## RESEARCH ARTICLE • OPEN ACCESS

## Struktur Simplektik pada Aljabar Lie Affine aff (2 , R )

## Aurillya Queency, Edi Kurniadi, dan Firdaniza Firdaniza

## Volume 6, Issue 1, Pages 62–67, February 2024
Submit 4 Desember 2023, Direvisi 20 Januari 2024, Disetujui 22 Januari 2024 To Cite this Article : A. Queency, E. Kurniadi, dan F. Firdaniza,“Struktur Simplektik pada Aljabar Lie Affine aff (2 , R ) ”, Jambura J. Math , vol. 6, no. 1, pp. 62–67, 2024, https://doi.org/10.37905/jjom.v6i1.23254
© 2024 by author(s)

## JOURNAL INFO • JAMBURA JOURNAL OF MATHEMATICS
u Homepage : http://ejurnal.ung.ac.id/index.php/jjom/index Ǽ Journal Abbreviation : Jambura J. Math. Х Frequency : Biannual (February and August) Ŷ Publication Language : English (preferable), Indonesia  DOI : https://doi.org/10.37905/jjom ʢ Online ISSN : 2656-1344 ǽ Editor-in-Chief : Hasan S. Panigoro Ÿ Publisher : Department of Mathematics, Universitas Negeri Gorontalo ƒ Country : Indonesia ̰ OAI Address : http://ejurnal.ung.ac.id/index.php/jjom/oai  Google Scholar ID : iWLjgaUAAAAJ Ͳ Email : info.jjom@ung.ac.id

## JAMBURA JOURNAL • FIND OUR OTHER JOURNALS
Jambura Journal of
Biomathematics Jambura Journal of Mathematics Education Jambura Journal of Probability and Statistics EULER : Jurnal Ilmiah Matematika, Sains, dan Teknologi
Struktur Simplektik pada Aljabar Lie Affine aff (2 , R )
Aurillya Queency 1 , ∗ , Edi Kurniadi 1  , dan Firdaniza Firdaniza 1 
1 Departemen Matematika, Universitas Padjadjaran, Indonesia
ABSTRAK. Pada penelitian ini dipelajari tentang aljabar Lie affine aff (2 , R ) . Penelitian ini bertujuan untuk menen- tukan 1-form pada aljabar Lie affine aff (2 , R ) yang dikaitkan dengan struktur simplektiknya sedemikian sehingga aljabar Lie affine aff (2 , R ) merupakan aljabar Lie Frobenius. Elemen-elemen dari aljabar Lie affine aff (2 , R ) didefin- isikan dalam bentuk matriks kemudian dihitung bracket Lie dan dibentuk matriks struktur dari aljabar Lie affine aff (2 , R ) . 1-form dari aljabar Lie affine aff (2 , R ) diperoleh dari determinan matriks struktur aljabar Lie affine aff (2 , R ) . Selanjutnya, dibuktikan bahwa 2-form-nya bersifat simplektik dan berkaitan dengan 1-form-nya. Hasil yang diperoleh adalah aljabar Lie affine aff (2 , R ) mempunyai 1-form α = ε ∗ 12 + ε ∗ 23 pada aff (2 , R ) ∗ yang berkai- tan dengan symplectic form-nya, yaitu β = ε ∗ 11 ∧ ε ∗ 12 + ε ∗ 12 ∧ ε ∗ 22 + ε ∗ 21 ∧ ε ∗ 13 + ε ∗ 22 ∧ ε ∗ 23 sedemikian sehingga aljabar Lie affine aff (2 , R ) merupakan aljabar Lie Frobenius. Untuk penelitian selanjutnya, dapat dikembangkan pada aljabar Lie affine dengan dimensi n ( n + 1) .
ABSTRACT. In this research, we studied the affine Lie algebra aff (2 , R ) . The aim of this research is to determine the 1-form in affine Lie algebra aff (2 , R ) which is associated with its symplectic structure so that affine Lie algebra aff (2 , R ) is a Frobenius Lie algebra. Realized the elements of the affine Lie algebra aff (2 , R ) in matrix form, then calculated the Lie brackets and formed the structure matrix of the affine Lie algebra aff (2 , R ) . 1-form of the affine Lie algebra aff (2 , R ) is obtained from the determinant of the structure matrix of the affine Lie algebra aff (2 , R ) . Furthermore, proved that the 2-form is symplectic and related to the 1-form. The result obtained is that the affine Lie algebra aff (2 , R ) has 1-form α = ε ∗ 12 + ε ∗ 23 on aff (2 , R ) ∗ which is related to its symplectic structure, β = ε ∗ 11 ∧ ε ∗ 12 + ε ∗ 12 ∧ ε ∗ 22 + ε ∗ 21 ∧ ε ∗ 13 + ε ∗ 22 ∧ ε ∗ 23 such that the affine Lie algebra aff (2 , R ) is a Frobenius Lie algebra. For further research, it can be developed into an affine Lie algebra with dimensions n ( n + 1) .
