Vol. 18, No. 3,  336 -347,  May, 2022

## DOI: 10.20956/j.v18i3.19523

## Stability Analysis of Tuberculosis Spread Model Co- Infected Diabetes Mellitus with DOTS Strategy
Analisis Kestabilan Model Penyebaran Penyakit Tuberkulosis yang koinfeksi Diabetes Melitus dengan pengobatan strategi DOTS
Mutmainnah 1  , Syamsuddin Toaha 2  , Kasbawati 3 

## Abstract
Tuberculosis  (TB)  is  an  infectious  disease  caused  by  the  bacterium Mycobacterium tuberculosis .  Patients  with  symptoms  of  TB  can  be  caused  by  immune  disorders  such  as diabetes mellitus infection. Patients with diabetes mellitus can affect the clinical symptoms of TB patients and are associated with a slow response to TB treatment. This study aims to analyze and determine the stability of the equilibrium point of the TB disease spread model coinfected with DM by considering nine compartments, namely susceptible TB without DM, exposed TB without DM, infected TB without DM, recovered TB without DM, susceptible TB with DM, exposed TB with DM, infected TB with DM, recovered TB with DM, and treatment with  DOTS. The  research  method  used  is  a  qualitative  method  by  determining  the  basic reproduction number obtained with next generation matrix method to analyze the stability of the  non-endemic  and  endemic  equilibrium  points.  The  non-endemic  and  endemic equilibrium  points  are  said  to  be  locally  asymptotically  stable  if 0 1 R  ,  and  unstable  if 0 1 R  .The results obtained from sensitivity analysis show that the spread of disease can be reduced and eliminated if treated with DOTS in the infected compartment.
Keywords: Equilibrium  point,  Basic  Reproduction  Number,  Tuberculosis,  Diabetes Mellitus, Treatment with DOTS.

## Abstrak
Tuberkulosis  (TB)  adalah  penyakit  menular  yang  disebabkan  oleh  bakteri Mycobakterium Tuberculosis . Pasien dengan gejala TB dapat disebabkan oleh gangguan imunitas tubuh seperti infeksi diabetes melitus, seseorang yang menderita diabetes melitus dapat lebih beresiko menjadi pasien TB. Penelitian  ini  bertujuan  untuk  menganalisis  dan  menentukan  kestabilan  titik  kesetimbangan  dari model  penyebaran  penyakit  TB  yang  koinfeksi  DM  dengan  mempertimbangkan  sembilan kompartemen  yaitu  rentan  TB  tanpa  DM , infeksi TB  laten  tanpa  DM , infeksi  TB  aktif  tanpa  DM ,
 Program Studi Magister Matematika, FMIPA UNHAS Email address : 1 mutmainnahsyamsul24@gmail.com, 2 syamsuddint@gmail.com,
3 kasbawati@gmail.com
Mutmainnah, Syamsuddin Toaha, Kasbawati
sembuh TB tanpa DM , rentan TB dengan DM , infeksi TB laten dengan DM , infeksi TB aktif dengan DM , sembuh  TB  dengan  DM . Metode penelitian  yang  digunakan  adalah  metode  kualitatif  dengan menentukan bilangan reproduksi dasar 0 ( ) R yang diperoleh dari metode next generation matrix untuk menganalisis  kestabilan  dari  titik  kesetimbangan  non-endemik  dan  endemik.  Titik  kesetimbangan non-endemik dan endemik dikatakan stabil asimtotik lokal jika 0 1 R  , dan tidak stabil jika 0 1 R 
.Hasil  yang  diperoleh  dari  analisis  sensitivitas  menunjukkan  bahwa  penyebaran  penyakit  dapat dikurangi  dan  dihilangkan  jika  diberikan  pengobatan  dengan  DOTS  pada  kompartemen  yang terinfeksi.
Kata kunci: Titik kesetimbangan, Bilangan Reproduksi Dasar, Tuberkulosis, Diabetes Melitus, pengobatan dengan DOTS.

