## JURNAL TAMBORA

## SIFAT DAN KARAKTERISTIK NILAI EIGEN SISI KANAN ATAS MATRIKS QUATERNION

## Tri Susilawati, Amir Kamal Amir, Nurdin
Jurusan Matematika, Fakultas MIPA, Universitas Hasanuddin

## ABSTRAK
Ada beberapa sifat nilai eigen di matriks riil yang berlaku juga di matriks quaternion namun dengan syarat tertentu. Penelitian ini bertujuan merumuskan sifat dan karakteristik nilai eigen sisi  kanan  atas  matriks  quaternion.  Penelitian  ini  dilakukan  dengan  cara,  pertama mengumpulkan referensi-referensi  yang berkaitan dengan nilai eigen sisi kanan atas matriks quaternion,  kedua  melakukan  kajian  kepustakaan  terhadap  referensi  yang  diperoleh,  ketiga merumuskan sifat dan karakteristik nilai eigen sisi kanan atas matriks quaternion. Penelitian menghasilkan rumusan sifat dan karakteristik nilai eigen sisi kanan atas matriks quaternion. Kata kunci : Nilai eigen, nilai eigen sisi kanan, matriks quaternion.

## PENDAHULUAN
Perkembangan teknologi dan informasi saat ini tak bisa dipungkiri juga mempengaruhi  ilmu  pengetahuan  lainnya. Tak  terkecuali  dalam  ilmu  matematika. Matematika  yang  pada  dasarnya  dibagi menjadi dua jenis kajian yaitu terapan dan murni ikut berkembang seiring perkembangan  penelitian-penelitian  yang lebih dahulu.
Matematika murni yang dibagi menjadi beberapa  kajian  antaranya  aljabar  pun sangat  mengalami  perkembangan.  Aljabar abstrak  merupakan  suatu  cabang  ilmu matematika yang cirri khasnya sarat dengan aksioma-aksioma, dimana sering dianggap sebagai subyek yang ideal untuk menyelesaikan  suatu  pembuktian  (Sutojo dkk., 2010). Manipulasi-manipilasi aljabar digunakan sebagai salah satu cara membuktikan lemma-lemma dalam penelitian ini. Aljabar yang bersifat abstrak cenderung  lebih  mudah  dikembangkan dibandingkan  kajian  lainnya.  (Isnarto, 2008).  Tak  terkecuali  dengan  materi  nilai eigen.  Nilai  eigen  pada  matriks  riil cenderung tak banyak mengalami perkembangan disbanding matriks quaternion. Bilangan quaternion yang tidak bersifat  komutatif  lebih  memungkinkan dikembangkan  terutama  kajian  secara aljabar (Hamilton, 2000).
Teori dasar tentang matriks quaternion diciptakan  oleh  Sir  William  Rowan Hamilton  (1805-1865),  seorang  pakar aljabar,  astronomi  dan  fisika  dari  Irlandia yang  secara  formal  diperkenalkan  pada tahun  1843,  dan  merupakan  generalisasi dari  bilangan  kompleks  4D  (Shoemake, 2007). Bilangan quaternion telah diaplikasikan secara luas, diantaranya pada komputer grafik, komputer vision, robotik, teori  kontrol,  sinyal  prosesing,  fisika, bioinformatika,  dinamika  molekular  dan mekanik (Pei dkk., 2001).
Jika  nilai  eigen  matriks  atas  bilangan riil  tidak  terbagi  lagi  menjadi  sisi  kiri  dan kanan,  lain  halnya  dengan  nilai  eigen matriks  atas  bilangan  quaternion.  Hal  ini disebabkan  karena  sifat  perkalian  pada bilangan  quaternion  yang  tidak  komutatif. Penelitian  ini  didasarkan  pada  sebuah definisi  yang  telah  dibuat  oleh  peneliti sebelumnya (Flaut, 2002).
Fuzen  (1997)  sudah  menjelaskan beberapa  sifat  nilai  eigen  sisi  kanan  atas maatriks  quaternion  yang  hanya  berlaku untuk  matrik  quaternion  saja.  Hasil penelitian  tersebut  belum  secara  rinci membahas mengenai nilai eigen sisi kanan atas  matriks  quaternion.  Penelitian  Zhang tersebut  merupakan  penyempurnaan  dari peneliti sebelumnya (Brenner, 1951).
Berdasarkan  beberapa  referensi,  sifat- sifat  nilai  eigen  matriks  atas  bilangan  riil

