Accredited by Ministry of Education, Culture,                                     DOI: https://doi.org/10.35799/jis.v23i2.48235 Research and Technology No: 105/E/KPT/2022         Available online at https://ejournal.unsrat.ac.id/v3/index.php/jis

## Model SEIR dengan Struktur Tahap Hidup Nyamuk Aedes albopictus
James Uriel Livingstone Mangobi 1*) , Santje Matulende Salajang 2) , Cori Pitoy 3)
1,2,3) Jurusan Matematika, Fakultas Matematika, Ilmu Pengetahuan Alam dan Kebumian, Universitas Negeri Manado, Indonesia *Corresponding author: jamesmangobi@unima.ac.id

## ABSTRAK.
Penelitian ini bertujuan untuk mengkaji model SEIR untuk penyebaran penyakit DBD dan melakukan analisis kestabilan titik tetap, serta melakukan simulasi numerik.  Struktur tahap hidup  nyamuk Aedes  albopictus dipertimbangkan  dalam  model  SEIR  Demam  Berdarah Dengue  (DBD)  yang  dikaji  dan  disimulasikan  secara  numerik.  Kajian  model  ini meliputi pencarian disease-free equilibrium (DFE), pencarian the basic reproduction number ℜ 0 , dan analisis  kestabilan  DFE,  sedangkan  simulasi  numerik  dilakukan  untuk  melihat  dampak perubahan  laju  kematian  nyamuk  dan  rata-rata  gigitan  nyamuk  terinfeksi.  Untuk  nilai parameter  tertentu,  model  yang  dikaji  ini  menunjukkan  terjadinya  endemik  dalam  suatu daerah. Kajian model SEIR menghasilkan disease-free equilibrium (DFE), yang stabil ketika ℜ 0 < 1 , sebaliknya tidak stabil ketika ℜ 0 > 1 . Hasil simulasi numerik menunjukkan bahwa terjadinya epidemik atau tidak  dipengaruhi oleh parameter 𝜇 𝑎 dan 𝑏 𝑖 yang mempengaruhi nilai ℜ 0 .  Simulasi  menunjukkan  bahwa  peningkatan  laju  kematian  nyamuk  akan menurunkan jumlah manusia terpapar. Selain itu, peningkatan rata-rata gigitan nyamuk yang terinfeksi akan meningkatkan jumlah manusia terpapar.
Kata kunci: A stage-structured model ; Aedes albopictus ; demam berdarah dengue; disease- free equilibrium ; virus dengue

## SEIR Model of Dengue Hemorrhagic Fever with the Life Stage Structure of the Aedes albopictus Mosquito

## ABSTRACT
The aims of this  research to examine the SEIR model for the spread of dengue fever and carry out fixed point stability analysis, as well as carrying out numerical simulations. The structure of the life stage of the Aedes albopictus mosquito is considered in the SEIR model of  Dengue  Hemorrhagic  Fever  (DHF),  which  is  studied  and  simulated  numerically.  This model study includes the search for disease-free equilibrium (DFE), the search for the basic reproduction  number ℜ 0 ,  and  the  analysis  of  the  stability  of  the  DFE,  while  numerical simulations are carried out to see the impact of changes in the death rate of mosquitoes and the average bite rate of infected mosquitoes. For certain parameter values, the model under study  shows  the  occurrence  of  endemics  in  an  area.  The  SEIR  model  study  produces  a disease-free equilibrium (DFE), which is stable when ℜ 0 < 1 , but unstable when ℜ 0 > 1 . The numerical simulation results show that the occurrence of an epidemic is not affected by the parameters 𝜇 𝑎 and 𝑏 𝑖 which affect the value of ℜ 0 . Simulations show that an increase in the death rate of mosquitoes will reduce the number of humans exposed to them. In addition, an increase in the average number of infected mosquito bites will increase the number of humans exposed.
Keywords: A stage-structured model; Aedes albopictus ; dengue hemorrhagic fever; disease- free equilibrium; dengue virus
(Article History:  Received 20-06-2023; Accepted 10-09-2023; Published 20-10-2023)

