## RUANG BANACH PADA RUANG BARISAN
1  , p  DAN  
Wahidah Alwi*
*) Dosen pada Jurusan Matematika Fakultas Sains dan Teknologi UIN Alauddin Makassar
e-mail : wahidah.alwi79@gmail.com
Abstract : The main object of the vectors are the vectors can be added together and generate a vector, and produces a number is multiplied by  another  vector.  Any  set  of  objects  with  properties  like  this  are called  "vector  space".  Mathematical  structure  to  be  defined  is  a Banach  space.  Clearly  defined  Banach  space  vector  space  of  real  / complex  normed  and  complete  (with  respect  to  the  norm).  Banach space  in  this  study  examined  the  sequence  space 1  , p  and   . Based  on  the  purpose  of  this  study  is  to  assess  the  Banach  space within  a  sequence  space 1  , p  and   , it  is  obtained  that  a sequence  space 1  , p  and   form  Banach  space  if  it  meets  the requirements  of  that  sequence  space 1  , p  and   is  a  vector space,  normed  sequence  space,  and  normed  sequence  space  with complete.
Key words: vector space, Banach space, sequence space 1  , p  and 
 .

## I. PENDAHULUAN
uang vektor merupakan suatu himpunan obyek  yang dapat dijumlahkan satu  sama  lain  dan  dikalikan  dengan  suatu  bilangan,  yang  masing- masing  menghasilkan  anggota  lain  dalam  himpunan  itu.  Struktur matematika yang akan didefinisikan adalah ruang Banach. Secara gamblang ruang Banach  diartikan  ruang  vektor  riil/kompleks bernorma dan lengkap (terhadap norma  tersebut).  Ruang  vektor  bernorma  V  dikatakan  lengkap  jika  terhadap norma || . || dengan d(a,b) = ||a – b||, V merupakan ruang metrik lengkap, yaitu jika untuk  setiap  barisan  Cauchy  (x n )  di  dalam  V  (yaitu  dengan  sifat  ||x n -  x m ||  0), terdapat x  V sehingga ||x – x n ||  0.
Ruang  Hilbert  adalah  ruang  vektor  riil  atau  kompleks  yang  dilengkapi dengan  hasil  kali  dalam  (inner  product)  dan  lengkap.  Setiap  ruang  Hilbert merupakan ruang Banach. Ruang Banach dan ruang Hilbert merupakan prasyarat R
40 _ Jurnal Teknosains, Volume 8 Nomor 1, Januari 2014 , hlm. 39 – 50
dalam  mempelajari  suatu  ruang  barisan  yang  akan  dikaji  dalam  tulisan  ini. Berdasarkan hal tersebut di atas, maka penulis akan mengkaji ruang Banach ruang Banach dalam suatu ruang barisan yaitu ruang barisan 1  , p  dan  

## II. KAJIAN PUSTAKA

## A. Ruang Vektor
Obyek  utama  tentang  vektor  adalah  vektor-vektor  dapat  dijumlahkan  dan menghasilkan  vektor,  dan  dikalikan  dengan  suatu  bilangan  menghasilkan  vektor lagi.  Sebarang  himpunan  obyek  dengan  sifat  seperti  ini  disebut  “ruang  vektor”.
Pada bagian ini semua anggota himpunan bilangan kompleks ¢ dipandang sebagai “skalar”.
Sebelum mendefinisikan ruang vektor V atas ¢ maka ada dua operasi yang harus diperhatikan yaitu:
1. Operasi  tambah  di  dalam  himpunan  V.  Maksudnya  adalah  jika  a,  b  V, maka  (a  +  b)  juga  di  V.  Dalam  hal  ini,  V  harus  tertutup  terhadap  operasi tambah.
2. Operasi  perkalian  “skalar”  antara  anggota  –  anggota  himpunan  ¢  dengan anggota  –anggota  himpunan  V.  Maksudnya  adalah  jika   ¢  dan  a  V maka  juga di V.

