SIFAT-SIFAT RING FAKTOR YANG DILENGKAPI DERIVASI

## Iwan Ernanto
Departemen Matematik a, Fak ultas MIPA, Universitas Gadjah Mada Sek ip Utara BLS 21 Yogyakarta, Indonesia, 55281
Email : iwan.ernanto@ugm.ac.id
Abstract. Let is a ring with unit element  and  is a derivation  on  . An ideal  of is called  -ideal if it satisfies . Related to the theory of ideal, we can define  prime
-ideal and maximal  -ideal.  The ring is called  -simple  if  is non-zero and the only -ideal of are and  . In this paper, given  the necessary and sufficient  conditions
for quotient  ring is a  -simple  where is a derivation  on such that . Keywords: Derivation, prime ideal, maximal ideal.
Abstrak. Diberikan sebarang ring dengan elemen satuan dan derivasi  pada  . Suatu ideal   di disebut ideal- jika  memenuhi
. Seperti halnya  pada teori ideal,
pada ideal- juga dapat didefinisikan  ideal- prima dan ideal- maksimal.  Ring disebut  ring  -sederhana jika ring tak nol dan ideal- di hanyalah dan dirinya sendiri.  Pada paper ini,  diberikan syarat perlu dan cukup ring faktor merupakan ring -sederhana dengan adalah derivasi pada yang memenuhi .
Kata kunci: Derivasi,  ideal prima, ideal maksimal

## I. PENDAHULUAN
Struktur aljabar merupakan salah satu cabang ilmu matematika. Salah satu yang dipelajari dalam struktur aljabar adalah teori ring. Materi mengenai  teori ring hampir  ada pada setiap buku yang membahas mengenai struktur aljabar, salah satunya dikemukakan oleh Malik et al [6]. Ring merupakan suatu himpunan yang dilengkapi dengan operasi penjumlahan dan operasi perkalian.  Lebih lanjut,  sebagai struktur aljabar, ring memiliki himpunan-himpunan bagian yang khusus, yang salah satu diantaranya adalah ideal. Ideal merupakan himpunan bagian yang merupakan subgrup terhadap operasi penjumlahan dan hasil kali sebarang anggota di himpuna n tersebut dengan sebarang anggota di ring hasilnya  masih menjadi anggota dari himpuna n bagian tersebut. Beberapa jenis ideal yang dipelajari adalah ideal prima dan ideal maksima l. Pada tahun 2008, Hashemi [4] melakukan  penelitian mengenai ideal prima dan ideal prima kuat pada ring polynomial skew Laurent.
Di lain pihak, salah salah satu ring yang sering dipelajari adalah ring polinomial.  Pada ring polinomial , selalu  diasumsikan  bahwa untuk  setiap
[6].  Pada
perkembangannya,  ring polinomial ini diperumum  oleh Gooderal dan Warfield [3] menjadi Differential Ring dengan
untuk  setiap dengan merupakan pemetaan dari ke  . Karena berlaku untuk  sebarang , diperoleh dan
untuk  setiap . Pemetaan  yang memenuhi kondisi tersebut disebut derivasi.  Kajian mengenai derivasi salah satunya dilakukan oleh Creedon [2], yang menyelidiki sifat-sifat derivasi berkaitan dengan ideal prima.

## JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS
AND APPLICATIONS (JFMA), Vol. 1, No. 1 (June 2018) Available online at www.jfma.matematika.undip.ac.id
Berdasarkan definisi  derivasi yang dikemukakan sebelumnya,  peta dari suatu ideal  di ring mempunyai  dua kemungkinan,  yaitu atau
. Ideal di ring yang memenuhi disebut ideal- [3]. Selanjutnya,  Helmi  et al [5] mendefinisikan  dua jenis ideal- , yaitu ideal- prima dan ideal- maksimal.  Lebih lanjut,  Bronstein [1] menyatakan bahwa jika  merupakan ideal- maka terdapat derivasi pada yang memenuhi .
Berdasarkan eksistensi derivasi pada ring  faktor [1] dan pendefinisian  ideal- prima dan ideal- maksimal [5], pada penelitian  ini diberikan syarat perlu dan cukup agar ring merupakan ring -sederhana.

