## Penerapan Metode Beda Hingga pada Model Matematika Aliran Banjir dari Persamaan Saint Venant
Hasan 1* , Tony Yulianto 2 , Rica Amalia 3 , Faisol 4
1,2,3) Jurusan Matematika, Fakultas MIPA,Universitas Islam Madura Jl. PP. Miftahul Ulum Bettet, Pamekasan 69351,  Madura Telp. (0324) 321783 Email: hasannazrul94@gmail.com

## ABSTRAK
Banjir merupakan suatu kejadian yang ditandai dengan naiknya muka air melebihi volume tampung air semisal sungai atau saluran air. Adapun banjir itu sering terjadi salah satunya di Indonesia karena Indonesia merupakan Negara  tropis  dan  beberapa  daerah  pun  juga  air  resapan  sudah  mulai  berkurang.  Dalam  penelitian  ini diselesaikan  dari  model  matematika  aliran  banjir  pada  persamaan  saint  venant  menggunakan  metode  Beda Hingga. Adapun hasil penelitian didapatkan suatu ketidakstabilan banjir yaitu  dengandihasilkannya grafik yang yang terbentuk tidak menuju satu garis   artinya tidak menuju satu titik.
Kata Kunci: Banjir, Kestabilan, Metode Beda Hingga, PDP, Persamaan Kontinuitas.

## 1. PENDAHULUAN
Banjir  merupakan  suatu  kejadian  yang ditandai dengan naiknya muka air melebihi volume tampung air semisal sungai atau saluran air. Banjir dapat  diprediksi  dengan  melihat  fenomena  alam seperti  curah  hujan  yang  tinggi.  Terjadinya  banjir sulit  untuk  diprediksi  apabila  datang  secara  tiba- tiba. Banjir akan mengakibatkan permasalahan dan kerugian  seperti  kerusakan  benda,  alat  elektronik, mesin,  surat-surat  berharga  dan  lain-lain.  Adapun dampak  negatif  dari  banjir  tersebut  dapat menghancurkan  rumah,  gedung,  jembatan,  dan dapat  memutuskan  jalan  alat  tranportasi,  sehingga diperlukan  suatu  prediksi  sebagai  peringatan  dini akan timbulnya banjir (Wardanu, dkk, 2016). Banjir  di  Indonesia  disebabkan  wilayah Indonesia berada di daerah tropis, dengan terjadinya banjir tersebut dipicu oleh curah hujan yang sangat tinggi.  Faktor  lain  yang  menyebabkan  terjadinya banjir  adalah  perubahan  penutup  lahan  di  daerah hulu  seperti  pembukaan  lahan  atau  penebangan pohon  di  daerah  hutan  dan  adanya  perkembangan wilayah  perkotaan  yang  sangat  pesat  (Ambarwati, dkk, 2012). Banjir sering terjadi hampir di seluruh propinsi  di  Indonesia  termasuk  Jawa  Timur, khususnya  Madura.  Satu-satunya  kabupaten  yang rawan  terkena  banjir  di  Madura  adalah  kabupaten
Sampang.  Oleh  karena  itu,  peneliti  tertarik  untuk melakukan penelitian terhadap banjir yang terjadi di daerah kamoning kota Sampang.
Permasalahan banjir yang terjadi setiap tahun di kabupaten Sampang disebabkan jumlah aliran air yang masuk ke kota Sampang sangat besar sehingga terjadi  akumulasi  aliran  air.  Adapun  aliran  air tersebut datangnya dari Kecamatan Karang Penang, Kecamatan  Kedungdung  dan  Kecamatan  Omben yang  sangat  tinggi.  Penyebab  lain  banjir  di  kota Sampang adalah pembuangan sampah dari  orang- orang yang tidak beraturan ke sungai, serta kurang
baiknya  sistem  pengaliran  air  terutama  di  daerah permukiman  perkotaan.  Beberapa  permasalahan tersebut  yang  akhirnya  dapat  memicu  terjadinya banjir di Sampang.
Berdasarkan  permasalahan  tersebut  perlu adanya  penelitian  banjir  di  kabupaten  Sampang, terutama  penelitian  mengenai  simulasi  model banjir.Adapun dalam penelitian ini akan menggunakan metode numerik untuk
menyelesaikan  permasalahan  banjir  yang  ada  di Sampang.  Salah  satu  metode  numerik  yang  dapat digunakan untuk memecahkan persamaan differensial  seperti  pada  persamaan  Saint  Venant adalah  metode  beda  hingga  ( Finite  Difference Method ). Metode beda hingga lebih mudah dari segi pemrograman dengan komputer dan konsepnyapun tidak  sulit  untuk  dipahami.  Oleh  karena  itu  pada penelitian ini akan diterapkan metode beda hingga untuk  menyelesaikan  persamaan  kontinuitas  dari persamaan Saint Venant.

