KETERKAITAN ANTARA MODUL BEBAS DENGAN MODUL DILIHAT DARI SIFAT-SIFAT HOMOMORFISME MODUL
Khusnul Afifa 1 , Abdussakir 2
1 Mahasiswa Jurusan Matematika UIN Maulana Malik Ibrahim Malang
2 Dosen Jurusan Matematika UIN Maulana Malik Ibrahim Malang e-mail: apheecute@gmail.com, abdussakir@gmail.com

## ABSTRAK
Dalam artikel ini akan dibahas tentang cara untuk mengetahui suatu 𝑅 -modul adalah modul bebas atau  bukan  dengan  memanfaatkan  suatu  modul  bebas  sebagai 𝑅 -modul  melalui  media  homomorfisma modul.  Penelitian  ini  menggunakan  metode  kajian  kepustakaan  ( library  research) ,  yaitu  melakukan penelitian  untuk  memperoleh  data-data  dan  informasi  serta  objek  yang  digunakan  dalam  pembahasan masalah  tersebut.  Berdasarkan  pembahasan  dapat  diperoleh  bahwa  suatu 𝑅 -modul  merupakan  modul bebas  jika 𝑅 -modul  tersebut  isomorfik  dengan  suatu  modul  bebas  sebagai 𝑅 -modul.  Artinya,  suatu 𝑅 - modul  merupakan  modul  bebas  jika  terdapat  suatu  isomorfisma  dari 𝑅 -modul  tersebut  ke  suatu  modul bebas yang juga merupakan suatu 𝑅 -modul. Lebih jauh lagi, jika suatu 𝑅 -modul adalah modul bebas, maka 𝑅 -modul tersebut isomorfik dengan 𝑅 𝑛 , dimana 𝑛 adalah kardinalitas dari basis bagi 𝑅 -modul tersebut.
Kata Kunci : basis, homomorfisme modul, modul, modul bebas, Ring

## ABSTRACT
In this paper, the way to know whether 𝑅 -module is free module or not will be discussed by using free module as 𝑅 -module through module homomorphism media. In this research, the author used library research,  which is conducting the  research  to  obtain data and  information about  object that used in the discussion. Based on the discussion, it was obtained that 𝑅 -module was free module if the 𝑅 -module was isomorphic to free module as 𝑅 -module. It means that 𝑅 -module was free module if there is isomorphism from  the 𝑅 -module  to  the  free  module  which  is  an 𝑅 -module.  Furthermore,  if  an 𝑅 -module  was  free module,  then  the 𝑅 -module  would  be  isomorphic  with 𝑅 𝑛 ,  where 𝑛 is  cardinality  from  basis  for  the 𝑅 - module.
Keywords: basis, free module, module, module homomorphism, ring.

## PENDAHULUAN
Struktur  aljabar  yang  dikembangkan dalam dua himpunan yang tidak kosong dengan dua  operasi  biner  dan  memenuhi  syarat tertentu,  yaitu  distributif  kanan,  distributif  kiri, assosiatif,  dan  mempunyai  elemen  identitas disebut dengan modul [ 1 ].
Modul  sendiri  juga  dapat  dikembangkan menjadi beberapa sub pembahasan di antaranya adalah  homomorfisme.  Seperti  halnya  ring  di dalamnya  dibahas  mengenai  homomorfisme ring,  maka  di  dalam  modul  juga  dibahas mengenai homomorfisme modul.
Homomorfisme modul merupakan suatu pemetaan dari suatu modul 𝑀 ke modul 𝑁 yang mengawetkan  kedua  operasi  yang  ada  dalam modul. Homomorfisme modul dibedakan menjadi 3, yaitu homomorfisme yang merupakan  pemetaan  satu-satu  (one  to  one/
injektif) disebut monomorfisme modul, homomorfisme yang merupakan pemetaan pada (onto/surjektif) disebut epimorfisme modul, dan homomorfisme  yang  mempunyai  sifat  kedua- duanya (injektif dan surjektif) atau yang dikenal dengan  istilah  bijektif  disebut  isomorfisme modul [ 2 ].
Suatu  modul  yang  memiliki  basis  atau himpunan pembangun disebut modul bebas. Jika 𝑀 adalah 𝑅 -modul  dan  terdapat 𝑋 ⊆ 𝑀 dengan 𝑋 merupakan  basis  untuk 𝑀 ,  maka 𝑀 disebut modul bebas [ 3 ].
Penelitian
ini dilakukan untuk mengetahui  suatu 𝑅 -modul  adalah  modul  bebas atau  bukan  dengan  memanfaatkan  suatu  modul bebas sebagai 𝑅 -modul melalui media homomorfisme modul.

## TEORI DASAR
1. Fungsi
Suatu fungsi dari himpunan S ke T adalah aturan yang mengaitkan setiap anggota S dengan tepat  satu  anggota T .  Anggota S disebut  domain dari  fungsi,  dan  himpunan T disebut  kodomain [ 4 ].

