Jurnal Matematika Murni dan Terapan “εpsilon” http://ppjp.ulm.ac.id/journals/index.php/epsilon p-ISSN: 1978-4422 | e-ISSN 2656-7660 Vol.13 No.1 (Juni 2019) Hal. 36-45
ACTUARIAL PRESENT VALUE (APV) ANUITAS KONTINU DENGAN
STATUS MULTIPLE LIFE
1 Aprida Siska Lestia
1 Program Studi Statistika Fakultas MIPA Universitas Lambung Mangkurat email : as_lestia@ulm.ac.id

## ABSTRAK
Rangkaian pembayaran yang dikaitkan dengan hidup matinya seseorang di mana pembayaran akan terhenti seketika setelah terjadinya kematian dikenal dengan istilah anuitas hidup kontinu. Istilah kontinu di sini didasari kenyataan bahwa usia manusia merupakan elemen bilangan real, dimana kematian  sebagai  risiko  utama  dapat  terjadi  kapan  saja,  sehingga  pemodelan  matematis  akan dilakukan  dengan  pendekatan  stokastik.  Jenis  anuitas  yang  seperti  ini  dalam  Asuransi  Jiwa digunakan dalam perhitungan premi yang dibebankan kepada pemegang polis (tertanggung). Jika anuitas  tersebut  dibebankan  kepada  lebih  dari  satu  orang,  maka  dikatakan  bahwa  anuitas  hidup dilakukan dengan status multiple life . Dalam prakteknya, terdapat dua kemungkinan penghentian rangkaian pembayaran pada status multiple life , yang dikenal dengan joint life dan last survivor . Penentuan actuarial present value ( APV ) anuitas (seumur hidup dan berjangka 𝑛 -tahun) dilakukan menggunakan peluang multiple life yang dibangun dengan menggunakan distribusi sisa usia bagi sekelompok  orang.  Dari  penelitian  ini  diperoleh  formula  penentuan  APV  yang  merupakan  nilai ekspektasi dari variabel acak nilai tunai anuitas.
Kata kunci : joint life, last survivor, actuarial present value

## 1. PENDAHULUAN
Dalam  praktek  Asuransi,  seringkali  ditemui  produk-produk  yang menanggung  lebih  dari  satu  tertanggung.  Keadaan  seperti  ini  dikenal  dengan istilah kehidupan ganda atau multiple life status . Keterangan yang sangat penting digunakan dalam menganalisis model asuransi dengan status ini adalah mengenai status    tertanggung,  yaitu  cara  yang  mendefinisikan  kapan  seorang  tertanggung dikatakan survive (bertahan)  dan  kapan  dikatakan failure (gagal).  Hal  ini dikarenakan  status  kegagalan  tersebut  yang  akan  menentukan  kapan  klaim  akan terjadi dan atau sampai kapan premi harus dibayar.
Terdapat  dua  istilah  berdasarkan  status  kematian  dari  kumpulan tertanggung pada multiple life yaitu joint  life dan last  survivor .  Menurut David
(2011) , status Joint  life menyatakan  bahwa  status  hidup  gabungan  dikatakan gagal  ketika  terjadi  kematian  pertama  dari  kumpulan  tersebut.  Sebaliknya,  pada status last  survivor ,  status  hidup  gabungan  baru  dikatakan  gagal  ketika  semua individu di dalam kumpulan tersebut meninggal. Penentuan waktu kegagalan yang berbeda  pada  kedua  status    ini,  menyebabkan  perbedaan  dalam  membangun peluangnya.
Pembayaran  premi  dalam  Asuransi  Jiwa  merupakan  sebuah  rangkaian pembayaran  atau anuitas  yang dibebankan kepada pemegang polis  selama  masih hidup.  Menurut  Dickson  (2009),  anuitas joint  life merupakan  rangkaian pembayaran  yang  dilakukan  sampai  dengan  terjadinya  kematian  pertama, sedangkan  anuitas last  survivor merupakan  rangkaian  pembayaran  yang dibebankan  sampai  orang  terakhir  di  dalam  kumpulan  tersebut  meninggal. Tentunya  bergantung  pula  pada  jenis  asuransinya,  apakah  seumur  hidup, berjangka,  endowmen,  dan  tertunda.      Formulasi Actuarial  present  value (APV) dari  anuitas  dengan  status multiple  life nantinya  akan  sangat  bermanfaat  dalam penentuan  perhitungan-perhitungan  aktuaria  lainnya  seperti  premi  tahunan  dan cadangan  premi.  Sebenarnya,  formula  akhir  APV  untuk  anuitas  dengan  status multiple  life sudah  banyak  dituliskan  dalam  berbagai  referensi,  akan  tetapi penjabaran  penentuan  formula  tersebut  secara  terperinci  masih  belum  disajikan. Oleh karena itu, dalam penelitian ini akan dibahas mekanisme membangun model penentuan  APV  dengan  status muliple  life sampai  dengan  bentuk  yang  paling sederhana, dengan hanya dibatasi untuk jenis anuitas seumur hidup dan berjangka.

## 2. TINJAUAN PUSTAKA
Kematian  sebagai  risiko  utama  dalam  asuransi  jiwa  dapat  terjadi  kapan saja. Oleh karena itulah, waktu hingga terjadinya kematian ( time until death ) atau dikenal  dengan  istilah  waktu  kegagalan  ( failure  time )  bagi  seseorang  berusia 𝑥 dapat dinyatakan sebagai sebuah variabel acak kontinu 𝑇(𝑥) .
