PENENTUAN HARGA OPSI DENGAN MODEL BLACK-SCHOLES MENGGUNALKAN METODE BEDA HINGGA FORWARD TIME CENTRAL SPACE

## Werry Febrianti
Institut Tek nologi Sumatera Email : werry.febrianti@ma.ite ra.ac.id
Abstract. Option can be defined  as a contract between two sides/parties  said party one and party two. Party one has the right  to buy or sell of stock to party two. Party two can invest  by observe the put option price or call option price on a time  period in the option contract. Black-Scholes  option solution using finite  difference  method based on forward time  central space (FTCS) can be used as the reference  for party two in the invest me nt determining.  Option price determining  by using Black-Scholes was applied on Samsung stock (SSNLF) by using  finite  difference  method FTCS. Daily  data of Samsung stock in one year was processed to obtain the volatility  of the stock. Then, the call option and put option are calculated  by using  FTCS method after discretization  on the Black-Scholes model. The value of call option was obtained as $1.457695030014260 and the put option value  was obtained as $1.476925604670225.
Keywords: Option, Black-Sholes model, Finite difference method FTCS
Abstrak. Opsi didefinisikan  sebagai kontrak antara dua pihak. Pihak pertama memilik i suatu hak untuk  membeli atau menjual beberapa saham ke pihak kedua. Pihak kedua dapat berinvestasi dengan mempertimbangkan  harga opsi jual atau opsi beli pada periode tertentu dalam kontrak opsi. Solusi harga opsi Model Black-Scholes  dengan metode beda hingga  forward time central space (FTCS) dapat dijadikan acuan pihak kedua dalam penentuan investasi.  Penentuan harga opsi dengan model Black-Scholes diterapakan pada saham Samsung  (SSNLF) menggunakan  metode beda hingga  FTCS. Data harian Samsung  selama satu tahun diolah untuk  memperoleh volatilitas  dari saham Samsung. Kemudian,  dihitung  nilai opsi call dan opsi put menggunakan  metode  FTCS setelah dilakukan diksritisasi pada model Black-Scholes.  Nilai opsi beli (call) diperoleh sebesar $1.457695030014260 dan nilai opsi jual (put) diperoleh  sebesar $1.476925604670225. Kata kunci: Opsi, Model Black-Scholes,  Metode Beda Hingga,  FTCS.

