SOLUSI PERSAMAAN KESEIMBANGAN MASSA REAKTOR MENGGUNAKAN METODE PEMISAHAN VARIABEL
1 Moh. Syaiful Arif, 2 Mohammad Jamhuri
1 Jurusan Matematika, Universitas Islam Negeri Maulana Malik Ibrahim Malang
2 jurusan Matematika, Universitas Islam Negeri Maulana Malik Ibrahim Malang
Email: arif.ipoel@gmail.com

## ABSTRAK
Persamaan  keseimbangan  massa  reaktor  menyatakan  perubahan  konsentrasi  massa  zat  yang masuk  dan  keluar  pada  sistem  tertutup.  Persamaan  ini  mempunyai  kondisi  batas  tak  homogen, yaitu kondisi pada saat zat masuk pada reaktor (𝐶 𝑖𝑛 ) dan kondisi pada saat zat keluar dari reaktor (𝐶 𝑜𝑢𝑡 ) .  Pada  penelitian  ini, konsentrasi  massa  zat  yang  dihasilkan  setelah  proses  reaksi  di  dalam reaktor adalah nol, atau 𝐶 𝑜𝑢𝑡 = 0 . Pada kondisi batas tak homogen, dengan menggunakan metode pemisahan  variabel,  terdapat  kendala  untuk  menyelesaikan  persamaan  tersebut.  Sehingga  perlu dilakukan  transformasi  terlebih  dahulu.  Transformasi  dilakukan  dengan  tujuan  untuk  mengubah kondisi batas yang awalnya tak homogen menjadi kondisi batas yang homogen, sehingga metode pemisahan  variabel  dapat  digunakan  untuk  menyelesaikan  persamaan  diferensial  parsial  yang mempunyai kondisi batas homogen. Hasil analisa diperoleh, semakin cepat zat yang menyebar pada reaktor, maka semakin sedikit jumlah konsentrasi massa zat yang mengalami perubahan, semakin besar koefisien massa zat yang bereaksi dalam reaktor, maka semakin banyak jumlah konsentrasi massa zat yang mengalami perubahan
Kata kunci : kondisi batas homogen, kondisi batas tak homogen, metode pemisahan variabel.

## ABSTRACT
Mass  balance  of reactor  equation  express  the  change  of mass  concentration  of substances  in  and out  of  the  closed  system.  This  equation  has  inhomogeneous  boundary  conditions,  that  is  the conditions at the time of its entry to the reactor (𝐶 𝑖𝑛 ) and the conditions under which the substance out  of  the  reactor (𝐶 𝑜𝑢𝑡 ) .  In  this  study,  the  mass  concentration  of  substances  produced  after  the reaction in the reactor is zero, or 𝐶 𝑜𝑢𝑡 = 0 . In the inhomogeneous boundary conditions, using the method of separation of variables, there are obstacles to complete the equation. So we need to first transformation.  Transformation  is  done  with  the  aim  to  change  the  conditions  which  originally inhomogeneous boundary into a homogeneous boundary condition, so the method of separation of variables  can  be  used  to  solve  partial  differential  equations  that  have  a  homogeneous  boundary conditions. The results obtained by the analysis, the faster a substance that spreads to the reactor, the less amount of mass concentration of substances that undergo a change; the greater the mass coefficient of substances that react in the reactor, the more the number of mass concentration of substances that are subject to change
Keywords : homogeneous boundary condition, inhomogeneous boundary condition, method of separation of variabel.

## PENDAHULUAN
Hukum  kekekalan  massa  adalah  suatu hukum yang menyatakan bahwa massa pada suatu sistem  tertutup  tidak  akan  berubah  meskipun terjadi  berbagai  macam  reaksi  didalam  sistem tersebut. Tempat atau alat yang digunakan selama proses reaksi disebut reaktor [1].
Hukum kekekalan massa umumnya digunakan  pada  bidang  kimia  industri.  Hukum kekekalan  massa  dapat  dinyatakan  sebagai keseimbangan  suatu  massa  zat  yang  masuk  dan
keluar dari sistem tertutup (reaktor). Keseimbangan massa pada reaktor terjadi apabila akumulasi  massa  zat  di  dalam  reaktor  sama dengan  selisih  antara  massa  zat  yang  masuk dengan  massa  zat  yang  keluar  serta  massa  yang dihasilkan  di  dalam  sistem  tertutup  (Caldwell, 2004).  Kondisi  tersebut,  dalam  ilmu  matematika diformulasikan  menjadi  bentuk  persamaan diferensial  parsial  linier  yang  disebut  dengan persamaan keseimbangan massa reaktor. Sehingga  untuk  menganalisa  permasalahan tersebut,  cukup  dengan  cara  mencari  solusi
penyelesaian  dari  persamaan  keseimbangan massa reaktor.
