## Jurnal Kajian Pembelajaran Matematika
VOLUME 5 NOMOR 1, APRIL 2021 ISSN: 2549 – 8584 (online). http://journal2.um.ac.id/index.php/jkpm
TAHAP-TAHAP BERPIKIR

## DALAM PEMBUKTIAN DENGAN INDUKSI MATEMATIKA DITINJAU DARI TEORI BERPIKIR SWARTZ
Allen Jesica 1 , Abdur Rahman As’ari 2 , Santi Irawati 3 Universitas Negeri Malang
Email : allenjesica@gmail.com, abdur.rahman.fmipa@um.ac.id, santi.irawati.fmipa@um.ac.id

## Abstract
The subjects in this research were asked to solve problems while expressing their thoughts think aloud. An interview was conducted to explore deeper thinking processes. The written data and verbal data obtained were reviewed and analyzed based on Robert Swartz's theory of the thought process which included four stages, namely, generating ideas, explaining ideas, assessing the appropriateness of ideas (assessing). the reasonableness of ideas), and complex thinking (complex thinking). The results of the validation of the assignment sheet instruments and the interview instruments used in this study obtained very valid criteria. From the results of the research, it can be explained that S1 constructs proof with mathematical induction completely and correctly.
Keywords : process, thinking, proof, mathematical induction, swartz
Submited:Oktober 2020, Published: April 2021

## PENDAHULUAN
Pembelajaran tentang mengonstruk bukti di sekolah telah menjadi topik penelitian yang meluas selama lebih  dari  dua  dekade  dalam  berbagai  literatur  ilmiah  tentang  pendidikan  matematika  dan  secara  khusus menjadi cara bekerja dari Organisasi Internasional untuk Psikologi Matematika (Hanna, 2007). Mariotti (2006) menemukan bahwa sebagian besar penelitian tentang ini telah dilakukan terutama aspek logis dari bukti dan masalah  kognitif  yang  dihadapi  oleh  siswa.  Masalah  kognitif  yang  dihadapi  siswa  dapat  berkaitan  dengan proses  berpikir  yang  dialami  siswa  ketika  mereka  belajar  tentang  bukti.  Steiner  dan  Frensborg  (1993), mengungkapkan bahwa tugas pokok pendidikan matematika adalah menjelaskan proses berpikir siswa dalam memperbaiki matematika dengan tujuan memperbaiki pengajaran matematika di sekolah.
Berkaitan dengan definisi berpikir itu sendiri, Radford, Luis, dkk (2005) berpendapat bahwa berpikir adalah cara aktif dari partisipasi sosial dimana apa yang kita ketahui dan cara kita untuk tahu itu dibingkai oleh bentuk-bentuk  budaya  rasionalitas,  yaitu  bentuk-bentuk  budaya  pemahaman  dan  bertindak  dalam  dunia dimana  jenis  pertanyaan  dan  masalah  tertentu  yang  diajukan.  Sedangkan  Solso  (1995)  dalam  bukunya mengungkapkan  bahwa  berpikir  adalah  suatu  proses  dimana  representasi  mental  baru  dibentuk  melalui transformasi  informasi  dengan  interaksi  yang  kompleks  dari  atribut  mental  menilai,  abstrak,  penalaran, membayangkan, dan pemecahan masalah.
Berkaitan  dengan  bukti,  Pedemonte  (2007)  menganggap  bukti  sebagai  argumentasi  tertentu  dalam matematika. Dengan maksud yang sama, Bieda (2013) juga menganggap bahwa bukti adalah bentuk khusus dari argumentasi, yaitu sebuah proses untuk menunjukkan bahwa sebuah pernyataan adalah selalu benar atau salah.  Secara  lebih  khusus,  NCTM  (2000)  menganggap  bukti  matematika  adalah  cara  formal  untuk mengekspresikan penalaran jenis-jenis tertentu dan pembenaran. Sehingga sesuai dengan prinsip dan standar penalaran dan bukti yang dikemukakan NCTM (2000), dapat disimpulkan bahwa penalaran dan bukti harus menjadi aspek yang mendasar dan siswa dituntut untuk dapat mengonstruk dan menilai suatu penalaran dan bukti dalam pembelajaran matematika.
Suatu proses konstruksi bukti pada umumnya mirip dengan pemecahan masalah matematika, karena proses konstruksi bukti menuntut seseorang untuk memahami masalah kemudian menemukan teknik atau cara untuk menyelesaikan masalah tersebut (Asna, 2009: 33). Salah satu metode untuk membuktikan kebenaran suatu  pernyataan  adalah  induksi  matematika.  Ron  (2004)  mendefinisikan  tentang  bukti  dengan  induksi matematika sebagai metode untuk membuktikan pernyataan yang benar untuk setiap bilangan asli dan untuk membuktikan dengan induksi matematika kita harus menetapkan dua kondisi yaitu pernyataan tersebut benar untuk 𝑛 = 1 dan bahwa jika pernyataan benar untuk setiap bilangan asli k, maka hal ini juga berlaku untuk 𝑘 + 1 .  Pembuktian  dengan  induksi  matematika  dipilih  dalam  penelitian  ini  karena  induksi  matematika merupakan salah satu materi yang pembelajarannya disampaikan pada berbagai matakuliah matematika seperti teori bilangan dan analisis real, serta penggunaannya sebagai metode pembuktian juga sering muncul pada mata kuliah matematika yang lain.
Observasi awal peneliti terhadap 10 mahasiswa Pendidikan Matematika semester 5 Universitas Negeri Malang, menunjukkan hasil proses berpikir mereka dalam menuliskan bukti untuk soal yang diberikan. Peneliti juga mewawancarai subjek tertentu guna memperoleh informasi berkaitan dengan hasil konstruksi bukti yang telah mereka buat. Salah satu subjek penelitian awal adalah MR. Dalam membuktikan 𝑝(𝑛) = ! !.# + ! #.$ + ⋯ + ! %(%'!) = % %'! , berlaku ∀𝑛 ∈ 𝑁 , MR menuliskan bukti untuk langkah basis dengan mensubtitusikan 𝑛 = 1 langsung pada % %'! . Sama halnya dengan MR, WAN dan keenam mahasiswa lain juga menuliskan bukti untuk langkah basis dengan cara yang serupa. Setelah WAN selesai menuliskan bukti untuk soal pertama, peneliti bertanya  kepada  WAN  apa  yang  diminta  dari  soal  pertama.  WAN  mengatakan  “ini  kita  diminta  untuk membuktikan dengan induksi matematika bahwa yang ruas kiri ini sama dengan ruas kanan”. Kemudian WAN diminta  menjelaskan  kepada  peneliti  langkah  awal  apa  yang  dilakukan  untuk  menjawab  soal  tersebut  dan WAN mengatakan “dalam induksi, langkah awal adalah langkah basis yaitu kita harus menunjukkan benar untuk 𝑛 = 1 . Jadi, kita mensubtitusikan 1 ke dalam ! %(%'!) sama dengan % %'! dan hasilnya sama. Sama-sama ½ untuk ruas kiri dan ruas kanan”. Untuk keenam mahasiswa yang menuliskan langkah basis yang serupa dengan  WAN,  mereka  juga  berpendapat  sama  dalam  menjelaskan  langkah  basis  yang  mereka  tulis.  Untuk langkah induktifnya, sebanyak 7 dari 10 mahasiswa yang menjadi subjek sudah menuliskan pembuktiannya dengan benar.
Dari  uraian  hasil  observasi  awal  peneliti,  dapat  diketahui  sebagian  proses  berpikir  mereka  dalam mengonstruksi  bukti  dengan  induksi  matematika.  Uraian  tersebut  juga  menunjukkan  bahwa  pemahaman subjek  dalam  mengonstruksi  bukti  dengan  induksi  matematika  masih  kurang  maksimal,  walaupun  subjek penelitian  dalam  observasi  awal  ini  telah  menempuh  mata  kuliah  yang  berkaitan  erat  dengan  pembuktian. Kurangnya pemahaman subjek yang dimaksud adalah ketika mereka menuliskan bukti untuk langkah basis yang sebagian besar dari mereka masih mensubtitusikan nilai 𝑛 = 1 langsung ke dalam % %'! yang hal tersebut kurang tepat karena % %'! tersebut adalah pernyataan yang harus dibuktikan kebenarannya.
