Volume 1 – Nomor 1, April 2017, 15-22
| ISSN 2548-8201 ( Print ) | 2580-0469) ( Online ) |
## HowToCite##

## SEGITIGA DAN SEGIEMPAT PADA GEOMETRI DATAR EUCLID CEVIAN SEGITIGA DAN SEGIEMPAT SIKLIK

## SAMSUMARLIN
Keyword Abstrak Cevian, segiempat siklik, sistem deduktif. . Geometri Euclidean adalah sistem matematika yang dikaitkan dengan Euclid, matematikawan dari Alexandria Yunani, yang dijelaskan dalam buku teksnya pada  geometri: The  Elemen .  Perkembangan  geometri  yang  membuat kajiannya  lebih  mendalam,  mengakibatkan  materi  geometri  sulit  diajarkan seluruhnya  pada  tingkat  sekolah  menegah.  Tulisan  ini  khusus  membahas mengenai  beberapa  teorema  terkait  “cevian  pada  segitiga  serta  segiempat siklik” dan disajikan secara deduktif.
Cevian, cyclic quadrilateral,
deductive system.
Euclidean geometry is a mathematical system attributed to Euclid, the Greek mathematician  from  Alexandria,  which  is  described  in  the  textbook  on geometry: the Elements. The development of geometry which makes its study more in-depth, hard geometry resulting material is taught entirely at the level of  secondary  schools.  This  paper  specifically  discuss  about  some  related theorems  "cevian  on  triangular  and  quadrilateral  cyclic"  and  presented deductively.

## PENDAHULUAN
Meskipun  banyak  dari  hasil  Euclid telah  dinyatakan  oleh  matematikawan sebelumnya,  Euclid  adalah  yang  pertama menunjukkan  bagaimana  proposisi  bisa masuk ke dalam sebuah sistem deduktif dan logis  komprehensif. The  Elements dimulai dengan geometri bidang dan masih diajarkan  di  sekolah  menengah  sebagai sistem  aksiomatik  awal  dan  contoh  awal dari  pembuktian  formal.  Geometri  datar  ini berlanjut  ke  geometri  tiga  dimensi  yang juga  diajarkan  pada  sekolah  menengah. Salah  satu  kajian  dalam  geometri  bidang adalah  tentang  segitiga.  Teorema-teorema terkait  segitiga  sebahagian  diajarkan  pada
sekolah  dalam  domain  geometri  itu  sendiri begitupula  dalam  domain  trigonometri, seperti  luasan  daerah  segitiga,  aturan  sinus, aturan kosinus, dan sebagainya. Sebahagian lagi  ditemui  dalam  materi  geometri  pada perguruan  tinggi  dan  beberapa  diantaranya tetap  diajarkan  di  sekolah  hanya  untuk kebutuhan-kebutuhan khusus, seperti pembelajaran pada kelas persiapan kometisi dan olimpiade.
Beberapa  diantaranya  akan  diulas dalam  tulisan  ini,  termasuk  yang  terkait dengan  cevian  segitiga.  Cevian  adalah setiap  segmen  garis  dalam  segitiga  dengan salah satu titik ujung pada titik dari segitiga dan  titik  ujung  lainnya  pada  sisi  di
depannya. Kajian terhadap cevian memunculkan  banyak  teorema  diantaranya akan diulas dalam tulisan ini secara deduktif adalah  teorema  stewart,  teorema  ceva  dan teorema.  Selain  itu  akan  diulas  teorema terkait  segiempat  siklik  (teorema  Ptolemy) yaitu  segiempat  yang  semua  titik  sudutnya
berada  pada  suatu  lingkaran  yang  sama. Untuk  memahami  notasi  yang  digunakan dalam  tulisan  ini  maka  berikut  disajikan beberapa notasi geometri beserta
penjelasannya:   ABC Luas daerah segitiga ABC BC Panjang BC 𝐴𝐵 ̂ Busur AB A, B, C Sudut ∠𝐵𝐴𝐶 , ∠𝐴𝐵𝐶 , dan ∠𝐴𝐶𝐵 pada segitiga ABC a, b, c Panjang sisi BC, AC, dan AB pada segitiga ABC

## PEMBAHASAN
Teorema:
Suatu  segitiga  ABC  dengan  D  adalah  perpotongan  garis  tinggi  dari  A  pada  garis  BC,  dan  P titik sebarang pada segmen BC, maka:
(1)  
2 BC AD ABC  (2)   2 sin B BC AB ABC  (3)   2 sin APB BC AP ABC   atau   2 sin APD BC AP
ABC  