## I. PENDAHULUAN
Investasi merupakan suatu strategi dalam bidang ekonomi yang dapat digunakan untuk meningkatkan income (pendapatan).  Secara umum,  investasi  dapat dikatakan sebagai komitmen atas sejumlah  dana atau sumber daya lainnya  yang dilakukan  pada saat ini, dengan tujuan memperoleh keuntungan di masa mendatang [1]. Investasi dibagi menjadi dua jenis, yaitu investasi pada aset real ( real asset ) dan investasi pada aset finansial  ( financial assets ). Investasi pada aset real adalah investasi  pada barang-barang komoditas  yaitu emas, tanah, bangunan,  mesin,  dan minyak.  Kemudian,  investasi pada aset finansial adalah investasi dalam bentuk surat berharga seperti deposito, saham, obligasi,  dan lainnya.  Kegiatan investasi  ini
JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS AND APPLICATIONS (JFMA), Vol. 1, No. 1 (June 2018) Available online at www.jfma.matematika.undip.ac.id
dapat dilakukan  di pasar modal baik untuk investasi pada aset real maupun  investasi pada aset finansial.
Saham merupakan salah satu jenis investasi pada finansial yang sering  diperdagangkan  di pasar modal. Saham didefinisikan  sebagai surat berharga yang dijadikan sebagai bukti seorang investor  memiliki  hak kepemilikan  atas suatu perusahaan. Saham merupakan salah satu instrumen investasi sehingga  saham memiliki resiko. Resiko investasi pada saham dapat diminimalisir dengan membeli instrumen derivatif. Instrumen derivatif merupakan instrume n yang nilainya  berasal dari produk yang dijadikan acuan pokok. Salah satu instrumen derivatif dari saham yaitu opsi.
Opsi adalah kontrak resmi yang memberikan hak (bukan kewajiban)  untuk membeli atau menjual sejumlah tertentu instrumen yang dijadikan dasar kontrak pada harga tertentu dan dalam jangka waktu yang telah ditentukan [2]. Berdasarkan haknya, opsi terbagi dua, yaitu opsi beli  ( call option ) dan opsi jual ( put option ). Opsi beli ( call option ) merupakan  opsi yang memberikan  hak (bukan kewajiban) kepada pemegangnya untuk membeli sejumlah tertentu dari sebuah instrumen yang menjadi dasar kontrak tersebut dengan jumlah  tertentu pada waktu dan harga yang telah ditentukan.  Opsi jual ( put option ) merupakan opsi yang memberikan  hak (bukan kewajiban) kepada pemegangnya  untuk menjual sejumlah tertentu dari instrumen yang menjadi dasar kontrak tersebut dengan jumlah tertentu pada waktu dan harga yang telah ditentukan [3]. Aset yang menjadi dasar sebuah kontrak opsi disebut underlying asset . Exercise price ( strike price ) adalah harga yang telah disepakati dalam kontrak opsi tersebut. Kemudian, expiration date merupakan waktu jatuh tempo atau waktu yang disepakati untuk transaksi opsi dapat dilaksanakan.  Apabila pemegang opsi melaksanakan haknya untuk membeli atau menjual opsi, maka tindakan itu terkenal dengan istilah exercise .
Berdasarkan waktu jatuh temponya, opsi dibedakan menjadi dua yaitu opsi Eropa dan opsi Amerika. Opsi Eropa merupakan opsi yang dapat dilaksanakan (di- exercise ) pada saat jatuh tempo saja, sedangkan opsi Amerika  merupakan opsi yang dapat dilaksanakan (di- exercise ) setiap saat sampai waktu jatuh tempo. Salah satu opsi saham yang menarik  perhatian dari banyak investor  yaitu saham Samsung.  Samsung merupakan sebuah perusahaan multinasio na l yang bergerak di bidang perancangan,  pengembangan,  dan penjualan barang-barang yang meliputi elektronik,  perangkat lunak komputer serta komputer pribadi.
Pada Bursa Efek Indonesia,  kontrak opsi disebut sebagai kontrak opsi saham (KOS) yaitu efek yang memuat  hak beli pada opsi beli atau hak jual pada opsi jual atas saham induk (saham acuan) dalam jumlah dan harga pelaksanaan ( strike price atau exercise price ) tertentu  serta berlaku dalam periode tertentu.
Hak beli pada opsi beli adalah suatu kontrak di mana pembeli ( taker ) KOS diberi hak oleh penjual ( writer ) KOS untuk membeli  saham acuan (saham induk) dalam jumlah  dan harga pelaksanaan serta berlaku dalam periode tertentu. Hak jual pada opsi jual adalah suatu kontrak di mana pembeli KOS diberi hak oleh penjual KOS untuk menjual saham acuan dalam jumlah dan harga pelaksanaan serta berlaku dalam jangka waktu tertentu. Strike price / exercise price merupakan harga tebus atas suatu saham acuan KOS yang telah disepakati antara writer dan taker ketika terjadi perdagangan KOS yang dipertemukan dalam mesin perdagangan.
Ada hal yang perlu diperhitungkan pada perdagangan opsi saham agar para investor  dapat dapat menghasilkan return yang maksimal.  Masalah yang umum terjadi pada perdagangan opsi saham yaitu kerugian yang dialami oleh investor.  Salah satu faktor yang menyebabkan kerugian tersebut yaitu kurangnya  pengetahuan tentang strategi yang akan digunakan untuk meminimalisir resiko  dan memperoleh return yang maksimal. Investor  pemula  yang tidak menggunakan strategi untuk menentukan harga opsi pasti akan sering mengalami kerugian dan akan cepat tenggelam dalam dunia investasi.  Investor harus dapat menghitung harga dari opsi

## JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS
AND APPLICATIONS (JFMA), Vol. 1, No. 1 (June 2018) Available online at www.jfma.matematika.undip.ac.id
di mana harga opsi bisa dibeli atau dijual.  Untuk mengatasi  masalah tersebut, investor membutuhkan solusi untuk menghitung harga wajar dari opsi.

