## METODE DEKOMPOSISI ADOMIAN LAPLACE UNTUK SOLUSI PERSAMAAN DIFERENSIAL NONLINIER  KOEFISIEN FUNGSI

## Yuni Yulida
Program Studi Matematika FMIPA Unlam Universitas Lambung Mangkurat Jl. Jend. A. Yani km. 36 Kampus Unlam Banjarbaru Email: y_yulida@yahoo.com

## ABSTRAK
Pada  tulisan  ini,  disajikan  metode  dekomposisi  Adomian  Laplace  dan  metode  tersebut diterapkan  untuk  menentukan  solusi  pendekatan  untuk  persamaan  diferensial  biasa  nonlinier dengan  koefisien  fungsi.  Metode  ini  menggabungkan  teori  transformasi  Laplace  dan  bagian nonlinier dari persamaan diferensial tersebut diuraikan dengan polinomial Adomian.
.
Kata  kunci : metode  dekomposisi  Adomian  Laplace,  persamaan diferensial  biasa  nonlinier koefisien fungsi

## 1. PENDAHULUAN
Banyak phenomena alam yang dapat dimodelkan dalam bentuk Persamaan diferensial (PD) nonlinier, seperti model populasi satu spesies, model permintaan di  bidang  ekonomi,  model  gerak  ayunan  di  bidang  fisika  dan  lain-lain.  Untuk dapat  menjelaskan  phenomena  alam  pada  model  yang  berbentuk  PD  nonlinier tersebut  diperlukan solusi  model tersebut  sehingga dapat  diinterpretasikan dalam kehidupan  nyata.  Menentukan  solusi  PD  Nonlinier  secara  eksak  bukan  hal  yang mudah.  Untuk  itu  diperlukan  suatu  metode  pendekatan  sehingga  dapat diaplikasikan untuk menentukan solusi PD tersebut.
Salah satu metode pendekatan untuk menyelesaikan persamaan diferensial nonlinier  adalah  metode  dekomposisi  Adomian.  Pada  metode  ini,  persamaan diferensial  ditulis  dalam  bentuk  persamaan  operator.  Operator  yang  digunakan merupakan operator diferensial.
Selanjutnya,  operator  diferensial  pada  metode  dekomposisi  Adomian diganti dengan operator transformasi Laplace ℒ dan invers dari operator ℒ adalah invers  transformasi  Laplace ℒ −1 .  Selanjutnya,  metode  ini  disebut  Metode Dekomposisi  Adomian  Laplace,  karena  menggabungkan  teori  transformasi Laplace  dan  bagian  nonlinier  dari  PD  diuraikan  dengan  polinomial  Adomian. Pada  tulisan  ini,  metode  dekomposisi  Adomian  Laplace  digunakan  untuk menentukan solusi persamaan diferensial nonlinier koefisien fungsi.

## 2. TINJAUN PUSTAKA

## 2.1 Persamaan Diferensial
Selanjutnya diberikan definisi persamaan diferensial biasa Definisi 2.1.2 [9]
Suatu  persamaan  diferensial  yang  memuat  turunan    biasa  dari  satu  atau  lebih variabel  tak  bebas  terhadap  satu  variabel  bebasnya  disebut  persamaan diferensial biasa.
Berikut diberikan definisi persamaan diferensial biasa linier dan nonlinier

## Definisi 2.1.4 [9]
Persamaan diferensial biasa linier orde n dengan y variabel bebas dan x variabel tak bebas adalah persamaan berbentuk
𝑎 𝑛 (𝑥) 𝑑 𝑛 𝑦 𝑑𝑥 𝑛 + 𝑎 𝑛−1 (𝑥) 𝑑 𝑛 −1 𝑦 𝑑𝑥 𝑛 −1 + ⋯ + 𝑎 1 (𝑥) 𝑑𝑦 𝑑𝑥 + 𝑎 0 (𝑥)𝑦 = 𝐺(𝑥) (2.1) dengan 𝑎 𝑛 tidak sama dengan nol.
Persamaan  diferensial  biasa  dikatakan  linier,  dilihat  dari  variable  tak  bebas y , yaitu
1. Variabel tak bebas y dan turunannya berderajat satu
2. Tidak terdapat perkalian variabel tak bebas y dan (atau) juga turunannya
3. Tidak terdapat fungsi-fungsi transenden dari y dan (atau) turunannya.

## Definisi 2.1.6 [9]
Persamaan  diferensial  biasa  nonlinier  adalah  persamaan  diferensial  biasa  yang tidak linier.

