## Penalaran Matematika: Apa Aspek Sentralnya?
Rosida Marasabessy 1 , Aan Hasanah 2
1, 2 Program Studi Pendidikan Matematika, FPMIPA, Universitas Pendidikan Indonesia, Jl. Setiabudi No 229, Bandung, Indonesia rosidamarasabessy@upi.edu

## Abstract
The  development  of  students'  mathematical  reasoning  is  the  goal  of  the  Indonesian  education  curriculum  and several abroad. But what mathematical reasoning consists of is not always clear. In general, everyone has his  or her  own understanding of  mathematical  reasoning.  The  method  used  in  this  article  is  a  literature  review.  This article aims to clarify mathematical reasoning aspects from a theoretical perspective by elaborating articles on mathematical reasoning to contribute to further research. To achieve this elaboration, a literature search has been carried  out  with  the  keywords  mathematical  reasoning,  mathematical  thinking,  deductive  reasoning,  inductive reasoning,  etc.  The  synthesis  carried  out  leads  to  mathematical  reasoning  aspects  from  the  analysis  of  the mathematics education research literature on mathematical reasoning. The steps in conducting a literature review are:  first,  choosing  articles  with  mathematical  reasoning  keywords  and  other  keywords  related  to  reasoning. Second, the literature analysis is carried out. Third, perform a synthesis to highlight convergence, divergence, and pinpoint areas where there are theoretical gaps that need to be filled by any model representing the central aspects of reasoning. At the end of the process, 25 articles in English and Indonesian constitute literature. The aspects described here consist of two main aspects: structural aspects and process aspects, both of which are necessary to capture the central characteristics of mathematical reasoning. The structural aspect of reasoning consists of the deductive  step,  the  inductive  step,  and  the  abductive  step.  Meanwhile,  aspects  of  the  mathematical  reasoning process consist of processes related to finding similarities and differences and validation processes.
Keywords: Mathematical  Reasoning,  Structural  Aspects  of  Mathematical  Reasoning,  Process  Aspects  of Mathematical Reasoning

## Abstrak
Pengembangan penalaran matematis siswa merupakan tujuan dari kurikulum pendidikan Indonesia dan beberapa kurikulum diluar negeri. Tapi terdiri dari apa penalaran matematika tidak selalu jelas, secara umum setiap orang memiliki pengertian tentang penalaran matematikanya sendiri. Metode yang digunakan dalam artikel ini adalah literature  review.  Artikel  ini  bertujuan  untuk  memperjelas  aspek-aspek  penalaran  matematika  dari  perspektif teoritis,  dengan  mengelaborasi  artikel-artikel  penalaran  matematika  sehingga  berkontribusi  pada  penelitian selanjutnya.  Untuk  mencapai  elaborasi  tersebut,  dilakukan  pencarian  literatur  dengan  kata  kunci  penalaran matematika, pemikiran matematis, penalaran deduktif, penalaran induktif dan sebagainya. Dari analisis literatur penelitian pendidikan matematika tentang penalaran matematika, sintesis yang dilakukan mengarah pada aspek penalaran matematika. Langkah literature review adalah: pertama, memilih artikel dengan kata kunci penalaran matematika dan kata kunci lain yang terkait dengan penalaran. Kedua, dilakukan penganalisaan literatur. Ketiga, melakukan  sintesis  untuk  menyoroti  konvergensi,  divergensi,  dan  untuk  menunjukkan  area  di  mana  terdapat kesenjangan teoritis yang perlu diisi oleh model apapun yang dapat mewakili aspek sentrak penalaran. Pada akhir proses dilakukan analisis 25 artikel Aspek yang diuraikan disini, terdiri dari dua aspek utama: aspek struktural dan aspek proses, yang keduanya diperlukan untuk menangkap karakterisitik sentral dari penalaran matematika. Aspek struktur dari penalaran terdiri dari langkah deduktif, langkah induktif dan langkah abduktif. Sedangkan, aspek  proses  penalaran  matematis  terdiri  dari  proses  yang  berhubungan  dengan  pencarian  persamaan  dan perbedaan dan proses yang terkait dengan validasi.
Kata kunci: penalaran matematika, aspek struktural penalaran matematika, aspek proses penalaran matematika.
Copyright (c) 2021 Rosida Marasabessy, Aan Hasanah
 Corresponding author: Rosida Marasabessy Email Address: rosidamarasabessy@upi.edu (Jl. Setiabudi No 229, Bandung, Indonesia) Received 09 Desember 2020, Accepted 03 Maret 2021, Published 17 Maret 2021

