Jurnal Ilmiah Matematika dan Pendidikan Matematika (JMP) Vol. 14 No. 2, Desember 2022, hal. 187-200 ISSN (Cetak) : 2085-1456; ISSN ( Online ) : 2550-0422
Info Artikel : dikirim 14 Nov. 2022; direvisi 20 Des. 2022; diterima 28 Des. 2022.

## SOLUSI PERSAMAAN OSILATOR NONLINIER MENGGUNAKAN METODE HOMOTOPI PERTURBASI

## Fitri Ferianti Marfungah
Jurusan Matematika, Fakultas MIPA, Universitas Jenderal Soedirman

## Mashuri*
Jurusan Matematika, Fakultas MIPA, Universitas Jenderal Soedirman mashuri@unsoed.ac.id

## Bambang Hendriya Guswanto
Jurusan Matematika, Fakultas MIPA, Universitas Jenderal Soedirman
ABSTRACT. The  oscillator  is  an  electronic  circuit  that  is  widely  used  in  electronic devices.  One  of  the  mathematical  models  that  describe  the  oscillator  problem  is  the conservative  nonlinear  oscillator  equation.  In  this  study,  the  conservative  nonlinear oscillator equation is discussed in the form of where and are odd functions.  The  purpose  of  this  study  is  to  find  a  solution  to  the  conservative  nonlinear oscillator equation and to know the simulation of the obtained solution. The method used to  find  the  solution  to  the  equation  is  the  homotopy  perturbation  method  which  is  a combination of the homotopy and perturbation methods. The search for a solution to the conservative  nonlinear  oscillator  equation  using  the  homotopy  perturbation  method  is also  modified  by  the  Lindstedt-Poincare  method  to  deal  with  secular  terms.  The simulation results show that the greater the value of , the smaller the angular frequency produced and the fewer waves formed.
Keywords :  Conservative  nonlinear  oscillator  equation,  perturbation  homotopy method, Lindstedt-Poincare method.
ABSTRAK. Osilator  adalah  suatu  rangkaian  elektronika  yang  banyak  dimanfaatkan dalam  perangkat  elektronik.  Salah  satu  model  matematika  yang  menggambarkan permasalahan osilator adalah persamaan osilator nonlinier konservatif. Pada penelitian ini dibahas  persamaan  osilator  nonlinier  konservatif dengan
dan
merupakan  fungsi  ganjil.  Tujuan  dari  penelitian  ini  adalah  untuk  mencari  solusi  dari persamaan  osilator  nonlinier  konservatif  dan  mengetahui  simulasi  dari  solusi  yang diperoleh.  Metode  yang  digunakan  untuk  mencari  solusi  persamaan  tersebut  adalah metode  homotopi  perturbasi  yang  merupakan  penggabungan  dari  metode  homotopi  dan perturbasi.  Pencarian  solusi  dari  persamaan  osilator  nonlinier  konservatif  menggunakan metode  homotopi  perturbasi juga  dimodifikasi  dengan  metode  Lindstedt-Poincare  untuk mengatasi secular term . Hasil simulasi menunjukkan bahwa semakin besar nilai , maka semakin  kecil  frekuensi  sudut  yang  dihasilkan  dan  semakin  sedikit  gelombang  yang terbentuk.
Kata Kunci : Persamaan osilator nonlinier konservatif, metode homotopi perturbasi, metode Lindstedt-Poincare.

