## IDEAL DIFERENSIAL DAN HOMOMORFISMA DIFERENSIAL

## Na’imah Hijriati, Saman Abdurrahman, Thresye
Program Studi Matematika Universitas Lambung Mangkurat Jl. Jend. A. Yani Km. 36 Kampus Unlam Banjarbaru Email : imah_math@yahoo.co.id

## ABSTRAK
Ideal  diferensial  adalah  ideal  dari  ring  diferensial  yang  memenuhi  jika  untuk setiap a  I , dan setiap    ,  (a)  I, sedangkan homomorfisma diferensial merupakan homomorfisma ring yang komutatif terhadap setiap derivasinya. Pada tulisan ini disajikan sifat-sifat dari ideal diferensial dan homomorfisma diferensial.
Kata Kunci : ring diferensial, ideal diferensial, dan homomorfisma diferensial .

## ABSTRACT
Differential ideal is ideal of differential ring that if every  a  I, and every    , than  (a)  I,  and differential homomorfism is ring homomorfism that every derivation is commute.  In  this  paper,  we  explain  about  characteristic  of  differential  ideal  and differential homomorfism.
Keyword : differential ring, ideal differential, and differential homomorfism .

## 1. PENDAHULUAN
Suatu  himpunan R yang  dilengkapi  dengan  dua  operasi  biner,  yaitu  operasi penjumlahan  ”+”  dan  operasi  pergandaan  ” . ”,  disebut  ring  jika R dibawah  operasi penjumlahan  merupakan  grup  komutatif  dan  di  bawah  operasi  pergandaan  berlaku  sifat assosiatif,  serta  memenuhi  sifat  distributif  operasi  pergandaan  terhadap  operasi penjumlahan. R disebut ring komutatif jika R dibawah operasi pergandaan komutatif. Jika  ring  komutatif R yang  dengan  elemen  satuan  dan } , , , { 2 1 m    
  merupakan himpunan derivasi berhingga yang komutatif atas R , yaitu himpunan  pemetaan dari R ke R yang memenuhi  ( f + g ) =  ( f ) +  ( g ) dan  ( fg ) = f  ( g ) +  ( f ) g untuk setiap f , g  R maka R yang  dilengkapi  dengan  membentuk  strukur  baru  yang  disebut  ring diferensial (Morrison, 2002).
Diketahui  didalam  suatu  ring  terdapat  pembahasan  mengenai  ideal  dan homomorfisma ring. Ideal adalah himpunan bagian yang merupakan grup terhadap operasi penjumlahan,  dan  tertutup  terhadap  operasi  pergandaan  atas  ring  tersebut,  sedangkan  dan homomorfisma  ring  adalah  suatu  pemetaan  yang  mengawetkan  operasi  penjumlahan  dan operasi  pergandaan.  Kerena  ring  diferensial  merupakan  suatu  ring,  maka  didalam  ring diferensial  terdapat  juga  ideal  dan  homomorfisma  ring  yang  memiliki  sifat  tertentu  yang disebut ideal diferensial dan homomorfisma ring diferensial.

## 2. TINJAUAN PUSTAKA

## 2.1. RING
Berikut ini diberikan definisi ring dan definisi ring komutatif sebagai berikut : Definisi 2.1.1 (Adkins, 1992)
Misalkan  R  adalah  himpunan  dengan  dua  operasi  biner,  yaitu  operasi  penjumlahan “+” dan operasi pergandaan “ . ”. R disebut ring jika : i. R dibawah operasi penjumlahan adalah grup komutatif ii. R dibawah operasi pergandaan berlaku sifat assosiatif iii. untuk setiap a , b , c  R berlaku sifat distributif kiri : a . ( b + c ) = a . b + a . c dan distributif kanan : ( a + b ) . c = a . c + b . c Selanjutnya a . b ditulis dengan ab . Definisi 2.1.2 (Dummit&Foote, 1999) Misalkan  R adalah  ring . R  dikatakan  ring  komutatif  jika  R  dibawah  operasi  pergandaan bersifat  komutatif dan  R  dikatakan  mempunyi  elemen  identitas jika  terdapat 1  R sedemikian sehingga berlaku 1. a = a .1 = a untuk setiap a  R .

