Jurnal Matematika, Sains, dan Pembelajarannya
ISSN 2622-8904 (online)
f

## Stabilisasi Umpan Balik Output Semi-Global dari  Sistem Nonlinear Berfase Non-Minimum
Ansar *1 , Janson Naiborhu 2
1 Universitas Sembilanbelas November Kolaka
2 Institut Teknologi Bandung e-mail: * 1 ansarmawasangka@gmail.com , 2 janson@itb.ac.id

## Abstrak
Penelitian  ini  m e mb a h as m asa l a h  ou t put  f ee db ac k  d a ri  k e l as n o n  lin ea r  d e n ga n  m e n gg un a k a n E x t e nd e d K a lm an F i lt er - E x t e nd e d H i gh Ga i n Ob serve r (EKF-EHGO). D e n ga n m e n gg un a k a n control output f ee dba ck ya n g m e m e nuhi i nput s tat e s tabil i ty  (ISS) , k e tid a k s t a bil a n  din a mik int e rn a l d a p a t  diub a h m e nj a di st a bil sem i- g lob a l dititik asa l. Output  p a d a s i s t e m ya n g b e rb e ntuk  norm a l tid a k bi sa diukur, sehingga outpu t t e r se but a k a n di es tim as i d e n ga n m e n gg un a k a n E KF- E HGO . Solu s i m asa l a h ini diilu stras ik a n d e ng a n c ontoh K a t a kun c i : d e raj a r relative , ba c k s t e pp ing, lyapuno v, s t a bili sa si ump a n b a lik

## 1. PENDAHULUAN
Pandang system non linear input tunggal dan output tunggal berikut.
x˙=f(x)+g(x).u (1)
y=h(x)
dengan f(x), g(x), dan h(x) fungsi mulus , u ∈ R adalah input, dan y ∈ R adalah output tidak terukur. Misalkan system  mempunyai  derajat  relatif ρ , 1≤ρ<n padatitik x0 .  Dengan  metodeli  nearisasi  input-output  sistem tersebut dapat dituliskan dalam bentuk normal (Isidori,1997) berikut:
 ̇ = 𝑓 1 (  ,  )  ̇ =  2 ⋮   ̇ = 𝑓 1 (  ,  , 𝑢) 𝑦 = ℎ(𝑥) =  1 (2)
Salah satu peneliti pertama yang mempelajari tentang sistem nonlinear berfase non-minimum adalah A.  Isidori.Dalam  makalahnya  (Isidori,  2000),  dia  membuktikan  stabilisasi  semi-global  untuk  kelas  secara umum  dari  sistem  nonlinear  berfase  non-minimum  dengan  asumsi  pada  keberdaan  dinamis  stabil  dengan mengontrol pada sistem tambahannya. Masalah yang sama di anggap pada  (Nazrulla, 2011), dimana robust stabilisasi global akan dicapai dengan asumsi yang sama tetapi dengan Extended high gain observer dikontrol berdasarkan output feedback . Dalam paper (Andrieu,2008) dan (Karagiannis,2005) dipandang sebagai kasus khusus dari persamaan (2), dimana fungsi hanya bergantung sepenuhnya pada lebih besarnya vector ξ. Pada paper  (Andrieu,2008)  memungkinkan  adanya  gangguan  pada  model  sedangkan  paper  (Karagiannis,2005) memungkinkan  adanya ketidakpastian Model.  Kedua-keduanya membutuhkan berbagai kondisi stabilisasi pada  dinamika  internal.    Paper  (Marino,2005)  dipandang  sebagai  bentuk  system output    feedback dan diasumsikan sebagai system  nonlinear  berfase minimum berhubung dengan output baru, didefinisikan sebagai kombinasi linear dari  variabel keadaannya. Paper (Ding, 2005) memberikan solusi masalah stabilisasi dalam
https://jurnal.unsulbar.ac.id/index.php/saintifik
bentuk output  feedback dengan  zero  dinamik  linear  dengan    menggunakan  teknik  backstepping  sehingga observer  dinamika  linear  error  akan    mencapai  hasil  semi-global  stabilisasi  pada  titik  asal.  Hasil  lain  yang dilaporkan  dalam    (Hoseini,2010)  berkaitan  dengan    bentuk  khusus  dari  persamaan  (2)  dengan  dinamika internalnya dimodelkan  sebagai rantai integrator dengan cara yang sama ξ sebagai dinamikanya. Ini bekerja dengan menggunakan adaptive output feedback kontroler berdasarkan Neural Networks dengan  mengamati keadaan linear untuk mencapai batas akhir dari keadaan yang dihadapkan pada model yang tidak pasti.
Pada  penelitian  ini,    menggunakan Extended  Kalman  Filter  Extended  High  Gain  Observer (EKF- EHGO) yang disarankan oleh (Boker,2012), untuk menyele-saikan  masalah output feedback stabilisasi dari kelas system non linear.  Pada (Boker, 2012) menunjukan bahwa dengan menggunakan Extended  highgain observer untuk memberikan turunan dari output terukur (ξ2,...,ξn) dan ditambahkan dengan turunan ξn+1. Keadaan sistem tambahan ini kemudian digunakan untuk memberikan output virtual yang dapat digunakan untuk membuat dinamika internal dapat diamati.   Berkat perbedaan skala  waktu yang disediakan oleh EHGO, kemudian  dengan  menggunakan Extended  Kalman    Filter (EKF)  maka output  virtual dapat  memberikan estimasi keadaan η yang  ada. Keuntungan dari observer ini adalah memungkinkan untuk merancang feedback control  semua  variabel dengan keadaan yang ada.  Hal ini berbeda dengan hasil yang didapatkan observer sebelumnya, yang mana terbatas pada keadaan parsial feedback dan hanya untuk system berfase  minimum. Kontrol output feedback diharapkan memiliki kemampuan untuk mengembalikan dari beberapa trajektori dari system tambahan yang sudah tereduksi, sehingga terbentuk system loop tertutup dengan keadaan Feedback control dan Extended Kalman Filter yang bertindak sebagai observer untuk dinamika internal.  Hal ini untuk menyederhanakan  desain kontrol output  feed back seperti  halnya  sekarang  hanya perlu untuk membentuk respon dari system tambahannya.
Pada (Boker,2012) dipandang sebagai kasus khusus dari persamaan (2) dan f2(η,ξ,u)=f3(η,ξ)+f4(ξ,u) dapat memberikan sebuah konvergensi lokal untuk EKF-EHGO. Dikasus khusus ini ketika system ini adalah affine pada keadaan  internalnya sehingga memberikan konvergensi semi-global. Kontibusi dari system ini untuk menghubungkan kasus khusus ini, dengan menunjukan bahwa ketika observer menggunakan feedback control maka akan mencapai stabilisasi semi-global. Dengan  memberikan penggunaan stabilisasi global pada keadaan feedback kontrol yang diasumsikan sebelumnya maka  itu memenuhi kondisi input state stability (ISS) yang berkaitan dengan estimasi error dari keadaan internal.  Selanjutnya, jelas bahwa system nonlinear ini dianggap sebagai system yang berfase non-minimum.
