## MODEL STOKHASTIK ANTRIAN NON POISSON PADA PELAYANAN PERBANKAN
1 Sugito , 2 Alan Prahutama, 3 Budi Warsito, 4 Moch Abdul Mukid, 5 Nia Puspita Sari 1,2,3,4,5 Departemen Statistika, Fakultas Sains dan Matematika,Universitas Diponegoro Email : sugitozafi@undip.ac.id

## ABSTRAK
Suatu proses secara umum terpisahkan menjadi dua jenis yaitu proses deterministik dan proses stokhastik. Pada proses stokastik bisa digolongkan menjadi 4 macam yaitu proses stokhastik dengan waktu diskrit dan ruang state diskrit, proses stokastik dengan waktu diskrit dan ruang state kontinu, proses stokastik dengan waktu kontinu dan ruang state kontinu  serta  proses  stokastik  dengan  waktu  kontinu  dan  ruang  state  diskrit.  Proses stokhastik  dengan  ruang  state  diskrit  dan  waktu  kontinu  merupakan  model  matematik yang  banyak  dijumpai  dalam  kehidupan  sehari-hari.  Secara  matematik  bentuk  proses stokhastik  yang  seperti  ini  di  antaranya  adalah  proses  poisson.  Dalam  tulisan  ini  akan dibahas proses poisson antrian yaitu secara spesifik proses stokhastik antrian non poisson. Proses  stokhastik  antrian  non  poisson  adalah  merupakan  model  antrian  (a,b,c)/(d,e,f) dimana  notasi  a  dan  b  nya  tidak  berdistribusi  poisson  ataupun    tidak  berdistribusi eksponensial.  Secara  spesifik    pada  tulisan  ini  model  antrian  non  poissonnya  adalah model  antrian  (M/G/c)  :  (GD/ ) /   dan Model  antrian  (G/G/c)  :  (GD/ ∞/∞).  Untuk aplikasi model antrian non poisson ini diterapkan pada antrian teller di suatu bank di jawa barat. Sehingga diperoleh dua model antrian non poisson yaitu model antrian (M/G/3) : (GD/ ) /   dan model (G/G/c) : (GD/ ) /   .
Kata Kunci : Stokhastik, Antrian, Non Poisson, Teller