## 2. BAHAN DAN METODE
2.1 Bahan
Dalam  penelitian  ini  menggunakan  windows  10 dan  software  pendukung  komputasi  yaitu  Matlab R2013a, jaringan wifi dan koneksi internet .

## 2.2 Metode
Pada subbab ini akan dijelaskan tentang metode yang  digunakan  dalam  penelitian  yang  disertai dengan  pustaka  yang  mendasari  teori  dalam penelitian  ini,  seperti  penelitian  sebelumnya, pengertian  banjir,  persamaan  Saint  Venant  dan Metode  Beda  Hingga.  Adapun  untuk  langkah- langkah  dalam  penelitian  ini  dapat  dilihat  pada Gambar 1.
Gambar 1 Flowchart Penelitian

## 2.3 Penelitian Sebelumnya
Adapun penelitian lainnya mengenai metode beda hingga  dilakukan  oleh Ednawati (2012), yang berjudul  “  Simulasi  Perencangan  Bejana  Tekan Dengan  Menggunakan  Metode  Beda  Hingga”  pada penelitian  tersebut  peneliti  menggunakan center difference dan forward difference, penggunaan center difference memeberikan nilai galat relatif yang lebih baik dibandingkan dengan forward difference .

## 2.4 Banjir
Banjir merupakan peristiwa dengan daratan yang biasanya  kering  (bukan  daerah  rawan)  menjadi tergenang  oleh  air,  hal  ini  disebabkan  oleh  curah hujan  yang  tinggi  dan  kondisi  topografi  wilayah berupa  daratan  rendah  hingga  cekung.  Selain  itu, terjadinya banjir juga dapat disebabkan oleh limpasan air  permukaan  ( runoff )    yang  meluap  volumenya melebihi  kapasitas  pengaliran  sistem  pengaliran  air atau sistem aliran sungai.
2.5 Persamaan Saint Venant Persamaan Saint Venant merupakan persamaan  differensial  parsial  berorde  satu  dengan variabel  bebasnya  yaitu    dan    serta  variabel  tak bebasnya  yaitu ℎ (kedalaman  air)  dan    (debit  air) untuk  setiap  titik  di  aliran  sungai.  Persamaan  ini pertama  kali  ditemukan  oleh  Barre  de  Saint  Venant pada  Tahun  1871  untuk  penelusuran  dinamis. Persamaan  ini  tersusun  oleh  dua  persamaan  dasar yaitu persamaan keseimbangan massa yang mengikuti  hukum  kekekalan  massa  dan  persamaan keseimbangan  momentum  yang  mengikuti  hukum kekekalan momentum yang diperoleh dari Hukum II Newton.

## 2.5.1 Asumsi-asumsi Persamaan Saint Venant
Karena  Persamaan  Saint  Venant  dapat digunakan  pada aliran tak langgeng  dandapat  juga memodelkan  saluran  terbuka  seperti  sungai,  maka asumsi-asumsi  yang  digunakan  dalam  Persamaan Saint Venant yaitu:
1. Aliran satu dimensi.
2. Panjang  sungai  yang  dipengaruhi  oleh gelombang  banjir  umumnya  lebih  besar  dari kedalamn air.
3. Percepatan  vertikal  diabaikan  dan  distribusi tekanan gelombang adalah tekanan hidrostatik.
4. Densitas atau kerapatan massa air konstan.
5. Dasar  dan  dinding  saluran  ditentukan  tidak berubah-ubah untuk mempermudah pengamatan.
6. Kemiringan dasar saluran relatif kecil.
2.5.2 Parameter- parameter pada Persamaan Saint Venant
Parameter-parameter  yang  digunakan  pada Persamaan Saint Venant dapat dilihat pada Tabel 1 berikut.
Tabel 1 Parameter-parameter pada Persamaan
Saint Venant
Menentukan Persamaan Differencial Parsial yang akan di selesaikan Menerapkan Metode Beda Hingga pada Persamaan Kontinuitas 1. Mengubah PDP ke persamaan numerik dengan menggunakan metode beda hingga.
2. Menentukan konvergensi dan kestabilan dari model kontinuitas pada Saint Venant untuk memperoleh penyelesaian yang mendekati hasil riilnya.
Simulasi Model menggunakan Software Matlab Mulai Selesai Studi Literatur Penarikan Kesimpulan

