## Penerapan Kombinatorik pada Persamaan Diophantine Linier
A’lailliyyin 1 , Rica Amalia 2 , Tony Yulianto 3
1 Universitas Islam Madura, alailliyyin@gmail.com
2 Universitas Islam Madura, ricaamalia5@gmail.com 3 Universitas Islam Madura, toniyulianto65@gmail.com
DOI 10.31102/zeta.2022.7.2.64-68

## ABSTRACT
In  this  paper  we  apply  combinatoric  principle  on  linear  diophantine  equation.  The method  being  used  on  this  research  is  theoritic  method.  Generally,  the  linear  diophantine equation  is  a  polynomial  equation ∑ 𝑎 𝑖 𝑥 𝑖 𝑛 𝑖=1 = 𝑏 ,  where 𝑎 𝑖 ≠ 0 and 𝑏 integer.  The  form  of equation being solved in this paper is linear diophantine equation with 𝑎 𝑖 = 1, 𝑖 = 1,2, … , 𝑛 . As for the solution of this equation is limited to natural numbers and whole numbers. By using the combinatoric principle, we got the number of solution of these linear diophantine equation which is the combination 𝐶(𝑏 − 1, 𝑛 − 1) for natural numbers solution and 𝐶(𝑏 + 𝑛 − 1, 𝑛 − 1) for whole numbers solution.
.
Keywords: linear diophantine equation, combinatoric, natural numbers, whole numbers

## ABSTRAK
Pada  penelitian  ini  diterapkan  prinsip  kombinatorik  pada  persamaan  diophantine linier. Metode yang digunakan pada penelitian ini adalah metode  penelitian teoritik. Secara umum,  persamaan  diophantine  linier  adalah  persamaan  polinomial ∑ 𝑎 𝑖 𝑥 𝑖 𝑛 𝑖=1 = 𝑏 ,  dimana 𝑎 𝑖 ≠ 0 dan b bilangan bulat. Bentuk persamaan yang diselesaikan pada penelitian ini adalah persamaan diophantine linier dengan 𝑎 𝑖 = 1, 𝑖 = 1,2, … , 𝑛 . Adapun penyelesaian persamaan diophantine  ini  dibatasi  untuk  bilangan  asli  dan  bilangan  cacah.  Setelah  diuraikan  dan dilakukan  percobaan-percobaan,  diperoleh  jumlah  penyelesaian  diophantine  linier  tersebut adalah 𝐶(𝑏 − 1, 𝑛 − 1) untuk  penyelesaian  bilangan  asli  dan 𝐶(𝑏 + 𝑛 − 1, 𝑛 − 1) untuk penyelesaian bilangan cacah.
Kata Kunci : persamaan diophantine linier, kombinatorik, bilangan asli, bilangan cacah

## 1. PENDAHULUAN
Persamaan diophantine linier dibuat oleh seorang matematikawan  asal  Yunani  bernama  Diophantus pada abad ketiga. Diophantus menulis sebuah risalah yang  disebut  “ Arithmetica ”  yang  merupakan  buku paling awal tentang aljabar (Yesilyurt, 2012).
Persamaan Diophantine adalah sebuah persamaan  aljabar  yang  dicari  solusi  rasional  atau integralnya.  Persamaan  aljabar  adalah  sebuah persamaan yang hanya melibatkan ekspresi polinomial  dengan  satu  atau  lebih  variabel.  Jika koefisien  dari  polinomial  tersebut  adalah  bilangan rasional  maka  solusinya  harus  bilangan  rasional. Begitu  pula  jika  koefisien  dari  polinomial  tersebut bilangan  bulat  maka  solusinya  harus  bilangan  bulat juga (Yesilyurt, 2012).
Persamaan  Diophantine  dibagi  menjadi  dua, yaitu  persamaan  diophantine  linier  dan  persamaan diophantine non linear. Persamaan diophantine linier memiliki  persamaan  umum 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑐 , dengan (𝑎, 𝑏) merupakan  koefisien, (𝑥, 𝑦) merupakan variabel dan 𝑐 merupakan konstanta. Matematikawan pertama  yang  mendapatkan  solusi  dari  persamaan diophantine linier 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑐 adalah Brahmagupta (598-670)  dengan  menggunakan  notasi  yang  rumit (Yesilyurt, 2012).
