Vol.12 No.1 (Juni 2018) Hal. 31-42

## INVERS DARI MATRIKS SIRKULAN SIMETRIS ATAS SKEW FIELD

## Azizah, Thresye, Nurul Huda
Program Studi Matematika Fakultas MIPA Universitas Lambung Mangkurat Jl. A. Yani Km. 36, Banjarbaru 70714, Kalimantan Selatan
Email : zye.azizah5@gmail.com

## ABSTRAK
Matriks adalah suatu susunan  bilangan-bilangan  atau  disebut  entri-entri yang disusun teratur  berdasarkan  baris dan kolom. Ada beberapa jenis matriks, diantaranya yaitu matriks simetris dan matriks sirkulan. Konsep dari suatu matriks sangat berguna dalam menyelesaikan beberapa permasalahan pada ilmu matematika. Salah satu masalah yang paling umum dalam matematika adalah menyelesaikan sistem persamaan linier. Penyelesaian permasalahan sistem persamaan linier dapat diselesaikan dengan menggunakan invers matriks. Setiap matriks yang nonsingular mempunyai invers. Begitu halnya dengan suatu matriks A sirkulan simetris juga mempunyai invers, yaitu matriks B , sehingga memenuhi sifat 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝐼𝐼 .  Invers dari suatu matriks bergantung pada determinan dari matriks tersebut. Sedangkan determinan suatu matriks bergantung pada entri-entri matriks tersebut. Karena entri-entri matriks A dan B merupakan elemen dari skew field maka belum tentu berlaku 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝐴𝐴𝐴𝐴 ,  sehingga jika 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝐼𝐼 maka belum tentu berlaku 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝐼𝐼 . Tujuan dari penelitian ini adalah menentukan invers dari matriks sirkulan simetris atas skew field . Metode yang digunakan bersifat studi literatur yang berkaitan dengan penelitian yang dilakukan. Hasil yang diperoleh adalah setiap matriks sirkulan simetris atas skew field memiliki invers sehingga berlaku 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝐼𝐼 .
Kata kunci: Skew field , matriks, invers matriks, matriks sirkulan simetris .

## ABSTRACT
A matrix is a collection of numbers that are often also called regularly arranged entries by rows and columns. There are several types of matrices, such as symmetric matrix and circulant matrix. The concept of a matrix is very useful in solving some problems in mathematics. One of the most common problems in mathematics is solving system of linear equations. Solution system of linear equations problems can be solved by using the inverse matrix. That each nonsingular matrix has an inverse. So is the case with a symmetric circulant matrix A also has an inverse, is a matrix B , so it fulfills the properties 𝐴𝐴 = 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝐼𝐼 . The inverse of a matrix depends on the determinant of the matrix. While the determinant of a matrix depends on the entries of the matrix. Because the matrix entries A and B is an element of skew fields then it is not necessarily applicable 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝐴𝐴𝐴𝐴 , so if 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝐼𝐼 then it is not necessarily applicable 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝐼𝐼 . The purpose of this study is to determine the inverse of symmetric circulant matrix on skew field . The method used is a literature study related to research conducted. The result is that each  symmetric circulant matrix on skew field has inverse so that 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝐼𝐼 .
Keywords: Skew field , matrix, inverse matrix, symmetric circulant matrix.

## 1. PENDAHULUAN
Matriks adalah suatu susunan bilangan-bilangan atau disebut entri-entri yang disusun teratur berdasarkan baris dan kolom sehingga berbentuk segi empat siku- siku  [7].  Konsep dari suatu matriks sangat berguna dalam menyelesaikan permasalahan pada ilmu matematika. Salah satu masalah yang paling umum dalam matematika adalah menyelesaikan sistem persamaan linier. Penyelesaian permasalahan  sistem persamaan linier  dapat diselesaikan dengan menggunakan invers matriks.
Vol.12 No.1 (Juni 2018) Hal. 30-41
Setiap matriks yang nonsingular mempunyai invers, sehingga memenuhi sifat 𝐴𝐴𝐴𝐴 −1 = 𝐴𝐴 −1 𝐴𝐴 = 𝐼𝐼 [5]. Begitu halnya dengan suatu matriks A sirkulan simetris jika nonsingular maka  juga mempunyai invers, yaitu matriks B .  Karena entri-entri dari matriks A dan B merupakan elemen dari skew field ,  belum tentu berlaku sifat komutatif perkalian 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝐴𝐴𝐴𝐴 ,  sehingga jika 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝐼𝐼 maka belum tentu berlaku 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝐼𝐼 .  Berdasarkan hal tersebut muncul permasalahan apakah setiap matriks  sirkulan simetris  atas skew field memiliki invers  sehingga berlaku = 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝐼𝐼 . Artikel ini mengkaji kembali tulisan Wang, J & Dong, C. 2007 [9].

## 2. TINJAUAN PUSTAKA
2.1 Ring dan Skew Field
Definisi 2.1.1 [4]
Suatu himpunan tak kosong R dengan operasi penjumlahan (+) dan pergandaan (.) disebut ring jika memenuhi sifat-sifat berikut:
i. 〈 𝑅𝑅 , + 〉 grup abelian Bersifat tertutup jika untuk setiap s,t ∈ R berlaku s + t ∈ R . Bersifat assosiatif jika untuk setiap s, t, u ∈ R berlaku (s + t) + u = s + (t + u). Terdapat elemen identitas, jika untuk setiap s ∈ R terdapat 0 ∈ R berlaku s + 0 = 0 + s = s. Terdapat elemen invers, jika untuk setiap s ∈ R terdapat − 𝑠𝑠 ∈ R berlaku s + ( − s) = ( − s) + s = 0.
Bersifat komutatif jika untuk setiap s, t ∈ R, berlaku s + t = t + s . ii. 〈 𝑅𝑅 , ∙ 〉 Bersifat tertutup jika untuk setiap s, t ∈ R berlaku st ∈ R . Bersifat assosiatif jika untuk setiap s, t, u ∈ R berlaku ( st )u = s( tu ). iii. 〈 𝑅𝑅 , + , ∙ 〉
Bersifat distributif kiri jika untuk setiap s, t, u ∈ R berlaku s ( t + u) = st + su. Bersifat distributif kanan jika untuk setiap s, t, u ∈ R berlaku (s + t) u = su + tu.
Definisi 2.1.2 [4] Misalkan 〈 𝑅𝑅 , + , ∙ 〉 ring dengan unsur satuan 1. Suatu R disebut skew field atau division ring jika setiap elemen tak nol di R mempunyai invers perkalian.

## 2.2 Sistem Persamaan Linier
Definisi 2.2.1 [1] Suatu garis yang terletak pada bidang 𝑝𝑝𝑝𝑝 dapat dinyatakan secara aljabar dalam suatu persamaan berbentuk:
𝑠𝑠 1 𝑝𝑝 + 𝑠𝑠 2 𝑝𝑝 = 𝑡𝑡
Persamaan seperti ini disebut persamaan linier dengan variabel p dan q. Secara umum persamaan linier didefinisikan dengan n variabel 𝑝𝑝 1 , 𝑝𝑝 2 , ⋯ , 𝑝𝑝 𝑛𝑛 sebagai persamaan yang dapat dinyatakan dalam bentuk 𝑠𝑠 1 𝑝𝑝 1 + 𝑠𝑠 2 𝑝𝑝 2 + ⋯ + 𝑠𝑠 𝑛𝑛 𝑝𝑝 𝑛𝑛 = 𝑡𝑡 dimana 𝑠𝑠 1 , 𝑠𝑠 2 , ⋯ , 𝑠𝑠 𝑛𝑛 dan t merupakan konstanta real. Definisi 2.2.2 [1]
Sejumlah tertentu persamaan linier dalam variabel 𝑝𝑝 1 , 𝑝𝑝 2 , ⋯ , 𝑝𝑝 𝑛𝑛 disebut sistem persamaan linier  atau sistem linier. Urutan sejumlah bilangan 𝑟𝑟 1 , 𝑟𝑟 2 , ⋯ , 𝑟𝑟 𝑛𝑛
merupakan solusi dari sistem persamaan tersebut jika 𝑝𝑝 1 = 𝑟𝑟 1 , 𝑝𝑝 2 = 𝑟𝑟 2 , ⋯ , 𝑝𝑝 𝑛𝑛 =
𝑟𝑟 𝑛𝑛 merupakan solusi dari setiap persamaan di dalam sistem tersebut.

## 2.3 Matriks
Definisi 2.3.1 [1]
Matriks adalah susunan segi empat siku-siku dari bilangan-bilangan. Bilangan- bilangan dalam susunan tersebut dinamakan entri dalam matriks.
Matriks S yang berukuran dari 𝑚𝑚 baris dan 𝑛𝑛 kolom, maka bentuk umum matriks S berordo 𝑚𝑚 × 𝑛𝑛 R dapat dituliskan sebagai berikut:
𝑆𝑆 𝑚𝑚 × 𝑛𝑛 R = ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ 𝑠𝑠 11 𝑠𝑠 12 … 𝑠𝑠 1𝑗𝑗 … 𝑠𝑠 1𝑛𝑛 𝑠𝑠 21 𝑠𝑠 22 … 𝑠𝑠 2𝑗𝑗 … 𝑠𝑠 2𝑛𝑛 ⋮ ⋮ … ⋮ … ⋮ 𝑠𝑠 𝑖𝑖1 𝑠𝑠 𝑖𝑖2 … 𝑠𝑠 𝑖𝑖𝑗𝑗 … 𝑠𝑠 𝑖𝑖𝑛𝑛 ⋮ ⋮ … ⋮ … ⋮ 𝑠𝑠 𝑚𝑚1 𝑠𝑠 𝑚𝑚2 … 𝑠𝑠 𝑚𝑚𝑗𝑗 … 𝑠𝑠 𝑚𝑚𝑛𝑛 ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤ i =1,2,…, m dan 𝑗𝑗 =1,2,…, n

## 2.4 Jenis - Jenis Matriks
Definisi 2.4.1 [6]
Matriks transpose adalah suatu matriks yang diperoleh dengan mempertukarkan baris-baris dan kolom-kolom. Misalkan 𝑆𝑆 = �𝑠𝑠 𝑖𝑖𝑗𝑗 � berukuran 𝑚𝑚 × 𝑛𝑛 , maka transpose  dari matriks S, ditulis S T , adalah matriks 𝑛𝑛 × 𝑚𝑚 yang dalam hal ini S T = �𝑟𝑟 𝑖𝑖𝑗𝑗 � , maka 𝑟𝑟 𝑖𝑖𝑗𝑗 = 𝑠𝑠 𝑗𝑗𝑖𝑖 untuk i = 1, 2, …, n dan j =1, 2, …, m.
Definisi 2.4.2 [2] Matriks simetris  adalah suatu matriks jika 𝑆𝑆 𝑇𝑇 = 𝑆𝑆 , yaitu jika 𝑠𝑠 𝑖𝑖𝑗𝑗 = 𝑠𝑠 𝑗𝑗𝑖𝑖 untuk setiap i dan j.
Definisi 2.4.3 [8] Matriks  permutasi  adalah matriks persegi yang mempunyai satu buah entri  1 pada setiap baris dan kolom sedangkan entri lain bernilai 0.

