## DESKRIPSI DAN ANALISIS PENYEBARAN PENYAKIT MERS MELALUI SISTEM REAKSI DIFUSI

## Syamsyida Rozi
Program Studi Sistem Komputer, Sekolah Tinggi Ilmu Komputer Dinamika Bangsa, Jambi, Indonesia e-mail: syamsyida.rozi@gmail.com
Abstrak. Penelitian  ini  diadakan  berkaitan  dengan  mewabahnya  penyakit  Mers  di  kawasan  Timur Tengah  sejak  2012,  bahkan  mewabah  hingga  ke  Korea  pada  2015.  Hingga  Desember  2017,  WHO masih  menerima  laporan  terjadinya  kasus  baru  Mers  di  beberapa  negara  mengingat  hingga  saat  ini belum  ada  vaksin  untuk  mencegah  manusia  dari  virus  Mers.  Berdasarkan  data  WHO,  hingga Desember  2017  telah  terjadi  2.122  kasus  Mers  dan  hampir  35%  dari  total  kasus  tersebut  dinyatakan meninggal. Oleh karena itu, pada artikel ini, dibentuk model matematika berbentuk persamaan reaksi difusi  dan  kinetik  berupa  sistem  Persamaan  Diferensial  Parsial (PDP)  berkenaan  dengan  penyebaran virus  Mers  pada  populasi  manusia  di  daerah  epidemi  yang  melibatkan  tindakan  karantina  terhadap individu  yang  terinfeksi  Mers.  Kemudian  keberadaan  solusi traveling  wave dari  sistem  tersebut diinvestigasi  dan  kecepatan  penyebaran  virusnya  dianalisa.  Berdasarkan  sistem  dan  nilai  parameter yang  digunakan,  diperoleh  besaran basic  reproduction  number , 𝑅 0 =  2,2  yang  menunjukkan  bahwa Mers menjadi epidemi di populasi, dan diperoleh kecepatan minimum penyebaran Mers sebesar 2,09 km/hari.  Melalui  analisa  sensitifitas  kecepatan  dan  gelombang traveling  wave ,  diperoleh  kesimpulan bahwa untuk mengontrol laju penyebaran virus Mers, maka sangat perlu mengkarantina individu yang terindikasi virus Mers segera. Keberadaan solusi traveling wave dari sistem dapat ditunjukkan melalui simulasi numerik dengan metode FTCS ( Forward Time Center Space ). Kata  kunci: Mers,  persamaan  difusi,  persamaan  diferensial  parsial, traveling  wave ,  kecepatan minimum.
Abstract. This  research  is  conducted  related  to  the  outbreak  of  Mers  disease  in  Middle  East  since 2012 and even became outbreak also in Korea in 2015. In fact, as of December 2017, there is still new case  of  Mers  infection  which  reported  to  WHO  as  there  is  no  vaccine  yet  to  avoid  human  from  the virus. Based on data from WHO, as many as 2,122 cases of Mers have happened as of December 2017 and about 35% of total cases have been died. Due to that, in this article, the mathematical model with the form of reaction diffusion and kinetic equations in system of partial differential equations (PDE) is created,  related  to  the  Mers  disease  spreading  in  human  population  in  epidemic  area  which  involve quarantine  action  to  the  infected  individual.  Then,  the  existence  of  traveling  wave  solution  of  the sistem is investigated and the speed of virus spreading is analyzed. Based on the  sistem and value of parameters used, it’s obtained that the value of basic reproduction number, 𝑅 0 = 2.2 which means that Mers  becomes  epidemic  in  population.  Besides,  it  is  also  obtained  that  the  minimum  wave  speed  is 2.09 km/day. Through the sensitivity analysis of wave speed, the conclusion is that it is necessary to quarantine  the  infected  individual  soon  to  control  the  speed  of  Mers  spreading.  The  traveling  wave solution finally can be performed through numerical simulation by using FTCS (Forward Time Center Space) method.
Keywords: Mers, diffusion equation, partial differential equations, traveling wave, minimum speed.

## Pendahuluan
Penyakit  Mers  ( Middle  East  respiratory  syndrome )  adalah  suatu  penyakit  pernafasan yang  disebabkan  oleh  virus  yang  dikenal  dengan  nama  Mers-CoV  ( Middle East  respiratory syndrome  coronavirus ).  Penamaan  virus  dan  penyakit  tersebut  disepakati  oleh Coronavirus Study  Group (CSG) of  the  International  Committee  on  Taxonomy  of  Viruses sesuai  dengan
lokasi  mewabahnya  penyakit  ini,  yaitu  di  kawasan  Timur  Tengah  (de  Groot  et  al.,  2013). Berdasarkan  penelitian,  Mers-CoV  sepertinya  merupakan zoonotic  virus yang  memasuki populasi  manusia  di  Semenanjung  Arab  melalui  kontak  langsung  ataupun  tidak  langsung dengan unta ataupun produk-produk dari unta (misalnya susu unta dan daging unta). Namun demikian,  individu  manusia  yang  terinfeksi  virus  ini  kemudian  dapat  menularkan  virus  ke individu lainnya. Bahkan kasus-kasus baru berkaitan dengan Mers didominasi oleh penularan dari  manusia  ke  manusia.  Infeksi  Mers-CoV  memasuki  populasi  manusia  pertama  kali  pada April 2012 di Jordan, yang kemudian mewabah di kawasan Semenanjung Arab dengan cepat ketika itu. Kemudian pada tahun 2015, penyakit ini mewabah di Korea setelah seorang warga Korea  melakukan  perjalanan  ke  Saudi  Arabia.  Orang  yang  terinfeksi  Mers-CoV  biasanya mengalami gejala demam, batuk-batuk, susah bernafas, infeksi saluran pernafasan akut seperti pneumonia  dan  beberapa  orang  mengalami  gagal  ginjal.  Median  umur  orang  yang  terserang infeksi  Mers-CoV  adalah  50  tahun  yang  didominasi  oleh  pria  (CDC,  2016).  Berdasarkan penelitian,  orang  yang  paling  beresiko  terinfeksi  Mers  adalah  orang  yang  bermukim  dekat peternakan  unta  atau  berinteraksi  dengan  unta  yang  telah  terinfeksi,  orang  yang  tinggal  di rumah  ataupun  lingkungan  yang  sama  dengan  penderita  Mers  dan  orang  yang  bekerja  di tempat  pelayanan  kesehatan  yang  melayani  penderita  yang  memiliki  gejala  penyakit  Mers (WHO, 2017).
