## DINAMIKA SISTEM MEKANIK NON-HOLONOMIK DENGAN METODE KONEKSI LEVI-CIVITA TERKENDALA BERBASIS KOMPUTASI FISIKA
Melly Ariska 1* , Hamdi Akhsan 1 , Muhammad Muslim 1
1 Program Studi Pendidikan Fisika FKIP Universitas Sriwijaya
* email: mellyariska@fkip.unsri.ac.id

## ABSTRAK
Perhitungan persamaan gerak untuk sistem non holonomik dapat disajikan dengan metode langsung dan efisien untuk sistem Lagrangan yang  tunduk  pada  kendala  tak  holonomik.    Beberapa  kasus  khusus  pada  sistem  mekanik  non  holonomik  masih  memunculkan  Pengali Lagrange atau gaya kendala (𝛾) , sehingga mengalami kesulitan untuk mencari basis yang tersusun atas medan vektor-medan vektor yang dapat melenyapkan forma-forma kendala. Sistem mekanik non holonomik yang diselesaikan pada penelitian ini adalah dinamika Stroller (kereta bayi) yang bergerak kompleks secara translasi sekaligus rotasi. Dinamika stroller dapat digambarkan dengan jelas berupa himpunan persamaan  diferensial.  Persamaan  gerak  stroller  diturunkan  dengan  metode  koneksi  Levi-Civita  terkendala.    Sistem  dengan  kendala  tak holonomik dapat disembunyikan dengan membangun atau memilih koneksi Levi-Civita tertentu. Tujuan disembunyikannya kendala adalah untuk  menghilangkan  pengali  Lagrange  pada  persamaan  gerak.  Penelitian  ini  merupakan  upaya  untuk  lebih  memahami  sistem  dengan kendala  tak  holonomik  dari  sudut  pandang    mekanika  geometrik,  yang  menganalisis  masalah  gerak  secara  geometris.  Penyelesaian persamaan gerak sistem non holonomik diselesaikan dengan bantuan komputasi fisika yaitu menggunakan Maple 18.
Kata kunci: Dinamika Geometrik, Stroller, Pengali Lagrange, Koneksi Levi-Civita

## ABSTRACT
[ Title: Dynamics of Non-Holonomic Mechanical Systems using Levi-Civita Method Based on Computation Physics ] Calculation of motion equations for non-holonomic systems can be presented by direct and efficient methods for Lagrangan systems which are  subject  to  non-holonomic  constraints.  Some  special  cases  in  non-holonomic  mechanical  systems  still  cause  Lagrange  Multiplier  or constraint  force  ( γ ),  so  that  it  is  difficult  to  find  a  base  composed  of  vector  fields  that  can  eliminate  the  constraint  forms.  The  non- holonomic mechanical system that was completed in this study is the dynamics of the Stroller (baby carriage) that moves in translational and rotational complexes. Stroller dynamics can be clearly illustrated as a set of differential equations. The stroller motion equation is derived  by  the  constrained  Levi-Civita  connection  method.  Systems  with  non-holonomic  constraints  can  be  hidden  by  establishing  or selecting certain Levi-Civita connections. The purpose of hiding the obstacle is to eliminate the Lagrange multiplier in the equation of motion.  This  research  is  an  attempt  to  better  understand  the  system  with  non-holonomic  constraints  from  the  viewpoint  of  geometric mechanics, which analyzes the problem of motion geometrically. Solving the equations of motion of a non-holonomic system is solved with the help of physics computing using Maple 18.
Keywords : Geometric dynamics, Stroller, Lagrange Multiplier, Levi-Civita Connection

## PENDAHULUAN
Geometri pada keragaman adalah kurva atau permukaan  licin  atau  objek  yang  serupa  dengan dimensi lebih tinggi (Branicki & Shimomura, 2006; Ueda  et  al.,  2005).  Keragaman  riil  berdimensi 𝑛 merupakan  suatu  ruang  topologis  yang  secara  local homeomorfis  dengan 𝑅 & ,  artinya  setiap  titik  pada keragaman memiliki lingkungam yang mirip dengan suatu  lingkungan  di 𝑅 & (Glad  et  al.,  2007). Keadaan  keragaman  suatu  ruang  bergantung  pada topologi  ruang  tersebut.  Keragaman  dipandang sebagai  ruang  topologis  karena  ada  himpunan
terbuka  yang  akan  digunakan  sebagai  lingkungan (atau domain tata koordinat) (Branicki et al., 2006). Keragaman  dapat  juga  dikatakan  suatu  ruang matematik  dengan  skala  yang  cukup  kecil  yang menyerupai  Ruang  Euclid  dengan  dimensi  tertentu (Bou-Rabee et al., 2004).
