## Metode Beda Hingga dan Teorema Newton untuk Menentukan Jumlah Deret

## Finite Difference Method and Newton's Theorem to Determine the Sum of Series
Tri Mulyani 1,2*) , Moh. Hasan 1) , Slamin 3)
1) Jurusan Matematika, FMIPA, Universitas Jember
2) SMA Negeri 1 Jember
3) Program Studi Sistem Informasi, Universitas Jember
* ) Email: threemulyani@gmail.com

## ABSTRACT
Problems that are often faced to prove the truth of a formula if the presented series is a series that is not the formula of arithmetic and geometric series. One proof among the most commonly proofs used is the proof by mathematical induction. This study was conducted to determine the sum of the first n terms formula of: (1) arithmetic series, storied arithmetic series with the basis of arithmetic series, (2) geometric series, (3) storied arithmetic series with the basis of geometric series, and (4) series which are  not arithmetic and geometric  series that the formula of the n terms is given, by using the  finite difference  method and Newton's theorem.  The  formula  of the  sum of the  first  n terms  obtained  from  the  results  of  this  study  and  then  it  is  verified  by  using  mathematical induction.
Keywords : Series, finite difference, mathematical induction, Newton’s theorem

## PENDAHULUAN
Pada  beberapa  buku  teks umumnya  disajikan tentang  rumus  jumlah  suatu  deret  yang  bukan deret  aritmatika  dan  bukan  deret  geometri  dan pembaca diminta untuk membuktikan kebenarannya, diantaranya menurut Nasution et al. (1993); Purcell dan Varberg (1999); Lovasz et  al .  (2003)  dan  Rosen  (2007)  ada  beberapa deret terhingga yang suku umumnya merupakan fungsi bilangan asli n , yang penting untuk  diketahui  jumlah n suku  pertamanya. Deret–deret itu adalah:
  1 1 a. 2 n n k n n T k         2 1 1 2 1 b. . 6 n n k n n n Q k         2 3 1 1 c. . 2 n n k n n K k
             1 1
1 ( 3) d. 2 ( 1)
. 3 n n n k k k n n n R T k k     
  
    1 1 ( 2)( 3) e. ( 1)( 2) . 4 n n k n n n n B k k k         
    1 1 f. 1 1 . 2 n n k A a k b n a n b                       3 2 4 4 4 4 4 1 1 6 9 1 g. 1 2 3 ... 30 n i n n n n n i n             1 1 (1 ) h. ; 1.                   (1) (1 ) n n k n k a r G ar r r       

Berdasarkan  persamaan  (1)  dalam  penelitian ini, diteliti bagaimana cara untuk mendapatkan rumus  jumlah  deretnya  kemudian  dibuktikan kebenarannya  dengan  induksi  matematika. Pembuktian  dengan  menggunakan  induksi matematika memuat dua langkah penting yaitu: (1)  langkah  dasar,  diuji  untuk n =  1;  (2) langkah  induksi,  dengan  mengasumsikan bahwa  pernyataan  benar  untuk , n k  sehingga harus dibuktikan bahwa pernyataan juga benar untuk n = k + 1 . Tujuan yang ingin dicapai dalam penelitian ini adalah menemukan metode yang  lebih efisien untuk menentukan rumus jumlah n suku pertama suatu deret  yang  mempunyai aturan tertentu. Permasalahan dalam penelitian ini dibatasi pada: (1) deret aritmatika; (2) deret geometri;  (3)  deret  aritmatika  bertingkat dengan  landasan  deret  geometri;  (4)  deret dengan  rumus  umum  suku  ke n sudah diketahui.
Dasar  teori  yang  melandasi  dan  berkaitan dengan penelitian ini adalah: fungsi polinomial,
polinomial  faktorial,  beda  hingga,  teorema Newton serta barisan dan deret.
Definisi
Definisi 1 (Fungsi ) Sebuah fungsi f adalah  suatu  aturan  padanan yang menghubungkan tiap obyek x dalam satu himpunan,  yang  disebut daerah  asal ,  dengan sebuah  nilai  unik f(x) dari  himpunan  kedua. Himpunan  nilai  yang  diperoleh  secara demikian disebut daerah hasil (jelajah) fungsi tersebut (Purcell dan Varberg, 1999). Dalam penelitian ini akan digunakan fungsi polinomial.  Bentuk  umum  fungsi  Polinomial dalam  variable x dan  berderajat n dinotasikan
sebagai berikut.
1 2 0 1 2 0 ( ) ... .  (2) n n n n n n f x a x a x a x a x 
       
