Jurnal Matematika, Sains, dan Pembelajarannya
Vol.7, No.1, Januari 2021, pp. 15-20
ISSN 2622-8904 (online)

## Solusi Numerik Model Matematika SHEIR pada Penyebaran Penyakit Campak dengan Vaksinasi dan Kekebalan Kelompok
Darmawati* 1 , Masyita Haerianti 2 , Wahyudin Nur 3 , Magfirah 4 1,3,4 Program Studi Matematika, FMIPA, Universitas Sulawesi Barat
2 Program Studi Keperawatan, FIKES, Universitas Sulawesi Barat
e-mail: * darmath@unsulbar.ac.id

## Abstract
In this paper, mathematical model of measles transmission dynamics considering vaccination and herd immunity is discussed. The solution of the model is investigated using euler, atangana, dan nonstandard finite difference method. After comparing the solutions of the model, we observe that the solutions obtained by using euler  and  atangana  method  diverge  for  certain  step.  On  the  other  hand,  the  solutions  obtained  by  using nonstandard finite difference always converge.
Keywords: Numerical schemes, Euler method, Atangana method, Nonstandard finite difference method

## 1. PENDAHULUAN
Penyakit campak adalah penyakit menular yang diakibatkan oleh virus measles (Moss 2017). Penyebarannya melalui  droplet  dan  partikel  penularnya  dapat  bertahan  sampai  dua  jam  (Paules,  Marston,  &  Fauci  2019). Sebelum vaksin campak diperkenalkan, penyakit ini menyebabkan sekitar 2 juta kematian per tahun. Setelah adanya vaksinasi, angka kematian dapat ditekan menjadi sekitar 100 ribu per tahun (Moss 2017). Vaksinasi dianggap  sebagai  metode  terbaik  untuk  mengendalikan  penyebaran  penyakit  campak  (Paules,  Marston,  & Fauci 201). Meskipun demikian, masih banyak masyarakat yang tidak mengikuti program vaksinasi. Beberapa model  matematika  telah  membahas  masalah  vaksinasi  dan  penyakit  campak  (Edward  2015)(J.  M.  &  R.  I. 2014).  Model  tersebut  merupakan  system  persamaan  diferensial  biasa.  Beberapa  skema  numerik  dapat digunakan  untuk  menentukan  solusi  numerik  model  yang  dinyatakan  dalam  system  persamaan  diferensial biasa. Kita dapat menggunakan metode runge kutta, euler, milne simpson, beda hingga tak standar. Pada tahun, Atangana  memperkenalkan  sebuah  metode  baru  (Atangana  &  İğret  Araz  2020).  Dalam  artikel  ini,  kami membandingkan beberapa skema numerik yang digunakan untuk menentukan solusi numerik model. Model tersebut adalah metode euler, metode beda hingga tak standar, dan metode Atangana.

## 2. METODE PENELITIAN
Penelitian ini adalah penelitian studi literatur. Berikut merupakan tahapan penelitian yang dilakukan:
• Membangun model matematika
• Menentukan titik kesetimbangan model
• Menentukan bilangan reproduksi dasar
• Menentukan diskritisasi model sesuai metode yang digunakan
• Membuat program dan melakukan simulasi numerik
• Membandingkan hasil ketiga metode
https://jurnal.unsulbar.ac.id/index.php/saintifik

## 3. HASIL DAN PEMBAHASAN
Dari hasil penelusuran literatur, diperoleh masalah nyata dan fakta-fakta penyakit Campak. Berdasarkan informasi tersebut, dibangunlah model matematika sebagai berikut:
( ) ( )
( ) ( ) ( ) 1 , , , 1 . h n h h s h h n h s h dS S I S dt dE S I E dt dI E I
dt dR I R S dt     
          
