## METODE SECANT HALLEY NEWTON BEBAS TURUNAN KEDUA DENGAN ORDE KONVERGENSI ENAM DAN KONVERGENSI EMPAT
Djihad Wungguli 1 , Ghivahri Sidik Mokoagow 2 , Nurwan 3 , Agusyarif Rezka Nuha 4 1,2,3,4 Universitas Negeri Gorontalo, Jl. Jendral Sudirman No.6, Kota Gorontalo, Indonesia Email: djihad@ung.ac.id

## ABSTRACT
This study aims to combine the second derivative-free Halley method with the Secant method and combine the Halley predictor-corrector  modification  method  with  the  Secant  method.  A  combination  of  new  methods  is  introduced  as  the Secant-Halley method and the Secant-Halley-Newton method. Further, the Secant-Halley method has a total evaluation of functions four times per iteration, while the Secant-Halley-Newton method has a total evaluation of functions five times per iteration. Analytically, the order of convergence of the two methods is shown. The Secant-Halley method has a four- order  convergence  and  the  Secant-Halley-Newton  method  has  a  six-order  convergence.  The  Secant-Halley  method efficiency index is also obtained, which is 1,414 and the Secant-Halley-Newton method efficiency index is 1,431. Based on computational tests, these two proposed methods are able to match the compared methods. The Secant-Halley method is comparable to the combination of other Newton variance methods with the Secant method. The Secant-Halley-Newton method is superior in terms of speed of convergence, but often evaluates the functions..
Keywords: Halley method, newton method, order of convergence, secant method, efficiency index

## ABSTRAK
Artikel ini membahas varian metode Secant Halley bebas turunan kedua yang merupakan hasil kombinasi metode Jisheng dengan metode Secant serta metode modifikasi prediktor – korektor Halley (New Halley-Newton) dengan metode Secant. Metode baru yang dihasilkan adalah metode Secant-Halley dengan orde konvergensi empat dan metode  Secant-New Halley-Newton dengan orde konvergensi enam. Metode Secant-Halley memiliki total evaluasi fungsi sebanyak empat kali per iterasi, sedangkan metode Secant-New Halley-Newton memiliki total evaluasi fungsi sebanyak lima kali per iterasi dengan indeks efisiensi sebesar 1.414 untuk metode Secant-Halley dan sebesar 1.431 untuk metode Secant -New Halley- Newton.  Selanjutnya  dari  hasil  uji  komputasi  menunjukkan  bahwa  metode  Secant-Halley  setara  dengan  metode pembanding, dan metode Secant-New Halley Newton lebih baik dari metode pembanding. Adapun yang menjadi metode pembanding diantaranya metode Newton, metode Halley, metode modifikasi prediktor-korektor Halley, metode Secant Trapesium Newton, metode Secant MidPoint Newton, dan metode Secant Inverse Newton.
Kata kunci: Metode halley, metode secant, metode newton, orde konvergensi, indeks efisiensi
Dikirim: 22 Juli 2021; Diterima: 22 Januari 2022 ; Dipublikasikan: 30 Maret 2022 Cara sitasi: Wungguli, D., Mokoagow, G. S., Nurwan, N., & Nuha, A. R. (2022). Varian metode secant halley newton bebas turunan kedua dengan orde konvergensi enam dan konvergen empat. Teorema: Teori dan Riset Matematika, 7 (1), 43-52. DOI: http://dx.doi.org/10.25157/teorema.v7i1.5669
• 44 Teorema : Teori dan Riset Matematika , 7 (1), 43 – 52, Maret 2022

## PENDAHULUAN
Kesulitan yang sering dijumpai dalam masalah matematika atau matematika terapan adalah menemukan  solusi  persamaan  non  linear  dari  bentuk 𝑓(𝑥) = 0 .  Secara  analitik,  persamaan  ini terkadang sulit diselesaikan sehingga memerlukan suatu pendekatan atau metode secara komputasi numerik.  Penyelesaian  secara  numerik  dilakukan  apabila  persamaan  nonlinear  tidak  dapat diselesaikan  secara  analitik  (Utami et  al .,  2013).  Menentukan  solusi  persamaan nonlinear dapat menggunakan  berbagai  metode  diantaranya  metode  Newton,  metode  Halley  dan  metode  Secant. Metode Newton merupakan salah satu metode terbuka untuk menentukan solusi akar dari persamaan nonlinear  (Haqueqy et al ., 2016).
Metode Newton mengalami beberapa modifikasi dan menghasilkan beberapa varian metode Newton, diantaranya metode Trapesium Newton (Weerakoon & Fernando, 2000),  metode Midpoint Newton (Frontini & Sormani, 2003),  metode Harmonik Newton dan metode Aritmatik Newton (Özban, 2004). Modifikasi lain dari metode Newton dapat dilihat pada (Zhou, 2007), (Singh, 2009), (Rahimi, et al. , 2011), (Kumar et al ., 2013), dan (McDougall & Wotherspoon, 2014) .
Selain  itu,  penelitian  yang  berkaitan  dengan  kombinasi  metode  Varian  Newton  dengan metode  Secant    dilakukan  oleh  (Jain,  2013)  dengan  menggunakan  formula  yang  dikembangkan (Wang, 2011) ditunjukkan pada Persamaan (1).
𝑥 𝑛 = 𝑥 𝑛 − 𝑓(𝑥 𝑛 ) (1 − 𝛽)𝑓 ′ (𝑥 𝑛 ) + 𝛽𝑓′(𝑥 𝑛 )/2𝛽𝑓′(𝑥 𝑛 )) (1)
Untuk 𝛽 = 1 2 memberikan bentuk metode Trapesium Newton, dan 𝛽 = 1 memberikan bentuk metode Midpoint Newton.  (Jain, 2013) melakukan kombinasi metode Varian Newton Persamaan (1) dengan metode Secant Persamaan (2).
