ISSN: 1978-4422 Vol.1 1 No. 1 (Juni 2017 ) Hal. 26-29

## PRODUK KARTESIAN IDEAL FUZZY PADA RING

## Sapuah, Saman Abdurrahman, Nurul Huda
Program Studi Matematika Fakultas MIPA Universitas Lambung Mangkurat Jl. A. Yani Km 36 Banjarbaru, Kalimantan Selatan
E-mail: sapoeahsam26@gmail.com .

## ABSTRAK
Konsep aljabar fuzzy pada awalnya dikenalkan oleh Rosenfeld pada tahun 1971. Pada tahun 1991, Malik dan Mordeson  menyatakan bahwa produk kartesian dari dua subgrup fuzzy dari grup yang sama juga merupakan subgrup fuzzy dan produk kartesian dari dua ideal fuzzy dari ring yang sama juga merupakan ideal fuzzy . Dalam penelitian ini akan dibahas produk kartesian dari dua atau lebih subgrup fuzzy dari grup yang berbeda juga merupakan subgrup fuzzy dan produk kartesian dua atau lebih ideal fuzzy dari ring yang berbeda juga merupakan ideal fuzzy.
Kata kunci : grup, ring, subgrup fuzzy , ideal fuzzy , produk kartesian.

## ABSTRACT
The concept of algebra fuzzy was initially introduced by Rosenfeld in 1971. In 1991, Malik and Moderson explained if cartesian product of two fuzzy subgroup from same group, then it was fuzzy subgroup too and if cartesian product of two fuzzy ideal from same ring, then it was fuzzy ideal too. We discuss the cartesian product of two or more fuzzy subgroups from different group, then it was fuzzy subgroup too and cartesian product of two or more fuzz y ideal from different ring, then it was fuzzy ideal too.
Keywords : group, ring, fuzzy subgroup, fuzzy ideal, cartesian product.

## 1. PENDAHULUAN
Konsep fuzzy diperkenalkan oleh Lotfi A. Zadeh [9] yang mendefinisikan himpunan fuzzy sebagai  subset fuzzy, yaitu  suatu  pemetaan  dari  himpunan  tidak kosong X ke [0,1]. Seiring dengan berjalannya waktu, banyak peneliti melakukan penelitian lanjutan yang dilakukan Zadeh, diantaranya peneliti dari aljabar memadukan antara konsep fuzzy dengan aljabar, yaitu dengan mengganti himpunan X tidak kosong dengan suatu himpunan tidak kosong yang dilengkapi dengan satu operasi biner ataupun dua operasi biner, seperti: Rosenfeld [8]  pada tahun 1971 memperkenalkan konsep subgrup fuzzy , kemudian pada tahun1991, Malik dan Moderson [7] memperkenalkan konsep relasi pada grup fuzzy dan ring fuzzy . Selanjutnya pada tahun 2015, Saman [1] memperkenalkan konsep produk kartesius pada struktur near-ring fuzzy . Dari penelitian yang dilakukan Saman [1], maka pada penelitian ini, akan dilakukan penelitian lanjutan, yaitu akan menyelidiki sifat–sifat produk kartesius pada ideal fuzzy dari suatu ring sebarang.

