## EULER: Jurnal Ilmiah Matematika, Sains dan Teknologi
Submit: 12 Maret 2022, Diterima: 13 Mei 2022, Online: 15 Mei 2022 Copyright ©2022 by Y Ismail, A Kaluku Diterbitkan oleh: Jurusan Matematika Universitas Negeri Gorontalo | Under the licence CC BY-NC 4.0

## Analisis Gerak Partikel dalam Ruang Waktu Lengkung dengan Fungsi Green
Yamin Ismail 1 , Abas Kaluku 2
1,2 Jurusan Matematika, Universitas Negeri Gorontalo, Bone Bolango 96119, Indonesia *Penulis Korespondensi. Email: yamin09ismail@gmail.com

## Abstrak
Gerak  partikel  dalam ruang waktu lengkung  sebagai generalisasi  dari ruang waktu datar dengan metrik  g µʋ gerak  yang  dimaksud  dalam  artikel  ini  adalah  muatan  skalar  q,  muatan  listrik  e  dan massa partikel m akan menghasilkan medan yang dapat berperilaku sebagai sebuah zona radiasi gelombang  elektromagnetik,dengan  menerapkan  persamaan  Maxwell  dalam  fungsi  Green  gerak partikel direpresentasikan dalam bentuk percepatan dapat ditentukan.
Kata Kunci : Geodesik; Metrik; Partikel; Fungsi Green

## Abstract
Motion  of  particle  in  curved  spacetime  as  generalization  of  flat  space-time  with  metric  g µʋ the motion in this article is scalar charge q, electric charge e,and particle mass m will produce field that  can  have  the  behavior  as  a  radiation  zone  of  electromagnetic  wave,  by  applying  Maxwell equation on Green function motion of particle is represented in form of acceleration that can be determined.
Keywords : Geodesic ; Metric ; Particle ; Green Function