## 2.5.3 Parameter- parameter pada Persamaan Saint Venant
Persamaan Saint Venant yang terdiri dari dua persamaan  dasar  yaitu  persamaan  keseimbangan massa  dan  persamaan  keseimbangan  momentum, penurunannya  dapat  dilakukan  secara  geometris. Berikut  langkah-langkah  penurunan  Persamaan Saint Venant.
1. Persamaan Keseimbangan Massa Penurunan persamaan keseimbangan massa  mengikuti  hokum  kekekalan  massa yaitu  laju  perubahan  massa  fluida  persatuan waktu  sama  dengan  laju  bersih  dari  massa fluida  tersebut.  Penjelasan  tersebut  dapat dilihat pada Gambar 2.4 berikut.

## Gambar 2 Keseimbangan Aliran Massa Fluida
Gambar  2  merupakan  gambar  yang menjelaskan  dua  hal  yaitu  perubahan  massa fulida yang masuk ke dalam daerah sepanjang ∆ dengan  lebar ∆ pada  waktu ∆ mengakibatkan perubahan ketinggian permukaan fluida dan perubahan massa fluida yang masuk pada waktu ∆ sama dengan nilai rata-rata aliran massa  yang masuk dan keluar pada  daerah  sepanjang ∆ dengan  lebar ∆ . Perubahan massa fuida yang masuk dikurangi dengan massa fluida yang keluar sama dengan perubahan ketinggian permukaan fluida dapat dinyatakan sebagai berikut.
ℎ∆ ∆ −
ℎ + ∆ ∆ ∆ = − ∆ ∆ ∆ (1)
Jika    dianggap  konstan  pada  persamaan
(1), maka diperoleh ℎ∆ ∆ − ∆ ∆ ∆ − ℎ∆ ∆ = − ∆ ∆ ∆ (2) Perubahan massa fluida yang masuk dalam waktu ∆ sama  dengan  nilai  rata-rata  aliran massa  yang  masuk  dan  keluar  pada  daerah sepanjang ∆ dengan lebar ∆ atau perubahan ini  merupakan  laju  bersih  dari  aliran  fluida dapat dinyatakan sebagai berikut: ℎ + ∆ ∆ ∆ − ℎ ∆ ∆ = ∆ ∆ ∆ (3) Karena dianggap  konstan,  maka persamaan  (3)  dapat  berbentuk  sebagai berikut: ℎ ∆ ∆ + ∆ ∆ ∆ − ℎ ∆ ∆ = ∆ ∆ ∆ (4)
Jika  mengikuti  hokum  kekekalan  massa, maka persamaan (2) dan persamaan (4) dapat dibentuk sebagai berikut: − ∆ ∆ ∆ = ∆ ∆ ∆ (5)
Jika ruas  kanan pada persamaan (5) dipindahkan ke  ruas  kiri  dan  dibuat  sama  dengan  nol,  maka diperoleh
− ∆ ∆ ∆ + ∆ ∆ ∆ = 0, (6) Jika persamaan (6) dikalikan  dengan (-1), maka diperoleh ∆ ∆ ∆ + ∆ ∆ ∆ = 0 (7)
Persamaan  (7)  menyatakan  perubahan massa  fluida  dalam  keadaan  seimbang.  Jika persamaan  (7)  dibagi  dengan ∆ ∆ ∆ ,  maka diperoleh + = 0 (8)
Persamaan  (8)  merupakan  persamaan  yang diturunkan  dengan  melihat  perubahan  massa  fluida secara  horizontal  tanpa  melihat  bentuk  penampang melintang  dari  aliran  sungai.  Sehingga  selanjutnya akan  dibahas  persamaan  (8)  dengan  melihat  bentuk penampang  melintang  aliran  sungai.  Perhatikan Gambar 2.5 berikut.
Gambar 3 Penampang Melintang Sungai
Misalkan  penampang  melintang  aliran sungai  berbentuk  seperti  pada  Gambar  3. Gambar  tersebut  diperoleh  dengan  melihat aliran  dalam  arah    atau  dalam  arah  lebar. Sehingga  luas  tampang  basah  aliran  (liat daerah  selebar )  dapat  diperoleh  dengan menggunakan persamaan integral berikut:
= ℎ
Misalkan kedalaman rata-rata air terhadap lebar permukaan aliran ( ) adalah
ℎ = = 1 ℎ Dengan
ℎ :Kedalaman  rata-rata  arah  lebar sungai ( )
: Luas tampang basah ( )
: Lebar permukaan air ( ) . ℎ :  Kedalaman  air  pada  suatu  titik dan suatu waktu sepanjang ( ).
Jika ℎ pada  persamaan  (8)  disubstitusi dengan ℎ dan diintegralkan terhadap , maka diperoleh ∫ ( + ) = 0 (9)
Jika  ruas  kiri  pada  persamaan  (9)  menggunakan teorema (3) dan (4), maka diperoleh
ℎ ∫ + ℎ ∫ = 0 (10) Misalkan, = ∫ , maka ∫ = (11)
Jika  persamaan  (11)  disubstitusi  ke persamaan (10), maka diperoleh ℎ + ℎ = 0 (12)
Karena  perubahan ℎ bergantung  pada  waktu ( ) dan ℎ = ,  maka  persamaan  (12)  dapat diperoleh sebagai berikut:
+ = 0 (13) Jika = ℎ + , maka ℎ = − . Karena ℎ = − ,  maka  persamaan (13) dapat ditulis sebagai berikut:
( ) + = 0 (14) Jika ( ) =
− dan  disubstitusikan  ke persamaan (14), maka diperoleh
− + = 0 (15)
Berdasarkan  asumsi  bahwa  dasar  dan dinding  saluran  ditentukan  tidak  berubah- ubah,  maka  dapat  dianggap
= 0. Jika disubstitusi  ke  persamaan  (15),  maka diperoleh
+ = 0 (16)
Jika  dianggap  permukaan  air  sama  dengan permukaan aliran atau = , maka persamaan (16) dapat ditulis sebagai berikut.
+ = 0 (17) Dengan : lebar permukaan aliran ( )
: ketinggian permukaan aliran ( )
: debit aliran ( / ) Persamaan (17) disebut persamaan keseimbangan massa.

