## PENERAPAN TEORI KENDALI  PADA MASALAH INVENTORI
Pardi Affandi, Faisal, Yuni Yulida
Program Studi Matematika Universitas Lambung Mangkurat Jl. Jend. A. Yani km 35, 8 Banjarbaru Email: pardi_affandi@yahoo.com

## ABSTRAK
Penelitian  ini  akan  mengkaji  tentang  penerapan  Teori  Kendali  pada  masalah Inventori, akan dikembangkan model pertama di mana permintaan dinamis dan inventori tersedia  sepanjang  waktu.  Pembahasan  difokuskan    pada  analisis  sistem  inventori produksi yang berbentuk nonlinear dan biaya produksi diperlakukan sebagai fungsi yang masing-masing    tingkat  persediaan  dan  tingkat  produksi.  Kemudian  diperluas  model pertama  ke  model  yang  berikutnya  di  mana  penurunan  barang  diperhitungkan.  Tingkat kerusakan  diperhitungkan  sebagai  fungsi  waktu  dengan  jumlah  yang  sudah  tersedia. Untuk  kedua  model,  akan  digunakan  teori  kontrol  optimal  untuk  mendapatkan  kebijakan pengendalian secara optimal, sehingga diperoleh hasil yang optimal.
Kata Kunci : Teori Kendali, Masalah Inventori.

## 1. PENDAHULUAN
Dalam kehidupan sehari-hari banyak   permasalahan  yang melibatkan teori sistem, teori  kontrol  optimal  dan  beberapa  aplikasinya.  Salah  satunya  adalah    masalah  inventori, masalahnya  adalah  bagaimana  mengatur  perubahan  permintaan  konsumen  pada  sebuah produk barang jadi. Sehingga perusahaan tersebut  harus membuat  perencanaan  yang baik dalam memproduksi barang agar sesuai dengan jumlah permintaan. Salah satunya dengan cara produk barang  yang sudah jadi harus di muat dalam sebuah tempat sebelum dipesan oleh konsumen. Hal inilah yang menyebabkan munculnya inventori yang sudah tentu akan menambah  biaya  yaitu  berupa biaya  penyimpanan yang  berupa  biaya  secara  fisik menyimpan produk barang atau biaya yang muncul karena modal perusahaan terikat dalam bentuk barang. Masalah ini dapat dimodelkan dengan menggunakan teknik kontrol optimal matematika, pemrograman dinamis dan optimasi jaringan.
Permasalahan  klasik  dalam inventori berkaitan  dengan  perubahan  permintaan untuk  produk  dan  masalah  lain  adalah  bagaimana  menyeimbangkan  antara  kepentingan kelancaran  produksi  dengan  harga  penyimpanan  inventori.  Sehingga  produksi  dapat berjalan  lancar  sedangkan  biaya  penyimpanan  inventori  bisa  diatur  sesuai  dengan permintaan konsumen.
Selain  harus  mengeluarkan  biaya  sebenarnya  ada  keuntungan  memiliki inventori karena  pertama  inventori  dapat  dengan  segera  memenuhi  permintaan  konsumen  kedua dengan  adanya  gudang  sebagai  tempat  menyimpan  inventori  selama  periode  permintaan sedikit dan dapat melayani permintaan kembali pada saat periode permintaan tinggi.
Maka  salah  satu  cara  mengatasi  permasalahan  inventori  adalah  dengan    kendali optimal,  model  persamaan  diferensialnya  terlebih  dahulu  disederhanakan . Kemudian menentukan nilai optimal dari model yang sudah disederhanakan tersebut.

## TINJAUAN PUSTAKA 2.1 FUNGSI KONVEKS
Berikut  ini  akan  dibahas  definisi  dan  teorema  yang  berhubungan  dengan  fungsi konveks yang akan dipakai pada pembahasan-pembahasan berikutnya.
Defenisi 2.1.1 (K.V Mital) Andaikan X ϵ K dimana K adalah himpunan konveks.
Fungsi f(x) dikatakan konveks jika untuk setiap titik x 1 dan x 2 dalam K,
, untuk setiap Teorema  2.1.2  (Mangasarian  1969) Diberikan  himpunan  terbuka . Fungsi terdifrensial  di .  Jika konveks  di maka untuk setiap .

