Jurnal Matematika Murni dan Terapan “εpsilon” http://ppjp.ulm.ac.id/journals/index.php/epsilon p-ISSN: 1978-4422 | e-ISSN 2656-7660 Vol.13 No.2 (Desember 2019) Hal. 46-54

## PENGINTEGRALAN MENGGUNAKAN ATURAN SIMPSON  UNTUK INTERVAL TITIK YANG TIDAK SAMA

## Fitriani, Akhmad Yusuf, Yuni Yulida
Program Studi Matematika, Fakultas MIPA Universitas Lambung Mangkurat Jln. A. Yani Km. 36 Banjarbaru, Kalimantan Selatan
Email: matikfitri@gmail.com

## ABSTRACT
In general,   numerical integration is carried out at the same  point  intervals.  But in reality, it is sometimes faced with the problem of integrating a function with unequal point intervals. One method to calculating integrals at unequal interval points is the Simpson rule. Based on it, the research aims to form a general formula of numerical integration for unequal interval points and Simpson rule equation by using the Newton interpolation formula with divided differences, also an errors for unequal interval points by integrating the Taylor’s series . The results of this research were obtained a general formula of numerical integration for unequal interval points, general formula of Simpson's 1/3 -rule, general formula of the Simpson's 3/8 -rule, and an error for each other’s Simpson’s rules.
Keywords : Numerical Integration, Simpson's 1/3 -Rule, Simpson's 3/8 -Rule, Error.

## ABSTRAK
Secara umum, formula untuk pengintegralan numerik didasarkan pada interval titik yang sama. Tetapi pada kenyataannya kadang-kadang dihadapkan pada persoalan pengintegral  suatu  fungsi dengan interval yang tidak sama. Salah satu metode untuk menghitung integral pada interval titik yang tidak sama  adalah  aturan Simpson. Berdsarkan hal ini, penelitian ini bertujuan membentuk  rumus umum pengintegralan numerik untuk interval titik yang tidak sama dan persamaan aturan Simpson dengan menggunakan rumus interpolasi newton dengan selisih terbagi, serta  error untuk interval titik yang tidak sama dengan mengintegralkan deret taylor.  Hasil dari penelitian ini didapatkan rumus umum pengintegralan numerik untuk interval titik yang tidak sama, rumus umum aturan Simpson satu per tiga, rumus umum aturan Simpson tiga per delapan, dan error aturan Simpson masing-masing.
Kata Kunci : Pengintegralan Numerik, Aturan Simpson Satu Per Tiga, Aturan Simpson Tiga Per Delapan, Error.

## 1. PENDAHULUAN
Penggunaan metode numerik yaitu untuk  penyelesaian persoalan matematis yang sulit  didapatkan menggunakan metode analitik, seperti: interpolasi, pengintegralan, dan sebagainya. Pengintegralan numerik dapat digunakan jika fungsi yang akan diintegralkan  diberikan dalam bentuk numerik atau dalam bentuk tabel dan juga dapat dilakukan jika integral sulit diselesaikan secara analitik[1].
Salah satu metode untuk menghitung integral pada interval titik yang tidak sama yaitu aturan Simpson. Aturan Simpson dapat diperoleh dengan mempartisi sebuah grafik. Untuk partisi berjumlah  genap digunakan aturan Simpson satu per tiga. Untuk partisi berjumlah ganjil digunakan aturan Simpson tiga per delapan, yang membutuhkan empat titik kurva atau minimal tiga buah  partisi untuk mendekati fungsinya  [2].  Oleh karena itu, metode  yang dibahas pada artikel ini adalah aturan Simpson untuk interval titik yang tidak sama  yang merujuk pada penelitian Ur Rashid Khan, Md. Mamun, dkk. 2017 [3].
Jurnal Matematika Murni dan Terapan “εpsilon” http://ppjp.ulm.ac.id/journals/index.php/epsilon p-ISSN: 1978-4422 | e-ISSN 2656-7660 Vol.13 No.2 (Desember 2019) Hal. 46-54
...(1) ...(3) ...(4) ...(2)

## 2. TINJAUAN PUSTAKA
2.1 Aturan Substitusi Untuk Integral Tentu

## Teorema 2.1 [4]
Misalkan 𝑔𝑔 memiliik  turunan kontinu pada [ 𝑎𝑎 , 𝑏𝑏 ] , dan misalkan 𝑓𝑓 kontinu pada daerah hasil dari 𝑔𝑔 . Maka
∫ 𝑓𝑓 ( 𝑔𝑔 ( 𝑥𝑥 )) 𝑔𝑔 ′ ( 𝑥𝑥 ) 𝑑𝑑𝑥𝑥 𝑏𝑏 𝑎𝑎 = ∫ 𝑓𝑓 ( 𝑢𝑢 ) 𝑑𝑑𝑢𝑢 𝑔𝑔 ( 𝑏𝑏 ) 𝑔𝑔 ( 𝑎𝑎 ) Bukti:
Misal 𝑢𝑢 = 𝑔𝑔 ( 𝑥𝑥 ) maka 𝑑𝑑𝑢𝑢 = 𝑔𝑔′ ( 𝑥𝑥 ) 𝑑𝑑𝑥𝑥 . Pada saat 𝑥𝑥 = 𝑎𝑎 maka 𝑢𝑢 = 𝑔𝑔 ( 𝑎𝑎 ) , pada saat
𝑥𝑥 = 𝑏𝑏 maka 𝑢𝑢 = 𝑔𝑔 ( 𝑏𝑏 ) . Sehingga integral menjadi ∫ 𝑓𝑓 ( 𝑢𝑢 ) 𝑑𝑑𝑢𝑢 𝑔𝑔 ( 𝑏𝑏 ) 𝑔𝑔 ( 𝑎𝑎 ) = 𝐹𝐹 ( 𝑢𝑢 )| 𝑔𝑔 ( 𝑎𝑎 ) 𝑔𝑔 ( 𝑏𝑏 ) = 𝐹𝐹�𝑔𝑔 ( 𝑏𝑏 ) � − 𝐹𝐹�𝑔𝑔 ( 𝑎𝑎 ) �
Sehingga, menurut Teorema Dasar Kalkulus Kedua
∫ 𝑓𝑓�𝑔𝑔 ( 𝑥𝑥 ) �𝑔𝑔 ′ ( 𝑥𝑥 ) 𝑑𝑑𝑥𝑥 𝑏𝑏 𝑎𝑎 = 𝐹𝐹�𝑔𝑔 ( 𝑥𝑥 ) �� 𝑎𝑎 𝑏𝑏 = 𝐹𝐹�𝑔𝑔 ( 𝑏𝑏 ) � − 𝐹𝐹�𝑔𝑔 ( 𝑎𝑎 ) �

## 2.2 Integral Parsial
Rumus integral parsial untuk integral tentu adalah
∫ 𝑢𝑢 𝑏𝑏 𝑎𝑎 𝑑𝑑𝑑𝑑 = [ 𝑢𝑢𝑑𝑑 ] 𝑎𝑎 𝑏𝑏 − ∫ 𝑑𝑑 𝑏𝑏 𝑎𝑎 𝑑𝑑𝑢𝑢 [4].

## 2.3 Pengintegralan Numerik
Diketahui rumus beda-maju Newton adalah sebagai berikut dengan nilai 𝑞𝑞 = 𝑗𝑗−𝑗𝑗 0 ℎ . 𝑘𝑘 = 𝑘𝑘 0 + 𝑞𝑞Δ𝑘𝑘 0 + 𝑞𝑞 ( 𝑞𝑞−1 ) 2 ! Δ 2 𝑘𝑘 0 + 𝑞𝑞 ( 𝑞𝑞−1 )( 𝑞𝑞−2 ) 3 ! Δ 3 𝑘𝑘 0 + ⋯
Kemudian persamaan (2) diintegralkan dengan interval 𝑗𝑗 0 sampai 𝑗𝑗 𝑛𝑛 . Sehingga nilai integral menjadi,
∫ 𝑘𝑘 𝑗𝑗 𝑛𝑛 𝑗𝑗 0 𝑑𝑑𝑗𝑗 = 𝑛𝑛ℎ �𝑘𝑘 0 + 𝑛𝑛 2 Δ𝑘𝑘 0 + 𝑛𝑛 ( 2𝑛𝑛−3 ) 12 Δ 2 𝑘𝑘 0 + 𝑛𝑛 ( 𝑛𝑛−2 ) 2 24 Δ 3 𝑘𝑘 0 + ⋯ � Persamaan (3) merupakan rumus umum pengintegralan numerik untuk interval titik  yang sama.  Dari rumus umum ini dapat diperoleh rumus  pengintegralan  yang berbeda dengan memasukkan nilai 𝑛𝑛 =  1,2,3, … [5].