## PENDAHULUAN
Virus  dengue  menyebabkan  demam  akut,  yang  dikenal  sebagai  Demam  Berdarah Dengue  (DBD).  Virus  ini  memiliki  empat  serotipe,  yaitu  DEN-1,  DEN-2,  DEN-3,  dan DEN-4  (Asih et  al .,  2021;  Chamnan  &  Pongsumpun,  2021).  Penularan  virus  dengue  ke manusia  dilakukan  oleh  nyamuk Aedes  sp sebagai  vektor  yang  sangat  efektif  dan  efisien karena berasosiasi dengan kehidupan manusia. Perilaku nyamuk betina dewasa yang telah terinfeksi  virus  dengue  yang  menggigit  dan  menghisap  darah  manusia.  Itulah  sebabnya penyakit ini dapat dengan mudah menjadi wabah (epidemi) pada populasi manusia  (Jia et al ., 2017; Marini et al ., 2016; Metelmann et al. , 2019; Ndii et al ., 2015; Taghikhani et al ., 2020).
WHO  memperkirakan  sekitar  100–400  juta  kejadian  infeksi  terjadi  setiap  tahun (Anonymous, 2023). Kejadian luar biasa DBD di Indonesia sudah tercatat sejak tahun 1988. Hingga  akhir  tahun  2022.  Kematian  manusia  akibat  DBD  masih  terbilang  tinggi menurut catatan  Kementerian  Kesehatan  Republik  Indonesia  (Kemenkes  RI).  Upaya  pencegahan epidemik DBD di Indonesia yang difokuskan pada pemberantasan nyamuk pembawa virus masih  belum  memuaskan.  Rendahnya  anggaran  pemerintah  untuk  pengendalian  wabah, keterbatasan  infrastruktur  serta  kurangnya  data  dan  informasi  menjadi  penyebab  utama keterlambatan Indonesia dalam pencegahan dan penanggulangan wabah ini.
Pemodelan matematis dapat membantu memahami dan mengidentifikasi hubungan antara berbagai parameter epidemiologi dan penyebaran penyakit DBD. Model matematika merupakan  penyederhanaan  suatu  fenomena.  Penyebaran  DBD  dimodelkan  dengan mendefinisikan  unit-unit  yang  menggambarkan  fenomena  penyebaran  penyakit  dan hubungan antar unit tersebut. Unit ini merupakan suatu compartment atau wadah hipotetik yang berisi bahan tertentu (de los Reyes & Escaner, 2018; Saha et al ., 2023; Sianturi, 2015). Menurut  Edelstein-Keshet  dalam  bukunya  yang  berjudul Mathematical  Models  in Biology ,  banyak  model  matematis  yang  telah  dikembangkan  untuk  memahami  dan mengidentifikasi hubungan antara penyebaran DBD dan berbagai parameter epidemiologi, salah satunya ialah Susceptible-Exposed-Infected-Recovered disingkat SEIR (Erguler et al ., 2016;  Sianturi,  2015).  Banyaknya  individu  rentan  pada  waktu  tertentu  termasuk  dalam kompartemen Susceptible yang dinotasikan dengan 𝑆(𝑡) , banyaknya individu terpapar pada waktu  tertentu  termasuk  dalam  kompartemen Exposed yang  dinotasikan  dengan 𝐸(𝑡) , banyaknya individu terinfeksi pada waktu tertentu termasuk dalam kompartemen Infected yang  dinotasikan  dengan 𝐼(𝑡) ,  dan  banyaknya  individu  sembuh  pada  waktu  tertentu termasuk dalam kompartemen Recovered yang dinotasikan dengan 𝑅(𝑡) .
Model SEIR yang dikaji oleh Erickson et al. (2010) dalam artikel yang berjudul A stage-structured,  Aedes  albopictus  population  model ,  menempatkan  nyamuk Aedes albopictus sebagai  vektor  utama.  Banyaknya  kasus  DBD  disebabkan  oleh  nyamuk  ini, karena mempunyai cakupan yang lebih besar dan lebih sulit dikendalikan. Semua spesies nyamuk, termasuk Ae. albopictus , yang memiliki empat tahap hidup, yakni: Egg , Larvae , Pupae ,  dan Adult (Anonymous,  2022). A  stage-structured  model dipilih  karena Ae. albopictus memiliki  tingkat  perkembangan  dan  kematian  yang  bervariasi  untuk  berbagai tahap.  Pada  tahap  dewasa,  selanjutnya  dipecah  menjadi  tahap  belum  dewasa  ( Immature
adults ),  tahap  kehamilan  ( Gestating  adults ),  dan  tahap  reproduksi  ( Reproducing  adults ). Oleh karena itu, total enam tahap digunakan sebagaimana ditunjukkan dalam Gambar 1.
Gambar 1. Model Struktur Tahap Hidup Nyamuk Ae. albopictus
Telah  banyak  penelitian  yang  menggambarkan  penyebaran  penyakit  DBD  dengan menggunakan  model  SEIR,  seperti  yang  dilakukan  oleh  Mangobi et  al .  (2011).  Dalam penelitian  itu,  nyamuk  (vektor)  yang  dimodelkan  adalah  nyamuk  betina  dewasa  ( adult ). Model SEIR yang dibangun belum menyentuh tahap Egg (Telur), Larvae (Larva) dan Pupae (Pupa), yaitu tiga dari empat tahap hidup nyamuk sebelum menjadi tahap Adult (Dewasa). Model  SEIR  yang  dibicarakan  dalam  artikel  ini  telah  memasukkan  keempat  tahap  hidup nyamuk.
Penelitian  ini  bertujuan  untuk  mengkaji  model  SEIR  untuk  penyebaran  penyakit DBD  dan  melakukan  analisis  kestabilan  titik  tetap,  serta  melakukan  simulasi  numerik. Model SEIR yang dikaji ialah model yang mempertimbangkan struktur tahap hidup nyamuk Ae.  Albopictus ,  sedangkan  simulasi  numerik  dilakukan  untuk  mempelajari  dampak perubahan laju kematian nyamuk dan rata-rata gigitan nyamuk terinfeksi terhadap populasi manusia.

## METODE PENELITIAN
Model  SEIR  yang  dikaji  mempertimbangkan  struktur  tahap  hidup  nyamuk Ae. albopictus .  Model  ini  diambil  karena  telur  nyamuk  dapat  terinfeksi  jika  nyamuk Ae. albopictus dewasa  sudah  terinfeksi  virus  dengue.  Kajian  model  ini  meliputi  pencarian disease-free equilibrium (DFE), pencarian the basic reproduction number ℜ 0 , dan analisis kestabilan DFE, sedangkan simulasi numerik dilakukan untuk melihat  dampak perubahan laju kematian nyamuk dan rata-rata gigitan nyamuk terinfeksi.

