## Beberapa Sifat Modul Miskin
Arif Munandar 1 , Indah Emilia Wijayanti 2
1 Program Studi Matematika, Fakultas Sains dan Teknologi, UIN Sunan Kalijaga, Jl. Marsda Adisucipto No. 1 Yogyakarta, Indonesia.
2 Program Studi Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Gadjah Mada, Bulaksumur, Caturtunggal, Sleman Yogyakarta, Indonesia.
Korespondensi; Arif  Munandar,  Email:  arifdlingo1@gmail.com;  Indah  Emilia  Wijayanti,  Email: Ind_wijayanti@ugm.ac.id

## Abstrak
Modul miskin adalah modul yang injektif relatif terhadap semua modul semisederhana. Dalam tulisan ini dibahas mengenai eksistensi dan pembentukan modul miskin. Berikutnya dibahas peranan dari modul injektif yang dapat digantikan oleh modul miskin dengan tambahan sifat tertentu.
Kata Kunci modul miskin; modul injektif; modul semisederhana.

## Abstract
A  poor  module  defined  to  be  a  module  which  injective  relative  only  to  all  semisimple  modules.  We  give  the existence of poor modules, how to form poor modules over any rings.The last, we discus about the role of injective module which can be replaced by poor module with some additional properties.
Keywords poor module; injective module; semisimple module.

## Introduction
Modul injektif 𝑁 atas ring 𝑅 adalah modul yang mempunyai domain injektivitas seluruh 𝑅 − modul. Hal ini mengakibatka modul injektif disebut sebagai modul kaya jika dilihat dari domain injektifitasnya. Modul yang tetap injektif namun dengan domain injektivitas paling kecil kemudian disebut sebagai modul miskin.
Modul semisederhana merupakan modul yang istimewa jika dihubungkan dengan domain injektivitas. Hal ini dikarenakan sebarang modul semisederhana selalu menjadi domain injektivitas dari sebarang 𝑅 − modul. Berdasarkan hal tersebut dapat ditunjukkan bahwa irisan seluruh domain injektifitas dari sebarang  R-modul  adalah  modul  semisederhana.  Hal  ini  memotivasi  (Alahmadi  dkk,  2011)  untuk mengkarakterisasi  modul  miskin  yaitu  modul  yang  damain  injektivitasnya  hanyalah  seluruh  modul semisederhana.
(Noyan  dkk,  2011)  meyatakan  bahwa  sebarang  ring  mempunyai  modul  miskin  dan  membahas beberapa  sifat  berkaitan  dengan  hal  tersebut.  Modul 𝑝 − miskin    yaitu  modul  miskin  versi  modul proyektif diteliti oleh (Holson, dkk,  2012). Dari kedua  tulisan tersebut terdapat  beberapa  kesamaan sifat antara Modul 𝑝 − miskin dengan modul miskin. Sifat modul-modul injektif dibahas dalam beberapa buku seperti (Bland, 2011) , (Wisbauer, 1991), (Anderson dan Fuller, 1974) , dan (Lam, 1999). Beberapa sifat modul injektif yang terdapat dalam buku tersebut  akan  dibuat  versi  modul  miskinnya  dengan  memberikan  syarat  tambahan  yang  diperlukan untuk menjamin keberlakuan sifatnya.

## Landasan Teori
Sebarang  modul  semisederhana  selalu  menjadi  domain  injektivitas  dari  sebarang  modul.  Konvers pernyataan ini ternyata berlaku, dan menjadi dasar pendefinisian modul miskin.
Teorema  2.1.  [1] Diberikan 𝑀 adalah 𝑅 − modul, 𝑅 − 𝑆𝑆𝑀𝑜𝑑 adalah  kelas  dari  semua  modul semisederhana kiri atas 𝑅 , dan ℑ𝑛 −1 (𝑁) adalah kelas domain injektivitas dari modul 𝑁 , maka
𝑅 − 𝑆𝑆𝑀𝑜𝑑 =   ⋂ 𝑁∈𝑅−𝑚𝑜𝑑𝑢𝑙 ℑ𝑛 −1 (𝑁).
Bukti. Jelas bahwa sebarang modul semisederhana kiri merupakan domain injektivitas  dari sebarang modul kiri atas 𝑅 , dengan demikian 𝑅 − 𝑆𝑆𝑀𝑜𝑑 ⊆   ⋂ 𝑁∈𝑅−𝑚𝑜𝑑𝑢𝑙 ℑ𝑛 −1 (𝑁).
