Abstrak —Di dalam pengaturan suhu pada aplikasi termonuklir, masih mengandalkan eksperimen berdasarkan pengalaman empiris. Oleh karena itu, keakuratan pengaturan suhu ini tergantung pada operatornya. Sehingga perlu dikembangkan model matematika untuk menyelesaikan permasalahan tersebut. Model matematika ini dikembangkan dengan menggunakan hukum kekekalan massa, momentum, dan energi. Model matematika tersebut selanjutnya disederhanakan menggunakan persamaan similaritas dengan memanfaatkan fungsi alir. Model yang diperoleh berupa sistem persamaan diferensial biasa nonlinier. Sistem persamaan ini selanjutnya diselesaikan dengan menggunakan metode numerik implisit dengan skema Keller-Box. Metode Keller-Box ini memiliki akurasi tinggi dan lebih efisien. Hasil simulasi menunjukkan bahwa profil kecepatan dan profil temperatur menurun saat parameter magnetik, parameter porositas, dan bilangan Prandtl meningkat. Sedangkan ketika parameter radiasi meningkat, maka profil temperatur juga meningkat, namun parameter radiasi tidak memberikan pengaruh terhadap profil kecepatan.
Kata Kunci —Bola Berpori, Keller-Box, Magnetohidrodinamika Radiatif Ferrofluid.

## I. PENDAHULUAN
I  dalam aplikasi termonuklir, dalam mengatur suhu, masih mengandalkan eksperimen berdasarkan pengalaman empiris. Sehingga akurasi dari pengaturan suhu tersebut tergantung pada operatornya.  Karena itu dalam pengaturan suhu ini perlu dikembangkan teknik atau metode yang akurat berdasarkan perhitungan suhu yang ilmiah yang dapat diterima oleh semua kalangan dan pengalaman empiris operator. Dalam hal model matematika ini, telah ada model pendahuluan dari pengaturan suhu tersebut. Namun masih perlu dilakukan pengembangan lebih lanjut. Pemodelan matematika merupakan suatu proses merepresentasikan dan menjelaskan sistem-sistem fisik atau permasalahan yang ada pada dunia nyata ke dalam pernyataan matematis. Banyak permasalahan atau fenomena alam yang dapat dianalisis menggunakan model matematis, misalnya aliran panas pada konduktor, getaran, dan lain sebagainya.
Pemodelan matematika juga dapat digunakan dalam suatu aliran fluida. Fluida yang digunakan dalam penelitian ini adalah nanofluid magnetik atau yang lebih dikenal dengan ferrofluid, yang termasuk ke dalam fluida Newtonian. Ferrofluid ini mengandung partikel nano magnetik (ferropartikel) [1]. Magnetohidrodinamika merupakan suatu ilmu yang mempelajari tentang aliran fluida yang menghantarkan listrik akibat adanya induksi magnet pada fluida tersebut [2]. Pada penelitian kali ini, pengaruh magnetohidrodinamika ditimbulkan oleh adanya medan magnet dari bola berpori dan juga adanya pengaruh radiasi
dari ferrofluid.
Penelitian mengenai aliran magnetohidrodinamika ferrofluid pada berbagai permukaan telah banyak dilakukan, misalnya pada saluran persegi panjang oleh Aminfar,(2013) [3], di atas pelat miring oleh Ilias, et.al. (2017) [4], melalui rongga berventilasi berbentuk T oleh Jhumur, et.al.  (2017) [5], melalui permukaan yang bergerak non-linier oleh Jamaludin, et.al.  (2020)  [6], serta melalui permukaan bola padat oleh Widodo, et.al. (2021) [7]. Dari literatur di atas, telah disebutkan bahwa fraksi volume ferropartikel berbasis air, radiasi termal dan parameter magnetik menjadi faktor utama dalam meningkatkan perpindahan panas pada fluida ferrofluid. Oleh karena itu, dalam penelitian  ini, dikembangkan model matematika dalam menyelesaikan permasalahan magnetohidrodinamika radiatif ferrofluid yang mengalir di atas permukaan bola berpori bermagnet.

## II. URAIAN PENELITIAN
Pada penelitian ini, benda ( bluff body ) yang digunakan adalah bola berpori bermagnet, dapat dilihat pada Gambar 1. Pada Gambar 1 diketahui nano ferrofluid mengalir dari bawah ke atas melawan arah gravitasi, serta memiliki kecepatan  sebesar 𝑈𝑈 ∞ dan suhu sebesar 𝑇𝑇 ∞ jauh dari bola berpori bermagnet. Sedangkan 𝑇𝑇 𝑤𝑤 adalah temperatur pada permukaan bola berpori bermagnet. Untuk jarak 𝑥𝑥 dan 𝑦𝑦 diukur masing-masing terhadap garis vertikal yang melalui bola berpori bermagnet dan terhadap permukaan bola berpori bermagnet  [8]. Pada penelitian ini daerah bahasan adalah pada depan titik stagnasi bawah dari bola berpori bermagnet.

