http://ejournal.undip.ac.id/index.php/media_statistika
PENGARUH SKEWNESS DAN KURTOSIS DALAM MODEL VALUASI OBLIGASI
Abdurakhman 1 , Di Asih I Maruddani 2
1 Departemen Matematika, Universitas Gadjah Mada
2 Departemen Statistika, Universitas Diponegoro
e-mail : rachmanstat@ugm.ac.id
DOI: 10.14710/medstat.11.1.39-51
Article Info: Received: 20 April 2018 Accepted: 11 July 2018 Available Online: 20 August 2018

## Keywords:
Skewness, Kurtosis, Gram- Charlier, Hermite polynomial .
Abstract: The Gram-Charlier expansion, where skewness and kurtosis directly appear as parameters, has become popular in finance as a generalization of the normal density. Non-normal skewness and kurtosis of underlying asset of bond issuer company are significantly contributes to  the phenomenon of volatility smile.  Hermite polynomial is used to get an expansion of the probability distribution.  In this paper, Gram-Charlier model is applied to BTPN Bond which  is issued in 2017. The result showed that Gram-Charlier model is more consistent than Black-Scholes model when the skewness and kurtosis are taken into account.

## 1. PENDAHULUAN
Obligasi merupakan salah satu instrumen investasi yang cukup diminati oleh investor karena memberikan pendapatan tetap. Di  samping  memberikan  keuntungan, berinvestasi pada obligasi juga memiliki risiko, salah satunya adalah risiko kredit. Risiko kredit terjadi apabila pada saat jatuh tempo perusahaan penerbit obligasi tidak mampu membayar kewajibannya, yaitu membayar kupon dan pokok obligasi sehingga dinyatakan bangkrut. Untuk mengantisipasi risiko tersebut diperlukan suatu valuasi obligasi guna melihat kemampuan perusahaan penerbit obligasi dalam memenuhi kewajibannya. Valuasi obligasi juga meliputi perhitungan peluang kebangkrutan perusahaan penerbit obligasi.
Pemodelan  valuasi obligasi tanpa kupon  mulai dikerjakan oleh Merton (1974) menggunakan  formula serupa dengan harga opsi Black-Scholes (Black & Scholes, 1973) Asumsi praktis dalam model Black-Scholes adalah return aset perusahaan berdistribusi normal dengan volatilitas konstan. Namun, seringkali ditemukan return aset yang tidak berdistribusi normal, dalam hal ini mempunyai nilai skewness dan kurtosis yang tidak sesuai standar. Jarrow dan Rudd (1982) menggunakan deviasi dari momen Gaussian sebagai pendekatan distribusi yang tidak diketahui. Ekspansi Gram-Charlier merupakan teori yang cukup popular di bidang finansial sebagai generalisasi dari distribusi normal untuk mengatasi keberadaan parameter skewness dan kurtosis  (Jondeau  dan  Rockinger, 2001).  Salah satu metode aproksimasi yang digunakan adalah  pendekatan alternatif polinomial Hermite (Kendall et al, 1994).
Knight dan Satchell (1997) telah  menerapkan teori Gram-Charlier untuk pengukuran harga opsi. Berberan Santos (2007) mengembangkan model  Gram-Charlier dengan polinomial Hermite untuk sebarang distribusi dan diterapkan pada penilaian harga opsi. Chateau dan Dufresne (2017)  menggunakan polinomial Hermite untuk ekspansi Gram-Charlier pada penilaian harga opsi  dengan aset dasar berdistribusi normal. Abdurakhman (2017) meneliti tentang model non normal untuk optimisasi portofolio saham.  Pendekatan opsi untuk valuasi obligasi diperkenalkan pertama kali oleh Merton (1974) dengan asumsi-asumsi yang sangat mengikat, khususnya asumsi normalitas. Selanjutnya penerapan kasus valuasi obligasi data di Indonesia telah dilakukan pada model valuasi  obligasi tanpa kupon dengan metode KMV (Maruddani  et al, 2011a), valuasi obligasi dan pengukuran credit spreads dengan model Merton (Maruddani  et al, 2011b), valuasi obligasi berdasarkan pola waktu kebangkrutan (Maruddani, 2015).
Berdasarkan latar belakang masalah di atas,   paper ini  mencari model matematika baru  untuk  valuasi  obligasi  berkupon satu periode  dengan data aset mempunyai kemencengan ( skewed ) dan ekor gemuk (kurtosis).  Valuasi yang dilakukan  meliputi perhitungan estimasi ekuitas dan peluang kebangkrutan  perusahaan yang mengeluarkan obligasi  berdasarkan pada distribusi normal standard model ekspansi Gram-Charlier dengan pendekatan polinomial Hermite.

## 2. TINJAUAN PUSTAKA

## 2.1 Valuasi Obligasi dengan Model Black-Scholes
Obligasi kupon satu periode adalah obligasi yang memberikan  pembayaran  kupon kepada investor sebanyak satu kali selama periode obligasi. Pemberian kupon dilaksanakan pada saat jatuh tempo.  Selain kewajiban membayar kupon  sebesar  K, penerbit obligasi memiliki kewajiban membayar hutang pokok (face value) kepada pemegang obligasi. Pemodelan yang digunakan untuk melihat struktur kekayaan perusahaan menggunakan model aset adalah jumlahan dari Modal (Ekuitas) dan Hutang (Liabilitas) sebagai berikut:
𝐴 𝑇 = 𝐿 𝑇 + 𝐸 𝑇 (1)
𝐴 𝑇 =Aset perusahaan pada waktu ke- T 𝐿 𝑇 = Liabilitas perusahaan pada waktu ke- T (obligasi) 𝐸 𝑇 = Ekuitas perusahaan pada waktu ke- T (modal)
Pada saat jatuh tempo terdapat dua kemungkinan keadaan, yaitu :
1. Jika nilai aset lebih dari atau sama dengan pokok hutang ditambah kupon yaitu 𝐴 𝑇 ≥ 𝐾 , maka penerbit obligasi akan membayar kepada investor sebesar K. Dan penerbit obligasi memiliki modal atau ekuitas sebesar 𝐴 𝑇 − 𝐾 . 2. Jika nilai aset kurang dari pokok hutang ditambah kupon yaitu 𝐴 𝑇 < 𝐾 , maka penerbit obligasi memiliki modal atau ekuitas sebesar 0, artinya penerbit obligasi bangkrut.
Berdasarkan keadaan tersebut di atas maka struktur modal perusahaan pada saat jatuh tempo ( T ) dapat dimodelkan dalam Tabel 1.
