## Estimator Nadaraya-Watson dengan Fungsi Kernel Normal dan Fungsi Kernel Kuadratik
Saskia Amalia Putri, Ayudita Rahmi Aristya, Nur Azizah Janad, Yudy Novindri Tadale, Lilies Handayani,
Prodi Statistika, Universitas Tadulako, Kota Palu, Sulawesi Tengah
*e-mail : saskia.amalia.pitri0108@gmail.com , lilies.stath@gmail.com

## Abstrak
Indeks pembangunan manusia (IPM) atau Human Development Index (HDI) adalah pengukuran perbandingan  dari  harapan  hidup,  melek  huruf,  pendidikkan  dan  standar  hidup  untuk  semua negara  seluruh  dunia.  Indeks  pembangunan  manusia  digunakan  untuk  mengklasifikasikan apakah sebuah negara adalah negara maju, negara berkembang atau negara terkebelakang dan juga  untuk  mengukur  pengaruh  dari  kebijaksanaan  ekonomi  terhadap  kualitas  hidup.  Tujuan penelitian  ini  yaitu  untuk  mengetahui  bagaimana  hubungan  persentase  penduduk  miskin  dan tingkat  pengangguran  terhadap  indeks  pembangunan  manusia  di  Sulawesi  Tengah.  Dalam penelitian ini digunakan metode regresi kernel Nadaraya-Watson dengan perbandingan regresi antara  fungsi  kernel  normal  dan  fungsi  kernel  kuadratik.  Berdasarkan  hasil  penelitian  Untuk model  terbaik  pada  X1  (persentase  penduduk  miskin)  dengan  nilai  MSE  terekecil  yaitu  pada metode  CV.LS  dengan  nilai  bandwidth  sebesar  1.369349,  dan  untuk  model  terbaik  pada  X2 (tingkat pengangguran terbuka) dengan nilai MSE terekecil yaitu pada metode CV.AIC dengan nilai bandwidth sebesar 1.331878.
Kata Kunci : Estimator Kernel, Indeks Pembangunan Manusia, Persentase Penduduk miskin, Tingkat Pengangguran Terbuka