Berkaitan dengan penelitian-penelitian sebelumnya, penelitian yang telah dilakukan oleh Roh (2009) yang  berkaitan  dengan  pemahaman  siswa  tentang  bukti  konvergensi,  dijelaskan  bahwa  banyak  siswa mengalami  kesulitan  dalam  mengonstruksi  bukti  yang  valid  dan  diuraikan  pula  kesulitan-kesulitan  yang dialami  siswa  pada  saat  mengonstruksi  tersebut.  Selanjutnya,  penelitian  yang  telah  dilakukan  oleh  Selden (2009)  berkaitan  tentang  memahami  proses  pengonstruksian  sebuah  bukti  yang  ditulis  oleh  guru,  bahwa analisis yang dilakukan dalam penelitian tersebut hanya terbatas tentang pendeskripsian bagian formal-teoritis dan pandangan teoritis dari sebuah bukti.
Subjek yang diteliti dalam penelitian awal ini dapat mengonstruksi bukti dengan lengkap dan tanpa bertanya atau meminta bantuan lainnya dari peneliti, sehingga penelitian ini tidak bisa dianalisis dengan hasil penelitian Asna (2009) dan Sopamena (2009) karena subjek yang diteliti pada penelitian tersebut mendapatkan scaffolding  dari  peneliti  ketika  mengalami  kesulitan.  Selain  itu,  dalam  penelitian  ini  akan  digunakan pertanyaan  wawancara  yang  tidak  terbatas  hanya  pada  informasi  yang  diketahui  pada  soal  dan  keyakinan subjek penelitian terhadap bukti yang ditulisnya, tetapi juga kepada detil proses berpikir dan juga dasar dari proses berpikir yang dialami subjek hingga bukti selesai dikonstruksi.  Oleh karena itu, penelitian ini akan menindaklanjuti dengan mengkaji bagaimana proses berpikir mahasiswa dalam mengonstruksi bukti dengan induksi matematika.
Observasi awal yang dilakukan peneliti menunjukkan bahwa penelitian ini kurang sesuai jika dikaji dengan teori proses berpikir milik Piaget karena subjek yang diteliti pada penelitian awal tidak mengalami disequilibrasi  dan  tidak  diberikan scaffolding ,  sehingga  tahap  akomodasi  tidak  terjadi.  Toulmin  (1958) menjelaskan bahwa argumen atau pembuktian yang baik dan realistik adalah yang memuat 6 bagian, yaitu claim, data, warrant, backing, qualifier, dan rebuttal . Penelitian ini juga kurang sesuai jika dikaji dengan teori Toulmin  tersebut,  karena  dalam  pembuktian  yang  telah  dikonstruk  oleh  subjek  pada  penelitian  awal  tidak menunjukkan adanya pernyataan yang termasuk dalam rebuttal atau kondisi penyangkalan. Aberdein (2005) dalam jurnalnya menjelaskan bahwa sesuai dengan ungkapan tertulis Toulmin (1979) yaitu ‘a mathematical inference... leaves no room for “exceptions” or “rebuttals” . Oleh karena itu, proses berpikir mahasiswa dalam mengonstruksi bukti dalam penelitian ini dikaji dengan menggunakan tahap-tahap proses berpikir milik Robert Swartz. Robert Swartz (dalam McGregor, 2007) mendeskripsikan bahwa seberapa baiknya berpikir itu dapat dilihat dari kemahiran atau kepandaian dalam menyelesaikan masalah. Robert Swartz menjelaskan tahap-tahap dalam proses berpikir yang meliputi menghasilkan ide-ide ( generating ideas ), menjelaskan ide-ide ( clarifying ideas ), menilai kelayakan/ kepantasan ide-ide ( assessing the reasonableness of ideas ), dan berpikir kompleks ( complex thinking ).

## METODE
Penelitian ini dilakukan pada mahasiswa Pendidikan Matematika Universitas Negeri Malang Semester V  tahun  akademik  2015-2016.  Subjek  penelitian  sebanyak  1  orang  yang  diambil  berdasarkan  tingkat kemampuannya  dalam  mengonstruksi  bukti  dengan  induksi  matematika  dan  juga  hasil  wawancara.  Subjek penelitian diperoleh berdasarkan hasil pengujian 10 orang mahasiswa terhadap masalah yang diberikan peneliti pada penelitian awal. Masalah yang diberikan peneliti sama dengan masalah yang digunakan saat penelitian awal. Pemilihan subjek yang terbatas hanya 1 orang dikarenakan agar pengamatan menjadi lebih rinci dan mendalam.
Dalam penelitian ini, subjek penelitian akan menyelesaikan masalah pembuktian (instrumen lembar kerja) dan mengungkapkan pikirannya dengan keras ( Think Aloud ). Setelah mahasiswa selesai mengonstruksi bukti, peneliti memeriksa kebenaran jawaban serta melakukan wawancara. Peneliti merekam ungkapan verbal mahasiswa dan mencatat perilaku (ekspresi) mahasiswa ketika menyelesaikan soal tersebut. Pengumpulan data semacam ini tergolong dalam metode Think Out Loud (Haak, 2004; . Dengan maksud yang sama, peneliti lain (Panaoura,  2006;  Selden,  2009;  &  Ericsson  &  Simon,  1993  dalam  Wilkerson-Jerde,  2009)    menggunakan istilah Think Aloud . Metode ini dilakukan dengan meminta subjek penelitian untuk menyelesaikan masalah sekaligus menceritakan proses berpikirnya.
Analisis  data  dalam  penelitian  ini  dilakukan  dengan  langkah-langkah:  (1)  mentranskip  data  verbal yang terkumpul dari mahasiswa ketika menyelesaikan masalah; (2) menelaah data tertulis dan data transkrip think aloud yang dilakukan oleh mahasiswa dalam menyelesaikan masalah; (3) menelaah seluruh data yang diperoleh  dari  berbagai  sumber,  yaitu  dari  hasil  pekerjaan  tertulis,  hasil think  aloud, wawancara,  dan pengamatan yang dituliskan dalam catatan lapangan; (4) melakukan reduksi data dengan membuat abstraksi (usaha membuat rangkuman yang inti, proses, dan pernyataan-pernyataan yang perlu dijaga untuk tetap berada di dalamnya); (5) penyajian data (6) analisis proses berpikir mahasiswa; (7) analisis hal-hal yang menarik yang muncul,  (8)  penarikan  kesimpulan  dan  verifikasi,  dan  (9)  menggambar  diagram  alur  proses  berpikir mahasiswa.

## HASIL DAN PEMBAHASAN
Penelitian  ini  mendeskripsikan  proses  berpikir  matematika  mahasiswa  dalam  mengonstruksi  bukti dengan induksi matematika, yaitu cara berpikir mahasiswa dalam mengonstruksi bukti yang meliputi empat tahapan proses berpikir menurut Robert Swartz, yaitu menghasilkan ide-ide ( generating ideas ), menjelaskan ide-ide ( clarifying ideas ), menilai kelayakan/ kepantasan ide-ide ( assessing the reasonableness of ideas ), dan berpikir kompleks ( complex thinking ). Selanjutnya akan dipaparkan data proses berpikir dari mahasiswa yang mengonstruksi bukti dengan induksi matematika (S1).

## a. Menghasilkan Ide-Ide (Generating Ideas)
Langkah awal dalam mengonstruksi bukti untuk soal nomor 1, S1 terlebih dahulu memahami masalah yang  diketahui  dan  memahami  apa  yang  harus  dibuktikan  pada  soal.  Selanjutnya,  S1  menetukan  ide-ide pembuktian  yang  sesuai  untuk  masalah  yang  telah  dipahami  tersebut.  Dari  ide-ide  pembuktian  yang  S1 sampaikan,  peneliti  melakukan  wawancara  dengan  tujuan  untuk  mengeksplorasi  proses  berpikir  S1  dalam menghasilkan ide-ide pembuktian tersebut.
S1 :  Dari  soal  buktikan  bahwa 𝑝(𝑛): ! !.# + ! #.$ + ⋯ + ! %(%'!) = % %'! , ∀𝑛 ∈ ℕ .  Langkah  pertama  yaitu menggunakan langkah basis. Maka akan ditunjukkan bahwa 𝑝(1) benar. P : Apa maksud dari 𝑝(1) yang anda tulis tersebut? S1 : Maksud dari 𝑝(1) itu mensubtitusikan 𝑛 dengan 1 pada pernyataan 𝑝(𝑛) yang tertera pada soal. P : Mengapa anda memulai pembuktian dari soal ini dengan mengambil nilai 𝑛 = 1 ? S1 : Emm karena 𝑝(𝑛) pada soal tersebut bergantung pada 𝑛 dengan 𝑛 nya itu bilangan asli, sehingga diambil 𝑛 yang paling kecil pada bilangan asli yaitu 1
P : Apa dasar berpikir anda sehingga anda memilih nilai 𝑛 = 1 ? S1 : Menurut well ordering properties setiap bagian himpunan emmm.. setiap himpunan bagian yang tidak kosong dari ℕ memiliki anggota terkecil, nah disini dalam langkah induksi ini ada himpunan 𝑆 yang merupakan himpunan bagian dari ℕ dan anggota terkecilnya yaitu 1
P : Anda mendapatkan pengetahuan tentang well ordering properties itu sejak kapan dan dari mana anda mengetahuinya?