## 1.  PENDAHULUAN
Penggunaan  model  matematika  sebagai  suatu  pendekatan  dalam  upaya  memahami penyebaran  penyakit  telah  banyak  digunakan  dalam  berbagai  dinamika  penyebaran  penyakit. Wiraningsih  dkk  ([15],[16])  telah  mengidentifikasi  penyebaran  penyakit  rabies  dan  penggunaan vaksin  serta  pengobatan  sebagai  upaya  penanggulangan  penyebaran  penyakit.  Selain  itu, dinamika penyebaran penyakit malaria dengan menggunakan varian-varian model SIR juga telah dikaji oleh Beay dkk [1] dengan mempertimbangkan faktor migrasi dalam modelnya. Sementara Hartati  dkk  [3]  menggunakan  vaksin  dan  penyemprotan  insektisida  sebagai  upaya  mengatasi penyebaran  penyakit  malaria.  Muin  dkk  [8]  mengkaji  pengembangan  model  SEIR  untuk menganalisis penyebaran penyakit hepatitis dengan menggunakan vaksin dan pengobatan kepada kompartemen yang menderita penyakit hepatitis.
Tuberkulosis  atau  yang  sering  disingkat  dengan  TB  adalah  jenis  penyakit  menular  yang disebabkan oleh mycobacterium tuberculosis [6]. Pasien dengan gejala TB dapat disebabkan oleh gangguan  imunitas  tubuh  karena  infeksi Human  Immunodeficiency  Virus (HIV)  dan Diabetes mellitus (DM)  [7]. Internasional  Diabetes  Federation (2012)  melaporkan  penderita  diabetes melitus (DM) beresiko lebih tinggi untuk menjadi pasien tuberkulosis dibanding yang tidak DM . Pasien  dengan  penyakit  diabetes  melitus  dapat  mempengaruhi  gejala  klinis  pasien  TB  serta berhubungan  dengan  lambatnya  respon  pengobatan  TB,  seseorang  dengan  infeksi  TB  dapat menjadi pemicu tidak terkontrolnya gula darah pada pasien DM [13]. Penelitian oleh Balewgizie [10]  berkesimpulan  bahwa  DM  secara  signifikan  mempengaruhi  perkembangan  TB,  sehingga perlu  perlakuan  atau treatment untuk  pasien  TB  dengan  DM.  Salah  satu  jenis  pengobatan  pada penderita tuberkulosis jenis paru ini dikenal dengan strategi DOTS. Salah satu jenis pengobatan yang dapat menurunkan angka penderita TB yaitu DOTS ( Directly, Observed, Treatment, Short Course ). DOTS adalah suatu strategi pengobatan TB dengan obat anti tuberkulosis (OAT) yang mengutamakan  pengawasan  minum  obat  selama  masa  pengobatan,  mencegah  pasien drop  out putus berobat serta pencarian dan penemuan kasus baru di masyarakat [4].
Penyebaran  penyakit  TB  yang  koinfeksi  DM  telah  dimodelkan  oleh  Malik  dkk  [5]  yang mengklasifikasikan populasi manusia ke dalam kelas penderita tuberkulosis (TB) tanpa diabetes melitus  (DM)  dengan  indeks  1  dan  TB  dengan  DM  dengan  indeks  2  dengan  pembagian kompartemen yaitu : kelas rentan TB tanpa DM ( 1 S ), kelas terinfeksi laten TB tanpa DM ( 1 E ), kelas  terinfeksi  aktif  TB  tanpa  DM  ( 1 I ),  kelas  sembuh  TB  tanpa  DM  ( 1 R ),  kelas  rentan  TB dengan  DM ( 2 S ),  kelas terinfeksi  laten TB  dengan  DM ( 2 E ),  kelas terinfeksi aktif TB  dengan
DM ( 2 I ), kelas sembuh TB tanpa DM ( 2 R ). Liu dkk [11] mengklasifikasikan populasi manusia kelas  penderita  tuberkulosis  (TB)  dengan  pembagian  kompartemen  yaitu  :  kelas  rentan  TB  (S), kelas  treatment  (V),  kelas  terinfeksi  laten  (E),  kelas  terinfekis  aktif  (I)  dan  kelas  sembuh  (R) dengan  asumsi  pemberian  vaksin  untuk  setiap  individu  yang  lahir  yang  mempertimbangkan metode  penyembuhan  dengan  strategi  DOTS.  dengan  adanya  perlakuan  berupa  treatment (pengobatan) yang dilakukan untuk individu yang terinfeksi TB secara aktif yang juga berpotensi terkena  DM  maupun  yang  telah  terkena  DM,  dapat  melahirkan  satu  kelompok  individu  berupa kompartemen treatment.

