Vol. 11, No. 1 Juli 2020 e-ISSN 2579-7646

## Proses Sistematisasi dalam Pembuktian Matematika
1 Sitti Karimah Sulfiah, 2* Yus Mochamad Cholily, 3 Putri Ayu Kusgiarohmah
1,2 Magister Pendidikan matematika, Universitas Muhammadiyah Malang
3 Magister Pendidikan Matematika, Universitas Negeri Malang email: yus@umm.ac.id

## Abstrak
Mahasiswa sebagai calon guru harus memiliki kemampuan dalam melakukan pembuktian  matematis.  Kemampuan  tersebut  berfungsi  untuk  meyakinkan seseorang  akan  suatu  rumus  ataupun  teorema.  Semakin  tinggi  kemampuan mahasiswa dalam melakukan pembuktian akan berdampak pada peningkatan keterampilan pembuktian matematika siswa. Secara umum metode pembuktian yang  dikenal  oleh  siswa  adalah  pembuktian  secara  langsung  dan  tidak langsung.  Tujuan  dari  penelitian  ini  adalah  untuk  mengetahui  kemampuan mahasiswa  dalam  melakukan  pembuktian  ditinjau  dari  proses  sistematisasi. Penelitian  ini  juga  bertujuan  untuk  mengetahui  faktor  apa  saja  yang mempengaruhi  kemampuan  siswa  dalam  melakukan  pembuktian  matematis. Penelitian  ini  dilakukan  dengan  menggunakan  pendekatan  kualitatif.  Hasil penelitian yang dijelaskan secara deskriptif  menunjukkan bahwa kemampuan pembuktian  mahasiswa  ditinjau  dari  proses  sistematisasi  masih  lemah, mahasiswa  belum  memahami  perbedaan  antara  rumus,  definisi,  teorema ataupun  sifat.  Selain  itu,  mahasiswa  juga  belum  mengaitkan  definisi,  sifat, ataupun teorema yang relevan dengan pembuktian yang dilakukan. Akibatnya mahasiswa menyelesaikan soal dengan cara coba-coba. Salah satu faktor yang mempengaruhi hal  tersebut  yaitu  kurangnya  latihan  dalam  mengerjakan  soal yang berbasis pembuktian matematika.
Kata Kunci: Matematika; Pembuktian Matematik; Sistematisasi

## Abstract
Students  as  prospective  teachers  must  have  the  ability  to  carry  out mathematical  proof.  This  ability  serves  to  convince  someone  of  a  formula  or theorem. The higher ability of students in conducting proof will have an impact on  improving  students'  mathematical  proof  skills.  In  general,  the  method  of proof known by students is direct and indirect method. The purpose of this study is  to  determine  the  ability  of  students  to  conduct  evidence  in  terms  of  the systematization process. This study also find out what factors affect the ability of students to carry out mathematical proof. This research was conducted using a qualitative approach. The results of this study described descriptively indicate that the ability of proof of students in terms of the systematization process is still weak, students do not understand the difference between formulas, definitions, theorems  or  properties.  In  addition,  students  also  have  not  linked  definitions, traits,  or  theorems  that  are  relevant  to  the  evidence  carried  out.  As  a  result, students solve problems by trial and error. One factor that influences this is the lack of practice in working on problems based on mathematical proof.
Keywords: Mathematics; Mathematical Proof; Systematization

