Vol. 5, No.2, 58-65,  Januari  2009
Suatu Catatan Matematika Model Ekonomi Diamond
Jeffry Kusuma †

## Abstrak
Model matematika diberikan untuk menjelaskan fenomena dalam dunia ekonomi makro seperti modal/kapital,  tenaga  kerja,  pengetahuan,  inovasi  dalam  riset  dan  pengembangannya. Ketergantungan  elemen  elemen  dalam  ekonomi  makro  antara  satu  dengan  lainnya  diberikan dalam hubungan fungsional sebagaimana dalam model ekonomi Solow yang dikenal luas dalam dunia ekonomi makro.Model Diamond merupakan modifikasi dari model ekonomi Solow yang serba kontinu ke model yang diskrit dengan mengkaji dua lapisan masyarakat.
Kata Kunci : Model Matematika, model Diamond, Ekonomi Makro.

## 1. Pendahuluan
Perbedaan  kemakmuran  dan  standar  kehidupan suatu daerah  atau  negara  dengan  daerah atau  negara  lain  sering  menimbulkan  pertanyaan  yang  sulit  dijelaskan.  Mengapa  suatu  daerah atau negara yang satu lebih berkembang dari daerah lainnya? Faktor apa saja yang mempengaruhi perkembangan suatu daerah? Faktor apa saja yang mempengaruhi kemakmuran suatu daerah atau negara? Berapa lamakah waktu yang diperlukan untuk menuju kemakmuran?
Memang  tidak  dapat  dipungkiri  bahwa  dunia  sekarang  lebih  makmur  dari  dunia  masa lalu.    Fenomena  ini,  tentunya  sangat  menarik  untuk  dikaji.    Banyak  model  telah  dibuat  dalam upaya    menerangkan  fenomena  ini.    Ada  model  yang  dapat  bertahan,  demikian  pula  banyak model matematika yang hilang dengan sendirinya yang disebabkan dengan ketidaksuaian dengan fenomena  yang  ada.    Diantara  segelintir  model  yang  dapat  bertahan  adalah  model  Solow  yang bertumpu  pada  empat  pilar  pertumbuhan  yakni  hasil  produksi  ( Y ),  modal/kapital  ( K), tenaga kerja/labour  ( L )  dan  pengetahuan  atau  efektifitas  tenaga  kerja  ( A )  yang  semuanya  merupakan fungsi yang kontinu terhadap waktu.
.

## 2.  Model Solow
Model  ekonomi  yang  dikembangkan  Solow  bertumpu  pada  empat  pilar  pertumbuhan yaitu  hasil  produksi  ( Y ),  modal/kapital  ( K), tenaga  kerja/labour  ( L )  dan  pengetahuan  atau efektifitas  tenaga  kerja  ( A ),  yang  mana  keempat  pilar  ini  merupakan  fungsi  waktu  ( t )  yang memenuhi hubungan fungsional fungsi produksi
)) ( ) ( ), ( ( ) ( t L t A t K F t Y  atau ) , ( AL K F Y  .                           (1)
Di sini terlihat bahwa waktu tidak masuk  ke dalam fungsi produksi secara langsung,  melainkan melalui K , L dan A . Demikian pula hasil produksi merupakan fungsi modal dan hasil kali A dan L yang dapat dianggap sebagai keefektifan tenaga kerja. Model ini menggunakan asumsi dasar yang
† Jurusan Matematika FMIPA Universitas Hasanuddin Makassar