Salah  satu  metode  yang  digunakan  untuk memperoleh solusi analitik persamaan diferensial parsial adalah metode pemisahan variabel. Metode ini  dilakukan  dengan  cara  memisahkan  masing- masing  variabel independent dengan  suatu  fungsi dan  konstanta  pemisahan,  atau  disebut  dengan fungsi eigen dan nilai eigen [2]. Kemudian dengan menggunakan  kondisi  batas  homogen,  masing- masing  fungsi  eigen  dan  nilai  eigen  dapat ditentukan.
Akan  tetapi,  pada  kondisi  batas  tak homogen  terdapat  kendala  untuk  menentukan fungsi  eigen  dan  nilai  eigen,  dengan  demikian perlu  dilakukan  transformasi  yang  bertujuan untuk  mengubah  kondisi  batas  tak  homogen menjadi  kondisi  batas  homogen.  Sehingga  fungsi yang sudah dipisahkan tersebut dapat diselesaikan  secara  terpisah.  Oleh  karena  itu, penelitian  ini  bermaksud  menentukan  solusi analitik untuk model keseimbangan massa reaktor yang  dipengaruhi  oleh  perubahan  waktu  dengan kondisi batas tak homogen menggunakan metode pemisahan variabel.

## KAJIAN TEORI
1. Persamaan Keseimbangan Massa Reaktor Persamaan  keseimbangan  massa  reaktor menyatakan  perubahan  konsentrasi  massa  zat yang masuk dan keluar pada sistem tertutup [1].
[3] menyebutkan bahwa perubahan konsentrasi  massa  zat  di  dalam  sistem  tertutup atau  reaktor,  dinyatakan  dalam  persamaan berikut:
𝜕𝐶(𝑥, 𝑡) 𝜕𝑡 = 𝐷 𝜕 2 𝐶(𝑥, 𝑡) 𝜕𝑥 2 − 𝑈 𝜕𝐶(𝑥, 𝑡) 𝜕𝑥 −𝛾𝐶(𝑥, 𝑡)
(1)
dengan kondisi awal dan kondisi batas yang digunakan yaitu:
𝐶(𝑥, 0) = 0, 0 < 𝑥 < 𝑙
𝐶(0, 𝑡) = 𝐶 𝑖𝑛 , 𝐶(𝑙, 𝑡) = 0, 𝑡 > 0 (2)
Pada persamaan (1) dan (2) , 𝐶 𝑖𝑛 adalah menyatakan massa zat yang masuk pada suatu reaktor dengan satuan 𝑚𝑜𝑙 𝑚 3 ⁄ , 𝐷 menyatakan koefisien penyebaran zat dengan satuan 𝑚 2 𝑑𝑒𝑡 ⁄ , 𝑈 menyatakan kecepatan fluida yang mengalir dalam reaktor dengan satuan 𝑚 𝑑𝑒𝑡 ⁄ , sedangkan 𝛾 adalah koefisien reaksi dengan satuan 𝑚𝑜𝑙 𝑑𝑒𝑡 ⁄ .

## 2. Persamaan Diferensial Biasa
Persamaan  diferensial  biasa  merupakan suatu  persamaan  yang  menyatakan  relasi  fungsi, yang  mempunyai  satu  peubah  dengan  turunan
fungsi  terhadap  peubah  tersebut.  Dengan demikian  turunan  fungsi  dinotasikan  dengan suatu operator 𝑑 [4].
3. Persamaan Diferensial Parsial
Persamaan  diferensial  parsial  merupakan suatu  persamaan  yang  menyatakan  relasi  antara suatu fungsi dependent dengan variabel independent yang lebih dari satu variabel beserta turunan parsialnya [5].
[4] menggunakan notasi 𝜕 sebagai operator persamaan
diferensial parsial. Untuk menyederhanakan penulisan, turunan parsial bisa dinotasikan 𝜕𝐶(𝑥,𝑡) 𝜕𝑥 = 𝐶 𝑥 (𝑥, 𝑡) , 𝜕 2 𝐶(𝑥,𝑡) (𝜕𝑥) 2 = 𝐶 𝑥𝑥 (𝑥, 𝑡) , dan seterusnya [2].
Suatu persamaan diferensial parsial disebut linier apabila terdapat suatu operator diferensial ℒ yang diterapkan pada fungsi C, sehingga berlaku
ℒ𝐶 = 𝑔 (3)
Pada  persamaan (3) ,  apabila 𝑔 = 0 maka disebut  sebagai  persamaan  diferensial  parsial linier  homogen.  Sedangkan  apabila 𝑔 ≠ 0 ,  maka disebut  sebagai  persamaan  diferensial  parsial linier  tak  homogen  [5].  Dengan  demikian, persamaan  keseimbangan  massa  reaktor (1) merupakan  persamaan  diferensial  parsial  linier homogen.
