Estimasi Parameter Distribusi Weibull dan Aplikasinya Pada Pengendalian Mutu Dengan Memanfaatkan Kuantil
Cecilia Novianti Salsinha 1
1 Universitas Timor, ceciliasalsinha@unimor.ac.id
Abstract. Weibull distribution is one of the continuous probability distributions. As the other distributions, Weibull distribution is also characterized by Mean, Variance and  Moment  Generation  Function.  The  advantage  of  this  distribution  compared  to other  distributions  is  its  flexibility,  that  is,  this  distribution  can  change  to  another distribution  such  as  an  exponential  distribution  depending  on  the  value  of  the selected  distribution  parameters,  namely  scale  parameters  and  form  parameters. From  the  distribution  graph,  it  can  be  shown  that,  the  flexibility  will  appear  very clear.  One  application  of  the  Weibull  distribution  is  in  statistical  process  control. Because  not  all  data  is  normally  distributed,  the  Shewhart  control  chart  cannot  be used. One way to solve this problem is that the data is analyzed with Weibull control charts by utilizing quantiles, namely 0.00135, 0.5 and 0.99865. Quantile 0.00135 is the  bottom  quintile  used  to  form  the  Lower  Control  Limit,  the  Middle  Line  is  the median of the data, which is 0.5 which replaces the average and the last to form the Upper  Control  Limit  the  top  quintile  is  0.99865.  By  generating  200  data  with Weibull distribution, if the data is analyzed by Shewhart control charts then there is a lot of data that is outside the control limit so it will be concluded that the graph is out  of  control.  Therefore,  if  the  data  is  not  from  a  Normal  distribution,  the  use  of Shewhart control charts is not recommended.
Keywords : Weibull Distribution, Maximum Likelihood Estimation (MLE), Quality Control, Weibull Control Charts
Abstrak. Distribusi  Weibull  merupakan  salah  satu  distribusi  probabilitas  kontinu. Sama  halnya  dengan  distribusi  lainnya,  distribusi  Weibull  pun  dicirikan  dengan Mean,  Variansi  dan  Fungsi  Pembangkit  Momen.  Kelebihan  distribusi  ini dibandingkan  dengan  distribusi  lainnya  adalah  fleksibilitasnya,  yaitu  distribusi  ini dapat berubah menjadi distribusi lain seperti distribusi eksponensial tergantung pada nilai  parameter  distribusi  yang  dipilih  yaitu  parameter  skala  dan  parameter  bentuk. Jika  dilihat  dari  grafik  distribusinya  maka  akan  tampak  sangat  jelas  fleksibilitas tersebut. Salah satu aplikasi dari distribusi Weibull yaitu dalam pengendalian proses statistik. Oleh karena tidak semua data berdistribusi normal maka grafik pengendali Shewhart  tidak  dapat  digunakan.  Salah  satu  cara  menyelesaikan  masalah  tersebut adalah  data  dianalisis  dengan  grafik  pengendali  Weibull  dengan  memanfaatkan kuantil-kuantil  yaitu  0,00135,  0,5  dan  0,99865.  Kuantil  0,00135  adalah  kuantil bawah  yang  digunakan  untuk  membentuk  Batas  Pengendali  Bawah,  Garis  Tengah adalah  median  dari  data  yaitu  0,5  yang    menggantikan  rata-rata  dan  untuk membentuk  Batas  Pengendali  Atas  digunakan  kuantil  atas  yaitu  0,99865.  Dengan membangkitkan  data  sebanyak  200  data  berdistribusi  Weibull,  jika  data  tersebut dianalisis  dengan  grafik  pengendali  Shewhart  maka  terdapat  banyak  data  yang berada  diluar  batas  pengendali  sehingga  akan  disimpulkan  bahwa  grafik  tak terkendali.  Oleh  karena  itu,  jika  data  bukan  berasal  dari  distribusi  Normal, penggunaan grafik pengendali Shewhart tidak disarankan.
Kata Kunci : Distribusi Weibull, Estimasi Maximum Likelihood, Pengendalian Mutu, Grafik Pengendali Weibull

