AKSIOMA: Jurnal Matematika dan Pendidikan Matematika Vol. 15, No. 1 April 2024 e-ISSN 2579-7646

## Penerapan Metode Modified Hungarian pada Permasalahan Penugasan Fuzzy
1 Rina Megasari, 2 Bayu Prihandono, 3 Meliana Pasaribu
1,2,3 Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Tanjungpura
Email: rinamega.ssri@gmail.com

## Abstrak
Pengalokasian pekerjaan pada setiap pekerja merupakan salah satu masalah di Usaha  rafa  buket  pontianak  yang  bergerak  pada  pembuatan  berbagai  jenis buket.  Sulitnya  pengalokasian  disebabkan  oleh  beberapa  kendala  seperti kemampuan pekerja yang berbeda-beda dan pesanan tiap jenis buket sering kali lebih banyak dari pekerja yang ada. Masalah tersebut dapat dirumuskan dalam model penugasan tidak seimbang. Selain itu parameter yang digunakan seperti waktu  produksi  tidak  selalu  dapat ditentukan  secara  pasti. Dengan  demikian diperlukan pendekatan dengan teori himpunan fuzzy pada masalah penugasan yang disebut masalah penugasan fuzzy. Pada penyelesaian masalah penugasan tidak seimbang dengan metode Hungarian terdapat pekerjaan yang diabaikan karena  dipasangkan  dengan  variabel  dummy.  Kenyataannya  mengabaikan pekerjaan  tidak  mungkin  dilakukan.  Oleh  karena  itu  penelitian  ini  bertujuan untuk mengaplikasikan metode Modified Hungarian pada penyelesaian masalah penugasan  tidak  seimbang  dengan  meminimalkan  waktu  produksi  berupa bilangan  fuzzy  trapezoidal.  Bilangan  fuzzy  diubah  menjadi  bilangan  tegas dengan  peringkat  Magnitude,  kemudian  masalah  penugasan  diselesaikan dengan  metode  modified  Hungarian  dengan  membagi  matriks  biaya  masalah penugasan  tidak  seimbang  menjadi  beberapa  matriks  biaya  yang  seimbang. Berdasarkan hasil penelitian diperoleh solusi optimal yaitu buket bunga 1 (A) dikerjakan oleh pekerja (V), buket bunga 2 (B) dan bunga 3 (C) dikerjakan oleh pekerja  (I),  buket  makanan  ringan  1  (D)  dikerjakan  oleh  pekerja  (IV),  buket makanan ringan 2 (E) dan hijab (H) dikerjakan oleh pekerja (III), serta buket balon  (F)  dan  uang  (G)  dikerjakan  oleh  pekerja  (II).  Total  waktu  pengerjaan buket adalah 6  jam 50 menit 40 detik.
Kata kunci: masalah penugasan tidak seimbang, bilangan  fuzzy trapezoidal, peringkat Magnitude

## Abstract
One  of  the  problems  at  Rafa  Bouquet  Pontianak,  which  makes  a  variety  of bouquets, is allocating labour to each employee. Allocation is difficult because of a variety of factors, including workers varying abilities and orders for each type of bouquet that frequently exceed the number of workers available. The problem can  be  formulated  in  an  unbalanced  assignment  model.  Furthermore,  the parameters used, such as production time, are not always known with precision. Thus,  an  approach  based  on  fuzzy  set  theory  is  required  in  the  assignment problem  known  as  the  fuzzy  assignment  problem.  When  solving  unbalanced assignment problems with the Hungarian method, some work is ignored because it is associated with dummy variables. Ignoring work is impossible. therefore, the goal  of  this  study  is  to  use  the  Modified  Hungarian  technique  for  dealing unbalanced assignment problem with minimising production time in the form of
AKSIOMA: Jurnal Matematika dan Pendidikan Matematika Vol. 15, No. 1 April 2024 e-ISSN 2579-7646
trapezoidal fuzzy numbers. Fuzzy numbers are transformed into crisp numbers with  Magnitude  ranking,  and  the  assignment  problem  is  solved  using  the modified  Hungarian  technique,  which  involves  dividing  the  unbalanced assignment problem's cost matrix into numerous balanced cost matrices. Based on the research results, the optimal solution was obtained: flower bouquet 1 (A) was done by worker (V), flower bouquet 2 (B) and flower 3 (C) were done by worker (I), snack bouquet 1 (D) was done by worker (IV), bouquet of snacks 2 (E) and hijab (H) were done by worker (III), and bouquet of balloons (F) and money (G) were done by worker (II). The total time for making the bouquets was 6 hours, 50 minutes, and 40 seconds.
keywords: unbalanced  assignment  problem,  trapezoidal  fuzzy  number, magnitude ranking

