## DISTRIBUSI POISSON DAN DISTRIBUSI EKSPONENSIAL DALAM PROSES STOKASTIK
Sugito 1 , Moch Abdul Mukid 1
1 Staf Pengajar Program Studi Statistika FMIPA UNDIP

## Abstract
In the queueing system, the processes usually come from a Poisson process. In this system should be obtained an arrival distribution and a service distribution. This paper studies about the form of the  number  of  arrival  distribution,  the  number  of  service  distribution,  the  interarrival  distribution and  the  service  time  distribution.  Futhermore  it  talks  about  the  relation  of  them  to  a  Poisson distribution and  an exponential distribution.
Keywords: Poisson Process, Poisson Distribution, Eksponential Distribution

## 1. Pendahuluan
Secara  umum  pemodelan  yang  berkembang  saat  ini  bisa  dikategorikan  dalam  dua proses  yaitu  proses  Poisson  dan  proses  deterministik.  Pada  proses  stokastik  banyak fenomena  di  alam  yang  bisa  dibawa  ke  arah  proses  Poisson.  Proses  antrian  merupakan contoh nyata proses Poisson yang banyak terjadi pada perbagai fasilitas pelayanan saat ini. Proses  antrian  merupakan  suatu  proses  yang  berhubungan  dengan  kedatangan  pelanggan pada  suatu  fasilitas  pelayanan,  menunggu  dalam  baris  antrian  jika  belum  dapat  dilayani, dilayani,  kemudian  seorang  pelanggan  begitu  dilayani  hanya  akan  meninggalkan  sarana pelayanan tersebut setelah selesai pelayanan [7] . Bentuk distribusi kedatangan ada dua yaitu distribusi  jumlah  kedatangan  dan  distribusi  waktu  antar  kedatangan.  Sedangkan  bentuk distribusi  pelayanan  juga  ada  dua  yaitu  distribusi  jumlah  pelayanan  dan  distribusi  waktu pelayanan [3] .
Pada  proses  kedatangan  waktu  antar  kedatangan  merupakan  distribusi  identik  dan independen. Proses kedatangan juga merupakan proses renewal. Beberapa distribusi waktu antar  kedatangan  bisa  berdistribusi  eksponensial,  erlang,  general,  deterministik  atau Poisson [4] .  Untuk  memperoleh  distribusi  waktu  antar  kedatangan  beberapa  kasus  antrian yang  terjadi  saat  ini,  seperti  panggilan  telpon,  koneksi  server  internet,  dan  lalulintas kendaraan dijalan tol pada arus mudik dan arus balik  lebaran serta kedatangan pelanggan dikantor  pos  pada  menjelang  tahun  baru  dan  lebaran  tidak  mudah  didapatkan.  Hal  ini terjadi  karena  waktu  antar  kedatangannya  yang  sangat  kecil,  sekali  sehingga  sulit  untuk mendapatkan  data  waktu  antar  kedatangannya,  atau  dalam  interval  waktu  kecil,  misalkan satu  menit  jumlah  kedatangannya  sangat  besar.  Untuk  kasus  antrian  seperti  ini  model distribusi yang bisa didapatkan adalah distribusi jumlah kedatangan. Demikian juga untuk mendapatkan data waktu pelayanan, karena terlalu kecil waktu pelayanan antar pelanggan, yang  diperoleh  adalah  data  jumlah  pelayanan.  Sehingga  distribusi  waktu  pelayanan  tidak diperoleh, sedangkan yang diperoleh adalah distribusi jumlah pelayanan.
Dalam  tulisan  ini  akan  diulas  proses  dimana  jumlah  kejadian  selama  satu  interval waktu  yang  diberikan  adalah  berdistribusi  Poisson.    Selain  itu  juga  membicarakan keterkaitan  antara  distribusi  jumlah  kejadian  yang  berdistribusi  Poisson  baik  itu  untuk kedatangan  maupun  pelayanan  dengan  distribusi  waktu  antar  kedatangan  maupun  waktu pelayanan.
2. Konsep Dasar

