JURNAL GAUSSIAN, Volume 10, Nomor 2, Tahun 2021, Halaman 269-278 Online di: https://ejournal3.undip.ac.id/index.php/gaussian/

## EXPECTED SHORTFALL PADA PORTOFOLIO OPTIMAL
DENGAN METODE SINGLE INDEX MODEL
(Studi Kasus pada Saham IDX30)
Eis Kartika Dewi 1 , Dwi Ispriyanti 2 , Agus Rusgiyono 3
1,2,3 Departemen Statistika,  Fakultas  Sains Matematika,  Universitas  Diponegoro e-mail: eisdewi9@gmail.com

## ABSTRACT
Stock investment is a commitment to a number of funds in marketable securities which shows proof of ownership of a  company with the  aim  of obtaining  profits in  the  future. For  obtaining  optimal returns from  stock investments, investors are  expected  to  form  optimal  portfolios.  The  optimal portfolio formation using the Single  Index Model is based on the observation that a stock fluctuates in  the direction of the market price. It shows that most stocks tend to experience price increases if the market share price rises, and vice versa. Selection of optimal portfolio-forming stocks on IDX30 using the Single  Index Model  method produces 4 stocks, that are BRPT (Barito  Pacific Tbk.) with weight 31.134%, ICBP (Indofood CBP Sukses Makmur Tbk.) 17.138%, BBCA (Bank Central Asia Tbk.) 51.331% and SMGR (Semen Indonesia (Persero) Tbk.) 0.397%. Every investment must have a risk, for that investors need to calculate the possible risks that occur before investing.  To calculate risk, Expected Shortfall (ES) is  used as a  measure of risk  that is  better than  Value  at  Risk  (VaR) because ES fulfill  the subadditivity. At the 95% confidence level, the ES value is 23.063% while the VaR  value  is  10.829%. This means that the biggest possible risk that an  optimal  portfolio investor will  receive using the Single Index Model for the next five weeks is 23.063%.
Keywords : Portfolio, Single Index Model, Expected Shortfall, Value at Risk.

