Vol. 11, No. 1,  71-76,  Juli  2014

## IDEAL PRIMA DAN IDEAL MAKSIMAL PADA GELANGGANG POLINOMIAL
Qharnida Khariani, Amir Kamal Amir dan Nur Erawaty

## Abstrak
Teori gelanggang merupakan salah satu bagian di matematika aljabar yang berkembang pesat saat ini. Dari suatu  gelanggang dapat  dibentuk  gelanggang  baru , - yang  disebut  dengan  gelanggang  polinomial. Ideal  adalah  bagian  dari  gelanggang  yang  mempunyai  struktur  istimewa.  Jika gelanggang  dan himpunan bagian tidak kosong dari , himpunan dikatakan ideal dari jika memuat semua hasil kali dan dengan sebarang anggota dan sebarang anggota . Dalam tulisan ini lebih terkhusus lagi akan  dibahas  mengenai  ideal  prima  dan  ideal  maksimal.  Lebih  jelasnya,  akan  dibahas  karakterisasi  ideal prima,  karakterisasi  ideal  maksimal,  keterkaitan  antara  kedua  ideal  tersebut  dan  keterkaitan  antara  ideal prima dan ideal maksimal dengan gelanggang faktornya.
Kata Kunci :   gelanggang faktor, gelanggang polinomial, ideal, ideal maksimal, ideal prima.

## 1. Pendahuluan
Teori gelanggang  merupakan salah satu bagian di matematika aljabar yang berkembang pesat saat ini. Gelanggang  adalah himpunan tak kosong dengan dua operasi biner, penjumlahan dan perkalian yang memenuhi aksioma tertentu. Sedangkan ideal adalah bagian dari gelanggang dengan struktur yang istimewa. Misalkan adalah subset dari ,maka dikatakan Ideal dari jika memuat semua hasil kali dan dengan sebarang anggota   dan sebarang anggota
.
Paper ini akan membahas mengenai ideal prima dan ideal maksimal. Lebih jelasnya akan dibahas  mengenai  karakterisasi  ideal  prima,  karakterisasi  ideal  maksimal,  keterkaitan  antara kedua ideal tersebut, dan keterkaitan antara kedua ideal dengan gelanggang faktornya.
Untuk  pembahasan  yang  lebih  lanjut,  dibutuhkan  beberapa  defenisi.  Oleh  itu,  sebelum memasuki  pembahasan  mengenai  hal  tersebut  di  atas,  pada  bagian  ini  disajikan  lebih  dahulu defenisi-defenisi pendukung yang akan dipakai dalam pembahasan selanjutnya. 1
Definisi 1.1 [1]
Misal adalah  suatu  gelanggang  dan adalah  sub  gelanggang,  maka disebut  ideal jika untuk dan berlaku dan . Definisi 1.2 [1] Sebuah  ideal pada  sebuah  gelanggang  komutatif disebut  ideal  prima jika berimplikasi atau , untuk .
Definisi 1.3 [2]
1,2,3 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Hasanuddin Makassar , Jl. Perintis Kemerdekaan Km.10 Makassar

## Qharnida Khariani, Amir Kamal Amir dan Nur Erawaty
Sebuah  ideal pada  gelanggang  disebut  ideal  maksimal  jika berbeda  dari sedemikian sehingga tidak ada ideal sejati pada yang memuat .
Teorema 1.1 [3] Jika adalah  gelanggang  komutatif  sedemikian  sehingga (dalam  hal  ini memiliki identitas), maka setiap ideal maksimal adalah prima.
Teorema 1.2 [4] Jika adalah lapangan, maka , - adalah ideal utama.