## 2.6 Metode Beda Hingga
Metode  beda  hingga  adalah  metode  numerik yang  umum  digunakan  untuk  menyelesaikan persoalan teknis dan problem matematis dari suatu gejala fisis.
Prinsipnya  adalah  mengganti  turunan  yang ada pada persamaan differensial dengan diskritisasi beda hingga berdasarkan deret Taylor. Secara fisis, deret  Taylor  dapat  diartikan  sebagai  besaran tinjauan  pada  suatu  ruang  dan  waktu  (ruang  dan waktu  tinjauan)  dapat  dihitung  dari  besaran  itu sendiri  pada  ruang  dan  waktu  tertentu  yang mempunyai perbedaan yang kecil dengan ruang dan waktu tinjauan (Rohemah, 2015).
Andai   dan semua turunannya , , , . . .  ,  di  dalam  selang [ , ] .  Misalkan ∈   [ , ] , maka nilai   di sekitar dan ∈   [ , ] , ( ) dapat diekpansi ke dalam deret taylor:
( ) = ( ) + ( ) ! ( ) + ( ) ! ( )+. . . + ( ) ! ( )+.. (20) Jika − = ℎ , maka ( ) dapat dilihat pada persamaan sebagai berikut:
( ) = ( ) + ! ( ) +
! ( )+ .  .  . + ( ) ! ( ) + .  .  . (21)
Beberapa macam skema differensi hingga akan dijelaskan sebagai berikut:
1. Skema Maju
Dengan menggunakan tiga ruas suku pertama dari ruas kanan deret Taylor pada persamaan (20) diperoleh:
( ) ( ) = ( + ∆ ) − ( ) ∆ − ∆ 2! ( ) ( ) = ( + ∆ ) − ( ) ∆ − ∆ 2! ( ) ( ) = ( ∆ ) ( ) ∆ (22)
Dari  persamaan  (22),  maka  skema  maju disebut  mempunyai  kesalahan  derajat  satu  atau (∆ ) . Seperti yang ditunjukkan skema maju dengan menggunakan kisi beda hingga, maka skema maju:
a. Beda hingga terhadap ruang:
= ∆ atau
= ∆
Dengan ∆ =
− b. Beda hingga terhadap waktu dapat digunakan salah satu dari diskritisasi di bawah ini:
= ∆ atau = ∆ Dengan ∆ = −
2. Skema Mundur
Dengan  menggunakan  tiga  ruas  suku  pertama dari  ruas  kanan  deret  Taylor,  persamaan  (20) diperoleh:
( − ∆ ) = ( ) − (∆ ) 1! ( ) ( ) + (∆ ) 2! ( ) ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ∆ ) ∆ − ∆ ! ( ) ( ) = ( ) − ( + ∆ ) ∆ − ∆ 2! ( ) ( ) = ( ) ( ) ∆ (23)
Pada skema maju informasi pada titik hitung dihubungkan dengan informasi pada titik hitung − 1 yang  berada  di  depannya  seperti  di  jelaskan dengan skema mundur.
Seperti  yang  ditunjukkan  skema  dengan menggunakan  kisi  beda  hingga,  maka  skema mundur dapat dilihat pada i:
a. Beda hingga terhadap ruang:
= ∆ atau = ∆
Dengan ∆ = − b. Sedangkan beda hingga terhadap waktu:
=
∆ atau
= ∆
3. Skema Tengah Jika deret Taylor dari persamaan (22) dikurangi dengan deret Taylor dari persamaan (23) akan didapat skema tengah.
Seperti yang ditunjukkan skema tengah dengan menggunakan kisi beda hingga maka skema tengah.
a. Beda hingga terhadap ruang:
= ∆ atau = ∆ = = ∆ = ∆ ∆ ∆ = (∆ )
= − 2 +
(∆ )
Atau untuk menjadi = (∆ )
b. Beda hingga terhadap waktu:
= ∆ , = ∆ atau = ∆ Dengan ∆ = −