Berdasarkan  informasi  yang  dipublikasikan  oleh World  Health  Organization (WHO), sejak tahun 2012 hingga Desember 2017, telah terdeteksi 2.122 kasus Mers yang dilaporkan ke  WHO,  termasuk  di  dalamnya  740  orang  meninggal  (hampir  35%  dari  total  kasus)  yang tersebar di 27 negara. Sekitar 80% kasus Mers terjadi di kawasan Arab Saudi. Hingga saat ini, kasus Mers masih ditemukan dan dilaporkan ke WHO. WHO juga menyatakan bahwa belum ada  vaksin  untuk  mencegah  penularan  Mers-CoV  (WHO,  2017).  Hal  ini  menjadi  pemicu penelitian  ini,  yaitu  mendeskripsikan  proses  penularan  dan  penyebaran  penyakit  Mers  ke dalam sistem matematika untuk  menginvestigasi  secara matematis  upaya  efektif pencegahan penyebaran penyakit Mers supaya tidak terjadi pandemik. Faktor yang ditekankan pada sistem adalah adanya tindakan karantina/ isolasi terhadap individu yang terindikasi Mers-CoV.

## Metode Penelitian
Penelitian  ini  mempertimbangkan  bahwa  pergerakan  virus  Mers  diasumsikan  sebagai akibat dari pergerakan individu-individu pada populasi, sehingga sistem penyebaran penyakit Mers  yang  dibentuk  akan  melibatkan  koefisien  difusi  untuk  memperoleh  sistem  persamaan reaksi difusi dan kinetik yang berbentuk Persamaan Diferensial Parsial (PDP). Bentuk umum dari sistem difusi yang melibatkan reaksi kinetik adalah:
𝜕𝑢 𝜕𝑡 = 𝐷 𝜕 2 𝑢 𝜕𝑥 2 + 𝑓(𝑢) (1)
dengan 𝐷 𝜕 2 𝑢 𝜕𝑥 2 menunjukkan reaksi difusi, 𝑓(𝑢) menunjukkan reaksi kinetik dan 𝑢 tergantung pada x dan t .  Koefisien  difusi  ( D )  merupakan  suatu  ukuran  bagaimana  seseorang  berpindah dengan  efisien  dari  satu  daerah  ke  daerah  lainnya,  yang  memiliki  satuan  panjang 2 /waktu (Murray, 2002).
Analisa  dinamik  (titik  keseimbangan  beserta  stabilitasnya)  dari  sistem  PDP  dimulai dengan  menganalisa  sistem  Persamaan  Diferensial  Biasa  (PDB)  yang  diperoleh  dengan mengabaikan  suku  difusi.  Titik  keseimbangan  dari  sistem  PDB  merupakan  akar-akar  dari
persamaan  yang  diperoleh  setelah  menetapkan  fungsi-fungsi  di  ruas  kanan  pada  sistem bernilai 0 (Boyce & DiPrima, 2012). Titik keseimbangan bersifat stabil jika semua bagian riil dari nilai eigennya bernilai negatif dan bersifat tidak stabil jika terdapat bagian riil dari nilai eigennya  yang  bernilai  positif  (Boyce  &  DiPrima,  2012).  Pada  tahap  ini  dapat  ditemukan basic  reproduction  number (𝑅 0 ) untuk  mengetahui  apakah  Mers  menjadi  epidemi  populasi atau tidak. Menurut (Diekmann & Heesterbeek, 2000), 𝑅 0 adalah rata-rata kasus infeksi baru yang  disebabkan  oleh  satu  individu  yang  terinfeksi  pada  masa  menularnya  dalam  suatu populasi  yang  memuat  individu susceptible . 𝑅 0 > 1 berarti  individu  yang  terinfeksi  pada kasus kedua lebih banyak dari pada kasus sebelumnya sehingga terjadi epidemi pada populasi. Sedangkan 𝑅 0 < 1 berarti  tidak  terjadi  epidemi  pada  populasi.  Salah  satu  cara  untuk memperoleh  nilai 𝑅 0 menurut  Diekmann  dkk  dalam  (Diekmann  et  al.,  2010)  adalah  dengan metode Next Generation Matrix (NGM) with large domain dengan langkah sebagai berikut:
1) Mengambil  persamaan-persamaan  yang  menggambarkan  kasus  infeksi  baru  dan perubahan  dalam  kelas/  kompartemen  infeksi  dari  sistem  PDB.  Selanjutnya  persamaan- persamaan ini disebut sebagai subsistem infeksi,
2) Melakukan linierisasi subsistem infeksi di sekitar titik keseimbangan bebas penyakit yang dituliskan dalam bentuk matriks dan disebut dengan matriks Jacobian,
3) Mendekomposisikan  matriks  Jacobian  dari  subsistem  infeksi  sebagai 𝑇 + Σ ,  dengan T merupakan  matriks  transmisi  yang  elemen-elemennya  berhubungan  dengan  proses penularan  infeksi.  Sedangkan  merupakan  matriks  transisi  yang  elemen-elemennya berhubungan dengan perpindahan kelas/ kompartemen, termasuk kematian.
4) Menemukan NGM with large domain (𝐾 𝐿 ) , yaitu 𝐾 𝐿 = −𝑇Σ −1 ,
5) Menemukan  nilai  eigen  dominan  dari  matriks 𝐾 𝐿 dan  selanjutnya  nilai  eigen  dominan tersebut dinyatakan sebagai 𝑅 0 .
