## EULER: Jurnal Ilmiah Matematika, Sains dan Teknologi

## MODEL DINAMIKA PENYEBARAN PENYAKIT CAMPAK DENGAN PENGARUH MIGRASI DAN PENAMBAHAN IMUNISASI
Ainun Fatmawati 1 *, Lisnawati R. Aju 2 , Ristina Malango 3
1,2,3 Jurusan Matematika, Universitas Negeri Gorontalo, Bone Bolango 96119, Indonesia *Penulis Korespondensi. Email: ainunfatmawatii@gmail.com

## Abstrak
Artikel  ini  membahas  dinamika  penyebaran  penyakit  campak  dengan  pengaruh  migrasi  dan penambahan imunisasi. Untuk menganalisis hasil dilakukan penentuan titik tetap bebas penyakit dan  endemik.  Analisis  dilakukan  dengan  memperhatikan  bilangan  reproduksi  dasar (𝑅 0 ) .  Pada analisis hasil didapat kondisi 𝑅 0 < 1 yang menunjukkan bahwa penyebaran penyakit campak dapat dicegah.  Dengan  melakukan  migrasi  dan  menambahkan  imunisasi  maka  nilai  dari  bilangan reproduksi dasar akan semakin kecil yang menunjukkan berkurangnya epidemi dalam populasi.
Kata Kunci: Campak; Model Matematika; Migrasi; Imunisasi; Kestabilan

## Abstract
This article discusses the dynamics of the spread of measles with the effect of giving and adding immunization. To analyze the results, a fixed point was determined to be disease-free and endemic. The analysis was carried out by considering the basic reproduction number (𝑅 0 ) . In the analysis of  the  results  obtained  conditions 𝑅 0 < 1 which  indicates  that  the  spread  of  measles  can  be prevented.  By  practicing  and  adding  immunizations,  the  value  of  the  numerals  will  be  smaller, which indicates the reduction in the population.
Keywords: Measles; Mathematical Model; Migration; Immunization; Stability

