## ESTIMASI TINGKAT RISIKO INVESTASI EMAS MENGGUNAKAN PENDEKATAN GENERALIZED EXTREME VALUE DAN GENERALIZED PARETO DISTRIBUTION
Noviana Pratiwi 1 , Catur Iswahyudi 2
1 Jurusan Statistika, IST AKPRIND Yogyakarta
2 Jurusan Teknik Informatika, IST AKPRIND Yogyakarta
Email : 1 novianapratiwi@akprind.ac.id
Abstract. This study estimates the level of risk in investing in gold. Value at Risk (VaR) is a method which can be used for calculating the level of risk. There are two distribution approaches  used,  namely  Generalized  Extreme  Value  Distribution  (GEV)  and Generalized Distribution Pareto (GDP). These two distributions are used because gold data is alleged to have a heavy tail distribution. The study uses secondary data on gold prices with January 2015 to December 2017 period with a total of 876 data. The results obtained indicate that the data return for the gold price has a heavy tail. Estimation results obtained indicate that the VaR value at the 95% confidence level is less than VaR with a 99% confidence level so it can be concluded that the higher the level of risk to be taken, the  greater  the  level  of  confidence  and  capital  allocation  to  cover  losses  taken  by investors. The GDP Estimation  value  gives a  greater value than GEV. and the largest VaR value is shown at 4.049%, which means that the maximum loss that may occur in one period ahead is 4.049%.
Keywords: Value at Risk (VaR), Extreme Value Theory (EVT), Generalized Extreme Value (GEV), Generalized Distribution Pareto (GDP)
Abstrak. Penelitian  ini  melakukan  estimasi  tingkat  risiko  dalam  melakukan  investasi emas.  Metode  untuk  menghitung  tingkat  risiko  yang  digunakan  adalah Value  at  Risk (VaR). Ada dua pendekatan dsitribusi yang digunakan yaitu Generalized Extreme Value Distribution (GEV)  dan Generalized  Distribution  Pareto (GDP).  Dua  distribusi  ini digunakan  karena  data  emas  diduga  memiliki  ekor  berdistribusi  gemuk  ( heavy  tail ). Penelitian  menggunakan  data  sekunder  harga  emas  dengan  periode  2  Januari  2015 sampai Desember 2017 dengan total 876 data. Hasil yang diperoleh menunjukkan bahwa data return harga emas memiliki ekor gemuk ( heavy tail ). Hasil estimasi yang diperoleh menunjukkan bahwa nilai VaR pada tingkat kepercayaan 95% kurang dari VaR dengan tingkat  kepercayaan  99%  sehingga  dapat  disimpulkan  bahwa  semakin  tinggi  tingkat risiko yang akan diambil maka semakin besar juga tingkat konfidensi dan alokasi modal untuk menutupi kerugian yang diambil oleh investor. Nilai Estimasi GDP memberikan nilai lebih besar daripada GEV. dan nilai VaR terbesar ditunjukkan sebesar 4,049% yang berarti  kerugian  maksimum  yang  mungkin  terjadi  pada  satu  periode  kedepan  sebesar 4,049% dari total investasi
Kata kunci: Value at Risk (VaR), Extreme Value Theory (EVT), Generalized Extreme Value (GEV), Generalized Distribution Pareto (GDP)

## JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS
AND APPLICATIONS (JFMA) VOL. 2 NO. 1 (Jun 2019) Available online at www.jfma.math.fsm.undip.ac.id

