Abstrak—In  fractal  geometry,  object  is  drawn  using  iterative algorithm.  Fractal  has  self  similarity  by  nature,  such  that  each part of fractal is similar to the bigger part, but in different scale. Fractal  generation  process  is  done  by  iteration  toward  certain mathematic  function.  One  of  the  mathematic  function  is  the complex  number-based  one.  The  methodology  used  in developing  this  software  is  waterfall  model.  The  design  used functional model, that is DFD (Data Flow Diagram). PLFraKom software  is  developed  in  Microsoft  Windows  programming environment. Programming language used here is Borland C++ Builder  6.0.  This  software  has  produce  the  desired  output,  such as fractal image generation.
Kata Kunci— Fractal Geometry, Complex Numbers, Self Similarity, Waterfall Model

## I. P ENDAHULUAN
ada  umumnya  kurva-kurva  dan  permukaan  memiliki struktur  yang  rumit,  tetapi  dalam  lingkungan  yang sederhana bentuknya dapat berupa garis atau bidang. Dalam dunia  grafika  komputer,  grafik  bentuk  seperti  lingkaran, elips,  segiempat  atau  bentuk-bentuk  teratur  lainnya  mudah digambar dengan menggunakan fasilitas fungsi tertentu yang terdapat  pada  perangkat  lunak.  Bentuk-bentuk  tersebut dalam  geometri  Euclides  dapat  dinyatakan  sebagai  fungsi koordinat.  Dengan  demikian  untuk  menampilkan  objek dapat    digambarkan  dengan  menggunakan  titik-titik koordinat  pada  koordinat  kartesian.  Tetapi  bentuk  objek  di alam  umumnya  tidak  beraturan  dan  kompleks  yang  tidak mudah  didekati  dengan  rumus  matematika  geometri Euclidian (Pietronero dkk,1995:70).
Geometri  fraktal  memberikan  gambaran  dan  model matematika kejadian kompleks di alam yang berbeda dengan geometri  Euclidian  yang    dikenal  selama  ini.  Objek  dalam geometri  Euclidian  digambarkan  dengan  rumus,  sedangkan pada  geometri  fraktal  digambarkan  dengan  suatu  algoritma iteratif.  Dimensi  fraktal  memiliki  sifat  self-similarity,  yaitu setiap  bagian  dari  fraktal  menyerupai  keseluruhan  bagian yang  lebih  besar  namun  dalam  skala  yang  berbeda.  Ini artinya,  bagian-bagian  dari  objek  akan  terlihat  identik dengan  objek  itu  sendiri  bila  dilihat  secara  keseluruhan. Alam  memiliki  sifat  ini,  misalnya  cabang-cabang  pohon menyerupai  pohonnya,  puncak  gunung  mempunyai  bentuk sama dengan pegunungan, awan kecil mempunyai pola yang
* Jaidan    Jauhari  adalah  staf  pengajar  dan  peneliti  di  Jurusan  Sistem Informasi,  Fakultas  Ilmu  Komputer,  Universitas  Sriwijaya,  Inderalaya, Ogan Ilir, Sumatera Selatan. (e-mail: jaidan_j@yahoo.com).
sama  dengan  awan  besar,  demikian  juga  dengan  struktur atom sama seperti tata surya makro kosmik. Oleh karena itu fraktal sering disebut geometri alam (Jauhari dkk, 2004:2).
Pembangkitan  fraktal  dapat  dilakukan  dengan  melakukan iterasi  baik  terhadap  fungsi  matematika  atau  dapat  juga iterasi  atas  elemen-elemen  dasar  penyusun  grafik,  seperti titik,  garis  dan  bentuk-bentuk  geometri  sederhana  seperti segitiga,  segiempat,  dan  lain-lain.  Fraktal  yang  terakhir  ini dinamakan  fraktal  bebas,  contohnya  adalah  fraktal  plasma dan fraktal pohon. Sedangkan fraktal-fraktal yang dibangkitkan  melalui  fungsi  matematika  antara  lain  fraktal yang  berbasis  bilangan  kompleks,  fraktal  berbasis  fungsi polynomial  dan  fraktal  yang  berbasis  fungsi  transenden. Fraktal  berbasis  bilangan  kompleks  akan  menghasilkan gambar-gambar  yang  indah  dan  akan  menghasilkan  gambar fraktal  yang  unik.  Bentuk-bentuk  fraktal  dari  iterasi  fungsi matematika  semakin  menarik,  indah,  dan  bervariasi  setelah ditemukan  mesin  komputer  yang  sangat  membantu komputasi  (perhitungan).  Selain  membantu  komputasinya, mesin komputer dengan perkembangan teknologi tampilannya,  membantu  penampilan  bangun fraktal menjadi menakjubkan (Mujiono, 2002).
Berdasarkan  latar  belakang  di  atas  maka  masalah  dalam penelitian  ini  adalah  bagaimana  mengembangkan  sebuah perangkat lunak yang dapat membangkitkan gambar-gambar fraktal berbasis berbasis bilangan kompleks.
Penelitian ini ditulis dengan tujuan untuk melakukan studi terhadap  geometri  fraktal  dan  merancang  pengembangan perangkat  lunak  pembangkit  fraktal  berbasis  bilangan kompleks  serta  untuk  membuat  perangkat  lunak  untuk pembangkit  geometri  fraktal,  dengan  mengikuti  langkah- langkah metodologi  pengembangan  perangkat  lunak waterfall  model.  Sedangkan  manfaat  dari  penelitian  ini adalah  dapat  menghasilkan  gambar  fraktal  yang  bervariasi, tergantung pada parameter, variabel, dan warna masukan.

