Volume 2 | Nomor 2  | 56 p-ISSN: 2622-9641   e-ISSN: 2655-1276

## PERSAMAAN MEDAN EINSTEIN EFEKTIF ENERGI RENDAH PADA MODEL DUNIA BRANE DENGAN MEDAN SKALAR BULK
Irsan Rahman
Program studi Fisika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Muslim Maros, Jl. Dr. Ratulangi No. 62 Maros, Sulawesi Selatan 90511, Indonesia
Irsan@umma.ac.id
Abstrack: Einstein's Effective Low Energy Effective Fields in the Brane World Model  with  Bulk  Scalar  Fields . This  research  is  an  analytical  study  to  obtain  an effective  Einstein  field  equation  on  the  brane.  The  model  used  in  this  study  is  the braneworld model with the addition of scalar field  in the bulk and brane with 4 + n dimensions.  The  brane  Einstein  field  equation  is  obtained  through  the  gradient expansion  method  or  the  low-energy  limit  approach.  The  Einstein  field  equation obtained by modifing the Einstein field equation in general relativity theory with an additional term X ν μ which is expected to behave as dark energy.
Keywords : braneworld, einstein field equation, dark energy, expansion method
Abstrak: Persamaan Medan Einstein Efektif Energi Rendah pada Model Dunia Brane dengan  Medan  Skalar  Bulk. Penelitian  ini  adalah  studi  analitik  untuk  memperoleh persamaan medan Einstein efektif pada brane. Model yang digunakan dalam studi ini adalah model dunia brane dengan tambahan suku medan skalar pada bulk dan brane berdimensi 𝟒 + 𝐧 .  Persamaan  medan  Einstein  brane  diperoleh  melalui  pendekatan ekspansi  gradient  atau  pendekatan  limit  energi  rendah.  Persamaan  medan  Einstein yang diperoleh memodifikasi persamaan medan Einstein dalam teori relativitas umum dengan suku tambahan 𝐗 𝛎 𝛍 yang diharapkan berprilaku sebagai energi gelap.
Kata kunci: dunia brane, persamaan medan Einstein, energi gelap, ekspansi gradien
Dari  hasil  observasi Supernova  Tipe  Ia (SN  Ia)  yang  dikumpulkan  oleh Supernova Cosmolgy  Project  Team pada  tahun  1998 menunjukkan  bahwa  alam  semesta  mengembang dipercepat  (Riessdkk.,1998).  Dalam  persamaan gravitasi Einstein alam semesta yang mengembang dipercepat  hanya  mungkin  terjadi  jika  alam semesta  didominasi  oleh  suatu  energi  yang memiliki  tekanan  negatif,  sebuah  energi  yang belum  diketahui  manusia.  Energi  yang  tidak diketahui ini kemudian dinamakan sebagai Energi gelap  ( Dark  Energi ).  Keberadaan  energi  gelap kemudian  semakin  diperkuat  oleh    data  satelit Wilkinson  Microwave  Anistropy  Probe  (WMAP) pada  2011,  yang  menunjukkan  bahwa  komposisi alam semesta terdiri dari (72,8±0,5)% energi gelap ( dark  energi ),  (22,±1,4)%  materi  gelap  ( dark matter ),  dan  (4,56±0,6)%  baryon  (Jarosik  dkk., 2011).
Untuk  memahami  energi  gelap  ini dikembangkan beberapa model. Salah satu model yang  merepresentasikan  dari  modiﬁkasi  gravitasi adalah  model braneworld .  Model braneworld pertama  kali  diperkenalkan  oleh  Arkani-Hamed, dkk.,  pada  tahun  1998,  model  ini  dinamakan dengan model ADD (Arkani-Hamed Dimopoulus- Dvali) (Arkani-Hamed  dkk.,  1998).  Model brane world  ini  bertujuan  untuk  menjelaskan permasalahan hirarki dalam ﬁsika partikel. Dalam model  ini  diperkenalkan  dimensi  ekstra  dengan ukuran  besar  secara  makroskopik  dengan  asumsi bahwa skala elektrolemah adalah skala fundamental dan massa Plank memiliki orde yang sama  dengan  skala  ini.  Tahun  1999  Randall  dan Sundrum  memperkenalkan  dua  buah  model braneworld yang  dinamakan  Randall-Sundrum  I (RS I) dan Randall-Sundrum II (RS II). Pada RS I, model brane world ini terdiri dari dua buah brane yang  masing-masing  memiliki  tegangan brane positif  dan  negatif  yang  di embed ke  dalam bulk
Volume 2 | Nomor 2  | 57 p-ISSN: 2622-9641   e-ISSN: 2655-1276
anti  de  sitter  (AdS)  5-dimensi.  Dalam  model  ini semua medan materi terlokalisasi pada brane yang terletak  pada  titik-titik  tetap.  Pada  RS  II diperkenalkan  model brane world  dengan  satu buah brane bertegangan  positif.  Model  ini  dapat diperoleh dari model RS I dengan mengirim brane yang  belllrtengan  negatif  ke  titik  tak  hingga. (Randal dan Sundrum 1998; Randal dan Sundrum 1999).