This article is an open access article distributed under the terms and conditions of the Creative Commons Attribution-NonComercial 4.0 International License. Editorial of JJBM: Department of Mathematics, Uni- versitas Negeri Gorontalo, Jln. Prof. Dr. Ing. B. J. Habibie, Bone Bolango 96554, Indonesia.

## 1. Pendahuluan
Aljabar Lie merupakan salah satu jenis aljabar yang diperke- nalkan pertama kali pada tahun 1873-1874 oleh Sophus Lie, se- orang matematikawan asal Norwegia [1] . Aljabar Lie adalah ru- ang vektor atas lapangan F dengan bracket Lie yang memenuhi kondisi-kondisi pemetaan bilinear, skew-symmetric , dan identitas Jacobi [2] . Penelitian tentang aljabar Lie sudah banyak dilakukan, seperti representasi aljabar Lie [3–6] , aljabar Lie nilpoten [7–9] , dan penggunaan aljabar Lie untuk menyelesaikan model populasi biologis [10] .
Aljabar Lie mempunyai beberapa jenis kelas, salah satunya adalah aljabar Lie Frobenius, yaitu jika indeks suatu aljabar Lie sama dengan nol [11] atau jika orbit coadjoint suatu grup Lie buka di ruang dual aljabar Lie-nya [12] . Aljabar Lie Frobenius banyak dibahas dalam beberapa penelitian lebih lanjut, seperti alternat- ing bilinear form dari aljabar Lie Frobenius adalah nondegenerate [13] , klasifikasi dari kelas isomorfisma pada aljabar Lie Frobenius untuk dimensi ≤ 6 [14] , dan representasi grup Lie dari aljabar Lie Frobenius berdimensi 4 memiliki representasi unitar yang bersi- fat square-integrable [15] .
Aljabar Lie affine aff ( n, R ) merupakan salah satu contoh ∗ Penulis Korespondensi.
Check for updates
Research Article

## ARTICLE HISTORY
Submit 4 Desember 2023 Direvisi 20 Januari 2024 Disetujui 22 Januari 2024 KATA KUNCI 1- form 2- form Aljabar Lie Affine Aljabar Lie Frobenius Struktur Simplektik

## KEYWORDS
1-form 2-form
Affine Lie Algebra Frobenius Lie Algebra Symplectic Structure
dari aljabar Lie Frobenius yang elemen-elemennya dapat ditulis dalam bentuk matriks
A b 0 0 | A ∈ gl ( n, R ) , b ∈ R n .
Sudah banyak hasil penelitian yang diperoleh mengenai aljabar Lie affine, misalnya tentang semua turunan dari aljabar Lie affine akan selalu inner [16] dan aljabar simetrik kiri dari aljabar Lie affine aff (1 , R ) merupakan aljabar Lie Frobenius berdimensi 2 dengan 1- form α = ε ∗ 12 yang berkorespondensi dengan 2- form β = − ε ∗ 11 ∧ ε ∗ 12 dan hubungan antara keduanya dinyatakan oleh β ( x , y ) = − α ([ x , y ]) untuk setiap x , y ∈ aff (1 , R ) [17] .
Hubungan antara 1- form α dan 2 - form β pada aljabar Lie affine aff ( n, R ) berdimensi n ( n +1) didefinisikan pada [12] dalam bentuk β ( x , y ) = α ([ x , y ]) untuk setiap x , y ∈ aff ( n, R ) . Na- mun demikian, hasil yang diperoleh dalam [12] hanya formula un- tuk 1- form α tetapi belum diberikan formula untuk 2- form β yang bersifat skew-symmetric dan nondegenerate . Oleh karena itu, dalam penelitian ini dikonstruksi bentuk 2- form β yang bersifat skew- symmetric dan nondegenerate khususnya untuk kasus n = 2 , yaitu aljabar Lie aff (2 , R ) berdimensi 6. Dalam hal ini, 1- form α dan 2 - form β memenuhi hubungan β ( x , y ) = α ([ x , y ]) untuk setiap Email : aurillya20001@mail.unpad.ac.id (A. Queency) Homepage : http://ejurnal.ung.ac.id/index.php/jjom/index / E-ISSN : 2656-1344 © 2024 by the Author(s).
x , y ∈ aff (2 , R ) dan 2- form β bersifat skew-symmetric dan nonde- generate sehingga aljabar Lie affine aff (2 , R ) merupakan aljabar Lie Frobenius. Bentuk 1- form α tersebut dinamakan fungsional Frobenius dan 2- form β dinamakan symplectic form. Penelitian ini sangat penting untuk memotivasi penelitian selanjutnya, yaitu untuk mengonstruksi bentuk 2- form skew-symmetric dan nondegen- erate pada aljabar Lie affine aff ( n, R ) dan membuktikan bahwa aljabar Lie affine aff ( n, R ) merupakan aljabar Lie Frobenius.