## 2. Model Matematika Penyakit Tuberkulosis
Dinamika  penyebaran  penyakit  tuberkulosis  (TB)  yang  koinfeksi  dengan  diabetes  melitus (DM)  dapat  dibentuk  dengan  mengklasifikasikan  ke  dalam  sembilan    kompartemen  yaitu susceptible  TB  without  DM,  expose  TB  without  DM,  infected  TB  without  DM,  recovered  TB without DM, susceptible TB with DM, expose TB with DM, infected TB with DM, recovered TB with DM,dan  treatment with DOTS. Diasumsikan bahwa individu yang rentan mendapat infeksi
TB dari individu yang terinfeksi TB aktif dengan laju
1 2 I I N      dimana  adalah tingkat kontak  efektif    individu  rentan  TB  dengan  penderita  TB  dengan  dan  tanpa  DM.  Parameter modifikasi 1   mengukur  tingginya  laju  infeksi  TB  dengan  DM  yang  berada  padaq kompartemen 2 I .  Diasumsikan  pula  bahwa  setiap  individu  yang  lahir  sehat  dan  rentan  TB, kemudian  masuk  ke  dalam  kompartemen 1 S dengan  laju  .  Individu  dalam  kompartemen diasumsikan ketika tubuh telah didiami oleh bakteri TB, kompartemen 1 S dapat menjadi TB aktif sehingga dapat berpindah ke kompartemen 1 I dengan laju yang diberikan 1 p  , namun individu dengan  sistem  kekebalan  tubuh  yang  baik  yaitu 1 (1 ) p   berpindah  ke  kompartemen 1 E . Individu dari kompartemen 1 E menjalani treatment dengan berpindah ke kompartemen T dengan laju 1  dan  dapat  berpindah  ke  kompartemen 1 I jika  tidak  dilakukan  pengobatan  dengan  laju 1  .  Selanjutnya  individu  dari  kompartemen  dapat  menjalani  treatment  dan  berpindah  ke kompartemen  T  dengan  laju 1
w ,  diasumsikan  individu  yang  terinfeksi  aktif  TB  memiliki pemulihan alami dan dapat menjadi individu sembuh ( 1 R ).
Individu  pada 2 S diasumsikan  memiliki  penyakit  lain  selain  TB  yaitu  DM  sehingga  ketika berinteraksi dengan individu pada 2 I dapat lebih beresiko menjadi kelompok yang terinfeksi TB aktif  dengan  laju 2 p   dimana  adalah  faktor  percepatan.  Individu  dengan  imunitas  tubuh yang  baik  berpindah  ke  kompartemen 2 E .  Individu  yang  terinfeksi  TB  dapat  menjalani pengobatan  dengan  DOTS  dan  berpindah  ke  kompartemen  T,  ketika  pengobatannya  berhasil, maka  individu  akan  berpindah  ke  kompartemen 2 R .  Dengan  asumsi  yang  diberikan,  dinamika penyebaran penyakit tuberkulosis dinyatakan dalam sistem berikut :
1 1 1 ( ) ( ) ,
dS t S I dt        
1 1 1 1 1 1 ( ) (1 ) ( ) , dE t p S E dt           
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ( ) (1 ) (( ) ) , dI t p S I E q T d w n I dt              
1 1 1 1 1 ( ) ( ) , dR t n I q T R dt        2
1 1 2 2 ( ) ( ) ,
dS t S I S I dt       2 1 2 2 2 2 2 2 ( )
(1 ) ( ) , dE t E p S I E dt             2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) (1 ) (( ) ) , dI t I p S I E q T d w n I dt                 2 1 2 2 2 2 ( ) , dR t R n I q T R dt        1 1 2 2 1 1 2 2 ( ) . dT t w I w I E E T dt         . dengan 1 2 ( ) . I I N     
Keterangan mengenai satuan dari semua variabel dan parameter diberikan dalam Tabel 2.1
Tabel 2.1. Keterangan Variabel dan Parameter Model dalam Sistem (2.1) Variabel/ parameter Deskripsi Nilai 1 S Jumlah individu rentan TB non DM - 1 E Jumlah individu yang terinfeksi TB laten non DM - 1 I Jumlah populasi yang terinfeksi TB aktif non DM - 1 R Jumlah populasi sembuh TB non DM - 2 S Jumlah individu rentan TB dengan DM - 2 E Jumlah individu yang terinfeksi TB laten dengan DM - 2 I Jumlah populasi yang terinfeksi TB aktif dengan DM - 2 R Jumlah populasi sembuh TB yang terkena DM - T Jumlah populasi yang menjalani pengobatan strategi DOTS -  Rata-rata laju kelahiran alami -  Tingkat interaksi individu rentan dengan penderita TB dengan dan tanpa DM 1.2  Laju individu terinfeksi TB -  Tingkat kematian/kelahiran alami 0.02  Tingkat terkena DM 0.3 1  Tingkat individu terinfeksi TB laten non DM menjalani pengobatan 0.61 2  Tingkat individu terinfeksi TB laten dengan DM menjalani pengobatan 0.45 (2.1)
1 w Tingkat individu terinfeksi aktif TB non DM menjalani pengobatan 0.55 2 w Tingkat individu terinfeksi aktif TB dengan DM menjalani pengobatan 0.7 q Proporsi individu sembuh 0.94 1  Peluang individu sembuh dengan pengobatan strategi DOTS non DM 0.14 2  Peluang individu sembuh dengan pengobatan strategi DOTS dengan DM 0.33 1 n Rata-rata laju kesembuhan alami penderita TB non DM 1.07 2 n Rata-rata laju kesembuhan alami penderita TB dengan DM 0.05 1  Rata-rata laju individu laten TB menjadi individu aktif TB non DM 0.38 2  Rata-rata laju individu laten TB menjadi individu aktif TB penderita DM 0.86 1 p Proporsi perkembangan cepat aktif TB non DM 0.4 2 p Proporsi perkembangan cepat aktif TB pada penderita DM 0.8 1 d Rata-rata laju kematian akibat TB non DM 0.73 2 d Rata-rata laju kematian akibat TB penderita DM 0.58  Faktor peningkatan 2  Faktor peningkatan 1.01
Adapun  nilai  untuk  setiap  parameter  pada  tabel  2.1  diatas  diperoleh  dari  estimasi parameter  dengan  menggunakan  data  penderita  TB  yang  terkonfirmasi  terinfeksi  BTA+ dari tahun 2000 hingga 2020, data ini diperoleh dari E-book profil kesehatan indonesia. Estimasi  ini  dilakukan  dengan  meminimalkan  fungsi  tujuan  dari  fungsi  non  linear multivariabel dengan bantuan ‘fmincon’ pada program Matlab.

