P-ISSN: 2614-3038 Volume 07, Nomor 03, Agustus-November 2023, pp. 2391-2404

## Kemampuan Membuat Model Matematika dan Daya Juang Produktif Siswa SMP dalam Menyelesaikan Soal Pemecahan Masalah
Rini Melani 1  , Tatang Herman 2 , Aan Hasanah 3 , Syifa Ananda Mefiana 4 , Christina Monika Samosir 5 1, 2, 3,4,5 Program Studi Pendidikan Matematika, FPMIPA, Universitas Pendidikan Indonesia, Jl. Dr. Setiabudhi No. 229 Bandung, 40154, Jawa Barat, Indonesia rinimelani097@upi.edu

## Abstract
Creating  a  mathematical  model  is  the  ability  to  translate  reality  situations  into  mathematical  language. Mathematical  models  are  the  same  as  mathematical  representation  abilities.  There  are  three  mathematical representations  highlighted  in  this  study,  namely  concrete,  pictorial,  and  abstract.  This  research  was conducted  in  a  school  in  Bandung  totaling  51  students.  Researchers  chose  students  based  on  their  level  of productive struggle, namely high, medium and low. Students who have high productive struggle can answer the third question correctly using an abstract mathematical model. Students who have productive struggle can answer  two  questions  correctly  with  concrete  and  abstract  mathematical  models.  Students  who  have  low productive  struggles  can  answer  one  question  with  the  help  of  intervention/treatment  from  researchers  to encourage  productive  struggle  by  providing  problem-solving  questions  and  asking  Socratic-style  questions. This  assistance  does  not  eliminate  the  opportunity  to  actively  think,  on  the  contrary  through  this  method students are required to interpret their knowledge. Totaling 2% worked on questions using students' concrete mathematical models and all students who worked using concrete mathematical models were able to answer questions  correctly.  Totaling  7.5%  of  students  worked  on  the  questions  using  the  image  model  and  all students who worked using the image model were able to answer the questions correctly.  Totaling 90.5% of students chose to work on problems using abstract mathematical models. Only 12.5% of students were able to do  the  questions  correctly.  Totaling  78%  who  failed  caused  them  to  choose  to  use  abstract  mathematical models even though they had not mastered abstract mathematical models well.
Keywords: mathematical model, productive struggle, unproductive struggle, problem solving

## Abstrak
Membuat model matematika adalah kemampuan menerjemahkan situasi realitas ke dalam bahasa matematika. Model matematika sama dengan kemampuan representasi matematis. Ada tiga representasi matematika yang menjadi sorotan dalam penelitian ini yaitu konkrit, piktorial, dan abstrak. Penelitian ini dilaksanakan di salah satu  sekolah  di  kabupaten  Bandung  Barat  sejumlah  51  siswa.  Peneliti  memilih  siswa  berdasarkan  tingkatan daya  juang  produktifnya  yaitu  tinggi,  sedang  dan  rendah.  Siswa  yang  memiliki  daya  juang  produktif  tinggi dapat menjawab ketiga soal dengan benar dengan model matematika abstrak. Siswa yang memiliki daya juang produktif yang sedang dapat menjawab dua soal dengan benar dengan model matematika konkrit dan abstrak. Siswa  yang  memiliki  daya  juang  produktif  yang  rendah  dapat  menjawab  satu  soal  dengan  bantuan intervensi/perlakuan dari peneliti guna mendorong daya juang produktif dengan memberikan soal pemecahan masalah  dan  mengajukan  pertanyaan  gaya  Socrates.  Bantuan  ini  tidak  menghilangkan  kesempatan  siswa untuk aktif berfikir, sebaliknya melalui metode ini siswa dituntut untuk memaknai pengetahuannya. Sebanyak 2%  siswa  mengerjakan  soal  dengan  menggunakan  model  matematika  konkret  dan  seluruh  siswa  yang mengerjakan  dengan  menggunakan  model  matematika  konkret  tersebut  dapat  menjawab  soal  dengan  benar. Sebanyak  7.5%  siswa  mengerjakan  soal  dengan  menggunakan  model pictorial dan  seluruh  siswa  yang mengerjakan  dengan  menggunakan  model pictorial tersebut  dapat  menjawab  soal  dengan  benar.  Sebanyak 90.5% siswa memilih untuk mengerjakan soal dengan menggunakan model matematika abstrak. Hanya 12.5% siswa  yang  mampu  mengerjakan  soal  dengan  tepat.  Sebanyak  78%  siswa  yang  gagal  diakibatkan  mereka memilih  menggunakan  model  matematika  abstrak  padahal  mereka  belum  menguasai  model  matematika abstrak dengan baik.
Kata kunci: model matematika, daya juang produktif, daya juang tidak produktif, pemecahan masalah
Copyright (c) 2023 Rini Melani, Tatang Herman, Aan Hasanah, Syifa Ananda Mefiana, Christina Monika Samosir  Corresponding author: Rini Melani
Email Address: rinimelani097@upi.edu (Jl. Dago Pojok No 16, Coblong, Bandung, Jawa Barat) Received 03 June 2023, Accepted 04 August 2023, Published 04 August 2023 DoI : https://doi.org/10.31004/cendekia.v7i3.2545

