## PENGARUH FRAILTY DALAM PEMODELAN MORTALITA
Siti Alfiatur Rohmaniah 1 , Novita Eka Chandra 2
1,2 Universitas Islam Darul Ulum Lamongan
Abstract: Factors  that  affect  a  person's  risk  of  death  are  divided  into  two,  namely underwriting  factor  and  frailty  factor.  Underwriting  factor  is  an  observed  factor, including  age,  occupation,  history  of  heart  disease,  stroke,  hypertension,  diabetes, obesity,  and  etc.  In  contrast,  frailty  is  a  factor  that  cannot  be  observed,  including  a person's  vulnerability  of  death.  This  study  aims  to  determine  the  effect  of  frailty  on mortality  modeling.  The  modeling  used  is  in  the  form  of  mortality  model  with underwriting factor using Generalized Linear Models method, and mortality model with underwriting  factor  using  generalized  linear  models,  and  frailty  factor  using Generalized  Linear  Mixed  Models  method.  The  data  in  this  research  are  longitudinal data related to underwriting factor that have binomial distribution  which is taken from Health and retirement study and processed using R software. After comparing the two models, it can be concluded that frailty has an effect on mortality modeling.
Keywords : underwriting, frailty, Generalized Linear Mixed Models .

## PENDAHULUAN
Perusahaan  asuransi  biasanya  menawarkan  harga  premi  yang  besarnya  dihitung hanya  berdasarkan  usia  dan  jenis  kelamin.  Padahal  faktor  yang  mempengaruhi  risiko kematian  seseorang  sangat  banyak,  diantaranya  adalah  risiko  pekerjaan,  riwayat kesehatan, dan lain-lain. Faktor-faktor tersebut merupakan faktor yang dapat diamati dan disebut faktor underwriting. (Brown & McDaid, 2003).
Dari  faktor underwriting ini,  setiap  individu  pasti  mempunyai  kerentanan  yang berbeda-beda  dalam  mengalami  risiko  kematian.  Kerentanan  tersebut  tidak  teramati karena bawaan setiap individu yang dinamakan frailty. Konsep frailty dikenalkan sebagai faktor  risiko  yang  tidak  teramati  meliputi  kerentanan  seseorang  dalam  mengalami  risiko kematian. Asumsi utamanya adalah terdapat suatu nilai unik yang dimiliki setiap individu, dimana  nilai  tersebut  tetap  seumur  hidup  individu  tersebut.(Vaupel,  Manton,  &  Stallard, 1979).
Penelitian  ini  bertujuan  untuk  mengetahui  pengaruh  frailty  dalam  pemodelan mortalita. Sehingga dapat dimanfaatkan perusahaan asuransi dalam menentukan besarnya premi  asuransi  jiwa.  Dengan  metode  ini,  perusahaan  dapat  mengurangi  risiko  kerugian yang  diakibatkan  faktor adverse  selection yaitu  fenomena  perusahaan  asuransi  tidak mampu  mengcover  pembayaran  klaim  dikarenakan  harga  premi  asuransi  yang  terlalu rendah.

## METODE PENELITIAN
Metode  yang  digunakan  untuk  pemodelan  mortalita  dengan  faktor underwriting adalah  metode Generalized  Linear (Rohmaniah  &  Danardono,  2017),  sedangkan
pemodelan  mortalita  dengan  faktor underwriting dan  frailty  menggunakan  metode Generalized Linear Mixed Models .
A. Generalized Linear Modelas (GLM)
Generalized  Linear  Models (GLM)  adalah  model  yang  digunakan  untuk  mengukur hubungan antara variabel respon dengan satu atau lebih variabel penjelas. Terdapat tiga komponen  utama  yang  membentuk  GLM,  yaitu  asumsi  distribusi,  komponen sistematik, dan fungsi penghubung ( link function ).  Komponen sistematik dalam GLM berbentuk  prediktor  linear.  Misalkan 1 ,...., m Y Y adalah  variabel  random  independen,
suatu  fungsi  penghubung  disebut  fungsi  penghubung  kanonik  apabila    i g   dengan  adalah parameter kanonik dalam
     
exp ,    
     i i i i i y f y c y      (1)
dengan   .  dan   . c merupakan  fungsi  yang  diketahui,  adalah  parameter  skala, dan   f y merupakan  fungsi  probabilitas  variabel  random Y yang  termasuk  dalam keluarga  eksponensial.Rata-rata Y adalah   ' i i     sedangkan  variansi  dari Y
adalah       ''   i i Var Y V     . (McCullagh & Nelder, 1989)
Fungsi likelihood untuk mengestimasi parameter  adalah:

##  
  1    m i i L f y      1 exp ,     
      m i i i i i y c y      (2)
Kemudian fungsi log likelihood -nya adalah:
      1 1 ,        m m i i i i i i y l c y      
(3)
Turunan pertama fungsi likelihood   l  adalah:
      1 1 m T i i i i i i l y w g
X       
     (4) dengan       1 2   i i i w V g    .
Persamaan (4) dapat dinotasikan menggunakan matriks, yaitu:
    1 
    T l X W Y    
(5)
dengan
   i W Diag w dan         i Diag g   .
Estimasi  maksimum likelihood dari  diperoleh  dengan  menentukan  pembuat nol dari derivatif parsial (5) terhadap  , yaitu:
  1 0 T
X W Y      (6)
Persamaan  (6)  merupakan  fungsi  non  linear  sehingga  tidak  dapat  diselesaikan  secara analitik.  Untuk  menyelesaikan  persamaan  tersebut  dapat  digunakan  suatu  metode numerik  misalnya  Newton-Raphson.    Turunan  kedua  fungsi  log likelihood   l 
adalah:  
  2
1 1 
            T T T T T l W
X W X Y          (7)
Scoring  Algorithm dengan  iterasi  ke- m+ 1  yaitu   1 ˆ  m  ,  secara  iteratif menggunakan formula sebagai berikut:
        1 1 ˆ ˆ m m T T
X WX X W Y   
      (8) Jika     1 ˆ ˆ   m m   (misalkan     1 ˆ ˆ    m m    ,  dengan  adalah  suatu  bilangan positif  yang  sangat  kecil  sekali  mendekati  nol)  maka  proses  iterasi  berhenti  dan kemudian  diambil   1 ˆ  m  sebagai  estimasi  dari  .  Model  mortalita  tahunan  untuk GLM adalah:
      exp 1 exp it it it X q X     (9)
Sedangkan untuk model dua tahunan (Rohmaniah & Danardono, 2017) adalah:
      2 ˆ exp ˆ 1 exp it it it X q X     (10)

## B. Generalized Linear Mixed Models (GLMM)
Generalized  linear  mixed  models (GLMM)  merupakan  perluasan  dari  GLM.  Bentuk umum GLMM adalah:
   ij ij ij i ij Y X Z b   (11)
dengan ij Y adalah ( ij n x 1 ) vektor kolom dari variabel respon, ij X adalah matriks ( ij n x p ) yang menunjukkan matriks kovariat,  adalah ( p x 1 ) vektor efek tetap, ij Z adalah matriks ( ij n x q ) yang menunjukkan matriks kovariat untuk efek random, i b adalah ( q x  1 )  vektor  efek  random  untuk  individu i yang  diasumsikan  berdistribusi  Normal dengan  mean  nol  dan   2  i b Var b  , ij  adalah  ( ij n x  1 )  vektor  kolom  dari error.GLMM  mengasumsikan  bahwa  efek  random   1, 2,....,  i b i m saling independen dan berdistribusi identik.(Gałecki & Burzykowski, 2013)
Untuk  mengestimasi  parameter  dalam  GLMM  menggunakan  maksimum likelihood diasumsikan  bahwa ij Y mengikuti  distribusi  dari  keluarga  eksponensial dengan densitas   ij f y , ij Y independen satu sama lain dengan diberikannya i b dengan i b adalah  independen  dan  berdistribusi  identik  gaussian  dengan  mean  nol  dan
  2   i b Var b D  . Misalkan     T T ij ij ij i g X Z b   adalah  fungsi  penghubung  dalam  GLMM,
fungsi likelihood untuk mengestimasi parameter  adalah:
    1 1     i n m ij i j L f y      1 1 exp ,               i n m ij ij ij ij i j y c y      (12)
Kemudian fungsi log likelihood -nya adalah:
      1 1 1 1 ,          i i n n m m ij ij i ij i j i j y l c y   
   (13)
Turunan pertama fungsi log likelihood   l  adalah:
      1 1 1 1 i n m T T ij ij ij ij ij i j l
y Z DZ R X       
      
(14)
dengan
    i g   .
Persamaan (14) dapat dinotasikan menggunakan matriks, yaitu:
      1 1         T T l X ZDZ R Y 
 