## 1. Pendahuluan
Analisis gerak merupakan kajian “primitif” yang tetap menarik untuk ditelaah. Ketertarikan ini disebabkan  bahwa  gerak  itu  sendiri  tak  luput  dari  intuitif  kita  yang  secara  fisis  selalu direpresentasikan  dalam  ruang  datar  oleh  vektor  percepatan  konstan dalam  ruang-waktu  lengkung tidaklah  demikian,  gerak  partikel  mempunyai  sifat-sifat  yang  unik.  Keunikan  ini  telah  dianalisis dalam Teori Relativitas Umum yang dinyatakan dalam persamaan geodesik lengkung [1-3]. Jelaslah bahwa dalam ruang datar geodesiknya berupa garis  lurus  sedangkan dalam ruang-waktu lengkung geodesiknya  berupa  garis  lengkung.  Persamaan  geodesik  ini  sama  sekali  tidak  dipengaruhi  oleh massa  ataupun  muatan  partikel  akan  tetapi  semata-mata  disebabkan  oleh  kelengkungan  ruang- waktunya [1, 3].
Gerak  dalam  ruang-waktu  datar  juga  merupakan  objek  penelitian  aktif  para  penyelidik  sejak zaman  Lorentz,  Abraham  hingga  Poincare,  Mereka  menghasilkan  turunan  relativistik  umum persamaan  gerak  dalam  ruang  Minkowsky  datar.  Pada  tahun  1960  De  Witt  dan  Brehme menghasilkan  persamaan  Dirac  yang  diperumum  untuk  ruang  kurva  lengkung,  dan  perhitungan dikoreksi  oleh  Hobbs  beberapa  tahun  kemudian  [4].  Dalam  tahun  1997  gerak  sebuah  massa  titik dalam  ruang-waktu  lengkung  juga  telah  diselidiki  oleh  Milno,  Sasaki  dan  Tanaka  [5].  Mereka menurunkan  persamaan  gerak  untuk  menggambarkan  percepatan  partikel  (yang  tidak  nol  kecuali partikel dalam keadaaan diam). Persamaan gerak yang sama kemudian dihasilkan oleh Quinn dalam tahun 2000 yang menyatakan bahwa massa skalar tidak memerlukan kostanta gerak [6, 7].
Dalam penelitian ini kita akan menyususn kembali persamaan gerak partikel yang dipusatkan pada  tiga  dasar  jenis  partikel,  yaitu  muatan  skalar  ,  muatan  listrik    dan  massa  m  titik  yang
dikhususkan  pada  ruang-waktu  latar  belakang  dengan  metrik  gab.  Partikel  ini  bersama  medan magnet  akan  memancarkan  radiasi  dalam  zona  gelombang.  Radiasi  energi  terbuang,  dan  dari momentum  anguler  partikel  kemudian  menjalar  menjadi  sebuah  reaksi  radiasi.  Sehingga  garis dunianya  tidaklah  simpel  yang  digambarkan  oleh  persamaan  geodesik  dari  ruang-waktu  latar belakang.  Radiasi  yang  dipancarkan  dan  bekerja  langsung  pada  partikel  akan  menyebabkan  gaya gerak  pada  partikel  itu  sendiri.  Dalam  ruang-waktu  lengkung,  reaksi  radiasi  yang  terdiri  dari komponen  –  komponennya  secara  langsung  diasosiasikan  dengan  efek  disipatif.  Namun,  efek disipatif  tersebut  terdiri  dari  komponen  –  komponen  konsevatif  yang  justru  tidak  diasosiasikan dengan  komponen  energi  atau  transpor  momentum  anguler.  Gaya  gerak  ini  sebanding  dengan muatan  skalar dari  interaksi  Coulomb,  sebanding  muatan  listrik  dengan dan  massa  titik  m 2 dari interaksi gravitasi Newtonian [8-11].
Perilaku  gerak  partikel  dalam  ruang-waktu  lengkung  dapat  dianalisis  dengan  meninjau kedudukannya. Dengan demikian diperlukan Teori Bitensor untuk mengkonstruksi sistem koordinat yang  satu  ke  koordinat  tetangganya  dalam  menggambarkan  kedudukan  partikel  menurut  garis dunianya.  Salah  satu  aplikasi  yang  utama  adalah  dengan  menerapkan  fungsi  Green  pada  ruang- waktu lengkung [1, 4, 12]. Dan akhirnya menghitung skalar medan elektromagnet, medan gravitasi dekat garis dunia tersebut.
Jika partikel bergerak mengelilingi pusat muatan (yang mana diambil tetap) dan memancarkan radiasi terkecuali kita akan mengabaikan efek radiasi yang dipancarkan oleh muatan yang bergerak spiral. Efek ini haruslah dihitung dengan menggunakan persamaan gerak, dan aksi medan partikel itu sendiri harus dimasukkan. Jika radiasi menjalar keluar dan muatan bergerak masuk spiral, maka tentunya  pembalik  waktu  harus  invarian  terhadap  persamaan  Maxwell.  Ketika  arah  waktu  khusus diambil  sedemikian  sepanjang  semua  penyelesaian  yang  mungkin  akan  memenuhi  persamaan gelombang.  Oleh  sebab  itu  dibutuhkan  penelaahan  persamaan  gerak  partikel  dalam  ruang-waktu lengkung  dan  membandingkannya  dengan  gerak  partikel  dalam  ruang-waktu  datar.  Telaah  gerak yang  dimaksud  menentukan  formulasi  yang  diperumum  untuk  percepatan  partikel  yang  bergerak dalam ruang-waktu lengkung yang sedang memancarkan radiasi. Penelitian ini bermanfaat sebagai referensi  dalam  pengembangan  fisika  teoritik  dan  kosmologi  untuk  menelaah  struktur,  dinamika alam semesta.

## 2. Metode Penelitian
Metode  penelitian  ini  sifatnya  teoritik.  Peneliti  mengkaji  gerak  partikel  yang  memenuhi persamaan  gelombang  Maxwell  dengan  menerapkan  vektor  kerapatan  arus,  kemudian  dengan mengasosiasikannya  dengan  fungsi  green  dalam  ruang-waktu  datar  dan  lengkung.  Kedudukan partikel dalam ruang waktu lengkung dapat diselidiki dan dikembangkan pula dalam teori Bitensor dengan meninjau dua kedudukan titik dalam garis dunia partikelnya maka persamaan gerak partikel sebagai konsekuensi kelengkungan ruang-waktu tensor Ricci.

