Received  8 November 2016, Published 30 Januari 2017
Ciptaan disebarluaskan di bawah Lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa 4.0 Internasional . Diterbitkan Oleh: http :// ejournal.stkipmpringsewu-lpg.ac.id/index.php/edumath
Edumath
: Jurnal Pendidikan Matematika

## KEMAMPUAN REPRESENTASI MATEMATIS DAN KEMAMPUAN PEMBUKTIAN MATEMATIKA
Fatrima Santri Syafri Fakultas Tarbiyah Dan Tadris  IAIN Bengkulu Email : kimarakim21@gmail.com

## Abstrak
In  mathematics,  there  are  some  mathematical  ability  to  be  possessed  by  learners  and educators.  Among  them  is  a  mathematical  representation  capability  and  the  ability  of mathematical  proofs.  Where  the  ability  of  the  mathematical  representation  is  a mathematical  abilities  with  the  disclosure  of  mathematical  ideas  (problems,  statements, definitions, etc.) in various ways. In mathematics, a proof is a series of logical arguments that  explain  the  truth  of  a  statement.  While  the  method  of  proof  is  developed  aiming  to improve  the  ability  to  understand  the  evidence,  and  do  (proving)  a  mathematical statement.
Keywords : ability, representation, proving, mathematically

## 1. PENDAHULUAN
Pembelajaran
matematika mempunyai  tujuan  tentang  kemampuan yang  harus  dimiliki  oleh  peserta  didiknya. Kemampuan tersebut lebih dikenal dengan kemampuan matematis.
Apa itu
kemampuan matematis? Pertanyaan tersebut  telah  dijawab  oleh  NCTM  (2000)
yang  mengemukakan  tentang  kemampuan matematis, yaitu sebagai berikut: Kemampuan matematis adalah kemampuan untuk menghadapi permasalahan,  baik  dalam  matematika maupun kehidupan nyata.
Kemampuan  matematis  terdiri  dari  :
Penalaran matematis, komunikasi
matematis, pemecahan masalah matematis, pemahaman konsep, pemahaman matematis,  berpikir  kreatif  dan  berpikir kritis.
Sejalan  dengan  pendapat  tersebut, NCTM  (2000)  mengemukakan  tentang standar  proses  pembelajaran  matematika , yaitu: pertama, pemecahan masalah matematika ( mathematical problem solving ); kedua, penalaran dan pembuktian matematika  ( mathematical  reasoning  and proof );  ketiga,  komunikasi  matematika
( mathematical  communication );  keempat, koneksi matematis (mathematical connections) ;  dan  kelima,  representasi matematis ( mathematics representation ).
Maka dalam tulisan ini akan membahas  beberapa  hal  tentang  standar proses  pembelajaran  matematika,  yang lebih dikhususkan pada kemampuan representasi  matematis  dan    kemampuan pembuktian matematika.
Sebagai kemampuan  yang  juga  penting  dimiliki oleh peserta didik dan seorang pendidik.

## 2. PEMBAHASAN

## Kemampuan Representasi Matematis
NCTM  menetapkan  lima  standar proses  yang  harus  dimiliki  siswa,  yaitu pemecahan masalah, penalaran, komunikasi,  koneksi,  dan  representasi. Representasi  merupakan  salah  satu  dari lima  standar  proses  yang  tercakup  dalam NCTM.  Kelima  standar  proses  tersebut tidak  bisa  dipisahkan  dari  pembelajaran matematika,  karena  kelimanya  saling terkait satu sama lain dalam proses belajar dan mengajar matematika. Standar representasi menekankan pada penggunaan simbol,  bagan,  grafik  dan  tabel  dalam menghubungkan  dan  mengekspresikan ide-ide  matematika.  Penggunaan  hal-hal tersebut harus dipahami siswa sebagai cara untuk mengkomunikasikan ide-ide
matematika  kepada  orang  lain.  (Walle, 2010  :  4).  Hal  tersebut  menunjukkan bahwa  representasi  merupakan  salah    satu standar kemampuan  yang harus ada dalam pembelajaran matematika. Standar kemampuan    representasi  matematis  yang ditetapkan NCTM adalah sebagai berikut:
Create  and  use  representations  to organize,  record,  and  communicate mathematical  ideas , Select,  apply and  translate  among  mathematical representations to solve problems,Use  representations  to model and interpret physical, social, and mathematical phenomena.