(15)
Estimasi  maksimum likelihood dari  diperoleh  dengan  menentukan  pembuat nol  dari  derivatif  parsial  turunan  pertama  fungsi  log likelihood   l  terhadap  , yaitu:
    1 1 0 T
T X ZDZ R Y        (16)
Persamaan  (16)  merupakan  fungsi  non  linear  jadi  tidak  dapat  diselesaikan  secara analitik, sehingga dapat digunakan suatu metode numerik  misalnya Newton-Raphson.
Turunan kedua fungsi log likelihood   l  adalah:
        1 1 2 1 1
                   T T T T T T T ZDZ R l
X ZDZ R X Y       
(17)
Scoring  Algorithm dengan  iterasi  ke- m+ 1  yaitu   1 ˆ  m  ,  secara  iteratif menggunakan formula sebagai berikut:
            1 1 1 1 1 ˆ ˆ m m T T T T X ZDZ R X X ZDZ R Y     
 
       (18) Jika     1 ˆ ˆ   m m   (misalkan     1 ˆ ˆ    m m
   ,  dengan  adalah  suatu  bilangan positif  yang  sangat  kecil  sekali  dan  mendekati  nol)  maka  proses  iterasi  berhenti  dan kemudian diambil   1 ˆ  m  sebagai estimasi dari  .
Nilai  efek  random i b pada  GLMM  tidak  dapat  diestimasi  namun  dapat diprediksi  karena i b bukan  parameter.Untuk  mencari  prediksi i b digunakan ekspektasi bersyarat dari efek random i b , diberikan variabel dependen ij Y yaitu:
            1 ˆ cov , cov i i i ij ij ij ij b E b b Y Y Y E Y     (19)
Kovarian i b dengan ij Y adalah:
  

cov , cov , T i ij i ij ij i ij ij b Y b X Z b DZ       (20) Sehingga    
1 ˆ T T i ij ij ij ij ij b DZ Z DZ R Y X      (21)
Model  mortalita  ( it q )  adalah  probabilitas  seorang i meninggal  pada  usia t .  Karena dalam GLMM responnya biner dan berdistribusi binomial maka fungsi logit digunakan sebagai link  function untuk  menghubungkan it q ke  prediktor  linear  
 it it i X Z b 
.(Rohmaniah,  2015)Didefinisikan   | it it E Y X ekuivalen  dengan  kondisi  probabilitas individu i meninggal  dalam  usia t dimana  individu  hidup  pada  awal  periode  dengan karakteristik it X , seperti:
  Pr | ,    it i i it q T t T t X (22)
Dimana i T adalah  variabel  random  diskrit  dengan  waktu  kematian  individu i tidak tersensor,  dan it X adalah  vektor  observasi  kovariat  (faktor underwriting )  untuk individu i pada usia t . Dengan menggunakan fungsi penghubung logit, maka diperoleh model:
      exp 1 exp it it i it it it i X Z b q X Z b       (23)
Dalam  kerangka  GLMM,  representasi  yang  sesuai  untuk  memodelkan  frailty adalah i b , sehingga model mortalita tahunan untuk GLMM adalah:
      exp
1 exp     it i it it i X b q X b   (24)
Sedangkan model mortalita dua tahunan adalah:
      2 ˆ ˆ exp ˆ ˆ
1 exp     it i it it i X b q X b  
(25)

## HASIL DAN PEMBAHASAN
A. Data Health and Retirement Study (HRS)
Health  and  Retirement  Study (HRS)  merupakan  studi  longitudinal  yang  mensurvei penduduk  Amerika  yang  berusia  diatas  50  tahun.  Survei  dilakukan  setiap  dua  tahun sekali.  Penelitian ini  menggunakan  data  106  penduduk  berjenis  kelamin  laki-laki  dan berusia  51-74  tahun  selama  12tahun.  Data  tersebut  mengenai  usia,  status  merokok, status peminum alkohol, dan riwayat kesehatan meliputikolesterol, jantung, stroke dan diabetes  yang  merupakan  faktor-faktor underwriting dan  digunakan  sebagai  variabel independen (X), sedangkan sebagai variabel dependen (Y) adalah kematian.