Tabel 1 Struktur Modal Perusahaan Pada Saat Jatuh Tempo Posisi Aset Status Perusahaan Liabilitas (Obligasi) Ekuitas (Modal) 𝐴 𝑇 ≥ 𝐾 Tidak bangkrut 𝐾 𝐴 𝑇 − 𝐾 𝐴 𝑇 < 𝐾 Bangkrut 𝐴 𝑇 0
Abdurakhman (Valuasi Obligasi)
Dari  Tabel 1, pada waktu jatuh  tempo T diperoleh formula nilai  ekuitas  adalah  max { 𝐴 𝑇 − 𝐾 , 0} . Nilai ekuitas pada saat penandatanganan kontrak obligasi merupakan present value dari nilai harapan ekuitas pada waktu jatuh tempo.
𝐸 𝑇 0 𝑇 = 𝑒 −𝑟𝑇 𝐸 [max ( 𝐴 𝑇 − 𝐾 , 0)] (2)
Nilai aset perusahaan pada waktu ke- T diasumsikan mengikuti gerak brownian geometrik 𝐴 𝑇 = 𝐴 0 exp ��𝑟 − 𝜎 2 2 � 𝑇 + 𝜎𝑊 𝑇 � (3)
Diketahui 𝑊 𝑇 ~ 𝑁 (0, 𝑇 ) dan ln 𝐴 𝑇 ~ 𝑁 ( 𝜇 , 𝜎 2 ) ,  dengan 𝜇 = ln 𝐴 0 + �𝑟 − 𝜎 2 2 � 𝑇 dan variansi 𝜎 2 𝑇 . Fungsi densitas 𝐴 𝑇 pada persamaan (3) berdistribusi lognormal
𝑓 ( 𝐴 𝑇 ) = ⎩ ⎪ ⎨ ⎪ ⎧ 1 𝐴 𝑇 𝜎√𝑇√2𝜋 𝑒 − 1 2 � ln 𝐴𝑇−𝜇 𝜎√𝑇 � 2 𝐴 𝑇 > 0 0 𝐴 𝑇 ≤ 0 (4)
Nilai ekuitas dapat dijabarkan sebagai berikut :
𝐸 𝑇 0 𝑇 = 𝑒 −𝑟𝑇 𝐸 [max ( 𝐴 𝑇 − 𝐾 , 0)] = 𝑒 −𝑟𝑇 ∫ max( 𝐴 𝑇 − 𝐾 , 0) ∞ 0 𝑓 ( 𝐴 𝑇 ) 𝑑𝐴 𝑇 = 𝐴 0 [N( 𝑑 1 )] − 𝐾𝑒 −𝑟𝑇 [N( 𝑑 2 )] (5)
dengan 𝑑 1 = ln 𝐴0 𝐾 +�𝑟+ 𝜎2 2 �𝑇 𝜎√𝑇 dan 𝑑 2 = 𝑑 1 − 𝜎√𝑇 .
Selanjutnya  dilakukan perhitungan liabilitas dan peluang kebangkrutan pada saat jatuh tempo. Liabilitas merepresentasikan hutang perusahaan, yang dalam paper  ini diasumsikan perusahaan mempunyai hutang tunggal.
𝐿 𝑇 0 𝑇 = 𝐴 0 − 𝐸 𝑇 0 𝑇 = 𝐴 0 − ( 𝐴 0 [N( 𝑑 1 )] − 𝐾𝑒 −𝑟𝑇 [N( 𝑑 2 )]) = 𝐴 0 � N( −𝑑 1 ) � + 𝐾𝑒 −𝑟𝑇 [N( 𝑑 2 )] (6)
Kebangkrutan pada saat jatuh tempo dapat terjadi apabila nilai aset kurang dari kewajiban yang harus dipenuhi oleh perusahaan penerbit obligasi, sehingga peluang kebangkrutan pada saat jatuh tempo dapat dihitung dengan formula
𝑃 ( 𝜏 = 𝑇 )   = 𝑃 ( 𝐴 𝑇 < 𝐾 ) = P �𝐴 0 exp ��𝑟 − 𝜎 2 2 � 𝑇 + 𝜎𝑊 𝑇 � < 𝐾� .
Dengan  transformasi normal standard = 𝑊 𝑇 −0 �𝑇 , 𝑍 ~ 𝑁 (0,1) , diperoleh  formula  peluang kebangkrutan perusahaan
Pr �𝐴 𝑇 < 𝐾� = P �𝐴 0 exp ��𝑟 − 𝜎 2 2 � 𝑇 + 𝜎𝑧�𝑇 � < 𝐾� = P �𝑍 < ln 𝐾 𝐴0 −�𝑟− 𝜎2 2 �𝑇 𝜎�𝑇 � = N � ln 𝐾 𝐴0 −�𝑟− 𝜎2 2 �𝑇 𝜎�𝑇 � (7)

## 2.1. Polinomial Hermite
Polinomial Hermite pertama kali didefinisikan oleh Laplace pada tahun 1810 meskipun dalam bentuk yang hampir tidak dapat dikenali. Kemudian pada tahun 1859 Chebyshev mempelajari polinomial Hermite secara lebih rinci. Karya Chebyshev diabaikan dan diberi nama belakang Charles Hermite yang menuliskannya kembali dalam bentuk yang baru pada tahun 1865. Polinomial Hermite adalah orthognal pada interval ( −∞ , ∞ ) , yang dapat didefinisikan sebagai berikut :
𝐻𝑒 𝑛 ( 𝑧 ) 𝑓 ( 𝑧 ) = ( −𝐷 ) 𝑛 𝑓 ( 𝑧 ), 𝑛 = 0,1,2, … (8)
dengan 𝑓 ( 𝑧 ) = 1 √2𝜋 𝑒 − 1 2 𝑧 2 berdistribusi normal standard. Dari persamaan (8) diperoleh persamaan yang berhubungan yaitu
𝐻𝑒 𝑛 ( 𝑧 ) 𝑓 ( 𝑧 ) = ( − 1) 𝑛 𝑑 𝑛 𝑑𝑧 𝑛 𝑓 ( 𝑧 )
𝐻𝑒 𝑛 ( 𝑧 ) = ( − 1) 𝑛 𝑒 1 2 𝑧 2 𝑑 𝑛 𝑑𝑧 𝑛 𝑒 − 1 2 𝑧 2 (9)
Bentuk lain dari polinomial Hermite adalah
𝐻𝑒 𝑛 ( 𝑧 ) = ∑ ( −1 ) 𝑘 𝑛 [ 2𝑘 ] 2 𝑘 𝑘 ! 𝑧 𝑛−2𝑘 𝑛 2 𝑘=0 = 𝑧 𝑛 − 𝑛 [ 2 ] 2 × 1 ! 𝑧 𝑛−2 + 𝑛 [ 4 ] 2 2 × 2 ! 𝑧 𝑛−4 − 𝑛 [ 6 ] 2 3 × 1 ! 𝑧 𝑛−6 + ⋯ (10)
dengan 𝑛 [ 𝑘 ] = 𝑛 ! ( 𝑛−𝑘 )! menotasikan faktorial parsial.