## AKSIOMA: Jurnal Matematika dan Pendidikan Matematika
Vol. 11, No. 1 Juli 2020 e-ISSN 2579-7646

## A. Pendahuluan
Pembuktian matematika  adalah salah satu standar kemampuan matematis yang  harus  dimiliki  siswa  (NCTM,  2000).  Adanya  proses  pembuktian  dapat meyakinkan seseorang akan suatu rumus ataupun teorema (Rahman & Yunita, 2018).    Menurut  Hernadi  (2013),  pembuktian  matematika  adalah  pembuktian kebenaran  dari  suatu  argumen  logis  berupa  premis,  teorema,  definisi,  ataupun postulat  terkait.  Metode  pembuktian  digunakan  untuk  meningkatkan kemampuan tersebut (Syafri, 2017).
Secara  umum  metode  pembuktian  yang  dikenal  oleh  siswa  adalah pembuktian secara langsung dan tidak langsung (Machmud, 2019). Pembuktian langsung  adalah  membuktikan  teorema  yang  berbentuk  implikasi (𝑝  𝑞 ), sedangkan  pembuktian  tidak  langsung  adalah  dengan  mencari  kebenaran kontraposisi dari suatu implikasi (~𝑞  ~𝑝 )  (Hernadi, 2013).
Menurut Herizal, Suhendra, & Nurlaelah, (2019); Nurhidayah, Rosjanuardi, &  Nurlaelah,  (2019),  Siswa  masih  mengalami  kesulitan  dalam  melakukan pembuktian,  kesulitan  siswa  dalam  melakukan  pembuktian  membuat  mereka melakukannya  dengan  cara  mencoba-coba  (Tanisli,  2016).  Faktor  yang mempengaruhi  peningkatan  keterampilan  siswa  dalam  melakukan  pembuktian adalah perilaku mengajar guru (Brunner & Reusser, 2019). Akan tetapi banyak guru  yang  kurang  mampu  dalam  melakukan  pembuktian  (Noto,  Priatna,  & Dahlan, 2019; Tanisli, 2016) dan buku teks yang digunakan memuat kurang dari 6% latihan yang berbasis pembuktian (Thompson, Senk, & Johnson, 2012).
Pada  tahun  pertama  perkuliahan,  mahasiswa  sebagai  calon  guru    telah terbiasa  membuktikan  konsep-konsep  matematika  sederhana  (Salsabila, Ratnaningsih,  &  Hadi,  2016),  sehingga  bukan  hal  baru  bagi  guru  dalam melakukan  pembuktian.  Akan  tetapi  kemampuan  mahasiswa  dalam membuktikan  masih  rendah  (Hodiyanto,  2017).  Empat  hal  yang  dapat  dilihat dalam  pembuktian  matematika  (Maslahah,  2019)  yaitu  :  verifikasi,  penalaran ( reasoning ),  pengkomunikasian,  dan  sistematisasi.  Dalam  penelitian  ini pembuktian  mahasiswa  hanya  dilihat  pada  proses  sistematisasi,  yaitu kemampuan dalam mengaitkan definisi, sifat atau teorema  yang relevan dalam membuktikan,  karena  Minggi,  Paduppai,  &  Assagaf  (2016)  menyatakan  bahwa pemahaman konsep dan prinsip matematika mahasiswa masih rendah dan guru hanya  dapat  melakukan  pembuktian  matematika  pada  tahap  verifikasi  dan explanation (Tanisli, 2016).

## B. Metode Penelitian
Penelitian ini dilakukan di salah satu perguruan tinggi di Pamekasan, pada mahasiswa tingkat akhir prodi pendidikan matematika sebagai calon guru yang akan  berkecimpung  dalam  sekolah.  Analisis  data  yang  digunakan  adalah kualitatif  dengan  pendekatan  deskriptif    karena  peneliti  ikut  serta  dalam penelitian  dan  akan  mendiskripsikan  tentang  kemampuan  pembuktian mahasiswa ditinjau dari proses sistematisasi.
Instrumen  yang  digunakan  adalah  soal  tes  yang  berkaitan  dengan pembuktian  matematika  dan  pedoman  wawancara  semi  terstruktur.  Soal  tes digunakan  untuk  melihat  kemampuan  pembuktian  matematika  mahasiswa ditinjau  berdasarkan  proses  sistematisasi  dan  transkrip  hasil  wawancara

## AKSIOMA: Jurnal Matematika dan Pendidikan Matematika
Vol. 11, No. 1 Juli 2020 e-ISSN 2579-7646
digunakan  untuk  memvalidasi  hasil  tes  dalam  melihat  keabsahan  perolehan data penelitian.
Tahap-tahap  yang  digunakan  dalam  analisis  data  sesuai  dengan  langkah- langkah  penelitian  kualitatif.  Langkah-langkah  tersebut  yaitu  reduksi  data, penyajian data, dan penarikan kesimpulan.

