Vol. 4, No.1, 19-25,  Juli  2007
Suatu Tinjauan Tentang Generalized Estimating Equation
Muhammad Abdy 

## Abstrak
Generalized  Estimating  Equation (GEE)  yang  pertama  kali  diperkenalkan  oleh  Liang  dan Zeger  pada  tahun  1986  telah  mendapat  perhatian  yang  luas  dari  beberapa  tahun  terakhir  dan beberapa perluasan dari metode tersebut telah dikembangkan. Pada tulisan ini akan disajikan metode  GEE  dan  beberapa  perluasannya,  dan  pada  bagian  terakhir  dari  tulisan  ini  akan diberikan contoh data  yang akan dianalisis dengan menggunakan metode GEE.
Kata kunci: generalized estimating equation, longitudinal, regresi .

## 1. Pendahuluan
Tujuan  utama  dari  analisis  dalam  sebagian  besar  model  analisis  regresi  adalah mengetahui  atau  memeriksa  pengaruh  kovariat-kovariat  tertentu  terhadap  variabel  respon. Berbagai  metode  telah  tersedia  untuk  mengestimasi  parameter-parameter  dalam  model  regresi dengan variabel respon yang berdistribusi normal dan kontinu. Akan tetapi, dalam aplikasi sering dijumpai  variabel  respon  yang  tidak  normal  dan  kategorik  sehingga  akan  memerlukan  metode pendugaan  yang  lain  untuk  mengestimasi  parameter-parameternya. Generalized  Linear  Model (GLM) yang diperkenalkan oleh Nelder dan Wedderburn pada tahun 1972 merupakan salah satu model  regresi  untuk  menganalisis  variabel  respon  yang  diskrit  maupun  kontinu  dan  tidak  perlu berdistribusi  normal  tetapi  termasuk  dalam  distribusi  keluarga  eksponensial.  Hubungan  antara variabel  respon  dan  kovariat  dinyatakan  dengan  suatu  fungsi  yang  disebut  fungsi link. GLM mengasumsikan  bahwa  pengamatan  adalah  independen  dan  tidak  mempertimbangkan  adanya korelasi diantara outcome dari n buah pengamatan.
Pada  pengumpulan  data  yang  bersifat longitudinal ,  yaitu  data cross-sectional yang diukur  atau  diamati  secara  berulang  dalam  urutan  waktu,  akan  menyebabkan  terjadinya interkorelasi  diantara  outcome-outcome.  Metode  pendugaan  yang  selama  ini  digunakan  tidak akan  valid  lagi  karena  metode-metode  tersebut  mengasumsikan  bahwa  pengukuran  outcome- outcome  tersebut  adalah  independen.  Untuk  mengatasi  adanya  interkorelasi  diantara  outcome- outcome tersebut, maka  GLM diperluas atau dikembangkan lagi sehingga  muncul model-model marginal ( marginal models ) dan model-model pengaruh acak ( random effect models ).
Dalam  model  marginal,  perhatian  utama  analisisnya  adalah  memodelkan  ekspektasi marginal  variabel  respon.  Korelasi  diantara  variabel  outcome  dimodelkan  secara  terpisah  dan dipandang  atau  dianggap  sebagai  parameter  penggangu  ( nuisance  parameters ).  Model  marginal pertama kali diperkenalkan oleh Zeger, Liang dan Self (1985), Liang dan Zeger (1986) dan Zeger dan  Liang  (1986).  Dalam  artikel-artikel  tersebut,  penulisnya  memberikan  definisi  secara  rinci tentang  pendekatan  tersebut  dan  memberikan  beberapa  contoh  aplikasi.  Pendekatan  tersebut diistilahkan  dengan Generalized  Estimating  Equation (GEE).  Sampai  sekarang  ini  GEE  juga sudah  mengalami  perkembangan  yang  pesat  dan  sudah  terjadi  beberapa  modifikasi  untuk
 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Negeri Makassar
Email: muh.abdy@ unm .ac.id, abdy02@yahoo.com

## Muhammad Abdy
mengakomodir berbagai macam permasalahan dalam data. Pemakaian metode GEE sudah sangat meluas diantaranya dalam bidang penelitian kesehatan dan genetika.