## 1. PENDAHULUAN
Pasar modal menurut  Bursa Efek Indonesia  merupakan pasar untuk  berbagai  instrumen keuangan jangka  panjang  (jangka waktu lebih  dari 1 tahun) yang bisa diperjualbelikan,  baik surat  utang  (obligasi),  ekuiti  (saham),  reksa  dana,  maupun  instrumen  lainnya. Investasi merupakan  komitmen  atas sejumlah  dana  atau  sumber  daya  lain  yang  dilakukan  saat ini dengan  tujuan  agar  dapat  memperoleh  keuntungan  di  masa  yang  akan  mendatang  atau bertujuan  untuk  meningkatkan  kesejahteraan  investor  (Bodie  dkk.,  2017).  Salah  satu jenis investasi  adalah  investasi  pada saham. Bursa Efek Indonesia  menyediakan  34 jenis  indeks saham  salah  satunya  adalah  IDX30  (www.idx.com).  IDX30  adalah  indeks  saham  yang terdiri  dari 30 saham dengan likuiditas  tinggi  dan kapitalisasi  pasar yang besar. Berdasarkan Index Fact Sheet yang dikeluarkan  Bursa Efek Indonesia Tahun 2019,  IDX30 memiliki  nilai kinerja yang lebih  baik dibandingkan  indeks saham dengan likuiditas  tinggi  dan kapitalisasi pasar besar lainnya.
Setiap investasi  pasti memiliki  risiko,  untuk menguranginya  investor  perlu melakukan diversifikasi.  Diversifikasi  ini  dilakukan  dengan mengkombinasikan  berbagai saham dalam investasi  atau  membentuk  portofolio.  Saat  berinvestasi  investor  tidak  berhenti  pada diversifikasi  untuk  mengurangi  risiko,  namun  juga  para investor  menginginkan  keuntungan yang optimal  dari investasi  yang dilakukan.  Salah satu metode untuk  membentuk  portofolio yang  optimal  adalah Single Index Model yang  didasarkan  pada  pengamatan  bahwa  harga suatu  saham  berfluktuasi  searah dengan  harga  saham pasar. Hal  ini  menunjukkan  bahwa kebanyakan  saham  cenderung  mengalami  kenaikan  harga  jika  harga  saham  pasar  naik, demikian  sebaliknya  (Elton  dkk.,  2014).  Pengukuran  risiko  yang  paling  umum  diterapkan adalah Value  at  Risk (VaR)  yang  diperkenalkan  oleh  Jorion  pada  tahun  2002.  VaR
merupakan  suatu  ukuran  risiko  untuk  menghitung  besarnya  kerugian  maksimal  yang ditanggung  investor  dengan  tingkat  kepercayaan tertentu dan periode  waktu tertentu dalam kondisi  pasar  yang  normal  (Jorion,  2002).  Ukuran  risiko  dikatakan  baik  dan  efektif  jika memenuhi  aksioma  ukuran  risiko  koheren  yaitu  sifat translational invariance , positive homogenity , monotonicity ,  dan subadditivity .    Meskipun  VaR  merupakan  standar internasional  dalam  pengukuran  risiko  finansial,  VaR  memiliki  kekurangan  yaitu  tida k memenuhi  sifat subadditivity sehingga  tidak  dapat  merefleksikan  diversifikasi  dengan membentuk  portofolio  yang bertujuan  untuk  meminimumkan  risiko  (Klugman  dkk.,  2011). Kekurangan VaR adalah tidak memenuhi  sifat subadditivity, untuk mengatasinya  digunaka n Expected Shortfall (ES) yang  memiliki  makna  besarnya nilai  risiko  yang  akan ditanggung apabila  terjadi  risiko  yang nilainya  melebihi  VaR.
Salah satu metode untuk menghitung  VaR yaitu dengan metode simulasi  Monte-Carlo. Menurut  Jorion  (2002)  metode  simulasi  Monte-Carlo  pada  dasarnya  adalah  melakukan simulasi  dengan  membangkitkan  bilangan  acak  berdasarkan  karakteristik  dari  data  yang akan dibangkitkan,  yang  kemudian  digunakan  untuk  menghitung  nilai  VaR dan  ES. Pada penelitian  ini  digunakan  metode simulasi  Monte-Carlo  karena metode ini  dapat menghitung VaR dan ES dari berbagai macam susunan return simulasi  sesuai dengan karakteristik return historis. Return merupakan imbalan  dalam berinvestasi. Terdapat  peneliti  sebelumnya  yang  telah  membahas Expected  Shortfall pada  data saham  diantaranya,  Saepudin  dkk.  (2017)  yaitu  Analisis  Risiko  Investasi  Saham  Tunggal Syariah  dengan Value at Risk (VaR) dan Expected Shortfall (ES) studi kasus  pada saham PT. Unilever  Indonesia  Tbk (UNVR). Hasil  penelitiannya  menunjukkan  bahwa nilai  risiko kerugian  investasi  saham berdasarkan nilai  ES memberikan  hasil  nilai  risiko  yang melebihi VaR. Penelitian  lainnya  dilakukan  oleh Rahmawati dkk. (2019)  pada data harga jagung  yaitu Expected Shortfall dengan Simulasi  Monte-Carlo  untuk  Mengukur  Risiko  Kerugian  Petani Jagung  studi  kasus pada harga jagung  panen  bulanan  di  Kabupaten  Pemalang  periode  Juli 2015 sampai dengan Juli  2018.  Hasil penelitiannya  menunjukkan  bahwa ES memenuhi  sifat koherensi  dan diperoleh  nilai  risiko  berdasarkan nilai  ES memberikan  hasil  nilai  risiko  yang melebihi  VaR.  Penelitian  terdahulu  yang  membahas Single  Index  Model diantaranya, penelitian  oleh  Azizah  dkk.  (2017)  yaitu  Analisis  Investasi  Portofolio  Optimal  Saham Syariah  dengan  Menggunakan  Model Markowitz dan Single Index Model studi  kasus pada saham Jakarta  Islamic  Index (JII)  serta  penelitian  oleh  Chanifah  dkk.  (2020)  yaitu Perbandingan  Metode Single  Index  Model dan Capital  Asset  Pricing  Model untuk Membentuk  Portofolio  Optimal  pada  Saham  LQ45.  Hasil  penelitiannya  menunjukkan portofolio  optimal  yang  terbentuk  menggunakan  metode Single  Index Model memilik i kinerja  yang lebih  baik. Berdasarkan uraian tersebut, maka peneliti  ingin  menghitung  risiko kerugian  investasi  portofolio Single  Index  Model berdasarkan  nilai Expected  Shortfall dengan menggunakan  simulasi  Monte-Carlo  pada saham indeks  IDX30.
2. TINJAUAN PUSTAKA
2.1. Return, Expected Return Saham, dan Kovarian Return Saham Return merupakan  imbalan  yang diperoleh  dari  investasi.  Menurut  Tsay (2002)  secara sistematis return dapat dituliskan  sebagai berikut:
𝑅 𝑖(𝑡) = 𝑙𝑛 ( 𝑃 𝑖(𝑡) 𝑃 𝑖(𝑡−1) ) (1)
Expected return adalah return yang diharapkan investor.
𝐸(𝑅 𝑖 ) = ∑ 𝑅 𝑖(𝑡) 𝑛 𝑡=1 𝑛 (2)
Kovarian  dalam  manajemen  portofolio  menunjukkan  arah  pergerakan  dua  saham. Kovarian return saham bisa dihitung  dengan rumus berikut:
s 𝑖,𝑗 = ∑ (𝑅 𝑖 ( 𝑡 ) −𝐸(𝑅 𝑖 ))(𝑅 𝑗 ( 𝑡 ) −𝐸(𝑅 𝑗 )) 𝑛 𝑡=1 𝑛−1 (3)
Keterangan:
𝑅 𝑖(𝑡) = return saham ke-i pada periode waktu ke-t 𝑃 𝑖(𝑡) = closing price saham ke-i pada periode  waktu ke-t 𝑃 𝑖(𝑡−1) = closing price saham ke-i pada periode  waktu ke-t -1. 𝐸(𝑅 𝑖 ) = expected return saham ke-i s 𝑖,𝑗 = kovarian return saham ke-i dan return saham ke-j
n = banyaknya return .