## A. Pembentukan Persamaan Dimensional
Dalam penelitian ini sistem yang diteliti dalam keadaan steady dan incompressible, sehingga persamaan

## Magnetohidrodinamika Radiatif Ferrofluid yang Mengalir di Atas Permukaan Bola Berpori Bermagnet
Eirene Juwitaningtyas Pamela dan Basuki Widodo Departemen Matematika, Institut Teknologi Sepuluh Nopember (ITS) e-mail : b_widodo@matematika.its.ac.id
D
Gambar 1.  Sketsa  aliran  nano  ferrofluid yang melalui  bola  berpori bermagnet.
dimensionalnya adalah sebagai berikut. Pertama, persamaan kontinuitas, diberikan pada Persamaan 1,
𝜕𝜕 ( 𝑟𝑟̅𝑢𝑢� ) 𝜕𝜕𝑥𝑥̅ + 𝜕𝜕 ( 𝑟𝑟̅𝑣𝑣� ) 𝜕𝜕𝑦𝑦� = 0. (1)
Kedua, persamaan momentum arah sumbu 𝑥𝑥 , diberikan pada Persamaan 2,
𝜌𝜌 𝑓𝑓𝑓𝑓 �𝑢𝑢� 𝜕𝜕𝑢𝑢� 𝜕𝜕𝑥𝑥̅ + 𝑣𝑣̅ 𝜕𝜕𝑢𝑢� 𝜕𝜕𝑦𝑦� � = − 𝜕𝜕𝑝𝑝̅ 𝜕𝜕𝑥𝑥̅ + 𝜇𝜇 𝑓𝑓𝑓𝑓 � 𝜕𝜕 2 𝑢𝑢� 𝜕𝜕𝑥𝑥̅ 2 + 𝜕𝜕 2 𝑢𝑢� 𝜕𝜕𝑦𝑦� 2 � + 𝜎𝜎𝐵𝐵 0 2 𝑢𝑢� + 𝜇𝜇 𝑓𝑓𝑓𝑓 𝐾𝐾 ∗ 𝑢𝑢� + 𝜌𝜌 𝑓𝑓𝑓𝑓 𝛽𝛽 ( 𝑇𝑇� − 𝑇𝑇 ∞ ) 𝑔𝑔 sin 𝑥𝑥̅ 𝑎𝑎 . (2)
Ketiga, persamaan momentum arah sumbu 𝑦𝑦 , diberikan pada Persamaan 3,
𝜌𝜌 𝑓𝑓𝑓𝑓 �𝑢𝑢� 𝜕𝜕𝑣𝑣� 𝜕𝜕𝑥𝑥̅ + 𝑣𝑣̅ 𝜕𝜕𝑣𝑣� 𝜕𝜕𝑦𝑦� � = − 𝜕𝜕𝑝𝑝̅ 𝜕𝜕𝑦𝑦� + 𝜇𝜇 𝑓𝑓𝑓𝑓 � 𝜕𝜕 2 𝑣𝑣� 𝜕𝜕𝑥𝑥̅ 2 + 𝜕𝜕 2 𝑣𝑣� 𝜕𝜕𝑦𝑦� 2 � + 𝜎𝜎𝐵𝐵 0 2 𝑣𝑣̅ + 𝜇𝜇 𝑓𝑓𝑓𝑓 𝐾𝐾 ∗ 𝑣𝑣̅ − 𝜌𝜌 𝑓𝑓𝑓𝑓 𝛽𝛽 ( 𝑇𝑇� − 𝑇𝑇 ∞ ) 𝑔𝑔 cos 𝑥𝑥̅ 𝑎𝑎 . (3)
Keempat, persamaan energi, diberikan pada Persamaan 4,
𝑢𝑢� 𝜕𝜕𝑇𝑇�
𝜕𝜕𝑥𝑥̅ + 𝑣𝑣̅ 𝜕𝜕𝑇𝑇� 𝜕𝜕𝑦𝑦� = 𝛼𝛼 𝑓𝑓𝑓𝑓 � 𝜕𝜕 2 𝑇𝑇� 𝜕𝜕𝑥𝑥̅ 2 + 𝜕𝜕 2 𝑇𝑇� 𝜕𝜕𝑦𝑦� 2 � + 1 �𝜌𝜌𝐶𝐶 𝑝𝑝 � 𝑓𝑓𝑓𝑓 16𝜎𝜎 ∗ 𝑇𝑇 ∞ 3 3𝑘𝑘 ∗ 𝜕𝜕 2 𝑇𝑇� 𝜕𝜕𝑦𝑦� 2 . (4)
Dengan kondisi batas yang digunakan adalah 𝑢𝑢� = 𝑣𝑣̅ = 0 dan 𝑇𝑇� = 𝑇𝑇 𝑤𝑤 untuk setiap 𝑦𝑦� = 0 , 𝑢𝑢� = 𝑢𝑢� 𝑒𝑒 ( 𝑥𝑥̅ ) dan 𝑇𝑇� = 𝑇𝑇 ∞ saat 𝑦𝑦� → ∞ . Dimana 𝑢𝑢� dan 𝑣𝑣̅ masing-masing menunjukkan komponen kecepatan sepanjang sumbu 𝑥𝑥̅ dan 𝑦𝑦� . Selanjutnya, subskrip 𝑓𝑓𝑓𝑓 dan 𝑓𝑓 masing-masing mengacu pada ferrofluid dan fluida dasar. Kemudian, 𝐵𝐵 0 adalah medan magnet, 𝜇𝜇 adalah viskositas dinamik, 𝜌𝜌 adalah densitas, 𝑔𝑔 adalah percepatan gravitasi, 𝜎𝜎 adalah konduktivitas listrik, 𝛽𝛽 adalah ekspansi termal ferrofluid, 𝑇𝑇 adalah suhu lokal, 𝜌𝜌𝐶𝐶 𝑝𝑝 adalah kapasitas panas efektif, dan 𝛼𝛼 adalah difusivitas panas.

