## Solusi Numerik Sistem Persamaan Reaksi Kimia dan Neraca Massa Menggunakan Metode Newton-Raphson

## Ilham Syata
Program Studi Matematika, Universitas Islam Negeri Alauddin Makassar, ilham.syata@uin-alauddin.ac.id

## Sayyidan Nisa
Program Studi Matematika, Universitas Islam Negeri Alauddin Makassar, sayyidannisa@gmail.com
ABSTRAK ,  T ujuan  penelitian  ini  adalah  menentukan solusi  numerik  sistem  persamaan  linear  dari  model persamaan  reaksi  kimia  dan  neraca  massa  dengan menggunakan  metode  newton  rapshon.  Adapun  langkah- langkah  penelitian  yaitu  menuliskan  system  persamaan linear, menentukan nilai awal, mencari nilai fungsi system persamaan  linear  dengan  nilai  tebakan  awal  yang  telah ditentukan  pada  lngkah  sebelumnya,  mencari  turunan- turunan fungsi system persamaan linear, mencari nilai-nilai devisi  dari  masaing-masing  variable,  mencari  nilai selesaian  menggunakan  persamaan 𝑇𝑒𝑏𝑎𝑘𝑎𝑛 𝑏𝑎𝑟𝑢 = 𝑇𝑒𝑏𝑎𝑘𝑎𝑛 𝑙𝑎𝑚𝑎 + 𝑑𝑒𝑣𝑖𝑎𝑠𝑖, ulangi  iterasi  sampai  nilai fungsi  mendekati  0  atau  sama  dengan  0.  Hasil  penelitian yang diperoleh adalah nilai 𝐶 𝐴1 , 𝐶 𝐴2 , 𝐶 𝐴3 dan 𝐶 𝐴4 berturut- turut  adalah  0,909091;  0,696881;  0,665424541  dan 0,585573596.
Kata  Kunci:  persamaan  reaksi  kimia  dan  neraca  massa, Metode Newton-Raphson

## 1. PENDAHULUAN
Persoalan  yang  melibatkan  model  matematika sering  muncul  dalam  berbagai  disiplin  ilmu pengetahuan,  seperti  bidang  Fisika,  Biologi, Kimia,  Ekonomi,  Kesehatan,  Teknik  Sipil, Teknik Mesin, dan sebagainya. Seringkali model matematika tersebut muncul dalam bentuk yang rumit  atau  tidak  dapat  diselesaikan  dengan metode biasa, sehingga diperlukan suatu metode yang disebut Metode Numerik.
Metode  numerik  merupakan  suatu  cara  untuk menyelesaikan model matematika  dengan pendekatan  numerik.  Metode  numerik  ini digunakan untuk permasalahan matematika yang tidak dapat dipecahkan dengan operasi perhitungan  secara  analitik  [6].  Salah  satu pendekatan numerik adalah mencari nilai-nilai 𝑥 yang  memenuhi  persamaan 𝑓(𝑥) = 0 .  Sebuah
bilangan  yang  merupakan  akar  dari  sebuah persamaan  jika  seandainya  bilangan  tersebut dimasukkan  ke  dalam  persamaan,  maka  nilai persamaan  itu  akan  sama  dengan  nol  atau  bisa dikatakan  akar  sebuah  persamaan 𝑓(𝑥) = 0 adalah nilai-nilai 𝑥 yang menyebabkan nilai 𝑓(𝑥) sama  dengan  nol.  Beberapa  metode  numerik yang  dapat  digunakan  untuk  menghitung perkiraan  solusi  persamaan  linier/non-linear seperti  metode  Newton  Raphson,  metode broyden,  metode  steepest  descant,  dan  lain-lain [9].
Penelitian  ini  untuk  mencari  solusi  numerik system persamaan linear dari sebuah reaksi kimia dan  neraca  massa  dengan  menggunkan  metode newton  rapshon.  Metode  Newton-Raphson merupakan  salah  satu  metode  yang  digunakan untuk  menyelesaikan  sistem  persamaan  linear maupun sistem persamaan tak linear dimana kita akan mencari hampiran atau pendekatan terhadap akar  fungsi  real  [2].  Metode  Newton  Raphson sering  konvergen  dengan  cepat,  apabila  nilai awal yang digunakan pada iterasi pertama cukup dekat  dengan  akar  yang  diinginkan.  Dalam penyelesaian  sistem  persamaan  linear  maupun tak linear yang terdiri dari himpunan nilai-nilai 𝑥 secara  simultan  memberikan  semua  persamaan tersebut nilai yang sama dengan nol [4].

## 2. TINJAUAN PUSTAKA

## Sistem Persamaan Linear
Sistem  persamaan  linear  merupakan  gabungan dua  atau  lebih  persamaan  linear  yang  saling berkaitan  satu  dengan  yang  lainnya.  Sistem
persamaan  linear  memegang  peranan  penting dalam  aljabar  linear.  Aljabar  linear  sering dihadapkan pada persoalan mencari penyelesaian suatu sistem persamaan linear.

## Definisi
Sistem  persamaan  linear  adalah  sekumpulan persamaan linear dengan variabel-variabel yang tidak  diketahui.  Sistem  persamaan  linear  terdiri dari 𝑚 persamaan (𝐿 1 , 𝐿 2 , … , 𝐿 𝑚 ), dengan  n variabel yang tidak diketahui 𝑥 1 , 𝑥 2 , … , 𝑥 𝑛 , dapat disusun dalam bentuk:
𝑎 11 𝑥 1 + 𝑎 12 𝑥 2 + ⋯ + 𝑎 1𝑛 𝑥 𝑛 = 𝑘 1 𝑎 21 𝑥 1 + 𝑎 22 𝑥 2 + ⋯ + 𝑎 2𝑛 𝑥 𝑛 = 𝑘 2 . . . 𝑎 𝑚1 𝑥 1 + 𝑎 𝑚2 𝑥 2 + ⋯ + 𝑎 𝑚𝑛 𝑥 𝑛 = 𝑘 𝑚 (1)
Dengan 𝑎 𝑖𝑗 dan 𝑘 𝑖 adalah  konstanta 𝑎 𝑖𝑗 adalah koefisien  dari  variabel  yang  tidak  diketahui 𝑥 𝑗 pada  persamaan 𝐿 𝑖 dan  bilangan 𝑘 𝑖 adalah konstanta dari persamaan 𝐿 𝑖 [3].