2.1 Distribusi Sisa Usia ( Time until Death )
Variabel acak 𝑋 menyatakan usia meninggal bagi seorang bayi yang baru lahir,  sedangkan  notasi 𝑥 digunakan  untuk  menyatakan  usia  seseorang  yang menjadi  objek  pengamatan.  Jika  waktu  sampai  terjadinya  kematian  terhadap (𝑥) (dibaca:  seseorang  berusia 𝑥 )  dinyatakan  sebagai  sebuah  variabel  acak  kontinu 𝑇(𝑥) ,  maka  penentuan  distribusi  bagi 𝑇(𝑥) dapat  dilakukan  dengan menggunankan  model survival ,  dimana  sesuai  namanya  peluang (𝑥) bertahan ( survive )  dapat  dinyatakan  dalam  bentuk  fungsi  survival.    Dalam  [4] , fungsi ditribusi dari 𝑇(𝑥) dinyatakan sebagai 𝐹 𝑇(𝑥) (𝑡) = Pr(𝑇(𝑥) ≤ 𝑡)   , 𝑡 ≥ 0 (1)
Fungsi  di  atas  dalam  bidang  aktuaria  dinyatakan  dalam  notasi  khusus 𝑞 𝑡 𝑥 atau dalam [2] diinterpretasikan sebagai peluang (𝑥) meninggal dalam 𝑡 tahun.
Sebaliknya  peluang  bertahan  hidup  bagi (𝑥) hingga  usia 𝑥 + 𝑡 dalam  [ 2] dinyatakan sebagai
𝑝 𝑡 𝑥 = Pr(𝑇(𝑥) > 𝑡) = 1 − 𝑞 𝑡 𝑥 , 𝑡 ≥ 0 (2)

## 2.2 Laju Kematian (Force of Mortality)
Untuk setiap usia 𝑥 , laju tingkat kematian atau force of mortality bagi (𝑥) dalam 𝑡 − tahun  dalam [7] dinyatakan dalam fungsi survival, yaitu 𝜇(𝑥 + 𝑡)   = 𝑓 𝑋 (𝑥+𝑡) 1−𝐹 𝑋 (𝑥+𝑡) = − 𝑠 ′ (𝑥+𝑡) 𝑠(𝑥+𝑡) (3)
Dengan 𝜇(𝑥 + 𝑡) adalah  peluang  sisa  usia  hidup (𝑥) dalam 𝑡 sampai 𝑡 + ∆𝑡 dengan syarat (𝑥) telah sampai di usia 𝑥 + 𝑡 . Dari sini, fungsi kepadatan peluang bagi variabel acak sisa usia dalam [2] dinyatakan sebagai
𝑓 𝑇(𝑥) (𝑥) = 𝑑𝐹 𝑇(𝑥) (𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑝 𝑥 𝑡 𝜇(𝑥 + 𝑡) (4)
2.3 Anuitas Jiwa ( single life )
Menurut  [4] rangkaian pembayaran  yang  bergantung kepada status hidup seseorang  disebut  sebagai  anuitas  jiwa  ( life  annuity ).  Anuitas  jiwa  dilakukan secara  kontinu  atau  pada  interval  yang  sama  selagi  seseorang  masih  hidup, sehingga  suatu  anuitas  hidup  dapat  dinyatakan  sebagai  sebuah  anuitas  tentu dengan  jangka  waktu  pembayaran  yang  bergantung  kepada  sisa  usia (𝑥) atau 𝑇(𝑥) .  Nilai  tunai  dari  rangkaian  pembayaran  pada  anuitas  kontinu  dapat dinyatakan sebagai suatu variabel acak 𝑌 . 𝑌 = 𝑎̅ 𝑇| ̅̅̅ ,     𝑇(𝑥) ≥ 0 Menurut  [2], actuarial  present  value (APV)  yaitu  perhitungan  nilai  tunai dari  anuitas  kontinu  dengan  memasukkan  peluang  (selain  tingkat  bunga), merupakan nilai ekspektasi dari variabel acak 𝑌 atau 𝐸(𝑌) . Jadi APV merupakan rata-rata nilai tunai anuitas tersebut, yaitu
𝑎̅ 𝑥 = 𝐸[𝑌] = 𝐸[𝑎̅ 𝑇| ̅̅̅ ] = ∫ 𝑎̅ 𝑡| ̅ ∞ 0 𝑓(𝑡)𝑑𝑡
Berdasarkan  formula  penentuan  nilai  tunai  anuitas  tentu  dari [6] dan  pdf pada persamaan (4), diperoleh
𝑎̅ 𝑥 = ∫ 1 − 𝑣 𝑡 𝛿 ∞ 0 𝑝 𝑥 𝑡 𝜇(𝑥 + 𝑡)𝑑𝑡
= ∫ 𝑣 𝑡 ∞ 0 𝑝 𝑥 𝑡 𝑑𝑡 (5)
Jika  rangkaian  pembayaran  hanya  dilakukan  selama (𝑥) masih  hidup  dalam 𝑛 tahun  berikutnya,  maka  nilai  tunai  dari  rangkaian  pembayaran  tersebut  dapat dinyatakan sebagai
𝑌 = { 𝑎̅ 𝑇| ̅̅̅ , 𝑇(𝑥) ≤ 𝑛 𝑎̅ 𝑛| ̅̅̅ , 𝑇(𝑥) > 𝑛 dan APV dari anuitas berjangka 𝑛 -tahun ini dalam [2] dinyatakan sebagai
𝑎̅ 𝑥:𝑛| ̅̅̅ = ∫ 𝑎̅ 𝑡| ̅ 𝑝 𝑥 𝑡 𝜇(𝑥 + 𝑡)𝑑𝑡
𝑛
0 + 𝑎̅ 𝑛| ̅̅̅ 𝑝 𝑥 𝑛 (6)

## 2.4 Distribusi Peluang Multiple life
Misalkan (𝑥 𝑖 ), untuk 𝑖 = 1,2, … , 𝑘 adalah  sekelompok  orang  dengan variabel  acak 𝑇(𝑥 1 ), 𝑇(𝑥 2 ), … , 𝑇(𝑥 𝑘 ) menyatakan  sisa  usia  dari 𝑘 − orang tertanggung  ini.  Selanjutnya  akan  diturunkan  berbagai  fungsi  peluang  dengan status joint life dan last survivor .