Selanjutnya  akan  dibuktikan 𝑅 − 𝑆𝑆𝑀𝑜𝑑 ⊇   ⋂ 𝑁∈𝑅−𝑚𝑜𝑑𝑢𝑙 ℑ𝑛 −1 (𝑁). Diambil  sebarang 𝑃 ∈ ⋂ 𝑁∈𝑅−𝑚𝑜𝑑𝑢𝑙 ℑ𝑛 −1 (𝑁). Dengan  demi-kian  setiap 𝑀 modul  kiri  atas 𝑅 adalah  modul 𝑃 − injektif. Akibatnya setiap 𝑅 − modul 𝑀 adalah modul 𝑃 − injektif. Dengan kata lain 𝑃 ∈ 𝑅 − 𝑆𝑆𝑀𝑜𝑑 . ∎
Berdasarkan teorema tersebut didefinisikan modul miskin sebagai berikut. Definisi 2.2. [1] Diberikan 𝑀 modul kiri atas 𝑅, modul 𝑀 disebut sebagai modul miskin jika domain injektivitas dari modul 𝑀 adalah hanyalah seluruh modul semisederhana kiri. Contoh 2.3. Modul ⨁ 𝑝∈𝑝𝑟𝑖𝑚𝑎 ℤ 𝑝 atas ring ℤ adalah modul miskin. Contoh 2.4. Modul ℤ 𝑝 2 atas ring ℤ dan sebarang bilangan prima 𝑝 bukan merupakan modul miskin. Karena ℤ 𝑝 2 adalah modul ℤ 𝑝 2 -injektif, sementara ℤ 𝑝 2 bukan modul semisederhana.
Dalam  (Noyan,  dkk,  2011)  juga  dibahas  bahwa  jumlahan  langsung  dari  sebarang  modul  miskin dengan  sebarang 𝑅 − modul  merupakan  modul  miskin.  Hal  ini  tentu  saja  akan  mempermudah pembentukan modul miskin. Sementara eksistensi dari modul miskin dalam sebarang ring dijamin oleh teorema berikut
Teorema 2.5. [6] Setiap ring R, mempunyai modul miskin. Bukti. Diambil sebarang ring 𝑅 . Misalkan {𝐴 𝛾 |𝛾 ∈ Γ} adalah himpunan semua kelas-kelas isomorfisma 𝑅 − modul non semisederhana dan siklik. Karena 𝐴 𝛾 modul non semisederhana maka terdapat 𝐾 𝛾 ⊂ 𝐴 𝛾 sedemikian 𝐾 𝛾 proper submodul essensial dari 𝐴 𝛾 . Selanjutnya dibentuk 𝑇 =⊕ 𝛾∈Γ 𝐾 𝛾 . Misalkan 𝐵 adalah sebarang modul siklik non semisederhana sedemikian sehingga 𝑇 adalah 𝐵 − injektif. Dengan demikian tedapat suatu 𝛾 ∈ Γ sedemikian sehingga 𝐵 = 𝐴 𝛾 . Karena 𝐵 non-semisederhana maka, 𝐵 mempunyai proper esensial submodul katakan 𝑁 sedemikian sehingga 𝑁 ≅ 𝐾 𝛾 . Dengan demikian 𝑁 adalah 𝐵 − injektif, kontradiksi. Jadi 𝐵 sebarang modul semisederhana dan siklik sedemikian sehingga 𝑇 modul 𝐵 − injektif, dengan kata lain 𝑇 modul miskin. ∎
Berikutnya akan dibahas mengenai sifat-sifat modul injektif yang akan dibuat versi modul miskinya. Dimulai sifat yang berkaitan dengan penjumlah langsung yang dituliskan dalam (Lam. 1999) berikut Teorema 2.6. Diberikan 𝑀 dan 𝑁 modul kiri atas 𝑅 dengan 𝑀 submodul. Jika 𝑀 modul injektif maka 𝑀 penjumah langsung dari 𝑁 . Bukti. Cukup jelas dengan memperhatikan sifat modul injektif. ∎
Sifat berikutnya berkaitan dengan barisan eksak yang dituliskan dalam (Bland, 2011) berikut Teorema 2.7. Diberikan ring 𝑅 modul 𝑀 . Modul 𝑀 injektif jika dan hanya jika untuk setiap barisan eksak berbentuk
0 ⟶ 𝑁 1 𝑓 → 𝑁 2 (1)
maka barisan
𝐻𝑜𝑚 𝑅 (𝑁 1 , 𝑀) 𝑓∗ → 𝐻𝑜𝑚 𝑅 (𝑁 2 , 𝑀) ⟶ 0 (2)
Bukti. Mudah dibuktikan dengan menunjukkan bahwa 𝑓 ∗ adalah epimorfisma, dijamin dengan 𝑀 yang merupakan modul injektif. ∎
Sifat berikutnya masih berkaitan dengan barisan eksak, sifat ini dalam (Anderson & Fuller, 1974) disebut sebagai Lemman Schaunel untuk modul injektif.
