## Pemodelan Data Time Series Garch(1,1) Untuk Pasar Saham Indonesia

## Time Series With GARCH(1,1) Model for Indonesian Stock Markets
Elfa Rafulta 1) , Roni Tri Putra 2)
1) Jurusan Pendidikan Matematika, STKIP YDB Lubuk Alung, Telp./Fax: 0751-697174. Email: elfarafulta10@gmail.com
2) Jurusan Teknik Sipil, Politeknik Negeri Padang, Kampus Unand Limau Manis Padang, Telp. 0751-72590 Fax. 0751-72576. Email : putra_tryronny@yahoo.co.id

## ABSTRACT
This paper introduced a method pengklusteran for financial data. By using the model Heteroskidastity Generalized  autoregressive  conditional  (GARCH),  will  be  estimated  distance  between  the  stock  market  using GARCH-based  distance.  The  purpose  of this  method  is  mengkluster  international  stock  markets  with  different amounts of data.
Keywords : GARCH, Intenational Stock Markets

## PENDAHULUAN
Kehidupan  politik  yang  tidak  menentu serta  seringnya  terjadi  kekacauan  krisis ekonomi  yang  terjadi  pada  waktu  lampau, dan  bencana-bencana  alam  yang  terjadi akhir-akhir  ini  membuat  perkembangan sector  financial  menjadi  tidak  menentu. Begitu  pula  dengan  perubahan  asset-aset financial  yang  cenderung  berfluktuasi  secara cepat. Seperti misalnya indeks harga saham,indeks  harga  saham  pasar  saham khususnya  Indonesia,  tingkat  suku  bunga, dan  kurs  mata  uang  biasanya  memiliki kecenderungan berfluktuasi  secara cepat dari waktu  ke  waktu  sehingga  variansi  dari errornya  akan  selalu  berubah  setiap  waktu (heteroskedasticity).  Selain  itu  pada  data financial  biasanya  terjadi  pengelompokkan volatilitas  yitu  berkumpulnya  sejumlah  error dengan besar yang relative sama dalambeberapa  waktu  yang  berdekatan.  Hal seperti  ini  sering  disebut  dengan  volatility clustering. Untuk mengatasi keadaan tersebut dibutuhkan suatu metode yang dapat memenuhi  karakteristik-karakteristik  yang dimiliki oleh data runtun waktu financial.
Oleh  karena  itu  dibuatlah  model-model runtun  waktu  untuk  memodelkan  dan meramalkan  data  financial  yang  berupa  data
runtun  waktu  tersebut.  Telah  kita  kenal berbagai  pemodelan  yang  dapat  digunakan, diantaranya  AR,  MA,  ARMA,  ARIMA. Keempat model tersebut sangat berguna pada pemodelan  data  runtun  waktu.  Cara  kerja keempat  model  tersebut  adalah  berdasarkan asumsi  bahwa  datanya  sudah  stationer  dan variansi errornya tetap antar waktu(homoskedasticity). Berbagai asumsi pemodelan yang digunakan  pada  metode  AR,  MA,  ARMA maupun  ARIMA dianggap tidak relevan  jika dihadapkan  pada  sebuah  transaksi  financial dan sebuah  variable dari pasar  financial. Hal ini dikarenakan pada kebanyakan data runtun waktu financial tidak dapat memnuhi asumsi- asumsi  dalam  pemodelan  tersebut.  Metode- metode  tersebut  tidak  memperhitungkan adanya  kestationeran  dalam  variansi  yang berarti  bahwa  nilai  variansinya  selalu berubah-ubah setiap waktu. Untuk mengatasinya  dibutuhkan  metode  lain  yang dapat  memenuhi  karakteristik-karakteristik yang  dimiliki  oleh  data  runtun  waktu financial.
Untuk itu diperkenalkan sebuah pemodelan  dari  financial  time  series  yaitu ARCH oleh Robert F. Engle pada tahu 1982.
Sejak  diperkenalkannya  model  ARCH, banyak  sekali  penelitian  yang  berbasis  pada model ini, sebab metode ini dapat memenuhi karakteristik-karakteristik  dari  data  runtun waktu  finasial  yaitu  memungkinkan  adanya heteroskedastisitas dan membolehkan adanya ketergantungan  volatilitas.  Menurut  Engle, penggunaan  model  ARCH  pada  data  runtun waktu  yang  mengalami  heteroskedastisitas akan  sangat  berperan  dalam  meningkatkan efisiensi.
Model  ARCH  mempunyai  kemampuan untuk  memenuhi  semua  karakteristik  data runtun waktu financial. Pada metode ARCH, variansi  error  masa  sekarang  dipengaruhi oleh volatilitas masa lalu. Hal ini mengakibatkan terdapat banyaknya parameter  yang  harus  diduga.  Tentu  saja pendugaan  sejumlah  parameter  sangat  sulit dilakukan  karena  membutuhkan  tingkat ketelitian yang sangat  tinggi, mengingat pula prinsip  parsimony  dalam  memodelkan  suatu data,  yaitu  model  yang  baik  adalah  model yang memiliki parameter yang sedikit.
Dengan  berbagai  keterbatasan  yang terdapat  pada  model  ARCH,  maka  pada tahun 1986 Bollerslev mengemukakan sebuah  metode  baru  yang  merupakan  hasil pengembangan  metode  ARCH.  Metode tersebut  adalah  GARCH.  Oleh  karena  itu berdasarkan prinsip parsimony maka dipilihlah  model  GARCH(1,1)  untuk  pasar saham Indonesia.

