## KESTABILAN GLOBAL BEBAS PENYAKIT FLU SINGAPURA (Hand, Foot and Mouth Disease) BERDASARKAN MODEL SEIRS
Eminugroho Ratna Sari
Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA UNY Karangmalang, Yogyakarta eminugrohosari@gmail.com

## Abstrak
Penelitian  mengenai  penyebaran  HFMD  pertama  dilakukan  menggunakan  model  SIR.  Pada  model  ini, populasi individu yang sebenarnya telah terinfeksi tetapi belum menunjukkan gejala-gejala penyakit tidak dijelaskan. Dalam  paper  ini  akan  dibahas  mengenai  pembentukan  model  matematika  dari  penyebaran penyakit  HFMD  menggunakan  model  SEIRS.  Adanya  penambahan  kelas  populasi  E  ( Exposed )  untuk melengkapi  kekurangan  pada  model  sebelumnya.  Berdasarkan  model,  diperoleh  titik  ekuilibrium  bebas penyakit  dan  endemik.  HFMD  tidak  akan  mewabah  jika 0 1 R  .  Selanjutnya  dilakukan  simulasi menggunakan MAPLE 13. Kata Kunci: flu Singapura (HFMD), model SEIRS, titik ekuilibrium, La Salle Liapunov, stabil asimtotik global

## Abstract
Research  on  the  spread  of  HFMD  first  performed  using  SIR  models.  In  this  model,  population  of individuals who have been infected but has not shown any symptoms of the disease has not been clarified. In this paper we will discuss the establishment of a mathematical model of the spread of HFMD SEIRS model. There is an additional class of population E (Exposed) to supplement deficiencies in the previous model. Based on the model, there are the disease-free and the endemic equilibrium point. HFMD will not outbreak if 0 1. R  Furthermore, the simulations are made using MAPLE 13.
Keywords:  flu  Singapore  (HFMD),  model  SEIRS,  the  equilibrium  point,  La  Salle  Liapunov,  global asymptotic

## A. Pendahuluan
Influenza  adalah  penyakit  perna- pasan  yang  sangat  menular  dan  dise- babkan  oleh  virus  influenza.  Sementara virus  influenza  terdiri  dari  3  tipe,  yaitu A, B dan C. Virus influenza tipe A dapat menginfeksi  manusia, kuda, babi, anjing laut,  ikan  paus,  burung  dan  binatang lainnya. Virus ini yang paling berbahaya, karena virus ini dapat menjangkiti hewan dan manusia. Virus influenza A mengalami  mutasi  (perubahan  genetik)
menghasilkan  virus  influenza  baru  yang lebih  berbahaya  yang  bisa  meng- akibatkan  wabah  epidemik  dan  pan- demik  influenza.  Pada  tahun  1918, terjadi  wabah  pandemik  yang  disebab- kan virus influenza, yang disebut dengan “Spanish  Flu”.  Tahun  1957,  virus influenza kembali bermutasi yang dikenal  dengan  “Asian  Flu”  dan  wabah global kembali terjadi. Pada tahun 1968, virus  flu  kembali  menyebabkan  wabah pandemik,  mutan  virus  tersebut  dikenal
dengan  “Hongkong  Flu”.  (Eminugroho R, 2009). Virus influenza terus mengalami  perubahan  genetik  hingga pada  tahun  1972  muncul  mutan  virus influenza yang kemudian dikenal sebagai penyebab penyakit “Flu Singapura”.
Penyakit  flu  singapura  atau  dalam bahasa kedokteran disebut sebagai penyakit Hand, Foot and Mouth Disease (HFMD)  merupakan  penyakit  infeksi yang  seringkali  menyerang  anak-anak usia  2  minggu  sampai  5  tahun  (bahkan hingga  10  tahun).  Orang  dewasa umumnya  kebal  terhadap  penyakit  yang mempunyai masa inkubasi 2 – 5 hari ini. HFMD  disebabkan  oleh Coxsackievirus
A type 16 (CV A16) dengan bermacam- macam  strain,  yaitu  coxsackievirus  A5, A7,  A9,  A10,  B2  dan  B5.  Namun demikian,  yang  menyebabkan  pandemik adalah Enterovirus 71  (EV-71).  (Roy,
2010).
Penularan penyakit ini melalui kontak langsung  dari  orang  ke  orang  yaitu melalui  droplet,  pilek  dan  air  liur. Penularan melalui kontak tidak langsung juga  mungkin  terjadi,  misalnya  peng- gunaan  handuk,  baju,  peralatan  makan dan  mainan  secara  bersama-sama.  Bi- asanya penyakit  ini  muncul pada  musim panas. (CDC, 2012)
Gejala-gejala  yang  timbul  untuk terserang  penyakit  ini  antara  lain, demam  selama  2  –  3  hari,  disertai  tidak ada nafsu makan, pilek dan gejala seperti flu  pada  umumnya.  Selanjutnya  akan muncul  sariawan  (pada  lidah,  gusi,  pipi sebelah  dalam)  dan  timbul  ruam  di tangan dan kaki.
Menurut  Shah et  all (2003)  dalam Singapore  Medical  Journal,  bahwa  pada awal  kemunculan  HFMD  di  Singapura pada  tahun  1972,  penyakit  ini  meng- infeksi  104  anak-anak  dalam  3,5  bulan. Penyakit ini semakin meluas ke beberapa negara  lain,  bahkan  dari  tahun  ke  tahun terus  mengalami  peningkatan  jumlah penderita.
Tabel 1. Penyebaran HFMD di