## 1. PENDAHULUAN
Osilator  adalah  suatu  rangkaian  elektronika  yang  menghasilkan  sejumlah getaran  atau  sinyal  listrik  secara  periodik  dengan  amplitudo  yang  konstan. Osilator  banyak  dimanfaatkan  dalam  perangkat  elektronik,  seperti  pemancar televisi,  pemancar  radio,  konsol  permainan,  jam,  dan  penyerenta  untuk menghasilkan  gelombang  elektromagnet  yang  dapat  ditumpangi  berbagai informasi.  Selain  itu,  osilator  juga  digunakan  untuk  mendeteksi  dan  menentukan jarak  ( detection  and  ranging )  dengan  gelombang  mikro  (radar)  dan  gelombang ultrasonik (sonar). Komputer, detektor logam, senjata, dan hampir semua alat-alat digital juga memanfaatkan osilator.
Persamaan  osilator  adalah  persamaan  diferensial  orde  dua  yang ditambahkan dengan fungsi nonlinier (Beléndez et al., 2010). Persamaan ini banyak  digunakan  dalam  berbagai  bidang,  terutama  dalam  bidang  fisika  dan teknik. Akan tetapi,  persamaan ini sulit  diselesaikan secara analitik. Oleh karena itu, diperlukan cara lain untuk menyelesaikan persamaan osilator ini.
Sampai  saat  ini,  metode  analitik  nonlinier  untuk  memecahkan  masalah nonlinier  didominasi  oleh  metode  perturbasi  (He,  2000).  Metode  perturbasi digunakan  untuk  menentukan  solusi  aproksimasi  yang  ditulis  dalam  bentuk ekspansi barisan dari suatu sistem yang mengalami gangguan ( perturbed system ). Gangguan tersebut muncul ketika suatu proses fisis terjadi jauh lebih lambat dari yang  seharusnya.  Dalam  metode  perturbasi,  gangguan  tersebut  dicirikan  dengan suatu  parameter  bernilai  kecil  yang  disebut  sebagai  parameter  perturbasi.  Akan tetapi  pada  kenyataannya,  tidak  semua    permasalahan  nonlinier  memiliki parameter  kecil.  Akibatnya,  metode  perturbasi    tidak  bisa  digunakan  secara langsung  untuk  menyelesaikan  permasalahan  nonlinier  tersebut.  Selain  itu, penentuan  parameter  kecil  pada  metode  perturbasi  juga  membutuhkan  teknik khusus. Apabila penentuan parameter kecil tidak tepat, maka dapat menghasilkan galat  yang  besar.  Oleh  sebab    itu,  diperlukan  metode  baru  untuk  mengatasi keterbatasan metode perturbasi ini.
Pada  tahun  1997,  Liu  mengusulkan  metode  perturbasi  baru  yang  tidak didasarkan  pada  parameter  kecil,  tetapi  pada  parameter  buatan  yang  disisipkan
dalam  suatu  persamaan.  Dalam  metode  Liu,  parameter  buatan  dianggap  sebagai parameter  kecil.  Namun  dalam  kebanyakan  kasus,  metode  ini  akan  gagal  untuk mendapatkan pendekatan yang valid secara seragam. Akibatnya, parameter buatan tersebut  tidak  dapat  dianggap  sebagai  parameter  kecil  (He,  2000).  Untuk mengatasi  masalah  tersebut,  He  memperkenalkan  metode  perturbasi  baru  yang didasarkan  pada  metode  homotopi  dalam  topologi.  