## Kesemiprimaan Aljabar Lintasan dan Aljabar Lintasan Leavit

## Khurul Wardati
Program Studi Pendidikan Matematika Fakultas Sains dan Teknologi, UIN Sunan Kalijaga, Jl. Marsda Adisucipto No. 1 Yogyakarta, Indonesia
Korespondensi; Email: ag_khurul@yahoo.co.id

## Abstrak
Aljabar lintasan 𝑹𝑬 dan aljabar lintasan Leavitt 𝑳 𝑹 (𝑬) atas ring komutatif unital R dikonstruksi dari semigrupring yang merupakan aljabar asosiatif dan bebas. Syarat perlu dan cukup 𝑹𝑬 prima mendasar, semiprima mendasar dan 𝑳 𝑹 (𝑬) prima  mendasar  masing-masing  berkaitan  dengan  struktur  grafnya.  Akan  tetapi,  kesemiprimaan 𝑳 𝑹 (𝑬) bergantung  pada R yang  semiprima.  Hal  ini  berakibat  sebarang  aljabar  lintasan  leavitt  atas  lapangan  selalu semiprima.
Kata Kunci:

## Abstract
The path algebras 𝑹𝑬 and The Leavitt path algebras 𝑳 𝑹 (𝑬) over a commutative unital ring 𝑹 are constructed by semigrouprings, and both are free associative algebras. Necessary and sufficient conditions of basically prime 𝑹𝑬 and 𝑳 𝑹 (𝑬) and  basically semiprime 𝑹𝑬 are related to the structure of  graph 𝑬 . However,  the semiprimeness of 𝑳 𝑹 (𝑬) are based on the semiprimeness of 𝑹 . It implies that any Leavitt path algebra over field is always semiprime.
Keywords

## Pendahuluan
Aljabar lintasan ( path algebra) merupakan gabungan antara graf dan aljabar. Telaah tentang aljabar lintasan atas lapangan K pada graf E yang dinotasikan dengan KE dapat dilihat [6] dan [7]. Beberapa sifat  penting  aljabar  lintasan KE  yang  telah  dibahas  dalam  [7],  antara  lain:  aljabar  lintasan  KE merupakan  aljabar  bertingkat  ( graded  algebra)  yang  asosiatif,  KE  adalah  aljabar  unital  jika  graf  E berhingga, serta KE berdimensi berhingga jika graf E berhingga dan asiklis. Selain itu, hasil penelitian [6] adalah ditemukannya syarat perlu dan cukup pada suatu graf E sedemikian sehingga aljabar lintasan KE bersifat semiprima.
Sebarang graf E dapat diperluas menjadi graf perluasan dengan notasi 𝐸̂ . Aljabar lintasan Leavitt ( Leavitt path algebra) atas lapangan K pada graf E adalah aljabar lintasan 𝐾𝐸̂ yang memenuhi dua (2)  syarat Cuntz-Krieger,  yang  selanjutnya  dinotasikan  dengan 𝐿 𝐾 (𝐸) .  Penelitian  tentang  aljabar lintasan Leavitt 𝐿 𝐾 (𝐸) terus berkembang yang menghasilkan teori-teori baru. Beberapa topik penelitian telah dilakukan dan diperoleh hasil antara  lain: ditemukannya syarat  perlu dan cukup pada  graf E sedemikian sehingga aljabar lintasan Leavitt 𝐿 𝐾 (𝐸) berdimensi hingga [4], 𝐿 𝐾 (𝐸) bersifat sederhana [1], 𝐿 𝐾 (𝐸) adalah Locally Finite atau Noether [2], dan 𝐿 𝐾 (𝐸) bersifat prima [5]. Hasil lain dari [6] bahwa 𝐿 𝐾 (𝐸) bersifat non-degenerate atau merupakan aljabar semiprima. Sifat sederhana aljabar lintasan Leavitt 𝐿 𝐾 (𝐸) bergantung pada struktur graf yang memenuhi syarat tertentu dan bukan karena  kesederhanaan lapangan K. Demikian pula syarat perlu dan cukup dari sifat-sifat 𝐿 𝐾 (𝐸) di  atas  juga  bergantung  pada  struktur  grafnya.  Selain  itu,  kesemiprimaan  aljabar
lintasan KE  ditentukan pula oleh struktur grafnya. Hai inilah yang memotivasi pengembangan aljabar lintasan dan aljabar lintasan Leavitt pada ruang lingkup yang lebih umum.
Aljabar lintasan Leavitt atas ring komutatif R dengan elemen satuan, yang dinotasikan dengan 𝐿 𝑅 (𝐸) telah dikaji oleh [9]. Sebagian sifat aljabar lintasan Leavitt 𝐿 𝐾 (𝐸) tetap bertahan dalam 𝐿 𝑅 (𝐸) , namun ada beberapa sifat yang sedikit berbeda antara keduanya, seperti Teorema Ketunggalan Bertingkat dan Teorema Ketunggalan Cuntz-Krieger [10].
Temuan lain dari [9] adalah didefinisikannya ideal dasar ( basic ideal) dari 𝐿 𝑅 (𝐸) , di mana setiap ideal dari 𝐿 𝐾 (𝐸) adalah ideal dasar. Berdasarkan ideal dasar ini, didefinisikan sifat sederhana mendasar ( basically simple) aljabar lintasan Leavitt 𝐿 𝑅 (𝐸), yaitu aljabar yang ideal dasarnya hanyalah ideal nol dan 𝐿 𝑅 (𝐸) sendiri [9]. Syarat  perlu  dan  cukup aljabar  lintasan  Leavitt 𝐿 𝑅 (𝐸) sederhana  mendasar sama dengan syarat perlu dan cukup 𝐿 𝐾 (𝐸) bersifat sederhana yang tergantung pada struktur grafnya. Artikel ini akan memberikan gagasan konseptual pengembangan aljabar lintasan dan aljabar lintasan Leavitt. Artikel dimulai dari bagaimana menggabungkan graf dengan aljabar sebagai konstruksi aljabar lintasan dan aljabar lintasan Leavitt. Pembahasan berikutnya adalah beberapa hasil penelitian berkaitan dengan sifat-sifat aljabar lintasan dan aljabar lintasan Leavitt atas ring komutatif unital. Sebelum bab penutup, akan dikaji pengembangan dan beberapa masalah terbuka ( open problems) berkaitan dengan aljabar lintasan dan aljabar lintasan Leavitt.

## Konstruksi Aljabar Lintasan dan Aljabar Lintasan Leavitt
Aljabar lintasan dan aljabar lintasan Leavitt dikonstruksi dari graf yang dipandang secara aljabar. Graf dalam artikel ini adalah graf berarah ( directed graph) atau quiver yang tidak dipandang sebagai objek kombinatorik, dan selanjutnya hanya dikatakan dengan graf.
1. Graf, Graf Perluasan dan Sifat-sifatnya Secara umum, graf dipandang sebagai sepasang  himpunan 0 1 (E ,E ) E  dengan 𝐸 0 adalah himpunan tak kosong dari titik-titik ( vertices) dan 𝐸 1 merupakan himpunan sisi-sisi ( edges). Definisi graf secara aljabar yang digunakan dalam tulisan ini adalah sebagai berikut.
Definisi 1.1 [7] Graf 𝐸 = (𝐸 0 , 𝐸 1 , 𝑠, 𝑟) terdiri dari himpunan titik-titik 𝐸 0 dan himpunan sisi-sisi 𝐸 1 yang  menghubungkan  titik  di 𝐸 0 dengan  fungsi-fungsi 𝑠, 𝑟: 𝐸 1 → 𝐸 0 , secara  berurutan  didefinisikan 𝑠(𝑒) = sumber ( source) dan 𝑟(𝑒) = ujung atau bayangan ( range).
Graf  dapat  dipisahkan  dengan  tetap  memperhatikan  sisi  dan  titik  di  dalamnya.  Sebagaimana himpunan, bagian dari graf yang dipisahkan dari graf aslinya disebut sebagai subgraf.
Definisi 1.2 [7] Diberikan graf 𝐸 = (𝐸 0 , 𝐸 1 , 𝑠, 𝑟) . Graf 𝐸′ = ((𝐸′) 0 , (𝐸 ′ ) 1 , 𝑠′, 𝑟′) adalah subgraf dari E, jika (𝐸′) 0 ⊆ 𝐸 0 , (𝐸 ′ ) 1 ⊆ 𝐸 1 , 𝑠 ′ = 𝑠| (𝐸 ′ ) 1 dan 𝑟 ′ = 𝑟| (𝐸 ′ ) 1 . Jika (𝐸 ′ ) 1 = {𝑒 ∈ 𝐸 1 : 𝑠(𝑒), 𝑟(𝑒) ∈ (𝐸 ′ ) 1 } maka 𝐸′ disebut subgraf penuh dari E.
