## PENDUGAAN STANDARD ERROR DAN CONFIDENCE INTERVAL
KOEFISIEN GINI DENGAN METODE BOOTSTRAP : TERAPAN PADA DATA SUSENAS PROVINSI PAPUA BARAT TAHUN 2013
1 Dwi Indri Arieska, dan 2 Novi Hidayat Pusponegoro
1 Aparatur Sipil Negara –Badan Pusat Statistik, Kabupaten Lamandau
2 Dosen Jurusan Statistika –Sekolah Tinggi Ilmu Statistik, Jakarta e-mail : 1 dwi.indri@bps.go.id, 2 novie@stis.ac.id
Masuk tanggal : 12 Agustus 2016, diterima untuk diterbitkan tanggal : 9 Januari 2017

## Abstrak
Ketimpangan pendapatan merupakan salah satu indikator pembangunan ekonomi suatu negara. Salah satu ukuran ketimpangan pendapatan yang sering digunakan adalah koefisien gini. Namun, koefisien gini yang dipublikasikan merupakan estimasi titik yang memiliki kekurangan dalam fungsinya sebagai penduga  dikarenakan  tidak  dipertimbangkannya  peluang  kebenaran  dalam  nilai  tersebut.  Sehingga, penduga  titik  saja  tidak  cukup  untuk  mengestimasi  suatu  parameter  maka  penduga  interval  menjadi penting karena merepresentasikan akurasi atau presisi dari sebuah estimasi. Penelitian ini menerapkan metode  pendugaan  terhadap  standard  error  dan  confidence  interval  koefisien  gini  dengan  metode bootstrap guna memperoleh penduga selang nilai koefisien gini. Data yang dipergunakan dalam kajian ini adalah data Susenas Provinsi Papua Barat tahun 2013. Dengan mempergunakan nilai koefisien gini yang  telah  disesuaikan  (koefisien  gini  bias-corrected)  maka  pendugaan  standar  error  koefisien  gini bias-corrected  Provinsi  Papua  Barat  tahun  2013  dilakukan  dengan  dua  metode  yaitu  perhitungan sampel  asli  dan  resample  metode  bootstrap  nonparametrik.  Temuan  pada  kajian  ini  adalah  penduga selang  koefisien  gini  yang  dihitung  dengan  menggunakan  bootstrap-t  merupakan  confidence interval terbaik dari keseluruhan confidence interval yang terbentuk karena memiliki standard error kecil dan interval pendek.
Kata Kunci : confidence interval , koefisien gini bias-corrected, bootstrap

## Abstract
Income inequality is one of economic development indicators. As a kind of inequality indicators which is commonly used in Indonesia, gini coefficient is published as a point estimation. This estimation are lacking in its function as an estimator because it doesn’t considerate the probability accuration of the estimate value.Thus, the confidence interval estimation is needed as a comprehensive estimator. The objective of this study is estimate the standard errors and confidence intervals Gini coefficients with the bootstrap method. This study used National Social Economics Household Survey for West Papua Province in 2013. The Gini coefficient that used is a bias-corrected gini coefficient as consideration the  bias  in  the  calculation.  The  standard  error  of  bias-corrected  gini  coefficient  in  West  Papua  is carried out of two data, which are the original sample and resample nonparametric bootstrap method. This research found out that bootstrap-t confidence interval confidence interval is the best confidence interval since it has the smallest standard error and shortest interval.
Keywords : confidence interval, bias-corrected Gini coefficient, bootstrap

## PENDAHULUAN
Penanggulangan kemiskinan dan ketimpangan distribusi pendapatan merupakan inti dan tujuan utama kebijakan pembangunan  berkelanjutan  di  semua negara  (Todaro  dan  Smith,  2004).  Untuk mencapai  tujuan  ini,  haruslah  dilakukan upaya  untuk  mendorong  pertumbuhan ekonomi  yang  berkelanjutan,  inklusif  dan adil  secara  bersama  oleh  semua  negara  di dunia  yang  dirumuskan  dalam Millenium
Development Goals ( MDGs ) dan
diteruskan dalam Sustanaible Development Goals ( SDGs ). SDGs mulai  direalisasikan pada 1 Januari 2016 dan harus diselesaikan pada tahun 2030. Dalam SDGs pengentasan  kemiskinan  dan  ketimpangan distribusi  pendapatan  dinyatakan  dalam tujuan  pertama  serta  kesepuluh  yaitu pengentasan  kemiskinan  dalam  segala bentuk  dan  dimanapun  serta  mengurangi ketimpangan di dalam dan antar negara.
Menurut  Seers  dalam  Asra  (2013), terdapat  empat  indikator  untuk  mengukur pembangunan ekonomi, yaitu pertumbuhan ekonomi,  tingkat  kemiskinan,  tingkat ketimpangan  pendapatan,  dan  tingkat pengangguran.  Ketimpangan  merupakan salah  satu  masalah  yang  serius  dalam pembangunan  ekonomi  suatu  negara. Banyak  negara  di  dunia  mengalami perkembangan yang pesat dalam pertumbuhan  ekonomi.  Namun,  distribusi pendapatan
masyarakatnya
justru memburuk,  misalnya  Amerika  Serikat  dan China (World Bank, 2016).