## 2.2. IDEAL
Berikut ini definisi dari ideal beserta sifatnya : Definisi 2.2.1 (Fraleigh, 2000) Diberikan himpunan bagian tak kosong I dari ring R . I disebut ideal dari R jika : i . untuk setiap a , b  I berlaku a  b  I ii . untuk setiap a  I , dan untuk setiap r  R berlaku ra , ar  I Teorema 2.2.2 (Dummit&Foote, 2002) Jika I dan J ideal-ideal dari ring R , maka berlaku I  J dan I + J ideal-ideal dari R .

## 2.3 RING FAKTOR
Diberikan  ideal I dari  ring R .  Dibentuk  himpunan } | { R r I r I R    .
Didefinisikan  operasi  penjumlahan  dan  operasi  pergandaan  pada I R berturut-turut sebagai berikut :
( r + I ) + ( s + I ) = ( r + s ) + I dan ( r + I )( s + I ) = ( rs ) + I (2.1)
untuk setiap ( r + I ), ( s + I )  I R dengan r , s  R .
Karena r , s  R dan  diketahui R adalah  ring,  maka  berdasarkan  definisi  operasi penjumlahan  dan  operasi  pergandaan  di  atas  dan  berdasarkan  definisi  himpunan I R , terbukti  bahwa I R tertutup  terhadap  operasi  penjumlahan  dan  operasi  pergandaan  yang didefinisikan  pada  persamaan  (2.1).  Himpunan I R merupakan  ring  terhadap  operasi penjumlahan  dan  operasi  pergandaan  yang  didefinisikan  pada  (2.1)  dan  dinyatakan  di dalam teorema berikut ini :
Teorema 2.3.1 (Adkins, 1992)
I R merupakan  ring  terhadap  operasi  penjumlahan  dan  operasi  pergandaan yang didefinisikan (2.1).

## 2.4. HOMOMORFISMA RING

## Berikut ini adalah definisi dari homomorfisma ring
Definisi 2.4.1 (Fraleigh, 2000)
Diberikan  ring ( R ,  +,  .) dan ( S ,  +’,  *) dan  pemetaan  : R  S .  Pemetaan  disebut homomorfisma ring jika : i . f ( a + b ) = f ( a ) +’ f ( b ) ii. f ( a . b ) = f ( a ) * f ( b ).
Definisi 2.4.2 (Fraleigh, 2000) Misalkan R dan S adalah ring , dan fungsi f : R  S merupakan homomorfisma ring . i. f disebut monomorfisma jika f fungsi injektif
ii. f disebut epimorfisma jika f fungsi surjektif
iii. f disebut isomorfisma jika f fungsi bijektif iv. f disebut endomorfisma jika R = S v. f disebut automorfisma jika f fungsi bijektif dan R = S
Berikut ini definisi dari kernel dan image dari homomorfisma ring :
Definisi 2.4.3 (Adkins, 1992)
Misalkan f : R  S homomorfisma  ring . Didefinisikan  kernel  dan  image  dari  f  sebagai berikut : 1. Kernel ( f ) = Ker( f ) = { r  R | f ( r ) = 0, 0 unsur nol di S } 2. Image ( f ) = Im( f ) = f ( R ) = { s  S | s = f ( r ), untuk r  R } Teorema 2.4.6 (Fraleigh, 2000)
Suatu  homomorfisma  f  dari  ring  R  ke  ring  S  disebut  monomorfisma  jika  dan  hanya  jika Ker ( f ) = 0 R .
Jika I ideal  dari R maka  akan  selalu  terdapat  pemetaan  dari R ke I R yang merupakan  epimorfisma  dan  kernelnya  adalah I ,  yang  dinyatakan  dalam  teorema  berikut ini :
Teorema 2.4.7. Homomorfisma Natural (Fraleigh, 2000)
Jika  I  ideal  dari  ring  R , maka    f : R  I R yang  didefinisikan  dengan  f ( r )  = r + I , merupakan epimorfisma dengan Ker( f ) = I .
Selanjutnya akan diberikan Teorema Isomorfisma Ring Pertama, Kedua dan Ketiga sebagai berikut :
Teorema 2.4.8. Teorema Isomorfisma Ring Pertama (Dummit&Foote, 2002) Jika f : R  S homomorfisma ring  dengan Ker ( f ) = I , maka  I ideal dari R , f ( R ) subring dari  S  dan  : I R  f ( R ) yang  didefinisikan  dengan ) ( ) ( r f I r    merupakan isomorfisma dan tunggal . Selanjutnya jika  : R  I R homomorfisma natural , maka  = f .
Teorema 2.4.9 Teorema Isomorfisma Ring Kedua (Dummit&Foote, 2002) Diberikan ring diferensial R . Jika I dan J adalah ideal-ideal dari R maka I ideal  dari I  +  J , I  J ideal  dari  J , dan  terdapat  dengan  tunggal  isomorfisma  dari I J I  ke
J I J  .