## 3.  Hasil dan Pembahasan
Ukuran populasi total pada persamaan (2.1) dinyatakan sebagai :
1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) N t S t E t I t    1 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) R t S t E t I t R t T t       , dapat  dinyatakan  dalam  bentuk  proporsi antara  banyaknya  individu  dalam  suatu  subpopulasi  dengan  banyaknya  populasi  total.
Diberikan pemisalan sebagai berikut : 1 1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) , , , , ( ) ( ) ( ) ( ) S t E t I t R t e i r N t N t N t N t   
2 2 2 2 ( ) ( ) , , ( ) ( ) S t E t s e N t N t   2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) , , ( ) ( ) ( ) I t R t T t i r t N t N t N t   
, disubstitusi ke dalam persamaan (2.1) diperoleh :
1 1 ( ) ( ) , ds t s
dt        
1 1 1 1 1 1 ( ) (1 ) ( ) , de t p s e dt           
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ( ) (1 ) ( ) , di t p s e q t d w n i dt               1 1 1 1 1 ( ) ( ) , dr t n i q t r dt        2 1 2 ( ) ( ) , ds t s s
dt       2 1 2 2 2 2 2 ( ) (1 ) ( ) , de t e p s e dt             2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2
( ) (1 ) ( ) , di t i p s e q t d w n i dt                
2 1 2 2 2 2 ( ) , dr t r n i q t r dt       
1 1 2 2 1 1 2 2 ( ) , dt t w i w i e e t dt         1 2 ( ) I I N     
Selanjutnya  sistem  (3.1)  akan  dianalisis  dengan  menentukan  titik  kesetimbangan  bebas penyakit  dan  endemik.  Keadaan  setimbang  dalam  model  dipenuhi  pada  saat  sistem
1 1 1 1 2 2 2 2 0.
ds de di dr ds de di dr
dt dt dt dt dt dt dt dt         Titik kesetimbangan bebas penyakit adalah keadaan saat semua kompartemen yang berhubungan dengan penyakit bernilai nol dan dengan itu penyakit tidak menyebar dalam suatu populasi, diperoleh titik kesetimbangan bebas penyakit(non endemik) yaitu   0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 2 2 2 2 0 , , , , , , , , , 0, 0, 0, , 0, 0, 0, 0 ( ) ( ) s e i r s e i r t                  .   (3.2)
Titik kesetimbangan endemik merupakan suatu keadaan saat penyakit menyebar dalam populasi dan  terjadi  saat 1 0 e  dan 2 0 e  .  jika 1 0 e  dan 2 0 e  maka 1 2 1 2 , , , , 0. i i r r t  sehingga diperoleh :
1 , s        1 1 1 1 1 (1 ) , ( ) p s e           1 1 1 1 1 1 1 1 1 (1 ) , ( ) ) p s e q t i d w n   
          1 1 1 1 , ( ) n i q t r      
1 2 ,
( ) s s      (3.3)
1
2 2 2 2 2 (1 ) , ( ) e p s e            1 2 2 2 2
2 2 2 2 2 (1 ) ,
( ) ) i p s e q t i d w n                1 2 2 2
2 , r n i q t r       1 1 2 2 1 1 2 2 . w i w i e e t       
Analisis kestabilan titik kesetimbangan untuk sistem (2.1) didekati dengan sistem linear yang menggunakan  metode  pelinearan  dengan  menggunakan  matriks  Jacobi.  Dari  sistem  (2.1) diperoleh  matriks  Jacobi  yang  dievaluasi  pada  titik  kesetimbangan 0 ( )  dan 1 ( )  diberikan sebagai
(3.1)
1 1 0 2 2 1 1 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 a b c g n d h
J e f i n j w w

                                                1 1 1 2 2 1 1 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 k r l s m t n n u J o v p w q x n y w w
 
