## ANALISIS HUBUNGAN  KETAKSAMAAN NILAI SINGULAR PADA PEMETAAN LINIER DAN  RENTANG NUMERIK UNTUK FUNGSI EKSPONENSIAL MATRIKS
M.Natsir 1) , Asli Sirait 2) , Musraini 3 ) , Rolan Pane 4)
Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Riau Corresponding author : natsir100@gmail.com

## Abstrak
Suatu matriks kompleks M n didefinisikan pada pemetaan linier
pada M n . Diduga jika semi  definit  positip  untuk    A  ,  X  ,  B
maka
merupakan  rataan    dari  nilai  singular  terbesar  ke-  j.  Suatu    eksponensial  matriks  A  dinyatakandalam  bentuk
dan rentang numerik dari didefinisikan dengan
Pada penelitian ini dianalisis sifat-sifat dasar dari
, serta  analisis kasus untuk A Hermitian
key words : ketaksamaan nilai singular , pemetaan linier

## PENDAHULUAN
Matriks      sebagai  salah  satu  bahagian matematika  mempunyai  peran  dan  kontribusi dalam  menyelesaikan  berbagai  persoalan  baik dalam  bidang  matematika  itu  sendiri  maupun dalam  bidang  disiplin  ilmu  lainnya  dengan matriks dan sifat-sifatnya sebagai alat penyelesaian masalah tersebut,
Penelitian  ini  bersifat  studi  kepustakaan  dan rencana kegiatan penelitian ini mendalami tentang hubungan  ketaksamaan  nilai  singular  pada pemetaan  linier  yang  direpresentasikan  dalam suatu  bentuk: yang  merupakan  matriks semi definit positip untuk setiap blok berukuran n x  n yang  pembuktiannya  dengan  menunjukkan pada pertaksamaan
dengan yang merupakan  rataan  nilai  singular  terbesar  ke- j . Pada  penelitian  ini  dibahas  suatu  matriks kompleks berukura n  x  n pada  pemetaan diperoleh hubungan pada  :
Dugaan  1.  Jika ,  dimana , adalah semidefinit positif, maka , Trace dilambangkan  dengan , transpos konjugat dari   adalah . nilai singular dari dinotasikan  dengan ,  diatur  sama.
Untuk  dua  matriks  hermitian    dan  ,  kita  tulis
atau
untuk  mengartikan adalah  semidefinit  positif  dan  mempunyai  akar semidefinit  positif  tunggal    dinotasikan  dengan
berarti matriks identitas  x .
Eksponensial  matriks  merupakan  deret  dari fungsi  eksponensial  yang  konstantanya  diganti menjadi  matriks  A  berukuran n n  ,  sehingga terbentuklah  deret  matriks  A  berukuran n n  . Suatu    deret  matriks  dapat  diperluas  berdasarkan. Teorema    Cayley-Hamilton  yang  menguraikan polynomial  nilai  eigen  dari  suatu  matriks A kedalam bentuk polinomial matriks A nxn .
Rentang numerik dari suatu matriks  secara umum telah  menjadi  topik  penelitian  yang  luas  selama setiap  dekade  yang  mengungkapkan  banyak informasi tentang matriks. Rentang numerik
dari  matriks
adalah  himpunan  kompak
dan konvex
dengan menunjukkan  norm  spektral  matriks. Definisi untuk dianalisis oleh Chorianopoulos et al (2010) dengan memuat
semua nilai eigen dari  .
Jika adalah matriks  polinomial,  maka  rentang numerik dari didefinisikan sebagai
Untuk  analisis  fungsi  dari  matriks  difokuskan pada  fungsi  eksponensial ,  di  mana dan .  Untuk ,  eksponensial  dari didefinisikan sebagai
Penelitian ini  bersifat studi  literatur  dengan menelusuri  lebih  mendalam  dari  hasil  penelitian yang  ditulis  oleh  Lin (2016)  dalam  penelitian yang  berjudul Ketaksamaan  Nilai  Singular Terkait  Peta  Linier dan  pendalaman    hasil penelitian  oleh  Chorianopoulos  dan  Guo  (2016) tentang Rentang Numerik Untuk Fungsi Eksponensial  Matriks dan  kelanjutan  dari  hasil penelitian dari  peneliti tentang  metode alternatif untuk penyelesaian sistem  x!=  Ax.

