Estimasi, Vol. 3, No. 1, Januari, 2022, Hal. 41-48 DOI: 10.20956/ejsa.vi.11603
Model ARIMA dengan Variabel Eksogen dan GARCH

## pada Data Kurs Rupiah
Ririn Arianti 1 , Sitti Sahriman 2 , La Podje Talangko 3*
123 Departemen Statistika, Fakultas MIPA, Universitas Hasanuddin, Makassar, 90245, Indonesia * Corresponding author, email: ririn.arianti1914@gmail.com

## Abstract
Autoregressive integrated moving average with exegenous variable (ARIMAX) model is the development of ARIMA model with addition of other time series data as exogenous variable that affect the dependent variable. ARIMAX model is used to analyze and predict data on the rupiah exchange rate against the US dollar  with  inflation  as  an  exogenous  variabel.  The  exchange  rate  has  an  residual  variance  that  is  not constant so that the GARCH model is used to overcome the problem of heteroscedasticity. The results of this research show that forecasting the rupiah exchange rate against the US dollar for the period January 2010  –  December  2019  with  the ARIMAX(0,1,1)  –  GARCH(1,0)  model  is  the  best  model  with  a  MAPE (1,1655) value which shows a low percentage compared to the ARIMAX model.
Keywords : ARIMAX, GARCH, Heteroscedasticity.

## Abstrak
Model autoregressive  integrated  moving  average dengan  variabel  eksogen  (ARIMAX)  merupakan pengembangan  model  ARIMA  dengan  penambahan  data  deret  waktu  lainnya  sebagai  variabel  eksogen yang mempengaruhi variabel dependen. Model ARIMAX digunakan untuk menganalisis dan meramalkan data nilai tukar rupiah terhadap dolar AS dengan inflasi sebagai variabel eksogen. Data nilai tukar rupiah terhadap dolar AS memiliki variansi residual yang tidak konstan sehingga digunakan model GARCH yang dapat mengatasi masalah heteroskedastisitas. Hasil dari penelitian ini menunjukkan bahwa peramalan nilai tukar rupiah terhadap dolar AS periode Januari 2010  – Desember 2019 dengan model ARIMAX(0,1,1)- GARCH(1,0)  adalah  model  terbaik  dengan  nilai  MAPE  (1,1655)  yang  menunjukkan  presentase  rendah dibandingkan dengan model ARIMAX.
Kata Kunci : ARIMAX, GARCH, Heteroskedastisitas.

## 1. Pendahuluan
Transaksi jual beli yang dilakukan antar penduduk suatu negara dengan negara lain menggunakan  mata uang yang telah disepakati  yang dinamakan  nilai tukar. Nilai tukar mata uang atau yang sering disebut dengan kurs adalah harga satu unit mata uang asing dalam mata uang domestik atau dapat juga dikatakan harga mata uang domestik terhadap mata  uang  asing  [1].  Kurs  dapat  dijadikan  sebagai  alat  untuk  mengukur  kondisi perekonomian. Apabila pertumbuhan nilai tukar mata uang dapat berjalan stabil berarti menunjukkan  bahwa  negara  tersebut  memiliki kondisi perekonomian  yang  relatif  baik
Estimasi: Journal of Statistics and Its Application e-ISSN: 2721-3803, p-ISSN: 2721-379X http://journal.unhas.ac.id/index.php/ESTIMASI