## Definisi 2.1.1 (Berberian, 1961:3)
Ruang vektor V atas ¢ adalah himpunan obyek – obyek x, y, z, … disebut vektor.  Vektor  nol  dinotasikan  dengan  ,  untuk  setiap  vektor  x,  negatif  dari  x dinotasikan dengan –x. Aksioma – aksioma berikut diasumsikan berlaku:
(A) Untuk setiap pasangan vektor x, y di V terdapat vektor yang disebut “jumlah x dan y”, dinotasikan x + y di V, dan berlaku:
(A1) x + y = y + x untuk setiap x, y  V
(A2) x + (y + z) = (x + y) + z untuk setiap x, y, z  V
(A3) Terdapat dengan tunggal   V sedemikian sehingga x +  = x untuk setiap x  V
(A4) Untuk setiap x  V, terdapat dengan tunggal –x  V yang disebut negatif x sedemikian sehingga x + (-x) = 
(M) Untuk setiap skalar  dan setiap vektor x di V, terdapat vektor disebut “hasil kali x dengan  ”, dinotasikan dengan  x di V, dan berlaku:
(M1)  (x + y) =  x +  y untuk setiap x, y  V dan  adalah skalar
Wahidah Alwi , Ruang Banach Pada Ruang Barisan 1  , p  dan   _ 41
(M2) (  +  )x =  x +  x untuk setiap x  V dan  ,  adalah skalar
(M3) (  )x =  (  x) untuk setiap x  V dan  ,  adalah skalar
(M4) 1 . x = x untuk setiap x  V
Sebagai catatan, x + (-y) biasa ditulis dengan x – y.
Teorema 2.1.2 (Berberian, 1961: 6)
Untuk sebarang ruang vektor:
(i) Persamaan vektor x + y = z mempunyai satu dan hanya satu penyelesaian x
(ii) Jika z + z = z maka z = 
(iii)  =  untuk setiap skalar 
(iv) 0x =  untuk setiap vektor x
(v) Jika  x =  maka  = 0 atau x = 
Akibat 2.1.3 (Berberian, 1961:7)
Untuk sebarang ruang vektor V berlaku:
(i). (-  )x =  (-x) = -(  x)
(ii).  (x – y) =  x -  y
(iii). (  -  )x =  x -  x

## B. Ruang Banach
Struktur matematika yang akan didefinisikan adalah ruang Banach. Secara gamblang  ruang  Banach  diartikan  ruang  vektor  real/kompleks bernorma dan lengkap (terhadap norma tersebut).

## Definisi 2.2.1
Ruang  vektor  V  dikatakan  “bernorma”  jika  terdapat  fungsi  bernilai  riil pada  .  : V  R dengan sifat-sifat sebagai berikut:
1. ||a||  0 untuk setiap a  V
||a|| = 0 jika dan hanya jika a = 
2. ||  a|| = |  | ||a|| untuk setiap   R, a  V
3. ||a + b||  ||a|| + ||b|| untuk setiap a, b  V
Sebarang himpunan tak kosong X, disebut ruang metrik , jika untuk setiap pasangan (a,b)  X  X didefinisikan bilangan riil d(a,b) memenuhi:
(i). d(a,b)  0
d(a,b) = 0 jika dan hanya jika a = b
(ii). d(a,b) = d(b,a)
42 _ Jurnal Teknosains, Volume 8 Nomor 1, Januari 2014 , hlm. 39 – 50
(iii). d(a,b)  d(a,c) + d(c,b) untuk setiap c  X
Jika  V  ruang  vektor  bernorma  (ruang  bernorma),  maka  fungsi  d  dengan d(a,b)  =  ||a  –  b||  memenuhi  sifat-sifat  metrik  (i),  (ii),  (iii)  tersebut  di  atas.  Ini berarti setiap ruang bernorma merupakan ruang metrik terhadap metrik d, dengan,
d(a,b) = ||a – b||.
Jika  untuk  setiap  sebarang  barisan  Cauchy  (x n )  di  dalam  ruang  metrik  X terdapat x  X sehingga d(x,x n )  0, maka ruang metrik X dikatakan “lengkap” .
Sekarang akan didefinisikan ruang Banach sebagai berikut:

## Definisi 2.2.2
Ruang vektor bernorma V disebut ruang Banach jika V lengkap di dalam ruang metrik yang didefinisikan oleh norma.
Definisi  2.2.2  menyatakan  bahwa  ruang  vektor  bernorma  V  dikatakan lengkap  jika  terhadap  norma  ||  .  ||  dengan  d(a,b)  =  ||a  –  b||,  V  merupakan  ruang metrik  lengkap,  yaitu  jika  untuk  setiap  barisan  Cauchy  (x n )  di  dalam  V  (yaitu dengan sifat ||x n - x m ||  0), terdapat x  V sehingga ||x – x n ||  0.