(Walle, 2010 : 4)
Menurut  NCTM  (2000),  standar kemampuan  representasi  yang  pertama yaitu membuat dan menggunakan representasi untuk mengorganisasikan, mencatat, dan mengkomunikasikan ide-ide matematika.  Standar  kedua  yaitu  memilih, menggunakan  dan  menerjemahkan  antar representasi untuk menyelesaikan masalah, dan standar yang ketiga yaitu menggunakan representasi untuk membuat model  dan  menginterpretasi  fenomena matematis, fisik, dan sosial.
Menurut  Goldin  (2002),  representasi merupakan  suatu  konfigurasi  yang  bisa merepresentasikan sesuatu yang lain dalam beberapa  cara.  Misalnya  saja  suatu  kata bisa  merepresentasikan  objek  kehidupan nyata, sebuah angka bisa
merepresentasikan  ukuran  berat  badan seseorang,  atau  angka  yang  sama  bisa merepresentasikan posisi pada garis bilangan.
Menurut  Vegnaud  (dalam  Goldin  : 2002),  representasi  merupakan  elemen yang sangat penting dalam teori pengajaran dan pembelajaran  matematika, tidak  hanya  karena  penggunaan  dari sistem-sistem simbolik yang sangat penting  dalam  matematik,  sintaks  dan semantik  yang  kaya,  bervariasi,  dan universal,  tetapi  juga  untuk  dua  alasan episitimologi yang kuat yaitu:
matematika  memainkan  bagian  yang esensial  dalam  mengkonseptualisasikan dunia  nyata;  Matematika  memberikan kegunaan yang sangat luas dari homomorpisma  dimana  reduksi  struktur satu  sama  lain  merupakan  hal  yang esensial.
Representasi  merupakan  hal  yang tidak  bisa  dipisahkan  dalam  pembelajaran matematika.  Meskipun  tidak  tercantum secara  tersurat  dalam  tujuan  pembelajaran matematika  di  Indonesia,  namun  secara tersirat  pentingnya  representasi  tampak pada  tujuan  pemecahan  masalah  dan komunikasi  matematika,  karena  untuk menyelesaikan masalah matematis, diperlukan  kemampuan  membuat  model matematika  dan  menafsirkan  solusinya yang merupakan indikator representasi.
Representasi merupakan suatu model atau  bentuk yang digunakan  untuk mewakili  suatu  situasi  atau  masalah  agar dapat mempermudah pencarian solusi.
Sejalan dengan itu, Berner menyatakan bahwa keberhasilan pemecahan  masalah  bergantung  kepada kemampuan  merepresentasikan  masalah termasuk  membuat  dan  menggunakan representasi  matematis  berupa  kata-kata, grafik, tabel, dan persamaan, penyelesaian, dan  manipulasi  simbol.  (Dorit  Meria  dkk, 2004  :  409).  Dari  kedua  pernyataan tersebut tampak bahwa representasi merupakan alat untuk memecahkan masalah.
Dari  beberapa  definisi  di  atas,  dapat disimpulkan bahwa kemampuan representasi  matematis  merupakan  suatu kemampuan matematika dengan pengungkapan ide-ide matematika
(masalah,  pernyataan,  definisi,  dan  lain- lain) dalam berbagai cara.