## 2.2. Portofolio Optimal dengan Metode Single Index Model
Portofolio  saham merupakan gabungan dari beberapa saham yang bertujuan  mengurangi risiko  investasi.  Sedangkan  portofolio  optimal  merupakan  portofolio  yang  memilik i kombinasi  tingkat  keuntungan  dan risiko  terbaik (Elton  dkk.,2014).  Salah satu metode untuk membentuk  portofolio  optimal  adalah Single Index Model yang didasarkan pada pengamatan bahwa harga dari  suatu saham  berfluktuasi  searah dengan  harga saham pasar (Elton  dkk., 2014).  Hal  ini  menunjukkan  bahwa  kebanyakan  saham  cenderung  mengalami  kenaikan harga  jika  harga  saham  pasar  naik,  demikian  sebaliknya.  Persamaan Single Index Model dinyatakan  sebagai berikut:
𝑅 𝑖 =  𝑎 𝑖 + 𝑏 𝑖 . 𝑅 𝑚 + 𝑒 𝑖 Keterangan: 𝑅 𝑖 = return saham ke-i 𝑎 𝑖 = nilai  ekspektasi dari return saham ke-i yang tidak  tergantung  terhadap return pasar (karakteristik  saham ke-i)
𝑏 𝑖 = koefisien  yang mengukur  perubahan return saham ke-i akibat dari  perubahan return pasar ( beta saham ke-i) 𝑅 𝑚 = return indeks pasar 𝑒 𝑖 = residual return saham ke-i

## 2.2.1. Pemilihan Kandidat Portofolio Optimal Single Index Model
Menurut  Elton  dkk.  (2014)  penentuan  portofolio  optimal  dengan Single Index Model memerlukan  nilai Excess Return to Beta (ERB). ERB adalah  rasio excess return terhadap beta (risiko  pasar) , sedangkan  e xcess return adalah  selisih expected return dengan return aset bebas risiko.  Nilai  ERB setiap saham dapat dihitung  dengan persamaan:
𝐸𝑅𝐵 𝑖 = 𝐸(𝑅 𝑖 )−𝑅 𝑓 𝑏 𝑖 (4)
Keterangan:
𝐸𝑅𝐵 𝑖 = excess return to beta saham ke-i 𝐸(𝑅 𝑖 )  = expected return saham ke-i 𝑅 𝑓 = return asset bebas risiko 𝑏 𝑖 = beta saham ke-i
Elton  dkk. (2014)  menyatakan portofolio  yang optimal  akan tersusun dari  saham yang mempunyai  nilai  ERB yang tinggi.  Semakin tinggi  nilai  ERB, maka semakin baik kombinasi excess return dan beta .  Saham  dengan  ERB  yang  rendah  tidak  dimasukkan  ke  dalam portofolio  optimal,  oleh  karena itu  diperlukan  sebuah titik  pembatas C* ( cut-off point ) yang menentukan batas nilai  ERB berapa yang dikatakan  tinggi.  Besarnya titik  pembatas ini  dapat ditentukan  dengan langkah-langkah  sebagai berikut:
1. Urutkan saham-saham berdasarkan nilai  ERB positif  terbesar ke nilai  ERB terkecil.

## 2. Hitung  nilai  C masing-masing  saham.
𝐶 𝑖 = 𝑠 𝑚 2 ∑ 𝐴 𝑗 𝑖 𝑗=1 1+𝑠 𝑚 2 ∑ 𝐵 𝑗 𝑖 𝑗=1 (5)
dengan 𝐴 𝑖 = (𝐸(𝑅 𝑖 )−𝑅 𝑓 )𝑏 𝑖 𝑠 𝑒𝑗 2 , dan 𝐵 𝑖 = 𝑏 𝑖 2 𝑠 𝑒𝑗 2
3. Menentukan Cut-off point (C*). C* merupakan nilai C terbesar dari semua nilai  C .
4. Saham-saham  yang  membentuk  portofolio optimal  adalah  saham-saham  yang mempunyai  nilai  ERB lebih  besar dari nilai  C*.