## 2. Operasi Biner
Operasi + pada  suatu  himpunan  tidak kosong 𝐺 adalah  biner  jika  dan  hanya  jika 𝑎 ∈ 𝐺, 𝑏 ∈ 𝐺 maka 𝑎 + 𝑏 ∈ 𝐺, ∀𝑎, 𝑏 ∈ 𝐺 . Sifat tersebut  dari  operasi  di 𝐺 dikatakan  tertutup dan jika sifat ini memenuhi operasi + di 𝐺 [ 5 ].

## 3. Grup
Misalkan 𝐺 adalah  suatu  himpunan  tak kosong  dan  pada 𝐺 didefinisikan  operasi  biner + .  Sistem  aljabar (𝐺, +) disebut  grup  jika memenuhi aksioma-aksioma:
a. Operasi + bersifat assosiatif  di 𝐺 (𝑎 + 𝑏) + 𝑐 = 𝑎 + (𝑏 + 𝑐), ∀𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝐺 b. 𝐺 mempunyai  unsur  identitas  terhadap operasi +
Misalkan 𝑒 unsur di 𝐺 sedemikian hingga 𝑎 + 𝑒 = 𝑒 + 𝑎 , ∀𝑎 ∈ 𝐺 maka 𝑒 disebut  unsur identitas . c. Setiap  unsur  di 𝐺 mempunyai  invers terhadap operasi + Untuk  setiap 𝑎 ∈ 𝐺 ada a −1 ∈ 𝐺 yang  disebut sebagai invers dari a , sehingga 𝑎 −1 + 𝑎 = 𝑎 + 𝑎 −1 = 𝑒 , dimana e adalah unsur identitas di 𝐺 [ 5 ]. Grup (𝐺, +) dikatakan grup komutatif jika untuk setiap unsur 𝑎 dan 𝑏 di 𝐺 berlaku 𝑎 + 𝑏  = 𝑏 + 𝑎 [ 6 ].

## 4. Ring
𝑅 adalah  himpunan  tak  kosong  dengan dua operasi biner  yang dilambangkan dengan + dan × (penjumlahan  pada operasi pertama dan perkalian  pada  operasi  kedua)  disebut  ring  jika memenuhi syarat-syarat sebagai berikut:
i. (𝑅, +) adalah grup komutatif ii. Operasi × bersifat asssosiatif
(𝑎 × 𝑏) × 𝑐 = 𝑎 × (𝑏 × 𝑐), ∀𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝑅 iii. Operasi × bersifat  distributif  terhadap  +  di 𝑅, ∀𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝑅 (𝑎 + 𝑏) × 𝑐 = (𝑎 × 𝑐) + (𝑏 × 𝑐) (distributif kanan) 𝑎(𝑏 + 𝑐) = (𝑎 × 𝑏) + (𝑎 × 𝑐) (distributif kiri) [ 7 ]. Misalkan 𝑅 dan 𝑆 adalah ring. Homomorfisme  ring  adalah  pemetaan 𝜑: 𝑅 → 𝑆 jika memenuhi syarat-syarat berikut:
i. 𝜑(𝑎 + 𝑏) = 𝜑(𝑎) + 𝜑(𝑏), ∀𝑎, 𝑏 ∈ 𝑅 ii. 𝜑(𝑎𝑏) = 𝜑(𝑎)𝜑(𝑏), ∀𝑎, 𝑏 ∈ 𝑅 [ 7 ].

## 5. Modul
Misalkan (𝑅, +,×) adalah ring. 𝑅 -modul di 𝑅 adalah himpunan 𝑀 yang memenuhi: i. (𝑀, +) adalah grup komutatif
ii. Diberikan  pemetaan 𝑅 × 𝑀 → 𝑀 ,  dimana 𝑟𝑚, ∀𝑟 ∈ 𝑅, 𝑚 ∈ 𝑀 yang memenuhi:
a. Distributif kanan (𝑟 + 𝑠)𝑚 = 𝑟𝑚 + 𝑠𝑚, ∀𝑟, 𝑠 ∈ 𝑅, 𝑚 ∈ 𝑀
b. Distributif kiri 𝑟(𝑚 + 𝑛) = 𝑟𝑚 + 𝑟𝑛, ∀𝑟 ∈ 𝑅, 𝑚, 𝑛 ∈ 𝑀
c. Assosiatif
(𝑟𝑠)𝑚 = 𝑟(𝑠𝑚), ∀𝑟, 𝑠 ∈ 𝑅, 𝑚 ∈ 𝑀
Jika R mempunyai unsur identitas 1 maka d. 1𝑚 = 𝑚, ∀𝑚 ∈ 𝑀 [ 7 ].
Misal 𝑅 adalah  ring  dan 𝑀 adalah 𝑅 - modul. 𝑅 -submodul  di 𝑅 adalah 𝑁 subgrup  dari 𝑀 yang  bersifat  tertutup  terhadap  elemen- elemen ring, yaitu 𝑟𝑛 ∈ 𝑁, ∀𝑟 ∈ 𝑅, 𝑛 ∈ 𝑁 [ 7 ].