## B. Persamaan Non-dimensional
Persamaan dimensional yang telah didapatkan kemudian ditransformasikan ke dalam persamaan non-dimensional. Variabel non-dimensional yang digunakan dalam penelitian ini adalah sebagai berikut [9],
𝑥𝑥 = 𝑥𝑥̅ 𝑎𝑎 , 𝑦𝑦 = 𝑅𝑅𝑒𝑒 1 2 � 𝑦𝑦� 𝑎𝑎 � , 𝑟𝑟 = 𝑟𝑟̅ 𝑎𝑎 , 𝑢𝑢 = 𝑢𝑢� 𝑈𝑈 ∞ , 𝑣𝑣 = 𝑅𝑅𝑒𝑒 1 2 � 𝑣𝑣� 𝑈𝑈 ∞ � , 𝑝𝑝 = 𝑝𝑝̅ 𝜌𝜌 𝑓𝑓𝑓𝑓 𝑈𝑈 ∞ 2 , 𝑇𝑇 = 𝑇𝑇�−𝑇𝑇 ∞ 𝑇𝑇 𝑤𝑤 −𝑇𝑇 ∞ .
Selanjutnya diberikan parameter non-dimensional sebagai berikut [7],[10],
𝑀𝑀 = 𝑎𝑎𝜎𝜎𝐵𝐵 0 2 𝜌𝜌 𝑓𝑓𝑓𝑓 𝑈𝑈 ∞ , 𝜆𝜆 = 𝐺𝐺𝑟𝑟 𝑅𝑅𝑒𝑒 2 , 𝐺𝐺𝑟𝑟 = 𝑔𝑔𝑔𝑔 ( 𝑇𝑇 𝑤𝑤 −𝑇𝑇 ∞ ) 𝑎𝑎 3 𝑣𝑣 𝑓𝑓𝑓𝑓 2 , 𝑃𝑃𝑟𝑟 = 𝑣𝑣 𝑓𝑓 𝛼𝛼 𝑓𝑓 , 𝜙𝜙 =
𝑎𝑎𝜇𝜇 𝑓𝑓𝑓𝑓 𝜌𝜌 𝑓𝑓𝑓𝑓 𝑈𝑈 ∞ 𝐾𝐾 ∗ , 𝑁𝑁𝑟𝑟 = 4𝜎𝜎 ∗ 𝑇𝑇 ∞ 3 𝑘𝑘 ∗ 𝑘𝑘 𝑓𝑓 .
Dimana 𝑀𝑀 merupakan parameter magnetik, 𝜆𝜆 merupakan parameter konveksi, 𝐺𝐺𝑟𝑟 merupakan bilangan  Grashof, 𝑃𝑃𝑟𝑟 merupakan bilangan Prandtl, 𝜙𝜙 merupakan parameter porositas, dan 𝑁𝑁𝑟𝑟 merupakan parameter radiasi. Dengan melakukan substitusi variabel non-dimensional dan parameter non-dimensional ke dalam Persamaan 1 sampai  4,  maka diperoleh persamaan non-dimensional sebagai berikut. Pertama, persamaan kontinuitas,  diberikan pada Persamaan 5,
𝜕𝜕 ( 𝑟𝑟𝑢𝑢 ) 𝜕𝜕𝑥𝑥 + 𝜕𝜕 ( 𝑟𝑟𝑣𝑣 ) 𝜕𝜕𝑦𝑦 = 0.
(5)
Kedua,  persamaan momentum arah sumbu 𝑥𝑥 , diberikan pada Persamaan 6,
𝑢𝑢 𝜕𝜕𝑢𝑢 𝜕𝜕𝑥𝑥 + 𝑣𝑣 𝜕𝜕𝑢𝑢 𝜕𝜕𝑦𝑦 = − 𝜕𝜕𝑝𝑝 𝜕𝜕𝑥𝑥 + 1 𝑅𝑅𝑒𝑒 𝑣𝑣 𝑓𝑓𝑓𝑓 𝑣𝑣 𝑓𝑓 𝜕𝜕 2 𝑢𝑢 𝜕𝜕𝑥𝑥 2 + 𝑣𝑣 𝑓𝑓𝑓𝑓 𝑣𝑣 𝑓𝑓 𝜕𝜕 2 𝑢𝑢 𝜕𝜕𝑦𝑦 2 + ( 𝑀𝑀 + 𝜙𝜙 ) 𝑢𝑢 + 𝜆𝜆𝑇𝑇 sin 𝑥𝑥 . (6)
Ketiga, persamaan momentum arah sumbu 𝑦𝑦 , diberikan pada Persamaan 7,
1 𝑅𝑅𝑒𝑒 �𝑢𝑢 𝜕𝜕𝑣𝑣 𝜕𝜕𝑥𝑥 + 𝑣𝑣 𝜕𝜕𝑣𝑣 𝜕𝜕𝑦𝑦 � = − 𝜕𝜕𝑝𝑝 𝜕𝜕𝑦𝑦 + 1 𝑅𝑅𝑒𝑒 2 𝑣𝑣 𝑓𝑓𝑓𝑓 𝑣𝑣 𝑓𝑓 𝜕𝜕 2 𝑣𝑣 𝜕𝜕𝑥𝑥 2 + 1 𝑅𝑅𝑒𝑒 𝑣𝑣 𝑓𝑓𝑓𝑓 𝑣𝑣 𝑓𝑓 𝜕𝜕 2 𝑣𝑣 𝜕𝜕𝑦𝑦 2 + 1 𝑅𝑅𝑒𝑒 𝑀𝑀𝑣𝑣 + 1 𝑅𝑅𝑒𝑒 𝜙𝜙𝑣𝑣 − 1 𝑅𝑅𝑒𝑒 1 2 𝜆𝜆𝑇𝑇 cos 𝑥𝑥 . (7)
Keempat, persamaan energi, diberikan pada Persamaan 8,
𝑢𝑢 𝜕𝜕𝑇𝑇 𝜕𝜕𝑥𝑥 + 𝑣𝑣 𝜕𝜕𝑇𝑇 𝜕𝜕𝑦𝑦 = 1 𝑃𝑃𝑟𝑟𝑅𝑅𝑒𝑒 𝛼𝛼 𝑓𝑓𝑓𝑓 𝛼𝛼 𝑓𝑓 𝜕𝜕 2 𝑇𝑇 𝜕𝜕𝑥𝑥 2 + 1 𝑃𝑃𝑟𝑟 𝛼𝛼 𝑓𝑓𝑓𝑓 𝛼𝛼 𝑓𝑓 � 1 + 4 3 𝑘𝑘 𝑓𝑓 𝑘𝑘 𝑓𝑓𝑓𝑓 𝑁𝑁𝑟𝑟� 𝜕𝜕 2 𝑇𝑇 𝜕𝜕𝑦𝑦 2 . (8)
Dengan kondisi batas non-dimensionalnya adalah 𝑢𝑢 = 𝑣𝑣 = 0 dan 𝑇𝑇 = 1 untuk setiap 𝑦𝑦 = 0, 𝑢𝑢 = 𝑢𝑢 𝑒𝑒 ( 𝑥𝑥 ) dan 𝑇𝑇 = 0 saat 𝑦𝑦 → ∞ .

