Limits: Journal of Mathematics and Its Applications E-ISSN: 2579-8936 P-ISSN: 1829-605X Vol. 19, No. 2, Nopember 2022, 229-240 DOI: http://dx.doi.org/10.12962/limits.v19i2.13837

## Kendali Optimal Model Pertumbuhan Mikroalga dalam Chemostat
Wahyuni Ningsih 1 *, Henny Purwaningsih 2 , Rofila El Maghfiroh 3 1,2,3 Jurusan Teknik Sipil, Politeknik Negeri Malang, Malang, Indonesia e-mail: wahyuni_04@polinema.ac.id
Diajukan: 29 Juli 2022, Diperbaiki: 12 September 2022, Diterima: 10 Nopember 2022

## Abstrak
Mikroalga merupakan salah satu potensi alam Indonesia yang dapat dimanfaatkan dalam berbagai kebutuhan seperti menghasilkan produk energi (bioethanol, biodiesel), biopolymer penghasil plastik dan sebagai bahan campuran tanah untuk rekayasa konstruksi, bahkan sebagai pengolahan limbah dengan cara menyerap kandungan senyawa organik dan nutrisi yang masih tersisa ataupun menyerap beberapa senyawa berbahaya yang terdapat dalam limbah.  Salah satu media kulturisasi mikroalga adalah  chemostat. Chemostat merupakan jenis  bioreaktor kontinu yang berfungsi untuk budidaya mikroalga dan mikroorganisme yang lain yang biasanya digunakan dalam skala laboratorium dan industri. Penelitian ini membahas tentang kendali optimal berupa pemberian tingkat pengenceran secara optimal pada model pertumbuhan mikroalga dalam chemostat. Metode yang digunakan untuk menyelesaikan masalah kendali optimal ini adalah Prinsip Minimum Pontryagin. Adapun fungsi tujuan yang digunakan berupa meminimumkan waktu yang dibutuhkan oleh state awal untuk menuju state akhir (kondisi setimbang). Kemudian dilanjutkan dengan simulasi numerik menggunakan toolbox ICLOCS2. Simulasi dilakukan untuk mengetahui perbandingan pertumbuhan mikroalga dalam chemostat dengan dan tanpa kendali optimal. Berdasarkan hasil pembahasan diperoleh bahwa jenis kendali yang dilakukan berupa kendali bang- bang.  Hasil simulasi menunjukkan bahwa massa jenis mikroalga mampu mencapai kondisi setimbang 40.9% lebih cepat saat diberi kendali optimal daripada tanpa diberi kendali optimal.
Kata Kunci : Mikroalga, Model Chemostat, Prinsip Minimum Pontryagin, Kendali Bang-Bang, Toolbox ICLOCS2

## Abstract
Microalgae is one of Indonesia's natural potentials that can be utilized in various needs such as producing energy products (bioethanol, biodiesel), biopolymers producing plastics and as a soil mixture for construction engineering, even as waste treatment by absorbing the remaining organic compounds and nutrients. or absorb some of the hazardous compounds contained in the waste. One of the microalgae culture media is chemostat. Chemostat is a type of continuous bioreactor that functions for the cultivation of microalgae and other microorganisms that are usually used in laboratory and industrial scales. This study discussed the optimal control in the form of providing optimal dilution rates in the microalgae growth model in the chemostat. The method used to solve this optimal control problem is Pontryagin's Minimum Principle. The objective function used is to minimize the time required by the initial state to reach the final state (equilibrium condition). Then proceed with numerical simulation using the ICLOCS2 toolbox. Simulations were carried out to determine the comparison of microalgae growth in the chemostat with and without optimal control. Based on the results of the discussion, it was found that the type of control carried out was in the form of bang-bang control. The simulation results showed that the density of microalgae was able to reach equilibrium conditions 40.9% faster when given optimal control than without optimal control. Keywords : Microalga, Chemostat Model, Pontryagin’s Minimum Principle, Bang-Bang control, ICLOCS2 toolbox

## 230

## 1 Pendahuluan
Wilayah Indonesia yang berada di daerah tropis dan memiliki luas perairan yang lebih besar daripada daratan, menjadikannya sebagai Negara yang memiliki diversitas spesies mikroalga yang tinggi. Kandungan utama yang dimiliki mikroalga seperti karbohidrat, lipid, dan protein, merupakan potensi yang dapat dikonversikan menjadi sumber pangan dan energi  melalui biorefineri  [1].  Biorefineri merupakan bentuk eksplorasi biomassa untuk diproduksi menjadi bahan bakar, energi, dan bahan-bahan kimia yang digunakan dalam kehidupan. Pemanfaatan akan biomassa dianggap sebagai sumber energi alternatif yang sangat potensial untuk dikembangkan jika dibanding dengan eksplorasi minyak bumi atau bahan-bahan tidak terbarukan lainnya. Serta mikroalga yang menghasilkan biopolimer dapat juga dimanfaatkan sebagai bahan alternatif terbarukan seperti  bahan konstruksi biopolimerik baru. Bahan ini digunakan  untuk pengolahan/perbaikan tanah dalam upaya mengembangkan pendekatan rekayasa konstruksi yang ramah lingkungan. Tentu saja  untuk menggantikan penggunaan bahan konvensional yang memiliki dampak lingkungan yang tinggi[2], [3].
Menyadari akan potensi yang dimiliki oleh mikroalga, maka tidak heran jika banyak penelitian tentang mikroalga terus dilakukan. Model matematika yang dibangun untuk mengetahui perilaku mikroalga telah diteliti oleh [4]–[8], dan masih banyak yang lainnya yang didasarkan pada asumsi yang dibangun oleh masing-masing peneliti. Termasuk penelitian yang telah dilakukan oleh Alzahrani dkk [9]  yang menganalisis model pertumbuhan/budidaya  mikroalga dalam chemostat.  Chemostat merupakan jenis bioreaktor kontinu yang berfungsi untuk budidaya mikroalga dan mikroorganisme yang lain yang biasanya digunakan dalam skala laboratorium dan industri.
Untuk menghasilkan mikroalga yang optimum, upaya pengendalianpun  dilakukan, diantaranya yaitu melalui mitigasi CO2 [10],  pengendalian intensitas cahaya [11], [12], pengendalian intensitas cahaya dan nutrisi [13],  dan pengendalian aliran karbondioksida dan nutrisi [14]. Sementara itu, metode kendali optimal yang bisa digunakan adalah Prinsip Minimum Pontryagin  [15]. Metode ini telah banyak digunakan dalam upaya pengendalian suatu sistem seperti yang dilakukan oleh  [11], [16]–[19], dan masih banyak yang lain. Begitupun dengan pertumbuhan/budidaya mikroalga dalam chemostat, perlu dikaji lebih lanjut melalui model matematikanya. Alzahrani dkk [9] menganalisis model pertumbuhan/budidaya mikroalga dalam chemostat dengan melihat pengaruh dari tingkat pengenceran media berupa nutrisi segar yang mengalir kedalam chemostat tersebut terhadap pertumbuhan mikroalga. Tingkat pengenceran tersebut diasumsikan sebagai parameter yang bernilai konstan. Oleh karena itu, penelitian ini
bertujuan untuk melanjutkan penelitian dari Alzahrani dkk [9]  dengan menjadikan tingkat pengenceran tersebut sebagai variabel kendali.