## C. Hasil dan Pembahasan
Berikut  adalah  data  yang  didapatkan  dari  penelitian  yang  berupa  jawaban tes  secara  tertulis  serta  transkrip  hasil  wawancara.  Data  tersebut  kemudian diolah dan dideskripsikan sesuai tujuan penelitian.

## 1. Kemampuan pembuktian matematis
Berdasarkan  enam  subjek  yang  diteliti,  terdapat  dua  perbedaan  jawaban mendasar    yang  akan  dianalisis  secara  satu  persatu  dari  setiap  jawaban. Berikut adalah salah satu jawaban subjek (S) sebagai perwakilan dari salah satu jawaban bentuk pertama:

## Gambar 1. Jawaban soal nomor 1 oleh subjek S
Untuk lebih meyakinkan hasil penelitian yang termuat dalam Gambar 1, berikut transkrip kutipan proses wa-wancara peneliti (P) terhadap S:
P3:  Disitu  kamu  langsung  menuliskan “ misal 𝑛 = 2𝑘 ".  Itu  maksudnya    apa ya?
S3:  Kalau  bilangan  genap  itu  rumus-nya 2𝑛 kalau  ganjil 2𝑛 − 1 ,  Jadi  saya tulis saja begitu, karena di soal keterangannya adalah bilangan genap P4: 𝑛 = 2𝑘 itu apa? Rumus, teorema, atau apa?
S4: Permisalan untuk rumus bilangan genap
P5: Jadi itu hanya pemisalan saja ya? Bukan rumus, bentuk umum, teorema, postulat, atau yg lain?
S5: iya rumus
P6: Maksudnya bagaimana?
Permisalan  atau  rumus?  Beda  antara  memisalkan  dan  memang  ada rumusnya.
S6: Memisalkan suatu hal yang ber-kaitan dengan rumus, memisalkan suatu bilangan genap itu menggunakan 𝑛 . Terus rumusnya 𝑛 itu sama dengan
2𝑘 .
P8: Kemudian setelah memisalkan itu apa yangg kamu lakukan? S8: Membuat suatu pembuktian. P9: Disitu kamu menjawab 4𝑘 2 . Apa hubungan 4𝑘 2 dengan soal ya?