untuk  semua  variabel x dalam R dimana
0 1 , ,..., n a a a adalah  bilangan  real (konstanta) yang disebut koefisien fungsi polinomial.
Definisi 2 (Polinomial Faktorial)
Pernyataan   n x dibaca ‘ x, n faktorial’ untuk n bulat  positif,  didefinisikan sebagai berikut (Soehardjo,2000a).         1 2 3 ..... ( 1)    (3) n x x x x x x n      
  ( ) 1 1 .   (4) ( ) ( )( 1)( 2)...( 1) n n x x n x n x n x n x
         
Definisi 3 (Beda Hingga Maju) Jika U merupakan  fungsi  dalam  variabel x, U=f(x) biasa ditulis dengan . x U Suatu fungsi f yang nilainya f(t) pada  waktu t dan  bernilai f(t+1) pada  waktu (t+1) ,  maka  beda  pertama didefinisikan  sebagai  berikut  (Soehardjo, 2000a).           1 2 1 1 3 2 2 2 1 1 1 atau .
( ) ( ) .(5) x x x x x x x x x x x x x x x f t f t f t U U U U U U U U U U U U U U U                                    
dengan:  disebut operator beda maju tingkat pertama; 2  disebut operator beda maju tingkat dua; 3  disebut operator beda maju tingkat tiga, dan seterusnya. Beda hingga tingkat tiga secara umum  disajikan  pada  Tabel  1.    Dari  Tabel  1 pada  kolom 3 x U  nilainya  konstan  dan  pada kolom 4 x U  dan  seterusnya  bernilai  0, sehingga  untuk  polinomial  berderajat n dalam variable x ( ) x U ,  pada  tabel  beda  kolom  ke n x U  nilainya  konstan  dan  kolom  ke
1 n x U   dan seterusnya bernilai 0. Beda hingga yang digunakan pada penelitian ini adalah beda hingga maju (  ).
Tabel 1. Beda Hingga tingkat tiga secara umum
Integral Hingga J ika x x U V   maka 1 x x U V    dimana 1   disebut operator
Integral  Hingga.  Beberapa  Rumus  Integral Hingga menurut Soehardjo (2000a) adalah:
1 ; 1.                      (6) ( 1) x x a a a a      ( 1)
1 ( ) ; 1.                   (7) 1 n n x x n n       
Teorema 1 (Teorema Newton) Jika x U adalah  polinomial  derajat n  dalam variabel  x  maka x U dapat  ditulis  dalam bentuk (Soehardjo, 2000a)
      2 3 1 2 3 ( ) 0 0 0 0 0 ... .   (8)
1! 2! 3! ! n n x U U U U U U x x x x n    
     
S uku–suku suatu barisan dipisahkan dengan tanda koma dan jika tanda koma diganti dengan tanda  tambah  maka  disebut  deret.  Deret aritmatika  bertingkat  adalah  deret  aritmatika yang mempunyai beda tetap pada tingkat yang ke- n . Deret aritmatika bertingkat dengan landasan deret  geometri  adalah  suatu  deret  yang  jika dibuat tabel beda hingganya maka pada tingkat tertentu  akan  membentuk  deret  geometri dengan  rasio  tetap.  Deret  tersebut  mempunyai bentuk suku umum
( )
.                                      (9) x x U f x a p   dimana f(x ) adalah  fungsi  polinomial derajat n dalam variabel x . Misalnya:
1. 3 5 9 17 33 65 ...;      
2. 5 10 17 28 47 82 ....    
 
Deret  yang  bukan  merupakan  deret aritmatika  dan  bukan  deret  geometri  tetapi mempunyai aturan tertentu, misalnya: 1. (1.2.3) (2.3.4) (3.4.5) ... ( .( 1)( 2)) n n n       2.  1 1 1 1 ... 4.5 5.6 6.7 ( 3)( 4) n n       3.  1 1 1 1 ... (10) 1.2.4 2.3.5 3.4.6 ( 1)( 3)
n n n      
Jumlah Deret Jika x V adalah  suatu  fungsi  yang  beda
pertamanya x
U maka
1 1 x x x x x x V V V U V U         
dimana 1   disebut operator Integral Hingga. Rumus umum  jumlah n suku  pertama  dari  deret
0 1 2 3 1 n U U U U U      yang  memiliki
beda  tetap  pada  tingkat  ke- n dengan mempergunakan  beda  hingga  dan  teorema Newton adalah
] 1 1 0 0 (11) n n n x x x S U U - - = = = D å

