Teorema : Teori dan Riset Matematika , 7 (2), 403 – 410, September 2022 p-ISSN 2541-0660, e-ISSN 2597-7237 © 2022 https://jurnal.unigal.ac.id/index.php/teorema/article/view/7707

## ALGORITMA MODULO BERPANGKAT MENGGUNAKAN TEOREMA BINOMIAL NEWTON DAN PHI EULER DENGAN JAVASCRIPT
Rohmad Wahid Rhomdani
Universitas Muhammadiyah Jember, Jl. Karimata No.49, Sumbersari, Kab. Jember, Jawa Timur, Indonesia Email: wahidgrup@gamil.com

## ABSTRACT
The purpose of this research is to develop a modular application using javascript. The research method used is a literature study, namely studying Euler's theorem and Newton's Binomial to test and investigate the modulo to the power of ab mod n is there a solution using Newton's Binomial Theorem with the help of Euler's Phi value. The researcher conducted a test using javascript to determine the value of phi euler a φ (n) mod n = 1. The researcher succeeded in developing and making a mathematical application of modulo to the power of the javascript algorithm and was able to provide an accurate solution of modulo to the power of using Newton's binomial theorem with the help of phi Euler values and sequence patterns.
Keywords: modulo, sequence pattern, Newton's Binomial, Euler, javascript

## ABSTRAK
Tujuan dari penelitian ini mengembangkan aplikasi modulo berpangkat menggunakan javascript . Metode penelitian yang digunakan adalah studi literatur yaitu mengkaji teorema Euler dan Binomial Newton untuk menguji dan menyelidiki modulo berpangkat a b mod n adakah solusi penyelesaian menggunakan  Teorema Binomial Newton dengan bantuan nilai Phi Euler. Peneliti melakukan pengujian dengan javascript untuk menentukan nilai phi euler a φ(n) mod n = 1. Peneliti berhasil mengembangkan  dan  membuat  aplikasi  matematika  modulo  berpangkat  dengan  algoritma javascript dan  dapat memberikan penyelesaian modulo berpangkat yang akurat menggunakan teorema binomial newton dengan bantuan nilai phi euler dan pola barisan.
Kata kunci: modulo, pola barisan, Binomial Newton, Euler, javascript
Dikirim: 29 Mei 2022; Diterima: 11 Juli 2022; Dipublikasikan: 30 September 2022 Cara  sitasi:  Rhomdani,  R.  W.  (2022).  Modulo  berpangkat  menggunakan  teorema  Binomial  Newton  dan  Phi  Euler. Teorema: Teori dan Riset Matematika, 7(2), 403-410. DOI: http://dx.doi.org/10.25157/teorema.v7i2.7707
PENDAHULUAN Perkembangan teknologi javascript yang begitu pesat dan banyak diminati ( Iqbal et al ., 2020) berbagai kalangan programmer website tidak lepas dari pengaruh logika matematika, diera society 5.0  perkembangan  teknologi javascript turut  serta  mendorong  pembelajaran  matematika  karena (Kurniawan  &  Irsyadi,  2021)  bahasa  pemrograman javascript sangat  ringan  dan  mudah  untuk digunakan serta tidak membutuhkan lisensi untuk dapat menggunakannya. Bahasa javascript pada tampilan browser sangat interaktif karena bahasanya yang interpreter dan tidak memerlukan kompiler untuk  menjalankannya sehingga  bahasa javascript sangat  cocok  untuk  pengembangan  aplikasi matematika  khususnya  modulo  berpangkat  berbasis  web,  penting  hal  ini  bagi  peneliti  untuk dikembangkan pada pembelajaran matematika terbarukan (Pratama, 2020).
Salah satu inovasi terbarukan dalam pengembangan aplikasi matematika pada penyelesaian modulo berpangkat menggunakan javascript karena menurut Putawa (2022) bahasa javascript yang paling populer mudah digunakan pada logika matematika serta mudah lebih cepat dijalankan pada browser . Selain itu bahasa javascript kaya literatur logika matematika dan tidak memerlukan source memori yang besar pada pengujiannya dan tidak memerlukan proses kompilasi serta mudah untuk diuji pada browser . Pengembangan aplikasi matematika berbasis javascript sudah banyak dikembangkann salah satunya  Mariko  (2019)  yaitu  aplikasi  menyelesaikan  fungsi  integral  dengan javascript .  Berikutnya aplikasi modulo dengan javascript menurut Rhomdani & Ningtyas (2021) menyatakan bahwa aplikasi modulo berpangkat  menggunakan teorema  euler.  Namun  khususnya  modulo  berpangkat berbasis web menggunakan javascript masih  minim  dikembangkan  di  kalangan  institusi  khususnya penyelesaian modulo berpangkat menggunakan teorema newton dengan bantuan nilai phi euler dan pola barisan. hal ini peneliti melakukan uji coba lain untuk keakuratan pada penyelesaian modulo berpangkat menggunakan kombinasi teorema binomial newton dan teorema euler dan nantinya akan dikembangkan pada bahasa javascript .