Dalam Penelitian ini rujukan utamanya adalah (Boker,2013), pada rujukan tersebut dalam melakukan analisis untuk pembahasanya dimulai pada system nonlinear yang sudah berbentuk normal.   Berdasarkan rujukan  tersebut  hal  baru  yang  dilakukan  penulis  dalam  tesis  ini    adalah  penulis  dalam  melakukan  analisis untuk  pembahasan dengan hal yang baru. Dimulai dari system nonlinear yang masih mentah kemudian dengan menggunakan  metode linearisasi pada sistem nonlinear yang masih mentah tersebut sehingga akan diperoleh sistem yang berbentuk normal. Selanjutnya penulisakan  melakukan observer yaitu pada system yang sudah berbentuk normal.
Formulasi  masalah  yang  diajukan  pada  tesis  ini  adalah  sebagai  berikut: Pandang input  tunggal, output tunggul  sistem nonlinear dengan derajat  relatif terdefinisi  dengan  baik pada  sistem  yang berbentuk normal  berikut
η˙  = A 1 (ξ)η + φ 0 (ξ)
(3) ξ˙ = Aξ + B[C 1 (ξ)η + α(ξ, u)] (4) y = C ξ (5)
Dengan  η ∈ Rn−ρ,  ξ ∈ Rρ   merupakan   vektor  keadaannya, y adalah  output terukur   dan u adalah   input   kontrol. Matriks  A ρxρ , Bρx1, dan   C1xρ dan  yang mempresentasikan  derajat   relatif. Bentuk   normal  pada   persamaan   (4) - (5) adalah  bentuk   khusus  dari  persamaan   (2),  dengan  sistem dinamiknya  merupakan  linear  pada  keadaaan  internal  dinamik. Contoh dari  sistem  ini adalah Translating Oscillator with a Rotating  Actuator (TORA)   sistem  (Wan,  1996). Asumsi  1:
https://jurnal.unsulbar.ac.id/index.php/saintifik
•   Fungsi  A1(ξ),  φ0(ξ),  dan  α(ξ, u)  merupakan   lokal Lipschitz .
•   Fungsi  C1 (ξ)  kontinu  terdiferensialkan  pada  turunan Lipschitz ,  dengan φ0(0)  = 0 dan α(0, 0) = 0.
Tujuan   utamanya  adalah    untuk    menstabilkan  sistem    pada    persamaan    (4)-  (5)  pada  titik asalnya  dengan  menggunakan    output.  Untuk  tujuan  tersebut,  disini  digunakan    EKF-EHGO    untuk memberikan    estimasi    dari  semua  keadaannya.  Langkah  Pengerjaan  Masalah  yaitu  merancang  u menggunakan   output  feedback  dari  sistem  sehingga  kestabilan  semi-global  diperoleh. Karena  Internal dinamik  pada  persamaan  (4)  tidak  stabil  untuk  ξ  = 0, sehingga dirancang  ξ  sebagai  input  agar  internal dinamik  tersebut  stabil asymptotik pada  titik  asalnya. Masalahnya  adalah  karena  keadaan  ξ  tidak  bisa diukur  , oleh karena  itu estimasi  ξ ˆ  untuk  menstabilkan  ηˆ  dan  diharapkan ηˆ  sama  dengan  η.
Tujuan penelitian adalah  memberikan output  virtual untuk   memberikan   estimasi  keadaan   yang ada  dengan  menggunakan Extended  Kalman   Filter (EKF),  menyelesaikan masalah output feedback stabilisasi  dari  kelas  sistem  no- nlinear  berfase non-minimum  dengan  menggunakan Extended  Kalman Filter-Extended    High  Gain    Observer (EKF-EHGO),  menggunakan  EKF-EHGO  untuk    menstabilkan sistem  yang  sudah  ber bentuk   normal  pada  titik   asalnya  dengan  mengunakan   output  terukur, dan Membuat   simulasi  error  dari  (η − ηˆ),  simulasi  kontrol  effort,  simulasi sistem  reduksinya,   dan  estimasi untuk   setiap   keaadan   dengan     yang berbeda.

## 2. METODE PENELITIAN
Misalkan sistem nonlinear
𝑥̇ = 𝑓(𝑥) + 𝐺(𝑥)𝑢
(6)
Dengan f  :D → R n dan G  :  D → R rx  merupakan  fungsi  mulus  pada  domain      D  R n ,    ikatakan feedback linearizable (atau input-state  linearizable )  jika  terdapat diffeomorphism  T:D → R n sehingga D z =T(D )  masuk kedalam titik  asal dan perubahan variabel z= T(x) dengan transformasi sistem persamaan (6) kedalam bentuk normal berikut
𝑍̇ = 𝐴(𝑧) + 𝐵  (𝑥)[𝑢 − 𝑎(𝑥)] (7)
dengan (A,B) terkontrol dan  (𝑥) 𝑛𝑜𝑛𝑠𝑖𝑛𝑔𝑢𝑙𝑎𝑟 untuk setiap 𝑥 ∈ 𝐷 (Khalil,2002). Misalkan input tunggal – output tunggal 𝑥̇ = 𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)𝑢
(8) 𝑦 = ℎ(𝑥) dengan f(x), g(x) dan h(x) merupakan fungsi mulus , 𝑢 ∈ 𝑅 adalah input, dan 𝑦 ∈ 𝑅 adalah output. Pemetaan 𝑓 : 𝐷 → 𝑅 𝑛 dan 𝑔 : 𝐷 → 𝑅 𝑛 merupakan lapangan vektor di D. Turunan output y diberikan sebagai berikut
𝑦̇ = 𝜕ℎ 𝜕𝑥 [𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)𝑢] ≔ +𝐿 𝑔 ℎ(𝑥)𝑢 (9)
Dengan
𝐿 𝑓 ℎ(𝑥) = 𝜕ℎ 𝜕𝑥 𝑓(𝑥) (10)
Persamaan (9) dan (10) merupakan operator lie derivative dari h(x) sepanjang f(x) atau sepanjang trakjektory dari sistem 𝑥̇ = 𝑓(𝑥). Contoh penggunaan notasi operator lie derivative sebagai berikut
𝐿 𝑔 𝐿 𝑓 ℎ(𝑥) =  𝐿 𝑓 ℎ(𝑥)  𝑥 𝑔(𝑥)
𝐿 𝑓 2 ℎ(𝑥) = 𝐿 𝑓 𝐿 𝑓 ℎ(𝑥) = 𝜕𝐿 𝑓 ℎ 𝜕𝑥 𝑓(𝑥)
𝐿 𝑓 𝑘 ℎ(𝑥) = 𝐿 𝑓 𝐿 𝑓 𝑘−1 h(x) = 𝜕 𝐿 𝑓 𝑘−1 ℎ 𝜕𝑥 f(x)
𝐿 𝑓 0 ℎ(𝑥) = ℎ(𝑥)
Jika 𝐿 𝑔 ℎ(𝑥) = 0 maka 𝑦̇ = 𝐿 𝑓 ℎ(𝑥) , tidak bergantung dari u . karena turunan pertama dari y belum menemukan u , maka dilanjutkan dengan turunan kedua dari y , dinotasikan dengan 𝑦 (2) , dan diperoleh sebagai beikut 𝑦 (2) = 𝜕𝐿 𝑓 ℎ 𝜕𝑥 [𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)𝑢] ≔ 𝐿 𝑓 2 ℎ(𝑥) + 𝐿 𝑔 𝐿 𝑓 ℎ(𝑥)𝑢. (11)
https://jurnal.unsulbar.ac.id/index.php/saintifik
Selanjutnya jika 𝐿 𝑔 𝐿 𝑓 ℎ(𝑥) = 0 maka 𝑦 (2) = 𝐿 𝑓 2 ℎ(𝑥) , tidak bergantung dari u . Karena turunan kedua dari y juga belum menemukan u . Dengan proses berulang, diperlihatkan bahwa jika h(x) memenuhi 𝐿 𝑔 𝐿 𝑓 𝑖−1 ℎ(𝑥) = 0, 𝑖 = 1,2, … ,  − 1; 𝐿 𝑔 𝐿 𝑓  −1 ℎ(𝑥) ≠ 0.
