Limits: Journal of Mathematics and Its Applications E-ISSN: 2579-8936 P-ISSN: 1829-605X Vol. 17, No. 1, Juli 2020, 67-81 DOI: http://dx.doi.org/10.12962/limits.v17i1.6694

## Kontrol Optimal pada Model Penyebaran Virus Influenza Tipe A H1N1 dengan Menggunakan Prinsip Minumum Pontryagin
Indah Rahmadhania 1 , Didik Khusnul Arif 2 1,2 Institut Teknologi Sepuluh Nopember (ITS)
1,2 Departemen Matematika, Fakultas Sains dan Analika Data e-mail: indahrahmadhania@gmail.com 1 , didik@matematika.its.ac.id 2
Diajukan:10 Maret 2020,  Diperbaiki: 27 Juni 2020, Diterima:13 Juli 2020

## Abstrak
Penyakit  menular  pada  suatu  populasi  dapat  diprediksi  dengan  menggunakan  model  matematika epidemik.  Salah  satunya  yaitu  virus  Influenza  tipe  A  H1N1.  Influenza  H1N1  merupakan  panyakit pernafasan akut pada manusia yang mempengaruhi hidung, tenggorokan dan paru-paru yang disebabkan oleh virus influenza H1N1. Penyakit ini mudah menular. Sehingga perlu diketahui mengenai penyebaran penyakit  tersebut  agar  penyebarannya  dapat  dikendalikan.  Pada  paper  ini,  model  matematika  SEIR digunakan untuk membahas penyebaran virus influenza tipe A (H1N1), di mana populasi terbagi ke dalam empat kelas yaitu sub-populasi rentan, terpapar, terinfeksi, dan sembuh. Analisis yang telah diperoleh dari model tanpa dan dengan kontrol diilustrasikan dengan simulasi numerik menggunakan program Matlab berdasarkan  metode  Runge-Kutta  Orde  Empat  dan Sweep Forward-Backward .  Berdasarkan  simulasi numerik  menunjukkan  bahwa  pemberian  kontrol  untuk  pengendalian  lingkungan  berupa  penyuluhan, seminar dan kerja bakti dapat memaksimalkan jumlah individu yang sehat sedangkan kontrol dalam upaya pemberian obat terhadap individu terinfeksi influenza dapat meminimalkan jumlah indivisu yang terinfeksi.
Kata Kunci : virus influenza, kendali optimal, prinsip minimum pontryagin, Runge-Kutta.

## Abstract
Infectious diseases in a population can be predicted using epidemic mathematical model.One of which is Influenza virus type A H1N1. H1N1 influenza is an acute respiratory disease in humans that affects the nose, throat and lungs caused by the H1N1 influenza virus. This disease is contagious. So,it is necessary to know the spread of the disease so that its spread is controlled. In this final project, the SEIR mathematical model is used to discuss the spread of influenza type A (H1N1) viruses, in which the population is divided into four classes namely susceptible, exposed, infected, and recovered sub-populations. The analysis that has been obtained from models without and with control is illustrated by numerical simulations using the Matlab program based on the Fourth Order Runge-Kutta and Sweep Forward-Backward Method. Based on numerical simulations, we show that the provision of controls for environmental control in the form of counseling, seminars and community service can maximize the number of healthy individuals while control in the effort to administer drugs to influenza-infected individuals can minimize the number of infected individuals. Keywords: Influenza Virus, Optimal Control, Pontryagin Minimum Principles, Runge-Kutta. Keywords: influenza virus, optimal control, Pontryagin Minimum Principle, Runge-Kutta method

## 1 Pendahuluan
Penyakit menular adalah penyakit yang disebabkan oleh sebuah agen biologi seperti virus, bakteri, atau parasit. Suatu individu dapat terjangkit penyakit menular melalui kontak langsung
maupun tidak langsung dengan individu terinfeksi. Akibat kontak antar individu tersebut terjadilah suatu infeksi baru yang menjadi tanda adanya kasus penyebaran penyakit menular. Penyebaran penyakit  menular  yang  terus  terjadi  akan  mengakibatkan  kondisi  yang  disebut  epidemi. Perkembangan  ilmu  pengetahuan  di  dalam  matematika  juga  turut  memberikan  peranan  yang penting  dalam  mencegah  meluasnya  penyebaran  penyakit.  Peranan  tersebut  berupa  model matematika  yang  dapat  menggambarkan  penyebaran  suatu  penyakit  di  masa  yang  akan  datang dengan melihat kondisi masa sekarang atau masa lalu. Model matematika tersebut disebut model epidemi. Secara umum, model epidemi mempertimbangkan tingkat kejadian terinfeksi penyakit ( incidence rate) .  Tingkat  kejadian  infeksi  menyatakan  banyaknya  kasus  infeksi  baru  akibat interaksi antara individu rentan dengan individu terinfeksi.