## 1. Joint life
Peluang  hidup  tertanggung  dalam  status joint  life diawali  dengan mendefinisikan    variabel  acak  yang  menyatakan  sisa  usia  tersingkat  dari sekumpulan tertanggung yang dalam [5] dinyatakan sebagai 𝑇(𝑥 1 , 𝑥 2 , … , 𝑥 𝑚 ) = min[𝑇(𝑥 1 ), 𝑇(𝑥 2 ), … , , 𝑇(𝑥 𝑚 )] (7)
Notasi 𝑇(𝑥 1 , 𝑥 2 , … , 𝑥 𝑚 ) seringkali juga ditulis sebagai 𝑇(𝑥 1 𝑥 2 … 𝑥 𝑚 ) . Untuk  penyederhanaan  masalah,  jika  terdapat  dua  orang  tertanggung  yaitu (𝑥) dan (𝑦) , maka 𝑇(𝑥𝑦) = min[𝑇(𝑥), 𝑇(𝑦)] . Dari sini, fungsi distribusi untuk 𝑇(𝑥𝑦) adalah 𝐹 𝑇 (𝑡)    = Pr(𝑇(𝑥𝑦) ≤ 𝑡)
= 1 − Pr[min{𝑇(𝑥), 𝑇(𝑦)} > 𝑡] (8)
Ketika  sisa  usia  minimum  dari  kumpulan  sisa  usia (𝑥) dan (𝑦) lebih  dari  suatu nilai, artinya sisa usia (𝑥) dan sisa usia (𝑦) lebih dari nilai tersebut atau {𝑇(𝑥) > 𝑡 𝑑𝑎𝑛 𝑇(𝑦) > 𝑡} .  Menurut [5], variabel  acak  sisa  usia  merupakan  variabel  acak yang saling bebas. Dengan demikian,
𝐹 𝑇 (𝑡)    = 1 − Pr[𝑇(𝑥) > 𝑡 ] Pr[𝑇(𝑦) > 𝑡] = 1 − 𝑆 𝑋 (𝑡)𝑆 𝑌 (𝑡) = 1 − 𝑝 𝑡 𝑥 ⋅ 𝑝 𝑡 𝑦 (9) (10)
Dari [2] , diketahui 𝑆 𝑇(𝑥)𝑇(𝑦) (𝑡, 𝑡) = {𝑇(𝑥) > 𝑡 𝑑𝑎𝑛 𝑇(𝑦) > 𝑡} maka,
𝑝 𝑡 𝑥𝑦 = 𝑝 𝑡 𝑥 ⋅ 𝑝 𝑡 𝑦 (11)
Selanjutnya  fungsi  distribusi  bersama  dengan  status joint life untuk  dua orang tertanggung dapat dituliskan  sebagai 𝐹 𝑇 (𝑡)    = Pr(𝑇(𝑥𝑦) ≤ 𝑡)
= Pr[min{𝑇(𝑥), 𝑇(𝑦)} ≤ 𝑡]
= Pr{[𝑇(𝑥) ≤ 𝑡]⋃[𝑇(𝑦) ≤ 𝑡]}
= Pr[𝑇(𝑥) ≤ 𝑡] + Pr[𝑇(𝑦) ≤ 𝑡] − Pr[𝑇(𝑥) ≤ 𝑡  ∩  𝑇(𝑦) ≤ 𝑡]
= 𝐹 𝑇(𝑥) (𝑡) + 𝐹 𝑇(𝑦) (𝑡) − 𝐹 𝑇(𝑥)𝑇(𝑦) (𝑡, 𝑡) (12)