## 2.2 SISTEM PERSAMAAN DIFERENSIAL
Berikut    ini  akan  dibahas  solusi  sistem  persamaan  diferensial  homogen  tanpa  kendali (yaitu dengan kendali u = 0 ) time vary ) ( ) ( ) ( t x t A t x   . (2.2.1)
Didefinisikan
      3 3 2 2 ! 3 1 ! 2 1 t A t A At I e At
yang  merupakan  penurunan  deret  Taylor  untuk at e dengan  koefisien  pangkatnya merupakan suatu matriks. Diberikan teorema tentang matriks transisi untuk sistem (2.2.1).
Teorema 2.2.1 Matriks transisi sistem linear homogen Ax x   adalah ) ( s t A e  .
Bukti:
Bukti dilakukan dengan mensubstitusikan ) ( s t A e  ke persamaan Ax x   , yaitu
        2 2 ) ( ) ( ! 2 1 ) ( ( s t A s t A I dt d e dt d s t A      ) ( 2 s t A A ) ) ( (      s t A I A ) ( s t A Ae   (terbukti). Solusi sistem Ax x   dengan 0 ) 0 ( x x  dapat dinyatakan dengan 0 ) ( x e t x At  .
Berikut    ini  akan  dilanjutkan  dengan    solusi  solusi  sistem  nonlinear  yang  mengandung vektor kendali berbentuk
(2.2.2)

## 2.3 MODEL INVENTORI
Inventori  merupakan  investasi  yang  paling  besar  pada  sebagian  besar  perusahaan industri.  Persediaan  diperlukan  untuk  dapat  melakukan  proses  produksi,  penjualan persediaan bahan mentah dan barang dalam proses diperlukan untuk menjamin kelancaran proses produksi, sedangkan bahan jadi harus tetap tersedia agar memungkinkan perusahaan memenuhi permintaan yang terjadi.  Persediaan inventori ditempatkan pada beberapa titik dalam  proses  produktif  dengan  arus  (flows)  yang  menghubungkan  satu    titik  persediaan kepada    titik  lain.  Tingkat  suatu  persediaan  dapat  ditambahkan  (replenished)  adalah kapasitas  suplai  dan  tingkat  penurunan  persediaan  (stock  depletion)  adalah  demand. Inventori bertindak sebagai penyangga (bufffer) antara perbedaan tingkat antara suplai dan demand.

## 3
Manajemen    inventori  merupakan  salah  satu  di  antara  fungsi  manajemen  operasi yang  sangat  penting  karena  inventori  memerlukan  banyak  modal  dan  mempengaruhi penyerahan  kepada  pelanggan.  Manajemen  inventori  mempunyai  damfak  terhadap  semua fungsi  bisnis,  terutama  operasi,  pemasaran  dan  keuangan.  Inventori  memberikan  layanan kepada pelanggan yang sangat vital bagi pemasaran. Keuangan berkaitan dengan keadaan keuangan  di  seluruh  organisasi,  termasuk  dana  yang  dialokasikan  untuk  inventori.  Dan operasi memerlukan inventori untuk menjamin produksi yang lancar dan efisien.
Dalam model inventori memiliki banyak model dengan metode penyelesaian yang berkisar dari kalkulus sederhana dan matematis yang canggih. Hal ini tergantung pada sifat permintaan akan sebuah barang. Sehingga berdasarkan permintaan model inventori terbagi menjadi  dua  kelompok  besar  yaitu  deterministik  dan  probabilistik.  Model  deterministik yaitu model inventori dimana permintaan diketahui dengan pasti, ada jenisnya  yang statis ada  juga  yang  dinamis.  Sedangkan  model  deterministik  yaitu  model  inventori  dimana permintaan  tidak  diketahui  dengan  pasti,  ada  jenisnya  yang  stasioner  yaitu  fungsi kepadatan  probabilitas  permintaan  tetap  dan  ada  yang  tidak  stasioner  yaitu  fungsi kepadatan probabilitasnya berubah-ubah.
Salah  satu  jenis  inventori  deterministik  adalah  Economic  Order  Quantity  (EOQ) yang  merupakan  salah  satu  model  inventori  deterministik  dalam  menentukan  jumlah optimal kuantitas inventori dalam rangka meminimalkan biaya tahunan. Model EOQ klasik mengasumsikan  bahwa  Jumlah  permintaan  per  tahun  diketahui  dengan  pasti  dan  konstan sepanjang  tahun  dan  ketika  persediaan  mencapai  titik  nol,  pemesanan  baru  seketika dilakukan  dan  langsung  diterima  seketika  itu  juga  sehingga  tidak  terjadi  kekurangan persediaan.
Menurut Shore (1973) inventori adalah  “suatu  sumber daya yang menganggur dari berbagai  jenis  yang  mempunyai  nilai  ekonomis  potensial”.  Dengan  pengertian  ini  Shore mempunyai anggapan  peralatan dan pekerja yang menganggur sebagai inventori, padahal kita  menentukan  segala  sumber  daya  yang  menganggur  selain  bahan  sebagai  kapasitas. Dari sumber perspektif manajemen dan akunting sangatlah penting membedakan inventori dengan  kapasitas.  Kapasitas  menyajikan  potensi  untuk  memproduksi,  sedang  inventori adalah produk pada beberapa titik dalam proses konversi (perubahan) dan distribusi.