Berdasarkan persamaan (10) diperoleh enam polinomial Hermite pertama yaitu
𝐻𝑒 0 ( 𝑧 ) = 1 𝐻𝑒 3 ( 𝑧 ) = 𝑧 3 − 3 𝑧 𝐻𝑒 1 ( 𝑧 ) = 𝑧 𝐻𝑒 4 ( 𝑧 ) = 𝑧 4 − 6 𝑧 2 + 3
𝐻𝑒 2 ( 𝑧 ) = 𝑧 2 − 1 𝐻𝑒 5 ( 𝑧 ) = 𝑧 5 − 10 𝑧 3 + 15 𝑧
Sifat orthogonal dari Polinomial Hermite yaitu
∫ 𝐻𝑒 𝑚 ( 𝑧 ) 𝐻𝑒 𝑛 ( 𝑧 ) 𝑛 ( 𝑧 ) ∞ −∞ 𝑑𝑧 = � 0  , 𝑚 ≠ 𝑛 𝑚 !  , 𝑚 = 𝑛 (11)

## 2.3 Ekspansi Gram-Charlier
Ekspansi Gram-Charlier pertama kali diperkenalkan oleh Jogen Pedesen Gram (27 Juni 1850-29 April 1916),  seorang aktuaris   dan  matematikawan dari Denmark dan astronom Swedia Carl Vilhelm Ludwig Charlier (1 April 1862– 5 November 1934). Studi terbaru tentang ekonomi  keuangan telah menggunakan ekpansi Gram-Charlier sebagai perangkat semi-nonparametrik untuk mengatasi asumsi normalitas yang tidak terpenuhi. Knight dan Satchell (1997) mengembangkan model valuasi harga opsi menggunakan ekspansi Gram-Charlier untuk aset dasar.
Suatu variabel random Z yang diyakini memiliki kemiripan dengan densitas normal dapat dinyatakan sebagai
𝑔 ( 𝑧 ) = 𝑝 𝑛 ( 𝑧 ) 𝑛 ( 𝑧 ) (12)
dengan 𝑛 ( 𝑧 ) adalah densitas distribusi normal standard, 𝑝 𝑛 ( 𝑧 ) dipilih sedemikian  hingga 𝑔 ( 𝑧 ) memiliki moment pertama yang sama dengan moment pertama Z, dan
𝑝 𝑛 ( 𝑧 ) = ∑ 𝑐 𝑛 𝐻𝑒 𝑛 ( 𝑧 ) ∞ 𝑛=0 (13)
Selanjutnya fungsi densitas variabel random Z dapat dinyatakan dengan
𝑔 ( 𝑧 ) = ∑ 𝑐 𝑛 𝐻𝑒 𝑛 ( 𝑧 ) 𝑛 ( 𝑧 ) ∞ 𝑛=0 (14)
Jika persamaan (14) kedua ruas dikalikan dengan 𝐻𝑒 𝑚 ( 𝑧 ) kemudian diintegralkan dari −∞ sampai ∞ maka diperoleh
∫ 𝑔 ( 𝑧 ) 𝐻𝑒 𝑚 ( 𝑧 ) 𝑑𝑧 ∞ −∞ = ∫ ∑ 𝑐 𝑛 𝐻𝑒 𝑛 ( 𝑧 ) 𝐻𝑒 𝑚 ( 𝑧 ) 𝑛 ( 𝑧 ) ∞ 𝑛=0 𝑑𝑧 ∞ −∞ = ∑ 𝑐 𝑛 ∞ 𝑛=0 ∫ 𝐻𝑒 𝑛 ( 𝑧 ) 𝐻𝑒 𝑚 ( 𝑧 ) 𝑛 ( 𝑧 ) 𝑑𝑧 ∞ −∞ = 𝑐 0 ∫ 𝐻𝑒 0 ( 𝑧 ) 𝐻𝑒 𝑚 ( 𝑧 ) 𝑛 ( 𝑧 ) 𝑑𝑧 ∞ −∞ + 𝑐 1 ∫ 𝐻𝑒 1 ( 𝑧 ) 𝐻𝑒 𝑚 ( 𝑧 ) 𝑛 ( 𝑧 ) 𝑑𝑧 ∞ −∞ + 𝑐 2 ∫ 𝐻𝑒 2 ( 𝑧 ) 𝐻𝑒 𝑚 ( 𝑧 ) 𝑛 ( 𝑧 ) 𝑑𝑧 ∞ −∞ + ⋯ + 𝑐 𝑚−1 ∫ 𝐻𝑒 𝑚−1 ( 𝑧 ) 𝐻𝑒 𝑚 ( 𝑧 ) 𝑛 ( 𝑧 ) 𝑑𝑧 ∞ −∞ + 𝑐 𝑚 ∫ 𝐻𝑒 𝑚 ( 𝑧 ) 𝐻𝑒 𝑚 ( 𝑧 ) 𝑛 ( 𝑧 ) 𝑑𝑧 ∞ −∞ + ⋯
Dengan menggunakan sifat orthogonal polinomial hermite pada saat 𝑚 = 𝑛 seperti pada persamaan (11), diperoleh
∫ 𝑔 ( 𝑧 ) 𝐻𝑒 𝑚 ( 𝑧 ) 𝑑𝑧 ∞ −∞ = 𝑐 𝑚 𝑚 ! dan 𝑐 𝑚 = 1 𝑚 ! ∫ 𝑔 ( 𝑧 ) ∞ −∞ 𝐻 𝑛 ( 𝑧 ) 𝑑𝑧 ,
Selanjutnya diperoleh enam nilai c m pertama sebagai berikut :
𝑐 0 = 1 0 ! ∫ 𝑔 ( 𝑧 ) ∞ −∞ 𝑑𝑧 = 1
𝑐 1 = 1 1 ! ∫ 𝑔 ( 𝑧 ) 𝑧 ∞ −∞ 𝑑𝑧 = 𝜇 1 𝑐 2 = 1 2 ! ∫ 𝑔 ( 𝑧 )( 𝑧 2 − 1) ∞ −∞ 𝑑𝑧 = 1 2 ! 𝜇 2 − 1 2 ! = 1 2 ( 𝜇 2 − 1) 𝑐 3 = 1 3 ! ∫ 𝑔 ( 𝑧 )( 𝑧 3 − 3 𝑧 ) ∞ −∞ 𝑑𝑧 = 1 6 𝜇 3 − 1 2 𝜇 1 𝑐 4 = 1 4 ! ∫ 𝑔 ( 𝑧 )( 𝑧 4 − 6 𝑧 2 + 3) ∞ −∞ 𝑑𝑧 = 1 24 ( 𝜇 4 − 6 𝜇 2 + 3) 𝑐 5 = 1 5 ! ∫ 𝑔 ( 𝑧 )( 𝑧 5 − 10 𝑧 3 + 15 𝑧 ) ∞ −∞ 𝑑𝑧 = 1 120 ( 𝜇 5 − 10 𝜇 3 + 15 𝜇 1 )
Diperoleh ekspansi Gram-Charlier yang mendefinisikan aproksimasi dari densitas variabel Z sebagai berikut
𝑔 ( 𝑧 ) = ∑ 𝑐 𝑛 𝐻𝑒 𝑛 ( 𝑧 ) 𝑛 ( 𝑧 ) ∞ 𝑛=0 = 𝑐 0 𝐻 0 ( 𝑧 ) 𝑛 ( 𝑧 ) + 𝑐 1 𝐻 1 ( 𝑧 ) 𝑛 ( 𝑧 ) + 𝑐 2 𝐻 2 ( 𝑧 ) 𝑛 ( 𝑧 ) + 𝑐 3 𝐻 3 ( 𝑧 ) 𝑛 ( 𝑧 ) + 𝑐 4 𝐻 4 ( 𝑧 ) 𝑛 ( 𝑧 ) + ⋯ = 𝑛 ( 𝑧 ){ 𝑐 0 𝐻 0 ( 𝑧 ) + 𝑐 1 𝐻 1 ( 𝑧 ) + 𝑐 2 𝐻 2 ( 𝑧 ) + 𝑐 3 𝐻 3 ( 𝑧 ) + 𝑐 4 𝐻 4 ( 𝑧 ) + ⋯ }