## Beberapa Negara
(Wikipedia, 2012 untuk HFMD dan Roy,
2012) Tahun Negara Jumlah kasus HFMD 1997 Sarawak, Malaysia 2626 terinfeksi dan 31 meninggal 1998 Taiwan 405 terinfeksi, 78 meninggal 2006 Sarawak, Malaysia 14423 terinfeksi dan 13 meninggal 2008 Cina 25000 terinfeksi dan 42 meninggal 2008 Singapura 2600 terinfeksi 2009 Indonesia Beberapa kasus teridentifikasi dan berakhir fatal (meninggal) 2010 Cina 115000 kasus dilaporkan,
773 diantaranya mengalami komplikasi dan 50 meninggal Tabel 2. Rasio Penyebaran HFMD di Beberapa Negara (WHO, 2012) Negara Jumlah Kasus HFMD Rasio (2012/ 2011) 2011 2012 Cina 34709  99052 2,9 Jepang 7819 6707 0,9 Korea 170 200 1 Singapura 4800 16345 3.4 Vietnam - 43196
Berdasarkan  Tabel  1  dan  2,  tampak bahwa  HFMD  telah  menjadi  ancaman bagi  penduduk  dunia.  Jika  dilakukan penanganan  yang  tepat,  anak-anak  yang terserang  penyakit  ini  bisa  sembuh, tetapi  dapat  terinfeksi  kembali  dengan strain  virus  yang  berbeda.  Namun,  jika terjadi  komplikasi  dapat  menyebabkan radang  selaput  otak  dan  radang  otot jantung  yang  mengarah  pada  kematian. Untuk  itu,  diperlukan  analisa  mengenai dinamika penyakit HFMD agar penyebarannya dapat dicegah atau diminimalisir.
Wang  dan  Sung  (2007)  telah menganalisa penyakit HFMD berdasarkan model SIR. Dalam
penelitiannya belum dijelaskan
mengenai populasi individu yang sebenarnya  telah  terinfeksi  penyakit tetapi  belum  menunjukkan  gejala-gejala penyakit. Dalam paper ini, akan dianalisa  mengenai penyebaran penyakit HFMD  dari  sudut  pandang  matematika sehingga  setelah  dilakukan  identifikasi perilaku penyakit di sekitar titik ekuilibrium dapat diketahui kapan HFMD akan menghilang dan kapan akan mulai menyebar.
Analisa yang akan digunakan adalah model  SEIRS.  Dalam  hal  ini  populasi individu yang sebenarnya telah terinfeksi penyakit  tetapi  belum  menunjukkan gejala-gejala  penyakit  akan  berada  pada “kelas” tersendiri yaitu kelas E.
Selanjutnya, penderita yang telah sembuh  dapat  kembali  rentan  terhadap HFMD.