## A. Pendahuluan
Semakin  meluasnya  perkembangan  usaha  diberbagai  bidang mengharuskan  setiap  perusahaan  terus  mengoptimalkan  kegiatan  usaha untuk  memenangkan  persaingan  pasar  (Supatimah  dkk.,  2019).  Dalam menjalankan  sebuah  usaha,  sumber  daya  manusia  merupakan  salah  satu unsur  penting  karena  memiliki  tingkat  efisiensi  yang  berbeda  dalam menyelesaikan  setiap  pekerjaan.  Pengoptimalan  kegiatan  usaha  maupun pengelolaan  sistem  yang  besar  dan  kompleks  melibatkan  manusia,  mesin, material,  serta  uang  dapat  dilakukan  dengan  metode  ilmiah  yang  disebut riset  operasi  (Syafrudin  dkk.,  2023).  Masalah-masalah  yang  berhubungan dengan alokasi dari setiap sumber daya terutama tenaga kerja merupakan salah  satu  kasus  khusus  dari  masalah  pemrograman  linear  yang  disebut dengan masalah penugasan ( assignment problem ) (Ibnas dkk., 2018; Tuadi dkk.,  2022).  Masalah  penugasan  bertujuan  untuk  menempatkan  pekerja sesuai dengan kemampuan pada bidang yang tersedia agar pekerjaan yang ada  dapat  diselesaikan  lebih  optimal  (Taha,  2017).  Metode  Hungarian merupakan  metode  yang  sering  digunakan  pada  penyelesaian  masalah penugasan  karena  dapat  disederhanakan  dengan  memformulasi  masalah penugasan ke dalam bentuk matriks dengan kolom menunjukkan tujuan dan baris menunjukkan sumber atau sebaliknya.
Pada  metode  Hungarian,  masalah  penugasan  tidak  seimbang ditambahkan sebuah variabel yang disebut dummy agar masalah penugasan tersebut  seimbang  (Tsani  dkk.,  2021).  Kemudian  pekerjaan  yang diselesaikan  oleh  pekerja dummy atau  sebaliknya  akan  diabaikan,  hal tersebut tidak mungkin dilakukan oleh perusahaan. Oleh karena itu  pada penelitian  ini  dikaji  cara  menentukan  solusi  dari  masalah  penugasan menggunakan  metode  Hungarian  yang  dimodifikasi  ( Modified Hungarian) dengan membagi matriks biaya masalah penugasan tidak seimbang menjadi matriks-matriks  bagian  yang  seimbang  kemudian  diselesaikan  dengan metode Hungaran.
AKSIOMA: Jurnal Matematika dan Pendidikan Matematika Vol. 15, No. 1 April 2024 e-ISSN 2579-7646
Kepastian  atau  pendefinisian  secara  tegas  nilai  parameter  merupakan salah  satu  asumsi  dari  permasalahan-permasalahan  linear  (Septiani  dkk., 2016).  Kenyataannya,  parameter  yang  ada  tidak  selalu  dapat  ditentukan secara pasti (Hidayah dan Juniati, 2019). Masalah-masalah yang berkaitan dengan  ketidakpastian  atau  kesamaran  dipelajari  pada  Logika  dan  teori himpunan fuzzy yang diperkenalkan pertama kali oleh Lotfi A. Zadeh. Pada teori  himpunan fuzzy dipelajari  bahwa  batas  himpunan  tidak  dinyatakan secara  tegas  (Kusumadewi  dan  Purnama,  2013).  Teori  himpunan fuzzy banyak  dikembangkan  pada  masalah-masalah  optimasi  dengan menggunakan  bilangan fuzzy , seperti  pada  masalah  penugasan fuzzy. Bilangan fuzzy pada kehidupan sehari-hari didefinisikan sebagai bilangan- bilangan tidak tepat yang berupa perkiraan bilangan atau bilangan-bilangan yang  mendekati  suatu  bilangan  tertentu  (Klir  dan  Yuan,  1995).  Bilangan fuzzy yang sering digunakan adalah bilangan fuzzy triangular yang fungsi keanggotaannya  berbentuk  segitiga  dan  bilangan fuzzy  trapezoidal yang fungsi  keanggotaannya  berbentuk  trapesium  (Susilo,  2018).  Masalah penugasan fuzzy adalah  masalah  penugasan  yang  biaya  alokasinya  tidak dapat dinyatakan secara tepat atau pasti ( fuzzy ) (Dhouib dan Sutikno, 2023). Pada  masalah  penugasan fuzzy, bilangan fuzzy perlu  diubah  ke  bilangan tegas  agar  dapat  diselesaikan.  Proses  mengubah  bilangan fuzzy menjadi bilangan  tegas  disebut  dengan  penegasan  (defuzzifikasi).  Penegasan bilangan fuzzy banyak  diteliti  dan  dikembangkan  dalam  berbagai pendekatan,  salah  satunya  adalah  dengan  peringkat Magnitude .  Proses penegasan dengan peringkat Magnitude dilakukan dengan memperhatikan perbedaan  dari  fungsi  keanggotaan  kiri  dan  keanggotaan  kanan  dari 𝛼 − 𝑐𝑢𝑡 nya (Aulia dkk., 2017).
Beberapa penelitian yang telah dilakukan sebelumnya yaitu penelitian oleh  Yadaiah  dan  Haragopal  (2016)  yang  mengusulkan  penyelesaian masalah  penugasan  tidak  seimbang  dengan  membagi  matriks  biayanya menjadi  beberapa  bagian  seimbang  kemudian  diselesaikan  dengan pendekatan lexi-search. Penelitian  selanjutnya  oleh  Evipania  dkk.,  (2021) yang  menuliskan  bahwa  dengan  metode modified Hungarian  masalah penugasan  tidak  seimbang  pada  Mitra  Tex  Konveksi  dapat  menghasilkan solusi  yang  lebih  optimal.  Pada  penelitian  Elsisy  dkk.,  (2020)  diberikan definisi  dari  masalah  penugasan fuzzy dan  metode  penyelesaiannya,  serta penerapan dari metode yang diusulkan pada penentuan penggunaan kembali bangunan-bangunan berharga di Mesir. Penelitian oleh Thakre dkk., (2021) tentang  perbandingan  efektivitas metode  Hungarian,  metode  penyelesaian langsung,  dan  metode fuzzy Hungarian  pada  penyelesaian  masalah penugasan fuzzy .  Penelitian  lain  terkait  penyelesaian  masalah  penugasan juga  dilakukan  oleh  Harini  (2017),  Rusdiana  dkk.,  (2019),  dan  Aritonang dkk., (2020). Sedangkan Karyati dkk., (2020) melakukan penelitian terhadap sifat-sifat  peringkat Magnitude pada  bilangan fuzzy  trapezoidal dan diperoleh sifat-sifat aritmatiknya.
AKSIOMA: Jurnal Matematika dan Pendidikan Matematika Vol. 15, No. 1 April 2024 e-ISSN 2579-7646
Berdasarkan  uraian  penelitian-penelitian  tersebut,  dibahas  metode penyelesaian  masalah  penugasan  tidak  seimbang  dengan Modified Hungarian dan masalah penugasan fuzzy , namun belum membahas secara khusus  masalah  penugasan fuzzy tidak  seimbang.  Permasalahan  yang dibahas di penelitian ini adalah pengalokasian pekerja ke tugas pembuatan berbagai jenis buket pada Usaha Rafa Buket Pontianak. Masalah yang sering dihadapi  adalah  kemampuan  pekerja  dalam  membuat  setiap  jenis  buket berbeda-beda dan waktu pengerjan buket berupa bilangan fuzzy . Selain itu, banyak pekerja tidak sama dengan banyaknya jenis buket yang dibuat. Oleh karena itu, penelitian ini dilakukan untuk menentukan solusi dari masalah penugasan fuzzy tidak  seimbang  dengan  menggunakan  metode Modified Hungarian  dan  peringkat Magnitude untuk  penegasan  bilangan fuzzy trapezoidal .