Dalam  beberapa  waktu  terakhir,  penyebaran  penyakit  menular  terjadi  dalam  bentuk  yang beragam,  seperti  pada  penyakit  Influenza  H1N1.  Keberagaman  yang  terjadi  yaitu  adanya perbedaan periode exposed dalam setiap individu yang terinfeksi virus H1N1. Terdapat individu yang  melewati  fase exposed, dan  ada  yang  tidak.  Hal  tersebut  terjadi  karena  variasi  virus  dan keadaan jasmani yang berbeda dari setiap individu.
Beberapa literatur telah membahas tentang penyabaran penyakit menular Influenza A H1N1. Pada  tahun  2003,  Neil  dan  rekannya  [1]  membangun  model  matematika  simulasi  penularan influenza efek terapi penghambat neuraminidase pada tingkat infeksi dan penularan virus yang resistan  terhadap  obat.  Mereka  berkonsentrasi  pada  penyelidikan  numerik  tanpa mempertimbangkan  stabilitas  model.  Baru-baru  ini,  Zhou  dan  Guo  [2]  menganalisis  model influenza  dengan  vaksinasi.  Selanjutmya  Nguyen  Huu  Khanh  pada  tahun  2015  dengan  judul “ Stability analysis of an influenza virus model with disease resistance ”[3].  Pada  penelitian  ini mempelajari model baru yang menggambarkan penularan virus influenza tipe A dengan resistansi penyakit pada manusia.
Dalam  paperini  membahas  model  penyebaran  virus  influenza  tipe  A  H1N1  dengan memasukkanparameter  kontrol  yaitu  pemberian  obat  influenza  pada  individu  terinfeksi  dan pengendalian lingkungan berupa penyuluhan, seminar dan juga kerja  bakti sebagai upaya dalam mengendalikan  penyebaran  penyakit.  Setelah  itu  akan  dilakukan  simulasi  dari  penyelesaian numerik metode Runge-Kutta Orde Empat menggunakan software MATLAB.

## 2 Metode Penelitian
Pada  penelitian  ini,  pertama  kali  dilakukan  penentuan  titik  setimbang  model,  melakukan linearisasi  dengan  mengunakan  matriks  jacobian,  menganalisa  kestabilan  dari  titik  setimbang
untuk  mengetahui sistem tersebut itu stabil atau tidak, dan  menganalisis keterkontrolan sistem. Selanjutnya dilakukan perancangan masalah kontrol optimal dari model yang meliputi membentuk fungsi objektif serta kondisi syarat batas yang harus dipenuhi. Berikutnya penyelesaian kontrol optimal dapat dicari dengan menggunakan Prinsip Minimum Pontryagin yaitu membentuk fungsi Hamiltonian,  menentukan  persamaan state dan costate ,  menentukan  kondisi  batas  yang  harus dipenuhi, dan menentukan kontrol optimal. Sehingga dapat dicari solusi numerik menggunakan metode  Runge-Kutta  orde  empat  dari  permasalahan  kontrol  optimal  pada  model.  Kemudian disimulasikan  untuk  melihat  pengaruh  kontrol  system  pada  grafik  yang  dihasilkan  dengan menggunakan software Matlab versi R2013a.

## 3 Model Sistem
Model  dinamik  penyebaran  virus  influenza  yang  dibahas  pada  paper  ini  adalah  model dinamik  menurut  Nguyen  Huu  Khanh  [3]  yang  meninjau  model  SEIR  terbaru  yang menggambarkan penularan virus influenza dengan resistensi penyakit pada manusia.
Adapun asumsi-asumsi dalam model penyebaran penyakit influenza menurut Nguyen Huu Khanh [3] sebagai berikut:
1. Populasi  bersifat  tertutup  yang  berarti  bahwa  pertambahan  atau  pengurangan  jumlah individu melalui emigrasi dan imigrasi tidak diperhatikan.
2. Populasi terbagi menjadi 4 bagian yaitu 𝑆 𝑡 subpopulasi individu rentan, 𝐸 𝑡 individu terpapar, 𝐼 𝑡 Individu yang terinfeksi dan 𝑅 𝑡 individu yang sembuh.
3. Terjadi pada lingkungan homogen dengan laju kelahiran dan laju kematian diasumsikan sama.  Setiap  individu  yang  lahir  masuk  kedalam  kelas  individu Susceptible dan  setiap individu yang mati dari setiap kelas mempunyai laju proporsional dengan jumlah individu pada masing-masing kelas.