Persamaan  Diophantine  non  linear  adalah persamaan Diophantine yang variabelnya berpangkat lebih  dari  satu,  misalkan 𝑎 1 𝑥 1 2 + 𝑎 2 𝑥 2 2 + ⋯ + 𝑎 𝑛 𝑥 𝑛 2 = 𝑏 (Alfalinisa'i,  2008).  Suganda et  al (2017) membahas persamaan Diophantine non linear dalam bentuk 𝑥 𝑛 + 𝑦 𝑛 = 𝑧 𝑛 . Secara  khusus  untuk 𝑛 =2 maka  semua  solusinya  disebut  dengan  tripel phytagoras.
Pada  penelitian  ini  penulis  menyelesaikan persamaan diophantine linier dengan 𝑛 variabel yaitu 𝑥 1 + 𝑥 2 + ⋯ + 𝑥 𝑛 = 𝑏 dengan 𝑥 𝑖 dan 𝑏 adalah bilangan  asli  atau  bilangan  cacah.  Adapun  metode yang  digunakan  adalah  metode  kombinatorik  yakni prinsip  perkalian,  prinsip  penjumlahan,  permutasi, dan kombinasi.

## 2. TINJAUAN PUSTAKA

## 2.1 Persamaan Diophantine
Persamaan diophantine pertama kali ditemukan oleh  seorang  ahli  matematika  yang  produktif  pada akhir  zaman  yunani  yang  bernama  Diophantus.    Ia merupakan orang yang pertama kai mengoperasikan (𝑥 − 1). (𝑥 − 2) tanpa  referensi  secara  geometri. Identitas  seperti (𝑥 + 𝑦) 2 = 𝑥 2 + 2𝑥𝑦 + 𝑦 2 juga dibuktikan secara aljabar (Alfalinisa'i, 2008).

## 2.2 Macam-macam Persamaan Diophantine
2.2.1 Persamaan Diophantine Linear
Persamaan  Diophantine  Linear  adalah  semua persamaan  yang  variabelnya  berpangkat  satu  dan setiap  koefisien  peubahnya  berupa  bilangan  bulat. Contoh 7𝑥 + 18𝑦 = 208 (Pramadita, 2008).

## 2.2.2 Persamaan Diophantine Non Linear
Persamaan  Diophantine  non  Linear  adalah persamaan Diophantine yang variabelnya berpangkat lebih dari satu. Misalnya 𝑓(𝑥 1 , 𝑥 2 , … , 𝑥 𝑘 ) = 𝑎 1 𝑥 1 2 + 𝑎 2 𝑥 2 2 + ⋯ + 𝑎 𝑛 𝑥 𝑛 2 , maka 𝑓(𝑥 1 , 𝑥 2 , … , 𝑥 𝑘 ) = 𝑛 disebut persamaan Diophantine non Linear (Alfalinisa'i, 2008).
Suganda,  dkk  (2017)  membahas  persamaan Diophantine non linear dalam bentuk 𝑥 𝑛 + 𝑦 𝑛 = 𝑧 𝑛 .
Secara  khusus  untuk 𝑛 = 2 maka  semua  solusinya disebut dengan tripel phytagoras. Dan bentuk-bentuk persamaan Diophantine non linear terus berkembang. Teorema 2.1
Persamaan  Diophantine 13 𝑥 + 17 𝑦 = 𝑧 2 tidak mempunyai  solusi  bilangan  bulat  non  negatif.  Akan ditunjukkan  persamaan  Diophantine 13 𝑥 + 17 𝑦 = 𝑧 2 tidak mempunyai solusi (Sugandha, et al., 2017).
Corolary 1.2
Persamaan  Diophantine 13 𝑥 + 17 𝑦 = 𝑤 4 tidak mempunyai  solusi  bilangan  bulat  non  negatif (Sugandha, et al., 2017).

