## EULER: Jurnal Ilmiah Matematika, Sains dan Teknologi
Journal Homepage: http://ejurnal.ung.ac.id/index.php/Euler DOI: https://doi.org/10.34312/euler.v11i1.20611 Juni 2023, Vol. 11, No. 1, pp. 154-165

## Analisis Dinamik pada Model Matematika SVEIBR dengan Kontrol Optimal Untuk Pengendalian Penyebaran Penyakit Kolera
Agusyarif Rezka Nuha 1 *, Resmawan 2 , Sri Lestari Mahmud 3 , Asriadi 4 , Andi Agung 5 , Sri Istiyarti Uswatun Chasanah 6
1,2,3,4 Program Studi Matematika, Universitas Negeri Gorontalo, Bone Bolango 96554, Indonesia
5 Program Studi Matematika, Universitas Pesantren Tinggi Darul ‘Ulum, Jombang 61481, Indonesia
6 Program Studi Matematika, UIN Sunan Kalijaga, Yogyakarta, 55281, Indonesia
*Penulis Korespondensi. Email: agusyarif@ung.ac.id

## Abstrak
Penyakit  kolera  merupakan  penyakit  menular yang  menyerang  sistem  pencernaan manusia  serta dapat  mengakibatkan  kematian.  Artikel  ini  membahas  hasil  penelitian  terkait model  matematika penyebaran penyakit kolera dalam bentuk sistem kontrol optimal dengan mengkombinasikan tiga strategi kontrol yaitu vaksinasi, karantina, dan sanitasi lingkungan. Prinsip maksimum Pontryagin diterapkan untuk mendapatkan kondisi syarat optimal berdasarkan strategi kontrol yang diterapkan. Mengacu pada syarat optimal yang ditetapkan, untuk menggambarkan hasil secara teoritis, model diselesaikan  secara  numerik  menggunakan  metode  Runge-Kutta  Orde  4.  Hasil  perhitungan menunjukkan bahwa penerapan ketiga strategi kontrol dalam mengendalikan penyebaran penyakit kolera memberikan dampak positif terhadap penurunan jumlah kasus infeksi sehingga penularan penyakit dapat dihentikan.
Kata Kunci: Karantina; Kontrol Optimal; Model SVEIBR; Sanitasi; Vaksinasi; Kolera

## Abstract
Cholera is an infectious disease that attacks the human digestive system and can cause death. This article discusses the research results related to the mathematical model of the spread of cholera in the  form  of  an  optimal  control  system  by  combining  three  control  strategies:  vaccination, quarantine,  and  environmental  sanitation.  Pontryagin's  maximum  principle  is  applied  to  obtain optimal conditions based on the control strategy applied. Referring to the optimal conditions set, the model was solved numerically using the Runge-Kutta Order 4 method to describe the theoretical results. The calculation results show that applying the three control strategies in controlling the spread  of  cholera  positively  impacts  reducing  the  number  of  cases  of  infection  so  that  disease transmission can be discontinued.
Keywords: Quarantine; Optimum Control; SVEIBR Model; Sanitation; Vaccination; Cholera

## 1. Pendahuluan
Kolera  termasuk  dalam  jenis  penyakit  menular  pada  manusia  yang  diakibatkan  oleh  infeksi bakteri Vibrio cholerae . Umumnya penyakit ini menular melalui konsumsi makanan atau minuman yang sudah terkontaminasi bakteri V. cholerae . Gejala yang timbul adalah sakit perut, muntah disertai diare akut sehingga mengakibtkan penderita kehilangan cairan tubuh dalam jumlah banyak. Dampak terburuk dari penyakit ini adalah kematian bagi penderita serta pencemaran lingkungan oleh bakteri yang berasal dari cairan tubuh penderita [1].
Penyakit  kolera  pertama  kali  muncul  di  India  pada  tahun  1817  dan  berkembang  menjadi pandemi hingga tahun 1923 [2]. Penyebaran penyakit kolera terus meluas hingga sampai ke wilayah Indonesia tepatnya di Surabaya pada tahun 1864 sampai dengan 1869 dan tahun 1918 sampai dengan 1920 [3]. Pada tahun 1961 pandemi kolera terjadi kembali untuk ke tujuh kalinya dengan kemunculan
pertama di wilayah Asia Selatan. Penyebaran penyakit terus terjadi hingga mencapai wilayah Afrika di tahun 1971 dan Amerika pada tahun 1991 [4]. Bahkan WHO melaporkan masih terjadi penyebaran wabah kolera mulai dari tahun 2017 sampai dengan tahun 2021 di Somalia [5]. Hal ini menunjukkan bahwa, dalam rentang waktu dua abad sejak kemunculannya, wabah kolera masih menjadi masalah dan tantangan kesehatan di berbagai belahan dunia.
Oleh karena itu, dibutuhkan perhatian khusus untuk menangani penyebaran penyakit ini. Salah satu  bidang  ilmu  yang  mempelajari  dan  menganalisis  karakteristik  penyebaran  penyakit  adalah pemodelan matematika. Model matematika penyebaran penyakit merupakan simplifikasi atau tiruan dari dinamika penyebaran virus maupun penyakit yang disusun dalam bentuk persamaan matematika [6].  Solusi  dari  model  tersebut  dapat  diinterpretasikan  kembali  kedalam  kejadian  nyata  untuk menjawab pertanyaan khusus  tentang kapan dan  bagaimana suatu  lingkungan akan terkena wabah penyakit.
