## RESEARCH ARTICLE • OPEN ACCESS

## Analisis Peluang Jangka Panjang Mesin Penggilingan Padi Menggunakan Rantai Markov
S. K. Nasib, dkk.

## Volume 12, Issue 1, Pages 63–70, June 2024
Diterima 15 Mei 2024, Direvisi 7 Juni 2024, Disetujui 9 Juni 2024, Diterbitkan 12 Juni 2024 To Cite this Article : S. K. Nasib, dkk.,“Analisis Peluang Jangka Panjang Mesin Penggilingan Padi Menggunakan Rantai Markov”, Euler J. Ilm. Mat. Sains dan Teknol. , vol. 12, no. 1, pp. 63–70, 2024, https://doi.org/10.37905/euler.v12i1.25280
© 2024 by author(s)
JOURNAL INFO • EULER : JURNAL ILMIAH MATEMATIKA, SAINS DAN TEKNOLOGI
u Homepage : http://ejurnal.ung.ac.id/index.php/euler/index Ǽ Journal Abbreviation : Euler J. Ilm. Mat. Sains dan Teknol. Х Frequency : Biannual (June and December) Ŷ Publication Language : English (preferable), Indonesia  DOI : https://doi.org/10.37905/euler ʢ Online ISSN : 2776-3706 ǽ Editor-in-Chief : Resmawan Ÿ Publisher : Department of Mathematics, Universitas Negeri Gorontalo ƒ Country : Indonesia ̰ OAI Address : http://ejurnal.ung.ac.id/index.php/euler/oai  Google Scholar ID : QF_r-_gAAAAJ Ͳ Email : euler@ung.ac.id

## JAMBURA JOURNAL • FIND OUR OTHER JOURNALS
Jambura Journal of
Biomathematics Jambura Journal of Mathematics Jambura Journal of Mathematics Education Jambura Journal of Probability and Statistics
Analisis Peluang Jangka Panjang Mesin Penggilingan Padi Menggunakan Rantai Markov
Salmun K. Nasib 1 , ∗ , Riyanto Hasan 2 , Ismail Djakaria 1 , Muhammad Rezky Friesta Payu 1 ,
Agusyarif Rezka Nuha 2 , La Ode Nashar 1
1 Program Studi Statistika, Universitas Negeri Gorontalo, Indonesia
2 Program Studi Matematika, Universitas Negeri Gorontalo, Indonesia
ABSTRAK. Reliabilitas atau keandalan mesin sangat mempengaruhi potensi jangka panjang dari penggilingan padi di Desa Mustika, Kecamatan Paguyaman, Kabupaten Boalemo. Kelancaran proses produksi sangat tergantung pada kondisi mesin, dan jika keandalan mesin terganggu maka akan mempengaruhi produksi. Tujuan penelitian ini adalah untuk megetahui probabilitas keadaan mesin jangka panjang (steady state) dan waktu perawatan mesin penggilingan padi di Desa Mustika Kabupaten Boalemo. Rantai Markov merupakan metode yang digunakan untuk menangani tujuan tersebut, dimana rantai Markov merupakan metode yang digunakan untuk memprediksi kejadian di masa mendatang. Diperoleh hasil akhir yakni matriks peluang transisi yang ergodik, dihasilkan perkiraan waktu perawatan terbaik adalah 28 hari penggunaan dengan nilai peluang steady state 62,27% mesin berada dalam kondisi baik, 27,80% dalam kondisi rusak ringan dan 9,93% dalam kondisi rusak berat.
ABSTRACT. The reliability of the machinery greatly affects the long-term potential of the grinding of pepper in Mustika village, Paguyaman district, and Boalemo district. The smoothness of the production process depends heavily on the condition of the machine, and if the machine’s reliability is disrupted, then it will affect production. The purpose of this study is to determine the probability of the steady state of the machine and the timing of the maintenance of the grinding machine in the Mustika Village of Boalemo district. The Markov chain is a method used to deal with the purpose, whereas the Markov chain is the method used for predicting future events. The final result was an ergodic transition chance matrix, resulting in an estimated best maintenance time of 28 days of use with a steady state chance of 62.27% of the machine being in good condition, 27.8% in mild damage, and 9.93% in severe damage.
This article is an open access article distributed under the terms and conditions of the Creative Commons Attribution-NonComercial 4.0 International License. Editorial of EULER: Department of Mathematics, Uni- versitas Negeri Gorontalo, Jln. Prof. Dr. Ing. B. J. Habibie, Bone Bolango 96554, Indonesia.

## 1. Pendahuluan
Kabupaten Boalemo, yang terletak di Provinsi Gorontalo, memiliki sumber daya alam yang sangat potensial, terutama da- lam sektor kelautan, pertanian, dan perkebunan. Khusus di sek- tor pertanian terutama pada komoditas padi, Kabupaten Boale- mo merupakan salah satu lumbung padi Provinsi Gorontalo. Di Desa Mustika, proses penggilingan menjadi faktor penentu dalam produksi padi, meskipun terkadang mesin-mesin tersebut beker- ja dengan baik atau mengalami kerusakan dalam kinerjanya. Hal ini menunjukkan bahwa keberadaan penggilingan padi merupak- an alat penting untuk mendukung proses penggilingan padi di desa Mustika.
Reliabilitas atau keandalan mesin sangat mempengaruhi potensi jangka panjang dari penggilingan padi. Kelancaran pro- ses produksi sangat tergantung pada kondisi mesin, dan jika ke- andalan mesin terganggu maka akan mempengaruhi produksi. Atau peralatan pendukung lainnya telah ditentukan di dalam per- usahaan menjadi penting untuk memastikan bahwa mesin yang andal dapat dijalankan atau tidak dapat digunakan untuk jangka
∗ Penulis Korespondensi.
Check for updates
Research Article

