## PELABELAN HARMONIS GANJIL PADA AMALGAMASI GRAF KINCIR ANGIN BELANDA
Fery Firmansah 1)* , Muhammad Wahid Syaifuddin 2)
Prodi Pendidikan Matematika, FKIP, Universitas Widya Dharma Klaten, 57438
* feryfirmansah@unwidha.ac.id

## Abstrak
Graf  harmonis  ganjil  adalah  graf  yang  memenuhi  sifat  pelabelan  harmonis  ganjil. Amalgamasi  dua  graf  kincir  angin  belanda  adalah  graf  yang  dibentuk  dari  operasi amalgamasi  dua  graf  kincir  angin  belanda  dengan  graf  lintasan.  Amalgamasi graf  kincir angin  belanda  adalah  graf  yang  dibentuk  dari  operasi  amalgamasi graf  kincir  angin belanda  dengan graf  lintasan.  Pada  makalah  ini  penulis  akan  mengkonstruksi amalgamasi  dua  graf  kincir  angin  belanda  dan  amalgamasi graf  kincir  angin  belanda, lebih lanjut penulis akan menunjukkan bahwa amalgamasi dua graf kincir angin belanda dan amalgamasi graf kincir angin belanda adalah graf harmonis ganjil.
Kata Kunci: amalgamasi, graf harmonis ganjil, graf kincir angin belanda, pelabelan

## PENDAHULUAN
Pelabelan  graf  merupakan  topik penelitian  matematika  kombinatorik  yang berkembang  sangat  pesat  pada  beberapa tahun  belakangan  ini.  Diperkenalkan  sejak tahun  1963  oleh  Sedlacelk  dan  terus berkembang  sampai  sekarang,  Gallian (2016)  telah  mengumpulkan  banyak  hasil penelitian tentang pelabelan graf. Salah satu topik  pelabelan  graf  yang  sedang  hangat diperbincangkan adalah pelabelan harmonis ganjil  yang  diperkenalkan  oleh  Liang  dan Bai  (2009).  Pelabelan  graf  pada  dasarnya memberikan  label  berupa  bilangan  bulat
positif pada elemen suatu graf yaitu simpul, busur  atau  kombinasinya  dengan  sifat  dan aturan tertentu.
Berikut  definisi  dari  graf  harmonis ganjil  oleh  Liang  dan  Bai  (2009).  Graf (    ) dengan | ( )| dan | ( )| adalah  graf  harmonis  ganjil  jika  graf (    ) mempunyai fungsi pelabelan simpul ( )   *                  + yang bersifat injektif sedemikian sehingga menginduksi fungsi pelabelan busur
( )   *                  + yang bersifat  bijektif  yang  didefinisikan  oleh (  )    ( )    ( ) .  Pada  paper  yang sama Liang dan Bai (2009) telah
Volume 4  No.1  Bulan Juni  Tahun 2018
membuktikan  beberapa  sifat  dari  graf harmonis  ganjil  yaitu  jika (    ) adalah graf  harmonis  ganjil  maka  graf (    ) adalah  graf  bipartit  dan  memenuhi √
.
Beberapa  kelas  graf  yang  sudah dibuktikan  merupakan  graf  harmonis  ganjil dapat  dilihat  pada  penelitian  dari  Vaidya dan  Shah  (2012),  Alyani,  dkk  (2013), Saputri,  dkk  (2013),  Abdel-Aal  (2014), Jeyanthi,  dkk  (2015),    Firmansah  dan Sugeng  (2015),  Firmansah  (2016),  dan Firmansah dan Yuwono (2017).
Pada penelitian tahun 2015 Firmansah dan  Sugeng  telah  memperkenalkan    graf kincir  angin  belanda ( ) dengan yaitu  graf  yang  dibentuk  dari graf lingkaran yang  dihubungkan  dengan sebuah  simpul  pusat  persekutuan.  Lebih lanjut  dalam  paper  yang  sama  Firmansah dan  Sugeng  (2015)  telah  membuktikan bahwa  graf  kincir  angin  belanda ( ) dan gabungan graf  kincir  angin  belanda ( ) ( ) adalah  graf  harmonis  ganjil.
Peneliti tertarik untuk melanjutkan penelitian  ini  dengan  melakukan  operasi amalgamasi pada graf kincir angin belanda.
Operasi  amalgamasi  dari  graf dan graf didefisinikan  sebagai  berikut.
Operasi  amalgamasi  dari  graf dengan ( )   * |                + dan  graf
dengan
( )   { |                } adalah  graf
yang  diperoleh  dengan
menggabungkan  simpul dan  simpul menjadi  satu  simpul sehingga  diperoleh
( )   * |                        + . Definsi  operasi  amalgamasi  dari  graf
diperumum untuk operasi amalgamasi graf . Pada  makalah  ini  penulis  akan mengkonstruksi amalgamasi dua graf kincir angin  belanda ( ) ( ) dengan
dan  amalgamasi graf  kincir  angin belanda ( ) ( ) ( ) dengan dan .  Lebih  lanjut  pada makalah  ini  penulis  akan  menunjukkan bahwa  amalgamasi  dua  graf  kincir  angin belanda ( ) ( ) dengan dan amalgamasi graf  kincir  angin  belanda ( ) ( ) ( ) dengan dan adalah graf harmonis ganjil.

