Edumatsains, 7 (2) Januari 2023, 363-
http://ejournal.uki.ac.id/index.php/edumatsains

## TEOREMA TITIK TETAP UNTUK PEMETAAN KANNAN DAN CHATTERJEA PADA RUANG METRIK MODULAR BERNILAI KOMPLEKS
Mariatul Kiftiah * , Yudhi
Jurusan Matematika, FMIPA, Universitas Tanjungpura
Diterima: 1 Oktober 2022
Direvisi: 25 Januari 2023
Diterbitkan: 31 Januari 2023

## ABSTRACT
In this paper, inspired by fixed point concepts of complex valued modular metric space, we introduce Kannan 𝝎 − complex and Chatterjea 𝝎 − complex mappings. Using this new idea, some fixed point theorems involving both  of  these  contractive  mappings  are  established.  Furthermore,  existence  and  uniqueness  of  fixed  point  for Kannan 𝝎 − complex and Chatterjea 𝝎 − complex mappings on complex valued modular metric space is proved.
Keywords : Kannan 𝝎 − complex, Chatterjea 𝝎 − complex, fixed point.

## PENDAHULUAN
Ruang metrik merupakan suatu himpunan  tak  kosong  yang  dilengkapi dengan fungsi jarak metrik. Penelitian terkait ruang  metrik  menarik  para  peneliti  untuk selalu  melakukan  pengkajian  lebih  dalam, diantaranya  adalah  perluasan  pada  definisi metrik  yang  digunakan.  Ruang  metrik modular  yang  merupakan  perluasan  ruang metrik,  ruang  metrik  linear,  dan  ruang modular  linear  pertama  kali  diperkenalkan oleh  Chistyakov  (2006).  Dalam  penelitian selanjutnya, Chistyakov (2011) juga membangun  teorema  titik  tetap  untuk pemetaan  kontraktif  dan  pemetaan  Kannan yang  didefinisikan  di  ruang  metrik  modular dan  Zhao  dkk.  (2018)  yang  berhasil mendefinisikan  dan  menyelidiki  titik  tetap untuk  pemetaan  kontraksi  Chatterjea  yang diperlemah pada ruang tersebut.  Pengenalan
gagasan ruang metrik modular ini diikuti oleh banyak  peneliti  lain  di  antaranya  adalah Mongkolkeha,  Sintunavarat,  dan  Kumam (2011), Sitthikul dan Saejung (2012), Abdou dan  Khamsi  (2013),  Ege  dan  Alaca  (2015), dan Aksoy, Karapınar, dan Erhan (2017).
Pengembangan  terhadap  ruang  metrik modular  lainnya  dilakukan  oleh  Özkan, Gürdal, dan Mutlu (2021) yang memperkenalkan  struktur  ruang  baru  dan disebut dengan ruang metrik modular bernilai kompleks.  Konsep  ini  muncul  terinspirasi dari  penelitian  yang  dilakukan  oleh  Azam, Fisher, dan Khan (2011) dimana didefinisikan perumuman  dari  ruang  metrik  klasik  yaitu ruang  metrik  bernilai  kompleks.      Dalam penelitian  yang  dilakukan  oleh  Özkan  dkk. (2021),  diselidiki  pula  titik  tetap  untuk pemetaan kontraktif yang memenuhi ketaksamaan  rasionalitas  pada  ruang  metrik
bernilai kompleks. Lebih lanjut diperoleh titik tetap tersebut bersifat tunggal.
Oleh  karena  konsep  titik  tetap  dari pemetaan Kannan dan Chatterjea pada ruang metrik  modular  bernilai  kompleks  belum dilakukan  penelitian  lebih  mendalam,  maka pada  penelitian  ini  akan  dikonstruksi  kedua pemetaan  tersebut  di  ruang  metrik  modular bernilai  kompleks  dan  selanjutnya  diselidiki eksistensi dan ketunggalan titik tetapnya.

## METODE PENELITIAN
Metode yang digunakan pada penelitian ini adalah studi literatur. Langkah pertama yang dilakukan adalah dikaji konsep urutan  parsial  pada  bilangan  kompleks, konsep  ruang  metrik  modular  benilai kompleks, dan pemetaan kontraktif kompleks- 𝜔 .  Berdasarkan  konsep-konsep tersebut  dibangun  konsep  pemetaan  Kannan kompleks - 𝜔 dan  pemetaan  Chatterjea kompleks - 𝜔 di  ruang  metrik  modular kompleks  sebagaimana  sudah  didefinisikan di  ruang  metrik  modular.  Selanjutnya, diselidiki  syarat  cukup  yang  harus  dipenuhi oleh  kedua  pemetaan  kontraktif- 𝜔 tersebut untuk  menjamin  eksistensi  dan  ketunggalan titik  tetapnya.  Dari  syarat  cukup  yang diperoleh, kemudian diformulasikan teorema titik tetap untuk generalisasi kedua pemetaan kontraktif  kompleks- 𝜔 tersebut  di  ruang metrik  modular  bernilai  kompleks.  Setelah itu  dikaji  akibat-akibat  yang  muncul  dari
masing-masing teorema titik tetap.
Sebelum membahas lebih jauh tentang titik  tetap  di  ruang  metrik  modular  bernilai kompleks,  terlebih  dahulu  pada  bagian  ini diberikan  konsep  urutan  parsial  pada bilangan  kompleks,  konsep  ruang  metrik modular  benilai  kompleks,  dan  pemetaan kontraktif kompleks- 𝜔 .
Urutan Parsial pada Bilangan Kompleks Definisi  1 : Diberikan ℂ himpunan  semua bilangan kompleks dan 𝑧 1 , 𝑧 2 ∈ ℂ . Didefinisikan  urutan  parsial ≾ pada ℂ yang memenuhi 𝑧 1 ≾ 𝑧 2 jika  dan  hanya  jika Re(𝑧 1 ) ≤ Re(𝑧 2 ) dan Im(𝑧 1 ) ≤ Im(𝑧 2 ) . Akibatnya,  jika 𝑧 1 ≾ 𝑧 2 maka  salah satu dari kondisi berikut terpenuhi:
(i) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 2 1 Im Im dan Re Re z z z z  = (ii) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 2 1 Im Im dan Re Re z z z z =  (iii) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 2 1 Im Im dan Re Re z z z z   (iv) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 2 1 Im Im dan Re Re z z z z = = Jika 2 1 z z  dan salah satu dari (i), (ii), atau  (iii)  terpenuhi  maka  dapat  dituliskan 𝑧 1 ⋨ 𝑧 2 .  Secara  khusus,  jika  hanya  kondisi (iii)  yang  terpenuhi  maka  dapat  dituliskan 𝑧 1 ≺ 𝑧 2 .