Goldin dan Steinghold membedakan  representasi  menjadi  dua bagian,  yaitu  representasi  eksternal  dan representasi  internal.  Kaput  memaparkan bahwa  representasi  internal  merupakan sistem representasi psikologis dari individu  individu  itu  sendiri,  seperti bahasa ibu  yang digunakan, perbandingan visual  dan  spasial,  dan  seterusnya. (Goldin, 2002 : 210).
Pada  dasarnya,  representasi  internal tidak dapat dilihat secara kasat mata, hanya bisa  dipertanyakan  pada  individu-individu yang  bersangkutan.Representasi  eksternal merupakan    representasi  fisik  dalam bentuk  bahasa  lisan,  bahasa  tertulis, simbol,  gambar,  atau  objek  fisik.  (Kartini, 2009 :364)
Irene  T.  Miura  (2001)  membagi representasi menjadi dua macam,  yaitu (1) representasi  instruksional  (yang  bersifat pelajaran),  seperti  definisi,  contoh,  dan model,  yang  digunakan  guru  untuk menanamkan  pengetahuan  kepada  siswa; (2)  representasi  kognitif  yang  dibangun oleh  siswa  itu  sendiri  sambil  mereka mencoba  membuat  konsep  matematika dapat  dimengerti  atau  mencoba  untuk menemukan solusi dari suatu masalah.
Lesh  Post  dan  Behr  membagi representasi  menjadi  lima  bagian,  yaitu representasi objek dunia nyata, representasi  konkret,  representasi  simbol aritmetika,  representasi  bahasa  lisan  atau verbal dan representasi gambar atau grafik (Kartini, 2009 :36).
Jika diperhatikan lebih lanjut, kelima representasi  tersebut  merupakan  perluasan dari  teori  Brunner,  dimana  representasi dunia  nyata  dan  representasi  konkrit termasuk dalam kategori enaktif, representasi  gambar  dan  grafik  termasuk
dalam  kategori  ikonik,  dan  representasi bahasa  lisan  atau  verbal  serta  representasi simbol termasuk dalam kategori simbolik.
Alex Friedlander dan Michal Tabach membagi  representasi  menjadi  empat macam, yaitu representasi verbal, representasi  numerik,  representasi  grafik dan  representasi  aljabar.(Alex  dkk,  2001  : 173).
Berdasarkan  beberapa  pendapat  di atas,  maka  indikator-indikator  representasi matematis  adalah:      Representasi  berupa gambar meliputi: Membuat gambar bangun geometri untuk memperjelas masalah dan memfasilitasi penyelesaiannya; Representasi berupa ekspresi  matematis  meliputi:  Membuat model  matematis  dari  masalah  yang diberikan;  Menyelesaikan masalah dengan melibatkan ekspresi matematis.
Representasi  berupa  teks  tertulis  meliputi: Menjawab  soal  dengan  menggunakan  teks tertulis.
Kemampuan
Membuktikan Dalam matematika Metode  pembuktian  dikembangkan bertujuan untuk meningkatkan kemampuan  mahasiswa  dalam  memahami pembuktian, dan mengerjakan (membuktikan) suatu pernyataan
matematik.  Berbagai  pendekatan  dan metode  telah  dikembangkan,  di  antaranya
Tall  (1991)  menyarankan  konsep  bukti generik  sebagai  cara  untuk  meningkatkan pemahaman  mahasiswa  terhadap  bukti suatu  pernyataan.  Bukti  generik  diberikan dalam  level  contoh  yang  menjelaskan konsep  secara  umum  dengan  memandang contoh khusus.
Hal  ini  tentu  saja  berbeda  dengan pembuktian secara umum yang mensyaratkan  abstraksi  dengan  level  yang lebih tinggi. Kemudian, Leron (dalam Tall, 1991) mengajukan bukti terstruktur dengan sifat  menggabungkan  metode  penyajian formal  dan  informal  ke  dalam  suatu pembuktian.  Tujuan  utama  dari  bukti terstruktur  ini  bukan  untuk  meyakinkan, tetapi  untuk  membantu  pembaca  dalam meningkatkan  pemahamannya  terhadap gagasan  di  belakang  bukti  itu,  dan bagaimanakah  hubungannya  dengan  hasil- hasil matematika lainnya.
