Mei 2023

## Pemilihan Model Terbaik pada Generalized Poisson Regression
Menggunakan Akaike Information Criterion
RUT ESRA 1 , DARNAH ANDI NOHE 2 , M. FATHURAHMAN 3
1,2,3) Program Studi Statistika Fakultas MIPA Universitas Mulawarman, Indonesia e-mail: darnah.98@gmail.com

## ABSTRAK
Poisson  regression merupakan  salah  satu  model  regresi  yang  dapat  digunakan  untuk  menganalisis hubungan antara variabel respon yang berupa data count dengan variabel prediktor berupa data count , kontinu, kategorik atau campuran dengan syarat terjadi equidispersion yaitu nilai variansi dari variabel respon harus sama dengan nilai rata-ratanya. Namun yang sering terjadi adalah pelanggaran terhadap equidispersion . Generalized  Poisson  Regression (GPR)  adalah  suatu  model  regresi  yang  digunakan untuk menganalisis hubungan antara variabel respon yang berupa data count dengan satu atau lebih variabel  prediktor  dan  mengalami underdispersion,  equidispersion ,  atau overdispersion .  Data tuberkulosis paru (TB paru) di Indonesia tahun 2020 mengalami overdispersion , sehingga GPR adalah metode yang cocok untuk memodelkan data tersebut. Tujuan penelitian ini adalah untuk mendapatkan model GPR terbaik pada data jumlah kasus TB paru di Indonesia tahun 2020 dan mengetahui faktor-faktor yang  memengaruhinya .  Hasil  analisis  menunjukkan  bahwa  terdapat  lima  belas  model  GPR  yang terbentuk dari empat variabel prediktor yang berpengaruh terhadap jumlah kasus TB paru di Indonesia tahun 2020. Model GPR terbaik berdasarkan  nilai Akaike  Information  Criterion (AIC)  terkecil  adalah model dengan empat variabel yang berpengaruh yaitu kepadatan penduduk, jumlah penduduk miskin, persentase lantai rumah tidak kedap air, dan persentase tempat pengelolaan pangan yang memenuhi syarat.
Kata Kunci: AIC, Data Count, Gpr, Overdispersion, Tuberkulosis Paru

## ABSTRACT
Poisson regression is a regression model that can be used to analyze the relationship between response variables in the form of count data and predictor variables in the form of count, continuous, categorical or mixed data with the condition that equidispersion occurs, namely the variance value of the response variable must be equal to the average value. However, what often happens is that the variance value is greater than the average value or is called overdispersion. Generalized Poisson Regression (GPR) is a regression model used to analyze the relationship between response variables in the form of count data and  one  or  more  predictor  variables  and  occure  underdispersion,  equidispersion  or  overdispersion. Data for pulmonary tuberculosis in Indonesia in 2020  occured overdispersion, so  GPR is a suitable method to model the data. The purpose of this study was to obtain the best GPR model and to obtain the factors  that significantly influence  the number of pulmonary  tuberculosis cases in Indonesia in 2020. The results of the analysis show that there are fifteen GPR models formed from four predictor variables that affect the number of pulmonary tuberculosis cases in Indonesia in 2020. The best GPR model based on the smallest Akaike  Information Criterion (AIC) value is a model with four influential variables, namely population density, number of poor people, percentage of house floors that are not waterproof, and percentage of food management places that meet the requirements.
Kata Kunci: AIC, Count Data, Gpr, Overdispersion, Pulmonary Tuberculosis

## 1.  PENDAHULUAN
Analisis  regresi  merupakan  salah  satu  metode  statistika  yang  sering  digunakan  untuk menyatakan hubungan antar variabel. Hubungan tersebut dapat diekspresikan dalam bentuk
Rut Esra,dkk.

## 74
persamaan  yang  menghubungkan  variabel  respon  dengan  variabel  prediktor  (Wasilaine,  dkk, 2014).  Persamaan  regresi  merupakan  persamaan  garis  yang  menyatakan  adanya  hubungan antara  dua  variabel  tersebut.  Analisis  regresi  sering  digunakan  sebagai  metode  untuk menganalisis  data  variabel  respon  berupa  data  kontinu.  Data  variabel  respon  yang  dapat dianalisis bukan hanya kontinu, tetapi juga dapat berupa data count. Salah satu model regresi yang  dapat  digunakan  untuk  menganalisis  hubungan  antara  variabel  respon  Y  berupa  data count dengan variabel X berupa data count, kontinu, kategorik atau campuran adalah model Poisson Regression.
Poisson  Regression  (PR)  umumnya  diterapkan  pada  data  penelitian  kesehatan  masyarakat, biologi, dan teknik, dimana datanya berupa data count (Simarmata & Ispriyanti, 2011; Darnah, dkk., 2019). Dalam model PR, salah satu asumsi utama adalah terjadinya equidispersion yaitu nilai  variansi  dari  variabel  respon  harus  sama  dengan  nilai  rata-ratanya  (Cahyandari,  2014). Namun hal yang kerap kali terjadi adalah pelanggaran akan asumsi tersebut. Salah satu cara untuk  mengatasi  hal  tersebut  adalah  melakukan  pemodelan  dengan Generalized  Poisson Regression (GPR).  GPR  adalah  salah  satu  model  regresi  yang  digunakan  untuk  menganalisis hubungan  antara  variabel  respon  yang  berupa  data  count  dengan  satu  atau  lebih  variabel prediktor dan mengalami underdispersion atau overdispersion (Ismail & Jemain, 2007; Darnah, 2016).
Dalam  menentukan  hubungan  antara  variabel  respon  dan  prediktor  juga  dibutuhkan  model regresi  terbaik.  Model regresi  terbaik  adalah model yang dapat menjelaskan  perilaku  variabel respon dengan sebaik-baiknya dengan memilih variabel-variabel prediktor dari sekian banyak variabel  prediktor yang  tersedia dalam data. Salah satu  metode  untuk  memilih  model regresi terbaik adalah menggunakan nilai Akaike Information Criterion (AIC) yang ditemukan oleh Akaike dan Schwarz. Model regresi terbaik adalah model dengan nilai AIC terkecil (Fadmi, 2015).
Model GPR pada penelitian ini diaplikasikan pada data Tuberculosis atau tuberkulosis paru (TB paru)  di  Indonesia.  TB  paru  adalah  suatu  penyakit  menular  yang  disebabkan  oleh  kuman Mycobacterium tuberculosis. Melalui laman resmi World Health Organization (WHO), TB paru menjadi salah satu penyakit menular dan paling membahayakan di dunia. Terdapat 4.000 orang meninggal dan 28.000 orang jatuh sakit setiap harinya dikarenakan penyakit ini. World Health Organization  (2018)  menyatakan  Indonesia  merupakan  salah  satu  negara  yang  mempunyai jumlah kasus TB terbesar di dunia diantara 8 negara yaitu India (27%), Cina (9%), Indonesia (8%), Filipina (6%), Pakistan (5%), Nigeria (4%), Bangladesh (4%) and Afrika Selatan (3%). Pada tahun 2020, Indonesia menjadi negara penyumbang kasus TB paru terbanyak ketiga di dunia (World  Health  Organization,  2021).  Melalui  laman  resmi  Kementerian  Kesehatan  Republik Indonesia, TB paru masih menjadi perhatian khusus. Pemerintah Indonesia memiliki komitmen Sustainable Development Goals (SDGs) yaitu mengeliminasi TB paru di Indonesia pada tahun 2030.
Penelitian mengenai TB paru dan faktor-faktor yang memengaruhinya telah banyak dilakukan oleh peneliti. Faktor-faktor yang berpengaruh terhadap kasus TB paru adalah persentase kondisi lantai  rumah  tidak kedap air  (Naben,  dkk., 2013),  persentase  tempat umum dan pengelolaan makanan sehat berpengaruh signifikan terhadap jumlah kasus penyakit TB paru (Lestari, dkk., 2014),  kepadatan  hunian,  ventilasi,  pencahayaan,  kelembapan  (Perdana  &  Putra,  2018), persentase rumah tangga yang memiliki akses terhadap sumber air minum yang layak (Yotenka &  Banapon,  2019),  persentase  penduduk  yang  memiliki  akses  sanitasi  layak,  persentase penduduk miskin, persentase tempat umum sehat, persentase pengelolaan makanan sehat, dan persentase masyarakat berperilaku Hidup Bersih dan Sehat (ber-PHBS) (Asriyanti, dkk., 2022). Tujuan penelitian ini adalah mendapatkan model GPR terbaik pada data jumlah kasus TB paru di Indonesia tahun 2020 dan mengetahui faktor-faktor yang memengaruhinya

## 2.  METODE PENELITIAN

## 2.1  Generalized Linear Models
Generalized  Linear  Models  (GLM)  adalah  perluasan  dari  model  regresi  umum  untuk  variabel respon dengan sebaran keluarga eksponensial (Astuti, dkk, 2013). Terdapat komponen penting dalam GLM yaitu
1. Random Component , yaitu nilai-nilai pengamatan respon Y yang saling bebas dari berdistribusi tertentu.
75
2. Systematic Component, yaitu kombinasi linear dari variabel X dengan parameter β yang dilambangkan dengan 𝐱 i T 𝛃 3. Link Function atau fungsi penghubung yaitu suatu fungsi yang menjelaskan nilai ekspektasi dari variabel respon Y yang menghubungkan dengan variabel-variabel prediktor melalui persamaan linier. Dituliskan dengan 𝜂 𝑖 = 𝑔(∙) , fungsi 𝑔(∙) disebut dengan fungsi penghubung.
(Agresti, 2002).

