Analisis  Dan  Simulasi  Penyakit  Infeksi  Saluran  Pernapasan  Akut  Di  Kabupaten Bulukumba  Dengan  Menggunakan  Model  Susceptible  Exposed  Infectious  Recovered (SEIR)

## Muh. Irwan
Prodi Matematika FST, UIN Alauddin Makassar, muhirwan @uin-alauddin.ac.id

## Try Azisah Nurman
Prodi Matematika FST, UIN Alauddin Makassar,  try.azisah@uin-alauddin.ac.id

## Sitti Muflihah
Prodi Matematika FST, UIN Alauddin Makassar, sittimuflihah@gmail.com

## Hikmawati Pathuddin
Prodi Matematika FST, UIN Alauddin Makassar, hikmawati.pathuddin@uin-alauddin.ac.id.
ABSTRAK ,  Penelitian  ini  membahas  tentang  model Susceptible  Exposed  Infectious  Recovered  (SEIR) penyakit  Infeksi  Saluran  Pernapasan  Akut  (ISPA)  untuk memprediksi laju penyebaran penyakit ISPA di Kabupaten Bulukumba.  Tujuan  dari  penelitian  ini  adalah  untuk mengetahui    model  penyebaran  penyakit  ISPA  dengan menggunakan  SEIR,  untuk  mengetahui  analisis  titik kesetimbangan  dan  kestabilan  dari  model  penyebaran penyakit ISPA dan untuk mengetahui simulasi dari model tersebut.  Berdasarkan  hasil  penelitian  diperoleh  model matematika  SEIR  yang  terdiri  dari  tiga  persamaan differensial yang mempresentasikan laju peningkatan atau penurunan disetiap kelompok indivisu. Dari model tersebut diperoleh  titik  kesetimbangan  bebas  penyakit,  endemik penyakit dan Reproduksi Dasar.
Kata Kunci: Penyakit ISPA, Model SEIR

## 1. PENDAHULUAN
Penyakit  menular  cenderung  mendapat perhatian  lebih  dari  pemerintah  dibandingkan dengan  penyakit  tidak  menular.  Salah  satu penyakit menular yang banyak menyita perhatian dunia termasuk Indonesia adalah Infeksi Saluran Pernapasan  Akut  (ISPA).  Penyakit  ISPA disebabkan  oleh  bakteri,  virus,  jamur  dan  lain- lain (Widoyono, 2008). Secara menyeluruh ISPA masih menjadi penyakit yang menyita perhatian para praktisi kedokteran dan kesehatan masyarakat.  Bahkan    setiap  tahunnya  tercatat bahwa  hampir  4  juta  orang  meninggal  karena ISPA,  dimana  98%  dari  jumlah  tersebut disebabkan  oleh  infeksi        saluran  pernapasan bawah,  dengan  tingkat  kematian  paling  banyak terjadi  pada negara dengan pendapatan  rendah atau menengah.
Pravelensi  ISPA  tahun  2018  di  Sulawesi Selatan  berdasarkan  kelompok  umur  yang
tertinggi adalah balita umur 1-4 tahun dan yang cenderung  lebih  banyak  terinfeksi  berjenis kelamin laki-laki, dengan presentasi 2,04% laki- laki dan 1,67% perempuan. Menurut  Riskesdas Kabupaten  Bulukumba  menempati  posisi    ke-5 dengan  jumlah  penderita  ISPA  tertinggi (RISKESDAS,  2018)  [1].    Olehnya  itu  upaya penanggulangan ISPA telah dilakukan diberbagai  negara  termasuk  Indonesia  dengan mengacu pada program Millenium Developmen Goals  (MDGs)  yang  direkomendasikan  oleh World Health Organization (WHO).
Melihat  banyaknya  penderita  ISPA,  dan telah dilakukan berbagai upaya penanggulangan penyakit  tersebut,  maka  sangat  perlu    untuk mengetahui penyebaran penyakit ini. Salah satu cara  yang  dapat  digunakan  adalah  pemodelan matematika. Model SEIR dapat digunakan untuk mempresentasikan  penyebaran  penyakit  ISPA. Model  SEIR  adalah  perkembangan  dari  model SIR  dengan  tambahan  kompartemen  E.  Model SEIR terdiri dari 4 kompartemen yaitu Individu yang  rentan  (susceptible),  individu  yang bergejala  (exposed),  individu  yang  terinfeksi (infectious)  dan  individu  yang  telah  sembuh (recovered).
Model penyebaran penyakit  telah banyak dibahas,  diantaranya    Analysis  Of  Susceptible, Infected,  Recovered,  Susceptible  (Sirs)  Model For  Spread  Of  The  Acute  Respiratory  Tract Infectious  (ARI)  Disease  [2],  Mathematical Modelling of Seir Type to Controlling Diabetes Mellitus Disease Using Insuling [3]
Analisis Dan Simulasi Penyakit Infeksi Saluran Pernapasan Akut Di Kabupaten Bulukumba Dengan Menggunakan Model Susceptible Exposed Infectious Recovered (SEIR) • 95