## I. PENDAHULUAN
Harga  emas  di  Indonesia  dari  tahun  1994  sampai  1997  cenderung  tidak  mengalami pergerakan.  Namun  setelah  1997  harga  emas  mulai  menanjak  naik  sampai  2015  meskipun dalam perjalanannya harga emas mengalami naik turun secara fluktuatif namun dalam jangka panjang harga emas cenderung naik. Penelitian tentang emas banyak dilakukan oleh peneliti di Indoneia  maupun  di  dunia.[1]  pernah  meneliti  tentang  bagaimana  kinerja  emas  dibanding instrumen investasi yang lain, hasilnya adalah emas merupakan instrumen investasi yang aman pada saat  instrumen investasi  keuangan lain mengalami peningkatan. [2] membahas tentang investasi dalam instrumen emas diliai lebih menguntungkan dibandingkan dengan berinvestasi dalam saham perusahaan pertambangan emas dalam kurun waktu sebelas tahun.
Euforia emas yang semakin menjadi target investasi di masyarakat harus dibarengi oleh sikap hti-hati dari masyarakat. Direktur Bisnis II PT Pegadaian (Persero), Wasis Djuhar, pada 10 april 2013 mengatakan bahwa dibalik manfaat dan keuntungannya, ternyata investasi emas mengandung  risiko.  Banyak  risiko  dalam  berinvestasi  dalam  emas,  diantaranya  adalah mendapat emas palsu, potensi kehilangan maupun tindak kejahatan yang terjadi dan fluktuasi harga turun. Volatilitas pergerakan harga emas ini yang menjadi munculnya risiko pasar. [3] berpendapat bahwa untuk mengontrol dan mengurangi risiko investasi yang terjadi, para pelaku investasi  dapat  melakukan  pengukuran  volatilitas  atau  tingkat  risiko  dari  aset  aset  yang dimiliki.  Ukuran  resiko  yang  dicari  ini  nantinya  digunakan  untuk  mengendalikan  atau mengelola risiko dalam manajemen risiko. Ukuran risiko yang paling populer digunakan oleh beberapa pelaku investasi adalah Value at Risk (VaR).
Value  at  Risk  (VaR) merupakan  salah  satu  alat  atau  teknik  untuk  mengetahui  kerugian terburuk yang mungkin terjadi sebagai akibat dari kepemilikan suatu instrumen investasi atau portofolio  selama  periode  waktu  tertentu,  dengan  tingkat  spesifikasi  tertentu  yang  dikenal sebagai tingkat kepercayaan ( confidence level ). Berdasarkan pertanyaan tersebut, dapat dilihat adanya  tiga  variabel  yang  penting  yaitu  besar  kerugian,  periode  waktu  dan  besar  tingkat kepercayaan [4].
Penentuan metode yang tidak tepat akan membuat perhitungan Value at Risk tidak akurat. Misalnya  metode  standar  dalam Value  at  Risk seperti  varian  kovarian  atau  simulasi  historis akan menyebabkan ketidaktepatan distribusi return nya yang berakibat pada tidak akuratnya nilai Value at Risk yang dihasilkan [5] Teori nilai ekstrim diakui menjadi metode yang tepat untuk  mencari Value  at  Risk dalam  kondisi  ekstrem.  [5]  menyebutkan  bahwa  jika  terjadi kondisi  ektrim, maka Risk Metrics Technique tidak bisa menghitung VaR secara akurat.  [6] membahas  hubungan  antara  estimasi  ekor,  kondisi  ektrim  dan  perhitungan  VaR,  beliau menyebutkan  bahwa  teori  nilai  ekstrim  secara  statistik  lebih  natural  sehingga  menghasilkan pendekatan  yang  kuat  dalam  perhitungan  VaR.  Estimasi  VaR  dengan  pendekatan Extreme Value juga pernah diteliti oleh [7].
Dalam Extreem Value Theory (EVT) terdapat dua pendekatan yang sering digunakan yaitu pendekatan  yang  pertama  adalah Generalized  Extreme  Value (GEV).  Dimana  inti  dari distribusi  GEV  adalah  mengidentifikasikan  nilai  ekstrem  berdasarkan  nilai  maksimal. Sedangkan  pendekatan  yang  kedua  adalah Generalized  Distribution  Pareto (GDP)  dimana dalam distribusi ini mengidentifikasi nilai ekstrem dengan nilai ambang. Diperkirakan Kondisi Ekstrem pada Investasi emas di  Indonesia bida didekati dengan dua distribusi ini. Untuk itu
JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS AND APPLICATIONS (JFMA) VOL. 2 NO. 1 (Jun 2019) Available online at www.jfma.math.fsm.undip.ac.id
akan dicari metode mana yang paling akurat dari kedua distribusi tersebut untuk menghitung tingkat risiko dari investasi emas di Indonesia

## II. KAJIAN LITERATUR

## 2.1 Teori Nilai Ekstrim
Teori nilai ekstrim diperkenalkan pertama kali oleh Fisher, Tippet dan Gnedenko (1920- 1940) dan Gumbel (1920). Nilai Ekstrim Teori adalah salah satu teori yang mebahas tentang kondisi-kondisi  ekstrim  yang  membentuk  fungsi  sebaran  pada  nilai  tersebut.  Teori  nilai Ekstrim  memiliki  dua  distribusi  yaitu  distribusi generalized  extreme value  dan  distribusi Generalized Pareto.

