BEBERAPA KARAKTERISTIK BARU PADA FUNGSI TERDEKATI
Abdul Aziz 1* , Y.D Sumanto 1 , Solikhin 1 , Roberus Heri SU. 1
1 Departemen Matematika, Fakultas Sains dan Matematika, Universitas Diponegoro Jl.Prof. Soedarto, SH, Tembalang Semarang
*Corresponding Author’s Email : abdul_aziz01@yahoo.com
Abstract. In  this  paper,  discuss  the  relationship  between  approachable  function  with bounded  variations,  measurement,  and  absolute  continuity.  Futhermore,  If f is approachable function of interval [ a, b ] then f is a bounded variation function and f is a measurable  function  of  interval  [ a,  b ].  In  relation  with  absolute  continuity,  if  f  is  an absolute continuous of interval [ a, b ] then f is approachable function of [ a, b ]. Keywords: Bounded Variation, absolute continuity, approachable function.
Abstrak. Pada  artikel  ini,  digali  keterkaitan  antara  fungsi  terdekati  dengan  variasi terbatas,  keterukuran,  dan  kekontinuan  absolut.  Selanjutnya  diperoleh  bahwa  jika f adalah  fungsi  terdekati  pada  [ a,b ]  maka f bervariasi  terbatas  dan  terukur  pada  [ a,  b ]. Dalam kaitannya dengan kekontinuan absolut diperoleh bahwa jika f adalah fungsi yang kontinu absolute pada [ a,b ] maka f adalah fungsi terdekati pada [ a,b ].
Kata kunci: Variasi terbatas, kekontinuan absolute, fungsi terdekati.

## I. PENDAHULUAN
Di dalam [1] telah didefinisikan mengenai fungsi terdekati dan telah dibahas beberapa sifat yang berlaku. Dalam artikel ini, digali beberapa karakteristik  dari fungsi terdekati yang dalam hal ini ditinjau dari keterkaitan antara fungsi terdekati dengan variasi terbatas, keterukuran, dan kekontinuan absolut. Seperti diketahui bahwa fungsi   f : a,b → dikatakan mempunyai variasi  terbatas  jika   ( ) ( ) ( )
1 n i i i V f , a,b sup f d f c =   = −        dimana  supremum
diambil dari semua  partisi  tak tumpang tindih     1 2 3 i i c .d i , , ,..,n = yang mungkin  pada   a,b [2].  Misalkan E adalah  himpunan  terukur  (Lebesgue),  fungsi f : E → dikatakan terukur (Lebesgue) jika untuk setiap interval
( ) ( )   1 I , f I x E f x I −  =   adalah himpunan  terukur  [3].  Selanjutnya,  fungsi   f : a,b → dikatakan  kontinu  absolut  pada   E a,b  jika  untuk  sebarang 0   terdapat 0   sedemikian  sehingga  jika     1 2 3 i i P c ,d i , , ,...,n = = adalah koleksi berhingga interval – interval tak tumpang tindih dengan i i c ,d E  untuk 1 2 3 i , , ,...,n = dan 1 n i i i c d = −    maka

## JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS
AND APPLICATIONS (JFMA) VOL. 2 NO. 1 (Jun 2019) Available online at www.jfma.math.fsm.undip.ac.id
( ) ( ) 1 n i i i f d f c = −    [4]. Dalam hal ini, untuk  fungsi positif pada   a,b ,   i t a,b 
dan   ( ) ( ) ( ) 1 1 2 3 i i i i i i i t x , x t t ,t t , i , , ,...,n −   − + =   dan     1 1 n i i i x , x a,b − = =
untuk   ( )   1 1 2 3 i i i P t , x , x i , , ,...,n − = = disebut partisi bertanda −  fine pada   a,b [5]. Pada artikel ini, penulis  menggali keterkaitan antara fungsi terdekati dengan variasi terbatas, keterukuran, dan kekontinuan absolut.