## Jeffry Kusuma
melibatkan  pengembalian  yang  konstan  terhadap  kedua  variabelnya.  Secara  umum  dapat digambarkan sebagai
) , ( ) , ( AL K cF cAL cK
F  untuk semua 0  c . (2)
Penggandaan kapital dan tenaga kerja yang efektif akan menggandakan hasil. Sumber daya alam, tanah letak geografis walaupun diketahui penting tidak terlihat pada model.
Asumsi  pengembalian  yang  konstan  membuat  fungsi  produksi  dapat  dituliskan  dalam bentuk
) , ( 1
1 , AL K F AL AL K
F        , (3) dimana AL c / 1  .
Disini, AL K / merupakan  besar  kapital  per  unit  tenaga  kerja  efektif, AL AL K F / ) , ( atau AL
Y / merupakan hasil per unit tenaga kerja efektif.
Bila variabel di atas ditulis ulang dengan , / AL K k  AL Y y /  dan ) 1 , ( ) ( k F k f  , maka fungsi produksi Solow dapat dituliskan dalam bentuk
) ( k f y  (4)
Dari persamaan di atas, dapat dilihat bahwa hasil per unit tenaga kerja efektif hanya merupakan fungsi kapital/modal per unit tenaga kerja efektif.  Selanjutnya, fungsi ) ( k f di atas diasumsikan pula  memenuhi  sifat , 0 ) 0 (  f 0 ) (   k f , 0 ) (   k f .    Di  sini  terlihat  jelas  bahwa ) ( k f  merupakan produk marginal dari modal, karena ) / ( ) , ( AL K ALf AL K F  , ) ( ) / 1 )( / ( / ) / ( k f AL AL K f AL K AL K F       .  Jadi  asumsi  ini  mempunyai  arti  bahwa marginal  produk  dari  modal  adalah  positif  tetapi  akan  cenderung  menurun  bila  modal  (per  unit tenaga kerja efektif) meningkat.  Lebih lanjut ) ( k f diasumsikan memenuhi kondisi Inada, yakni,     ) ( lim 0 k f k , 0 ) ( lim     k f k sebagai mana yang ada dalam fungsi produksi Cobb-Douglas
, ) ( ) , ( 1     AL K AL K F 1
0    (5)
Fungsi ini tetap memenuhi asumsi awal yang berupa pengembalian hasil yang konstan.
Kalikan kedua input dengan konstan c diperoleh
) , ( ) ( ) ( ) ( ) , ( 1 1 1 AL K cF AL K c c cAL cK cAL cK F      
      (6)
yang  menunjukkan  dipenuhinya  asumsi  awal  pengembalian  konstan.    Demikian  pula  dengan asumsi pemenuhan kondisi Inada.  Bila kedua input fungsi produksi dibagi dengan AL diperoleh
  k AL K AL K F k f       
        1 , ) ( (7)
yang  mempunyai  turunan  pertama
1 ) (      k k f yang  selalu  positif  dan  turunan  kedua
2 ) 1 ( ) (         k k f yang selalu negatif.
Asumsi lainnya yang tersisa melibatkan perubahan tenaga kerja, pengetahuan dan modal dari waktu ke waktu.  Dalam  model Solow ini, perubahan tersebut diasumsikan kontinu dengan laju pertumbuhan
), ( ) ( t nL t L   (8)
) ( ) ( t gA t A   (9)
dimana n dan g merupakan parameter yang menetukan kecepatan pertumbuhan tenaga kerja dan pengetahuan  yang  tumbuh  secara  eksponensial.  Bila ) 0 ( L dan ) 0 ( A merupakan  keadaan awalnya maka solusi (2.8) dan (2.9) dapat dituliskan sebagai nt e L t L ) 0 ( ) (  dan gt e A t A ) 0 ( ) (  .
Hasil dibagi antara konsumsi dan tabungan / investasi. Sebagian dari hasil s diinvestasi kembali.  Satu  unit  hasil  diberikan  sebagai  satu  unit  modal  baru.  Demikian  pula  modal/kapital senantiasa  terdepresiasi pada laju  , jadi
) ( ) ( ) ( t K t sY t K     , (10)
dengan jumlah nilai , n g dan  senantiasa bernilai positif.

