Prima: Jurnal Pendidikan Matematika Vol. 3, No. 1, Januari 2019, hal. 25-33 P-ISSN: 2579-9827, E-ISSN: 2580-2216

## PENAKSIRAN PENJUALAN PRODUK BERDASARKAN PENDEKATAN MODEL REGRESI NEGATIF BINOMIAL

## Reny Rian Marliana
STMIK Sumedang, Jl. Angkrek Situ No.19 Sumedang 45232, 0261-207395 e-mail: renyrianmarliana@gmail.com

## Abstrak
Penelitian bertujuan untuk membandingkan hasil penaksiran parameter model regresi binomial negative dengan model  Poisson  untuk underreported  counts pada  penelitian  sebelumnya.  Model  regresi  dibentuk  pada  data penjualan produk yang mengalami underreporting counts, akibat keterlambatan input data ke aplikasi penjualan produk ( sales cycle ). Pada penelitian sebelumnya, model yang digunakan merupakan gabungan antara distribusi Binomial dan distribusi Poisson. Parameter model regresi ditaksir menggunakan pendekatan Bayes dan simulasi Markov Chain Monte Carlo melalui Algoritma Gibbs Sampling . Hasil penaksiran menunjukkan adanya perbedaan antara  banyaknya  penjualan  yang  dilaporkan  dengan  banyaknya  penjualan  produk  yang  sebenarnya.  Besar perbedaan tersebut merupakan banyaknya penjualan produk yang tidak terlaporkan. Pada penelitian lanjutan ini, model yang digunakan adalah Model Regresi Negatif Binomial. Parameter regresi ditaksir menggunakan metode Iterasi  Newton  Rapson.  Hasil  penaksiran  menunjukkan  selisih  yang  cukup  besar  dimana  model  Poisson  untuk underreported counts lebih robust sesuai dengan komponen musiman yang ada.
Kata Kunci: underreported, generalized poisson, negative binomial

## Abstract
The goal of study is to compare the parameters of the negative Binomial regression model and the Poisson Model for underreported counts in the previous study. A model is a regression model for the number of product sales that run ito underreporting counts, caused by a delay on input process to the product sales applications (called sales  cycle).  The  model  used  in  the  previous  study  is  a  mixture  of  the  poisson  and  the  binomial  distributions developed by Winkelmann (1996). The regression parameters are estimated by a Bayesian approach and Markov Chain Monte Carlo simulation using Gibbs sampling algorithm. The results show the difference between the actual number and the reported number. This difference is the number of  unreported product sales. In this study,  the model  used is the negative binomial regression  model. The regression parameters are estimated using  Newton Rapson iteration method. The results show a big gap from the previous study. It means that the Poisson Model for underreported counts is more robust in accordance with the seasonal components.
Keywords : underreported, generalized poisson, negative binomial