## C. Pendekatan Lapisan Batas
Selanjutnya dilakukan pendekatan lapisan batas, dimana bilangan Reynolds mendekati tak hingga ( 𝑅𝑅𝑒𝑒 → ∞ ) yang mengakibatkan 1 𝑅𝑅𝑒𝑒 = 0 [11]. Selanjutnya, dengan melakukan substitusi 1 𝑅𝑅𝑒𝑒 = 0 ke dalam Persamaan 5  sampai  8  maka diperoleh.  Pertama, persamaan kontinuitas,  diberikan pada Persamaan 9,
𝜕𝜕 ( 𝑟𝑟𝑢𝑢 ) 𝜕𝜕𝑥𝑥 + 𝜕𝜕 ( 𝑟𝑟𝑣𝑣 ) 𝜕𝜕𝑦𝑦 = 0. (9)
Kedua, persamaan momentum arah sumbu 𝑥𝑥 , diberikan pada Persamaan 10,
𝑢𝑢 𝜕𝜕𝑢𝑢 𝜕𝜕𝑥𝑥 + 𝑣𝑣 𝜕𝜕𝑢𝑢 𝜕𝜕𝑦𝑦 = − 𝜕𝜕𝑝𝑝 𝜕𝜕𝑥𝑥 + 𝑣𝑣 𝑓𝑓𝑓𝑓 𝑣𝑣 𝑓𝑓 𝜕𝜕 2 𝑢𝑢 𝜕𝜕𝑦𝑦 2 + ( 𝑀𝑀 + 𝜙𝜙 ) 𝑢𝑢 + 𝜆𝜆𝑇𝑇 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑥𝑥 . (10)
Ketiga, persamaan momentum arah sumbu 𝑦𝑦 , diberikan pada Persamaan 11,
0 = − 𝜕𝜕𝑝𝑝 𝜕𝜕𝑦𝑦 . (11)
Keempat, persamaan energi, diberikan pada Persamaan 12,
𝑢𝑢 𝜕𝜕𝑇𝑇 𝜕𝜕𝑥𝑥 + 𝑣𝑣 𝜕𝜕𝑇𝑇 𝜕𝜕𝑦𝑦 = 1 𝑃𝑃𝑟𝑟 𝛼𝛼 𝑓𝑓𝑓𝑓 𝛼𝛼 𝑓𝑓 � 1 + 4 3 𝑘𝑘 𝑓𝑓 𝑘𝑘 𝑓𝑓𝑓𝑓 𝑁𝑁𝑟𝑟� 𝜕𝜕 2 𝑇𝑇 𝜕𝜕𝑦𝑦 2 . (12)
Selanjutnya digunakan variabel-variabel yang berhubungan dengan nano ferrofluid dan fluida dasar didefinisikan sebagai berikut  [9]. Pertama, densitas, didefinisikan pada persamaan berikut,
𝜌𝜌 𝑓𝑓𝑓𝑓 = (1 − 𝜒𝜒 ) 𝜌𝜌 𝑓𝑓 + 𝜒𝜒𝜌𝜌 𝑠𝑠 .
Kedua, viskositas, didefinisikan pada persamaan berikut,
𝜇𝜇 𝑓𝑓𝑓𝑓 = 𝜇𝜇 𝑓𝑓 ( 1−𝜒𝜒 ) 2 . 5 .
Ketiga, kalor spesifik, didefinisikan pada persamaan berikut,
�𝜌𝜌𝐶𝐶 𝑝𝑝 � 𝑓𝑓𝑓𝑓 = (1 − 𝜒𝜒 ) �𝜌𝜌𝐶𝐶 𝑝𝑝 � 𝑓𝑓 + 𝜒𝜒�𝜌𝜌𝐶𝐶 𝑝𝑝 � 𝑠𝑠 .
Keempat, konduktivitas termal, didefinisikan sebagai persamaan berikut,
𝑘𝑘 𝑓𝑓𝑓𝑓 𝑘𝑘 𝑓𝑓 = �𝑘𝑘 𝑠𝑠 +2𝑘𝑘 𝑓𝑓 �−2𝜒𝜒�𝑘𝑘 𝑓𝑓 −𝑘𝑘 𝑠𝑠 � �𝑘𝑘 𝑠𝑠 +2𝑘𝑘 𝑓𝑓 �+𝜒𝜒�𝑘𝑘 𝑓𝑓 −𝑘𝑘 𝑠𝑠 �
Dengan melakukan substitusi variabel-variabel tersebut ke dalam Persamaan 9 sampai 12, maka persamaannya menjadi sebagai berikut.  Pertama, persamaan kontinuitas,  diberikan pada Persamaan 13,
𝜕𝜕 ( 𝑟𝑟𝑢𝑢 ) 𝜕𝜕𝑥𝑥 + 𝜕𝜕 ( 𝑟𝑟𝑣𝑣 ) 𝜕𝜕𝑦𝑦 = 0. (13)
Kedua, persamaan momentum arah sumbu 𝑥𝑥 , diberikan pada Persamaan 14,
𝑢𝑢 𝜕𝜕𝑢𝑢 𝜕𝜕𝑥𝑥 + 𝑣𝑣 𝜕𝜕𝑢𝑢 𝜕𝜕𝑦𝑦 = − 𝜕𝜕𝑝𝑝 𝜕𝜕𝑥𝑥 + � 1 ( 1−𝜒𝜒 ) 2 . 5 � ( 1−𝜒𝜒 ) +𝜒𝜒 𝜌𝜌𝑠𝑠 𝜌𝜌𝑓𝑓 � � 𝜕𝜕 2 𝑢𝑢 𝜕𝜕𝑦𝑦 2 + ( 𝑀𝑀 +
𝜙𝜙 ) 𝑢𝑢 + 𝜆𝜆𝑇𝑇 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑥𝑥 . (14)
Ketiga, persamaan momentum arah sumbu 𝑦𝑦 , diberikan pada Persamaan 15,
0 = − 𝜕𝜕𝑝𝑝 𝜕𝜕𝑦𝑦 . (15)
Keempat, persamaan energi, diberikan pada Persamaan 16,
𝑢𝑢 𝜕𝜕𝑇𝑇 𝜕𝜕𝑥𝑥 + 𝑣𝑣 𝜕𝜕𝑇𝑇 𝜕𝜕𝑦𝑦 =
1 𝑃𝑃𝑟𝑟 �
�𝑘𝑘 𝑠𝑠 +2𝑘𝑘 𝑓𝑓 �−2𝜒𝜒�𝑘𝑘 𝑓𝑓 −𝑘𝑘 𝑠𝑠 �
��𝑘𝑘 𝑠𝑠 +2𝑘𝑘 𝑓𝑓 �+𝜒𝜒�𝑘𝑘 𝑓𝑓 −𝑘𝑘 𝑠𝑠 ��� ( 1−𝜒𝜒 ) +𝜒𝜒��𝜌𝜌𝐶𝐶 𝑝𝑝 � 𝑠𝑠 �𝜌𝜌𝐶𝐶 𝑝𝑝 � 𝑓𝑓 � �� + 4 3 1 ( 1−𝜒𝜒 ) +𝜒𝜒��𝜌𝜌𝐶𝐶 𝑝𝑝 � 𝑠𝑠 �𝜌𝜌𝐶𝐶 𝑝𝑝 � 𝑓𝑓 � � 𝑁𝑁𝑟𝑟� 𝜕𝜕 2 𝑇𝑇 𝜕𝜕𝑦𝑦 2 . (16)
Pada Persamaan  15, tekanan 𝑝𝑝 tidak bergantung pada variabel 𝑦𝑦 . Dengan demikian, persamaan momentum yang ada pada sistem hanya pada sumbu 𝑥𝑥 . Selanjutnya diperoleh persamaan momentum di luar lapisan batas sebagai Persamaan 17,
𝑢𝑢 𝜕𝜕𝑢𝑢 𝜕𝜕𝑥𝑥 + 𝑣𝑣 𝜕𝜕𝑢𝑢 𝜕𝜕𝑦𝑦 = 𝑢𝑢 𝑒𝑒 𝜕𝜕𝑢𝑢 𝑒𝑒 𝜕𝜕𝑥𝑥 + 1 ( 1−𝜒𝜒 ) 2 . 5 � ( 1−𝜒𝜒 ) +𝜒𝜒 𝜌𝜌𝑠𝑠 𝜌𝜌𝑓𝑓 � 𝜕𝜕 2 𝑢𝑢 𝜕𝜕𝑦𝑦 2 + ( 𝑀𝑀 + 𝜙𝜙 )( 𝑢𝑢 − 𝑢𝑢 𝑒𝑒 ) + 𝜆𝜆𝑇𝑇 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑥𝑥 . (17)