## PENDAHULUAN
Pada  proses  stokastik  terdapat  dua parameter yaitu parameter ruang state dan parameter  waktu.  Hal  ini  menyebabkan proses stokastik bisa digolongkan menjadi 4  macam  yaitu  proses  stokhastik  dengan waktu  diskrit  dan  ruang  state  diskrit, proses stokastik dengan waktu diskrit dan ruang  state  kontinu,  proses  stokastik dengan  waktu  kontinu  dan  ruang  state kontinu  serta  proses  stokastik  dengan waktu  kontinu  dan  ruang  state  diskrit. Proses poisson merupakan proses stokastik  dengan  ruang  state  diskrit  dan waktu kontinu[7].
Antrian  merupakan  suatu  proses stokastik  poisson.  Antrian  non  poisson
adalah model antrian dimana notasi a atau notasi b nya    tidak  berdistribusi  poisson atau  tidak  berdistibusi  eksponensial  [4]. Pada antrian non poisson jika notasi a nya adalah  jumlah  kedatangan  maka  bentuk distribusi nya non poisson dan jika notasi a  nya  adalah  waktu  antar  kedatangan maka  bentuk  distribusinya  adalah  non eksponesial. Demikian juga untuk notasi b jika  jika  notasi b nya  adalah  jumlah pelayanan  maka  bentuk  distribusi  nya adalah non poisson dan jika notasi b nya adalah  waktu  antar  kedatangan  maka bentuk distribusinya adalah non eksponesial.
Antrian  atau  dalam  bahasa  Inggris disebut dengan queueing atau waiting line sering  terjadi  dalam  kehidupan  sehari-
hari.  Umumnya,  semua  orang  pernah menunggu dalam suatu garis tunggu pada sebuah fasilitas pelayanan sebelum mendapatkan  layanan  yang  dibutuhkan. Antrian  terjadi  karena  jumlah  pelanggan yang  datang  melebihi  jumlah  fasilitas pelayanan  yang  disediakan,  sehingga pelanggan  yang  datang  tidak  bisa  segera dilayani karena kesibukan pelayan. Fenomena menunggu adalah hasil langsung  dari  keacakan  dalam  operasi sarana  pelayanan  [1].  Secara  umum, kedatangan pelanggan dan waktu pelayanan  tidak  diketahui  sebelumnya,
karena jika dapat diketahui, pengoperasian  sarana  tersebut  dapat dijadwalkan  sedemikian  rupa  sehingga akan sepenuhnya
menghilangkan keharusan  untuk  menunggu  [9].  Proses antrian adalah suatu proses yang berhubungan dengan kedatangan seorang pelanggan dalam suatu fasilitas pelayanan,  kemudian  menunggu  dalam antrian  jika  semua  pelayan  sibuk,  dan akhirnya meninggalkan pelayanan tersebut  setelah  selesai  dilayani.  Sistem antrian  adalah  himpunan  pelanggan, pelayan,  dan  aturan  yang  mengatur kedatangan dan proses pelayanan [2].
Salah  satu  tempat  yang  tidak terlepas dari masalah antrian adalah bank. Saat ini bank merupakan salah satu pelaku terpenting  dalam  perekonomian  sebuah negara.  Masyarakat  umum  maupun kalangan  industri  sangat  membutuhkan jasa bank untuk memperlancar aktivitasnya.  Bank  secara  sederhana dapatdiartikan sebagai lembaga keuangan yang kegiatan usahanya adalah menghimpun  dana  dari  masyarakat  dan menyalurkan  kembali  dana  tersebut  ke masyarakat  serta  memberikan  jasa-jasa bank lainnya [6].
Pada  [5],  tujuan  dari  teori  antrian adalah  untuk  meneliti  kegiatan  dari fasilitas  pelayanan  dalam  rangkaian kondisi random dari suatu sistem antrian. Pengukuran ditinjau dari dua bagian yaitu berapa  lama  pelanggan  menunggu  dan
berapa persen tingkat kesibukan pelayanan.  Pada  [8],  tujuan  dasar  dari model-model antrian adalah untuk meminimumkan  total  dua  biaya,  yaitu biaya  langsung  penyediaan  fasilitas pelayanan dan biaya tidak langsung yang timbul  karena  para  individu  harus menunggu  untuk  dilayani.  Bila  suatu sistem  mempunyai  fasilitas  pelayanan lebih  dari  jumlah  optimal,  ini  berarti membutuhkan  investasi  modal  yang berlebihan,  tetapi  bila  jumlahnya  kurang dari  optimal  hasilnya  adalah  tertundanya pelayanan.
Dalam  meningkatkan  jumlah  nasabah selain melakukan promosi dengan menciptakan  produk  baru  yang  lebih menarik,  kepuasan  nasabah  dalam  hal kemudahan dan kecepatan pelayanan juga harus diperhatikan.Bank harus bisa memikirkan bagaimana memberikan pelayanan  yang  efisien  agar  dapat memuaskan nasabahnya. Memenuhi kepuasan nasabah terhadap pelayanan ini tidak  lepas  dari  peran teller bank  yang berinteraksi langsung dengan nasabah saat melakukan  transaksi. Teller bertanggung jawab dalam memberikan layanan perbankan kepada nasabah berupa transaksi tunai maupun non tunai. Peranan teller sangat  penting  terhadap  reputasi bank,  karena  sebagian  besar  nasabah mengunjungi teller untuk  melakukan transaksi.  Saat  jumlah  nasabah  yang datang melebihi jumlah telleryang tersedia maka  nasabah  harus  menunggu dalam  antrian  sebelum  dapat  dilayani. Lamanya waktu menunggu dalam antrian dapat  mempengaruhi  kepuasan  nasabah terhadap pelayanan bank tersebut. Nasabah  yang  datang  ke  suatu  bank menginginkan pelayanan teller yang cepat dan  tidak  harus  menunggu  lama  dalam antrian  sebelum  melakukan  transaksi. Panjangnya  antrian  dan  lamanya  waktu tunggu  menyebabkan  nasabah  menjadi bosan  dan  menganggap  waktu  mereka terbuang percuma saat mengantri, sementara  diluar  sana  mungkin  mereka
bisa  melakukan sesuatu  yang  lebih bermanfaat  daripada  hanya  sekedar mengantri. Nasabah mungkin akan membatalkan  transaksi  di  bank  tersebut dan memilih melakukan transaksi di bank lain  yang  memberikan  pelayanan  lebih memuaskan.  Oleh  karena  itu,  penentuan model  antrian  sangat  penting  dalam rangka  meningkatkan  kualitas  pelayanan bagi nasabah
sehingga dapat
meningkatkan kepuasan nasabah terhadap bank tersebut.