Lemma  2.8.  (Lemma  Schaunel  untuk  modul  Injektif) Diberikan  sebarang  ring 𝑑𝑎𝑛 barisan  eksak berbentuk 𝑅 − modul dan 𝑅 − homomorfisma sebagai berikut
(3a)
(3b)
Jika 𝐸 1 dan 𝐸 2 modul injektif maka 𝐸 1 ⊕ 𝐶 2 ≅ 𝐸 2 ⊕   𝐶 1 .
Bukti.  Mudah dibuktikan dengan memanfaatkan injektifitas dari modul 𝐸 1 dan 𝐸 2 untuk  menunjukkan bahwa barisan 𝑅 − modul dan 𝑅 − homomorfisma
(4)
Eksak dan terpisah. ∎

## Hasil dan Pembahasan
Teorema  pertama  yang  akan  dibuat  versi  modul  miskinnya  adalah  teorema  2.6  yang  menyatakan bahwa  jika 𝑀 modul  injektif  maka 𝑀 penjumah  langsung  dari  sebarang  modul  yang  memuat 𝑀 . Kondisi tersebut tidak berlaku dalam modul miskin. Berikut ini adalah contoh dari 𝑀 modul miskin dan submodul dari 𝑁 , tetapi tidak menjadi penjumlah langsung dari 𝑁 .
Contoh 3.1. Dipilih 𝑀 =⊕ 𝑝∈𝑝𝑟𝑖𝑚𝑎 ℤ 𝑝 , diperhatikan 𝑀 adalah submodul dari 𝑁 =⊕ 𝑝∈𝑝𝑟𝑖𝑚𝑎,𝑝≠2 ℤ 𝑝 ⊕ ℤ 4 .  Lebih  lanjut 𝑀 modul  miskin  dan 𝑁 bukanlah  modul  semisederhana,  maka 𝑁 bukan  domain injektivitas  dari  modul 𝑀. Dengan  demikian  barisan  (5)  tidak  komutatif,  tidak  terdapat ℎ: 𝑁 → 𝑀 sedemikian sehingga ℎ ∘ 𝑓 = 𝑖𝑑 𝑀 .
(5)
Jadi barisan (5) tidak terpisah dan akibatnya 𝑀 bukan penjumlah langsung dari 𝑁 .
Contoh  di  atas  memberi  gambaran  bahwa  sifat  tersebut  dapat  berlaku  jika 𝑁 semisederhana, sehingga 𝑁 dapat menjadi domian injektivitas dari modul 𝑀 . Berikut ini teorema dalam versi modul miskin.
Teorema 3.2. Diberikan 𝑁 modul semisederhana dan 𝑀 adalah submodul 𝑁 . Jika 𝑀 modul miskin maka 𝑀 penjumah langsung dari 𝑁 .
Bukti. Sebagai akibat submodul dari modul semisederhana adalah modul semisederhana maka 𝑀 dan 𝑁 modul semisederhana. Sehingga dapat dibentuk diagram sebagai berikut
(6)
Karena 𝑀 modul miskin, dan 𝑁 semisederhana maka 𝑁 menjadi domain injektivitas dari 𝑀 . Akibatnya terdapat ℎ ∶  𝑁  →  𝑀 sedemikian sehingga diagram komutatif. ∎
Diperhatikan bahwa syarat 𝑁 merupakan modul semisederhana dan 𝑀 modul miskin tidak dapat diabaikan sebab tanpa hal tersebut maka 𝑁 tidak dapat menjadi domain injektivitas dari modul 𝑀 yang dapat menjamin kekomutatifan diagram (6).