Lintasan 𝜇 dalam graf E yang panjangnya 𝑘 adalah barisan sisi-sisi, katakan 𝜇 = 𝑒 1 𝑒 2 … 𝑒 𝑘 dengan 𝑒 𝑖 ∈ 𝐸 1 dan 𝑟(𝑒 𝑖 ) = 𝑠(𝑒 𝑖+1 ) untuk 𝑖 = 1,2, … , 𝑘 − 1. Sumber  dan  ujung  dari  lintasan 𝜇 secara berurutan dinotasikan oleh 𝑠(𝜇) dan 𝑟(𝜇) dengan 𝑠(𝜇) = 𝑠(𝑒 1 ) dan 𝑟(𝜇) = 𝑟(𝑒 𝑘 ). Setiap titik 𝑣 ∈ 𝐸 0 diasosiasikan  dengan  lintasan  yang  panjangnya  0  dan  disebut  lintasan  trivial  atau  stasioner, sedangkan  setiap  sisi  e ∈ 𝐸 1 merupakan  lintasan  yang  panjangnya  1.  Suatu  sisi 𝑓 ∈ 𝐸 1 disebut  sisi keluar ( exit) dari lintasan 𝜇 = 𝑒 1 𝑒 2 … 𝑒 𝑘 , jika terdapat 𝑖 sedemikian sehingga 𝑠(𝑓) = 𝑠(𝑒 𝑖 ) dan 𝑓 ≠ 𝑒 𝑖 . Lintasan 𝜇 = 𝑒 1 𝑒 2 … 𝑒 𝑘 disebut sikel ( Cycle) jika sumber dan ujungnya sama dan tidak ada sisi yang diulang, dengan kata lain, 𝑟(𝜇) = 𝑠(𝜇) dan untuk setiap 𝑖 ≠ 𝑗, 𝑠(𝑒 𝑖 ) ≠ 𝑠(𝑒 𝑗 ) . Sikel yang panjangnya 1 disebut loop. Himpunan semua lintasan dalam graf E dinotasikan dengan Path(E). Operasi perkalian sebarang dua lintasan dapat didefinisikan pada Path(E). Definisi operasi perkalian ini digunakan untuk mendefinisikan aljabar lintasan.
Definisi  1.3  [7]  Diberikan  graf 𝐸 = (𝐸 0 , 𝐸 1 , 𝑠, 𝑟) dan lintasan 𝜇, 𝜗 ∈ 𝑃𝑎𝑡ℎ(𝐸). dengan 𝜇 = 𝑒 1 𝑒 2 … 𝑒 𝑚 ; 𝜗 = 𝑓 1 𝑓 2 … 𝑓 𝑛 yang secara berturutan bersumber di 𝑎, 𝑐 dan berujung di 𝑏, 𝑑 untuk suatu 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 ∈ 𝐸 0 . Operasi dua lintasan 𝜇 dan 𝜗 adalah
𝜇𝜗 = { 𝑒 1 𝑒 2 … 𝑒 𝑚 𝑓 1 𝑓 2 … 𝑓 𝑛 0 , jika 𝑟(𝑒 𝑚 ) = 𝑠(𝑓) , jika 𝑟(𝑒 𝑚 ) ≠ 𝑠(𝑓) (1)
dengan 0 dikatakan sebagai lintasan nol.
Graf E dapat diperluas dengan memandang arah sebaliknya dari sisi-sisi dalam 𝐸 1 . Sisi dalam 𝐸 1 disebut sisi real ( real edge) dan sisi dengan arah sebaliknya disebut sisi hantu (ghost edge). Himpunan semua  sisi  hantu  dalam  graf E  dinyatakan  dengan (𝐸 1 ) ∗ . Berikut  diberikan  definisi  dari  graf  yang diperluas.
Definisi  1.4  [4]  Graf  perluasan  ( extended graph)  dari  graf 𝐸 = (𝐸 0 , 𝐸 1 , 𝑠, 𝑟) adalah  graf  baru 𝐸̂ = (𝐸 0 , 𝐸 1 ∪ (𝐸 1 ) ∗ , 𝑠′, 𝑟′) dengan (𝐸 1 ) ∗ = {𝑒 ∗ |𝑒 ∈ 𝐸 1 } himpunan semua sisi hantu  dan fungsi 𝑠 ′ , 𝑟′ adalah 𝑠′| 𝐸 1 = 𝑠, 𝑟′| 𝐸 1 = 𝑟 , 𝑠 ′ (𝑒 ∗ ) = 𝑟(𝑒), 𝑟′(𝑒 ∗ ) = 𝑠(𝑒) .
Beberapa sifat aljabar ditentukan oleh sifat ideal-idealnya. Ideal dalam aljabar lintasan dan aljabar lintasan Leavitt dapat dibentuk oleh subhimpunan dari 𝐸 0 dengan sifat khusus yang disebut herediter ( hereditary). Sifat herediter berkaitan dengan relasi mendahului (preorder) " ≤ " : untuk setiap 𝑣, 𝑤 ∈ 𝐸 0 , 𝑣 ≤ 𝑤 jika dan hanya jika 𝑣 = 𝑤 atau terdapat lintasan 𝜇 sehingga 𝑠(𝜇) = 𝑣, 𝑟(𝜇) = 𝑤. Selain herediter, sifat lain dari subhimpunan dari 𝐸 0 adalah tersaturasi ( saturated).
Definisi 1.5 [1] Subhimpunan 𝐻 ⊆ 𝐸 0 disebut herediter jika untuk setiap 𝑣, 𝑤 ∈ 𝐸 0 dengan 𝑣 ≤ 𝑤, 𝑣 ∈ 𝐻 berakibat 𝑤 ∈ 𝐻 . Subhimpunan 𝐻 dikatakan tersaturasi jika untuk setiap 𝑣 ∈ 𝐸 0 dengan 𝑠 −1 (𝑣) ≠ ∅, r(𝑠 −1 (𝑣)) ⊆ H berakibat 𝑣 ∈ 𝐻 . Penyaturasi subhimpunan herediter 𝐻 dinotasikan dengan 𝐻 ̅.
Dua buah subhimpunan herediter, gabungan dan irisan keduanya merupakan subhimpunan herediter. Namun,  gabungan  dua  buah  subhimpunan  tersaturasi  belum  tentu  tersaturasi,  meskipun  irisan  dua subhimpunan  tersaturasi  selalu  tersaturasi.  Komplemen  dari  subhimpunan  herediter  tersaturasi  yang memenuhi  kondisi  ekor  maksimal  ( maximal  tail)  berpengaruh  pada  keprimaan  ideal  dalam  aljabar lintasan dan aljabar lintasan Leavitt.
Definisi 1.6 [5] Subhimpunan tak kosong 𝑀 ⊆ 𝐸 0 disebut memenuhi kondisi ekor maksimal jika 𝑀 memenuhi sifat-sifat : ( MT1) Jika 𝑣 ∈ 𝐸 0 , 𝑤 ∈ 𝑀 dan 𝑣 ≤ 𝑤 maka 𝑣 ∈ 𝑀 ( MT2) Jika 𝑣 ∈ 𝑀 dengan 𝑠 −1 (𝑣) ≠ ∅ maka terdapat 𝑒 ∈ 𝐸 1 dengan 𝑠(𝑒) = 𝑣 dan 𝑟(𝑒) ∈ 𝑀 . ( MT3) Untuk setiap 𝑣, 𝑤 ∈ 𝑀 terdapat 𝑦 ∈ 𝑀 sehingga 𝑣 ≤ 𝑦, 𝑤 ≤ 𝑦 .
Contoh 1.7 Perhatikan Gambar 1, 𝑀 = {𝑣 0 , 𝑣 1 , 𝑣 2 } merupakan ekor maksimal, sedangkan 𝐸 0 bukan ekor maksimal  karena 𝐸 0 tidak memenuhi ( MT3) : ∃𝑣 2 , 𝑣 3 ∈ 𝐸 0 dengan 𝑣 2 ≰ 𝑣, 𝑣 3 ≰ 𝑣, ∀𝑣 ∈ 𝐸 0 . Subhimpunan 𝐿 = {𝑣 1 , 𝑣 2 , 𝑣 3 } dan 𝑁 = {𝑣 0 , 𝑣 1 } keduanya  bukan  ekor  maksimal  karena 𝐿 tidak memenuhi ( MT1) dan 𝑁 tidak memenuhi ( MT2). Hal ini dikarenakan 𝑣 1 ∈ 𝐿, 𝑣 0 ≤ 𝑣 1 tetapi 𝑣 0 ∉ 𝐿 , dan karena 𝑠 −1 (𝑣 1 ) ≠ ∅ tetapi ∀𝑒 ∈ 𝐸 1 dengan 𝑟(𝑒) = 𝑣 1 , 𝑟(𝑒) ∉ 𝑁 .
Gambar 1 Ilustrasi Kondisi Ekor Maksimal.
Perhatikan  kembali  Gambar  1  dan  Contoh  1.6, 𝐸 0 \𝑀 = {𝑣 3 } bersifat  herediter  dan  tersaturasi, 𝐸 0 \𝐿 = {𝑣 0 } tidak herediter namun tersaturasi, dan 𝐸 0 \𝑁 = {𝑣 2 , 𝑣 3 } herediter tetapi tidak tersaturasi. Hal ini mengilustrasikan keterkaitan antara kondisi ekor maksimal dengan sifat herediter tersaturasi.