## 2.2  Operator
Sebarang operator L disebut operator linier jika untuk semua fungsi f dan g memenuhi persyaratan di bawah ini :
a. L ( kf ) = k L ( f ), untuk setiap konstanta k b. L ( f + g ) = L ( f ) + L ( g ), c. L ( f - g ) = L ( f ) - L ( g ), Operator invers 𝐿 −1 merupakan operator linier, jika untuk  semua fungsi f dan g memenuhi persyaratan di bawah ini :
a. 𝐿 −1 (𝑘𝑓)   =  𝑘 𝐿 −1 (𝑓), untuk setiap konstanta k b. 𝐿 −1 (𝑓  +  𝑔)   =   𝐿 −1 (𝑓) + 𝐿 −1 (𝑔),
c. 𝐿 −1 𝑓 −  𝑔  =   𝐿 −1 𝑓  − 𝐿 −1 𝑔 . [8]
Operator  diferensial  umumnya  ditulis D. Misalkan y merupakan  fungsi yang  diferensiabel  sebanyak n kali  dari  variabel  bebas x .  Operator  diferensial untuk  turunan 𝑑𝑦 𝑑𝑥 dinotasikan  dengan Dy .  Lebih  lanjut,  secara  umum  untuk turunan ke- n dari fungsi y terhadap x dinotasikan 𝐷 𝑛 𝑦 , yaitu 𝐷 𝑛 𝑦 = 𝑑 𝑛 𝑦 𝑑𝑥 𝑛 (𝑛 = 1, 2, 3, … ) .
Berikut  contoh  notasi  operator D digunakan  pada  Persamaan  diferensial linier orde n koefisien konstan.
𝑎 𝑛 𝑑 𝑛 𝑦 𝑑𝑥 𝑛 + 𝑎 𝑛−1 𝑑 𝑛 −1 𝑦 𝑑𝑥 𝑛 −1 + ⋯ + 𝑎 1 𝑑𝑦 𝑑𝑥 + 𝑎 0 𝑦 , (2.5)
dapat ditulis menjadi 𝑎 𝑛 𝐷 𝑛 𝑦 + 𝑎 𝑛−1 𝐷 𝑛−1 𝑦 + ⋯ + 𝑎 1 𝐷𝑦 + 𝑎 0 𝑦 ⇔ (𝑎 𝑛 𝐷 𝑛 + 𝑎 𝑛−1 𝐷 𝑛−1 + ⋯ + 𝑎 1 𝐷 + 𝑎 0 )𝑦 . Misalkan 𝐿 = 𝑎 𝑛 𝐷 𝑛 + 𝑎 𝑛−1 𝐷 𝑛−1 + ⋯ + 𝑎 1 𝐷 + 𝑎 0 merupakan operator diferensial baru, maka persamaan (2.5) dapat ditulis menjadi Ly atau L(y). [9]

## 2.3 Metode Dekomposisi Adomian
Salah  satu  metode  untuk  menyelesaikan  persamaan  diferensial  linier  atau nonlinier  adalah  Metode  Dekomposisi  Adomian.  Metode  ini  dikemukakan  oleh seorang Ahli Ilmu Matematika dari Amerika yaitu George Adomian (1922-1996). Pada  metode  ini,  persamaan  diferensial  yang  diberikan  ditulis  dalam  bentuk persamaan operator.
Diberikan  persamaan  diferensial  yang  dinotasikan  dalam  persamaan operator
𝐿𝑢 + 𝑅𝑢 + 𝑁𝑢 = 𝐺 , (2.6)
dengan N adalah  operator  nonlinier  dan L adalah  operator  diferensial  linier  orde lebih tinggi dari R yang diasumsikan dapat dibalik (invertible), R adalah operator diferensial linier dari orde yang kurang dari L dan G suku nonhomogen. Persamaan (2.6) dapat ditulis menjadi 𝐿𝑢 = 𝐺 − 𝑅𝑢 − 𝑁𝑢
(2.7)
Selanjutnya jika persamaan (2.7) menggunakan operator 𝐿 −1 diperoleh 𝑢 = 𝑕 +  𝐿 −1 𝐺 − 𝐿 −1 𝑅𝑢 − 𝐿 −1 𝑁𝑢 , (2.8)
dengan h adalah  solusi  persamaan  homogen Lu= 0  dengan  nilai  awal  atau  nilai batas  yang  diketahui.  Kemudian  Adomian  mendefinisikan  solusi u sebagai jumlahan deret tak hingga yaitu 𝑢 = 𝑢 𝑛 , ∞ 𝑛=0 (2.9)
Masalah  lebih  lanjut  adalah  pada  dekomposisi  suku  nonlinier Nu.
Adomian mendefinisikan sebagai berikut 𝑁 𝑢  = 𝐴 𝑛 ∞ 𝑛=0 (2.10)
dengan
𝐴 𝑛 = 1 𝑛! 𝑑 𝑛 𝑑𝜆 𝑛 𝑁 𝑢 𝑘 𝜆 𝑘 ∞ 𝑘=0 𝜆=0 ,
Selanjutnya komponen 𝐴 𝑛 disebut polinomial Adomian, didefinisikan sebagai 𝐴 0 = 𝑁 𝑢 0
𝐴 1 = 𝑢 1 𝑁 ′ 𝑢 0 𝐴 2 = 𝑢 2 𝑁 ′ 𝑢 0 + 𝑢 1 2 2 𝑁 ′′ 𝑢 0 𝐴 3 = 𝑢 3 𝑁 ′ 𝑢 0 + 𝑢 1 𝑢 2 𝑁 ′′ 𝑢 0 + 𝑢 1 3 3! 𝑁 ′′′ 𝑢 0 ⋮ Selanjutnya menggunakan Persamaan (2.8) dan (2.9) diperoleh 𝑢 𝑛 ∞ 𝑛=0 = 𝑕 +  𝐿 −1 𝐺 − 𝐿 −1 𝑅𝑢 − 𝐿 −1 𝑁𝑢 . (2.11) Dengan mensubstitusi Persamaan (2.9) dan (2.10) ke Persamaan (2.11) diperoleh 𝑢 𝑛 ∞ 𝑛=0 = 𝑕 +  𝐿 −1 𝐺 − 𝐿 −1 𝑅 𝑢 𝑛 ∞ 𝑛=0 − 𝐿 −1 𝐴 𝑛 ∞ 𝑛=0
Lebih lanjut, Persamaan (2.11) dapat diuraikan yaitu
𝑢 0 = 𝑕 + 𝐿 −1 𝐺 dan 𝑢 𝑛 = − 𝐿 −1 𝑅𝑢 𝑛−1 − 𝐿 −1 𝐴 𝑛−1 ,   𝑛 = 1,2,3, … . [4]

