Identifikasi proses berpikir siswa dalam menyelesaikan masalah aljabar dengan menggunakan representasi graf
Siti Lailiyah a *, Kusaeri Kusaeri b , Wenda Yulian Rizki c
Universitas Islam Negeri Sunan Ampel, Jalan Ahamd Yani 117, Surabaya, Jawa Timur, 60237, Indonesia. E-mail: a lailiyah@uinsby.ac.id ; b kusaeri@uinsby.ac.id; c weyulki@gmail.com * Corresponding Author
ARTICLE INFO ABSTRACT

## Article history
Received: 7 June 2020 Revised: 15 July 2020 Accepted: 18 August 2020
Keywords graf pohon biner; graf pohon keputusan; graf pohon rentang; representasi graf; proses berpikir; binary tree graph; spanning tree graph decision tree graph; graph representation; thinking process
Representasi  graf  banyak  digunakan,  salah  satunya  untuk  menggambarkan proses berpikir siswa. Caranya dengan melihat hubungan antara langkah penye- lesaian satu dengan lainnya dalam menyelesaikan masalah matematika. Peneli- tian ini bertujuan untuk merepresentasikan proses berpikir siswa dalam menye- lesaikan  masalah  aljabar  dengan  bantuan  representasi  graf.  Subjek  penelitian ini adalah 3 dari 38 siswa kelas IX-A SMP Negeri 26 Surabaya, yang diambil dengan  teknik snowball  sampling .  Teknik  pengumpulan  data  menggunakan metode wawancara berbasis tugas. Tugas atau masalah yang diberikan berupa dua  soal open  onded dan  hasilnya  dianalisis  serta  direpresentasikan  melalui graf:  graf  pohon  biner,  graf  pohon  rentang,  dan  graf  pohon  keputusan.  Hasil penelitian  menunjukkan bahwa  melalui  graf  pohon  biner,  representasi  proses berpikir  siswa  masih  sederhana  dan  tidak  sistematis  dengan  langkah-langkah penyelesaian yang dilakukan masih sedikit. Melalui graf pohon rentang, proses berpikir siswa direpresentasikan secara praktis, lengkap, dan tepat. Melalui graf pohon keputusan, proses berpikir siswa direpresentasikan secara teratur, rinci, dan terurut.
One  of  the  uses  of  graph  representation  was  to  describe  students’  thinking. Processes  by  identifying  the  relationship  between  one  completion  step  and another  completion  step  in  doing  mathematics  problems.  This  qualitative descriptive research aimed to describe the representation of students’ thinking processes in solving algebraic questions with the help of graph representation. The subjects of this study were 3 from 38 students of class IX-A at SMP Negeri 26  Surabaya,  Indonesia  selected  through  snowball  sampling.  Data  was collected from task-based interview methods. The task or  problem given was two open-ended questions and the results were analyzed as well as represented through  graphs:  binary  tree  graph,  spanning  tree  graph,  and  decision  tree graph.  The  results  showed  that  through  the  binary  tree  graph,  the  repre- sentations of students’ thinking processes were still simple and not systematic with few steps to complete. Through the spanning tree graph, students’ thinking processes were represented practically, completely, and precisely. Through the decision  tree  graph,  students’  thinking  processes  were  represented  in  an orderly, detailed, and consecutive.
This is an open access article under the CC–BY-SA license.
How to Cite: Lailiyah, S., Kusaeri, K., & Rizki, W. (2020). Identifikasi proses berpikir siswa dalam menyelesaikan masalah aljabar dengan menggunakan representasi graf. Jurnal Riset Pendidikan Matematika, 7 (1), 25-44. doi:https://doi.org/10.21831/jrpm.v7i1.32257

## PENDAHULUAN
Salah  satu  tujuan  siswa  belajar  matematika  dalam  Kurikulum  2013  adalah  memahami  konsep matematika,  yakni  mampu  menjelaskan  keterkaitan  antar  konsep,  menggunakan  konsep  matematika secara luwes, akurat, efisien, dan tepat dalam pemecahan masalah (Menteri Pendidikan dan Kebudayaan
Republik Indonesia, 2018) . Kompetensi tersebut dicirikan dengan kemampuan siswa menyajikan kon- sep dalam berbagai macam bentuk representasi, baik berupa tabel, grafik, diagram, gambar, sketsa, mo- del matematika, atau cara lainnya (Kholiqowati et al., 2016) . Kemampuan representasi itu sangat penting bagi siswa, karena erat kaitannya dengan kemampuan komunikasi dan pemecahan masalah kehidupan sehari-hari. Melalui representasi, masalah yang semula terlihat sulit dan rumit dapat dilihat dengan lebih mudah dan sederhana, sehingga masalah yang disajikan dapat dipecahkan dengan lebih mudah (Sabirin, 2014) . Dengan demikian, representasi merupakan sarana untuk membantu menemukan solusi dari suatu masalah yang kompleks.
Salah satu jenis representasi yang memainkan peran penting dalam membangun dan meningkat- kan kemampuan matematika siswa adalah representasi matematis (Kar et al., 2011) . Selain itu, repre- sentasi matematis merupakan komponen utama yang dapat membangun proses berpikir spasial (Fiantika et al., 2017) . Hal ini dipertegas oleh hasil penelitian Permana & Surya (2017) yang menyatakan bahwa representasi matematis merupakan kemampuan mendasar untuk membangun konsep dan berpikir mate- matis.  Penelitian  lain  dilakukan Astutik  (2018) mendapati  bahwa  representasi  matematis  memiliki pengaruh  langsung  terhadap  kemampuan  berpikir  kritis  dalam  menyelesaikan  masalah  matematika sebesar 60%. Beberapa fakta dan hasil penelitian tersebut menandakan bahwa representasi matematis memiliki dampak yang tinggi terhadap proses berpikir siswa.
Proses berpikir merupakan aktivitas kognitif yang terjadi di dalam mental atau pikiran seorang siswa dan bersifat internal, sehingga sulit untuk diamati secara langsung (Pramesti, 2014) . Dengan kata lain, proses berpikir siswa sulit untuk dilihat secara kasat mata oleh guru. Untuk mengetahuinya, diperlu- kan suatu media yang dapat merangsang proses berpikir mereka, misalnya dengan memberikan sebuah permasalahan  matematika (Kusaeri  et  al.,  2018) .  Seseorang  dapat  dilihat  proses  berpikirnya  dengan mengidentifikasi hasil pekerjaannya (Razzouk & Shute, 2012) . Dengan kata lain, proses berpikir siswa terlihat dari jawaban yang diberikannya dalam menyelesaikan masalah.
Fakta menunjukkan bahwa masih banyak siswa lemah dalam kemampuan representasi matematis. Sejumlah penelitian telah berupaya mengidentifikasi lemahnya kemampuan representasi matematis sis- wa.  Penelitian Panduwinata  et  al.  (2019) mengemukakan  bahwa  kesulitan  siswa  dalam  representasi matematis yaitu siswa belum mampu mengembangkan ide, mengubah bentuk representasi visual men- jadi informasi aljabar, dan bingung dalam melibatkan ekspresi matematika. Penelitian lain dilakukan Johar dan Lubis (2018) yang berhasil mengidentifikasi beberapa penyebab siswa lemah dalam repre- sentasi  matematis  antara  lain  siswa  tidak  terbiasa  dengan  masalah  yang  membutuhkan  representasi, siswa  tidak  terbiasa  memecahkan  masalah word  problem ,  dan  kendala  guru  yang  kurang  mendalam mengajarkan masalah nonrutin. Oleh karena itu, dalam artikel ini peneliti ingin melihat cara untuk meli- hat proses berpikir siswa dengan menggambarkan penyelesaian yang dilakukannya menggunakan repre- sentasi  graf.  Hal  ini  dikarenakan  representasi  graf  sangat  membantu  dalam  menggambarkan  proses berpikir siswa ( Dafik, 2015) .
Penelitian-penelitian  yang  mengkaji  penggunaan  representasi  graf  telah  banyak  dilakukan (misalnya: Amrullah, 2011 ; Jonathan, 2012 ; Wirdasari, 2011) . Penelitian yang dilakukan oleh Jonathan (2012) fokus pada representasi objek-objek dan menghubungkannya serta mengimplementasikan graf dalam  penentuan  materi  dan  metode  yang  digunakan  dalam  kaderisasi.  Penelitian Amrullah  (2011) tentang representasi graf pada algoritma Huffman untuk menghemat ukuran data dalam sistem kom- puter.  Penelitian Wirdasari  (2011) tentang  implementasi  teori  graf  yang  diterapkan  dalam  bidang komputer  khususnya  struktur  data  dan menentukan minimum spanning  tree .  Berdasarkan  penelitian- penelitian  tersebut,  tampak  bahwa  fokusnya  adalah  pada  representasi  graf  pada  ilmu  komputer.  Ada bagian yang belum disentuh oleh penelitian-penelitian tersebut, misalnya representasi graf pada proses berpikir. Oleh karena itu, kajian ini difokuskan pada penggambaran proses berpikir siswa dalam bentuk representasi graf. Itulah celah yang dapat ditawarkan oleh peneliti di tengah menjamurnya kajian tentang representasi graf.