4. Dalam model ini, individu yang terpapar dan yang terinfeksi dapat kembali ke kelmpok rentan tanpa pengobatan.
Berdasarkan uraian penyebaran penyakit influenza tersebut, dapat disusun diagram kompartemen sebagai berikut :
Gambar 1. Diagram Kompartemen Model Matematika Penyebaran Virus Influenza Tipe A dengan,
𝑆̅ 𝑡 : jumlah individu yang sehat dan rentan terhadap penyakit pada saat t
𝐸 𝑡 : jumlah individu yang terpapar pada saat t
𝐼̅ 𝑡 : jumlah individu yang terinfeksi pada saat t
𝑅 𝑡 : jumlah individu yang sehat setelah menjalani pengobatan pada saat t
Λ : rekruitmen individu rentan.
𝜇 : rate kelahiran atau kematian alami
𝑏 : rate individu infected menjadi susceptible tanpa pengobatan.
𝑐 : rate individu exposed menjadi susceptible tanpa pengobatan.
𝜀 : 𝜀 = 1/IIP), dimana IPP adalah periode inkubasi virus.
𝛼 : rate individu recovered menjadi susceptible lagi 𝛽 : rate individu infected menjadi recovered.
𝛾 : rate kontak penularan virus
Berdasarkan diagram kompartemen diatas, model matematika penyebaran virus influenza tipe A dapat disajikan dalam sistem persamaan diferensial sebagai berikut:
̅ Λ 𝛾𝑆̅ 𝑡 ̅ 𝑐𝐸 𝑡 𝑏𝐼̅ 𝑡 𝛼𝑅 𝑡 𝜇𝑆̅ 𝑡 , 𝛾𝑆̅ 𝑡 ̅ 𝑐 𝜀 𝜇 𝐸 𝑡 ,
̅ 𝜀𝐸 𝑡 𝛽 𝑏 𝜇 𝐼̅ 𝑡 , (1) 𝛽𝐼̅ 𝑡 𝛼 𝜇 𝑅 𝑡 , dengan kondisi awal 𝑁 𝑡 𝑆̅ 𝑡 𝐸 𝑡 𝐼̅ 𝑡 𝑅 𝑡 .
Selanjutnya berdasarkan Persamaan (1), akan dicari laju pertumbuhan populasi manusia sebagai berikut:
𝑁 𝑡 𝑆̅ 𝑡 𝐸 𝑡 𝐼̅ 𝑡 𝑅 𝑡 ,
⇔ 𝑁 𝑡 Λ 𝜇𝑁 , ⇔ 𝑁 𝑡 𝑒 Λ . (2)
Dari persamaan pertumbuhan populasi manusia (2), terlihat bahwa semakin besar nilai t atau semakin lama waktu yang dibutuhkan, maka nilai 𝑒 akan semakin besar. Hal ini bisa dinyatakan sebagai berikut: limsup → 𝑁 𝑡 lim → 𝑒 Λ . (3)
Berdasarkan Persamaan (3) terlihat bahwa jumlah populasi tak konstan. Jadi 𝑁 𝑡 memiliki batas atas yaitu 𝚲 𝝁 , 𝑁 𝑡 ∈ 0, .
Untuk menyederhanakan sistem PD (1), dilakukan proses nondimensialiasi dengan menggunakan asumsi-asumsi sebagai berikut:
𝑆 𝑡 ̅ ; 𝐸 𝑡 ; 𝐼 𝑡 ̅ ; 𝑅 𝑡 .
Sehingga sistem PD (1) dapat dituliskan sebagai berikut:
𝜇 𝛾𝑆 𝑡 𝐸 𝑡 𝐼 𝑡 𝑐𝐸 𝑡 𝑏𝐼 𝑡 𝛼𝑅 𝑡 𝜇𝑆 𝑡 , 𝛾𝑆 𝑡 𝐸 𝑡 𝐼 𝑡 𝑐 𝜀 𝜇 𝐸 𝑡 , 𝜀𝐸 𝑡 𝛽 𝑏 𝜇 𝐼 𝑡 , (4) 𝛽𝐼 𝑡 𝛼 𝜇 𝑅 𝑡 ,
dengan kondisi,
𝑆 𝑡 𝐸 𝑡 𝐼 𝑡 𝑅 𝑡 𝑁 ;  𝑆 0, 𝐸 0, 𝐼 0, 𝑅 0 .
Selanjutnya Persamaan (4) disebut sebagai sistem awal tanpa kontrol.

