Teorema : Teori dan Riset Matematika , 6 (2), 198 – 209, September 2021 p-ISSN 2541-0660, e-ISSN 2597-7237 © 2021 https://jurnal.unigal.ac.id/index.php/teorema/article/view/5514
INVERS MOORE-PENROSE PADA MATRIKS ATAS ALJABAR MAX-PLUS TERSIMETRI
Suroto
Jurusan Matematika, Universitas Jenderal Soedirman, Jl. Dr. Soeparno Karangwangkal, Purwokerto Email: suroto@unsoed.ac.id

## ABSTRACT
This paper discusses the Moore-Penrose inverse in the symmetrized max-plus algebraic matrix. The definition of the Moore-Penrose  inverse  in  the  symmetrized  max-plus  algebra  sense  is  adopted  from  the  Moore-Penrose  inverse  in conventional algebra. The “equal” relation in conventional algebra is replaced by a “balanced” relation in symmetrized max-plus algebra sense. The existence of the Moore-Penrore inverse is shown by using a function that corresponds between the symmetrized max-plus algebra and conventional algebra. The results obtained are the existence and some properties of the Moore-Penrose inverse in the symmetrized max-plus algebraic matrix. These results can potentially be utilized in determining the solution of linear balance systems that have similarly role as linear equation systems in the conventional algebra sense.
Keywords: s ymmetrized max-plus algebra, Moore-Penrose inverse, matrix

## ABSTRAK
Pada makalah ini dibahas tentang invers Moore-Penrose pada matriks atas aljabar max-plus tersimetri.  Pendefinisian invers Moore-Penrose atas aljabar max-plus tersimetri dilakukan dengan mengadopsi invers Moore-Penrose pada aljabar konvensional. R elasi “sama dengan” pada aljabar konvensional diganti peranannya dengan relasi “ setimbang ” pada aljabar max-plus tersimetri. Eksistensi invers Moore-Penrose ditunjukkan dengan memanfaatkan suatu fungsi yang mengkorespondensikan aljabar max-plus tersimetri  dengan aljabar konvensional.  Hasil yang diperoleh  adalah  bentuk  dan  beberapa sifat  invers  Moore-Penrose  pada matriks  atas  aljabar  max-plus  tersimetri.  Hasil  ini  berpotensi  dapat  dimanfaatkan  untuk  menentukan  solusi  dari  sistem kesetimbangan linier atas aljabar max-plus tersimetri yang memiliki kemiripan peranan dengan sistem persamaan linier pada aljabar konvensional.
Kata kunci: Aljabar max-plus tersimetri, invers Moore-Penrose, matriks
Dikirim: 24 Juni 2021; Diterima: 31 Agustus 2021; Dipublikasikan: 30 September 2021 Cara sitasi: Suroto. (2021). Invers  moore-penrose pada matriks atas aljabar max-plus tersimetri. Teorema : Teori dan Riset Matematika, 6 (2), 198 – 209. DOI: http://dx.doi.org/10.25157/teorema.v6i2.5514

## PENDAHULUAN
Pada pembahasan aljabar linier, salah satu topik yang dibahas adalah invers matriks. Untuk suatu matriks  persegi 𝐴 𝑛×𝑛 ,  invers  matriks 𝐴 didefinisikan  sebagai  matriks 𝐴 −1 yang  memenuhi 𝐴𝐴 −1 = 𝐴 −1 𝐴 = 𝐼 𝑛 dengan 𝐼 𝑛 merupakan matriks identitas berordo 𝑛 (Golub & Van, 2013). Apabila determinan dari  matriks  persegi 𝐴 tidak  nol  maka  eksistensi 𝐴 −1 terjamin  ada.  Invers  matriks  persegi ini memiliki peranan  yang  sangat  penting  pada  penentuan solusi sistem  persamaan  linier.  Pembahasan  mengenai sistem  persamaan  linier  sudah  banyak  dilakukan  Hogben  (2007)  dan  Beezer  (2015).  Untuk  sistem persamaan linier 𝐴𝑥 = 𝑏 dengan 𝐴 −1 ada, maka sistem persamaan linier tersebut memiliki solusi 𝑥 = 𝐴 −1 𝑏 . Pada pembahasan invers pada matriks 𝐴 𝑚×𝑛 , maka invers matriks 𝐴 tersebut sering dinamakan dengan  invers  Moore-Penrose  dan  dinotasikan  dengan 𝐴 + .  Pada  tahun  1973,  pembahasan  awal mengenai  invers  Moore-Penrose  pada  aljabar  konvensional  dilakukan  (Ben-Israel  &  Greville,  2003). Invers Moore-Penrose dapat digunakan untuk menentukan penyelesaian sistem persamaan linier 𝐴𝑥 = 𝑏 dengan 𝐴 berordo 𝑚 × 𝑛 . Untuk sistem persamaan linier 𝐴𝑥 = 𝑏 dengan 𝐴 + adalah invers Moore- Penrose dari 𝐴 , maka 𝑥 = 𝐴 + 𝑏 adalah solusi pendekatan untuk sistem persamaan linier. Pembahasan mengenai penggunaan invers Moore-Penrose pada sistem persamaan linier sudah dilakukan (Campbell & Meyer, 2009).