## 2.4 Selisih Bagi
Definisi 2.2 [5]
Misalkan ( 𝑗𝑗 0 , 𝑘𝑘 0 ), ( 𝑗𝑗 1 , 𝑘𝑘 1 ), … , ( 𝑗𝑗 𝑛𝑛 , 𝑘𝑘 𝑛𝑛 ) yang diberikan ( 𝑛𝑛 + 1) titik. Maka selisih bagi dari 1 , 2 ,sampai 𝑛𝑛 didefinisikan sebagai:
[ 𝑗𝑗 0 , 𝑗𝑗 1 ] = 𝑘𝑘 1 −𝑘𝑘 0 𝑗𝑗 1 −𝑗𝑗 0 [ 𝑗𝑗 0 , 𝑗𝑗 1 , 𝑗𝑗 2 ] = [ 𝑗𝑗 1 , 𝑗𝑗 2 ] − [ 𝑗𝑗 0 , 𝑗𝑗 1 ] 𝑗𝑗 2 −𝑗𝑗 0 ⋮ [ 𝑗𝑗 0 , 𝑗𝑗 1 , … , 𝑗𝑗 𝑛𝑛 ] = [ 𝑗𝑗 1 , 𝑗𝑗 2 ,… , 𝑗𝑗 𝑛𝑛 ] − [ 𝑗𝑗 0 , 𝑗𝑗 1 ,…, 𝑗𝑗 𝑛𝑛−1 ] 𝑗𝑗 𝑛𝑛 −𝑗𝑗 0

## 2.5 Rumus Umum Interpolasi Newton
Berdasarkan persamaan (4) untuk suatu 𝑗𝑗 sedemikian hingga diperoleh rumus umum interpolasi newton dengan selisih bagi, yaitu
Jurnal Matematika Murni dan Terapan “εpsilon” http://ppjp.ulm.ac.id/journals/index.php/epsilon p-ISSN: 1978-4422 | e-ISSN 2656-7660 Vol.13 No.2 (Desember 2019) Hal. 46-54
...(5) ...(6)
...(7) ...(8) ...(9)
𝑘𝑘 = 𝑘𝑘 0 + ( −𝑗𝑗 0 + 𝑗𝑗 )[ 𝑗𝑗 0 , 𝑗𝑗 1 ] + ( −𝑗𝑗 0 + 𝑗𝑗 )( −𝑗𝑗 1 + 𝑗𝑗 )[ 𝑗𝑗 0 , 𝑗𝑗 1 , 𝑗𝑗 2 ] + ( −𝑗𝑗 0 + 𝑗𝑗 )( −𝑗𝑗 1 + 𝑗𝑗 )
( −𝑗𝑗 2 + 𝑗𝑗 )[ 𝑗𝑗 0 , 𝑗𝑗 1 , 𝑗𝑗 2 , 𝑗𝑗 3 ] + ⋯ 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 . [5].

## 2.6 Aturan Simpson Untuk Interval Titik yang Sama

## 2.6.1 Aturan Simpson Satu per Tiga
Aturan Simpson satu per tiga  diperoleh dengan membagi kurva menjadi 𝑛𝑛 bagian yang sama. Fungsi didekati dengan polinom orde dua yang memerlukan minimal tiga titik sehingga partisi yang dibentuk jumlahnya genap [2]. Dengan memasukkan nilai 𝑛𝑛 = 2 pada persamaan (3) diperoleh ∫ 𝑘𝑘 𝑗𝑗 2 𝑗𝑗 0 𝑑𝑑𝑗𝑗 = 2ℎ �𝑘𝑘 0 + Δ𝑘𝑘 0 + 1 6 Δ 2 𝑘𝑘 0 � = ℎ 3 ( 𝑘𝑘 0 + 4 𝑘𝑘 1 + 𝑘𝑘 2 )
demikian pula pada interval 𝑗𝑗 2 sampai 𝑗𝑗 4 ∫ 𝑘𝑘 𝑗𝑗 4 𝑗𝑗 2 𝑑𝑑𝑗𝑗 = ℎ 3 ( 𝑘𝑘 2 + 4 𝑘𝑘 3 + 𝑘𝑘 4 )
dan untuk interval 𝑗𝑗 𝑛𝑛−2 sampai 𝑗𝑗 𝑛𝑛 ∫ 𝑘𝑘 𝑗𝑗 𝑛𝑛 𝑗𝑗 𝑛𝑛−2 𝑑𝑑𝑗𝑗 = ℎ 3 ( 𝑘𝑘 𝑛𝑛−2 + 4 𝑘𝑘 𝑛𝑛−1 + 𝑘𝑘 𝑛𝑛 ) sehingga dapat disimpulkan rumus umum aturan Simpson satu per tiga, yaitu:
∫ 𝑘𝑘 𝑗𝑗 𝑛𝑛 𝑗𝑗 0 𝑑𝑑𝑗𝑗 = ℎ 3 [ 𝑘𝑘 0 + 4 𝑘𝑘 1 + 2 𝑘𝑘 2 + 4 𝑘𝑘 3 + 2 𝑘𝑘 4 + 4 𝑘𝑘 5 + 2 𝑘𝑘 6 + ⋯ + 2 𝑘𝑘 𝑛𝑛−2 + 4 𝑘𝑘 𝑛𝑛−1 + 𝑘𝑘 𝑛𝑛 ] [5].

## 2.6.2 Aturan Simpson Tiga per Delapan
Pada aturan Simpson tiga per delapan partisi  yang dibentuk berjumlah ganjil, yang membutuhkan minimal empat titik kurva atau tiga partisi untuk mendekati fungsinya [2].
Dengan memasukkan nilai 𝑛𝑛 = 3 pada persamaan (3) maka diperoleh
∫ 𝑘𝑘 𝑗𝑗 3 𝑗𝑗 0 𝑑𝑑𝑗𝑗 = 3ℎ 8 ( 𝑘𝑘 0 + 3 𝑘𝑘 1 + 3 𝑘𝑘 2 + 𝑘𝑘 3 ) demikian pula pada interval 𝑗𝑗 sampai 𝑗𝑗 6 ∫ 𝑘𝑘 𝑗𝑗 6 𝑗𝑗 3 𝑑𝑑𝑗𝑗 = 3ℎ 8 ( 𝑘𝑘 3 + 3 𝑘𝑘 4 + 3 𝑘𝑘 5 + 𝑘𝑘 6 )
sehingga dapat disimpulkan rumus umum untuk aturan Simpson tiga per delapan adalah,
∫ 𝑘𝑘 𝑗𝑗 𝑛𝑛 𝑗𝑗 0 𝑑𝑑𝑗𝑗 = 3ℎ 8 ( 𝑘𝑘 0 + 3 𝑘𝑘 1 + 3 𝑘𝑘 2 + 2 𝑘𝑘 3 + 3 𝑘𝑘 4 + 3 𝑘𝑘 5 + 2 𝑘𝑘 6 + ⋯ + 2 𝑘𝑘 𝑛𝑛−3 + 3 𝑘𝑘 𝑛𝑛−2 + 3 𝑘𝑘 𝑛𝑛−1 + 𝑘𝑘 𝑛𝑛 ) [5].

## 2.7 Error Aturan Simpson
Diketahui rumus beda-maju Newton adalah
𝑘𝑘 = 𝑘𝑘 0 + 𝑞𝑞Δ𝑘𝑘 0 + 𝑞𝑞 ( 𝑞𝑞−1 ) 2 ! Δ 2 𝑘𝑘 0 + 𝑞𝑞 ( 𝑞𝑞−1 )( 𝑞𝑞−2 ) 3 ! Δ 3 𝑘𝑘 0 + ⋯ + 𝑞𝑞 ( 𝑞𝑞−1 )( 𝑞𝑞−2 )…( 𝑞𝑞−𝑛𝑛+1 ) 𝑛𝑛 ! Δ 𝑛𝑛 𝑘𝑘 0 + 𝑅𝑅 𝑛𝑛 dengan, 𝑅𝑅 𝑛𝑛 = ℎ 𝑛𝑛 +1 𝑓𝑓 ( 𝑛𝑛 +1) ( 𝜉𝜉 ) ( 𝑛𝑛 +1)! 𝑞𝑞 ( 𝑞𝑞 − 1 ) ( 𝑞𝑞 − 2) … ( 𝑞𝑞 − 𝑛𝑛 ) dengan mengintegralkan 𝑅𝑅 𝑛𝑛 dengan interval 0 sampai 2 maka di peroleh nilai error aturan Simpson satu per tiga
𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸 = − ℎ 4 90 𝑓𝑓 𝑖𝑖𝑖𝑖 ( 𝜉𝜉 )
dimana 𝑗𝑗 0 < 𝜉𝜉 < 𝑗𝑗 𝑛𝑛
Jurnal Matematika Murni dan Terapan “εpsilon” http://ppjp.ulm.ac.id/journals/index.php/epsilon p-ISSN: 1978-4422 | e-ISSN 2656-7660 Vol.13 No.2 (Desember 2019) Hal. 46-54
...(10) ...(11) ...(12)
...(13)
Untuk mendapatkan nilai error aturan Simpson tiga per delapan, maka 𝑅𝑅 𝑛𝑛 diintegralkan dengan interval 0 sampai 3
𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸 = − 3ℎ 5 80 𝑓𝑓 𝑖𝑖𝑖𝑖 ( 𝜉𝜉 ) [6].