## 4 Analisis Sistem Awal Tanpa Kontrol
1. Titik Setimbang
Keadaan  setimbang  merupakan  kondisi  dimana  perubahan  jumlah  populasi sepanjang waktu adalah 0. Model penyebaran virus Influenza dikatakan setimbang jika
𝑆 𝐸 𝐼 𝑅 0 sehingga diperoleh:
a. Titik setimbang non endemik, 𝐸 𝑆 , 𝐸 , 𝐼 , 𝑅 1,0,0,0 b.Titik setimbang endemik Misalkan titik setimbang endemik dinyatakan dengan 𝐸
𝑆 ∗ , 𝐸 ∗ , 𝐼 ∗ , 𝑅 ∗ , maka diperoleh titik setimbang endemik dari model penyebaran penyakit Influenza, dengan :
S ∗ γ β b μ ε β b μ ε γ β b μ ε c ε μ R ε β b μ R E ∗ P Q I ∗ c ε μ R ε γ β b μ ε P Q R ∗ βε β b μ α μ P Q dengan nilai: R γ β b μ ε c ε μ β b μ P μ μ γ β b μ ε β b μ ε γ β b μ ε c ε μ R ε β b μ R

## 2. Bilangan Reproduksi Dasar
Penentuan 𝑅 menggunakan metode Next Generation Matrix (NGM), yaitu dengan membangun matriks yang membangkitkan jumlah individu baru yang terinfeksi. 𝑅 sebagai parameter  ambang  penentuan  kriteria  endemik  penyakit  pada  populasi.  Dari  perhitungan dengan metode tersebut, diperoleh nilai 𝑅 , yaitu
𝑅 0 𝛾 𝛽 𝑏 𝜇 𝜀 𝑐 𝜀 𝜇 𝛽 𝑏 𝜇
3. Analisis Kestabilan Model Penyebaran Virus Influenza Tipe A H1N1
a) Kestabilan Titik Setimbang Non Endemik
Untuk menguji kestabilan titik setimbang, langkah pertama yang dilakukan adalah
mensubstitusikan nilai dari titik setimbang bebas penyakit 𝐸 𝑆 , 𝐸 , 𝐼 , 𝑅 1 ,0,0,0 pada  matriks  Jacobian  [9]  berdasarkan  Persamaan  (2), yaitu
𝐽 𝛾 𝐸 𝐼 𝜇 𝑆𝛾 𝑐 𝛾 𝐸 𝐼 𝑆𝛾 𝑐 𝜀 𝜇 𝑆𝛾 𝑏 𝛼 𝛾𝑆 0 0 𝜀 0                    0 𝛽 𝑏 𝜇 0 𝛽 𝜇 𝛼 .
Kemudian dicari dengan menggunakan | 𝜆𝐼 𝐽 𝐸 0 | 0 Sehingga didapatkan nilai beberapa nilai eigen, antara lain: 𝜆 𝜇,                                                            𝜆 𝜇 𝛼 , 𝜆 1 2 𝐿 𝐿 4𝐺 ,                          𝜆 1 2 𝐿 𝐿 4𝐺 , dengan: 𝐿 𝛽 𝑏 𝑐 𝜀 2𝜇 𝛾 0 ; 𝐺 𝛽 𝑏 𝜀 𝜇 𝛾 𝛽 𝑏 𝜇 𝑐 𝜀 𝜇 .
Titik setimbang bebas penyakit (non endemik) stabil asimtotis jika dan hanya jika persamaan  karakteristik  tersebut  mempunyai  akar-akar  yang  negatif.  Dari  persamaan karakteristik tersebut terlihat bahwa nilai eigen 𝜆 , 𝜆 , 𝜆 selalu negatif. Jika 𝑅 1 maka 𝐺 0 sehingga 𝜆 0 . Jadi 𝑃 adalah stabil asimtotik. Sebaliknya jika 𝑅 1 sehingga
𝜆 0 , maka 𝑃 tak stabil.
b) Kestabilan Titik Setimbang Endemik
Langkah  yang  sama  dilakukan  dalam  menentukan  kestabilan  titik  setimbang endemik.  Sehingga  persamaan  karakteristik  dari  matriks  Jacobian  tersebut  dapat  dicari dengan menggunakan |𝜆𝐼 𝐽 𝐸 | 0 diperoleh : 𝜆 𝐴 𝜆 𝐴 𝜆 𝐴 𝜆 𝐴 0 .
Berdasarkan kriteria Routh-Hurwitz, persamaan ini memiliki akar-akar negatif jika dan hanya jika ⟷ 𝐴 0, 𝐴 0, 𝐴 0, 𝐴 0 ⟷ 𝐴 𝐴 𝐴 0 ⟷ 𝐴 𝐴 𝐴 𝐴 𝐴 𝐴 0

## 4. Keterkontrolan
Teorema 1 [4]. Jika terdapat persamaan matriks state sebagai berikut:
𝑥 𝑡 𝐴𝑥 𝑡 𝐵𝑢 𝑡 𝑦 𝑡 𝐶𝑥 𝑡
Syarat perlu dan cukup suatu sistem linier dikatakan terkontrol, jika matriks
𝑀 𝐵|𝐴𝐵|𝐴 𝐵 𝐴 𝐵 mempunyai rank sama dengan n.