## ARTICLE HISTORY
Diterima 15 Mei 2024 Direvisi 7 Juni 2024
Disetujui 9 Juni 2024 Diterbitkan 12 Juni 2024

## KATA KUNCI
Rantai Markov Steady State Peluang Reliabilitas Mesin

## KEYWORDS
Markov Chain Steady State Probability Machine Reliability
waktu tertentu. Oleh karena itu, penting untuk memiliki stra- tegi perawatan yang efektif untuk meminimalkan kerusakan dan downtime mesin.
Salah satu pendekatan yang dapat digunakan untuk menga- tasi masalah ini adalah dengan menggunakan analisis rantai Mar- kov. Rantai Markov adalah metode stokastik yang digunakan un- tuk memodelkan transisi keadaan sistem dari waktu ke waktu [1] . Dalam konteks ini, rantai Markov dapat digunakan untuk memo- delkan transisi keadaan mesin penggilingan padi, seperti kondisi normal, kondisi maintenance , dan kondisi breakdown . Perkiraan kemungkinan peralihan mesin dalam berbagai keadaan operasio- nal dapat dilakukan dengan menggunakan rantai Markov. Hal ini akan membantu dalam perencanaan jadwal perawatan preven- tif dan prediktif yang tepat waktu, sehingga memastikan bahwa mesin selalu berada dalam kondisi operasional yang optimal. De- ngan demikian, penggunaan rantai Markov dapat menjadi alat yang efektif dalam meningkatkan keandalan dan kinerja mesin dalam proses penggilingan padi.
Penggunaan rantai Markov memungkinkan para peneliti untuk menganalisis dan memprediksi perilaku sistem kompleks,
Email : salmun@ung.ac.id (S. K. Nasib) Homepage : http://ejurnal.ung.ac.id/index.php/euler/index / E-ISSN : 2776-3706 © 2024 by the Author(s).
termasuk di dalamnya aplikasi pada analisis data, pengolahan ba- hasa alami, genetika, dan ekonomi. Penggunaan rantai Markov dalam berbagai kasus peramalan banyak dilakukan di berbagai bidang terapan. Diantaranya penggunaan rantai Markov untuk menentukan pola penyebaran curah hujan di berbagai daerah [2– 4] , dan penerapan rantai Markov pada kasus strategi pemasaran UMKM [5] . Rantai Markov juga banyak dilibatkan untuk kasus peramalan seperti prediksi hasil panen kopi di Sulawesi [6] , pre- diksi pengeluaran non makanan masyarakat Kabupaten Tulang Bawang [7] , prediksi lahan deforestasi dan reforestasi hutan [8] , dan beberapa prediksi dengan kasus serupa [9, 10] . Dalam kasus lain, beberapa penelitian menunjukkan manfaat rantai Markov untuk melakukan analisis dalam berbagai masalah seperti anali- sis pada masalah perpindahan konsumen pada pusat perbelanja- an [11] , masalah Brand Switching pada aplikasi transportasi online [12] , masalah transmisi dan vaksinasi Covid-19 [13] , termasuk ma- salah ekspor minyak [14] . Berbagai kasus terapan yang telah dila- kukan menggunaan rantai Markov menunjukkan bahwa metode ini memiliki efektifitas dan kebrmanfaatan yang sangat aplikatif untuk menyelesaikan berbagai persoalan.
Pada penelitian ini, penggunaan rantai Markov dilakukan untuk membantu sektor pertanian dengan memperkirakan waktu perawatan dan tingkat reliabilitas mesinpenggilingan padi. Mo- del ini digunakan karena kemampuannya untuk memprediksi ke- adaan masa depan berdasarkan keadaan saat ini, tanpa memer- lukan informasi tentang keadaan sebelumnya (memori Markov). Rantai Markov dapat diwakili dalam bentuk matriks transisi, di mana setiap elemen dalam matriks menunjukkan probabilitas transisi dari satu keadaan ke keadaan lainnya. Penelitian ini diha- rapkan dapat memberikan kontribusi untuk mendorong produk- si beras di Desa Mustika Kabupaten Gorontalo dapat tetap stabil melalui waktu perencanaan perawatan yang tepat.

## 2. Metode

## 2.1. Data Penelitian
Data yang digunakan untuk analisis adalah data primer yang diperoleh melalui observasi di penggilingan padi di Desa Mustika. Observasi dilakukan pada 18 November hingga 17 De- sember 2022 bertepatan dengan waktu panen raya di Kabupaten Gorontalo.

## 2.2. State (Ruang Keadaan)
Ruang keadaan dalam penelitian ini dibagi atas tiga kea- daan yakni; Baik (0); Rusak ringan (1) dan Rusak berat (2) yang mengacu pada keadaan mesin [15] . Mesin dikatakan dalam kon- disi baik jika beroperasi secara optimal dan tanpa kendala, kon- disi rusak ringan adalah keadaan dimana mesin dapat beroperasi secara terbatas atau memiliki waktu penggunaan yang kurang da- ri 8 jam, sedangkan mesin dikategorikan rusak berat jika mesin tersebut tidak dapat digunakan pada hari tersebut.

## 2.3. Matriks Peluang Transisi
Dalam menghitung matriks peluang transisi, sebelumnya dilakukan perhitungan jumlah transisi dari hari sebelumnya ke hari berikutnya [16] . Entri tiap matriks tersebut dihitung meng- gunakan persamaan (1) .
p ij = n ij N ij , (1)
dimana n ij merupakan jumlah transisi dari state i ke state j dan N ij adalah total transisi [17] . Akibatnya diperoleh matriks tran- sisi untuk tiap mesin pada persamaan (2) .
m n =      p 00 p 01 · · · p 0 j p 10 p 11 · · · p 1 j .. . .. . . .. · · · p i 0 p i 1 · · · p ij      . (2)
dengan 0 ≤ p ij ≤ 1 dan ∑ ∞ j =0 p ij = 1; i, j = 0 , 1 , 2 .