## Model ARIMA dengan Variabel Eksogen dan GARCH …
Ririn Arianti, Sitti Sahriman, La Podje Talangko
atau  stabil.  Oleh  karena  itu  prediksi  nilai  tukar  mata  uang  yang  akan  datang  sangat diperlukan untuk menentukan kebijakan perekonomian yang akan datang.
Peramalan nilai tukar berhubungan dengan peramalan data deret waktu. Model yang paling  sering  digunakan  dalam  peramalan  data  deret  waktu  univariat  adalah  model Autoregressive Integrated Moving Average (ARIMA). Selain itu, salah satu model deret waktu  yang  dipandang  sebagai  perluasan  model  ARIMA  adalah Autoregressive Integrated Moving Average with Exogenous Variable (ARIMAX), yakni model ARIMA dengan variabel eksogen. Model ARIMA hanya berlaku untuk satu variabel dan itu tidak menggambarkan  beberapa  hal  penting  dalam  data  dan  juga  tidak  dapat  menyampaikan dengan baik hubungan antar variabel dalam data. Model ARIMAX pertama kali dibahas oleh  Box  dan  Tiao  pada  tahun  1975,  model  ini  memiliki  kemampuan  untuk mengidentifikasi pola yang mendasari data deret waktu dan untuk mengukur dampak dari pengaruh  luar  data  [2].  Hasil  penelitian  Wijayanti  dan  Sudarmiani  (2017)  dengan menggunakan  analisis  regresi  linier  sederhana,  menunjukkan  bahwa  tingkat  inflasi berpengaruh  positif  secara  signifikan  pada  nilai  tukar  rupiah  terhadap  dolar  AS  [3]. Sehingga,  variabel  eksogen  yang  akan  digunakan  dalam  tugas  akhir  ini  adalah  tingkat inflasi.
Praktek  pemodelan  ARIMA  atau  ARIMAX  pada  suatu  data  ekonomi  seringkali memberikan  residual  dengan  varians  yang  tidak  konstan  (heterogen).  Engle  (1982) memperkenalkan  model Autoregressive  Conditional  Heteroscedasticity (ARCH)  untuk memodelkan inflasi di Inggris yang mengandung variansi yang tidak konstan, kemudian model  ARCH  disempurnakan  menjadi Generalized  Autoregressive  Conditional Heteroscedasticity (GARCH) oleh  Bolerslev  (1986) [4].  Metode  ini  mampu  mengatasi heteroskedastisitas  dalam  data  deret  waktu  sehingga  model  yang  akan  diperoleh  baik digunakan  untuk  melakukan  peramalan  [4].  Nilai  tukar  merupakan  salah  satu  data finansial  yang  memiliki keragaman ( volatility ) yang tidak konstan di setiap titik waktu sehingga variansi dari residual akan selalu berubah setiap waktu. Hal ini disebut sebagai heteroskedastisitas  pada  data  deret  waktu  sehingga  diperlukan  model  GARCH  untuk mengatasinya.

## 2. Material dan Metode
2.1 Autoregressive Integrated Moving Average dengan Variabel Eksogen
Model  deret  waktu  univariat  hanya  menggunakan  nilai  lampau  dari  variabel  yang digunakan, untuk meramalkan nilai masa depan. Variabel penjelas dapat dimasukkan ke dalam model univariat tersebut, yang menghasilkan model deret waktu ARIMAX yang disebut autoregressive  integrated  moving  average dengan  variabel  eksogen  untuk mendapatkan peramalan yang lebih baik.Bentuk umum model ARIMAX(p,d,q):
𝜙 𝑝 (𝐵)(1 − 𝐵) 𝑑 𝑍 𝑡 =  𝜃 𝑞 (𝐵)𝑒 𝑡 + 𝑎 1 𝑋 1,𝑡 + 𝑎 2 𝑋 2,𝑡 + ⋯ + 𝑎 𝑘 𝑋 𝑘,𝑡 (1)
dengan 𝑍 𝑡 = variabel dependen; 𝐵 = operator back shift ; 𝑋 𝑘,𝑡 = variabel independen atau variabel eksogen ke- k pada  saat t dengan k = 1,  2, 3, ...,  n; 𝑎 = koefisien dari variabel
𝑡 𝑡 𝑡−1 𝑡 𝑡−𝑖 𝑡−𝑗 𝑖=1
eksogen [5].  Pemodelan ARIMAX  mengikuti  langkah prosedur  Box dan  Jenkins  yaitu identifikasi model, penaksiran parameter, pemeriksaan diagnostik dan peramalan [6].