## Model SEIR berdasarkan Struktur Tahap Hidup Nyamuk Ae. albopictus
Penambahan  tahap  belum  dewasa  dalam  model  ini  karena  nyamuk  membutuhkan waktu  sehari  sebelum  mereka  dapat  menggigit.  Tahap  dewasa  hamil  dimasukkan  karena periode  waktu  ini  bervariasi  berdasarkan  kondisi  iklim.  Hanya  nyamuk  betina  yang dimodelkan  sehingga  hanya  tahap  dewasa  bertelur  yang  ada  dalam  model  ini.  Nyamuk dewasa bersiklus di antara kedua kondisi (hamil dan bertelur) ini hingga terjadi kematian. Tiga stadium penyakit, SEI, diidentifikasi untuk nyamuk betina dewasa hamil dan bertelur dengan subskrip (misalnya, 𝑉 5𝑠 mewakili betina dewasa hamil yang rentan).
Telur (Eggs) Larva (Larvae) Pupa (Pupae) Belum Dewasa (Immature adults)
Dewasa hamil (Gestating adults) Dewasa bertelur
(Reproducing adults)
Gambar 2. Diagram Alir Model SEIR berdasarkan Struktur Tahap Hidup Nyamuk Ae. albopictus
Populasi  manusia 𝑁 ℎ dibagi  dalam  4  kompartemen,  yakni  manusia  rentan ( susceptible )  yang  dinotasikan  dengan 𝐻 𝑠 ,  manusia  terpapar  ( exposed )  yang  dinotasikan dengan 𝐻 𝑒 , manusia terinfeksi ( infected ) yang dinotasikan dengan 𝐻 𝑖 , dan manusia sembuh ( recovered )  yang  dinotasikan  dengan 𝐻 𝑟 .  Total 𝑁 ℎ diasumsikan  tidak  konstan  dan merupakan populasi tertutup.
Populasi  nyamuk 𝑁 𝑣 dibagi  dalam  10  kompartemen,  yakni  telur  ( eggs )  yang dinotasikan  dengan 𝑉 1 ,  larva  ( larvae )  yang  dinotasikan  dengan 𝑉 2 ,  pupa  ( pupae )  yang dinotasikan  dengan 𝑉 3 ,  belum  dewasa  ( immature  adults )  yang  dinotasikan  dengan 𝑉 4 , dewasa  hamil  rentan  ( susceptible  gestating  adults )  yang  dinotasikan  dengan 𝑉 5𝑠 ,  dewasa hamil  terpapar  ( exposed  gestating  adults )  yang  dinotasikan  dengan 𝑉 5𝑒 ,  dewasa  hamil terinfeksi  ( infected  gestating  adults )  yang  dinotasikan  dengan 𝑉 5𝑖 ,  dewasa  bertelur  rentan ( susceptible  reproducing  adults )  yang  dinotasikan  dengan 𝑉 6𝑠 ,  dewasa  bertelur  terpapar ( exposed  reproducing  adults )  yang  dinotasikan  dengan 𝑉 6𝑒 ,  dewasa  bertelur  terinfeksi ( infected reproducing adults ) yang dinotasikan dengan 𝑉 6𝑖 . Total 𝑁 𝑣 diasumsikan konstan dan merupakan populasi tertutup.
Dengue  ditularkan  melalui  gigitan  ketika  virus  berada  di  kelenjar  ludah  nyamuk. Ketika  sudah  berada  dalam  tubuh  manusia,  virus  membutuhkan  masa  inkubasi  intrinsik selama  4-6  hari  sebelum  penyakit  berkembang.  Selama  masa  itu,  manusia  rentan  telah dikelompokkan ke kompartemen manusia terpapar. Ketika manusia terinfeksi yang sedang mengalami viremia digigit oleh nyamuk rentan, virus tertular ke nyamuk tersebut.  Ketika sudah berada dalam tubuh nyamuk, virus membutuhkan masa inkubasi ekstrinsik selama 8- 10  hari  sebelum  penyakit  berkembang.  Selama  masa  tersebut,  nyamuk  rentan  telah dikelompokkan ke kompartemen nyamuk terpapar.
𝑉 1 𝑉 2 𝑉 3 𝑉 4 𝑉 5𝑒 𝑉 6𝑒 𝑉 5𝑠 𝑉 6𝑠 𝑉 5𝑖 𝑉 6𝑖 𝐻 𝑠 𝐻 𝑒 𝐻 𝑖 𝐻 𝑟

## Populasi Nyamuk                           Populasi Manusia
Berdasarkan  model  struktur  tahap  hidup  nyamuk Ae.  albopictus (Gambar  1)  dan Diagram  Alir  Model  SEIR  (Gambar  2),  model  SEIR  penyebaran  penyakit  DBD  dapat dinyatakan sebagai:

## Populasi Manusia
{ 𝑑𝐻 𝑠 𝑑𝑡 = 𝜆𝑁 ℎ − [𝐶 𝑣ℎ (𝑠 𝑓 𝑉 5𝑖 +   𝑉 6𝑖 )] 𝐻 𝑠 𝑁 ℎ − 𝜇 ℎ 𝐻 𝑠 𝑑𝐻 𝑒 𝑑𝑡 = 𝐶 𝑣ℎ (𝑠 𝑓 𝑉 5𝑖 +   𝑉 6𝑖 ) 𝐻 𝑠 𝑁 ℎ − (𝜏 𝑒𝑥ℎ + 𝜇 ℎ )𝐻 𝑒 𝑑𝐻 𝑖 𝑑𝑡 = 𝜏 𝑒𝑥ℎ 𝐻 𝑒 − (𝜏 𝑖ℎ + 𝛼 + 𝜇 ℎ )𝐻 𝑖 𝑑𝐻 𝑟 𝑑𝑡 = 𝜏 𝑖ℎ 𝐻 𝑖 − 𝜇 ℎ 𝐻 𝑟 (1)

