Jurnal Matematika, Sains, dan Pembelajarannya
Vol.8, No.1, Januari 2022, pp. 1~9
DOI:10.31605/saintifik.v8i1.360
ISSN 2622-8904 (online)
Pemodelan Matematika SIAS-SI pada Penyebaran Penyakit Malaria Asimtomatik dan Super Infeksi
Muhammad Abdy *1 , Hasti Maryam 2 , Wahidah Sanusi 3 1,2,3 Jurusan Matematika – FMIPA – Universitas Negeri Makassar e-mail: *1 muh.abdy@unm.ac.id ; 2 hastimaryam47@gmail.com ; 3) wahidah.sanusi@unm.ac.id

## Abstrak
Penelitian  ini  mengkaji  suatu  model  matematika  tipe  SIAS-SI  pada  penyebaran  penyakit  malaria dengan  pengaruh  infeksi  asimtomatik  dan  super  infeksi.  Tujuan  penelitian  ini  adalah  menganalisis  dan melakukan simulasi pada model untuk memprediksi jumlah kasus malaria yang terbagi kedalam dua kasus, yakni kasus bebas penyakit dan kasus endemik. Penelitian ini merupakan kajian teori yang dilakukan terhadap jurnal  penelitian  yang  telah  dilakukan  oleh  peneliti  sebelumnya  dan  sumber  pendukung  lainnya  untuk mempelajari  hal-hal  yang  berkaitan  dengan  model  SIAS-SI  pada  penyakit  malaria.  Dengan  menggunakan bilangan reproduksi dasar (R 0 ), untuk mengetahui status penyebaran penyakit malaria di suatu wilayah. Selain itu,  simulasi  model  pada  kasus  endemik  didapatkan  hasil  penurunan  jumlah  kelompok  individu  terinfeksi asimtomatik pada penyebaran malaria memerlukan waktu yang lama. Sebaliknya pada kasus bebas penyakit, penurunan jumlah kelompok individu terinfeksi asimtomatik memerlukan waktu yang lebih singkat.
Kata Kunci: Penyakit Malaria, Model SIAS-SI, Asimtomatik, Super Infeksi

## 1. PENDAHULUAN
Malaria  merupakan  penyakit  yang  disebabkan  oleh  infeksi  parasit  dari  nyamuk  Anopheles  betina  genus Plasmodium.  Malaria  dapat  ditularkan  melalui  gigitan  nyamuk  yang  terinfeksi,  transfusi  darah,  pemakaian jarum suntik, maupun bawaan dan tergolong penyakit yang sangat mematikan bagi manusia (Resmawan & Nurwan, 2017). World Malaria Report 2015 menyebutkan bahwa malaria telah menyerang 106 negara di dunia (Kemenkes RI, 2018). Kondisi malaria di Indonesia menunjukkan bahwa masih terdapat 10,7 juta penduduk yang tinggal di daerah endemis menengah dan tinggi malaria. Daerah tersebut terutama meliputi Papua, Papua Barat, dan NTT. Berdasarkan data pada tahun 2017, dari jumlah 514 kabupaten/kota di Indonesia, 266 (52%) di  antaranya  wilayah  bebas  malaria,  172  kabupaten/kota  (33%)  endemis  rendah,  37  kabupaten/kota  (7%) endemis menengah, dan 39 kabupaten/kota (8%) endemis tinggi (Kemenkes RI, 2016).
Pemodelan matematika pada penyakit demam berdarah, tuberculosis dan malaria telah dilakukan oleh (Resmawan  &  Nurwan,  2017)  (Syafruddin  &  Noorani,  2013)  (Syafruddin  &  Noorani,  2013)  (Syafruddin, 2015) (Bobby, Syafruddin, et al, 2017) (Rangkuti et al, 2014) (Abdullahi MB et al, 2013) (Laarabi et al, 2012) (Roy M, 2015) (Maryam et al, 2021) (Cai et al, 2017). Penelitian tersebut dilakukan untuk memprediksi jumlah kasus penyakit tersebut. Penelitian yang dilakukan oleh (Resmawan & Nurwan, 2017) (Rangkuti et al, 2014) (Abdullahi MB et al, 2013) (Laarabi et al, 2012) (Roy M, 2015) (Maryam et al, 2021) (Cai et al, 2017) pada penularan malaria mengasumsikan bahwa penderita malaria yang telah sembuh menjadi kebal dan juga tidak memasukkan kelas infeksi asimtomatik, Kemudian model matematika untuk transmisi penyakit malaria (Fajri et al, 2016) menggambarkan model matematika SIS-SI dalam penyebaran penyakit malaria dengan pemberian pengobatan  pada manusia dengan asumsi bahwa manusia yang sembuh dapat tertular penyakit akibat  oleh parasit hidup dalam darah dari pengobatan yang tidak memadai atau tidak efektif. Selanjutnya, (Resmawan & Nurwan,  2017)  membahas  model  matematika  penyebaran  malaria  tipe  SEIRS-SEI  dengan  pemberian perlakuan pada manusia, berupa treatment vaksinasi dan pengobatan. Selain itu, (Cai et al, 2017) membahas model matematika SEIARS-SEI pada penyakit malaria dengan pengaruh infeksi asimtomatik dan super infeksi guna  mengukur  tingkat  sensitivitas  penyebaran  penyakit  malaria  terhadap  parameter  infeksi  asimtomatik. Penelitian  ini  membangun  model  SIAS-SI  pada  penyebaran  Malaria,  analisis  dan  simulasi  pada  penularan malaria dengan mempertimbangkan bahwa penderita malaria yang telah sembuh dapat kembali menjadi suspek dan juga memasukkan variabel terinfeksi asimtomatik ke dalam model .

