## KAJIAN FRAKTAL i-FIBONACCI WORD GENERALISASI GANJIL DENGAN MENGGUNAKAN L-SYSTEM
(Study on Odd Generalization of i-Fibonacci Word Fractal Using L-System)

## Riza Umami, Kosala Dwidja Purnomo*, Firdaus Ubaidillah
Jurusan Matematika, Fakultas MIPA, Universitas Jember Jl. Kalimantan 37 Jember 68121, Indonesia E-mail: *kosala.fmipa@unej.ac.id
Abstract. The i-Fibonacci Words are words over {0,1}. The i-Fibonacci Word can be associated with a fractal curve by using odd-even drawing rule and L-System methods, then also known as an  i-Fibonacci  Word  fractal.  L-System  is  one  of  methods  that  is  used  to  create  objects  with repetitive self-similiarity. Framework of L-System consists of axiom and rules. L-System is a parallel rewriting system with existing rules. The purpose of this research is to look for the L- System  rules  of  i-Fibonacci Word  special  for  odd  i,  then  look  how  its  characteristics. The  L- System rules for i-Fibonacci Word odd i are divided into two types, the rules for i=1 and the others odd i. The characteristic of  i-Fibonacci Word fractal is the more generation and i value of fractal, then the more segments and archs of fractal curve. Next, the words of  i-Fibonacci Word fractal segments number is a subwords of the i-Fibonacci Word digit numbers. It is also known that the fractal curve will be stretched as the decreased angle.
Keywords: Fractal, i-Fibonacci Word, L-System MSC 2010: 31E05

## 1. Pendahuluan
Matematika adalah ilmu pengetahuan yang mempelajari besaran, struktur, bangun ruang, dan perubahan-perubahan pada suatu bilangan. Matematika juga mempelajari berbagai macam bentuk barisan bilangan dimulai dari barisan geometri, barisan persegi, barisan aritmatika, dan barisan Fibonacci. Barisan Fibonacci sendiri pertama kali dikemukakan oleh  Leonardo  Pisano  atau  yang  lebih  dikenal  sebagai  Fibonacci.  Barisan  Fibonacci adalah  sebuah  barisan  yang  mempunyai  bentuk  unik,  dimana  digit  suku  pertama  dan kedua dari barisan tersebut bernilai 1, dan nilai dari digit berikutnya didapat dengan cara menambahkan kedua bilangan yang berurutan sebelumnya.
Contoh  dari  barisan  lainnya  adalah  Barisan  fibonacci  word,  dimana  barisan  ini  hanya mangandung angka 1 dan 0. Barisan fibonacci word ini dapat membentuk sebuah kurva dengan menggunakan dua metode, yaitu metode odd-even drawing rule dan metode l- system. Kurva fibonacci word pertama kali dikemukakan oleh Dumaine pada tahun 2009. Penggambaran  kurva  fibonacci  word  dapat  dilakukan  dengan  mengikuti  aturan penggambaran  ganjil-genap  ataupun  aturan  produksi L-System yang  ditemukan  oleh
Dumaine [1]. Kurva yang didapat akan mempunyai sifat keserupaan diri, yang kemudian oleh  Dumaine  disebut  dengan  fraktal  Fibonacci  word.  Fraktal  sendiri  adalah  sebuah obyek yang memiliki bagian-bagian pembentuk yang sama dengan bentuk keseluruhan. Banyak  fraktal  memiliki  sifat  menyerupai  dirinya  sendiri,  paling  tidak  hampir  [2]. Ramirez  dan  Rubiano  [3]  memperkenalkan  sebuah  barisan  yang  bernama i-Fibonacci word .  Barisan  ini  didefinisikan  secara  rekursif  sebagai: 𝑓 0 [𝑖] = 0; 𝑓 1 [𝑖] = 0 𝑖−1 1; 𝑓 𝑛 [𝑖] = 𝑓 𝑛−1 [𝑖] 𝑓 𝑛−2 [𝑖] , untuk n ≥ 2 dan i ≥ 1, dimana n menyatakan banyak suku ke-n dan i generalisasi dari barisan i-Fibonacci word . Barisan i-Fibonacci word juga dapat membentuk sebuah kurva yang mempunyai sifat keserupaan diri layaknya kurva pada Fibonacci word .