## METODE PENELITIAN
Penelitian  ini  merupakan  penelitian kualitatif  berjenis  pengembangan  teoritik. Penelitian  ini  akan  mengembangkan  teori pelabelan  graf  khususnya  sifat-sifat  baru dari  graf  harmonis  ganjil  yang  dinyatakan dalam teorema.
Tahapan yang dilakukan dalam penelitian  sebagai  berikut.  Tahapan  awal adalah  tahapan  kajian  literatur  yaitu mengkaji sebanyak mungkin informasi dari penelitian terdahulu untuk keperluan identifikasi  masalah.  Selanjutnya,  tahapan investigasi  penelitian  yang  terdiri  kajian terhadap  sifat-sifat  khusus  dari  suatu  graf sampai tebentuknya teorema. Tahapan akhir adalah verifikasi hasil yang disajikan dalam teorema  yang  dilengkapi  dengan  bukti matematis

## HASIL DAN PEMBAHASAN
Bagian  ini  akan  diberikan  beberapa definisi yang dibutuhkan dan sifat-sifat baru yang  dinyatakan  dalam  teorema  yang disertai  dengan  pembuktian  matematika yang  sistematis.  Untuk  mempermudah pemahaman  pada  bagian  akhir  diberikan contoh  pelabelan  harmonis  ganjil  pada kelas  graf  yang sederhana  yang merupakan hasil operasi amalgamasi graf.
FIBONACCI : Jurnal Pendidikan Matematika dan Matematika. Vol. 4 (1), pp: 37-46.
Definisi  1. Amalgamasi  dua  graf  kincir angin  belanda
( ) ( ) dengan
adalah  graf  yang  dibentuk  dari
operasi  amalgamasi  dua  graf  kincir  angin belanda ( ) yang  dihubungkan  dengan graf lintasan . 0 u 1 u 2 u k u 0 x 1 x 2 x k x 1 1 v 2 1 v 1 2 v 2 2 v 1 k v 2 k v 1 1 y 2 1 y 1 2 y 2 2 y 1 k y 2 k y
Gambar 1. Konstruksi amalgamasi dua graf kincir angin belanda ( ) ( ) Berdasarkan  Gambar  1  diperoleh himpunan  simpul  dan  himpunan  busur  dari
amalgamasi  dua  graf  kincir  angin  belanda ( )
( ) sebagai berikut:
( ( ) ( ) )   * +   { |                  }   * |         +   * +
{ |                  }   * |         + dan
( ( ) ( ) )   { |                  }   { |                  }   * +
{ |                  }   { |                  } .
Definisi 2. Amalgamasi graf kincir angin belanda ( ) ( ) ( ) dengan dan adalah graf yang dibentuk
dari operasi amalgamasi graf kincir angin
belanda ( ) yang  dihubungkan  dengan graf lintasan .
Volume 4  No.1  Bulan Juni  Tahun 2018
1 1 v 2 1 v 1 2 1  r v 3 1 v 4 1 v r v 2 1 1 1 w 2 1 w r w 1 1 2 w 2 2 w r w 2 1 k w 2 k w r k w 1 2 v 2 2 v 3 2 v 4 2 v 1 2 2  r v r v 2 2 1 k v 2 k v 3 k v 4 k v 1 2  r k v r k v 2 1 u 2 u k u