Berdasarkan Teorema 1 [4] dapat disusun matriks keterkontrolan 𝑀 sebagai berikut:
𝑀 𝐵|𝐴𝐵|𝐴 𝐵 𝐴 𝐵
dan diperoleh matriks 𝑀 keterkontrolan  seperti berikut:
𝑀 ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ 𝑏 1 0 𝑏 1 0 0 𝑏 2 0       0 𝑝 1 𝑝 4 𝑝 2 𝑝 5 𝑝 3 𝑝 6 0 𝑝 7 𝑞 1 𝑞 5 𝑞 2 𝑞 6 𝑞 3 𝑞 7 𝑞 4 𝑞 8 𝑟 1 𝑟 5 𝑟 2 𝑟 6 𝑟 3 𝑟 7 𝑟 4 𝑟 8⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤
Dengan  memasukkan nilai titik kesetimbangan 𝐸 pada  matriks 𝑀 dan  melakukan OBE diperoleh kesimpulan bahwa sistem dinamik model penyebaran penyakit bersifat terkontrol karena didapatkan rank matriks 𝑀 sama dengan dimensi matriks 𝐴̅ yaitu 4, dengan demikian dapat simpulkan bahwa pada model penyebaran virus influenza tipe A bersifat terkontrol.

## 5 Pembahasan
Model  dikonstruksi  dengan  menambahkan  strategi  kontrol  yang  diinginkan.  Berikut  ini diberikan beberapa asumsi yang digunakan dalam strategi kontrol pada model penyebaran virus influenza tipe A dengan resistansi penyakit pada manusia, yaitu:
1. Kontrol 𝑢 merupakan proporsi pemberian obat influenza.
2. Strategi kontrol 𝑢 merupakan upaya untuk mengurangi laju kontak penularan virus antara dari populasi rentan menjadi populasi yang terinfeksi dan terpapar melalui pengendalian lingkungan berupa penyuluhan, seminar dan juga kerja bakti.
Sehubungan dengan asumsi yang diberikan, model kontrol optimal untuk penyebaran virus influenza tipe A dapat disajikan dalam sistem persamaan diferensial sebagai berikut:
𝜇 1 𝑢 𝛾𝑆 𝑡 𝐸 𝑡 𝐼 𝑡 𝑐𝐸 𝑡 𝑏𝐼 𝑡 𝛼𝑅 𝑡 𝜇𝑆 𝑡 , 1 𝑢 𝛾𝑆 𝑡 𝐸 𝑡 𝐼 𝑡 𝑐 𝜀 𝜇 𝐸 𝑡 , 𝜀𝐸 𝑡 𝛽 𝑏 𝜇 1 𝑢 𝐼 𝑡 , (5) 𝛽𝐼 𝑡 𝛼 𝜇 𝑅 𝑡 ,
dengan 0 𝑢 1 dan 0 𝑢 1 .
Fungsi tujuan untuk model di atas diberikan sebagai berikut:
𝐽 𝑢 , 𝑢 𝐸 𝑡 𝐼 𝑡 𝐶 2 𝑢 𝑡 𝐶 2 𝑢 𝑡 𝑑𝑡
dimana:
𝐸 𝑡 = jumlah individu yang terpapar yang infektif,
𝐼 𝑡 = jumlah individu yang terinfeksi yang infektif,
𝐶 = bobot pada kontrol pengendalian lingkungan,
𝐶 = bobot pada kontrol pengobatan individu terinfeksi.
Koefisien 𝐶 0 dan 𝐶 0 merupakan koefisien bobot untuk meminimumkan jumlah infektif yang didasarkan pada manfaat dan biaya dari kontrol yang dilakukan.
𝑢 𝑡 𝑑𝑡 : faktor biaya yang melibatkan proses pengendalian lingkungan.
𝑢 𝑡 𝑑𝑡 : faktor biaya yang melibatkan proses pengobatan individu yang terinfeksi.