## 2.1 Distribusi Kedatangan
Distribusi  kedatangan  para  pelanggan  biasanya  diperhitungkan  oleh  waktu  antar kedatangan,  yaitu  waktu  antara  kedatangan  dua  pelanggan  yang  berurutan  pada  suatu fasilitas  pelayanan.  Distribusi  kedatangan  ini  dapat  bergantung  pada  jumlah  pelanggan yang  berada  dalam  sistem  ataupun  tidak  bergantung  pada  keadaan  sistem  tersebut. Distribusi ini dapat deterministik (diketahui secara pasti), atau berupa suatu variabel acak yang distribusi peluangnya dianggap telah diketahui.
Bila  distribusi  kedatangan  tidak  disebut  secara  khusus,  maka  dianggap  bahwa pelanggan  tiba  satu  per  satu.  Asumsinya  adalah  kedatangan  pelanggan  mengikuti  suatu proses dengan distribusi peluang tertentu. Distribusi peluang yang sering digunakan adalah distribusi Poisson karena kedatangan bersifat bebas dan tidak terpengaruh oleh kedatangan sebelum  ataupun  sesudahnya.  Asumsi  dari  distribusi  peluang  Poisson  ini  adalah kedatangan  pelanggan  sifatnya  acak  dan  mempunyai  rata-rata  kedatangan  sebesar  lamda (  ) [5] . Proses  Poisson  adalah  proses counting yang  mempunyai  batasan  tertentu,  yaitu diantaranya  mengikuti  distribusi  Poisson  dengan  rata-rata  t dimana  suatu  konstanta, sehingga  pada  distribusi  Poisson  harga  rata-ratanya  bergantung  pada t atau  merupakan fungsi t [3] .
Beberapa asumsi untuk proses Poisson : i. Peluang  terjadi  satu  kedatangan  antara  waktu t dan t t   adalah  sama  dengan   t o t     . Dapat  ditulis  P{terjadi kedatangan  antara t dan t t   }=   t o t     , dengan  λ  adalah  suatu  konstanta  yang  independen  dari  N  ( t ),  dengan  N( t ) merupakan  proses counting , t  adalah  elemen  penambah  waktu,  dan ) ( t o  dinotasikan sebagai banyaknya kedatangan  yang bisa diabaikan jika dibandingkan dengan t  , dengan o t   , dinotasikan: 0 ) ( lim      t t o o t
ii. P{lebih  dari  satu  kedatangan  antara t dan Δt t  }  adalah  sangat  kecil  atau  bisa dikatakan diabaikan = ) ( t o  .
iii. Jumlah  kedatangan  pada  interval  yang  berturutan  adalah  tetap  dan  independen, yang  berarti  bahwa  proses  mempunyai  penambahan  bebas,  yaitu  jumlah  kejadian yang muncul pada setiap interval waktu tidak tergantung pada interval waktunya.
Distribusi  kedatangan  terbagi  menjadi  dua,  yaitu:  kedatangan  secara  individu  ( single arrivals ), dan kedatangan secara berkelompok ( bulk arrivals ) [5] .

## 2.2 Distribusi Waktu Pelayanan
Bentuk  pelayanan  ditentukan  oleh  waktu  pelayanan,  yaitu  waktu  yang  dibutuhkan untuk  melayani  pelanggan  pada  fasilitas  pelayanan.  Besaran  ini  bergantung  pada  jumlah pelanggan  yang  telah  berada  di  dalam  fasilitas  pelayanan  ataupun  tidak  bergantung  pada keadaan  tersebut.  Pelayanan  dapat  dilakukan  dengan  satu  atau  lebih  fasilitas  pelayanan yang masing-masing dapat mempunyai satu atau lebih saluran atau tempat pelayanan yang disebut dengan server. Apabila terdapat lebih dari satu fasilitas pelayanan maka pelanggan dapat menerima pelayanan melalui suatu urutan tertentu atau fase tertentu.
Pada  suatu  fasilitas  pelayanan,  pelanggan  akan  masuk  dalam  suatu  tempat pelayanan  dan  menerima  pelayanan  secara  tuntas  dari  pelayan  ( server ).  Bila  tidak disebutkan secara khusus, pada bentuk pelayanan ini, maka dianggap bahwa satu pelayan dapat  melayani  secara tuntas  satu  pelanggan. Bentuk  pelayanan dapat  konstan dari waktu ke  waktu.  Rata-rata  pelayanan  dapat  diberi  simbol  yang  merupakan  jumlah  pelanggan
yang  dapat  dilayani  dalam  satuan  waktu.  Sedangkan  rata-rata  waktu  yang  dipergunakan untuk melayani setiap pelanggan diberi simbol 1/µ unit (satuan).
Distribusi  waktu  pelayanan  terbagi  menjadi  dua  komponen  penting,  yaitu:  Pelayanan secara individual (single service) , dan pelayanan secara kelompok (bulk service) [5] .

