Dikirim: 3 Mei 2018; Diterima: 17 September 2018; Dipublikasikan: 29 September 2018 Cara  sitasi:  Sulaiman , H.,  Firmasari,  S.,  dan  Wahyuni,  I.  2018.  Sifat-Sifat  Kekonvergenan  pada  Barisan  Fungsi  Real. Jurnal Teorema: Teori dan Riset Matematika . Vol 3 No 2, Hal 157-164, September 2018.

## SIFAT-SIFAT KEKONVERGENAN PADA BARISAN FUNGSI REAL
Herri Sulaiman 1 , Siska Firmasari 2 , Ika Wahyuni 3 1,2,3 Universitas Swadaya Gunung Jati Cirebon email: hs_msc@yahoo.com

## ABSTRAK
Artikel  ini  membahas  tentang  analisis  sifat-sifat  kekonvergenan  pada  barisan  fungsi  real.  Adapun tujuan  dari  artikel  ini  yaitu  mengidentifikasi  sifat-sifat  kekonvergenan  pada  barisan  fungsi  real. Kemudian menganalisis sifat-sifat dari barisan fungsi real yang konvergen. Pada artikel ini, ada dua jenis kekonvergenan pada barisan fungsi real yaitu konvergen titik demi titik (pointwise) dan konvergen seragam.  Terkait  dengan  jenis  kekonvergenan  dapat  diturunkan  beberapa  sifat  mengenai kekontinuan, integral, dan turunan. Sifatnya ialah: (1) limit dari barisan fungsi kontinu yang kontinu seragam  merupakan  fungsi  kontinu,  (2)  limit  dari  barisan  integral  fungsi  yang  konvergen  seragam pada  interval  tertutup  memiliki  nilai  yang  sama  dengan  integral  dari  limit  barisan  fungsi  real,  dan
(3) misalkan ada suatu barisan fungsi real yang konvergen ke sedangkan barisan dan turunannya merupakan barisan fungsi kontinu dan konvergen seragam ke , maka dapat disimpulkan bahwa merupakan fungsi kontinu dan turunan ternyata sama dengan itu sendiri.
Kata Kunci: Barisan Fungsi Real, Konvergen, Kekontinuan, Integral, Turunan
Dikirim: 3 Mei 2018; Diterima: 17 September 2018; Dipublikasikan: 29 September 2018 Cara  sitasi:  Sulaiman , H.,  Firmasari,  S.,  dan  Wahyuni,  I.  2018.  Sifat-Sifat  Kekonvergenan  pada  Barisan  Fungsi  Real. Jurnal Teorema: Teori dan Riset Matematika . Vol 3 No 2, Hal 157-164, September 2018.

## PENDAHULUAN
Misalkan yang tidak kosong, sebuah fungsi dari adalah suatu aturan yang mengaitkan setiap unsur dengan tepat satu nilai . Himpunan disebut domain (daerah asal) dan himpunan disebut kodomain. Sedangkan himpunan semua nilai
yang diperoleh di dalam disebut range atau image (daerah nilai) dari . Unsur yang berkaitan dengan unsur ini diberi lambang
yang  dinamakan  sebagai  aturan  atau  persamaan  fungsi.  Di  sini, dinamakan peubah bebas (variabel independen) dan yang nilainya bergantung pada dinamakan peubah terikat (variabel dependen). Jika persamaan fungsi maka domain fungsi adalah himpunan ,  dinotasikan dan  range  fungsi  adalah  himpunan {           } .  Unsur dinamakan nilai fungsi di . Jika diketahui persamaan fungsi
dan daerah asal tidak disebutkan secara  spesifik,  maka daerah  asal  yang  dimaksud adalah  “daerah asal  alamiah”  (natural  domain)  dari fungsi, sehingga daerah asal dan daerah nilai fungsi adalah :
{               } dan { } .
Dalam hal ini, daerah asal dan daerah nilai fungsi semuanya himpunan bagian dari . Fungsi ini dinamakan fungsi dengan peubah real dan bernilai real atau cukup dikatakan fungsi real.
Barisan adalah suatu fungsi dengan domain bilangan asli. Barisan dinotasikan dengan { } dan ditulis Pada umumnya telah dikenal barisan bilangan real , yaitu suatu barisan  dengan  daerah  hasil  bilangan  real.  Barisan  bilangan  real { } dikatakan  konvergen  ke (dinotasikan dengan lim { } ) jika untuk setiap bilangan positif yang diberikan terdapat bilangan asli sedemikian sehingga :
| |
Dengan kata lain, jika lim { } maka { } konvergen ke . Suatu barisan elemennya tidak harus bilangan akan tetapi bisa juga objek yang lain, sebagai contoh jika objeknya fungsi maka didapat barisan fungsi yang didefinisikan sebagai berikut. Barisan fungsi merupakan salah satu bentuk dari barisan yang elemen-elemennya berupa fungsi. Dimana bentuk fungsi yang merupakan suku ke-n bergantung pada bilangan asli. Barisan fungsi dinotasikan dengan { } dan ditulis . Salah satu contoh dari barian fungsi real ialah { }   {      } .
Seperti barisan pada umumnya, kekonvergenan barisan fungsi juga dapat diselidiki. Akan tetapi, tentu  terdapat perbedaan  perihal  kekonvergenannya.  Jika  dianalogikan dengan  suatu  barisan  bilangan real yang terdiri dari titik-titik yang konvergen ke suatu titik, maka barisan akan konvergen ke suatu fungsi. Jika fungsinya bernilai real maka barisan fungsi tersebut disebut dengan barisan fungsi real. Sehingga pada artikel ini akan dijelaskan mengenai kekonvergenan pada barisan fungsi real yaitu konvergen titik demi titik dan konvergen seragam serta sifat-sifat barisan fungsi yang konvergen. Kekonvergenan pada barisan fungsi didefinisikan sebagai berikut.