## PENDAHULUAN
Apa  itu  penalaran  matematika?  Bagaimana  kita  bisa  menggambarnya?  Pertanyaan-pertanyaan inilah  yang  mendasari  pengembangan  aspek  penalaran  matematis  yang  menjadi  fokus  artikel  ini. Dokumen  kurikulum  di  seluruh  dunia  menekankan  pembinaan  penalaran  matematika  siswa  sebagai
tujuan  penting  (NCTM,  2000;  OCDE,  2006),  cara  penalaran  matematika  dijelaskan  dalam  dokumen tersebut cenderung tidak jelas, tidak sistematis, dan bahkan kontradiktif dari satu dokumen ke dokumen lainnya  (Jeannotte  &  Kieran,  2017).  Demikian  pula,  dalam  komunitas  riset  pendidikan  matematika, wacana  tentang  penalaran  matematika  tidak  monolitik  yang  bertarti  tidak  terdiri  dari  satu  suara. Berbagai  visi  matematika,  pembelajaran  dan  pengajaran  saling  bergandengan.  Faktor  tambahan menambah  kebingungan,  seperti  yang  ditunjukkan  oleh  Yackel  &  Hanna  (2003):  “Menulis  tentang penalaran matematika dipersulit oleh fakta dari istilah penalaran seperti pemahaman, banyak digunakan dengan asumsi implisit bahwa ada kesepakatan universal tentang artinya”.
Fakta  menunjukkan  banyak  matematikawan  dan  pakar  pendidikan  matematika  menggunakan istilah penalaran matematika tanpa klasifikasi atau elaborasi (Yackel & Hanna, 2003). Lithner (2006), menjelaskan  fungsinya  untuk  menghasilkan  pengetahuan  baru;  dan  Duval  (1995)  menjelaskan fungsinya untuk mengubah nilai epistemik dari proposisi tertentu. Definisi dari bentuk klasik penalaran matematika, seperti deduktif, induktif dan abduktif, semuanya dapat ditemukan tetapi dengan berbagai penekanan.  Duval  (1995),  menegaskan  hanya  penalaran  deduktif  yang  dapat  dianggap  matematis. Sedangkan, Reid (2003), Rivera (2008), dan Meyer (2010) menunjukkan pentingnya penalaran abduktif dalam  penemuan  matematika.  Berbeda  dengan  aspek  struktural  terkait  dengan  bentuk  penalaran matematika, hasil sintesis juga mengungkapkan karakteristik dari penalaran matematika menekankan proses yang mendasarinya. Proses dari penalaran matematika adalah conjecturing atau dugaan (Mason et al., 2010); generalizing atau generalisasi (Stylianides, 2008), exemplifying atau mencotohkan (Mason et al., 2010), dan proving atau membuktikan (Duval, 1995).
Beberapa sorotan dari literatur penelitian tentang penalaran matematika menunjukkan belum ada yang  mengkaji  secara  konseptual  mengenai  penalaran  matematika.  Banyak  dari  litertur  menjelaskan penggunaan  model  dan  pendekaran  untuk  meningkatkan  kemampuan  penalaran  matematika  siswa (Bernard  &  Chotimah,  2018).  Keadaan  di  lapangan  saat  ini  mempersulit  untuk  membandingkan pendekatan  dan  karakteristik  dari  penalaran  matematika,  selain  itu  hasil  studi  terkait.  Pentingnya mengembangkan  penalaran  matematika  dalam  proses  belajar  mengajar  di  berbagai  tingkat  sekolah, serta kebutuhan akan sumber daya konseptual substantif tentang penalaran matematika dalam pelatihan dan pengembangan profesional guru, juga berfungsi untuk memotivasi guru untuk memiliki wawasan mendalam mengenai penalaran matematika.
Dengan demikian, tujuan dari penelitian ini adalah untuk menguraikan secara teoritis dua aspek utama  dari  penalaran  matematika,  yang  keduanya  diperlukan  untuk  menangkap  karakteristik  sentral dari penalaran matematika. Penjelasan selanjutnya adalah pendirian epistemologis yang merupakan inti dari  keseluruhan  proses,  sejalan  dengan  kerangka  teoritis  yang  diadopsi,  yang  pada  gilirannya memainkan  peran  sebagai  lensa  interpretatif  untuk  menggambarkan  fitur-fitur  utama  penalaran matematis. Dari hasil studi literatur, berikut presentasi dari kajian teoritis. Asumsi sosial Kultural dan kognitif  menjadi  kajian  teori  dalam  penelitian  ini.  Perubahan  sosial  kultural  dalam  penelitian pendidikan  matematika  telah  membuat  masyarakat  peka  tidak  hanya  pada  fenomena  kemunculan
budaya  matematika  di  kelas  oleh  pesertanya  (baik  guru  dan  peserta  didik),  tetapi  juga  peran  yang dimainkan oleh cara-cara penalaran dan komunikasi yang mengacu pada praktik-praktik dari disiplin ilmu (Grouws, 2006).
Cara-cara penalaran matematis ini juga direfleksikan dalam literatur didaktik tentang penalaran matematika  di  setiap  tingkatan  pendidikan.  Kegiatan  penalaran  siswa  terdiri  dari  apa  yang  siswa katakan, cara mereka mengatakannya, apa yang mereka lakukan, representasi dan gambar yang mereka buat,  cara  mereka  menggunakan  representasi  ini,  dan  intonasi  serta  gerak  tubuh  mereka,  semua  ini adalah batu pijakan untuk guru sehubungan dengan pembudayaan siswa dengan cara berpartisipasi dan cara bernalar yang diharapkan dari mereka. Untuk memberikan masukkan ini, guru tidak hanya harus menyadari  sifat,  bentuk  dan  proses  penalaran  matematika  yang  mereka  inginkan  agar  siswa  belajar untuk berpartisipasi, tetapi juga mengenali ketika terlibat dalam aspek penalaran yang diinginkan. Hal ini membutuhkan visi penalaran matematika yang dielaborasi dengan baik di mana wacana adalah hal fundamental dan yang tidak hanya mencerminkan wacana didaktis dari disiplin tetapi juga berfungsi sebagai alat konseptual bagi guru dan peneliti untuk menganalisis aktivitas penalaran siswa.
Dari  pandangan  sosiol  kultural  sebelumnya,  penalararan  matematika  dapat  dilihat  sebagai aktivitas  diskursif.  Untuk  mengkonseptualisasi  penalaran  matematika  sebagai  aktivitas  diskursif, digunakan kerangka kerja kognitif yang dikembangkan oleh Sfard (2008). Sfard (2008) mendefinisikan kognitif sebagai “istilah yang meliputi berpikir (kognisi Individu) dan berkomunikasi (interpersonal)”. Kombinasi dari kata-kata komunikasi dan kognisi, ini menekankan fakta bahwa kedua proses ini adalah manisfestasi yang berbeda (intrapersonal dan interpersonal) dari fenomena yang sama. Dalam kerangka kognitif,  analisis  wacana  menjadi  central.  Menurut  Sfard  (2008),  wacana  adalah  jenis  komunikasi khusus yang dibuat dengan mengulang tindakan yang dapat diterima dan dalam bahasa wacana dapat dibedakan dengan komunikasi verbal, mediator visual, rutinitas, dan narasi yang didukung.
Bagi peneliti kognitif, matematika adalah wacana, yaitu jenis komunikasi tertentu (Sfard, 2008). Perkembangan  wacana  matematika  yaitu  perkembangan  matematika  melibatkan  perubahan  wacana yang  terjadi  dalam  komunitas  matematika  di  mana  seseorang  berkembang.  Dalam  gerakan individualisasi  dan  recommunication,  perubahan  tersebut  diajukan,  ditolak  dan  dinegosiasikan. Misalnya,  Sfard  (2008)  mencatat  bahwa  aljabar  adalah  meta-wacana  yang  menggolongkan  wacana aritmatika dan wacana itu sendiri. Dari sudut pandang epistemolog, posisi ini memiliki implikasi bahwa cara  penalaran  matematika  akan  dikonseptualisasikan.  Komunitas  matematika  tempat  seseorang berevolusi itulah yang menetapkan aturan, mediator visual yang dapat diterima, dan penggunaan kata.
Kamus Oxford mendefinisikan narasi sebagai komunikasi lisan atau tertulis dari suatu peristiwa dan representasi  dari  situasi  atau  proses tertentu  sedemikian  rupa  mencerminkan  atau  menyesuaikan diri  dalam  serangkaian  tujuan  atau  nilai  yang  menyeluruh.  Peristiwa  yang  direpresentasikan  dan diinterpretasikan melalui kerangka diskursif yang menopang  penalaran matematika adalah aspek-aspek penalaran  matematika  yang  telah  menjadi  bagian  dari  narasi  terkini  dalam  komunitas  pendidikan matematika. Dan kerena narasi mengundang interpretasi dari penalaran matematika itu sendiri, akan
berkembang  ketika  orang  lain  dari  sudut  pandang  lain  membacanya,  dan  mengambil  serta menyesuaikannya dengan praktik mereka sendiri.
Terdapat  dua  jenis  pengembangan  diskursif  dalam  pendekatan  kognitif,  yaitu  level-objek  dan meta-level. Pengembangan wacana level-objek mengacu pada perluasan wacana yang ada pada objek matematika  yang  sudah  dikonstruksi.  Di  sisi  lain,  pengembangan  wacana  meta-level  mengacu  pada konstruksi wacana baru, mengubah aturan main yang sejalan dengan pembangunan objek matematika baru.  Perbedaan  antara  jenis  pengembangan  diskursif  ini  akan  penting  dalam  membedakan  proses berpikir matematis yang akan dianggap sebagai proses penalaran matematika.
Elaborasi  penalaran  matematika  untuk  setiap  jenjang  pendidikan  merupakan  landasan  utama penelitian  ini,  di  mana  memiliki  implikasi  dan  batasan  tertentu.  Tujuan  penelitian  ini  bukan  untuk membangun sebuah konsep yang memberikan saran praktis khusus yang berhubungan dengan urutan tugas kelas yang dirancang untuk mendorong pengembangan penalaran matematis dan bukan bertujuan untuk membangun konsep yang menggambarkan cara penelitian dimana siswa mengembangkan dan mengkomunikasikan penalaran matematika tertentu. Sebaliknya, tujuannya adalah untuk membangun, dalam  satu  kesatuan  yang  selaras  dengan  kerangka  kognitif,  konsep  teoritis  yang  koheren  dalam mensintesis dan dibangun di atas konvergensi yang akan ditemukan dalam jenis dan karakteristik utama penalaran  matematika  yang  dijelaskan  dalam literatur  penelitian  pendidikan matematika  dan  dengan demikian  dapat  berfungsi  sebagai  alat  untuk  pengajar  dan  peneliti,  yaitu  konsep  naratif  yang menghubungkan konsep yang berbeda secara semantik tetapi dalam jaringan koheren yang sama.
Disini  dijelaskan  metodologi  yang  digunakan  yaitu  studi  pustaka.  Kemudian,  disajikan  juga gambaran dari beberapa fitur kunci penalaran matematis yang diekstraksi dari literatur, fitur yang ikut membentuk aspek sentral dari penalaran matematika untuk setiap jenjang pendidikan. Namun, harus ditekankan bahwa hasilnya bukanlah konsep unik yang menyatukan semua divergensi yang ditemukan dalam  literatur.  Akan  tetapi,  merupakan  sebuah  konsep  yang  mensistematisasikan  berbagai  fitur konvergen  penalaran  matematika  dalam  kerangka  yang  secara  teoritis  koheren.  Seperti  yang dikemukakan  oleh  Stylianides  (2008):  “tantangan  ilmiah  penelitian  dalam  pendidikan  matematika adalah membentuk tubuh pengetahuan yang kokoh yang berarti valid secara teoritis dan relevan yang berarti instrumental bagi praktisi dan pemangku kepentingan lainnya serta konvergensi harus menjadi aturannya”.