## Populasi Nyamuk
{ 𝑑𝑉 1 𝑑𝑡 = 𝑒 𝑝 (𝑉 6𝑠 + 𝑉 6𝑒 + 𝑉 6𝑖 ) − (𝜏 𝑒 + 𝜇 𝑒 )𝑉 1 𝑑𝑉 2 𝑑𝑡 = 𝜏 𝑒 𝑉 1 − (𝜏 𝑙 + 𝜇 𝑙 )𝑉 2 − 𝜅𝑉 2 2 𝑑𝑉 3 𝑑𝑡 = 𝜏 𝑙 𝑉 2 − (𝜏 𝑝 + 𝜇 𝑝 )𝑉 3 𝑑𝑉 4 𝑑𝑡 = 𝜏 𝑝 𝑉 3 − (𝜏 𝑖 + 𝜇 𝑎 )𝑉 4 𝑑𝑉 5𝑠 𝑑𝑡 = 𝜏 𝑖 𝑉 4 + 𝜏 𝑟 𝑉 6𝑠 − (𝜏 𝑔 + 𝐶 ℎ𝑣 𝑠 𝑓 𝐻 𝑖 𝑁 ℎ + 𝜇 𝑎 ) 𝑉 5𝑠 𝑑𝑉 6𝑠 𝑑𝑡 = 𝜏 𝑔 𝑉 5𝑠 − (𝜏 𝑟 + 𝐶 ℎ𝑣 𝐻 𝑖 𝑁 ℎ + 𝜇 𝑎 ) 𝑉 6𝑠 𝑑𝑉 5𝑒 𝑑𝑡 = 𝜏 𝑟 𝑉 6𝑒 + 𝐶 ℎ𝑣 (𝑠 𝑓 𝑉 5𝑠 + 𝑉 6𝑠 ) 𝐻 𝑖 𝑁 ℎ − (𝜏 𝑔 + 𝜏 𝑒𝑥𝑣 + 𝜇 𝑎 )𝑉 5𝑒 𝑑𝑉 6𝑒 𝑑𝑡 = 𝜏 𝑔 𝑉 5𝑒 − (𝜏 𝑟 + 𝜏 𝑒𝑥𝑣 + 𝜇 𝑎 )𝑉 6𝑒 𝑑𝑉 5𝑖 𝑑𝑡 = 𝜏 𝑟 𝑉 6𝑖 + 𝜏 𝑒𝑥𝑣 (𝑉 5𝑒 + 𝑉 6𝑒 ) − (𝜏 𝑔 + 𝜇 𝑎 )𝑉 5𝑖 𝑑𝑉 6𝑖 𝑑𝑡 = 𝜏 𝑔 𝑉 5𝑖 − (𝜏 𝑟 + 𝜇 𝑎 )𝑉 6𝑖 (2)
dengan kondisi
𝐻 𝑠 + 𝐻 𝑒 + 𝐻 𝑖 + 𝐻 𝑟 = 𝑁 ℎ dan 𝑉 1 + 𝑉 2 + 𝑉 3 + 𝑉 4 + 𝑉 5𝑠 + 𝑉 6𝑠 + 𝑉 5𝑒 + 𝑉 6𝑒 + 𝑉 5𝑖 + 𝑉 6𝑖 = 𝑁 𝑣 (3)
serta
𝑁 ℎ : jumlah total populasi manusia. 𝑁 𝑣 : jumlah total populasi nyamuk.
𝜆 : laju kelahiran manusia
𝛼 : laju kematian manusia karena DBD. 𝜇 ℎ : laju kematian manusia secara alami. 𝜇 𝑒 : laju kematian telur. 𝜇 𝑙 : laju kematian larva. 𝜇 𝑝 : laju kematian pupa. 𝜇 𝑎 : laju kematian nyamuk belum dewasa atau dewasa. 𝐶 𝑣ℎ : peluang kontak antara nyamuk terinfeksi dengan manusia rentan. 𝐶 ℎ𝑣 : peluang kontak antara manusia terinfeksi dengan nyamuk rentan. 𝑠 𝑓 : persentase harian vektor yang membutuhkan darah kedua.
𝜅 : daya dukung ( carring capacity )
𝑒 𝑝 : telur per eviposisi 𝜏 𝑒𝑥ℎ : proporsi manusia terpapar berpindah ke manusia terinfeksi. 𝜏 𝑖ℎ : proporsi manusia terinfeksi berpindah ke manusia sembuh. 𝜏 𝑒𝑥𝑣 : proporsi nyamuk terpapar berpindah ke nyamuk terinfeksi. 𝜏 𝑒 : proporsi telur berpindah ke larva.
𝜏 𝑙 : proporsi larva berpindah ke pupa.
𝜏 𝑝 : proporsi pupa berpindah ke nyamuk belum dewasa. 𝜏 𝑖 : proporsi nyamuk belum dewasa berpindah ke nyamuk dewasa rentan.