## II. T INJAUAN P USTAKA
Fraktal  berasal  dari  bahasa  latin,  dari kata kerja frangere yang  berarti  membelah  atau  kata  sifat  fractus  yang  artinya tidak  teratur  atau  terfragmentasi  (Mandelbrot,  1992:5). Beberapa  pakar  yang  lain  mengatakan  dalam  bahwa  fraktal adalah  gambar  yang  secara  intuitif  berkarakter,  yaitu  setiap bagian  pada  sembarang  ukuran  jika  diperbesar  secukupnya akan  tampak  seperti  gambar  seutuhnya.  Dari  pengertian tersebut  secara  tersirat  ada  dua  informasi  terkandung  di dalamnya yaitu:

## Pengembangan Perangkat Lunak Pembangkit Geometri Fraktal Berbasis Bilangan Kompleks (PLFraKom)
Jaidan Jauhari * , Fakultas Ilmu Komputer,Universitas Sriwijaya
P
1) Gambar  primitif  sebagai  blok  pembangun,  yang  jika diduplikasi dengan berbagai ukuran dan dikomposisikan dapat membentuk gambar; dan
2) Aturan  rekursif  yang  mendefinisikan  posisi  relatif  dari gambar primitif dengan berbagai ukuran.
Himpunan Fraktal menurut Falconer (1992:40) mempunyai 5 karakter, yaitu:
1) Merupakan struktur halus,  walaupun  diperbesar seberapapun;
2) Bersifat  terlalu  tidak  teratur,  jika  digambarkan  dengan bahasa geometri biasa;
3) Mempunyai  Self-similarity, mungkin secara pendekatan maupun secara statistic;
4) Dimensi  fraktal  biasanya  lebih  besar  dari  dimensi topologinya; dan
5) Umumnya  dapat  didefinisikan  secara  sederhana, mungkin secara rekursif.
Secara  umum  dari  pendapat-pendapat  di  atas  dapat disimpulkan sifat-sifat fraktal ada 2 macam, yaitu:
1) Self-similarity
Fraktal  adalah  objek  yang  memiliki  kemiripan  dengan dirinya sendiri (Self-similarity) namun dalam skala yang berbeda,  ini  artinya  objek  fraktal  terdiri  dari  bagian- bagian yang memiliki sifat seperti objek tersebut. Setiap bagian  objek  tersebut  bila  diperbesar  akan  identik dengan objek tersebut.
2) Dimension
Fraktal  adalah  obyek  yang  memiliki  dimensi  bilangan riil.  Untuk  membandingkan  ukuran  fraktal  diperlukan dimensi  fraktal.  Dimensi  fraktal  didefinisikan    sebagai kerapatan fraktal menempati ruang metrik.
Panjang  sebuah  segmen  garis  (dimensi  dua)  dapat diketahui  dengan  mengukur  panjang  antar  dua  titik. Namun  objek  fraktal  tidak  dapat  diukur  panjangnya, karena memiliki variasi tak hingga.
Gambar 1. Objek Fraktal
Gambar  1  menunjukkan  panjang  dari  objek  fraktal tersebut bertambah 4/3 setiap tahap. Sehingga panjang objek fraktal tersebut = 4/3 x 4/3 x 4/3 x …. Objek fraktal tersebut memiliki panjang tak berhingga.
Dalam  geometri  fraktal,  fraktal  adalah  sebuah  titik  di dalam  ruang  metrik.  Ruang  metrik  disimbolkan  dengan  X, adalah himpunan titik-titik yang disertai dengan fungsi d: X x X → ℜ yang mengukur jarak antara dua buah titik di ruang tersebut.
Definisi  1.  Sebuah  ruang  X  adalah  sebuah  himpunan. Titik-titik  pada  ruang  adalah  anggota-anggota  dari himpunan.
Definisi 2. Sebuah ruang metrik (X,d) adalah sebuah ruang X  bersama  dengan  sebuah  fungsi  riil  d:  X  x  X → ℜ yang mengukur  jarak  antara  dua  titik  x  dan  y  pada  X.  Fungsi  ini memiliki aksioma sebagai berikut:
1) Simetri d(x,y) = d(y,x) ∀ x,y ∈ X
2) Positif 0<d(x,y)< ∞ ∀ x,y ∈ X, x ≠ y
3) Jarak ke diri sendiri d(x,x) = 0, ∀ x ∈ X
4) Ketaksamaan segitiga d(x,y) ≤ d(x,z) + d(z,y) ∀ x,y,z ∈ X Fungsi d disebut sebagai metrik.
Definisi 3. Dua buah metrik d 1 dan d 2 pada ruang X adalah sama jika ada bilangan konstan 0 < c 1 < c 2 < ∞ sedemikian hingga:
c 1 d 1 (x,y) ≤ d 2 (x,y) ≤ c 2 d 1 (x,y) ∀ (x,y) ∈
X x X         (1)
Sebuah  titik  dalam  geometri  fraktal  dapat  berupa gambar hitam putih, yaitu himpunan bagian yang padat dari ruang X. Dalam geometri fraktal ruang dimana fraktal hidup adalah himpunan bagian dari X dan disimbolkan dengan F.
Definisi  4.  Misalkan  (X,  d)  adalah  ruang  metrik,  maka F(X)  menyatakan  ruang  yang  titik-titiknya  adalah himpunan bagian  dari  X.  Titik-titik  di  ruang  F  disimbolkan  dengan huruf kapital, misalnya A, B, dan lain-lain.
Jika x ∈ X dan B ∈ F(X) , maka jarak antara titik x dengan himpunan B dalam ruang metrik adalah:
d(x,B) = minimum{d(x, y), y ∈ B}                               (2)
Gambar 2. Jarak Titik ke Himpunan
Sedangkan  jarak  antara  A ∈ F(X)  dan  B ∈ F(X)  dalam suatu ruang metrik yang sama didefinisikan oleh:
d(A,B) = maksimum{d(x, B), x ∈ A}                      (3)

## Gambar 3. Jarak Himpunan ke Himpunan
Definisi  5.  Misalkan  (X,  d)  adalah  ruang  metrik  lengkap, maka  jarak  Hausdorf  antara  titik  A  dan  B  di  dalam  F(X) adalah:
h(A,B) = maksimum{d(A,B), d(B,A)}.                         (4)
Panjang segmen = 1 Total = 1 Panjang segmen = 1/3 Total = 4/3 Panjang segmen = 1/9 Total = 16/9 ( a ) ( b ) ( c ) d(x, B) Titik x Himpunan B d(x, B) = minimum {d(x,y), y anggota B d(A, B) Himpunan B d(A, B) = maksimum {d(x,B),  x anggota  A Himpunan A