4. Kondisi  Batas  Homogen  dan  Kondisi  Batas Tak Homogen Misalkan 𝐶(𝑥, 𝑡) adalah  solusi  dari  suatu persamaan diferensial parsial pada batas 0 < 𝑥 < 𝑙 ,  kondisi  batas  pada  saat 𝑥 = 0 dan 𝑥 = 𝑙 dituliskan seperti persamaan berikut:
𝐶(0, 𝑡) = 𝑔(𝑡) (4) 𝐶(𝑙, 𝑡) = ℎ(𝑡) (5) Persamaan (4) dan (5) merupakan  contoh kondisi  batas Dirichlet .  Apabila 𝑔(𝑡) = 0 dan ℎ(𝑡) = 0 maka  disebut  sebagai  kondisi  batas homogen. Sedangkan apabila 𝑔(𝑡) ≠ 0 atau ℎ(𝑡) ≠ 0 ,  maka  disebut  sebagai  kondisi  batas  tak homogen [5].
5. Metode Pemisahan Variabel
Salah  satu  metode  yang  digunakan  untuk memperoleh  solusi  persamaan  diferensial  parsial linier  adalah  metode  pemisahan  variabel.  Metode ini  dilakukan  dengan  cara  memisahkan  masing- masing  variabel independent dengan  suatu  fungsi yang  mengandung  variabel independent dan konstanta  pemisahan.  Masing-masing  fungsi  dan konstanta pemisahan disebut sebagai fungsi eigen dan nilai eigen [2].
Misalkan  C (𝑥, 𝑡) = 𝑋(𝑥)𝑇(𝑡) adalah  solusi dari  suatu  persamaan  diferensial  parsial,  maka 𝑋(𝑥) merupakan  fungsi  eigen  yang  memuat variabel 𝑥 ,  sedangkan 𝑇(𝑡) adalah  fungsi  eigen yang  memuat  variabel 𝑡 .  Sehingga masing-masing
fungsi  eigen  dapat  diselesaikan  secara  terpisah [6].
Pada  kondisi  batas  homogen,  untuk menentukan  nilai  eigen  dapat  dilakukan  dengan cara mensubstitusikan kondisi batas pada masing- masing  fungsi  yang  sudah  diselesaikan  secara terpisah  [2].  Sedangkan  pada  kondisi  batas  tak homogen  terdapat  kendala  untuk  menentukan nilai  eigen.    Sehingga  penyelesaian  persamaan diferensial parsial  yang mempunyai kondisi batas tak  homogen  dapat  dilakukan  dengan  cara mentransformasikan  kondisi  batas  yang  awalnya tak homogen diubah menjadi homogen [5].
6. Deret Fourier [2] menyebutkan bahwa, misalkan terdapat domain 𝑥 pada  suatu  interval 0 < 𝑥 < 𝑙 , sedemikian  sehingga  terdapat    suatu  deret sinus yang  konvergen  menuju  suatu  fungsi 𝜙(𝑥) yang didefinisikan seperti persamaan berikut:
𝜙(𝑥) = ∑ 𝐴 𝑛 sin ( 𝑛𝜋𝑥 𝑙 ) ∞ 𝑛=1 (6) Pada  persamaan (6) , 𝐴 𝑛 merupakan koefisien deret sinus, sedangkan 𝜙(𝑥) adalah suatu fungsi  tertentu.  Dengan  demikian  nilai 𝐴 𝑛 dapat ditentukan seperti berikut:
𝐴 𝑛 = { 0,                                                 𝑛 ≠ 𝑚
2 𝑙 ∫ 𝜙(𝑥) sin ( 𝑛𝜋𝑥 𝑙 ) 𝑙 0 𝑑𝑥, 𝑛 = 𝑚 (7)

## PEMBAHASAN
Pada  bab  sebelumnya  telah  dijelaskan,
terdapat
kendala dalam menyelesaikan persamaan keseimbangan massa reaktor (1) yang mempunyai  kondisi  batas  tak  homogen (2) . Sehingga  perlu  dilakukan  transformasi  kondisi batas, yang awalnya tak homogen diubah menjadi kondisi batas homogen.
Sehingga solusi persamaan keseimbangan massa reaktor ditrasformasikan seperti berikut:
𝐶(𝑥, 𝑡) = 𝑉(𝑥, 𝑡) + 𝐶(𝑥) (8)
Dari persamaan (2) , dapat diketahui bahwa kondisi  batas  yang  digunakan 𝐶(0, 𝑡) dan 𝐶(𝑙, 𝑡) adalah  kondisi  batas  tak  homogen,  sehingga 𝑉 mempunyai  kondisi  batas  homogen  apabila kondisi batas yang digunakan 𝐶(0) dan 𝐶(𝑙) sama dengan  kondisi  batas  yang  digunakan 𝐶(0, 𝑡) dan 𝐶(𝑙, 𝑡) , atau ditulis 𝐶(0) = 𝐶 𝑖𝑛 dan 𝐶(𝑙) = 0 . Fungsi 𝐶(𝑥) merupakan  suatu  fungsi  yang  hanya bergantung  pada  variabel 𝑥 saja.  Hal  ini dikarenakan apabila fungsi 𝐶(𝑥) hanya bergantung pada variabel 𝑥 dan 𝑡 , mengakibatkan kondisi batas 𝑉 tidak homogen. Dengan demikian, transformasi (8) dapat  menjamin 𝐶(𝑥, 𝑡)
merupakan  solusi  persamaan  keseimbangan massa reaktor yang mempunyai kondisi batas  tak homogen.