## 2.2  Distribusi Poisson
Menurut  Walpole  (1995),  distribusi  Poisson  adalah  distribusi  suatu  kejadian  dengan  peluang kecil pada selang waktu tertentu dan hasil pengamatan berupa variabel count . Distribusi peluang untuk variabel acak Poisson Y adalah
𝑓(𝑦) = 𝑒 −𝜇 𝜇 𝑦 𝑦! …(1)
dengan  μ  merupakan  rata -rata  banyaknya  kejadian  dalam  selang  tertentu, 𝑦 = 1,2, … , 𝑛 dan variansi  dari  Y  mempunyai  nilai  lebih  dari  nol.  Untuk  mengetahui  apakah  data  berdistribusi Poisson atau tidak adalah dengan menggunakan uji Kolmogorov-Smirnov . Hipotesis:
𝐻 0 ∶ 𝐹(𝑥) = 𝑓 0 (𝑥) (Data mengikuti suatu distribusi) 𝐻 0 ∶ 𝐹(𝑥) ≠ 𝑓 0 (𝑥) (Data tidak mengikuti suatu distribusi) Statistik uji:
𝐷 = 𝑚𝑎𝑥|𝐹(𝑥) − 𝑓 0 (𝑥)|
…(2)
dengan 𝐹(𝑥) adalah distribusi populasi dan 𝑓 0 (𝑥) adalah distribusi sampel. 𝐻 0 ditolak jika 𝐷 > 𝐷 𝛼 atau nilai hasil output kurang dari nilai 𝛼 (Lungan, 2006).

## 2.3  Multikolinearitas
Menurut Priyatno (2013), adanya hubungan antar variabel bebas atau disebut multikolinieritas dalam model regresi  dapat dideteksi menggunakan Variance Inflation Factor (VIF). VIF kurang dari  atau  sama  dengan  10  maka  tidak  terjadi  multikolinieritas  pada  model  regresi.  Nilai  VIF dinyatakan sebagai berikut
𝑉𝐼𝐹 = 1 (1 − 𝑅 𝑗 2 ) ; 𝑗 = 1,2, … , 𝑝
…(3)
dengan p adalah  banyaknya  variabel, 𝑅 𝑗 2 adalah  nilai  koefisien  determinasi  dari  variabel 𝑋 𝑗 dengan variabel prediktor lainnya, yaitu
𝑅 𝑗 2 = 𝐽𝑢𝑚𝑙𝑎ℎ 𝐾𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑡 𝑅𝑒𝑔𝑟𝑒𝑠𝑖
𝐽𝑢𝑚𝑙𝑎ℎ 𝐾𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑡 𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 = ∑ ∑ (𝑌̂ 𝑖𝑗 − 𝑌̅ 𝑗 ) 𝑝 𝑗=1 𝑛 𝑖=1 ∑ ∑ (𝑌 𝑖𝑗 − 𝑌̅ 𝑗 ) 2 𝑝 𝑗=1 𝑛 𝑖=1 …(4)
(Hocking, 1996).

## 2.4  Poisson Regression
Myers (1990) mengatakan bahwa Poisson Regression (PR) adalah suatu model regresi non-linear yang  digunakan  untuk  menganalisis  data  berdistribusi  Poisson  dimana  variabel  respon berbentuk data count dan  nilainya  adalah integer tidak  negatif  (Cahyandari,  2014).  Beberapa asumsi yang harus dipenuhi dalam penggunaan PR, yaitu variabel respon mengikuti distribusi Poisson, equidispersion , dan tidak terjadi multikolinieritas. PR termasuk salah satu GLM. Fungsi peluang untuk PR adalah
𝑓(𝑦) = 𝑒 −𝜇 𝑖 𝜇 𝑖 𝑦 𝑖 𝑦 𝑖 ! …(5)
untuk 𝜇 𝑖 > 0 dengan
𝜇 𝑖 merupakan rataan dari variabel respon Y dan 𝑉𝑎𝑟(𝑌 𝑖 ) = 𝐸(𝑌 𝑖 ) (Safrida,  dkk,  2013).  Estimasi  parameter  model  PR  menggunakan Maximum Likelihood Estimation (MLE). Fungsi likelihood dari persamaan 5 adalah
Rut Esra,dkk.
76
𝐿(𝜇 𝑖 ) = ∏ 𝑒 −𝜇 𝑖 𝜇 𝑖 𝑦 𝑖 𝑦 𝑖 ! 𝑛 𝑖=1
…(6)
dengan 𝜇 𝑖 = exp(𝐱 𝑖 𝑇 𝛃) maka diperoleh fungsi pada persamaan 7 sebagai berikut.
𝐿(𝛃) = ∏ exp (−exp(𝐱 𝑖 𝑇 𝛃)) (exp(𝐱 𝑖 𝑇 𝛃)) 𝑦 𝑖 𝑦 𝑖 ! 𝑛 𝑖=1
…(7) Jika ℓ(𝛃) = ln𝐿(𝛃) maka fungsi log likelihood dari persamaan 7 adalah:
ℓ(𝛃) = ln (∏ exp (−exp(𝐱 𝑖 𝑇 𝛃)) (exp(𝐱 𝑖 𝑇 𝛃)) 𝑦 𝑖 𝑦 𝑖 ! 𝑛 𝑖=1 ) = ∑ exp (−exp(𝐱 𝑖 𝑇 𝛃)) (exp(𝐱 𝑖 𝑇 𝛃)) 𝑦 𝑖 𝑦 𝑖 ! 𝑛 𝑖=1 = ∑ ln (exp (−exp(𝐱 𝑖 𝑇 𝛃))) + ln (exp(𝐱 𝑖 𝑇 𝛃)) 𝑦 𝑖 − ln(𝑦 𝑖 !) 𝑛 𝑖=1 = ∑ [−exp(𝐱 𝑖 𝑇 𝛃) + 𝑦 𝑖 (𝐱 𝑖 𝑇 𝛃) − ln(𝑦 𝑖 !)] 𝑛 𝑖=1 …(8)
Selanjutnya persamaan 8  diturunkan  terhadap 𝛃 𝑇 untuk  memperoleh  turunan  pertama yang ditunjukkan pada persamaan 9
𝜕ℓ(𝛃) 𝜕𝛃 𝑇 = ∑ (𝑦 𝑖 − exp(𝐱 𝑖 𝑇 𝛃)) 𝑛 𝑖=1 𝐱 𝑖 = 0 …(9)
Persamaan 9 merupakan persamaan yang eksplisit sehingga memerlukan metode iterasi dalam penyelesaiannya.  Metode  yang digunakan  adalah  metode  iterasi Fisher-Scoring (Aulele,  2012). Algoritma iterasi Fisher-Scoring adalah
𝛃 ̂ (𝑚+1) = 𝛃 ̂ (𝑚) − 𝐈 −1 (𝛃 ̂ (𝑚) )𝐠 𝑇 (𝛃 ̂ (𝑚) ) …(10)
dimana
𝛃 ̂ (𝑚) adalah vektor dari estimator parameter pada iterasi ke- m dengan 𝑚 = 1,2, … , 𝑘 .
𝐈 −1 (𝛃 ̂ (𝑚) ) = −𝐸
[ 𝜕ℓ(𝛃 ̂) 𝜕𝛽 ̂ 0 2 𝜕ℓ(𝛃 ̂) 𝜕𝛽 ̂ 0 𝜕𝛽 ̂ 1 ⋯
𝜕ℓ(𝛃 ̂) 𝜕𝛽 ̂ 0 𝜕𝛽 ̂ 1 𝜕ℓ(𝛃 ̂) 𝜕𝛽 ̂ 1 2 ⋯ ⋮ ⋮ ⋱ 𝜕ℓ(𝛃 ̂) 𝜕𝛽 ̂ 0 𝜕𝛽 ̂ 𝑘 𝜕ℓ(𝛃 ̂) 𝜕𝛽 ̂ 1 𝜕𝛽 ̂ 𝑘 ⋮ 𝜕ℓ(𝛃 ̂) 𝜕𝛽 ̂ 0 𝜕𝛽 ̂ 𝑘 𝜕ℓ(𝛃 ̂) 𝜕𝛽 ̂ 1 𝜕𝛽 ̂ 𝑘 ⋯ 𝜕ℓ(𝛃 ̂) 𝜕𝛽 ̂ 𝑘 2 ] ; 𝐠 𝑇 (𝛃 ̂ (𝑚) ) (𝑘+1)(𝑘+1) = ( 𝜕ℓ(𝛃 ̂) 𝜕𝛽 ̂ 0 𝜕ℓ(𝛃 ̂) 𝜕𝛽 ̂ 1 ⋯ 𝜕ℓ(𝛃 ̂) 𝜕𝛽 ̂ 𝑘 )
Iterasi  diakhiri  ketika  mencapai  keadaan  konvergen,  yaitu: ‖𝛃 ̂ (𝑚+1) − 𝛃 ̂ (𝑚) ‖ ≤ 𝜀 ,  dimana  ε merupakan bilangan riil positif yang sangat kecil (Myers, 1990).