## Teorema 2.4.10. Teorema Isomorfisma Ring Ketiga (Dummit&Foote, 2002)
Jika    I  dan  J    adalah  ideal-ideal  dari  ring R dan I  J maka I J ideal  dari I R dan terdapat dengan tunggal isomorfisma dari J R ke I J I R .

## 2.5. RING DIFERENSIAL Definisi 2.5.1 (Morrison, 2002)
ring  komutatif  R  yang  dengan  elemen  satuan  dan
} , , , { 2 1 m    
  merupakan himpunan derivasi berhingga yang komutatif atas R, yaitu himpunan  pemetaan dari R ke R yang memenuhi  (f + g) =  (f) +  (g) dan  (fg) = f  (g) +  (f)g untuk setiap  f, g  R Definisi 2.5.2 (Morrison, 2002)
Ideal  I dari ring  diferensial  R  disebut  ideal  diferensial  jika  a  I ,     ,  ( a )  I . Definisi 2.5.3 (Morrison, 2002) Diberikan  R  dan  S masing-masing  ring  diferensial . Pemetaan  : R  S disebut homomorfisma  diferensial  jika  merupakan  homomorfisam  ring  dan  komutatif  terhadap setiap derivasinya .

## 3. METODE PENELITIAN
Penelitian  ini  merupakan  penelitian  studi  literatur,  dengan  langkah-langkah prosedur  yang  digunakan  adalah  pertama  mengumpulkan  beberapa  pustaka  yang berhubungan  dengan  ring  diferensial,  ideal  diferensial  dan  homomorfisma  diferensial, kedua  mempelajari  definisi  dan  sifat-sifat  ring,  ideal,  homomorfisma  ring,  dan  derivasi yang  mendasari  sifat-sifatnya  ideal  diferensial  dan  homomorfisma  diferensial,  ketiga membuktikan sifat-sifat  dari ideal  diferensial  dan homomorfisma diferensial, dan terakhir menarik kesimpulan.

## 4. HASIL DAN PEMBAHASAN

## 4.1. IDEAL DIFERENSIAL
Berdasarrkan  Definisi  2.5.2 diketahui  bahwa  suatu  ideal  diferensial  dari  ring diferensial dengan derivasi  , merupakan suatu ideal yang memenuhi sifat  ( a )  I untuk setiap a  I dan untuk setiap    , sehingga sifat – sifat dari ideal  yang dinyatakan dalam Teorema 2.2.2 dapat diturunkan pada ideal diferensial, yaitu :

