## SEMI RING POLINOM ATAS ALJABAR MAX-PLUS
Suroto
Prodi Matematika, Jurusan MIPA, Fakultas Sains dan Teknik Universitas Jenderal Soedirman e-mail : suroto_80@yahoo.com
ABSTRACT . In this paper  we define polynomials over a max plus algebra. Furthermore we prove that the set of such polynomials is a semi ring.
Key words : semi ring, max-plus algebra, polynomial
ABSTRAK. Pada  makalah  ini  didefinisikan  polinom  atas  aljabar  max-plus.  Lebih  lanjut dibuktikan bahwa himpunan semua polinom tersebut merupakan semi ring.
Kata kunci: semi ring, aljabar max-plus, polinom

## 1.  PENDAHULUAN
Misalkan 𝑆 adalah  suatu  himpunan  tidak  kosong.  Himpunan 𝑆 yang dilengkapi dengan suatu operasi biner yang bersifat assosiatif dinamakan semi grup (Fraelligh,  2000).  Menurut  Golan  (2005),  himpunan 𝑆 yang  dilengkapi  dengan  dua buah operasi biner yakni penjumlahan (dinotasikan + ) dan pergandaan (dinotasikan × ) dinamakan semi ring apabila memenuhi:
1. (𝑆, +) merupakan semi grup komutatif dengan elemen netral.
2. (𝑆,×) merupakan semi grup dengan elemen satuan.
3.  Elemen netral merupakan elemen penyerap terhadap operasi × .
4.  Operasi + distributif terhadap operasi × .
Semi ring 𝑆 dikatakan idempoten apabila untuk setiap 𝑎 ∈ 𝑆 berlaku 𝑎 + 𝑎 = 𝑎 dan dikatakan  komutatif  apabila  operasi  pergandaannya  bersifat  komutatif  (Mora,  dkk, 2009).  Suatu  semi  ring  komutatif  yang  setiap  elemen  tak  netralnya  mempunyai invers terhadap operasi pergandaan dinamakan semi lapangan.
Misalkan  diberikan  struktur  aljabar ℝ max ≝ ℝ ∪ {− ∞ } dengan ℝ adalah himpunan  semua  bilangan  riil, yang  dilengkapi  dengan dua  buah  operasi  biner  yakni operasi  penjumlahan  dan  pergandaan.  Aljabar  max-plus  merupakan  struktur  aljabar
JMP : Volume 4 Nomor 2, Desember 2012, hal. 289 - 297
yang  terbentuk  dari ℝ max dengan  dilengkapi  operasi  “maximum”  sebagai  operasi penjumlahannya dan operasi “plus” sebagai operasi pergandaannya,  yakni
𝑎 ⊕ 𝑏 = maximum (𝑎, 𝑏) dan 𝑎 ⊗ 𝑏 = 𝑎 + 𝑏
untuk  setiap a , b ∈ ℝ max (Farlow,  2009).  Elemen  identitas  terhadap  operasi penjumlahannya  adalah − ∞ dan  terhadap  operasi  pergandaannya  adalah  0. Himpunan ℝ max yang  dilengkapi  dengan  operasi  penjumlahan  dan  pergandaan tersebut  merupakan  semi  ring,  dan  selanjutnya  dinamakan  semi  ring  max-plus (Akian, dkk., 2006). Menurut Bacelli, dkk (2001), semi ring max-plus tersebut juga merupakan semi lapangan idempoten.
Pembahasan  aljabar  max-plus  bisa  diperluas  pada  kajian  matriks  yang dilakukan dengan cara mendefinisikan matriks  dengan entri-entrinya adalah elemen pada  aljabar  max-plus.  Kajian  mengenai  matriks  atas  aljabar  max  plus  telah dilakukan oleh Rudhito, dkk (2008) dan diperoleh bahwa matriks  atas aljabar max- plus  terhadap  operasi  penjumlahannya  merupakan  semi  grup  komutatif  idempoten, sedangkan terhadap operasi pergandaannya merupakan semi grup.