Pada  keragaman  diperlukan  lebih  dari  satu tata  koordinat  ke  koordinat  lain  sedemikian  rupa sehingga  semua  tata  koordinat  sama  baiknya  untuk menggambarkan segala sesuatunya seperti pemetaan,  medan  vektor,  diferensial  dan  lainnya (Fowles  &  Cassiday,  2004).  Dengan  demikian
keragaman  dapat  dikatakan  sebagai  suatu  upaya membangun tata koordinat dari suatu ruang berupa kumpulan  titik-titik,  garis-garis  atau  fungsi-fungsi (Domercq et al., 2015).
Keragaman  yang  ditinjau  pada  penelitian ini  adalah  keragaman  konfigurasi  pada  Stroller (kereta  bayi).  Stroller  adalah  contoh  sederhana sistem  gerak  mekanika  geometric  non  holonomik, namun  kajian  mekanikanya  jelas  tidak  sepele. Stroller  adalah  kendaraan  roda  tiga  yang  digunakan oleh BaTiTa untuk berbagai tujuan. Sistem dinamika yang serupa dengan Stroller adalah troli (keranjang belanja),  kereta  bayi  dan  tricycle.    (sepeda  roda tiga). Pendekatan pemodelan yang dilakukan untuk merumuskan sistem gerak Stroller dilakukan dengan pendekatan  sistem  Levi  Civita  terkendala.  Sistem Levi  Civita  merupakan  salah  satu  cara  untuk menyatakan  energi  sistem  dengan  sistemik,  yang digambarkan dengan himpunan persamaan diferensial (Zobova, 2012).
Sistem  mekanika  Stroller  diturunkan dengan menggunakan koneksi Levi-Civita terkendala dengan bantuan komputasi fisika berbasis Maple  18.  Sistem  dengan  kendala  tak  holonomik dapat  disembunyikan  dengan  membangun  atau memilih koneksi Levi-Civita tertentu (Bou-Rabee et al.,  2008).  Tujuan  disembunyikannya  kendala adalah untuk menghilangkan pengali Lagrange pada persamaan  gerak.  Penelitian  ini  merupakan  upaya untuk  lebih  memahami  sistem  dengan  kendala  tak holonomik dari sudut pandang  mekanika geometric (Holm, 2011).
Permasalahan  yang  diselesaikan  dalam penelitian  ini  adalah  bagaimana  gambaran penyelesaian  secara  komputasi  dinamika  gerak sistem  mekanik  dengan  kendala  tak  holonomik dengan  menggunakan  metode  koneksi  Levi-Civita. Paper  ini  meninjau  gerak  Stroller  dengan  energi yang rendah dan hanya bergerak di bidang datar dan kajian yang dilakukan bersifat klasik non-relativistik. Tujuan  penelitian  ini  adalah  untuk  memahami dinamika  sistem  mekanik  dengan  kendala  tak holonomik  berbasis  komputasi  fisika  dan menurunkan  persamaan  gerak  Stroller  yang bergerak  melalui  koneksi Levi-Civita terkendala. Penelitian ini diharapkan dapat dimanfaatkan untuk perancangan  arena  dinamika  Stroller,  untuk memahami  dinamika  sistem  gerak  benda  dengan kendala tak holonomik dan dapat bermanfaat sebagai bahan  rujukan  bidang  robotika  dan  teknologi mekanik.

## METODE
Penelitian ini bersifat kajian teori matematis. Penelitian  ini  dilakukan  dengan  tinjauan  terhadap beberapa pustaka mengenai sistem mekanik dengan kendala  tak  holonomik  pada  kasus  tricycle,  tippe top,  snakeboard  dan roller  racer yang  telah dikembangkan  sebelumnya  serta  perhitungan matematis (M. Ariska et al., 2020b, 2019; Sriyanti et al., 2020). Keragaman yang akan ditinjau adalah keragaman  konfigurasi  pada  Stroller  yang  bergerak di  bidang  datar  dengan  koneksi  Levi-Civita  dengan berbantuan komputasi fisika berbasis Maple 18.