## Teorema 1
Misalkan 𝑅 adalah  ring  dan 𝑀 adalah 𝑅 - modul. Subset 𝑁 di 𝑀 adalah submodul di 𝑀 jika dan hanya jika:
a. 𝑁 ≠ ∅ b. 𝑥 + 𝛼𝑦 ∈ 𝑁, ∀𝛼 ∈ 𝑅, ∀ 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑁 [ 7 ].
Bukti a. Jika 𝑁 adalah submodul di 𝑀 maka 0 ∈ 𝑁 jadi 𝑁 ≠ ∅ . b. 𝑁 bersifat  tertutup  terhadap  operasi penjumlahan
Misal 𝛼 = −1 , maka 𝑥 + (−1)𝑦 = 𝑥 + (−𝑦) = 𝑥 − 𝑦 ∈ 𝑁 Maka 𝑥 + 𝛼𝑦 ∈ 𝑁, ∀𝛼 ∈ 𝑅, ∀𝑥, 𝑦 ∈ 𝑁 . Misalkan 𝑅 adalah  ring  dan  misalkan 𝑀 dan 𝑁 adalah 𝑅 -modul.  Pemetaan 𝜑: 𝑀 → 𝑁 disebut homomorfisme modul jika pemetaan itu memenuhi syarat sebagai berikut:
a) 𝜑(𝑥 + 𝑦) = 𝜑(𝑥) + 𝜑(𝑦) , ∀𝑥, 𝑦 ∈ 𝑀 b) 𝜑(𝛼𝑥) = 𝛼𝜑(𝑥) , ∀𝛼 ∈ 𝑅, 𝑥 ∈ 𝑀 [ 7 ].

## 6. Modul Bebas
Diketahui 𝑀 adalah 𝑅 -modul.  Jika terdapat 𝑋 ⊆ 𝑀 dengan 𝑋 merupakan  basis untuk 𝑀 , maka 𝑀 disebut modul bebas [ 3 ].
Misalkan 𝑀 suatu  R-modul  dan 𝑋 ⊆ 𝑀 . Unsur 𝑦 ∈ 𝑀 dikatakan  kombinasi  linier  dari 𝑋 jika  untuk  semua 𝑥 ∈ 𝑋 dapat  diungkapkan dalam bentuk
𝑦 = 𝛼 1 𝑥 1 + 𝛼 2 𝑥 2 + ⋯ + 𝛼 𝑛 𝑥 𝑛 dimana 𝛼 1 , 𝛼 2 , … , 𝛼 𝑛 adalah skalar [ 8 ].
Misalkan 𝑀 suatu  R-modul  dan 𝑋 ⊆ 𝑀 . Jika  untuk  semua 𝑥 ∈ 𝑋 dapat  dinyatakan
sebagai kombinasi linier maka dikatakan bahwa 𝑋 merentang 𝑀 [ 8 ].
Misalkan 𝑀 suatu  R-modul  dan 𝑋 ⊆ 𝑀 . Maka persamaan 𝛼 1 𝑥 1 + 𝛼 2 𝑥 2 + ⋯ + 𝛼 𝑛 𝑥 𝑛 = 0 Mempunyai  paling  sedikit  satu  pemecahan, yakni
𝛼 1 = 0, 𝛼 2 = 0, … , 𝛼 𝑛 = 0 Jika ini adalah satu-satunya pemecahan, maka 𝑋 dinamakan  himpunan  bebas  linier.  Jika  ada pemecahan  lain,  maka 𝑆 dinamakan  himpunan tak bebas linier [ 8 ]. Diketahui 𝑀 adalah 𝑅 -modul  dan 𝑋 ⊆ 𝑀 . Himpunan 𝑋 dikatakan  basis  untuk 𝑀 jika  dan hanya jika:
a. 𝑋 merentang 𝑀 b. 𝑋 bebas linier [ 8 ].

## METODE PENELITIAN
Metode  yang  digunakan  dalam  penelitian ini  adalah  metode  penelitian  kepustakaan ( library research ). Adapun langkah-langkah yang akan  digunakan  oleh  peneliti  dalam  membahas penelitian ini adalah:
1. Mendefinisikan  kembali  tentang  modul, modul  bebas,  dan  homomorfisme  modul serta  membuat  contohnya  dan  contoh  yang salah
2. Mendefinisikan monomorfisme modul, epimorfisme modul, dan isomorfisme modul
3. Membuat contoh dan contoh yang salah dari monomorfisme  modul,  epimorfisme  modul, dan isomorfisme modul
dengan menggunakan  domain  modul  bebas  dan kodomainnya modul
4. Dari  poin  3  didapatkan  dua  teorema  baru dan  membuktikan  teorema  tersebut  serta memberikan contohnya.