Dari  penjelasan  di  atas, 𝐶(𝑥) merupakan solusi  persamaan  keseimbangan  massa  reaktor pada  kondisi  laju  perubahan  konsentrasi  massa tidak  dipengaruhi  oleh  perubahan  waktu  ( steady- state ).  Sehingga  untuk  memperoleh  solusi  pada persamaan (8) ,  perlu  diselesaikan  persamaan keseimbangan massa reaktor pada kondisi steady- state seperti berikut:
𝐷 𝑑 2 𝐶(𝑥) 𝑑𝑥 2 − 𝑈 𝑑𝐶(𝑥) 𝑑𝑥 − 𝛾𝐶(𝑥) = 0 (9)
Persamaan (9) merupakan  persamaan diferensial  biasa  homogen  orde  dua.  Sehingga apabila 𝑈 2 + 4𝐷𝛾 > 0 maka solusi 𝐶(𝑥) mempunyai  akar-akar  real  berbeda,  apabila 𝑈 2 + 4𝐷𝛾 = 0 maka  solusi 𝐶(𝑥) mempunyai  akar-akar kembar,  sedangkan  apabila 𝑈 2 + 4𝐷𝛾 < 0 maka solusi 𝐶(𝑥) mempunyai akar-akar komploks. Pada  kondisi 𝑈 2 + 4𝐷𝛾 > 0 solusinya diperoleh
𝐶(𝑥) = 𝑘 1 𝑒 ( 𝑈+√𝑈2+4𝐷𝛾 2𝐷 )𝑥 + 𝑘 2 𝑒 ( 𝑈−√𝑈2+4𝐷𝛾 2𝐷 )𝑥 (10)
dengan menggunakan kondisi batas 𝐶(0) = 𝐶 𝑖𝑛 dan 𝐶(𝑙) = 0 ,  maka  nilai 𝑘 1 dan 𝑘 2 dapat diperoleh:
𝑘 1 = 𝐶 𝑖𝑛 𝑒 ( 𝑈−√𝑈2+4𝐷𝛾 2𝐷 )𝑙
𝑒 ( 𝑈−√𝑈2+4𝐷𝛾 2𝐷 )𝑙 − 𝑒 ( 𝑈+√𝑈2+4𝐷𝛾 2𝐷 )𝑙
dan
𝑘 2 = − 𝐶 𝑖𝑛 𝑒 ( 𝑈+√𝑈2+4𝐷𝛾 2𝐷 ) 𝑙 𝑒 ( 𝑈−√𝑈2+4𝐷𝛾 2𝐷 ) 𝑙 −𝑒 ( 𝑈+√𝑈2+4𝐷𝛾 2𝐷 ) 𝑙
Pada  kondisi 𝑈 2 + 4𝐷𝛾 = 0 ,  dengan  cara yang sama, solusinya diperoleh
𝐶(𝑥) = 𝐶 𝑖𝑛 𝑒 𝑈 2𝐷 𝑥 − 𝐶 𝑖𝑛 𝑙 𝑥𝑒 𝑈 2𝐷 𝑥 (11)
Sedangkan  pada  kondisi 𝑈 2 + 4𝐷𝛾 < 0 , dengan cara yang sama, solusinya diperoleh
𝐶(𝑥) = 𝐶 𝑖𝑛 𝑒 𝑈 2𝐷 𝑥 𝑐𝑜𝑠 ( √|𝑈 2 + 4𝐷𝛾| 2𝐷 𝑥) (12)
+𝑘 4 𝑒 𝑈 2𝐷 𝑥 𝑠𝑖𝑛 ( √|𝑈 2 + 4𝐷𝛾| 2𝐷 𝑥)
dengan 𝑘 4 = −𝐶 𝑖𝑛 𝑐𝑜𝑡 ( √|𝑈 2 +4𝐷𝛾| 2𝐷 𝑙) .