Dalam  metode  homotopi, persamaan  akan  disisipkan  parameter  homotopi  yang  biasanya  berkisar  dari  nol hingga  satu.  Ketika  parameter  homotopi  nol,  maka  persamaan  akan  menjadi persamaan  linier.  Sebaliknya,  ketika  parameter  homotopi  satu,  maka  persamaan akan sama dengan persamaan yang asli. Jadi, parameter homotopi [   ] dapat dianggap  sebagai  parameter  kecil.  Metode  yang  menggabungkan  metode homotopi  dengan  metode  perturbasi  ini  selanjutnya  disebut  sebagai  metode homotopi perturbasi (He, 2000).
Metode  homotopi  perturbasi  ini  telah  diterapkan  oleh  beberapa  peneliti untuk  menyelesaikan  permasalahan  nonlinier.  Salah  satunya  adalah  metode homotopi  perturbasi  yang  digunakan  untuk  memprediksi  perambatan  gelombang tsunami dengan parameter  yang tajam  dan tidak  pasti. Penelitian  yang dilakukan oleh  Karunakar  pada  tahun  2020  ini  menunjukkan  bahwa  metode  homotopi perturbasi  memberikan  solusi  aproksimasi  untuk  tinggi  gelombang  dan  rata-rata kedalaman gelombang tsunami yang sesuai dengan solusi eksak pada nilai dan yang  berbeda  (Karunakar,  2020).  Selain  itu,  pada  tahun  2003    He  menggunakan metode homotopi perturbasi untuk menyelesaikan persamaan Duffing orde tinggi. Hasil  dari  penelitian  tersebut  menunjukkan  bahwa  metode  homotopi  perturbasi memberikan solusi yang valid secara seragam untuk parameter yang sangat besar, walaupun  solusi  yang  diambil  hanya  sampai  orde  pertama.  Hal  ini  lebih  akurat daripada solusi yang diambil menggunakan metode perturbasi sampai orde ke dua (He, 2003).
Metode  homotopi  perturbasi  juga  digunakan  oleh  Beléndez  pada  tahun 2009 untuk  menyelesaikan persamaan osilator nonlinier konservatif dengan suku gaya pemulihnya sebanding dengan ⁄ . Persamaan osilator nonliner konservatif merupakan  persamaan  osilator  yang  fungsi  nonlinier berupa  fungsi  ganjil
(Beléndez  et  al.,  2010).  Pada  penelitiannya,  Beléndez  menggunakan  fungsi nonlinier ⁄ karena  pada  kasus  ini  solusi  eksak  dapat  diperoleh sehingga  bisa  dibandingkan  dengan  solusi  homotopi  perturbasi.  Hasil  penelitian menunjukkan  bahwa  meskipun  hanya  sampai  orde  pertama,  metode  homotopi perturbasi  dapat  menghasilkan  solusi  yang  memiliki  akurasi  tinggi  dengan kesalahan  relatif  untuk  perkiraan  frekuensi  kurang  dari pada  nilai amplitudo osilasi kecil dan besar (Beléndez, 2009). Dalam penelitian ini, peneliti tertarik  untuk  mencari  solusi  persamaan  osilator  nonlinier  konservatif  yang  suku gaya  pemulihnya  sebanding  dengan .  Adapun  nilai yang  digunakan  adalah dan  fungsi  nonlinier adalah  fungsi  ganjil.  Dengan  kondisi  ini,
adalah  posisi  kesetimbangan  (Beléndez  et  al.,  2008).  Selanjutnya,  solusi persamaan osilator nonlinier konservatif tersebut disimulasikan secara numerik.