## GEE  1
GEE  merupakan  perluasan  dari  GLM  untuk  mengakomodir  data  yang  berkorelasi. Metode GEE memodelkan suatu fungsi yang diketahui dari ekspektasi marginal variabel respon sebagai  fungsi  linear  dari  satu  atau  lebih  variabel  prediktor.  Dalam  metode  ini,  kita  tidak menspesifikasikan  secara  penuh  distribusi  bersama  dari  variabel-variabel  respons,  tetapi  hanya menspesifikasikan fungsi link, hubungan antara mean dan varians respon serta struktur kovarians dari  pengamatan  dalam  subjek.  GEE  orde  satu  merupakan  GEE  yang  belum  mengalami modifikasi.
Misalkan y it adalah suatu prediktor respon dari n kelompok dengan T pengamatan untuk kelompok ke- i , i =1,2,…, n . Untuk setiap y it , beberapa kovariat x it tersedia, dimana elemen pertama dari x it adalah 1 , yang merupakan intersep. Data dapat dinyatakan dengan prediktor y i dan matriks X i =  ( x ’ i 1 , x’ i 2 ,  …, x’ iT ).  Pasangan  ( y i , X i )  diasumsikan  berdistirbusi    identik  independen. Misalkan E( y it | X i ) = E ( y it | x it ) = x’ it  , dimana  adalah suatu prediktor parameter berukuran ( p  1) yang tidak diketahui. Selanjutnya diasumsikan bahwa matriks varians bersyarat dari y i diberikan X i adalah diketahui, yaitu kov( y i | X i ) = V i , maka estimator model regresi linear multivariate dapat diperoleh melalui persamaan estimasi:
 (  ) = 1 n X ’ V -1 ( y -  ) = 0 , (1)
dimana X dan y masing-masing berasal dari matriks X i dan prediktor y i , V matriks diagonal dari V i ,  berasal  dari  prediktor  i =  i (  ).  Estimator  tersebut  di  atas  tidak  bias  dan  berdistribusi normal  asimptotik.  Matriks  kovariansnya  merupakan  invers  dari  matrik  informasi  Fisher.  Jika cov( y i | X i ) =  i  V i , maka estimator tersebut masih tak bias. Matriks variansnya berbentuk: ˆ ( )  V = ( X ’ V -1 X ) -1 ( X ’ V -1  V -1 X )( X ’ V -1 X ) -1 (2)
Suatu estimator dari (2) dapat diperoleh dengan mengganti  i dengan:  i =( y i - ˆ  i )( y i - ˆ  i ) ’ ,
dimana ˆ  i = x i β ˆ .
Matriks  kovarian V i yang  fix  dapat  diganti  dengan V i = V i (  )  yang  bergantung  pada  suatu parameter assosiasi  . Estimator β ˆ diperoleh dengan prosedur dua tahap; yaitu, tahap pertama adalah  mendapatkan    parameter  assosiasi  ˆ  untuk  dan tahap  kedua adalah  mendapatkan β ˆ untuk  yang  diestimasi.  Pendekatan  ini  dapat  digunakan  untuk  memodelkan  ketergantungan  di dalam  kelompok  pada  model-model  linear.  Akan  tetapi,  model  linear  tidak  dapat  menangani semua  persoalan-persoalan  dalam  aplikasi.  Untuk  pengamatan  independen,  GLM  mempunyai fleksibilitas dalam memodelkan struktur mean dan varians. Dalam GLM tersebut, struktur mean adalah E ( y it | X it ) =  it = g ( , it  x ), dimana g adalah suatu fungsi respons non-linear yang monoton.
Invers dari fungsi g , yaitu g -1 dinamakan fungsi link . Suatu sifat penting dari GLM adalah relasi fungsional  diantara  mean  dan  varian,  yaitu: v it = V ( y it | X it )  = h (  it ),  dimana h disebut  fungsi varians.  Bentuk  dari  distribusi  variabel  respon  akan  menentukan  bentuk  dari  fungsi link dan fungsi varians dari GLM.