Teorema  berikutnya  yang  berkaitan  dengan  modul  injektif  adalah  teorema  2.7  yang  berkaitan dengan  barisan  eksak.  yang  menyatakan  bahwa  modul 𝑀 injektif  jika  dan  hanya  jika  untuk  setiap barisan eksak berbentuk
0 ⟶ 𝑁 1 𝑓 → 𝑁 2 (7)
maka barisan
𝐻𝑜𝑚 𝑅 (𝑁 1 , 𝑀) 𝑓∗ → 𝐻𝑜𝑚 𝑅 (𝑁 2 , 𝑀) ⟶ 0 (8)
eksak sebagai grup abelian.
Teorema tersebut tidak dapat berlaku jika 𝑀 adalah modul miskin atas sebarang ring 𝑅 .  Berikut ini contoh yang menjelaskan ketidak berlakuan Teorema tersebut dalam modul miskin. Contoh 3.3. Sebagai contoh 𝑀 =⊕ 𝑝∈𝑝𝑟𝑖𝑚𝑎 ℤ 𝑝 adalah modul miskin. Dipilih 𝑁 1 = ℤ 2 dan 𝑁 2 = ℤ 4 kemudian dibentuk diagram berikut
(9)
Dipilih pula 𝑔: ℤ 2 → 𝑀 iklusi. Karena M modul miskin dan ℤ 4 bukan modul semisederhana maka ℤ 4 bukan domian injektivitas dari modul 𝑀 . Dengan demikian tidak terdapat ℎ ∈  𝐻𝑜𝑚 𝑅 (ℤ 4 , 𝑀) yang memenuhi 𝑓 ∗ (ℎ) = 𝑔 . Artinya 𝑓 ∗ bukan homomorfisma surjektif. Sehingga, jika 𝑀 modul miskin atas sebarang ring maka barisan (9) belum tentu merupakan barisan eksak sebagai grup abelian.
Teorema  tersebut tidak berlaku karena 𝑁 2 bukan modul semisederhana yang  berarti tidak dapat menjadi  domain  injektivitas.  Dengan  demikian,  jika  ditambahkan  syarat 𝑁 2 merupakan  modul semisederhana, maka teorema tersebut dapat berlaku dalam modul miskin. Teorema 3.4. Diberikan ring 𝑅 dan 𝑁 2 modul semisederhana atas 𝑅 . Modul 𝑀 miskin jika dan hanya jika untuk setiap barisan eksak berbentuk
0 ⟶ 𝑁 1 𝑓 → 𝑁 2 (10)
maka barisan
𝐻𝑜𝑚 𝑅 (𝑁 1 , 𝑀) 𝑓∗ → 𝐻𝑜𝑚 𝑅 (𝑁 2 , 𝑀) ⟶ 0 (11)
eksak sebagai grup abelian.
Bukti. Diketahui 𝑀 modul miskin dan barisan (10) eksak, akan dibuktikan barisan (11) eksak. Dengan kata lain ditunjukkan bahwa 𝑓 ∗ adalah epimorfisma. Diambil sebarang 𝑔 ∈  𝐻𝑜𝑚 𝑅 (𝑁 1 , 𝑀) , karena 𝑀 modul  miskin  dan 𝑁 2 modul  semisederhana,  maka 𝑁 2 menjadi  domain  injektivitas  dari  modul 𝑀 . Dengan kata lain terdapat ℎ: 𝑁 2 → 𝑀 , sedemikian sehingga 𝑔 = ℎ ∘ 𝑓 = 𝑓 ∗ (ℎ) . Jadi 𝑓 ∗ epimorfisma.
Sebaliknya  diketahui (11) adalah barisan eksak, dengan demikian 𝑓 ∗ adalah epimorfisma. Diambil sebarang 𝑔 ∈ 𝐻𝑜𝑚 𝑅 (𝑁 2 , 𝑀) ,  karena 𝑓 ∗ epimorfisma,  maka  terdapat ℎ ∈ 𝐻𝑜𝑚 𝑅 (𝑁 1 , 𝑀) sedemikian sehingga 𝑔 = 𝑓 ∗ (ℎ) = ℎ ∘ 𝑓 . Dengan kata lain diagram berikut komutatif
(12)
Dengan demikian 𝑀 modul miskin. ∎
Terinspirasi dari Lemma Schaunel untuk modul injektif, maka kemudian dibuat Lemma Schaunel untuk modul miskin sebagai berikut.