## Gambar 4. Jarak Haussdorff
Definisi  6.  Bilangan  kompleks  adalah  suatu  pasangan terurut yang dinyatakan  oleh  (x,y)  atau  x + iy  dengan  x, y ε R,  dengan i2= -1
Untuk memudahkan, biasanya penulisan bilangan kompleks ditulis dengan huruf tunggal z, jadi dapat ditulis z = x + iy. Bilangan riil x disebut bagian riil z dan bilangan riil y  disebut  bagian  imajiner  z,  masing-masing  dinyatakan sebagai Re(z) dan Im(z).
Bila  bilangan  kompleks  dinyatakan  secara  geometris dalam  sistem  koordinat  –xy,  maka  sumbu-x  disebut  sumbu riil, sumbu-y disebut sumbu imajiner dan bidangnya disebut bidang  kompleks.  Untuk  lebih  jelas  dapat  dilihat  pada gambar di bawah ini :

## Gambar 5. Bidang Kompleks
Jika  y  =  0,  maka  bilangan  kompleks  x  +  iy  mengecil menjadi  x  +  i0  yang  cukup  dituliskan  sebagai  x.  Jadi  untuk sembarang  bilangan  riil  x,  a  =  a  +i0,  sehingga  dengan demikian  bilangan  riil  dapat  dipandang  sebagai  bilangan kompleks  dengan  bagian  imajiner  nol.  Secara  geometris  , bilangan  riil  bersesuaian  dengan  titik  pada  sumbu  riil. Sebaliknya jika  x = 0, maka x + iy mengecil menjadi 0 + iy yang biasanya hanya ditulis iy. Bilangan-bilangan kompleks ini, yang bersesuaian dengan titik-titik pada sumbu imajiner disebut bilangan imajiner murni .