## Deret Taylor
Deret Taylor merupakan dasar untuk menyelesaikan masalah dalam metode numerik, terutama  penyelesaian  persamaan  diferensial.
Deret Taylor secara umum berarti deret pangkat (𝑥 − 𝑎 ), dengan 𝑎 adalah konstanta.
Suatu fungsi yang terdifferensial sampai orde 𝑛 di 𝑥 = 𝑎, jika  diberikan  fungsi 𝑓 .  Fungsi 𝑓 tersebut  dapat  dinyatakan  oleh  suatu  deret pangkat dalam 𝑥 − 𝑎 .
Rumus deret Taylor
Misalkan 𝑓 fungsi turunan ke (𝑛 + 1) , 𝑓 (𝑛+1) (𝑥) ada  untuk  masing-masing 𝑥 dalam  interval terbuka  I  yang  mengandung 𝑎 .  Maka  masing- masing 𝑥 dalam I
𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎) + 𝑓 ′ (𝑎)(𝑥 − 𝑎) + 𝑓 ′ (𝑎) 2! (𝑥 −
𝑎) 2 + ⋯ + 𝑓"(𝑎) 𝑛! (𝑥 − 𝑎) 𝑛 (2) [6].

## Metode Newton Raphson
Metode  Newton-Raphson  merupakan pengembangan dari deret Taylor pada pemotongan suku orde-2 yaitu:
𝑓(𝑥 𝑛+1 ) ≈ 𝑓(𝑥 𝑛 ) + (𝑥 𝑛+1 − 𝑥 𝑛 )𝑓 ′(𝑥 𝑛 ) (2)
Karena  mencari  akar  dari 𝑓(𝑥 𝑛+1 ) = 0 ,  maka diperoleh:
0 ≈ 𝑓(𝑥 𝑛 ) + (𝑥 𝑛+1 − 𝑥 𝑛 )𝑓′(𝑥 𝑛 ) (3)
Atau dapat ditulis
𝑥 𝑛+1 = 𝑥 𝑛 − 𝑓(𝑥 𝑛 ) 𝑓 ′ (𝑥 𝑛 ) , 𝑓 ′ (𝑥 𝑛 ) ≠ 0 (4)
[5].
Metode  Newton  merupakan  salah  satu metode  yang  digunakan  untuk  menyelesaikan persoalan  satu  persamaan.  Sedangkan  untuk menyelesaikan  persoalan  persamaan  yang  lebih dari  satu  atau  system  persamaan 𝐹(𝑋) = 0 dikenal  dengan  metode  Newton-Raphson. Metode Newton memerlukan turunan dari fungsi 𝑓(𝑥) yaitu 𝑓′(𝑥) untuk  setiap  iterasinya.
Sedangkan  pada  metode  Newton-Raphson  ini menggunakan  matriks  Jacobian 𝐽(𝑋) untuk setiap  iterasinya.  Matriks  Jacobian  tersebut digunakan sebagai pengganti turunan dari fungsi 𝐹(𝑋) atau dalam matematika ditulis 𝐹′(𝑋) .
Defini  dari  matriks  jacobian  adalah  sebagai berikut
𝐽(𝑋) =
[ 𝜕𝑓 1 (𝑋) 𝜕𝑥 1 𝜕𝑓 1 (𝑋) 𝜕𝑥 2 𝜕𝑓 1 (𝑋) 𝜕𝑥 3 𝜕𝑓 2 (𝑋) 𝜕𝑥 1 𝜕𝑓 2 (𝑋) 𝜕𝑥 2 𝜕𝑓 2 (𝑋) 𝜕𝑥 3 … ⋯ … 𝜕𝑓 𝑛 (𝑋) 𝜕𝑥 1 𝜕𝑓 𝑛 (𝑋) 𝜕𝑥 2 𝜕𝑓 𝑛 (𝑋) 𝜕𝑥 3 ] (5)
Dengan  syarat  matriks 𝐽(𝑋) adalah  matriks nonsingular.  Sehingga  rumus  metode  Newton- Raphson yaitu:
𝑋 𝑛+1 = 𝑋 𝑛 − 𝐽(𝑋 𝑛 ) −1 𝐹(𝑋 𝑛 ); 𝑛 = 0, 1, 2, … (6) [1].

## Fungsi Determinan dan Aturan Cramer

## Fungsi Determinan

## Definisi
Misalkan  A  adalah  matriks  kuadrat.  Fungsi determinan dinyatakan oleh det, dan didefinisikan det (A) sebagai jumlah semua hasil kali  elementer  bertanda  dari  A.  Jumlah  det  (A) dinamakan determinan A.
det  [ 𝑎 11 𝑎 12 … 𝑎 21 𝑎 22 … 𝑎 1𝑛 𝑎 2𝑛 ⋮ ⋮ 𝑎 31 𝑎 32 … ⋮ 𝑎 3𝑛 ] 𝑎 11 , 𝑎 12 , … , 𝑎 1𝑛 disebut  elemen-elemen  (unsur- unsur) determinan tingkat n punya n baris dan n kolom,  jadi  banyaknya  elemen  ada 𝑛 𝑥 𝑛 = 𝑛 2 buah. [6]

