J ournal of Authentic Research on Mathematics Education Volume 5, No. 1, Januari 2023
https://doi.org/ 10.37058/jarme. v5i1.6004 e-ISSN 2655-7762

## BIPLOT DENGAN DEKOMPOSISI NILAI SINGULAR BIASA DAN KEKAR UNTUK PEMETAAN PROVINSI BERDASARKAN PRESTASI MAHASISWA

## Warsito*, Hairul Saleh
Universitas Muhammadiyah Tangerang, Jl. Perintis Kemerdekaan I/33 Tangerang 151818 Indonesia *Corresponding Author: warsito@umt.ac.id

## ARTICLE INFO

## ABSTRACT
Article history:
Received: 4 Desember 2022 Revised: 26 Desember 2022 Accepted: 11 Januari 2023
Keywords:
dekomposisi nilai singular, biplot, kesuaian biplot ( goodness of fit ), pencilan, data ekstrim.
Analisis  Biplot  dapat  dikonstruksi  dengan  pendekatan  DNS  biasa dan kekar.  Pendekatan DNS biasa memerlukan matriks data yang tidak ada pencilan atau data ekstrim. Apabila dalam penelitian ini ditemukan  data  pencilan  maka  biplot  dari  DNS  biasa  belum menjamin  gambaran  pemetaan  antara  objek  pengamatan  dan peubahnya.  Untuk  menyelesaikan  masalah  ini,  diberikan pendekatan  metode  DNS  kekar.  Pasangan  eigennilai  dan eigenvektor  dari  DNS  biasa  dan  kekar  mempunyai  sifat meminimalkan  jarak  antara  matriks  data  dengan  matriks dugaannya dengan norma Euclid atau norma L2 dan jarak blok kota ( city block ) atau norma L1.  Analisis Biplot berdasarkan dari metode DNS  kekar  dapat  memberikan  gambaran  objek  pengamatan  dan peubah yang tahan terhadap pencilan.  Metode diagram kotak dari data penelitian prestasi mahasiswa IPB menunjukkan bahwa data memiliki pencilan.  Analisis Biplot yang didasarkan DNS biasa dan kekar  terhadap  matriks  data  tersebut  memperlihatkan  grafik  dan struktur  data  hampir  sama,  hal  ini  menunjukkan  bahwa  pencilan tidak  berpengaruh  pada  perubahan  struktur  data.    Matriks  data diberi beberapa data ekstrim kemudian dianalisis dengan DNS biasa dan  kekar.  Biplot  dari  DNS  biasa  hasilnya  berbeda  jauh  dengan biplot dari matriks data tanpa data ekstrim, sedangkan biplot dari DNS  kekar  memperlihatkan  struktur  data  kecil  atau  tidak terpengaruh dengan data ekstrim.
Biplot  analysis  can  be  constructed  from  an  ordinary  and  robust Singular  Value  Decomposition  (SVD)  approach.    A  SVD  approach ordinary  need  data  matrix  that  no  outliers  or  extreme  data.    If  a outliers data  is found  in  this research,  ordinary  SVD  biplot  will  not able  to  assure  the  mapping illustration  between  observation  object and  variable.  To  solve  this problem,  approaching method  to  robust SVD is applied.   The couple of  ordinary and  robust SVD’ eigenvalue couple and eigenvector have distance minimizing feature among data matrix and estimation matrix with Euclid norm or L2 norm and city block distance or L1 norm.  Biplot analysis which is based on robust SVD  method  can  give  illustrations  to  a  outliers  resist  observation object and variable.  The boxplot of the achievement of IPB show that the data has outliers.  Robust and ordinary SVD to data matrix based biplot analysis shows the data graph and structure is almost identic. It implies that outliers has no effect to data structure alteration.  A couple  of  extreme  datas  are  given  to  the  data  matrix  and  then anlysised using ordinary and robust SVD. Ordinary SVD biplot result is far more different from data matrix biplot without extreme data, in
Warsito & Saleh. Biplot Dengan Dekomposisi Nilai Singular … 34
the other hand robust SVD biplot shows small data structure which means it is not influenced by extreme data.

## Copyright © 2023UniversitasSiliwangi All rights reserved

## How to Cite:
Warsito & Saleh, H. (2023). Biplot Dengan Dekomposisi Nilai Singular Biasa dan Kekar Untuk Pemetaan Provinsi  Berdasarkan  Prestasi  Mahasiswa. Journal  of  Authentic  Research  on  Mathematics  Education, 5 (1), 33-45. https://doi.org/10.37058/jarme. v5i1.6004