## METODE
Proses  metodologis  yang  digunakan  dalam  penelitian  ini  adalah  literature  review.  Menurut Shuttleworth (2009), “Literature Review is a critical and in depth evaluation of previous research”. Dari penjelasan Shuttleworth dapat kita simpulkan bahwa literature review tidak hanya bermakna membaca literatur, akan tetapi lebih ke arah evaluasi yang mendalam dan kritis tentang penelitian sebelumnya pada suatu topik. Sedangkan menurut Creswell (2003), mencari, memilih, menimbang dan membaca literatur  adalah  pekerjaan  pertama  dalam  proyek  penelitian  apapun.  Adapun  langkah-langkah  dalam
melakukan  literature  review  pada  penelitian  ini  adalah:  pertama,  memilih  artikel  dengan  kata  kunci penalaran  matematika  dan  kata  kunci  lain  yang  terkait  dengan  penalaran  seperti  penalaran  deduktif, penalaran induktif, dan sebagainya. Empat kriteria untuk memilih artikel adalah akses, kelengkapan, kebaruan dan keaslian (Van der Maren, 1996). 1000 jurnal ditemukan peneliti lewat software publish or perish 7 sesuai kata kunci, kemudian sebanyak 266 jurnal dari jurnal yang ditemukan sesuai kata kunci  pencarian  tersebut  kemudian  dilakukan  skrining,  selanjutnya  87  jurnal  full  teks  dilakukan asesmen kelayakan. Pada akhir proses, 25 artikel dalam bahasa Inggris dan bahasa Indonesia (buku, artikel, dan laporan penelitian dalam prosiding) merupakan literatur.
Kedua, dilakukan penganalisaan literatur yang digunakan dalam penelitian untuk informasi yang relevan terkait dengan karakteristik formal, aksiologis, dan praktis penalaran matematika. Karakteristik formal mengacu pada akurasi, deskripsi, ekspresi, dan definisi konsep, istilah, gagasan. Karakteristik aksiologis  mengacu  pada  tujuan,  sasaran,  prinsip.  Sedangkan,  karakteristik  praktis  mengacu  pada norma,  keputusan,  praktik  teoritis  atau  eksperimental,  kebiasaan,  dan  adat  istiadat.  Analisis  isi  dan konseptual  mendukung  proses  pembangunan  aspek-aspek  penalaran  matematika.  Pembacaan  yang berurutan  dan  berulang  memungkinkan  untuk  menemukan  unit  penalaran  matematika  yang  akan dikategorikan. Setiap unit menerima tiga kode: i) deskripsi yang terkait dengan sifat informasi (formal, aksiologis,  atau  praksis);  ii)  deskripsi  yang  terkait  dengan  isinya  (misalnya,  penalaran  deduktif, penalaran  abduktif,  inferensi,  dugaan,  pembuktian,  dan  lain-lain);  dan  iii)  deskripsi  terkait  dengan karakteristik yang muncul dari penalaran matematika (misalnya, struktur, proses). Kodefikasi ketiga ini membantu  dalam  pembangunan  unsur-unsur  dan  aspek  dari  penalaran  matematika.  Misalnya,  nalar adalah menyimpulkan proposisi yang disebut kesimpulan dari premis tertentu (Stylianides, 2008), yang tidak hanya memberikan informasi formal, tetapi juga ditautkan ke inferensi kata kunci, dan menyoroti keduanya sebagai aspek struktural (yaitu premis, proposisi, dan kesimpulan) dan aspek proses (dalam mendefinisikan  penalaran  dengan  kata  kerja  tindakan,  yaitu  menyimpulkan).  Analisis  tersebut berpedoman  pada  prinsip-prinsip  kognitif  (Sfard,  2012)  yang  mengarah  pada  pencarian  elemen diskursif dalam literatur, tetapi juga mempertimbangkan konteks dan kedudukan epistemologis di balik literatur.
Ketiga, informasi ini kemudian disintesis untuk menyoroti konvergensi, divergensi, dan untuk menunjukkan area di mana terdapat kesenjangan teoritis yang perlu diisi oleh model apa pun yang dapat mewakili  aspek  sentral  penalaran.  Dikarenakan  tujuannya  adalah  untuk  memberikan  potret  aspek sentral dari penalaran matematika, maka peneliti menghentikan proses ketika tidak ada informasi baru yang  muncul.  Setiap  elemen  yang  muncul  baik  secara  eksplisit  maupun  implisit  terkait  dengan penalaran  matematika  mengharuskan,  peneliti  merumuskan  kembali  dengan  kata-kata  yang mencerminkan pendekatan diskursif untuk penalaran matematika. Dari perspektif ini, konsep teoritis penalaran  matematika  yang  dihasilkan  dirancang  untuk  memungkinkan  pemahaman  penalaran matematika yang lebih baik dan lebih lengkap dalam konteks matematika disetiap jenjang pendidikan, serta  alat  untuk  meningkatkan  komunikasi.  Selain  itu,  konsep  ini  bertujuan  untuk  menumbuhkan
refleksi  tentang  penalaran  matematika  di  antara  para  peneliti  dan  guru,  mereka  yang  dengan tindakannya, dapat mempengaruhi pembelajaran siswa secara langsung atau tidak langsung. Wacana menjadi andalan guru untuk menilai apakah penalaran matematika terjadi di kelas. Berikut ini bagan alur review jurnal.