## II. BEBERAPA KARAKTERISTIK DARI FUNGSI TERDEKATI
Berikut dibahas keterkaitan antara fungsi terdekati dengan variasi terbatas.
Teorema 2.1. Diberikan fungsi   f : a,b → . Jika f adalah fungsi terdekati pada   a,b maka f bervariasi terbatas pada   a,b .
Bukti:
Diambil  sebarang  partisi   0 1 2 n P x , x , x ,...., x = pada   a,b .  Karena f adalah  fungsi terdekati pada   a,b maka f terdekati pada setiap interval   1 i i x , x − untuk i = 1, 2, 3, …, n.
Selanjutnya  diberikan  sebarang  bilangan 0   maka  terdapat  fungsi  positif i  pada   1 i i x , x − sehingga  jika ( )   1 1 2 3 i ij ij ij P y , y ,t i, j , , ,...,n −   = =   maka  terdapat  fungsi
sederhana ( ) ( ) 1 1 mi i ij y y , , j ij ij x c x   =   −   =    sehingga ( ) ( ) i f x x −    untuk setiap
  1 i i x x , x − 
dengan i = 1,2,3,…, n . Selanjutnya,
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 mi i i ij ij j m m m i i i ij ij ij ij ij ij j j j mi ij ij j f x f x f y f y
f y c c c c f y c c − − = − − − = = = − = −  −  − + − + −
 + + −          Sehingga ( ) ( ) 1 1 1 1 1 2 m n n i i i ij ij i i j f x f x n c c − − = = = −  + −     
Karena partisi   0 1 2 n P x , x , x ,...., x = diambil sebarang pada   a,b maka   ( ) ( ) ( ) 1 1 n i i i V f , a,b sup f x f x − =   = −      

## 
Jadi fungsi f bervariasi terbatas pada   a,b .

## JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS
AND APPLICATIONS (JFMA) VOL. 2 NO. 1 (Jun 2019) Available online at www.jfma.math.fsm.undip.ac.id
Dibawah ini dibahas hubungan antara fungsi terdekati dengan keterukuran.
Teorema  2.2. Jika   f : a,b → adalah  fungsi  terdekati  pada   a,b   maka  f    adalah fungsi terukur  pada   a,b .
Bukti:
Misalkan f adalah fungsi terdekati pada   a,b maka untuk  setiap bilangan 0   terdapat fungsi  positif  pada   a,b sedemikian sehingga jika
    1 1 2 3 i i i P x , x ,t i , , ,..,n
− = =
maka  terdapat  fungsi  sederhana −  ( )   ( ) 1 1 n i x ,x i i i x c x − = =    sehingga ( ) ( ) f x x −   
untuk setiap   x a,b  . Sehingga untuk sebarang interval I ,
( ) ( )     1 1 i i c I i f I x f x I x ,x − −  =  
Dari sini terbukti bahwa f adalah fungsi terukur pada   a,b .
Berikut dibahas keterkaitan antara fungsi terdekati dengan kekontinuan absolut.
Teorema  2.3. Jika   f : a,b → kontinu    absolut  pada   a,b   maka  f  adalah  fungsi terdekati pada   a,b .
Bukti:
Perhatikan bahwa jika f kontinu absolut pada   a,b maka f kontinu pada   a,b . Menurut [5], dapat disimpulkan bahwa maka f adalah fungsi terdekati pada   a,b .

## III. KESIMPULAN
Berdasarkan pembahasan di atas, diperoleh kesimpulan bahwa fungsi terdekati pada himpunan kompak dapat didefinsikan menggunakan fungsi sederhana - P δ . Selanjutnya, dari definisi di atas diperoleh beberapa  sifat  diantaranya  fungsi  terukur,  fungsi  kontinu, dan fungsi  terbatas semuanya merupakan fungsi terdekati dan ruang fungsi tersebut merupakan ruang linier.

## DAFTAR PUSTAKA
[1]      A. Aziz, S. Hariyanto, Y.D.Sumanto, Solikhin. (2018). Fungsi Terdekati dan Sifat  – Sifatnya. JFMA, vol.1, no. 2, pp.122 – 127.
[2]   Gordon, Russel. A, (1994). The  Integrand of  Lebesgue Denjoy, Perron, and Henstock. American Mathematical Society, USA.
[3]          Kopp,  E.  &  Capinski,  M.  (2004).  Measure,  Integral  and  Probability  second  edition. Springer-Verlag, London.

## JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS
AND APPLICATIONS (JFMA) VOL. 2 NO. 1 (Jun 2019) Available online at www.jfma.math.fsm.undip.ac.id
[4]     Lee Peng Yee, (1989). Lanzhou Lecture on Henstock Integration. World Scientific, Singapore.
[5]    Pfeffer, W.F., (1993). The Riemann Approach to Integration. Cambridge University Press, New York.

## JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS
AND APPLICATIONS (JFMA) VOL. 2 NO. 1 (Jun 2019) Available online at www.jfma.math.fsm.undip.ac.id