## C. Ruang Barisan Klasik
Barisan bilangan x = (x 1 , x 2 , …) = (x k ) k  1 dengan  x k  R untuk  setiap k disebut barisan bilangan riil. Koleksi semua barisan bilangan riil ditulis dengan W yaitu = { x | x barisan bilangan riil} dan didefinisikan
1. Penjumlahan dua barisan
x + y = {x k + y k } k  1 2. Perkalian barisan dengan bilangan riil 
 x = {  _ x } k  1 .
Terhadap operasi yang didefinisikan pada i) dan ii), cukup jelas bahwa W merupakan  ruang  vektor  terhadap  R.  Selanjutnya  W  disebut  ruang  barisan bilangan riil dan setiap subruang vektor dari W merupakan ruang barisan.  Ruang barisan yang dikaji dalam penelitian ini adalah: 1  = {(x k ) k  1 ;   
  1 k k x }, p  =  {(x k ) k  1 |      1 k p k x }  dengan  1  <  p  <  ,  dan   = { } x sup ; ) x ( x k 1 k k _     Definisi 2.4.1 Ruang  barisan  klasik 1  adalah  koleksi  dari  semua  barisan  bilangan  riil (x k ) yang memenuhi      1 k k x , dan ditulis dengan :
1  = {(x k ) k  1 ;      1 k k x }.
Diberikan norma pada 1  sebagai berikut:
Wahidah Alwi , Ruang Banach Pada Ruang Barisan 1  , p  dan   _ 43     1 1 k k x x .
Definisi 2.4.2
Ruang  barisan  klasik p  adalah  koleksi  semua  barisan  bilangan  riil  (x k ) yang memenuhi  
   1 k p k x
dan ditulis dengan,
p  = {(x k ) k  1 |      1 k p k x } dengan 1 < p <  ,
dengan norma pada p  diberikan sebagai berikut :
              p p k k p x x / 1 1 dengan 1 < p <  .
Definisi 2.4.3
Ruang  barisan  klasik   adalah  koleksi  semua  barisan  bilangan  terbatas dengan norma ; sup{ k x x   k  1}, ditulis singkat:
  = { } sup ; ) ( 1     k k k x x x ,
dengan norma pada   diberikan sebagai berikut:
k k x x 1 sup    .

## III. TUJUAN PENELITIAN
Penelitian  ini  bertujuan  untuk  mengakaji  ruang  Banach  dalam  suatu ruang barisan yaitu ruang barisan 1  , p  dan   .