## METODE PENELITIAN
Metode  yang  digunakan  dalam  penelitian  ini adalah  deskriptif  aksiomatik  yaitu  dengan menerapkan  teorema  yang  sudah  ada  untuk mendapatkan  rumus  jumlah n suku  pertama suatu  deret  yang  mempunyai  pola  tertentu. Secara  umum  cara  kerja  yang  akan  dilakukan untuk  menentukan  rumus  jumlah n suku pertama  suatu  deret  dapat  disajikan  dalam bentuk skema seperti Gambar 1 berikut.
Gambar 1 Skema Kerangka Berpikir

## HASIL dan PEMBAHASAN
Deret Aritmatika Berdasarkan persamaan (1.f), jika ditetapkan
1 U a  , maka deret tersebut dinotasikan dengan ( ) ( 2 ) ... ( ( 1) ) a a b a b a n b        
dan jumlah n suku pertamanya
    1 1 1 0 1 n n n n i i i i S U a i b a bi              
  
Langkah-langkah penelitian, dilakukan sebagai berikut.
1. Dibuat  tabel  beda  hingga  dari  deret
( ) ( 2 ) ... ( ( 1) ) a a b a b a n b        
s ebagai berikut.
Tabel 2 Beda Hingga dari  ( ) ... ( ( 1) ) a a b a n b
     
x U x  U x 0 a b 1 a+b b 2 a+2b Berdasarkan  Tabel  2 diperoleh:
0 U a  ;
0 U b  
2.  Dari  data  Tabel  2 ditentukan x U dengan menggunakan  teorema  Newton  persamaan (8) yaitu
      2 3 1 2 3
( ) 0 0 0 0 0 ... . 1! 2! 3! ! n n x U U U U
U U x x x x n    
      didapatkan   1 x U a bx   ,  dengan  suku  ke-1 sesuai  dengan  nilai x=0  , suku  ke- n sesuai dengan nilai x = n – 1.
3. n S didapatkan dengan mengintegralkan
  1 x U a bx   sebagai berikut                     1 1 1 0 0 1 1 0 1 2 0 1 2 1 2 1 0 2 1 1 2 1 2 1 . 2 n n n x x x n n n n n n n S U a bx S a bx S ax bx S an bn S an bn n S n a n b                                           
Contoh  1 Deret  aritmatika  bertingkat  dengan landasan  deret  aritmatika.  Untuk  menentukan rumus  jumlah n suku  pertama  dari 6 24 60 120 210 336 ...
      ,  berdasarkan langkah-langkah  penelitian  dilakukan  sebagai berikut.
1.  Dibuat  tabel  beda  hingga  dari  deret 6 24 60 120 210 336 ...
     
Tabel 3 Beda Hingga dari 6+24+60+120+210+ ...
Berdasarkan  Tabel  3  diperoleh: 0 6 U  ; 0 18 U   ; 2 0 18 U
  ; dan 3
0 6 U   .
2.  Dari  Tabel  3  kemudian  ditentukan
x U dengan  menggunakan  teorema  Newton
yaitu  menggunakan  persamaan  (8)  yang didapat  bahwa       1 2 3 6 18 9 x U x x x     , dengan suku ke-1 sesuai dengan nilai x = 0 , suku ke- n sesuai dengan nilai 1 x n   .
3. n S diperoleh  dengan  mengintegralkan
      1 2 3 6 18 9 x U x x x     ,  persamaan  (11)
sebagai berikut
        1 1 2 3 1 0 0 6 18 9 n n n x x S U x x x                     1 2 3 4 0 1 6 9 3 4 n n S x x x x           
        1 2 3 4 1 6 9 3 4 n S n n n n              1 6 9 1 3 1 2 1 2 3 . 4 n S n n n n n n n n n n          
Deret Geometri Berdasarkan  persamaan  (1.h),  jika  suku  awal
1 U a  ,  maka  deret  tersebut  dapat dinotasikan dengan 2 1 ... ... , 1 k n a ar ar ar ar r       
 dan jumlah n suku pertamanya adalah
    1 1 1 1 0 n n n i i n i i i i S U ar ar           
Langkah-langkah penyelesaian dalam penelitian ini dilakukan sebagai berikut 1.  Suku Umum x x U ar  dengan suku ke-1
sesuai dengan nilai x = 0, suku ke- n sesuai dengan nilai
1 x n   . 2.  Jumlah n suku pertamanya diperoleh dengan
mengintegralkan x x U ar  ,  persamaan (11) sebagai berikut     1 1 0 0 1 0 0 1 1 . 1 n n x n x x x n x n x n n n S U ar r S ar a r r S a r                            Deret Aritmatika
Bertingkat dengan
Landasan Deret Geometri
Contoh  2 Untuk  menentukan  rumus  jumlah n suku pertama dari
5 10 17 28 47 82 ...
      , langkah-langkah yang harus dilakukan adalah:
1. Dibuat tabel beda hingga dari
5 10 17 28 47 82 ...    
 
