## KAJIAN KOMPUTASI NUMERIK ENERGI EIGEN ELEKTRON DALAM SUMUR POTENSIAL BERHINGGA
Candra Satrio Umbu Luba, Ali Warsito dan Redi Kristian Pingak Prodi Fisika, Fakultas Sains dan Teknik, Universitas Nusa Cendana, Jl. Adi Sucipto Penfui,
Kota Kupang, Kode Pos 85001, Indonesia E-mail: candraluba@gmail.com

## Abstrak
Tujuan utama penelitian ini adalah untuk menentukan 2 energi eigen terendah elektron dalam  sumur  potensial  berhingga  menggunakan  metode  Newton-Raphson  yang dibandingkan dengan solusi menggunakan metode grafik. Selain itu penelitian ini juga bertujuan menginvestigasi hubungan tinggi potensial dan lebar potensial terhadap nilai eigen  energi  serta  membandingkan  hasil  yang  diperoleh  dengan  hasil  untuk  sumur potensial  tak  hingga.  Hasil  menunjukkan  bahwa  akar-akar  persamaan  x  yang  didapat menggunakan  metode Newton-Raphson dan metode grafik sama serta metode Newton- Raphson memiliki konvergensi yang sangat baik dalam  menentukan akar persamaan x baik  untuk  paritas  ganjil  maupun  paritas  genap.  Dari  akar  x  yang  telah  diperoleh menggunakan metode Newton-Raphson, energi elektron pada 2 keadaan terendah ketika tinggi  potensial  10  eV  dan  lebar  sumur  3  Åadalah0,71526926  eV  untuk  n=1  dan 2,8206863 eV untuk n=2. Tinggi potensial dan lebar sumurmemiliki pengaruh  yang kuat terhadap  energi  yakni  ketika  tinggi  potensial  sumur  atau  lebar  sumur  semakin  besar, energi  elektron  yang  didapat  semakin  besar,  baik  untuk  paritas  ganjil  maupun  untuk paritas  genap.  Perbandingan  energi  sumur  potensial  berhingga  dengan  potensial  tak hingga  menunjukkan  bahwa  semakin  tinggi  sumur  potensial,  energi  elektron  dalam sumur  potensial  berhingga  semakin  mendekati  nilai  energi  untuk  sumur  potensial  tak hingga.
Kata  kunc i :  Potensial  Berhingga,  Metode  Newton-Raphson,  Metode  Grafik,    Paritas Ganjil, Paritas Genap, Persamaan Schrödinger.

## Abstract
The  main  purpose  of  this  study  is  to  determine  the  2  lowest  energy  eigen  values  of  an electron  in  a  finite  potential  well  using  the  Newton-Raphson  method  compared  to  the solution using the graphical method. In addition, this study also aims to investigate the dependence of the energy eigen values on the height and width of the potential well and to compare the results obtained with the corresponding results for the infinite potential well.  The  results  showed  that  the  roots  of  the  equation  obtained  using  the  Newton- Raphson method and the graphical method are the same and the Newton-Raphson method has an excellent convergence in determining the root of the x equation both for odd parity and for even parity. From the root x obtained using Newton-Raphson method, the 2 lowest energies of the electron for a potential of height 10 eV and width 3 Å were 0,71526926 eV for n = 1 and 2,8206863 eV for n = 2.The height and the width of the potential had a large influence on the energies, i.e. the higher the potential well or the wider the well, the greater the energy for both odd parity and even parity. The comparison of the energies of finite potential well with those of the infinite potential well showed that as the potential was  higher,  the  energies  of  the  electron  in  the  finite  potential  well  were  closer  to  the corresponding values for the infinite potential well.
Keywords:  Finite  potential  well,  Newton-Raphson  method,  Graphicalmethod,  Odd parity, Even parity, Schrödinger equation