## 2. METODE PENELITIAN
Metode  yang digunakan dalam penelitian ini adalah studi pustaka dengan tahapan sebagai berikut:
1. mengubah persamaan osilator nonlinier ke dalam bentuk persamaan homotopi;
2. mensubstitusikan  deret  perturbasi  ke  dalam  persamaan  homotopi  dan menentukan orde perturbasi ;
3. menentukan solusi pada masing-masing orde perturbasi secara berurutan dari orde yang paling rendah ke orde yang lebih tinggi;
4. menentukan solusi dari persamaan osilator nonlinier dalam bentuk
;
5. melakukan  simulasi  dari  solusi  persamaan  osilator  nonlinier  menggunakan software Maple13.

## 3. HASIL DAN PEMBAHASAN

## 3.1   Solusi Persamaan Osilator Nonlinier Konservatif
Bentuk  umum  persamaan  osilator  nonlinier  konservatif  dengan  gaya pemulihnya  sebanding  dengan untuk dan merupakan  fungsi  ganjil adalah
(1)
dengan syarat awal
, . (2)
Karena  persamaan  (1)  merupakan  persamaan  nonlinier,  maka  metode eksak  sukar  digunakan  untuk  menyelesaikan  persamaan  tersebut.  Selain  itu, karena  persamaan  (1)  tidak  mengandung  parameter  yang  bernilai  kecil,  maka metode  perturbasi  juga  tidak  dapat  digunakan  secara  langsung  untuk menyelesaikan  persamaan  tersebut.  Salah  satu  metode  yang  dapat  digunakan untuk menyelesaikan persamaan (1) adalah metode homotopi perturbasi.
Sebelumnya, ubah persamaan (1) ke dalam bentuk
(3)
atau
.
Dengan kata lain,
(4)
Setelah itu, transformasi persamaan (4) ke dalam persamaan homotopi
[ ]    [ ] (5)
sehingga diperoleh,
(6)
dengan [   ] adalah parameter homotopi. Ketika
, persamaan (6) menjadi persamaan  diferensial  linier  yang  solusi  eksaknya  dapat  dihitung.  Sebaliknya, ketika , persamaan (6) menjadi persamaan asli (1). Dengan demikian, proses perubahan dari nol menjadi satu adalah proses perubahan dari osilator linier ke osilator nonlinier asli.
Langkah  selanjutnya  adalah  menggunakan  metode  perturbasi  dengan parameter  homotopi sebagai  parameter  kecil  (parameter  perturbasi)  untuk menyelesaikan persamaan (6). Dalam metode pertubasi ini, solusi dan frekuensi sudut dalam deret pangkat dinyatakan sebagai
(7) (8)
Substitusi  persamaan  (7)  dan  (8)  ke  dalam  persamaan  (6),  kemudian  dipisahkan berdasarkan orde perturbasi , maka diperoleh persamaan berikut:
; (9) ; (10) . (11) Di samping itu, diketahui syarat awal dan . Dengan kata lain, dan .
Dengan  menyamakan  koefisien  di  ruas  kiri  dan  kanan  pada  masing-masing persamaan, maka diperoleh syarat awal pada masing-masing orde adalah
(12) (13) (14)
Solusi orde yaitu solusipersamaan (9) dan (12) adalah (15) Selanjutnya, substitusi persamaan (15) ke persamaan (10) sehingga diperoleh . (16) Ekspansi  suku ke  dalam  deret  Fourier  sehingga  persamaan  (16) menjadi [ ]           ∑ [          ] (17)
dengan
[ ( ) ( ) ] . (18)
Berdasarkan  metode  Lindstedt-Poincare,  suku  yang  menyebabkan secular  term dihilangkan, maka diperoleh
. (19) Akibatnya, persamaan (17) menjadi ∑ [          ] . (20)
Solusi dari persamaan (20) adalah
∑ [          ] (21) dengan untuk , dan ∑ ∑ . (22)
Selanjutnya,  persamaan  (15)  dan  (21)  disubstitusi  ke  persamaan  (11)
sehingga diperoleh persamaan orde dua ∑ [          ] ∑ [          ] . (23) Ekspansi suku dan ∑ [          ] ke dalam deret Fourier sehingga diperoleh [ ] ∑ [          ] ∑ [          ]
∑
[          ]
(24) dengan ∫ [         ] ⁄ dan ∫ ∑ [         ] [         ] ⁄ (25)
Berdasarkan metode Lindstedt-Poincare suku yang menyebabkan secular term dihilangkan, maka diperoleh
[ ] , (26)
sehingga persamaan (24) menjadi
∑ [          ]
∑ [          ] (27) Solusi dari persamaan (27) adalah ∑ [          ] (28)
dengan
dan ∑ ∑
(29)
Jadi, solusi dari persamaan osilator nonlinier konservatif (1) dengan syarat awal (2) menggunakan metode homotopi perturbasi adalah
∑ [          ] (30) dengan untuk dan . (31)
Sementara itu, nilai ditentukan dengan mensubstitusikan persamaan (19) dan (26) ke persamaan (8) sehingga diperoleh
√ [ ] . (32)