          
                                   dimana 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 1 1 2 2 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 ( ), ( ), (( ) ), ( ), ( ), ( ), (1 ) , , (1 ) , , ( ), ( ), (( ) ), ( ), ( ), ( ), ( ), a b c d w n d e f d w n g q h q i q j q k l m d w n n o p q d w n                                                                                      1 1 1 1 2 2 2 2 (1 ) , , (1 ) , , (1 ) , , (1 ) , . r p s p
t q u q v p w p x q y q                        dari matriks Jacobi 0 J  diperoleh nilai eigen dari 0 det( ) 0 J I     , yaitu 9 8 7 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0. A A A A A A A A A                   
(3.4) Solusi  dari  persamaan  karakteristik  (3.4)  sulit  diperoleh  secara  eksplisit  karena  melibatkan banyak  parameter  didalamnya.    Salah  satu  cara  yang  dapat  digunakan  untuk  mengetahui  jenis akar polinomial (3.4) yaitu dengan menerapkan uji kestabilan Routh-Hurwitz, dimana semua akar bagian realnya bernilai negatif jika dan hanya jika syarat-syarat dari uji Routh-Hurwitz dipenuhi,
lihat ([9],[12],[14]). begitupun dengan matriks Jacobi 1 J  .
Suatu  model  epidemiologi  biasanya  memiliki  parameter threshold yang  dikenal  sebagai bilangan  reproduksi  dasar  ( 0 R ),  sedemikian  sehingga  jika 0 1 R  maka  titik  ekuilibrium  bebas penyakit stabil asimtotik lokal dan penyakit tidak  menyerang populasi, namun jika 0 1 R  maka titik ekuilibrium bebas penyakit tidak stabil dan penyakit sangat mungkin untuk menyebar. Nilai
0 R diperoleh berdasarkan linearisasi dari sistem persamaan diferensial yang didekati pada titik kesetimbangan bebas penyakit [2]. Misalkan ( ) i
F x adalah laju penambahan infeksi baru pada  kompartemen i dan ( ) i V x adalah  laju  perpindahan  individu  pada  kompartemen i ,  maka ( ) i F x dan ( ) i V x dari persamaan (4.29) sebagai berikut :
1 1 1 1 2 2 2 2 (1 )
( ) (1 ) p s p s F x p s p s                      (3.5)
1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 ( ) (1 ) (( ) ) ( ) ( ) (1 ) (( ) ) e e q t d w n i V x e e i e q t d w n i                                                      (3.6)
diperoleh matriks F dan V dari persamaan (3.5) dan (3.6) berikut
1 1 2 2 0 3 3 1 1 2 2 4 4 0 0 0 0 ( ) 0 0 ( , , , ) 0 0 i x x x x F F x x e i e i x x                          (3.7) 1 1 2 0 3 1 1 2 2 2 4 0 0 0 0 0 ( ) 0 0 ( , , , )
0 i y y V V y e i e i
y                          (3.8)
dengan
1 1 1 2 1 1 3 2 2 4 2 2 1 1 1 2 1 1 1
3 2 2 4 2 2 2 (1 ) , , (1 ) , ( ), ( ) ), ( ), (( ) ) x p s x p s x p s x p s y y d w n y y d w n                                   
Nilai bilangan reproduksi dasar dapat ditentukan melalui matriks 1 FV  kemudian nilai eigen dari  matriks 1 FV  diperoleh  dengan  menyelesaikan 1 det( ) 0 FV I     sehingga  diperoleh persamaan  karakteristik  dengan  multiplisitas  4,  selanjutnya  spectral  radius  dari nilai  eigen  yang diperoleh sebagai bilangan reproduksi dasar yaitu
1 1 3 2 1 2 2 1 3 2 3 1 2 4 1 2 3 1 1 2 1 3 2 2 1 1 3 4 2 1 3 4 0 1 2 3 4 ( ( )) ) . x y x y x y y x y y x y y y x x y y y x y y x y y y R
y y y y                      
(3.9)
Untuk  menekan  terjadinya  kondisi  endemik  dalam  populasi,  dilakukan  kontrol  terhadap parameter yang dianggap berpengaruh kepada 0 R sehingga syarat dari penyebaran penyakit TB
dianggap  stabil  bisa  terpenuhi 0 ( 1) R  .  Diketahui  bahwa  nilai 0 R bergantung  pada  parameter yang  terkait  dengan  upaya  mencegah  penyebaran  dan  meningkatnya  jumlah  populasi  yang terinfeksi TB  diantaranya  laju  kontak  individu  rentan  TB  dengan  individu TB  aktif  dengan  dan tanpa DM  ( )  , tingkat individu yang terinfeksi aktif TB tanpa DM yang menjalani pengobatan DOTS 1 ( ) w , dan tingkat individu yang terinfeksi aktif TB tanpa DM yang menjalani pengobatan DOTS 2 ( ) w .
Efek  dari  laju  kontak  individu  rentan  TB  dengan  individu  terinfeksi  TB  aktif  dengan  dan tanpa DM dapat diketahui dari perhitungan normalized sensitivity index 0 R terhadap  ( )  yaitu,
0 0 0 4 1 2 1 3 1 2 4 2 1 1 1 4 1 1 2 1 3 2 2 1 3 1 1 3 4 1 2 3 4 (( ) ( )) . ((( ) ) ( )) ( )) 1 0. R R C R x y x x y x x y y x y x x y y y x x y y y y y y y y   
                  
                            
 
Efektivitas  pengobatan  yang  terinfeksi  TB  aktif  dengan  dan  tanpa  DM  yang  menjalani pengobatan  dengan  DOTS  diketahui  dari  perhitungan normalized  sensitivity  index 0 R terhadap 1 ( ) w yaitu, 0 1 0 1 1 0 R w R w C w R    
1 1 2 1 1 2 2 2 2 2 1 2 4 2 4 1 2 2 x x x x y y y y y y y y                 
 
