## PROFIL PERSAMAAN GELOMBANG DENGAN VARIASI SYARAT BATAS
(Profile of Wave Equation Using Boundary Condition)
Mokhamad Akhsan, Rusli Hidayat, Agustina Pradjaningsih
Jurusan Matematika FMIPA Universitas Jember Jl. Kalimantan 37, Jember 68121, Indonesia Email:agustina.fmipa@unej.ac.id
Abstract. The wave equation is one of hyperbolic equation forms which its solution can be solved by various methods, such as Alembert and series approximation methods. Basically, the Alembert method is a coordinate transfer technique and the series approximation method is the classical separation of variable. Performance of the wave equation can be known by both of the methods with the variation of boundary conditions. The results show that both of the methods gave some equalities or differences of the profile. The different values of the  velocity c ’s  will  have  the  same  performance  of  the  wave  equation  in  the  case  of Dirichlet and Von Neumann boundary conditions. Calculating the profiles with a discrete version of the solution and showing some profiles at various times have been done  resulting oscillation wave and moving wave.
Keywords: Wave equation, Boundary condition, Alembert method, Series Approximation method.
MSC 2020: 35L05

## 1. Pendahuluan
Persamaan gelombang adalah contoh klasik dari persamaan hiperbolik yang merupakan salah satu kelas dalam persamaan diferensial parsial. Persamaan tersebut dapat juga dikatakan sebagai persamaan Newton tentang gerak yang diaplikasikan pada senar yang menyatakan perubahan momentum tt u m .  suatu segmen kecil dari senar sama dengan total gaya yang bekerja ([4], [8] &
[9]). Secara matematis persamaan gelombang tersebut ditulis sebagai
, ) , ( ) , ( 2 2 2 2 2 f t x u x c t x u t       xR t x ) 1 , 0 ( ) , (  (1)
Dalam hal 0  f persamaan (1) dapat direduksi menjadi
xx tt u c u 2  (2)
Karena  kedua  persamaan  diatas  merupakan  persamaan  diferensial  parsial  orde  dua  dengan turunan terhadap t (waktu); tt u , hal ini memerlukan dua syarat awal yaitu
) ( ) 0 , ( ) ( ) 0 , ( x g x u x f x u t   ,  } 1 0   x (posisi dan kecepatan awal dari senar).           (3)
Selanjutnya  syarat  batas  diperoleh  dengan  mengikat  kedua  ujung  senar  pada  titik  tetap 1 & 0   x x , sehingga senar tidak bergetar pada kedua ujungnya yang dinyatakan dengan
0 ) , 1 ( , 0 ) , 0 (   t u t u ; 0  t (4)
Untuk model persamaan gelombang (1) & (2) dengan syarat awal dan syarat batas seperti yang dinyatakan oleh persamaan (3) & (4), telah dikembangkan beberapa teknik solusi analitiknya, seperti  metode  pemisahan  peubah  dan  teknik  dengan  memperkenalkan  koordinat  baru (transformasi kedalam koordinat kanonik) ditemukan suatu solusi persamaan gelombang yang disebut sebagai solusi Alembert ([3], [5] & [7]).
Pada  penelitian  ini  kami  ingin  mengetahui  bagaimana  profil  solusi  persamaan  gelombang dengan  metode  Alembert  ataupun  metode  aproksimasi  deret  yang  diberi  variasi  syarat  batas Dirichlet  atau  syarat  batas  Von  Neumann.  Manfaat  yang  diharapkan  yaitu  menambah pemahaman  tentang  persamaan  gelombang,  khususnya  dalam  kegunaannya  di  bidang maritim/kelautan, meteorologi dan geofisika, bidang kedokteran, fisika matematika dan bidang teknologi lainnya.

## Persamaan Gelombang Dimensi-1 (1D – Wave Equation)
Persamaan gelombang dimensi-1 dengan gaya internal diberikan oleh persamaan (1) dan tanpa gaya internal oleh persamaan (2) dengan syarat awal (3) dan syarat batas (4) ([3], [4], [5], [7], [8] & [9]). Secara umum dituliskan sebagai berikut
xx tt u c u 2  ,      x ,    t 0 ) ( ) 0 , ( ) ( ) 0 , ( x g x u x f x u t   ,  }      x , 0 ) , ( , 0 ) , 0 (   t L u t u ; 0  t

## Solusi Alembert
Solusi Alembert dilakukan dalam 4 langkah berikut: 1). Mengganti ) , ( t x dengan koordinat kanonik yang baru ) , (   dimana ct x    dan ct x    sehingga masalah diatas ditransformasi menjadi 0   u .
2). Menyelesaikan persamaan yang telah ditransformasi.
3).Melakukan transformasi balik penyelesaian yang ditemukan di langkah-2 ke- koordinat asal x dan t dan langkah terakhir 4) adalah mensubstitusikan syarat awal dan syarat batasnya ([6], [11] & [13] )