## IV. PEMBAHASAN
A. Ruang Barisan Klasik 1  Tunjukkan bahwa 1  = {(x k ) k  1 ;      1 k k x } terhadap norma  .  dengan
    1 1 k k x x merupakan:
1. Ruang vektor
2. Ruang barisan bernorma
3. Ruang barisan bernorma yang lengkap (Ruang Banach)
Bukti:
a. Akan  ditunjukkan  bahwa 1  =  {(x k ) k  1 ;      1 k k x }  merupakan  ruang vektor. Ambil sebarang x = (x k ) k  1 , y = (y k ) k  1  1  dan   R, maka
1) x + y  1  , sebab dipenuhi:
44 _ Jurnal Teknosains, Volume 8 Nomor 1, Januari 2014 , hlm. 39 – 50
                     1 1 1 1 k k k k k k k k k k y x y x y x 2)  x  1  , sebab dipenuhi:
             1 1 1 k k k k k k x x x    b. Akan  ditunjukkan  bahwa 1  =  {(x k ) k  1 ;      1 k k x }  merupakan  ruang barisan bernorma. Ambil sebarang x = (x k ) k  1 , y = (y k ) k  1  1  dan   R, maka:
1) 0 1 1      k k x x , jelas, karena 0  k x ,  k.
               x k x k x x x k k k k 0 0 0 0 1 1 2)              1 1 1 1 1 k k k k k k x x x x x      3)              1 1 1 k k k k k k y x y x y x
=        1 1 k k k k y x = 1 1 y x 
c. Akan  ditunjukkan  bahwa 1  =  {(x k ) k  1 ;      1 k k x }  merupakan  ruang
barisan  bernorma  yang  lengkap.  Diambil  sebarang  barisan  Cauchy   1 1 ) (    n n x , dengan     ... , , ) ( 2 ) ( 1 1 ) ( n n n n x x x   , maka untuk setiap bilangan  > 0 terdapat n 0  N sehingga untuk semua m, n > n 0 berlaku:
        1 ) ( ) ( ) ( ) ( k n k m k n m x x x x ………………..(1)
diperoleh, untuk setiap k = 1, 2, …, berlaku
      1 ) ( ) ( k n k m k x x untuk setiap n, m > n 0 ………(2)
Dipilih  k  tetap.  Dari  (2)  dapat  dilihat  bahwa  (x k (1) ,  x k (2) ,  …)  barisan Cauchy  atas  bilangan  riil.  Karena  R  lengkap,  maka  barisan  tersebut  konvergen, misalkan x k (n)  x k , untuk n   atau k n k n x x    ) ( lim  k  1.
Dengan  menggunakan  limit  tersebut  didefinisikan x =  (x 1 ,  x 2 ,  …),  dari sini tinggal ditunjukkan bahwa x x n  ) ( dan 1   x .
Dari (1) diperoleh:
Wahidah Alwi , Ruang Banach Pada Ruang Barisan 1  , p  dan   _ 45
      1 ) ( ) ( k n k m k x x , (  = 1, 2, …)
Dengan mengambil n   dan m > n 0 , maka diperoleh:
      1 ) ( k k m k x x , (  = 1, 2, …)
Dengan mengambil    , maka untuk m > n 0 , diperoleh:
        1 ) ( ) ( k k m k m x x x x ………………(3) Dengan kata lain terbukti x x n  ) ( , untuk n   .
Sekarang, x   1 , sebab dipenuhi:
                         1 ) ( 1 1 ) ( 1 ) ( ) ( ) ( 1 k m k k k m k k k m k k m k m k k k x x x x x x x x

Karena  1 merupakan  ruang  bernorma  dan  lengkap  maka  1 merupakan ruang Banach.
D. Ruang Barisan Klasik p  (1 < p <  ).
Tunjukkan  bahwa p  =  {(x k ) k  1 |      1 k p k x }  dengan  1  <  p  < 
terhadap norma || . || dengan norma               p p k k p x x / 1 1 merupakan:
1. Ruang vektor
2. Ruang barisan bernorma
3. Ruang barisan bernorma yang lengkap (Ruang Banach)
Bukti:
a. Akan  ditunjukkan  bahwa p  =  {(x k ) k  1 |      1 k p k x }  dengan  1  <  p  <  merupakan ruang vektor. Ambil sebarang x = (x k ) k  1 , y = (y k ) k  1  p  dan 
 R, maka
1) x + y  p  , sebab dipenuhi:
                           1 1 1 1 1 2 2 2 , 2 k k p k p p k p k p k p k p k p k p k p k k k y x y x y x maks y x
2)  x  p  , sebab dipenuhi:
46 _ Jurnal Teknosains, Volume 8 Nomor 1, Januari 2014 , hlm. 39 – 50
             1 1 1 k k p k p k p k p p k x x x    b. Akan  ditunjukkan  bahwa p  =  {(x k ) k  1 |      1 k p k x }  dengan  1  <  p  <  merupakan ruang barisan bernorma. Ambil sebarang x = (x k ) k  1 , y = (y k ) k  1  p  , dan   R maka:
1) 0 / 1 1            p k p k p x x , jelas, karena 0  p k x ,  k.
                     x k x k x x x k p k p k p k p 0 0 0 0 / 1 1 2) p p k p k p k p k p p k p k p x x x x x                                     / 1 1 / 1 1 / 1 1 3) Misalkan q = p(p-1) dan karena {x k + y k } k  1  p  . Maka diperoleh    {(x k + y k ) p-1 } k  1  q  . Dan dengan menggunakan ketaksamaan Holder (Misalkan p > 1 dan misalkan q = 1  p p , jika   p k k x x     1 dan   p k k y y     1 , maka
deret 
  1 k k k y x konvergen mutlak dan
                      1 / 1 1 / 1 1 k q k q k p k p k k k y x y x ) deret           1 1 1 1 dan k k p k k k k p k k x y x y y x konvergen dan,                 1 1 1 1 1 k k k k p k k k p k k p k k y y x x y x y x q k q p k k p k p k q k q p k k p k p k y x y y x x / 1 1 ) 1 ( / 1 1 / 1 1 ) 1 ( / 1 1                                          
=                                      p k p k p k p k q k p k k y x y x / 1 1 / 1 1 / 1 1 .
p k p k p k p k p k p k k y x y x / 1 1 / 1 1 / 1 1
               