Secara  umum,  model  matematika  pada  penyebaran  penyakit  membagi  kelompok  populasi manusia kedalam beberapa kelas subpopulasi. Diantaranya adalah model matematika tipe SIR yang membagi  populasi  manusia  kedalam  tiga  kelas  populasi  yaitu suspectible (rentan), invection (terinfeksi), dan recovery (sembuh). Setiap individu yang baru lahir akan dimasukkan kedalam kelas populasi rentan. Individu kelas populasi rentan akan berpindah kedalam kelas populasi terinfeksi jika berinteraksi  dengan  individu  terinfeksi.  Sebelum  itu,  diawal  waktu  diasumsikan  bahwa  terdapat sejumlah individu yang terinfeksi penyakit akibat adanya virus dalam tubuh. Individu terinfeksi dapat mengalami penyembuhan baik secara alami maupun karena adanya perlakuan khusus yang kemudian akan  dimasukkan  kedalam  kelas  populasi  sembuh.  Beberapa  penelitian  yang  membahas  model matematika tipe SIR dapat dilihat pada [7]–[10]. Sedangkan pengembangan model matematika tipe SIR yang secara khusus membahas penyebaran penyakit  kolera diantaranya dapat ditemukan pada [11]–[13].
Perumusan model matematika terus mengalami variasi atau perkembangan, diantaranya model matematika dengan adanya penambahan kelas populasi exposed (terpapar) pada kelompok populasi manusia,  yang  kemudian  dikenal  sebagai  model  matematika  tipe  SEIR.  Pada  dasarnya  konsep penyebaran  penyakit  dari  model  ini  hampir  sama  dengan  model  sebelumnya,  yang  membedakan adalah adanya periode laten atau masa inkubasi dalam proses terjadinya infeksi dimana inidividu pada periode tersebut dimasukkan kedalam kelas populasi terpapar. Masa inkubasi merupakan waktu yang diperlukan oleh virus menjadi berlipatganda sehingga muncul gejala penyakit pada inangnya  [14]. Periode inkubasi ini juga dialami oleh pengidap penyakit kolera dalam jangka waktu 1,4 hingga 4,4 hari setelah infeksi [15]. Walaupun sudah terpapar virus, individu kelas populasi terpapar belum dapat menularkan virus ke individu rentan. Jika masa inkubasi telah berakhir, individu pada kelas populasi terpapar  akan  dimasukkan  kedalam  kelas  individu  terinfeksi.  Konsep  atau  penggunaan  model  ini dapat ditemukan pada [16]–[18].
Model  matematika  yang  dibahas  pada  penelitian  ini  merupakan  model  matematika  yang sebelumnya telah dikaji oleh Nuha dan Resmawan [16]. Seluruh parameter yang digunakan dalam model [16] masih bernilai konstan, sehingga perlu dilakukan analisis atau kajian mendalam berupa kontrol optimal dengan menetapkan beberapa variabel kontrol pada model. Beberapa kajian terkait kontrol optimal pada model matematika dalam mengatasi masalah penyebaran penyakit terdapat pada [13], [19], [20]. Pada penelitian ini digunakan tiga variabel kontrol yang terdiri atas strategi vaksinasi, karantina,  dan  sanitasi  lingkungan.  Kontrol  optimal  merupakan  suatu  pendekatan  yang  dapat membantu  memberikan  solusi  untuk  memaksimumkan  atau  meminimumkan  fungsi  objektif berdasarkan perubahan nilai variabel kontrol [21]. Fungsi objektif digunakan untuk meminimumkan jumlah individu yang terinfeksi penyakit kolera. Untuk mencapai syarat optimum, digunakan prinsip maksimum Pontryagin [22] dan metode Runge-Kutta orde-4 [23] untuk mendapat solusi atau simulasi numerik.  Interpretasi  biologis  dalam  menggambarkan  dinamika  penyebaran  penyakit  kolera didasarkan pada hasil simulasi numerik.

## 2. Model Dengan Kontrol
Variabel yang digunakan dalam penelitian ini merepresentasikan kelas populasi manusia yang terdiri atas kelas populasi  rentan atau suspectible (S), tervaksin  atau vaccinated (V), terpapar atau exposed (E), terinfeksi atau infected (I), sembuh atau recovered (R), dan kelas populasi bakteri atau bacteria (B).
Adapun  parameter-parameter  model  merepresentasikan  pengaruh  atau  laju  terjadinya perpindahan antara kelas populasi yang satu dengan lainnya. Namun, tidak terjadi perpindahan kelas populasi dari manusia ke dalam kelas populasi bakteri. Setiap individu manusia yang baru lahir akan masuk  kedalam  kelas  populasi  rentan  dengan  laju  sebesar 𝐴 .  Proses  awal  penularan  penyakit diakibatkan terjadinya interaksi antara bakteri dengan individu rentan yang mengakibatkan terjadinya perpindahan individu pada kelas populasi rentan kedalam kelas populasi terpapar dengan laju sebesar 𝛽 .  Setelah  melewati  masa  inkubasi  akan  terjadi  perpindahan  individu  dari  kelas  populasi  terpapar kedalam kelas populasi terinfeksi dengan laju sebesar 𝜓 . Keberadaan individu atau manusia terinfeksi penyakit akan menambah jumlah bakteri di lingkungan dengan laju sebesar 𝜉 . Sebagian dari individu pada kelas populasi terinfeksi akan sembuh dari penyakit kolera dan masuk kedalam kelas populasi sembuh  dengan  laju  sebesar 𝛾 .  Selain  itu,  seluruh  individu  pada  setiap  kelas  populasi  manusia berpotensi akan mengalami kematian secara alami dengan laju sebesar 𝜇 . Khusus untuk individu pada kelas populasi terinfeksi, potensi kematian yang dialami akan lebih besar dibandingkan dengan kelas populasi lainnya dikarenakan adanya laju kematian akibat penyakit kolera sebesar 𝑑 . Sedangkan laju kematian populasi bakteri adalah sebesar 𝛿 .
