Analisis Kestabilan Model Predator-Prey dengan Upaya Pengendalian pada Predator

## Ilham
Universitas Islam Negeri Alauddin Makassar, Ilham170502@gmail.com

## Nadya
Universitas Islam Negeri Alauddin Makassar , mnadya732@gmail.com

## Haslinda Rahman
Universitas Islam Negeri Alauddin Makassar, lindharhman@gmail.com

## Siti Aisyah
Universitas Islam Negeri Alauddin Makassar , aisyah123pkp@gmail.com

## Khaerunnisa
Universitas Islam Negeri Alauddin Makassar, khaerunnisa1983@gmail.com

## Muh. Yusqo Rohiqul Mahtum
Universitas Islam Negeri Alauddin Makassar , muhyusqorohiqul@gmail.com

## Hikmawati Pathuddin
Universitas Islam Negeri Alauddin Makassar, hikmawati.pathuddin@uin-alauddin.ac.id
ABSTRAK ,  Penelitian  ini  membahas  tentang  model predator-prey  dalam  ekosistem  dengan  melibatkan  upaya pengendalian  pada  predator.  Penelitian  ini  berfokus  pada dinamika  populasi  kedua  spesies  tersebut  menggunakan model predator-prey yang telah dimodifikasi. Asumsi yang digunakan  dalam  penelitian  ini  adalah  bahwa  prey dikonsumsi oleh predator, predator akan mati jika tidak ada prey,  prey  meningkat  ketika  tidak  ada  predator,  predator dapat mengkonsumsi prey dalam jumlah tak terbatas, dan prey  mati  hanya  jika  dimangsa  oleh  predator.  Hasil penelitian  menunjukkan  dua  titik  keseimbangan:  (0,0) yang  berarti  terjadinya  kepunahan  di  kedua  spesies,  dan ( 𝑚 𝑎 , 𝑟 𝑎 ) yang  menunjukkan  eksistensi  kedua  spesies.
Analisis kestabilan menggunakan matriks Jacobi menujukkan  bahwa  titik  keseimbangan  kedua  stabil  jika 𝑚 > 𝑐 .  Penelitian  ini  memberikan  kontribusi  dalam pemahaman  interaksi  spesifik  antara  predator  dan  prey, serta  memberikan  solusi  mitigasi  untuk  mengurangi serangan  predator  terhadap  prey,  mendukung  upaya konservasi  dan  pengelolaan  sumber  daya  alam  yang berkelanjutan.
Kata Kunci:
Predator, Prey, Titik Kesetimbangan, Kestabilan