## 2. TINJAUAN PUSTAKA
Definisi 2.1  [2]  Diberikan ring 𝑅𝑅 1 dan 𝑅𝑅 2 , produk kartesian 𝑅𝑅 1 × 𝑅𝑅 2 memiliki struktur dari ring dengan operasi penjumlahan dan perkalian yang didefinisikan sebagai berikut:
( 𝑟𝑟 1 , 𝑟𝑟 2 ) + ( 𝑠𝑠 1 , 𝑠𝑠 2 ) ∶ = ( 𝑟𝑟 1 + 𝑠𝑠 1 , 𝑟𝑟 2 + 𝑠𝑠 2 ) untuk setiap 𝑟𝑟 1 , 𝑟𝑟 2 dan 𝑠𝑠 1 , 𝑠𝑠 2 ∈ 𝑅𝑅 1 × 𝑅𝑅 2 ( 𝑟𝑟 1 , 𝑟𝑟 2 ) ( 𝑠𝑠 1 , 𝑠𝑠 2 ) ∶ = ( 𝑟𝑟 1 𝑠𝑠 1 , 𝑟𝑟 2 𝑠𝑠 2 ) untuk setiap 𝑟𝑟 1 , 𝑟𝑟 2 dan 𝑠𝑠 1 , 𝑠𝑠 2 ∈ 𝑅𝑅 1 × 𝑅𝑅 2
ISSN: 1978-4422 Vol.1 1 No. 1 (Juni 2017 ) Hal. 26-29
Definisi 2.2 [4] Diberikan 𝜇𝜇 dan 𝜎𝜎 subset fuzzy dari S.  Produk kartesian  dari 𝜇𝜇 dan 𝜎𝜎 adalah 𝜇𝜇 × 𝜎𝜎 ( 𝑥𝑥 , 𝑦𝑦 ) = 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 { 𝜇𝜇 ( 𝑥𝑥 ), 𝜎𝜎 ( 𝑦𝑦 )} untuk setiap 𝑥𝑥 , 𝑦𝑦 ∈ 𝑆𝑆
Definisi 2.3 [7] Subset fuzzy 𝜇𝜇 dari grup G disebut subgrup fuzzy jika:
(i) 𝜇𝜇 ( 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 ) ≥ min { 𝜇𝜇 ( 𝑥𝑥 ), 𝜇𝜇 ( 𝑦𝑦 )} untuk setiap 𝑥𝑥 , 𝑦𝑦 ∈ 𝐺𝐺 .
(ii) 𝜇𝜇 ( −𝑥𝑥 ) ≥ 𝜇𝜇 ( 𝑥𝑥 ) untuk setiap 𝑥𝑥 ∈ 𝐺𝐺 . Teorema 2.4 [7] Suatu subset fuzzy 𝜇𝜇 dari grup ( 𝐺𝐺 , +) disebut subgrup fuzzy jika dan hanya jika 𝜇𝜇 ( 𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 ) ≥ min { 𝜇𝜇 ( 𝑥𝑥 ), 𝜇𝜇 ( 𝑦𝑦 )} untuk setiap 𝑥𝑥 , 𝑦𝑦 ∈ 𝐺𝐺 . Definisi 2.5  [7]  Subset  fuzzy 𝜇𝜇 dari ring 𝑅𝑅 disebut  ideal  kiri (kanan) fuzzy  jika untuk setiap 𝑥𝑥 , 𝑦𝑦 ∈ 𝑅𝑅 memenuhi syarat berikut:
(i) 𝜇𝜇 ( 𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 ) ≥ 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 { 𝜇𝜇 ( 𝑥𝑥 ), 𝜇𝜇 ( 𝑦𝑦 )} . (ii) 𝜇𝜇 ( 𝑥𝑥𝑦𝑦 ) ≥ 𝜇𝜇 ( 𝑦𝑦 )
(iii) 𝜇𝜇 ( 𝑥𝑥𝑦𝑦 ) ≥ 𝜇𝜇 ( 𝑥𝑥 ) Subset fuzzy 𝜇𝜇 disebut ideal kiri fuzzy jika sifat (i) dan (ii) terpenuhi dan 𝜇𝜇 disebut ideal kanan fuzzy jika sifat (i) dan (iii) terpenuhi.

## 3. METODE PENELITIAN
Penelitian ini dilakukan dengan cara studi literatur dari berbagai sumber, baik dari buku, artikel maupun jurnal yang relevan dengan penelitian yang dilakukan. Adapun prosedur penelitian ini yaitu, mengumpulkan dan mempelajari materi tentang definisi grup, ring, ideal dan subset fuzzy yang merupakan dasar pembentukan subgrup fuzzy dan ideal fuzzy .  Kemudian membuktikan beberapa lemma dan teorema yang berhubungan dengan grup, ring dan ideal serta subgrup fuzzy dan ideal fuzzy . Selanjutnya membuktikan dua atau lebih subgrup fuzzy dari grup yang berbeda maka produk kartesian dari dua atau lebih subgrup fuzzy tersebut juga merupakan subgrup fuzzy dari grup yang berbeda dan membuktikan dua atau lebih ideal fuzzy dari ring yang berbeda maka produk kartesian dari dua atau lebih ideal fuzzy tersebut juga merupakan ideal fuzzy dari ring yang berbeda. serta menarik kesimpulan dari penelitian.