Telah  diketahui  sebelumnya  bahwa  aljabar  max-plus  merupakan  semi lapangan idempoten. Pada makalah ini, pembahasan aljabar max-plus diperluas pada kajian polinom dengan cara membentuk polinom yang koefisiennya adalah elemen- elemen  pada  aljabar  max-plus.  Selanjutnya,  struktur  aljabar  max-plus  dan  sifat- sifatnya  sebagai  semi  lapangan  akan  digunakan  untuk  membuktikan  beberapa  sifat yang berkaitan dengan polinom yang dibentuk dari aljabar max-plus tersebut.

## 2.  SEMIRING POLINOM ATAS ALJABAR MAX-PLUS
Bagian  ini  merupakan  bagian  utama  pada  penulisan  makalah  ini.  Terlebih dahulu  didefinisikan  polinomial  dengan  setiap  koefisiennya  adalah  elemen-elemen pada aljabar max-plus, seperti dinyatakan pada definisi berikut:
Definisi 2.1 Misalkan ℝ max adalah aljabar max-plus maka polinom yang berbentuk
𝑓(𝑥) = ∑ 𝑎 𝑖 𝑥 𝑖 𝑛
𝑖=0 = 𝑎 0 + 𝑎 1 𝑥 + ⋯ + 𝑎 𝑛 𝑥 𝑛
290                                                                                                                                            Suroto
dengan 𝑎 0 , 𝑎 1 , 𝑎 2 , … , 𝑎 𝑛 ∈ℝ max dinamakan  polinom  atas  aljabar  max-plus  dengan indeterminate x .
Untuk  selanjutnya,  himpunan  semua  polinom  atas  aljabar  max-plus  dinotasikan dengan ℝ max [ x ], yakni
ℝ max [x] = {𝑎 0 + 𝑎 1 𝑥 + ⋯ + 𝑎 𝑛 𝑥 𝑛 |𝑎 0 , 𝑎 1 , … , 𝑎 𝑛 ∈ ℝ max } .
Dua  buah  polinom  di ℝ max [x] dikatakan  sama  apabila  untuk  setiap  koefisien  yang letaknya bersesuaian nilainya sama, yaitu
𝑎 0 + 𝑎 1 𝑥 + ⋯ + 𝑎 𝑛 𝑥 𝑛 = 𝑏 0 + 𝑏 1 𝑥 + ⋯ + 𝑏 𝑚 𝑥 𝑚
jika 𝑎 𝑖 = 𝑏 𝑖 untuk setiap 𝑖 ≥ 0 .
Definisi 2.2 Untuk setiap 𝑎 0 + 𝑎 1 𝑥 + ⋯ + 𝑎 𝑛 𝑥 𝑛 , 𝑏 0 + 𝑏 1 𝑥 + ⋯ + 𝑏 𝑚 𝑥 𝑚 di ℝ max [x] , didefinisikan operasi penjumlahan polinom seperti berikut:
(𝑎 0 + 𝑎 1 𝑥 + ⋯ + 𝑎 𝑛 𝑥 𝑛 ) + (𝑏 0 + 𝑏 1 𝑥 + ⋯ + 𝑏 𝑚 𝑥 𝑚 ) = 𝑐 0 + 𝑐 1 𝑥 + ⋯ + 𝑐 𝑘 𝑥 𝑘 (2.1)
dengan 𝑐 𝑖 = 𝑎 𝑖 ⊕ 𝑏 𝑖 = 𝑚𝑎𝑥(𝑎 𝑖 , 𝑏 𝑖 ) untuk setiap i.
