merah, maka kita dapat peroleh matriks A adalah 20 22 26 28 A   
  
  
    
 
  =  
 
 
Nilai eigen dan vektor eigen atas matriks A dapat dicari dengan menggunakan langkah langkah di bawah ini: 1. Mengawali dengan vektor awal sebarang (0) x  
2. Iterasi ( ) 1 ( ) k A k + =  x x hingga ada bilangan bulat s t 0   serta bilangan riil c sedemikian sehingga suatu perilaku periodic terjadi yaitu ( ) ( ) x s c x t =  , Pada iterasi pertama ( ) 20 0 20 22
0 22 (1) 0 26 0 26 28 0 28 x
A x             
                 =  =  =                  
Iterasi kedua dilanjutkan ( ) 20 20 48 22
22 42 (2) 1 26 26 48 28 28 54 x A x                  
            =  =
 = 
    
           
Iterasi ketiga masih berlanjut ( ) 20 48 74 22
42 70 (3) 2
26 48 68 28 54 76 x
A x                         
     =  =  = 
                 Iterasi keempat masih berlanjut
0 0 (0) 0 0 x       =      
https://jurnal.unsulbar.ac.id/index.php/saintifik
( ) 20 74 96 22
70 96 (4) 3 26 68 96 28
76 96
x A x  

     
                     =  =  =                  
Berdasarkna proses iterasi yang dilaksanakan, maka diperoleh hasil yang memenuhi algoritma power sebagau berikut :
( ) ( ) 425 0 425 0
425 4 425 0 425 0
425 0 x x  
     
    =   =     
   
   
3. Dengan menggunakan program Matlab maka diperoleh nilai eigennya 106,25 yang sama hasilnya jikan dicari menggunakan
96 24 4 0 c s t  = = = − −
4. Selanjutnya dicari calon dari vector eigen dengan
( ) ( ) ( ) 1 1 s t i s t i v x t i   − − − = = 
 + − . Jadi vector eigen yang bersesuaian adalah
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 4 4 1 3 2 1 0 24 1 24 0 24 1 24 2 24 3 0 20 48 74 0 22 42 70 72 , 48 , 24 , 0 0 26 48 68 0 28 54 76 74 72 74 78 i i v x i x x x x
maks
 − =     =   − =           
         
                = + + + +    
         
         
     
 
      =       5. Selanjutnya diselidiki apakah v memenuhi A v v   =  . 20 74 98
22 72 96 26 74 98 28 78 102 A v   
  
  
  
      
            =  =      
    
      
74 98 72 96 24 74 98 78 102 v     
       
 =  =        
   
https://jurnal.unsulbar.ac.id/index.php/saintifik
Dengan demikian, vector eigen atas matriks A yang bersesuaian dengan
24  = adalah 74 72 74 78             .
Penggunaan vector eigen ini untuk dapat menetapkan kapan waktu awal menyalanya lampu lalu lintas. Awal menyalanya lampu lalu lintas dapat didapatkan dengan cara pengurangan setiap elemen yang ada pada vector eigen  dengan  elemen  pada  vector  eigen  yang  paling  kecil.  Dalam  permasalahan  ini,  elemen  vector  eigen terkecil  adalah  72.  Di  pihak  lain,  nilai  eigen  yang  diperoleh  dipergunakan  untuk  menetapkan  berapa keperiodikan lamanya nyala lampu lalu lintas baik yang hijau maupun yang merah. Karena diperoleh 24  = , maka tidak perlu diadakan pembulatan keperiodikan lama nyala lampu lalu lintas. Bagaimana pengaturan waktu nyala lampu lalu lintas untuk setiap fase dituliskan pada table di bawah ini dengan waktu awal nyala lampu lalu lintas aliran kendaraan pada fase ke 1 yaitu 0:00:00. Pada table di bawah ini, waktu nyala hijau ditandai dengan warna hijau dan nyala merah ditandai warna merah.
Simpang Fase 1 Fase 2 Fase 3 Fase 4 Fase 5 dst 1 00:02 00:26 00:50 01:14 01:38 … 2 00:00 00:24 00:48 01:12 01:36 …. 3 00:02 00:26 00:50 01:14 01:38 … 4 00:06 00:30 00:54 01:18 01:42 …..
Berdasarkan analisis model perempatan Kasihan Yogyakarta didapat durasi lampu lalu lintas yang baru sebagai berikut :
Simpang i Akhir Lampu hijau Menyala pada simpang i+1 Awal Lampu hijau Menyala pada simpang i Lama waktu selang Lama waktu lampu hijau 1 24 2 5 17 2 50 24 5 21 3 78 50 5 23 4 98 78 5 15