𝑥 𝑛+1 = 𝑥 𝑛 − 𝑥 𝑛 − 𝑥 𝑛 𝑓(𝑥 𝑛 ) − 𝑓(𝑥 𝑛 ) 𝑓(𝑥 𝑛 ) (2)
menghasilkan metode Secant-Trapesium-Newton dan Secant-Midpoint-Newton. Apabila Persamaan (1) didasari pada fungsi invers maka diperoleh:
𝑥 𝑛+1 = 𝑥 𝑛 − 𝑓(𝑥 𝑛 ) [ 1 − 𝛽 𝑓′(𝑥 𝑛 ) + 𝛽 𝑓′(𝑥 𝑛 − 𝑓(𝑥 𝑛 )/2𝛽𝑓′(𝑥 𝑛 ) ] (3)
untuk 𝛽 = 1 2 memberikan bentuk metode Invers Newton. (Jain, 2013) melakukan kombinasi metode pada Persamaan (3) dengan 𝛽 = 1/2 , menghasilkan metode Secant-Invers-Newton dengan orde konvergensi empat.
Selain metode Newton, metode Halley juga merupakan metode iteratif yang cukup populer dikarenakan metode Halley memiliki orde konvergensi tiga. Akan tetapi dalam penerapannya, metode Halley  mengandung  turunan  kedua.  Sejumlah  metode  varian  Halley  bebas  turunan  kedua  telah diusulkan oleh (Han et al ., 2010). Selain itu, penelitian metode Halley bebas turunan juga dilakukan oleh  (Jisheng et  al .,  2006)  yaitu  dengan  mengaproksimasi  turunan  kedua  pada  metode  Halley menggunakan pendekatan deret taylor dengan bantuan metode Newton dengan suatu parameter 𝜃 , dengan 𝜃  ∈  𝑅 , 𝜃 ≠ 0 memberikan metode
𝑦 𝑛 = 𝑥 𝑛 − 𝜃𝑓(𝑥 𝑛 ) 𝑓 ′ (𝑥 𝑛 ) 𝑥 𝑛+1 = 𝑥 𝑛 − 𝜃 2 𝑓(𝑥 𝑛 ) (𝜃 2 − 𝜃 + 1)𝑓 ′ (𝑥 𝑛 ) − 𝑓(𝑦 𝑛 ) 𝑓(𝑥 𝑛 ) 𝑓′(𝑥 𝑛 ) } (4)
Untuk 𝜃 = 1 diperoleh
𝑥 𝑛+1 = 𝑥 𝑛 − 𝑓(𝑥 𝑛 ) 𝑓(𝑥 𝑛 ) − 𝑓(𝑥 𝑛 − 𝑓(𝑥 𝑛 )/𝑓′(𝑥 𝑛 )) 𝑓(𝑥 𝑛 ) 𝑓′(𝑥 𝑛 ) (5)
Persamaan (5) memiliki orde konvergensi tiga (Jisheng et al ., 2006). Metode yang dikembangkan oleh Jisheng dkk tidak mengalami peningkatan orde konvergensi dari metode Halley.
Penelitian  yang  dilakukan oleh  (Noor  &  Noor, 2007) mengembangkan  metode  Halley  dan mengusulkan  metode  prediktor-korektor  Halley  dengan  orde  konvergensi  enam  seperti  pada persamaan (6).
𝑦 𝑛 =   𝑥 𝑛 − 𝑓(𝑥 𝑛 ) 𝑓 ′ (𝑥 𝑛 ) 𝑥 𝑛+1 =   𝑦 𝑛 − 2𝑓(𝑦 𝑛 )𝑓′(𝑦 𝑛 ) 2𝑓 ′ (𝑦 𝑛 ) 2 − 𝑓(𝑦 𝑛 )𝑓′′(𝑦 𝑛 ) } (6)
Pada tahun yang sama  (Noor et al ., 2007) melakukan modifikasi pada metode  prediktor- korektor Halley.  Turunan kedua pada metode Halley diaproksimasi dengan pendekatan beda hingga menghasilkan Persamaan (7).
𝑦 𝑛 =   𝑥 𝑛 − 𝑓(𝑥 𝑛 ) 𝑓′(𝑥 𝑛 ) 𝑥 𝑛+1 =   𝑦 𝑛 − 2𝑓(𝑥 𝑛 )𝑓(𝑦 𝑛 )𝑓′(𝑦 𝑛 ) 2𝑓(𝑥 𝑛 )(𝑓 ′ (𝑦 𝑛 )) 2 − (𝑓 ′ (𝑥 𝑛 )) 2 𝑓(𝑦 𝑛 ) + 𝑓 ′ (𝑥 𝑛 )𝑓 ′ (𝑦 𝑛 )𝑓(𝑦 𝑛 ) } (7)
Modifikasi prediktor-korektor Halley mengalami penurunan orde konvergensi menjadi konvergen lima (Noor et al ., 2007).
Berdasarkan beberapa hasil penelitian yang telah dijelaskan, diketahui bahwa metode Halley bebas turunan kedua yang telah diusulkan oleh (Jisheng et al ., 2006) tidak mengalami peningkatan orde konvergensi, serta melihat bahwa modifikasi metode prediktor korektor Halley yang dilakukan oleh (Noor et al ., 2007) mengalami penurunan orde konvergensi. Oleh karena itu, penulis melakukan penelitian  dengan  melakukan  kombinasi  metode  yang  sudah  dikembangkan  oleh  Jisheng    serta metode  yang  diusulkan  oleh  M.  A.  Noor  masing-masing  dikombinasikan  dengan  metode  secant kemudian dilakukan analisis konvergensi untuk mengetahui orde konvergensi dari metode yang akan diusulkan,  Adapun  luaran  dari  penelitian  ini  yaitu  kombinasi  varian  metode  Secant  halley  Newton bebas turunan kedua dengan orde konvergensi enam dan konvergensi empat.