## PENDAHULUAN
Dalam dunia bisnis, khususnya perdagangan, mengetahui banyaknya penjualan produk yang  dipasarkan  sangatlah  penting  bagi  keberlangsungan  sebuah  perusahaan.  Dengan mengetahui banyaknya produk yang terjual, perusahaan dapat menentukan rencana produksi selanjutnya dan berbagai strategi pemasaran lainnya. Berkaitan dengan hal tersebut, keakuratan dan kevalidan data banyaknya penjualan produk yang terjual merupakan faktor utama dalam ketepatan penentuan strategi pemasaran yang harus dilakukan. Keakuratan dan kevalidan data ini, bergantung pada sistem pelaporan yang digunakan oleh perusahaan yang bersangkutan.
26
Pemasaran produk dari sebuah perusahaan garmen biasanya dilakukan di toko-toko yang menyebar di berbagai kota, sehingga sistem pelaporan banyaknya penjualan produk dilakukan secara bertahap. Masalah yang sering ditemui pada sistem pelaporan ini adalah misreporting counts .
Misreporting counts dapat terjadi dalam setiap sistem pelaporan. Dalam sebuah model, misreporting terjadi jika laporan seorang individu terhadap banyaknya kejadian yang diamati berbeda  dari  nilai  yang  sebenarnya  (Li et  al dalam  Pararai,  2010). Misreporting  counts dibedakan menjadi dua yaitu underreporting counts dan overreporting counts . Underreporting counts adalah sebuah masalah  yang dapat terjadi  saat pengumpulan data, ketika pencacahan sebuah  kejadian,  untuk  beberapa  alasan  menjadi  tidak  lengkap  (Neubauer,2011). Underreported counts terjadi jika banyaknya kejadian yang diamati, dilaporkan lebih kecil dari banyaknya kejadian yang sebenarnya. Sebaliknya, overreported counts terjadi jika banyaknya kejadian yang sedang diamati dilaporkan melebihi banyaknya kejadian yang sebenarnya.
Pada penelitian ini, underreported counts terjadi sebagai akibat keterlambatan input data yang dilakukan oleh admin. Keterlambatan ini terjadi secara berulang, sehingga data penjualan produk  yang  diterima  dalam  periode  waktu  tertentu  dapat  dipastikan  dalam  kondisi underreported . Proses input data merupakan kunci utama dari sebuah sistem pelaporan sebuah aplikasi penjualan. Sistem pelaporan pada penelitian ini dapat dilihat pada Gambar 1.
Underreporting  counts menyebabkan  banyaknya  penjualan  produk  yang  terjual,  yang terekam  dalam  aplikasi  lebih  kecil  dibandingkan  dengan  banyaknya  penjualan  produk  yang sebenarnya.  Hal  ini  merupakan  salah  satu  penyebab  terjadinya  kekeliruan  dalam  penentuan rencana produksi dan distribusi produk. Oleh karena itu, untuk dapat mengurangi terjadinya kekeliruan tersebut, perlu dilakukan penaksiran banyaknya penjualan produk yang sebenarnya.
Pada  kenyataanya,  perusahaan  garmen  pada  penelitian  ini  telah  melakukan  sebuah strategi  untuk  mengatasi  terjadinya underreporting counts . Strategi  tersebut  adalah kegiatan closing yang  bertujuan  untuk  melengkapi  laporan  data  penjualan  produk  yang  terlambat diinput.  Namun,  terdapat kekurangan dari strategi ini  yaitu waktu  pelaksanaan closing yang kurang  dapat  membantu  proses  penentuan  strategi  distribusi  produk.  Waktu  pelaksanaan closing biasanya dilakukan di awal bulan berikutnya dan selesai di pertengahan bulan tersebut. Sementara,  penentuan  distribusi  produk  dilakukan  dalam  jangka  waktu  yang  sama  dengan waktu pelaksanaan closing . Dengan demikian, jelas seorang follow up marketing akan terpaksa menggunakan  data  sebelum closing dilakukan  yang  berada  dalam  kondisi underreported
27 counts ,  sehingga  kekeliruan  dalam  penentuan  strategi  distribusi  produk  tersebut  tidak  dapat dihindari.
Pada  penelitian  sebelumnya,  untuk  dapat  mengurangi  kekeliruan  dalam  penentuan strategi pemasaran, baik dalam penentuan strategi distribusi produk maupun rencana produksi selanjutnya, telah dikaji mengenai penaksiran banyaknya penjualan produk yang sebenarnya berdasarkan underreporting counts. Penaksiran dilakukan dengan menggunakan sebuah model yang  dikembangkan  oleh  Winkelmann  (1999).  Model  tersebut  merupakan  gabungan  antara distribusi Binomial dan distribusi Poisson. Parameter regresi ditaksir menggunakan pendekatan Bayes  dan  simulasi  Markov  Chain  Monte  Carlo  melalui  Algoritma Gibbs  Sampling .  Hasil penaksiran  menunjukkan  dengan  jelas  adanya  perbedaan  antara  banyaknya  penjualan  yang dilaporkan  dengan  banyaknya  penjualan  produk  yang  sebenarnya.  Besar  perbedaan  tersebut merupakan banyaknya penjualan produk yang tidak terlaporkan.
Sementara, pada penelitian ini. penaksiran parameter dilakukan berdasarkan laporan data hasil closing .  Dengan  demikian,  data  yang  digunakan  dalam  penaksiran  parameter  model bukan lagi merupakan underreported counts melainkan accurately reported .
Pemodelan  dari  sebuah  data  cacahan  ( count )  yang  dianggap accurately  reported di antaranya adalah model  regresi  poisson, model  regresi  negative binomial dan model regresi generalized poisson.
Gambar 1. Sistem Laporan Perusahaan Garmen
28