## HASIL DAN PEMBAHASAN
Pada  artikel  ini,  barisan  fungsi  real  memiliki  dua  jenis  kekonvergenan  yaitu  konvergen pointwise dan konvergen seragam.
Definisi 1. (Goldberg, 1976) Barisan fungsi { } dikatakan konvergen pointwise ke suatu fungsi jika , untuk setiap
dimana
.
Dikirim: 3 Mei 2018; Diterima: 17 September 2018; Dipublikasikan: 29 September 2018 Cara  sitasi:  Sulaiman , H.,  Firmasari,  S.,  dan  Wahyuni,  I.  2018.  Sifat-Sifat  Kekonvergenan  pada  Barisan  Fungsi  Real. Jurnal Teorema: Teori dan Riset Matematika . Vol 3 No 2, Hal 157-164, September 2018.

## Contoh 1 :
Nilai  limit  barisan  fungsi { }   { } untuk [   ] ,  nilai  fungsi dan  nilai  limit untuk dari  barisan  fungsi { } atau
.  Untuk [ barisan fungsi { }   { } tidak mempunyai nilai limit. Sebab, nilai limit { } untuk adalah
, akibatnya nilai
. Sehingga, barisan fungsi tersebut tidak
mempunyai  limit  atau  divergen.  Dengan  kata  lain,  barisan  fungsi { }   { } konvergen pointwise pada interval [   ] tetapi tidak konvergen pointwise pada interval [ .
Terlihat bahwa ada tidaknya suatu limit pada barisan fungsi bergantung pada nilai yang diberikan. Barisan fungsi yang konvergen pointwise pada barisan fungsi sering dikatakan barisan fungsi tersebut  konvergen.  Selain  itu, pada  barisan  konvergen pointwise ,  nilai yang  memenuhi agar barisan tersebut konvergen bergantung pada nilai dan yang diberikan. Hal ini bersesuaian dengan lemma di bawah ini.
Lemma 2. (Bartle , 2000)
Suatu barisan fungsi { } pada himpunan konvergen ke suatu fungsi jika dan hanya jika
untuk  setiap
dan  setiap
ada  bilangan  asli
sedemikian  sehingga  untuk  semua
berlaku | | .
Bukti :
Jika { } konvergen pointwise ke  suatu  fungsi  maka dan , ,  berlaku | | .  Menurut  definisi  1,  Jika  barisan  fungsi konvergen ke suatu fungsi pada himpunan maka diperoleh : .  Akibatnya | | , .  Pada  pertidaksamaan  di atas, tidak hanya nilai yang berpengaruh untuk menentukan nilai agar pertidaksamaan tersebut dipenuhi,  akan  tetapi  di  dalam  barisan  fungsi  tersebut  juga  terdapat  nilai yang  berpengaruh terhadap pertidaksamaan tersebut sedemikian sehingga nilai bergantung pada nilai dan .
Jika dan berlaku | | maka { } konvergen pointwise ke  suatu  fungsi.  Pernyataan  di  atas  mirip  dengan  definisi  dari  suatu barisan yang konvergen dimana pada pernyataan di atas dikatakan bahwa barisan konvergen ke suatu fungsi, tentunya pada barisan yang konvergen nilai yang memenuhi agar barisan tersebut konvergen hanya bergantung pada nilai . Namun pada kenyataan tersebut bilangan asli selain bergantung pada , bilangan asli bergantung pada nilai yang diberikan hal ini dikarenakan nilai suatu  fungsi  bergantung  pada  nilai  domain  yang  diberikan.  Jadi  jika  ada  nilai yang  memenuhi dengan syarat seperti di atas, maka barisan fungsi tersebut konvergen ke suatu fungsi.
Definisi 3 . (Goldberg, 1976)
Barisan fungsi { } bernilai real di . Barisan fungsi { } dikatakan konvergen seragam ke suatu  fungsi di ,  jika  diberikan
| | , , .
Fungsi merupakan nilai limit dari untuk nilai
. Dari definisi 3 dapat dikatakan suatu  barisan  fungsi  yang  konvergen  seragam  sudah  pasti  barisan  fungsi  tersebut  konvergen pointwise akan  tetapi  barisan  fungsi  yang  konvergen pointwise belum  tentu  konvergen  seragam.
Dikirim: 3 Mei 2018; Diterima: 17 September 2018; Dipublikasikan: 29 September 2018 Cara  sitasi:  Sulaiman , H.,  Firmasari,  S.,  dan  Wahyuni,  I.  2018.  Sifat-Sifat  Kekonvergenan  pada  Barisan  Fungsi  Real. Jurnal Teorema: Teori dan Riset Matematika . Vol 3 No 2, Hal 157-164, September 2018.

