## BERBAGAI  MODEL FUNGSI PRODUKSI
Oleh : Merry Marianti  Dra., MSi.l

## PENGERTIAN FUNGSI PRODUKSI
Yang dimaksud dengan fungsi  produksi yaitu suatu fungsi yang menggambarkan hubungan antara Output (hasil produksi) sebagai peubah (variabel) tak bebas dengan input- inputnya  (faktor  produksi) sebagai  peubah bebas. Apabila bentuk  fungsinya  telah diketahui atau telah  diestimasi, maka kita dapat meramalkan  besamya  output apabila  input-inputnya berubah. Juga kita dapat mengetahui  besamya  peran  masing-masing  input  dalam pertumbuhan ataupun peningkatan  output. Fungsi  produksi ini dapat digunakan  untuk  level  perusahaan,  level industri ataupun level nasional  (aggregat  output).

## JENISJENIS FUNGSI PRODUKSI

## I. FUNGSI PRODUKSI  NEO KLASIK
Fungsi  produksi dalam teori perusahaan tradisional  menggambarkan  Output  (Q) sebagai fungsidari dua input yaitu Modal (K) dan Tenaga Keria (L).  Modelnya  adalah: Q= Q(K,  L) Variabel Q, K clan L adalah variabel  aliran. Jadi  persamaan  (1) di atas menunjukkan suatu aliran output  sebagai fungsi dari dua faktor input.  Semua  variabel  diasumsikan  bersifat  kontinyu dan infinitely divisible.Input-input  diasumsikan dapat disubstitusikan secara kontinyu pada semua level produksi, oleh karena itu suatu  output dapat diproduksi dengan berbagai alternatif  kombinasi input (Leighton,1988:208) Jadi, permasalahan dalam model ini adalah menentukan  kombinasi input untuk memplpduksi  sejumlah output tertentu pada  biaya yang minimum. Fungsi ploduksi  inidiasumsikan  sedemikian rupa sehingga Produk Marjinal Modal (AO/aK) dan Produk Marginal Tenaga Kerja (dQ/EL) selalu  positive tetapi  semakin  mengecil (diminishing). Haliniterkenal dengan sebutan Hukum Produktivitas Mafiinal yang semakin berkurang/mengecil (Law of Diminishing Marginal Productivity).  (Leighton, 1 988:209) Sebagaicontoh yaitu: 1) Jika input modal tetap, dan input tenaga kerja ditambah,  output akan bertambah,  tetapi pertambahannya semakin mengecil.
MP. = Ao/AL  = fr- (K,L)
2) Jika input tenaga kerja tetap dan input modal  ditambah, output akan bertambah,  tetapi pertambahannya semakin mengecil.

## ' Penulis adalah  staf pengajar  tetap  pada Fakultas Ekonomi  Unpar,
MP6 = AQIAK = fx (K,Lo)
Pada Fungsi Produksi  Neo Klasik dikenal is{ilah lsoquant. lsoquant adalah  suatu kurva yang  menggambarkan  berbagai kemungkinan  kombinasi input untuk menghasilkan sejumlah output tertentu.  Misalkan untuk menghasilkan output sebesar 100 unit dapat digunakan  kombinasi input dengan altematif:
o 1. Ll, Kl 3 2.12,1<2 3.13, K3 Dst. t<2 K1 Q=300 unit Q = 200 unit
Q = 100 unit
L3 L2 L1