## METODE PENELITIAN

## Model Regresi Poisson
Asumsikan bahwa kejadian banyaknya dari satu jenis produk yang terjual di sebuah toko dalam satu bulan, yang diinput ke sales cycle dan telah melalui proses closing sebagai variabel acak Y ={ y 1 , y 2 ,..., y n }. Jelas bahwa variabel acak Y merupakan data cacah yang mengambil nilai integer 0,1,2,....
Variabel acak Y dipengaruhi oleh tingkat jual toko yang dinotasikan sebagai variabel X . Sehingga jika hubungan antara kedua variabel tersebut linear maka dapat dituliskan bahwa :
0 1 i i Y X   = + (1)
dengan i =1,2,..., n
Bentuk hubungan linear pada persamaan di atas, hanya dapat digunakan jika X berskala interval  atau  rasio.  Pada  penelitian ini variabel  independen X berskala ordinal sehingga jika dimisalkan bahwa X terdiri atas m kategori maka untuk dapat memodelkan hubungan antara variabel  acak Y dan X diperlukan variabel dummy ( D ) sebanyak m- 1. Dengan demikian jika hubungan antara kedua variabel tersebut adalah linear maka dapat dituliskan bahwa:
( ) ( ) 0 1 1 2 2 1 1 i i i m m i
Y D D D     − − = + + + + (2)
Persamaan  di  atas  memperlihatkan  bahwa  hubungan  antara  variabel  acak Y dan X tidaklah  linear  sehingga  untuk  dapat  merumuskan  model  antara  kedua  variabel  tersebut diperlukan  sebuah  komponen  yang  dapat  menggambarkan  bagaimana  variabel X disubstitusikan ke dalam model sebagai nilai harapan dari variabel acak Y . Dalam generalized linear  model, komponen  ini  dinamakan  dengan  komponen  sistematik.  Fungsi  yang menghubungkan  antara  komponen  sistematik  dengan  nilai  harapan  dari  variabel  acak Y dinamakan sebagai link function (Dobson, 1983).
Oleh karena nilai rata-rata dari banyakanya produk yang terjual selalu positif maka link function yang  sesuai  dengan  kondisi  tersebut  yang  digunakan  pada  sebuah  model  regresi Poisson adalah natural log ( ln ) (Agresti (1996) & Cameron (1998).
Dengan  demikian,  berdasarkan Moran’s  (1952)  characterization dan Rao-Rubin condition (1964)  (dalam  Papadator,  2005),  Raftery  (1988)  (dalam  Moreno,  1998)  serta Winkelmann (1996), model regresi Poisson antara variabel acak Y dan X didefinisikan sebagai :
λ = Exp [ D i ’β ] (3)
Dalam  regresi  Poisson,  terdapat  asumsi  yang  harus  dipenuhi  yaitu  nilai  rata-rata  dan varians dari variabel acak Y haruslah sama. Asumsi ini disebut sebagai equidispersion .
29 Pada  kenyataanya,  asumsi  ini  sangat  sulit  untuk  dipenuhi.  Seringnya,  data  cacah mengalami kasus overdispersion . Dengan kata lain nilai varians dari variabel acak Y lebih besar daripada nilai rata-ratanya.
Overdispersion menyebabkan  nilai  devians  model  menjadi  sangat  besar  dan menyebabkan model  yang dihasilkan menjadi kurang tepat (Utami, 2013). Untuk mengatasi masalah ini, salah satu caranya adalah menggunakan model regresi Binomial Negatif.

## Model Regresi Negatif Binomial
Model  regresi  Binomial  Negatif  dibentuk  dari  sebuah  variabel  acak  berdistribusi Binomial  Negatif.  Jika  diasumsikan  kembali  bahwa  variabel  acak Y yang  dipengaruhi  oleh variavel independen X dengan m kategori berdistribusi Binomial Negatif, maka model regresi Binomial Negatif yang terbentuk didefinisikan sebagai :
E[ y i ]= λ i = Exp [ D i ’β ] (4)
dengan i =1,2,..., n
Jelas  bahwa,  model  regresi  Binomial  negatif  merupakan  model  yang  dibangun  untuk sebagai pemodelan nilai harapan variabel acak Y sebagai fungsi eksponensial dari sebuah atau beberapa variabel independen X .
Model  regresi  Binomial  negatif  dapat  digunakan  untuk  kasus equidispersion maupun overdispersion . Masalah lain yang mungkin muncul pada data riil adalah ditemukannya sebuah kasus, dimana nilai varians dari variabel acak Y lebih kecil dibandingkan dengan nilai rata-rata. Kasus ini dinamakan sebagai underdispersion .
Salah  satu  cara  yang  bisa  digunakan  untuk  mengatasi  kemungkinan  terjadinya underdispersion adalah model regresi Generalized Poisson.