Umumnya, ukuran ketimpangan distribusi  pendapatan  antar  penduduk dalam  suatu  wilayah  dinyatakan  dengan Rasio  Gini.  Todaro  (2004)  menyataan bahwa  koefisien  gini  memiliki  empat kriteria  yang  sangat  dicari  dalam  suatu ukuran yaitu: prinsip anonimitas, independensi skala, independensi populasi, dan  transfer,  sehingga  koefisien  ini merupakan  ukuran  yang  sesuai  dalam menjelaskan  suatu  kondisi  ketimpangan. Ukuran  ini  memiliki  jangkauan  nilai  0 sampai  dengan  1  dengan  interpretasi kemerataan  pendapatan  yang  sempurna jika  bernilai  0  yaitu  jika  setiap  orang
memiliki pendapatan  yang  tepat  sama,  dan ketimpangan sempurna jika bernilai 1 yaitu jika satu orang memiliki semua pendapatan sementara  orang  lain  memiliki  pendapatan nol.  Namun,  kemerataan  dan  ketimpangan sempurna merupakan hal yang mustahil.
Di  Indonesia,  perhitungan  koefisien gini  dipublikasikan  oleh  BPS  berdasarkan data  pengeluaran  rumah  tangga  hasil  dari Survei Sosial Ekonomi Nasional (SUSENAS). Koefisien gini yang dipublikasikan  merupakan  estimasi  titik yang memiliki kekurangan dalam fungsinya  sebagai  penduga  dikarenakan tidak dipertimbangkannya peluang kebenaran  dalam  nilai  tersebut.  Sehingga, penduga  titik  saja  tidak  cukup  untuk mengestimasi suatu parameter maka penduga  interval  menjadi  penting  karena merepresentasikan akurasi atau presisi dari sebuah estimasi.
Standard  error dan  penduga  interval merupakan  komponen  penting  dalam pendugaan  suatu  nilai  parameter. Standard error (SE)  adalah  standar  deviasi  dari distribusi sampling suatu statistik.
Standard  error merujuk  kepada  perkiraan standar  deviasi  dari  sampel  tertentu  yang digunakan  untuk  menghitung  suatu  nilai estimator. Namun dalam pendugaan ukuran ketimpangan  pendapatan  penduduk,  nilai standard  error masih  jarang  dilaporkan. Hal  ini  dikarenakan  sebagian  besar formulasi standard  error yang  diusulkan dalam literatur memiliki perhitungan kompleks dan rumit secara matematis atau memerlukan  teknik  komputasi  tertentu untuk  menghitung standard error tersebut. (Hoeffding, 1948).
Karagiannis  dan  Kovacevic  (2000) serta Ogwang (2000) melakukan penelitian terkait penghitungan standard error koefisien gini.
Penelitian-penelitian
tersebut  membahas  cara-cara  agar  beban komputasi terkait perhitungan varian koefisien  gini  dapat  diminimalisir  dengan pendekatan metode jackknife . Salah satunya adalah dengan penggunaan sampel data yang lebih besar. Hal ini pada awalnya menjadi  suatu  masalah.  Akan  tetapi, sekarang  sudah  dapat  diatasi  dengan metode bootstrap untuk membentuk
penduga  selang  nilai  parameter  koefisien gini.
Davidson
(2009)
menyajikan prosedur  untuk  menghitung asimptotically correct  standard  error koefisien  gini dengan  teknik  yang  relatif  sederhana. Davidson  menghasilkan  rumus  estimator bias-corrected koefisien  gini,  pendugaan standard error koefisien gini dan menggambarkan penggunaan metode bootstrap untuk  menghasilkan  kesimpulan estimasi koefisien gini yang reliabel.

## METODOLOGI
Efron dan Tibshirani (1998)
mendefinisikan bootstrap sebagai  metode simulasi  berbasiskan  data  yang  dapat digunakan  untuk  statistika  inferensia. Istilah bootstrap didapat  dari  sebuah  frase “untuk  menarik  seseorang  keatas  dengan menggunakan  satu  tali  sepatu  ( bootstrap )” yang diperoleh dari sebuah buku pada abad ke-18  yang  berjudul  “ Adventure  of  Baron Munchausen ”  karya  Rudolph  Erich  Raspe. Untuk  selanjutnya, Bootstrap banyak dikembangkan  oleh  Efron  dan  banyak diaplikasikan dalam bidang statistika karena memiliki banyak keunggulan.
Bootstrap adalah  metode  statistika inferensia yang berbasis computer. Prosedur  statistika  yang  digunakan  dalam bootstrap adalah sampling dari  sebuah populasi  yang  dilakukan  dengan resample . Metode bootstrap adalah  metode  berbasis resampling data  sampel  dengan  syarat pengembalian pada data dalam mendapatkan  ukuran  statistik  suatu  sampel yang mewakili data populasi. Keterwakilan data  populasi  di  dapatkan  dari  ukuran resampling yang diambil secara ribuan kali.
Bootstrap memungkinkan  seseorang untuk melakukan inferensia terhadap parameter  tanpa  membuat  asumsi  awal mengenai  distribusi  nilai  data  yang  kuat dan  tidak  memerlukan  formulasi  analitis untuk  distribusi  sampling  suatu  estimator.
