Jurnal Matematika, Sains, dan Pembelajarannya
Vol.6, No.1, Januari 2020, pp. 79~84
ISSN 2622-8904 (online)

## Penentuan Energi Dasar Atom Berilium (Be) Menggunakan Metode Variasional Dengan Dua Parameter
Nurlina* 1 , Fitriah Bidalo 2 , Z. Su’ud 3
1 Program Studi Pendidikan Fisika, Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan, Universitas Sulawesi Barat,
Jl. Letjen Hertasning, Majene 91412, Sulawesi Barat, Indonesia
2 Bidang Pengendalian, Pencemaran, dan Kerusakan Lingkungan Hidup, Dinas Lingkungan Hidup Kabupaten Banggai Kepulauan
3 Kelompok Keilmuan Fisika Nuklir dan Biofisika, Jurusan Fisika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Institut Teknologi Bandung, Jl. Ganesha No. 10 Bandung 40132, Indonesia e-mail: * 1 nurlina@unsulbar.ac.id , 2 fitriahbidalo@gmail.com , 3 szaki@fi.itb.ac.id

## Abstrak
Studi  ini  bertujuan  untuk  menentukan  energi  dasar  atom  Berilium  (Be)  menggunakan  metode variasional  dengan  dua  parameter.  Perhitungan  energi  dasar  atom  Berilium  dilakukan  dengan meminimalisasi  fungsi  gelombang  untuk  memperoleh  nilai  parameter  variasi  yang  efektif.  Dengan menggunakan metode variasional dua parameter, diperoleh energi keadaan dasar atom Berilium sebesar  - 394,066 eV (1,26% dari energi referensi) dengan nilai parameter Z 1 = 3,65837 dan Z 2 = 2,10137. Dari hasil tersebut, terlihat bahwa nilai energi keadaan dasar yang diperoleh cukup mendekati nilai energi referensi. Hal ini mengindikasikan bahwa metode variasional dua parameter cukup baik dalam menjelaskan sifat-sifat energi keadaan dasar suatu atom.

## Kata kunci: atom Berilium, energi keadaan dasar, metode variasional

## 1. PENDAHULUAN
Salah satu kajian penting dalam studi tentang atom adalah penentuan energi  pada keadaan dasarnya. Ada  banyak  metode  yang  dapat  digunakan  untuk  menentukan  energi  keadaan  dasar  suatu  atom  dan  pada dasarnya  dapat  dilakukan  dengan  cara  menyelesaikan  persamaan  Schrodinger-nya.  Namun  hal  tersebut cenderung sangat sulit untuk kasus atom-atom yang berelektron banyak karena melibatkan persamaan yang cukup rumit (Griffiths 1994).
Metode variasional adalah suatu cara aproksimasi yang cukup baik untuk menentukan energi tingkat dasar  suatu  atom.  Metode  variasional  adalah  salah  satu  metode  utama  yang  digunakan  untuk  memperoleh perkiraan  tingkat  energi  dan  fungsi  gelombang  suatu  sistem  yang  tidak  memiliki  solusi  analitik  yang  tepat (Tambasco 1997). Dalam mengkaji sifat-sifat atom, terutama yang berkaitan dengan energi keadaan dasarnya, selain  menggunakan  metode Hartree  Fock dan Density  Function  Theory (DFT) , metode  variasional  juga terbukti cukup baik dalam menjelaskan keadaan dasar dari suatu atom (Griffiths 1994; Puchalski and Pachucki 2006).  Selain  itu,  metode  ini  juga  dapat  digunakan  untuk  menentukan  keadaan  tereksitasi  suatu  atom menggunakan  prinsip  orthogonalitas  dari  solusi  persamaan  Schrodinger  (Piela  2014;  Rahman  and  Utami 2019).
Metode  variasional  dilakukan  untuk  menemukan  pendekatan  keadaan  eigen  energi  terendah  atau energi keadaan dasar. Dasar metode variasi ini adalah memilih sebuah fungsi gelombang yang tergantung pada satu  atau  lebih  parameter  variasi  dan  menemukan  nilai-nilai  parameter  ini  dengan  nilai  ekspektasi  energi serendah  mungkin.  Penggunaan  metode  ini  sangat  membantu  dalam  kemudahan  perhitungan,  mengurangi kompleksitas perhitungan dan memberikan batas error yang relatif kecil (Rioux 1999). Metode variasional ini memiliki  kesetaraan  tertentu  dengan  metode  perturbasi.  Namun  metode  variasional  lebih  menguntungkan dalam penerapannya pada sistem partikel jamak seperti atom Berilium, khususnya untuk penentuan energi dan
https://jurnal.unsulbar.ac.id/index.php/saintifik
keadaan  tingkat  dasar,  yang  dapat  diperbaiki  ketelitiannya  secara  iteratif.  Perluasannya  untuk  perhitungan keadaan eksitasi juga dapat dilakukan dengan cara interaksi konfigurasi.
Dalam studi ini, perhitungan energi dasar menggunakan atom Berilium, karena secara teori konfigurasi elektron atom Berilium adalah 1𝑠 2 , 2𝑠 2 ., memiliki dua elektron di bagian dalam ( Shell K ) dan dua elektron di kulit  luar  ( Shell  L )  sehingga  konfigurasi  atom  Berilium  ini  cukup  menarik  untuk  dikaji,  sebagaimana  yang telah dilakukan oleh peneliti sebelumnya (Wu and Meng 2018; Y. Yulianto, R. Ramdani, M.S. Abidin 2017). Tujuan  dari  studi  ini  adalah  untuk  menghitung  energi  keadaan  dasar  atom  Berilium  menggunakan  metode variasional dengan dua parameter variasi.