## 1. PENDAHULUAN
Analisis  Peubah  Ganda  (APG)  merupakan  bentuk  lain  dari  aljabar  linear  terapan dalam matematika, misalkan X matriks berukuran nxp dapat menjelaskan dengan adanya n objek dan masing-masing objek tersebut diamati p peubah (Siswadi dan Suharjo, 2007, Hardle,  WK.  &  Simar,  L.,  2015;  Mattjik  AA,  &  Sumertajaya  IM.,  2011).  Analisis  biplot merupakan suatu teknik ekplorasi peubah ganda yang menyajikan posisi n objek dengan p peubah secara simultan pada dua dimensi (Jollife, 2002; Daigle, G, & Riverst, LP., 1992; Mattjik AA & Sumertajaya IM., 2011). Data pencilan merupakan pengamatan tampak tidak konsisten dengan data pengamatan lain (Neter, J., Wasserman, W., & Kutner, 1990). Untuk mengidentifikasi adanya pencilan salah satunya dapat dilakukan dengan boxplot.  Adanya data  pencilan  berakibat  akan  mengganggu  pemenuhan  hasil  analisis  dari  model  yang dihasilkan tidak dapat diandalkan. Demikian juga dalam kasus multivariat, hasilnya adalah interpretasi yang tidak akurat dan kesalahan dalam pengambilan keputusan atas model yang  diperoleh  (Huber  &  Ronchetti,  2011;  Utami, et  al .,  2017).    Oleh  karena  itu,  perlu analisis lain yang kekar terhadap data pencilan.
Analisis  biplot  dapat  dikonstruksi  dengan  pendekatan  dekomposisi  nilai  singular (DNS) biasa dan kekar (Liu et al, 2003).  Pendekatan DNS biasa memerlukan matriks data tanpa  pencilan  atau  data  ekstrim.   Pasangan  eigennilai dan  eigenvektor  dari  DNS  biasa mempunyai  sifat  meminimalkan  jarak  antara  matriks  data  dengan  matriks  dugaannya dengan norma Euclid atau norma L2 (Johnson & Wichern, 2002)
Apabila dalam suatu penelitian ditemukan data pencilan, biplot dengan DNS biasa belum menjamin gambaran pemetaan antara objek pengamatan dan peubah oleh sebab itu perlu digunakan pendekatan DNS kekar (Liu et al , 2003; Hawkins, et al, 2001).  Pendekatan ini digunakan untuk menduga sejumlah eigennilai dan eigenvektor kiri dan kanan yang tahan terhadap pengaruh pencilan. Pasangan eigennilai dan eigenvektor dari DNS kekar mempunyai  sifat  meminimalkan  jarak  antara  matriks  data  dengan  matriks  dugaannya dengan norma blok kota ( city block ) atau norma L1 (Hawkins, et al, 2001). Analisis biplot yang dihasilkan dengan pendekatan DNS kekar diharapkan dapat memberikan gambaran objek pengamatan dan peubah yang tahan terhadap pencilan.
Mahasiswa  IPB  hampir  mewakili  33  provinsi  di  Indonesia,  diharapkan  mampu memberikan  gambaran  prestasi  dan  pemetaan  mutu  pendidikan  setiap  daerahnya. Pencapaian  prestasi  tersebut  salah  satunya  dipengaruhi  oleh  mutu  masukan,  di  mana seleksi penerimaan mahasiswa baru IPB dapat melalui jalur USMI, SNMPTN, dan BUD.
Keragaman  mutu  yang  diperoleh  memungkinkan  terdapat  pencilan,  sehingga untuk  mendapatkan  pemetaan  provinsi  berdasarkan  peubah  mata  kuliah  dan  IPK mendorong  untuk  membandingkan  analisis  biplot  dengan  pendekatan  DNS  biasa  dan kekar.  DNS biasa akan memberikan biplot yang memvisualisasikan dari segugus objek dan peubah dalam bentuk grafik bidang datar sehingga ciri-ciri peubah dan objek pengamatan serta  posisi  relatif  antar  objek  dengan  peubah  dapat  dianalisis.  Apabila  dalam  suatu penelitian ditemukan data pencilan, biplot dengan DNS biasa belum menjamin gambaran pemetaan  antara  objek  pengamatan  dan  peubah  oleh  sebab  itu  diberikan  sebuah pendekatan DNS secara iteratif yang disebut pendekatan DNS kekar.
DNS  dari  matriks  data  adalah  suatu  alat  yang  dapat  digunakan  untuk  memahami struktur  data.  Misalkan X adalah  matriks  data  dengan n objek  pengamatan  dan p peubah yang terkoreksi terhadap rata-ratanya. Jika matriks X berpangkat r dengan r ≤ min { n, p }, maka  dengan  menggunakan  DNS  biasa  ( Siswadi  dan  Suharjo,  2007;  Gabriel  2002) diperoleh:
n X p = n U r L r A′ p
Matriks U dan A merupakan matriks ortonormal kolom, di mana U ′ U = A ′ A = I r .  Matriks A adalah  matriks  yang  kolom-kolomnya  terdiri  eigenvektor a i yang  berpadanan  dengan eigennilai  i dari matriks X ′ X dan matriks U adalah:
U = ( 𝐗𝐚 𝟏 √𝜆 1 , 𝐗𝐚 𝟐 √𝜆 2 , ⋯ , 𝐗𝐚 𝐫 √𝜆 𝑟 ) .
Matriks L = diag ( √𝜆 1 , √𝜆 2 ,  , √𝜆 𝑟 ), di mana 𝜆 1  𝜆 2   𝜆 𝑟 > 0 dan 𝜆 𝑖 disebut nilai singular dari matriks X ′ X atau matriks XX ′ .  DNS biasa juga dapat ditulis dalam bentuk: X = ∑  𝑖 𝒖 𝒊 𝒂 𝒊 ′ 𝑟 𝑖=1
Bila r > 2 maka pendekatan terbaik matriks data X oleh Y yang berpangkat s , dengan s  r diperoleh dari kuadrat jarak minimum matriks Y ke matriks X yaitu:
min ‖𝐗 − 𝐘‖ 𝐹 2 = min ∑ ∑ (𝑥 𝑖𝑗 −  𝑦 𝑖𝑗 ) 2 𝑝 𝑗=1 𝑛 𝑖=1
Dengan DNS biasa maka:
n X p = n U r L r A ′ p .
Dalam Jollife (2002),  dengan mendefinisikan G = UL  dan 𝐇 ′ =   𝐋 𝟏−𝛂 𝐀 ′ untuk  [0,1], maka n X p = n U r L r A ′ p = n U r 𝐋 𝐫 𝛂 𝐋 𝐫 𝟏−𝛂 A ′ p = n G r H ′ p
Untuk menggambarkan di ruang berdimensi k  r , maka pendekatan matriks berpangkat k : 𝐗 ̂ (k) = G (k) H ′ (k) = (𝐔 𝐤 𝐋 𝐤  )(𝐋 𝐤 𝟏−  𝐀′ 𝐤 )
biasanya digunakan k = 2, sehingga koordinat-koordinat G dan H dapat digambarkan dalam ruang berdimensi 2 (Lipkovich & Smith, 2002).  Pengambilan  tertentu berimplikasi dalam interpretasi biplot. Jika  = 0, maka diperoleh G = U dan H ′ =LA ′ akibatnya:
X ′ X = (GH ′ ) ′ (GH ′ ) = HH ′
= ( n-1) S sehingga diperoleh:
✓ 𝒉′ 𝒊 𝒉 𝒋 = (n-1) s ij , di mana s ij adalah koragam peubah ke -i dan ke -j .
Warsito & Saleh. Biplot Dengan Dekomposisi Nilai Singular … 36
✓ Panjang ‖𝒉 𝒊 ‖ = √𝑛 − 1 s i dengan s i = √𝑠 𝑖𝑖 , menggambarkan keragaman peubah ke- i .
✓ Korelasi antara peubah k e-i dan ke -j dijelaskan oleh cosinus sudut antara h i dan h j , yaitu: co 𝑠 𝜃 = r ij . ✓ Jika X berpangkat p , maka ( x i – x j ) ’S -1 ( x i – x j ) = (n-1)( g i - g j ) ’ ( g i - g j ) artinya, kuadrat jarak Mahalanobis antara x i dan x j sebanding kuadrat jarak Euclid antara g i dan g j.
Untuk   (0,1), maka interpretasi pada korelasi serta jarak Euclid dan Mahalanobis tidak  berlaku,  sedangkan  posisi  relatif g i dan h j masih  mencerminkan  mengenai  besaran objek ke-i pada peubah ke-j, x ij = 𝒈′ 𝒊 𝒉 𝒋
Analisis  biplot  yang  didasarkan  DNS  kekar,  mengambil  pendekatan  matriks X berpangkat dua yaitu :
X ≈ L 𝑹′
dengan L dan R adalah  matriks  yang  terdiri  dua  eigenvektor  kiri  dan  eigenvektor  kanan pertama  pada X (Hawkins et  al., 2001).   Kemudian,  matriks L dan R digunakan sebagai matriks G dan H yang masing-masing merupakan gambarkan vektor-vektor baris dan kolom matriks X .