## HASIL DAN DISKUSI
Empat  elemen  utama  muncul  dari  analisis  literatur  pendidikan  matematika,  yang  membantu untuk  memperjelas  kekaburan  konseptual  penalaran  matematika  adalah:  dikotomi  aktivitas/produk, sifat  inferensial  penalaran  matematika,  tujuan  dan  fungsi  penalaran  matematika,  dan  apa  yang  kita maksud  sebagai  aspek  struktural  dan  proses.  Dikotomi  aktivitas/produk  berkaitan  dengan  aktivitas penalaran  yang  dianggap  tidak  dapat  diakses  dan  produk  tersebut  hanyalah  petunjuk  yang  tidak sempurna (Stylianides, 2008). Sifat inferensial penalaran matematika ditekankan oleh banyak penulis yang menunjuk pada ide-ide baru yang dihasilkan dari suatu aktivitas penarikkan kesimpulan. Namun, sifat sebenarnya dari kebaruan ini masih harus diklarifikasi. Unsur tujuan dan fungsi penalaran juga menimbulkan  pertanyaan,  seperti  apakah  tujuan  penalaran  terbatas  pada  pembuktian?  (De  Villiers, 1999)  atau  apakah  fungsi  dari  semua  proses  penalaran  matematika  adalah  untuk  mengubah  nilai epistemik  sebuah  naratif  (Duval,  1995).  Akhirnya,  penalaran  matematika  secara  tradisional didefinisikan dalam istilah struktur, yaitu bentuk dimana alasan itu diungkapkan, apakah itu deduktif, induktif  atau  abduktif.  Disisi  lain,  perspektif  proses  yang  dianut  oleh  pihak  lain  cenderung  tidak didefinisikan atau dieksplorasi secara epistemologi.
Artikulasi  keempat  elemen  ini,  digabungkan  dalam  perspektif    kognitif  yang  mengarah  pada definisi penalaran matematika sebagai proses komunikasi dengan orang lain atau dengan diri sendiri yang memungkinkan untuk menyimpulkan pernyataan matematika dari pernyataan matematika lainnya.
1000 jurnal ditemukan lewat software publish or perish 7 sesuai kata kunci
256 jurnal dilakukan pemeriksaan
87 jurnal full teks dilakukan asesmen
kelayakan
25 jurnal full teks dilakukan review
Informasi dari hasil penganalisaan disintesis
Gambar 1. Bagan Alur Review Jurnal
Jadi elemen utama kedua ditangkap dalam definisi ini, yaitu sifat inferensial penalaran matematika yaitu elemen yang akan terlihat memainkan peran kunci, baik dalam aspek struktural dan proses penalaran matematika.  Selain  itu,  dari  analisis  literatur  dapat  dikatakan  bahwa  penalaran  matematika mengembangkan wacana dengan ekstensi (ekspansi diskursif endogen, dalam terminologi Sfard, 2008), yaitu  tidak  ada  perubahan  dalam  aturan  meta-diskursif;  tidak  ada  objek  matematika  baru  dalam pengertian  kognitif.  Kebaruan  terletak  di  dalam  ucapan  tingkat  objek  itu  sendiri.  Definisi  ini  juga memungkinkan  kita  untuk  menghindari  unsur  pertama,  yaitu  dikotomi  aktivitas  /produk,  di  mana wacana  dalam  kerangka  dipandang  sebagai  aktivitas  dan  produk.  Setiap  tindakan  komunikasi menghadirkan  aspek  aktivitas  dan  produk,  yang  diperoleh  masing-masing  dari  proses  dan  aspek struktural penalaran matematika.
Seperti  yang  akan  terlihat,  aspek  ganda  yang  terkait  dengan  elemen  struktural  dan  proses memungkinkan untuk menyempurnakan definisi dan mengintegrasikan berbagai fungsi (elemen ketiga) penalaran matematika.  Dengan  demikian,  elemen struktural dan  proses,  dalam hubungannya  dengan aktivitas  diskursif  dari  kerangka  kerja  kognitif  yang  mendasarinya,  akan  terlihat  untuk  menangkap keempat elemen penalaran matematika yang muncul dari literatur. Kedua aspek ini dielaborasi pada bagian berikutnya, dengan sedikit ruang yang dikhususkan untuk struktural karena telah dieksplorasi secara relatif baik dari perspektif epistemologis dalam literatur pendidikan matematika. Penting untuk ditekankan bahwa aspek struktural dan proses penalaran matematika mewakili dua cara berbeda dalam memandang wacana tertentu. Kedua aspek tersebut hadir dan terkait secara dialektis: struktur adalah bagian  dari  aspek  proses  penalaran  matematika  dan  proses  berkontribusi  pada  konstruksi  struktur tersebut.

## Aspek Struktural Dari Penalaran Matematis
Aspek struktural penalaran matematika secara umum mengacu pada aspek yang lebih statis yang terkait  dengan  bentuk  penalaran  matematika  yang  diberikan.  Lebih  khusus  lagi,  aspek  struktural mengacu  pada  cara  elemen-elemen  diskursif  bergabung  dalam  sebuah  sistem  yang  teratur  yang menggambarkan elemen-elemen tersebut dan hubungannya satu sama lain. Bentuk yang lebih banyak dikutip adalah deduksi, induksi, dan abduktif. Artikel Toulmin (2003) dan Peirce (2016) merupakan referensi  yang  lebih  banyak  digunakan  untuk  membahas  aspek  struktural  dalam  literatur.  Model Toulmin  menyusun  skema  elemen  dasar  (data,  klaim,  jaminan)  bersama  dengan  kualifikasi  (terkait dengan  nilai  epistemik),  dukungan  (untuk  lebih  mendukung  jaminan),  dan  sanggahan  (untuk mendahului kemungkinan argumen kontra untuk klaim tersebut). Semua elemen itu bersifat naratif dan berfungsi untuk menyusun wacana matematika. Model Peirce melibatkan tiga model dasar, yaitu model inferensi: deduktif, induktif, dan abduktif. Setiap langkah terdiri minimal dari data, klaim, dan jaminan (untuk menggunakan terminologi yang sama di kedua model). Deduktif, induktif, dan abduktif masing- masing menyimpulkan kesimpulan yang berbeda.

## Langkah Deduktif
Bagi beberapa penulis penalaran deduktif identik dengan penalaran matematika. Duval (1995), menjelaskan  penalaran  deduktif  sebagai  satu-satunya  bentuk  penalaran  yang  dapat  mengubah  nilai epistemik pengetahuan matematika dari sesuatu yang mungkin menjadi benar. Sebagai aspek struktural, langkah deduktif menyimpulkan klaim dari data dan jaminan. Sifat kualifikasi yang dilampirkan pada klaim (yang merupakan kesimpulan untuk langkah deduktif) bergantung pada nilai epistemik data dan jaminan.  Bentuk  penalaran  deduktif  memainkan  peran  penting  dalam  proses  pembuktian  dan pembuktian formal, yang keduanya memerlukan restrukturisasi deduktif (lihat Bagian 2.b).

## Langkah Induktif
Penalaran  induktif  adalah  langkah  paling  umum  kedua  dalam  literatur  yang  terkait  dengan penalaran matematika. Ini didefinisikan secara tidak konsisten, karena mengacu pada setiap alasan yang tidak deduktif (Reid & Knipping, 2010). Dalam artikel ini, langkah induktif menyimpulkan jaminan dari data dan klaim tentang data. Nilai epistemik yang diperbolehkan sehubungan dengan kesimpulan dari  langkah  induktif  adalah  terkait  probabilitas/kemungkinan.  Penalaran  induktif  dengan  proses generalisasi yang akan segera dijelaskan (Rivera, 2008) di mana proses ini dapat menjadi terstruktur secara induktif.