## METODOLOGI
Dalam  penelitian  ini  mempelajari mengenai  analisis runtun waktu. Selanjutnya dipelajari  model  ARCH  dan  GARCH  yang menyangkut    pengertian  dan  sifat-sifati  dari model,  estimasi  parameter  dari  model  dan peramalannya.

## HASIL DAN PEMBAHASAN

## Proses Stokastik
Sering  kita  jumpai  dalam  kehidupan sehari-hari, berbagai gejala seperti perubahan nilai  GNP  yang  akan  berpengaruh  pada perekonomian nasional, perubahan nilai suku
bunga  harian  perbankan,  perubahan  nilai- nilai  saham  dalam  perdagangan  di  Bursa Efek, yang kesemuanya terjadi dalam bidang ekonomi.    Dalam  bidang  lain  dijumpai berbagai fenomena seperti, dibidang kesehatan,  jumlah pasien dalam  suatu rumah sakit  setiap  tahunnya  selalu  berubah-ubah, begitu  juga  dengan  jumlah  kematian  pasien, jumlah kematian bayi, dan lain-lain.
Semua  gejala  ini  menunjukkan  suatu rangkaian  hasil  observasi  yang  bergerak  kea rah  yang  sama,  dari  waktu  yang  lampau  ke waktu  yang  akan  dating.  Rangkaian  ini dinamakan  runtun  waktu.  Dari  suatu  runtun waktu dapat dilakukan analisis yang betujuan untuk  membangun  suatu  model  stokastik, yang  nantinya  dapat  digunakan  untuk memprediksi keadaan yang akan dating. Box dan Jenkins (1970) menyebutkan ada dua  cara  untuk  mendapatkan  runtun  waktu diskrit.  Pertama  dengan  mengambil  sampel pada waktu-waktu tertentu dari runtun waktu kontinu dan kedua dengan mengakumulasikan  observasi  untuk  suatu periode waktu tertentu. Observasi menurut waktu dalam  runtun  waktu dapat  dinyatakan  sebagai  suatu  proses stokastik.  Proses  stokastik ,  adalah kondisi  variabel  random  untuk  setiap , dimana adalah  variabel  random  yang
menyaakan  suatu  keadaan  (state)  atau kedudukan  pada  saat  ,  indeks    kerap  kali menyatakan  waktu.  Jadi  proses  stokastik dapat diilustrasikan dengan distribusi probabilistic berdimensi , misalkan dengan  asumsi berdistribusi  normal,  mempunyai  mean ; Variansi ; kovariansi untuk .