Lemma 3.5. Lemma Schanuel untuk Modul Miskin. Diberikan sebarang ring 𝑅 , modul semisederhana 𝐸 1 dan 𝐸 2 serta barisan eksak berbentuk 𝑅 − modul dan 𝑅 − homomorfisma sebagai berikut
(13)
(14)
Jika 𝐸 1 dan 𝐸 2 modul miskin maka 𝐸 1 ⊕ 𝐶 2 ≅ 𝐸 2 ⊕   𝐶 1 . Bukti. Diperhatikan bahwa 𝐸 1 dan 𝐸 2 adalah modul semisederhana, maka 𝑀 semisederhana. Dibentuk diagram sebagai berikut
(15)
dimana  masing  -masing  baris  eksak.  Karena 𝐸 2 miskin,  dan 𝐸 1 semisederhana  maka 𝐸 1 menjadi domain injektivitas dari modul 𝐸 2 sehingga terdapat 𝛼: 𝐸 1 → 𝐸 2 sedemikian sehingga diagram bagian kiri komutatif, yaitu 𝛼 ∘ 𝑖 1 = 𝑖 2 . Lebih lanjut karena 𝑖 1 dan 𝑖 2 injektif maka 𝛼 injektif. Kemudian karena diagram eksak maka 𝑝 1 surjektif, sehingga setiap 𝑐 1 ∈ 𝐶 1 terdapat 𝑒 1 ∈   𝐸 1 sedemikian sehingga 𝑐 1 = 𝑝 1 (𝑒 1 ) .  Berikutnya  didefinisikan 𝛽: 𝐶 1 →   𝐶 2 dengan  definisi 𝛽(𝑐 1 ) = 𝑝 2 (𝛼(𝑒 1 )) .  Dengan  definisi tersebut 𝛽(𝑐 1 )) = 𝛽 (𝑝 1 (𝑒 1 )) = 𝑝 2 (𝛼(𝑒 1 )) untuk setiap 𝑒 1 ∈ 𝐸 1 . Dengan kata lain diagram sebelah kanan komutatif.
Selanjutnya dibentuk pemetaan 𝛾: 𝐸 1 → 𝐸 2 ⊕ 𝐶 1 dengan definisi 𝛾(𝑒) = (𝛼(𝑒), 𝑝 1 (𝑒)) dan 𝜙: 𝐸 2 ⊕ 𝐶 1 → 𝐶 2 dengan  definisi 𝜙(𝑥, 𝑦) = 𝑝 2 (𝑥) − 𝛽(𝑦) .  Selanjutnya  dibentuk  barisan 𝑅 − modul  dan 𝑅 − homomorsima berikut;
(16)
Diperhatikan bahwa untuk setiap (𝛼(𝑒), 𝑝_1(𝑒)) = (𝛼(𝑓), 𝑝 1 (𝑓)) maka 𝛼(𝑒) = 𝛼(𝑓) , karena 𝛼 injektif maka 𝑒 = 𝑓 .  Sehingga 𝛾 injektif.  Selanjutnya  diambil  sebarang 𝑥 ∈ 𝐶 2 maka  terdapat 𝑒 2 ∈ 𝐸 2 sedemikian  sehingga 𝑝 2 (𝑒 2 ) − 𝛽(0) = 𝑥 .  Dengan  demikian  untuk  setiap 𝑥 ∈ 𝐶 2 terdapat (𝑒 2 , 0) ∈ 𝐸 2 ⊕ 𝐶 1 sedemikian sehingga 𝜙(𝑒 2 , 0) = 𝑝 2 (𝑒 2 ) − 𝛽(0) = 𝑥 . Jadi 𝜙 surjektif.