Untuk  memperoleh  persamaan  Einstein efektif  pada brane ada  dua  pendekatan  yang dilakukan yaitu melalui perumusan secara kurvatur kovarian dan metode ekspansi gradien. Pada tahun 2010  Shiromizu,  dkk.,  melalui  perumusan  secara kurvatur  kovarian  diperoleh  persamaan  Einstein efektif pada brane . Persamaan Einstein efektif ini diperoleh dengan memproyeksikan medan-medan pada bulk 5-dimensi  ke  medan brane 4-dimensi melalui  persamaan  Gauss-Codazzi.  Persamaan medan  pada brane ini  memodiﬁkasi  persamaan Einstein dalam relativitas umum dengan dua suku tambahan  yaitu  suku  kuadratik  tensor  energi- momentum  dan  suku  non-lokal  dari  proyeksi tensor Weyl 5-dimensi. Dengan adanya kontribusi medan bulk pada  persamaan  medan brane mengakibatkan  persamaan  medan  pada brane menjadi tidak tertutup. Untuk membuat persamaan medan brane menjadi  tertutup  maka  kita  terlebih dahulu menyelesaikan persamaan medan Eisntein pada bulk dan  ini  sulit  untuk  dilakukan (Shiromizu,dkk.,2010, Arianto 2011, Irsan 2019). Pada  tahun  2002  Kanno  dan  Soda  mengusulkan metode  untuk  memperoleh  persamaan  Einstein efektif  pada brane dengan  melakukan  ekspansi gradien  ( gradient  expansion  method ).  Model  ini menerapkan  ekspansi  perturbatif  sebuah  metrik dan  mendeﬁnisikan  limit  energi  rendah  sebagai limit dimana rapat energi materi pada brane lebih kecil  dari  tegangan brane .  Kemudian  persamaan medan 5-dimensi diselesaikan pada beberapa orde parameter  perturbasi.  Pada  metode  ini  diperoleh persamaan  medan  Einstein  pada brane yang tertutup  karena  suku  tensor  Weyl  dapat dihilangkan  secara  langsung  (Kanno  dan  Soda 2002).

## METODE
Metode  yang  digunakan  dalam  penelitian ini  adalah  studi  analitik  untuk  memperoleh persamaan  medan  Einstein  efektif  pada  model dunia brane dengan  medan  skalar  pada bulk . Persamaan  medan  Einstein  efektif  diperoleh dengan  menerapkan  metode  ekspansi  gradient
( gradient  expansion  method ).  Pendekatan  ini menerapkan  ekspansi  metrik  dan  mendefenisikan limit energi rendah yaitu limit dimana rapat energi materi pada brane lebih kecil dari tegangan brane . Model Dunia Brane dengan Medan Skalar pada Bulk
Model dunia brane yang digunakan dalam studi ini adalah model dunia brane dengan dimensi brane 4 + 𝑛 dimensi dan pada bulk terdapat suku medan skalar, yang dapat dituliskan dalam bentuk:
𝑆 = ∫ 𝑑 4+𝑛 𝑥√−𝑔 [ 1 2𝜅 2 𝑅 − 1 2 𝑔 𝑎𝑏 ∇ 𝑎 𝜙∇ 𝑏 𝜙 − 𝑈(𝜙)] + ∫ 𝑑 5+𝑛 𝑦√−ℎ[−𝜎(𝜙) + 𝐿 𝑚 ] 𝑦=0 (1)
dimana 𝑔 dan ℎ masing-masing metrik pada brane dan bulk . 𝑅 adalah  skalar  Ricci, 𝜙 adalah medan  skalar, 𝑈 adalah  potensial  skalar, 𝜎 adalah tegangan brane dan 𝐿 𝑚 adalah  lagrangian  materi pada brane . Brane diletakkan pada pada koordinat 𝑦 = 0 bulk .