## B. Formulasi Model
Pada Model SEIRS, populasi dibagi menjadi  4  kelas  yaitu  kelas S untuk menyatakan  populasi  yang  rentan,  kelas E menyatakan  jumlah  individu  yang sebenarnya  telah  terinfeksi  penyakit tetapi  belum  menunjukkan  gejala-gejala penyakit  (disebut  juga  dengan  kelas laten), kelas I menyatakan populasi yang terinfeksi,  dan  kelas R menyatakan populasi yang  telah sembuh  dari penyakit.
Selanjutnya,  dimisalkan   S t me- nyatakan jumlah individu dari kelas yang rentan  pada  saat t ,   E t menyatakan jumlah  individu  yang  sebenarnya  telah terinfeksi penyakit tetapi belum menunjukkan gejala-gejala penyakit pada  saat t (disebut  juga  dengan  laten atau terpapar) ,   I t menyatakan  jumlah individu  dari  kelas  yang  terinfeksi  dan menular  pada  saat t, dan   R t menya- takan  jumlah  individu  dari  kelas  yang sembuh pada saat t.
Pada  model  ini,  laju  kelahiran  dan laju  kematian  alami  dinotasikan  dengan  .  Sementara  laju  kematian  karena HFMD  dinotasikan  dengan  .  Diasum- sikan  bahwa  semua  bayi  yang  lahir,
masuk ke dalam kelas S. Karena individu yang  rentan  setelah  terjadi  kontak dengan  individu  terinfeksi  akan  berada dalam  masa  inkubasi,  sehingga  akan masuk  ke  dalam  kelas E. Selanjutnya jika individu tersebut telah menunjukkan gejala-gejala  penyakit,  artinya  individu telah  terinfeksi,  maka  masuk  kelas I, dengan  laju  .  Individu  yang  telah sembuh  akan  masuk  ke  dalam  kelas R dengan  laju  .  Oleh  karena,  individu yang  pernah  terkena  penyakit  HFMD bisa  terkena  lagi  tetapi  dengan  strain yang berbeda, maka individu yang sudah masuk kelas R masuk kembali ke dalam kelas S dengan  laju  .  Hal  inilah mengapa  model  ini  disebut  dengan SEIRS.
Dari asumsi dapat digambarkan dalam diagram transfer sebagai berikut:
Gambar 1. Diagram transfer model SEIRS S E I R      I     
Selanjutnya,  berdasarkan  diagram transfer tersebut diperoleh model SEIRS untuk HFMD sebagai berikut:
dS SI S R dt         (1.a) dE SI E E dt       (1.b) dI E I I I dt         (1.c)
dR I R R dt       (1.d)
Populasi  total  dari  Model  (1)  adalah 1 S E I R     .
C. Titik Ekuilibrium
Berdasarkan Sistem (1) dapat diperoleh  dua  jenis  titik  ekuilibrium yaitu  titik  ekuilibrium  bebas  penyakit dan  endemik  yang  dapat  dijelaskan dalam lemma berikut.
Lemma 1.
(i) Jika 0 I  ,  maka  Sistem  (1)  mempunyai  titik  ekuilibrium  bebas  penyakit,
  0 1, 0, 0, 0 P  .
(ii) Jika 0 I  ,  maka  Sistem  (1)  mempunyai  titik  ekuilibrium  endemik,
  , , , P S E I R      , dengan     S             ,   E I          ,
        
I                               ,   R I        .
Bukti:
Sistem (1) akan mencapai titik
ekuilibrium jika
0, 0, 0, 0 dS dE dI dR dt dt dt dt     ,
sehingga Sistem (1)  dapat ditulis
0 SI S R         (2.a) 0 SI E E       (2.b) 0 E I I I         (2.c) 0 I R R       (2.d)
Berdasarkan Persamaan (2.c) diperoleh  
E I        (3)
Jika  Persamaan  (3)  disubtitusikan  ke
Persamaan (2.b), maka diperoleh
    0 SI I             .
Akibatnya diperoleh
    S            atau 0 I  .
(i) Jika 0 I  disubstitusikan  ke
Persamaan  (3)  dan  (2.d),  maka  diper- oleh 0 E  dan 0 R  . Selanjutnya,  jika disubtitusikan ke Persamaan (2.a), maka
diperoleh 1 S  .  Jadi,  diperoleh  titik
ekuilibrium   0 1, 0, 0, 0 P  ,  artinya  po-
pulasi bebas penyakit HFMD.
(ii) Jika 0 I  (  dinotasikan  dengan
I  ), maka dari Persamaan (3) diperoleh
  E I          (4)
dan dari Persamaan (2.d) diperoleh
  R I        . (5)
Jika     S            dan
berdasarkan  Persamaan  (5),  maka  dari
Persamaan (2.a) diperoleh
         (6)
I                              
Jadi, diperoleh titik ekuilibrium
  , , , P S E I R      dengan     S             dan , , E I R   
berturut-turut  seperti  pada  Persamaan (4),(6),(5).
Artinya  penyakit  HFMD  masih  ada dalam populasi.
□
D. Kestabilan Titik Ekuilibrium