## METODE PENELITIAN
Metode yang digunakan pada penelitian ini yaitu metode studi literatur dengan tahapan:
1) Kombinasi Metode
Tahapan  pertama  mendefinisikan  metode  yang  diusulkan  dengan  cara  melakukan  kombinasi persamaan (5) dan persamaan (7), masing-masing dengan metode Secant.
2) Analisis Orde Konvergensi Metode:
Setelah  didefinisikan  metode  yang  diusulkan,  tahapan  berikutnya  adalah  menentukan  secara analitik orde konvergensi dan indeks efisiensi dari metode yang diusulkan dengan menggunakan ekspansi deret Taylor. Adapun teorema dan definisi yang akan digunakan yaitu:
1. Teorema deret Taylor Misalkan 𝑛 ∈ 𝑁 , misalkan 𝐼 ≔ [𝑎, 𝑏] , dan misalkan 𝑓: 𝐼 → 𝑅 sedemikian rupa sehingga 𝑓 dan turunannya 𝑓 ′ , 𝑓 ′′ , ⋯ , 𝑓 (𝑛) kontinu pada 𝐼 dan bahwa 𝑓 (𝑛+1) ada pada (𝑎, 𝑏) . Jika 𝑥 0 ∈ 𝐼 , maka untuk setiap 𝑥 di 𝐼 terdapat suatu titik 𝑐 diantara 𝑥 dan 𝑥 0 sehingga 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑥 0 ) + 𝑓 ′ (𝑥 0 )(𝑥 − 𝑥 0 ) + 𝑓 ′′ (𝑥 0 ) 2! (𝑥 − 𝑥 0 ) 2 + ⋯ + 𝑓 (𝑛) (𝑥 0 ) 𝑛! (𝑥 − 𝑥 0 ) 𝑛 + 𝑓 (𝑛) (𝑥 0 ) 𝑛! (𝑥 − 𝑥 0 ) 𝑛+1 (8)
(Bartle & Sherbert, 2011) 2. Definisi orde konvergensi Misalkan 𝑟 adalah akar dan 𝑥 𝑛 adalah aproksimasi ke- 𝑛 yang mendekati akar. Didefinisikan error  sebagai 𝑒 𝑛 = 𝑥 𝑛 − 𝑟 .  Jika  untuk 𝑛 yang  cukup  besar  diperoleh  suatu  hubungan perkiraan
|𝑒 𝑛+1 | = 𝐶|𝑒 𝑛 | 𝑝 (9)
maka 𝑝 disebut derajat (orde) kekonvergenan barisan tersebut dan 𝐶 disebut konstanta galat asimptotik (Chasnov, 2012).
3. Definisi orde konvergensi komputasi Misalkan 𝛼 adalah akar persamaan nonlinear 𝑓(𝑥) , dan andaikan 𝑥 𝑛−1 , 𝑥 𝑛 , 𝑥 𝑛+1 adalah tiga nilai iterasi berturut-turut yang cukup dekat ke 𝛼 . Maka Computational Order of Convergence (COC) yang dinotasikan dengan 𝑃 dapat diaproksimasi dengan menggunakan rumus:
• 46 Teorema : Teori dan Riset Matematika , 7 (1), 43 – 52, Maret 2022
𝑃 ≈ 𝑙𝑛 𝑙𝑛 |(𝑥 𝑛+1 − 𝛼)/(𝑥 𝑛 − 𝛼) | 𝑙𝑛 𝑙𝑛 |(𝑥 𝑛 − 𝛼)/(𝑥 𝑛−1 − 𝛼) |
(10)
(Weerakoon & Fernando, 2000). 4. Definisi indeks efisiensi Misalkan 𝑞 adalah banyaknya evaluasi fungsi yang dibutuhkan oleh suatu metode iterasi, maka efisiensi dari metode iterasi tersebut dihitung dengan indeks efisiensi yang didefinisikan sebagai 𝑝 1/𝑞 , dengan 𝑝 adalah orde konvergensi metode (Gautschi, 2012).
5. Simulasi Numerik
Tahapan  terakhir  adalah  melakukan  simulasi  numerik  dari  metode  yang  diusulkan  dan dibandingkan  dengan  beberapa  metode  yang  sudah  dikembangkan  sebelumnya.  Simulasi numerik  menggunakan  beberapa  fungsi  nonlinear   dengan  melihat  segi  jumlah  iterasi,  total fungsi yang di evaluasi atau Number of Function Evaluation (NFE), dan orde kekonvergenan komputasi atau Computational Order of Convergence (COC).