Bentuk representasi graf yang memiliki terapan cukup banyak dan cocok dalam merepresentasi- kan  proses  berpikir  siswa  adalah  representasi  graf  pohon  ( tree ) (Al  Amin,  2014) .  Menurut Al  Amin (2014) graf pohon adalah graf tidak berarah yang bersifat hanya terdapat sebuah lintasan unik antara setiap pasang simpulnya. Tiga kriteria utama pada graf pohon adalah graf yang terhubung, tak berarah, dan tidak memuat sirkuit (Amrullah, 2011) . Selain itu, Amrullah (2011) juga menyebutkan bahwa graf pohon  memegang  peranan cukup  penting  karena  struktur ini  digunakan untuk  menyajikan  data  yang mengandung hubungan hierarki antara elemen-elemen tersebut.
Jurnal Riset Pendidikan Matematika, 7 (1), 2020 - 27
Graf pohon digolongkan menjadi tiga jenis yakni graf pohon biner ( binary ), graf pohon keputus- an, dan graf pohon merentang (Jonathan, 2012) . Di antara ketiga graf pohon tersebut, yang lebih mudah dikelola dalam komputer adalah pohon biner ( binary ) (Amrullah, 2011) . Dalam kaitannya dengan peng- gambaran proses berpikir, graf pohon biner dapat menggambarkan simpul-simpul proses berpikir yang memiliki hubungan hierarki. Sementara itu, graf pohon yang memudahkan dalam penyusunan algoritma adalah graf pohon keputusan (Jonathan, 2012) . Graf pohon keputusan sangat penting dalam merepresen- tasikan  proses  berpikir  siswa  karena  dapat  menghasilkan  suatu  hasil  atau  keputusan-keputusan  yang diperoleh dari proses berpikir. Di sisi lain, graf pohon yang dapat digunakan memecahkan masalah yang berkaitan dengan mendesain jaringan, analisis cluster , dan analisis jaringan otak adalah graf pohon me- rentang (Nurdiyanto & Susanti, 2019) . Dalam konteks ini, graf pohon rentang dapat menentukan jalur berpikir yang efektif dan efisien. Penggambaran proses berpikir dengan representasi graf pohon akan memperlihatkan proses berpikirnya secara jelas dan akan membantu untuk menentukan keputusan atau langkah ke depannya.
Representasi proses berpikir sangat penting karena dapat membantu peserta didik mengkomuni- kasikan gagasan matematisnya yang bersifat abstrak menjadi konkret sehingga mudah untuk dipahami (Effendi,  2012) .  Selain  itu,  representasi  graf  juga  memiliki  potensi  untuk  memfasilitasi  siswa  yang mengalami kesulitan dalam proses berpikir atau penalaran (Chen et al., 2018) . Oleh karena itu, penelitian ini  bertujuan  untuk  merepresentasikan  proses  berpikir  siswa  dalam  menyelesaikan  masalah  aljabar dengan menggunakan representasi graf pohon.

## METODE
Jenis penelitian yang digunakan dalam penelitian ini yaitu penelitian deskripsi kualitatif. Hal ini dikarenakan tujuan penelitian ini yaitu untuk merepresentasikan proses berpikir siswa dalam menyele- saikan  masalah  aljabar  dengan  bantuan  representasi  graf.  Teknik  pengambilan  subjek  menggunakan snowball  sampling . Snowball  sampling merupakan  suatu  metode  penentuan  subjek  dengan  teknik jaringan atau rantai hubung, dimana subjek satu dengan subjek berikutnya memiliki keterhubungan yang terus menerus yang digunakan untuk mengungkapkan data secara spesifik (Nurdiani, 2014) . Langkah- langkah pengambilan subjek dimulai dengan memilih satu subjek secara acak, kemudian subjek diberi masalah open ended dan dilakukan proses wawancara setelah menyelesaikan masalah tersebut. Selanjut- nya, hasil penyelesaian subjek dianalisis proses berpikirnya. Bila hasil representasi graf pohonnya belum sesuai maka dilakukan pengambilan subjek lagi. Pengambilan subjek terus diulangi sampai didapatkan hasil representasi graf pohonnya sesuai dengan tujuan penelitian. Pengambilan subjek berhenti jika hasil representasi graf pohonnya sudah sesuai dengan tujuan penelitian.
Tabel 1 . Kode Langkah-langkah Penyelesaian Soal Nomor 1 dan Soal Nomor 2 Penyelesaian Koding Penyelesaian Koding Menulis kembali soal pada nomor 1 𝑉 1 Menulis kembali soal pada nomor 2 𝑊 1
Menulis apa yang diketahui pada soal nomor
1 dengan kalimat atau pemisalan variabel 𝑥 dan 𝑦 𝑉 2 Menulis apa yang diketahui pada soal nomor 2 dengan kalimat atau pemisalan variabel 𝑥 dan 𝑦
𝑊 2
Menulis apa yang ditanya pada soal nomor 1 dengan kalimat atau pemisalan variabel 𝑥 dan 𝑦 𝑉 3 Menulis apa yang ditanya pada soal nomor 2 dengan kalimat atau pemisalan variabel 𝑥 dan 𝑦 𝑊 3 Membuat strategi penyelesaian masalah pada soal nomor 1 dengan membuat tabel 𝑉 4 Membuat strategi penyelesaian masalah pada soal nomor 2 dengan membuat tabel
𝑊 4 Membuat strategi penyelesaian masalah pada soal nomor 1 dengan mengubah masalah menjadi model matematikanya 𝑉 5 Membuat strategi penyelesaian masalah pada soal nomor 2 dengan mengubah masalah menjadi model matematikanya 𝑊 5 Mengklasifikasi model matematika pada soal nomor 1 menjadi persamaan pertama dan persamaan kedua 𝑉 6 Mengklasifikasi model matematika pada soal nomor 2 menjadi persamaan pertama dan persamaan kedua 𝑊 6 Menyelesaikan masalah pada soal nomor 1 dengan metode eliminasi yaitu mengeliminasi nilai 𝑦 𝑉 7 Menyelesaikan masalah dengan metode eliminasi yaitu mengeliminasi nilai 𝑦 𝑊 7 Menyelesaikan masalah pada soal nomor 1 dengan metode eliminasi yaitu
mengeliminasi nilai 𝑥 𝑉 8 Menyelesaikan masalah dengan metode eliminasi yaitu mengeliminasi nilai 𝑥 𝑊 8
Menyelesaikan masalah pada soal nomor 1 dengan metode substitusi yaitu mengubah persamaan yang diketahui untuk mendapatkan nilai dari variabel 𝑥 atau 𝑦 𝑉 9 Menyelesaikan masalah dengan metode substitusi yaitu substitusi persamaan satu ke persamaan lain untuk mendapatkan nilai dari salah satu variabel 𝑊 9 Menyelesaikan masalah pada soal nomor 1 dengan metode substitusi yaitu substitusi persamaan satu ke persamaan lain untuk mendapatkan nilai dari salah satu variabel 𝑉 10 Menyubstitusikan nilai salah satu variabel yang didapatkan ke persamaan lain untuk mendapatkan nilai variabel yang lain 𝑊 10 Menyubstitusikan nilai salah satu variabel yang didapatkan ke persamaan lain untuk mendapatkan nilai variabel yang lain 𝑉 11 Menyelesaikan masalah dengan metode grafik yaitu memisalkan nilai 𝑥 = 0 dan 𝑦  =  0 𝑊 11 Menyelesaikan masalah pada soal nomor 1 dengan metode grafik yaitu memisalkan nilai 𝑥 = 0 dan 𝑦  =  0
𝑉 12 Menentukan nilai 𝑥 jika 𝑦  =  0 dan nilai 𝑦 jika 𝑥  =  0
𝑊 12
Menentukan nilai 𝑥 jika 𝑦  =  0 dan nilai 𝑦 jika 𝑥  =  0
𝑉 13 Menggambarkan grafik dari pemisalan 𝑥 = 0 dan 𝑦  =  0 𝑊 13
Menggambarkan grafik dari pemisalan 𝑥 = 0 dan 𝑦  =  0 𝑉 14 Membuat kesimpulan dari penyelesaian yang diperoleh 𝑊 14 Membuat kesimpulan dari penyelesaian yang diperoleh pada soal nomor 1 𝑉 15 Menuliskan kalimat “Jadi tarif parkir mobil adalah Rp. xx dan tarif parkir sepeda motor adalah Rp. xx“ 𝑊 15 Menuliskan kalimat “Jadi harga sepotong kaos adalah Rp. xx dan harga sepotong kemeja adalah Rp. xx” 𝑉 16 Menentukan uang yang didapatkan tukang parkir apabila terdapat 20 mobil dan 30 sepeda motor. 𝑊 16 Menentukan uang yang harus dibayar untuk sepotong kaos dan 2 potong kemeja

## 𝑉 17
Subjek pertama dipilih dari 38 siswa yang didasarkan pada hasil rekomendasi guru matematika kelas IX A SMP Negeri 26 Surabaya. Hasil representasi graf pohon penyelesaian subjek pertama belum sesuai dengan tujuan penelitian. Oleh karena itu, dilakukan pengambilan subjek kedua berdasarkan hasil rekomendasi guru matematika, dan hasil representasi graf pohon penyelesaian subjek kedua juga belum sesuai dengan tujuan penelitian. Selanjutnya dilakukan pengambilan subjek ketiga yang didasarkan pada rekomendasi guru matematika. Ternyata hasil representasi graf pohon penyelesaian subjek ketiga sudah sesuai dengan tujuan penelitian ini dan lebih baik dari subjek pertama dan kedua. Berdasarkan tahapan ini, maka pengambilan subjek penelitian ini sudah cukup dan pada akhirnya ketiganya dijadikan subjek penelitian ini.