Terlebih  dahulu  ditunjukkan  bahwa  operasi  penjumlahan  pada  persamaan  (2.1) terdefinisi dengan baik  ( well  defined ) di ℝ max [x] .  Misalkan polinomial 𝑎 0 + 𝑎 1 𝑥 + ⋯ + 𝑎 𝑛 𝑥 𝑛 , 𝑏 0 + 𝑏 1 𝑥 + ⋯ + 𝑏 𝑚 𝑥 𝑚 , 𝑔 0 + 𝑔 1 𝑥 + ⋯ + 𝑔 𝑘 𝑥 𝑘 , ℎ 0 + ℎ 1 𝑥 + ⋯ + ℎ 𝑙 𝑥 𝑙 di ℝ max [x] .  Jika
𝑎 0 + 𝑎 1 𝑥 + ⋯ + 𝑎 𝑛 𝑥 𝑛 = 𝑏 0 + 𝑏 1 𝑥 + ⋯ + 𝑏 𝑚 𝑥 𝑚 𝑔 0 + 𝑔 1 𝑥 + ⋯ + 𝑔 𝑘 𝑥 𝑘 = ℎ 0 + ℎ 1 𝑥 + ⋯ + ℎ 𝑙 𝑥 𝑙
maka (𝑎 0 + 𝑎 1 𝑥 + ⋯ + 𝑎 𝑛 𝑥 𝑛 ) + (𝑔 0 + 𝑔 1 𝑥 + ⋯ + 𝑔 𝑘 𝑥 𝑘 )
= (𝑎 0 ⊕ 𝑔 0 ) + (𝑎 1 ⊕ 𝑔 1 )𝑥 + ⋯ + (𝑎 𝑟 ⊕ 𝑔 𝑟 )𝑥 𝑟 = (𝑏 0 ⊕ ℎ 0 ) + (𝑏 1 ⊕ ℎ 1 )𝑥 + ⋯ + (𝑏 𝑟 ⊕ ℎ 𝑟 )𝑥 𝑟 = (𝑏 0 + 𝑏 1 𝑥 + ⋯ + 𝑏 𝑚 𝑥 𝑚 ) + (ℎ 0 + ℎ 1 𝑥 + ⋯ + ℎ 𝑙 𝑥 𝑙 ) .
Semi Ring Polinom Atas Aljabar Max-Plus                                                                              291
Dengan  demikian, operasi  penjumlahan pada ℝ max [x] terdefinisi dengan baik  ( well defined ).
Definisi  2.3 Untuk  setiap 𝑎 0 + 𝑎 1 𝑥 + ⋯ + 𝑎 𝑛 𝑥 𝑛 , 𝑏 0 + 𝑏 1 𝑥 + ⋯ + 𝑏 𝑚 𝑥 𝑚 di ℝ max [x] , didefinisikan operasi penjumlahan polinom seperti berikut:
(𝑎 0 + 𝑎 1 𝑥 + ⋯ + 𝑎 𝑛 𝑥 𝑛 ) × (𝑏 0 + 𝑏 1 𝑥 + ⋯ + 𝑏 𝑚 𝑥 𝑚 ) = 𝑑 0 + 𝑑 1 𝑥 + ⋯ + 𝑑 𝑚+𝑛 𝑥 𝑚+𝑛
(2.2)
dengan 𝑑 𝑖 = ∑ 𝑎 𝑘 𝑏 𝑖−𝑘 = (𝑎 0 ⊗ 𝑏 𝑖 ) ⊕ (𝑎 1 ⊗ 𝑏 𝑖−1 ) ⊕ … ⊕ (𝑎 𝑖−1 ⊗ 𝑏 1 ) ⊕ 𝑖 𝑘=0 (𝑎 𝑖 ⊗ 𝑏 0 )
= 𝑚𝑎𝑥((𝑎 0 + 𝑏 𝑖 ), (𝑎 1 + 𝑏 𝑖−1 ), … , (𝑎 𝑖−1 + 𝑏 1 ), (𝑎 𝑖 + 𝑏 0 ))
Secara analog  dengan operasi  penjumlahan pada ℝ max [x] , diperoleh bahwa  operasi pergandaan pada ℝ max [x] juga terdefinisi dengan baik ( well defined ).