Dengan notasi khusus untuk peluang meninggal dapat dinyatakan 𝐹 𝑇 (𝑡)    = 𝑞 𝑡 𝑥 + 𝑞 𝑡 𝑦 − 𝑞 𝑡 𝑥𝑦 = 𝑞 𝑡 𝑥 + 𝑞 𝑡 𝑦 − 𝑞 𝑡 𝑥 ⋅ 𝑞 𝑡 𝑦 (13)
Selanjutnya fungsi kepadatan peluang (pdf) untuk (𝑥𝑦) dengan status joint life dapat diperoleh dari fungsi distribusinya, yaitu
𝑓 𝑇(𝑥𝑦) (𝑡) = 𝑑 𝑑𝑡 𝐹 𝑇(𝑥𝑦) (𝑡)
𝑓 𝑇(𝑥𝑦) (𝑡) = 𝑑 𝑑𝑡 [𝐹 𝑇(𝑥) (𝑡) + 𝐹 𝑇(𝑦) (𝑡) − 𝐹 𝑇(𝑥)𝑇(𝑦) (𝑡, 𝑡)]
= 𝑓 𝑇(𝑥) (𝑡) + 𝑓 𝑇(𝑦) (𝑡) − 𝑑 𝑑𝑡 ∫ ∫ 𝑓 𝑇(𝑥)𝑇(𝑦) (𝑢, 𝑣) 𝑡 0 𝑡 0 𝑑𝑢𝑑𝑣 = 𝑓 𝑇(𝑥) (𝑡) + 𝑓 𝑇(𝑦) (𝑡) − [∫ 𝑓 𝑇(𝑥)𝑇(𝑦) (𝑡, 𝑣)𝑑𝑣 ∞ 𝑡 + ∫ 𝑓 𝑇(𝑥)𝑇(𝑦) (𝑢, 𝑡)𝑑𝑢 ∞ 𝑡 ] (14)
Berdasarkan distribusi sisa usia untuk kasus single life , diperoleh
𝑓 𝑇 ( 𝑥𝑦 ) ( 𝑡 ) = 𝑝 𝑡 𝑥 𝜇 ( 𝑥 + 𝑡 ) + 𝑝 𝑡 𝑦 𝜇 ( 𝑦 + 𝑡 ) − [∫ 𝑓 𝑇 ( 𝑥 ) 𝑇 ( 𝑦 ) ( 𝑡, 𝑣 ) 𝑑𝑣 ∞ 𝑡 + ∫ 𝑓 𝑇 ( 𝑥 ) 𝑇 ( 𝑦 ) ( 𝑢, 𝑡 ) 𝑑𝑢 ∞ 𝑡 ] (15)
Kemudian fungsi survival untuk distribusi bersama dengan status joint life adalah
𝑆 𝑇(𝑥)𝑇(𝑦) (𝑡, 𝑡) = ∫ ∫ 𝑓 𝑇(𝑥)𝑇(𝑦) (𝑢, 𝑣) ∞ 𝑡 ∞ 𝑡 𝑑𝑢𝑑𝑣 (16)
Jika pdf ditentukan dari fungsi survival diperoleh
𝑓 𝑇 (𝑡)          = − 𝑑 𝑑𝑡 𝑆 𝑇(𝑥)𝑇(𝑦) (𝑡, 𝑡)
= − 𝑑 𝑑𝑡 [∫ ∫ 𝑓 𝑇(𝑥)𝑇(𝑦) (𝑢, 𝑣) ∞ 𝑡 ∞ 𝑡 𝑑𝑢𝑑𝑣] = ∫ 𝑓 𝑇(𝑥)𝑇(𝑦) (𝑡, 𝑣)𝑑𝑣 ∞ 𝑡 + ∫ 𝑓 𝑇(𝑥)𝑇(𝑦) (𝑢, 𝑡)𝑑𝑢 ∞ 𝑡 = 𝑝 𝑡 𝑥 𝑝 𝑡 𝑦 [𝜇(𝑥 + 𝑡) + 𝜇(𝑦 + 𝑡)] (17)
force  of  mortality bagi (𝑥𝑦) dengan  status joint  life dapat  ditentukan menggunakan pdf dan fungsi ditribusi, dalam [2] dinyatakan
𝜇 𝑥𝑦 (𝑡) = 𝑓 𝑇 (𝑡)
1 − 𝐹 𝑇 (𝑡) dan 𝜇 𝑥𝑦 (𝑡) = 𝜇(𝑥 + 𝑡) + 𝜇(𝑦 + 𝑡)
(18)
Yang  ternyata  sama  dengan  jumlah  dari  laju  kematian  dari  masing-masing tertanggung.