Gambar 2. Konstruksi amalgamasi graf kincir angin belanda ( ) ( ) ( )
Berdasarkan  Gambar  2  diperoleh himpunan  simpul  dan  himpunan  busur  dari
amalgamasi graf  kincir  angin  belanda
( ) ( ) ( ) sebagai berikut: ( ( ) ( ) ( ) )   * |         +   { |                     } { |                    } dan
( ( ) ( )
( ) ) { |                     }   { |                    } { |                    }   * |             + .
Teorema  3. Amalgamasi  dua  graf  kincir angin  belanda
( ) ( ) dengan adalah graf harmonis ganjil.
Bukti.
Berdasarkan definisi himpunan simpul  dan  himpunan  busur  dari ( )
( ) diperoleh | ( ( )
( ) )| dan | ( ( )
( ) )| .

## Didefinisikan fungsi pelabelan simpul
( ( ) ( ) )   * + sebagai berikut: ( ) (1) ( ) (2) ( ) (3) ( ) (4) ( ) (5) ( ) (6)
FIBONACCI : Jurnal Pendidikan Matematika dan Matematika. Vol. 4 (1), pp: 37-46.
Berdasarkan  persamaan  (1),  (2),  (3),
(4), (5), dan (6) diperoleh himpunan simpul
setelah dilabel sebagai berikut:
( ( ( ) ( ) ))   * +   *                                  + *                                               +   *      + *                                  +
*                                             +
*                     + Diperoleh ( ( ( ) ( ) ))
*                  + dan label yang berbeda  pada  setiap  simpul  akibatnya fungsi pelabelan simpul bersifat injektif.
Selanjutnya diberikan fungsi pelabelan pelabelan busur ( ( ) ( ) )   *                   + yang didefinisikan  oleh (  )    ( )    ( ) , sebagai berikut: ( ) (7) ( ) (8) ( ) (9) ( ) (10) ( ) (11)
Berdasarkan  persamaan  (7),  (8),  (9),  (10),  dan  (11)  diperoleh  himpunan  busur  setelah dilabel sebagai berikut:
( ( ( ) ( ) ))   *                                   +
{ }
*      +
{ }
{ }
*                   +
Volume 4  No.1  Bulan Juni  Tahun 2018
Diperoleh ( ( ( ) ( ) ))
*                   + dan label yang
berbeda  pada  setiap  busur  dan  akibatnya fungsi pelabelan busur bersifat bijektif.
Telah  ditunjukkan  bahwa  fungsi pelabelan simpul bersifat injektif sedemikian  sehingga  menginduksi  fungsi pelabelan  busur yang  bersifat  bijektif.
Akibatnya  amalgamasi  dua  graf  kincir angin  belanda ( ) ( ) dengan adalah graf harmonis ganjil
Teorema  4. Amalgamasi graf  kincir angin  belanda ( ) ( ) ( )
dengan dan adalah  graf harmonis ganjil.