## 2. METODE PENELITIAN
Jenis penelitian yang digunakan adalah penelitian teori dan terapan, yaitu penelitian yang mengkaji teori  dan  aplikasinya  pada  penyebaran  Malaria.  Tahapan  penelitian  ini  adalah  membangun  model  SIAS-SI pada penularan penyakit malaria, model ini menggunakan kompartemen rentan, infeksi dan asimtomatik pada populasi manusia serta kompartemen rentan dan infeksi pada populasi nyamuk. Analisis model menggunakan metode generasi matriks, data yang digunakan pada simulasi merupakan data asumsi dan parameter dipilih berdasarkan  studi  yang  dilakukan  oleh  beberapa  peneliti  sebelumnya,  dan  sebagian  parameter  lainnya ditentukan melalui asumsi-asumsi sehingga memenuhi salah satu data keadaan 1 0  R dan 1 0  R . Simulasi model menggunakan Maple untuk memprediksi jumlah kasus malaria pada status bebas penyakit dan endemik.

## 3. HASIL DAN PEMBAHASAN

## 3.1 Model Matematika
Skema alur pemodelan matematika SIAS-SI pada penyebaran penyakit malaria asimtomatik dan super infeksi dapat dilihat pada Gambar 1, yakni:

## Gambar 1 Skema penularan penyakit malaria model matematika SIAS-SI
Variabel dan parameter yang digunakan disajikan pada Tabel 1 dan Tabel 2.
Tabel 1 Variabel pada Model SIAS-SI Penyebaran Penyakit Malaria Asimtomatik dan Super Infeksi.
Variabel Keterangan 𝑆 ℎ Jumlah individu Susceptible pada manusia 𝐼 ℎ Jumlah individu Infected pada manusia 𝐴 ℎ Jumlah individu Asymptomatic Infected pada manusia 𝑆 𝑚 Jumlah Susceptible pada nyamuk 𝐼 𝑚 Jumlah Infected pada nyamuk
Tabel 2 Parameter pada Model SIAS-SI Penyebaran Penyakit Malaria Parameter Keterangan 𝑁 ℎ Laju kelahiran manusia 𝛼 Laju terjadinya infeksi pada manusia 𝛾 Konstanta laju superinfeksi dari individu yang terinfeksi namun tidak terdeteksi ( asymptomatic infected ). 𝛿 Laju perpindahan dari individu yang terinfeksi ke kelompok asimtomatik 𝛽 Konstanta laju pemulihan manusia dari parasit malaria 𝜃 laju perpindahan nyamuk terpapar ke nyamuk terinfeksi 𝜇 ℎ Laju konstan kematian manusia secara alami 𝜀 Laju konstan kematian manusia karena penyakit malaria 𝑁 𝑚 Laju kelahiran nyamuk 𝜇 𝑚 Laju konstan kematian nyamuk secara alami
Berdasarkan  Gambar  1,  diperoleh  model  matematika  SIAS-SI  penyebaran  penyakit  malaria  seperti  pada persamaan (1) – (5) yaitu:
, h h m h h h h h S N I I N dt dS       + − + =     (1)
( ) , h h h h h m h I A S N I dt dI       + + + − + = (2)
( ) , h h h h A I dt dA    + − = (3)
, m h h m m m m S N I N dt dS       + − =    (4)
. m m m h h m I S N I dt dI   − = (5)