## PENDAHULUAN
Matematika adalah ilmu pengetahuan yang diajarkan untuk melatih kemampuan pemecahan masalah, baik itu masalah kontekstual ataupun masalah yang secara tidak tersirat behubungan dengan konteksual.  NCTM  (National  Council  of  Teaching  Mathematics)  menyebutkan  bahwa  salah  satu kompetensi  matematika  meliputi  penerapan  ilmu  matematika  untuk  pemecahan  masalah  (NCTM 2000).  Matematika  mengajarkan  peserta  didik  dalam  soal  yang  bersifat  tantangan.  Hal  ini  bisa mengasah  daya  kritis  siswa  sehingga  diharapkan  mampu  mempersiapkan  hidupnya  di  dunia  nyata yang  erat  dengan  berbagai  permasalahan,  baik  itu  permasalah  yang  bisa  dipecahkan  dengan matematika atau tidak.
Kemampuan  pemecahan  masalah  menurut  Polya  terdiri  dari  beberapa  proses  kunci, diantaranya  yaitu  memahami  isi  masalah,  merencanakan  langkah  penyelesaian,  melaksanakan  hal yang telah direncanakan, dan memeriksa jawaban yang sudah dikerjakan (Polya 1957). Pada tahap ke tiga peserta didik dihadapkan untuk bisa mengeksekusi atau melaksanakan strategi yang direncakan. Pada  tahap  ini  mereka  diminta  untuk  bisa  menggunakan  matematika  sebagai  solusi  permasalahan, menganalisis konsep matematika apa yang sesuai untuk digunakan serta membuat model matematika untuk mempermudah bahasa cerita yang ada di dalam konteks masalah.
Membuat  model  matematika  adalah  hal  esensial  yang  perlu  dimiliki.  Rasional  yang mendukung  pernyataan  tersebut  adalah  :  (1)  Kemampuan  model  matematika  tercantum  dalam kurikulum  dan  tujuan  dalam  belajar  matematika  (NCTM  2000).  (2)  Membuat  model  matematika adalah  tahap  ke  dua  dari  proses  memecahkan  masalah  (Yimer  and  Ellerton  2010).  (3)  Membuat model  matematika  hahikatnya  adalah  kemampuan  menerjemahkan  situasi  realitas  ke  dalam  bahasa matematika (Blum 2011).
Membuat model matematika sama dengan kemampuan representasi matematis. Representasi adalah  salah  satu  kompetensi  yang  harus  dikuasai  oleh  siswa,  sehingga  siswa  harus  mencapai kemampuan  representasi  matematis  (NCTM  2000).  Berkaitan  dengan  representasi,  dalam  suatu program  pembelajaran  terdapat  tiga  tujuan  utama  yang  diharapkan  oleh  siswa,  yaitu:  (1)  Membuat representasi  untuk  menjelaskan  ide  ide  matematika  (2)  Menerapkan,  memilih,  dan  melakukan translasi  antar  representasi  matematika  untuk problem  solving (3)  Menggunakan  model  dan menginterpretasi penomena fisik, sosial dan matematika (Mefiana and Juandi 2023; Muhamad 2013).
Sejumlah  penelitian  sebelumnya  mengenai  kemampuan  model  matematika  siswa  telah dilakukan seperti (Asempapa and Sturgill 2019; Cevikbas, Kaiser, and Schukajlow 2022; Greefrath et  al.  2013;  Greefrath  and  Vorhölter  2016;  Hankeln,  Adamek,  and  Greefrath  2019;  Hidayat  et  al. 2021; Kassel et al. 1990; Mingke and Alegre 2019). Hasil penelitian menunjukkan bahwa siswa sulit untuk;  (1)  merumuskan  situasi  secara  matematis,  seperti  untuk  mewakili  situasi  secara  matematis, mengenali  struktur  matematika  (termasuk  keteraturan,  hubungan,  dan  pola)  dalam  masalah,  (2) mengevaluasi kewajaran solusi matematika dalam konteks masalah dunia nyata  (Edo, Hartono, and Putri  2013).  Observasi  terbatas  dilakukan  peneliti  di  salah  satu  sekolah  menengah  Kabupaten
Bandung Barat siswa mengalami kegagalan dalam membuat matematika, siswa mengalami kesulitan dalam memformulasikan soal cerita yang relative kompleks menjadi bahasa matematika.
Ada  banyak  hal  yang  mempengaruhi  siswa  dalam  pemecahan  masalah  termasuk  dalam membuat  model  matematika,  salah  satunya  adalah  daya  juang  produktif.  Perjuangan  produktif merupakan salah satu strategi yang tergolong pada metakognitif. Metakognitif merupakan kesadaran individu  untuk  mengendalikan  aspek  kognitif  di  dalam  dirinya.  Daya  juang  memberi  kesempatan untuk  siswa  dalam  membangun  makna  interpretasi  yang  dalam  terkait  pengetahuan  yang  sudah dimiliki,  untuk  melakukan  pemeriksaan  dan  penyusunan  kembali  pengetahuan  tersebut.  Apabila pemahaman  diartikan  sebagai  hubungan  mental  antara  ide,  prosedur  matematika,  dan  fakta  maka daya  juang  dimaknai  sebagai  sebuah  proses  yang  mengkontruksi  ulang  hal  tersebut  (Hiebert  & Grouws, 2007). Pejuangan bisa dimulai pada saat siswa belum mempunyai pengetahuan yang cukup untuk  mengatasi  masalah  atau  pada  saat  siswa  tidak  dapat  menyesuaikan  pengetahuan  yang  baru. Daya juang memfasilitasi siswa untuk mampu bernalar dan berpikir secara lebih mendalam dan aktif untuk  mengatasi  atau  memahami  masalah  agar  siswa  bisa  menyempurnakan  idenya  untuk  dirinya sendiri.  Namun,  proses  perjuangan  produktif  dapat  membuat  tidak  nyaman  karena  menuntut perjuangan  pada  tugas-tugas  kompleks  yang  memerlukan  usaha  kognitif  yang  cukup  tinggi,  namun mewujudkan  hal  tersebut  dapat  menciptakan  pembelajaran  yang  lebih  bermakna  dan  mendalam (Brousseau 2002; Pasquale 2016).
Perjuangan  produktif  memfasilitasi  siswa  untuk  terlibat  dalam  proses  pembelajaran, memperhatikan  kemajuan  siswa  dalam  memecahkan  tugas  yang  relative  kompleks,  melibatkan pemikiran  yang  kritis,  dan  betul-betul  memperhatikan  langkah  yang  diputuskan  untuk  tujuan mencapai  solusi  (Wilson  and  Conyers.  2016).  Ketika  guru  dan  siswa  produktif  memperjuangkan kinerja kognitifnya agar berada di level tertinggi, mereka dilibaatkan dalam pembelajaran yang aktif dan  jelas  arahnya  serta  penuh  perjuangan  dalam  tantangan.  Disamping  itu,  ketika  guru  memberi kesempatan  siswa  untuk  memikirkan  solusi  yang  beragam,  membimbing  siswa  untuk  berpikir berdasarkan metakognitif mengenai persoalan yang diberikan, hal ini menggambarkan implementasi pendidikan  yang  baik  sehingga  bisa  menjadi  alternatif  solusi.  Berdasarkan  uraian  tersebut  peneliti tertarik  untuk  melakukan  riset  terkait  kemampuan  membuat  model  matematika  dan  daya  juang produktif siswa SMP dalam menyelesaikan masalah.