## 2.5  TEORI KENDALI OPTIMAL
Pada  bagian  ini  akan  dibahas  masalah  kendali  optimal  khususnya  pada  kasus dengan state akhir  dan  waktu  akhir  diketahui.  Untuk  permasalahan  ini,  penyelesaian menggunakan prinsip maksimum pontryagin . Perumusan masalah Kendali Optimal Diberikan sebuah system :
t ϵ (T 1 ,T 2 )
Dengan  x(t)  vektor  state (vektor  yang menyatakan keadaan sistem)  berukuran nx1  yaitu
]  ,
berukuran  mx1,  f  sebuah fungsi  bernilai  vektor    berukuran  nx1    yaitu
dan  (T 1 ,T 2 )  С  R domain dari sistem awal.
Pada sistem ini diasumsikan 0 < m ≤ n. Diberikan juga L suatu fungsi berharga real pada R n xR m x(T 1 ,T 2 )    berbentuk
dan  k  fungsi  berharga  real  R n x(T 1 ,T 2 )  berbentuk
Himpunan  S  C  R n x(T 1 ,T 2 )    dengan  elemen-elemen  berupa  pasangan  titik  (x,t)  dengan  x state dan t dalam domain sistem disebut target.
Diasumsikan  untuk  setiap  t  dalam  domain  (T 1 ,T 2 )  dari  sistem  awal,  terdapat  himpunan bagian U t dalam R m . Misalkan koleksi semua U t dilambangkan dengan Ώ yaitu Ώ = { U t : t ϵ (T 1 ,T 2 )  }
U t disebut  kendala  (constraint)  pada  waktu  t  dan  Ώ  disebut  kendala.  Jika  U  merupakan himpunan semua u(t) untuk setiap t dalam (T 1 ,T 2 )   sehingga : U(t) ϵ U t : untuk setiap t ϵ (T 1 ,T 2 ).
Maka u disebut himpunan semua kendali yang memenuhi kendala Ώ atau himpunan semua admissible kontrol.
Diberikan t 0 ϵ (T 1 ,T 2 ) dan x 0 ellemen di R n maka u ϵ U (admissible kontrol u), misal notasi :
Dengan menyatakan kendali pada selang waktu , adalah penyelesaian tunggal dari sistem (3.1) yang memenuhi syarat awal x )= x 0 . Kendali U dikatakan membawa x 0 ke  target  set  S    (atau ke  S).  Jika  himpunan
beririsan dengan S. Jika t 1 waktu pertama kali x(t) =
masuk  di dalam S, maka notasi x 1 = x(t 1 ) = menyatakan kondisi akhir sistem.
Pada  sistem  kendali  optimal,  masalah  yang  dihadapi  adalah  memaksimumkan  fungsi berharga real pada R n x(T 1 ,T 2 )  xUxR n , yang didefenisikan dengan
dengan  K  dan  L  fungsi-fungsi  yang  telah  diperkenalkan  di  awal.  Dengan  kondisiawal x )=  x 0 dan  kondisi  akhir  awal
fungsi ditulis  dengan
, yaitu
Maka dapat  dinyatakan  sebagai  J(u)  saja.  Dari  keterangan  tersebut  di  atas,
masalah  kendali  optimal  dapat  dinyatakan  sebagai  sistem  dengan  targaet  set  S, performance  fungsional ,  himpunan  admissible  kontrol  U,  dan  state  awal  X 0 pada  waktu  t 0 adalah  menentukan  kendali    u ϵ U  yang  memaksimalkan  performance functional .
Sebarang  kendali  u * yang  memberikan  solusi  terhadap  masalah  kendali  optimal  disebut dengan kendali optimal.
Pada  kasus  kendali  optimal  dengan  state  akhir  dan  waktu  akhir  diketahui,  target  set  S berbentuk  S = { }x{ }  yaitu berupa titik dengan elemen tertentu di R n dan elemen tertentu di (T 1 ,T 2 ).