Oleh  karena  itu, bootstrap menggunakan distribusi  empiris  untuk  mengestimasi distribusi sampling .  Jika  parameter  dapat dinyatakan  sebagai  sebuah  fungsi  dari distribusi  yang  tidak  diketahui,  fungsi
distribusi estimator bootstrap sama dengan fungsi  distribusi  empiris.  Salah  satu  yang merupakan  daya  tarik  dari  metode  ini adalah  secara  langsung  dapat  memberikan nilai  pendugaan varians,  bias,  coverage dan fenomena probabilita lain.
Ada  beberapa  batasan  dalam  metode bootstrap .  Pertama  sampel  harus  cukup besar  dan  diambil  secara  random  sehingga dapat  mewakili  keseluruhan  populasi. Sampel  yang  dimaksud  disini  mengikuti kaidah  teorema  limit  pusat  yaitu  lebih  dari atau  sama  dengan  30,  karena  metode bootstrap tidak  dapat  mengatasi  beberapa bias untuk sampel yang tidak mewakili dan dalam  beberapa  kasus  akan  memperumit masalah.  Kedua,  metode  parametrik  lebih baik  dalam  banyak  kasus  untuk  membuat pendugaan  titik.  Jadi,  prosedur bootstrap dapat parametrik dapat menyediakan estimasi yang lebih akurat melalui pendugaan  selang  dengan  pada  suatu tingkat kepercayaan.
Langkah-langkah perhitungan dengan metode bootstrap adalah sebagai berikut: 1. Sampel  pada  data  x  didefinisikan sebagai  data  sampel  berukuran  n  yang terdiri  dari  x i =x 1 ,x 2 ,x 3 ,…, x n dengan  x i sebagai vektor data pengamatan.
2. Sampel  data  x  diambil  secara  acak berukuran  n  dengan  pengembalian. Kemudian,  diperoleh  data  sampel  baru yang  didefinisikan  sebagai  x * .  Sampel data  x * terdiri  dari  anggota  data  asli, akan  tetapi  mungkin  sebagian  data tidak  akan muncul, atau muncul hanya sekali atau dua kali semuanya tergantung kepada randomisasi.
3. Langkah  kedua  dilakukan  beberapa kali sebanyak B, sehingga mendapatkan  himpunan  data bootstrap (x *1 , x *2 , …, x *B ) dengan setiap sampel bootstrap merupakan sampel acak yang saling  independen.  Dalam  menentukan besarnya nilai B akan sangat bervariatif,  karena  besar  kecilnya  nilai B  dapat  memberikan  hasil  yang berbeda-beda  bagi  setiap  tahapan dalam analisis.
4. Replikasi bootstrap x *1 ,  x *2 ,  …, x *B didapatkan    dengan    cara  menghitung nilai s(x) pada  masing-masing  sampel
bootstrap .  Nilai s(x) merupakan  suatu nilai  taksiran  statistik  dari  masing- masing  sampel bootstrap .  Proses  ini menggunakan  prinsip  Monte  Carlo untuk  mendapatkan standard  error bootstrap . Standard  error  bootstrap dapat  dihitung  dengan  rumus  sebagai berikut :
𝑠𝑒 ̂ 𝐵 = [∑ [𝜃 ̂ ∗ (𝑏) −𝜃 ̂ ∗ (.) ] 2 𝐵−1 𝐵 𝑏=1 ] 1 2
[1]
5. Selanjutnya setelah didapatkan standard error bias-corrected parameter dan standard
error
bootstrap , confidence  interval dapat terbentuk. Standard error bias-
corrected parameter  digunakan  untuk menghitung confidence interval normal standar. Standard error bootstrap dapat digunakan untuk menghitung confidence interval normal standar dan
bootstrap-t .
Gambar  di  bawah  ini  merupakan  gambar algoritma  perhitungan standard  error bootstrap . Sampel bootstrap adalah sampel independen  berukuran 𝑛 dari  distribusi empiris suatu dugaan parameter 𝐹̂.

## Sumber: Efron dan Tibshirani (1986)

## Gambar 1. Cara Mengestimasi Standard Error Bootstrap secara Umum
Beberapa Confidence Interval
Bootstrap
Berikut  disajikan  beberapa  penduga selang ( confidence interval) parameter yang dihasilkan  oleh  metode boostrap. Untuk selanjutnya, confidence  interval tersebut dipilih  yang  terbaik  yaitu  yang  memiliki peluang besar dengan panjang interval yang realtif pendek.
Confidence Interval Normal Standar N (0, 1)
Pembentukan confidence  interval normal standar  adalah  pembentukan confidence
interval dengan metode  frekuentis  yang sering digunakan, yaitu berdasarkan:
(1 − 𝛼) = 𝑃[𝜃̂ − 𝑧 𝛼 2 . 𝑆𝐸 𝜃 ̂ ̂ , 𝜃̂ − 𝑧 𝛼 2 . 𝑆𝐸 𝜃 ̂ ̂ ] [𝜃̂ − 𝑧 𝛼/2 . 𝑆𝐸 𝜃 ̂ ̂ , 𝜃̂ − 𝑧 𝛼/2 . 𝑆𝐸 𝜃 ̂ ̂ ] [2]
dengan:
𝑆𝐸 𝜃 ̂ ̂ : Standard  error bias-corrected dari estimator 𝜃 ̂ (koefisien gini bias-corrected ). 𝜃 ̂ : nilai estimasi parameter 𝜃
Confidence Interval Standar Bootstrap Perhitungan confidence  interval standar bootstrap bias-corrected dengan  simulasi
bootstrap dapat  dilakukan  dengan  rumus sebagai berikut:
[𝜃̂ − 𝑧 𝛼/2 . 𝑆𝐸 𝐵𝑜𝑜𝑡 ̂ , 𝜃̂ − 𝑧 𝛼/2 . 𝑆𝐸 𝐵𝑜𝑜𝑡
̂ ]
[3]
𝑆𝐸 𝐵𝑜𝑜𝑡 ̂ adalah standard error dari estimator bias-corrected yang  diestimasi  dari  metode simulasi bootstrap .