## Model Regresi Generalized Poisson
Model  regresi Generalized  Poisson merupakan  perluasan  dari  model  regresi  Poisson yang bisa digunakan dalam keadaan equidispersion, overdispersion maupun underdispersion . Jika  diasumsikan  kembali  bahwa  variabel  acak Y yang  dipengaruhi  oleh  variabel independen X dengan m kategori  berdistribusi generalized  Poisson ,  maka  fungsi  distribusi peluang untuk variabel acak Y dapat didefinisikan sebagai (Famoye, 2004) :
( ) ( ) ( ) 1 1 1 , exp 1 ! 1 i y i i i i i i i i i i y y f y y         − + − +     =     + +     (5)
dengan i =1,2,..., n dan λ i = Exp [ D i ’β ].
30
Rata-rata dan varians dari variabel acak Y didefinisikan sebagai :
i i i E Y x    =   (6)
dan
( ) 2 1 i i i i V Y x     = +   (7)
Jika α =0,  maka  akan  diperoleh  nilai  rata-rata  dari  variabel  acak Y sama  dengan variansnya.  Dengan  demikian  model  regresi Generalized  Poisson merupakan  model  regresi Poisson. Sementara jika α >0, model regresi Generalized Poisson yang terbentuk merupakan pemodelan  untuk  data  cacah  yang  mengalami over-dispersion .  Sebaliknya  jika  nilai α <0, model  regresi Generalized  Poisson yang  terbentuk  merupakan  pemodelan  untuk  data  cacah yang mengalami under-dispersion .

## Data dan Langkah Analisis:
Data yang digunakan pada penelitian ini adalah data laporan penjualan produk di 108 toko dari  sebuah  perusahaan  garmen  di  Bandung,  Indonesia.  Laporan  penjualan  produk  yang digunakan  adalah  data  banyaknya  penjualan  produk  yang  diinput  ke sales  cycle dan  telah melalui proses closing periode Agustus 2013. Count variable bernilai antara 1-24 pcs dengan rata-rata 5,4167 dan standar deviasi 4,5305. Sedangkan, variabel independen yang dilibatkan adalah  tingkat  jual  toko  yang  terdiri  atas  4  kategori  yaitu  sangat  tinggi,  tinggi,  rendah  dan sangat  rendah.  Oleh  karena  variabel  independen  terdiri  atas  4  kategori  maka  pemodelan dilakukan dengan menggunakan 3 buah variabel dummy .
Langkah-langkah analisis yang dilakukan sebagai berikut :
1. Penaksiran banyaknya penjualan produk menggunakan model regresi Poisson.
2. Penaksiran banyaknya penjualan produk menggunaka model regresi Negatif Binomial.
3. Penaksiran  banyaknya  penjualan  produk  menggunakan  model  regresi Generalized Poisson .
4. Pemilihan model terbaik menggunakan kriteria AIC ( Akaike Information Criterion ).
5. Membandingkan hasil penaksiran model terbaik dengan hasil penaksiran pada penelitian sebelumnya.