## B. Metode Penelitian
Penelitian  ini  dilakukan  dengan  studi  literatur  dan  wawancara. Literatur  yang  digunakan  diperoleh  dari  buku-buku  dan  jurnal  penelitian yang berkaitan dengan masalah penugasan, masalah penugasan fuzzy , serta teori-teori  yang  berkaitan  dengan  himpunan fuzzy .  Data  yang  digunakan pada  penelitian  diperoleh  dari  hasil  wawancara  dan  observasi  yaitu  data banyak pekerja, jenis-jenis buket yang diproduksi, dan waktu setiap pekerja dalam pengerjaan setiap jenis buket. Penelitian ini dilakukan menggunakan metode modified Hungarian dengan langkah-langkah sebagai berikut:
1. Memformulasi waktu pengerjaan buket menjadi bilangan fuzzy
2. Membentuk model matematika masalah penugasan fuzzy tidak seimbang
3. Menyusun masalah penugasan fuzzy ke bentuk tabel penugasan
4. Mengubah  bilangan fuzzy menjadi  bilangan  tegas  dengan  peringkat Magnitude
5. Membentuk matriks biaya ( cost matrix ) tidak seimbang
6. Partisi matriks biaya menjadi 𝑘 matriks yang seimbang, yaitu:
a. Jumlahkan  setiap  baris  dan  setiap  kolom  yang  hasil  jumlahannya disimpan pada sum row dan sum column kemudian urutkan sum row dan sum column dari yang paling minimum ke minimum berikutnya
b. Pilih dan susun 𝑚 baris pada sum row dari yang terkecil dan hapus 𝑚 − 𝑛 baris  dari  yang  terbesar,  kemudian  susun  menjadi  matriks bagian pertama yang seimbang
c. Periksa baris yang tersisa dari 𝑚 − 𝑛 . Jika baris yang tersisa dari 𝑚 − 𝑛 = 0 lanjut ke langkah 7. Jika baris yang tersisa dari 𝑚 − 𝑛 lebih dari 𝑛 maka  ulangi  langkah  6b  untuk  mendapatkan  matriks  bagian selanjutnya.  Jika  baris yang  tersisa  dari 𝑚 − 𝑛 kurang  dari 𝑛 maka lanjut ke langkah 6e
d. Hapus 𝑛 − 𝑚 kolom dari yang terbesar untuk mendapatkan matriks bagian selanjutnya dan ulangi langkah 6c.
AKSIOMA: Jurnal Matematika dan Pendidikan Matematika Vol. 15, No. 1 April 2024 e-ISSN 2579-7646
7. Menentukan  waktu  optimal  dengan  meminimalkan  waktu  pengerjaan buket dengan metode Hungarian, yaitu:
a. Pilih nilai terkecil pada setiap baris kemudian kurangkan setiap baris dengan nilai terkecilnya
b. Pastikan  setiap  baris  dan  kolom  memiliki  angka  nol.  Jika  masih terdapat baris dan kolom yang belum memiliki angka nol maka dicari nilai terkecil pada setiap kolom kemudian kurangkan dengan semua nilai yang ada pada kolom
c. Lakukan uji optimalitas dengan menarik garis yang melewati setiap nilai nol pada 𝑃 tersebut
d. Jika  banyak garis yang  terbentuk  sama  dengan  banyak  baris/kolom maka masalah penugasan sudah optimal, jika banyaknya tidak sama maka lakukan revisi matriks dengan memilih nilai terkecil yang tidak dilewati  garis  lalu  kurangkan  nilai  yang  tidak  dilewati  garis  dan jumlahkan nilai yang dilewati dua garis dengan nilai terkecilnya
8. Jika setiap 𝑘 matriks 𝑃 telah diselidiki, jumlahkan untuk mendapatkan hasil waktu optimal totalnya
9. Jika  hasil  telah  optimal,  dilakukan  pengalokasian  tugas  kepada  setiap pekerja berdasarkan waktu yang paling optimal
10. Interpretasi hasil penugasan setiap pekerjaan kepada pekerja