Diera  society  5.0  peneliti  sangat  tertarik  mengembangkan  aplikasi  matematika  modulo berpangkat menggunakan javascript dengan javascript berbasis website . sehingga Peneliti sangat penting  untuk  mengembangan  aplikasi  matematika  menggunakan javascript pada  penyelesaian modulo berpangkat menggunakan teorema newton dengan bantuan nilai phi euler dan pola barisan.

## METODE PENELITIAN
Metode penelitian yang digunakan adalah studi literatur yaitu mengkaji teorema Euler dan Binomial Newton  untuk  menguji  dan  menyelidiki  modulo  berpangkat a b mod n adakah  solusi penyelesaian  menggunakan  Teorema  Binomial  Newton dengan  bantuan  nilai  Phi  Euler  yang diperkenalkan oleh Leonhard Euler. Menurut Chung et al . (2018) menyatakan bahwa jika n dan a adalah  bilangan  bulat  positif  yang  saling  koprima,  maka a pangkat  fungsi  phi  Euler  dari  n  akan kongruen dengan satu dalam modulo n . Hal ini dapat dinyatakan sebagai a φ(n) ≡ 1 (mod n ) atau a φ(n) mod n =  1. Nilai  dari  phi  Euler  nantinya  akan  digunakan  pada  pengembangan  eksponen  dari penjumlahan antara dua variabel binomial newton yang berbunyi: ( x+y ) k = x k y 0 + x k-1 y 1 + x k-2 y 2 + … + x 0 y k ( Sánchez, 2020 )
HASIL DAN PEMBAHASAN Hasil penelitian yang dilakukan yaitu peneliti melakukan kombinasi rumus teorema binomial newton  dengan  rumus  nilai  Phi  Euler  untuk  menurunkan  algoritma  modulo  berpangkat a b mod n menggunakan javascript agar bisa memberikan solusi yang akurat pada algoritma modulo berpangkat dengan menggunakan Teorema Binomial Newton dengan bantuan nilai Phi Euler dengan persamaan matematika sebagai berikut: a b mod n ............................................................................................... (1) Chung et al . (2018) syarat terdapat nilai Phi Euler a φ(n) mod n = 1
b = φ( n ) × k + c    ............................................................................................... (2)
subtitusi pers (2) ke (1) a b mod n ≡ ( a φ(n) × k ) a c mod n  .............................................................................. (3) a φ(n) = ( x+y ) ............................................................................................... (4) subtitusi pers (4) ke (3) a b mod n ≡ ( x + y ) k a c mod n ............................................................................... (5) Sánchez (2020) teorema eksponen Binomial Newton a b mod n ≡ ( x k y 0 + x k-1 y 1 + x k-2 y 2 + … + x 0 y k ) a c mod n  ...................................... (6) syarat selanjutnya untuk → x k mod n = 0 dan y = 1 a b mod n ≡ ( x k 1 0 + x k-1 1 1 + x k-2 1 2 + … + x 0 1 k ) a c mod n  ...................................... (7) a b mod n ≡ ( x 0 1 k ) a c mod n ................................................................................. (8) a b mod n ≡ a c mod n ......................................................................................... (9) Konsep tersebut diatas adalah langkah - langkah peneliti menyelesaikan modulo berangkat a b mod n menggunakan  eksponen  Binomial  Newton dengan  bantuan nilai Phi  Euler.  Sehingga didapatkan persamaan (9) a b mod n ≡ a c mod n. Peneliti nantinya akan menguji dengan menggunakan javascript . Berikut ini penjelasan dari algoritma javascript modulo berpangkat a b mod n menggunakan penyelesaian eksponen Teorema Binomial Newton dengan mencari nilai dari Phi Euler φ( n ) Sehingga peneliti menyusun konsep persamaan a b mod n ≡ a c mod n dengan syarat sebagai berikut:
1. a φ(n) mod n = 1 2. b = φ( n ) × k + c 3. y = 1 4. x k mod n = 0 Peneliti melakukan uji  coba  coding  soal  modulo  berpangkat  5 6317 mod  71  menggunakan javascript sebagai berikut:
var a=5; var b=6317; var n=71; document.write(a+'<sup>'+b+'</sup>'+' mod '+n);
Algoritma javascript diatas adalah cara menampilkan soal a = 5, b = 6317 dan n = 71 maka jika dirunning akan tampil seperti berikut 5 6317 mod 71 ini soal modulo tampilan dengan javascript . Berikutnya cara penyelesaian modulo berpangkat dengan teorema Newton dengan bantuan nilai Phi Euler  menggunakan javascript berikut  ini  adalah  hasil  uji  coba  nilai  phi  euler  yang  telah  berhasil dilakukan:
var a=5; var b=6317; var n=71; for(i=1;i<=50;i++) var c=a**i; var d=c%n; if(d==1){ var Phi_Euler=i; var d; break; }} text=a+'<sup>'+b+'</sup>mod'+ n + '<br>φ('+n+')=' + Phi_Euler + '&rarr;' + a + '<sup>' + Phi_Euler + '</sup>mod' + n + '=' + d; document.write(text);
Algoritma javascript diatas  adalah  untuk  cara  mencari  nilai  Phi  Euler  sama  dengan  satu didalam mod n atau a φ(n) mod n = 1. Sehingga modulo berpangkat pada soal 5 6317 mod 71 dijabarkan a = 5, b = 6317 dan n = 71 dari teorema Phi Euler ditemukan 5 5 mod 71 = 1 sehingga nilai Phi Euler φ(71) = 5 selanjutnya disubstitusikan pada penyederhanaan pangkat dengan cara sebagai berikut : b = φ( n ) × k + c nilai → φ(71) = 5 6317 = 5 × 1263 + 2
5 6317 mod 71 ≡ (5 5.1263 )5 2 mod 71 = (3125) 1263 5 2 mod 71 = (3124 + 1) 1263 5 2 mod 71 = (3124 + 1) 1263 5 2 mod 71
= ((3124 1263 1 0 )+ (3124 1263-1 1 0 + 1 ) + (3124 1263-2 1 0 + 2 ) + (3124 1263-3 1 0 + 3 ) + ... (3124 0 1 1263 ))5 2 mod 71 = 5 2 × 3124 0 1 1263 mod 71 = 5 2 mod 71 = 25 Berikut ini pada penyederhanaan pangkat untuk cara menampilkan a b mod n ≡ 5 6317 mod 71 hal ini digunakan untuk menguji banyaknya perulangan pada 5 6317 mod 71 untuk nilai b itu sendiri kita menggunakan looping pada javascript pada penelitian sebelumnya. Berikut hasil dari uji coba angka yang berulang pada 5 6317 mod 71 = (5,25,54,57,1) terdapat 5 angka berulang yang tidak sama. Peneliti mendapatkan 5 angka berulang tersebut dari pengujian yang dilakukan pada filter angka javascript dengan menggunakan javascript nilai frekuensi pada penelitian sebelumnya. Sehingga pada kasus soal 5 6317 mod 71 nilainya sebagai berikut: 5 6317 mod 71 = (5,25,54,57,1) atau berulang = 5 kali. maka peneliti menguji soal 5 6317 mod 71 dengan cara menurunkan pangkat 6317 mod 5 = 2, karena sisa 1 maka 5 6317 mod 71 ≡ 5 2 mod 71 = 25 Jika dibandingkan antara  metode  teorema  Newton  dengan  metode  pola  barisan  hasilnya sama seperti dibawah ini berikut tabel perbandingan menggunakan penyelesaian eksponen teorema binomial newton dengan bantuan nilai dari phi euler dan pola barisan penyederhanaan pangkat Tabel 1 . Modulo berpangkat a b mod n menggunakan penyelesaian eksponen Teorema Binomial Newton dengan bantuan nilai dari Phi Euler dan pola barisan Metode Penyelesaian 5 6317 mod 71 1. Pola Barisan Terdapat angka berulang pada 5 6317 Modulo 71 = (1,25,5,54,57)
Berulang = 5 kali.