## 2. TINJAUANPUSTAKA
Model Epidemik SEIR
Model epidemik pertama kali diperkenalkan oleh Kermack-Mckendrick (1972) yang  pada  umumnya  di  bagi  menjadi  tiga kompartemen,  yang  dilambangkan  dengan 𝑆 ( Susceptible ), 𝐼 ( Infectious )  dan 𝑅 ( Recovered ). Model epidemik kemudian mengalami perkembangan,  salah  satunya  adalah  SEIR dengan  tambahan  kompartemen Exposed yang dilambangkan dengan 𝐸 . Pada umumnya model epidemik diuraikan ke dalam bentuk matematika menggunakan  persamaan  differensial  yang dibangun berdasarkan asumsi.
Berikut adalah bentuk diagram kompartemen model epidemik SEIR.
Gambar 1. Diagram Model Epidemik SEIR
Gambar 1 menunjukkan model epidemik SEIR  tanpa  adanya  kematian.  Dimana 𝐵 adalah  laju  kelahiran, 𝛽 adalah  laju individu  dari susceptible ke exposed , 𝑣 adalah  laju  individu  dari exposed ke infectious , dan 𝛾 adalah laju individu dari infectious ke recovered .

## Sistem Persamaan Differensial
Suatu  persamaan  yang  bergantung  atau saling berhubungan antara satu fungsi variabel terikat  dengan  turunan-turunannya  terhadap satu  atau  lebih  fungsi  variabel  bebas  disebut dengan persamaan differensial. Sistem persamaan  differensial  adalah  kumpulan  dari dua  atau  lebih  persamaan  yang  saling berhubungan.  system  persamaan  linear  dapat dituliskan dalam bentuk sebagai berikut:
𝑥̇ = 𝐴𝑥
(1)
dan  system  persamaan  nonlinear  dapat dinyatakan dalam bentuk:
𝑥̇ = 𝑓(𝑥) (2)
Persamaan  differensial  dapat  dibagi menjadi dua yaitu biasa dan parsial [4].

## Titik Kesetimbangan dan Kestabilan
Titik  kesetimbangan  adalah  solusi  dari suatu  persamaan  yang  tetap  atau  tidak mengalami perubahan sepanjang waktu. Misalkan  terdapat  suatu  system  persamaan differensial yang dinyatakan dalam bentuk:
𝑥̇ = 𝑓(𝑥), 𝑥 ∈ ℝ 𝑛 (3)
maka  titik 𝑥̅ ∈ ℝ 𝑛 dapat  disebut  sebagai  titik kesetimbangan  ( equilibrium )  dari  persamaan (2.11) jika terpenuhi 𝑓(𝑥̅) = 0.
Analisis  kestabilan  berfungsi  untuk mengetahui  kondisi  dari  suatu  penyakit,  agar dapat  dilakukan  tindak  lanjut.  Berikut  teorema untuk mengidentifikasi sifat kestabilan model di sekitar  titik  kesetimbangan  yang  ditinjau  dari nilai eigen.