## HASIL DAN PEMBAHASAN
Sistem  dengan  kendala  dan  gaya  luar  dapat digambarkan dengan koneksi Levi-Civita terkendala ( Constraned  Affine  Connection ).  Stroller  merupakan sistem  mekanik  terkendali  dengan  kendala  tak holonomik.  Sementara  secara  umum  sistem mekanik  sederhana  dapat  digambarkan  sebagai berikut  (M.  Ariska  et  al.,  2020a;  Melly  Ariska  et al., 2018; Moffatt & Tokieda, 2008):
1. Suatu  keragaman  berdimensi 𝑛 disebut keragaman konfigurasi dengan sistem koordinat 𝑞 ( , … , 𝑞 & .
2. Tensor  inersia 𝑀 = 𝑀 ./ menggambarkan energi kinetik, kelembaman terhadap koordinat  umum,  dan  menentukan  produk skalar di dalam medan vektor 𝑄 ,
3. Tensor  kovarian  berderajat  satu 𝐹 ( , … , 𝐹 2 menggambarkan gaya luar terkendali.
Dalam  turunan  kovarian  ada  yang  disebut dengan symbol Christoffel
ℾ /4 . : 𝑖, 𝑗, 𝑘 ∈
1, … , 𝑛 tensor  inersia 𝑀 yang  didefinisikan menurut
ℾ /4 . = 1 2 𝑀 =. 𝜕𝑀 =/ 𝜕𝑞 4 + 𝜕𝑀 =4 𝜕𝑞 / − 𝜕𝑀 4/ 𝜕𝑞 = (1)
dengan 𝑀 =. adalah komponen-komponen 𝑀 A( . 𝑀 =. merupakan  tensor  matriks  kontravarian.  dengan indeks  boneka 𝑀 , 𝑀 BB , 𝑀 CC , 𝑀 DD .  Pada bidang  datar  symbol  Christoffel Levi-Civita yang berhubungan  dengan ∇ lenyap, ℾ /4 . = 0 .  Tensor matriks kontravarian menyisakan komponen sebagai berikut,
𝑀 = 1 𝑚𝑎 𝑠𝑖𝑛ℎ K 𝜉 + 𝑠𝑖𝑛 K ,
𝑀 BB = 1 𝑚𝑎 𝑐𝑜𝑠ℎ K 𝜉 + cos , 𝑀 CC = 1 𝐽 𝑀 DD = 1

## 𝐽 S
Sedemikian  rupa  sehingga  simbol  Christoffel  untuk Stroller yang bergerak pada permukaan bidang datar berjumlah  42,  akan  tetapi  hanya  ada  2  simbol Christoffel yang tidak lenyap, yaitu sebagai berikut,
ℾ B B = ℾ B B = − 1 2 tan                     (2)
Persamaan  gerak  untuk  tata  koordinat Stroller berdasarkan persamaan (1) dan (2) adalah
𝑞 4 +   ℾ ./ 4 𝑞 . 𝑞 / = 𝑀 4/ (𝐹 W ) / 𝑢 W 2 WY( (3) dengan (𝐹 W ) / adalah komponen gaya luar sepanjang koordinat 𝚥 , 𝑞 4 +   ℾ ./
4 𝑞 . 𝑞 / merupakan percepatan,  dan 𝑀 4/ adalah  tensor  matriks kontravarian.
Basis Ortogonal untuk kecepatan- kecepatan  pada  Stroller  dengan  kendala  non holonomik  digambarkan  dengan  keragaman,  tensor inersia, gaya masukan, dan himpunan kendala forma berderajat  satu 𝜔 ( , … , 𝜔 ] .  Kumpulan  kecepatan yang  diizinkan  dalam  hal  ini  dinamakan  distribusi kendala.  Pelenyapan  kendala  forma  berderajat  satu 𝜔 ( , … , 𝜔 ] adalah distribusi kecepatan yang dibatasi dalam  kendala  yang  berdimensi 𝑛 − 𝑝 ,  dengan 𝑛 merupakan  dimensi  keragaman  sedangkan 𝑝 adalah jumlah kendala.