## 2.2 Heteroskedastisitas
Suatu  keadaan  dikatakan  heteroskedastisitas  apabila  suatu  data  memiliki  variansi residual yang  tidak  konstan  untuk  setiap  observasi  atau  dengan  kata  lain  melanggar asumsi 𝑉𝑎𝑟 (𝜀 𝑡 ) =  𝜎 2 . Misalkan 𝑒 𝑡 = 𝑟 𝑡 − 𝜇 𝑡 adalah residual dari persamaan rata-rata. Deret residual kuadrat 𝑒 2 digunakan untuk mengecek heteroskedastisitas bersyarat, yang juga  dikenal  sebagai  efek  ARCH.  Untuk  mengecek  ada  tidaknya  efek  ARCH,  dapat dilakukan menggunakan statistik uji Lagrange-Multiplier (LM) yang diperkenalkan oleh Engle [7].

## 2.3 GeneralizedAutoregressive Conditional Heterosedasticity
Model yang dapat digunakan untuk mengatasi variansi residual yang tidak konstan dalam  data  deret  waktu  finansial  adalah  model Autoregressive  Conditional Heteroscedasticity (ARCH)  yang  diperkenalkan  pertama  kali  oleh  Engle  pada  tahun 1982.  Pada  model  ARCH  variansi residual ( 𝜎 2 )  dipengaruhi  oleh residual di  periode sebelumnya 𝜀 2 [8].
Model  GARCH  ( Generalized  Autoregressive  Conditional  Heteroscedasticity ) merupakan generalisasi dari model ARCH ( Autoregressive Conditional Heteroscedastic ) yang dikemukakan oleh  Bollerslev pada tahun 1986. Model GARCH digunakan untuk mengatasi  orde  yang  terlalu  besar  pada  model  ARCH.  Bentuk  umum  model  GARCH (p,q):
𝑝 𝑞 𝜎 2 = 𝛼 0 + ∑  𝛼 𝑖 𝑒 2 + ∑ 𝛽 𝑗 𝜎 2 𝑡 𝑡−𝑖 𝑡−𝑗 𝑖=1 𝑗=1
(2)
dengan, 𝜎 2 : variansi dari residual pada waktu t 𝛼 0 : komponen konstanta 𝛼 𝑖 : parameter dari ARCH
𝑒 2 : kuadrat dari residual pada waktu t-i
𝛽 𝑗 : parameter dari GARCH
𝜎 2 : variansi dari residual pada saat t-j
𝑒 𝑡 = 𝜎 𝑡 ℎ 𝑡
dengan ℎ 𝑡 ~ i.i.d ( independent and identically distributed ) N (0,1); 𝛼 0 > 0 ; 𝛼 𝑖 ≥ 0 untuk 𝑖  =  1,2, … , 𝑝 ; 𝛽 𝑗 ≥ 0 untuk 𝑗 = 1,2, … , 𝑞 ; ∑ 𝑝 𝑞 𝑗=1 (𝛼 𝑖 + 𝛽 𝑗 ) < 1 . Persamaan variansi yang memenuhi persamaan GARCH (p,q) menghubungkan antara variansi residual pada waktu ke- t dengan variansi residual pada waktu sebelumnya [7].

## 2.4 Metode Penelitian
Data yang digunakan adalah data nilai tukar rupiah terhadap dolar AS (kurs jual) sebagai  variabel  dependen  dan  data  inflasi  menjadi  variabel  eksogen.  Data  tersebut ∑