Untuk  setiap 𝑧 1 , 𝑧 2 ∈ ℂ ,  urutan  parsial pada ℂ mempunyai sifat sebagai berikut:
(i) 0 ≾ 𝑧 1 ≺ 𝑧 2 ⇔ |𝑧 1 | < |𝑧 2 | , (ii) 𝑧 2 ≾ 𝑧 2 dan 𝑧 2 ≺ 𝑧 3 ⇒ 𝑧 1 ≺ 𝑧 3 ,
(iii) 𝑧 ∈ ℂ, 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ, 𝑎 ≤ 𝑏 ⇒ 𝑎𝑧 ≾ 𝑏𝑧
Ruang Metrik Modular Bernilai
Kompleks
Diberikan 𝑋 ≠ ∅ , 𝜆 > 0 dan  fungsi 𝜔: (0, ∞) × 𝑋 × 𝑋 → ℂ . Dalam penelitian ini, untuk setiap 𝜆 > 0 dan 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋, maka fungsi 𝜔(𝜆, 𝑥, 𝑦) dinotasikan dengan 𝜔 𝜆 (𝑥, 𝑦) .
Definisi  2 (Özkan  dkk.,  2021): Diberikan 𝑋 ≠ ∅ . Fungsi 𝜔: (0, ∞) × 𝑋 × 𝑋 → ℂ disebut  metrik  modular  bernilai  kompleks pada 𝑋 ,  jika  untuk  setiap 𝜆, 𝜇 > 0 dan 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝑋 berlaku (M1) 𝜔 𝜆 (𝑥, 𝑦) ≽ 0 𝑑𝑎𝑛 𝜔 𝜆 (𝑥, 𝑦) = 0 ⟺ 𝑥 = 𝑦 .
(M2) 𝜔 𝜆 (𝑥, 𝑦) = 𝜔 𝜆 (𝑦, 𝑥) .
(M3) 𝜔 𝜆+𝜇 (𝑥, 𝑦) ≼ 𝜔 𝜆 (𝑥, 𝑧) + 𝜔 𝜇 (𝑧, 𝑦) .
Definisi  3 (Özkan  dkk.,  2021): Diberikan 𝑋 ≠ ∅ dan 𝜔: (0, ∞) × 𝑋 × 𝑋 → ℂ metrik modular  bernilai  kompleks  pada 𝑋 .  Untuk setiap 𝑥 0 ∈ 𝑋 , himpunan
𝑋 𝜔 = {𝑥 ∈ 𝑋| 𝑙𝑖𝑚 𝜆→∞ 𝜔 𝜆 (𝑥, 𝑥 0 ) = 0}
disebut  dengan  ruang  metrik  modular bernilai kompleks disekitar titik 𝑥 0 .
Definisi 4 (Özkan dkk., 2021): Diberikan 𝑋 𝜔 ruang metrik modular bernilai kompleks dan {𝑥 𝑛 } barisan di 𝑋 𝜔 .
(i) Barisan {𝑥 𝑛 } ⊆ 𝑋 𝜔 dikatakan konvergen  metrik  modular  kompleks (konvergen  kompleks −𝜔 )  ke 𝑥 ∈ 𝑋 𝜔 jika  untuk  setiap 𝜀 ∈ ℂ dengan 𝜀 ≻ 0
terdapat 𝑛 0 ∈ ℕ sehingga  untuk setiap
𝑛 ≥ 𝑛 0 𝑑𝑎𝑛 𝜆 > 0 𝑏𝑒𝑟𝑙𝑎𝑘𝑢
𝜔 𝜆 (𝑥 𝑛 , 𝑥) ≺ 𝜀 . Ditulis
lim 𝑛→∞ 𝜔 𝜆 (𝑥 𝑛 , 𝑥) = 0.
(ii) Barisan {𝑥 𝑛 } ⊆ 𝑋 𝜔 disebut  barisan Cauchy  metrik  modular  kompleks (barisan  Cauchy  kompleks −𝜔 ),  jika untuk  setiap 𝜀 ∈ ℂ dengan 𝜀 ≻ 0 terdapat 𝑛 0 ∈ ℕ sehingga  untuk setiap 𝑚, 𝑛 ≥ 𝑛 0 𝑑𝑎𝑛 𝜆 > 0 𝑏𝑒𝑟𝑙𝑎𝑘𝑢 𝜔 𝜆 (𝑥 𝑛 , 𝑥 𝑚 ) ≺ 𝜀 . Ditulis
lim 𝑚,𝑛→∞ 𝜔 𝜆 (𝑥 𝑛 , 𝑥 𝑚 ) = 0.
(iii) Ruang  metrik  modular  kompleks 𝑋 𝜔 dikatakan  lengkap  kompleks- 𝜔 jika setiap  barisan  Cauchy  kompleks- 𝜔 di dalam  ruang  modular 𝑋 𝜔 bersifat konvergen  kompleks- 𝜔 .  Selanjutnya, ruang  metrik  modular  kompleks 𝑋 𝜔 yang  lengkap  kompleks- 𝜔 disebut ruang lengkap kompleks- 𝜔 .
(iv) Himpunan 𝐵 ⊆ 𝑋 𝜔 disebut  tertutup metrik  modular  kompleks  (tertutup kompleks- 𝜔 ),  jika  setiap  barisan {𝑥 𝑛 } ⊆ 𝑋 𝜔 yang  konvergen  kompleks- 𝜔 ke 𝑥 ∈ 𝑋 𝜔 , berakibat 𝑥 ∈ 𝐵 .
(v) Himpunan 𝐵 ⊆ 𝑋 𝜔 disebut  terbatas metrik  modular  kompleks  (terbatas kompleks- 𝜔 ), jika
𝛿 𝜔 (𝐵) = sup{|𝜔 𝜆 (𝑥, 𝑦)|; 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐵}
< ∞
dengan 𝛿 𝜔 (𝐵) disebut diameter kompleks- 𝜔 dari 𝐵.
Untuk
memudahkan gambaran mengenai  ruang  metrik  modular  kompleks berikut diberikan contoh.
Contoh  1: Diberikan 𝑋 = ℂ ,  dan 𝑧 1 , 𝑧 2 ∈ ℂ dengan 𝑧 1 = 𝑎 1 + 𝑖𝑏 1 dan 𝑧 2 = 𝑎 2 + 𝑖𝑏 2 .