Untuk pengamatan independen, prediktor parameter  diestimasi dengan menggunakan metode kemungkinan maksimum . Persamaan kemungkinannya berbentuk :
u (  ) = ( ) n -1 1 1 i i i i n n i=1    D' V y μ D`V - 1 ( y -  ) = 0 (3)
Dimana D i = i '   μ β adalah  matriks  diagonal  turunan  pertama  dan V i = diag ( v it )  adalah  matriks diagonal  dari  varians.  Persamaan  (3)  biasa  juga  disebut  dengan Independence  Estimating Equation (IEE).  Solusi  dari    (3)  hanya  ada  untuk  model  linear  dengan  variabel  respons berdistribusi normal. Jika variabel responnya tidak berdistribusi normal, maka harus diselesaikan secara  iteratif.  Estimator β ˆ untuk  (3)  konsisten  dan  berdistribusi  normal  asymptotik  dengan matriks kovarians  kov( β ˆ ) = ( DV -1 D ) -1 (Mc. Cullagh dan Nelder J.A. 1983)
Untuk  pengamatan  yang  berkorelasi,  matriks  varians  tidak  dapat  mempunyai  suatu bentuk diagonal. Untuk data berkorelasi, Zeger dkk. (1985) mengusulkan penggunaan estimator varians yang kekar (robust):
ˆ ( ) β V =      1 1 1 ' 1 1 ' =1 1 1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ n n n i i i i i i i i i i i i i i            DV D DV V D DV D (4)
Dalam persamaan tersebut di atas,  ˆ merupakan matriks diagonal dari ˆ ˆ ˆ ( )( ) i i i i i '    Ω y μ y μ
Estimasi  tersebut  di  atas  tidak  akan  efisien  karena  bentuk  diagonal V i .  Suatu pendekatan  yang  diusulkan  oleh  Liang  dan  Zeger  (1986)  dan  Zeger  dan  Liang  (1986) memberikan  suatu  estimasi  yang  lebih  efisien  dengan  mengkombinasikan  prosedur  GLM  dan FGLS.  Prosedurnya  adalah  sebagai  berikut:  Pandang  suatu  model  untuk  ekspektasi  dan  varians dengan  menggunakan  pendekatan  GLM.  Dalam  kasus  ini, V i tidak  perlu  berbentuk  matriks diagonal  tetapi  matriks  kovarians  sebaiknya  mendekati  matriks  kovarians  i yang  sebenarnya.
Untuk estimator  ˆ i R dari matriks korelasi y i diberikan X i , maka estimator untuk V i berbentuk:
1/ 2 1/ 2 ˆ ˆ ˆ ˆ i i i i  V A R A (5)
dimana 1/ 2 ˆ i A adalah invers dari akar kuadrat matriks diagonal yang diestimasi dari varians V it .  ˆ i R merupakan matriks T  T definit positif yang menggambarkan struktur assosiasi. Matriks R i biasa diistilahkan dengan “matriks korelasi kerja”. Matriks ini diestimasi dengan menggunakan metode momen. Jika  ˆ i R merupakan matriks identitas, maka i V pada persamaan (5) merupakan matriks diagonal yang akan sama dengan V i dalam persamaan (3). Dengan matriks korelasi kerja  ˆ i R dan matriks diagonal  ˆ i A , Generalized Estimating Equation (GEE) mempunyai bentuk:
1 1 1 ˆ ( ) ' ( ( )) 
     n i i i i n i μ β D V y μ β 0 (6)
Jika  diestimasi menggunakan persamaan (6), maka β ˆ akan konsisten jika  it = E ( y it | X it )  = E ( y it | X i )  dispesifikasikan  dengan  tepat.  Demikian  juga  estimator β ˆ akan  berdistribusi normal  asymptotik  (Liang  dan  Zeger,  1986).  Varians  dapat  diestimasi  secara  konsisten  dengan estimator kekar (4) dan i V diestimasi dengan menggunakan (5). Jika V i dispesifikasikan dengan tepat, yaitu i ˆ  = V i , maka estimator β ˆ akan efisien.