## Langkah Abduktif
Peneliti  yang  tertarik  dengan  studi  tentang  aktivitas  eksplorasi,  seperti  Reid  (2003), memperkenalkan langkah abduktif. Ini adalah struktur yang kurang dibahas serta terkadang bercampur dengan  langkah  induktif  (Rivera,  2008).  Menurut  Eco  (Reid,  2003),  langkah  abduktif  dapat  terjadi dalam  dua  bentuk.  Yang  pertama  menyimpulkan  data  dari  klaim  dan  jaminan.  Yang  kedua menyimpulkan  data  dan  jaminan  dari  klaim.  Untuk    Peirce  (2016), langkah  abduktif  menyimpulkan elemen-elemen  yang  dapat  menjelaskan  klaim  tersebut.  Struktur  penalaran  abduktif  dapat  menjadi elemen  dari  setiap  proses  penalaran  matematika  dengan  menghasilkan  data  dan  jaminan  dalam pencarian  persamaan  dan  perbedaan  seperti  dalam  generalisasi,  dugaan,  dan  juga  memvalidasi (Pedemonte & Reid, 2011).

## Kesimpulan Pada Aspek Struktural Penalaran Matematika
Dari sudut pandang kognitif, aspek struktural merupakan aturan konstruksi wacana matematika serta  komponennya  yang  beragam.  Ini  gambaran  dari  sifat  pengambilan  kesimpulan  dan  nilai epistemiknya.  Menurut  Peirce (2016), validitas  penalaran  tidak  hanya  dinilai  dari strukturnya, tetapi dari nilai epistemik yang melekat pada kesimpulan, sehingga memberikan status khusus pada langkah deduktif.  Hal  ini  berlawanan  dengan  definisi standar validitas  logis di mana  argumen  valid jika  dan hanya jika mengambil bentuk yang membuat premis tidak mungkin menjadi benar dan kesimpulannya tetap  salah;  tidak  diperlukan  validitas  Argumen  yang  memiliki  premis  benar.  Meta-aturan  yang mengontrol wacana matematika (dalam komunitas matematika) menuntut wacana penalaran akhirnya terstruktur  ke  dalam  langkah  deduktif.  Ini  adalah  struktur  unik  yang  memungkinkan  berteori  dalam wacana matematika.
Sekalipun  diperlukan  konsep  penalaran  matematika  untuk  pembelajaran  matematika,  namun  aspek struktural  belum  cukup  untuk  sepenuhnya  memahami  sifat  penalaran  matematika.  Meskipun mengedepankan,  secara  statis  elemen  naratif,  relasi,  dan  nilai  epistemik  yang  membentuk  penalaran matematika, ia  mengabaikan  sifat  temporalitas  dan  aksiologis  penalaran matematis  yang merupakan pusat aktivitas penalaran. Oleh karena itu, aspek proses akan mengisi celah tersebut.

## Aspek Proses Penalaran Matematis
Beberapa kata kerja yang terkait dengan penalaran matematika dalam literatur merupakan kata kerja  yang  mengedepankan  sifat temporal  penalaran matematika.  Namun,  hanya  sedikit  artikel  yang menjelaskan penalaran matematika sebagai suatu proses. Dari perspektif kognitif yang diadopsi di sini, definisi  aspek  proses  penalaran  matematika  sebagai  berikut:  “Proses  penalaran  matematika  adalah proses  kognitif  yang  bersifat  meta-diskursif,  yaitu  memperoleh  narasi  tentang  objek  atau  hubungan dengan menjelajahi hubungan antar objek.”
Dari beberapa proses penalaran matematika yang tumpang tindih yang ditemukan dalam literatur, ditemukan terdapat sembilan proses yang berbeda-beda. Delapan di antaranya diklasifikasikan ke dalam salah satu dari dua kategori: proses yang terkait dengan pencarian persamaan dan perbedaan, atau proses yang terkait dengan validasi. Kategori ini, yang mirip dengan yang dijelaskan oleh Stylianides (2008), setelah beberapa siklus umpan balik.