## 2.3. Distribusi Poisson
Distribusi ini pertama kali diperkenalkan oleh Siméon-Denis Poisson (1781–1840) dan  diterbitkan  bersama  teori  peluangnya,  pada  tahun  1838  dalam  karyanya Recherches sur  la  probabilité  des  jugements  en  matière  criminelle  et  en  matière  civile (“Penelitian Peluang  Hukum  Masalah  Pidana  dan  Perdata”).  Karyanya  memfokuskan  peubah  acak N yang  menghitung  antara  lain  jumlah  kejadian  diskret  (kadang  juga  disebut  "kedatangan") yang  terjadi  selama  interval  waktu  tertentu [2] .  Apabila  nilai  harapan  kejadian  pada  suatu interval adalah  , maka peluang terjadi peristiwa sebanyak x kali adalah
  ! ; x e x f x     
dengan x adalah bilangan bulat non negative dan  adalah bilangan riil positif.

## 2.4.  Distribusi Eksponensial
Variabel  random    kontinu  X  berdistribusi  eksponensial  dengan  parameter 0   , jika mempunyai fungsi distribusi dalam bentuk [2] :
        lainnya yang x x e x f x , 0 0 , 1 ;   
dengan  merupakan parameter skala.
Sedangkan fungsi distribusi kumulatifnya adalah:
0 , (   x e - 1 ) ; X F -x  
2.5.  Fungsi o(h) dan Proses Counting
Fungsi f dikatakan fungsi o(h) jika:
  0 lim
0   h h f h Proses  stokastik     0 ,  t t N disebut  sebagai  proses counting jika N(t) merupakan jumlah  total  peristiwa  yang  telah  terjadi  sampai  ke  waktu t .  Proses counting N(t) harus memenuhi sifat [6] : (i).   0  t N (ii)   t N adalah bilangan bulat.
(iii)  Jika     . t N s N maka t s   (iv)  Untuk ) ( ) ( , s N t N t s   sama dengan jumlah peristiwa yang telah terjadi dalam interval  (s, t ].

## 3. Pembahasan
Akan  dibahas  secara  teoritis  proses  Poisson  yang  merupakan  proses  berdistribusi Poisson  pada  kedatangan  pelanggan  dan  distribusi  waktu  antar  kedatangannya. Pembahasan akan disajikan pada teorema-teorema berikut.