## 2. METODE PENELITIAN
Secara ringkas, prosedur penerapan metode variasional dapat dinyatakan dalam empat langkah pokok yaitu  (1)  menentukan  Hamiltonian  sistem  yang  ditinjau;  (2)  memilih  fungsi  coba  ( trial  function )  dengan memasukkan parameter  tertentu  sebagai  parameter  variasi;  (3)  menentukan  fungsional  yang berupa  elemen matriks  diagonal;  dan  (4)  minimasi  Hamiltonian  sistem  terhadap  fungsi  coba  atau  parameter  variasi bersangkutan.

## 2.1 Penentuan Hamiltonian Sistem
Operator  Hamiltonian  (non-relativistik)  untuk  atom  berelektron  lebih  dari  satu  dapat  dinyatakan sebagai,
4 4 2 1 1 1 1 2 i r i i j i ij Z H r r =  =   = −  − +       (1)
dengan 𝑍 adalah nomor atom yang diteliti (B.H. Bransden 1983; Eisberg R. 1985; Wu and Meng 2018). Untuk atom Berilium, operator Hamiltonian yang digunakan adalah
( ) 2 2 2 1 2 3 4 0 1 2 3 4 0 12 13 14 23 24 34 4 4 4 4 1 1 1 1 1 1 2 4 4 e e H m r r r r r r r r r r       = −  +  +  +  − + + + + + + + + +         (2)
dengan ℏ adalah konstanta Planck, 𝑚 adalah massa elektron, 𝑒 adalah muatan elektron, 𝑟 adalah jarak elektron terhadap inti atom (untuk yang berindeks tunggal 𝑟 1 , 𝑟 2 , 𝑟 3 , 𝑟 4 ) dan jarak antar-elektron (untuk yang berindeks ganda 𝑟 12 , 𝑟 13 , 𝑟 14 , 𝑟 23 , 𝑟 24 , 𝑟 34 ).  Empat  suku  pertama  merupakan  energi  kinetik  elektron,  empat  suku  kedua adalah energi potensial yang terjadi akibat interaksi elektron dengan inti atom, dan enam suku terakhir adalah suku interaksi antar-elektron (Baretti, 2019).

## 2.2 Pemilihan Fungsi Coba
Untuk  memilih  fungsi  coba  ,  suku  interaksi  antar  elektron 1 𝑟 𝑖𝑗 ⁄ diabaikan,  tidak  memiliki pengaruh yang berarti (sekedar merupakan gangguan/koreksi), sehingga Hamiltonian sistem menjadi,
( ) ( ) 2 2 0 1 2 3 4 0 1 2 3 4 4 4 4 4 2 4 e H m r r r r    = −  +  +  +  − + + +     (3)
Fungsi gelombang yang digunakan adalah fungsi gelombang atom Hidrogen yang dinyatakan sebagai,
1 3 1 100 3 ( ) Z r a Z r e a   − = (4)
2 3 2 2 200 3 ( ) 2 32
Z r a
Z Z r r e a a
  −
  = −     (5)
dimana 𝑍 1 dan 𝑍 2 adalah parameter variasi dan 𝑎 adalah jari-jari atom Bohr (Eisberg R. 1985).
https://jurnal.unsulbar.ac.id/index.php/saintifik

## 2.3 Penentuan Energi Atom Berilium
Penentuan energi dasar atom Berilium dilakukan dengan menjumlahkan energi atom Berilium tanpa koreksi interaksi antar-elektron dan energi atom Berilium dengan koreksi interaksi antar-elektron.