2. Last survivor
Variabel  acak  yang  menyatakan  sisa  usia  dari  sekumpulan  orang  dengan status last  survivor merupakan  sisa  usia  tersingkat  dari  sekumpulan  tertanggung tersebut atau dinyatakan sebagai
𝑇(𝑥 1 , 𝑥 2 , … , 𝑥 𝑚 ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅) = max[𝑇(𝑥 1 ), 𝑇(𝑥 2 ), … , , 𝑇(𝑥 𝑚 )] (19)
Jika kasus disederhanakan menjadi hanya dua orang tertanggung saja , maka
𝑇(𝑥𝑦 ̅̅̅) = max[𝑇(𝑥), 𝑇(𝑦)]
Dari sini dapat dilihat hubungan antara variabel acak sisa usia untuk kedua status pada kasus multiple life , yaitu
𝑇(𝑥𝑦) + 𝑇(𝑥𝑦 ̅̅̅) = min[𝑇(𝑥), 𝑇(𝑦)] + max[𝑇(𝑥), 𝑇(𝑦)] = 𝑇(𝑥) + 𝑇(𝑦) (20) Dan 𝑇(𝑥𝑦) ∙ 𝑇(𝑥𝑦 ̅̅̅) = min[𝑇(𝑥), 𝑇(𝑦)] ∙ max[𝑇(𝑥), 𝑇(𝑦)] = 𝑇(𝑥) ∙ 𝑇(𝑦) (21) karena 𝑇(𝑥𝑦) = {min[𝑇(𝑥), 𝑇(𝑦)] ≤ 𝑡} = {𝑇(𝑥) ≤ 𝑡} ∪ {𝑇(𝑦) ≤ 𝑡} 𝑇(𝑥𝑦 ̅̅̅) = {max[𝑇(𝑥), 𝑇(𝑦)] ≤ 𝑡} = {𝑇(𝑥) ≤ 𝑡} ∩ {𝑇(𝑦) ≤ 𝑡} maka hubungan antara fungsi distribusi keduanya dapat dinyatakan sebagai
𝐹 𝑇(𝑥𝑦) (𝑡) + 𝐹 𝑇(𝑥𝑦 ̅̅̅̅) (𝑡) = 𝐹 𝑇(𝑥) (𝑡) + 𝐹 𝑇(𝑦) (𝑡)
(1 − 𝐹 𝑇(𝑥𝑦) (𝑡)) + (1 − 𝐹 𝑇(𝑥𝑦 ̅̅̅̅) (𝑡))
= (1 − 𝐹 𝑇(𝑥) (𝑡)) + (1 − 𝐹 𝑇(𝑦) (𝑡))
𝑝 𝑡 𝑥𝑦 + 𝑝 𝑡 𝑥𝑦 ̅̅̅̅ = 𝑝 𝑡 𝑥 + 𝑝 𝑡 𝑦 𝑝 𝑡 𝑥𝑦 ̅̅̅̅ = 𝑝 𝑡 𝑥 + 𝑝 𝑡 𝑦 − 𝑝 𝑡 𝑥𝑦 𝑞 𝑡 𝑥𝑦 ̅̅̅̅ = 𝑞 𝑡 𝑥 + 𝑞 𝑡 𝑦 − 𝑞 𝑡 𝑥𝑦 (22)
(23) (24)
Selanjutnya,  persamaan  yang  menunjukkan  hubungan  antara  fungsi kepadatan  peluang    dari  kedua  status  diperoleh  dari  turunan  pertama  persamaan (22).
𝑓 𝑇(𝑥𝑦) (𝑡) + 𝑓 𝑇(𝑥𝑦 ̅̅̅̅) (𝑡) = 𝑓 𝑇(𝑥) (𝑡) + 𝑓 𝑇(𝑦) (𝑡) (25)
Laju kematian untuk status last survivor dalam [2] dinyatakan sebagai
𝜇 𝑥𝑦 ̅̅̅̅ (𝑡) = 𝑝 𝑡 𝑥 𝜇(𝑥+𝑡) + 𝑝 𝑡 𝑦 𝜇(𝑦+𝑡)− 𝑝 𝑡 𝑥𝑦 𝜇 𝑥𝑦 (𝑡) 𝑝 𝑡 𝑥𝑦 ̅̅̅̅ (26)
Dengan demikian pdf  untuk status ini adalah
𝑓 𝑥𝑦 ̅̅̅̅ (𝑡) = 𝑝 𝑡 𝑥𝑦 ̅̅̅̅ 𝜇 𝑥𝑦 ̅̅̅̅ (𝑡) = 𝑝 𝑡 𝑥 𝜇(𝑥 + 𝑡)   + 𝑝 𝑡 𝑦 𝜇(𝑦 + 𝑡) − 𝑝 𝑡 𝑥𝑦 𝜇 𝑥𝑦 (𝑡) (27)

## 3. METODE PENELITIAN
Penelitian  ini  dilakukan  berdasarkan  studi  literatur.  Penentukan actuarial  present value (APV)  anuitas  kontinu multiple  life dengan  status joint  life dan last  survivor . Tahapan  pengerjaannya diawali  dengan  mendefinisikan variabel acak  yang  menyatakan nilai  tunai  anuitas  hidup  kontinu  untuk  status multiple  life .  Kemudian,  Menentukan actuarial  present  value dari  jenis  anuitas  yang  ada  pada  tahap  sebelumnya.  Dalam penelitian  ini,  dibatasi  hanya  untuk  jenis  anuitas  seumur  hidup  dan  anuitas  berjangka 𝑛 − tahun. Formula APV  yang  diperoleh akan  diaplikasikan  dalam contoh soal, tentunya dengan menggunakan peluang dalam tabel mortalitas untuk multiple life .

## 4. HASIL DAN PEMBAHASAN
Produk  asuransi  jiwa  sebagai  bentuk  perpindahan  risiko  dari  tertanggung (pemegang  polis)  kepada  penanggung  (perusahaan  asuransi),  menyediakan  jenis pertanggungan  bagi  dua  orang  atau  lebih  ( multiple  life ).  Keuntungan  dari pertanggungan multiple  life adalah  jumlah  tertanggung  yang  diberikan  jaminan lebih  banyak  pada  satu  polis  serta  penghematan  dalam  hal  biaya  baik  biaya administrasi  maupun  biaya  pemasaran.  Jika  dilihat  dari  perspektif  pemegang polis,  rangkaian  pembayaran  premi  merupakan  sebuah  anuitas  yang  bergantung pada  peluang  hidup  tertanggung.  Sama  halnya  dengan  mekanisme  pembayaran santunan  atau  uang  pertanggungan,  anuitas multiple  life juga  bergantung  kepada status  yang  disepakati.  Nilai  penting  yang  dihitung  untuk  anuitas multiple  life yaitu  nilai  sekarang  aktuaria  atau actuarial  present  value (APV)  yang penentuannya melibatkan konsep bunga dan fungsi peluang ( mulitiple life ). Perlu diperhatikan  bahwa  kejadian  hidup  dan  meninggal  antara  satu  tertanggung  dan yang lainnya saling bebas.