Sistem  koordinat  yang  dipilih  dalam penelitian ini yaitu
𝑑𝑠 2 = 𝑑𝑦 2 + 𝑔 𝜇𝜈 (𝑥, 𝑦) 𝑑𝑥 𝜇 𝑑𝑦 𝜈 (2) dan  betuk  potensial  skalar  dan  tegangan brane
𝑈(𝜙) = − (4+𝑛)(3+𝑛) 𝜅 2 𝑙 2 + 𝑉(𝜙) (3) 𝜎(𝜙) = 𝜎 0 + 𝜎̃(𝜙) (4)

## Metode Ekspansi Gradien
Metode  ekspansi  gradien  adalah  sebuah pendekatan energi rendah dengan mendefenisikan rapat energi brane ( 𝜌 )  lebih  kecil  dibanding tegangan brane ( 𝜎 ), 𝜌 ≪ 𝜎 .  Dimana  parameter dapat dituliskan
𝜖 = ( 𝑙 𝐿 ) 2 (5)
dimana 𝑙 adalah kurvatur skalar bulk dan 𝐿 kurvatur skala pada brane .
Kurvatur ekstrinsik dapat dibongkar menjadi bagian traceless dan tracepart menjadi 𝐾 𝜇𝜈 = − 1 2 𝑔 𝜇𝜈 , 𝑦 = Σ 𝜇𝜈 + 1 4+𝑛 𝑔 𝜇𝜈 𝑄 (6)
dimana Σ 𝜇𝜈 dan 𝑄 masing masing bagian traceless dan tracepart dari kurvatur ekstrinsik.

## HASIL DAN DISKUSI
Variasi  persamaan  (1)  terhadap  diperoleh persamaan medan Einstein 5+n dimensi
𝒢 = 𝜅 2 𝑇 𝑎𝑏 + 𝜅 2 𝛿 𝑎 𝜇 𝛿 𝑏 𝜈 (−𝜎𝑔 𝜇𝜈 + 𝑡 𝜇𝜈 )𝛿(𝑦) (7) dimana
𝑇 𝑎𝑏 = ∇ 𝑎 𝜙∇ 𝑏 𝜙 − 𝑔 𝑎𝑏 ( 1 2 𝑔 𝑐𝑑 ∇ 𝑐 ϕ∇ d 𝜙 − 𝑈(𝜙)
(8)
Volume 2 | Nomor 2  | 58 p-ISSN: 2622-9641   e-ISSN: 2655-1276
Dengan menggunakan persamaan (6) dan persamaan (7) diperoleh
3+𝑛 4+𝑛 𝑄 2 − Σ 𝛽 𝛼 Σ 𝛼 𝛽 = 𝑅 − 𝜅 2 ∇ 𝛼 𝜙∇ 𝛼 𝜙 𝜅 2 (𝜕 𝑦 𝜙) 2 + 2𝜅 2 𝑈(𝜙) (9) ∇ 𝛼 Σ 𝜇 𝛼 − 3+𝑛 4+𝑛 ∇ 𝜇 𝑄 = −𝜅 2 𝜕 𝑦 𝜙∇ 𝜇 𝜙 (10)
Σ 𝜈 𝜇 , 𝑦 − 𝑄Σ 𝜈 𝜇 = −[𝑅 𝜈 𝜇 − 𝜅 2 ∇ 𝜇 𝜙∇ 𝜈 𝜙] 𝑡𝑟𝑎𝑐𝑒𝑙𝑒𝑠𝑠 (11)

## Solusi pada Orde 0
Pada  orde  0  materi  diabaikan  atau brane vakum. Solusi untuk orde yang lebih tinggi berarti melakukan  perturbasi  pada  solusi  vakum  dengan menambahkan  materi  pada brane .  Pada  orde  0 persamaan (9)-(11) menjadi