## PENDAHULUAN
Persamaan Schrödinger merupakan persamaan yang digunakan untuk menggambarkan  sistem  kuantum,  terutama dalam  menentukan  energi  eigen  dan  fungsi gelombang partikel yang berukuran mikroskopik atau atomistik. Dalam persamaan Schrödinger 1D terdapat dua jenis variabel yang dapat  mempengaruhi  sistem  kuantum  yaitu variabel waktu (t) dan posisi (x). jika potensial yang  ditinjau  tidak  bergantung  waktu,  maka dapat  dilakukan  pemisahan  variabel  sehingga diperoleh persamaan Schrödinger tidak bergantung waktu[1].
Komputasi sains adalah bagian integral sains  modern  dengan  kemampuan  eksploitasi kekuatan  komputer  secara  efektif  di  dalam aktivitas  seorang  saintis.  Ditinjau  dari  aspek proses, komputasi adalah kegiatan mendapatkan  solusi  atau  penyelesaian  atas persoalan-persoalan  yang  dinyatakan  dalam model matematis. Fisika komputasi merupakan kombinasi dari fenomena-fenomena fisika yang didasarkan  pada  asas-asas  hukum  fisika, metode  numerik  dan  pemrograman  computer [2].
Terdapat  beberapa  metode  yang  dapat digunakaan untuk menghitung fungsi gelombang  dan  energi  eigen  partikel  dalam sistem kuantum. Salah satunya adalah menggunakan  metode  analitik,  seperti  solusi analitik  untuk  memperoleh  energi  keadaan dasar  atom  He  muonik  eksotis  menggunakan prinsip variasi [3] dan atom helium menggunakan  metode  matriks  [4].    Selain  itu, dapat  juga  digunakan metode  numerik, seperti metode numerik yang mengaplikasikan mekanika  matriks  dalam  menentukan  energi keadaan eksitasi pertama triplet ion he-like [5].
Selain  sistem  2  elektron  tersebut,  masih banyak  sistem  kuantum  yang  dapat  dipelajari baik dengan metode analitik maupun numerik. Salah satunya adalah sistem potensial berhingga.  Beberapa  penelitian  yang  telah dilakukan  sebelumnya  antara  lain  [6][7]  yang menyelesaikan  sistem  potensial  berhingga menggunakan metode Newton Raphson.
Beberapa  studi  lain  pada  sistem  yang  sama adalah  [8]  yang  menggunakan  metode  iteratif dan metode grafik [9].
Dalam penelitian ini akan dihitung dua tingkat energi eigen terendah elektron di dalam sumur  potensial  berhingga  menggunakan metode grafik dan metode Newton Raphson.
Hubungan  tinggi  potensial  dan  lebar potensial dengan nilai eigen energi sistem juga akan  diteliti.  Selain  itu,  perbandingan  dengan tingkat energi sumur potensial tak hingga juga dilakukan.