Dalam sistem  yang melibatkan reaksi  difusi, traveling wave dan kecepatan gelombang adalah hal yang menarik untuk dibahas. Menurut (Murray, 2002), traveling wave merupakan suatu  gelombang  yang  berjalan  dengan  kecepatan  tetap  tanpa  ada  perubahan  bentuk gelombang untuk  setiap  waktu.  Untuk menemukan kecepatan  gelombang, maka  sistem  PDP ditransformasi  menjadi  PDB  dengan  mentransformasi  ( x , t )  menjadi  variabel  gelombang 𝑧 dengan 𝑧 = 𝑥 + 𝑐𝑡 , dan 𝑐 merupakan kecepatan gelombang traveling wave , sehingga dengan 𝑢(𝑥, 𝑡) = 𝑈(𝑧) , maka
𝜕𝑢 𝜕𝑡 = 𝑑𝑈 𝑑𝑧 . 𝜕𝑧 𝜕𝑡 = 𝑑𝑈 𝑑𝑧 . 𝑐 = 𝑐. 𝑑𝑈 𝑑𝑧 , 𝜕𝑢 𝜕𝑥 = 𝑑𝑈 𝑑𝑧 . 𝜕𝑧 𝜕𝑥 = 𝑑𝑈 𝑑𝑧 . 1 = 𝑑𝑈 𝑑𝑧 ⟹ 𝜕 2 𝑢 𝜕𝑥 2 = 𝑑 2 𝑈 𝑑𝑥 2 .
Dengan mensubstitusi formula ini ke persamaan (1), maka persamaan (1) ditulis menjadi
𝑐 𝑑𝑈 𝑑𝑧 = 𝐷 𝑑 2 𝑈 𝑑𝑧 2 + 𝑓(𝑈).
Dalam  terminologi  sistem  dinamik,  solusi traveling  wave menghubungkan  titik keseimbangan  yang  tidak  stabil  ke  titik  keseimbangan  yang  stabil  (Murray,  2002).  Menurut Liu  (Liu  et  al.,  2013),  dalam  model  epidemi, traveling  wave difokuskan  pada  solusi  yang menghubungkan  titik  keseimbangan  bebas  penyakit  yang  tidak  stabil  ke  titik  keseimbangan endemik  yang  stabil,  sehingga  untuk  menginvestigasi  solusi traveling  wave, titik
keseimbangan  endemik  harus  ada.  Dalam  (Diekmann  et  al.,  2010),  Diekmann mengungkapkan bahwa titik keseimbangan endemik ada jika nilai 𝑅 0 > 1 .
Solusi traveling  wave dari  PDP  ditampilkan  melalui  simulasi  numerik  menggunakan Matlab dengan salah satu metode finite difference , yaitu metode FTCS ( Forward Time Center Space ). Jika dipilih mesh size  x sedemikian x = j  x dan  t sedemikian t = n  t , dan kemudian u ( x , t )  u ( j  x , n  t )  dinotasikan  dengan 𝑢 𝑗 𝑛 ,  maka  aproksimasi  untuk  turunan  pertama terhadap t dilakukan dengan metode forward difference dan aproksimasi untuk turunan kedua terhadap x dengan metode center space , sehingga persamaan difference untuk persamaan (1) adalah
𝑢 𝑗 𝑛+1 − 𝑢 𝑗 𝑛 Δ𝑡 = 𝐷 𝑢 𝑗+1 𝑛 − 𝑢 𝑗 𝑛 + 𝑢 𝑗−1 𝑛 (Δ𝑥) 2 + 𝑓(𝑢 𝑗 𝑛 ).
Dengan demikian 𝑢 𝑗 𝑛+1 dapat ditemukan sebagai berikut
𝑢 𝑗 𝑛+1 = 𝑢 𝑗 𝑛 + 𝐷. Δ𝑡 (Δ𝑥) 2 (𝑢 𝑗+1 𝑛 − 2𝑢 𝑗 𝑛 + 𝑢 𝑗−1 𝑛 ) + Δ𝑡. 𝑓(𝑢 𝑗 𝑛 ).
Untuk menghindari error yang besar dan mempertahankan kestabilan solusi, maka  𝑡 dan  𝑥 dipilih sedemikian sehingga 0 < Δ𝑡 Δ𝑥 2 < 1 2 (Strauss, 2008). Pada artikel ini, untuk menghindari resiko ketidakstabilan solusi, maka dipilih  𝑡 dan  𝑥 sehingga 0 < 𝐷 Δ𝑡 Δ𝑥 2 < 1 2 .
Selanjutnya  dilakukan  analisis  sensitifitas  terhadap  kecepatan  penyebaran  penyakit Mers  untuk  dapat  menjadi  rujukan  demi  mengontrol  penyebaran  penyakit  tersebut.  Analisis sensitifitas  dilakukan  karena  adanya  kemungkinan  perubahan  keadaan  dilapangan  sehingga nilai-nilai  parameter  yang  mempengaruhi  kecepatan  penyebaran  Mers  berubah.  Oleh  karena itu  analisis  sensitifitas  penyebaran  Mers  dilakukan  dengan  mengubah-ubah  nilai  parameter tersebut  sesuai  dengan  kemungkinan  yang  dapat  terjadi  di  lapangan  dan  ditampilkan  dalam bentuk grafik, sehingga dapat diamati pada nilai parameter yang berapa/ bagaimana kecepatan penyebaran penyakit Mers akan meningkat atau menurun.

## Hasil penellitian dan pembahasan

## Sistem Penyebaran Penyakit Mers dan analisis penyebaran penyakit Mers
Populasi  manusia  diasumsikan  dibagi  kedalam  4  kelas,  yaitu  individu susceptible , individu  terinfeksi  Mers,  penderita  Mers  yang  dikarantina/  diisolasi  dan  individu recovered atau  yang  sembuh  dari  penyakit  Mers.  Banyaknya  individu  pada  masing-masing  kelas tersebut  pada  posisi x dan  waktu t secara  berturut-turut  dinotasikan  dengan S ( x , t ), I ( x , t ), Q ( x , t ), dan R ( x , t ). Pada artikel ini, yang dimaksud dengan individu dikarantina adalah bahwa individu yang terinfeksi Mers diisolasi di suatu ruang tertutup dan steril di rumah sakit sambil memperoleh  pengobatan  terhadap  gejala  penyakit  yang  dirasakan  oleh  penderita.  Setiap tenaga  medis  yang  mengunjungi  ruang  isolasi  harus  menggunakan  masker  dan  pakaian tertutup, bahkan menggunakan helm khusus ketika memberikan pengobatan terhadap pasien.