## 1  Pendahuluan
Secara umum fungsi densitas dari distribusi Weibull adalah
(1)
dimana   adalah  parameter  skala  dan   adalah  parameter  bentuk  dari  distribusi Weibull.  Sama  halnya  dengan  mencari  parameter  pada  distibusi  lainnya  seperti Distribusi Normal, parameter   dan   juga dapat diperoleh dengan memanfaatkan metode  Maximum  Likelihood  Estimation  (MLE).  Namun  proses  memperoleh nilai  parameternya  tidak  semudah  Distribusi  Normal.  Dibutuhkan  bantuan software seperti Minitab untuk memperolehnya.
Distribusi  Weibull  banyak  diaplikasikan  pada  Pengendalian  Mutu  ( Quality Kontrol )  terutama  untuk  data  waktu  hidup  ( lifetime  data ).  Salah  satu  alat  yang digunakan  dalam  pengendalian  mutu  adalah  grafik  pengendali  ( control  charts ). Grafik  pengendali  adalah  perangkat  statistik  grafis  yang  digunakan  untuk mengontrol  suatu  proses  berulang.  Grafik  pengendali  sangat  berguna  dalam menetapkan  standar  pencapaian  dari  sebuah  proses,  membantu  mencapai  standar tersebut  dan    mempertimbangkan  standar  mana  yang  sudah  tercapai.  Grafik pengendali  yang  biasanya  digunakan  dalam  praktik  didasarkan  pada  analisis distribusi  normal  yaitu  dengan  rata-rata  Shewhart  dan  kisaran  grafik  pengendali

3  (standar  deviasi).  Namun  demikian  tidak  semua  data  berdistribusi  normal. Jika  data  tak  berdistribusi  normal  dan  tetap  dianalisis  dengan  grafik  pengendali tersebut dengan mengasumsikan bahwa data berdistribusi normal maka error yang besar  akan  terjadi  [1].  Oleh  karena  itu  akan  dibahas  mengenai  grafik  pengendali berdasrkan data yang  berdistribusi Weibull dengan memanfaatkan kuantil-kuantil yaitu 0,00135, 0,5 dan 0,99865 yang akan digunakan sebagai batas pengendali.

## 2 Pembahasan

## 2.1 Estimasi Parameter Distribusi Weibull
Seperti  yang  sudah  dijelaskan  di  awal  bahwa  parameter  distribusi  Weibull dapat  diperoleh  dengan  memanfaatkan  metode  Maximum  Likelihood  sebagai berikut.
Berdasarkan persamaan (1) diatas dicari fungsi Likelihood yaitu
(2)
Berdasarkan persamaan (2) dicari logaritma natural dan diperoleh
(3)
Dengan  mencari  derivatif  parsial  persamaan  (3)  terhadap   dan   dengan  nilai kedua derivatif tersebut adalah nol dan diselesaikan maka akan diperoleh
(4)
Nilai  pada  persamaan  (4)  disubstitusikan  ke  dalam  hasil  derivative  parsial terhadap   dan diperoleh hasil
(5) Untuk ,  hasil    erivative  parsial  di  atas  tidak  dapat  diselesaikan.  Namun untuk  memperoleh  parameter digunakan  metode  Newton-Raphson.
Untuk itu proses selanjutnya adalah dengan mencari   erivative parsial kedua dari dan  akan  diperoleh  rumus  iterasi  untuk  metode  Newton-Raphson  adalah sebagai berikut.
(6)
(7)
Berdasarkan penelitian dari Thoman, Bain dan Antle (1969) maka titik awal dari iterasi adalah
(8)
Dengan pendekatan ini, metode Newton-Raphson hanya memerlukan rata-rata 3,5 iterasi  Newton  untuk  mencapai  tingkat  ketelitian  sampai [2].  Untuk mengaplikasikan  metode  maksimum  likelihood  dalam  mencari  parameter distribusi Weibull akan digunakan software Minitab .

## 2.2 Batas Pengendali dengan Distribusi Weibull
Untuk  membentuk  grafik  pengendali  dengan  distribusi  Weibull  maka  perlu dicari batas pengendali terlebih dahulu. Seperti telah dijelaskan pada pendahuluan bahwa batas pengendali diperoleh dengan memanfaatkan kuantil. Oleh karena itu perlu untuk mencari kuantil dari Distribusi Weibull sebagai berikut. Berdasarkan persamaan (1) maka diperoleh fungsi distribusi kumulatif yaitu
(9)
Kuantil yang diperoleh dengan mencari invers persamaan (9) sehingga diperoleh
(10) Pada distribusi normal atau dalam grafik pengendali Shewhart, digunakan sebagai  Batas  Pengendali  Bawah,   sebagai  Garis  Tengah  dan  Batas  Pengendali Atas  yaitu .  Untuk  distribusi  tidak  normal  seperti  distribusi  Weibull memanfaatkan  kuantil  bawah  yaitu  0,00135  untuk  membentuk  Batas  Pengendali Bawah  (BPB),  Garis  Tengah  (GT)  adalah  median  dari  data  yaitu  0,5  yang menggantikan  rata-rata.  Untuk  membentuk  Batas  Pengendali  Atas  (BPA)
digunakan kuantil atas yaitu 0,99865 [3]. Oleh karena itu berdasarkan persamaan (10) di atas diperoleh
(11) (12) (13)