## 2.5 Operasi Pada Matriks
Definisi 2.5.1 [1]
Jika S adalah suatu matriks dan k adalah suatu skalar, maka hasil kali (product) kS adalah suatu matriks yang diperoleh dengan mengalikan masing-masing entri dari S oleh k.
Definisi 2.5.2 [1] Jika  S  adalah suatu  matriks  berukuran  m × p  dan  T  adalah suatu  matriks berukuran p × n, maka hasil kali dari ST adalah matriks berukuran m × n yang entri-entrinya didefinisikan sebagai berikut. Untuk memperoleh entri pada baris i dan kolom j dari ST, pilih baris i dari matriks S  dan kolom j dari matriks T. Kalikan entri-entri yang bersesuaian dari baris dan kolom secara bersama-sama dan kemudian jumlahkan hasil kalinya .

## 2.6 Invers Matriks
Definisi 2.6.1 [5] Suatu matriks S  berukuran  n × n  dikatakan nonsingular (matriks yang determinannya tidak sama dengan nol) atau  dapat dibalik (invertible) jika terdapat matriks T yang berukuran sama sedemikian sehingga ST = TS = I, maka
Vol.12 No.1 (Juni 2018) Hal. 30-41
matriks  T  disebut sebagai invers dari  matriks  S. Jika  S  tidak mempunyai invers maka S dikatakan singular (matriks yang determinannya sama dengan nol).

## 2.7 Matriks Sirkulan
Definisi 2.7.1 [3] Matriks sirkulan adalah suatu matriks persegi berukuran 𝑛𝑛 × 𝑛𝑛 R dengan bentuk umum sebagai berikut.
𝑆𝑆 𝑛𝑛 × 𝑛𝑛 R = ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ 𝑠𝑠 0 𝑠𝑠 1 𝑠𝑠 2 … 𝑠𝑠 𝑛𝑛−2 𝑠𝑠 𝑛𝑛−1 𝑠𝑠 𝑛𝑛−1 𝑠𝑠 0
𝑠𝑠 1 … 𝑠𝑠 𝑛𝑛−3 𝑠𝑠 𝑛𝑛−2 𝑠𝑠 𝑛𝑛−2 𝑠𝑠 𝑛𝑛−1 𝑠𝑠 0 … 𝑠𝑠 𝑛𝑛−4 𝑠𝑠 𝑛𝑛−3 ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮
𝑠𝑠 2 𝑠𝑠 3 𝑠𝑠 4 … 𝑠𝑠 0 𝑠𝑠 1 𝑠𝑠 1 𝑠𝑠 2 𝑠𝑠 3 … 𝑠𝑠 𝑛𝑛−1 𝑠𝑠 0 ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤
Setiap baris  dari  matriks tersebut merupakan  pergeseran sekali (satu  entri) dari entri-entri  baris sebelumnya dan setiap  kolomnya  merupakan  pergeseran sekali (satu entri) dari entri-entri kolom sebelumnya .

## 3. METODE PENELITIAN
Penulisan dilakukan melalui studi literatur. Prosedur yang digunakan dalam penelitian ini adalah  membuktikan sifat-sifat  dari  operasi  matriks sirkulan simetris, membuktikan solusi tunggal dari sistem persamaan linier menggunakan invers matriks, dan membuktikan invers matriks dari  dua tipe khusus matriks sirkulan simetris atas skew field.