## 2 Metode Penelitian
Dalam penelitian ini, model matematika pertumbuhan mikroalga dalam chemostat yang dikaji adalah model yang dikembangkan oleh Alzahrani dkk [9].  Selanjutnya, dengan mengasumsikan parameter tingkat  pengenceran sebagai variabel  kendali, maka dilakukan pengecekan  sifat  keterkontrolan  sistem  dengan menentukan rank dari matriks keterkontrolan sistem tersebut[20]. Setelah itu baru dilakukan upaya pengendalian dengan merumuskan masalah kendali. Kemudian masalah kendali tersebut diselesaikan dengan menerapkan Prinsip Minimum Pontryagin [15]. Sistem lalu direpresentasikan dalam bentuk grafik melalui pemanfaatan toolbox ICLOCS2[21]. Hasil simulasi numerik tersebut kemudian digunakan untuk analisis lebih lanjut beserta interpretasinya.

## 3  Hasil dan Pembahasan
Model chemostat secara umum dari pertumbuhan mikroalga terbatas pada satu nutrisi dinyatakan dalam Persamaan (1) dan (2).
𝑑𝑑𝑑𝑑 ( 𝑡𝑡 ) 𝑑𝑑𝑡𝑡 = 𝑋𝑋 ( 𝑡𝑡 )( 𝜇𝜇 − 𝐷𝐷 ) (1)
𝑑𝑑𝑑𝑑 ( 𝑡𝑡 ) 𝑑𝑑𝑡𝑡 = 𝐷𝐷�𝑁𝑁 − 𝑌𝑌 ( 𝑡𝑡 ) � − 𝑢𝑢𝑋𝑋 ( 𝑡𝑡 ) (2)
Dengan 𝑋𝑋 menyatakan  massa jenis mikroalga  yang terdistribusi secara homogen di dalam chemostat, 𝑌𝑌 menyatakan massa jenis nutrisi terbatas dalam chemostat, 𝐷𝐷 menyatakan tingkat pengenceran, 𝜇𝜇 menyatakan tingkat pertumbuhan mikroalga, 𝑁𝑁 menyatakan massa jenis nutrisi segar, dan 𝑢𝑢 menyatakan tingkat penyerapan nutrisi  ke dalam  biomassa  alga. Persamaan (1) menyatakan bahwa laju  massa jenis  mikroalga 𝑋𝑋 terhadap waktu 𝑡𝑡 dinyatakan sebagai selisih antara tingkat pertumbuhan mikroalga dengan tingkat pengenceran mikroalga di dalam chemostat. Sementara  Persamaan (2) menyatakan laju  massa jenis  nutrisi 𝑌𝑌 terhadap waktu 𝑡𝑡 dinyatakan sebagai selisih antara tingkat pengenceran massa jenis  nutrisi  segar yang masuk kedalam chemostat dengan pengenceran nutrisi terbatas dalam chemostat tersebut serta berkurang ketika terjadi penyerapan nutrisi oleh mikroalga.
Asumsi lain yang dibangun dalam mengembangkan model chemostat tersebut [9] yaitu
1. Dengan konservasi massa, laju perubahan kuota sel 𝑄𝑄 dalam sel alga terhadap waktu 𝑡𝑡 dinyatakan sebagai selisih antara tingkat penyerapan nutrisi pada skala sel tunggal 𝑙𝑙 dengan tingkat konsumsi nutrisi karena pertumbuhan. Dalam model matematika dinyatakan sbb