## Contoh 2 :
Barisan  fungsi { }   { } ; [   ] .  Fungsi [   ] ,  barisan fungsi { }   { } konvergen pointwise pada  interval [   ] karena  nilai  limitnya  ada  dan barisan fungsi { }   { } konvergen seragam menuju pada [   ] karena nilai
| |
,  yang  berarti  jika  diambil  sebarang  nilai ada  nilai sedemikian sehingga | | berlaku untuk semua [   ] .
Kekonvergenan  seragam  pada  barisan  fungsi  yang  dapat  dilihat  melalui  beberapa  cara  selain Definisi 3. Diantaranya sebagai berikut.
Akibat 4. (Goldberg, 1976)
Barisan  fungsi { } tidak  kontinu  seragam  ke di jika  dan  hanya  jika yang
memenuhi | | ,
,
.
Contoh 3 :
Barisan fungsi { }   { } , [   ] nilai limitnya yaitu dengan kata lain barisan fungsi { } konvergen menuju 0. Barisan fungsi tersebut tidak konvergen seragam di [   ] . Karena jika dipilih dan nilai
maka nilai | |   | |
. Nilai yang berarti tidak ada nilai yang memenuhi agar .
Selain  akibat  4,  ada  juga  lemma  yang  dapat  digunakan  untuk  melihat  kekonvergenan  seragam suatu barisan fungsi.
Lemma 5. (Bartle, 2000)
Barisan  fungsi { } tidak  konvergen  seragam  ke  fungsi di jika  dan  hanya  jika  untuk  suatu ada  subbarisan { } dari { } dan  barisan { } pada sedemikian  sehingga  berlaku
| | untuk semua
.
Bukti :
Karena barisan fungsi { } tidak konvergen seragam menuju fungsi maka ada dan subbarisan sedemikian sehingga | | untuk semua . Untuk suatu terdapat nilai pada sedemikian sehingga pertidaksamaan tersebut bernilai lebih dari atau sama dengan . Nilai yang memenuhi pertidaksamaan di atas berupa sebuah barisan { } pada sedemikian sehingga |
| .
Andai konvergen seragam ke pada . Diberikan maka ada sedemikian sehingga | | ,
.  Barisan  fungsi { } merupakan  subbarisan  dari { } maka  subbarisan  tersebut  juga  konvergen |
| .  Terjadi  kontradiksi, maka  pengandaian  harus  dinegasikan.  Jadi,  terbukti  bahwa tidak  konvergen  seragam  ke .
Dikirim: 3 Mei 2018; Diterima: 17 September 2018; Dipublikasikan: 29 September 2018 Cara  sitasi:  Sulaiman , H.,  Firmasari,  S.,  dan  Wahyuni,  I.  2018.  Sifat-Sifat  Kekonvergenan  pada  Barisan  Fungsi  Real. Jurnal Teorema: Teori dan Riset Matematika . Vol 3 No 2, Hal 157-164, September 2018.