## Teorema
Bila 𝐴(𝑛 𝑥 𝑛) matriks segitiga atas/bawah, maka
𝐷𝑒𝑡(𝐴) adalah  hasil  kali  dari  elemen-elemen diagonal utama. [8]
Secara umum: untuk 𝐴(3 𝑥 3)
[ 𝑎 11 𝑎 12 𝑎 13 0 𝑎 22 𝑎 23 0 0 𝑎 33 ] 𝑎 11 𝑎 12 𝑎 13 0 𝑎 22 𝑎 23 0 0 𝑎 33
diagonal utama
+𝑎 11 𝑎 12 𝑎 13 ≠ 0               − 𝑎 11 𝑎 23 𝑎 32 +𝑎 12 𝑎 23 𝑎 31 − 𝑎 12 𝑎 21 𝑎 31 +𝑎 13 𝑎 21 𝑎 32 − 𝑎 13 𝑎 22 𝑎 31

## Aturan Cramer
Teorema: Jika 𝐴𝑋 − 𝐵 adalah  system  yang terdiri dari n persamaan linier dalam n bilangan tak  diketahui  sehingga det (𝐴) ≠ 0, maka system  tersebut  mempunyai  system  pemecahan yang unik. Pemecahan adalah
𝑥 1 = det (𝐴 1 ) det(𝐴) , 𝑥 2 = det (𝐴 2 ) det(𝐴) , … , 𝑥 𝑛 = det (𝐴 𝑛 ) det(𝐴)
Dimana 𝐴 𝑖 adalah  matriks  yang  didapatkan dengan  menggantikan  entri-entri  dalam  kolom ke-j dari A dengan entri-entri matriks
𝐵 = [ 𝑏 1 𝑏 2 ⋮ 𝑏 𝑛 ] (7)
Bukti:
Jika det (𝐴) ≠ 0, maka  A  dapat  dibalik.  Dan 𝑋 = 𝐴 −1 𝐵 adalah pemecahan unik dari 𝐴𝑋 = 𝐵 . Sehingga diperoleh:
𝑋 = 𝐴 −1 𝐵 = 1 det(𝐴) 𝑎𝑑𝑗(𝐴)𝐵 = 1 det (𝐴) [ 𝐶 11 𝐶 12 … 𝐶 21 𝐶 22 … 𝐶 𝑛1 𝐶 𝑛2 ⋮ ⋮ ⋱ 𝐶 1𝑛 𝐶 2𝑛 … ⋮ 𝐶 𝑛𝑛 ] [ 𝑏 1 𝑏 2 ⋮ 𝑏 𝑛 ]
Dengan  mengalikan  matriks-matriks  ini  akan memberikan
𝑋 = 1 det (𝐴) [ 𝑏 1 𝐶 11 𝑏 2 𝐶 12 … 𝑏 1 𝐶 21 𝑏 2 𝐶 22 … 𝑏 𝑛 𝐶 𝑛1 𝑏 𝑛 𝐶 𝑛2 ⋮ ⋮ ⋱ 𝑏 1 𝐶 1𝑛 𝑏 2 𝐶 2𝑛 … ⋮ 𝑏 𝑛 𝐶 𝑛𝑛 ]
Entri dalam baris ke-j dari X, dengan demikian
𝑥 𝑗 = 𝑏 1 𝐶 1𝑗 + 𝑏 2 𝐶 2𝑗 + ⋯ + 𝑏 𝑛 𝐶 𝑛 det (𝐴)
Sekarang misalkan
𝐴 𝑗 = [ 𝑎 11 𝑎 21 … 𝑎 12 𝑎 22 … 𝑎 1𝑗−1 𝑎 2𝑗−1 ⋮ ⋮ 𝑎 1𝑛 𝑎 𝑛2 … ⋮ 𝑎 𝑛𝑗−1 𝑏 1 𝑎 1𝑗+1 … 𝑏 2 𝑎 2𝑗+1 … 𝑎 1𝑛 𝑎 2𝑛 ⋮ ⋮ ⋱ 𝑏 𝑛 𝑎 𝑛𝑗+1 … ⋮ 𝑎 𝑛𝑛 ] Karena 𝐴 𝑗 berbeda dari A hanya dalam kolom ke- j,  maka  kovaktor  dari  entri-entri  yang bersesuaian  dalam  kolom  ke-j  dari a.  Perluasan kofaktor det  ( 𝑎 𝑗 ) = 𝑏 1 𝐶 1𝑗 + 𝑏 2 𝐶 2𝑗 + ⋯ + 𝑏 𝑛 𝐶 𝑛 .
Dengan mensubtitusikan hasil ini ke dalam 𝑥 𝑗 = 𝑏 1 𝐶 1𝑗 +𝑏 2 𝐶 2𝑗 +⋯+𝑏 𝑛 𝐶 𝑛 det (𝐴) maka akan memberikan 𝑥 𝑗 = det (𝐴 𝑗 ) det(𝐴) terbukti [6].

