JURNAL GAUSSIAN, Volume 10, Nomor 2, Tahun 2021, Halaman 279-292 Online di: https://ejournal3.undip.ac.id/index.php/gaussian/

## PEMODELAN AUTOREGRESSIVE FRACTIONALLY INTEGRATED MOVING AVERAGE DENGAN EFEK EXPONENTIAL GARCH (ARFIMA-EGARCH) UNTUK PREDIKSI HARGA BERAS DI KOTA SEMARANG
Rezky Dwi Hanifa 1 , Mustafid 2 , Arief Rachman Hakim 3
1,2,3 Departemen Statistika, Fakultas Sains dan Matematika, Universitas Diponegoro email : rezkydwihanifa@gmail.com

## ABSTRACT
Time series data is a type of data that is often used to estimate future values. Long memory phenomenon often occurs in time series data. Long memory is a condition that shows a strong correlation between observations even though they are quite far away. This phenomenon can be overcome by modeling time series data using the Autoregressive Fractional Integrated Moving Average (ARFIMA) model. This model is characterized by a fractional difference value. ARFIMA (Autoregressive Fractional Integrated Moving Average) model assumes that the residuals are normally distributed, mutually independent, and homogeneous. However, usually in financial data, the residual variants are not constant. This can be overcome by modeling variants. Standard equipment that can be  used to  model  variants  is the ARCH  /  GARCH  (Auto Regressive Conditional Heteroscedasticity  /  Generalized  Auto  Regressive  Conditional  Heteroscedasticity)  model.  Another phenomenon that often occurs in GARCH models is the leverage effect on the residuals of the model. EGARCH (Exponential General Auto Regessive Conditional Heteroscedasticity) is a development of the GARCH model that is appropriate for data that has an leverage effect. The implementation of this model is  by modeling financial data, so this study takes 136 monthly data on rice prices in Semarang City from January 2009 to April 2020.  The purpose of this study is to create a long memory data forecasting model using the Exponential method. Generalized Autoregressive Conditional Heteroscedasticity (EGARCH). The best model obtained is ARFIMA (1, d, 1) EGARCH (1,1) which is capable of forecasting with a MAPE value of 3.37%.
Keyword  : Rice price, forecasting , long memory, leverage effect , GARCH, EGARCH

## 1. PENDAHULUAN
Beras menjadi  salah  satu  komoditas  yang  strategis  baik  di  aspek  ekonomi,  sosial, maupun  politik.  Selain  itu,  beras  menjadi  makanan  pokok  yang  menjadi  sumber  utama asupan kalori. Maka stabilitas  harga berasi menjadi  salah satu aspek yang terus dipantau oleh pemerintah  karena  harga  beras memberi  kontribusi  pada  ketahanan  pangan,  kemiskinan, stabilitas  makro  ekonomi,  dan pertumbuhan  ekonomi.  Peramalan menjadi  solusi  yang  bisa digunakan  untuk  melakukan  pemantauan  harga  beras  dengan  melakukan  prediksi  harga beras di  masa mendatang. Menurut  Makridakis  et al. (1999)  peramalan terbagi menjadi  dua yaitu  peramalan  kualitatif  berdasarkan  pendapat  para  ahli  dan  peramalan  kuantitatif menggunakan  metode statistika.
Peramalan  runtun  waktu  dapat  dilakukan  dengan  menggunakan  beberapa  metode populer  seperti Autoregressive  Integrated  Moving  Average (ARIMA), exponential smoothing, dekomposisi  atau regresi. Pendekatan metode  ini  efisien  untuk  peramalan time series , namun  masih  ada kekurangan  ketika adanya fluktuasi  yang ekstrim pada data runtun waktu.  Fenomena  lain  yang  sering  terjadi  pada data  time  series adalah  data bersifat  long memory. Menurut Kartikasari (2015) long memory adalah fenomena pada data runtun  waktu yang merupakan kondisi  dimana  setiap observasi memiliki  korelasi  yang cukup kuat dengan observasi  lain  walaupun  jarak  tiap  observasi  cukup  jauh.  Kartikasari  (2015)  menjelaskan bahwa ARFIMA ( Autoregressive Fractional Integrated Moving Average ) digunakan untuk data yang mengikuti  proses linear long memory .
Model   ARFIMA (Autoregressive  Fractional  Integrated Moving  Average) memilik i asumsi  bahwa residual  berdistribusi  normal,  saling  bebas, dan homogen.  Namun  pada data finansial  seringkali  muncul  kasus bahwa varian  dari  error tidak  konstan,  dengan  kata lain data  mengalami  heteroskedastisitas.  Untuk  mengatasi  hal  ini,  peralatan  standar  yang digunakan  adalah  model  ARCH/GARCH ( Auto Regessive Conditional Heteroscedasticity/ Generalized Auto  Regessive Conditional Heteroscedasticity ). Salah  satu  pengembangan model  ini  adalah  model  EGARCH  ( Exponential Generalized Auto Regessive Conditional Heteroscedasticity ). Model ini  tidak memiliki  syarat kestasioneran seperti ARCH/GARCH, sehingga  tepat digunakan  pada data yang memiliki  efek asimetris. Efek asimetris terjadi  jika terdapat korelasi  antara standar residual  kuadrat  dari  model  ARFIMA,  dengan  lag  standar residual  model  GARCH.