## 2. Metode
Metode yang digunakan pada penelitian ini adalah studi lit- eratur mengenai symplectic form , aljabar Lie, dan aljabar Lie Frobe- nius. Secara eksplisit, penelitian dilakukan mengikuti langkah- langkah berikut:
1. Mendefinisikan aljabar Lie affine aff (2 , R ) . 2. Mendefinisikan B = { ε 11 , . . . , ε 23 } basis aljabar Lie affine aff (2 , R ) dan B ∗ = { ε ∗ 11 , . . . , ε ∗ 23 } basis aff (2 , R ) ∗ , yaitu dual basis aljabar Lie affine aff (2 , R ) dimana ε ij adalah ma- triks 3 × 3 dengan elemen 1 pada baris ke- i dan kolom ke- j . 3. Mengonstruksi bracket Lie [ ε ij , ε kl ] tak nol.
4. Menentukan matriks struktur dan determinannya.
5. Menentukan 1- form α pada aljabar Lie affine aff (2 , R ) , den- gan mengacu pada determinan matriks struktur yang telah diperoleh.
6. Menentukan 2- form β pada aljabar Lie affine aff (2 , R ) dan menunjukkan bahwa β ( x , y ) = α ([ x , y ]) untuk setiap x , y ∈ aff (2 , R ) atau 1- form α berkorespondensi dengan 2- form β .
7. Menunjukkan bahwa β merupakan symplectic form , yaitu dengan menunjukkan 2- form β skew-symmetric dan nondegen- erate sehingga dapat disimpulkan bahwa aljabar Lie affine aff (2 , R ) mempunyai fungsional Frobenius α yang berkore- spondensi dengan symplectic form β sedemikian sehingga al- jabar Lie affine aff (2 , R ) merupakan aljabar Lie Frobenius.
Berikut adalah teori-teori dasar yang digunakan pada penelitian ini. Definisi 1 - 4 yang merujuk pada [2] , Teorema 1 yang merujuk pada [6] , serta Definisi 5 dan Definisi 6 yang masing- masing merujuk pada [11, 12] digunakan untuk membuktikan hasil utama pada penelitian ini.
Definisi 1. Misalkan B = { ε 1 , . . . , ε n } basis dari V . Him- punan B ∗ = { ε ∗ 1 , . . . , ε ∗ n } , di mana ε ∗ i : V → R suatu 1-form yang didefinisikan oleh
ε ∗ i ( ε j ) = 1 , jika i = j 0 , jika i ̸ = j,
disebut basis untuk V ∗ dual terhadap basis B .
Definisi 2. Misalkan V ruang vektor atas lapangan R . Symplec- tic form pada V adalah pemetaan bilinear ω : V × V → R yang memenuhi kondisi-kondisi berikut:
1. ω adalah bilinear form pada V , 2. ω skew-symmetric: Untuk setiap v , w ∈ V , berlaku ω ( w , v ) = − ω ( v , w ) ,
3. ω nondegenerate: Jika v ∈ V memiliki sifat bahwa ω ( v , w ) = 0 , untuk setiap w ∈ V, maka v = 0 . Pasangan ( V, ω ) disebut sebagai ruang vektor simplektik.
Definisi 3. Misalkan V ruang vektor berdimensi n dengan basis B = { ε 1 , . . . , ε n } dan B ∗ = { ε ∗ 1 , . . . , ε ∗ n } basis V ∗ dual terhadap B . Untuk setiap 1 ≤ i 1 , . . . , i k ≤ n , didefinisikan k-form pada V , yaitu ε ∗ i 1 ∧ · · · ∧ ε ∗ i k sebagai
ε ∗ i 1 ∧ · · · ∧ ε ∗ i k ( v 1 , . . . , v k ) = ε ∗ i 1 ( v 1 ) . . . ε ∗ i 1 ( v k ) .. . . .. .. . ε ∗ i k ( v 1 ) . . . ε ∗ i k ( v k ) untuk setiap v 1 , . . . , v k ∈ V dan ∧ suatu wedge product antar 1-form.
Definisi 4. Misalkan V ruang vektor berdimensi n dengan B = { ε 1 , . . . , ε n } dan B ∗ = { ε ∗ 1 , . . . , ε ∗ n } basis V ∗ dual terhadap B . Penjumlahan 2-form pada V didefinisikan sebagai
ε ∗ i 1 ∧ ε ∗ i 2 + · · · + ε ∗ i k − 1 ∧ ε ∗ i k ( v 1 , v 2 ) = ε ∗ i 1 ∧ ε ∗ i 2 ( v 1 , v 2 ) + . . .
+ ε ∗ i k − 1 ∧ ε ∗ i k ( v 1 , v 2 )
untuk setiap v 1 , v 2 ∈ V dan 1 ≤ i 1 , . . . , i k ≤ n .