## 3. Hasil dan Pembahasan

## 3.1 Reaksi Dalam Ruang-Waktu Datar
Muatan  listrik  dalam  ruang-waktu  datar  menghasilkan  vektor  potensial  listrik  Aa  yang memenuhi persamaan gelombang bersama – sama dengan syarat gauge = 0 =   −4 (1)
Dimana  j µ merupakan  4-vektor  kerapatan  arus  muatan  yang  biasanya  ditulis  dalam  suku-  suku  4- dimensi. Di daerah tertentu kerapatan tersebut nol kecuali posisi partikel berada di titik tak hingga. Kita akan mengasumsikan partikel bergerak mengelilingi pusat muatan (yang mana diambil tetap) dan  memancarkan  radiasi  terkecuali  kita  akan  mengabaikan  efek  radiasi  yang  dipancarkan  oleh muatan  yang  bergerak  spiral.  Efek  ini  haruslah  dihitung  dengan  menggunakan  persamaan  gerak, dan  aksi  medan  partikel  itu  sendiri  harus  dimasukkan.  Jika  radiasi  menjalar  keluar  dan  muatan bergerak masuk spiral maka tentunya pembalik waktu harus invarian terhadap persamaan Maxwell.
Ketika  arah  waktu khusus  diambil  sedemikian  sepanjang  semua penyelesaian  yang  mungkin  akan memenuhi  persamaan  gelombang.  Secara  fisis  kita  memilih sebagai  solusi  yang  retarded.
Dengan  memilih  kebalikannya  sebagai  solusi  lanjut  (advanced  solution) yang  menghasilkan radiasi  menjalar  masuk  dan  muatan  bergerak  keluar  menurut  lintasan  spiral.  Dengan  memilih superposisi linearnya menurut persamaan [2, 3, 7]:
= 1 2 ( + )                                                                       (2)
Invarian terhadap pembalik waktu. Persamaan di atas menunjukkan kombinasi dari radiasi yang datang  “retarded”  dan  keluar  “advanced”  tanpa  ada  energi  yang  hilang  dalam  sistem,  dan  muatan tidak dipengaruhi oleh radiasi. Subskrips menunjukkan simetri, yang mana potensial vektor secara simetri  bergantung  pada  masa  sekarang  dan  lampau.  Persamaan  potensial  (2)  dianggap  tidak  ada gaya yang bekerja pada partikel dan memenuhi persamaan (1).

## 3.2 Teori Umum Bitensor
3.2.1. Geodesik
Dalam bagian ini kita akan mengkonstruksi sejumlah teori bitensor yakni fungsi tensor dari dua titik dalam ruang-waktu. Pertama adalah ′ ditetapkan sebagai titik asal yang dipasangkan dengan indeks ′ ′ . Kedua adalah   yag ditetapkan sebagai “titik medan” dan berpasangan dengan indeks , kita  asumsikan  bahwa    mempunyai ( ′) tetangga  konveks  normal  dari ′ .  Ini  adalah himpunan  titik-titik  yang  dihubungkan  ke ′ oleh  geodesik  yang  unik.  Geodesik yang menghubungkan titik   ke ′ menurut relasi ( ) , dalam hal ini   merupakan parameter affin yang mempunyai  jangkauan hingga .  Oleh  karena  itu  kita  memiliki ( ) = ′ dan ( ) = . untuk titik   yang sebarang pada geodesik, kita memasangkan indeks , µ, dan sebagainya. Vektor µ = µ adalah vektor tangennya yaitu yang selalu menyinggung kurva. Fungsi dunia Synge [2, 8, 9, 12] adalah fungsi skalar dari titik asal x’ dan titik medan x. Fungsi ini didefinisikan sebagai:
( , ) = 1 2 ( − ) ( ) (3)
Integral tersebut diatas dievaluasi pada geodesik   yang menghubungkan titik   ke ′ . ( , ′) invarian di bawah translasi → ′ = + , dimana   dan   konstanta. Dalam geodesik kuantitas ∈ ≡ µ adalah  konstan.  Dengan  fungsi  dunia  pers  (3.1)  sama  dengan ½( − ) .  Jika geodesik  timelike  maka λ berupa  waktu  proper  .  Akibatnya, ∈ = −1 dan = − (∆ ) . Jika geodesik spacelike maka λ jarak proper   yang berakibat ∈ = 1 dan = (∆ ) . Jika geodesik null maka = 0 . Secara umum, fungsi dunia adalah setengah jarak geodesik yang dikuadratkan antara titik ′ dan  .  Dalam  ruang  datar  geodesik  yang  menghubungkan ′ ke    adalah  garis  lurus  dan tentunya = ɳ ( − ′) + ( − ′) dalam koordinat Lorentzian.