## 2. METODE
Pada dasarnya, analisis ini merupakan suatu alat statistika yang menyajikan posisi relatif n objek dengan p peubah secara simultan dalam dua dimensi.  Analisis ini dapat mengkaji hubungan antara objek pengamatan dan peubah. Selain itu dapat dilihat juga ciri- ciri  masing-masing  objek  dan  peubahnya.  Oleh  karena  itu,  metode  penelitian  ini merupakan  bentuk  statistik  deskriptif  yang  untuk  melihat  pemetaan  peubah  dan  objek secara bersama-sama pada demensi dua dengan menggunakan analisis Biplot.  Menurut Gabriel  (2002),  biplot  tidak  hanya  sebagai  pendekatan  matriks  data X dengan menggunakan  matriks GH ′ ,  tetapi  juga  hasil  perkalian HH ′ sebagai  pendekatan  dari matriks X ′ X yang  berkaitan  dengan  ragam-koragam  dan  korelasi  antar  peubah,  dan matriks GG ′ sebagai pendekatan bagi XX ′ yang berkaitan dengan ukuran kemiripan antar objek.    Selanjutnya  Gabriel  mengemukakan  ukuran  kesuaian  biplot  ( Goodness  of  Fit  of Biplot ) sebagai ukuran pendekatan dalam bentuk sebagai berikut:
1) Kesuaian data: GF ( X, GH ′ ) = tr 2 (𝐗 ′ 𝐆𝐇 ′ ) tr(𝐗 ′ 𝐗)(𝐇𝐆 ′ 𝐆𝐇 ′ )
2) Kesuaian peubah: GF ( X'X,HH ′ ) = tr 2 (𝐗 ′ 𝐗𝐇𝐇 ′ ) tr(𝐗 ′ 𝐗𝐗 ′ 𝐗)tr(𝐇𝐇 ′ 𝐇𝐇 ′ )
3) Kesuaian objek: GF (X X', GG ′ ) = tr 2 (𝐗𝐗 ′ 𝐆𝐆 ′ ) tr(𝐗𝐗 ′ 𝐗𝐗 ′ )tr(𝐆𝐆 ′ 𝐆𝐆 ′ )