## AKSIOMA: Jurnal Matematika dan Pendidikan Matematika
Vol. 11, No. 1 Juli 2020 e-ISSN 2579-7646
S9: Di soal tertulis “ Kuadrat bilangan genap sama dengan bilangan genap ”. Jadi  yang  tadi  sudah  dimisalkan  itu  dikuadratkan  juga.  Kemudian daripada  itu  untuk  membangun  suatu  keyakinan  bahwa  segala sesuatunya  dapat  dipecahkan.  Jadi  menggunakan  angka  terus dikuadratkan
P11:  Bagaimana  kamu  bisa  menyim-pulkan  bahwa  pernyataan  itu  benar. Sedangkan  disitu  kamu  tidak  memberikan  kesimpulan  dan  jika  dilihat dari  rumus  bilangan  genap  hasilnya  itu  tidak  sesuai  dengan  rumus. Rumus = 2𝑘 . Hasil = 4𝑘 2 .
S11:  Saya  tidak  tau,  bingung.  Jadi  ya  langsung  diisi  seingat  saya  saja, Ketidaksinkronan antara permisal-an dan hasil.
P13:  Jadi  bagaimana  kamu  bisa  me-ngatakan  bahwa  perkerjaan  mu  itu benar,  jika  yang  kamu  kerjakan  tidak  sesuai  dengan  rumus  bilangan genap.
S13: Berkaca pada pembuktian yg menggunakan angka.
Merujuk  pada  transkrip  wawancara  tersebut,  terlihat  bahwa  subjek kurang  memahami  perbedaan  antara  rumus  dan  definisi.  Pernyataan tersebut  terlihat  pada  wawancara  S6.  Subjek  mengatakan  bahwa 𝑛 = 2𝑘 adalah  rumus  bilangan  genap  padahal 𝑛 = 2𝑘 merupakan  definisi  dari bilangan  genap.  Klaim  itu  sesuai  dengan  pendapat  Suyitno  (2010)  yang menyatakan,  definisi  adalah  pembatasan  suatu  konsep  dalam  matematika, sedangkan  sifat  dan  teorema  adalah  pernyatan  yang  kebenarannya  perlu dibuktikan.
Subjek juga belum mengaitkan hasil pembuktian dengan definisi, teorema, maupun  postulat.  Terlihat  pada  wawancara  S9  dan  S11  yang  mengatakan bahwa subjek tidak mampu mengubah 4𝑘 2 kedalam definisi bilangan genap. Sehingga  subjek  tidak  dapat  menarik  kesimpulan  bahwa  kuadrat  bilangan genap  adalah  bilangan  genap.  Subjek  melakukan  penarikan  kesimpulan melalui cara coba-coba dengan memberikan beberapa contoh. Artinya subjek mengeneralisasikan  suatu  pernyataan  hanya  dengan  pembuktian  secara parsial bukan pembuktian secara umum.
Berikut  adalah  jawaban  dari  salah  satu  subjek  (R)  sebagai  perwakilan dari jawaban hasil tes bentuk kedua.
Gambar 2. Jawaban soal nomor 2 oleh subjek R

## AKSIOMA: Jurnal Matematika dan Pendidikan Matematika
Vol. 11, No. 1 Juli 2020 e-ISSN 2579-7646
Untuk lebih meyakinkan hasil penelitian yang termuat dalam Gambar 2, berikut transkrip wawancara peneliti (P) terhadap R:
P2 : Mengapa kamu melakukan langkah seperti itu ? R2 : Karena yang diminta bukti kuadrat bilangan bulat genap adalah genap, jadi  saya  menulis  dasar  genapnya  dulu  seperti 2, 4, 6, 8, … .  Kemudian dasar  genap  itu  dikuadratkan  seperti 2𝑥2 = 4 dan  seterusnya.  Jadi bilangan genap yg dikuadratkan akan menghasilkan bilangan genap.
P3  :  Apa  benar  dasar  dari  bilangan  genap  adalah 2, 4, 6, 8, … dan  itu merupakan definisi atau gimana?
R3 : 2, 4, 6, 8, … termasuk 2𝑛 untuk 𝑛 sendiri bilangan bulat. Jadi pernyataan saya di atas juga termasuk definisi.
P4 : Oh,, jadi maksudnya 2𝑛 itu adalah definisi dari bilangan genap? R4 : Menurut saya begitu.
P5 : Tapi kenapa kamu tidak menuliskan 2𝑛 disitu kalau memang 2𝑛 adalah definisi bilangam genap. Kenapa harus membuat contoh-contoh?
R5  :  Saya  langsung  ke  angka  genapnya.  Jadi  langsung  angka  genap dikuadratkan hasilnya akan genap.
P6  :  Apa  dengan  melakukan  pembuktian  beberapa  contoh  ini  bisa  menarik kesimpulan bahwa berlaku secara umum?
R6 : Saya kurang tau.
Mengutip dari transkrip wawancara tersebut terlihat bahwa subjek belum melakukan  pembuktian  matematis.  Ketika  melakukan  pembuktian,  subjek menggunakan  cara  coba-coba  dengan  mengambil  beberapa  contoh  untuk mengambil  suatu  kesimpulan  seperti  yang  terlihat  pada  R2  dan  R5.  Selain itu,  subjek  juga  masih  ragu  dengan  hasil  pekerjaannya  meskipun  telah melakukan  pembuktian  secara  parsial  untuk  memperoleh  kesimpulan  yang berlaku secara umum. Klaim ini sesuai dengan pernyataan subjek di bagian R6 ketika proses wawancara.
2. Kesulitan dan Faktor-faktor yang mempengaruhi Berikut  kutipan  wawancara  subjek  tentang  kesulitan  apa  yang  dialami dalam  melakukan  pembuktian.  Wawancara  ini  juga  berfungsi  untuk menggali  faktor  apa  saja  yang  mempengaruhi  kemampuan  pembuk-tian matematis.