## Aplikasi  Teknik  Kimia  yang  Menghasilkan Sistem Persamaan Linear
Neraca massa dan energi adalah tools utama bagi insinyur  kimia.  Neraca  tersebut  misalnya diterapkan  pada  proses  distilasi  bertingkat  atau multikomponen yang menghasilkan seperangkat persamaan  yang  dapat  berupa  persaman diferensial  atau  aljabar.  Seringkali  sistem  yang dianalisis  adalah  persamaan  nonlinier,  sehingga menghasilkan seperangkat persamaan nonlinier.
Namun,  banyak  prosedur  telah  dikembangkan dengan  linearisasi  persamaan  dan  menerapkan teknik  iteratif  konvergensi  untuk  sampai  pada penyelesaian  dari  system  persamaan  nonlinier.
Sebuah contoh klasik dari penggunaan teknik ini adalah  dalam  analisis  kolom  distilasi,  seperti yang ditunjukkan pada Gambar di bawah. Neraca massa  steady  state  diterapkan  pada  bagian rektifikasi  kolom  menghasilkan  persamaan berikut:
Gambar 1. Kolom distilasi
Neraca massa sekitar kondensor:
𝑉 1 𝑦 1𝑖 = 𝐿 01 𝑥 0𝑖 + 𝐷 𝑥 𝐷𝑖 (8)
Neraca massa di atas tahap j:
𝑉 𝑗 𝑦 𝑗𝑖 = 𝐿 𝑗−1 𝑥 𝑗−1 + 𝐷 𝑥 𝐷𝑖 (9)
Asumsi bahwa tahap bearada dalam kesetimbangan dan kolom meggunakan
kondensor total sehingga hubungan kesetimbangan berikut berlaku:
𝑦 𝑗𝑖 = 𝑘 𝑗𝑖 𝑥 𝑗𝑖 (10)
Persamaan (3) disubstitusikan ke persamaan (1) dan (2) dan semuanya dibagi dengan 𝐷 𝑥 𝐷𝑖 maka dihasilkan persamaan:
𝑉 1 𝑦 1𝑖 𝐷 𝑥 1𝑖 = 𝐿 0 𝑧 𝑗𝐹 𝐹 𝐷 𝑥 1𝑖 𝑥 1𝑖 + 1                              (11)
𝑉 𝑗 𝑦 𝑗 𝐷 𝑥 1𝑖 = ( 𝐿 𝑗−1 𝐾 𝑗−1,𝑖 ) ( 𝑉 𝑗−1 𝑦 𝑗−1,𝑖 𝐷 𝑥 1𝑖 ) + 1           (12)
Laju alir molal komponen tunggal didefinisikan sebagai:
𝑣 𝑗𝑖 = 𝑉 1 𝑦 1𝑖 (13)
𝑑 𝑖 = 𝐷 𝑥 𝐷𝑖 (14)
Untuk  beberapa  tahap 𝑗, rasion  adsorpsi didefinisikan sebagai:
𝐴 1𝑖 = 𝐿 𝑗 𝐾 𝑗 𝑉 𝑗 (15)
Dan untuk kondenser total:
𝐴 0𝑖 = 𝐿 0 𝐷 (16)
Substitusi persamaan (6) – (8) ke persamaan (4) dan (5) dihasilkan:
( 𝑉 1𝑖 𝑑 𝑖 ) = 𝐴 0𝑖 + 1                                    (17)
( 𝑉 1𝑖 𝑑 𝑖 ) = 𝐴 𝑗−1,𝑖 ( 𝑉 𝑗−1,𝑖 𝑑 𝑖 ) + 1                 (18)
Untuk  setiap  perhitungan  percobaan  yang diberikan A dianggap sebagai konstanta. Yang tidak diketahui dalam persamaan di atas adalah kelompok 𝑣 𝑗𝑖 𝑑 𝑖 . Jika hal ini diganti dengan 𝑥 𝑗𝑖 dan subskrip 𝑖 , komponen menunjukkan komponen 𝑖 yang  dijatuhkan,  seperangkat  persamaan berikut  dapat  ditulis  untuk  kolom  yang  berisi lima  tahap  kesetimbangan  di  atas  tahap/plat umpan.
𝑥 1 −𝐴 1 𝑥 1 + 𝑥 2 −𝐴 2 𝑥 2 +𝑥 3 −𝐴 3 𝑥 3 +𝑥 4 −𝐴 4 𝑥 4 +𝑥 5 = 𝐴 0 + 1 = 1 = 1 = 1 = 1 (19)
Ini  adalah  seperangkat  persamaan  aljabar  linier simultan.  Ini  sebenarnya  adalah  seperangkat khusus  yang  hanya  memiliki  persyaratan bukan nol  pada  diagonal  dan  satu  elemen  yang berdekatan. Ini adalah satu set matrik bidiagonal. Bentuk umum persamaan linier simultan adalah: 𝑎 11 𝑥 1 +𝑎 12 𝑥 2 + 𝑎 13 𝑥 3 + ⋯ +   𝑎 1𝑛 𝑥 𝑛 =   𝑐 1 𝑎 21 𝑥 1 +𝑎 22 𝑥 2 + 𝑎 23 𝑥 3 + ⋯ +   𝑎 2𝑛 𝑥 𝑛 =   𝑐 2 𝑎 31 𝑥 1 +𝑎 32 𝑥 2 + 𝑎 33 𝑥 3 + ⋯ +   𝑎 3𝑛 𝑥 𝑛 =   𝑐 3
.               .              .               .            .               . .               .              .               .            .               .
𝑎 𝑛1 𝑥 1 +𝑎 𝑛2 𝑥 2 + 𝑎 𝑛3 𝑥 3 + ⋯ +   𝑎 𝑚𝑛 𝑥 𝑛 =   𝑐 𝑛 (20)
di mana semua koefisien 𝑎 𝑖𝑗 , dapat berupa nilai yang  bukan  nol.  Seperangkat  persamaan  ini biasanya sering dinyatakan dalam vektor matrix dengan notasi sebagai berikut:
𝑨𝒙 = 𝒄                                        (21)
Dimana A adalah koefisien matriks.
𝐴 = [ 𝑎 11 𝑎 12 … 𝑎 21 𝑎 22 … 𝑎 𝑛1 𝑎 𝑛2 … … … … 𝑎 1𝑛 … … … 𝑎 2𝑛 … 𝑎 𝑛𝑛 ]
Dan c adalah vector konstanta
𝑐 = [ 𝑐 1 𝑐 2 ⋮ 𝑐 𝑛 ]
Ketika  vector c adalah  vector  nol,  maka seperangkat persamaan di atas disebut homogen [7].

## 3. METODOLOGI

## Metode Penelitian dan Langkah Pengerjaan
Penelitian  ini  dilakukan  dengan  menggunakan metode newton  rapshon. Adapun  Langkah- langkah  yang  dilakukan  dalam  penelitian  ini meliputi langkah-langkah berikut:
1. Menuliskan Sistem Persamaan Linear
2. Menentukan nilai tebakan awal pada masing- masing variabel
3. Mencari nilai fungsi sistem persamaan linier dengan  nilai  tebakan  awal  yang  telah ditetukan pada langkah diatas
4. Mencari  turunan-turunan  fungsi  sistem persamaan  linier  di  atas  terhadap  masing- masing variabelnya
5. Mencari  nilai-nilai  deviasi  dari  masing- masing variable
6. Mencari nilai selesaian yang lebih tepat dari nilai awal, dengan menggunakan persamaan di bawah ini:
Tebakan baru =   Tebakan lama + deviasi
7. Melakukan proses iterasi dengan mengulang
Langkah  ke-dua  sampai  didapatkan  nilai fungsi sekecil mungkin atau mendekati nol.