David  Tall  (1998)  mengemukakan pendapat tentang pembuktian, ia mengemukakan bahwa :
I suggest that different forms of proof are  appropriate  in  different  contexts, dependent  on  the  particular  forms  of representation available to the individual,  and  that  these  forms become  available  at  different  stages of  cognitive  development.  For  a young child, proof may be by way of a physical  demonstration,  long  before sophisticated use of the verbal proofs of euclidean  geometry  can  be introduced successfully to a subset of the  school  population.  Later  still,
formal  proof  from  axioms  involves even  greater  difficulties  that  make  it appropriate for a few, but impenetrable to many.
Dari pendapat tersebut, dapat dinyatakan  bahwa  berbagai  bentuk  bukti sesuai  dalam  konteks  yang  berbeda, tergantung  pada  bentuk-bentuk  tertentu dari  representasi  yang  ada  untuk  setiap individu, dan bahwa bentuk-bentuk menjadi  tersedia  pada  berbagai  tahap perkembangan kognitif. Untuk anak muda, bukti  mungkin  dengan  cara  demonstrasi fisik, jauh sebelum penggunaan kecanggihan  dari  bukti  lisan  geometri euclidean dapat membimbing keberhasilan dari  beberapa  sekolah.  Kemudian  juga, bukti  formal  dari  aksioma  melibatkan kesulitan  yang lebih besar  untuk  membuat beberapa  kesesuaian,  tetapi  bisa  melalui banyak cara.
Dalam matematika, pembuktian adalah  serangkaian  argumen  logis  yang menjelaskan  kebenaran  suatu  pernyataan. Hal  ini  dinyatakan  oleh  Hanna  dan Barbeau (VanSpronsen, 2008) pembuktian adalah  penerapan  sejumlah  berhingga langkah-langkah  logis  dari  apa  yang diketahui  (aksioma,  prinsip-prinsip  atau hasil  yang  telah  dibuktikan  sebelumnya) dan  menerapkan  prinsip-prinsip  logika, untuk menciptakan argumen deduktif yang valid  guna  mencapai  suatu  kesimpulan
menggunakan  aturan  inferensi  yang  dapat diterima.
Karena itu pengkajian tentang pengajaran  dan    pembelajaran  pembuktian adalah komponen kunci dalam peningkatan pembelajaran matematika secara  menyeluruh.  Ada  beberapa  alasan mengapa perlu diberikan pengajaran pembuktian  yaitu:  1)  bukti  adalah  bagian yang  integral dalam  matematika, 2) untuk verifikasi  dan  penemuan  fakta,  3)  untuk pengembangan  kemampuan  berpikir  logis dan  kritis  siswa,  dan  4)  mempercepat  dan meningkatkan pemahaman matematik siswa (Dickersen, 2008).
Pandangan terakhir mengenai perlunya pembuktian matematika diperkenalkan di sekolah
direkomendasikan  oleh  NCTM  (2000) bahwa pembuktian merupakan bagian dari kurikulum matematika di semua tingkatan. Bagian  “ Reasoning  dan  Proof ”  dalam dokumen  NCTM  ini  dinyatakan  bahwa siswa seharusnya dapat: mengenal penalaran  dan  pembuktian  sebagai  aspek- aspek  fundamental  matematika;  membuat konjektur  dan  memeriksa  kebenaran  dari konjektur itu; mengembangkan dan mengevaluasi  argumen  dan  pembuktian matematika;  memilih  dan  menggunakan bermacam-macam  jenis  penalaran  dan metode pembuktian.