## 2.3.1 Energi Atom Berilium Tanpa Interaksi Antar-Elektron
Karena  tidak  mengandung  suku  interaksi  antar-elektron,  maka  penyelesaian  persamaan  eigen 𝐻 (0) dilakukan  secara  terpisah  untuk  masing-masing  variabel  (separasi  variabel)  (Griffiths  1994).  Dengan menggunakan separasi variabel, diperoleh nilai-nilai eigen untuk masing-masing elektron sebagai berikut:
2 2 2 1 1 1 1 1 0 1 2 4 Z e E m r      −  − =     (6)
2 2
2 1 2 2 2 2 0 2 2 4 Z e E m r      −  − =  
  (7)
3 3 3 3 2 0 2 2 3 2 4 2    E r Z e m =       −  −  (8)
4 4 4 4 2 0 2 2 4 2 4 2    E r Z e m =       −  −  (9)

## Dimana nilai ekspektasi energi
4 3 2 1 E E E E E + + + = (10)
Dengan memecahkan persamaan diatas, diperoleh
2 1 2 1 0 E E Z E = = (11)
2 0 3 4 2 4 E E E Z = = (12)
2 2 0 1 2 3 4 1 0 2 2 2 4 E
E E E E Z E Z + + + = + (13)
Dimana 𝐸 0 adalah  energi  dasar  atom  Hidrogen  (-13,6  eV).  Dari  keempat  energi  di  atas,  maka  nilai  energi ekpektasi atom Berilium tanpa interaksi antar-elektron dapat dituliskan sebagai
      + = 4 2 2 2 2 1 0 Z Z E E (14)

## 2.3.2 Energi Atom Berilium Dengan Interaksi Antar Elektron
Pengaruh  interaksi 1 𝑟 𝑖𝑗 ⁄ pada  keadaan  dasar  dapat  diungkapkan  sebagai  efek screening yang mengubah  parameter 𝑍 1 dan 𝑍 2 menjadi  harga  efektifnya.  Untuk  energi  interaksi  antar  elektron,  dapat dipecahkan  dengan  menggunakan  teori  gangguan  ( perturbation  theory )  dengan  menyelesaikan  fungsi  coba yang yang telah ditetapkan sebelumnya (Griffiths 1994),
| | ee V H   = (15)
12 13 14 23 24 34 ee
V V V V V V V = + + + + + (16)
Interaksi elektron 1 dengan elektron 2 (𝑉 12 ) , diperoleh energi sebesar
0 1 12 4 5 E Z V − = (17)
Interaksi  elektron  1  dengan  elektron  3  yang  besarnya  sama  dengan  interaksi  elektron  1  dengan  elektron  4, elektron 2 dengan elektron 3, dan elektron 2 dengan elektron 4 (𝑉 13 = 𝑉 14 = 𝑉 23 = 𝑉 24 ) , diperoleh energi sebesar
https://jurnal.unsulbar.ac.id/index.php/saintifik
( ) ( ) ( ) ( )         − + + + + + + + = 3 2 2 1 5 2 1 2 2 1 3 2 3 2 1 2 2 4 2 1 2 0 3 2 3 1 13 4
2 48 2 16 2 24 2 24 2 1 Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z E Z Z V (18)
Interaksi elektron 3 dengan elektron 4 (𝑉 34 ) , diperoleh energi sebesar,
0 2 34 256 77 E Z V − = (19)
Dengan  menggabungkan  semua  hasil  di  atas  untuk  energi  atom  Berilium  dengan  interaksi  antar-elektron, diperoleh,
12 13 14 23 24 34 T E V V V V V V = + + + + + (20)
( ) ( ) ( ) ( ) 4 3 2 2 1 2 2 1 2 3 3 1 0 1 2 0 2 0 5 2 5 2 3 3 1 2 2 1 2 1 2 24 24 2 2
5 154 2 4 512 16 48 4 2
2 T Z Z Z Z Z Z E Z E Z Z E Z E a Z Z Z Z Z Z Z   − −
  + +
  = − − −     − − +   + +
 
(21)