## Proses Runtun Waktu Stationer
Ada  beberapa  model  runtun  waktu stationer  yang  akan  dibahas  yaitu  proses white  noise,  proses  Autoregressive  (AR), Moving  Average  (MA),  dan  Autoregressive Moving Average (ARMA).

## Proses White Noise
Jika adalah  barisan  variable  random
yang tidak berkorelasi dengan mean dan  variansi maka disebut  proses white  noise yang dinotasikan dengan  fungsi autokovariansinya adalah Dan fungsi autokorelasinya,
Proses white  noise merupakan  proses yang penting karena dianggap sebagai  factor pembangun bagi proses runtun waktu lainnya ( building block ).

## Fungsi Autokorelasi (ACF) Definisi
Suatu  data  runtun  waktu
dikatakan proses stationer jika untuk setiap   dan memenuhi keadaan sebagai berikut: 1) konstanta untuk semua 2) konstan untuk semua 3) konstanta untuk semua   dan Didefinisikan  suatu  kovariansi  dari dan ditulis sebagai berikut: Dan korelasi antara   dan adalah: Dengan catatan bahwa Sebagai  fungsi  dari  , disebut  sebagai fungsi  autokovariansi  dan disebut
sebagai  fungsi  autokorelasi  (ACF).  Dalam praktek  sehari-hari  dapat  digunakan  fungsi autokovariansi sampel
dan fungsi
autokorelasi sampel, dimana
Dan
Dengan Adapun sifat-sifat dari fungsi autokovariance dan  autokorelasi adalah  sebagai berikut: 1) dan 2) dan 3) dan untuk semua  ,  yaitu dan simetris.  Sifat  ini  berasal  dari  fakta bahwa  perbedaan  waktu  antara
dan serta dan adalah
sama.  Karena  itulah  biasanya  fungsi autokorelasi  plot  hanya  untuk  lag nonnegative saja.