## PEMBAHASAN
Homomorfisme
modul merupakan pemetaan  dari  suatu  modul  ke  modul  yang  lain yang  mengawetkan  kedua  operasi  yang  ada dalam modul tersebut.
Misalkan 𝑅 adalah  ring  dan  misalkan 𝑀 dan 𝑁 adalah 𝑅 -modul.  Pemetaan 𝜑: 𝑀 → 𝑁 disebut homomorfisme modul jika pemetaan itu memenuhi syarat sebagai berikut:
a) 𝜑(𝑥 + 𝑦) = 𝜑(𝑥) + 𝜑(𝑦) , ∀𝑥, 𝑦 ∈ 𝑀
b) 𝜑(𝛼𝑥) = 𝛼𝜑(𝑥) , ∀𝛼 ∈ 𝑅, 𝑥 ∈ 𝑀 [ 7 ].
Contoh: Diberikan 𝑅 dan 𝑅 2 sebagai 𝑅 -modul.  Melalui pemetaan 𝜑: 𝑅 2 → 𝑅 yang  didefinisikan  dengan 𝜑(𝑥) = 0 𝑅 . Akan ditunjukkan 𝜑 adalah homomorfisme modul.
Berdasarkan definisi homomorfisme modul, 𝜑 dikatakan  homomorfisme  modul  jika memenuhi sifat-sifat berikut: i. 𝜑(𝑥 + 𝑦) = 𝜑(𝑥) + 𝜑(𝑦) 𝜑(𝑥 + 𝑦) = 0 𝑅 (  berdasarkan  definisi 𝜑 , karena 𝑥 + 𝑦 ∈ 𝑅 2 ) Dilain pihak, 𝜑(𝑥) + 𝜑(𝑦) = 0 𝑅 + 0 𝑅 = 0 𝑅 Jadi 𝜑(𝑥 + 𝑦) = 𝜑(𝑥) + 𝜑(𝑦) ii. 𝜑(𝛼𝑥)   = 𝛼𝜑(𝑥) 𝜑(𝛼𝑦) = 0 𝑅 ( berdasarkan definisi 𝜑 , karena 𝛼𝑦 ∈ 𝑅 2 ) Dilain pihak, 𝛼𝜑(𝑦) = 𝛼0 𝑅 = 0 𝑅 𝜑(𝛼𝑥) = 𝛼𝜑(𝑥) Jadi 𝜑 terbukti homomorfisme modul.
Secara garis  besar, homomorfisme modul dibedakan  menjadi  tiga,  yaitu  monomorfisme, epimorfisme, dan isomorfisme.
Misalkan 𝑅 adalah ring, 𝑀 dan 𝑁 adalah 𝑅 -modul,  jika  homomorfisme modul  dari 𝑀 ke 𝑁 bersifat injektif (satu-satu) maka
disebut monomorfisme modul [ 7 ].
Contoh: Diberikan 𝑍 dan 𝑍 × 𝑍 2 sebagai 𝑍 -modul. Pemetaan 𝜑 ∶  𝑍  →  𝑍 × 𝑍 2 didefinisikan sebagai 𝜑(𝑥) = (𝑥, 0) .  Pemetaan 𝜑 ini  adalah  pemetaan monomorfisme .
Ambil sebarang 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑍 dan 𝛼 ∈ 𝑍 , maka 1. 𝜑(𝑥 + 𝑦) = (𝑥 + 𝑦, 0) = (𝑥, 0) + (𝑦, 0) =
𝜑(𝑥) + 𝜑(𝑦)
2. 𝜑(𝛼𝑥) = (𝛼𝑥, 0) = (𝛼𝑥, 𝛼0) = 𝛼(𝑥, 0) = 𝛼𝜑(𝑥)
Dari 1 dan 2, dapat disimpulkan bahwa 𝜑 adalah suatu  homomorfisme  modul.  Kemudian,  untuk sebarang 𝜑(𝑥), 𝜑(𝑦) ∈ 𝑅 𝜑 dengan 𝜑(𝑥) = 𝜑(𝑦) , berlaku
𝟎 = 𝜑(𝑥) − 𝜑(𝑦) = (𝑥, 0) − (𝑦, 0) = (𝑥 − 𝑦, 0) Oleh karena itu, 𝑥 − 𝑦 = 0 . Dengan kata lain 𝑥 = 𝑦 . Jadi 𝜑 adalah pemetaan 1-1.
Dilain  pihak,  terdapat (1,1) ∈ 𝑍𝑥𝑍 2 Sehingga (1,1) ≠ 𝜑(𝑥) untuk  setiap 𝑥 ∈ 𝑍 .  Jadi 𝜑 bukan pemetaan pada.
Jadi  dapat  disimpulkan  bahwa 𝜑 adalah monomorfisme modul.
Misal 𝑅 adalah  ring, 𝑀 dan 𝑁 adalah 𝑅 - modul,  jika  homomorfisme  modul  dari 𝑀 ke 𝑁 bersifat  surjektif  (pada/onto),  maka  disebut epimorfisme modul [ 7 ].
Contoh: Diberikan 𝑍 dan 𝑍 2 sebagai 𝑍 -modul.  Pemetaan 𝜑 ∶  𝑍  →   𝑍 2 didefinisikan sebagai 𝜑(𝑥) = 𝑥 (𝑚𝑜𝑑2) .  Pemetaan 𝜑 ini  adalah  pemetaan epimorfisme.
Ambil sebarang 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑍 dan 𝛼 ∈ 𝑍 , maka 1. 𝜑(𝑥 + 𝑦) = 𝑥 + 𝑦 (𝑚𝑜𝑑2) = 𝑥 (𝑚𝑜𝑑2) + 𝑦 (𝑚𝑜𝑑2) = 𝜑(𝑥) + 𝜑(𝑦)
2. 𝜑(𝛼𝑥) = 𝛼𝑥 (𝑚𝑜𝑑2) = 𝛼(𝑥 (𝑚𝑜𝑑2)) = 𝛼𝜑(𝑥)
Dari 1 dan 2, dapat disimpulkan bahwa 𝜑 adalah suatu  homomorfisme  modul.  Kemudian,  untuk sebarang 𝑧 ∈ 𝑍 2 , maka i) Untuk 𝑧 = 0 ,  maka  terdapat 0 ∈ 𝑍 sehingga 𝜑(0) = 0 ii) Untuk 𝑧 = 1 ,  maka  terdapat 3 ∈ 𝑍 sehingga 𝜑(3) = 1 Jadi 𝜑 adalah pemetaan pada.
Dilain  pihak,  terdapat 1,3 ∈ 𝑍 dengan 1 ≠ 3 , tetapi 𝜑(3) = 1 = 𝜑(1) .  Jadi 𝜑 bukan  pemetaan 1-1.
Jadi  dapat  disimpulkan  bahwa 𝜑 adalah epimorfisme modul.