Jurnal Riset Pendidikan Matematika, 7 (1), 2020 - 29 Siti Lailiyah, Kusaeri Kusaeri, Wenda Yulian Rizki
Data dikumpulkan dengan menggunakan instrumen wawancara berbasis tugas. Wawancara ber- basis  tugas  diterapkan  ketika  siswa  telah  menyelesaikan  permasalahan  matematika (Siregar,  2018) . Wawancara dilakukan untuk memperjelas dan memperdalam informasi yang belum tergali ketika siswa menjawab permasalahan yang diberikan. Wawancara juga digunakan sebagai sarana triangulasi hasil penyelesaian  siswa (Siregar,  2018) .  Tugas  atau  permasalahan yang  diberikan  berupa  dua  soal  materi Sistem Persamaan Linier Dua Variabel (SPLDV). Tugas atau soal yang dirancang bersifat open ended , dengan harapan dapat memicu siswa dalam menyelesaikan masalah secara beragam, terurut, dan efektif (Faridah et al., 2016) . Selain itu soal matematika berbasis open ended dapat mengembangkan keteram- pilan berpikir tingkat tinggi siswa ( HOTS skill ) (Ernawati, 2016) . Soal 1 dirancang untuk melihat ke- mampuan representasi proses berpikir siswa dalam bentuk representasi graf pohon biner dan representasi graf pohon perentang. Sementara itu, Soal 2 dirancang untuk melihat representasi proses berpikir siswa dalam  bentuk  representasi  graf  pohon  keputusan  dan  perentang.  Adapun  instrumen  yang  digunakan dalam penelitian ini disajikan pada Gambar 1.
Sebelum  digunakan  instrumen  penelitian  tersebut  divalidasi  oleh  empat  validator,  yang  terdiri dari dua validator dosen Pendidikan Matematika UIN Sunan Ampel, satu guru matematika SMP Negeri 26 Surabaya dan 1 guru matematika SMP Negeri 1 Puri Mojokerto. Validator pertama menyatakan bah- wa instrumen penelitian ini layak digunakan dengan merevisi indikator soal yang tidak sesuai dengan tujuan  penelitian.  Setelah  instrumen  direvisi,  selanjutnya  instrumen  divalidasi  oleh  validator  kedua. Validator kedua menyatakan bahwa instrumen penelitian ini sudah valid dan layak digunakan. Validator ketiga menyatakan  bahwa  instrumen  penelitian  ini  dinyatakan  layak  digunakan dengan merevisi tata bahasa soal nomor 1 dikarenakan masih sulit dipahami oleh siswa SMP. Setelah instrumen divalidasi, selanjutnya instrumen divalidasi oleh validator keempat. Validator keempat menyatakan bahwa instru- men penelitian harus diujicobakan terlebih dahulu ke kelas lain yang tidak dijadikan subjek penelitian untuk mengetahui keefektifan waktu yang digunakan.
Data hasil tertulis dianalisis dengan tahapan berikut: pengkodean data jawaban tertulis subjek, sebagaimana  disajikan  pada  Tabel  1;  mencari  keterhubungan  antar  langkah  dan  menggambarkan hubungan langkah-langkah penyelesaian ke dalam representasi graf pohon: reduksi data; penyajian data; dan penarikan kesimpulan. Transkrip wawancara dikoding sebagai berikut: P a,b,c dan S a,b,c dimana P = pewawancara, S = subjek penelitian, dan a,b,c = kode digit setelah P dan S . Digit pertama menyatakan subjek  ke- a , a =  1,2,3,  ...,  digit  kedua  menyatakan  nomor  soal  ke- b , b =  1,2,3,  ...,  serta  digit  ketiga menyatakan pertanyaan atau jawaban ke- c , c = 1,2,3,....

## HASIL DAN PEMBAHASAN
Pada  penelitian  ini,  data  hasil  penelitian  diperoleh  dari  tiga  siswa  yang  menjadi  subjek  utama penelitian. Jawaban ketiga siswa dalam menyelesaikan tugas dan hasil wawancara dideskripsikan untuk merepresentasikan proses berpikir siswa dalam menyelesaikan masalah aljabar dengan menggunakan representasi graf pohon. Adapun deskripsi tersebut diuraikan sebagai berikut.

## Proses Berpikir Subjek Pertama dalam Menyelesaikan Masalah Aljabar Menggunakan Representasi Graf Pohon
Berikut disajikan Jawaban tertulis subjek pertama pada soal nomor 1 dalam menyelesaikan masa- lah aljabar. Pada Gambar 2 terlihat bahwa subjek pertama menyelesaikan masalah pada soal 1 dengan cara memisalkan x yang menyatakan kaos dan y yang menyatakan kemeja. Selanjutnya subjek pertama membuat  model  matematika  dan  menyelesaikan  masalah  aljabar  tersebut  dengan  menggunakan  cara eliminasi pada soal nomor 1a dan cara substitusi pada soal nomor 1b dan 1c.
Selanjutnya disajikan jawaban tertulis subjek pertama pada soal nomor 2 dalam menyelesaikan masalah aljabar (Gambar 3). Pada Gambar 3, subjek pertama menuliskan pemisalan 𝑥 untuk pemisalan tarif parkir mobil dan 𝑦 untuk pemisalan tarif parkir motor. Selanjutnya subjek pertama membuat model matematika  dari  permasalahan  tersebut  dan  menyelesaikan  masalah  tersebut  menggunakan  cara campuran untuk soal nomor 2a dan 2b, serta cara eliminasi untuk soal nomor 2c.
Berdasarkan hasil wawancara, subjek pertama melakukan penyelesaian masalah dengan memisal- kan  informasi  yang  ada,  menceritakan  apa  yang  diketahui  dan  apa  yang  ditanyakan  pada  soal  dan menceritakan proses penyelesaian soal tersebut. Hal ini terlihat pada petikan wawancara pada Tabel 2.
Gambar 2 . Jawaban Tertulis Subjek Pertama pada Soal Nomor 1
Gambar 3 . Jawaban Tertulis Subjek Pertama pada Soal 2
Tabel 2 . Petikan Wawancara Subjek Pertama pada Soal Nomor 1 dan Soal Nomor 2 Soal Nomor 1 Soal Nomor 2 P 1.1.2 :  “ Jelaskan  informasi  yang  Anda  dapatkan  dari masalah tersebut!”
S 1.1.2 :  “ Pertama  saya  misalkan 𝑥 adalah  kaos  dan 𝑦 adalah  kemeja,  Faiz  membeli  2  kaos  dan  kemeja dengan  harga  Rp.  260.000,-,  jadi 2𝑥 + 𝑦 = 260.000 .  Faiz  menukar  1  kaos  dengan  1  kemeja. Jadi  dia  membeli  1  kaos  dan  2  kemeja,  kalau 𝑥 + 2𝑦 = 260.000 + 50.000 ,  ditambah 50.000  karena menukar dengan 1 kemeja .” P 1.1.3 :  “ Apa yang ditanyakan dari soal tersebut?” S 1.1.3 :  “ Nilai 𝑥 dan 𝑦 nya pak, terus nilai dari 2𝑥 + 2𝑦 = berapa seperti itu.”
P 1.2.1 :  “ Bagaimana cara menyelesaikan masalah tersebut?”
S 1.2.1 :  “ Pertama  aku  mencari  dengan  cara  eliminasi,  di sini saya mengeliminasi nilai 𝑥 untuk mendapatkan 𝑦 hasilnya Rp. 70.000,-, untuk mendapatkan nilai 𝑦 . Kemudian  untuk  mendapatkan  nilai 𝑥 saya mengeliminasi nilai 𝑦 untuk mendapatkan nilai 𝑥 .” P 1.2.2 :  “ Apa  yang  dapat  disimpulkan  dari  penyelesaian Anda sampai ini?”
S 1.2.2 :  “ Jadi nilai 𝑥 sebesar Rp. 70.000,- dan y sebesar Rp. 120.000,-,  nanti  nilai 𝑥 dan 𝑦 di  masukkan  pada
2𝑥 + 2𝑦 , soalnya Faiz membeli 2 kaos dan 2 kemeja sehingga Ia harus membayar Rp. 380.000,-.” P 1.2.3 :  “ Cara  apalagi  yang  Anda  gunakan  untuk menyelesaikan masalah tersebut!”