## Teorema 2
Diberikan  persamaan  differensial 𝑥̇ = 𝐴𝑥 , dengan  A  adalah  matriks  berukuran 𝑛 × 𝑛 , mempunyai nilai eigen yang berbeda 𝜆 1 , … , 𝜆 𝑘 (𝑘 ≤ 𝑛) .
i. Titik kesetimbangan 𝑥̅ = 0 stabil asimtotik jika  dan  hanya  jika 𝑅𝑒𝜆 𝑖 < 0 untuk 𝑖 = 1, … , 𝑘.
ii. Titik  kesetimbangan 𝑥̅ = 0 stabil  jika  dan hanya jika 𝑅𝑒𝜆 𝑖 ≤ 0 untuk 𝑖 = 1, … , 𝑘 dan jika nilai eigen 𝜆 𝑖 imaginer dengan 𝑅𝑒𝜆 𝑖 = 0 , maka multiplisitas aljabar dan geometri untuk nilai eigen harus sama.
iii. Jika  terdapat 𝑅𝑒𝜆 𝑖 > 0 untuk 𝑖 = 1, … , 𝑘 , maka  titik  kesetimbangan 𝑥̅ = 0 tidak stabil [5]

## Bilangan Reproduksi Dasar
Bilangan reproduksi dasar menunjukkan jumlah individu  rentan  yang  tertular  secara  langsung oleh  individu  terinfeksi  yang  masuk  ke  dalam populasi  individu  rentan.  Bilangan  reproduksi dasar  dinotasikan  dengan 𝑅 0 yang  merupakan ukuran potensi penyebaran penyakit.
Ada  beberapa  keadaan  yang  akan  timbul  yaitu; [6] a. Jika 𝑅 0 < 1 , maka penyakit akan hilang b. Jika 𝑅 0 = 1 , maka penyakit akan menetap
c. Jika 𝑅 0 > 1 , maka penyakit akan menjadi pandemi

## Infeksi Saluran Pernapasan Akut (ISPA)
Infeksi saluran pernapasan akut atau ISPA merupakan  penyakit  yang  menyerang  saluran pernapasan  yang  bersifat  akut  dan  memiliki berbagai macam gejala.  Gejala awal dari ISPA adalah  suhu  badan  panas  sekitar  38 ° disertai gejala seperti tenggorokan terasa sakit , nyeri saat menelan, batuk dan sesak napas [7] ISPA  disebabkan  oleh  bakteri  yang  meliputi, Diplococcus pneumoniae, Pneumococcus, Streptococcus pyogenes, Staphylococcus aureus, Haemophilus  influenzae, dan  lai-lain.  Virus meliputi, influenza, adenovirus, dan sitomegalovirus. Jamur meliputi, Aspergilus sp., Candida  albicans,  Histoplasma, dan  lain-lain. Dan  aspirasi  antara  lain,  makanan,  asap kendaraan, BBM (bahan bakar minyak), minyak tanah, cairan amnion pada saat lahir, benda asing seperti biji-bijian, mainan plastic kecil, dan lain- lain [8].

## 3. METODOLOGI
Jenis  penelitian  ini  adalah  penelitian terapan yang digunakan untuk mengkaji penyakit ISPA dengan jenis data adalah sata sekunder dan sumber data adalah Dinas Kesehatan Bulukumba dan  Badan  Pusat  Statistika.  Langkah  pertama adalah membangun model matematika berdasarkan  asumsi-asumsi  yang  berkaitan dengan  model  SEIR  berdasarkan  karakteristik penyakit, kemudian akan terbentuk diagram dan model  matematika  yang  berbentuk  persamaan differensial. Langkah selanjutnya yaitu menentukan titik kesetimbangan bebas penyakit dan  endemic  dari  model  yang  telah  dibentuk sebelumnya,  lalu  menentukan  nilai  reproduksi dasar dan menganalisis kestabilan titik kesetimbangan.  Kemudian melakukan simulasi menggunakan  program  model  SEIR  dari  nilai awal dan nilai parameter.