Aproksimasi densitas normal standard sampai  momen ke-empat adalah
𝑔 ( 𝑧 ) = 𝑛 ( 𝑧 ) � 1 + 𝜇 1 𝑧 + 1 2 ( 𝜇 2 − 1)( 𝑧 2 − 1) + � 1 6 𝜇 3 − 1 2 𝜇 1 � ( 𝑧 3 − 3 𝑧 ) + � 1 24 ( 𝜇 4 − 6 𝜇 2 + 3)( 𝑧 4 − 6 𝑧 2 + 3) �� (15)

## 2.3  Valuasi Obligasi dengan Model Gram-Charlier
Return aset sebuah perusahaan tidak selalu berdistribusi normal,  sehingga penggunaan persamaan (5) dan (6) untuk menentukan nilai ekuitas  perusahaan guna mengevaluasi obligasi kurang tepat. Oleh karena itu, diperlukan densitas baru, yang lebih cocok mendekati distribusi data seperti ekspansi Gram-Charlier 𝑔 ( 𝑧 ) pada persamaan (15) yang memuat  informasi skewness dan kurtosis .  Aset perusahaan diasumsikan mengikuti gerak geometric  brownian  seperti persamaan (3).  Selanjutnya diperoleh ln A T = ln A 0 + (r- 0.5σ 2 )T+ σW T , dengan 𝑊 𝑇 ~ 𝐺𝐶 (0, 𝑇 , 𝜇 3 , 𝜇 4 ) .  Karena ln 𝐴 𝑇 linier dengan 𝑊 𝑇 , diperoleh ln 𝐴 𝑇 ~ 𝐺𝐶 (0, 𝑇 , 𝜇 3 , 𝜇 4 ) .  Untuk menyederhanakan perhitungan,  dilakukan transformasi normal standard
𝑍 = ln 𝐴 𝑇 −𝜇 𝜎√𝑇 sehingga 𝑍 ~ 𝐺𝐶 (0,1, 𝜇 3 , 𝜇 4 )
Selanjutnya  dihitung nilai ekuitas dan liabilitas perusahaan untuk  melihat apakah perusahaan mampu membayar hutang pada saat jatuh tempo atau sebaliknya, gagal bayar.
𝐸 𝑇 0 , 𝐺𝐶 𝑇 : present value nilai ekuitas waktu 𝑇 0 ekspansi GC, batas bawah integral menjadi
ln 𝐴 𝑇 −�ln 𝐴 0 +�𝑟− 𝜎2 2 �𝑇� 𝜎√𝑇 = ln 𝐴 𝑇 −ln 𝐴 0 −�𝑟− 𝜎2 2 �𝑇 𝜎√𝑇 = ln 𝐴𝑇 𝐴0 −�𝑟− 𝜎2 2 �𝑇 𝜎√𝑇 = −𝑑 2 𝐸 𝑇 0 , 𝐺𝐶 𝑇 = 𝑒 −𝑟𝑇 ∫ ( 𝐴 𝑇 − 𝐾 ) ∞ −𝑑 2 𝑔 ( 𝑧 ) 𝑑𝑧 (16)
Jika didefinisikan 𝑚 = �𝑟 − 𝜎 2 2 � maka  diperoleh 𝐴 𝑇 = 𝐴 0 exp{ 𝑚𝑇 + 𝜎𝑊 𝑇 } .  Dengan tranformasi 𝑍 = 𝑊 𝑇 −0 √𝑇 , diperoleh 𝑍 ~ 𝐺𝐶 (0,1, 𝜇 3 , 𝜇 4 ) .  Nilai aset pada saat T adalah 𝐴 𝑇 = 𝐴 0 𝑒 𝑚𝑇+𝑧𝜎√𝑇 , selanjutnya diperoleh
𝐸 𝑇 0 , 𝐺𝐶 𝑇 = 𝑒 −𝑟𝑇 ∫ ( 𝐴 𝑇 − 𝐾 ) ∞ −𝑑 2 𝑔 ( 𝑧 ) 𝑑𝑧 = 𝑒 −𝑟𝑇 ∫ �𝐴 0 𝑒 𝑚𝑇+𝑧𝜎√𝑇 − 𝐾� ∞ −𝑑 2 𝑛 ( 𝑧 ) � 1 + 𝜇 3 3 ! ( 𝑧 3 − 3 𝑧 ) + 𝜇 4 −3 4 ! ( 𝑧 4 − 6 𝑧 2 + 3) � 𝑑𝑧 = 𝐸 𝑇 0 𝑇 1 + 𝑒 −𝑟𝑇 ∫ �𝐴 0 𝑒 𝑚𝑇+𝑧𝜎√𝑇 − 𝐾� ∞ −𝑑 2 𝑛 ( 𝑧 ) � 𝜇 3 3 ! ( 𝑧 3 − 3 𝑧 ) + 𝜇 4 −3 4 ! ( 𝑧 4 − 6 𝑧 2 + 3) � 𝑑𝑧 = 𝐸 𝑇 0 𝑇 1 + 𝜇 3 3 ! 𝑒 −𝑟𝑇 ∫ �𝐴 0 𝑒 𝑚𝑇+𝑧𝜎√𝑇 − 𝐾� ∞ −𝑑 2 𝐻𝑒 3 ( 𝑧 ) 𝑛 ( 𝑧 ) 𝑑𝑧 + 𝜇 4 −3 4 ! 𝑒 −𝑟𝑇 ∫ �𝐴 0 𝑒 𝑚𝑇+𝑧𝜎√𝑇 − 𝐾� ∞ −𝑑 2 𝐻𝑒 4 ( 𝑧 ) 𝑛 ( 𝑧 ) 𝑑𝑧 (17)
Untuk mempermudah penyelesaian, maka perhitungan dipecah menjadi 2 bagian
𝐼 1 = 𝑒 −𝑟𝑇 ∫ �𝐴 0 𝑒 𝑚𝑇+𝑧𝜎√𝑇 − 𝐾� ∞ −𝑑 2 𝐻𝑒 3 ( 𝑧 ) 𝑛 ( 𝑧 ) 𝑑𝑧
dan
𝐼 2 = 𝑒 −𝑟𝑇 ∫ �𝐴 0 𝑒 𝑚𝑇+𝑧𝜎√𝑇 − 𝐾� ∞ −𝑑 2 𝐻𝑒 4 ( 𝑧 ) 𝑛 ( 𝑧 ) 𝑑𝑧
Abdurakhman (Valuasi Obligasi)
Langkah pertama adalah mencari nilai 𝐼 1 terlebih dahulu
𝐼 1 = 𝑒 −𝑟𝑇 ∫ �𝐴 0 𝑒 𝑚𝑇+𝑧𝜎√𝑇 − 𝐾� ∞ −𝑑 2 𝐻𝑒 3 ( 𝑧 ) 𝑛 ( 𝑧 ) 𝑑𝑧 = 𝑒 −𝑟𝑇 ∫ �𝐴 0 𝑒 𝑚𝑇+𝑧𝜎√𝑇 − 𝐾� ∞ −𝑑 2 ( − 1) 3 𝐷 3 𝑛 ( 𝑧 ) 𝑑𝑧 = 𝑒 −𝑟𝑇 ∫ �𝐴 0 𝑒 𝑚𝑇+𝑧𝜎√𝑇 − 𝐾� ∞ −𝑑 2 ( − 1) ( − 1) 2 𝑑 3 𝑑𝑧 3 𝑛 ( 𝑧 ) 𝑑𝑧 = −𝑒 −𝑟𝑇 ∫ �𝐴 0 𝑒 𝑚𝑇+𝑧𝜎√𝑇 − 𝐾� ∞ −𝑑 2 𝑑 𝑑𝑧 � 𝑑 2 𝑑𝑧 2 � 𝑛 ( 𝑧 ) 𝑑𝑧
Selanjutnya digunakan integral parsial 𝑢 = 𝐴 0 𝑒 𝑚𝑇+𝑧𝜎√𝑇 − 𝐾 , 𝑑𝑉 = 𝑑 𝑑𝑧 � 𝑑 2 𝑑𝑧 2 � 𝑛 ( 𝑧 ) 𝑑𝑧 , diperoleh