## II. DERIVASI  DAN IDEAL-
Pembahasan tentang derivasi dan ideal- dimulai dengan mendefinisikan derivasi.
Definisi 2.1 [1,3,5] Diberikan sebarang ring dengan elemen satuan dan pemetaan .  Pemetaan disebut  derivasi  jika memenuhi dan untuk setiap .
Berdasarkan Definisi  2.1 di atas, jelas bahwa pemetaan nol merupakan derivasi,  yang selanjutnya disebut dengan derivasi nol. Untuk memperjelas pemahaman mengenai derivasi, berikut diberikan beberapa contoh derivasi pada suatu ring.
Contoh 2.2 Diberikan  ring
dan pemetaan dengan
untuk  setiap . Diperhatikan  bahwa untuk  setiap
berlaku
dan
.

## JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS
AND APPLICATIONS (JFMA), Vol. 1, No. 1 (June 2018) Available online at www.jfma.matematika.undip.ac.id
Berdasarkan penjabaran tersebut, pemetaan  merupakan derivasi pada . Contoh 2.3 Diberikan ring polinomial dan pemetaan dengan definisi untuk  setiap . Berdasarkan sifat turunan  pada kalkulus,  dapat dibuktikan bahwa pemetaan  di atas merupakan derivasi  pada .
Lemma 2.4 [3] Diberikan sebarang ring dengan elemen satuan. Untuk setiap dapat didefinisikan  derivasi dengan  definisi untuk  setiap . Selanjutnya, derivasi disebut inner derivasi pada  .
Pada kasus ring merupakan ring komutatif, diperoleh akibat sebagai berikut.
Akibat 2.5 Jika merupakan ring komutatif dengan elemen satuan maka satu-satunya inner derivasi adalah derivasi nol.
Selanjutnya,  diperhatikan derivasi pada Contoh  2.2. Karena terdapat matrik sehingga  berlaku untuk setiap  matrik . Jadi derivasi merupakan inner derivasi  pada .
Sebaliknya,  jika diperhatikan  derivasi
pada Contoh 2.3, karena ring polynomia l merupakan ring komutatif maka berdasarkan Akibat 2.5 diperoleh bahwa pemetaan bukan merupakan inner derivasi  pada ring
.
Salah satu fakta yang muncul  pada ring dengan elemen satuan, jika derivasi merupakan inner derivasi dan  merupakan ideal di  maka berlaku . Namun,
jika bukan merupakan inner derivasi maka belum tentu berlaku . Contoh berikut akan memperlihatkan  bahwa . Contoh 2.6 Diberikan ring  polynomial dan pemetaan dengan  definis i untuk  setiap seperti pada Contoh 2.3. Selanjutnya  diambil  ideal . Diperhatikan  bahwa dan  berlaku , jadi diperoleh .
Berdasarkan hasil pada Contoh 2.6, menginspirasi untuk mendefinisikan  ideal  di yang memenuhi  kondisi
seperti yang dikemukakan  oleh Goodearl dan Warfield  [3] dan Helmi  et al [5].
Definisi 2.7 [3,5] Diberikan sebarang ring dengan elemen satuan, ideal  di dan derivasi pada  . Ideal  disebut ideal- jika memenuhi . Contoh 2.8 Diberikan  ring polynomial dan derivasi dengan  definis i untuk  setiap seperti pada Contoh 2.3. Selanjutnya  diambil  ideal . Misalkan sebarang polinom di  . Berdasarkan algoritma  pembagian, untuk  suatu dan . Diperhatikan  bahwa . Dengan demikian diperoleh .  Jadi merupakan ideal- di .
JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS AND APPLICATIONS (JFMA), Vol. 1, No. 1 (June 2018) Available online at www.jfma.matematika.undip.ac.id
Seperti halnya  pada ideal yang sudah dipelajari,  berikut diberikan sifat-sifat ideal- berkaitan dengan irisan, jumlahan,  dan perkalian dari dua ideal- .
Lemma 2.9 Diberikan ring dengan elemen satuan dan derivasi pada  . Jika dan merupakan dua ideal- di maka berlaku ,
, dan merupakan ideal- di  .
Bukti. Diketahui dan merupakan dua ideal- di  , artinya
dan .
Karena dan dua ideal- di  , diperoleh  bahwa dan masing- masing merupakan ideal di sehingga , , dan merupakan ideal di  . i) Dibuktikan . Diambil  sebarang , artinya dan . Karena dan merupakan  dua ideal- di  , diperoleh dan . Dengan demikian . Jadi merupakan ideal- di  . ii) Dibuktikan . Diambil sebarang , artinya untuk  suatu dan . Karena