Misalkan 𝑅 adalah  ring, 𝑀 dan 𝑁 adalah 𝑅 -modul, jika homomorfisme modul dari 𝑀 ke 𝑁 bersifat  bijektif  (satu-satu)  dan  surjektif  (pada), dengan  kata  lain  homomorfisme  modul  dari 𝑀 ke 𝑁 bersifat bijektif, maka disebut isomorfisme modul.  Jika  terdapat  suatu  isomorfisme  dari 𝑀 ke 𝑁 ,  maka 𝑀 isomorfik  dengan 𝑁 atau 𝑁 isomorfik dengan 𝑀 [ 7 ].
Contoh:
Diberikan 𝑍 4 dan 𝑀 = {( 𝑎 11 𝑎 12 𝑎 21 𝑎 22 ) |𝑎 11 , 𝑎 12 , 𝑎 21 , 𝑎 22 ∈ 𝑍} adalah 𝑍 - modul.  Pemetaan 𝜑 ∶  𝑀  →   𝑍 4 didefinisikan sebagai 𝜑(𝑎) = (𝑎 11 , 𝑎 12 , 𝑎 21 , 𝑎 22 ) dimana 𝑎 = ( 𝑎 11 𝑎 12 𝑎 21 𝑎 22 ) .  Pemetaan 𝜑 ini  adalah  pemetaan isomorfisme.
Ambil sebarang 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑀 dan 𝛼 ∈ ℤ , maka
i) 𝜑(𝑥 + 𝑦) = ( 𝑥 11 + 𝑦 11 𝑥 12 + 𝑦 12 𝑥 21 + 𝑦 21 𝑥 22 + 𝑦 22 )
= (𝑥 11 + 𝑦 11 , 𝑥 12 + 𝑦 12 , 𝑥 21 + 𝑦 21 , 𝑥 22 + 𝑦 22 ) = (𝑥 11 , 𝑥 12 , 𝑥 21 , 𝑥 22 ) + (𝑦 11 , 𝑦 12 , 𝑦 21 , 𝑦 22 ) = 𝜑(𝑥) + 𝜑(𝑦)
ii) 𝜑(𝛼𝑥) = 𝜑 (( 𝛼𝑥 11 𝛼𝑥 12 𝛼𝑥 21 𝛼𝑥 22 )) = (𝛼𝑥 11 , 𝛼𝑥 12 , 𝛼𝑥 21 , 𝛼𝑥 22 ) = 𝛼(𝑥 11 , 𝑥 12 , 𝑥 21 , 𝑥 22 ) = 𝛼𝜑(𝑥) Dari  (i)  dan  (ii),  dapat  disimpulkan  bahwa 𝜑 adalah suatu homomorfisme modul.
Kemudian untuk sebarang
(𝑚 11 , 𝑚 12 , 𝑚 21 , 𝑚 22 ) ∈ 𝑍 ,  maka  terdapat 𝑚 =
( 𝑚 11 𝑚 12 𝑚 21 𝑚 22 ) anggota 𝑀 sehingga 𝜑(𝑚) = (𝑚 11 , 𝑚 12 , 𝑚 21 , 𝑚 22 ). Jadi 𝜑 adalah pemetaan pada.
Di  lain  pihak,  untuk  sebarang 𝜑(𝑥), 𝜑(𝑦) ∈ 𝑅 𝜑 dengan 𝜑(𝑥) = 𝜑(𝑦) , berlaku 𝟎 = 𝜑(𝑥) − 𝜑(𝑦) = (𝑥 11 , 𝑥 12 , 𝑥 21 , 𝑥 22 ) − (𝑦 11 , 𝑦 12 , 𝑦 21 , 𝑦 22 ) = (𝑥 11 − 𝑦 11 , 𝑥 12 − 𝑦 12 , 𝑥 21 − 𝑦 21 , 𝑥 22 − 𝑦 22 )
Oleh karena itu, 𝑥 𝑖𝑗 − 𝑦 𝑖𝑗 = 0 untuk setiap 𝑖, 𝑗 = 1,2 . Dengan kata lain 𝑥 𝑖𝑗 = 𝑦 𝑖𝑗 untuk setiap 𝑖, 𝑗 = 1,2 .  Sehingga  diperoleh 𝑥 = 𝑦 .  Jadi 𝜑 adalah pemetaan 1-1.
Jadi  dapat  disimpulkan  bahwa 𝜑 adalah isomorfisma modul.
Pada contoh monomorfisme dan epimorfisme,  domainnya  adalah 𝑍 sebagai 𝑍 - modul.  Telah  diketahui  bahwa 𝑍 sebagai 𝑍 - modul  adalah  Modul  bebas  dengan  basis {1} . Pada  contoh  epimorfisme,  mudah  diketahui bahwa 𝑍 2 sebagai 𝑍 -modul  bukan  modul  bebas disebabkan satu-satunya pembangun di 𝑍 2 , yaitu
{1} tak  bebas  linear,  karena  terdapat 2 ∈ 𝑍 dimana 2 ≠ 0 ,  berlaku 2 ∙ 1 = 0 di 𝑍 2 .  Jadi epimorfisme  bukan  jaminan  untuk  kodomain merupakan  modul  bebas  saat  domain  modul bebas. Selanjutnya, pada contoh monomorfisme, 𝑍 × 𝑍 2 juga  bukan  modul  bebas  (  Hal  ini  akan dibuktikan  dengan  teorema  terakhir  pada  bab ini  ).  Jadi  monomorfisme  bukan  jaminan  untuk kodomain merupakan modul bebas saat domain modul bebas. Terakhir, pada contoh ketiga, yaitu isomorfisme, 𝑍 4 sebagai 𝑍 -modul  adalah  modul bebas  dengan  basis {(1,1,1,1)} .  Begitu  pula dengan 𝑀 sebagai 𝑍 -modul  juga  merupakan modul bebas dengan basis {( 1 0 0 0 ) , ( 0 1 0 0 ) , ( 0 0 1 0 ) , ( 0 0 0 1 )}. Dari  contoh isomorfisme  ini,  ada  kemungkinan  bahwa isomorfisme  bisa  jadi  jaminan  untuk  kodomain modul  bebas  saat  domain  adalah  modul  bebas. Hal ini dijawab oleh teorema berikut.