Didefinisikan  fungsi 𝜔: (0, ∞) × ℂ × ℂ → ℂ dengan
𝜔 𝜆 (𝑧 1 , 𝑧 2 ) = |𝑎 1 − 𝑎 2 | + 𝑖|𝑏 1 − 𝑏 2 | 𝜆 ,
untuk  setiap 𝜆 > 0. Dengan  mudah  dapat ditunjukkan  bahwa  fungsi 𝜔 memenuhi ketiga  aksioma  metrik  modular  bernilai kompleks.  Sehingga  untuk  setiap 𝑥 0 ∈ ℂ , himpunan
ℂ 𝜔 = {𝑥 ∈ ℂ| 𝑙𝑖𝑚 𝜆→∞ 𝜔 𝜆 (𝑥, 𝑥 0 ) = 0}
merupakan  ruang  metrik  modular  bernilai kompleks  disekitar  titik 𝑥 0 . Lebih  lanjut , dapat ditunjukkan pula ℂ 𝜔 merupakan ruang metrik  modular  bernilai  kompleks  lengkap atau ℂ 𝜔 lengkap kompleks- 𝜔 .
Lema  1:  Diberikan 𝑋 𝜔 ruang  metrik modular bernilai kompleks dan {𝑥 𝑛 } barisan di 𝑋 𝜔 .  Barisan {𝑥 𝑛 } konvergen  kompleks −ω ke 𝑥 ∈ 𝑋 𝜔 jika dan hanya jika lim 𝑛→∞ |𝜔 𝜆 (𝑥 𝑛 , 𝑥)| = 0 .
Bukti.
( ⇒)
Diambil  sebarang 𝜀 ℝ ∈ ℝ dengan 𝜀 ℝ > 0 .
Dipilih
𝜀 ℂ = 𝜀 ℝ √2 + 𝑖 𝜀 ℝ √2 Maka 𝜀 ℂ ∈ ℂ dan 𝜀 ℂ ≻ 0.
Karena {𝑥 𝑛 } barisan konvergen kompleks −ω maka  menurut  Definisi  4(ii) ada 𝑛 0 ∈ ℕ sehingga  untuk  setiap 𝑛 ∈ ℕ dengan 𝑛 ≥ 𝑛 0 berlaku 𝜔 𝜆 (𝑥 𝑛 , 𝑥) ≺ 𝜀 ℂ , untuk setiap 𝜆 > 0 .
Selanjutnya  dengan  menggunakan  sifat terurut  parsial  bilangan  kompleks  diperoleh |𝜔 𝜆 (𝑥 𝑛 , 𝑥)| ≺ |𝜀 ℂ | = 𝜀 ℝ .
Hal ini berakibat, lim 𝑛→∞ |𝜔 𝜆 (𝑥 𝑛 , 𝑥)| = 0. ( ⇐)
Diambil sebarang 𝜀 ℂ ∈ ℂ dengan 𝜀 ℂ ≻ 0.
Jika |𝜀 ℂ | = 𝜀 ℝ maka 𝜀 ℝ > 0.
Karena lim 𝑛→∞ |𝜔 𝜆 (𝑥 𝑛 , 𝑥)| = 0 maka  ada 𝑛 0 ∈ ℕ sehingga  untuk  setiap 𝑛 ∈ ℕ dengan 𝑛 ≥ 𝑛 0 berlaku |𝜔 𝜆 (𝑥 𝑛 , 𝑥)| < 𝜀 ℝ = |𝜀 ℂ | , untuk setiap 𝜆 > 0 .
Dengan  menggunakan  sifat  terurut  parsial bilangan  kompleks  diperoleh 𝜔 𝜆 (𝑥 𝑛 , 𝑥) ≺ 𝜀 ℂ .
Dengan  kata  lain, {𝑥 𝑛 } barisan  konvergen kompleks −𝜔 .
Lema  2:  Diberikan 𝑋 𝜔 ruang  metrik modular bernilai kompleks dan {𝑥 𝑛 } barisan di 𝑋 𝜔 .  Barisan {𝑥 𝑛 } merupakan  barisan Cauchy  kompleks −𝜔 di 𝑋 𝜔 jika  dan  hanya jika lim 𝑚,𝑛→∞ |𝜔 𝜆 (𝑥 𝑛 , 𝑥 𝑚 )| = 0 .
Bukti.
( ⇒)
Diambil  sebarang 𝜀 ℝ ∈ ℝ dengan 𝜀 ℝ > 0 . Dipilih
𝜀 ℂ = 𝜀 ℝ √2 + 𝑖 𝜀 ℝ √2
Maka 𝜀 ℂ ∈ ℂ dan 𝜀 ℂ ≻ 0.
Karena {𝑥 𝑛 } barisan  Cauchy  kompleks −ω maka menurut Definisi ada 𝑛 0 ∈ ℕ sehingga untuk  setiap 𝑚, 𝑛 ∈ ℕ dengan 𝑚, 𝑛 ≥ 𝑛 0 berlaku 𝜔 𝜆 (𝑥 𝑛 , 𝑥 𝑚 ) ≺ 𝜀 ℂ , untuk  setiap 𝜆 > 0 . Selanjutnya
diperoleh, |𝜔 𝜆 (𝑥 𝑛 , 𝑥 𝑚 )| <
|𝜀 ℂ | = 𝜀 ℝ .
Hal ini berakibat, lim 𝑛→∞ |𝜔 𝜆 (𝑥 𝑛 , 𝑥 𝑛+𝑚 )| = 0.
( ⇐)
Diambil sebarang 𝜀 ℂ ∈ ℂ dengan 𝜀 ℂ ≻ 0.
Jika |𝜀 ℂ | = 𝜀 ℝ maka 𝜀 ℝ > 0.
Karena lim 𝑛→∞ |𝜔 𝜆 (𝑥 𝑛 , 𝑥 𝑛+𝑚 )| = 0 maka  ada 𝑛 0 ∈ ℕ sehingga  untuk  setiap 𝑚, 𝑛 ∈
ℕ dengan
𝑚, 𝑛 ≥ 𝑛 0 berlaku
|𝜔 𝜆 (𝑥 𝑛 , 𝑥 𝑚 )| < 𝜀 ℝ = |𝜀 ℂ | , untuk  setiap 𝜆 >
0 .
Dengan  menggunakan  sifat  terurut  parsial diperoleh 𝜔 𝜆 (𝑥 𝑛 , 𝑥 𝑚 ) ≺ 𝜀 ℂ .
Dengan  kata  lain, {𝑥 𝑛 } barisan  Cauchy kompleks −𝜔 .
Lema  3 (Özkan  dkk.,  2021): Diberikan 𝜔, 𝑧 ∈ ℂ .  Jika 𝜔 ≽ 0, |𝑧| < 1 dan 𝜔 ≼ 𝑧𝜔 maka 𝜔 = 0 ∈ ℂ .