## 4. PEMBAHASAN
Suatu reaksi kimia dijalankan dalam serangkaian empat  reactor  alir  tangka  berpengaduk  (CSTR) yang disusun seperti gambar dibawah.
Gambar 2. Rangkaian Reaktor CSTR
Reaksi  kimia  adalah  reaksi irrevible orde  satu dengan persamaan reaksi:

## 𝐴 → 𝐵
Kondisi  temperature  dalam  setiap  reactor sebagaimana  nilai  konstanta  laju  rekasi 𝑘 𝑖 berbeda di setiap reaktor. Volume setiap reaktor, 𝑉 𝑖 juga  berbeda.  Nilai 𝑘 𝑖 dan 𝑉 𝑖 diberikan  pada table  dibawah.  Berikut  asumsi  yang  dapat digunakan untuk system tersebut.
a. Sistem adalah steady state
b. Reaksi terjadi di fasa cair
c. Tidak  ada  perubahan  volume  atau densitas cairan
d. Laju  pengurangan  komponen  A  dalam setiap reactor dinyatakan dengan:
𝑅 𝑖 = 𝑉 𝑖 𝑘 𝑖 𝐶 𝐴𝑖 (mol/jam)
Tabel 1. Volume dan konstanta laju reaksi
setiap reaktor
Reaktor 𝑽 𝒊 (𝑳) 𝒌 𝒊 (𝑱𝒂𝒎 −𝟏 ) 1 2 3 4 1000 1500 100 500 0,1 0,2 0,4 0,3
Susunlah  persamaan  Neraca  Massa  untuk keempat reaktor dan tentukan konsentrasi (𝐶 𝐴𝑖 ) yang keluar dari tiap reaktor.

## Penyelesaian:
Neraca Massa unsteady state untuk setiap reaktor adalah:

## Rate of input – Rate of output – Rate of Reaction
= Rate of Accumulation
Karena  system  adalah  steady  state,  maka  laju akumulasi  adalah  nol,  neraca  massa  dapat

## disederhanakan menjadi:
Rate of input – Rate of output – Rate of Reaction
= 0
Penyusunan  neraca  massa  untuk  setiap  reactor menghasilkan persamaan:
1000𝐶 𝐴0 − 1000𝐶 𝐴1 − 𝑉 1 𝑘 1 𝐶 𝐴1 = 0 1000𝐶 𝐴1 + 100𝐶 𝐴3 − 1100𝐶 𝐴2 − 𝑉 2 𝑘 2 𝐶 𝐴2 = 0 1100𝐶 𝐴2 + 100𝐶 𝐴4 − 1200𝐶 𝐴3 − 𝑉 3 𝑘 3 𝐶 𝐴3 = 0 1100𝐶 𝐴3 − 1100𝐶 𝐴4 − 𝑉 4 𝑘 4 𝐶 𝐴4 = 0
Substitusi nilai 𝐶 𝐴1 , 𝑉 1 𝑑𝑎𝑛 𝑘 1 diperoleh persamaan:
1100𝐶 𝐴1 = 1000 1000 𝐶𝐴1 − 1400 𝐶𝐴2 + 100 𝐶𝐴3 = 0 1100 𝐶𝐴2 − 1240 𝐶𝐴3 + 100 𝐶𝐴4 = 0
1100 𝐶𝐴3 − 1250 𝐶𝐴4 = 0
Misalkan 𝐶 𝐴1 = 𝑣, 𝐶 𝐴2 = 𝑥, 𝐶 𝐴3 = 𝑦, 𝐶 𝐴4 = 𝑧
Langkah 1 : Sistem persamaan linier diatas dapat ditulis sebagai berikut:
𝐹(𝑣, 𝑥, 𝑦, 𝑧) =  1100𝑣 + 0𝑥 + 0𝑦 + 0𝑧 = 1000
𝐺(𝑣, 𝑥, 𝑦, 𝑧) =  1000𝑣 − 1400𝑥 + 100𝑦 + 0𝑧
= 0
𝐻(𝑣, 𝑥, 𝑦, 𝑧) =  0𝑣 + 1100𝑥 − 1240𝑦 + 100𝑧 = 0 𝐽(𝑣, 𝑥, 𝑦, 𝑧) =  0𝑣 + 0𝑥 + 1100𝑦 − 1250𝑧 = 0