Confidence Interval Bootstrap-t Misalkan 𝜃̂ pendekatan  distribusi  normal dengan  mean  θ  dan  varians 𝑠𝑒(𝜃̂) 2 . Selanjutnya diberikan 𝑠𝑒 ̂(𝜃̂) adalah estimator  untuk 𝑠𝑒(𝜃̂) berdasarkan  sampel asli.  X.  Dari  sampel  bootstrap 𝑋 ∗(𝑏) , kemudian dapat dihitung:
𝑇 ∗(𝑏) = 𝜃̂ ∗(𝑏) − 𝜃̂ 𝑠𝑒 ̂(𝜃̂) [4]
Berdasarkan  nilai 𝑇 ∗(𝑏) ,  dapat  diestimasi nilai  kritis 𝑡 1−𝛼/2 dan 𝑡 𝛼/2 dari 𝑡̂ 1−𝛼/2 dan 𝑡̂ 𝛼/2 , masing-masing sebagi berikut:
1 𝐵 ∑ 1{𝑇 ∗(𝑏) ≤   𝑡̂ 1−𝛼/2 } 𝐵 𝑏=1 ≈ 𝛼 2 dan 1 𝐵 ∑ 1{𝑇 ∗(𝑏) ≥   𝑡̂ 𝛼/2 } 𝐵 𝑏=1
≈ 𝛼 2 Kemudian  dapat  dirumuskan confidence interval bootstrap-t sebagai berikut:
(1 − 𝛼) = 𝑃{𝜃̂ − 𝑡̂ 1− 𝛼 2 . 𝑠𝑒 ̂(𝜃̂) ≤ 𝜃 ≤ 𝜃̂ − 𝑡̂ 𝛼 2 . 𝑠𝑒 ̂(𝜃̂)} [𝜃̂ − 𝑡̂ 1− 𝛼 2 . 𝑠𝑒 ̂(𝜃̂), 𝜃̂ − 𝑡̂ 𝛼 2 . 𝑠𝑒 ̂(𝜃̂)]
[5]
Perhitungan  koefisien  gini  yang digunakan dalam penelitian adalah koefisien  gini  yang  disarankan  oleh Davidson  (2009).  Perhitungan  koefisien gini  tersebut  merupakan  inferensia  yang reliabel  untuk  estimasi  koefisien  gini. Selain  itu,  perhitungan  gini  tersebut  juga memberikan standard  error yang  reliabel, simpel  dan  efektif.    Perhitungan  koefisien gini  tersebut  dilakukan  dengan  rumus sebagai berikut:
  n 2 i=1 2 1 G = y i i- 1 n ˆ μ 2               [6]
dengan:
𝐺 ̂ : koefisien gini
𝜇 : estimasi rata-rata pendapatan 𝑦(𝑖) : pendapatan ke-i yang sudah diurutkan dari kecil ke besar
i : series dari order statistik pendapatan , i = 1,2,…,n = 1,2,…,n n : jumlah data pendapatan Davidson (2009) menyatakan sebuah pendekatan  untuk  bias  G ̂ dari  estimator bias-corrected koefisien gini yang dinotasikan dengan G ̃ .
n
G G n-1 
[7]
dengan:
G ̂ : estimator bias-corrected koefisien gini
N : jumlah data pendapatan
Estimator 𝐺̃ tetap memiliki bias, tetapi bias tersebut  lebih  kecil  dari 𝑛 − 1 .  Persamaan dari estimator diatas dapat digunakan untuk menghitung sebuah estimasi standard error 𝐺̃ . Rumus yang digunakan yaitu:
𝑍̃ 𝑖 = −(𝐺̃ + 1)𝑦 (𝑖) + 2(𝑤𝑖 − 𝑣𝑖) [8]
dengan:
𝑤𝑖 = ( 2𝑖 − 1 ) 𝑦 ( 𝑖 ) /(2𝑛) 𝑣𝑖 = 𝑛 −1 ∑ 𝑦 (𝑗) 𝑖 𝑗=1 Kemudian, standard  error koefisien  gini bias-corrected dapat dihitung dengan:
𝑆𝐸(𝐺̃) = √ 1 (𝑛𝜇̂) 2 ∑(𝑍̃ 𝑖 − 𝑍̅) 2 𝑛 𝑖=1 [9]
Dengan:
𝑆𝐸(𝐺̃) : standard error koefisien gini bias- corrected
𝜇 ̂ : estimasi rata-rata pendapatan
𝑍 ̅ : rata-rata 𝑍 ̃ 𝑖 = 1 𝑛 ∑ 𝑍 ̃ 𝑖 𝑛 𝑖=1 n : jumlah data pendapatan Davidson (2009) menunjukkan
melalui  percobaan  simulasi  distribusi asimptotik  koefisien  gini  reliabel  untuk sampel  berukuran  sekitar  100  observasi. Akan tetapi, pada kasus distribusi pendapatan  yang  mengikuti  distribusi lognormal dengan varians besar atau ketika distribusi  memiliki  ekor  yang  panjang, inferensi  yang  reliabel  dapat  diperoleh melalui  aplikasi  metode bootstrap .  Ukuran kemencengan ( skewness ) dan bentuk histogram dapat digunakan untuk
mengetahui  keadaan  ekor  suatu  distribusi.