## 1. Pendahuluan
Penyakit  campak  dikenal  juga  sebagai  Morbili  atau  Measles  merupakan  infeksi  virus  yang sangat menular. Penyakit ini disebabkan oleh virus campak golongan Paramixovirus, yang ditandai dengan demam, batuk, ruam kulit dan ditularkan melalui percikan ludah dari hidung, mulut maupun tenggorokan penderita campak. Penyakit ini dapat menyerang siapa saja tanpa mengenal usia dan jenis kelamin.
Model  matematika  dapat  digunakan  untuk  memperlajari  penyebaran  penyakit,  seperti HIV/AIDS [1], Kanker [2], dan termasuk diantaranya adalah campak. Pemodelan terhadap campak telah banyak dilakukan diantaranya model dasar tentang penyebaran penyakit yang dirumuskan oleh Kermack pada tahun 1927. Model penyebaran yang telah diteliti sebelumnya yaitu model SIR. Model tersebut  berupa susceptible,  infected, dan recovered ( SIR ).  Pada  model  lain  dibahas  penyebaran peyakit  campak  yang  dibagi  menjadi  4  populasi  yaitu  model SEIR .  Dimana  disini  ditambahkan populasi Exposed (𝐸) [3]. Penelitian yang dilakukan Ulfa dkk, [4] berupa model yang melibatkan faktor pengontrolan campak dengan menambahkan vaksinasi. Khosiloh [5] juga melakukan kajian model matematika penyebaran penyakit campak dengan pengaruh vaksinasi. Selanjutnya Suandi [6] mempertimbangkan  model  penyebaran  penyakit  campak  dengan  vaksin  permanen.  Lebih  lanjut, Soleh  [7]  meneliti  model  SEIR  penyakit  campak  dengan  vaksinasi  dan  migrasi.  Analisis  yang dilakukan  menghasilkan  jumlah  individu  yang  harus  divaksinasi  agar  tidak  terjadi  endemik  pada penyakit campak adalah 𝑝 𝑐 > 1 − 1 𝑅 0 .
Artikel ini memperkenalkan model baru tentang penyakit campak dengan mempertimbangkan pengaruh migrasi dan imunisasi. Seperti pada  yang dilakukan oleh Beay [8] pada kasus dinamika penyebaran  Campak  dengan  pangaruh  migrasi,  yang  menunjukkan  semakin  besar  nilai  parameter imigrasi maka semakin besar peluang terjadi penyabaran penyakit pada suatu populasi. Selanjutnya, semakin besar nilai parameter emigrasi maka semakin kecil peluang terjadinya penyebaran penyakit di dalam populasi.
Sihotang  [9]  meneliti  analisis  kestabilan  model  SEIR  penyebaran  penyakit  campak  dengan pengaruh imunisasi dan vaksin MR. Analisis yang dilakukan menghasilkan simulasi numerik saat ditambahkan vaksin MR dan imunisasi sangat berpengaruh terhadap berkurangnya populasi penyakit campak.  Kami akan mengembangkan model dengan meninjau faktor-faktor yang ada pada penelitian sebelumnya. Penelitian ini populasi dibagi menjadi  4 kelas, Susceptible (𝑆) menyatakan populasi kelas rentan, Infected (𝐼) menyatkan populasi kelas infeksi, Quarantined (𝑄) menyatakan populasi kelas karantina, dan Recorvered (𝑅) menyatakan populasi kelas sembuh. Maka dari itu penelitian ini berjudul “Analisis Kestabilan Dinamika Penyebaran Penyakit Campak dengan Pengaruh Migras i dan Penambahan Imunisasi” .
Model yang diperoleh selanjutnya dilakukan analisis kestabilan dinamika penyebaran penyakit campak dengan titik tetap bebas penyakit dan titik tetap endemik. Simulasi numerik yang diperoleh menunjukkan kondisi saat 𝑅 0 < 1 , penyebaran penyakit campak dapat dicegah. Dengan melakukan migrasi dan menambahkan imunisasi maka nilai dari bilangan reproduksi dasar akan semakin kecil yang menunjukkan berkurangnya epidemi dalam populasi.

## 2. Metode Penelitian
Metode yang digunakan pada metode penelitian ini yaitu:
a. Menetukan  asumsi  dan  mendefinisikan  parameter  yang  digunakan  pada  model  SIQR  dengan asumsi adanya vaksinasi.
b. Menggambar diagram transfer untuk membentuk model matematika. Diagram transfer berfungsi untuk membentuk sistem persamaan diferensialnya.
c. Menyelesaikan sistem persamaan diferensial.
d. Mencari titik ekuilibrium model. Titik ekuilibrium bebas penyakit dan titik ekuilibrium endemik penyakit.
e. Menganalisa  sifat  kestabilan  titik  ekuilibrium.  Setelah  titik  ekuilibrium  diperoleh,  maka diselidiki  kestabilan  dari  titik  kesetimbangan  bebas  penyakit  dan  endemic  penyakit.  untuk menganalisa  sifat  kestabilan  titik  ekuilibrium  dilakukan  linearisasi  pada  sistem  dengan menentukan matriks Jacobian di titik ekuilibrium [4]. Kemudian dengan menggunakan definisi polynomial  karakteristik  diperoleh  nilai  eigen  dan  matriks  dan  ditentukan  sifat kestabilannyaberdasarkan  Teorema  [5].  salah  satu  alternative  menentukan  nilai  eigen  dari polynomial karakteristik adalah dengan menggunakan criteria Routh-Hurwitz.
f. Menginterprestasikan  hasil  yang  diperoleh  untuk  mengetahui  jumlah  individu  yang  harus divaksinasi agar tidak terjadi endemic penyakit.
g. Mensimulasikan  model  dengan  mendefinisikan    nilai  parameter  dan  digambarkan  dengan menggunakan softwere  Wolfram Mathematica 11.3