## Teorema 2
Misalkan 𝑀 dan 𝐹 adalah 𝑅 -modul.  Jika 𝑀 adalah modul bebas dan 𝑀 isomorfik dengan 𝐹 , maka 𝐹 modul bebas.
Bukti Misalkan 𝑋 = {𝑥 1 , 𝑥 2 , … , 𝑥 𝑛 } adalah  basis untuk 𝑀 dan 𝜑 adalah isomorfisme dari 𝑀 ke 𝐹 . Selanjutnya  akan  ditunjukkan  bahwa 𝑉 = {𝜑(𝑥 1 ), 𝜑(𝑥 1 ), … , 𝜑(𝑥 𝑛 )} adalah basis bagi 𝐹 .
i) 𝑉 membangun 𝐹
Ambil 𝑦 ∈ 𝐹 .  Karena 𝜑 pemetaan  pada, maka  terdapat 𝑚 ∈ 𝑀 sehingga 𝜑(𝑚) = 𝑦 . Karena 𝑀 modul  bebas,  maka  terdapat 𝑟 1 , 𝑟 2 , … , 𝑟 𝑛 ∈ 𝑅 sehingga
𝑚 = ∑ 𝑟 𝑖 𝑥 𝑖 = 𝑟 1 𝑥 1 + 𝑟 2 𝑥 2 + 𝑟 3 𝑥 3 + ⋯ + 𝑟 𝑛 𝑥 𝑛 𝑛 𝑖=1 Selain itu, karena 𝜑 suatu homomorfisme, maka 𝜑(𝑚) = 𝜑(∑ 𝑟 𝑖 𝑥 𝑖 𝑛 𝑖=1 ) = 𝜑(𝑟 1 𝑥 1 + 𝑟 2 𝑥 2 + ⋯ + 𝑟 𝑛 𝑥 𝑛 ) = 𝜑(𝑟 1 𝑥 1 ) + 𝜑(𝑟 2 𝑥 2 ) + ⋯ + 𝜑(𝑟 𝑛 𝑥 𝑛 ) = 𝑟 1 𝜑(𝑥 1 ) + 𝑟 2 𝜑(𝑥 2 ) + ⋯ + 𝑟 𝑛 𝜑(𝑥 𝑛 ) = ∑ 𝑟 𝑖 𝜑(𝑥 𝑖 ) 𝑛 𝑖=1 = 𝑦
Jadi 𝑉 membangun 𝐹 . ii) 𝑉 bebas Linear Berikutnya,  persamaan ∑ 𝑠 𝑖 𝑛 𝑖=1 𝜑(𝑥 𝑖 ) = 0 𝐹 dimana 𝑠 1 , 𝑠 2 , … , 𝑠 𝑛 ∈ 𝑅 ,    dapat  dituliskan menjadi 𝜑(∑ 𝑠 𝑖 𝑥 𝑖 𝑛 𝑖=1 ) = 0 𝐹 .  Karena 𝜑 pemetaan 1-1,  maka  prapeta  dari 0 𝐹 adalah 0 𝑀 .  Dengan kata  lain ∑ 𝑠 𝑖 𝑥 𝑖 𝑛 𝑖=1 = 0 𝑀 .  Karena 𝑋 adalah  basis bagi 𝑀 ,  maka  persamaan ∑ 𝑠 𝑖 𝑥 𝑖 𝑛 𝑖=1 = 0 𝑀 hanya dipenuhi oleh 𝑠 1 = 𝑠 2 = ⋯ = 𝑠 𝑛 = 0 . Oleh karena  itu  persamaan ∑ 𝑠 𝑖 𝑛 𝑖=1 𝜑(𝑥 𝑖 ) = 0 𝐹 hanya dipenuhi oleh skalar 𝑠 1 = 𝑠 2 = ⋯ = 𝑠 𝑛 = 0 . Jadi 𝑉 bebas linear. Oleh  karena  itu, 𝑉 basis  bagi 𝐹 .  Jadi 𝐹 adalah modul bebas.
Teorema di atas adalah jaminan mengetahui  suatu  modul  adalah  modul  bebas dengan  memanfaatkan  modul  bebas  yang  lain melalui  isomorfisme.  Namun,  masih  diperlukan cara  untuk  menentukan  modul  pada  domain (atau    kodomain  )  tersebut  modul  bebas  atau bukan,  tentu  saja  tidak  dengan  memanfaatkan kebebasan  dari  modul  pada  kodomain  (  atau domain  )  karena  tentu  saja  hal  ini  seperti berputar  ditempat  yang  sama.  Teorema  berikut dapat  dijadikan  sebagai  prosedur  untuk mengetahui  apakah  suatu 𝑅 -modul  adalah modul  bebas  atau  bukan.  Teorema  ini  menjadi teorema penutup pada bab pembahasan ini.