## 232
𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑡𝑡 = 𝑙𝑙𝑌𝑌 ( 𝑡𝑡 ) − 𝜇𝜇𝑄𝑄 (3)
2. Menggunakan model Droop[4]  yang menyatakan tingkat pertumbuhan mikroba 𝜇𝜇 merupakan fungsi dari kuota sel 𝑄𝑄
𝜇𝜇 ( 𝑄𝑄 ) = 𝜇𝜇 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 � 1 − 𝑞𝑞 𝑑𝑑 � (4)
3. Dinamika penyerapan nutrisi lebih cepat daripada dinamika pertumbuhan sel. Sehingga dengan mengasumsikan 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑡𝑡 = 0 , dan mensubstitusi Persamaan (4) ke Persamaan (3), maka diperoleh
𝑄𝑄 = 𝑙𝑙𝑑𝑑 ( 𝑡𝑡 ) 𝜇𝜇 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 + 𝑞𝑞 (5)
4. Tingkat pertumbuhan maksimum 𝜇𝜇 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 diasumsikan proporsional terhadap intensitas cahaya 𝐼𝐼 dalam mencapai sel-sel alga, kapasitas penyerapan cahaya oleh molekul klorofil yang dinyatakan sebagai koefisien redaman cahaya 𝑘𝑘 , dan konstanta proporsionalitas 𝛽𝛽 .
𝜇𝜇 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 = 𝛽𝛽𝑘𝑘𝐼𝐼 (6)
5. Chemostat diasumsikan memiliki kedalaman 𝑧𝑧 , dan sel alga terdistribusi secara homogen di seluruh volume chemostat karena pengadukan konstan, serta pemanfaatan hukum Lambert-Beer 𝐼𝐼 = 𝐼𝐼 0 𝑒𝑒 −�𝜎𝜎+𝑘𝑘𝑑𝑑 ( 𝑡𝑡 ) �𝑧𝑧 , maka Persamaan (6) menjadi
𝜇𝜇 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 = 𝛽𝛽𝑘𝑘𝐼𝐼 0 𝑒𝑒 −�𝜎𝜎+𝑘𝑘𝑑𝑑 ( 𝑡𝑡 ) �𝑧𝑧 (7)
Kemudian Persamaan (7) disubstitusi ke Persamaan (5), diperoleh
𝑄𝑄 = 𝑙𝑙𝑑𝑑 ( 𝑡𝑡 ) 𝛽𝛽𝑘𝑘𝐼𝐼 0 𝑒𝑒 −�𝜎𝜎+𝑘𝑘𝑘𝑘 ( 𝑡𝑡 ) �𝑧𝑧 + 𝑞𝑞 (8)
Selanjutnya,  Persamaan (7) dan (8) disubstitusi ke Persamaan (4), sehingga diperoleh formula mekanistik untuk model Droop yaitu
𝜇𝜇 = 𝛽𝛽𝑘𝑘𝐼𝐼 0 𝑒𝑒 −�𝜎𝜎+𝑘𝑘𝑘𝑘 ( 𝑡𝑡 ) �𝑧𝑧 𝑙𝑙𝑑𝑑 ( 𝑡𝑡 ) 𝑞𝑞𝛽𝛽𝑘𝑘𝐼𝐼 0 𝑒𝑒 −�𝜎𝜎+𝑘𝑘𝑘𝑘 ( 𝑡𝑡 ) �𝑧𝑧 +𝑙𝑙𝑑𝑑 ( 𝑡𝑡 ) (9)
6. Karena sel mengambil nutrisi untuk menggantikan nutrisi yang hilang akibat pertumbuhan sel, maka tingkat penyerapan nutrisi 𝑢𝑢 sebanding dengan tingkat pertumbuhan mikroba 𝜇𝜇 .
Sehingga
𝑢𝑢 = 𝜇𝜇𝑄𝑄 (10)
Berdasarkan asumsi nomor 3 terhadap asumsi nomor 1, maka Persamaan (10) menjadi
𝑢𝑢 = 𝑙𝑙𝑌𝑌 ( 𝑡𝑡 )
Dari asumsi yang dibangun tersebut, maka model matematika yang ditunjukkan Persamaan (1) dan (2) berubah menjadi Persamaan (11) dan (12).
𝑑𝑑𝑑𝑑 ( 𝑡𝑡 ) 𝑑𝑑𝑡𝑡 = 𝑋𝑋 ( 𝑡𝑡 ) � 𝛽𝛽𝑘𝑘𝐼𝐼 0 𝑒𝑒 −�𝜎𝜎+𝑘𝑘𝑘𝑘 ( 𝑡𝑡 ) �𝑧𝑧 𝑙𝑙𝑑𝑑 ( 𝑡𝑡 ) 𝑞𝑞𝛽𝛽𝑘𝑘𝐼𝐼 0 𝑒𝑒 −�𝜎𝜎+𝑘𝑘𝑘𝑘 ( 𝑡𝑡 ) �𝑧𝑧 +𝑙𝑙𝑑𝑑 ( 𝑡𝑡 ) − 𝐷𝐷� (11)