## 3.  Model Diamond
Model  diamond  merupakan  pengembangkan  model  Solow.  Model  ini  melibatkan perubahan  dalam  suatu  populasi.    Populasi  dianggap  mempunyai  jumlah  tetap    dimana  jumlah individu  baru  secara  kontinu  dilahirkan  dan  individu  tua  secara  kontinu  pula  meninggal.  Setiap individu tenaga kerja diasumsikan hidup dalam 2 periode waktu. t L disimbolkan untuk tenaga kerja yang ada pada periode t .  Sebagaimana sebelumnya, tenaga kerja tumbuh pada laju n ; jadi 1 ) 1 ( 
  t t L n L . Karena setiap individu hidup dalam dua masa periode maka pada waktu t ada sebanyak t L individu  pada  periode  pertama  hidupnya  dan ) 1 /( 1 n L L t t    individu  pada periode  kedua  hidupnya.    Setiap  individu  menyumbangkan  satu  unit  tenaga  kerja.    Ketika individu masih berusia muda, income dibagi atas konsumsi dan saving (tabungan) pada periode pertama  dan  pada  periode  kedua  hidupnya,  setiap  individu  hanya  mengkonsumsi  saving (tabungan) dan bunga tabungan yang diperolehnya.
Bila t C 1 dan t C 2 menunjukkan  konsumsi  pada  periode t dari  individu  muda  dan  tua,  maka utilitas dari  individu  yang  lahir  pada t disimbolkan t U akan  bergantung  pada t C 1 dan 1 2  t C . Jadi dengan pendekatan konstan diperoleh fungsi utilitas