Untuk menekan penyebaran penyakit dilakukan kontrol 𝑢 1 (𝑡) , 𝑢 2 (𝑡) , dan 𝑢 3 (𝑡) yang masing- masing merepresentasikan strategi vaksinasi, karantina, dan sanitasi lingkungan. Strategi vaksinasi akan  mengakibatkan  terjadinya  perpindahan  individu  pada  kelas  populasi  rentan  kedalam  kelas populasi tervaksin. Walaupun masih berpotensi tertular penyakit sebesar 𝜎𝛽 , potensi tersebut masih lebih  kecil  dibandingkan  dengan  potensi  penularan  terhadap  individu  pada  kelas  populasi  rentan. Selain itu, daya tahan tubuh akibat vaksinasi tidak bersifat permanen yang berarti bahwa selalu terjadi penurunan  daya  tahan  tubuh  pada  individu  kelas  populasi  tervaksin  sebesar 𝜂 .  Sedangkan  strategi karantina  bertujuan  untuk  menghambat  terjadinya  interaksi  antara  individu  kelas  populasi  rentan maupun  tervaksin  dengan  individu  kelas  populasi  bakteri.  Berikutnya  strategi  sanitasi  lingkungan dilakukan untuk mengurangi jumlah individu pada kelas populasi bakteri. Secara matematis, model dengan kontrol untuk penyebaran penyakit kolera disusun dalam bentuk sistem persamaan diferensial sebagai berikut:
𝑑𝑆 𝑑𝑡 = 𝐴 + 𝜂𝑉 − 𝑢 1 𝑆 − (1 − 𝑢 2 )𝛽𝑆𝐵 𝐾 + 𝐵 − 𝜇𝑆 𝑑𝑉 𝑑𝑡 = 𝑢 1 𝑆 − 𝜂𝑉 − (1 − 𝑢 2 )𝜎𝛽𝑉𝐵 𝐾 + 𝐵 − 𝜇𝑉 𝑑𝐸 𝑑𝑡 = (1 − 𝑢 2 )𝛽𝑆𝐵 𝐾 + 𝐵 + (1 − 𝑢 2 )𝜎𝛽𝑉𝐵 𝐾 + 𝐵 − 𝜓𝐸 − 𝜇𝐸                                                                        (1)
𝑑𝐼 𝑑𝑡 = 𝜓𝐸 − (𝜇 + 𝑑 + 𝛾)𝐼 𝑑𝐵 𝑑𝑡 = 𝜉𝐼 − (𝛿 + 𝑢 3 )𝐵 𝑑𝑅 𝑑𝑡 = 𝛾𝐼 − 𝜇𝑅

## 3. Hasil dan Pembahasan
Pada  pembahasan,  dituliskan  hasil-hasil  apa  saja  yang  diperoleh  dalam  penelitian.  Dibahas dengan uraian yang komprehensif namun ringkas dan padu.

## 3.1 Masalah Kontrol Optimal
Masalah  utama  yang  akan  diselesaikan  pada  model  dengan  kontrol  adalah  menentukan  nilai dari  variabel  kontrol 𝑢 1 (𝑡) , 𝑢 2 (𝑡) ,  dan 𝑢 3 (𝑡) agar  dapat  membawa  perubahan  nilai  variabel  dari kondisi awal (𝑆 0 , 𝑉 0 , 𝐸 0 , 𝐼 0 , 𝐵 0 , 𝑅 0 ) menuju kondisi akhir (𝑆(𝑡 𝑓 ), 𝑉(𝑡 𝑓 ), 𝐸(𝑡 𝑓 ), 𝐼(𝑡 𝑓 ), 𝐵(𝑡 𝑓 ), 𝑅(𝑡 𝑓 )) . Oleh  karena  itu,  dibutuhkan  fungsi  objektif  yang  memuat  ketiga  variabel  kontrol  untuk meminimumkan  jumlah  individu  pada  kelas  populasi  terpapar  dan  terinfeksi.  Secara  matematis, fungsi objektif dari kontrol optimum dinyatakan sebagai berikut:
𝐽 = ∫ (𝐴 1 𝐸(𝑡) + 𝐴 2 𝐼(𝑡) + 𝐵 1 2 𝑢 1 2 (𝑡) + 𝐵 2 2 𝑢 2 2 (𝑡) + 𝐵 3 2 𝑢 3 2 (𝑡)) 𝑡 𝑓 0 𝑑𝑡 (2)
dengan 𝐴 1 , dan 𝐴 2 masing-masing merepresentasikan bobot individu terpapar dan individu terinfeksi. Adapun  konstanta  positif 𝐵 1 , 𝐵 2 ,  dan 𝐵 3 masing-masing  merepresentasikan  parameter  bobot  dari variabel kontrol 𝑢 1 (𝑡) , 𝑢 2 (𝑡) , dan 𝑢 3 (𝑡) . Sedangkan 𝐵 1 2 𝑢 1 2 (𝑡) , 𝐵 2 2 𝑢 2 2 (𝑡) dan 𝐵 3 2 𝑢 3 2 (𝑡) masing-masing menyatakan  biaya  pelaksanaan  vaksinasi,  karantina,  dan  sanitasi  lingkungan.  Masalah  kontrol optimal yang akan diselesaikan adalah menemukan 𝑢 1 ∗ (𝑡) , 𝑢 2 ∗ (𝑡) , dan 𝑢 3 ∗ (𝑡) sehingga:
𝐽(𝑢 1 ∗ , 𝑢 2 ∗ , 𝑢 3 ∗ ) = min{(𝑢 1 , 𝑢 2 , 𝑢 3 ): 𝑢 1 , 𝑢 2 , 𝑢 3 ∈ Ω} (3)
dimana Ω = { 𝑢 𝑖 ∶ 0 ≤ 𝑢 𝑖 (𝑡) ≤ 1, terukur Lebesgue pada 𝑡 = [0, 𝑡 𝑓 ] untuk 𝑖 = 1,2,3 }.