## 4. Skema Loncat-Katak (Leap-Frog)
Metode Leapfrog merupakan  salah  satu  metode beda hingga yang menggunakan metode beda hingga tengah.
Seperti  yang  ditunjukkan  skema  di  atas  dengan mengguknakan  kisi  beda  hingga  maka  skema leapfrog dapat ditulis sebagai berikut: a. Beda hingga terhadap ruang:
= −
2∆
b. Beda hingga terhadap waktu:
= − 2∆ 5. Skema Dufort-Frankel
Dengan  menggunakan  kisi  beda  hingga  maka skema Dufort - Frankel dapat ditulis sebagai di bawah ini:
a. Beda hingga terhadap ruang:
= (∆ )
b. Beda hingga terhadap waktu:
= ∆
6. Skema Crank-Nicolson
Skema ini menggunaka teknik pembobotan untuk diskritisasi  waktu  sekarang ( ) dan  diskritisasi waktu  yang  akan  datang ( ) dengan  cara  yang lebih fleksibel yaitu  dengan  menggunakan  faktor pemberat waktu.
a. Beda hingga terhadap ruang:
= è − 2 + (∆ )è
+ (1 − è) − 2 + (∆ )
Dengan 0 ≤ è ≥ 1 adalah faktor pemberat waktu.
b. Beda hingga terhadap waktu:
= −