## 2.4. Identifikasi Model Rantai Markov
Sebuah proses stokastik X n ( n = 0 , 1 , 2 , . . . ) dengan in- deks T diskrit dan ruang keadaan ( State ) S memiliki peluang transisi P dengan entri-entri matriks p ij . Maka untuk suatu ru- ang keadaan j dapat dicapai dari keadaan i jika untuk n ≥ 0 dan p n ij dinotasikan i → j . Adapun untuk keadaan i dapat dicapai oleh i ( state itu sendiri) dinotasikan i → i . Jika ruang keadaan i dan j memenuhi i → j dan j → i dinotasikan i ↔ j .
Berikut beberapa Definisi dan Teorema tentang rantai Mar- kov yang digunakan untuk membantu menyelesaikan analisis pa- da penelitian ini.
Definisi 1. [18] Suatu rantai Markov dikatakan irreducible jika hanya terdapat satu kelas komunikasi atau semua keadaan saling berkomunikasi satu sama lain.
Definisi 2. [19] Ruang keadaan dikatakan reccurent jika dan hanya jika ∑ ∞ n =1 p n ii = ∞ . Dan jika i reccurent dan memenu- hi i ↔ j , maka ruang keadaan j adalah reccurent.
Definisi 3. [20] Ruang keadaan i dengan d ( i ) sebagai perio- de, d ( i ) merupakan FPB dari n untuk semua bilangan bulat n ≥ 1 bila p n ii > 0 . Jika d ( i ) = 1 , maka ruang keadaan i adalah aperiodik . Adapun bila i ↔ j maka d ( i ) = d ( j ) .
Teorema 1. [19] Untuk semua keadaan reccurent, diklasifikasik- an sebagai positif-recurrent jika µ i ; µ j < ∞ . Untuk µ i = ∑ ∞ i =0 nf n ii yang menyatakan rata-rata waktu reccurent untuk keadaan i .
Bukti. Misalkan i adalah keadaan reccurent positif. Maka, terda- pat n > 0 sehingga p ij > 0 .
Didefinisikan :
g i ( n ) = n − 1 ∑ k =0 p ik f kk
dapat ditunjukkan bahwa :
• g i ( n ) ≤ f ii + g i ( n − 1) • g i ( n ) ≥ f ii Dari dua rumus tersebut dapat dikatakan g i ( n ) konvergen ke f ii
EULER | J. Ilm. Mat. Sains dan Teknol.
Didefinisikan :
µ i = ∞ ∑ n =0 nf ii n .
Maka dapat ditunjukkan bahwa :
• µ i = ∑ ∞ n =0 ng i ( n ) n
• µ i < ∞ Dari pembuktian tersebut terbukti bahwa keadaan I adalah positif- reccurent .
Teorema 2. [19] Rantai Markov dikatakan ergodik jika dan hanya jika rantai Markov tersebut positif-reccurent dan aperiodik.
Bukti. • Untuk arah pertama ( → ) : Misalkan rantai Markov adalah ergodik . Maka, rantai Markov tersebut positif reccu- rent dan aperiodik .
• Untuk pembuktian rantai Markov positif reccurent sudah di- buktikan pada Teorema 1 selanjutnya akan membuktikan apakah rantai Markov tersebut aperiodik atau bukan.
• Untuk Aperiodik : Misalkan a adalah periode dari rantai Mar- kov. Maka, terdapat n sehingga p nn > 0 untuk semua n bukan merupakan kelipatan a . Didefinisikan :
h i ( n ) = n − 1 ∑ k =0 p ik f kk − g i ( n )
Dapat ditunjukkan bahwa :
h i ( n ) = 0
Dari persamaan tersebut dapat disimpulkan bahwa a = 1 , dimana a adalah rantai Markov aperiodik .
Dapat disimpulkan bahwa rantai Markov adalah positif- reccurent dan aperiodik .
• Untuk arah kedua ( ← ) : Misalkan rantai Markov adalah po- sitif reccurent dan aperiodik . Maka, rantai Markov adalah er- godik .
• Untuk Ergodik : Misalkan f adalaah fungsi kontinu pada ru- ang keadaan S . Maka, terdapat n sehingga :
| f ( x ) − f ( y ) | < ε
untuk semua x, y dalam S dan n > N .
Didefinisikan :
g ( n ) = m ∑ i =1 f ( x i ) p i ( x 0 )
Dapat ditunjukkan bahwa :
| g ( n ) − g ( n + 1) | < ε
untuk semua n > N .
Dari persamaan tersebut dapat disimpulkan bahwa g kon- vergen ke nilai a untuk semua x 0 dalam S .
Dapat disimpulkan bahwa rantai Markov adalah ergodik. Dapat disimpulkan juga bahwa Teorema 2 tersebut benar.
Teorema 3. [21] Untuk ruang keadaan yang ergodik, maka p n ii → 1 µ j dan untuk n → ∞ maka 1 µ j = 0 .
Bukti. Diasumsikan δ = 1 , dimiliki
M ( n ) − M ( n − 1) = p ii n → 1 µ j
dengan n → ∞ . Jika keadaan j reccurent dan aperiodic dengan periode d ( j ) , dengan mengaplikasikan Blackwell’s dimiliki
M ( nd ( j )) − M (( n − 1) d ( j )) = p ii nd ( i ) → d ( j ) µ j
dengan n → ∞ dimana 1 µ j = 0 jika state j adalah null-recurrent . Ingat kembali bahwa rantai Markov reccurent dan aperiodic meru- pakan rantai Markov ergodik .
Teorema 4. [21] Untuk rantai Markov yang irreducible dan ergo- dik, maka terdapat limit peluang
lim n →∞ p n ij = π j . i ; j = 0 , 1 , 2 . (3)
yang tidak bergantung pada keadaan awal i dengan distribusi statisioner π j . i ; j = 0 . 1 . 2 . memiliki solusi unik dan positif π j = ∑ ∞ i =0 π i p ij , j = 0 , 1 , 2 .
Bukti. Dimisalkan : π j = lim n →∞ p n ij , j > 0 . Maka π j merupak- an penyelesaian satu-satunya dari persamaan:
∞ ∑ i =0 π i p ij , j > 0
sehingga
∞ ∑ j =0 π j = 1 .
Jadi, π j merupakan limit peluang dari rantai Markov, yang me- nyatakan bahwa dimulai dari keadaan apapun, proses akan bera- da di keadaan jsetelah ntransisi. Selain itu, π j dapat juga berarti proporsi waktu dari proses akan berada di keadaan jsetelah ber- jalan cukup lama dan untuk rantai Markov ergodik, π j dimana j > 0 .

## 2.5. Pengujian Sifat Markov
Sebelum menentukan peluang kondisi steady state , langkah awal yang dilakukan adalah menguji apakah matriks transisi dari data keadaan mesin memenuhi sifat markov dengan menggunak- an uji Chi-Square [22] . Jika nilai χ 2 hitung > χ 2 tabel maka matriks transisi memenuhi sifat markov yang menyatakan bahwa keada- an pada hari t + 1 tidak bebas terhadap hari t [23] .

## 2.6. Peluang Jangka Panjang
Peluang jangka panjang ditentukan menggunakan persama- an Chapman-Kolmogorov pada persamaan (4) untuk menentukan transisi n -langkah [24] .
lim n →∞ p n ij = π i,j . (4)
Oleh karena itu, dapat dihitung peluang steady state yang meru- pakan nilai matriks π dengan entri-entri π i .