## Jeffry Kusuma
, 1 1 1 1 1 1 2 1 1     
        t t t C C U 0   , 1    . (11)
Bentuk fungsional fungsi utilitas diatas memerlukan keseimbangan pertumbuhan.  Waktu hidup individu  terhingga,  jadi  asumsi g n ) 1 (      tidak  diperlukan  dalam  rangka  memastikan fungsi  utilitas  yang  tidak  divergen.    Bila 0   ,  berarti  setiap  individu  menempatkan  bobot konsumsi yang lebih besar pada periode pertama dari pada periode kedua. Sebaliknya bila 0   bobot konsumsi lebih besar pada periode kedua dari pada periode pertamanya.  Asumsi 1    tetap diperlukan untuk menjamin bobot konsumsi pada periode kedua selalu positif.
Fungsi  produksi  tetap  digambarkan  sebagai
) , ( t t t t L A K F Y  yang  berupa  pendapatan tetap dan memenuhi kondisi Inada. Pengetahuan dan ketrampilan tumbuh pada laju g sehingga
1 ] 1 [    t t A g A .  Pasar  sangat  kompetitif  sehingga  pekerja  dan  modal  memperoleh  produk marginalnya.    Bila  tidak  terdapat  depresiasi,  laju  interes  dan  gaji  per  unit  tenaga  kerja  efektif diberikan oleh ) ( t t k f r   dan ) ( ) ( t t t t k f k k f w
   . Terakhir, ada stok kapital awal 0 K yang dimiliki sama banyaknya oleh semua individu tua.
Jadi,  dalam  periode 0   kapital  yang  dimiliki  oleh  individu  tua  dan  pekerja  muda dikombinasikan  untuk  menghasilkan  output.    Kapital  dan  kerja  dibayar  oleh  hasil  marginalnya. Individu  tua  mengkonsumsi  pendapatan  kapitalnya  dan  kekayaannya  yang  ada.  Ketika  mereka meninggal otomatis keluar dari model.  Individu muda membagi pendapatan dari hasil kerjanya
t t A w kepada  konsumsi  dan  tabungan.  Mereka  akan  membawa  tabungannya  pada  periode berikutnya. Jadi kapital stok pada periode 1  t yaitu 1  t K bernilai sama dengan jumlah individu muda  pada  periode    yaitu t L dikalikan  dengan  jumlah  yang  ditabung  oleh  tiap  individu  dan dikurangangi dengan jumlah konsumsinya t t t C A w 1  . Kombinasi kapital ini dengan hasil kerja dari  individu  muda  membuat  proses  berkelanjutan.  Konsumsi  periode  kedua  dari  individu  yang lahir pada t adalah
). )( 1 ( 1 1 1 2 t t t t t C A w r C      (12)
Dengan  membagi  kedua  ruas  persamaan  dengan 1 1   t r dan  membawa t C 1 pada  ruas  kiri persamaan, diperoleh
t t t t t w A C r C      1 2 1 1 1 1 . (13)
Persamaan  diatas  tidak  lain  mengatakan  bahwa  nilai  keseluruhan  konsumsi  sama  dengan kekayaan awal (yang bernilai nol) ditambah dengan nilai hasil kerja seumur hidup t t w A .
Langrange  dari  memaksimumkan    fungsi  utilitas  individu  subjek  pada  kendala  budget adalah
t
Jeffry Kusuma
. 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 2 1 1                           t t t t t t t C r C w A C C       L (14)
Kondisi turunan pertama adalah
    t C 1 (15)
   1 1 2 1 1 1 1       t t r C . (16)
Substitusi persamaan yang pertama ke persamaan kedua diperoleh
          t t t C r C 1 1 1 2 1 1 1 1
, (17)
atau
. 1 1 / 1 1 1 1 2             t t t r C C (18)
Persamaan  diatas  memperlihatkan  bahwa  peningkatan  ataupun  pengurangan  konsumsi  individu bergantung pada laju pengembalian yang lebih besar atau kecil dari laju diskon.  menentukan variasi konsumsi individu dalam responnya terhadap perbedaaan antara r dan  . Untuk  menyatakan t C 1 dalam  bentuk pendapatan kerja dan laju suku bunga, kalikanlah kedua ruas persamaan (13) dengan t C 1 dan substitusikan ke kendala budget dan diperoleh
, ) 1 ( ) 1 ( 1 / 1 / ) 1 ( 1 1 t t t t t w A C r C           (19)
atau dalam bentuk lain
. ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( / ) 1 ( 1 / 1 / 1 1 t t t t w A r C              (20)
Persamaan diatas memperlihatkan bahwa laju suku bunga  menentukan pecahan dari pendapatan individu  yang  dikonsumsi  pada  periode  pertama.    Dengan  menuliskan ) ( r s sebagai  pecahan pendapatan yang ditabung diperoleh
. ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) ( / ) 1 ( 1 / 1 / ) 1 ( 1 1                 t t t r r r s (21)
atau dapat ditulis ulang sebagai
Jeffry Kusuma t t t t w A r s C )] ( 1 [ 1 1    . (22)
Persamaan (21) diatas mempunyai arti bahwa tabungan individu muda bertambah dalam r jika dan hanya jika   / ) 1 ( ) 1 (   r bertambah dalam r .  Turunan dari   / ) 1 ( ) 1 (   r terhadap r
adalah     / ) 2 1 ( ) 1 ]( / ) 1 [(    r .  Jadi s bertambah dalam r bila  kurang dari 1 dan berkurang bila  lebih  dari  1.  Pertambahan  dalam r mempunyai  pengaruh  terhadap  pendapatan  dan  efek substitusi. Kenyataan yang ada bahwa konsumsi dalam kedua periode lebih disukai pada periode kedua  yakni  meningkatkan  tabungan  terlebih  dahulu.    Individu  ingin  mengsubstitusi  konsumsi diatara  kedua  periode  berdasarkan  keuntungan  yang  diperoleh  dari  laju  pengembalian  insentif yakni  bilamana  rendah  atau  efek  substitusi  mengdominasi.  Sebaliknya  setiap  individu mempunyai  level  konsumsi  yang  tertentu  dalam  mengkonsumsi  pada  kedua  level  bilamana  tinggi.    Untuk  kasus  yang  tertentu  bila 1   kedua  efek  seimbang,  invididu  muda  mempunyai laju menabung yang bebas dari r .