## 2.4 Transformasi Laplace
Berikut diberikan definisi dari transformasi Laplace.
Definisi 2.4.1 [9] Diberikan 𝑓(𝑡) fungsi  dari  t  untuk 𝑡 > 0 .  Transformasi  Laplace 𝑓(𝑡) dituliskan ℒ 𝑓(𝑡) dan didefinisikan  sebagai berikut :
ℒ 𝑓(𝑡)  = 𝐹 𝑠  =   𝑒 −𝑠𝑡 𝑓 𝑡 𝑑𝑡 ∞ 0 untuk semua s sehingga integral ada. Sebagai catatan, nilai s ini menyebabkan fungsi 𝐹 𝑠 konvergen.
Berikut  ini  diberikan  sifat-sifat  dasar  transformasi  Laplace  yang  dapat digunakan  untuk  mempermudah  dalam  proses  menentukan  transformasi  suatu fungsi.
1. Sifat Linieritas ( Linearity property )
Teorema 2.4.2 [2] Jika ℒ 𝑓 1 (𝑡)  = 𝐹 1 𝑠 dan ℒ 𝑓 2 (𝑡)  = 𝐹 2 𝑠 ,  dan  c 1 dan  c 2 sebarang  konstanta maka ℒ 𝑐 1 𝑓 1 𝑡  + 𝑐 2 𝑓 2 (𝑡)  = 𝑐 1 𝐹 1 𝑠  + 𝑐 2 𝐹 2 𝑠 Bukti. Diketahui ℒ 𝑓 1 (𝑡)  = 𝐹 1 𝑠  =   𝑒 −𝑠𝑡 𝑓 1 (𝑡)𝑑𝑡
∞ 0 dan ℒ 𝑓 2 (𝑡)  = 𝐹 2 𝑠  =   𝑒 −𝑠𝑡 𝑓 2 (𝑡)𝑑𝑡
∞ 0 .
Untuk sebarang konstanta c 1 dan c 2 ,
ℒ 𝑐 1 𝑓 1 𝑡  + 𝑐 2 𝑓 2 (𝑡)  =   𝑒 −𝑠𝑡 𝑐 1 𝑓 1 𝑡  + 𝑐 2 𝑓 2 (𝑡) 𝑑𝑡 ∞ 0 =   𝑒 −𝑠𝑡 𝑐 1 𝑓 1 𝑡  + 𝑒 −𝑠𝑡 𝑐 2 𝑓 2 (𝑡)𝑑𝑡 ∞ 0 = 𝑐 1 𝑒 −𝑠𝑡 𝑓 1 𝑡 𝑑𝑡 + 𝑐 2 𝑒 −𝑠𝑡 𝑓 2 (𝑡) ∞ 0 𝑑𝑡 ∞ 0 = 𝑐 1 ℒ 𝐹 1 𝑠   + 𝑐 2 ℒ 𝐹 2 𝑠 = 𝑐 1 𝐹 1 𝑠  + 𝑐 2 𝐹 2 𝑠 . Jadi terbukti bahwa ℒ 𝑐 1 𝑓 1 𝑡  + 𝑐 2 𝑓 2 (𝑡)  = 𝑐 1 𝐹 1 𝑠  + 𝑐 2 𝐹 2 𝑠 ■
Sifat  linier  ini  sekaligus  membuktikan  bahwa  transformasi  Laplace ℒ juga merupakan operator linier. 2.  Sifat Derivatif Teorema 2.4.3 [9] Jika ℒ 𝑓(𝑡)  = 𝐹 𝑠 maka a. Turunan pertama
ℒ 𝑓 ′ (𝑡)  =   𝑒 −𝑠𝑡 𝑓 ′ 𝑡 𝑑𝑡 ∞ 0 = 𝑠 ℒ 𝑓(𝑡)  − 𝑓 0  = 𝑠 𝐹 𝑠  − 𝑓 0 b. Turunan kedua
ℒ 𝑓 ′′ (𝑡)  =   𝑒 −𝑠𝑡 𝑓 ′′ 𝑡 𝑑𝑡 ∞ 0 = 𝑠 ℒ 𝑓 ′ (𝑡)  − 𝑓 0
= 𝑠 2 ℒ 𝑓(𝑡)  − 𝑓 ′ 0  − 𝑠𝑓 0 . c . Secara umum untuk turunan ke-n dapat ditulis
ℒ 𝑓 (𝑛) (𝑡)  = 𝑠 𝑛 ℒ 𝑓(𝑡)  − 𝑓 (𝑛−1) 0  − 𝑠𝑓 (𝑛−2) 0  − ⋯ − 𝑠 𝑛−1 𝑓(0) .
Pada  pembahasan  sebelumnya,  permasalahannya  adalah  diberikan  suatu fungsi f yang didefinisikan untuk 0 t  , kemudian ditentukan transformasi Laplce dari  fungsi  tersebut  yang  dinyatakan  dengan ℒ 𝑓(𝑡)  = 𝐹 𝑠 .  Sekarang permasalahannya  adalah  diberikan  fungsi F kemudian  tentukan  invers transformasi, yang dinyatakan dengan ℒ −1 𝐹 𝑠   = 𝑓(𝑡) . Berikut diberikan definisi invers transformasi Laplace. Definisi 2.4.4 [9] Jika transformasi Laplace suatu fungsi 𝑓(𝑡) adalah 𝐹 𝑠 , yaitu ℒ 𝑓(𝑡)  = 𝐹 𝑠 , maka 𝑓(𝑡) disebut  invers  transformasi  Laplace  dari 𝐹 𝑠 dan  ditulis: ℒ −1 𝐹 𝑠   = 𝑓(𝑡) .
Fungsi  invers  transformasi  Laplace  tunggal.  Berikut  diberikan  pada teorema berikut Teorema 2.4.5 [9] Jika 𝑓 dan 𝑔 fungsi kontinu untuk 𝑡 ≥ 0 dan mempunyai transformasi Laplace F maka 𝑓 𝑡  = 𝑔(𝑡) untuk setiap 𝑡 ≥ 0 . Sifat Linieritas ( Linearity property ) juga berlaku pada invers transformasi Laplace.  Suatu transformasi Laplace misalkan 𝐹 𝑠 dinyatakan 𝐹 𝑠  = 𝐹 1 𝑠  + 𝐹 2 𝑠  + ⋯ + 𝐹 𝑛 𝑠 . Andaikan 𝑓 1 (𝑡) = ℒ −1 𝐹 1 𝑠 , 𝑓 2 (𝑡) = ℒ −1 𝐹 2 𝑠 ,  …, 𝑓 𝑛 (𝑡) = ℒ −1 𝐹 𝑛 𝑠 , maka  fungsi 𝑓 𝑡  = 𝑓 1 𝑡  + 𝑓 2 𝑡  + ⋯ + 𝑓 𝑛 (𝑡) mempunyai  transformasi  Laplace yaitu 𝐹 𝑠 . Dengan menggunakan sifat ketunggalan diperoleh ℒ −1 𝐹 𝑠   = ℒ −1 𝐹 1 𝑠   + ℒ −1 𝐹 2 𝑠   + ⋯ + ℒ −1 𝐹 𝑛 𝑠 . Jadi invers transformasi Laplace ℒ −1 juga merupakan operator linier. [2]