Teorema 1. Misalkan g aljabar Lie atas lapangan R dengan basis B = { x 1 , . . . , x n } . Skew-symmetric 2-form β pada g dikatakan nondegenerate jika dan hanya jika
| M β | = β ( x 1 , x 1 ) . . . β ( x 1 , x n ) .. . . .. .. . β ( x n , x 1 ) . . . β ( x n , x n ) ̸ = 0 , 1 ≤ i, j ≤ n
dengan M β matriks representasi untuk β .
Bukti . ( ⇒ ) Diketahui bahwa g aljabar Lie atas lapangan R den- gan basis B = { x 1 , . . . , x n } dan skew-symmetric 2- form β pada g nondegenerate .
Akan dibuktikan bahwa det ( M β ) ̸ = 0 . Untuk melihat ini, claim bahwa matriks persegi M β = ( β ( x i , x j )) , 1 ≤ i, j ≤ n merupakan matriks representasi dari β . Ambil u , v ∈ g sem- barang yang dapat ditulis sebagai berikut:
u = α 1 x 1 + α 2 x 2 + · · · + α k x k + · · · + α n x n , v = γ 1 x 1 + γ 2 x 2 + · · · + γ k x k + · · · + γ n x n ,
untuk suatu skalar α k , γ k ∈ R dengan 1 ≤ k ≤ n . Berdasarkan
pendefinisian tersebut, diperoleh
β ( u , v ) = α 1 α 2 . . . α n      β ( x 1 , x 1 ) β ( x 1 , x 2 ) · · · β ( x 1 , x j ) β ( x 2 , x 1 ) β ( x 2 , x 2 ) · · · β ( x 2 , x j ) .. . .. . . ..
.. . β ( x i , x 1 ) β ( x i , x 2 ) · · · β ( x n , x n )           γ 1 γ 2 .. . γ n      .
Jadi, M β = ( β ( x i , x j )) , 1 ≤ i, j ≤ n merupakan matriks repre- sentasi dari β . Kemudian, asumsikan bahwa B basis standar un- tuk g , maka β ( u , v ) = u T M β v . Karena 2- form β skew-symmetric dan nondegenerate , maka β ( u , v ) = v T M β u = 0 . Berdasarkan sifat nondegeneracy , β ( u , v ) = v T M β u = 0 terpenuhi untuk se- tiap v ∈ g jika u = 0 . Artinya, untuk setiap v ∈ g , M β u = 0 hanya memiliki solusi trivial u = 0 atau M β invertible . Jadi, det ( M β ) ̸ = 0 . ( ⇐ ) Diketahui bahwa g aljabar Lie atas lapangan R den- gan basis B = { x 1 , . . . , x n } dan det ( M β ) ̸ = 0 , artinya matriks M β invertible . Akan dibuktikan bahwa skew-symmetric 2- form β nondegenerate . Untuk melihat ini, ambil u , v ∈ g sembarang.
Berdasarkan pembuktian sebelumnya, jika β ( u , v ) = v T M β u = 0 , maka v T M β u = 0 hanya dipenuhi oleh M β u = 0 untuk se- tiap v ∈ g . Karena M β invertible , maka M β u = 0 hanya memiliki solusi trivial u = 0 . Berdasarkan Definisi 2 bagian 3, dapat dis- impulkan jika β ( u , v ) = 0 terpenuhi untuk setiap v ∈ g , maka u = 0 . Jadi, skew-symmetric 2- form β nondegenerate .
Definisi 5. Misalkan g aljabar Lie atas lapangan R dengan basis { x 1 , . . . , x n } , g dikatakan aljabar Lie Frobenius jika salah satu kondisi berikut dipenuhi:
1. det ([ x i , x j ]) ̸ = 0 , dengan [ x i , x j ] merupakan entri dari aljabar simetrik S ( g ) , 2. det ( f ([ x i , x j ])) ̸ = 0 untuk suatu f ∈ g ∗ , 3. Terdapat fungsional linear f ∈ g ∗ sedemikian sehingga al- ternating bilinear form pada g , ( x , y ) → f ([ x , y ]) nonde- generate,
4. g adalah aljabar Lie dengan indeks 0.
Definisi 6. Pasangan ( g , α ) dengan g aljabar Lie dan α fung- sional linear dikatakan Frobenius jika terdapat skew-symmetric 2-form β sedemikian sehingga untuk setiap x , y ∈ g pemetaan
β ( x , y ) = α ([ x , y ])
adalah nondegenerate.
Contoh 1. Aljabar Lie affine aff (1 , R ) dapat dinyatakan dalam bentuk
aff (1 , R ) = A b 0 0 | A ∈ gl (1 , R ) , b ∈ R .