## 4. HASIL DAN PEMBAHASAN
Dalam hasil dan pembahasan berikut ini akan diberikan teorema tentang produk kartesian subgrup fuzzy dan teorema tentang produk kartesian ideal fuzzy . Teorema 3.1 Jika 𝜇𝜇 1 dan 𝜇𝜇 2 subgrup fuzzy dari grup 𝐺𝐺 1 dan 𝐺𝐺 2 , maka 𝜇𝜇 1 × 𝜇𝜇 2 adalah subgrup fuzzy dari 𝐺𝐺 1 × 𝐺𝐺 2 . Bukti: Untuk membuktikan bahwa 𝜇𝜇 1 × 𝜇𝜇 2 merupakan subgrup fuzzy dari 𝐺𝐺 1 × 𝐺𝐺 2 maka cukup dibuktikan dengan menggunakan teorema 2.3. Diambil sebarang ( 𝑥𝑥 1 , 𝑦𝑦 1 ), ( 𝑥𝑥 2 , 𝑦𝑦 2 ) ∈ 𝐺𝐺 1 × 𝐺𝐺 2 . Berdasarkan definisi 2.1 dan definisi 2.2 diperoleh:
𝜇𝜇 1 × 𝜇𝜇 2 {( 𝑥𝑥 1 , 𝑦𝑦 1 ) − ( 𝑥𝑥 2 , 𝑦𝑦 2 )} = 𝜇𝜇 1 × 𝜇𝜇 2 ( 𝑥𝑥 1 − 𝑥𝑥 2 , 𝑦𝑦 1 − 𝑦𝑦 2 ) = min { 𝜇𝜇 1 ( 𝑥𝑥 1 − 𝑥𝑥 2 ), 𝜇𝜇 2 ( 𝑦𝑦 1 − 𝑦𝑦 2 )}
Karena 𝜇𝜇 1 dan 𝜇𝜇 2 merupakan subgrup fuzzy maka menurut teorema 2.3 sedemikian sehingga:
𝜇𝜇 1 × 𝜇𝜇 2 {( 𝑥𝑥 1 , 𝑦𝑦 1 ) − ( 𝑥𝑥 2 , 𝑦𝑦 2 )} ≥ min � min{ 𝜇𝜇 1 ( 𝑥𝑥 1 ), 𝜇𝜇 1 ( 𝑥𝑥 2 )}, min{( 𝜇𝜇 2 ( 𝑦𝑦 1 ), 𝜇𝜇 2 ( 𝑦𝑦 2 )} � = min { 𝜇𝜇 1 ( 𝑥𝑥 1 ), 𝜇𝜇 1 ( 𝑥𝑥 2 ), 𝜇𝜇 2 ( 𝑦𝑦 1 ), 𝜇𝜇 2 ( 𝑦𝑦 2 )} = min { 𝜇𝜇 1 ( 𝑥𝑥 1 ), 𝜇𝜇 1 ( 𝑦𝑦 1 ), 𝜇𝜇 2 ( 𝑥𝑥 2 ), 𝜇𝜇 2 ( 𝑦𝑦 2 )}
ISSN: 1978-4422 Vol.1 1 No. 1 (Juni 2017 ) Hal. 26-29
= min � min{ 𝜇𝜇 1 ( 𝑥𝑥 1 ), 𝜇𝜇 2 ( 𝑦𝑦 1 )}, min{( 𝜇𝜇 2 ( 𝑥𝑥 2 ), 𝜇𝜇 2 ( 𝑦𝑦 2 )} �
Berdasarkan Definisi 2.2 maka berlaku: 𝜇𝜇 1 × 𝜇𝜇 2 {( 𝑥𝑥 1 , 𝑦𝑦 1 ) − ( 𝑥𝑥 2 , 𝑦𝑦 2 )} ≥ min { 𝜇𝜇 1 × 𝜇𝜇 2 ( 𝑥𝑥 1 , 𝑦𝑦 1 ), 𝜇𝜇 1 × 𝜇𝜇 2 ( 𝑥𝑥 2 , 𝑦𝑦 2 )} Terbukti bahwa 𝜇𝜇 1 × 𝜇𝜇 2 merupakan subgrup fuzzy dari 𝐺𝐺 1 × 𝐺𝐺 2 . ∎