## METODE
Kasus yang akan dicari solusinya adalah sebagai  berikut:  kasus  sumur  potensial berhingga dengan lebar sumur dari -a sampai a dan  tinggi  potensial  V 0 .  Ilustrasi  kasus  dapat dilihat pada gambar 1.
Gambar 1. Model Sumur Potensial Berhingga
Parameter  yang  menjadi  permasalahan dan  ingin  dicari  solusinya  adalah  energi elektron    dalam  sumur  potensial  berhingga dengan mengacu pada persamaan Schrödinger. Untuk  menentukan  nilai  energi  eigen  elektron dalam  sumur  maka  perlu  dilakukan  pencarian solusi  persamaan  Schrödinger  untuk  mencari akar  persamaan  x  menggunakan  metode Newton  Raphson  untuk  memperoleh  nilai energi [7].
Fungsi gelombang ѱ untuk setiap daerah dapat dinyatakan sebagai berikut [7]: untuk 𝑥  −𝑎 ѱ(𝑥) = 𝐶 1 𝑒𝑥𝑝(ҡ𝑥) dengan ҡ 2 = 2𝑚(𝑉 0 − 𝐸)/ħ 2 (1) untuk – 𝑎  𝑥  +𝑎 ѱ(𝑥) = 𝐴𝑐𝑜𝑠(𝑘𝑥) + 𝐵𝑠𝑖𝑛(𝑘𝑥)
dengan 𝑘 2 = 2𝑚𝐸 ħ 2 (2)
untuk 𝑥  +𝑎
ѱ(𝑥) = 𝐶 2 𝑒𝑥𝑝(−ҡ𝑥) dengan ҡ 2 = 2𝑚(𝑉 0 −𝐸) ħ 2 (3)
Penerapan  syarat  kontinuitas  pada ѱ dan turunannya pada setiap batas dinding menghasilkan:
di 𝑥 = −𝑎
𝐶 1 exp(– ҡ𝑎) = 𝐴 cos(𝑘𝑎) −  𝐵𝑠𝑖𝑛(𝑘𝑎) (4)
Turunan di 𝑥 = −𝑎 ҡ𝐶 1 𝑒𝑥𝑝 (−ҡ𝑎) = 𝑘𝐴 𝑠𝑖𝑛(𝑘𝑎) + 𝑘𝐵 𝑐𝑜𝑠(𝑘𝑎) (5) di 𝑥 = 𝑎 𝐶 2 𝑒𝑥𝑝(−ҡ𝑎) = 𝐴𝑐𝑜𝑠(𝑘𝑎) + 𝐵𝑠𝑖𝑛(𝑘𝑎) (6) Turunan di 𝑥 = +𝑎 −ҡ𝐶 2 𝑒𝑥𝑝(−ҡ𝑎) = −𝑘𝐴𝑠𝑖𝑛(𝑘𝑎) + 𝑘𝐵𝑐𝑜𝑠(𝑘𝑎) (7) Sebelum  dilakukan  komputasi  numerik untuk  menentukan  nilai  energi  untuk  setiap keadaan,  terlebih  dahulu  ditentukan  bentuk sederhana  dari  persamaan  nonlinear  yang dinyatakan dalam variabel yang tidak bergantung  energi.  Untuk  mencapai  tujuan tersebut  perlu  dilakukan  penyederhanaan terhadap  persamaan  (4),  (5),  (6)  dan  (7),  dari langkah penyederhanaan tersebut akan diperoleh nilai besaran κ dalam A dan B yaitu [7]:
Di 𝑥 = −𝑎
ҡ = 𝑘 𝐴 𝑠𝑖𝑛 (𝑘𝑎)+𝐵𝑐𝑜𝑠(𝑘𝑎) 𝐴 𝑐𝑜𝑠 (𝑘𝑎)−𝐵𝑠𝑖𝑛(𝑘𝑎) (8)
Di 𝑥 = 𝑎
ҡ = 𝑘 𝐴 𝑠𝑖𝑛 (𝑘𝑎)−𝐵𝑐𝑜𝑠(𝑘𝑎) 𝐴 𝑐𝑜𝑠 (𝑘𝑎)+𝐵𝑠𝑖𝑛(𝑘𝑎) (9)
Salah satu cara yang dapat dilakukan agar persamaan (8) dan (9) untuk ҡ konsisten adalah dengan  menghilangkan  salah  satu  kostanta tersebut pada keadaan – keadaan yang dipenuhi: saat 𝐴 ≠ 0 fungsi cosinus  paritas +1 ҡ = 𝑘𝑡𝑎𝑛(𝑘𝑎) (10) saat 𝐵 ≠ 0 fungsi sinus  paritas -1 ҡ = −𝑘 𝑐𝑜𝑡 (𝑘𝑎) (11)
Persamaan  (10)  dan  (11)  dinyatakan kembali  secara  eksplisit  terhadap  variabel  E, maka diperoleh persamaan [7]:
Untuk paritas +1
√ 2𝑚 ( 𝐸−𝑉 0 ) ħ 2 𝑐𝑜𝑠 ( a √ 2𝑚𝐸 ħ 2 ) − √ 2𝑚𝐸 ħ 2 𝑠𝑖𝑛 ( a √ 2𝑚𝐸 ħ 2 ) = 0 (12)
Untuk paritas -1
√ 2𝑚(𝐸−𝑉 0 ) ħ 2 𝑠𝑖𝑛 (a√ 2𝑚𝐸 ħ 2 ) +
√ 2𝑚𝐸 ħ 2 𝑐𝑜𝑠 (a√ 2𝑚𝐸 ħ 2 ) = 0 (13)
Untuk  kepentingan  komputasi  numerik, maka  persamaan  (12)  dan  (13)  dinyatakan dalam  besaran  –  besaran  universal  tak berdimensi, oleh sebab itu diasumsikan[7]. 𝑥 = (2 𝑚 𝑎 2 𝐸)/ħ 2 (14) 𝐸 = ( 𝑥 ħ 2 )/(2 𝑚 𝑎 2 ) (15) 𝐽 = (2𝑚𝑎 2 𝑉 0 )/ħ 2 (16)
Selanjutnya,  persamaan  (12)  dan  (13) dinyatakan kembali sebagai berikut:
√𝐽 − 𝑥𝑐𝑜𝑠 √𝑥 −   √𝑥𝑠𝑖𝑛  √𝑥 = 0 (17)
√𝐽 − 𝑥 𝑠𝑖𝑛 √𝑥 +   √𝑥𝑐𝑜𝑠 √𝑥 = 0 (18)
Persamaan  (17)  dan  (18)  merupakan persamaan  yang  ingin  dilakukan  perhitungan komputasi  numerik  untuk  memperoleh  nilai  x yang  kemudian  nilai  x  tersebut  disubtitusi kembali ke persamaan (15) untuk memperoleh nilai E sebagai energi potensial partikel dalam sumur, nilai J pada persamaan (16) merupakan besaran tak berdimensi yang digunakan sebagai nilai  input  untuk  kasus  sumur  potensial berhingga. Persamaan (17) dan (18) juga akan diselesaikan secara grafik.