4.1  Anuitas dengan status joint life
Anuitas  dengan  status joint  life merupakan anuitas  hidup  dimana  rangkaian pembayarannya  terhenti  apabila  terjadi  kematian  pertama  dari  sebuah  kelompok tertanggung. Sama seperti pada anuitas single life , berdasarkan masa pembayaran anuitas    dengan  status joint  life dapat  berupa  anuitas  seumur  hidup  maupun anuitas berjangka.
1. Anuitas Seumur Hidup
Pembahasan  ini  diawali  dengan  mendefinisikan  variabel  acak  yang  menyatakan nilai  tunai  anuitas  yang  dilakukan  oleh (𝑥𝑦) sampai  dengan  terjadinya  kematian pertama di antara kumpulan tersebut, yaitu
𝑍 = { ( ) T x a , 𝑇(𝑥) ≤ 𝑇(𝑦) ( ) T y a 𝑇(𝑥) > 𝑇(𝑦) 𝑍 = ( ) T xy a , 𝑇(𝑥𝑦) ≥ 0
Nilai sekarang aktuaria merupakan rata-rata dari seluruh kemungkinan nilai tunai anuitas yang bergantung pada usia  meninggal (𝑥𝑦) , 𝑎̅ 𝑥𝑦 = 𝐸[𝑍]   = ∫ t a ∞ 0 𝑝 𝑡 𝑥𝑦 𝜇 𝑥𝑦 (𝑡)𝑑𝑡 = ∫ 1−𝑣 𝑡 𝛿 ∞ 0 𝑝 𝑡 𝑥𝑦 𝜇 𝑥𝑦 (𝑡)𝑑𝑡 = 1 𝛿 [∫ 𝑝 𝑡 𝑥𝑦 𝜇 𝑥𝑦 (𝑡)𝑑𝑡 ∞ 0 − ∫ 𝑣 𝑡 ∞ 0 𝑝 𝑡 𝑥𝑦 𝜇 𝑥𝑦 (𝑡)𝑑𝑡] (28)
Menggunakan  hubungan  antara  fungsi  kepadatan  peluang  dan  fungsi  survival serta sifat dari fungsi kepadatan peluang itu sendiri yang ada dalam [1] , berlaku
𝑝 𝑡 𝑥𝑦 𝜇 𝑥𝑦 (𝑡) = − 𝑑 𝑑𝑡 𝑝 𝑡 𝑥𝑦
dan
∫ 𝑝 𝑡 𝑥𝑦 𝜇 𝑥𝑦 (𝑡)𝑑𝑡 ∞ 0 = 1
Akibatnya,
𝑎̅ 𝑥𝑦 = 1 𝛿 [1 + ∫ 𝑣 𝑡 ∞ 0 𝑑( 𝑝 𝑡 𝑥𝑦 )] = 1 𝛿 + 1 𝛿 ∫ 𝑣 𝑡 ∞ 0 𝑑( 𝑝 𝑡 𝑥𝑦 ) (29)
Suku  kedua  pada  persamaan  di  atas  dapat  diselesaikan  dengan  teknik pengintegralan parsial.
Misalkan, 𝑢 = 𝑣 𝑡 maka 𝑑𝑢 𝑑𝑡 = 𝑣 𝑡 ln 𝑣 ⟺ 𝑑𝑢 = 𝑣 𝑡 ln 𝑣 𝑑𝑡
Dan 𝑑𝑣 = 𝑑 𝑝 𝑡 𝑥𝑦 ⟺ 𝑣 = 𝑝 𝑡 𝑥𝑦
∫ 𝑣 𝑡 ∞ 0 𝑑( 𝑝 𝑡 𝑥𝑦 ) = −1 + 𝛿 ∫ 𝑣 𝑡 ∞ 0 𝑝 𝑡 𝑥𝑦 𝑑𝑡
Dengan demikian,
𝑎̅ 𝑥𝑦 = 1 𝛿 [𝛿 ∫ 𝑣 𝑡 ∞ 0 𝑝 𝑡 𝑥𝑦 𝑑𝑡] = ∫ 𝑣 𝑡 ∞ 0 𝑝 𝑡 𝑥𝑦 𝑑𝑡 = ∫ 𝑣 𝑡 ∞ 0 𝑝 𝑡 𝑥 ⋅ 𝑝 𝑡 𝑦 𝑑𝑡 (30)
2. Anuitas berjangka 𝑛 − tahun
Selanjutnya untuk jenis anuitas berjangka, nilai tunai anuitas yang dilakukan oleh (𝑥𝑦) sampai  dengan  terjadinya  kematian  pertama  di  antara  kumpulan  tersebut atau sampai masa pembayaran anuitas 𝑛 -tahun berakhir, dengan cara yang sama seperti pada jenis seumur hidup yaitu
𝑍 = { ( ) T x a , 𝑇(𝑥) ≤ 𝑇(𝑦) ≤ 𝑛
( ) T y a , 𝑇(𝑦) ≤ 𝑇(𝑥) ≤ 𝑛
n a , 𝑇(𝑥𝑦) > 𝑛
𝑍 = { ( ) T xy a , 𝑇(𝑥𝑦) ≤ 𝑛 n a

## 𝑇(𝑥𝑦) > 𝑛
Nilai sekarang aktuaria merupakan rata-rata dari seluruh kemungkinan nilai tunai anuitas yang bergantung pada usia  meninggal (𝑥𝑦) ,