## 2.1. Subjek Penelitian
Peubah dan objek yang digunakan dalam penelitian ini adalah:
Tabel 1. Nama peubah mata kuliah
No.  Peubah Kode No.  Peubah Kode 1 Agama (AGM) V1 9 Pengantar Kewirausahaan (KWR) V9 2 Biologi (BIO) V2 10 Pengantar Matematika (MTK) V10 3 Ekonomi Umum (EKU) V3 11 Olah Raga dan Seni (ORS) V11 4 Fisika (FIS) V4 12 Pengantar Ilmu Pertanian (PIP) V12 5 Bahasa Indonesia (IND) V5 13 Pengantar Kewarganegaraan (PKN) V13 6 Bahasa Inggris (ING) V6 14 Sosiologi Umum (SOU) V14 7 Kalkulus (KAL) V7 15 Indeks Prestasi Kumulatif (IPK) V15 8 Kimia (KIM) V8
Nilai peubah V 1 , V 2 , V 3 , V 4 , V 5 , V 6 , V 7 , V 8 , V 9 , V 10 , V 11 , V 12 , V 13 , V 14 merupakan rata-rata nilai mutu mata kuliah dan V 15 merupakan rata-rata nilai IPK mahasiswa.
Tabel 2. Nama objek pengamatan asal provinsi
Asal Provinsi Seleksi Kode Asal Provinsi Seleksi Kode NAD 1 Non-BUD 1 JATIM 1 Non BUD 28 NAD 2 BUD 2 JATIM 2 BUD 29 SUMUT 1 Non BUD 3 BALI Non BUD 30 SUMUT 2 BUD 4 NTB Non BUD 31 SUMBAR 1 Non BUD 5 NTT 1 Non BUD 32 SUMBAR 2 BUD 6 NTT 2 BUD 33 RIAU 1 Non BUD 7 KALBAR Non BUD 34 RIAU 2 BUD 8 KALTENG 1 Non BUD 35 JAMBI 1 Non BUD 9 KALTENG 2 BUD 36 JAMBI 2 BUD 10 KALSEL 1 Non BUD 37 SUMSEL 1 Non BUD 11 KALSEL 2 BUD 38 SUMSEL 2 BUD 12 KALTIM 1 Non BUD 39 BENGKULU Non BUD 13 KALTIM 2 BUD 40 LAMPUNG 1 Non BUD 14 SULUT Non BUD 41 LAMPUNG 2 BUD 15 SULSEL 1 Non BUD 42 KEP.BABEL. 1 Non BUD 16 SULSEL 2 BUD 43 KEP.BABAL. 2 BUD 17 SULTRA 1 Non BUD 44 DKI JAKARTA 1 Non BUD 18 SULTRA 2 BUD 45 DKI JAKARTA 2 BUD 19 SULTENG 1 Non BUD 46 JABAR 1 Non BUD 20 SULTENG 2 BUD 47 JABAR 2 BUD 21 GORONTALO Non BUD 48 BANTEN 1 Non BUD 22 MALUKU 1 Non BUD 49 BANTEN 2 BUD 23 MALUKU 2 BUD 50 JATENG 1 Non BUD 24 MALUT 1 Non BUD 51 JATENG 2 BUD 25 MALUT 2 BUD 52 DIY 1 Non BUD 26 PAPUA 1 Non BUD 53 DIY 2 BUD 27 PAPUA 2 BUD 54

## 2.2. Pengumpulan Data
Penelitian ini menggunakan data sekunder dari nilai mata kuliah dan IPK mahasiswa Tingkat  Persiapan  Bersama  (TPB)  IPB  Bogor  tahun  2008.  Pelaksanaan  penelitian  ini melibatkan  semua  mahasiswa  TPB  yang  terdiri  3001  mahasiswa  yang  dikelompokkan berdasarkan  provinsi  dan  hasil  seleksi  masuk  IPB,  yaitu  melalui  jalur  Biasiswa  Utusan Daerah  (BUD)  atau  non  BUD.  Hasil  matriks  data  peubah  ganda  berukuran  54x15  yang menunjukkan 24 provinsi asal daerah mahasiswa BUD dan 30 provinsi mahasiswa non BUD.  Setiap provinsi diamati rata-rata nilai mutu dari 14 mata kuliah dan nilai IPKnya.
Warsito & Saleh. Biplot Dengan Dekomposisi Nilai Singular … 38

## 2.3. Analisis Data
Data dianalisis dengan dua pendekatan.  Pendekatan I menentukan biplot dengan DNS  biasa.  Pendekatan  II  menentukan  biplot  dengan  DNS  kekar  (menggunakan  paket RobustBiplotPack Versi 1.1, Ardana (2009) software Mathematica 6.0).
Sebagai  gambaran  bahwa  biplot  dengan  DNS  kekar  lebih  tahan  terhadap  data pencilan, diberikan data ekstrim pada peubah mata kuliah Biologi dari objek provinsi NAD (non BUD) dan peubah mata kuliah Pengantar Matematika dari objek provinsi PAPUA (non BUD) yang masing-masing sebesar 7.50 dan 10.50.  Hasil biplot kemudian dibandingkan hasil  biplot  dengan  metode  biasa.  Jika  analisis  data  dengan  metode  biasa  dan  kekar memberikan hasil yang tidak jauh beda, maka data yang telah diberi beberapa data ekstrim dianalisis dengan pendekatan DNS biasa dan kekar, hasilnya dibandingkan dengan analisis data awal.

## Pendekatan I dengan DNS biasa
a. Transformasi matriks data ke bentuk matriks koragam.
b. Analisis  dengan  menggunakan  paket  Biplot  versi  3.2,  dengan  memilih  nilai  =  0, Ardana (2009).
c. Menelusuri  ketepatan  biplot  dengan  menggunakan  ukuran  kesuaian  dari  Gabriel (2002).

## Pendekatan II dengan DNS kekar
a. Transformasi  matriks  data  kebentuk  matriks  koragam  yang  terpusatkan  terhadap median.
b. Analisis  dengan  menggunakan  paket  BiplotRobustPack  versi  1.0,  Ardana  (2009) software Mathematica 6.0 dengan memilih nilai  = 0.
c. Menelusuri  ketepatan  biplot  dengan  menggunakan  ukuran  kesuaian  dari  Gabriel (2002).