Sebelumnya sudah dijelaskan tentang pendefinisian operasi penjumlahan dan pergandaan pada ℝ max [x] yang terdefinisi dengan baik. Selanjutnya diperoleh bahwa ℝ max [x] terhadap  operasi  penjumlahan  pada  persamaan  (2.1)  memenuhi  aksioma- aksioma semigrup, seperti dinyatakan pada proposisi berikut:
Proposisi 2 . 1 (ℝ max [x], +) adalah semi grup komutatif dengan elemen netral.
Bukti .  Untuk  setiap 𝑎 0 + 𝑎 1 𝑥 + ⋯ + 𝑎 𝑛 𝑥 𝑛 ,  𝑏 0 + 𝑏 1 𝑥 + ⋯ + 𝑏 𝑚 𝑥 𝑚 ,  𝑐 0 + 𝑐 1 𝑥 + ⋯ + 𝑐 𝑘 𝑥 𝑘 polinom-polinom di ℝ max [x] berlaku :
i. (𝑎 0 + 𝑎 1 𝑥 + ⋯ + 𝑎 𝑛 𝑥 𝑛 ) + (𝑏 0 + 𝑏 1 𝑥 + ⋯ + 𝑏 𝑚 𝑥 𝑚 ) = 𝑡 0 + 𝑡 1 𝑥 + ⋯ + 𝑡 𝑘 𝑥 𝑘
dengan 𝑡 𝑖 = 𝑎 𝑖 ⊕ 𝑏 𝑖 ,  untuk  setiap i .  Karena ℝ max adalah  semi  lapangan,  maka berlaku 𝑡 𝑖 = 𝑎 𝑖 ⊕ 𝑏 𝑖 adalah  elemen  di ℝ max .  Sehingga 𝑡 0 + 𝑡 1 𝑥 + ⋯ + 𝑡 𝑘 𝑥 𝑘 merupakan polinom di ℝ max [x] . Dengan demikian, operasi penjumlahan tertutup pada ℝ max [x] .
292                                                                                                                                            Suroto
ii. ((𝑎 0 + 𝑎 1 𝑥 + ⋯ + 𝑎 𝑛 𝑥 𝑛 ) + ( 𝑏 0 + 𝑏 1 𝑥 + ⋯ + 𝑏 𝑚 𝑥 𝑚 )) + ( 𝑐 0 + 𝑐 1 𝑥 + ⋯ + 𝑐 𝑘 𝑥 𝑘 ) = 𝑝 0 + 𝑝 1 𝑥 + ⋯ + 𝑝 𝑠 𝑥 𝑠 ,  dengan 𝑝 𝑖 = (𝑎 𝑖 ⊕ 𝑏 𝑖 ) ⊕ 𝑐 𝑖 untuk  setiap i .  Karena ℝ max adalah  semi  lapangan,  maka  berlaku (𝑎 𝑖 ⊕ 𝑏 𝑖 ) ⊕ 𝑐 𝑖 = 𝑎 𝑖 ⊕ (𝑏 𝑖 ⊕ 𝑐 𝑖 ) untuk setiap i . Dari sini diperoleh bahwa
((𝑎 0 + 𝑎 1 𝑥 + ⋯ + 𝑎 𝑛 𝑥 𝑛 ) + ( 𝑏 0 + 𝑏 1 𝑥 + ⋯ + 𝑏 𝑚 𝑥 𝑚 )) + ( 𝑐 0 + 𝑐 1 𝑥 + ⋯ + 𝑐 𝑘 𝑥 𝑘 ) = (𝑎 0 + 𝑎 1 𝑥 + ⋯ + 𝑎 𝑛 𝑥 𝑛 ) + (( 𝑏 0 + 𝑏 1 𝑥 + ⋯ + 𝑏 𝑚 𝑥 𝑚 ) + ( 𝑐 0 + 𝑐 1 𝑥 + ⋯ + 𝑐 𝑘 𝑥 𝑘 )) .