## 2.2.2.Menentukan Bobot Saham Pembentuk Portofolio Optimal
Elton  dkk. (2014)  menyatakan  proporsi  masing-masing  saham yang termasuk kedalam potofolio  optimal  menurut  metode Single Index Model dapat  dihitung  dengan  persamaan berikut  ini:
𝑤 𝑖 = 𝑍 𝑖 ∑ 𝑍 𝑗 𝑛 𝑗=1 (6)
dengan 𝑍 𝑖 = 𝑏 𝑖 𝑠 𝑒𝑗 2 (𝐸𝑅𝐵 𝑖 − 𝐶 ∗ )
Keterangan: 𝑤 𝑖 = bobot  saham ke-i 𝑏 𝑖 = beta saham ke-i s e j 2 = varian residual return saham ke-i 𝐸𝑅𝐵 𝑖 = excess return to beta saham ke-i.
p = banyaknya  saham pembentuk  portofolio
2.3. Return dan Expected Return Portofolio
Menurut  Tsay  (2002) return portofolio  merupakan  rata-rata  tertimbang  dari  return masing-masing  saham tunggal  pembentuk  portofolio,  dapat dihitung  dengan persamaan:
𝑅 𝑝 𝑡 =  ∑ (𝑤 𝑖 . 𝑅 𝑖 𝑡 ) 𝑝 𝑖=1 (7)
Expected return portofolio  diartikan  sebagai rata-rata tertimbang  dari expected return individual masing-masing saham  pembentuk  portofolio, dapat  dihitung dengan menggunakan  persamaan:
𝐸(𝑅 𝑝 ) =  ∑ (𝑤 𝑖 . 𝐸(𝑅 𝑖 )) 𝑝 𝑖=1 (8)
Keterangan:
𝑅 𝑝 𝑡 = return dari suatu portofolio  pada periode waktu ke-t w i = bobot  saham ke-i 𝑅 𝑖 𝑡 = return saham ke-i pada periode waktu ke-t
p
= banyaknya  saham pembentuk  portofolio E(R p ) = expected return dari suatu portofolio E(R i ) = expected return saham ke-i

## 2.4. Value at Risk (VaR)
VaR  didefinisikan  sebagai  estimasi  kerugian  maksimal  yang  akan  didapat  selama periode  waktu  tertentu  dalam  kondisi  pasar  normal  pada  tingkat  kepercayaan  tertentu (Jorion,  2002).  Perhitungan  VaR dengan tingkat  kepercayaan (1- 𝛼) dalam  periode  waktu T periode  ke depan dengan investasi  awal sebesar V 0 adalah sebagai berikut:
𝑉𝑎𝑅 (1−𝛼) = 𝑉 0 𝑅 ∗ √ 𝑇 (9)
𝑅 ∗ merupakan  kuantil  dari  distribusi return yang merupakan  nilai  kritis  ( cut-off value ) dengan peluang  yang sudah ditentukan.

## 2.5. Expected Shortfall (ES)
Ukuran risiko  dikatakan  baik dan efektif jika  memenuhi  akisoma ukuran risiko  koheren. VaR bukan  merupakan ukuran  risiko  yang memenuhi  sifat koheren karena tidak  memenuhi sifat subadditivity ,  sehingga  diperkenalkan Expected  Shortfall yang  memenuhi  sifat subadditivity . Menurut Klugman et al. (2011) Expected Shortfall merupakan suatu ukuran risiko  yang  memperhitungkan  kerugian  melebihi  tingkat  VaR. Expected Shortfall pada tingkat  kepercayaan (1 −𝛼 ) dalam  periode  waktu  T dengan  besar investasi  awal 𝑉 0 adalah sebagai berikut:
𝐸𝑆 (1−𝛼) (T) = 𝑉 0 (𝑥̅ + 𝑠 Φ(𝑉𝑎𝑅 (1−𝛼) ) 𝛼 ) √𝑇 (10)
dengan Φ adalah fungsi  densitas  normal  standar, 𝑥̅ adalah rata-rata portofolio,  dan 𝑠 adalah standar deviasi  portofolio.
Sifat koheren pada ES diberikan  sebagai berikut:
1. Translational Invariance yaitu  peningkatan  dan  penurunan  kerugian  sebesar 𝑎 akan meningkat  dan menurunkan  ukuran  risiko  sebesar 𝑎 . Untuk suatu variabel  random  risiko X , 𝛼(0,1) , dan sembarang 𝑎 ∈ R + , berlaku: 𝐸𝑆 (1−𝛼) (𝑋 + 𝑎) = 𝐸𝑆 (1−𝛼) (𝑋) + 𝑎
(11)
2. Positive Homogenity yaitu  perkalian  kerugian  dengan  suatu konstanta 𝑎 akan membuat ukuran risiko  menjadi 𝑎 kali dari ukuran risiko  sebelumnya.  Untuk suatu variabel  random risiko X , 𝛼(0,1) , dan sembarang 𝑎 ∈ R + , berlaku: 𝐸𝑆 (1−𝛼) (𝑎𝑋) = 𝑎𝐸𝑆 (1−𝛼) (𝑋)
(12)
3. Monotonicity yaitu  jika  ada dua  variabel  random  risiko  dan salah  satu variabel  random risiko  lebih  kecil  dari  yang  lainnya,  maka  ukuran  risiko  juga  lebih  kecil.  Untuk  suatu variabel  random  risiko 𝑋 1 dan 𝑋 2 , 𝑋 1 ≤ 𝑋 2 , 𝛼(0,1) , dan sembarang 𝑎 ∈ R + , berlaku: 𝐸𝑆 (1−𝛼) (𝑋 1 ) ≤ 𝐸𝑆 (1−𝛼) (𝑋 2 ) (13)
4. Subadditivity yaitu  risiko  tidak  bisa  diperkecil  dengan  cara memisahkan  kerugian  yang ada. Dengan kata lain,  diversifikasi  kerugian  akan mengurangi  risiko.  Denuit et al. (2005) mendefinisikan  untuk  suatu variabel  random 𝑋 1 dan 𝑋 2 , berlaku: 𝐸𝑆 (1−𝛼) (𝑋 1 + 𝑋 2 ) ≤ 𝐸𝑆 (1−𝛼) (𝑋 1 ) + 𝐸𝑆 (1−𝛼) (𝑋 2 ) (14)

