## JEMBATAN PADA GRAF FUZZY INTUITIONISTIC
Siti Alfiatur Rohmaniah 1 , Bayu Surarso 2 , dan Bambang Irawanto 3
1 Universitas Islam Darul ‘Ulum Lamongan, nia0304@gmail.com
2 Universitas Diponegoro Semarang
3 Universitas Diponegoro Semarang
Abstract. An intuitionistic fuzzy graph consist of a couples of node sets V and set of edges E which the sum of degree membership and degree non membership each of nodes and each of edges in closed interval [0,1], the degree membership each of edges is less than or equal with the minimum of degree membership each of related nodes,  and  degree  non  membership  each  of  edges  is  less  than  or  equal  with  the maximum  degree  non  membership  each  of  related  nodes.  An  intuitionistic  fuzzy graph H can be said as intuitionistic fuzzy subgraph from intuitionistic fuzzy graph G if node set V of H is subset of node set V of G and edge set E of H is subset of edge set E of G . If there is an intuitionistic fuzzy graph G with nodes set of V and if each of edge has degree membership and non membership unconstantly, then G has at  least  one  bridge.  The  theorem  is  proven  to  hold  if  the  intuitionistic  fuzzy  graph has cycle.
Keywords: intuitionistic fuzzy graph, bridge in intuitionistic fuzzy graph.
Abstrak. Suatu graf fuzzy intuitionistic terdiri dari pasangan himpunan titik V dan himpunan sisi E dimana jumlah derajat keanggotaan dan bukan keanggotaan setiap titik  dan  setiap  sisi  dalam  selang  tertutup  [0,1],  derajat  keanggotaan  setiap  sisi kurang  dari  atau  sama  dengan  minimum  derajat  keanggotaan  sepasang  titik  yang berelasi,  dan  derajat  bukan  keanggotaan  setiap  sisi    kurang  dari  atau  sama  dengan maksimum derajat bukan keanggotaan sepasang titik yang berelasi. Suatu graf fuzzy intuitionistic H dapat  dikatakan  sebagai  subgraf fuzzy  intuitionistic dari  graf fuzzy intuitionistic  G bila  himpunan  titik V pada H merupakan  himpunan  bagian  dari himpunan titik V pada G dan himpunan sisi E pada H merupakan himpunan bagian dari  himpunan  sisi E pada G .  Misalkan  terdapat  suatu  graf fuzzy i Intuitionistic G dengan  himpunan  dari  titik V ,  jika  setiap  sisi  mempunyai  derajat  keanggotaan  dan bukan keanggotaan tidak konstan, maka G mempunyai paling sedikit satu jembatan. Sifat tersebut berlaku jika graf fuzzy intuitionistic mempunyai sikel.
Kata kunci: graf fuzzy  intuitionistic, jembatan pada graf fuzzyiIntuitionistic.

## 1 Pendahuluan
Teori  graf  merupakan  salah  satu  bidang  bahasan  matematika  yang  mempelajari himpunan  titik  yang  dihubungkan  oleh  himpunan  sisi.  Representasi  visual  dari graf    adalah  dengan  menyatakan  objek  yang  dinyatakan  sebagai  titik (vertex). Sedangkan hubungan antara objek dinyatakan dengan sisi (edge) . Himpunan titik dari  graf G dinotasikan  dengan V(G) ,  dan  himpunan  sisi  dari  graf G dinotasikan E(G) [7] . Diberikan subgraf G– e dimana e adalah sebuah sisi pada G. Subgraf G–
Jurusan Matematika, UNISDA, Lamongan
e adalah  graf  yang  diperoleh  dengan  menghapus e dari  himpunan  sisi  pada  G, sehingga  V(G- e )  =  V(G)  dan  E(G- e )  =  E(G)  \  { e }.  Sebuah  sisi e adalah  sebuah jembatan  untuk  G  jika  G– e tidak  terhubung.  (Secara  umum, e adalah  jembatan untuk suatu graf G jika G– e mempunyai komponen terhubung lebih dari G) [6]. Graf fuzzy merupakan suatu teori perluasan dari teori graf dan himpunan kabur (fuzzy  set) .  Suatu  graf fuzzy G yang  dinotasikan  dengan     , : G adalah
pasangan  dari  himpunan fuzzy  dan  relasi fuzzy  pada  [2].  Sebuah  sisi disebut  jembatan  pada  graf fuzzy ,  apabila  menghapus  sisi  tersebut  dapat menyebabkan  kekuatan  keterhubungan  antara  suatu  pasangan  titik  menjadi berkurang.  Graf fuzzy intuitionistic adalah  teori  perluasan  dari  graf fuzzy dan himpunan fuzzy intuitionistic. Himpunan fuzzy intuitionistic dan  graf fuzzy intuitionistic didefinisikan  dengan  fungsi  keanggotaan  ( membership  function ) yang  nilai  fungsi  itu  disebut  derajat  keanggotaan  dan  fungsi  bukan  keanggotaan yang nilai fungsi itu disebut derajat bukan keanggotaan. Jika pada himpunan fuzzy intuitionistic menjelaskan tentang titik, pada graf fuzzy intuitionistic menjelaskan tentang titik dan sisi.