Dengan demikian, operasi penjumlahan bersifat assosiatif di ℝ max [x] .
iii. (𝑎 0 + 𝑎 1 𝑥 + ⋯ + 𝑎 𝑛 𝑥 𝑛 ) + (𝑏 0 + 𝑏 1 𝑥 + ⋯ + 𝑏 𝑚 𝑥 𝑚 ) = 𝑡 0 + 𝑡 1 𝑥 + ⋯ + 𝑡 𝑘 𝑥 𝑘
dengan 𝑡 𝑖 = 𝑎 𝑖 ⊕ 𝑏 𝑖 ,  untuk  setiap i .  Karena ℝ max adalah  semi  lapangan,  maka berlaku 𝑎 𝑖 ⊕ 𝑏 𝑖 = 𝑏 𝑖 ⊕ 𝑎 𝑖 untuk setiap i . Dengan demikian diperoleh bahwa
(𝑎 0 + 𝑎 1 𝑥 + ⋯ + 𝑎 𝑛 𝑥 𝑛 ) + (𝑏 0 + 𝑏 1 𝑥 + ⋯ + 𝑏 𝑚 𝑥 𝑚 ) = (𝑏 0 + 𝑏 1 𝑥 + ⋯ + 𝑏 𝑚 𝑥 𝑚 ) + (𝑎 0 + 𝑎 1 𝑥 + ⋯ + 𝑎 𝑛 𝑥 𝑛 )
sehingga operasi penjumlahan bersifat komutatif di ℝ max [x] .
iv. Polinom netral didefinisikan sebagai polinom dengan semua koefisiennya adalah elemen netral pada ℝ max yakni −∞ . Polinom netral ini mempunyai bentuk
𝑎 0 + 𝑎 1 𝑥 + ⋯ + 𝑎 𝑛 𝑥 𝑛
dengan 𝑎 𝑖 = −∞ ,  untuk  setiap i .  Polinomial  ini  merupakan  elemen  identitas  di ℝ max [x] terhadap  operasi  penjumlahan.  Dengan  demikian,  eksistensi  elemen netral  pada ℝ max [x] terpenuhi.  Untuk  selanjutnya,  polinom  netral  cukup  ditulis 0(𝑥) .
Semi Ring Polinom Atas Aljabar Max-Plus                                                                              293
Dari  uraian  di  atas,  terbukti  bahwa ℝ max [x] terhadap  operasi  penjumlahan  adalah semi grup komutatif dengan elemen netral. ■
Selain  itu,  diperoleh  bahwa ℝ max [x] terhadap  operasi  pergandaan  pada  persamaan (2.2)  juga memenuhi  aksioma-aksioma semigrup, seperti dinyatakan pada proposisi berikut:
Proposisi 2 . 2 (ℝ max [x],×) adalah semi grup dengan elemen satuan.
Bukti .  Untuk  setiap 𝑎 0 + 𝑎 1 𝑥 + ⋯ + 𝑎 𝑛 𝑥 𝑛 ,  𝑏 0 + 𝑏 1 𝑥 + ⋯ + 𝑏 𝑚 𝑥 𝑚 ,  𝑐 0 + 𝑐 1 𝑥 + ⋯ + 𝑐 𝑟 𝑥 𝑟 polinom-polinom di ℝ max [x] berlaku :
i. (𝑎 0 + 𝑎 1 𝑥 + ⋯ + 𝑎 𝑛 𝑥 𝑛 ) × (𝑏 0 + 𝑏 1 𝑥 + ⋯ + 𝑏 𝑚 𝑥 𝑚 ) = 𝑡 0 + 𝑡 1 𝑥 + ⋯ + 𝑡 𝑘 𝑥 𝑘
dengan 𝑡 𝑖 = ∑ 𝑎 𝑘 𝑏 𝑖−𝑘 𝑖 𝑘=0 .  Karena ℝ max adalah  semi  lapangan,  maka 𝑡 𝑖 = ∑ 𝑎 𝑘 𝑏 𝑖−𝑘 𝑖 𝑘=0 adalah  elemen  pada ℝ max .  Jadi 𝑡 0 + 𝑡 1 𝑥 + ⋯ + 𝑡 𝑘 𝑥 𝑘 adalah polinom di ℝ max [x] . Dengan demikian, operasi pergandaan tertutup di ℝ max [x] .