## 1. Pendahuluan
Statistik dipakai untuk menyatakan kumpulan fakta, umumnya berbentuk angka yang  disusun  dalam  tabel  atau  diagram  yang  melukiskan  atau  menggambarkan  suatu persoalan.  Sedangkan  statistika  adalah  ilmu  yang  terdiri  dari  teori  dan  metode  yang merupakan  cabang  dari  matematika  terapan  dan  membicarakan  tentang  bagaimana mengumpulkan  data,  bagaimana  meringkas  data,  mengolah  dan  menyajikan  data, bagaimana menarik  kesimpulan dari analisis, bagaimana menentukan keputusan dalam batas-batas resiko tertentu berdasarkan strategi yang ada. Statistika sebagai pengetahuan berhubungan  dengan  cara-cara  pengumpulan  fakta,  pengolahan  serta  pembuatan keputusan  yang  cukup  beralasan  berdasarkan  fakta  dan  Analisa  yang  dilakukan (Sudjana,1996).
Statistika  menurut  tingkat  atau  tahapan  kegiatannya  dibagi  menjadi  dua kelompok, yaitu statistika deskriptif dan statistika inferensia (Khasanah, 2016). Statistika deskriptif  adalah  bagian  dari  statistika  yang  mempelajari  cara  pengumpulan  data  dan penyajian  data  sehingga  mudah  dipahami.  Statistika  deskriptif  mencakup  distribusi frekuensi  beserta  bagian-  bagiannya  seperti  grafik  distribusi  (histogram,  poligon frekuensi, dan ogif), ukuran nilai pusat (rata-rata, median, modus, kuartil dan sebagainya), ukuran  dispersi  (jangkauan,  simpangan  rata-rata,  variasi,  simpangan  baku,  dan sebagianya),  kemencengan  dan  keruncingan  kurva  (Hasan,  2001).  Sementara  itu, statistika  inferensia  adalah  statistika  yang  menyediakan  aturan  atau  cara  yang  dapat
Vol. 3 No. 1 Januari 2022
digunakan untuk menarik kesimpulan, membuat ramalan, dan penaksiran. Dengan kata lain,  statistika  inferensia  adalah  metode  yang  berhubungan  dengan  analisis  data  pada sampel  dan  hasilnya  dipakai  untuk  generalisasi  pada  populasi  yang  bertujuan  untuk melakukan estimasi, menguji hipotesis, dan mengambil keputusan (Nisfiannoor, 2009).
Pada  statistika  inferensia,  dapat  dibagi  ke  dalam  dua  golongan,  yaitu  statistika parametrik dan statistika nonparametrik. Statistika parametrik adalah suatu penggunaan teknik  yang  didasarkan  pada  asumsi  bahwa  data  yang  diambil  mempunyai  distribusi normal dan jenis data yang digunakan adalah data berjenis interval atau rasio. Sedangkan statistika nonparametrik adalah suatu penggunaan teknik yang tidak mengharuskan data yang diambil mempunyai distribusi normal atau jenis data yang digunakana adalah data berjenis nominal atau ordinal.
Pada  statistika  inferensia  baik  itu  statistika  parametrik  maupun  statistika nonparametrik  dapat  dilakukan  suatu  analisis  data.  Biasanya  analisis  yang  dilakukan untuk  mengetahui  hubungan  dua  variabel  atau  lebih  adalah  analisis  regresi.  Analisis regresi  sendiri  secara  umum  merupakan  alat  analisis  statistik yang  memanfaatkan hubungan  antara  dua  variabel  atau  lebih  dengan  tujuan  untuk  membuat  perkiraan  atau prediksi  yang  dapat  dipercaya  untuk  nilai  suatu  variabel  (disebut  variabel  terikat  atau dependen), jika nilai variabel lain yang berhubungan dengannya diketahui disebut sebagai variabel bebas atau independen (Qudratullah, 2013). Untuk menyelesaikan suatu analisis regresi, dapat dilakukan dengan dua model pendekatan yaitu pendekatan model regresi parametrik  dan  pendekatan  model  regresi  nonparametrik.  Pendekatan  model  regresi parametrik  sering  dilakukan,  dikarenakan  kemudahan  dalam  estimasinya  akan  tetapi, pendekatan  parametrik  sangat  terikat  dengan  asumsi-asumsi  antara  lain error berdistribusi normal, homokedastisitas , non-autokorelasi serta antara variabel dependen dan variabel independen tidak terjadi multikolinearitas. Sehingga jika suatu permasalahan dimodelkan  menggunakan  pendekatan  parametrik,  akan  tetapi  model  yang  didapatkan asumsi-asumsinya  tidak  terpenuhi,  tentunya  model  tersebut  akan  menjadi  bias  untuk digunakan.
Pada model regresi parametrik mempunyai asumsi yang sangat kaku seperti yang sudah  dijelaskan  di  atas,  dan  bentuk  kurva  regresi  telah  diketahui,  misalnya  linear, kuadratik,  kubik,  eksponensial  dan  lain-lain.  Sedangkan  dalam  regresi  nonparametrik bentuk kurva regresi tidak diketahui, data diharapkan mencari sendiri bentuk estimasinya sehingga memiliki fleksibelitas yang tinggi (Sukarsa & Srinadi, 2012) . Estimasi fungsi regresi  nonparametrik  dilakukan  berdasarkan  data  pengamatan  dengan  menggunakan teknik smoothing .  Terdapat  beberapa  teknik smoothing dalam  model  regresi nonparametrik antara lain histogram, estimator kernel, deret orthogonal, estimator spline , k-NearestNeighbor , deret fourier , dan wavelet (Eubank, 1998).
Estimasi  densitas  kernel  adalah  suatu  metode  estimasi  terhadap  fungsi  densitas yang belum diketahui dengan menggunakan fungsi kernel. Estimator Kernel merupakan pengembangan dari estimator histogram. Estimator kernel diperkenalkan oleh Rosenbalt (1956) dan Parzen (1962) sehingga disebut estimator  densitas  kernel  Rosenbalt-Parzen (Hardle,  1994).  Penghalusan  dengan  estimasi  kernel  yang  selanjutnya  dikenal  sebagai penghalusan  kernel  ( kernel  smoothing )  yang sangat bergantung pada fungsi kernel dan bandwidth (Hardle, 1994). Terdapat beberapa jenis fungsi kernel, antara lain fungsi kernel Uniform , Triangle, Epanechnikov , Kuartik, Triweight , Cosinus , dan Gaussian . Pada penelitian ini akan digunakan estimator kernel Nadaraya-Watson yang akan mengestimasi fungsi kernel. Estimator kernel Nadaraya-Watson tersebut akan diterapkan pada beberapa fungsi kernel yaitu fungsi kernel Epanechnikov dan fungsi kernel Kuartik.
Pada  penelitian  ini  akan  menunjukkan  perbedaan  hasil  yang  diperoleh  diantara  kedua fungsi kernel tersebut.
Pada  implementasinya,  penulis  mengambil  masalah  yang  dapat  diselesaikan dengan analisis regresi nonparametrik kernel dengan menggunakan estimator Nadaraya- Watson,  mengenai  permasalahan pengangguran  yang ada di  Provinsi  Sulawesi  Tengah tahun 2020. Indeks pembangunan Manusia (IPM) sendiri digunakan sebagai mengukuran kualitas hidup suatu negara atau suatu daerah. Indeks pembangunan manusia di Indonesia masih  tergolong  rendah  dibandingkan  negara-negara  di  dunia.  Sedangkan  di  provinsi Sulawesi  Tengah  sendiri,  walaupun  indeks  pembangunan  manusia  (IPM)  tahun  2020 mengalami  peningkatan  tetapi  masih  tergolong  rendah  dibandingkan  daerah-daerah lainnya di Indonesia.
Salah  satu  faktor  yang  mempengaruhi  perbedaan  IPM  antar  provinsi  adalah Pendapatan  masih  dipercaya  sebagai  indikator  mengukur  kesejahteraan  masyarakat, artinya seseorang harus bekerja untuk mendapatkan pendapatan. Pendapatan yang sampai saat  ini  belum  tergolong  sejahtera  mengakibatkan  banyaknya  persentase  penduduk miskin. Fakta yang terjadi bukannya masyarakat enggan untuk bekerja namun sulitnya mencari  pekerjaan  menyebabkan  masyarakat  tidak  bisa  memenuhi  kebutuhannya sehingga  tingkat  pengangguran  di  Indonesia  semakin  tinggi.  Pengangguran  adalah penduduk  yang  tidak  bekerja  namun  sedang  mencari  pekerjaan  atau  sedang mempersiapkan  suatu  usaha  baru  atau  penduduk  yang  tidak  mencari  pekerjaan  karena sudah diterima bekerja tetapi belum mulai bekerja.
Oleh karena itu pada penelitian  ini,  penulis ingin  melihat  bagaimana  hubungan persentase  penduduk  miskin  dan  tingkat  pengangguran  terhadap  indeks  pembangunan manusia  di  Sulawesi  Tengah  menggunakan  metode  regresi  kernel  Nadaraya-Watson dengan perbandingan regresi antara fungsi kernel normal dan fungsi kernel kuadratik.