S 1.2.3 :  “ Untuk  cara  berikutnya  pakai  cara  substitusi, pertama  saya  pindahkan  nilai 𝑥 dari  persamaan 2𝑥 + 𝑦 = 260.000 menjadi 𝑦 = 260.000 − 2𝑥 . Setelah itu saya substitusikan pada persamaan 𝑥 + 2𝑦 = 310.000 untuk  mendapatkan  nilai 𝑥 . Selanjutnya  nilai 𝑥 saya  substitusikan  pada persamaan 2𝑥 + 𝑦 = 260.000 .  hasilnya  sama dengan yang sebelumnya.”
P 1.3.1 : “Apakah Anda  menemukan  suatu persamaan dari informasi yang diberikan dengan soal sebelumnya?”
S 1.3.1 : “Iya  ada,  persamaannya  sama–sama persamaan  linier  dua  variabel,  terus pemisalannya saya juga sama 𝑥 dan 𝑦 ” P 1.4.1 :  “ Sekarang  jelaskan  kembali  apa  yang Anda dapatkan di soal nomor 2!”
S 1.4.1 : “Sebenarnya  sama  cuman 𝑥 dimisalkan tarif parkir mobil dan 𝑦 dimisalkan tarif parkir motor. Saya jadikan persamaan 1 yaitu 3𝑥 + 5𝑦 = 17.000 dan  persamaan 2 yaitu 4𝑥 + 2𝑦 = 18.000 ” P 1.4.2 : “Apa ada kesulitan dalam menyelesaikan masalah tersebut?”
S 1.4.2 : “Tidak  ada  pak,  karena  mengikuti  cara yang nomor 1”
P 1.4.3 : “Pada jawaban nomor 2b ada beberapa coretan  dari  penyelesaian  Anda  coba jelaskan!”
S 1.4.3 : “Iya  pak,  itu  awalnya  saya  hitung nilainya  120.000  ternyata  saat  saya hitung lagi hasilnya 110.000.”
P 1.4.4 :  “ Apakah  Anda  yakin  dengan  jawaban Anda yang kedua?, padahal belum tentu benar juga!”
S 1.4.4 : “Yakin  pak,  karena  sudah  saya  cek  lagi soalnya kurang teliti.”
P 1.4.5 : “Berikan  alasan  di  soal  2c  Anda  tidak memberikan kesimpulan?”
S 1.4.5 :  “ Saya  kira  mempunyai  hasil  yang  sama dengan hasil yang 2b dan disoal 2c tidak terdapat  pertanyaan  untuk  mencari kesimpulan yang 2b.”
Berdasarkan hasil tes dan wawancara pada Tabel 2, selanjutnya data dianalisis dengan mencari kesamaan  hasil  penyelesaian  dengan  hasil  wawancara,  sehingga  dapat  ditarik  keterhubungan  setiap langkah penyelesaian dan didapatkan hasil penggambaran proses berpikir subjek pertama dalam menye- lesaikan soal nomor 1. Representasi graf pohon pertama yaitu menggunakan graf pohon biner. Adapun representasi graf pohon biner proses berpikir subjek pertama pada soal nomor 1 disajikan pada Gambar 4.
Gambar 4 . Representasi Graf Pohon Biner Proses Berpikir Subjek Pertama pada Soal Nomor 1
Keterangan Gambar 4:
( node ) = Simbol langkah-langkah penyelesaian
( edge ) = Simbol langkah selanjutnya
Pada Gambar 3 didapatkan hasil penggambaran graf pohon biner proses berpikir subjek pertama dalam menyelesaikan soal 1 menggunakan dua macam cara penyelesaian. Cara pertama menggunakan metode eliminasi dalam menyelesaikan soal nomor 1a dan cara kedua menggunakan metode substitusi dalam menyelesaikan soal nomor 1b dan 1c. Representasi graf pohon biner disimbolkan dengan simpul/ titik ( node/verteks )  dan  sisi/busur/garis  ( edge ). Node menyatakan  langkah-langkah  penyelesaian  dan edge yang  menghubungkan node-node tersebut.  Setiap node memiliki  paling  banyak  dua  anak ( upapohon ) yaitu anak kanan dan anak kiri.
Langkah penyelesaian yang digunakan subjek pertama memiliki 9 langkah penyelesaian yaitu V 2 , V 3 , V 5 , V 7 , V 8 , V 9 , V 10 , V 11 , dan V 17 , dimana dari langkah tersebut menunjukkan subjek pertama dapat menyelesaikan masalah sampai tuntas. Pada langkah V 2 memiliki keterhubungan (struktur-struktur yang saling  keterkaitan,  dalam  hal  ini  langkah  penyelesaian  satu  memiliki  keterkaitan  dengan  langkah penyelesaian lain) dengan langkah penyelesaian V 3 dan V 5 . Pada V 5 memiliki keterhubungan 2 langkah penyelesaian yang arahnya berbeda atau bercabang yaitu V 8 dan V 9 . Dalam hal ini V 5 memiliki 2 anak yaitu anak kanan V 8 dan anak kiri V 9 . Pada tahap ini dapat dilihat bahwa subjek pertama memiliki 2 macam cara penyelesaian (cara eliminasi dan substitusi). Selanjutnya V 7 merupakan langkah berikutnya yang diselesaikan dan mengarah ke langkah V 17 . Pada V 9 dilanjutkan ke langkah V 10 dan V 11 . Langkah penyelesaian V 17 merupakan langkah akhir yang dilakukan subjek 1, dimana langkah tersebut adalah simpulan dan hasil dalam penyelesaian. Representasi graf pohon biner proses berpikir subjek pertama pada soal nomor 2 tidak dapat digambarkan. Hal ini dikarenakan soal nomor 2 dirancang hanya untuk melihat representasi proses berpikir dalam bentuk graf pohon rentang dan graf pohon keputusan.
Representasi graf pohon kedua adalah graf pohon rentang. Pohon rentang adalah himpunan bagian dari himpunan garis-garis ( edge ) yang tidak berarah dan menghubungkan semua titik tanpa membentuk siklus.  Representasi  graf  pohon  rentang  juga  disimbolkan  dengan  simpul/titik ( node/ verteks)  dan sisi/busur/garis ( edge ). Perbedaan graf pohon biner dengan pohon rentang adalah pada jumlah maksimal anak/ upapohon -nya. Upapohon pohon biner maksimal 2 sedangkan upapohon pohon rentang lebih dari dua. Adapun representasi graf pohon rentang proses berpikir subjek pertama pada soal nomor 1 disajikan pada Gambar 5.
Gambar 5 . Representasi Graf Pohon Rentang Proses Berpikir Subjek Pertama pada Soal Nomor 1
Gambar 5 menunjukkan ada dua graf pohon rentang dari graf G yaitu graf T 1 dan graf T 2 . Graf G merupakan  graf  pohon  penyelesaian  secara  keseluruhan  subjek  pertama  pada  soal  nomor  1,  graf  T 1 merupakan alternatif penyelesaian pertama dan graf T 2 merupakan alternatif penyelesaian kedua. Graf T 1 menggunakan  metode  eliminasi  untuk  soal  nomor  1a,  sedangkan  graf  T 2 menggunakan  metode substitusi untuk soal nomor 1b dan 1c.
Jurnal Riset Pendidikan Matematika, 7 (1), 2020 - 33
Adapun representasi graf pohon rentang proses berpikir subjek pertama pada soal nomor 2 disaji- kan pada Gambar 6.
Gambar 6 . Representasi Graf Pohon Rentang Proses Berpikir Subjek Pertama pada Soal Nomor 2
Gambar 6 menunjukkan bahwa ada dua pohon rentang dari graf K yaitu graf U 1 dan graf U 2 . Graf pohon  K  merupakan  graf  pohon  penyelesaian  keseluruhan  subjek  pertama  pada  soal  2,  graf  U 1 menunjukkan alternatif penyelesaian pertama, dan graf U 2 menunjukkan alternatif penyelesaian kedua. Graf U 1 menggunakan cara campuran untuk soal nomor 2a dan 2b, sedangkan graf U 2 menggunakan cara eliminasi untuk soal nomor 2c.
Representasi graf pohon ketiga yaitu graf pohon keputusan. Penggambaran proses berpikir dalam bentuk  representatif  graf  pohon  keputusan  yang  mengacu  pada  hasil  penyelesaian  masalah  subjek pertama pada soal nomor 2 dengan melihat keterhubungan antara penyelesaian satu dengan penyelesaian lainnya. Adapun representasi proses berpikir subjek pertama dalam menyelesaikan soal nomor 2 dengan menggunakan representasi graf pohon keputusan disajikan pada Gambar 7.