## 1. PENDAHULUAN
Masalah hubungan pemangsa dan mangsa  merupakan  salah  satu  topik  penting dalam  ekologi  yang  banyak  dikaji  untuk memahami  dinamika  populasi  dan  interaksi antarspesies  dalam  suatu  ekosistem.  Model predator-mangsa  pertama  kali  diperkenalkan
oleh  Lotka  dan  Volterra  pada  awal  abad  ke-20, yang  menjelaskan  bagaimana  dua  spesies, predator dan mangsa, berinteraksi dan bagaimana  populasi  mereka  berubah  seiring waktu [1].
Dalam  artikelnya,  Rumlawang  (2010) menyajikan eksplorasi mendalam tentang hubungan dinamis antara dua populasi mangsa- pemangsa yang berbeda dan hidup berdampingan dalam  lingkungan  bersama  [2].  Interaksi  antara kedua  spesies  ini  diperiksa  dengan  cermat menggunakan  pemodelan  matematika,  yang diwakili oleh sistem persamaan diferensial biasa nonlinier  yang  canggih.  Model  Predator-Prey menunjukkan  pengaruh  besar  satu  sama  lain. Khususnya, ketika terdapat banyak mangsa yang tersedia  untuk  dikonsumsi,  populasi  predator akan meningkat pesat karena kelebihan makanan, dan sebaliknya, jika populasi mangsa menurun, predator juga akan terkena dampaknya. Selain itu, hubungan antara kedua spesies dapat direpresentasikan  secara  matematis  melalui persamaan  diferensial  [3].  Selama  kompetisi, spesies yang berbeda akan menjalani perawatan yang  berbeda-beda.  Dalam  suatu  populasi, biasanya  terdapat  setidaknya  dua  spesies  yang bersaing dalam beberapa bentuk. Spesies-spesies ini  mungkin  tidak  hanya  hidup  berdampingan dalam  populasi  yang  sama,  tetapi  juga  dalam
ekosistem  yang  sama,  yang  dapat  dianalisis menggunakan  model  populasi  dan  serangkaian persamaan untuk setiap spesies [4].
Penelitian  sebelumnya  telah  banyak memfokuskan pada berbagai pasangan predator- prey,  seperti  singa  dan  zebra  di  savana  Afrika, serigala  dan  rusa  di  Amerika  Utara,  serta  ikan pemangsa  dan  plankton  di  ekosistem  laut  [5]. Penelitian  ini  mengadaptasi  model  Lotka- Volterra  dengan  beberapa  modifikasi  yang mempertimbangkan  upaya  mitigasi  yang  dapat dilakukan  untuk  mengurangi  serangan  predator terhadap prey. Pada penelitian ini juga dilakukan simulasi numerik untuk memvalidasi model yang dikembangkan,  yang  memberikan  kontribusi penting dalam upaya konservasi dan pengelolaan sumber daya alam secara berkelanjutan.

## 2. TINJAUANPUSTAKA

## Model Predator-Prey
Model  matematika  sering  digunakan  dalam proses pemecahan masalah, membantu pengembangan  solusi.  Dalam  bukunya  [6], memperkenalkan model dua spesies yang saling berinteraksi.  Hal  ini  memberikan  ilustrasi sederhana  namun  mendalam  tentang  dinamika yang  terjadi  ketika  dua  spesies  bersaing  untuk mendapatkan  sumber  makanan  yang  sama. Interaksi penting lainnya yang perlu dipertimbangkan  adalah  interaksi  predator  dan mangsa.  Model  ini  terdiri  dari  dua  persamaan diferensial  yang  menggambarkan  perubahan populasi predator dan prey dari waktu ke waktu. Persamaan tersebut adalah:
𝑑𝑁 𝑑𝑡 = 𝑟𝑁 − 𝑎𝑁𝑃 (2.1)
𝑑𝑃 𝑑𝑡 = −𝑠𝑃 + 𝑏𝑁𝑃
di mana:
N adalah populasi prey,
𝑃 adalah populasi predator,
𝑟 adalah laju pertumbuhan prey,
𝑎 adalah laju predasi,
𝑠 adalah laju kematian predator,
𝑏 adalah laju reproduksi predator per prey yang dikonsumsi

## Titik Kesetimbangan
Titik (𝑥 𝑖 , 𝑦 𝑖 ) adalah  titik  kesetimbangan  suatu persamaan diferensial:
𝑑𝑥 𝑑𝑡 = 𝑓(𝑡, 𝑥) (2.2) 𝑑𝑦 𝑑𝑡 = 𝑓(𝑡, 𝑦)
Jika 𝑓(𝑡, 𝑥) = 0 dan 𝑓(𝑡, 𝑦) = 0 untuk  semua nilai t. Oleh karena itu, maka ( 𝑥 𝑖 , 𝑦 𝑖 ) merupakan penyelesaian  sistem  untuk  semua  t.  Untuk menganalisis kestabilan pada titik kesetimbangan  system,  maka  terlebih  dahulu harus diketahi Solusi dari system tersebut [7].