Dapat ditunjukkan bahwa aljabar Lie affine aff (1 , R ) mempun- yai fungsional Frobenius pada aff (1 , R ) ∗ yang berkorespondensi dengan symplectic form -nya sedemikian sehingga aljabar Lie affine aff (1 , R ) merupakan aljabar Lie Frobenius. Basis standar dari al- jabar Lie affine aff (1 , R ) adalah
ε 11 = 1 0 0 0 , ε 12 = 0 1 0 0 (1)
dan basis dual dari aljabar Lie affine aff (1 , R ) adalah
ε ∗ 11 = 1 0 0 0 , ε ∗ 12 = 0 0 1 0 .
Dengan komutator matriks [ x , y ] = xy − yx , untuk setiap x , y ∈ aff (1 , R ) dan basis standar pada persamaan (1) , diperoleh bracket Lie tak nol dari aljabar Lie affine aff (1 , R ) , yaitu
[ ε 11 , ε 12 ] = ε 12 . (2)
Selanjutnya, diperoleh determinan matriks dari struktur aljabar Lie affine aff (1 , R ) dengan menggunakan bracket Lie tak nol pada persamaan (2) yaitu
det ( M aff (1 , R ) ) = [ ε 11 , ε 11 ] [ ε 11 , ε 12 ] [ ε 12 , ε 11 ] [ ε 12 , ε 12 ] = 0 ε 12 − ε 12 0 = ε 2 12 . (3)
Berdasarkan determinan pada persamaan (3) , pilih 1- form α den- gan bentuk
α = ε ∗ 12 . (4)
Kemudian, pilih 2- form β dengan bentuk
β = ε ∗ 11 ∧ ε ∗ 12 . (5)
Dengan menggunakan 1- form dan 2- form yang telah ditentukan pada persamaan (4) dan persamaan (5) , diperoleh hasil perhitun- gan pada Tabel 1 .
Tabel 1. Hasil perhitungan β ( x , y ) dan α ([ x , y ]) untuk se- tiap x , y ∈ aff (1 , R )
[ x , y ] β ( x , y ) α ([ x , y ]) [ ε 11 , ε 11 ] 0 0 [ ε 11 , ε 12 ] 1 1 [ ε 12 , ε 11 ] -1 -1
[ ε 12 , ε 12 ] 0 0
Perhatikan Tabel 1 kolom 2 dan 3. Terlihat bahwa β ( x , y ) = α ([ x , y ]) untuk setiap x , y ∈ aff (1 , R ) atau 1- form α = ε ∗ 12 berkorespondensi dengan 2- form β = ε ∗ 11 ∧ ε ∗ 12 . Selain itu, hasil pada Tabel 1 menunjukkan bahwa β ( x , y ) = − β ( y , x ) untuk se- tiap x , y ∈ aff (1 , R ) atau β bersifat skew-symmetric . Selanjutnya, dengan menggunakan hasil perhitungan β ( x , y ) pada Tabel 1 kolom 2, diperoleh determinan matriks representasi dari aljabar Lie affine aff (1 , R ) , yaitu
det ( M β ) = β ( ε 11 , ε 11 ) β ( ε 11 , ε 12 ) β ( ε 12 , ε 11 ) β ( ε 12 , ε 12 ) = 0 1 − 1 0 = 1 . (6)
Perhatikan hasil determinan pada persamaan (6) . Terlihat bahwa det ( M β ) ̸ = 0 , sehingga β nondegenerate . Berdasarkan Defin- isi 5 dan Definisi 6 , dapat disimpulkan bahwa aljabar Lie affine aff (1 , R ) mempunyai fungsional Frobenius α = ε ∗ 12 pada aff (1 , R ) ∗ yang berkorespondensi dengan symplectic form -nya β = ε ∗ 11 ∧ ε ∗ 12 sedemikian sehingga aljabar Lie affine aff (1 , R ) merupakan aljabar Lie Frobenius.

## 3. Hasil dan Pembahasan
Hasil utama pada penelitian ini dinyatakan dalam Proposisi 1. Berbeda dengan hasil dalam [12] , pada penelitian ini dikon- struksi 2- form β yang bersifat skew-symmetric dan nondegenerate serta memenuhi hubungan β ( x , y ) = α ([ x , y ]) untuk setiap x , y ∈ aff (2 , R ) . Kondisi ini mengakibatkan aljabar Lie affine aff (2 , R ) merupakan aljabar Lie Frobenius.