## Bukti:
Misalkan ABC sebuah segitiga, dan misalkan D perpotongan tegak lurus ruas garis dari A ke garis BC, seperti yang ditunjukkan pada Gambar 1.
Gambar 1
Diperoleh  luas  daerah  segitiga  ABC,  yaitu
  2 BC AD ABC  .  Perhatikan  bahwa B AB
AD sin  , jadi   2 sin B BC AB ABC  .
Secara  umum,  jika  P  adalah  titik  pada  segmen  BC,  kemudian
APD AP AD   sin atau APB AP AD   sin , Maka   2 sin APB BC AP ABC   (   APB APB APD        sin 180 sin sin ).
Teorema:
Suatu  segiempat  ABCD,  dengan  P  titik  perpotongan  diagonal-diagonalnya,  maka  

## 2 sin APB BD AC
ABCD
  .

## Bukti:
Misalkan ABCD segiempat, dan misalkan P perpotongan diagonal AC dan BD, seperti yang ditunjukkan pada Gambar 2.
Gambar 2 Diperoleh   2 sin APB BP AC ABC   dan   2 sin APD DP AC ADC   .  Karena   APB APB APD        sin
180 sin sin , maka diperoleh
        2 sin 2 sin 2 sin DP BP APB AC APB DP AC APB BP AC ADC ABC ABCD            2 sin APB BD AC
ABCD  
Contoh Masalah ( Aturan Sinus ):
Buktikan  bahwa  jika  dimisalkan  ABC  suatu  segitiga  dengan  a,  b,  dan  c  masing  masing panjang segmen BC, AC, dan AB, maka:
C c B b A a sin sin sin  

## Bukti:
Dengan menggunakan Teorema Daerah (2) maka dengan mudah kita menunjukkan bahwa:
  2 sin 2 sin 2 sin C ab B ac A bc ABC    Dengan membagi kesamaan di atas dengan 2 abc , diperoleh
c C b B a A sin sin sin   Atau C c B b A a sin sin sin  

## TEOREMA PTOLEMY
Dalam  geometri  Euclidean,  teorema Ptolemy  adalah  hubungan  antara  empat  sisi dan  dua  diagonal  dari  segiempat  siklik (segiempat  yang  titik  sudutnya  terdapat  pada lingkaran  yang  sama).  Teorema  ini  dinamai dengan  nama  astronom  dan  matematika Yunani, Ptolemeus (Claudius Ptolemaeus).
Teorema  Ptolemy  secara  verbal  dapat dinyatakan  sebagai  berikut:  “Jika  segiempat
terletak  dalam  lingkaran  maka  hasil  kali  dari diagonal-diagonalnya  sama  dengan  jumlah dari  hasil  kali  dari  pasang  sisi  yang berhadapan”.
Selain  itu,  kebalikan  dari  teorema Ptolemy juga benar, sebagai berikut:
“Segiempat,  jika  jumlah  hasil  kali  dari  dua pasang  sisi  yang  berhadapan  adalah  sama dengan  hasil  kali  dari  diagonal-diagonalnya,
maka  segiempat dapat dilukiskan pada sebuah lingkaran”.
Teorema Ptolemy:
Jika  segiempat  dinyatakan  dengan empat  titik  sudut  A,  B,  C,  dan  D  pada  suatu lingkaran, maka:
BC AD CD AB BD AC  

## Bukti:
Dengan  menggunakan  teorema  luas. Dimisalkan  suatu  segiempat  dengan  titik sudutnya  berada  pada  suatu  lingkaran  yang sama  (diberi  nama A, B, C, dan D), dengan  P adalah  perpotongan  AC  dan  BD,  seperti  pada Gambar 3 berikut:
Gambar 3
  APB
BD AC
ABCD   sin 2 1
............................................................... (1)
Kita  refleksikan  B  sejajar  dengan  diagonal  AC.  Misal  B 1 bayangan  B  oleh  refleksi.  Maka ABB 1 C adalah trapesium sama kaki dengan BB 1 ||AC, 1 CB AB  , dan CB AB  1 . Selanjutnya 𝐴𝐵 ̂ = 𝐵 1 𝐶 ̂ sehingga
∠B 1 AD = B 1 D ̂ 2 = B 1 C ̂ + CD ̂ 2 = AB ̂ + CD ̂ 2 = ∠APB
Karena  AB 1 CD  merupakan  segiempat  siklik,  maka ∠𝐵 1 𝐴𝐷 + ∠𝐵 1 𝐶𝐷 = 180° ,  selanjutnya diperoleh sin ∠𝐵 1 𝐴𝐷 = sin ∠𝐵 1 𝐶𝐷 = sin ∠𝐴𝑃𝐵 . Perhatikan bahwa 𝐴𝐵𝐶𝐷 ≅ 𝐴𝐵 1 𝐶𝐷 , sehingga
    CD AB BC AD APB
ABCD    sin 2 1 ............................................ (2)
Dari (1) dan (2) diperoleh BC AD CD AB BD AC  
Contoh masalah ( Golden Ratio ):
Suatu  pentagon  sama  sisi ABCDE,  diketahui a AB  dan b AD  . Buktikan
bahwa
2 5 1    a b  ( a b   disebut golden ratio). Bukti:                 CD B CD CB AD B AD AB D CB D AB CD AB ACD C AB ACD ABC ABCD 1 1 1 1 1 1 1 1 sin 2 1 sin 2 1           
Gambar 4
Suatu  segi-lima,  titik-titik  sudutnya  dapat  ditempatkan  pada  suatu  lingkaran  yang  sama, sehingga jika titik A dihubungkan dengan D diperoleh segiempat siklik dan memenuhi aturan Ptolemy yaitu ab a b   2 2 , sehingga 0 1 2 2 2 2 2            a b a b a ab a a b
Maka diperoleh
2 5 1   a b