Pemetaan Kontraktif Kompleks- 𝝎
Definisi 4 (Özkan dkk., 2021): Diberikan 𝑋 𝜔 ruang  metrik  modular  bernilai  kompleks .
Pemetaan 𝑇: 𝑋 𝜔 → 𝑋 𝜔 disebut  pemetaan kontraktif  kompleks- 𝜔 jika  terdapat 𝑧 ∈ ℂ dengan |𝑧| < 1 sehingga berlaku
𝜔 𝜆 (𝑇𝑥, 𝑇𝑦) ≼ 𝑧𝜔 𝜆 (𝑥, 𝑦),
untuk setiap 𝜆 > 0 dan 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋 𝜔 .
Teorema  1 (Özkan  dkk.,  2021): Diberikan 𝑋 𝜔 ruang  metrik  modular  lengkap  bernilai kompleks. Jika 𝑇: 𝑋 𝜔 → 𝑋 𝜔 pemetaan kontraktif  kompleks- 𝜔 pada 𝑋 𝜔 ,  maka 𝑇 mempunyai titik tetap tunggal.

## HASIL DAN PEMBAHASAN
Berikut ini dibangun konsep pemetaan Kannan kompleks - 𝜔 dan pemetaan Chatterjea  kompleks- 𝜔 yang  didefinisikan pada ruang metrik modular bernilai kompleks. Eksistensi  dan  ketunggalan  titik  tetap  untuk masing-masing pemetaan kontraktif tersebut akan  disajikan  pada  Teorema  setelah pemetaan tersebut didefinisikan.
Pemetaan Kannan Kompleks- 𝛚
Definisi  5:  Diberikan 𝑋 𝜔 ruang  metrik modular  bernilai  kompleks  dan  pemetaan 𝑇: 𝑋 𝜔 → 𝑋 𝜔 . Pemetaan 𝑇 disebut  pemetaan Kannan  kompleks- 𝜔 jika  untuk  setiap 𝜆 > 0 dan 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋 𝜔 berlaku
𝜔 𝜆 (𝑇𝑥, 𝑇𝑦) ≼ 𝑧(𝜔 2𝜆 (𝑇𝑥, 𝑥) + 𝜔 2𝜆 (𝑇𝑦, 𝑦)),
untuk suatu 𝑧 ∈ ℂ dengan |𝑧| < 1 2 .
Teorema  2: Diberikan 𝑋 𝜔 ruang  metrik modular  lengkap  bernilai  kompleks  dan pemetaan 𝑇: 𝑋 𝜔 → 𝑋 𝜔 . Jika  T  memenuhi pemetaan  Kannan  kompleks- 𝜔 maka 𝑇 memiliki titik tetap tunggal.

## Bukti.
Diambil sebarang 𝑥 0 ∈ 𝑋 𝜔 . Untuk setiap 𝑛 ∈ {0, 1, 2, ⋯ } didefinisikan
𝑇 0 𝑥 0 = 𝑥 0 ; 𝑇 𝑛+1 𝑥 0 = 𝑇(𝑇 𝑛 𝑥 0 )
Selanjutnya, didefinisikan barisan {𝑥 𝑛 } ⊆ 𝑋 dengan
𝑥 𝑛+1 = 𝑇𝑥 𝑛 = 𝑇 𝑛+1 𝑥 0
Karena T pemetaan  Kannan  kompleks- ω maka
𝜔 𝜆 (𝑥 𝑛 , 𝑥 𝑛+1 ) = 𝜔 𝜆 (𝑇𝑥 𝑛−1 , 𝑇𝑥 𝑛 ) ≾ 𝑧[𝜔 2𝜆 (𝑇𝑥 𝑛−1 , 𝑥 𝑛−1 ) + 𝜔 2𝜆 (𝑇𝑥 𝑛 , 𝑥 𝑛 )] = 𝑧[𝜔 2𝜆 (𝑥 𝑛 , 𝑥 𝑛−1 ) + 𝜔 2𝜆 (𝑥 𝑛+1 , 𝑥 𝑛 )] ≾ 𝑧[𝜔 𝜆 (𝑥 𝑛 , 𝑥 𝑛 ) + 𝜔 𝜆 (𝑥 𝑛 , 𝑥 𝑛−1 ) + 𝜔 𝜆 (𝑥 𝑛+1 , 𝑥 𝑛+1 ) + 𝜔 𝜆 (𝑥 𝑛+1 , 𝑥 𝑛 )]
Dari ketaksamaan di atas diperoleh
(1 − 𝑧)𝜔 𝜆 (𝑥 𝑛 , 𝑥 𝑛+1 ) ≾ 𝑧𝜔 𝜆 (𝑥 𝑛−1 , 𝑥 𝑛 ) ⟺   𝜔 𝜆 (𝑥 𝑛 , 𝑥 𝑛+1 ) ≾ 𝑧 1 − 𝑧 𝜔 𝜆 (𝑥 𝑛−1 , 𝑥 𝑛 )
Selanjutnya, secara induktif untuk setiap 𝑛 ∈ {0,1,2, … … } diperoleh
𝜔 𝜆 (𝑥 𝑛 , 𝑥 𝑛+1 ) ≾ 𝑧 1 − 𝑧 𝜔 𝜆 (𝑥 𝑛−1 , 𝑥 𝑛 ) ≾ [ 𝑧 1 − 𝑧 ] 2 𝜔 𝜆 (𝑥 𝑛−2 , 𝑥 𝑛−1 ) ≾ ⋯ ≾ [ 𝑧 1 − 𝑧 ] 𝑛 𝜔 𝜆 (𝑥 0 , 𝑥 1 ) = [ 𝑧 1 − 𝑧 ] 𝑛 𝜔 𝜆 (𝑥 0 , 𝑇𝑥 0 ).
Jadi, 𝜔 𝜆 (𝑇𝑥 𝑛−1 , 𝑇𝑥 𝑛 ) ≼ [ 𝑧 1−𝑧 ] 𝑛 𝜔 𝜆 (𝑥 0 , 𝑇𝑥 0 ).
Ada dua kasus:
Kasus  1: Jika  terdapat 𝑛 ∈ {0,1,2, … … } sehingga 𝑥 𝑛 = 𝑥 0 maka diperoleh
𝜔 𝜆 (𝑥 0 , 𝑇𝑥 0 ) = 𝜔 𝜆 (𝑥 𝑛 , 𝑇𝑥 𝑛 ) = 𝜔 𝜆 (𝑥 𝑛 , 𝑥 𝑛+1 ) ≾ ( 𝑧 1 − 𝑧 ) 𝑛 𝜔 𝜆 (𝑥 0 , 𝑇𝑥 0 ) Karena |𝑧| < 1 2 maka 0 < | 𝑧 1−𝑧 | < 1 .