## Kajian Literatur dan Perumusan Masalah
Keterkaitan  ketaksamaan  nilai  singular    pada pemetaan  linier    memenuhi  hubungan  yang dinyatakan dalam lema berikut :
Lemma  2.1 [4,  h.  75].  Misal , , Lemma  2.2 [4,  h.  262].  Misal , , adalah sebuah kontraksi jika Lemma 2.3 (Apostol, 1969). Jika ,  dimana ,  adalah
semidefinit  positif,  maka  terdapat  kontraksi
sehingga Lema berikutnya merupakan Lema tambahan.
Lemma 2.4 Misal
,
Dibagian ini dijelaskan pengertian nilai eigen dan vektor  eigen  untuk  menjelaskan  teorema  Cayley- Hamilton.
Definisi 1 (Petersen, 2012)
Skalar λ disebut nilai eigen, bila persamaan linier AX=λx untuk x ≠ 0 dengan matriks A nxn dan X adalah  vektor  eigen.  Selanjutnya  dapat  dibentuk (λI – A)X = 0  dan det (λI – A) = 0, diperoleh nilai eigen λ 1 ,λ 2 ,…λ n (1)
Definisi 2 (Petersen, 2012)
Jika  λ 1 ,λ 2 ,…λ n adalah  nilai-nilai  eigen  dari matriks A ordo n  x  n ,  maka  dapat  dibentuk polinomial nilai eigen,
  0 1 1 1 c c c P n n n    
        (2)
Teorema 1 (Petersen, 2012) Misalkan A matriks n  x  n dan λ 1 =λ 2 =….=λ n adalah  nilai-nilai  eigennya.  Dan  Jika  polynomial nilai  eigen  matriks  A  : P(λ)  =  det  (λI  –  A)  = a 0 +a 1 λ+a 2 λ 2 +…..+a n-1 λ (n-1) +λ n maka diperoleh P(λ) =a 0 I+a 1 A+a 2 A 2 +…..+A n = 0 (3)
Teorema 2 ( Chorianopoulos et al, 2010) Jika A matriks konstan n  x  n konstan  dengan polynomial karakteristik    P , maka
eksponensial matriksnya adalah:
          1 2 3 2 1       n n At A t x A t x A t x I t x e L
dengan,
   
            
 
            
 
         1 2 1 1 0 2 1 n n n t t B t x t x t x      0
B adalah matriks untuk 0  t dan
        t t t S n    , , , 2 1   merupakan basis  solusi  sistem  persamaan  differensial homogen yang persamaan karakteristiknya adalah persamaan  karakteristik  dari    matriks  A  dengan   0   p .
Penelusuran  literatur  tentang  materi    yang berkaitan  dengan  eksponen  matriks  memberikan informasi  yang  diperlukan  dalam  menganalisis perumusan  dari  eksponen  matriks  baik  dari  segi penelaahan  nilai  eigen  dari  matriks  A  tersebut maupun  tinjauan  tentang  solusi  dari  sistem persamaan  diferensial  linier  yang  dibangun  oleh A nxn sebagai  matriks  koefisien  sistem  linier tersebut  .

## HASIL DAN PEMBAHASAN
Hasil  dan  pembahasan  pada  bagian  ini  berisikan ketaksamaan  nilai  eigen  Weyl  dan ketaksamaan nilai singular blok matriks semi definit positip