Fraktal i-Fibonacci  word dapat  dibentuk  melalui  dua  metode.  Metode  pertama  yaitu dengan menggunakan  aturan penggambaran ganjil-genap seperti  yang digunakan pada fraktal Fibonacci word . Metode kedua yaitu dengan menggunakan metode L-system. L- System sendiri adalah aturan formal, disusun sebagai grammar yang dikarakteristikkan dalam bentuk aksioma, dan simbol-simbol alphabet yang digunakan sebagai representasi pertumbuhan bagian tanaman yang secara paralel terjadi pergantian pada masing-masing tahap  [4].  Berdasarkan  bentuk  kurva Fibonacci  word menurut  aturan  penggambaran ganjil-genap,  Dumaine  membuat  suatu  aksioma  dan  aturan  produksi  untuk  fraktal tersebut. Kemudian, Alyagustin, dkk [5] membuat perbandingan kurva Fibonacci word dengan memvariasikan panjang segmen K dan Q. Amalia [6] juga membuat suatu aturan produksi L-System Deterministik  untuk  fraktal i-Fibonacci  word generalisasi  genap berdasarkan  aturan  penggambaran  ganjil-genap  serta  mengkaji  karakteristiknya.  Oleh karena itu, penulis akan mengkaji tentang karakteristik fraktal i-Fibonacci word untuk generalisasi ganjil dengan menggunakan L-System d eterministik.

## 2. Metodologi
Langkah-langkah  yang  dilakukan  untuk  menyelesaikan  permasalahan  ini  diantaranya meliputi penafsiran fraktal i-Fibonacci Word generalisasi ganjil dengan L-System secara matematis.  Pertama  akan  ditentukan  aksioma  dan  beberapa  aturan  produksi  untuk membentuk fraktal i-Fibonacci Word generalisasi ganjil. Aturan produksi akan diperoleh berdasarkan bentuk dari fraktal maupun barisan i-Fibonacci Word tersebut. Pada langkah selanjutnya akan dilakukan penafsiran fraktal i-Fibonacci word generalisasi ganjil dengan l-system secara  grafis.  Langkah  ini  dilakukan  dengan  cara  menggambar  secara  grafis aturan produksi yang telah didapat saat menafsirkan fraktal i-Fibonacci word generalisasi ganjil secara matematis. Langkah selanjutnya yaitu pembuatan program visualisasi fraktal i-Fibonacci  word generalisasi  ganjil.  Algoritma  program  penerapan L-system dalam membangun fraktal i-Fibonacci word generalisasi ganjil meliputi penentuan aksioma dan aturan  produksi;  penentuan  nilai i; generasi;  dan  sudut  fraktal i-Fibonacci  word generalisasi  ganjil  yang  akan  divisualisasi  sebagai  input,  dan  penggambar  fraktal i-
Fibonacci  word generalisasi  ganjil  berdasarkan  ketentuan  pada  langkah-langkah sebelumnya. Hasil yang diperoleh dari pembuatan program adalah visualisasi dari fraktal i-Fibonacci word generalisasi ganjil. Output yang didapat akan berupa visualisasi fraktal i-Fibonacci word generalisasi ganjil dengan menggunakan aturan produksi yang didapat saat pada langkah pertama. Selain itu, juga akan didapat perbandingan karakteristik dari fraktal i-Fibonacci word generalisasi ganjil.

## 3. Hasil dan Pembahasan
Aturan produksi L-System yang digunakan untuk penggambaran fraktal i-Fibonacci Word i ganjil adalah sebagai berikut.