## 2.6. Simulasi Monte -Carlo
Metode  simulasi  Monte-Carlo diperkenalkan  oleh  Boyle  pada  tahun  1997  untuk mengukur  risiko.  Perhitungan Value at Risk (VaR) dengan  metode  simulasi  Monte-Carlo pada  dasarnya  adalah  melakukan  simulasi  dengan  membangkitkan  bilangan  acak berdasarkan karakteristik  dari data yang akan dibangkitkan,  yang kemudian  digunakan  untuk menghitung  nilai  VaR.  Menurut  Driels  (2004)  simulasi  sebanyak  minimal  500  kali menghasilkan  nilai  VaR yang  stabil.  Pada penelitian  ini  dilakukan  simulasi  sebanyak 1000 kali.

## 2.7. Uji Normalitas Multivariat
Uji  normalitas  multivariat  dilakukan  dengan  menguji  apakah  jarak  mahalanobis  ( 𝑑 𝑗 2 ) berdistribusi 𝜒 𝑝 2 dimana j= 1,2,…,n,  dengan n merupakan banyak observasi dan p merupakan banyak variabel. Jarak mahalanobis  adalah ukuran yang menyatakan jarak nilai  setiap kasus dari  rata-rata seluruh  kasus.  Langkahnya  adalah  sebagai  berikut  (Johnson  dan  Wichern, 2007):
1. Menghitung  nilai 𝑑 𝑗 2 . Dimana 𝑑 𝑗 2 bisa dihitung  dengan persamaan berikut  ini:
𝑑 𝑗 2 = (𝑥 𝑗 − 𝑥̅) 𝑇 𝐒 −1 (𝑥 𝑗 − 𝑥̅) (15)
dengan j=1,2,…,n  dan 𝐒 adalah matriks  varian-kovarian.
2.  Mengurutkan  nilai 𝑑 𝑗 2 sesuai dengan urutan naik 𝑑 (1) 2 ≤ 𝑑 (2) 2 ≤ … ≤ 𝑑 (𝑛) 2 .
3.  Menguji  kesesuaian  distribusi  apakah 𝑑 𝑗 2 berdistribusi 𝜒 𝑝 2 dengan  uji  Kolmogorov- Smirnov.
Prosedur uji  Kolmogorov-Smirnov  adalah sebagai berikut: Hipotesis:
H 0 : F( 𝑑 𝑗 2 ) = 𝜒 𝑝 2 ( 𝑑 𝑗 2 berdistribusi  chi-kuadrat  dengan derajat bebas p)
H 1 : F( 𝑑 𝑗 2 ) ≠ 𝜒 𝑝 2 ( 𝑑 𝑗 2 tidak berdistribusi  chi-kuadrat  dengan derajat bebas p) Taraf signifikansi  : 𝛼 Statistik  uji  :
D = 𝑠𝑢𝑝 𝑑 𝑗 2 |𝑆(𝑑 𝑗 2 ) − 𝜒 𝑝 2 | (16)
Kriteria uji:
H 0 ditolak  apabila  pada taraf signifikansi 𝛼 nilai  D ≥ D*( 𝛼 ) atau p-value ≤ 𝛼 .