## Implementasi Metode Grafik
Implementasi metode grafik yang dilakukan yaitu bagaimana menerapkan metode grafik  untuk  memperoleh  solusi  persamaan Schrödinger untuk   sumur potensial berhingga, kemudian  hasil  perhitungan  akar  tersebut dibandingkan  dengan  hasil  perhitungan  akar yang  diperoleh  dengan  menggunakan  metode numerik  dalam  hal  ini  metode  Newton Raphson.
Analisa metode grafik untuk menentukan solusi  persamaan  (17)  dan  persamaan  (18) diikuti langkah langkah berikut 1. Persamaan (17) dan (18) ditulis dalam bentuk:
√𝐽 − 𝑥𝑐𝑜𝑠√𝑥 =   √𝑥𝑠𝑖𝑛  √𝑥 (19) √𝐽 − 𝑥 sin√𝑥 = −√𝑥𝑐𝑜𝑠 √𝑥 (20)
2. Plot √𝐽 − 𝑥 𝑐𝑜𝑠 √𝑥 vesus x dan √𝑥 𝑠𝑖𝑛  √𝑥 vesus  x  untuk  persamaan  (19)  dan  plot
√𝐽 − 𝑥 𝑠𝑖𝑛√𝑥 versus  x  dan −√𝑥 𝑐𝑜𝑠 √𝑥 versus x untuk persamaan (20).

## Implementasi Metode Newton Raphson
Implementasi  metode  numerik  yaitu dengan    menggunakan  metode  Newton Raphson  dilakukan  untuk  memperoleh  akar- akar  persamaan  Schrödinger  yang  telah dimodifikasi  menjadi  persamaan  (17)  dan persamaan (18).
Analisa komputasi dalam bentuk perancangan  flowchart  (diagram  alir)  sebagai alur logika dan algoritma merupakan landasan dalam  penulisan  sintaks  program.  Prosedur dalam  program  sesuai  dengan  metode-metode yang  digunakan  untuk  analisa  komputasi. Adapun prosedur tersebut antara lain:
1. Prosedur Newton-Raphson Sebelum melakukan perhitungan numerik menggunakan metode Newton Raphson,  terlebih  dahulu  menentukan  turunan dari persamaan (17) persamaan (18).
Untuk  paritas  +1,  fx  yang  digunakan adalah  persamaan  (17)  dengan  turunan persamaan sebagai berikut:
𝑓 ′ (𝑥) = −𝑐𝑜𝑠√𝑥 2√𝐽−𝑥 − √𝐽−𝑥 𝑠𝑖𝑛√𝑥 2√𝑥 − 𝑠𝑖𝑛√𝑥 2√𝑥 + 𝑐𝑜𝑠√𝑥 2 = 0 (21)
Untuk  paritas  –1,  fx  yang  digunakan adalah persamaan (18) dan turunan persamaan adalah sebagai berikut:
𝑓 ′ (𝑥) = −𝑠𝑖𝑛√𝑥
2√𝐽−𝑥 + √𝐽−𝑥𝑐𝑜𝑠√𝑥 2√𝑥 + 𝑐𝑜𝑠√𝑥
2√𝑥 −
𝑠𝑖𝑛√𝑥 2 = 0 (22)
Setelah  ditentukan  turunan  persamaan (17)  dan  (18),  selanjutnya  dibuat  algoritma Newton Raphson:
Masukan nilai V 0 dan a Hitung nilai J Tampilkan nilai J Masukan tebakan awal x 0 Definisikan f(x), f’(x), x 0 , tol Hitung harga f(x 0 ) dan f’(x 0 ) Hitung harga x Hitung harga E Tampilkan harga x, iterasi dan E

## HASIL DAN PEMBAHASAN Implementasi Metode Grafik
Implementasi metode grafik yang telah dibuat  untuk  memperoleh  solusi  persamaan Schrödinger  sumur potensial berhingga, tujuan penggunaan  metode  grafik  adalah  untuk menguji kebenaran solusi persamaan Schrödinger  untuk  kasus  sumur  potensial berhingga  yang  dilakukan  secara  numerik dalam hal ini metode  Newton Raphson.