## 3.HASIL DAN PEMBAHASAN

## 3.1  MODEL TANPA KEKURANGAN BARANG
Sebuah  perusahaan  manufaktur  yang  memproduksi  sebuah  produk . Diasumsikan bahwa keputusan manajer di masa yang akan datang dihadapkan terbatas, dengan panjang perencanaan  sebesar  T.  Keterbatasan  rencana  di  masa  yang  akan  datang    adalah  sangat penting  dan  harus  tepat  karena  banyak  perusahaan  yang  peduli  dengan  jangka  menengah kegiatan pasar.
Untuk  t  ≥  0,  misalkan  I(t)  adalah  tingkat  inventori  pada  waktu  t,  dan  misalkan D(t,I(t))  dan  h  (I(t))  adalah  masing-masing  merupakan  tingkat  permintaan  dan  tingkat biaya.  K(P(t))  menunjukkan  tingkat  biaya  yang  sesuai  dengan  tingkat  produksi  P(t)  pada waktu t. Andaikan ρ ≥ 0 menjadi tingkat potongan harga. Semua fungsi diasumsikan non- negatif, kontinu dan terdiferensialkan.
Mengingat T > 0, masalah kontrol optimal akan diperoleh  sebagai berikut:
  ( ) ( , ( )) 0 0 min ( , ) ( ( )) ( ( ))
( )
( ) ( ) ( , ( )), (0) , ( ) T t P t D t I t T J P I e h I t K P t dt d I t P t D t I t I I I T I dt
         

      
Model  digambarkan  sebagai  masalah  kontrol  optimal  dengan  satu    state  variabel yaitu  tingkat  inventori,  dan  satu  variabel  kontrol  yaitu  tingkat  manufaktur.  Pada  saat permintaan terjadi  pada  tingkat  D dan produksi terjadi  pada tingkat kendali P, maka    I(t) berkembang  sesuai  dengan  dinamika  berbentuk  state  persamaan.  Kendala  P(t)  ≥  D(t,I(t)) dengan persamaan state diperoleh  I(t) ≥ I 0 dan tingkat  I senantiasa tidak kekurangan. Oleh karena itu, kekurangan tingkat  I tidak diperbolehkan.
Dengan  menggunakan  prinsip  maksimum  Pontryagin  diperoleh  kondisi  yang diperlukan  (P*,I*)  menjadi  penyelesaian  masalah  yang  optimal  (ρ)  harus  konstan  β, kontinu  dan  fungsi  terdiferensialkan    λ  dan  sebuah  fungsi  kontinu  μ,  disebut  fungsi Lagrange multiplier, sehingga :
H(t,I * ,P * , λ) ≥ H(t,I ** ,P, λ)  sehingga setiap P(t) ≥ D (t,I * (t)) (1)
( ) ( , , , , ) d t L t I P dt I        (2)
I(0) = I 0 ,    λ(t) = β,
(3) ( , , , , ) 0 L t I P P      ,
(4)
  ( ) ( , ( )) 0, ( ) 0, ( ) ( ) ( , ( )) 0, P t D t I t t t P t D t I t        (5) Dimana :    
( , , , ) ( ( )) ( ( )) ( ) ( ) ( , ( )) t
H t I P e h I t K P t t P t D t I t          (6) adalah merupakan fungsi  Hamiltonian dan
      ( , , , , ) ( ( )) ( ( )) ( ) ( ) ( ) ( , ( )) t
L t I P e h I t K P t t t P t D t I t             , (7)
adalah fungsi Lagrange. Persamaan (2) adalah equivalen dengan
  ( ) ( ( )) ( ) ( ) ( , ( )). t d d t e h I t t t D t I t dt dI I           (8) Persamaan (4) adalah equivalen dengan
( ) ( ) ( ( )). t d t t e K P t dP       (9)
Berdasarkan  persamaan  (5).  Untuk  sebarang    t,  kita  dapatkan  salah  satu  dari
( ) ( , ( ))
P t D t I t  = 0 atau ( ) ( , ( )) P t D t I t  > 0.