𝟑+𝒏 𝟒+𝒏 𝑸 (𝟎) 𝟐 + 𝚺 𝜷 𝛂 (𝟎) 𝚺 𝜶 𝛃 (𝟎) = (𝟒+𝒏)(𝟑+𝒏) 𝒍 𝟐 (12) 𝛁 𝜶 𝚺 𝝁 𝛂 (𝟎) − 𝟑+𝒏 𝟒+𝒏 𝛁 𝝁 𝑸 (𝟎) = 𝟎 (13) 𝚺 𝝂,𝒚 𝝁 (𝟎) − 𝑸 (𝟎) 𝚺 𝝂 𝝁 (𝟎) = 𝟎 (14)
Dari  defenisi  kurvatur  ekstrinsik  diperoleh metric orde ke nol
𝒈 𝝁𝝂 (𝟎) (𝒚, 𝒙 𝝁 ) = 𝒃 𝟐 (𝒚)𝒉 𝝁𝝂 (𝒙 𝝁 ) 𝒃(𝒚) = 𝒆 𝒚/𝒍 (15) ekspansi metrik dan medan skalar dituliskan 𝒈 𝝁𝝂 (𝒚, 𝒙 𝝁 ) = 𝒃 𝟐 (𝒚) [𝒉 𝝁𝝂 (𝒙 𝝁 ) 𝒈 𝝁𝝂 (𝟏) (𝒚, 𝒙 𝝁 ) + 𝒈 𝝁𝝂 (𝟐) (𝒚, 𝒙 𝝁 ) + ⋯ ] (16)
𝝓(𝒚, 𝒙 𝝁 ) = 𝜼(𝒙 𝝁 ) + 𝝓 (𝟏) (𝒚, 𝒙 𝝁 ) + 𝝓 (𝟐) (𝒚, 𝒙 𝝁 ) + ⋯ (17)

## 1.1 Solusi Ord ke-1
Untuk  solusi  orde  ke-1  persamaan  (9)  dan
(11) memberikan solusi
𝑸 = 𝒍 𝟐(𝟑+𝒏)𝒃 𝟐 (𝑹(𝒉) − 𝜿 𝟐 𝝓 ′𝜶 𝝓, 𝜶 ) − 𝒍𝜿 𝟐 𝟑+𝒏 𝑽(𝜼) (𝟏) (18) 𝚺 𝝂 𝝁 (𝟏) = 𝒍 (𝟐+𝒏)𝒃 𝟐 [𝑹 𝝂 𝝁 (𝒉) − 𝜿 𝟐 𝝓 ′𝝁 𝝓, 𝝂 ] 𝒕𝒓𝒂𝒄𝒆𝒍𝒆𝒔𝒔 + 𝑿 𝝂 𝝁 𝒃 𝟒+𝒏 (19)
dimana 𝑹(𝒉) adalah  skalar  ricci  pada brane dan 𝑿 𝝂 𝝁 adalah  konstanta  integrasi.  Syarat junction untuk orde ke-1 dapat dituliskan
[ 𝚺 𝝂 𝝁 (𝟏) − 𝟑+𝒏 𝟒+𝒏 𝜹 𝝂 𝝁 𝑸 (𝟏) ] 𝒚=𝟎 = − 𝜿 𝟐 𝟐 𝜹 𝝂 𝝁 𝝈 ̃ + 𝜿 𝟐 𝟐 𝑻 𝝂 𝝁 (20)
Dengan  mensubtitusikan  persamaan  (18) dan  (19)  ke  persamaan  (20)  diperoleh  persamaan medan Einstein brane efektif
𝐺 𝜈 𝜇 = (2+𝑛) 2𝑙 𝜅 2 𝑇 𝜈 𝜇 + 𝜅 2 (𝜂 ′𝜇 𝜂, 𝜈 − 1 2 𝛿 𝜈 𝜇 𝜂 ′𝛼 𝜂, 𝛼 − 𝛿 𝜈 𝜇 𝑉 𝑒𝑓𝑓 ) − 2+𝑛 𝑙 𝑋 𝜈 𝜇 (21)
dengan
𝑉 𝑒𝑓𝑓 = (2+𝑛) 4+𝑛 𝑉(𝜂) − (2+𝑛) 2𝑙 𝜎̃ (22)
Persamaan  (21)  di  atas adalah  persamaan medan  Einstein  pada brane .  persamaan  tersebut berbeda dengan persamaan medan Einstein standar dengan  suku 𝑋 𝜈 𝜇 sebagai  suku  modifikasi.  Suku modifikasi  ini  diharapkan  berprilaku  sebagai energi gelap yang akan dikaji di studi selanjutnya.