## ITERASI 1
Langkah  2 :  Menentukan  nilai  tebakan  awal 𝑣 0 , 𝑥 0 , 𝑦 0 , 𝑧 0 Yaitu 𝑣 0 = 0, 𝑥 0 = 0, 𝑦 0 = 0 𝑑𝑎𝑛 𝑧 0 = 0
Langkah  3 :  Mencari  nilai  fungsi  dari  keempat persamaan  dengan  nilai  tebakan  awal 𝑣 0 = 0, 𝑥 0 = 0, 𝑦 0 = 0 𝑑𝑎𝑛 𝑧 0 = 0 yaitu:
𝐹(0,0,0,0) =  1100𝑣 + 0𝑥 + 0𝑦 + 0𝑧 = 1000
= 1100(0) + 0(0) + 0(0) + 0(0) − 1000 = −1000
𝐺(0,0,0,0) =  1000𝑣 − 1400𝑥 + 100𝑦 + 0𝑧 = 0
= 1000(0) − 1400(0) + 100(0)
+0(0) − 0
= 0
𝐻(0,0,0,0) =  0𝑣 + 1100𝑥 − 1240𝑦 +
100𝑧 = 0 = 0(0) + 1100(0) − 1240(0) +100(0) − 0
= 0
𝐽(0,0,0,0)    = 0𝑣 + 0𝑥 + 1100𝑦 − 1250𝑧 = 0 = 0(0) + 0(0) + 1100(0)
−1250(0) − 0 = 0
Langkah  4 :  Mencari  turunan-turunan  fungsi terhadap masing-masing variabelnya, yaitu:
𝜕𝐹 𝜕𝑣 = 1100 𝜕𝐹 𝜕𝑥 = 0 𝜕𝐹 𝜕𝑦 = 0 𝜕𝐹 𝜕𝑧 = 0 𝜕𝐺 𝜕𝑣 = 1000 𝜕𝐺 𝜕𝑥 = −1400 𝜕𝐺 𝜕𝑦 = 100 𝜕𝐺 𝜕𝑧 = 0 𝜕𝐻 𝜕𝑣 = 0 𝜕𝐻 𝜕𝑥 = 1100 𝜕𝐻 𝜕𝑦 = −1240 𝜕𝐻 𝜕𝑧 = 100 𝜕𝐽 𝜕𝑣 = 0 𝜕𝐽 𝜕𝑥 = 0 𝜕𝐽 𝜕𝑦 = 1100 𝜕𝐽 𝜕𝑧 = −1250
Langkah 5 : Mencari nilai-nilai deviasi dari nilai 𝑣, 𝑥, 𝑦 𝑑𝑎𝑛 𝑧
Nilai-nilai  deviasi  tersebut  dimisalkan 𝑟 1 , 𝑠 1 , 𝑡 1 𝑑𝑎𝑛 𝑢 1 . Untuk  mencari  nilai  tersebut terlebih  dahulu  turunan  fungsi  beserta  nilai fungsi sistem persamaan linier dibentuk menjadi:
[ 1100 1000 0
0
0 −1400 1100 0 0 100 −1240 1100 0 0 100 −1250 ] [ 𝑟 1 𝑠 1 𝑡 1 𝑢 1 ] = − [ −1000 0 0 0 ]
Kemudian  perhitungan  dilanjutkan  dengan mencari  matriks 𝐴, 𝐴 1 , 𝐴 2 , 𝐴 3 𝑑𝑎𝑛 𝐴 4 dengan aturan cramer. Adapun hasilnya sebagai berikut:
𝐴 = [ 1100 1000 0 0 0 −1400 1100 0 0 100 −1240 1100 0 0 100 −1250 ] 𝐴 1 = [ 1000 0 0 0 0 −1400 1100 0 0 100 −1240 1100 0 0 100 −1250 ] 𝐴 2 = [ 1100 1000 0 0 1000 0 0 0 0 100 −1240 1100 0 0 100 −1250 ] 𝐴 3 = [ 1100 1000 0 0 0 −1400 1100 0 1000 0 0 0 0 0 100 −1250 ] 𝐴 4 = [ 1100 1000 0 0 0 −1400 1100 0 0 100 −1240 1100 1000 0 0 0 ]
Setelah didapat matriks 𝐴, 𝐴 1 , 𝐴 2 , 𝐴 3 𝑑𝑎𝑛 𝐴 4 dengan  aturan  cramer  diatas,  kemudian dilanjutkan dengan mencari determinan matriks- matriks  di  atas  untuk  mendapatkan  nilai 𝑟 1 , 𝑠 1 , 𝑡 1 𝑑𝑎𝑛 𝑢 1 . Yaitu:
𝑟 1 = 𝑑𝑒𝑡 𝐴 1 𝑑𝑒𝑡 𝐴
= [ 1000 0 0 0 0 −1400 1100 0 0 100 −1240 1100 0 0 100 −1250 ] [ 1100 1000 0 0 0 −1400 1100 0 0 100 −1240 1100 0 0 100 −1250 ] = −1,8785 𝑥 10 12 −2,06635 𝑥 10 12 = 0.909091
𝑠 1 = 𝑑𝑒𝑡 𝐴 2 𝑑𝑒𝑡 𝐴 = [ 1100 1000 0 0 1000 0 0 0 0 100 −1240 1100 0 0 100 −1250 ] [ 1100 1000 0 0 0 −1400 1100 0 0 100 −1240 1100 0 0 100 −1250 ] = −1,44 𝑥 10 12 −2,06635 𝑥 10 12 = 0,696881
𝑡 1 = 𝑑𝑒𝑡 𝐴 3 𝑑𝑒𝑡 𝐴 = [ 1100 1000 0 0 0 −1400 1100 0 1000 0 0 0 0 0 100 −1250 ] [ 1100 1000 0 0 0 −1400 1100 0 0 100 −1240 1100 0 0 100 −1250 ] = −1375000 𝑥 1000 2 −2,06635 𝑥 10 12 = 0,66542451
𝑢 1 = 𝑑𝑒𝑡 𝐴 4 𝑑𝑒𝑡 𝐴
= [ 1100
1000 0 0 0 −1400 1100 0 0 100 −1240 1100 1000 0 0 0 ] [ 1100 1000 0 0 0 −1400 1100 0 0 100 −1240 1100 0 0 100 −1250 ] = −1210000 𝑥 1000 2 −2,06635 𝑥 10 12 = 0,585573596
Langkah 6 : Setelah mendapatkan nilai 𝑟 1 , 𝑠 1 , 𝑡 1 𝑑𝑎𝑛 𝑢 1 di  atas,  akan  dicari  nilai pendekatan  yang  lebih  tepat  dari  nilai  awal, dengan menggunakan persamaan di bawah ini: 𝑣 1 = 𝑣 0 + 𝑟 1 = 0 + 0,90 = 𝟎, 𝟗𝟎 𝑥 1 = 𝑥 0 + 𝑠 1 = 0 + 0,6968 = 𝟎, 𝟔𝟗𝟔𝟖 𝑦 1 = 𝑦 0 + 𝑡 1 = 0 + 0,6654 = 𝟎, 𝟔𝟔𝟓𝟒 𝑧 1 = 𝑧 0 + 𝑢 1 = 0 + 0,585574 = 𝟎, 𝟓𝟖𝟓𝟓
Nilai 𝑣 1 , 𝑥 1 , 𝑦 1 , 𝑧 1 akan  digunakan  sebagai  nilai tebakan awal untuk langkah berikunya