Dengan u belum  ditemukan  dari  persamaan 𝑦, 𝑦,̇ … , 𝑦  −1 dan u dapat  ditemukan  di  dalam  persamaan 𝑦  dengan koefisien u tidak nol. 𝑦  = 𝐿 𝑓  ℎ(𝑥) + 𝐿 𝑔 𝐿 𝑓  −1 ℎ(𝑥)𝑢 .
Persamaan di atas menunjukkkan dengan jelas bahwa sistem dari input – output linearisasi, karena feedback kontrol keadaan
𝑢 = 1 𝐿 𝑔 𝐿 𝑓  −1 ℎ(𝑥) [−𝐿 𝑓  ℎ(𝑥) + 𝑢]
Sehingga reduksi input-output diperoleh 𝑦  = 𝑣 dengan  adalah chain integrators . Dalam kasus ini,  disebut sebagai derajat relatif dari sistem (Khalil, 2002). Dibawah ini definisi dari derajat relatif.
Definis 2:
Sistem  nonlinear  pada  persamaan  (8)  adalah mempunyai  derajat  relatif  , 1 ≤  ≤ 𝑛 ,  dalam daerah 𝐷 0  𝐷 jika 𝐿 𝑔 𝐿 𝑓 𝑖−1 ℎ(𝑥) = 0, 𝑖 = 1,2, … ,  − 1; 𝐿 𝑔 𝐿 𝑓  −1 ℎ(𝑥) ≠ 0. (12)
untuk semua 𝑥 ∈ 𝐷 0 .
Selanjutnya akan dilakukan perubahan variabel dengan mentransformasi persamaan (8) ke dalam sistem yang berbentuk normal berikut.
 ̇ = 𝑓 0 (  ,  ) (13)
 ̇ = 𝐴 𝑐  + 𝐵 𝑐  (𝑥)[𝑢 −  (𝑥)] (14)
𝑦 = 𝐶 𝑐  (15)
Adapun transformasi (8) kedalam bentuk normal pada persamaan (13)-(15) berdasarkan persamaan berikut
𝑇(𝑥) =
[  1 (𝑥) .. .  𝑛−  (𝑥) − − − ℎ(𝑥) ..
.
𝐿 𝑓  −1 ℎ(𝑥)] ≔ [  (𝑥) − − −  (𝑥) ] = [  − − −  ] (16)
Dengan  1 sampai  𝑛−  dipilih sehingga 𝑇(𝑥) adalah diffeomorphism pada domain 𝐷 0  𝐷 dan 𝜕  1 𝜕𝑥 𝑔(𝑥) = 0, untuk 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 −  , ∀∈ 𝐷.
(17)
Teorema dibawah ini menunjukkan bahwa  1 sampai  𝑛−  ada, setidaknya lokal.
Teorema : Misalkan sistem pada persamaan (8) dan mempunyai derajat relatif  ≤ 𝑛 dalam D . Jika  = 𝑛 , maka untuk setiap 𝑥 0 ∈ 𝐷 0 , untuk lingkungan N terdapat 𝑥 0 sehingga pemetaan
𝑇(𝑥) =
[  1 (𝑥)
𝐿 𝑓 ℎ(𝑥) . .. 𝐿 𝑓 𝑛−1 ℎ(𝑥)]
(18)
terbatas  ke N, dan diffeomarphism pada N .  Jika  < 𝑛 maka untuk setiap 𝑥 0 ∈ 𝐷 0 , 𝑥 0 dilingkungan N fungsi mulus dan  1 (𝑥), … ,  𝑛−  (𝑥) ada, sehingga persamaan (II. 12) terpenuhi untuk setiap 𝑥 0 ∈ 𝐷 0 dan pemetaan T(x) dari persamaan (18) terbatas pada N , dan diffemorphism pada N (Khalil, 2002).
https://jurnal.unsulbar.ac.id/index.php/saintifik
Persamaan (13) – (15) merupakan sistem yang berbentuk normal. Bentuk normal tersebut dibagi menjadi 2 bagian yaitu internal dan eksternal,  adalah ekstrenal dinamik sedangkan  adalah internal dinamik. Jika  = 0 maka persamaan berikut  ̇ = 𝑓 0 (  , 0)
(19)
Internal  dinamik  (19)  disebut  zero  dinamik.  Jika  zero  dinamik  dari  sistem  stabil  asymptotik  maka  sistem tersebut dikatakan sistem yang berfase minimum, dan jika sistem zero dinamik tidak stabil maka sistem berfase non-minimum.  Tujuan  merubah  sistem  kebentuk  normal  adalah  untuk  dapat  menggunakan  hukum  kontrol linear pada eksternal dinamik yaitu dengan memilih 𝑢 = 𝛼(𝑥) + 𝛽(𝑥)𝑣
(20)
dengan (𝑥) = 𝛾 −1 . Dengan pengambilan imput u seperti pada persamaan (20), maka sistem eksternal dinamik menjadi linear.
Pandang   sistem  pada   persamaan   (4) - (5),   dengan  asumsi  ketunggalan   dari stabilisasi  semi- global state  feedback kontrol  dalam  bentuk u  = γ(η, ξ)
(21)
Selanjutnya   dengan   menuliskan   kembali  vektor   keadaan   secara  keseluruhan
dengan  memisalkan  ϑ  = [ηT ξT ]T , sehingga  sistem  loop tertutupnya dapat  dituliskan  sebagai  persamaan berikut:
ϑ˙  = f (ϑ, γ(η, ξ)) (22) Asumsi  2.
γ  adalah   fungsi  lokal Lipschitz dalam  argumen  di  atas   dan  memenuhi γ(0, 0) = 0.