## C. Hasil dan Pembahasan
Tingkat kemampuan pekerja pada Usaha Rafa Buket Pontianak dilihat berdasarkan  waktu  pekerja  dalam  pengerjaan  berbagai  jenis  buket  yang diproduksi. Usaha Rafa Buket Pontianak memiliki lima pekerja yaitu pekerja (I), (II), (III), (IV), dan (V) serta delapan jenis buket yang dibuat yaitu buket bunga 1 (A), buket bunga 2 (B), buket bunga 3 (C), buket makanan ringan 1 (D), buket makanan ringan 2 (E), buket balon (F), buket uang (G), dan buket hijab (H).
1. Formulasi waktu pengerjaan buket menjadi bilangan fuzzy
Waktu  pekerja  dalam  mengerjakan  setiap  jenis  buket  tidak  dapat dinyatakan secara pasti, namun dinyatakan dengan perkiraan sehingga waktu pengerjaan tersebut berupa bilangan fuzzy . Setiap waktu pekerja dalam  pembuatan  berbagai  jenis  buket  yang  diperoleh  akan diformulasikan menjadi bilangan fuzzy trapezoidal . Fungsi keanggotaan 𝜇 𝐴̃ ∶ 𝑋 →   [0,1] trapesium dapat diilustrasikan sebagai bentuk grafik pada Gambar 1.
Derajat Keanggotaan 𝜇 𝐴̃ (𝑥 ) Domain (𝑥) Type equation here. 𝑎 1 𝑎 2 𝑎 3 𝑎 4 0 1
AKSIOMA: Jurnal Matematika dan Pendidikan Matematika Vol. 15, No. 1 April 2024 e-ISSN 2579-7646

## Gambar 1. Grafik fungsi trapezoidal
Bilangan fuzzy 𝐴̃ = (𝑎 1 , 𝑎 2 , 𝑎 3 , 𝑎 4 ) pada  semesta ℝ dikatakan  sebagai bilangan fuzzy  trapezoidal jika  fungsi  keanggotaannya  berbentuk trapesium  yang  dinyatakan  dengan  Persamaan  (1)  (Dhanasekar  dkk., 2020)
𝜇 𝐴̃ (𝑥) = { 𝑥−𝑎1 𝑎2−𝑎1 ;𝑎 1 ≤ 𝑥 ≤ 𝑎 2 1                        ;𝑎 2 ≤ 𝑥 ≤ 𝑎 3 𝑎4−𝑥 𝑎4−𝑎3 ;𝑎 3 ≤ 𝑥 ≤ 𝑎 4
0                        ;𝑥 ≤ 𝑎 1 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑥 ≥ 𝑎 4
(1)
Waktu pengerjaan setiap jenis buket dapat dinyatakan sebagai bilangan fuzzy  trapezoidal sesuai  dengan  Persamaan  (1)  yang  dapat  dilihat pada Tabel 1.

## Tabel 1. Waktu Pengerjaan Berbagai Jenis Buket (menit)
Jenis Buket Pekerja (I) (II) (III) (IV) (V) (A) (10,15,20,25) (5,8,15,20) (8,15,20,25) (15,30,45,50) (25,30,45,50) (B) (10,20,60,63) (12,15,75,90) (15,30,90,95) (55,60,120,125) (35,40,135,150) (C) (45,60,90,95) (85,90,120,130) (100,120,150,165) (110,120,180,183) (145,150,180,185) (D) (10,20,40,45) (10,15,30,45) (15,20,40,50) (25,35,50,60) (28,30,90,105) (E) (40,50,70,75) (30,40,60,65) (50,60,90,105) (85,90,150,155) (80,90,120,150) (F) (15,40,60,65) (55,60,90,105) (85,90,120,130) (90,105,150,155) (115,120,150,155) (G) (25,40,60,65) (25,30,45,65) (25,40,60,65) (50,70,90,95) (50,60,90,105) (H) (15,25,45,55) (15,20,35,50) (10,20,35,40) (40,60,90,100) (100,120,150,180)
Berdasarkan  Tabel  1,  buket  (A)  dikerjakan  oleh  pekerja  (I)  sekitar  15 hingga 20 menit, namun pengerjaan tercepatnya tidak pernah mencapai 10  menit  dan  pengerjaan  terlamanya  tidak pernah  mencapai  25  menit sedangkan  buket  (B)  dikerjakan  oleh  pekerja  (I)  sekitar  20  hingga  60 menit, namun pengerjaan tercepatnya tidak pernah mencapai 10 menit dan  pengerjaan  terlamanya  tidak  pernah  mencapai  63  menit  begitu seterusnya hingga buket (H) yang dikerjakan oleh pekerja (V).
2. Pembentukan model matematika masalah penugasan fuzzy Masalah  penugasan  pada  Usaha  Rafa  Buket  Pontianak  dengan waktu  produksi  berupa  bilangan fuzzy dapat  dibentuk  dalam  model masalah penugasan fuzzy .