Teorema 3.2 Diberikan grup 𝐺𝐺 1 , 𝐺𝐺 2 , … dan 𝐺𝐺 𝑛𝑛 .  Jika 𝜇𝜇 1 , 𝜇𝜇 2 , … dan 𝜇𝜇 𝑛𝑛 berturut- turut adalah subgrup fuzzy dari 𝐺𝐺 1 , 𝐺𝐺 2 , … dan 𝐺𝐺 𝑛𝑛 , maka 𝜇𝜇 1 × 𝜇𝜇 2 × … × 𝜇𝜇 𝑛𝑛 adalah subgrup fuzzy dari 𝐺𝐺 1 × 𝐺𝐺 2 … × 𝐺𝐺 𝑛𝑛 . Bukti: Untuk membuktikan produk kartesian 𝜇𝜇 1 × 𝜇𝜇 2 × … × 𝜇𝜇 𝑛𝑛 adalah subgrup fuzzy dari 𝐺𝐺 1 × 𝐺𝐺 2 … × 𝐺𝐺 𝑛𝑛 maka akan digunakan induksi matematika pada bilangan bulat positif 𝑚𝑚 ≥ 2 .
(i) Untuk 𝑚𝑚 = 2 , maka menurut Teorema 3.1, 𝜇𝜇 1 × 𝜇𝜇 2 adalah subgrup fuzzy dari 𝐺𝐺 1 × 𝐺𝐺 2 .
(ii) Diasumsikan  untuk 𝑚𝑚 = 𝑘𝑘 adalah 𝜇𝜇 1 × 𝜇𝜇 2 × … × 𝜇𝜇 𝑘𝑘 subgrup fuzzy dari 𝐺𝐺 1 × 𝐺𝐺 2 … × 𝐺𝐺 𝑛𝑛 . Akan dibuktikan untuk 𝑚𝑚 = 𝑘𝑘 + 1 , 𝜇𝜇 1 × 𝜇𝜇 2 × … × 𝜇𝜇 𝑘𝑘 × 𝜇𝜇 𝑘𝑘+1 adalah subgrup fuzzy dari 𝐺𝐺 1 × 𝐺𝐺 2 × … × 𝐺𝐺 𝑘𝑘+1 .
Misalkan 𝛼𝛼 = 𝜇𝜇 1 × 𝜇𝜇 2 × … × 𝜇𝜇 𝑘𝑘 dan 𝐺𝐺 ′ = 𝐺𝐺 1 × 𝐺𝐺 2 × … × 𝐺𝐺 𝑘𝑘 .
Karena 𝛼𝛼 adalah subgrup fuzzy dari 𝐺𝐺 ′ dan 𝜇𝜇 𝑘𝑘+1 adalah subgrup fuzzy dari 𝐺𝐺 𝑘𝑘+1 maka menurut Teorema 3.1 𝛼𝛼 × 𝜇𝜇 𝑘𝑘+1 adalah subgrup fuzzy dari 𝐺𝐺 ′ × 𝐺𝐺 𝑘𝑘+1 .
Sehingga berdasarkan kondisi (i) dan (ii) dapat disimpulkan 𝜇𝜇 1 × 𝜇𝜇 2 × … × 𝜇𝜇 𝑛𝑛 adalah subgrup fuzzy dari 𝐺𝐺 1 × 𝐺𝐺 2 × … × 𝐺𝐺 𝑛𝑛 . ∎ Teorema 3.3 Jika 𝜇𝜇 1 dan 𝜇𝜇 2 ideal fuzzy dari ring 𝑅𝑅 1 dan 𝑅𝑅 2 , maka 𝜇𝜇 1 × 𝜇𝜇 2 ideal fuzzy dari 𝑅𝑅 1 × 𝑅𝑅 2 . Bukti: Untuk membuktikan bahwa 𝜇𝜇 1 × 𝜇𝜇 2 merupakan ideal fuzzy dari 𝑅𝑅 1 × 𝑅𝑅 2 maka cukup dibuktikan dengan menggunakan teorema 2.5.