## III. F RAKTAL BERBASIS BILANGAN KOMPLEKS
Secara  umum  obyek  fraktal  dibangkitkan  dari  proses pengulangan sebuah fungsi transformasi khusus ke titik-titik dalam  suatu  daerah  tertentu.  Jika  Po  adalah  titik  awal  yang dipilih, maka setiap iterasi dari sebuah fungsi transformasi F akan membangkitkan obyek baru dengan ukuran atau tempat kedudukan yang berbeda. Hal ini berlangsung terus-menerus hingga tingkat iterasi tertentu, jadi :
P1 = F(P0) P2 = F(P1) P3 = F(P2)
. . Pn = F(Pn-1)
Dimana  fungsi  transformasi  tersebut  dapat  berupa  fungsi transformasi  geometri  klasik  yaitu  penskalaan,  translasi  dan rotasi.  Pada  bagian  ini  akan  dibahas  tentang  fungsi pembangkit  fraktal  yang  berbasis  bilangan  kompleks,  yaitu Fraktal Mandelbrot, Julia, Dragon dan Barnsley.
Fraktal  Mandelbrot  didapatkan  dengan  melakukan  iterasi atas fungsi berikut :
c z z n n + = − 2 1 (5) dengan z dan c adalah bilangan kompleks.
Fraktal  Julia  didapatkan  dengan  melakukan  iterasi  atas persamaan  yang  sama  dengan  persamaan  yang  digunakan untuk  membangkitkan  fraktal  Mandelbrot.  Perbedaannya terletak  pada  nilai  bilangan  kompleks  c.  Jika  pada  fraktal Mandelbrot  nilai  c  ditentukan  oleh  kedudukan  titik  x  +  iy, maka  pada  fraktal  Julia  nilai  c  ditentukan  oleh  suatu bilangan Pval + iQval yang besarnya tetap untuk setiap titik kompleks  x  +  iy  yang  diuji.  Perbedaan  lainnya  adalah pada penentuan  titik  z0.  Pada  fraktal  ini  nilai  z0  ditentukan sebagai z0 = x + iy.
Sedangkan  Fraktal  Dragon  diperoleh  dengan  melakukan iterasi atas fungsi sebagai berikut :
zn = c(1-zn-1)2                              (6) Seperti pada fraktal Julia, konstanta c pda fraktal Dragon ditentukan oleh suatu bilangan kompleks Pval + iQval, yang besarnya sama untuk setiap titik kompleks x + iy yang diuji. Nilai awal zn ditentukan sebagai z0 = x + iy.
Fraktal  Barnsley  diperkenalkan  oleh  Michael  Barnsley dari  Georgia  Institute  of  Technology.  Fraktal  Barnsley  juga diperoleh  dengan  melakukan  iterasi  atas  suatu  fungsi bilangan  kompleks.  Berdasarkan  fungsi  penghasil  fraktal, dikenal  adanya  fraktal  Barnsley  pertama,  kedua,  ketiga  dan seterusnya.  Pada  bagian  ini  hanya  akan  dibahas  sampai fraktal  Barnsley  ketiga.  Fraktal  Barnsley  pertama  didapat dari iterasi atas fungsi berikut :
c cz z n n − = − 1 , jika bagian riil dari zn-1 ≥ 0 dan
c cz z n n + = − 1 , jika bagian riil dari  zn-1 <0