Gambar 7 . Representasi Graf Pohon Keputusan Proses Berpikir Subjek Pertama pada Soal Nomor 2
Keterangan Gambar 6:
W 1 , W 2 , W 3 , ...  = kode langkah penyelesaian = Simbol langkah penyelesaian yang berlanjut = Simbol langkah penyelesaian yang berhenti
Gambar 7 menjelaskan tentang proses keputusan penyelesaian masalah soal nomor 2. Langkah pengambilan keputusan dalam menyelesaikan masalah diawali pada langkah W 2 , W 5 , W 7 , W 8 , W 10 , dan W 15 , dimana pada langkah W 15 menunjukkan penyelesaian berhenti yang berarti subjek pertama dapat menyelesaikan masalah sampai tuntas dan benar. Selain itu, pada langkah penyelesaian W 8 , menunjuk- kan  bahwa  terdapat  kemungkinan  pengambilan  keputusan  yang  ganda  atau  bersamaan  dalam  meng- gunakan strategi penyelesaian masalah subjek pertama pada soal nomor 2 yaitu langkah W 7 dan W 10 . Dengan kata lain, bahwa subjek pertama dalam mengambil keputusan penyelesaian masalah ini ada dua
keputusan yang diambil yaitu keputusan pertama dalam menyelesaikan soal nomor 2a dan 2b meng- gunakan cara campuran, sedangkan keputusan kedua dalam menyelesaikan soal nomor 2c menggunakan cara eliminasi.

## Proses Berpikir Subjek Kedua Dalam Menyelesaikan Masalah Aljabar Menggunakan Representasi Graf Pohon
Jawaban tertulis subjek kedua dalam menyelesaikan masalah aljabar pada soal nomor 1 disajikan pada  Gambar  8.  Berdasarkan  Gambar  8  didapatkan  bahwa  hasil  penyelesaian  subjek  kedua  dalam menyelesaikan soal nomor 1 menggunakan dua cara yaitu cara eliminasi untuk penyelesaian soal nomor 1a, serta cara campuran untuk penyelesaian soal nomor 1b dan 1c. Subjek kedua menuliskan pemisalan pada masalah tersebut dengan memisalkan 𝑥 untuk menyatakan kaos dan 𝑦 untuk menyatakan kemeja. Selanjutnya subjek kedua memodelkan ke dalam bentuk matematika dan menyelesaikannya dengan dua cara yaitu cara eliminasi dan campuran.

## Gambar 8 . Jawaban Subjek Kedua pada Soal Nomor 1
Berikut disajikan jawaban tertulis subjek kedua pada soal nomor 2 dalam menyelesaikan masalah aljabar. Subjek kedua mampu menyelesaikan masalah pada soal nomor 2 dengan tuntas bahkan mampu membuat  alternatif  kedua  penyelesaian  masalah  tersebut.  Penyelesaian  pertama  menggunakan  cara eliminasi pada soal nomor 2a dan 2b, sedangkan penyelesaian kedua menggunakan cara campuran pada soal nomor 2c. Adapun jawaban tertulis subjek kedua pada soal nomor 2 disajikan pada Gambar 9.
Berdasarkan  hasil  wawancara,  subjek  kedua  tidak  menuliskan  apa  yang  ditanyakan  pada  soal nomor  1.  Subjek  kedua  menceritakan  proses  penyelesaian  masalah  tersebut  dengan  rinci  baik  pada alternatif  pertama  dan  alternatif kedua  dalam  penyelesaian masalah tersebut.  Subjek  kedua membuat keputusan bahwa penyelesaian masalah soal nomor 2 dengan memisalkan informasi yang terdapat soal nomor 2. Selanjutnya subjek kedua menceritakan proses penyelesaian masalah tersebut dengan meng- gunakan  eliminasi  lalu  menuliskan  apa  yang  ditanyakan  serta  memodelkannya.  Hal  ini  terlihat  pada petikan wawancara pada Tabel 3.
Berdasarkan hasil tes dan wawancara pada Tabel 3, selanjutnya data dianalisis dan digambarkan proses berpikir subjek kedua dalam menyelesaikan soal nomor 1 dan soal nomor 2 dengan menggunakan representasi graf pohon. Representasi graf pohon pertama menggunakan graf pohon biner. Adapun graf
Jurnal Riset Pendidikan Matematika, 7 (1), 2020 - 35
pohon biner proses berpikir subjek kedua dalam menyelesaikan soal nomor 1 disajikan pada Gambar 10.
Gambar 8. Jawaban Subjek Kedua pada Soal Nomor 2
Tabel 3 . Petikan Wawancara Subjek Kedua pada Soal Nomor 1 dan Soal Nomor 2
Soal Nomor 1 Soal Nomor 2 P 2.1.2 :  “ Jelaskan  informasi  yang  Anda  dapatkan  dari masalah tersebut!”
S 2.1.2 :  “ Pertama saya misalkan 𝑥 adalah kaos dan 𝑦 adalah kemeja. Lalu selanjutnya saya ubah yang diketahui yang di soal. Misal 2𝑥  +  𝑦  =  260.000 dan 𝑥  + 2𝑦  =  310.000 .” P 2.1.2 :  “ Apa yang ditanyakan dari soal tersebut?” S 2.1.2 :  “ Nilai 𝑥 dan 𝑦 nya pak.” P 2.2.1 :  “ Bagaimana cara menyelesaikan masalah tersebut?”
S 2.2.1 :  “ Pertama  saya  pakai  cara  logika  pak,  jadi  saya cocok-cocokan  seperti  yang  ada  di  soal  itu  lalu dicoba kalau misal 𝑥 = 70.000 jadi 𝑦 =  120.000 .” P 2.2.2 :  “ Bagaimana cara Anda untuk mendapatkan nilai 𝑥 dan 𝑦 sehingga ketemu seperti itu?, apa Anda yakin dengan jawaban Anda!”
S 2.2.2 :  “ Yaa ... itu tadi dengan logika, yakin pa k.” P 2.2.3 :  “ Apa  yang  dapat  disimpulkan  dari  penyelesaian Anda sampai ini?”
S 2.2.3 :  “ Jadi nilai 𝑥 sebesar Rp. 70.000,- dan 𝑦 sebesar Rp. 120.000,-,  nanti  nilai 𝑥 dan 𝑦 di  masukkan  pada
2𝑥 + 2𝑦 soalnya Faiz membeli 2 kaos dan 2 kemeja sehingga Ia harus membayar Rp. 380.000,-.” P 2.2.4 :  “ Cara  apalagi  yang  Anda  gunakan  untuk menyelesaikan masalah tersebut!”
S 2.2.4 :  “ Untuk  cara  berikutnya  pakai  cara  campuran, pertama  saya  eliminasi  mencari  nilai 𝑥 lalu  tak masukkan ke persamaan 2𝑥 + 𝑦 = 260.000 ,  nanti ketemu nilai 𝑦 nya.”
P 2.3.2 :  “ Apakah  persamaan/perbedaan  tersebut membentuk  suatu  susunan  penyelesaian yang baru?“
S 2.3.2 :  “ Tidak,  saya  memakai  cara  yang  sama dengan soal pertama.” P 2.4.1 :  “ Sekarang  jelaskan  kembali  apa  yang Anda dapatkan di soal nomor 2!”
S 2.4.1 :  “Y a,  saya  misalkan  dulu  seperti  yang nomor 1 cuman saya ubah saja konstanta sama pemisalannya.”
P 2.4.2 :  “ Apa ada kesulitan dalam menyelesaikan masalah tersebut?”
S 2.4.2 :  “ Tidak  ada  pak,  karena  mengikuti  cara yang nomor 1.”
P 2.4.4 :  “ Apakah  Anda  yakin  dengan  jawaban Anda yang kedua?”
S 2.4.4 :  “ Yakin pak.”
Gambar 10 . Representasi Graf Pohon Biner Proses Berpikir Subjek Kedua pada Soal Nomor 1
Berdasarkan  Gambar  10,  representasi  graf  pohon  biner  ini  menunjukkan  bahwa  subjek  kedua menggunakan dua macam cara penyelesaian. Cara pertama menggunakan metode eliminasi untuk soal nomor 1a, sedangkan cara kedua menggunakan metode campuran eliminasi dan substitusi untuk soal nomor 1b dan 1c. Langkah penyelesaian yang digunakan subjek kedua memiliki 7 langkah penyelesaian yaitu  V 2 ,  V 5 ,  V 7 ,  V 8 ,  V 10 ,  V 11 ,  dan  V 17 .  Berdasarkan  langkah-langkah  tersebut  menunjukkan  bahwa subjek kedua dapat menyelesaikan masalah pada soal nomor 1 sampai tuntas. Pada langkah V 2 memiliki keterhubungan dengan langkah penyelesaian V 5 . Pada V 5 memiliki keterhubungan dua langkah penyele- saian yang arahnya berbeda atau bercabang yaitu V 7 dan V 10 , pada tahap ini dapat dilihat bahwa subjek kedua  memiliki  dua  macam  cara  penyelesaian  (eliminasi  dan  campuran).  Selanjutnya  V 7 merupakan langkah berikutnya yang diselesaikan dan mengarah ke langkah V 8 . Kemudian V 7 juga dilanjutkan ke langkah V 10 , V 11 dan V 17 yang merupakan langkah akhir yang dilakukan subjek kedua. V 17 adalah lang- kah penyelesaian yang menunjukkan kesimpulan dan hasil dalam penyelesaian masalah subjek kedua pada soal nomor 1. Representasi graf pohon biner proses berpikir subjek kedua pada soal nomor 2 tidak dapat digambarkan. Hal ini dikarenakan soal nomor 2 dirancang hanya untuk melihat representasi proses berpikir dalam bentuk graf pohon rentang dan graf pohon keputusan.