## Matriks Jacobian
Dalam  menghitung  turunan  parsialnya  dapat didapat matriks jacobiannya sebagai berikut:
J: [ 𝜕𝑓 𝜕𝑥 1 ⋯ 𝜕𝑓 𝜕𝑥 𝑛 ⋮ ⋯ ⋮ 𝜕𝑓 𝑚 𝜕𝑥 1 ⋯ 𝜕𝑓 𝑚 𝜕𝑥 𝑛 ]
Matriks  diatas  adalah  rumus  matriks  untuk mendapatkan matriks jacobian [8].

## Nilai Eigen dan Vektor Eigen
Terdapat  matriks  koefisien  konstan 𝐴 berukuran 𝑛 × 𝑛 pada  sistem  persamaan diferensial biasa  homogen 𝑥̇ = 𝐴𝑥 , 𝑥(0) = 𝑥 0 , 𝒙  ∈ 𝑅 𝑛 .(Widia  et  al.,  n.d.).  Suatu  vektor  tak nol 𝒙 di  dalam 𝑅 𝑛 dapat  dikatakan  sebagai vektor  eigen  dari 𝐴 jika  untuk  suatu  skalar 𝜆 berlaku
𝐴𝑥 =  𝜆𝑥
Nilai skalar 𝜆 dinamakan nilai eigen dari 𝐴 .
Untuk  mencari  nilai 𝜆 dari 𝐴 ,  maka sistem persamaan dapat ditulis:
(𝐴 − 𝜆𝐼)𝑥 = 0 Dengan 𝐼 adalah  matriks  identitas.  Sistem persamaan diatas mempunyai solusi tak nol jika dan hanya jika
𝑃( 𝜆) = |𝐴 −  𝜆𝐼| = 0
Persamaan  tersebut  merupakan  persamaan karakteristik matriks 𝐴 [9].

## Kestabilan Titik Kesetimbangan
Kestabilan  titik  kesetimbangan  dari  sistem otonomus berdasarkan nilai eigen.
Gambar 4.1 Kestabilan Titik Kesetimbangan

## 3. METODOLOGI
Jenis  penelitian  yang  digunakan  adalah  studi literatur.  Secara  umum,  langkah-langkah  yang dilakukan  dalam  penelitian  ini  adalah  sebagai berikut:
1. Membuat  asumsi  dari  masalah  yang diteliti.
2. Membentuk model dari hasil asumsi.
3. Menentukan  titik  keseimbangan  dari model.
4. Menentukan matriks jacobi.
5. Melakukan analisis kestabilan.
6. Menentukan simulasi numerik.
7. Membuat Kesimpulan

## 4. PEMBAHASAN
Hasil Penelitian Beberapa elemen mempengaruhi model predator-prey.  Sementara  itu,  unsur-unsur  yang mempengaruhi laju pertumbuhan dan kepadatan spesies  predator  adalah  tingkat  maksimum,  laju kematian  dan  tingkat  predator.  Model  ini didasarkan pada asumsi berikut.
1. Prey  yang  masih  berukuran  kecil dikonsumsi oleh predator.
2. Predator  akan  kelaparan/  mati  ketika tidak ada prey.
3. Prey  akan  meningkat  ketika  tidak  ada predator.
4. Predator  dapat  mengkonsumsi  prey dalam jumlah yang tidak terbatas.
5. Prey  akan  mati  ketika  hanya  dimangsa oleh predator.
6. Predator  akan  berkurang  ketika  terkena jebakan.
Model Variabel dalam penelitian ini adalah: 𝑥 :   populasi prey (mangsa) 𝑦 :   populasi predator (pemangsa) 𝑟 :   laju pertumbuhan 𝑎 :   laju interaksi 𝑚 :   laju kematian predator (pemangsa) 𝑐 :   laju pengendalian predator (pemangsa)
Gambar 4.2 Diagram Model Predator Prey
Dari  diagram  di  atas,  model  dapat  dituliskan sebagai berikut.
𝑑𝑥 𝑑𝑡 = 𝑟𝑥 − 𝑎𝑥𝑦 (4.1)
𝑑𝑦 𝑑𝑡 = 𝑎𝑥𝑦 − 𝑚𝑦 − 𝑐𝑦 (4.2)
dengan semua parameter bernilai positif.