## 2. Tinjauan Pustaka

## 2.1 Regresi Nonparametrik
Menurut  Eubank  (1988)  dalam  Fathurahman  (2011:54)  regresi  nonparametrik adalah suatu teknik analisis data yang menjelaskan  hubungan antara variabel prediktor dengan variabel respon yang tidak diketahui bentuk fungsinya. Tetapi diasumsikan mulus ( smooth )  dalam  suatu  ruang  fungsi  tertentu  sehingga  regresi  nonparametrik  sangat mempertahankan fleksibilitasnya.
Ada  beberapa  teknik smoothing yang  digunakan  dalam  metode  nonparametrik antara lain: estimator histogram, kernel, deret orthogonal, spline, k- NN, deret fourier, dan wavelet (Komang dan Gusti, 2012).
Model regresi nonparametrik secara matematis dapat ditulis:
𝑦 = 𝑚(𝑥) + 𝜀
(1) keterangan: 𝑦 =  variabel respon 𝑚 ( 𝑥 )  =  fungsi regresi nonparametrik yang memuat variabel prediktor 𝜀 = error (galat) absolute, dirumuskan dengan 𝜀 = 𝑦 − 𝑚 ( 𝑥 ). Jika tanda error (positif atau  negatif)  tidak  dipertimbangkan  maka  diperoleh error mutlak  sebagai berikut: | 𝜀 | = | 𝑦 − 𝑚 ( 𝑥 ) |

## 2.2 Estimator Kernel
Estimator  kernel  merupakan  pengembangan  dari  estimator  histogram.  Suatu histogram  disusun  dengan  meletakkan  titik-titik  data  ke  dalam  suatu  bin atau kelas. Setiap  bin  dinyatakan  secara  grafik  oleh  segiempat  dengan  lebar  sama  dan  tinggi proporsional  dengan  banyaknya  titik-titik  data  yang  terletak  dalam  bin  tersebut (Adisantoso, 2010 dalam Kurniasih, 2013). Estimator kernel ini umum digunakan dalam model  pendekatan  nonparametrik.  Hal  ini  disebabkan  estimator  densitas  mempunyai beberapa kelebihan, yaitu:
a. Estimator  kernel  mempunyai  bentuk  yang  fleksibel  dan  secara  matematik  mudah dikerjakan.
b. Estimator  kernel  mempunyai  rata-rata  kekonvergenan  yang  relatif  cepat  (Hardle, 1990).
Estimator kernel ini disebut estimator densitas kernel Rosenblatt-Parzen karena dikenalkan  pertama  kali  oleh  Parzen  (1962)  dan  Rosenblatt  (1956)  (Klemela,  1957). Menurut  Eubank  (1998)  pada  dasarnya  estimator  kernel  sama  dengan  estimator  linier lainnya hanya saja metode kernel lebih khusus dalam penggunaan metode bandwidth . Menurut  Halim  dan  Bisono  (2006:75)  estimator  kernel  dibagi  menjadi  tiga macam, yaitu:
a. Estimator Nadaraya-Watson
𝑚 ̂ (𝑥) = ∑ 𝐾 𝑛 𝑖=1 ( 𝑥−𝑋𝑖 ℎ )𝑌 𝑖 ∑ 𝐾 𝑛 𝑖=1 ( 𝑥−𝑋𝑖 ℎ ) (2)
b. Estimator Priestley-Chao
𝑚 ̂ (𝑥) = 1 ℎ ∑ (𝑥 − 𝑥 𝑖−1 )𝑌 𝑖 𝑛 𝑖=1 𝐾 ( 𝑥−𝑋 𝑖 ℎ ) (3)
c. Estimator Gasser-Muller
𝑚 ̂ (𝑥) = 1 ℎ ∑ 𝑌 𝑖 ∫ 𝐾 ( 𝑥−𝑋 𝑖 ℎ ) 𝑠 𝑖 𝑠 𝑖−1 𝑑𝑥 𝑛 𝑖=1
(4)
Dimana : 𝑠 0 = 0
𝑠 0 = ( 𝑥 𝑖 +𝑥 𝑖+1 2 ) 𝑖 = 1, … , 𝑛 − 1 dan 𝑠 𝑛 = 1
Keterangan: 𝑚 ̂ (𝑥) =  fungsi taksiran regresi 𝑌 𝑖 =  variabel respon pada data ke-i
𝑋 𝑖 =  variabel prediktor pada data ke-i
K =  fungsi kernel
𝑛 =  ukuran sampel/banyaknya sampel
ℎ = bandwidth atau smoothing parameter .