## Implementasi Metode Newton-Raphson
Penerapan  metode  Newton-Raphson dilakukan dengan mencari akar–akar persamaan x  dari persamaan (17) dan (18) yang
kemudian  dimasukan  dalam  persamaan  energi yakni persamaan (15) untuk memperoleh energi eigen elektron dalam sumur potensial.
Perhitungan  nilai  x  yang  dilakukan  pada implementasi  metode  Newton-Raphson  dalam penelitian  menggunakan  bahasa  pemrograman Pascal.
Implementasi  Bahasa  Pemrograman  Pascal dalam  Penentuan  Solusi          Persamaan Schrödinger
Implementasi bahasa pemrograman Pascal  dilakukan  dengan  menuliskan  kode programuntuk  memperoleh  akar  persamaan (17)  dan  (18)  dengan  mengikuti  alur  logika metode  Newton  Raphson  yaitu  dengan mendefinisikan  persamaan  (17)  dan  (18) sebagai fx dan  persamaan (21) dan (22) sebagai f’x.  Pada  kode  program  yang  dibuat  akar persamaan  x  diperoleh  dengan  menggunakan persamaan    (15).  Perancangan  program  terdiri dari  8 prosedur  yang  dibuat,  prosedur  tersebut yakni 2 prosedur untuk perhitungan akar x dan energi  dengan  memvariasi  tinggi  potensial, kemudian  2  prosedur  untuk  variasi  lebar potensial, kemudian 2 prosedur untuk perhitungan energi variasi tinggi potensial yang dibandingkan  dengan  hasil  perhitungan  energi litersi dan 2 prosedur untuk menghitung energi variasi lebar sumur yang dibandingkan dengan perhitungan  energi  literasi,  prosedur  tersebut merupakan  perhitungan  untuk  2  keadaan terendah yakni n=1 dan n=2.
Analisa Solusi
Numerik Persamaan

## Schrödinger Variasi Tinggi Potensial
Hasil  perhitungan  dapat  dilihat  pada Tabel  1.  Berdasarkan  data  perhitungan  pada Tabel 1, dapat dilihat bahwa setelah dilakukan perhitungan  akar  x  dengan  menggunakan metode  Newton  Raphson  dan  metode  grafik pada  kasus  sumur  potensial  berhingga  untuk n=1 dan n=2 diperoleh harga akar x yang sama pada setiap tinggi potensial V0 (sampai 6 angka desimal).
Tabel 1. Hasil perhitungan solusi akar x menggunakan Metode Grafik (MG) dan Metode Newton-Raphson (MNR) untuk variasi tinggi potensial.
V 0 (eV) x MG x MNR n = 1 n = 2 n = 1 n = 2
5 1,466063 5,65343 1,466063 5,65343 10 1,690145 6,66514 1,690145 6,66514 15 1,804237 7,15830 1,804237 7,15830 20 1,877297 7,46807 1,877297 7,46807 25 1,929513 7,68699 1,929513 7,68699 50 2,068137 8,25989 2,068137 8,25989 100 2,174778 8,69412 2,174778 8,69412 500 2,329821 9,31876 2,329821 9,31876 1000 2,368916 9,47547 2,368916 9,47547 1x10 4 2,435608 9,74243 2,435608 9,74243 1x10 6 2,464194 9,85678 2,464194 9,85678 Analisa Solusi Numerik Persamaan Schrödinger Variasi Lebar Potensial Berdasarkan  data  perhitungan  pada tabel  2  dapat  dilihat  bahwa  setelah  dilakukan perhitungan akar x dengan
menggunakan  metode  Newton  Raphson dan Metode Grafik pada kasus sumur potensial berhingga untuk n = 1 dan n = 2 diperoleh harga akar x yang sama pada setiap lebar potensial.
Tabel 2. Hasil perhitungan solusi akar x menggunakan Metode Grafik
(MG) dan Metode Newton-Raphson (MNR) untuk Variasi lebar sumur potensial. a (Å) X MG X MNR n=1 n=2 n=1 n=2 1 0,8963785 2,6195298 0,8963785 2,619529 8 2 1,4246761 5,4587842 1,4246761 5,458784 2 3 1,6901448 6,6651378 1,6901448 6,665137 8 4 1,8481732 7,3450976 1,8481732 7,345097 6 5 1,9528436 7,7842109 1,9528436 7,784210 9 6 2,027250 8,0920327 2,027250 8,092032 7