## Model ARIMA dengan Variabel Eksogen dan GARCH …
Ririn Arianti, Sitti Sahriman, La Podje Talangko
merupakan data sekunder  yang diperoleh dari website resmi bank Indonesia yaitu www.bi.go.id. Periode data yang digunakan yaitu bulan Januari 2010 - Desember 2019.
Langkah-langkah analisis data  yang  dilakukan  dalam penelitian  ini adalah sebagai berikut:
1. Pembagian  data  menjadi  data training (Januari  2010  –  Desember  2018)  dan  data validation (Januari 2019 – Desember 2019).
2. Uji  kestasioneran,  jika  data  tidak  stasioner  maka  dilakukan  transformasi  maupun differencing .
3. Identifikasi model ARIMAX yaitu dengan menambahkan variabel eksogen ke dalam model ARIMA.
4. Penentuan model ARIMAX yang sesuai untuk data.
5. Melakukan Uji LM untuk melihat ada tidaknya unsur heteroskedastisitas agar dapat dilanjutkan ke model GARCH.
6. Identifikasi  model  GARCH  melalui  plot  FAK  dan  FAKP  yang  didapatkan  dari residual kuadrat model ARIMAX yang terbentuk.
7. Penentuan model ARIMAX-GARCH terbaik untuk digunakan dalam peramalan.
8. Validasi  model  untuk  memastikan  keakuratan  dan  ketepatan  model  dengan menggunakan data validation .

## 3. Hasil dan Diskusi
Tahap  awal  yang  dilakukan  untuk  pemodelan  data  deret  waktu  adalah  dengan mengidentifikasi kestasionerannya. Data yang digunakan dalam melakukan uji stasioner adalah data kurs, karena data kurs merupakan variabel dependen yang akan diramalkan. Identifikasi  kestasioneran  data  dapat  dilakukan  dengan  membuat  plot  deret  waktu  dan melakukan uji ADF. Langkah pertama yang dilakukan adalah membuat plot data untuk melihat apakah data mempunyai suatu tren dan telah memenuhi stasioneritas baik dalam rata-rata maupun variansi. Plot deret waktu dari data kurs ditunjukkan pada Gambar 1.
16,000 15,000 14,000 13,000 12,000 11,000 10,000 9,000 8,000 2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018 Tahun
Gambar 1. Plot Deret Waktu Data Kurs
Gambar 1 menampilkan bahwa data kurs menunjukkan terjadinya pola tren naik.Hal ini menunjukkan  bahwa  data  tidak  stasioner  dalam  rata-rata  sehingga  perlu  dilakukan differencing . Untuk mengetahui kestasioneran data kurs dalam variansi maka perlu dicek
K u rs

## Model ARIMA dengan Variabel Eksogen dan GARCH …
menggunakan  plot  Box-Cox,  diperoleh  nilai rounded  value ( 𝜆 )  sebesar  1.  Hal  ini menunjukkan bahwa data kurs telah stasioner dalam variansi. Setelah dilakukan proses differencing lag 1 , maka diperoleh hasil uji ADF yang ditampilkan pada Tabel 1.
Tabel 1. Pengujian Stasioneritas Data Kurs Hasil Differencing Statistik-t Uji ADF Probabilitas Nilai Kritis Mac Kinnon Ket. 1% 5% 10% -8,1525 0,0000 -3,4931 -2,8889  -2,5814 Stasioner Adapun hipotesisnya sebagai berikut: H 0 : 𝛿 = 0 (data tidak stasioner)
H 1 : 𝛿 < 0 (data stasioner)
Tabel  1  menunjukkan  nilai |𝑡 ℎ𝑖𝑡 | > 𝑡 𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙 dan p-value =  0,0000  < 𝛼 =  0,05,  maka  H 0 ditolak  yang  menyatakan  bahwa data kurs telah stasioner dalam rata-rata. Berdasarkan hasil dari plot  Box-Cox dan differencing lag 1, data kurs telah stasioner dalam rata-rata dan variansi, maka data kurs dapat digunakan dalam tahap pengidentifikasian model.
Tabel 1 menunjukkan data kurs telah dilakukan differencing sebanyak satu kali agar stasioner dalam rata-rata. Hal ini menunjukkan bahwa orde d mempunyai nilai sebesar 1. Pengidentifikasian orde p dan q yaitu dengan mengamati pola dari plot FAK dan FAKP. Adapun plot FAK dan FAKP data kurs hasil differencing ditunjukkan pada Gambar 2:
Gambar 2. Plot FAK dan FAKP Data Kurs Hasil Differencing Gambar  2  menunjukkan  plot  FAK  dan  plot  FAKP cut  off pada  lag  1,  maka  diperoleh beberapa  model  ARIMA  sementara  yaitu  ARIMA(1,1,0),  ARIMA(1,1,1)  dan ARIMA(0,1,1). Model ARIMAX awal diperoleh dengan menambahkan variabel eksogen pada  model  ARIMA  sementara  sehingga  model  ARIMAX  awal  yang  terbentuk  yaitu ARIMAX(1,1,0), ARIMAX(1,1,1) dan ARIMAX(0,1,1).