## 3. METODE PENELITIAN

## 3.1. Sumber Data dan Variabel  Penelitian
Data yang digunakan  pada penelitian  ini  adalah data sekunder. Variabel penelitian  yang digunakan  yaitu  data harga  penutupan  ( close price) saham mingguan  27  perusahaan yang konsisten  selama tanggal 6 Agustus 2018 sampai dengan 20 Januari 2020 berada pada Indeks IDX30  serta data harga penutupan  saham pasar mingguan  perode 6  Agustus  2018  sampai dengan 20 Januari 2020. Data diperoleh  melalui  situs  www.finance.yahoo.com.
Tabel 1. Daftar Perusahaan yang  Konsisten  pada  Indeks  IDX30  Periode  6  Agustus 2018-20  Januari 2020
i Kode Saham Nama Perusahaan 1 ADRO Adaro Energy Tbk. 2 ANTM Aneka Tambang Tbk.
3 ASII Astra International  Tbk.
4 BBCA Bank Central Asia Tbk.
5 BBNI
Bank Negara Indonesia  (Persero) Tbk.
6 BBTN
Bank Tabungan  Negara (Persero) Tbk.
7 BBRI
Bank Rakyat Indonesia  (Persero) Tbk.
8 BMRI
Bank Mandiri  (Persero) Tbk. 9 BRPT Barito Pacific Tbk. 10  GGRM Gudang  Garam Tbk. 11  HMSP H. M. Sampoerna Tbk. 12  ICBP Indofood  CBP Sukses Makmur  Tbk. 13  INDF Indofood  Sukses Makmur  Tbk. 14  INKP Indah Kiat Pulp. & Paper Tbk. 15  INTP Indocement  Tunggal  Prakasa Tbk. 16  JSMR Jasa Marga (Persero) Tbk. 17  KLBF Kalbe Farma Tbk. 18  LPPF Matahari Department Store Tbk. 19  PGAS Perusahaan Gas Negara (Persero) Tbk. 20  PTBA Tambang Batubara Bukit  Asam Tbk. 21  PTPP PP (Persero) Tbk. 22  SMGR Semen Indonesia  (Persero) Tbk.
23  SRIL Sri Rejeki  Isman Tbk. 24  TLKM Telekomunikasi  Indonesia  (Persero) Tbk. 25  UNTR United  Tractors Tbk. 26  UNVR Unilever  Indonesia  Tbk. 27  WSKT Waskita Karya (Persero) Tbk.

## 3.2. Metode Analisis
Langkah–langkah  yang dilakukan  untuk  menganalisis  data dalam penelitian  ini  adalah:
1. Menghitung return dan expected return masing-masing saham.
2. Menghitung  ERB dan mengurutkan  nilai  ERB dari nilai  terbesar ke nilai  terkecil.
3. Menghitung  C i dan  menentukan  titik  potong  (C*),  dimana  C*  adalah  nilai  maksimal dari nilai  C i
4. Menentukan saham kandidat  portofolio.  Saham pembentuk portofolio  yaitu saham yang memiliki  nilai  ERB > C*.
5. Menghitung  bobot  (w i ) masing-masing  saham pembentuk  portofolio.
6. Menghitung nilai  parameter  rata-rata  dan  varian-kovarian return saham-saham pembentuk  portofolio.
7. Melakukan  uji  normalitas multivariat  data return saham pembentuk portofolio.
8. Mensimulasi return saham-saham pembentuk  portofolio  dengan  membangkitkan  data secara random menggunakan  nilai  parameter rata-rata dan varian-kovarian.
9. Menghitung  nilai  VaR pada tingkat  kepercayaan (1− 𝛼 ) dalam periode  waktu T.
10. Menghitung  nilai  ES pada tingkat  kepercayaan (1− 𝛼 ) dalam periode  waktu T.
11. Langkah (8) sampai langkah  (10) diulang  sebanyak 1000  kali.  Sehingga  akan diperoleh nilai  VaR dan ES sebanyak 1000  kali  untuk  tingkat  kepercayaan (1− 𝛼 ).
12. Menghitung  rata-rata VaR pada  tingkat  kepercayaan  (1− 𝛼 )  untuk  menstabilkan  nilai VaR karena nilai  VaR yang dihasilkan  oleh  tiap simulasi  berbeda.
13. Menghitung  rata-rata ES pada tingkat  kepercayaan (1− 𝛼 ) untuk  menstabilkan  nilai  ES karena nilai  ES yang dihasilkan  oleh tiap  simulasi  berbeda.
4. HASIL DAN PEMBAHASAN
4.1. Return dan Expected Return Saham
Perhitungan return dan expected return dari  setiap  perusahaan dapat dihitung  dengan persamaan (1) dan persamaan (2),  sehingga  didapatkan  nilai expected return setiap saham yang dapat dilihat  pada gambar 1.
Gambar  1. Diagram Expected Return Saham Return yang  bernilai  positif  menandakan  terdapat kenaikan  harga saham  di  periode tersebut  dibandingkan  periode  sebelumnya.  Sedangkan  jika  nilai return bernilai  negatif maka terjadi  penurunan  harga saham di  periode  tersebut dibandingkan  periode  sebelumnya . Berdasarkan Gambar  1, terlihat  BRPT (Barito  Pacific Tbk.) memiliki  nilai expected return
-0.02 -0.01 0 0.01 0.02 IH SG A DR O A N TM A SI I B B CA B B N I B B TN B B RI B M R I B R PT G G R M H M SP IC B P IN DF IN K P

## IN TP JSM R KL B F

## LP PF PG A S PT BA PT PP SM G R SRI L TL K M
U N TR U N V R W SK T ER
paling  tinggi  yaitu  sebesar 0,015884  sedangkan  INKP (Indah  Kiat  Pulp.  &  Paper Tbk.) memiliki  nilai expected return paling rendah yaitu sebesar -0,01191.