## 4. KESIMPULAN
Waktu  nyala  lampu  lalu  lintas  di  perempatan  dapat  dimodelkan  menggunakan  aljabar  maks  plus. Dalam menentukan lama waktu nyala lampu lalu lintas  menggunakan aljabar maks plus menggunakan dua inputan  data  yaitu  lama  waktu  lampu  merah  dari  masing  masing  perempatan  dan  lama  waktu  selang  antar perempatan. Dengan menggunakan pemodelan aljabar maks plus, dapat ditetapkan nilai eigen dan vektor eigen yang nantinya bisa dimanfaatkan untuk menetapkan wakti nyala lampu lalu lintas dan periode nyala lampu lalu lintasnya. Pada penelitian ini, karena diperoleh nilai eigen 106,25, maka dapat digambarkan keperiodikan nyala lampu lalu lintas hijau .Selain itu, diperoleh juga vektor eigen yang bersesuaian dengan nilai eigen 106,25
yaitu 438, 75
437,5 431, 25 425  
 
     
  yang  mendasari  fase  nyala  lampu  lalu  lintas  di  setiap  perempatan  jalannya.  Selain  itu,
https://jurnal.unsulbar.ac.id/index.php/saintifik
keperiodikan lampu lalu lintas merah adalah 24 detik berdasarkan nilai eigen. Vektor eigen yang bersesuaian
dengan niali eigen 24 adalah
74 72 74 78             .

## DAFTAR PUSTAKA
Watiy, L. E., Syaripuddin, S., & A'yun, Q. Q. (2023). Penerapan Aljabar Max-Plus pada Pengaturan Durasi Waktu Lalu Lintas di Simpang Empat Air Putih Samarinda. Basis: Jurnal Ilmiah Matematika , 2 (1), 57-65.
Susilowati, E. (2023). Penerapan Sistem Persamaan Linear Aljabar Max Plus Pada Masalah Ground Handling di Terminal 1
Bandara Internasional Juanda. SAINTIFIK , 9 (2), 180-188. https://doi.org/10.31605/saintifik.v9i2.439
Susilowati, E. (2018). The Comparison Determining Of Some Route Of Angkot In Bandung By Using Greedy Algorithm And Min Plus Algorithm. Lontar Komputer , 9 (3), 182-191.
Cesari, L. W., & Rudhito, M. A. (2016). Optimasi Waktu Produksi dan Analisis Kepriodikan pada Graf Sistem Produksi Berloop dengan Menggunakan sistem Persamaan Linier Aljanar MAX-PLUS. Perpustakaan Yogyakarta, Yogyakarta .
Subiono, S. (2009). Aljabar Maxplus dan Aplikasinya: Model Sistem Antrian. Limits: Journal of Mathematics and Its Applications , 6 (1), 49.
Wibowo, A., Wijayanti, K., & Veronica, R. B. (2018). Penerapan aljabar max-plus pada pengaturan sistem antrian traffic light. UNNES Journal of Mathematics , 7 (2), 192-205.
Osniman, M., & Marcellinus, R. (2019). Model Aljabar Max-Plus Pada Sistem Antrian Pelayanan Penerbitan Surat  Izin  Usaha  Perdagangan  Bahan  Berbahaya. Asimtot:  Jurnal  Kependidikan  Matematika , 1 (2), 139-146.