(i) Berdasarkan teorema 3.1  tentang teorema subgrup fuzzy maka  telah terbukti bahwa:
𝜇𝜇 1 × 𝜇𝜇 2 {( 𝑥𝑥 1 , 𝑦𝑦 1 ) − ( 𝑥𝑥 2 , 𝑦𝑦 2 )} ≥ min �𝜇𝜇 1 × 𝜇𝜇 2 ( 𝑥𝑥 1 , 𝑦𝑦 1 ), ( 𝜇𝜇 1 × 𝜇𝜇 2 �𝑥𝑥 2 , 𝑦𝑦 2 ��
(ii) Diambil sebarang ( 𝑥𝑥 1 , 𝑦𝑦 1 ), ( 𝑥𝑥 2 , 𝑦𝑦 2 ) ∈ 𝑅𝑅 1 × 𝑅𝑅 2 .  Berdasarkan  definisi 2.1  dan definisi 2.2 diperoleh: 𝜇𝜇 1 × 𝜇𝜇 2 { ( 𝑥𝑥 1 , 𝑦𝑦 1 )( 𝑥𝑥 2 , 𝑦𝑦 2 )} = 𝜇𝜇 1 × 𝜇𝜇 2 { 𝑥𝑥 1 𝑥𝑥 2 , 𝑦𝑦 1 𝑦𝑦 2 } = min { 𝜇𝜇 1 ( 𝑥𝑥 1 𝑥𝑥 2 ), 𝜇𝜇 2 ( 𝑦𝑦 1 𝑦𝑦 2 )}
Karena 𝜇𝜇 1 dan 𝜇𝜇 2 merupakan ideal fuzzy kanan maka menurut definisi 2.5 sedemikian sehingga: 𝜇𝜇 1 × 𝜇𝜇 2 { ( 𝑥𝑥 1 , 𝑦𝑦 1 )( 𝑥𝑥 2 , 𝑦𝑦 2 )} ≥ min { 𝜇𝜇 1 ( 𝑥𝑥 1 ), ( 𝜇𝜇 2 ( 𝑦𝑦 1 ) } = 𝜇𝜇 1 × 𝜇𝜇 2 ( 𝑥𝑥 1 , 𝑦𝑦 1 )
(iii)Karena 𝜇𝜇 1 dan 𝜇𝜇 2 merupakan ideal fuzzy kiri  maka menurut definisi 2.5 sedemikian sehingga: 𝜇𝜇 1 × 𝜇𝜇 2 { ( 𝑥𝑥 1 , 𝑦𝑦 1 )( 𝑥𝑥 2 , 𝑦𝑦 2 )} ≥ min { 𝜇𝜇 1 ( 𝑥𝑥 2 ), ( 𝜇𝜇 2 ( 𝑦𝑦 2 ) } ≥ 𝜇𝜇 1 × 𝜇𝜇 2 ( 𝑥𝑥 2 , 𝑦𝑦 2 )
Berdasarkan  kondisi  (i), (ii) dan (iii) maka terbukti bahwa 𝜇𝜇 1 × 𝜇𝜇 2 merupakan ideal fuzzy kiri (kanan) dari 𝑅𝑅 1 × 𝑅𝑅 2 . ∎
ISSN: 1978-4422 Vol.1 1 No. 1 (Juni 2017 ) Hal. 26-29
Teorema 3.4 Diberikan ring 𝑅𝑅 1 , 𝑅𝑅 2 , … 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑚𝑚 𝑅𝑅 𝑛𝑛 . Jika 𝜇𝜇 1 , 𝜇𝜇 2 , … 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑚𝑚 𝜇𝜇 𝑛𝑛 berturut- turut adalah ideal fuzzy dari 𝑅𝑅 1 , 𝑅𝑅 2 , … 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑚𝑚 𝑅𝑅 𝑛𝑛 , maka 𝜇𝜇 1 × 𝜇𝜇 2 × … × 𝜇𝜇 𝑛𝑛 adalah ideal fuzzy dari 𝑅𝑅 1 × 𝑅𝑅 2 × … 𝑅𝑅 𝑛𝑛 . Bukti: Untuk membuktikan 𝜇𝜇 1 × 𝜇𝜇 2 × … × 𝜇𝜇 𝑛𝑛 ideal fuzzy dari 𝑅𝑅 1 × 𝑅𝑅 2 × … 𝑅𝑅 𝑛𝑛 maka akan digunakan induksi matematika pada bilangan bulat positif 𝑚𝑚 ≥ 2 . (i) Untuk 𝑚𝑚 = 2 , maka  menurut Teorema 3.3, 𝜇𝜇 1 × 𝜇𝜇 2 adalah ideal fuzzy dari 𝑅𝑅 1 × 𝑅𝑅 2 .