## Interpretasi Persamaan Gelombang
Ekspresi tt u pada persamaan gelombang yang dinyatakan oleh  (1) & (2) merupakan akselerasi vertikal  dari  senar  pada  suatu  titik x .  Jadi  persamaan  (2)  dapat  di  interpretasikan  sebagai akselerasi senar pada setiap titik yang diakibatkan oleh adanya tekanan pada senar xx u ([5], [7]
& [8]), seperti yang diilustrasikan oleh gambar 1 berikut
Gambar 1. interpretasi persamaan xx tt u c u 2 

## Masalah Nilai Awal (Initial Value Problem)
Solusi dari persamaan xx tt u c u 2  ,      x ,    t 0 dengan  nilai awal
) ( ) 0 , ( ) ( ) 0 , ( x g x u x f x u t   ,  }      x , diberikan oleh persamaan berikut ([1],[7] & [8])
        ct x ct x d g c ct x f ct x f t x u   ) ( 2 1 )} ( ) ( { 2 1 ) , ( (5)

## Simpangan Awal Diberikan dan Kecepatan Awal Nol
Bila simpangan awal diberikan dan kecepatan awalnya nol maka masalah nilai awalnya menjadi ) ( ) 0 , ( x f x u  , 0 ) 0 , (  x u t dengan solusi ([1], [2], [7] & [8]) x titik infleksi u xx < 0  u tt < 0 u xx > 0  u tt > 0
(akselerasi senar keatas)
)} ( ) ( { 2 1 ) , ( ct x f ct x f t x u     Solusi u pada titik ) , ( 0 0 t x merupakan rata-rata ) ( x f pada titik ) ( 0 0 ct x  dan ) ( 0 0 ct x  sepanjang garis seperti terlihat pada gambar 2.
Gambar 2 . )} ( ) ( { 2 1 ) , ( ct x f ct x f t x u     pada bidang- xt

## Simpangan awal Nol dan Kecepatan Awal  Diberikan
Bila  simpangan  awalnya  nol  dan  kecepatan  awal  diberikan  maka  masalah  nilai  awalnya dinyatakan oleh 0 ) 0 , (  x u , ) ( ) 0 , ( x g x u t  dengan solusi ([1], [2], [7] & [8]) dengan solusi
    ct x ct x d g c t x u   ) ( 2 1 ) , ( .  Misalkan  masalah  nilai  awal  dinyatakan  oleh  fungsi  berikut
xx tt u c u 2  ,      x ,    t 0 dengan  syarat  awalnya 0 ) 0 , (  x u , 1 ) 0 , (  x u t untuk 1 1    x dan 0 ) 0 , (  x u t untuk yang lainnya maka plot dari solusinya seperti yang terlihat pada Gambar 3.
x t u(x 0 ,t 0 ) Tergantung pada simpangan awal pada 2 titik (x 0 -ct 0 ,0) (x 0 +ct 0 ,0) x-ct =x 0 -ct 0 x+ct = x 0 +ct 0
Gambar 3. plot solusi dari simpangan awal nol
sehingga solusi dari masalah persamaan gelombang  dengan metode Alembert adalah
          ct x ct x d g c ct x f ct x f t x u . ) ( 2 1 ) ( ) ( 2 1 ) , (  

## Approksimasi deret
Solusi persamaan gelombang dengan aproksimasi deret dilakukan dengan :
Langkah 1 : Memisahkan variabel x dan t untuk menentukan solusi umum,
Langkah 2 : Menentukan solusi yang memenuhi syarat batas.
Langkah 3 : Menentukan nilai-nilai a n dan b n dari kondisi syarat awal.
Langkah 4 : Mensubtitusikan nilai-nilai a n dan b n kedalam solusi yang memenuhi syarat batas , sehingga diproleh solusi persamaan gelombang sebagai berikut
 
                               dx x L n x g cn b dx x L n x f L a t L cn b t L cn a x L n t x u L n L n n n n 0 0 1 sin 2 sin 2 dengan sin cos sin ,       dan persamaan diatas disebut Solusi Aproksimasi Deret, ([2]). x 0 1 -1 u = t x+ct=1 x+ct=-1 x-ct=1 x-ct=-1 t u(x,t)=0 u(x,t)=0 c ct x u 2 1   
c ct x u 2 1    Region 6 Region 5 Region 4 Region 3 Region 2 Region 1 u = 1/c