## 2.2 Distribusi Generalized Extreme Value (GEV)
Inti  dari  distribusi  GEV  adalah  data  dibagi  dalam  blok-blok  dalam  periode  waktu tertentu. Tiap blok periode ditentukan besarnya data yang paling maksimal.
Misal ada himpunan n return {𝑟 1 , 𝑟 2 , … , 𝑟 𝑛 } . Return minimum dari himpunan adalah 𝑟 (1) = min 1≤𝑗≤𝑛 {𝑟 𝑗 } , dan  nilai maksimum adalah 𝑟 (𝑛) = max 1≤𝑗≤𝑛 {𝑟 𝑗 } . Menurut [8] nilai ektrim difokuskan pada nilai minimum karena nilai minimum sangat relevan dengan perhitungan VaR.
Asumsikan return 𝑟 𝑡 barisan saling bebas dengan fungsi distribusi komulatif 𝐹(𝑥) dengan rentang return adalah [𝑙, 𝑢] . Untuk log return 𝑙 = −∞ dan 𝑢 = ∞ , fungsi distribusi komulatif 𝑟 (1) dinyatakan sebagai 𝐹 𝑛,𝑙 (𝑥) , yaitu : 𝐹 𝑛,1 (𝑥) = 𝑃𝑟[𝑟 (𝑙) ≤ 𝑥] = 1 − 𝑃𝑟[𝑟 (𝑙) > 𝑥] = 1 − 𝑃𝑟(𝑟 1 > 𝑥, 𝑟 2 > 𝑥, … , 𝑟 𝑛 > 𝑥)
= 1 − ∏ 𝑃𝑟(𝑟 𝑗 > 𝑥) 𝑛 𝑗=1 = 1 − ∏[1 − 𝑃𝑟(𝑟 𝑗 ≤ 𝑥)] 𝑛 𝑗=1 = 1 − ∏[1 − 𝐹(𝑥)] 𝑛
𝑗=1 = 1 − [1 − 𝐹(𝑥)] 𝑛 . (2.1)
Dalam prakteknya, fungsi distribusi komulatif F(x) dari 𝑟 (1) tidak diketahui, maka oleh sebab itu 𝐹 𝑛,1 (𝑥) didefinisikan menjadi 𝐹 𝑛,1 (𝑥) → 0 jika 𝑥 ≤ 1 dan 𝐹 𝑛,1 (𝑥) → 1 jika 𝑥 > 1 .
Teori extreme value memiliki dua parameter {𝛽 𝑛 } dan {𝛼 𝑛 } dengan 𝛼 𝑛 > 0 berdistribusi 𝑟 (𝑙 ∗ ) = 𝑟 (1) −𝛽 (𝑛) 𝛼 𝑛 konvergen pada distribusi nongenerated dengan n menuju tak hingga. Barisan {𝛽 𝑛 } faktor  lokasi  dan {𝛼 𝑛 } faktor  skala.  Berdasarkan  pada  asumsi,  distribusi  batas dinormalkan minimum 𝑟 (𝑙 ∗ ) adalah
𝐹 ∗ (𝑥) = { 1 − 𝑒𝑥𝑝 [−(1 + 𝑘𝑥) 1 𝑘 ]  𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑘 ≠ 0
1 − 𝑒𝑥𝑝[− exp(𝑥)]        𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑘 = 0 (2.2)

## JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS
AND APPLICATIONS (JFMA) VOL. 2 NO. 1 (Jun 2019) Available online at www.jfma.math.fsm.undip.ac.id
untuk 𝑥 < − 1 𝑘 ⁄ jika 𝑘 < 0 dan 𝑥 > −1/𝑘 jika 𝑘 > 0 dimana tanda * menyatakan minimum . Parameter k menyatakn shape parameter yang memenuhi prilaku tail distribusi batas dan 𝛼 = −1/𝑘 disebut tail indeks dari distribusi statistik ekstrim [9].
Persamaan  (2.2)  disebut  distribusi general  extreme  value (GEV)  oleh  Jenkison  (1955) dalam  [7]  untuk minimum .  Fungsi  densitas  probabilitas  (pdf)  dari  persamaan  (2.2)  dapat diperoleh persamaan deferensialnya menjadi
𝑓 ∗ (𝑥) = {(1 + 𝑘𝑥) 1 𝑘 −1 𝑒𝑥𝑝[−(1 + 𝑘𝑥) 1/𝑘 ] 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑘 ≠ 0
𝑒𝑥𝑝[𝑥 − exp (𝑥)]                        𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑘 = 0 (2.3)
dimana −∞ < 𝑥 < ∞ untuk 𝑘 = 0,
𝑥 < −1 untuk 𝑘 < 0 , dan
𝑥 > −1/𝑘 untuk 𝑘 > 0 .
Estimasi  parameter  model extrime  value akan  menggunakan  metode  maksimum likelihood . Asumsikan bahwa sub-periode minimum {𝑟 𝑛,𝑖 } terdistribusi extreme value sehingga pdf dari 𝑥 𝑖 = (𝑟 𝑛,𝑖 − 𝛽 𝑛 ) 𝛼 𝑛 ⁄ diberikan persamaan (2.3) dapat dtetapkan oleh transformasi berikut
𝑓(𝑟 𝑛,𝑖 ) = { 1 𝛼 𝑛 (1 + 𝑘 𝑛 (𝑟 𝑛,𝑖 −𝛽 𝑛 ) 𝛼 𝑛 ) 1 𝑘 −1 𝑒𝑥𝑝 [− (1 + 𝑘 𝑛 (𝑟 𝑛,𝑖 −𝛽 𝑛 ) 𝛼 𝑛 ) 1 𝑘 ]  𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑘 ≠ 0
1 𝛼 𝑛 𝑒𝑥𝑝 [ 𝑟 𝑛,𝑖 −𝛽 𝑛 𝛼 𝑛 − 𝑒𝑥𝑝 ( 𝑟 𝑛,𝑖 −𝛽 𝑛 𝛼 𝑛 )]                                        𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑘 = 0.
(2.4)
Fungsi likelihood dari sub-periode minimum adalah
𝐿(𝑟 𝑛,1 , … , 𝑟 𝑛,𝑔 |𝑘 𝑛 , 𝛼 𝑛 𝛽 𝑛 ) = ∏ 𝑓(𝑟 𝑛,𝑖 ) 𝑔 𝑖=1 (2.5)

