Abstrak —Pada  paper  ini  dikaji  tentang  banyaknya struktur  grup  berorder  hingga.  Langkah  awal  untuk mengkaji  yaitu  dengan  menjabarkan  tentang  sifat-sifat dari  grup  dengan  order  berhingga.  Sebagaimana diketahui  bahwa  grup  sangat  dipengaruhi  oleh banyaknya anggota (order) didalam grup tersebut.Apabila order dari  grup  kecil,  maka  banyak struktur  grup  dapat  dengan  mudah  untuk  diketahui. Sedangkan  untuk order yang  besar  maka  akan  sulit untuk diketahui. Kajian ini akan dilakukan berdasarkan grup  simpel  dan  klas  isomorpik  grup  abelian. Sehingga hasil  yang  diperoleh  dari  paper  ini  adalah  tidak  ada grup  dengan  order  216  dan  324  yang  merupakan  grup simpel,  serta  berdasarkan  struktur  klas  isomorpik  dari grup  abelian,  maka  grup  dengan  order  216  memiliki Sembilan klas isomorpik, dan untuk order 324 memiliki Sepuluh klas isomorpik.
Kata  Kunci —Order,  Grup  Simpel,Klas  Isomorpik Grup Abelian.

## I. PENDAHULUAN
ljabar  merupakan  ilmu  dibidang  matematika  yang mendasari semua disiplin ilmu dan luas pencakupannya.  Ilmu  tentang  aljabar  telah  mengalami banyak  perkembangan  yang  sangat  signifikan.  Hal  ini ditunjukkan  oleh  banyaknya  peneliti  yang  membahas tentang  aljabar  Ilmu  aljabar  tidak  hanya  digunakan  dalam ilmu  matematika  saja,  akan  tetapi  juga  mengkombinasikan semua  hal  tentang  matematika  dan  aplikasinya.  Salah  satu sistem  aljabar  yang  sangat  penting  adalah  tentang  teori grup.Banyak  permasalahan  dimatematika  yang  diselidiki dengan  menggunakan  teori  grup.  Selain  itu,  aplikasi  dari grup  juga  banyak  digunakan  dalam  ilmu  pengetahuan  yang lain. Misalnya konsep grup ini sangat penting dalam cabang ilmu kimia, dimana digunakan untuk menyelidiki kesimetrian  suatu  molekul.  Begitu  juga  dengan  ilmu  fisika, konsep  grup  digunakan  dalam  menyelidiki  polaritas, spektroskopi,  dan  juga  untuk  mengkonstruksi  orbit molekul[1].
Kajian  tentang  struktur  aljabar  diawali  dengan definisi  yang  sederhana  dari  grup.Berdasarkan  [2]  grup adalah  himpunan  yang  dengan  operasi  biner,  misal perkalian,  penjumlahan,  memenuhi  aksioma  yang  telah ditentukan  yaitu,  tertutup,  assosiatif,  mempunyai  elemen identitas. Struktur yang dibahas lebih tepatnya menggunakan  konsep  isomorphisma  yang  mengatakan bahwa dua grup  yang berbeda adalah sama dalam beberapa arti.
Dalam  membicarakan  struktur  grup,  sangat  penting untuk mengetahui banyaknya elemen grup tersebut.Banyaknya  elemen  dari  grup  dinamakan  order. Maka  suatu  grup  dikatakan finite (berhingga)  jika  order
grupnya  berhingga,  dan  berlaku  sebaliknya.  Jika  order  dari grupnya  tak  hingga,  maka  grup  tersebut  dikatakan infinite (tak hingga). Selanjutnya, grup yang dikaji adalah grup yang berorder  hingga.  Dalam  mempelajari  grup  berhingga  ini, grup dengan order kecil akan mudah untuk diselidiki karena operasinya  dapat  disajikan  dalam  bentuk  tabel.  Namun, penyajian dalam bentuk tabel ini tidak memungkinkan untuk menyelidiki  grup  berorder  besar.Jadi,  permasalahan  yang timbul adalah bagaimana menyelidiki struktur yang berbeda dari grup berorder relatif besar.
Oleh  karena  itu,  dalam  Tugas  Akhir  ini  membahas banyaknya  struktur  grup  dengan  order  berhingga.  Kajian struktur  grup  disini  adalah  untuk  menyelidiki  berdasarkan grup simpel dan klas isomorpik grup abelian.