## B. Ilustrasi Model
Ilustrasi  model  mortalita  dengan  pengaruh frailty dilakukan  dengan  menggunakan Generalized  Linear  Mixed  Models (GLMM).  Sedangkan  ilustrasi  model  mortalita tanpa  pengaruh frailty dilakukan  dengan  menggunakan Generalized  Linear  Models (GLM). Karena  data  yang  digunakan  adalah  data  dua  tahunan,  maka  model  mortalita yang diperoleh merupakan estimasi probabilitas kematian dalam selang dua tahun, dan dinotasikan  dengan 2 it q yaitu  probabilitas  seorang i meninggal  pada  usia t untuk  dua tahun kedepan.
Model 1 (dengan faktor underwriting tanpa frailty)
    2 ˆ exp ˆ 1 exp   it it it X q X       0 1 2 3 41 51 61 71 2 0 1 2 3 41 51 61 71 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ exp ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 1 exp                  it it it it it it it it it it it it it it it USA RKK ALK KST JTG STR DBT q USA RKK ALK KST JTG STR DBT                 Model 2 (dengan faktor underwriting dan frailty)
    2 ˆ ˆ exp ˆ ˆ
1 exp
    it i it it i X b q X b       0 1 2 3 41 51 61 71 2 0 1 2 3 41 51 61 71 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ exp ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 1 exp                    it it it it it it it i it it it it it it it it i USA RKK ALK KST JTG STR DBT b q USA RKK ALK KST JTG STR DBT b                
C. Estimasi Parameter Model Tanpa Pengaruh Frailty (Model 1)
Estimasi  parameter  dilakukan  menggunakan software  R dimana  perintah glm pada librarystats digunakan untuk model tanpa pengaruh frailty.

## Gambar 1. Hasil Estimasi Parameter Model 1
Pemilihan  variabel  independen  terbaik  yang  secara  statistik  mempengaruhi variabel  dependen  dilakukan  dengan  metode  eliminasi  mundur  ( backward ).  Tingkat signifikansi 0.05   dan  daerah  kritis 0 H ditolak  jika   p value  .  Berdasarkan
Gambar 1 diperoleh RKK (status individu sebagai perokok)  mempunyai nilai p-value terbesar  yaitu  0.85045  dan  lebih  dari  .  Artinya  RKK  tidak  berpengaruh  terhadap model,  sehingga  variabel  tersebut  dihapus.  Langkah  dilanjutkan  sampai  diperoleh model dengan variabel independen terbaik.
Gambar 2. Hasil Estimasi Parameter Model 1 Dengan Variabel Independen Terbaik Berdasarkan  Gambar  2  diperoleh  semua  nilai p-value kurang  dari  kriteria  , sehingga  variabel  prediktor  tersebut  merupakan  variabel  independen  terbaik  dan merupakan  model  terbaik  untuk  model  mortalita  dengan  faktor underwriting tanpa frailty.
D. Estimasi Parameter Model dengan Pengaruh Frailty (Model 2)
Estimasi  parameter  dan  prediksi  nilai  frailty  untuk  model  dengan  pengaruh  frailty dilakukan menggunakan software R dengan perintah glmer pada library lme4.

## Gambar 3. Hasil Estimasi Parameter Model 2
Berdasarkan  Gambar  3  diperoleh  RKK  (status  individu  sebagai  perokok) mempunyai nilai p-value terbesar yaitu 0.85045 dan lebih dari  . Artinya RKK tidak berpengaruh terhadap model, sehingga variabel tersebut dihapus. Besarnya AIC untuk model  tersebut  adalah  390.4.  Langkah  dilanjutkan  sampai  diperoleh  model  dengan variabel independen terbaik.
Gambar 4. Hasil Estimasi Parameter Model 2 DenganVariabel Independen

## Terbaik
Berdasarkan  Gambar  4  diperoleh  semua  nilai p-value kurang  dari  kriteria  , sehingga variabel prediktor tersebut merupakan variabel independen terbaik. Model di atas  mempunyai  nilai  AIC  paling  minimal  dibandingkan  dengan  model-model
sebelumnya  yaitu  sebesar  385.6,  sehingga  model  tersebut  merupakan  model  terbaik untuk model mortalita dengan faktor underwriting dan frailty.
Efek random (frailty) dapat diperoleh menggunakan perintah ranef pada library lme4 .
Tabel 1. Nilai Frailty id frailty id frailty id frailty 1 -2.991058e-10 6 3.758272e-10 11 -2.983433e-10 2 -1.718750e-10 7 4.674630e-10 12 -3.639254e-10 3 5.571770e-10 8 -3.458163e-10 13 5.129357e-10 4 -1.966275e-10 9 -3.767270e-10 14 5.655495e-10 5 -2.996147e-10 10 -2.619193e-10 15 -2.130916e-10