Fungsi  yang  akan  diiterasi  untuk  menghasilkan  fraktal Barnsley  kedua  sama  dengan  fungsi  untuk  menghasilkan fraktal  Barnsley  pertama,  tetapi  berbeda  pada  bagian pengujiannya, yaitu :
c cz z n n − = − 1 , jika bagian imajiner dari czn-1 ≥ 0 dan
c cz z n n + = − 1 , jika bagian imajiner dari  czn-1 <0 Sedangkan  untuk  Fraktal  Barnsley  ketiga  diperoleh dengan melakukan iterasi atas fungsi :
0 , 1 2 1 − = − n n z z , jika bagian riil dari zn-1 ≥ 0 dan
px z z n n + − = − 0 , 1 2 1 , jika bagian riil dari  zn-1 <0 dengan  p  adalah  bagian  riil  dari  c  dan  x  adalah  bagian  riil dari zn-1
h(A, B)
Himpunan B
h(A, B) = maksimum dari d(A,B) dan d(B,A) Himpunan A x (Bagian Real) Sumbu Real Sumbu Imajiner z = x + iy (Bagian imajiner) y
Untuk  ketiga  variasi  dai  fraktal  di  atas  z  dan  c  adalah bilangan kompleks, Nilai awal zn ditentukan dari suatu titik kompleks yang diuji, dan nilai c diawali oleh suatu konstanta bilangan  kompleks  Pval  +  iQval  yang  besarnya  sama  untuk setiap titik yang diuji.

## IV. M ETODE P ENELITIAN
Metode  penelitian  yang  digunakan  dalam  penelitian  ini adalah metodologi pengembangan perangkat lunak Waterfall
Model (Pressman, 1997:50). Tahapan-tahapan
pengembangannya, yaitu:
1) Analisa dan perancangan perangkat lunak
Tahap  analisa  adalah  tahapan  pengumpulan  kebutuhan- kebutuhan  dari  semua  elemen  sistem  perangkat  lunak yang akan di bangun. Tujuan tahap analisa adalah: a. Menjabarkan kebutuhan pemakai;
b. Meletakkan  dasar-dasar  untuk  tahap  perancangan perangkat lunak; dan
c. Mendefinisikan  semua  kebutuhan  pemakai  sesuai dengan  lingkup  kontrak  yang  disepakati  kedua belah pihak (pengembang dan pengguna).
Metode  perancangan  yang  digunakan  adalah  model fungsional  yaitu  Data  Flow  Diagram  (DFD).  Tujuan dari tahap perancangan adalah:
a. Merealisasikan hasil tahap analisa ke dalam bentuk rancangan sistem yang lebih rinci;
b. Mendefinisikan  bentuk  antar  muka  pemakai  pada bagian masukan dan keluaran;
c. Mendefinisikan  proses  pengolahan  data  atau informasi secara detil; dan
d. Membentuk  struktur  data  atau  basis  data  secara logik (logical database).
2) Implementasi  perangkat lunak Mengimplementasikan  hasil  perancangan  perangkat lunak  ke  dalam  bahasa  pemrograman,  yaitu  ke  dalam bahasa pemrograman Borland C++ Builder Versi 6.0.
3) Pengujian perangkat lunak
Menguji perangkat lunak dengan menggunakan beberapa  kasus  uji  dan  mengevaluasi  kinerja  perangkat lunak  apakah  sudah  sesuai  dengan  kebutuhan  yang diinginkan.