## ITERASI 2
Langkah  2 :  Menentukan  nilai  tebakan  awal 𝑣 1 , 𝑥 1 , 𝑦 1 , 𝑧 1 Yaitu 𝑣 1 = 0,909091 ; 𝑥 1 = 0,696881 ; 𝑦 1 = 0,665424541 ; 𝑧 1 = 0,585573596
Langkah  3 :  Mencari  nilai  fungsi  dari  keempat persamaan dengan nilai tebakan awal 𝑣 1 , 𝑥 1 , 𝑦 1 , 𝑧 1 yaitu:
𝐹(0,909091; 0,696881; 0,665424; 0,585573) =  1100𝑣 + 0𝑥 + 0𝑦 + 0𝑧 = 1000 = 1100(0,909091) + (0,696881) +(0,665424) + (0,585573) − 1000 = 0
𝐺(0,909091; 0,696881; 0,665424; 0,585573) =  1000𝑣 − 1400𝑥 + 100𝑦 + 0𝑧 = 0 = 1000(0,909091) − 1400(0,696881)
+100(0,665424) + 0(0,588873) − 0 = −0,000000000000142109 = −1,42109 𝑥 10 −13
𝐻(0,909091; 0,696881; 0,665424; 0,585573) =  0𝑣 + 1100𝑥 − 1240𝑦 + 100𝑧 = 0 = 0(0,909091) + 1100(0,696881) −1240(0,665424) + 100(0,588873) − 0 = 0,000000000000121 = 1,21 𝑥 10 −13
𝐽(0,909091; 0,696881; 0,665424; 0,585573) = 0𝑣 + 0𝑥 + 1100𝑦 − 1250𝑧 = 0 = 0(0,909091) + 0(0,696881) +1100(0,665424) − 1250(0,588873) − 0 = 0
Langkah 4 : Mencari nilai-nilai deviasi dari nilai

## 𝑣, 𝑥, 𝑦 𝑑𝑎𝑛 𝑧
Nilai-nilai  deviasi  tersebut  dimisalkan
𝑟 2 , 𝑠 2 , 𝑡 2 𝑑𝑎𝑛 𝑢 2 . Untuk  mencari  nilai  tersebut terlebih  dahulu  turunan  fungsi  beserta  nilai fungsi sistem persamaan linier dibentuk menjadi:
[ 1100 1000 0 0 0 −1400 1100 0 0 100 −1240 1100 0 0 100 −1250 ] [ 𝑟 2 𝑠 2 𝑡 2 𝑢 2 ] = − [ 0 −1,42109 𝑥 10 −13
1,21 𝑥 10 −13
0 ]
Kemudian  perhitungan  dilanjutkan  dengan mencari  matriks 𝐴, 𝐴 1 , 𝐴 2 , 𝐴 3 𝑑𝑎𝑛 𝐴 4 dengan aturan cramer. Adapun hasilnya sebagai berikut:
= [ 1100 1000 0 0 0 −1400 1100 0 0 100 −1240 1100 0 0 100 −1250 ] 𝐴 1 = [ 0 1,42109 𝑥 10 −13 −1,21 𝑥 10 −13
0 0 −1400
1100 0 0 100 −1240 1100 0 0 100 −1250 ] 𝐴 2 = [ 1100 1000 0 0 0
1,42109 𝑥 10 −13
−1,21 𝑥 10 −13
0
0 100 −1240 1100 0 0 100 −1250 ]
𝐴 3 = [ 1100 1000
0 0 0 −1400 1100 0
0 1,42109 𝑥 10 −13 −1,21 𝑥 10 −13 0 0 0 100 −1250 ] 𝐴 4 = [ 1100 1000 0 0 0 −1400 1100 0 0 100 −1240 1100
0 1,42109 𝑥 10 −13
−1,21 𝑥 10 −13 0 ]
Setelah  didapat  matriks 𝐴, 𝐴 1 , 𝐴 2 , 𝐴 3 𝑑𝑎𝑛 𝐴 4 dengan aturan cramer diatas, kemudian dilanjutkan dengan mencari determinan matriks- matriks  di  atas  untuk  mendapatkan  nilai 𝑟 2 , 𝑠 2 , 𝑡 2 𝑑𝑎𝑛 𝑢 2 . Yaitu:
𝑟 2 = 𝑑𝑒𝑡 𝐴 1 𝑑𝑒𝑡 𝐴
= [ 0 1,42109𝐸 − 13 −1,21𝐸 − 13
0 0 −1400 1100 0 0 100 −1240 1100 0 0 100 −1250 ] [ 1100 1000 0 0 0 −1400 1100 0 0 100 −1240 1100 0 0 100 −1250 ] = 0 −2,06635 𝑥 10 12 = 0
𝑠 2 = 𝑑𝑒𝑡 𝐴 2 𝑑𝑒𝑡 𝐴 = [ 1100 1000 0 0 0 1,42109𝐸 − 13 −1,21𝐸 − 13 0 0 100 −1240 1100 0 0 100 −1250 ] [ 1100 1000 0 0 0 −1400 1100 0 0 100 −1240 1100 0 0 100 −1250 ] = 0,000208491 −2,06635 𝑥 10 12 = −1,00898 𝑥 10 −16
𝑡 2 = 𝑑𝑒𝑡 𝐴 3 𝑑𝑒𝑡 𝐴 = [ 1100 1000 0 0 0 −1400 1100 0 0 1,42109 𝑥 10 −13
−1,21 𝑥 10 −13 0 0 0 100 −1250 ] [ 1100 1000 0 0 0 −1400 1100 0 0 100 −1240 1100 0 0 100 −1250 ] = −1,7586 𝑥 10 −5 −2,06635 𝑥 10 12 = 8,51063 𝑥 10 −18 𝑢 2 = 𝑑𝑒𝑡 𝐴 4 𝑑𝑒𝑡 𝐴 = [ 1100 1000 0 0 0 −1400 1100 0 0 100 −1240 1100 0 1,42109 𝑥 10 −13
−1,21 𝑥 10 −13 0 ] [ 1100 1000 0 0 0 −1400 1100 0 0 100 −1240 1100 0 0 100 −1250 ] = −1,5476 𝑥 10 −5 −2,06635 𝑥 10 12 = 7,48935 𝑥 10 −18
Langkah 5 : Setelah mendapatkan nilai 𝑟 2 , 𝑠 2 , 𝑡 2 𝑑𝑎𝑛 𝑢 2 di  atas,  akan  dicari  nilai pendekatan  yang  lebih  tepat  dari  nilai  awal, dengan menggunakan persamaan di bawah ini:
𝑣 = 𝑣 1 + 𝑟 2 = 0,909091 + 0 = 𝟎, 𝟗𝟎𝟗𝟎𝟗𝟏 𝑥 = 𝑥 1 + 𝑠 2 = 0,696881 − 1,00898 𝑥 10 −16 = 𝟎, 𝟔𝟗𝟔𝟖𝟖𝟏 𝑦 = 𝑦 1 + 𝑡 2 = 0,665424541 + 8,51063 𝑥 10 −18 = 𝟎, 𝟔𝟔𝟓𝟒𝟐𝟒𝟓𝟒𝟏 𝑧 = 𝑧 1 + 𝑢 2 = 0,585573596 + 7,48935 𝑥 10 −18
= 𝟎, 𝟓𝟖𝟓𝟓𝟕𝟑𝟓𝟗𝟔
Iterasi  selanjutnya  dapat  diperhatikan  table berikut
Karena  Nilai 𝐹, 𝐺, 𝐻 𝑑𝑎𝑛 𝐽 sudah  mendekati 0 maka, iterasi dihentikan Sehingga:
𝑪 𝑨𝟏 = 𝒗 = 𝟎, 𝟗𝟎𝟗𝟎𝟗𝟏 𝑪 𝑨𝟐 = 𝒙 = 𝟎, 𝟔𝟗𝟔𝟖𝟖𝟏
𝑪 𝑨𝟑 = 𝒚 = 𝟎, 𝟔𝟔𝟓𝟒𝟐𝟒𝟓𝟒𝟏 𝑪 𝑨𝟒 = 𝒛 = 𝟎, 𝟓𝟖𝟓𝟓𝟕𝟑𝟓𝟗𝟔