## 2 Himpunan Fuzzy
Himpunan  didefinisikan  sebagai  suatu  kumpulan  obyek-obyek  yang  mempunyai kesamaan  sifat  tertentu.  Himpunan  kabur  adalah  suatu  himpunan  dimana  nilai keanggotaan dari elemennya adalah bilangan real dalam interval tertutup [0,1].
Contoh  1. Diberikan  himpunan  orang  tinggi  yang  merupakan  orang  yang tingginya cm 175  , dengan semestanya merupakan himpunan tinggi dari 100 cm sampai  200  cm.  Himpunan  tersebut  dapat  dinyatakan  dengan  keanggotaan tinggi  dengan grafik seperti yang disajikan berikut :
1 0 200 175 100 150 120 tinggi    x  x 0.3 0.6
Gambar 1. Fungsi keanggotaan himpunan kabur “tinggi”
Misalkan  seseorang  yang  tingginya  120  cm  mempunyai  derajat  keanggotaan 0.3, yaitu tinggi  (120) = 0.3, seseorang yang tingginya 150 cm mempunyai derajat keanggotaan 0.6,  yaitu tinggi  (150) = 0.6 , dan seseorang  yang tingginya 175 cm
Jurusan Matematika, UNISDA, Lamongan
mempunyai  derajat  keanggotaan  penuh  sama  dengan  1,  yaitu tinggi  (175)  =  1, dalam himpunan kabur “tinggi” tersebut.
Definisi  1. Misalkan V adalah  himpunan  berhingga,  suatu  graf  fuzzy  yang dinotasikan  dengan     , : G adalah  pasangan  dari  himpunan  fuzzy ] 1 , 0 [ :  V
 dan  relasi  fuzzy ] 1 , 0 [ :   V V  pada  sedemikian  hingga       V y x y x y x     , ,    .
3
Himpunan Fuzzy Intuitionistic Definisi  2. Suatu  himpunan  fuzzy  intuitionistic  di  V  adalah ] 1 , 0 [ :  V A  menyatakan  fungsi  keanggotaan  dan ] 1 , 0 [ :  V A  menyatakan  fungsi  bukan keanggotaan  dari  elemen V v  ke  himpunan  fuzzy  intuitionistic  A  dimana   V v v v v v A A A A A      , 1 ) ( ) ( 0 ) ( ), (     .
Definisi  3. Jika  A  dan  B  adalah  himpunan  fuzzy  intuitionistic  dari  himpunan  V, maka:
(i) B A  jika     v v V v B A      , dan     v v B A   
(ii) B A  jika     v v V v B A      , dan     v v B A    (iii)               V v v v v v B A B A B A        , min , , max (iv)               V v v v v v B A B A B A        , max , , min . 4
Graf Fuzzy Intuitionistic Definisi 4. Graf fuzzy intuitionistic adalah suatu bentuk    E V G , dengan:
(i) } ,....... , { 2 1 n v v v V  sedemikian  sehingga ] 1 , 0 [ : 1  V  dan ] 1 , 0 [ : 1  V  secara  berturut-turut  adalah  derajat  keanggotaan,  dan  derajat  bukan keanggotaan  dari  elemen V v i  ,  dan  memenuhi 1 ) ( ) ( 0 1 1    i i v v   ,
untuk setiap ) ,....... 2 , 1 ( , n i V v i   .