Lemma 1.8 [5] Diberikan graf E dan 𝐻 ⊂ 𝐸 0 . Subhimpunan H bersifat herediter dan tersaturasi jika dan hanya jika 𝑀 = 𝐸 0 \𝐻 memenuhi kondisi ( MT1) dan (MT2).
Menurut [6], aljabar lintasan KE atas lapangan K pada graf E merupakan subaljabar bertingkat dari aljabar  lintasan  Leavitt 𝐿 𝐾 (𝐸) .  Perlunya  dikaji  aljabar  lintasan  atas  ring  komutatif  unital R  beserta sifat-sifatnya, termotivasi dari [9] yaitu perumuman aljabar lintasan Leavitt 𝐿 𝑅 (𝐸) dari 𝐿 𝐾 (𝐸) .

## 2. Aljabar Lintasan Atas Ring Komutatif Unital dan Sifat-sifatnya
Jika  diperhatikan  Definisi  1.2,  operasi  perkalian  dua  buah  lintasan  dalam  persamaan  (1)  dan diasumsikan adanya lintasan nol dalam graf E, maka himpunan semua lintasan Path(E) dapat dipandang sebagai semigrup. Menurut [8], semigrup ring dari Path(E) atas ring komutatif unital R yang dinotasikan dengan R(Path(E)) adalah himpunan kombinasi linear berhingga Path(E) atas R dan merupakan R-aljabar asosiatif dengan basis Path(E). Aljabar bebas R(Path(E)) yang memenuhi syarat tertentu disebut aljabar lintasan atas R, yang selanjutnya dinotasikan dengan RE.
Definisi 2.1 [12] Diberikan ring komutatif unital R dan graf E. Aljabar lintasan pada graf  E atas R adalah R-aljabar bebas RE dengan basis himpunan semua lintasan Path(E) yang memenuhi : 1. 𝑣 𝑖 𝑣 𝑗 = 𝛿 𝑖𝑗 𝑣 𝑖 untuk setiap 𝑣 𝑖 , 𝑣 𝑗 ∈ 𝐸 0
2. 𝑒 𝑖 = 𝑒 𝑖 𝑟(𝑒 𝑖 ) = 𝑠(𝑒 𝑖 )𝑒 𝑖 untuk setiap 𝑒 𝑖 ∈ 𝐸 1 .
Berdasarkan Definisi 2.1 poin 1, sebarang titik dari suatu graf merupakan elemen idempoten dalam aljabar RE.  Selain  itu,  sebarang  dua  titik  berlainan  akan  membentuk  pasangan  elemen  idempoten ortogonal di RE. Perhatikan contoh graf dan representasi aljabarnya berikut.
Contoh 2.2 Gambar 2 melukiskan graf D,F,G dengan 𝐷 0 = {𝑣}, 𝐷 1 = {𝑒}, 𝐹 0 = {𝑢 1 , 𝑢 2 , 𝑢 3 , 𝑢 4 },  𝐹 1 = {𝑒 1 , 𝑒 2 , 𝑒 3 } dan 𝐺 0 = {𝑢, 𝑤} , 𝐺 1 = {𝑓, 𝑔} .
Gambar 2 Ilustrasi Aljabar Lintasan.
1. Graf D  memuat  loop 𝑒 maka 𝑃𝑎𝑡ℎ(𝐷) = {𝑣, 𝑒, 𝑒 2 , ⋯ , 𝑒 𝑛 , ⋯ } basis  tak  berhingga  dari  aljabar lintasan 𝑅𝐷 ≅ 𝑅[𝑡] , jika 𝑣 ↦ 1, 𝑒 ↦ 𝑡 (peubah indeterminate).
2. Aljabar  lintasan RF  adalah  R-aljabar  bebas  dengan  basis  berhingga 𝑃𝑎𝑡ℎ(𝐹) =
{𝑢 1 , 𝑢 2 , 𝑢 3 , 𝑢 4 , 𝑒 1 , 𝑒 2 , 𝑒 3 , 𝑒 2 𝑒 3 } . Lintasan-lintasan ini dapat direpresentasikan oleh bentuk matriks unit berikut:
𝑢 1 ↦ ( 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ) , 𝑢 2 ↦ ( 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ) , 𝑢 3 ↦ ( 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 ) ,
𝑢 4 ↦ ( 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 ) , 𝑒 1 ↦ ( 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ) , 𝑒 2 ↦ ( 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ) ,
𝑒 3 ↦ ( 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ) , 𝑒 2 𝑒 3 ↦ ( 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ) , sehingga 𝑅𝐹 ≅ ( 𝑅 𝑅 𝑅 𝑅 0 𝑅 𝑅 0 0 0 0 0 𝑅 0 0 𝑅 ).
3. Graf G memuat dua buah sikel 𝑓𝑔, 𝑔𝑓 dengan 𝑠(𝑓𝑔) = 𝑟(𝑔𝑓), 𝑠(𝑔𝑓) = 𝑟(𝑓𝑔) . Aljabar lintasan RG mempunyai basis tak berhingga,
𝑃𝑎𝑡ℎ(𝐺) = {𝑢, 𝑤, 𝑓, 𝑔, 𝑓𝑔, 𝑔𝑓, 𝑓𝑔𝑓, 𝑔𝑓𝑔, ⋯ , (𝑓𝑔) 𝑛 , (𝑔𝑓) 𝑛 , (𝑓𝑔) 𝑛 𝑓, (𝑔𝑓) 𝑛 𝑔, ⋯ } .  Jika  diperhatikan berlakunya Definisi 2.2.1, maka elemen-elemen basis tersebut dapat direpresentasikan sebagai :
𝑢 ↦ ( 1 0 0 0 ) , 𝑤 ↦ ( 0 0 0 1 ) , 𝑓 ↦ ( 0 𝑡 0 0 ) , 𝑔 ↦ ( 0 0 𝑡 0 ) , 𝑓𝑔 ↦ (𝑡 2 0 0 0 ) , 𝑔𝑓 ↦ ( 0 0 0 𝑡 2 ) , 𝑓𝑔𝑓 ↦ (0 𝑡 3 0 0 ) , 𝑔𝑓𝑔 ↦ ( 0 0 𝑡 3 0 ) , ⋯ , (𝑓𝑔) 𝑛 ↦ (𝑡 2𝑛 0 0 0 ), (𝑔𝑓) 𝑛 ↦ ( 0 0 0 𝑡 2𝑛 ) , (𝑓𝑔) 𝑛 𝑓 = 𝑓(𝑔𝑓) 𝑛 ↦ (0 𝑡 2𝑛+1 0 0 ), 𝑔(𝑓𝑔) 𝑛 = (𝑔𝑓) 𝑛 𝑔 ↦ ( 0 0 𝑡 2𝑛+1 0 ). Aljabar lintasan R 𝐺 ≅ ( 𝑅[𝑡 2 ] 𝑅[𝑡 2 ]𝑡 𝑅[𝑡 2 ]𝑡 𝑅[𝑡 2 ] ) .
Perhatikan Contoh 2.2, jika dicermati representasi masing-masing maka jumlah dari semua titiknya dapat direpresentasikan dengan elemen satuan dalam matriks. Selain berhingga, graf F adalah asiklis dan  aljabar  lintasan RF  memiliki  basis  berhingga.  Namun,  graf  D  dan  G  tidak  asiklis  dan  aljabar lintasannya memiliki basis tak berhingga. Uraian ini menginspirasikan bahwa selain merupakan aljabar asosiatif, aljabar lintasan mempunyai sifat lain yang dinyatakan dalam proposisi berikut.
Proposisi 2.3 [12] Jika diberikan aljabar lintasan RE, maka :
1. RE adalah aljabar asosiatif bertingkat (graded associative algebra)
2. RE adalah aljabar unital jika dan hanya jika 𝐸 0 berhingga
3. RE berdimensi berhingga jika dan hanya jika E berhingga dan asiklis.
Aljabar lintasan merupakan R-aljabar bebas yang beberapa sifatnya berkaitan dengan sifat idealnya. Definisi ideal dasar ( basic ideal) dalam aljabar lintasan Leavitt atas ring komutatif unital 𝐿 𝑅 (𝐸) dapat diperumum menjadi ideal  dasar dalam R-aljabar bebas. Perumuman tersebut akan digunakan untuk mengkonstruksi ideal dasar dalam aljabar lintasan RE.
Definisi 2.4 [13] Diberikan R-aljabar bebas A. Ideal 𝐼 ⊆ 𝐴 disebut ideal dasar dalam A, jika untuk setiap elemen tak nol 𝑟 ∈ 𝑅, 𝑥 ∈ 𝑋 sedemikian hingga 𝑟𝑥 ∈ 𝐼, berakibat 𝑥 ∈ 𝐼 , untuk sebarang basis 𝑋 ⊂ 𝐴 .