Perhitungan  kemencengan  dapat  dilakukan dengan rumus berikut:
𝐺 1 = 𝑛 (𝑛 − 1)(𝑛 − 2) . ∑ ( 𝑥 𝑖 − 𝑥̅ 𝑠 ) 3 𝑛 𝑖=1 [10]
dengan:
𝐺 1 : ukuran tingkat kemencengan 𝑛 : jumlah observasi 𝑥 𝑖 : pendapatan per kapita ke-i 𝑥 ̅ : rata-rata pendapatan per kapita 𝑠 : standar deviasi
Menurut Bulmer (1967), dalam buku yang  berjudul  “ Principles  of  Statistics “ukuran  tingkat  kemencengan  dapat  di kelompokkan sebagai berikut:
• Jika ukuran tingkat kemencengan kurang dari −1 atau lebih dari +1 maka masuk  ke  dalam  kelompok  dengan kemencengan tinggi,
• Jika ukuran tingkat kemencengan antara −1 dan −½ atau antara +½ dan +1 maka masuk ke dalam kelompok dengan kemencengan menengah,
• Jika ukuran tingkat kemencengan antara −½  dan  +½  maka  masuk  ke  dalam kelompok mendekati simetris.
Jika hasil perhitungan ukuran tingkat kemencengan  menyatakan  bahwa  data menceng kanan atau kiri, dapat dilanjutkan perhitungan standard  error dan confidence interval koefisien gini bias-corrected .

## HASIL DAN PEMBAHASAN
Data yang digunakan dalam penelitian  ini  merupakan  data  sekunder yang  diperoleh  dari  bagian  diseminasi Badan  Pusat  Statistik  (BPS).  Penelitian  ini menggunakan  variabel  pendapatan  per kapita  Provinsi  Papua  Barat  pada  tahun 2013  yang  diperoleh  dari  hasil  Survei Sosial  dan  Ekonomi  Nasional  (Susenas) tahun  2013.  Data  sampel  pendapatan  per kapita Provinsi Papua Barat berukuran 3790 rumah  tangga.  Berdasarkan resample yang dilakukan  sebanyak  9999  kali  diperoleh nilai standard error dan confidence interval koefisien  gini  Provinsi  Papua  Barat  tahun 2013.
Berdasarkan perhitungan nilai koefisien gini Davidson (2009)
menggunakan formula [6] dan [7], diperoleh  nilai  koefisien  gini  sebesar 0,3818  dan  nilai  koefisien  gini bias- corrected di  Provinsi  Papua  Barat  pada tahun  2013  adalah  0,3819.  Nilai  estimasi tersebut lebih rendah dibandingkan koefisien gini yang dihitung tanpa resample yaitu 0,41 (BPS, 2014). Berdasarkan  koefisien  gini bias-corrected tersebut diketahui bahwa tingkat ketimpangan pendapatan di Provinsi Papua
Barat  tahun  2013  dapat  dinyatakan  cukup merata dan masuk dalam kategori ketimpangan sedang.
Selanjutnya  berdasarkan  formula  [9] dilakukan  perhitungan  nilai standard error koefisien gini bias-corrected dan diperoleh nilai  sebesar  0,  0084.  Nilai standard  error tersebut  menunjukkan  bahwa  perkiraan sampel  yang  digunakan  untuk  menghitung estimasi koefisien gini cukup tepat sebagai akibat  adanya  koreksi  terhadap  bias estimasi nilai koefisien gininya.
Davidson (2009) menunjukkan
melalui  percobaan  simulasi  distribusi asimptotik  koefisien  gini  reliabel  untuk sampel  berukuran  sekitar  100  observasi. Akan tetapi, pada kasus distribusi pendapatan  yang  mengikuti  distribusi log- normal dengan  varian  besar  atau  ketika distribusi  memiliki  ekor  yang  panjang, inferensi  yang  reliabel  dapat  diperoleh melalui aplikasi metode bootstrap . Infomasi  mengenai  ukuran  kemencengan ( skewness )  dan  bentuk  histogram  dapat digunakan  untuk  mengetahui  keadaan  ekor suatu  distribusi.  Perhitungan  kemencengan dilakukan dengan formula [10]. Berdasarkan perhitungan tersebut
didapatkan  ukuran  tingkat  kemencengan 5,5664  yang  berarti  data  pendapatan  per kapita  Provinsi  Papua  Barat  tahun  2013 termasuk  ke  dalam  kelompok  dengan kemencengan tinggi. Tingkat kemencengan yang  positif  mengindikasikan  arah  ekor yang  menjulur  ke  kanan.  Oleh  karena  data pendapatan per kapita Provinsi Papua Barat memiliki  ekor  yang  berat  (memiliki kemencengan  tinggi),  perlu  dilakukan simulasi metode bootstrap untuk
mendapatkan standard error dan
confidence interval yang reliabel.