## Partial Autocorrelation Function
Autokorelasi  parsial digunakan untuk mengukur  tingkat  keeratan  antara dan ,  dengan  menganggap  ketergantungan linear pada variable-variabel diantara keduanya yaitu dihilangkan. Autokorelasi parsial dapat diturunkan dengan  menggunakan  model  regresinya, dimana  variable  dependen dari  proses stationer dengan  mean  nol diregresikan pada lag   variabel . Dimana dinotasikan  sebagai  parameter regresi  ke-I  dan adalah  suku  error normal yang tidak berkorelasi dengan untuk .  Dengan  mengalikan
pada kedua sisi dari persamaan tersebut  dan mengambil ekspektasinya, diperoleh:
Bila  persamaan  diatas  dibagi  dengan maka,
Untuk didapatkan sistem persamaan sebagai berikut: Dengan  menggunakan  aturan  cramer  untuk dan , maka diperoleh
Jadi autokorelasi parsial antara dan dapat  diperoleh  sebagai  koefisien  regresi yang berhubungan  dengan saat meregresikan pada  lag  ke-h  variable dari  dirinya  yaitu ,
menjadi  notasi  standar  untuk  autokorelasi
parsial  antara dan dalam  analisis
runtun waktu.
Proses Autoregressive (AR) Autoregressive adalah  suatu  bentuk regresi  yang  menghubungkan  nilai-nilai sebelum  ( pastvalue )  diri  sendiri  (masing- masing  variabel)  pada  selang  waktu  ( time lag )  yang  bemacam-macam.  Dalam  model runtun  waktu Autoregressive (AR),  sebuah observasi berkorelasi  secara  langsung dengan  observasi  masa  lampau  sebanyak dimana  nilai .  Model  Autoregressive dapat dinyatakan sebagai:
Persamaan  diatas  adalah  persamaan Autoregressive dengan  orde  sebesar    atau secara  umum  dilambangkan  sebagai  AR( ).
Dalam  model  tersebut disebut  sebagai error . Ketika error bersifat bebas
(independent)  dan  mempunyai  distribusi normal  dengan  rata-rata  nol  dan  variansi konstan  sebesar
,  maka  disebut  sebagai
white  noise yang  mana  dinotasikan  dengan
.
Misalnya  untuk  persamaan  AR(1),  nilai dapat  didefinisikan  secara  berulang  dari observasi masa lalu sebagai:
Hal  serupa  juga  berlaku  untuk  semua proses Autoregressive dengan  berapapun besarnya nilai p. Jika , diikuti nilai yang menjadi tak terhingga, maka
.
Sedangkan  variansi  dari dinyatakan sebagai
Dengan varians , .
Proses General Moving Average (MA) Model  lain  yang  biasa  digunakan  untuk pemodelan  runtun  waktu  adalah  model Moving  Average (MA)  dengan  orde  q  atau MA(q) yang didefinisikan sebagai
(2.3.3.1)
Dimana diasumsikan white  noise .
Kondisi  ini  dapat  ditulis  dalam,  bentuk  lain menjadi
Pada  kasus  MA(1)  juga  dapat  dinyatakan secara  berulang  dari  observasi  masa  lampau yang disusun sebagai
Jika dan  nilai tak  terhingga
( infinite ) maka   menjadi
Yang juga dapat dituliskan sebagai Ini  adalah  proses  AR yang  dituliskan dengan untuk . Model General  Autoregressive  Moving Average (ARMA) Proses merupakan proses Autoregressive  Moving  Average ,  ARMA
(p,q) jika memenuhi formula
Dimana   adalah white noise .
Kadang model Autoregressive dan Moving  Average sendiri  tidak  memberikan hasil  yang  efektif  ketika  mengepaskan  data. Oleh karena itu model ARMA dengan orde p dan q yang  kecil  lebih  sering  digunakan daripada  model  AR  atau  MA  dengan  orde
yang  lebih  tinggi.    Sebagai  contoh  model ARMA(1,1) didefinisikan sebagai
Atau dapat juga dinyatakan sebagai
Anggap dan  k  tak  terhingga ( infinite ) maka persamaan diatas menjadi
Atau dapat juga dituliskan sebagai
Ini  adalah  model  AR yang  dituliskan dengan untuk .  Ini
memberikan kesan bahwa model ARMA(1,1) mungkin  kadang-kadang  menjadi  penaksir yang  lebih  baik  disbanding  model  AR dengan ordo yang lebih tinggi.

## Metode Estimasi Maksimum Likelihood
Definisi  (Bain dan Engelhardt, 1992) Fungsi  densitas  bersama  dari  n variabel  random diestimasi dengan dilambangkan  dengan dimana adalah parameter  yang tidak diketahui,  maka  fungsi likelihood dari adalah .

## Definisi (Bain dan Engelhardt, 1992)
Misalkan
merupakan fungsi  probabilitas  densitas bersama  dari  variabel  random
utnuk  suatu  himpuanan  observasi-observasi suatu nilai yang memaksimumkan disebut  sebagai Maximum  Likelihood  Estimator (MLE)  dari
. merupakan  suatu  nilai  dari yang memenuhi
maksimum  bila  turunan  pertamanya sama  dengan  nol,  oleh  sebab  itu  nilai estimator  likelihood  dapat  diperoleh  dari penyelesaian persamaan dan
dikatakan  maksimum  jika bernilai negative.

