Jurnal UJMC, Volume 3, Nomor 1, Hal. 1 - 6 pISSN : 2460-3333 eISSN : 2579-907X

## TEOREMA WEYL UNTUK OPERATOR HYPONORMAL
Gunawan 1
1 Universitas Muhammadiyah Purwokerto, gun.oge@gmail.com
Abstract This  paper  aims  at  describing  the  natures  of  Hyponormal  operator  to  secure the existence of Weyl’s theorem. The discussion on Weyl’s theorem requires definitions of  compact,  Fredhlom,  and  Weyl’s  operator.  In  addition,  samples  and  natures  of compact and Fredhlom operator in Hilbert space will also be observed.
Keywords: compact  operator,  Fredhlom  operator,  Hyponormal  operator,  Weyl’s theorem
Abstrak Pada  artikel  ini  akan  dibahas  mengenai  sifat  operator  hyponormal  untuk menjamin  keberadaaan  teorema  Weyl.  Pembahasan  mengenai  teorema  Weyl memerlukan  definisi  operator  kompak,  operator  Fredhlom,  dan  Operator  Weyl.  Selain itu,  akan  dibahas  contoh  dan  sifat-  sifat  operator  kompak  dan  operator  Fredhlom  pada ruang Hilbert.
Kata kunci: operator kompak, operator Fredhlom, operator hyponormal, dan teorema Weyl

## 1 Pendahuluan
Diberikan  ruang  Hilbert H atas  lapangan  ,  himpunan  semua  operator  linear  terbatas dari H ke H ditulis   B H ,  dan ( ) T B H  .  Ruang  null T dan  range T masing-  masing dituliskan ( ) dan  ( ) N T R T .  Operator T dikatakan  Fredholm  jika ( ) R T tertutup, ( ) N T
, ( ) R T  masing- masing berdimensi  hingga.  Indeks operator Freedholm T didefinisikan ( ) dim( ( )) dim( ( ) ) i T N T R T    . Operator T dikatakan Weyl jika indeks ( T ) = 0 dan T operator Fredhlom. Operator T dikatakan memenuhi teorema Weyl jika
00 ( ) \ ( ) ( ) T T T     dengan     1 ( ) : tidak ada T T I         ,  
( ) : ( ) tidak Weyl , T T        dan  
00 ( ) iso  (T):0 ( ) T T           .
Selanjutnya, operator T dikatakan hyponormal jika  * * T T TT  dengan dengan * T adjoint  operator T .  Pembahasan  mengenai  sifat  operator  hyponormal  untuk  teorema Weyl  pada  tulisan  ini,  lebih  ditekankan  pada  menentukan  dan  membuktikan  teorema- teorema  yang  berkaitan  dengan  topik.  Pembahasan  mengenai  teorema  Weyl memerlukan  definisi  operator  kompak,  operator  Fredhlom,  dan  operator  Weyl. Rumusan  masalah  yang  dibuat  adalah  bagaimana  sifat  teorema  Weyl  untuk  operator hyponormal. Dalam penelitian ini hanya dibatasi pada ruang Hilbert. Tujuan penelitian ini  adalah  untuk  memberikan  pemahaman  dan  pengetahuan  mengenai  sifat  teorema Weyl  untuk  operator  hyponormal.  Pembahasan  mengenai  operator  teorema  Weyl  dan

## Unisda Journal of Mathematics and Computer Science
operator  hyponormal  pada  ruang  Hilbert  bermanfaat  membantu  mengembangkan  ilmu matematika dan aplikasinya, khususnya analisis fungsional.
Pembahasan  mengenai  teorema  Weyl  untuk  operator  hyponormal  pada  ruang Hilbert  diawali  dengan  pendefinisian  operator  Weyl.  Dalam  pendefinisian  operator Fredhlom,  operator  Weyl,  dan  teorema  Weyl  diacu  dari  [2],  [4],  dan  [6].  Untuk pendefinisian  tentang  operator  hyponormal  dan  operator  kompak  pada  ruang  Hilbert diacu  dari  [1]  dan  [5].  Selanjutnya,  dalam  pembahasan  mengenai  sifat-sifat  teorema Weyl untuk operator hyponormal pada ruang Hilbert diacu dari [3].

## 2 Hasil dan Pembahasan
Pada  bab  ini  dibahas  tentang  definisi  operator  kompak,  operator  Fredhlom,  operator Weyl,    teorema  Weyl,  dan  operator  hyponormal  pada  ruang  Hilbert  serta  contoh  dan teorema  yang  berkaitan  dengan  topik  penelitian.  Terlebih  dahulu  akan  disampaikan mengenai definisi operator kompak pada ruang Hilbert.