## 2.4 Minimasi 〈𝑯〉 Terhadap Parameter Variasi
Langkah selanjutnya adalah menghitung energi sistem dengan memvariasikan parameter 𝑍 1 dan 𝑍 2 . Hamiltonian pada kondisi ini dituliskan,
4 4 2 1 1 1 1 2 i r i i j i ij Z H r r =  =   = −  − +       (22)
( )       + + + + + +       − + − + − + − +       + + + −  +  +  +  − = 34 24 23 14 13 12 0 2 4 2 3 2 2 1 1 1 0 2 4 2 3 2 2 1 1 1 0 2 2 4 2 3 2 2 2 1 2 1 1 1 1 1 1 4 4 4 4 4 4 4 2 r r r r r r e r Z r Z r Z r Z e r Z r Z r Z r Z e m H     (24)
Berdasarkan hasil-hasil di atas, dilakukan penyederhanaan sedemikian rupa sehingga diperoleh rumusan,
( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 2 3 2 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 4 3 1 2 1 2 0 3 3 3 1 1 2 1 2 5 1 2 1 2 48 48 5 77 2 16 4 2 4 256 2 2
32 96 8 2 2 Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z H E
Z Z Z Z Z Z Z Z   − − + + − − + +   + +   =     + + −   + +   (25)
Berdasarkan metode variasional, kuantitas di atas melewati nilai energi keadaan dasar untuk parameter apapun. Aproksimasi  atau  fungsi  coba  yang  terbaik  adalah  yang  menghasilkan 〈𝐻〉 yang  paling  kecil.  Untuk  itu, dilakukan minimasi 〈𝐻〉 terhadap parameter 𝑍 1 dan 𝑍 2 .
Hasil optimasi dengan menggunakan program MatLab menghasilkan nilai parameter 𝑍 1 = 3,65837 dan 𝑍 2 = 2,10137 .  Harga  parameter  variasi 𝑍 1 dan 𝑍 2 .  yang  lebih kecil  dari  angka  4  (jumlah muatan  inti) mengungkapkan  efek  perisai  ( screening )  yang  lazim  dijumpai  dalam  atom  berelektron  jamak.  Dengan memasukkan nilai ini untuk parameter variasi 𝑍 1 dan 𝑍 2 . ke dalam 〈𝐻〉 , diperoleh 𝐸 𝑚𝑖𝑛 = −394,066 𝑒𝑉 .

## 3. HASIL DAN PEMBAHASAN
Dalam studi ini, energi atom Berilium yang dijadikan referensi merupakan hasil yang diperoleh oleh (B.H. Bransden 1983) yaitu sebesar −399,110 𝑒𝑉 . Dari hasil perhitungan, diperoleh nilai parameter variasi sebesar 𝑍 1 = 3,65837 dan 𝑍 2 = 2,10137 dengan nilai energi yang dihasilkan sebesar −394,066 𝑒𝑉 . Hasil
https://jurnal.unsulbar.ac.id/index.php/saintifik
perhitungan yang diperoleh sangat mendekati nilai energi referensi (1,26% dari energi referensi). Adapun hasil perhitungan untuk masing-masing energi dapat dilihat pada Tabel 1 dan perbandingan hasil perhitungan energi keadaan dasar atom Berilium untuk beberapa referensi dapat dilihat pada Tabel 2.
Tabel 1. Hasil Perhitungan Energi Keadaan Dasar untuk Tiap Suku Energi Atom Berilium
Parameter Nilai Energi (eV) 𝐸 tanpa interaksi antar elektron -544,000 〈𝑉 12 〉 68,000 〈𝑉 13 〉 = 〈𝑉 14 〉 = 〈𝑉 23 〉 = 〈𝑉 24 〉 22,838 〈𝑉 34 〉 16,362 〈𝑉 𝑒𝑒 〉 175,714 𝐸 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑠𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙 (1 parameter) -382,486 𝐸 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑠𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙 (2 parameter) -394,066
Tabel 2. Perbandingan Hasil Perhitungan Energi Keadaan Dasar Atom Berilium
Referensi Tahun Metode Energi (a.u) (eV) (B.H. Bransden 1983) 1983 Hartree-Fock Eksak* -14,573 -14,667 -396,552 -399,110 (Tambasco 1997) 1997 Variasional -14,325 -389,800 (Puchalski, Komasa, and Pachucki 2013) 2013 Quantum Electrodynamics (QED) -14,667 -399,122 (Sims and Hagstrom 1971) 1971 Combined Configuration- Interaction-Hyllearaas-Type Wave -14,666 -399,091 (Ariful Kabir and Halder 2015) 2015 Variational Monte Carlo (VMC) Method -14,667 -399,122 (Wu and Meng 2018) 2018 Perturbation Method -14,698 -399,962 (Machín n.d.) 2013 Variasional (1 parameter) Variasional (2 parameter) -14,200 -14,640 -386,402 -398,375 Studi ini 2019 Variasional (1 parameter) Variasional (2 parameter) -14,056 -14,481 -382,486 -394,066 *dijadikan sebagai energi referensi