Representasi graf pohon kedua adalah graf pohon rentang. Adapun representasi graf pohon ren- tang proses berpikir subjek kedua pada soal nomor 1 disajikan pada Gambar 11.
Gambar 11 . Representasi Graf Pohon Rentang Proses Berpikir Subjek Kedua Pada Soal Nomor 1
Representasi  graf  pohon  rentang  pada  Gambar  11  merupakan  penggambaran  proses  berpikir subjek kedua dalam menyelesaikan soal nomor 1. Pada Gambar 11 ditunjukkan bahwa ada dua pohon rentang dari graf G yaitu graf T 1 dan graf T 2 . Graf G merupakan graf pohon penyelesaian secara keselu- ruhan subjek kedua pada soal nomor 1, graf T 1 menunjukkan alternatif penyelesaian pertama soal nomor 1 menggunakan metode eliminasi dengan menggunakan metode eliminasi untuk soal nomor 1a, dan graf T 2 menunjukkan alternatif penyelesaian kedua soal nomor 1 menggunakan metode campuran eliminasi dan substitusi untuk soal nomor 1b dan 1c.
Adapun representasi graf pohon rentang proses berpikir subjek kedua dalam menyelesaikan soal nomor 2 disajikan pada Gambar 12.
Gambar 12 . Representasi Graf Pohon Rentang Proses Berpikir Subjek Kedua Pada Soal Nomor 2
Gambar 12 menunjukkan proses berpikir subjek kedua yang tergambarkan dengan menggunakan representasi graf pohon rentang. Pada representasi graf pohon rentang di atas terdapat dua pohon rentang dari graf pohon K yaitu graf U 1 dan graf U 2 . Graf pohon K menyimbolkan hasil penyelesaian secara keseluruhan  subjek  kedua  pada  soal  nomor  2,  U 1 merupakan  hasil  penggambaran  representasi  graf pohon rentang alternatif penyelesaian pertama soal nomor 2 menggunakan eliminasi untuk soal nomor 2a  dan  2b,  sedangkan  U 2 merupakan  hasil  penggambaran  representasi  graf  pohon  rentang  alternatif penyelesaian soal nomor 2 menggunakan cara campuran untuk soal nomor 2c.
Representasi  graf  pohon  ketiga  yaitu  graf  pohon  keputusan.  Adapun  representasi  graf  pohon keputusan proses berpikir subjek kedua dalam menyelesaikan soal nomor 2 disajikan pada Gambar 13.
Gambar 13 . Representasi Graf Pohon Keputusan Proses Berpikir Subjek Kedua Pada Soal Nomor 2
Berdasarkan Gambar 13 dapat dilihat bahwa langkah pengambilan keputusan subjek kedua dalam menyelesaikan masalah diawali pada langkah W 2 , W 7 , W 8, W 5 , W 3 , W 14 , W 15 , dan W 9 . Langkah-langkah tersebut  menunjukkan  bahwa  subjek  kedua  dapat menyelesaikan masalah  pada soal  nomor  2  sampai tuntas  dan  benar.  Selain  itu,  pada  langkah  penyelesaian  W 9 menunjukkan  penyelesaian  terhenti,  dan langkah W 8 menunjukkan penyelesaian yang berlanjut atau tahapan penyelesaian yang dilakukan secara penuh. Pada langkah penyelesaian W 7 , menunjukkan bahwa terdapat kemungkinan pengambilan kepu- tusan yang ganda atau bersamaan dalam menggunakan strategi penyelesaian masalah subjek kedua pada soal nomor 2 yaitu langkah W 8 dan W 9 . Dengan kata lain, bahwa subjek kedua dalam mengambil kepu- tusan penyelesaian masalah ini ada 2 keputusan yang diambil yaitu keputusan pertama dalam menyele- saikan soal nomor 2a dan 2b menggunakan cara eliminasi, sedangkan keputusan kedua dalam menyele- saikan soal nomor 2c menggunakan cara campuran.

## Proses Berpikir Subjek Ketiga dalam Menyelesaikan Masalah Aljabar Menggunakan Representasi Graf Pohon
Subjek ketiga menyelesaikan masalah pada soal nomor 1 menggunakan dua cara yaitu metode campuran untuk soal nomor 1a dan 1b, serta metode eliminasi untuk soal nomor 1c (lihat Gambar 14). Subjek ketiga menuliskan fakta dan konsep yang diketahui pada soal, lalu membuat model matematika dari informasi tersebut dengan memisalkan 𝑥 untuk harga kaos dan 𝑦 untuk harga kemeja. Selanjutnya subjek ketiga menuliskan apa yang ditanyakan lalu menyelesaikan masalah tersebut.
Gambar 14 . Jawaban Subjek Ketiga Pada Soal Nomor 1
Selanjutnya, jawaban tertulis subjek ketiga pada penyelesaian masalah di soal nomor 2 disajikan pada Gambar 15. Subjek ketiga menyelesaikan masalah pada soal nomor 2 juga menggunakan dua cara penyelesaian yaitu metode eliminasi untuk soal nomor 2a dan 2b serta menggunakan metode campuran untuk soal nomor 2c. Subjek ketiga membuat pemisalan, kemudian memodelkan informasi yang ada ke dalam model matematika, serta menyelesaikan masalah tersebut dengan tuntas.
Berdasarkan  hasil  wawancara,  subjek  ketiga  menceritakan  proses  penyelesaiannya  dengan pemisalan terlebih dahulu, menuliskan apa yang ditanyakan pada soal dan menyelesaikannya dengan 2

## Jurnal Riset Pendidikan Matematika, 7 (1), 2020 - 39
cara  penyelesaian.  Penyelesaian  subjek  ketiga  sebagian  besar  runtut  dan  menunjukkan  prosedur penyelesaian secara terurut. Adapun cuplikan wawancara subjek ketiga disajikan pada Tabel 4.
Tabel 4. Hasil Cuplikan Wawancara Subjek Ketiga pada Soal Nomor 1 dan Soal Nomor 2
Soal 1 Soal 2 P 3.1.2 :  “ Jelaskan informasi yang Anda dapatkan dari masalah tersebut!”
S 3.1.2 :  “ Untuk nomor 1 itu kan Faiz awalnya membeli 2  kaos  dan  2  kemeja  dengan  harga  Rp. 260.000,-  ,  tapi  kaosnya  ada  yang  rusak  dan Faiz  tidak  jadi  membeli  2  kaos  dan  ditukar dengan 1 kemeja. Jadi dia membeli 1 kaos dan 2 kemeja. Terus saya misalkan 𝑥 itu harga kaos dan 𝑦 itu  harga  kemeja  kalau  gitu  jadi 2𝑥 + 𝑦 = 260.000 dan 𝑥 + 2𝑦 = 260.000 + 50.000 , ditambah 50.000 karena harga kemeja lebih mahal dari kaosnya.”
P 3.1.3 :  “ Apa yang ditanyakan dari soal tersebut?” S 3.1.3 :  “ Nilai 𝑥 dan 𝑦 nya  pak,  terus  nilai  dari 2𝑥 + 2𝑦 = berapa gitu.” P 3.2.1 :  “ Bagaimana  cara  menyelesaikan  masalah tersebut?”
S 3.2.1 :  “ Pertama aku mencari dengan cara campuran, di  sini  aku  mengeliminasi  nilai 𝑦 untuk mendapatkan 𝑥 hasilnya Rp.70.000,-.
Kemudian  aku  substitusikan  nilai 𝑥 pada persamaan 2𝑥 + 𝑦 = 260.000 , hasil 𝑦 nya Rp. 120.000,-“ P 3.2.2 :  “ Apa yang dapat disimpulkan dari penyelesaian Anda sampai ini?”
S 3.2.2 :  “ Jadi  nilai 𝑥 sebesar  Rp.  70.000,-  dan 𝑦 sebesar  Rp.  120.000,-,  nanti  nilai 𝑥 dan 𝑦 di masukkan  pada 2𝑥 + 2𝑦 untuk  memperoleh uang yang harus dibayar Faiznya pak.”
P 3.2.3 :  “ Cara  apalagi  yang  Anda  gunakan  untuk menyelesaikan masalah tersebut!”
S 3.2.3 :  “ Untuk  cara  berikutnya  aku  pakai  cara eliminasi pak, kan tadi sudah eliminasi nilai 𝑦 nya  untuk  nilai 𝑥 nya  udah  ketemu  sekarang mengeliminasi  nilai 𝑥 untuk  mencari  nilai 𝑦 dan  hasilnya  sama  saat  aku  gunaka  cara subtitusi  yang  sebelumnya  hasilnya  Rp. 120.000,-.”
P 3.3.1 :  “ Apakah Anda menemukan suatu persamaan dari  informasi  yang  diberikan  dengan  soal sebelumnya?”
S 3.3.1 :  “ Iya ada, bentuk soalnya sama sih pak cuman perhitungannya  saja  yang  berbeda  dan pemaknaan dari variabel x dan y nya.”