## 2. Hasil dan Pembahasan

## 2.1. Evolusi Gelombang
Persamaan translasi orde satu dinyatakan oleh persamaan (6) berikut
0       x u c t u (6)
dengan  solusi ) ( ) , ( ct x f t x u   .  Solusi  ini  merupakan  profil  gelombang  berjalan  yang ditranslasi dengan kecepatan c sepanjang sumbu- x (dengan arah positif untuk 0  c dan arah negative  untuk 0  c ).    Misalkan  kita  gunakan  suatu  solusi  yang  berbentuk  gelombang harmonik ) ( ) , ( t kx i e t x u    yang mempunyai bilangan gelombang k , frekwensi  , perioda T dan panjang gelombang  , dimana   / 2  k dan T / 2    . Kecepatan c diperoleh dengan mensubstitusikan solusi harmonic kepersamaan (6); k c /   . Selanjutnya bila kita investigasi pengaruh 2 2 x u   pada
2 2 ) , ( ) , ( x u x t x u c t t x u          akan diperoleh solusi t k ct x ik e e t x u 2 ) ( ) , (     yang akan meluruh dengan rata-rata 2 k   yang bergantung pada bilangan gelombang k . Proses evolusi peluruhan ini disebut dengan dissipasi (lihat gambar 4.)
Gambar 4. Evolusi gelombang harmonik

## 2.2. Gelombang Bergerak (Moving Wave)
Suatu fungsi yang secara umum berbentuk
) ( ) ( ) , ( ct x ct x t x u       (7)
merupakan persamaan gelombang bergerak dengan gerakan dua arah ([7] & [12]). Jadi secara fisik bila ) sin( ) , ( ct x t x u   gelombang bergerak kekanan dan 2 ) ( ) , ( ct x t x u   gelombang
bergerak kekiri maka 2 ) ( ) sin( ) , ( ct x ct x t x u     adalah gelombang yang bergerak kekedua arah (kekiri dan kekanan). Sebagai ilustrasi dapat dilihat pada gambar 5. dan 6. dibawah ini

## Gambar 5. gelombang bergerak kekanan
Gambar 6. gelombang bergerak kekiri & kekanan

## 2.3. Profil Solusi Alembert Dengan Syarat Batas Dirichlet
Solusi  persamaan  gelombang  menggunakan  metode  Alembert  dengan  syarat  batas  Dirichlet pada sebarang syarat awal yang diberikan, misal dengan mengambil     2 exp x x f   , c = 1 dan panjang selang [-15,15] diperoleh profil sebagai berikut,
Gambar 7. Profil dengan c = 1
Simpangan maksimum terjadi pada saat t > 1 yaitu pada x = -10  dimana kurvanya  berada di atas sumbu- x dan x = 10 kurvanya berada di bawah sumbu- x . Jika dilihat dari gerak animasinya, gelombang yang berada di atas sumbu- x bergerak ke kanan, selanjutnya gelombang yang berada di bawah sumbu- x bergerak kekiri. Kemudian gelombang yang dari sumbu- x negatip saat berada pada posisi di sumbu- x positip ketika melewati batas selang yang diberikan maka akan berubah berada pada posisi di bawah sumbu- x . Demikian juga sebaliknya. Di bawah ini diberikan plot untuk nilai c berbeda.
Gambar 8. Profil dengan c = 0,1
Gambar 9. Profil dengan c = 1,5
Gelombang  diatas  dapat  juga  dilihat  dengan  cara  lain  yaitu  dengan  melihat  profilnya  untuk waktu yang berbeda dalam satu plot (Gambar  10).
Majalah Ilmiah Matematika dan Statistika Volume 16 Nomor 1  2016, 13 – 24 https://jurnal.unej.ac.id/index.php/MIMS/index ISSN 1411-6669

## Gambar 10. Pergerakan gelombang dengan c = 1

## 2.4. Profil Solusi Alembert Dengan Syarat Batas Neumann
Gerakan  gelombang  dengan  syarat  batas  Neumann  diberikan  oleh  gambar  11  dengan     x x f sin  dan nilai c = 1.
Gambar 11. Profil gelombang dengan syarat batas Neumann

## 2.5. Profil Solusi Dengan Approksimasi Deret
Approsimasi deret pada selang [0,1] dengan syarat batas Dirichlet pada x = 0 dan x = 1, dengan syarat awal     x x x f   1 dan   0  x g menghasilkan profil berikut.
Gambar 12. Profil dengan syarat awal     x x x f   1 dan   0  x g