Pada  sistem  yang  dibentuk,  diasumsikan  populasi  di  kelas S berubah  karena  adanya rekrutmen individu sebesar A dan ada individu terinfeksi Mers sehingga berpindah ke kelas I . Populasi  di  kelas I berkurang  karena  adanya  individu  terinfeksi  yang  dikarantina  sehingga berpindah  ke  kelas Q sebanyak 𝜆𝐼 ,  karena  sembuh  alami  sehingga  berpindah  ke  kelas R sebanyak 𝛾 1 𝐼 dan  meninggal  karena  Mers  sebanyak 𝑚 2 𝐼 .  Populasi  di  kelas Q berkurang
karena  adanya  individu  yang  sembuh  sehingga  berpindah  ke  kelas R sebanyak 𝛾 2 𝑄 dan meninggal  karena  Mers  sebanyak 𝑚 3 𝑄 .  Ketika  individu  sudah  berada  di  kelas R ,  maka selamanya  individu  tersebut  tetap  berada  di  kelas  tersebut.  Selain  itu,  populasi  di  masing- masing kelas akan berkurang karena kematian alami. Karena diisolasi di suatu ruang tertutup dan tidak melakukan perpindahan, maka suku difusi tidak terdapat pada persamaan perubahan populasi di kelas Q . Berdasarkan asumsi tersebut, maka sistem difusi penyebaran Mers yang berbentuk sistem persamaan diferensial parsial adalah:
𝜕𝑆 𝜕𝑡 = 𝐷 𝜕 2 𝑆 𝜕𝑥 2 + 𝐴 − 𝛽𝑆𝐼 − 𝑚 1 𝑆, 𝜕𝐼 𝜕𝑡 = 𝐷 𝜕 2 𝐼 𝜕𝑥 2 + 𝛽𝑆𝐼 − 𝜆𝐼 − 𝛾 1 𝐼 − 𝑚 1 𝐼 − 𝑚 2 𝐼, 𝜕𝑄 𝜕𝑡 = 𝜆𝐼 − 𝛾 2 𝑄 − 𝑚 1 𝑄 − 𝑚 3 𝑄, (2) 𝜕𝑅 𝜕𝑡 = 𝐷 𝜕 2 𝑅 𝜕𝑥 2 + 𝛾 1 𝐼 + 𝛾 2 𝑄 − 𝑚 1 𝑅,
dengan t dalam hari, x dalam km, dan D dalam km 2 / hari. Semua nilai parameter pada sistem (2) bernilai riil positif.
Untuk  mengamati  dinamik  dari  sistem  (2),  terlebih  dulu  diamati  dinamik  dari  sistem tanpa reaksi difusi yang berbentuk sistem PDB orde 1:
𝑑𝑆 𝑑𝑡 = 𝐴 − 𝛽𝑆𝐼 − 𝑚 1 , 𝑑𝐼 𝑑𝑡 = 𝛽𝑆𝐼 − 𝜆𝐼 − 𝛾 1 𝐼 − 𝑚 1 𝐼 − 𝑚 2 𝐼, (3) 𝑑𝑄 𝑑𝑡 = 𝜆𝐼 − 𝛾 2 𝑄 − 𝑚 1 𝑄 − 𝑚 3 𝑄, 𝑑𝑅 𝑑𝑡 = 𝛾 1 𝐼 + 𝛾 2 𝑄 − 𝑚 1 𝑅.
Total populasi manusia adalah N ( t ) = S ( t ) + I ( t ) + Q ( t ) + R ( t ). Jika tidak ada individu di kelas I dan Q meninggal karena Mers ( m 2 = m 3 = 0), maka N = A / m 1 untuk t   . Dengan demikian total  populasi  terbatas  di  atas  pada A / m 1 .  Analisis  dan  investigasi  tentang  penyebaran  Mers yang dibahas pada artikel ini dibatasi untuk daerah Arab Saudi sebagai tempat Mers menjadi endemik, sehingga pada artikel ini digunakan nilai parameter pada Tabel 1.
Tabel 1. Nilai parameter
Simbol Definisi Nilai Satuan A Laju rekruitmen pada populasi 1000 individu/hari 𝛽 Laju transmisi virus yang sukses ditularkan dari individu terinfeksi ke individu susceptible 0,00002 1/(hari- individu) 𝑚 1 Laju kematian alami individu 0,01 1/hari 𝑚 2 Laju kematian penderita Mers yang tidak dikarantina dan tidak memperoleh pengobatan medis 0,3 1/hari 𝑚 3 Laju kematian individu yang dikarantina karena terinfeksi Mers 0,1 1/hari 𝜆 Tingkat tindakan karantina terhadap individu terinfeksi Mers 0,4 1/hari 𝛾 1 Laju kesembuhan alami individu yang terinfeksi 0,2 1/hari

## Mers
𝛾 2 Laju kesembuhan individu yang dikarantina karena terinfeksi Mers 0,3 1/hari D Koefisien difusi 1 Km 2 /hari
Sistem (3) memiliki 2 titik keseimbangan yaitu:
1) Titik keseimbangan bebas penyakit, 𝐸 0 = (𝑆 ∗ , 𝐼 ∗ , 𝑄 ∗ , 𝑅 ∗ ) = ( 𝐴 𝑚 1 , 0, 0, 0) yang berarti tidak ada individu yang terinfeksi Mers.