Proposisi 1. Misalkan aff (2 , R ) aljabar Lie affine berdimensi 6 dengan basis B = { ε 11 , ε 12 , ε 13 , ε 21 , ε 22 , ε 23 } dan mis- alkan aff (2 , R ) ∗ dual ruang vektor dari aff (2 , R ) dengan basis B ∗ = { ε ∗ 11 , ε ∗ 12 , ε ∗ 13 , ε ∗ 21 , ε ∗ 22 , ε ∗ 23 } . Maka untuk suatu fung- sional Frobenius α = ε ∗ 12 + ε ∗ 23 ∈ aff (2 , R ) ∗ , terdapat symplec- tic form
β = ε ∗ 11 ∧ ε ∗ 12 + ε ∗ 12 ∧ ε ∗ 22 + ε ∗ 21 ∧ ε ∗ 13 + ε ∗ 22 ∧ ε ∗ 23 ∈ ∧ 2 ( aff (2 , R )) yang hubungan keduanya diberikan oleh persamaan
β ( x , y ) = α ([ x , y ])
untuk setiap x, y ∈ aff (2 , R ) . Lebih jauh, kondisi ini mengaki- batkan aljabar Lie affine aff (2 , R ) adalah aljabar Lie Frobenius.
Bukti . Aljabar Lie affine aff (2 , R ) dapat dinyatakan sebagai
aff (2 , R ) = A b 0 0 | A ∈ gl (2 , R ) ,b ∈ R 2 .
Misalkan B = { ε 11 , ε 12 , ε 13 , ε 21 , ε 22 , ε 23 } basis standar aljabar Lie affine aff (2 , R ) yang dapat dinyatakan sebagai berikut:
ε 11 =   1 0 0 0 0 0 0 0 0   , ε 12 =   0 1 0 0 0 0 0 0 0   , ε 13 =   0 0 1 0 0 0 0 0 0   , ε 21 =   0 0 0 1 0 0 0 0 0   ,
ε 22 =   0 0 0 0 1 0 0 0 0   , ε 23 =   0 0 0 0 0 1
0 0 0   . (7)
Kemudian, misalkan B ∗ = { ε ∗ 11 , ε ∗ 12 , ε ∗ 13 , ε ∗ 21 , ε ∗ 22 , ε ∗ 23 } dual basis aljabar Lie affine aff (2 , R ) . Elemen-elemen B ∗ dapat dinyatakan sebagai berikut:
ε ∗ 11 =   1 0 0 0 0 0 0 0 0   , ε ∗ 12 =   0 0 0 1 0 0 0 0 0   ,
ε ∗ 13 =   0 0 0 0 0 0 1 0 0   , ε ∗ 21 =   0 1 0 0 0 0 0 0 0   ,
ε ∗ 22 =   0 0 0 0 1 0 0 0 0   , ε ∗ 23 =   0 0 0 0 0 0 0 1 0   .
Dengan komutator matriks, yaitu [ x , y ] = xy − yx , untuk se- tiap x , y ∈ aff (2 , R ) dan basis standar yang dinyatakan pada persamaan (7) , diperoleh bracket Lie tak nol dari aljabar Lie affine aff (2 , R ) sebagai berikut:
[ ε 11 , ε 12 ] = ε 12 , [ ε 11 , ε 13 ] = ε 13 , [ ε 11 , ε 21 ] = − ε 21 , [ ε 12 , ε 11 ] = − ε 12 , [ ε 12 , ε 21 ] = ε 11 − ε 22 , [ ε 12 , ε 22 ] = ε 12 ,
[ ε 12 , ε 23 ] = ε 13 , [ ε 13 , ε 11 ] = − ε 13 , [ ε 13 , ε 21 ] = − ε 23 ,
[ ε 21 , ε 11 ] = ε 21 , [ ε 21 , ε 12 ] = ε 22 − ε 11 , [ ε 21 , ε 13 ] = ε 23 , [ ε 21 , ε 22 ] = − ε 21 , [ ε 22 , ε 12 ] = − ε 12 , [ ε 22 , ε 21 ] = ε 21 , [ ε 22 , ε 23 ] = ε 23 , [ ε 23 , ε 12 ] = − ε 13 , [ ε 23 , ε 22 ] = − ε 23 . (8)
Selanjutnya, diperoleh determinan matriks struktur dari al- jabar Lie affine aff (2 , R ) dengan menggunakan bracket Lie tak nol pada persamaan (8) , yaitu
det M aff (2 , R ) = [ ε 11 , ε 11 ] . . . [ ε 11 , ε 23 ] .. . . .. .. . [ ε 23 , ε 11 ] . . . [ ε 23 , ε 23 ] = ε 11 ε 13 ε 23 + ε 2 23 ε 12 − ε 2 13 ε 21 − ε 13 ε 22 ε 23 2 (9)
Berdasarkan determinan pada persamaan (9) , dipilih 1- form α dengan bentuk
α = ε ∗ 12 + ε ∗ 23 . (10)
Dengan kata lain, persamaan (10) adalah fungsional Frobenius. Selanjutnya, kita claim 2- form β yang berbentuk
β = ε ∗ 11 ∧ ε ∗ 12 + ε ∗ 12 ∧ ε ∗ 22 + ε ∗ 21 ∧ ε ∗ 13 + ε ∗ 22 ∧ ε ∗ 23 (11)
adalah symplectic form . Dengan menggunakan fakta bahwa α dalam persamaan (10) adalah fungsional Frobenius, diperoleh hasil perhitungan pada Tabel 2 .