## HASIL DAN PEMBAHASAN Kombinasi Metode
Metode Secant memerlukan dua buah titik taksiran awal, misalkan titik (𝑥 𝑛 , 𝑓(𝑥 𝑛 )) dan titik (𝑥 𝑛−1 , 𝑓(𝑥 𝑛−1 )) ,  maka dapat diformulasikan metode Secant seperti pada Persamaan (11)
𝑥 𝑛+1 = 𝑥 𝑛 − (𝑥 𝑛 − 𝑥 𝑛−1 ) 𝑓(𝑥 𝑛 ) − 𝑓(𝑥 𝑛−1 ) 𝑓(𝑥 𝑛 ) (11)
Misalkan  titik 𝑥 𝑛+1 pada  persamaan  (5)  sama  dengan 𝑧 𝑛 ,  maka  dengan  menggunakan  titik (𝑧 𝑛 , 𝑓(𝑧 𝑛 )) dan titik (𝑥 𝑛 , 𝑓(𝑥 𝑛 )) memberikan
𝑦 𝑛 =   𝑥 𝑛 − 𝑓(𝑥 𝑛 ) 𝑓′(𝑥 𝑛 ) 𝑧 𝑛 =   𝑥 𝑛 − ( 𝑓(𝑥 𝑛 ) 𝑓(𝑥 𝑛 ) − 𝑓(𝑦 𝑛 ) ) 𝑓(𝑥 𝑛 ) 𝑓 ′ (𝑥 𝑛 ) 𝑥 𝑛+1 =   𝑧 𝑛 − ( 𝑧 𝑛 − 𝑥 𝑛 𝑓(𝑧 𝑛 ) − 𝑓(𝑥 𝑛 ) ) 𝑓(𝑧 𝑛 ) } (12)
Persamaan  (12)  merupakan  kombinasi  dari  metode  Newton,  metode  varian  Halley  bebas turunan kedua, dan metode Secant. Metode Newton hanya digunakan untuk keperluan aproksimasi turunan kedua dari metode Halley, sehingga  Persamaan (12) dikenalkan sebagai metode Secant- Halley  (SH).  Metode  SH  mengalami  evaluasi  fungsi  sebanyak  empat  kali,  yakni 𝑓(𝑥 𝑛 ) , 𝑓′(𝑥 𝑛 ) , 𝑓(𝑦 𝑛 ) dan 𝑓(𝑧 𝑛 ) . Apabila  titik 𝑥 𝑛+1 pada  persamaan  (7)  dimisalkan  sama  dengan 𝑧 𝑛 ,  maka  dengan menggunakan titik (𝑧 𝑛 , 𝑓(𝑧 𝑛 )) dan titik (𝑥 𝑛 , 𝑓(𝑥 𝑛 )) maka diperoleh hasil Persamaan (13).
𝑦 𝑛 =   𝑥 𝑛 − 𝑓(𝑥 𝑛 ) 𝑓′(𝑥 𝑛 ) 𝑧 𝑛 =   𝑦 𝑛 − 2𝑓(𝑥 𝑛 )𝑓(𝑦 𝑛 )𝑓′(𝑦 𝑛 ) 2𝑓(𝑥 𝑛 )(𝑓 ′ (𝑦 𝑛 )) 2 − (𝑓 ′ (𝑥 𝑛 )) 2 𝑓(𝑦 𝑛 ) + 𝑓 ′ (𝑥 𝑛 )𝑓 ′ (𝑦 𝑛 )𝑓(𝑦 𝑛 ) 𝑥 𝑛+1 =   𝑧 𝑛 − ( 𝑧 𝑛 − 𝑥 𝑛 𝑓(𝑧 𝑛 ) − 𝑓(𝑥 𝑛 ) ) 𝑓(𝑧 𝑛 ) } (13)
Kombinasi persamaan (13) dibentuk oleh metode modifikasi prediktor-korektor Halley yang mana merupakan kombinasi antara metode Halley dengan metode Newton, kemudian pada langkah ketiga merupakan metode Secant. Sehingga Persamaan (13) diperkenalkan sebagai metode Secant- New Halley-Newton (SHyN). Metode SHyN ini mengalami proses evaluasi fungsi sebanyak lima kali yaitu 𝑓(𝑥 𝑛 ) , 𝑓′(𝑥 𝑛 ) , 𝑓(𝑦 𝑛 ) , 𝑓′(𝑦 𝑛 ) , dan 𝑓(𝑧 𝑛 ) .

## Analisis Orde Konvergensi Metode
Berikut  ini  ditunjukan  orde  konvergensi  metode  iterasi  dari  metode  Secant-Halley  (SH) persamaan ( 12) yang disajikan pada Teorema 1 dan metode Secant- New Halley-Newton persamaan ( 13) yang disajikan pada Teorema 2.

## Teorema 1
Misalkan fungsi 𝑓 terdiferensialkan secukupnya dan kontinu untuk setiap 𝑥 disekitar 𝛼 dimana 𝛼 adalah akar sederhana dan misalkan 𝑓(𝛼) ≠ 0 . Jika 𝑥 0 cukup dekat ke 𝛼 maka metode Secant- Halley ( 13) mempunyai orde konvergensi empat dan memenuhi persamaan error:
𝑒 𝑛+1 = 𝑐 2 3 𝑒 𝑛 4 + 𝑂(𝑒 𝑛 5 ) (14)
dengan 𝐶 2 = 1 2! 𝑓 (′′) (𝛼) 𝑓 ′ (𝛼) Bukti 1. Misalkan 𝑒 𝑛 dan 𝑒 𝑛 masing-masing adalah error untuk 𝑥 𝑛 dan 𝑧 𝑛 , yaitu 𝑥 𝑛 =  𝛼 + 𝑒 𝑛 dan 𝑧 𝑛 = 𝛼 + 𝑒 𝑛 . Telah ditunjukkan oleh (Jisheng et al., 2006)   dimana error dari Persamaan (5) adalah 𝑒 𝑛 = (𝑐 2 2 + (𝜃 − 1)𝑐 3 )𝑒 𝑛 3 + 𝑂(𝑒 𝑛 4 ) (15)
Dengan mengekspansi Taylor 𝑓(𝑥 𝑛 ) disekitar 𝑥 𝑛 = 𝛼 dan misalkan 𝑒 𝑛 = 𝑥 𝑛 − 𝛼 𝑓(𝑥 𝑛 ) = 𝑓 ′ (𝛼)𝑒 𝑛 [1 + 𝑐 2 𝑒 𝑛 + 𝑐 3 𝑒 𝑛 2 + 𝑂(𝑒 𝑛 3 )] (16)