## Analisa Pengaruh Tinggi Potensial Terhadap Energi Eigen
Analisa  pengaruh  tinggi  potensial terhadap 2 nilai energi eigen terendah electron ditampilkan pada Tabel 3. Hasil ini menunjukan bahwa pada n=1 dan n=2 semakin
tinggi  potensial  maka  energi  eigen  elektron semakin  besar.  Pada  Tabel  2  terlihat  bahwa walaupun potensial yang dialami oleh elektron berhingga, namun karena EV 0 , energinya tetap diskrit,  Energi  yang  diskrit  itu  merupakan  ciri partikel dalam sumur potensial [10].
Tabel 3. Pengaruh Tinggi Potensial terhadap energi eigen elektron dalam sumur potensial berhingga untuk n=1 (E 1 )  dan n=2 (E 2 ).
V 0 (eV) E 1 (eV) E 2 (eV) 5 0,62043782 2,3925323 10 0,71526926 2,8206863
15 0,76355305 3,0293929 20 0,79447202 3,1604874 25 0,81657001 3,2531366 50 0,87523559 3,4955854 100 0,92036604 3,6793534 500 0,98598005 3,9436994 1x10 3 1,0025253 4,0100199 1x10 4 1,0307495 4,1229951 1x10 6 1,0428469 4,1713875 Analisa Pengaruh Lebar Sumur Potensial

## Terhadap Energi
Nilai  energi  E 1 dan  E 2 untuk  beberapa variasi  lebar  potensial  ditampilkan  pada  Tabel 4.
Tabel 4. Pengaruh lebar sumur terhadap energi eigen elektron dalam sumur potensial
berhingga untuk n=1 (E 1 )  dan n=2 (E 2 ). a (Å) E1(eV) E2 (eV) 1 3,4141262 - 2 1,3565766 5,1978543 3 0,71526926 2,8206863 4 0,43995764 1,7485005 5 0,29751962 1,1859401 6 0,21448305 0,85613706 Hasil Perhitungan pada Tabel4
menunjukkan bahwa pada tinggi potensial yang sama  dengan  lebar  sumur  potensial  yang divariasi energi eigen elektron pada n=1 dan
n=2  semakin  kecil.  Pada  penelitian  ini  untuk n=2  dan lebar sumur  1  Å tidak  diperoleh  akar dan  nilai  Energi,  tidak  diperoleh  dan  energi tersebut  dikarenakan  pada  lebar  sumur  1  Å solusi  akar  x  yang  diperoleh  menggunakan metode  Newton  Raphson  hanya  ada  1  solusi yaitu pada n=1 atau pada paritas ganjil.

## Perbandingan Energi Eigen Elektron Sumur Potensial  Berhingga  dan  Potensial  Tak Hingga
Perbandingan  energi  eigen  electron dalam  sumur  potensial  berhingga  dan  tak hingga  ditampilkan  pada  Tabel  5.  Data  pada tabel  5  dapat  dilihat  bahwa  presentase  selisih energi elektron dalam potensial berhingga dan tak hingga semakin kecil ketika sumur potensial semakin  tinggi.  Artinya,  nilai  energi  eigen elektron  dalam  sumur  potensial  berhingga semakin  mendekati  nilai  energi  eigen  elktron pada  sumur  potensial  tak  hingga  untuk  state yang sama.
Tabel 5.Tabel perbandingan Energi Eigen potensial Berhingga dan Tak hingga. Nilai energi dinyatakan dalam Ev.
V 0 (eV) E 1 (Berhingga) % selisih E 2 (Berhingga) % Selisih 5 0,62043782 85,14 2,3925323 85,67 10 0,71526926 82,86 2,8206863 83,11 15 0,76355305 81,71 3,0293929 81,86 20 0,79447202 80,97 3,1604874 81,07 25 0,81657001 80,44 3,2531366 80,51 50 0,87523559 79,03 3,4955854 79,06 100 0,92036604 77,95 3,6793534 77,96 500 0,98598005 76,38 3,9436994 76,38 1x10 3 1,0025253 75,98 4,0100199 75,98 1x10 4 1,0307495 75,30 4,1229951 75,30 1x10 6 1,0428469 75,02 4,1713875 75,05