Tabel 4  Beda Hingga dari 5 10 17 28 47 ...
    
2.  Dari  data  yang  didapatkan  pada  Tabel  4, kolom  beda tingkat  dua  membentuk  deret geometri dengan rasio 2, maka suku umum ( ) . x x U f x a p   dengan  menggunakan teorema Newton  yaitu  persamaan  (8) berbentuk   1 .2 . x x U A B x C        1 2 1 .2 . . 2A+B+C=5 .2 untuk 1,  didapatkan 2A+B=5 .2 2A=2
1, 3 dan 0, sehingga diperoleh 2 3 . x x x x x x x x U A B x C U A B x U A A B C U x             
     
3. n S diperoleh  dengan  mengintegralkan   1 2 3 x x U x   , sebagai berikut.
          1 1 1 1 1 1 2 1 2 2 1 1 1 2 3 3 2 2 3 3 2 ( 1) 2 (1) 2 2 3 2 ( 1) 2. 2 n n x n x x n x n n n n n S U x S x S n S n n                                            Bukti: Pembuktian rumus   1 3 5 10 17 28 ... 2 3 2 ( 1) 2 2 x n n S x n n 
           dengan menggunakan induksi matematika: 1.  Langkah dasar, diuji untuk n = 1 Ruas kiri 1 2 3.1 5   sama dengan dan ruas kanan 1 1 3 2 .1(1 1) 2 5 2      .
Jadi pernyataan benar untuk n = 1.
2.  Langkah  induksi,  dengan  mengasumsikan bahwa  pernyataan  benar  untuk n k  , yaitu
  1 3
5 10 17 28 ... 2 3 2 ( 1) 2,... (1) 2 k k k S k k k 
          
sehingga  harus  dibuktikan  bahwa  pernyataan juga benar untuk 1 n k   , yaitu

         1 ( 1) 1 1 1 2 1 3 5 10 17 28 ... 2 3( 1) 2 1 ( 1) 1 2 2 3
5 10 17 28 ... 2 3( 1) 2 1 2 2,  ... (2) 2 k k k k k k S k k k S k k k                                  
mulai  dengan  (1)  ditambahkan 1 2 3( 1) k k    pada kedua ruas maka diperoleh 1 1 k k k S U S           1 1 1 2 3 3 2 ( 1) 2 2 3( 1) 2 .2 ( 1) 2 2 2 2 3 2 ( 1) 2 2. 2 k k k k k k k k k k k                         
    
dimana  bentuk  ini  telah  sesuai  dengan  yang diminta  pada  (2),  dengan  demikian  telah terbukti  bahwa  pernyataan  di  atas  benar  untuk setiap n.
Deret dengan Rumus Suku ke- n Diketahui
Jika  suatu  deret  bukan  merupakan  deret aritmatika  atau  bukan  deret  geometri  tetapi mempunyai pola yang jelas dengan rumus suku ke- n   n U diketahui,  misalnya  persamaan  (1) dan persamaan (10)
Contoh  3 Untuk  mendapatkan  rumus  (1.b)
2 2 2 2 2 1 1 2 3 ... n i i n        langkah-langkahnya
adalah:
1.Rumus 2 x U x
 sudah diketahui dengan suku ke-1  sesuai  dengan  nilai 1, x  suku  ke- n sesuai dengan nilai x n  ;
2. 2 x U x  dinyatakan  dengan  menggunakan polinomial  faktorial  yaitu  persamaan  (3) senilai dengan
    2 1 2 x U x x x    ;
3. n S diperoleh dengan mengintegralkan     2 1 2 x U x x x    ,
sebagai berikut
      2 1 1 1 n n n x x x S U x x                  1 1 2 1 3 2 1 1 1 1 1 3 2 n n n S x x x x                  3 2 1 1 ( 1) ( 1) 0
3 2 n S n n                  1 1 1 1 1 3 2 n S n n n n n            1 1 2 1 3 6 n S n n n        1 1 2 1 . 6 n S n n n   
Bukti: Pembuktian rumus
   2 2 2 2 2 1 1 2 1 1 2 3 ... 6 n i n n n i n 
      