## 3.2.2. Turunan Fungsi Dunia
Fungsi  dunia ( , ′) dapat  diturunkan  terhadap  argumen  yang  lain seperti = turunan parsial terhadap ′ . jelaslah bahwa mempunyai vektor dual terhadap operasi tensor tetap di titik . tetapi skalar terhadap operasi tetap di ′ . Serupa, bahwa adalah skalar di   tetapi vektor dual di ′ .  Kita  misalkan merupakan  turunan  kovarian  terhadap    yakni  hasil  turunannya merupakan  tensor.  Ini  adalah  tensor  rank  2  di    dan  skalar  di ′ .  Tensor  ini  simetri  terhadap pertukaran indeksnya = .

## 3.2.3. Evaluasi Turunan Pertama
Kita dapat menghitung dengan menguji bagaimana   berubah – ubah ketika titik medan bergerak.  Dimisalkan  titik  medan  yang  baru  adalah + dan = ( + ), ′) − ( , ′)
yang  berhubungan  dengan  variasi  fungsi  dunia.  Kita  misalkan + adalah  geodesik  yang  unik yang menghubungkan + ke ′ yang digambarkan oleh fungsi dunia dengan parameter λ yaitu µ (λ) + µ (λ) dengan  catatan  bahwa (λ ) = ′ = 0 dan (λ ) = dengan  menggunakan prinsip variasi persamaan (3).
= ∆ µ µ + 1 2 µ λ (4) dimana ∆ = − , dengan mengintegrasikan suku pertama diperoleh
= ∆ µ µ − ∆ µ + (5)
Integral di atas lenyap karena µ ( ) memenuhi persamaan geodesik. Syarat di   nol variasi lenyap. Sehingga ruas kiri dapat diganti dengan
( , ) = ( − ) .                                                       (6)
Dalam hal ini metrik dan vektor tangen dievaluasi di  . kita melihat bahwa ( , ) vektor tangen di  .  jika  persamaan  di  atas    diganti  dengan µ (λ) pada dengan λ kita  peroleh ( , ) = ( − )
vektor tangen yang diukur pada geodesik tersebut.
Menariknya, kita dapat menghitung beberapa harga fungsi dunia yang berubah di bawah perubahan titik  asal.  Di  sini  masing  –  masing  variasi  geodesik
( ) = dan ( ) = = 0 dan  kita peroleh = −∆ , . Ini menunjukkan bahwa ( , ) = −( − ) (7)
yang  mana  metrik  dan  vektor  tangen  dievaluasi  di ′ .  kita  melihat  bahwa ʋ ( , ′) mempunyai vektor tangen geodesiknya berharga negatif di ′ . Menurut persamaan (7) kita memiliki
=
(Δ )2
= (Δ )2 dan  menurut  persamaan  (3)  sama  dengan  2 .  Dari  sini  kita  memiliki hubungan
= 2
atau serupa
= 2
Yang  menghubungkan  antara  metrik  dengan  garis  dunia.  Hubungan  ini  sangatlah  penting  dalam teori relativitas untuk menyatakan hubungan metrik dalam ruang datar.