Untuk memenuhi kontrol optimum perlu diturunkan beberapa kondisi yang dibentuk dari fungsi Hamilton  dengan  menerapkan  prinsip  maksimum  Pontryagin.  Fungsi  Hamilton 𝐻 didefinisikan berdasarkan persamaan (1) dan (2) sebagai berikut:
𝐻 = 𝐴 1 𝐸(𝑡) + 𝐴 2 𝐼(𝑡) + 𝐵 1 2 𝑢 1 2 (𝑡) + 𝐵 2 2 𝑢 2 2 (𝑡) + 𝐵 3 2 𝑢 3 2 (𝑡) + 𝜆 1 [𝐴 + 𝜂𝑉 − 𝑢 1 𝑆 − (1−𝑢 2 )𝛽𝑆𝐵 𝐾+𝐵 − 𝜇𝑆] +𝜆 2 [𝑢 1 𝑆 − 𝜂𝑉 − (1−𝑢 2 )𝜎𝛽𝑉𝐵 𝐾+𝐵 − 𝜇𝑉] + 𝜆 3 [ (1−𝑢 2 )𝛽𝑆𝐵 𝐾+𝐵 + (1−𝑢 2 )𝜎𝛽𝑉𝐵 𝐾+𝐵 − 𝜓𝐸 − 𝜇𝐸]
+𝜆 4 [𝜓𝐸 − (𝜇 + 𝑑 + 𝛾)𝐼] + 𝜆 5 [𝜉𝐼 − (𝛿 + 𝑢 3 )𝐵] + 𝜆 6 [𝛾𝐼 − 𝜇𝑅]
dimana 𝜆 1 , 𝜆 2 , 𝜆 3 , 𝜆 4 , 𝜆 5 , dan 𝜆 6 merupakan fungsi-fungsi adjoin.
Menurut  prinsip  maksimum  Pontryagin  [22],  jika 𝑢 1 , 𝑢 2 ,  dan 𝑢 3 mencapai  kondisi  optimal dengan waktu akhir 𝑡 𝑓 , maka terdapat pemetaan 𝜆: [0, 𝑇] → ℝ 6 , 𝜆(𝑡) = (𝜆 1 (𝑡), 𝜆 2 (𝑡), 𝜆 3 (𝑡), 𝜆 4 (𝑡), 𝜆 5 (𝑡), 𝜆 6 (𝑡)) sedemikian sehingga berlaku:

## (1) Persamaan State
𝑆̇(𝑡) = 𝜕𝐻 𝜕𝜆 1 , 𝑉̇(𝑡) = 𝜕𝐻 𝜕𝜆 2 , 𝐸̇(𝑡) = 𝜕𝐻 𝜕𝜆 3 , 𝐼̇(𝑡) = 𝜕𝐻 𝜕𝜆 4 , 𝐵̇(𝑡) = 𝜕𝐻 𝜕𝜆 5 , 𝑅̇(𝑡) = 𝜕𝐻 𝜕𝜆 6
(2) Persamaan costate
𝜆̇ 1 (𝑡) = − 𝜕𝐻 𝜕𝑆 = (𝑢 1 + 𝜇)𝜆 1 + 𝐵𝛽(1−𝑢 2 )𝜆 1 𝐾+𝐵 − 𝜆 2 𝑢 1 − 𝐵𝛽(1−𝑢 2 )𝜆 3 𝐵+𝐾 𝜆̇ 2 (𝑡) = − 𝜕𝐻 𝜕𝑉 = (𝜂 + 𝜇)𝜆 2 + 𝐵𝛽𝜎(1−𝑢 2 )𝜆 2 𝐾+𝐵 − 𝜆 1 𝜂 − 𝐵𝛽𝜎(1−𝑢 2 )𝜆 3 𝐾+𝐵
𝜆̇ 3 (𝑡) = − 𝜕𝐻 𝜕𝐸 = (𝜇 + 𝜓)𝜆 3 − 𝐴 1 − 𝜓𝜆 4 (4)
𝜆̇ 4 (𝑡) = − 𝜕𝐻 𝜕𝐼 = (𝛾 + 𝜇)𝜆 4 + 𝑑𝜆 4 − 𝐴 2 − 𝜉𝜆 5 − 𝛾𝜆 6 𝜆̇ 5 (𝑡) = − 𝜕𝐻 𝜕𝐵 = 1 (𝐾+𝐵) 2 (𝐵 2 (𝑢 3 + 𝛿)𝜆 5 + 2𝐵𝐾(𝑢 3 + 𝛿)𝜆 5 + 𝐾 (𝐾(𝑢 3 + 𝛿)𝜆 5 − (1 −
𝑢 2 )𝛽(𝜆 3 𝑆 − 𝜆 1 𝑆 + 𝑉𝜎(𝜆 3 − 𝜆 2 ))))
𝜆̇ 6 (𝑡) = − 𝜕𝐻 𝜕𝑅 = 𝜇𝜆 6
(3) Kondisi stasioner
𝜕𝐻 𝜕𝑢 1 = 𝜆 2 𝑆 + 𝐵 1 𝑢 1 − 𝜆 1 𝑆 = 0 𝜕𝐻 𝜕𝑢 2 = 𝐵𝐵 2 𝑢 2 + 𝐵 2 𝐾𝑢 2 + 𝐵𝛽(𝜆 1 𝑆 + 𝜆 2 𝜎𝑉 − 𝜆 3 (𝑆 + 𝜎𝑉)) 𝐾 + 𝐵 = 0 𝜕𝐻 𝜕𝑢 3 = 𝐵 3 𝑢 3 − 𝐵𝜆 5 = 0
Berdasarkan kondisi diatas diperoleh
𝑢 1 ̅̅̅ = (𝜆 1 − 𝜆 2 )𝑆 𝐵 1 , 𝑢 2 ̅̅̅ = 𝐵𝛽(−𝜆 1 𝑆 + 𝜆 3 𝑆 + (−𝜆 2 + 𝜆 3 )𝜎𝑉) 𝐵 2 (𝐾 + 𝐵) , 𝑢 3 ̅̅̅ = 𝐵𝜆 5 𝐵 3 ,
Dengan demikian diperoleh fungsi terbatas untuk setiap variabel kontrol yang dirumuskan sebagai berikut:
𝑢 1 ∗ (𝑡) = { 0 𝑢 1 ̅̅̅ ≤ 0 𝑢 1 ̅̅̅ 0 < 𝑢 1 ̅̅̅ < 𝑢 1 𝑚𝑎𝑥 𝑢 1 𝑚𝑎𝑥 𝑢 1 ̅̅̅ ≥ 𝑢 1 𝑚𝑎𝑥 , 𝑢 2 ∗ (𝑡) = { 0 𝑢 2 ̅̅̅ ≤ 0 𝑢 2 ̅̅̅ 0 < 𝑢 2 ̅̅̅ < 𝑢 2 𝑚𝑎𝑥 𝑢 2 𝑚𝑎𝑥 𝑢 2 ̅̅̅ ≥ 𝑢 2 𝑚𝑎𝑥 , 𝑢 3 ∗ (𝑡) = { 0 𝑢 3 ̅̅̅ ≤ 0 𝑢 3 ̅̅̅ 0 < 𝑢 3 ̅̅̅ < 𝑢 3 𝑚𝑎𝑥 𝑢 3 𝑚𝑎𝑥 𝑢 1 ̅̅̅ ≥ 𝑢 3 𝑚𝑎𝑥 .