Jika  ring  komutatif  unital R  digantikan  dengan  lapangan  K  maka  ideal  dari  K-aljabar  bebas  A merupakan  ideal  dasar.  Hal  ini  dikarenakan  setiap  elemen  dalam  lapangan K  mempunyai  invers. Tampak jelas dari Definisi 2.4 bahwa ideal nol dan A selalu merupakan ideal dasar.
Berdasarkan definisi ideal sisi dalam KE [7], dapat didefinisikan ideal sisi 𝐼 𝐸 dalam RE yaitu 𝐼 𝐸 = 𝑆𝑝𝑎𝑛 𝑅 {𝜇 ∈ 𝑃𝑎𝑡ℎ(𝐸)\𝐸 0 } yang elemen-elemennya merupakan kombinasi linear dari lintasan-lintasan dengan panjang 𝑙 ≥ 1 [12[. Jadi, 𝐼 𝐸 merupakan ideal dasar yang tak memuat titik. Ideal 𝐼 𝐸 diperumum menjadi ideal dasar yang memuat titik dan dikonstuksi dari subset herediter.
Definisi 2.5 [12] Diberikan graf E dan subhimpunan herediter 𝐻 ⊆ 𝐸 0 . Ideal dasar dalam RE yang memuat H adalah :
𝐼 𝐻 = 𝑆𝑝𝑎𝑛 𝑅 {𝜇 ∈ 𝑃𝑎𝑡ℎ(𝐸): 𝑟(𝜇) ∈ 𝐻 ∨ 𝜇 ∈ 𝐻} (2)
Berdasarkan definisi ideal dasar dalam 𝐿 𝑅 (𝐸) , telah didefinisikan sifat sederhana mendasar ( basically simple) [9]. Sifat lain yang juga berkaitan dengan sifat ideal dasarnya, adalah sifat prima mendasar ( basically  prime) yang bergantung pada keprimaan ideal dasar nol.
Definisi 2.6 [12] Diberikan R-aljabar bebas A dan ideal dasar 𝐼 ⊆ 𝐴. Ideal I disebut ideal dasar prima jika 𝐼 ≠ 𝐴 dan untuk setiap 𝑃, 𝑄 ideal dasar  di 𝐴 , jika 𝑃𝑄 ⊆ 𝐼 maka 𝑃 ⊆ 𝐼 atau 𝑄 ⊆ 𝐼 . Ideal I dikatakan ideal dasar semiprima, jika 𝐼 ≠ 𝐴 dan untuk setiap ideal dasar 𝑃 di 𝐴 , jika 𝑃 2 ⊆ 𝐼 maka 𝑃 ⊆ 𝐼 . Aljabar A bersifat (semi) prima mendasar jika ideal dasar nolnya merupakan ideal dasar (semi) prima.
Keprimaan ideal dasar 𝐼 𝐻 dalam persamaan (2) bergantung pada struktur grafnya, demikian pula ideal dasar {0} = 𝐼 ∅ . Berikut diberikan syarat perlu dan cukup suatu ideal dasar dalam aljabar lintasan RE merupakan ideal dasar prima, yang berakibat ditemukannya syarat perlu dan cukup aljabar lintasan RE bersifat prima mendasar.
Teorema 2.7 [12] Diberikan aljabar lintasan RE dan subhimpunan herediter tersaturasi 𝐻 ⊂ 𝐸 0 . Ideal 𝐼 𝐻 dalam  persamaan  (2)  adalah  ideal  dasar  prima  jika  dan  hanya  jika 𝑀 = 𝐸 0 \𝐻 adalah  ekor maksimal  dan  untuk  setiap  lintasan 𝜇 dengan 𝑟(𝜇) ∈ 𝑀, terdapat  lintasan 𝜗 ∈ 𝑃𝑎𝑡ℎ(𝐸) sehingga 𝑟(𝜇) = 𝑠(𝜗) dan 𝑠(𝜇) = 𝑟(𝜗).
Bukti Teorema  2.7 cukup panjang,  dapat  dilihat  dalam bukti [12, Theorem 4.6]. Ideal dasar 𝐼 𝐻 yang  memuat  H  menurut  Definisi  2.5  adalah  herediter  dan  tidak  harus  tersaturasi.  Namun  dengan Lemma 1.8, subhimpunan herediter H dalam Teorema 2.7 mengharuskan tersaturasi, agar 𝑀 = 𝐸 0 \𝐻 memenuhi  kondisi  ( MT1)  dan  (MT2).  Artinya,  jika  H  tidak  tersaturasi, pastilah  ideal dasar 𝐼 𝐻 tidak prima.
Subhimpunan ∅ bersifat herediter dan tersaturasi, sehingga 𝐸 0 memenuhi kondisi ( MT1) dan (MT2) menurut Lemma 1.8. Karena ideal dasar {0} = 𝐼 ∅ dan berdasarkan Definisi 2.6, maka Teorema 2.7 memiliki akibat berikut.
Akibat  2.8  [12]  Aljabar  lintasan RE  merupakan  aljabar  prima  mendasar  jika  dan  hanya  jika 𝐸 0 memenuhi kondisi ( MT3) dan untuk setiap lintasan 𝜇, terdapat lintasan 𝜗 sedemikian sehingga 𝑟(𝜇) = 𝑠(𝜗) dan 𝑠(𝜇) = 𝑟(𝜗).
Akibat 2.8 memperlihatkan syarat perlu dan cukup keprimaan mendasar aljabar lintasan RE atas ring komutatif unital R.  Karena sebarang ideal dalam KE merupakan ideal dasar, maka syarat perlu dan cukup keprimaan aljabar lintasan KE atas lapangan sama persis dalam akibat 2.8 tersebut.
Contoh 2.9  Perhatikan kembali Gambar 2 pada Contoh 2.2 di atas, bahwa ideal {0} dalam aljabar lintasan RD dan RG merupakan ideal dasar prima, sehingga RD dan RG merupakan aljabar litasan yang prima mendasar. Karena 𝐹 0 tidak memenuhi kondisi ( MT3), yakni ∃𝑢 2 , 𝑢 4 ∈ 𝐹 0 dengan 𝑢 2 ≰ 𝑢 ∨ 𝑢 4 ≰ 𝑢, ∀𝑢 ∈ 𝐹 0 maka ideal nol dalam RF tidak prima, sehingga RF aljabar lintasan yang tidak prima mendasar.
Berdasarkan  perluasan  graf  pada  Definisi  1.4,  dapat  dikonstruksi  aljabar  lintasan 𝑅𝐸̂ pada  graf perluasan, secara  sama dengan konstruksi aljabar lintasan RE. Aljabar lintasan 𝑅𝐸̂ yang  memenuhi syarat Cuntz-Krieger  disebut  aljabar  lintasan  Leavitt,  yang  konstruksi  dan  beberapa  sifatnya  akan dibahas pada subbab berikut.
3. Aljabar Lintasan Leavitt Atas Ring Komutatif Unital dan Sifatnya Aljabar  lintasan  Leavitt  adalah  aljabar  lintasan  pada  graf  perluasan  (Definisi  1.3) 𝐸̂ = (𝐸 0 , 𝐸 1 ∪ (𝐸 1 ) ∗ , 𝑠′, 𝑟′) yang memenuhi syarat tertentu. Agak berbeda dengan konstruksi aljabar lintasan Leavitt  atas  lapangan,  [9]  mengkonstruksi  aljabar  lintasan  Leavitt  dengan  keluarga  Leavitt  atas  ring pada suatu graf. Berikut diberikan definisi aljabar lintasan Leavitt atas ring komutatif unital R, yang mengkombinasikan definisi 𝐿 𝐾 (𝐸) oleh [4] dan 𝐿 𝑅 (𝐸) oleh [9].
Definisi  3.1  [11]  Diberikan  graf E maka aljabar lintasan Leavitt atas ring komutatif unital  R yang dinotasikan 𝐿 𝑅 (𝐸) adalah R-aljabar bebas yang memenuhi : 1. 𝑣 𝑖 𝑣 𝑗 = 𝛿 𝑖𝑗 𝑣 𝑖 untuk setiap 𝑣 𝑖 , 𝑣 𝑗 ∈ 𝐸 0 , 2. 𝑒𝑟(𝑒) = 𝑠(𝑒)𝑒 = 𝑒 dan 𝑒 ∗ 𝑠(𝑒) = 𝑟(𝑒)𝑒 ∗ = 𝑒 ∗ untuk setiap 𝑒 ∈ 𝐸 1 ,
3. 𝑒 ∗ 𝑓 = 𝛿 𝑒,𝑓 𝑟(𝑒) untuk setiap 𝑒 ∈ 𝐸 1 , dan 4. 𝑣 = ∑ 𝑒𝑒 ∗ 𝑒∈𝐸 1 :𝑠(𝑒)=𝑣 untuk setiap titik 𝑣 ∈ 𝐸 0 , 𝑠 −1 (𝑣) ≠ ∅ .