## 4. KESIMPULAN
Telah  dilakukan  perhitungan  untuk  menentukan  energi  dasar  atom  Berilium  menggunakan  metode variasional dengan dua parameter. Fungsi coba yang digunakan adalah fungsi gelombang pada atom Hidrogen. Dari hasil perhitungan, diperoleh energi dasar atom Berilium sebesar -394,066 eV. Hasil ini cukup baik karena perbedaan  nilai  yang  diperoleh  relatif  kecil  jika  dibandingkan  dengan  nilai  energi  referensi  yaitu  sebesar 1,26%,  dimana  nilai  energi  referensi  yaitu  sebesar  -399,110  eV.  Hal  ini  menunjukkan  bahwa  metode variasional  dengan  dua  parameter  sangat  cocok  dalam  menjelaskan  sifat-sifat  keadaan  dasar  suatu  atom, khususnya yang berkaitan dengan energi keadaan dasar. Persentase perbedaan ini juga dapat diperkecil dengan menghitung  koreksi  relativistik,  koreksi  spin  elektron,  dan  koreksi  elektrodinamika  kuantumnya  pada perhitungan energinya.
https://jurnal.unsulbar.ac.id/index.php/saintifik

## DAFTAR PUSTAKA
Ariful Kabir, K. M. and Amal Halder. 2015. “Estimation of Beryllium Ground State Energy by Monte Carlo Simulation.” AIP Conference Proceedings 1–7.
B.H. Bransden, C. J. Joachain. 1983. The Physics of Atoms and Molecules . First Edit. New York: John Wiley & Sons, Inc., New York.
Eisberg R., Resnick R. 1985. Quantum Physics of Atoms, Molecules, Solids, Nuclei, and Particles . John Wiley & Sons, Inc., New York.
Griffiths, David J. 1994. Introduction to Quantum Mechanics . New Jersey: Prentice Hall. Machín, Reinaldo
Baretti.
n.d. “Chapter 10-b
Ground State Energi.”
Retrieved
(http://www.uprh.edu/rbaretti/LQMch11.htm). Diakses tanggal 15 Desember 2019. Piela, Lucjan. 2014. “Two Fundamental Approximate Methods.” Pp. 231–56 in Ideas of Quantum Chemistry . Elsevier.
Puchalski, Mariusz, Jacek Komasa, and Krzysztof Pachucki. 2013. “Testing Quantum Electrodynamics in the Lowest  Singlet  States  of  the  Beryllium  Atom.” Physical  Review  A  -  Atomic,  Molecular,  and  Optical Physics 87(3).
Puchalski, Mariusz and Krzysztof Pachucki. 2006. “Ground-State Wave Function and Energy of the Lithium Atom.” Physical Review A - Atomic, Molecular, and Optical Physics 73(2).
Rahman, Irsan and Fisca Dian Utami. 2019. “Penentuan Energi Dasar Atom Boron Dengan Menggunakan Metode Variasonal Satu Parameter.” 2(62).
Rioux, Frank. 1999. “Atomic Variational Calculations: Hydrogen to Boron.” The Chemical Educator 4(2):40– 43.
Sims,  James  S.  and  Stanley  Hagstrom.  1971.  “Combined  Configuration-Interaction-Hylleraas-Type  Wave- Function Study of the Ground State of the Beryllium Atom.” Physical Review A 4(3):908–16.
Tambasco,  M.  1997.  “Variational  Calculations  For  The  Lithium  Isoelectronic  Sequence.”  University  of Windsor.
Wu,  Feng  and Lijuan  Meng. 2018.  “Ground-State  Energy  of Beryllium  Atom with Parameter  Perturbation Method.” Chinese Physics B 27(9):1–5.
Y. Yulianto, R. Ramdani, M.S. Abidin, Z. Su’ud. 2017. “Perhitungan Energi Ground State Atom Berilium Dengan Menggunakan Metode Variasional.” Prosiding SKF 2017 169–73.