## 2.5  Pengujian Parameter Model PR
Untuk mengetahui apakah model PR yang didapatkan telah layak digunakan atau tidak, maka dilakukan uji simultan dan uji parsial. Uji simultan pada model PR untuk mengetahui apakah terdapat  pengaruh  dari  semua  variabel  prediktor  terhadap  variabel  respon  (Fitrial  & Fatikhurrizqi, 2020). Pengujian ini dilakukan menggunakan metode uji 𝐺 . Hipotesis uji simultan pada model PR:
𝐻 0 ∶   𝛽 1 = 𝛽 2 = ⋯ = 𝛽 𝑝 = 0
(variabel prediktor secara simultan tidak berpengaruh terhadap variabel respon)
𝐻 1 ∶  paling sedikit terdapat satu 𝛽 𝑗 ≠ 0 ; 𝑗 = 1,2,3, … , 𝑝
(minimal terdapat satu variabel prediktor berpengaruh secara simultan terhadap variabel respon) Statistik uji yang digunakan ditunjukkan pada persamaan 11.
𝐺 = −2 ln Λ
= −2 ln 𝐿(ω ̂ )
𝐿(Ω ̂)
…(11)
= 2 (𝐿(Ω ̂) − 𝐿(ω ̂)) = 2 ∑ ((𝑦 𝑖 𝐱 𝑖 𝑇 𝛃 ̂) − exp(𝐱 𝑖 𝑇 𝛃 ̂) − (𝑦 𝑖 𝛽̂ 0 − exp(𝛽̂ 0 ))) 𝑛 𝑖=1
Kriteria pengujiannya adalah 𝐻 0 ditolak jika nilai 𝐺 > 𝜒 (𝛼;𝑝) 2 (Masfian, dkk, 2016).
Selanjutnya  dilakukan  pengujian  parameter  model  PR  secara  parsial.  Uji  parsial  digunakan untuk menguji setiap 𝛽 𝑗 secara individu untuk mengetahui variabel prediktor yang berpengaruh secara signifikan terhadap variabel respon (Hocking, 1996):
𝐻 0 ∶   𝛽 𝑗 = 0
(variabel prediktor ke- j tidak berpengaruh terhadap variabel respon) 𝐻 1 ∶   𝛽 𝑗 ≠ 0, 𝑗 = 1,2, … , 𝑝 (variabel prediktor ke- j berpengaruh terhadap variabel respon) Statistik yang digunakan adalah statistik uji 𝑍 ditunjukkan oleh persamaan 12.
𝑍 = 𝛽̂ 𝑗 𝑆𝐸 (𝛽̂ 𝑗 ) …(12)
dengan
𝛽̂ 𝑗 : taksiran parameter model PR
𝑆𝐸 (𝛽̂ 𝑗 ) : taksiran standar error dari 𝛽̂ 𝑗 Kriteria  dari  pengujian  tersebut  adalah 𝐻 0 ditolak  jika  nilai |𝑍| > 𝑍 𝛼 2 ⁄ , 𝛼 merupakan  taraf signifikansi yang digunakan pada model.

## 2.6  Underdispersion dan Overdispersion Pada Model PR
Menurut  Irwan  &  Sari,  D  (2013),  salah  satu  asumsi  dalam  analisis  PR  yaitu  terjadinya equidispersion pada variabel respon. Equidispersion adalah rata-rata dari variabel respon sama dengan variansinya atau 𝐸(𝑦 𝑖 ) = 𝑉𝑎𝑟(𝑦 𝑖 ) . Namun yang sering terjadi adalah kasus overdispersion dan underdispersion . Overdispersion terjadi  jika  nilai  variansi  lebih  besar  dari  rata-rata (𝑉𝑎𝑟(𝑦 𝑖 ) > 𝐸(𝑦 𝑖 )) , sedangkan jika nilai variansi lebih kecil dari rata-rata disebut underdispersion (𝑉𝑎𝑟(𝑦 𝑖 ) < 𝐸(𝑦 𝑖 )) .  Jika  model  PR  diaplikasikan  pada  data overdispersion atau underdispersion akan  menyebabkan  standar error  underestimate yang  mengakibatkan  beberapa  variabel prediktor  menjadi  tidak  signifikan.  Menurut  Darnah  (2011),  parameter  dispersi (𝛿) dapat dihitung menggunakan persamaan berikut:
𝛿 = 𝐷𝑒𝑣 𝑑𝑏
…(13)
dengan 𝑑𝑏 = 𝑛 − 𝑝 . Menurut Rashwan & Kamel (2011), 𝐷𝑒𝑣 didefinisikan sebagai
𝐷𝑒𝑣 = 2 ∑ 𝑦 𝑖 ln ( 𝑦 𝑖 𝜇̂ ) 𝑛 𝑖=1
…(14)
Jika 𝛿 bernilai lebih dari satu, maka pada data terjadi overdispersion . Sebaliknya, jika 𝛿 bernilai kurang dari satu, maka pada data terjadi underdispersion .