## 3. HASIL DAN PEMBAHASAN

## 3.1. Hasil
Diagram kotak atau box plot merupakan salah teknik untuk memberikan gambaran tentang  lokasi  pemusatan  data,  rentangan  penyebaran,  dan  kemiringan  pola  sebaran. Diagram kotak hasil penelitian memberikan pencilan yang disajikan pada Gambar 1.
D at a FIS KAL BIO KIM MTK ING IPK PKn SOU PIP IND KWR EKU AGM ORS 4 3 2 1 0 36 44 36 52 52 36 4 52 36 52 41 36 4 52 36 52 36 6 52 36 52 49 43 41 36 2 36 52 36 52 36 3,5 3,465 2,46 2,33 2,3 2,235 2,21 3,255 3,19 3 3 2,895 2,845 2,75 2,71 Mencari Pencilan Data Ekstrim Peubah
Gambar 1. Diagram kotak data prestasi mahasiswa IPB
Berdasarkan Gambar 1 terdapat 21 pencilan yang terdiri dari 17 pencilan minor dan 4 data ekstrim.  Data ekstrim ada di peubah V 3 (Ekonomi Umum), V 7 (Kalkulus) dan V 14 (Sosiologi Umum) pada objek 52 (KALSEL), 41 (SULUT) dan 49 (MALUKU 1).  Berdasarkan data asal nilai objek 52, 41 dan 49 masing-masing 0.00, 4.00, dan 4.00.  Dari Gambar 1, juga diperoleh  gambaran bahwa peubah V 3 (Ekonomi Umum), V 4 (Fisika) dan V 10 (Pengantar Matematika) mempunyai keragaman yang paling besar, sedangkan peubah V 14 (Sosiologi Umum) mempunyai keragaman yang paling kecil.

## Pemetaan Prestasi Provinsi
Indikator prestasi mahasiswa biasanya dikaitkan dengan pencapaian prestasi nilai mutu tiap mata kuliah dan IPK.  Korelasi antar peubah dapat dilihat pada Tabel 3.

## Tabel 3. Matriks Korelasi Pearson
Peubah V 1 V 2 V 3 V 4 V 5 V 6 V 7 V 8 V 9 V 10 V 11 V 12 V 13 V 14 V 15 V 1
V 2 V 3 V 4 V 5 V 6 V 7 V 8 V 9 V 10 V 11 V 12 V 13 V 14 V 15
1 0.51
0.48 0.01 0.57 0.40 0.24 0.41 0.57 0.41 0.20 0.44 0.42 0.50 0.47 1 0.75 0.54 0.69 0.70 0.72 0.75 0.50 0.70 0.33 0.68 0.45 0.54 0.71 1 0.43 0.67 0.59 0.81 0.70 0.51 0.82 0,04 0.75 0.50 0.42 0.72 1 0.40 0.62 0.73 0.68 - 0.02 0.62 0.24 0.41 0.41 0.12 0.72 1 0.74 0.58 0.60 0.67 0.57 0.22 0.73 0.42 0.53 0.69 1 0.67 0.68 0.48 0.57 0.41 0.63 0.40 0.51 0.73 1 0.86 0.32 0.85 0.24 0.69 0.50 0.34 0.74 1 0.41 0.81 0.24 0.62 0.55 0.44 0.75 1 0.38 0.06 0.58 0.20 0.68 0.56 1 0.16 0.70 0.53 0.24 0.72 1 0.22 0.32 0.30 0.20 1 0.51 0.55 0.63 1 0.23 0.53 1 0.48 1
Berdasarkan Tabel 3 korelasi terbesar terjadi antara peubah V 7 (Kalkulus) dan V 8 (Kimia)  yaitu  sebesar  0.86.  Korelasi  peubah  V 15 (IPK)  dengan  peubah  V 8 (Kimia),  V 7
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1718 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 V1 V2 V3 V4 V5 V6 V7 V8 V9 V10 V11 V12 V13 V14 V15 0.6 0.4 0.2 0.0 0.2 0.4 0.4 0.2 0.0 0.2 0.4 D1 D2 GH Robust Biplot GF 75.37 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 V1 V2 V3 V4 V5 V6 V7 V8 V9 V10 V11 V12 V13 V14 V15 0.6 0.4 0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 0.4 0.2 0.0 0.2 D1 D2 GH Biplot GF 75.75
(Kalkulus),  V 6 (Bahasa  Inggris),  V 10 (Pengantar  Matematika),  V 3 (Ekonomi  Umum),  V 4 (Fisika), V 2 (Biologi) dan V 5 (Bahasa Indonesia) sebesar 0.75, 0.74, 0.73, 0.72, 0.72, 0.72, 0.71,  dan  0.69.    Nilai  korelasi  tersebut  menunjukkan  bahwa  rata-rata  IPK  yang  dicapai mahasiswa sangat terkait oleh nilai mata kuliah yang bersifat eksak dan bahasa.
Gambar 2. Peringkat provinsi berdasarkan rata-rata IPK
Berdasarkan  Gambar  2  sepuluh  besar  provinsi  yang  mendapat  peringkat  IPK tertinggi didominasi oleh provinsi di luar pulau Jawa.  Provinsi Kalimantan Tengah dan Maluku Utara mendapatkan peringkat terendah dari semua provinsi.