## 2.3 Pendekatan GEV pada VaR
Log-likelihood dari persamaan (2.5) dengan kondisi 𝑘 ≠ 0 adalah sebagai berikut
ln 𝐿 = −𝑔 ln 𝛼 𝑛 − (1 + 1 𝑘 ) ∑ ln {1 + 𝑘 𝑛 (𝑟 𝑛,𝑖 −𝛽 𝑛 ) 𝛼 𝑛 } 𝑔 𝑖=1 − ∑ {(1 + 𝑘 𝑛 (𝑟 𝑛,𝑖 −𝛽 𝑛 ) 𝛼 𝑛 ) 1 𝑘 } 𝑔 𝑖=1 . (2.6)
Metode  maksimal likelihood digunakan  untuk  mencari  VaR,  menurut  [9]  VaR  pada probabilitas lebih kecil dari p adalah
𝑉𝑎𝑅 = 𝛽 𝑛 − 𝛼 𝑛 𝑘 𝑛 {1 − [−𝑛 ln(1 − 𝑝)] 𝑘 𝑛 }. (2.7)

## 2.4 Peak Over threshold atau Distribusi Generalized Pareto
Metode POT merupakan metode Ekstreme Value teory yang mengidentifikasi nilai ekstrim dengan menggunakan patokan atau threshold [10]. Dalam metode ini akan ditenentukan nilai patokan (maksimal atau minimal) atau threshold . Semua data yang melewati threshold adalah data ekstrim. Semakin tinggi nilai threshold maka distribusinya akan mengikuti Generalized Distribution Pareto (GDP). Fungsi densitas komulatif (CDF) dari GDP adalah
JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS AND APPLICATIONS (JFMA) VOL. 2 NO. 1 (Jun 2019) Available online at www.jfma.math.fsm.undip.ac.id
𝐻 𝜉,𝜏(ℎ) (𝑥) = { 1 − exp (− 𝑥 𝜏(ℎ) ) , 𝜉 = 0
1 − (1 + 𝜉 𝑥 𝜏(ℎ) )
− 1 𝜉 , 𝜉 ≠ 0 (2.8)
dimana 𝑥 > 0 untuk 𝜉 > 0 dan 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝜏(ℎ) untuk 𝜉 < 0 . Dan 𝑋 1 , 𝑋 2 , … , 𝑋 𝑘 merupakan nilai ektrim yang melewati threshold h .

## 2.5 Pendekatan GDP pada VaR
Dalam  pencarian  VaR  dengan  pendekatan  GDP,  VaR  merupakan  q%  kuantil  dari distribusi nilai total loss [6]. Persamaan umum dari VaR adalah
𝑉𝑎𝑅 𝑞 % = 𝐹 −1 (𝑞%) (2.9)
dengan F adalah fungsi distribudi komulatif (CDF) dari nilai total loss , F ( x ) adalah distribusi nilai total loss x dan u merupakan nilai threshold maka Excess Over Threshold yang positif mempunyai distribusi sebagai berikut [10]:
𝐹 𝑢 (𝑦) = 𝐹(𝑦+𝑢)−𝐹(𝑢) 1−𝐹(𝑢) . (2.10)
Untuk threshold yang  sangat  besar  maka F ( u )  akan  mendekati (𝑛 − 𝑁 𝑢 )/𝑛 dengan  n merupakan banyaknya data yang berada diatas threshold , sehingga persamaan (2.11) menjadi
𝐹(𝑥) = 1 − 𝑁 𝑢 𝑛 (1 + 𝜉 𝑥−𝑢 𝛽 ) − 1 𝜉 (2.11)
dengan q>F(u) maka  perhitungan  VaR  diperoleh  dengan  melakukan  invers  terhadap persamaan (2.11) dan diperoleh hasil [11] menjadi
𝑉𝑎𝑅 𝐺𝐷𝑃 = 𝑢 + 𝛽 ̂ 𝜉 (( 𝑛 𝑁𝑢 (1 − 𝑞)) −𝜉 − 1) . (2.12)

## III. METODOLOGI
Dalam melakukan estimasi Value at Risk dengan pendekatan Generalized Extreme Value (GEV) dan Generalized  Pareto  Distribution maka  langkah-langkah  yang  dilakukan  adalah sebagai berikut :
i. Melakukan analisis deskriptif
ii. Diagnosis Extreme Value Theory iii. Menentukan Estimasi Parameter Generalized Extreme Value (GEV)
a. Menentukan blokmaxima
b. Mengestimasi parameter berdasarkan blok dengan MLE
iv. Menentukan Estimasi Parameter Generalized Pareto Distribution (GDP)
a. Menentukan threshold
b. Menentukan estimasi parameter shape dan skala dengan MLE
v. Mengestimasi VaR dengan parameter GEV dan GPD
vi. Intrepetasi hasil

## JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS
AND APPLICATIONS (JFMA) VOL. 2 NO. 1 (Jun 2019) Available online at www.jfma.math.fsm.undip.ac.id

## IV. HASIL DAN DISKUSI
Perhitungan Value at Risk pada return dari harga emas menjadi tujuan dalam makalah ini. Harga  emas di  download secara harian dari situs http://harga-emas.com dari 2 Januari 2015 sampai 31 Desember 2017 dengan total 875 data.