## Teorema 4.1.1
Diberikan ideal-ideal diferensial I dan J dari ring diferensial R dengan derivasi  , maka I  J dan I + J merupakan ideal diferensial Bukti :
i. Berdasarkan Teorema 2.2.2 diketahui jika I dan J ideal dari R maka I  J merupakan ideal  dari R ,  sehingga  untuk  membukikan I  J merupakan  ideal  diferensial  cukup ditunjukkkan  ( a )  I  J ,  untuk setiap a  I  J dan untuk setiap    . Diberikan sebarang a  I  J maka a  I dan a  J . Karena diketahui I dan J berturut- turut  merupakan  ideal  diferensial  maka  ( a )  I dan  ( a )  J umtuk  setiap    , sehingga diperoleh  ( a )  I  J . Jadi terbukti I  J merupakan ideal diferensial.
ii. Berdasarkan Teorema 2.2.2  diketahui jika I dan J ideal dari R maka I + J merupakan ideal  dari R ,  sehingga  untuk  membukikan I + J merupakan  ideal  diferensial  cukup ditunjukkkan  ( a )  I + J ,  untuk setiap a  I + J .
Diberikan sebarang a  I + J maka terdapat b  I dan c  J sedemikian sehingga a = b + c . Dengan menggunakan definisi derivasi diperoleh untuk setiap     ( a ) =  ( b + c ) =  ( b ) +  ( c ).
Karena  diketahui I dan J berturut-turut  merupakan  ideal  diferensial  maka  ( b )  I dan  ( c )  J ,  akibatnya  ( a )  I + J .  Jadi  terbukti I + J merupakan  ideal diferensial. 
Selanjutnya  suatu  ideal I dari  ring  komutatif R sedemikian sehingga  berlaku  sifat jika a n  I maka a  I , disebut ideal radikal, akibatnya jika I merupakan ideal diferensial dari ring diferensial R maka I disebut ideal diferensial radikal. Berikut ini beberapa sifat- sifat yang berkaitan dengan ideal diferensial radikal :
Lemma 4.1.2
Diberikan  ideal  diferensial  radikal  I  dari  ring  diferensial  R  dengan  himpunan  derivasi berhingga  . Jika ab  I maka a  ( b )  I  dan  ( a ) b  I , untuk a , b  R dan untuk setiap    Bukti Diketahui ab  I ,  karena I ideal  diferensial  maka  ( ab )  I ,  untuk  setiap    dengan  ( ab ) =  ( a ) b + a  ( b )  a  ( b ) =  ( ab )   ( a ) b dan  ( a ) b =  ( ab )  a  ( b ), sehingga a  ( b )  ( ab ), (  ( a )  ( b ))( ab )  I .
Akibatnya karena ( a  ( b )) 2 = a  ( b )(  ( ab )   ( a ) b ) = a  ( b )  ( ab )  a  ( b )  ( a ) b = a  ( b )  ( ab )   ( a )  ( b ) ab (  ( a ) b ) 2 =  ( a ) b (  ( ab )  a  ( b )) =  ( a ) b (  ( ab )   ( b ) ba  ( b ) =  ( a ) b (  ( ab )  (  ( a)  ( b )) ab maka ( a  ( b )) 2 , (  ( a ) b ) 2  I , sehingga karena diketahui I ideal radikal maka diperoleh a  ( b ),  (a ) b  I .  Lemma 4.1.3
Diberikan  ideal  diferensial  radikal  I  dari  ring  diferensial  R dan  S  sebarang  himpunan bagian  dari  R . Jika  didefinisikan  T =  { x  R | xS  I }, maka  T  ideal  diferensial  radikal dari R . Bukti : Himpunan T = { x  R | xS  I } merupakan himpunan tak kosong karena terdapat  0  R sedemikian sehingga 0 s = 0  I , sehingga untuk membuktikan T ideal  diferensial  radikal jika T ideal yang memenuhi  ( x )  T untuk setiap x  T , setiap    dan jika x n  T maka x  T . i. Himpunan T disebut ideal jika T subgrup terhadap opersai penjumlahan dan memenuhi rx , xr  T untuk setiap x  T dan r  R . a. Akan dibuktikan T subgrup dari R yaitu untuk setiap x , y  T berlaku x – y  T  ( x – y ) S  I Ambil sebarang x , y  T maka xS , yS  I . Karena  ( x – y ) s = xs – ys untuk setiap s  S maka karena xs , ys  I dan diketahui I ideal dari R diperoleh xs – ys  I untuk setiap s  S , akibatnya ( x – y ) s  I untuk setiap s  S . Jadi ( x – y ) S  I  x – y  T
b. Akan dibuktikan rx , xr  T untuk setiap x  T dan r  R Ambil sebarang r  R dan x  T maka xS  I . Karena ( rx ) s = r ( xs ) dan ( xr ) s = ( rx ) s = r ( xs ) untuk setiap s  S maka karena xs  I dan diketahui I ideal dari R diperoleh r ( xs )  I untuk setiap s  S , akibatnya ( rx ) s , ( xr ) s  I untuk setiap s  S . Jadi rxS , xrS  I  rx , xr  T Jadi berdasarkan ( a ) dan ( b ) terbukti T ideal dari R ii. Akan dibuktikan  ( x )  T untuk setiap x  T dan untuk setiap   
Ambil sebarang x  T maka xS  I  xs  I untuk setiap s  S . Andaikan  ( x )  T untuk setiap    . Karena diketahui I ideal difernsial maka jika xs  I maka  ( xs )  I .  Selanjutnya  karena  diketahui I ideal  diferensial  radikal  maka berdasarkan Lemma 4.1.2 diperoleh  ( x ) s  I   ( x )  T . Akibatnya kontradiksi dengan  ( x )  T . Jadi terbukti  ( x )  T untuk setiap x  T dan untuk setiap    . iii. Akan dibuktikan jika x n  T maka x  T Ambil sebarang x  R dengan x n  T . Karena ( xs ) n = x n s n = ( x n s n – 1 ) s  I untuk setiap s  S dan diketahui I ideal diferensial radikal maka xs  I untuk setiap s  S , sehingga x  T . Jadi terbukti T ideal radikal Berdasarkan (i), (ii), dan (iii) terbukti bahwa T ideal diferensial radikal. 