𝜏 𝑔 : proporsi  nyamuk  dewasa  hamil  (rentan/terpapar/terinfeksi)  berpindah  ke  nyamuk dewasa bertelur (rentan/terpapar/terinfeksi).
𝜏 𝑟 : proporsi  nyamuk  dewasa  bertelur  (rentan/terpapar/terinfeksi)  berpindah  ke  nyamuk dewasa hamil (rentan/terpapar/terinfeksi).
Dengan pemisalan 𝐻 𝑠 ∗ = 𝐻 𝑠 𝑁 ℎ , 𝐻 𝑒 ∗ = 𝐻 𝑒 𝑁 ℎ , 𝐻 𝑖 ∗ = 𝐻 𝑖 𝑁 ℎ , 𝐻 𝑟 ∗ = 𝐻 𝑟 𝑁 ℎ , 𝑉 1 ∗ = 𝑉 1 𝑁 𝑣 , 𝑉 2 ∗ = 𝑉 2 𝑁 𝑣 , 𝑉 3 ∗ = 𝑉 3 𝑁 𝑣 , 𝑉 4 ∗ = 𝑉 4 𝑁 𝑣 , 𝑉 5𝑠 ∗ = 𝑉 5𝑠 𝑁 𝑣 , 𝑉 6𝑠 ∗ = 𝑉 6𝑠 𝑁 𝑣 , 𝑉 5𝑒 ∗ = 𝑉 5𝑒 𝑁 𝑣 , 𝑉 6𝑒 ∗ = 𝑉 6𝑒 𝑁 𝑣 , 𝑉 5𝑖 ∗ = 𝑉 5𝑖 𝑁 𝑣 dan 𝑉 6𝑖 ∗ = 𝑉 6𝑖 𝑁 𝑣 , dan menganggap bahwa  nilai 𝐶 ℎ𝑣 = 𝐶 𝑣ℎ = 𝑐 ,  maka  diperoleh  bentuk  sederhana  sistem  (1)  dan  (2)  serta kondisi (3) berikut:
{
𝑑𝐻 𝑠 ∗
𝑑𝑡 = 𝜆 − [𝜇 ℎ + 𝑛𝑐(𝑠 𝑓 𝑉 5𝑖 ∗ + 𝑉 6𝑖 ∗ )]𝐻 𝑠 ∗ 𝑑𝐻 𝑒 ∗ 𝑑𝑡 = 𝑛𝑐(𝑠 𝑓 𝑉 5𝑖 ∗ + 𝑉 6𝑖 ∗ )𝐻 𝑠 ∗ − (𝜏 𝑒𝑥ℎ + 𝜇 ℎ )𝐻 𝑒 ∗ 𝑑𝐻 𝑖 ∗ 𝑑𝑡 = 𝜏 𝑒𝑥ℎ 𝐻 𝑒 ∗ − (𝜏 𝑖ℎ + 𝛼 + 𝜇 ℎ )𝐻 𝑖 ∗ 𝑑𝑉 2 ∗ 𝑑𝑡 = 𝜏 𝑒 (1 − 𝑉 2 ∗ − 𝑉 3 ∗ − 𝑉 4 ∗ − 𝑉 5𝑠 ∗ − 𝑉 6𝑠 ∗ − 𝑉 5𝑒 ∗ − 𝑉 6𝑒 ∗ − 𝑉 5𝑖 ∗ − 𝑉 6𝑖 ∗ ) − (𝜏 𝑙 + 𝜇 𝑙 )𝑉 2 ∗ − 𝜅𝑁 𝑣 𝑉 2 ∗2 𝑑𝑉 3 ∗ 𝑑𝑡 = 𝜏 𝑙 𝑉 2 ∗ − (𝜏 𝑝 + 𝜇 𝑝 )𝑉 3 ∗ 𝑑𝑉 4 ∗ 𝑑𝑡 = 𝜏 𝑝 𝑉 3 ∗ − (𝜏 𝑖 + 𝜇 𝑎 )𝑉 4 ∗ 𝑑𝑉 5𝑠 ∗ 𝑑𝑡 = 𝜏 𝑖 𝑉 4 ∗ + 𝜏 𝑟 𝑉 6𝑠 ∗ − (𝜏 𝑔 + 𝑐𝑠 𝑓 𝐻 𝑖 ∗ + 𝜇 𝑎 )𝑉 5𝑠 ∗ 𝑑𝑉 6𝑠 ∗ 𝑑𝑡 = 𝜏 𝑔 𝑉 5𝑠 ∗ − (𝜏 𝑟 + 𝑐𝐻 𝑖 ∗ + 𝜇 𝑎 )𝑉 6𝑠 ∗ 𝑑𝑉 5𝑒 ∗ 𝑑𝑡 = 𝜏 𝑟 𝑉 6𝑒 ∗ + 𝑛𝑐(𝑠 𝑓 𝑉 5𝑠 ∗ + 𝑉 6𝑠 ∗ )𝐻 𝑖 ∗ − (𝜏 𝑔 + 𝜏 𝑒𝑥𝑣 + 𝜇 𝑎 )𝑉 5𝑒 ∗ 𝑑𝑉 6𝑒 ∗ 𝑑𝑡 = 𝜏 𝑔 𝑉 5𝑒 ∗ − (𝜏 𝑟 + 𝜏 𝑒𝑥𝑣 + 𝜇 𝑎 )𝑉 6𝑒 ∗ 𝑑𝑉 5𝑖 ∗ 𝑑𝑡 = 𝜏 𝑟 𝑉 6𝑖 ∗ + 𝜏 𝑒𝑥𝑣 (𝑉 5𝑒 ∗ + 𝑉 6𝑒 ∗ ) − (𝜏 𝑔 + 𝜇 𝑎 )𝑉 5𝑖 ∗ 𝑑𝑉 6𝑖 ∗ 𝑑𝑡 = 𝜏 𝑔 𝑉 5𝑖 ∗ − (𝜏 𝑟 + 𝜇 𝑎 )𝑉 6𝑖 ∗
(4) dengan 𝑛 = 𝑁 𝑣 𝑁 ℎ serta kondisi
𝐻 𝑠 ∗ + 𝐻 𝑒 ∗ + 𝐻 𝑖 ∗ + 𝐻 𝑟 ∗ = 1 dan 𝑉 1 ∗ + 𝑉 2 ∗ + 𝑉 3 ∗ + 𝑉 4 ∗ + 𝑉 5𝑠 ∗ + 𝑉 6𝑠 ∗ + 𝑉 5𝑒 ∗ + 𝑉 6𝑒 ∗ + 𝑉 5𝑖 ∗ + 𝑉 6𝑖 ∗ = 1 (5)