## Titik Kesetimbangan
Sistem pada persamaan (4.1) dan (4.2) dikatakan setimbang jika memenuhi syarat berikut.
𝑑𝑥 𝑑𝑡 = 𝑑𝑦 𝑑𝑡 = 0
Dari persamaan (4.1):
𝑟𝑥 − 𝑎𝑥𝑦 =0 x (r – ay) = 0 x=0 atau r – ay = 0 r = ay
y = 𝑟 𝑎 Dari persamaan (4.2):
axy – my – cy = 0 y (ax – m – c) =0 y =0 atau ax – m – c =0 ax = m + c x = 𝑚+𝑐 𝑎
Maka  diperoleh  titik  kesetimbangan  (0,0), ( 𝑚+𝑐 𝑎 , 𝑟 𝑎 )
Titik  kesetimbangan  (0,0)  merupakan  titik kepunahan  kedua  spesies.  Sedangkan, ( 𝑚+𝑐 𝑎 , 𝑟 𝑎 ) titik yang menunjukkan eksistensi kedua spesies. Dan  dari  titik  kesetimbangan  yang  telah didapatkan tersebut, akan dianalisis kestabilannya.

## Analisis Kestabilan
Kestabilan titik kesetimbangan dianalisis dengan terlebih  dahulu  melinearisasi  system  dengan matriks Jacobian.
𝐽 =   [ 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑦 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑦 ] = [ 𝑟 − 𝑎𝑦 −𝑎𝑥 𝑎𝑦 𝑎𝑥 − 𝑚 − 𝑐] Titik kesetimbangan (0,0):
J = [ 𝑟 − 𝑎(0) −𝑎(0) 𝑎(0) 𝑎(0) − 𝑚 − 𝑐 ] = [ 𝑟 0 0 −𝑚 − 𝑐 ]
Persamaan karakteristik:
[ 𝑟 0 0 −𝑚 − 𝑐 ] - [ 𝜆 0 0 𝜆 ] = [ 𝑟 − 𝜆 0 0 −𝑚 − 𝑐 − 𝜆 ] det [ 𝑟 − 𝜆 0 0 −𝑚 − 𝑐 − 𝜆 ] = 0 (𝑟 − 𝜆) ( −𝑚 − 𝑐 − 𝜆 ) – 0 =0
𝜆 1 = 𝑟 , 𝜆 2 = −𝑚 − 𝑐
Karena 𝜆 1 positif  dan 𝜆 2 negatif,  maka  titik kesetimbangan (0,0) merupakan  titik  pelana sehingga titik kesetimbangan ini tidak stabil.
Titik Kesetimbangan ( 𝑚+𝑐 𝑎 , 𝑟 𝑎 ) : [ 𝑟 − 𝑎 ( 𝑟 𝑎 ) −𝑎 ( 𝑚+𝑐 𝑎 ) 𝑎 ( 𝑟 𝑎 ) 𝑎 ( 𝑚+𝑐 𝑎 ) − 𝑚 − 𝑐 ] = [ 0 −𝑚 − 𝑐 𝑟 0 ]
Persamaan karakteristik:
[ 0 −𝑚 − 𝑐 𝑟 0 ] − [ 𝜆 0 0 𝜆 ] = [ −𝜆 −𝑚 − 𝑐 𝑟 −𝜆 ] det [ −𝜆 −𝑚 − 𝑐 𝑟 −𝜆 ] = ( −𝜆(−𝜆)) – ((−𝑚 − 𝑐) 𝑟) = 0 𝜆 2 + (𝑟𝑚 +  𝑟𝑐) = 0 𝜆 2 = −(𝑟𝑚 + 𝑟𝑐) 𝜆 1,2 = ±√−(𝑟𝑚 + 𝑟𝑐)
Misalkan (𝑟𝑚 + 𝑟𝑐) = 𝐴 ,  maka 𝜆 1,2 dapat ditulis sebagai berikut.
𝜆 1,2 = ±√−𝐴 =± 𝑖√𝐴 . Karena  nilai  eigennya merupakan  imajiner  murni,  maka  berdasarkan jenisnya, titik kesetimbangan ini merupakan titik center  sehingga  stabil  netral  (stabil  tapi  tidak asimtotik).
Selanjutnya  akan  dianalisis  pengaruh  upaya pengendalian pada predator.  Untuk parameter 𝑐 sebagai  parameter  pengendali,  dapat  dilihat bahwa jika 𝑐 = 0 maka persamaan karakteristik menjadi:
𝜆 2 + 𝑟𝑚 = 0
Sehingga diperoleh nilai eigen sebagai berikut. 𝜆 2 = −𝑟𝑚 𝜆 1,2 = ±√−𝑟𝑚 = ±𝑖√𝑟𝑚
Nilai  eigen  ini  merupakan  imajiner  murni sehingga titik kesetimbangan stabil netral. Hal ini menunjukkan  bahwa  upaya  pengendalian (𝑐) tidak mempengaruhi kestabilan.