Selanjutnya, untuk menjamian solusi 𝑉(𝑥, 𝑡) memenuhi persamaan keseimbangan massa reaktor, maka persamaan (8) disubstiusikan pada persamaan (1) , sehingga dapat diperoleh persamaan baru seperti berikut:
𝑉 𝑡 (𝑥, 𝑡) = 𝐷𝑉 𝑥𝑥 (𝑥, 𝑡) − 𝑈𝑉 𝑥 (𝑥, 𝑡) − 𝛾𝑉(𝑥, 𝑡) (13)
dengan mensubstitusikan kondisi batas 𝐶(0, 𝑡) , 𝐶(𝑙, 𝑡) dan 𝐶(0) , 𝐶(𝑙) pada persamaan (8) , maka kondisi batas 𝑉 pada saat 𝑥 = 0 dan 𝑥 = 𝑙 adalah
𝑉(0, 𝑡) = 0, 𝑉(𝑙, 𝑡) = 0 (14)
Sedangkan kondisi awal 𝑉 pada saat 𝑡 = 0 adalah
𝑉(𝑥, 0) = −𝐶(𝑥) (15) Langkah selanjutnya, 𝑉(𝑥, 𝑡)
dapat diperoleh  dengan  cara  menyelesaikan  persamaan (13) . Sehingga dimisalkan
𝑉(𝑥, 𝑡) = 𝑇(𝑡)𝑋(𝑥) (16)
sebagai  solusi  dari  persamaan (13) . Kemudian  dengan  mensubstitusikan  persamaan (16) pada (13) , maka dapat diperoleh
𝑇 ′ (𝑡) 𝑇(𝑡) = 𝐷 𝑋 ′′ (𝑥) 𝑋(𝑥) − 𝑈 𝑋 ′ (𝑥) 𝑋(𝑥) − 𝛾 𝑇 ′ (𝑡) 𝑇(𝑡) + 𝛾 = 𝐷 𝑋 ′′ (𝑥) 𝑋(𝑥) − 𝑈 𝑋 ′ (𝑥) 𝑋(𝑥) (17)
Pada  persamaan (17) ,  ruas  kiri  hanya bergantung pada variabel 𝑡 , sedangkan ruas kanan hanya  bergantung  pada  variabel 𝑥 .  Sehingga kondisi  tersebut  hanya  dapat  dipenuhi  apabila kedua  ruas  bernilai  konstanta  yang  tidak bergantung  pada  variabel 𝑡 dan 𝑥 .  Misalkan konstanta  yang  dimaksud  adalah 𝜆 ,  maka persamaan (17) dapat dipisahkan menjadi seperti berikut:
𝐷 𝑋 ′′ (𝑥) 𝑋(𝑥) − 𝑈 𝑋 ′ (𝑥) 𝑋(𝑥) = 𝜆 𝐷𝑋 ′′ (𝑥) − 𝑈𝑋 ′ (𝑥) − 𝜆𝑋(𝑥) = 0 (18)
dan 𝑇 ′ (𝑡) 𝑇(𝑡) + 𝛾 = 𝜆 𝑇 ′ (𝑡) − (𝜆 − 𝛾)𝑇(𝑡) = 0 (19)
Pada  persamaan (18) dan (19) , 𝜆 adalah suatu  konstanta,  sehingga 𝜆 dapat  bernilai  nol, positif,  atau  negatif,  secara  terurut  dinotasikan dengan 𝜆 = 0 , 𝜆 > 0 , atau 𝜆 < 0 . Dengan demikian, untuk  menentukan  solusi  dari  persamaan (18)
dan (19) ,  ditentukan  terlebih  dahulu  nilai 𝜆 yang memenuhi.  Untuk 𝜆 = 0 ,  maka  solusi  persamaan (18) adalah
𝑋(𝑥) = 𝑚 3 + 𝑚 4 𝑒 𝑈 𝐷 𝑥
dengan  menggunakan  kondisi  batas (14) , maka dapat diperoleh 𝑚 3 = 0 dan 𝑚 4 = 0 . Dengan demikian,  untuk 𝜆 = 0 ,  solusi 𝑋(𝑥) adalah  nol ( trivial solution ). Untuk 𝜆 > 0 , dimisalkan 𝜆 = 𝛽 2 maka solusi persamaan (18) adalah
𝑋(𝑥) = 𝑚 5 𝑒 𝑈+√𝑈2+4𝐷𝛽2 2𝐷 𝑥 + 𝑚 6 𝑒 𝑈−√𝑈2+4𝐷𝛽2 2𝐷 𝑥
dengan  menggunakan  kondisi  batas (14) , maka dapat diperoleh 𝑚 5 = 0 dan 𝑚 4 = 0 . Dengan demikian,  untuk 𝜆 > 0 ,    solusi 𝑋(𝑥) adalah  nol ( trivial solution ). Sedangkan  untuk 𝜆 < 0 ,  dimisalkan 𝜆 = −𝛽 2 maka solusi persamaan (18) adalah
𝑋(𝑥) = 𝑚 7 𝑒 𝑈+√𝑈2−4𝐷𝛽2 2𝐷 𝑥 + 𝑚 8 𝑒 𝑈−√𝑈2−4𝐷𝛽2 2𝐷 𝑥 Dari  persamaan  tersebut  dapat  diketahui bahwa,  apabila 𝑈 2 − 4𝐷𝛽 2 > 0 ,  maka  seperti pada  kasus 𝜆 > 0 solusinya  adalah  nol  ( trivial solution ).  Dengan  demikian,  nilai  dipilih 𝑈 2 − 4𝐷𝛽 2 < 0 .  Artinya 𝑈 2 − 4𝐷𝛽 2 harus  bernilai negatif.