## 3. METODE PENELITIAN
Metode  yang  digunakan  di  dalam  penelitian  ini  adalah  studi  literatur. Materi  yang  digunakan  terdiri  dari  buku-buku  dan  jurnal-jurnal  yang  membahas tentang  persamaan  diferensial  biasa  linier  dan  nonlinier,  teori  transformasi Laplace  dan  terapannya,  metode  dekomposisi  Adomian,  metode  dekomposisi Adomian Laplace.

## 4. HASIL DAN PEMBAHASAN
4.1 Metode Dekomposisi Adomian Laplace Persamaan  (2.6)  dapat  ditulis  menjadi  (2.7),  yaitu 𝐿𝑢 = 𝐺 − 𝑅𝑢 − 𝑁𝑢 dengan N adalah  operator  nonlinier  dan L adalah  operator  diferensial  linier  orde lebih tinggi dari R , R adalah operator diferensial linier dari orde yang kurang dari L , dan G suku nonhomogen.
Selanjutnya  persamaan  (2.7)  dikenakan  operator  transformasi  Laplace ℒ diperoleh
ℒ 𝐿𝑢  = ℒ 𝐺  − ℒ 𝑅𝑢  − ℒ 𝑁𝑢 . ℒ 𝑢  = 1 𝑘(𝑠) 𝑕 𝑠  + ℒ 𝐺  − ℒ 𝑅𝑢  − ℒ 𝑁𝑢 (4.1)
dengan k (s)  dan h(s) adalah  fungsi  dalam s akibat  penguraian  transformasi Laplace  dari ℒ 𝐿𝑢 dengan nilai  awal  yang diberikan.  Kemudian  mengikuti  pola pada  pendefinisian  Adomian  maka  solusi  sebagai  jumlahan  deret  tak  hingga, akibatnya diperoleh
ℒ 𝑢  = ℒ 𝑢 𝑛 ∞ 𝑛=0 (4.2) Masalah  lebih  lanjut  adalah  pada  dekomposisi  suku  nonlinier Nu.
Adomian    mendefinisikan    persamaan   (2.10)
𝑁 𝑢  = 𝐴 𝑛 ∞ 𝑛=0 , dengan
𝐴 𝑛 = 1 𝑛! 𝑑 𝑛 𝑑𝜆 𝑛 𝑁 𝑢 𝑘 𝜆 𝑘 ∞ 𝑘=0
𝜆=0 , komponen 𝐴 𝑛 disebut polinomial Adomian.
Selanjutnya menggunakan Persamaan (4.1) dan (4.2) diperoleh
ℒ 𝑢 𝑛 ∞ 𝑛=0 = 1 𝑘(𝑠) 𝑕(𝑠) +  ℒ 𝐺  − ℒ 𝑅𝑢  − ℒ 𝑁𝑢 . (4.3) Dengan mensubstitusi Persamaan (2.10) ke Persamaan (4.3) diperoleh ℒ 𝑢 𝑛 ∞ 𝑛=0 = 𝑕(𝑠)+ ℒ 𝐺 𝑘(𝑠) − ℒ 𝑅𝑢 𝑘(𝑠) − ℒ 𝐴 𝑛 ∞ 𝑛 =0
𝑘(𝑠)
Lebih lanjut, Persamaan (4.1) dapat diuraikan yaitu ℒ 𝑢 0 = 𝑕(𝑠) +  ℒ 𝐺
ℒ 𝑢 𝑛+1 = − ℒ 𝑅𝑢 𝑛 − ℒ 𝐴 𝑛 , 𝑛 = 0,1,2,3, … Selanjutnya dikenakan invers transformasi Laplace diperoleh ℒ −1 ℒ 𝑢 0 = 𝑢 0 = ℒ −1 𝑕(𝑠) +  ℒ 𝐺 ℒ −1 ℒ 𝑢 𝑛+1 = 𝑢 𝑛+1 = ℒ −1 − ℒ 𝑅𝑢 𝑛 − ℒ 𝐴 𝑛 , 𝑛 = 0,1,2,3, …