Sehingga diperoleh penyelesaian kontrol optimal, yaitu:
 Bentuk fungsi Hamiltonian
𝐻 𝐸 𝑡 𝐼 𝑡 𝐶 2 𝑢 𝑡 𝐶 2 𝑢 𝑡 𝜆 𝜇 1 𝑢 𝛾𝑆 𝑡 𝐸 𝑡 𝐼 𝑡 𝑐𝐸 𝑡 𝑏𝐼 𝑡 𝛼𝑅 𝑡 𝜇𝑆 𝑡 𝜆 1 𝑢 𝛾𝑆 𝑡 𝐸 𝑡 𝐼 𝑡 𝑐 𝜀 𝜇 𝐸 𝑡 𝜆 𝜀𝐸 𝑡 𝛽 𝑏 𝜇 1 𝑢 𝐼 𝑡 𝜆 𝛽𝐼 𝑡 𝛼 𝜇 𝑅 𝑡
 Menentukan  kondisi  stasioner  untuk  mendapatkan  kontrol  optimal.  Persamaan  H diturunkan terhadap 𝑢 dan 𝑢 , sehingga diperoleh
a.
0 ⇔ 2𝐶 𝑢 ∗ 𝜆 𝜇𝐼 0
⇔ 𝑢 ∗ 𝜆 𝜇𝐼 2𝐶 Karena 0 𝑢 1 , sehingga 𝑢 ∗ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎧ 0  𝑗𝑖𝑘𝑎 𝜆 𝜇𝐼 2𝐶 0 𝜆 𝜇𝐼 2𝐶 𝑗𝑖𝑘𝑎 0 𝜆 𝜇𝐼 2𝐶 1 1 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝜆 𝜇𝐼 2𝐶 1
Fungsi kontrol yang optimal 𝑢 ∗ berdasarkan tiga kemungkinan di atas dapat ditulis sebagai berikut :
𝑢 ∗ 𝑚𝑖𝑛 𝑚𝑎𝑥 0, 𝜆 𝜇𝐼 2𝐶 , 1
b. 0 ⇔ 2𝐶 𝑢 ∗ 𝜆 𝛾𝑆𝐸 𝛾𝑆 𝜆 𝛾𝑆𝐸 𝛾𝑆 0 ⇔ 2𝐶 𝑢 ∗ 𝜆 𝜆 𝛾𝑆𝐸 𝛾𝑆 ⇔ 𝑢 ∗ 𝜆 𝜆 𝛾𝑆𝐸 𝛾𝑆 2𝐶 Karena 0 𝑢 1 , sehingga
𝑢 ∗
⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎧ 0  𝑗𝑖𝑘𝑎 𝜆 𝜆 𝛾𝑆𝐸 𝛾𝑆 2𝐶 0 𝜆 𝜆 𝛾𝑆𝐸 𝛾𝑆 2𝐶 𝑗𝑖𝑘𝑎 0 𝜆 𝜆 𝛾𝑆𝐸 𝛾𝑆 2𝐶 1 1 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝜆 𝜆 𝛾𝑆𝐸 𝛾𝑆 2𝐶 1 Fungsi kontrol yang optimal 𝑢 ∗ berdasarkan tiga kemungkinan di atas dapat ditulis sebagai berikut :
𝑢 ∗ 𝑚𝑖𝑛 𝑚𝑎𝑥 0, 𝜆 𝜆 𝛾𝑆𝐸 𝛾𝑆 2𝐶 , 1  Menentukan 𝐻 optimal
Persamaan kontrol optimal yang diperoleh pada persamaan 𝑢 ∗ dan 𝑢 ∗ disubstitusikan ke dalam persamaan H. Sehingga diperoleh
𝐻 ∗ 𝐸 𝑡 𝐼 𝑡 𝐶 2 𝑢 ∗ 𝑡 𝐶 2 𝑢 ∗ 𝑡 𝜆 𝜇 1 𝑢 ∗ 𝛾𝑆 𝑡 𝐸 𝑡 𝐼 𝑡 𝑐𝐸 𝑡 𝑏𝐼 𝑡 𝛼𝑅 𝑡 𝜇𝑆 𝑡 𝜆 1 𝑢 ∗ 𝛾𝑆 𝑡 𝐸 𝑡 𝐼 𝑡 𝑐 𝜀 𝜇 𝐸 𝑡 𝜆 𝜀𝐸 𝑡 𝛽 𝑏 𝜇 1 𝑢 ∗ 𝐼 𝑡 𝜆 𝛽𝐼 𝑡 𝛼 𝜇 𝑅 𝑡  Menyelesaikan persamaan state dan costate untuk memperoleh sistem yang optimal a. Persamaan state
𝑆 ∗ 𝜕𝐻 ∗ 𝜕𝜆 𝜇 1 𝑢 ∗ 𝛾𝑆 𝑡 𝐸 𝑡 𝐼 𝑡 𝑐𝐸 𝑡 𝑏𝐼 𝑡 𝛼𝑅 𝑡 𝜇𝑆 𝑡
𝐸 ∗ 𝜕𝐻 ∗ 𝜕𝜆 1 𝑢 ∗ 𝛾𝑆 𝑡 𝐸 𝑡 𝐼 𝑡 𝑐 𝜀 𝜇 𝐸 𝑡
𝐼 ∗ 𝜕𝐻 ∗
𝜕𝜆 𝜀𝐸 𝑡 𝛽 𝑏 𝜇 1 𝑢 ∗ 𝐼 𝑡 𝑅 ∗ 𝜕𝐻 ∗ 𝜕𝜆 𝛽𝐼 𝑡 𝛼 𝜇 𝑅 𝑡 b. Persamaan costate
𝜆 𝜕𝐻 𝜕𝑆 𝜆 𝜆 𝛾 1 𝑢 ∗ 𝐸 𝐼 𝜆 𝜇 𝜆 𝜕𝐻 𝜕𝐸 1 𝛾𝑆 1 𝑢 ∗ 𝜆 𝜆 𝜆 𝑐 𝜀 𝜇 𝑐𝜆 𝜀𝜆 𝜆 𝜕𝐻 𝜕𝐼 1 𝑏𝜆 𝛾𝑆 1 𝑢 ∗ 𝜆 𝜆 𝜆 𝜇 1 𝑢 ∗ 𝛽 𝑏 𝛽𝜆 𝜆 𝜕𝐻 𝜕𝑅 𝛼 𝜇 𝜆 𝛼

## 6 Hasil Simulasi
Padasimulasi  ini  dibuat  2  kondisi.  Kondisi  pertama  untuk  melihat  perubahan  banyaknya individu  di  setiap  populasi  pada  saat 𝑅 0 dan  kondisi  kedua  ketika 𝑅 0 .  Metode  yang digunakan  pada  simulasi  ini  adalah  metode  Runge-Kutta  Orde  4  dan  metode Sweep Forward- Backward dengan menggunakan software Matlab. Adapun nilai awal dari setiap subpopulasi yang diberikan yaitu sebagai berikut:
Tabel 1. Nilai Awal Sub-Populasi Subpopulasi Nilai Awal Sumber 𝑆 𝑡 0.4 [5] 𝐸 𝑡 0.15 [5] 𝐼 𝑡 0.25 [5] 𝑅 𝑡 0.2 [5]
Dari  gambar  yang  diberikan,  diasumsikan  bahwa  faktor  penyeimbang 𝐶 yang  diasumsikan dengan kontrol 𝑢 lebih besar atau sama dengan faktor penyeimbang 𝐶 yang diasumsikan dengan kontrol 𝑢 .  Anggapan  ini  berdasarkan  fakta  bahwa  biaya  yang  diasumsikan  dengan  kontrol 𝑢 akan mengikutsertakan biaya pengendalian lingkungan (penyuluhan, seminar, kerja bakti) dan biaya yang diasumsikan dengan 𝑢 akan mengikutsertakan biaya pengobatan. Pada gambar, faktor bobot, 𝐶 15 dan 𝐶 20 ,  dipilih  untuk  menggambarkan  strategi  penanganan  optimal.
Parameter lain diberikan pada tabel dibawah ini:
Tabel 2. Nilai Parameter Parameter Nilai Sumber 𝜇 0.015 [3] 𝑏 0.025 [3] 𝑐 0.35 [3] 𝜀 0.15 [3] 𝛼 0.35 [3] 𝛽 0.5 [3] 𝛾 0.1 [3]
Dari nilai-nilai parameter yang diberikan pada Tabel 2 , didapatkan nilai reproduksi dasar sebagai berikut:
𝑅 0 𝛾 𝛽 𝑏 𝜇 𝜀 𝑐 𝜀 𝜇 𝛽 𝑏 𝜇 0.1 0.69 0.515 0.54 0.2481
Berdasarkan nilai 𝑅 0 , performansi simulasi numerik dapat diberikan pada Gambar 2 sebagai berikut :

## Gambar 2 . Grafik Perubahan banyaknya individu untuk 𝑅 1
Berdasarkan Gambar 2 terlihat bahwa banyaknya individu susceptible terus bertambah. Hal tersebut  disebabkan  oleh  tingginya  tingkat  kelahiran  dan  menurunnya  daya  tahan  tubuh  pada individu recovered. Disisi  lain,  adanya  kematian  alami  yang  menyebabkan  individu exposed, infected dan recovered semakin  berkurang.  Sehingga  pada  akhirnya  akan  menuju  titik kesetimbangan bebas penyakit. Untuk simulasi numerik saat kondisi 2 yaitu ketika 𝑅 0 , yang artinya individu yang terinfeksi memproduksi lebih dari satu individu terinfeksi baru, dengan kata lain dapat diprediksi bahwa infeksi akan menyebar pada populasi. Nilai parameter yang digunakan pada  Tabel  2  dengan  memperbesar  nilai  parameter 𝛾 menjadi  0.5.  Kemudian  simulasi  yang dilakukan  pada  kondisi 𝑅 0 adalah  menunjukkan  pengaruh  kontrol  pengobatan  dan  kontrol pengendalian lingkungan yang diberikan. Sehingga dapat dibuat simulasi perubahan banyaknya individu pada setiap subpopulasi sebelum diberikan kontrol dan setelah diberikan kontrol.