## 3.2 Analisis Model
Titik kesetimbangan sistem (1-5) diperoleh dengan cara menyelesaikan persamaan:
, 0 = dt dS h
, 0 = dt dI h , 0 = dt dA h , 0 = dt dS m . 0 = dt dI m
Dengan demikian,
, 0 =       + − + h h m h h h h S N I I N     (6)
( ) , 0 = + + + − + h h h h h m I A S N I       (7) ( ) , 0 = +
− h h h A I 
  (8)
, 0 =       + − m h h m m m S N I N    (9)
. 0 = − m m m h h I S N I   (10)

## 3.2.1 Titik Kesetimbangan Bebas Penyakit ( )
dfe x
Titik  kesetimbangan  bebas  penyakit  merupakan  keadaan  dimana  penyakit  menular  tidak  menyebar dalam suatu populasi, dan terjadi pada saat 0 = = = m h h I A I sehingga diperoleh titik kesetimbangan dfe x ( ) ( ) 0 , , 0 , 0 , , , , , m h m m h h h dfe N N I S A I S x = (11)

## 3.2.2 Titik Kesetimbangan Tidak Bebas Penyakit ( ) ee x
Titik  kesetimbangan  endemik  merupakan  keadaan  saat  penyakit  menular  menyebar  dalam  suatu populasi dan terjadi saat . 0 , ,  m h h I A I Misalkan rata-rata laju infeksi pada populasi manusia adalah h r dan pada nyamuk adalah m r dengan nilai,
h m h N I r  = , (12)
h h m N I r  = (13)
Sehingga diperoleh titik kesetimbangan ee x
( ) ( ) * * * * * * * * * * , , , , , , , , m m h h h m m h h h ee I S A I S I S A I S x = (14)
dengan,
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) , 3 3 1 3 2 3 3 1 2 * * h h h h h h h h h h h h h h r r c r r c c c c r r c r r c c c S + + − − + + + − − + =           ( ) ( ) , 3 3 1 3 2 * * h h h h h h h r c r r c c c c r I + − − + =     ( ) ( ) , 3 3 1 2 * * h h h h h h h r c r r c c c r A + − − + =      ( ) , * *
m m m m m r N
S + =   . * * m m m r I  = dengan syarat: ( ) ( ) h h h h h r c r r c c + +  +     3 3 1
3.2.3 Penentuan Bilangan Reproduksi Dasar Model (R 0 )
Bilangan reproduksi dasar, dinotasikan dengan R o adalah nilai harapan banyaknya populasi rentan yang menjadi terinfeksi tiap satuan waktu. Untuk menentukan bilangan reproduksi dasar digunakan pendekatan The Next Generation Matrix. The Next Generation Matrix untuk sistem persamaan (1-5) didefinisikan sebagai: R o =  (F.V -1 ) (15)
Dengan  (F.V -1 )  merupakan spektral radius dari matriks F.V -1
Spektral radius dari matriks next generation F.V -1 adalah :
m h m m c S c S c c   1 4 6 1  (16)
Sehingga bilangan reproduksi dasar R o yaitu:
m h m m c S c S c c R   1 4 6 1 0 = (17)
Dengan, ( )     + + + = h c 1 , h N c  = 4 , h N c  = 6 .
Selanjutnya dengan substitusi titik tetap bebas penyakit (11) pada persamaan (17), diperoleh
( ) m h h m N N R       + + + = 0 (18)
Persamaan (18) merupakan nilai ambang batas epidemik yang akan menjadi tolak ukur tingkat penyebaran malaria dalam populasi.
4. SIMULASI
Pada bagian simulasi ini, diamati dinamika populasi dalam kondisi ketika 0 1 R  dan R 0 > 1. Dalam hal ini, R 0 merupakan bilangan reproduksi yang didefinisikan pada persamaan (18). Simulasi dilakukan untuk menunjukkan  adanya  pengaruh  treatment  berupa  pengobatan  pada  manusia  terhadap  dinamika  populasi manusia  dan  populasi  nyamuk.  Parameter  dipilih  berdasarkan  studi  yang  dilakukan  oleh  beberapa  peneliti sebelumnya, dan sebagian parameter lainnya ditentukan melalui asumsi-asumsi sehingga memenuhi salah satu data keadaan 0 1 R  dan . 1 0  R Nilai-nilai parameter yang memenuhi keadaan 0 1 R  disajikan pada tabel 4, dan nilai-nilai parameter yang memenuhi keadaan 1 0  R disajikan pada tabel 5 serta nilai awal populasi disajikan pada Tabel 3.