## 2. TINJAUAN PUSTAKA

## 2.1. Analisis Runtun Waktu
Model-model  runtun  waktu  pada  dasarnya  menggunakan  data  masa  lalu  untuk memprediksi  permintaan  di  masa  depan.  Model  mengasumsikan  bahwa  setiap  titik  data permintaan  yang diamati  terdiri  dari beberapa komponen  sistematis  dan beberapa komponen acak. Model  deret waktu dirancang  untuk  memprediksi  komponen  sistematis  tetapi  bukan komponen  acak. Idenya mirip  dengan logika  bagan kendali  mutu karena peneliti  tidak perlu melakukan  perubahan akan variabilitas  proses selama masih dalam batas kendali.  Mengubah model  runtun waktu karena kesalahan yang acak hanya akan meningkatkan  kesalahan dalam ramalan masa depan. (Montgomery et al. , 2008)

## 2.2. Stasioneritas
Box dan Jenkins  (1976)  menjelaskan  bahwa pada deret waktu yang bersifat stasioner kuat,  waktu pengamatan  tidak  berpengaruh  terhadap rata-rata μ,  variansi  σ 2 dan kovariansi γ k . ini  berarti  bahwa deret X t akan berfluktuasi  di  sekitar  μ dan dan variansi  σ 2 yang tetap, dan  dapat  dikatakan  bahwa  deret  X t stasioner  dalam  μ  dan  σ 2 (Wei,  2006).  Menurut Ekananda  (2014),  suatu data runtun  waktu dikatakan  stasioner  dalam  variansi  jika  struktur data dari  waktu ke waktu mempunyai  fluktuasi  dengan  varian  yang tetap atau konstan  dari waktu ke waktu. Montgomery et al. (2008) mendefinisikan  varian yang konstan sebagai :
𝜎 𝑧 2 = 𝑣𝑎𝑟(𝑧) = ∫ (𝑧 − 𝜇 𝑧 ) 2 𝑓(𝑧)𝑑𝑧 ∞

## −∞
Menurut  Ekananda  (2014)  Data bersifat  stasioner  pada  nilai  tengahnya  ( mean ) yaitu apabila  data berfluktuasi  di  sekitar  suatu  nilai  tengah  yang  tetap sepanjang/selama  waktu observasi.  Sedangkan  menurut  Montgomery et  al. (2008),  stasioneritas  menyatakan keseimbangan  dan  stabilitas  pada data,  dimana  rata-rata yang  konstan  dapat  didefinis ikan sebagai :
µ = E( 𝑧 𝑡 ) = ∫ 𝑧 𝑡 𝑝(𝑧 𝑡 )𝑑𝑧 ∞ −∞ dengan z t : data ke t µ : rata-rata p(z t ) : distribusi  probabilitas
Stasioneritas  dalam mean ini  dapat diuji  melalui  uji  akar unit  ( Unit Root Test ). Salah  satu metode  uji  akar  unit  adalah  metode Augmented Dickey Fuller (ADF).  Model  persamaan secara umum adalah sebagai berikut  :
∆𝑧 𝑡 =  β𝑧 𝑡−1 + ∑ 𝜙 𝑗 ∆ 𝑝−1 𝑗=1 𝑧 𝑡−𝑗 + 𝑎 𝑡
Keterangan : β : koefisien 𝑧 𝑡 : nilai  variabel  pada waktu ke t 𝜙 : konstanta 𝑎 𝑡 :residual  pada waktu ke t
2.3. Model Autoregressive Fractionally Integrated Moving Average (ARFIMA) Model Autoregressive Fractionally Integrated Moving Average (ARFIMA) merupakan proses  yang  termasuk  dalam  jenis  model long  memory ,  dimana  memiliki  tujuan  untuk menjelaskan  secara eksplisit  adanya  korelasi  jangka  panjang  pada  data (Contretas,2012). Dalam  Contreras  (2012)  dituliskan  bahwa  secara  umum,  proses  ARFIMA(p,d,q)  dapat dinotasikan  dalam persamaan :
𝜙 𝑝 (𝐵)𝑧 𝑡 = 𝜃 𝑞 (𝐵)(1 − 𝐵) −𝑑 𝑎 𝑡 Dimana
𝜙 𝑝 (𝐵) = 1 − 𝜙 1 𝐵 − ⋯ − 𝜙 𝑝 𝐵 𝑝
Dan
𝜃 𝑞 (𝐵) = 1 − 𝜃 1 𝐵 − ⋯ − 𝜃 𝑞 𝐵 𝑞
Serta 𝜙 𝑝 (𝐵) dan 𝜃 𝑞 (𝐵) tidak memiliki  akar unit,  B merupakan operator backshift . Lalu (1 − 𝐵) −𝑑 merupakan operator  differensi  fraksional  dari ekspansi binomial.
(1 − 𝐵) −𝑑 = ∑ (𝑗 + 𝑑)!
(𝑗 + 1)!(𝑑)! 𝐵 𝑗 = ∑ ( 𝑑 𝑗 ) 𝐵 𝑗 ∞ 𝑗=0 ∞ 𝑗=0 Untuk a t white noise dengan mean nol dan varian σ 2 .