Akibatnya, 0 ≺ 𝑧 1−𝑧 ≺ 1 .  Berdasarkan  Lema 3 diperoleh
𝜔 𝜆 (𝑥 0 , 𝑇𝑥 0 ) = 0
Hal ini berarti, 𝑥 0 = 𝑇𝑥 0 . Jadi, 𝑥 0 merupakan titik tetap 𝑇.
Kasus  2: Untuk  setiap 𝑛 ∈ {0,1,2, … … } berlaku 𝑥 𝑛 ≠ 𝑥 0 .
Diambil sebarang 𝑚, 𝑛 ∈ {0,1,2, … . } . Asumsikan 𝑚 > 𝑛 ,  maka 𝑚 = 𝑛 + 𝑠, untuk suatu 𝑠 ∈ ℕ . Lebih lanjut diperoleh
𝜔 𝜆 (𝑥 𝑛 , 𝑥 𝑚 ) = 𝜔 𝜆 (𝑥 𝑛 , 𝑥 𝑛+𝑠 ) ≼ 𝜔 𝜆 𝑠 ⁄ (𝑥 𝑛 , 𝑥 𝑛+1 ) + 𝜔 𝜆 𝑠 ⁄ (𝑥 𝑛+1 , 𝑥 𝑛+2 ) + ⋯ + 𝜔 𝜆 𝑠 ⁄ (𝑥 𝑛+𝑠−1 , 𝑥 𝑛+𝑠 ) ≾ ( 𝑧 1 − 𝑧 ) 𝑛 𝜔 𝜆 𝑠 ⁄ (𝑥 0 , 𝑇𝑥 0 ) + ( 𝑧 1 − 𝑧 ) 𝑛+1 𝜔 𝜆 𝑠 ⁄ (𝑥 0 , 𝑇𝑥 0 ) + ⋯ + ( 𝑧 1 − 𝑧 ) 𝑛+𝑠−1 𝜔 𝜆 𝑠 ⁄ (𝑥 0 , 𝑇𝑥 0 ) = [( 𝑧 1 − 𝑧 ) 𝑛 + ( 𝑧 1 − 𝑧 ) 𝑛+1 + ⋯ + ( 𝑧 1 − 𝑧 ) 𝑛+𝑠−1 ] 𝜔 𝜆 𝑠 ⁄ (𝑥 0 , 𝑇𝑥 0 )
= [( 𝑧 1 − 𝑧 ) 𝑛 [1 + ( 𝑧 1 − 𝑧 ) + ⋯ + ( 𝑧 1 − 𝑧 ) 𝑠−1 ]] 𝜔 𝜆 𝑠 ⁄ (𝑥 0 , 𝑇𝑥 0 ) ≾ {( 𝑧 1 − 𝑧 ) 𝑛 [1 + ( 𝑧 1 − 𝑧 ) + ⋯ + ( 𝑧 1 − 𝑧 ) 𝑠−1 + ⋯ ]} 𝜔 𝜆 𝑠 ⁄ (𝑥 0 , 𝑇𝑥 0 ) = [ 𝑧 𝑛 ((1 − 𝑧) 𝑛−1 )(1 − 2𝑧) ] 𝜔 𝜆 𝑠 ⁄ (𝑥 0 , 𝑇𝑥 0 )
Dengan  menggunakan  sifat  urutan  parsial kompleks diperoleh
|𝜔 𝜆 (𝑥 𝑛 , 𝑥 𝑚 )| ≤ | 𝑧 𝑛 ((1 − 𝑧) 𝑛−1 )(1 − 2𝑧) | |𝜔 𝜆 𝑠 ⁄ (𝑥 0 , 𝑇𝑥 0 )|
Karena
|𝑧| < 1 2 maka lim 𝑛→∞ | 𝑧 𝑛 ((1−𝑧) 𝑛−1 )(1−2𝑧) | = 0 . Jadi diperoleh
0 ≤ lim 𝑛→∞ |𝜔 𝜆 (𝑥 𝑛 , 𝑥 𝑚 )| ≤ lim 𝑛→∞ | 𝑧 𝑛 ((1 − 𝑧) 𝑛−1 )(1 − 2𝑧) | |𝜔 𝜆 𝑠 ⁄ (𝑥 0 , 𝑇𝑥 0 )| = 0 Jadi, lim 𝑛→∞ |𝜔 𝜆 (𝑥 𝑛 , 𝑥 𝑚 )|   = 0 . Dengan menggunakan Lema 2 diperoleh barisan {𝑥 𝑛 }
adalah  barisan  Cauchy  di 𝑋 𝜔 .  Karena 𝑋 𝜔 ruang  metrik  modular  lengkap  bernilai kompleks,  maka  ada 𝑢 ∈ 𝑋 𝜔 sedemikian sehingga  barisan {𝑥 𝑛 } konvergen  ke 𝑢 . Dengan  kata  lain, lim 𝑛→∞ 𝜔 𝜆 (𝑥 𝑛 , 𝑢) = 0 .
Dengan menggunakan aksioma (M3) metrik
modular  kompleks  dan  karena T pemetaan Kannan kompleks - 𝜔 diperoleh
𝜔 𝜆 (𝑢, 𝑇𝑢) ≾ 𝜔 𝜆 2 ⁄ (𝑢, 𝑇 𝑛+1 𝑢) + 𝜔 𝜆 2 ⁄ (𝑇 𝑛+1 𝑢, 𝑇𝑢) ≾ 𝜔 𝜆 2 ⁄ (𝑢, 𝑇 𝑛+1 𝑢) + 𝑧[𝜔 𝜆 (𝑇 𝑛+1 𝑢, 𝑢) + 𝜔 𝜆 (𝑇𝑢, 𝑢)] = 𝜔 𝜆 2 ⁄ (𝑢, 𝑇 𝑛+1 𝑢) + 𝑧𝜔 𝜆 (𝑇 𝑛+1 𝑢, 𝑢)
+ 𝑧𝜔 𝜆 (𝑇𝑢, 𝑢)
Karena {𝑥 𝑛 } konvergen ke 𝑢 maka diperoleh 𝜔 𝜆 (𝑢, 𝑇𝑢) ≾ 𝑧𝜔 𝜆 (𝑢, 𝑇𝑢) ≾ 2𝑧𝜔 𝜆 (𝑢, 𝑇𝑢)
Karena |𝑧| < 1 2 maka 2|𝑧| < 1 .  Lebih  lanjut, dengan menggunakan Lema 3 diperoleh
𝜔 𝜆 (𝑢, 𝑇𝑢) = 0.