## 2.7. Menghitung Reliabilitas
Pada ruang keadaan terbatas S = { 0 , 1 , 2 } , dipartisi men- jadi dua bagian yaitu ruang keadaan bekerja ( up state ) yang di- notasikan U dan ruang keadaan tidak bekerja ( down state ) yang dinotasikan D . Reliabilitas didefinisikan pada persamaan (5) [25] :
R ( n ) = π u (0) P n U U 1 r . (5)

## 3. Hasil dan Pembahasan

## 3.1. Matriks Peluang Transisi
Pada Penelitian ini, ruang keadaan (state) dibagi menjadi ti- ga yakni baik, rusak ringan, dan rusak berat. Objek pengamatan pada penelitian ini adalah tiga buah mesin di tiga mesin penggi- lingan padi di Desa Mustika. Berdasarkan pengamatan yang dila- kukan pada kurun waktu 30 hari, dapat dilihat hasil pengamatan kondisi mesin pada Tabel 1 .
Tabel 1. Kondisi mesin Status Mesin 1 Mesin 2 Mesin 3 Baik 18 21 17 Rusak Ringan 7 7 11 Rusak Berat 5 2 2 Total 30 30 30
Selanjutnya dapat dituliskan untuk keadaan tiap mesin da- lam ruang keadaan atau state yaitu:
a. Jika mesin dalam keadaan baik dimana mesin dapat berope- rasi secara maksimal dituliskan 0 yang menyatakan keadaan mesin adalah 0;
b. Jika mesin dalam keadaan rusak ringan dimana mesin dapat beroperasi namun tidak secara maksimal dituliskan 1 yang menyatakan keadaan mesin adalah 1;
c. Jika mesin dalam keadaan rusak berat dimana mesin tidak dapat beroperasi dituliskan 2 yang menyatakan keadaan me- sin adalah 2.
Berdasarkan uraian diatas, maka dapat disimpulkan bahwa ruang keadaan atau state untuk kondisi mesin di Desa Mustika adalah S = { 0 , 1 , 2 } . Frekuensi transisi dari state i ke state j untuk setiap mesin, disajikan pada Tabel 2 .
Tabel 2. Frekuensi transisi
Mesin 1 Mesin 2 Mesin 3 state i state j
state i state j
state i state j
0 1 2 0 1 2 0 1 2 0 14 3 1 0 18 2 1 0 14 2 1 1 3 4 0 1 2 5 0 1 2 9 0 2
1 0 4 2 1 0 1 2 1 0 1
Tabel 2 merupakan frekuensi transisi dengan asumsi kea- daan akhir kondisi mesin adalah baik. Setelah menentukan fre- kuensi transisi dari state i ke state j dari masing-masing mesin, maka dapat dibentuk matriks peluang transisinya. Matriks pelu- ang transisi dibuat untuk melihat peluang perpindahan state agar dapat memprediksi keadaan suatu mesin berdasarkan keadaan awal waktu pengamatan. Ini berguna untuk mengevaluasi kesta- bilan sistem dan merencanakan pemeliharaan mesin . Setiap entri
matriks ditentukan menggunakan persamaan (1) dan hasil perhi- tungan matriks peluang transisi masing-masing m 1 untuk mesin 1, m 2 untuk mesin 2, dan m 3 untuk mesin 3 disusun berdasarkan persamaan (2) :
m 1 =   0 , 778 0 , 167 0 , 055 0 , 429 0 , 571 0 0 , 20 0 0 , 80  
m 2 =   0 , 857 0 , 095 0 , 048 0 , 286 0 , 714 0 0 , 50 0 0 , 50  
m 3 =   0 , 824 0 , 118 0 , 058 0 , 182 0 , 818 0 0 , 50 0 0 , 50

##  
Matriks peluang transisi keadaan mesin pada mesin 1 me- nunjukkan bahwa peluang transisi tertinggi adalah P 00 atau pelu- ang transisi dari kondisi baik ke kondisi baik kembali lebih besar dari pada peluang menuju keadaan rusak ringan atau rusak ber- at yaitu sebesar 77,80%. Kasus yang sama juga terjadi pada dua mesin lainnya yaitu masing-masing sebesar 85,70% dan 82,40%.