Penelitian mengenai invers Moore-Penrose atas struktur aljabar yang lain sudah banyak dibahas. Pembahasan invers Moore-Penrose atas daerah integral sudah dilakukan Bhaskara (1983); Manjunatha & Bapat (1992); dan Bapat et al ., (1990). Selanjutnya pembahasan invers Moore-Penrose atas daerah semiring sudah dilakukan (Farid et al ., 2013). Selain itu, invers Moore-Penrose atas ring dan lapangan juga  sudah  dilakukan  pembahasan  (Xu  &  Chen,  2019;  Pearl,  1968).  Penelitian  terkait  invers  Moore- Penrose atas himpunan fuzzy sudah dilakukan (Pradhan & Pal, 2014).
Pada pembahasan aljabar max-plus, pendefinisian invers matriks persegi dilakukan secara analog seperti pada matriks konvensional dalam aljabar linier. Eksistensi invers matriks pada aljabar max-plus  dapat  ditentukan  dengan  memanfaatkan  matriks  permutasi  dan  diagonal.  Pembahasan invers matriks atas aljabar max-plus memiliki keterbatasan dan tidak dapat dilakukan seperti halnya pada  matriks  konvensional.  Hal  ini  dikarenakan  masalah  tidak  adanya  invers  penjumlahan  untuk setiap elemen pada aljabar max-plus, terkecuali elemen nol (Baccelli, 1992).
Salah satu perbedaan utama antara aljabar  max-plus dengan aljabar konvensional adalah tidak adanya invers penjumlahan untuk setiap elemen pada aljabar max-plus, kecuali untuk elemen nol. Proses simetrisasi dapat dilakukan pada aljabar max-plus untuk memperoleh bentuk negatif dari setiap  elemen  pada  aljabar  max-plus.  Bentuk  negatif  ini  tidak  dapat  langsung  berperan  sebagai invers  penjumlahan,  tetapi  hanya  berperan  untuk  memperoleh  bentuk  setimbang  ( balance ).  Hasil dari  proses  simetrisasi  aljabar  max-plus  dinamakan  aljabar  max-plus  tersimetri,  dan  selanjutnya notasikan dengan 𝕊 (Baccelli, 1992).
Pembahasan  mengenai  invers  Moore-Penrose  matriks  atas 𝕊 belum  dilakukan.  Tujuan penelitian ini adalah menentukan eksistensi dan beberapa sifat invers Moore-Penrose pada matriks atas 𝕊 . Hasil yang diperoleh pada penelitian ini berpotensi dapat dimanfaatkan untuk menentukan solusi  dari  sistem  kesetimbangan  linier  atas 𝕊 .  Sistem  kesetimbangan  linier  pada 𝕊 memiliki kemiripan  peranan  dengan  sistem  persamaan  linier  pada  aljabar  konvensional.  Selain  itu,  juga berpotensi  dikembangkan  pada  konstruksi  invers  Moore-Penrose  dengan  menggunakan  beberapa dekomposisi matriks atas 𝕊 .
Artikel ini disajikan dengan susunan sistematika yakni bagian awal menyajikan pendahuluan yang  merupakan  motivasi  dan  kebaruan  dari  penelitian.  Bagian  kedua  menyajikan  pembahasan aljabar max-plus tersimetri dan invers Moore-Penrose pada matriks konvensional yang merupakan landasan  pustaka  penelitian.  Bagian  utama  dari  artikel  ini  disajikan  pada  hasil  dan  pembahasan yang  berisi  tentang  eksistensi  dan  beberapa  sifat  invers  Moore-Penrose  dari  matriks  atas  aljabar max-plus  tersimetri.  Bagian  terakhir  menyajikan  kesimpulan  dan  rekomendasi  untuk  penelitian selanjutnya.

## Aljabar Max-Plus Tersimetri
Diberikan ℝ adalah himpunan semua bilangan riil. Aljabar max-plus adalah struktur aljabar dari  sistem  matematika ℝ max = ℝ ∪ {−∞} yang  dilengkapi  operasi ⊕ yakni  maksimum (dinotasikan max) dan operasi ⊗ yakni penjumlahan biasa (dinotasikan + ) (Baccelli, 1992). Salah satu  perbedaan  utama  antara  aljabar  max-plus  dengan  aljabar  konvensional  adalah  tidak  adanya invers penjumlahan untuk setiap elemen pada aljabar max-plus, kecuali untuk elemen nol. Proses simetrisasi  dapat  dilakukan  pada  aljabar  max-plus  untuk  memperoleh  bentuk  negatif  dari  setiap elemen pada aljabar max-plus. Bentuk negatif ini tidak dapat berperan sebagai invers penjumlahan, tetapi  hanya  berperan  untuk  memperoleh  bentuk  setimbang.  Simetrisasi  pada  aljabar  max-plus dapat  dianalogikan  dengan  perluasan  himpunan  semua  bilangan  cacah ℕ 0 menjadi  himpunan semua bilangan bulat ℤ pada aljabar konvensional. Proses simetrisasi  dilakukan seperti pada  pembentukan kuosien ℕ 0 × ℕ 0 terhadap relasi sama  dengan  (dinotasikan = )  untuk  menghasilkan ℤ .  Selanjutnya,  relasi  sama  dengan  diganti dengan relasi setimbang yang didefinisikan seperti berikut ini.