## 2.4. Pola Long Memory
Proses long memory merupakan  sifat observasi  yang memiliki  korelasi  kuat meskipun jarak  waktu  antar  observasi  jauh . ACF  proses long memory akan  turun  secara lambat membentuk  pola  hiperbolik.  Qian  dan  Rasheed  (2004)  menjelaskan  bahwa  sifat  dari ketergantungan  jangka  panjang  dapat  dibuktikan  dengan  cara  menghitung  nilai  statistik Hurst berdasarkan nilai  R/S. Nilai Hurst ditentukan   dengan menentukan  rata-rata z yaitu :
𝑧̅ = 1 𝑛 ∑ 𝑧 𝑡 𝑛 𝑡=1
Kemudian  menentukan Adjusted Mean : 𝑍 𝑡 𝑎𝑑𝑗 = 𝑧 𝑡 − 𝑧̅
Dan simpangan  baku
𝑠 𝑡 = √∑ (𝑧 𝑡 − 𝑧̅) 2 𝑛 𝑛 𝑡=1
Selanjutnya  adalah menentukan  deviasi  kumulatif
𝑧 𝑡 ∗ = ∑ 𝑍 𝑡 𝑎𝑑𝑗 𝑛 𝑡=1
Dengan rentang dari deviasi  kumulatif  :
𝑅 𝑡 = max(𝑍 1 ∗ , 𝑍 2 ∗ ,… , 𝑍 𝑡 ∗ ) − 𝑚𝑖𝑛(𝑍 1 ∗ , 𝑍 2 ∗ , … , 𝑍 𝑡 ∗ )
Nilai Hurst  diperoleh dengan  melogaritmakan statistik R/S  dan  ditaksir  dengan  metode Ordinary Least Square (OLS). Apabila  nilai  H=0.5  maka data deret waktu  bersifat  acak. Jika  0<H<0.5  maka  data  bersifat short  memory ,  sedangkan long memory ditunjukkan apabila  nilai  H berada pada interval  0.5<H<1.

## 2.5. Pengujian Asumsi Model
Uji  normalitas  residual  dilakukan  untuk  melihat  kenormalan  dari  residual.  Model dikatakan  baik  jika  residual  berdistribusi  normal  terjadi  jika  histogram  residual  memilik i kecenderungan  membentuk  pola  lonceng.  Secara  formal,  dapat  diuji  menggunakan  uji hipotesis,  dengan statistika  uji  yaitu salah astunya dengan  nilai  Kolmogorov-Smirnov.
𝐷 = 𝑆𝑢𝑝|𝑆(𝑥) − 𝐹 0 (𝑥)|
Dengan :
S(x) : fungsi  peluang  kumulatif  yang dihitung  dari data sampel F 0 (x) : fungsi  peluang  kumulatif  dari distribusi  normal Sup : Nilai  supremum  untuk  semua x dari |𝑆(𝑥) − 𝐹 0 (𝑥)|
Proses  white  noise  terjadi  jika  bentuk  peubah  acak  yang  berurutan  tidak  saling berkorelasi  dan  mengikuti  distribusi  tertentu.  Proses white  noise  adalah  stasioner  dengan beberapa sifat yaitu  E(a t ) = µ a = 0, Var(a t ) = σ 2 dan γ k = cov (a t , a t+k ) = 0 untuk k tidak sama dengan 0. (Wei,  2006)
𝑄 = 𝑛(𝑛 + 2) ∑(𝑛 − 𝑘) −1 𝜌̂ 𝑘 2 𝑘 𝑖=1
Q : statistik  uji  Ljung-Box ρ k : autokorelasi  residual  pada lag ke-k n  : banyaknya  pengamatan k : maksimum  lag
Uji  non  heteroskedastisitas  digunakan  untuk  menguji  homogenitas  ragam  dari residual.  Suatu  proses  z t bersifat  heteroskedastisitas  ketika  variansi  bersyarat 𝑣𝑎𝑟(𝑧 𝑡 |𝑧 𝑡−1 , 𝑧 𝑡−2 , … ) tidak  konstan  dari waktu ke waktuatau 𝜎 𝑡 = √𝑣𝑎𝑟(𝑧 𝑡 |𝑧 𝑡−1 , 𝑧 𝑡−2 , … ) berubah  dari  waktu  ke  waktu  (Posedel,2005).  Uji Lagrange Multiplier (LM)  digunakan untuk  mendeteksi  adanya  proses  ARCH/GARCH  dengan  cara meregresikan  kuadrat  dari residual  model  (Tsay,2005).

## 2.6. Model Exponential Generalized Autoregressive Conditional Heteroscedasticity
Salah satu pengembangan  dari GARCH yaitu  model  EGARCH yang sering  digunakan untuk  analisis  data  yang  berada  dalam  kondisi  asimetris.  EGARCH  oleh  Nelson  (1991) dengan variansi  dirumuskan  sebagai berikut  :
ln(𝜎 𝑡 2 ) = 𝑎 + ∑ 𝑏 𝑖 ln(𝜎 𝑡−𝑖 2 ) + ∑ 𝑐 𝑗 𝑒 𝑡−𝑗 𝜎 𝑡−𝑗 + ∑ 𝑑 𝑗 (| 𝑒 𝑡−𝑗 𝜎 𝑡−𝑗 | + 𝐸 ( 𝑒 𝑡−𝑗 𝜎 𝑡−𝑗 )) 𝑠 𝑗=1 𝑠 𝑗=1 𝑟 𝑖=1
Dengan  σ t 2 variasi error pada  waktu  t,  e t error pada  waktu  t,  a  konstanta,  dan  b,  c,  d parameter.
Tagliafichi  (2003)  menjelaskan  bahwa  untuk  memeriksa  keberadaan  pengaruh leverage effect (efek asimetris)  salah  satunya  dengan  cara memodelkan  data runtun  waktu  dengan GARCH terlebih  dahulu,  lalu  diuji  apakah memiliki  efek asimetris  dengan  melihat  korelasi antara standar  residual  kuadrat  dari  model  ARFIMA,  dengan  lag  standar  residual  model GARCH dengan menggunakan  korelasi  silang.