## KESIMPULAN DAN SARAN Kesimpulan
Nilai  eigen  energi  2  keadaan  terendah elektron  dalam  potensial  berhingga  telah
berhasil dihitung menggunakan metode Newton Raphson. Nilai-nilai E1 dan E2 ini bersesuaian dengan  hasil  yang  diperoleh  dengan  metode grafis.    Sementara  itu,  semakin  tinggi  sumur
potensial  berdampak  pada  semakin  besarnya nilai E1 dan E2 untuk lebar potensial yang sama dan semakin lebar sumur
potensial  nilai  E1  dan  E2  semakin  kecil untuk  tinggi  potensial  yang  sama.  Selain  itu, perbandingan dengan nilai eigen  energi sumur potensial  tak  hingga  menunjukkan  bahwa presentasi  selisih  kedua  nilai  energi  tersebut semakin  kecil  ketika  tinggi  sumur  potensial berhingga semakin besar.

## Saran
Berdasarkan  hasil  penelitian,  maka penulis menyampaikan beberapa saran yaitu:
Pada kasus ini penulis hanya melakukan perhitungan  energi  pada  n  =1  dan  n  =  2, sehingga  penulis  menyarankan  untuk  ada penelitian lanjutan untuk nilai-nilai n yang lain.
Pada penelitian ini penulis menggunakan Metode  Newton  Raphson  untuk  menentukan akar  persamaan  x  untuk  sumur  potensial berhingga, oleh karena itu penulis menyarankan untuk  dilakukan  penelitian  lanjutan  dengan menggunakan metode numerik lainnya.

## DAFTAR PUSTAKA
1 Pingak RK. Bahan  Ajar Fisika
Kuantum II. Universitas Nusa Cendana. 2015. 2 Warsito  A.  Fisika  Komputasi.  Modul
Bahan Ajar Fisika FST Undana. 2009.
3 Boimau  E,  Pingak  RK,  Bernandus.
2017. Penentuan Energi Keadaan Dasar
Sistem  Atom  Helium  Muonik  Eksotis (He2+μ-  μ-)  menggunakan  Prinsip
Variasi. J. Fis. Fis. sains dan Apl. 2 (1): 1.
4 Pingak  RK,  Kolmate  R,  Bernandus. 2019.  A  Simple  Matrix  Approach  to Determination  of  the  Helium  Atom Energies. J. Penelit. Fis. dan Apl. 9 (1): 10.
5 Pingak R. K., Deta UA. 2020. A Simple Numerical Matrix Method for Accurate Triplet-1s2s 3S1 energy levels of some light  Helium-like  Ions.  J.  Phys.  Conf. Ser. 1491 : 012035. 6 Olanipekun AJ, Michael AA,
Oluwaseun  A.  2012.  Application  of Newton  Raphson  Method  To  a  Finite Barrier Quantum Well ( Fbqw ) System. Int. J. Recent Res. Appl. Stud. 13 (1): 88.
7 Supardi. 2014. Kajian Metode Newton- Raphson  Untuk  Menentukan  Keadaan Energi  Terikat  Pada  Sistem  Potensial Sumur  Berhingga.  Jurdik  Fis.  FMIPA Univ. Negeri Yogyakarta. 1.
8 Al-ani  LA,  Abid  RK.  2019.  Solving
Schrödinger Equation for Finite Potential  Well  Using  the  Iterative Method. Al-Nahrain J. Sci. 22 (4): 52.
9 Lima  FM.  2014.  A  simpler  graphical solution and an approximate formula for energy  eigenvalues  in  finite  square quantum  wells.  Am.  J.  Phys. 88 (11): 1019.
10 Siregar R. Fisika kuantum. Departemen fisika.  Fakultas  MIPA  Universitas
Padjajaran, Jawa Barat. 2018.