5 6317 mod 71 → terdapat 5 kali perulangan, sehingga 5 6317 mod 71 → pangkat 6317 mod 5 = 2 , sisa 2 5 6317 mod 71 ≡ 5 2 mod 71 = 5 2 mod 71 = 25 mod 71
= 25 2. Teorema Newton Nilai Phi Euler φ (71) = 5 Terdapat → 5 5 mod 71 = 1 6317 = 5 × 1263 + 2
5 6317 mod 71 ≡ (5 5.1263 )5 2 mod 71
= (3125) 1263 5 2 mod 71 = (3124 + 1) 1263 5 2 mod 71 = (3124 + 1) 1263
5 2 mod 71 = ((3124 1263 1 0 ) + (3124 1263-1 1 0 + 1 ) + (3124 1263-2 1 0 + 2 ) + (3124 1263-3 1 0 + 3 ) + ... (3124 0 1 1263 ))5 2 mod 71 = 5 2 × 3124 0 1 1263 mod 71
= 5 2 mod 71
= 25
Berikut ini adalah hasil penelitian aplikasi soal modulo berpangkat menggunakan teorema binomial newton dengan bantuan nilai phi euler dan pola barisan. Algoritma yang dibangun dapat menentukan nilai phi euler dan bisa dapat menghitung modulo berpangkat n dengan akurat . Berikut ini adalah hasil coding menggunakan javascript:
<form name="form"> <input style="text-align:center" name="a" type="text" value="5" /> Bilangan (a)<br> <input style="text-align:center" name="b" type="text" value="6317" /> Pangkat (b)<br> <input style="text-align:center" name="n" type="text" value="71" /> Modulo (n) <br><br> <button class="btn card_btn" onclick="cekHitung()" type="button"><b>Cek/Hitung</b></button><br> <p><h4> Hitunglah modulo berikut ini: ...</h4><h3 id="soal"></h3></form><hr> <h4>Cara Binomial Newton</h4> <p id="newton"></p> <h4>Pola barisan modulo berpangkat</h4> <p id="pola"></p> <script> function cekHitung(){ var a=form.a.value; var b=form.b.value;if(b==" "||b==""){b=1;} var n=form.n.value; var penguji=20; document.getElementById('soal').innerHTML= (a+'<sup>'+b+'</sup>'+' mod '+n );
//uji coba pola barisan modulo dan nilai phi euler let pola=''; for(i=1;i<=penguji;i++){ var c=a**i;var d=c%n; var digit='"'+c+'"';var panjang = digit.length; if(panjang<19){pola += a+'<sup>'+i+'</sup> &rarr; ' +c+ ' mod '+n+' = '+d+' <br>'; }
if(d==1){var Euler_n=i;var syarat_Euler=d;break;}}
document.getElementById('pola').innerHTML=pola;
//Cara dalil teorema Binomial Newton var r0=b;var r1=Euler_n;var q1=Math.floor(r0/r1); var r2=r0%r1;var q2=Math.floor(r1/r2); var hs1_newton=a**r2;var hs2_newton=hs1_newton%n; var s=a**r1;var s1=(s+1);var s2=(s-1); var s3=s1%n;var s4=s2%n; if((s+1)%n==0){var t=-1;var hg=s+1} else if((s-1)%n==0){var t=1;var hg=s-1} else{var t='N';var hg='N'; hs2_newton='Digit terlalu besar';} if (syarat_Euler==1){ document.getElementById('newton').innerHTML= (' Nilai Phi Euler φ (' + n + ') = <b><a>' + Euler_ n + '</a></b><br>Terdapat &rarr; ' + a + '<sup>' + r1 + '</sup> mod ' + n + ' = ' + syarat_Euler + '<br>'
+ r0 + ' = <b><a>' + r1 + '</a></b> &times; ' + q1
+ '  + ' + r2 + '<br>' + a + '<sup>' + b
+ '</sup> mod ' + n + ' &#8801; (' + a + '<sup>'
+ r1 + '.' + q1 + ' </sup>' + ')' + a + '<sup>' + r2 + '</sup>' + ' mod ' + n + ' <br>' + '= ('
+ s + ')<sup>' + q1 + ' </sup>' + a + '<sup>' + r2 + '</sup>' + ' mod ' + n + ' <br>' + '= (' + hg + ' + ' + t + ')<sup>' + q1 + '</sup>' + a + '<sup>' + r2 + '</sup>' + ' mod ' + n + '<br>' + '= ('
+ hg + ' + ' + t + ')<sup>' + q1 + '</sup>' + a