## Variabel Keputusan
Variabel  keputusan  masalah  penugasan fuzzy dengan 𝑖 = 1,2,3,4,5,6,7,8 dan 𝑗 = 1,2,3,4,5 dapat dinyatakan dalam Equation (2)
𝑥 𝑖𝑗 = { 1, jika pekerjaan 𝑖 ditugaskan kepada pekerja 𝑗
0, jika pekerjaan 𝑖 tidak ditugaskan pada pekerjaan 𝑗
(2)
AKSIOMA: Jurnal Matematika dan Pendidikan Matematika Vol. 15, No. 1 April 2024 e-ISSN 2579-7646

## Fungsi Tujuan
Fungsi tujuan masalah penugasan fuzzy dengan meminimalkan waktu produksi ditunjukkan dalam Ekspresi (3).
𝑚𝑖𝑛𝑖𝑚𝑎𝑙𝑘𝑎𝑛 𝑧̃ = ∑ ∑ 𝑐̃ 𝑖𝑗 5 𝑗=1 𝑥 𝑖𝑗 8 𝑖=1 (3)

## Fungsi Kendala
Kendala Pekerjaan
Fungsi  kendala  pekerjaan  dimana  satu  pekerjaan  hanya  dapat dikerjakan oleh satu pekerja diekspresikan dalam Equation (4).
∑ 𝑥 𝑖𝑗 = 1 8 𝑖=1 ;  𝑗 = 1,2,3,4,5, (4)
Kendala Pekerja
Pada  Usaha  Rafa  Buket  Pontianak  diketahui  bahwa  pekerjaan  lebih banyak  dari  pekerja,  sehingga  didefinisikan  bahwa  fungsi  kendala pekerja  dengan  satu  pekerja  dapat  mengerjakan  lebih  dari  satu pekerjaan yang ditampilkan dalam Ekspresi (5).
∑ 𝑥 𝑖𝑗 ≥ 1 5 𝑗=1 ; 𝑖 = 1,2,3,4,5 (5)
Dan fungsi kendala non-negatif pada Ekspresi (6).
𝑥 𝑖𝑗 ≥ 0 (6)
untuk setiap 𝑖 dan 𝑗 dengan 𝑖 = 1,2,3,4,5 dan 𝑗 = 1,2,3,4,5,6,7,8
3. Pembentukan model matematika masalah penugasan fuzzy
Dengan 𝑑 𝑖 adalah  pekerjaan,  dan 𝑠 𝑗 adalah  pekerja  tabel  masalah penugasan dapat dilihat pada Tabel 2.
Tabel 2. Tabel Masalah Penugasan (I) (II) (III) (IV) (V) 𝑠 𝑗 (A) (10,15,20,25) (5,8,15,20) (8,15,20,25) (15,30,45,50) (25,30,45,50) 1 𝑥 11 𝑥 21 𝑥 31
𝑥 41 𝑥 51 (B) (10,20,60,63) (12,15,75,90) (15,30,90,95) (55,60,120,125) (35,40,135,150) 1 𝑥 12 𝑥 22 𝑥 32 𝑥 42 𝑥 52
(C) (45,60,90,95) (85,90,120,130) (100,120,150,165) (110,120,180,183) (145,150,180,185) 1 𝑥 13 𝑥 23 𝑥 33 𝑥 43 𝑥 53 (D) (10,20,40,45) (10,15,30,45) (15,20,40,50) (25,35,50,60) (28,30,90,105) 1 𝑥 14 𝑥 24 𝑥 34 𝑥 44 𝑥 54
(E) (40,50,70,75) (30,40,60,65) (50,60,90,105) (85,90,150,155) (80,90,120,150) 1 𝑥 15 𝑥 25 𝑥 35
𝑥 45 𝑥 55
(F) (15,40,60,65) (55,60,90,105) (85,90,120,130) (90,105,150,155) (115,120,150,155) 1 𝑥 16 𝑥 26 𝑥 36 𝑥 46 𝑥 56
AKSIOMA: Jurnal Matematika dan Pendidikan Matematika Vol. 15, No. 1 April 2024 e-ISSN 2579-7646
(G) (25,40,60,65) (25,30,45,65) (25,40,60,65) (50,70,90,95) (50,60,90,105) 1 𝑥 17 𝑥 27 𝑥 37 𝑥 47 𝑥 57 (H) (15,25,45,55) (15,20,35,50) (10,20,35,40) (40,60,90,100) (100,120,150,180) 1 𝑥 18 𝑥 28 𝑥 38 𝑥 48 𝑥 58 𝑑 𝑖 1 1 1
1 1 4. Penegasan bilangan fuzzy dengan peringkat Magnitude
Diberikan 𝐴̃ = (𝑎 1 , 𝑎 2 , 𝑎 3 , 𝑎 4 ) sebagai  bilangan fuzzy trapezoidal .
Didefinisikan  metode Magnitude yang  memetakan  bilangan fuzzy 𝐴̃ dengan suatu nilai pada bilangan real, sebagai berikut (Jufri dkk., 2017):
𝑀𝑎𝑔(𝐴̃) = 𝑀𝑎𝑔(𝑎 1 , 𝑎 2 , 𝑎 3 , 𝑎 4 ) = 𝑎 1 +5𝑎 2 +5𝑎 3 +𝑎 4 12 (7)
Peringkat Magnitude digunakan  untuk  mendapatkan  nilai  tegas  dari bilangan fuzzy 𝐴̃ atau 𝑀𝑎𝑔(𝐴̃) yang  dapat  membantu  tahapan  pada penentuan  solusi  optimal  masalah  penugasan fuzzy dengan  metode Modified Hungarian. Nilai tegas dari setiap bilangan fuzzy pada Tabel 1. dengan peringkat Magnitude sesuai dengan Persamaan (7) ditampilkan pada Tabel 3.
Tabel 3. Tabel Hasil Penegasan Bilangan Fuzzy Jenis Buket Pekerja (I) (II) (III) (IV) (V) (A) 17,5 11,66667 17,33333 36,66667 37,5 (B) 39,41667 46 59,16667 90 88,33333 (C) 74,16667
105,4167 134,5833 149,4167 165 (D) 29,58333 23,33333 30,41667 42,5 61,08333 (E) 59,58333 49,58333 75,41667 120 106,6667 (F) 48,33333
75,83333 105,4167 126,6667 135 (G) 49,16667 38,75 49,16667 78,75 75,41667 (H) 35 28,33333 27,08333 74,16667 135,8333