## Model ARIMA dengan Variabel Eksogen dan GARCH …
Berdasarkan  uji  signifikansi  parameter,  diperoleh  model  ARIMAX(1,1,0)  dan ARIMAX(0,1,1)  yang  nilai  parameternya  signifikan  dalam  model.  Selanjutnya melakukan uji kesesuaian model, diperoleh kedua model memenuhi uji asumsi residual white  noise namun  memiliki residual model  yang  tidak  berdistribusi  normal. Ketidaknormalan dari residual dapat mengindikasikan adanya kondisi heteroskedastisitas.  Model  ARIMAX(0,1,1)  memiliki  nilai  AIC  yang  lebih  kecil  dari model  ARIMAX(1,1,0)  sehingga  model  ARIMAX(0,1,1)  yang  digunakan  untuk pengujian  nilai residual kuadratnya  apakah  mengandung  unsur  heteroskedastisitas  di dalam modelnya.
Dalam  melakukan  pengujian  heteroskedastisitas,  model  yang  akan  diuji  adalah residual kuadrat  model  ARIMAX(0,1,1)  dengan  menggunakan  uji  LM.  Adapun hipotesisnya sebagai berikut:
H 0 : 𝛼 1 = 𝛼 2 = ⋯ = 𝛼 𝑘 = 0 (tidak ada efek ARCH/GARCH dalam residual sampai lag ke- k )
H 1 : ∃𝛼 𝑖 ≠ 0, 𝑖 = 1,2, … , 𝑘 (ada efek ARCH/GARCH dalam residual sampai lag ke- k )
Hasil uji LM ditampilkan pada Gambar 2: Heteroskedasticity Test: ARCH F-statistic 4.591680 Prob. F(1,104) 0.0345 Obs*R-squared 4.482094 Prob. Chi-Square(1) 0.0343 Gambar 2. Hasil Uji Lagrange-Multiplier
Gambar  2  menunjukkan p-value < 𝛼 =  0,05  maka  H 0 ditolak,  yang  berarti  model ARIMAX(0,1,1) memiliki variansi residual yang tidak konstan atau model mengandung heteroskedastisitas.  Dengan  adanya  unsur  heteroskedastisitas  pada  data  menunjukkan bahwa model yang diperoleh kurang baik digunakan untuk peramalan, maka dilakukan pemodelan  GARCH  dimana  model  ini  mampu  mengatasi  masalah  heteroskedastisitas dengan baik. Model GARCH diidentifikasi berdasarkan plot FAK dan FAKP pada data residual kuadrat model ARIMAX(0,1,1), didapatkan bahwa plot FAK dan FAKP cut off pada  lag  1.  Berdasarkan  hal  tersebut,  maka  dugaan  model  awal  adalah  GARCH(1,0), GARCH(1,1) dan GARCH(0,1).
Berdasarkan  uji  signifikansi  parameter,  diperoleh  hanya  model  ARIMAX(1,1,0)- GARCH(1,0) yang  nilai parameternya signifikan dalam  model. Selanjutnya  melakukan uji kesesuaian model, diperoleh modelARIMAX(1,1,0)-GARCH(1,0) telah memenuhi uji asumsi residual white noise dan memiliki residual model yang berdistribusi normal. Hal ini  menunjukkan  bahwa  model  ARIMAX(0,1,1)  –  GARCH(1,0)  telah  memenuhi  uji diagnostik model dan dapat digunakan dalam peramalan.
Untuk  mengetahui  keakuratan  dan  ketepatan  model  dalam  melakukan  peramalan, dilakukan validasi model dengan menggunakan data validation (Januari 2019 – Desember 2019). Adapun plot deret waktu antara data validation dan data hasil ramalan ditampilkan pada Gambar 3.
AKTUAL ARIMAX-GARCH ARIMAX AKTUAL ARIMAX-GARCH ARIMAX 14,600 14,500 14,400 14,300 14,200 14,100 14,000 Jan     Feb     Mar     Apr     May     Jun      Jul     Aug     Sep     Oct     Nov Dec 2019
Gambar 3. Plot Deret Waktu Data Validation dan Data Ramalan dengan time lag Secara eksploratif, Gambar 3 menunjukkan terjadinya pergeseran waktu atau time lag 1 sehingga  perlu  dilakukan  pergeseran  data sebanyak  satu  bulan  untuk  meningkatkan keakuratan peramalan. Plot hasil pergeseran data dapat dilihat pada Gambar 4.
14,600
14,500
14,400 14,300 14,200 14,100 14,000 Jan     Feb     Mar      Apr     May     Jun      Jul      Aug     Sep     Oct      Nov Dec 2019
Gambar 4. Plot Deret Waktu Data Validation dan Data Ramalan Gambar 4 menunjukkan bahwa  hasil ramalan  menggunakan  model  ARIMAX-GARCH dan  ARIMAX  mampu  menangkap  pola  data  aktualnya  dan  menunjukkan  bahwa  hasil peramalan dari model ARIMAX-GARCH dan ARIMAX hampir sama. Pemilihan model terbaik dapat dilihat pada Tabel 2.
Tabel 2. Pemilihan Model Terbaik Model MAPE RMSE AIC ARIMAX (0,1,1) – GARCH (1,0) 1,1655 189,2464 13,2974 ARIMAX (0,1,1) 1,1665 189,8678 13,4660
K u rs K u rs