## 4. HASIL DAN PEMBAHASAN
4.1 Matriks Sirkulan Simetris
Matriks sirkulan simetris  adalah  suatu matriks persegi berukuran 𝑛𝑛 × 𝑛𝑛 dengan bentuk umum sebagai berikut.
W n × n R = ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ w 0 w 1 w 2 … w n−2 w n−1 w 1 w 2 w 3 … w n−1 w 0 w 2 w 3 w 4 … w 0 w 1 ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ w n−2 w n−1 w 0 …   w n−4 w n−3 w n−1 w 0 w 1 … w n−3 w n−2 ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤
dinotasikan dengan W = 𝑺𝑺 𝒄𝒄 ( 𝒘𝒘 𝟎𝟎 𝒘𝒘 𝟏𝟏 𝒘𝒘 𝟐𝟐 … 𝒘𝒘 𝒏𝒏−𝟐𝟐 𝒘𝒘 𝒏𝒏−𝟏𝟏 ) [9] . Setiap baris dari matriks tersebut merupakan pergeseran ke kiri sekali (satu entri) dari entri-entri baris sebelumnya dan setiap kolomnya  merupakan  pergeseran sekali (satu entri) dari entri-entri kolom sebelumnya.
Ada beberapa sifat-sifat  yang harus diperhatikan pada operasi  matriks sirkulan simetris, diantaranya adalah sebagai berikut:
1. 𝑫𝑫 𝟐𝟐𝟐𝟐−𝟏𝟏 = 𝑫𝑫 dan 𝑫𝑫 𝟐𝟐𝟐𝟐 = 𝑰𝑰 ,  dimana 𝑫𝑫 adalah matriks permutasi yang merupakan matriks sirkulan simetris.
2. Perkalian dari dua matriks sirkulan simetris adalah matriks sirkulan.
3. Misalkan matriks sirkulan simetris 𝑊𝑊 invertible (dapat dibalik), maka
𝑊𝑊 −1 dan 𝑘𝑘𝑊𝑊 (dimana k skalar) adalah matriks sirkulan simetris juga [9] . Bukti : 1. Ambil sebarang matriks 𝑫𝑫 ∈ 𝑹𝑹 , dimana 𝑫𝑫 adalah matriks permutasi yang merupakan matriks sirkulan simetris
dengan 𝑫𝑫 𝒏𝒏 × 𝒏𝒏 = �
𝟎𝟎 𝟏𝟏 𝟎𝟎 … 𝟎𝟎 𝟏𝟏 𝟎𝟎 𝟎𝟎 … 𝟎𝟎 ⋮ 𝟎𝟎 ⋮ ⋮ 𝟎𝟎 𝟏𝟏 ⋱ … ⋮ 𝟎𝟎 � a) Akan dibuktikan bahwa 𝑫𝑫 𝟐𝟐𝟐𝟐−𝟏𝟏 = 𝑫𝑫
Misalkan 𝑷𝑷 ( 𝟐𝟐 ) adalah proposisi yang menyatakan bahwa 𝑫𝑫 𝟐𝟐𝟐𝟐−𝟏𝟏 = 𝑫𝑫 . Akan dibuktikan kebenaran proposisi ini dengan dua langkah induksi sebagai berikut:
(i) Basis induksi
𝑷𝑷 ( 𝟏𝟏 ) benar, karena untuk 𝟐𝟐 = 𝟏𝟏 diperoleh 𝑫𝑫 𝟐𝟐𝟐𝟐−𝟏𝟏 = 𝑫𝑫 𝟐𝟐∙𝟏𝟏−𝟏𝟏 = 𝑫𝑫 𝟐𝟐−𝟏𝟏 = 𝑫𝑫
(ii) Langkah induksi Misalkan 𝑷𝑷 ( 𝟐𝟐 ) benar, yaitu mengasumsikan bahwa 𝑫𝑫 𝟐𝟐𝟐𝟐−𝟏𝟏 = 𝑫𝑫 adalah benar (hipotesis induksi). Akan diperlihatkan bahwa 𝑷𝑷 ( 𝟐𝟐 + 𝟏𝟏 ) juga benar, yaitu 𝑫𝑫 𝟐𝟐 ( 𝟐𝟐+𝟏𝟏 ) −𝟏𝟏 = 𝑫𝑫 Hal ini dapat ditunjukkan sebagai berikut:
𝑫𝑫 𝟐𝟐 ( 𝟐𝟐+𝟏𝟏 ) −𝟏𝟏 = 𝑫𝑫 𝟐𝟐𝟐𝟐+𝟐𝟐−𝟏𝟏 = 𝑫𝑫 𝟐𝟐𝟐𝟐−𝟏𝟏 ∙ 𝑫𝑫 𝟐𝟐 = 𝑫𝑫 ∙ 𝑫𝑫 𝟐𝟐 = 𝑫𝑫 𝟑𝟑
= � 𝟎𝟎 𝟏𝟏 𝟎𝟎 … 𝟎𝟎 𝟏𝟏 𝟎𝟎 𝟎𝟎 … 𝟎𝟎 ⋮ 𝟎𝟎 ⋮ ⋮ 𝟎𝟎 𝟏𝟏 ⋱ … ⋮ 𝟎𝟎 � � 𝟎𝟎 𝟏𝟏 𝟎𝟎 … 𝟎𝟎 𝟏𝟏 𝟎𝟎 𝟎𝟎 … 𝟎𝟎 ⋮
𝟎𝟎 ⋮ ⋮ 𝟎𝟎 𝟏𝟏 ⋱ … ⋮ 𝟎𝟎 � � 𝟎𝟎 𝟏𝟏 𝟎𝟎 … 𝟎𝟎 𝟏𝟏 𝟎𝟎 𝟎𝟎 … 𝟎𝟎 ⋮
𝟎𝟎 ⋮ ⋮ 𝟎𝟎 𝟏𝟏 ⋱ … ⋮ 𝟎𝟎 � = � 𝟎𝟎 𝟏𝟏 𝟎𝟎 … 𝟎𝟎 𝟏𝟏 𝟎𝟎 𝟎𝟎 … 𝟎𝟎 ⋮ 𝟎𝟎 ⋮ ⋮ 𝟎𝟎 𝟏𝟏 ⋱ … ⋮ 𝟎𝟎 � = 𝑫𝑫
Karena langkah ( 𝒊𝒊 ) dan ( 𝒊𝒊𝒊𝒊 ) telah diperlihatkan benar, maka terbukti bahwa
𝑫𝑫 𝟐𝟐𝟐𝟐−𝟏𝟏 = 𝑫𝑫 b) Akan dibuktikan bahwa 𝑫𝑫 𝟐𝟐𝟐𝟐 = 𝑰𝑰 Misalkan 𝑷𝑷 ( 𝟐𝟐 ) adalah proposisi yang menyatakan bahwa 𝑫𝑫 𝟐𝟐𝟐𝟐 = 𝑰𝑰 . Akan dibuktikan kebenaran proposisi ini dengan dua langkah induksi sebagai berikut:
(i) Basis induksi 𝑷𝑷 ( 𝟏𝟏 ) benar, karena untuk
𝟐𝟐 = 𝟏𝟏 diperoleh 𝑫𝑫 𝟐𝟐𝟐𝟐 = 𝑫𝑫 𝟐𝟐∙𝟏𝟏 = 𝑫𝑫 𝟐𝟐 = 𝑫𝑫 ∙ 𝑫𝑫