## 4.2 Solusi
Diberikan persamaan diferensial nonlinier orde n dengan koefisien fungsi sebarang berbentuk
𝑑 𝑛 𝑦 𝑑𝑡 𝑛 +𝑏 𝑛−1 𝑡 𝑑 𝑛 −1 𝑦 𝑑𝑡 𝑛 −1 + ⋯ + 𝑏 1 𝑡 𝑑𝑦 𝑑𝑡 + 𝑏 0 𝑡 𝑦 +  𝑓 𝑦  = 0
(4.4)
dengan nilai awal 𝑦 0  =   𝛼 0 , 𝑦 ′ 0  =   𝛼 1 , … , 𝑦 (𝑛) 0  =   𝛼 𝑛 , (4.5)
dan 𝑏 𝑖 ( t ) fungsi dalam variabel t , dengan 𝑖 = 0 , 1, 2, … , 𝑛 − 1 𝛼 𝑖 , konstanta riil, dengan 𝑖 = 0 , 1, 2, … , 𝑛 𝑓 𝑦 fungsi nonlinier
Berikut langkah-langkah untuk menentukan solusi persamaan (4.4) dengan nilai awal (4.2) menggunakan metode dekomposisi Adomian Laplace.
Langkah 1 Persamaan (4.4) dapat ditulis menjadi
𝑑 𝑛 𝑦 𝑑𝑡 𝑛 =   −𝑏 𝑛−1 𝑡 𝑑 𝑛 −1 𝑦 𝑑𝑡 𝑛 −1 − ⋯ − 𝑏 1 (𝑡) 𝑑𝑦 𝑑𝑡 − 𝑏 0 𝑦 − 𝑓 𝑦 (4.6)
Langkah 2 operator transformasi Laplace digunakan pada Persamaan (4.6)
ℒ 𝑑 𝑛 𝑦 𝑑𝑡 𝑛 = −ℒ  𝑏 𝑛−1 𝑡 𝑑 𝑛 −1 𝑦 𝑑𝑡 𝑛 −1 − ⋯ − ℒ  𝑏 1 (𝑡) 𝑑𝑦 𝑑𝑡 − ℒ 𝑏 0 (𝑡)𝑦  − ℒ 𝑓 𝑦 (4.7)
Kemudian dengan sifat turunan ke- n dari ruas kiri persamaan (4.7) diperoleh 𝑠 𝑛 ℒ 𝑦(𝑡)  − 𝑦 (𝑛−1) 0  − 𝑠𝑦 (𝑛−2) 0  − ⋯ − 𝑠 𝑛−1 𝑦 0
= −ℒ 𝑏 𝑛−1 𝑡 𝑑 𝑛−1 𝑦 𝑑𝑡 𝑛−1 − ⋯ − ℒ 𝑏 1 𝑡 𝑑𝑦 𝑑𝑡 − ℒ 𝑏 0 𝑡 𝑦 − ℒ 𝑓 𝑦
(4.8)
Nilai awal  (4.5) disubstitusi ke (4.8) diperoleh
ℒ 𝑦(𝑡)  = 𝛼 𝑛−1 +𝑠 𝛼 𝑛−2 −⋯−𝑠 𝑛 −1 𝛼 0 𝑠 𝑛 − 1 𝑠 𝑛 ℒ 𝑏 𝑛−1 𝑡 𝑑 𝑛−1 𝑦 𝑑𝑡 𝑛−1 − ⋯ − 1 𝑠 𝑛 ℒ 𝑏 1 (𝑡) 𝑑𝑦 𝑑𝑡 − 1 𝑠 𝑛 ℒ 𝑏 0 (𝑡)𝑦 − 1 𝑠 𝑛 ℒ 𝑓 𝑦 . (4.9)
Metode Dekomposisi Adomian mendefinisikan solusi  dalam bentuk  deret tak  hingga,  yaitu 𝑦 = 𝑦 𝑖 ∞ 𝑖=0 dengan 𝑦 𝑖 dihitung  secara  rekursif.  Selanjutnya, dekomposisi
bentuk
nonlinier
dari
𝑓 𝑦
adalah 𝑓 𝑦  = 𝐴 𝑖 ∞ 𝑖=0 , dengan 𝐴 𝑖 adalah polinomial  Adomian dari 𝑦 𝑖 , perhitungan polinomial  Adomian dengan formula berikut 𝐴 𝑖 = 1 𝑖! 𝑑 𝑖 𝑑𝜆 𝑖 𝑓 𝑢 𝑘 𝜆 𝑘 ∞ 𝑘=0 𝜆=0 , 𝑖 = 0 , 1, 2, …
Selanjutnya, jika diasumsikan solusi dalam bentuk deret tak hingga, maka persamaan (4.9) menjadi
ℒ 𝑦 𝑖 ∞ 𝑖=0 = 𝛼 𝑛−1 + 𝑠 𝛼 𝑛−2 − ⋯ − 𝑠 𝑛−1 𝛼 0 𝑠 𝑛 − 1 𝑠 𝑛 ℒ 𝑏 𝑛−1 𝑡 𝑑 𝑛−1 𝑦 𝑖 ∞ 𝑖=0 𝑑𝑡 𝑛−1 − ⋯ − 1 𝑠 𝑛 ℒ  𝑏 1 (𝑡) 𝑑 𝑦 𝑖 ∞ 𝑖=0 𝑑𝑡 − 1 𝑠 𝑛 ℒ 𝑏 0 (𝑡) 𝑦 𝑖 ∞ 𝑖=0 − 1 𝑠 𝑛 ℒ 𝐴 𝑖 ∞ 𝑖=0 . (4.10)