## 3. Hasil dan Pembahasan

## 3.1.Model Matematika
Pada model ini digunakan beberapa variabel yaitu S jumlah individu pada kelas rentan, I jumlah individu pada kelas infeksi, Q jumlah individu pada kelas karantina, R jumlah individu pada kelas sembuh. Adapun parameter yang digunakan adalah:
𝛬 = Laju kelahiran 𝛿 1 = Laju imigrasi
𝛿 2 = Laju emigrasi
𝛼 = Peluang laju transfer rendah ke infeksi
𝛽 = Peluang laju transfer infeksi ke karantina
𝜂 = Peluang laju kesembuhan tiap individu pada kelas
𝛾 = Peluang laju kesembuhan tiap individu pada kelas karantina
𝜑 = Lajukematian karena penyakit
𝜇 = Laju kematian yang terjadi secara alami
𝑝 = Proporsi imunisasi
Asumsi yang digunakan sebagai berikut:
1) Jumlah individu pa da kelas rentan (susceptible) akal bertambah karena laju kelahiran Λ dan laju migrasi 𝛿 1 .
2) Ketika  terjadi  infeksi  maka  jumlah  individu  pada  kelas  terinfeksi  (infected)  akan  bertambah dengan laju 𝛼 .
3) Untuk mengurangi efek kontak dengan penderita maka dilaku kan karantina laju β.
4) Jumlah individu kelas sembuh (recorvered) akan bertambah karena penyembuhan yang terjadi pada kelas infeksi (infected) dengan laju η dan yang terjadi pada kelas karantina dengan laju γ.
5) Jumlah  individu  pada  kelas  infeksi  (infected)  dankarantina  (quarantined)  akan  berkurang disebabkan kematian karena penyakit dan laju φ.
6) Jumlah individu kelas rentan (susceptible), infeksi (infected), karantina dan sembuh (recorvered) akan berkurang karena kematian yang terjadi secara alami dengan laju μ.
7) Jumlah individu pada kelas rentan (susceptible), infeksi (infected), dan sembuh (recorvered) akan berkurang karena proses emigrasi dengan laju 𝛿 2 .

## 8) Penambahan imunisasi pada kelas rentan
Dengan adanya variabel, parameter dan asumsi di atas, maka dinamika penyebaran penyakit campak dengan pengaruh migrasi dan penambahan imunisasi dapat dilihat pada Gambar 1.
𝑅 (𝐼 − 𝑃)Λ 𝑆 𝛿 1 𝜇 𝛿 2 𝐼 𝜑 𝜇 𝛿 2 𝑄 𝜑 𝜇 𝛿 2 𝜇 𝛼 𝛽 𝛾 𝜌Λ 𝜂
Berdasarkan gambar diatas, diperoleh model matematika penularan penyakit campak dengan pengaruh migrasi dan penambahan imunisasi sebagai berikut:
𝑑𝑆 𝑑𝑡 = (Ι − 𝑝)Λ + 𝛿 1 − 𝛼𝑆Ι −   (μ + 𝛿 2 )𝑆 𝑑Ι 𝑑𝑡 = 𝛼𝑆Ι − 𝜂Ι − 𝛽𝐼 − (𝜑 + 𝜇 + 𝛿 2 )Ι 𝑑Q 𝑑𝑡 = 𝛽Ι − 𝛾𝑄 − (𝜑 + 𝜇)𝑄 𝑑R 𝑑𝑡 = 𝜂Ι + 𝛾𝑄 − (𝜇 + 𝛿 2 )𝑅 + 𝑝Λ
Tabel dibuat rata tengah dengan font times new roman ukuran 10. Gunakan style yang telah disediakan.