## 2.7. Model Terbaik
Model  terbaik  juga  dapat  ditentukan  dengan  melihat  nilai Akaike’s  Information Criterion (AIC)  yang  diperkenalkan  oleh  Akaike  pada  tahun  1973.  Metode  ini mempertimbangkan  banyaknya  parameter yang digunakan  dalam model.  Model  ini  muncul karena menganggap  bahwa model  yang  baik tidak  cukup hanya dengan menggunakan  nilai MSE  terkecil,  namun  juga  harus  memenuhi  prinsip  parsimony(kesederhanaan).  Dalam Paridi(2019),  dituliskan  bahwa penghitungan  nilai  AIC adalah sebagai brikut  :
𝐴𝐼𝐶 = 𝑛 𝑙𝑛𝜎̂ 2 + 2𝑀 Dengan M merupakan  banyaknya  paramtr yang diduga.
Untuk mengetahui  seberapa baik kinerja  suatu model yang diperoleh  digunakan  nilai Mean Absolute Percentage Error (MAPE) . MAPE berguna untuk mengindikasikan  seberapa besar  kesalahan  dalam  proses  peramalan  yang  dilakukan  dibandingkan  dengan  nilai aktualnya.  MAPE dapat dihitung  dengan
𝑀𝐴𝑃𝐸 = 1 𝑛 ∑ | (𝑧 𝑡 − 𝑧̂ 𝑡 ) 𝑧 𝑡 |  𝑥 100% 𝑛 𝑡=1
Keterangan : n : banyak pengamatan 𝑧 𝑡 : data aktual 𝑧̂ 𝑡 : data ramalan

## 3. METODOLOGI PENELITIAN

## 3.1. Jenis dan Sumber Data
Jenis data yang digunakan  dalam  penelitian  ini  berupa data sekunder yaitu  data yang diperoleh  dari  sumber yang  sudah ada. Sumber  dari  data ini  yaitu  dari  Dinas Perindustrian dan  Perdagangan  Provinsi  Jawa Tengah  sebanyak  136  data  bulanan  harga  beras  di  Kota Semarang dari Januari 2009  sampai dengan tahun April  2020.

## 3.2. Langkah Analisis
Langkah analisis  data yang dilakukan  dalam penulisan  ini  adalah sebagai berikut  :
1. Menguji  stasioneritas data dengan plot  time  series
2. Melakukan  transformasi  jika  ada data yang tidak  stasioner dalam  variasi.
3. Membuat plot  ACF dan PACF
4. Melakukan  perhitungan Hurst dengan metode R/S untuk  melihat  efek long memory .
5. Melakukan  estimasi  nilai  d dengan GPH estimator
6. Melakukan  differensi  menggunakan  nilai  d yang sudah ditentukan
7. Membuat plot  ACF dan PACF menggunakan  data yang sidah  di differensi
8. Melakukan  pemodelan  dengan metode ARFIMA
9. Melakukan  uji  asumsi  dengan  uji  independensi  residual,  normalitas,  serta  uji  non heteroskedastisitas.
10. Melakukan  identifikasi  model  GARCH dan estimasi  model  GARCH
11. Uji  asimetris  data dengan uji sign bias
12. Identifikasi,  estimasi  dan verifikasi  model  EGARCH
13. Menentukan  model  terbaik EGARCH
14. Melakukan  peramalan  harga  beras untuk  12  tahap  kedepan  dengan  model  ARFIMA- EGARCH yang terbaik
15. Melakukan  evaluasi  kriteria  model  dilihat  dari nilai  MAPE
4. HASIL DAN PEMBAHASAN

## 4.1. Deskripsi Data
Data yang  digunakan  dalam  penelitian  ini  adalah  data harga  beras di  Kota  Semarang sebanyak 136  data,  yaitu  data bulanan  dari bulan  Januari  2009  sampai  dengan April  2020. nilai  harga beras cenderung  naik dengan fluktuasi  yang tidak terlalu  tinggi.  Nilai  harga beras maksimum  adalah  Rp 11.561  yang terjadi  pada bulan  Januari 2018  sedangkan  harga beras minimum  bernilai  Rp 5.360  terjadi  pada bulan  April  2009.  Sehingga  range dari  data yaitu 6.204. kemudian  rata-rata dari data adalah Rp 8.430 dengan variansi  2.688.756,1  dan standar deviasi  sebesar 1.639,7427.

## 4.2. Stasioneritas Data
Gambar  1. Box-Cox Transformation Test
Gambar 1 diatas menunjukkan  bahwa nilai rounded value data harga beras adalah 1. Hal ini menunjukkan  bahwa data stasioner dalam  varian.
Gambar 2 diatas menunjukkan  bahwa data harga beras memiliki  trend naik. Semakin  banyak nilai  t (waktu) maka harga beras akan semakin  meningkat.  Secara visual,  data harga beras tidak  stasioner  dalam  mean.  Selanjutnya  dilakukan  pengujian  stasioneritas  dalam  mean secara formal  dengan  metode Augmented Dickey-Fuller Test .  Didapatkan  nilai p-value = 0.4204,  sehingga  pada  taraf signifikansi  α = 5%,  dapat disimpulkan  bahwa ada akar unit atau data tidak stasioner dalam  mean.