## 3.3 Pergeseran Paralel

## 3.3.1 Tetrad Pada Geodesik
Tetrad dapat diperoleh dengan mendefinisikan frame yang menghubungkan titik   ke ′ dengan memperkenalkan  basis  ortonormal  yang  digeser  paralel  sepanjang  geodesik.  Indeks  frame  , mempunyai jangkauan dari 0 hingga 3 dan vektor frame mempunyai sifat
= , = 0
Dimana metrik  Minkowsky  diag (1, −1, −1, −1) (yang  mana  kita  akan  menggunakan  frame untuk menurunkan dan menaikkan indeks). Lengkapnya kita memiliki hubungan berikut:

## Tetrad dualnya definisikan sebagai
=
Ini juga digeser paralel pada geodesik C. Hubungan yang lebih lengkap dalam suku suku tetrad dual lebih kompak dalam bentuk
= Hal  ini  mudah  untuk  menunjukkan  bahwa  tetrad  dan  dualnya  memenuhi = dan =
µ .
3.3.2. Definisi dan Sifat-Sifat Pergeseran Paralel Setiap medan vektor pada   disusun oleh basis sehingga = dan komponen frame
vektornya  diberikan  oleh
=
jika digeser  paralel  pada  geodesik,  maka  koefisien konstan.  Komponen  vektor  tersebut  di    dapat  diungkapkan  sebagai = ( ′ ′ ) atau  ditulis dalam bentuk [2, 5]:
( ) = ′ ( , ′ ) ′ ( ′ ) ′ ( , ′ ) = ( ) ′ ( ′ )
jika dikalikan dengan ′ ( , ′ ) persamaan di atas maka akan diperoleh
′ ( ′ ) = ′ ( , ′ ) ( ),
′ ( , ′ ) = ( ) ′ ( ′ )
di mana ′ ( , ′ ) invers dari ′ ( , ′ ) dan memenuhi
′ = , ′ ′ = ′ ′
untuk  sembarang  tensor  vektor  dual  yang  digeser  paralel  sepanjang  geodesik
=
maka komponen frame =
adalah konstan dan vektor dual di x dapat diungkapkan sebagai
( ) = ′ ( ′ , ) ′ ( )
karena  vektor-vektor  basis  digeser  pada  ,  maka  vektor  tersebut  memenuhi ; = 0 di    dan ; ′ ′ ′ = 0 di ’ sehingga memenuhi sifat-sifat:
′ ; = ′ ; ′ ′ = 0
; ′ = ; ′ ′ ′ = 0

## 3.4 Sistem Koordinat

## 3.4.1. Koordinat Normal Riemann
Dimisalkan ’ merupakan  titik  asal  yang  tetap  dan  sebuah  tetrad ( ′ ) kita  dapat memasangkan ke titik tetangga   membentuk koordinat baru
= − ′ ( ′ ) ′ ( , ′ )
di  mana =
adalah  tetrad  dual  pada ’ .  Koordinat  yang  baru disebut  koordinat normal Riemann. Dua buah koordinat normal memenuhi hubungan
= 2 ( , ′ ). Jika  menggeser  titik    ke + maka  koordinat  koordinat  yang  baru  berubah  menjadi + = − ′ ′ ( + , ′ ) = − ′ ′ sehingga  diperoleh  persamaan  transformasi  metrik sebagai:

## = −
′
′
Jelaslah  bahwa  transformasi  koordinat  ditentukan  oleh = − ′ ′ dan  bagi  titik  yang berimpit berlaku [2, 8, 10]
= ′ , = ′
menariknya,  Jacobian  dari  persamaan  (2.22)  diberikan  oleh = − ( , ′) dimana    adalah determinan  metrik  koordinat  asal  dan ( , ′ ) determinan  Vleck  yang  memaikan  peranan  penting dalam transformasi sistem koordinat.

## 3.4.2. Koordinat Normal Fermi
Misalkan   kurva timelike yang direpresentasikan oleh hubungan parametrik ( ) . Misalkan garis  dunia  dari  sebuah  partikel  dalam  ruang-waktu  lengkung.  Garis  dunia  tersebut  digambarkan oleh  persamaan  parametrik ( ) yang  mana    disebut  waktu  proper.  Vektor  tangennya  adalah = / dan percepatan partikelnya diberikan oleh = / . Medan vektor dikatakan bertransformasi  Remi-Walker  pada    [7,  11]  apabila  solusi  vektor  tersebut  memenuhi  persamaan diferensial
= − . Persamaan  diferensial  di  atas  akan  tereduksi  menjadi  persamaan  geodesik  jika .  Operasi
Fermi-Walker  (FW)  mempunyai  sifat  penting  antara  lain.  Pertama, secara  otomatis bertransformasi  menurut  FW  sepanjang    ortogonal  terhadap .  Kedua,  jika  vektor dan bertransformasi
sepanjang   maka perkalian dalamnya ( inner product ) adalah konstan pada  .