    
        
Wahidah Alwi , Ruang Banach Pada Ruang Barisan 1  , p  dan   _ 47
Terbukti
p p p y x y x   
c. Akan  ditunjukkan  bahwa p  =  {(x k ) k  1 |      1 k p k x }  dengan  1  <  p  < 
merupakan  ruang  barisan  bernorma.  Ambil  sebarang  barisan  Cauchy   p n n x    1 ) ( ,  dengan     1 ) ( 1 ) (    k n k n n x x ,  maka  untuk  setiap  bilangan  >  0 terdapat n 0  N sehingga untuk semua m, n > n 0 berlaku:
   
            p p k n k m k p n m x x x x / 1 1 ) ( ) ( ) ( ) ( ………………..(1)
diperoleh untuk k  1, berlaku
      1 ) ( ) ( k n k m k x x untuk setiap n, m > n 0 ………(2)
Dipilih  k  tetap.  Dari  (2)  dapat  dilihat  bahwa  (x k (1) ,  x k (2) ,  …)  barisan Cauchy  atas  bilangan  riil.  Karena  R  lengkap,  maka  barisan  tersebut  konvergen, misalkan x k (n)  x k , untuk n   atau k n k n x x    ) ( lim  k  1.
Dengan  menggunakan  limit  tersebut  didefinisikan x =  (x 1 ,  x 2 ,  …),  dari sini tinggal ditunjukkan bahwa x x n  ) ( dan p x   .
Dari (1) diperoleh:
            p k p n k m k x x / 1 1 ) ( ) ( , untuk m, n  0
dengan mengambil n   dan m > n 0 , maka diperoleh:
            p
k p k m k x x / 1 1 ) (               p k p k m k p m x x x x / 1 1 ) ( ) ( ………………(3)
Dengan kata lain terbukti x x n  ) ( , untuk n   .
Sekarang, x   p , untuk 1 < p <  sebab dipenuhi:
                             
                        1 1 ) ( 1 ) ( ) ( 1 ) ( ) ( 1 ) ( ) ( 1 1 1 ) ( ) ( ) ( 2 2 2 2 , 2 k k p m k p k p m k p p k m k p k p m k p k m k p k p m k p m k k p k k k p m k m k k p k m k m m p k x x x x x x x x x x maks x x x x x x x 
48 _ Jurnal Teknosains, Volume 8 Nomor 1, Januari 2014 , hlm. 39 – 50
Karena  p , untuk 1 < p <  merupakan ruang bernorma dan lengkap maka  p , untuk 1 < p <  adalah ruang Banach.

## E. Ruang Barisan Klasik   .
Tunjukkan  bahwa   =  { } sup ; ) ( 1     k k k x x x terhadap  norma  .
dengan k k x x 1 sup    merupakan:
1. Ruang vektor
2. Ruang barisan bernorma
3. Ruang barisan bernorma yang lengkap (Ruang Banach)