## E. Model Mortalita
Berdasarkan estimasi parameter, diperoleh model mortalita sebagai berikut:
Model 1
    2 exp 12.34988 0.14306 0.7319 0.66982 0.70343 1 exp 12.34988 0.14306 0.7319 0.66982 0.70343             it it it it it it it it it USA ALK JTG DBT q USA ALK JTG DBT Model 2    
2 ˆ exp 12.34988 0.14306 0.7319 0.66982 0.70339 ˆ 1 exp 12.34988 0.14306 0.7319 0.66982 0.70339               it it it it i it it it it it i USA ALK JTG DBT b q USA ALK JTG DBT b
Sebagai  contoh  untuk  individu i =  4  pada  usia  57  menderita  jantung  dan  diabetes, mempunyai resiko kematian sebagai berikut:
Model 1
        2 4 57 exp 12.34988 0.14306 57 0.66982 0.70343 0.0561357229 1 exp 12.34988 0.14306 57 0.66982 0.70343 i t q              Model 2 dengan frailty untuk individu i = 4 sebesar -1.966275e-10             2 4 57 exp 12.34988 0.14306 57 0.66982 0.70339 1.966275e 10 0.0561253056 1 exp 12.34988 0.14306 57 0.66982 0.70339 1.966275e 10 i t q                   
Jadi  frailty  berpengaruh  dalam  pemodelan  mortalita,  frailty  yang  bernilai  negatif menunjukkan  tingkat  kerentanan  seseorang  kecil,  sebaliknya  frailty  yang  bernilai
positif  menunjukkan  tingkat  kerentanan  seseorang  dalam  mengalami  rsiko  kematian lebih besar.

## SIMPULAN DAN SARAN
Berdasarkan analisis menggunakan model 1 dan model 2 diperoleh bahwa frailty sangat berpengaruh dalam pemodelan mortalita. Frailty yang bernilai positif menunjukkan bahwa  tingkat  kerentanan  seseorang  dalam  mengalami  risiko  kematian  lebih  besar daripada  frailty  yang  bernilai  negatif.  Sehingga  model  mortalita  dengan  faktor underwriting dan  frailty  dapat  diaplikasikan  untuk  menghitung  besarnya  premi  asuransi jiwa.
Dalam penelitian ini probabilitas kematian yang diperoleh adalah untuk dua tahun kedepan,  untuk  penelitian  selanjutnya  diharapkan  dapat  menggunakan  data  tahunan  dari Indonesia sehingga probabilitas kematian yang diperoleh adalah untuk satu tahun kedepan dan  frailty  dapat  diaplikasikan  selain  pada  asuransi  jiwa,  diantaranya  asuransi  kerugian atau asuransi umum.

## DAFTAR PUSTAKA
Brown,  R.  L.,  &  McDaid,  J.  (2003).  Factors  affecting  retirement  mortality. North American Actuarial Journal , 7 (2), 24–43.
Gałecki, A., & Burzykowski, T. (2013). Linear mixed-effects models using R: A step-by- step approach . Springer Science & Business Media.
McCullagh, P., & Nelder, J. A. (1989). Generalized linear models (Vol. 37). CRC press.
Rohmaniah,  S.  A.  (2015).  PEMODELAN  MORTALITA  DENGAN  FAKTOR UNDERWRITING  DAN  FRAILTY  MENGGUNAKAN  GENERALIZED LINEAR  MIXED  MODELS  DAN  APLIKASINYA  DALAM  MENENTUKAN HARGA PREMI. Yogyakarta: [Yogyakarta]: Universitas Gadjah Mada. Retrieved from
http://etd.repository.ugm.ac.id/index.php?mod=penelitian_detail&sub=Penelitian Detail&act=view&typ=html&buku_id=77326
Rohmaniah,  S.  A.,  &  Danardono.  (2017).  Perhitungan  harga  premi  model  dua  tahunan dengan  faktor  underwriting  menggunakan  generalized  linear  models. Jurnal Ilmiah UMS , 1 (Knpmp Ii), 124–132. Retrieved from
https://publikasiilmiah.ums.ac.id/bitstream/handle/11617/8745/M-12  Siti  Alfiatur Rohmaniah dan Danardono hal 124-132.pdf?sequence=1&isAllowed=y
Vaupel,  J.  W.,  Manton,  K.  G.,  &  Stallard,  E.  (1979).  The  impact  of  heterogeneity  in individual frailty on the dynamics of mortality. Demography , 16 (3), 439–454.