## PERAMALAN NILAI TUKAR DOLAR AMERIKA TERHADAP INDONESIA DENGAN MODEL MAXIMAL OVERLAP DISCRETE WAVELET TRANSFORM-AUTOREGRESSIVE MOVING AVERAGE
1 Vega Zayu Farima, 2 Herni Utami
1 Program Studi Statistika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Muhammadiyah Semarang
2 Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Gadjah Mada Alamat e-mail : vegafarima@unimus.ac.id

## ABSTRAK
Beberapa  permasalahan  dalam  kehidupan  sehari-hari  perlu  untuk  diramalkan  sebelum diambil  keputusan.  Nilai  tukar  mata  uang  asing  yang  mempengaruhi  kurs  Indonesia seperti nilai tukar dolar Amerika sangat perlu diramalkan untuk jangka waktu tertentu. Data  kurs  memiliki  volatilitas  yang  sangat  tinggi  dan  cenderung  tidak  stasioner. Transformasi wavelet mampu merepresentasikan informasi waktu dan frekuensi secara bersamaan  sehingga  dapat  digunakan  untuk  menganalisis  data-data  nonstasioner. MODWT-ARMA yaitu model hibrid dari Maximal Overlap Discrete Wavelet Transform (MODWT)  dan Autoregressive  Moving  Average (ARMA)  yang  berhubungan  dengan data runtun waktu nonstasioner. Secara teori, nilai detail yang diperoleh dari dekomposisi MODWT  adalah  stasioner.  Hal  ini  menyebabkan  hasil  dekomposisi  dapat  diramalan dengan  ARMA.  Pada  peramalan  nilai  tukar  dolar  Amerika  terhadap  rupiah,  diperoleh pemodelan yang fitted dengan data training dan diperoleh nilai MAPE yang kecil yaitu 0.82%.  Hal  ini  mengindikasikan  bahwa  model  gabungan  ini  efektif  untuk  menambah keakuratan peramalan.
Kata kunci : Peramalan, Data Runtun Waktu, Dekomposisi, MODWT-ARMA, MAPE.

## PENDAHULUAN
Dalam  kehidupan  sehari-hari  beberapa permasalahan  perlu  diramalkan  terlebih dahulu sebelum diambil keputusan. Metode yang  sering  digunakan  dalam  analisis runtun  waktu  adalah  ARMA.  Metode ARMA  mewakili  runtun  waktu  yang bersifat  stasioner.  Transformasi  wavelet mampu merepresentasikan informasi waktu dan frekuensi secara bersamaan. Representasi waktu dan frekuensi mengakibatkan transformasi wavelet dapat digunakan  untuk  menganalisis  data-data nonstasioner.
Wavelet adalah suatu konsep yang relatif baru dikembangkan. Wavelet berarti gelombang  kecil  yang  dapat  memisahkan sinyal ke dalam dua komponen yaitu bagian
trend dan detail .  Tujuan  digunakannya wavelet  adalah  untuk  mentransformasi sinyal  supaya  mudah  dipahami  (dibaca). Selain itu, wavelet juga mampu merepresentasikan  fungsi  yang  bersifat tidak  mulus  maupun  fungsi  dengan lonjakan  atau  volatilitas  tinggi.  Fungsi wavelet  adalah  suatu  fungsi  dengan  sifat- sifat tertentu diantaranya yang berosilasi di sekitar  nol  (seperti  fungsi  sinus  dan cosinus), terlokalisasi dalam domain waktu dan  frekuensi  serta  membentuk  basis ortogonal [2].
Dalam jurnal ini akan dibahas penerapan metode  wavelet,  khususnya Maximal
Overlap  Discrete  Wavelet  Transform - Autoregressive Moving Average
(MODWT-ARMA)  untuk  menganalisis data  runtun  waktu.  MODWT  merupakan transformasi  wavelet  modifikasi  dari
Discrete  Wavelet  Transform (DWT). Sampel  yang  diamati  untuk  DWT  hanya dapat dinyatakan dalam bentuk  2 J dengan J bilangan  bulat  positif,  sedangkan MODWT  dapat  digunakan  untuk  setiap ukuran  sampel.  Kelebihan  lain  dari MODWT  yaitu  mampu  mereduksi  data menjadi setengahnya sehingga untuk setiap level dekomposisi terdapat koefisien wavelet  ( detail )  dan  skala  ( smooth ) sebanyak panjang data [1].
MODEL Maximal  Overlap  Discrete Wavelet Transform (MODWT)
Maximal  Overlap  Discrete  Wavelet Transform (MODWT)  [1]  merupakan modifikasi  dari  pemfilteran  dengan  DWT jika  sampel  yang  diamati  berukuran sebarang. Misalkan, , { } j l h merupakan filter
wavelet  DWT  dan
, { } j l g filter  skala, dengan = 1, 2,..., l L merupakan  panjang filter dan j adalah level dekomposisi. Filter wavelet  dan  skala  MODWT  didefinisikan sebagai berikut:
Definisi  3.1 Filter  wavelet dan skala MODWT didefinisikan  sebagai { } l h   dan
{ } l g  yang dibentuk dari filter dasar, yaitu:
1, 1 = = 2 l l l h h h , dan 1, 1 = = 2 l l l g g g 1 1 = ( 1) l l L l g h     , dan 1 = ( 1) l l L l h g   
Untuk  suatu  runtun  waktu t X dengan sebarang  ukuran  sampel  N,  koefisien wavelet  ( j W )  dan  skala  ( j V )  MODWT level ke j didefiniskan sebagai:
1 ( ) =0 1 ( ) =0 = , = L j j l t l modN l L j j l t l modN l W h X dan V g X       dengan = (2 1)( 1) 1 j j L L    . Berikut
didefinisikan koefisien MODWT level ke j :
Definisi  3.2 Untuk  suatu  runtun  waktu
t X   dengan  sebarang  ukuran  sampel  N, koefisien  wavelet  ( j W )  dan  skala  ( j V ) MODWT level ke  j  didefiniskan sebagai
1 , , =0 1 , , =0 = , = L j j t j l t lmodN l L j j t j l t lmodN l W h X dan V g X       dengan = 0,1,..., 1 t N  , , , / 2 1 = 2 j l j l j h h ,
dan , , / 2 1 = 2 j l j l j g g . Filter , { } j l h dan , { } j l g
disebut  filter  wavelet  dan  skala  MODWT level  ke j dengan  lebar  filter  yaitu
= (2 1)( 1) 1 j j L L    .
Selanjutnya,  runtun  waktu X dapat ditemukan kembali dari MODWT melalui:
0
0 0 =0 0 0 =0 = = J T T j J J j j J j J j X W V     W V
D S
yang  merupakan  pendefinisian  MODWT dengan dasar analisis multiresolusi (MRA) dari X dalam bentuk detail dan smooth . MODWT mempunyai sifat penting yang menjadi  kunci  dalam  proses  runtun  waktu nonstasioner.  Misalkan t X adalah  proses stokastik dengan backward difference orde ke d, yaitu
=0 = (1 ) = ( 1) d d k t t t k k d Y B X X k          
adalah  proses  stasioner  dengan  fungsi kepadatan spectral (SDF) ( ) Y S f dan mean
Y  ,  dengan  B  adalah  operator backward
shift , ! = !( )! d d k k d k        . Notasi , { } j t W merupakan  representasi output dari filter  { } t X menggunakan filter wavelet MODWT , { } j l h yang didefinisikan
1 , , =0 { } = L j j t j l t l l W h X    dengan = ..., 1, 0,1,... t 
Sifat  3.3 [3]  Jika , { } j l h adalah  filter wavelet Daubechies dengan 2 L d  , maka
, { } j t W merupakan proses stasioner dengan SDF yang didefinisikan sebagai
( ) ( ) = ( ) ( ) D j j X S f f S f H dengan ( ) ( ) D j f H adalah  fungsi squared gain yang  berhubungan  dengan , { } j l h ,
didefinisikan dengan
2 1 ( ) 2 , =0 ( ) = L j D i fl j j l l f h e     H dan ( ) X S f adalah SDF dari proses { } t X .