.. Ke_miringan kurva.isoquant  yang negatif disebut Marginal Rate of Substitution  ffrngkat substitusi  Marginal). Totat diferensial dari tungsi prnduksi  ini yaitu: tlQ = dQ/dK dK + 6qy6g dL = 0 (dQ  = 0 karena  berada  peda  isoquant yang sama, berarti e tetap /$dak berubah). Jadi : MRS= -dK=AQ/aL =Mpu dL aQId< MPx Marginal Rete of Substitution (MRS)  berguna untuk mengukur sejauh mana dapat dilakukan substitusi antara suatu faktor produksi dengan faktor produksi liinnya dalam memproduksi seiumlah  outputtertentu._MRS tergantung pada satuan ukuran  K dan L yang digunakan. Suatu ukuraq !,ain yalg tidak  teryantung pacla ukuran yarE iigunafin yaitu Etastisitas Subsitusi (Ihe Elastislty of.-Stlbstilution). Elastisiias  Subs*itusi merupitan proporsi perubahan rasio Modal dan Tenaga Kerja dibagi proporsi  perubahan rasio [iRS. giasi,isitas Substitusi dinyatakan  dengan o. o = d0(/L) ,/o runsl IVL / MRS
2. FUNGgt pRolxrKst coBB DoucLAIr (CDPF) ^ . . funggi ptoduksi yang.!?ryak dlgunakan  datam  penelitian emgrik adatah  Fungsi  produksi Cobb'Douglas. Pade tahun 192E peneliti  Douglas bekerja sama dengan koleganya yang  nemama th$es Cobb (seorarU ahli  Matematika terapan) memprutitasikan h-asit pen6ritiinnya diAmerika serikat la menggunakan  data tahunan periode *aktu lbgg - 1922. Penelitiannya menggunakan model fungsi produksi : Q = Alf LF
..........(z)
Parameter  Fungsi Ptoduksi CobbDouglas  merupakan Elasilisitas output teriadap masirgr masing  inputnya  (diasumsikan  konstan dan nilainya antara 0 dan  l).Fungsi prorluksi cobb Douglas  mempunyai  asumsi bahwa jumlah paramCtemya  sama dengan satu, yaitu a + F = 1
sehingga fungsi produksi ini merupakan  Fungsi  Produksi  Homogen  berderajat  satu atau Homogen Linier. Bukti : Jikacr+9=lpakap=1-c, JadiQ = AK*Lra Jika input  diperbesar  sehingga  menjadi t x input  semula,  maka  output juga menjadi t x output  semula.
Q (tK, tL) = 4 (tCI" (tql- " =At"K"11-c11-tr = t (AK" L1-') = t Q(K,L) Ciri khas Fungsi  Produksi  Cobb'Douglas yaitu Parameter c dan g yang merupakan elastisitas  output  terhadap  masing-masi ng i n putnya denifat konsta n.
Jika Fungsi Prcduksi CobbDouglass  dimasukken delam model profit Maximum atau cost Minimum akan menghasilkan Elastisitassubstitusi yang konstan dan nilainya selalu same dengan satu (o = 1).(Leighton,1988:213) Dalam bentuk  log-fog  Fungsi produksi  CobbDouglas  menjadi: lnQ= InA+c,lnK+ p tn L ................(3)
jika cx,+F=l maka F=1-a maka In Q = InA+ a In K+ (1_  a,) In L In Q = InA+ a In K-c, InL+ ln L In Q - In L = fnA +oc (ln K- In L) In GyL = In A + c In K/L ........... ..................(4) Persamaari di atas menghubungkan produktivitas tenaga kqrj.q iata-rata (OA) dengan rasio modal - tenaga keria (t(rl.).
. Sepertitelah  dikemukakan, Fungsi produksiGQbtr$dughs  mempunyaiasumsia  + F = 1. Jikatidakctiasumsikancr+F= 1 maka : .. Q(tK,tL)=n'Lt"Uty 'i :i",;ri;
={1411c+f19 , i . i.
= 1(c+P; AK*P 'r  "":': ',''': t("'P)e(K,L)':, '''' .,,.''
Jadi  bila a, + F > 1 malca kita  akan  mendapatkan  hasil yang prp{at tnogasing  Betum  to Scale, sedangkan  bila a + p : 1 $" akan mendapatkan hasiryang  uersfat  oecrearslrg:Ren*n to,$care. Fungsi  Produksi  diasumsikan  membentuk  iso{yant  yang clrnvex,to,tfie'6rigin'(J*31rng tefiadaptitik pusa0-  Datam  kasus  2 dimensifungsi  proiuksi  icaierr  strictryiconcave" jika : f11 < 0 dan fzz < 0
= frtzz -tpz,  O (dimana tn=fztl
yaitu kondisi tingkat kedua  (second  order  condition) terpenuhi.