ii. ((𝑎 0 + 𝑎 1 𝑥 + ⋯ + 𝑎 𝑛 𝑥 𝑛 ) × ( 𝑏 0 + 𝑏 1 𝑥 + ⋯ + 𝑏 𝑚 𝑥 𝑚 )) × ( 𝑐 0 + 𝑐 1 𝑥 + ⋯ + 𝑐 𝑘 𝑥 𝑘 ) = ((∑ 𝑎 𝑖 𝑥 𝑖 𝑛 𝑖=0 ) × (∑ 𝑏 𝑖 𝑥 𝑚 𝑚 𝑖=0 )) × (∑ 𝑐 𝑖 𝑥 𝑘 𝑘 𝑖=0 ) = [∑ (∑ 𝑎 𝑗 𝑏 𝑖−𝑗 𝑖 𝑗=0 )𝑥 𝑖 𝑛+𝑚 𝑗=0 ] × (∑ 𝑐 𝑖 𝑥 𝑘 𝑘 𝑖=0 ) = ∑ [∑ (∑ 𝑎 𝑝 𝑏 𝑗−𝑝 𝑗 𝑝=0 )𝑐 𝑗 𝑖 𝑗=0 ]𝑥 𝑖 𝑛+𝑚+𝑘 𝑖=0 = ∑ (∑ 𝑎 𝑗 𝑏 𝑝 𝑐 𝑙 𝑗+𝑝+𝑙=𝑖 )𝑥 𝑖 𝑛+𝑚+𝑘 𝑖=0 = ∑ [∑ 𝑎 𝑗 (∑ 𝑏 𝑝 𝑐 𝑖−𝑗−𝑝 𝑖−𝑗 𝑝=0 ) 𝑖 𝑗=0 ]𝑥 𝑖 𝑛+𝑚+𝑘 𝑖=0 = (∑ 𝑎 𝑖 𝑥 𝑖 𝑛 𝑖=0 ) × [∑ (∑ 𝑏 𝑗 𝑐 𝑖−𝑗 𝑖 𝑗=0 ) 𝑚+𝑘 𝑖=0 𝑥 𝑖 ] = (∑ 𝑎 𝑖 𝑥 𝑖 𝑛 𝑖=0 ) × ((∑ 𝑏 𝑖 𝑥 𝑖 𝑚 𝑖=0 ) × (∑ 𝑐 𝑖 𝑥 𝑖 𝑘 𝑖=0 ))
294                                                                                                                                            Suroto
= (𝑎 0 + 𝑎 1 𝑥 + ⋯ + 𝑎 𝑛 𝑥 𝑛 ) × (( 𝑏 0 + 𝑏 1 𝑥 + ⋯ + 𝑏 𝑚 𝑥 𝑚 ) × ( 𝑐 0 + 𝑐 1 𝑥 + ⋯ + 𝑐 𝑘 𝑥 𝑘 ))
Dengan demikian operasi pergandaan bersifat assosiatif di ℝ max [x]
iii. Polinom satuan pada ℝ max [x] didefinisikan sebagai polinomial yang berbentuk
𝑎 0 + 𝑎 1 𝑥 + ⋯ + 𝑎 𝑛 𝑥 𝑛
dengan 𝑎 0 adalah  elemen  satuan  di ℝ max yakni  0  dan 𝑎 𝑖 adalah  elemen  netral pada ℝ max yakni −∞ untuk setiap 𝑖 ≠ 0. Polinom ini merupakan elemen identitas di ℝ max [x] terhadap  operasi  pergandaan.  Dengan  demikian,  eksistensi  elemen satuan pada ℝ max [x] terpenuhi. Untuk selanjutnya, elemen satuan pada ℝ max [x] dinotasikan dengan 1(𝑥) .