Definisi  1. (Baccelli,  1992) Diberikan 𝑢 = (𝑎, 𝑏), 𝑣 = (𝑐, 𝑑) ∈ ℝ max × ℝ max . Elemen 𝑢 dikatakan berelasi setimbang  dengan 𝑣 ( dinotasikan 𝑢∇𝑣 ) apabila 𝑎 ⊕ 𝑑 = 𝑏 ⊕ 𝑐 . Suatu  relasi  dikatakan  ekuivalensi  apabila  bersifat  refleksif,  simetris  dan  transitif. Pembentukan  kuosien  atas  suatu  relasi  dapat  dilakukan  apabila  relasi  tersebut  merupakan  suatu relasi ekuivalensi. Relasi setimbang ∇ pada Definisi 1 bersifat refleksif, karena untuk setiap (𝑎, 𝑏) ∈ ℝ max × ℝ max berlaku (𝑎, 𝑏)∇(𝑎, 𝑏) ,  yakni 𝑎 ⊕ 𝑏 = max(𝑎, 𝑏) = max(𝑏, 𝑎) = 𝑏 ⊕ 𝑎 . Selanjutnya,  relasi  setimbang  tersebut  juga  bersifat  simetris  karena  untuk  setiap (𝑎, 𝑏), (𝑐, 𝑑) ∈ ℝ max × ℝ max ,  jika (𝑎, 𝑏)∇(𝑐, 𝑑) yakni 𝑎 ⊕ 𝑑 = max(𝑎, 𝑑) = max(𝑏, 𝑐) = 𝑏 ⊕ 𝑐 maka mengakibatkan (𝑐, 𝑑)∇(𝑎, 𝑏) yakni 𝑐 ⊕ 𝑏 = max(𝑐, 𝑏) = max(𝑑, 𝑎) = 𝑑 ⊕ 𝑎 .  Sementara itu, relasi setimbang ∇ tidak bersifat transitif karena terdapat (5,0), (5,5), (1,5) ∈ ℝ max × ℝ max dengan (5,0)∇(5,5) dan (5,5)∇(1,5) akan  tetapi (5,0)⍫(1,5) .  Dengan  demikian,  relasi setimbang ∇ bukan merupakan relasi ekuivalensi. Akibatnya, tidak bisa dibentuk kuosien atas relasi setimbang.
Selanjutnya  didifenisikan  relasi ℬ yang  masih  berkaitan  dengan  relasi ∇ dan  merupakan suatu relasi ekuivalensi, seperti berikut:
Definisi 2. (Baccelli, 1992) Diberikan 𝑢 = (𝑝, 𝑞), 𝑣 = (𝑟, 𝑠) ∈ ℝ max × ℝ max . Elemen 𝑢 berelasi ℬ dengan 𝑣 ( dinotasikan dengan 𝑢 ℬ 𝑣 ) yakni
(𝑝, 𝑞)ℬ(𝑟, 𝑠) apabila { (𝑝, 𝑞) ∇ (𝑟, 𝑠), 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑝 ≠ 𝑞 𝑑𝑎𝑛 𝑟 ≠ 𝑠
(𝑝, 𝑞) =   (𝑟, 𝑠),               𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑙𝑎𝑖𝑛𝑛𝑦𝑎
Karena ℬ merupakan  relasi  ekuivalensi,  maka  dapat  dibentuk  kuosien  atas  relasi ℬ . Himpunan kuosien yang terbentuk atas relasi ekuivalensi ℬ dinotasikan dengan 𝕊 dan dinamakan aljabar max-plus tersimetri ( symmetrized max-plus algebra ). Operator  setimbang  (dinotasikan ( ) • )  dan  minus  (dinotasikan ⊖ )  pada ℝ max × ℝ max masing-masing  didefinisikan  dengan (𝑎, 𝑏) • = (𝑎 ⊕ 𝑏, 𝑎 ⊕ 𝑏) dan ⊖ (𝑎, 𝑏) = (𝑏, 𝑎) untuk setiap (𝑎, 𝑏) ∈ ℝ max × ℝ max . Selanjutnya untuk setiap 𝑢, 𝑣 ∈ 𝕊 berlaku 𝑢 ⦁ = (⊖ 𝑢) ⦁ = (𝑢 ⦁ ) ⦁ , 𝑢 ⊗ 𝑣 ⦁ = 𝑢 • ⊗ 𝑣 = (𝑢 ⊗ 𝑣) ⦁ , ⊖ (⊖ 𝑢) = 𝑢 , ⊖ (𝑢 ⊕ 𝑣) = (⊖ 𝑢) ⊕ (⊖ 𝑣) dan ⊖ (𝑢 ⊗ 𝑣) =   (⊖ 𝑢) ⊗ 𝑣 = 𝑢 ⊗ (⊖ 𝑣) .