Rekomendasi  dari  NCTM  (2000)  itu mengindikasikan bahwa pembuktian matematika  merupakan  salah  satu  aspek yang harus diperhatikan dalam pembelajaran  matematika  di  sekolah. Sedikit atau  banyaknya pengalaman siswa di    dalam  menyusun  suatu  pembuktian  di sekolah  menengah  atas  akan  berdampak pada  kemampuan  membuktikan  ketika mereka  mengikuti  kuliah  di  perguruan tinggi  tingkat  pertama,  seperti  yang dinyatakan  oleh  Moore  (1994)  bahwa salah  satu  alasan  mengapa  mahasiswa menemui  kesulitan  di  dalam  pembuktian adalah pengalaman mereka dalam mengkonstruksi bukti terbatas pada pembuktian  geometri  sekolah.  Sejalan dengan  itu,  berdasarkan  hasil  studi  yang dilakukan  oleh  Sabri  (2003)  terhadap konsep pembuktian matematika mahasiswa  calon  guru  disarankan  agar kurikulum sekolah menengah atas hendaknya  mempersiapkan  siswa  lebih baik  lagi  dalam  pembelajaran  pembuktian matematika.

## 3. KESIMPULAN
Berdasarkan  beberapa  kajian  yang telah  disampaikan  di  atas,  maka  dapat disimpulkan beberapa hal sebagai berikut :
a) Kemampuan  representasi  adalah  suatu kemampuan matematika dengan pengungkapan ide-ide matematika
(masalah, pernyataan, definisi, dan lain- lain) dalam berbagai cara.
b) Metode  pembuktian  dikembangkan
bertujuan untuk meningkatkan kemampuan dalam memahami pembuktian, dan mengerjakan (membuktikan) suatu pernyataan
matematika

## 4. DAFTAR PUSTAKA
Alex  Friedlander  dan  Michal  Tabach,  (2001). Promoting  Multiple  Representations  in Algebra ,  dalam  Albert  A.  Cuoco  dan Frances  R.  Curcio, The  Roles  of Representation in School Mathematics ,
Dickerson,  D.  S.  (2008).  High  School Mathematics Teachers’Understandings of the Purposes  of  Mathematical  Proof, Disertasi  pada  Syracuse  University: Tidak dipublikasikan.
Goldin,  A.G.  (2002). Representation  in Mathematical Learning and Problem Solving .  Dalam  English,  L.D  (Ed) Handbook of International  Research in  Mathematics Education (pp. 197- 21). Mahwah NJ: Laurence Erlbaum.
Irene  T.  Miura,  (2001). The  Influence  of Language on Mathematical
Representations ,  dalam  Albert  A. Cuoco  dan  Frances  R.  Curcio, The Roles  of  Representation  in  School Mathematics .
Kartini,  (2009). Peranan    Representasi Dalam Pembelajaran Matematika. ” Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA
UNRI .
Meria,  Dorit  &  Miriam  Amit.  (2004).
Students Preference of Non- Algebraic Representations in Mathematical Communication . Proceedings  of  the  28Conference  of the  International  Group  for  the Psychology of Mathematics
Education .
Moore, R.C. (1994). Making the transition to Formal Proof . Educational
Studies  in  Mathematics,  27:  249-
266.
NCTM.  (2000). Principles  and  Standars for  School  Mathematics .  Reston, VA: NCTM.
Sabri,  (2003), Prospective  Secondary School  Teachers’  Conceptions  of Mathematical  Proof  in  Indonesia , Tesis,  tidak  diterbitkan,  Universitas Curtin
Tall, D. (1998). The Cognitive Development of Proof: Is Mathematical Proof For All or Some ? Conference  of  the  University  of Chicago School Mathematics Project. Tall,  David (1991) Adveced  Mathematical Thinking.
Dordrecht: Kluwer
Academic  Publishers  VanSpronsen, H.  D.  (2008). Proof  Processes  of Novice  Mathematics  Proof  Writers . Disertasi  pada  The  University  of Montana Missoula
Walle, John A Van de (2010). Elementary and  Middle  School  Mathematics: Teaching      Developmentally  Seventh Edition . Boston: Pearson.
.