Dari  uraian  tersebut  di  atas,  terbukti  bahwa ℝ max [x] dengan  operasi  pergandaan adalah semi grup dengan elemen satuan. ■
Selanjutnya  dari  hasil  yang  diperoleh  pada  Proposisi  2.1  dan  Proposisi  2.2  dapat ditunjukkan  bahwa ℝ max [x] terhadap  operasi  penjumlahan  dan  pergandaan  pada persamaan  (2.1) dan  (2.2)  adalah semi ring, seperti  yang dinyatakan pada  proposisi berikut yang merupakan hasil utama pada paper ini.
Proposisi 2 . 3 (ℝ max [x], +,×) adalah semi ring.
Bukti . Sebelumnya sudah diketahui bahwa ℝ max merupakan semi lapangan, sehingga elemen netral  pada ℝ max merupakan elemen penyerap terhadap operasi  pergandaan, yakni
𝑎 ⊗ −∞ = −∞ ⊗ 𝑎 = −∞
untuk setiap a ∈ ℝ max . Karena −∞ adalah elemen penyerap pada ℝ max , maka untuk setiap polinom 𝑏 0 + 𝑏 1 𝑥 + ⋯ + 𝑏 𝑛 𝑥 𝑛 di ℝ max [x] berlaku
0(𝑥) × ( 𝑏 0 + 𝑏 1 𝑥 + ⋯ + 𝑏 𝑛 𝑥 𝑛 ) = 0(𝑥) × ( 𝑏 0 + 𝑏 1 𝑥 + ⋯ + 𝑏 𝑛 𝑥 𝑛 ) = 0(𝑥) .
Semi Ring Polinom Atas Aljabar Max-Plus                                                                              295
Dengan  demikian,  elemen  netral  pada ℝ max [x] yakni 0(𝑥) merupakan  elemen penyerap terhadap operasi pergandaan. Selanjutnya, untuk setiap polinom
𝑎 0 + 𝑎 1 𝑥 + ⋯ + 𝑎 𝑛 𝑥 𝑛 ,  𝑏 0 + 𝑏 1 𝑥 + ⋯ + 𝑏 𝑚 𝑥 𝑚 ,  𝑐 0 + 𝑐 1 𝑥 + ⋯ + 𝑐 𝑟 𝑥 𝑟
di ℝ max [x] berlaku
[(𝑎 0 + 𝑎 1 𝑥 + ⋯ + 𝑎 𝑛 𝑥 𝑛 ) + ( 𝑏 0 + 𝑏 1 𝑥 + ⋯ + 𝑏 𝑚 𝑥 𝑚 )] × ( 𝑐 0 + 𝑐 1 𝑥 + ⋯ + 𝑐 𝑟 𝑥 𝑟 ) = ((∑ 𝑎 𝑖 𝑥 𝑖 𝑛 𝑖=0 ) + (∑ 𝑏 𝑖 𝑥 𝑖 𝑚 𝑖=0 )) × (∑ 𝑐 𝑖 𝑥 𝑖 𝑟 𝑖=0 ) = (∑ (𝑎 𝑖 ⊕ 𝑏 𝑖 )𝑥 𝑖 𝑘 𝑖=0 ) × (∑ 𝑐 𝑖 𝑥 𝑖 𝑟 𝑖=0 ) = ((∑ 𝑎 𝑖 𝑥 𝑖 𝑛 𝑖=0 ) × (∑ 𝑐 𝑖 𝑥 𝑖 𝑟 𝑖=0 )) + ((∑ 𝑏 𝑖 𝑥 𝑖 𝑚 𝑖=0 ) × (∑ 𝑐 𝑖 𝑥 𝑖 𝑟 𝑖=0 )) = [(𝑎 0 + 𝑎 1 𝑥 + ⋯ + 𝑎 𝑛 𝑥 𝑛 ) × ( 𝑐 0 + 𝑐 1 𝑥 + ⋯ + 𝑐 𝑟 𝑥 𝑟 )] +[(𝑏 0 + 𝑏 1 𝑥 + ⋯ + 𝑏 𝑛 𝑥 𝑛 ) × ( 𝑐 0 + 𝑐 1 𝑥 +   … + 𝑐 𝑟 𝑥 𝑟 )]
Secara analog diperoleh bahwa
( 𝑐 0 + 𝑐 1 𝑥 + ⋯ + 𝑐 𝑟 𝑥 𝑟 ) × [(𝑎 0 + 𝑎 1 𝑥 + ⋯ + 𝑎 𝑛 𝑥 𝑛 ) + ( 𝑏 0 + 𝑏 1 𝑥 + ⋯ + 𝑏 𝑚 𝑥 𝑚 )] = [( 𝑐 0 + 𝑐 1 𝑥 + ⋯ + 𝑐 𝑟 𝑥 𝑟 ) × (𝑎 0 + 𝑎 1 𝑥 + ⋯ + 𝑎 𝑛 𝑥 𝑛 )] +[( 𝑐 0 + 𝑐 1 𝑥 + ⋯ + 𝑐 𝑟 𝑥 𝑟 ) × ( 𝑏 0 + 𝑏 1 𝑥 + ⋯ + 𝑏 𝑚 𝑥 𝑚 )]
Jadi operasi penjumlahan distributif terhadap operasi pergandaan.