Stroller  yang  bergerak  pada  bidang  datar memiliki  vektor  kecepatan  sepanjang  batang (𝑣 ` ) dan  kecepatan  yang  tegak  lurus  terhadap  batang (𝑣 a ) , yakni
𝑣 ` = cos 𝜃 𝜕 𝜕𝑥 + sin 𝜃 𝜕 𝜕𝑦
𝑣 a = − sin 𝜃 𝜕 𝜕𝑥 + cos 𝜃 𝜕 𝜕𝑦 (4)
karena  ada  4  koordinat  dan  2  kendala,  maka dibutuhkan  2  basis.  Himpunan  kecepatan  yang diizinkan  dihasilkan  oleh  medan  vektor.  Medan vektor  untuk  Stroller  yang  bergerak  pada  bidang datar dapat dituliskan dengan,
𝑋 ( = 𝑙 cos 𝜃 𝜕 𝜕𝑥 + 𝑙 sin 𝜃 𝜕 𝜕𝑦 + tan 𝜑 𝜕 𝜕𝜃 = 𝑙𝑣 ` + tan 𝜑 𝜕 𝜕𝜃
𝑋 K = 𝜕
𝜕𝜑
Berdasarkan  persamaan  (3)  dengan 𝑣 . komponen 𝑞 menurut  basis 𝑋 ( , … , 𝑋 &A] , sehingga persamaan kinematika untuk Stroller yang bergerak di bidang datar adalah
𝑞 4 = 𝑞 ( , 𝑞 K , … , 𝑞 & = 𝑥, 𝑦, 𝜃, 𝜑
𝑞 = 𝑥 𝜕 𝜕𝑥 + 𝑦 𝜕 𝜕𝑦 + 𝜃 𝜕 𝜕𝜃 + 𝜑 𝜕 𝜕𝜑 = 𝑣 ( 𝑋 ( + 𝑣 K 𝑋 K 𝑥 − 𝑣 ( 𝑙 cos 𝜃 𝜕 𝜕𝑥 + 𝑦 − 𝑣 ( 𝑙 sin 𝜃 𝜕 𝜕𝑦 + 𝜃 − 𝑣 ( tan 𝜑 𝜕 𝜕𝜃 + 𝜑 − 𝑣 K 𝜕 𝜕𝜑 = 0
Sehingga  diperoleh  laju-laju  koordinat  sebagai berikut :
𝑥 = 𝑣 ( 𝑙 cos 𝜃 𝑦 = 𝑣 ( 𝑙 sin 𝜃 𝜃 = 𝑣 ( 𝑙 tan 𝜑 𝜑 = 𝑣 K
didapatkan  hasil  bahwa  persamaan  kinematika Stroller sebagai berikut,
𝑥 𝑦 𝜃 = 𝑙 cos 𝜃 𝑙 sin 𝜃 tan 𝜑 𝑣
dengan 𝑣 = 𝑣 ( .

## KESIMPULAN
Perhitungan persamaan gerak untuk Stroller dapat disajikan dengan metode langsung dan efisien untuk  sistem  Lagrangan  yang  tunduk  pada  kendala tak  holonomik.  Kendala  dan  gaya  luar  pada  sistem Stroller dapat digambarkan dengan metode koneksi Levi-Civita terkendala.  Oleh  karena  itu,  akan  ada Lagrange  pada  persamaan  gerak  yang  hilang. Persamaan  kinematika Stroller sebagai berikut,
𝑥 𝑦 𝜃 = 𝑙 cos 𝜃 𝑙 sin 𝜃 tan 𝜑 𝑣
dengan 𝑣 = 𝑣 ( .
Berdasarkan  persamaan  tersebut  dapat dijelaskan  bahwa  Stroller  merupakan  contoh sederhana  sistem  gerak  lokomotif  dengan  kendalan non  holonomik  yang  selalu  melibatkan  kecepatan sistem  dan  membatasi  gerakan  sistem  dalam  ruang konfigurasi. Dinamika Stroller digambarkan dengan baik melalui keragaman Riemannan dan objek-objek matematis dengan metode koneksi Levi Civita yang dapat  melenyapkan  kendala  forma  berderajat  satu dan  mendiagonalkan  metrik  inersianya  sehingga sistem tunduk pada kendala tak holonomik dan gaya luar.