## 2.6  Generalized Poisson Regression
Jika  diketahui  hubungan  antara  variabel  respon 𝑌 dan 𝑝 buah  variabel  prediktor 𝑋 1 , 𝑋 2 , … , 𝑋 𝑝 dengan banyaknya sampel 𝑛 yaitu {(𝑥 1𝑖 , 𝑥 2𝑖 , … , 𝑥 𝑝𝑖 , 𝑦 𝑖 ); 𝑖 = 1,2, … , 𝑛 𝑑𝑎𝑛 𝑗 = 1,2, … , 𝑝} . Pengamatan ke- i dari  variabel 𝑋 1 , 𝑋 2 , … , 𝑋 𝑝 adalah 𝑥 1𝑖 , 𝑥 2𝑖 , … , 𝑥 𝑝𝑖 dan  pengamatan  ke- i dari  variabel 𝑌 adalah 𝑦 𝑖 . Fungsi peluang Generalized Poisson Regression (GPR) adalah
𝑓(𝑦 𝑖 ; 𝜇 𝑖 ; 𝛿) = ( 𝜇 𝑖 1 + 𝛿𝜇 𝑖 ) 𝑦 𝑖 (1 + 𝛿𝑦 𝑖 ) 𝑦 𝑖 −1 𝑦 𝑖 ! exp [ −𝜇 𝑖 (1 + 𝛿𝑦 𝑖 ) 1 + 𝛿𝜇 𝑖 ] …(15)
dengan 𝐸(𝑦 𝑖 ) = 𝜇 𝑖 dan 𝑉𝑎𝑟(𝑦 𝑖 ) = 𝜇 𝑖 + (1 + 𝛿𝜇 𝑖 ) 2 . 𝛿 merupakan  parameter  dispersi  (Hilbe,  2011). Sehingga model GPR sebagai berikut.
𝜇 𝑖 = exp(𝐱 𝑖 𝑇 𝛃 ∗ ) + 𝜀 𝑖 …(16)
Rut Esra,dkk.
78
𝜇 𝑖 = exp(𝛽 0 ∗ + 𝛽 1 ∗ 𝑥 1𝑖 + 𝛽 2 ∗ 𝑥 2𝑖 + ⋯ + 𝛽 𝑝 ∗ 𝑥 𝑝𝑖 ) + 𝜀 𝑖
Estimasi parameter model GPR menggunakan metode MLE. Fungsi likelihood dari fungsi peluang GPR pada persamaan 15 adalah
𝐿(𝛃 ∗ , 𝛿) = ∏ ( 𝜇 𝑖 1 + 𝛿𝜇 𝑖 ) 𝑛 𝑖=1 ∏ (1 + 𝛿𝑦 𝑖 ) 𝑦 𝑖 −1 𝑦 𝑖 ! 𝑛 𝑖=1 exp (∑ [ −𝜇 𝑖 (1 + 𝛿𝑦 𝑖 ) 1 + 𝛿𝜇 𝑖 ] 𝑛 𝑖=1 ) …(17)
Selanjutnya nilai 𝜇 𝑖 = exp(𝐱 𝑖 𝑇 𝛃 ∗ ) disubsitusikan ke dalam persamaan 17 sehingga diperoleh fungsi likelihood
𝐿(𝛃 ∗ , 𝛿) = ∏ ( exp(𝐱 𝑖 𝑇 𝛃 ∗ ) 1 + 𝛿exp(𝐱 𝑖 𝑇 𝛃 ∗ ) ) 𝑛 𝑖=1 ∏ (1 + 𝛿𝑦 𝑖 ) 𝑦 𝑖 −1 𝑦 𝑖 ! 𝑛 𝑖=1 exp (∑ [ −exp(𝐱 𝑖 𝑇 𝛃 ∗ )(1 + 𝛿𝑦 𝑖 ) 1 + 𝛿exp(𝐱 𝑖 𝑇 𝛃 ∗ ) ] 𝑛 𝑖=1 ) …(18)
Jika ℓ(𝛃 ∗ , 𝛿) = ln 𝐿(𝛃 ∗ , 𝛿) maka fungsi log likelihood dari persamaan 18 adalah:
ℓ(𝛃 ∗ , 𝛿)   = ∑ {𝑦 𝑖 (𝐱 𝑖 𝑇 𝛃 ∗ ) − 𝑦 𝑖 ln (1 + 𝛿exp(𝐱 𝑖 𝑇 𝛃 ∗ )) 𝑛 𝑖=1 + (𝑦 − 1) ln(1 + 𝛿𝑦 𝑖 ) − ln(𝑦 𝑖 !) +
− exp(𝐱 𝑖 𝑇 𝛃 ∗ )(1 + 𝛿𝑦 𝑖 ) (1 + 𝛿exp(𝐱 𝑖 𝑇 𝛃 ∗ )) −1 } = ∑ {𝑦 𝑖 ln (exp (exp(𝐱 𝑖 𝑇 𝛃 ∗ ))) − 𝑦 𝑖 𝑛 𝑖=1 (1 + 𝛿exp(𝐱 𝑖 𝑇 𝛃 ∗ )) + (𝑦 − 1) ln(1 + 𝛿𝑦 𝑖 ) +
− ln(𝑦 𝑖 !) − exp(𝐱 𝑖 𝑇 𝛃 ∗ )(1 + 𝛿𝑦 𝑖 ) 1 + 𝛿exp(𝐱 𝑖 𝑇 𝛃 ∗ ) …(19)
Selanjutnya  persamaan  19  diturunkan  secara  parsial  terhadap 𝛃 ∗ yang  ditunjukkan  pada persamaan 20.
𝜕ℓ(𝛃 ∗ , 𝛿) 𝜕𝛃 ∗ = ∑ {𝑦 𝑖 𝐱 𝑖 − 𝛿𝑦 𝑖 exp(𝐱 𝑖 𝑇 𝛃 ∗ ) (1 + 𝛿exp(𝐱 𝑖 𝑇 𝛃 ∗ )) −1 𝑛 𝑖=1 − (1 + 𝛿𝑦 𝑖 ) …(20)
Untuk  mendapatkan  penaksir  parameter 𝛿̂ maka  persamaan  19  diturunkan  terhadap 𝛿 dan disamakan dengan nol. Sehingga bentuk turunan yang diperoleh adalah
𝜕ℓ(𝛃 ∗ , 𝛿)
𝜕𝛿 = ∑ {𝑦 𝑖 exp(𝐱 𝑖 𝑇 𝛃 ∗ ) (1 + 𝛿exp(𝐱 𝑖 𝑇 𝛃 ∗ )) −1 + 𝑛 𝑖=1 𝑦 𝑖 (𝑦 𝑖 − 1)(1 + 𝛿𝑦 𝑖 ) −1 −  exp(𝐱 𝑖 𝑇 𝛃 ∗ ) [𝑦 𝑖 (1 + 𝛿exp(𝐱 𝑖 𝑇 𝛃 ∗ )) −1 − (1 + 𝛿𝑦 𝑖 ) exp(𝐱 𝑖 𝑇 𝛃 ∗ ) (1 + 𝛿exp(𝐱 𝑖 𝑇 𝛃 ∗ )) −2 ]} …(21)
Persamaan 19 dan persamaan 20 merupakan persamaan yang eksplisit sehingga memerlukan metode iterasi dalam penyelesaiannya seperti metode iterasi Fisher-Scoring pada persamaan 10 (Saputro, dkk, 2021). Pengujian hipotesis parameter model GPR meliputi uji simultan dan uji parsial. Uji simultan bertujuan untuk mengetahui adanya pengaruh variabel prediktor terhadap variabel  respon  secara simultan.  Sedangkan,  uji parsial  bertujuan  untuk  mengetahui  adanya pengaruh dari masing-masing variabel prediktor terhadap variabel respon secara individu. Uji simultan dilakukan dengan menggunakan uji 𝐺 ∗ dengan hipotesis:
𝐻 0 ∶   𝛽 1 ∗ = 𝛽 2 ∗ = ⋯ = 𝛽 𝑝 ∗ = 0
(variabel prediktor secara simultan tidak berpengaruh terhadap variabel respon)
𝐻 1 ∶  paling sedikit terdapat satu 𝛽 𝑗 ∗ ≠ 0 ; 𝑗 = 1,2,3, … , 𝑝
(minimal terdapat satu variabel prediktor berpengaruh secara simultan terhadap variabel respon) Statistik uji yang digunakan ditunjukkan pada persamaan 22.
𝐺 ∗ = −2 ln Λ
= −2 ln 𝐿(ω ̂ ∗ ) 𝐿(Ω ̂ ∗ ) = 2 (𝐿(Ω ̂ ∗ ) − 𝐿(ω ̂ ∗ ))
= 2 [∑ {𝑦 𝑖 ln (exp (exp(𝐱 𝑖 𝑇 𝛃 ̂ ∗ ))) − 𝑦 𝑖 (1 + 𝛿̂exp(𝐱 𝑖 𝑇 𝛃 ̂ ∗ )) + 𝑛 𝑖=1
(𝑦 − 1) ln(1 + 𝛿̂𝑦 𝑖 ) + − ln(𝑦 𝑖 !) − exp(𝐱 𝑖 𝑇 𝛃 ̂ ∗ )(1 + 𝛿̂𝑦 𝑖 ) 1 + 𝛿̂exp(𝐱 𝑖 𝑇 𝛃 ̂ ∗ ) }] − [∑ {𝑦 𝑖 ln (exp (exp(𝐱 𝑖 𝑇 𝛽̂ 0 ))) + 𝑛 𝑖=1
…(22)
−𝑦 𝑖 (1 + 𝛿̂exp(𝐱 𝑖 𝑇 𝛽̂ 0 )) + (𝑦 − 1) ln(1 + 𝛿̂𝑦 𝑖 ) − ln(𝑦 𝑖 !) − exp(𝐱 𝑖 𝑇 𝛽̂ 0 )(1 + 𝛿̂𝑦 𝑖 ) 1 + 𝛿̂exp(𝐱 𝑖 𝑇 𝛽̂ 0 ) }]
Kriteria pengujiannya adalah 𝐻 0 ditolak jika 𝐺 ∗ > 𝜒 (𝛼;𝑝) 2 (Masfian, dkk, 2016).
Selanjutnya dilakukan pengujian parameter model secara parsial. Statistik uji yang digunakan untuk uji parsial, yaitu uji 𝑍 ∗ dengan hipotesis (Hocking, 1996): 𝐻 0 ∶   𝛽 𝑗 ∗ = 0
(variabel prediktor ke- j tidak berpengaruh terhadap variabel respon)
𝐻 1 ∶   𝛽 𝑗 ∗ ≠ 0, 𝑗 = 1,2, … , 𝑝
(variabel prediktor ke- j berpengaruh terhadap variabel respon) Statistik yang digunakan adalah statistik uji Z ditunjukkan oleh persamaan 23
𝑍 ∗ = 𝛽̂ 𝑗 ∗
𝑆𝐸 (𝛽̂ 𝑗 ∗ ) …(23)
dengan
𝛽̂ 𝑗 ∗ : taksiran parameter model GPR
𝑆𝐸 𝛽̂ 𝑗 ∗ : taksiran standar error dari 𝛽̂ 𝑗 ∗
Kriteria  pengujian  adalah 𝐻 0 ditolak  jika |𝑍 ∗ | > 𝑍 𝛼 2 ⁄ , 𝛼 merupakan  taraf  signifikansi  yang digunakan.

## 2.7  Akaike Information Criterion
Jika model regresi telah didapatkan selanjutnya adalah membandingkan model tersebut untuk mencari model terbaik yang dapat digunakan. Terdapat beberapa metode pengukuran yang bisa digunakan untuk mencari model terbaik salah satunya adalah Akaike Information Criterion (AIC) (Hilbe, 2011). AIC adalah salah satu metode untuk memilih model regresi terbaik yang ditemukan oleh  Akaike  dan  Schwarz  dimana  metode  AIC  didasarkan  pada  metode  MLE  (Fathurahman, 2009).  AIC  dapat  digunakan  untuk  memperoleh  model  terbaik  dari  beberapa  metode  dengan asumsi Poisson. AIC dinyatakan sebagai berikut:
𝐴𝐼𝐶 = −2ℓ(𝛽̂) + 2𝐾 …(24)
ℓ(𝛽̂) adalah nilai ln- likelihood dari parameter model regresi dan 𝐾 adalah banyaknya parameter dalam membangun model. Model terbaik adalah model yang memiliki nilai AIC terkecil (Fadmi, 2015).