𝐼 1 = −𝑒 −𝑟𝑇 ��𝐴 0 𝑒 𝑚𝑇+𝑧𝜎√𝑇 − 𝐾� �� 𝑑 2 𝑑𝑧 2 � 𝑛 ( 𝑧 ) �� ∞ −𝑑 2 � −𝑒 −𝑟𝑇 �− ∫ � 𝑑 2 𝑑𝑧 2 � 𝑓 ( 𝑧 ) ∞ −𝑑 2 𝜎√𝑇𝐴 0 𝑒 𝑚𝑇+𝑧𝜎√𝑇 𝑑𝑧 � = −𝑒 −𝑟𝑇 � (0 − 0) − 𝜎√𝑇 ∫ 𝐴 0 𝑒 𝑚𝑇+𝑧𝜎√𝑇 � 𝑑 2 𝑑𝑧 2 � 𝑛 ( 𝑧 ) ∞ −𝑑 2 𝑑𝑧� = 𝜎√𝑇𝑒 −𝑟𝑇 ∫ 𝐴 0 𝑒 𝑚𝑇+𝑧𝜎√𝑇 � 𝑑 2 𝑑𝑧 2 � 𝑛 ( 𝑧 ) ∞ −𝑑 2 𝑑𝑧 (18)
Untuk menghitung integral di atas, digunakan integral parsial 𝑢 = 𝐴 0 𝑒 𝑚𝑇+𝑧𝜎√𝑇 , 𝑑𝑉 = 𝑑 2 𝑑𝑧 2 𝑛 ( 𝑧 ) 𝑑𝑧 , diperoleh,
𝐼 1 = 𝜎√𝑇𝑒 −𝑟𝑇 ���𝐴 0 𝑒 𝑚𝑇+𝑧𝜎√𝑇 � � 𝑑 𝑑𝑧 𝑛 ( 𝑧 ) � | −𝑑2 ∞ � − ∫ 𝑑 𝑑𝑧 𝑛 ( 𝑧 ) ∞ −𝑑 2 𝜎√𝑇𝐴 0 𝑒 𝑚𝑇+𝑧𝜎√𝑇 𝑑𝑧� = 𝜎√𝑇𝑒 −𝑟𝑇 ���𝐴 0 𝑒 𝑚𝑇+𝑧𝜎√𝑇 �� ( −𝑧 ) 𝑛 ( 𝑧 ) � | −𝑑2 ∞ � − ∫ 𝑑 𝑑𝑧 𝑛 ( 𝑧 ) ∞ −𝑑 2 𝜎√𝑇𝐴 0 𝑒 𝑚𝑇+𝑧𝜎√𝑇 𝑑𝑧� = 𝜎√𝑇𝑒 −𝑟𝑇 � 0 − 𝐴 0 𝑒 𝑚𝑇−𝑑 2 𝜎√𝑇 ( − ( −𝑑 2 ) 𝑛 ( −𝑑 2 )) �
−𝜎√𝑇𝑒 −𝑟𝑇 �𝜎√𝑇 ∫ 𝐴 0 𝑒 𝑚𝑇+𝑧𝜎√𝑇 𝑑 𝑑𝑧 𝑛 ( 𝑧 ) ∞ −𝑑 2 𝑑𝑧�
Perlu dicatat bahwa 𝐴 0 𝑒 𝑚𝑇−𝑑 2 𝜎√𝑇 = 𝐾 dan 𝐾𝑒 −𝑟𝑇 𝑛 ( −𝑑 2 ) = 𝐴 0 𝑓 ( 𝑑 1 ) 𝐼 1 = 𝜎√𝑇𝑒 −𝑟𝑇 � (0 − 𝐾 ( − ( −𝑑 2 ) 𝑛 ( −𝑑 2 ))) − 𝜎√𝑇 ∫ 𝐴 0 𝑒 𝑚𝑇+𝑧𝜎√𝑇 𝑑 𝑑𝑧 𝑛 ( 𝑧 ) ∞ −𝑑 2 𝑑𝑧� = −𝜎√𝑇𝐴 0 𝑛 ( 𝑑 1 )( 𝑑 2 ) − 𝜎 2 𝑇𝑒 −𝑟𝑇 ∫ 𝐴 0 𝑒 𝑚𝑇+𝑧𝜎√𝑇 𝑑 𝑑𝑧 𝑛 ( 𝑧 ) ∞ −𝑑 2 𝑑𝑧
Untuk menghitung integral pada suku kedua persamaan di atas, kembali digunakan integral parsial dengan 𝑢 = 𝐴 0 𝑒 𝑚𝑇+𝑧𝜎√𝑇 dan 𝑑𝑉 = 𝑑 𝑑𝑧 𝑛 ( 𝑧 ) 𝑑𝑧 , diperoleh,
𝐼 1 = −𝜎√𝑇𝐴 0 𝑛 ( 𝑑 1 )( 𝑑 2 ) − 𝜎 2 𝑇𝑒 −𝑟𝑇 � ��𝐴 0 𝑒 𝑚𝑇+𝑧𝜎√𝑇 ��𝑛 ( 𝑧 ) � | −𝑑2 ∞ � − ∫ 𝑛 ( 𝑧 ) ∞ −𝑑 2 𝜎√𝑇𝐴 0 𝑒 𝑚𝑇+𝑧𝜎√𝑇 𝑑𝑧 �
= −𝜎√𝑇𝐴 0 𝑛 ( 𝑑 1 )( 𝑑 1 − 𝜎√𝑇 ) − 𝜎 2 𝑇𝑒 −𝑟𝑇 � � 0 − �𝐴 0 𝑒 𝑚𝑇−𝑑 2 𝜎√𝑇 ��𝑛 ( −𝑑 2 ) � � −𝜎√𝑇𝐴 0 𝑒 𝑚𝑇 ∫ 𝑒 𝑧𝜎√𝑇 𝑛 ( 𝑧 ) ∞ −𝑑 2 𝑑𝑧 � = −𝜎√𝑇𝐴 0 𝑛 ( 𝑑 1 )( 𝑑 1 − 𝜎√𝑇 ) + 𝜎 2 𝑇𝑒 −𝑟𝑇 𝐾𝑛 ( −𝑑 2 ) + �𝜎√𝑇� 3 𝑒 𝑚𝑇−𝑟𝑇 ∫ 𝑒 𝑧𝜎√𝑇 𝑛 ( 𝑧 ) ∞ −𝑑 2 𝑑𝑧 = −𝜎√𝑇𝐴 0 𝑛 ( 𝑑 1 )( 𝑑 1 − 𝜎√𝑇 ) + 𝜎 2 𝑇𝐴 0 𝑛 ( 𝑑 1 ) + �𝜎√𝑇� 3 𝐴 0 𝑒 𝑚𝑇−𝑟𝑇 ∫ 𝑒 𝑧𝜎√𝑇 𝑛 ( 𝑧 ) ∞ −𝑑 2 𝑑𝑧 = 𝜎√𝑇𝐴 0 𝑛 ( 𝑑 1 ) �𝜎√𝑇 − �𝑑 1 − 𝜎√𝑇�� + �𝜎√𝑇� 3 𝐴 0 𝑒 ( 𝑚−𝑟 ) 𝑇 ∫ 𝑒 𝑧𝜎√𝑇 𝑛 ( 𝑧 ) ∞ −𝑑 2 𝑑𝑧
Untuk menyederhanakan persamaan di atas, dihitung nilai integral pada suku kedua dengan substitusi 𝑦 = 𝑧 − 𝜎√𝑇 , diperoleh
∫ 𝑒 𝑧𝜎√𝑇 𝑛 ( 𝑧 ) ∞ −𝑑 2 𝑑𝑧 = ∫ 𝑒 𝑧𝜎√𝑇 1 √2𝜋 𝑒 − 1 2 𝑧 2 ∞ −𝑑 2 𝑑𝑧 = 𝑒 1 2 𝜎 2 𝑇 ∫ 1 √2𝜋 𝑒 − 1 2 �𝑧−𝜎√𝑇� 2 ∞ −𝑑 2 𝑑𝑧 = 𝑒 1 2 𝜎 2 𝑇 ∫ 𝑛 ( 𝑦 ) ∞ −𝑑 1 𝑑𝑦 = 𝑒 1 2 𝜎 2 𝑇 [1 − 𝑁 ( −𝑑 1 )] = 𝑒 1 2 𝜎 2 𝑇 𝑁 ( 𝑑 1 )
Sehingga didapatkan,
𝐼 1 = 𝜎√𝑇𝐴 0 𝑛 ( 𝑑 1 ) �𝜎√𝑇 − �𝑑 1 − 𝜎√𝑇�� + �𝜎√𝑇� 3 𝐴 0 𝑒 ( 𝑚−𝑟 ) 𝑇 𝑒 1 2 𝜎 2 𝑇 𝑁 ( 𝑑 1 )
= 𝜎√𝑇𝐴 0 𝑛 ( 𝑑 1 ) �𝜎√𝑇 − �𝑑 1 − 𝜎√𝑇�� + �𝜎√𝑇� 3 𝐴 0 𝑒 �𝑟− 𝜎2 2 −𝑟�𝑇+ 1 2 𝜎 2 𝑇 𝑁 ( 𝑑 1 ) = 𝜎√𝑇𝐴 0 �𝑛 ( 𝑑 1 ) � 2 𝜎√𝑇 − 𝑑 1 � + 𝜎 2 𝑇𝑁 ( 𝑑 1 ) � (19)
Setelah mendapat nilai I 1 , dicari nilai 𝐼 2
𝐼 2 = 𝑒 −𝑟𝑇 ∫ �𝐴 0 𝑒 𝑚𝑇+𝑧𝜎√𝑇 − 𝐾� ∞ −𝑑 2 𝐻𝑒 4 ( 𝑧 ) 𝑛 ( 𝑧 ) 𝑑𝑧 = 𝑒 −𝑟𝑇 ∫ �𝐴 0 𝑒 𝑚𝑇+𝑧𝜎√𝑇 − 𝐾� ∞ −𝑑 2 𝑑 𝑑𝑧 � 𝑑 3 𝑑𝑧 3 � 𝑛 ( 𝑧 ) 𝑑𝑧
Dengan cara yang relatif  sama seperti mencari nilai I 1 , menggunakan integral parsial, diperoleh
𝐼 2 = 𝜎√𝑇𝐴 0 ��𝑛 ( 𝑑 1 ) �𝑑 1 2 − 3 𝜎√𝑇�𝑑 1 − 𝜎√𝑇� − 1 �� + �𝜎√𝑇� 3 𝑁 ( 𝑑 1 ) � (20)
Abdurakhman (Valuasi Obligasi)
Sehingga diperoleh hasil sebagai berikut
𝐸 𝑇 0 , 𝐺𝐶 𝑇 = 𝐸 𝑇 0 𝑇 + 𝜇 3 3 ! 𝐼 1 + 𝜇 4 −3 4 ! 𝐼 2 (21)