## 3.5 Fungsi Green
3.5.1. Fungsi Green dalam Ruang-Waktu Datar
Untuk  melihat  persamaan  (5)  berlaku  secara  umum  untuk  ruang  lengkung,  secara  matematis bahwa penyusunan kembali potensial retarded ke dalam singular simetri dan radiatif reguler dapat dibentuk oleh beberapa  jenis fungsi Green yang  diasosiasikan dengan persamaan (1) Eric Poisson [4] telah mengungkapkan solusi retarded persamaan gelombang sebagai
( ) = ′ ( , ′ ) ′ ( ′ ) ′ .                                                  (8) Fungsi  Green  retarded  didefinisikan  oleh ( , ′) = (   − ′ − | − ′|)/| − ′| .  Di sini = ( , ) titik  medan  sembarang  dan = ( , ′) titik  sumbernya  dan ′ ≡ 4 ′ .  Dengan cara serupa, untuk solusi advanced ditulis:
( ) = ′ ( , ′ ) ′ ( ′ ) ′ (9) Fungsi  Green  advanced  didefinisikan  oleh ( , ′) = ( − ′  + | − ′|)/| − ′| .
( , ′) nol  ketika terletak  di  luar  kerucut  cahaya  masa  depan  dari ′ ,  dan  di  titik  ini ( , ′) tak  terhingga.  Dengan  kata  lain, ( , ′) berharga  nol  ketika x terletak  di  luar kerucut  cahaya  dari ’ ,  dan  di  titik  ini ′ ( , ′ ) tak  terhingga.  Fungsi  Green  retarded  dan advanced memenuhi hubungan resiprok:
′ ( , ′ ) = ′ ( ,
′ ).                                                                    (10)
Persamaan di atas menyatakan bahwa fungsi Green retarded menjadi fungsi Green advanced jika dan ’ saling dipertukarkan. Dengan demikian kita dapat menuliskan fungsi Green tersebut sebagai fungsi singular yang diberikan oleh
′ ( , ′ ) = 1 2 ′ , ′ + ′ , ′ (11)
dan fungsi Green radiatifnya diberikan adalah
( , ′ ) = ′ ( , ′ ) − ( , ′ ) =⥂ 1 2 ′ , ′ − ′ , ′ (12)
jelaslah  bahwa  fungsi  Green  singular  simetri  terhadap  pertukaran  indeks  dan  argumennya
′ ( , ′ ) = ′ ( , ′ ) . Sedangkan fungsi Green radiatif adalah antisimetri. Potensial
( ) = ′ ( , ′ ) ′ ( ′ ) ′ (13)
memenuhi  persamaan  gelombang  dari  persamaan  (1)  dan  singular  pada  garis  dunia,  sedangkan potensial radiatif yang diberikan oleh
( ) = ′ ( , ′ ) ′ ( ′ ) ′ (14)
memenuhi  persamaan  homogen  dan  “berperilaku  baik”  ada  garis  dunia.  Persamaan  (12) mengimplikasikan  potensial  retarded  di    dibentuk  oleh  peristiwa  tunggal  dalam  ruang-waktu. Perpotongan garis dunia dan kerucut cahaya dan masa lampau dari ’ . Titik ini disebut sebagai titik retarded nya yaitu nilai parameter waktu proper di titik retarded. Sama halnya kita tentukan bahwa potensial advanced pada persamaan (14) dibentuk oleh perpotongan garis dunia dan kerucut cahaya masa depan dari titik medan  . Titik ini kita namakan titik advanced yang diasosiasikan dengan dan dinyatakan oleh ( ) dimana v waktu advanced nilai parameter waktu proper di titik advanced. Dalam ruang waktu datar, potensial retarded di   bergantung pada keadaan gerak partikelnya di titik retarded ( ) dalam garis dunia. Begitu pula dengan potensial advanced bergantung pada keadaan gerak di titik advancednya ( ) .
3.5.2. Fungsi Green dalam Ruang-Waktu Lengkung Dalam  ruang-waktu  lengkung  dengan  tensor  metrik persamaan  gelombang  untuk  vektor potensial diberikan oleh
− = −4 Di  mana adalah  operator  gelombang  kovarian  dan
tensor  Ricci  syarat  gauge  Lorentz menjadi menyatakan  turunan  kovarian.  Fungsi  Green  retarded  dan  advanced  dapat didefinisikan  untuk  persamaan  ini  dan  solusi  persamaan  (10)  diambil  dalam  bentuk  yang  sama seperti dalam persamaan (13) dan (14), kecuali ’ diganti dengan − ( ′) ′ . Dalam ruang - waktu lengkung, potensial retarded di x bergantung pada keadaan partikel sebelum waktu retarded sedangkan potensial advanced keadaan partikel setelah waktu advancednya [4]. Struktur kausal dari fungsi Green sangatlah lengkap. Misalkan, dalam ruang waktu datar fungsi Green retarded hanya di pengaruhi oleh kerucut cahaya masa depan x’ sedangkan dalam ruang-waktu lengkung fungsi Green dipengaruhi oleh “sisi” kerucut cahaya. Oleh karena itu, ( , ′) tidaklah nol ketika ∈ + ( ′) yang menyatakan persistiwa future ’ . Sifat pemantulan ini menyatakan bahwa dalam ruang waktu lengkung,  penjalaran  gelombang  elektromagnet  tidak  sama  dengan  kecepatan  cahaya  akan  tetapi, lebih kecil atau sama dengan kecepatan cahaya [4] berkurangnya kecepatan cahaya disebabkan oleh interaksi  radiasi  dengan  ruang-waktu  lengkung.  Kebergantungan  potensial  pada  keadaan  gerak partikelnya  terpenuhi  jika ≤ dimana    waktu  tunda  retarded.  Detweiler  and  Whiting [5]  telah mendefinisikan bentuk umum dari persamaan (11):
′ ( , ′ ) = 1 2 ′ ( , ′ ) + ′ ( , ′ ) −
′ ( , ′ )
di  mana ( , ′) fungsi  dua  titik.  Ini  simetri  dengan  pertukaran  indeks  dan  argumennya  dan memenuhi  solusi  persamaan  homogen
′ ( , ′ ) − ( ) ′ ( , ′ ) .  Oleh  karena  itu,  baik  fungsi Green  retarded  maupun  advanced  adalah  singular  dan  selalu  memenuhi  persamaan  gelombang. Akibatnya fungsi Green radiatif pada persamaan (12) dapat ditulis kembali menjadi:
′ ( , ′ ) = ′ ( , ′ ) − ( , ′ ) = 1 2 ′ ( , ′ ) − ′ ( , ′ ) − ′ ( , ′ )
Karena potensial memenuhi persamaan gelombang homogen sehingga berperilaku baik pada garis duniannya  sehingga  aksinya  pada  partikel  bermuatan  akan  terdefinisi  dengan  baik  dan  karena potensial ( ) menunjukan  tidak  ada  gaya  pada  partikel.  Dari  fungsi  radiatif  kita  mempunyai bentuk tensor medan elektromagnetik
= − dan generalisasi persamaan (12) adalah = 1 + dimana
= 4-kecepatan  muatan  dengan  percepatan    merupakan  turunan  intrinsik  terhadap waktu propernya.