## Teorema 1 :
Untuk suatu proses Poisson, jumlah kedatangan yang terjadi pada interval waktu t adalah variabel random yang mengikuti suatu distribusi Poisson dengan parameter λ t dan peluang dari n kedatangan adalah :
t n e n t    ! ) ( .
Bukti : Misal P n ( t ) adalah peluang dari n kedatangan dalam interval waktu t , di mana n = 0, 1,  2,  3,  ….  Peluang  terjadi n kedatangan  dapat  dinyatakan  dengan  mengembangkan persamaan diferensial.
Untuk n >  1:
P n ( t + ∆ t ) = P{ n kedatangan pada saat t dan tidak ada kedatangan pada ∆ t } + P{ n -1 kedatangan pada saat t dan satu kedatangan pada ∆ t }
+ P{ n -2 kedatangan pada saat t dan dua kedatangan pada ∆ t }+ … + P{0 kedatangan dalam t dan n kedatangan pada ∆ t }. (1)
Dengan menggunakan asumsi i, ii, dan iii, maka persamaan (1) menjadi:                 t o t P t o t t P t o t t P t) (t P n n n n                2 1 1       t o t P    0 ... = P n ( t )[1-λ∆ t - ) ( t o  ] + P n -1 ( t ) )] ( [ t o t     +   t o  (2)
Karena       0 1 ) ( n n t t P , maka pada saat n = 0 diperoleh:
P 0 ( t + ∆ t ) = P 0 ( t )[1-λ∆t- ) ( t o  ] + ) ( t o  (3)
dengan ) ( t o  menyatakan suku-suku P{ n - j kedatangan pada saat t dan j kedatangan pada saat ∆ t ; 2< j < n }. Persamaan (2) dan (3) ditulis kembali dengan menggabungkan semua bentuk yang memuat ) ( t o  , sehingga didapat:
P 0 ( t + ∆ t ) - P 0 ( t ) = ) ( 0 t tP    - P 0 (t) ) ( t o  + ) ( t o  P 0 ( t + ∆ t ) - P 0 ( t ) = ) ( 0 t tP    + ) ( t o  (4)
dan
P n ( t + ∆ t ) - P n ( t ) = ) ( ) ( ) ( 1 t o t tP t tP n n          , ( n > 1). (5)
Persamaan (4) dan (5) dibagi dengan ∆ t dan diambil limit 0   t , sehingga diperoleh:
   
      t t P t t P t ) ( ) ( lim 0 0 0 =                   t t o t t P t t 0 0 lim  = t t o t P     ) ( ) ( 0 
                                     t t o t t P t t t P t t t Pn t t P n n t n t 1 0 0 lim ) ( ) ( lim   t t o t P t P n n        ) ( ) ( ) ( 1   , ( n > 1)
atau dapat ditulis:
) ( ) ( 0 0 t P dt t dP    (6)
dan
) ( ) ( ) ( 1 t P t P dt t dP n n n       ,    (n > 1) (7)
Dari persamaan (6), untuk n = 0 diperoleh:
) ( ) ( 0 0 t P dt t dP    dt t P t dP    ) ( ) ( 0 0 ln P 0 (t) = -λt
P 0 (t) = e -λt
Dari persamaan (7), untuk n = 1 diperoleh:
) ( ) ( ) ( 0 1 1 t P t P dt t dP      ) ( ) ( ) ( 0 1 1 t P t P dt t dP     t e t P dt t dP       ) ( ) ( 1 1       ) ( ) ( 1 1 t P e dt t dP e t t    )) ( ( 1 t P e dt d t     dt t P e t   1 t te t P     ) ( 1
Untuk n = 2 diperoleh:
) ( ) ( ) ( 1 2 2 t P t P dt t dP      ) ( ) ( ) ( 1 2 2 t P t P dt t dP     t te t P dt t dP       ) ( ) ( 2 2 t t P e dt t dP e t t 2 2 2 ) ( ) (      
t t P e dt d t 2 2 )) ( (      dt t t P e t 2 2 ) (     t t t e t e t e t t P   
         ! 2 1 . 2 ) ( 2 1 ) ( 2 2 2 2 2
Untuk n = 3 diperoleh:
) ( ) ( ) ( 2 3 3 t P t P dt t dP      ) ( ) ( ) ( 2 3 3 t P t P dt t dP       t e t t P dt t dP        2 ) ( ) ( 2 3 3   2 ) ( ) ( 2 3 3 t t P e dt t dP e t t        2 3 3 2 1 )) ( ( t t P e dt d t      dt t t P e t 2 3 3 2 1 ) (   3 3 3 6 1 ) ( t t P e t      t t t e t e t e t t P             ! 3 1 . 2 . 3 ) ( 6 1 ) ( 3 3 3 3 3
Sehingga dapat diambil suatu rumus umum, yaitu:
t n n e n t t P     ! ) ( ) ( n ≥ 0 (8)
Jadi,  terbukti bahwa peluang dari n kedatangan  yang terjadi pada interval  waktu t adalah t n e n t   
! ) ( ,  dengan  jumlah  kedatangan  yang  terjadi  pada  interval  waktu t adalah variabel random  yang mengikuti suatu distribusi Poisson dengan parameter t 