S1 :  Seingetku di mata kuliah teori bilangan. Itu semester 3 mbak. (empiris ) P :Apakah jika nilai 𝑛 yang diambil adalah 𝑛 ≠ 1 , akan mengakibatkan kesalahan dalam membuktikan soal ini?
S1 : Iya. Karena untuk bilangan yang paling kecil saja, sebut saja 1 tadi, belum tentu benar, apalagi bilangan diatasnya.
Dari  wawancara  yang  telah  dilakukan  tersebut,  S1  menjelaskan  bahwa  langkah  awal  dalam mengonstruksi bukti dengan induksi matematika adalah membuktikan terlebih dahulu untuk langkah basis. Selanjutnya, S1 mengungkapkan bahwa untuk menyusun pembuktian langkah basis, S1 akan menunjukkan bahwa 𝑝(1) benar. Ketika peneliti bertanya maksud dari 𝑝(1) itu sendiri, S1 menjelaskan bahwa maksud dari 𝑝(1) itu  adalah  mensubtitusikan  nilai 𝑛 = 1 ke  pernyataan 𝑝(𝑛) yang  tertera  pada  soal. Berkaitan dengan menentukan  nilai 𝑛 ,  S1  menjelaskan  bahwa  dasar  berpikirnya  dalam  menentukan  nilai 𝑛 tersebut  adalah berdasarkan well  ordering  properties .  Menurut  S1  berdasarkan  pengetahuannya  ketika  mempelajari  mata kuliah teori bilangan di semester 3, well ordering properties menjelaskan bahwa setiap himpunan bagian yang tidak kosong dari bilangan asli memiliki anggota terkecil. Sehingga dalam langkah pembuktiannya ini, S1 menjelaskan  bahwa  terdapat  suatu  himpunan  S  yang  merupakan  himpunan  bagian  dari  bilangan  asli  yang memiliki anggota terkecil yaitu 1 . Untuk lebih memperdalam dalam mengetahui proses berpikir dari S1 dalam mendapatkan ide pembuktian, peneliti bertanya tentang kemungkinan kebenaran pembuktian jika nilai 𝑛 yang dipilih  tidak  sama  dengan 1 .  S1  menjawab  bahwa  jika  nilai 𝑛 yang  dipilih  tidak  sama  dengan  1  akan mengakibatkan kesalahan dalam membuktikan soal ini, karena S1 berpikir bahwa untuk bilangan asli terkecil yaitu 1 saja  belum  tentu  benar  apalagi  bilangan  diatasnya.  Oleh  sebab  itu,  S1  memilih  nilai 𝑛 = 1 dan berdasarkan nilai 𝑛 = 1 tersebut S1 mengambil keputusan bahwa untuk mengonstruksi bukti pada langkah basis maka harus ditunjukkan bahwa 𝑝(1) benar.
Gambar 1. Hasil Konstruksi Bukti S1
Berkaitan  dengan  bukti  tertulis  yang  dikonstruk  oleh  S1  pada  lembar  jawabannya,  S1  juga menuliskan  awal  dari  pembuktiannya  adalah  dengan  terlebih  dahulu  mengonstruksi  langkah  basis.  Dalam langkah basis yang ditulisnya, S1 juga mengawali pembuktiannya dengan menuliskan akan dibuktikan bahwa 𝑝(1) benar. Berdasarkan hasil wawancara peneliti dengan S1 dan juga bukti tertulis yang telah dikonstruk maka dapat disimpulkan bahwa untuk pembuktian langkah basis, ide pembuktian yang dihasilkan oleh S1 yaitu membuktikan bahwa 𝑝(1) benar.
Sedangkan  pada  langkah  induksi,  bukti  tertulis  yang  dikonstruk  oleh  S1  menunjukkan  bahwa  S1 mengawali pembuktiannya dengan menuliskan jika 𝑝(𝑘) benar maka 𝑝(𝑘 + 1) benar. Berdasarkan langkah yang dilakukan untuk mengethaui ide pembuktian S1 pada langkah basis, ide pembuktian S1 pada langkah induksi ini adalah pernyataan implikasi yang ditulisnya tersebut. Untuk lebih mendalami bagaimana proses berpikir S1 dalam menemukan ide pembuktiannya pada langkah induksi dilakukan wawancara.
Gambar 2. Hasil Konstruksi Bukti S1
P
: Apa maksud dari jika 𝑝(𝑘) benar yang anda tulis tersebut? S1
: (hening sejenak) Emm... 𝑝(𝑘) benar itu merupakan suatu hipotesis induksi. P
: Kemudian apa maksud dari 𝑝(𝑘 + 1) benar yang anda tulis tersebut? S1
: 𝑝(𝑘 + 1) benar itu merupakan akibat dari 𝑝(𝑘) yang dihipotesiskan benar tadi. P : Mengapa harus 𝑝(𝑘 + 1) yang menjadi akibat dari 𝑝(𝑘) benar tersebut? S1 : Karena 𝑝(𝑘) itu merupakan suatu bilangan yang sudah diasumsikan benar pada langkah hipotesis pembuktian, kemudian 𝑝(𝑘 + 1) merupakan bilangan yang lebih besar.
P : Hipotesis pembuktian yang mana yang anda maksud itu?
S1
: Hipotesis untuk 𝑝(𝑘) itu. Yaitu jika 𝑝(𝑘) benar maka 𝑝(𝑘 + 1) benar.
Dari  hasil  wawancara  tersebut,  S1  mengatakan  bahwa  dalam  mengonstruksi  pembuktian  langkah induksi, S1 memiliki hipotesis pembuktian. Hipotesis pembuktian tersebut adalah pernyataan jika 𝑝(𝑘) benar maka 𝑝(𝑘 + 1) benar.  S1  menjelaskan  bahwa  dalam  hipotesis  pembuktian  tersebut,  terdapat  dua  hal  yang saling  berhubungan  sebab  akibat.  Sebab 𝑝(𝑘) benar  akibatnya 𝑝(𝑘 + 1) benar.  Menurut  S1, 𝑝(𝑘) benar tersebut merupakan suatu hipotesis induksi yang mengakibatkan 𝑝(𝑘 + 1) benar. S1 juga menjelaskan bahwa hipotesis pembuktian yang diperolehnya tersebut merupakan ide pembuktiannya untuk mengonstruk langkah induksi, karena dalam hipotesis pembuktiannya tersebut 𝑝(𝑘) tersebut merupakan suatu bilangan yang telah diasumsikan benar dan menurut S1 pula 𝑝(𝑘 + 1) juga merupakan suatu bilangan yang lebih besar daripada 𝑝(𝑘) . Sehingga, S1 berpikir bahwa jika 𝑝(𝑘) yang merupakan bilangan terkecil diantara 𝑝(𝑘) dan 𝑝(𝑘 + 1) tersebut benar, maka untuk 𝑝(𝑘 + 1) yang merupakan bilangan yang lebih besar daripada 𝑝(𝑘) juga benar. Oleh karena itu, S1 menggunakan hipotesis pembuktiannya itu sebagai langkah awal dari mengonstruk bukti untuk langkah induksi.

## b. Menjelaskan Ide-Ide (Clarifying Ideas)
Pada  uraian  sebelumnya  telah  dijelaskan  bahwa  S1  menghasilkan  ide-ide  pembuktian  baik  pada langkah basis maupun pada langkah induksi. Sebagai langkah awal dalam pembuktian di langkah basis, S1 menghasilkan  ide  pembuktian  yaitu,  membuktikan 𝑝(1) benar.  Untuk  mengetahui  bagaimana  S1  dapat menjelaskan  ide-ide  pembuktiannya,  dilakukan  wawancara.  Dari  hasil  wawancara,  S1  menjelaskan  bahwa alasannya membuktikan 𝑝(1) benar adalah karena 𝑝(1) tersebut berasal dari pernyataan 𝑝(𝑛) yang nilai 𝑛 nya adalah 1 dan karena pernyataan 𝑝(𝑛) tersebut adalah pernyataan yang bergantung pada 𝑛 yang dalam hal ini 𝑛 nya merupakan bilangan asli terkecil yaitu 1 . S1 mengatakan bahwa tujuan dari membuktikan 𝑝(1) benar pada langkah basis ini adalah sebagai syarat agar dapat melanjutkan pembuktian ke langkah induksi. Ketika peneliti menanyakan kemungkinan  pembuktian selain 𝑝(1) yang dapat digunakan sebagai ide pembuktian, S1  menjelaskan  bahwa  tidak  ada  pertimbangan  lain  selain 𝑝(1) yang  dapat  digunakan  untuk  mengawali pembuktian langkah basis. Berikut transkrip wawancara peneliti dengan S1 yang berkaitan dengan penjelasan ide pembuktiannya pada langkah basis.