Karena (ℝ max [x], +) adalah  semi  grup  komutatif  dengan  elemen  netral, (ℝ max [x],×) adalah  semi  grup  dengan  elemen  satuan,  elemen  netral  pada ℝ max [x] merupakan elemen penyerap terhadap operasi pergandaan, dan operasi penjumlahan distributif terhadap operasi pergandaan, maka terbukti bahwa (ℝ max [x], +,×) adalah semi ring. ■
Untuk  selanjutnya,  semi  ring (ℝ max [x], +,×) ini  dinamakan  semi  ring  polinomial atas aljabar max-plus.
296                                                                                                                                            Suroto

## 3.  KESIMPULAN
Perluasan  kajian  aljabar  max-plus  dapat  dilakukan  pada  kajian  polinom  yang dilakukan dengan cara mendefinisikan polinom dengan koefisiennya adalah elemen- elemen  pada  aljabar  max-plus.  Polinom  yang  dibentuk  ini  selanjutnya  dinamakan sebagai polinom atas aljabar max-plus . Himpunan semua polinom atas aljabar max- plus yang dilengkapi dengan operasi penjumlahan polinomial merupakan semi grup komutatif  dengan  elemen  netral,  sedangkan  dengan  operasi  pergandaan  polinomial merupakan  semi  grup  dengan  elemen  satuan.  Lebih  lanjut,  himpunan  semua polinomial  atas  aljabar  max-plus  ini  merupakan  semi  ring.  Penelitian  lanjut  dapat dilakukan untuk semi modul atas semiring polinomial atas aljabar max-plus.

## 4.  DAFTAR PUSTAKA
Akian, M., Bapat, R., and Gaubert, S. (2006). Max-Plus Algebra . Chapman and Hall Bacelli,  F.,  Cohen,  G.,  Olsder,  G.J.,  and  Quadrat,  J.P.  (2001). Synchronization  and Linearity . An Algebra for Discrete Event Systems . John Wiley & Sons. New York
Farlow,  K.G.  (2009). Max-Plus  Algebra .  Master’s  Thesis.  Virginia  Polytechnic Institute and State University
Fraleigh,  J.B.    (2000). A  First  Course  in  Abstract  Algebra .  Addison-Wesley Publising Company, Inc. New York
Golan,  J.S.  (2005). Some  Recent  Apllications  of  Semiring  Theory .  National  Cheng Kung University, Tainan.
Mora,  W.,  Wasanawichit,  A.  ,  and  Kemprasit,  Y.  (2009). Invertible  Matrices  over Idempotent  Semirings .  Chamchuri  Journal  of  Mathematics,  Vol  1  Number  2, (55-61)
Rudhito,  A.M.,  Wahyuni,  S.  ,  Suparwanto,  A.,  dan  Susilo,  F.  (2008). Matriks  atas Aljabar  Max-Plus  Interval .  Jurnal  Natur  Indonesia  13(2),  Februari  2011  (94- 99)
Semi Ring Polinom Atas Aljabar Max-Plus                                                                              297