## 4. Kesimpulan
Garis dunia tersebut digambarkan oleh persamaan parametrik ( ) yang mana   disebut waktu proper.  Vektor  tangennya  adalah = / dan  percepatan  partikelnya  diberikan  oleh = / . Dengan memisalkan   sebagai basis ortonormal yang terdiri dari 4 -kecepatan dan 3 vektor spesial yang diberi tanda   oleh indeks frame = 1, 2, 3 . Vektor-vektor ini memenuhi hubungan = −1 , = 0 dan = 0 .  Akibatnya  kita  dapat  mengambil  vektor  spesial pada garis dunia = dimana
( ) =
.
yang  merupakan  komponen  frame  vektor  kecepatan.  Dengan  demikian,  kita  dapat  menggunakan tetrad  yang  dievaluasi  pada  garis  dunia.  Komponen-komponen  tensor  Riemann  dan  tensor  Ricci dapat ditulis dalam suku-siku basis sebagai berikut:
( ) = , ( ) = , ( ) =
dan komponen frame tensor Ricci diberikan oleh
( ) = , ( ) = , ( ) = ,
dalam menyusun frame tersebut di atas kita gunakan metrik dengan signatur
diagonal (1,1,1) untuk menurunkan indeks dan inversnya = (1,1,1) untuk menaikan indeks.