Berikutnya mengekspansi Taylor 𝑓(𝑧 𝑛 ) disekitar 𝑧 𝑛 = 𝛼 dan dengan menggunakan persamaan (14) diperoleh:
𝑓(𝑧 𝑛 )   =  𝑓(𝛼 + 𝑒 𝑛 )    =   𝑓 ′ (𝛼)(𝑐 2 2 𝑒 𝑛 3 + 𝑂(𝑒 𝑛 4 )) + 𝑂(𝑒 𝑛 2 )    =   𝑓 ′ (𝛼)𝑒 𝑛 [𝑐 2 2 𝑒 𝑛 2 ] + 𝑂(𝑒 𝑛 5 ) (17)
Dengan menggunakan Persamaan (16) dan Persamaan  (17) diperoleh:
𝑓(𝑧 𝑛 ) − 𝑓(𝑥 𝑛 ) = −𝑓 ′ (𝛼)𝑒 𝑛 [1 + 𝑐 2 𝑒 𝑛 + (𝑐 3 − 𝑐 2 2 )𝑒 𝑛 2 + 𝑂(𝑒 𝑛 3 )] (18)
Dengan menggunakan deret geometri memberikan hasil Persamaan (19)
1 𝑓(𝑧 𝑛 ) − 𝑓(𝑥 𝑛 ) = −1 𝑓 ′ (𝛼)𝑒 𝑛 [1 − (𝑐 2 𝑒 𝑛 + (𝑐 3 − 𝑐 2 2 )𝑒 𝑛 2 + 𝑂(𝑒 𝑛 3 )) + (𝑐 2 𝑒 𝑛 + (𝑐 3 − 𝑐 2 2 )𝑒 𝑛 2 + 𝑂(𝑒 𝑛 3 )) 2 + 𝑂(𝑒 𝑛 3 )] = − 1 𝑓 ′ (𝛼)𝑒 𝑛 [1 − 𝑐 2 𝑒 𝑛 + (2𝑐 2 2 − 𝑐 3 )𝑒 𝑛 2 + 𝑂(𝑒 𝑛 3 )] + 𝑂(𝑒 𝑛 3 )] (19)
Diperoleh juga suatu hubungan 𝑧 𝑛 − 𝑥 𝑛 = [𝑐 2 2 𝑒 𝑛 3 + 𝑂(𝑒 𝑛 4 )] − 𝑒 𝑛 (20)
Dengan menggunakan (19) dan (20) didapatkan:
𝑧 𝑛 − 𝑥 𝑛 𝑓(𝑧 𝑛 ) − 𝑓(𝑥 𝑛 ) = 1 𝑓 ′ (𝛼)𝑒 𝑛 [𝑒 𝑛 − 𝑐 2 𝑒 𝑛 2 + (𝑐 2 2 + 𝑐 3 )𝑒 𝑛 3 + 𝑂(𝑒 𝑛 4 )] (21)
Selanjutnya dengan menggunakan Persamaan (17) dan Persamaan (21) diperoleh Persamaan (22).
( 𝑧 𝑛 − 𝑥 𝑛 𝑓(𝑧 𝑛 ) − 𝑓(𝑥 𝑛 ) ) 𝑓(𝑧 𝑛 ) = 1 𝑓 ′ (𝛼)𝑒 𝑛 [𝑒 𝑛 − 𝑐 2 𝑒 𝑛 2 + (𝑐 2 2 + 𝑐 3 )𝑒 𝑛 3 + 𝑂(𝑒 𝑛 4 )] ∙   𝑓 ′ (𝛼)𝑒 𝑛 [𝑐 2 2 𝑒 𝑛 2 + 𝑂(𝑒 𝑛 5 )] =   𝑐 2 2 𝑒 𝑛 3 − 𝑐 2 3 𝑒 𝑛 4 + 𝑂(𝑒 𝑛 5 ) (22)
Akhirnya diperoleh error dari persamaan ( 12) 𝑒 𝑛+1 =   𝑒 𝑛 − [𝑐 2 2 𝑒 𝑛 3 − 𝑐 2 3 𝑒 𝑛 4 + 𝑂(𝑒 𝑛 5 )]    =   𝑐 2 3 𝑒 𝑛 4 + 𝑂(𝑒 𝑛 5 ) (23)
Dengan menggunakan Definisi Orde konvergensi (9) dapat dikatakan bahwa metode Secant-Halley memiliki orde konvergensi empat.

## Teorema 2
Misalkan fungsi 𝑓 terdiferensialkan secukupnya dan kontinu untuk setiap 𝑥 disekitar 𝛼 dimana 𝛼 adalah akar sederhana dan misalkan 𝑓′(𝛼) ≠ 0 . Jika 𝑥 0 cukup dekat ke 𝛼 maka metode Secant- New Halley-Newton ( 14) mempunyai orde konvergensi enam dan memenuhi persamaan error : 𝑒 𝑛+1 = (20𝑐 3 𝑐 2 3 − 6𝑐 2 𝑐 3 2 − 10𝑐 2 2 𝑐 4 + 4𝑐 2 𝑐 5 − 8𝑐 2 3 )𝑒 𝑛 6 + 𝑂(𝑒 𝑛 7 ) 24
dengan 𝐶 𝑗 = 1 𝑗! 𝑓 (𝑗) (𝛼) 𝑓 ′ (𝛼) , untuk 𝑗 = 2,3,4,5
Bukti 2. Misalkan 𝑒 𝑛 dan 𝑒 𝑛 masing-masing adalah error untuk 𝑥 𝑛 dan 𝑧 𝑛 , yaitu 𝑥 𝑛 = 𝛼 + 𝑒 𝑛 dan 𝑧 𝑛 = 𝛼 + 𝑒 𝑛 . Telah ditunjukkan oleh (M. A. Noor et al., 2007) error metode modifikasi prediktor- korektor Halley Persamaan (7) diberikan oleh:
𝑒 𝑛 = (20𝑐 3 𝑐 2 2 − 6𝑐 3 2 − 10𝑐 2 𝑐 4 + 4𝑐 5 − 8𝑐 2 2 )𝑒 𝑛 5 + 𝑂(𝑒 𝑛 6 ) (25)
• 48 Teorema : Teori dan Riset Matematika , 7 (1), 43 – 52, Maret 2022

## Misalkan
𝐴 = (20𝑐 3 𝑐 2 2 − 6𝑐 3 2 − 10𝑐 2 𝑐 4 + 4𝑐 5 − 8𝑐 2 2 ) (26)
Maka
𝑒 𝑛 = 𝐴𝑒 𝑛 5 + 𝑂(𝑒 𝑛 6 ) (27)
Dengan mengekspansi Taylor 𝑓(𝑥 𝑛 ) disekitar 𝑥 𝑛 = 𝛼 dan dengan mengabaikan suku yang memuat (𝑥 𝑛 − 𝛼) 𝑗 , untuk 𝑗 ≥ 7 diperoleh: 𝑓(𝑥 𝑛 ) = 𝑓 ′ (𝛼)𝑒 𝑛 (1 + 𝑐 2 𝑒 𝑛 + 𝑐 3 𝑒 𝑛 2 + 𝑐 4 𝑒 𝑛 3 + 𝑐 5 𝑒 𝑛 4 + 𝑐 6 𝑒 𝑛 5 + 𝑂(𝑒 𝑛 6 )) (28)
Selanjutnya dilakukan ekspansi taylor untuk 𝑓(𝑧 𝑛 ) disekitar 𝑧 𝑛 = 𝛼 diperoleh:
𝑓(𝑧 𝑛 )   =    𝑓 ′ (𝛼)𝑒 𝑛 + 𝑂(𝑒 𝑛 2 )                            =   𝑓 ′ (𝛼)(𝐴𝑒 𝑛 5 + 𝑂(𝑒 𝑛 6 )) + 𝑂(𝑒 𝑛 2 ) =   𝑓 ′ (𝛼)𝐴𝑒 𝑛 5 + 𝑂(𝑒 𝑛 8 ) (29)
Dengan menggunakan persamaan (28) dan (29) didapatkan:
𝑓(𝑧 𝑛 ) − 𝑓(𝑥 𝑛 ) = −𝑓 ′ (𝛼)𝑒 𝑛 [1 + 𝑐 2 𝑒 𝑛 + 𝑐 3 𝑒 𝑛 2 + 𝑐 4 𝑒 𝑛 3 + (𝑐 5 − 𝐴)𝑒 𝑛 4 + 𝑐 6 𝑒 𝑛 5 + 𝑂(𝑒 𝑛 6 )] (30)
Dengan menggunakan pendekatan deret geometri maka diperoleh 𝑧 𝑛 − 𝑥 𝑛 =   (𝛼 + 𝑒 𝑛 ) − (𝛼 − 𝑒 𝑛 )    =   𝑒 𝑛 − 𝑒 𝑛 =  𝐴𝑒 𝑛 5 − 𝑒 𝑛 + 𝑂(𝑒 𝑛 6 ) (31)
Dengan demikian error  Persamaan (13) diberikan oleh:
𝑒 𝑛+1 = 𝑒 𝑛 − [𝐴𝑒 𝑛 5 − 𝐴𝑐 2 𝑒 𝑛 6 + 𝑂(𝑒 𝑛 7 )] = 𝐴𝑐 2 𝑒 𝑛 6 + 𝑂(𝑒 𝑛 7 ) (32)

## Simulasi Numerik
Dengan  menggunakan  fungsi-fungsi  nonlinear,  dilakukan  uji  komputasi  dengan  beberapa metode  yang  menjadi  pembanding  diantaranya  metode  Newton  (N),  Metode  Halley  (H),  Metode modifikasi predictor - korektor Halley (HN), metode yang diusulkan oleh Jain yaitu metode Secant Trapesium Newton (STN), Secant Midpoint Newton (SMN) dan metode Secant Inverse Newton (SIN). Toleransi  yang  digunakan  yaitu 10 −15 .  Kriteria  pemberhentian  iterasi  yang  digunakan  yaitu |𝑥 𝑛+1 − 𝑥 𝑛 | < 𝜀 atau |𝑓(𝑥 𝑛+1 )| < 𝜀 .
Tabel 1 . Perbandingan metode dengan fungsi 𝑓 1 (𝑥) = 𝑥 3 + 4𝑥 2 − 10 ,  𝑥 0 = 1,0 Metode N NFE COC |𝑓(𝑥 𝑛+1 )| |𝑥 𝑛+1 − 𝑥 𝑛 | N 5 10 2,00 3,66251E-21 2,12698E-11 H 3 9 3,00 1,50220E-19 3,69865E-07 HN 2 8 5,16 4,60356E-18 4,18157E-04 STN 3 12 4,00 6,30351E-42 4,11852E-11 SMN 3 12 4,00 9,41906E-44 1,50763E-11 SIN 2 8 3,97 5,57021E-16 2,18358E-04 SH 3 12 4,00 4,23824E-43 2,16035E-11 ShyN 2 10 6,15 7,26509E-26 8,62242E-05
Tabel 2. Perbandingan metode dengan fungsi 𝑓 2 (𝑥) = ( 𝑥 − 1 ) 3 − 1 , 𝑥 0 = 1,0 Metode N NFE COC |𝑓(𝑥 𝑛+1 )| |𝑥 𝑛+1 − 𝑥 𝑛 | N
6 12 2,00 3,88452E-28 1,13791E-14 H 4 12 3,00 1,99815E-40 4,64016E-14 HN 3 12 5,00 3,25322E-75 1,16747E-15 STN 3 12 4,00 4,01405E-27 1,84026E-07 SMN 3 12 4,00 1,21103E-28 8,14622E-08 SIN 3 12 4,00 4,28613E-37 9,62219E-10 SH 3 12 4,00 4,22494E-28 1,08937E-07 SHyN 2 10 5,59 1,03626E-20 4,36232E-04
Tabel 3. Perbandingan metode dengan fungsi 𝑓 3 (𝑥) = 𝑥𝑒 𝑥 2 − (𝑥) + 3 𝑐𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑠 𝑥 + 5, 𝑥 0 = 1.0 Metode N NFE COC |𝑓(𝑥 𝑛+1 )| |𝑥 𝑛+1 − 𝑥 𝑛 | N
15 30 2,00 6,86972E-27 1,50068E-14 H 8 24 3,01 2,20323E-39 7,52976E-14
Metode N NFE COC |𝑓(𝑥 𝑛+1 )| |𝑥 𝑛+1 − 𝑥 𝑛 |
HN 5 20 5,00 4,22350E-29 5,53454E-17 STN 8 32 4,00 3,04006E-35 7,43717E-10 SMN 7 28 4,00 4,85566E-16 5,48721E-05 SIN 7 28 4,00 1,09196E-27 7,73283E-08 SH 8 32 4,00 1,24258E-52 3,66553E-14 SHyN 4 20 6,01 2,01973E-27 1,46212E-05
Tabel 4 . Perbandingan metode dengan fungsi 𝑓 4 (𝑥) =𝑙𝑛 𝑙𝑛 (𝑥) + √𝑥 − 5 , 𝑥 0 = 1,0 Metode n NFE COC |𝑓(𝑥 𝑛+1 )| |𝑥 𝑛+1 − 𝑥 𝑛 | N 5 10 2,00 4,62611E-21 6,09324E-10 H 3 9 2,99 1,99998E-17 3,79277E-05 HN 3 12 5,00 1,14378E-65 1,36489E-12 STN 3 12 4,00 1,47715E-37 7,72919E-09 SMN 3 12 4,00 6,81860E-11 6,81860E-11 SIN 3 12 4,00 9,85508E-44 2,68441E-10 SH 3 12 4,00 2,33267E-42 5,68000E-10 SHyN 2 10 6,24 7,49326E-20 9,49618E-03