P 3.3.2 :  “ Apakah persamaan/perbedaan tersebut membentuk suatu susunan penyelesaian yang baru?”
S 3.3.2 :  “ Aku pakai penyelesaian yang sama pak, cara eliminasi dan campuran.”
P 3.4.1 :  “ Sekarang  jelaskan  kembali  apa  yang  Anda dapatkan disoal nomor 2!
S 3.4.1 :  “ Sebenarnya sama cuman 𝑥 dimisalkan tarif parkir  mobil  dan 𝑦 dimisalkan  tarif  parkir motor.  Kan  disoal  diketahui  3  mobil  dan  5 motor  itu  tarifnya  Rp.  17.000,-  dan  empat mobil  dan  dua  motor  tarif  parkirnya Rp.18.000,-.  Jadi  saya  jadikan 3𝑥 + 5𝑦 = 17.000 dan 4𝑥 + 2𝑦 = 18.000 .” P 3.4.2 :  “ Apa  ada  kesulitan  dalam  menyelesaikan masalah tersebut?”
S 3.4.2 :  “ Tidak ada pak, kan aku memakai cara yang sama dengan soal nomor 1.”
P 3.4.3 :  “ Kenapa di penyelesaian Anda ada coretannya?”
S 3.4.3 :  “ Oh  itu  salah  hitungannya,  saat  aku  cek kembali  setelah  menyelesaikan  2c  ternyata salah menghitung.”
P 3.4.4 :  “ Apakah  Anda  yakin  dengan  jawaban  Anda yang  kedua?,  padahal  belum  tentu  benar juga!”
S 3.4.4 :  “ Yakin pak, sudah dicek yang benar yang 2c. Tapi sudah tak benarkan yang 2b dibaliknya itu.”
Selanjutnya data pekerjaan siswa dan hasil wawancara dianalisis dan digambarkan representasi graf pohonnya. Graf pohon pertama yaitu graf pohon biner. Adapun representasi graf pohon biner proses berpikir subjek ketiga pada soal nomor 1 disajikan pada Gambar 16.
Berdasarkan Gambar 16, representasi graf pohon biner menunjukkan bahwa subjek ketiga meng- gunakan dua cara penyelesaian. Cara pertama menggunakan metode campuran untuk soal nomor 1a dan
1b, sedangkan cara kedua menggunakan metode eliminasi untuk soal 2c. Penyelesaian tersebut dilihat dari V 2 , V 3 , V 6 , V 7 , V 8 , V 11 , V 16 , dan V 17 , dimana masalah diselesaikan sampai tuntas. Kode V 2 menghu- bungkan ke langkah penyelesaian V 3 dan V 6 . Selanjutnya pada V 7 mengarah ke langkah V 8 dan V 11 . Dilanjutkan V 8 mengarah ke langkah V 17 di cabang kanan, sedangkan V 11 di cabang satunya dilanjutkan ke  V 16 dan  V 17 .  Pada  langkah  V 7 pohon  ini  yang  menunjukkan  bahwa  subjek  ketiga  menyelesaikan dengan  2  macam  cara  penyelesaian  (campuran  dan  eliminasi).  Langkah  penyelesaian  V 16 dan  V 17 menyatakan kesimpulan dan hasil dalam penyelesaian masalah pada soal nomor 1. Penyelesaian yang digunakan oleh subjek ketiga sebanyak 7 langkah penyelesaian.
Graf pohon rentang proses berpikir subjek ketiga dalam menyelesaikan soal nomor 1 disajikan pada Gambar 17.
Gambar 17 . Representasi Graf Pohon Rentang Proses Berpikir Subjek Ketiga pada Soal Nomor 1
Gambar  17  menunjukkan  representasi  graf  pohon  rentang  proses  berpikir  subjek  ketiga  dalam menyelesaikan soal nomor 1. Representasi graf pohon rentang subjek ketiga pada soal nomor 1 didapat- kan dua pohon rentang dari graf G yaitu T 1 dan T 2 . Graf pohon G menyimbolkan hasil penyelesaian keseluruhan  subjek  ketiga  pada  soal  1,  T 1 merupakan  hasil  penggambaran  representasi  graf  pohon rentang alternatif  penyelesaian  pertama  dengan menggunakan  metode  campuran  pada soal  nomor  1a dan 1 b, sedangkan T 2 merupakan hasil penggambaran representasi graf pohon rentang alternatif penye- lesaian kedua dengan menggunakan metode eliminasi pada soal nomor 1c.
Adapun representasi graf pohon rentang proses berpikir subjek ketiga dalam menyelesaikan soal nomor 2 disajikan pada Gambar 18.
Gambar 18 menunjukkan proses berpikir subjek ketiga yang tergambarkan dengan menggunakan representasi graf pohon rentang. Pada representasi graf pohon rentang tersebut terdapat 2 pohon rentang dari graf pohon K yaitu graf U 1 dan graf U 2 . Graf pohon K menyimbolkan hasil penyelesaian secara keseluruhan  subjek  ketiga  pada  soal  nomor  2,  U 1 merupakan  hasil  penggambaran  representasi  graf pohon rentang alternatif penyelesaian pertama pada soal nomor 2 menggunakan metode eliminasi untuk soal nomor 2a dan 2b, sedangkan U 2 merupakan hasil penggambaran representasi graf pohon rentang alternatif penyelesaian kedua pada soal nomor 2 menggunakan metode campuran untuk soal nomor 2c.
Adapun representasi graf pohon keputusan proses berpikir subjek ketiga dalam menyelesaikan soal nomor 2 disajikan pada Gambar 19.
Gambar 19 . Representasi Graf Pohon Keputusan Subjek Ketiga Pada Soal 2
Pada  Gambar  19  dapat  dilihat  langkah  pengambilan  keputusan  dalam  menyelesaikan  masalah diawali pada langkah W 2 , W 5, W 7 , W 8 , W 9 , W 15, dan W 16 . Pada langkah W 2 dan selanjutnya menunjukkan bahwa subjek ketiga mampu menyelesaikan masalah pada soal nomor 2 dengan tuntas dan benar. Selain itu, pengambilan keputusan yang dilakukan subjek ketiga memiliki bentuk pohon yang teratur, rinci, dan  terurut.  Selain itu,  proses  penyelesaian  subjek  ketiga menunjukkan  penyelesaian  yang  dilakukan lebih baik dari subjek sebelumnya pada langkah penyelesaian W 7 . Pengambilan keputusan yang ganda atau bersamaan yaitu terjadi pada langkah W 8 dan W 9.

## Pembahasan
Representasi proses berpikir menggunakan representasi graf pohon biner menunjukkan tingkat graf pohon biner yang terbentuk masih sedikit. Hal tersebut, dikarenakan proses penyelesaian serta lang- kah-langkah penyelesaian yang dilakukan siswa juga masih sedikit. Pembentukan gambar graf pohon biner  sangat  tergantung  dengan  langkah  proses  berpikir siswa,  dimana  akan membawa  keberagaman dan keruntutan proses berpikir siswa dalam menyelesaikan masalah aljabar. Langkah-langkah penyele- saian yang tidak tergambarkan dalam graf pohon biner ini terletak pada langkah awal atau langkah yang menunjukkan proses konsep dan pemisalan masalah. Hal ini sejalan dengan penelitian Al Amin (2014) yang menyatakan representasi graf pohon sangat cocok untuk menggambarkan proses berpikir siswa.
Representasi  proses  berpikir  siswa  dengan  menggunakan  representasi  graf  pohon  keputusan menunjukkan  semua  subjek  mampu melakukan  pengambilan  keputusan  pada  setiap  langkah-langkah penyelesaiannya. Keputusan  yang  dilakukan siswa terarah  dalam langkah-langkah  penyelesaian  soal, sehingga graf pohon keputusan tergambarkan secara terarah. Terbentuknya graf pohon keputusan yang terbentuk cukup baik ini dikarenakan langkah penyelesaian tidak dituliskan kembali, namun penjelasan yang  dilakukan  sesuai  dengan  langkah-langkah  penyelesaian  soal.  Bentuk  gambar  representasi  graf pohon  keputusan  hanya  membentuk  dua  keterhubungan  di  salah  satu  langkah,  yang  menunjukkan alternatif penyelesaian siswa sebanyak dua macam cara. Keberhasilan dalam mengungkap hal tersebut sejalan  dengan  pendapat Amrullah  (2011) yang  menyatakan  bahwa  graf  pohon  memegang  peranan penting dalam menyajikan data yang mengandung hubungan hierarki antar elemen-elemennya.
Representasi proses berpikir siswa dengan menggunakan representasi pohon rentang menunjuk- kan  keefektifan  penyelesaian  yang  dilakukan  siswa.  Selain  itu,  proses  representasi  ini  memberikan gambaran bagaimana proses penyelesaian masalah dilakukan siswa dengan praktis, lengkap, dan tepat.