## D. Persamaan Similaritas
Persamaan non-dimensional yang telah didapatkan selanjutnya diubah ke dalam persamaan similaritas, dengan menggunakan fungsi alir. Fungsi alir ini menyederhanakan sistem persamaan sehingga memudahkan komputasi. Untuk menyelesaikan persamaan non-dimensional tersebut, didefinisikan variabel seperti berikut [9],
𝜓𝜓 = 𝑥𝑥𝑟𝑟 ( 𝑥𝑥 ) 𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥 , 𝜂𝜂 ), 𝑇𝑇 = 𝜃𝜃 ( 𝑥𝑥 , 𝜂𝜂 ).
Dimana 𝑟𝑟 ( 𝑥𝑥 ) = sin 𝑥𝑥 dan 𝜓𝜓 adalah fungsi alir yang dinyatakan sebagai,
𝑢𝑢 = 1 𝑟𝑟 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑠𝑠 𝑣𝑣 = − 1 𝑟𝑟 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕𝑥𝑥 .
Kemudian substitusi fungsi alir ke dalam Persamaan 13,
16, dan 17 sehingga diperoleh Persamaan 18 dan 19,
0 = − ( 𝑓𝑓 ′ ) 2 + 2 𝑓𝑓𝑓𝑓 ′′ + 9 4 + 1 ( 1−𝜒𝜒 ) 2 . 5 � ( 1−𝜒𝜒 ) +𝜒𝜒 𝜌𝜌𝑠𝑠 𝜌𝜌𝑓𝑓 � 𝑓𝑓 ′′′ + ( 𝑀𝑀 + 𝜙𝜙 ) �𝑓𝑓 ′ − 3 2 � + 𝜆𝜆𝜃𝜃 . (18)
0 = 2 𝑓𝑓𝜃𝜃 ′ + 1 𝑃𝑃𝑟𝑟 � �𝑘𝑘 𝑠𝑠 +2𝑘𝑘 𝑓𝑓 �−2𝜒𝜒�𝑘𝑘 𝑓𝑓 −𝑘𝑘 𝑠𝑠 � ��𝑘𝑘 𝑠𝑠 +2𝑘𝑘 𝑓𝑓 �+𝜒𝜒�𝑘𝑘 𝑓𝑓 −𝑘𝑘 𝑠𝑠 ��� ( 1−𝜒𝜒 ) +𝜒𝜒��𝜌𝜌𝐶𝐶 𝑝𝑝 � 𝑠𝑠 �𝜌𝜌𝐶𝐶 𝑝𝑝 � 𝑓𝑓 � �� + 4 3 1 ( 1−𝜒𝜒 ) +𝜒𝜒��𝜌𝜌𝐶𝐶 𝑝𝑝 � 𝑠𝑠 �𝜌𝜌𝐶𝐶 𝑝𝑝 � 𝑓𝑓 � � 𝑁𝑁𝑟𝑟� 𝜃𝜃 ′′ . (19)
Dengan  kondisi batas yang digunakan adalah 𝑓𝑓 (0) = 𝑓𝑓 ′ (0) = 0 dan 𝜃𝜃 = 1 untuk setiap 𝜂𝜂 = 0 , 𝑓𝑓 ′ ( ∞ ) = 1 dan 𝜃𝜃 = 0 saat 𝜂𝜂 → ∞ .