Tabel 5. Perbandingan metode dengan fungsi 𝑓 5 (𝑥) = √𝑥 − (1 𝑥 ) − 3 , 𝑥 0 = 1,0 Metode n NFE COC |𝑓(𝑥 𝑛+1 )| |𝑥 𝑛+1 − 𝑥 𝑛 | N
5 10 2,00 1,53056E-18 1,69953E-08 H 4 12 3,00 1,71655E-34 1,00382E-10 HN 3 12 5,00 1,60466E-49 3,20442E-09 STN 3 12 4,00 4,78519E-32 2,61893E-07 SMN 3 12 4,00 4,83271E-42 1,18271E-09 SIN 3 12 4,00 1,67454E-37 1,34383E-08 SH 3 12 4,00 2,09795E-37 1,42857E-08 SHyN 3 15 6,00 1,75947E-93 7,02465E-15
Tabel 6. Perbandingan metode dengan fungsi 𝑓 6 (𝑥) = 𝑒 −𝑥 2 +𝑥+2 −𝑐𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑠 𝑥 + 𝑥 3 + 1, 𝑥 0 = 1,0 Metode n NFE COC |𝑓(𝑥 𝑛+1 )| |𝑥 𝑛+1 − 𝑥 𝑛 | N
8 16 2,00 1,28119E-19 1,96541E-09 H 5 15 3,00 1,84671E-20 1,87581E-07 HN 6 24 6,66 1,67228E-17 4,76936E-03 STN 12 48 4,04 6,73975E-36 5,21308E-09 SMN 10 40 4,00 8,33303E-20 6,52902E-05 SIN 4 16 4,07 2,84700E-33 2,36346E-08 SH 12 48 5,01 1,29666E-25 1,74377E-05 SHyN 3 15 6,85 2,84448E-41 1,70365E-06
Untuk Tabel 1 sampai Tabel 6, kolom pertama merupakan metode yang dibandingkan, kolom kedua merupakan iterasi yang diperoleh tiap metode untuk menemukan akar, kolom ketiga merupakan NFE ( Number of Function Evaluation ) atau banyaknya evaluasi fungsi yang dilakukan tiap metode, kolom  keempat  merupakan  orde  konvergensi  atau COC  (Computational  Order  of  Convergence) secara numerik, kolom kelima merupakan nilai mutlak fungsi dari akar hampiran yang diperoleh, dan kolom keenam merupakan error atau selisih dari akar hampiran yang diperoleh dan akar hampiran sebelumnya.
Berdasarkan hasil simulasi pada Tabel 1 sampai Tabel 6, bahwa metode SHyN memperoleh iterasi  yang  lebih  sedikit  dibandingkan  dengan  metode  lainnya.  Sementara  untuk  metode  SH performanya  setara dengan metode STN, SMN, dan SIN. Tabel 7 merupakan perbandingan indeks efisiensi masing-masing metode.
• 50 Teorema : Teori dan Riset Matematika , 7 (1), 43 – 52, Maret 2022
Tabel 7. Indeks efisiensi Metode COC( 𝑝 ) NFE( 𝑞) 𝑝 1/𝑞 N 2 2 1,414 H 3 3 1,442 HN 5 4 1,495 STN 4 4 1,414 SMN 4 4 1,414 SIN 4 4 1,414 SH 4 4 1,414 SHyN 6 5 1,431
Dari Tabel 7 dapat dilihat bahwa metode SH memiliki indeks efisiensi sebesar 1,414 yang setara dengan metode STN, SMN, SIN, dan metode N. Sehingga dapat dikatakan metode SH memiliki tingkat efisiensi yang sebanding dengan kombinasi metode orde empat lainnya. Sedangkan metode SHyN memiliki indeks efisiensi sebesar 1,431 yang lebih baik dari metode orde empat STN, SMN, SIN dan N, namun tidak lebih baik dari metode H dan metode HN. Hal ini dikarenakan metode SHyN banyak melakukan evaluasi fungsi dari pada metode H dan metode HN, akan tetapi metode SHyN memiliki orde konvergensi 6 yang lebih baik dari orde konvergensi metode lainnya.