## 2.8 Deret Taylor
Diberikan 𝑓𝑓 ( 𝑑𝑑 ) adalah jumlah dari deret pangkat dengan interval konvergensi 𝑙𝑙 − 𝐸𝐸 < 𝑑𝑑 < 𝑙𝑙 + 𝐸𝐸 , ( 𝐸𝐸 > 0) : 𝑓𝑓 ( 𝑑𝑑 ) = ∑ 𝑐𝑐 𝑛𝑛 ( 𝑑𝑑 − 𝑙𝑙 ) 𝑛𝑛 , ∞ 𝑛𝑛=0 𝑙𝑙 − 𝐸𝐸 < 𝑑𝑑 < 𝑙𝑙 + 𝐸𝐸 Deret  ini di sebut deret Taylor dari 𝑓𝑓 ( 𝑑𝑑 ) pada 𝑑𝑑 = 𝑙𝑙 jika koefisien 𝑐𝑐 𝑛𝑛 diberikan dengan aturan:
𝑐𝑐 0 = 𝑓𝑓 ( 𝑙𝑙 ) , 𝑐𝑐 1 = 1 1 ! 𝑓𝑓 ′ ( 𝑙𝑙 ) , 𝑐𝑐 2 = 1 2 ! 𝑓𝑓 "( 𝑙𝑙 ) , ⋯ , 𝑐𝑐 𝑛𝑛 = 1 𝑛𝑛 ! 𝑓𝑓 ( 𝑛𝑛 ) ( 𝑙𝑙 )
maka 𝑓𝑓 ( 𝑑𝑑 ) = 𝑓𝑓 ( 𝑙𝑙 ) + 𝑓𝑓 ′ ( 𝑙𝑙 )( 𝑑𝑑 − 𝑙𝑙 ) + ⋯ + 1 𝑛𝑛 ! 𝑓𝑓 ( 𝑛𝑛 ) ( 𝑙𝑙 )( 𝑑𝑑 − 𝑙𝑙 ) 𝑛𝑛 + ⋯ [7] .

## 3. METODOLOGI
Tulisan ini mengkaji kembali penelitian Ur Rashid Khan,  Md. Mamun, dkk.
2017, dengan prosedur penelitian sebgai berikut:
1. Membentuk persamaan aturan Simpson untuk interval titik yang tidak sama.
a. Menentukan rumus umum pengintegralan numerik untuk interval titik yang tidak sama.
b. Memasukkan nilai 𝑛𝑛 (dengan n merupakan jumlah partisi ) pada rumus umum pengintegralan numerik untuk interval titik yang tidak sama untuk mendapatkan aturan Simpson satu per tiga dan aturan Simpson tiga per delapan.
2. Membentuk  persamaan error aturan Simpson untuk interval titik yang tidak sama.
a. Mengintegralkan deret Taylor
b. Memasukkan nilai 𝑗𝑗 pada deret Taylor untuk mendapatkan nilai 𝑘𝑘 1 , 𝑘𝑘 2 dan 𝑘𝑘 3 c. Menghitung nilai integral 𝑘𝑘 d. Mensubstitusikan nilai 𝑘𝑘 yang didapat ke persamaan deret taylor yang telah diintegralkan
3. Menghitung integral dengan aturan Simpson untuk interval titik yang tidak sama pada contoh.
4. HASIL DAN PEMBAHASAN
4.1 Pembentukan  Persamaan Aturan Simpson  untuk Interval Titik yang Tidak Sama
Diberikan integral tentu ∫ 𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑗𝑗 𝑗𝑗 𝑛𝑛 𝑗𝑗 0 , dengan interval 𝑗𝑗 0 sampai 𝑗𝑗 𝑛𝑛 dibagi ke dalam 𝑛𝑛 subinterval yang tidak sama. Diketahui rumus umum interpolasi Newton dengan selisih terbagi pada persamaan (5) adalah sebagai berikut:
𝑘𝑘 = 𝑘𝑘 0 + ( −𝑗𝑗 0 + 𝑗𝑗 )[ 𝑗𝑗 0 , 𝑗𝑗 1 ] + ( −𝑗𝑗 0 + 𝑗𝑗 )( −𝑗𝑗 1 + 𝑗𝑗 )[ 𝑗𝑗 0 , 𝑗𝑗 1 , 𝑗𝑗 2 ] + ( −𝑗𝑗 0 + 𝑗𝑗 )( −𝑗𝑗 1 + 𝑗𝑗 )( −𝑗𝑗 2 + 𝑗𝑗 )[ 𝑗𝑗 0 , 𝑗𝑗 1 , 𝑗𝑗 2 , 𝑗𝑗 3 ] + ⋯ + ( −𝑗𝑗 0 + 𝑗𝑗 )( −𝑗𝑗 1 + 𝑗𝑗 ) … ( −𝑗𝑗 𝑛𝑛 + 𝑗𝑗 )[ 𝑗𝑗 , 𝑗𝑗 0 , 𝑗𝑗 1 , … , 𝑗𝑗 𝑛𝑛 ] +
Kemudian Persamaan (13) diintegralkan kedua ruas dari 𝑗𝑗 0 sampai 𝑗𝑗 𝑛𝑛 , diperoleh
Jurnal Matematika Murni dan Terapan “εpsilon” http://ppjp.ulm.ac.id/journals/index.php/epsilon p-ISSN: 1978-4422 | e-ISSN 2656-7660 Vol.13 No.2 (Desember 2019) Hal. 46-54
...(16) ...(15) ...(17) ...(18) ...(14) ∫ 𝑘𝑘 𝑑𝑑𝑗𝑗 = 𝑘𝑘 0 ( −𝑗𝑗 0 + 𝑗𝑗 𝑛𝑛 ) + 𝑗𝑗 𝑛𝑛 𝑗𝑗 0 � 1 2 ( −𝑗𝑗 0 + 𝑗𝑗 𝑛𝑛 ) 2 � [ 𝑗𝑗 0 , 𝑗𝑗 1 ] + 1 2 � ( −𝑗𝑗 0 + 𝑗𝑗 )( −𝑗𝑗 1 + 𝑗𝑗 𝑛𝑛 ) 2 −
1 3 ( −𝑗𝑗 1 + 𝑗𝑗 𝑛𝑛 ) 3 + 1 3 ( −𝑗𝑗 1 + 𝑗𝑗 0 ) 3 � [ 𝑗𝑗 0 , 𝑗𝑗 1 , 𝑗𝑗 2 ] + � ( −𝑗𝑗 0 + 𝑗𝑗 𝑛𝑛 ) � 1 2 ( −𝑗𝑗 1 +
𝑗𝑗 𝑛𝑛 )( −𝑗𝑗 2 + 𝑗𝑗 𝑛𝑛 ) 2 − 1 6 ( −𝑗𝑗 2 + 𝑗𝑗 𝑛𝑛 ) 3 � − 1 6 [( −𝑗𝑗 1 + 𝑗𝑗 𝑛𝑛 ) 2 ( −𝑗𝑗 2 + 𝑗𝑗 𝑛𝑛 ) 3 ] + 1 6 [( −𝑗𝑗 1 +
𝑗𝑗 0 ) 2 ( −𝑗𝑗 2 + 𝑗𝑗 0 ) 3 ] + 1 12 ( −𝑗𝑗 2 + 𝑗𝑗 𝑛𝑛 ) 4 − 1 12 ( −𝑗𝑗 2 + 𝑗𝑗 0 ) 4 � [ 𝑗𝑗 0 , 𝑗𝑗 1 , 𝑗𝑗 2 , 𝑗𝑗 3 ] + ⋯
Persamaan  (14)  disebut rumus umum pengintegralan numerik untuk interval titik yang tidak sama. Dari rumus umum tersebut maka dapat diperoleh rumus pengintegralan yang berbeda dengan memasukkan 𝑛𝑛 = 1,2,3 dengan 𝑛𝑛 merupakan jumlah partisi. Nilai 𝑛𝑛 = 1 digunakan untuk aturan Trapezoidal, nilai 𝑛𝑛 = 2 digunakan untuk aturan Simpson satu per tiga dan untuk 𝑛𝑛 = 3 digunakan untuk aturan Simpson tiga per delapan.
4.2 Aturan Simpson untuk Interval Titik yang Tidak Sama
4.2.1 Aturan Simpson Satu per Tiga
Dengan memaasukkan nilai 𝑛𝑛 = 2 ke persamaan (14) di peroleh rumus aturan simpson satu per tiga untuk interval titik yang tidak sama. Untuk interval 𝑗𝑗 0 sampai 𝑗𝑗 2 ∫ 𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑗𝑗 = 𝑦𝑦 0 ( −𝑗𝑗 0 + 𝑗𝑗 2 ) + 𝑗𝑗 2 𝑗𝑗 0 � 1 2 ( −𝑗𝑗 0 + 𝑗𝑗 2 ) 2 � [ 𝑗𝑗 0 , 𝑗𝑗 1 ] + 1 2 � ( −𝑗𝑗 0 + 𝑗𝑗 2 )( −𝑗𝑗 1 + 𝑗𝑗 2 ) 2 − 1 3 ( −𝑗𝑗 1 + 𝑗𝑗 2 ) 3 + 1 3 ( −𝑗𝑗 1 + 𝑗𝑗 0 ) 3 � [ 𝑗𝑗 0 , 𝑗𝑗 1 , 𝑗𝑗 2 ]
Rumus umum aturan Simpson satu per tiga untuk interval titik yang tidak sama adalah sebagai berikut:
∫ 𝑘𝑘 𝑑𝑑𝑗𝑗 = ∑ �𝑦𝑦 𝑖𝑖−2 ( −𝑗𝑗 𝑖𝑖−2 + 𝑗𝑗 𝑖𝑖 ) + � 1 2 ( −𝑗𝑗 𝑖𝑖−2 + 𝑗𝑗 𝑖𝑖 ) 2 � [ 𝑗𝑗 𝑖𝑖−2 , 𝑗𝑗 𝑖𝑖−1 ] + 1 2 � ( −𝑗𝑗 𝑖𝑖−2 + 𝑛𝑛 𝑖𝑖=2 𝑗𝑗 𝑛𝑛 𝑗𝑗 0 𝑗𝑗 𝑖𝑖 )( −𝑗𝑗 𝑖𝑖−1 + 𝑗𝑗 𝑖𝑖 ) 2 − 1 3 ( −𝑗𝑗 𝑖𝑖−1 + 𝑗𝑗 𝑖𝑖 ) 3 + 1 3 ( −𝑗𝑗 𝑖𝑖−1 + 𝑗𝑗 𝑖𝑖−2 ) 3 � [ 𝑗𝑗 𝑖𝑖−2 , 𝑗𝑗 𝑖𝑖−1 , 𝑗𝑗 𝑖𝑖 ] �

## 4.2.2 Aturan Simpson Tiga per Delapan
Aturan Simpson tiga per delapan untuk interval titik yang tidak sama diperoleh dengan memasukkan nilai 𝑛𝑛 = 3 pada Persamaan (14). untuk interval 𝑗𝑗 0 sampai 𝑗𝑗 3
∫ 𝑘𝑘 𝑑𝑑𝑗𝑗 = 𝑘𝑘 0 ( −𝑗𝑗 0 + 𝑗𝑗 3 ) + 𝑗𝑗 3 𝑗𝑗 0 � 1 2 ( −𝑗𝑗 0 + 𝑗𝑗 3 ) 2 � [ 𝑗𝑗 0 , 𝑗𝑗 1 ] + 1 2 [ 𝑗𝑗 0 , 𝑗𝑗 1 , 𝑗𝑗 2 ] � ( −𝑗𝑗 0 + 𝑗𝑗 3 )( −𝑗𝑗 1 + 𝑗𝑗 3 ) 2 − 1 3 ( −𝑗𝑗 1 + 𝑗𝑗 3 ) 3 + 1 3 ( −𝑗𝑗 1 + 𝑗𝑗 0 ) 3 � + 1 2 [ 𝑗𝑗 0 , 𝑗𝑗 1 , 𝑗𝑗 2 , 𝑗𝑗 3 ] � ( −𝑗𝑗 0 + 𝑗𝑗 3 )( −𝑗𝑗 1 + 𝑗𝑗 3 )( −𝑗𝑗 2 + 𝑗𝑗 3 ) 2 − 1 3 ( −𝑗𝑗 1 + 𝑗𝑗 3 )( −𝑗𝑗 2 + 𝑗𝑗 3 ) 3 + 1 3 ( −𝑗𝑗 1 + 𝑗𝑗 0 )( −𝑗𝑗 2 + 𝑗𝑗 0 ) 3 +
1 12 ( −𝑗𝑗 2 + 𝑗𝑗 3 ) 4 − 1 12 ( −𝑗𝑗 2 + 𝑗𝑗 0 ) 4 �
Rumus umum aturan  Simpson tiga per delapan unuk interval titik yang tidak sama adalah sebagai berikut:
∫ 𝑘𝑘 𝑑𝑑𝑗𝑗 = ∑ �𝑘𝑘 𝑖𝑖−3 ( −𝑗𝑗 𝑖𝑖−3 + 𝑗𝑗 𝑖𝑖 ) + � 1 2 ( −𝑗𝑗 𝑖𝑖−3 + 𝑗𝑗 𝑖𝑖 ) 2 � [ 𝑗𝑗 𝑖𝑖−3
, 𝑗𝑗 𝑖𝑖−2 ] + 𝑛𝑛 𝑖𝑖=3 𝑗𝑗 𝑛𝑛 𝑗𝑗 0 1 2 � ( −𝑗𝑗 𝑖𝑖−3 + 𝑗𝑗 𝑖𝑖 )( −𝑗𝑗 𝑖𝑖−2 + 𝑗𝑗 𝑖𝑖 ) 2 − 1 3 ( −𝑗𝑗 𝑖𝑖−2 + 𝑗𝑗 𝑖𝑖 ) 3 + 1 3 ( −𝑗𝑗 𝑖𝑖−2 + 𝑗𝑗 𝑖𝑖−3 ) 3 � [ 𝑗𝑗 𝑖𝑖−3 , 𝑗𝑗 𝑖𝑖−2 , 𝑗𝑗 𝑖𝑖−1 ] + 1 2 � ( −𝑗𝑗 𝑖𝑖−3 + 𝑗𝑗 𝑖𝑖 )( −𝑗𝑗 𝑖𝑖−2 + 𝑗𝑗 𝑖𝑖 )( −𝑗𝑗 𝑖𝑖−1 +
Jurnal Matematika Murni dan Terapan “εpsilon” http://ppjp.ulm.ac.id/journals/index.php/epsilon p-ISSN: 1978-4422 | e-ISSN 2656-7660 Vol.13 No.2 (Desember 2019) Hal. 46-54
...(19) ...(20) ...(21)
...(22) ...(23) ...(24) ...(25)
𝑗𝑗 𝑖𝑖 ) 2 − 1 3 ( −𝑗𝑗 𝑖𝑖−2 + 𝑗𝑗 𝑖𝑖 )( −𝑗𝑗 𝑖𝑖−1 + 𝑗𝑗 𝑖𝑖 ) 3 + 1 3 ( −𝑗𝑗 𝑖𝑖−2 + 𝑗𝑗 𝑖𝑖−3 )( −𝑗𝑗 𝑖𝑖−1 + 𝑗𝑗 𝑖𝑖−3 ) 3 + 1 12 ( −𝑗𝑗 𝑖𝑖−1 + 𝑗𝑗 𝑖𝑖 ) 4 − 1 12 ( −𝑗𝑗 𝑖𝑖−1 + 𝑗𝑗 𝑖𝑖−3 ) 4 � [ 𝑗𝑗 𝑖𝑖−3 , 𝑗𝑗 𝑖𝑖−2 , 𝑗𝑗 𝑖𝑖−1 , 𝑗𝑗 𝑖𝑖 ] �

## 4.3 Error Aturan Simpson
4.3.1 Error Aturan Simpson Satu per Tiga
Diketahui deret Taylor disekitar 𝑗𝑗 = 𝑗𝑗 0
𝑘𝑘 ( 𝑗𝑗 ) = 𝑘𝑘 0 + ( −𝑗𝑗0+𝑗𝑗 ) 1 ! 𝑘𝑘 0 ′ + 1 2 ! ( −𝑗𝑗 0 + 𝑗𝑗 ) 2 𝑘𝑘 0 ′′ + 1
3 ! ( −𝑗𝑗 0 + 𝑗𝑗 ) 3 𝑘𝑘 0 ′′′ + ⋯ + 1 𝑛𝑛 ! ( −𝑗𝑗 0 + 𝑗𝑗 ) 𝑛𝑛 𝑘𝑘 0 𝑛𝑛
Kemudian Persamaan (19) di integralkan kedua ruas dari 𝑗𝑗 0 sampai 𝑗𝑗 2 , diperoleh ∫ 𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑗𝑗 = 𝑘𝑘 0 ( −𝑗𝑗 0 + 𝑗𝑗 2 ) 𝑗𝑗2 𝑗𝑗0 + 1 2 ( −𝑗𝑗 0 + 𝑗𝑗 2 ) 2 𝑦𝑦 0 ′ + 1 6 ( −𝑗𝑗 0 + 𝑗𝑗 2 ) 3 𝑦𝑦 0 ′′ + 1 24 ( −𝑗𝑗 0 + 𝑗𝑗 2 ) 4 𝑦𝑦 0 ′′′
Dari persamaan (15) diketahui nilai integral 𝑘𝑘 pada interval 𝑗𝑗 0 sampai 𝑗𝑗 2 adalah ∫ 𝑘𝑘 𝑑𝑑𝑗𝑗 = 𝑗𝑗 2 𝑗𝑗 0 𝑘𝑘 0 ( −𝑗𝑗 0 + 𝑗𝑗 2 ) + � 1 2 ( −𝑗𝑗 0 + 𝑗𝑗 2 ) 2 � [ 𝑗𝑗 0 , 𝑗𝑗 1 ] + 1 2 � ( −𝑗𝑗 0 + 𝑗𝑗 2 )( −𝑗𝑗 1 + 𝑗𝑗 2 ) 2 − 1 3 ( −𝑗𝑗 1 + 𝑗𝑗 2 ) 3 + 1 3 ( −𝑗𝑗 1 + 𝑗𝑗 0 ) 3 � [ 𝑗𝑗 0 , 𝑗𝑗 1 , 𝑗𝑗 2 ]
Kemudian masukkan nilai 𝑗𝑗 = 𝑗𝑗 1 dan 𝑗𝑗 = 𝑗𝑗 2 pada persamaan (19) untuk mendapatkan nilai 𝑘𝑘 1 dan 𝑘𝑘 2 . Sehingga persamaan (20) berubah menjadi
∫ 𝑘𝑘 𝑑𝑑𝑗𝑗 𝑗𝑗 2 𝑗𝑗 0 = 1 36 ( −𝑗𝑗 0 + 𝑗𝑗 2 )[36 𝑘𝑘 0 + 18( −𝑗𝑗 0 + 𝑗𝑗 2 ) 𝑘𝑘 0 ′ + 6( −𝑗𝑗 0 + 𝑗𝑗 2 ) 2 𝑘𝑘 0 ′′ + ( −𝑗𝑗 0 + 𝑗𝑗 2 ) 2 ( −𝑗𝑗 1 −𝑗𝑗 0 + 2 𝑗𝑗 2 ) 𝑘𝑘 0 ′′′ ]
Kemudian Persamaan (21 ) dan (22) dikurangkan, sehingga didapat persamaan error aturan Simpson untuk interval 𝑗𝑗 0 sampai 𝑗𝑗 2 Error  = � 1 72 ( −𝑗𝑗 0 + 𝑗𝑗 2 ) 3 ( −𝑗𝑗 0 − 𝑗𝑗 2 + 2 𝑗𝑗 1 ) 𝑘𝑘 0 ′′′ �
Dengan total error yaitu,
Error  = � 1 72 ∑ ( −𝑗𝑗 𝑖𝑖−2 + 𝑗𝑗 𝑖𝑖 ) 3 ( −𝑗𝑗 𝑖𝑖 −𝑗𝑗 𝑖𝑖−2 + 2 𝑗𝑗 𝑖𝑖−1 ) 𝑘𝑘 𝑖𝑖−2 ′′′ 𝑛𝑛 𝑖𝑖−2 � 4.3.2 Error Aturan Simpson Tiga per Delapan
Diketahui deret Taylor disekitar 𝑗𝑗 = 𝑗𝑗 0 ,
𝑘𝑘 ( 𝑗𝑗 ) = 𝑘𝑘 0 + ( −𝑗𝑗 0 +𝑗𝑗 ) 1 ! 𝑘𝑘 0 ′ + 1 2 ! ( −𝑗𝑗 0 + 𝑗𝑗 ) 2 𝑘𝑘 0 ′′ + 1 3 ! ( −𝑗𝑗 0 + 𝑗𝑗 ) 3 𝑘𝑘 0 ′′′ + 1 4 ! ( −𝑗𝑗 0 + 𝑗𝑗 ) 4 𝑘𝑘 0 𝑖𝑖𝑖𝑖 + ⋯ + 1 𝑛𝑛 ! ( −𝑗𝑗 0 + 𝑗𝑗 ) 𝑛𝑛 𝑘𝑘 0 𝑛𝑛
Kemudian Persamaan (23) di integralkan kedua ruas dari 𝑗𝑗 0 sampai 𝑗𝑗 3 , diperoleh ∫ 𝑘𝑘 𝑑𝑑𝑗𝑗 = 𝑘𝑘 0 ( −𝑗𝑗 0 + 𝑗𝑗 3 ) + 𝑗𝑗 3 𝑗𝑗 0 1 2 ( −𝑗𝑗 0 + 𝑗𝑗 3 ) 2 𝑘𝑘 0 ′ + 1 6 ( −𝑗𝑗 0 + 𝑗𝑗 3 ) 3 𝑘𝑘 0 ′′ + 1 24 ( −𝑗𝑗 0 + 𝑗𝑗 3 ) 4 𝑘𝑘 0 ′′′ + 1 120 ( −𝑗𝑗 0 + 𝑗𝑗 3 ) 5 𝑘𝑘 0 𝑖𝑖𝑖𝑖
Dari persamaan (17) diketahui nilai integral 𝑦𝑦 pada interval 𝑗𝑗 0 sampai 𝑗𝑗 3 adalah ∫ 𝑘𝑘 𝑑𝑑𝑗𝑗 = 𝑗𝑗 3 𝑗𝑗 0 𝑘𝑘 0 ( −𝑗𝑗 0 + 𝑗𝑗 3 ) + � 1 2 ( −𝑗𝑗 0 + 𝑗𝑗 3 ) 2 � [ 𝑗𝑗 0 , 𝑗𝑗 1 ] + 1 2 � ( −𝑗𝑗 0 + 𝑗𝑗 3 )( −𝑗𝑗 1 + 𝑗𝑗 3 ) 2 − 1 3 ( −𝑗𝑗 1 + 𝑗𝑗 3 ) 3 + 1 3 ( −𝑗𝑗 1 + 𝑗𝑗 0 ) 3 � [ 𝑗𝑗 0 , 𝑗𝑗 1 , 𝑗𝑗 2 ] + 1 2 � ( −𝑗𝑗 0 + 𝑗𝑗 3 )( −𝑗𝑗 1 + 𝑗𝑗 3 )(+ 𝑗𝑗 3 − 𝑗𝑗 2 ) 2 − 1 3 ( −𝑗𝑗 1 + 𝑗𝑗 3 )( −𝑗𝑗 2 + 𝑗𝑗 3 ) 3 + 1 3 ( −𝑗𝑗 1 + 𝑗𝑗 0 )( −𝑗𝑗 2 + 𝑗𝑗 0 ) 3 + 1 12 ( −𝑗𝑗 2 + 𝑗𝑗 3 ) 4 − 1 12 ( −𝑗𝑗 2 + 𝑗𝑗 0 ) 4 � [ 𝑗𝑗 0 , 𝑗𝑗 1 , 𝑗𝑗 2 , 𝑗𝑗 3 ]
Kemudian  masukkan nilai 𝑗𝑗 = 𝑗𝑗 1 , 𝑗𝑗 = 𝑗𝑗 2 , dan 𝑗𝑗 = 𝑗𝑗 2 pada persamaan (23) untuk mendapatkan nilai 𝑦𝑦 1 , 𝑦𝑦 2 , dan 𝑦𝑦 3 . Sehingga persamaan (25) berubah menjadi
Jurnal Matematika Murni dan Terapan “εpsilon” http://ppjp.ulm.ac.id/journals/index.php/epsilon p-ISSN: 1978-4422 | e-ISSN 2656-7660 Vol.13 No.2 (Desember 2019) Hal. 46-54
...(26) ∫ 𝑘𝑘 𝑑𝑑𝑗𝑗 𝑗𝑗 3 𝑗𝑗 0 = 1 576 ( 𝑗𝑗 3 − 𝑗𝑗 0 ) � ( 𝑗𝑗 3 − 𝑗𝑗 0 ) � 288 𝑘𝑘 0 ′ − 96 𝑗𝑗 0 𝑘𝑘 0 ′′ + 96 𝑗𝑗 3 𝑘𝑘 0 ′′ + 28 𝑗𝑗 0 2 𝑘𝑘 0 ′′′ − 16 𝑗𝑗 0 𝑗𝑗 2 𝑘𝑘 0 ′′′ + 24 𝑗𝑗 2 2 𝑘𝑘 0 ′′′ − 40 𝑗𝑗 0 𝑗𝑗 3 𝑘𝑘 0 ′′′ − 32 𝑗𝑗 2 𝑗𝑗 3 𝑘𝑘 0 ′′′ + 36 𝑗𝑗 3 2 𝑘𝑘 0 ′′′ − 9 𝑗𝑗 0 3 𝑘𝑘 0 𝑖𝑖𝑖𝑖 + 3 𝑗𝑗 0 2 𝑗𝑗 1 𝑘𝑘 0 𝑖𝑖𝑖𝑖 + 15 𝑗𝑗 0 2 𝑗𝑗 2 𝑘𝑘 0 𝑖𝑖𝑖𝑖 − 8 𝑗𝑗 0 𝑗𝑗 1 𝑗𝑗 2 𝑘𝑘 0 𝑖𝑖𝑖𝑖 − 22 𝑗𝑗 0 𝑗𝑗 2 2 𝑘𝑘 0 𝑖𝑖𝑖𝑖 + 6 𝑗𝑗 1 𝑗𝑗 2 2 𝑘𝑘 0 𝑖𝑖𝑖𝑖 + 6 𝑗𝑗 2 3 𝑘𝑘 0 𝑖𝑖𝑖𝑖 + 9 𝑗𝑗 0 2 𝑗𝑗 3 𝑘𝑘 0 𝑖𝑖𝑖𝑖 + 2 𝑗𝑗 0 𝑗𝑗 1 𝑗𝑗 3 𝑘𝑘 0 𝑖𝑖𝑖𝑖 + 22 𝑗𝑗 0 𝑗𝑗 2 𝑗𝑗 3 𝑘𝑘 0 𝑖𝑖𝑖𝑖 − 4 𝑗𝑗 1 𝑗𝑗 2 𝑗𝑗 3 𝑘𝑘 0 𝑖𝑖𝑖𝑖 − 2 𝑗𝑗 2 2 𝑗𝑗 3 𝑘𝑘 0 𝑖𝑖𝑖𝑖 − 21 𝑗𝑗 0 𝑗𝑗 3 2 𝑘𝑘 0 𝑖𝑖𝑖𝑖 + 𝑗𝑗 1 𝑗𝑗 3 2 𝑘𝑘 0 𝑖𝑖𝑖𝑖 − 7 𝑗𝑗 2 𝑗𝑗 3 2 𝑘𝑘 0 𝑖𝑖𝑖𝑖 + 9 𝑗𝑗 3 3 𝑘𝑘 0 𝑖𝑖𝑖𝑖 � + 576 𝑘𝑘 0 � Kemudian persamaan (24) dan (26) dikurangkan, sehingga didapatkan persamaan error aturan Simpson tiga per delapan untuk interval 𝑗𝑗 0 sampai 𝑗𝑗 3
Error = � 1 2880 ( 𝑗𝑗 3 − 𝑗𝑗 0 ) 2 [ − 20 𝑘𝑘 0 ′′′ ( 𝑗𝑗 0 2 − 4 𝑗𝑗 0 𝑗𝑗 2 + 6 𝑗𝑗 2 2 + 2 𝑗𝑗 0 𝑗𝑗 3 − 8 𝑗𝑗 2 𝑗𝑗 3 + 3 𝑗𝑗 3 2 ) + 𝑘𝑘 0 𝑖𝑖𝑖𝑖 ( − 21 𝑗𝑗 0 3 + 15 𝑗𝑗 0 2 𝑗𝑗 1 + 75 𝑗𝑗 0 2 𝑗𝑗 2 − 40 𝑗𝑗 0 𝑗𝑗 1 𝑗𝑗 2 − 110 𝑗𝑗 0 𝑗𝑗 2 2 + 30 𝑗𝑗 1 𝑗𝑗 2 2 + 30 𝑗𝑗 2 3 − 27 𝑗𝑗 0 2 𝑗𝑗 3 + 10 𝑗𝑗 0 𝑗𝑗 1 𝑗𝑗 3 + 110 𝑗𝑗 0 𝑗𝑗 2 𝑗𝑗 3 − 20 𝑗𝑗 1 𝑗𝑗 2 𝑗𝑗 3 − 10 𝑗𝑗 2 2 𝑗𝑗 3 + 33 𝑗𝑗 0 𝑗𝑗 3 2 + 5 𝑗𝑗 1 𝑗𝑗 3 2 − 35 𝑗𝑗 2 𝑗𝑗 3 2 + 21 𝑗𝑗 3 3 ) � Dengan total error
Error = � 1 2880 ∑ ( 𝑗𝑗 𝑖𝑖 − 𝑗𝑗 𝑖𝑖−3 ) 2 [ − 20 𝑘𝑘 𝑖𝑖−3 ′′′ �𝑗𝑗 𝑖𝑖−3 2 − 4 𝑗𝑗 𝑖𝑖−3 𝑗𝑗 𝑖𝑖−1 + 6 𝑗𝑗 𝑖𝑖−1 2 + 2 𝑗𝑗 𝑖𝑖−3 𝑗𝑗 𝑖𝑖 − 8 𝑗𝑗 𝑖𝑖−1 𝑗𝑗 𝑖𝑖 + 𝑛𝑛 𝑖𝑖−3 3 𝑗𝑗 𝑖𝑖 2 � + 𝑘𝑘 𝑖𝑖−3 𝑖𝑖𝑖𝑖 ( − 21 𝑗𝑗 𝑖𝑖−3 3 + 15 𝑗𝑗 𝑖𝑖−3 2 𝑗𝑗 𝑖𝑖−2 + 75 𝑗𝑗 𝑖𝑖−3 2 𝑗𝑗 𝑖𝑖−1 − 40 𝑗𝑗 𝑖𝑖−3 𝑗𝑗 𝑖𝑖−2 𝑗𝑗 𝑖𝑖−1 − 110 𝑗𝑗 𝑖𝑖−3 𝑗𝑗 𝑖𝑖−1 2 + 30 𝑗𝑗 𝑖𝑖−2 𝑗𝑗 𝑖𝑖−1 2 + 30 𝑗𝑗 𝑖𝑖−1 3 − 27 𝑗𝑗 𝑖𝑖−3 2 𝑗𝑗 𝑖𝑖 + 10 𝑗𝑗 𝑖𝑖−3 𝑗𝑗 𝑖𝑖−2 𝑗𝑗 𝑖𝑖 + 110 𝑗𝑗 𝑖𝑖−3 𝑗𝑗 𝑖𝑖−1 𝑗𝑗 𝑖𝑖 − 20 𝑗𝑗 𝑖𝑖−2 𝑗𝑗 𝑖𝑖−1 𝑗𝑗 1 − 10 𝑗𝑗 𝑖𝑖−1 2 𝑗𝑗 𝑖𝑖 + 33 𝑗𝑗 𝑖𝑖−3 𝑗𝑗 𝑖𝑖 2 + 5 𝑗𝑗 𝑖𝑖−2 𝑗𝑗 𝑖𝑖 2 − 35 𝑗𝑗 𝑖𝑖−1 𝑗𝑗 𝑖𝑖 2 + 21 𝑗𝑗 𝑖𝑖 3 ) �

## 4.4 Contoh
Hitunglah nilai integral dari ∫ 𝑗𝑗𝑒𝑒 −𝑗𝑗 2 2 0 𝑑𝑑𝑗𝑗 menggunakan aturan Simpson satu per tiga dan aturan Simpson tiga per delapan untuk interval titik yang tidak sama. Dengan selang yang dibagi menjadi 6 interval yang tidak sama. Selanjutnya diberikan nilai 𝑘𝑘 = 𝑗𝑗𝑒𝑒 −𝑗𝑗 2 di titik ujung selang yang berbeda.
𝑗𝑗 0 = 0 𝑘𝑘 0 = 0 𝑗𝑗 1 = 0.36 𝑘𝑘 1 = 0,316240826 𝑗𝑗 2 = 0.64
𝑘𝑘 2 = 0,424906089 𝑗𝑗 3 = 1.02
𝑘𝑘 3 = 0,360379595 𝑗𝑗 4 = 1.47
𝑘𝑘 4 = 0,169375421 𝑗𝑗 5 = 1.72
𝑘𝑘 5 = 0,089271257 𝑗𝑗 6 = 2 𝑘𝑘 6 = 0,036631278
Penyelesaian:
a. Aturan Simpson satu per tiga untuk interval titik yang tidak sama Dari persamaan (16) diperoleh nilai integral dari 𝑗𝑗𝑒𝑒 −𝑗𝑗 2
∫ 𝑗𝑗𝑒𝑒 −𝑗𝑗 2 2 0 𝑑𝑑𝑗𝑗 = �𝑘𝑘 0 ( −𝑗𝑗 0 + 𝑗𝑗 2 ) + � 1 2 ( −𝑗𝑗 0 + 𝑗𝑗 2 ) 2 � [ 𝑗𝑗 0 , 𝑗𝑗 1 ] + 1 2 � ( −𝑗𝑗 0 + 𝑗𝑗 2 )( −𝑗𝑗 1 + 𝑗𝑗 2 ) 2 − 1 3 ( −𝑗𝑗 1 + 𝑗𝑗 2 ) 3 + 1 3 ( −𝑗𝑗 1 + 𝑗𝑗 0 ) 3 � [ 𝑗𝑗 0 , 𝑗𝑗 1 , 𝑗𝑗 2 ] � + �𝑘𝑘 2 ( −𝑗𝑗 2 + 𝑗𝑗 4 ) + � 1 2 ( −𝑗𝑗 0 + 𝑗𝑗 2 ) 2 � [ 𝑗𝑗 2 , 𝑗𝑗 3 ] + 1 2 � ( −𝑗𝑗 2 + 𝑗𝑗 4 )( −𝑗𝑗 3 + 𝑗𝑗 4 ) 2 − 1 3 ( −𝑗𝑗 3 + 𝑗𝑗 4 ) 3 + 1 3 ( −𝑗𝑗 3 + 𝑗𝑗 2 ) 3 � [ 𝑗𝑗 2 , 𝑗𝑗 3 , 𝑗𝑗 4 ] � + �𝑘𝑘 4 ( −𝑗𝑗 4 + 𝑗𝑗 6 ) + � 1 2 ( −𝑗𝑗 4 + 𝑗𝑗 6 ) 2 � [ 𝑗𝑗 4 , 𝑗𝑗 5 ] + 1 2 � ( −𝑗𝑗 4 + 𝑗𝑗 6 )( −𝑧𝑧 5 + 𝑗𝑗 6 ) 2 − 1 3 ( −𝑗𝑗 5 + 𝑗𝑗 6 ) 3 + 1 3 ( −𝑗𝑗 5 + 𝑗𝑗 4 ) 3 � [ 𝑗𝑗 4 , 𝑗𝑗 5 , 𝑗𝑗 6 ] � = 0.437690033
Jurnal Matematika Murni dan Terapan “εpsilon” http://ppjp.ulm.ac.id/journals/index.php/epsilon p-ISSN: 1978-4422 | e-ISSN 2656-7660 Vol.13 No.2 (Desember 2019) Hal. 46-54
Error = � 1 72 {[( −𝑗𝑗 0 + 𝑗𝑗 2 ) 3 (2 𝑗𝑗 1 − 𝑗𝑗 2 −𝑗𝑗 0 ) 𝑘𝑘 0 ′′′ ] + [( −𝑗𝑗 2 + 𝑗𝑗 4 ) 3 (2 𝑗𝑗 3 − 𝑗𝑗 4 −𝑗𝑗 2 ) 𝑘𝑘 2 ′′′ ] + [( −𝑗𝑗 4 + 𝑗𝑗 6 ) 3 (2 𝑗𝑗 5 − 𝑗𝑗 6 −𝑗𝑗 4 ) 𝑘𝑘 4 ′′′ ]} �

## = 0.002726757
Dari perhitungan dapat dilihat bahwa nilai yang didapatkan menggunakan aturan Simpson satu per tiga untuk interval titik yang tidak sama yaitu 0.437690033 dengan error metode sebesar 0.002726757 dan nilai error terhadap nilai eksak yaitu sebesar 0.108287653% .
b. Aturan Simpson tiga per delapan untuk interval titik yang tidak sama
Dari persamaan (17) diperoleh nilai integral dari 𝑗𝑗𝑒𝑒 −𝑗𝑗 2
∫ 𝑗𝑗𝑒𝑒 −𝑗𝑗 2 2 0 𝑑𝑑𝑗𝑗 = 𝑘𝑘 0 ( −𝑗𝑗 0 + 𝑗𝑗 3 ) + � 1 2 ( −𝑗𝑗 0 + 𝑗𝑗 3 ) 2 � [ 𝑗𝑗 0 , 𝑗𝑗 1 ] + 1 2 � ( −𝑗𝑗 0 + 𝑗𝑗 3 )( −𝑗𝑗 1 + 𝑗𝑗 3 ) 2 − 1 3 ( −𝑗𝑗 1 + 𝑗𝑗 3 ) 3 + 1 3 ( −𝑗𝑗 1 + 𝑗𝑗 0 ) 3 � [ 𝑗𝑗 0 , 𝑗𝑗 1 , 𝑗𝑗 2 ] + 1 2 � ( −𝑗𝑗 0 + 𝑗𝑗 3 )( −𝑗𝑗 1 + 𝑗𝑗 3 )( −𝑗𝑗 2 + 𝑗𝑗 3 ) 2 − 1 3 ( −𝑗𝑗 1 + 𝑗𝑗 3 )( −𝑗𝑗 2 + 𝑗𝑗 3 ) 3 + 1 3 ( −𝑗𝑗 1 + 𝑗𝑗 0 )( −𝑗𝑗 2 + 𝑗𝑗 0 ) 3 + 1 12 ( −𝑗𝑗 2 + 𝑗𝑗 3 ) 4 − 1 12 ( −𝑗𝑗 2 + 𝑗𝑗 0 ) 4 � [ 𝑗𝑗 0 , 𝑗𝑗 1 , 𝑗𝑗 2 , 𝑗𝑗 3 ] + 𝑘𝑘 3 ( −𝑗𝑗 3 + 𝑗𝑗 6 ) + � 1 2 ( −𝑗𝑗 3 + 𝑗𝑗 6 ) 2 � [ 𝑗𝑗 3 , 𝑗𝑗 4 ] +
1 2 � ( −𝑗𝑗 3 + 𝑗𝑗 6 )( −𝑗𝑗 4 + 𝑗𝑗 6 ) 2 − 1 3 ( −𝑗𝑗 4 + 𝑗𝑗 6 ) 3 + 1 3 ( −𝑗𝑗 4 + 𝑗𝑗 3 ) 3 � [ 𝑗𝑗 3 , 𝑗𝑗 4 , 𝑗𝑗 5 ] + 1 2 � ( −𝑗𝑗 3 + 𝑗𝑗 6 )( −𝑗𝑗 4 + 𝑗𝑗 6 )( −𝑗𝑗 5 + 𝑗𝑗 6 ) 2 − 1 3 ( −𝑗𝑗 4 + 𝑗𝑗 6 )( −𝑗𝑗 5 + 𝑗𝑗 6 ) 3 + 1 3 ( −𝑗𝑗 4 + 𝑗𝑗 3 )( −𝑗𝑗 5 + 𝑗𝑗 3 ) 3 + 1 12 ( −𝑗𝑗 5 + 𝑗𝑗 6 ) 4 − 1 12 ( −𝑗𝑗 5 + 𝑗𝑗 3 ) 4 � [ 𝑗𝑗 3 , 𝑗𝑗 4 , 𝑗𝑗 5 , 𝑗𝑗 6 ] = 0.570443927 Error = � 1 2880 � ( 𝑗𝑗 3 − 𝑗𝑗 0 ) 2 [ − 20 𝑘𝑘 0 ′′′ ( 𝑗𝑗 0 2 − 4 𝑗𝑗 0 𝑗𝑗 2 + 6 𝑗𝑗 2 2 + 2 𝑗𝑗 0 𝑗𝑗 3 − 8 𝑗𝑗 2 𝑗𝑗 3 + 3 𝑗𝑗 3 2 ) + 𝑘𝑘 0 𝑖𝑖𝑖𝑖 ( − 21 𝑗𝑗 0 3 + 15 𝑗𝑗 0 2 𝑗𝑗 1 + 75 𝑗𝑗 0 2 𝑗𝑗 2 − 40 𝑗𝑗 0 𝑗𝑗 1 𝑗𝑗 2 − 110 𝑗𝑗 0 𝑗𝑗 2 2 + 30 𝑗𝑗 1 𝑗𝑗 2 2 + 30 𝑗𝑗 2 3 − 27 𝑗𝑗 0 2 𝑗𝑗 3 + 10 𝑗𝑗 0 𝑗𝑗 1 𝑗𝑗 3 + 110 𝑗𝑗 0 𝑗𝑗 2 𝑗𝑗 3 − 20 𝑗𝑗 1 𝑗𝑗 2 𝑗𝑗 3 − 10 𝑗𝑗 2 2 𝑗𝑗 3 + 33 𝑗𝑗 0 𝑗𝑗 3 2 + 5 𝑗𝑗 1 𝑗𝑗 3 2 − 35 𝑗𝑗 2 𝑗𝑗 3 2 + 21 𝑗𝑗 3 3 ) � + 1 2880 � ( 𝑗𝑗 6 − 𝑗𝑗 3 ) 2 [ − 20 𝑘𝑘 3 ′′′ ( 𝑗𝑗 3 2 − 4 𝑗𝑗 3 𝑗𝑗 5 + 6 𝑗𝑗 5 2 + 2 𝑗𝑗 3 𝑗𝑗 6 − 8 𝑗𝑗 5 𝑗𝑗 6 + 3 𝑗𝑗 6 2 ) + 𝑘𝑘 3 𝑖𝑖𝑖𝑖 ( − 21 𝑗𝑗 3 3 + 15 𝑗𝑗 3 2 𝑗𝑗 4 + 75 𝑗𝑗 3 2 𝑗𝑗 5 − 40 𝑗𝑗 3 𝑗𝑗 4 𝑗𝑗 5 − 110 𝑗𝑗 3 𝑗𝑗 5 2 + 30 𝑗𝑗 4 𝑗𝑗 5 2 + 30 𝑗𝑗 5 3 − 27 𝑗𝑗 3 2 𝑗𝑗 6 + 10 𝑗𝑗 3 𝑗𝑗 4 𝑗𝑗 6 + 110 𝑗𝑗 3 𝑗𝑗 5 𝑗𝑗 6 − 20 𝑗𝑗 4 𝑗𝑗 5 𝑗𝑗 6 − 10 𝑗𝑗 5 2 𝑗𝑗 6 + 33 𝑗𝑗 3 𝑗𝑗 6 2 + 5 𝑗𝑗 4 𝑗𝑗 6 2 − 35 𝑗𝑗 5 𝑗𝑗 6 2 + 21 𝑗𝑗 6 3 ) ��

## = 0.187072856
Dari perhitungan dapat dilihat bahwa nilai yang didapatkan menggunakan aturan Simpson tiga per delapan  untuk interval titik yang tidak sama yaitu 0.570443927 dengan  error metode sebesar 0.187072856 dan  nilai error  terhadap nilai eksak yaitu 0.162173809% .