## 4.3. Pengujian Pola Long Memory
Qian dan Rasheed (2004) menjelaskan  bahwa sifat dari ketergantungan jangka panjang  dapat dibuktikan  dengan  cara menghitung  nilai  statistik Hurst berdasarkan  nilai  R/S.  Jika  nilai Hurst terletak  pada interval  0,5  < H < 1 maka  dapat disimpulkan  bahwa terdapat  memori jangka  panjang  pada data. Untuk  menghitung  nilai  H,  digunakan  metode Rescaled Range Statistics (R/S) dengan langkah  sebagai berikut  :
1. Menghitung  rata-rata data
𝑧̅ = 1 𝑇 ∑ 𝑧 𝑡 𝑇 𝑡=1 = 1146452 136 =  8430
2. Menghitung  rata-rata tertimbang  dari masing-masing  data
𝑍 1 𝑎𝑑𝑗 = 𝑧 1 − 𝑧̅ = 5381 − 8430 =   −3049
𝑍 2 𝑎𝑑𝑗 = 𝑧 2 − 𝑧̅ = 5430 − 8430 =   −3000
⋮
𝑍 136 𝑎𝑑𝑗 = 𝑧 136 − 𝑧̅ = 10243 − 8430 =  1813
3. Menghitung  simpangan  baku masing-masing  data
𝑠 1 = √∑ (𝑧 𝑡 − 𝑧̅) 2 𝑇 𝑇 𝑡=1 = 3048 ,8
𝑠 2 = √∑ (𝑧 𝑡 − 𝑧̅) 2 2 2 𝑡=1 = 3024,4 ⋮
𝑠 136 = √∑ (𝑧 𝑡 − 𝑧̅) 2 120 120 𝑡=1 = 1633.7 4. Menghitung  simpangan  kumulatif  data
𝑧 1 ∗ = ∑ 𝑍 𝑡 𝑎𝑑𝑗 1 𝑡=1 = 𝑍 1 𝑎𝑑𝑗 = −3049 𝑧 2 ∗ = ∑ 𝑍 𝑡 𝑎𝑑𝑗 2 𝑡=1 = 𝑍 1 𝑎𝑑𝑗 + 𝑍 2 𝑎𝑑𝑗 = −6049
⋮ 𝑧 136 ∗ = ∑ 𝑍 𝑡 𝑎𝑑𝑗 120 𝑡=1 = 𝑍 1 𝑎𝑑𝑗 + 𝑍 2 𝑎𝑑𝑗 + ⋯ + 𝑍 120 𝑎𝑑𝑗 = 0

## 5. Menghitung  rentangan data
𝑅 1 = max(𝑍 1 ∗ ) − 𝑚𝑖𝑛(𝑍 1 ∗ ) = −3049 − (−3049) = 0 𝑅 2 = max(𝑍 1 ∗ , 𝑍 2 ∗ ) − 𝑚𝑖𝑛(𝑍 1 ∗ , 𝑍 2 ∗ )
= −3049 − ( −6049) = 3000 ⋮
𝑅 136 = max(𝑍 1 ∗ , 𝑍 2 ∗ , … , 𝑍 120 ∗ ) − 𝑚𝑖𝑛(𝑍 1 ∗ , 𝑍 2 ∗ , …, 𝑍 120 ∗ )
= 0 − (−92798) = 92798
6. Menghitung rescaled range statistics (R/S)
( 𝑅 𝑆 ) 1 = 𝑅 1 𝑆 1 = 0 3048.8 = 0 ( 𝑅 𝑆 ) 2 = 𝑅 2 𝑆 2 = 3000 3024.4 = 0.99186643
⋮ (𝑅/𝑆) 136 = 𝑅 120 𝑆 120 = 92798 1633.7 = 56.8
7. Menghitung  nilai  log rescaled range statistics (R/S)
Y 1 =ln[ (𝑅/𝑆) 1 ]  = 1 Y 2 =ln[ (𝑅/𝑆) 2 ]  -0.008166828
⋮ Y 136 =ln[ (𝑅/𝑆) 136 ]  = 4.039573429
8. Menghiung  log  waktu dari pengamatan
X 1 =ln(1)  = 0 X 2 =ln( 2) = 0.693147181
⋮ X 136 =ln(136)  = 4.912654886
9. Menghitung  nilai Hurst Exponent (H)
𝐻 = ∑ (𝑋 𝑡 − 𝜇 𝑋 𝑡 )(𝑌 𝑡 − 𝜇 𝑌 𝑡 ) 𝑛 𝑡=1 ∑ (𝑋 𝑡 − 𝜇 𝑋 𝑡 ) 2 𝑛 𝑡=1 = 0.7724
Berdasarkan nilai Hurst Exponent (H) yang  telah  dilakukan  yaitu  sebesar 0.7724 . Karena nilai Hurst  Exponent terletak  pada  interval  0,5<H<1,  maka  dapat  disimpulkan  bahwa terdapat memori  jangka  panjang  pada data.

## 4.4. Estimasi Parameter (d)
Metode  yang  digunakan  dalam  menentukan  nilai  paramter pe,beda  (d)  adalah metode Gaweke Porter-Hudak (GPH) estimator. Estimasi  nilai  d ini  dilakukan  mengunakan  sofware R.  diperoleh  nilai  d  sebesar  0.9415964.  Kembali  dilakukan  pengecekan  untuk  menguji apakah estimasi  nilai  parameter d sudah  tepat. Uji  formal  dilakukan  dengan  menggunakan Augmented  Dickey-Fuller  Test didapatkan  nilai p-value =  0.01,  sehingga  pada    taraf signifikansi  α = 5%, dapat disimpulkan  bahwa ada akar unit  atau data stasioner dalam mean.