## 2.3 Kombinatorik
Kombinatorik adalah cabang Matematika yang mempelajari  pengaturan  objek-objek  tanpa  harus mengenumerasi  terlebih  dahulu.  Solusi  yang  ingin kita  peroleh  dari  kombinatorik  adalah  jumlah  cara pengaturan objek-objek tertentu didalam himpunannya. Terdapat dua kaidah dasar untuk dapat memecahkan banyak masalah persoalan menghitung dalam kombinatorial. Kaidah tersebut adalah kaidah perkalian (rule  of  product) dan  kaidah  penjumlahan (rule of sum) (Rahayuningsih, 2016).

## 3. METODE PENELITIAN
Metode  penelitian  yang  digunakan  dalam penelitian  ini  adalah  studi  literatur  mengenai Persamaan Diophantine dan Kombinatorial. Selanjutnya  melakukan  analisis  pada  persamaan Diophantine, dan melakukan penerapan kombinatorial pada Persamaan Diophantine selanjutnya  melakukan  penarikan  kesimpulan  pada percobaan yang telah dilakukan.

## 4. HASIL PENELITIAN
Pada penelitian ini diperoleh hasil penyelesaian persamaan diophantine linier dengan bentuk 𝑥 1 + 𝑥 2 + ⋯ + 𝑥 𝑛 = 𝑏 untuk 𝑏 ∈ bilangan bulat , 𝑥 𝑖 ∈ bilangan asli atau 𝑥 𝑖 ∈ bilangan cacah dan 𝑖 = 1,2, … , 𝑛 Pada  pembahasan  pertama,  diasumsikan  bahwa 𝑥 𝑖 ∈ bilangan asli .  Terdapat  tiga  kasus  untuk permasalahan ini yaitu:
A. Jika 𝑛 > 𝑏 maka  tidak  ada  penyelesaian  yang memenuhi asumsi awal yaitu 𝑥 𝑖 ∈ bilangan asli . B. Jika 𝑛 = 𝑏 maka  penyelesaian  yang  memenuhi adalah 𝑥 𝑖 = 1 untuk 𝑖 = 1,2, … , 𝑛 sehingga terdapat 1 penyelesaian.
C. Jika 𝑛 < 𝑏 maka  penyelesaian  yang  memenuhi dapat dituangkan pada Teorema 1 sebagai berikut.
Teorema  1. Banyaknya  penyelesaian  persamaan diophantine linier 𝑥 1 + 𝑥 2 + ⋯ + 𝑥 𝑛 = 𝑏 untuk 𝑥 𝑖 ∈ ℕ , 𝑛 < 𝑏 , dan 𝑛 ≥ 2 adalah kombinasi 𝐶(𝑏 − 1, 𝑛 − 1) Bukti:
Cara  pertama  untuk  membuktikan  teorema  ini adalah dengan mendaftarkan penyelesaian persamaan diophantine linier untuk nilai 𝑛 dan 𝑏 tertentu sebagai berikut:
1. Untuk 𝑛 = 2 atau 𝑥 1 + 𝑥 2 = 𝑏 ,  penyelesaian (𝑥 1 , 𝑥 2 ) diuraikan sebagai berikut:
i. Jika 𝑏 = 3 maka  nilai (𝑥 1 , 𝑥 2 ) yaitu (1,2), (2,1) → 2 penyelesaian ii. Jika 𝑏 = 4 maka  nilai (𝑥 1 , 𝑥 2 ) yaitu (1,3), (2,2), (3,1) → 3 penyelesaian iii. Jika 𝑏 = 5 maka  nilai (𝑥 1 , 𝑥 2 ) yaitu (1,4), (2,3), (3,2), (4,1) → 4 penyelesaian
2. Untuk 𝑛 = 3
atau 𝑥 1 + 𝑥 2 + 𝑥 3 = 𝑏 , penyelesaian (𝑥 1 , 𝑥 2 , 𝑥 3 ) diuraikan sebagai berikut:
i. Jika 𝑏 = 4 maka  nilai (𝑥 1 , 𝑥 2 , 𝑥 3 ) yaitu permutasi (1,1,2) → 3! 2!1! = 3 penyelesaian
ii. Jika 𝑏 = 5 maka  nilai (𝑥 1 , 𝑥 2 , 𝑥 3 ) yaitu permutasi
(1,1,3) → 3!