## Analisis Biplot dengan DNS Biasa dan Kekar
Analisis Biplot didasarkan pada DNS biasa dan kekar dari matriks data yang sudah terkoreksi terhadap rata-rata dan median, yaitu menggunakan paket Biplot versi 3.2 dan paket  Robust  BiplotPack  versi  1.1,  Ardana  (2009) software  Mathematica 6.0  dengan memilih  = 0.   Hasil biplot yang diperoleh disajikan pada Gambar 3 dan 4.
Gambar 3. Biplot biasa Gambar 4. Biplot kekar
3 ,3 1 3 ,2 8 3 ,2 8 3 ,2 5 3 ,2 0 3 ,1 4 3 ,0 5 3 ,0 3 3 ,0 1 3 ,0 1 2 ,9 6 2 ,9 6 2 ,9 3 2 ,9 1 2 ,9 1 2 ,9 0 2 ,8 9 2 ,8 9 2 ,8 9 2 ,8 6 2 ,8 3 2 ,8 0 2 ,8 0 2 ,7 9 2 ,7 6 2 ,7 6 2 ,7 5 2 ,7 5 2 ,7 3 2 ,7 2 2 ,7 2 2 ,6 7 2 ,6 7 2 ,6 5 2 ,6 4 2 ,6 4 2 ,6 2 2 ,6 2 2 ,5 5 2 ,5 2 2 ,4 9 2 ,4 8 2 ,4 7 2 ,4 4 2 ,3 8 2 ,3 7 2 ,3 1 2 ,3 0 2 ,2 4 2 ,2 2 2 ,1 9 2 ,1 5 1 ,3 5 1 ,2 4 0,00 0,50 1,00 1,50 2,00 2,50 3,00 3,50 K A L S E L 1 L A M P U N G 2 JA T E N G 2 K A L B A R K A L T E N G 1 K A L T IM 1 G O RO N T A L O P A P U A 2 BE N G KU L U N T T 1 JA T E N G 1 D IY 2 P A P U A 1 RIA U 1 JA M BI2 K E P .B A B E L 1 JA T IM 1 S U L T E N G 1 M A L U K U 1 K A L S E L 2 S U M S E L2 BA N T E N 1 D IY 1 K A L T IM 2 D K I JA K 1 D K I JA K 2 S U L T RA 2 S UL T E NG 2 JA T IM 2 S U M BA R 1 JA M BI1 N A D 2 JA BA R2 JA BA R1 L A M P U N G 1 N T B S U M S E L1 K E P .B A B E L 2 M A L U K U 2 M A L U T 1 RIA U 2 S U M U T 1 BA N T E N 2 N T T 2 BA L I S U L T RA 1 S UL S E L 2 S U L S E L 1 N A D 1 S U L U T S U M BA R 2 S U M U T 2 K A L T E N G 2 M A L U T 2
Tabel 4. Ukuran kesuaian biplot (%)
Kesuaian DNS Biasa DNS Kekar GF Data  Peubah Objek 75.75 98.16 64.17 75.37 96.32 64.20
Beberapa hasil biplot biasa dan kekar pada Gambar 3 dan Gambar 4 dapat diperoleh:
a. Ragam dan korelasi peubah dari hasil biplot berdasarkan DNS biasa dan kekar relatif sama dengan hasil yang diperoleh dari diagram kotak dan matriks korelasi.
b. Posisi objek 37 (KALSEL) terletak paling kanan menunjukkan prestasi terbaik secara menyeluruh dalam semua mata kuliah serta nilai IPK.
c. Semua objek yang mengelompok di sebelah kanan memiliki nilai IPK di atas rata-rata yaitu objek ke: 7, 10, 12, 13, 14, 15, 16, 19, 22, 24, 25, 26, 27, 28, 32, 34, 35, 37, 38, 39, 40, 46, 48, 53, dan 54.
d. Objek yang mengelompok di sebelah kiri secara umum memiliki nilai di bawah rata- rata nilai IPK yaitu objek ke : 1, 2, 3, 4,  6, 8, 11, 17, 20, 21, 23, 30, 31, 33, 36, 41, 42, 43, 44, 50, 51, dan 52.  Berdasarkan Gambar 3 dan 4 yaitu objek 52 (MALUT 2) dan objek 36 (KALTENG 2) adalah provinsi dengan prestasi paling rendah.
e. Berdasarkan Tabel 4 dapat dilihat bahwa dengan  memilih nilai  = 0 kedua biplot mempunyai pendekatan matriks data, matriks peubah dan matriks objek  yang tidak jauh berbeda.
Hasil analisis di atas menunjukkan bahwa pencilan yang ada tidak berpengaruh atau kecil pengaruhnya dalam perubahan konfigurasi data atau gambaran pemetaan.

## Eksplorasi Data Ekstrim
Dengan diagram kotak pada data baru memberikan pencilan yang lebih ekstrim yang disajikan pada Gambar 5.
D a ta FIS KAL BIO KIM MTK ING IPK PKn SOU PIP IND KWR EKU AGM ORS 12 10 8 6 4 2 0 36 44 36 53 52 52 36 4 52 36 1 52 41 36 4 52 36 52 36 6 52 36 52 49 43 41 36 2 36 52 36 52 36 Mencari Pencilan Data Ekstrim Peubah