## Model ARCH
Dalam  analisis  runtun  waktu secara  umum  diasumsikan  bahwa  variansi dari  error  pada  pemodelan  runtun  waktu adalah konstan yang sering disebut homokedastisitas.  Asumsi  ini  sering  kali tidak  dapat  dipenuhi  dalam  data  real  atau dengan kata lain sering terjadi heteroskedastisitas  yaitu  variansi  errornya tidak  konstan.  Ketidak  konstanan  dari variansi  error  ini  mungkin  terjadi  sebagai akibat  dari  perilaku  pasar  yang  cenderung menghindari  resiko  yang  digambarkan  oleh variansi  dengan  jalan  member  atau  menjual asset  dalam  jangka  waktu  yang  pendek. Walaupun  variansi  cenderung  tidak  konstan namun  perubahan-perubahan  variansi  ini masih tetap dalam jalur kestationeran mean.
Adanya ketidak konstanan variansi  akan  menyebabkan  pelaku  pasar meramalkan variansi bersyarat runtun waktu, atau  variansi  saat    yang  dipengaruhi  oleh variansi dari data sebelumnya . Salah satu pendekatan untuk meramalkan tingkat volatilitas (variansi)  adalah  memperkenalkan
variable independen yang dapat memprediksi volatilitas. Bentuk kasus sederhana adalah:
Dengan
:  variable  yang  akan
diteliti :  pengganggu  white  noise  yang memiliki variansi
: variable independen
Dalam  persamaan  diatas  jika  diasumsikan
, dimana
adalah konstan, maka variable hanya akan dipengaruhi yang merupakan proses white noise, sehingga   memiliki tingkat volatilitas yang konstan.
Namun  jika  tidak  demikian,  jika  nilai berubah  untuk tiap  waktu  secara  independen maka  variansi  bersyarat  dari  persamaan diatas adalah
Dari persamaan diatas terlihat bahwa jika besar  maka  nilai  variansi  bersyarat  dari juga akan menjadi besar, begitupun sebaliknya.  Hal  ini  menunjukkan  bahwa antara dan memiliki korelasi positif.
Engle (1982) menunjukkan hubungan simultan  yang  dapat  memodelkan  mean  dan variansi  dari  suatu  data  runtun  waktu. Engle mendefinisikan model ARCH(1).
Definisi (Engle, 1982) Hubungan simultan antara   dan
Dari  definisi  diatas  model  persamaan  yang ditunjukkan  tersebut  adalah  model  regresi ARCH(1).  Pemodelan ARCH(1)  diatas menghasilkan dua persamaan yaitu:
a) Persamaan mean bersyarat. Ini merupakan  persamaan  untuk  model mean dari data runtun waktu. Persamaan ini dapat berupa persamaan  ARMA  atau  persamaan regresi.  Dalam  definisi  3.1.1  diatas yang  menunjukkan  persamaan  mean
bersyarata  adalah  persamaan  (3.1.3). Dalam persamaan ini terdapat   yang merupakan  parameter  yang  tidak diketahui,  sedangkan merupakan variable  independen.  Jika  persamaan mean  diatas  adalah  persamaan  yang stationer terhadap  mean  maka  bentuk persamaan  (3.1.3)  akan  menjadi
.  Bentuk  persamaan  ini
sering  dijumpai  dalam  memodelkan persamaan return asset. b) Persamaan variansi bersyarat. Persamaan ini melibatkan satu konstanta  dan  variansi  dari  periode sebelumnya.  Didalam  definisi  3.1.1 yang
menunjukkan persamaan variansi  bersyarat  adalah  persamaan (3.1.5).  Dari  persamaan  (3.1.3)  dapat diartikan  bahwa  error  pada  saat dipengaruhi  oleh  error  sebelumnya yaitu paa saat .
Model  ARCH(1)  yang  didefinisikan dalam  persamaan  diatas  merupakan  model linear  simultan. merupakan  proses  white noise  dengan  asumsi dan
independen  antara  satu  waktu  dengan  waktu yang  lain.  Sedangkan dan merupakan
konstanta.  Karena
merupakan  variansi
bersyarat yang tidak mungkin negative maka dan perlu dilakukan pembatasan  yaitu dan . sedemikian . Definisi Hubungan  simultan  antara dan
dari model ARCH(q) adalah:
Model GARCH GARCH adalah salah satu pendekatan untuk memodelkan runtun waktu dengan  kondisi  error  bervariasi  menurut waktu (heteroskedasticity). Metode ini diperkenalkan  pertama  kali  oleh  Bollerslev (1986)  yang  merupakan  generalisasi  dari
proses ARCH. GARCH dianggap memberikan  hasil  yang  lebih  sederhana karena  menggunakan  lebih  sedikit parameter sehingga  mengurangi  tingkat  kesalahan perhitungan.
Secara umum GARCH(p,q) dituliskan sebagai dengan untuk dan untuk .