## 2.1 Operator Kompak Pada Ruang Hilbert
Definisi  1. Diberikan  H  ruang  Hilbert  dan  W H  .  Himpunan  W    dikatakan  kompak jika untuk setiap barisan   n x W  , terdapat barisan bagian yang konvergen di W. [1]
Definisi 2. Diberikan H ruang Hilbert dan ( ) T B H  . T disebut operator kompak jika untuk  setiap  himpunan  M H  terbatas,  berlaku ( ) T M   kompak. ( )
T M menyatakan himpunan semua titik klosur T(M). [1] Contoh  1. Didefinisikan  operator 2 2 : T    dengan  untuk  setiap 2 x   ,
 
( ) , dan , 1, 2, 3,... j j x T x y x x y j j           . Selanjutmya, untuk setiap n didefinisikan
operator 2 2 : n T    dengan    untuk  setiap 2 x   , 3 2 1 ( ) , , ,..., , 0, 0,.... 2 3 n n x x x T x x n        .
[5]
Akan  ditunjukkan T n terbatas  dan  konvergen.  Jelas, T n terbatas  karena 2
( ) , . n T x x      Lebih lanjut, untuk setiap 2 x   :
          2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 1 1 ( ) ( 1) 1
sup ( ) : 1 sup : 1 ( 1) 1 . 1 n j j j n j n n n x T T x x x j n n
x T T x x x n
T T n                                  
Menurut sifat Archimedes, untuk setiap bilangan 0   berakibat:
n T T    . Jadi, , . n T T n    Dengan demikian, barisan ( ) n T konvergen. Hal ini menunjukkan 2 ( ) T  kompak. Dengan demikian, T merupakan operator kompak.

## Unisda Journal of Mathematics and Computer Science
2.2 Operator Fredhlom, Operator Weyl, dan Teorema Weyl
Definisi 3. Diberikan H ruang Hilbert dan ( ) T B H  . Operator T  dikatakan Fredholm jika R(T) tertutup ,  dim( ( )) ,  dan  dim( ( ) ) .[6] N T R T      Contoh  2. Didefinisikan  operator 2 2 : T    dengan  untuk  setiap 2 x   ,       1 2 3 1 2 3 1 2 3 ( ) , , ,... 0, , , ,... , , , ,... . T x T x x x x x x x x x x    Akan ditunjukkan:
1. R(T) tertutup
2. dim N(T)< 
3. dim( ( ) ) R T   
Penyelesaian:
1. Jelas  bahwa ( ) ( ) R T R T  .  Diambil  sebarang ( ) y R T  berarti  untuk  setiap bilangan 0 r  berlaku ( , ) ( ) B y r R T    . Berarti terdapat ( , ) dan ( ) p B y r p R T   .  Hal  ini  berarti p  =  y .  Dengan  demikian, ( ) y R T  .
Jadi, R(T) tertutup
2. Diperoleh   ( ) 0 N T  . Jadi, dim N(T) = 1 < 
3. Diperoleh   ( ) 0 R T   . Jadi, dim N(T) = 1 < 
Berdasarkan 1, 2, dan 3, T merupakan operator Fredhlom. [6]
Selanjutnya,  akan  dibahas  beberapa  teorema  operator  kompak  dan  operator Fredhlom.
Teorema 1. Jika ( ) T B H  Fredhlom, maka Im (T) tertutup . [4] Bukti: Dibentuk ( ) ˆ | N T T T   . Artinya  ˆ : ( ) T T N T H    . Karena T terbatas maka ˆ T terbatas.  Karena T Fredhlom,  maka  dimisalkan  dim( ( ) ) R T n   .  Dibentuk  operator linier : n S H   .  Selanjutnya,  didefinisikan 1 : ( ( ) ) n T N T H     dengan
1 ˆ ( ) ( ) ( ), ( , ) ( ) n T x y T x S y x y N T         .  Diperoleh 1 T Nbijektif  dan  kontinu. Menurut  teorema  graph  tertutup, 1 1 T  terbatas  dan  kontinu.  Dengan  demikian,
1
Im ( ( ) 0) T T N T    tertutup.
Teorema 2. Jika bijektif dan K ( ) kompak T B H  , maka T + K  operator Fredhlom . [4]
Selanjutnya,  akan  disampaikan  mengenai  definisi  operator  kompak  dan  teorema Weyl.
Definisi 4. Diberikan H ruang Hilbert dan ( ) T B H  . Operator T  dikatakan Weyl jika indeks (T) = 0 dan T operator Fredhlom . [4]
Definisi 5. Diberikan H ruang Hilbert dan ( ) T B H  . Operator T dikatakan memenuhi
teorema  Weyl  jika ( ) \ ( ) ( ) oo T T T     dengan
    1 ( ) : tidak ada T T I         ,
  ( ) : ( ) tidak Weyl T T        , dan   ( ) iso  (T) : 0 ( ) oo T T           . [2]

## Unisda Journal of Mathematics and Computer Science

## 2.3 Operator Hyponormal
Berikut  ini  akan  disampaikan  definisi  operator  hyponormal  beserta  contohnya  pada ruang Hlbert.
Definisi  6. Diberikan  H  ruang  Hilbert  dan
( ) T B H  .  Operator  T  dikatakan hyponormal jika * * T T TT  dengan dengan * T adjoint operator T .[1]
Contoh  3. Didefinisikan  operator 2 2 : T R R  dengan   1 2 1 2 ( )
2 , 2 T x x x x x    untuk setiap 2 x R  . [1] Diperhatikan bahwa:
  1 1 2 1 2 2 1 2 ( ) 2 , 2
2 1 x T x x x x x x                  .
Jadi diperoleh 1 2 2 1 T         . Dengan demikian, diperoleh pula * 1 2 2 1 T         . 1) * 1 2 1 2 5 0 2 1 2 1 0 5 T T
                      .
2) * 1 2 1 2 5 0 2 1 2 1 0 5 TT    
       
          .
Diperoleh * * T T TT  .  Artinya, * * T T TT  .  Dengan  demikian, T merupakan  operator hyponormal.