1 2 3 1 1 1 3 2 1 2 2 1 3 2 3 1 2 4 1 2 3 1 1 3 4 2 1 3 4 ( y y y y w x y x y x y y x y y x y y y x y y x y y y                       
1 1 2 1 4 1 3 2 4 2 1 1 1 3 2 2 1 3 1 3 4 1 1 2 1 2 ( )( )
0. (((( ) ) ( )) ( )) x x y y w y
x x y y x y y x x y y y x x y y                   
Selanjutnya  untuk  Efektivitas  pengobatan  yang  terinfeksi  TB  aktif  dengan  dan  tanpa  DM yang menjalani pengobatan dengan DOTS diketahui dari perhitungan normalized sensitivity index
0 R terhadap 2 ( ) w diperoleh,
0 2 0 2 2 0 R w R w C w R     2 3 1 1 2 1 2 4 2 2 2 2 2 1 2 4 1 3 4 2 4 3 4 4 x x x x
x y y y y y y y y y y y                         
1 2 3 2 1 1 3 2 1 2 2 1 3 2 3 1 2 4 1 2 3 1 1 3 4 2 1 3 4 ( ) y y y y w x y x y x y y x y y x y y y x y y x y y y                       
2 4 2 1 1 1 3 2 2 1 3 1 2 2 4 2 4 2 1 1 1 4 3 2 2 1 3 1 4
((( ) ) ( )) 0. (((( ) ) ( )) ( )) x x y y x y y x x y w x x y y x y x y y y x x y y                          Hasil  yang  diperoleh  dari  bentuk 0 0 R C   pada  kasus  penyakit  TB  menunjukkan  bahwa semakin  besar  interaksi  individu  rentan  terhadap  infeksi  TB  aktif  maka  nilai 0 R akan  semakin besar yang berarti akan terjadi kondisi tidak bebas penyakit atau endemik. 0 1 0 R w C  menunjukkan bahwa  semakin  besar  pemberian  pengobatan  pada  individu  terinfeksi  TB  tanpa  DM  maka  nilai
0 R akan semakin kecil yang berarti terjadi kondisi bebas penyakit. Begitu pula dengan 0 2 0 R w C  menunjukkan bahwa peningkatan pemberian pengobatan pada individu yang terinfeksi TB yang koinfeksi DM dapat mengurangi nilai 0 R sehingga terjadi kondisi bebas penyakit, lihat [2].
Simulasi dilakukan untuk menunjukkan laju kontak individu rentan TB dengan individu TB aktif dengan dan tanpa DM, efektivitas individu terinfeksi TB aktif menjalani pengobatan DOTS dengan  dan  tanpa  DM.  Pada  gambar  3.1  diberikan  simulasi  sistem  dengan  nilai  parameter
1 2 1 2 2, 0.02, 0.8806, 0.61, 0.45, 0.55, 0.7, 0.94, w w q             
1 2 1 2 1 2 1 2 1 0.14, 0.33, 1.07, 0.05, 0.38, 0.86, 0.4, 0.8, 0.73, n n p p d              2 0.58, 2, 1.01. d      Nilai  parameter  kontak  individu  rentan TB  dengan  individu TB  aktif yang  terkena  DM  relatif  lebih  tinggi  dibanding  yang  non  DM,  sedangkan  laju  pengobatan  TB dengan dan tanpa DM relatif lebih rendah. Dengan nilai parameter ini dan nilai parameter pada tabel 2.1 diperoleh titik kesetimbangan endemik yaitu,
  1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 1
, , , , , , , , ( 1.9637,0.0681,0.0158, 4.4902,0.5867, 0.0055, s e i r s e i r t       0.0521, 35.3220, 1.8347)    dengan nilai eigen 1 2 3 4 0.02, 0.05, 4.38, 2.67,             5 6 7 8 9 1.23, 1.23, 0.01, 0.01, 0.15.               
Semua nilai eigen pada titik kesetimbangan  endemik  memiliki  bagian  real  yang  negatif,  maka  titik  kesetimbangan endemiknya  stabil  yang  berarti  penyakit  TB  dengan  dan  tanpa  DM  akan  menyebar  dalam populasi.  Berikut  disajikan  grafik  simulasi  perubahan  untuk  kompartemen  individu  yang  rentan TB dan individu terinfeksi TB aktif dengan dan tanpa DM yaitu,
Gambar 3.1 Grafik Perubahan populasi Susceptible TB with DM, Susceptible TB without DM, Infected TB without DM, dan Infected TB with DM terhadap waktu dengan titik kesetimbangan endemik yang stabil.