## TEOREMA STEWART
Dalam  geometri,  cevian  adalah  setiap  segmen  garis  dalam  segitiga  dengan  salah  satu  titik ujung pada titik dari segitiga dan titik ujung lainnya pada sisi di depannya. Perhatikan Gambar 5, AD merupakan satu contoh cevian dalam segitiga ABC.

## Gambar 5
Panjang dari cevian dapat ditentukan dengan menggunakan Teorema Stewart berikut.

## Teorema Stewart:
Misalkan  ABC  suatu  segitiga  dan  D  titik  sebarang  pada  segmen  BC  (gambar),  maka
  CD BD AD BC BD AC CD
AB    2 2 2

## Bukti:
Dengan menggunakan aturan cosinus pada segitiga ABD diperoleh
BD AD AB BD AD ADB 2 cos 2 2 2     .
Begitu pula pada segitiga ACD diperoleh
CD AD
AC CD AD ADC 2 cos 2 2 2     .
Karena      180 ADC ADB , maka 0 cos cos     ADC ADB
    0 0 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2             AC CD AD BD AB BD AD
CD
CD AD AC CD AD
BD AD AB BD AD           CD BD AD BC BD AC CD AB BC BD CD BC AD CD BD BD CD BD CD AD CD BD BD CD AD BD AD CD CD BD AD BD BD CD AD CD CD AD BD BD AD CD BD AC CD AB                       2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

## Contoh Masalah:
Buktikan jika ABC suatu segitiga dan D titik pada segmen BC sehingga AD merupakan suatu segmen garis berat maka:
  4 2 2 2 2 2 BC AC AB AD   

## Bukti:
Karena  AD  merupakan  cevian  pada  segitiga  ABC  maka  dengan  menggunakan  Teorema Steward diperoleh:
  CD BD AD BC BD AC CD AB    2 2 2
Karena AD merupakan garis berat maka 2|𝐵𝐷| = 2|𝐶𝐷| = |𝐵𝐶| , sehingga diperoleh             2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 BD AD BD BD AC AB BD AD BC BD AC AB BD AD BC BD AC BD AB CD BD AD BC BD AC CD AB                   4 2 2 2 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 BC AC AB AD BC AD AC AB BC AD AC AB                 

## TEOREMA CEVA
Teorema  Ceva  sering  dikaitkan  dengan  insinyur  Italia  Giovanni  Ceva,  yang  pada  1678 diterbitkan  karyanya De  lineis  rectis .  Tapi  teorema  ini  terbukti  jauh  sebelumnya  oleh  Yusuf  Al- Mu'taman bin Hud, seorang raja abad kesebelas dari Zaragoza.

## Teorema Ceva:
Misalkan  AD,  BE,  CF  tiga  cevian  dari  segitiga  ABC.  Berikut  ini  adalah  ekuivalen  (lihat Gambar 6):
(1) AD, BE, CF konkuren; yaitu, garis-garis ini melewati titik yang sama.
(2) 1 sin sin . sin sin . sin sin        FCA CAD EBC BCF DAB ABE (3) 1 . .  EA CE DC BD FB AF Gambar 6