## 3.2   Simulasi Persamaan Osilator
Solusi  persamaan  osilator  nonlinier  konservatif  yang  diperoleh menggunakan  metode  homotopi  perturbasi  dipengaruhi  oleh  gaya  pemulih  ( )
dan frekuensi sudut ( ). Hubungan antara nilai dan dapat dilihat pada tabel berikut.
Tabel 1. Pengaruh variasi nilai terhadap frekuensi sudut
Tabel  1  menunjukkan  perbandingan  nilai terhadap  frekuensi  sudut . Berdasarkan Tabel 1, untuk menghasilkan , sedangkan untuk akan  menghasilkan .  Dengan  demikian,  dapat  disimpulkan
bahwa ketika nilai semakin besar, maka nilai yang dihasilkan akan semakin kecil.
Selajutnya,  akan  dilakukan  simulasi  terhadap  solusi  pada  masing-masing orde, yaitu pada persamaan (15), (21), (28), dan solusi totalnya (30) untuk , , dan .
3.2.1 Simulasi Solusi Orde
Solusi orde pada Gambar 1 merupakan solusi dasar persamaan osilator dengan amplitudo . Berdasarkan Gambar 1, solusi orde dari persamaan osilator (1) berbentuk gelombang yang merambat pada sumbu dari sampai . Ketika nilai yang disajikan pada Gambar 1a), maka solusi orde akan membentuk gelombang  sebanyak gelombang.  Di  lain  pihak,  ketika  nilai yang disajikan  pada  Gambar  1b),  maka  solusi  orde akan  membentuk  gelombang sebanyak gelombang. Sementara itu, ketika nilai
yang disajikan pada Gambar  1c),  maka  solusi  orde akan  membentuk  gelombang  sebanyak gelombang.  Dengan  demikian,  dari  Gambar  1,  terlihat  jelas  pengaruh  nilai
terhadap  bentuk  gelombang  pada  rentang yang  sama.  Semakin  besar  nilai yang diambil, maka gelombang yang terbentuk akan semakin sedikit.
Gambar 1. Solusi orde untuk pada
3.2.2 Simulasi Solusi Orde
Gambar 2. Solusi orde untuk pada
Berdasarkan  Gambar  2,  solusi  orde dari  persamaan  osilator  (1) berbentuk  gelombang  yang  merambat  pada  sumbu dari sampai dengan amplitudo .  Ketika  nilai yang  disajikan  pada  Gambar  2a),  maka  solusi orde akan  membentuk  gelombang  dengan  puncak  gelombang  berada  pada .  Sementara  itu,  ketika  nilai ,  maka  solusi  orde akan  membentuk gelombang  dengan  puncak  gelombang  berada  pada yang  disajikan  pada
Gambar 2b). Di lain pihak, ketika nilai
, solusi orde tidak dapat ditentukan karena tidak ada nilai yang memenuhi. Hal ini berarti ketika nilai
, solusi persamaan (1) sudah dapat ditentukan walaupun hanya sampai orde .

## 3.2.3 Simulasi Solusi Orde
Gambar 3. Solusi orde untuk pada
Berdasarkan  Gambar  3,  solusi  orde dari  persamaan  osilator  (1) berbentuk  gelombang  yang  merambat  pada  sumbu dari sampai dengan amplitudo .  Ketika  nilai
yang  disajikan  pada  Gambar  3a),  maka  solusi orde akan membentuk gelombang dengan puncak gelombang berada pada . Sementara  itu,  ketika  nilai ,  maka  solusi  orde akan  membentuk
gelombang  dengan  puncak  gelombang  berada  pada yang  disajikan  pada Gambar 3b).