## HASIL DAN PEMBAHASAN

## 1. Titik Tetap dan Kestabilannya
Dengan menyelesaikan sistem (4) pada daerah Ω , yakni Ω = {(𝐻 𝑠 ∗ , 𝐻 𝑒 ∗ , 𝐻 𝑖 ∗ , 𝑉 2 ∗ , 𝑉 3 ∗ , 𝑉 4 ∗ , 𝑉 5𝑠 ∗ , 𝑉 6𝑠 ∗ , 𝑉 5𝑒 ∗ , 𝑉 6𝑒 ∗ , 𝑉 5𝑖 ∗ , 𝑉 6𝑖 ∗ ) ∈ ℝ + 12 |𝐻 𝑠 ∗ + 𝐻 𝑒 ∗ + 𝐻 𝑖 ∗ ≤ 1,
𝑉 2 ∗ + 𝑉 3 ∗ + 𝑉 4 ∗ + 𝑉 5𝑠 ∗ + 𝑉 6𝑠 ∗ + 𝑉 5𝑒 ∗ + 𝑉 6𝑒 ∗ + 𝑉 5𝑖 ∗ + 𝑉 6𝑖 ∗ ≤ 1},
pada saat
𝑑𝐻 𝑠 ∗ 𝑑𝑡 = 𝑑𝐻 𝑒 ∗ 𝑑𝑡 = 𝑑𝐻 𝑖 ∗ 𝑑𝑡 = 𝑑𝑉 2 ∗ 𝑑𝑡 = 𝑑𝑉 3 ∗ 𝑑𝑡 = 𝑑𝑉 4 ∗ 𝑑𝑡 = 𝑑𝑉 5𝑠 ∗ 𝑑𝑡 = 𝑑𝑉 6𝑠 ∗ 𝑑𝑡 = 𝑑𝑉 5𝑒 ∗ 𝑑𝑡 = 𝑑𝑉 6𝑒 ∗ 𝑑𝑡 = 𝑑𝑉 5𝑖 ∗ 𝑑𝑡 = 𝑑𝑉 6𝑖 ∗ 𝑑𝑡 = 0,
diperoleh titik disease-free equilibrium (DFE), 𝑇(𝐻 𝑠 ∗ , 𝐻 𝑒 ∗ , 𝐻 𝑖 ∗ , 𝑉 2 ∗ , 𝑉 3 ∗ , 𝑉 4 ∗ , 𝑉 5𝑠 ∗ , 𝑉 6𝑠 ∗ , 𝑉 5𝑒 ∗ , 𝑉 6𝑒 ∗ , 𝑉 5𝑖 ∗ , 𝑉 6𝑖 ∗ ) =  𝑇(λ/𝜇 ℎ , 0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0). (6)
Titik DFE (6) ada, jika 𝛽 𝑒 = 𝑒 𝑝 𝜏 𝑒 𝜏 𝑒 + 𝜇 𝑎 > [(𝜏 𝑟 + 𝜇 𝑎 )(𝜏 𝑔 + 𝜇 𝑎 ) − 𝜏 𝑟 𝜏 𝑔 ](𝜏 𝑖 + 𝜇 𝑎 )(𝜏 𝑝 + 𝜇 𝑝 )(𝜏 𝑙 + 𝜇 𝑙 )/𝜏 𝑔 𝜏 𝑖 𝜏 𝑙 𝜏 𝑝 = 𝛽 0 yang  didasarkan  pada  kriteria  Routh-Hurwitz  (Bodson,  2020) dan  akan  stabil  ketika the  basic  reproduction  number ℜ 0 = √𝜉 < 1 untuk 0 ≤ 𝜉 < 1 , sebaliknya  tidak  stabil  ketika ℜ 0 = √𝜉 > 1 .  Bilangan ℜ 0 didefinisikan  sebagai  nilai harapan  banyaknya  populasi  rentan  yang  menjadi  terinfeksi  selama  masa  infeksi berlangsung. (Khan et al ., 2014; Posny & Wang, 2014).
Dengan  menentukan the  next  generation  matrix (Levin et  al .,  2017;  Yang,  2014) untuk sistem (4) pada titik DFE (6), maka rumusan ℜ 0 diberikan oleh
ℜ 0 = √𝜉 = √ 𝑐 2 (𝑠 𝑓 𝑉 5𝑠 + 𝑉 6𝑠 )𝜏 𝑒𝑥ℎ 𝜏 𝑒𝑥𝑣 [𝜏 𝑔 + 𝑠 𝑓 ( 𝜇 𝑎 + 𝜏 𝑟 )] 𝜇 𝑎 ( 𝜇 𝑎 + 𝜏 𝑒𝑥𝑣 )( 𝜇 𝑎 + 𝜏 𝑔 + 𝜏 𝑟 )( 𝜇 ℎ + 𝜏 𝑒𝑥ℎ )(𝜏 𝑖ℎ + 𝛼 + 𝜇 ℎ )
dengan
𝜉 = 𝑐 2 (𝑠 𝑓 𝑉 5𝑠 + 𝑉 6𝑠 )𝜏 𝑒𝑥ℎ 𝜏 𝑒𝑥𝑣 [𝜏 𝑔 + 𝑠 𝑓 ( 𝜇 𝑎 + 𝜏 𝑟 )] 𝜇 𝑎 ( 𝜇 𝑎 + 𝜏 𝑒𝑥𝑣 )( 𝜇 𝑎 + 𝜏 𝑔 + 𝜏 𝑟 )( 𝜇 ℎ + 𝜏 𝑒𝑥ℎ )(𝜏 𝑖ℎ + 𝛼 + 𝜇 ℎ ) .
2. Simulasi Dinamika Populasi Penularan Virus Dengue pada Kondisi 𝕽 𝟎 < 𝟏 Analisis dinamika populasi manusia dan nyamuk dilakukan melalui perubahan nilai parameter laju kematian nyamuk (𝜇 𝑎 ) dan rata-rata gigitan nyamuk terinfeksi (𝑏 𝑖 ) . Nilai 𝜇 𝑎 berada pada [0.01, 0.09], sedangkan nilai 𝑏 𝑖 pada [0.25, 0.60] .