## Bukti:
Diasumsikan bagian (1)  AD, BE, CF berpotongan, dengan  kata  lain  garis-garis ini melewati titik  yang  sama,  benar.  Kita  asumsikan  bahwa  segmen  AD,  BE,  dan  CF  bertemu  di  titik  P. Menerapkan aturan sinus pada segitiga ABP, sehingga diperoleh
BP AP PAB ABP DAB ABE       sin sin sin sin
Demikian juga, diterapkan aturan sinus untuk segitiga BCP dan CAP, diperoleh

## CP BP
EBC BFC    sin sin dan AP CP FCA CAD    sin sin .
Dengan mengalikan kesamaan-kesamaan yang diperoleh maka didapat
(2) 1 sin sin . sin sin . sin sin        FCA CAD EBC BCF DAB ABE
Asumsikan  bahwa  bagian  (2)  adalah  benar.  Dengan  menerapkan  aturan  sinus  untuk  segitiga ABD dan ACD diperoleh
DAB ADB BD AB    sin sin dan ADC CAD CA DC    sin sin
Karena     
180 ADB ADC ,  kita  peroleh ADB ADC    sin sin .  Dengan  mengalikan kesamaan tersebut diperoleh
DAB CAD CA AB BD DC    sin sin .
Begitu halnya, kita peroleh
EBC ABE AB BC EC AE    sin sin
. dan FCA BCF BC CA FA BF    sin sin .
Tiga kesamaan terakhir kita kalikan dan diperoleh
(3) 1 . .  EA CE DC BD FB AF
Asumsikan  bahwa  bagian  (3)  benar.  Misalkan  BE  dan  CF  bertemu  di  P,  dan  misalkan  sinar AP bertemu dengan segmen BC di D 1 (Gambar 7).
Gambar 7 Untuk  menyatakan  (1)  benar,  cukup  menunjukkan  bahwa  D  =  D 1 .  Telah  ditunjukkan  sebelumnya bahwa  jika  (1)  benar  maka  (3)  juga  benar  maka  karena  cevian  AD 1 ,  BE,  dan  CF  bertemu  di  P  dan dengan asumsi awal (3) benar, diperoleh
EA CE DC BD FB AF EA CE C D BD FB AF . . 1 . . 1 1   Implikasinya DC BD C D
BD  1 1 . Karena D dan D 1 berada pada segmen BC, kita  simpulkan bahwa D = D 1 . Sehingga berlaku pula (1).
Teorema  Ceva  dapat  digeneralisasi  bahwa  titik  perpotongan  tidak  harus  berada  di  dalam segitiga,  cevian  dapat  dianggap  sebagai  segmen  dari  titik  sudut  segitiga  dan  titik  yang  berada  pada garis oleh perpanjangan sisi dihadapannya.

## Gambar 8

## Contoh masalah:
Buktikan bahwa ketiga garis bagi suatu segitiga konkuren. Bukti:
Misalkan ABC suatu segitiga dengan AP, BQ, dan CR adalah segmen garis bagi pada segitiga ABC tersebut.
Gambar 9 Segitiga ATP kongruen dengan segitiga ASP, maka |𝑃𝑇| = |𝑃𝑆| . Dengan menerapkan aturan sinus diperoleh
B PT BP sin 90 sin   atau B PT BP sin  C PS PC sin 90 sin   atau C PS PC sin  Sehingga diperoleh B C PC BP
sin sin 

## Dengan jalan yang serupa juga diperoleh kesamaan
C A QA CQ sin sin  dan A B RB AR sin sin 
Ketiga kesamaan yang diperoleh kita kalikan sebagai berikut:
1 . . sin sin . sin sin . sin sin . .   QA CQ PC BP RB AR C A B C A B QA CQ PC BP RB AR
Berdasarkan Teorema Ceva maka AP, BQ, CR konkuren.

## TEOREMA MENELAUS
Teorema  Menelaus,  dinamai  dari  seorang  matematikawan  dan  astronom  Yunani    yaitu Menelaus  dari  Alexandria.  Teorema  ini  tentang  segitiga  dalam  geometri  datar.  Sementara  teorema Ceva menyangkut konkurensi garis, teorema Menelaus tentang kolinearitas dari titik Menelaus.