Lebih lanjut, Persamaan (4.10) dapat diuraikan menjadi:
ℒ 𝑦 0 = 𝛼 𝑛 −1 +𝑠 𝛼 𝑛 −2 −⋯−𝑠 𝑛−1 𝛼 0 𝑠 𝑛 (4.11)
ℒ 𝑦 𝑖+1 = − 1 𝑠 𝑛 ℒ  𝑏 𝑛−1 𝑡 𝑑 𝑛 −1 𝑦 𝑖 𝑑𝑡 𝑛 −1 − ⋯ − 1 𝑠 𝑛 ℒ  𝑏 1 (𝑡) 𝑑𝑦 𝑖 𝑑𝑡 − 1 𝑠 𝑛 ℒ 𝑏 0 (𝑡)𝑦 𝑖 −
1 𝑠 𝑛 ℒ 𝐴 𝑖 (4.12)
dengan 𝑖 = 0 , 1, 2, …
Langkah 3 Berdasarkan langkah 2, telah diperoleh ℒ 𝑦 0 dan ℒ 𝑦 𝑖+1 , 𝑖 = 0 , 1, 2, … Selanjutnya  untuk  memperoleh 𝑦 0 dan 𝑦 𝑖+1 , 𝑖 = 0 , 1, 2, … digunakan  invers transformasi Laplace pada persamaan (4.11) dan (4.12), yaitu
𝑦 0 = ℒ −1 𝛼 𝑛 −1 +𝑠 𝛼 𝑛 −2 −⋯−𝑠 𝑛−1 𝛼 0 𝑠 𝑛 𝑦 𝑖+1 = ℒ −1 − 1 𝑠 𝑛 ℒ  𝑏 𝑛−1 𝑡 𝑑 𝑛 −1 𝑦 𝑖 𝑑𝑡 𝑛 −1 − ⋯ − 1 𝑠 𝑛 ℒ  𝑏 1 (𝑡) 𝑑𝑦 𝑖 𝑑𝑡 − 1 𝑠 𝑛 ℒ 𝑏 0 (𝑡)𝑦 𝑖 − 1 𝑠 𝑛 ℒ 𝐴 𝑖
dengan 𝑖 = 0 , 1, 2, …
Contoh: 𝑑 2 𝑦 𝑑𝑡 2 + 1 − 𝑡 𝑑𝑦 𝑑𝑡 − 𝑦 =  2𝑦 3
(4.13)
nilai awal 𝑦 0  =  1 , 𝑦 ′ 0  =  1 (4.14)
Langkah 1 Persamaan (4.13) diubah dalam bentuk 𝑑 2 𝑦 𝑑𝑡 2 = − 1 − 𝑡 𝑑𝑦 𝑑𝑡 + 𝑦 +  2𝑦 3 (4.15)
Langkah 2 Dengan menggunakan operator transformasi Laplace, Persamaan (4.15) menjadi
ℒ 𝑑 2 𝑦 𝑑𝑡 2 = −ℒ   1 − 𝑡 𝑑𝑦 𝑑𝑡 + ℒ 𝑦  +  ℒ 2𝑦 3 (4.16)
Dengan sifat turunan ke-2 ,  persamaan (4.16) menjadi
𝑠 2 ℒ 𝑦)  − 𝑦 ′ 0  − 𝑠𝑦 0 = −ℒ   1 − 𝑡 𝑑𝑦 𝑑𝑡 + ℒ 𝑦  +  ℒ 2𝑦 3 . (4.17)
Nilai awal  (4.11) disubstitusi ke (4.17) diperoleh
𝑠 2 ℒ 𝑦)  − 1 − 𝑠 = −ℒ   1 − 𝑡 𝑑𝑦 𝑑𝑡 + ℒ 𝑦  +  ℒ 2𝑦 3 ⇔ ℒ 𝑦) = 1 𝑠 + 1 𝑠 2 − 1 𝑠 2 ℒ 1 − 𝑡 𝑑𝑦 𝑑𝑡 + 1 𝑠 2 ℒ 𝑦 + 2 𝑠 2 ℒ 𝑦 3 (4.18)
Selanjutnya,  jika  diasumsikan  solusi  dalam  bentuk  deret  tak  hingga,  maka persamaan (4.18) menjadi
ℒ 𝑦 𝑖 ∞ 𝑖=0 = 1 𝑠 + 1 𝑠 2 − 1 𝑠 2 ℒ 1 − 𝑡 𝑑 𝑦 𝑖 ∞ 𝑖=0 𝑑𝑡 + 1 𝑠 2 ℒ 𝑦 𝑖 ∞ 𝑖=0 + 2 𝑠 2 ℒ 𝐴 𝑖 ∞ 𝑖=0 ( 4.19)
Dekomposisi  bentuk  nonlinier  dari 𝑓 𝑦  = 𝑦 3 adalah 𝑓 𝑦  = 𝐴 𝑖 ∞ 𝑖=0 , dengan 𝐴 𝑖 adalah polinomial Adomian dari 𝑦 𝑖 , perhitungan polinomial Adomian dengan formula berikut 𝐴 𝑖 = 1 𝑖! 𝑑 𝑖 𝑑𝜆 𝑖 𝑓 𝑢 𝑘 𝜆 𝑘 ∞ 𝑘=0 𝜆=0 , 𝑖 = 0 , 1, 2, … . Polinomial Adomian suku nonlinier 𝑦 3 diperoleh berbentuk 𝐴 0 = 𝑦 0 3 (4.20)
𝐴 1 = 3𝑦 0 2 𝑦 1 (4.21)
𝐴 2 = 3𝑦 0 2 𝑦 2 + 3𝑦 0 𝑦 1 2 (4.22)
𝐴 3 = 3𝑦 0 2 𝑦 3 + 6𝑦 0 𝑦 1 𝑦 2 + 𝑦 1 3 (4.23)