## V. H ASIL DAN P EMBAHASAN

## A. Analisis dan Perancangan Perangkat Lunak
Fasilitas-fasilitas yang  ada di dalam perangkat lunak yang diberi nama PLFraKom ini adalah sebagai berikut:
1) Pembangkitan Fraktal yang terdiri dari
a. Membangkitkan  fraktal  baru,  dengan  adanya fasilitas  ini  maka  dapat  dibuat  sebuah  fraktal dengan masukan berupa file teks.
b. Modifikasi  Fraktal,  dengan  fasilitas  ini  sebuah fraktal  yang  telah  dibentuk  dapat  dimodifikasi dengan cara memodifikasi parameter-parameternya. Fraktal  yang  akan  dimodifikasi  harus  sudah  ada  di dalam suatu list fraktal. Di samping itu Fraktal yang sudah dimodifikasi dapat disimpan atau dibatalkan.
2) Menyimpan  data  fraktal,  dengan  fasilitas  ini  suatu
fraktal  yang  sudah  dibangkitkan  atau      dimodifikasi dapat  disimpan  ke  dalam  direktori  tertentu  atau  ke dalam list fraktal.
3) Membuka  data  fraktal,  dengan  adanya  fasilitas  ini pengguna  dapat  membuka  suatu  fraktal  dari  list  fraktal dengan cara memilih suatu file yang akan di buka.
4) Menampilkan  About,  dengan  adanya  fasilitas  ini pengguna  dapat  menampilkan  form  yang  berisi informasi mengenai perangkat lunak ini.

## B. Arsitektur Perangkat Lunak
Arsitektur  perangkat  lunak  merupakan  gambaran  secara umum  komponen-komponen  yang  membentuk  perangkat lunak.  Pengelompokan  komponen    secara  umum  dibagi dalam  tiga  bagian,  yaitu  komponen  masukan  sistem, komponen proses, dan komponen keluaran sistem. Arsitektur perangkat  lunak  PLFraKom  secara  umum  disajikan  seperti Gambar 5.
Arsitektur PLFraKom Masukan Sistem Parameter, Variabel Faktor warna Pilihan Fraktal Keluaran Sistem Save Data Gambar Fraktal Bangkitkan   Fraktal Buat Fraktal Modifikasi Fraktal Parameter proses, Variabel proses, Faktor warna dan Pilihan fraktal File Teks Display File Aktivitas Display Arah aktivitas dalam PLFraKom Arah aktivitas dari atau ke PLFraKom

## Gambar 5. Arsitektur Perangkat Lunak PLFraKom

## C. Perancangan Antarmuka
Di  dalam  sebuah  perangkat  lunak,  antarmuka  memegang peranan  penting  karena  antarmuka  berhubungan  langsung dengan  pengguna  perangkat  lunak.  Untuk  memudahkan pengguna  digunakan  sistem  menu  pull  down.  Untuk  lebih jelasnya,  maka  secara  lengkap  menu  dan  sub  menu diuraikan  seperti  Gambar  6.  Selain  menu  pulldown,  ada beberapa tombol (buttonspeed) yang merupakan shortcut ke beberapa  proses  yaitu  tombol    Open,  Save,    Create  dan Modification.
Pengguna    berinteraksi    dengan    perangkat    lunak PLFraKom    melalui  layar  saji  dalam  bentuk  jendela (Windows).  Layar  saji  terdiri  dari  jendela  utama,  jendela create dan jendela about.
1) Jendela layar utama
Jendela  layar  utama  ini  adalah  layar  pertama  yang muncul  jika  perangkat  lunak  dijalankan.  Pada  layar  ini pengguna dapat memilih menu-menu yang ada.