Dengan kata lain 𝑇𝑢 = 𝑢 . Jadi, 𝑢 adalah titik tetap dari 𝑇 .
Selanjutnya akan ditunjukan bahwa titik tetap T tunggal.  Asumsikan  ada  titik 𝑣 ∈ 𝑋 𝜔 sedemikian sehingga 𝑣 = 𝑇𝑣 diperoleh
0 ≾ 𝜔 𝜆 (𝑣, 𝑢) = 𝜔 𝜆 (𝑇𝑣, 𝑇𝑢) ≾ 𝑧[𝜔 2𝜆 (𝑣, 𝑇𝑣) + 𝜔 2𝜆 (𝑢, 𝑇𝑢)] = 𝑧[𝜔 2𝜆 (𝑣, 𝑣) + 𝜔 2𝜆 (𝑢, 𝑢)] = 0
Jadi, 𝜔 𝜆 (𝑣, 𝑢) = 0 .  Akibatnya, 𝑢 = 𝑣 . Dengan kata lain, titik tetap T tunggal.
Akibat  1:  Diberikan 𝑋 𝜔 ruang  metrik modular  lengkap  bernilai  kompleks  dan 𝑧 ∈ ℂ dengan 𝐼𝑚 𝑧 = 0 dan |𝑧| < 1 2 .  Jika
𝑇: 𝑋 𝜔 → 𝑋 𝜔 pemetaan yang memenuhi
𝜔 𝜆 (𝑇𝑥, 𝑇𝑦) ≼ 𝑧(𝜔 2𝜆 (𝑇𝑥, 𝑥) + 𝜔 2𝜆 (𝑇𝑦, 𝑦)),
untuk  setiap 𝜆 > 0 dan 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋 𝜔 maka 𝑇 mempunyai titik tetap tunggal.
Pemetaan Chatterjea kompleks- 𝛚
Definisi  6:  Pemetaan 𝑇 disebut  pemetaan Chatterjea kompleks- 𝜔 jika untuk setiap 𝜆 > 0 dan 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋 𝜔 berlaku 𝜔 𝜆 (𝑇𝑥, 𝑇𝑦) ≼ 𝑧(𝜔 2𝜆 (𝑇𝑥, 𝑦) + 𝜔 2𝜆 (𝑇𝑦, 𝑥)),
untuk suatu 𝑧 ∈ ℂ dengan |𝑧| < 1 2 .
Teorema  3: Diberikan 𝑋 𝜔 ruang  metrik modular  lengkap  bernilai  kompleks  dan pemetaan 𝑇: 𝑋 𝜔 → 𝑋 𝜔 . Jika  T  memenuhi pemetaan  Chatterjea  kompleks- 𝜔 maka 𝑇 memiliki titik tetap tunggal.
Bukti.
Diambil sebarang 𝑥 0 ∈ 𝑋 𝜔 . Untuk setiap 𝑛 ∈ {0, 1, 2, ⋯ } didefinisikan
𝑇 0 𝑥 0 = 𝑥 0 ; 𝑇 𝑛+1 𝑥 0 = 𝑇(𝑇 𝑛 𝑥 0 )
Selanjutnya, didefinisikan barisan {𝑥 𝑛 } ⊆ 𝑋 dengan
𝑥 𝑛+1 = 𝑇𝑥 𝑛 = 𝑇 𝑛+1 𝑥 0
Karena T pemetaan  Chatterjea  kompleks- ω
dan  dengan  menggunakan  aksioma  (M3) maka diperoleh
𝜔 𝜆 (𝑥 𝑛 , 𝑥 𝑛+1 ) = 𝜔 𝜆 (𝑇𝑥 𝑛−1 , 𝑇𝑥 𝑛 ) ≾ 𝑧[𝜔 2𝜆 (𝑇𝑥 𝑛−1 , 𝑥 𝑛 ) + 𝜔 2𝜆 (𝑇𝑥 𝑛 , 𝑥 𝑛−1 )] = 𝑧[𝜔 2𝜆 (𝑥 𝑛 , 𝑥 𝑛 ) + 𝜔 2𝜆 (𝑥 𝑛+1 , 𝑥 𝑛−1 )] = 𝑧[𝜔 2𝜆 (𝑥 𝑛+1 , 𝑥 𝑛−1 )]
≾ 𝑧[𝜔 𝜆 (𝑥 𝑛+1 , 𝑥 𝑛 ) + 𝜔 𝜆 (𝑥 𝑛 , 𝑥 𝑛−1 )]
Lebih  lanjut  dari  ketaksamaan  di  atas diperoleh
(1 − 𝑧)𝜔 𝜆 (𝑥 𝑛 , 𝑥 𝑛+1 ) ≾ 𝑧𝜔 𝜆 (𝑥 𝑛−1 , 𝑥 𝑛 ) ⟺   𝜔 𝜆 (𝑥 𝑛 , 𝑥 𝑛+1 ) ≾ 𝑧 1 − 𝑧 𝜔 𝜆 (𝑥 𝑛−1 , 𝑥 𝑛 )
Selanjutnya, secara induktif untuk setiap 𝑛 ∈ {0,1,2, … … } diperoleh
𝜔 𝜆 (𝑥 𝑛 , 𝑥 𝑛+1 ) ≾ 𝑧 1 − 𝑧 𝜔 𝜆 (𝑥 𝑛−1 , 𝑥 𝑛 ) ≾ [ 𝑧 1 − 𝑧 ] 2 𝜔 𝜆 (𝑥 𝑛−2 , 𝑥 𝑛−1 ) ≾ ⋯ ≾ [ 𝑧 1 − 𝑧 ] 𝑛 𝜔 𝜆 (𝑥 0 , 𝑥 1 ) = [ 𝑧 1 − 𝑧 ] 𝑛 𝜔 𝜆 (𝑥 0 , 𝑇𝑥 0 ).
Jadi, 𝜔 𝜆 (𝑇𝑥 𝑛 , 𝑇𝑥 𝑛+1 ) ≼ [ 𝑧 1−𝑧 ] 𝑛 𝜔 𝜆 (𝑥 0 , 𝑇𝑥 0 ).
Ada dua kasus:
Kasus  1: Jika  terdapat 𝑛 ∈ {0,1,2, … … } sehingga 𝑥 𝑛 = 𝑥 0 maka diperoleh
𝜔 𝜆 (𝑥 0 , 𝑇𝑥 0 ) = 𝜔 𝜆 (𝑥 𝑛 , 𝑇𝑥 𝑛 ) = 𝜔 𝜆 (𝑥 𝑛 , 𝑥 𝑛+1 ) ≾ ( 𝑧 1 − 𝑧 ) 𝑛 𝜔 𝜆 (𝑥 0 , 𝑇𝑥 0 )
Karena |𝑧| < 1 2 maka 0 < | 𝑧 1−𝑧 | < 1 .