## Model ARCH(p) dan GARCH(1,1)
Proses  GARCH  yang  paling  sering digunakan  adalah  proses  GARCH(1,1). Prosesnya diberikan sebagai berikut:
Dimana , dan
Ketika mengepaskan model ARCH pada data financial, kadang diperlukan ordo yang besar untuk mendapatkan pengepasan yang memuaskan.  Sebenarnya  hal  itu  dapat digantikan  dengan  model  GARCH(1,1) dengan mensubtitusikan dalam persamaan menjadi Jika , menjadi
Dimana  ini  sesuai  dengan  model  ARCH( ) yaitu: dengan dan untuk . Hal ini membuktikan bahwa model GARCH(1,1)  dapat  menggantikan  ARCH(p)
dengan  ordo  yang  tinggi  sehingga  bisa memberikan model yang lebih sederhana.

## Eksistensi Proses GARCH (1,1)
Model GARCH (1,1) secara umum dinyatakan sebagai dengan Dimana dan dan . Dengan adalah  variansi  dari  error  pada saat  .
adalah kuadrat error pada saat koefisien parameter ARCH koefisien parameter GARCH
Agar  persamaan  mengikuti  distribusi  normal maka  harus  dibagi  dengan  akar kuadrat dari varians, sehingga menjadi
Oleh  karena  itu  urutan yang didefinisikan dengan menjadi
independent  identically  distributed  (iid) . Dengan begitu maka dapat dibangun solusi stationer dari urutan kondisi iid
random variabel .
Anggap bahwa proses bermula pada jarak tak terbatas  di  masa  lalu,  sehingga dapat dinyatakan sebagai:
Berdasarkan  teorema  Lukacs  yang  berbunyi ‘jika  nilai  harapan  dari  sebuah  jumlah  tak terbatas  dari  random  variabel  non  negatfi adalah  berhingga  (terbatas)  maka  jumlahnya hamper  pasti  konvergen”,  maka  dapat diterapkan  untuk  mendapatkan  ekspektasi dari variansinya.
Oleh karena  itu  nilai  harapan tidak  bersyarat dari adalah  terdefinisi  (ada  nilainya)  dan urutan  tidak  terbatas  dari dalam persamaan  3.1.1  diatas  konvergen  hingga dengan syarat . Estimasi Parameter Dalam pembahasan etimasi parameter dari dan dalam  model  GARCH
(1,1)  ini,  dimisalkan  kita  memiliki  model regresinya sedemikian hingga
Maka kita akan memiliki vektor parameter sebagai berikut
Dengan
dan
Untuk mengestimasi parameter dari  variansi dan terlebih dahulu kita cari gradient dari fungsi likelihood pada
Misalkan menyatakan fungsi likelihood untuk observasi ke-t dan ukuran sampel dinyatakan dengan   maka:
Terhadap parameter
Sehingga dari metode Newton-Raphson yang telah dimodifikasi dapat kita peroleh bentuk iterasi sebagai berikut:
Bentuk diatas juga bisa dinotasikan dalam bentuk matriks sebagai:
Dimana
Dan Bollerslev mengusulkan sebagai nilai awal dari variansi adalah dan nilai awal untuk kuadrat error agar diestimasi menggunakan . Untuk nilai awal
dari dan dapat diperoleh dengan meregresikan dengan sebuah konstanta
dan sedangkan untuk diberi nilai awal nol.
Deskripsi Data Data yang
digunakan pada
pembahasan  ini  adalah  data  harian  pasar saham Indonesia selama  jangka waktu 1966-
2006. Data berasal dari situs www.finance.yahoo.com .