## 233
𝑑𝑑𝑑𝑑 ( 𝑡𝑡 ) 𝑑𝑑𝑡𝑡 = 𝐷𝐷�𝑁𝑁 − 𝑌𝑌 ( 𝑡𝑡 ) � − 𝑙𝑙𝑌𝑌 ( 𝑡𝑡 ) 𝑋𝑋 ( 𝑡𝑡 ) (12)
Sifat kestabilan di sekitar titik setimbang dari Persamaan (11) dan (12) ini telah dianalisis dan bisa dilihat secara lengkap di artikel [9].
3.1. Keterkontrolan
Sebelum dilakukan pengecekan keterkontrolan sistem, terlebih dahulu Persamaan (11) dan (12) dibentuk menjadi matriks state space dengan mengasumsikan tingkat pengenceran 𝐷𝐷 sebagai variabel kendali 𝑐𝑐 ( 𝑡𝑡 ) . Sehingga model pertumbuhan mikroalga dalam chemostat dengan kendali yaitu
𝑑𝑑𝑑𝑑 ( 𝑡𝑡 ) 𝑑𝑑𝑡𝑡 = 𝑋𝑋 ( 𝑡𝑡 ) � 𝛽𝛽𝑘𝑘𝐼𝐼 0 𝑒𝑒 −�𝜎𝜎+𝑘𝑘𝑘𝑘 ( 𝑡𝑡 ) �𝑧𝑧 𝑙𝑙𝑑𝑑 ( 𝑡𝑡 ) 𝑞𝑞𝛽𝛽𝑘𝑘𝐼𝐼 0 𝑒𝑒 −�𝜎𝜎+𝑘𝑘𝑘𝑘 ( 𝑡𝑡 ) �𝑧𝑧 +𝑙𝑙𝑑𝑑 ( 𝑡𝑡 ) − 𝑐𝑐� (13)
𝑑𝑑𝑑𝑑 ( 𝑡𝑡 ) 𝑑𝑑𝑡𝑡 = 𝑐𝑐�𝑁𝑁 − 𝑌𝑌 ( 𝑡𝑡 ) � − 𝑙𝑙𝑌𝑌 ( 𝑡𝑡 ) 𝑋𝑋 ( 𝑡𝑡 ) (14)
Kemudian dilakukan linearisasi sehingga diperoleh matriks state space dari Persamaan (13) dan (14) yaitu
𝒙𝒙̇ = 𝐴𝐴 ( 𝑡𝑡 ) 𝒙𝒙 + 𝐵𝐵 ( 𝑡𝑡 ) 𝒖𝒖 � 𝑑𝑑𝑑𝑑 ( 𝑡𝑡 ) 𝑑𝑑𝑡𝑡 𝑑𝑑𝑑𝑑 ( 𝑡𝑡 ) 𝑑𝑑𝑡𝑡 � = � 𝑎𝑎 11 𝑎𝑎 12 𝑎𝑎 21 𝑎𝑎 22 � �𝑋𝑋𝑌𝑌� + �𝑏𝑏 11 𝑏𝑏 21 � 𝑐𝑐 (15)
dengan
𝑎𝑎 11 = 𝛽𝛽𝑘𝑘𝐼𝐼 0 𝑙𝑙𝑑𝑑� 𝑞𝑞𝛽𝛽𝑘𝑘𝐼𝐼 0 +𝑙𝑙𝑑𝑑�𝑒𝑒 �𝜎𝜎+𝑘𝑘𝑘𝑘 ��𝑧𝑧 − 𝑣𝑣 − 𝑑𝑑�𝛽𝛽𝐼𝐼 0 𝑧𝑧𝑘𝑘 2 𝑙𝑙 2 𝑑𝑑� 2 𝑒𝑒 �𝜎𝜎+𝑘𝑘𝑘𝑘 ��𝑧𝑧 �𝑞𝑞𝛽𝛽𝑘𝑘𝐼𝐼 0 +𝑙𝑙𝑑𝑑�𝑒𝑒 �𝜎𝜎+𝑘𝑘𝑘𝑘 ��𝑧𝑧 � 2 ; 𝑎𝑎 12 = 𝑞𝑞𝛽𝛽 2 𝑘𝑘 2 𝐼𝐼 0 2 𝑙𝑙𝑑𝑑� �𝑞𝑞𝛽𝛽𝑘𝑘𝐼𝐼 0 +𝑙𝑙𝑑𝑑�𝑒𝑒 �𝜎𝜎+𝑘𝑘𝑘𝑘 ��𝑧𝑧 � 2 ; 𝑎𝑎 21 = −𝑙𝑙𝑌𝑌� ; 𝑎𝑎 22 = −𝑣𝑣 − 𝑙𝑙𝑋𝑋� ; 𝑏𝑏 11 = −𝑋𝑋� ; 𝑏𝑏 21 = 𝑁𝑁 − 𝑌𝑌� .
Dimana 𝑥𝑥� = �𝑋𝑋� , 𝑌𝑌�� 𝑇𝑇 adalah pasangan solusi dari variabel state ( 𝑋𝑋 , 𝑌𝑌 ) dan 𝑣𝑣 adalah nilai solusi dari variabel kendali 𝑐𝑐 .
Setelah diperoleh bentuk state space dari Persamaan (13) dan (14) tersebut, selanjutnya adalah menentukan sifat keterkontrolannya.  Keterkontrolan dilakukan melalui pembentukan suatu matriks 𝑀𝑀 𝑐𝑐 dari sistem. Sistem dikatakan dapat dikontrol oleh suatu inputan 𝑐𝑐 (variabel kendali), jika 𝑟𝑟𝑎𝑎𝑟𝑟𝑘𝑘 ( 𝑀𝑀 𝑐𝑐 ) = 𝑟𝑟 dimana 𝑟𝑟 menyatakan ordo dari matriks 𝐴𝐴 ( 𝑡𝑡 ) [15]. Matriks 𝑀𝑀 𝑐𝑐 dari sistem ini ditunjukkan oleh Persamaan (16).
𝑀𝑀 𝑐𝑐 = � −𝑋𝑋 � 𝑚𝑚 1 𝑁𝑁 − 𝑌𝑌� 𝑚𝑚 2 � (16)
dengan
𝑚𝑚 1 = −𝑋𝑋� �� 𝛽𝛽𝑘𝑘𝐼𝐼 0 𝑙𝑙𝑑𝑑� 𝑞𝑞𝛽𝛽𝑘𝑘𝐼𝐼 0 +𝑙𝑙𝑑𝑑�𝑒𝑒 �𝜎𝜎+𝑘𝑘𝑘𝑘 ��𝑧𝑧 − 𝑣𝑣 − 𝛽𝛽𝐼𝐼 0 𝑧𝑧𝑘𝑘 2 𝑙𝑙 2 𝑑𝑑�𝑑𝑑� 2 𝑒𝑒 �𝜎𝜎+𝑘𝑘𝑘𝑘 ��𝑧𝑧 �𝑞𝑞𝛽𝛽𝑘𝑘𝐼𝐼 0 +𝑙𝑙𝑑𝑑�𝑒𝑒 �𝜎𝜎+𝑘𝑘𝑘𝑘 ��𝑧𝑧 � 2 � − 𝑞𝑞𝛽𝛽 2 𝑘𝑘 2 𝐼𝐼 0 2 𝑙𝑙 ( 𝑁𝑁−𝑑𝑑� ) �𝑞𝑞𝛽𝛽𝑘𝑘𝐼𝐼 0 +𝑙𝑙𝑑𝑑�𝑒𝑒 �𝜎𝜎+𝑘𝑘𝑘𝑘 ��𝑧𝑧 � 2 � ;

## 234
𝑚𝑚 2 = 2 𝑙𝑙𝑌𝑌�𝑋𝑋� − 𝑣𝑣𝑁𝑁 + 𝑣𝑣𝑌𝑌� − 𝑙𝑙𝑋𝑋�𝑁𝑁 .
Ordo matriks 𝐴𝐴 adalah 𝑟𝑟 = 2 , dan rank matriks 𝑀𝑀 𝑐𝑐 dapat diperoleh dengan cara menentukan 𝑑𝑑𝑒𝑒𝑡𝑡 ( 𝑀𝑀 𝑐𝑐 ) .
𝑑𝑑𝑒𝑒𝑡𝑡 ( 𝑀𝑀 𝑐𝑐 ) = � −𝑋𝑋 � 𝑚𝑚 1 𝑁𝑁 − 𝑌𝑌� 𝑚𝑚 2 � ≠ 0
Karena det ( 𝑀𝑀 𝑐𝑐 ) ≠ 0 maka 𝑟𝑟𝑎𝑎𝑟𝑟𝑘𝑘 ( 𝑀𝑀 𝑐𝑐 ) = 2 , dengan kata lain 𝑟𝑟𝑎𝑎𝑟𝑟𝑘𝑘 ( 𝑀𝑀 𝑐𝑐 ) = 𝑟𝑟 .  Sehingga  dapat dikatakan bahwa sistem terkontrol dengan inputan 𝑐𝑐 .