Tabel 3 Nilai variabel model SIAS-SI pada penyakit malaria
Variabel Nilai Referensi h S 1000 Asumsi h I 500 Asumsi
h A 200 Asumsi
m S 10000 Asumsi m I 250 Asumsi Tabel 4 Nilai parameter 1 0  R model SIAS-SI pada penyakit malaria Parameter Nilai Satuan Referensi h N 1700 Orang/waktu Asumsi  0,010 Waktu -1 Chitnis et al.,2006  0,005 Waktu -1 Cai L, 2017  0,09 Waktu -1 Cai L, 2017  0,91 Waktu -1 Asumsi h  0,004
Waktu -1 Agusto et al., 2012 h  0,005 Waktu -1 Agusto et al., 2012 m N 7700 Nyamuk/waktu Asumsi  0,072 Waktu -1 Chitnis et al.,2006 m  0.11 Waktu -1 Traore B, 2017
Tabel 5 Nilai parameter 1 0  R model SIAS-SI pada penyakit malaria Parameter Nilai Satuan Referensi h N 1700 Orang/waktu Asumsi  0,70 Waktu -1 Asumsi  0,005 Waktu -1 Cai L, 2017  0,09 Waktu -1 Cai L, 2017  0,91 Waktu -1 Asumsi h  0,0016 Waktu -1 Traore B, 2017 h  0,005 Waktu -1
Agusto et al., 2012 m N 7700 Nyamuk/waktu Asumsi  0,09 Waktu -1 Cai L, 2017 m  0.11
Waktu -1
Traore B, 2017
Tabel 6 Hasil simulasi efektivitas pengobatan pada manusia terhadap bilangan reproduksi dasar 1 0  R Parameter  0 R 0,09 0,1916462082 0,50 0.1616049340 0,90 0.1427346665
Pada  populasi  manusia  yang  ditunjukkan  pada  Gambar  2,  jika  efektivitas  pengobatan  pada  manusia ditingkatkan,  maka  banyaknya  manusia  yang  terinfeksi  dan  asimtomatik  mengalami  penurunan,sementara manusia yang sembuh dan kembali rentan dari penyakit mengalami peningkatan.
Gambar 2 Dinamika populasi manusia karena adanya pengobatan pada manusia
Pada  populasi  nyamuk  yang  ditunjukkan  pada  Gambar  3,  jika  efektivitas  pengobatan  pada  manusia ditingkatkan,  maka  banyaknya  nyamuk  terinfeksi  mengalami  penurunan  walau  tidak  terlihat  signifikan, sementara nyamuk yang rentan mengalami peningkatan.
Gambar 3 Dinamika populasi nyamuk karena adanya pengobatan pada manusia
Tabel 7 Hasil simulasi efektivitas pengobatan pada manusia terhadap bilangan reproduksi dasar 1 0  R
Parameter  0 R 0,09 1.605337575 0,50 1.353228748 0,90 1.194992499
Pada  populasi  manusia  yang  ditunjukkan  pada  Gambar  4,  jika  efektivitas  pengobatan  pada  manusia ditingkatkan,  maka  banyaknya  manusia  yang  terinfeksi  dan  asimtomatik  mengalami  penurunan,sementara manusia yang sembuh dan kembali rentan dari penyakit mengalami peningkatan.
Gambar 4 Dinamika populasi manusia karena adanya pengobatan pada manusia
Pada  populasi  nyamuk  yang  ditunjukkan  pada  Gambar  5,  jika  efektivitas  pengobatan  pada  manusia ditingkatkan,  maka  banyaknya  nyamuk  terinfeksi  mengalami  penurunan  walau  tidak  terlihat  signifikan, sementara nyamuk yang rentan mengalami penurunan.
Gambar 5 Dinamika populasi nyamuk karena adanya pengobatan pada manusia