= � 𝟎𝟎 𝟏𝟏 𝟎𝟎 … 𝟎𝟎 𝟏𝟏 𝟎𝟎 𝟎𝟎 … 𝟎𝟎 ⋮ 𝟎𝟎 ⋮ ⋮ 𝟎𝟎 𝟏𝟏 ⋱ … ⋮ 𝟎𝟎 � � 𝟎𝟎 𝟏𝟏 𝟎𝟎 … 𝟎𝟎 𝟏𝟏 𝟎𝟎 𝟎𝟎 … 𝟎𝟎 ⋮ 𝟎𝟎 ⋮ ⋮ 𝟎𝟎 𝟏𝟏 ⋱ … ⋮ 𝟎𝟎 � = � 𝟏𝟏 𝟎𝟎 𝟎𝟎 … 𝟎𝟎 𝟎𝟎 𝟏𝟏 𝟎𝟎 … 𝟎𝟎 ⋮ 𝟎𝟎 ⋮ ⋮ 𝟎𝟎 𝟎𝟎 ⋱ … ⋮ 𝟏𝟏 � = 𝑰𝑰
(ii) Langkah induksi
Misalkan 𝑷𝑷 ( 𝟐𝟐 ) benar, yaitu mengasumsikan bahwa 𝑫𝑫 𝟐𝟐𝟐𝟐 = 𝑰𝑰 adalah benar (hipotesis induksi). Akan diperlihatkan bahwa 𝑷𝑷 ( 𝟐𝟐 + 𝟏𝟏 ) juga benar, yaitu 𝑫𝑫 𝟐𝟐 ( 𝟐𝟐+𝟏𝟏 ) = 𝑰𝑰 Hal ini dapat ditunjukkan sebagai berikut: 𝑫𝑫 𝟐𝟐 ( 𝟐𝟐+𝟏𝟏 ) = 𝑫𝑫 𝟐𝟐𝟐𝟐+𝟐𝟐 = 𝑫𝑫 𝟐𝟐𝟐𝟐 ∙ 𝑫𝑫 𝟐𝟐 = 𝑰𝑰 ∙ 𝑫𝑫 𝟐𝟐
= � 𝟏𝟏 𝟎𝟎 𝟎𝟎 … 𝟎𝟎 𝟎𝟎 𝟏𝟏 𝟎𝟎 … 𝟎𝟎 ⋮ 𝟎𝟎 ⋮ ⋮ 𝟎𝟎 𝟎𝟎 ⋱ … ⋮ 𝟏𝟏 � � 𝟎𝟎 𝟏𝟏 𝟎𝟎 … 𝟎𝟎 𝟏𝟏 𝟎𝟎 𝟎𝟎 … 𝟎𝟎 ⋮ 𝟎𝟎 ⋮ ⋮ 𝟎𝟎 𝟏𝟏 ⋱ … ⋮ 𝟎𝟎 � � 𝟎𝟎 𝟏𝟏 𝟎𝟎 … 𝟎𝟎
𝟏𝟏 𝟎𝟎 𝟎𝟎 … 𝟎𝟎 ⋮
𝟎𝟎 ⋮ ⋮ 𝟎𝟎 𝟏𝟏 ⋱ … ⋮ 𝟎𝟎 � = �
𝟏𝟏 𝟎𝟎 𝟎𝟎 … 𝟎𝟎
𝟎𝟎 𝟏𝟏 𝟎𝟎 … 𝟎𝟎 ⋮ 𝟎𝟎 ⋮ ⋮ 𝟎𝟎 𝟎𝟎 ⋱ … ⋮ 𝟏𝟏 � = 𝑰𝑰
Karena langkah ( 𝒊𝒊 ) dan ( 𝒊𝒊𝒊𝒊 ) telah diperlihatkan benar, maka terbukti 𝑫𝑫 𝟐𝟐𝟐𝟐 = 𝑰𝑰 2. Ambil sebarang matriks 𝑮𝑮 , 𝑯𝑯 ∈ 𝑹𝑹 yang merupakan matriks sirkulan simetris,
𝑮𝑮 𝒏𝒏 × 𝒏𝒏 = � 𝒈𝒈 𝟎𝟎 𝒈𝒈 𝟏𝟏 … 𝒈𝒈 𝒏𝒏−𝟏𝟏 𝒈𝒈 𝟏𝟏 𝒈𝒈 𝟐𝟐 … 𝒈𝒈 𝟎𝟎 ⋮ 𝒈𝒈 𝒏𝒏−𝟏𝟏 ⋮ 𝒈𝒈 𝟎𝟎 ⋱ … ⋮ 𝒈𝒈 𝒏𝒏−𝟐𝟐 � , 𝑯𝑯 𝒏𝒏 × 𝒏𝒏 = � 𝒉𝒉 𝟎𝟎 𝒉𝒉 𝟏𝟏 … 𝒉𝒉 𝒏𝒏−𝟏𝟏 𝒉𝒉 𝟏𝟏 𝒉𝒉 𝟐𝟐 … 𝒉𝒉 𝟎𝟎 ⋮ 𝒉𝒉 𝒏𝒏−𝟏𝟏 ⋮ 𝒉𝒉 𝟎𝟎 ⋱ … ⋮ 𝒉𝒉 𝒏𝒏−𝟐𝟐 �
Berdasarkan definisi 2.5.2 maka hasil kali 𝑨𝑨𝑨𝑨 adalah
𝑮𝑮𝑯𝑯 = � 𝒈𝒈 𝟎𝟎 𝒉𝒉 𝟎𝟎 + 𝒈𝒈 𝟏𝟏 𝒉𝒉 𝟏𝟏 + ⋯ + 𝒈𝒈 𝒏𝒏−𝟏𝟏 𝒉𝒉 𝒏𝒏−𝟏𝟏 𝒈𝒈 𝟎𝟎 𝒉𝒉 𝟏𝟏 + 𝒈𝒈𝒉𝒉 𝟐𝟐 + ⋯ + 𝒈𝒈 𝒏𝒏−𝟏𝟏 𝒉𝒉 𝟎𝟎 … 𝒈𝒈 𝟎𝟎 𝒉𝒉 𝒏𝒏−𝟏𝟏 + 𝒈𝒈 𝟏𝟏 𝒉𝒉 𝟎𝟎 + ⋯ + 𝒈𝒈 𝒏𝒏−𝟏𝟏 𝒉𝒉 𝒏𝒏−𝟐𝟐 𝒈𝒈 𝟏𝟏 𝒉𝒉 𝟎𝟎 + 𝒈𝒈 𝟐𝟐 𝒉𝒉 𝟏𝟏 + ⋯ + 𝒈𝒈 𝟎𝟎 𝒉𝒉 𝒏𝒏−𝟏𝟏 𝒈𝒈 𝟏𝟏 𝒉𝒉 𝟏𝟏 + 𝒈𝒈 𝟐𝟐 𝒉𝒉 𝟐𝟐 + ⋯ + 𝒈𝒈 𝟎𝟎 𝒉𝒉 𝟎𝟎 … 𝒈𝒈 𝟏𝟏 𝒉𝒉 𝒏𝒏−𝟏𝟏 + 𝒈𝒈 𝟐𝟐 𝒉𝒉 𝟎𝟎 + ⋯ + 𝒈𝒈 𝟎𝟎 𝒉𝒉 𝒏𝒏−𝟐𝟐 ⋮ 𝒈𝒈 𝒏𝒏−𝟏𝟏 𝒉𝒉 𝟎𝟎 + 𝒈𝒈 𝟎𝟎 𝒉𝒉 𝟏𝟏 + ⋯ + 𝒈𝒈 𝒏𝒏−𝟐𝟐 𝒉𝒉 𝒏𝒏−𝟏𝟏 ⋮ 𝒈𝒈 𝒏𝒏−𝟏𝟏 𝒉𝒉 𝟐𝟐 + 𝒈𝒈 𝟎𝟎 𝒉𝒉 𝟐𝟐 + ⋯ + 𝒈𝒈 𝒏𝒏−𝟐𝟐 𝒉𝒉 𝟎𝟎 ⋱ … ⋮ 𝒈𝒈 𝒏𝒏−𝟏𝟏 𝒉𝒉 𝒏𝒏−𝟏𝟏 + 𝒈𝒈 𝟎𝟎 𝒉𝒉 𝟎𝟎 + ⋯ + 𝒈𝒈 𝒏𝒏−𝟐𝟐 𝒉𝒉 𝒏𝒏−𝟐𝟐 � = � 𝒈𝒈 𝟎𝟎 𝒉𝒉 𝟎𝟎 + 𝒈𝒈 𝟏𝟏 𝒉𝒉 𝟏𝟏 + ⋯ + 𝒈𝒈 𝒏𝒏−𝟏𝟏 𝒉𝒉 𝒏𝒏−𝟏𝟏 𝒈𝒈 𝟎𝟎 𝒉𝒉 𝟏𝟏 + 𝒈𝒈 𝟏𝟏 𝒉𝒉 𝟐𝟐 + ⋯ + 𝒈𝒈 𝒏𝒏−𝟏𝟏 𝒉𝒉 𝟎𝟎 … 𝒈𝒈 𝟎𝟎 𝒉𝒉 𝒏𝒏−𝟏𝟏 + 𝒈𝒈 𝟏𝟏 𝒉𝒉 𝟎𝟎 + ⋯ + 𝒈𝒈 𝒏𝒏−𝟏𝟏 𝒉𝒉 𝒏𝒏−𝟐𝟐
𝒈𝒈 𝟎𝟎 𝒉𝒉 𝒏𝒏−𝟏𝟏 + 𝒈𝒈 𝟏𝟏 𝒉𝒉 𝟎𝟎 + 𝒈𝒈 𝟐𝟐 𝒉𝒉 𝟏𝟏 + ⋯ 𝒈𝒈 𝟎𝟎 𝒉𝒉 𝟎𝟎 + 𝒈𝒈 𝟏𝟏 𝒉𝒉 𝟏𝟏 + 𝒈𝒈 𝟐𝟐 𝒉𝒉 𝟐𝟐 + ⋯ … 𝒈𝒈 𝟏𝟏 𝒉𝒉 𝒏𝒏−𝟏𝟏 + 𝒈𝒈 𝟐𝟐 𝒉𝒉 𝟎𝟎 + ⋯ + 𝒈𝒈 𝟎𝟎 𝒉𝒉 𝒏𝒏−𝟐𝟐 ⋮ 𝒈𝒈 𝒏𝒏−𝟏𝟏 𝒉𝒉 𝟎𝟎 + ⋯ + 𝒈𝒈 𝒏𝒏−𝟐𝟐 𝒉𝒉 𝒏𝒏−𝟏𝟏 + 𝒈𝒈 𝟎𝟎 𝒉𝒉 𝟏𝟏 + ⋮ 𝒈𝒈 𝒏𝒏−𝟏𝟏 𝒉𝒉 𝟐𝟐 + 𝒈𝒈 𝟎𝟎 𝒉𝒉 𝟐𝟐 + ⋯ + 𝒈𝒈 𝒏𝒏−𝟐𝟐 𝒉𝒉 𝟎𝟎 ⋱ … ⋮ 𝒈𝒈 𝟎𝟎 𝒉𝒉 𝟎𝟎 + ⋯ + 𝒈𝒈 𝒏𝒏−𝟐𝟐 𝒉𝒉 𝒏𝒏−𝟐𝟐 + 𝒈𝒈 𝒏𝒏−𝟏𝟏 𝒉𝒉 𝒏𝒏−𝟏𝟏 �
Misal 𝒈𝒈 𝟎𝟎 𝒉𝒉 𝟎𝟎 + 𝒈𝒈 𝟏𝟏 𝒉𝒉 𝟏𝟏 + 𝒈𝒈 𝟐𝟐 𝒉𝒉 𝟐𝟐 + ⋯ + 𝒈𝒈 𝒏𝒏−𝟐𝟐 𝒉𝒉 𝒏𝒏−𝟐𝟐 + 𝒈𝒈𝒉𝒉 𝒏𝒏−𝟏𝟏 = 𝒇𝒇 𝟎𝟎 𝒈𝒈 𝟎𝟎 𝒉𝒉 𝟏𝟏 + 𝒈𝒈 𝟏𝟏 𝒉𝒉 𝟐𝟐 + ⋯ + 𝒈𝒈 𝒏𝒏−𝟐𝟐 𝒉𝒉 𝒏𝒏−𝟏𝟏 + 𝒈𝒈 𝒏𝒏−𝟏𝟏 𝒉𝒉 𝟎𝟎 = 𝒇𝒇 𝟏𝟏 𝒈𝒈 𝒏𝒏−𝟏𝟏 𝒉𝒉 𝟐𝟐 + 𝒈𝒈 𝟎𝟎 𝒉𝒉 𝟐𝟐 + ⋯ + 𝒈𝒈 𝒏𝒏−𝟐𝟐 𝒉𝒉 𝟎𝟎 = 𝒇𝒇 𝟐𝟐 ⋮ 𝒈𝒈 𝟏𝟏 𝒉𝒉 𝒏𝒏−𝟏𝟏 + 𝒈𝒈 𝟐𝟐 𝒉𝒉 𝟎𝟎 + ⋯ + 𝒈𝒈 𝟎𝟎 𝒉𝒉 𝒏𝒏−𝟐𝟐 = 𝒇𝒇 𝒏𝒏−𝟐𝟐 𝒈𝒈 𝟎𝟎 𝒉𝒉 𝒏𝒏−𝟏𝟏 + 𝒈𝒈 𝟏𝟏 𝒉𝒉 𝟎𝟎 + 𝒈𝒈 𝟐𝟐 𝒉𝒉 𝟏𝟏 + ⋯ + 𝒈𝒈 𝒏𝒏−𝟏𝟏 𝒉𝒉 𝒏𝒏−𝟐𝟐 = 𝒇𝒇 𝒏𝒏−𝟏𝟏 𝑭𝑭 𝒏𝒏 × 𝒏𝒏 = � 𝒇𝒇 𝟎𝟎 𝒇𝒇 𝟏𝟏 … 𝒇𝒇 𝒏𝒏−𝟏𝟏 𝒇𝒇 𝒏𝒏−𝟏𝟏 𝒇𝒇 𝟎𝟎 … 𝒇𝒇 𝒏𝒏−𝟐𝟐 ⋮ 𝒇𝒇 𝟏𝟏 ⋮ 𝒇𝒇 𝟐𝟐 ⋱ … ⋮ 𝒇𝒇 𝟎𝟎 �
Berdasarkan definisi 2.4.1, maka transpose dari matriks 𝑭𝑭 adalah