Selanjutnya,  berdasarkan  pada  Tabel  2,  dapat  dihasilkan  simulasi  yang  tampak  pada  gambar berikut:
Gambar 3 . Grafik perbandingan perubahan banyaknya individu Susceptible tanpa dan dengan kontrol
Berdasarkan  Gambar  3 banyaknya  individu Susceptible tanpa  kontrol  mengalami peningkatan  sampai  akhirnya  stabil  mulai  hari  ke-40  dengan  jumlah    810  individu.  Kemudian
setelah  diberikan  kontrol  pengobatan  pada  individu infected, banyaknya  individu susceptible mengalami peningkatan dan stabil mulai hari ke-75 dengan jumlah 990 individu.
Gambar 4 . Grafik perbandingan perubahan banyaknya individu Exposed tanpa dan dengan kontrol
Berdasarkan Gambar 4 banyaknya individu Exposed tanpa kontrol mengalami penurunan dan stabil pada hari ke-40 dengan jumlah 120 individu. Menurunnya populasi exposed dikarenakan besarnya pengaruh parameter 𝛾 . Jika nilai 𝛾 semakin besar, maka jumlah individu tanpa kontrol akan  semakin  berkurang.  Sedangkan  banyaknya  individu  setelah  diberikan  kontrol  mengalami penurunan dan stabil pada hari ke-60.
Gambar 5 . Grafik perbandingan perubahan banyaknya individu Infected tanpa dan dengan kontrol
Berdasarkan  Gambar  5  banyaknya  individu Infected tanpa  kontrol  mengalami  penurunan dan stabil pada hari ke-36. Sedangkan setelah diberikan kontrol mengalami penurunan lebih tajam dan stabil pada hari ke-56. Hal ini menunjukkan bahwa tingkat efektifitas pada pemberian kontrol populasi Infected memberikan pengaruh yang nyata.
Gambar 6 . Grafik perbandingan perubahan banyaknya individu Recoered tanpa dan dengan kontrol
Berdasarkan Gambar 6 banyaknya individu Recovered tanpa kontrol mengalami penurunan sampai akhirnya stabil mulai hari ke-40. Kemudian setelah diberikan kontrol, banyaknya individu Recovered mengalami penurunan lalu stabil mulai hari ke-60.
7 Simpulan
 Kontrol optimal yang diperoleh dari model matematika penyebaran virus influenza tipe A menggunakan metode Pontryagin Minimum Principle yaitu
𝑢 ∗
,
𝑢 ∗
,
dengan:
𝑢 = kontrol berupapengobatan individu yang terinfeksi,
𝑢 = kontrol berupa pengendalian lingkungan (penyuluhan, seminar dan kerja bakti).
 Berdasarkan hasil simulasi numerik yang telah dilakukan, menunjukkan bahwa pemberian kontrol optimal dapat meminimumkan jumlah individu yang meninggal karena terinfeksi virus influenza tipe A dan meminimalisir laju kontak penularan virus yang ada sehingga didapatkan penurunan jumlah populasi terpapar dan terinfeksi.

## 8 Daftar Pustaka
[1] N. M. Ferguson, S. Mallett, H. Jackson, N. Roberts, and P. Ward, “A population-dynamic model for evaluating the potential spread of drug-resistant influenza virus infections during community-based use of antivirals,” J. Antimicrob. Chemother. , vol. 51, no. 4, pp. 977–990, 2003, doi: 10.1093/jac/dkg136.
[2] X. Zhou and Z. Guo, “Analysis of an influenza A (H1N1) epidemic model with vaccination,” Arab. J. Math. , vol. 1, no. 2, pp. 267–282, 2012, doi: 10.1007/s40065-012- 0013-6.
[3] N. H. Khanh, “Stability analysis of an influenza virus model with disease resistance,” J. Egypt. Math. Soc. , vol. 24, no. 2, pp. 193–199, 2016, doi: 10.1016/j.joems.2015.02.003.
[4] L. Perko, Equations and Dynamical Systems . 2001.
[5] L. Rochmatika, S. Winarko, and L. Hanafi, “Penyelesaian Numerik dan Analisa Kestabilan pada Model Epidemik SEIR dengan Memperhatikan Adanya Penularan pada Periode Laten,” pp. 1–6, 2013.