Basic reproduction number , 𝑅 0 , diperoleh dengan pendekatan metode Next Generation Matrix ( NGM ) with large domain , dengan subsistem infeksi
𝑑𝐼 𝑑𝑡 = 𝛽𝑆𝐼 − 𝜆𝐼 − 𝛾 1 𝐼 − 𝑚 1 𝐼 − 𝑚 2 𝐼, 𝑑𝑄 𝑑𝑡 = 𝜆𝐼 − 𝛾 2 𝑄 − 𝑚 1 𝑄 − 𝑚 3 𝑄,
dan matriks
𝐾 𝐿 = [ 𝛽𝐴 𝑚 1 (𝜆+𝛾 1 +𝑚 1 +𝑚 2 ) 0 0 0 ] ,
sehingga diperoleh
𝑅 0 = 𝛽𝐴 𝑚 1 (𝜆+𝛾 1 +𝑚 1 +𝑚 2 ) . (4)
Dengan melakukan linierisasi sistem (3) di sekitar 𝐸 0 , maka diperoleh nilai eigen : 𝜎 1 = 𝜎 2 = −𝑚 1 , 𝜎 3 = (𝜆 + 𝛾 1 + 𝑚 1 + 𝑚 2 )(𝑅 0 − 1) dan 𝜎 4 = −(𝛾 2 + 𝑚 1 + 𝑚 3 ).
Jika 𝑅 0 < 1 ,  maka  semua  nilai  eigen  tersebut  bernilai  negatif  sehingga 𝐸 0 bersifat  stabil asimptotik  yang  artinya  penyakit  Mers  tidak  menjadi  epidemi  pada  populasi  manusia. Sedangkan  jika 𝑅 0 > 1 ,  maka  terdapat  nilai  eigen  positif  sehingga 𝐸 0 menjadi  tidak  stabil yang berarti penyakit Mers bisa menjadi epidemi pada populasi.
2) Titik keseimbangan 𝐸 1 = (𝑆 ∗ , 𝐼 ∗ , 𝑄 ∗ , 𝑅 ∗ ) , dengan 𝑆 ∗ = 𝜆+𝛾 1 +𝑚 1 +𝑚 2 𝛽 , 𝐼 ∗ = 𝑚 1 𝛽 (𝑅 0 − 1), 𝑄 ∗ = 𝜆𝑚 1 𝛽(𝛾 2 +𝑚 1 +𝑚 3 ) (𝑅 0 − 1) dan 𝑅 ∗ = [𝛾 1 𝛾 2 +𝛾 1 𝑚 1 +𝛾 1 𝑚 3 +𝛾 2 𝜆] 𝛽(𝛾 2 +𝑚 1 +𝑚 3 ) (𝑅 0 − 1).
Titik 𝐸 1 disebut titik keseimbangan endemik, yang akan ada jika 𝑅 0 > 1 .
Dengan melakukan linierisasi sistem (3) di sekitar titik 𝐸 1 , maka diperoleh nilai eigen 𝜎 1 = −(𝛾 2 + 𝑚 1 + 𝑚 3 ) < 0 , 𝜎 2 = −𝑚 1 < 0 ,  dan 𝜎 3 , 𝜎 4 diperoleh  dari  solusi  dari  persamaan kuadrat
𝑎 0 𝜎 2 + 𝑎 1 𝜎 + 𝑎 2 = 0 dengan 𝑎 0 = 𝜆 + 𝛾 1 + 𝑚 1 + 𝑚 2 , 𝑎 1 = 𝛽𝐴, 𝑎 2 = 𝑚 1 (𝜆 + 𝛾 1 + 𝑚 1 + 𝑚 2 ) 2 (𝑅 0 − 1) . Jika 𝑅 0 > 1 ,  maka 𝜎 3 . 𝜎 4 > 0 dan 𝜎 3 + 𝜎 4 < 0 ,  sehingga 𝜎 3 dan 𝜎 4 memiliki  bagian  rill negatif.  Dengan  demikian  jika 𝑅 0 > 1 ,  maka  titik 𝐸 1 ada  dan  titik  ini  bersifat  stabil  yang berarti penyakit Mers cendrung akan menjadi epidemi pada populasi.
Berdasarkan  nilai  parameter  pada  Tabel  1,  yang  kemudian  disubstitusi  ke  formula 𝑅 0 pada  persamaan  (4),  maka  diperoleh 𝑅 0 =  2,2  >  1,  sehingga  terdapat  2  titik  keseimbangan yaitu  titik 𝐸 0 yang  tidak  stabil  dan  titik 𝐸 1 yang  stabil  yang  berarti  terjadi  epidemi  pada populasi.  Hal  ini  ditunjukkan  pula  pada phase  portrait yang  ditampilkan  pada  Gambar  1b), bahwa  trajektori  (himpunan  solusi)  dari  sistem  (3)  dengan  nilai  awal  di  sembarang  titik terlihat  menjauhi  titik 𝐸 0 (bebas  penyakit)  dan  menuju  titik 𝐸 1 (endemik).  Dan  perubahan populasi  di  masing-masing  kelas  individu  hingga  hari  ke-300  ditampilkan  pada  Gambar  1a) sebagai solusi dari sistem (3).