## 4. Dinamika Model Diamond
Stok kapital digambarkan pada periode 1  t merupakan jumlah yang ditabung individu muda dalam periode t , jadi
t t t t t w A L r s K ) ( 1 1    (23)
Disini  patut  dicatat  bahwa  tabungan  dalam  periode t bergantung  pada  pendapatan  kerja  pada periode  tersebut  dan  pengembalian  pada  kapital  yang  penabung  harapkan  di  periode  berikutnya yaitu w dalam  periode t dan r dalam  periode 1  t yang  akan  memasuki  stok  kapital  pada periode 1  t .
Bagi  kedua  ruas  persamaan  (23)  dengan
1 1   t t A L akan  memberikan  ekspresi  untuk
1 1 1 /    t t t L A K yaitu kapital per unit kerja efektif t t t w r s g n k ) ( ) 1 )( 1 ( 1 1 1      , (24)
yang juga dapat ditulis
  ) ( ) ( )) ( ( ) 1 )( 1 ( 1 1 1 t t t t t k f k k f k f s g n k         . (25)
Terlihat    dari  persamaan  diatas  bahwa 1  t k secara  implisit  merupakan  fungsi  dari t k .    Bila diberikan  suatu  nilai  awal  untuk t k akan  dapat  terlihat  kapital  akan  berevolusi.  Bila t t k k   1 , kapital senantiasa tidak akan berubah lagi. Nilai ini yang dikenal sebagai keadaan setimbang dari kapital.
Bila 1   ,  persamaan  (21)  memberikan  pecahan    dari  pendapatan  pekerja  yang  ditabung menjadi ) 2 /( 1   .    Ketika  fungsi  produksi  Cobb-Douglas  k k f  ) ( dan   k w ) 1 (   , persamaan (25) segera tereduksi menjadi
Jeffry Kusuma
    t t t Dk k g n k        ) 1 ( 2 1 ) 1 )( 1 ( 1 1 . (26)
Gambar  di  bawah  memperlihatkan 1  t k sebagai  fungsi  dari t k .    Titik  dimana  grafik  fungsi memotong  garis lurus yang berkemiringan  45 merupakan keadaan dimana t t k k   1 .  Bila t k kecil, kurva akan tumbuh keatas hingga memotong garis lurus  45 dan tetap berada dibawahnya.
Jadi hanya dipunyai satu titik setimbang yaitu * k .
Gambar 1. Dinamika k .
Di sini nilai k stabil secata global, dimanapun dimulai akan berakhir pada * k .   Bila nilai awal k yaitu 0 k lebih besar dari * k berarti 1  t k kurang dari t k dan karena t k masih lebih besar * k , 1 k akan lebih kecil dari 0 k .  Bila 0 k melebihi * k maka 1  t k berkurang  dalam t k .  Jadi bila 1 k berada diantara * k dan 0 k , k akan bergerak menuju ke * k . Proses ini berjalan mulus secara kontinu  ke * k .    Demikian  pula  sebaliknya  bila 0 k lebih  kecil  dari * k ,    proses  nilai k akan bertambah menuju * k

## Daftar Pustaka
1. Romer, D., 1996, Advanced Macroeconomics. McGraw-Hill Companies Inc., United States Military Academy, West Point.
2. Diamond, Douglas W., 1984, Financial Intermediation and Delegated Monitoring. Review of Economic Studies 51 (July): 393-414.
3. Diamond,  Peter  A., National  Debt  in  a  Neoclassical  Growth  Model. American  Economic Review 55 (December): 1126-1150.

## Jeffry Kusuma
4. Solow, R.M., 1957, A contribution to the theory of Economics growth, Quarterly Journal of Economics, 70, 65-94.
5. Solow,  R.M.,  Stiglitz,  J.E.,  1968,  Output,  employment,  and  wages  in  the  sort  run, Quarterly Journal of Economics , 82, 537-560.