Berikutnya  ditunjukkan  bahwa 𝐼𝑚 𝛾  =  𝐾𝑒𝑟 𝜙 .  Diambil  sebarang 𝑒 1 ∈ 𝐸 1 ,  maka 𝜙(𝛾(𝑒 1 )) = 𝜙(𝛼(𝑒 1 ), 𝑝 1 (𝑒 1 )) = 𝑝 2 (𝛼(𝑒 1 )) − 𝛽(𝑝 1 (𝑒 1 )) = 0. Dengan  demikian 𝐼𝑚 𝛾 ⊆ 𝐾𝑒𝑟 𝜙. Selanjutnya diambil sebarang (𝑎, 𝑏) ∈  𝐾𝑒𝑟 𝜙 , sehingga 𝑝 2 (𝑎) = 𝛽(𝑏) . Karena 𝑝 1 surjektif maka terdapat 𝑒 1 ∈ 𝐸 1 sedemikian sehingga 𝑝 1 (𝑒 1 ) = 𝑏 . Misalkan 𝑎 0 = 𝛼(𝑒 1 ) , karena diagram sebelah kanan komutatif maka
𝑝 2 (𝑎 0 ) = 𝑝 2 (𝛼(𝑒 1 )) = 𝛽(𝑝 1 (𝑒 1 )) = 𝛽(𝑏) = 𝑝 2 (𝑎)
sehingga 𝑎 − 𝑎 0 ∈ 𝐾𝑒𝑟 𝑝 2 = 𝐼𝑚 𝑖 2 . Dengan demikian terdapat 𝑚 ∈ 𝑀 sedemikian sehingga
𝛼(𝑖 1 (𝑚)) = 𝑖 2 (𝑚) = 𝑎 − 𝑎 0
dipilih 𝑒 = 𝑒 1 + 𝑖 1 (𝑚) , maka 𝛼(𝑒) = 𝛼(𝑒 1 ) + 𝛼(𝑖 1 (𝑚)) = 𝑎 0 + 𝑎 − 𝑎 0 = 𝑎
𝑝 1 (𝑒) = 𝑝 1 (𝑒 1 ) + 𝑝 1 (𝑖 1 (𝑚)) = 𝑝 1 (𝑒 1 ) = 𝑏
Dengan demikian (𝑎, 𝑏) = (𝛼(𝑒), 𝑝 1 (𝑒)) ∈ 𝐼𝑚 𝛾 , sehingga 𝐾𝑒𝑟 𝜙 ⊆  𝐼𝑚  𝛾 . Jadi barisan (16) eksak. Karena 𝐸 1 modul miskin dan semisederhana maka 𝐶 1 semisederhana dan 𝐸 2 ⊕   𝐶 1 semisederhana, sehingga 𝐸 2 ⊕ 𝐶 1 menjadi  domian  injektivitas  dari 𝐸 1 . Akibatnya  barisan  (16)  terpisah.  Jadi 𝐸 2 ⊕ 𝐶 1 ≅ 𝐸_1  ⊕ 𝐶 2 . ∎
Peranan  dari  modul  semisederhana 𝐸 1 dan 𝐸 2 tidak  dapat  diabaikan.  Diperhatikan  bahwa  jika modul 𝐸 1 tidak semisederhana, maka 𝐸 1 tidak dapat menjadi domain injektivitas dari 𝐸 2 yang berakibat Diagram  sebelah  kiri  dari  (15)  tidak  komutatif.  Sementara  semisederhananya  modul 𝐸 2 dan 𝐶 1 menyebabkan jumlahan langsung antara keduanya menjadi domian injektivitas dari modul 𝐸 1 sehingga barisan eksak (15) dapat terpisah.

## Kesimpulan
Ring semisederhana mempunyai pengaruh yang besar pada modul miskin. Di antaranya adalah semua modul  miskin  yang  terbentuk  atas  ring  semisederhana  adalah  modul  semisederhana,  submodul dan modul faktor dari modul miskin atas ring semisederhana juga merupakan modul miskin. Lebih lanjut ring semisederhana menyebabkan modul miskin sama dengan modul injektif. Akibatnya sifat-sifat yang berkaitan dengan modul injektif berlaku pula dalam modul miskin.

## Referensi
[1] Alahmadi. A. N., Alkan, M. and Lopez-Permouth, S., 2010, Poor Modules: The Opposite of Injectivity , Glasgow Math Journal, pp. 7-17.
[2] Anderson, F.W. and Fuller, K. R., 1974, Rings and Categories of Modules, SpringerVerlag, New York
[3] Bland, P.E., 2011, Rings and their modules , Walter de Gruyter GmbH and Co. KG, Berlin/Newyork.
[4] Holston, C., Lopez-Permouth, S. and Orhan, E.N., 2011, Rings Whose Modules have Minimal or Maximal Projectivity Domain , Journal of Pure and Applied Algebra, pp. 673-678.
[5] Lam, T. Y., 1999, Lectures on Modules and Rings , Springer, New York.
[6] Noyan, E., Lopez-Permouth, S.  and Sokmez, N., 2011, Ring Whose Modules have Maximal or Minimal Injectivity Domains , Journal of Algebra, pp. 404-417.
[7] Wisbauer, R., 1991, Foundation of Module and Ring Theory , Gordon and Breach Publishers.