𝑭𝑭 𝑻𝑻 = � 𝒇𝒇 𝟎𝟎 𝒇𝒇 𝟏𝟏 … 𝒇𝒇 𝒏𝒏−𝟏𝟏 𝒇𝒇 𝒏𝒏−𝟏𝟏 𝒇𝒇 𝟎𝟎 … 𝒇𝒇 𝒏𝒏−𝟐𝟐 ⋮ 𝒇𝒇 𝟏𝟏 ⋮ 𝒇𝒇 𝟐𝟐 ⋱ … ⋮ 𝒇𝒇 𝟎𝟎 � 𝑻𝑻 = � 𝒇𝒇 𝟎𝟎 𝒇𝒇 𝒏𝒏−𝟏𝟏 … 𝒇𝒇 𝟏𝟏 𝒇𝒇 𝟏𝟏 𝒇𝒇 𝟎𝟎 … 𝒇𝒇 𝟐𝟐 ⋮ 𝒇𝒇 𝒏𝒏−𝟏𝟏 ⋮ 𝒇𝒇 𝒏𝒏−𝟐𝟐 ⋱ … ⋮ 𝒇𝒇 𝟎𝟎 � ∴ Karena perkalian matriks 𝑮𝑮𝑯𝑯 = 𝑭𝑭 dan 𝑭𝑭 ≠ 𝑭𝑭 𝑻𝑻 yang berarti matriks F tidak simetris,  maka terbukti bahwa perkalian dari dua matriks sirkulan simetris adalah matriks sirkulan.
3. Ambil sebarang matriks 𝑾𝑾 ∈ 𝑹𝑹 yang merupakan matriks sirkulan simetris.
dengan 𝑾𝑾 𝒏𝒏 × 𝒏𝒏 = � 𝒘𝒘 𝟎𝟎 𝒘𝒘 𝟏𝟏 … 𝒘𝒘 𝒏𝒏−𝟏𝟏 𝒘𝒘 𝟏𝟏 𝒘𝒘 𝟐𝟐 … 𝒘𝒘 𝟎𝟎 ⋮ 𝒘𝒘 𝒏𝒏−𝟏𝟏 ⋮ 𝒘𝒘 𝟎𝟎 ⋱ … ⋮ 𝒘𝒘 𝒏𝒏−𝟐𝟐 �
dan berdasarkan definisi 2.4.2 karena matriks W simetris maka 𝑾𝑾 = 𝑾𝑾 𝑻𝑻 . a) Diketahui bahwa matriks A invertible (dapat dibalik) dan 𝑾𝑾 = 𝑾𝑾 𝑻𝑻 maka 𝑾𝑾 −𝟏𝟏 = ( 𝑾𝑾 𝑻𝑻 ) −𝟏𝟏 = ( 𝑾𝑾 −𝟏𝟏 ) 𝑻𝑻
Sehingga invers dari matriks sirkulan simetris juga merupakan matriks sirkulan simetris.
b) Ambil sebarang 𝟐𝟐 𝝐𝝐 𝑹𝑹 dimana 𝟐𝟐 skalar, berdasarkan definisi 2.4.2 dan definsi 2.5.1 maka
𝟐𝟐 ( 𝑾𝑾 𝑻𝑻 ) = 𝟐𝟐 � 𝒘𝒘 𝟎𝟎 𝒘𝒘 𝟏𝟏 … 𝒘𝒘 𝒏𝒏−𝟏𝟏 𝒘𝒘 𝟏𝟏 𝒘𝒘 𝟐𝟐 … 𝒘𝒘 𝟎𝟎 ⋮ 𝒘𝒘 𝒏𝒏−𝟏𝟏 ⋮ 𝒘𝒘 𝟎𝟎 ⋱ … ⋮ 𝒘𝒘 𝒏𝒏−𝟐𝟐 � 𝑻𝑻
= 𝟐𝟐 � 𝒘𝒘 𝟎𝟎 𝒘𝒘 𝟏𝟏 … 𝒘𝒘 𝒏𝒏−𝟏𝟏 𝒘𝒘 𝟏𝟏 𝒘𝒘 𝟐𝟐 … 𝒘𝒘 𝟎𝟎 ⋮ 𝒘𝒘 𝒏𝒏−𝟏𝟏 ⋮ 𝒘𝒘 𝟎𝟎 ⋱ … ⋮ 𝒘𝒘 𝒏𝒏−𝟐𝟐 �
= � 𝟐𝟐𝒘𝒘 𝟎𝟎 𝟐𝟐𝒘𝒘 𝟏𝟏 … 𝟐𝟐𝒘𝒘 𝒏𝒏−𝟏𝟏 𝟐𝟐𝒘𝒘 𝟏𝟏 𝟐𝟐𝒘𝒘 𝟐𝟐 … 𝟐𝟐𝒘𝒘 𝟎𝟎 ⋮ 𝟐𝟐𝒘𝒘 𝒏𝒏−𝟏𝟏 ⋮ 𝟐𝟐𝒘𝒘 𝟎𝟎 ⋱ … ⋮ 𝟐𝟐𝒘𝒘 𝒏𝒏−𝟐𝟐 � , selanjutnya
( 𝟐𝟐𝑾𝑾 ) 𝑻𝑻 = 𝟐𝟐 � 𝒘𝒘 𝟎𝟎 𝒘𝒘 𝟏𝟏 … 𝒘𝒘 𝒏𝒏−𝟏𝟏 𝒘𝒘 𝟏𝟏 𝒘𝒘 𝟐𝟐 … 𝒘𝒘 𝟎𝟎 ⋮ 𝒘𝒘 𝒏𝒏−𝟏𝟏 ⋮ 𝒘𝒘 𝟎𝟎 ⋱ … ⋮ 𝒘𝒘 𝒏𝒏−𝟐𝟐 � 𝑻𝑻 = � 𝟐𝟐𝒘𝒘 𝟎𝟎 𝟐𝟐𝒘𝒘 𝟏𝟏 … 𝟐𝟐𝒘𝒘 𝒏𝒏−𝟏𝟏 𝟐𝟐𝒘𝒘 𝟏𝟏 𝟐𝟐𝒘𝒘 𝟐𝟐 … 𝟐𝟐𝒘𝒘 𝟎𝟎 ⋮ 𝟐𝟐𝒘𝒘 𝒏𝒏−𝟏𝟏 ⋮ 𝟐𝟐𝒘𝒘 𝟎𝟎 ⋱ … ⋮ 𝟐𝟐𝒘𝒘 𝒏𝒏−𝟐𝟐 � 𝑻𝑻 = � 𝟐𝟐𝒘𝒘 𝟎𝟎 𝟐𝟐𝒘𝒘 𝟏𝟏 … 𝟐𝟐𝒘𝒘 𝒏𝒏−𝟏𝟏 𝟐𝟐𝒘𝒘 𝟏𝟏 𝟐𝟐𝒘𝒘 𝟐𝟐 … 𝟐𝟐𝒘𝒘 𝟎𝟎 ⋮ 𝟐𝟐𝒘𝒘 𝒏𝒏−𝟏𝟏 ⋮ 𝟐𝟐𝒘𝒘 𝟎𝟎 ⋱ … ⋮ 𝟐𝟐𝒘𝒘 𝒏𝒏−𝟐𝟐 � Karena 𝑘𝑘 ( 𝑊𝑊 𝑇𝑇 ) =    ( 𝑘𝑘𝑊𝑊 ) 𝑇𝑇 maka terbukti bahwa 𝑘𝑘𝑊𝑊 merupakan matriks sirkulan simetris. ∎
4.2 Solusi Tunggal dari Sistem Persamaan Linier menggunakan Invers Matriks
Lemma 4.2.1 Diberikan  W = 𝑆𝑆 𝑐𝑐 ( 𝑤𝑤 0 𝑤𝑤 1 … 𝑤𝑤 𝑛𝑛−1 ). Misalkan W invertible (dapat dibalik), maka 𝑊𝑊 −1 = 𝑆𝑆 𝑐𝑐 ( 𝑏𝑏 0 𝑏𝑏 1 … 𝑏𝑏 𝑛𝑛−1 )  dimana 𝑏𝑏 0 , 𝑏𝑏 1 ,  … , 𝑏𝑏 𝑛𝑛−1 adalah solusi tunggal dari sistem persamaan linier
W � 𝑥𝑥 0 𝑥𝑥 1 ⋮ 𝑥𝑥 𝑛𝑛−1 � = � 1 0 ⋮ 0 � Bukti :
Diberikan
𝑊𝑊 𝑛𝑛 × 𝑛𝑛 = � 𝑤𝑤 0 𝑤𝑤 1 … 𝑤𝑤 𝑛𝑛−1 𝑤𝑤 1 𝑤𝑤 2 … 𝑤𝑤 0 ⋮ 𝑤𝑤 𝑛𝑛−1 ⋮ 𝑤𝑤 0 ⋱ … ⋮ 𝑤𝑤 𝑛𝑛−2 � dan 𝑊𝑊 −1 𝑛𝑛 × 𝑛𝑛 = � 𝑏𝑏 0 𝑏𝑏 1 … 𝑏𝑏 𝑛𝑛−1 𝑏𝑏 1 𝑏𝑏 2 … 𝑏𝑏 0 ⋮ 𝑏𝑏 𝑛𝑛−1 ⋮ 𝑏𝑏 0 ⋱ … ⋮ 𝑏𝑏 𝑛𝑛−2 �
adalah matriks simetri sirkulan. Dinotasikan dengan W = 𝑆𝑆 𝑐𝑐 ( 𝑤𝑤 0 𝑤𝑤 1 … 𝑤𝑤 𝑛𝑛−1 ) dan 𝑊𝑊 −1 = 𝑆𝑆 𝑐𝑐 ( 𝑏𝑏 0 𝑏𝑏 1 … 𝑏𝑏 𝑛𝑛−1 ). W merupakan matriks invertible (dapat dibalik).  Misal diberikan Sistem persamaan linier dengan n peubah dan n persamaan dengan 𝑊𝑊 𝑥𝑥 = 𝑏𝑏 . Maka Sistem persamaan linier  mempunyai solusi tunggal, yaitu
𝑊𝑊 𝑥𝑥 = 𝑏𝑏 𝑊𝑊 −1 𝑊𝑊 𝑥𝑥 = 𝑊𝑊 −1 𝑏𝑏 𝑥𝑥 = 𝑊𝑊 −1 𝑏𝑏
𝑥𝑥 = � 𝑏𝑏 0 𝑏𝑏 1 … 𝑏𝑏 𝑛𝑛−1 𝑏𝑏 1 𝑏𝑏 2 … 𝑏𝑏 0 ⋮ 𝑏𝑏 𝑛𝑛−1 ⋮ 𝑏𝑏 0 ⋱ … ⋮ 𝑏𝑏 𝑛𝑛−2 �� 1 0 ⋮ 0 �
𝑥𝑥 = � 𝑏𝑏 0 𝑏𝑏 1 ⋮ 𝑏𝑏 𝑛𝑛−1
�
Karena 𝑊𝑊 adalah matriks 𝑛𝑛 × 𝑛𝑛 yang invertible  dan matriks 𝑏𝑏 berukuran 𝑛𝑛 × 1 , maka sistem persamaan 𝑊𝑊𝑥𝑥 = 𝑏𝑏 .  Sehingga diperoleh bahwa sistem persamaan linier mempunyai solusi tunggal yaitu 𝑏𝑏 0 , 𝑏𝑏 1 ,  … , 𝑏𝑏 𝑛𝑛−1 . ∎