## 2) Jendela Create

## Bila  pengguna  membuka  tombol  Generation  kemudian
Create  pada  layar  menu  utama,  maka  jendela  Create akan  muncul.    Jendela  ini  akan  digunakan  oleh pengguna  sebagai  sarana  memasukkan  paremater- parameter untuk membangkitkan fraktal.
3) Jendela About
Jendela  ini  menampilkan  informasi  mengenai  nama perangkat  lunak,  pembuatnya,  versi  pembuatan,  tahun pembuatan, dan nama lembaga.
Gambar 6. Struktur Menu PLFraKom

## D. Model Fungsional
Model  fungsional  menggambarkan  proses-proses  yang terjadi dalam perangkat lunak, masukan serta keluaran yang terjadi  pada  proses.  Model  fungsional  PLFraKom  akan digambarkan  dalam  diagram  aliran  data  (DFD).  Diagram aliran  data  untuk  PLFraKom  terdiri  dari  diagram    context dan  diagram  aliran  data  level-level  berikutnya  yang merupakan turunan dari diagram context dengan proses yang lebih terperinci.
Diagram  Konteks  PLFraKom  digambarkan  pada  Gambar 7. Masukan ke sistem berupa parameter-parameter masukan, sedangkan keluarannya gambar fraktal dan pesan kesalahan. Perincian proses dari DFD level 1, yang terdiri dari proses- proses dapat dilihat pada Gambar 8.
PLFraKom Pengguna Parameter, Variabel proses , Warna, Pilihan Fraktal Gambar Fraktal, Pesan Kesalahan
Gambar 7. Diagram Konteks (DFD level 0) PLFraKom
1 .0 In p u t in g  D a t a D a t a   V a r i a b e l,  P a r a m e te r , W a r n a ,   d a n  P il ih a n  F r a k t a l P e s a n   K e s a la h a n P a r a m e te r  d a n V a r ia b e l p r o s e s , W a r n a , P ilih a n  F r a k ta l 2 .0 O p e r a ti o n F r a k t a l 3 .0 S a v i n g   D a ta 4 . 0 D is p l a y i n g F r a k t a l F il e  D a ta P e n g g u n a P a r a m e te r ,  V a r ia b e l ,  W a r n a d a n   P ili h a n   F r a k t a l P a ra m e t e r,   V a ri a b e l,  W a r n a , d a n   P ili h a n   F r a k t a l P a r a m e t e r ,  V a r ia b e l, W a r n a ,  d a n  P ilih a n  F r a k t a l N a m a  F ile G a m b a r  F r a k t a l G a m b a r  F ra k ta l F ili G a m b a r F r a k t a l, F il e   T e k s G a m b a r F ra k ta l

## Gambar 8. DFD level 1 PLFraKom

## E. Implementasi Perangkat Lunak
Perangkat pengembangan sangat menentukan kinerja dari perangkat  lunak  yang  dibangun.  Lingkungan  ini  terbagi  ke dalam  dua  bagian  yaitu  lingkungan  perangkat  lunak  dan lingkungan perangkat keras.
Perangkat lunak PLFraKom dibangun dalam lingkungan  pemrograman  Microsoft  Windows.  Bahasa pemrograman yang dipakai adalah Borland C++ Builder 6.0. Adapun alasan pemilihan lingkungan ini adalah :
1) Jika  dibandingkan  dengan  lingkungan  berbasis  mode teks  seperti  DOS,  lingkungan  Windows  mempunyai kemampuan  untuk  memberikan  antar  muka  yang  lebih baik dan mudah;
2) Bahasa  pemrograman  C++  hemat  ruang  memori, sehingga  relatif  lebih  cepat  menjalankannya,  meskipun aplikasi  yang  dibuat  melakukan  proses  terhadap gambar; dan
3) Penggunaan  C++  Builder  karena  aplikasi  ini  cukup potensial  untuk  pemrograman  visual  dan  pembuatan antar muka yang memadai.
Selengkapnya hasil implementasi jendela utama dapat dilihat pada Gambar 9.