Dengan demikian,
𝑈 2 − 4𝐷𝛽 2 = −(4𝐷𝛽 2 − 𝑈 2 ) dapat  menjamin  nilainya  selalu negatif. Sehingga  solusinya diperoleh
𝑋(𝑥) = 𝑚 7 𝑒 𝑈+√−(4𝐷𝛽2−𝑈2) 2𝐷 𝑥 + 𝑚 8 𝑒 𝑈−√−(4𝐷𝛽2−𝑈2) 2𝐷 𝑥 = 𝑚 7 𝑒 𝑈+𝑖√4𝐷𝛽2−𝑈2 2𝐷 𝑥 + 𝑚 8 𝑒 𝑈−𝑖√4𝐷𝛽2−𝑈2 2𝐷 𝑥 Persamaan  tersebut  dapat  diubah  menjadi seperti berikut:
𝑋(𝑥) = 𝑒 𝑈 2𝐷 𝑥 (𝑚 9 cos ( √4𝐷𝛽 2 − 𝑈 2 2𝐷 𝑥)) +𝑒 𝑈 2𝐷 𝑥 (𝑚 10 sin ( √4𝐷𝛽 2 − 𝑈 2 2𝐷 𝑥))
dengan  menggunakan  kondisi  batas (14) , maka  dapat  diperoleh 𝑚 9 = 0 , 𝑚 10 ≠ 0 ,  dan 𝛽 = √ (2𝑛𝜋𝐷) 2 +𝑈 2 𝑙 2 4𝐷𝑙 2 untuk 𝑛 menuju  tak  hingga  ( 𝑛 = 1,2, … ) .
Sehingga solusi
𝑋(𝑥) dapat disederhanakan menjadi
𝑋(𝑥) = 𝑚 10 𝑒 𝑈 2𝐷 𝑥 sin ( 𝑛𝜋𝑥 𝑙 ) (20)
Dikarenakan nilai 𝜆 yang memenuhi adalah 𝜆 = −𝛽 2 ,  maka  solusi 𝑇(𝑡) dari  persamaan (20) adalah
𝑇(𝑡) = 𝑚 12 𝑒 −( (2𝑛𝜋𝐷)2+𝑈2𝑙2 4𝐷𝑙2 +𝛾)𝑡 (21) Langkah selanjutnya, dengan mensubstitusikan  persamaan (20) dan (21) pada
persamaan (16) ,  maka  solusi 𝑉(𝑥, 𝑡) dapat diperoleh seperti berikut
𝑉(𝑥, 𝑡) = ∑ 𝐸 𝑛 𝑒 −( (2𝑛𝜋𝐷)2+𝑈2𝑙2 4𝐷𝑙2 +𝛾)𝑡 𝑒 𝑈 2𝐷 𝑥 sin ( 𝑛𝜋𝑥 𝑙 ) ∞ 𝑛=0 𝐸 𝑛 merupakan  suatu  nilai  yang  dapat diperoleh  dengan  mensubstitusikan  kondisi  awal. Dari  persamaan  tersebut  dapat  diketahui  pada saat 𝑛 = 0 ,  mengakibatkan  nilai  dari sin(0) = 0 , sehingga solusi 𝑉(𝑥, 𝑡) = 0 . Dengan demikian pada saat 𝑛 = 0 , nilai 𝐸 0 tidak mempengaruhi hasil dari penjumlahanya, jadi solusinya yaitu:
𝑉(𝑥, 𝑡) = ∑ 𝐸 𝑛 𝑒 −( (2𝑛𝜋𝐷)2+𝑈2𝑙2 4𝐷𝑙2 +𝛾)𝑡 𝑒 𝑈 2𝐷 𝑥 sin ( 𝑛𝜋𝑥 𝑙 ) ∞ 𝑛=1
Kemudian  dengan  menggunakan  kondisi awal (15) , maka pada saat 𝑡 = 0 diperoleh
−𝐶(𝑥) = ∑ 𝐸 𝑛 sin ( 𝑛𝜋𝑥 𝑙 ) ∞ 𝑛=1
dengan  menggunakan  ekspansi  deret Fourier  seperti  persamaan (7) ,  maka  nilai 𝐸 𝑛 dapat diperoleh seperti berikut:
E n = − 2 𝑙 ∫ 𝐶(𝑥) 𝑙 0 sin ( 𝑛𝜋𝑥 𝑙 ) 𝑑𝑥
Kemudian dengan mengintegralkan
persamaan  tersebut,  apabila 𝑈 2 + 4𝐷𝛾 > 0 diperoleh E n = 2𝑛𝜋(𝑘 1 (𝑒 𝐴1𝑙 cos(𝑛𝜋)−1)+𝑘 2 (𝑒 −𝐴1𝑙 cos(𝑛𝜋)−1)) (𝑛𝜋) 2 +(𝑙𝐴 1 ) 2 , dengan 𝐴 1 = √|𝑈 2 +4𝐷𝛾| 2𝐷 . Apabila 𝑈 2 + 4𝐷𝛾 = 0 ,  maka 𝐸 𝑛 = − 2𝐶 𝑖𝑛 𝑛𝜋 .  Sedangkan  apabila 𝑈 2 + 4𝐷𝛾 < 0 , maka dapat diperoleh 𝐸 𝑛 = 𝐶 𝑖𝑛 ((cos(𝐴 1 𝑙+𝑛𝜋)−1))+𝑘 3 (sin(𝐴 1 𝑙+𝑛𝜋)) (𝐴 1 𝑙+𝑛𝜋)
− 𝐶 𝑖𝑛 ((cos(𝐴 1 𝑙−𝑛𝜋)−1))+𝑘 3 (sin(𝐴 1 𝑙−𝑛𝜋))
(𝐴 1 𝑙−𝑛𝜋) .