## 3.2. Penentuan Titik Tetap
1) Titik tetap bebas penyakit
Titik  tetap  bebas  penyakit  terjadi  jika 𝐼 = 0 ,dan 𝑄 = 0 yang  menunjukkan  tidak  terdapat populasi penyakit. Titik tetap bebas penyakit dapat dinyatakan dalam bentuk 𝐸 0 = (𝑆, 𝐼, 𝑄, 𝑅)
𝐸 0 = (𝑆, 𝐼, 𝑄, 𝑅) = (𝑆 = 𝛿 1 + 𝛬 − 𝑝𝛬 𝛿 2 + 𝜇 , 0,0, 𝑝𝛬 (𝜇 + 𝛿 2 ) )

## 2) Titik tetap penyakit
Titik  tetap  penyakit  dapat  dinyatakan  dalam  bentuk 𝐸 1 = (𝑆, 𝐼, 𝑄, 𝑅) .  Berdasarkan  dengan sistem persamaan pada model tersebut diperoleh:
𝑆 = 𝜑 + 𝜇 + 𝛿 2 + 𝜂 + 𝛽 𝛼 , 𝐼 = 𝛿 1 + 𝛬 − 𝑝𝛬 [𝜑 + 𝜇 + 𝛿 2 + 𝜂 + 𝛽] − (𝜇 + 𝛿 2 ) 𝛼 𝑄 = 𝛽 (− 𝛿 2 + 𝜇 𝛼 + 𝛿 1 + 𝛬 − 𝑝𝛬 𝜑 + 𝜇 + 𝛿 2 + 𝜂 + 𝛽 ) 𝛾 + 𝜇 + 𝜑 𝑅 = 𝛽𝛾 − 𝜂(𝛾 + 𝜇 + 𝜑) 𝛼 + 𝛽(−𝛾(𝛿 1 + 𝛬 − 2𝑝𝛬) + 𝑝𝛬(𝜇 + 𝜑)) + (𝛾 + 𝜇 + 𝜑)(𝛿 1 𝜂 + 𝛬(𝜂 + 𝑝(𝛿 2 + 𝜇 + 𝜑))) (𝛿 2 + 𝜇)(𝛽 + 𝛿 2 + 𝜂 + 𝜇 + 𝜑) 𝛾 + 𝜇 + 𝜑

## 3.3.Analisis Kestabilan Titik Tetap
Untuk menganalisis kestabilan titik tetap suatu sistem persamaan diferensial nonlinear, dapat dilakukan  dengan  melinearkan  persamaan  diferensialnya.  Analisis  kestabilan  titik  tetap  dapat ditentukan dengan cara menentukan nilai eigen dari matriks Jacobian sistem. Matriks Jacobian dari sistem adalah:
[ 𝛼𝐼 − (𝜇 + 𝛿 2 ) 𝛼𝐼 −𝛼𝑆
𝛼𝑆 − 𝜂 − 𝛽 − (𝜑 + 𝜇 + 𝛿 2 ) 0 0
0                 0
0 𝛽 −𝛾 − 𝜑 − 𝜇 0 0 𝜂 −𝛾 −𝛿 2 − 𝜇 ]
Untuk memperoleh kestabilan sistem dititik 𝐸 0 terlebih dahulu dilakukan pelinearan disekitar titik tetap 𝐸 0 sehingga diperoleh matriks Jacobi untuk titik tetap bebas penyakit
𝐽 =
[ −𝛿 2 − 𝜇 0 − 𝛼(𝛿 1 +Λ−𝑝Λ 𝛿 2 +𝜇 −𝛽 − 𝛿 2 − 𝜂 − 𝜇 + 𝛼(𝛿 1 +Λ+𝑝Λ) 𝛿 2 +𝜇 − 𝜑 0                 0 0                 0 0 𝛽 −𝛾 − 𝜑 − 𝜇 0 0 𝜂 −𝛾 −𝛿 2 − 𝜇]
(1)
Dari persamaan (1) diperoleh persamaan karakteristik
𝑑𝑒𝑡(𝜆𝐼 − 𝐽)   =  0
Dari persamaan karakteristik diperoleh nilai-nilai eigen dari matriks 𝐽 , yaitu:
𝜆 1 =   −𝛿 2 − 𝜇 𝜆 2 = −𝛽 − 𝛿 2 − 𝜂 − 𝜇 + 𝛼(𝛿 1 +Λ+𝑝Λ) 𝛿 2 +𝜇 − 𝜑 𝜆 3 = −𝛾 − 𝜑 − 𝜇 𝜆 4 = −𝛿 2 − 𝜇
Tabel 1. Nilai-nilai parameter Parameter Keterangan Nilai Parameter Λ Laju kelahiran 6 𝛿 1 Laju migrasi 0.3 𝛿 2 Laju Emigrasi 0.3 𝛼 Peluang laju transfer rendah ke infeksi 0.02 𝛽 Peluang laju transfer infeksi ke karantina 0.17 𝜂 Peluang laju kesembuhan tiap individu pada kelas infeksi 0.04 𝛾 Peluang laju kesembuhan tiap individu pada kelas karantina 0.06 𝜑 Laju kematian karena penyakit 0.001 𝜇 Laju kematian yang terjadi secara alami 0.1 𝑝 Proporsi Imunisasi 0.1