## MODEL MODWT-ARMA
Dengan  menggunakan  MODWT,  data runtun  waktu  { , = 1, 2,..., }
t X t
N dapat ditulis sebagai persamaan berikut:
0 , , 0 =0 = , = 1, 2,..., J J t j t t j X t N   S D (1)
dengan , 0 0 = { , = 1, 2,..., } J J t t N S S
merepresentasikan tendency  series dengan ciri dinamika lambat sedangkan
, = { , = 1, 2,.., } j j t t N D D , 0 = 1, 2,... j J , merepresentasikan detail series t X dengan ciri  dinamika  yang  cepat  khususnya  untuk level yang rendah.
Untuk meramalkan nilai  ˆ N h X  dari X , dapat  dilakukan  untuk 0 J S dan j D yaitu
dengan  menaksirkan N h  S dan , j N h  D , 0 = 1, 2,..., j J .  Selanjutnya,  diperhatikan untuk model linear ARMA dapat disederhanakan menjadi persamaan
( ) = ( ) t t B X B e   (2)
dengan  dan  adalah derajat polinomial ke p dan q .
Berdasarkan teori di atas, nilai tendency dan detail dapat  diperkirakan  menjadi bentuk berikut:
, , 1 ,
1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 = ... ... J N J N J N p p N N q N q e e e               S S S (3) , , 1 , 1 1 1 = ... ... j N j N j N p j jp j j N j N jq N q j j e e e               D D D (4)
dengan menggunakan notasi operator backward shift B diperoleh
, , 0 0 = [ ( ) 1] ( ) J N J N N B B e     S S (5) , , = [ ( ) 1] ( ) j N j N j j N B B e     D D (6)
Jadi, dari persamaan (5) dan (6) diperoleh model peramalan MODWT-ARMA, yaitu:
0 , , 0 =0 , 0 0 , =0 ˆ = = [ ( ) 1] ( ) ([ ( ) 1] ( ) ). J J N h j N h N h j J N h N h J j N h j j N h j X B B e B B e                    S D S D