## Kasus 1
( ) ( , ( ))
P t D t I t
 =  0,  dalam  beberapa  subset  S  pada  interval  [0,T].  Kemudian ( ) d I t dt =  0 pada S. Dalam kasus ini I* jelas konstan pada S dan P * (t) = D(t,I ** (t)) (10)
untuk setiap t  S.
Dengan subsitusi persamaan (9) ke   persamaan (8) maka diperoleh
* *
* ( ) ( ( )) ( ( )) ( , ( )) t d d d t e h I t K P t D t I t dt dI dP I           

 .
Dengan mengintegralkan persamaan ini kita mendapatkan bentuk eksplisit fungsi adjoint λ dari konstanta β. Lalu bentuk eksplisit fungsi pengali Lagrange µ dapat diperoleh dari Persamaan  (9).  Perhatikan  bahwa  jika  µ  adalah  fungsi  yang  diperoleh  tidak  non-negatif, maka solusi yang diberikan dalam Persamaan (10) tidak dapat berlaku.

## Kasus 2
( ) ( , ( )) P t D t I t  > 0, untuk t  [0,T]\S. Kemudian ( ) t  = 0 dalam [0,T]\S.
Dalam kasus ini dengan kondisi (3), (8) dan (9) menjadi
0 ( ) ( ( )) ( , ( )), (0) , ( ) , t d d t e h I t D t I t I I T dt dI I    
       dan
( ) ( ( )). t d t e K P t dP    
Dengan mengkombinasikan persamaan ini dengan persamaan state akan memberikan hasil persamaan differensial orde dua :
2 2 ( ) ( ) ( , ) ( ) ( ),
d d d d P t K P D t I K P h I dt dP I dP dI             0 (0) , ( ( )) T d I I K P T e dP      (11)
Dari    ilustrasi  tersebut    akan  diperoleh,    misalkan  K(P)  = 2 2 KP ,    h(I)  = 2 2 hI dan D(t,I) = d 1 (t) + d 2 (I) dimana K,h dan d 2 adalah konstanta positive. Dari fungsi ini berarti diperoleh  (P * ,I * ) merupakan masalah optimal berarti solusi (ρ) menjadi :
2 2 2 2 1 0
2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), (0) , ( ) T d d h I t I t d d I t d d t I I I T I dt dt K                  (12)
Ini merupakan masalah nilai awal dengan dua titik batas (  TPBV ) yang akan diselesaikan dalam proposisi berikut :

## Proposisi 1
Solusi I* dari (  TPBV ) diberikan oleh
1 2 m t m t * 1 2 I (t) = a e + a e + Q (t),
(13)
dan P * diberikan oleh
1 2 m t m t * 1 1 2 2 2 2 2 1 d P  (t) = a  (m + d )e + a (m +d )e
+ Q(t) +d Q(t)+d (t) dt (14)
di mana konstanta a 1 , a 2 , m 1 , dan m 2 diberikan dalam pembuktian di bawah ini, dan   Q(t) adalah solusi kusus  Persamaan (12).

## Bukti
Persamaan  (12)  dapat  diselesaikan  dengan  menggunakan  metode  standard.  Maka diperoleh persamaan karakteristiknya
2 2 2 ( ) 0 h m m d d K           
mempunyai dua akar nyata berlawanan tanda, akan diperoleh nilai dari
2 1 2 2 1 4 ( ) 0 2 h m d d K                        dan 2 2
2 2 1
4 ( ) 0 2 h m d d K                       
dan  karena  itu  I*(t)  diberikan  oleh  (13),  di  mana  Q  (t)  adalah  solusi  tertentu  dari persamaan (12). Kondisi awal dan akhir  digunakan untuk menentukan konstanta a 1 dan a 2 sebagai berikut.
Dari  kondisi  awal  dan  kondisi  akhir  diperoleh    a 1 +  a 2 +  Q  (0)  =  I 0 dan 1 2 m m 1 2 T a e + a e + Q (t) = I T T .
Dengan memisalkan  nilai b 1 = I 0  Q(0) dan b 2 = I T  Q(T),   akan diperoleh sistem dua persamaan linear dengan dua variable yang tidak diketahui yaitu a 1 + a 2 = b 1 1 2 m m 1 2 2 a e + a e = b T T
yang memiliki solusi unik berikut :
2 1 2 m 2 1 1 T m T m T b e b a e e    dan 1 1 2 1 2 2 m T m T m T b e b a e e   
Pernyataan  dari  P*  disimpulkan  menggunakan  pernyataan  I*  dan  persamaan  state. Dari analisis di atas kita memiliki ciri teorema berikut solusi optimal (  ).