## 3.2. Masalah Kendali Optimal
Setelah diketahui bahwa sistem  terkontrol dengan inputan c,  maka selanjutnya dapat dilakukan  kendali  optimal.  Pada penelitian ini, diterapkan Prinsip  Minimum  Pontryagin untuk menentukan kendali optimal 𝑐𝑐 ∗ ( 𝑡𝑡 ) yang memenuhi kondisi 𝑐𝑐 ∈ [0,1] dan membawa sistem (15) dari state awal menuju state akhir atau state target dalam waktu yang minimum. State akhir pada penelitian ini berupa kondisi setimbang  dari  Persamaan (11) dan (12)  yang sudah dianalisis kestabilannya ole Alzahrani dkk [9].  Adapun kondisi setimbang yang dimaksud adalah �𝑋𝑋� ≠ 0, 𝑌𝑌� = 𝐷𝐷𝑁𝑁 𝐷𝐷+𝑙𝑙𝑑𝑑� � . Berikut langkah-langkah dalam menyelesaikan masalah kendali optimal pada penelitian ini:
1. Menentukan persamaan fungsi tujuan
Fungsi tujuan pada permasalahan kendali optimal ini adalah meminimumkan waktu yang dibutuhkan state awal untuk menuju state akhir. Sehingga persamaan fungsi tujuannya yaitu
min 𝐽𝐽 = ∫ 𝑑𝑑𝑡𝑡 𝑡𝑡 𝑓𝑓 𝑡𝑡 0 = 𝑡𝑡 𝑓𝑓 − 𝑡𝑡 0 (17)
dengan 𝑡𝑡 0 = 0 adalah waktu awal dan 𝑡𝑡 𝑓𝑓 adalah waktu akhir  yang nilainya tidak tetap ( free ).
2. Fungsi Hamiltonian
Fungsi Hamiltonian yang dapat dibentuk dari masalah kendali ini yaitu
𝐻𝐻 = 1 + 𝝀𝝀 𝑻𝑻 𝒇𝒇 ( 𝑋𝑋 ( 𝑡𝑡 ), 𝑌𝑌 ( 𝑡𝑡 ), 𝑐𝑐 ( 𝑡𝑡 ), 𝑡𝑡 )
dengan
𝜆𝜆 = �𝜆𝜆 1 𝜆𝜆 2 � , 𝑑𝑑𝑎𝑎𝑟𝑟 𝒇𝒇 ( 𝑋𝑋 ( 𝑡𝑡 ), 𝑌𝑌 ( 𝑡𝑡 ), 𝑐𝑐 ( 𝑡𝑡 ), 𝑡𝑡 ) = � 𝑑𝑑𝑋𝑋 𝑑𝑑𝑡𝑡 𝑑𝑑𝑌𝑌 𝑑𝑑𝑡𝑡 �
Sehingga diperoleh
𝐻𝐻 = 1 + 𝜆𝜆 1 𝑋𝑋 ( 𝑡𝑡 ) 𝛽𝛽𝑘𝑘𝐼𝐼 0 𝑒𝑒 −�𝜎𝜎+𝑘𝑘𝑘𝑘 ( 𝑡𝑡 ) �𝑧𝑧 𝑙𝑙𝑑𝑑 ( 𝑡𝑡 ) 𝑞𝑞𝛽𝛽𝑘𝑘𝐼𝐼 0 𝑒𝑒 −�𝜎𝜎+𝑘𝑘𝑘𝑘 ( 𝑡𝑡 ) �𝑧𝑧 +𝑙𝑙𝑑𝑑 ( 𝑡𝑡 ) − 𝜆𝜆 2 𝑙𝑙𝑌𝑌 ( 𝑡𝑡 ) 𝑋𝑋 ( 𝑡𝑡 ) + 𝑐𝑐�−𝜆𝜆 1 𝑋𝑋 ( 𝑡𝑡 ) + 𝜆𝜆 2 �𝑁𝑁 − 𝑌𝑌 ( 𝑡𝑡 ) ��

## 3. Persamaan variabel state dan costate
Diasumsikan untuk nilai optimal dari 𝑐𝑐 ( 𝑡𝑡 ), 𝑋𝑋 ( 𝑡𝑡 ), 𝑌𝑌 ( 𝑡𝑡 ) dan 𝜆𝜆 ( 𝑡𝑡 ) masing-masing dilambangkan sebagai 𝑐𝑐 ∗ ( 𝑡𝑡 ), 𝑋𝑋 ∗ ( 𝑡𝑡 ), 𝑌𝑌 ∗ ( 𝑡𝑡 ), 𝜆𝜆 ∗ ( 𝑡𝑡 ) . Persamaan state dan costate nya yaitu o State
𝑋𝑋̇ ∗ ( 𝑡𝑡 ) = � 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕𝜆𝜆 1 � ∗ = 𝑋𝑋 ( 𝑡𝑡 ) � 𝛽𝛽𝑘𝑘𝐼𝐼 0 𝑒𝑒 −�𝜎𝜎+𝑘𝑘𝑘𝑘∗ ( 𝑡𝑡 ) �𝑧𝑧 𝑙𝑙𝑑𝑑 ∗ ( 𝑡𝑡 ) 𝑞𝑞𝛽𝛽𝑘𝑘𝐼𝐼 0 𝑒𝑒 −�𝜎𝜎+𝑘𝑘𝑘𝑘∗ ( 𝑡𝑡 ) �𝑧𝑧 +𝑙𝑙𝑑𝑑 ∗ ( 𝑡𝑡 ) − 𝑐𝑐 ∗ � 𝑌𝑌̇ ∗ ( 𝑡𝑡 ) = � 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕𝜆𝜆 2 � ∗ = 𝑐𝑐 ∗ �𝑁𝑁 − 𝑌𝑌 ∗ ( 𝑡𝑡 ) � − 𝑙𝑙𝑌𝑌 ∗ ( 𝑡𝑡 ) 𝑋𝑋 ∗ ( 𝑡𝑡 ) .
o Costate
𝜆𝜆̇ 1 ∗ ( 𝑡𝑡 ) = − � 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕𝑑𝑑 � ∗ = − �𝜆𝜆 1 ∗ � 𝛽𝛽𝑘𝑘𝐼𝐼 0 𝑒𝑒 −�𝜎𝜎+𝑘𝑘𝑘𝑘∗ ( 𝑡𝑡 ) �𝑧𝑧 𝑙𝑙𝑑𝑑 ∗ ( 𝑡𝑡 ) 𝑞𝑞𝛽𝛽𝑘𝑘𝐼𝐼 0 𝑒𝑒 −�𝜎𝜎+𝑘𝑘𝑘𝑘∗ ( 𝑡𝑡 ) �𝑧𝑧 +𝑙𝑙𝑑𝑑 ∗ ( 𝑡𝑡 ) + −𝑧𝑧𝛽𝛽𝑘𝑘 2 𝐼𝐼 0 𝑒𝑒 −�𝜎𝜎+𝑘𝑘𝑘𝑘∗ ( 𝑡𝑡 ) �𝑧𝑧 �𝑙𝑙𝑑𝑑 ∗ ( 𝑡𝑡 ) � 2 𝑑𝑑 ∗ ( 𝑡𝑡 ) �𝑞𝑞𝛽𝛽𝑘𝑘𝐼𝐼 0 𝑒𝑒 −�𝜎𝜎+𝑘𝑘𝑘𝑘∗ ( 𝑡𝑡 ) �𝑧𝑧 +𝑙𝑙𝑑𝑑 ∗ ( 𝑡𝑡 ) � 2 − 𝑐𝑐 ∗ � − 𝜆𝜆 2 ∗ 𝑙𝑙𝑌𝑌 ∗ ( 𝑡𝑡 ) � ,
𝜆𝜆̇ 2 ∗ ( 𝑡𝑡 ) = − � 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕𝑑𝑑 � ∗ = − �𝜆𝜆 1 ∗ 𝑑𝑑 ∗ ( 𝑡𝑡 ) 𝑙𝑙𝑞𝑞�𝛽𝛽𝑘𝑘𝐼𝐼 0 𝑒𝑒 −�𝜎𝜎+𝑘𝑘𝑘𝑘∗ ( 𝑡𝑡 ) �𝑧𝑧 � 2 �𝑞𝑞𝛽𝛽𝑘𝑘𝐼𝐼 0 𝑒𝑒 −�𝜎𝜎+𝑘𝑘𝑘𝑘∗ ( 𝑡𝑡 ) �𝑧𝑧 +𝑙𝑙𝑑𝑑 ∗ ( 𝑡𝑡 ) � 2 − 𝜆𝜆 2 ∗ ( 𝑙𝑙𝑋𝑋 ∗ ( 𝑡𝑡 ) + 𝑐𝑐 ∗ ) � .
Karena tipe dari sistem  pada penelitian ini berupa free-final time and fixed-final state system, maka kondisi batasnya yaitu
𝑋𝑋 ∗ ( 𝑡𝑡 0 ) = 𝑋𝑋 ( 𝑡𝑡 0 ); 𝑌𝑌 ∗ ( 𝑡𝑡 0 ) = 𝑌𝑌 ( 𝑡𝑡 0 ); 𝑋𝑋 ∗ �𝑡𝑡 𝑓𝑓 � = 𝑋𝑋 � ; 𝑌𝑌 ∗ � 𝑡𝑡 𝑓𝑓 � = 𝑌𝑌 � .
Dan karena fungsi tujuannya hanya terdiri dari persamaan Lagrange, maka kondisi batasnya yang lain yaitu
[ 𝐻𝐻 ∗ ] 𝑡𝑡 𝑓𝑓 = 0