## HASIL DAN PEMBAHASAN
Hasil penaksiran parameter regresi menggunakan model regresi Poisson sebagai berikut:
31 Tabel 1. Model Regresi Poisson
Parameter Taksiran Standard Eror β 0 1,252763 0,3779 β 1 0,878864 0,389 β 2 0,412245 0,3824 β 3 0,263584 0,3859
Hasil  penaksiran  parameter  regresi  menggunakan  model  regresi  Negatif  Binomial sebagai berikut :
Tabel 2. Model Regresi Negatif Binomial
Parameter Taksiran Standard Error β 0 1,252763 0,5677 β 1 0,878864 0,5970 β 2 0,412245 0,5763 β 3 0,263584 0,5817
Hasil  penaksiran  parameter  regresi  menggunakan  model  regresi Generalized  Poisson sebagai berikut :
Tabel 3. Model Regresi Generalized Poisson Parameter Taksiran Standard Error β 0 1,3276 0,5802 β 1 0,6342 0,6054 β 2 0,3595 0,5865 β 3 0,2552 0,5915
Untuk menentukan model mana yang terbaik di antara ketiga hasil penaksiran parameter regresi dari ketiga model regresi tersebut, dilakukan perhitungan nilai AIC dimana, model yang memiliki  nilai AIC yang  paling  kecil  adalah  model  terbaik.  Hasil  perhitungan  AIC  untuk masing-masing model adalah sebagai berikut :
Tabel 4. Akaike Information Criterion
Model Regresi AIC Poisson 677,582 Negatif Binomial 577,3987 Generalized Poisson 579,821
Berdasarkan tabel nilai AIC di atas, jelas bahwa model regresi Negatif Binomial memiliki nilai AIC paling kecil dibandingkan dengan dua model regresi lainnya. Dengan demikian model
32
regresi  Negatif  Binomial  adalah  model  terbaik  yang  dapat  digunakan  untuk  menaksir banyaknya penjualan produk. Dengan demikian persamaan regresi dari model tersebut dapat dituliskan sebagai berikut :
1 1 1 1,2528 0,8789 0,4122 0,2636 D D D i e  + + + =
Sehingga, berdasarkan kategori tingkat jual toko, taksiran rata-rata penjualan produk periode Agustus 2013 yaitu :
Tabel 5. Taksiran Rata-Rata
Tingkat Jual Toko Taksiran Rata-Rata ( Pcs ) Sangat Tinggi 8 Tinggi 5 Rendah 4 Sangat Rendah 3
Hasil penaksiran banyaknya penjualan produk di atas berdasarkan model regresi Negatif Binomial ini sangat jauh berbeda dengan hasil  penaksiran pada penelitian sebelumnya  yaitu sebagai berikut :
Tabel 6. Taksiran Penelitian Sebelumnya
Tingkat Jual Toko Taksiran Rata-Rata ( Pcs ) Sangat Tinggi 21 Tinggi 11 Rendah 9 Sangat Rendah 7
Hasil perbandingan menunjukkan nilai selisih yang cukup besar yaitu rata-rata penjualan produk untuk toko dengan tingkat jual yang sangat tinggi memiliki selisih 13 pcs , toko dengan tingkat jual tinggi memiliki selisih 6 pcs , toko dengan tingkat jual rendah memiliki selisih 5 pcs dan toko dengan tingkat jual toko sangat rendah memiliki selisih 4 pcs .
Nilai  selisih  yang  cukup  besar  ini  membuktikan  bahwa  proses closing yang  bertujuan untuk melengkapi banyaknya penjualan produk yang terlambat diinput kurang efektif. Hal ini didukung dengan komponen musiman yang ada. Komponen musiman yang dimaksud adalah periode  Agustus  merupakan  periode  menjelang  Idul  Fitri  dimana  tingkat  penjualan  selalu melonjak setiap tahunnya.
Pengalaman  menunjukkan  bahwa  proses closing dalam  periode  menjelang  Idul  Fitri membutuhkan  waktu  berbulan-bulan  untuk  melengkapi  banyaknya  penjualan  produk  yang terlambat diinpunt. Bahkan, terkadang proses closing selesai dilakukan menjelang awal tahun berikutnya.

## SIMPULAN DAN SARAN
Berdasarkan hasil perbandingan antara hasil penaksiran banyakan penjualan produk dari hasil penelitian sebelumnya dan hasil penelitian ini, menunjukkan selisih  yang cukup besar. Hasil penaksiran pada penelitian sebelumnya lebih robust sesuai dengan komponen musiman yang ada.
Selanjutnya,  perlu  dikaji  kembali  mengenai  model  regresi  lain  yang  bisa  mengatasi kemungkinan terjadinya overdispersi dan underdispersi pada data penjualan produk. Sehingga, bisa kembali dibandingkan model mana yang lebih baik dalam menaksir banyaknya penjualan produk.

## DAFTAR PUSTAKA
Agresti, Alan (1996). An Introduction to Categorical Data Analysis. New York. Jhon Wiley &
Sons, Inc.
Cameron,  A.  Collin  &  Pravin  K.  Trivedi.  (1998). Regression  Analysis  of  Count  Data. New York. Cambridge University Press.
Dobson, Annette J. (1983). Introduction to Statistical Modelling . London. Chapman and Hall, Ltd. London.
Moreno, Elias & Javier  Giron.  (1998). Estimating  with Incomplete Count  Data,  A Bayesian Approach . Journal of Statistical Planning and Inference 66, 147-159.
Neubauer, Gerhard. GoardanaDjuras& Herwig Fried. Models for Underreporting: A Bernaulli Sampling  Approach  for  Reported  Counts. Austrian  Journal  of  Statistics ,  Volume  40, Number 1 & 2, 85-92. 2011.
Papadatos, Nickos. (2005). Characterizations of Discrete Distributions Using The Rao-Rubin Condition. Journal of Statistical Planning and Inference 135, 222-228.
Pararai,  Marvis.  Felix  Famoye&  Carl  Lee.    (2010). Generalized  Poisson-Poisson  Mixture Model  for  Misreported  Counts  with  an  Application  to  Smoking  Data .  Journal  of  Data Science 8, 607-617.
Utami,  Tiani  Wahyu.  (2013).  Analisis  Regresi  Binomial  Negatif  untuk  Mengatasi Overdispersion Regresi  Poisson  pada  Kasus  Demam  Berdarah  Dengue.  Statistika, Vol.1,No.2.
Winkelmann, Rainer. (1996). Markov Chain Monte Carlo Analysis of Underreported Count Data with an Application to Worker Absenteeism . Empirical Economis 21: 575-587.