## Bebas Penyakit
Pada  paper  ini  hanya  akan  dibahas mengenai  kestabilan  Sistem  (1)  di sekitar  titik  ekuilibrium  bebas  penyakit
HFMD,  yang  dijelaskan  dalam  lemma berikut.
Lemma 2.
(i) Jika    0 1 R            , maka titik ekuilibrium   0 1, 0, 0, 0 P  stabil asimtotik global.
(ii) Jika    0 1 R            ,
maka titik ekuilibrium   0 1, 0, 0, 0 P  tidak stabil.
Bukti:
Matriks Jacobian di sekitar titik ekuilibrium   0 1, 0, 0, 0 P  adalah
      0 0 0 0 0
0
0 0 P J                                    (7)
Persamaan karakteristik dari (7) yaitu 0 0 P J kI   , dengan k adalah nilai eigen,
      0 0 0 0 0
0
0 0 k k k k
                                    0 0 0
0 k k k k                        
           0 k k k k                   
   
     
         0 k k k k                                        2 0 k k k k                                   .
(8)
Persamaan  (8)  dapat  ditulis  menjadi
      2 0 k k k Ak B                ,  dengan   A           dan    B            .
Berdasarkan  Persamaan  (8)  diperoleh
nilai-nilai eigen 1 k    dan   2 k      , sedangkan nilai-nilai eigen  yang  lain  merupakan  akar-akar dari
2 0 k Ak B    . (9)
Selanjutnya didefinisikan
   0 R           .
(i) Perhatikan  bahwa  pada  Persamaan
(9) nilai   0 A            .
Karena  diketahui  bahwa 0 1 R  ,
maka nilai
             0 1 1 0 B R                                                 
Di  lain  pihak,  berdasarkan  Kriteria Routh  Hurwitz  (Eminugroho,  2009), pembuat  nol  dari  Persamaan  (9)  akan bernilai  negative  jika 0 A  dan 0 B  . Hal  ini  berarti  semua  nilai  eigen Persamaan (8) bernilai  negatif  akibatnya titik  ekuilibrium   0 1, 0, 0, 0 P  stabil  a-
simtotik lokal. Untuk meninjau
kestabilan  global,  didefinisikan  fungsi
Liapunov 4 : V   dengan     4 , , , : 1 S E I R S E I R       dan
    V E I       x . (10)
Diperhatikan  bahwa  fungsi 4 : V   pada Persamaan (10) memenuhi: a. Fungsi V kontinu  dan  mempunyai turunan-turunan  parsial  yang  kontinu pada 4 .
b. Fungsi V definit positif.
c. Jika  kedua  ruas  dari  Persamaan  (10) diturunkan terhadap t, maka diperoleh
    V dS V dE V dI V dR V S dt E dt I dt R dt dE dI dt dt                         x       SI E E E I I I                      SI I I I                        1 S I S I                 
                  
 
     
1 I                            ,
karena 0 1 S  
    0 1 R I           Karena diketahui 0 1 R  , maka   0 V  x
 untuk setiap
  , , , S E I R   4 x dan x bukan  titik
ekuilibrium, yaitu   1, 0, 0, 0  x .
d. Untuk   1, 0, 0, 0  x , maka diperoleh   0 V  x .
Oleh  karena  a,  b  dan  c  terpenuhi,  maka berdasarkan Teorema La Salle Liapunov (Hsu,  2005),  terbukti  bahwa  titik
ekuilibrium   0 1, 0, 0, 0 P  stabil  asim-
totik global.
(ii) Diperhatikan Persamaan (9). Karena  diketahui 0 1 R  ,  jelas  bahwa persamaan  kuadrat  pada  Persamaan  (9) mempunyai diskriminan  lebih  besar dari nol. Jika 3 k dan 4 k merupakan akar-akar dari  Persamaan  (9),  maka  diperoleh
             3 4 0 1 1 k k B R                      
                          
Karena diketahui 0 1 R  , maka 3 4 0 k k  , artinya akar-akar Persamaan (9) berbeda tanda  ( 3 k positif  dan 4 k negative,  atau sebaliknya).  Jadi,  jika 0 1 R  ,  maka Persamaan  (8)  mempunyai  satu  nilai eigen  yang  positif,  sehingga  titik ekuilibrium   0 1, 0, 0, 0 P  tidak stabil. □