Beberapa  notasi  yang  berkaitan  dengan  aljabar  max-plus  tersimetri  yakni 𝕊 ⊕ adalah himpunan semua elemen positif atau nol pada 𝕊 , 𝕊 ⊖ adalah himpunan semua elemen negatif atau nol  pada 𝕊 , 𝕊 ⦁ adalah  himpunan  semua  elemen  setimbang  pada 𝕊 , 𝕊 ∨ = 𝕊 ⊕ ∪ 𝕊 ⊖ adalah himpunan  semua  elemen  bertanda  pada 𝕊 dan 𝕊 ∗ ∨ = 𝕊 − 𝕊 ⦁ adalah  himpunan  semua  elemen bertanda tanpa elemen nol. Selanjutnya pada 𝕊 juga berlaku sifat 𝕊 ⊕ ∪ 𝕊 ⊖ ∪ 𝕊 ⦁ = 𝕊 dan 𝕊 ⊕ ∩ 𝕊 ⊖ ∩ 𝕊 ⦁ = {(ℰ, ℰ) ̅̅̅̅̅̅̅} .
Teorema : Teori dan Riset Matematika , 6 (2), 200 – 209, September 2021
Teorema 3. (Baccelli, 1992) Untuk 𝑝, 𝑞 ∈ ℝ max berlaku 1. 𝑝 ⊕ (⊖ 𝑞) = 𝑝 , untuk 𝑝 > 𝑞
2. 𝑝 ⊕ (⊖ 𝑞) = ⊖ 𝑞 , untuk 𝑝 < 𝑞 3 . 𝑝 ⊕ (⊖ 𝑝) = 𝑝 ⦁
Relasi ∇ pada aljabar max-plus tersimetri selanjutnya akan memainkan peranan yang mirip dengan relasi = pada aljabar konvensional. Beberapa sifat dasar dari relasi setimbang pada aljabar max-plus tersimetri dijelaskan pada teorema berikut ini.
Teorema 4. (Baccelli, 1992) Untuk setiap 𝑝, 𝑞, 𝑟, 𝑠 ∈ 𝕊 berlaku 1 . 𝑝∇𝑝 2 . 𝑝∇𝑞 jika dan hanya jika 𝑞∇𝑝 3 . 𝑝∇𝑞 jika dan hanya jika 𝑝 ⊖ 𝑞 ∇ ℰ 4 .  Jika 𝑝∇𝑞 dan 𝑟∇𝑠 maka 𝑝 ⊕ 𝑟 ∇ 𝑞 ⊕ 𝑠 5 .  Jika 𝑝∇𝑞 maka 𝑝 ⊗ 𝑟 ∇ 𝑞 ⊗ 𝑟
Pada aljabar konvensional berlaku 𝑝 − 𝑟 = 𝑞 jika dan hanya jika 𝑝 = 𝑞 + 𝑟 . Selanjutnya, sifat tersebut diadopsi pada aljabar max-plus tersimetri yang disajikan pada teorema berikut ini.
Teorema  5. (Schutter,  1996) Untuk  setiap 𝑝, 𝑞, 𝑟 ∈ 𝕊 ,  berlaku 𝑝 ⊖ 𝑟 ∇ 𝑞 jika  dan  hanya  jika 𝑝 ∇ 𝑞 ⊕ 𝑟
Pada aljabar konvensional, berlaku sifat substitusi yakni  jika 𝑝 = 𝑞 dan 𝑐 × 𝑝 = 𝑏 maka berlaku 𝑐 × 𝑞 = 𝑏 .  Sifat  substitusi  ini  tidak  bisa  diadopsi secara  langsung  pada  aljabar  max-plus tersimetri.  Untuk  setiap 𝑝, 𝑞, 𝑐, 𝑏 ∈ 𝕊 ,  jika 𝑝∇𝑞 , 𝑐 ⊗ 𝑝∇𝑏 maka  belum  tentu  berlaku 𝑐 ⊗ 𝑞∇𝑏 . Sifat substitusi yang berlaku pada aljabar max-plus tersimetri hanyalah sifat substitusi lemah yang disajikan pada teorema berikut ini.
Teorema  6.    Substitusi  Lemah (Schutter,  1996) Apabila 𝑝∇𝑞 , 𝑐 ⊗ 𝑝∇𝑏 dengan 𝑝 ∈ 𝕊 ∨ maka 𝑐 ⊗ 𝑞∇𝑏
Berdasarkan  sifat  substitusi  lemah  pada  aljabar  max-plus  tersimetri,  selanjutnya  dapat diturunkan sifat transitif lemah seperti berikut.