(ii) V V E   dimana ] 1 , 0 [ : 2   V V  dan ] 1 , 0 [ : 2   V V  yang  memenuhi )] ( ), ( min[ ) , ( 1 1 2 j i j i v v v v     , )] ( ), ( max[ ) , ( 1 1 2 j i j i v v v v     dan 1 ) , ( ) , ( 0 2 2    j i j i v v v v   untuk setiap ) ,....... 2 , 1 , ( , ) , ( n j i E v v j i   .
Contoh  2. Graf fuzzy    E V G , dimana }
, , , , { 5 4 3 2 1 v v v v v V  pada  Gambar  2
adalah graf fuzzy intuitionistic .
Gambar 2. Graf fuzzy intuitionistic    E V G , dan subgraf fuzzy intuitionistic    ' ' , E V H
Oleh karena, (i)
9 . 0 6 . 0 3 . 0 ) ( ) ( 1 1 1 1     v v   9 . 0 2 . 0 7 . 0 ) ( ) ( 2 1 2 1     v v   0 . 1 0 . 1 0 . 0 ) ( ) ( 3 1 3 1     v v   9 . 0 0 . 0 9 . 0 ) ( ) ( 4 1 4 1     v v   7 . 0 0 . 0 7 . 0 ) ( ) ( 5 1 5 1     v v   . Yaitu  syarat  bahwa ) ,....... 2 , 1 ( , n i V v i    ,  maka 1 ) ( ) ( 0 1 1    i i v v  
terpenuhi.
(ii)         2 1 1 1 2 1 2 , min 3 . 0 2 . 0 , v v v v               5 1 1 1 5 1 2 , min 3 . 0 2 . 0 , v v v v               3 1 2 1 3 2 2 , min 0 . 0 0 . 0 , v v v v               4 1 2 1 4 2 2 , min 7 . 0 6 . 0 , v v v v               5 1 2 1 5 2 2 , min 7 . 0 7 . 0 , v v v v               4 1 3 1 4 3 2 , min 0 . 0 0 . 0 , v v v v               5 1 4 1 5 4 2 , min 7 . 0 4 . 0 , v v v v       ,         2 1 1 1 2 1 2 , max 6 . 0 6 . 0 , v v v v               5 1 1 1 5 1 2 , max 6 . 0 5 . 0 , v v v v               3 1 2 1 3 2 2 , max 0 . 1 9 . 0 , v v v v               4 1 2 1 4 2 2 , max 2 . 0 1 . 0 , v v v v               5 1 2 1 5 2 2 , max 2 . 0 2 . 0 , v v v v               4 1 3 1 4 3 2 , max 0 . 1 7 . 0 , v v v v               5 1 4 1 5 4 2 , max 0 . 0 0 . 0 , v v v v       dan 8 . 0 6 . 0 2 . 0 ) , ( ) , ( 2 1 2 2 1 2     v v v v  
) 7 . 0 , 3 . 0 ( 1 v ) 4 . 0 , 5 . 0 ( 2 v ) 0 . 1 , 0 . 0 ( 3 v 4 ) 0 . 0 , 2 . 0 ( v 5 ) 0 . 0 , 1 . 0 ( v (0 .0 ,0 .6 ) (0 .0 ,0 .0 ) (0 .2 ,0 .3 ) (0.0,0.8) (0 .0 ,1 .0 ) (0 .1 ,0 .6 ) (0.1,0.4) ' , ' E V H  ) 6 . 0 , 3 . 0 ( 1 v ) 2 . 0 , 7 . 0 ( 2 v ) 0 . 1 , 0 . 0 ( 3 v 4 ) 0 . 0 , 9 . 0 ( v 5 ) 0 . 0 , 7 . 0 ( v (0 .2 ,0 .5 ) (0 .4 ,0 .0 ) (0 .6 ,0 .1 ) (0.0,0.7) (0 .0 ,0 .9 ) (0 .2 ,0 .6 ) (0.5,0.2) E V G , 

## Unisda Journal Mathematics and Computer Science
Jurusan Matematika, UNISDA, Lamongan
7 . 0 5 . 0 2 . 0 ) , ( ) , ( 5 1 2 5 1 2     v v v v   9 . 0 9 . 0 0 . 0 ) , ( ) , ( 3 2 2 3 2 2     v v v v   7 . 0 1 . 0 6 . 0 ) , ( ) , ( 4 2 2 4 2 2     v v v v   7 . 0 2 . 0 5 . 0 ) , ( ) , ( 5 2 2 5 2 2     v v v v   7 . 0 7 . 0 0 . 0 ) , ( ) , ( 4 3 2 4 3 2     v v v v   4 . 0 0 . 0 4 . 0 ) , ( ) , ( 5 4 2 5 4 2     v v v v  
. Yaitu syarat bahwa 1 ) , ( ) , ( 0 2 2    j i j i v v v v   untuk setiap ) ,....... 2 , 1 , ( , ) , ( n j i E v v j i   terpenuhi.