+ '<sup>' + r2 + '</sup>' + ' mod ' + n + '<br>' + '= ((' + hg + '<sup>' + q1 + '</sup>' + t + '<sup>' + 0 + ' </sup>) + (' + hg + '<sup>' + q1 + '-1</sup>'
+ t + '<sup>' + 0 + ' + 1 </sup>) + (' + hg + '<sup>'
+ q1 + '-2</sup>' + t + '<sup>' + 0 + ' + 2 </sup>) + (' + hg + '<sup>' + q1 + '-3</sup>' + t + '<sup>' + 0 + ' + 3 </sup>) + ... (' + hg + '<sup>' + 0 + '  </sup>' + t + '<sup>' + q1 + ' </sup>)' + ')' + a + '<sup>' + r2 + '</sup>' + 'mod ' + n + '<br>' + '= ' + a + '<sup>'
+ r2 + '</sup>' + ' &times; ' + hg + '<sup>' + 0 + ' </sup>' + t + '<sup>' + q1 + '</sup> mod ' + n + ' <br>' + '= ' + a + '<sup>' + r2 + '</sup>' + ' mod ' + n + '<br>'  + '= ' + hs2_newton );} else if (Euler_n==undefined){ document.getElementById('newton').innerHTML= ('Nilai Phi Euler tidak ditemukan' );}}</script>
Algoritma binomial  newton  tersebut  memiliki  kelemahan  yaitu  tidak  semua  nilai  modulo berpangkat memiliki Phi Euler contoh yang tidak memiliki nilai Phi Euler yaitu 14 6666 mod 77 karena terdapat angka berulang pada 14 6666 mod 77 adalah (14,42,49,56,70) Berulang = 5 kali berturut-turut. Hal  ini  yang  bisa  dilakukan  hanya  satu  cara  dengan  menyederhanakan  pangkat  dengan  bantuan javascript untuk mencari pola barisan pada modulo 14 6666 mod 77 yaitu sebagai berikut :
14 b mod 77 → terdapat 5 kali perulangan, sehingga 14 6666 mod 77 → pangkat 6666 mod 5 = 1, sisa 1 14 6666 mod 77 ≡ 14 1 mod 77 14 6666 ≡ 14 1 mod 77
14 6666 ≡ 14 mod 77 = 14
Gambar 1 . Aplikasi modulo berbasis Web (gamacuma.blogspot.com)
Berikut ini ada juga yang memiliki tingkat kesulitan tertinggi untuk nilai modulo berpangkat tersulit dalam mencari banyaknya pola barisan berulang yaitu pada modulo 77 berikut ini adapun nilai pada mod 77 yang tidak memiliki nilai Phi Euler φ( n ) atau tidak memiliki nilai Phi Euler diantaranya adalah sebagai berikut : 14 7714 mod 77; 31 7714 mod 77; 41 7714 mod 77; 81 7714 mod 77 modulo tersebut belum ditemukan nilai Phi Euler karena digit terlalu besar untuk ujicoba dan perlu dilakukan penelitian selanjutnya .

## Gambar 2 . Aplikasi modulo berbasis Web
Ada beberapa soal modulo berpangkat jika penyelesaian dengan dalil Euler dan Binomial Newton  tidak  bisa  memberikan  solusi  namun  dengan  cara  penyederhanaan  pangkat  modulo  bisa memberikan solusi yaitu pada soal berikut : 9 8812 mod 21 dalil Euler tidak bisa memberikan solusi karena Nilai PBB dari (9,21) = 1,3 Sehingga nilai φ(21) = tidak ditemukan cara Binomial Newton juga tidak  bisa diteruskan  karena  9 8812 mod  21  tidak  memiliki  nilai  Phi  Euler,  dengan penyederhanaan pangkat bisa kita temukan terdapat angka berulang pada 9 b Modulo 21 = (15,17,18,4,6,9) Berulang = 6 kali. Sederhanakan pangkat 8812 mod 6 = 4, sisa 4 sehingga 9 8812 mod 21 ≡ 9 4 mod 21 = 9 4 mod 21 = 9.

## KESIMPULAN
Konsep  yang  digunakan  pada  modulo  berpangkat  dengan  gabungan  teorema  binomial newton  dan  teorema  phi  euler  yaitu a b mod n ≡ a c mod n dengan  syarat  sebagai  berikut: a φ(n) mod n = 1, b = φ( n ) × k + c, x k mod n = 0 dan y = 1.