## 2.4 Sifat Teorema Weyl untuk Operator Hyponormal
Teorema  3. Diberikan ( ) T B H  .  Jika  T  hyponormal  maka ( ) T  ada  pada ( ) T  kecuali di nilai eigen terasing pada ( ) T  . [3]
Bukti : Karena T hyoponormal  maka T operator Fredholm. Karena indeks ( T ) = dim N(T) – dim N(T * )= 0 dan T operator Fredhlom, maka menurut Definisi 4, T merupakan operator  Weyl.  Karena T operator  Fredhlom,  maka  menurut  Definisi  3, R ( T )  tertutup, dim( ( ))
,dim( ( ) ) N T R T      .
Perhatikan bahwa. Karena T hyponormal maka untuk setiap x H  * ( ) ( )
T x T x  Diambil sebarang ( ) x N T  berarti T ( x ) = 0. Karena T hyponormal maka * ( ) ( ) T x T x 
.  Jadi, * ( ) 0 T x  .  Artinya, * ( ) x N T  .  Selanjutnya,  akan  ditunjukan * ( ) ( ) N T R T   .
Diambil sebarang
* ( ) x N T  berarti * ( ) 0 T x  . Untuk sebarang ( ) y R T  ,
* ,
, ( ) , ( ) , 0 0 x y x T x x T x
x     .
Dengan  demikian, ( ) x R T   .  Diambil  sebarang ( ) x R T   , , 0, ( ) x y y R T     . Diperoleh, 0 atau 0 x y   .  Untuk 0 y  ,  terdapat ,  sehingga  ( ) 0. x H T x y   
Diperoleh, T ( x )  =  0.  Karena T hyponormal  maka * ( ) ( ) T x T x  .  Jadi, * ( ) 0
T x  . Dengan  demikian, * ( ) x N T  .  Jadi, * ( ) ( ) ( ) N T N T R T    .  Selanjutnya,  akan ditunjukkan ( ) ( ) N T R T   .  Diambil  sebarang ( ) x N T  berarti T ( x )  =  0.  Untuk
sebarang ( ) y R T  , , , ( ) , 0 0 x y x T x x    .  Dengan  demikian, ( ) x R T   . Selanjutnya,  Diambil  sebarang ( ) x R T   , , 0, ( ) x y y R T     .  Diperoleh, 0 atau 0 x y   .  Untuk y  =  0 ,  terdapat ,  sehingga  ( ) 0 x H T x y    .  Diperoleh, T ( x ) = 0. Dengan demikian, ( ) x N T  . Jadi, terbukti bahwa ( ) ( ) N T R T   . Diambil 0 , 0 T I T I T        .  Jadi,  0  merupakan  nilai  eigen  terasing  yang menyebabkab T Weyl. Dengan demikian, dapat disimpulkan bahwa ( ) T  ada, kecuali di nilai eigen terasing pada ( ) T  .

## 3 Kesimpulan
Berdasarkan pembahasan di atas, kesimpulan yang dapat diambil adalah untuk sebarang operator  hyponormal  pada  ruang  Hilbert  memberikan  sifatnya  untuk  keberadaan teorema  Weyl.  Hubungan  antara  operator  kompak,  operator  hyponormal,  operator Fredhlom, operator Weyl, dan teorema Weyl dapat dituliskan sebagai berikut:
Operator Kompak dan Hyponormal Operator Fredhlom Operator Weyl Teorema Weyl   
Dalam  tulisanini,  penulis  hanya  membahas  mengenai  sifat-sifat  teorema  Weyl untuk  operator  hyponormal  pada  ruang  Hilbert.  Untuk  penelitian  selanjutnya, diharapkan  dapat  menyelidiki  sifat-  sifat  teorema  Weyl  pada  operator  lain  misalnya pada operator hyponormal- p , untuk p > 0 pada ruang Hilbert.

## Daftar Pustaka
[1] Berberian, S.K.1961. Introduction to Hilbert Spaces . Oxford University Press. New York.
[2] Berberian, S.K. 1970. The Weyl Spectrum of an Operators . Indian Univ. Math J . 20: 529-544.
[3] Coburn, L.A.1966. Weyl’s Theorem for Nonnormal Operators. Michigan Math. J . 13: 285-288
[4] Frantzen, C. 2012. Fredholm Operators .
[5]  Kreyszig,  E.1978. Introductory  Functional  Analysis  with  Applications. John  Wiley  and  Sons.    New York.
[6] Sinnamon, C. 2009. A one Lecture Introduction to Fredhlom Operators.

## Unisda Journal of Mathematics and Computer Science Jurusan Matematika, UNISDA, Lamongan