Gambar 1. a) Solusi dari sistem PDB (3). b) Phase portrait dari sistem (3) yang digambarkan pada bidang- SI untuk melihat perilaku dinamik dari sistem (3)
Dinamik dari sistem (3) di atas menjadi referensi untuk menganalisa dinamik dari sistem PDP (2).  Untuk  memperoleh  solusi  traveling  wave  dari  sistem  (2),  maka  kecepatan  gelombang minimum  harus  ditemukan.  Jika  solusi traveling  wave ada,  maka  solusi  tersebut  akan memenuhi kondisi
(𝑆(𝑥, 𝑡), 𝐼(𝑥, 𝑡), 𝑄(𝑥, 𝑡), 𝑅(𝑥, 𝑡)) = (𝑆̅(𝑧), 𝐼̅(𝑧), 𝑄̅(𝑧), 𝑅̅(𝑧))
dengan z = x + ct dan c merupakan  kecepatan  gelombang  yang  nilainya  tetap.  Melalui transformasi ini, maka sistem (2) ditulis menjadi PDB
𝑑𝑆 𝑑𝑧 = 𝑦 1 , 𝑑𝑦 1 𝑑𝑧 = 1 𝐷 (𝑐𝑦 1 − 𝐴 + 𝛽𝑆𝐼 + 𝑚 1 𝑆), 𝑑𝐼 𝑑𝑧 = 𝑦 2 , 𝑑𝑦 2 𝑑𝑧 = 1 𝐷 (𝑐𝑦 2 − 𝛽𝑆𝐼 + 𝜆𝐼 + 𝛾 1 𝐼 + 𝑚 1 𝐼 + 𝑚 2 𝐼), (5) 𝑑𝑄 𝑑𝑧 = 1 𝑐 (𝜆𝐼 − 𝛾 2 𝑄 − 𝑚 1 𝑄 − 𝑚 3 𝑄), 𝑑𝑅 𝑑𝑧 = 𝑦 3 , 𝑑𝑦 3 𝑑𝑧 = 1 𝐷 (𝑐𝑦 3 − 𝛾 1 𝐼 − 𝛾 2 𝑄 + 𝑚 1 𝑅).
Sistem  (5)  juga  memiliki  2  titik  keseimbangan (𝑆 ∗ , 𝑦 1 ∗ , 𝐼 ∗ , 𝑦 2 ∗ , 𝑄 ∗ , 𝑅 ∗ , 𝑦 3 ∗ ) ,  yaitu  titik keseimbangan  bebas  penyakit 𝐸 0 ∗ = ( 𝐴 𝑚 1 , 0,0,0,0,0,0) dan  titik  keseimbangan  endemik 𝐸 1 ∗ = (𝑆 ∗ , 0, 𝐼 ∗ , 0, 𝑄 ∗ , 𝑅 ∗ , 0) dengan 𝑆 ∗ , 𝐼 ∗ , 𝑄 ∗ dan 𝑅 ∗ merupakan  komponen-komponen  yang  sama pada 𝐸 1 .  Dengan  nilai  parameter  pada  Tabel  1  yang  menyebabkan  besaran 𝑅 0 > 1 ,  maka dapat diasumsikan sistem (3) memenuhi syarat batas:
(𝑆̅(−∞), 𝐼̅(−∞), 𝑄̅(−∞), 𝑅̅(−∞)) = 𝐸 0 ∗ dan (𝑆̅(∞), 𝐼̅(∞), 𝑄̅(∞), 𝑅̅(∞)) = 𝐸 1 ∗ .
Sebagaimana  yang  dijelaskan  pada  (Murray,  2003)  dan  oleh  Liu  (Liu  et  al.,  2013) bahwa  untuk  menginvestigasi  kecepatan traveling  wave ,  maka  matriks  Jacobian  dari  sistem (5)  di  sekitar  titik  keseimbangan  bebas  penyakit  harus  dipastikan  memiliki  nilai  eigen  yang semuanya  bernilai  riil  dan  minimal  terdapat  satu  nilai  eigen  bernilai  riil  positif,  sehingga solusi  dari  sistem  (5) menjauhi  titik  keseimbangan  bebas  penyakit  dengan  cara  tidak berosilasi. Jika terdapat nilai eigen bilangan kompleks (terutama memiliki bagian riil positif), maka  solusi  akan  menjauhi  titik  keseimbangan  bebas  penyakit  dengan  cara  berosilasi, sehingga  akan  muncul  solusi 𝑆̅(𝑧), 𝐼̅(𝑧), 𝑄̅(𝑧), 𝑅̅(𝑧) yang  bernilai  negatif.  Sedangkan 𝑆̅(𝑧), 𝐼̅(𝑧), 𝑄̅(𝑧), dan 𝑅̅(𝑧) menyatakan  suatu  populasi  yang  nilainya  harus  non-negatif  supaya realistis.  Dengan  kata  lain,  jika  terdapat  nilai  eigen  bilangan  kompleks,  maka  solusi  yang diperoleh tidak realistis sehingga tidak ada kesimpulan yang bisa ditarik.
Matriks Jacobian dari sistem (5) di sekitar titik 𝐸 0 ∗ adalah
[ 0 1 0
0 0 0 0 𝑚 1 𝐷 𝑐 𝐷 𝛽𝐴 𝐷𝑚 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 − (𝑅 0 −1)(𝜆+𝛾 1 +𝑚 1 +𝑚 2 ) 𝐷 𝑐 𝐷 0 0 0
0 0 𝜆 𝑐 0 − (𝛾 2 +𝑚 1 +𝑚 3 ) 𝑐 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 − 𝛾 1 𝐷 0 − 𝛾 2 𝐷 𝑚 1 𝐷 𝑐 𝐷 ] .
Dengan  mempertimbangkan  semua  parameter  dan  kecepatan  ( c )  bernilai  riil  positif,  maka nilai  eigen  dari  matriks  Jacobian  tersebut  adalah 𝜎 1 = − 𝛾 2 +𝑚 1 +𝑚 3 𝑐 yang  bernilai  riil  negatif, 𝜎 2 , 𝜎 3 , 𝜎 4 , 𝜎 5 = 𝑐±√𝑐 2 +4𝐷𝑚 1 2𝐷 yang dua diantaranya bernilai riil positif dan dua lainnya bernilai riil  negatif,  serta 𝜎 6 , 𝜎 7 = 𝑐±√𝑐 2 −4𝐷(𝑅 0 −1)(𝜆+𝛾 1 +𝑚 1 +𝑚 2 ) 2𝐷 .  Oleh  karena  itu,  untuk  memperoleh hasil/  solusi  yang  realistis,  maka  nilai c harus  ditemukan  sedemikian  sehingga  diperoleh 𝜎 6 dan 𝜎 7 bernilai riil. Supaya 𝜎 6 dan 𝜎 7 bernilai riil, maka haruslah
𝑐 ≥ 2√𝐷(𝑅 0 − 1)(𝜆 + 𝛾 1 + 𝑚 1 + 𝑚 2 ).