## II. METODOLOGI PENELITIAN
Langkah-langkah  yang  digunakan  untuk  menyelesaikan Tugas Akhir ini adalah:

## A. Studi Literatur
Pada  tahap  ini  dilakukan  pembahasan  teori-teori dasar  yang  meliputi  pengertian  Grup,  Subgrup,  Grup Simpel,  Teorema  Langrange, -Grup,  dilanjutkan  dengan pembahasan  tentang  Teorema  Sylow.Kajian  dan  uraian dasar ini digunakan untuk landasan pembahasan kajian.

## B. Penentuan Struktur Grup dengan order 216 dan 324
Pada  tahap  ini  dilakukan  penentuan  struktur  grup yang dikaji, yaitu dengan order 216 dan 324. Kajian teoritis ini untuk mendapatkan struktur yang berbeda dari grup yang telah ditentukan ordernya

## C. Penarikan Kesimpulan
Pada Tahap ini dilakukan penarikan kesimpulan dari hasil analisa yang telah diperoleh.

## III. HASIL PENELITIAN DAN PEMBAHASAN

## I. Penentuan Struktur Grup Simpel
Pada  bagian  ini  akan  dibahas  mengenai  struktur  grup simpel dari grup dengan order 216 dan 324. Berdasarkan [2] didapatkan struktur grup simpel sebagai berikut:
1. Struktur dengan Order 216
Misal adalah  grup  dengan  order ,
maka  berdasarkan  teorema  Sylow  3  didapatkan informasi  bahwa memuat  2-subgrup  Sylow  dan  3- subgrup Sylow.
A. Struktur dari 3-subgrup Sylow
Jika  diselidiki  berdasarkan  3-subgrup  Sylow  maka sesuai teorema Sylow 3 diperoleh yang memenuhi yaitu 1 dan 4. Banyaknya 3-subgrup Sylow di

## Menentukan Struktur Grup Berorder Hingga dengan Order 216 dan 324
Hesty Irna Aulia dan Subiono Matematika, FMIPA, Institut Teknologi Sepuluh Nopember (ITS) Jl. Arief Rahman Hakim, Surabaya 60111 Indonesia e-mail:subiono2008@matematika.its.ac.id
A
sama  dengan  indeks  normaliser  3-subgrup  Sylow  di yaitu . Untuk , maka 3-subgrup Sylow ini berdasarkan  teorema  Sylow  2  yang  menyatakan  bahwa -subgrup  Sylow  dari  grup  berhingga adalah  saling konjugasi.  Dengan  demikian  diperoleh  informasi  bahwa 3-subgrup Sylow dengan =1 adalah konjugasi dengan dirinya sendiri, yang berakibat normal di . Maka hal ini menunjukkan  bahwa  setiap  3-subgrup  Sylow  di merupakan subgrup Sylow normal di . Jadi, bukan merupakan grup simpel.
Selanjutnya  jika  diselidiki  jika
,  maka misalkan dan adalah  sebarang  dari  dua  3-subgrup Sylow di maka | |   | | = dan | | | | ,  maka  berdasarkan  teorema  subgrup berhingga diperoleh:
|  | | || | |     | |     | |     |
Sehingga  diperoleh
merupakan  subgrup  normal dari dan  juga .  Oleh  karena  itu dan
merupakan kelipatan  27  dan  membagi  216.Jadi, | | yang memenuhi  adalah  54,  108,  dan  216.  Selanjutnya  akan dijabarkan sebagai berikut ini:
i. Untuk | | =54
Jika  grup dengan  order 216 dan | | =54, maka | | =4.  Jika  grup  ini  merupakan  grup simpel,  maka  ada  isomorphism  dari ke  subgrup , sehingga | | membagi .  Karena  tidak  habis membagi  maka  kontradiksi.Sehingga  hal  ini  tidak memenuhi.Maka grup yang seperti ini bukan merupakan grup simpel.
ii. Untuk | |
Jika  grup dengan  order  216  dan | | maka | | =2.  Berdasarkan  Teorema Subgrup  Normal  diperoleh
adalah  subgrup normal  dari .  Jadi,  grup  grup yang  mempunyai | | bukan merupakan grup simpel
iii. Untuk | |
Jika  grup dengan  order  216  dan | |
maka .  Jadi merupakan
subgrup  normal  dari .  Dengan  demikian  diperoleh informasi bahwa bukan merupakan grup simpel.
Jadi,  dari  pembahasan  diatas  diperoleh  kesimpulan bahwa, grup berorder 216 diselidiki dari 3-subgrup Sylow bukan merupakan grup simpel.