## Tabel 1 Parameter Model SEIR dalam Simulasi Numerik
Parameter Notasi Nilai Laju kelahiran manusia per hari 𝜆 2,244 × 10 −5 Laju kematian manusia karena DBD per hari 𝛼 1/0,003 Laju kematian manusia secara alami per hari 𝜇 ℎ 1/28000 Laju kematian telur per hari 𝜇 𝑒 0,05 Laju kematian larva per hari 𝜇 𝑙 0,025 Laju kematian pupa per hari 𝜇 𝑝 0,0025 Laju kematian nyamuk belum dewasa atau dewasa per hari 𝜇 𝑎 0,0501 Persentase harian vektor yang membutuhkan darah kedua 𝑠 𝑓 0,03 Daya dukung ( carring capacity ) 𝜅 10 −3 Jumlah telur per eviposisi 𝑒 𝑝 30 Proporsi manusia terpapar berpindah ke manusia terinfeksi per hari 𝜏 𝑒𝑥ℎ 1/10 Proporsi manusia terinfeksi berpindah ke manusia sembuh per hari 𝜏 𝑖ℎ 1/4 Proporsi telur berpindah ke larva per hari 𝜏 𝑒 0,361 Proporsi larva berpindah ke pupa per hari 𝜏 𝑙 0,134 Proporsi pupa berpindah ke nyamuk belum dewasa per hari 𝜏 𝑝 0,342 Proporsi nyamuk belum dewasa berpindah ke nyamuk dewasa rentan per hari 𝜏 𝑖 1 Proporsi nyamuk dewasa hamil berpindah ke nyamuk dewasa bertelur per hari 𝜏 𝑔 0,401 Proporsi nyamuk dewasa bertelur berpindah ke nyamuk dewasa hamil per hari 𝜏 𝑟 1 Proporsi nyamuk terpapar berpindah ke nyamuk terinfeksi per hari 𝜏 𝑒𝑥𝑣 1/9 Peluang transmisi virus dari nyamuk terinfeksi ke manusia per hari 𝑝 𝑣ℎ 0,4 Peluang transmisi virus dari nyamuk terinfeksi ke telurnya 𝛽 𝑒 0,3
Sumber: Asih et al ., 2021; de los Reyes & Escaner, 2018; Ndii et al ., 2015, 2021
Untuk kondisi ℜ 0 < 1 , setiap kompartemen pada populasi manusia maupun nyamuk menunjukkan kestabilannya (Gambar 3 dan 4). Dengan menetapkan nilai 𝜇 𝑎 = 0,0325 serta 𝑏 𝑖 = 0,3 ,  untuk  waktu 𝑡 = 365 hari,  diperoleh  gambar  dinamika  populasi  dengan  nilai ℜ 0 = 0,01 .
Gambar 3 . Dinamika populasi manusia pada kondisi ℜ 0 < 1
Setelah  tertular  virus,  jumlah  manusia  rentan 𝐻 𝑠 ∗ menurun  hingga  stabil  ke 𝐻 𝑠 ∗ = 𝜆/𝜇 ℎ = 0,63 ). Berbeda dengan yang terjadi pada manusia terpapar 𝐻 𝑒 ∗ dan terinfeksi 𝐻 𝑖 ∗ ,  awalnya  naik  kemudian  turun  hingga  stabil  ke 𝐻 𝑒 ∗ = 0 dan 𝐻 𝑖 ∗ = 0 .  Jumlah  manusia sembuh 𝐻 𝑟 ∗ mengalami peningkatan hingga stabil ke 𝐻 𝑟 ∗ = 0,37 (Gambar 3)
( a )
( b )
Gambar 4 . Dinamika populasi nyamuk pada kondisi ℜ 0 < 1 . ( a ) telur, larva, pupa, dan belum dewasa, ( b ) nyamuk dewasa
Pada Gambar 4, jumlah telur nyamuk 𝑉 1 ∗ setelah tertular virus mengalami penurunan hingga stabil ke 𝑉 1 ∗ = 0,07 . Begitu juga dengan jumlah nyamuk dewasa bertelur terinfeksi 𝑉 6𝑖 ∗ yang mengalami penurunan hingga stabil ke 𝑉 6𝑖 ∗ = 0 . Berbeda dengan yang terjadi pada larva 𝑉 2 ∗ , pupa 𝑉 3 ∗ , nyamuk belum dewasa 𝑉 4 ∗ , nyamuk dewasa hamil rentan 𝑉 5s ∗ , nyamuk dewasa  bertelur  rentan 𝑉 6s ∗ ,  nyamuk  dewasa  hamil  terpapar 𝑉 5e ∗ ,  nyamuk  dewasa  bertelur terpapar 𝑉 6e ∗ , dan nyamuk dewasa hamil terinfeksi 𝑉 5i ∗ , awalnya naik kemudian turun hingga stabil  ke 𝑉 2 ∗ = 0,17, 𝑉 3 ∗ = 0,07, 𝑉 4 ∗ = 0,02, 𝑉 5s ∗ = 0,48, 𝑉 6s ∗ = 0,19, 𝑉 5e ∗ = 0, 𝑉 6e ∗ = 0 ,  dan
𝑉 5i ∗ = 0 .
Simulasi  numerik  dilakukan  pada  populasi  manusia  dengan  perubahan  nilai parameter 𝜇 𝑎 dan 𝑏 𝑖 yang memenuhi kondisi ℜ 0 < 1 (Tabel 2).
Tabel 2 Simulasi untuk Kondisi ℜ 0 < 1
Parameter Model 𝕽 𝟎 Parameter Model 𝕽 𝟎 𝜇 𝑎 = 0,03 𝑏 𝑖 = 0,30 0,01 𝜇 𝑎 = 0,05 𝑏 𝑖 = 0,25 0,00 𝜇 𝑎 = 0,05 𝑏 𝑖 = 0,30 0,01 𝜇 𝑎 = 0,05 𝑏 𝑖 = 0,30 0,01 𝜇 𝑎 = 0,07 𝑏 𝑖 = 0,30 0,00 𝜇 𝑎 = 0,05 𝑏 𝑖 = 0,35 0,01 𝜇 𝑎 = 0,09 𝑏 𝑖 = 0,30 0,00 𝜇 𝑎 = 0,05 𝑏 𝑖 = 0,40 0,01
Gambar 5 . Dinamika populasi manusia terhadap waktu 𝑡 = 40 hari pada saat nilai parameter 𝜇 𝑎 diubah ( c ) ( d )
( a ) ( b )
Gambar 6 . Dinamika populasi manusia terhadap waktu 𝑡 = 40 hari pada saat nilai parameter 𝑏 𝑖 diubah
Gambar  5(a)  –  5(d)  menunjukkan  perubahan  jumlah  tiap  kompartemen  (rentan, terpapar,  terinfeksi  dan  sembuh)  ketika  nilai  laju  kematian  nyamuk  ( 𝜇 𝑎 )  diubah.  Jika 𝜇 𝑎 dinaikan,  maka  proporsi  manusia  rentan  yang  berpindah  ke  manusia  terpapar  semakin berkurang.  Hal ini  disebabkan  karena  kenaikan  laju  kematian  nyamuk  dapat  menurunkan jumlah nyamuk terinfeksi.
Akibat  perubahan  laju  kematian  nyamuk,  perubahan  jumlah  tiap  kompartemen populasi  manusia  cenderung  tidak  sama.  Maksimum  jumlah  populasi  manusia  terpapar (Gambar  5b)  terjadi  pada  hari  ke-15  dengan  proporsi  7.94%  dan  laju  kematian  nyamuk sebesar 𝜇 𝑎 = 0,03 . Pada populasi manusia terinfeksi (Gambar 5c), maksimum terjadi pada hari ke-15 dengan proporsi 0.02% dan laju kematian nyamuk sebesar 𝜇 𝑎 = 0,03 .
Gambar  6(a)  –  6(d)  menunjukkan  perubahan  jumlah  tiap  kompartemen  (rentan, terpapar,  terinfeksi  dan  sembuh)  ketika  terjadi  perubahan  nilai  rata-rata  gigitan  nyamuk terinfeksi ( 𝑏 𝑖 ). Jika nilai tersebut dinaikan, maka proporsi perpindahan manusia rentan ke manusia  terpapar  semakin  bertambah.  Peningkatan  rata-rata  gigitan  nyamuk  terinfeksi menyebabkan  terjadinya  peningkatan  nilai  peluang  kontak  nyamuk  dewasa  terinfeksi dengan manusia rentan.
Akibat  perubahan  rata-rata  gigitan  nyamuk  terinfeksi,  perubahan  jumlah  tiap kompartemen populasi manusia cenderung tidak sama. Maksimum jumlah populasi manusia terpapar (Gambar 6b) terjadi pada hari ke-12 dengan proporsi 8,99% dan rata-rata gigitan nyamuk  terinfeksi  sebesar 𝑏 𝑖 = 0,40 .  Pada  populasi  manusia  terinfeksi  (Gambar  6c), maksimum terjadi pada hari ke-12 dengan proporsi 0.02695% dan rata-rata gigitan nyamuk terinfeksi sebesar 𝑏 𝑖 = 0,40 .
( a ) ( b ) ( c ) ( d )