## 2.8  Tuberkulosis Paru
Tuberculosis atau  tuberkulosis  paru  (TB  paru)  merupakan  penyakit  infeksi  menular  yang disebabkan  oleh Mycobacterium  tuberculosis dan  paling  sering  bermanifestasi  di  paru. Mikobakterium  ini  ditularkan  melalui  droplet  di  udara,  sehingga  seorang  penderita  TB  paru merupakan  sumber  penyebab  penularan  TB  paru  pada  populasi  di  sekitarnya  (Kementerian Kesehatan RI, 2014).
Terdapat 2 faktor penyebab penyakit TB paru, yaitu:
1. Faktor karakteristik individu
Faktor karakteristik individu antara lain faktor umur, jenis kelamin, tingkat pendidikan, pekerjaan, kebiasaan merokok, status gizi, kondisi sosial ekonomi, dan perilaku
2. Faktor risiko lingkungan
Faktor risiko lingkungan antara lain kepadatan hunian, pencahayaan, ventilasi,
kondisi rumah, kelembapan udara, suhu, dan ketinggian wilayah
(Mariana & Chairani, 2017).

## 2.9  Faktor-Faktor Penyebab Tuberkulosis Paru (TB paru)
Kepadatan penduduk memiliki definisi yaitu membagi jumlah penduduk suatu wilayah dengan luas wilayahnya. Jika luas wilayah tidak sebanding dengan jumlah penduduk maka lingkungan
Rut Esra,dkk.
80
tersebut menjadi over crowded dan tidak sehat dikarenakan minimnya konsumsi O 2 bagi para penduduk serta penyebaran penyakit menular khususnya melalui udara akan semakin mudah (Mawardi, dkk , 2019).
Sesuai  dengan  Kepmenkes  RI  Nomor  829/MENKES/SK/VII/1999  tentang  persyaratan kesehatan  perumahan,  syarat  rumah  sehat  adalah  rumah  yang  memiliki  kriteria  sanitasi lingkungan  rumah  minimal  akses  air  minum,  akses  jamban  sehat,  lantai,  pencahayaan  dan ventilasi. Sanitasi lingkungan rumah berpengaruh terhadap kesehatan keluarga tersebut. Jika kondisi sanitasi lingkungan rumah baik maka kemungkinan kuman Mycrobacterium tuberculosis untuk berkembang biak semakin kecil (Suyani, dkk, 2020).
Salah satu syarat rumah sehat adalah memiliki lantai yang bersih dan kedap air seperti terbuat dari bahan kayu, semen, keramik atau ubin  (Mawardi, dkk, 2019). Lantai rumah yang hanya terbuat dari tanah dan tidak dilapisi oleh bahan apapun akan menjadi tempat yang lembab dan menyebabkan  masa  daya  tahan  kuman  Mycrobacterium  tuberculosis  menjadi  lebih  lama (Perdana & Putra, 2018).
Menurut  Crofton  (2002),  komplek  kemiskinan  adalah  wilayah  yang  sangat  mudah  dalam penyebaran penyakit TB paru. Hal tersebut terjadi dikarenakan penduduk miskin sulit dalam memenuhi kebutuhan hidupnya, seperti makanan sehat, fasilitas sarana kesehatan dikarenakan tidak adanya biaya, terbatasnya perilaku hidup bersih dan sehat dan lain-lain (Mawardi, dkk, 2019).

## 2.10  Metode Analisis
Model analisis GPR diterapkan pada data TB paru di Indonesia tahun 2020. Variabel prediktor yang  diduga  berpengaruh  terhadap  jumlah  kasus  TB  paru  di  Indonesia  adalah  kepadatan penduduk (𝑥 1 ) , persentase  rumah  tangga  yang  memiliki  akses  sanitasi  layak (𝑥 2 ) ,  jumlah penduduk  miskin (𝑥 3 ) ,  persentase  lantai  rumah  tidak  kedap  air (𝑥 4 ) ,  persentase  tempat pengelolaan pangan yang memenuhi syarat (𝑥 5 ) , dan persentase rumah tangga yang memiliki akses terhadap air minum layak (𝑥 6 ) . Tahapan analisis data pada penelitian ini adalah sebagai berikut:
1. Mendeskripsikan gambaran umum dari data jumlah kasus TB paru serta variabel- variabel yang diduga memengaruhi.
2. Melakukan pengujian distribusi Poisson.
3. Mendeteksi adanya multikolinieritas.
4. Melakukan pemodelan PR.
5. Melakukan uji signifikansi parameter model PR yaitu uji simultan dan uji parsial.
6. Melakukan pengujian overdispersion .
7. Melakukan pemodelan dengan GPR.
8. Melakukan uji signifikansi parameter model GPR yaitu uji simultan dan uji parsial
9. Memilih model GPR terbaik berdasarkan nilai AIC terkecil.
10. Menarik kesimpulan.

## 3.  HASIL DAN PEMBAHASAN

## 3.1  Statistika Deskriptif
Statistika  deskriptif  adalah  metode  statistika  yang  berkenaan  dengan  pengumpulan  dan penyajian suatu data dengan hanya memberikan gambaran pada data yang ada dan tidak dapat memberikan generalisasi dan kesimpulan apapun tentang data yang lebih besar (populasi) (Nohe, 2013). Statistika deskriptif pada penelitian ini ditunjukkan pada Gambar 1.

## Gambar 1. Jumlah kasus TB paru di Indonesia tahun 2020
Gambar 1 menunjukkan bahwa peneliti membagi kedalam tiga kategori yaitu zona hijau, zona kuning dan zona merah. Provinsi dengan jumlah kasus TB paru pada zona merah dimana jumlah kasus  TB  paru  pada  provinsi  tersebut  sangat  tinggi  dibandingkan  provinsi  lainnya  yaitu sebanyak 24.275-79.423 kasus adalah Provinsi Jawa Barat, Jawa Tengah dan Jawa Timur. Dan dari ketiga provinsi tersebut, Provinsi Jawa Barat merupakan provinsi dengan jumlah kasus TB paru tertinggi pada tahun 2022 yaitu sebanyak 79.423 kasus. Lalu, provinsi dalam kategori zona kuning  dengan  jumlah  kasus  9.601-24.274  kasus  adalah  Provinsi  Sumatera  Utara,  Provinsi Lampung, Provinsi  DKI  Jakarta, dan Provinsi  Sulawesi  Selatan. Provinsi  lainnya  berada pada zona hijau dimana jumlah kasus TB paru sebanyak 918-9.600 kasus

## 3.2  Uji Distribusi Poisson
Pengujian  distribusi  Poisson  untuk  mengetahui  apakah  data  yang  digunakan  mengikuti distribusi Poisson atau tidak menggunakan uji Kolmogorov-Smirnov. Hasil uji distribusi Poisson dapat dilihat pada Tabel 1.
Tabel 1. Hasil Uji Komogorov-Smirnov
𝑫 𝑫 𝜶=𝟎,𝟎𝟓 0,764705882 0,227
Hasil pengujian menunjukkan bahwa nilai 𝐷 = 0,764705882 > 𝐷 𝛼=0,05 = 0,227 maka diputuskan 𝐻 0 ditolak.  Sehingga  dapat  disimpulkan  bahwa  data  yang  digunakan  tidak  mengikuti  distribusi Poisson.  Hal  ini  juga  dapat  mengindikasikan  data  yang  digunakan  mengalami overdispersion atau underdispersion dikarenakan  asumsi  pada  distribusi  Poisson  yaitu  nilai  rata-rata  dan variansi  pada  data  respon  sama  tidak  terpenuhi.  Sebelum  data  dimodelkan  menggunakan analisis  PR,  harus  dilakukan  pemeriksaan  data  terhadap  multikolinearitas  terlebih  dahulu untuk mengetahui apakah data memenuhi asumsi yaitu data tidak mengalami multikolinearitas.