## TEOREMA 1
Solusi optimal (P*, I*) dari (  ) mempunyai bentuk yang diberikan dalam Persamaan (10) pada S, dan bentuk dalam Persamaan (13) - (14) pada [0, T] \ S.

## CONTOH 1.
Perhatikan sebuah sistem produksi dengan karakteristik sebagai berikut: Awal  dan  tingkat  persediaan  akhir,  masing-masing  I(0)  =  0,  I(T)  =  10;  satuan  biaya  dan faktor  diskon    h  =  0.1,  K  =  5,  dan  ρ  =  0.  Rencana  yang  akan  datang  adalah  T  =  5,  dan permintaan stock-dependent adalah sedemikian rupa sehingga d 2 = 0,1, d 1 (t) = cos (t) + 1. Variasi  tingkat  produksi  optimal  dan  tingkat  persediaan  yang  optimal  ditampilkan  dalam Gambar 1.
Biaya  yang  optimal  ditemukan  untuk  J  =  139,5014.  Mengubah  bentuk  fungsi  permintaan dengan  mengambil  d 1 (t)  = t e  dan  menjaga  semua  parameter  lainnya  tidak  berubah menghasilkan  grafik  digambarkan  dalam  Gambar  2.  Nilai  fungsi  tujuan  berubah ke J = 87,9876.

## 4.2 MODEL DENGAN KETERGANTUNGAN BARAN G
Dalam bagian ini,  diasumsikan bahwa produk mengalami kemerosotan  sementara di  stok.  Untuk  t  ≥  0,  andaikan    θ  (t,  I  (t))  adalah  tingkat  kemerosotan    pada  tingkat persediaan  I(t) pada waktu t. Dengan menggunakan   notasi yang sama seperti pada bagian sebelumnya.
Masalah pengendalian optimal menjadi:
    ( ) ( , ( )) ( , ( )) 0 0 min ( , ) ( ( )) ( ) ( , ( )) ( ( )) ( )
( ) ( ) ( , ( )) ( , ( )), (0) , ( ) T t P t D t I t t I t T J P I e h I t c P t D t I t K P t dt d I t P t D t I t t I t I I I T I dt
  
    
               
di  mana  c  >  0  adalah  biaya  unit.  Kondisi  yang  diperlukan  (1)  -  (4)  tetap  sama  dengan     ( , , , ) ( ) ( ( )) ( , ) ( ) ( ) ( ) ( , ) ( , ) t H t I P e h I C P t D t I K P t P t D t I t I             (15)
  ( , , , , ) ( , , , ( )) ( ) ( ) ( , ) ( , ) t L t I P e t I P t t P t D t I t I             (16) Sehingga persamaan (5) menjadi   ( ) ( , ) ( , ) 0, ( ) 0, ( ) ( ) ( , ) ( , ) 0 P t D t I t I t t P t D t I t I            (17) Dari persamaan (2), (4) dan (16) diperoleh
( ) ( ) ( , ) ( ( ) ( )) ( , ) ( , ) t d d t e h I C D t I t t D t I t I dt dI I I I
                             (18)
( ) ( ) ( ) t d t t e K P C dP              (19)
Sekarang dengan menggunakan  (17). Kemudian, dalam beberapa subset S pada [0,T] akan diperoleh ( ) ( , ( )) ( , ( )) 0 P t D t I t t I t     sehingga optimal control dari kasus ini adalah  :
* * * ( ) ( , ( )) ( , ( )) , . P t D t I t t I t untuk setiap t S     (20) Pada set [0,T]\S, nilai dari ( ) ( , ( )) ( , ( )) 0 P t D t I t t I t     . Menggunakan argumen yang sama seperti pada bagian sebelumnya,  diperoleh persamaan diferensial orde dua  sebagai berikut:
2 2 ( ) ( ) ( , ) ( , )
( ) ( ) ( , ),
d d d d P t K P D t I t I K P C h I C D t I dt dP I I dP dI I    
                      (21)
Dan I(0) = I 0 , ( ( )) t d K P T e dP    .
Kemudian diasumsikan K(P) =
2 2 KP ,  h(I) = 2 2 hI danD(t,I) = d 1 (t) + d 2 (I) dan θ(t,I) = θ 1 (t) + θ 2 (I) dimana K,h, d 2 , θ 2 adalah konstanta positif. Kemudian  dari bentuk persamaan diferensial dalam P menjadi persamaan diferensial orde dua dalam bentuk I
2
2 2 2 2 2 ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ), d d h I t I t d d I t t dt dt K                   (22)
Dengan
α(t) = 2 2 1 1 1 1 2 ( )( ( ) ( )) ( ) ( ) d d d d t t d t t cd dt dt    
      ,
dan 0 (0) , ( ) T I I I T I   .
Penyelesaian masalah nilai awal dengan dua titik batas berikut  ini dengan menggunakan persamaan (13) diperoleh :
2 1 2 2 2 2 1 4 ( )( ) 2 h m d d K         
                 2 2 2 2 2 2 1 4 ( )( ) 2 h m d d K         
                 2 1 2 m 0 1 ( ) ( (0)) , T T m T m T I Q T I Q e a e e     
1 1 2 m 0 2 ( (0)) ( ) T T m T m T I Q e I Q T a e e      ,
dimana Q (t) adalah solusi kusus dari persamaan (22).
Nilai    dari  P*  disimpulkan  menggunakan  I*  bersama  dengan  persamaan  state.  Akhirnya, seperti  pada  Teorema  2.1,  solusi  optimal  (P*,  I*)  dari  (ρ θ )  diberikan  pada  [0,  T]\S  oleh solusi  dari  persamaan  diferensial  (22)  dan  produksi  yang  optimal  sesuai  pada  S,  telah diberikan dalam bentuk (20).