## DAFTAR PUSTAKA
Ariska,  M.,  Akhsan,  H.,  &  Muslim,  M.  (2020a).
Dynamic Analysis of Tippe Top on Cylinder’s Inner  Surface  with  and  Without  Friction based  on  Routh  Reduction. Journal  of  Physics:
Conference Series , 1467 (1).
Ariska,  M.,  Akhsan,  H.,  &  Muslim,  M.  (2020b). Potential  energy  of  mechanical  system dynamics  with  nonholonomic  constraints  on the  cylinder  configuration  space. Journal  of Physics: Conference Series , 1480 (1). Ariska,  M.,  Akhsan,  H.,  &  Muslim,  M.  (2019). Utilization  of  physics  computation  based  on maple  in  determining  the  dynamics  of  tippe top. Journal  of  Physics:  Conference  Series , 1166 (1).
Ariska,  Melly,  Akhsan,  H.,  &  Zulherman,  Z. (2018).  Utilization  of  Maple-based  Physics Computation in Determining the Dynamics of Tippe  Top. Jurnal  Penelitian  Fisika  Dan Aplikasinya (JPFA) , 8 (2), 123. Bou-Rabee, N. M., Marsden, J. E., & Romero, L.
A.  (2004).  Tippe  top  inversion  as  a dissipation-induced instability. SIAM Journal on
Applied Dynamical Systems , 3 (3), 352–377. Bou-Rabee, N. M., Marsden, J. E., & Romero, L.
A.  (2008).  Dissipation-induced  heteroclinic orbits in tippe tops. SIAM Review , 50 (2), 325–
344.
Branicki,  M.,  Moffatt,  H.  K.,  &  Shimomura,  Y.
(2006).  Dynamics  of  an  axisymmetric  body spinning  on  a  horizontal  surface.  III. Geometry  of  steady  state  structures  for convex  bodies. Proceedings  of  the  Royal  Society A:  Mathematical,  Physical  and  Engineering Sciences , 462 (2066), 371–390.
Branicki,  M.,  &  Shimomura,  Y.  (2006).  Dynamics of  an  axisymmetric  body  spinning  on  a
horizontal surface. IV. Stability of steady spin states  and  the  “rising  egg”  phenomenon  for convex axisymmetric bodies. Proceedings of the Royal  Society  A:  Mathematical,  Physical  and Engineering Sciences , 462 (2075), 3253–3275.
Domercq,  C.,  Hall,  B.,  Gare,  B.,  Jean,  S.,  Gare, B., & Jean, S. (2015). Hall b (pp. 7–8).
Fowles, G. R., & Cassiday, G. L. (2004). Analytical Mechanics (7th Edition) .
Glad,  S.  T.,  Petersson,  D.,  &  Rauch- Wojciechowski,  S.  (2007).  Phase  space  of rolling  solutions  of  the  tippe  top. Symmetry, Integrability  and  Geometry:  Methods  and Applications (SIGMA) , 3 . Holm,  D.  D.  (2011).  Geometric  Mechanics.  In Geometric Mechanics .
Moffatt,  H.  K.,  &  Tokieda,  T.  (2008).  Celt reversals:  A  prototype  of  chiral  dynamics. Proceedings  of  the  Royal  Society  of  Edinburgh Section A: Mathematics , 138 (2), 361–368. Sriyanti,  I.,  Ariska,  M.,  Cahyati,  N.,  &  Jauhari,  J.
(2020).  Moment  of  inertia  analysis  of  rigid bodies  using  a  smartphone  magnetometer. Physics Education , 55 (1).
Ueda,  T.,  Sasaki,  K.,  &  Watanabe,  S.  (2005). Motion  of  the  tippe  top:  Gyroscopic  balance condition and stability. SIAM Journal on Applied Dynamical Systems , 4 (4), 1159–1194.
Zobova, A. A. (2012). Comments on the Paper by M.C.  Ciocci,  B.  Malengier,  B.  Langerock, and B. Grimonprez “Towards a Prototype of a Spherical  Tippe  Top.” Regular  and  Chaotic Dynamics , 17 (3–4), 367–369.