Analisis Metode Lagrange dan Transformasi .…………………….…………………. (Embay)

## ANALISIS METODE LAGRANGE DAN TRANSFORMASI LAPLACE DALAM MENGHITUNG MUATAN  RANGKAIAN LISTRIK SEDERHANA

## Embay Rohaeti
FMIPA Universitas Pakuan, Bogor

## ABSTRAK
Dalam  menghitung  muatan  rangkaian  listrik  sederhana  biasanya  diselesaikan  dengan ilmu  Fisika.    Salah  satu  solusi  alternatif  lain  adalah  dengan  menggunakan  Persamaan Differensial berupa metode Lagrange dan Transformasi Laplace .
Keywords: Rangkaian  Listrik  Sederhana,  Persamaan  Differensial,  Metode  Lagrange, Transformasi Laplace .

## PENDAHULUAN
Matematika  sebagai  bahasa  simbol yang bersifat universal sangat erat hubungannya  dengan  kemajuan  teknologi. Kenyataan  membuktikan  bahwa  untuk menyelesaikan  masalah-masalah  kehidu- pan  nyata  dibutuhkan  metode-metode Matematika yang dimodelkan dalam model matematika  seperti  model  persamaan differensial (Bronson, 2007).
Dalam menghitung
muatan rangkaian listrik sederhana biasanya
diselesaikan  dengan  ilmu  fisika.  Hasil akhir  perhitungan  muatan  rangkaian listrik sederhana selalu sama walaupun
diselesaikan
secara Fisika, metode Lagrange dan  Transformasi Laplace . Metode Lagrange dan Transformasi Laplace mempunyai kelebihan dan kelemahan  masing-masing  sehingga  perlu dianalisis  dalam  menyelesaikan  suatu perhitungan rangkaian listrik sederhana.

## BAHAN DAN METODE
Metode yang digunakan dalam menghitung  muatan  rangkaian  listrik sederhana  adalah  metode Lagrange dan Transformasi Laplace .