P : Mengapa anda mengambil 𝑝(1) untuk mengawali pembuktian anda? S1 :  Karena 𝑝(𝑛) adalah  pernyataan  yang  bergantung  pada 𝑛 dengan 𝑛 bilangan  asli,  sedangkan 𝑛 paling kecil dalam bilangan asli adalah 1.
P : Tujuan anda membuktikan 𝑝(1) benar itu untuk apa? S1 : Untuk agar bisa melanjutkan pembuktian ke langkah induksi.
P : Apakah ada pertimbangan lain selain 𝑝(1) yang menurut anda dapat digunakan untuk mengawali pembuktian soal ini?
S1 : Emmmm..tidak ada.

## Gambar 3. Hasil Konstruksi Bukti S1
Pada uraian generating ideas dapat diketahui bahwa S1 memiliki hipotesis pembuktian pada langkah induksi yang ditulisnya. Hipotesis pembuktiannya tersebut adalah pernyataan jika p(k) benar maka p(k + 1) benar.  Untuk  mengetahui  penjelasan  S1  tentang  ide  pembuktiannya  pada  langkah  induksi,  dilakukan wawancara.  Dari  hasil  wawancara,  S1  menjelaskan  bahwa p(k) benar  yang  dimaksud  dalam  hipotesis pembuktiannya tersebut adalah suatu hipotesis induksi. Pada penjelasan S1 di generating ideas , telah diketahui bahwa p(k) merupakan bilangan yang diasumsikan benar dan dari hasil wawancara dijelaskan oleh S1 bahwa p(k) diperoleh dari n = k dengan n ∈ ℕ dan k ∈ S sedangkan S adalah himpunan bagian dari ℕ . Ketika peneliti bertanya dasar berpikir S1 dalam mengasumsikan benar untuk 𝑛 = 𝑘 , S1 menjawab dengan jawaban yang sama seperti sebelumnya yaitu karena diasumsikan k ∈ S dengan S adalah himpunan bagian dari ℕ . Begitu pula  ketika  peneliti  menanyakan  dasar  berpikirnya  dalam  menuliskan 𝑝(𝑘) = ! !.# + ! #.$ + ⋯ + ! )()'!) = )
)'!
yang ada pada lembar jawabannya, S1 kembali menjawab dengan jawaban yang sama yaitu untuk n ∈ ℕ dan k ∈ S sedangkan himpunan S sendiri adalah himpunan bagian dari ℕ . Berikut transkrip wawancara peneliti dengan S1 berkaitan dengan penjelasan ide pembuktiannya pada langkah induksi.
P : Apa maksud dari 𝑝(𝑘) benar yang anda tulis tersebut?
S1
: (hening sejenak) Emm... 𝑝(𝑘) benar itu merupakan suatu hipotesis induksi. P : Apa yang mendasari keputusan anda sehingga anda dapat mengasumsikan benar untuk 𝑛 = 𝑘 ? S1 : Karena diasumsikan 𝑘 ∈ 𝑆 dengan 𝑆 himpunan bagian dari ℕ . P : Dari mana anda dapat menuliskan 𝑝(𝑘) benar berarti 𝑝(𝑘) = ! !.# + ! #.$ + ⋯ + ! )()'!) = ) )'! ? S1 : Dari 𝑛 = 𝑘 dengan 𝑛 ∈ ℕ dan 𝑘 ∈ 𝑆 sedangkan 𝑆 adalah himpunan bagian dari ℕ P : Apa dasar berpikir anda sehingga anda dapat menuliskan 𝑝(𝑘) = ! !.# + ! #.$ + ⋯ + ! )()'!) = ) )'! ? S1 : Emmm.. untuk 𝑛 ∈ ℕ dan 𝑘 ∈ 𝑆 , sedangkan himpunan 𝑆 sendiri adalah himpunan bagian dari ℕ
c. Menilai Kelayakan/ Kepantasan Ide-Ide (Assessing The Reasonableness Of Ideas)
Dalam  menilai  kelayakan/  kepantasan  ide-ide  pembuktian  dari  S1,  peneliti  melakukan  wawancara terhadap  hasil  konstruksi  bukti  S1.  Kita  mengetahui  bahwa  ide  pembuktian  S1  pada  langkah  basis  adalah membuktikan 𝑝(1) benar.  Dari  hasil  wawancara,  S1  menjelaskan  proses  berpikirnya  dalam  mengambil keputusan bahwa yang harus dibuktikan terlebih dahulu adalah 𝑝(1) . S1 menjelaskan bahwa harus dibuktikan 𝑝(1) terlebih dahulu karena 𝑝(𝑛) berlaku untuk 𝑛 ≥ 1 . Oleh sebab itu, S1 memilih nilai 𝑛 = 1 karena menurut S1 dengan syarat tersebut nilai 𝑛 yang paling kecil adalah 1. S1 juga menjelaskan bahwa pengetahuannya tentang  hal  itu  didapatnya  berdasarkan  ingatannya  semasa  kuliah  teori  bilangan.  Saat  peneliti  bertanya pelajaran  induksi  yang  bagaimana  yang  S1  maksud,  S1  menjelaskan  bahwa  pelajaran  induksi  yang dimaksudnya adalah bab induksi matematika yang pembuktiannya dimulai dari 𝑝(1) karena terkait dengan well ordering properties .
Untuk lebih mengeksplorasi proses berpikir S1, peneliti bertanya kepada S1 tentang pendapatnya jika yang dipilih bukan 𝑝(1) melainkan 𝑝(2) atau 𝑝(3) atau yang lainnya. S1 menjawab bahwa 𝑝(1) itu dipilih karena nilai 𝑛 yang paling kecil dipilih, karena menurut S1 jika nilai 𝑛 yang paling kecil benar maka nilai 𝑛 + 1 juga benar.  Sehingga, dari konsep tersebut S1 menyimpulkan bahwa jika 𝑝(1) benar maka 𝑝(𝑛 + 1) juga benar dan hubungan yang berlaku pada pernyataan tersebut adalah implikasi, bukan biimplikasi. Sedangkan untuk ide pembuktian pada langkah induksi, S1 menjelaskan bahwa hipotesis pembuktiannya jika 𝑝(𝑘) benar maka 𝑝(𝑘 + 1) benar tersebut diperoleh karena nilai 𝑛 = 𝑘 dan karena 𝑝(𝑛) benar yang menyebabkan 𝑝(𝑛 + 1) benar  maka  menurut  S1  hipotesisnya 𝑝(𝑘) benar  maka 𝑝(𝑘 + 1) benar.  berikut  transkrip  wawancara peneliti dengan S1 dalam menilai kelayakan dari ide-ide pembuktiannya.
P : Pada langkah basis, anda membuktikan 𝑝(1) ya? Bagaimana prosesnya sehingga anda bisa berpikir bahwa yang harus anda buktikan dulu itu 𝑝(1) ?
S1 : Soalnya 𝑝(𝑛) berlaku untuk 𝑛 ≥ 1 . Berarti yang paling kecil kan 1 maka itu dibuktikan lebih dulu 𝑝(1) nya.
P : Anda berpendapat bahwa yang harus dipilih adalah yang paling kecil yaitu 1 ya? Bagaimana anda bisa berpendapat seperti itu? Apakah ada alasan atau sumber tertentu yang mendasari anda berpikir seperti itu?
S1       : Iya ada. Saya kepikiran dari pelajaran induksi yang dulu. Jadi,   berdasarkan  ingatan pas kuliah. (empiris)
P : Pelajaran induksi yang bagaimana atau bagian mana yang anda maksud?
S1 : Itu mbak bab matematika induksi yang pembuktiannya dimulai dari 𝑝(1) karena terkait dengan well ordering properties pada teori bilangan.
P : Sebelumnya tadi kan pilih 𝑝(1) karena 𝑛 ≥ 1 ya? Kalo pilih 𝑝(2) atau 𝑝(3) dan seterusnya gitu nggak boleh kah?
S1 : Jadi seinget saya gini, 𝑝(1) kan itu nilai 𝑛 yang paling kecil dipilih. Karena kalau yang paling kecil benar maka 𝑛 + 1 nya juga benar. Jadi, jika 𝑝(1) benar maka 𝑝(𝑛 + 1) benar. Bukan jika dan hanya jika. Tapi jika maka.