## Kutipan wawancara pada S
P15 : Kesulitan apa yang kamu rasakan dalam mengerjakan soal tersebut?
S15 : Kesulitannya diawal ketika menafsirkan soal.
P16  :  Selain  kesulitan  dalam  memahami  soal,  kira-kira  kesulitan  apa  lagi yang kamu hadapi? Apakah cukup sampai dalam memahami soal saja?
S16 : Iya, sulit yang mau menafsirkan soalnya mau dibawa kemana
P17 : Berarti sulit untuk menentukan strategi apa yang akan digunakan gitu ya ?

## AKSIOMA: Jurnal Matematika dan Pendidikan Matematika
S17 : iya benar.
P18 : Kira-kira apa penyebab kesulitan kamu itu?
S18  :Pertama  karena  kurang  latihan,  kedua,  karena  dosen  jarang  melatih siswa terhadap soal-soal pembuktian.

## Kutipan wawancara pada R
P7 : Apakah kamu pernah melakukan pembuktian sebelumnya? R7 : Belum pernah.
P8 : Di analisis real atau geometri euclid atau aljabar belum pernah? R8 : Sepertinya sudah, tapi saya lupa.
Mengutip  transkripsi  wawan-cara  tersebut,  subjek  merasa  kesulitan dalam  memilih  strategi  yang  tepat  untuk  melakukan  pembuktian  dan  juga kurang  mampu  dalam  mengaitkan  sebuah  definisi,  teorema,  atau  postulat dalam melakukan pembuktian. Salah satu faktor yang mempengaruhi adalah kurangnya  latihan  dalam  mengerjakan  soal  berbasis  pembuktian matematika.

## D. Kesimpulan dan Saran
Berdasarkan  hasil  analisis  jawaban  soal  tes  dan  transkripsi  wawancara mahasiswa  dapat  disimpulkan  bahwa  mahasiswa  masih  lemah  dalam melakukan  pembuktian  matematika,  khususnya  pada  proses  sistematisasi. Mereka  belum  mengaitkan  definisi,  sifat,  atau  teorema  yang  relevan  dengan pembuktian yang mereka lakukan. Mereka kurang memahami perbedaan antara definisi, rumus, teorema maupun sifat.
Salah  satu  penyebab  lemahnya  kemampuan  mahasiswa  yaitu  kurangnya latihan  dalam  mengerjakan  soal  yang  berbasis  pembuktian.  Padahal,  sebagai calon  guru  seharusnya  mahasiswa  mampu  melakukan  pembuktian  agar  dapat meningkatkan keterampilan pembuktian siswa.