= −  − − + = − + = − + = −  + − + (1)
dimana:
𝑆 𝐻 = Manusia rentan yang dapat terinfeksi dan mengandalkan Herd Immunity (anti-vaksin) 𝐸 = Manusia yang terekspos penyakit campak 𝐼 = Manusia yang terinfeksi dan mampu menularkan penyakit campak 𝑅 = Manusia yang sudah kebal terhadap penyakit campak 𝜌 𝐻 = Proporsi masyarakat yang terpapar paham anti-vaksin Λ = Rekrutmen manusia sehat 𝜇 = Laju kematian alami 𝜅 = Efektifitas edukasi 𝜙 𝑆 = Proporsi 𝑆 𝐻 yang mendapat edukasi 𝜙 𝑛 = Proporsi masyarakat umum yang mendapat edukasi 𝜎 = Laju transisi E ke I 𝜔 = Laju kesembuhan.
Dengan menyelesaikan persamaan diferensial di atas, diperoleh titik setimbang model untuk Disease Free Equilibrium (DFE) yaitu:
𝑆 𝐻 ∗ = 𝜌 𝐻 Λ(1 − 𝜅𝜙 𝑛 ) 𝜇 + 𝜅𝜙 𝑆 𝐸 ∗ = 0 𝐼 ∗ = 0 𝑅 ∗ = 𝜅𝜙 𝑛 ((1 − 𝜌 𝐻 )Λ(𝜇 + 𝜅𝜙 𝑆 )) + (𝜌 𝐻 Λ(1 − 𝜅𝜙 𝑛 )) 𝜇(𝜇 + 𝜅𝜙 𝑆 ) .
Dari hasil ini, selanjutnya digunakan Matrix Next Generation (NGM) untuk mendapatkan nilai 𝑅 0 model. Diperoleh:
𝑅 0 = 𝛽𝜎𝜌 𝐻 Λ(1 − 𝜅𝜙 𝑛 ) (𝜇 + 𝜅𝜙 𝑆 )(𝜇 + 𝜎)(𝜇 + 𝜔) .
Selanjutnya melakukan diskritisasi model.
3.1 Metode Euler Berdasarkan model (1), kita memperoleh sistem berikut:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( 1) ( ) ( 1) ( ) ( 1) ( )
( 1) ( ) 1 ,
, ,
1 . j j j j j h h n h h s h j j j j h j j j j j j j j j n h s h S S S I S w E E S I E w I I E I w I I I R S w     
     
     + + + + − = −  − − +
− = − + − = − +
−
= −  + − + (2)
https://jurnal.unsulbar.ac.id/index.php/saintifik
Dengan w adalah lebar langkah.Selanjutnya kita mengumpulkan suku yang memiliki indeks ( ) 1 j + dan diperoleh hasil diskritisasi berikut:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1) ( ) ( 1) ( )
( 1) ( )
( 1) ( )
1 ,
, , 1 . j j j j j h h n h h s h j j j j h j j j j j j j j j n h s h S S w S I S E E w S I E I I w E I R R w I R S     

    
     + + + + = + −  − − +
= + − + = + − + = + −  + − + (3)

## 3.2 Metode Atangana
Metode ini adalah metode yang baru diperkenalkan pada tahun 2020. Berbeda dengan metode Euler yang  termasuk  metode  satu  langkah,  metode  ini  termasuk  metode  banyak  langkah  karena  memerlukan beberapa solusi sebelumnya untuk menentukan solusi selanjutnya. Metode Atangana memerlukan tiga solusi sebelumnya untuk menentukan solusi selanjutnya. Kami menggunakan metode Euler untuk menentukan semua nilai  awal  metode  Atangana  Berikut  merupakan  hasil  diskritiasi  model  (1)  dengan  menggunakan  metode Atangana:
Untuk 0 j = dan 1 j = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1) ( ) ( 1) ( ) ( 1) ( )
( 1) ( )
1 ,
, , 1 . j j j j j h h n h h s h j j j j h j j j j j j j j j n h s h S S w S I S E E w S I E I I w E I R R w I R S
    

          + + + + = + −  − − +
= + − + = + − + = + −  + − + Untuk
max 2,3,...., j j = (4) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2 ( 1) ( ) 1 1 1 2 2 ( 1) ( ) 1 1 5 1 12 4 1 3 23 1 12 5 12 4 3 23 12 j j j j j h h n h h s h j j j n h h s h j j j n h h s h j j j j h j j h j j h S S w S I
S
w S I S w S I
S
E E w S I E w S I E w S I E                     
   − − + − − − − − + − −   = + −  − − + +     −  − − + +  
  −  − − +  
  = + − + +     − + +  
  − +  ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 ( 1) ( ) 1 1 2 2 2 ( 1) ( ) 1 1 1 1 1 1 5 12 4 3 23 12 5 1 12 4 1 3 23 1 . 12 j j j j j j j j j j j j j n h s h j j j n h s h j j j n h s h I I w E I w E I w E I R R w I R S w I R S
w I R S 
 