## KESIMPULAN
Berdasarkan  pembahasan yang telah  dilakukan,  jika ditinjau dari  orde  konvergensi,  maka metode SHyN lebih cepat konvergen ke akar daripada metode lainnya. Untuk metode SH, kecepatan konvergensinya setara dengan metode STN, SMN, SIN. Jika ditinjau dari indeks efisiensi, dapat dilihat bahwa metode SH setara dengan metode STN, SMN, SIN, dan metode Newton. Artinya metode SH sebanding dengan metode orde empat lainnya dan metode Newton. Sedangkan indeks efisiensi untuk metode SHyN lebih baik dari metode orde empat STN, SMN, SIN dan N, namun tidak lebih baik dari metode H dan metode HN. Secara umum metode SH sebanding dengan metode orde empat lainnya dan untuk metode SHyN unggul dari aspek orde konvergensinya namun memiliki kelemahan dari segi evaluasi fungsi.

## REKOMENDASI
Rekomendasi pada penelitian ini yaitu pada metode Secant Halley Newton (SHyN) dilakukan reduksi fungsi agar indeks efisiensi metode SHyN bisa meningkat.

## UCAPAN TERIMAKASIH
Penulis mengucapkan terima kasih kepada seluruh peneliti yang artikel-artikelnya menjadi rujukan dalam penulisan artikel ini.

## DAFTAR PUSTAKA
Bartle, R. G., & Sherbert, D. R. (2011). Introduction to real analaysis fourth edition . John Wiley & Sons,
Inc.
Chasnov, J. R. (2012). Introduction to numerical methods . The Hong Kong University of Science and Technology.
Frontini, M., & Sormani, E. (2003). Some variant of newto n’s method with third -order convergence.
Applied Mathematics and Computation , 140 (2 – 3), 419 – 426. https://doi.org/https://doi.org/10.1016/S0096-3003(02)00238-2
Gautschi, W. (2012). Numerical analysis, second edition . Springer New York Dordrecht Heidelberg London.
Han, J., He, H., & Xu, A. (2010). A second-derivative - free variant of halley’s method with sixth -order convergence . Plants, 3 (2), 195 – 203.
Haqueqy, N., Silalahi, B. P., & Sitanggang, I. S. (2016). Uji komputasi algoritme varian metode newton pada  permasalahan  optimasi  nonlinear  tanpa  kendala. Journal  of  Mathematics  and  Its Applications , 15 (2), 63. https://doi.org/10.29244/jmap.15.2.63-76 .
Jain, D. (2013). Families of newton-like methods with fourth-order convergence. International Journal of Computer Mathematics , 90 (5), 1072 – 1082.
Jisheng, K., Yitian, L., & Xiuhua, W. (2006). Modified halley’s method free from second derivative. Applied Mathematics and Computation , 183 (1), 704 – 708. https://doi.org/https://doi.org/10.1016/j.amc.2006.05.097 .
Kumar, M., Singh, A. K., & Srivastava, A. (2013). Various newton-type iterative methods for solving nonlinear  equations. Journal  of  the  Egyptian  Mathematical  Society , 21 (3),  334 – 339. https://doi.org/10.1016/j.joems.2013.03.001 .
McDougall, T. J., & Wotherspoon, S. J. (2014). A simple modification of newton’s method to achieve convergence  of  order  1  +  √2 . Applied  Mathematics  Letters , 29 ,  20 – 25. https://doi.org/10.1016/j.aml.2013.10.008 .
Noor, K. I., & Noor, M. A. (2007). Predictor-corrector halley method for nonlinear equations. Applied Mathematics and Computation , 188 (2), 1587 – 1591. https://doi.org/10.1016/j.amc.2006.11.023 .
Noor,  M.  A.,  Khan,  W.  A.,  &  Hussain,  A.  (2007).  A  new  modified  halley  method  without  second derivatives for nonlinear equation. Applied Mathematics and Computation , 189 (2), 1268 – 1273. Özban, A. . (2004). Some new variants of newt on’s method . Applied Mathematics Letters , 17 (6), 677 – 682. https://doi.org/10.1016/j .
Rahimi, B., Ghanbari, B., & Porshokouhi, M. G. (2011). Some third- order modifications of newton ’ s method. Gen. Math. Notes , 3 (1), 116 – 123.
Singh,  M.  K.  (2009).  A  six- order  variant  of  newton’s  method  for  solving  nonlinear  equations. Computational Methods in Science and Technology , 15 (2), 185 – 193. https://doi.org/10.12921/cmst.2009.15.02.185-193 .
Utami, N. N. R., Widana, I. N., & Asih, N. M. (2013). Perbandingan solusi sistem persamaan nonlinear menggunakan metode newton-raphson dan metode jacobian. E-Jurnal Matematika , 2 (2), 11. https://doi.org/10.24843/mtk.2013.v02.i02.p032 .
Wang, P. (2011). A third-order family of newton-like iteration methods for solving nonlinear equations. Journal of Numerical Mathematics and Stochastics , 3 (1), 13 – 19.
Weerakoon,  S.,  &  Fernando,  T.  G.  I.  (2000). A  weighted  variant  family  of  newton’s  method  with accelerated  third-order  convergence. Applied  Mathematics  and  Computation , 13 (2),  87 – 93. https://doi.org/10.1016/j.amc.2006.08.041 .
Zhou,  X.  (2007). A  class  of  newton’s  methods  with  third -order  convergence. Applied  Mathematics
• 52 Teorema : Teori dan Riset Matematika , 7 (1), 43 – 52, Maret 2022
Letters , 20 (9), 1026 – 1030. https://doi.org/10.1016/j.aml.2006.09.010 .