P : Untuk yang langkah induksi, anda menuliskan ide awal pembuktian anda kan berupa hipotesis ya. Yang jika 𝑝(𝑘) benar maka 𝑝(𝑘 + 1) benar. Bagaimana anda bisa mendapatkan hipotesis itu? S1 : Itu karena 𝑛 = 𝑘 . Sedangkan 𝑝(𝑛) benar yang menyebabkan 𝑝(𝑛 + 1) benar. Maka hipotesisnya 𝑝(𝑘) benar yang menyebabkan 𝑝(𝑘 + 1) benar.

## d. Berpikir Kompleks (Complex Thinking)
Pada  tahap  berpikir  kompleks  ini  kita  akan  mengetahui  hasil  penyelesaian  masalah  dan  penarikan kesimpulan  oleh  S1.  Dari  bukti  tertulis  yang  telah  dikonstruk  oleh  S1,  dapat  diketahui  bahwa  S1  telah menyelesaikan  pembuktiannya  dan  juga  telah  membuat  kesimpulan  untuk  langkah  basis.  Hasil  konstruksi bukti yang disusun oleh S1 selain benar dan lengkap juga memiliki keunikan dimana dalam tulisannya S1 membagi pembuktiannya menjadi dua bagian yaitu bukti untuk ruas kiri dan bukti untuk ruas kanan. Berikut hasil konstruksi bukti S1 pada lembar jawabannya.
Gambar 4. Hasil Konstruksi Bukti S1
P : Apa maksud dari ruas kiri !
!∙# = ! # ?
S1 : Dalam pernyataan soal yaitu 𝑝(𝑛) itu ada bagian dari ruas kiri yaitu suku pertamanya itu ! !∙# , nah dari hasil ! !∙# itu sama dengan ! # P : Dari mana anda dapat menuliskan ruas kiri ! !∙# = ! # menjadi awal dari pembuktian untuk basis step ini?
S1 : Karena untuk membuktikan pada langkah basis ini harus dibuktikan ruas kiri = ruas kanan, maka dimulai dari membuktikan nilai dari ruas kiri terlebih dahulu.
P : Apa maksud dari ruas kanan = ! !'! = ! # ? S1 : Emmm.. untuk nilai terkecil 𝑛 itu sama dengan 1 disubtitusikan ke ruas kanan yaitu % %'! dengan 𝑛 nya 1. Jadi, ! !'! = ! # P : Dari mana anda dapat menuliskan ruas kanan = ! !'! = ! # ?
S1 : Karena untuk membuktikan langkah pada basis ini kan harus dibuktikan nilai dari ruas kiri = nilai dari ruas kanan. Nah sudah dibuktikan pada langkah sebelumnya untuk nilai dari ruas kiri. Maka selanjutnya harus dibuktikan nilai dari ruas kanannya.
P : Mengapa anda menggunakan ! !∙# dan ! !'! sebagai langkah-langkah dalam pembuktian anda?
S1 : Emmm...karena pada langkah pertama dimulai dengan 𝑛 = 1 , sehingga untuk ruas kirinya dimulai eh diambil suku pertama, kemudian untuk ruas kanannya disubtitusikan untuk 𝑛 = 1 .
P : Apa yang mendasari keputusan anda menggunakan ! !∙# dan ! !'! sebagai langkah-langkah dalam pembuktian anda?
S1
: Karena untuk pada langkah basis ini diambil 𝑛 = 1 maka disubtitusikan 𝑛 = 1 itu ke ruas kanan dan  mengambil suku pertama pada ruas kiri .
P : Apakah anda memiliki pertimbangan lain dalam membuktikan kebenaran 𝑝(1) selain dari apa yang telah anda tulis ini?
S1      : Tidak ada.
P : Apa kesulitan yang anda alami dalam menyusun bukti untuk basis step ini?
S1 : Emmm...sebenarnya tidak ada, tapi pada awalnya sempat bingung untuk membuktikan pada ruas kiri. Kebanyakan itu ruas kiri itu tidak mengambil pada suku pertama, tetapi mensubtitusikan 𝑛 = 1 .

## Tapi, sampai setelah mengerjakan ini saya sudah tau bahwa yang diambil pada ruas kiri itu suku pertamanya saja.
Untuk mengetahui proses berpikir S1 dalam menyelesaikan pembuktiannya pada langkah basis, maka dilakukan wawancara. Dari hasil wawancara diatas, S1 menjelaskan bahwa untuk mengonstruksi bukti pada langkah basis maka harus dibuktikan ruas kiri = ruas kanan. Oleh karena itu, S1 memulai pembuktiannya dengan menuliskan ruas kiri ! !∙# = ! # dan kemudian menuliskan ruas kanan = ! !'! = ! # . Menurut S1, maksud dari ruas kiri ! !∙# = ! # adalah berdasarkan pernyataan soal yaitu 𝑝(𝑛) yang terdapat bagian dari ruas kiri yaitu suku pertamanya ! !∙# , sehingga dari hasil ! !∙# tersebut diperoleh ! # . Sedangkan untuk ruas kanan = ! !'! = ! # , S1 menjelaskan bahwa kanan = ! !'! = ! # tersebut diperoleh dari nilai terkecil 𝑛 yaitu 1 disubtitusikan ke ruas kanan yaitu % %'! .  Alasan S1 menggunakan ! !∙# dan ! !'! sebagai langkah-langkah dalam pembuktiannya adalah karena pada langkah pertama dalam induksi matematika dimulai dengan 𝑛 = 1 , sehingga untuk ruas kirinya diambil  suku  pertama  dan  untuk  ruas  kanannya  disubtitusikan  untuk 𝑛 = 1 .  S1  juga  menjelaskan  kepada peneliti bahwa tidak ada cara selain membuktikan 𝑝(1) benar untuk pembuktian pada langkah basis ini. Untuk kesulitan yang dialami, S1 sempat merasa bingung untuk membuktikan ruas kiri karena S1 berpikir bahwa membuktikan ruas kiri tersebut tidak mengambil suku pertama, melainkan mensubtitusikan 𝑛 = 1 . Selanjutnya akan diuraikan proses berpikir S1 dalam mengonstruksi bukti untuk langkah induksi.
Gambar 5. Hasil Konstruksi Bukti S1
P : Dari mana anda mendapatkan ! !.# + ! #.$ + ⋯ + ! ()'!)()'#) = )'!
)'# ?
S1 : Dari soal yang menyebutkan 𝑝(𝑛):
! !.# +
! #.$ + ⋯ + ! %(%'!) = % %'! dan mensubtitusikan 𝑛 = 𝑘 + 1 . P : Jelaskan bagaimana anda bisa memperoleh ) )'! dalam ) )'! +
! ()'!)()'#) yang anda tulis ini? S1 :  Dari ! )()'!) + !
()'!)()'#) maka  penyebutnya  harus  disamakan  terlebih  dahulu.  Nah  untuk menyamakan penyebutnya ini, maka penyebutnya harus berbentuk 𝑘 + 1 . Dari ! )()'!) ini penyebutnya disamakan menjadi 𝑘 + 1 sehingga, pembilangnya menjadi ! ! " = 𝑘 maka didapatkan ) )'!
P
: Langkah apa yang anda lakukan sehingga anda memperoleh ) )'! + ! ()'!)()'#) = )()'#)'! ()'!)()'#) ?
S1 : Dengan menyamakan penyebutnya yaitu dari ) )'! + ! ()'!)()'#) = )()'#)'!
()'!)()'#) . Dari hasil tersebut maka  dikalikan  biasa  menjadi ) # '#)'!
()'!)()'#) .  Kemudian,  difaktorkan  menjadi ()'!)()'!) ()'!)()'#) kemudian )'!
)'! = 1 dikali )'! )'# sehingga didapatkan )'!
)'#
P :  Jelaskan  bagaimana  proses  berpikir  anda  dari  langkah  ini )()'#)'! ()'!)()'#) hingga  anda  bisa memperoleh bahwa )()'#)'!
()'!)()'#) = )'! ()'!)'! ! S1
: Dari )'! )'# ini kan ekuivalen dengan )'! ()'!)'! .
S1 mengawali pembuktian untuk langkah induksinya dengan menuliskan hipotesis pembuktiannya yaitu jika p(k) benar maka p(k + 1) benar. Selanjutrnya, S1 membuktikan bahwa p(k + 1) = ! !.# + ! #.$ + ⋯ + ! (+'!)(+'#) = +'! +'# benar. S1 menjelaskan penulisan p(k + 1) = ! !.# + ! #.$ + ⋯ + ! (+'!)(+'#) = +'! +'# pada lembar jawabannya  diperoleh  dengan  mensubtitusikan n = k + 1 ke  pernyataan p(n) yang  terdapat  pada  soal. Kemudian S1 melanjutkan pembuktiannya dengan membuktikan ruas kiri. Dalam membuktikan untuk ruas kiri  ini  S1  menuliskan ! +(+'!) + ! (+'!)(+'#) = + +'! + ! (+'!)(+'#) .  S1  menjelaskan + +'! pada + +'! + ! (+'!)(+'#)
tersebut diperoleh dari menyamakan penyebut dari penjumlahan ! +(+'!) + !