## METODE PENELITIAN

## Sumber Data dan Variabel Penelitian
Data yang digunakan pada penelitian ini merupakan  data  sekunder  yang  diperoleh dari  www.bi.go.id.  Data  nilai  tukar  dolar Amerika  terhadap  rupiah  merupakan  data harian  yang  dikumpulkan  dari  tanggal  22 Juli 2015 sampai dengan 26 Mei 2016, yaitu sebanyak  210  data.  Banyaknya  data  nilai tukar  dolar  Amerika  terhadap  rupiah tersebut  dibagi  menjadi  data  training  dan data testing. Data training digunakan untuk pembentukan  model  yaitu  sebanyak  200 data,  sedangkan  data  testing  sebanyak  10 data digunakan untuk pengecekan model.
Berikut  variabel  yang  diperoleh  dari pengolahan data, yaitu:
D 1 : detail 1
D 2 : detail 2 D 3 : detail 3 D 4 : detail 4
S 1 : smooth 1 X t : Data awal

## Metode Analisis
Analisis  data  pada  penelitian  ini dilakukan dengan beberapa tahapan yaitu:
1. Uji stasioneritas data training
2. Setelah  diketahui  data  nonstasioner, kemudian  dilakukan  dekomposisi dengan  MODWT  menggunakan MRA
3. Diperoleh nilai detail yang stasioner
4. Dilakukan  peramalan  data  dengan ARMA

## HASIL PENELITIAN
Aplikasi model MODWT-ARMA menggunakan  data  nilai  tukar  dolar Amerika terhadap rupiah dilakukan dengan menggunakan  software  R.  Prosedur  awal pemodelan menggunakan MODWT- ARMA  adalah  pengecekan  stasioneritas data.  Data  nilai  tukar  dolar  Amerika terhadap  rupiah  tidak  stasioner,  kemudian dilakukan  dekomposisi  dengan  MODWT menggunakan  MRA.  Dekomposisi  dengan
MODWT
dimaksudkan untuk menstasionerkan detail  series sehingga diperoleh  hasil  yang  stasioner.  Dalam  hal ini,  digunakan  keluarga  wavelet  yaitu Daubechies  4,  diperoleh  nilai smooth dan detail yaitu 1 D , 2 D , 3 D , 4 D ,  dan 4 S .
Dengan  menggunakan  MODWT,  data  asli akan  bernilai  sama  dengan  data  hasil dekomposisi yaitu:
1 2 3 4 4 = t X     D D D D S
Selanjutnya diperiksa stasioneritas data dari masing-masing hasil dekomposisi tersebut. Diperoleh  data  hasil  dekomposisi  telah
stasioner. Masing-masing hasil dekomposisi  diramalkan  dengan  ARMA, kemudian  hasil  ramalan  dari  nilai smooth dan detail  series dijumlahkan.  Diperoleh hasil  ramalan  nilai  tukar  dolar  Amerika terhadap  rupiah  memenuhi  persamaan berikut:
4 4, 1 , 1 1 =0 ˆ = N j N N j X      S D
Gambar 1 : Plot Data Asli dan Ramalan
Terlihat  bahwa  hasil  peramalan  cukup dapat  mengikuti  pergerakan  data  yang ditunjukkan  oleh  nilai  MAPE  yang  relatif kecil yaitu sebesar 0.82%.

## KESIMPULAN
Data nilai tukar dolar Amerika terhadap rupiah  merupakan  data  nonstationer  yang dikumpulkan  secara  harian  sebanyak  210 data.  Banyaknya  data  nilai  tukar  dolar Amerika  terhadap  rupiah  tersebut  dibagi menjadi data training dan data testing. Data training  digunakan  untuk  pembentukan model yaitu sebanyak 200 data, sedangkan data  testing  sebanyak  10  data  digunakan untuk pengecekan model.
Data diolah menggunakan model MODWT-ARMA dan didekomposisi dengan  MRA  menghasilkan  nilai detail yang stasioner. MODWT mampu
mereduksi  data  menjadi  setengahnya sehingga  untuk  setiap  level  dekomposisi terdapat  koefisien  wavelet  ( detail )  dan skala ( smooth ) sebanyak panjang data. Nilai detail  yang  stasioner  dapat  diramalkan dengan ARMA secara langsung.
Pada  peramalan  nilai  tukar  dolar Amerika terhadap rupiah, diperoleh
pemodelan yang fitted dengan data training dan diperoleh nilai MAPE yang kecil yaitu 0.82%.  Hal  ini  mengindikasikan  bahwa model gabungan ini efektif untuk menambah keakuratan peramalan.

## DAFTAR PUSTAKA
[1] Percival,  Donald  B  dan  Andrew  T Walden.  2000. Wavelet  Methods  for Time  Series  Analysis .  Cambridge University Press: America.
[2] Walker,  James  S.  2008, A  Primer  on
Wavelets and their Scientific Applications,  2nd  edition .  Taylor  and Francis Group: New York.
[3] Zhu,  Li.,  Wang,  Yanxin.,  and  Fan, Qibin.  2014,  MODWT-ARMA  Model for  Time  Series  Prediction. Journal  of Applied  Mathematical  Modelling ,  38, 1859 - 1865.