Misalkan v ∈ Rn−ρ  adalah   input   yang  dapat   ditambahkan  secara  linear pada   keadaan   η  sebagai internal   dinamiknya   sehingga  u  = γ(η  + v, ξ), maka  terdapat V1(ϑ) yang  didefinisikan  sebagai  fungsi mulus  yang  definit positif  dan  fungsi  α1,  α2   berada  pada  kelas  κ∞   dan  fungsi  α3 ,  ζ  berada pada kelas  κ  sehingga  untuk    setiap    ϑ ∈ Rn ,  sehingga  V1(ϑ)   memenuhi  pertidaksamaan  (23)  dan pertidaksamaan  (24) 𝛼 1 (‖  ‖) ≤ 𝑉 1 (  ) ≤ 𝛼 2 (‖  ‖) (23)
 𝑣 1  𝑥 𝑓(  , 𝛾(  + 𝑣,  )) ≤ −𝛼 3 (‖  ‖), ∀‖  ‖ ≤  ‖  ‖ (24)
Kontrol input harus memenuhi Asumsi 2 tersebut. Catatan : Asumsi 2. 2  adalah ekivalen untuk sistem  loop  tertutup 𝑉 1 ̇ =  𝑓(  , 𝛾(  + 𝑣,  )) merupakan  bentuk input  state  stbaility (ISS)  dengan v terlihat sebagai input (Ghorbel, 1989).
Pandang  sistem  persamaan  (4)  - (5),  observer  pertama  dimulai  pada  internal  dinamiknya  dengan sistem  tambahan  dibawah  ini η˙  =A 1 (ξ)η + φ 0 (ξ) (25)
σ =C 1 (ξ)η
Perhatikan bahwa  untuk  keadaan  ξ dijadikan  sebagai  input  untuk  sistem  persamaan  (25),  selanjutnya akan  digunakan   EHGO  untuk   mengestimasi  keadaan  vektor  ξ  dan  signal  σ.   Adapun estimasi  EHGO yang  digunakan   untuk persamaan   (25)  adalah  sebagai  berikut:
ξ̂̇ = 𝐴ξ̂ + 𝐵[𝜎̂ + 𝛼(ξ̂, 𝑢)] + 𝐻(𝜀)(𝑦 − 𝐶ξ̂)
(26)
𝜎̂̇ =  1 (  ̂,  ̂, 𝑢) + 𝛼 𝜌+1 𝜖 𝜌+1 (𝑦 − 𝐶ξ̂)
(27)
Untuk  sistem  tambahan  pada  persamaan  (25)  memiliki  jenis  observer  dengan  memperhatikan bahwa  estimasi  dari  η˜ = η − ηˆ  akan  konvergen  ke  nol  secara asymptotik.  Estimasi selanjutnya  adalah memilih  EKF  sebagai  observer  dalam  sistem  persamaan   (25)  sehingga  observer  internal  dinamiknya diperoleh sebagai  berikut:
 ̂̇ = (ξ̂)  ̂ +  0 (ξ̂) + 𝐿(𝑡)(𝜎̂ − 𝐶 1 (ξ̂)  ̂) (28)
https://jurnal.unsulbar.ac.id/index.php/saintifik
Selanjutnya   dengan  menggabungkan   observer  internal   dinamik  pada  persamaan  (28)  dan  persamaan EHGO    (26)    dan    persamaan    (27)    maka    diperoleh  observernya    untuk    keseluruhan    adalah    sebagai berikut:
ξ̂̇ = 𝐴ξ̂ + 𝐵[𝜎̂ + 𝛼(ξ̂, 𝑢)] + 𝐻(𝜀)(𝑦 − 𝐶ξ̂)
(29) 𝜎̂̇ =  1 (  ̂,  ̂, 𝑢) + 𝛼 𝜌+1 𝜖 𝜌+1 (𝑦 − 𝐶ξ̂)
(31)  ̂̇ = (ξ̂)  ̂ +  0 (ξ̂) + 𝐿(𝑡)(𝜎̂ − 𝐶 1 (ξ̂)  ̂) (32)
Dengan
 1 (  ̂,  ̂, 𝑢) = 𝑑 𝑑𝑡 = 𝐶 1 [𝐴 1 (  )  +  0 (  )] +  𝑑𝐶 1 𝑑  [𝐴  + 𝐵[𝐶 1 (  )  + 𝛼(  , 𝑢)]](  ̂,  ̂)
Pada  persamaan   (26)  gain  observer  H (ξ)  diberikan  seperti  berikut:
𝐻(  ) = [ 𝛼 1 𝜀 1 , . . . , 𝛼  𝜀  ] 𝑇 .
Dengan  memilih  α1,..., αρ,  αρ+1  pada  polinomial  s ρ+1 + α1s ρ + ...  +  α ρ+1    sehingga polinomial tersebut   Hurwitz,  dan  ε > 0 parameter bernilai  kecil.  Pada persamaan (28) L(t) diberikan sebagai  berikut:
𝐿 = 𝑃𝐶 1 𝑇 𝑅 −1
(33)
dan P adalah solusi dari persamaan Riccati 𝑃̇ = 𝐴 1 𝑃 + 𝑃𝐴 1 𝑇 + 𝑄 − 𝑃𝐶 1 𝑇 𝑅 −1 𝐶 1 𝑃, 𝑃(𝑡 0 ) = 𝑃 0 > 0 (34)
R(t) dan  Q(t) adalah  matriks  simetris  definit  positif  yang  memenuhi  pertidaksamaan  berikut:
0 ≤ 𝑟 1 ≤ 𝑅(𝑡) ≤ 𝑟 2 (35)
0 < 𝑞 1 𝐼 𝑛−  ≤ 𝑄(𝑡) ≤ 𝑞 2 𝐼 𝑛−  (36)
Tujuan dari  pertidaksamaan  (35)  dan  (36)  untuk  mengantisipasi   bahwa sistem  akan  mengalami peaking  phenomenon jika  sistem  nonlinear   tidak   dibatasi   secara  global  oleh  estimasi  yang  diberikan oleh HGO.  Oleh karena  itu, solusi efektif yang  sederhana  untuk  masalah  ini adalah  jika solusi memenuhi keadaan  ξ  dan  σ diluar  himpunan  kompak  akan  ditarik  di  sekitar  himpunan kompak  tersebut,  sebelum digunakan   observer  secara  keseluruhan   dan  kontrolnya   (  Esfandiari,   1992).   Prosedur   ini  digambarkan dalam   contoh   yang disajikan  dalam  Penelitian   ini.
Asumsi: Persamaan Riccati (33) memiliki solusi definit positif yang memenuhi pertidaksamaan berikut 0 < 𝑞 1 𝐼 𝑛−  ≤ 𝑃 −1 (𝑡) ≤ 𝑞 2 𝐼 𝑛−  (37)
Ini sangat  penting  untuk  menstabilkan dari  EKF-EHGO sebagai  observer  yang akan  ditunjukkan di  sesi selanjutnya.