 
dengan Induksi Matematika adalah: 1.Langkah dasar, diuji untuk n = 1 Ruas kiri sama dengan 1 2 = 1 dan ruas kanan    1 1 1 2.1 1 1.2.3 1 6 6    
Jadi pernyataan benar untuk n = 1.
2.Langkah  induksi  dengan  mengasumsikan bahwa pernyataan benar untuk n k  yaitu
   2 2 2 2 1 2 1 1 2 3 ... ,  .......(1)
6 k k k k        sehingga  harus  dibuktikan  bahwa  pernyataan juga benar untuk 1 n k   yaitu       2 2 2 2 2 ( 1) 1 1 2( 1 1) 1 2 3 ... ( 1) 6 ( 1) 2 2 3 .  .....(2) 6 k k k k k k k k                 mulai  dengan  (1)  ditambahkan 2 ( 1) k  pada kedua ruas maka diperoleh    2 2 2 2 2 2 1 2 1 1 2 3 ... ( 1) ( 1) 6 k k k k k k           
    2 2 2 2 2 (2 1) 1 2 3 ... ( 1) 1 1 6 k k k k k k                    2 2 2 2 2 2 2 6 6 1 2 3 ... ( 1) 1 6 k k k k k k  
   
           2 2 2 2 2 2 ( 1) 1 2 3 ... ( 1) 2 7 6 6 k k k k k                   2 2 2 2 2 1 2 2 3 1 2 3 ... ( 1) 6 k k k k k          
dimana  bentuk  ini  telah  sesuai  dengan  yang diminta  pada  (2),  dengan  demikian  telah terbukti bahwa pernyataan di atas benar untuk setiap n .
Contoh 4 Untuk  memperoleh rumus jumlah n suku pertama ( n S ) dari
(1.2.3) (2.3.4) (3.4.5) ... ( .( 1)( 2)) n n n 
     maka langkah-langkah yang harus dilakukan adalah: 1.Rumus    1 2 x U x x x    sudah diketahui dengan  suku  ke- 1 sesuai  dengan  nilai x =  1, suku ke- n sesuai dengan nilai x = n;
2.    1 2 x U x x x    dituliskan dengan menggunakan  polinomial  faktorial  yaitu persamaan (3) senilai dengan        3 1 2 2 x U x x x x      ;
3. n S diperoleh dengan mengintegralkan     3 2 x U x   ,  sebagai
berikut.
              1 3 3 1 1 1 1 (4) 1 (4) (4) 2 2 1 2 4 1 1 3 (3)
4 4 1 ( 3)( 2)( 1) . 4 n n n x n n n n S x x S x S n S n n n n                    
  