Batas  nilai c ,  antara  yang  dapat  memberikan  nilai  eigen  kompleks  dan  nilai  eigen  riil,  atau antara  yang  dapat  memberikan  solusi  tidak  realistis  dan  solusi  yang  realistis,  dinyatakan sebagai kecepatan minimum gelombang (𝑐 𝑚𝑖𝑛 ) dari traveling wave , yaitu
𝑐 𝑚𝑖𝑛 = 2√𝐷(𝑅 0 − 1)(𝜆 + 𝛾 1 + 𝑚 1 + 𝑚 2 ) . (6)
Dengan  mensubstitusi  nilai  parameter  pada  Tabel  1  ke  formula  (6),  maka  diperoleh 𝑐 𝑚𝑖𝑛 = 2,09  km/hari.  Hal  ini  menunjukkan  bahwa  kecepatan  minimum  penyebaran  penyakit  Mers adalah  2,09  km/hari.  Sehingga  untuk 𝑐 ≥ 𝑐 𝑚𝑖𝑛 = 2,09,  maka  diperoleh  nilai  eigen  yang semuanya riil dan terdapat nilai eigen riil positif, sehingga titik 𝐸 0 ∗ bersifat tidak stabil ( saddle node ), yang artinya solusi akan menjauhi titik keseimbangan bebas penyakit dengan cara yang tidak berosilasi menuju titik keseimbangan endemik 𝐸 1 ∗ .
Kecepatan penyebaran Mers bisa saja berubah jika nilai parameter yang mempengaruhi 𝑐 𝑚𝑖𝑛 berubah. Analisis sensitifitas berkaitan dengan kecepatan penyebaran penyakit Mers ini ditampilkan  secara  visual  pada  Gambar  2.  Gambar  2  menampilkan  sensitifitas  perubahan kecepatan  penyebaran  Mers (𝑐 𝑚𝑖𝑛 ) ,  yang  merupakan  fungsi  yang  tergantung  pada  koefisien difusi  ( D ),  untuk  perubahan 𝛽 , 𝜆 , 𝛾 1 dan 𝑚 2 .  Kurva  berwarna  biru  diperoleh  menggunakan nilai parameter pada Tabel 1. Secara visual, Gambar 2a) menunjukkan bahwa semakin tinggi laju penularan infeksi (𝛽) dari individu  terinfeksi  ke individu susceptible , maka penyebaran Mers  akan  semakin  cepat.  Gambar  2b),  c)  dan  d)  menunjukkan  bahwa  penyebaran  penyakit akan  melambat  jika  tingkat  tindakan  karantina (𝜆) yang  dilakukan  terhadap  individu terinfeksi  Mers  semakin  besar,  laju  kesembuhan  individu (𝛾 1 ) yang  terinfeksi  Mers  makin besar  dan  kematian  individu (𝑚 2 ) karena  terinfeksi  Mers  makin  besar.  Gambar  2b) menunjukkan  bahwa  jika  tidak  ada  individu  yang  dikarantina  akibat  terinfeksi  Mers,  maka kecepatan penyebaran Mers adalah 2,44  km/hari. Jika dilakukan karantina terhadap individu yang terinfeksi dengan laju 0,4/hari, maka kecepatan penyebaran Mers menurun sebesar 0,35 km/hari.  Selanjutnya  jika  laju  tindakan  karantina  terhadap  individu  terinfeksi  Mers  terus sebesar 50% dari sebelumnya, maka kecepatan penyebaran Mers turun dengan rata-rata 14%. Selain  itu,  Gambar  2  juga  menunjukkan  bahwa  semakin  besar  koefisien  difusi,  maka kecepatan  penyebaran  penyakit  Mers  semakin  tinggi.  Hal  ini  menunjukkan  bahwa  semakin luas  pergerakan  difusi  dari  individu susceptible dan  individu  yang  terinfeksi  Mers,  maka penyebaran penyakit Mers semakin cepat.
Gambar 2. Sensitifitas terhadap kecepatan penyebaran Mers karena perubahan beberapa nilai parameter.
Selanjutnya  solusi traveling  wave ditampilkan  dengan  pendekatan  metode  FTCS sebagaimana mana pada Gambar 3 dengan kondisi awal:
𝑥 ∈ [0,50] , berlaku (𝑆(𝑥, 0), 𝐼(𝑥, 0), 𝑄(𝑥, 0), 𝑅(𝑥, 0)) = 𝐸 1 ,
𝑥 ∈ [50, 400] , berlaku (𝑆(𝑥, 0), 𝐼(𝑥, 0), 𝑄(𝑥, 0), 𝑅(𝑥, 0)) = 𝐸 0 , dengan 𝑥 memenuhi kondisi Neumann:
𝜕𝑆 𝜕𝑥 (𝐿, 𝑡) = 𝜕𝐼 𝜕𝑥 (𝐿, 𝑡) = 𝜕𝑅 𝜕𝑥 (𝐿, 𝑡) = 0,   𝐿 ∈ {0,400}.
Solusi traveling  wave ini  ditampilkan  dengan  menggunakan  nilai  parameter  pada  Tabel  1. Supaya  metode ini stabil, maka dipilih Δ𝑡 = 0,2 dan Δ𝑥 = 0,1 .
Gambar  3.    Profil traveling  wave untuk  masing-masing  kelas  individu.  Bagian  kiri  dari masing-masing  gambar  a),  b),  c),  d)  menunjukkan  profil traveling  wave yang ditampilkan pada bidang 2D.  Bagian kanan menampilkan profil traveling wave pada ruang 3D.