## JURNAL TAMBORA
sudah  sangat  banyak  ditemui.  Berbeda halnya  dengan  nilai  eigen  sisi  kanan  atas matriks  quaternion.  Ada  beberapa  sifat- sifat  nilai  eigen  matriks  atas  bilangan  riil yang  berlaku  pula  untuk  nilai  eigen  sisi kanan atas matriks quaternion. Sifat – sifat yang  tidak  berlaku  tersebut  akan  berlaku dengan  syarat  dan  karakteristik  tertentu. Penggunaan  matriks  yang  representative bisa  memudahkan  dalam  merumuskan karakteristik  nilai  eigen  sisi  kanan  atas matriks quaternion (Tian, 2000). Sifat dasar matriks  quaternion  merujuk  pada  sifat matriks  yang  telah  diteliti  sebelumnya (Morais dkk., 2012).
Syarat  dan  karakteristik  khusus  yang berlaku  untuk  nilai  eigen  sisi  kanan  atas matriks  quaternion  tersebut  yang  menjadi topik penelitian ini. Penelitian ini bertujuan untuk   merumuskan sifat  dan karakteristik nilai  eigen  sisi  kanan  atas  matriks quaternion

## METODE PENELITIAN

## Lokasi dan Rancangan Penelitian
Penelitian  ini  bertempat  di  Jurusan
Matematika FMIPA Universitas
Hasanuddin.  Rancangan  penelitian  ini berbentuk  penelitian  kuantiitatif  dengan melakukan  studi  kepustakaan,  dengan mengumpulkan  dan  mengkaji  materi- materi  yang  berkaitan  dengan  sifat-sifat aljabar  Quaternion,  matriks  quaternion, nilai  eigen  atas  matriks  quaternion,  serta sifat dan karakteristik  nilai eigen sisi kanan atas matriks quaternion.
Analisis Data
Penelitian dilakukan dengan berdasarkan  sifat  nilai  eigen  atas  bilangan Real  kemudian  sifat  tersebut  dirumuskun juga  dalam  matriks  quaternion  sehingga menghasilkan  sifat  dan  karakteristik  nilai eigen sisi kanan atas matriks quaternion.

## HASIL PENELITIAN
Sifat  dan  karakteristik  nilai  eigen sisi  kanan  atas  matriks  quaternion  yang diperoleh adalah sebagai berikut.
Lemma 4.1 . Jika  adalah nilai eigen sisi kanan  dari  A  yang  bersesuaian
dengan  vektor  eigen x maka, n  adalah nilai eigen dari n A . Bukti : Akan ditunjukkan bahwa 𝐴 𝑛 𝑥 = 𝑥𝜆 𝑛 benar untuk 𝑛 = 1
  x Ax x x A   1 1
Asumsikan bahwa 𝐴 𝑛 𝑥 = 𝑥𝜆 𝑛 benar untuk 𝑛 = 𝑘 yaitu 𝐴 𝑘 𝑥 = 𝑥𝜆 𝑘 selanjutnya  akan dibuktikan benar juga untuk 𝑛 = 𝑘 + 1 1 1 ) ( ) ( ) ( ) (         k k k k k k k x x x A x A Ax A x A A x A     
Lemma  4.2 .  Jika x adalah  vektor  eigen dari A dan  adalah nilai eigen sisi kanan, maka xk adalah vektor eigen dari A yang bersesuaian  dengan  nilai  eigen 𝜆 asalkan   k k  untuk sebarang  skalar quaternion k. Bukti: 𝐴𝑥 = 𝑥𝜆 𝐴𝑥𝑘 = 𝑥𝜆𝑘 𝐴(𝑥𝑘) = (𝑥𝑘)𝜆
Lemma 4.3 . Jika  adalah nilai eigen sisi kanan dari A, maka k  adalah  nilai eigen dari Ak asalkan kx xk  untuk  sebarang skalar quaternion k. Bukti: 𝐴𝑥 = 𝑥𝜆 𝐴𝑥𝑘 = 𝑥𝜆𝑘
Karena kx xk  maka (𝐴𝑘)𝑥 = 𝑥(𝜆𝑘)
Lemma  4.4 .  Jika x dan y adalah  vektor eigen dari A yang bersesuaian dengan nilai eigen  sisi  kanan  ,  maka ) ( y x  adalah vektor  eigen  dari  A  yang  bersesuaian dengan nilai eigen 𝜆 .
Bukti: 𝐴𝑥 = 𝑥𝜆 dan 𝐴𝑦 = 𝑦𝜆 𝐴𝑥 + 𝐴𝑦 = 𝑥𝜆 + 𝑦𝜆 𝐴(𝑥 + 𝑦) = (𝑥 + 𝑦)𝜆