## 5. KESIMPULAN
Berdasarkan hasil analisis dengan menggunakan langkah-langkah  metode  Newton  Raphson dimana  nilai  awalan  konsentrasi 𝐶 𝐴1 =   𝐶 𝐴2 = 𝐶 𝐴3 = 𝐶 𝐴4 = 0 , maka diperoleh konsentrasi 𝐶 𝐴1 yang  keluar  dari  tiap  reaktor  sebesar  0,909091; 𝐶 𝐴2 sebesar 0,696881; 𝐶 𝐴3 sebesar 0,665424541 dan 𝐶 𝐴4 0,585573596.  Jadi,  dapat  disimpulkan bahwa metode Newton Raphson dapat diterapkan  untuk  menyelesaikan  persamaan reaksi kimia dan neraca massa dalam rangkaian reaktor  CSTR  untuk  memperoleh  konsentrasi ( 𝐶 𝐴𝑖 ) yang keluar dari tiap reaktor diinginkan.
Semakin kecil nilai deviasi atau nilai galat yang didapat,  maka  nilai  selesaiannya  juga  semakin tepat. Untuk memperoleh nilai deviasi atau nilai galat  yang  semakin  kecil,  dibutuhkan  proses perhitungan yang lama, sehingga komputer disini berperan dalam membantu perhitungan.

## 6. DAFTAR PUSTAKA
[1] Burden,  R.L,  dan  Faires,  J.D.  2011. Numerical Analysis Ninth Edition. Boston: BROOKS/CALE.
[2]  Chong,  Edwin  K.P.  &  Stanislaw  H.  Zak. 2008.  An  introduction  To  Optimization Third  Edition.  United  States  Of  America: Wiley.
[3] Marzuki, Corry Corazon dan herawati (2015).  Penyelesaian  Sistem  Persamaan Linear Fully Fuzzy Menggunakkan Metode Iterasi  Jacobi. Jurnal  Sains  Matematika dan Statistika , Vol.1(1), 2
[4] Mathews,  John.  H.  1992.  Numerical Methods. Prentice-hall Internasional, Inc.
[5] Munir,  R.  2008.  Metode  Numerik. Bandung
[6] Nasiha,  Khutwatun.  2008.  Penyelesaian Sistem  Persamaan  Tak-Linear  dengan Metode Newton-Raphson [Skripsi] Fakultas Sains dan Teknologi, Universitas Islam Negeri Malang. [7] Rustamaji, Heri. 2017. Pengantar
Komputasi  Teknik  Kimia  dengan  Matlab dan  Simulink.  Lampung:  CV.  Anugrah Utama Raharja
[8] Santi, Rina Candra Noor (2012).
Implementasi  Sistem  Persamaan  Linear menggunakan  metode  Aturan  Cramer.

## Jurnal  Teknologi  Informasi  DINAMIK
Vol.17 (1), 3
[9] Wulan,  Elis  Ratna,  dkk.  (2017).  Solusi Numerik  Persamaan  Non-Linear  dengan Menggunakan  Metode  Newton-Raphson
Modifikasi Fuzzy. Jurnal UIN SGD . Vol X
(2), 2

## Tabel 4.2. Iterasi Newton Rapshon
No v x y z F G H J 0 0 0 0 0 1000 0 0 0 1 0,909091  0,696881 0,696881 0,585573596 0 1,42109E-13 -1,21E-13 0 2 0,909091  0,696881  0,665424541  0,585573596 0 2,84217E-14 -7,11E-15 0 3 0,909091  0,696881  0,665424541  0,585573596 0 2,84217E-14 -7,11E-15 0