(ii) Diasumsikan  untuk 𝑚𝑚 = 𝑘𝑘 adalah 𝜇𝜇 1 × 𝜇𝜇 2 × … × 𝜇𝜇 𝑘𝑘 ideal fuzzy dari  ring 𝑅𝑅 1 × 𝑅𝑅 2 × … 𝑅𝑅 𝑛𝑛 . Akan dibuktikan untuk 𝑚𝑚 = 𝑘𝑘 + 1 , 𝜇𝜇 1 × 𝜇𝜇 2 × … × 𝜇𝜇 𝑘𝑘 × 𝜇𝜇 𝑘𝑘+1 adalah  ideal fuzzy dari 𝑅𝑅 1 × 𝑅𝑅 2 × … 𝑅𝑅 𝑘𝑘+1 .
Misalkan 𝛽𝛽 = 𝜇𝜇 1 × 𝜇𝜇 2 × … × 𝜇𝜇 𝑘𝑘 dan 𝑅𝑅 ′ = 𝑅𝑅 1 × 𝑅𝑅 2 × … 𝑅𝑅 𝑘𝑘 . Karena 𝛽𝛽 adalah ideal fuzzy dari 𝑅𝑅 ′ dan 𝜇𝜇 𝑘𝑘+1 adalah ideal fuzzy dari 𝑅𝑅 𝑘𝑘+1 maka menurut Teorema 3.3 𝛽𝛽 × 𝜇𝜇 𝑘𝑘+1 adalah ideal fuzzy dari 𝑅𝑅 ′ × 𝑅𝑅 𝑘𝑘+1 . Sehingga berdasarkan  kondisi (i) dan (ii) dapat disimpulkan 𝜇𝜇 1 × 𝜇𝜇 2 × … × 𝜇𝜇 𝑛𝑛 adalah ideal fuzzy dari 𝑅𝑅 1 × 𝑅𝑅 2 × … 𝑅𝑅 𝑛𝑛 . ∎

## 5. KESIMPULAN
Berdasarkan hasil dan pembahasan yang telah dilakukan maka diperoleh :
1. Produk kartesian dari dua atau lebih subgrup fuzzy dari grup yang berbeda juga merupakan subgrup fuzzy.
2. Produk kartesian dari dua atau lebih ideal fuzzy dari ring yang berbeda  juga merupakan ideal fuzzy .
6. DAFTAR PUSTAKA
[1]  Abdurrahman, Saman. 2015. Produk Kartesius dari Ideal Fuzzy Near-ring. Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika . Universitas Negeri Yogyakarta. 43 : 479-482.
[2]  Clark, Pete L. 2011. Commutative Algebra . Department of Mathematics Georgia University.
[3] Dummit, David S. & Richard M. Foote. 2004. Abstract Algebra, 3 rd ed. John Wiley and Sons, Inc., United States Of America.
[4]  Ersoy, B.A. 2004. On The Generalization of Cartesian Product of Fuzzy Subgroups And Ideals. Journal of Engineering and Natural Sciences. Yildiz Technical University, Istanbul. 3 : 96-100.
[5] Frailegh, J.B.. 2003. A first Course in Abstract Algebra, 7nd ed. Addison– Wasley, Publishing Company, New York.
[6] Judson, Thomas W. 2009. Abstract Algebra Theory and Applications . Stephen F. Austin State University, Texas.
[7]  Malik, D. S. & Mordeson, John N. 1991. Fuzzy Relations on Rings and Groups. Fuzzy Sets and Systems. 43: 117-123.
[8] Rosenfeld, Azriel. 1971. Fuzzy Groups. Journal of Mathematical Analysis and Applications . University of Maryland. 35 : 512-517.
[9] Zadeh L. A. 1965. Fuzzy sets. Information and Control. 8 : 383-353.