3. CONSTANT El-ASTlClrY oF suBsTrTUTtoN PRODUCTTON FUNCTTON (CESpFl Fungsi Produksi CobbDouglas mempunyai  elastisitas substitusi (o) yar1gi bersifat konstan clan nilainya  selafu  sama dengan satu. untuk'mengatasi  kekakuan Fungsi produksi  cobbDouglas ini para peneliti menceri bertuk lain yang lebin flefsibel.
- -'-w-'
Pada tahun  1€61 Anorrr,..ChenCry, Minhas  dan  Solow  berhasil  mengembangf€n Fungsi :Pd.TSi lqbbDoraolas_menjadi  Fungsi Produksi yang iertenat oengan- seoutan constant Elasticity of ' subsililution  produc*ion Fu n&ion, yaitu : (Leigntin, t sae :z t s; . . Q=ltat(o +(t.DllTile .....(s)
Elastisitas  $.rbsilitusinya  adalah o = 1/(1+0) dimana .y = piiaineter efisiensi 6 = parameter distribusi 0 = parameter  subsilitusi Perbedaan  CESPF dengan Fungsi produksi  CobbDouglas:
65 Fungsi
fir fn
fzt lzz
. Peda  CESPF Ela$isitas SuHitusi (o) belum tentu sama dengan 1 r Pada CDPF  Elastisftas SubSilusi  (o) selalu  sama dengan 1 Persamaan  CESPF  dan CDPF : Elastisitas  Substitusi (o) bersifat konstan/tetap. Jadikesimpulannya : o CDPF adalah bentuk  khusus dari CESPF pada  kasus dimane 0 = 0 dan o = 1 CESPF  diatas mempunyai sifat Conslant Retum to Scale  dan  dapat digeneralisir  menjadi: (Leighton, 1988:216) q = y plf + (t6lll  ./0
...................(6)
Fungsi ini adalah  Fungsi  Homogen  berderajat v sebab  Q(),K,},L) = ?,," e(K,L) dimana v dalah 'pararne{er Retum to Scale' jika : v = 1 make  Constant  Retum to Scale v > 1 maka Increasirq Retum to Scale v < 1 maka  Decreasing  Retum to Scale
4. VARIABLE  EI.ASTICITY OF SUESTITUTION  PR@UGTION  FUI{CTION  (VESPFI. Pada CESPF Elasilisitas  Subsilitusi (o) diarygap konsilan, padahal o murBkin saja bervariasi pada  rasio KA yang berbeda. Misalnya pada saat Intensiias Modat untuaprodukii tinggi,  maka semakin  kecil kemungkinan untuk mensubstitusi letth lanjut Modalterfrdap Ten4a Ke!a. Dan walauprn nasio K/L  tetap, o dapat saja berubah  sepanjang  waldu  akibat pengeruh perkembangan leknologi.(Lefihton, 1 9S8:241) Berdasarkan  alasan tersebut diatas maka CESPF  dikembangken lebih  tanjut menjdi VESPF. Mul+mula p$a tahun 1971  Revankar  membuat  suatu  model  dimana o merupakan futtgsi linier dari ](/L ratio.  Dan pada tahun 19OE ia juga membuat suatu model dimana o bervariasi  sesuai  perubahan  waHu. Akhimya Christensen,  Jorgenson  and Lau (19?3) membuat godel  yang'disehrt _Tmnsceldedel  Logarfthmic Produdion Fundion  atau diiingkit Transtog Produdion Func*ion.  Bentuk  modelnya adalah sebagai be{kut (Leighton,iggg:2121 Logo -!n* FxLogK  + pLLogL  + p6x(LogKf+ p,.(t-ogL1z  + pu(LogKtogl Bentuk translog ini merupakan suatu Secord Order Tayior's -series dalam logaritma. Keuntungan  model ini yaitu mr$ah diestimasl. FurBsi produks'i ini memiliki  kelebihan daripada CDPF atau CESPF karena merqhasilkan  Return to Scale yang tidak sama  untuk semua nilai inpd. Gdlicfies dan Ringstad  rnendapatkan peda hasil penelltiannya  balnva pada perusahaan kecil goduktinya  tncr€e$rq Retum io scald'tetapi untuir perusalraan  yang  deser froduksinya rnendekati  Condant  Retum to qcab. Juga fungsi pro<luksi ini bersifd-teUn nercidet daripaia GDPF  atau  GESPF  karena memiliti  a yarE bersifet variabet (bukan  konstan).