Dengan I 1 dan I 2 mengikuti persamaan (19) dan (20). Selanjutnya dicari formula liabilitas 𝐿 𝑇 0 𝑇 sebagai present value nilai Liabilitas perusahaan waktu 𝑇 pada saat 𝑇 0 pendekatan Gram-Charlier adalah sebagai berikut
𝐿 𝑇 0 , 𝐺𝐶 𝑇 = 𝐴 0 − 𝐸 𝑇 0 , 𝐺𝐶 𝑇 = 𝐴 0 − � ( 𝐴 0 [N( 𝑑 1 )] − 𝐾𝑒 −𝑟𝑇 [N( 𝑑 2 )]) + 𝜇 3 3 ! 𝐼 1 + 𝜇 4 −3 4 ! 𝐼 2 � = 𝐴 0 � N( −𝑑 1 ) � + 𝐾𝑒 −𝑟𝑇 [N( 𝑑 2 )] − 𝜇 3 3 ! 𝐼 1 − 𝜇 4 −3 4 ! 𝐼 2 (22)
Setelah diperoleh formula liabilitas perusahaan, selanjutnya dicari formula probabilitas kebangkrutan pada saat jatuh tempo ( 𝑇 1 ) . Didefinisikan 𝜏 = waktu kebangkrutan
𝜏 = � ∞ 𝐴 𝑇 ≥ 𝐾 𝑇 𝐴 𝑇 < 𝐾
Probabilitas kebangkrutan pada saat  T  dengan transformasi normal standard 𝑍 = 𝑊 𝑇 −0 �𝑇 sehingga 𝑍 ~ 𝐺𝐶 (0,1, 𝜇 3 , 𝜇 4 ) adalah
P �𝐴 𝑇 < 𝐾� = P �𝐴 0 exp ��𝑟 − 𝜎 2 2 � 𝑇 + 𝜎𝑊 𝑇 � < 𝐾� = P �𝐴 0 exp ��𝑟 − 𝜎 2 2 � 𝑇 + 𝜎𝑍�𝑇 � < 𝐾� = P �𝑍 < ln 𝐾 𝐴0 −�𝑟− 𝜎2 2 �𝑇 𝜎�𝑇 � = ∫ 𝑔 ( 𝑧 ) 𝑑𝑧 ln 𝐾 𝐴0−�𝑟− 𝜎2 2 �𝑇 𝜎√𝑇 −∞ = ∫ 𝑛 ( 𝑧 ) � 1 + 𝜇 3 3 ! ( 𝑧 3 − 3 𝑧 ) + 𝜇 4 −3 4 ! ( 𝑧 4 − 6 𝑧 2 + 3) � 𝑑𝑧 −𝑑 2 −∞ (22)

## 3. METODE PENELITIAN

## 3.1. Data dan Sumber Data
Data yang digunakan pada penelitian ini adalah obligasi yang diterbitkan oleh PT. Bank Tabungan Pensiunan Nasional Tbk pada tahun 2017. Obligasi tersebut memperoleh hasil pemeringkatan atas surat hutang jangka panjang dari PT Pemeringkat Efek Indonesia (PEFINDO) dengan peringkat ( rating ) AAA.  Obligasi  PT  Bank Tabungan Pensiunan Nasional Tbk dengan nama “Obligasi III BTPN Tahap II Tahun 2017 Seri B” diterbitkan tanggal  17 Oktober 2017. Data lengkap obligasi diperoleh dari website www.ibpa.co.id . Sedangkan data aset perusahaan  diperoleh dari laporan keuangan PT Bank Tabungan Pensiunan Nasional periode Oktober 2012 – September 2017 dari website www.idx.co.id .

## 3.2 Tahapan Analisis Data
Tahapan analisis untuk memprediksi harga saham dan penghitungan VaR PT. BTPN adalah sebagai berikut :
1. Mengumpulkan data harga obligasi PT. BTPN
2. Mengumpulkan data nilai aset perusahaan PT. BTPN .
3. Menghitung nilai return saham dengan metode geometric return .
4. Menghitung skewness dan kurtosis data return
5. Melakukan uji normalitas data return saham
6. Melakukan pemodelan dan analisis valuasi obligasi.
7. Menghitung peluang gagal bayar perusahaan
8. Melakukan simulasi model valuasi obligasi metode Gram-Charlier

## 4. HASIL DAN PEMBAHASAN
Studi kasus yang digunakan dalam makalah ini adalah obligasi yang diterbitkan oleh PT. Bank Tabungan Pensiunan Nasional Tbk. Obligasi tersebut memperoleh hasil pemeringkatan atas surat  hutang jangka panjang dari PT Pemeringkat Efek Indonesia (PEFINDO) dengan peringkat (rating) AAA.  Obligasi  PT  Bank Tabungan Pensiunan Nasional Tbk dengan nama “Obligasi III BTPN Tahap II Tahun 2017 Seri B” diterbitkan tanggal  17 Oktober 2017 dengan hutang  pokok ( face value ) sebesar Rp. 900.000.000.000,00 (Sembilan Ratus Milyar Rupiah) berjangka waktu 3 (tiga) tahun dengan tingkat bunga tetap sebesar 7.5% per tahun yang dibayarkan pada saat jatuh tempo.