## 4.2. HOMOMORFISMA DIFERENSIAL
Jika I ideal dari ring R maka berdasarkan Teorema 2.3.1 dapat dibentuk ring faktor I R . Jika didefinisikan derivasi pada I R dengan I ideal diferensial dari ring diferensial R dengan himpunan derivasi berhingga  sebagai berikut :  ( a + I ) =  ( a ) + I (4.1)
untuk  setiap a + I  I R dan  untuk  setiap    ,  maka I R merupakan  ring  diferensial yang dinyatakan dalam lemma berikut ini :

## Lemma 4.2.1
Jika  I  ideal  diferensial  dari  ring  diferensial  R  maka I R ring  faktor  diferensial  dengan derivasi yang didefinisikan pada persamaan (4.1) Bukti :
Karena  diketahui I R merupakan  ring  faktor  terhadap  operasi  pergandaan  dan penjumlahan  yang  didefinisikan  pada  persamaan  (2.1),    maka  untuk  membuktikan I R ring diferensial cukup dibuktikan (i).  (( a + I ) + ( b + I )) =  ( a + I ) +  ( b + I ) (ii).  (( a + I )( b + I )) = (  ( a + I ))( b + I ) + ( a + I )(  ( b + I )) untuk setiap a + I , b + I  I R dan untuk setiap    .
(i).   Akan dibuktikan  (( a + I ) + ( b + I )) =  ( a + I ) +  ( b + I )
Diberikan sebarang a + I , b + I  R/I dan sebarang    , maka berlaku :  (( a + I ) + ( b + I )) =  (( a + b) + I ) =  ( a + b ) + I =  ( a ) +  ( b ) + I =  ( a ) + I +  ( b ) + I =  ( a + I ) +  ( b + I ) (ii). Akan dibuktikan  (( a + I )( b + I )) = (  ( a + I ))( b + I ) + ( a + I )(  ( b + I ))  (( a + I )( b + I )) =  (( ab ) + I ) =  ( ab ) + I = (  ( a ) b + a  ( b )) + I =  ( a ) b + I + a  ( b ) + I = (  ( a ) + I )( b + I ) + ( a + I )(  ( b ) + I ) = (  ( a + I ))( b + I ) + ( a + I )(  ( b + I )) Jadi terbukti I R merupakan ring diferensial. 
Berdasarkan  Definisi  2.5.3  diketahui  bahwa  suatu  homomorfisma  diferensial  ring adalah  homomorfisma  ring  yang  komutatif  terhadap  derifasinya,  yaitu  jika  homomorfisma diferensial ring dari ring diferensial ( R ,  1 ) ke ring diferensial ( S ,  2 ), maka  1 ( a ) =  2  ( a ) untuk setiap a  R . Akibatnya beberapa sifat dari homomorfisma ring yang dinyatakan  dalam  Teorema  2.4.8,  dapat  diturunkan  pada  homomorfisma  diferensial  ring, yaitu :