## 4.1 Analisis Deskriptif
Data  yang  digunakan  adalah  return  dari  saham  harian  yang  berjumlah  875.  Tabel  1 dibawah  menunjukkan  statistika  deskriptif  dari  return  harga  emas.  Statistika  deskriptif  dari return emas yang digunakan antara lain nilai rata-rata, nilai standar deviasi, nilai maksimum, nilai minimum, jumlah data observasi, nilai skewnes dan nilai kurtosis.
Tabel 1. Statistik Deskriptif Return Emas Deskriptif Nilai Mean 7.784e-05 Median 0 Standard Deviation 0.002973449 Skewness 0.1326663 Kurtosis 3.066707 Minimum -1.358e-02 Maximum 1.452e-02 n 875
Gambar 1. Q-Q Plot dari return harga emas
Dari Tabel 1 diatas dapat diketahui bahwa nilai rata-rata return harga emas adalah 7.784e- 05  dengan  median  nol  dan  standar  deviasi  0.002973449.  Nilai  skewness  dari  return  emas bernilai positif yaitu 0.1326663 yang artinya bahwa data mengindikasikan berdistribusi return mempunyai  ekor  kanan  yang  panjang.  Untuk  nilai  kurtosis  dari  return  emas  bernilai  cukup tinggi  lebih dari tiga yaitu 3.066707. Hal ini berarti data return emas masuk dalam tipe kurtosis Leptokurtic , yaitu bagian tengah distribusi data memiliki puncak yang lebih runcing. Jadi dapat dikatakan bahwa return harga emas memiliki sifat – sifat  data finansial yaitu pola Leptokurtic dan volatilitas . Volatilitas dilihat berdasarkan range atau jarak nilai maksimum dan minimum yang  relatif  cukup  jauh,  sehingga  dapat  dikatakan  harga  emas  mengalami  fluktuasi  pada
JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS AND APPLICATIONS (JFMA) VOL. 2 NO. 1 (Jun 2019) Available online at www.jfma.math.fsm.undip.ac.id
harganya.  Dari  kurtosis  dan  skewness,  diindikasikan  data  memiliki  distribusi  ekor  gemuk (heavy tail). Selain itu dapat juga dilihat menggunakan Q-Q Plot seperti pada Gambar 1. Pada Gambar 1 yaitu Normal Q-Q Plot dapat dikatakan bahwa data tidak berada dalam satu garis lurus. Artinya data tidak memiliki distribusi yang sama  dengan distribusi pembanding yaitu normal  atau  dikatakan  data  tidak  mengikuti  distribusi  normal.    Dari  gambar  1  juga  terlihat bahwa pola data memiliki pola “S” yaitu turun pada bagian kiri dan naik pada bagian kanan, maka dapat dikatakan distribusi data tersebut besifat lebih heavy tail dibandingkan distribusi normal.  Selanjutnya  untuk  melihat  nilai  ekstrim  dari return harga  emas  dapat  digunakan boxplot seperti pada Gambar 2.

## Gambar 2 Boxplot Return Emas
Berdasarkan Gambar 2 dapat dilihat bahwa data return harga emas memiliki sejumlah nilai diluar jangkauan maksimum dan minimum atau outlier serta memiliki nilai ekstrim yang dapat dikatakan jauh dari nilai maksimum atau minimumnya.

## 4.2 Generalized Extreme Value (GEV)
Analisis data berupa pengujian efek GEV pada data perlu dilakukan agar pendekatan yang dilakukan  dalam  menentukan Value  at  Risk benar  –  benar  telah  menggambarkan  bentuk distribusi  data.  Pengujian  tersebut  dilakukan  dengan  beberapa  tahap  yaitu  menentukan  nilai maksimum  dengan  metode block  maxima dan  selanjutnya  mengestimasi  parameter  dari distribusi GEV sampai didapatkan estimasi parameter yang akan digunakan untuk perhitungan VaR.