## 4. PEMBAHASAN

## Membangun model SEIR
Asumsi-asumsi  yang  digunakan  untuk model penyebaran penyakit ISPA, yaitu:
1) Populasi penduduk terbuka.
2) Semua  balita  yang  lahir  diasumsikan masuk ke dalam kelompok Susceptible.
3) Terdapat  kelahiran  dan  kematian  dalam populasi.
4) Penularan penyakit terjadi jika ada kontak langsung  antara  kelompok Susceptible dengan kelompok Infectious .
5)
Apabila dari kelompok Susceptible terdapat  individu  yang  menunjukkan gejala  terjangkit  maka  akan  digolongkan kedalam kelompok Exposed .
6) Kelompok Exposed akan  digolongkan kedalam kelompok Infectious jika individu telah terinfeksi.
7) Kelompok Infectious dapat  menularkan penyakit kepada individu yang lain.
8) Individu  dari  kelompok Infectious yang sembuh  digolongkan  kedalam  kelompok Recovered . 9)
Individu dari kelompok Recovered memiliki  kekebalan  tubuh  sementara  dan dapat  digolongkan  kembali  ke  dalam kelompok Susceptible . 10) Pada Kelompok Infectious terdapat kematian karena penyakit.

## Diagram model SEIR penyakit ISPA
Gambar 2. Diagram Alur Model Penyebaran Penyakit ISPA Berdasarkan  asumsi  dan  gambar  2  maka model matematika yang terbentuk adalah:
𝑑𝑆 𝑑𝑡 = 𝛼 + 𝛾𝑅 − (𝛽𝐼 + 𝜇)𝑆
𝑑𝐸 𝑑𝑡 = 𝛽𝑆𝐼 − (𝛿 + 𝜇)𝐸 𝑑𝐼 𝑑𝑡 = 𝛿𝐸 − (𝜀 + 𝜇 + 𝜔)𝐼 𝑑𝑅 𝑑𝑡 = 𝜀𝐼 − (𝛾 + 𝜇)𝑅
Variabel  dan  parameter  yang  digunakan  adalah sebagai berikut:
Tabel 1. Variabel dan parameter
Variabel Keterangan 𝑺 Jumlah individu yang rentan 𝑬 Jumlah individu yang menunjukkan gejala terjangkit 𝑰 Jumlah  individu  yang  telah terinfeksi 𝑹 Jumlah individu yang sembuh 𝜶 Laju kelahiran 𝜷 Laju  indivu  rentan  menjadi individu expose 𝜹 Laju individu yang terinfeksi 𝜺 Laju kesembuhan 𝝁 Laju kematian alami 𝝎 Laju kematian karena penyakit 𝜸 Laju penurunan kekebalan tubuh setelah sembuh