     Bukti: Pembuktian rumus 1
(1.2.3) (2.3.4) ... ( .( 1)( 2)) ( 1)( 2)( 3) 4 n n n n n n n          1.Langkah dasar, diuji untuk n = 1 Ruas  kiri 1(1 1)(1 2) 6    sama dengan dan ruas  kanan 1 .1(1 1)(1 2)(1 3) 6 4
    .  Jadi pernyataan benar untuk n = 1.
2.Langkah  induksi,  dengan  mengasumsikan bahwa pernyataan benar untuk n = k
1 (1.2.3) (2.3.4) ... ( .( 1)( 2)) ( 1)( 2)( 3)...(1) 4 k S k k k k k k k          
sehingga  harus  dibuktikan  bahwa  pernyataan juga benar untuk 1 n k   , yaitu 1 1 (1.2.3) (2.3.4) ... (( 1)( 2)( 3)) ( 1)( 2)( 3)( 4)...(2) 4 k S k k k k k k k              mulai dengan (1) ditambahkan ( 1)( 2)( 3) k k k    pada  kedua
ruas maka diperoleh 1 1 k k k S U S           1 1 ( 1)( 2)( 3) ( 1)( 2)( 3) ( 1)( 2)( 3) 4 4 4 1 1 ( 1)( 2)( 3) ( 1)( 2)( 3) ( 1)( 2)( 3)( 4). 4 4 k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k                                     dimana  bentuk  ini  telah  sesuai  dengan  yang diminta  pada  (2),  dengan  demikian  telah terbukti  bahwa  pernyataan  di  atas  benar  untuk setiap n .
Contoh  5 Untuk  menentukan  rumus n S dari
1 1 1 1 ... , 4.5 5.6 6.7 ( 3)( 4) n n       langkah-
langkah yang harus dilakukan adalah:
1.  rumus    1 3 4 x U x x    sudah  diketahui dengan  suku  ke-1  sesuai  dengan  nilai x =  1, suku ke- n sesuai dengan nilai x = n ;
2.    1 3 4 x U x x    dinyatakan  dengan menggunakan  polinomial  faktorial  yaitu persamaan (4) sebagai berikut.
           (2) 2 2 1 1 3 4 4
( 4 2) 2 . x x U x x x
U x x             3. n S diperoleh  dengan  mengintegralkan
    2 2 x U x    , sebagai berikut
      1 2 1 1 1 2 n n n x x S U x                1 1 1 2 n n S x             
            1 1 1 1 3 3 1 1 3 1 3 1 1 1 . 4 4 4 4 n n n S n S n n S n n                    
Contoh 6 Untuk mendapatkan rumus jumlah n suku pertama ( n S )
dari 1 1 1 1 ... 1.2.4 2.3.5 3.4.6 ( 1)( 3) n n n    
  berdasarkan langkah-langkah  penelitian adalah sebagai berikut.
1. Rumus 1 ( 1)( 3) x U x x x    sudah diketahui
dengan suku ke-1 sesuai dengan nilai x = 1 , suku ke- n sesuai dengan nilai x = n .
2. 1 ( 1)( 3) x U x x x    dituliskan dengan
menggunakan  polinomial  faktorial  yaitu persamaan (4) sebagai berikut.
         2 1 1 3 1 2 3 x x U x x x x x x x                 2 1 2 3 1 2 3 x x U x x x x x x x x 
               3 4 1 2 3 3 x U x x             3 4 3 3 2 3 4 x U x x               4 3 2 1 . x U x x
 
  
3. n S diperoleh  dengan  mengintegralkan
      4 3 2 1 x U x x      , sebagai berikut
        1 4 3 1 1 1 2 1 n n n n x x x S U x x        
             1 4 3 1 1 2 1 n n S x x                 1 3 2 1 1 2 1 2 3 n n S x x 
                           2 2 3 3
1 2 1 1 0 2
3 n S n n                                   2 2 3 3 1 1 1 2 1 1 2 3 1 2 1 2 3 0 3 n S n n    
                             1 1 1 2 1 1 2 3 2 3.2 3 3 2 1 3.2.1 n S n n n n n    
                        3 1 4 1 1 12 9 6 3 2 1 n n S n n n             7 3 7 .
36 6 3 2 1 n n S n n n      
Bukti: Pembuktian rumus
    1 1 1 7 3 7 ... 1.2.4 2.3.5 ( 1)( 3) 36 6 1 2 3 n n S n n n n n n            
dengan  menggunakan  induksi  matematika adalah:
1. Langkah dasar, diuji untuk n = 1 Ruas  kiri

  1 1 1 1 1 1 3 8    sama  dengan  dan ruas kanan 7 3.1 7 7 5 1
36 6(1 1)(1 2)(1 3) 36 72 8         .
Jadi pernyataan benar untuk n = 1. 2.  Langkah  induksi,  dengan  mengasumsikan bahwa pernyataan benar untuk n = k
    1 1 1 7 3 7
... ...(1)
1.2.4 2.3.5 ( 1)( 3) 36 6 1 2 3 k k S k k k k k k             sehingga  harus  dibuktikan  bahwa  pernyataan juga benar untuk 1 n k   , yaitu
       1 1 1 1 7 3( 1) 7 ...
1.2.4 2.3.5 ( 1) ( 1) 1 ( 1) 3 36 6 ( 1) 1 ( 2) 1 ( 3) 1 k k S k k k k k k                         1 7
3 10 ,... (2) 36 6 ( 2 ( 3 ( 4 k k S k k k     
  mulai dengan (1) ditambahkan
    1 1 2 4 k k k    pada kedua ruas maka diperoleh 1 1 k k k S U S                       3 7 4 6 3 7 3 7 1 7 36 6 1 2 3 1 2 4 36 6 1 2 3 4 k k k k k k k k k k k k k k                                       
     2 7 3 13 10 = 36 6 1 2 3 4 k k k k k k                3 10 1 7 = 36 6 1 2 3 4 k k k k k k              3 10 7 . 36 6 2 3 4 k k k k      
dimana  bentuk  ini  telah  sesuai  dengan  yang diminta  pada  (2),  dengan  demikian  telah terbukti  bahwa  pernyataan  di  atas  benar  untuk setiap n.