## 4.3 Menentukan nilai maksimum dengan Blok Maxima
Pemilihan  nilai  maksimum  dari  data  dalam  studi  kasus  ini  adalah  menggunakan block maxima yaitu  dengan  mengidentifikasi  nilai  ekstrim  berdasarkan  nilai  maksimum  dari  data observasi berdasarkan periode tertentu. Pemilihan blok pada penelitian ini yaitu menggunakan blok mingguan dan bulanan. Blok yang dibentuk selama periode mingguan atau dengan 5 hari kerja sebanyak 175 blok , sedangkan untuk blok yang dibentuk selama periode bulanan atau
JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS AND APPLICATIONS (JFMA) VOL. 2 NO. 1 (Jun 2019) Available online at www.jfma.math.fsm.undip.ac.id
dengan 21 hari kerja sebanyak 43 blok. Nilai maksimum dari tiap blok mingguan dapat dilihat pada Gambar 3.
Gambar 3. Nilai Maksimum dan histogram masing-masing blok pada blok mingguan
Gambar  3  menjelaskan  nilai  maksimum  dan  Histogram  dari  setiap  bloknya  untuk  blok mingguan.  Nilai  maksimum  tersebut  dihitung    hingga  pada  blok  175.  Berdasarkan  nilai maksimum  tersebut,  dapat  dilihat bahwa return dari harga emas mengalami fluktuasi  dilihat dari urutan  nilai maksimum yang berubah – ubah. Dan histogram tidak mendekati distribusi normal karena mempunyai ekor gemuk ke kanan (heavy tail) . Jadi dapat disimpulkan bahwa block maxima dari return emas mendekati distribusi Generalized Extreme Value.
Untuk  return  maksimum  masing  masing  blok  bulanan  21  hari  kerja  dilakukan  langkah yang sama dan didapat hasil seperti pada Gambar 4.
Gambar 4. Nilai Maksimum dan histogram masing-masing blok pada blok Bulanan
Analog  dengan  blok  mingguan,  Gambar  4  menjelaskan  nilai  maksimum  dari  setiap bloknya  untuk  blok  bulanan.  Nilai  maksimum  tersebut  dihitung  hingga  pada  blok  42. Berdasarkan nilai maksimum tersebut, dapat dilihat bahwa return dari harga emas mengalami fluktuasi dilihat dari urutan  nilai maksimum yang berubah – ubah. histogram tidak mendekati distribusi normal karena mempunyai ekor gemuk ke kanan (heavy tail) . Jadi dapat disimpulkan bahwa block maxima dari return emas mendekati distribusi Generalized Extreme Value.

## 4.4 Menentukan Estimasi Parmeter GEV
Setelah  menetukan  nilai  maksimum  dengan  metode blok  maxima bahwa  sampel  data ekstrim didapatkan 175 data estrim dengan blok mingguan dan 42 data ekstrim dengan blok
JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS AND APPLICATIONS (JFMA) VOL. 2 NO. 1 (Jun 2019) Available online at www.jfma.math.fsm.undip.ac.id
bulanan.  Maka  langkah  selanjutnya  dalam  mencari  estimasi  parameter  GEV  menggunakan Maximum Likelihood . Hasil Parameter tersaji pada Tabel 2.
Tabel 2. Estimasi GEV pada Blok Mingguan dan Bulanan
Parameters  Weekly (175 Block) Monthly (42 Block) location ( 𝜇̂ ) 0.00206692  0.004071411 scale ( 𝜎̂ ) 0.00173043  0.002273892 Shape( 𝜉̂ ) 0.13615331  0.065856103
Dari  Tabel  2  didapatkan  bahwa  dengan  jumlah  blok  175  dimana  setiap  blok  memiliki  5 pengamatan dengan estimasi parameter (location)  ˆ yang menyatakan letak titik pemusatan data sebesar 0.00206692, Parameter skala (scale)  ˆ yang menyatakan keragaman data sebesar 0.00173043 dan Parameter ekor (shape)  ˆ yang menyatakan perilaku ekor kanan (maksimum) sebesar 0.13615331. Sedangkan untuk blok bulanan dengan jumlah blok 42 dimana setiap blok memiliki 5 pengamatan diperoleh estimasi parameter (location)  ˆ yang menyatakan letak titik pemusatan data sebesar 0.004071411, Parameter skala (scale)  ˆ yang menyatakan keragaman data sebesar 0.002273892 dan Parameter ekor (shape)  ˆ yang menyatakan perilaku ekor kanan (maksimum) sebesar 0.065856103.
Dari hasil estimasi parameter distribusi GEV diatas dapat dilihat bahwa estimasi parameter  ˆ pada harga emas yang menyatakan perilaku ekor kanan menunjukkan nilai  yang lebih besar dari nol (  ˆ = α -1 >0) , sehingga dapat disimpulkan bahwa distribusi return berasal dari kelas distribusi  Frechet  dimana  peluang  terjadinya  ekstrim  lebih  besar  dibandingkan  distribusi Gumbel  ataupun Weibull.  Sedangkan untuk  parameter  ˆ (location) yang  menyatakan letak titik  pemusatan  data  didapatkan  bahwa  pada  blok  bulanan  memiliki  nilai  yang  lebih  besar daripada  blok  mingguan,  artinya  estimasi  parameter  dengan  blok  bulanan  memiliki probabililitas terbesar untuk terjadinya risiko pada kejadian ekstrim.
Gambar 5. Mean Excess Plot untuk data return emas
JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS AND APPLICATIONS (JFMA) VOL. 2 NO. 1 (Jun 2019) Available online at www.jfma.math.fsm.undip.ac.id

## 4.5 Menentukan Estimasi Parameter Generalized Pareto Distribution (GDP)
Analog dengan GEV, Analisis data berupa pengujian efek GDP pada data perlu dilakukan agar  pendekatan  yang  dilakukan  dalam  menentukan Value  at  Risk benar  –  benar  telah menggambarkan bentuk distribusi data. Dari deskriptif diatas sudah dapat dilihat bahwa data return emas memiliki ekor gemuk (heavy tail). Cara lain akan dibuat plot Mean Excess Funtion untuk melihat heavy tail, dan hasilnya dapat dilihat pada Gambar 5. Plot MEF pada gambar 5. menunjukkan  kemiringan  negative,  sehingga  dapat  dikatakan  bahwa  data  mempunyai  ekor ( heavy tail ).