## 2. Pembahasan
Masalah yang akan dibahas dalam bagian ini adalah  mengenai hal-hal yang berhubungan dengan ideal prima dan ideal maksimal pada gelanggang polinomial.
Lebih  jelasnya,    dalam  paper  ini  akan    dipaparkan  dengan  terperinci  permasalahan- permasalahan berikut:
1. Bagaimana karakterisasi ideal prima?
2. Bagaimana karakterisasi ideal maksimal?
3. Bagaimana  keterkaitan  antara  ideal  prima  dan  ideal  maksimal  dengan  polinomial  yang tak tereduksi?
Berikut ini adalah contoh dari “Gaussian Integer” yang bukan ideal prima.
Contoh 2.1 Misalkan dan (     ) . Maka akan ditunjukkan apakah ideal prima atau tidak ideal prima pada .
Bukti : .
(     ) ( )    (  )      (      ) . Ambil dan . Misalkan , maka ( )( ) ( ) ( )   ( ) . Karena , artinya ( ) dan ( ) . Bukti penyangkal Misalkan dipilih dan , maka (      )(      ) . Karena
dan , tetapi maka berdasarkan definisi maka bukan ideal prima. Berikut ini adalah teorema mengenai ideal prima dengan polinomial yang tak tereduksi.
Teorema 2.1 Misalkan adalah lapangan dan adalah ideal terhadap gelanggang polinomial , - , maka prima jika dan hanya jika 〈 〉 atau 〈 ( )〉 untuk suatu ( ) yang tak tereduksi.
Bukti :
Jika ideal prima, maka 〈 〉 dan 〈 ( )〉 dengan ( ) yang tak tereduksi. Berdasarkan Teorema  1.2 jika ideal di , - maka adalah ideal utama. Misalkan 〈 ( )〉 , jika ( ) , maka bukti selesai. Dan jika ( ) akan ditunjukkan bahwa ( ) tak tereduksi. Andaikan ( ) tereduksi berarti terdapat ( ) dan ( ) dengan derajat ( )    ( ) dan derajat ( ) ( ) . Sedemikian sehingga ( )    ( ) ( ) . Karena derajat ( )    ( ) dan derajat ( ) ( ) ,  maka ( )   〈 ( )〉 dan ( )   〈 ( )〉 .  Hal ini  berarti bukan  ideal  prima. Jadi,  terjadi kontradiksi. Dengan demikian ( ) tak tereduksi.
Jika 〈 〉 dan 〈 ( )〉 dengan ( ) yang tak tereduksi maka ideal prima. Untuk 〈 〉 ,  misalkan ( ) ( )   〈 〉 maka ( ) ( ) .  Akibatnya ( ) atau ( ) . Sehingga ( )   〈 〉 atau ( )   〈 〉 . Dengan kata lain 〈 〉 prima. Untuk 〈 ( )〉 dengan ( ) yang tak tereduksi. Andaikan 〈 ( )〉 tidak prima, berarti terdapat ( ) ( )    ( ) dengan ( )   〈 ( )〉 dan ( )   〈 ( )〉 .  Karena  derajat ( )    ( ) dan derajat ( )    ( ) ,  maka ( ) tak  tereduksi. Jadi,  terjadi  kontradiksi.  Dengan  demikian ( ) ideal prima.
Berikut ini diberikan contoh mengenai ideal maksimal.
Contoh 2.2
dan gelanggang  komutatif,  maka ideal  maksimal  jika  dan  hanya  jika  untuk  setiap
, terdapat sedemikian sehingga . Bukti : Misalkan ideal  maksimal.  Akan  ditunjukkan  bahwa  untuk  setiap ,  terdapat sedemikian  sehingga .  Andaikan  terdapat untuk  setiap sedemikian  sehingga .  Jelas  bahwa adalah  ideal  di .  Karena , maka . Jadi . Lebih  lanjut,  karena dan ,  maka .  Dengan  demikian bukan ideal maksimal. Terjadi  kontradiksi  dengan  pernyataan  awal,  sehingga  terbukti  bahwa ideal  maksimal  jika untuk setiap , terdapat sedemikian sehingga . Misalkan  untuk  setiap ,  terdapat sedemikian  sehingga .  Akan ditunjukkan  bahwa ideal  maksimal.  Misalkan adalah  sebuah  ideal  lain  dengan . Misalkan ,  berarti  terdapat ,  sehingga .  Jadi, . Karena, ,  maka .  Dan  karena ,  maka
.  Dengan  demikian  dapat disimpulkan bahwa ideal maksimal.
Berikut adalah lemma mengenai gelanggang formal power series yang ideal maksimal.

## Lemma 2.1
Misal ⟦ ⟧ adalah gelanggang dari formal power  series dengan koefisiennya dalam lapangan . Maka 〈 〉 adalah ideal maksimal.
Qharnida Khariani, Amir Kamal Amir dan Nur Erawaty
Bukti :
〈 〉   *
+ . Misalkan adalah ideal dari ⟦ ⟧ dengan 〈 〉 . Akan ditunjukkan bahwa ⟦ ⟧ . Karena 〈 〉 , maka ada ( ) tetapi ( )   〈 〉 . Karena ( )   〈 〉 maka ( ) berbentuk : ( ) dengan . Karena 〈 〉 , maka . Oleh karena itu, karena ideal berarti : ( )   , - , - , - . Karena dan , maka terdapat . Karena ideal, maka : menghasilkan Karena
maka ⟦ ⟧ . Karena ⟦ ⟧ maka dapat disimpulkan bahwa 〈 〉 ideal maksimal.
Berikut ini adalah teorema mengenai ideal maksimal dengan polinomial yang tak tereduksi.