## 2.3 Perbandingan Kemampuan Proses
Untuk  melihat  aktivitas  pengembangan  sebelum  produksi,  untuk  kuantifikasi variabilitas proses, analisis variabilitas relatif terhadap persyaratan atau spesifikasi produk  dan untuk  membantu  pengembangan dan  produksi dalam menghilangkan atau  mengurangi  banyaknya  variabilitas  maka  salah  satu  cara  yang  dapat digunakan adalah dengan melihat Perbandingan Kemampuan Proses (PKP).  PKP diperoleh dengan memanfaatkan Fungsi Distribusi Kumulatif yang diperkenalkan oleh  Wierda  pada  tahun  1933  dalam  paper A  Multivariate  Process  Capability Index . Hasil PKP  yang diperoleh dengan metode ini paling baik diantara metode lainnya  seperti  metode  Burr  dan  metode  Clements  [3].  Formula  PKP  tersebut adalah sebagai berikut.
(14) dimana menunjukkan fungsi densitas dari proses.

## 2.4 Gafik Pengendali dan Perbandingan Kemampuan Proses
2.4.1 Grafik Pengendali Individual Dengan Distribusi Weibull
Grafik Pengendali dibentuk dengan membangkitkan  200 sampel random  yang berdistribusi Weibull dengan parameter skala (α)  yaitu 0,5 dan parameter bentuk (β)  yaitu  2.  Sampel  tersebut  kemudian  dianalisis  dengan  grafik  pengendali individual  berdasarkan  distribusi  Weibull.  Selanjutnya,  sebelum  mencari  Batas Pengendali untuk Grafik Pengendali Distribusi Weibull, terlebih dahulu dianalisis apakah  data  yang  dibangkitkan  memiliki  nilai  parameter  yang  sesuai  dengan parameteryang ditetapkan. Proses analisis menggunakan software Minitab dengan hasil sebagai berikut
Descriptive Statistics N  N*      Mean     StDev    Median    Minimum  Maximum  Skewness Kurtosis 200   0  0,443227  0,215439  0,426984  0,0508523  1,09146  0,377528  -
0,412931 Goodness of Fit Test
Distribution      AD       P Normal         0,928   0,018 Exponential   22,226  <0,003 Weibull        0,255  >0,250 Gamma          0,954   0,019 ML Estimates of Distribution Parameters Distribution  Location    Shape    Scale  Threshold
Normal*        0,44323           0,21544
Exponential                      0,44323 Weibull                 2,18161  0,50060 Gamma                   3,55771  0,12458 * Scale: Adjusted ML estimate
Berdasarkan hasil Goodness of Fit Test di atas terlihat bahwa data tersebut adalah data  berdistribusi  Weibull  dengan  P-Value  >  0,250  dan    β  =  2,18161  serta  α  = 0,50060. Nilai α dan β inilah yang digunakan untuk membentuk Batas Pengendali berdasarkan persamaan (11), (12), dan (13) sehingga diperoleh BPB , GT
dan BPA
Berdasarkan  Batas  Pengendali  di  atas  maka  Grafik  Pengendali  yang  dihasilkan yaitu:
Gambar 1. Grafik Individual dengan Ms.Excel
Untuk  membandingkannya  dengan  Grafik  Pengendali  Shewhart  maka  dibentuk Grafik Pengendali dengan Minitab sebagai berikut
181 161 141 121 101 81 61 41 21 1 1,2 0,9 0,6 0,3 0,0 Obser vation In d iv id u a l V a lu e _ X=0,443 U C L=1,064 LC L=-0,178 181 161 141 121 101 81 61 41 21 1 0,8 0,6 0,4 0,2 0,0 Obser vation M o v in g R a n g e __ MR=0,2336 U C L=0,7631 LC L=0 6 6 5 6 5 1 1 1 2 2 3 I-MR Chart of C1
Gambar 2. Grafik Individual dengan MINITAB
Jika  dibandingkan  dua  grafik  di  atas  maka  terlihat  bahwa  jika  data  dianalisis dengan  distribusi  Weibull  maka  grafik  tampak  terkendali.  Hal  ini  terlihat  dari tidak  ada  titik  yang  berada  diluar  batas  pengendali.  Namun,  jika  data  dianalisis dengan  Grafik  Individual  menggunakan  Shewart,  grafik  tampak  tak  terkendali.
Hal  ini  disebabkan  karena  data  yang  digunakan  adalah  data  yang  berdistribusi Weibull  dan  parameter  yang  digunakan  juga  tidak  mendekati  distribusi  normal. Jadi,  Jika  data  tidak  berdistribusi  normal  dianalisis  dengan  grafik  pengendali Shewhart diperoleh kesimpulan yang menyesatkan.