## II. MODEL BLACK-SCHOLES
Salah satu solusi untuk menghitung harga wajar dari opsi yaitu model matematika  untuk penentuan harga opsi. Model matematika  yang lazim digunakan dan telah banyak diterima  oleh para investor yaitu Model Black-Scholes.  Model ini dikembangkan  oleh Fisher  Black dan Myron Scholes. Black dan Scholes mengasumsikan bahwa model ini menggunakan saham yang tidak memberikan dividen dan menggunakan lima variabel yang mempengaruhi harga opsi saham yaitu harga saham, strike price / expiration price yang ditetapkan, expiration date dari opsi, volatilitas harga saham yang diharapkan selama umur opsi, dan tingkat suku bunga jangka pendek selama umur opsi [4].
Bentuk  model Black-Scholes berupa persamaan diferensial  parsial.  Persamaan Black- Scholes untuk menentukan harga opsi adalah
. (1)
Dibutuhkan suatu metode untuk menyelesaikannya,  salah satunya  metode beda hingga. Secara umum,  metode beda hingga  adalah metode yang mudah digunakan dalam penyelesa ia n problem fisis yang mempunyai bentuk geometri yang teratur. Pada prinsipnya  metode beda hingga ini mengganti turunan yang ada pada persamaan diferensial dengan diskritisasi beda hingga  berdasarkan deret Taylor.
Metode ini akan membuat  pendekatan terhadap harga-harga yang tidak diketahui pada setiap titik secara diskrit. Dimulai dengan pemodelan dari suatu benda dengan membagi- ba gi dalam grid atau kotak-kotak hitungan  kecil yang secara keseluruhan  masih memiliki sifat yang sama dengan benda utuh sebelum terbagi menjadi bagian-bagian yang kecil.
Berdasarkan ekspansi deret Taylor,  salah satu skema beda hingga  yang biasa digunaka n dalam diskritisasi persamaan diferensial parsial, yaitu skema maju ( forward ). Pada skema maju ( forward ), informasi  pada titik i dihubungkan dengan titik hitung i+1 yang berada di depannya. Dengan menggunakan kisi beda hingga,  maka skema maju ( forward ) biasa ditulis  sebagai berikut : skema maju ( forward )-ruang :
atau (2)
skema maju ( forward )-waktu  :
atau . (3)
Metode maju forward time central space (FTCS) merupakan  salah satu metode beda hingga yang dapat menyelesaikan  persamaan diferensial  parsial secara numerik.  Metode FTCS digunakan untuk menyelesaikan model Black-Scholes karena harga saham dipengaruhi oleh waktu yang sebelumnya  dan waktu yang akan datang.
Tujuan dari penelitian ini adalah untuk membantu para investor menggunakan metode beda hingga  FTCS sebagai alat untuk mencari harga opsi tipe Eropa yang sebelumnya  dibentuk
JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS AND APPLICATIONS (JFMA), Vol. 1, No. 1 (June 2018) Available online at www.jfma.matematika.undip.ac.id
dalam model Black-Scholes.  Agar para investor  dapat menghitung  harga opsi di mana opsi bisa dibeli atau dijual.