## PEMBAHASAN
Penelitian
ini menghasilkan rumusan  sifat-sifat  dn  karakteristik  nilai eigen  sisi  kanan  atas  matriks  quaternion

## JURNAL TAMBORA
Penelitian  ini  melibatkan  proses manipulasi  aljabar  yang  cukup  sederhana. Manipulasi  aljabar  ini  penting  untuk membuktikan salah satu lemma yang tidak berlaku di matriks quaternion tetapi berlaku di matriks riil..
Hasil  penelitian  ini  menunjukkan bahwa sifat nilai eigen pada bilangan Real berlaku pula pada nilai eigen sisi kanan atas matriks  quaternion  hanya  saja  ada  syarat dan karakterustik yang harus dipenuhi.

## KESIMPULAN DAN SARAN
Berdasarkan hasil dan pembahasan dapat  disimpulkan  bahwa  ada  beberapa sifat  nilai  eigen  pada  matriks  riil  yang berlaku  untuk  nilai  eigen  sisi  kanan  atas matriks  quaternion.  Penelitian  ini  masih bisa  dikembangkan  lagi  antara  lain merumuskan  sifat  dan  karakteistik  nilai eigen  sisi  kiri  atas  matriks  quaternion. Sehingga dapat menjadi peluang penelitian ke depan.

## DAFTAR PUSTAKA
Brenner  J.  L.  (1951). Matrices  of Quaternions. Pasific J. Vol. 1, No. 3. Bad Month Fuzhen  Zhang.  (1997).  Quaternions  and Matrices  of  Quaternions  Linear Algebra and Its Applications Flaut  Cristina.  (2002).  Eigenvalues  And Eigenvectors  for  the  Quaternion
Matrices  Of  Degree  Two . An.  St . Univ. Ovidius Constanta, Vol. 10(2), hal 39-44
Hamilton  W.R.  (2000).  On  Quaternion  or
On A New System of Imaginaries in
Algebra. Massachussets :D.C. Heath and Company. Isnarto. (2008). Struktur aljabar . Yogyakarta: UGM Press.
Morais  Joao  Pedro  dkk.  (2012). Real quaternionic  Calculus  Handbook .
Birkhause. Pei S.C dkk. (2001). Efficient
Implementation of Quaternion Fourier Transform,  convolution  and
Correlation  by  2-D  Complex  FFT  : IEEE Transactions on signal Processing,  Vol.  49,  No.  11,  hal: 2783-2797 Sutojo T. N.,  Bowo  N.  dkk. (2010). Teori dan  Aplikasi  Aljabar  Linier  &
Matriks . Yogyakarta:  Penerbit Andi.
Shoemake K. (2007). Quaternions .
Departement  of  Computer  and Information  science.  University  of Pennysylvania.  Philadelpia.  PA 19104.
Tian  Y.  (2000).  Matrix  representations  of octonions  and  their  applications  :
Advances in
App. Clifford Algebras 10, No.1, 61- 90,