Selanjutnya akan  dibahas  sifat-sifat  dari  sistem loop tertutup dengan  mengestimasi  error  dinamik. Dengan  menggunakan persamaan berikut untuk menghitung  estimasi  error  dinamiknya  ̃ =  −  ̂ (38)
𝑋 = (  𝑖 −  ̂ 𝑖 ) 𝜖  +1−𝑖 , 1 ≤ 𝑖 ≤  (39)
𝑋  +1 = (𝐶 1 (  )  ) −  ̂ (40)
Misalkan  = [𝑋 1 , 𝑋 2 , … , 𝑋  ] dan 𝐷(𝜀) = 𝑑𝑖𝑎𝑔[𝜀  , 𝜀  −1 , … ,  ]
Jadi persamaan (39) menjadi
𝐷(𝜀)  =  −  ̂
Selain itu, misalkan
𝐷 1 (𝜀)𝑋 = [(  −  ̂) 𝑇 (𝐶 1 (  )  −  ̂)]
Jadi, sistem  loop  tertutup  dengan output  feedback  kontrol  u  = γ(η ˆ, ξˆ)  dapat dituliskan  dalam bentuk  persamaan - persamaan   berikut:
https://jurnal.unsulbar.ac.id/index.php/saintifik
 ̇ = 𝐴 1 (  )  +  0 (  ) (41)
 ̇ = 𝐴  + 𝐵[𝐶 1 (  )  + 𝛼(  , 𝛾(  −  ̃,  − 𝐷(𝜀)  ))]  ̃̇ = 𝐴 1 (  )  − 𝐴 1 (  − 𝐷(𝜀)  )[  −  ̃] +  0 (  ) −  0 (  −  ) − 𝐿(𝑡) [𝐶 1 (  )  − 𝑋  +1 − 𝐶 1 (  − 𝐷(𝜀)  )[  −  ̃]] (42)
𝜀𝑋̇ = ∆𝑋 + 𝜀[𝐵 1 ∆  1 + 𝐵 2 ∆𝛼] (43)
dengan
∆=
[ −𝛼 1 1 ⋯ 0 −𝛼 2 0 ⋯ 0 ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ −𝛼  0 ⋯ 1 −𝛼  +1 0 ⋯ 0] , 𝐵 1 = [ 0 𝐵 ] , 𝐵 2 = [ 𝐵 0 ]
∆  1 =  1 (  ,  , (  −  ̃,  − 𝐷(𝜀)  )) −  1 (  −  ̃,  − 𝐷(𝜀)  , 𝛾(  −  ̃,  − 𝐷(𝜀)  )) ∆= ∆𝛼 𝜀 , dan
∆𝛼 = 𝛼(  , 𝛾(  −  ̃,  − 𝐷(𝜀)  )) − 𝛼(  − 𝐷(𝜀)  , 𝛾(  −  ̃,  − 𝐷(𝜀)  )) . Pada sistem persamaan (41)-(43) merupakan bentuk standar singularly perturbed dan memiliki titik ekuilibrium pada titik asal. Fungsi ∆ adalah merupakan fungsi lokal lipschitz dan terbatas atas oleh fungsi affine ‖𝑋‖ seragam dalam  dan matriks ∆ 𝜌+1𝑥𝜌+1 didesain sebagai matriks hurwits.
Teorema (1)  berikut ini mendeskripsikan  sifat  kestabilan  pada  sis- tem  loop tertutup dari  output feedback. Pandang   sistem loop  tertutup  pada persamaan  (41) -  (43).  Misalkan asumsi  1-3 dipenuhi  dan M memuat titik  asal  dan  N semua  subhimpunan kompak  dari  masing-masing  R2n−ρ dan  Rρ+1 .  Maka untuk trajektori (η, ξ, η ˜)x(ξˆ, σˆ) dimulai  dalam M xN terdapat  ε ∗ sehingga  untuk  setiap  0<ε  <ε ∗ maka diperoleh titik  asal  dari  sistem  loop  tertutup  adalah  stabil  asymptotik  dan  M xN adalah  subset  dari region  of  attraction (wilayah  ketertarikan). Titik asal  dari  sistem  persamaan (22)  adalah   ekponensial stabil  maka titik  asal  dari  sistem  loop  tertutup juga  eksponensial  stabil.
Bukti:   Misalkan  dengan  memulai  pada  definisi kondisi  dari  beberapa   awal (η(0), ξ(0), η ˆ(0)) ∈ M  dan (ξˆ(0), σ ˆ(0)) ∈ N .  Sehinga  diperoleh  η ˜(0)  = η(0) − ηˆ(0),  ϕ(0)   = D−1(ε)[ξ(0) − ξˆ(0)]  dan  χρ+1  = C1(η(0))η  − σˆ(0).   Selanjutnya akan  digunakan  pendekatan perturbasi singular  untuk  menyelesaikan buktinya. Misalkan ε  = 0  maka  diperoleh  χ = 0,  dengan  demikian  untuk   sistem  yang telah direduksi sebagai berikut  ̇ = 𝐴 1 (  )  +  0 (  )  ̇ = 𝐴  + 𝐵[𝐶 1 (  )  + 𝛼(  , 𝛾(  −  ̃,  ))] (44)
 ̃̇ = [𝐴 1 (  ) − 𝐿(𝑡)𝐶 1 (  )]  ̃ (45)
Berdasarkan  yang  telah  didefinisikan  sebelumnya, tujuan   awalnya  akan   dibuktikan  stabilisasi dari  sistem  persamaan  (44)-(45).   Untuk itu,  dengan  menuliskan  kembali  persamaan  (44)-(45)  sehingga dapat   ditulis  sebagai  berikut
 ̇ = [  ̇ = 𝑓(  , 𝛾(  −  ̃,  ))  ̃̇ = [𝐴 1 (  ) − 𝐿(𝑡)𝐶 1 (  )]  ̃ ] (46)
Salah  satu  sifat  pembuktian  yang  digunakan high  gain  observer adalah  mampu  untuk mengembalikkan trajektory dari sistem reduksinya. Untuk kasus khususnya, jika  (t,  ) solusi dari sistem persamaan (41)-(43) dan  𝑟 (𝑡) solusi dari persamaan (46) dimulai dari hasil tersebut dapat dibuktikan dengan menggunakan argumen yang sama digunakan pada pembuktian (Atassi, 1999). Berdasarkan kondisi dari teorema (1), diberikan sebarang 𝛿 > 0 terdapat 𝜀 1 ∗ sehinggga untuk setiap 0 < 𝜖 < 𝜀 1 ∗ maka diperoleh ‖  (𝑡, 𝜖) −  𝑟 (𝑡)‖ ≤  , ∀𝑡 ≥ 0
https://jurnal.unsulbar.ac.id/index.php/saintifik
Untuk   membuktikkan  teorema  2,  di  sini  interval   [0, ∞]  dibagi  menjadi  3  interval  yaitu  [0, T (ε)],[T (ε), T3 ]  dan  [T3, ∞],  selanjutnya  akan  dibuktikan teorema  2 untuk   setiap  interval.   Dengan  membatasi ζ (t, ε)  yang  ditunjukkan teorema  1 sebelumnya  bahwa  ζ (t, ε)  asymptotik  stabil  pada  titik  asalnya, sehinga  dapat    disimpulkan    bahwa  untuk    waktu    hingga  T3    ≥  T (ε)  yang  tidak  bergantung   pada sehingga  untuk  setiap 0 < 𝜖 < 𝜀 1 ∗ diperoleh ‖  (𝑡, 𝜖) −  𝑟 (𝑡)‖ ≤  , ∀𝑡 ≥ 𝑇 3 (47)