## 3.2. Identifikasi Model Rantai Markov
Identifikasi model rantai Markov bertujuan melihat hu- bungan atau keterkaitan antar state yang berarti melakukan anali- sis pada model rantai Markov untuk memahami bagaimana state- state dalam matriks tersebut berinteraksi dan saling mempenga- ruhi. Hubungan atau keterkaitan antar state dianalisis dengan mengamati pola perpindahan antar state baik dari state i ke j , j ke i , atau i ke i . Pola perpindahan pada ketiga mesin penggi- lingan dapat ditunjukkan masing-masing pada Gambar 1 , Gambar 2 , dan Gambar 3 berdasarkan matriks peluang transisi yang telah disusun.
Gambar 1. Hubungan antar state mesin 1
Dari Gambar 1 , Gambar 2 , dan Gambar 3 , dapat dijelaskan bahwa state 0 berinteraksi dengan dirinya sendiri dan berkomu- nikasi dengan state 1 dan state 2, dan sebaliknya baik state 1 dan 2 dapat di akses melalui state 0 ( 0 ↔ 1 , 0 ↔ 2 dan 0 ↔ 0 dimana P 00 ̸ = 1 ). State 1 , hanya dapat berkomunikasi dengan state 0 dan dirinya sendiri sehingga state 1 dapat di akses mela- lui state 0 dan sebaliknya state 0 dapat di akses melalui state 1 ( 0 ↔ 1 dan 1 ↔ 1 dimana P 11 ̸ = 1 ). ). State 2, hanya dapat
Gambar 2. Hubungan antar state mesin 2
Gambar 3. Hubungan antar state mesin 3
berkomunikasi dengan state 0 dan dirinya sendiri sehingga sta- te 2 dapat di akses melalui state 0 dan sebaliknya state 0 dapat di akses melalui state 2 ( 0 ↔ 2 dan 2 ↔ 2 dimana P 22 ̸ = 1 ). Seluruh state berada dalam satu kelas S = { 0 , 1 , 2 } , dimana 0 ↔ 1 , 0 ↔ 2 , 0 ↔ 0 , 1 ↔ 1 dan 2 ↔ 2 sehingga dapat dita- rik kesimpulan bahwa terjadi interaksi antara state 1 dan state 2 atau 1 ↔ 2. Hal ini karena pada kelas yang sama state 1 dan 2 me- miliki hubungan biimplikasi melalui state 0. Berdasarkan Gambar 1 , Gambar 2 , dan Gambar 3 serta uraian tersebut maka rantai Markov di atas merupakan rantai Markov yang memiliki sifat irre- ducible dimana pada satu kelas yang sama semua state pada kelas tersebut saling berinteraksi. Selanjutnya dengan menggunakan nilai entri-entri matriks pada matriks transisi n -langkah dihasilk- an bahwa ruang keadaan merupakan state yang reccurent :
p 1 1 , 00 + p 2 1 , 00 + p 3 1 , 00 + p 4 1 , 00 + p 5 1 , 00 + · · · = ∞ ∑ n =1 p n 1 , 00 = ∞ (6)
dengan adanyan 0 ↔ 1 dan 0 ↔ 2 , maka state 1 dan 2 pula adalah state yang recurrent dan dengan cara yang sama, dihasilkan pula ruang keadaan pada mesin 2 dan 3 memiliki state yang reccurent :
∞ ∑ n =1 p n 2 , 00 = ∞ ∞ ∑ n =1 p n 3 , 00 = ∞
untuk menentukan periodisasi state , dilakukan pemeriksaan un- tuk masing-masing state pada tiap mesin. Untuk mesin pertama dihasilkan:
p 1 1 , 00 = 0 , 778 > 0;
p 2 1 , 00 = 0 , 688 > 0 , dst .
sehingga
d 1 (0) = F P B { 2 , 3 , 4 , . . . } = 1 .
Karena d 1 (0) = 1, hal ini berarti state 0 merupakan state yang aperiodic . Jika state i memiliki periode d i , dan state i dan j berkomunikasi, maka state j juga memiliki periode d i . Dapat di- lihat pula, karena d 1 (0) = d 1 ( 1 ) = d 1 ( 2 ) = 1 sehingga baik state 1 dan 2 merupakan state yang aperiodik .
Untuk mesin ke dua dan tiga dengan cara yang sama diha- silkan sebagai berikut.
d 2 (0) = d 2 (1) = d 2 (2) = 1 d 3 (0) = d 3 (1) = d 3 (2) = 1 .
Terlihat bahwa, seluruh state pada mesin dua dan tiga juga meru- pakan state yang aperiodic. Dengan bantuan program R-studio, dihasilkan bahwa pada langkah ke 31, entri-entri dari matriks P 1 bernilai sama, yaitu:
P (31) 1 =   0 , 601 0 , 234 0 , 165 0 , 601 0 , 234 0 , 165 0 , 601 0 , 234 0 , 165   .
Oleh karena itu, untuk state 0,
P n 1 , 00 → 0 , 601 =
1 µ 0 sehingga µ 0 = 1 , 664 .
Untuk state 1,
P n 1 , 11 → 0 , 234 =
1 µ 1 sehingga µ 1 = 4 , 274 .
Untuk state 2,
P n 1 , 22 → 0 , 165 =
1 µ 2 sehingga µ 2 = 6 , 061 .
Untuk mesin ke dua dihasilkan µ 0 = 1 , 429 , µ 1 = 4 , 292 dan µ 2 = 14 , 925 . Adapun pada mesin ketiga µ 0 = 1 , 764 , µ 1 = 2 , 725 dan µ 2 = 15 , 152 .
Berdasarkan perhitungan yang telah dilakukan, terlihat bahwa dari seluruh state dari semua mesin memiliki nilai µ 0 , µ 1 , µ 2 < ∞ , sehingga seluruh state merupakan state yang re- current positif . Hal ini berarti nilai harapan untuk rantai yang di- mulai dari state 0 hingga proses tersebut kembali ke state 0 me- rupakan bilangan berhingga atau finite .
Karena setiap state adalah positif reccurent dan aperiodic ma- ka rantai markov pada Gambar 1 , 2 , dan 3 merupakan rantai Mar- kov yang ergodik dan irreducible .

## 3.3. Peluang Jangka Panjang
Sebelum menentukan peluang kondisi jangka panjang ( ste- ady state ), langkah awal yang dilakukan adalah menguji apakah matriks transisi dari data keadaan mesin memenuhi sifat Markov
dengan menggunakan uji Chi-Square. Matriks transisi memenuhi sifat Markov, jika pada hasil pengujian menyatakan bahwa kon- disi terjadi pada hari t + 1 ( state j ) tidak bebas terhadap hari- t ( state i ). Derajat kebebasan 4, dan α = 0 , 05 , hipotesis yang di- gunakan:
H 0 : Matriks transisi tidak saling bebas H 1 : Matriks transisi saling bebas dengan kriteria pengujian: tolak H 0 jika X 2 hitung < X 2 tabel , dan gagal tolak H 0 jika X 2 hitung ≥ X 2 tabel .
Selanjutnya, hasil uji Chi-square disajikan pada Tabel 3 .
Tabel 3. Hasil uji Chi-square Kasus X 2 hitung X 2 tabel Mesin 1 22,096 9,4877 Mesin 2 17,908 Mesin 3 20,977
Dari Tabel 3 dapat dilihat hasil pengujian menunjukkan nilai X 2 hitung pada ketiga data kondisi mesin lebih besar dari X 2 tabel , sehingga terima H 0 yaitu matriks transisi tidak saling bebas. Ar- tinya data kondisi harian mesin memenuhi sifat Markov dengan kemungkinan kesalahan sebesar 5 %. Pengujian dapat dilanjutkan untuk mengevaluasi kemungkinan kondisi steady state berdasark- an data kondisi mesin harian.
Menentukan peluang jangka panjang bertujuan untuk mengevaluasi hasil kerja mesin di waktu yang akan datang hingga tidak ada lagi perubahan atau mencapai kondisi steady state . Pro- ses menentukan peluang jangka panjang menggunakan persama- an Chapman-Kolmogorov pada persamaan (4) , dilakukan dengan cara mengalikan matriks peluang transisi dengan matriks peluang transisi itu sendiri kemudian hasil yang didapatkan dari periode selanjutnya dikalikan lagi dengan matriks peluang transisi awal, proses ini dilakukan secara terus menerus hingga mencapai per- iode yang nilai peluangnya tidak mengalami perubahan.
Untuk mesin 1 dihasilkan :
lim n →∞ p n 1 ,i 0 = π 1 , 0 = 0 , 601 lim n →∞ p n 1 ,i 1 = π 1 , 1 = 0 , 234 lim n →∞ p n 1 ,i 2 = π 1 , 2 = 0 , 165
sehingga peluang steady state untuk mesin 1 dengan matriks pe- luang transisi P adalah :
π 1 = [ π 1 , 0 , π 1 , 1 , π 1 , 2 ] = [0 , 601 , 0 , 234 , 0 , 165] .
Berdasarkan matriks peluang steady state tersebut, peluang mesin 1 dalam kondisi baik adalah 60,10%, peluang untuk rusak ringan adalah 23,40% dan peluang rusak berat sebesar 16,50%. Selanjutnya untuk mesin lainnya dengan cara yang sama dihasilk- an:
Mesin 2 → π 2 = [ π 2 , 0 , π 2 , 1 , π 2 , 2 ] = [0 , 7 , 0 , 233 , 0 , 067] Mesin 3 → π 3 = [ π 3 , 0 , π 3 , 1 , π 3 , 2 ] = [0 , 567 , 0 , 367 , 0 , 066] .
Untuk mesin kedua dan ketiga, masing-masing memiliki pe- luang dalam kondisi baik adalah 70% dan 56,70%, untuk kondisi rusak ringan yakni 23,30% dan 36,70% sedangkan kondisi rusak berat sebesar 6,70% dan 6,60%. Oleh karena itu, rata-rata nilai keseluruhan tiga mesin yakni 62,27% untuk keadaan baik, 27,80% untuk rusak ringan, dan 27,80% dalam keadaan rusak berat.