Definisi 5. Graf fuzzyiIntuitionistic    ' ' , E V H dikatakan sebagai subgraf fuzzy iintuitionistic dari graf fuzzy intuitionistic    E V G , jika V V  ' dan E E  ' .
Definisi  6. Sebuah  path  P  dalam  suatu  graf  fuzzy  intuitionistic  adalah  sebuah rangkaian  titik  yang  saling  berbeda
n v v v ,...... , 2 1 sedemikian  sehingga  salah  satu
syarat berikut terpenuhi:
a) 0 2  ij  dan 0 2  ij  , b) 0 2  ij  dan 0 2  ij  , atau
c) 0 2  ij  dan 0 2  ij  , n j i ,...., 2 , 1 ,  .
Definisi 7. Suatu path
1 2 1 .......   n v v v P disebut sikel jika 1 1   n v v dan 3  n .
Catatan 1. Pada [5] terdapat suatu definisi yang berbunyi sebagai berikut: Untuk setiap t , 1 0   t ,
(i) himpunan dari   t t t V 1 1 , ,   dimana: } : { 1 1 t V v i i t      atau } : { 1 1 t V v i i t      , untuk setiap n i ,...., 2 , 1  adalah himpunan bagian dari V,
(ii) himpunan  dari   t t t E 2 2 , ,   dimana: } : ) , {( 2 2 t VxV v v ij j i t      atau } : ) , {( 2 2 t VxV v v ij j i t      ,  untuk  setiap n j i ,...., 2 , 1 ,  adalah  himpunan bagian dari E.
Pada  tulisan  ini,  dengan  menggunakan  sebuah  contoh  pengingkaran,  dibuktikan bahwa definisi tersebut tidak well defined sebagai berikut:
Graf fuzzy intuitionistic    E V G , dengan } , , , , { 5 4 3 2 1 v v v v v V  pada Gambar 2.  Misalkan 4 . 0  t ,  maka }
, , { 5 4 2 4 . 0 v v v V  bukan  himpunan  bagian  dari } , , , , { 5 4 3 2 1 v v v v v V  karena berdasarkan definisi himpunan bagian pada Definisi
4, maka: 11 11 11 11 6 . 0 0 . 0 ; 3 . 0 0 . 0           t t 13 13 13 13 0 . 1 0 . 0 ; 0 . 0 0 . 0           t t ,
Jurusan Matematika, UNISDA, Lamongan
yaitu  syarat i t i i t i 1 1 1 1 ;       tidak  terpenuhi,  dan
} , , { 5 4 5 2 4 2 4 . 0 v v v v v v E 
bukan  himpunan  bagian  dari } , , , , , , { 5 4 4 3 5 2 3 2 4 2 5 1 2 1 v v v v v v v v v v v v v v E  karena berdasarkan definisi himpunan bagian pada Definisi 4, maka:
212 212 212 212 6 . 0 0 . 0 ; 2 . 0 0 . 0           t t 215 215 215 215 5 . 0 0 . 0 ; 2 . 0 0 . 0           t t 223 223 223 223 9 . 0 0 . 0 ; 0 . 0 0 . 0           t t 234 234 234 234 7 . 0 0 . 0 ; 0 . 0 0 . 0           t t , yaitu syarat ij t ij ij t ij 2 2 2 2 ;       tidak terpenuhi.
Catatan  2. Pada  [5]  terdapat  suatu  teorema  yang  berbunyi  sebagai  berikut:  Jika 1
0    y x , maka
  x x E V , adalah subgraf dari   y y E V , .