: xy n a = 𝐸[𝑍]
= ∫ t a 𝑛 0 𝑝 𝑡 𝑥𝑦 𝜇 𝑥𝑦 (𝑡)𝑑𝑡 + ∫ n a ∞ 𝑛 𝑝 𝑡 𝑥𝑦 𝜇 𝑥𝑦 (𝑡)𝑑𝑡 = ∫ 1−𝑣 𝑡 𝛿 𝑛 0 𝑝 𝑡 𝑥𝑦 𝜇 𝑥𝑦 (𝑡)𝑑𝑡 + n a ∫ 𝑝 𝑡 𝑥𝑦 𝜇 𝑥𝑦 (𝑡)𝑑𝑡 ∞ 𝑛 = 1 𝛿 [(1 − 𝑝 𝑛 𝑥𝑦 ) + (𝑣 𝑛 𝑝 𝑛 𝑥𝑦 − 1 + 𝛿 ∫ 𝑣 𝑡 𝑛 0 𝑝 𝑡 𝑥𝑦 𝑑𝑡)] + n a 𝑝 𝑛 𝑥𝑦 = [( 1 𝛿 − 1 𝛿 𝑝 𝑛 𝑥𝑦 ) + ( 1 𝛿 𝑣 𝑛 𝑝 𝑛 𝑥𝑦 − 1 𝛿 + ∫ 𝑣 𝑡 𝑛 0 𝑝 𝑡 𝑥𝑦 𝑑𝑡)] + n a 𝑝 𝑛 𝑥𝑦 = ∫ 𝑣 𝑡 𝑛 0 𝑝 𝑡 𝑥𝑦 𝑑𝑡 = ∫ 𝑣 𝑡 𝑛 0 𝑝 𝑡 𝑥 ⋅ 𝑝 𝑡 𝑦 𝑑𝑡 (31)

## 4.2  Anuitas dengan status last survivor
Anuitas  yang  dilakukan  oleh  dua  orang  tertanggung  dengan  status last  survivor memperhatikan  kematian  terakhir  yang  terjadi  di  antara  keduanya.  Rangkaian pembayaran  baru  akan  dihentikan  setelah  terjadi  kematian  terakhir  di  dalam kumpulan tersebut.
1. Anuitas Seumur Hidup
Untuk jenis anuitas seumur hidup, dapat didefinisikan sebuah variabel acak yang menyatakan nilai tunai dari rangkaian pembayaran tersebut.
𝑍 = { ( ) T y a , 𝑇(𝑥) ≤ 𝑇(𝑦) ( ) T x a 𝑇(𝑥) > 𝑇(𝑦) 𝑍 = ( ) T xy a , 𝑇(𝑥𝑦 ̅̅̅) ≥ 0
Dari sini, nilai tunai aktuaria diperoleh dari ekspektasi variabel acak di atas atau
𝑎̅ 𝑥𝑦 ̅̅̅̅ = 𝐸(𝑍) = ∫ t a ∞ 0 𝑝 𝑡 𝑥𝑦 ̅̅̅̅ 𝜇 𝑥𝑦 ̅̅̅̅ (𝑡)𝑑𝑡
Karena 𝑝 𝑡 𝑥𝑦 ̅̅̅̅ 𝜇 𝑥𝑦 ̅̅̅̅ (𝑡) merupakan  pdf  dan t a di  sini  merupakan  fungsi  yang  sama dengan pada status joint life , maka dengan proses yang sama diperoleh
𝑎̅ 𝑥𝑦 ̅̅̅̅ = ∫ 𝑣 𝑡 ∞ 0 𝑝 𝑡 𝑥𝑦 ̅̅̅̅ 𝑑𝑡 (32)
Selanjutnya,  menggunakan  hubungan  antara  anuitas  hidup last  survivor dengan anuitas single life serta anuitas hidup joint life yaitu 𝑎̅ 𝑥𝑦 ̅̅̅̅ = ∫ 𝑎̅ 𝑡| ̅ ∞ 0 [ 𝑝 𝑡 𝑥 𝜇(𝑥 + 𝑡)   + 𝑝 𝑡 𝑦 𝜇(𝑦 + 𝑡) − 𝑝 𝑡 𝑥𝑦 𝜇 𝑥𝑦 (𝑡)]𝑑𝑡 = ∫ 𝑎̅ 𝑡| ̅ 𝑝 𝑡 𝑥 𝜇(𝑥 + 𝑡) 𝑑𝑡 ∞ 0 + ∫ 𝑎̅ 𝑡| ̅ 𝑝 𝑡 𝑦 𝜇(𝑦 + 𝑡) 𝑑𝑡 ∞ 0 − ∫ 𝑎̅ 𝑡| ̅ 𝑝 𝑡 𝑥𝑦 𝜇 𝑥𝑦 (𝑡) 𝑑𝑡 ∞ 0 = ∫ 𝑣 𝑡 ∞ 0 𝑝 𝑥 𝑡 𝑑𝑡 + ∫ 𝑣 𝑡 ∞ 0 𝑝 𝑦 𝑡 𝑑𝑡 − ∫ 𝑣 𝑡 ∞ 0 𝑝 𝑥𝑦 𝑡 𝑑𝑡 = 𝑎̅ 𝑥 + 𝑎̅ 𝑦 − 𝑎̅ 𝑥𝑦 (33)
2. Anuitas berjangka 𝑛 − tahun
Rangkaian  pembayaran  yang  dilakukan  oleh  dua  orang  dengan  status last survivor selama 𝑛 − tahun  akan  mendatangkan  beberapa  kemungkinan.  Jika
(𝑥𝑦 ̅̅̅) ≤ 𝑛 maka  pembayaran  akan  terhenti  di  saat  terjadi  kematian  terakhir  di antara  kedua  tertanggung.  Akan  tetapi,  jika (𝑥𝑦 ̅̅̅) > 𝑛 maka  rangkaian pembayaran  akan  dilakukan  sampai  jangka  waktu  pembayaran  berakhir  yaitu 𝑛 − tahun.