Jadi, kontrol optimal dari masing-masing variabel 𝑢 1 ∗ (𝑡) , 𝑢 2 ∗ (𝑡) , dan 𝑢 3 ∗ (𝑡) dapat dinyatakan sebagai: 𝑢 1 ∗ (𝑡) = min (𝑢 1 𝑚𝑎𝑥 , max (0, (𝜆 1 −𝜆 2 )𝑆 𝐵 1 )) ,
𝑢 2 ∗ (𝑡) = min (𝑢 2 𝑚𝑎𝑥 , max (0, 𝐵𝛽(−𝜆 1 𝑆+𝜆 3 𝑆+(−𝜆 2 +𝜆 3 )𝜎𝑉) 𝐵 2 (𝐾+𝐵) )) ,
𝑢 3 ∗ (𝑡) = min (𝑢 3 𝑚𝑎𝑥 , max (0, 𝐵𝜆 5 𝐵 3 )) .
Mengingat 𝑆(𝑡 𝑓 ) , 𝑉(𝑡 𝑓 ) , 𝐸(𝑡 𝑓 ) , 𝐼(𝑡 𝑓 ) , 𝐵(𝑡 𝑓 ) , dan 𝑅(𝑡 𝑓 ) tidak ditentukan (bebas), maka perlu dipenuhi syarat transversalititas sebagai berikut:
𝜆 1 (𝑡 𝑓 ) = 𝜆 2 (𝑡 𝑓 ) = 𝜆 3 (𝑡 𝑓 ) = 𝜆 4 (𝑡 𝑓 ) = 𝜆 5 (𝑡 𝑓 ) = 𝜆 6 (𝑡 𝑓 ) = 0 .

## 3.2 Simulasi Numerik
Simulasi  numerik  dilakukan  untuk  mengamati  dinamika  atau  proses  penyebaran  penyakit kolera  menggunakan  metode  Runge-Kutta  orde-4  dengan  skema  maju-mundur.  Algoritma  dalam menentukan penyelesaian secara numerik dari masalah kontrol optimal adalah sebagai berikut:
1. Definisikan sistem persamaan (1) dan (4) masng-masing sebagai 𝐹(𝑥) dan 𝐺(𝑥) , dengan 𝑑𝑥 𝑑𝑡 = 𝐹(𝑥), dimana 𝑥(0) = 𝑥 0 dan 𝑥 = (𝑆, 𝑉, 𝐸, 𝐼, 𝐵, 𝑅),
𝑑𝜆 𝑑𝑡 = 𝐺(𝜆), dimana 𝜆(𝑡 𝑓 ) = 0 dan 𝜆 = (𝜆 1 , 𝜆 2 , 𝜆 3 , 𝜆 4 , 𝜆 5 , 𝜆 6 )
2. Definisikan nilai awal untuk persamaan state , nilai akhir untuk persamaan costate , dan nilai awal untuk variabel kontrol.
𝑆(0) = 𝑆 0 , 𝑉(0) = 𝑉 0 , 𝐸(0) = 𝐸 0 , 𝐼(0) = 𝐼 0 , 𝐵(0) = 𝐵 0 , 𝑅(0) = 𝑅 0 .
𝜆 1 (𝑡 𝑓 ) = 0 , 𝜆 2 (𝑡 𝑓 ) = 0 , 𝜆 3 (𝑡 𝑓 ) = 0 , 𝜆 4 (𝑡 𝑓 ) = 0 , 𝜆 5 (𝑡 𝑓 ) = 0 , 𝜆 6 (𝑡 𝑓 ) = 0 .
𝑢 1 (0) = 0 , 𝑢 2 (0) = 0 , 𝑢 3 (0) = 0 .
3. Menentukan solusi numerik dari persamaan state menggunakan skema maju sebanyak 𝑛 iterasi. Pada kondisi 𝑖 = 1,2,3, … , 𝑛 ,
ℎ = 𝑡 𝑓 − 𝑡 0 𝑛 𝑘 1 = 𝐹(𝑥(𝑖));
𝑘 2 = 𝐹 (𝑥(𝑖) + ℎ 2 𝑘 1 ) ; 𝑘 3 = 𝐹 (𝑥(𝑖) + ℎ 2 𝑘 2 ) ; 𝑘 4 = 𝐹(𝑥(𝑖) + ℎ𝑘 3 ) ;
𝑥(𝑖 + 1) = 𝑥(𝑖) + ℎ 6 (𝑘 1 + 2𝑘 2 + 2𝑘 3 + 𝑘 4 );