## 3. ANALISIS HASIL DAN PEMBAHASAN
Dalam  metode  ini,  langkah  pertama  adalah Mengubah PDP ke persamaan numerik dengan MBH. Metode  beda  hingga  adalah  metode  numerik  yang umum  digunakan  untuk  menyelesaikan  persoalan teknis  dan  problem matematis dari suatu  gejala fisis dan mempunyai beberapa skema salah satunya yaitu
skema tengah dengan rumus seperti pada persamaan (24).
= +1 − −1 2∆ (24) Dari persamaan (24) dirubah dengan mensubstitusikan persamaan (24) sehingga terbentuk persamaan (25) sebagai berikut: , , ∆ + , , ∆ = 0 (25) Persamaan      dan , , ∆
pada  persamaan  (25) dipindah ke ruas kanan akan menjadi persamaan (26) berikut:
, , ∆ = − , , ∆ (26)
Persamaan ∆ dan − pada  persamaan  (26) dipindah ke ruas kanan akan menjadi persamaan (4.5) beriukt:
∆ −
, , ∆ = , − , (27)
Persamaan , pada persamaan (27) dipindah ke ruas kiri akan menjadi persamaan (28) beriukt:
, = , − ∆ , , ∆ (28)
Jika  persamaan  (27)  diberikan  nilai B = 20, ∆ = 5, ∆ = 300 dan jika , = 1 , maka nilainya kurang dari satu, maka persamaan (27) menjadi:
j = 1, i = 1, B = 20, ∆ = 5, ∆ = 300
, = , − ∆ , − , 2∆ , = , −   ∆ , − , 2∆ , = 150 − 5  20 400 2.300
, = 145 − 66.667
, = 83.333
Langkah yang kedua adalah Menentukan konvergensi dari persamaan kontinuitas aliran banjir untuk  memperoleh  penyelesaian  yang  mendekati hasil riilnya.
Untuk  mencari  konvergensi  dan  kestabilan metode  beda  hingga  tengah  diambil  dari  persamaan (4.6) kemudian ditentukan nilai dari ∆ .
Syarat  konvergensi  dan  kestabilan  metode  beda hingga tengah adalah
= ∆ ∆ ≤ 1 .
Jadi dari persamaan (28) dapat dicari konvergensi dengan cara:
, = , − ∆
, − , 2∆
, = , − ∆ 2∆ , − ,
Untuk  syarat  konvergen  jika  nilai < 1 . Dengan = ∆ ∆ , diperoleh: 2∆ ∆ ≤ 1
2∆ ≤ ∆ ∆   ≥ 2∆ ∆   ≥ 300   2 ∆ = 600
Dari  hasil  perhitungan  diatas  dapat  disimpulkan bahwa tidak  konvergen dan tidak stabil  karena  nilai > 1 . Dapat dikatakan stabil jika konvergensi.
Berikut ini hasil simulasi penerapan metode beda hingga pada model matematikabanjir dari persamaan saint  venantmenggunakan software matlab  R2013a yang dapat dilihat pada Gambar 4.
Gambar 4 Hasil Simulasi Penerapan Metode Beda Hingga Pada Model Matematika Aliran Banjir Dari Persamaan Saint Venant
Pada  gambar  4  menunjukkan  bahwa  terjadi penurunan  secara  terus  menerus,  dan  grafik  yang dihasilkan stabil karena menuju satu titik namun tidak konvergen karena garis yang terbentuk tidak menuju satu garis  .

## 4. KESIMPULAN
Dari  hasil  pembahasanPenerapan  Metode  Beda Hingga  Pada  Model  Matematika  Banjir  Dari Persamaan  Saint  Venant  menghasilkan  grafik  yang turun  secara  terus  menerus  sehingga  hal  itu  dapat disimpulkan  bahwa  tidak  terjadi  banjir  karena  debit air  yang  semakin  kecil.  Serta  grafik  yang  terbentuk stabil  karena  menuju  satu  titik  namun  tidak konvergen karena garis yang terbentuk tidak menuju satu garis  .
Untuk penelitian selanjutnya dapat dikembangkan dengan  menggunakan  metode  yang  sama  untuk diterapkan  pada  permasalahan  yang  berbeda,  serta permasalahan  yang  sama  juga  dapat  diteliti  dengan menggunakan  metode  yang  berbeda  seperti  sistem dinamik, metode Runge Kutta dan lain sebagainya.

## DAFTAR PUSTAKA
Alatas, D. H. (2012). FIsika Matematka. Bogor.
Ambarwati, dkk. (2012). Model Simulasi Banjir Menggunakan Data Pengindraan Jauh, Studi Kasus Kabupaten Sampang Dengan Menggunakan Metode Gridded Surface Subsurface Hydrologic Analysis. Penginderaan Jauh , 91.
Chapra, S., & Canale, R. (1994). Metode Numerik.
Jakarta: Erlangga.
Djoko, dkk. (2014). Model matematika. Teknik sipil, bahan kuliah hidraulika komputasi , 13-14.
Iswanto, R. J. (2012). Pemodelan matematika . Yogyakarta: Graha ilmu.
Mailinda, dkk. (2013). Penentuan kerentanan potensi banjir dengan logoka fazzy tsukamoto. Mata kuliah logika fazzy , 5.
Munir, R. (2010). metode numerik . bandung: informatika.
Safitri, L. (2016). Aplikasi Metode Adams Bashforth-Moulton(Abm) Pada Model Penyakit Kanker. Dalam Skripsi (hal. 25- 26). Pamekasan: Universitas Islam Madura.
Triatmodjo, B. (2002). Metode numerik. Yogyakarta: 2012.
Wardanu, dkk. (2016). Penelusuran banjir dengan metode numerik daerah aliran sungai ngunggahan wonogiri. Jurnal matriks teknik sipil , 577.
Wyrasti, d. (2012). Penurunan persamaan Saint Venant secara geometris. Penurunan persamaan saint venant , 182.