Teorema 7. Transitif Lemah (Schutter, 1996) Jika 𝑎∇𝑝 , 𝑝∇𝑏 dengan 𝑝 ∈ 𝕊 ∨ maka 𝑎∇𝑏 . Selain  itu,  berdasarkan  sifat  substitusi  lemah  juga  dapat  diturunkan  sifat  reduksi  setimbang pada aljabar max-plus tersimetri yang disajikan pada teorema berikut ini.
Teorema 8. Reduksi Setimbang (Schutter, 1996) Jika 𝑝 ∇ 𝑞 dengan 𝑝, 𝑞 ∈ 𝕊 ∨ maka 𝑝 = 𝑞 . Relasi setimbang pada 𝕊 dapat diperluas pada matriks atas 𝕊 . Secara umum, matriks atas 𝕊 didefinisikan  secara  analog  seperti  pada  matriks  konvensional.  Bentuk  umum  dari  matriks  atas 𝕊 yang  berordo 𝑚 × 𝑛 adalah 𝐴 = [𝑎 𝑖𝑗 ] dengan 𝑎 𝑖𝑗 ∈ 𝕊 untuk  setiap 𝑖 = 1,2, … , 𝑚 dan 𝑗 = 1,2, … , 𝑛. Operasi aljabar pada matriks atas 𝕊 juga memiliki kemiripan dengan operasi aljabar pada matriks konvensional dengan menyesuaikan operasi entri-entrinya dengan operasi pada 𝕊 . Kesetimbangan dua buah matriks pada aljabar max-plus tersimetri didefinisikan berikut.
Definisi  9. (Schutter,  1996) Untuk  matriks 𝐴 = [𝑎 𝑖𝑗 ] , 𝐵 = [𝑏 𝑖𝑗 ] ∈ 𝕊 𝑚×𝑛 , 𝐴∇𝐵 jika 𝑎 𝑖𝑗 ∇ 𝑏 𝑖𝑗 untuk 𝑖 = 1,2, … , 𝑚 𝑑𝑎𝑛 𝑗 = 1,2, … , 𝑛 .
Beberapa sifat relasi setimbang pada 𝕊 dapat diperluas pada matriks atas 𝕊 . Sifat pada 𝕊 yang disajikan pada Teorema 5 dapat diperluas pada matriks atas 𝕊 yang diberikan pada teorema berikut ini.
Teorema 10. (Schutter, 1996) Untuk setiap matriks 𝑀, 𝐴, 𝐵 ∈ 𝕊 𝑚×𝑛 berlaku 𝑀 ⊖ 𝐵 ∇ 𝐴 jika dan hanya jika 𝑀 ∇ 𝐴 ⊕ 𝐵 .
Selain  itu,  sifat  reduksi  setimbang  aljabar  max-plus  tersimetri  pada  Teorema  8  dapat diperluas pada pembahasan matriks atas aljabar max-plus tersimetri yang disajikan pada teorema berikut.
Teorema 11. (Schutter, 1996) Untuk setiap matriks 𝑀, 𝐴 ∈ (𝕊 ∨ ) 𝑚×𝑛 berlaku 𝑀∇𝐴 jika dan hanya jika 𝑀 = 𝐴

## Invers Moore-Penrose pada Matriks Konvensional
Invers  Moore-Penrose  pada  matriks  konvensional  muncul  pada  saat  pembahasan  matriks berordo 𝑚 × 𝑛 .  Misalkan ℂ adalah  himpunan  semua  bilangan  kompleks.  Invers  Moore-Penrose pada matriks konvensional didefinisikan seperti berikut.
Definisi 12. (Ben-Israel  &  Greville,  2003) Diberikan  matriks 𝑀 ∈ ℂ 𝑚×𝑛 .  Invers  Moore-Penrose matriks 𝑀 adalah matriks 𝑀 + ∈ ℂ 𝑛×𝑚 yang memenuhi 1 . 𝑀𝑀 + 𝑀 = 𝑀 2 . 𝑀 + 𝑀𝑀 + = 𝑀 + 3 . (𝑀𝑀 + ) ∗ = 𝑀𝑀 + 4 . (𝑀 + 𝑀) ∗ = 𝑀 + 𝑀 dengan ∗ adalah transpose konjugat.
Apabila  himpunan  pembicaraan  pada  Definisi  12  adalah  himpunan  bilangan  riil  maka transpose  konjugat  cukup  diganti  dengan  transpose.  Apabila  invers  Moore-Penrose  pada  suatu matriks konvensional ada maka bersifat tunggal. Teorema berikut menjelaskan bahwa invers Moore- Penrose dari invers Moore-Penrose suatu matriks adalah matriks itu sendiri.