## 5. Membentuk matriks biaya
Tabel  3  dapat  dinyatakan  sebagai  matriks  biaya  ( cost  matrix )
𝐶 sebagai berikut:
AKSIOMA: Jurnal Matematika dan Pendidikan Matematika Vol. 15, No. 1 April 2024 e-ISSN 2579-7646
𝐶 8×5 = [ (I) (II) (III) (IV)
(V) (A) 17,5 11,66667 17,33333 36,66667 37,5 (B) 39,41667 46 59,16667 90 88,33333 (C) 74,16667 105,4167 134,5833 149,4167 165 (D) 29,58333 23,33333 30,41667 42,5 61,08333 (E) 59,58333 49,58333 75,41667 120 106,6667 (F) 48,33333 75,8333 105,4167 126,6667 135 (G) 49,16667 38,75 49,16667 78,75 75,41667 (H) 35 28,33333 27,08333 74,16667 135,8333 ] .
6. Partisi matriks 𝑪 𝟖×𝟓 menjadi 𝒌 matriks yang seimbang
Partisi matriks ditentukan dengan menjumlahkan setiap baris dan setiap  kolom  kemudian  diurutkan  dari  yang  terkecil  hingga  terbesar. Penjumlahan setiap baris dinyatakan dengan sum row dan penjumlahan setiap kolom dinyatakan dengan sum column (Yadaiah dan Haragopal, 2016) . Hasil penjumlahan baris dan kolom disajikan pada Tabel 4.
Tabel 4. Hasil Penjumlahan Baris dan Kolom
Sum row Sum column (A) 120,6666667 (I) 352,75 (B) 322,9166667 (II) 378,917 (C) 628,5833333 (III) 498,583 (D) 186,9166667 (IV) 718,167 (E) 411,25 (V) 804,833 (F) 491,25 (G) 291,25
(H) 300,4166667
Didapatkan hasil urutan sum row adalah (A), (D), (G), (H), (B), (E), (F), dan  (C)  serta  urutan sum  column adalah  (I),  (II),  (III),  (IV),  dan  (V). Setelah  didapatkan  urutkan  nilai sum  row dan sum  column dari  yang terkecil,  karena  pekerjaan  lebih  banyak  dari  pekerja  maka  pilih  lima pekerjaan terkecil agar mendapatkan matriks seimbang 𝑃 dengan 𝑘 = 1 atau 𝑃 1 .
𝑃 1 = [ (I) (II) (III)
(IV) (V) (A) 17,5 11,6667 17,3333 36,6667 37,5 (B) 39,4167 46 59,1667 90 88,3333 (D) 29,5833 23,3333 30,4167 42,5 61,0833 (G) 49,1667 38,75 49,1667 78,75 75,4167 (H) 35 28,3333 27,0833 74,1667 135,833] .
Kemudian pilih tiga pekerjaan tersisa yang belum dipilih dan pilih tiga nilai  pekerja  terkecil  pada  tiga  pekerjaan  tersebut  agar  mendapatkan matriks seimbang 𝑃 dengan 𝑘 = 𝑘 + 1 atau 𝑃 2 (Yadaiah dan Haragopal, 2016).
AKSIOMA: Jurnal Matematika dan Pendidikan Matematika Vol. 15, No. 1 April 2024 e-ISSN 2579-7646
𝑃 2 = [ (I) (II) (III) (𝐶) 74,16667 105,417 134,583 (𝐸) 59,58 49,5833 75,4167 (𝐹) 48,33 75,8333 105,417] .