## METODE
Penelitian dilaksanakan di salah satu sekolah menengah Kabupaten Bandung Barat. Subjek dalam  penelitian  ini  berjumlah  51  siswa.  Penelitian  ini  adalah  penelitian  kualitatif  dengan  filsafat fenomenologi  di  mana  peneliti  ingin  lebih  mengetahui  kemampuan  siswa  dalam  membuat  model matematika  dan  daya  juang  siswa  dalam  menghadapi  kesulitan.  Studi  fenomenologi  merupakan sebuah  filosofi  dan  metode  penelitian  yang  menekankan  pada  interpretasi  makna  dari  pengalaman
hidup (Yin 2015). Teknik pengumpulan data yang digunakan dalam penelitian ini adalah tes, angket dan  wawancara.  Langkah  pertama  penulis  memberikan  tes  pemecahan  masalah  dan  angket  daya juang.  Tes  dan  angket  tersebut  sebelumnya  telah  divalidasi  oleh  ahli  Pendidikan  matematika  pada validitas konten, konstruk dan muka. Adapun pengkategorian siswa yang dianalisis disaring kembali berdasarkan tingkat daya juangnya sebagai berikut.
Tabel 1. Pengkategorisasian Daya Juang Produktif Kategori Nilai Tinggi 𝑥 > 80 Sedang 65 ≤ 𝑥 ≤ 80 Rendah < 65
Langkah  kedua  peneliti  melakukan  observasi  dan  wawancara  pada  siswa  yang  mengalami kesulitan  dalam  membuat  model  matematis.  Peneliti  menggunakan  intervensi  untuk  memfasilitasi siswa agar semangat tetap bertahan dalam kesulitan serta mampu menghasilkan solusi yang tepat dan produktif.  Siswa  perlu  untuk  diberikan  fasilitas  dalam  perjuangan  ini  dengan  cara  menawarkan bantuan  dan  bimbingan  tanpa  mengganggu  kesempatan  siswa  untuk  terlibat  dalam  pembelajaran (Brousseau 2002; NCTM 2017).
Analisis  data  pada  penelitian  ini  mencakup  tiga  hal  yaitu  reduksi  data,  penyajian  data  dan kesimpulan.  Sedangkan  validitas  dalam  penelitian  kualitatif  meliputi credibility,  transferability, dependability, dan confirmation.

## Indikator
Indikator  representasi  matematis  atau  model  matematika  yang  peneliti  gunakan  adalah sebagai berikut.
Tabel 2. Indikator Model Matematika No.  Representasi Indikator Deskripsi 1. 1. Konkrit Siswa menyajikan masalah ke dalam bentuk benda konkrit untuk menyelesaikan masalah
Berkorespondensi dengan representasi enaktif. representasi enaktif adalah serangkaian tindakan yang  sesuai  untuk  mencapai  hasil  tertentu (Leong, Ho, and Cheng 2015) 2. 2. Pictorial Siswa menggunakan model pictorial untuk merepresentasikan situasi yang diberikan dalam pemecahan masalah Berkorespondensi dengan representasi iconic
Iconic  adalah  serangkaian  gambar  atau  grafik ringkasan  yang  mewakili  suatu  konsep  tanpa mendefinisikannya  sepenuhnya  (Leong  et  al.
2015) 3. 3. Abstrak Siswa menggunakan ekspresi matematika menggunakan simbol untuk memecahkan masalah. Berkorespondensi dengan representasi simbolik.
Representasi simbolik  adalah  seperangkat proposisi  simbolik  atau  logis  yang  diambil  dari sistem simbolik yang diatur oleh aturan  (Leong et al. 2015)
Simbol  matematika  digunakan  untuk  mewakili objek  matematika  seperti:  angka,  fungsi,  dan limit,  serta  operasi  seperti  penambahan  dan
perkalian (Heritage and Niemi 2006).
Representasi  simbolik  berfokus  pada  notasi simbolik  dan  mencakup  penggunaan  variabel dan  rumus.  representasi  simbolik  seperti persamaan,  persamaan  aljabar,  ekspresi  aljabar, dan rumus (Heritage and Niemi 2006)
Tabel  di  atas  menunjukkan  beberapa  indikator  kunci  yang  peneliti  tekankan  untuk dielaborasi  lebih  dalam,  bagaimana  siswa  membuat  representasi  secara  konkrit,  pictorial  atau abstrak.  Peneliti  mengacu  pada  langkah  pemodelan  matematis  yang  diterapkan  pada  kurikulum sekolah  di  Singapura.  Kurikulum  singapura  memfasilitasi  siswa  yang  mengalami  kesulitan  dalam membuat  model  matematika  secara  abstrak.  Mereka  memberikan  pendekatan  secara  bertahap, dimulai dari fase kontrit, pictorial lalu kemudian secara perlahan diarahkan pada fase yang menjadi tujuan utama yaitu mampu berpikir abstrak.