## 5. KESIMPULAN
Simulasi dan interpretasi model matematika penyakit malaria dengan infeksi asimtomatik dan super infeksi  pada  populasi  yaitu  Penularan  Malaria  dapat  disajikan  dalam  model  matematika  SIAS-SI.  Analisis model memberikan gambaran titik kestimbangan penularan malaria, yang berarti penyakit malaria bertahan pada jumlah tersebut. Pada penelitian ini juga diperoleh bahwa titik kesetimbangan bebas penyakit bersifat stabil asimtotik jika 𝑅 0 ≤ 1 dan titik kesetimbangan endemik bersifat stabil asimtotik jika 𝑅 0 > 1. Bilangan reproduksi dasar memberikan gambaran keadaan penularan malaria di suatu wilayah yaitu status non endemik atau endemik malaria. Hasil simulasi memberikan gambaran prediksi jumlah kasus malaria di suatu wilayah, yang  dapat  dijadikan  sebagai  acuan  bagi  pemerintah  untuk  melakukan  penanggulangan  penyakit  malaria dimasa yang akan datang.

## DAFTAR PUSTAKA
Abdullahi MB, Hasan YA, Abdullah FA. 2013. A Mathematical Model of Malaria and The Effectiveness of Drugs . Applied Mathematical Sciences. 7(62):30793095.
Bobby, Syafruddin, dkk. 2017. Analisis Survival Pada Penderita Demam Berdarah Dengue  (DBD) Dengan Menggunakan Regresi Cox Di RSU Sawerigading Palopo. PKPT DIKTI 2017.
Cai L, Li X, Tuncer N, Maia M, Lashari AA. 2017. Optimal Control of a Malaria Model with Asymptomatic Class and Superinfection. Mathematical Biosciences . doi/10.1016/j.mbs.2017.03.00.
H  Maryam,  M  Abdy,  S  Side,  2021.  SEIAS-SEI  model  on  asymptomatic  and  super  infection  malaria  with imperfect vaccination, Journal of Physics: Conference Series 1918 (4), 042028
Kemenkes  RI,  2016. Infodatin  Malaria http://www.depkes.go.id/article/view/16090700001/infodatin- malaria.html. [Diakses 18 April 2019].
Kemenkes  RI,  2018. Hari  Malaria  Sedunia,  Pemerintah  Perluas  Wilayah  Bebas  Malaria. http://www.depkes.go.id/article/view/18043000010/hari-malaria-sedunia-pemerintah-perluas-wilayah- bebas-malaria.html. diakses tanggal 18 April 2019.
Laarabi H, Labriji EH, Rachik M, Kaddar A. 2012. Optimal Control of an Epidemic Model with a Saturated Incidence Rate . Modeling and Control. 17(4): 448459. Laneri K, 2015,  “ Dynamical Malaria Models Reveal How Immunity Buffers Effect of Climate Variability ”, DOI: 10.1073/pnas.1419047112.
N. Fajri, P. Sianturi, T. Bakhtiar. 2016. Model Matematika SIS-SI Dalam Penyebaran Penyakit Malaria dengan Vaksinasi Taksempurna. Jurnal Manejemen dan Agribisnis ,Vol.15(2). p(51-62).
Rangkuti, Y.M., Side, S., Noorani, M.S.M., 2014.Numerical analytic solution of SIR model of dengue fever diseasein South Sulawesi using homotopy perturbation method and variational iteration method. Journal of Mathematical and Fundamental Sciences. 46A(1),91-105.
Resmawan & Nurwan. 2017. Konstruksi Bilangan Reproduksi pada Model Epidemik SEIRS-SEI Penyebaran Malaria dengan Vaksinasi dan Pengobatan. DOI:10.24198/jmi.v13.n2.12332.105-114 Roy  M,  2015, Predictability  of  Epidemic  Malaria  Under  Non-Stasionary  Conditions  with  Process-based Models Combining Epidemilogical Updates dan Climate Variability , DOI: 10.1186/s12936-015-0937-3 Syafruddin,  S.  2015.  A  Susceptible-Infected-Recovered  Model  and  Simulation  for  Transmission  of Tuberculosis, Advanced Science Letters.Volume 21(2):137-139
Syafruddin, S. and M.S.M Noorani. 2013.  A SIR model for spread of dengue fever disease (simulation for south  sulawesi  Indonesia  and  selangor  Malaysia). World  journal  of  modeling  and  simulation; Vol.  9 (2):96-105.
Syafruddin,  S.  and  M.S.M  Noorani.  2013.  Lyapunov  function  of  SIR  and  SEIR  model  for  transmission  of dengue  fever  disease. International  Journal  of  Simulation  and  Process  Modelling  (IJSPM) .  Vol.  8,
(2/3):177-184.