## 1. Ketaksamaan nilai eigen Weyl
Ketaksamaan nilai eigen Weyl (Bhatia, 2007)
menyatakan  jika
adalah matriks Hermitian,
maka , Sebagai untuk  suatu  matriks kesatuan , Dugaan 1: Untuk ,
Bukti : Penggantian dengan , pada Lemma 2.4 Tapi , ini mengimplikasikan Untuk setiap  . , Dengan  menggunakan  Lemma  2.1  dan  Lemma 2.3 untuk menunjukkan kontraksi    diperoleh Dari persamaan pada Lemma 2.2  diperoleh Maka ketaksamaan (lemma 2.1) terbukti dari Misalkan pada  dugaan  1 diperoleh Karena adalah kontraksi sehingga
memenuhi persamaan (
untuk mengkonfirmasi dugaan 1 .
2. Ketaksamaan Nilai Singular Block Matriks Semi Definit Positip Diketahui  ketaksamaan  rata-rata  aritmatika  dan geometri  untuk  nilai  singular  dalam  bentuk    2σ  j (AB  *  )  ≤  σ  j  (A  *  A  +  B  *  B)  ,  j  =  1,  2,  …,  n (Bhatia dan Kittaneh, 2008)
Untuk suatu A, B ϵ M n. telah dibuktikan (Zhang , 2005)  dimana σ j (A – B) ≤ σ j (A ⊕ B), j = 1, 2, …, n    untuk matriks semi definit positip  A, B  , M n dan 2σj(K)≤σ j , j = 1, 2,…r                (4)
Untuk  suatu  block  matriks  semi  definit  positip
, dimana  M  M m , N   M m , r = min {m , n}.
Zhang  (2005) menunjukan  nilai  singular dari block matriks semi definit positip bahwa jika A  ,  B  dan    C  merupakan  matriks  kompleks
sedemikian  hingga ≥  0,  dimana  A
berukuran  m  ×  m,  C  berukuran  n  ×  n,  B berukurans m × n, and rank B = r, maka log σ (B) log μ dimana  μ = (μ 1 , μ 2 ,…,μ n )  dengan μ i = max {λ i (A), λ i (C)} jika [ dan 0 untuk lainnya . σ (B) μ,  selanjutnya  misalkan    A,  B  dan  C merupakan matriks persegi yang mempunyai orde sama maka
log |λ (B)| log μ
Ketaksamaan  nilai  singular  dari  block matriks  2x2  dengan  menggunakan  operator jumlah  langsung  dari  matriks  semi  definit  positip memenuhi
Untuk suatu block matriks semi definit ,
where A   M m , C   M m , r = min {m , n}
(6) Untuk suatu block matriks semi definit , dimana  A,B,dan C matriks persegi berukuran nxn memenuhi hubungan ,j=1,2,…,n (7) ,j=1,2,…,n (8) Untuk suatu block matriks semi definit dimana    A,B,dan  C  matriks  persegi berukuran nxn diperoleh hubungan jika Ai maka Ai),j=1,2,…,n (9) lemma 3.1 Jika memenuhi Maka
lemma  3.2 Misalkan    A,B merupakan matriks Hermitian, Maka lemma  3.3 Jika  A,B merupakan  matriks Hermitian , Maka
lemma  3.4 Misalkan    A  dan    B    merupakan matriks kompleks berukuran , maka
lemma 3.5 Misalkan A dan B merupakan matriks semi definit positip berukuran sama, maka
Sebagai konsekwensinya Jadi

## 3. Eksponensial Matriks
Perumusan  tentang  eksponensial  dari  suatu matriks  persegi  sebelumnya    dijabarkan  melalui perluasan  fungsi  matriks    A  yang  mempunyai eigen  value  λ 1 ,  λ 2 ,  λ 3 ,  ……..,    λ n yang diformulasikan dalam bentuk:
t At k e e     n 1 k k Z dan Z e ) ( n 0 k k At o t o x e x t x k           k j 1, j j o } - (A Z j k n I dengan    .
Sebagai ilustrasi , Selesaikan persamaan
x ! =    Ax,  dengan    A  =                2 1 x , 3 2 1 0 o
Diperoleh  c(λ) =  det (A – λI) = 0, menghasilkan λ =  { -1  ,  -2  } maka
; 1 - 2 - 1 2 - - A 2 1 2 1            I Z                      4 4 2 1 1 - 2 - 1 2 Z 1 o x
Sehingga penyelesaian dari persamaan  x ’ =  Ax adalah
o 2 2t - 1 t - 2 1 k k x e e Z ) ( Z x Z x e t x o o t k                      6 3 - e 4 4 e 2t - t -
Jika  dibandingkan    dengan  cara  biasa  ,  dari nilaieigen  λ  =  { -1  ,   -2   } diperoleh matriks P yang  dibentuk  oleh  eigenvektor    [v 1 ,  v 2 ], sehingga P =  [v 1 , v 2 ]  =         2 1 1 1 , P -1 x o =                      3 - 4 2 1 2 1 1 1 ,  diperoleh
hubungan  Z 1 x o = c 1 v 1 dan  Z 2 x o = c 2 v 2 Jadi solusi persamaan adalah
3 4 0 0 2 - 1 - 1 1 Pe ) ( 2 1 t                          t t o e e x P t x
2t - t - e 2 - 1 3 - e 1 - 1 4             