## 3.3  Pemeriksaan Multikolinieritas
Pemeriksaan multikolinieritas dilakukan untuk mengetahui apakah  terdapat hubungan antar variabel prediktor. Untuk mendeteksi multikolinearitas dalam model regresi menggunakan nilai Variance Inflation Factor (VIF). Nilai VIF kurang dari 10 maka tidak terjadi multikolinearitas pada model regresi. Nilai VIF dari masing-masing variabel prediktor dapat dilihat pada Tabel 2.
Tabel 2. Nilai VIF Variabel Prediktor
Variabel 𝑥 1 𝑥 2 𝑥 3 𝑥 4 𝑥 5 𝑥 6 VIF 1,24 1,38 1,43 1,41 1,19 1,53
Tabel 2 menjelaskan bahwa tidak terjadi multikolinearitas antar variabel prediktor karena nilai VIF  dari  masing-masing  variabel  tidak  lebih  dari  10. Selanjutnya  dilakukan  analisis menggunakan PR dan pemeriksaan dispersi pada model PR yang didapatkan.
Rut Esra,dkk.
82

## 3.3  Pemodelan Kasus TB Paru di Indonesia Menggunakan Analisis PR
Analisis PR dilakukan untuk mendapatkan model PR dan lalu model tersebut diuji lebih lanjut dan mengetahui apakah data yang digunakan mengalami overdispersion atau underdispersion . Estimasi parameter model PR menggunakan metode MLE. Hasil estimasi parameter model PR menggukanan software R disajikan pada Tabel 3.
Tabel 3. Hasil Estimasi Parameter PR
Parameter Estimator Estimasi 𝛽 0 𝛽̂ 0 9,84 𝛽 1 𝛽̂ 1 1,38 × 10 −4 𝛽 2 𝛽̂ 2 2,71 × 10 −3 𝛽 3 𝛽̂ 3 6,11 × 10 −7 𝛽 4 𝛽̂ 4 −2,64 × 10 −2 𝛽 5 𝛽̂ 5 −2,55 × 10 −2 𝛽 6 𝛽̂ 6 8,15 × 10 −3

## 3.3  Pengujian Signifikansi Parameter Model PR
Pengujian  secara  simultan  pada  model  PR  menggunakan  uji 𝐺 .  Hasil  uji  simultan  model  PR dengan bantuan software R dapat diketahui bahwa nilai 𝐺 = 436.095,3 > 𝜒 (0,05;6) 2 = 12,59 maka 𝐻 0 ditolak. Sehingga dapat disimpulan bahwa paling sedikit terdapat satu variabel prediktor yang berpengaruh terhadap variabel respon.
Pengujian  parsial  model  PR  menggunakan  uji 𝑍 .  Hasil  uji  parsial  model  PR  menggunakan software R sebagai berikut.
Tabel 4. Hasil Uji Parsial Model PR
Variabel Nilai |𝒁|
𝒁 𝜶 𝟐 ⁄ Keputusan
𝑥 1 226,65 1,96 Signifikan 𝑥 2 14,01 1,96 Signifikan 𝑥 3 490,63 1,96 Signifikan 𝑥 4 62,48 1,96 Signifikan 𝑥 5 153,32 1,96 Signifikan 𝑥 6 25,13 1,96 Signifikan
Berdasarkan Tabel 4, dapat disimpulkan bahwa variabel yang berpengaruh adalah  kepadatan penduduk (𝑥 1 ) , persentase  rumah  tangga  yang  memiliki  akses  sanitasi  layak (𝑥 2 ) ,  jumlah penduduk  miskin (𝑥 3 ) ,  persentase  lantai  rumah  tidak  kedap  air (𝑥 4 ) ,  persentase  tempat pengelolaan pangan yang memenuhi syarat (𝑥 5 ) , dan persentase rumah tangga yang memiliki akses terhadap air minum layak (𝑥 6 ) .
Berdasarkan hasil estimasi parameter pada Tabel 1, maka model PR jumlah kasus TB paru di Indonesia tahun 2020 dapat ditulis sebagai berikut.
𝜇̂ = exp(9,84 + (1,38 × 10 −4 )𝑥 1𝑖 + (2,71 × 10 −3 )𝑥 2𝑖 + (6,11 × 10 −7 )𝑥 3𝑖 + (−2,64 × 10 −2 )𝑥 4𝑖 +
(−2,55 × 10 −2 )𝑥 5𝑖 + (8,15 × 10 −3 )𝑥 6𝑖 )
Berdasarkan model PR dapat diketahui bahwa  setiap pertambahan  kepadatan penduduk (𝑥 1 ) sebanyak 1 jiwa per kilometer persegi dan nilai variabel lain tetap maka rata-rata kasus TB paru di  Indonesia  akan  mengalami  peningkatan sebesar  1 kasus.  Ketika  persentase  rumah  tangga yang memiliki akses sanitasi layak (𝑥 2 ) bertambah 1 persen dan nilai variabel lain tetap maka rata-rata kasus TB paru di Indonesia akan mengalami peningkatan sebesar 1 kasus. Ketika rata- rata jumlah penduduk miskin (𝑥 3 ) bertambah 1 jiwa dan nilai variabel lain tetap maka rata-rata kasus TB paru di Indonesia akan mengalami peningkatan sebesar 1 kasus. Ketika persentase lantai  rumah  tidak kedap  air (𝑥 4 ) bertambah  sebanyak 1  persen  dan  nilai  variabel  lain  tetap maka rata-rata kasus TB paru di Indonesia akan mengalami penurunan sebesar 1 kasus. Ketika persentase tempat pengelolaan pangan yang memenuhi syarat (𝑥 5 ) bertambah sebanyak 1 persen dan  nilai  variabel  lain  tetap  maka  rata-rata  kasus  TB  paru  di  Indonesia  akan  mengalami penurunan sebesar 1 kasus. Dan ketika persentase rumah tangga yang memiliki akses terhadap air minum layak (𝑥 6 ) bertambah sebanyak 1 persen dan nilai variabel lain tetap maka rata-rata kasus TB paru di Indonesia akan mengalami peningkatan sebesar 1 kasus.

## 3.4  Pemeriksaan Overdispersion
Pemeriksaan overdispersion pada model PR jumlah kasus TB paru di setiap provinsi di Indonesia tahun 2020 pada Tabel 5.
Tabel 5. Hasil Uji Overdispersion
𝑫𝒆𝒗 𝒅𝒃 𝜹 52.381 27 1.940,04
Berdasarkan Tabel 5, dapat diketahui bahwa terjadi overdispersion pada model PR data TB paru di Indonesia tahun 2020 dikarenakan hasil bagi nilai deviance terhadap derajat bebas lebih dari 1.  Jika  model  PR  data  TB  paru  yang  mengalami overdispersion digunakan  untuk menggambarkan data TB paru Indonesia tahun 2020, maka taksiran parameter yang dihasilkan dari model PR tersebut akan tetap konsisten namun tidak akan efisien. Sehingga hasil taksiran parameter dari model PR tersebut menjadi bias dan kemungkinan untuk terjadinya kesalahan dalam  menarik  kesimpulan  mengenai  data  yang  diamati  semakin  besar.  Oleh  karena  itu, digunakan model GPR untuk mengatasi overdispersion pada model PR.

## 3.5  Pemodelan kasus TB Paru di Indonesia Menggunakan Analisis GPR
GPR  adalah  salah  satu  analisis  regresi  untuk  mengatasi  kasus overdispersion atau underdispersion yaitu nilai rata-rata dan nilai variansi tidak sama. Estimasi parameter model GPR  menggunakan metode MLE dengan  bantuan software  R. Hasil  estimasi parameter  dapat dapat dilihat pada Tabel 6.
Tabel 6. Hasil Estimasi Parameter Poisson Regression
Parameter Estimator Estimasi 𝛽 0 ∗ 𝛽̂ 0 ∗ 8,77 𝛽 1 ∗ 𝛽̂ 1 ∗ 1,25 × 10 −4 𝛽 2 ∗ 𝛽̂ 2 ∗ 6,75 × 10 −3 𝛽 3 ∗ 𝛽̂ 3 ∗ 5,95 × 10 −7 𝛽 4 ∗ 𝛽̂ 4 ∗ −3,56 × 10 −2 𝛽 5 ∗ 𝛽̂ 5 ∗ −2,12 × 10 −2 𝛽 6 ∗ 𝛽̂ 6 ∗ −1,06 × 10 −3
1. Uji Signifikansi Parameter Secara Simultan Pada Model GPR
Pengujian secara simultan pada model GPR menggunakan uji 𝐺 ∗ . Hasil uji simultan model PR dengan bantuan software R dapat diketahui bahwa nilai 𝐺 ∗ = 51,33307 > 𝜒 (0,05;6)
2
= 12,59 maka 𝐻 0 ditolak. Sehingga dapat disimpulkan bahwa paling sedikit terdapat satu variabel prediktor yang berpengaruh terhadap variabel respon.