## Teorema 3
Misalkan 𝑀 adalah 𝑅 -modul.  Jika 𝑀 adalah modul  bebas  maka 𝑀 isomorfik  dengan 𝑅 𝑛 , dimana 𝑛 adalah kardinalitas dari basis 𝑀 .
Bukti Misalkan 𝑋 = {𝑥 1 , 𝑥 2 , … , 𝑥 𝑛 } adalah  basis untuk 𝑀 .  Maka  setiap 𝑚 di 𝑀 dapat  dituliskan secara  tunggal  sebagai 𝑚 = ∑ 𝑚 𝑖 𝑥 𝑖 𝑛 𝑖=1 untuk suatu 𝑚 1 , 𝑚 2 , … , 𝑚 𝑛 ∈ 𝑅 .  Sekarang,  misalkan pemetaan 𝜑: 𝑀 → 𝑅 𝑛 didefinisikan sebagai 𝜑(𝑚) = (𝑚 1 , 𝑚 2 , … , 𝑚 𝑛 ) dimana 𝑚 = ∑ 𝑚 𝑖 𝑥 𝑖 𝑛 𝑖=1 untuk 𝑚 1 , 𝑚 2 , … , 𝑚 𝑛 ∈ 𝑅 . Ambil sebarang 𝑧, 𝑦 ∈ 𝑀 dan 𝛼 ∈ 𝑍 , maka i) 𝜑(𝑧 + 𝑦) = (∑ (𝑧 𝑖 + 𝑦 𝑖 )𝑥 𝑖 𝑛 𝑖=1 ) = (𝑧 1 + 𝑦 1 , 𝑧 2 + 𝑦 2 , 𝑧 3 + 𝑦 3 , … , 𝑧 𝑛 + 𝑦 𝑛 ) = (𝑧 1 , 𝑧, … , 𝑧 𝑛 ) + (𝑦 1 , 𝑦 2 , … , 𝑦 𝑛 ) = 𝜑(𝑧) + 𝜑(𝑦) ii) 𝜑(𝛼𝑦) = 𝜑(∑ (𝛼𝑦 𝑖 )𝑥 𝑖 𝑛 𝑖=1 ) = (𝛼𝑦 1 , 𝛼𝑦 2 , 𝛼𝑦 3 , … , 𝛼𝑦 𝑛 ) = 𝛼(𝑦 1 , 𝑦 2 , 𝑦 3 , … , 𝑦 𝑛 ) = 𝛼𝜑(𝑦) Dari  (i)  dan  (ii),  dapat  disimpulkan  bahwa 𝜑 adalah suatu homomorfisme modul.
Kemudian,
untuk sebarang (𝑚 1 , 𝑚 2 , … , 𝑚 𝑛 ) ∈ 𝑅 𝑛 , maka terdapat 𝑚 = ∑ 𝑚 𝑖 𝑥 𝑖 𝑛 𝑖=1 anggota 𝑀 sehingga 𝜑(𝑚) = (𝑚 1 , 𝑚 2 , … , 𝑚 𝑛 ). Jadi 𝜑 adalah pemetaan pada.
Di lain pihak, untuk sebarang 𝜑(𝑧), 𝜑(𝑦) ∈ 𝑅 𝜑 dengan 𝜑(𝑧) = 𝜑(𝑦) , berlaku 𝟎 = 𝜑(𝑧) − 𝜑(𝑦) = (𝑧 1 , 𝑧 2 , … , 𝑧 𝑛 ) − (𝑦 1 , 𝑦 2 , … , 𝑦 𝑛 ) = (𝑧 1 − 𝑦 1 , 𝑧 2 − 𝑦 2 , 𝑧 3 − 𝑦 3 , … , 𝑧 𝑛 − 𝑦 𝑛 ) Oleh  karena  itu, 𝑥 𝑖 − 𝑦 𝑖 = 0 untuk  setiap 𝑖 = 1,2, … , 𝑛 ,  dengan  kata  lain 𝑥 𝑖 = 𝑦 𝑖 untuk  setiap 𝑖 = 1,2, … , 𝑛 .  Sehingga  diperoleh 𝑧 = 𝑦 ,  jadi 𝜑 adalah pemetaan 1-1.
Jadi  dapat  disimpulkan  bahwa 𝜑 adalah isomorfisme  modul.  Oleh  karena  itu, 𝑀 isomorfik dengan 𝑅 𝑛 . Akibat dari Teorema 2 Jika 𝑀 isomorfik  dengan 𝑅 𝑛 dan 𝑀 adalah modul bebas, maka 𝑅 𝑛 modul bebas.