## Bukti:
a. Akan  ditunjukkan  bahwa   =  { } sup ; ) ( 1     k k k x x x merupakan  ruang vektor.  Ambil  sebarang x =  (x k ) k  1 ;  x k  R y =  (y k ) k  1 y k  R  dan   R, maka
1) x + y    , sebab
      k k x x 1 sup        k k y y 1 sup  Sehingga:                 k k k k k k k k k k y x y x y x y x 1 1 1 1 sup sup sup sup 2)  x  1  , sebab dipenuhi:
         k k k k k k x x x x 1 1 1 sup sup sup     b. Akan  ditunjukkan  bahwa   =  { } sup ; ) ( 1     k k k x x x merupakan  ruang barisan bernorma. Ambil sebarang x = (x k ) k  1 , y = (y k ) k  1    dan   R, maka:
1) 0 sup 1     k k x x , jelas, karena 0  k x ,  k.
    ... , 0 , 0 0 0 0 sup 0 1 1                  k k k k k k
x x k x k x x x 2)        x x x x k k k k     1 1 sup sup
Wahidah Alwi , Ruang Banach Pada Ruang Barisan 1  , p  dan   _ 49
3)   k k k k k k k k k k y x y x y x y x 1 1 1 1 sup sup sup sup             =    y x
c. Akan  ditunjukkan  bahwa   =  { } sup ; ) ( 1     k k k x x x merupakan  ruang
barisan  bernorma  yang  lengkap.  Diambil  sebarang  barisan  Cauchy       1 ) ( n n x , dengan     ... , , ) ( 2 ) ( 1 1 ) ( n n n n x x x   , maka untuk setiap bilangan  >
0 terdapat n 0  N sehingga untuk semua m, n > n 0 berlaku:
    ) ( ) ( m n x x ………………..(1)
ekivalen dengan     ) ( ) ( 1 sup m k n k k x x ……..(2) Ini berarti bahwa    ) ( ) ( m k n k x x untuk k = 1, 2, … dan n, m  n 0 .
Selanjutnya dipilih k tetap. Barisan (x k (1) , x k (2) , …) adalah barisan Cauchy atas  bilangan  riil  dan  R  lengkap.  Jadi  barisan  tersebut  konvergen;  katakan konvergen ke x k , untuk n   atau k n k n x x    ) ( lim  k  1.
Dengan  menggunakan  limit  tersebut  didefinisikan x =  (x 1 ,  x 2 ,  …),  dari sini tinggal ditunjukkan bahwa x x n  ) ( dan    x .
Dari (2) diperoleh: sup         ... , 2 , 1 ; 1 : ) ( ) (   k x x m k n k
Dengan mengambil n   dan m > n 0 , maka diperoleh:
        ... , 2 , 1 ; 1 : sup ) (   k x x m k k ,
Dengan mengambil    , maka untuk m > n 0 , diperoleh:           k m k k m k k k m x x x x x x ) ( 1 ) ( 1 ) ( sup sup ………………(3)
Dengan kata lain terbukti x x n  ) ( , untuk n   .
Sekarang, x    , sebab dipenuhi:
                     ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( ) ( 1 ) ( ) ( 1 sup sup sup sup sup n k k n k k n k k k n k n k k k n k n k k k x x x x x x x x x x x 
Karena   merupakan ruang bernorma dan lengkap maka   merupakan ruang Banach.

## V. KESIMPULAN
Berdasarkan  tujuan  penelitian  ini  yaitu  untuk  mengkaji  ruang  Banach dalam  suatu  ruang  barisan 1  , p  dan   ,  maka  diperoleh  bahwa  suatu  ruang
50 _ Jurnal Teknosains, Volume 8 Nomor 1, Januari 2014 , hlm. 39 – 50
barisan 1  , p  dan   membentuk  ruang  Banach  jika  memenuhi  syarat-syarat yaitu  ruang  barisan 1  , p  dan   merupakan  ruang  vektor,  ruang  barisan bernorma, dan ruang barisan bernorma yang lengkap.

## DAFTAR RUJUKAN
Anton, Howard. 1998. Aljabar Linear Elementer . Erlangga, Jakarta.
Bartle, G. Robert. 1982. Introduction to  Real  Analysis . John Wiley &  Sons.  Inc, New York
Berberian.K,  Sterling.  1961. Introduktion  to  Hilbert  Space .  Oxpord  University Press, New York
Echols,  John.  M  dan  Hassan  Shadily.  1975. Kamus  Inggris  Indonesia .  PT Gramedia Pustaka Utama, Jakarta
Klambauer,  Gabriel.  1973. Real  Analysis .  American  Elseviser  Publishing Company, Inc, New York.
Maddox, I. J. 1970. Element of Functional Analisis . Cambridge at The University Press.
P. Y. Lee. Zeller  Theory And Classical Sequence Spaces. National  University of Singapore, Singapore.
Randolph. F, John. 1968. Basic Riil and Abstract Analisis . Academic Press, New York and London.
Rudin,  Walter.  1986. Riil  and  Complex  Analisis .  Mc  Graw-Hill  International Edition, New York.
Sukarjono.  2000. Aljabar  Linear  dan  Penerapannya .  Universitas  Negeri Yogyakarta, Yokyakarta.