2!1! = 3
(1,2,2) → 3! 1!2! = 3 } 6 penyelesaian
iii. Jika 𝑏 = 6 maka  nilai (𝑥 1 , 𝑥 2 , 𝑥 3 ) yaitu permutasi (1,1,4) → 3!
2!1! = 3
(1,2,3) → 3!
1!1!1! = 6 (2,2,2) → 3! 3! = 1 } 10 penyelesaian
iv. Jika 𝑏 = 7 maka  nilai (𝑥 1 , 𝑥 2 , 𝑥 3 ) yaitu permutasi
(1,1,5) → 3!
2!1! = 3
(1,2,4) → 3! 1!1!1! = 6
(2,2,3) → 3!
2!1! = 3 (1,3,3) → 3! 2!1! = 3 } 15 penyelesaian
3. Untuk 𝑛 = 4 atau 𝑥 1 + 𝑥 2 + 𝑥 3 + 𝑥 4 = 𝑏 , penyelesaian (𝑥 1 , 𝑥 2 , 𝑥 3 , 𝑥 4 ) diuraikan  sebagai berikut:
i. Jika 𝑏 = 5 maka  nilai (𝑥 1 , 𝑥 2 , 𝑥 3 , 𝑥 4 ) yaitu permutasi
(1,1,1,2) → 4! 3!1! = 4 penyelesaian
ii. Jika 𝑏 = 6 maka  nilai (𝑥 1 , 𝑥 2 , 𝑥 3 , 𝑥 4 ) yaitu permutasi
(1,1,1,3) → 4!
3!1! = 4 (1,1,2,2) → 4! 2!2! = 6 } 10 penyelesaian
iii. Jika 𝑏 = 7 maka  nilai (𝑥 1 , 𝑥 2 , 𝑥 3 , 𝑥 4 ) yaitu permutasi
(1,1,1,4) → 4!
3!1! = 4 (1,1,2,3) → 4! 2!1!1! = 12
(1,2,2,2) → 4! 1!3! = 4 }
20 penyelesaian
iv. Jika 𝑏 = 8 maka  nilai (𝑥 1 , 𝑥 2 , 𝑥 3 , 𝑥 4 ) yaitu permutasi
(1,1,1,5) → 4!
3!1! = 4 (1,1,2,4) → 4! 2!1!1! = 12
(1,1,3,3) → 4! 2!2! = 6 (1,2,2,3) → 4! 2!1!1! = 12
(2,2,2,2) → 4! 4! = 1 }
35 penyelesaian
4. Untuk 𝑛 = 5 atau 𝑥 1 + 𝑥 2 + 𝑥 3 + 𝑥 4 + 𝑥 5 = 𝑏 , penyelesaian (𝑥 1 , 𝑥 2 , 𝑥 3 , 𝑥 4 , 𝑥 5 ) diuraikan sebagai berikut:
i. Jika 𝑏 = 6 maka nilai (𝑥 1 , 𝑥 2 , 𝑥 3 , 𝑥 4 , 𝑥 5 ) yaitu permutasi
(1,1,1,1,2) → 5!
4!1! = 5 penyelesaian
ii. Jika 𝑏 = 7 maka nilai (𝑥 1 , 𝑥 2 , 𝑥 3 , 𝑥 4 , 𝑥 5 ) yaitu permutasi
(1,1,1,1,3) → 5!
4!1! = 5
(1,1,1,2,2) → 5! 3!2! = 10 } 15 penyelesaian
iii. Jika 𝑏 = 8 maka nilai (𝑥 1 , 𝑥 2 , 𝑥 3 , 𝑥 4 , 𝑥 5 ) yaitu permutasi
(1,1,1,1,4) → 5!
4!1! = 5 (1,1,1,2,3) → 5! 3!1!1! = 20 (1,1,2,2,2) → 5! 2!3! = 10 }
35 penyelesaian
Dari  percobaan  di  atas,  diperoleh  pola  jumlah penyelesaian persamaan diophantine linier 𝑥 1 + 𝑥 2 + ⋯ + 𝑥 𝑛 = 𝑏 untuk 𝑥 𝑖 ∈ ℕ, 𝑛 < 𝑏 yaitu pada Tabel 1.