Untuk mengetahui apakah return aset mengikuti distribusi normal atau tidak, dilakukan uji normalitas Jarque-Bera dan  nilai p-value dari uji Jarque-Bera sebesar 0.03892.    Dapat dikatakan  data return aset tidak berdistribusi normal.  Data aset yang digunakan adalah aset perusahaan dari periode Oktober 2012-September 2017. Selanjutnya dihitung moment-moment data seperti tercantum pada Tabel 2.
Tabel 2 Statistik Deskriptif Data Ln Return Aset Data PT BTPN Rata-rata 0.007046655 Variansi 0.0005669758 Standar Deviasi 0.02381125 Harga Terendah -0.03163991 Harga Tertinggi 0.07507912 Volatilitas 0.0824846 Skewness 0.7675862 Kurtosis 3.533101
Dari Tabel 2 diperoleh nilai skewness 0.767 dan nilai kurtosis 3.533. Kedua nilai tersebut dekat dengan nilai skewness dan kurtosis distribusi normal. Suku bunga bebas risiko yang digunakan adalah BI 7-Day Repo Rate. Rata-rata suku bunga bank bebas risiko dari Oktober 2016 hingga September 2017 adalah 4.681818%.  Dengan menggunakan
persamaan (3) diperoleh A 0 = Rp. 85.932.429.000.000,00 . Berdasarkan data Indeks obligasi pemerintah Indonesia pada tahun 2017 (sesuai dengan tahun penerbitan obligasi) , diketahui bahwa tingkat yield obligasi dengan waktu jatuh tempo <5 tahun adalah  6.29% pertahun. Harga wajar obligasi dengan tingkat yield 6.29% adalah sebesar Rp.  912.908.452.414,00. Selanjutnya dihitung nilai struktur modal perusahaan yang terdiri dari Ekuitas, Liabilitas dan Peluang kebangkrutan
Tabel 3 Valuasi Obligasi Obligasi III BTPN Tahap II Tahun 2017 Seri B
Nilai Model Black-Scholes Model Gram-Charlier Ekspektasi Ekuitas 84.880360.000.000. 84.429.920.000.000 Ekspektasi Liabilitas 1.052.073.000.000 1.502.512..000.000 Peluang Gagal Bayar 2.02069 × 10 -11 2.932583 × 10 -09
Berdasarkan  Tabel  3,  terlihat bahwa peluang kebangkrutan untuk kedua metode sangat  kecil. Hal ini menunjukkan bahwa PT BTPN Tbk mempunyai peluang yang besar untuk dapat membayar utangnya pada saat jatuh tempo. Nilai harapan ekuitas pada model dengan asumsi return aset berdistribusi normal (model Black-Scholes ) lebih tinggi dari nilai harapan ekuitas pada model ekspansi Gram-Charlier . Hal ini berkaitan dengan nilai dari harapan liabilitas (hutang) dari kedua model tersebut. Nilai harapan hutang model Gram-Charlier lebih tinggi dari nilai harapan hutang model Black-Scholes . Sebagai akibatnya nilai peluang default model Gram-Charlier lebih tinggi dibandingkan dengan peluang default model Black-Scholes . Selain itu apabila dibandingkan dengan kewajiban yang harus diayar oleh penerbit obligasi pada saat jatuh tempo ( 𝐾 ) nilai harapan hutang model Gram-Charlier juga lebih besar. Sedangkan nilai harapan hutang model Black- Scholes kurang dari nilai 𝐾 . Hal tersebut menggambarkan bahwa model Gram-Charlier lebih tepat untuk memodelkan struktur modal perusahaan.