## E. Penyelesaian Numerik
Persamaan similaritas yang telah diperoleh kemudian diselesaikan dengan menggunakan metode Keller-Box. Dengan menggunakan prosedur yang dijelaskan oleh Cebeci dan Bradshaw, langkah-langkah dari metode ini adalah sebagai berikut [12] :
1) Mengubah persamaan orde dua atau orde tinggi menjadi persamaan diferensial orde satu.
2) Melakukan diskritisasi dengan menggunakan beda hingga pusat.
3) Melinearisasi  persamaan yang telah didiskritisasi dan menulisnya dalam bentuk matriks-vektor.
4) Menyelesaikan sistem linear dengan metode eliminasi- blok-tridiagonal.

## III. SIMULASI DAN ANALISIS HASIL
Simulasi dari model yang telah diselesaikan secara numerik dilakukan dengan menggunakan software MATLAB. Partikel nano yang digunakan dalam penelitian ini adalah 𝐹𝐹𝑒𝑒 2 𝑂𝑂 3 dengan fluida dasar air. Hasil simulasi dari masing-masing variasi parameter diuraikan sebagai berikut.

## A. Pengaruh Parameter Magnetik
Hasil simulasi menunjukkan adanya pengaruh dari parameter magnetik. Variasi parameter magnetik yang digunakan pada simulasi ini dapat dilihat pada Tabel 1 [13].
Parameter lain yang digunakan adalah parameter porositas 𝜙𝜙 = 0.25 , bilangan Prandtl 𝑃𝑃𝑟𝑟 = 0.6 , parameter radiasi 𝑁𝑁𝑟𝑟 = 0.1 , konveksi campuran 𝜆𝜆 = 1 , dan volume fraction 𝜒𝜒 = 0.1 . Parameter magnetik berbanding lurus dengan konduktivitas listrik dan besar medan magnet, namun berbanding terbalik dengan densitas fluida. Pada Gambar 2 menunjukkan bahwa semakin besar parameter magnetik maka profil kecepatan pada aliran fluida akan semakin turun. Hal ini terjadi dikarenakan adanya gaya Lorentz pada bola bermagnet sehingga menyebabkan fluida yang melewati bola tersebut menerima gaya Lorentz. Oleh karena besarnya gaya Lorentz sebanding dengan parameter magnetik, maka ketika parameter magnetik meningkat, gaya Lorentz juga meningkat. Akibatnya gaya Lorentz yang terdapat pada sekitar bola bermagnet juga semakin meningkat, sehingga mempengaruhi  penurunan kecepatan fluida di sekitar bola tersebut. Kemudian pada Gambar 3 menunjukkan bahwa profil temperatur pada fluida semakin menurun dengan
Tabel 1. Nilai parameter magnetik
No. Benda Bermagnet 𝜌𝜌 (kg/m 3 ) 𝜎𝜎 (sm −1 ) 𝑀𝑀 1. Besi ( 𝐹𝐹𝑒𝑒 ) 7.87 × 10 3 1.04 × 10 7 1.3 2. Baja 7.75 × 10 3 1.61 × 10 7 2
3. Tembaga ( 𝐶𝐶𝑢𝑢 ) 8.94 × 10 3 5.96 × 10 7 6.7 4. Aluminium ( 𝐴𝐴𝐴𝐴 ) 2.7 × 10 3 3.56 × 10 7 13.1
meningkatnya parameter magnetik. Hal ini disebabkan karena energi internal pada fluida menurun, karena pengaruh dari medan magnet dan densitas yang semakin berkurang. Ketika densitas berkurang maka kerapatan molekul fluida juga berkurang, sehingga menyebabkan distribusi panas antar fluida semakin berkurang. Dengan demikian, temperatur fluida mengalami penurunan.