Lebih lanjut, Persamaan (4.19) dapat diuraikan menjadi:
ℒ 𝑦 0 = 1 𝑠 + 1 𝑠 2 , ℒ 𝑦 𝑖+1 = − 1 𝑠 2 ℒ   1 − 𝑡 𝑑𝑦 𝑖 𝑑𝑡 + 1 𝑠 2 ℒ 𝑦 𝑖 + 2 𝑠 2 ℒ 𝐴 𝑖 , 𝑖 = 0 , 1, 2, …
dengan 𝐴 0 , 𝐴 1 , 𝐴 2 , 𝐴 3 , … pada persamaan (4.20)-(4.23).
Langkah 3 Berdasarkan langkah 2, telah diperoleh ℒ 𝑦 0 dan ℒ 𝑦 𝑖+1 , 𝑖 = 0 , 1, 2, …
Selanjutnya  untuk  memperoleh 𝑦 0 dan 𝑦 𝑖+1 , 𝑖 = 0 , 1, 2, … digunakan  invers transformasi Laplace, yaitu 𝑦 0 = ℒ −1 1 𝑠 + 1 𝑠 2 = 1 + 𝑡 ,
𝑦 𝑖+1 = ℒ −1 − 1 𝑠 2 ℒ   1 − 𝑡 𝑑𝑦 𝑖 𝑑𝑡 + 1 𝑠 2 ℒ 𝑦 𝑖 + 2 𝑠 2 ℒ 𝐴 𝑖 , untuk 𝑖 = 0, 1, 2, …
Untuk 𝑖 = 0 𝑦 1 = ℒ −1 − 1 𝑠 2 ℒ   1 − 𝑡 𝑑𝑦 0 𝑑𝑡 + 1 𝑠 2 ℒ 𝑦 0 + 2 𝑠 2 ℒ 𝐴 0 = 𝑡 2 + 4𝑡 3 3 + 𝑡 4 2 + 𝑡 5 10
Untuk 𝑖 = 1
𝑦 2 = ℒ −1 − 1 𝑠 2 ℒ   1 − 𝑡 𝑑𝑦 1 𝑑𝑡 + 1 𝑠 2 ℒ 𝑦 1 + 2 𝑠 2 ℒ 𝐴 1 = − 𝑡 3 3 + 5𝑡 4 12 + 7𝑡 5 6 + + 9𝑡 6 10 + 38𝑡 7 105 + 3𝑡 8 40 + 𝑡 9 120 .
Untuk 𝑖 = 2
𝑦 3 = ℒ −1 − 1 𝑠 2 ℒ   1 − 𝑡 𝑑𝑦 2 𝑑𝑡 + 1 𝑠 2 ℒ 𝑦 2 + 2 𝑠 2 ℒ 𝐴 2 = 𝑡 4 12 − 𝑡 5 4 + 𝑡 6 40 + 4𝑡 7 5 + 25𝑡 8 24 + 361𝑡 9 540 + 3233𝑡 10 12600 + 29𝑡 11 462 + 11𝑡 12 1200 + 11𝑡 13
15600
Untuk 𝑖 = 3 , dengan bantuan program Maple 11 diperoleh
𝑦 4 = ℒ −1 − 1 𝑠 2 ℒ   1 − 𝑡 𝑑𝑦 3 𝑑𝑡 + 1 𝑠 2 ℒ 𝑦 3 + 2 𝑠 2 ℒ 𝐴 3 = − 𝑡 5 60 + 13𝑡 6 180 − 41𝑡 7 280 − 1213𝑡 8 6720 + 7𝑡 9 18 + 9991𝑡 10 10800 + 14603𝑡 11 16632 + 832991𝑡 12 1663200
+ 2066429𝑡 13 1081088 + 20101𝑡 14 400400 + 8101𝑡 15 900900 + 211𝑡 16 208000 + 211𝑡 17
3536000 .
Solusi dalam bentuk deret tak hingga diperoleh 𝑦 = 𝑦 0 + 𝑦 1 + 𝑦 2 + 𝑦 3 + 𝑦 4 + ⋯
= 1 + 𝑡 + 𝑡 2 + 𝑡 3 + 𝑡 4 + 𝑡 5 + 359 360 𝑡 6 + ⋯ ≈ 1 1−𝑡 , dengan syarat 𝑡 ≠ 1 .