## 2.3 Fungsi Kernel
Suatu  fungsi  kernel  harus  merupakan  fungsi  kontinyu,  berharga  riil, simetris, dan  terbatas.  Menurut  Hardle  (1994),  secara  umum  fungsi  kernel didefinisikan sebagai berikut:
𝐾 ℎ (𝑥) = 1 ℎ 𝐾 ( 𝑥 ℎ ) (5) 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 − ∞ < 𝑥 < ∞, ℎ > 0
Dengan : K =  fungsi kernel ℎ = bandwidth atau smoothing parameter
Fungsi kernel di atas harus memenuhi beberapa syarat, yaitu:
(i) 𝐾(𝑥) ≥ 0, untuk semua 𝑥
(ii) ∫ 𝐾(𝑥)𝑑𝑥 = 1 ∞ −∞
(iii) ∫ 𝑥 2 𝐾(𝑥)𝑑𝑥 = 𝜎 2 > 0 ∞ −∞
(iv) ∫ 𝑥𝐾(𝑥)𝑑𝑥 = 0 ∞ −∞
Pada  estimator  kernel  terdapat  beberapa  fungsi  kernel  yang  umum digunakan untuk estimasi data, seperti pada tabel berikut.
Tabel 1. Fungsi-fungsi Kernel No Kernel K (x) 1 Uniform 1 2 𝐼(|𝑥| ≤ 1) 2 Segitiga (Triangle) (1 − |𝑥|)𝐼(|𝑥| ≤ 1) 3 Epanechnikov 3 4 (1 − 𝑥 2 ) 2 𝐼(|𝑥| ≤ 1) 4 Kuadrat (Quartik) 15 16 (1 − 𝑥 2 ) 2 𝐼(|𝑥| ≤ 1) 5 Triweight 35 32 (1 − 𝑥 2 ) 3 𝐼(|𝑥| ≤ 1) 6 Gaussian 1 √2𝜋 𝑒𝑥𝑝 ( 1 2 (−𝑥)) − ∞ < 𝑥 < ∞
7 Cosinus 𝜋 4 𝑐𝑜𝑠 ( 𝜋 2 𝑥) 𝐼(|𝑥| ≤ 1) 8 Tricube 70 81 (1 − |𝑥| 3 ) 3 𝐼(|𝑥| ≤ 1) 9 Logistik 1 𝑒 𝑥 + 2 + 𝑒 −𝑥
(Sumber: Indrayanti, 2004)
Pada  estimator  kernel  terdapat  beberapa  fungsi  kernel  yang  umum  digunakan untuk estimasi data, salah satunya fungsi kernel normal dan fungsi kernel kuadratik.

## 2.4 Regresi Kernel
Salah  satu  metode  untuk  mengestimasi  model  regresi  nonparametrik  adalah regresi kernel. Regresi kernel merupakan teknik statistik nonparametrik untuk menaksir nilai ekspektasi bersyarat dari suatu variabel acak. Nilai ekspektasi umumnya dinotasikan dengan 𝐸 ( 𝑌 | 𝑋 ). Regresi kernel bertujuan untuk mendapatkan hubungan nonlinier antara variabel 𝑋 dan 𝑌 .
Salah  satu  teknik  regresi  nonparametrik yang  sering digunakan untuk menaksir fungsi regresi 𝑚 ( 𝑥 ) adalah dengan menggunakan estimator Nadaraya- Watson. Estimator ini  diperoleh  dengan  menggunakan  metode  penaksiran  fungsi  densitas  kernel.  Fungsi densitas peluang bersama 𝑓 ( 𝑥 , 𝑦 ) diduga dengan perkalian kernel sebagai berikut :
𝑓̂(𝑥, 𝑦) = 𝑓̂ ℎ1ℎ2 (𝑥, 𝑦) = 1 𝑛 ∑ 𝐾 ℎ1 (𝑥 − 𝑋 𝑖 )𝐾 ℎ2 (𝑦 − 𝑌 𝑖 ) 𝑛 𝑖=1 (6)
Taksiran  penyebut  pada  persamaan  Nadaraya-Watson  dapat  diperoleh  dari integral fungsi kepadatan bersama 𝑓 ( 𝑥 , 𝑦 ):
∫ 𝑦 𝑓̂(𝑥, 𝑦) 𝑑𝑦 = 1 𝑛 ∑ 𝐾 ℎ1 (𝑥 − 𝑋 𝑖 ) ∫ 𝑦 𝐾 ℎ2 (𝑦 − 𝑌 𝑖 )𝑑𝑦 𝑛 𝑖=1 = 1 𝑛 ∑ 𝐾 ℎ1 (𝑥 − 𝑋 𝑖 ) ∫ 𝑦 ℎ2 𝐾 ( (𝑦−𝑌 𝑖 ) ℎ 2 ) 𝑑𝑦 𝑛 𝑖=1 = 1 𝑛 ∑ 𝐾 ℎ1 (𝑥 − 𝑋 𝑖 ) ∫(𝑠ℎ 2 + 𝑌 𝑖 )𝐾(𝑠)𝑑𝑠 𝑛 𝑖=1 = 1 𝑛 ∑ 𝐾 ℎ1 (𝑥 − 𝑋 𝑖 )𝑌 𝑖 𝑛 𝑖=1 (7)
dimana ∫(𝑠ℎ 2 + 𝑌 𝑖 )𝐾(𝑠)𝑑𝑠 = 𝑌 𝑖 (Kartika, 2000 dalam Indrayanti, 2014). Sedangkan taksiran penyebutnya adalah taksiran kepadatan kernel. Sehingga dari kombinasi  kedua  taksiran  probabilitas  bersyarat  pada  persamaan  akan  diperoleh persamaan Nadaraya-Watson, yaitu:
𝑚 ̂ (𝑥) = 1 𝑛 ∑ 𝐾 ℎ (𝑥−𝑋 𝑖 )𝑌 𝑖 𝑛 𝑖=1 1 𝑛 ∑ 𝐾 ℎ (𝑥−𝑋 𝑖 ) 𝑛 𝑖=1 (8)
Dimana
∑ 𝐾 ℎ 𝑛 𝑖=1 (𝑥 − 𝑋 𝑖 ) = ∑ 𝐾 𝑛 𝑖=1 ( 𝑥−𝑋 𝑖 ℎ ) (9)
Sehingga
𝑚 ̂ (𝑥) = ∑ 𝐾( 𝑥−𝑋𝑖 ℎ )𝑌 𝑖 𝑛 𝑖=1 ∑ 𝐾( 𝑥−𝑋𝑖 ℎ ) 𝑛 𝑖=1 (10)
dengan 𝐾 adalah fungsi kernel dan h adalah bandwidth atau smoothing parameter dan pengontrol kemulusan (Halim dan Bisono, 2006).
Kemudian  disubstitusikan sehingga menjadi :
𝑦 = ∑ 𝐾( 𝑥−𝑋𝑖 ℎ )𝑌 𝐼 𝑛 𝑖=1 ∑ 𝐾( 𝑥−𝑋𝑖 ℎ ) 𝑛 𝑖=1 + 𝜀
(11)