Diketahui   bahwa   ζ (t,  ε)Ωt,2  =   (V2(t, η˜)  ≤  c2) ∀ ∈ [0, T (ε)]   dan   ζ (0)   adalah  interior   dari  Ωt,2 berada  pada  interval  [0, T (ε)],  sehingga  diperoleh ‖  (𝑡, 𝜖) −  (0)‖ ≤ 𝑘 10 𝑡, ∀𝑡 ≥ [0, 𝑇(𝜀)]
dengan  interval  yang sama  [0, T (ε)], dengan  cara  yang sama  sehingga diperoleh pertidaksamaan berikut: ‖  (𝑡, 𝜖) −  (0)‖ ≤ 𝑘 10 𝑡, ∀𝑡 ≥ [0, 𝑇(𝜀)] dengan  interval  yang  sama  [0, T (ε)],  oleh  karena  itu ‖  (𝑡, 𝜖) −  𝑟 (𝑡)‖ ≤ 2𝑘 10 𝑡, ∀𝑡 ≥ [0, 𝑇(𝜀)]
Karena 𝑇(𝜀) → 0 untuk 𝜀 → 0 , maka diperoleh 0 < 𝜀 2 < 𝜀 1 ∗ sehingga untuk setiap 0 < 𝜖 < 𝜀 2 , maka diperoleh pertidaksamaan berikut ‖  (𝑡, 𝜖) −  𝑟 (𝑡)‖ ≤  , ∀𝑡 ≥ [0, 𝑇(𝜀)] (48)
Diatas interval [𝑇(𝜀, 𝑇 3 )] , solusi  (𝑡, 𝜖) memenuhi persamaan (II.35)-(46) dengan ‖  (𝑇 3 ) −  𝑟 (𝑇(𝜀))‖ ≤  1𝜀 .
Dengan  1𝜀 → 0 untuk 𝜀 → 0, jadi berdasarkan (Khalill, 2002) maka dapat disimpulkan bahwa terdapat 0 < 𝜀 3 < 𝜀 1 ∗ dan untuk setiap 0 < 𝜖 < 𝜀 3 , sehigga diperoleh pertidaksamaan berikut 1. Mengasumsikan  bahwa  keadaan-keadaan  ,  , dan  ̃ tersedia  sebagai  tahap  untuk  mendesain  keadaan feedback , dengan demikian desain akan sangat sederhana 2. Menunjukkan bahwa desain kontrol harus memperhatikan estimasi error  ̃ dianggap input dari keadaan feedback sistem loop tertutup. Dengan menggunakan persamaan (II.26) dapat disimpulkan sifat-sifat input ini dengan output feedback dapat merancang sebuah kontrol keadaan feedback yang sesuai.
3. Hasil ini dapat memungkinkan untuk tuning (penyetelan) kontrol u agar memenuhi syarat desain keaadan feedback . Desaian feedback kontrol u tersebut dapat dilakukan dengan simulasi pada persamaan (II.39)- (II.40) dan memeriksa apakah kontrol yang diberikan memenuhi spesifikasi desain yang diberikan. Sifat ini jarang diperhatikan pada literatur untuk nonlinera kontrol output feedback .

## 3. HASIL DAN PEMBAHASAN
Misalkan sistem nonlinear dengan input  tunggal  dan output tunggal  berikut x˙ 1 = − x 1 + x 2 x˙ 2 = − x 1 + 2x 2 + x 3 2 + u x˙ 3 = x 1 + x 2 + x 3 cos(x 1 ) y = x 1 Turunan output dari sistem diatas  sebagai berikut y˙ = − x 1 + x 2 y¨ =x 2 + x 2 + u Sistem ini mempunyai  derajat  relatif 2 pada R 3 , karena jumlah derajat  relatif lebih kecil dibanding dengan  jumlah  banyak  sistem sehingga tidak  terdefinisi dengan  baik.    Oleh  karena  itu,  sistem  diatas akan  ditransformasi   kedalam sistem  yang  berbentuk   normal.    Selanjutnya   akan  dipilih  fungsi φ(x) yang akan  dijadikan  sebagai  internal  dinamik  pada  sistem  tersebut.  Fungsi  φ(x) harus memenuhi syarat dibawah ini:
𝜑(0) = 𝜕  𝜕𝑥 , g(x)=0 dan 𝑇(𝑥) = [ ℎ(𝑥) 𝐿 𝑓 ℎ(𝑥) 𝜑(𝑥) ] adalah invertibel pada R 3 .
Selanjutnya  akan dipilih φ(x) yang harus memenuhi turunan parsial berikut  :
https://jurnal.unsulbar.ac.id/index.php/saintifik
𝜕𝜑 𝜕𝑥 1 + 𝜕𝜑 𝜕𝑥 2 = 0
Dengan memilih fungsi φ(x) = x 3 , maka turunan parsial diatas dipenuhi.  Oleh karena itu, maka  matriks  T (x) adalah
𝑇(𝑥) = [ 𝑥 1 −𝑥 1 + 𝑥 2 𝑥 3 ] = [ 1 0 0 −1 1 0 0 0 1 ] [ 𝑥 1 𝑥 2 𝑥 3 ]
Karena matriks jacobi T (x) determinan tidak  nol, sehinga T (x) adalah global diffeomorphism artinya matriks jacobi T(x) adalah Invertibel. Kemudian sistem bentuk  normal diberikan  sebagai berikut:
 ̇ =  1 +  2 +  cos(  1 ) (49)
 1 ̇ =  2 (50)
 2 ̇ =  2 +  2 + 𝑢 (51)
𝑦 =  1 (52)
Dengan membuat   ξ  = 0  sehingga  internal   dinamik menjadi  η˙  = η disebut  zero dinamik.  Karena zero dinamiknya tidak  stabil  jadi sistem  tersebut adalah berfase  non-minimum. Pertama  yang  dilakukan adalah  mendesain  keadaan feedback kontrol  dengan  memeriksa  apakah    kondisi  asumsi  2  terpenuhi. Selanjutnya    akan    digunakan  teknik backstepping untuk    dijadikan    sebagai    desain    kontrol.    pada persamaan (49)-(52)  dan  persamaan  tersebut  merupakan   sistem  yang  sudah  berbentuk  normal  (Khalil, 2002).   Dari  prosedur backsteppin g  yang  dijalankan   tersebut  tujuannya  adalah   untuk   menentukan Feedback  kontrol  u  sehingga  pada persamaan  (49)-(52)  akan  stabil  asymptotik pada  titik  asalnya  dengan berdasarkan feedback kontrol u yang  diperoleh  dari  teknik  backstepping.  Sekarang  akan  dipilih  fungsi lyapunov yang  digunakan  sebagai  dasar  untuk    memeriksa  apakah  f eedback kontrol u yang  diperoleh memenuhi  kondisi dari  properti Input state  stability (ISS).