## KESIMPULAN
Adanya  keadaan  endemik  di  suatu  daerah  ditunjukkan  oleh  titik  tetap  dan kestabilannya pada nilai parameter tertentu. Titik disease-free equilibrium (DFE) stabil jika ℜ 0 < 1 ,  sebaliknya  tidak  stabil  jika ℜ 0 > 1 .  Hasil  dinamik  untuk  tiap  populasi  manusia (rentan,  terpapar,  terinfeksi,  dan  sembuh)  dipengaruhi  oleh  pemilihan  nilai ℜ 0 .  Dalam simulasi numerik, nilai ℜ 0 dipengaruhi oleh laju kematian nyamuk 𝜇 𝑎 dan rata-rata gigitan nyamuk  terinfeksi 𝑏 𝑖 .  Simulasi  dinamika  populasi  menunjukkan  bahwa  peningkatan  laju kematian nyamuk akan menurunkan jumlah manusia terpapar. Selain itu, peningkatan rata- rata gigitan nyamuk yang terinfeksi akan meningkatkan jumlah manusia terpapar. Perubahan laju kematian nyamuk atau rata-rata gigitan nyamuk terinfeksi, mengakibatkan perubahan jumlah tiap populasi manusia cenderung tidak sama.

## DAFTAR PUSTAKA
Anonymous. (2022). Aedes Mosquito Life Cycle . https://www.cdc.gov/mosquitoes/about/life-cycles/aedes.html
Anonymous. (2023). Dengue and severe dengue . https://www.who.int/en/news-room/fact- sheets/detail/dengue-and-severe-dengue.
Asih,  T.S.N.,  Kharis,  M.,  Syafa’atullah,  M.F.,  &  Isfandari,  F.  (2021).  Temperature influences on dengue hemorrhagic fever mathematical model. Journal of Physics: Conference Series , 1918 (4), 42-46. https://doi.org/10.1088/1742-
6596/1918/4/042046.
Bodson, M. (2020). Explaining the Routh–Hurwitz Criterion: A Tutorial Presentation [Focus on Education]. IEEE Control
Systems Magazine , 40 (1), 45–51. https://doi.org/10.1109/MCS.2019.2949974.
Chamnan, A., & Pongsumpun, P. (2021). Analyze of SEIR Dengue Infectious Transmission Model  with  Vaccination. Proceedings  of  the  7th  International  Conference  on Bioinformatics Research and Applications , 1–5.
https://doi.org/10.1145/3440067.3440068.
de los Reyes, A.A., & Escaner, J.M.L.  (2018). Dengue in the Philippines: model and analysis of parameters affecting transmission. Journal of Biological Dynamics , 12 (1), 894– 912. https://doi.org/10.1080/17513758.2018.1535096.
Erguler, K., Smith-Unna, S.E., Waldock, J., Proestos, Y., Christophides, G.K., Lelieveld, J., &  Parham,  P.E.  (2016).  Large-Scale  Modelling  of  the  Environmentally-Driven Population Dynamics of Temperate Aedes albopictus (Skuse). PLOS ONE , 11 (2), e0149282-. https://doi.org/10.1371/journal.pone.0149282.
Jia, P., Chen, X., Chen, J., Lu, L., Liu, Q., & Tan, X. (2017). How does the dengue vector mosquito Aedes albopictus respond to global warming? Parasites & Vectors , 10 (1), 140. https://doi.org/10.1186/s13071-017-2071-2.
Khan, A., Hassan, M., & Imran, M. (2014). Estimating the basic reproduction number for single-strain  dengue  fever  epidemics. Infectious  Diseases  of  Poverty , 3 (1),  12. https://doi.org/10.1186/2049-9957-3-12.
Levin,  M.,  Udi,  Y.,  Solomonov,  I.,  &  Sagi,  I.  (2017).  Next  generation  matrix metalloproteinase inhibitors — Novel strategies bring new prospects. Biochimica et Biophysica Acta (BBA)  - Molecular Cell Research , 1864 (11, Part A), 1927–1939. https://doi.org/https://doi.org/10.1016/j.bbamcr.2017.06.009.
Mangobi, J., Sianturi, P., & Ardana, N. (2011). Model Matematik Demam Berdarah Dengue dengan  Nyamuk  Aedes  albopictus  sebagai  Vektor [Tesis].  Sekolah  Pascasarjana, Institut Pertanian Bogor, Bogor.
Marini, G., Poletti, P., Giacobini, M., Pugliese, A., Merler, S., & Rosà, R. (2016). The Role of  Climatic  and  Density  Dependent  Factors  in  Shaping  Mosquito  Population Dynamics:  The  Case  of  Culex  pipiens  in  Northwestern  Italy. PLOS  ONE , 11 (4), e0154018. https://doi.org/10.1371/journal.pone.0154018.
Metelmann,  S.,  Caminade,  C.,  Jones,  A.E.,  Medlock,  J.M.,  Baylis,  M.,  &  Morse,  A.P. (2019).  The  UK’s  suitability  for Aedes  albopictus in  current  and  future  climates.
Journal of The Royal Society Interface , 16 (152), 20180761. https://doi.org/10.1098/rsif.2018.0761.
Ndii, M.Z., Anggriani, N., Messakh, J. J., & Djahi, B.S. (2021). Estimating the reproduction number and designing the integrated strategies against dengue. Results in Physics , 27 , 104473. https://doi.org/10.1016/j.rinp.2021.104473.
Ndii,  M.Z.,  Hickson,  R.I.,  Allingham,  D.,  &  Mercer,  G.N.  (2015).  Modelling  the transmission  dynamics  of  dengue  in  the  presence  of  Wolbachia. Mathematical Biosciences , 262 , 157–166. https://doi.org/10.1016/j.mbs.2014.12.011. Posny,  D.,  &  Wang,  J.  (2014).  Computing  the  basic  reproductive  numbers  for epidemiological  models  in  nonhomogeneous  environments. Applied  Mathematics and Computation , 242 , 473–490. https://doi.org/https://doi.org/10.1016/ j.amc.2014.05.079.
Saha, P., Sikdar, G.C., & Ghosh, U. (2023). Transmission dynamics and control strategy of single-strain dengue disease. International Journal of Dynamics and Control , 11 (3), 1396–1414. https://doi.org/10.1007/s40435-022-01027-y.
Sianturi,  P.  (2015).  Stochastic  Epidemic  Model  of  Dengue  Fever  Spread  in  West  Java Province. Prosiding Seminar Hasil-Hasil PPM IPB, Vol. I , 214–228.
Taghikhani, R., Sharomi, O., & Gumel, A.B. (2020). Dynamics of a two-sex model for the population  ecology  of  dengue  mosquitoes  in  the  presence  of  Wolbachia. Mathematical Biosciences , 328 , 108426. https://doi.org/10.1016/j.mbs.2020.108426 Yang,  H.M.  (2014).  The  basic  reproduction  number  obtained  from  Jacobian  and  next generation matrices – A case study of dengue transmission modelling. Biosystems , 126 , 52–75. https://doi.org/https://doi.org/10.1016/j.biosystems.2014.10.002.