## CONTOH 2 .
Mempertimbangkan sistem produksi Contoh 2.1 dan Misalkan I(T) = 20 dan biaya unit  c =  0,1.  Tingkat  kerusakan  sehingga  θ 1 (t) = sin (t) +1, θ 2 =  0,1.  Kontrol  yang  optimal  dan state akan ditampilkan dalam Gambar 3. Optimal nilai fungsi objektif J = 773,2404. Untuk menilai  dampak  dari  tingkat  kerusakan  pada  nilai  fungsi  tujuan  yang  optimal,  kami menetapkan  θ 1 =  0  dan  nilai  bervariasi  dari  θ 2 dari  0,0005  hingga  0,256.  Seperti  yang ditunjukkan oleh tabel di bawah, hasil yang optimal sebagai θ 2 kenaikan biaya meningkat.

## 4.  KESIMPULAN
Kontrol  yang  optimal  secara  eksplisit  diperoleh  untuk  dua  level  persediaan  yang bergantung    pada  inventori  produksi.  Model  ini  dapat  diperluas  dalam  berbagai  cara. Misalnya bukannya meminimalkan total biaya, melainkan ingin memaksimalkan total unit produksi  di  mana  tingkat  pendapatan  dari  kedua  fungsi  dari  waktu  dan  dari  tingkat persediaan.

## 5.  DAFTAR PUSTAKA
[1] Anton, H., 1988. Calculus. Drexel University, John Wiley & Sons, New York.
[2] Affandi, P., 2011. Kendali Optimal system pergudangan dengan produksi yang mengalami kemerosotan . Tesis, Yogyakarta.
[3] Burghes,  D.N Introduction  to  Control  Theory  Including  Optimal  Control .John Wiley & Sons. New York.
[4] Chi-Tsong  Chen,  1984. Linear  System  Theory  and  Design, Madison  Avenue New York.
[5] Edwin K.P Chong, 1996. An introduction to Optimization , John Wiley & Sons. New York.
[6] Frank  L.Lewis, Applied  Optimal  Control  &  Estimation .  The  University  of Texas at Arlington. New York.
[7] Hamdy  A.Taha.1998. Operations  Research  an  Introduction .Prentice  Hall International, Inc.Philippines.
[8] Olsder,  G.J.,  1994. Mathematical  System  Theory ,  1 .  Delft  University  of Technlogy. Netherlands.
[9] Shepley  L.Ross.1984. Differential    Equation. 3  Editions,  John  Wiley  &  Sons. New York.
[10] Shety  S.P  and  Thompson  G.L  1985. Optimal  Control  Theory  :  Applied  to Management science and economics . 2 editions.
Θ 2 0,0005  0,001 0,002 0,004 0,008 0,016 0,032 0,064 0,128 0,256 J 426,97  449,14  450,54  453,37  459,05  470,53  493,98  542,78  647,62  883,77