Analisis  Model  SEIR  untuk  Penyebaran Penyakit ISPA
Titik Kesetimbangan Titik  kesetimbangan  pada  model  SEIR akan  terjadi  pada  saat ( 𝑑𝑆 𝑑𝑡 , 𝑑𝐸 𝑑𝑡 , 𝑑𝐼 𝑑𝑡 , 𝑑𝑅 𝑑𝑡 ) = (0,0,0,0) . Terdapat dua titik kesetimbangan yaitu titik  kesetimbangan  bebas  penyakit  yang dinotasikan  dengan 𝐸 0 dan  titik  kesetimbangan endemic  yang  dinotasikan  dengan 𝐸 1 .  Titik kesetimbangan bebas penyakit diperoleh dengan mengasumsikan 𝐼 = 0 yang  berarti  tidak  ada individu  yang  terinfeksi  dan  menularkan penyakit.  Berdasarkan  persamaan  (1)  diperoleh titik  kesetimbangan  bebas  penyakit 𝐸 0 = (𝑆, 𝐸, 𝐼, 𝑅) = ( 𝛼 𝜇 , 0,0,0) . Untuk mengetahui titik kesetimbangan endemik
𝐸 1 = (𝑠, 𝑒, 𝑖, 𝑟) , diasumsikan 𝑠, 𝑒, 𝑖, 𝑟 ≠ 0. Maka  berdasarkan persamaan (1) diperoleh 𝐸 1 = (𝑠, 𝑒, 𝑖, 𝑟) , dimana 𝑠 = 𝛿𝜇+𝛿𝜔+𝛿𝜀+𝜇 2 +𝜇𝜔+𝜇𝜀 𝛽𝛿 ,
𝑒 = (𝜀+𝜇+𝜔) (𝛿𝛽𝛼−𝛿𝜇 2 −𝛿𝜇𝜔−𝛿𝜇𝜀−𝜇 3 −𝜇 2 𝜔−𝜇 2 𝜀)(𝛾+𝜇) 𝛿𝛽(𝛿𝛾𝜇+𝛿𝜇 2 +𝛿𝛾𝜔+𝛿𝜇𝜔+𝛿𝜇𝜀+𝛾𝜇 2 +𝜇 3 +𝛾𝜇𝜔+𝜇 2 𝜔+𝛾𝜇𝜀+𝜇 2 𝜀) ,
𝑖 = (𝛿𝛽𝛼−𝛿𝜇 2 −𝛿𝜇𝜔−𝛿𝜇𝜀−𝜇 3 −𝜇 2 𝜔−𝜇 2 𝜀)(𝛾+𝜇) 𝛽(𝛿𝛾𝜇+𝛿𝜇 2 +𝛿𝛾𝜔+𝛿𝜇𝜔+𝛿𝜇𝜀+𝛾𝜇 2 +𝜇 3 +𝛾𝜇𝜔+𝜇 2 𝜔+𝛾𝜇𝜀+𝜇 2 𝜀) , 𝑟 = 𝜀(𝛿𝛽𝛼−𝛿𝜇 2 −𝛿𝜇𝜔−𝛿𝜇𝜀−𝜇 3 −𝜇 2 𝜔−𝜇 2 𝜀) 𝛽(𝛿𝛾𝜇+𝛿𝜇 2 +𝛿𝛾𝜔+𝛿𝜇𝜔+𝛿𝜇𝜀+𝛾𝜇 2 +𝜇 3 +𝛾𝜇𝜔+𝜇 2 𝜔+𝛾𝜇𝜀+𝜇 2 𝜀)
Reproduksi Dasar (R 0 )
Reproduksi  dasar  ( 𝑅 0 )  merupakan  ukuran potensi  penyebaran  penyakit.  Dalam  mencari nilai 𝑅 0 dari  penyebaran  penyakit  ISPA menggunakan matrix  next  generation yang berdasar  pada  variabel Exposed dan Infectious . Berdasarkan  persamaan  variabel E dan I diperoleh:
𝐹̅ = [ 0 𝛽𝑆 0 0 ]   dan 𝑉̅ = [ 𝛿 + 𝜇 0 −𝛿 𝜀 + 𝜇 + 𝜔 ]
Maka, 𝐾 ̅ = 𝐹̅𝑉̅ −1
𝐾 ̅ = [ 𝛽𝑆𝛿 (𝛿 + 𝜇)(𝜀 + 𝜇 + 𝜔)
𝛽 𝜀 + 𝜇 + 𝜔 0 0 ]
Nilai  Reproduksi  dasar (𝑅 0 ) adalah  nilai  eigen terbesar  dari 𝐾 ̅ dengan  menggunakan  rumus |𝜆𝐼 − 𝐾 ̅| = 0 ,  sehingga  diperoleh  nilai 𝜆 1 = 𝛽𝑆𝛿 (𝛿+𝜇)(𝜀+𝜇+𝜔) , 𝜆 2 = 0 .
Sehingga  diperoleh  nilai  Reproduksi  Dasar, yaitu: 𝑅 0 = 𝛽𝛼𝛿 𝜇(𝛿+𝜇)(𝜀+𝜇+𝜔)