## 2.5 Pemilihan Bandwidth Optimun
Bandwidth dinotasikan  dengan ℎ adalah  konstanta  positif  untuk  menentukan kemulusan  dari  kurva  taksiran  regresi.  Dengan  memilih bandwidth yang  mendekati  0 maka taksiran yang didapatkan tidak mulus bahkan akan menonjolkan plot datanya saja.
Pada regresi kernel pemilihan bandwidth jauh lebih penting daripada pemilihan fungsi kernel. Jika bandwidth yang dipilih terlalu kecil maka akan menghasilkan estimasi kurva  kurang  mulus  ( under-smoothing ),  sebaliknya  jika bandwidth terlalu  besar  maka akan  menghasilkan  estimasi  kurva  sangat  mulus  ( over-smoothing )  yang  tidak  sesuai dengan  pola  sebaran  data.  Sehingga  harus  dipilih  nilai bandwidth yang  optimum  agar dihasilkan estimasi terbaik.
Terdapat beberapa metode yang digunakan dalam pemilihan bandwidth optimum, salah satunya adalah menggunakan kriteria Generalized Cross Validation (GCV) (Galub, dkk, 1979), didefinisikan dengan:
𝐺𝐶𝑉 = 𝑀𝑆𝐸 ( 1 𝑛 𝑡𝑟(𝐼−𝐻(ℎ))) 2 (12)
dengan n = banyaknya data I = matriks identitas h = bandwidth X = matriks data H(h)  = 𝑋(𝑋 ′ 𝑋 + 𝑛ℎ𝑙) −1 𝑋 ′
MSE = 1 𝑛 ∑ (𝑦 𝑖 − 𝑚 ℎ (𝑥 𝑖 )) 𝑛 𝑖=1 2
Menurut Komang dan Gusti (2012), kebaikan suatu estimator dapat dilihat dari tingkat  kesalahannya.  Terdapat  beberapa  kriteria  untuk  menentukan  estimator terbaik dalam model regresi nonparametrik, di antaranya:
a. Mean Square Error (MSE)
Untuk  mengukur error biasanya  digunakan Mean  Square  Error .  Estimator  terbaik dipilih berdasarkan nilai MSE terkecil. Mean Square Error (MSE) adalah rata-rata dari kuadrat kesalahan.
𝑀𝑆𝐸 = 1 𝑛 ∑ 𝑒 𝑖 2 = 1 𝑛 ∑ (𝑦 𝑖 − 𝑦̂ 𝑖 ) 2 𝑛 𝑖=1 𝑛 𝑖=1
(13)
b. Root Mean Square Error (RMSE)

## 𝑅𝑀𝑆𝐸 = √𝑀𝑆𝐸
(14)
c. Mean Absolute Deviation (MAD)
𝑀𝐴𝐷 = 1 𝑛 ∑ |𝑒 𝑖 | = 1 𝑛 𝑛 𝑖=1 ∑ |𝑦 𝑖 − 𝑦̂ 𝑖 | 𝑛 𝑖=1 (15)
Keterangan: n  = banyaknya data 𝑦 𝑖 = data sebenarnya 𝑦 𝑖 ̂ = nilai prediksi daro variabel 𝑦 𝑖

## 2.6 Indeks Pembangunan Manusia
Indeks  pembangunan  manusia  merupakan  indikator  strategis  yang  banyak digunakan untuk melihat upaya dan kinerja program pembangunan secara menyeluruh di suatu  wilayah.  Dalam  hal  ini  IPM  dianggap  sebagai  gambaran  dari  hasil  program pembangunan  yang  telah  dilakukan  beberapa  tahun  sebelumnya.  Demikian  juga kemajuan program pembangunan dalam suatu periode dapat diukur dan ditunjukkan oleh besaran IPM pada awal dan akhir periode tersebut (Saputra, 2011). Indeks pembangunan manusia (IPM) atau Human Development Index (HDI) adalah pengukuran perbandingan dari  harapan  hidup,  melek  huruf,  pendidikkan  dan  standar  hidup  untuk  semua  negara seluruh  dunia.  Indeks  pembangunan  manusia  digunakan  untuk  mengklasifikasikan apakah sebuah negara adalah negara maju, negara berkembang atau negara terkebelakang dan juga untuk mengukur pengaruh dari kebijaksanaan ekonomi terhadap kualitas hidup.