## Contoh 4 :
Barisan fungsi { }   { } , [   ] . Misalkan { } merupakan subbarisan dari { } dan { } merupakan barisan pada interval [   ] . Terdapat juga teorema selisih atau yang dikenal dengan  Teorema Cauchy yang  digunakan  untuk  melihat  kekonvergenan  seragam  suatu  barisan fungsi.
Teorema 6. (Kriteria Cauchy ) (Goldberg, 1976) Barisan fungsi { } konvergen seragam ke di jika dan hanya jika diberikan maka ada
barisan bilangan asli sedemikian sehingga | | . Untuk semua , .
Bukti :
Barisan fungsi { } konvergen seragam ke jika diberikan maka ada bilangan asli sedemikian sehingga | | , untuk semua , . Diberikan
maka . Barisan fungsi { } konvergen seragam ke sedemikian sehingga | |   | | , merupakan bilangan asli juga dimana , berlaku :
| | . Nilai mutlak selisih dari suku ke- dan suku ke- .
| |   | |   | | . Jika  diberikan maka  ada  bilangan  asli sedemikian  sehingga | | , untuk semua , maka { } konvergen seragam ke di . Contoh 5 :
Barisan  fungsi { }   { } , [   ] .  Diberikan dengan maka  ada sedemikian sehingga untuk berlaku , dan nilai dari : | |   |  ( )|   | | .  Dapat  dilihat  bahwa |
| yang artinya barisan fungsi { }   { } konvergen seragam untuk [   ] . Kekonvergenan pada barisan fungsi terdapat dua macam yaitu konvergen titik demi titik (pointwise) dan  konvergen  seragam.  Setelah  mengetahui  barisan  fungsi  tersebut  konvergen,  selanjutnya dipelajari  sifat-sifat  dari  barisan  fungsi  yang  konvergen.  Sifat  yang dimaksud adalah  sifat  barisan fungsi yang konvergen yang melekat pada fungsi kontinu, fungsi yang terintegral, dan fungsi yang terdiferensial. Berikut ini, beberapa teorema yang menjelaskan sifat-sifat barisan yang konvergen.
Teorema 7. (Kosmala, 2004) Barisan  fungsi { } merupakan  barisan  fungsi  yang  kontinu  dalam  himpunan dan konvergen seragam ke di . Maka kontinu di .
Bukti : Barisan fungsi { } adalah barisan fungsi kontinu maka merupakan fungsi kontinu. Fungsi kontinu di , maka jika diberikan dengan , maka ada | | .  Karena dan { } konvergen seragam di , maka | | . Akan dibuktikan kontinu di sehingga:
Dikirim: 3 Mei 2018; Diterima: 17 September 2018; Dipublikasikan: 29 September 2018 Cara  sitasi:  Sulaiman , H.,  Firmasari,  S.,  dan  Wahyuni,  I.  2018.  Sifat-Sifat  Kekonvergenan  pada  Barisan  Fungsi  Real. Jurnal Teorema: Teori dan Riset Matematika . Vol 3 No 2, Hal 157-164, September 2018.
|           |   | |   | |   | |
.
Contoh 6 :
Barisan  fungsi { }   { } ,  kontinu  pada  interval [   ] karena  nilai dan juga barisan fungsi tersebut konvergen seragam menuju ke fungsi pada interval [   ] , jika diberikan dengan maka ada sedemikian sehingga untuk berlaku , dan nilai dari | |   |  ( )|   | | , Dapat dilihat bahwa | | . Nilai dimana nilai yang artinya fungsi kontinu pada interval [   ] .
Teorema 8. (Kosmala, 2004) Jika { } adalah barisan  fungsi  kontinu  yang  konvergen  seragam  ke  suatu  fungsi pada [    ] maka :
∫ ∫ [ ]

## Bukti :
Barisan { } konvergen  seragam  maka { } konvergen pointwise ke ,  sedemikian  sehingga . Barisan fungsi { } merupakan konvergen seragam pada interval [    ] . Jika  diberikan
,  maka  ada sedemikian  sehingga  untuk  semua [    ] dan berlaku :
| | |∫ ∫ |   ∫ | | ∫
Diperoleh,
|∫ ∫ |
Jadi,
∫ ∫ [    ]
ekuivalen dengan :
∫ ∫
Contoh 7 :
Barisan fungsi { }   { } kontinu pada interval [   ] karena
dan
barisan fungsi { }   { } konvergen seragam menuju dengan pada  interval [   ] .  Nilai ∫ ∫ dan ∫ .  Nilai ∫ ∫ .  Hal  ini  menunjukkan  bahwa ∫ ∫ [ ] .
Dikirim: 3 Mei 2018; Diterima: 17 September 2018; Dipublikasikan: 29 September 2018 Cara  sitasi:  Sulaiman , H.,  Firmasari,  S.,  dan  Wahyuni,  I.  2018.  Sifat-Sifat  Kekonvergenan  pada  Barisan  Fungsi  Real. Jurnal Teorema: Teori dan Riset Matematika . Vol 3 No 2, Hal 157-164, September 2018.