merupakan derivasi dan  dan merupakan dua ideal- di  diperoleh . Jadi merupakan  -ideal di iii) Dibuktikan . Diambil  sebarang ,  artinya untuk  suatu , . Karena  dan merupakan dua ideal- di diperoleh dan untuk  setiap . Dengan demikian diperoleh . Jadi merupakan ideal- di  . Terbukti bahwa , , dan merupakan ideal- di  .
Seperti halnya  pada teori ideal yang sudah dikenal,  dalam konsep ideal- juga  dapat didefinisikan ideal- kiri dari suatu ring.  Ideal kiri di ring disebut ideal- kiri  jika memenuhi . Secara analog, dapat didefinisikan  ideal- kanan dari suatu ring. Lemma berikut merupakan hubungan antara ideal- kiri dan ideal- pada ring .
Lemma 2.10 Jika  merupakan ideal- kiri maka merupakan ideal- di ring  .
Bukti. Diketahui merupakan ideal- kiri di  . Jelas  bahwa merupakan  ideal di  .
Selanjutnya, diambil sebarang , artinya untuk  suatu , . Karena merupakan ideal- kiri di diperoleh . Dengan
demikian diperoleh
Jadi merupakan ideal- di  . Secara analog dapat dibuktikan  bahwa merupakan ideal- .
JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS AND APPLICATIONS (JFMA), Vol. 1, No. 1 (June 2018) Available online at www.jfma.matematika.undip.ac.id
Dengan cara yang sama, dapat dibuktikan  jika merupakan ideal- kanan maka diperoleh merupakan ideal- di ring  .
Pada teori ideal, telah dikenalkan  konsep ideal prima dan ideal maksimal.  Pendefinis ia n mengenai ideal prima dan ideal maksimal memotivasi untuk mendefinisikan ideal- prima dan ideal- maksimal  di ring  . Berikut diberikan definisi ideal- prima dan ideal- maksimal di ring yang dikemukakan oleh Helmi et al [5].
Definisi 2.11 [5] Diberikan ring  dengan elemen satuan dan derivasi  pada  . Suatu  -ideal disebut ideal- prima jika untuk setiap dua ideal- dan  di dengan berakibat atau
.
Definisi 2.12 [5] Diberikan ring dengan elemen satuan dan derivasi  pada  . Suatu ideal- disebut ideal- maksimal jika dan tidak ada ideal- di sehingga
.
Berikut ini diberikan contoh ideal- yang merupakan ideal- prima dan ideal- maksimal.
Contoh  2.13 Diberikan  ring polynomial dan derivasi dengan  definis i untuk  setiap seperti pada Contoh 2.3. Diperhatikan  bahwa ideal merupakan ideal- di . Lebih lanjut  ideal  merupakan
ideal prima di
. Selanjutnya  diambil sebarang dua ideal- dan di dengan
. Karena dan merupakan  ideal di dan merupakan ideal prima di maka
diperoleh
atau . Jadi diperoleh  bahwa merupakan ideal- prima. Contoh  2.14 Diberikan  ring polynomial dan pemetaan dengan  definis i untuk  setiap seperti pada Contoh 2.3. Berdasarkan Contoh 2.8,
telah diketahui bahwa
merupakan ideal- di . Andaikan terdapat ideal- di yang  memenuhi .  Karena maka  terdapat tetapi . Misalkan untuk  suatu . Diperhatikan  bahwa Karena maka atau . Jika maka untuk suatu bilanga n bulat  . Karena dan diperoleh . Karena dan diperoleh , yang  berakibat ,  suatu kontradiksi.  Jadi haruslah . Karena maka diperoleh atau dengan kata lain untuk suatu bilangan bulat  . Karena diperoleh . Karena dan diperoleh , yang  berakibat , suatu
kontradiksi.  Jadi yang benar adalah tidak terdapat ideal-
di yang memenuhi .
Jadi diperoleh bahwa
merupakan ideal- maksimal di .
Berikut ini diberikan syarat perlu dan cukup ideal- dari suatu ring merupakan ideal- prima.
Teorema 2.15 Diberikan ring dengan elemen satuan dan derivasi  pada serta ideal- di  . Pernyataan-pernyataan berikut ini ekuivalen
i) Ideal- P merupakan ideal- prima

## JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS
AND APPLICATIONS (JFMA), Vol. 1, No. 1 (June 2018) Available online at www.jfma.matematika.undip.ac.id
ii) Untuk setiap ideal- kiri di dengan berakibat atau . iii) Untuk setiap ideal- kanan di dengan berakibat atau . Bukti. Jelas memenuhi. Diketahui merupakan ideal- prima  di  . Diambil sebarang ideal- kiri di dengan
. Berdasarkan Lemma 2.10 diperoleh bahwa
dan merupakan ideal- di  . Diperhatikan  bahwa . Karena merupakan merupakan ideal- prima di  diperoleh atau . Karena dan maka  diperoleh atau . Dengan  cara yang  sama dapat
dibuktikan .
Pada teori ideal, telah diketahui bahwa setiap ideal maksimal pasti merupakan ideal prima. Merujuk fakta tersebut, berikut ini merupakan hubungan antara ideal- maksimal dan ideal- prima.
Teorema 2.16 Diberikan  ring dengan elemen satuan dan derivasi pada  .  Jika merupakan ideal- maksimal maka merupakan ideal- prima .
Bukti. Diketahui merupakan ideal- maksimal di  . Diambil sebarang dua ideal-
dan
dengan
.  Misalkan , sehingga  cukup dibuktikan . Karena dan
merupakan dua ideal- dan , berdasarkan Lemma  2.9 diperoleh merupakan
ideal- , lebih lanjut
. Karena merupakan ideal- maksimal diperoleh bahwa . Selanjutnya  diperhatikan bahwa .
Dengan demikian terbukti bahwa merupakan ideal- prima.
Konvers dari Teorema 2.16 belum tentu berlaku.  Sebagai counter example -nya, ideal merupakan ideal- prima  di tetapi bukan merupakan ideal- maksimal di
karena terdapat ideal- yang  memenuhi . Pada teori ideal,  telah diketahui bahwa setiap ideal sejati pada suatu ring pasti termuat di dalam suatu ideal maksima l. Berdasarkan fakta tersebut, selanjutnya ditunjukkan eksistensi ideal- maksimal dari suatu ring yang dilengkapi  dengan derivasi  .
Teorema 2.17. Diberikan ring dengan elemen satuan dan derivasi  pada  . Setiap ideal- sejati dari selalu termuat di suatu ideal- maksimal dari  .
Bukti. Diambil sebarang ideal- di  . Dibentuk
.
Jelas bahwa , sebab memuat  . Mudah dipahami  bahwa merupakan  himpuna n terurut parsial, yakni dengan relasi urutannya  adalah  . Akan ditunjukkan  bahwa setiap rantai di mempunyai  batas atas di . Misalkan sebarang rantai di , dengan adalah suatu himpunan  indeks. Karena untuk  setiap ,  diperoleh . Diambil sebarang dan , berarti dan , untuk  suatu .  Karena merupakan rantai, diperoleh atau .  Misalkan , berakibat .  Karena merupakan ideal- di diperoleh . Lebih lanjut diperoleh .  Jadi merupakan ideal- di  . Jelas bahwa , sebab jika maka untuk

## JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS
AND APPLICATIONS (JFMA), Vol. 1, No. 1 (June 2018) Available online at www.jfma.matematika.undip.ac.id
suatu , dan berakibat (kontradiksi  dengan ). Dengan  demikian merupakan ideal- sejati di  dan memuat  . Mudah dipahami  bahwa merupakan batas atas dari . Berdasarkan Lemma  Zorn, berakibat mempunyai elemen maksimal, katakana . Selanjutnya  ditunjukkan merupakan ideal- maksimal  di  . Andaikan terdapat ideal- di sedemikian  sehingga , berarti
dan berakibat bukan merupakan batas dari (kontradiksi).  Jadi,
merupakan ideal- maksimal di  .