## 2.7 Persentase Penduduk Miskin
Penduduk  Miskin  adalah  penduduk  yang  memiliki  rata-rata  pengeluaran  per kapita per bulan dibawah garis kemiskinan. Daerah tertinggal (atau Kabupaten tertinggal) adalah  daerah  kabupaten  yang  wilayah  serta  masyarakatnya  kurang  berkembang dibandingkan dengan daerah lain dalam skala nasional. Kemiskinan dipandang sebagai ketidakmampuan dari sisi ekonomi untuk memenuhi kebutuhan dasar makanan dan bukan makanan  yang  diukur  dari  sisi  pengeluaran.  Daerah/kabupaten  tertinggal  ditetapkan berdasarkan  kriteria  sebagai  berikut:  1.  Perekonomian  masyarakat  2.  Sumber  daya manusia  3.  Sarana  dan  prasarana  4.  Kemampuan  keuangan  daerah  5.  Aksesibilitas  6. Karakteristik daerah.

## 2.8 Pengangguran
Pengangguran adalah seseorang yang sudah digolongkan dalam angkatan kerja, yang secara aktif sedang mencari pekerjaan pada suatu tingkat upah tertentu, teteapi tidak dapat  memperoleh  pekerjaan  yang  diinginkannya  (Sukirno  :2010).  Sedangkan pengangguran terbuka dapat berarti angkatan kerja yang belum bekereja dan sedang aktif mencari pekerjaan (Masriah dan Muhahid, 2011: 54).

## 3. Metode Penelitian

## 3.1 Data dan Sumber Data
Data  yang  digunakan  dalam  penelitian  ini  merupakan  data  sekunder  yang bersumber dari Badan Pusat Statistik (BPS) Sulawesi Tengah. Data tersebut merupakan
Vol. 3 No. 1 Januari 2022
data  Indeks  Pembangunan  Manusia,  Tingkat  Pengangguran  Terbuka  dan  Persentase Penduduk Miskin di Sulawesi Tengah pada Tahun 2020. Adapun datanya sebagai berikut:
Tabel 2. Data Indeks Pembangunan Manusia, Persentase Penduduk Miskin dan
Tingkat Pengangguran terbuka di Sulawesi Tengah Tahun 2020 Kabupaten/Kota Y X 1 X 2 Banggai Kepulauan 65,42 14,04 72,97 Banggai 70,52 7,39 69,79 Morowali 72,21 13,43 64,70 Poso 71,28 15,45 74,78 Donggala 65,56 17,39 63,93 Toli-toli 65,69 12,85 65,95 Buol 67,82 13,93 69,75 Parigi Moutong 65,44 15,85 72,50 Tojo Una-una 64,59 16,39 75,33 Sigi 68,12 12,45 69,24 Banggai Laut 65,43 14,60 67,20 Morowali Utara 68,36 14,10 69,85 Kota Palu 81,47 6,80 66,46 Keterangan :
Y  = Indeks Pembangunan Manusia X 1 = Persentase Penduduk Miskin X 2 = Tingkat Pengangguran terbuka

## 3.2 Variabel Penelitian
Pada penelitian ini menggunakan dua variabel yakni variabel respon dan variabel prediktor sebagai berikut:
Varibel Definisi Operasional Skala Variabel Respon (Y) Indeks Pembangunan Manusia (IPM) Menurut Kabupaten/Kota Provinsi Sulawesi Tengah 2020 Rasio Varibel Prediktor ( 𝑋 1 ) Penduduk Miskin(%)Menurut Kabupaten/Kota Provinsi Sulawesi Tengah 2020 Rasio Varibel Prediktor ( 𝑋 2 ) Tingkat Pengangguran Terbuka (TPT) Menurut Kabupaten/Kota Provinsi Sulawesi Tengah 2020 Rasio

## 3.3 Analisis Data
Pada penelitian ini menggunakan Analisis Kuantitatif karena data yang digunakan adalah Data Sekunder yang diperoleh dari Publikasi BPS Sulawesi Tengah Tahun 2020. Metode Analisis yang digunakan yaitu Statistika Deskriptif, selain itu metode selanjutnya menggunakan Analisis Regresi Statistika Nonparametrik Regresi Kernel.

## 3.4 Kerangka Pikir
Pada penelitian ini menggunakan Analisis Kuantitatif karena data yang digunakan adalah Data Sekunder yang diperoleh dari Publikasi BPS Sulawesi Tengah Tahun 2020. Metode Analisis yang digunakan yaitu Statistika Deskriptif, selain itu metode selanjutnya menggunakan Analisis Regresi Statistika Nonparametrik Regresi Kernel.