## 4.3 Invers Matriks  dari Dua Tipe Khusus Matriks Sirkulan Simetris atas
Skew Field
Teorema 4.3.1 Misalkan 𝑊𝑊 = 𝑆𝑆 𝑐𝑐 ( 𝑝𝑝 , 𝑝𝑝 , 𝑝𝑝 , … , 𝑝𝑝 , 𝑝𝑝 ) dan p, q unit di K . K adalah skew field. Jika W invertible (dapat dibalik) maka 𝑊𝑊 −1 = 𝑆𝑆 𝑐𝑐 ( 𝑏𝑏 0 , 𝑏𝑏 1 , … , 𝑏𝑏 𝑛𝑛−1 ) dimana 𝑏𝑏 0 =   [ −𝑝𝑝𝑝𝑝 −1 𝑝𝑝 + 𝑛𝑛 ( 𝑝𝑝 − 𝑝𝑝 ) + 𝑝𝑝 ] −1 [ −𝑝𝑝𝑝𝑝 −1 − ( 𝑛𝑛 − 1)] 𝑏𝑏 1 = 𝑏𝑏 2 = ⋯ = 𝑏𝑏 𝑛𝑛−1 = ( 𝑝𝑝 − 𝑝𝑝 ) −1 + 𝑏𝑏 0
= ( 𝑝𝑝 − 𝑝𝑝 ) −1 + [ −𝑝𝑝𝑝𝑝 −1 𝑝𝑝 + 𝑛𝑛 ( 𝑝𝑝 − 𝑝𝑝 ) + 𝑝𝑝 ] −1 [ −𝑝𝑝𝑝𝑝 −1 − ( 𝑛𝑛 − 1)]
Bukti: Diberikan 𝑊𝑊 = 𝑆𝑆 𝑐𝑐 ( 𝑝𝑝 , 𝑝𝑝 , 𝑝𝑝 , … , 𝑝𝑝 , 𝑝𝑝 ) adalah matriks sirkulan simetris atas skew
field dengan 𝑊𝑊 𝑛𝑛 × 𝑛𝑛 = ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ 𝑝𝑝 𝑝𝑝 𝑝𝑝 ⋮ 𝑝𝑝 𝑝𝑝 𝑝𝑝 𝑝𝑝 ⋮ 𝑝𝑝 𝑝𝑝 𝑝𝑝 𝑝𝑝 ⋮ 𝑝𝑝 … … … ⋱ … 𝑝𝑝 𝑝𝑝 𝑝𝑝 ⋮ 𝑝𝑝 𝑝𝑝 𝑝𝑝 𝑝𝑝 ⋮ 𝑝𝑝 ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤
Sistem persamaan linier dari matriks 𝑊𝑊 adalah 𝑊𝑊 𝑥𝑥 = 𝑏𝑏 𝑊𝑊 ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ 𝑥𝑥 0 𝑥𝑥 1 𝑥𝑥 2 ⋮ 𝑥𝑥 𝑛𝑛−1 ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤ = ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ 1 0 0 ⋮ 0 ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤ dengan W adalah koefisien.
Untuk  menentukan solusi dari sistem persamaan linier dapat dilakukan dengan cara membentuk matriks yang diperbesar dari sistem persamaan linier dan melakukan operasi baris elementer pada matriks yang diperbesar tersebut. Dilakukan  operasi baris elementer pada matriks yang diperbesar 𝑊𝑊 � dari W sebagai berikut. 𝑊𝑊 � = ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ 𝑝𝑝 𝑝𝑝 𝑝𝑝 ⋮ 𝑝𝑝 𝑝𝑝 𝑝𝑝 𝑝𝑝 𝑝𝑝 𝑝𝑝 ⋮ 𝑝𝑝 𝑝𝑝 𝑝𝑝 𝑝𝑝 𝑝𝑝 𝑝𝑝 𝑝𝑝 𝑝𝑝 𝑝𝑝 ⋮ ⋮ 𝑝𝑝 𝑝𝑝 𝑝𝑝 𝑝𝑝 𝑝𝑝 𝑝𝑝 … … … ⋱ …
… … 𝑝𝑝 𝑝𝑝 𝑝𝑝 ⋮ 𝑝𝑝 𝑝𝑝 𝑝𝑝 𝑝𝑝 𝑝𝑝 𝑝𝑝 ⋮ 𝑝𝑝 𝑝𝑝 𝑝𝑝 1 0 0 ⋮ 0 0 0 ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤ Baris pertama dikali − 1 dan dijumlahkan dengan baris kedua, lakukan juga hal yang sama pada baris ketiga, ke 𝑛𝑛 − 2 , ke 𝑛𝑛 − 1 , dan ke −𝑛𝑛 untuk memperoleh
→ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ 𝑝𝑝 𝑝𝑝 − 𝑝𝑝 𝑝𝑝 − 𝑝𝑝 ⋮ 𝑝𝑝 − 𝑝𝑝 𝑝𝑝 − 𝑝𝑝 𝑝𝑝 − 𝑝𝑝
𝑝𝑝 0 0 ⋮ 0 0 𝑝𝑝 − 𝑝𝑝 𝑝𝑝 𝑝𝑝 0       0 0        0 ⋮ ⋮ 0 𝑝𝑝 − 𝑝𝑝 0 𝑝𝑝 − 𝑝𝑝 0 0 … … … ⋱ … … …
𝑝𝑝 0 𝑝𝑝 − 𝑝𝑝 ⋮ 0 0 0 𝑝𝑝 𝑝𝑝 − 𝑝𝑝 0 ⋮ 0 0 0
1 − 1 − 1 ⋮ − 1
− 1 − 1 ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤
Baris kedua dikali − 1 dan dijumlahkan dengan baris ketiga, lakukan juga hal yang sama pada baris ke 𝑛𝑛 − 2 , ke 𝑛𝑛 − 1 , dan ke −𝑛𝑛 untuk memperoleh
Vol.12 No.1 (Juni 2018) Hal. 30-41
→ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ 𝑝𝑝 𝑝𝑝 − 𝑝𝑝 0 ⋮ 0
0 0 𝑝𝑝 0 0 ⋮ 0 0 𝑝𝑝 − 𝑝𝑝 𝑝𝑝 𝑝𝑝 0       0 0        0 ⋮ ⋮ 0 𝑝𝑝 − 𝑝𝑝 0 𝑝𝑝 − 𝑝𝑝 0 0
… … … ⋱ … … … 𝑝𝑝 0 𝑝𝑝 − 𝑝𝑝 ⋮ 0 0 0 𝑝𝑝 𝑝𝑝 − 𝑝𝑝 𝑝𝑝 − 𝑝𝑝 ⋮ 𝑝𝑝 − 𝑝𝑝 𝑝𝑝 − 𝑝𝑝 𝑝𝑝 − 𝑝𝑝 1 − 1 0 ⋮ 0 0 0 ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤
Diperoleh sistem persamaan berikut 𝑝𝑝𝑏𝑏 0 + 𝑝𝑝 ( 𝑏𝑏 1 + 𝑏𝑏 2 + 𝑏𝑏 3 + ⋯ + 𝑏𝑏 𝑛𝑛−2 + 𝑏𝑏 𝑛𝑛−1 ) = 1,
( 𝑝𝑝 − 𝑝𝑝 ) 𝑏𝑏 0 + ( 𝑝𝑝 − 𝑝𝑝 ) 𝑏𝑏 𝑛𝑛−1 = − 1, ( 𝑝𝑝 − 𝑝𝑝 ) 𝑏𝑏 𝑛𝑛−2 + ( 𝑝𝑝 − 𝑝𝑝 ) 𝑏𝑏 𝑛𝑛−1 = 0 , ⋮ ( 𝑝𝑝 − 𝑝𝑝 ) 𝑏𝑏 3 + ( 𝑝𝑝 − 𝑝𝑝 ) 𝑏𝑏 𝑛𝑛−1 = 0,
( 𝑝𝑝 − 𝑝𝑝 ) 𝑏𝑏 2 + ( 𝑝𝑝 − 𝑝𝑝 ) 𝑏𝑏 𝑛𝑛−1 = 0 ,
( 𝑝𝑝 − 𝑝𝑝 ) 𝑏𝑏 1 + ( 𝑝𝑝 − 𝑝𝑝 ) 𝑏𝑏 𝑛𝑛−1 = 0 𝑝𝑝𝑏𝑏 0 + 𝑝𝑝 ( 𝑏𝑏 1 + 𝑏𝑏 2 + ⋯ + 𝑏𝑏 𝑛𝑛−1 ) = 1,
( ∗ )
Sehingga ( 𝑝𝑝 − 𝑝𝑝 ) 𝑏𝑏 0 + ( 𝑝𝑝 − 𝑝𝑝 ) 𝑏𝑏 𝑛𝑛−1 = − 1, ( ∗∗ ) ( 𝑝𝑝 − 𝑝𝑝 ) 𝑏𝑏 𝑖𝑖 + ( 𝑝𝑝 − 𝑝𝑝 ) 𝑏𝑏 𝑛𝑛−1 = 0 ( ∗∗∗ ) 𝑖𝑖 = 1,2, … , 𝑛𝑛 − 2
Dari persamaan ( ∗∗ ) ( 𝑝𝑝 − 𝑝𝑝 ) 𝑏𝑏 0 + ( 𝑝𝑝 − 𝑝𝑝 ) 𝑏𝑏 𝑛𝑛−1 = − 1 ( 𝑝𝑝 − 𝑝𝑝 ) 𝑏𝑏 𝑛𝑛−1 = − 1 + ( 𝑝𝑝 − 𝑝𝑝 ) 𝑏𝑏 0 𝑏𝑏 𝑛𝑛−1 = ( 𝑝𝑝 − 𝑝𝑝 ) −1 + 𝑏𝑏 0
Dari persamaan ( ∗∗∗ ) ( 𝑝𝑝 − 𝑝𝑝 ) 𝑏𝑏 𝑖𝑖 + ( 𝑝𝑝 − 𝑝𝑝 ) 𝑏𝑏 𝑛𝑛−1 = 0 ( 𝑝𝑝 − 𝑝𝑝 ) 𝑏𝑏 𝑖𝑖 = ( 𝑝𝑝 − 𝑝𝑝 ) 𝑏𝑏 𝑛𝑛−1 𝑏𝑏 𝑖𝑖 = 𝑝𝑝 𝑛𝑛−1
𝑖𝑖 = 1,2, … , 𝑛𝑛 − 2
Dari persamaan ( ∗ ) 𝑝𝑝𝑏𝑏 0 + 𝑝𝑝 ( 𝑏𝑏 1 + 𝑏𝑏 2 + ⋯ + 𝑏𝑏 𝑛𝑛−1 ) = 1 𝑝𝑝𝑏𝑏 0 + 𝑝𝑝 [( 𝑛𝑛 − 1)(( 𝑝𝑝 − 𝑝𝑝 ) −1 + 𝑏𝑏 0 )]   = 1 𝑝𝑝𝑏𝑏 0 + 𝑝𝑝 [( 𝑛𝑛 − 1)( 𝑝𝑝 − 𝑝𝑝 ) −1 ] + 𝑝𝑝 [( 𝑛𝑛 − 1) 𝑏𝑏 0 )]   = 1 [ 𝑝𝑝 + 𝑝𝑝 ( 𝑛𝑛 − 1)] 𝑏𝑏 0 = 1 − 𝑝𝑝 [( 𝑛𝑛 − 1)( 𝑝𝑝 − 𝑝𝑝 ) −1 ] [ 𝑝𝑝 + 𝑝𝑝 ( 𝑛𝑛 − 1)] −1 [ 𝑝𝑝 + 𝑝𝑝 ( 𝑛𝑛 − 1)] 𝑏𝑏 0 =  [ 𝑝𝑝 + 𝑝𝑝 ( 𝑛𝑛 − 1)] −1 − 𝑝𝑝 [( 𝑛𝑛 − 1)( 𝑝𝑝 − 𝑝𝑝 ) −1 ] [ 𝑝𝑝 + 𝑝𝑝 ( 𝑛𝑛 − 1)] −1 𝑏𝑏 0 =   [ 𝑝𝑝 + 𝑝𝑝 ( 𝑛𝑛 − 1)] −1 − 𝑝𝑝 [( 𝑛𝑛 − 1)( 𝑝𝑝 − 𝑝𝑝 ) −1 ] [ 𝑝𝑝 + 𝑝𝑝 ( 𝑛𝑛 − 1)] −1 𝑏𝑏 0 =   [ −𝑝𝑝𝑝𝑝 −1 𝑝𝑝 + 𝑛𝑛 ( 𝑝𝑝 − 𝑝𝑝 ) + 𝑝𝑝 ] −1 [ −𝑝𝑝𝑝𝑝 −1 − ( 𝑛𝑛 − 1)]
Maka diperoleh :
𝑏𝑏 0 =   [ −𝑝𝑝𝑝𝑝 −1 𝑝𝑝 + 𝑛𝑛 ( 𝑝𝑝 − 𝑝𝑝 ) + 𝑝𝑝 ] −1 [ −𝑝𝑝𝑝𝑝 −1 − ( 𝑛𝑛 − 1)] 𝑏𝑏 1 = 𝑏𝑏 2 = ⋯ = 𝑏𝑏 𝑛𝑛−1 = ( 𝑝𝑝 − 𝑝𝑝 ) −1 + 𝑏𝑏 0