## 4.5. Identifikasi Model
Gambar  3. Plot Fungsi Autokorelasi Data Harga
Beras Gambar  4. Plot Fungsi Autokorelasi Parsial Data Harga Beras .  Model  ARFIMA  yang  mungkin adalah  ARFIMA(0,d,1), ARFIMA(0,d,[24]), ARFIMA(1,d,0), ARFIMA(1,d,1), ARFIMA(1,d,[24]),
ARFIMA([24],d,0),
ARFIMA([24],d,1),  dan ARFIMA([24],d,[24])

## 4.6. Model Terbaik ARFIMA
Tabel 1. Tabel Pemilihan  Model  Terbaik Model Signifikansi Parameter White Noise Kesamaan varian Normalitas AIC ARFIMA  (0,d,1) Parameter signifikan Proses white noise Varian  tidak sama Tidak berdistribusi normal 2674.53 ARFIMA  (0,d,[24]) Parameter signifikan Proses white noise Varian  tidak sama Tidak berdistribusi normal 2729.32 ARFIMA  (1,d,0) Parameter signifikan Proses tidak white noise Varian  tidak sama Tidak berdistribusi normal 1909.26 ARFIMA(1,d,1) Parameter signifikan Proses white noise Varian  tidak sama Tidak berdistribusi normal 1895.87 ARFIMA(1,d,[24]) Parameter signifikan Proses white noise Varian  tidak sama Tidak berdistribusi normal 1978.63 ARFIMA([24],d,0) Parameter signifikan Proses white noise Varian  tidak sama Tidak berdistribusi normal 2403.22 ARFIMA([24],d,1) Parameter signifikan Proses white noise Varian  tidak sama Tidak berdistribusi normal 2244.65
ARFIMA ([24],d,[24]) Parameter signifikan Proses white noise Varian  tidak sama Tidak berdistribusi normal 2374.94
Hasil analisis  pada Tabel 1 menunjukkan   bahwa model  terbaik  dari semua model  yang ada yaitu  ARFIMA(1,d,1)  dengan persamaan awal :
𝜙 𝑝 (𝐵)(1 − 𝐵) 𝑑 𝑧 𝑡 = 𝛿 + 𝜃 𝑞 (𝐵)𝑎 𝑡 (1 − 𝜙 1 𝐵)(1 − 𝐵) 𝑑 𝑧 𝑡 = (1 − 𝜃 1 𝐵)𝑎 𝑡
(1 − 921.85𝐵)(1 − 𝐵) 0.9415964 𝑧 𝑡 = (1 − 4.33𝐵)𝑎 𝑡
Namun  pada  model  ini  terdapat  efek  Arch/Garch  sehingga  perlu  domedekan ARCH/GARCH.

## 4.7. Identifikasi Model GARCH
Tabel 2. Tabel Identifikasi  Model  GARCH Model Parameter Estimasi Parameter z-Statistic p-value AIC GARCH  (1,1) 𝜙 1 5.7991e-01 7.70667 0.000000 14.397 𝜃 1 1.0916e-01 1.08127 0.279579 c 1.6168e+04 2.71780 0.006572 α 1 1.0000e+00 3.40394 0.000664 β 1 6.3726e-02 0.91747 0.358897 GARCH  (1,2) 𝜙 1 0.50561 2.3278 0.019925 14.477 𝜃 1 -0.61347 -4.0727 0.000046 c 12032.95346 3.3466 0.000818 α 1 0.92334 4.3581 0.000013 β 1 0.23022 3.2885 0.001007 β 2 0.00000 0.0000 1.000000 GARCH(2,1). 𝜙 1 -0.95000 -29.6035 0.000000 14.406
𝜃 1 0.94110 27.8540 0.000000 c 14646.97672 4.4746 0.000008 α 1 0.75835 3.2705 0.001074 α 2 0.47543 3.0222 0.002509 β 1 0.00000 0.0000 1.000000 GARCH(2,2) 𝜙 1 0.99189 458.1245 0.000000 14.388
𝜃 1 -0.98316 -288.4039 0.000000 c 13194.18708 4.3331 0.000015 α 1 1.00000 3.5798 0.000344 α 2 0.41098 3.0649 0.002177 β 1 0.00000 0.0000 1.000000 β 2 0.00000 0.0000 1.000000
Tabel  2  menunjukkan  bahwa  model  yang    memiliki  nilai  AIC  minimum  yaitu ARFIMA(1,d,1)  – GARCH (2,2)   sebesar   14.388.  Sehingga  model  terbaik  GARCH yaitu ARFIMA(1,d,1)   – GARCH (2,2)  dengan persamaan sebagai berikut  :
(1 − 0.99189 𝐵)(1 − 𝐵) 0.9415964 𝑧 𝑡 = (1 + 0.98316 𝐵)𝑎 𝑡
Dengan
𝜎 𝑡 2 = 13194.18708 + 𝜀 𝑡−1 2 + 0.41098 𝜀 𝑡−2 2
Uji  asimetrisperludilakukan  untuk  mengetahui  apakah  ada  efek  asimetris  pada model.  Keberadaan pengaruh leverage effect (efek asimetris) dapat diperiksa  dengan  cara Uji  Sign  Bias.
H 0 : 𝜑 1 = 𝜑 1 = 𝜑 2 = 𝜑 3 = 0 (residual bersifat simetris) H 1 : paling  sedikit  ada satu 𝜑 𝑗 ≠ 0 , untuk  j=1,2,3  (residual  bersifat asimetris)
Taraf signifikansi  yang digunakan  adalah 5%
Statistik  uji  :
𝐹 = 𝑆𝑆𝑅 0 /𝑘 𝑆𝑆𝑅1 𝑛 −𝑘−1 = 57.6898
p-value = 1.831e-12 Kriteria uji  : Menolak  H 0 jika F hitung > F (α; k, n-k-1) atau p-value  < α Keputusan :
Nilai p-value = 1.831e-12 < α (0.05), sehingga  H 0 ditolak.
Kesimpulan  :
Pada  taraf  signifikansi  5%,  model  ARFIMA(1,d,1)  –  GARCH  (2,2)  memiliki  residual dengan efek asimetris,  karena nilai p-value = 1.831e-12  < α (0.05) sehingga perlu dilanjutkan dengan pemodelan  EGARCH untukmenghilangkan  efek asimetris.