## Mutmainnah, Syamsuddin Toaha, Kasbawati
Gambar  3.1  menunjukkan  bahwa  individu  rentan  TB  dengan  DM  memiliki  penyebaran  yang lebih tinggi dibanding individu yang rentan TB tanpa DM, sedangkan individu yang terinfeksi TB  dengan  DM  memiliki  tingkat  sembuh  yang  lebih  lama  dibanding  individu  yang  terinfeksi TB  tanpa  DM,  namun  dengan  tingkat  interaksi  individu  rentan TB  dan  individu  terinfeksi TB masih  tinggi  sehingga  pengurangan  individu  infeksi  TB  membutuhkan  waktu  sembuh  yang lebih lama baik yang DM maupun non DM.
Selanjutnya diberikan simulasi dengan mengurangi nilai parameter laju interaksi individu rentan TB dengan individu terinfeksi aktif TB dengan dan tanpa DM. Nilai parameter diberikan
1 2 1 2 1 2 1, 0.02, 0.8806, 0.61, 0.45, 0.55, 0.7, 0.94, 0.14, 0.33, w w q                  1 2 1 2 1 2 1 2 1.07, 0.05, 0.38, 0.86, 0.4, 0.8, 0.73, 0.58, 2, 1.01. n n p p d d               dengan nilai parameter tersebut diperoleh titik kesetimbangan non endemik   0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 2 2 2 2 0 , , , , , , , , (0.4, 0, 0, 0, 0.6, 0, 0, 0, 0) s e i r s e i r t    dan diperoleh nilai eigen
1 2 3 4 5 6 7 8 9 0.02, 0.05, 0.02, 0.05, 11.69, 0.05, 0.98, 1.28, 2.63.                           
Gambar 3.2 Grafik Perubahan populasi Susceptible TB with DM, Susceptible TB without DM, Infected TB without DM, dan Infected TB with DM terhadap waktu dengan titik kesetimbangan endemik yang stabil.
Pada  gambar  3.2  menunjukkan  dengan  pengurangan  laju  interaksi  individu  rentan  TB  dengan individu terinfeksi TB aktif maka penyebaran populasi rentan dan terinfeksi akan semakin kecil, terlihat bahwa individu yang terinfeksi TB lebih cepat menuju titik kesetimbangan bebas penyakit dibandingkan dengan gambar 3.1, namun individu yang terinfeksi TB dengan DM membutuhkan waktu  yang  lebih  lama  untuk  menuju  ke  titik  kesetimbangan  bebas  penyakitnya  dibandingkan dengan individu terinfeksi TB tanpa DM.
Gambar 3.3 Grafik perubahan populasi infeksi TB tanpa DM 1 ( ) I dan perubahan populasi infeksi TB
dengan DM 2

## ( )
I
Dari gambar 3.3 diatas, disajikan grafik pemberian pengobatan dengan DOTS pada individu terinfeksi TB aktif dengan dan tanpa DM. gambar 3.3 a) menunjukkan bahwa jika nilai parameter pengobatan ditingkatkan maka ukuran populasi yang terinfeksi TB aktif akan semakin berkurang sehingga akan menyebabkan terjadinya populasi bebas penyakit. sama halnya dengan gambar 3.3 b) jika pemberian pengobatan dengan DOTS pada individu terinfeksi TB aktif dengan DM akan semakin berkurang dan bisa menyebabkan terjadinya populasi bebas penyakit. Namun dari kedua perbandingan  diatas,  populasi  yang  terinfeksi  TB  aktif  dengan  DM  akan  konvergen  ke  titik kesetimbangan  bebas  penyakit  untuk  jangka  waktu  panjang  sedikit  lebih  lama  dibandingkan dengan populasi yang terinfeksi TB aktif tanpa DM.

## 4. Kesimpulan
Dari  hasil  analasis  dan  simulasi  yang  dilakukan  diperoleh  kesimpulan  bahwa  model penyebaran  penyakit  tuberkulosis  yang  koinfeksi  diabetes  melitus  dengan  pengobatan menggunakan  DOTS  menghasilkan  dua  titik  kesetimbangan,  yaitu  titik  kesetimbangan  bebas penyakit 0 ( )  dan titik kesetimbangan endemik 1
( )  . Titik kesetimbangan bebas penyakit stabil jika 0 1 R  dan  tidak  stabil  jika 0 1 R  .  Berdasarkan  hasil  uji  sensitivitas  nilai 0 R terhadap beberapa  parameter  model  diperoleh  hasil  yang  menunjukkan  bahwa  nilai 0 R akan  bertambah jika  parameter  interaksi  individu  rentan  TB  terhadap  individu  terinfeksi  TB  aktif  dengan  dan tanpa DM  ( )  semakin besar sehingga penyakit akan menyebar dalam populasi. Sedangkan nilai
0 R akan  berkurang  jika  nilai  pada  parameter  laju  individu  terinfeksi  TB  menjalani  pengobatan
DOTS  tanpa  DM 1 ( ) w dan  parameter  laju  individu  terinfeksi  TB  menjalani  pengobatan  DOTS dengan DM 2 ( ) w semakin besar yang berarti populasi terinfeksi akan berkurang atau bebas dari penyakit.
Berdasarkan simulasi numerik yang dilakukan dengan bantuan program Maple 16, diperoleh bahwa  semakin  besar  efek  pengobatan  dengan  DOTS  pada  individu  terinfeksi  TB  tanpa  DM
1 ( ) w dan individu terinfeksi TB dengan DM 2 ( ) w maka kondisi endemik dapat berubah menjadi kondisi dengan populasi bebas penyakit. kemudian diperoleh bahwa pemberian efek pengobatan dengan DOTS pada 2
w perlu dilakukan dalam waktu yang lebih lama atau dilakukan pengobatan khusus dalam penanganan penyakit yang koinfeksi dengan TB untuk mengurangi dan mencegah penyebaran penyakit.