## Gambar 5. Diagram kotak data ekstrim
Berdasarkan Gambar 5, objek 1 (NAD 1) dan 53 (PAPUA 1) pada peubah V 2 (Biologi) dan peubah V 10 (Pengantar Matematika) menunjukkan sebagai data ekstrim, sebelumnya kedua  objek  tersebut  bukan  merupakan  pencilan.  Gambar  5,  juga  diperoleh  gambaran
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1718 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 V1 V2 V3 V4 V5 V6 V7 V8 V9 V10 V11 V12 V13 V14 V15 0.6 0.4 0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 0.4 0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 D1 D2 GH Biplot GF 68.77 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1718 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 V1 V2 V3 V4 V5 V6 V7 V8 V9 V10 V11 V12 V13 V14 V15 0.6 0.4 0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 0.4 0.2 0.0 0.2 0.4 D1 D2 GH Robust Biplot GF 54.03 bahwa  peubah  V 3 (Ekonomi  Umum),  V 4 (Fisika)  dan  V 10 (Pengantar  Matematika) mempunyai  keragaman  yang  paling  besar,  sedangkan  peubah  V 14 (Sosiologi  Umum) mempunyai keragaman yang paling kecil.
Tabel 5 . Matriks korelasi Pearson Peubah V 1 V 2 V 3 V 4 V 5 V 6 V 7 V 8 V 9 V 10 V 11 V 12 V 13 V 14 V 15 V 1 V 2 V 3 V 4 V 5 V 6 V 7 V 8 V 9 V 10 V 11 V 12 V 13 V 14 V 15 1 0.17
0.48 0.01 0.57 0.40 0.24 0.41 0.57 0.21 0.20 0.44 0.42 0.50 0.54 1 0.29 0.24 0.35 0.34 0.33 0.33 0.27 0.18 0.20 0.28 0.17 0.19 0.38 1 0.43 0.67 0.59 0.81 0.70 0.51 0.47 0.04 0.75 0.50 0.42 0.86 1 0.40 0.62 0.73 0.68 -0.02 0.42 0.24 0.41 0.41 0.12 0.66 1 0.74 0.58 0.60 0.67 0.40 0.22 0.73 0.42 0.53 0.79 1 0.67 0.68 0.48 0.36 0.41 0.63 0.40 0.51 0.81 1 0.86 0.32 0.49 0.24 0.69 0.50 0.35 0.87 1 0.42 0.46 0.24 0.62 0.55 0.44 0.88 1 0.29 0.06 0.58 0.20 0.68 0.57 1 0.08 0.49 0.26 0.22 0.53 1 0.22 0.32 0.30 0.32 1 0.51 0.55 0.82 1 0.23 0.60 1 0.55 1
Berdasarkan Tabel 5 korelasi terbesar terjadi antara peubah V 8 (Kimia) dan V 15 (IPK) yaitu sebesar 0.88.  Korelasi peubah V 2 (Biologi) dan V 10 (Pengantar Matematika) terhadap IPK turun menjadi 0.38 dan 0.53, sedangkan korelasi peubah lainnya terhadap nilai IPK meningkat dengan adanya data ekstrim.

## 3.2. Pembahasan

## Analisis Biplot Data Ekstrim dengan DNS Biasa dan Kekar
Sebagai gambaran  untuk  mengetahui  metode  yang tahan terhadap  pencilan  maka data yang telah diberi data ekstrim dianalisis dengan metode DNS biasa dan kekar, yaitu menggunakan paket Biplot versi 3.2, (Ardana, 2009) dan paket Robust Biplot Pack versi 1.1, dengan memilih  = 0.  Hasil biplot yang diperoleh disajikan pada Gambar 6 dan 7.
Gambar 6. Biplot biasa dengan nilai ekstrim Gambar 7. Biplot kekar dengan nilai eksrim
Tabel 6. Ukuran kesuaian biplot (%)
Hasil biplot biasa dan kekar pada Gambar 6 dan Gambar 7 dapat dianalisis yaitu:
a. Ragam dan korelasi peubah dari hasil biplot berdasarkan DNS kekar berbeda dengan hasil biplot berdasarkan DNS biasa dan kekar data tanpa data ekstrim.
b. Pada Gambar 6 objek 53 (PAPUA 1) menunjukkan prestasi IPK di bawah rata-rata, konfigurasi  ini  berbeda  dengan  data  asal,  hal  ini  menunjukan  adanya  pencilan memberikan  dampak  terhadap  model  dan  konfigurasi  data  (Huber  &  Ronchetti, 2011).  Sedangkan pada Gambar 7 objek 53 menunjukkan prestasi IPK di atas rata- rata, konfigurasi data ini hampir sama pada Gambar 3 dan 4 biplot data asal, artinya data  pencilan  tidak  terpengaruh  terhadap  hasil  pemetaan  data  (Liu et  al .,  2003; Hawkins,  Liu,  &  Young,  2001;  Widowati  &  Muzdalifah,  2017;  Dwipurwani, Cahyawatin, & Susanti, 2022)
c. Pada Gambar 6 objek 1 (NAD 1) menunjukkan prestasi nilai IPK di atas rata-rata, konfigurasi  ini  berbeda  dengan  data  asal.    hal  ini  menunjukan  adanya  pencilan memberikan  dampak  terhadap  model  dan  konfigurasi  data  (Huber  &  Ronchetti, 2011).  Sedangkan Gambar 7 objek 1 menunjukkan prestasi nilai IPK di bawah rata- rata, konfigurasi data ini hampir sama pada Gambar 3 dan 4 biplot data asal. Hasil ini menunjukan data pencilan tidak terpengaruh terhadap hasil pemetaan data (Liu et al. , 2003; Hawkins, Liu, Young, 2001; Widowati & Muzdalifah, 2017; Dwipurwani, Cahyawatin, & Susanti, 2022)
d. Biplot berdasarkan DNS biasa pada Gambar 6 menunjukkan konfigurasi data atau pemetaan  data  jauh berbeda  setelah  diberikan  data  ekstrim,  hal  ini  menunjukkan metode biasa tidak tahan terhadap data ekstrim.  Sedangkan Biplot berdasarkan DNS kekar  pada  Gambar  7  menunjukkan  konfigurasi  data  yang  hampir  sama  dengan biplot  biasa  pada  Gambar  3  dan  4,  hal  ini  menunjukkan  biplot  berdasarkan  DNS kekar tahan terhadap pencilan atau data ekstrim Hasil ini menunjukan data pencilan tidak terpengaruh terhadap hasil pemetaan data (Liu et al., 2003; Hawkins, Liu, & Young,  2001;  Widowati  &  Muzdalifah,  2017;  Dwipurwani,  Cahyawatin,  &  Susanti, 2022).