## METODE PENELITIAN
Sumber Data Data yang digunakan
dalam penelitihan  ini  adalah  data  primer  yang diambil dari penelitihan selama seminggu di  suatu  bank  di  Jawa  Barat  pada pertengahan tahun 2016.
Metode Analisis
Adapun
langkah-langkah yang dilakukan  pada  penelitihan  ini  adalah sebagai berikut:
1. Penentuan steady state
2. Uji distribusi jumlah kedatangan
3. Uji distribusi jumlah pelayanan
4. Uji distribusi waktu kedatangan
5. Uji distribusi waktu kedatangan
6. Penentuan model antrian non poisson 7. Penentuan  ukuran  kinerja  sistem model (M/G/3)
8. Penentuan  ukuran  kinerja  sistem model (G/G/3).

## HASIL PENELITIAN
Penentuan  steady  state  pada  data jumlah  kedatangan,  jumlah  pelayanan, waktu kedatangan dan waktu pelayanan:
Tabel 1. Perhitungan Steady State setiap variabel
Variabel C   jumlah jumlah 3 11.8143 10.3375 jumlah waktu 3 11.8143 4.7961 waktu jumlah 3 11.9825 10.3375 waktu waktu 3 11.9825 4.7961
Diketahui  jumlah  teller  pada  bank  3 sehinnga  c=3,  maka  kondisi  stady  state
dipenuhi sebab 1 3     .

## 1. Uji Kecocokan Distribusi
Goodness  of  Fit test (uji  kecocokan distribusi)  didasari  oleh  pengukuran jumlah  deviasi  antar  fungsi  kepadatan empiris  dan  teoritis.  Uji  yang  dapat digunakan antara lain adalah Uji Kolmogorov-Smirnov.  Uji  ini  dapat digunakan  untuk  menentukan  seberapa baik sebuah sampel random data menjajagi distribusi teoritis tertentu, yang dimaksud di sini adalah distribusi Poisson dan distribusi Eksponensial. Pengujian Kolmogorov-Smirnov
didefinisikan sebagai :
Uji hipotesa : Ho  :  F(x)  =  Fo(x)    untuk  semua  nilai  x
(Data berdistribusi A)
H 1 : F(x) ≠  Fo(x)  untuk  sekurang - kurangnya sebuah nilai x (Data tidak berdistribusi A) Statistik  Uji  pada  uji Kolmogorov- Smirnov adalah
D =     x F x S x 0 sup 
Di mana : D : nilai maksimum untuk semua x dari nilai  mutlak  beda  S(x) - F 0 (x)  pada uji dua sisi.
S(x) : fungsi  distribusi  kumulatif  yang dihitung dari sampel.
F 0 (x) :  fungsi  distribusi  kumulatif  dari distribusi A. A : distribusi yang diasumsikan. Daerah  kritis  dari  Uji Kolmogorov- Smirnov adalah Tolak Ho jika D > * D  atau jika nilai sig.< nilai sig.  . dimana * D  adalah  nilai  kritis  yang diperoleh  dari  Tabel  “Kuantil -kuantil statistik uji Kolmogorov-Smirnov [3]. Hasil pengujian distribusi yang didapatkan sebagai berikut:

## Tabel 2. Uji Kecocokan distribusi setiap variabel
Variabel Nilai K- Smirnov p- value Keput- usan Kesim- pulan Jumlah kedatangan dalam interval waktu 30 menit 0.381 0.999 Ho diterima Berdistribusi Poisson Jumlah pelayanan dalam interval waktu 30 menit 0.7931 0.556 Ho diterima Berdistribusi Poisson waktu kedatangan 9.14 0.00 H0 ditolak Tidak berdistribusi eksponential Waktu pelayanan 9.1 0.00 H0 ditolak Tidak berdistribusi eksponential Berdasarkan Tabel 2 tentang uji
kecocokan  distribusi  setiap  variabel terlihat  bahwa  jumlah  kedatangan  dan pelayanan dalam interval waktu 30 menit berdistribusi  Poisson.  Sedangkan  Waktu kedatangan  dan  waktu  pelayanan  tidak berdistribusi eksponential, sehingga dimodelkan dengan distribusi general.
2. Penentuan model antrian dan ukuran kinerja system
2.1.Model Antrian (M/G/c) :  (GD/ ∞/∞)
Menurut  Gross,  D  and  Harris,  C.  M, untuk model (M/G/c) : (GD/ ) /   , hasil
utama  yang  bisa  diperoleh  adalah probabilitas  dari  waktu  tunggu  dalam sistem,  yaitu; Ws L s   . Sedangkan untuk waktu tunggu dalam antrian model (M/G/c)  didapat  dari  probabilitas  waktu tunggu persamaan model (M/G/1),
       0 ) ( ! 1 t dW e t n P s t n n n   
0  n , yaitu
  0 Pr{  dalam antrian setelah keberangkatan} 1 ( ) ! q n n t q n t e dW t n        
dengan panjang antrian rata-rata pada titik waktu kedatangan, yaitu q
L adalah
           1 n 0 q q q n q W ) t ( tdW n L Dari Ross, S. M (1997), W q dapat dicari dengan; 2 1 2 [ ]( [ ]) 2( 1)!( ([ ]) c c q E t E t W c c E t B       1 0 ( [ ]) ( [ ]) ! ( 1)!( [ ]) n c c n E t E t B n c c E t                
di mana:
W q = waktu menunggu yang diperkirakan dalam antrian.