Tabel  1.  Banyaknya  penyelesaian  persamaan 𝑥 1 + 𝑥 2 + ⋯ + 𝑥 𝑛 = 𝑏 untuk 𝑥 𝑖 ∈ ℕ , 𝒏 < 𝑏
𝑛 2 3 4 5 𝑏
3 2 − −
−
4 3 3 = 3 ∙ 2 2 − − 5 4
6 = 4 ∙ 3 2 4 = 4 ∙ 3 ∙ 2
3! − 6 5 10 = 5 ∙ 4 ∙ 3 2 10 = 5 ∙ 4 ∙ 3 3! 5 = 5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 4! 7 ⋮ 15 = 6 ∙ 5 2 20 = 6 ∙ 5 ∙ 4 3! 15
= 6 ∙ 5 ∙ 4 ∙ 3
4!
8 ⋮ ⋮
35 = 7 ∙ 6 ∙ 5 3! 35
= 7 ∙ 6 ∙ 5 ∙ 4 4! ⋮ ⋮ ⋮
⋮ ⋮
𝑏 𝑏 − 1 1 2 (𝑏 − 1)
(𝑏 − 2) 1 3! (𝑏 − 1)(𝑏 − 2)(𝑏 − 3) 1 4! (𝑏 − 1)(𝑏 − 2)(𝑏 − 3)(𝑏
− 4)
Berdasarkan  Tabel  1  di  atas,  diperoleh  banyaknya penyelesaian persamaan diophantine linier 𝑥 1 + 𝑥 2 + ⋯ + 𝑥 𝑛 = 𝑏 untuk 𝑛 secara umum yaitu 1 (𝑛−1)! (𝑏 − 1)(𝑏 − 2) … (𝑏 − (𝑛 − 1)) =
(𝑏−1)(𝑏−2)…(𝑏−(𝑛−1))(𝑏−𝑛)!
(𝑛−1)!(𝑏−𝑛)! = (𝑏−1)!
(𝑛−1)!(𝑏−𝑛)!
= 𝐶(𝑏 − 1, 𝑛 − 1) . ∎
Pembahasan  berikutnya  adalah  ketika 𝑥 𝑖 ∈ bilangan cacah .  Maka  penyelesaian  persamaan diophantine  linier 𝑥 1 + 𝑥 2 + ⋯ + 𝑥 𝑛 = 𝑏 diuraikan dalam Teorema 2 berikut Teorema  2. Banyaknya  penyelesaian  persamaan diophantine linier 𝑥 1 + 𝑥 2 + ⋯ + 𝑥 𝑛 = 𝑏 untuk 𝑥 𝑖 ∈ ℕ ∗ dan 𝑛 ≥ 2 adalah kombinasi 𝐶(𝑏 + 𝑛 − 1, 𝑛 − 1) Bukti:
Cara pertama untuk membuktikan teorema ini adalah dengan  melakukan  percobaan-percobaan  sebagai berikut:
1. Untuk 𝑛 = 2 atau 𝑥 1 + 𝑥 2 = 𝑏 ,  penyelesaian (𝑥 1 , 𝑥 2 ) diuraikan sebagai berikut:
i. Jika 𝑏 = 0 maka nilai (𝑥 1 , 𝑥 2 ) yaitu (0,0) → 1 penyelesaian ii. Jika 𝑏 = 1 maka  nilai (𝑥 1 , 𝑥 2 ) yaitu (0,1), (1,0) → 2 penyelesaian iii. Jika 𝑏 = 2 maka  nilai (𝑥 1 , 𝑥 2 ) yaitu (0,2), (1,1), (2,0) → 3 penyelesaian
2. Untuk
𝑛 = 3 atau 𝑥 1 + 𝑥 2 + 𝑥 3 = 𝑏 , penyelesaian (𝑥 1 , 𝑥 2 , 𝑥 3 ) diuraikan sebagai berikut:
i. Jika 𝑏 = 0 maka  nilai (𝑥 1 , 𝑥 2 , 𝑥 3 ) yaitu (0,0,0) → 1 penyelesaian ii. Jika 𝑏 = 1 maka  nilai (𝑥 1 , 𝑥 2 , 𝑥 3 ) yaitu permutasi
(0,0,1) → 3! 2!1! = 3 penyelesaian
iii. Jika 𝑏 = 2 maka  nilai (𝑥 1 , 𝑥 2 , 𝑥 3 ) yaitu permutasi
(0,0,2) → 3!