## III. RING FAKTOR YANG DILENGKAPI  DENGAN DERIVASI
Pada teori ring, salah satu yang dipelajari adalah mengenai  ring faktor. Sebelum membicarakan ring faktor yang berkaitan dengan ideal- , berikut diberikan derivasi pada suatu ring faktor.
Lemma 3.1 [1] Diberikan sebarang ring dengan elemen satuan dan derivasi  pada  . Jika merupakan ideal- di maka pengaitan dengan definisi untuk setiap , merupakan derivasi. Lebih lanjut, pengaitan memenuhi dengan merupakan proyeksi dari ke . Bukti. Sebelumnya  dibuktikan bahwa pengaitan merupakan pemetaan. Diambil  sebarang dengan , yang  berarti . Diperhatikan  bahwa ,  berakibat . Jadi merupakan pemetaan. Selanjutnya  untuk sebarang berlaku
dan
. Terbukti bahwa merupakan derivasi pada . Selanjutnya,  dibuktikan . Diambil sebarang , berlaku . Karena berlaku untuk  sebarang maka diperoleh . Lemma 3.2 Diberikan  sebarang  ring dengan elemen satuan yang dilengkapi dengan derivasi dan ideal- di .  Jika merupakan ideal- di maka merupakan ideal- di .
Bukti. Jelas bahwa merupakan ideal di . Selanjutnya,  karena merupakan ideal- di maka  berlaku untuk  setiap . Jadi . Terbukti merupakan ideal- di .
Lemma 3.3 Diberikan  sebarang  ring dengan elemen satuan yang dilengkapi dengan derivasi  dan ideal- di  . Jika merupakan ideal- di maka terdapat ideal- di
yang memenuhi . Bukti. Dibentuk , jelas karena . Diambil  sebarang dan , diperoleh . Karena merupakan ideal- di diperoleh
JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS AND APPLICATIONS (JFMA), Vol. 1, No. 1 (June 2018) Available online at www.jfma.matematika.undip.ac.id
, , , sehingga  diperoleh .  Jadi terbukti merupakan ideal- di . Selanjutnya,  berdasarkan pembentukan himpunan  , diperoleh
.
Pada teori ideal, diketahui  jika merupakan ring dengan elemen satuan dan merupakan ideal maksimal di  maka ring faktor
merupakan division ring, yang idealnya hanya dan . Dengan kata lain, merupakan ring sederhana. Adanya ring sederhana memotivasi untuk mendefinisikan  ring  -sederhana seperti yang dikemukakan  oleh Gooderl dan Warfield. Berikut ini diberikan definisi mengenai ring  -sederhana.
Definisi 3.3 [3] Diberikan  ring dengan elemen satuan dan derivasi pada  .  Ring dikatakan  -sederhana jika ideal- di hanya dan dirinya sendiri.
Berikut ini diberikan syarat perlu dan cukup agar ring faktor
merupakan  ring - sederhana merujuk  pada syarat perlu dan cukup ring faktor merupakan ring sederhana.
Teorema 3.4 Diberikan  sebarang ring dengan elemen satuan yang dilengkapi dengan derivasi dan ideal- di  . Ideal- merupakan ideal- maksimal di jika dan hanya jika merupakan ring  -sederhana.
Bukti.
Diketahui merupakan ideal- maksimal di  . Andaikan bukan merupakan
ring -sederhana, jadi terdapat ideal-
di sehingga . Berdasarkan Lemma  3.3 terdapat ideal- . Karena diperoleh
, kontradiksi  dengan merupakan ideal- maksimal.  Jadi pengandaian salah, yang benar merupakan ring -sederhana.
Diketahui merupakan  ring -sederhana.  Andaikan bukan merupakan ideal- maksimal di  , artinya  terdapat ideal- di  dengan . Dengan demikian  diperoleh dengan . Berdasarkan Lemma  3.2,  merupakan ideal- di , kontradiksi  dengan merupakan  ring
-sederhana. Jadi pengandaian salah, yang benar merupakan ideal- maksimal di ring  .
Dengan menggunakan Teorema 3.4, berikut diberikan contoh suatu ring yang merupakan ring -sederhana.
Contoh 3.5 Pada Contoh 2.14, telah diketahui  bahwa
merupakan ideal- maksima l di ring polynomial yang dilengkapin dengan derivasi  . Selanjutnya  diambil  ring
. Berdasarkan Teorema  3.4, diperoleh  bahwa ring
merupakan ring ring -sederhana.
Dengan memperhatikan Definisi  3.3, jelas bahwa setiap ring sederhana pasti merupakan ring -sederhana tetapi sebaliknya  belum tentu berlaku. Ring
pada Contoh 3.5
merupakan  ring -sederhana tetapi bukan merupakan ring sederhana karena terdapat ideal
yang memenuhi .
Fakta lain pada teori ring terkait dengan ring faktor yaitu jika merupakan ring dengan elemen satuan dan  merupakan ideal prima di  maka ring faktor merupakan domain,

## JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS
AND APPLICATIONS (JFMA), Vol. 1, No. 1 (June 2018) Available online at www.jfma.matematika.undip.ac.id
yang  idealnya merupakan ideal prima di . Dengan  kata lain, merukapan  ring prima. Adanya ring prima memotivasi untuk mendefinisikan ring  -prima.
Definisi 3.6 Diberikan ring dengan elemen satuan dan derivasi  pada  . Ring dikatakan -prima jika ideal- di  .
Berikut ini diberikan syarat perlu dan cukup agar ring faktor
merupakan  ring - prima merujuk  pada syarat perlu dan cukup ring faktor merupakan ring prima.
Teorema 3.7 Diberikan  sebarang ring dengan elemen satuan yang dilengkapi dengan derivasi dan ideal- di  . Ideal- merupakan ideal- prima di jika dan hanya jika merupakan ring  -prima.
Bukti.
Diketahui merupakan ideal- prima  di  . Diambil  sebarang  -ideal di
dengan
. Dimisalkan yang berakibat terdapat yang memenuhi dan , yang artinya  terdapat yang memenuhi dan . Berdasarkan Lemma  3.3 terdapat ideal- di dengan dan .  Karena maka diperoleh yang  memenuhi tetapi , jadi . Selanjutnya  dibuktikan  bahwa . Diambil  sebarang , artinya untuk  suatu sehingga  diperoleh untuk  setiap . Dengan demikian  diperoleh ,  berakibat .  Jadi  terbukti .  Karena merupakan ideal- prima  dan merupakan ideal- yang  memenuhi maka diperoleh yang berakibat . Terbukti bahwa merupakan ring -prima. Diketahui merupakan  ring -prima. Diambil sebarang ideal- di dengan . Berdasarkan Lemma  3.2 diperoleh  ,  merupakan ideal- di . Karena diperoleh . Karena merupakan ring -prima  diperoleh atau , yang berakibat atau . Terbukti bahwa merupakan ideal- prima di  .
Dengan memperhatikan Definisi 3.6, setiap ring prima merupakan ring -prima  tetapi sebaliknya  belum tentu berlaku. Sebab jika diambil
pada Contoh 3.5, berdasarkan
Teorema  2.16, Teorema 3.7 diperoleh  bahwa
merupakan  ring -prima,  lebih lanjut ring bukan merupakan ring prima sebab terdapat ideal di dengan yang memenuhi tetapi dan . IV. KESIMPULAN
Dari pembahasan di atas, dapat disimpulkan  bahwa ring faktor merupakan  ring - sederhana jika dan hanya  jika  merupakan ideal- maksimal  di  . Lebih lanjut,  ring faktor merupakan ring -prima jika dan hanya jika  merupakan ideal- prima  di  . Mengingat pendefinisian ideal- ,  jika derivasi
merupakan  suatu inner derivasi  maka hasil-has il yang diperoleh pada penelitian ini akan ekuivalen dengan hasil yang sudah ada pada teori ideal dan teori ring yang sudah dipelajari.

## REFERENSI
[1] Bronstein,  M., 2005, Symbolic Integration I: Transcendental Function , Springer-Ver la g, New York.

## JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS
AND APPLICATIONS (JFMA), Vol. 1, No. 1 (June 2018) Available online at www.jfma.matematika.undip.ac.id
[2] Creedon, T., 1998, Derivations  and Prime  Ideals, Mathematical Proceedings of The Royal Irish Academy , 98A(2), 223-225.
[3] Goodearl, K.R.; Warfield,  Jr., R.B. 2004. An Introduction to Noncommutative Noetherian Rings . Cambridge  University Press: New York.
[4] Hashemi,  E., 2008, Prime Ideals and Strongly  Prime Ideals of Skew Laurent Rings, International Journal of Mathematics and Mathematical Sciences , Vol 2008, 835605.
[5] Helmi,  M.R., Marubayashi,  H., Ueda, A., 2013, Differential Polynomial Rings  Which Are Generalized  Asano prime Ring, Indian J. Pure Appl. Math. , 44(5), 673-681.
[6] Malik,  D.S.; Moderson,  J.M; Sen, M.K. 1998. Fundamental of Abstract Algebra . McGraw-Hill Company. New York.

## JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS
AND APPLICATIONS (JFMA), Vol. 1, No. 1 (June 2018) Available online at www.jfma.matematika.undip.ac.id