## Teorema 4.2.2
Diberikan homomorfisma diferensial ring  dari ring diferensial ring diferensial ( R ,  1 ) ke ring diferensial ( S ,  2 ), maka berlaku i. Ker (  ) = { a  R   ( a ) = 0 S ,  0 S  S } merupakan ideal diferensial dari R ii.  ( R ) = {  ( a )  a  R } merupakan subring diferensial dari S Bukti :
i. Berdasarkan  Teorema  2.4.8  terbukti  bahwa  Ker(  )  merupakan  ideal  dari  ring R 1 , sehingga untuk membuktikan Ker(  ) ideal diferensial cukup ditunjukkan
 1 ( a )  Ker(  )  untuk setiap a  Ker(  ) jika dan hanya jika  (  1 ( a )) = 0 S . Ambil sebarang a  Ker(  ), maka  ( a ) = 0 S , sehingga  (  1 ( a )) =  2 (  ( a )) =  2 (0 S ) = 0 S . Jadi  1 ( a )  Ker(  ), sehingga terbukti Ker(  ) merupakan ideal diferensial dari ring R . ii. Berdasarkan  Teorema  2.4.8  terbukti  bahwa  ( R )  merupakan  subring  dari S ,  sehingga untuk membuktikan  ( R ) subring diferensial cukup ditunjukkan  2 ( a + b ) =  2 ( a ) +  2 ( b ) dan  2 ( ab ) =  2 ( a ) b + a  2 ( b ) untuk setiap a , b   ( R ). Ambil sebarang a , b   ( R ), maka terdapat x , y  R dengan  ( x ) = a dan  ( y ) = b . ( a ).  2 ( a + b ) =  2 (  ( x ) +  ( y )) =  2 (  ( x + y )) =  (  1 ( x + y )) =  (  1 ( x ) +  1 ( y )) =  (  1 ( x )) +  (  1 ( y )) =  2 (  ( x )) +  2 (  ( y )) =  2 ( a ) +  2 ( b ) (b).  2 ( ab ) =  2 (  ( x )  ( y )) =  2 (  ( xy )) =  (  1 ( xy )) =  (  1 ( x ) y + x  1 ( y )) =  (  1 ( x ) y ) +  ( x  1 ( y )) =  (  1 ( x ))  ( y ) +  ( x )  (  1 ( y )) =  2 (  ( x )) b + a  2 (  ( y )) =  2 ( a ) b + a  2 ( b ). Berdasarkan (a) dan (b) terbukti  ( R ) subring diferensial dari S . 

## Teorema 4.2.3
Diberikan  ring  diferensial  R  dengan  derivasi  dan  I  ideal  diferensial  dari  R  dan didefinisikan  homomorfisma  ring  natural  dari  R  ke I R dengan  ( a )  = a + I . Jika didefinisikan  (  ( a ))  =  ( a )  + I untuk  setiap a  R , maka  merupakan  homomorfisma diferensial . Bukti : Ambil sebarang a  R , maka  ( a ) = a + I , sehingga berlaku  (  ( a )) =  ( a ) + I =  ( a + I ) =  (  ( a )).
Jadi terbukti  merupakan homomorfisma diferensial. 
Sama  hal  nya  dengan  homomorfisma  ring,  pada  suatu  homomorfisma  diferensial ring  disebut  berturut-turut  disebut  monorfisma,  epimorfisma,  dan  isomorfisma,  jika  berturut-turut  adalah  injektif,  surjektif,  dan  bijektif.  Jika  bijektif  dan  merupakan pemetaan dari dan ke dirinya sendiri disebut automorfisma.
Selanjutnya  karena  isomorfisma  diferensial  merupakan  isomorfisma  ring,  maka Torema  Pertama,  Kedua  dan  Ketiga  Isomorfisma  berlaku  pada  isomorfisma  diferensial, yang dinyatakan dalam teorema-teorema berikut ini :