Jurnal Riset Pendidikan Matematika, 7 (1), 2020 - 43 Siti Lailiyah, Kusaeri Kusaeri, Wenda Yulian Rizki
Hasil penggambaran representasi graf pohon rentang yang dilakukan siswa membentuk dua macam graf pohon rentang, yang menunjukkan keefektifan penyelesaian yang dilakukan siswa. Terbentuknya graf pohon rentang ini terarah pada proses penyelesaian yang dilakukan siswa serta cara penyelesaian yang dilakukan.  Hal  tersebut,  dikarenakan  kekritisan,  kekreatifan,  serta  keberagaman  penyelesaian  yang dilakukan  siswa  masih  dalam  tingkat  yang  sama,  dimana  penyelesaian  yang  dilakukan  siswa  hanya memiliki  dua  alternatif  penyelesaian.  Terungkapnya  hal  tersebut  sesuai  dengan  pendapat Budayasa (2007) yang menyatakan bahwa dalam melihat keefektifan siswa dalam menyelesaikan masalah bisa menggunakan  representasi  graf  pohon  rentang  sehingga  proses  berpikir  semakin  tepat,  lengkap,  dan praktis dalam menyelesaikan masalah.

## SIMPULAN
Berdasarkan  hasil  penelitian  yang  telah  dilakukan,  dapat  disimpulkan  bahwa  representasi  graf pohon biner dari ketiga subjek dalam menyelesaikan masalah aljabar hanya terdiri dari dua macam cara penyelesaian. Berdasarkan graf pohon biner yang terbentuk, representasi proses berpikir siswa dalam menyelesaikan masalah aljabar masih sederhana dan tidak sistematis dengan langkah-langkah penyele- saian  yang dilakukan masih  sedikit.  Berdasarkan  graf  pohon  rentang  yang  terbentuk,  proses  berpikir siswa dalam menyelesaikan masalah aljabar direpresentasikan secara praktis, lengkap, dan tepat. Ber- dasarkan  graf  pohon  keputusan  yang  terbentuk,  proses  berpikir  siswa  dalam  menyelesaikan  masalah aljabar direpresentasikan secara teratur, rinci, dan terurut. Adapun saran untuk penelitian selanjutnya yaitu agar dalam melakukan penelitian sebaiknya tidak menggunakan 2 masalah sekaligus, karena hal tersebut  dapat  menyebabkan  lamanya  waktu  penggalian  data  mengenai  representasi  graf  pohon keputusan dan pohon rentangnya. Selain itu, dapat juga dilakukan penelitian lanjutan untuk menyelidiki keberagaman dan keefektifan penyelesaian masalah jika ditinjau dari sudut pandang representasi graf.

## DAFTAR PUSTAKA
Al Amin, I. H. (2014). Visualisasi pohon rentang minimum menggunakan algoritma kruskal dan prim. Jurnal Ilmiah Dinamika Teknik , 8 (1), 44–35.
https://www.unisbank.ac.id/ojs/index.php/ft1/article/view/3041
Amrullah, A. (2011). Aplikasi graf pohon pada algoritma Huffman. Jurnal Pijar MIPA , 6 (1), 24–28. https://doi.org/10.29303/jpm.v6i1.122
Astutik, S. P. (2018). Kontribusi kemampuan koneksi, kemampuan representasi dan kemampuan metakognisi terhadap kemampuan berpikir kritis dalam menyelesaikan masalah matematika . UIN Sunan Ampel Surabaya.
Budayasa, I. K. (2007). Teori graph dan aplikasinya . Unesa University Press.
Chen, J., Wang, M., Grotzer, T. A., & Dede, C. (2018). Using a three-dimensional thinking graph to support inquiry learning. Journal of Research in Science Teaching , 55 (9), 1239–1263. https://doi.org/10.1002/tea.21450
Dafik, D. (2015). Teori graf, aplikasi dan tumbuhnya keteramplan berpikir tingkat tinggi. In Pidato Pengukuhan Guru Besar (pp. 1–26). Universitas Jember. https://repository.unej.ac.id/handle/123456789/62530
Effendi, L. A. (2012). Pembelajaran matematika dengan metode penemuan terbimbing untuk meningkatkan kemampuan representasi dan pemecahan masalah matematis siswa SMP. Jurnal Penelitian Pendidikan , 13 (2). http://jurnal.upi.edu/file/Leo_Adhar.pdf
Ernawati, E. (2016). Pengembangan perangkat pembelajaran matematika berbasis open-ended approach untuk mengembangkan HOTS siswa SMA. Jurnal Riset Pendidikan Matematika , 3 (2), 209. https://doi.org/10.21831/jrpm.v3i2.10632
Faridah, N., Isrok’atun, I., & Aeni, A. N. (2016). Pendekatan open-ended untuk meningkatkan kemampuan berpikir kreatif matematis dan kepercayaan diri siswa. Jurnal Pena Ilmiah , 1 (1), 1061–1070. https://doi.org/10.23819/pi.v1i1.3025
Fiantika, F. R., Budayasa, I. K., & Lukito, A. (2017). Komponen penting representasi internal pada berpikir spasial. Jurnal Math Educator Nusantara: Wahana Publikasi Karya Tulis Ilmiah Di Bidang Pendidikan Matematika , 3 (1), 34–41. https://doi.org/10.29407/jmen.v3i1.782
Johar, R., & Lubis, K. R. (2018). The analysis of students’ mathematical representation errors in solving word problem related to graph. Jurnal Riset Pendidikan Matematika , 5 (1), 96. https://doi.org/10.21831/jrpm.v5i1.17277
Jonathan, J. (2012). Aplikasi pohon dan graf dalam kaderisasi. In Makalah IF2120 Matematika Diskrit .
Kar, T., Işık, A., Öçal, M. F., Çiltaş, A., Güler, G., & Işık, C. (2011). Prospective mathematics teachers abilities’ to construct relations between the different representations of series with complex terms. Procedia - Social and Behavioral Sciences , 15 , 356–360. https://doi.org/10.1016/j.sbspro.2011.03.101
Kholiqowati, H., Sugiarto, S., & Hidayah, I. (2016). Analisis kemampuan representasi matematis ditinjau dari karakteristik cara berpikir peserta didik dalam pembelajaran dengan pendekatan saintifik. Unnes Journal of Mathematics Education , 5 (3), 234–242.
https://doi.org/10.15294/ujme.v5i3.12493
Kusaeri, K., Lailiyah, S., Arrifadah, Y., & Hidayati, N. (2018). Proses berpikir siswa dalam menyelesaikan masalah matematika berdasarkan teori pemrosesan informasi. Suska Journal of Mathematics Education , 4 (2), 125. https://doi.org/10.24014/sjme.v4i2.6098 Menteri Pendidikan dan Kebudayaan Republik Indonesia. (2018). Peraturan Menteri Pendidikan dan Kebudayaan Republik Indonesia Nomor 37 tahun 2018 Tentang Perubahan Atas Peraturan Menteri Pendidikan dan Kebudayaan Nomor 24 Tahun 2016 tentang Kompetensi Inti dan Kompetensi Dasar Pelajaran pada Kurikulum 2013 pada Pendi (No. 37).
Nurdiani, N. (2014). Teknik sampling snowball dalam penelitian lapangan. ComTech: Computer, Mathematics and Engineering Applications , 5 (2), 1110.
https://doi.org/10.21512/comtech.v5i2.2427
Nurdiyanto, T., & Susanti, E. (2019). Spanning-tree pada graf berarah dengan matriks in-degree.
Jurnal Edukasi Dan Sains Matematika (JES-MAT) , 5 (1), 1–15. https://doi.org/10.25134/jes- mat.v5i1.1650
Panduwinata, B., Tuzzahra, R., Berlinda, K., & Widada, W. (2019). Analisis kesulitan representasi matematika siswa kelas VII sekolah menengah pertama pada materi sistem persamaan linier satu variabel. Jurnal Pendidikan Matematika Raflesia , 4 (2), 202–210. https://doi.org/10.33449/jpmr.v4i2.9819
Permana, R. I., & Surya, E. (2017). Pengaruh Kemampuan Representasi dalam Pembelajaran Matematika (Issue November, p. 7). Universitas Negeri Medan.
Pramesti, R. D. (2014). Proses berpikir siswa dalam menyelesaikan soal cerita tentang keliling dan luas persegipanjang ditinjau dari gender. MATHEdunesa Jurnal Ilmiah Pendidikan Matematika , 3 (3), 189–194. https://jurnalmahasiswa.unesa.ac.id/index.php/mathedunesa/article/view/12845 Razzouk, R., & Shute, V. (2012). What is design thinking and why is it important? Review of Educational Research , 82 (3), 330–348. https://doi.org/10.3102/0034654312457429
Sabirin, M. (2014). Representasi dalam pembelajaran matematika. Jurnal Pendidikan Matematika , 1 (2), 33. https://doi.org/10.18592/jpm.v1i2.49
Siregar, N. (2018). Meninjau kemampuan penalaran matematis siswa SMP melalui wawancara berbasis tugas geometri. Mosharafa: Jurnal Pendidikan Matematika , 5 (2), 128–137. https://doi.org/10.31980/mosharafa.v5i2.268
Wirdasari, D. (2011). Teori graph dan implementasinya dalam ilmu komputer. Jurnal Saintikom , 10 (1), 23–34.