## B. Struktur dari 2-subgrup Sylow
Jika  diselidiki  dari  2-subgrup  Sylow  maka  berdasarkan Teorema  Sylow  3  diperoleh
yang memenuhi adalah 1, 3, 9 dan 27.
Untuk ,  maka  2-subgrup  Sylow  jika  diselidiki akan  menghasilkan  informasi  bahwa    subgrup  normal  di . Hal  ini  sesuai  dengan  teorema  Sylow  2  yang  menyatakan bahwa  semua  elemen  didalamnya  konjugasi  terhadap dirinya sendiri.
Untuk
, misalkan sebarang 2-subgrup Sylow di ,  maka  diperoleh  informasi  bahwa | | dan didapatkan | | Dari  sini  dapat  dilihat  bahwa , dengan demikian bukan merupakan subgrup normal dari . Sehingga grup tidak mempunyai 2-subgrup Sylow normal.  Dengan demikian dapat disimpulkan grup bukan merupakan grup simpel Untuk , dimisalkan adalah sebarang 2-subgrup Sylow  di maka | | dan | | .  Dari sini  diperoleh
maka bukan  subgrup  normal dari . Oleh karena itu grup tidak mempunyai 2-subgrup Sylow normal dan bukan merupakan grup simpel. Untuk , dimisalkan adalah sebarang 2-subgrup
Sylow di , maka | | dan diperoleh informasi | |   | | ,  sehingga .  Dari  sini  dapat dilihat bahwa
adalah subgrup normal dari . Jadi tidak mempunyai  2-subgrup  Sylow  normal.Jika merupakan grup  simpel  maka mempunyai  indeks  terkecil  8.Akan tetapi,  setiap  grup  simpel mempunyai artinya indeks  normalizer  dari  3-subgrup  sylow  di adalah 4.Sehingga  kontradiksi,  maka bukan  merupakan  grup simpel.
Dari penjabaran diatas didapatkan bahwa tidak ada grup dengan  order  216  diselidiki  berdasarkan  2-subgrup  Sylow merupakan grup simpel.
Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa berdasarkan penjelasan 3-subgrup Sylow dan 2-subgrup Sylow diperoleh struktur  grup tidak  memenuhi  grup  simpel,  dengan  kata lain dengan order 216 tidak merupakan grup simpel.
1. Struktur dengan Order 324
Misal adalah  grup  dengan  order , sehingga berdasarkan Teorema Sylow 3 diperoleh informasi bahwa memuat 2-subgrup sylow dan 3-subgrup sylow.

## A. Struktur dari 3-subgrup sylow
Pada  bagian  ini  akan  dibahas  struktur  grup  apakah merupakan  grup  simpel.  Selanjutnya  berdasarkan  Teorema Sylow  3  diperoleh  nilai
yang  memenuhi adalah 1 dan 4. Untuk , maka 3-subgrup Sylow ini berdasarkan  Teorema  Sylow  2  merupakan  subgrup  normal di karena saling konjugasi, sehingga bukan grup simpel.
Untuk ,  misal dan adalah  sebarang  dari dua  3-subgrup  sylow  dan | |   | | didapatkan | |   | | ,  berdasarkan  Teorema Subgrup Berhingga diperoleh yaitu :
|  | | || | |     | |     | |     | Sehingga  diperoleh merupakan  subgrup  normal dari dan juga . Oleh karena itu dan
merupakan  kelipatan  81  dan  membagi 324.Jadi, | | yang memenuhi adalah 162 dan 324.
i.  Untuk | |
Jika  grup dengan  order  324  dan | | , maka | | .  Sehingga merupakan subgrup normal dari . Maka grup bukan merupakan grup simpel.
ii . Untuk | |
Jika  grup dengan  order  324  dan | | , maka | | .  Jadi merupakan  subgrup normal  dari .  Dengan  demikian  sesuai  Definisi  Grup Simpel maka grup bukan merupakan grup simpel.
Berdasarkan  penjabaran  diatas  maka  diperoleh  bahwa grup berorder 324 diselidiki dari -subgrup Sylow bukan merupakan grup simpel.