## GEE 2
Dalam  bagian  ini  akan  dibahas  persamaan  estimasi  yang  memberikan  suatu  estimator konsisten dari mean. Persamaan estimasi tersebut disebut GEE 2. GEE 2 dipakai untuk estimasi secara bersamaan dari mean dan assosiasi (korelasi). GEE 2 mempunyai bentuk:
' 1 i 1 i 0 (y ) 0 1 ' 0 0 (z ) n 0 '         
                          
              i n i i i i i i y V z V (7)
Dari  persamaan  (7)  tersebut  terlihat  bahwa  matriks  turunan  pertama  dan  “matriks  kovarians kerja”  merupakan  matriks  yang  berbentuk  diagonal.  Dengan  demikian  persamaan  (7)  dapat disederhanakan menjadi:
'
1 1
( ) kov( , ) ' ' 1 0 kov( , ) ( ) n
' '      
          
                                         i i n i i i i i i i i i i i i i
V y y z y z y V z z (8)
Dimana  i merupakan suatu fungsi dari parameter assosiasi  , jika '      i 0 . Akan tetapi asumsi ini tidak selalu dapat dilakukan. Lagi pula sangat sulit untuk menginterpretasi suatu vektor mean yang  memasukkan  . Dalam  kebanyakan aplikasi, nilai mean hanya didefinisikan sebagai suatu fungsi  ,  dan  tidak  bergantung  pada  .  Bentuk '      i 0 dalam  (8)  mengakibatkan  korelasi merupakan suatu fungsi dari  . Dalam aplikasi biasanya diasumsikan '      i 0 .
Sejauh  ini  kita  hanya  mendefinisikan  persamaan  estimasi  dengan  menggunakan korelasi  sebagai  ukuran  assosiasi,  padahal  persamaan  estimasi  dapat  juga  didefinisikan  dengan menggunakan matriks kovarians, yaitu:
s itt ’ = ( y it -  it ) ( y it ’ -  it ’ ) dan  itt ’ = E ( s itt ’ ) = kov( y it , y it ’ ) digunakan sebagai pengganti dari z itt ’ dan  itt ’ . Turunan pertama dan matriks varians kerja harus diubah yang sesuai. Sistem persamaan tersebut akan memenuhi yang berikut:
Jika  i dan  i dispesifikasikan dengan tepat, sebagai fungsi dari  dan  , maka  ˆ α dan β ˆ dapat diestimasi secara konsisten dan estimator tersebut berdistribusi normal asimptotik. Sistem persamaan  dengan  matriks  kovarians  ini  sangat  jarang  digunakan.  Keuntungan  menggunakan struktur kovarians untuk memodelkan korelasi adalah persamaan estimasi dapat diperoleh dengan suatu  pendekatan kemungkinan  maksimum  semu (KMS).  Dengan  metode  KMS  ini,  persamaan estimasi  dapat  juga  dideskripsikan  dengan  menggunakan  momen  kedua.  Hubungan  diantara momen  kedua  dan  log  odd  ratio  dapat  dideskripsikan  dengan  mudah  (Birshop,  Kienberg  dan Holland,  1975).  Jika  persamaan  (8)  digunakan  secara  bersama-sama  dengan  log  odd  rasio  dan mean serta struktur kovarian dispesifikasikan dengan benar, maka estimator konsisten  ˆ α dan β ˆ ada dan berdistribusi normal asimptotik. Apabila terdapat kekeliruan dalam menspesifikasikan  maka dapat menyebabkan suatu estimasi yang tidak konsisten dari  , karena  dan  diestimasi secara simultan.
Model orthogonal untuk parameter  dan  dan log odd ratio untuk struktur assosiasi dapat  digunakan  untuk  mentransformasikan  prosedur  estimasi  ˆ α dan β ˆ secara  simultan  ke dalam suatu prosedur dua tahap. Estimator β ˆ akan konsisten meskipun  tidak dispesifikasikan dengan  benar.  Pendekatan ini  disebut alternate logistic  regression ,  dimana  logit-link  digunakan

## Muhammad Abdy
sebagai fungsi link. Untuk lebih detail tentang alternate logistic regression, lihat Carey, Zeger dan Diggle, 1993.

## Contoh Data
Berikut  ini  diberikan  data  dari  suatu  hasil  penelitian  tentang  pengaruh  polusi  udara terhadap  anak-anak  (Diggle,  P.  J,  dkk.  1995).  Peneliti  memeriksa  25  anak  dan  dicatat  apakah anak-anak tesebut memperlihatkan gejala wheezing .
Tabel 1.
id kota 8 thn 9 thn 10 thn 11 thn merokok  gejala  merokok  gejala  merokok  gejala  merokok  gejala 1 A 0 1 0 1 0 1 0 0 2 A 2 1 2 1 2 1 1 0 3 A 2 1 2 0 1 0 0 0 4 B 0 0 1 1 1 1 0 0 5 A 0 0 1 0 1 0 1 0 6 B 0 1 0 0 0 0 0 1 7 A 1 1 1 1 0 1 0 0 8 B 1 0 1 0 1 0 2 0 9 B 2 1 2 0 1 1 1 0 10 A 0 0 0 0 0 0 1 0 11 A 1 1 0 0 0 0 0 1 12 B 0 0 0 0 0 0 0 0 13 A 2 1 2 1 1 0 0 1 14 B 0 1 0 1 0 0 0 0 15 A 2 0 0 0 0 0 2 1 16 B 1 0 1 0 0 0 1 0 17 B 0 0 0 1 0 1 1 1 18 A 1 1 2 1 0 0 1 0 19 A 2 1 1 0 0 1 0 0 20 B 0 0 0 1 0 1 0 0 21 A 1 0 1 0 1 0 2 1 22 B 0 1 0 1 0 0 0 0 23 B 1 1 1 0 0 1 0 0 24 A 1 0 1 1 1 1 2 1 25 B 0 1 0 0 0 0 0 0
Keterangan: A = kota yang mempunyai banyak pabrik baja
B = kota yang berbukit-bukit dan banyak pepohonan yang tumbuh
Pemeriksaan  ini  dilakukan  empat  kali,  yaitu  pada  saat  anak-anak  berumur  8  tahun,  9 tahun, 10 tahun, dan 11 tahun. Responnya adalah gejala wheezing pada anak-anak yang bernilai 1 jika ada gejala dan 0 jika tidak ada gejala. Variabel prediktornya adalah kota tempat tinggal anak (dua kategori kota), tingkat keaktifan merokok dalam keluarga ( bernilai 0, 1, dan 2), dan variabel umur anak. Datanya seperti dalam Tabel 1 dan sebagian hasil analisis seperti dalam Tabel 2. Data yang  dihasilkan  dalam  penelitian  ini  merupakan  data  longitudinal,  dan  akan  diolah  dengan