## Proses yang Berhubungan dengan Pencarian Persamaan dan Perbedaan
Lima  proses  berhubungan  dengan  pencarian  persamaan  dan  perbedaan  adalah  generalisasi, konjektur, mengidentifikasi pola, membandingkan, dan mengklasifikasi.
• Generalisasi. Menurut Stylianides (2008), penalaran matematika adalah tentang generalisasi dan sampai  pada  kesimpulan  yang  valid.  Ia  juga  berpendapat  generalisasi  merupakan  transportasi relasi matematika dari himpunan yang diberikan ke himpunan baru yang himpunan aslinya adalah himpunan  bagian.  Lebih  lanjut  Stylianides  menyatakan,  proses  argumentasi  yang  melibatkan generalisasi  memungkinkan  untuk  diteruskan  ke  himpunan  yang  lebih  besar  dan  juga memberikan  alasan  untuk  mempercayai  narasi:  argumentasi  matematis  selalu  memiliki  tujuan untuk  mencari  kebenaran.  Aspek  inferensial  dan  perluasan  dari  generalisasi  dianggap  fitur utamanya,  sehingga  mengarah  ke  definisi  generalisasi  berikut:  “Generalisasi  adalah  sebuah proses yang menyimpulkan narasi tentang sekumpulan objek matematika.”
Dari  sudut  pandang  kognitif,  kita  dapat  menghubungkan  generalisasi  dengan  penalaran matematika karena prosesnya jelas terkait dengan inferensi dan wacana, tanpa harus menciptakan wacana baru yang tidak dapat dibandingkan. Sebaliknya, abstraksi (Jeannotte & Kieran, 2017) menghasilkan pengembangan wacana meta-level dan karenanya tidak dianggap sebagai proses penalaran matematika dari perspektif kognitif.
• Konjektur.  Menurut  (Stylianides,  2008),  spekulasi  harus  mengarah  pada  konjektur  yang beralasan.  Konjektur/Dugaan  tersebut  sebagai  naratif  yang  kemudian  dikaitkan  dengan  nilai epistemik, mungkin atau memungkinkan. Proses penalaran matematika lainnya dengan demikian
diperlukan  untuk  menentukan  apakah  dugaan  tersebut  benar  atau  salah.  Stylianides  juga mengatakan  bahwa,  spekulasi  mengarah  pada  ucapan  yang  menggeneralisasi  kasus  yang dihasilkan, yaitu memperluas domain aplikasinya. Mason et al (2010) mendeskripsikan dugaan sebagai  proses  siklus  yang  melibatkan:  i)  mengucapkan  dengan  jelas  sebuah  dugaan,  ii) memverifikasi  bahwa  dugaan  tersebut  mencakup  semua  kasus  dan  contoh  yang  diketahui,  iii) waspada terhadap dugaan dengan mencoba membantahnya, dan iv) mencari tahu mengapa itu benar atau memodifikasinya (yang membawa kita kembali ke i). Elemen terkait yang ditarik dari literatur adalah hubungan antara konjektur dan teorema. Stylianides (2008) menyatakan bahwa argumentasi terkait dengan konjektur dan pembuktian formal dikaitkan dengan teorema.
Dengan  demikian, beberapa  elemen  dipertahankan  untuk membangun  definisi dugaan sebagai proses  penalaran  matematika.  Pertama,  elemen  sentral  adalah  pencarian  keteraturan  dan pencarian beberapa relasi. Faktanya, pencarian persamaan dan perbedaanlah yang muncul dari analisis. Pencarian ini memungkinkan untuk membangun relasi di sekitar objek atau relasi lain yaitu  di  sekitar  fenomena  matematika.  Kedua,  dugaan  yang  mengarah  pada  narasi  dengan kemungkinan atau kemungkinan besar sebagai nilai epistemiknya. Di mana ada ketidakpastian tentang narasi yang dibangun. Ketiga, berspekulasi dapat mengarah pada wacana umum ketika memperluas hubungan yang diamati ke himpunan yang lebih besar. Yang membedakan dugaan dari  generalisasi  adalah  bahwa  ia  memiliki  nilai  epistemik  yang  melekat  padanya.  Dengan demikian,  dugaan  dapat  didefinisikan  sebagai  berikut:  “Dugaan  adalah  proses  penalaran matematika dengan mencari persamaan dan perbedaan, menyimpulkan narasi tentang beberapa keteraturan  dengan  nilai  epistemik  yang  mungkin  dan  yang  memiliki  potensi  untuk  teori matematika”. Dari sudut pandang kognitif, menduga mengarah pada perluasan wacana dengan membangun narasi yang mungkin, berdasarkan pencarian persamaan dan perbedaan.
• Mengidentifikasi  pola.  Apakah  mengidentifikasi  pola  berbeda  dari  proses  dugaan?  Misalnya, apakah  ada  kemungkinan  nilai  epistemik  melekat  pada  pengidentifikasian  pola?  Menurut Stylianides  (2008),  mengidentifikasi  pola  dapat mengarah pada dugaan, tetapi keduanya  tidak dapat disamakan. Untuk Cañadas et al (2007), tahap ketiga dari dugaan (yaitu, induksi empiris dari sejumlah kasus diskrit yang terbatas) adalah pencarian dan prediksi keteraturan dalam pola, yang  jelas  terkait  dengan  mengidentifikasi  pola.  Mengidentifikasi  pola,  menurut  Stylianides (2008), lebih dari sekadar mengamati pola. Ada pencarian aktif, dan kemudian mengambil jarak dari  fenomena  tersebut,  yang  diperlukan  untuk  penalaran  matematika.  Selanjutnya,  untuk generalisasi  tidak  ada  nilai  epistemik  tertentu  yang  terkait  dengan  narasi  yang  disimpulkan. Dengan demikian dapat disimpulkan mengidentifikasi pola sebagai berikut: “Mengidentifikasi pola  adalah  Proses  penalaran  matematika  yang  dengan  mencari  persamaan  dan  perbedaan, menyimpulkan narasi tentang hubungan rekursif antara objek atau hubungan matematika”. Dari sudut  pandang  kognitif,  mengidentifikasi  pola  berbeda  dari  dugaan  dan  generalisasi  karena
dimungkinkan untuk mengidentifikasi pola yang dapat diterapkan pada himpunan tertentu tanpa mengembangkannya ke himpunan yang lebih besar.
• Membandingkan.  Istilah  membandingkan  dihubungkan  oleh  berbagai  peneliti  dengan  elemen tertentu  dari  penalaran  matematika,  seperti  penalaran  induktif  (Simon,  1996)  dan  penalaran deduktif (Duval, 1995). Stylianides (2008) menghubungkan membandingkan dengan contoh dan dugaan. Baginya, penalaran matematika pada suatu saat harus melibatkan perbandingan contoh- contoh agar bisa berspekulasi. Elemen kunci di sini adalah sifat inferensial dari perbandingan, yang didefinisikan sebagai berikut: “Membandingkan adalah proses penalaran matematika yang menyimpulkan, dengan mencari persamaan dan perbedaan, narasi tentang objek atau hubungan matematika”.  Pembandingan  dapat  terjadi  bersamaan  dengan  kebanyakan  proses  penalaran matematika  lainnya:  menggeneralisasi,  mengidentifikasi  pola,  memvalidasi.  Misalnya, mengidentifikasi  pola  memerlukan  perbandingan  kasus  atau  contoh  untuk  menyoroti  pola tersebut.  Namun,  mengidentifikasi  pola  lebih  dari  sekadar  membandingkan  karena membandingkan hanya menyimpulkan narasi tentang persamaan dan perbedaan.
• Klasifikasi.  Klasifikasi  dikaitkan  dengan  penalaran  matematika.  Menurut  Mason  (2001), klasifikasi  tidak  hanya  tentang  membuat  perbedaan  dan  mendeskripsikan  sifat,  tetapi  tentang membenarkan dugaan bahwa semua objek yang mungkin dengan sifat tersebut telah dijelaskan atau  diterima.  Mason  (2001)  menyoroti  aturan  meta-diskursif  di  mana  pengklasifikasian bergantung:  sifat  dan  definisi  matematika  yang  digunakan  untuk  mengklasifikasikan  objek. Proses  pengklasifikasian  didefinisikan  sebagai  berikut:  Klasifikasi  adalah  proses  penalaran matematika  yang  menyimpulkan,  dengan  pencarian  persamaan  dan  perbedaan  antara  objek matematika,  sebuah  narasi  tentang  kelas  objek  berdasarkan  sifat  dan  definisi  matematika. Pengklasifikasian adalah proses penting yang memungkinkan pengembangan level objek dengan menyatukan  atau  memisahkan  objek  diskursif  yang  berbeda,  sehingga  menata  wacana. Pengelompokan dapat dikaitkan dengan membandingkan, menduga, dan menggeneralisasi.