## A. Struktur dari 2-subgrup Sylow
Pada  bagian  ini  akan  dijabarkan  tentang  struktur  grup berdasarkan  2-subgrup  Sylow.  Dengan dan membagi  324.Selanjutnya  ditentukan yang memenuhi yaitu 1, 3, 9, 27, dan 81.
Untuk
,  maka  berdasarkan  Teorema  Sylow  2 2-subgrup  Sylow  ini  normal  di karena  konjugasi  dengan
dirinya sendiri. Untuk ,  misalkan adalah  sebarang  2- subgrup  Sylow  maka | | dengan | | sehingga  diperoleh  informasi
.  Dengan demikian bukan  merupakan  subgrup  normal  di ,  maka bukan merupakan grup simpel.
Untuk ,  misalkan  M  adalah  sebarang  2- subgrup  Sylow  dengan  demikian | | ,  oleh karena  itu    didapat | | ,  sehingga  berakibat
, dan bukan merupakan grup simpel
Untuk misalkan  K  adalah  sebarang  2- subgrup  Sylow  dengan  demikian  dapat  diperoleh | | ,  yang  berarti  bahwa | | .  Maka berakibat , dan tidak memenuhi grup simpel. Untuk ,  misalkan adalah  sebarang  2-
subgrup Sylow dengan demikian diperoleh | | 81, oleh karena itu didapat | | sehingga adalah subgrup normal di . Jadi, berdasarkan penjabaran diatas diperoleh kesimpulan  bahwa  tidak  ada  grup  dengan  order  324 diselidiki  berdasarkan  2-subgrup  Sylow  merupakan  grup simpel.
Dengan  demikian  grup  dengan  order  324  jika diselidiki  berdasarkan  2-subgrup  Sylow  dan  3-subgrup Sylow  tidak  memenuhi  kriteria  grup  simpel,  dengan  kata lain  tidak  ada  grup  dengan  order  324  merupakan  grup simpel

## II. Struktur Klas Isomorpik dari Grup Abelian
Pada Bagian ini akan dijabarkan tentang struktur dari grup dengan order 216 dan 324 berdasarkan klas isomorpik grup  abelian.  Grup  abelian  berhingga  merupakan direct product dari  grup  siklik.  Sehingga  untuk  menentukan  kelas isomorpik yang berbeda, digunakan grup modulo .

## 1. Struktur Grup Abelian dengan  Order 216
Pada  bagian  ini  akan  dijabarkan  tentang  struktur  grup abelian  dengan  order  216.Sehingga  grup  abelian  dengan order  216  dinyatakan  terlebih  dahulu  dalam  bentuk  faktor primanya.  Bentuk  faktor  prima  dari
.  Langkah selanjutnya  yaitu  dipaparkan  dari  masing-masing . Untuk  yang  pertama  yaitu  grup  abelian  dengan  order . Maka partisi pada adalah :
Sehingga  terdapat  3  partisi  yang  berbeda  untuk . Hal  ini  berakibat  banyaknya  grup  abelian  yang  tidak isomorpik ada 3 yaitu :
Sedangkan  untuk  grup  abelian  dengan  order , maka partisi pada adalah :
Sehingga  terdapat  3  partisi  yang  berbeda  untuk .  Hal  ini  juga  berakibat  bahwa  banyaknya  grup  abelian yang tidak isomorpik ada 3 yaitu :
Berdasarkan  penjabaran  yang  diperoleh  dari  barisan dan  dari  barisan
maka  diperoleh  bahwa untuk  barisan  dari
merupakan  2-subgrup  Sylow dari  grup  abelian  dengan  order  216.  Berlaku  untuk  barisan dari merupakan 3-subgrup Sylow dari grup abelian dengan order 216.
Selanjutnya  akan  dijabarkan  semua  kemungkinan dari direct  product subgrup  Sylow  yang  diberikan  sebagai berikut:
1.
2.
3. 4. 5. 6. 7.
8.
9.
Jadi,  berdasarkan  analisis  yang  disajikan  dapat disimpulkan  bahwa  terdapat  9  klas  isomorpik  dari  grup abelian  dengan  order  216.  Dimana  seluruh  klas  isomorpik yaitu  sejumlah  9  kals  isomorpik  tersebut,  merupakan representasi  dari  grup  abelian  dengan    order  216  yang terletak pada masing-masing kelas isomorpiknya.