Perhatikan bahwa syarat 1. dan 2. dalam Definisi 3.1, merupakan syarat aljabar lintasan (Definisi 2.1) pada graf perluasan 𝐸̂ dan syarat ke 3. dan 4. disebut syarat Cuntz-Krieger yang secara berurutan disingkat dengan CK1, CK2. Jadi, aljabar lintasan Leavitt 𝐿 𝑅 (𝐸) merupakan R-aljabar asosiatif yang terbentuk dari semigrup ring 𝑅𝐸̂ , yakni terdiri semua lintasan dalam graf perluasan 𝐸̂ dan memenuhi syarat Cuntz-Krieger.
Perhatikan graf F pada Gambar 2 yang telah dilengkapi dengan sisi hantu (Definisi 1.3), dilukiskan sebagai berikut:
Gambar 3 Ilustrasi Aljabar Lintasan Leavitt.
Aljabar lintasan 𝑅𝐹̂ ≅ ( 𝑅 𝑅 𝑅 𝑅 𝑅 𝑅 𝑅 0 𝑅 𝑅 𝑅 0 𝑅 0 0 𝑅 ) pada Contoh 2.2 di atas tidak memenuhi syarat CK2 karena
𝑠 −1 (𝑢 1 ) = {𝑒 1 , 𝑒 1 } dan 𝑢 1 ≠ 𝑒 1 𝑒 1 ∗ + 𝑒 2 𝑒 2 ∗ dengan 𝑒 1 ∗ ↦ ( 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 ) , 𝑒 2 ∗ ↦ ( 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ) .
Berdasarkan [7], representasi aljabar lintasan tidak tunggal. Berikut diberikan contoh aljabar lintasan dari graf perluasan 𝐹̂ yang memenuhi CK1, dan CK2.
Contoh 3.2 Diberikan graf perluasan 𝐹̂ (Gambar 2.3)  dengan (𝐹 1 ) ∗ = {𝑒 1 ∗ , 𝑒 2 ∗ , 𝑒 3 ∗ } dan ring komutatif unital R.  Berdasarkan  syarat  CK2,  karena 𝑠 −1 (𝑢 1 ) = {𝑒 1 , 𝑒 1 } maka  haruslah  berlaku 𝑢 1 = 𝑒 1 𝑒 1 ∗ + 𝑒 2 𝑒 2 ∗ .    Terdapat  dua  buah  titik 𝑢 3 , 𝑢 4 ∈ 𝐹 0 dengan 𝑠 −1 (𝑢 3 ) =  𝑠 −1 (𝑢 4 ) = ∅ dan  graf F  dapat dipisahkan  menjadi  dua  subgraf  tak  penuh 𝐹 1 , 𝐹 2 dengan 𝐹 1 0 = {𝑢 1 , 𝑢 2 , 𝑢 3 },  𝐹 1 1 = {𝑒 2 , 𝑒 3 }, 𝐹 2 0 = {𝑢 1 , 𝑢 4 }, 𝐹 2 1 = {𝑒 1 } . Jika diperhatikan syarat CK2, maka lintasan dalam Path(F) dapat direpresantasikan sebagai pasangan berurutan matriks-matriks unit sebagai berikut:
𝑢 1 ↦ [( 1 0 0 0 0 0 0 0 0 ) , ( 1 0 0 0 )] ; 𝑢 2 ↦ [( 0 0 0 0 1 0 0 0 0 ) , ( 0 0 0 0 )] ; 𝑢 3 ↦ [( 0 0 0 0 0 0 0 0 1 ) , ( 0 0 0 0 )] ; 𝑢 4 ↦ [( 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ) , ( 0 0 0 1 )] ;
𝑒 1 ↦ [( 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ) , ( 0 1 0 0 )] ; 𝑒 2 ↦ [( 0 1 0 0 0 0 0 0 0 ) , ( 0 0 0 0 )] ;
𝑒 3 ↦ [( 0 0 0 0 0 1 0 0 0 ) , ( 0 0 0 0 )] ; 𝑒 2 𝑒 3 ↦ [( 0 0 1 0 0 0 0 0 0 ) , ( 0 0 0 0 )]
Representasi tersebut memenuhi Definisi 2.1, sehingga RF merupakan aljabar lintasan dengan setiap elemennya  merupakan  kombinasi  linear  dari  ke  delapan  elemen  dalam 𝑃𝑎𝑡ℎ(𝐹) = {𝑢 1 , 𝑢 2 , 𝑢 3 , 𝑢 4 , 𝑒 1 , 𝑒 2 , 𝑒 3 , 𝑒 2 𝑒 3 } dan diperoleh bahwa:
Graf perluasan 𝐹̂
𝑅𝐹 ≅ [( 𝑅 𝑅 𝑅 0 𝑅 𝑅 0 0 𝑅 ) , ( 𝑅 𝑅 0 𝑅 )] = 𝑇 3 (𝑅) x 𝑇 2 (𝑅) .
Sisi hantu dan lintasan-lintasan lain dalam graf perluasan 𝐹̂ direpresentasikan sebagai:
𝑒 1 ∗ ↦ [( 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ) , ( 0 0 1 0 )] ; 𝑒 2 ∗ ↦ [( 0 0 0 1 0 0 0 0 0 ) , ( 0 0 0 0 )] ;
𝑒 3 ∗ ↦ [( 0 0 0 0 0 0 0 1 0 ) , ( 0 0 0 0 )] ; (𝑒 2 𝑒 3 ) ∗ = 𝑒 3 ∗ 𝑒 2 ∗ ↦ [( 0 0 0 0 0 0 1 0 0 ) , ( 0 0 0 0 )] ;
𝑒 1 𝑒 1 ∗ ↦ [( 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ) , ( 1 0 0 0 )] ; 𝑒 2 𝑒 2 ∗ ↦ [( 1 0 0 0 0 0 0 0 0 ) , ( 0 0 0 0 )] ,
sehingga 𝑢 1 = 𝑒 1 𝑒 1 ∗ + 𝑒 2 𝑒 2 ∗ .
Tampak bahwa aljabar lintasan 𝑅𝐹̂ memenuhi syarat Cuntz-Krieger, sehingga diperoleh aljabar lintasan Leavitt atas ring komutatif unital R,
𝐿 𝑅 (𝐹) ≅   [( 𝑅 𝑅 𝑅 𝑅 𝑅 𝑅 𝑅 𝑅 𝑅 ) , ( 𝑅 𝑅 𝑅 𝑅 )] = 𝑀 3 (𝑅) x 𝑀 2 (𝑅).
Proposisi  3.4.  dalam  Tomforde  (2011)  telah  dibuktikan  bahwa  himpunan {𝑣, 𝑒, 𝑒 ∗ : 𝑣 ∈ 𝐸 0 , 𝑒 ∈ 𝐸 1 , 𝑒 ∗ ∈ (𝐸 1 ) ∗ } terdiri dari  elemen-elemen  tidak  nol dan 𝑐𝑣 ≠ 0 untuk  setiap  elemen  tak nol 𝑐 ∈ 𝑅, 𝑣 ∈ 𝐸 0 .  Berdasarkan  kondisi Cuntz-Krieger  maka  elemen-elemen  pembangun 𝐿 𝑅 (𝐸) berbentuk monomial 𝛼𝛽 ∗ dengan 𝛼, 𝛽 ∈ 𝑃𝑎𝑡ℎ(𝐸), 𝑟(𝛼) = 𝑟(𝛽) ,  dan  asumsi  bahwa  untuk  setiap  titik 𝑢 ∈ 𝐸 0 , 𝑢 ∗ = 𝑢 = 𝑟(𝑢) = 𝑠(𝑢) .  Misalkan  himpunan  semua  elemen  pembangun 𝐿 𝑅 (𝐸) ditulis 𝑀𝑜𝑛(𝐸) , maka :
𝑀𝑜𝑛(𝐸) = {𝛼𝛽 ∗ : 𝛼, 𝛽 ∈ 𝑃𝑎𝑡ℎ(𝐸), 𝑟(𝛼) = 𝑟(𝛽)} (3)
Contoh  3.3  Perhatikan  kembali  graf  perluasan 𝐹̂ (Gambar  3)  dan  Contoh  3.2,  maka 𝑀𝑜𝑛(𝐹) = {𝑢 1 , 𝑢 2 , 𝑢 3 , 𝑢 4 , 𝑒 1 , 𝑒 2 , 𝑒 3 , 𝑒 2 𝑒 3 , 𝑒 1 ∗ , 𝑒 2 ∗ , 𝑒 3 ∗ , 𝑒 1 𝑒 1 ∗ , 𝑒 2 𝑒 2 ∗ , 𝑒 3 ∗ 𝑒 2 ∗ } merupakan pembangun 𝐿 𝑅 (𝐹) . Karena 𝑢 1 = 𝑒 1 𝑒 1 ∗ + 𝑒 2 𝑒 2 ∗ maka 𝑀𝑜𝑛(𝐹) tidak bebas linear, yang berarti 𝑀𝑜𝑛(𝐹) bukan basisnya 𝐿 𝑅 (𝐹) . Basis- basis dari 𝐿 𝑅 (𝐹) dapat ditentukan dari subhimpunannya 𝑀𝑜𝑛(𝐹) , yaitu:
𝐵 1 = {𝑢 1 , 𝑢 2 , 𝑢 3 , 𝑢 4 , 𝑒 1 , 𝑒 2 , 𝑒 3 , 𝑒 2 𝑒 3 , 𝑒 1 ∗ , 𝑒 2 ∗ , 𝑒 3 ∗ , 𝑒 2 𝑒 2 ∗ , 𝑒 3 ∗ 𝑒 2 ∗ }, 𝐵 2 = {𝑢 1 , 𝑢 2 , 𝑢 3 , 𝑢 4 , 𝑒 1 , 𝑒 2 , 𝑒 3 , 𝑒 2 𝑒 3 , 𝑒 1 ∗ , 𝑒 2 ∗ , 𝑒 3 ∗ , 𝑒 1 𝑒 1 ∗ , 𝑒 3 ∗ 𝑒 2 ∗ }, 𝐵 3 = {𝑢 2 , 𝑢 3 , 𝑢 4 , 𝑒 1 , 𝑒 2 , 𝑒 3 , 𝑒 2 𝑒 3 , 𝑒 1 ∗ , 𝑒 2 ∗ , 𝑒 3 ∗ , 𝑒 1 𝑒 1 ∗ , 𝑒 2 𝑒 2 ∗ , 𝑒 3 ∗ 𝑒 2 ∗ }.