Davidson  dan  MacKinon  (1999) menyatakan  bahwa  metode bootstrap nonparametrik  merupakan  metode  yang sesuai  dalam  memperoleh  nilai standart error data  dengan  tingkat  kemencengan yang  tinggi.  Penelitian  ini  menggunakan resample yang  dilakukan  menggunakan data bangkitan yang berukuran 3790 seperti jumlah  sampel  awal  sebanyak  9999  kali resample dengan  bantuan software  R . Proses resample menghasilkan  9999  set data  sampel  yang  kemudian  setiap  set  data sample  di  hitung  koefisien  gini bias- corrected masing-masing sebagai parameter.  Kemudian,  dari  9999  koefisien gini bias-corrected dapat dihitung standard error  bootstrap menggunakan  formula  [1] sebagai berikut:
𝑠𝑒 ̂ 𝐵 = [∑ [𝜃̂ ∗ (𝑏) − 𝜃̂ ∗ (. )] 2 𝐵 − 1 𝐵 𝑏=1 ] 1 2
= 0,0064
Berdasarkan  perhitungan  didapatkan standard  error  bootstrap sebesar  0,  0064. Standard  error koefisien  gini bias- corrected yang  dihasilkan  dengan  metode bootstrap lebih  kecil  daripada  nilai standard error yang dihasilkan dengan data sampel  asli.  Hal  tersebut  membuktikan bahwa pendugaan dengan metode bootstrap
lebih akurat daripada menggunakan  data  asli  untuk  kasus koefisien  gini bias-corrected di  Provinsi Papua Barat tahun 2013.
Tahapan selanjutnya adalah
menghitung confidence  interval koefisien gini bias-corrected Provinsi  Papua  Barat tahun  2013  dengan standard  error yang tersedia  dapat  dihitung. Standard  error koefisien  gini bias-corrected sampel  asli dapat digunakan untuk menghitung confidence interval normal standar koefisien  gini bias-corrected .  Berdasarkan perhitungan confidence  interval yang dilakukan  maka  dapat  disusun  tabel confidence interval sebagai berikut:
Tabel  1. Confidence  interval koefisien  gini bias-corrected dengan  berbagai metode bootstrap di Provinsi Papua Barat tahun 2013 Metode Standard Error Batas Bawah Batas Atas Panjang Interval (1) (2) (3) (4) (5) Normal (0,1) 0,0084 0.3654 0.3984 0.0331 Standar 0,0064 0.3696 0,3946 0.0250 Bootstrap-t 0,0064 0.3694 0.3941 0.0247 Sumber : Hasil Pengolahan Software R dan Microsoft Excel dengan alfa 5 %
Dengan tingkat kepercayaan 95%,
berdasarkan tabel confidence interval koefisien  gini bias-corrected Provinsi Papua  Barat  tahun  2013  diatas,  diketahui confidence  interval koefisien  gini bias- corrected yang  terbentuk  dengan  metode bootstrap memiliki  panjang  interval  yang lebih pendek daripada menggunakan perhitungan  dari  sampel  asli.  Selain  itu, dapat  dilihat  bahwa confidence  interval koefisien gini bias-corrected yang terbentuk dengan berbagai metode bootstrap memiliki  panjang  interval  yang pendek  yaitu  0,0250  pada confidence interval normal  standar bootstrap dan
0,0247  pada confidence  interval  bootstrap- t . Standard  error yang  dihasilkan  dengan metode bootstrap juga  memiliki  nilai  yang lebih  kecil  daripada standard  error yang dihasilkan  perhitungan  sampel  asli.  Secara keseluruhan confidence  interval koefisien gini bias-corrected Provinsi  Papua  Barat tahun  2013  terbaik  adalah bootstrap-t karena  memiliki standard  error yang  kecil dan  panjang  interval  yang  pendek.  Hal tersebut  menujukkan  bahwa  akurasi  dari confidence  interval koefisien  gini bias- corrected yang  terbentuk  dari  metode bootstrap-t lebih  tinggi  daripada  metode lain.

## KESIMPULAN
Dari  penelitian  ini  dapat  disimpulkan bahwa  penghitungan  nilai  koefisien  gini yang  dihitung  dengan  metode  Davidson lebih  kecil  dibandingkan  metode  yang biasa.  Penghitungan confidence  interval
koefisien gini bias-corrected yang terbentuk dengan metode bootstrap memiliki  panjang  interval  yang  lebih pendek daripada menggunakan perhitungan dari  sampel  asli. Standard  error yang dihasilkan  dengan  metode bootstrap juga memiliki  nilai  yang  lebih  kecil  daripada standard error yang dihasilkan perhitungan sampel  asli.  Hal  tersebut  menunjukkan bahwa pendugaan dengan metode bootstrap lebih baik  untuk  pendugaan standard  error dan confidence  interval koefisien  gini bias corrected Provinsi Papua Barat tahun 2013. Secara  keseluruhan confidence  interval koefisien  gini bias-corrected Provinsi Papua  Barat  tahun  2013  terbaik  adalah confidence  interval koefisien  gini bias- corrected yang  terbentuk  dari  metode bootstrap-t karena memiliki standard error yang  kecil  dan  panjang  interval  yang pendek.