## 4.6 Menentukan threshold
Penentuan nilai thresold didapatkan dengan metode quantil 95%. Dimana data diurutkan dari  yang  terbesar  sampai  terkecil.  Quantil  95%  dari  data  teratas  merupakan  data  extrim sehingga nilai thresholdpun dapat ditentukan yaitu urutan ke n+1 dengan N data extrim. Nilai threshold yang diperoleh adalah 0.004864002.

## 4.7 Mengestimasi parameter bentuk dan skala menggunakan MLE
Estimasi GPD dengan bantuan software R menghasilkan estimasi parameter yang disajikan pada Tabel 3.
Tabel 3. Estimasi parameter GDP Karakteristik Nilai Threshold (u) 0.004864002 Banyaknya  pengamatan (n) 876 Banyaknya  pengamatan diatas threshold (Nu) 466 Parameter skala ( 𝛽 ) 0,002147 Parameter bayangan ( 𝜉 ) 0,60385
Tabel  3  menunjukkan  bahwa  banyaknya  pengamatan  diatas threshold (Nu)  adalah  466 pengamatan  dari  banyaknya  pengamatan  (n)sebanyak  876.  Nilai threshold sebesar 0.004864002  yang  menunjukkan  dimulainya  ekor  ( tail ).  Hasil  estimasi  parameter menunjukkan bahwa besarnya parameter skala sebesar 0,002147  ( 𝛽 ) dan parameter bayangan sebesar ( 𝜉 ) 0,60385. Setelah didapatestimasi parameter untuk GPD maka dihitung nilai VaR GPD.

## 4.8 Mengestimasi VaR dengan parameter GEV dan GPD
Hasil estimasi parameter GEV yang diperoleh pada tabel 2. selanjutnya digunakan dalam estimasi VaR untuk Harga emas. Perhitungan VaR dengan GEV menggunakan persamaan 2.7. dengan estimasi parameter pada tabel 2. dengan tingkat kepercayaan 95% dan 99%. Hal yang sama juga dilakukan pada hasil estimasi GDP. Perhitungan VaR dengan GDP menggunakan persamaan 2.12. dengan estimasi parameter pada Tabel 3. Hasil perhitungan VaR bisa dilihat pada Tabel 4.

## JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS
AND APPLICATIONS (JFMA) VOL. 2 NO. 1 (Jun 2019) Available online at www.jfma.math.fsm.undip.ac.id

## Tabel 4. perhitungan VaR dengan GEV  dan GPD
Tingkat kepercayaan VaR dengan Blok Mingguan VaR dengan blok bulanan GEV 95% -0,00008252 0,004240837 GEV 99% -0,002184201 0,000709247 GPD 95% 0,0161337893078695 GPD 99% 0,0404895905114821
Pemilihan Blok yang disarankan adalah blok mingguan atau 5 hari kerja karena semakin sedikit  panjang  blok  akan  memaksimumkan  nilai  ektrim  yang  ada.  Selain  itu  berdasarkan estimasi  parameter  menggunakan Maximum  Likelihood pada  blok  mingguan, didapatkan parameter shape  (  ˆ ) > dari blok bulanan  yang disajikan pada  Tabel  4 sehingga berpeluang besar ekstrim kanan yang dapat menyebabkan kerugian lebih besar. Dari hasil perhitungan pada Tabel  4  diperoleh  perhitungan  nilai  VaR  dengan  blok  mingguan  tingkat  kepercayaan  95% sebesar -0,00008252 artinya kerugian maksimum yang mungkin dialami investor tak lebih dari -0,00008252 atau -0,008252%. Misalkan investor menginvestasikan uangnya ke emas sebesar 100  juta  rupiah  maka  kerugian  maksimum  yang  mungkin  dialami  investor  dalam  satu  hari kedepan  dengan  tingkat  kepercayaan  95%  sebesar  Rp.825.200,00.  Sedangkan  VaR  blok mingguan dengan tingkat kepercayaan 99%, blok Bulanan, GPD 95% dan 99%  berturut turut adalah -0,2184%, 0,42484%;  0,070925%, 1,6135% dan 4,049 %. Dari Tabel 4 dapat dilihat juga  bahwa  nilai  VaR  pada  tingkat  kepercayaan  95%  kurang  dari  VaR  dengan  tingkat kepercayaan 99% sehingga dapat disimpulkan bahwa semakin tinggi tingkat risiko yang akan diambil  maka  semakin  besar  juga  tingkat  konfidensi  dan  alokasi  modal  untuk  menutupi kerugian yang diambil oleh investor.