## 7. Penentuan waktu optimal dengan metode Hungarian
Kurangkan  setiap  baris  pada  matriks 𝑃 1 dengan  nilai  baris terkecilnya sehingga diperoleh
[ (I) (II) (III) (IV) (V) (A) 5,83333 0 5,66667 25 25,8333 (B) 0 6,58333 19,75 50,5833 48,9167 (D) 6,25 0 7,08333 19,1667 37,75 (G) 10,4167 0 10,4167 40 36,6667 (H) 7,91667 1,25 0 47,0833 108,75 ] .
Karena  kolom  (IV) dan  (V) belum  memiliki  nilai  nol,  maka  kurangkan dengan nilai terkecil pada kolom tersebut sehingga diperoleh
[ (I) (II) (III) (IV) (V) (A) 5,83333 0 5,66667 5,83333 0 (B) 0 6,58333 19,75 31,4167 23,0833 (D) 6,25 0 7,08333 0 11,9167 (G) 10,4167 0 10,4167 20,8333 10,8333 (H) 7,91667 1,25 0 27,9167 82,9167] .
Karena setiap kolom telah memiliki nilai nol, maka dapat dilanjutkan pada proses uji optimalitas dengan menarik garis seminimal mungkin yang mencakup setiap nilai nol sehingga,
[ (I) (II)
(III) (IV) (V) (A) 5,83333 0 5,66667 5,83333 0 (B) 0 6,58333 19,75 31,4167 23,0833 (D) 6,25 0 7,08333 0 11,9167 (G) 10,4167 0 10,4167 20,8333 10,8333 (H) 7,91667 1,25 0 27,9167 82,9167] .
Karena banyak garis sama dengan banyak baris/kolom, maka masalah penugasan  tersebut  telah  optimal  dan  dapat  dilanjutkan  dengan pengalokasian pekerja. Pilih baris atau kolom yang bernilai nol.
[ (I) (II) (III) (IV) (V) (A) 5,83 𝟎 5,66 5,83 𝟎 (B) 𝟎 6,58 19,75 31,41 23,08 (D) 6,25 𝟎 7,09 𝟎 11,92 (G) 10,42 𝟎 10,42 20,83 10,84 (H) 7,92 1,25 𝟎 27,92 82,92] .
AKSIOMA: Jurnal Matematika dan Pendidikan Matematika Vol. 15, No. 1 April 2024 e-ISSN 2579-7646
Hasil  alokasi  pekerja  pada  matriks 𝑃 1 adalah  Pekerja  (I)  mengerjakan (B),  (II)  mengerjakan  (G),  (III) mengerjakan  (H),  (IV)  mengerjakan  (D) dan (V) mengerjakan (A).
Dengan  langkah  pengerjaan  yang  sama  untuk  matriks 𝑃 2 didapatkan pengalokasian pekerja sebagai berikut
[ (I) (II) (III) (C) 𝟎 3,75 7,07 (E) 37,5 𝟎 𝟎
(F) 𝟎 𝟎 3,75 ] .
Hasil  alokasi  pekerja  pada  matriks 𝑃 2 adalah  Pekerja  (I)  mengerjakan (C), (II) mengerjakan (F), dan (III) mengerjakan (E).
Setelah  didapatkan  hasil  alokasi  pekerja  untuk  matriks 𝑃 1 dan 𝑃 2 kemudian  didapatkan  hasil  optimal  pada  masalah  penugasan  tidak seimbang dapat dituliskan sebagai berikut:
𝑥 15 = 𝑥 21 = 𝑥 31 = 𝑥 44 = 𝑥 53 = 𝑥 62 = 𝑥 72 = 𝑥 83 = 1 . (8)
Dengan  menyesuaikan  Persamaan  (8)  ke  Persamaan  (3)  didapatkan solusi  optimal  dari  masalah  penugasan fuzzy tidak  seimbang  adalah 𝑧̃ = (245,315,505,583) dan 𝑀𝑎𝑔(𝑧̃) = 410,67 .  Oleh  karena  itu,  diperoleh waktu  total  pembuatan  setiap  jenis  buket  adalah 410,67 menit  atau  6 jam 50 menit 40 detik dengan alokasi pekerjaan yaitu buket bunga 1 (A) dikerjakan oleh pekerja (V), buket bunga 2 (B) dikerjakan oleh pekerja (I), buket bunga 3 (C) dikerjakan oleh pekerja (I), buket makanan ringan 1  (D)  dikerjakan  oleh  pekerja  (IV),  buket  makanan  ringan  2  (E), dikerjakan oleh pekerja (III), buket balon (F) dikerjakan oleh pekerja (II), buket  uang  (G)  dikerjakan  oleh  pekerja  (II),  dan  buket  hijab  (H) dikerjakan oleh pekerja (III).

## D. Simpulan
Masalah  penugasan fuzzy tidak  seimbang  pada  Usaha  Rafa  Buket Pontianak  dapat  diselesaikan  dengan  metode Modified Hungarian  dengan mengubah  bilangan fuzzy menjadi  bilangan  tegas.  Dilanjutkan  dengan partisi  matriks  biaya  tidak  seimbang  menjadi  matriks-matriks  bagian seimbang dan diselesaikan dengan metode Hungarian. Solusi optimal yang didapatkan  dengan Modified Hungarian  adalah  waktu  total  pembuatan setiap jenis buket 410,67 menit dengan alokasi pekerjaan yaitu buket bunga 1 (A) dikerjakan oleh pekerja (V), buket bunga 2 (B) dikerjakan oleh pekerja (I), buket bunga 3 (C) dikerjakan oleh pekerja (I), buket makanan ringan 1 (D)  dikerjakan  oleh  pekerja  (IV),  buket  makanan  ringan  2  (E),  dikerjakan oleh pekerja (III), buket balon (F) dikerjakan oleh pekerja (II), buket uang (G) dikerjakan oleh pekerja (II), dan buket hijab (H) dikerjakan oleh pekerja (III).
AKSIOMA: Jurnal Matematika dan Pendidikan Matematika Vol. 15, No. 1 April 2024 e-ISSN 2579-7646