## 4.8. Idenifikasi Model EGARCH
Tabel 3. Tabel Identifikasi  Model  EGARCH
Model Parameter Estimasi Parameter z-Statistic p-value AIC ARFIMA(1,d,1) - EGARCH  (1,1) 𝜙 1 0.639734
6.77936 0.000000 14.361 𝜃 1 0.176742 1.96200 0.049762 C(3) 5.674759 4.83989 0.000001 C(4) -0.056819 -0.40955 0.682134 C(5) 0.487387 4.59660 0.000004 C(6) 0.852299 4.90110 0.000001 ARFIMA(1,d,1) - EGARCH  (1,2) 𝜙 1 0.681515 11.32956 0.000000 14.391 𝜃 1 -0.748924 -15.36169 0.000000 C(3) 2.408521 3.95448 0.000077 C(4) 0.445533 3.47268 0.000515 C(5) 0.802697 4.89766 0.000001 C(6) -0.038292 -0.23016 0.817964 C(7) 0.299163 2.34041 0.019262 ARFIMA(1,d,1) - EGARCH  (2,1) 𝜙 1 -0.533170      -2.2841e+01 0.000000 14.368 𝜃 1 0.635346 1.4209e+01 0.000000 C(3) 1.137531 2.2796e+01 0.000000 C(4) 0.946574 4.8132e+00 0.000001 C(5) -0.349674      -2.5360e+00 0.011213
C(6) 0.878456 2.1934e+05 0.000000 C(7) 0.007061 2.4998e-02 0.980057 C(8) 0.063538 2.3713e-01 0.812554 ARFIMA(1,d,1) - EGARCH  (2,2) 𝜙 1 -0.547690 -16.5223
0.000000 14.382 𝜃 1 0.677032 23.4852 0.000000 C(3) 4.152264 4.3630 0.000013 C(4) 0.572408 3.7861 0.000153 C(5) 0.523619 4.8626 0.000001 C(6) -0.180804 -3.7048 0.000212 C(7) 0.755713 14.8276 0.000000 C(8) -0.033737 -0.2617 0.793552 C(9) 0.290362 2.4267 0.015235
Tabel 3 diatas menunjukkan  bahwa model  ARFIMA(1,d,1)  - EGARCH (1,1)  memiliki  nilai AIC  terkecil  yatu  sebesar  14.361.  Hal  ini  menunjukkan  bahwa  model  terbaik  yang didapatkan  yaitu ARFIMA(1,d,1)  EGARCH (1,1). Model  akhir  yang didapatkan  yaitu  :
(1 − 0.639734 𝐵)(1 − 𝐵) 0.9415964 𝑧 𝑡 = (1 + 0.176742 𝐵)𝑎 𝑡 dengan
𝑎 𝑡 ~𝑁(0, 𝜎 𝑡 2 ) dan model  varian :
ln(𝜎 𝑡 2 ) = 5.674759 + 0.487387 𝑒 𝑡−1 𝜎 𝑡−1 + 0.852299 ln(𝜎 𝑡−1 2 )
Pengujian  efek ARCH/GARCH perlu dilakukan  ulang  untuk  memastikan  bahwa varian residual  model  telah  konstan.  Uji Lagrange Multiplier (LM)  digunakan  untuk  mendeteksi adanya proses ARCH/GARCH  menggunakan  Uji  Sign  Bias. Uji  hipotesis  yang  dilakukan adalah sebagai berikut  :
a. Hipotesis
H0 : α 1 =α 2 = ⋯ =α k =0  (tidak ada efek ARCH/GARCH pada residual  sampai lag ke-k) H0 :  Paling  sedikit  ada satu α i ≠ 0 , i=1,2,…,k  (ada efek ARCH/GARCH pada residual sampai lag ke-k)Taraf Signifikansi  α = 5%
b. Statistik  Uji
𝐿𝑀 = (𝑆𝑆𝑅 0 −𝑆𝑆𝑅 1 )/𝑘 𝑆𝑆𝑅 1 /(𝑛−2𝑘−1) = 16.512 p-value = 0.1689
c. Kriteria penolakan
H 0 ditolak  jika  nilai  LM> 𝑥 (∝;𝑚) 2 , atau p-value < α
d. Keputusan
H 0 diterima  karena nilai p-value = 0.1689 > α = 0.05
e. Kesimpulan
Pada taraf signifikansi  α = 5%, tidak terdapat efek heteroskedastisitad  pada residual  dari model   ARFIMA(1,d,1)  EGARCH (1,1)   karena nilai p-value > α.
Hasil  uji  LM  diatas  menunjukkan  bahwa  setelah  dimodelkan  dengan  EGARCH,  efek heteroskedastisitas  menjadi  hilang.