## Gambar 1. Kerangka Pikir

## 4. Hasil dan Pembahasan

## 4.1 Statistik Deskriptif

## Tabel 3. Statistik Deskriptif
Minimum Median Mean Maximum 𝑌 64.59 67.82 68.61 81.47 𝑋 1 6.80 14.04 13.44 17.39 𝑋 2 63.93 69.75 69.42 75.33
Berdasarkan  output  di  atas,  untuk  Persentase  Indeks  Pembanguanan  Manusia memiliki  rata-rata  sebesar  68.61%.  Untuk  Persentase  Indeks  Pembanguanan  Manusia terendah  adalah Kabupaten Tojo  Una-Una yaitu  64.59%, sedangkan Persentase  Indeks Pembanguanan Manusia tertinggi adalah Kota Palu yaitu 81.47%. Pada data Presentase Penduduk Miskin memiliki rata-rata sebesar 13.44%. Data Presentase Penduduk Miskin terendah  berada  pada  Kota  Palu  yaitu  sebesar  6.80%,  sedangkan  Presentase  Penduduk Miskin  tertinggi  adalah  Kabupaten  Donggala  yaitu  17.38%.  Untuk  data  Persentase Tingkat  Pengangguran  Terbuka  rata–rata  sebesar  69.42%,  dengan  Persentase  Tingkat Pengangguran Terbuka terendah adalah Kabupaten Donggala yaitu 63.93%, sedangkan Persentase  Tingkat  Pengangguran  Terbuka  tertinggi  adalah  Kabupaten  Tojo  Una-Una yaitu sebesar 75.33%.

## 4.2 Bandwidth Optimum

## Tabel 4. Nilai Bandwidth Optimum
Jenis Metode CV Bandwidth R-Square MSE 𝑋 1 CV.AIC CV.LS 2.825092 3.294538 0.5643457 0.5644725 1.523095 1.369349 𝑋 2 CV.AIC CV.LS 35230241 31240304 0.09443642 0.001502402 1.331878 1.96234
Berdasarkan tabel di atas, dapat dilihat bahwa nilai MSE pada 𝑋 1 dan 𝑋 2 dengan metode CV.AIC adalah sebesar 1.523095 dan 1.331878, sedangkan nilai MSE pada 𝑋 1 dan 𝑋 2 dengan metode CV.LS sebesar 1.369349 dan 1.96234. Untuk melihat bandwidth optimal untuk 𝑋 1 dan 𝑋 2 dapat dilakukan dengan melihat nilai MSE terkecil. Untuk model terbaik  pada 𝑋 1 dengan  nilai  MSE  terekecil  yaitu  pada  metode  CV.LS  dengan  nilai bandwidth sebesar 1.369349, dan ntuk model terbaik pada 𝑋 2 dengan nilai MSE terekecil yaitu pada metode CV.AIC dengan nilai bandwidth sebesar 1.331878.

## 4.3 Perbandingan Fungsi Kernel Normal dan Fungsi Kernel Kuadratik

## Tabel 5. Nilai Bandwidth Optimum
Normal Kuadratik 𝑋 1 1.085826 2.847704 𝑋 2 2.736757 7,177462
Gambar 2. Smoothing With Kernel Persentase Penduduk Miskin
Berdasarkan  plot  hasil  estimasi  variabel  Presentase  Penduduk  Miskin  untuk fungsi  Kernel  Normal  dan  fungsi  Kernel  Kuadratik  dengan  menggunakan  bandwidth optimal, garisnya menunjukkan sedikit perbedaan dan berjauhan dititik puncak sehingga dapat dikatakan bahwa penggunaan Fungsi kernel yang berbeda dengan bandwidth yang optimal  untuk  masingmasing  fungsi  kernel  tersebut  akan  menghasilkan  estimasi  kurva yang berbeda.

## Gambar 2. Smoothing With Kernel Tingkat Pengangguran terbuka
Berdasarkan  plot  hasil  estimasi  variabel  Pengangguran  untuk  fungsi  Kernel Normal dan fungsi Kernel Kuadratik dengan menggunakan bandwidth optimal, garisnya sangat  berhimpit  sehingga  dapat  dikatakan  bahwa  penggunaan  Fungsi  kernel  yang berbeda  dengan  bandwidth  yang  optimal  untuk  masing-masing  fungsi  kernel  tersebut akan menghasilkan estimasi kurva yang sama.

## 5. Kesimpulan
a. Estimasi densitas kernel adalah suatu metode estimasi terhadap fungsi densitas yang belum  diketahui  dengan  menggunakan  fungsi  kernel.  Estimator  Kernel  merupakan pengembangan  dari  estimator  histogram.  Estimator  kernel  diperkenalkan  oleh Rosenbalt  (1956)  dan  Parzen  (1962)  sehingga  disebut  estimator  densitas  kernel Rosenbalt-Parzen  (Hardle,  1994).  Penghalusan  dengan  estimasi  kernel  yang selanjutnya  dikenal  sebagai  penghalusan  kernel  ( kernel  smoothing )  yang  sangat bergantung pada fungsi kernel dan bandwidth (Hardle, 1994). Terdapat beberapa jenis fungsi  kernel,  antara  lain  fungsi  kernel Uniform , Triangle,  Epanechnikov ,  Kuartik, Triweight , Cosinus , dan Gaussian .
b. Dalam  regresi  kernel  yang  terpenting  adalah  pemilihan  nilai  bandwidth  optimal, bukan  pemilihan  fungsi  kernel.  Karena  penggunaan  fungsi  kernel  yang  berbeda dengan  nilai  bandwidth  optimal  menghasilkan  estimasi  kurva  yang  hampir  sama. Pada kasus ini, Untuk model terbaik pada 𝑋 1 dengan nilai MSE terekecil yaitu pada metode  CV.LS  dengan  nilai  bandwidth  sebesar  1.369349,  dan  ntuk  model  terbaik pada 𝑋 2 dengan  nilai  MSE  terekecil  yaitu  pada  metode  CV.AIC  dengan  nilai bandwidth sebesar 1.331878.