Akibatnya, 0 ≺ 𝑧 1−𝑧 ≺ 1 .  Berdasarkan  Lema
3 diperoleh
𝜔 𝜆 (𝑥 0 , 𝑇𝑥 0 ) = 0 Hal ini berarti, 𝑥 0 = 𝑇𝑥 0 . Jadi, 𝑥 0 merupakan titik tetap 𝑇.
Kasus  2: Untuk  setiap 𝑛 ∈ {0,1,2, … … } berlaku 𝑥 𝑛 ≠ 𝑥 0 .
Diambil sebarang 𝑚, 𝑛 ∈ {0,1,2, … . } .
Asumsikan 𝑚 > 𝑛 ,  maka 𝑚 = 𝑛 + 𝑠, untuk suatu 𝑠 ∈ ℕ . Lebih lanjut diperoleh 𝜔 𝜆 (𝑥 𝑛 , 𝑥 𝑚 ) = 𝜔 𝜆 (𝑥 𝑛 , 𝑥 𝑛+𝑠 ) ≼ 𝜔 𝜆 𝑠 ⁄ (𝑥 𝑛 , 𝑥 𝑛+1 ) + 𝜔 𝜆 𝑠 ⁄ (𝑥 𝑛+1 , 𝑥 𝑛+2 ) + ⋯ + 𝜔 𝜆 𝑠 ⁄ (𝑥 𝑛+𝑠−1 , 𝑥 𝑛+𝑠 ) ≾ ( 𝑧 1 − 𝑧 ) 𝑛 𝜔 𝜆 𝑠 ⁄ (𝑥 0 , 𝑇𝑥 0 ) + ( 𝑧 1 − 𝑧 ) 𝑛+1 𝜔 𝜆 𝑠 ⁄ (𝑥 0 , 𝑇𝑥 0 ) + ⋯ + ( 𝑧 1 − 𝑧 ) 𝑛+𝑠−1 𝜔 𝜆 𝑠 ⁄ (𝑥 0 , 𝑇𝑥 0 ) = [( 𝑧 1 − 𝑧 ) 𝑛 + ( 𝑧 1 − 𝑧 ) 𝑛+1 + ⋯ + ( 𝑧 1 − 𝑧 ) 𝑛+𝑠−1 ] 𝜔 𝜆 𝑠 ⁄ (𝑥 0 , 𝑇𝑥 0 ) = [( 𝑧 1 − 𝑧 ) 𝑛 [1 + ( 𝑧 1 − 𝑧 ) + ⋯ + ( 𝑧 1 − 𝑧 ) 𝑠−1 ]] 𝜔 𝜆 𝑠 ⁄ (𝑥 0 , 𝑇𝑥 0 ) ≾ {( 𝑧 1 − 𝑧 ) 𝑛 [1 + ( 𝑧 1 − 𝑧 ) + ⋯ + ( 𝑧 1 − 𝑧 ) 𝑠−1 + ⋯ ]} 𝜔 𝜆 𝑠 ⁄ (𝑥 0 , 𝑇𝑥 0 ) = [ 𝑧 𝑛 ((1 − 𝑧) 𝑛−1 )(1 − 2𝑧) ] 𝜔 𝜆 𝑠 ⁄ (𝑥 0 , 𝑇𝑥 0 )
Dengan  menggunakan  sifat  urutan  parsial kompleks diperoleh
|𝜔 𝜆 (𝑥 𝑛 , 𝑥 𝑚 )|
≤ | 𝑧 𝑛 ((1 − 𝑧) 𝑛−1 )(1 − 2𝑧) | |𝜔 𝜆 𝑠 ⁄ (𝑥 0 , 𝑇𝑥 0 )|
Karena |𝑧| < 1 2 maka lim 𝑛→∞ | 𝑧 𝑛 ((1−𝑧) 𝑛−1 )(1−2𝑧) | = 0 . Jadi diperoleh
0 ≤ lim 𝑛→∞ |𝜔 𝜆 (𝑥 𝑛 , 𝑥 𝑚 )| ≤ lim 𝑛→∞ | 𝑧 𝑛 ((1 − 𝑧) 𝑛−1 )(1 − 2𝑧) | |𝜔 𝜆 𝑠 ⁄ (𝑥 0 , 𝑇𝑥 0 )| = 0 Jadi, lim 𝑛→∞ |𝜔 𝜆 (𝑥 𝑛 , 𝑥 𝑚 )|   = 0 . Dengan menggunakan Lema 2 diperoleh barisan {𝑥 𝑛 } adalah  barisan  Cauchy  di 𝑋 𝜔 .  Karena 𝑋 𝜔 ruang  metrik  modular  lengkap  bernilai kompleks,  maka  ada 𝑢 ∈ 𝑋 𝜔 sedemikian sehingga  barisan {𝑥 𝑛 } konvergen  ke 𝑢 . Dengan  kata  lain, lim 𝑛→∞ 𝜔 𝜆 (𝑥 𝑛 , 𝑢) = 0 .
Dengan menggunakan aksioma (M3) metrik modular  kompleks  dan  karena T pemetaan Chatterjea kompleks - 𝜔 diperoleh 𝜔 𝜆 (𝑢, 𝑇𝑢) ≾ 𝜔 𝜆 2 ⁄ (𝑢, 𝑇 𝑛+1 𝑢) + 𝜔 𝜆 2 ⁄ (𝑇 𝑛+1 𝑢, 𝑇𝑢) ≾ 𝜔 𝜆 2 ⁄ (𝑢, 𝑇 𝑛+1 𝑢) + 𝑧[𝜔 𝜆 (𝑇 𝑛+1 𝑢, 𝑢) + 𝜔 𝜆 (𝑇 𝑛 𝑢, 𝑇𝑢)] = 𝜔 𝜆 2 ⁄ (𝑢, 𝑇 𝑛+1 𝑢) + 𝑧𝜔 𝜆 (𝑇 𝑛+1 𝑢, 𝑢) + 𝑧𝜔 𝜆 (𝑇 𝑛 𝑢, 𝑇𝑢)
Karena {𝑥 𝑛 } konvergen ke 𝑢 maka diperoleh 𝜔 𝜆 (𝑢, 𝑇𝑢) ≾ 𝑧𝜔 𝜆 (𝑢, 𝑇𝑢) ≾ 2𝑧𝜔 𝜆 (𝑢, 𝑇𝑢)
Karena |𝑧| < 1 2 maka 2|𝑧| < 1 .  Lebih  lanjut, dengan menggunakan Lema 3 diperoleh
𝜔 𝜆 (𝑢, 𝑇𝑢) = 0.