## 5. KESIMPULAN
1. Persamaan aturan Simpson satu per tiga untuk interval titik yang tidak sama, yaitu
∫ 𝑘𝑘 𝑑𝑑𝑗𝑗 = ∑ �𝑦𝑦 𝑖𝑖−2 ( −𝑗𝑗 𝑖𝑖−2 + 𝑗𝑗 𝑖𝑖 ) + � 1 2 ( −𝑗𝑗 𝑖𝑖−2 + 𝑗𝑗 𝑖𝑖 ) 2 � [ 𝑗𝑗 𝑖𝑖−2 , 𝑗𝑗 𝑖𝑖−1 ] + 1 2 � ( −𝑗𝑗 𝑖𝑖−2 + 𝑛𝑛 𝑖𝑖=2 𝑗𝑗 𝑛𝑛 𝑗𝑗 0 𝑗𝑗 𝑖𝑖 )( −𝑗𝑗 𝑖𝑖−1 + 𝑗𝑗 𝑖𝑖 ) 2 − 1 3 ( −𝑗𝑗 𝑖𝑖−1 + 𝑗𝑗 𝑖𝑖 ) 3 + 1 3 ( −𝑗𝑗 𝑖𝑖−1 + 𝑗𝑗 𝑖𝑖−2 ) 3 � [ 𝑗𝑗 𝑖𝑖−2 , 𝑗𝑗 𝑖𝑖−1 , 𝑗𝑗 𝑖𝑖 ] �
2. Persamaan aturan Simpson tiga per delapan untuk interval titik yang tidak sama, yaitu
Jurnal Matematika Murni dan Terapan “εpsilon” http://ppjp.ulm.ac.id/journals/index.php/epsilon p-ISSN: 1978-4422 | e-ISSN 2656-7660 Vol.13 No.2 (Desember 2019) Hal. 46-54
∫ 𝑘𝑘 𝑑𝑑𝑗𝑗 = ∑ �𝑘𝑘 𝑖𝑖−3 ( −𝑗𝑗 𝑖𝑖−3 + 𝑗𝑗 𝑖𝑖 ) + � 1 2 ( −𝑗𝑗 𝑖𝑖−3 + 𝑗𝑗 𝑖𝑖 ) 2 � [ 𝑗𝑗 𝑖𝑖−3 , 𝑗𝑗 𝑖𝑖−2 ] + 1 2 � ( −𝑗𝑗 𝑖𝑖−3 + 𝑛𝑛 𝑖𝑖=3 𝑗𝑗 𝑛𝑛 𝑗𝑗 0 𝑗𝑗 𝑖𝑖 )( −𝑗𝑗 𝑖𝑖−2 + 𝑗𝑗 𝑖𝑖 ) 2 − 1 3 ( −𝑗𝑗 𝑖𝑖−2 + 𝑗𝑗 𝑖𝑖 ) 3 + 1 3 ( −𝑗𝑗 𝑖𝑖−2 + 𝑗𝑗 𝑖𝑖−3 ) 3 � [ 𝑗𝑗 𝑖𝑖−3 , 𝑗𝑗 𝑖𝑖−2 , 𝑗𝑗 𝑖𝑖−1 ] +
1 2 � ( −𝑗𝑗 𝑖𝑖−3 + 𝑗𝑗 𝑖𝑖 )( −𝑗𝑗 𝑖𝑖−2 + 𝑗𝑗 𝑖𝑖 )( −𝑗𝑗 𝑖𝑖−1 + 𝑗𝑗 𝑖𝑖 ) 2 − 1 3 ( −𝑗𝑗 𝑖𝑖−2 + 𝑗𝑗 𝑖𝑖 )( −𝑗𝑗 𝑖𝑖−1 + 𝑗𝑗 𝑖𝑖 ) 3 + 1 3 ( −𝑗𝑗 𝑖𝑖−2 + 𝑗𝑗 𝑖𝑖−3 )( −𝑗𝑗 𝑖𝑖−1 + 𝑗𝑗 𝑖𝑖−3 ) 3 + 1 12 ( −𝑗𝑗 𝑖𝑖−1 + 𝑗𝑗 𝑖𝑖 ) 4 − 1 12 ( −𝑗𝑗 𝑖𝑖−1 + 𝑗𝑗 𝑖𝑖−3 ) 4 � [ 𝑗𝑗 𝑖𝑖−3 , 𝑗𝑗 𝑖𝑖−2 , 𝑗𝑗 𝑖𝑖−1 , 𝑗𝑗 𝑖𝑖 ] �
3. Persamaan error aturan Simpson satu per tiga untuk interval titik yang tidak sama, yaitu
Error  = � 1 72 ∑ ( −𝑗𝑗 𝑖𝑖−2 + 𝑗𝑗 𝑖𝑖 ) 3 ( −𝑗𝑗 𝑖𝑖 −𝑗𝑗 𝑖𝑖−2 + 2 𝑗𝑗 𝑖𝑖−1 ) 𝑘𝑘 𝑖𝑖−2 ′′′ 𝑛𝑛 𝑖𝑖−2 � 4. Persamaan error aturan Simpson tiga per delapan untuk interval titik yang tidak sama, yaitu
Error = � 1 2880 ∑ ( 𝑗𝑗 𝑖𝑖 − 𝑗𝑗 𝑖𝑖−3 ) 2 [ − 20 𝑘𝑘 𝑖𝑖−3 ′′′ �𝑗𝑗 𝑖𝑖−3 2 − 4 𝑗𝑗 𝑖𝑖−3 𝑗𝑗 𝑖𝑖−1 + 6 𝑗𝑗 𝑖𝑖−1 2 + 2 𝑗𝑗 𝑖𝑖−3 𝑗𝑗 𝑖𝑖 − 𝑛𝑛 𝑖𝑖−3 8 𝑗𝑗 𝑖𝑖−1 𝑗𝑗 𝑖𝑖 + 3 𝑗𝑗 𝑖𝑖 2 � + 𝑘𝑘 𝑖𝑖−3 𝑖𝑖𝑖𝑖 ( − 21 𝑗𝑗 𝑖𝑖−3 3 + 15 𝑗𝑗 𝑖𝑖−3 2 𝑗𝑗 𝑖𝑖−2 + 75 𝑗𝑗 𝑖𝑖−3 2 𝑗𝑗 𝑖𝑖−1 − 40 𝑗𝑗 𝑖𝑖−3 𝑗𝑗 𝑖𝑖−2 𝑗𝑗 𝑖𝑖−1 − 110 𝑗𝑗 𝑖𝑖−3 𝑗𝑗 𝑖𝑖−1 2 + 30 𝑗𝑗 𝑖𝑖−2 𝑗𝑗 𝑖𝑖−1 2 + 30 𝑗𝑗 𝑖𝑖−1 3 − 27 𝑗𝑗 𝑖𝑖−3 2 𝑗𝑗 𝑖𝑖 + 10 𝑗𝑗 𝑖𝑖−3 𝑗𝑗 𝑖𝑖−2 𝑗𝑗 𝑖𝑖 + 110 𝑗𝑗 𝑖𝑖−3 𝑗𝑗 𝑖𝑖−1 𝑗𝑗 𝑖𝑖 − 20 𝑗𝑗 𝑖𝑖−2 𝑗𝑗 𝑖𝑖−1 𝑗𝑗 1 − 10 𝑗𝑗 𝑖𝑖−1 2 𝑗𝑗 𝑖𝑖 + 33 𝑗𝑗 𝑖𝑖−3 𝑗𝑗 𝑖𝑖 2 + 5 𝑗𝑗 𝑖𝑖−2 𝑗𝑗 𝑖𝑖 2 − 35 𝑗𝑗 𝑖𝑖−1 𝑗𝑗 𝑖𝑖 2 + 21 𝑗𝑗 𝑖𝑖 3 ) �

## DAFTAR PUSTAKA
[1] Munir, Rinaldi. 2010. Metode Numerik. Informatika, Bandung.
[2] Jaluria, Yogesh. 2011. Computer Methods for Engineering with Matlab Applications  Second Edition. CRC Press, London.
[3] Md. Mamun-Ur-Rashid Khan, M. R. Hossain, Selina Parvin. 2017.  Numerical Integration Schemes for Unequal Data Spacing. American Journal of Applied Mathematics. 5(2). 48-56. doi: 10.11648/j.ajam.20170502.12.
[4] Purcell, EJ, dkk. 2003. Kalkulus Edisi Kedelapan Jilid 1 . Erlangga, Jakarta.
[5] Sastry, S.S. 2005. Introductory  Methods of Numerical  Analysis  4 th edition . Prentice-Hall of India, New Delhi.
[6] Chapra, Steven C & Canale, Raymond P. 2010. Numerical Methods for Engineers Sixth Edition. McGraw-Hill, New York.
[7] Kaplan, Wilfred. 2003. Advanced Calculus Fifth Edition. Pearson  Education, United States.