Secara  umum,  elemen  dalam  aljabar  lintasan  Leavitt 𝐿 𝑅 (𝐸) merupakan  kombinasi  linear  dari elemen-elemen dalam 𝑀𝑜𝑛(𝐸) , sehingga dari (3) diperoleh:
𝐿 𝑅 (𝐸) = 𝑠𝑝𝑎𝑛 𝑅 {𝛼𝛽 ∗ : 𝛼, 𝛽 ∈ 𝑃𝑎𝑡ℎ(𝐸), 𝑟(𝛼) = 𝑟(𝛽)} (4)
Sebagai akibat syarat CK1, perkalian dua buah monomial 𝛼𝛽 ∗ , 𝛾𝛿 ∗ ∈ 𝐿 𝑅 (𝐸) adalah :
(𝛼𝛽 ∗ )(𝛾𝛿 ∗ ) = { 𝛼𝛾′𝛿 ∗ 𝛼𝛿 ∗ 𝛼𝛽′ ∗ 𝛿 ∗ 0
Jika 𝛾 = 𝛽𝛾′ Jika 𝛾 = 𝛽 Jika 𝛽 = 𝛾𝛽 Jika bukan salah satu kondisi di atas (5)
Semua sifat aljabar lintasan RE dalam Proposisi 2.3 di atas, juga tetap berlaku pada aljabar lintasan Leavitt 𝐿 𝑅 (𝐸) . Selain 𝐿 𝑅 (𝐸) juga merupakan aljabar asosiatif bertingkat, syarat perlu dan cukup 𝐿 𝑅 (𝐸) merupakan aljabar unital dan 𝐿 𝑅 (𝐸) berdimensi berhingga [10]. Definisi  ideal  dasar  dalam 𝐿 𝑅 (𝐸) dalam  [9]  tidak  melibatkan  basisnya 𝐿 𝑅 (𝐸) ,  seolah  berbeda dengan Definisi 2.4. Definisi ideal dasar dalam 𝐿 𝑅 (𝐸) hanya akan ditentukan oleh himpunan bagian dari 𝐸 0 .
Definisi 3.4 [9] Ideal 𝐼 ⊆ 𝐿 𝑅 (𝐸) disebut ideal dasar jika untuk setiap elemen tak nol 𝑐 ∈ 𝑅, 𝑣 ∈ 𝐸 0 dengan 𝑐𝑣 ∈ 𝐼 berakibat 𝑣 ∈ 𝐼 .
Menurut  [9],  sebarang  ideal  dasar  bertingkat 𝐽 ⊆ 𝐿 𝑅 (𝐸) terdapat  subhimpunan  herediter  dan tersaturasi 𝐻 = 𝐽 ∩ 𝐸 0 , sehingga 𝐽 = 𝐼(𝐻) dengan
𝐼(𝐻) = 𝑠𝑝𝑎𝑛 𝑅 {𝛼𝛽 ∗ : 𝛼, 𝛽 ∈ 𝑃𝑎𝑡ℎ(𝐸), 𝑟(𝛼) = 𝑟(𝛽) ∈ 𝐻} (6)
Ideal dasar 𝐼(𝐻) dibangun oleh subhimpunan herediter tersaturasi H.  Jika 𝐻 herediter (tidak harus tersaturasi) maka dapat dibentuk ideal dasar 𝐼(𝐻 ̅) = 𝐼(𝐻) . Berdeda dengan ideal dasar dalam RE pada persamaan (2), jika subhimpunan H herediter dan tidak tersaturasi maka 𝐼 𝐻 ⊊ 𝐼 𝐻 ̅ .
Contoh 3.5 Diberikan 𝐻 1 = {𝑢 3 } ⊂ 𝐹 0 subhimpunan herediter dan tidak tersaturasi pada graf Gambar 2.3. Diperoleh penyaturasi dari 𝐻 1 adalah 𝐻 1 ̅̅̅̅ = {𝑢 2 , 𝑢 3 } , dan 𝐼(𝐻 1 ) = 𝑠𝑝𝑎𝑛 𝑅 {𝑢 3 , 𝑒 3 , 𝑒 2 𝑒 3 , 𝑢 2 = 𝑒 3 𝑒 3 ∗ , 𝑒 2 = 𝑒 2 𝑒 3 𝑒 3 ∗ , 𝑒 2 ∗ = 𝑒 3 𝑒 3 ∗ 𝑒 2 ∗ , 𝑒 3 ∗ , 𝑒 2 𝑒 2 ∗ , 𝑒 3 ∗ 𝑒 2 ∗ } = 𝐼(𝐻 1 ̅̅̅̅) ≅ ( 𝑅 𝑅 𝑅 𝑅 𝑅 𝑅
𝑅 𝑅 𝑅 ) adalah ideal dasar dalam 𝐿 𝑅 (𝐹) yang dibangun oleh 𝐻 1 . Ideal dasar dalam RF yang
dibangun oleh
𝐻 1 , 𝐼 𝐻 1 = 𝑠𝑝𝑎𝑛 𝑅 {𝑢 3 , 𝑒 3 , 𝑒 2 𝑒 3 } ≅ ( 0 0 𝑅 0 0 𝑅 0 0 𝑅 ) ⊊ ( 0 𝑅 𝑅 0 𝑅 𝑅 0 0 𝑅 ) ≅ 𝑠𝑝𝑎𝑛 𝑅 {𝑢 2 , 𝑢 3 , 𝑒 2 , 𝑒 3 , 𝑒 2 𝑒 3 } = 𝐼 𝐻 1 ̅̅̅̅ ,  yang dibangun oleh 𝐻 1 ̅̅̅̅ .
Berdasarkan Teorema 2.7, ideal dasar 𝐼 𝐻 1 ̅̅̅̅ tidak prima dalam RF, meskipun 𝐹 0 \𝐻 1 ̅̅̅̅ merupakan ekor maksimal karena terdapat 𝑒 1 , 𝑟(𝑒 1 ) ∈ 𝐹 0 \𝐻 1 ̅̅̅̅, 𝑟(𝑒 1 ) ≠ 𝑠(𝜗) untuk setiap 𝜗 ∈ 𝑃𝑎𝑡ℎ(𝐹) . Namun, 𝐼(𝐻 1 ̅̅̅̅) adalah ideal dasar prima dalam 𝐿 𝑅 (𝐹) , tampak dari isomorfiknya 𝐼(𝐻 1 ̅̅̅̅) dengan 𝑀 3 (𝑅) . Perhatikan kembali konstruksi ideal dasar bertingkat dalam RE dan 𝐿 𝑅 (𝐸) bahwa persamaan (6) merupakan  perluasan  dari  (2),  karena  lintasan  dalam 𝐿 𝑅 (𝐸) berbentuk 𝛼𝛽 ∗ dengan 𝛼, 𝛽 ∈ 𝑃𝑎𝑡ℎ(𝐸), 𝑟(𝛼) = 𝑟(𝛽). Syarat perlu dan cukup  kedua dalam Teorema  2.7: untuk setiap lintasan 𝜇 dengan 𝑟(𝜇) ∈ 𝑀 = 𝐸 0 \𝐻, terdapat  lintasan 𝜗 ∈ 𝑃𝑎𝑡ℎ(𝐸) sedemikian  sehingga 𝑟(𝜇) = 𝑠(𝜗) dan 𝑠(𝜇) = 𝑟(𝜗), selalu terpenuhi oleh ideal dasar 𝐼(𝐻) pada persamaan (6) dengan H subhimpunan herediter  tersaturasi.  Telah  menemukan  syarat  perlu  dan  cukup  ideal  dasar  bertingkat 𝐼(𝐻) dalam 𝐿 𝑅 (𝐸) merupakan ideal dasar prima [11].