(+'!)(+'#) dan untuk menyamakan penyebutnya  maka  penyebutnya  harus  berbentuk 𝑘 + 1 .  Kemudian  dari ! +(+'!) penyebutnya  disamakan menjadi 𝑘 + 1 sehingga, pembilangnya menjadi ! ! " = 𝑘 maka diperoleh + +'! .  Selanjutnya, S1 mengakhiri pembuktiannya dengan menuliskan secara lengkap pembuktian aljabarnya untuk langkah induksi tersebut.
Berkaitan  dengan  pembuktian  aljabarnya,  S1  menjelaskan  langkah-langkah  yang  dilakukannya sehingga  dari + +'! + ! (+'!)(+'#) dapat  diperoleh )()'#)'! ()'!)()'#) pada  akhirnya.  S1  menjelaskan  bahwa  dengan menyamakan  penyebutnya  yaitu  dari + +'! + ! (+'!)(+'#) = +(+'#)'! (+'!)(+'#) dan  dengan  dikalikan  biasa  menjadi + # '#+'! (+'!)(+'#) . Kemudian, difaktorkan menjadi (+'!)(+'!) (+'!)(+'#) = +'! +'! = 1 × +'! +'# sehingga didapatkan +'! +'# . Di akhir pembuktiannya,  S1  menjelaskan  karena  telah  dibuktikan  benar  untuk 𝑛 = 1 dan 𝑛 = 𝑘 + 1 maka  terbukti bahwa 𝑝(𝑛) = 1 1.2 + 1 2.3 + ⋯ + 1 𝑛(𝑛+1) = 𝑛 𝑛+1 , ∀𝑛 ∈ ℕ .  Pembuktian  dengan  induksi  matematika  yang dikosntruksi oleh S1 didasari dari langkah-langkah induksi yang pernah dipelajari sebelumnya dan S1 juga mengungkapkan bahwa tidak ada langkah pembuktian lain selain dari yang ditulisnya yang dapat digunakan sebagai bukti untuk masalah ini. Berikut transkrip wawancara peneliti dengan S1 terkait dengan penarikan kesimpulan.
P : Dari mana anda mendapatkan kesimpulan bahwa 𝑝(𝑛) berlaku ∀𝑛 ∈ ℕ ? S1 :Dari pembuktian induksi dan basis bahwa untuk 𝑛 = 𝑘 diasumsikan benar maka 𝑛 = 𝑘 + 1 juga benar,  sehingga  langkah  induksi  dan  basis  terpenuhi.  Maka  dapat  diambil  kesimpulan  bahwa himpunan 𝑆 = himpunan ℕ atau bilangan asli.
P : Apa yang mendasari anda untuk mengonstruksi bukti seperti yang telah anda tulis ini?
S1 : Langkah-langkah induksi yang telah dipelajari sebelumnya. (empiris)
P
: Apakah ada pertimbangan pembuktian lain selain langkah-langkah pembuktian yang telah anda tulis ini?
S1
: Tidak ada.
P : Bagaimana langkah anda untuk memastikan bahwa bukti yang telah anda buat tersebut benar?
S1 : Langkah basis dan langkah induksi yang telah disusun tersebut terpenuhi.
Berdasarkan data yang diperoleh dari S1 dapat dibuat tahap berpikir S1. Proses berpikir yang terjadi pada S1 ditunjukkan pada gambar 6 berikut.
Gambar 6. Diagram Proses Berpikir S1 dalam Mengonstruksi Bukti Soal Nomor 1 Tabel 1. Keterangan Diagram Proses Berpikir S1 Simbol Keterangan DIM Definisi Induksi Matematika 𝑝(𝑛) 𝑝(𝑛) = ! !.# + ! #.$ + ⋯ + ! %(%'!) = %
%'! , ∀𝑛 ∈ ℕ
RKI ruas kiri ! !∙# = ! # RKA ruas kanan = ! !'! = ! # RKI=RKA  ruas kiri = ruas kanan : ! !∙# = ! # = ! !'! 𝑝(𝑘) 𝑝(𝑘) = ! !.# + ! #.$ + ⋯ + ! )()'!) = )
)'! RK 1 Ruas kiri : ! )()'!) + !
()'!)()'#)
a )
)'! + !
()'!)()'#) b )()'#)'! ()'!)()'#) c ) # '#)'! ()'!)()'#)
Masalah
𝑝(𝑛) DIM 𝑛 = 𝑘 𝑛 = 𝑘 + 1 𝑛 = 1 𝑝(𝑘) 𝑝(1) RKI RKA RKI=RKA RK 1 a b c d e RK 2 Bukti Selesai
d ()'!)()'!) ()'!)()'#) e
1 ∙ )'! )'#
RK 2 )'! )'#
Tahapan proses berpikir pada penelitian ini mengacu pada teori proses berpikir milik Robert Swartz yang meliputi empat tahapan yaitu menghasilkan ide-ide ( generating ideas ), menjelaskan ide-ide ( clarifying ideas ), menilai kelayakan/ kepantasan ide-ide ( assessing the reasonableness of ideas ), dan berpikir kompleks ( complex thinking ).
Dalam  mengonstruksi  bukti  untuk  permasalahan  pada  instrumen  lembar  tugas,  S1  memiliki kemampuan yang baik dalam memahami soal. Hal tersebut terlihat dari bukti tertulis yang disusun oleh S1 dengan benar dan lengkap. Sedangkan hasil dari wawancara menunjukkan bahwa S1 memiliki kemampuan komunikasi yang baik dalam menjelaskan setiap proses berpikir yang dialaminya selama mengonstruksi bukti dengan induksi matematika. Oleh karena itu, dapat disimpulkan bahwa S1 memenuhi keseluruhan tahapan proses berpikir milik Robert Swartz.
Pada  tahap generating  ideas ,  terlihat  dari  bukti  tertulis  yang  telah  dikonstruk  oleh  S1  bahwa pembuktian  untuk  langkah  basisnya  diawali  dengan  menuliskan  akan  dibuktikan  bahwa 𝑝(1) benar. Sedangkan  dari  hasil  wawancara  berkaitan  dengan  apa  yang  ditulisnya  tersebut  S1  menjelaskan  bahwa dipilihnya 𝑝(1) adalah berdasarkan konsep well ordering properties yang mendasari pemilihan nilai 𝑛 = 1 , sehingga karena nilai 𝑛 = 1 maka yang harus dibuktikan adalah 𝑝(1) . Pada langkah induksi, S1 menjelaskan kepada peneliti bahwa hipotesis pembuktian yang menyatakan bahwa jika 𝑝(𝑘) benar maka 𝑝(𝑘 + 1) benar merupakan hubungan sebab akibat yang karena 𝑝(𝑘) telah diasumsikan benar maka sebagai akibatnya 𝑝(𝑘 + 1) yang merupakan bilangan lebih besar daripada 𝑝(𝑘) juga benar. Kemampuan S1 dalam menjelaskan setiap detil  proses  berpikir  yang  dialaminya  dalam  menghasilkan  ide-ide  pembuktian  menunjukkan  bahwa  S1 memberikan  perhatian  yang  baik  dalam  mengikuti  pembelajaran  tentang  mengonstruk  bukti  yang  telah ditempuhnya.  Hal  ini  sependapat  dengan  Hanna  (2007)  yang  menjelaskan  bahwa  pembelajaran  tentang mengonstruk bukti memang penting dilakukan dan salah satu alasan dilakukannya kepada siswa adalah untuk mengomunikasikan ide kepada orang lain.