Tabel 2. Hasil perhitungan β ( x , y ) dan α ([ x , y ]) untuk se- tiap x , y ∈ aff (2 , R ) [ x , y ] β ( x , y ) α ([ x , y ]) [ ε 11 , ε 11 ] 0 0 [ ε 11 , ε 12 ] 1 1 [ ε 11 , ε 13 ] 0 0 [ ε 11 , ε 21 ] 0 0 [ ε 11 , ε 22 ] 0 0 [ ε 11 , ε 23 ] 0 0 [ ε 12 , ε 11 ] -1 -1 [ ε 12 , ε 12 ] 0 0 [ ε 12 , ε 13 ] 0 0 [ ε 12 , ε 21 ] 0 0 [ ε 12 , ε 22 ] 1 1 [ ε 12 , ε 23 ] 0 0 [ ε 13 , ε 11 ] 0 0 [ ε 13 , ε 12 ] 0 0 [ ε 13 , ε 13 ] 0 0 [ ε 13 , ε 21 ] -1 -1 [ ε 13 , ε 22 ] 0 0 [ ε 13 , ε 23 ] 0 0 [ ε 21 , ε 11 ] 0 0 [ ε 21 , ε 12 ] 0 0 [ ε 21 , ε 13 ] 1 1 [ ε 21 , ε 21 ] 0 0 [ ε 21 , ε 22 ] 0 0 [ ε 21 , ε 23 ] 0 0 [ ε 22 , ε 11 ] 0 0 [ ε 22 , ε 12 ] -1 -1 [ ε 22 , ε 13 ] 0 0 [ ε 22 , ε 21 ] 0 0 [ ε 22 , ε 22 ] 0 0 [ ε 22 , ε 23 ] 1 1 [ ε 23 , ε 11 ] 0 0 [ ε 23 , ε 12 ] 0 0 [ ε 23 , ε 13 ] 0 0 [ ε 23 , ε 21 ] 0 0 [ ε 23 , ε 22 ] -1 -1 [ ε 23 , ε 23 ] 0 0
Perhatikan Tabel 2 pada kolom 2 dan 3. Terlihat bahwa β ( x , y ) = α ([ x , y ]) untuk setiap x , y ∈ aff (2 , R ) atau fung- sional Frobenius α = ε ∗ 12 + ε ∗ 23 berkorespondensi dengan 2- form β = ε ∗ 11 ∧ ε ∗ 12 + ε ∗ 12 ∧ ε ∗ 22 + ε ∗ 21 ∧ ε ∗ 13 + ε ∗ 22 ∧ ε ∗ 23 . Selain itu, hasil pada Tabel 2 menunjukkan bahwa β ( x , y ) = − β ( y , x ) atau β bersifat skew-symmetric . Selanjutnya, dengan menggunakan hasil perhitungan β ( x , y ) pada Tabel 2 kolom 2, diperoleh determi- nan dari matriks representasi aljabar Lie affine aff (2 , R ) , yaitu
det ( M β ) = β ( ε 11 , ε 11 ) . . . β ( ε 11 , ε 23 )
.. . . ..
.. .
β ( ε 23 , ε 11 ) . . . β ( ε 23 , ε 23 )
= 0 1 0 0 0 0 − 1 0 0 0 1 0 0 0 0 − 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 − 1 0 0 0 1 0 0 0 0 − 1 0 = 1 . (12)
Perhatikan hasil determinan pada persamaan (12) . Terlihat bahwa det ( M β ) ̸ = 0 , sehingga 2- form β nondegenerate . Berdasarkan Definisi 2 , Definisi 5 bagian 2, dan Definisi 6 , dapat disimpulkan bahwa aljabar Lie affine aff (2 , R ) mempunyai fungsional Frobe- nius α = ε ∗ 12 + ε ∗ 23 pada aff (2 , R ) ∗ yang berkorespondensi den- gan symplectic form β = ε ∗ 11 ∧ ε ∗ 12 + ε ∗ 12 ∧ ε ∗ 22 + ε ∗ 21 ∧ ε ∗ 13 + ε ∗ 22 ∧ ε ∗ 23 sedemikian sehingga aljabar Lie affine aff (2 , R ) merupakan al- jabar Lie Frobenius.

## 4. Kesimpulan
Pada penelitian ini telah dikonstruksi bentuk 2-form skew- symmetric dan nondegenerate atau symplectic form pada aljabar Lie affine aff ( 2 , R ) berdimensi 6, yaitu
β = ε ∗ 11 ∧ ε ∗ 12 + ε ∗ 12 ∧ ε ∗ 22 + ε ∗ 21 ∧ ε ∗ 13 + ε ∗ 22 ∧ ε ∗ 23 ∈ ∧ 2 ( aff (2 , R )) .