Gabungan teorema binomial newton dan teorema Phi Euler sangat efektif dan akurat dalam menghitung modulo berpangkat a b mod n dan mudah digunakan karena berbasis website dengan bantuan javascript penyelesaian  modulo  berpangkat  sangat  akurat,  mudah  digunakan  dan  efisien serta  responsive  support  pada  android  dan  laptop.  Peneliti  juga  menambahkan  bootstrap  supaya aplikasi modulo berpangkat berbasis website ini tampil lebih cantik dinamis dan elegan pada tampilan aplikasi website modulo berpangkat.
Tidak semua modulo berpangkat bisa dihitung menggunakan dalil teorema binomial newton karena peneliti belum bisa menemukan nilai Phi Euler pada pola barisan yang dihasilkan waktu uji coba javascript modulo berpangkat dengan batasan looping digit angka tertentu. Namun dari hasil uji coba javascript dengan cara menyederhanakan pangkat justru lebih efektif dan lebih  mudah pada penyelesaian  modulo  berpangkat  dengan  syarat  hasil  uji  coba  modulo  berpangkat  memiliki  pola barisan sehingga penelitian ini perlu dikembangkan kembali untuk penelitian selanjutnya.

## REKOMENDASI
Berdasarkan hasil ujicoba menggunakan javascript , maka penulis mengajukan rekomendasi yang  dapat  dipergunakan  untuk  melakukan  ujicoba modulo  berpangkat  tersebut  yang  belum ditemukan  nilai  Phi  Euler  karena  hasil  digit  angka  terlalu  besar  dan  perlu  dilakukan  penelitian selanjutnya.

## UCAPAN TERIMAKASIH
Terima kasih kami ucapkan kepada Bapak/Ibu dosen program studi pendidikan matematika Universitas Muhammadiyah Jember dan Kepala Laboratorium Komputer Universitas Muhammadiyah Jember yang membantu peneliti ini. Khususnya, Yoga Dwi KN., S.Pd., M.Sc. dan TIM yang lain yang sudah meluangkan waktunya untuk menjadi validator pada penelitian ini.

## DAFTAR PUSTAKA
Chung, F., Folkman, J., & Graham, R. (2018). Sum sequences modulo n . Journal of Combinatorial Theory, Series A. Elsevier , 158(2): 290- 314. https://doi.org/10.1016/j.jcta.2018.03.017
Iqbal, M., Husni, M., & Studiawan, H. (2020). Implementasi klien sip berbasis web menggunakan Html5 dan Node.Js. Jurnal Teknik ITS , 1 (1): 242-245. https://ejurnal.its.ac.id/index.php/teknik/article/view/643/377
Kurniawan,  D.  W.,  &  Irsyadi  F.  Y.  A.  (2021).  Perancangan  dan  pembuatan  aplikasi  manajemen peminjaman kendaraan berbasis web  dengan framework codeigniter. Jurnal Teknik Elektro, 21 (1): 49-53. https://journals.ums.ac.id/index.php/emitor/article/view/12108
Mariko, S. (2019). Aplikasi website berbasis HTML dan Javascript untuk menyelesaikan fungsi integral pada  mata  kuliah  kalkulus. Jurnal  Inovasi  Teknologi  Pendidikan,  6 (1):  80-91. https://doi.org/10.21831/jitp.v6i1.22280
Pratama, I. P. A. E. (2020). Pengujian performansi lima back-end javascript framework menggunakan metode GET dan POST. Jurnal Resti (Rekayasa Sistem dan Teknologi Informasi), 4(6): 1216 – 1225 . https://doi.org/10.29207/resti.v4i6.2675
Putawa, R. A. (2022). Makna filosofis ketiadaan dan relevansinya dengan tipe data undefined pada javascript . Jurnal Filsafat Indonesia, 5 (1):  80-86. https://doi.org/10.23887/jfi.v5i1.41775
Rhomdani, R. W., & Ningtyas, Y. D. W. K. (2021). Aplikasi modulo berpangkat ab mod n menggunakan pola barisan dan teorema Euler berbasis web. JEMS: Jurnal Edukasi Matematika dan Sains,
9 (2): 499-506. http://doi.org/10.25273/jems.v9i2.11449
Sánchez, J. R. G. (2020). Congruencias en el triángulo de Pascal y el rectángulo de Newton. Épsilon - Revista de Educación Matemática, 106 (1): 77-100.