Pada tahap clarifying ideas , kepada peneliti S1 menjelaskan bahwa ide pembuktiannya pada langkah basis yaitu membuktikan 𝑝(1) benar tersebut dipilih karena 𝑝(𝑛) adalah pernyaataan yang bergantung pada nilai 𝑛 dan berdasarkan well ordering properties yang dipelajarinya dalam mata kuliah teori bilangan maka ide pembuktian bahwa 𝑝(1) benar tersebut dipilih. Ide pembuktian yang dihasilkan S1 ini sesuai dengan Ron (2004)  yang  menyatakan  bahwa  metode  untuk  membuktikan  pernyataan  dengan  induksi  matematika,  kita harus menetapkan dua kondisi yaitu pernyataan tersebut benar untuk 𝑛 = 1 dan bahwa jika pernyataan benar untuk  setiap  bilangan  asli  k,  maka  hal  ini  juga  berlaku  untuk 𝑘 + 1 .  Kemudian  pada  langkah  induksi,  S1 menunjukkan penjelasan ide pembuktiannya yang meliputi maksud dari 𝑝(𝑘) yaitu pernyataan yang merupaka hipotesis induksi dan dari hasil wawancara S1 menjelaskan dasar berpikirnya membuat keputusan bahwa dapat diasumsikan benar untuk 𝑛 = 𝑘 adalah karena diasumsikan 𝑘 ∈ 𝑆 dengan 𝑆 himpunan bagian dari ℕ . Pada tahap menilai kelayakan/ kepantasan ide-ide pembuktian, peneliti dapat mengetahui dari hasil wawancara  yang  dilakukan  terhadap  S1.  Hal  tersebut  bertujuan  untuk  menggali  proses  berpikir  S1  dalam menunjukkan  bahwa  ide-ide  pembuktiannya  tersebut  layak/  pantas  untuk  dapat  digunakan  dalam menyelesaikan masalah pembuktiannya secara keseluruhan. Hasil dari wawancara tersebut didapatkan bahwa S1  menghasilkan  ide-ide  pembuktiannya  berdasarkan  pengalaman  belajar  pembuktian  dengan  induksi matematika dan ingatan semasa menempuh mata kuliah teori bilangan. Ketika peneliti bertanya lebih jauh tentang  pengalaman  belajar  induksi  yang  bagian  mana  yang  dimaksudnya,  S1  menjawab  bahwa  yang dimaksudnya  adalah  bab  induksi  matematika  yang  pembuktiannya  dimulai  dari 𝑝(1) karena  terkait well ordering  properties pada  matakuliah  teori  bilangan.  Jadi,  sesuai  dengan  pernyataan  Herbst  (2002)  bahwa proses berpikir dapat diketahui dengan mengamati siswa melalui proses pengerjaan tes yang ditulis secara terurut, dan perlu ditambah wawancara (tanya jawab), maka selain dapat mengetahui proses berpikir, dengan wawancara juga dapat dinilai kelayakan/ kepantasan ide-ide pembuktian yang diungkapkan mahasiswa.
Dari bukti tertulis yang dikonstruk dengan benar dan lengkap oleh S1 menunjukkan bahwa S1 telah mengalami tahapan berpikir Robert Swartz yang terakhir yaitu complex thinking . Untuk mengetahui proses berpikir  dan  langkah-langkah  pengerjaan  untuk  setiap  pembuktian  yang  ditulisnya,  maka  dilakukan wawancara.  Dari  hasil  wawancara  pula,  S1  menjelaskan  kesulitan  yang  dialaminya  selama  mengonstruksi bukti  dengan  induksi  matematika.  S1  menjelaskan  bahwa  dirinya  mengalami  kebingungan  ketika  hendak mengonstruk bukti untuk ruas kiri pada langkah basis. Hal itu dikarenakan menurut S1 biasanya pada ruas kiri
tersebut tidak mengambil suku pertama, tetapi mensubtitusikan 𝑛 = 1 . Sedangkan untuk langkah induksi, S1 menjelaskan kesulitannya dalam memanipulasi aljabarnya agar terlihat menuju ke bentuk % %'! dengan 𝑛 = 𝑘 + 1 . Penjelasan S1 terkait dengan kesulitannya dalam membuktikan tersebut sesuai dengan hasil penelitian dari Roh (2009) yang menjelaskan bahwa banyak siswa mengalami kesulitan dalam mengonstruk bukti yang valid.
Alwasilah  (2005:  116)  menjelaskan  tentang  empat  pertimbangan  atau appeal dalam  membuat argumen, yaitu appeal to the writer’s own credibility (authority), appeals to empirical data, appeals to reason (logical appeal), dan appeals to the reader’s emptions, values, or attitudes (pathetic or affective appeals) . Subjek S1 dalam penelitian ini menyusun argumen-argumen dalam pembuktiannya berdasarkan data empiris yang diperolehnya melalui pengalaman belajarnya terdahulu atau dengan kata lain termasuk pada appeals to empirical data . Kesimpulan tersebut diperoleh dari hasil wawancara penelitian yaitu ketika S1 menjelaskan tentang  sumber  atau  dasar  berpikirnya  menjawab  pertanyaan  peneliti.  Seperti  pada  penjelasan  S1  ketika peneliti bertanya kapan dan dari mana pengetahuan tentang well ordering properties didapat. S1 menjawab pertanyaan tersebut dengan mengatakan “seingetku di mata kuliah teori bilangan. Itu di semester 3 mbak” . Di akhir penelitian, ketika peneliti bertanya tentang dasar berpikirnya dalam mengonstruksi bukti dengan induksi matematika  seperti  yang  telah  dibuatnya,  S1  menjawab “berdasarkan  langkah-langkah  induksi  yang  telah dipelajari sebelumnya” . Jadi, berdasarkan respon subjek tersebut maka dapat diperoleh kesimpulan seperti di atas.

## PENUTUP
Berdasarkan  hasil  penelitian  dan  pembahasan  yang  telah  diuraikan  sebelumnya,  maka  dapat disimpulkan  bahwa  proses  berpikir  matematika  mahasiswa  dalam  mengonstruksi  bukti  dengan  induksi matematika dalam penelitian ini dikaji berdasarkan teori proses berpikir milik Robert Swartz yang meliputi empat tahapan yaitu menghasilkan ide-ide ( generating ideas ), menjelaskan ide-ide ( clarifying ideas ), menilai kelayakan/  kepantasan  ide-ide  ( assessing  the  reasonableness  of  ideas ),  dan  berpikir  kompleks  ( complex thinking ). Berikut kesimpulan yang dapat diambil dari hasil penelitian ini.
a. Menghasilkan Ide-Ide ( Generating Ideas )
Untuk  menyusun  pembuktian  langkah  basis,  S1  menunjukkan  bahwa 𝑝(1) benar.  S1  menjelaskan maksud dari 𝑝(1) itu adalah mensubtitusikan nilai 𝑛 = 1 ke pernyataan 𝑝(𝑛) pada soal. Dasar berpikir S1 dalam menentukan nilai 𝑛 adalah berdasarkan well ordering properties . Well ordering properties menjelaskan bahwa setiap himpunan bagian yang tidak kosong dari bilangan asli memiliki anggota terkecil. Sehingga dalam langkah pembuktiannya ini, S1 menjelaskan bahwa terdapat suatu himpunan S yang merupakan himpunan bagian dari bilangan asli yang memiliki anggota terkecil yaitu 1 . Oleh sebab itu, S1 memilih nilai 𝑛 = 1 dan berdasarkan nilai 𝑛 = 1 tersebut S1 mengambil keputusan bahwa untuk mengonstruksi bukti pada langkah basis maka harus ditunjukkan bahwa 𝑝(1) benar.
S1  menjelaskan  bahwa  dalam  mengonstruksi  pembuktian  langkah  induksi,  S1  memiliki  hipotesis pembuktian. Hipotesis pembuktian tersebut adalah pernyataan jika 𝑝(𝑘) benar maka 𝑝(𝑘 + 1) benar. S1 juga menjelaskan bahwa hipotesis pembuktian yang diperolehnya tersebut merupakan ide pembuktiannya untuk mengonstruk langkah induksi, karena dalam hipotesis pembuktiannya tersebut 𝑝(𝑘) tersebut merupakan suatu bilangan yang telah diasumsikan benar dan menurut S1 pula 𝑝(𝑘 + 1) juga merupakan suatu bilangan yang lebih besar daripada 𝑝(𝑘) . Sehingga, S1 berpikir bahwa jika 𝑝(𝑘) yang merupakan bilangan terkecil diantara 𝑝(𝑘) dan 𝑝(𝑘 + 1) tersebut benar, maka untuk 𝑝(𝑘 + 1) yang merupakan bilangan yang lebih besar daripada 𝑝(𝑘) juga benar.
b. Menjelaskan Ide-Ide (Clarifying Ideas)
Sebagai langkah awal dalam pembuktian di langkah basis, S1 menghasilkan ide pembuktian yaitu, membuktikan 𝑝(1) benar. Dari hasil wawancara, S1 menjelaskan bahwa alasannya membuktikan 𝑝(1) benar adalah karena 𝑝(1) tersebut berasal dari pernyataan 𝑝(𝑛) yang nilai 𝑛 nya adalah 1 dan karena pernyataan 𝑝(𝑛) tersebut adalah pernyataan yang bergantung pada 𝑛 yang dalam hal ini 𝑛 nya merupakan bilangan asli terkecil yaitu 1 . S1 mengatakan bahwa tujuan dari membuktikan 𝑝(1) benar pada langkah basis ini adalah sebagai  syarat  agar  dapat  melanjutkan  pembuktian  ke  langkah  induksi.  Ketika  peneliti  menanyakan kemungkinan  pembuktian selain 𝑝(1) yang dapat digunakan sebagai ide pembuktian, S1 menjelaskan bahwa tidak ada pertimbangan lain selain 𝑝(1) yang dapat digunakan untuk mengawali pembuktian langkah basis. Pada uraian generating ideas, diketahui bahwa S1 memiliki hipotesis pembuktian pada langkah induksi yang ditulisnya. Hipotesis pembuktiannya tersebut adalah pernyataan jika 𝑝(𝑘) benar maka 𝑝(𝑘 + 1) benar.