## Bukti.
Berdasarkan  definisi  himpunan  simpul  dan himpunan  busur  dari ( ) ( )
( ) diperoleh | ( ( ) ( ) ( ) )| dan | ( ( ) ( ) ( ) )|
. Didefinisikan fungsi pelabelan simpul ( ( ) ( ) ( ) )
*                       + sebagai berikut:
( )   { (      )    (      ) (      ) (12)
( )   { (      )         (      ) (      )         (      ) (13)
( )   { (      )    (      )         (      )
(      )    (      )         (      ) (14)
Berdasarkan persamaan (12), (13) dan (14)  diperoleh  label  yang  berbeda  pada setiap  simpul  dan ( ( ( ) ( )
( ) ))   *                       +
akibatnya  fungsi  pelabelan  simpul bersifat injektif.
Selanjutnya diberikan fungsi pelabelan busur ( ( ) ( )
( ) )   *                        + yang
didefinisikan  oleh (  )    ( )    ( ) , sebagai berikut: ( )   (      )         (      ) (15) ( )   (      ) (16) ( )   (      ) (17) ( )   (      ) (18)
Berdasarkan  persamaan  (15),  (16),  (17),  dan  (18)  diperoleh  himpunan  busur  setelah dilabel sebagai berikut:
FIBONACCI : Jurnal Pendidikan Matematika dan Matematika. Vol. 4 (1), pp: 37-46.
( ( ( ) ( ) ( ) ))   *                        +
{ }
{ }
{ } *                                                                     +
*                        +
Diperoleh ( ( ( ) ( )
( ) ))   *                        + dan label  yang  berbeda  pada  setiap  busur akibatnya fungsi pelabelan busur bersifat
bijektif. Telah  ditunjukkan  bahwa  fungsi pelabelan simpul
bersifat injektif sedemikian  sehingga  menginduksi  fungsi pelabelan  busur yang  bersifat  bijektif.
Akibatnya  amalgamasi graf  kincir  angin belanda ( ) ( ) ( ) dengan dan adalah  graf  harmonis
ganjil
Contoh. Berikut  diberikan  kontruksi  dan pelebalan  harmonis  ganjil  pada ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) pada Gambar 3.
Volume 4  No.1  Bulan Juni  Tahun 2018
0 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 134 142 150 158 166 174 157 165 173 181 189 197 51 38 36 34 32 30 28 50 48 46 44 42 40 26 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 47 49 195 187 179 219 211 203 156 164 172 180 188 196 52 63 61 59 57 55 53 75 73 71 69 67 65 77 54 56 58 60 62 64 66 68 70 72 74 76 194 186 178 218 210 202 201 209 217 225 233 241
Gambar  3. Pelabelan  harmonis  ganjil  pada ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
FIBONACCI : Jurnal Pendidikan Matematika dan Matematika. Vol. 4 (1), pp: 37-46.

## SIMPULAN
Pada  makalah  ini  telah  diperoleh konstruksi  dari  amalgamasi  dua  graf  kincir angin  belanda ( ) ( ) dengan (Definisi  1)  dan  amalgamasi graf kincir  angin  belanda ( ) ( ) ( ) dengan dan (Definisi 2). Lebih  lanjut  telah  dibuktikan  bahwa amalgamasi  dua  graf  kincir  angin  belanda
( ) ( ) dengan adalah  graf harmonis ganjil (Teorema 3) dan amalgamasi graf  kincir  angin  belanda ( ) ( ) ( ) dengan dan adalah  graf  harmonis  ganjil (Teorema 4).

## UCAPAN TERIMA KASIH
Penulis  megucapkan  terimakasih  kepada  RISTEK  DIKTI  sebagai  penyandang  dana  dalam penelitian ini yaitu Hibah Penelitian Dosen Pemula (PDP) pada tahun 2018.