## Teorema 2.2
Misalkan adalah  lapangan  dan adalah  ideal  terhadap  gelanggang  polinomial , - , maka 〈 ( )〉   〈 〉 ideal maksimal terhadap , - jika dan hanya jika ( ) tak tereduksi atas .
Bukti :
Misalkan 〈 ( )〉   〈 〉 adalah  ideal  maksimal  terhadap , - .  Maka 〈 ( )〉    , - sehingga ( ) .  Karena 〈 ( )〉 ideal  maksimal  maka 〈 ( )〉 juga  ideal  prima.  Sehingga ( ) ( ) ( ) berimplikasi ( )    ( ) atau ( )    ( ) . Karena ( )   〈 〉 berarti ( ) konstan atau ( ) konstan. Sehingga dapat disimpulkan bahwa ( ) tak tereduksi.
Jika ( ) tak  tereduksi  akan  ditunjukkan  bahwa 〈 ( )〉   〈 〉 ideal  maksimal.  Misal 〈 ( )〉 . Untuk menunjukkan ideal maksimal dari , - sedemikian sehingga maka atau , - . Karena lapangan maka menurut teorema Teorema 1.2 , - adalah ideal utama, maka 〈 ( )〉 untuk  suatu ( )    , - .  Karena ( ) maka ( )    ( ) ( ) , ( )    , - .  Karena ( ) tak  tereduksi maka ( ) konstan  atau ( ) konstan.  Jika ( ) konstan  maka ( ) ,  untuk  suatu
.  Berarti ( )    ( ) atau ( )    ( ) .
Berarti ( ) ,  berakibat .  Karena dan maka .  Jika ( ) konstan  maka ( ) ,  untuk  suatu .  Sehingga
.  Oleh  karena  itu,  untuk setiap ( )    , - berlaku ( )    ( ) (karena ideal dari , - ). Maka , - . Sehingga dapat disimpulkan bahwa
〈 ( )〉 ideal maksimal dari , - .
Seperti  yang  diketahui  bahwa  terdapat  teorema  yang  menyatakan  bahwa  pada  gelanggang komutatif,  setiap  ideal  maksimal  maksimal  adalah  prima,  dan  lemma  berikut  ini  membuktikan bahwa terdapat ideal prima tapi bukan ideal maksimal.

## Qharnida Khariani, Amir Kamal Amir dan Nur Erawaty
Lemma 2.2 Diberikan gelanggang , - dan * + .
Akan ditunjukkan bahwa ideal prima tapi bukan ideal maksimal.
Bukti : , -   * + * +
Ambil ( )   ( )        , - ( )
∑
( )
∑
Misalkan ( ) ( )
( ) ( )   ∑ ∑( ) ∑( ) ( ) ( ) ( )
Karena ( ) ( ) , maka Artinya atau . Jika , maka ( ) . Jika maka ( ) . Jadi, dapat disimpulkan bahwa ideal prima.
Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa bukan ideal maksimal.
Diketahui bahwa ideal. Akan ditunjukkan bahwa ideal dari . Ambil dan . Karena , maka berbentuk dengan dan . Maka (      ) dan (      ) . Karena
, maka ideal terhadap  . * + * + , dimana . Sebelumnya  telah  diketahui  bahwa ideal  dan juga  ideal.  Untuk  setiap dan terdapat di  mana .  Dalam  hal  ini  terdapat tetapi .  Sehingga yang  berarti .  Karena maka bukan ideal maksimal.

## KESIMPULAN
Dari pembahasan di atas disimpulkan beberapa hal berikut:
1. Jika dan (     ) . Maka tidak ideal prima pada .
2. Jika lapangan dan ideal terhadap , - , maka prima jika dan hanya jika 〈 〉 atau 〈 ( )〉 untuk suatu ( ) yang tak tereduksi.
3. Jika dan gelanggang  komutatif,  maka ideal  maksimal  jika  dan  hanya  jika untuk setiap , terdapat sedemikian sehingga . 4. Jika ⟦ ⟧ adalah  gelanggang  dari formal  power    series dengan  koefisiennya  dalam lapangan , maka 〈 〉 adalah ideal maksimal.
5. Jika lapangan dan ideal terhadap , - , maka 〈 ( )〉   〈 〉 ideal maksimal terhadap , - jika dan hanya jika ( ) tak tereduksi atas .
6. Jika gelanggang  komutatif  dengan , - dan *
+ , maka ideal prima tapi bukan ideal maksimal.

## Daftar Pustaka
[1] Fraleigh, John. 1997. A First Course In Abstract Algebra, 5 th Edition. University  of Rhode Island
[2] Fraleigh,  John.  2002. A  First  Course  in  Abstract  Algebra ,  7 th Edition.  New  York: Addison-Wesley Publishing Company.
[3] Judson.W, Thomas.  2011. Abstract  Algebra  Theory  and  Applications .  Stephen  F.  Austin State University.
[4] Prihandoko.C,  Antonius.  2009. Pengantar  Teori  Ring  dan  Implementasinya. Jember  : Program Studi Pendidikan Matematika, Universitas jember.