Sekarang  akan  dilakukan   untuk   menentukan  desain  feedback  kontrol  u  yang akan  dimulai  dari internal  dinamik  pada  persamaan   (49)  berikut  ̇ =  1 +  2 +  cos(  1 )
Selanjutnya akan  didesain  feedback  kontrol  dengan  memilih  ξ1  sebagai  input virtual  dan dijadikan sebagai proses untuk  mendesain  keadaan  feedback kontrol dengan  memilih ξ1  = ψ(ξ2, η) yang stabil  pada titik  asal  (ξ2, η) = (0, 0) dengan  1 =  (  2 ,  ) = −(  2 + 𝑘  ), 𝑘 > 1
Sehingga  sistem  tersebut dengan  mensubtitusikan input  virtual  diatas  sehingga diperoleh  sistem berikut:
 ̇ = −𝑘  +  cos  (−(  2 + 𝑘  ))
Selain  itu  dengan   memilih   kandidat  fungsi lyapunov  V (  ) = 1 2  2 sehingga diperoleh  turunan  dari fungsi lyapunov sebagai berikut:
V (  ) = 1 2  2
𝑉̇(  ) =  ̇ =  (−𝑘 + 𝑐𝑜𝑠 (−(  2 + 𝑘  ))) ≤ −𝑘  2 +  2 = −(k − 1)  2 ,  ∈ 𝑅, 𝑘 > 1
Berdasarakan pertidaksamaan diatas, karena  turunan fungsi lyapunov  dari 𝑉̇ (η) ≤ 0 untuk  setiap  η ∈ R.   Jadi  terbukti bahwa  titik  asal  dari  sistem η˙ =−kη + η cos(−(ξ2 + kη)) adalah    asymptotik  stabil.  Pada backsteppin g dengan menggunakan perubahan variabel, sekarang misalkan z 1 = η 2 − ψ(ξ 1 , η) = ξ 1 + ξ 2 +kη, sehingga  dengan  perubahan    variabel  tersebut    maka  untuk  transformasi  sistem  ke  dalam  bentuk    sistem nonlinear berikut.
 ̇ = −𝑘  +  cos (−(  2 + 𝑘  )) + 𝑧 1 𝑧 1 ̇ = 2  2 +  2 − 𝑘 2  +  𝑘  cos (−(  2 + 𝑘  )) + 𝑘𝑧 1 + 𝑢 Pilih
𝑉 𝑐 (  ) = 1 2  2 + 1 2 𝑧 1 2
https://jurnal.unsulbar.ac.id/index.php/saintifik
Dengan  Vc  sebagai  kandidat  fungsi lyapunov  komposite ,  sehingga  diperoleh  turunan  fungsi lyapunov komposite sebagai berikut:
𝑉 𝑐 (  ) = 1
2  2 + 1 2 𝑧 1 2
𝑉 𝑐 ̇ (  ) =  ̇ + 𝑧 1 𝑧 1 ̇ =  (−𝑘 + 𝑐𝑜𝑠 (−(  2 + 𝑘  )) + 𝑧 1 ) + 𝑧 1 (2  2 +  2 − 𝑘 2 + 𝑘  𝑐𝑜𝑠 (−(  2 + 𝑘  )) + 𝑘𝑧 1 + 𝑢  ) ≤ − (k − 1)  2 + 𝑧 1 (2  2 +  2 − (𝑘 2 − 1)  + 𝑘  cos (−(  2 +   𝑘  )) + 𝑘𝑧 1 + 𝑢) Pilih 𝑢 = −2  2 −  2 + (𝑘 2 − 1)  − 𝑘  cos (−(  2 + 𝑘  )) − 2𝑘 𝑧 1 = −2  2 −  2 + (𝑘 2 − 1)  − 𝑘  cos (−(  2 + 𝑘  )) − 2𝑘 (  1 +  2 + 𝑘  )
Sehingga diperoleh
𝑉 𝑐 ̇ ≤ −(k − 1)  2 − 𝑘𝑧 1 2 =≤ −(k − 1)  2 − 𝑘(  1 +  2 +  𝑘  ) 2
Berdasarkan  pertidaksaman  diatas, karena  turunan  fungsi lyapunov  komposite dari  V˙c(ξ, η)  ≤  0 untuk  setiap  η ∈ R  dan  untuk  setiap  ξ ∈ R2.   Jadi terbukti bahwa  sistem  tersebut   pada  titik  asal  adalah asymptotik   stabil.   Jelas  bahwa  asumsi  2.1  dan  2.2  terpenuhi, sehingga  dapat disimpulkan  bahwa pada titik  asal  dari  output   feedback  sistem  loop  tertutup adalah  asymptotik stabil.   Adapun  pembuktiannya dapat   dilihat   pada  gambar  III.1  dibawah  ini, pada   gambar   III.1  dibawah   ini  memperlihatkan  bahwa untuk  setiap  keadaan pada  sistem nonlinear  yang berbentuk  normal  tersebut  akan  asymptotik stabil pada titik   asalnya  dengan  desain  feedback  kontrol u yang  diperoleh  melalui prosedur  teknik backstepping .
Gambar 1 Respon dari output y, keadaan ξ 2 dan keadaan internal η terhadap sistem dengan output feedback
Secara  keseluruhan   untuk   mendesain   observer  yang  sesuai  dengan  prosedur sebelumnya  maka persamaan   sistem  observer  sebagai  berikut
https://jurnal.unsulbar.ac.id/index.php/saintifik
 1 ̂̇ =  2 ̂ + 𝛼 1 𝜀 (𝑦 −  1 ̂ )  2 ̂̇ =  2 ̂ +  ̂ + 𝛼 2 𝜀 2 (𝑦 −  1 ̂ )  ̂̇ =  2 (  ,  ) + 𝛼 3 𝜀 3 (𝑦 −  1 ̂ )
 ̂̇ =  1 ̂ +  2 ̂ +  ̂ cos(  1 ̂ ) + 𝐿(𝑡)(  ̂ −  ̂ ) dengan  2 (  ,  ) = (  1 ̂ +  2 ̂ +  ̂ cos(  1 ̂ )) . Untuk   observer  L(t)  adalah   diberikan  pada  persamaan   (32) dan  (33)  dengan  memperhatikan  A1   dan  C1 diberikan  oleh 𝐴 1 = cos(  1 ̂ ) dan 𝐶 1 = 1 . Q  = 6,  R  = 1, α1   = 3,  α2   = 3,  α3   = 1,  P (0)  = 0.9,  η(0)  = 0.1,  ξ1(0)  = 0.5, ξ2(0)  = 0, ξˆ1 (0)  = 0.8, ξˆ2(0) = 0.3, ηˆ(0) = 0.9,  σˆ(0) = 0.9.  Karena  Demontrasi yang  ditunjukkan  untuk   memandang   kendala   fisik  pada sistem  atau   sebagai hasil  keadaaan   dengan   menggunakan   feedback   kontrol,   keadaan   η  memiliki himpunan  { - 1 5 , 1 0 } .