## Muhammad Abdy
pendekatan metode GEE 1 dengan menggunakan SAS (proc. GENMOD). Dari Tabel 2, terlihat bahwa  kota  tempat  tinggal  bukanlah  suatu  faktor  penyebab  gejala  wheezing  pada  anak-anak. Akan  tetapi  kebiasaan  merokok  dalam  keluarga  mempunyai  pengaruh  yang  cukup  signifikan, demikian juga umur anak mempengaruhi adanya gejala wheezing.
Tabel. 2
.

## 2. Kesimpulan
Pada bagian ini, akan diberikan beberapa rekomendasi untuk penggunaan metode GEE.  Untuk  penggunaan  praktis,  beberapa  rekomendasi  diperlukan  untuk  memutuskan apakah  metode  kemungkinan  maksimum  untuk  distribusi  multivariate  ataukah  metode GEE yang seharusnya digunakan. Secara umum, metode kemungkinan maksimum hanya digunakan jika distribusi lengkap y i dengan syarat X i dispesifikasikan dengan benar. GEE 1  menghasilkan  estimator  yang  tidak  konsisten  untuk  mean,  jika  tidak  dispesifikasikan dengan  benar.  Penggunaan  estimator  kekar  untuk  varians  harus  digunakan  jika  ada kemungkinan  terjadi  kesalahan  spesifikasi  struktur  assosiasi.  Jika  pemeriksaan  assosiasi merupakan tujuan utama dari analisis, maka GEE 2 dapat digunakan karena estimasi dari struktur mean-nya konsisten meskipun assosiasi tidak dispesifikasikan dengan benar.

## Daftar Pustaka
[1]. M.  Abdy,  2003,  ” GEE:  Suatu  Metode  Estimasi  Parameter  Model  Regresi  untuk  Data Longitudinal” – Makalah Seminar Nasional Statistika ITS – Pascasarjana UGM.
[2]. Y.M.M. Bishop, S.E. Fienberg  dan P.W. Holland, 1975, “ Discrete Multivariate Analysis: Theory and Practice” , MIT Press, Cambridge.
[3]. V.  Cerey,  S.L.  Zeger  and  P.Diggle,  1983, “Modeling  Multivariate  Binary  Data  with Alternating Logistic regression” , Biometrika 80 : 517 – 526.
[4] P.J.Diggle,  K.Y.Liang  dan  S.L.  Zeger,  1995,  “ Analysis  of  Longitudinal  Data” ,  Oxford University Press, Oxford.
[5] K.Y. Liang dan S.L. Zeger, 1986, “ Longitudinal  Data  Analysis  Using  GLM ”, Biometrika 73 : 13 – 22.
Analysis of GEE Parameter Estimates Empirical Standard Error Estimates Parameter Estimate Standard 95% confidence Z      pr   >|z| error Limits Intercept 2.2615 2.0243 -1.7060            6.2290      1.12     0.26396 A 0.0418 0.5435 -1.0234            1.1070 0.80     0.9387 B 0.0000 0.0000 0.0000            0.0000           .            . Umur -0.3201 0.1884 -0.6894            0.0492 -1.70   0.0893 Merokok 0.6506 0.2821 0.0978            1.2035         2.31    0.0211

## Muhammad Abdy
[6] P.  Mc  Cullagh  dan  J.A.  Nelder,1983 ,”Quasi  Likelihood  Function,  The  Annals  of Statistics”, 11 : 59 – 67.
[7] J.  Nelder    dan  R.W.M.  Wedderburn,  1972,  ” Generalized  Linear  Models ”, Journal  Royal Statistics Soceity A , 135 : 370 384.
[8] S.L.  Zeger  dan  K.Y.  Liang,  1986,  “Longitudinal Data  Analysis  for  Discrete  and Continuous Outcomes ”, Biometrics 42 : 121 – 130.