## Gambar 13. Gelombang periodik selang [0,3]
Profil persamaan gelombang di atas menunjukkan bahwa simpangan maksimum atau amplitudo dihasilkan pada saat t > 0,2 dan ini berlaku untuk semua nilai N yang diberikan pada selang [0,1]. Kemudian jika dilihat pada selang yang lebih panjang misal x = 0 sampai x = 3 diperoleh bentuk grafik periodik seperti gambar 13. Gambar tersebut menunjukkan bahwa terjadi gerak periodik,  oleh  karena  setiap  gerak  periodik  dapat  dinyatakan  sebagai  superposisi  atas  gerak sederhana  maka  biasanya  memudahkan  untuk  menganalisis  suatu  gerak  periodik  sembarang dengan  memakai  dalil  Fourier.  Gelombang  diatas  dapat  juga  dilihat  dengan  cara  lain  yaitu dengan  mem-plot  profilnya  pada  waktu  yang  berbeda.  Gambar  14  adalah  profil  perubahan waktu pada syarat batas Dirichlet di x = 0 dan x = 5 dengan approksimasi deret yang berbeda..
(a) N = 5                                                                        (b) N = 20 Gambar 14. Profil dengan selang [0,5]
Dari kalkulasi profil di atas menunjukkan bahwa amplitudo maksimum terjadi pada saat t > 15 seperti yang terlihat pada gambar 14 (b). Dari profil tersebut terlihat  bahwa getaran senar pada selang [0,1] dengan syarat batas dirichlet dari x = 0 dan x = 1 memiliki amplitudo maksimum di atas  sumbu- x ,  juga  untuk  selang  [0,5]  dan  [0,10].  Oleh  karena  itu  dapat  disimpulkan  bahwa panjang senar berpengaruh terhadap simpangan dari suatu getaran senar. Semakin panjang senar yang digetarkan semakin besar simpangan yang dihasilkan, demikian juga sebaliknya.
Profil  gelombang  dengan  metode  aproksimasi  deret  pada  selang  [0,1]  dengan  syarat  batas Neumann dan syarat awal     2 3 1 x x x f   serta   0  x g diperoleh grafik  seperti di bawah ini
(a)                                                                         (b)

## Gambar 15. Syarat batas Newmann
Profil pada Gambar 15  (a) menghasilkan  amplitudo  maksimum  pada saat t = 0,035 dan ini berlaku  untuk  nilai N =  5.  Jika  ditinjau  dari  gerak  animasinya  berbeda  dengan  yang menggunakan syarat batas Dirichlet, karena pada kasus ini kedua ujung senar ikut digetarkan sesuai  dengan  fungsi  syarat  batas  yang  diberikan.  Profil  untuk  waktu  yang  berbeda  dengan syarat batas Newmann dapat dilihat pada gambar 15 (b).

## 3. Kesimpulan
Kesimpulan yang diperoleh dari pembahasan sebagai berikut. Profil gelombang dengan metode Alembert mempunyai karakter yang berbeda jika nilai kecepatan c -nya diubah baik pada syarat batas Dirichlet ataupun Neumann. Sementara profil gelombangnya untuk syarat batas Dirichlet mengalami perubahan fasa, sedangkan pada syarat batas Neumann tidak mengalami perubahan fasa. Profil gelombang dengan syarat batas Dirichlet bergerak searah sumbu- y , sedangkan untuk syarat  batas  Neumann  gelombangnya  bergerak  kekanan  searah  dengan    sumbu- x .  Profil
gelombang dengan metode Alembert merupakan jenis dari gelombang berjalan, sedangkan pada metode aproksimasi deret merupakan gelombang periodik.

## Daftar Pustaka
[1] A. David   Snider. (1999), Partial Differential Equations Sources and Solutions, Simon & Schuster.
[2] A. Pipes Louis dan R. Harvill Lawrence. (1991), Matematika Terapan untuk para Insinyur dan Fisikawan, Jilid 1, Edisi ketiga, Gadjah Mada University Press, Yogyakarta.
[3] Bassanini, P. & Elcrat, A.R. (1997) Theory and Applications of Partial Differential equation, Plenum Press.
[4] DiBeneditto E. (1995) Partial Differential Equations, Birkh.
[5] DuChateau P. & Zachmann D. (1989) Applied Partial Differential Equations, Harper & Row Publisher, Inc.
[6] Duffy  D.G.  (1994)  Transform  methods  for  Solving  Partial  Differential  Equations,  CRC Press, Inc.
[7] Farlow S.J. (1982) Partial Differential Equations for Scientist and Engineers, John Wiley & Sons.
[8] Fritz.  J.  (1978)  Applied  Mathematical  Sciences  1:  Partial  Differential  Equations  (3rd Edition), Springer-Verlag.
[9] Gribben  R.J.  (1975)  Elementary  Partial  Differential  Equations,  Van  Nostrand  Reinhold Company.
[10] Guest, P.B. (1991) Laplace Transforms and An Introduction to Distributions, Ellis Horwood Limited.
[11] Kevorkian  J.  (1993)  Partial  Differential  Equations;  Analytical  Solution  Techniques, Chapman & Hall.
[12] Myint-U  T.  (1973)  Partial  Differential  Equations  of  Mathematical  Physics,  American Elsevier Publishing Company, Inc..
[13] Zauderer  E.  (1989)  Partial  Differential  Equations  of  Applied  Mathematics  2nd  Edition), John Wiley & Sons.