## Teorema 9. (Kosmala, 2004)
Misalkan { } adalah barisan dari fungsi yang turunannya kontinu ( kontinu) dan konvergen titik demi titik ke fungsi . Jika barisan { } konvergen seragam ke fungsi pada interval [    ] , maka pada interval [    ] . Dengan kata lain, { } konvergen seragam ke pada interval [    ] . Bukti : Diketahui fungsi kontinu maka :
∫
Barisan fungsi konvergen seragam ke fungsi dan barisan kontinu maka:
∫ ∫ [ ] ∫ Karena ∫ maka diperoleh : ∫ [ ]
Persamaan  di  atas  sama  dengan  persamaan  pada  teorema  fundamental  kalkulus  untuk  turunan dimana fungsi adalah turunan dari fungsi atau
. Karena merupakan barisan fungsi kontinu dan konvergen seragam menuju , maka menurut Teorema 7 berlaku
merupakan fungsi  kontinu.  Barisan  fungsi konvergen  seragam  menuju  fungsi ,  karena  fungsi maka barisan fungsi konvergen seragam menuju .
Contoh 8 :
Diberikan { }   { } pada  interval [   ] .  Nilai .  Turunan  dari barisan fungsi tersebut adalah { }   { } . Barisan { }   { } kontinu pada interval [   ] , untuk  setiap [   ] .  Barisan  fungsi { }   { }
konvergen  seragam  menuju  fungsi
,  karena | | .  Fungsi memiliki  turunan  yaitu dimana maka kontinu  pada  interval [   ] .  Nilai
atau  dengan  kata  lain  barisan  fungsi { }
konvergen seragam menuju
.

## KESIMPULAN
Dari  hasil  pembahasan  mengenai  barisan  fungsi  dapat  diambil  beberapa  kesimpulan sebagai berikut :
1. Barisan  fungsi  memiliki  dua  jenis  kekonvergenan  yaitu  konvergen pointwise dan  konvergen seragam. Jika barisan fungsi konvergen seragam, maka barisan tersebut konvergen pointwise namun tidak belaku sebaliknya.
2. Barisan fungsi yang konvergen memiliki sifat-sifat yang berkaitan dengan kekontinuan, integral dan turunan, diantaranya sebagai berikut :
a) Barisan fungsi kontinu { } dan konvergen seragam ke fungsi maka fungsi kontinu.
b) Barisan  fungsi  kontinu { } dan  konvergen  seragam  ke  fungsi pada  interval  tertutup [    ] maka berlaku :
∫ ∫ [ ]
Dikirim: 3 Mei 2018; Diterima: 17 September 2018; Dipublikasikan: 29 September 2018 Cara  sitasi:  Sulaiman , H.,  Firmasari,  S.,  dan  Wahyuni,  I.  2018.  Sifat-Sifat  Kekonvergenan  pada  Barisan  Fungsi  Real. Jurnal Teorema: Teori dan Riset Matematika . Vol 3 No 2, Hal 157-164, September 2018.
c) Barisan fungsi { } konvergen pointwise ke fungsi dengan { } kontinu dan konvergen seragam  ke  fungsi maka kontinu  dan .  Dengan  kata  lain { } konvergen seragam ke .
REKOMENDASI
Artikel ini hanya membahas tiga sifat dari barisan fungsi konvergen. Harapan bagi penelitian selanjutnya  yaitu  dapat  melakukan  kajian  pada  sifat-sifat  barisan  fungsi  konvergen  seperti  halnya barisan fungsi kontinu dan monoton yang konvergen ke suatu fungsi.

## TERIMA KASIH
Penelitian ini terselenggaran atas bantuan sarana dan prasarana dari Universitas Swadaya Gunung Djati Cirebon. Kami berterima kasih sedalam-dalamnya atas dukungannya selama ini.

## DAFTAR PUSTAKA
Bartle, G.G dan Donald R. Sherbert. 2000. Introduction to Real Analysis . 3 th . New York: John Willey and Sons.
Goldberg, R. R. 1976. Method of Real Analysis . New York.: John Willey and Sons.
Kosmala,  W.  A.  J.  2004. A  Friendly  Introduction  to  Analysis  Single  and  Multivariable .  2 nd .  New  Jersey:
Pearson Education.