Pada  tulisan  ini,  dengan  menggunakan  sebuah  contoh  pengingkaran,  dibuktikan bahwa sifat tersebut tidak selalu terpenuhisebagai berikut:
Graf fuzzy intuitionistic    E V G , dimana } , , , , { 5 4 3 2 1 v v v v v V  pada Gambar 2.  Misalkan 1 . 0  x dan 4 . 0  y ,  berdasarkan  definisi  subgraf  pada  Definisi  4,
1 . 0 1 . 0 , E V bukan subgraf dari 4 . 0 4 . 0 , E V , karena: y x y x 11 11 11 11 0 . 0 6 . 0 ; 0 . 0 3 . 0           ,
yaitu syarat y i x i y i x i 1 1 1 1 ;       tidak terpenuhi, dan y x y x 212 212 212 212 0 . 0 6 . 0 ; 0 . 0 2 . 0           y x y x 215 215 215 215 0 . 0 5 . 0 ; 0 . 0 2 . 0           ,
yaitu syarat
y ij x ij y ij x ij 2 2 2 2 ;       tidak terpenuhi.
Catatan  3. Pada  [5]  terdapat  suatu  teorema  yang  berbunyi  sebagai  berikut:  Jika    ' ' , E V H adalah suatu subgraf fuzzy intuitionistic dari    E V G , , maka untuk setiap 1 0   x ,   ' ' , x x E V adalah subgraf fuzzy intuitionistic dari   x x E V , .
Pada  tulisan  ini,  dengan  menggunakan  sebuah  contoh  pengingkaran,  dibuktikan bahwa sifat tersebut tidak selalu terpenuhi sebagai berikut:
Graf fuzzy intuitionistic    E V G , dan  subgraf fuzzy intuitionistic
   ' ' , E V H pada  Gambar  2,  dengan } , , , , { 5 4 3 2 1 v v v v v V  .  Misalkan 1 . 0  x ,
berdasarkan definisi subgraf fuzzy Iituitionistic pada Definisi 4, ' 1 . 0 ' 1 . 0 , E V bukan subgraf fuzzy intuitionistic dari 1 . 0 1 . 0 , E V . Karena:
x x x x 215 215 215 215 5 . 0 0 . 0 ' ; 2 . 0 0 . 0 '           , yaitu syarat
x ij x ij x ij x ij 2 2 2 2 ' ; '       tidak terpenuhi.
Jurusan Matematika, UNISDA, Lamongan
5 Jembatan pada Graf Fuzzy Intuitionistic Definisi  8. Jika V v v j i  , dihubungkan  dengan  m  buah  path  dengan  panjang  k, maka } ..... { max 1 4 3 3 2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 j k j j j j j j j ij l l l l l ij k              dan } ..... { min 1 4 3 3 2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 j k j j j j j j j ij l l l l l ij k              untuk semua V v v v v v v j l j l j l j l j l i l k   , ,...., , , , 1 3 2 1 , untuk m l ,...., 3 , 2 , 1  .
Definisi  9. Pangkat  dari  sisi ij e  didefinisikan  dengan
   ij ij ij ij e e 2 2 1 , ,   ,    ij ij ij ij e e 2 2 2 2 2 , ,   ,    ij ij ij ij e e 2 3 2 3 3 , ,   dan  seterusnya.  Sedangkan       ij ij ij ij e e 2 2 , ,   dengan } { max 2 ,..., 2 , 1 2 k ij n k ij      dan } { min 2 ,..., 2 , 1 2 k ij n k ij     
adalah kekuatan -  dan kekuatan -  dari keterhubungan antara dua titik i v  dan j v . Teorema  1. Jika    ' ' , E V H adalah  suatu  subgraf  fuzzy  intuitionistic  dari
   E V G , , maka untuk suatu     ij ij j i E v v 2 2 ' , ) , (   dan    ij ij 2 2 '   .
Bukti:
Misalkan    ' ' , E V H adalah  suatu  subgraf fuzzy  intuitionistic dari    E V G , . Untuk  membuktikan  bahwa    ij ij 2 2 '   dan 
  ij ij 2 2 '   untuk  suatu E v v j i  ) , (
yaitu:
Diberikan V V  ' dan E E  ' ,
 i i i i 1 1 1 1 ' ; '       untuk setiap V v i  ,
dan ij ij 2 2 '    ; ij ij 2 2 '    untuk setiap V v v j i  , .