Gambar 2 menunjukaan  kontrol  yang  diperlukan  untuk  menstabilkan   sistem  yang  sudah berbentuk   normal.
Gambar 3 menunjukkan respon dari sistem  ̃̇ = [𝐴 1 − 𝐿(𝑡)𝐶 1 ]  ̃ , yang dimulai dari  ̃(0) = 0.4 sebagai bagian sistem yang direduksi oleh persamaan (47). Untuk  cukup kecil maka akan lebih dekat dengan trajektory output feedback menjadikan lebih dekat dengan sistem direduksi.
https://jurnal.unsulbar.ac.id/index.php/saintifik
Gambar 4 Estimasi keadaan  1 dengan memilih  yang beragam yaitu  = 0.3,  = 0.27, dan
 = 0.1 Gambar 5 Estimasi keadaan  2 dengan memilih  yang beragam yaitu  = 0.3,  = 0.27, dan  = 0.1
Gambar 6 Estimasi keadaan  dengan memilih  yang beragam yaitu  = 0.3,  = 0.27, dan  = 0.1
https://jurnal.unsulbar.ac.id/index.php/saintifik
Pada  gambar  III.4, gambar  III.5 dan gambar  III.6 diatas  menjelaskan  ilustrasidari observer yang diberikan oleh EKF-EHGO  pada  sistem yang sudah berbentuk  normal.  Tujuan  dari  observer  yang  diberikan  adalah untuk   mengestimasi semua  keadaan   pada   sistem  tersebut   dan  harapannya  adalah   selisih  atau   error antara  keadaan    sesungguhnya    dengan    keadaan    estimasi  adalah    asymtotik  stabil    ke  nol.    Jadi kesimpulannya   adalah   dengan  yang  berbeda   tentu   akan memberikan ilustrasi  yang  berbeda,  jika semakin  kecil maka  setiap  masing - masing keadaan  estimasi  ξˆ1,ξˆ2, dan ηˆ akan  lebih dekat  dengan  masing - masing keadaan  ξ1, ξ2  dan  η dengan kondisi nilai  awal  yang  sama  setiap  tersebut.

## 4. KESIMPULAN
Adapun  kesimpulan  pada  tesis  ini  sebagai  berikut mempresentasikan kontrol  strategi output feedback  ini yang  didasarkan pada  observer  EKF-EHGO, feedback  kontrol  yang digunakan  memenuhi  kondisi ISS dan ketika  mengestimasi  error  dinamik  feedback  kontrol  digunakan   untuk   menstabilkan keadaanya   secara asymptotic,  memberikan  kestabilan  semi-global  pada  sistem  loop  tertutup  dari  kelas  sistem  nonlinear yang  berfase  non-minimum    dengan    kondisi  keadaanya  akan  stabil  asymptotik  pada  titik    asalnya, membuktikan  bahwa stability  recovery dari  sistem  loop  tertutup  akan stabil  asymptotik pada  titik  asal dengan  kondisi  nilai  awal  sesuai, dan dengan  desain  feedback  kontrol  untuk   seluruhnya   dan  kemudian menggunakan  EKF-EHGO  untuk  estimasi  dari  keadaan,  semakin  kecil    yang dipilih  maka  semakin  kecil error  antara  keadaan   sesungguhnya   dengan estimasi  keadaannya dengan  kondisi  nilai  awal  yang  sama

## DAFTAR PUSTAKA
Andrieu,  V.  and  Praly,   L.  (2008).  Global  asymptotic   stabilization   for  nonminimum phase  nonlinear systems  admitting  a  strict   normal  form.  IEEE  Transactions on  Automatic   Control.  vol.  53,  no.  5, pp.  1120-1132.
Atassi,   A.,  and  Khalil,  H.  (1999).  A  separation   principle  for  the  stabilization   of  a class of nonlinear systems.  IEEE  Transactions on  Automatic  Control,  vol. 44, no.  9, pp.  1672-1687
Boker,  A. and  Khalil,  H. (2013).  Semi-Global  Output Feedback  Stabilisai  Dari  Ke- las  Sistem  Nonlinear Berfase  Non-Minimum.   American   Control  Conference (ACC)  Washington,  DC,  USA,  June  17-19, 2013
Boizot,    N.,  Busvelle,  E.,    and    Gauthier,    J.    (2010).  An  adaptive    high-gain    observer  for  nonlinear systems.  Automatica,   vol.  46, no.  9, pp.  1483-1488
Ding,   Z.  (2005).   Semi-global  stabilisation   of  a  class  of  non-minimum   phase   non-  linear  output- feedback  systems.  IEE  proceedings  in  Control  Theory  and  Ap- plications.  vol.  152, no.  4.IET,  2005 pp.  460-464.
Esfandiari,    F.,  dan  Khalil,  H.  (1992).  Output  feedback  stabilization    of  fully  lineari-  zable  systems. International  Journal   of Control.  vol. 56, no.  5,pp.1007-1037
Ghorbel,  F.,  Hung,  J.,  and  Spong,  M.  (1989).  Adaptive   control  of  flexiblejoint  ma- nipulators.   IEEE Control  systems  Magazine.  vol.  9, no.  7,  pp.  9-13, 1989
Hoseini,  M.,  Farrokhi,   M.,  and  Koshkouei,  A.  (2010).  Adaptive   neural    network  ou-  tput   feedback stabilization   of nonlinear  non-minimum   phase  systems.  Inter- national   journal   of  adaptive  control and  signal  processing,  vol.  24,  no.1,  pp.
65-82
https://jurnal.unsulbar.ac.id/index.php/saintifik
Isidori,  A.  (2000).  A  tool  for  semi-global  stabilization   of  uncertain   non-minimum phase  nonlinear systems  via  output feedback.  IEEE  Transactions on  Auto- matic  Control  , vol. 45, no. 10, pp.  1817- 1827
Isidori,  A.  (1997).  Nonlinear  control  systems.  Springer-Verlag:   New York,  Inc. Karagiannis,   D.,  Jiang, Z.,  Ortega,  R.,  and  Astofi,  A.  (2005).  Output-feedback  sta- bilization  of a  class of uncertain   non-minimum-phase   nonlinear  systems.  Au- tomatica.   vol.  41, no.  9,  pp.  1609-1615
Khalil,  H.  (2002).  Nonlinear  systems.  Printice-Hall.
Marino,    R.    and    Tomei,    P.   (2005).    A  class  of  globally   output  feedback    stabiliza-  ble  nonlinear nonminimum  phase  systems.  IEEE  Transactions  on  Automatic Control.  vol.  50,  no.  12,  pp.  2097- 2101
Nazrulla,   S.,  and   Khalil,   H.  (2011).  Robust   stabilization   of  non-minimum   phase nonlinear  systems using extended  high-gain observers. IEEE  Transactions  on Automatic  Control.  vol. 56, no. 4, pp.  802- 813