## 2. Uji Signifikansi Parameter Secara Parsial Pada Model GPR
Pengujian parsial model GPR menggunakan uji 𝑍 ∗ . Hasil uji parsial model GPR menggunakan software R sebagai berikut.
Tabel 7. Hasil Uji Parsial Model GPR
Variabel Nilai |𝒁 ∗ | 𝒁 𝜶 𝟐 ⁄ Keputusan
𝑥 1 5,871 1,96 Signifikan 𝑥 2 1,069 1,96 Tidak signifikan 𝑥 3 12,883 1,96 Signifikan 𝑥 4 2,259 1,96 Signifikan 𝑥 5 3,692 1,96 Signifikan 𝑥 6 0,102 1,96 Tidak signifikan
Berdasarkan  Tabel  7,  dapat  disimpulkan  bahwa  variabel  yang  berpengaruh  adalah  kepadatan penduduk (𝑥 1 ) ,  jumlah  penduduk  miskin (𝑥 3 ) ,  persentase  lantai  rumah  tidak  kedap  air (𝑥 4 ) ,  dan persentase tempat pengelolaan pangan yang memenuhi syarat (𝑥 5 ) .
Rut Esra,dkk.

## 3.6  Pemilihan dan Interpretasi Model GPR Terbaik
Dari empat variabel prediktor yang berpengaruh dapat membentuk 15 kemungkinan model GPR dan akan dicari model GPR terbaik dengan nilai  AIC terkecil. Berikut nilai AIC dari 15 model yang terbentuk dan ditunjukkan pada Tabel 8.
Tabel 8. Nilai AIC Model GPR
No Kemungkinan Model (Y dengan X j )
Nilai AIC Parameter yang
Signifikan 1 𝑥 1 683,71 𝛽̂ 0 ∗ , 𝛽̂ 1 ∗ 2 𝑥 3 655,89 𝛽̂ 0 ∗ , 𝛽̂ 3 ∗ 3 𝑥 4 686,11 𝛽̂ 0 ∗ , 𝛽̂ 4 ∗ 4 𝑥 5 684,55 𝛽̂ 0 ∗ , 𝛽̂ 5 ∗ 5 𝑥 1 , 𝑥 3
650,06 𝛽̂ 0 ∗ , 𝛽̂ 1 ∗ , 𝛽̂ 3 ∗
6 𝑥 1 , 𝑥 4 683,89 𝛽̂ 0 ∗ , 𝛽̂ 1 ∗ , 𝛽̂ 4 ∗
7 𝑥 1 , 𝑥 5 681,30 𝛽̂ 0 ∗ , 𝛽̂ 1 ∗ , 𝛽̂ 5 ∗
8 𝑥 3 , 𝑥 4 656,96 𝛽̂ 0 ∗ , 𝛽̂ 3 ∗ , 𝛽̂ 4 ∗
9 𝑥 3 , 𝑥 5 654,30 𝛽̂ 0 ∗ , 𝛽̂ 3 ∗ , 𝛽̂ 5 ∗
10 𝑥 4 , 𝑥 5 686,14 𝛽̂ 0 ∗ , 𝛽̂ 4 ∗ , 𝛽̂ 5 ∗ 11 𝑥 1 , 𝑥 3 , 𝑥 4 651,10 𝛽̂ 0 ∗ , 𝛽̂ 1 ∗ , 𝛽̂ 3 ∗ , 𝛽̂ 4 ∗ 12 𝑥 1 , 𝑥 3 , 𝑥 5 644,62 𝛽̂ 0 ∗ , 𝛽̂ 1 ∗ , 𝛽̂ 3 ∗ , 𝛽̂ 5 ∗ 13 𝑥 1 , 𝑥 4 , 𝑥 5 682,86 𝛽̂ 0 ∗ , 𝛽̂ 1 ∗ , 𝛽̂ 4 ∗ , 𝛽̂ 5 ∗ 14 𝑥 3 , 𝑥 4 , 𝑥 5 653,80 𝛽̂ 0 ∗ , 𝛽̂ 3 ∗ , 𝛽̂ 4 ∗ , 𝛽̂ 5 ∗ 15 𝑥 1 , 𝑥 3 , 𝑥 4 , 𝑥 5 *643,39 𝛽̂ 0 ∗ , 𝛽̂ 1 ∗ , 𝛽̂ 3 ∗ , 𝛽̂ 4 ∗ , 𝛽̂ 5 ∗
* Model terbaik
Dari kelima belas kemungkinan model GPR pada Tabel 8, dapat diketahui bahwa model terbaik dengan nilai AIC terkecil adalah model yang melibatkan empat variabel prediktor yaitu kepadatan penduduk (𝑥 1 ) , jumlah penduduk miskin (𝑥 3 ) , persentase lantai rumah tidak kedap air (𝑥 4 ) , dan persentase  tempat  pengelolaan  pangan  yang  memenuhi  syarat (𝑥 5 ) dengan  nilai  AIC  sebesar 643,39.  Lalu  dilakukan  estimasi  parameter  model  GPR  menggunakan  metode  MLE  dengan bantuan software R. Hasil estimasi parameter dapat dapat dilihat pada Tabel 9.
Tabel 9. Hasil Estimasi Parameter Model GPR Terbaik
Parameter Estimator Estimasi 𝛽 0 ∗ 𝛽̂ 0 ∗ 9,14 𝛽 1 ∗ 𝛽̂ 1 ∗ 1,26 × 10 −4 𝛽 3 ∗ 𝛽̂ 3 ∗ 6,08 × 10 −7 𝛽 4 ∗ 𝛽̂ 4 ∗ −3,05 × 10 −2 𝛽 5 ∗ 𝛽̂ 5 ∗ −1,96 × 10 −2
Berdasarkan hasil estimasi parameter dan pemilihan model GPR terbaik untuk jumlah kasus TB paru di Indonesia tahun 2020 dapat ditulis sebagai berikut.
𝜇̂ 𝑖 = exp(9,14 + (1,26 × 10 −4 )𝑥 1𝑖 + (6,08 × 10 −7 )𝑥 3𝑖 − (3,05 × 10 −2 )𝑥 4𝑖 − (1,96 × 10 −2 )𝑥 5𝑖 )
Berdasarkan  model  GPR  terbaik, dapat diketahui  dapat  diketahui bahwa setiap penambahan kepadatan penduduk (𝑥 1 ) sebanyak 1 jiwa per kilometer persegi dan nilai variabel lain tetap maka rata-rata kasus TB paru di Indonesia akan mengalami peningkatan sebesar 1 kasus. Ketika rata- rata jumlah penduduk miskin (𝑥 3 ) bertambah 1 jiwa dan nilai variabel lain tetap maka rata-rata kasus TB paru di Indonesia akan mengalami peningkatan sebesar 1 kasus. Ketika persentase lantai  rumah  tidak kedap  air (𝑥 4 ) bertambah  sebanyak 1  persen  dan  nilai  variabel  lain  tetap maka rata-rata kasus TB paru di Indonesia akan mengalami penurunan sebesar 1 kasus, hal ini tidak  sejalan  dengan  penelitian  sebelumnya  karena  kondisi  suatu  waktu  menyebabkan perbedaan  data.  Ketika  persentase  tempat  pengelolaan  pangan  yang  memenuhi  syarat (𝑥 5 ) bertambah  sebanyak 1  persen dan  nilai  variabel  lain  tetap  maka  rata-rata  kasus  TB  paru di Indonesia akan mengalami penurunan sebesar 1 kasus.

## 4.  SIMPULAN DAN SARAN
Model GPR terbaik pada data jumlah kasus TB paru di  Indonesia tahun 2020 adalah sebagai berikut.
𝜇̂ 𝑖 = exp(9,14 + (1,26 × 10 −4 )𝑥 1𝑖 + (6,08 × 10 −7 )𝑥 3𝑖 −(3,05 × 10 −2 )𝑥 4𝑖 − (1,96 × 10 −2 )𝑥 5𝑖 )
Berdasarkan model terbaik GPR maka dapat diketahui faktor-faktor yang berpengaruh signifikan terhadap  jumlah  kasus  TB  paru  di  Indonesia  pada  tahun  2020  yaitu  kepadatan  penduduk, jumlah  penduduk  miskin,  persentase  lantai  rumah  tidak  kedap  air  dan  persentase  tempat pengelolaan  pangan  yang  memenuhi  syarat.  Setiap  penambahan  kepadatan  penduduk (𝑥 1 ) sebanyak 1 jiwa per kilometer persegi dan nilai variabel lain tetap maka rata-rata kasus TB paru di Indonesia akan mengalami peningkatan sebesar 1 kasus. Ketika rata-rata jumlah penduduk miskin (𝑥 3 ) bertambah  1  jiwa  dan  nilai  variabel  lain  tetap  maka  rata-rata  kasus  TB  paru  di Indonesia akan mengalami peningkatan sebesar 1 kasus. Ketika persentase lantai rumah tidak kedap air (𝑥 4 ) bertambah sebanyak 1 persen dan nilai variabel lain tetap maka rata-rata kasus TB paru di Indonesia akan mengalami penurunan sebesar 1 kasus. Dan ketika persentase tempat pengelolaan pangan yang memenuhi syarat (𝑥 5 ) bertambah sebanyak 1 persen dan nilai variabel lain  tetap maka  rata-rata kasus  TB paru di  Indonesia  akan mengalami penurunan sebesar 1 kasus.