## Teorema 4.2.4 (Teorema Isomorfisma Diferensial Pertama)
Diberikan  homomorfisma  diferensial  : R  S dan  I  kernel  dari  homomorfisma diferensial  yang  didefinisikan  atas  ring  diferensial  R , maka  I ideal  diferensial  dari  R dan terdapat isomorfisma diferensial dari I R ke  image  .
Bukti : Diketahui  : R  S homomorfisma  diferensial  dan I =  Ker  dan  berdasarkan  Teorema 4.2.1 terbukti bahwa I ideal diferensial.
Ring  diferensial I R isomorfik  diferensial  dengan  ( r )  jika  terdapat  suatu  pemetaan  dari
I R ke  ( r ) yang merupakan homomorfisma diferensial dan bijektif.
Berdasarkan  Teorema  2.4.8  yang  merupakan  Teorema  Isomorfisma  Ring  Pertama  dan Teorema 4.2.3, maka terdapat suatu isomorfisma ring  : I R   ( R ) yang didefinisikan dengan  ( r + I ) =  ( r ) untuk setiap r + I  I R dan r  R . Sehingga untuk menunjukkan
I R isomorfik  diferensial  dengan  ( r ),  cukup  ditunjukkan  ( r  +  I )  =  ( r  +  I )  untuk setiap    . Ambil sebarang r + I  I R , maka  (  ( r + I )) =  (  ( r )) =  (  ( r )) =  (  ( r ) + I ) =  (  ( r + I ))
Jadi terbukti  : I R   ( R ) isomorfisma atau dengan kata lain I R isomorfik diferensial dengan  ( r ). 
Teorema 4.2.5 (Teorema Isomorfisma Diferensial Kedua) Diberikan ring diferensial R . Jika I dan J adalah ideal diferensial-ideal diferensial dari R maka  I  ideal  diferensial  dari  I  +  J , I  J ideal  diferensial  dari  J , dan  terdapat  dengan tunggal isomorfisma diferensial dari
I J I  ke J I J  .
Bukti : Karena untuk setiap a  I berlaku a = a + 0 dengan 0  J , maka a  I + J , sehingga I  I + J dan diketahui I ideal  diferensial, jadi terbukti I ideal  diferensial dari I  + J . Selanjutnya berdasarkan Teorema 4.1.1 terbukti bahwa I  J merupakan ideal diferensial, karena I  J  J maka I  J merupakan ideal  diferensial  dari J . Akibatnya dapat  dibentuk  ring faktor diferensial I J I  dan J I J  .
Berdasarkan  Teorema  2.4.9  yang  merupakan  Teorema  Kedua  Isomorfisma  ring,  maka terdapat  dengan  tunggal  isomorfisma  : J I J   I J I  yang  memenuhi   =  dengan  epimorfisma dari J ke I J I  , Ker  = I  J dan  homomorfisma natural dari J ke J I J  yang  berdasarkan  Teorema  4.2.4  merupakan  homomorfisma  diferensial. Sehingga  untuk  membuktikan  homomorfisma  diferensial  cukup  ditunjukkan  dan  homomorfisma diferensial.
i. diberikan sebarang r  J dan    , maka berlaku  (  ( r )) =  ( r + I ) =  ( r ) + I =  (  ( r )).
ii. Diberikan sebarang r + ( I  J )  J I J  dan    , maka berlaku  (  ( r + ( I  J )))  =  (  (  ( r ))) =  (  ( r )) =  (  ( r )) =  (  (  ( r ))) =  (  ( r ) + ( I  J ))) =  (  ( r + ( I  J )))
Jadi  berdasarkan  (i)  dan  (ii)  terbukti  homomorfisma  diferensial.  Akibatnya  terbukti bahwa  isomorfisma diferensial. 