= ( 𝑝𝑝 − 𝑝𝑝 ) −1 + [ −𝑝𝑝𝑝𝑝 −1 𝑝𝑝 + 𝑛𝑛 ( 𝑝𝑝 − 𝑝𝑝 ) + 𝑝𝑝 ] −1 [ −𝑝𝑝𝑝𝑝 −1 − ( 𝑛𝑛 − 1)]
Sehingga,
𝑊𝑊 −1 = 𝑆𝑆 𝑐𝑐 ( 𝑏𝑏 0 , 𝑏𝑏 1 , … , 𝑏𝑏 𝑛𝑛−1 ) ∎
Teorema 4.3.2 Diberikan 𝑊𝑊 = 𝑆𝑆 𝑐𝑐 ( 𝑝𝑝 , 𝑝𝑝 + 𝑝𝑝 , 𝑝𝑝 + 2 𝑝𝑝 … , 𝑝𝑝 + ( 𝑛𝑛 − 1) 𝑝𝑝 ) dan  p,  q  unit di  K. K adalah skew field. Jika W invertible (dapat dibalik) maka 𝑊𝑊 −1 = 𝑆𝑆 𝑐𝑐 ( 𝑏𝑏 0 , 𝑏𝑏 1 , … , 𝑏𝑏 𝑛𝑛−1 ) dimana 𝑏𝑏 0 = [ ∑ ( 𝑝𝑝 + 𝑖𝑖𝑝𝑝 ) 𝑛𝑛−1 𝑖𝑖=0 ] −1 − 𝑏𝑏 1 − ⋯ − 𝑏𝑏 𝑛𝑛−1 𝑏𝑏 1 = 𝑏𝑏 2 = ⋯ = 𝑏𝑏 𝑛𝑛−2 = 𝑛𝑛 −1 [ ∑ ( 𝑝𝑝 + 𝑖𝑖𝑝𝑝 ) 𝑛𝑛−1 𝑖𝑖=0 ] −1
𝑏𝑏 𝑛𝑛−1 = (1 + 𝑝𝑝 −1 𝑝𝑝 ) �∑ ( 𝑝𝑝 + 𝑖𝑖𝑝𝑝 ) 𝑛𝑛−1 𝑖𝑖=0 � −1 + (1 + 2 + ⋯ + ( 𝑛𝑛 − 2)) ( 𝑛𝑛 −1 �∑ ( 𝑝𝑝 + 𝑖𝑖𝑝𝑝 ) 𝑛𝑛−1 𝑖𝑖=0 � −1 ) .
Bukti: Diberikan 𝑊𝑊 = 𝑆𝑆 𝑐𝑐 ( 𝑝𝑝 , 𝑝𝑝 + 𝑝𝑝 , 𝑝𝑝 + 2 𝑝𝑝 … , 𝑝𝑝 + ( 𝑛𝑛 − 1) 𝑝𝑝 ) adalah matriks sirkulan simetris atas skew field
dengan 𝐴𝐴 𝑛𝑛 × 𝑛𝑛 = � 𝑝𝑝 𝑝𝑝 + 𝑝𝑝 ⋮ 𝑝𝑝 + ( 𝑛𝑛 − 1) 𝑝𝑝 𝑝𝑝 + 𝑝𝑝 𝑝𝑝 + 2 𝑝𝑝 ⋮ 𝑝𝑝 𝑝𝑝 + 2 𝑝𝑝 𝑝𝑝 + 3 𝑝𝑝 ⋮ 𝑝𝑝 + 𝑝𝑝 … … ⋱ … 𝑝𝑝 + ( 𝑛𝑛 − 1) 𝑝𝑝 𝑝𝑝 ⋮ 𝑝𝑝 + ( 𝑛𝑛 − 2) 𝑝𝑝 �
Sistem persamaan linier dari matriks 𝐴𝐴 adalah
𝑊𝑊 𝑥𝑥 = 𝑏𝑏 𝑊𝑊 � 𝑥𝑥 0 𝑥𝑥 1 ⋮ 𝑥𝑥 𝑛𝑛−1 � = � 1 0 ⋮
0 � A adalah koefisien.
Untuk menentukan solusi dari sistem persamaan linier dapat dilakukan dengan cara membentuk matriks yang diperbesar dari sistem persamaan linier dan melakukan operasi baris elementer pada matriks yang diperbesar tersebut. Dilakukan  operasi baris elementer pada matriks yang diperbesar 𝑊𝑊 � dari W sebagai berrikut.
𝑊𝑊 � = � 𝑝𝑝 𝑝𝑝 + 𝑝𝑝 ⋮ 𝑝𝑝 + ( 𝑛𝑛 − 1) 𝑝𝑝 𝑝𝑝 + 𝑝𝑝 𝑝𝑝 + 2 𝑝𝑝 ⋮ 𝑝𝑝 𝑝𝑝 + 2 𝑝𝑝 𝑝𝑝 + 3 𝑝𝑝 ⋮ 𝑝𝑝 + 𝑝𝑝 … … ⋱ … 𝑝𝑝 + ( 𝑛𝑛 − 1) 𝑝𝑝 𝑝𝑝 ⋮ 𝑝𝑝 + ( 𝑛𝑛 − 2) 𝑝𝑝 1 0 ⋮ 0 �
Baris pertama dikali − 1 dan dijumlahkan dengan baris kedua kemudian dibagi 𝑝𝑝 untuk memperoleh
→ � 1 𝑝𝑝 + 𝑝𝑝 ⋮ 𝑝𝑝 + ( 𝑛𝑛 − 1) 𝑝𝑝 1 𝑝𝑝 + 2 𝑝𝑝 ⋮ 𝑝𝑝 1 𝑝𝑝 + 3 𝑝𝑝 ⋮ 𝑝𝑝 + 𝑝𝑝 … … ⋱ … 1 𝑝𝑝 + ( 𝑛𝑛 − 1) 𝑝𝑝 ⋮ 𝑝𝑝 + ( 𝑛𝑛 − 3) 𝑝𝑝 1 𝑝𝑝 ⋮ 𝑝𝑝 + ( 𝑛𝑛 − 2) 𝑝𝑝
[ ∑ ( 𝑝𝑝 + 𝑖𝑖𝑝𝑝 ) 𝑛𝑛−1 𝑖𝑖=0 ] −1 0 ⋮ 0 � Baris pertama dikali – ( 𝑝𝑝 + 𝑝𝑝 ) dan dijumlahkan dengan baris kedua kemudian dibagi 𝑝𝑝 , lakukan juga hal yang sama pada baris ketiga dan ke −𝑛𝑛 untuk memperoleh
→ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ 1 0 0 ⋮ 0 1 1 0 ⋮ −𝑛𝑛 1 2 0 ⋮ 0 … … … ⋱ … 1 𝑛𝑛 − 2 −𝑛𝑛 ⋮ 0 1 − 1 0 ⋮ 0 [ ∑ ( 𝑝𝑝 + 𝑖𝑖𝑝𝑝 ) 𝑛𝑛−1 𝑖𝑖=0 ] −1 − (1 + 𝑝𝑝 −1 𝑝𝑝 )[ ∑ ( 𝑝𝑝 + 𝑖𝑖𝑝𝑝 ) 𝑛𝑛−1 𝑖𝑖=0 ] −1 − [ ∑ ( 𝑝𝑝 + 𝑖𝑖𝑝𝑝 ) 𝑛𝑛−1 𝑖𝑖=0 ] −1 ⋮ − [ ∑ ( 𝑝𝑝 + 𝑖𝑖𝑝𝑝 ) 𝑛𝑛−1 𝑖𝑖=0 ] −1 ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤
Sehingga diperoleh sistem persamaan berikut: 𝑏𝑏 0 + 𝑏𝑏 1 + ⋯ + 𝑏𝑏 𝑛𝑛−1 = [ ∑ ( 𝑝𝑝 + 𝑖𝑖𝑝𝑝 ) 𝑛𝑛−1 𝑖𝑖=0 ] −1 , 𝑏𝑏 1 + 2 𝑏𝑏 2 + ⋯ + ( 𝑛𝑛 − 2) 𝑏𝑏 𝑛𝑛−2 − 𝑏𝑏 𝑛𝑛−1 = − (1 + 𝑝𝑝 −1 𝑝𝑝 )[ ∑ ( 𝑝𝑝 + 𝑖𝑖𝑝𝑝 ) 𝑛𝑛−1 𝑖𝑖=0 ] −1 ,
−𝑛𝑛𝑏𝑏 𝑛𝑛−2 = − [ ∑ ( 𝑝𝑝 + 𝑖𝑖𝑝𝑝 ) 𝑛𝑛−1 𝑖𝑖=0 ] −1 ⋮ −𝑛𝑛𝑏𝑏 1 = − [ ∑ ( 𝑝𝑝 + 𝑖𝑖𝑝𝑝 ) 𝑛𝑛−1 𝑖𝑖=0 ] −1 ,
Dilakukan penyederhanaan untuk memperoleh
𝑏𝑏 0 + 𝑏𝑏 1 + ⋯ + 𝑏𝑏 𝑛𝑛−1 = [ ∑ ( 𝑝𝑝 + 𝑖𝑖𝑝𝑝 ) 𝑛𝑛−1 𝑖𝑖=0 ] −1 , ( ∗ ) 𝑏𝑏 1 + 2 𝑏𝑏 2 + ⋯ + ( 𝑛𝑛 − 2) 𝑏𝑏 𝑛𝑛−2 − 𝑏𝑏 𝑛𝑛−1 = − (1 + 𝑝𝑝 −1 𝑝𝑝 )[ ∑ ( 𝑝𝑝 + 𝑖𝑖𝑝𝑝 ) 𝑛𝑛−1 𝑖𝑖=0 ] −1 , ( ∗∗ ) −𝑛𝑛𝑏𝑏 𝑗𝑗 = − [ ∑ ( 𝑝𝑝 + 𝑖𝑖𝑝𝑝 ) 𝑛𝑛−1 𝑖𝑖=0 ] −1 , 𝑗𝑗 = 1,2, … , 𝑛𝑛 − 2 ( ∗∗∗ )
Dari persamaan ( ∗∗∗ ) −𝑛𝑛𝑏𝑏 𝑗𝑗 = − [ ∑ ( 𝑝𝑝 + 𝑖𝑖𝑝𝑝 ) 𝑛𝑛−1 𝑖𝑖=0 ] −1 𝑛𝑛𝑏𝑏 𝑗𝑗 = [ ∑ ( 𝑝𝑝 + 𝑖𝑖𝑝𝑝 ) 𝑛𝑛−1 𝑖𝑖=0 ] −1 𝑏𝑏 𝑗𝑗 = 𝑛𝑛 −1 [ ∑ ( 𝑝𝑝 + 𝑖𝑖𝑝𝑝 ) 𝑛𝑛−1 𝑖𝑖=0 ] −1 𝑗𝑗 = 1,2, … , 𝑛𝑛 − 2
Dari persamaan ( ∗∗ ) , misal 𝑥𝑥 = 𝑛𝑛 −1 [ ∑ ( 𝑝𝑝 + 𝑖𝑖𝑝𝑝 ) 𝑛𝑛−1 𝑖𝑖=0 ] −1 𝑏𝑏 1 + 2 𝑏𝑏 2 + ⋯ + ( 𝑛𝑛 − 2) 𝑏𝑏 𝑛𝑛−2 − 𝑏𝑏 𝑛𝑛−1 = − (1 + 𝑝𝑝 −1 𝑝𝑝 )[ ∑ ( 𝑝𝑝 + 𝑖𝑖𝑝𝑝 ) 𝑛𝑛−1 𝑖𝑖=0 ] −1 𝑥𝑥 + 2 𝑥𝑥 + ⋯ + ( 𝑛𝑛 − 2) 𝑥𝑥 − 𝑏𝑏 𝑛𝑛−1 = − (1 + 𝑝𝑝 −1 𝑝𝑝 )[ ∑ ( 𝑝𝑝 + 𝑖𝑖𝑝𝑝 ) 𝑛𝑛−1 𝑖𝑖=0 ] −1 𝑥𝑥 (1 + 2 + ⋯ + ( 𝑛𝑛 − 2)) − 𝑏𝑏 𝑛𝑛−1 = − (1 + 𝑝𝑝 −1 𝑝𝑝 )[ ∑ ( 𝑝𝑝 + 𝑖𝑖𝑝𝑝 ) 𝑛𝑛−1 𝑖𝑖=0 ] −1 𝑏𝑏 𝑛𝑛−1 = (1 + 𝑝𝑝 −1 𝑝𝑝 )[ ∑ ( 𝑝𝑝 + 𝑖𝑖𝑝𝑝 ) 𝑛𝑛−1 𝑖𝑖=0 ] −1 + 𝑥𝑥 (1 + 2 + ⋯ + ( 𝑛𝑛 − 2)) 𝑏𝑏 𝑛𝑛−1 = (1 + 𝑝𝑝 −1 𝑝𝑝 )[ ∑ ( 𝑝𝑝 + 𝑖𝑖𝑝𝑝 ) 𝑛𝑛−1 𝑖𝑖=0 ] −1 + (1 + 2 + ⋯ + ( 𝑛𝑛 − 2)) ( 𝑛𝑛 −1 [ ∑ ( 𝑝𝑝 + 𝑖𝑖𝑝𝑝 ) 𝑛𝑛−1 𝑖𝑖=0 ] −1 )
Dari persamaan ( ∗ ) 𝑏𝑏 0 + 𝑏𝑏 1 + ⋯ + 𝑏𝑏 𝑛𝑛−1 = [ ∑ ( 𝑝𝑝 + 𝑖𝑖𝑝𝑝 ) 𝑛𝑛−1 𝑖𝑖=0 ] −1 𝑏𝑏 0 = [ ∑ ( 𝑝𝑝 + 𝑖𝑖𝑝𝑝 ) 𝑛𝑛−1 𝑖𝑖=0 ] −1 − 𝑏𝑏 1 − ⋯ − 𝑏𝑏 𝑛𝑛−1 Maka diperoleh, 𝑏𝑏 0 = [ ∑ ( 𝑝𝑝 + 𝑖𝑖𝑝𝑝 ) 𝑛𝑛−1 𝑖𝑖=0 ] −1 − 𝑏𝑏 1 − ⋯ − 𝑏𝑏 𝑛𝑛−1 𝑏𝑏 1 = 𝑏𝑏 2 = ⋯ = 𝑏𝑏 𝑛𝑛−2 = 𝑛𝑛 −1 [ ∑ ( 𝑝𝑝 + 𝑖𝑖𝑝𝑝 ) 𝑛𝑛−1 𝑖𝑖=0 ] −1 𝑏𝑏 𝑛𝑛−1 = (1 + 𝑝𝑝 −1 𝑝𝑝 )[ ∑ ( 𝑝𝑝 + 𝑖𝑖𝑝𝑝 ) 𝑛𝑛−1 𝑖𝑖=0 ] −1 + (1 + 2 + ⋯ + ( 𝑛𝑛 − 2)) ( 𝑛𝑛 −1 [ ∑ ( 𝑝𝑝 + 𝑖𝑖𝑝𝑝 ) 𝑛𝑛−1 𝑖𝑖=0 ] −1 ) . Sehingga 𝑊𝑊 −1 = 𝑆𝑆 𝑐𝑐 ( 𝑏𝑏 0 , 𝑏𝑏 1 , … , 𝑏𝑏 𝑛𝑛−1 ) ∎