## 3.4. Reliabilitas Mesin
Menentukan Nilai reliabilitas pada suatu mesin yaitu bagai- mana mengetahui ukuran sejauh mana mesin dapat beroperasi atau berfungsi dengan baik tanpa mengalami kegagalan atau ke- rusakan dalam rentang waktu tertentu. Perhitungan dilakukan menggunakan persamaan (5) dengan mengalikan matriks untuk masing-masing ruang keadaan dengan matriks transisi n -langkah untuk masing-masing state . Diketahui bahwa ruang keadaan me- sin atau ruang state adalah S = { 0 , 1 , 2 } dimana state 0 dan 1 merupakan kondisi dimana mesin dapat bekerja, sedangkan state 2 merupakan kondisi mesin tidak dapat berfungsi. Oleh karena itu, partisi dibuat berdasarkan kemampuan mesin untuk beker- ja. Jika mesin berada dalam keadaan berfungsi A, maka keadaan tidak dapat berfungsi adalah B.
Untuk n = 1 mesin pertama:
R ( n ) = [ π 0 (0) π 1 (0)] [ p 1 , 00 p 1 , 10 p 1 , 01 p 1 , 11 ] n [ 1 1 ] R (1) = [1 0]
[ 0 , 778 0 , 167 0 , 429 0 , 571 ] 1 [ 1 1 ] = [ 0 , 778 0 , 167 ] [ 1 1 ] = 0 , 945 .
Maka nilai reliabilitas mesin 1 untuk n = 1 adalah 0 , 945 . Hal ini dapat diartikan bahwa pada hari ke-1 peluang mesin 1 dapat ber- fungsi dengan baik adalah 94 , 50 %. Dengan perlakuan yang sa- ma, dapat dihitung nilai reliabilitas untuk n = 2 hingga n = 31 . Selain itu, nilai rehabilitasi untuk mesin kedua dan ketiga dapat dibuat yang ditunjukkan pada Tabel 4 .
Dengan melakukan perhitungan untuk tiap nilai n pada masing-masing mesin untuk mesin 1 memiliki nilai reliabilitas mesin yang menurun setiap harinya dengan tingkat keandalan 28,70% pada hari ke 31. Diharapkan dapat dilakukan perawat- an sekali dalam 31 hari agar dapat menjaga kondisi mesin. Me- sin ke-2 memiliki tingkat keandalan 45,80% pada hari ke 21. Di- harapkan dapat dilakukan perawatan sekali dalam 21 hari agar dapat menjaga kondisi mesin. Tingkat reliabilitas mesin ke dua relative lebih tinggi dibanding mesin 1. Adapun mesin ke tiga memiliki tingkat keandalan 31,70% pada hari ke 32. Diharapk- an dapat dilakukan perawatan sekali dalam 32 hari agar dapat menjaga kondisi mesin. Tingkat reliabilitas mesin ke dua relative lebih tinggi dibanding mesin 1 dan lebih kecil dari mesin 2. Terda- pat kesesuaian hasil penelitian yang dilakukan dengan penelitian [26] dimana nilai reliabilitas mesin penggilingan padi dapat ter- jadi penurunan seiring dengan penggunaan mesin secara terus menerus. Perbandingan nilai reliabilitas ketiga mesin disajikan pada Gambar 4 .
Perbandingan nilai reabilitas antar mesin pada Gambar 4 menunjukkan bahwa pada periode awal yakni hari pertama hing- ga hari ke 9, mesin ketiga memiliki laju penurunan tertinggi. Ada- pun pada saat ketiga mesin mencapai steady state, mesin ke dua memiliki tingkat keandalan tertinggi dibanding dua mesin lain- nya, dengan mesin dengan tingkat keandalan akhir terendah ada- lah mesin pertama. Maka nilai rata-rata untuk reliabilitas ketiga
Tabel 4. Nilai reabilitas mesin n Mesin 1 Mesin 2 Mesin 3 n Mesin 1 Mesin 2 Mesin 3 n Mesin 1 Mesin 2 Mesin 3 1 94,50% 95,20% 94,20% 12 60,60% 63,00% 61,50% 23 39,40% 45,80% 42,70% 2 90,20% 91,10% 89,40% 13 58,30% 60,80% 59,40% 24 37,80% 45,80% 41,30% 3 86,50% 87,50% 85,30% 14 56,10% 58,70% 57,50% 25 36,40% 45,80% 40,00% 4 83,10% 84,20% 81,70% 15 53,90% 56,70% 55,60% 26 35,00% 45,80% 38,70% 5 79,90% 81,10% 78,50% 16 51,80% 54,70% 53,80% 27 33,60% 45,80% 37,40% 6 76,80% 78,20% 75,60% 17 49,80% 52,80% 52,10% 28 32,30% 45,80% 36,20% 7 73,80% 75,40% 72,90% 18 47,90% 51,00% 50,40% 29 31,10% 45,80% 35,00% 8 71,00% 72,70% 70,40% 19 46,10% 49,20% 48,70% 30 29,90% 45,80% 33,90% 9 68,20% 70,10% 68,00% 20 44,30% 47,50% 47,20% 31 28,70% 45,80% 32,80% 10 65,60% 67,70% 65,70% 21 42,60% 45,80% 45,60% 32 28,70% 45,80% 31,70% 11 63,10% 65,30% 63,50% 22 40,90% 45,80% 44,10% 33 28,70% 45,80% 31,70%
Gambar 4. Perbandingan nilai reabilitas antar mesin
mesin dan waktu rata-rata perawatan, yaitu:
R = 0 , 287 + 0 , 458 + 0 , 317 3 = 0 , 345 ,
waktu perawatan = 31 + 21 + 32 3 ≈ 28 ,
sehingga rata-rata reliabilitas untuk mesin penggilingan padi di Desa Mustika adalah 35,40% dengan waktu perawatan rata-rata 28 hari penggunaan.