4. Menentukan  solusi  numerik  dari  persamaan costate menggunakan  skema  mundur  sebanyak 𝑛 iterasi.
Pada kondisi 𝑖 = 1,2,3, … , 𝑛 ,
𝑗 = 𝑛 + 2 − 𝑖 ,
ℎ = 𝑡 𝑓 − 𝑡 0 𝑛 ;
𝑚 1 = 𝐺(𝑝(𝑗 + 1)) ;
𝑚 2 = 𝐺 (𝑝(𝑗 + 1) + ℎ
2 𝑚 1 ) ; 𝑚 3 = 𝐺 (𝑝(𝑗 + 1) + ℎ 2 𝑚 2 ) ; 𝑚 4 = 𝐺(𝑝(𝑗 + 1) + ℎ𝑚 3 ) ;
𝑝(𝑗) = 𝑝(𝑗 + 1) − ℎ 6 (𝑚 1 + 𝑚 2 + 𝑚 3 + 𝑚 4 );
5. Hitung nilai variabel kontrol pada setiap kondisi 𝑖 = 1,2,3, . . 𝑛 ,
𝑢 1 (𝑖) = min (𝑢 1 𝑚𝑎𝑥 , max (0, (𝜆 1 − 𝜆 2 )𝑆 𝐵 1 )) ; 𝑢 2 (𝑖) = min (𝑢 2 𝑚𝑎𝑥 , max (0, 𝐵𝛽(−𝜆 1 𝑆 + 𝜆 3 𝑆 + (−𝜆 2 + 𝜆 3 )𝜎𝑉) 𝐵 2 (𝐾 + 𝐵) )) ; 𝑢 3 (𝑖) = min (𝑢 3 𝑚𝑎𝑥 , max (0, 𝐵𝜆 5 𝐵 3 )) ;
Adapun nilai awal yang digunakan dalam proses simulasi secara rinci dapat dilihat pada Tabel 1.
Tabel 1. Parameter Model Parameter Simbol Nilai Sumber Laju kelahiran alami 𝐴 0,1 /hari [13] Laju transmisi bakteri dari lingkungan ke manusia 𝛽 0,2143 /hari [13] Konsentrasi jenuh bakteri dalam air 𝐾 10/ hari [13] Laju penyusutan vaksin 𝜂 0,005 / hari [13] Laju kematian alami 𝜇 5,48 × 10 −5 / hari [13] Laju penurunan efektivitas vaksin 𝜎 10% [13] Laju inkubasi 𝜓 0,3 / hari [13] Laju penyembuhan 𝛾 0,004 / hari [13] Laju kematian karena penyakit 𝑑 0,015 / hari [13] Laju pencemaran lingkungan oleh manusia yang mengakibatkan kenaikan populasi bakteri
𝜉 100 sel/ml/hari [13] Laju kematian bakteri 𝛿 0,33 / hari [13]
Untuk nilai awal dari setiap kelas populasi adalah 𝑆(0) = 500 , 𝑉(0) = 90 , 𝐸(0) = 0 , 𝐼(0) = 50 , 𝐵(0) = 3.000 , dan 𝑅(0) = 0 . Skenario yang diterapkan dalam simulasi adalah sebagai berikut:
1. Dengan kontrol vaksinasi, karantina, dan sanitasi lingkungan ( 𝑢 1 ≠ 0 , 𝑢 2 ≠ 0 , dan 𝑢 3 ≠ 0 ), 2. Tanpa kontrol ( 𝑢 1 = 0 , 𝑢 2 = 0 , 𝑢 3 = 0 ),
3. Dengan kontrol vaksinasi ( 𝑢 1 ≠ 0 , 𝑢 2 = 0 , 𝑢 3 = 0 ),
4. Dengan kontrol karantina ( 𝑢 1 = 0 , 𝑢 2 ≠ 0 , 𝑢 3 = 0 ),
5. Dengan kontrol sanitasi lingkungan ( 𝑢 1 = 0 , 𝑢 2 = 0 , 𝑢 3 ≠ 0 ),
6. Dengan kontrol karantina dan sanitasi lingkungan ( 𝑢 1 = 0 , 𝑢 2 ≠ 0 , 𝑢 3 ≠ 0 ),
7. Dengan kontrol vaksinasi dan sanitasi lingkungan ( 𝑢 1 ≠ 0 , 𝑢 2 = 0 , 𝑢 3 ≠ 0 ),
8. Dengan kontrol vaksinasi dan karantina ( 𝑢 1 ≠ 0 , 𝑢 2 ≠ 0 , 𝑢 3 = 0 ).
Skenario dilakukan untuk mengetahu efektivitas dari setiap strategi, sekaligus menjadi acuan dalam menetapkan prioritas utama dari ketiga strategi jika terjadi keterbatasan biaya.
Gambar 1. Dinamika Individu Kelas Populasi Rentan dan Populasi Tervaksin
Berdasarkan  Gambar  1,  jumlah  individu  rentan  tanpa  kontrol  mengalami  penurunan  secara signifikan dari nilai awal yaitu sejumlah 143 orang pada waktu 600 hari. Jika diberi kontrol hanya vaksinasi  atau  kontrol  dengan  tiga  strategi  sekaligus,  jumlah  penurunan  akan  lebih  banyak  lagi masing-masing sejumlah 47 dan 78 orang. Berbeda dengan kondisi ketika kontrol yang diberlakukan tanpa vaksinasi, hanya karantina  atau sanitasi  lingkungan, jumlah individu  rentan akan meningkat secara  signifikan  dari  nilai  awal  masing-masing  sejumlah  602,  592,  dan  559  orang.    Hal  ini menujukkan  bahwa  strategi  vaksinasi  lebih  cepat  mengurangi  jumlah  individu  rentan  terhadap penyakit kolera dibandingkan dengan dua strategi lainnya.
Kondisi berbeda untuk individu tervaksin akan mengalami penurunan jika tidak diberi kontrol vaksinasi  hingga  mencapai  keadaan  tidak  terdapat  lagi  individu  pada  kelas  populasi  tervaksin sebagaimana yang terdapat pada Gambar 1. Sebaliknya jika diberi kontrol vaksinasi, jumlah individu tervaksin mengalami kenaikkan secara signifikan dari nilai awal yaitu sejumlah 512 orang pada waktu 600 hari. Jumlah individu  tervaksin  juga mengalami peningkatan hingga  mencapai  518 orang jika dilakukan kontrol dengan tiga strategi kontrol sekaligus. Selain itu jumlah individu tervaksin masih mengalami peningkatan dengan jumlah 522 orang jika diberlakukan strategi kontrol vaksinasi dan karantina  secara  bersamaan.  Hal  ini  menujukkan  bahwa  jika  program  vaksinasi  dihentikan,  maka akan  terjadi  penurunan  secara  signifikan  untuk  jumlah  individu  pada  kelas  populasi  tervaksin diakibatkan  adanya  penurunan  efektivitas  vaksin  disertai  interaksi  dengan  individu  terinfeksi  atau dikarenakan  terjadinya  penyusutan  (penurunan)  tingkat  kekebalan  tubuh  dari  individu  yang  sudah divaksin.