## 4. Rentang Numerik
Rentang  numerik dari  matriks adalah himpunan kompak dan konvex dengan menunjukkan  norm  spektral  matriks Definisi    untuk dianalisis  serta memuat semua nilai eigen dari   (Chorianopoulos et al, 2010). Jika adalah matriks polinomial, maka rentang numerik dari didefinisikan sebagai
Untuk  analisis  fungsi  dari  matriks  difokuskan pada  fungsi  eksponensial ,  di  mana dan Untuk , eksponensial dari   didefinisikan sebagai Rentang Numerik pada operator T
merupakan  himpunan  bagian  dari  bilangan kompleks C yang didefinisikan dalam bentuk :
Sifat-sifat dari W(T)  memenuhi :
) = { , untuk suatu matriks Unitary U. Sebagai ilustrasi, Misalkan matriks A ditransformasi : yang direpresentasikan oleh ,
Dan  misalkan  (f,g)  merupakan  vektor  satuan dalam
Diperoleh:
Dan + = x + iy y = , .
Diperoleh persamaan:
,      dengan . Yang merupakan himpunan lingkaran . Diferensialkan ke w,r,t , , diperoleh : . Dengan mengeliminasi kedua persamaan
diperoleh :
Yang  merupakan  ellips  dengan  pusat  0  ,  sumbu minor b dan sumbu may Perumusan  tentang  rentang  numerik  matriks eksponensial  ditelaah  berdasarkan  difinisi  berikut
: Untuk suatu , misalkan , rentang numerik didefinisikan sebagai berikut : Definisi 3 (Li dan Rodman, 1997) Rentang numerikal dari adalah
(10)
dan memenuhi : (11) Teorema  3. Misalkan . maka
tidak kosong jika dan hanya jika A bukan matriks skalar .
Bukti: Jika adalah matriks skalar , maka adalah  kosong  karena dan jelas .  Misalkan bukan  matriks skalar,Akan  dutunjukkan tidak  kosong dengan induksi pada ukuran   dari  . Ambil  suatu  matriks  unitary  sedemikian  hingga dan    adalah  matriks  segitiga  atas. Diperoleh ,  sedemikian  hingga untuk setiap . Oleh karena itu .  Sehingga  A  merupakan matriks  segitiga atas.
Misalkan A matriks  kompleks 2  ×  2 ,
.
diperoleh
dengan maka . Jika  A  memiliki  dua  nilai  eigen  yang  berbeda maka adalah  konvex  untuk  semua  ,  itu
sudah  cukup  untuk  menunjukkan  bahwa  selalu ada    kompleks  yang  menghubungkan  segmen
garis dan melalui  titik  0  atau  dengan kata  lain  untuk  suatu sedemikian  hingga maka Atau , sehingga ,  di  mana .  Oleh karena itu, dapat dipilih t sehingga (12) Jika , maka Jadi, jika  dan  hanya  jika . Oleh karena itu }. Misalkan untuk setiap matriks segitiga atas  A berukuran  k x k A, dengan . Jadi terdapat sedemikian hingga untuk suatu . Untuk  setiap matriks  segitiga atas   , Terdapat  tiga kemungkinan: atau , dimana dan  matriks  segitiga  atas berukuran . Sifat – Sifat Misalkan , rentang numerik A didefinisikan dengan Teorema 4. Misalkan . . untuk setiap Unitary .
Misalkan
Sifat  dan  karakteristik  menggambarkan  interaksi antara  sifat-sifat  geometris  dari
dan  sifat- sifat aljabar .(Lin, 2014) Teorema 5. Misalkan . jika dan hanya jika . jika dan hanya jika . adalah  definit  positif  jika  dan  hanya  jika . adalah semidefinite positif jika dan hanya jika .
Rentang  numerik  dari  matriks  Hermitian  H adalah  interval  tertutup  pada  sumbu  real,  yang titik akhir dibentuk oleh eigen ekstrim  .
karena . misalkan   menjadi  vektor  dengan  komponen  riel dengan . Maka mengasumsikan nilai eigen ekstrim dari matriks diagonal hanya untuk vektor eigen sembarang  Unitary  U dari persamaan yang ekuivalen Nilai    eigen  ekstrim diasumsikan  hanya untuk vektor eigen  dalam fungsi .
Untuk  setiap  matriks  kompleks dapat  dibagi menjadi dua komponen sehingga
dimana dan adalah matriks Hermitian yang berhubungan dengan  : Dari ini diperoleh Dimana dan adalah komponen riel untuk setiap vektor  . Teorema  6 . Misalkan bukan  matriks skalardan maka (13) Bukti. Karena , .  Untuk diperoleh . Karena , Untuk setiap .. Oleh karena itu Diperoleh hubungan di  mana adalah  matriks  persegi  dengan ukuran  yang  sama.  Untuk dan , ketaksamaan menjadi (14) Menggabungkan  ketaksamaan  (7)  dan  (8) diperoleh atau ketaksamaan pada
teorema (6) terbukti.