2!1! = 3
(0,1,1) → 3! 1!2! = 3 } 6 penyelesaian
iv. Jika 𝑏 = 3 maka  nilai (𝑥 1 , 𝑥 2 , 𝑥 3 ) yaitu permutasi
(0,0,3) → 3!
2!1! = 3
(0,1,2) → 3! 1!1!1! = 6
(1,1,1) → 3! 3! = 1 } 10 penyelesaian
v. Jika 𝑏 = 4 maka  nilai (𝑥 1 , 𝑥 2 , 𝑥 3 ) yaitu permutasi
(0,0,4) → 3!
2!1! = 3
(0,2,2) → 3! 1!2! = 3
(1,1,2) → 3! 2!1! = 3
(0,1,3) → 3! 1!1!1! = 6} 15 penyelesaian
3. Untuk 𝑛 = 4 atau 𝑥 1 + 𝑥 2 + 𝑥 3 + 𝑥 4 = 𝑏 , penyelesaian (𝑥 1 , 𝑥 2 , 𝑥 3 , 𝑥 4 ) diuraikan  sebagai berikut:
i. Jika 𝑏 = 0 maka  nilai (𝑥 1 , 𝑥 2 , 𝑥 3 , 𝑥 4 ) yaitu (0,0,0,0) → 1 penyelesaian ii. Jika 𝑏 = 1 maka  nilai (𝑥 1 , 𝑥 2 , 𝑥 3 , 𝑥 4 ) yaitu permutasi
(0,0,0,1) → 4! 3!1! = 4 penyelesaian iii. Jika 𝑏 = 2 maka  nilai (𝑥 1 , 𝑥 2 , 𝑥 3 , 𝑥 4 ) yaitu permutasi
(0,0,0,2) → 4!
3!1! = 4
(0,0,2,2) → 4!
2!2! = 6 } 10 penyelesaian
iv. Jika 𝑏 = 3 maka  nilai (𝑥 1 , 𝑥 2 , 𝑥 3 , 𝑥 4 ) yaitu permutasi
(0,0,0,3) → 4!
3!1! = 4 (0,0,1,2) → 4! 2!1!1! = 12
(0,1,1,1) → 4! 1!3! = 4 }
20 penyelesaian
v. Jika 𝑏 = 4 maka  nilai (𝑥 1 , 𝑥 2 , 𝑥 3 , 𝑥 4 ) yaitu permutasi
(0,0,0,4) → 4!
3!1! = 4 (0,0,1,3) → 4! 2!1!1! = 12
(0,0,2,2) → 4! 2!2! = 6
(0,1,1,2) → 4!
1!2!1! = 12
(1,1,1,1) → 4! 4! = 1 }
35 penyelesaian
4. Untuk 𝑛 = 5 atau 𝑥 1 + 𝑥 2 + 𝑥 3 + 𝑥 4 + 𝑥 5 = 𝑏 , penyelesaian (𝑥 1 , 𝑥 2 , 𝑥 3 , 𝑥 4 , 𝑥 5 ) diuraikan sebagai berikut:
i. Jika 𝑏 = 0 maka nilai (𝑥 1 , 𝑥 2 , 𝑥 3 , 𝑥 4 , 𝑥 5 ) yaitu (0,0,0,0,0) → 1 penyelesaian ii. Jika 𝑏 = 1 maka nilai (𝑥 1 , 𝑥 2 , 𝑥 3 , 𝑥 4 , 𝑥 5 ) yaitu permutasi
(0,0,0,0,1) → 5! 4!1! = 5 penyelesaian
iii. Jika 𝑏 = 2 maka nilai (𝑥 1 , 𝑥 2 , 𝑥 3 , 𝑥 4 , 𝑥 5 ) yaitu permutasi
(0,0,0,0,2) → 5!