## 2. Struktur Grup Abelian dengan Order 324
Pada  bagian  ini  dijabarkan  untuk  struktur  grup dengan  order  324  berdasarkan  klas  isomorpik  dari  grup abelian.  Langkah  awal  yaitu  dibentuk  faktor  prima  dari order kemudian  akan  dipaparkan  grup  abelian dari  masing-masing  order .  Yang  pertama  akan
dipaparkan untuk
maka partisi pada adalah:
Terdapat 2 partisi yang berbeda untuk dan dari partisi  ini  berakibat  bahwa  banyaknya  grup  abelian  yang tidak isomorpik ada 2 yaitu:
Terdapat 5 partisi yang berbeda untuk dan dari partisi  tersebut  berakibat  bahwa  banyaknya  grup  abelian yang tidak isomorpik ada 5 yaitu:
Setelah  diperoleh  analisis  dari  masing-masing  grup abelian, maka langkah selanjutnya akan dikaji tentang direct product dari
yang merupakan 2-subgrup Sylow dari grup abelian dan
merupakan 3-subgrup Sylow dari grup abelian dengan order 324.
Grup  abelian  dengan  order  324  akan  isomorpik dengan direct product dari 2-subgrup Sylow dan 3-subgrup Sylow  dan  dijabarkan  semua  kemungkinan  dari direct product subgrup Sylow yang diberikan sebagai berikut:
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.
Jadi,  berdasarkan  analisis  yang  disajikan  dapat disimpulkan  bahwa  terdapat  10  klas  isomorpik  dari  grup abelian  dengan  order  324.  Dimana  seluruh  10  klas isomorpik tersebut merupakan representasi dari grup abelian dengan    order  324  yang  terletak  pada  masing-masing  kelas isomorpiknya.

## IV. KESIMPULAN
Berdasarkan  analisis  dan  pembahasan  yang  telah disajikan  dalam  bab  sebelumnya,  dapat  disimpulkan beberapa hal sebagai berikut:
a. Tidak  ada  grup  dengan  order  216  dan  324  yang merupakan grup simpel.
b. Grup dengan order 216 mempunyai 9 klas isomorpik dan  grup  berorder  324  mempunyai  10  klas  yang saling isomorpik untuk grup abelian.

## DAFTAR PUSTAKA
[1] Hakimah,  Maftakhul.  2006.  “ Kajian  Struktur  Grup Berhingga ”.  Surabaya:  Institut  Teknologi  Sepuluh
Nopember.
[2] Subiono.  2015.  “ Aljabar:  sebagai  suatu  Fondasi Matematika ”.  Surabaya:  Institut  Teknologi  Sepuluh
Nopember
[3] Fraleigh,  J.B.  1982.  “ A  First  Course  In  Abstract
Algebra ”. London:Wesley.
[4] Khanna,  V.K  and  S.K  Bhambri.  1993.  “ A  Course  In Abstract Algebra ”. New Delhi: Vikas Publising House.
[5] Dummit,  D.S,  and  Richard  M.F.  1991  “ Abstract Algebra ”. London : Pretice Hall.
[6] Subiono. 2011. “Diktat Ajar Aljabar I”. Surabaya:
Institut Teknologi Sepuluh Nopember.