## V. KESIMPULAN
Berdasarkan hasil penelitian dapat diambil kesimpulan sebagai berikut :
1. Estimasi parameter menggunakan metode Generalized Extreme Value (GEV) pada blok yang disarankan yaitu blok mingguan dengan  3 parameter yaitu parameter (location)  ˆ , parameter skala (scale)  ˆ , parameter ekor (shape)  ˆ .
2. Pengukuran  VaR  dengan  blok  mingguan  memberikan  hasil  bahwa  nilai  VaR  dengan tingkat kepercayaan 95% sebesar -0,00008252 dan -0,2184%, untuk tingkat kepercayaan 99%.  Artinya  kerugian  maksimum  yang  mungkin  dialami  investor  tak  lebih  dari  - 0,00008252  atau  -0,008252%.  Misalkan  investor  menginvestasikan  uangnya  ke  emas sebesar 100 juta rupiah maka kerugian maksimum yang mungkin dialami investor dalam satu hari kedepan dengan tingkat kepercayaan 95% sebesar Rp.825.200,00.
3. Hasil Perhitungan VaR menunjukkan bahwa nilai VaR dengan metode GPD menghasilkan VaR yang lebih tinggi dibandingkan dengan VaR dengan GEV.
4. VaR  pada  tingkat  kepercayaan  95%  kurang  dari  VaR  dengan  tingkat  kepercayaan  99% sehingga dapat disimpulkan bahwa semakin tinggi tingkat risiko yang akan diambil maka semakin besar juga tingkat konfidensi dan alokasi modal untuk menutupi kerugian yang diambil oleh investor.
Setelah  melakukan  penelitian  mengenai Value  at  Risk dengan  metode Generalized Extreme Value dan Generalized Pareto Distribution pada harga emas, penulis menyarankan :

## JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS
AND APPLICATIONS (JFMA) VOL. 2 NO. 1 (Jun 2019) Available online at www.jfma.math.fsm.undip.ac.id
1. Berdasarkan  penelitian  ini,  diharapkan  kepada  investor  dapat  lebih  selektif  lagi  dalam berinvestasi, terutama dalam berinvestasi saham yang memiliki kejadian – kejadian ekstrim sehingga  investor  tidak  selalu  menyiapkan  dana  besar  untuk  menutupi  kerugian  dalam berinvestasi.
2. Diharapkan kepada peneliti selanjutnya dapat lebih mengembangkan mengenai teori nilai ekstrim.

## UCAPAN TERIMAKASIH
Penelitian ini  merupakan bagian dari Hibah Penelitian Dosen Pemula (PDP) dari kemenrister Dikti  Tahun  anggaran  2018.  Terimakasih  kepada  kemenristekdikti  untuk  hibahnya  dan terimakasih kepada IST AKPRIND Yogyakarta yang telah memfasilitasi penelitian ini .

## DAFTAR PUSTAKA
[1]   Soleh,  Muhammad.,  2014,  Emas  Sebagai  Instrumen  Investasi  Yang  Aman  Pada  Saat Instrumen  Investasi  Keuangan  Lain  Mengalami  Peningkatan  Risiko , jurnal  akuntansi Unesa, Surabaya.
[2] Gunawan,  Adhitya  I.,  Wirawati  Ni  Gusti  P,  2013,  Perbandingan  Berinvestasi  Antara Logam  Mulia  Emas  Dengan  Saham  Perusahaan  Pertambangan  Emas  ,  E-Jurnal Akuntansi Universitas Udayana 4.2:406-420, Bali.
[3] Pratiwi,  Noviana.,  2015,  Estimasi  Penyesuaian  Likuiditas  terhadap  Value  at  Risk  dari data historis, Jurnal Teknologi Technoscientia, Vol.8. No.1 Agustus 2015, Yogyakarta.
[4] Pratiwi,  Noviana.,  2014,  Estimasi  Penyesuaian  Likuidoitas  terhadap  Value  at  Risk dengan  metode  Varian  Kovarian,  Prosiding,  Seminar  Nasional  Aplikasi  Sains  & Teknologi (SNAST) 2014, Yogyakarta.
[5] Danielsson,  Jon.,  2000,  Value -At-Risk  and  Extreme  Return ,  Tinbergen  Institute  and Erasmus University Rotterdam, London.
[6] Neftci, Salih N., 2000, Value at Risk Calculation, Extreme Events, and Tail Estimation , The Journal of Derivative : 1-15, Newyork.
[7] Sukono.,  Subanar.,  Rosadi,  Dedi.,  2008,  Estimasi  VaR  dengan  Pendekatan  Extreme Value , Prosiding Semnas Matematika dan Pendidikan Matematika, Yogyakarta.
[8] Tsay,  R.  S.,  2005, Analysis  of  financial  time  series.  Second  Edition. Hoboken,  New Jersey : John Wiley & Sons, Inc.
[9] Chaithep et al, 2012, Value at Risk Analysis of Gold Price Returns Using Extreme Value Theory ,  The  Empirical  Econometrics  and  Quantitative  Economics  Letters,  Volume  1, Number 4, pp.151-168, Chiang Mai.
[10]  Zuhara,  Ummi.,  Akbar,  M  Sjahid.,  Haryono.,  2012,  Penggunaan  Metode  VaR  dalam Analisis  Risiko  Investasi  Saham  dengan  Pendekatan  Generalized  Pareto  Distribution, Jurnal Sains dan Seni ITS Vol. 1, No. 1, Surabaya.
[11]  Down, Kevin, 2002, Measuring Market Risk , John Willey % Sons L.td. England

## JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS
AND APPLICATIONS (JFMA) VOL. 2 NO. 1 (Jun 2019) Available online at www.jfma.math.fsm.undip.ac.id