## Teorema Menelaus:
Diberikan  segitiga  ABC,  misalkan  F,  G,  H  masing-masing  merupakan    titik  pada  garis  BC,
CA, AB, (Gambar 10). Maka F, G, H kolinear jika dan hanya jika
1 . .  GA CG FC BF HB AH Gambar 10 Bukti: Dengan  menerapkan  aturan  sinus  pada  segitiga  AGH,  diperoleh GHA GA AGH AH    sin sin atau
GHA AGH GA AH    sin sin .  Demikian  halnya  dengan  segitiga  BFH  dan  CFG,  diperoleh
HFB BHF HB BF    sin sin , CGF GFC FC CG    sin sin
,
Dengan  mengalikan  tiga  kesamaan  terakhir  memberikan  hasil  yang  diinginkan
1 . .  GA CG FC BF HB AH .
Contoh Masalah:
Misalkan  ABC  suatu  segitiga  siku-siku,  siku-siku  pada  B  dan |𝐴𝐵|: |𝐵𝐶| = 3: 2 . Jika  titik  P berada  pada  perpanjangan  BC  dengan |𝐵𝐶|: |𝐶𝑃| = 2: 1 dan  R  berada  pada  segmen  AB  dengan |𝐴𝑅|: |𝑅𝐵| = 1: 2 . Jika garis PR memotong memotong segmen AC di titik Q, tentukan |𝐴𝑄|: |𝑄𝐶| = ⋯ . Penyelesaian:
ABC suatu segitiga siku-siku, siku-siku pada B dengan |𝐴𝐵|: |𝐵𝐶| = 3: 2 . Jika titik P berada pada perpanjangan BC dengan |𝐵𝐶|: |𝐶𝑃| = 2: 1 dan R berada pada segmen AB dengan |𝐴𝑅|: |𝑅𝐵| = 1: 2 .
karena Q merupakan perpotongan PR dengan AC maka P, Q, dan R kolinear (Gambar 11).
Gambar 11
Berdasarkan  Teorema  Menelaus,  berlaku
1 . .  QA CQ PC BP RB AR .  Karena |𝐵𝐶|: |𝐶𝑃| = 2: 1 maka 1 3 
PC BP
, begitu juga |𝐴𝑅|: |𝑅𝐵| = 1: 2 maka 2 1  RB AR
sehingga 1 . 1 3 . 2 1 
QA CQ . Maka diperoleh
|𝐴𝑄|: |𝑄𝐶| = 3: 2 .

## KESIMPULAN
Segitiga sebagai kajian dalam geometri  datar,  berkembang  dalam  deduksi formalnya  dan  menjadi  dasar  perkembangan dalam bidang lain dalam geometri datar. Salah satu kajian dalam segitiga yang sangat popular adalah  Teorema  Phytagoras.  Banyak  kajian lain  terkait  segitiga  pada  bidang  datar, diantaranya  kajian  tentang  cevian,  yaitu segmen garis dalam segitiga dengan salah satu titik  ujung  pada  titik  dari  segitiga  dan  titik ujung  lainnya  pada  sisi  di  depannya.  Kajian terhadap cevian melahirkan beberapa teorema, di antaranya: Teorema Stewart yang
menyajikan  hubungan  antara  sisi-sisi  segitiga dengan  cevian  dalam  segitiga  tersebut, Teorema Ceva dan Teorema Menelaus dimana Teorema Ceva menyangkut konkurensi cevian, sedang Teorema Menelaus tentang kolinearitas dari  titik-titik  tertentu  pada  masing-masing perpanjangan sisi segitiga.
Selain itu kajian lain tentang segiempat  siklik  melahirkan  suatu  teorema yang  dikenal  dengan  Teorema  Ptolemy  atau Teorema Ptolemeus yang mengungkap
keterkaitan antara diagonal-diagonal
segiempat  siklik  dengan  sisi-sisi  segiempat siklik tersebut.

## DAFTAR PUSTAKA
[1] Andreescu,  Titu,  dan  Feng,  Zuming. 2005. 103 Trigonometry Problems: From the  Training  of  the  USA  IMO  Team . Boston. Birkhauser.
[2] Binatari,  N.  &  Gunarto,  D..  2007.
Panduan Menguasai Soal-Soal Olimpiade  Matematika  Nasional  dan Internasional . Yogyakarta. Indonesia
Cerdas
[3] Sembiring,  Suwah.  2002. Olimpiade Matematika  SMA .  Bandung.  Yrama Widya.
[4] Wikipedia. 2012. Ceva’s  theorem . ( online ).
( http://en.wikipedia.org/wiki/Ceva’s
theorem , diakses 26 November 2012).
[5] Wikipedia. 2012. Cevian . ( online ). ( http://en.wikipedia.org/wiki/Cevian , diakses 26 November 2012).
[6] Wikipedia.  2012. Menelaus’ theorem . ( online ). ( http://en.wikipedia.org/wiki/
Menelaus’theorem , diakses 26 November 2012).
[7] Wikipedia.  2012. Stewart’s theorem .
( online ). ( http://en.wikipedia.org/wiki/ Stewart’sTheorem ,  diakses  26  November 2012).