## Daftar Pustaka
[1]  Beay,  L.  K., Kasbawati  & Toaha,  S.,  2017.  Effects  of  human  and  mosquito  migrations on the  dynamical  behavior  of  the  spread  of  malaria  AIP  Conference.  Proceedings  1825, 020006.http://doi.org/10.1063/1.4978975.
[2]  Driessche.  &  Watmough.,  2002.  Reproduction  numbers  and  sub-threshold  endemic equilibria  for  compartmental  models  of  disease  transmission. Mathematical  Biosciences . Vol. 2002, No. 180, hal 29-48.
[3]  Hartati, H., Toaha, S. & Kasbawati., 2019. Stability analysis of SEISEIR-SEI modelling on the dynamics of spread dengue fever with vaccination and insectiside. J. Phys. : Conf. Ser. 1341 062033. doi:10.1088/1742-6596/1341/6/062033.

## Mutmainnah, Syamsuddin Toaha, Kasbawati
[4]  Inayah,  S.,  2019.  Penanggulangan  Tuberkulosis  Paru  dengan  Strategi  DOTS. Higeia Journal of Public Health Research and Development. doi : https://doi.org/10.15294/higeia/v 2i3/25499.
[5]  Malik,  M.  D.,  2018.  Mathematical  modelling  and  numerical  simulation  of  tuberculosis spread  with  diabetes  effect. Jurnal  of  Phisics  :  Conference  Series. doi  :  10.1088/1742- 6596/1108/1/012061.
[6]  Mahtofani,  P.  E.,  2020.  Faktor-faktor  yang  berhubungan  dengan  kejadian  penyakit tuberkulosis  (tb)  paru  di  wilayah  kerja  puskesmas  serang  kota  tahun  2019. Jurnal  Ilmiah Kesehatan Masyarakat. doi : https://doi.org/10.52022/jjkm.v12i1.53.
[7]  Miharja,  L.,  2015.  The  prevalence  of  diabetes  mellitus  in  tuberculosis  and  the  treatment problems. Jurnal Ekologi Kesehatan. Vol 14.
[8]  Muin,  R.  M.,  Toaha,  S.  &  Kasbawati,  2019.  Effect  of  vaccination  and  treatment  on  the MSEICR model of the transmission of hepatitis B virus. J. Phys.: Conf. Ser. 1341 062031. doi : 10.1088/1742-6596/1341/6/062031.
[9]  Murray, J. D., 2012. Mathematical Biology I. An Intriduction (Third Edition ed) . New York, USA : Springer.
[10]  Sileshi,  B.,  2018.  Association  between  diabetes  mellitus  and  multi-drug-resistant tuberculosis. National Library of Medicine . doi : 10.1186/s13643-018-0828-0.
[11]  Siyu, L. B., 2020. Modelling and dynamic analysis of tuberculosis in mainland China form 1998  to  2017  :  the  effect  of  DOTS  strategy  and  further  control. Theoretical  Biology  and Medical Modelling. doi : 10.1186/s12976-020-00124-9.
[12]  Toaha,  S.,  2013. Pemodelan  Matematika  dalam  Dinamika  Populasi .  Makassar  :  Dua  Satu Press.
[13]  Wijaya,  I.,  2015.  Tuberkulosis  paru  pada  penderita  diabetes  mellitus. Continuing  Medical Education. Vol 42.
[14]  Willems,  J.  L.,  1970. Stability  Theory  of  Dynamical  System. London  :  Thomas  Nelson  & Sons.
[15]  Wiraningsih, E. D., Aryati, W. L., Toaha, S. & Lenhart, S., 2010. Optimal control for SEIR rabies model between dogs and human with vaccination effect in dogs. Proceedings of the 6th  IMT-GT  Conference  on  Mathematics,  Statistics  and  its  Applications  (ICMSA2010) Universiti Tunku Abdul Rahman, Kuala Lumpur, Malaysia. Vol. 6. 1161-1175.
[16]  Wiraningsih, E. D., Agusto, F., Aryati, L., Lenhart, S., Toaha, S., Widodo & Govaerts, W., 2015. Stability analysis of rabies model with vaccination effect and culling in dogs. Applied Mathematical Sciences, 9(77), 3805-3817. doi : 10.12988/ams.201553197.