Gambar 2. Dinamika Individu Kelas Populasi Terpapar dan Populasi Terinfeksi
Adapun jumlah individu terpapar pada kondisi tanpa kontrol mengalami peningkatan dari nilai awal  hingga  mencapai  7  orang  dalam  rentang  waktu  100  hari,  namun  seiring  berjalannnya  waktu jumlahnya  semakin  menurun  secara  signifikan  menuju  ke  titik  0  seperti  yang  ditunjukkan  oleh Gambar 2. Berbeda jika diterapkan strategi kontrol vaksinasi, karantina, dan sanitasi lingkungan, baik secara  bersamaan  atau  menerapkan  salah  satu  maupun  dua  strategi  saja  dari  ketiganya,  jumlah individu terpapar hanya mencapai 1 orang hingga akhirnya menurun dan stabil pada kondisi tidak terdapat  lagi  individu  terpapar.  Selain  itu,  terlihat  bawha  dari  ketiga  strategi  kontrol,  yang  paling optimal dalam menurunkan jumlah individu terpapar adalah strategi karantina.
Kondisi serupa juga terjadi  pada jumlah individu  terinfeksi sebagaimana yang terdapat  pada Gambar  2. Jumlah individu terinfeksi  mengalami  peningkatan diawal  waktu hingga mencapai  108 orang  jika  tidak  diberi  kontrol.  Jika  diberi  kontrol  secara  bersamaan  atau  salah  satu  maupun  dua strategi dari ketiga strategi kontrol, jumlah individu terinfeksi mengalami penurunan secara signifikan dari nilai awal hingga akhirnya mencapai konditi tidak terdapat lagi penyakit kolera pada populasi manusia.  Hal  ini  menunjukkan  bahwa  strategi  kontrol  sangat  optimal  dalam  menurunkan  atau menghentikan  proses  penyebaran  penyakit  kolera.  Selain  itu,  kontrol  yang  menjadi  prioritas  dari ketiga  strategi  jika  terjadi  keterbatasan  biaya  dalam  mengatasi  penyebaran  penyakit  kolera  adalah strategi karantina.
Gambar 3. Dinamika Individu Kelas Populasi Bakteri dan Populasi Sembuh
Gambar 3 menunjukkan hasil perhitungan terhadap jumlah bakteri yang tersebar di lingkungan terus mengalami peningkatan dari nilai awal jika tidak diberi kontrol. Pada rentang waktu 100 sampai dengan  200  hari  banyak  bakteri  yang  tersebar  sejumlah  32.781.  Jika  diterapkan  kontrol  secara bersamaan  dari  ketiga  strategi  kontrol  jumlah  bakteri  yang  tersebar  maksimal  berjumlah  10.156. Adapun strategi kontrol yang paling efisien dalam menurunkan jumlah bakteri adalah strategi sanitasi lingkungan. Untuk jumlah individu sembuh yang tidak diberi kontrol akan mengalami peningkatan dari jumlah awal hingga mencapai 111 orang pada rentang waktu 600 hari. Jika diberi kontrol secara bersamaan dari ketiga strategi kontrol, jumlah individu sembuh hanya mencapai 17 orang. Hal ini disebabkan  seiring  berjalannya  waktu  jumlah  individu  terinfeksi  terus  mengalami  penurunanan sebagaimana yang terlihat pada Gambar 2.
Berdasarkan  Gambar  4,  kontrol  optimal  yang  mencapai  nilai  maksimum  pada  penelitian  ini adalah  strategi  kontrol  vaksinasi  dengan  nilai  sebesar  0,6  sejak  awal  periode.  Seiring  berjalannya waktu,  memasuki  hari  ke-302  sejak  dilakukannya  strategi  kontrol,  nilai  tersebut  terus  mengalami penurunan hingga mencapai titik 0 pada akhir periode. Sedangkan  dua strategi kontrol lainnya yaitu karantina dan sanitasi lingkungan, masing-masing sebesar 0,117 dan 0,19 sejak awal periode. Kedua nilai tersebut terus mengalami penurunan ketika memasuki hari ke-2 hingga akhirnya mencapai titik 0 pada akhir periode.  Dengan demikian langkah yang perlu dilakukan untuk  menghentikan proses penyebaran  penyakit  kolera  adalah  sebagai  berikut:  (1)  melakukan  vaksinasi  terhadap  60%  dari individu kelas populasi rentan, (2) melakukan karantina terhadap 11,7% dari individu kelas populasi terinfeksi, (3) melakukan sanitasi lingkungan untuk membasmi 19% dari jumlah bakteri yang tersebar di lingkungan.
Gambar 4. Dinamika Strategi Kontrol Vaksinasi, Karantina, dan Sanitasi Lingkungan

## 4. Kesimpulan
Model  dengan  strategi  kontrol  vaksinasi,  karantina,  dan  sanitasi  lingkungan  menunjukkan kefektifan dalam menurunkan jumlah kasus infeksi penyakit kolera, sehingga penyebaran penyakit dapat terkendali. Penerapan satu kontrol saja dari ketiga strategi kontrol sudah cukup dalam menekan jumlah kasus infeksi. Apabila terjadi keterbatasan biaya, maka kontrol yang menjadi prioritas utama dalam mengendalikan penyebaran penyakit adalah strategi kontrol karantina bagi individu terinfeksi.

## Referensi
[1] J. D. Clemens, G. B. Nair, T. Ahmed, F. Qadri, and J. Holmgren, “Cholera,” Lancet , vol. 390, no. 10101, pp. 1539–1549, 2017, doi: 10.1016/S0140-6736(17)30559-7.