## 5. KESIMPULAN
Metode  dekomposisi  Adomian  Laplace  digunakan  untuk  menentukan solusi  persamaan diferensial  biasa nonlinier  koefisien fungsi berbentuk  (4.4) dan (4.5), solusi yang diperoleh yaitu
𝑦 = 𝑦 𝑖 ∞ 𝑖=0 dengan
𝑦 0 = ℒ −1 𝛼 𝑛 −1 +𝑠 𝛼 𝑛 −2 −⋯−𝑠 𝑛−1 𝛼 0 𝑠 𝑛 , 𝑦 𝑖+1 = ℒ −1 − 1 𝑠 𝑛 ℒ  𝑏 𝑛−1 𝑡 𝑑 𝑛 −1 𝑦 𝑖 𝑑𝑡 𝑛 −1 − ⋯ − 1 𝑠 𝑛 ℒ  𝑏 1 (𝑡) 𝑑𝑦 𝑖 𝑑𝑡 − 1 𝑠 𝑛 ℒ 𝑏 0 (𝑡)𝑦 𝑖 − 1 𝑠 𝑛 ℒ 𝐴 𝑖

## 6. DAFTAR PUSTAKA
[1] Barrow, D., dkk. 1998. Solving Differential Equations with Maple V. Brooks/Cole Publishing Company ITP. USA.
[2]  Boyce E.W. & Diprima C.R., 1997, Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems , Edisi ke-6, John Wiley & Sons. New York.
[3]  Islam, S dkk., 2010, Numerical Solution of Logistic Differential Equations by Using the  Laplace  Decomposition  Method, World  of  Applied  Sciences  Journal 8(9)  : 1100-1105 . IDOSI Publications.
[4] Jaradat, O.K., 2008. Adomian Decomposition Method for solving Abelian Differential Equations, Journal  of  Applied  Sciences 8(10)  :  1962-1966 . Asian  Network  for Scientific Information.
[5]  Kiymaz, O., 2009, An Algorithm for Solving Initial Value Problems Using Laplace Adomian Decomposition Method, Journal of Applied Mathematics Sciences, Vol 3, No.30, 1453-1459 .
[6]  Khan,  Majid  dkk.,  2010.  Application  of  Laplace  Decomposition  Method  to  Solve Nonlinear  Couple  Partial  Differential  Equations, World  of  Applied  Sciences Journal 9 (Special Issue of Applied Math): 13-19, IDOSI Publications.
[7]  Khuri,  A.S,  2001,  A  Laplace  Decomposition  Algorithm  Applied  To  A  Class  Of Nonlinear  Differential  Equations, Journal  of  Applied  Mathematics  1:4  pp  141- 155 , Hindawi Publishing Corporationn.
[8] Purcell, E.J. & Vanberg, D., 1987. Kalkulus dan geometri Analitis Jilid 1 dan Jilid 2 . Edisi kelima. Erlangga. Jakarta.
[9]  Ross,  L.S.,  1984, Differential  Equations  Third  Edition,  John  Wiley  &  Sons. New York.