## DAFTAR PUSTAKA
Abdel-Aal, M. E. 2014. “New Families of Odd Harmonious Graphs”. International Journal of Soft Computing, Mathematics and Control. Vol. 3(1), pp: 1-13.
Alyani,  F.,  Firmansah,  F.,  Giyarti,  W.,  dan  Sugeng,  K.  A.  2013.  “The  Odd  Harmonious Labeling of kCn-Snake Graphs for Spesific Values of n, that is, for n = 4 and n = 8”. Prosiding.  Dalam:  IndoMS  International  Conference  on  Mathemathics  and  Its Applications, 6-7 November 2013, pp: 225-230.
Firmansah,  F.  2016.  “Pelabelan  Harmonis  Ganjil  pada  Gabungan  Graf  Ular  dan  Graf  Ular Berlipat”.  Makalah.  Dalam:  Konferensi  Nasional  Matematika  dan  Pembelajarannya (KNPMP 1), 12 Maret 2016.
Firmansah,  F.  2016.  “Pelabelan  Harmonis  Ganjil  pada  Graf  Kincir  Angin  Double Quadrilateral”.  Makalah.  Dalam:  Seminar  Nasional  Matematika  dan  Pendidikan Matematika, 5 November 2016.
Firmansah,  F.  2017.  “The  Odd  Harmonious  Labeling  on  Variation  of  the  Double Quadrilateral Windmill Graphs”. Jurnal Ilmu Dasar. Vol. 18(2), pp: 109-118.
Firmansah, F., dan  Sugeng, K. A. 2015. “Pelabelan Harmonis Ganjil pada Graf Kincir Angin Belanda dan Gabungan Graf Kincir Angin Belanda”. Magistra. Vol. XXVII (94), pp: 56-92.
Firmansah, F. dan Yuwono, M. R. 2017. “Odd Harmonious Labeling on Pleated of the Dutch Windmill  Graphs”.  Jurnal  Chauchy  –  Jurnal  Matematika  Murni  dan  Aplikasi.  Vol. 4(4), pp: 161-166.
Volume 4  No.1  Bulan Juni  Tahun 2018
Firmansah, F. dan Yuwono, M.  R. 2017. “Pelabelan Harmonis Ganjil pada Kelas Graf Baru Hasil Operasi Cartesian Product”. Jurnal Matematika Mantik. Vol. 3(2), pp: 87-95.
Firmansah, F. dan Yuwono, M.  R. 2017. “Pelabelan  Harmonis Ganjil pada Kelas Graf Baru Hasil  Operasi  Gabungan”.  Makalah.  Dalam:  Seminar  Nasional  Matematika  dan Pendidikan Matematika, 11 November 2017.
Gallian,  J.  A.  2016.  “A  Dynamic  Survey  of  Graph  Labeling”.  The  Electronic  Journal  of Combinatorics, 18. #DS6.
Jeyanthi,  P,  Philo,  S,  dan  K.  A.  Sugeng.  2015.  “Odd  Harmonious  Labeling  of  Some  Some New Families of Graphs ”. SUT Journal of Mathematics. Vol. 51(2), pp: 53-65.
Liang, Z., dan Bai,  Z. 2009. “On The Odd Harmonious Graphs with Applications”. J. Appl. Math. Comput. Vol. 29, pp: 105-116.
Saputri,  G.  A.,  Sugeng,  K.  A.,  dan  Froncek,  D.  2013.  “The  Odd  Harmonious  Labeling  of Dumbbell  and  Generalized  Prims  Graphs”,  AKCE  Int,  J.  Graphs  Comb.  Vol.  10  (2) pp: 221-228.
Vaidya,  S.  K.,  dan  Shah,  N.  H.  2012.  “Odd  Harmonious  Labeling  of  Some  Graphs”. International J. Math. Combin, Vol. 3, pp: 105-112.
Vaidya,  S.  K.,  dan  Shah,  N.  H.  2011.  “Some  New  Odd  Harmonious  Graphs”.  International Journal of Mathematics and Soft Computing Vol. 1(1), pp: 9-16.