## 3.4.Bilangan Reproduksi Dasar (𝑅 0 )
Bilangan reproduksi yang dinotasikan dengan 𝑅 0 adalah nilai harapan banyaknya infeksi tiap satuan  waktu.  Infeksi  ini  terjadi  pada  suatu  populasi  rentan  yang  dihasilkan  oleh  satu  individu terinfeksi  [10][11].  Dari  model  yang  telah  dibentuk  diperoleh  bilangan  reproduksi  dasar  sebagai berikut:
𝑅 0 = 𝛼(𝛿1 + 𝛬 − 𝓅𝛬) (𝛿2 + 𝜇)(𝛽 + 𝛿2 + 𝜂 + 𝜇 + 𝜑)
𝑅 0 merupakan nilai ambang batas epidemik yang akan menjadi tolak ukur tingkat penyebaran Tuberkulosis dalam populasi. Kondisi yang memungkinkan dari bilangan reproduksi menurut van den Driessche & Watmough [10] adalah:
1) Jika 𝑅 0 < 1 , maka jumlah individu yang terinfeksi akan menurun pada setiap generasi, sehingga penyakit akan menghilang.
2) Jika 𝑅 0 > 1 ,  maka  jumlah  individu  yang  terinfeksi  akan  meningkat  pada  setiap  generasi, sehingga penyakit akan meningkat dan mewabah.

## 3.5.Simulasi Numerik
Simulasi dilakukan dengan menggunakan nilai parameter yang terdapat pada Tabel 1. Nilai- nilai  tersebut  diperoleh  berdasarkan  data  sekunder  dan  beberapa  nilai  parameter  digunakan berdasarkan asumsi. Untuk melihat dinamika populasi berdasarkan nilai-nilai parameter yang telah ditentukan dapat menggunakan software Wolfarm Mathematica dengan nilai awal 𝑠(0) =  30, 𝑖(0) = 15, 𝑞(0) = 10, 𝑟(0) = 0 .
Berdasarkan nilai-nilai parameter pada Tabel 1, diperoleh yaitu 𝑅 0 < 1 . Dinamika penyebaran penyakit  campak  dengan  pengaruh  migrasi  dan  penambahan  imunisasi  tersebut  disajikan  dalam gambar berikut
Gambar 2. Dinamika populasi pada kondisi 𝑅 0 <  1
Simulasi model untuk nilai-nilai parameter pada Tabel 1 memberikan bilangan reproduksi dasar (𝑅 0 ) sebesar 0.466448. Dilihat dari Gambar 2, pada kondisi 𝑅 0 < 1 grafiknya akan menuju disekitar titik tetap bebas penyakit 𝐸 0 = (14.25, 0, 0, 1.5) . Hal ini dapat dikatakan bahwa penyebaran penyakit campak tidak terjadi atau penyebaran penyakit campak akan menghilang.