[2] S.  Swaroop  and  R.  Pollitzer,  “Cholera  studies.  2.  World  incidence.,” Bull.  World  Health Organ. , vol. 12, no. 3, pp. 311–358, 1955.
[3] A. Muslimah, “Wabah Kolera Di Jawa Timur Tahun 1918-1927,” J. Pendidik. Sej. , vol. 4, no. 3, 2016, [Online]. Available: http://www.univmed.org/wp-
[4] World  Health  Organization,  “Cholera,”  2022.  https://www.who.int/news-room/fact- sheets/detail/cholera (accessed Jan. 12, 2023).
[5] World Health Organization, “Cholera,” 2022. http://www.emro.who.int/health-topics/cholera- outbreak/cholera-outbreaks.html (accessed Jan. 12, 2023).
[6] M. Z. Ndii, Pemodelan Matematika . Yogyakarta: Deepublish, 2018.
[7] S. P. Sari and E. Arfi, “Analisis Dinamik Model SIR Pada Kasus Penyebaran Penyakit Corona Virus  Disease-19  (COVID-19),” Indones.  J.  Appl.  Math. ,  vol.  1,  no.  2,  p.  61,  2021,  doi: 10.35472/indojam.v1i2.354.
[8] D.  Prodanov, Analytical  solutions  and  parameter  estimation  of  the  SIR  epidemic  model . Elsevier Inc., 2022. doi: 10.1016/B978-0-32-390504-6.00015-2.
[9] S. L. Khalaf and H. S. Flayyih, “Analysis, predicting, and controlling the COVID-19 pandemic in Iraq through SIR model,” Results Control Optim. , vol. 10, no. January, p. 100214, 2023,
doi: 10.1016/j.rico.2023.100214.
[10]  X. Wang, D. Gao, and J. Wang, “Influence of human behavior on cholera dynamics,” Math. Biosci. , vol. 267, pp. 41–52, 2015, doi: 10.1016/j.mbs.2015.06.009.
[11]  N.  S.  Abdul,  L.  Yahya,  R.  Resmawan,  and  A.  R.  Nuha,  “Dynamic  Analysis  of  The Mathematical Model Of The Spread Of Cholera With Vaccination Strategies,” BAREKENG J. Ilmu Mat. dan Terap. , vol. 16, no.  1, pp. 281–292, Mar. 2022, doi: 10.30598/barekengvol16iss1pp279-290.
[12]  N.  S.  Abdul,  L.  Yahya,  R.  Resmawan,  and  A.  R.  Nuha,  “Dynamic  Analysis  of  the Mathematical Model of the Spread of Cholera With Vaccination Strategies,” BAREKENG J. Ilmu Mat. dan Terap. , vol. 16, no. 1, pp. 281–292, 2022, doi: 10.30598/barekengvol16iss1pp279-290.
[13]  X.  Tian,  R.  Xu,  and  J.  Lin,  “Mathematical  Analysis  of  A  Cholera  Infection  Model  With Vaccination Strategy,” Appl. Math. Comput. , vol. 361, pp. 517–535, 2019, [Online]. Available: https://doi.org/10.1016/j.amc.2019.05.055
[14]  M.  M.  Wagner,  A.  W.  Moore,  and  R.  M.  Aryel,  “Case  Detection,  Outbreak  Detection,  and Outbreak  Characterization,”  in Handbook  of  Biosurveillance ,  California,  USA:  Elsevier Academic Press, 2005.
[15]  J. Deen, M. A. Mengel, and J. D. Clemens, “Epidemiology of cholera,” Vaccine , vol. 38, pp. A31–A40, 2020, doi: 10.1016/j.vaccine.2019.07.078.
[16]  A.  R.  Nuha  and  R.  Resmawan,  “Analisis  Model  Matematika  Penyebaran  Penyakit  Kolera Dengan Mempertimbangkan Masa Inkubasi,” J. Ilm. Mat. dan Terap. , vol. 17, no. 2, pp. 212– 229, 2020, doi: https://doi.org/10.22487/2540766X.2020.v17.i2.15200.
[17]  C. Sun and Y. H. Hsieh, “Global analysis of an SEIR model with varying population size and vaccination,” Appl.  Math.  Model. ,  vol.  34,  no.  10,  pp.  2685–2697,  2010,  doi: 10.1016/j.apm.2009.12.005.
[18]  A. T. Crooks and A. B. Hailegiorgis, “An agent-based modeling approach applied to the spread of  cholera,” Environ. Model. Softw. , vol. 62, pp. 164–177, 2014, doi: 10.1016/j.envsoft.2014.08.027.
[19]  A.  I.  Abioye et  al. ,  “Mathematical  model  of  COVID-19  in  Nigeria  with  optimal  control,” Results Phys. , vol. 28, p. 104598, Sep. 2021, doi: 10.1016/j.rinp.2021.104598.
[20]  Resmawan,  M.  Eka,  Nurwan,  and  N.  Achmad,  “Analisis  Kontrol  Optimal  Pada  Model Matematika  Penyebaran  Pengguna  Narkoba  Dengan  Faktor  Edukasi,” J.  Ilm.  Mat.  DAN Terap. , vol. 17, no. 2, pp. 238–248, Nov. 2020, doi: 10.22487/2540766X.2020.v17.i2.15201.
[21]  O. H. Lerma, L. R. L. Guarachi, S. M. Palacios, and D. G. Sánchez, An Introduction to Optimal Control  Theory:  The  Dynamic  Programming  Approach ,  vol.  AC-12,  no.  6.  Springer International Publishing, 2023. doi: 10.1109/TAC.1967.1098723.
[22]  N. U. Ahmed and S. Wang, Optimal Control of Dynamic Systems Driven by Vector Measures . Springer International Publishing, 2021. doi: 10.1007/978-3-030-82139-5.
[23]  W. Cheney and D. Kincaid, Numerical Mathematics and Comouting . Thomson Brooks/Cole, 2008.