## DAFTAR PUSTAKA
Asra,  Abuzar.  (2013).    Pembangunan  dan Kemiskinan  dari  Perspektif  Islam. Jakarta.    Jurnal  Pradigma    Islam    di Bidang    Keuangan,    Ekonomi    dan Pembangunan,  Vol.1,  No.1  Tahun 2013 Asra,  Abuzar.  (2014). Esensi  Statistik  Bagi Kebijakan Publi k. Jakarta : InMedia Asra, Abuzar. (2015). Cerdas Menggunakan Statistik Edisi Perdana . Jakarta :In Media.
Asra,  Abuzar  dan  Slamet  Sutomo.  (2014).
Pengantar Statistika II Panduan Bagi Pengajar  dan  Mahasiswa. Jakarta  : Rajagrafindo Persada.
Badan  Pusat  Statistik.  (2008).  Analisis Kemiskinan  2008.  Jakarta  :  Badan Pusat Statistik
Badan  Pusat  Statistik.  (2014).  Perhitungan dan  Analisis  kemiskinan  Makro
Indonesia  Tahun  2014.  Jakarta  : Badan Pusat Statistik.
Badan Pusat Statistik Provinsi Papua Barat.
(2014).  Jumlah  Penduduk  Miskin, Persentase  Penduduk  Miskin,  Garis Kemiskinan, Indeks
Kedalaman
Kemiskinan  dan  Indeks  Keparahan Kemiskinan 2007–2014. Manokwari : Badan Pusat Statistik.
Badan Pusat Statistik Provinsi Papua Barat. (2014).  Pengeluaran  Per  Kapita  Per Bulan Menurut Kabupaten/Kota 2006-2013. Manokwari : Badan Pusat Statistik.
Bain,  Lee  J.  dan  Max  Engelhart.  (2000).
Introduction to Probability and Mathematical  Statistics. Boston  :
Duxbury.
Banks, D. L. (1988). Histospline Smoothing The  Bayesian  Bootstrap.  Biometrika 75, hlm. 673-684.
Bickel,  P.  J.,  Gotze,  F.,  dan  van  Zwet,  W. R. (1997). Resampling Fewer Than n Observations,  Gains,  Losses,  and Remidies  for  Losses.  Statist.  Sin.  7, hlm. 1-32.
Bulmer,  M.  G.  (1967). Principles  of Statistics . New York : Dover Publications, Inc
Chernick,  Michael  R.  (2008). Bootstrap Methods:  A  Gide  for  Practitioners and  Researchers  Second  Edition.
Hoboken,New  Jersey  :  John  Wiley and Sons. Davidson, Russell. (2008). Reliable Inference for The Gini Index. Canada.
Chair  in  Economics  :    McGill
University.
Davison,  A.  C.,  Hinkley,  D.  V.  (1997).
Bootstrap Methods and Their Application.  Cambridge:  Cambridge UniversityPress.
Dudewicz,  E.  J.  (1992).  The  Generalized
Bootstrap.  In  Bootstrapping  And Related  Techniques, Proceedings,
Trier,  FRG.  (K.-H.  Jockel,  G,  Rothe, and  W.  Sendler,  editors),  Lectures Notes in Economics
and
Mathematical Systems, Vol.376, hlm. 31-37. Springer-Verlag, Berlin.
Efron,  B.  (1982a). The  Jackknife,  The Bootstrap,  and  Other  Resampling Plans. SIAM, Philadelphia.
Efron,  B.  (1986).  How  Biased  is  The Apparent  Error  Rate  of  A  Prediction Rule?  J.  Am.  Statist.  Assoc.  81,  hlm. 461-470.
Efron,  Bradley  dan  Tibshirani,  Robert  J. (1993). Monographs on Statistics and Applied Probability 57 : An Introduction  to  the  Bootstrap.  Great
Britain,  London  SE1  8HN.  Chapman and Hall
Efron,  B.  dan  Tibshirani,  R.  (1998).  The Problem  of Region  . Ann. Statist. 26, hlm. 1687-1718.
Gamboa,  Luis  et  al.  (2009).  Statistical Inference for Testing Gini Coefficients:  An  Application  for
Columbia. Columbia. Working Paper, No.65.
Giles,  D.  (2004).  Calculating  A  Standard Error for The Gini  Coefficient: Some Further  Results.  Oxford  Bulletin  of Economics and Statistics 66, 425-433. Hair,  Joseph  F.  et  al.  (1998).  Multivariate
Data Analysis. New Jersey : Prentice- Hall, Inc.
Hall,  P.  (1992a).  The  Bootstrap  and
Edgeworth Expansion. Springer- Verlag, New York.
Karagiannis,  E.  and  Kovacevic,  M.  (2000). “A Method to Calculate the Jackknife
Variance  Estimator  for  the  Gini Coefficient”,  Oxford  Bulletin  of Economics and Statistics, Vol. 62, pp. 119-22.