## 4.2. Portofolio Optimal Single Index Model
Penentuan  portofolio  optimal  menggunkan  metode Single Index Model memerlukan sebuah  titik  pembatas (cut-off point) yang  digunakan  untuk  menentukan  batas nilai  ERB yang dapat menjadi  kandidat  portofolio  optimal . Menggunakan  persamaan 4 dan 5 diperoleh nilai  ERB dan C yang disajikan  pada Tabel 2.
Tabel 2. Nilai ERB i dan C i Masing-Masing  Saham i Kode Saham 𝐄𝐑𝐁 𝐢 𝐀 𝐢 𝐁 𝐢 𝐂 𝐢 1 BRPT 0.01559 4.04966 259.68311 0.00106 2 ICBP 0.00602 1.55101 257.44671 0.00138 3 BBCA 0.00413 16.74149 4056.42144 0.00275 4 SMGR 0.00279 6.75017 2416.91271 0.00276 5 INDF 0.00239 2.46565 1032.69556 0.00273 6 BBRI 0.00224 11.95316 5325.88567 0.00258 7 KLBF 0.00151 3.26446 2167.27826 0.00245 8 INTP 0.00111 2.15628 1939.14047 0.00233 9 TLKM 0.00036 0.64495 1802.13887 0.00217
Besarnya bobot untuk  masing-masing  saham dihitung  menggunakan  persamaan 6 yang disajikan  pada Tabel 3.
Tabel 3. Bobot Saham Pembentuk  Portofolio  Optimal i Kode Saham w i 1 BRPT 0.31134 2 ICBP 0.17138 3 BBCA 0.51331 4 SMGR 0.00397
4.3. Rata-rata  dan Varian  Kovarian Return Saham  BRPT, ICBP, BBCA, dan SMGR. Perhitungan  rata-rata dan  varian kovarian return saham pembentuk  portofolio  optimal dilakukan  untuk  menghitung  jarak  mahalanobis  dalam  pengujian  normalitas  multivariat. Parameter ini  juga  digunakan  untuk  membangkitkan  data return yang berdistribusi  normal multivariat  jika return saham  BRPT,  ICBP,  BBCA,  dan  SMGR  berdistribusi  normal multivariat.  Hasil perhitungan  rata-rata return saham BRPT, ICBP, BBCA, dan SMGR dapat dilihat  pada Tabel 4 yang dihitung  menggunakan  persamaan 2.
Tabel 4. Rata-rata Return BRPT, ICBP, BBCA, dan SMGR Kode Saham Rata-rata BRPT 0,01588 ICBP 0,00342 BBCA 0,00478 SMGR 0,00556
Hasil perhitungan  varian kovarian return saham BRPT, ICBP, BBCA dan SMGR dapat dilihat  pada Tabel 5 yang dihitung  menggunakan  persamaan 3.
Tabel 5. Varian Kovarian Return BRPT, ICBP, BBCA dan SMGR Kode Saham BRPT ICBP BBCA SMGR
BRPT 0,00390 0,00027 0,00019 0,00032 ICBP 0,00027 0,00082 0,00022 0,00010 BBCA 0,00019 0,00022 0,00051 0,00049 SMGR 0,00032 0,00010 0,00049 0,00207
4.4. Uji Normalitas Multivariat Return Saham  BRPT, ICBP, BBCA, dan SMGR.
Pengujian  dilakukan  dengan  memeriksa  apakah  jarak  mahalanobis  berdistribusi  chi- kuadrat  dengan  derajat  bebas  4  atau  tidak.  Pada  taraf  signifikansi 𝛼 = 5% , H 0 ditolak sehingga  dapat  disimpulkan return saham BRPT,  ICBP,  BBCA dan  SMGR  berdistribusi normal  multivariat.
4.5. Perhitungan Value  at  Risk (VaR)  dan Expected Shortfall (ES)  dengan  Simulasi Monte -Carlo
Perhitungan  VaR dan ES dengan metode simulasi  Monte-Carlo  pada data return saham BRPT,  ICBP,  BBCA,  dan  SMGR  dilakukan  dengan  membangkitkan  data  random berdistribusi  normal  multivariat  dengan  rata-rata dan varian  kovarian  seperti  pada Tabel  4 dan  5.  Nilai  VaR dan  ES  pada  tingkat  kepercayaan 95%  dan  periode  waktu  5  hari  dapat dilihat  pada Tabel 6 yang dihitung  menggunakan  persamaan 9 dan 10.
Tabel 6. Nilai  VaR dan ES Nilai VaR Nilai ES 0,10829 0,23063
Berdasarkan tabel  di  atas dapat disimpulkan  pada  tingkat  kepercayaan 95% diperoleh nilai  ES  sebesar 23,063%  sedangkan  nilai  VaR sebesar  10,829%.  Nilai  ES  tersebut lebih besar  jika  dibandingkan  dengan  nilai  VaR.  Hal  ini  menunjukkan  bahwa  kemungkinan kerugian  terbesar yang akan diterima  seorang investor  lima  minggu  ke depan adalah sebesar 10,829%  dari investasi  minggu  ini  dan masih  memungkinkan  jika  terjadi  kondisi  yang lebih buruk  lagi  seperti perubahan suku bunga,  inflasi  meningkat,  dan hal lainnya  sehingga  risiko terbesar yang mungkin  terjadi  adalah sebesar 23,063%.