Substitusikan  masing-masing  solusi 𝐶(𝑥) dan 𝑉(𝑥, 𝑡) pada  persamaan (14) ,  maka  solusi persamaan  keseimbangan  massa  reaktor  yang mempunyai kondisi batas tak homogen yaitu:
1. Jika 𝑈 2 + 4𝐷𝛾 > 0 , maka diperoleh 𝐶(𝑥, 𝑡) =
∑ 𝐸 𝑛 𝑒 −( (2𝑛𝜋𝐷)2+𝑈2𝑙2 4𝐷𝑙2 +𝛾)𝑡 𝑒 𝑈 2𝐷 𝑥 sin ( 𝑛𝜋𝑥 𝑙 ) ∞ 𝑛=1 +𝑘 1 𝑒 ( 𝑈+√𝑈2+4𝐷𝛾 2𝐷 )𝑥 + 𝑘 2 𝑒 ( 𝑈−√𝑈2+4𝐷𝛾 2𝐷 )𝑥 (22)
2. Jika 𝑈 2 + 4𝐷𝛾 = 0 , maka diperoleh
𝐶(𝑥, 𝑡) = ∑ 𝐸 𝑛 𝑒 −( (2𝑛𝜋𝐷)2+𝑈2𝑙2 4𝐷𝑙2 +𝛾)𝑡 𝑒 𝑈 2𝐷 𝑥 sin ( 𝑛𝜋𝑥 𝑙 ) ∞ 𝑛=1
𝐶 𝑖𝑛 𝑒 𝑈 2𝐷 𝑥 − 𝐶 𝑖𝑛 𝑙 𝑥𝑒 𝑈 2𝐷 𝑥 (23)
3. Jika 𝑈 2 + 4𝐷𝛾 < 0 , maka diperoleh 𝐶(𝑥, 𝑡) = ∑ 𝐸 𝑛 𝑒 −( (2𝑛𝜋𝐷)2+𝑈2𝑙2 4𝐷𝑙2 +𝛾)𝑡 𝑒 𝑈 2𝐷 𝑥 sin ( 𝑛𝜋𝑥 𝑙 ) ∞ 𝑛=1 +𝐶 𝑖𝑛 𝑒 𝑈 2𝐷 𝑥 𝑐𝑜𝑠 ( √|𝑈 2 +4𝐷𝛾| 2𝐷 𝑥) +𝑘 4 𝑒 𝑈 2𝐷 𝑥 𝑠𝑖𝑛 ( √|𝑈 2 +4𝐷𝛾| 2𝐷 𝑥) (24)
Setelah  solusi  persamaan  keseimbangan massa reaktor diperoleh, maka untuk mengetahui perubahan  konsentrasi  massa  zat  di  sepanjang reaktor, ditentukan parameternya terlebih dahulu. Misalkan masing-masing
parameternya ditentukan  seperti  berikut: 𝐶 𝑖𝑛 = 100 𝑚𝑜𝑙/𝑚 3 , 𝑈 = 0.008  𝑚 𝑑𝑒𝑡 ⁄ , 𝛾 = 0.018 𝑚𝑜𝑙 𝑑𝑒𝑡 ⁄ ,  kemudian penyebaran  zat  yang  awalnya 𝐷 = 0.083  𝑚 2 𝑑𝑒𝑡 ⁄ dipercepat  menjadi 𝐷 = 0.8  𝑚 2 𝑑𝑒𝑡 ⁄ ,  maka perubahan  jumlah  massa  zat  pada  reaktor sepanjang 𝑥 = [0, 10] dapat dilihat seperti gambar di bawah ini:
(a) (b) Gambar 1. (a) Perubahan Konsentrasi Zat
dengan 𝐷 = 0.083  𝑚 2 𝑑𝑒𝑡 ⁄ (b) Perubahan
Konsentrasi Zat dengan 𝐷 = 0.8  𝑚 2 𝑑𝑒𝑡 ⁄
Gambar 1.a menunjukkan grafik perubahan konsentrasi  massa  zat  dengan  memperlambat penyebaran  zat  di  dalam  reaktor.  Sedangkan Gambar  1.b  menyatakan  perubahan  konsentrasi massa zat dengan mempercepat penyebaran zat di dalam  reaktor.  Dari  kedua  gambar  di  atas,  dapat diketahui  bahwa  semakin  cepat  zat  yang menyebar  pada  reaktor  maka  semakin  sedikit konsentrasi  zat  yang  mengalami  perubahan. Begitupun  sebaliknya,  semakin  lambat  zat  yang menyebar  pada  reaktor,  maka  semakin  banyak jumlah konsentrasi zat yang mengalami perubahan.