Teorema 13. (Ben-Israel & Greville, 2003) Untuk 𝐴 ∈ ℂ 𝑚×𝑛 berlaku (𝐴 + ) + = 𝐴
Berikut  ini  disajikan  sifat  yang  menjelaskan  invers  Moore-Penrose  dari  suatu  matriks  nol. Invers Moore-Penrose dari matriks nol adalah transpose dari matriks nol tersebut, seperti dijelaskan pada teorema berikut ini
Teorema 14. (Ben-Israel & Greville, 2003) Apabila 𝐴 = 0 ∈ ℂ 𝑚×𝑛 maka berlaku 𝐴 + = 0 𝑇 . Teorema berikut menjelaskan invers Moore-Penrose pada perkalian skalar  tak nol dengan suatu matriks.
Teorema 15. (Ben-Israel & Greville, 2003) Untuk skalar tak nol 𝑘 , invers Moore-Penrose dari 𝑘𝐴 adalah 𝑘 −1 𝐴 + .
Pada  pembahasan  matriks  konvensional,  invers  Moore-Penrose  dapat  digunakan  untuk menentukan solusi pendekatan pada sistem persamaan linier 𝐴𝑥 = 𝑏 , dengan solusi pendekatan tersebut adalah 𝑥 = 𝐴 + 𝑏 .

## METODE PENELITIAN
Penelitian ini adalah studi literatur yang sifatnya mengembangkan penelitian yang sudah ada sebelumnya, yakni invers Moore-Penrose pada aljabar konvensional (Ben-Israel and Greville, 2003). Pada penelitian ini dibahas tentang invers Moore-Penrose pada aljabar max-plus tersimetri dengan mengadopsi  gagasan  invers  Moore-Penrose  pada  aljabar  konvensional.  Hal  ini  dilakukan  dengan memanfaatkan suatu fungsi yang mengkorespondensikan aljabar max-plus tersimetri dengan aljabar konvensional pada (De & De, 2002). Adapun langkah-langkah penelitiannya adalah :
1.  Melakukan studi literatur ( literature review ) tentang aljabar max-plus tersimetri dan invers Moore- Penrose pada aljabar konvensional.
2.  Menunjukkan korespondensi antara 𝕊 dengan aljabar konvensional yang akan digunakan untuk menentukan eksistensi invers Moore-Penrose pada matriks atas 𝕊 .
3.  Mendefinisikan  invers  Moore-Penrose  pada  matriks  atas 𝕊 dengan  mengadopsi  konsep  invers Moore-Penrose pada aljabar konvensional.
4.  Menunjukkan beberapa sifat invers Moore-Penrose pada matriks atas 𝕊 .

## HASIL DAN PEMBAHASAN
Pada bagian ini disajikan pembahasan utama dalam artikel ini. Pembahasan meliputi eksistensi invers  Moore-Penrose  pada  matriks  atas 𝕊 dan  beberapa  sifat  yang  digunakan  untuk  menunjukkan eksistensi tersebut. Selain itu, disajikan beberapa sifat terkait invers Moore-Penrose pada matriks atas 𝕊 .
Berikut diberikan definisi fungsi yang digunakan untuk mengkorespondensikan aljabar max- plus tersimetri dengan aljabar konvensional. Fungsi berikut digunakan untuk mengkorespondensikan elemen pada 𝕊 dengan suatu elemen pada aljabar konvensional.
Definisi 16. (De & De, 2002) Fungsi ℱ dengan domain 𝕊 × ℝ 0 × ℝ 0 + didefinisikan sebagai
ℱ(𝑎, 𝜇, 𝑠) = { |𝜇|𝑒 𝑎𝑠 −|𝜇|𝑒 |𝑎| ⊕ 𝑠 𝜇𝑒 |𝑎| ⊕ 𝑠 jika 𝑎 ∈ 𝕊 ⊕ jika 𝑎 ∈ 𝕊 ⊖ jika 𝑎 ∈ 𝕊 ⦁
dengan 𝑎 ∈ 𝕊 , 𝜇 ∈ ℝ 0 dan 𝑠 ∈ ℝ 0 + .
Selanjutnya  diberikan  fungsi  yang  digunakan  untuk  mengembalikan  hasil  korespondensi elemen  aljabar  max-plus  tersimetri  pada  aljabar  konvensional,  kembali  menjadi  bentuk  elemen aljabar max-plus tersimetri. Fungsi ini dinamakan sebagai fungsi reverse .
Definisi  17. (De  &  De,  2002) Misalkan 𝑓(𝑠) ~ 𝑣𝑒 |𝑎| ⊕ 𝑠 pada  persekitaran ∞ ,  fungsi  balikan ( reverse ) ℛ didefinisikan sebagai
ℛ(𝑓) = { |𝑎| ⊕ ⊖ |𝑎| ⊕
jika tanda 𝑣 adalah positif jika tanda 𝑣 adalah negatif
Fungsi  yang  disajikan  pada  Definisi  16  dan  Definisi  17  dapat  diperluas  pada  matriks  atas aljabar  max-plus  tersimetri.  Dengan  demikian  terdapat  suatu  korespondensi  antara  matriks  atas aljabar  max-plus  tersimetri  dengan  matriks  konvensional.  Teorema  berikut  menjelaskan  hubungan antara  matriks  atas  aljabar  max-plus  tersimetri  dengan  matriks  bernilai  fungsi  riil  pada  aljabar konvensional  yang  akan  digunakan  sebagai  dasar  untuk  menunjukkan  eksistensi  invers  Moore- Penrose pada matriks atas aljabar max-plus tersimetri.