## Simulasi Numerik
Pada model ini, akan dilakukan simulasi numerik dengan nilai parameter sebagai berikut.
Tabel 4.1 Nilai Parameter Parameter 𝑟 𝑎 𝑛 𝑚 𝑐 Nilai 0.1 0.02 0.01 0.1 0.0 0.2

## 0.8
Simulasi  akan  dilakukan  dengan  memberikan tiga  nilai 𝑐 yang  berbeda.  Berikut  adalah  grafik prey (𝑥) dan predator (𝑦) . Grafik pertama yaitu grafik  dengan  nilai 𝑐  =  0, grafik  kedua  yaitu grafik  dengan  nilai 𝑐  =  0.2 ,  dan  grafik  ketiga yaitu grafik dengan nilai 𝑐  =  0.8 . Adapun nilai awal yang diberikan adalah 𝑥 = 50 dan 𝑦 = 10
Gambar 4.3 Simulasi Numerik dengan Nilai 𝑐 yang Berbeda
Grafik  di  atas  menunjukkan  dinamika  populasi prey  (garis  biru)  dan  predator  (garis  merah) dalam kurun waktu tertentu. Adapun interpretasi dari ketiga grafik yang ditunjukkan pada simulasi di atas adalag sebagai berikut.
1. Grafik 𝒄 = 𝟎 :
o Pada grafik ini, nilai 𝑐 = 0 , yang berarti tidak ada upaya yang diaalkukan untuk menanggulangi keberadaan predator.
o Populasi  prey  mula-mula  sebanyak  50 ekor,  kemudian  menurun  drastis,  dan perlahan-lahan meningkat kembali menuju akhir periode waktu.
o Populasi predator memiliki pola serupa, tetapi dengan amplitudo lebih kecil dan penurunan yang lebih lambat dibandingkan prey.
2. Grafik 𝒄 = 𝟎. 𝟐 :
o Pada  grafik  ini,  dilakukan  upaya penanggulangan  pada  predator  dengan laju 0.2 .
o Populasi  prey  menunjukkan  pola fluktuasi  yang  lebih  jelas,  dengan beberapa puncak dan lembah.
o Populasi  predator  juga  berfluktuasi mengikuti  pola  yang  terjadi  pada prey.
3. Grafik 𝒄 = 𝟎. 𝟖 :
o Pada grafik ini, laju penanggulangan keberadaan  predator  ditingkatkan menjadi 0.8 . o Populasi prey menunjukkan fluktuasi yang lebih ekstrem dengan beberapa siklus  populasi  yang  sangat  tinggi diikuti  oleh  penurunan  tajam.  Dari grafik  dapat  terlihat  bahwa  jumlah prey meningkat hingga lebih dari 250 ekor  dan  saat  terjadi  penurunan, jumlahnya  tidak  pernah  kurang  dari nilai awal yang diberikan. o Populasi  predator  mengikuti  pola yang  sama,  menunjukkan  bahwa populasi  predator  dipengaruhi  oleh populasi prey.
Secara  keseluruhan,  grafik-grafik  ini menunjukkan bagaimana perubahan parameter 𝑐 mempengaruhi  dinamika  populasi  dua  spesies. Peningkatan  nilai 𝑐 berpengaruh  signifikan terhadap peningkatan jumlah prey.