## E. Daftar Pustaka
Aritonang, W., Hasibuan, N. A., & Hondro, R. K. (2020). Application of the Hungarian  Method  for  Assigning  Workers  to  Ciptaland  Development. The IJICS (International Journal of Informatics and Computer Science) , 4(1), 12. doi.org/10.30865/ijics.v4i1.1983
Aulia,  L.,  Irawanto,  B.,  &  Surarso,  B.  (2017).  Pendekatan  Value  Bilangan Trapezoidal Fuzzy dalam Metode Magnitude. Ejournal Undip , 20(2).
Dhanasekar, S., Parthiban, V., & David Maxim Gururaj, A. (2020). Improved Hungarian  Method  to  Solve  Fuzzy  Assignment  Problem  and  Fuzzy Traveling  Salesman  Problem. Advances  in  Mathematics:  Scientific Journal , 9(11), 9417–9427. doi.org/10.37418/amsj.9.11.46
Dhouib, S., & Sutikno, T. (2023). Solving the trapezoidal fuzzy assignment problem  using  the  novel  Dhouib-Matrix-AP1  heuristic. Bulletin  of Electrical Engineering and Informatics , 12(2), 950–957. doi.org/10.11591/eei.v12i2.4855
Elsisy,  M.  A.,  Elsaadany,  A.  S.,  &  El  Sayed,  M.  A.  (2020).  Using  Interval Operations  in  the  Hungarian  Method  to  Solve  the  Fuzzy  Assignment Problem and Its Application in the Rehabilitation Problem of Valuable Buildings in Egypt. Complexity , 2020, 1–11. doi.org/10.1155/2020/9207650
Evipania,  R.,  Gandhiadi,  G.  K.,  &  Sumarjaya,  I.  W.  (2021).  Optimaliasi Masalah  Penugasan  Tidak  Seimbang  Menggunakan  Modified Hungarian Method. E-Jurnal Matematika , 10(1), 26–31. doi.org/10.24843/MTK.2021.v10.i01.p316
Harini,  D.  (2017).  Optimasi  Penugasan  Menggunakan  Metode  Hungarian Pada CV. L&J Express Malang (Kasus Minimasi). Jurnal Intensif , 1(2), 2549–6824.
Hidayah, R. W., & Juniati, D. (2019). Program Linear Fuzzy. MATHunesa: Jurnal Ilmiah Matematika , 7(163–170), 1.
Ibnas, R., Kasse, I., & Nur Wirun, N. H. (2018). Optimasi Pembagian Tugas Karyawan Menggunakan Metode Hungarian (Studi Kasus: Karyawan Grand Sony Tailor Makassar). Jurnal MSA ( Matematika dan Statistika serta Aplikasinya) , 6(1), 43. doi.org/10.24252/msa.v6i1.5279
Jufri, A., Yusuf, A., & Thresye. (2017). Optimasi Masalah Transportasi Fuzzy Menggunakan Metode Fuzzy Modified Distribution Untuk Memprediksi Biaya  Angkutan  Total  Dan  Alokasi  Barang  (Pakan  Ternak).  Studi Kasus:  CV.  Mentari  Nusantara  Feedmill. Jurnal  Matematika  Murni dan Terapan , 11(1), 38–47.
AKSIOMA: Jurnal Matematika dan Pendidikan Matematika Vol. 15, No. 1 April 2024 e-ISSN 2579-7646
Karyati, Wutsqa, D. U., & Binatari, N. (2020). The Properties of Magnitude Ranking Function of Trapezoidal Fuzzy Numbers. Journal of Physics: Conference Series, 1581(1). doi.org/10.1088/1742-6596/1581/1/012015
Klir,  G.  J.,  &  Yuan,  B.  (1995). Fuzzy  sets  and  fuzzy  logic:  Theory  and applications . Upper Saddle River, N.J: Prentice Hall PTR.
Kusumadewi,  S.,  &  Purnama,  H.  (2013). Aplikasi  Logika  Fuzzy  untuk Pendukung Keputusan (ed ke-2). Yogyakarta: Graha Ilmu.
Rusdiana,  S.,  Oktavia,  R.,  &  Charlie,  E.  (2019).  Application  Of  Hungarian Method  In  Optimizing  The  Scheduling  Of  Employee  Assignment  And Profit  Of  Home  Industry  Production. Journal  of  Research  in Mathematics Trends and Technology , 1(1), 27–37.
doi.org/10.32734/jormtt.v1i1.754
Septiani,  Y.,  Irawanto,  B.,  &  Hariyanto,  S.  (2016).  Program  Linear  Fuzzy Penuh  dengan  Algoritma  Multi  Objective  Linear  Programming Menggunakan Metode Level Sum. Jurnal Matematika , 5(4).
Supatimah,  S.  S.,  Farida,  F.,  &  Andriani,  S.  (2019).  Optimasi  keuntungan dengan metode Branch and Bound. AKSIOMA : Jurnal Matematika dan Pendidikan Matematika , 10(1), 13–23. doi.org/10.26877/aks.v10i1.3145 Susilo, F. (2018). Himpunan dan Logika Kabur Serta Aplikasinya (ed ke-2). Yogyakarta: Matematika.
Syafrudin, M., Djakaria, I., Nuha, A. R., & Wungguli, D. (2023). Penjadwalan karyawan Qmart Super Store menggunakan metode Goal Programming secara Preemptive dan Nonpreemptive. AKSIOMA : Jurnal Matematika dan Pendidikan Matematika , 14(3), 328–339.
doi.org/10.26877/aks.v14i3.17005
Taha,  H.  A.  (2017). Operations  research:  An  introduction (ed  ke-10,  global edition).  Harlow,  England  London  New  York  Boston  Amsterdam Munich: Pearson Education.
Thakre,  T.,  Chaudhari,  O.  K.,  &  RajshriGupta.  (2021).  Comparison  of effectiveness of models for solvingfuzzy assignment problem. Journal of
Physics: Conference Series , 1913(1). doi.org/10.1088/1742- 6596/1913/1/012133
Tsani,  E.  R.,  Tastrawati,  N.  K.  T.,  &  Sari,  K.  (2021).  Analisis  Sensitivitas Model  Penugasan  dengan  Metode  Hungarian. E-Jurnal  Matematika , 10(1), 41. doi.org/10.24843/MTK.2021.v10.i01.p318
Yadaiah, V., & Haragopal, V. V. (2016). A New Approach of Solving Single Objective  Unbalanced  Assignment  Problem. American  Journal  of Operations Research , 06(01), 81–89. doi.org/10.4236/ajor.2016.61011