## Proses yang terkait dengan validasi
Untuk rangkaian proses kedua, digambarkan oleh Duval (1995), Lithner (2006), dan Cañadas et al  (2007),  istilah  validasi  terkait  dengan  nilai  epistemik  yang  dapat  diambil  dalam  narasi  tertentu (misalnya, mungkin benar, mungkin salah) dan bergantung pada komunitas wacana matematika di mana ia muncul. Tidak seperti Duval (1995), dari sudut pandang diskursif tidak ada perbedaan antara nilai epistemik dan nilai kebenaran. Nilai epistemik suatu ucapan tidak hanya bergantung pada validitas logis dari  strukturnya  tetapi  juga  pada  wacana  bersama  (aturan  dan  narasi  yang  diterima)  dari  komunitas tertentu. Nilai epistemik ini, dipandang sebagai salah satu aspek struktural, yang mana sangat penting dalam matematika untuk diskursus sistematis dan berteori. Tiga proses di bawah ini, yang terkait dengan validasi, didefinisikan secara inklusif sebagai berikut “Validasi adalah Proses penalaran matematika
yang  bertujuan  untuk  mengubah  nilai  epistemik  (yaitu,  kemungkinan  atau  kebenaran)  dari  narasi matematika”.
Berlawanan  dengan  dugaan  yang  menyimpulkan  narasi  yang  mungkin  terjadi,  proses  validasi bertujuan untuk mengubah nilai epistemik naratif dengan satu atau lebih cara. Perubahan ini bisa dari kemungkinan salah menjadi benar, dari kemungkinan benar menjadi salah, atau bahkan dari cenderung menjadi lebih mungkin. Aturan meta-diskursif matematika membatasi kemungkinan perubahan nilai epistemik.  Sebagian  dari  definisi  validasi  inilah  yang  akan  membantu  kita  menyoroti  perbedaan kekhususan  dari  tiga  proses  terkait  validasi  yang  muncul  dari  analisis  literatur:  membenarkan, membuktikan,  dan  membuktikan  secara  formal.  Untuk  ketiga  definisi  tersebut,  kata  mencari  telah dimasukkan untuk menekankan sifat proses dari aktivitas. Ini melibatkan pencarian informasi diskursif (data, jaminan, dukungan), yang memungkinkan perubahan nilai epistemik.
• Justifying.  Justifying/pembenarkan  dipandang  oleh  Yackel  &  Hanna  (2003)  sebagai  proses sosial,  yaitu  lebih  dari  satu  individu  dapat  terlibat  dan  proses  tersebut  didasarkan  pada pengetahuan umum. Demikian pula, Duval (1995) dan Stylianides (2008) berpendapat proses ini terkait  dengan  perubahan  nilai  epistemik  sebuah  narasi  dengan  mencari  data,  jaminan,  atau dukungan untuk mendukung perubahan ini. Namun, dalam literatur yang dibahas adalah bagian dari kemungkinan menjadi benar. Namun demikian, proses pembenaran dikaitkan dengan dua jenis bagian epistemik. Yang pertama terkait dengan pembenaran sebuah dugaan yang muncul dari  proses  dugaan.  Bagian  ini  memungkinkan  untuk  mengubah  nilai  epistemik  dari kemungkinan  menjadi  lebih  mungkin,  seperti  yang  ditekankan  oleh  Duval  (1995)  dalam pembahasannya  tentang  validasi  yang  masuk  akal.  Jenis  kedua  dari  bagian  epistemik  terkait dengan  validasi  yang  mengubah  nilai  epistemik  dari  kemungkinan  menjadi  benar  atau  salah, tanpa  dianggap  sebagai  proses  pembuktian.  Jadi,  pembenaran  didefinisikan  sebagai  berikut: “Pembenaran adalah proses penalaran matematika dengan mencari data, jaminan, dan dukungan, yang memungkinkan untuk mengubah nilai epistemik sebuah naratif”.
Perubahan  nilai  epistemik,  seperti  yang  baru  saja  disebutkan,  belum  tentu  dari  kemungkinan menjadi benar. Unsur-unsur yang mendukung proses tersebut dibatasi oleh aturan-aturan meta- diskursif  dalam  komunitas  tertentu.  Misalnya,  perubahan  dari  cenderung  menjadi  benar  harus didasarkan pada struktur deduktif. Di sisi lain, dalam mengubah dari cenderung menjadi lebih mungkin, beberapa meta-aturan membatasi proses, tetapi struktur deduktif tidak diperlukan.
• Proving. Literatur tentang proving/pembuktian dapat dibagi menjadi dua kelompok: artikel yang membahas  pembuktian  dan  artikel  yang  membahas  tentang  pembuktian  formal.  Bagian selanjutnya membahas pembuktian formal. Pembuktian didefiniskan seperti kasus pembenaran yaitu proses sosial. Menurut Stylianides (2008), pembuktian merupakan jenis penjelasan yang dapat  diterima  secara  umum.  Selain itu,  pembuktian  terkait  dengan  perubahan  nilai  epistemik sebuah naratif: pembuktian adalah proses yang digunakan oleh individu (atau komunitas) untuk menghilangkan keraguan tentang kebenaran suatu pernyataan (Harel & Sowder, 2007). Namun,
proses  pembuktian  lebih  dikaitkan  dengan  penalaran  deduktif  daripada  proses  pembenaran. Untuk Maher (2009), pembuktian adalah jenis khusus dari aktivitas matematika di mana anak- anak  berusaha  untuk  membenarkan  klaim  mereka  dengan  argumentasi  deduktif.  Jadi,  dapat disimpulkan  proses  pembuktian  sebagai  berikut:  “Pembuktian  adalah  proses  penalaran matematika  dengan  mencari  data,  jaminan,  dan  dukungan,  mengubah  nilai  epistemik  sebuah narasi dari kemungkinan menjadi benar”.
Menurut  Sfard (2008), proses ini dibatasi oleh:
− Narasi  yang  diterima  oleh  komunitas  kelas  yang  benar  (dari  sudut  pandang  ahli matematika) dan tersedia tanpa justifikasi tambahan;
− Restrukturisasi akhir yang bersifat deduktif;
− Realisasi yang sesuai dan diketahui atau dapat diakses oleh kelas
Dalam  matematika,  struktur  deduktif  dikaitkan  dengan  ketelitian.  Sementara  aturan  meta- diskursif wacana matematika menyatakan bahwa proses validasi harus direstrukturisasi dengan cara deduktif di beberapa titik, dapat ditekankan bahwa membuktikan sebagai suatu proses yang tidak harus terstruktur setiap saat. Gagasan teori yang digarisbawahi oleh Mariotti (2006) adalah bahwa pembuktian bergantung pada sekumpulan narasi yang diterima sebagai benar. Selain itu, dengan  menerima  realisasi  nonformal,  proses  pembuktian  dapat  dikembangkan  dari  sekolah dasar dan seterusnya. Pembuktian dibedakan dari pembenaran dalam potensinya untuk berteori. Hal ini juga lebih dibatasi dibandingkan pembenarkan, karena itu harus direstrukturisasi secara deduktif dan didasarkan pada serangkaian narasi yang diterima, yang koheren dengan wacana ahli matematika, sekalipun jika direalisasikan secara berbeda (informal).
• Pembuktian formal. Menurut Hanna & Jahnke (1996), bukti formal muncul sebagai tanggapan atas perhatian yang berkelanjutan untuk pembenaran di antara para ahli matematika. Pembuktian formal sangat terkait dengan perubahan nilai epistemik. Untuk Stylianides (2008), pembuktian formal dibatasi oleh struktur dan meta-aturan yang ketat. Arsac (1996)  menyoroti sifat sosial dari  meta-aturan  tersebut  dengan  teori  yang  dibawa  ke  latar  depan.  Pembuktian  formal  dapat dibedakan  dari  pembuktian  biasa  melalui  ketelitian  dan  formalismenya.  Sementara  proses pembuktian  didasarkan  pada  narasi  yang  benar  secara  matematis,  proses  pembuktian  formal berjalan lebih jauh di mana narasi harus diintegrasikan secara eksplisit ke dalam beberapa teori matematika.  Pembuktian  formal  dengan  demikian  didefinisikan  sebagai  berikut:  “Pembuktian formal  adalah  Proses  penalaran  matematika  dengan  mencari  data,  jaminan,  dan  dukungan, mengubah nilai epistemik sebuah narasi dari kemungkinan menjadi benar”.
Menurut  Sfard (2008), proses ini dibatasi oleh:
− Narasi  yang  diterima  oleh  komunitas  kelas  yang  benar  (dari  sudut  pandang  ahli matematika) dan disistematisasi dalam teori matematika.
− Restrukturisasi deduktif akhir.
− Realisasi yang diformalkan dan diterima oleh kelas dan komunitas matematika.
Berbeda  dengan  pembuktian,  pembuktian  formal  bergantung  pada  teori  matematika  yang  dibangun secara apriori dan pada realisasi formal (aksioma dan teorema). Akibatnya, contoh umum seperti yang dielaborasi  oleh  Stylianides  (2008),  dapat  diterima  dalam  proses  pembuktian  yang  dijelaskan sebelumnya, tetapi tidak dapat digunakan dalam pembuktian formal.