## 2.2.Model jumlah kedatangan dan
waktu (M/G/3)
Tabel  3. Hasil  analisis  distribusi  jumlah kedatangan Deskripsi Data Nilai Number of servers 3 Rata-Rata 0.2085 Std. Deviasi 0.2106 Distribusi waktu kedatangan (30 menit) Exponential Nilai parameter ( )  0.0846 Kapasitas Antrian M Populasi pelanggan M Tabel  3  menunjukan  hasil  analisis distribusi jumlah kedatangan yang didekati  dengan distribusi  eksponential. Parameter  yang  didapatkan  bernilai 0.0846  dengan  rata-rata  0.2085  dan standard deviasi 0.2106. Sedangkan tabel 4 menunjukan hasil analisis sistem antrian dengan model M/G/3.
Tabel 4. Hasil analisis sistem antrian M/G/3 Sistem antrian M/G/3 Nilai Rata-rata waktu kedatangan pelanggan 11.8143 Rata-rata pelayanan tiap server 3 menit 4.7961 Rata-rata Efektivitas kedatangan tiap 30 menir 11.8143 Rata-rata Efektivitas pelayanan tiap 30 menit 11.8143 Rata-rata jumlah pelanggan dalam sistem 5.6254 Rata-rata jumlah pelanggan dalam antrian 3.1621 Rata-rata jumlah pelnggan dalam antrian yang sibuk dilayani 4.6374 Rata-rata waktu pelanggan menghabiskan didalam system 0.4762 menit Rata-rata waktu pelanggan menghabiskan didalam antrian 0.2677 menit Rata-rata waktu pelanggan menghabiskan di antrian untuk sibuk dilayani 0.3925 menit Peluang semua layanan penuh 0.0489 Peluang kedatangan pelanggan untuk menunggu 0.682 2.3.Model waktu kedatangan dan waktu pelayanan  model (G/G/3)
MODEL ANTRIAN (G/G/c) : (GD/ ∞/∞)
Model  antrian  (G/G/c)  :  (GD/ ∞/∞) adalah  model  antrian  dengan  data kedatangan pelanggan berdistribusi umum (general) dan data waktu pelayanan  juga  berdistribusi  umum (general),  dengan  jumlah  pelayanan sebanyak  c  pelayan. Menurut  Gross,  D and  Harris,  C.  M, disiplin  antrian  yang digunakan  adalah  umum  yaitu  FIFO (pertama datang, pertama dilayani) dengan  kapasitas  maksimal  adalah  tak hingga dan sumber pemanggilan pelanggan adalah tak hingga.
Ukuran-ukuran  kinerja  pada  model (G/G/c)  :  (GD/ ∞/∞)  mengikuti  ukuran - ukuran  kinerja  pada  model  (M/M/c)  : (GD/ ∞/∞), kecuali untuk Jumlah pelanggan  yang  diperkirakan  dalam antrian (L q ) dapat dihitung dengan rumus:
2 2 ( ) ( ') ( / / ) * 2 q q
V t V t L L M M c    
di mana V(t) : varian dari waktu pelayanan dan V(t’) : varian dari waktu antar kedatangan
Tabel  5.  Analisis  waktu  kedatangan  dan  waktu pelayanan Deskripsi Data Nilai Number of servers 3 Distribusi Waktu pelayanan General Rata-Rata 0.10425 Std. Deviasi 0.10532 Distribusi waktu kedatangan (30 menit) General Rata-Rata 0.04173 Standard Deviasi 0.04017 Kapasitas Antrian M Populasi pelanggan M
Tabel  5  menunjukan  distribusi  waktu kedatangan dan waktu pelayanan. Karena distribusi  waktu  pelayanan  dan  waktu kedatangan tidak sesuai dengan distribusi eksponential,  sehingga  didekati  dengan distribusi  yang  sifatnya  general  dengan rata-rata dan standard deviasi untuk waktu pelayanan  sebesat  0.1045  dan  0.10532. Sedangkan  untuk  rata-rata  dan  standard deviasi waktu kedatangan sebesar 0.04173 dan 0.04017.
Tabel 6. Analisis Model antrian G/G/3 untuk waktu
kedatangan dan waktu pelayanan Sistem antrian G/G/3 Nilai Rata-rata waktu kedatangan pelanggan 23.965 Rata-rata pelayanan tiap server selama 3 menit 9.5921 Rata-rata Efektivitas kedatangan tiap 30 menir 23.965 Rata-rata Efektivitas pelayanan tiap 30 menit 23.965 Utilitas sistem 83.2803 Rata-rata jumlah pelanggan di sistem 5.9 Rata-rata jumlah pelanggan di antrian 3.4016 Rata-rata jumlah pelnggan dalam antrian yang sibuk dilayani 4.85 Rata-rata waktu pelanggan menghabiskan didalam sistem 0.2462 jam Rata-rata waktu pelanggan menghabiskan didalam antrian 0.1419 jam Rata-rata waktu pelanggan menghabiskan di antrian untuk sibuk dilayani 0.2024 jam Peluang semua layanan penuh 0.0451
Peluang kedatangan pelanggan untuk
menunggu 0.7

## KESIMPULAN
Berdasarkan hasil analisis yang
dilakukan  disimpulkan bahwa  sistem antrian  pelayanan  di  perbankan  sudah memenuhi  standard  yang  sesuai.  Waktu pelayanan dan waktu kedatangan berjalan dengan  optimal  sehingga  tidak  perlu menambah  banyaknya  server.  Pelayanan dengan  3  server  sudah  dirasa  cukup optimal.

## DAFTAR PUSTAKA
[1] Aminudin. 2005. Prinsip-Prinsip Riset
Operasi. Jakarta: Erlangga.
[2]  Bronson,  R.  1991. Teori  Dan  Soal- Soal  Operations  Research.  Jakarta:
Erlangga.
[3]  Daniel,  W.  W.  1989. Statistika Nonparametrik  Terapan. Jakarta: Gramedia.
[4]  Gross,  D.  dan Harris,  C.M.  1998. Fundamental  of  Queueing  Theory Third Edition. John Wiley and Son, INC. New York.
[5] Kakiay,  T.  J.  2004. Dasar  Teori Antrian  untuk  Kehidupan  Nyata. Yogyakarta: Andi.
[6] Kasmir. 2002. Manajemen Perbankan.
Jakarta: PT Raja Grafindo Persada.
[7]  Praptono.  1986. Pengantar  Proses Stokastik 1. Jakarta: Karunika.
[8] Subagyo, P., Marwan A., dan Handoko T. H. 1984. Dasar-Dasar Operation Research. BPFE. Yogyakarta.
[9] Taha, H.A. 1996. Riset Operasi: Jilid
2. Jakarta: Binarupa Aksara.