## 4. Kondisi optimal
Dengan menerapkan prinsip Pontryagin, kondisi optimal dapat diperoleh melalui berikut 𝐻𝐻 ( 𝑋𝑋 ∗ ( 𝑡𝑡 ), 𝑌𝑌 ∗ ( 𝑡𝑡 ), 𝑐𝑐 ∗ ( 𝑡𝑡 ), 𝜆𝜆 1 ∗ ( 𝑡𝑡 ), 𝜆𝜆 2 ∗ ( 𝑡𝑡 ), 𝑡𝑡 ) ≤ 𝐻𝐻 ( 𝑋𝑋 ∗ ( 𝑡𝑡 ), 𝑌𝑌 ∗ ( 𝑡𝑡 ), 𝑐𝑐 ( 𝑡𝑡 ), 𝜆𝜆 1 ∗ ( 𝑡𝑡 ), 𝜆𝜆 2 ∗ ( 𝑡𝑡 ), 𝑡𝑡 ) yang dapat disederhanakan menjadi
𝑐𝑐 ∗ 𝑠𝑠 ∗ ( 𝑡𝑡 ) ≤ 𝑐𝑐𝑠𝑠 ∗ ( 𝑡𝑡 ) = min 𝑐𝑐 ( 𝑡𝑡 ) ∈ [ 0 , 1 ] { 𝑐𝑐𝑠𝑠 ∗ ( 𝑡𝑡 )} .
Dimana 𝑠𝑠 ∗ ( 𝑡𝑡 ) = −𝜆𝜆 1 ∗ 𝑋𝑋 ∗ ( 𝑡𝑡 ) + 𝜆𝜆 2 ∗ �𝑁𝑁 − 𝑌𝑌 ∗ ( 𝑡𝑡 ) � adalah fungsi switching .
5. Kendali bang-bang
Kendali bang-bang ini dilakukan sebagai akibat dari persamaan Hamiltonian yang linear terhadap variabel kendali 𝑐𝑐 ( 𝑡𝑡 ) [22]. Atau dengan kata lain, tidak dapat ditentukan secara

## 236
eksplisit persamaan kendali optimal 𝑐𝑐 ∗ ( 𝑡𝑡 ) dari 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕𝑐𝑐 = 0 . Sehingga, mengacu pada 𝑠𝑠 ∗ ( 𝑡𝑡 ) , variabel kendali optimal 𝑐𝑐 ∗ ( 𝑡𝑡 ) berbentuk fungsi signum sebagai berikut:
𝑐𝑐 ∗ ( 𝑡𝑡 ) = � 1 𝑗𝑗𝑗𝑗𝑘𝑘𝑎𝑎 𝑠𝑠 ∗ ( 𝑡𝑡 ) < 0 𝑐𝑐 ( 𝑡𝑡 ) 𝑗𝑗𝑗𝑗𝑘𝑘𝑎𝑎 𝑠𝑠 ∗ ( 𝑡𝑡 ) = 0 0 𝑗𝑗𝑗𝑗𝑘𝑘𝑎𝑎 𝑠𝑠 ∗ ( 𝑡𝑡 ) > 0
atau dapat ditulis dalam bentuk compact sebagai
𝑐𝑐 ∗ ( 𝑡𝑡 ) = −𝑠𝑠𝑠𝑠𝑟𝑟 { 𝑠𝑠 ∗ ( 𝑡𝑡 )}
Ketika 𝑠𝑠 ∗ ( 𝑡𝑡 ) = 0, maka nilai 𝑐𝑐 ∗ ( 𝑡𝑡 ) diperoleh dengan cara 𝑑𝑑𝑠𝑠 ∗ ( 𝑡𝑡 ) 𝑑𝑑𝑡𝑡 = 0 , yaitu
𝑐𝑐 ∗ ( 𝑡𝑡 ) = 1 𝜆𝜆 1 ∗ � 𝜆𝜆 1 ∗ 𝛽𝛽𝑘𝑘𝐼𝐼 0 𝑒𝑒−�𝜎𝜎 + 𝑘𝑘𝑋𝑋∗ ( 𝑡𝑡 ) �𝑧𝑧𝑘𝑘𝑙𝑙 � 𝑋𝑋∗ ( 𝑡𝑡 ) 𝑙𝑙𝑧𝑧 � 𝑌𝑌∗ ( 𝑡𝑡 ) � 2 + �𝑁𝑁−𝑑𝑑 ∗ ( 𝑡𝑡 ) �𝑞𝑞𝛽𝛽𝐼𝐼 0 𝑒𝑒 −�𝜎𝜎+𝑘𝑘𝑘𝑘∗ ( 𝑡𝑡 ) �𝑧𝑧 � �𝑞𝑞𝛽𝛽𝑘𝑘𝐼𝐼 0 𝑒𝑒 −�𝜎𝜎+𝑘𝑘𝑘𝑘∗ ( 𝑡𝑡 ) �𝑧𝑧 +𝑙𝑙𝑑𝑑 ∗ ( 𝑡𝑡 ) � 2 + 𝜆𝜆 2 ∗ ( 𝑙𝑙𝑌𝑌 ∗ ( 𝑡𝑡 ) − 𝑙𝑙𝑁𝑁 ) � (18)
Masalah kendali bang-bang ini tidak dapat  diselesaikan secara analitik. Sehingga penyelesaiannya menggunakan metode numerik dengan bantuan toolbox ICLOCS2[21].