## KESIMPULAN

## Dari hasil penelitian ini diperoleh kesimpulan
1. Rataan geometric  dua matriks definit positip didefinisikan dengan
. Untuk
dengan batas atas dinyatakan dalam bentuk
Ketaksamaan  Non  komutatif  AM  –  GM dirumuskan dalam bantuk
2. Fungsi  eksponensial  matriks  diperoleh dari Solusi persamaan x ! =    Ax    dalam  bentuk      x(t)  =  e At x o = e (A-λI)t e λIt x o =  e (A-λI)t e λt x o o x t I A t I A I t 2 2 e ...] ! 2 ) ( ) ( [          o x k t x t k 0 k k e ] t ! I) - (A I [ ) (       
3. Suatu  rentang  numerik  dari  operator  T yang  merupakan  subset  dari  bilangan kompleks C dalam bentuk: =1} diperoleh hubungan Unitary U.
4. Untuk  suatu  matriks  Hermitian  H  ,  maka
merupakan    eigen value terkecil dan terbesar dari Matriks H dan jika , maka v merupakan eigenvektor yang berkoresponden dengan .

## DAFTAR PUSTAKA
Apostol,  T.  M . 1969. Calculus.  Vol.  II,  Second Ed. New York: John Willey and Sons, In. Bhatia,  R.  2007. Positive  De_nite  Matrices . Princeton: Princeton University Press. Bhatia,  R  dan  Kittaneh.  F.  2008. The  matrix arithmetic geometric mean inequality revisited . Linear    Algebra  applications . Princeton: Princeton University Press,
Chorianopoulos,  C.  dan  Guo,  C.  -H.  2016.
Numerical  range  for  the  matrix  exponential function . Electronic  Journal  of  Linear
Algreba .
Chorianopoulos,  C.  Psarrakos,  P.  dan  Uhlig,  F. 2010.    A  method  for  the  inverse  numerical range  problem . Electronic  Journal  of  Linear Algreba .
Li, C. K. dan Rodman, L. 1997. Numerical range of  matrix  polynomials. SIAM  Journal  on
Matrix . Analysis and Applications .
Lin,  M.  2014. A  Completely  PPT  Map .  Linear Algebra applications.
Lin,  M.  2016.  A  Singular  Value  Inequality Related to Linear Map. Electronic Journal of Linear Algebra . Petersen,  P.  2012. Linear  Algebra .  New  York: Springer. Zhang, F . 2005 The Schur Complement and  Its Applications ,    Springer  Science  Business Media, Inc.