SIFAT€IFAT FUNGSI PROIX'KSI Ada  fungsi q{{ol yang  memiliki  sifat Homotetik  dan Homogen. Furqsi  produksi yang Homogen pasti bersifat Hgnotetik  pula,  karcna tungsi  produksi Homolen meruiatin bagiandai Ilngsi produksi yang  bersifat Homotetik,  tetapi furgli prottuksi  xomot6titr beturi tentu H6mogen, tlisa saja  Non Homogen.

## I. HOMOGET{TTAS  FUNGSI PRODUKSI
Menurut Silberbeq: A Prduffin fundion is homqerpous  of eW r if when att inputs ue ircteawd (abfleaftd)  by tte wtle propftfoln, ou/'rptt I'rcraaces  (decreases) y the r th pwer of fftaf irmrBase.  For nally, if ftx1,xv....x) is Homogeneous of &gee r, f1tx1,...,bts = { f(xr...,xn).  (Silberberg,l978:301) r menunjukkan derajat Homogenltas. iika r= I .berartifutgs Homogenbentcrajat 1 (Furgsi Homogen tinier) 2 berani Furqsi Homogen bederajet 2 Oan seterusnya Sifat yang dimiliki  oleh Fungsi  Homogen  antana  lain yaitu : - ft (tx1,.......,tx) = fr (xr,........Jh) f (h1,.......,txj = ti (xr,......-..,xJ
67
that the slrpes of tte lerrcl curves  are tha same along  every point of given ny out of the  origin. (Silberberg, 1 978:30 1 )
Namun yang memilikisifat  seperti ini bukan  hanya  Fungsi  Homogen,  Fungsi Homothetik pun memilikisifat  seperti ini.

## 2. HOMOTETISITAS FUNGSI PRODUKSI
Menurut  Varian;
A homothetic functbn is a monotonic transformatlpn of a function  that is honngeneous of clagee 1. ln other wotds, t(x) is homothetic it aN only if it can be wttten Zs f61 = g(h(x)) uvtrere h (.) is homogeneous of degree I anct g(.) is a monotonh fu nclb n. (\l arian, 1 992 : 1 8)
. Jadj fungsi Homotetik adalah transformasi yang terus meningkat dari fungsi produksi  yang homogen'  Fuqgsi  Produksi yang  homotetik dikanakterisasikan oengin garis furui expansion -pat[ yangmelaluititik  origin (titik not). sitberberg mengatakan dalam buiunyi, bahwa: &ill another way to express  honwtheticity is fo sfate that the butput etas:thity for all factors are egual at any given point. That  is, qyo = Efu = q,yo. ftis is ctear from the geomefi ot *aght-lilrc expansion pafn. garian, 1992:1-g)

## KEMA"TUAN  TEKNOLOGT  (TECHNTCAL  PROGRESS)
Salah satu fg-ktot yang merupakan  sumber  pertumbuhan  output yang penting adalah lcemajuan teknologi.  Kemajuan  teknologi  dapat brsumber dari peningkatanpr&tittivital tenaga fe$anya, misalnya  karena tenaga kerja  lebih sehat, lebih trimpitl rcoin terdidik, atau lebih bermotivasi  untuk bekeria.  Kemaiuan teknologi ctapat bersumOer Oiri mesin tipe baru yang tebih produktit iadi berasal dari peningkatan  produktivitas  modal.  Ada puta  kemajuan tekiltogi yang tidalt be_rtaiten langsung dengan peningkatan kualitas atau produktivitas dad tlnaga kerja (L) ata; m_e9in (K), tetapi bersu.mber pada misalnya perbaikan  organisasi  produksi, yan! menind[atkan efisiensi  kerja  baik dari K maupun dari L.(Budiono, 1g6g:134)
r KEMAJUAI{  TEKNOLOGI  YANG NETRAL  iIENURUT  HARROD, SOLOW,  HICKS.