## KESIMPULAN
Metode  beda  hingga  dan  teorema  Newton dapat  dimanfaatkan dan  lebih  efisien untuk menentukan  rumus  umum  jumlah n suku pertama  suatu  deret  yang  mempunyai  aturan tertentu, dengan cara sebagai berikut.
1. Buat tabel beda hingga.
2.  Data  yang  diperoleh  dari  tabel  beda  hingga disubtitusikan  ke  teorema  Newton  untuk mendapatkan n U .
3. n S didapatkan dengan mengintegralkan n U . Berdasarkan  hasil  metode  beda  hingga  dan teorema  Newton  untuk  menentukan  rumus jumlah n suku  pertama  suatu  deret  yang mempunyai  aturan  tertentu,  maka  masalah yang  perlu  diteliti  lebih  lanjut  adalah untuk menggembangkan  metode  lain  atau  untuk deret-deret lain yang lebih kompleks.

## DAFTAR PUSTAKA
Lovasz,L., Pelikan,J., & Vesztergombi, K.2003. Discrete Mathematics: Elementary and  Beyond . New York: Inc. Nasoetion,  A.H.,  Hasibuan,  K.M.  (almarhu  ), Martono,  T.,  dan  Sumantri,  B  .  1993. Matematika 1 . Jakarta: Departemen
Pendidika dan Kebudayaan.
Purcell,  E.J.,  &  Varberg,  D.  1987. Kalkulus dan  Geometri  Analitis  jilid  1 dan  jilid  2 . Edisi  Kelima.  Alih  bahasa  oleh  I  Nyoman Susila,  Bana  Kartasasmita,  dan  Rawuh. 1999.  Departemen  Matematika  Institut Teknologi Bandung (ITB): Erlangga.
Rosen,  K.H.  2007. Discrete  Mathematics And Its  Applications .  Sixth  Edition.Mc  Graw  –
Hill International Edition.Printed in Singapore.
Soehardjo.  2000a. Kalkulus  Beda  Hingga . Terbatas  untuk  lingkungan  sendiri,  FMIPA ITS. Surabaya.
Soehardjo.  2000b.”  Jumlah  Deret  Tanpa Rumus  Khusus”.  Tidak  Dipublikasikan Makalah  Seminar  Matematika.  Program studi  teknik  Manufaktur  Universitas.
Surabaya bekerjasama dengan Musyawarah Guru Matematika Kodya Jember.
DAFTAR PUSTAKA
Lovasz,L., Pelikan,J., & Vesztergombi, K.2003. Discrete Mathematics: Elementary and  Beyond . New York: Inc. Nasoetion,  A.H.,  Hasibuan,  K.M.  (almarhu  ), Martono,  T.,  dan  Sumantri,  B  .  1993. Matematika 1 . Jakarta: Departemen Pendidika dan Kebudayaan.
Purcell, E.J., & Varberg, D. 1987. Kalkulus dan
Geometri  Analitis  jilid  1 dan  jilid  2 .  Edisi Kelima. Alih bahasa oleh I Nyoman Susila, Bana  Kartasasmita,  dan  Rawuh.  1999. Departemen  Matematika  Institut  Teknologi
Bandung (ITB): Erlangga.
Rosen,  K.H.  2007. Discrete  Mathematics And
Its  Applications .  Sixth  Edition.Mc  Graw  –
Hill International Edition.Printed in Singapore.
Soehardjo.  2000a. Kalkulus  Beda  Hingga . Terbatas  untuk  lingkungan  sendiri,  FMIPA ITS. Surabaya. Soehardjo. 2000b.” Jumlah Deret Tanpa Rumus
Khusus”.  Tidak  Dipublikasikan  Makalah Seminar  Matematika.  Program  studi  teknik Manufaktur Universitas. Surabaya bekerjasama  dengan  Musyawarah  Guru Matematika Kodya Jember.