Mangahas,  Mahar.  (1973).  A  Note  on “Income  Inequality  and  Economic
Growth  :  The  Postwar  Experience  of
Asian Countries”. Institute of
Economic  Development  and  research Discussion Paper No. 72-27. Mills,  J.  A.  and  S.  Zandvakili.  (1997). “Statistical inference via
bootstrapping for measures of inequality”,  Journal  of  Applied Econometrics, Vol. 12, 133–150.
Rubin,  D.  B.  (1981).  The  Bayesian Bootstrap. Ann. Statistik. 9, hlm. 130- 134.
Sun,  L.  dan  Muller  Schwarze,  D.  (1996).
Statistical  Resampling  Methods  in Biology:  A  Case  Study  of  Beaver Dispersal  Patterns.  Am.  J.  Math. Manage. Sci. 16, hlm. 463-502. Supranto,  J.  (2008). Statistik  Teori  dan Aplikasi  Edisi  Ketujuh .  Jakarta  : Erlangga Supranto, J. (2009). The Power of Statistics untuk  Pemecahan  Masalah .  Jakarta  : Salemba Empat Todaro,  Michael  P.  dan  Stephen  C.  Smith. (2004). Pembangunan  Ekonomi  di
Dunia Ketiga Edisi Kedelapan . Jakarta.: Erlangga.
Ogwang,T.  (2000).  ‘A  Convenient  Method of  Computing  the  Gini  Index  and  Its Standard  Error’,    Oxford  Bulletin  of Economics and Statistics, Vol. 62, pp. 123-29.
Wada,  R.  O.  (1975).  Impacts  of  Economic Growth  of  Size  Distribution  of Income:  The  Postwar  Experience  of Japan,  disertasi  Ph.D  yang  belum dipublikasikan, University of Hawaii.
Walpole,  Ronald  E.  (1995). Pengantar Statistik  Edisi  Ketiga. Jakarta  :  PT. Gramedia Pustaka Utama

## LAMPIRAN
Lampiran 1. Syntax pembentukan data pendapatan per kapita individu dari data pendapatan per kapita rumah tangga di software R
myData <- as.data.frame(papua) yj <- myData$yj art <-myData$art datapapua<- matrix(yj[1],nrow=art[1]) for (i in 2:902)
{ datapapua2<- matrix(yj[i],nrow=art[i]) datapapua <- rbind(datapapua, datapapua2) }
datapapua write.csv(datapapua, file = "papuadata.csv")
Lampiran 2. Syntax perhitungan vi di software R
myData <- as.data.frame(papua) hasil <- numeric(3790) yj <- myData$yj
hasil[1] <- myData$yj[1]
for(i in 2:3790) { hasil[i] <- hasil[i-1]+yj[i] } hasilAkhir <- numeric(3790) for(i in 1:3790) { hasilAkhir[i] <- hasil[myData$i[i]] }
hasilAkhir viFix <- hasilAkhir/3790 write.csv(viFix, file = "vipapuadata.csv")
Lampiran 3. Syntax resampel, perhitungan standard error dan confidence interval bootstrap di software R
myData <- as.data.frame(papua) yi <- data.frame(myData$yi)
ginibiascorrected<- 0.38189164 nrObs<- dim(yi)[1] data<-numeric(nrObs)
dataBase <- yi #proses resampel for (i in 1:9999) { data <- sample(myData$yi, replace = T) dataBase <- cbind(dataBase, data) } mu <- colMeans(dataBase)
#proses  sorting  data  pendapatan  setiap  set resampel for(i in 2:10000) { dataBase[,i] <-sort(dataBase[,i]) }
#proses  perhitungan  koefisien  gini  setiap  set resampel gini <- numeric(9999) for(i in 2:10000) {
term1 <- 2/(mu[i]*(nrObs^2)) yitemp <- numeric(3790)
for(j in 1:3790)
{ yitemp[j] <- dataBase[j,i]*(j-0.5) } term2 <- sum(yitemp) result <- term1*term2
gini[i-1] <- result-1 } gini ##proses perhitungan koefisien gini bias-corrected setiap set resampel bcgini <- (3790/3789)*gini
#proses sorting koefisien gini bias-corrected hasil resample giniSort <- sort(bcgini)
#proses  perhitungan  standard  error  bootstrap koefisien gini bias-corrected SE <- sd(giniSort)
#proses  perhitungan  standar  confidence  interval bootstrap bias <- mean(giniSort) - 0.38189164 c(bias,SE) standar <- ginibiascorrected -bias+c(- 1,1)*qnorm(.975)*SE
#proses  perhitungan  bootstrap-t  confidence interval t <- (bcgini-)/SE sort <- sort(t, decreasing=F) bb <- ginibiascorrected -(SE* quantile(t,c(0.975))) ba <- ginibiascorrected -(SE* quantile(t,c(0.025))) cbind(bb, ba)
#proses penyimpanan hasil resampel write.csv(dataBase, file="papuadatabase1.csv") #proses  penyimpanan  koefisien  gini  bias- corrected hasil resampel write.csv(bcgini, file="papuabcgini1.csv") #proses  penyimpanan  hasil  sorting  koefisien  gini bias-corrected resampel write.csv(giniSort, file="papuaginisort1.csv")