Ekonom membeclakan tiga macam kemajuan  teknologi  yang bersifat sederhana.@udiono, 19EE:137)
Pcrtama : kemaiuan laknologi yang khusgs  meningkatkan efisbnsi setiap unit tenaga kerja.
Modelnya: Q=F(K,N) dan N=edL atau e=F(K,emL) dimena Q = output. K = modal, L = tenaga kerja, N = jumlah tenaga kerja efektif, m = indeks  waktu, t = laju kemajuan teknologi. Kemajuan  teknologi ini disebut Kemajuan teknotogi yang  Netral  menurut Hanod. Ciri khusus kemajuan teknologi iniadalah bahwa  ia tirJak mempehgaruhi koetisien  Capitat-Output  ratio,  karena hanya mempengaruhi L atau N saja. Model ini cocok  untuk  modefmoOel  peiumbuhan yang mensyaratkan adanyaGapital-Output  Ratio yang konstan pada  posisi  keseimbangannya. Uisitnyi Model Hanod Domar dan Model  Sotour Srvan.
Kedua : Kemajuan teknofogi yang meningkatkan produktivitas  kapital {rnesin} Ftapi tidak mcmpcngaruhi  tenaga kerja. Modelnya:Q=F(K,L)
Q = F (emrK,L)
Kemajuan teknologi ini disebut Kemajuan  Teknologi  yang Netral menurut  Solow dan model ini mempunyai ciri bahwa Capilat-Output Ratio tidak  bisa dipertahankan pada suatu nilai yang konstan.
Ketiga: Kemaiuan teknologi yang rneningkatlun  produkt'fttas K dan L secara  seimbang. Modelnya:Q=e*F(K,L)
[9ma_iua.n teknologi ini disebut- Kemajuan  Toknologi yeng  Netrel  menurut Hicks. Kemajuan teknologiinj menggeser selurufi  fungsi  produksi. Contoh  kemajuan teknologi  ini adetah perbaikan organisasi{manajemen) produksi, yarg meningkatkan troduktivitas  mesin iaupun  pekeia secara menyeluruh- Kemajqq teknologi ini tidak dapat me{nenuhi persyaratan GapitaFoutbut nitio yang konstan,  sehingrga tidak  cocok  bagi model yang  mensyaratian idanya Caiitat outid R*io iand konstan.
o EMBODIED DAN DISEMBODIED TECHNTCAL pROcREsS.
Perubahan  teknis  dapet  dianalisa dan  diestimasi menggunaken fungsi produksi. Salah satu jenis perubahan  teknis adalah  yang menunjukkan danye sfi,ifi dalam  fungbi poduksi dad $kry ke waldu, ya$ f9nlgrminkan adanya  peningkatan  efisiensi datam [om-olnaS input. Perubahan teknis inidisehrt Disembodied TechnicatChange  (tntriligator,  l97g:2g9),  dan itu Oipat dinyatakan dengantungsi produksi: y= f ( L, K, t) i.e y(t)= f ( aG), K(t), t ) dimana t adatah waktu.
. Jenis perubahan teknis inidiseM'Disembodied. sebab  ia terpisah dari fal(or-faldor inp$, dan menunjukkan adanya reorganisasl dari input-input yar€ digunakan. Jadi output Oipat meniqgkat tanpa adanya peningkatan input dikarenakan manyi kemajuan teknoiogi ydng digunakan.
Untuk model fungsi  produksi Cobb'Doqglas: Y = (Ao e9 L'Kp Dalam  bentuk natural logarithm menjadi: InY=ro+ u, In L+ F In K+ mt dimang 8o= In fu dan m =tingkattechnical change.