## 4. Kesimpulan
Dengan melakukan migrasi pada kelas infeksi dan penambahan imunisasi pada kelas rentan maka 𝑅 0 akan  semakin  kecil  yang  menunjukkan  berkurangnya  epidemi  dalam  populasi  sehingga penyebaran penyakit campak dapat dicegah.

## Referensi
[1] M. F. Lamusu, D. Mamula, and F. Muhsana, “ Analisis Kestabilan Titik Tetap pada Model Matematika Penyebaran HIV/AIDS,” EULER J. Ilm. Mat. Sains dan Teknol. , vol. 7, no. 1, pp. 15 – 24, 2019.
[2] K. Humolungo, R. Paudi, and M. Penelitian, “ Model Matematika SIUC pada Kasus Kanker Serviks ,” EULER J. Ilm. Mat. Sains dan Teknol.,
vol. 7, no. 1, pp. 32 –
36, 2019.
[3] Jeffrey,  C.  R. ,  “ Introduction  to  Differential  Equations  and  Boundary  Value  Problems. JohnWiley and Sons” The Hongkong University of Sience and Techno logy, New York, 2009.
[4] U.  Maesaroh,  Sugiyanto.,  “Model  Matematika  Untuk  Kontrol  Campak  Menggunakan Vaksinasi” Fourier, Fakultas Sains dan Teknologi, Universitas Islam Negeri Sunan Kalijaga, Yogyakarta., Vol. 2, hal. 97-110, 2013.
[5] S. Kholisoh dkk., “Model Epidemi SEIR Pada Penyebaran Penyakit Campak dengan Pengaruh
Vaksinasi” Unnes Journal of Mathematics., Vol. 1, No 2, hal. 110 -117, 2012.
[6] Suandi Dhani, “Analisis Dinamik pada Model Penyebaran Penyakit Campak dengan Pengaruh Vaks in Permanen” Jurnal Kubik., Vol. 2, No. 2, hal. 1 -10, 2018.
[7] M.  Soleh,  M.  Yulsen, Wartono,  Rahmawati,  “Model  SEIR  Penyakit  Campak  Dengan  Laju Penularan Nonlinier Incidence Rate” Seminar Nasional Teknologi Informasi, Komunikasi dan Industri (SNTIKI) 11., Pekanbaru, November 2019.
[8] L.  K.  Baey,  “Dinamika  Penyebaran  Campak  Dengan  Pengaruh  Migrasi”  Jurnal  Sainsmat., Vol.VII, No.2, September 2018.
[9] W. D. Sihotang, C. C. Simbolon, J. Hartiny, D. Tindaon, L. P. Sinaga, “Analisis Kestabilan Model  SEIR  Peny ebaran  Penyakit  Campak  dengan  Pengaruh  Imunisasi  dan  Vaksin  MR” Jurnal Matematika, Statistika & Komputasi., Vol. 16, No. 1, 107-113, July 2019.
[10] P. van den Driessche and J. Watmough, “Reproduction numbers and sub -threshold endemic equilibria for compar tmental models of disease transmission,” Math. Biosci. , vol. 180, no. 1 – 2, pp. 29 – 48, Nov. 2002, doi: 10.1016/S0025-5564(02)00108-6.
[11] R. Resmawan and N. Nurwan, “Konstruksi Bilangan Reproduksi Dasar pada Model Epidemik SEIRS-SEI Penyebaran Malaria d engan Vaksinasi dan Pengobatan,” J. Mat. Integr. , vol. 13, no. 2, p. 105-114, Sep. 2017.