Selanjutnya disimulasikan  peluang gagal bayar  obligasi dengan nilai face value bervariasi namun pada tingkat kupon dan waktu jatuh tempo yang sama, diperoleh hasil
Tabel 4 Simulasi Valuasi Obligasi : Peluang Gagal Bayar
Face Value (Milyard)
Peluang Default Model Black-Scholes Model Gram-Charlier Rp 1.000,00 6.204707 × 10 -11 8.385649 × 10 -09 Rp 10.000,00 0.003099745 0.001710785 Rp 100.000,00 0.3543372 0.643454 Rp 1.000.000,00 9.268163 × 10 -05 0.9939968
Berdasarkan simulasi Tabel 4, terlihat bahwa semakin tinggi nilai face value maka semakin tinggi probabilitas gagal bayar perusahaan pada saat jatuh tempo. Akan tetapi pada saat nilai face value sangat besar bahkan melebihi nilai aset pada saat waktu nol ( 𝐴 0 ), peluang gagal bayar model Black-Scholes justru mengecil, hal ini membuktikan bahwa model Black-Scholes kurang konsisten untuk kasus di atas. Sementara itu, peluang gagal bayar model Gram-Charlier tetap kecil, 9.268163 × 10 -05 sesuai kenyataan perusahaan mampu membayar hutangnya dengan baik.   Hal ini menunjukkan model Gram-Charlier lebih konsisten dalam memodelkan valuasi obligasi dibandingkan dengan model Black-Scholes .

## 5. KESIMPULAN
Berdasarkan pembahasan dan studi kasus, dapat diperoleh kesimpulan berikut :
1. Perhitungan valuasi obligasi dengan ekspansi Gram-Charlier diperoleh dengan pendekatan polinomial hermite. Valuasi obligasi yang diperoleh adalah valuasi obligasi model Black-Scholes ditambah dengan persamaan yang berhubungan dengan  moment ketiga dan keempat, yaitu skewness dan kurtosis.
2. Model Gram-Charlier lebih tepat dalam memodelkan probability default dibandingkan dengan  model Black-Scholes karena hasilnya lebih konsisten untuk berbagai nilai hutang pokok obligasi (Face Value).
3. Hasil perhitungan dalam studi kasus meunjukkan bahwa peluang default PT BTPN Tbk sangat kecil. Sehingga cukup aman bagi investor untuk menginvestasikan dananya pada obligasi tersebut.  Dengan peluang kebangkrutan sebesar 2.932583 × 10 -09 maka harga wajar yang harus dibayarkan oleh pemegang obligasi pada saat penandatanganan kontrak adalah sebesar Rp. 912.908.452.414,00. Kemudian PT BTPN Tbk sebagai penerbit obligasi berkewajiban membayarkan sebesar Rp. 900.000.000.000,00 ditambah Rp. 202.500.000.000,00 sebagai kupon kepada pemegang obligasi pada saat jatuh tempo.

## DAFTAR PUSTAKA
Abdurakhman, 2017, Portfolio Analysis of Ref Method Based on Mean Variance Optimization of Multi-Objective Model, Far East Journal of Mathematical Sciences (Indexed by SCOPUS) , Vol. 101(6), 1363 – 1375.
Berberan-Santos, M.N. 2007. Expressing A Probability Density Function in Terms of Another PDF: A Generalized Gram-Charlier Expansion. Journal of Mathematical Chemistry , Vol. 42(3), 585 – 594.
Black, F. dan Scholes, M. 1973. The Pricing of Options and Corporate Liabilities. Journal of Political Economy , 81, 637–654.
Chateau, J. dan Dufresne, D. 2017. Gram-Charlier Processes and Applications to Option Pricing. Journal of Probability and Statistics . 2017. 1 – 19.
Jondeau, E. dan Rockinger, M. 2001. Gram-Charlier Densities, Journal of Economic Dynamics & Control , 25, 1457 – 1483. Kendall, M., Stuart, A. dan Ord, J. 1994. Kendall’s Advanced Theory of Statistics , Vol. 1: Distribution theory. 6 th edition. John Wiley & Sons..
Knight, J. dan Satchell, S. 1997. Pricing Derivatives Written on Assets with Arbitrary Skewness and Kurtosis. Working Paper The Institute for Financial Research , IFR44. Birkbeck College, University of London..
Maruddani, D.A.I., Rosadi, D., Gunardi, dan Abdurakhman. 2011a.  Pengukuran Risiko Kredit Obligasi dengan Model Merton. Jurnal  Ekonomi, Manajemen, dan Akuntansi (JEMA). Fakultas Ekonomi, UMB Yogyakarta, 1(1), 123–141. Maruddani, D.A.I., Rosadi, D., Gunardi, dan Abdurakhman. 2011b. Credit Spreads Obligasi Korporasi dengan Model Merton. Prosiding Seminar Nasional Statistika Universitas Diponegoro 2011 , C-18.
Abdurakhman (Valuasi Obligasi)
Maruddani, D.A.I., Rosadi, D., Gunardi, dan Abdurakhman, 2015, Valuation of One Period Coupon Bond Valuation Based on Default Time and Empirical Study in Indonesian Bond Data, Far East Journal of Mathematical Sciences  (Indexed by SCOPUS) , 98(1), 57–73 .
Merton, R. 1974. On The Pricing Of Corporate Debt: The Risk Structure Of Interest Rate. Journal of Finance , 29, 449–470.