## DAFTAR PUSTAKA
Agresti, A. (2002). Categorial Data Analysis. Second Edition. New York: John Wiley & Sons. Asriyanti, R., Yahya, I., Abapihi, B., WIbawa, Gusti Ngurah A., Rasdiyanah, dan Laome, L. (2022). Penerapan  Regresi  Nonparametrik  Spline  Dalam  Memodelkan  Faktor-Faktor  Yang Mempengaruhi  Jumlah  Kasus  Tuberkulosis  DI  Sulawesi  Tenggara .  Makalah dipresentasikan dalam Seminar Nasional Sains dan Terapan VI, Program Studi Statistika FMIPA Universitas Halu Oleo, Manado, 25 April. Astuti, C. C., Sumarminingsih, E. & Soehono, L. A. (2013 ). Perbandingan Generalized Poisson Regression dan  Negative  Binomial  Regression  Untuk  Data  Overdispersi  Dan Underdispersi Pada Regresi Poisson. Jurnal Mahasiswa Statistik , 1(2), 105-108.
Aulele, S. N. (2012). Pemodelan Jumlah Kematian Bayi di Provinsi Maluku Tahun 2010 Dengan Menggunakan Regresi Poisson. Jurnal Barekeng , 6(2), 23-27.
Cahyandari,  R.  (2014).  Pengujian  Overdispersi  Pada  Model  Regresi  Poisson. Statistika,  Issue Statistika , 14(2), 69-76.
Darnah. (2011). Mengatasi Overdispersi pada Model Regresi Poisson dengan Generalized Poisson Regression I. Jurnal Eksponensial , 2,5-10.
Darnah.  (2016). Modelling  of  Filariasis  in  East  Java with  Poisson  Regression  and Generalized Poisson Regression Models. AIP Conference Proceedings , 1723, 50-62.
Darnah, Utoyo, M. I. & Chamidah, N. (2019). Modeling of Maternal Mortality and Infant Mortality Cases  in  East  Kalimantan  using  Poisson  Regression  Approach  Based  on  Local  Linear Estimator. IOP Conference Series: Earth and Environmental Science , 243, 1-7.
Fadmi, F. R. (2015). Prediksi Jumlah Kasus Baru Kusta dengan Metode Geographically Weighted Poisson Regression (GWPR). Jurnal Biometrika dan Kependudukan , 4, 14-24.
Fathurahman,  M.  (2009).  Pemilihan  Model  Regresi  Terbaik  Menggunakan  Metode  Akaike's Information  Criterion  dan  Schwarz  Information  Criterion. Jurnal  Informatika Mulawarman , 4, 37-41.
Fitrial, N. H. & Fatikhurrizqi, A. (2020). Pemodelan Jumlah Kasus Covid-19 di Indonesia dengan Pendekatan  Regresi  Poisson  dan  Regresi  Binomial  Negatif .  Makalah  dipresentasikan dalam  Seminar  Nasional  Official  Statistics,  Politeknik  Statistika  STIS,  Jakarta,  23-24 September. 6, 65-72.
Hilbe,  J.  M.  (2011). Negative  Binomial  Regression .  Second  Edition.  Cambridge:  Cambridge University Press.
Hocking, R. (1996). Methods and Applications of Linear Models . New York: John Wiley and Sons, Inc.
Rut Esra,dkk.

## 86
Irwan & Sari, D. (2013). Pemodelan Regresi Poisson dan Binomial Negatif pada Kasus Kecelakaan Kendaraan  Bermotor  di  Lalu  Lintas  Sumatera  Barat .  Makalah  dipresentasikan  dalam Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika 2013, Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA Universitas Negeri Yogyakarta, Yogyakarta, 9 November. Ismail,  N.  &  Jemain,  A.  A.  (2007).  Handling  Overdispersion  with  Negative  Binomial  and Generalized Poisson Regression Model. Malaysia: Causalty Actuarial Society Forum. Kementrian  Kesehatan  RI.  (2014). Pedoman  Nasional  Penanggulangan  Tuberkulosis .  Jakarta:
Kementrian Kesehatan RI.
Lestari, R. D., Wulandari, S. P. & Purhadi. (2014). Pemodelan Faktor-Faktor yang Mempengaruhi Jumlah  Kasus  Penyakit  Tuberkulosis  di  Jawa  Timur  dengan  Pendekatan Generalized Poisson  Regression dan  Geographically  Weighted  Poisson  Regression. Jurnal  Seni  dan Seni Pomits , 3, 188-193. Lungan, R., (2006). Aplikasi Statistika dan Hitung Peluang . Yogyakarta: Graha Ilmu. Mariana,  D.  &  Chairani,  M.  (2017). Kepadatan  Hunian,  Ventilasi  dan  Pencahayaan  Terhadap Kejadian  TB Paru di Wilayah  Kerja Puskesmas Binanga  Kabupaten  Mamuju  Sulawesi Barat. Jurnal Kesehatan Manarang , 3, 75-80.
Masfian,  I.,  Yuniarti,  D.  &  Hayati,  M.  N.  (2016).  Penerapan Generalized  Poisson  Regression I Untuk Mengatasi Overdispersi Pada Regresi Poisson (Studi Kasus: Pemodelan Jumlah Kasus Kanker Serviks di Provinsi Kalimantan Timur). Jurnal Eksponensial , 7(1), 59-65. Mawardi, Sambera, R. & Hamisah, I. (2019). Studi Hubungan Antara Faktor Lingkungan Fisik Rumah  Dengan Penderita  TB  Paru  BTA  di  Aceh  Selatan. Jurnal  Serambi  Engineering , 4(1), 406-415.
Myers,  R.  (1990). Classical  and  Model  Regression  with  Aplication ,  Second  Edition.  Boston: PWSKENT Publiching Company.
Naben, A. X., Suhartono & Nurjazuli. (2013). Kebiasaan Tinggal di Rumah Etnis Timor Sebagai Faktor Risiko Tuberkulosis Paru. Jurnal Kesehatan Lingkungan Indonesia , 12(1), 10-21.
Nohe, D. A. (2013). Biostatistika 1 . Jakarta Barat: Halaman Moeka Publishing.
Perdana, A. & Putra, S. (2018). Hubungan Faktor Lingkungan Fisik Rumah terhadap Kejadian TB Paru di Wilayah Kerja Puskesmas Panjang. Jurnal Kesehatan , 9(1), 46-50. Priyatno, D. (2013). Analisis Korelasi, Regresi dan Multivariate dengan SPSS . Yogyakarta: Gava Media.
Rashwan, N. A. & Kamel, M. M. (2011). Using Generalized Poisson Log Linear Regression Models in Analyzing Two-Way Contingency Tables. Applied Mathematical Sciences , 5(5), 213-222. Safrida, N., Ispriyanti, D. & Widiharih, T. (2013). Aplikasi Model Regresi Poisson Tergeneralisasi Pada Kasus Angka Kematian Bayi Di Jawa Tengah Tahun 2007. Jurnal Gaussian , 2(4), 361-368.
Saputro, D. R. S., Susanti, A. & Pratiwi, N. B. I. (2021). The Handling of Overdispersion on Poisson Regression  Model  with  The Generalized  Poisson  Regression Model.  Makalah dipublikasikan dalam The Third International Conference On Mathematics: Education, Theory And Application, Surakarta, 20 Oktober, 2326, 1-8.
Simarmata, R. T. & Ispriyanti, D. (2011). Penanganan Overdispersi Pada Model Regresi Poisson Menggunakan Model Regresi Binomial Negatif. Media Statistika , 4(2), 95-104.
Suyani, D., Putri, S. M., Nahdiyani, F., Ramadini, E. S., Rizky, N. T., Fadila, E. N. & Nisa, D. M.
(2020).  Peningkatan  Kepemilikan  Rumah  Sehat  di  Rt  01  dan  03  Dusun  Modalan Kecamatan  Banguntapan  Bantul. Jurnal  Pemberdayaan:  Publikasi  Hasil  Pengabdian Kepada Masyarakat , 4(2), 191-196.
Walpole, R. (1995). Pengantar Statistika . Jakarta: PT Gramedia Pustaka Umum. Wasilaine, T. L., Talakua, M. W. & Lesnussa, Y. A. (2014). Model Regresi Ridge Untuk Mengatasi Model  Regresi  Linier  Berganda  Yang  Mengandung  Multikolinieritas  (Studi  Kasus:  Data Pertumbuhan Bayi di Kelurahan Namaelo RT 001, Kota Masohi) . Jurnal Barekeng, 8(1), 31-37.
World Health Organization. (2018). Global Tuberculosis Report 2017. Perancis: WHO Press. World Health Organization. (2021). Global Tuberculosis Report 2020. Perancis: WHO Press.
87
Yotenka, R. & Banapon, A. (2019). Modelling the Number of Tuberculosis (TB) Cases in Indonesia using  Poisson  Regression  and  Negative  Binomial  Regression .  Makalah  dipresentasikan dalam International Seminar on Science and Technology (ISSTEC 2019), Jakarta.