## Analisis Kestabilan Titik Kesetimbangan
Kestabilan  titik  kesetimbangan  diperoleh dengan  melakukan  pelinearan  persamaan  (1), sehingga  diperoleh  matriks  jacobian  untuk kesetimbangan bebas penyakit.
𝐽(𝐸 0 ) = [ −𝜇 0 − 𝛽𝛼 𝜇 0 −(𝛿 + 𝜇) 𝛽𝛼 𝜇 0 0 𝛿 0 −(𝜀 + 𝜇 + 𝜔) 𝜀 𝛾 0 0 −(𝛾 + 𝜇)
] Untuk mengetahui kestabilan 𝐸 0 dengan langkah mencari  nilai  eigen  dari  matriks 𝐽(𝐸 0 )
menggunakan rumus |𝜆𝐼 − 𝐽(𝐸 0 )| = 0 , diperoleh:
| | [ 𝜆 0 0 0 𝜆 0 0 0 0 0 𝜆 0 0 0 0 𝜆 ] − [ −𝜇 0 − 𝛽𝛼 𝜇 0 −(𝛿 + 𝜇) 𝛽𝛼 𝜇 0 0 𝛿 0 −(𝜀 + 𝜇 + 𝜔) 𝜀 𝛾 0
0 −(𝛾 + 𝜇) ] | | = 0
| | 𝜆 + 𝜇 0 𝛽𝛼 𝜇
0 𝜆 + 𝛿 + 𝜇 − 𝛽𝛼 𝜇 0 0 −𝛿 0 𝜆 + 𝜀 + 𝜇 + 𝜔 −𝜀
−𝛾 0 0 𝜆 + 𝛾 + 𝜇| | = 0
Dengan  menggunkan  metode  ekspansi  kufaktor diperoleh  nilai  eigen 𝜆 1 , 𝜆 2 , 𝜆 3 dan 𝜆 4 bernilai negatife  sehingga  titik  kesetimbangan  bebas penyakit bersifat stabil.
Selanjutnya  menentukan  kestabilan  titik kesetimbangan endemik dengan cara yang sama dengan  titik  kesetimbangan  bebas  penyakit. Sehingga diperoleh polynominal orde empat dan semua nilai eigen bernilai negatif sehingga titik kesetimbangan endemik bersifat stabil.

## Simulasi Model
Nilai  awal  untuk  setiap  variabel  sebagai berikut:
Tabel 2. Nilai Awal Variabel Variabel Nilai Sumber S 0.9906 Dinas Kesehatan E 0.0036 Dinas Kesehatan I 0.00287 Dinas Kesehatan R 0.00281 Data Asumsi
Simulasi  menggunakan  nilai  parameter  sebagai berikut:
Tabel 3. Nilai Parameter Parameter Nilai Sumber 𝜶 0.00276 Dinas Kesehatan 𝜷 0.0187 Dinas Kesehatan 𝝁 0.0012 Badan Pusat Statistika 𝜹 0.0714 Data Asumsi 𝝎 0.00168 Data Asumsi 𝜺 0.0817 Dinas Kesehatan 𝜸 0.0011 Yulita Molliq Rangkuti. 2015
Berdasarkan  nilai  parameter  pada  tabel  3 diperoleh  nilai 𝑅 0 = 0.5 < 1 ,  yang  berarti individu  yang  terinfeksi  ISPA  tidak  akan menularkan ke individu yang lain.
Simulasi model SEIR sebagai berikut:
Gambar 3. Proporsi Populasi Model SEIR Pada  gambar  3  menunjukkan  bahwa  populasi individu  exposed,  terinfeksi  dan  sembuh mendekati  nol,  sedangkan  populasi  individu rentan  mengalami  peningkatan  setiap  tahunnya. Hal  ini  menunjukkan  bahwa  penyakit  ISPA semakin  lama  akan  menuju 𝐸 0 ,  maka  seiring berjalannya waktu individu yang terinfeksi ISPA akan hilang dari populasi.