Gelombang  penyebaran  Mers  juga  bisa  berubah  jika  nilai  parameter  berubah sebagaimana  yang  diperlihatkan  pada  Gambar  4.  Gelombang  berwarna  biru  pada  Gambar  4 diperoleh  berdasarkan  nilai  parameter  pada  Tabel  1,  sedangkan  gelombang  berwarna  merah menunjukkan perubahan gelombang jika nilai D , 𝜆 , dan 𝛾 1 diubah. Secara visual, Gambar 4a) menunjukkan  koefisien  difusi  hanya  mengubah  kecepatan  gelombang traveling  wave ,  dan tidak  mengubah  populasi  individu  yang  terinfeksi secara  signifikan.  Sedangkan  dampak perubahan nilai parameter lainnya, seperti perubahan tingkat/ laju tindakan karantina terhadap individu  terinfeksi (𝜆) dan  tingkat  kesembuhan  alami (𝛾 1 ) ,  sebagaimana  yang  ditampilkan pada Gambar 4b) dan c), selain mengubah kecepatan gelombang penyebaran Mers, tetapi juga mengubah ukuran gelombang, yaitu berkaitan dengan berubahnya populasi di kelas I . Gambar 4b)  menunjukkan  bahwa  dengan  meningkatkan  laju  tindakan  karantina  terhadap  individu terinfeksi  Mers,  maka  gelombang  penyebaran  Mers  melambat,  dan  populasi  individu  yang terinfeksi  juga  semakin  menurun.  Gambar  4c)  menunjukkan  bahwa  jika  laju  kesembuhan alami individu yang terinfeksi Mers meningkat, maka gelombang penyebaran Mers melambat dan populasi individu yang terinfeksi Mers menurun.
Berdasarkan analisis kecepatan dan ukuran gelombang, mengingat belum adanya vaksin untuk  mencegah  penularan  dan  penyebaran  Mers,  maka  cara  terbaik  untuk  mengontrol penyebaran Mers adalah dengan meningkatkan laju tindakan karantina terhadap individu yang terinfeksi Mers untuk meminimalisir dan sekaligus membatasi pergerakan individu tersebut.
Gambar 4. Sensitifitas gelombang penyebaran Mers terhadap perubahan nilai parameter.

## Kesimpulan dan Saran
Berdasarkan  sistem  difusi  pada  sistem  (2)  dan  dengan  nilai  parameter  pada  Tabel  1, diperoleh  nilai 𝑅 0 = 2,2 sehingga  penyakit  Mers  menjadi  epidemi  pada  populasi  manusia, dengan  kecepatan  minimum  penyebaran  Mers  adalah  2,09  km/  hari.  Berdasarkan  analisis sensitifitas  kecepatan  dan  gelombang traveling  wave sebagai  solusi  dari  sistem  (2)  dapat disimpulkan bahwa untuk mengontrol penularan dan penyebaran penyakit Mers maka sangat penting  untuk  mengkarantina  individu  yang  terinfeksi  Mers  dengan  laju  tinggi,  sehingga pergerakan  individu  terinfeksi  terbatas  dan  probabilitas  penyebaran  penyakit  Mers  semakin kecil.  Mengkarantina  individu  yang  terinfeksi  Mers  dengan  laju  tinggi,  selain  dapat mengontrol  kecepatan  penyebaran  Mers,  juga  akan  mencegah  muncul  kasus  infeksi  baru. Saran  pada  penelitian  ini  yang  memerlukan  penelitian  berikutnya  adalah  melibatkan  faktor penularan  dari  unta  yang  terinfeksi  terhadap  manusia,  dikarenakan  virus  ini  dikenal  diawali berasal dari unta.

## Daftar Pustaka
Boyce,  W.  E.,  &  DiPrima,  R.  C.  (2012). Elementary  Differential  Equations  and  Boundary Value Problems, Tenth Edition . John Wiley & Sons, Inc.
CDC. (2017). MERS-CoV | Home | Middle East Respiratory Syndrome | Coronavirus | CDC. Retrieved September 1, 2017, from https://www.cdc.gov/coronavirus/MERS/index.html
de  Groot,  R.  J.,  Baker,  S.  C.,  Baric,  R.  S.,  Brown,  C.  S.,  Drosten,  C.,  Enjuanes,  L.,  … Ziebuhr,  J.  (2013).  Middle  East  Respiratory  Syndrome  Coronavirus  (MERS-CoV): Announcement  of  the  Coronavirus  Study  Group. Journal  of  Virology , 87 (14),  7790– 7792. https://doi.org/10.1128/JVI.01244-13
Diekmann,  O.,  &  Heesterbeek,  J.  A.  P.  (2000). Mathematical  Epidemiology  of  Infectious Diseases:  Model  Building,  Analysis  and  Interpretation . Wiley  Series .  John  Wiley  & Sons, Inc.
Diekmann,  O.,  Heesterbeek,  J.  A.  P.,  &  Roberts,  M.  G.  (2010).  The  construction  of  next- generation matrices for compartmental epidemic models. Journal of The Royal Society Interface , 7 (47), 873–885. https://doi.org/10.1098/rsif.2009.0386
Liu,  H.,  Kuang,  Y.,  Jackiewicz,  Z.,  Lanchier,  N.,  Smith,  H.,  &  Thieme,  H.  (2013). Spatial Spread  of  Rabies  in  Wildlife (Doctoral  Dissertation).  ASU  Library,  Arizona  State University. Retrieved from https://repository.asu.edu/items/20921
Murray,  J.  D.  (2002). Mathematical  Biology :  I  .  An  Introduction  ,  Third  Edition . Interdisciplinary Applied Mathematics (Vol. 17). New York: Springer. https://doi.org/10.1086/421587
Murray, J. D. (2003). Mathematical Biology II: Spatial Models and Biomedical Applications . Interdisciplinary Applied Mathematics (Vol. 18). New York: Springer. https://doi.org/10.1007/b98869
Strauss, W. A. (2008). Partial Differential Equations: An Introduction, Second Edition . New Jersey: John Wiley & Sons, Ltd.
WHO.  (2017). Middle  East  respiratory  syndrome  coronavirus  (MERS-CoV) –  United  Arab Emirates.  Retrieved  December  26,  2017,  from  http://www.who.int/csr/don/22- december-2017-mers-cov-united-arab-emirates/en/