## 3.2.4 Simulasi Solusi Total
Solusi  total  pada  Gambar  4  merupakan  solusi  persamaan  osilator  (1) dengan amplitudo . Berdasarkan Gambar 4, solusi  total  dari persamaan osilator (1)  berbentuk  gelombang  yang  merambat  pada  sumbu dari sampai .  Ketika nilai yang  disajikan  pada  Gambar  4a),  maka  solusi  total  akan  mendekati solusi  orde .  Pada  saat tertentu,  seperti solusi  total  lebih  besar
dari  pada  solusi  orde .  Sementara  pada  saat solusi  total  lebih kecil dari pada solusi orde . Di lain pihak, ketika nilai yang disajikan pada
Gambar  4b),  maka  solusi  total  sama  dengan  solusi  orde .  Hal  ini  dikarenakan saat ,  persamaan  (1)  menjadi  persamaan  linier,  sehingga  suku-suku nonlinier pada solusi homotopi perturbasi bernilai nol. Sementara itu, ketika nilai yang disajikan pada Gambar 4c), maka solusi  total  akan mendekati solusi orde . Pada saat tertentu, seperti
solusi total lebih kecil dari pada
solusi orde . Sementara pada saat solusi total lebih besar dari pada
solusi  orde .  Dengan  demikian,  dari  Gambar  4  terlihat  jelas  bahwa  solusi  total mendekati solusi orde .
Gambar 4. Solusi total  untuk
pada
dengan

## 4. KESIMPULAN
Berdasarkan hasil dan pembahasan, diperoleh kesimpulan sebagai berikut:
1. Persamaan  osilator  nonlinier  konservatif  dengan  suku  gaya  pemulihnya sebanding dengan yang dinyatakan dalam persamaan
memiliki  solusi  sampai  orde  dua  menggunakan  metode  homotopi  perturbasi sebagai berikut
∑ [          ]
dengan
∑
∑ [ (
)   ( ) ] menyaatkan solusi total; menyatakan solusi orde 0.
∑ ∑ ∫ [         ] ⁄ ∫ ⁄ ∑
[         ] [         ]
Adapun  besarnya  frekuensi  sudut  sampai  orde  dua  dinyatakan  dalam persamaan
√ [ ] .
2. Berdasarkan hasil simulasi diperoleh kesimpulan bahwa semakin besar nilai yang diambil, maka nilai yang dihasilkan akan semakin kecil dan gelombang yang terbentuk akan lebih sedikit.

## DAFTAR PUSTAKA
Beléndez,  A., Homotopy  perturbation  method  for  a  conservative  x1/3  force nonlinear  oscillator ,  Computers  and  Mathematics  with  Applications, 58 (2009), 2267–2273.
Beléndez, A., Alvarez, M.  L., Mendez, D. I., Fern´andez, E., Yebra, M. S. S., & Bel´endez,  T., Approximate  Solutions  for  Conservative  Nonlinear Oscillators  by  He'  s  Homotopy  Method ,  Z.  Naturforsch, 63 (9)  (2008), 529–537.
Beléndez,  A.,  Gimeno,  E.,  Alvarez,  M.  L.,  Yebra,  M.  S.,  &  Mendez,  D.  I., Analytical  Approximate  Solutions  for  Conservative  Nonlinear  Oscillators by Modified Rational Harmonic Balance Method , International Journal of Computer Mathematics, 87 (2010), 1497–1511.
He,  J., A  Coupling  Method  of  A  Homotopy  Technique  and  A  Perturbation Technique  for  Non-Linear  Problems ,  International  Journal  of  Non-Linear Mechanics, 35 (2000), 37–43.
He, J., Homotopy Perturbation Method : A New Nonlinear Analytical Technique ,
Applied Mthematics and Computation, 135 (2003), 73–79.
Karunakar,  P., Homotopy  Perturbation  Method  for  Predicting  Tsunami  Wave Propagation  with  Crisp  and  Uncertain  Parameters ,  International  Journal of Numerical Methods for Heat & Fluid Flow, 31 (1) (2020), 92-105.