## B. Pengaruh Bilangan Prandtl
Hasil simulasi menunjukkan adanya pengaruh  dari bilangan Prandtl, yaitu dengan variasi 𝑃𝑃𝑟𝑟 = 0.6, 1, 7, 10 [14]. Parameter lain yang digunakan adalah parameter magnetik 𝑀𝑀 = 1.3 , parameter porositas 𝜙𝜙 = 0.25 , parameter radiasi 𝑁𝑁𝑟𝑟 = 0.1 , konveksi campuran 𝜆𝜆 = 1 , dan volume fraction 𝜒𝜒 = 0.1 . Pada Gambar 4 menunjukkan bahwa semakin besar bilangan  Prandtl maka profil kecepatan pada aliran fluida akan semakin menurun. Hal ini terjadi dikarenakan bilangan Prandtl berbanding terbalik dengan difusivitas termal namun berbanding lurus dengan viskositas kinematik. Dengan demikian, semakin besarnya bilangan  Prandtl maka viskositas kinematik pada fluida juga akan semakin besar, sehingga kekentalan fluida akan semakin meningkat. Akibatnya, kecepatan fluida menjadi lambat atau semakin kecil. Kemudian pada Gambar 5 menunjukkan bahwa profil temperatur pada fluida  semakin menurun dengan
meningkatnya bilangan Prandtl. Hal ini disebabkan karena ketika bilangan Prandtl meningkat maka difusivitas termal menjadi turun, sehingga temperatur fluida menurun.

## C. Pengaruh Parameter Porositas
Hasil simulasi menunjukkan adanya pengaruh dari parameter porositas, yaitu dengan variasi 𝜙𝜙 = 0.25, 0.5, 0.75, 1 [15]. Parameter lain yang digunakan adalah parameter magnetik 𝑀𝑀 = 1.3 , bilangan Prandtl 𝑃𝑃𝑟𝑟 = 0.6 , parameter radiasi 𝑁𝑁𝑟𝑟 = 0.1 , konveksi campuran 𝜆𝜆 = 1 , dan volume fraction 𝜒𝜒 = 0.1 . Pada Gambar  6 menunjukkan bahwa semakin besar parameter porositas maka profil kecepatan pada aliran fluida akan semakin menurun. Hal ini terjadi dikarenakan parameter porositas berbanding lurus dengan viskositas dinamik namun berbanding terbalik dengan densitas fluida. Dengan demikian, semakin besarnya parameter porositas maka viskositas dinamik pada fluida juga akan semakin besar. Akibatnya, kecepatan fluida menjadi lambat atau semakin kecil. Kemudian pada Gambar  7 menunjukkan bahwa profil temperatur pada fluida semakin menurun dengan meningkatnya parameter porositas. Hal ini terjadi karena ketika kecepatan fluida semakin berkurang maka gesekan kulit yang dihasilkan juga semakin berkurang, sehingga temperatur fluida mengalami penurunan.
Gambar 3. Profil kecepatan dengan variasi parameter magnetik.
Gambar 4. Profil temperatur dengan variasi parameter magnetik.
Gambar 1. Profil kecepatan dengan variasi bilangan prandtl.
Gambar 2. Profil temperatur dengan variasi bilangan prandtl.

## D. Pengaruh Parameter Radiasi
Variasi parameter radiasi yang diberikan yaitu 𝑁𝑁𝑟𝑟 = 0.1, 0.4, 0.8, 1.2 [16-17]. Parameter lain yang digunakan adalah parameter magnetik 𝑀𝑀 = 1.3 , bilangan Prandtl 𝑃𝑃𝑟𝑟 = 0.6 , parameter porositas 𝜙𝜙 = 0.25 , konveksi campuran 𝜆𝜆 = 1 , dan volume fraction 𝜒𝜒 = 0.1 . Pada Gambar 8 menunjukkan bahwa parameter radiasi tidak berpengaruh pada profil kecepatan. Hal ini terjadi karena radiasi dominan mempengaruhi persamaan energi daripada persamaan momentum, sehingga parameter radiasi ini hanya berpengaruh pada perubahan temperatur fluida saja. Kemudian pada Gambar 9 menunjukkan bahwa semakin besar parameter radiasi, maka profil temperatur pada fluida juga semakin meningkat. Hal ini terjadi karena peningkatan nilai parameter radiasi memiliki kecenderungan untuk meningkatkan  efek konduksi serta memberikan tingkat dominasi sumber panas, sehingga menyebabkan temperatur fluida mengalami peningkatan.

## IV. KESIMPULAN
Berdasarkan analisis dan pembahasan yang telah dilakukan dengan menggunakan beberapa variasi parameter, yaitu parameter  magnetik, bilangan Prandtl, parameter porositas,
dan parameter radiasi pada partikel nano ferrofluid 𝐹𝐹𝑒𝑒 2 𝑂𝑂 3 diperoleh kesimpulan-kesimpulan.
Pertama, pada saat parameter magnetik meningkat, maka profil kecepatan dan profil temperatur mengalami penurunan. Dengan variasi parameter magnetik yang diberikan adalah 𝑀𝑀 = 1.3, 1.8, 2, 2.3 . Kedua, pada saat bilangan Prandtl meningkat, maka profil kecepatan dan profil temperatur mengalami penurunan. Dengan variasi bilangan Prandtl yang diberikan adalah 𝑃𝑃𝑟𝑟 = 1, 1.5, 2.5, 3.
Ketiga, pada saat parameter porositas meningkat, maka profil kecepatan dan profil temperatur mengalami penurunan. Dengan variasi parameter porositas yang diberikan adalah 𝜙𝜙 = 1, 1.5, 2, 2.5 . Keempat, pada saat parameter radiasi meningkat, maka profil temperatur mengalami peningkatan, namun radiasi tidak memberikan pengaruh untuk profil kecepatan karena radiasi dominan mempengaruhi persamaan energi daripada persamaan momentum. Dengan variasi parameter radiasi yang diberikan adalah 𝑁𝑁𝑟𝑟 = 0.5, 0.9, 1, 1.5 .