## VI. K ESIMPULAN DAN SARAN
Geometri  fraktal    dapat  dibangkitkan  dengan  cara melakukan iterasi terhadap suatu fungsi matematika tertentu. Salah  satu    adalah    yang  berbasis  bilangan  kompleks. Perangkat lunak PLFraKom dibangun dengan menggunakan metode  perancangan  berorientasi  aliran  data  (DFD)  dan diimplementasi  dengan  perangkat  pengembangan  Borland C++  Builder  versi  6.0,  dan  telah  mencapai  tujuan  yang diinginkan yaitu dapat membangkitkan fraktal.
Pembuatan  antar  muka  pemakai  sangat  dibantu  oleh pemakaian  alat  bantu  pengembangan  perangkat  lunak Borland  C++  Builder,  karena  Borland  C++  Builder merupakan alat bantu pemrograman visual. Perangkat lunak PLFraKom  ini  telah  dapat  menghasilkan  keluaran  seperti yang diinginkan, yaitu pembangkitan gambar-gambar fractal Mandelbrot, Julia, Dragon dan Barnsley.
Untuk  proses  pengembangan  lebih lanjut, maka beberapa saran  yang  perlu  dipertimbangkan  adalah  perlu  adanya fasilitas tambahan zoom untuk memperbesar tampilan objek fraktal  dan  penambahan  fasilitas  help  untuk  petunjuk pengoperasian perangkat lunak.

## R EFERENSI
[1] Barnsley,    M.F.,  Fractals  Everywhere.  London.  Academic  Press Professional. 1995.
[2] Falconer,  K.,  Fractal  Geometry:  Mathemetical  Foundation  & Applications. New York. John-Wiley & Sons. 1992.
[3] Jauhari, Jaidan. 2004. Perangkat Lunak Pembangkit Fraktal. Seminar Nasional  Research  and  Studies  Proyek  TPSDP  ,  Yogyakarta,  11-13 Februari 2004.
[4] Jauhari,  Jaidan.  Perangkat  Lunak  Pembangkit  Fraktal  Berbasis Fungsi  Polynomial.  Jurnal  Ilmiah  Generic  Fakultas  Ilmu  Komputer
Unsri. Volume 2, No 2., 2008.
[5] Jauhari, Jaidan. 2008. Perangkat Lunak Pembangkit Fraktal Berbasis Fungsi  Transenden.  Jurnal  MIPA  dan  Pembelajarannya  Universitas
Negeri Malang. Volume 31, No 1
[6] Mandelbrot,  B.B.  The  Fractal  Geometry  of  Nature.  W.H.  Freeman Company. 1992.
[7] Mujiono.  Tentang    Fraktal.    Harian    Umum    Kompas.    Tanggal    10 Mei  2002   Online www.kompas.com/kompas_cetak/0205/
10/iptek/tent34.htm [diakses tanggal 15 Oktober 2006].
[8] Pietronero,  L.  and  Tosatti,  E.  Fractal  in  Physics.  Proceeding  of  the Sixth  Trieste  Int.  Symp.  On  Fractal  in  Physics,  ICTP,  Trieste  Italy.
July 9-12., 1995.
[9] Pressman,  R.S.  Software  Engeneering  :  A  Practitioner’s  Approach (4thed). New York. Mc Graw Hill. 1997.
[10] Purcell, E.J. dan Dale Verberg. Kalkulus dan Geometri Analitis (Jilid 2). Jakarta. Erlangga. 1993.
[11] Stevens,  R.T.  Advanced  Fractal  Programming  in  C.  Redwood  City, CA : M&T Books. 1990.