## Instrument
Tiga buah soal matematika kotekstual dikembangkan dalam penelitian ini.
Tabel 3. Instrumen Soal
1  Tinggi badan Sani 52 cm lebih tinggi dari tinggi badan Ari. Sedangkan jika tinggi badan Sani dan Ari dijumlahkan adalah 218 cm. Tentukan masing-masing tinggi Sani dan Ari !
2  Sebuah  persegi  Panjang  memiliki  keliling  64  cm.  ukuran  Panjang  tersebut  lebih  4  cm  dari lebarnya. Terntukan Panjang dan lebar persegi tersebut!
3  Dibawah ini adalah 3 tower yang memiliki tinggi berbeda dan tersusun dari dua bentuk yaitu bentuk segi-enam dan persegi panjang.
Berapa tinggi tower yang paling pendek tersebut?
Soal  diberikan  dalam  bentuk  uraian  agar  peneliti  dapat  mengkaji  tipe  model  matematika melalui jawaban siswa. Validitas konten dan struktur bahasa dilakukan dalam penelitian ini, validitas dilakukan oleh ahli pendidikan matematika. Soal nomor 1, 2, dan 3 merupakan soal dengan indikator pemodelan  matematika.  Pada  riset  ini  peneliti  memberi  kebebasan  untuk  siswa  memilih  metode representasi matematika konkrit, pictorial atau abstrak. Hal tersebut dilakukan agar peneliti melihat kecenderungan siswa dalam membuat representasi matematis.

## HASIL DAN DISKUSI
Model  matematika  merupakan  bentuk  penyederhanaan  dari  situasi  nyata  dalam  bentuk matematika. Dalam soal matematika, membuat model matematika adalah upaya untuk membuat soal
cerita  yang  cenderung  kompleks  menjadi  lebih  sederhana  melalui  symbol,  persamaan,  atau representasi matematis lainnya.  Jenis soal  yang  digunakan  dalam  penelitian ini adalah  soal  aljabar. Berikut persentase siswa yang menjawab soal dengan kecenderungan representasi matematisnya.
Tabel 4. Kecenderungan Siswa dalam Memilih Model Matematika No Jenis Model Matematika Persentase Penggunaan Model Persentasi Siswa Menjawab Benar 1 Model matematika konkrit 2 % 2% 2 Model matematika pictorial 7,5 % 7,5% 3 Model matematika abstrak 90,5 % 12,5%
Tabel  tersebut  menunjukkan  bahwa  siswa  lebih  cenderung  memilih  menggunakan  model matematika  abstrak  dibandingkan  konkrit  atau  pictorial.  Hal  ini  ditunjukkan  dari  banyaknya  siswa yang  memilih  menyelesaikan  soal  dengan  menggunakan  model  matematika  abstrak  yakni  90,5%. Hanya 12.5% siswa yang mampu mengerjakan soal dengan tepat. Sebanyak 78% siswa yang gagal diakibatkan  mereka  memilih  menggunakan  model  matematika  abstrak  padahal  mereka  belum menguasai model matematika abstrak dengan baik.
Berdasarkan  hasil  observasi  bahwa  di  kelas  siswa  belum  berpengalaman  membuat  model secara  konkrit  atau  pictorial.  Berdasarkan  teori  bruner,  sebelum  siswa  bisa  berfikir  abstrak  siswa harus dibimbing membuat model konkrit. Model kontrit berkaitan dengan learning by doing. Setelah siswa  berhasil  membuat  model  konkrit  siswa  boleh  beranjak  ke  model  pictorial.  Model  pictorial adalah  serangkaian  gambar  atau  grafik  ringkasan  yang  mewakili  suatu  konsep  tanpa mendefinisikannya  sepenuhnya  (Leong  et  al.  2015).  Contohnya  seperti  angka  dalam  bentuk  turus, atau model matematika singapura seperti di bawah ini.