## DAFTAR PUSTAKA
[1]  K. Raj and R. J. Boulton, ““Ferrofluids properties and applications,” Mater. Des. , vol. 8, no. 4, pp. 233–236, 1987.
[2]  R. E. Rosensweig, Ferrohydrodynamics . Massachusetts: Courier
Gambar 7. Profil kecepatan dengan variasi parameter porositas.
Gambar 8. Profil temperatur dengan variasi parameter porositas.
Gambar 5. Profil kecepatan dengan variasi parameter radiasi.
Gambar 6. Profil temperatur dengan variasi parameter radiasi.
Corporation, 2013.
[3]  H. Aminfar, M. Mohammadpourfard, and S. A. Zonouzi, “Numerical study of the ferrofluid flow and heat transfer through a rectangular duct in the presence of a non-uniform transverse magnetic field,” J. Magn. Magn. Mater. , vol. 327, pp. 31–42, 2013, doi: 10.1016/j.jmmm.2012.09.011.
[4]  M. R. Ilias and N. A. Rawi, “Steady aligned MHD free convection of ferrofluids flow over an inclined plate,” J. Mech. Eng. , vol. 14, no. 2, pp. 1–15, 2017.
[5]  N. C. Jhumur and S. Saha, “Unsteady MHD mixed convection in a T- shaped ventilated cavity filled with ferrofluid (Fe3O4–water),” 7th BSME Int. Conf. Therm. Eng. , vol. 1851, no. 1, 2017, doi: 10.1063/1.4984655.
[6]  A. Jamaludin, K. Naganthran, R. Nazar, and I. Pop, “Thermal radiation and MHD effects in the mixed convection flow of Fe3O4–water ferrofluid towards a nonlinearly moving surface,” Processes , vol. 8, no. 1, p. 95, 2020, doi: 10.3390/pr8010095.
[7]  M. Y. S. Hanani, M. M. K. Anuar, I. Zulkhibri, B. Widodo, and S. M. Zuki, “Numerical  method approach for magnetohydrodynamic radiative ferrofluid flows over a solid sphere surface,” Therm. Sci. , vol. 25, no. 2, pp. 379–385, 2021, doi: 10.2298/TSCI21S2379M.
[8]  L. Mardianto, B. Widodo, and D. Adzkiya, “Aliran konveksi campuran magnetohidrodinamik yang melewati bola bermagnet,” Limits J. Math. Its Appl. , vol. 17, no. 1, pp. 9–18, 2020, doi: 10.12962/limits.v17i1.6752.
[9]  F. A. Alwawi, H. T. Alkasasbeh, A. M. Rashad, and R. Idris, “MHD natural convection of Sodium Alginate Casson nanofluid over a solid sphere,” Results Phys. , vol. 16, p. 102818, 2020, doi: 10.1016/j.rinp.2019.102818.
[10]  B. Widodo, M. Abu, and C. Imron, “Unsteady nano fluid flow through magnetic porous sphere under the influence of mixed convection,” J. Phys. Conf. Ser. , vol. 1153, p. 012053, 2019, doi: 10.1088/1742- 6596/1153/1/012053.
[11]  M. Thahiruddin, B. Widodo, and C. Imron, “Unsteady Magnetohydrodynamics of Nano Fluid Over Porous Sliced Magnetic Sphere,” in AIP Conference Proceedings , 2020, pp. 1–9. doi: 10.1063/5.0007931.
[12]  T. Cebeci and P. Bradshaw, Physical and Computational Aspects of Convective Heat Transfer . New York: Springer-Verlag, 2012.
[13]  M. Fauziyah, “Karakterisasi Magnetohidrodinamik Fluida Mikrokutub Tak Tunak Yang Melewati Bola Dipengaruhi Konveksi Campuran Menggunakan Skema Implisit Euler,” Departemen Matematika, Institut Teknologi Sepuluh Nopember, 2018.
[14]  T. Eviloka and B. Widodo, “Aliran magnetohidrodinamika fluida viskoelastik melewati bola teriris yang dipengaruhi konveksi campuran,” J. Ris. dan Apl. Mat. , vol. 6, no. 1, pp. 23–230, 2022, doi: 10.26740/jram.v6n1.p23-30.
[15]  R. O. Putri, “Magnetohidrodinamik Tak Tunak dengan Konveksi Paksa pada Fluida Micropolar yang Melalui Bola Berpori,” Departemen Matematika, Institut Teknologi Sepuluh Nopember, 2018.
[16]  S. A. Shehzad, A. Alsaedi, and T. Hayat, “Influence of thermophoresis and joule heating on the radiative flow of jeffrey fluid with mixed convection,” Brazilian J. Chem. Eng. , vol. 30, no. 4, pp. 897–908, 2013, doi: 10.1590/S0104-66322013000400021.
[17]  W. Jamshed and K. S. Nisar, “Computational single-phase comparative study of a Williamson nanofluid in a parabolic trough solar collector via the Keller box method,” Int. J. Energy Res. , vol. 45, no. 7, pp. 10696–10718, 2021, doi: 10.1002/er.6554.