## 5. KESIMPULAN
Berdasarkan hasil  dan  pembahasan  yang  telah  dilakukan,dapat  diperoleh  kesimpulan sebagai berikut:
1. Penentuan  portofolio  optimal  dengan  metode Single Index Model yang  diaplikasika n pada  saham  yang  selama  periode  6  Agustus  2018  sampai  20  Januari  2020  konsisten berada  dalam  daftar  indeks  IDX30  menghasilkan  4  saham  pembentuk  portofolio optimal.  Keempat  saham  tersebut  yaitu  BRPT  (Barito  Pacific  Tbk.)  dengan  bobot sebesar 31,134%,  ICBP (Indofood  CBP Sukses  Makmur  Tbk.)  dengan  bobot  sebesar 17,138%,  BBCA (Bank Central Asia Tbk.) dengan bobot  sebesar 51,331%,  dan SMGR (Semen Indonesia  (Persero) Tbk.) dengan bobot  sebesar 0,397%.
2. Pada tingkat  kepercayaan 95% diperoleh  nilai  ES sebesar 23,063%  melebihi  nilai  VaR sebesar  10,829%,  hal  ini  menunjukkan  bahwa  kondisi  terburuk  yang  akan  dialami seorang  investor  untuk  lima  minggu  ke  depan  yaitu  kerugian  sebesar  10,829%  dari investasi minggu  ini  dan masih memungkinkan  jika terjadi  kondisi  yang lebih  buruk lagi dari nilai  VaR yaitu risiko  sebesar 23,063%.

## DAFTAR PUSTAKA
Azizah,  L.,  Topowijono,  dan  Sulasmiyati,  S. 2017.  Analisis  Investasi  Portofolio  Optimal Saham Syariah dengan Menggunakan  Model  Markowitz  dan Single  Index Model  pada Saham Jakarta Islamic Index (JII). Jurnal Administrasi Bisnis . Vol. 42, No. 1. Bodie,  Z., Kane, A., dan Marcus, A. 2017. Investment . Tenth Edition.  New York:  McGraw- Hill.
Boyle,  P., Broadie, M., dan Glasserman, P. 1997. Monte-Carlo Methods for Security Pricing. Journal of Economic Dynamics and Control.
Chanifah,  S., Hamdani,  dan Gunawan,  A. 2020.  Perbandingan  Metode Single  Index Model dan Capital  Asset Pricing  Model  untuk  Membentuk  Portofolio  Optimal  pada Saham LQ45. Jurnal Ekonomi dan Bisnis. Vol. 4, No. 1. Denuit,  M., Dhaene, J., Goovaerts,  M., dan Kaas, R. 2005. Actuarial Theory for Dependent Risks Measures, Orders and Models . England: John Wiley & Sons Ltd. Driels,  M.R. 2004. Determining The Number of Iteration for Monte-Carlo Simulations of Weapon Effectiveness . California:NPS. Elton,  E., Gruber,  M. J., Brown, S.J., dan Goetzman,  W. N. 2014. Modern Portofolio Theory and Investment Analysis . Ninth Edition. Canada: Wiley. Johnson,  R.A. dan  Wichern,  D.W. 2007. Applied Multivariate Statistical Analysis . Sixth Edition.  New York: Prentice Hall.
Jorion,  P. 2002. Value at Risk: The New Benchmark for Managing Financial Risk . Second Edition.  New York: The McGraw-Hill  Companies,  Inc.
Klugman,  S. Panjer, H., dan Willmot,  G. 2011. Loss Models: From Data to Decission . New York:  Wiley  and Sons Inc Publication.
Rahmawati, R., Rusgiyono,  A., Hoyyi,  A., dan Maruddani,  D. A. I. 2019 . Expected Shortfall dengan Simulasi  Monte-Carlo untuk Mengukur  Risiko  Kerugian Petani Jagung. Media Statistika , Vol. 12, No. 1: 117-128.
Saepudin,  Y., Yasin,  H., dan  Santoso,  R. 2017.  Analisis  Risiko  Investasi  Saham  Tunggal Syariah  dengan  Value At Risk  (VaR) dan Expected Shortfall  (ES). Jurnal Gaussian , Vol. 6, No. 2: 271-280.
Tsay, R. 2002. Analisisof Financial Time Series. New York: John Wiley & Sons Inc.