## 3.3. Simulasi Numerik
Simulasi ini dilakukan dengan tujuan untuk membandingkan perilaku sistem dengan dan tanpa kendali  optimal. Adapun nilai parameter yang digunakan untuk simulasi numerik ditunjukkan oleh Tabel 1 dengan catatan bahwa 𝑁𝑁 , 𝑞𝑞 , 𝑋𝑋 ( 𝑡𝑡 ), dan 𝑌𝑌 ( 𝑡𝑡 ) dinormalisasi oleh massa jenis air � 1 𝑔𝑔 𝑐𝑐𝑚𝑚 3 � untuk mendapatkan massa jenis relatif ( non-dimensional ).
Tabel 1. Nilai Parameter [9] Parameter Definisi Nilai Satuan 𝐷𝐷 Tingkat Pengenceran 0.24 Per hari 𝑘𝑘 Koefisien redaman cahaya 0.032 Per cm 𝛽𝛽 Konstanta proporsionalitas 10 𝐽𝐽 −1 𝑐𝑐𝑚𝑚 3 𝜎𝜎 Kekeruhan 0.1 Per 𝑐𝑐𝑚𝑚 𝑧𝑧 Kedalaman chemostat 8 𝑐𝑐𝑚𝑚 𝑙𝑙 Tingkat penyerapan nutrisi oleh sel alga secara individu 0.2 Per hari 𝐼𝐼 0 Radiasi 50 𝐽𝐽 . 𝑐𝑐𝑚𝑚 −2 per hari 𝑁𝑁 Massa jenis nutrisi stok 1 Non dimensional 𝑞𝑞 Kuota subsisten 0.05 Non dimensional
Dengan nilai kondisi awal 𝑋𝑋 (0) = 0.01 dan 𝑌𝑌 (0) = 0.01 , maka grafik model pertumbuhan mikroalga dalam chemostat tanpa kendali optimal ditunjukkan pada Gambar 1.
Gambar 1. Grafik model pertumbuhan mikroalga dalam chemostat tanpa kendali optimal Dengan menggunakan nilai parameter pada Tabel 1, maka kondisi setimbang yang stabil dari Persamaan (11) dan (12) yaitu 𝑋𝑋� ≈ 10.05 , dan 𝑌𝑌� ≈ 0.1067 . Kondisi setimbang dari massa jenis mikroalga ini dicapai pada waktu kurang lebih 22 hari. Dengan kata lain, sejak hari ke - 22, massa jenis mikroalga dalam chemostat mulai stabil dan tidak ada laju perubahan dari waktu ke waktu. Massa jenis mikroalga selama proses kulturisasi didalam chemostat akan bernilai konstan sejak hari ke-22. Selanjutnya dilakukan simulasi numerik untuk model pertumbuhan mikroalga dalam chemostat dengan kendali optimal. Grafik model pertumbuhan mikroalga dalam chemostat dengan kendali optimal ditunjukkan pada Gambar 2.
Gambar 2. Grafik model pertumbuhan mikroalga dalam chemostat dengan kendali optimal Pada Gambar 2, terlihat bahwa kondisi setimbang dari massa jenis mikroalga dicapai pada waktu kurang lebih 9 hari. Hal ini menunjukkan bahwa massa jenis mikroalga dalam chemostat mencapai kondisi setimbang dalam waktu relatif lebih singkat saat diberi kendali optimal. Jika dibandingkan dengan sebelum diberi kendali optimal,  massa jenis mikroalga dalam chemostat dapat mencapai kondisi setimbang 40.9% lebih cepat saat diberi kendali optimal. Sementara itu, profil kendali bang-bang untuk variabel 𝑐𝑐 ( 𝑡𝑡 ) ditunjukkan pada Gambar 3.
Gambar 3. Profil nilai kendali optimal (kendali bang-bang)
Pada Gambar 3 tersebut terlihat bahwa perilaku kendali optimal berupa tingkat pengenceran ini mencapai nilai maksimum diawal yaitu 1. Namun, ketika mendekati hari ke-2,  nilainya mengalami perubahan ( switching ) secara drastis menuju 0. Hasil ini menunjukkan bahwa upaya pemberian tingkat pengenceran harus dilakukan secara maksimal diawal, sehingga mengakibatkan laju massa jenis nutrisi meningkat tajam. Lalu kondisi ini dimanfaatkan untuk penyerapan nutrisi oleh mikroalga secara individu. Sehingga ketika tingkat pengenceran langsung berubah menuju 0, laju massa jenis mikroalga meningkat lebih cepat dan mencapai kondisi setimbang dalam waktu relatif lebih singkat. Jika sebelum diberi kendali optimal, massa jenis mikroalga membutuhkan waktu sekitar 22 hari untuk mencapai setimbang, maka ketika diberi kendali optimal, massa jenis mikroalga hanya membutuhkan waktu sekitar 9 hari untuk mencapai kondisi setimbang.