## III. METODE PENELITIAN
Penelitian ini adalah penelitian terapan yang diawali dengan meninjau permasalaha n, mengumpulkan bahan rujukan, mengaitkan teori-teori yang relevan dan diikuti dengan penerapannya.  Jenis data pada penelitian  ini adalah data sekunder, yaitu data yang dikumpulkan oleh pihak lain atau data yang telah tersedia. Populasi pada penelitian ini yaitu populasi berhingga,  di mana populasinya adalah data harga penutupan saham Samsung selama setahun. pada penelitian ini sampel yang digunakan sama dengan populasi karena populasi yang digunakan hanya data dalam setahun. Langkah-langkah yang dilakukan dalam teknik analisis  data adalah sebagai berikut :
a) Formula  dari model penentuan harga opsi tipe Eropa dengan model Black-Scholes diperoleh dengan menggunakan metode beda hingga  FTCS, teknis analisis  datanya mengikuti langkah-langkah sebagai berikut :
1) Mendiskritisasi model Black-Scholes menggunakan metode beda hingga  FTCS
2) Menyederhanakan model Black-Scholes yang telah didiskritisasi sampai diperoleh formula  dari model penentuan harga opsi tipe Eropa.
b) Harga opsi tipe Eropa pada saham Samsung diperoleh dengan model Black-Scholes menggunakan metode beda hingga  FTCS, teknik analisis  datanya mengikuti langkah- langkah sebagai berikut :
1) Mencari return nya selama setahun terakhir
(4)
dengan menyatakan return, menyatakan harga saham pada saat waktu t,
menyatakan harga  saham pada saat waktu . 2) Mencari rata-rata return nya
(5)
dengan menyatakan rata-rata return.
3) Mencari volatilitas harga saham
(6)
dengan menyatakan volatilitas  harga saham dan menyatakan jumlah  hari
perdagangan dalam satu tahun.
4) Memasukkan nilai volatilitas ke dalam formula yang telah didapatkan.
5) Menghitung  harga opsi tipe Eropa dengan menggunakan  aplikasi Matlab versi 2014a.

## IV. HASIL DAN PEMBAHASAN
Model Black-Scholes merupakan model untuk menentukan  harga opsi saham tipe Eropa. Model ini memiliki bentuk berupa persamaan diferensial parsial. Sehingga  kita dapat
JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS AND APPLICATIONS (JFMA), Vol. 1, No. 1 (June 2018) Available online at www.jfma.matematika.undip.ac.id
menentukan nilai opsi beli dan opsi jual secara numerik,  dengan menggunakan metode beda hingga  FTCS. Diketahui persamaan diferensial parsial Black-Scholes sebagai berikut :
(7) dengan . Diasumsikan bahwa harga saham tidak melewati harga tertinggi , sehingga  saham  dibatasi dengan . Persamaan Black-Scholes ditransformasi agar dapat digunakan untuk  menentukan harga opsi. Akan ditentukan syarat awal dan syarat batas untuk harga opsi beli dan opsi jual. Persamaan diferensial  parsial Black-Scholes yang telah ditransformasikan  menjadi
(8) dengan , , dengan syarat awal : (Opsi Beli) : (Opsi Jual) : , dan L cukup besar
dan syarat batas :
(Opsi Beli) :
,
(Opsi Jual) :
.
Interval dan  akan didiskritisasi dengan panjang selang masing- masing adalah  dan  , yaitu dengan
M,
N,
dengan M dan N masing- masing  adalah jumlah  titik  selang pada interval  dan  . Selanjutnya, persamaan Black-Scholes akan dikonversi dengan metode beda hingga  FTCS di titik
Dengan skema maju ( forward ) terhadap  waktu , terhadap ruang  (saham) , akan disubstitusikan :
Maka persamaan diferensial parsial Black-Scholes menggunakan  metode beda hingga  FTCS adalah sebagai berikut :
. (9)
Agar formula  bisa digunakan untuk menghitung setiap nilai yang belum diketahui pada titik selang yang ada, maka disederhanakan bentuknya menjadi :
(10) dengan
. Skema persamaan FTCS di atas dapat dituliskan  dalam bentuk vektor sebagai berikut :
(11)

## JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS
AND APPLICATIONS (JFMA), Vol. 1, No. 1 (June 2018) Available online at www.jfma.matematika.undip.ac.id
dengan
dan
, , , ,
dengan dan
adalah syarat batas nilai opsi. Syarat batas untuk  opsi beli :
Syarat batas untuk opsi jual :
,
.
Syarat awal untuk  opsi beli dan jual tipe Eropa dalam bentuk matriks adalah: (Syarat awal opsi beli) :
dengan , (Syarat awal opsi jual) : dengan .
Dalam aplikasi formula  penentuan harga opsi dengan menggunakan model Black-Scholes menggunakan  metode FTCS perlu diketahui nilai beberapa parameter, diantaranya  harga saham awal/saat  ini , harga pelaksanaan/ strike price / exercise price
, tingkat  suku bunga , waktu jatuh tempo dan untuk  nilai yang tidak terlalu  besar saja sudah cukup. Pengolahan  data pada penelitian ini menggunakan bantuan program Matlab versi 2014a sehingga sebuah algoritma untuk mencari solusi numeriknya.  Algoritma untuk menentuka n harga  opsi dengan model Black-Scholes menggunakan  metode beda hingga  FTCS adalah sebagai berikut :
1) Input nilai
2) Tentukan nilai
dan
3) Tentukan syarat awal untuk menentukan harga opsi

## JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS
AND APPLICATIONS (JFMA), Vol. 1, No. 1 (June 2018) Available online at www.jfma.matematika.undip.ac.id
(Syarat awal opsi beli) :
(Syarat awal opsi jual) :
4) Tentukan syarat batas untuk menentukan harga opsi (Syarat batas opsi beli) :
(Syarat batas opsi jual) :
,
5) Hitung  harga opsi pada masing- masing titik  selang yang diinginkan  dengan menggunakan formula yang telah didapatkan.
Aplikasi  akan diterapkan pada saham Samsung yang disimbolkan dengan SSNLF dari bursa saham Amerika yaitu NASDAQ lalu memberikan  rekomendasi untuk investor. Untuk mengestimasi volatilitas  harga saham , akan digunakan  data penutupan  harga saham Samsung (SSNLF) yang dikumpulkan  dalam frekuensi  harian dari 18 Januari 2017 sampai 17 Januari 2018 dengan total pengamatan  252 data. Data diambil  dan diunduh  dari halaman www.finance.yahoo.com [5].
Berdasarkan data penutupan harga saham SSNLF, diestimasi volatilitas  harga saham AAPL, diestimasi  volatilitas  harga saham SSNLF yaitu
.  Harga saham SSNLF di pasar pada tanggal  17 Januari 2018 yaitu $2400 dengan tingkat  suku bunga amerika
1,25%, harga  eksekusi $2300 dan waktu jatuh tempo opsi saham
tersebut 20 hari sampai tanggal 15 Februari 2018
. Harga opsi beli dan harga opsi jual ditentukan dengan model Black-Scholes menggunakan  metode beda hingga  FTCS yang telah diolah  menggunakan software pemograman Matlab versi 2014a. Berdasarkan hasil perhitungan  menggunakan software pemograman Matlab  versi 2014a tersebut, diperoleh harga opsi beli dan harga  opsi jual masing- masingnya  pada tanggal  15 Februari 2018 sebesar $1.457695030014260 untuk  opsi beli ( call ) dan $1.476925604670225 untuk  opsi jual ( put ).

## V. KESIMPULAN
Dengan menggunakan formula  penentuan harga opsi tipe Eropa pada saham Samsung dengan  model Black-Scholes menggunakan  metode beda hingga  FTCS diperoleh harga opsi beli dan harga opsi jual pada tanggal  15 Februari 2018 masing- masingnya  adalah sebesar $1.457695030014260e+02 dan  $1.476925604670225e+02.

## REFERENSI
[1] Tandelilin,  E. (2010). Portofolio dan Investasi . Yogyakarta : Kanisius.
[2] Hull,  John C. (2009). Options, Futures, and Other Derivatives . USA : Pearson Prentice Hall.
[3] Higham,  Desmond  J. (2004). An Introduction to Financial Option Valuation . New York : Cambridge University Press.
[4] McDonald,  Robert L. (2006). Derivatives Markets . USA : Pearson Education,  Inc.
[5] www.finance.yahoo.com . Diakses Februari 2018.
JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS AND APPLICATIONS (JFMA), Vol. 1, No. 1 (June 2018) Available online at www.jfma.matematika.undip.ac.id