## 2.4.2 Perbandingan Kemampuan Proses dengan Distribusi Weibull
PKP  diperoleh  dengan  memanfaatkan  persamaan  (14)  yaitu  jika  digunakan target BSB dan BSA yaitu [0,02, 1,2], maka Dengan memisalkan
akan diperoleh
Sehingga PKP yang dihasilkan adalah
Jika  digambarkan  dengan MINITAB maka  akan  diperoleh  grafik  kemampuan proses sebagai berikut
1,2 1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 -0,0 LSL USL LSL 0,02 Target * U SL 1,2 Sample Mean 0,443227 Sample N 200 Shape 2,18161 Scale 0,500602 Process Data Pp 1,01 PPL 1,01 PPU 1,01 Ppk 1,01 O v erall C apability PPM < LSL 0,00 PPM > U SL 0,00 PPM Total 0,00 O bserv ed Performance PPM < LSL 889,01 PPM > U SL 1188,68 PPM Total 2077,70 Exp. O v erall Performance Process Capability of X Calculations Based on Weibull Distribution Model
Gambar 3. Analisis Kemampuan Proses dengan MINITAB
Berdasarkan grafik hasil analisis kemampuan proses di atas terlihat bahwa nilai PKP  yang  dihasilkan  adalah  1,01  sama  dengan  PKP  yang  dihasilkan  jika digunakan  target  BSB  dan  BSA  yaitu  [0,02,  1,2].  Hasil  PKP  yang  diperoleh  ini menunjukkan  bahwa  jika  digunakan  BSA  dan  BSB  pada  rentang    [0,02,  1,2],
maka hanya akan ada sedikit produk yang tak sesuai yang dihasilkan  dari proses ini.

## 3 Kesimpulan
Beberapa hal yang dapat disimpulkan berdasarkan pembahasan di atas yaitu
1. Estimasi parameter dengan metode MLE terlihat telah memberikan hasil yang cukup  akurat  namun  perlu  dibandingkan  dengan  metode  lainnya  seperti Metode  Bayes  sehingga  diperoleh  metode  yang  manakah  yang  lebih  baik dalam mengestimasi parameter distribusi Weibull.
2. Tidak semua data dapat dianalisis dengan Grafik Pengendali Shewhart (Grafik pengendali  dengan  asumsi  bahwa  data  berdistribusi  Normal).  Jika  data berdistibusi lain seperti  distirbusi Weibull dianalisis dengan grafik pengendali Shewhart maka akan menghasilkan kesimpulan yang menyesatkan.

## 4 Ucapan Terimakasih
Diucapkan  terimakasih  kepada  segala  pihak  yang  terlibat  sehingga  penelitian ini dapat terselesaikan dengan baik.

## 5 Daftar Pustaka
[1]  Samanta,  B.,  Bhattacherjee,  A,  Problem  Of  Non-normality  In  Statistical Quality Control: A Case Study In A Surface Mine. The Journal of The South African Institute of Mining and Metallugry , 257-264, 2004.
[2]  Zhang, M, Performance of Control Charts For Weibull Processes. Electronic Theses, Treatises and Dissertations (ETDs) 537,1-59, 2008.
[3]  Ahmad,S., Abdollahian, S., Zeephongsekul, P., dan Abbasi, B, Performance Analysis For Skewed Data. http://www.ubicc.org/files/pdf/UBICC_IKE07_Performance%20Analysis%2
0for%20skewed%20data_191_191.pdf diakses tanggal 17 Maret 2018.