Dari  hasil  wawancara,  S1  menjelaskan  bahwa 𝑝(𝑘) benar  yang  dimaksud  dalam  hipotesis  pembuktiannya tersebut adalah suatu hipotesis induksi. Pada penjelasan S1 di generating ideas, telah diketahui bahwa 𝑝(𝑘) merupakan  bilangan  yang  diasumsikan  benar  dan  dari  hasil  wawancara  dijelaskan  oleh  S1  bahwa 𝑝(𝑘) diperoleh dari 𝑛 = 𝑘 dengan 𝑛 ∈ ℕ dan 𝑘 ∈ 𝑆 sedangkan S adalah himpunan bagian dari ℕ .
c. Menilai Kelayakan/ Kepantasan Ide-Ide ( Assessing The Reasonableness Of Ideas )
Dari hasil wawancara, S1 menjelaskan proses berpikirnya dalam mengambil keputusan bahwa yang harus dibuktikan terlebih dahulu adalah 𝑝(1) . S1 menjelaskan bahwa harus dibuktikan 𝑝(1) terlebih dahulu karena 𝑝(𝑛) berlaku untuk 𝑛 ≥ 1 . Oleh sebab itu, S1 memilih nilai 𝑛 = 1 karena menurut S1 dengan syarat tersebut  nilai 𝑛 yang  paling  kecil  adalah  1.  S1  juga  menjelaskan  bahwa  pengetahuannya  tentang  hal  itu didapatnya  berdasarkan  ingatannya  semasa  kuliah  teori  bilangan.  Sedangkan  untuk  ide  pembuktian  pada langkah  induksi,  S1  menjelaskan  bahwa  hipotesis  pembuktiannya  jika 𝑝(𝑘) benar  maka 𝑝(𝑘 + 1) benar tersebut diperoleh karena nilai 𝑛 = 𝑘 dan karena 𝑝(𝑛) benar yang menyebabkan 𝑝(𝑛 + 1) benar maka menurut S1 hipotesisnya 𝑝(𝑘) benar maka 𝑝(𝑘 + 1) benar.
d. Berpikir Kompleks ( Complex Thinking )
Dari bukti tertulis yang dikonstruk dengan benar dan lengkap oleh S1 menunjukkan bahwa S1 telah mengalami tahapan berpikir Robert Swartz yang terakhir yaitu complex thinking . Dari hasil wawancara, S1 menjelaskan  kesulitan  yang  dialaminya  selama  mengonstruksi  bukti  dengan  induksi  matematika.  S1 menjelaskan bahwa dirinya mengalami kebingungan ketika hendak mengonstruk bukti untuk ruas kiri pada langkah basis. Hal itu dikarenakan menurut S1 biasanya pada ruas kiri tersebut tidak mengambil suku pertama, tetapi  mensubtitusikan 𝑛 = 1 .    Sedangkan  untuk  langkah  induksi,  S1  menjelaskan  kesulitannya  dalam memanipulasi aljabarnya agar terlihat menuju ke bentuk % %'! dengan 𝑛 = 𝑘 + 1 . Berdasarkan empat pertimbangan atau appeal dalam membuat argumen, subjek S1 dalam penelitian ini menyusun argumen-argumen dalam pembuktiannya berdasarkan data empiris yang diperolehnya melalui pengalaman belajarnya terdahulu atau dengan kata lain termasuk pada appeals to empirical data . Kesimpulan tersebut  diperoleh  dari  hasil  wawancara  penelitian  yaitu  ketika  S1  menjelaskan  tentang  sumber  atau  dasar berpikirnya menjawab pertanyaan peneliti. Seperti pada penjelasan S1 ketika peneliti bertanya kapan dan dari mana  pengetahuan  tentang well  ordering  properties didapat.  S1  menjawab  pertanyaan  tersebut  dengan mengatakan “seingetku di mata kuliah teori bilangan. Itu di semester 3 mbak” . Jadi, berdasarkan respon subjek tersebut maka dapat diperoleh kesimpulan seperti di atas.
Berdasarkan  kesimpulan  yang  dibuat,  maka  dapat  disarankan  beberapa  hal  terkait  pembelajaran matematika sebagai berikut.
1. Kemampuan  mengonstruksi  bukti  dengan  induksi  matematika  dapat  ditingkatkan  dengan  sering berlatih menyelesaikan soal-soal pembuktian dengan induksi matematika.
2. Kajian proses berpikir pada penelitian ini masih terbatas, untuk itu perlu adanya penelitian dengan kajian yang lebih mendalam dengan masalah dan karakteristik yang lain.

## DAFTAR RUJUKAN
Alwasilah, A. Chaedar. 2005. Pokoknya Menulis. Cetakan Pertama. Bandung : PT. Kiblat Buku Utama.
Asna, Romiyati. 2010. Proses Berpikir Mahasiswa dalam Mengkonstruksi Bukti dengan Induksi Matematika di IAIN Mataram Ditinjau dari Teori Pemrosesan Informasi . Tesis tidak diterbitkan. Malang: PPS UM.
Aberdein, Andrew. 2005. The Uses of Arguments in Mathematics. Journal of Humanities and Communication Florida Institute of Technology. 2005: 1-10.
Bieda, Kristen N., Ji, Xueying., Drwencke, Justin., & Picard, Andrew. 2013. Reasoning-and-proving Opportunities in Elementary Mathematics Textbooks. International Journal of Educational Research . 2013 (946): 1-10.
Haak, M.J. Van den, Jong, M.D.T de, & Schellens, P.J. 2004. Employing Think-Aloud Protocols and Constructive Interaction to Test The Usability of Online Library Catalogues: A Methodological Comparison. Journal of Science Direct , 16 (2004): 1153-1170.
Hanna, Gila. 2007. Beyond Verification: Proof Can Teach New Methods. Journal of Ontario Institute for Studies in Education/ University of Toronto , 1 (1): 1-5.
McGregor, Debra. 2007. Developing Thinking; Developing Learning: A Learning to Thinking Skills in Education . New York: Open University Press.
Mariotti, Maria Alessandra. 2006. Proof and Proving in Mathematics Education. Journal of Proceedings of The ICMI Study 19 Conference , 2009 (02): 82-87.
National Council of Teachers of Mathematics (2000). Principles and Standards for School Mathematics. Reston , VA: Author.
Panaoura, Areti & Philippou, George. 2006. The Measurement of Young Pupils’ Metacognitive Ability in Mathematics: The Case of Self-Representation and Self-Evaluation. Journal of Proceedings of The ICMI Study 19 Conference , 2009 (02): 10-20.
Pedemonte, Bettina. 2007. How Can The Relationship Between Argumentation and Proof Be Analysed?.
Journal of Education Study Math , 2007 (66): 23-41.
Radford, Luis., et. Al. Athanase. 2005. On Embodiment, Artifacts, and Signs: A Semiotic-Cultural Perspective On Mathematical Thinking. Journal of Proceedings of The 29th Conference of The International Group for The Psychology of Mathematics Education , 4 (15): 113-120.
Roh, Kyeong Hah. 2009. Students’ Understanding and Use of Logic in Evaluation of Proofs About Convergence. Journal of Proceedings of The ICMI Study 19 Conference , 2009 (02): 148-153.
Ron, Gila. & Dreyfus, Tommy. 2004. The Use of Models in Teaching Proof by Mathematical Induction. Journal of Proceedings of The 28th Conference of The International Group for The Psychology of Mathematics Education , 4 (13): 113-120.
Selden, John. & Selden, Annie. 2009. Understanding The Proof Construction Process. Journal of Proceedings of The ICMI Study 19 Conference , 2009 (02): 196-201.
Solso, Robert L. (1995). Cognitive Psychology . Needham Heights, MA: Allyn & Bacon.
Toulmin, Stephen. 1958. The Uses of Argument . Cambridge University Press: Cambridge.