Teorema 3.6 [11] Diberikan Graf E dan 𝐻 ⊂ 𝐸 0 adalah herediter tersaturasi. Ideal dasar (bertingkat) 𝐼(𝐻) dalam 𝐿 𝑅 (𝐸) adalah  ideal  dasar  prima  jika  dan  hanya  jika 𝑀 = 𝐸 0 \𝐻 memenuhi  kondisi ( MT3).
Bukti  lengkap Teorema  3.6 dapat  disimak  dalam  [11, Teorema  3.5].  Berdasarkan  persamaan  (6) ideal dasar 𝐼(∅) = {0} dalam 𝐿 𝑅 (𝐸) , dan menurut Lemma 1.8, 𝐸 0 senantiasa memenuhi ( MT1) dan ( MT2). Artinya, ideal {0} dalam 𝐿 𝑅 (𝐸) merupakan ideal dasar prima jika dan hanya jika 𝐸 0 memenuhi ( MT3).
Akibat  3.7  [11]  Aljabar  lintasan  Leavitt 𝐿 𝑅 (𝐸) bersifat  prima  mendasar  jika  dan  hanya  jika 𝐸 0 memenuhi kondisi ( MT3).
Contoh 3.8 Perhatikan kembali Gambar 2.2 di atas, bahwa 𝐷 0 , 𝐺 0 keduanya memenuhi kondisi ( MT3), sehingga aljabar lintasan Leavitt 𝐿 𝑅 (𝐷) dan 𝐿 𝑅 (𝐺) adalah prima mendasar. Berdasarkan Contoh 2.9, 𝐹 0 tidak memenuhi ( MT3), maka 𝐿 𝑅 (𝐹) tidak prima mendasar.

## Pengembangan Aljabar Lintasan dan Aljabar Lintasan Leavitt
Perhatikan kembali Contoh 3.5, 𝐼 𝐻 1 ̅̅̅̅ bukan ideal dasar prima dalam RF. Selain itu, terdapat ideal dasar 𝐽 = 𝑆𝑝𝑎𝑛{𝑒 1 } ≅ ( 0 𝑅 0 0 ) di RF  dengan 𝐽 2 = {0} ⊂ 𝐼 𝐻 1 ̅̅̅̅ tetapi 𝐽 ⊈ 𝐼 𝐻 1 ̅̅̅̅ maka  ideal  dasar 𝐼 𝐻 1 ̅̅̅̅ tidak semiprima.  Perhatikan  graf T  dengan 𝑇 0 = {𝑢, 𝑣, 𝑤}, 𝑇 1 = {𝑒, 𝑓} yang  dilukiskan  pada  gambar  di bawah ini.  Diberikan 𝑋 = {𝑤} ⊂ 𝑇 0 yang herediter tersaturasi dan 𝑇 0 \𝑋 tidak memenuhi ( MT3). Menurut Teorema 2.7, ideal dasar 𝐼 𝑋 = 𝑠𝑝𝑎𝑛 𝑅 {𝑤, 𝑓, 𝑒𝑓, 𝑒 2 𝑓, … , 𝑒 𝑛 𝑓, … } tidak prima. Namun
𝐼 𝑋 merupakan ideal dasar semiprima. jelas dari Gambar  di samping  bahwa  setiap  lintasan 𝜇 dengan 𝑟(𝜇) ∈   𝑇 0 \𝑋, terdapat 𝜗 ∈ 𝑃𝑎𝑡ℎ(𝑇) sehingga 𝑟(𝜇) = 𝑠(𝜗) dan 𝑠(𝜇) = 𝑟(𝜗) .  Syarat ini tidak dipenuhi oleh 𝐼 𝐻 1 ̅̅̅̅ .
Ideal  dasar  prima  merupakan  ideal  dasar  semiprima,  tetapi  tidak  sebaliknya.  Kasus 𝐼 𝑋 di  atas mengilustrasikan  syarat kedua dalam Teorema 2.7 merupakan syarat perlu dan cukup 𝐼 𝐻 semiprima. Teorema 4.1 Diberikan aljabar lintasan RE dan subhimpunan herediter tersaturasi 𝐻 ⊂ 𝐸 0 . Ideal 𝐼 𝐻 ⊆ 𝑅𝐸 adalah ideal dasar semiprima jika dan hanya jika untuk setiap lintasan 𝜇 dengan 𝑟(𝜇) ∈ 𝑀 = 𝐸 0 \𝐻, terdapat 𝜗 ∈ 𝑃𝑎𝑡ℎ(𝐸) sedemikian sehingga 𝑟(𝜇) = 𝑠(𝜗) dan 𝑠(𝜇) = 𝑟(𝜗).
Bukti : (  ) Andaikan terdapat lintasan 𝜇 dengan 𝑟(𝜇) ∈ 𝑀 , sehingga 𝑟(𝜇) ≠ 𝑠(𝜗) atau 𝑠(𝜇) ≠ 𝑟(𝜗) untuk  setiap lintasan 𝜗 ∈ 𝑃𝑎𝑡ℎ(𝐸) . Akibatnya, 𝜇𝑅𝐸𝜇 = {0} ⊂ 𝐼 𝐻 . Karena  ideal dasar 𝐼 𝐻 semiprima maka 𝜇 ∈ 𝐼 𝐻 sehingga 𝑟(𝜇) ∈ 𝐻, kontradiksi dengan 𝑟(𝜇) ∈ 𝐸 0 \𝐻 . (  ) Andaikan ideal dasar 𝐼 𝐻 tidak semiprima.  Artinya,  terdapat  lintasan 𝛼 sehingga 𝛼𝑅𝐸𝛼 ⊆ 𝐼 𝐻 tetapi 𝛼 ∉ 𝐼 𝐻 atau 𝑟(𝛼) ∈ 𝑀 .  Jika 𝛼𝑅𝐸𝛼 ≠ {0} maka terdapat lintasan 𝛽 sehingga 0 ≠ 𝛼𝛽𝛼 ∈ 𝐼 𝐻 . Artinya, 𝑟(𝛼𝛽𝛼) = 𝑟(𝛼) ∈ 𝐻 , sehingga 𝛼 ∈ 𝐼 𝐻 yang kontradiksi dengan 𝛼 ∉ 𝐼 𝐻 . Jika 𝛼𝑅𝐸𝛼 = {0} maka untuk setiap lintasan 𝛾 berlaku 𝛼𝛾𝛼 = 0 , sehingga 𝑟(𝛼) ≠ 𝑠(𝛾) atau 𝑠(𝛼) ≠ 𝑟(𝛾) . Hal ini kontradiksi dengan hipotesis, sehingga haruslah 𝐼 𝐻 semiprima.
Kesemiprimaan mendasar aljabar lintasan bergantung kesemiprimaan dari ideal dasar {0} . Secara analog Akibat 2.8, Teorema 4.1 memiliki akibat berikut.
Akibat  4.2  Aljabar  lintasan RE  merupakan  aljabar  semiprima  mendasar  jika  dan  hanya  jika  untuk setiap lintasan 𝜇, terdapat lintasan 𝜗 sedemikian sehingga 𝑟(𝜇) = 𝑠(𝜗) dan 𝑠(𝜇) = 𝑟(𝜗).
Setiap  lintasan  real 𝜇 dalam  aljabar  lintasan 𝑅𝐸̂ terdapat 𝜇 ∗ ,  yakni  lintasan  hantu  sedemikian sehingga 𝑟(𝜇) = 𝑠(𝜇 ∗ ) dan 𝑠(𝜇) = 𝑟(𝜇 ∗ ) .  Hal  ini  berarti  bahwa 𝑅𝐸̂ selalu  semiprima  mendasar. Aljabar lintasan Leavitt 𝐿 𝑅 (𝐸) merupakan aljabar lintasan 𝑅𝐸̂ yang memenuhi Definisi 3.1, sehingga Akibat 4.2 berakibat berikut.
Akibat 4.3 Aljabar lintasan Leavitt 𝐿 𝑅 (𝐸) pasti semiprima mendasar.
Akan dicari syarat perlu dan cukup 𝐿 𝑅 (𝐸) bersifat semiprima. Proses pembuktiannya memerlukan Teorema Reduksi ( The Reduction Theorem) dalam [3, Theorem 2.2.11] yang menyatakan bahwa setiap elemen tak nol 𝑥 ∈ 𝐿 𝑅 (𝐸) terdapat lintasan 𝛼, 𝛽 ∈ 𝑃𝑎𝑡ℎ(𝐸) sedemikian hingga (i) 0 ≠ 𝛼 ∗ 𝑥𝛽 ∈ 𝑅𝑣 untuk suatu 𝑣 ∈ 𝐸 0 atau (ii) 0 ≠ 𝛼 ∗ 𝑥𝛽 = 𝑝(𝑐) dengan 𝑐 suatu sikel tanpa jalan keluar dan 𝑝(𝑐) polinomial tak nol dalam 𝑅[𝑥, 𝑥 −1 ] .