## Gambar 1. Matematika Singapura
Sumber : (Hoven and Garelick 2007)
Ada keterkaitan antara daya juang produktif dengan model matematis mereka. Tujuh puluh delapan persen perjuangan siswa diselesaikan di tingkat yang lebih rendah. Peneliti mengkategorikan perjuangan  sebagai  tidak  produktif  jika  siswa  terus  berjuang  tanpa  menunjukkan  tanda-tanda membuat  kemajuan  menuju  tujuan  tugas;  mencapai  solusi  tetapi  untuk  tugas  yang  telah  diubah menjadi  tugas  prosedural  yang  secara  signifikan  mengurangi  permintaan  kognitif  yang  diinginkan dari  tugas  tersebut;  atau  jika  siswa  berhenti  mencoba  (Warshauer  2014).  Dua  belas  persen perjuangan siswa diselesaikan secara tidak produktif (unproductive struggle) . Seperti pada gambar 2.
Gambar 2. Jawaban Salah Satu Siswa
Gambar 3. Jawaban Salah Satu Siswa
Gambar 4. Jawaban Salah Satu Siswa
Siswa  sudah  diberikan  intervensi  namun  tidak  mengarah  pada  perjuangan  yang  produktif. Hanya  menuliskan  apa  yang  diketahui,  ditanyakan  kemudian  memberikan  kesimpulan,  siswa cenderung memilih menyalin jawaban akhir dari temannya (Rahmi 2021).
Adapun  secara  lebih  lanjut  peneliti  mendeskripsikan  kemampuan  membuat  model matematika berdasarkan kemampuan tinggi, rendah, sedang sebagai berikut.
Tabel 5. Daftar Partisipan Penelitian No Kode Siswa Kategori 1 S1 Tinggi 2 S2 Sedang 3 S3 Rendah

## Penyelesaian Siswa Dengan Daya Juang Produktif Tinggi
Proses  berpikir  subjek  S1  dalam  membuat  model matematika  dengan  daya  juang  produktif tinggi adalah sebagai berikut.
1. Pada  aspek  bertanya,  siswa  tidak  mengabaikan  apa  yang  tidak  dipahami,  sering  meminta  guru atau  teman  untuk  menjelaskan  kembali  materi  yang  kurang  jelas,  tidak  segan  bertanya  ketika kebingungan dalam proses pembelajaran. Pertanyaan yang baik tidak lahir tanpa pemikiran.
2. Pada aspek motivasi, siswa memiliki motivasi yang tinggi dalam menyelidiki banyak cara untuk
menemukan  pemecahan  masalah  yang  tepat  tidak  hanya  mengandalkan  rumus/prosedur  yang  ia ketahui  untuk  memecahkan  suatu  masalah.  Hal  ini  sesuai  juga  dengan  heuristic  polya  dalam pemecahan masalahnya (Polya 1957)
3. Pada  aspek  strategi,  siswa  senantiasa  memeriksa  kembali  apakah  jawaban  yang  didapat  sesuai atau  masuk  akal.  Hal  ini  sejalan  dengan  tahapan  pemecahan  masalah  yang  dikemukakan  oleh (Carlson and Bloom 2005; Polya 1957; Schoenfeld 1985; Yimer and Ellerton 2010)
Daya  juang  tersebut  menjadi  bekal  siswa  dalam  mengerjakan  soal  pemecahan  masalah. Rasional  dari  pernyataan  tersebut  tergambar  dari  langkah  siswa  dalam  menjawab  soal-soal  yang diberikan.
Jawaban Soal Nomor 1:
Gambar 5. Jawaban Siswa S1 Soal Nomor 1
Sebagian besar orang bisa saja menginterpretasikan bahwa S adalah Sani, dan A adalah Ari sebagaimana inisial huruf awalnya. Namun tidak dengan S1, ia membuat model matematis sebagai berikut.
(S + 52) + S = 218
Peneliti lalu bertanya,
P: “Simbol S yang itu maksudnya Sani?”
S: “bukan bu, maksudnya Ari”
Jika maksudnya Ari maka model matematikanya tetaplah benar, karena representasi dari soal “tinggi badan Sani lebih tinggi 52 cm dari tinggi badan Ari” artinya
tinggi badan Sani = Tinggi badan Ari + 52
atau  symbol  yang  umum  dilakukan  adalah  A  +  52.  Tentu  ini  berbeda  dengan  S1  yang  membuat symbol S + 52 artinya ia merepresentasikan Ari sebagai S dan Sani sebagai A. Sebenarnya tidak ada yang  salah  dengan  pembuatan  symbol  matematika  yang  dibuat  oleh  S1.  Aljabar  membebaskan seseorang  dalam  membuat  symbol  asal  tidak  keliru  pada  saat  menarik  kesimpulan,  Pada  jawaban akhir  S1  memperoleh  jawban  S  =  83  cm.  Peneliti  sempat  menduga,  kemungkinan  S1  akan  lupa denga  apa  yang  telah  ia  simbolkan  namun  S1  berhasil  melewati  kekeliruan  itu,  ia  ingat  dan  tetap konsisten bahwa S yang disimbolkan adalah refresentasi dari tinggi badan Ari sehingga pada soal ini S1 memperoleh skor jawaban benar.
Jawaban Soal Nomor 2:
Gambar 6. Jawaban S1 Soal Nomor 2
Pada jawaban terlihat hasil akhir p = 14. Penulis melakukan wawancara kepada siswa. P: “p = 14, tapi kamu membuat kesimpulan panjangnya 18, bagaimana maksudnya?
S: “sama seperti soal 1 bu, saya tertukar menyimbolkan lebar dengan p, dan panjang dengan l bu”
P: “Oh iya baik, tapi bagus ya kamu tidak keliru dalam penarikan kesimpulan”
S: “iya bu, soalnya mau diganti lagi males bu, saya kira tidak masalah jadi yaudah gitu aja”
Sebelum menemukan jawaban ini siswa mencoba coba (trial and eror) pada awalnya siswa menemukan  bahwa lebarnya  16  cm.  Namun  dengan menggunakan  tahap  yang tepat yaitu “looking back” akhirnya siswa menyadari jawaban tersebut belum tepat.
P: “nomor 2 jawabannya 16?”
S: “eh iya bu maaf, saya itu jawabannya salah. Di sana jawabannya ada dua, yang benar adalah jawaban bawah bu.”
Terlihat  pada  lembar  jawaban  siswa melakukan  pengecekan  kembali menggunakan metode substitusi.  Pada  akhirnya,  siswa  memperoleh  jawaban  yang  tepat  pada  soal  ini,  menggunakan pemodelan abstrak. Pemodelan abstrak yang siswa gunakan adalah al jabar.
Jawaban Soal Nomor 3:

## Gambar 7. Jawaban S1 Soal Nomor 3
Jawaban  akhir  siswa  benar.  Namun  S1  tidak  menulisan  secara  rinci  proses  jawabannya. Namun melalui wawancara peneliti memperoleh alasan siswa menjawab soal tersebut. Namun pada kasus  ini,  siswa  seharusnya  tetap  menuliskan  jawabannya  secara  tertulis,  baik  itu  melalui  model abstrak, pictorial maupun konkrit.
Dari jawaban siswa di atas dapat disimpulkan bahwa subjek S1 membuat model matematika secara abstrak, karakteristiknya memiliki daya juang yang tinggi dan memiliki kemamampuan yang baik dalam membuat model matematika. S1 mampu menjawab soal nomor 1 sampai nomor 3 dengan benar.

## Penyelesaian Siswa dengan Daya Juang Produktif Sedang
Siswa  Subjek  S2  dengan  daya  juang  sedang  mampu  menjawab  2  soal,  Subjek  S2  dapat menjawab  soal  nomor  2  dan  3  dengan  baik  dan  benar.  Tidak  ditemukan  kesulitan  siswa  dalam menjawab  pertanyaan  ini.  Namun  masih  ditemukan  kesalahan  siswa  dalam  menjawab  pertanyaan nomor 1 seperti pada gambar di bawah ini.
Gambar 8. Jawaban S2 Soal Nomor 1
Berdasarkan jawaban siswa di atas, S2 membuat model matematika secara konkrit. Adapun kesalahan  S2 dalam  soal  ini  adalah membagi 218  dengan  2  kemudian  masing-masing  dioperasikan dengan  52  cm,  yang  paling  tinggi  ditambah  52cm,  yang  lebih  pendek  dikurangi  52cm.  Peneliti bertanya kepada siswa untuk memeriksa kembali jawabannya.
P:”Mengapa kamu membaginya dengan 2?”
S2:”Karena tinggi Sani dan Ari jika dijumlahkan adalah 218cm, jadi nanti tinggal ada yang dikurang 52cm dan ditambah 52cm karena Sani lebih tinggi 52cm dari Ari”
P: “Tinggi Sani 161cm dan tinggi Ari 57cm, apakah selisih tinggi mereka sudah benar 52cm ?” S2: “Eh iya bu, saya salah kayanya bu”
S2  pada  soal  ini  tidak  melakukan “looking  back” sebagaimana  heuristic  Polya.  S2  tidak berhasil  memeriksa  kembali  solusi  yang  telah  iya  temukan  sehingga  mendapat  hasil  yang  belum tepat.  S2  keliru  dalam  menentukan  tinggi  badan  ketika  diketahui  jumlah  dan  selisihnya,  siswa  ini berhasil  menemukan  sesuai  jumlahnya  namun  gagal  dalam  selisihnya.  Selain  siswa  S2  pun  masih banyak yang menjawab soal seperti ini sehingga rata-rata partisipan dalam penelitian ini mengalami masalah yang sama.

## Penyelesaian siswa dengan daya juang produktif rendah
Subjek S3 merupakan siswa dengan daya juang produktif yang rendah, memiliki deskripsi daya juang sebagai berikut.
1. Pada aspek bertanya, segan bertanya kepada orang lain ketika mengalami kebingungan
2. Pada aspek motivasi, subjek S3 berhenti melakukan percobaan tanpa bantuan dari guru, menyalin pemecahan masalah orang lain tanpa memahaminya.
3. Pada aspek strategi, subjek S3 memeriksa jawaban ketika guru memberikan instruksi.
Subjek S3
Gambar 9. Jawaban S3 Soal Nomor 1
Subjek  S3  hanya  bisa  mengerjakan  soal  nomor  1.  Namun,  Subjek  S3  tidak  bisa mengerjakannya secara mandiri. Ia perlu intervensi berupa bantuan untuk memajukan daya juangnya. Peneliti  memberikan  perlakuan  agar  siswa  mau  berjuang  untuk  berfikir.  Jika  kita  ingin  siswa  kita berpikir,  kita  perlu  memberi  mereka  sesuatu  untuk  dipikirkan—sesuatu  yang  tidak  hanya membutuhkan pemikiran tetapi juga akan mendorong pemikiran (Pruner and Liljedahl 2021) dalam matematika, ini  datang  dalam  bentuk  tugas  pemecahan  masalah,  dan  memiliki tugas  yang tepat  itu penting  (Liljedahl  2020).Peneliti  memberikan  treatment  tersebut  berupa  soal  pemecahan  masalah kemudian  memberikan  bantuan  namun  tetap  berorientasi  pada  kesempatan  anak  untuk  berfikir. Metode  yang  peneliti  gunakan  adalah  bertanya,  sesuai  dengan  teori  pengajaran  Socrates.  Metode pengajaran Socrates tidak diragukan lagi mendapatkan namanya karena Socrates selalu mengajukan pertanyaan.  pertanyaan  yang  dia  ajukan  apalagi,  selalu  "memimpin"  pertanyaan;  Kita  tidak  pernah melihat  Socrates mengajukan  pertanyaan  ketika  dia setidaknya  tidak memiliki jawaban  yang sudah ada dalam pikirannya (Brickhouse, T. C., & Smith 1994).