Aturan produksi L-System fraktal i-Fibonacci Word i =1:
V = { A, L, O, P, R, S, T, U , +, –} w = T p1 : T → LAA – SA – OAA + LAA – SA
p2 : L → LAA – SA – OAA + LAA – SA – PAA
p3 : O → UAA + RA + TAA – UAA + RA
p4 : P → PAA + RA + TAA – UAA + RA + LAA
p5 : R → – – SA – OAA
p6 : S → ++ RA + TAA
p7 : U → UAA + RA + TAA – UAA + RA +  LAA
p8: A(x) → 𝜙
Aturan produksi L-Systemraktal i-Fibonacci Word i ganjil lainnya:
V = { A, L, O, P, Q, R, S, T, U , +, –} w = Q p1 : T → LA – SA – O + L 𝛱 𝑛=1 (𝑖−3) 𝛼 𝑛 A – SA 𝛱 𝑛=1 (𝑖−3) 𝛼 𝑛 A
p2 : L → LA– SA – O+ L 𝛱 𝑛=1 (𝑖−3) 𝛼 𝑛 A – SA – P 𝛱 𝑛=1 (𝑖−3) 𝛼 𝑛 A
p3 : O → UA+ RA + T– U 𝛱 𝑛=1 (𝑖−3) 𝛽 𝑛 A + RA p4 : P → PA + RA + T– U 𝛱 𝑛=1 (𝑖−3) 𝛽 𝑛 A + RA + L 𝛱 𝑛=1 (𝑖−3) 𝛼 𝑛 A p5 : Q → + A + T– U 𝛱 𝑛=1 (𝑖−3) 𝛽 𝑛 A + RA 𝛱 𝑛=1 (𝑖−3) 𝛽 𝑛 A p6 : R → – – SA – OA 𝛱 𝑛=1 (𝑖−3) 𝛽 𝑛 A
p7 : S → ++ RA + TA 𝛱 𝑛=1 (𝑖−3) 𝛼 𝑛 A
p8 : U → UA + RA + TA – UA 𝛱 𝑛=1 (𝑖−3) 𝛽 𝑛 A + RA + LA 𝛱 𝑛=1 (𝑖−3) 𝛼 𝑛 A(x)
p9: A → 𝜙
Adapun makna dari notasi dari notasi A, L, O, P, Q, R, S, T, dan U adalah menggambarkan segmen  garis  sepanjang l. Notasi  plus  (+)  dan  minus  (–)  masing-masing  bermakna berputar  berlawanan  dan  searah  jarum  jam  sebesar  900.  Simbol 𝛱 𝑛=1 (𝑖−3) mengartikan pengulangan untuk masing-masing 𝛼 𝑛 A dan 𝛽 𝑛 A. 𝛼 𝑛 adalah minus (–) untuk n ganjil dan plus (+) untuk n genap, sedangkan 𝛽 𝑛 adalah minus (–) untuk n genap dan plus (+) untuk n ganjil.  Gambar  1  merupakan  contoh  kurva  koch  yang  apabila  diperbesar  dengan generasi tak terhingga mempunyai ketidakrataan yang sama.
Gambar 1.  Contoh fraktal
Penafsiran grafis fraktal i-Fibonacci Word i =1 untuk generasi pertama bermula dengan menggambarkan  segmen  garis L .  Kemudian  dilanjutkan  dengan  menggambarkan  dua segmen garis A . Langkah selanjutnya yaitu mengerjakan perintah minus (-), yang berarti berbelok searah jarum jam sebesar 900, lalu dilanjutkan dengan menggambarkan segmen garis S dan A. Perintah berikutnya yaitu kembali berbelok searah jarum jam sebesar 900, kemudian  menggambarkan  satu  segmen  garis O dan  dua  segmen  garis A .  Kemudian, menjalankan perintah plus (+), yaitu berbelok berlawanan arah jarum jam sebesar 900, lalu  menggambarkan  segmen  garis L, dua  segmen  garis A dan  seterusnya.  Hal  serupa dapat  dilakukan  untuk  penggambaran  fraktal i-Fibonacci  Word i=1  untuk  generasi selanjutnya.