## 4. Kesimpulan
Hasil penelitian menunjukkan bahwa dengan menggunak- an rantai Markov, dapat dihasilkan peluang jangka panjang mesin pada gilingan padi di Desa Mustika rata-rata sebesar 62,27% da- lam keadaan baik, 27,80% dalam keadaan rusak ringan serta 9,93% dalam keadaan rusak berat. Dengan mengetahui peluang jangka panjang mesin dalam berbagai kondisi operasional, pengelola gi- lingan padi dapat mengembangkan jadwal perawatan yang lebih efektif. Adapun nilai reliabilitas mesin gilingan padi yang ada di Desa Mustika rata-rata sebesar 35,40% dengan perkiraan waktu perawatan setidaknya sekali dalam 28 hari penggunaan. Hasil dari reabilitas mesin tersebut dapat memfokuskan pengelola pa- da upaya untuk meningkatkan keandalan dan kinerja mesin ser- ta dapat mengoptimalkan penggunaan sumber daya, termasuk waktu, tenaga kerja, dan biaya. Dengan memperbaiki keandalan
mesin dan mengurangi downtime, gilingan padi dapat mencapai tingkat produktivitas yang lebih tinggi. Kemudian, mesin yang beroperasi dalam kondisi yang baik akan menghasilkan produk dengan kualitas yang lebih konsisten. Hal ini akan meningkatkan kepercayaan pelanggan terhadap produk gilingan padi dari De- sa Mustika, memperkuat reputasi bisnis, dan membantu dalam mempertahankan pangsa pasar.
Kontribusi Penulis. Salmun K. Nasib : Konseptualisasi, Metodologi, Va- lidasi, Penulisan, Administrasi. Riyanto Hasan : Analisis, Investigasi, Vi- sualisasi, Penulisan. Ismail Djakaria : Validasi, tinjauan penulisan, Su- pervisi. Muhammad Rezky Friesta Payu : Validasi, tinjauan penulisan, Supervisi. Agusyarif Rezka Nuha : Validasi, tinjauan penulisan. La Ode Nashar : Validasi, tinjauan penulisan. Semua penulis telah membaca dan menyetujui versi manuskrip yang diterbitkan.
Ucapan Terima Kasih. Para penulis menyampaikan terima kasih kepada editor dan reviewer atas pembacaan yang cermat, kritik yang mendalam, dan rekomendasi yang praktis untuk meningkatkan kualitas tulisan ini.
Pembiayaan. Penelitian ini tidak menerima pembiayaan eksternal
Konflik Kepentingan. Para penulis menyatakan tidak ada konflik kepen- tingan yang terkait dengan artikel ini.