## Pra Analisis Data
Mengestimasi  Model  GARCH  (1,1)  untuk pasar saham Indonesia (JKSE)
Langkah  awal  yang  dilakukan  dalam menganalisis  data  adalah  dengan  membuat plot data. Plot data tersebut dapat dilihat pada gambar 4.13
Gambar 4.13 Plot Data JKSE
Dari  plot  diatas  dapat  dilihat  bahwa  secara umum trend cenderung naik dan dapat dilihat pula  data  belum  stationer,  baik  rata-rata maupun  variansinya.  Sedangkan  plot  return pada  gambar  4.14  dari  pasar  saham  JKSE, dimana dipergunakan disini adalah
Continuously  Compounded  Return  bisa dilihat  bahwa  juga  terdapat  adanya  nilai ekstrem, namun sudah stationer dalam mean.
Gambar  4.14  Plot  Data  Return  Pasar  Saham JKSE
Dalam  pemodelan  variansi  dengan model ARCH/GARCH, harus juga dilakukan pemodelan  mean,  dimana  pemodelan  mean dan  pemodelan  variansi  dilakukan  secara simultan antara keduanya.
Untuk menentukan  model  mean  dari  return  kita periksa  plot  ACF  dan  PACF  data  return. Berikut  ini  adalah  correlogram  return  dari lag-1 sampai lag-20, yaitu:
Tabel 4.18. ACF dan PACF Data Return Pada  table  4.18  dapat  dilihat  dari  plot autokorelasi dan autokorelasi parsial signifikan  pada  lag    1.  Maka  data  diolah menggunakan
ARMA (1,1). Untuk
memudahkan  dalam  menentukan  model mean  terbaik  dari  beberapa  model  mean dapat  dilakukan  dengan  membandingkan nilai  sig  koef  AR,  sig  koef  MA,  SSR,  AIC, dan
Dari  analisis  model  yang  nilai  AIC  dan  SIC terkecil,  maka  diperoleh  pemodelan  mean terbaik yaitu ARMA (1,1).
Setelah  didapat  pemodelan  mean  maka  akan dilakukan estimasi model GARCH (1,1)
Tabel 4.20. Estimasi model GARCH (1,1)

## SIMPULAN
Pada  proses  pemodelan  pasar  saham Indonesia  ini  yakni  JKSE  terlihat  bahwa pemodelan dengan menggunakan GARCH(1,1) adalah pemodelan yang signifikan.  Sehingga  kita  dapat  melakukan estimasi harga saham untuk periode berikutnya.  Hal  ini  sangat  bermanfaat  sekali bagi  seorang  investor  untuk  memanfaatkan modalnya pada penanaman saham.

## SARAN
Adapun  saran  yang  harus  dipertimbangkan dalam penelitian ini adalah:
1. Disarankan agar pengusaha bisa menanamkan  modalnya  di  pasar  saham Indonesia  ini  yakni  dengan  cara  membeli lembaran-lembaran saham JKSE.
2. Meskipun krisis ekonomi pernah  melanda Indonesia  namun  JKSE  harus  tetap  eksis di  perdagangan  saham  dunia yang nantinya  berharap  pada  nilai  tukar  rupiah yang tinggi.

## DAFTAR PUSTAKA
Bollerslev, T. (1986). "Generalized autoregressive conditional heteroskedasticity", Journal of Econometrics, 31, 307-327. Caiado,  J.,  Crato,  N.  and  Peña,  D.  (2007).
"Comparison  of  time  series  with  unequal lengths", manuscript.
Johnson,  R.  A.  and  Wichern,  D.  W.  (1992).
Applied  Multivariate  Statistical  Analysis.
3rd Ed., Englewood Cli¤s, Prentice-Hall.
Bain  dan  Engelhardt,  1992.  Introduction  To Probability And Mathematical Statistics.
Engle, R. (1982). "Autoregressive conditional heteroskedasticity with estimates  of  the  variance  of  United Kingdom  in.ation",  Econometrica,  50,
987-1008.
Winarno,  Wing  Wahyu.  2009.  Analisis Ekonometrika  dan  Statistika  denagn Eviews.Yogyakarta: UPPT STIM YKPN.