Penafsiran grafis i =3 dan i =5 pada fraktal i-Fibonacci Word generalisasi ganjil masing- masing dapat dilihat pada Gambar 2 dan Gambar 3.
Gambar 2.  Generasi pertama L-system fraktal i-Fibonacci word i =3
Gambar 3.  Generasi pertama L-system fraktal i-Fibonacci word i =5
Pemakaian  notasi  pada  aturan  produksi  fraktal fibonacci  word  i ganjil  mengartikan adanya  perulangan  segmen A yang  dimulai  dari i= 3.  Semakin  besar i maka  semakin banyak pula perulangan pada segmen A. Sehingga hal tersebut mengakibatkan adanya perbedaan bentuk fraktal i-fibonacci word pada setiap i . Pada i = 3, penggunaan notasi mengakibatkan tidak adanya perulangan segmen A dikarenakan hasil dari pada i= 3 adalah nol. Kemudian untuk i =5 terdapat perulangan segmen A sebanyak 2 kali. Adapun hasil visualisasi  dari  fraktal i-fibonacci  word i=6,  i=7,  i=9,  dan  i=10  dapat    dilihat    pada Gambar 4.
(a) (b) (c)
(d) Gambar 4.  Visualisasi fraktal i-Fibonacci word . (a) i =6, (b) i =7, (c) i =9, (d) i =10
Pada Gambar 4 dapat dilihat bahwa untuk i ganjil > 1, semakin besar i maka semakin rapat bentuk fraktalnya. Hal tersebut bisa terjadi karena adanya pengulangan suatu notasi A pada  aturan  produksi  yang  dipakai,  dimana  semakin  besar  i  semakin  banyak  pula pengulangan untuk notasi tersebut.
Adapun visualisasi dari fraktal i-Fibonacci word i=11, i=12, i=13, dan i=14 dapat dilihat pada Gambar 5.
(a) (b) (c)
(d)
Gambar 5.  Visualisasi fraktal i-Fibonacci word . (a) i=11, (b) i=12, (c) i=13, (d) i=14
Berdasarkan  Gambar  5  dapat  dilihat  bahwa  untuk  generasi  genap  bentuk  fraktal cenderung ke arah kanan, sedangkan untuk generasi ganjil bentuk fraktal cenderung ke arah  kiri.  Kemudian  jumlah  segmen  untuk  g1,  g2,  g3,  dan  g4  masing-masing  adalah sebanyak 13, 55, 233, dan 987. Sedangkan, untuk jumlah belokan untuk g1, g2, g3, dan g4 masing-masing adalah sebanyak 4, 20, 88, dan 376. Semakin bertambahnya generasi, ukuran x dan y pada fraktal tersebut juga bertambah.
Selanjutnya, barisan jumlah segman fraktal i-Fibonacci word dan barisan jumlah digit barisan i-Fibonacci  word masing-masing  akan  dinyatakan  sebagai 𝜑(𝐹 𝑛 [𝑖] ) dan 𝐹 𝑛 [𝑖] . Terdapat keterkaitan antara 𝜑 (𝐹 𝑛 [1] ) dengan, 𝐹 𝑛 [1] yaitu 𝜑(𝐹 𝑛 [1] ) merupakan subbarisan dari 𝐹 𝑛 [1] . Adapun barisan jumlah segmen fraktal dan digit barisan pada i-Fibonacci word i =1 masing-masing adalah sebagai berikut:
𝜑(𝐹 𝑛 [1] ) = 13, 55, 233, 987, ...
𝐹 𝑛 [1] = 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, ...