## KESIMPULAN
Persamaan  medan  Einstein brane yang diperoleh dari metode ekspansi gradien ini adalah persamaan  medan  Einstein  yang  tertutup  karena persamaan medan Einstein telah dituliskan dalam besaran-besaran  pada brane .  selain  itu  pesamaan medan  yang  diperoleh    memodifikasi  persamaan medan  Einstein  dalam  teori  relativitas  umum dengan  suku  tambahan 𝑋 𝜈 𝜇 .  Suku  tambahan  ini diharapkan  mampu  berprilaku  sebagai energi energi  gelap  yang  akan  ditinjau  dalam  kajian berikutnya.

## DAFTAR PUSTAKA
Amendola,  L.,  and  Tsujikawa,  S.,  (2010):  Dark Energi : Theory and Observations, Cambridge University Press. New York.
Arianto,  Zen,  F.P.,  Feranie,  S.,  Widiatmika,  I.P., and  Gunara,  B.E.  (2011):  KaluzaKlein brane cosmology with a bulk scalar ﬁeld, Physical Review D 84 044008
Arkani-Hamed, N., Dimopoulus, S. and Dvali, G. (1998): The Hierarchy Problem and New Dimension at a Millimeter, Physics Letter B, 429, 263
Kanno,  S.  and  Soda  ,  J.  (2002):  Radion  and Holographic Brane Gravity,  Physical Review D 66 083506.
Rahman,  I.,  Bangsawang,  B.  J.,  Suroso,  A., Surungan, T., & Zen, F. P. (2019, April). Dynamical System of Kaluza-Klein Brane Cosmology with Gauss-Bonnet Term in a Bulk.  In Journal  of  Physics:  Conference Series (Vol. 1204, No. 1, p. 012010). IOP Publishing.
Randall, L., and Sundrum, R (1999): A Large Mass Hierarchy from a Small Extra Dimension, Physics Review Letter, 83,3370.
Volume 2 | Nomor 2  | 59 p-ISSN: 2622-9641   e-ISSN: 2655-1276
(1999): An Alternative  to  Compactiﬁcation,  Physics
Review Letter, 83,4690.
Riess,A.G.,Filippenko,A.V.,Challis,P.,Cloccthiatt ia,A.,Diercks,A.,Garnavich, P.M., Gilliland,  R.L.,  Hogan,  C.J.,  Jha,  S.,
Kirshner,  R.P.,Leibundgut,  B.,  Phillips, M.M., Reiss, D., Schmidt, B.P., Schommer, R.A., Smith, R.C., Spyromilio,  J.,Stubbs,C.,  Sunzeff,N.B., dan Tonry,J. (1998): Observational Evidence from Supernova for an Accelerating Universe and a Cosmological Constant, Astrophysics
Journal, 116, 1009
Spergel,  D.N.,  Verde,  L.,  Peiris,  H.V.,  Komatsu,
E.,  Nolta,  M.R.,  Bennet,  C.L.,  Halpern, M.,  Hinshaw,  G.,  Jarosik,  N.,  Kogut,  A., Limon, N., Meyer, S.S., Page, L., Tucker, G.S., Weiland, J.L., Wollack, E., Wright,
E.L.,  (2003):  First  Year  Wilkinson Microwave  Anistropy  Probe  (WMAP) Observations: Determination of Cosmology Parameters, Astrophysics
Journal Supplement 148 175.
Shiromizu,  T.,  Maeda,  K.  and  Sasaki,  M  (2000): The  Einstein  Equation  3 brane world, Physical Review D 62 024012.
Suroso,A.,Zen,F.P.,Arianto, and Gunara,B.E(2012): AIP Conference
Proceeding 1450 338.