## 4. Kesimpulan
Hasil peramalan nilai tukar rupiah terhadap dolar AS pada Januari 2010 – Desember 2019  dengan  menggunakan  model  ARIMAX(0,1,1)  –  GARCH(1,0)  menghasilkan ramalan yang akurat dengan nilai MAPE sebesar 1,1655 yang lebih kecil dibandingkan nilai MAPE model ARIMAX.

## Daftar Pustaka
[1] Simorangkir,  I.,  &  Suseno.  Sistem  dan  Kebijakan  Nilai  Tukar. Seri Kebanksentralan , No. 12, 2004.
[2] Victor-Edema, U. A., & Isaac, D. E. Autoregressive Integrated Moving Average with  Exogenous  Variable  (ARIMAX)  Model  for  Nigerian  Non  Oil  Export. European Journal of Business and Management , Vol.8, No.36, 2016.
[3] Wijayanti,  Y.,  &  Sudarmiani.  Pengaruh  Tingkat  Inflasi  Terhadap  Nilai  Tukar Rupiah. Equilibrium , Volume 5, Nomor 1, 2017.
[4] Rukini,  &  Suhartono.  Model  ARIMAX  dan  Deteksi  GARCH  untuk  Peramalan Inflasi Kota Denpasar. Prosiding , 2013.
[5] Hamjah,  M.  A.,  &  Chowdhury,  A.  K.  Measuring  Climatic  and  Hydrological Effects on Cash Crop Production and Production Forecasting in Bangladesh Using ARIMAX Model. Mathematical Theory and Modeling , Vol.4, No.6, 2014.
[6] Gujarati,  D.  N.  Basic  Econometrics  Fourth  Edition .  New  York:  Mc  Graw  Hill , 2003.
[7] Tsay,  R.  S.  Analysis  of  Financial  Time  Series  Third  Edition .  New  York:  John Wiley & Sons , Inc , 2010.
[8] Wei,  W.  W.  Time  Series  Analysis  Univariate  and  Multivariate  Methods .  New York: Pearson , 2006.