## KESIMPULAN
Persentase partisipan yang dapat mengerjakan soal dengan model matematika konkrit adalah 2%.  Partisipan  yang  dapat  mengerjakan  soal  dengan  model  piktorial  adalah  7,5%.  Partisipan  yang dapat mengerjakan  soal dengan model abstrak  adalah  12,5%.  Sebanyak  78% siswa  gagal membuat model  matematika.  Dua  belas  persen  perjuangan  siswa  diselesaikan  secara  tidak  produktif (unproductive  struggle) .  Subjek  yang  memiliki  daya  juang  produktif  yang  tinggi  dapat  menjawab ketiga  soal  dengan  benar  dengan  model  matematika  abstrak.  Subjek  yang  memiliki  daya  juang produktif yang sedang dapat menjawab dua soal dengan benar dengan model matematika konkrit dan abstrak. Subjek yang memiliki daya juang produktif rendah tidak dapat menjawab semua soal, hanya satu  soal  yang  mampu  dijawab.  Itupun  dengan  bantuan  intervensi/perlakuan  dari  peneliti.  Subjek dengan  daya  juang  produktif  rendah  sangat  memerlukan  bantuan  pendampingan  dari  guru,  hal  ini dikarenakan  guru  juga  harus  membimbing  siswa  dengan  baik  selama  menyelesaikan  soal  sehingga tidak  ada  siswa  yang  melewatkan  langkah  pemecahan  masalah  (Samosir  et  al.  2020).  Bantuan tersebut dengan syarat tidak menghilangkan kesempatan siswa berfikir. Maka salah satu yang dapat dilakukan adalah bantuan gaya Socrates, guru harus tahu waktu yang tepat untuk membantu siswa,
dengan  catatan  harus  sesuai  porsinya,  oleh  karenanya  guru  mempunyai  tantangan  dalam mempersiapkan  pembelajaran  matematika  (Melani  et  al.  2023),  sehingga  guru  harus  berusaha mempersiapkannya  dengan  baik  guna  mengakomodasi  siswanya  untuk  mencapai  tujuan pembelajaran