Selanjutnya,  dengan  parameter 𝐶 𝑖𝑛 = 100 𝑚𝑜𝑙/𝑚 3 , 𝐷 = 0.083  𝑚 2 𝑑𝑒𝑡 ⁄ ,  dan 𝑈 = 0.008  𝑚 𝑑𝑒𝑡 ⁄ , maka perubahan konsentrasi massa zat  dengan  memperbesar  dan  memperkecil koefesien  reaksi  zat (𝛾) ,  dapat  dilihat  seperti gambar di bawah ini:
(a) (b)
Gambar 2. (a) Perubahan Konsentrasi Zat dengan 𝛾 = 0.2 𝑚𝑜𝑙 𝑑𝑒𝑡 ⁄ (b) Perubahan
Konsentrasi Zat dengan 0.02 𝑚𝑜𝑙 𝑑𝑒𝑡 ⁄ Gambar 2.a menunjukkan grafik perubahan konsentrasi  massa  zat  dengan  memperkecil koefisien  reaksi  zat  di  dalam  reaktor.  Sedangkan Gambar  2.b  menyatakan  perubahan  konsentrasi massa  zat  dengan  memperbesar  koefisien  reaksi
zat  di  dalam  reaktor.  Dari  Gambar  2.a  dan  2.b, dapat  diketahui  bahwa  semakin  besar  koefisien reaksi  zat  pada  reaktor  maka  semakin  banyak konsentrasi  zat  yang  mengalami  perubahan  di sepanjang reaktor. Begitupun sebaliknya, semakin kecil  koefisien  reaksi  zat  pada  reaktor,  maka semakin  sedikit  jumlah  konsentrasi  zat  yang mengalami perubahan di sepanjang reaktor.
Pada  gambar  (1)  sampai  dengan  (2), parameter  yang  digunakan  memenuhi  kondisi 𝑈 2 + 4𝐷𝛾 > 0 . Parameter yang memenuhi kondisi 𝑈 2 + 4𝐷𝛾 = 0 dan 𝑈 2 + 4𝐷𝛾 < 0 dapat  dilihat seperti gambar (3) di bawah ini:
(a) (b)
Gambar 3. (a) Perubahan Konsentrasi Massa Zat dengan 𝑈 2 + 4𝐷𝛾 = 0 (b) Perubahan Konsentrasi Massa Zat dengan 𝑈 2 + 4𝐷𝛾 < 0 Dari  gambar  3.a  dan  3.b,  dapat  diketahui pemilihan parameter yang memenuhi 𝑈 2 + 4𝐷𝛾 = 0 membutuhkan  waktu  lebih  lama  dari  pada kondisi 𝑈 2 + 4𝐷𝛾 > 0 untuk  mencapai  kondisi steady-state , sedangkan pemilihan parameter yang memenuhi 𝑈 2 + 4𝐷𝛾 < 0 membutuhkan  waktu paling lama untuk mencapai kondisi steady-state. Perubahan  massa  zat  dengan  parameter yang sama seperti pada Gambar 2.b, selama kurun waktu  15  detik  dapat  dilihat  melalui  gambar  di bawah ini:
Gambar 3. Perubahan Konsentrasi Massa
Zat Selama Kurun Waktu 15 Detik

## KESIMPULAN
Faktor pemilihan
parameter yang sedemikian sehingga 𝑈 2 + 4𝐷𝛾 > 0 , paling efesien digunakan  untuk  menyelesaikan  permasalahan terkait  perubahan  konsentrasi  massa  zat  pada suatu raktor. Dengan demikian, semakin cepat zat yang  menyebar  pada  reaktor,  maka  semakin sedikit  jumlah  konsentrasi  massa  zat  yang mengalami  perubahan;  semakin  besar  koefisien reaksi  zat  dalam  reaktor,  maka  semakin  banyak jumlah  konsentrasi  massa  zat  yang  mengalami perubahan di sepanjang reaktor.

## DAFTAR PUSTAKA
[1] B. Barnes and G. R. Fulford, Mathematical Modelling with Case Studies A Differential Equation Using Maple and Matlab Second Edition, London: CRC Press, 2009.
[2]  W. A. Strauss, Partial Differential Equation An Introduction, Singapore: John Wiley & Sons.Inc, 1992.
[3]  J. Caldwell, Mathematical Modelling Case Studies and Projects, New York: Kluwer Academic Publishers, 2004.
[4]  W. E. Boyce and R. C. DiPrima, Elementarry Differential Equation and Boundary Value Proplem Ninth Edition, USA: John Wiley & Sons, Inc, 2009.
[5]  M. A. Pinsky, Partial Differential Equation and Boundary-Value Problem With Aplication Third Edition, Rhode Island: Waveland Press,
2003.
[6]  R. P. Agarwal and D. O'Regan, Ordinary and Partial Differential Equation With Special Function, Fourier Series and Boundary Value
Problems, New York: Spinger Scince + Business Media, 2009.