Angka 13 pada 𝜑(𝐹 𝑛 [1] ) juga terdapat pada 𝐹 𝑛 [1] dengan n=7. Kemudian setelah itu diikuti dengan angka 55, 233, dan seterusnya yang berjarak 3 suku. Kemudian, untuk 𝜑(𝐹 𝑛 [𝑖] ) dan 𝐹 𝑛 [𝑖] pada i =3 dan i =5 masing-masing adalah sebagai berikut:
𝜑(𝐹 𝑛 [3] ) = 5, 18, 76, 322, ...
𝐹 𝑛 [3] = 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, 123, 199, 322, ...
𝜑(𝐹 𝑛 [5] ) = 9, 28, 118, 500, ...
𝐹 𝑛 [5] = 1, 5, 6, 11, 17, 28, 45, 73, 118, 191, 309, 500, ...
Suku  pertama  pada 𝜑(𝐹 𝑛 [3] ) dan 𝜑(𝐹 𝑛 [5] ) masing-masing  tidak  terdapat  pada 𝐹 𝑛 [3] dan 𝐹 𝑛 [5] di n berapapun  itu.  Tetapi,  jika  suku  pertama  dikurangi  dengan i-2 maka  akan menghasilkan bilangan yang sama dengan suku ke-3 dari 𝐹 𝑛 [3] dan 𝐹 𝑛 [5] .
Hal  terakhir  yang  akan  dilakukan,  yaitu  pemvariasikan  sudut  belokan  dari  fraktal i- Fibonacci Word . Variasi sudut antara lain adalah 300, 450, 600, 850, 950, 1000, 1200, dan 1500.

## 4. Kesimpulan
Berdasarkan  hasil  dan  pembahasan,  diperoleh  kesimpulan  bahwa  fraktal i-Fibonacci Word generalisasi i ganjil dapat dibangun dengan menggunakan L-System dengan cara mencari  aturan  produksinya  berdasarkan  bentuk  fraktal i-Fibonacci  Word generalisasi ganjil  yang  dihasilkan  dengan  menggunakan  aturan  penggambaran  ganjil-genap. Kemudian,  beberapa  karakteristik  yang  didapat  pada  fraktal i-Fibonacci  Word generalisasi i ganjil, yaitu semakin besar generasi dan nilai i suatu fraktal, maka semakin besar  pula  jumlah  segmen  dan  belokannya; 𝜑(𝐹 𝑛 [1] ) merupakan  subset  dari 𝐹 𝑛 [1] yang berjarak 3 suku setelah 𝐹 𝑛 [7] ; hasil dari 𝜑(𝐹 𝑛 [𝑖] ) – ( i – 2 ) sama dengan 𝐹 𝑛 [3] , lalu setelah itu anggota  himpunan  jumlah  segmen 𝜑(𝐹 𝑛 [𝑖] ) lainnya  akan  berjarak  3  suku  setelah 𝐹 𝑛 [3] ; segmen pada fraktal akan didilatasi seiring berubahnya sudut; nilai x dan y akan naik pada rentang sudut tertentu.

## Daftar Pustaka
[1] Amalia,  D.  R.  (2018).  Kajian  Fraktal  i-Fibonacci  Word  dengan  Menggunakan  L- System. Skripsi. Jember: Universitas Jember.
[2] Alyagustin,  R.  D.  Kusbudiono,  dan  Purnomo,  K.  D.  (2015). Variasi  Fraktal Fibonacci  Word . Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika UNY 2015. Jember: Universitas Jember
[3] Dumaine, A. M. (2009). The Fibonacci Word Fractal. http://www.mathcurve.com/ fractals/fibonacci/The_Fibonacci_word_fractal.pdf. [diakses pada 29 Januari 2018]
[4] Prusinkiewicz,  P.  and  Lindenmayer, A.  (1990). The Algorithmic  Beauty  of  Plants . New York: Springer-Verlag.
[5] Ramirez, Jose L dan Rubiano, G. N. (2014). Properties and Generalizations of the Fibonacci Word Fractal.
[6] Sahid.  (2013). Fraktal-Kurva  yang  Menyerupai  Diri  Sendiri. Yogyakarta: Universitas Negeri Yogyakarta.