𝑍 = { ( ) T xy a , 𝑇(𝑥𝑦 ̅̅̅) ≤ 𝑛 n a , 𝑇(𝑥𝑦 ̅̅̅) > 𝑛
Penentuan nilai sekarang aktuaria untuk jenis anuitas hidup berjangka 𝑛 − tahun dengan  status last  survivor melalui  tahapan  yang  mirip  dengan  anuitas  hidup joint life dan diperoleh
: xy n a = ∫ 𝑣 𝑡 𝑛 0 𝑝 𝑡 𝑥𝑦 ̅̅̅̅ 𝑑𝑡 = ∫ 𝑣 𝑡 𝑛 0 [ 𝑝 𝑡 𝑥 + 𝑝 𝑡 𝑦 − 𝑝 𝑡 𝑥𝑦 ]𝑑𝑡 = ∫ 𝑣 𝑡 𝑛 0 𝑝 𝑡 𝑥 𝑑𝑡 + ∫ 𝑣 𝑡 𝑛 0 𝑝 𝑡 𝑦 𝑑𝑡 − ∫ 𝑣 𝑡 𝑛 0 𝑝 𝑡 𝑥𝑦 𝑑𝑡 (34)
: : : : xy n x n y n x n y a a a a    (35)

## 5. KESIMPULAN
Status Multiple Life Jenis Anuitas Variabel Acak Nilai Tunai dan APV Joint Life Anuitas seumur hidup 𝑍 = ( ) T xy a , 𝑇(𝑥𝑦) ≥ 0
𝑎 ̅ 𝑥𝑦 = ∫ 𝑣 𝑡 ∞ 0 𝑝 𝑡 𝑥 ⋅ 𝑝 𝑡 𝑦 𝑑𝑡
Anuitas berjangka 𝑛 − tahun
𝑍 = { ( ) T xy a , 𝑇(𝑥𝑦) ≤ 𝑛 n a 𝑇(𝑥𝑦) > 𝑛 : 0 n t n y xy t x t v p a p dt    Last Survivor Anuitas seumur hidup 𝑍 = ( ) T xy a , 𝑇(𝑥𝑦 ̅̅̅) ≥ 0
𝑎 ̅ 𝑥𝑦 ̅̅̅ = ∫ 𝑣 𝑡 ∞ 0 𝑝 𝑥 𝑡 𝑑𝑡 + ∫ 𝑣 𝑡 ∞ 0 𝑝 𝑦 𝑡 𝑑𝑡 − ∫ 𝑣 𝑡 ∞ 0 𝑝 𝑥𝑦 𝑡 𝑑𝑡 = 𝑎̅ 𝑥 + 𝑎̅ 𝑦 − 𝑎̅ 𝑥𝑦
Anuitas berjangka 𝑛 − tahun 𝑍 = { ( ) T xy a , 𝑇(𝑥𝑦 ̅̅̅) ≤ 𝑛 n a , 𝑇(𝑥𝑦 ̅̅̅) > 𝑛 : 0 0 0 n n n t t t t x t y t xy xy n a v p dt v p dt v p dt       : : : : xy n x n y n x n y a a a a   

## REFERENSI
[1] Bain,  L.J.  &  Engelhardt,  M.  1992. Introduction  To  Probability  And Mathematical  Statistics. Edisi 2. Duxbury Thomson Learning, United States of America.
[2] Bowers Jr, N.L., dkk. 1986. Actuarial Mathematics . The Society of Actuaries, Itasca.
[3] Dellinger,  J.  K.  2006. The  Handbookof  Variable  Income  Annuities .  John Wiley & Sons. New York.
[4] Dickson, D.C.M. M.  R.  Hardy  and  H.  R.  Waters.  2009. Actuarial Mathematics for Life Contingent Risks . Cambridge University Press. UK.
[5] Gerber, H.U. 1997. Life Insurance Mathematics . Edisi Ketiga. Springer, New York.
[6] Kellison,  Stephen  G.  2009. The  Theory  of  Interest  :  3rd  Edition .  McGraw Hill. New York.
[7] Promislow,  S.  David.  2011. Fundamentals  of  actuarial  mathematics  :  2nd Edition .  John Wiley & Sons Ltd. UK.