## 4. SIMPULAN
Simpulan dari penelitian ini adalah:
a. Dengan metode diagram kotak atau box plot, data penelitian prestasi mahasiswa IPB tahun 2008 menunjukkan adanya pencilan.  Analisis biplot dengan DNS biasa dan  DNS  kekar  memperlihatkan  gambaran  pemetaan  data  yang  relatif  hampir sama, hal ini menunjukkan bahwa pencilan tidak berpengaruh pada hasil pemetaan data.
b. Sebagai gambaran metode yang tahan terhadap pencilan maka dengan adanya data ekstrim maka analisis biplot yang didasarkan dengan DNS kekar memperlihatkan
Kesuaian DNS Biasa DNS Kekar GF Data Peubah Objek 68.11 90.04 74.11 52.90 69.79 45.65
Warsito & Saleh. Biplot Dengan Dekomposisi Nilai Singular … 44
bahwa  gambaran  pemetaan  yang  diperoleh  tidak  terpengaruh  oleh  adanya  data ekstrim.

## REFERENSI
Ardana,  NKK  &  Siswadi  (2009).  Paket  Biplot  Biasa  dan  Kekar  dengan  Pemograman Fungsional Mathematica Berbasis GUI. JMA .Vol. 8(2): 57-64
Ardana NKK. (2009). RobustBiplotPack Versi 1.1. A Mathematica Package for Multivariate Data Visualization . Bogor: Departemen Matematika FMIPA IPB.
Ardana  NKK,  &  Siswadi  (2005).  Biplot  dan  Implementasinya  dengan  Pemrograman Fungsional Mathematica . JMA 4(2): 21-31.
Aunuddin  (1989). Analisis  Data .  Bahan  Pengajaran.  Depdikbud  Ditjen  Dikti,  PAU  Ilmu Hayat, Institut Pertanian Bogor.
Daigle, G. & Rivest, LP. (1992). A Robust Biplot. The Canadian Journal of Statistics . Statistical Society of Canada.
Dwipurwani, O., Cahyawatin, D., & Susanti, E. (2022). Analisis Biplot Robust dengan Metode Minimum  Covariance  Determinant  dalam  Mendeskripsikan  Provinsi  Sumantera Selatan Berdasarkan karakteristik Angkatan Kerja Menganggur Dari Aspek Jender. EULER: Jurnal Ilmiah Matematika, sains dan Teknologi . 10(1) 54-65. Gabriel KR. (2002). Goodness of Fit of Biplots and Correspondence Analysis. Biometrika . 89: 423-436.
Gentle JE. (2007). Matrix Algebra: Theory, Computations, and Applications in Statistics. New York: Springer Science + Business Media.
Hardle, WK & Simar, L. (2015). Analisis Statistik Multivariate Terapan (edisi ke-4). Berlin: Springer.
Hawkins DM, Liu L, & Young SS. (2001). Robust Singular Value Decomposition. Technical Report Number 122 . NISS .
Huber PJ. (1981). Robust Statistics. New York: John Wiley & Sons. Huber, PJ, & Ronchetti, EM. (2011). Statistik Kuat (edisi ke-2). New Jersey: John Wiley & Sons.
Johnson  RA,  &  Wichern  DW.  (2002). Applied  Multivariate  Statistical  Analysis .  Ed  ke-5. Upper Saddle River, NJ: Prentice-Hall.
Jolliffe IT. (2002). Principal Component Analysis . Ed ke-2. Berlin: Springer-Verlag. Liu, L., Hawkins, DM, Astaga, S., & Muda, SS (2003). Analisis Dekomposisi Nilai Singular yang Kuat dari Data Microarray. Prosiding Akademi Ilmu Pengetahuan Nasional AS, 100, 167 – 172
Lipkovich  I,  & Smith  EP.    (2002).   Biplot  and  Singular  Value  Decomposition  Macros for Excel @ . Journal of Statistical Software .  7(5): 1-5. Neter, J., Wasserman, W., & Kutner, MH. (1990). Model Statistik Linier Terapan . New York: Richard D Irwin Inc.
Mattjik AA, & Sumertajaya IM. (2006). Perancangan Percobaan : dengan Aplikasi SAS dan Minitab . Bogor: IPB. Mattjik  AA.  &  Sumertajaya  IM.  (2011). Sidik  Peubah  Ganda  dengan  menggunakan  SAS . Bogor: IPB Pres.
Moronna RA., Martin RD, & Yohai UJ. (2006). Robust Statistics: Theory and Methods . West Sussex: John Wiley & Sons.
Siswadi,  &  Suharjo  B.  (1997). Analisis  Eksplorasi  Data  Peubah  Ganda .  Bogor:  Jurusan Matematika FMIPA.
Widowati,  W.  &  Muzdalifah,  L.  (2017).  Perbandingan  Analisis  Biplot  Klasik  dan  Robust Biplot Pada Pemetaan Perguruan Tinggi Swasta di Jawa Timur. JRAM: Jurnal Riset dan Aplikasi Matematika .