Mengingat path
n v v v ...... 2 1 dari H , menyebabkan:
)} ' {( max ' 2 ,..., 2 , 1 2 k ij n k ij      )} ' {( min ' 2 ,..., 2 , 1 2 k ij n k ij      dan } ) {( max 2 ,..., 2 , 1 2 k ij n k ij      } ) {( min 2 ,..., 2 , 1 2 k ij n k ij      .
diperoleh
       ij k ij n k k ij n k ij 2 2 ,..., 2 , 1 2 ,..., 2 , 1 2 } ) {( max } ) ' {( max '     .
       ij k ij n k k ij n k ij 2 2 ,..., 2 , 1 2 ,..., 2 , 1 2 } ) {( min } ) ' {( min '  
  .
Sehingga terbukti bahwa    ij ij 2 2 '   dan    ij ij 2 2 '   untuk suatu E v v j i  ) , ( .■

## Jurusan Matematika, UNISDA, Lamongan
Setelah diperoleh definisi yang mendefinisikan kekuatan  -  dan kekuatan -  dari  keterhubungan  antara  dua  titik,  syarat  mengenai  sisi  yang  disebut  jembatan akan disajikan dalam definisi berikut:
Definisi 10. Misalkan    E V G , adalah suatu graf fuzzy intuitionistic. Misalkan
j i v v , adalah  dua  titik  berbeda  dan
   ' ' , E V H adalah  suatu  subgraf  fuzzy intuitionistic dari G yang diperoleh dengan menghapus sisi ) , ( j i v v . Dengan kata lain,    ' ' , E V H , dimana 0 ' 2  ij  ; 0 ' 2  ij  dan 2 2 '    ; 2 2 '    untuk semua sisi yang lain. Sisi ) , ( j i v v disebut jembatan di G, jika salah satu dari
   xy xy 2 2 '   dan    xy xy 2 2 '   atau    xy xy 2 2 '   dan    xy xy 2 2 '   untuk suatu V v v y x  , . Dengan  kata  lain,  menghapus  suatu  sisi ) , ( j i v v mengurangi  kekuatan hubungan  antara  suatu  pasangan  dari  titik  atau ) , ( j i v v adalah  jembatan  jika, terdapat y x v v , sedemikian  sehingga ) , ( j i v v adalah  suatu  sisi  dari  setiap  path terkuat dari x v ke y v .
Teorema  2. Jika
V v v j i  , tidak  terhubung  dengan  sikel,  maka ) , ( j i v v bukan jembatan.
Teorema  3. Misalkan    E V G , adalah  suatu  graf  fuzzy  intuitionistic.  Untuk setiap  dua  titik j i v v , di  G  dimana ) , ( j i v v dihubungkan  dengan  sikel,  kondisi berikut adalah ekuivalen:
(i) ) , ( j i v v adalah jembatan.
(ii) ij ij 2 2 '     atau ij ij 2 2 '     .
Bukti:
(ii)  (i)
Diasumsikan ij ij 2 2 '     atau ij ij 2 2 '     .
Akan ditunjukkan bahwa ) , ( j i v v adalah jembatan.
Andaikan ) , ( j i v v bukan  jembatan,  karena
) , ( j i v v dihubungkan  dengan  sikel
maka ij ij ij 2 2 2 '        dan ij ij ij 2 2 2 '        .
Menyebabkan ij ij 2 2 '     dan ij ij 2 2 '     ,  maka  kontradiksi.  Pengandaian  salah, maka ) , ( j i v v adalah jembatan.
(i)  (ii)
Diasumsikan
) , ( j i v v adalah jembatan.
Akan ditunjukkan bahwa ij ij 2 2 '     atau ij ij 2 2 '     .
Andaikan ij ij 2 2 '     dan ij ij 2 2 '     .