## Daftar Pustaka
Abdullah. 2003. Tafsir Ibnu Katsir, Jilid 4. Terjemahan M. Abdul Ghoffar E.M. Bogor:
Pustaka Imam Asy-Syafi‟i.
Abdullah.  2004a.  Tafsir  Ibnu  Katsir,  Jilid  5.  Terjemahan  M. Abdul  Ghoffar  E.M, dkk. Bogor: Pustaka Imam Asy-Syafi‟i.
Abdullah.  2004b.  Tafsir  Ibnu  Katsir,  Jilid  6.  Terjemahan  M.  Abdul  Ghoffar  E.M dan Abu Ihsan Al-Atsari. Bogor: Pustaka Imam Asy-Syafi‟i.
Abdullah.  2004c.  Tafsir  Ibnu  Katsir,  Jilid  8.  Terjemahan  M.  Abdul  Ghoffar  E.M dan Abu Ihsan Al-Atsari. Bogor: Pustaka Imam Asy-Syafi‟i. Ad-Dimasyqi, A.. 2000. Tafsir Ibnu Katsir (Juz 6). Jakarta: Sinar Baru Algensindo. Al-Jazairi,  S..  2007.  Tafsir  Al-Qur’an  Al-Aisar  Surat:  Al-A’raaf-Yusuf  (Jilid  3).
Jakarta: Darus Sunnah Press.
Al-Jazairi,  S..  2008.  Tafsir  Al-Qur’an  Al-Aisar  Surat:  Al-Mu’minuun-Al-Ahzab (Jilid
5). Jakarta: Darus Sunnah Press.
Al-Jazairi,  S..  2009.  Tafsir  Al-Qur’an  Al-Aisar  Surat:  Saba’-Al-Hujuraat  (Jilid  6). Jakarta: Darus Sunnah Press.
Dasuki, H. dan Dahlan, Z.. 1995. Al-Qur’an dan Tafsirnya. Yogyakarta: PT. Dana Bhakti Wakaf.
Eubank, R.. 1998. Spline Smoothing and Nonparametric Regression. New York: Marcel Dekker.
Fathurahman, M.. 2011.  Estimasi Parameter Model Regresi Spline.  Jurnal eksponensial 2 (1): 2085–7829.
Fox,  C.G..  2009. Solar-Geophysical  Data  (January  2009  Number  773-Part  I). (Online), (http://www. ngdc.noaa.gov), diakses 18 Juli 2014.
Galub, G.H., Heath, M., dan Wahba, G.. 1979. Generalized Cross-Validation as a Method for Choosing a Good Ridge Parameter. Technometrics, 21 (2): 215–223 .
Halim,  S.  dan  Bisono,  I..  2006.  Fungsi-Fungsi  Kernel  pada  Metode  Regresi Nonparametrik  dan  Aplikasinya  pada  Priest  River  Experimental  Forest’s  Data. Jurnal Teknik Industri, 8 (1): 73–81.
Hardle, W.. 1990. Smoothing Techniques with Implementation in S. New York: Springer Verlag.
Hardle,  W..  1994.  Applied  Nonparametric  Regression.  Cambridge:  Cambridge University Press.
http://diomishinegi.blogspot.co.id/2014/02/pengertian dan penjelasan ipm indeks Indrayanti,  A.I..  2014.  Estimator  Kernel  Cosinus  dan  Kernel  Gaussian  dalam  Model Regresi Nonparametrik pada Data Butterfly Diagram Siklus Aktivitas ke-23 (Studi Kasus  di  BPD  LAPAN  Watukosek).  Skripsi  tidak  dipublikasikan.  Malang:  UIN Maulana Malik Ibrahim Malang.
Kaufmann,  W.J..  1978.  Exploration  of  The  Solar  System.  New  York:  Macmillan Publishing Co.
Klemela, J.. 1965.  Multivariate Nonparametric Regession and Visualization with R and Applications to Finance. Finland: Wiley.
Komang, G. dan Gusti, A.. 2012. Estimator Kernel dalam Model Regresi Nonparametrik. Jurnal Matematika, 2 (1): 19–30.
Kurniasih,  D..  2013.  Efisiensi  Relatif  Estimator  Fungsi  Kernel  Gaussian  terhadap Estimator  Polinomial  dalam  Peramalan  USD  terhadap  JPY.  Skripsi  tidak dipublikasikan. Semarang: Universitas Negeri Semarang.
Nugraha, N..  2009.  Regresi  Polinomial  Lokal.  Skripsi  tidak  dipublikasikan. Depok: Universitas Indonesia.
Puspitasari, I., Suparti, dan Wilandari, Y.. 2012. Analisis Indeks Harga Saham Gabungan (IHSG) dengan Menggunakan Model Regresi Kernel. Jurnal Gaussian, 1 (1): 93– 102.
Saputra,  2011.  Analisis  Pengaruh  Jumlah  Penduduk,  PDRB,  IPM,  Pengangguran Terhadap Tingkat Kemiskinan Di Jawa Tengah. Skripsi, Universitas Diponegoro.
Sudarno.  2011.  Pemulusan  Sebaran  Data  Menggunakan  Penaksiran  Kernel  Nadaraya- Watson  dan  Linier  Lokal  untuk  Kernel  Normal.  Prosiding  Seminar  Nasional Statistik.
Volvacea,  V..  2012.  Klasifikasi  dan  Perubahan  Jumlah  Sunspot  Diamati  dari Laboratorium Astronomi Jurusan Fisika FMIPA UM pada Bulan Agustus– Oktober 2012. Jurnal Fisika, 1 (1): 1–6.