Teorema 18. (De & De, 2002) Diberikan 𝐴, 𝐵 dan 𝐶 masing-masing matriks atas 𝕊 . Jika terdapat 𝑁 𝐴 , 𝑁 𝐵 , 𝑁 𝐶 sedemikian  hingga ℱ(𝐴, 𝑁 𝐴 , 𝑠) . ℱ(𝐵, 𝑁 𝐵 , 𝑠)~ℱ(𝐶, 𝑁 𝐶 , 𝑠), 𝑠 → ∞ maka 𝐴 ⊗ 𝐵 𝛻 𝐶
Berdasarkan  Teorema  18,  dapat  diturunkan  beberapa  sifat  yang  akan  digunakan  untuk menentukan  eksistensi  invers  Moore-Penrose  pada  matriks  atas 𝕊 .  Teorema  berikut  menjelaskan eksistensi bentuk kesetimbangan 𝐴 ⊗ 𝑋 ⊗ 𝐴 ∇ 𝐴 pada matriks atas aljabar max-plus tersimetri. Teorema 19 . Diberikan 𝐴 dan 𝑋 masing-masing matriks atas 𝕊 . Jika terdapat 𝑁 𝐴 , 𝑁 𝑋 sedemikian hingga ℱ(𝐴, 𝑁 𝐴 , 𝑠) . ℱ(𝑋, 𝑁 𝑋 , 𝑠) . ℱ(𝐴, 𝑁 𝐴 , 𝑠) ~ℱ(𝐴, 𝑁 𝐴 , 𝑠) untuk 𝑠 → ∞ maka berlaku 𝐴 ⊗ 𝑋 ⊗ 𝐴 ∇ 𝐴
Bukti. Misalkan ℱ(𝐴, 𝑁 𝐴 , 𝑠) dan ℱ(𝑋, 𝑁 𝑋 , 𝑠) masing-masing  adalah  fungsi  bernilai  matriks  riil yang diperoleh  dari Definisi 16.  Apabila matriks ℱ(𝐴, 𝑁 𝐴 , 𝑠) . ℱ(𝐵, 𝑁 𝐵 , 𝑠)~ℱ(𝐶, 𝑁 𝐶 , 𝑠), 𝑠 → ∞ pada  Teorema  18  diganti  dengan ℱ(𝐴, 𝑁 𝐴 , 𝑠) . ℱ(𝑋, 𝑁 𝑋 , 𝑠) . ℱ(𝐴, 𝑁 𝐴 , 𝑠) ~ℱ(𝐴, 𝑁 𝐴 , 𝑠), 𝑠 → ∞ maka dapat diperoleh 𝐴 ⊗ 𝑋 ⊗ 𝐴 ∇ 𝐴 . ∎
Berikut  disajikan  teorema  yang  menjelaskan  eksistensi  bentuk  kesetimbangan 𝑋 ⊗ 𝐴 ⊗ 𝑋 ∇ 𝑋 pada matriks atas 𝕊 .
Teorema  20 . Diberikan 𝐴 dan 𝑋 masing-masing  matriks  atas 𝕊 .  Apabila  terdapat 𝑁 𝐴 , 𝑁 𝑋 sedemikian  hingga (𝑋, 𝑁 𝑋 , 𝑠) . ℱ(𝐴, 𝑁 𝐴 , 𝑠) . ℱ(𝑋, 𝑁 𝑋 , 𝑠) ~ℱ(𝑋, 𝑁 𝑋 , 𝑠) untuk 𝑠 → ∞ maka berlaku 𝑋 ⊗ 𝐴 ⊗ 𝑋 ∇ 𝑋
Bukti. Misalkan ℱ(𝐴, 𝑁 𝐴 , 𝑠) dan ℱ(𝑋, 𝑁 𝑋 , 𝑠) masing-masing  adalah  fungsi  bernilai  matriks  riil yang diperoleh dari Definisi 16. Dengan mengganti ℱ(𝐴, 𝑁 𝐴 , 𝑠) . ℱ(𝐵, 𝑁 𝐵 , 𝑠)~ℱ(𝐶, 𝑁 𝐶 , 𝑠), untuk 𝑠 → ∞ pada Teorema 18 dengan (𝑋, 𝑁 𝑋 , 𝑠) . ℱ(𝐴, 𝑁 𝐴 , 𝑠) . ℱ(𝑋, 𝑁 𝑋 , 𝑠) ~ℱ(𝑋, 𝑁 𝑋 , 𝑠) untuk 𝑠 → ∞ maka diperoleh 𝑋 ⊗ 𝐴 ⊗ 𝑋 ∇ 𝑋 . ∎
Selanjutnya  disajikan  suatu  teorema  yang  menjelaskan  eksistensi  bentuk (𝐴 ⊗ 𝑋) 𝑇 ∇ 𝐴 ⊗ 𝑋 pada matriks atas aljabar max-plus tersimetri.