## Kesimpulan pada aspek proses penalaran matematika
Sekalipun  telah  diperlakukan  secara  terpisah,  semua  proses  penalaran  matematika  saling berkaitan.  Mereka  menstimulus  dan  mempengaruhi  satu  sama  lain,  dan  memungkinkan  untuk pengembangan wacana matematika yang semakin kompleks dengan generasi narasi baru pada objek diskursif yang sudah ada. Secara khusus, dugaan dan pembuktian memainkan peran penting dalam teori matematika.  Memang,  dugaan  menyimpulkan  narasi  yang  berpotensi  memperkaya  teori  matematika dan membuktikan kemungkinkan untuk mensistematisasikan wacana, dengan gagasan berteori. Bahkan jika  matematika  sekolah  tidak  diformalkan  dengan  cara  yang  sama  seperti  matematika  para matematikawan (sistematisasi wacana) dan agak lokal, namun tetap dapat melibatkan proses dugaan dan pembuktian. Terlihat juga misalnya, bagaimana keteladanan terkait erat baik dengan proses yang terkait dengan pencarian persamaan dan perbedaan dan dengan proses yang terkait dengan validasi.

## KESIMPULAN
Dua aspek utama untuk menangkap karakteristik sentral dari penalaran matematika adalah aspek struktural dan aspek proses. Aspek struktural dalam penalaran matematika secara umum mengacu pada aspek yang lebih statis yang terkait dengan bentuk penalaran matematika yang diberikan. Lebih khusus lagi,  aspek  struktural  mengacu  pada  cara  elemen-elemen  diskursif    bergabung  dalam  sebuah  sistem yang teratur  yang menggambarkan  elemen-elemen  tersebut  dan  hubungannya  satu  sama  lain.  Aspek struktural  penalaran  matematika  adalah  deduksi,  induksi  dan  abduktif.  Sedangkan,  aspek  proses penalaran matematika adalah  proses  kognitif yang bersifat meta-diskrufsif,  yaitu  memperoleh  narasi tentang  objek  atau  hubungan  dengan  menjelajahi  antar  objek.  Dari  beberapa  proses  penalaran matematika  yang  tumpang  tindih  yang  ditemukan  dalam  literatur,  sembilan  proses  berbeda  muncul. Delapan di antaranya diklasifikasikan ke dalam salah satu dari dua kategori: proses yang terkait dengan pencarian persamaan dan perbedaan, atau proses yang terkait dengan validasi.

## UCAPAN TERIMA KASIH
Diucapkan terima kasih kepada semua pihak yang telah membantu pelaksanaan penelitian ini terutama  kepada  dosen  pembimbing  yang  telah  memberikan  saran  dan  tambahan  dalam  penulisan artikel ini.

## REFERENSI
Arsac, G. (1996). Un cadre d’étude du raisonnement mathématique. Grenoble: IMAG.
Bernard, M., & Chotimah, S. (2018). Improve student mathematical reasoning ability with open-ended approach using VBA for powerpoint. AIP Conference Proceedings, 2014(September).
Cañadas,  M.  C.,  Deulofeu,  J.,  Figueiras,  L.,  Reid,  D.,  &  Yevdokimov,  O. (2007).  The  Conjecturing Process: Perspectives in Theory and Implications in Practice. Journal of Teaching and Learning, 5(1).
Creswell, J. W. (2003). Research Design: Qualitative, Quantitative, and Mixed methods approaches. In Sage Publication.
De  Villiers,  M.  (1999).  The  role  and  function  of  proof  with  Sketchpad.  Rethinking  Proof  with  the Geometer’s Sketchpad, 24, 17–24.
http://academic.sun.ac.za/education/mathematics/MALATI/Files/proof.pdf
Duval, R. (1995). Sémiosis et pensée humaine: registres sémiotiques et apprentissages intellectuels. In Berne: Peter Lang.
Grouws, D. A. (2006). Handbook of research on mathematics teaching and learning: A Project of the National Council of Teacher of Mathematics. Mathematics Teaching, 6179(619), 1-60.
Hanna,  G.,  &  Jahnke,  H.  N.  (1996).  Chapter  23 :  Proof  and  Proving.  Journal  for  Research  in Mathematics Education, 22, 390–408.
Harel, G. Sowder, L. (2007). Toward comprehensive perspectives on the learning and teaching of proof.
Second handbook of research on mathematics teaching and learning, 2, 805-842
Jeannotte,  D.,  &  Kieran,  C.  (2017).  A  conceptual  model  of  mathematical  reasoning  for  school mathematics. Educational Studies in Mathematics, 96(1), 1-16.
Lithner,  J.  (2006).  A  framework  for  analysing  creative  and  imitative  mathematical  reasoning.
Educational Studies in Mathematics, 67, 255–276.
Maher, C. A. (2009). Children’s reasoning: Discovering the idea of mathematical proof. In Teaching and Learning Proof Across the Grades: A K-16 Perspective (pp. 120–132). New York: Routledge.
Mariotti, M. A. (2006). Proof and proving in mathematics education. In Handbook of research on the psychology of mathematics education (pp. 173-204). Brill Sense
Mason, J, Burton, L., & Stacey, K. (2010). Thinking Mathematically Second Edition. Pearson Higher Ed.
Mason, John. (2001). Questions about Mathematical Reasoning and proof in Schools ( Opening Address To QCA Conference Oct 2001 ). Opening Address To QCA Conference UK, 1685, 1–11.
Meyer, M. (2010). Abduction-A logical view for investigating and initiating processes of discovering mathematical coherences. Educational Studies in Mathematics, 74(2), 185–205.
NCTM. (2000). Principles and standards for school mathematics. Reston,VA: NCTM, 1–22.
OCDE. (2006). Compétences en sciences , lecture et mathématiques. Le Cadre d’évaluation de PISA 2006. Paris: OCDE.
Pedemonte, B., & Reid, D. (2011). The role of abduction in proving processes. Educational Studies in Mathematics, 76(3), 281–303.
Peirce,  C.  S.  (2016).  Prolegomena  to  a  science  of  reasoning:  Phaneroscopy,  semeiotic,  logic..  Peter Lang.
Reid, D.A, Knipping, C. (2010). Proof in Mathematics Education. Research, Learning and Teaching. Sense Publishers, Rotterdam/Boston/Taipei, 10, 179–192.
Reid, D. A. (2003). Forms and uses of abduction. Proceedings of the 3th Conference of the European Society in Mathematics Education, 1–10.
Rivera,  F.  D.  (2008).  On  the  Pitfalls  of  Abduction:  Compolicities  and  Complexities  in  Patterning Activity. For the Learning of Mathematics, 28(1), 17–25.
Sfard,  A.  (2012).  Introduction:  Developing  mathematical  discourse-Some  insights  from communicational research. International Journal of Educational Research, 51–52, 1–9.
Sfard,  A.  (2008).  Thinking  as  communicating:  Human  development,  the  growth  of  discourses,  and mathematizing. Cambridge University Press
Simon, M. A. (1996). Beyond inductive and deductive reasoning: The search for a sense of knowing. Educational Studies in mathematics, 30(2), 197-210.
Stylianides,  G.  J.  (2008).  An  Analytic  Framework  Of  Reasoning-And-Proving.  For  the  Learning  of Mathematics, 28(1), 9-16.
Retrieved
December 9, 2020,
from http://www.jstor.org/stable/40248592
Shuttleworth,  M  (Sep  16,  2009).  What  is  a  Literature  Review?.  Retrieved  Des  04,  2020  from Explorable.com: https://explorable.com/what-is-a-literature-review
Toulmin,  S.  E.  (2003).  The  uses  of argument (Updated  edition,  first published in  1958).  Cambridge University Press.
Van  der  Maren,  J.-M.  (1996).  Méthodes  de  recherche  pour  l’éducation.  Méthodes  En  Sciences Humaines, 502.
Yackel,  E.,  &  Hanna,  G.  (2003).  Reasoning  and  proof.  A  Research  Companion  to  Principles  and Standards for School Mathematics, 227–236.