## Referensi
[1] S.  M.  Carroll, Lecture  Notes  on  General  Relativity .  Chicago:  Enrico  Fermi  Institute,  University  of Chicago, 1997.
[2] N. Chernokov, “Two Connections in The Gravity Theory,” Discuss. J. Gravitational Phys. , vol. 2, no. 1, 1997.
[3] S. M. Wagh, “The Significance of the General Principle of Relativity,” arXiv:physics/0502088 , 2005, doi: https://doi.org/10.48550/arXiv.physics/0502088.
[4] L.  Barack,  “Gravitational  self-force  by  mode  sum  regularization,” Phys.  Rev.  D ,  vol.  64,  no.  8,  p. 084021, Sep. 2001, doi: 10.1103/PhysRevD.64.084021.
[5] Y. Mino, M. Sasaki, and T. Tanaka, “Gravitational radiation reaction to a particle motion,” Phys. Rev. D-Part. Fields, Gravit. Cosmol. , vol. 55, no. 6, pp. 3457–3476, 1997, doi: 10.1103/PhysRevD.55.3457.
[6] T. C. Quinn, “Axiomatic approach to radiation reaction of scalar point particles in curved spacetime,” Phys. Rev. D , vol. 62, no. 6, p. 064029, Aug. 2000, doi: 10.1103/PhysRevD.62.064029.
[7] T.  C.  Quinn  and  R.  M.  Wald,  “Axiomatic  approach  to  electromagnetic  and  gravitational  radiation reaction of particles in curved spacetime,” Phys. Rev. D , vol. 56, no. 6, pp. 3381–3394, Sep. 1997, doi: 10.1103/PhysRevD.56.3381.
[8] L. Barack, Y. Mino, H.  Nakano, A. Ori,  and M.  Sasaki, “Calculating the Gravitational Self-Force in Schwarzschild  Spacetime,” Phys.  Rev.  Lett. ,  vol.  88,  no.  9,  p.  091101,  Feb.  2002,  doi: 10.1103/PhysRevLett.88.091101.
[9] S.  Detweiler, “Radiation  Reaction  and the  Self-Force for a  Point Mass in  General  Relativity,” Phys. Rev. Lett. , vol. 86, no. 10, pp. 1931–1934, Mar. 2001, doi: 10.1103/PhysRevLett.86.1931.
[10] S. Detweiler and B. F. Whiting, “Self-force via a Green’s function decomposition,” Phys. Rev. D , vol. 67, no. 2, p. 024025, Jan. 2003, doi: 10.1103/PhysRevD.67.024025.
[11] M.  J.  Pfenning  and  E.  Poisson,  “Scalar,  electromagnetic,  and  gravitational  self-forces  in  weakly curved  spacetimes,” Phys.  Rev.  D ,  vol.  65,  no.  8,  p.  084001,  Mar.  2002,  doi: 10.1103/PhysRevD.65.084001.
[12] L.  Barack,  “Self-force  on  a  scalar  particle  in  spherically  symmetric  spacetime  via  mode-sum regularization:  Radial  trajectories,” Phys.  Rev.  D ,  vol.  62,  no.  8,  p.  084027,  Sep.  2000,  doi: 10.1103/PhysRevD.62.084027.