## Teorema 2:
Jika  jumlah  kedatangan  mengikuti  distribusi  Poisson  maka  suatu  variabel  random  waktu antar kedatangan mengikuti distribusi eksponensial.
Bukti : f  ( t )  =  fungsi  densitas  peluang  dari  interval  waktu t antar  pemunculan  kejadian  yang berurutan, t ≥ 0.
F ( t ) = fungsi distribusi kumulatif dari t
Jika  suatu  variabel  random  waktu  antar  dua  kedatangan  berurutan  dimisalkan  T, maka
P {T > t }= P {tidak ada kedatangan dalam waktu t } = t
T e ) t ( P dt ) t ( f       0
atau menggunakan F( t ) sebagai fungsi distribusi kumulatif dari T diperoleh:   t e t T P t T P t F          1 ) ( 1 ) ( (9)
maka fungsi densitasnya adalah
t e dt t dF t f      ) ( ) ( (10)
yang merupakan fungsi densitas dari distribusi eksponensial. Dengan parameter λ maka fungsi pembangkit momennya diperoleh rata-rata, yaitu:
           0 ; ) ( ); ( ) ( tkontinu dt t f e tdiskrit t f e tx T tx tx e E x M   x x e dt e dt e e x M t x t x t tx T                              0 0 ) ( 0 ) (   2 ' ) ( x x M T     dan 3 " ) ( 2 ) ( x x M T    
E(T) diperoleh dari:
   1 ) 0 ( ) 0 ( ) ( 2 '     T M T E   2 3 " 2 2 ) 0 ( 2 0 ) (        T M T E Sehingga 2 2 2 2 2 1 1 2 )) ( ( ) ( ) (         T E T E T Var dan  1 ) (  T E
Jadi,  waktu  antar  kedatangan  yang  berurutan  mengikuti  distribusi  eksponensial dengan  rata-rata  1 .  Jika  waktu  antar  kedatangan  1 maka  jumlah  kejadian  dalam  satu periode waktu tertentu pastilah berdistribusi Poisson dengan rata-rata kedatangan adalah λ.

## 4. Kesimpulan
Dari pembahasan diperoleh solusi  untuk  distribusi  jumlah kedatangan pada proses antrian yaitu berdistribusi Poisson. Keterkaitan jumlah kedatangan waktu antar kedatangan adalah sebagai berikut:
a.  Untuk  suatu  proses  Poisson,  jumlah  kedatangan  yang  terjadi  pada  interval  waktu t adalah variabel random yang mengikuti suatu distribusi Poisson dengan parameter λ t
dan peluang dari n kedatangan adalah : t n e n t    ! ) (
b.  Jika  jumlah  kedatangan  mengikuti  distribusi  Poisson  maka  suatu  variabel  random waktu antar kedatangan mengikuti distribusi eksponensial.

## DAFTAR PUSTAKA
1. Aminudin, Prinsip-Prinsip Riset Operasi , Erlangga, Jakarta, 2005.
2. Bain,  L.  J.  and  Engelhardt,  M., Introduction  To  Probability  And  Mathematical Statistics, Duxbury Press, United States of Amirica, 1992.
3. Gross,  D  and  Haris,  C.  M., Fundamental  of  Queueing  Theory : Third  edition. John Willey & Sons, Inc., New York, 1998.
4. Kulkarni,  V.G., Modeling,  Analysis,  Design,  and  Control  of  Stochastic  Systems , Springer- Verlag, New York, 1999.
5. Kakiay, T. J., Dasar Teori Antrian Untuk Kehidupan Nyata ,  Yogyakarta : Andi, 2004.
6. Ross, S.M., Stochastic Processes , John Wiley & Sons, Inc., Canada, 1983.
7. Taha, H. A., Riset Operasi : Jilid 2, Binarupa Aksara, Jakarta, 2004.