Dengan kata lain 𝑇𝑢 = 𝑢 . Jadi, 𝑢 adalah titik tetap dari 𝑇 .
Selanjutnya akan ditunjukan bahwa titik tetap T tunggal.  Asumsikan  ada  titik 𝑣 ∈ 𝑋 𝜔 sedemikian sehingga 𝑣 = 𝑇𝑣 diperoleh
0 ≾ 𝜔 𝜆 (𝑣, 𝑢) = 𝜔 𝜆 (𝑇𝑣, 𝑇𝑢)
≾ 𝑧[𝜔 2𝜆 (𝑢, 𝑇𝑣) + 𝜔 2𝜆 (𝑣, 𝑇𝑢)] = 𝑧[𝜔 2𝜆 (𝑢, 𝑣) + 𝜔 2𝜆 (𝑣, 𝑢)] ≾ 𝑧[𝜔 𝜆 (𝑢, 𝑢) + 𝜔 𝜆 (𝑢, 𝑣) + 𝜔 𝜆 (𝑣, 𝑣) + 𝜔 𝜆 (𝑣, 𝑢)] = 𝑧[𝜔 𝜆 (𝑢, 𝑣) + 𝜔 𝜆 (𝑣, 𝑢)] = 2𝑧𝜔 𝜆 (𝑢, 𝑣)
Karena |𝑧| < 1 2 maka 2|𝑧| < 1 .  Dengan menggunakan  Lema  3  diperoleh 𝜔 𝜆 (𝑣, 𝑢) = 0 . Jadi, 𝑢 = 𝑣 . Dengan kata lain, titik tetap T tunggal.
Akibat  2:  Diberikan 𝑋 𝜔 ruang  metrik modular  lengkap  bernilai  kompleks  dan 𝑧 ∈
ℂ dengan 𝐼𝑚 𝑧 = 0 dan |𝑧| < 1 2 .  Jika 𝑇: 𝑋 𝜔 → 𝑋 𝜔 pemetaan yang memenuhi 𝜔 𝜆 (𝑇𝑥, 𝑇𝑦) ≼ 𝑧(𝜔 2𝜆 (𝑇𝑥, 𝑦) + 𝜔 2𝜆 (𝑇𝑦, 𝑥)), untuk  setiap 𝜆 > 0 dan 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋 𝜔 maka 𝑇 mempunyai titik tetap tunggal.

## KESIMPULAN
Dari  pembahasan  di  atas  dapat disimpulkan bahwa pemetaan Kannan kompleks- 𝜔
𝜔 𝜆 (𝑇𝑥, 𝑇𝑦) ≼ 𝑧(𝜔 2𝜆 (𝑇𝑥, 𝑥) + 𝜔 2𝜆 (𝑇𝑦, 𝑦))
dan pemetaan Chatterjea kompleks- 𝜔 𝜔 𝜆 (𝑇𝑥, 𝑇𝑦) ≼ 𝑧(𝜔 2𝜆 (𝑇𝑥, 𝑦) + 𝜔 2𝜆 (𝑇𝑥, 𝑦)), untuk  setiap 𝜆 > 0 dan 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋 𝜔 memiliki titik  tetap  tunggal  di  ruang  metrik  modular bernilai  kompleks  lengkap.  Kondisi  ini berlaku  untuk  suatu 𝑧 ∈ ℂ dengan |𝑧| < 1 2 .
Sebagai  akibatnya,  titik  tetap  untuk  kedua pemetaan  kontraktif  kompleks- 𝜔 .  tersebut tetap  eksis  dan  tunggal  untuk  suatu 𝑧 ∈ ℂ dengan |𝑧| < 1 2 meskipun 𝐼𝑚 𝑧 = 0 .

## DAFTAR PUSTAKA
Abdou,  A.  A.,  &  Khamsi,  M.  A.  (2013).
Fixed  point  results  of  pointwise contractions in modular metric spaces. Fixed Point Theory and
Applications , 2013 , 1-11.
https://doi.org/10.1186/1687-1812- 2013-163
Aksoy,  Ü.,  Karapınar,  E.,  &  Erhan,  İ.  M.
(2017).  Fixed  point  theorems  in complete modular metric spaces and an application  to  anti-periodic  boundary value  problems. Filomat , 31 (17),  5475- 5488.
https://doi.org/10.2298/fil1717475a
Azam,  A.,  Fisher,  B.,  &  Khan,  M.  (2011).
Common  fixed  point  theorems  in complex
valued metric spaces. Numerical  Functional  Analysis and Optimization , 32 (3), 243-253.
Chistyakov,  V.  V.  (2006,  January).  Metric modulars and their application. In Doklady  Mathematics (Vol.  73,  pp. 32-35). Nauka/Interperiodica. https://doi.org/10.1134/S106456240601
008X Chistyakov,  V,  V.  (2011).  A  fixed  point theorem  for  contractions  in  modular metric spaces. e-Print, arXiv:1112.5561. 1–31.
https://doi.org/10.48550/arXiv.1112.55
61
Ege, M. E., & Alaca, C. (2015). Fixed point results  and  an  application  to  homotopy in  modular  metric  spaces. Journal  of Nonlinear Sciences and Applications , 8 (6), 900-908. https://doi.org/10.22436/jnsa.008.06.01
Mongkolkeha,  C.,  Sintunavarat,  W.,  & Kumam,  P.  (2011).  Fixed  point theorems  for  contraction  mappings  in modular  metric  spaces. Fixed  Point
Theory  and  Applications , 2011 (1),  1-9. https://doi.org/10.1186/1687-1812- 2011-93
Özkan, K., Gürdal, U.,  &  Mutlu, A. (2021). Some fixed point theorems on complex valued  modular  metric  spaces  with  an
application. Communications Faculty of Sciences University of Ankara Series A1 Mathematics and Statistics , 70 (2), 690-
701.
https://doi.org/10.31801/cfsuasmas.727
771
Sitthikul,  K.,  &  Saejung,  S.  (2012).  Some fixed point theorems in complex valued metric  spaces. Fixed  Point  Theory  and Applications , 2012 (1),
1-11. https://doi.org/10.1186/1687-1812-
2012-189
Zhao,  J.,  Zhao,  Q.,  Jin,  B.,  &  Zhong,  L. (2018). Fixed Point Results for Weakly C-Contraction  Mapping  in  Modular Metric  Spaces. Open  Access  Library Journal , 5 (1),
1-9. https://doi.org/10.4236/oalib.1104061