## REFERENSI
Asempapa, Reuben S., and Derek J. Sturgill. 2019. “Mathematical Modeling : Issues and Challenges in Mathematics Education and Teaching.” 11(5):71–81. doi: 10.5539/jmr.v11n5p71.
Blum,  Werner.  2011.  “Can  Modelling  Be  Taught  and  Learnt ?  Some  Answers  from  Empirical Research.” 15–30. doi: 10.1007/978-94-007-0910-2.
Brickhouse, T. C., & Smith, N. D. 1994. “Plato’s Socrates.”
Brousseau, Guy. 2002. Theory of Didactical Situations in Mathematics .
Carlson, Marilyn P., and Irene Bloom. 2005. “The Cyclic Nature of Problem Solving: An Emergent Multidimensional  Problem-Solving  Framework.” Educational  Studies  in  Mathematics (2005) 58: 45–75 45–75.
Cevikbas,  Mustafa,  Gabriele  Kaiser,  and  Stanislaw  Schukajlow.  2022.  “A  Systematic  Literature
Review  of  the  Current  Discussion  on Mathematical Modelling  Competencies: State-of-the- Art  Developments  in  Conceptualizing,  Measuring,  and  Fostering.” Educational  Studies  in Mathematics 109(2):205–36. doi: 10.1007/s10649-021-10104-6.
Edo, Sri Imelda, Yusuf Hartono, and Ratu Ilma Indra Putri. 2013. “Investigating Secondary School Students’ Difficulties in Modeling Problems PISA-Model Level 5 And 6.” 4(1):41–58.
Greefrath, Gilbert, Gabriele Kaiser, Werner Blum, Borromeo Ferri, Der Begriff, and Mathematisches Modellieren.  2013.  “Mathematisches  Modellieren  Für  Schule  Und  Hochschule.” Mathematisches  Modellieren  Für  Schule  Und  Hochschule 11–37.  doi:  10.1007/978-3-658- 01580-0.
Greefrath,  Gilbert,  and  Katrin  Vorhölter.  2016. Teaching  and  Learning  Mathematical  Modelling Approaches and Developments From .
Hankeln, Corinna, Catharina Adamek, and Gilbert Greefrath. 2019. “Assessing Sub-Competencies of Mathematical  Modelling—Development  of  a  New  Test  Instrument.”  143–60.  doi: 10.1007/978-3-030-14931-4_8.
Heritage, Margaret, and David Niemi. 2006. “Toward a Framework for Using Student Mathematical Representations as Formative Assessments.” Educational  Assessment 11(3–4):265–82.  doi: 10.1080/10627197.2006.9652992.
Hidayat,  Riyan,  Hilman  Qudratuddarsi,  Nurul  Hijja  Mazlan,  and  Mohd  Zaidi  Mohd  Zeki.  2021.
“Evaluation  of  a  Test  Measuring  Mathematical  Modelling  Competency  for  Indonesian College  Students.” Journal  of  Nusantara  Studies  (JONUS) 6(2):133–55.  doi: 10.24200/jonus.vol6iss2pp133-155.
Kemampuan  Membuat  Model  Matematika  dan  Daya  Juang  Produktif  Siswa  SMP  dalam  Menyelesaikan  Soal Pemecahan Masalah, Rini Melani, Tatang Herman, Aan Hasanah, Syifa Ananda Mefiana, Christina Monika Samosir 2403
Hoven,  John,  and  Barry  Garelick.  2007.  “Singapore  Math:  Simple  or  Complex?” Educational Leadership 65(3):28–31.
Julita,  J.,  D.  Darhim,  and  T.  Herman.  2020.  “Mathematical  Strategic  Thinking  Ability  Using
Quantum  Learning  Based  on  Creative  Problem  Solving  in  Terms  of  High  School  Students Gender.” Journal  of  Physics:  Conference  Series 1477(4).  doi:  10.1088/1742- 6596/1477/4/042045.
Kassel,  Mathematische  Schriften,  Vordruck-reihe  Fachbereichs,  Werner  Slum,  and  Fed  Rep.  1990.
“Mathematical  Problem  Solving,  Modelling,  Applications,  And  Links  to  Other  Subjects  - State, Trends and Issues In Mathematics Instruction.” (6):1–36.
Leong, Y. H., W. K. Ho, and L. P. Cheng. 2015. “Title Concrete-Pictorial-Abstract: Surveying Its Origins  and  Charting  Its  Future  Surveying  Its  Origins  and  Charting  Its  Future.” Retrieved from The Mathematics Educator 16(1):1–18.
Liljedahl,  Peter.  2020. Building  Thinking  Classrooms  in  Mathematics  (Grades  K-12):  Teaching Practices for Enhancing Learning. Thou- sand Oaks: Corwin Press Inc.
Mefiana,  Syifa  Ananda,  and  D.  Juandi.  2023.  “Refractive  Thinking  in  Solving  Mathematical Problems  in  Indonesia:  A  Systematic  Literature  Review.” Jurnal  Matematika  Dan Pendidikan Matematika 8(2):473–88.
Melani,  Rini,  Tatang  Herman,  Universitas  Pendidikan  Indonesia,  and  Situasi  Didaktis.  2023.
“Evaluation of Learning Media ( Textbooks ) in Area of Square and Rectangle to Prepare Student in Problem Solving : Praxeological Analysis.” 12(1):40–48. doi: 10.35194/jp.v12i1.2887.
Mingke, Girley P., and Emybel M. Alegre. 2019. “Difficulties Encountered In Mathematical Word Problem  Solving  Of  The  Grade  Six  Learners.” International  Journal  of  Scientific  and Research Publications (IJSRP) 9(6):p9053. doi: 10.29322/ijsrp.9.06.2019.p9053.
Muhamad, Nurdin. 2013. “Pengaruh Metode Discovery Learning Untuk Meningkatkan Representasi Matematis Dan Percaya Diri Siswa.” 9–22.
NCTM. 2000. “Virginia Principles and Standars for School Mathematics. Reston VA: The National
Council of Teachers of Mathematics Inc.” 2000.
NCTM. 2017. “Productive Struggle.” 22(1):2017–18.
Pasquale, Marian.  2016.  “Productive  Struggle in Mathematics.” Interactive  Technologies  in  STEM Teaching and Learning 1–4.
Polya, G. 1957. Polya How to SolveIt .
Pruner,  Michael,  and  Peter  Liljedahl.  2021.  “Collaborative  Problem  Solving  in  a  Choice-Affluent
Environment.” ZDM  -  Mathematics  Education 53(4):753–70.  doi:  10.1007/s11858-021- 01232-7.
Rahmi,  Khalida.  2021.  “Kecakapan  Membuat  Model  Matematis  Dan  Daya  Juang  Produktif  Siswa
Kelas  VIII  Dalam  Memecahkan  Masalah  Kontekstual.” S2  Thesis,  Universitas  Pendidikan Indonesia. 2021.
Samosir, Christina Monika, Titi Solfitri, and Armis Armis. 2020. “Penerapan Model Pembelajaran Berdasarkan  Masalah  Untuk  Meningkatkan  Kemampuan  Pemecahan  Masalah  Matematis Siswa Kelas VII A SMP PGRI Pekanbaru Tahun Pelajaran 2019/ 2020.” JURING (Journal for Research in Mathematics Learning) 3(4):403. doi: 10.24014/juring.v3i4.10312.
Schoenfeld, A. H. 1985. Mathematical Problem Solving . New York: Academic Press.
Warshauer,  Hiroko  Kawaguchi.  2014.  “Classrooms.” J  Math  Teacher  Educ .  doi:  10.1007/s10857- 014-9286-3.
Wilson,  D.,  and  M.  Conyers.  2016.  “Teaching  Students  to  Drive  Their  Brains:  Metacognitive Strategies, Activities, and Lesson Ideas. Alexandria, VA: ASCD.” 2016.
Yimer, Asmamaw, and Nerida F. Ellerton. 2010. “A Five-Phase Model for Mathematical Problem Solving :  Identifying  Synergies  in  Pre-Service-Teachers  ’  Metacognitive  and  Cognitive Actions.” 245–61. doi: 10.1007/s11858-009-0223-3.
Yin, Robert K. 2015. Qualitative Research from Start to Finish . Vol. 4. 2nd ed. New York London: The Guilford Press.