## 4.9. Peramalan
Peramalan dilakukan  sebanyak 12  tahap kedepan. Data yang dimodelkan  sebelumnya  telah dilakukan  transformasi dalam bentuk  kuadrat, maka setelah diperoleh  hasil  peramalan harus dikembalikan  ke  bentuk  asli  dari  data  dengan  cara  melakukan  akar  pada  data  hasil peramalan. Data hasil peramalan ditunjukkan  pada tabel 4 sebagai berikut  :
Tabel 4. Tabel Nilai  Ramalan Tahun Bulan Nilai  Ramalan 2020 Mei 10207 2020 Juni 10183 2020 Juli 10165 2020 Agustus 10151 2020 September 10140 2020 Oktober 10131 2020 November 10123 2020 Desember 10115 2021 Januari 10108 2021 Februari 10101 2021 Maret 10095 2021 April 10088
Nilai  MAPE dapat dihitung  dengan :
𝑀𝐴𝑃𝐸 = 1 𝑛 ∑ | (𝑧 𝑡 − 𝑧̂ 𝑡 ) 𝑧 𝑡 |  𝑥 100% 𝑛 𝑡=1 𝑀𝐴𝑃𝐸 = 1 136 ∑ | (𝑧 𝑡 − 𝑧̂ 𝑡 ) 𝑧 𝑡 |  𝑥 100% 136 𝑡=1 𝑀𝐴𝑃𝐸 = 1 9 [| 5381 − 0 5381 | + | 5430 − 9460 5430 | + ⋯ + | 10243 − 10273 10243 |]𝑥100%
= 3,37%
Nilai  MAPE tersebut  menunjukkan  bahwa  model  memiliki  kemampuan  peramalan  yang sangat baik.

## 5. KESIMPULAN
Data harian harga beras Kota Semarang dari tahun 2009  sampai dengan  2020 memilik i pola long memory yang ditunjukkan  dengan plot ACF turun secara hiperbolik  dan nilai  Hurst sebesar 0.7. Nilai  differensi  yang diperoleh  dari  hasil  estimasi  dengan metode GPH sebesar 0.9415964 .  Model  ARFIMA  terbaik  dari  data yaitu  ARFIMA(1,d,1)  dengan  persamaan sebagai berikut  :
(1 − 0.99189 𝐵)(1 − 𝐵) 0.9415964 𝑧 𝑡 = (1 + 0.98316 𝐵)𝑎 𝑡
Terdapat efek asimetris  GARCH  pada residual  model  sehingga  dilakukan  pemodelan varian  dengan  model  EGARCH.  Didapatkan  bahwa model  terbaik  yaitu  ARFIMA(1,d,1) EGARCH(1,1)  dengan persamaan sebagai  berikut  :
(1 − 0.639734 𝐵)(1 − 𝐵) 0.9415964 𝑧 𝑡 = (1 + 0.176742 𝐵)𝑎 𝑡
dengan,
𝑎 𝑡 ~𝑁(0, 𝜎 𝑡 2 ) ,
dan,
ln(𝜎 𝑡 2 ) = 5.674759 + 0.487387 𝑒 𝑡−1 𝜎 𝑡−1 + 0.852299 ln(𝜎 𝑡−1 2 )
dengan  nilai  MAPE sebesar  3,37  % yang  dapat dikatakan  bahwa peramalan memilik i kemampuan  peramalan yang sangat baik.

## DAFTAR PUSTAKA
Ekananda,  M. 2014. Analisis Data Time Series untuk Penelitian Ekonomi, Manajemen, dan Akuntansi. Jakarta : Mitra Wacana Media.
Kartikasari,  P. 2015. Studi Simulasi Pengaruh Outlier terhadap Pengujian Linieritas dan Long Memory beserta Aplikasinya pada Data Return Saham. Tesis. Surabaya : Institut  Teknologi  Sepuluh  Nopember
Makridakis,  S.,  Wheelwright,  S.C.,  dan  McGree,  V.E.  1999. Metode  dan  Aplikasi Peramalan. Edisi kedua. Jilid  1. Jakarta : Binarupa  Aksara.
Montgomery,  D.C.,  Jennings,  C.L.,  dan  Kulahci,  M . 2008. Introduction to  Time  Series Analysis and Forecasting. Canada : John Wiley & Sons Inc.
Box, G.E.P., and Jenkins,  G.M. 1976. Time Series Analysis Forecasting and Control. Second Edition.  Holden-Day,  San Fransisco.
Wei,  W. W.S. 2006. Time Series Analysis : Univariate and Multivariate Methods. Amerika : Pearson Education,  Inc
Qian,  B.  dan  Rasheed,  K.  2004. Hurst  Exponent and  Financial  Market  Predictibility . Proceedings of 2 nd IASTED International  Conference on Financial  Engineering and Applications.  Cambridge,  MA, USA.
Tagliafichi,  R.A. 2003. The Estimation oaf Market Var Using Garch Models and A Heavy Tail Distributions . Argentina : University  of Buenos A                                ires Paridi.  2019. Perbandingan Metode ARIMA(Box Jenkins), ARFIMA, Regresi Spktral dan SSA dalam Peramalan Jumlah Kasus Demam Berdarah Dengue di Rumah Sakit Hasan Sadikin Bandung. Jurnal Ilmu Sosial  dan Ilmu  Politik  Vol. 2, No. 1 : Hal. 243-258