## E. Simulasi Numerik
Sistem persamaan diferensial untuk  HFMD  (1)  dapat  diselesaikan secara  numerik  dengan  MAPLE  13. Berikut  akan  diberikan  simulasi  untuk nilai 0 R meningkat.  Nilai-nilai  parame- ter diberikan sebagai berikut
0.1; 0.1; 0.98;       0.2; 0.2     . Jadi diperoleh
Gambar  2.  Simulasi  Sistem  (1)  dengan
nilai 0.3   Gambar  3.  Simulasi  Sistem  (1)  dengan nilai 0.5  
Jika  nilai-nilai  parameter  dengan
0.3   disubstitusikan  pada  Sistem  (1),
maka  diperoleh 0 0.54 R  .  Berdasarkan
Gambar 2, tampak bahwa perilaku solusi akan  menuju  ke  titik  ekuilibrium 0 P sesaat  setelah 30 t  .  Pada  saat  nilai
0 0.9 R  ,  dari  Gambar  3  tampak  bahwa
solusi  akan  menuju 0 P sesaat  setelah
45 t  .  Artinya,  pada  saat  nilai 0 R
semakin  besar  tetapi  masih  kurang  dari satu,  maka  semakin  lama  HFMD  akan menghilang dari populasi. Di  lain pihak, ketika 0 1 R  ,  maka  HFMD  masih  akan
ada dalam populasi. Seperti tampak pada Gambar 4 berikut
Gambar 4. Simulasi Sistem (1) dengan
nilai 0.998  

## F. Kesimpulan
Diberikan model matematika untuk  penyebaran  HFMD  seperti  pada Sistem  (1)  berdasarkan  model  SEIRS. Berdasarkan  Sistem  (1)  diperoleh  dua titik  ekuilibrium  yaitu  titik  ekuilibrium bebas  penyakit  dan  titik  ekuilibrium
endemik.  Menggunakan  teorema  La Salle Liapunov, telah ditunjukkan bahwa titik  ekuilibrium  bebas  penyakit  stabil asimtotik  global.  Artinya,  suatu  saat HFMD  akan  benar-benar  hilang  dari populasi.
Berdasarkan  simulasi  yang  telah dilakukan,  HFMD  tidak  akan  ada  lagi dalam populasi atau masih ada, tergantung  dari  nilai  laju  kontak.  Jika laju kontak individu yang rentan menjadi terpapar  dan  individu  terpapar  menjadi terinfeksi  kurang  dari  laju  kematian alami, laju kematian karena HFMD, laju kesembuhan dan  laju transmisi sehingga individu  yang  telah  sembuh  kembali rentan HFMD, maka pada waktu tertentu HFMD  akan  menghilang  dari  populasi. Jika sebaliknya, maka HFMD tetap akan ada dalam populasi.

## G. Daftar Pustaka
Hsu,  Sze-Bi.  (2005).  A  Survey  of Constructing  Lyapunov  Functions  for Mathematical  Models  in  Population
Biology. Taiwanese Journal of Mathematics. Vol.  9  No.  2  pp.  151-
173
Eminugroho,  (2009), Modeling  the
Eradication  of  Aedes  Aegypti  with Sterile  Insect  Technique ,  Proceedings of  IICMA,  Gadjah  Mada  University, Yogyakarta, pp 301-312.
Eminugroho  R,  (2009),    Analisa  Kesta- bilan  Model SIRC Untuk  Influenza Tipe  A, Jurnal  Matematika  Univer-
sitas Diponegoro. Vol. 12 No. 3: 122- 127.
Roy,  N.,  Halder,  N.,  (2010).  Compar- tmental  Modeling  of  Hand,  Foot  and Mouth  Infectious  Disease  (HFMD).
Research Journal of Applied
Sciences . Vol. 5 No. 3: 177-182.
Roy,  N.,  (2012).  Mathematical  Model- ling  of  Hand-Foot-Mouth  Disease: Quarantine  as  a  Control  Measure.
IJASETR  Research  Paper  ISSN:
1839-7239. Vol. 1 Issue 2 Article 4.
Shah, V.A., C.Y. Chong,  K.P. Chan,  W.
Ng., A.E.Ling. (2003). Clinical
Characteristics  of  an  Outbreak  of Hand,  Foot,  and  Mouth  Disease  in Singapore. Singapore Medical Journal. Vol. 32 No. 3: 381-387.
Wang,  Y.C.  and  F.C.  Sung.  (2007). Modeling the Infections for
Enteroviruses  in  Taiwan .  Taiwan: Institute  of  Environmental  Health, National Taiwan University College of Public Health.
Centers for Disease Control and
Prevention  (CDC).  About  HFMD
http://www.cdc.gov/hand-foot-
mouth/about/index.html diakses
tanggal 22 Mei 2012
Wikipedia. HFMD
http://en.wikipedia.org/wiki/Hand,_f oot_and_mouth_disease diakses tanggal 22 Mei 2012.
WHO,  (2012), Hand,  Foot  and  Mouth Disease Update, http://www.wpro.who.int/entity/emer ging_diseases/HFMD/en/index.html diakses tanggal 22 Mei 2012