                    
− − + − − − − − + − − − − − −    = + − + +     − + +  
  − +     = + −  + − + +  
  −  + − + +     −  + − +  
https://jurnal.unsulbar.ac.id/index.php/saintifik

## 3.3 Metode beda hingga tak standar
Berdasarkan model (1), kami memperoleh
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1) ( ) 1
1
( 1) ( )
1 1 ( 1) ( ) 1 1
( 1) ( ) 1 1 1 1 , , , 1 . j j j j j h h n h h s h j j j j j h j j j j j j j j j n h s h S S S I S w
E E S I E w I I E I w R R
I R S w      
              + + + + + + + + + + + + + − = −  − − +
−
= − +
−
= − +
− = −  + − +
Setelah melakukan penyusunan kembali, diperoleh hasil diskritisasi berikut:
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1) 1 ( 1) 1 ( 1) 1 1 ( ) ( 1) 1 1
, 1 , 1 1 , 1 j n h h j h j s j j j h j j j j j j j n h s h j w S S I w w
w S I E E w
I w E I w w I w w S R R w        
                  + + + + + + + + −  + = + + + + = + + + = + + −  + + + = +
dengan
( ) 1 . w e w    − =
Hasil simulasi numerik dengan menggunakan ketiga skema numerik di atas disajikan dalam tabel berikut.
• Untuk 𝑅 0 < 1
Step Metode Euler Metode Atangana Metode NSFD 0.1 Tidak konvergen Tidak konvergen Konvergen 0.09 Tidak konvergen Tidak konvergen konvergen 0.08 Tidak konvergen Tidak konvergen konvergen 0.072 Konvergen Tidak konvergen Konvergen 0.07 konvergen Tidak konvergen konvergen 0.06 konvergen Tidak konvergen konvergen
https://jurnal.unsulbar.ac.id/index.php/saintifik
0.0184 Konvergen Konvergen Konvergen 0.018 konvergen konvergen konvergen 0.01 konvergen konvergen konvergen 0.009 konvergen konvergen konvergen • Untuk 𝑅 0 > 1 Step Metode Euler Metode Atangana Metode NSFD
0.1
Tidak konvergen Tidak konvergen Konvergen 0.09 Tidak konvergen Tidak konvergen konvergen 0.08 Tidak konvergen Tidak konvergen konvergen 0.07 Tidak Konvergen Tidak konvergen konvergen 0.06 Tidak Konvergen Tidak konvergen konvergen 0.058 Konvergen Tidak konvergen konvergen 0.05 konvergen Tidak konvergen konvergen 0.015 Konvergen Konvergen Konvergen 0.01 konvergen konvergen konvergen 0.009  konvergen konvergen konvergen
Dari hasil  simulasi di atas, dapat dilihat bahwa metode yang paling baik untuk mempelajari solusi numerik suatu model adalah dengan metode NSFD, karena metode ini selalu konvergen. Dua metode lainnya hanya konvergen pada step tertentu.

## 4. KESIMPULAN
Metode-metode  yang  dibandingkan,  semuanya  dapat  digunakan  pada  model  epidemic.  Akan  tetapi dari 3 (tiga) metode yang dibandingkan, Metode NSFD memberikan hasil yang jauh lebih baik karena metode ini selalu konvergen.
https://jurnal.unsulbar.ac.id/index.php/saintifik

## DAFTAR PUSTAKA
Atangana A., İğret Araz S. 2020 New numerical method for ordinary differential equations: Newton polynomial. Journal of Computational and Applied Mathematics , 372 , 112622. https://doi.org/10.1016/j.cam.2019.112622 Edward S. 2015 A Mathematical Model for Control and Elimination of the Transmission Dynamics of Measles. Applied and Computational Mathematics , 4 (6), 396. https://doi.org/10.11648/j.acm.20150406.12
J. M. O., R. I. G. 2014 A Mathematical Model of Measles with Vaccination and Two Phases of
Infectiousness. IOSR Journal of Mathematics , 10 (1), 95–105. https://doi.org/10.9790/5728-101495105 Moss W. J. 2017 Measles. The Lancet , 390 (10111), 2490–2502. https://doi.org/10.1016/S0140- 6736(17)31463-0
Paules C. I., Marston H. D., Fauci A. S. 2019 Measles in 2019 — Going Backward. New England Journal of Medicine , 380 (23), 2185–2187. https://doi.org/10.1056/NEJMp1905099