## PENUTUP
1. Kesimpulan
Dari  pembahasan  pada  bab  3,  dapat disimpulkan  bahwa  suatu 𝑅 -modul  merupakan modul  bebas  jika 𝑅 -modul  tersebut  isomorfik dengan  suatu  modul  bebas  sebagai 𝑅 -modul. Artinya, suatu 𝑅 -modul merupakan modul bebas jika  terdapat  suatu  isomorfisme  dari 𝑅 -modul tersebut  ke  suatu  modul  bebas  yang  juga merupakan  suatu 𝑅 -modul.  Lebih  jauh  lagi,  jika suatu 𝑅 -modul  adalah  modul  bebas,  maka 𝑅 - modul  tersebut  isomorfik  dengan 𝑅 𝑛 ,  dimana 𝑛 adalah  kardinalitas  dari  basis  bagi 𝑅 -modul tersebut.

## 2. Saran
Dalam  studi  modul,  dikenal  pula modul notherian .  Untuk  penelitian  selanjutnya,  dapat mengkaji  tentang  bagaimana  mengetahui  suatu modul  adalah modul  notherian atau  bukan, metodenya mungkin melalui media homomorfisma  modul  juga,  atau  mungkin menggunakan media yang lain.

## DAFTAR PUSTAKA
[1] Yunita Wildaniati, "Penjumlahan Langsung Pada Modul," Malang, 2009.
[2] Khusniyah, "Kajian Homomorfisme Modul Atas Ring Komutatif," Malang, 2007.
[3] Wijna. (2009, 5 Februari) http://wijna.web.ugm.ac.id.
[4] John R. Durbin, Modern Algebra an Introduction third edition . New York: John Willey & Sons, Inc, 1992.
[5] M.D Raisinghania and R.S Aggarwal, Modern Algebra . New Delhi: Ram Nagar, 1980.
[6] Achmad Arifin, Aljabar . Bandung: ITB
Bandung, 2000.
[7] David S Dummit and Richard M. Foote, Abstract Algebra . New York: Prentice-Hall International, Inc, 1991.
[8] Howard Anton, Aljabar Linear Elementer Edisi Kelima . Jakarta: Erlangga, 1987.
[9] M.D Raisinghania and R.S Aggarwal, Modern Algebra . New Delhi: Ram Nagar, 1980.
[10] Anton Howard, Aljabar Linear Elementer
Edisi Kelima . Jakarta: Erlangga, 1987.
.