## 5. KESIMPULAN
Adapun kesimpulan yang diperoleh berdasarkan hasil analisis adalah:
1. Terdapat  dua  titik  kesetimbangan  yang diperoleh  dari  model  yaitu (0,0) dan
( 𝑚+𝑐 𝑎 , 𝑟 𝑎 ) 2. Hubungan  antara  predator  dengan  prey adalah  jika  populasi  prey  meningkat  maka populasi  predator  juga  akan  meningkat mengikuti populasi prey, begitupula sebaliknya.  Hasil  simulasi  numerik  juga menunjukkan
bagaimana perubahan parameter 𝑐 mempengaruhi dinamika populasi dua spesies. Dengan meningkatnya nilai  c  menyebabkan  fluktuasi  yang  lebih signifikan dalam populasi kedua spesies dan berpengaruh  terhadap  peningkatan  jumlah prey.  Siklus  ini  kemudian  berulang  seiring berjalanannya waktu.

## 6. DAFTAR PUSTAKA
[1] E. W. Kopf and A. J. Lotka, “Elements of Physical  Biology,” J.  Am.  Stat.  Assoc. , vol.  20,  no.  151,  p.  452,  1925,  doi:
10.2307/2965538.
[2] F.  Y.  Rumlawang  and  T.  Sampeliling, “Model Dinamik Interaksi Dua Populasi,”
BAREKENG J. Ilmu Mat. dan Terap. , vol.
5,  no.  1,  pp.  9–13,  2011,  doi: 10.30598/barekengvol5iss1pp9-13.
[3] S.  B.  Waluya, Buku  Ajar  Persamaan Diferensial ,  no.  l.  Semarang:  Universitas Negeri Semarang, 2006.
[4] R.  Rahardi,  “Model  Kompetisi  Dua Spesies,” Inov. (Jurnal Humaniora, Sains dan Pengajaran) , vol. XVIII, no. 0, pp. 1– 23, 2010.
[5] C.  S.  Holling,  “The  components  of predation as revealed by a study of small- mammal  predation  of  the  European  Pine Sawfly1,” Can.  Entomol. ,  vol.  91,  no.  5, pp.
293–320, 1959, doi: 10.4039/Ent91293-5.
[6] R.  Haberman, Mathematical  models mechanical vibrations,
population
dynamics, and traffic flow : an introduction  to  applied  mathematics ,
Classics  i.  Philadelphia:  Society  for
Industrial  and  Applied  Mathematics,
1998.
[7] D.  Purnamasari,  Faisal,  and  A.  J.  Noor, “Kestabilan Sistem Predator-Prey Leslie,”
Epsil. J. Mat. Murni dan Terap. , vol. 3, no.
2, pp. 51–59, 2009, doi: 10.20527/epsilon.v3i2.43.
[8] N.  Hasan,  R.  Resmawan,  and  E.  Rahmi,
“Analisis Kestabilan Model Eko- Epidemiologi dengan Pemanenan Konstan pada Predator,” J. Mat. Stat. dan Komputasi ,  vol.  16,  no.  2,  pp.  121–142,
2020, doi: 10.20956/jmsk.v16i2.7317.
[9] H. Pathuddin, “Analisis Kestabilan Model Predator Prey pada Tanaman Bambu dan Giant  Panda,” J.  MSA  (Matematika  dan Stat.  serta  Apl. ,  vol.  8,  no.  2,  pp.  36–41,
2020, doi: 10.24252/msa.v8i2.14546.