Dalam hal ini, fungsional Frobenius α = ε ∗ 12 + ε ∗ 23 pada aff (2 , R ) ∗ dan symplectic form β memenuhi hubungan β ( x , y ) = α ([ x , y ]) untuk setiap x , y ∈ aff ( 2 , R ) sehingga aljabar Lie affine aff ( 2 , R ) merupakan aljabar Lie Frobenius.
Untuk penelitian selanjutnya, dapat dikonstruksi bentuk 2-form skew-symmetric dan nondegenerate pada aljabar Lie affine aff ( n, R ) dengan dimensi n ( n + 1 ) serta membuktikan bahwa al- jabar Lie affine aff ( n, R ) merupakan aljabar Lie Frobenius.
Konstribusi Penulis. Aurillya Queency: Konseptualisasi, studi literatur, analisis formal, dan penulisan draft naskah. Edi Kurniadi: Konseptual- isasi, validasi, tinjauan penulisan, dan supervisi. Firdaniza: Konseptu- alisasi, validasi, tinjauan penulisan, dan supervisi. Semua penulis telah membaca dan menyetujui versi naskah yang telah dipublikasikan.
Konflik Kepentingan. Para penulis menyatakan tidak ada konflik ke- pentingan yang berkaitan dengan artikel ini.

## Referensi
[1] T. Hawkins, Emergence of the Theory of Lie Groups . New York, NY: Springer New York, 2000. doi: 10.1007/978-1-4612-1202-7 .
[2] A. McInerney, First Steps in Differential Geometry . New York, NY: Springer New York, 2013. doi: 10.1007/978-1-4614-7732-7 .
[3] B. Muraleetharan, K. Thirulogasanthar, and I. Sabadini, “A representation of Weyl-Heisenberg Lie algebra in the quaternionic setting,” Ann Phys (N Y) , vol. 385, pp. 180–213, Oct. 2017, doi: 10.1016/j.aop.2017.07.014 .
[4] J. Jiang, “Representations of the q-Klein-bottle Lie algebra,” J Algebra , vol. 591, pp. 36–58, Feb. 2022, doi: 10.1016/j.jalgebra.2021.10.028 .
[5] R. N. Cahn, Semi-simple Lie algebras and their representations . Courier Corpo- ration, 2014.
[6] J. E. Humphreys, Introduction to Lie Algebras and Representation Theory , Third printing. New York: Springer-Verlag, 1980.
[7] M. J. Evans, “Nilpotent Lie algebras in which all proper subalgebras have class at most n,” J Algebra , vol. 591, pp. 1–14, Feb. 2022, doi: 10.1016/j.jalgebra.2021.09.031 .
[8] P. Benito, D. de-la-Concepcion, and J. Laliena, “Free nilpotent and nilpotent quadratic Lie algebras,” Linear Algebra Appl , vol. 519, pp. 296–326, Apr. 2017, doi: 10.1016/j.laa.2017.01.007 .
[9] I. Beltita and D. Beltita, “On Kirillov’s lemma for nilpotent Lie algebras,” J Al- gebra , vol. 427, pp. 85–103, Apr. 2015, doi: 10.1016/j.jalgebra.2014.12.026 .
[10] Y. Shang, “Lie algebra method for solving biological population model,” Journal of Theoretical and Applied Physics , vol. 7, no. 1, p. 67, 2013, doi: 10.1186/2251-7235-7-67 .
[11] A. I. Ooms, “On frobenius lie algebras,” Commun Algebra , vol. 8, no. 1, pp. 13–52, Jan. 1980, doi: 10.1080/00927878008822445 .
[12] D. N. Pham, “ g -quasi-Frobenius Lie algebras,” Archivum Mathematicum , no. 4,
pp. 233–262, 2016, doi: 10.5817/AM2016-4-233 .
[13] M. A. Alvarez, M. C. Rodríguez-Vallarte, and G. Salgado, “Contact and Frobe- nius solvable Lie algebras with abelian nilradical,” Commun Algebra , vol. 46, no. 10, pp. 4344–4354, Oct. 2018, doi: 10.1080/00927872.2018.1439048 .
[14] B. Csikos and L. Verhoczki, “Classification of Frobenius Lie algebras of di- mension ≤ 6,” Publicationes Mathematicae-Debrecen , vol. 70, pp. 427–451, 2007.
[15] E. Kurniadi and H. Ishi, “Harmonic Analysis for 4-Dimensional Real Frobenius Lie Algebras,” 2019, pp. 95–109. doi: 10.1007/978-3-030-26562-5_4 .
[16] M. Gerstenhaber and A. Giaquinto, “The Principal Element of a Frobenius Lie Algebra,” Lett Math Phys , vol. 88, no. 1–3, pp. 333–341, Jun. 2009, doi: 10.1007/s11005-009-0321-8 .
[17] A. Diatta and B. Manga, “On properties of principal elements of Frobenius Lie algebras,” Dec. 2012, [Online]. Available: https://arxiv.org/abs/1212.5380