## 5. KESIMPULAN
Adapun  kesimpulan  dari  hasil  penelitian berdasarkan  rumusan  masalah  yang  telah diuraikan sebelumnya adalah sebagai berikut: 1. Model penyebaran penyakit ISPA menggunakan Model SEIR sebagai berikut:
𝑑𝑆 𝑑𝑡 = 0,00276 + 0,0011𝑅 − (0,0187 𝐼 + 0,0012)𝑆
𝑑𝐸 𝑑𝑡 = 0,0187 𝐼 𝑆 − 0,0726 𝐸 𝑑𝐼 𝑑𝑡 = 0,0714 𝐸 − 0,08458 𝐼
𝑑𝑅 𝑑𝑡 = 0,0817 𝐼 − 0,0023𝑅
2. Diperoleh  titik  kesetimbangan  dari  model penyebaran  penyakit  ISPA  di  kabupaten Bulukumba, sebagai berikut:
a. Titik kesetimbangan bebas penyakit
𝐸 0 = (𝑆, 𝐸, 𝐼, 𝑅) = (2.3,0,0,0)
b. Titik kesetimbangan endemik penyakit
𝐸 1 = (𝑆, 𝐸, 𝐼, 𝑅)
= (4.6, −0.0696, −0.0588, −2.0883) 3. Dari  hasil  simulasi  menunjukkan  bahwa populasi  individu  exposed,  terinfeksi  dan populasi  sembuh  akan  semakin  menurun, sedangkan populasi individu rentan
mengalami peningkatan. Hal ini menunjukkan  bahwa  penyebaran  penyakit
ISPA  semakin  lama  menuju  titik 𝐸 0 ,  maka seiring  berjalannya  waktu  individu  yang terinfeksi ISPA akan hilang dari populasi.

## 6. DAFTAR PUSTAKA
[1]  KEMENKES,  Laporan  Provinsi  Sulawesi Selatan  RISKESDAS.:,  Jakarta:  Badan Penelitian  dan  Pengembangan  Kesehatan., 2018.
[2]  Rangkuti,  M.  Yulita  and  dkk,  "Analysis  of Suscebtible, infected, Recovered,
Susceptible  (SIRS)  Model  For  Spread  Od
Acute  Respiratory  Tract  Infectius  (ARI)
Disease,"  in International  Conference  on Statistics,  Mathematics,  Teaching,  and
Research , 2015.
[3]  Asmaidi, Suryanto and E. Dodi,
"Mathematical  Modeling  of  SEIR  Type  to Controlling Diabetes Mellitus Disease Using Insulin," Inotera,, Vols. Vol.2, No.2. , pp. 9-
17, 2017.
[4]  P.  Lawrence,  Differential  Equations  and Dynamical  Systems  (3rd  Edition),  New York: Springer, 2001.
[5]  G.  Olsder  ,  Mathematical  Systems  Theory (2nd  Edition),  Belanda:  Delft  University Press, 1998.
[6]  Driessche,  P.  ,  Van  den  and  James Watmough,  "Reproduction  Numbers  and Sub-Threshold  Endemic  Equilibria  For Compartmental
Models Of Disease Transmission," ,Mathematical  Bioscience.,
2002.
[7]  Padila  and  D.  ,  Perawatan  Infeksi  Saluran Pernapasan  Akut  (ISPA)  Pada  Balita,  vol. Vol. 01. No. 01., Jurnal Kesmas Asclepius, 2019, pp. 25-34.
[8]  Widoyono,  Penyakit  Tropis  (Epidemiologi, Penularan , Pencegahan, dan Pemberantasannya)  Edisi  Kedua,  Jakarta: Erlangga, 2008.