## 5. KESIMPULAN
1) Matriks  sirkulan simetris adalah  suatu matriks sirkulan  yang baris (atau kolomnya) merupakan pergeseran  ke kiri sekali (satu entri) dari baris (atau kolom) sebelumnya.
2) Perkalian dari dua matriks sirkulan simetris adalah matriks sirkulan.
3) Invers dari matriks sirkulan simetris adalah matriks sirkulan simetris juga.
4) Setiap matriks  sirkulan simetris  atas skew field memiliki invers  sehingga berlaku 𝑊𝑊𝑊𝑊 −1 = 𝑊𝑊 −1 𝑊𝑊 = 𝐼𝐼 .

## 6. DAFTAR PUSTAKA
[1]  Anton, H. 1994. Aljabar Linier Elementer. Edisi Ke-5. Erlangga. Jakarta.
[2]  Anton, H. 2000. Dasar-Dasar Aljabar Linear Jilid 1 . Edisi ke-7. Terjemahan Hari Suminto. Interaksara, Batam.
[3]  Brualdi, R. A. 2009. A Combinatorial Approach to Matrix Theory and Its Applications . CRC Press, New York.
[4]  Fraleigh, J. B. 2003. A First Course in Abstract Algebra . Edisi ke-7. Addison-Wesley Publishing Company inc., United States.
[5]  Leon, SJ. 2001. Aljabar Linier dan Aplikasinya. Edisi ke-5.  Erlangga. Jakarta.
[6]  Munir, Rinaldi. 2010. Matematika Diskrit . Revisi  ke-4. Informatika, Bandung.
[7]  Supranto, J. 1998. Pengantar Matrix . Edisi revisi. Rineka Cipta, Jakarta.
[8]  Nurmayanti, Ulva. 2012. Jenis-jenis Matriks ,  http://ulva-s-nurmaryani fst10.web.unair.ac.id/artikel_detail-49810-Kuliah Campur Aduk-Jenis Jenis Matriks.html, April 2016.
[9]  Wang, J. & Dong, C. 2007. Inverse Matrix of Symmetric Circulant Matrix on Skew Field. International Journal of Algebra . Vol. 1 : 541 – 546.