## Referensi
[1] S. Syafruddin, S. Irma, and S. Sukarna, “Aplikasi analisis rantai mar- kov untuk memprediksi status pasien rumah sakit umum daerah kabu- paten barru,” Nat. Sci. J. Sci. Technol , vol. 3, no. 3, 2014, doi: ht- tps://doi.org/10.22487/25411969.2014.v3.i3.3341 .
[2] S. R. Wahyudi, R. F. Sari, and R. Widyasari, ”Penentuan Pola Penyebaran Curah Hujan Harian Kabupaten Karo Dengan Menggunakan Rantai Markov Orde-N”, Jurnal Riset dan Aplikasi Matematika (JRAM), vol. 5 no. 2, pp. 144- 157, 2021, doi: https://doi.org/10.26740/jram.v5n2.p144-157 .
[3] N. N. Alyarahma, S. Nur’Adilah, and M. R. Alfaris, ”Prediksi Freku- ensi Probabilitas Curah Hujan di Jambi Menggunakan Rantai Markov serta Modul Tree Forecasting Berbantuan Software Qm-V5,” Multi Pro- ximity: Jurnal Statistika , vol. 1, no. 2, pp. 82-92, 2022, doi: ht- tps://doi.org/10.22437/multiproximity.v1i2.18541 .
[4] E. P. K. Sari, and A. M. U. Lahmadi, ”Peramalan Cuaca Harian di Kota Purwo- kerto Menggunakan Metode Rantai Markov.” JMT: Jurnal Matematika dan Ter- apan , vol. 6 no. 1, pp. 17-26, 2024, doi: https://doi.org/10.21009/jmt.6.1.3 .
[5] K. Mokoginta, S. K. Nasib, I. Djakaria, and D. Wungguli, ”Analisis Perpin- dahan Merek Dan Strategi Pemasaran UMKM Menggunakan Metode Rantai Markov Dan Teori Permainan.” MATHunesa: Jurnal Ilmiah Matematika , vol. 12 no. 1, pp. 57-66, 2024, doi: https://doi.org/10.26740/mathunesa.v12n1.p57- 66 .
[6] T. A. Nurman, and I. Syata, ”Prediksi Hasil Panen Kopi di Sulawesi Menggunakan Analisis Rantai Markov,” Jurnal MSA (Matematika dan Sta- tistika serta Aplikasinya) , vol. 9, no. 2, pp. 120-127, 2021, doi: ht- tps://doi.org/10.24252/msa.v9i2.25413 .
[7] A. Faisol, and A. R. Wiranto, ”Prediksi Pengeluaran Non Makanan Masya- rakat Kabupaten Tulang Bawang Menggunakan Metode Rantai Markov,” J Statistika: Jurnal Ilmiah Teori dan Aplikasi Statistika , vol. 15 no. 1, 2022, doi: https://doi.org/10.36456/jstat.vol15.no1.a5492 .
[8] A. H. Nawawi, and E. Mailoa, Prediksi Lahan Deforestasi Dan Reforesta- si Hutan Kalimantan Timur Dengan Metode Rantai Markov. Decode: Jur- nal Pendidikan Teknologi Informasi , vol. 4 no. 1, pp. 251-259, 2024, doi: ht- tps://doi.org/10.51454/decode.v4i1.268 .
[9] K. D. Candra, and C. Caturiyati, ”Prediksi Model Rantai Markov Dalam Peru- bahan Indeks Harga Saham Sektor Energi Menggunakan Persamaan Chapm- an Kolmogorov (Studi Kasus PT. Bayan Resources TBK.),” Jurnal Kajian dan Terapan Matematika , vol. 9 no. 2, pp. 117-124, 2023.
[10] A. Nadhiroh, S. U. Rahayu, M. Qiptiah, M. Misdayanti, and D.R. Va- lencia, ”Implementasi Penerapan Rantai Markov Chain Dalam Mempre- diksi Pemilihan Minat Masuk Ke Perguruan Tinggi Di Probolinggo,” Jur- nal Sains dan Teknologi , vol 5 , no. 3, pp.746-752, 2024, doi: ht- tps://doi.org/10.55338/saintek.v5i3.2192 .
[11] F. V. Tumiwa, Y. A. Langi, and M. S. Paendong, ”Analisis Perpindahan Konsu- men pada Pusat Perbelanjaan di Kota Manado dengan Menggunakan Rantai Markov,” d’Cartesian , vol. 11 no. 2, pp. 87-91, 2022.
[12] S. K. Nasib, et al. , ”Analisis Perpindahan Penggunaan Aplikasi Transportasi Online Menggunakan Rantai Markov,” J. Mat UNAND , vol. 13 no. 1, pp. 26- 40, 2024, doi: https://doi.org/10.25077/jmua.13.1.26-40.2024 .
[13] R. A. Tungga, ”Analisis Model Rantai Markov Waktu Kontinu pada Mo- del Transmisi dan Vaksinasi COVID-19: Studi Kasus Provinsi DKI Jakar- ta,” Jurnal Simki Postgraduate , vol. 3 no. 1, pp. 27-35, 2024, doi: ht- tps://doi.org/10.29407/jspg.v3i1.566 .
[14] D. A. Lubis, and Y. C. Anam, ”Siklus Bisnis Ekspor Minyak Kelapa Sawit Na- sional: Analisis Rantai Markov Dan Model Data Panel,” Journal of Analytical Research, Statistics and Computation , vol. 2 no. 1, pp. 40-62, 2023, doi: ht- tps://doi.org/10.4590/jarsic.v2i1.15 .
[15] H. I. Madyantoro, M. F. Afdhal, Y. E. Priharanto, and J. P. Siahaan, “Intensitas Kerja Awak Pada Aktivitas Perawatan Sistem Pelumasan Mesin Induk Kapal Penangkap Ikan (Studi Kasus Km. Sumber Rezeki),” Aurelia J , vol. 3, no. 1, pp. 107–116, 2021, doi: https://dx.doi.org/10.15578/aj.v3i1.11350 .
[16] G. D. Safitri and Y. P. Astuti, “Analisis Pertambahan Pasien Positif dan Pa- sien Sembuh COVID-19 di Jawa Timur Menggunakan Metode Rantai Mar- kov,” MATHunesa J. Ilm. Mat. , vol. 9, no. 1, pp. 164–170, 2021, doi: https://doi.org/10.26740/mathunesa.v9n1.p164-170 .
[17] I. W. Mangku, Proses Stokastik Dasar . PT Penerbit IPB Press, 2022.
[18] S. Osaki, ”Applied Stochastic System Modeling, German: Springer-Verlag , 1992, doi: https://doi.org/10.1007/978-3-642-84681-6 .
[19] S. M. Ross, Introduction to Probability Model , Los Angeles, California: Univer- sity of Southern California, 2010.
[20] M. Rusli, Kajian Stokastik pada Teknik Kontrol , Universitas Brawijaya Press, 2019.
[21] H. Sugiyanto, Pengantar Stokastik , Yogyakarta: Universitas Ahmad Dahlan, 2021.
[22] S. K. Nasib, N. Nurwan, E. D. D. Yanuari, and T. Macmud, “Karakteris- tik Rantai Markov Pada Data Curah Hujan Bulanan Stasiun Djalaluddin,” JMPM J. Mat. dan Pendidik. Mat , vol. 7, no. 2, pp. 81–89, 2022, doi: ht- tps://doi.org/10.26594/jmpm.v7i2.2654 .
[23] J. Riyono, C. E. Pujiastuti, and A. L. R. Putri, “Forecasting Laju Inflasi Indo- nesia Menggunakan Rantai Markov,” J. Sains Mat. dan Sta , vol. 8, no. 1, pp. 1–10, 2022, doi: https://dx.doi.org/10.24014/jsms.v8i1.14767 .
[24] J. M. Loban and S. B. Libing, “Aplikasi Analisis Rantai Markov Un- tuk Memprediksi Status Pasien Rumah Sakit Daerah Kalabahi,” J. Ilm. Wahana Pendidik. , vol. 7, no. 6, pp. 163–167, 2021, doi: ht- tps://doi.org/10.5281/zenodo.5571006 .
[25] A. A. R. Fernandes, Pemodelan Statistika Pada Analisis Reliabilitas Dan Survival , Universitas Brawijaya Press, 2016.
[26] A. Andriani and I. Romli, “Preventive maintenance pada mesin die cas- ting dengan age replacement model untuk peningkatan reliabilitas me- sin,” Oper. Excell. J. Appl. Ind. Eng , vol. 12, no. 1, pp. 1–12, 2020, doi: ht- tps://dx.doi.org/10.22441/oe.2020.v12.i1.001 .