Studi  lain yarg dilakulran  Brown (lntriligator, 1978:289), mergestimasi  model : A In y = a, A In L +-p Atn K + m dimana m menunjukkan tingkat tecfrnicel ctrenge. Selain  Disembotlied Technical  Qhange, adaprta  model yarp menunjuktan fficlie6 Teohnical Qhango, yaitu penirqkatan efektivitas dari fatdor innlt iarg OisjOaUmn berbryai pengembargen dalam kualitss  atau  efisiensi inprt-ing,rt dari waktu ke waktu. (tntriligetir, 1978:291)

## DERET TAYLOR  SEBAGAI  PENDEKATAN  TERIIADAP FUT'IGsI PROODUKSI
. Kita dapat  melakukan  suetu pendekatan  terhadap suatu furqgsi  y=f(D dergan bentuk polinomial,  dimana koeftsiennya menrpakan  nilai turunan  dad fungsi ierse-outliaitu f-6rJ, ffiJ dan seterusnya.  Ada dua cam melakukan  pendekatan ini yaitu irerggunaken  Mdaurin Series atau Taylor Sedes  (DerE{ Taylor). Secara umum Taylor exlransion depat ditulis:  (Chiano. 19E4;:2STI f(x) = f Q!") +I@ ft - n) + tt(D f, - iiti ...;-15;1;"-xJ; "--'' 0! 1! 2t
;i
1 m.elryfykkan  tingkat  9ksryns!.  Dalam hat fungsi translog biasanya ditakukan  sampai ekspansi tingkat 2 (secod approXmation).
Aproksimasi  tinglcat  dua fungsi produksi e = f ( z ) dimana z = (Zt...Arl,
adafah: Q(z)=,f (z) + tg  z,(Z4-Zi*t ,:. ,) + %zz 62f z* Gi - ZflG - 1) ij
,ioaal
,.:.
dimana  z* = (Z*t..- Z*nl adalah titik ekspansi. Bentuk umum fungsi ploduksitranslog adalah: fnY= Incxo+Ecri ln\+y" FTpolnXiln\
,,,,-
Y adalah  outgut dan .fi -adat-ah input. Fungsi  produksi  translog ini adatah  aproksimasi  tertradap fungsi arbiter ln Y = f (ln-I ... )e pa<ta titik eksiensi  x* = ( X., .:. X *n).
Fungsi  ini twice-differentiable  dalam logL input sehirqga matrith Hessian-nya simeiris. Ini beraili  cross.section pailial derivatif  dircstriksi: Fr = fti V i; j. ;, ,, . '
BINA EKONOMVJUIi|INT
Selanjutnya fungsi  tersebut  dapat  digolongkan menjadi fungsi yang homogen jika dilakukan restriksi: 4Fo  = 0 atau zFi,, =0
dan  fungsi tersebut adalah fungsi homogen linier atau  constant  retum to scale jika terbukti bahwa lcq= 1 i
Terdapat berbagaijenis  fungsi  produksi. Fungsi produksi mana yang dipergunakan  dalam penelitian  bergantung pada asumsi  penelitian itu sendiri. Yang penting bagi  peneliti adalah mengetahui  pengertian  dan konsekuensidari pengggunaan fungsi prcdu|aitersebut.

## DAFTAR PUSTAKA
Budiono, Teori Peftumbuhan  Ekorpmi. Yogryakarta: BPFE, 1988.
Chiang, Afpha  C., Fuffianental Methocls of Mathematical  Economics. McGrar-Hilf fntemational Editions.  Singapore: McGraw-Hill Book  Co, Third Edition, 1984.
fntrifigator, Michael D., Econometric Mdels, Techniques and Application. Prentice Hall Intemational, 1978.
Silberberg,  Eugene.,  The Structure of Economics, A Mdhematical Analysis. New York McGrarr Hi[, 1978.
Thomas, R. Leighton.,  lntroduc'tory Econometics, TheW aN Applical"rons. Singapore: Longman, 1988.
Varian, Hal R., Microeconomic Analysis. London: W.W. Norton & Company, Second Edilion, 1984.