## 4  Simpulan
Berdasarkan hasil dan pembahasan, dapat disimpulkan bahwa penerapan Prinsip Minimum Pontryagin dalam menyelesaikan masalah kendali optimal model pertumbuhan mikroalga dalam chemostat berjalan dengan baik. Upaya pemberian kendali optimal berupa tingkat pengenceran dapat meminimumkan waktu yang dibutuhkan state awal untuk menuju state akhir secara optimal. Sehingga hal ini menjadikan kulturiasasi mikroalga dalam chemostat mencapai kondisi setimbang dalam waktu relatif lebih cepat dibanding sebelum diberi kendali optimal. Meskipun penelitian ini hanya melalui analisis model matematikanya, tapi tidak menutup kemungkinan untuk dapat dijadikan acuan dalam masalah kendali optimal kulturisasi mikroalga dalam chemostat.

## 5 Ucapan Terima Kasih
Ucapan terimakasih kami sampaikan kepada Politeknik Negeri Malang melalui UPT P2M yang telah memberikan dukungan melalui pendanaan untuk penelitian yang kami lakukan.

## 6  Daftar Pustaka
[1]  H. Hadiyanto and N. P. Adetya, Biorefinery Mikroalga , 1st ed. Semarang: EF Press
Digimedia, 2019. [Online]. Available:
http://eprints.undip.ac.id/72170/1/buku_Refenery_DONE.pdf
[2]  I. Chang, A. K. Prasidhi, J. Im, and G. C. Cho, “Soil strengthening using thermo-gelation biopolymers,” Constr. Build. Mater. , vol. 77, 2015, doi:
10.1016/j.conbuildmat.2014.12.116.
[3]  D. Amalia, B. Guritno, and G. Firuliadhim, “Pengaruh Biopolimer Pada Stabilitas Lereng Swelling soil,” Borneo Eng.  J. Tek. Sipil , vol. 5, no. 3, 2021, doi: 10.35334/be.v5i3.2099.
[4]  M. R. Droop, “SOME THOUGHTS ON NUTRIENT LIMITATION IN ALGAE,” J. Phycol. , vol. 9, no. 3, 1973, doi: 10.1111/j.1529-8817.1973.tb04092.x.
[5]  J. Monod, “Technique, Theory and Applications of Continuous Culture.,” Ann. Inst. Pasteur , vol. 79, no. 4, 1950.
[6]  A. Thornton et al. , “Modeling, optimization of algae growth,” 2010.
[7]  H. Sovová and R. P. Stateva, “New developments in the modelling of carotenoids extraction from microalgae with supercritical CO2,” J. Supercrit. Fluids , vol. 148, 2019, doi: 10.1016/j.supflu.2019.03.002.
[8]  H. F. L. García and N. L. Mejía, “Mathematical Model of a Bubble Column for the Increased Growth of Arthrospira platensis and the Formation of Phycocyanin,” Int. J. Technol. , vol. 12, no. 2, 2021, doi: 10.14716/ijtech.v12i2.4256.
[9]  E. O. Alzahrani, M. M. El-Dessoky, and P. Dogra, “Global dynamics of a cell quota-based model of light-dependent algae growth in a chemostat,” Commun. Nonlinear Sci. Numer. Simul. , vol. 90, 2020, doi: 10.1016/j.cnsns.2020.105295.
[10]  O. Bernard, “Hurdles and challenges for modelling and control of microalgae for CO2 mitigation and biofuel production,” IFAC Proc. Vol. , vol. 43, no. 5, 2010, doi:
10.3182/20100705-3-be-2011.00111.
[11]  N. Izzati, “ANALISIS KESTABILAN DAN KENDALI OPTIMAL PADA MODEL DINAMIKA MODULASI ENERGI CAHAYA DALAM FOTOSINTESIS ALGA,” Reaktom  Rekayasa Keteknikan dan Optimasi , vol. 2, no. 1, 2017, doi:

## 240
10.33752/reaktom.v2i1.152.
[12]  Mardlijah, A. Fadhillah, and L. Hanafi, “Performance Analysis of Linear Quadratic Regulator Method in Microalga Growth with Control of Light Intensity,” in Journal of Physics: Conference Series , 2020, vol. 1463, no. 1. doi: 10.1088/1742-
6596/1463/1/012004.
[13]  Azim, R. Ratianingsih, and N. Nacong, “Model Matematika Kendali Optimal Intensitas Cahaya Dan Nutrisi Pada Pertumbuhan Mikroalga Dengan Menggunakan Metode Pontryagin,” J. Ilm. Mat. DAN Terap. , vol. 17, no. 1, 2020, doi:
10.22487/2540766x.2020.v17.i1.15173.
[14]  Mardlijah, A. Jamil, L. Hanafi, and S. Sanjaya, “Optimal control of algae growth by controlling CO 2 and nutrition flow using Pontryagin Maximum Principle,” in Journal of Physics: Conference Series , 2017, vol. 890, no. 1. doi: 10.1088/1742-6596/890/1/012042.
[15]  D. Subbaram Naidu, Optimal control systems . CRC Press, 2002. doi:
10.1515/9783110306637-005.
[16]  W. Ningsih, S. Sumardi, and ..., “Kendali Optimal Model Matematika Penyebaran Rumor pada Jaringan Sosial Daring dengan Pemberian Pernyataan Balasan,” … dan Nilai-Nilai
… , 2020.
[17]  W. Ningsih, “Pengendalian Optimal Model Epidemi Flu Burung pada Unggas-Manusia dengan Pengobatan pada Manusia dan Depopulasi pada Unggas,” Sq.  J. Math. Math. Educ. , vol. 3, no. 1, 2021, doi: 10.21580/square.2021.3.1.7871.
[18]  D. Idayani and S. Subchan, “Optimal Control of Multi-Supplier Inventory Management with Lead Time,” Int. J. Comput. Sci. Appl. Math. , vol. 6, no. 1, 2020, doi:
10.12962/j24775401.v6i1.5040.
[19]  R. W. Dewanti and S. Subchan, “Kendali Optimal Model Diversifikasi Beras dan Non- beras dengan Target Akhir Konsumsi,” SPECTA J. Technol. , vol. 1, no. 3, 2019, doi: 10.35718/specta.v1i3.88.
[20]  Subiono, “Sistem Linear dan Kontrol Optimal,” p. 255, 2013.
[21]  Y. Nie, O. Faqir, and E. C. Kerrigan, “ICLOCS2: Try this Optimal Control Problem Solver before you Try the Rest,” 2018. doi: 10.1109/CONTROL.2018.8516795.
[22]  S. Subchan and R. Zbikowski, Computational Optimal Control: Tools and Practice . 2009. doi: 10.1002/9780470747674.