## Teorema 4.2.6 (Teorema Isomorfisma  Diferensial Ketiga
Jika  I dan J berturut-turut adalah ideal diferensial dari ring diferensial R dan I  J maka terdapat dengan tunggal isomorfisma diferensial dari J R ke I J I R
Bukti : Diketahui I dan J merupakan ideal-ideal  diferensial dari R , sehingga berdasarkan  Lemma 4.2.1 dapat dibentuk ring faktor diferensial J R dan I R , dan diketahui pula bahwa I  J , sehingga dapat dibentuk ring faktor diferensial I J . Selanjutnya karena setiap r + I  I J dengan r  J dan  diketahui J ideal  dari R ,  maka r + I  I R ,  sehingga I J merupakan ideal  diferensial  dari I R .  Berdasarkan  Teorema  2.4.10  yang  merupakan  Teorema
Isomorfisma Ring Ketiga maka terdapat dengan tunggal isomorfisma  : I J I R  J R
yang  memenuhi   =  dengan  epimorfisma  dari I R ke J R ,  Ker  = I J dan 
homomorfisma  natural  dari I R ke I J I R
yang  berdasarkan  Teorema  4.2.4  merupakan
homomorfisma  diferensial.  Sehingga  untuk  membuktikan  homomorfisma  diferensial cukup ditunjukkan  dan  homomorfisma diferensial.
i. diberikan sebarang r + I  I R dan    , maka berlaku  (  ( r + I )) =  ( r + J ) =  ( r ) + J =  (  ( r ) + I ) =  (  ( r + I )).
ii. Diberikan sebarang r + I J  I J I R
dan    , maka berlaku
 (  ( r + I J )) =  (  (  ( r + I ))) =  (  ( r + I )) =  (  ( r + I )) =  (  (  ( r + I ))) =  (  (  ( r ) + I ))) =  (  ( r ) + I J ) =  (  ( r + I J )).
Jadi  berdasarkan  (i)  dan  (ii)  terbukti  homomorfisma  diferensial.  Akibatnya  terbukti bahwa  isomorfisma diferensial. 

## 5. KESIMPULAN
Berdasarkan  hasil  dan  pembahasan  dapat  diambil  kesimpulan  bahwa  setiap  sifat yang  berlaku  pada  ideal  dan  homomorfisam  ring,  dapat  diturunkan  pada  ideal  diferensial dari ring diferensial dan homomorfisam diferensial yaitu :
1. Jika I dan J ideal diferensial dari ring diferensial, maka I  J dan I + J merupakan ideal diferensial. Jika I ideal diferensial radikal dari ring diferensial R dengan himpunan derivasi berhingga  , maka berlaku jika ab  I maka a  ( b )  I dan  ( a ) b  I , untuk a , b  R dan untuk setiap   
2. Diberikan ideal diferensial radikal I dari ring diferensial R dan S sebarang himpunan bagian dari R . Jika didefinisikan T = { x  R | xS  I }, maka T ideal diferensial radikal dari R .
3. Kernel  dari  homomorfisma  diferensial  merupakan  ideal  diferensial,  dan  image  dari homomorfisma diferensial merupakan subring diferensial dari S
4. Diberikan  ring  diferensial R dengan  derivasi  dan I ideal  diferensial  dari R dan didefinisikan  homomorfisma  ring  natural  dari R ke I R dengan  ( a )  = a + I .  Jika didefinisikan  (  ( a )) =  ( a ) + I untuk setiap a  R , maka  merupakan homomorfisma diferensial.
5. Diberikan  homomorfisma  diferensial  : R  S dan I kernel  dari  homomorfisma diferensial  yang didefinisikan atas ring diferensial R , maka I ideal diferensial dari R dan terdapat isomorfisma diferensial dari I R ke image 
6. Diberikan ring diferensial R . Jika I dan J adalah ideal diferensial-ideal diferensial dari R maka I ideal diferensial dari I + J , I  J ideal diferensial dari J , dan terdapat dengan tunggal isomorfisma diferensial dari
I J I  ke
J I J 
7. Jika I dan J berturut-turut  adalah  ideal  diferensial  dari  ring  diferensial R dan I  J
maka terdapat dengan tunggal isomorfisma diferensial dari
J R ke I J I R

## DAFTAR PUSTAKA
[1] Adkins,  A.W. and S.H  Weintraub, 1992, Algebra: An Approach via  Module Theory , Springer-Verlag, New York.
[2] Dummit,  D.S.&Richard  M.F.,  2002, Abstract  Algebra ,  JhonWiley&Sons,  Inc., Singapura
[3] Fraleigh, J.B., 2000, A First Course in Abstract Algebra , Addison-Wasley Publishing Company, New York
[4] Morrison,  Sally,  2002,  Differential  Polynomial  Algebra  in  Characteristic  Zero, Kolchin Seminar in Differential Algebra