4!1! = 5
(0,0,0,1,1) → 5! 3!2! = 10 } 15 penyelesaian
iv. Jika 𝑏 = 3 maka nilai (𝑥 1 , 𝑥 2 , 𝑥 3 , 𝑥 4 , 𝑥 5 ) yaitu permutasi
(0,0,0,0,3) → 5! 4!1! = 5 (0,0,0,1,2) → 5! 3!1!1! = 20
(0,0,1,1,1) → 5! 2!3! = 10 }
35 penyelesaian
Dari  percobaan  di  atas,  diperoleh  pola  jumlah penyelesaian persamaan diophantine linier 𝑥 1 + 𝑥 2 + ⋯ + 𝑥 𝑛 = 𝑏 untuk 𝑥 𝑖 ∈ ℕ ∗ yaitu pada Tabel 2.
Tabel  2.  Banyaknya  penyelesaian  persamaan 𝑥 1 + 𝑥 2 + ⋯ + 𝑥 𝑛 = 𝑏 untuk 𝑥 𝑖 ∈ ℕ ∗ 𝑛 2 3 4 5 𝑏 0 1 1 1 1 1 2 3 = 3 ∙ 2
2 4 = 4 ∙ 3 ∙ 2
3! 5 = 5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2
4! 2 3 6 = 4 ∙ 3 2 10 = 5 ∙ 4 ∙ 3
3! 15
= 6 ∙ 5 ∙ 4 ∙ 3 4!
3 4 10 = 5 ∙ 4 2 20 = 6 ∙ 5 ∙ 4
3! 35
= 7 ∙ 6 ∙ 5 ∙ 4 4!
4 5 15 = 6 ∙ 5
2 35 = 7 ∙ 6 ∙ 5
3! ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 𝑏 𝑏 + 1 1 2 (𝑚 + 2) (𝑚 + 1) 1 3! (𝑚 + 3)(𝑚 + 2)(𝑚 + 1) 1 4! (𝑚 + 4) (𝑚 + 3)(𝑚
+ 2)(𝑚 + 1)
Berdasarkan  Tabel  2  di  atas,  diperoleh  banyaknya penyelesaian persamaan diophantine linier 𝑥 1 + 𝑥 2 + ⋯ + 𝑥 𝑛 = 𝑏 untuk 𝑛 secara umum yaitu
1 (𝑛−1)! (𝑏 + (𝑛 − 1))(𝑏 + (𝑛 − 2)) … (𝑏 + (𝑛 −
(𝑛 − 1)))
= 1 (𝑛−1)! (𝑏 + (𝑛 − 1))(𝑏 + (𝑛 − 2)) … (𝑏 + 1)
= (𝑏+(𝑛−1))(𝑏+(𝑛−2))…(𝑏+1)𝑏! (𝑛−1)!𝑏! = (𝑏+𝑛−1)!
(𝑛−1)!𝑏!
= 𝐶(𝑏 + 𝑛 − 1, 𝑛 − 1) . ∎

## 5. KESIMPULAN
Berdasarkan  pembahasan  di  atas  diperoleh bahwa banyaknya penyelesaian persamaan diophantine linier 𝑥 1 + 𝑥 2 + ⋯ + 𝑥 𝑛 = 𝑏
adalah 1. Kombinasi
𝐶(𝑏 − 1, 𝑛 − 1) untuk
𝑥 𝑖 ∈ bilangan asli , 𝑛 < 𝑏 , dan 𝑛 ≥ 2 2. Kombinasi 𝐶(𝑏 + 𝑛 − 1, 𝑛 − 1) untuk 𝑥 𝑖 ∈ bilangan cacah dan 𝑛 ≥ 2

## DAFTAR PUSTAKA
Ahfalinisa'i,  2008. Penyelesaian  Persamaan  Pell dengan  Menggunakan  Algoritma  PQa  dan Metode  Matriks. Malang:  Skripsi  Universitas Islam Negeri (UIN) Malang.
Sugandha, A., Surbakti, A. T. & Prabowo, A., 2017.
Prosiding Seminar Nasional Tahunan Matematika,  Sains  dan  Teknologi. Persamaan Diophantine non Linear, pp. 240-244.
Yesilyurt,  D.,  2012. Solving  Linear  Diophantine Equations and Linear Congruential Equations . Linnaeus  University,  School  of  Computer Science, Physics and Mathematics.