Jurusan Matematika, UNISDA, Lamongan
Sisi ) , ( j i v v disebut  jembatan  di G ,  jika  salah  satu  dari
   xy xy 2 2 '   dan    xy xy 2 2 '   atau    xy xy 2 2 '   dan 
  xy xy 2 2 '   untuk  suatu V v v y x  , .  Misalkan    xy xy 2 2 '   benar,  maka ij ij 2 2 ' 
   kontradiksi,  dan  misalkan    xy xy 2 2 '   benar, maka ij ij 2 2 '     kontradiksi.  Pengandaian  salah,  maka ij ij 2 2 '     atau ij ij 2 2 '     .■
Teorema  4. Misalkan    E V G , adalah  suatu  graf  fuzzy  intuitionistic  dengan himpunan dari titik V. Maka
(i) Jika ij 2  dan ij 2  adalah  konstan  untuk  setiap V v v y x  , ,  maka  G  tidak
mempunyai jembatan.
(ii) Jika ij 2  dan ij 2  adalah  tidak  konstan  untuk  setiap E v v j i  ) , ( dimana
) , ( j i v v dihubungkan  dengan  sikel,  maka  G  mempunyai  paling  sedikit  satu jembatan.
Akibat 1. Pada  suatu  graf  fuzzy  intuitionistic    E V G , dengan
  1 , 0 : 2   V V  dan   1 , 0 : 2   V V  bukan  fungsi  konstan.  Suatu  sisi ) , ( j i v v
yang dihubungkan dengan sikel dimana ij 2  maksimum dan ij 2  minimum, maka
sisi ) , ( j i v v adalah suatu jembatan dari G.

## 6 Kesimpulan
Seperti  pada  definisi  jembatan  pada  graf fuzzy dapat  dikembangkan  definisi jembatan  pada  graf fuzzy intuitionistic. Suatu  graf fuzzy intuitionistic yang  tidak mempunyai  sikel,  maka  graf fuzzy intuitionistic tersebut  tidak  mempunyai jembatan.  Suatu  sisi  pada  graf fuzzy intuitionistic yang  mempunyai  nilai  tidak konstan  dan  terhubung  oleh  sikel,  maka  graf fuzzy intuitionistic tersebut mempunyai  paling  sedikit  satu  jembatan.  Jika  nilai  pada  graf fuzzy intuitionistic tersebut  konstan,  maka  graf fuzzy intuitionistic tersebut  tidak  mempunyai jembatan.

## Daftar Pustaka
[1]  An  Lu  dan  Wilfred  Ng.  2005. Vague  Sets  or  Intuitionistic  Fuzzy  Sets  for Handling Vague Data: Which One Is Better? . In: Lois Delcambre, Christian Kop,  Heinrich  C.  Mayr,  John  Mylopoulos,  Oscar  Pastor  (eds.): Conceptual Modeling – ER 2005: 24th International Conference on Conceptual Modeling, Klagenfurt, Austria, October 24-28, Lecture Notes in Computer Science Vol. 3716, Springer-Verlag GmbH : 401-416.
[2]  John,  N.  M.,  dan  Premchand  S.  N.  2000. Fuzzy  Graphs  and  Fuzzy Hypergraph. Physica-Verlag. Heidelberg.

## Jurusan Matematika, UNISDA, Lamongan
[3]  Nagoor,  G.,  dan  Malarvizhi,  J..  2008. Isomorphism  on  Fuzzy  Graphs. International  Journal  of  Computational  and  Mathematical  Sciences .  Vol.  2. 4 :190-196.
[4]   Nagoor,  G.,  dan  Malarvizhi,  J.  2009.  Isomorphism  Properties  on  Strong Fuzzy  Graphs. International  Journal  of  Algorithms,  Computing  and Mathematics. Vol. 2. 1 : 39-47.
[5]   Parvathi,  R.,  dan  Karunambigai,  M.  G.  2006. Intuitionistic  Fuzzy  Graph. Proceedings  -9th  Fuzzy  Days  International  Conference  on  Computational Intelligence – 2006, Advances in soft computing: Computational Intelligence, Theory and Applications, Bernd Reusch eds. 139-150.
[6]  Seymour, L., dan Marc, L. L. 2002. Matematika Diskrit 2 . Salemba Teknika. Jakarta.
[7]  Theresia,  M.H.,  dan  Tirta,  S.  1992. Graf  Pengantar .  University  Press  IKIP. Surabaya.