## E. Daftar Pustaka
Brunner,  E.,  &  Reusser,  K.  (2019).  Type  of  mathematical  proof:  personal preference  or  adaptive  teaching  behavior? ZDM  -  Mathematics  Education , 51 (5), 747 – 758.
Hatip,  A.  (2019).  Pembelajaran  Matematika  di  Era  Industri  4.0. Prosiding Seminar Nasional Pendidikan Matematika , 896 – 906.
Herizal,  H.,  Suhendra,  S.,  &  Nurlaelah,  E.  (2019).  The  ability  of  senior  high school  students  in  comprehending mathematical  proofs. Journal  of  Physics: Conference Series , 1157 (2), 1 – 6.
Hernadi,  J.  (2013).  Metoda  Pembuktian  dalam  Matematika. Jurnal  Pendidikan Matematika , 2 (1).
Hodiyanto.  (2017).  Analisis  Kesalahan  Mahasiswa  Semester  V  dalam Mengerjakan  Soal  Pengantar  Analisis  Real. Edu  Sains:  Jurnal  Pendidikan Sains & Matematika , 5 (1), 33 – 44.

## AKSIOMA: Jurnal Matematika dan Pendidikan Matematika
Vol. 11, No. 1 Juli 2020 e-ISSN 2579-7646
Machmud,  T.  (2019).  Bukti  dan  Pembuktian  Dalam  Pengajaran  Matematika  di Sekolah Menengah. Jurnal Inovasi , 6 (2), 183 – 193.
Maslahah, F. N. (2019). Analisis Kemampuan Pembuktian, Kemampuan Berfikir Kreatif  dan  Self-Efficacy  Mahasiswa  Pendidikan  Matematika  Pada  Mata Kuliah  Aljabar  Abstrak  Di  Yogyakarta. Tesis  Program  Studi  Pendidikan Matematika Program Pascasarjana Universitas Negeri Yogyakarta . Minggi, I., Paduppai, D., & Assagaf, S. F. (2016). Penyebab Kesulitan Mahasiswa dalam  Pembuktian  Matematika. Jurnal  Penelitian  Pendidikan  INSANI , 19 (1), 18 – 2. NCTM. (2000). Principles and Standards for School Mathematics .
Noto,  M.  S.,  Priatna,  N.,  &  Dahlan,  J.  A.  (2019).  Mathematical  proof:  The learning  obstacles  of  pre-service  mathematics  teachers  on  transformation geometry. Journal on Mathematics Education , 10 (1), 117 – 126. Nurhidayah,  N.,  Rosjanuardi,  R.,  &  Nurlaelah,  E.  (2019).  Investigating  10th grade students’ understanding of the structure of deductive proof. Journal of Physics: Conference Series , 1157 , 1 – 5.
Rahman,  A.  A.,  &  Yunita,  A.  (2018).  Penerapan  Modul  Pembelajaran  PACE untuk Menignkatkan Kemampuan Pembuktian Matematika Siswa di Kelas VII SMP Materi Geometri. Maju , 5 (1), 27 – 38.
Salsabila,  E.,  Ratnaningsih,  R.,  &  Hadi,  I.  (2016).  Pembekalan  Pemahaman Metode Pembuktian Matematika dan Penerapan Strategi Abduktif-Deduktif Untuk  Mengembangkan  Kemampuan  Membuktikan  Konsep  Aljabar Abstrak  Pada  Mahasiswa  Jurusan  Matematika  FMIPA  UNJ. Jurnal Matematika Integratif .
Suyitno,  A.  (2010).  Sistem  deduktif  aksiomatis  dalam  matematika  dan matematika sekolah. Aksioma , 1 (2), 1 – 13.
Syafri,  F.  S.  (2017).  Kemampuan  representasi  matematis  dan  kemampuan pembuktian matematika. Jurnal Pendidikan Matematika , 3 (1), 49 – 55. Tanisli,  D.  (2016).  How  Do  Students  Prove  Their  Learning  and  Teachers  Their Teaching? Do Teachers Make a Difference? Eurasian Journal of Educational Research , (66), 47 – 70.
Thompson,  D.  R.,  Senk,  S.  L.,  &  Johnson,  G.  J.  (2012).  Opportunities  to  learn reasoning  and  proof  in  high  school  mathematics  textbooks. Journal  for Research in Mathematics Education , 43 (3), 253 – 295.