Perhatikan kembali 𝐿 𝑅 (𝐹) pada  Contoh  3.2, jika ring R diganti ℤ 4 yang  tidak semiprima  maka 𝐿 ℤ 4 (𝐹) semiprima  mendasar  tetapi  tidak  semiprima.  Karena,  terdapat  ideal  tak  nol 𝐽 ≅ 𝑀 3 ({0̅, 2̅}) x 𝑀 2 ({0̅, 2̅}) dalam 𝐿 ℤ 4 (𝐹) , dengan 𝐽 2 = {0}. Kesemiprimaan 𝐿 𝑅 (𝐸) tidak bergantung pada struktur grafnya.
Teorema 4.4 Aljabar lintasan Leavitt 𝐿 𝑅 (𝐸) adalah semiprima jika dan hanya jika ring komutatif unital R juga semiprima.
Bukti  :  (  )  Andaikan R  tidak  semiprima,  maka  terdapat  elemen  taknol 𝑘 ∈ 𝑅 ,  sehingga 𝑘 2 = 0 . Karena 𝑘 ≠ 0 , maka 𝑘𝑣 ≠ 0 untuk setiap titik 𝑣 ∈ 𝐸 0 , dan terdapat 𝜇 ∈ 𝐿 𝑅 (𝐸) sedemikian sehingga 𝑘𝑣𝜇𝑘𝑣 ≠ 0 dikarenakan 𝐿 𝑅 (𝐸) semiprima. Dapat ditulis 𝜇 = ∑ 𝑘 𝑖 𝛼 𝑖 𝛽 𝑖 ∗ 𝑚 𝑖=1 untuk suatu 𝑘 𝑖 ∈ 𝑅, 𝛼 𝑖 , 𝛽 𝑖 ∈ 𝑃𝑎𝑡ℎ(𝐸), 𝑚 ∈ ℕ , sehingga 𝑘𝑣𝜇𝑘𝑣 = 𝑘𝑣(∑ 𝑘 𝑖 𝛼 𝑖 𝛽 𝑖 ∗ 𝑚 𝑖=1 )𝑘𝑣 = 𝑣(∑ 𝑘𝑘 𝑖 𝑘𝛼 𝑖 𝛽 𝑖 ∗ 𝑚 𝑖=1 )𝑣 = 𝑣(∑ 𝑘 2 𝑘 𝑖 𝛼 𝑖 𝛽 𝑖 ∗ 𝑚 𝑖=1 )𝑣 = 0 , dan terjadilah kontradiksi. Diperoleh R semiprima. (  ) Sebaliknya, andaikan 𝐿 𝑅 (𝐸) tidak semiprima. Artinya, terdapat ideal tak nol ℑ ⊂ 𝐿 𝑅 (𝐸) sehingga ℑ 2 = {0} . Ambil 0 ≠ 𝑥 ∈ ℑ maka dengan Teorema Reduksi dapat ditemukan 𝛼, 𝛽 ∈ 𝑃𝑎𝑡ℎ(𝐸) sehingga  memenuhi  (i)  atau  (ii).  Kasus  (i), 0 ≠ 𝛼 ∗ 𝑥𝛽 = 𝑘𝑣 ∈ ℑ . Kesemiprimaan R berakibat 𝑘 2 ≠ 0 dan 0 ≠ 𝑘 2 𝑣 = (𝑘𝑣) 2 ∈ ℑ 2 = {0} adalah suatu kontradiksi. Kasus ke (ii), 0 ≠ 𝛼 ∗ 𝑥𝛽 = 𝑝(𝑐) ∈ ℑ . Karena R semiprima dan juga 𝑅[𝑥, 𝑥 −1 ], maka 𝑝(𝑐) 2 ≠ 0 . Diperoleh, 0 ≠ 𝑝(𝑐) 2 ∈ ℑ 2 = {0} juga suatu kontradiksi. Jadi, 𝐿 𝑅 (𝐸) semiprima.
Telah dibahas suatu ideal admisibel ( admissible ideal) dalam aljabar lintasan KE, sebagai  ideal sisi yang mempunyai syarat tertentu [7]. Bagaimana dapat dikonstruksi ideal dasar admisibel  dalam aljabar lintasan RE  berdasarkan  konstruksi  ideal  dasarnya.  Jika  konstruksi  ini  berhasil,  dapat  dilanjutkan pembentukan aljabar faktor dari RE berkaitan dengan ideal dasar admisibelnya.
Selain  sifat  sederhana,  prima  dan  semiprima  mendasar,  dapat  dikembangkan    klasifikasi  lain R- aljabar bebas berdasarkan ideal dasarnya, seperti R-aljabar reguler, reguler kuat, reguler lemah, primitif beserta  sifat-sifatnya.  Implementasi  hasil  penelitian  yang  mungkin  adalah  mencari  syarat  perlu  dan cukup aljabar RE dan 𝐿 𝑅 (𝐸) mempunyai klasifikasi khusus tersebut. Masih banyak masalah terbuka dapat dikaji dari aljabar lintasan dan aljabar lintasan Leavitt, yang tidak hanya pengembangan aljabar, tetapi analisis dan terapannya.

## Penutup
Aljabar lintasan 𝑅𝐸 dan aljabar lintasan Leavitt 𝐿 𝑅 (𝐸) atas ring komutatif unital R dikonstruksi dari semigrupring yang merupakan aljabar asosiatif sekaligus bebas. Ideal dasar dalam 𝑅𝐸 dapat dibentuk dari subhimpunan herediter tersaturasi dalam 𝐸 0 , demikian juga ideal dasar dalam 𝐿 𝑅 (𝐸) . Sifat prima mendasar, semiprima mendasar dalam 𝑅𝐸 maupun 𝐿 𝑅 (𝐸) didefinisikan berdasarkan ideal dasarnya. Keprimaan mendasar aljabar lintasan RE dan aljabar lintasan Leavitt 𝐿 𝑅 (𝐸) bergantung pada struktur grafnya, demikian pula kesemiprimaan mendasar dari RE. Sebarang 𝐿 𝑅 (𝐸) bersifat semiprima mendasar, namun belum tentu semiprima. Aljabar lintasan Leavitt aljabar lintasan Leavitt 𝐿 𝑅 (𝐸) semiprima jika dan hanya jika ring komutatif unital R juga semiprima. Karena lapangan K senantiasa semiprima, maka sebarang aljabar lintasan Leavitt 𝐿 𝐾 (𝐸) adalah semiprima.

## Referensi
[1]  Abrams, G. and Aranda Pino, G., 2008, The Leavitt Path Algebra of Arbitrary Graph , Houston J. Math., 34, pp. 423- 442.
[2]  Abrams, G., Aranda Pino, G., and Molina, M.S., 2008, Locally Finite Leavitt Path Algebra , Israel J. Math., 165, pp. 329-348.
[3]  Abrams, G., Ara, P. and Molina M.S., 2014, Leavitt Path Algebras , A Primer and Handbook, Springer, To appear. https://www.dropbox.com/s/ gqqx735jddrip8f/AbramsAraSiles_BookC1C2.pdf/dl=0
[4]  Aranda Pino, G., Perera, F., Molina, M. S., 2007, Graph algebras: bridging the gap between analysis and algebra ,
University of Malaga Press, Spain.
[5]  Aranda Pino, G., Pardo, E., Molina, M.S., 2009, Prime Spectrum and Primitive Leavitt Path Algebras , Indiana Univ. Math. Journal 58, 869 – 890.
[6]  Aranda Pino, G. , Barquero, D. M., Gonzalev, C. M., Molina, M. S., 2010, Socle Theory for Leavitt Path Algebra of Arbitrary Graph , Rev. Mat Iber. 26, pp.  611 – 638.
[7]  Assem, I., Simson, D., Skowronski, A., 2005, Elements of the Representation Theory of Associative Algebras, Cambridge University Press, New York.
[8]  Passman, D., 1997, The Algebraic Structure of Group Rings , John Wiley and Sons, New York.
[9]  Tomforde, M., 2011, Leavitt Path Algebras With Coefficient In A Commutative Ring , J. Pure Appl. Algebra 215, pp. 471-484.
[10]  Wardati,  K.,  Wijayanti,  I.E.,  Wahyuni,  S.,  2011, The  Cuntz-Krieger  Uniqueness  Theorem  of  Leavitt  Path  Algebras , Proceedings of ”The 6th SEAMS-UGM Conference 2011” Algebra, pp. 183 – 192.
[11]  Wardati, K., Wijayanti, I.E., Wahyuni, S., 2014, Keprimaan Mendasar Aljabar Lintasan Leavitt Atas Ring Komutatif, Artikel  dipresentasikan  dalam  Seminar  Nasional  Aljabar  dan  Pengajarannya,  di  Jurusan  Matematika  Universitas Hasanudin Makassar, 3 – 4 Mei, 2014.
[12]  Wardati, K., Wijayanti, I.E., Wahyuni, S., 2014, On Primeness of Path Algebras over a Commutative Unital Ring , JP Journal of Algebra, Number Theory and Applications, 34 (2), pp. 121 – 138.
[13]  Wardati, K., Wijayanti, I.E., Wahyuni, S., 2015, On Free Ideal in Free Algebra over a Ring , J. Indones. Math. Soc.,
21 (1), pp. 59 – 69.