## HASIL DAN PEMBAHASAN
Suatu  rangkaian  listrik  memiliki 180  R ohm,
280 / 1  C farad,
20

##  L
Henry,  dan  sebuah  sumber  tenaga  sebesar
t t E sin 10 ) (  volt.    Bila  diketahui  pada saat t = 0, besar muatan listrik   t q adalah nol dan besar nilai turunan pertama muatan listrik   t q ' adalah  1,  tentukan  besar muatan  listrik   q pada  saat 1  t .
( Giancoli, 1998).
Pembahasan Metode Lagrange Menurut Moentiarsanto,  (1982),  l angkah penyelesaian dengan metode Lagrange :
a. Membentuk  permasalahan  ke  dalam bentuk  rangkaian  listrik  sederhana sebagai berikut :
b. Membentuk model matematika
Analisis Metode Lagrange dan Transformasi .…………………….…………………. (Embay)
Berdasarkan hukum Kirchhoff II
mengenai  beda  tegangan  pada  suatu rangkaian tertutup yang memuat sumber  tenaga,  “jumlah  beda  tegangan pada  resistor,  induktor,  dan  kapasitor sama  dengan  beda  tegangan  yang dihasilkan  sumber  tenaga”,  dapat ditulis :
E E E E C R L    berdasarkan  persamaan  (1),  (2),  (3) didapat :
E q C Ri dt di L    1 karena dt dq i  E q C dt dq R dt dq dt d L          1 E C q dt dq R dt q d L    2 2 t q dt dq dt q d sin 10 280 1 180 20 2 2    t q dt dq dt q d sin 10 280 180 20 2 2    maka model matematika dari rangkaian listrik sederhana tersebut adalah:
t q dt dq dt q d sin 2 1 14 9 2 2   
c. Model  matematika  tersebut  dapat ditulis ke dalam persamaan differensial sebagai berikut:
t y D D sin 2 1 ) 14 9 ( 2   
d. Merubah  persamaan  di  atas  ke  dalam persamaan karakteristik, kemudian mencari  akar-akar  karakteristik  setelah terlebih dahulu membentuk ke persamaan kuadrat sebagai berikut:
0 14 9 2    m m    0 7 2    m m 2 1   m , 7 2   m
e. Langkah  selanjutnya,  setelah  akar karakteristik diketahui kemudian mencari Penyelesaian Umum
Persamaan  Differensial  yaitu  dengan mencari complemen solution dan particular solution sebagai berikut:
i. Complemen solution :
Setelah  diketahui  akar  karakteristik dari  persamaan  differensial,  yaitu 2 1   m , 7 2   m maka  mencari complemen solution dengan rumus:
t m t m c e C e C q 2 1 2 1   maka complemen solution adalah :
t t c e C e C q 7 2 2 1    
ii. Particular solution : Selanjutnya mencari particular solution dengan  memasukkan  akar- akar  karakteristiknya  ke  dalam metode Lagrange sebagai berikut:
  dtdt e t Q e e q t m t m m t m p 2 1 2 1 ). (        dtdt e t e e t t t 7 ) 2 ( 7 2 sin 2 1             dtdt te e e t t t 7 5 2 sin 2 1     dt t t e e e t t t             cos sin 7 1 7 2 1 . 2 2 7 5 2              dt t t e e e t t t cos sin 7 100 7 5 2             dt t t e e t t cos sin 7 100 1 2 2            t t t te te e 2 2 2 cos 9 sin 13 500 1 t t cos 500 9 sin 500 13   maka p c q q q  
f. PUPD  tersebut  harus  memenuhi  syarat awal, yaitu:
- Pada 0  t →   0 0  q   500 9 0 2 1    C C q .....  (25)
-     Pada saat 0  t →   1 0  dt dq
Analisis Metode Lagrange dan Transformasi .…………………….…………………. (Embay)
  t t e C e C dt t dq t t sin 500 9 cos 500 13 7 2 7 2 2 1        500 13 7 2 1 2 1     C C 500 13 1 7 2 2 1     C C ….(26)
eliminasikan  persamaan  (25)  dan  (26), maka didapat:
500 110 1  C dan 500 101 2   C dengan demikian diperoleh penyelesaian bersyarat batas tersebut di atas adalah:   t t e e t q t t cos 500 9 sin 500 13 500 101 500 110 7 2       atau     t t e e t q t t cos 9 sin 13 101 110 500 1 7 2      
g. Mencari besar muatan rangkaian listrik sederhana pada saat t = 1
    t t e e t q t t cos 9 sin 13 101 110 500 1 7 2         012 , 0 1  q C
Transformasi Laplace Menurut Wardiman (1978), l angkah-langkah penyelesaian dengan Tansformasi Laplace :
a. Membentuk  permasalahan  ke  dalam bentuk  rangkaian  listrik  sederhana, sebagai berikut:
b. Membentuk model matematika Berdasarkan hukum Kirchhoff II
mengenai  beda  tegangan  pada  suatu rangkaian tertutp yang memuat sumber tenaga,  “jumlah  beda  tegangan  pada resistor,  induktor,  dan  kapasitor  sama dengan  beda  tegangan  yang  dihasilkan sumber tenaga”, dapat ditulis:
E E E E C R L    Berdasarkan  persamaan  (1),  (2),  (3) didapat:
E q C Ri dt di L    1 karena dt dq i  , maka E q C dt dq R dt dq dt d L          1 E C q dt dq R dt q d L    2 2 t q dt dq dt q d sin 10 280 1 180 20 2 2    t q dt dq dt q d sin 10 280 180 20 2 2    Maka model matematika dari rangkaian listrik sederhana tersebut adalah.
t q dt dq dt q d sin 2 1 14 9 2 2    c. Mencari  persamaan  muatan  listrik sembarang t waktu
    t q t q t q sin 2 1 14 9 ' ''        } sin 2 1 { } 14 9 { ' '' t L q t q t q L                t L q L t q L t q L sin 2 1 14 9 ' ''     Mencari Laplace dari   t q ''               0 0 ' 2 '' q q s t q L s t q L        1 0 2    t q L s     1 2   t q L s
 Mencari Laplace dari   t q ' 9
Analisis Metode Lagrange dan Transformasi .…………………….…………………. (Embay)
            0 9 9 ' q t q sL t q L         0 9   t q sL     t q sL 9   Mencari Laplace dari   t q 14       t q L q L 14 14  maka       1 1 2 1 1 14 9 2 2      s t q L s s     14 9 1 14 9 1 1 1 2 1 2 2 2        s s s s x s t q L      14 9 1 14 9 1 1 2 1 2 2 2        s s s s s i. Merubah bentuk di atas sebagai berikut:    14 9 1 14 9 1 1 2 2 2 2           s s D Cs s B As s s s ii. Menyamakan fungsi kedua ruas sebagai berikut:
              14 9 1 1 14 9 14 9 1 1 2 2 2 2 2 2              s s s s D Cs s s B As s s s iii. Mencari nilai koefisien A, B, C, dan D sebagai berikut:
        1 14 9 1 2 2        s D Cs s s B As         D B s C B A s D B A s C A           14 9 14 9 1 2 3 Untuk 0 3  s → 0   C A ............................................  (27) 0 2  s → 0 9    D B A .....................................  (28) 0 1  s → 0 9 14    C B A ...............................  (29) 1 0  s → 1 14   D B ........................................  (30)
dengan menggunakan eliminasi dan substitusi untuk persamaan (27) sampai (30), maka didapat :
250 9   A , 250 13  B , 250 9  C , 250 68  D
maka persamaan muatan listrik sembarang t waktu adalah :
                          14 9 1 14 9 1 2 1 2 1 2 2 1 s s L s s D Cs s B As L t q                          14 9 1 14 9 68 9 1 13 9 500 1 2 1 2 2 1 s s L s s s s s L     t t t t e e e e t t 5 7 5 7 1 5 1 ) 10 1 ( sin 13 cos 9 500 1           
Analisis Metode Lagrange dan Transformasi .…………………….…………………. (Embay)
d. Mencari besar muatan rangkaian listrik sederhana pada saat t = 1 adalah
      5 7 5 7 1 5 1 ) 10 1 ( 1 sin 13 1 cos 9 500 1 1 e e e e q              012 , 0 1  q C

## KESIMPULAN
Berdasarkan hasil analisis, bentuk persamaan metode Lagrange dari muatan rangkaian listrik sederhana untuk sembarang t adalah
    t t e e t q t t cos 9 sin 13 101 110 500 1 7 2       maka besar muatan rangkaian listrik sederhana pada saat 1  t adalah  012 , 0 C, sedangkan bentuk transformasi Laplace dari muatan rangkaian listrik sederhana untuk sembarang t adalah:
                           14 9 1 14 9 68 9 1 13 9 500 1 2 1 2 2 1 s s L s s s s s L t q maka
besar  muatan  rangkaian  listrik  sederhana pada saat 1  t adalah  012 , 0 C.

## DAFTAR PUSTAKA
Bronson,  R.    2007. Persamaan  Diferensial Edisi Ketiga.  Jakarta : Erlangga.
Giancoli, CD.  1998. Fisika Jilid 2.  Jakarta : Erlangga.
Moentiarsanto,  D.    1982. Persamaan Differensial. Yogyakarta : Ananda.
Wardiman.    1978. Transformasi  Laplace . Yogyakarta  :  Bagian  Ilmu  Pasti  Dan Alam UGM