Teorema 21 . Diberikan 𝐴 dan 𝑋 masing-masing matriks atas 𝕊 . Jika terdapat 𝑁 𝐴 , 𝑁 𝑋 sedemikian hingga (ℱ(𝐴, 𝑁 𝐴 , 𝑠) . ℱ(𝑋, 𝑁 𝑋 , 𝑠)) 𝑇 ~ℱ(𝐴, 𝑁 𝐴 , 𝑠) . ℱ(𝑋, 𝑁 𝑋 , 𝑠) untuk 𝑠 → ∞ maka berlaku (𝐴 ⊗ 𝑋) 𝑇 ∇ 𝐴 ⊗ 𝑋 Bukti. Misalkan ℱ(𝐴, 𝑁 𝐴 , 𝑠) dan ℱ(𝑋, 𝑁 𝑋 , 𝑠) masing-masing  adalah  fungsi  bernilai  matriks  riil yang diperoleh dari Definisi 16. Dengan mengganti ℱ(𝐴, 𝑁 𝐴 , 𝑠) . ℱ(𝐵, 𝑁 𝐵 , 𝑠)~ℱ(𝐶, 𝑁 𝐶 , 𝑠), untuk 𝑠 → ∞ pada Teorema 18 dengan
(ℱ(𝐴, 𝑁 𝐴 , 𝑠) . ℱ(𝑋, 𝑁 𝑋 , 𝑠)) 𝑇 ~ℱ(𝐴, 𝑁 𝐴 , 𝑠) . ℱ(𝑋, 𝑁 𝑋 , 𝑠) untuk 𝑠 → ∞ maka diperoleh (𝐴 ⊗ 𝑋) 𝑇 ∇ 𝐴 ⊗ 𝑋 . ∎
Teorema berikut menjelaskan eksistensi bentuk kesetimbangan (𝑋 ⊗ 𝐴) 𝑇 ∇ 𝑋 ⊗ 𝐴 pada matriks atas aljabar max-plus tersimetri.
Teorema 22 . Diberikan 𝐴 dan 𝑋 masing-masing matriks atas 𝕊 . Jika terdapat 𝑁 𝐴 , 𝑁 𝑋 sedemikian hingga (ℱ(𝑋, 𝑁 𝑋 , 𝑠) . ℱ(𝐴, 𝑁 𝐴 , 𝑠)) 𝑇 ~ℱ(𝑋, 𝑁 𝑋 , 𝑠) . ℱ(𝐴, 𝑁 𝐴 , 𝑠) , 𝑠 → ∞ maka berlaku (𝑋 ⊗ 𝐴) 𝑇 ∇ 𝑋 ⊗ 𝐴
Bukti. Misalkan ℱ(𝐴, 𝑁 𝐴 , 𝑠) dan ℱ(𝑋, 𝑁 𝑋 , 𝑠) masing-masing  adalah  fungsi  bernilai  matriks  riil yang diperoleh dari Definisi 16. Dengan mengganti ℱ(𝐴, 𝑁 𝐴 , 𝑠) . ℱ(𝐵, 𝑁 𝐵 , 𝑠)~ℱ(𝐶, 𝑁 𝐶 , 𝑠), untuk 𝑠 → ∞ pada Teorema 18 dengan
(ℱ(𝑋, 𝑁 𝑋 , 𝑠) . ℱ(𝐴, 𝑁 𝐴 , 𝑠)) 𝑇 ~ℱ(𝑋, 𝑁 𝑋 , 𝑠) . ℱ(𝐴, 𝑁 𝐴 , 𝑠) untuk 𝑠 → ∞ maka diperoleh (𝑋 ⊗ 𝐴) 𝑇 ∇ 𝑋 ⊗ 𝐴 . ∎
Berikut  disajikan  contoh  untuk  menjelaskan  Teorema  19,  Teorema  20,  Teorema  21  dan Teorema 22.
Contoh 23. Diberikan 𝐴 = [ 1 2 ⊖ 1 ⊖ 2 ⊖ 3 2 ] dan 𝑋 = [ −5 ⊖ (−4) −4 ⊖ (−3)
⊖ (−5) −4 ] masing-masing
adalah matriks atas 𝕊 . Terdapat 𝑁 𝐴 = [ 1 1 1 1 1 1 ] dan 𝑁 𝑋 = [ 1 1 1 1 1 1 ] sedemikian hingga
a. ℱ(𝐴, 𝑁 𝐴 , 𝑠) . ℱ(𝑋, 𝑁 𝑋 , 𝑠) . ℱ(𝐴, 𝑁 𝐴 , 𝑠)~ [ 𝑒 𝑠 𝑒 2𝑠 −𝑒 𝑠 −𝑒 2𝑠 −𝑒 3𝑠 𝑒 2𝑠 ] = ℱ(𝐴, 𝑁 𝐴 , 𝑠) , 𝑠 → ∞
b. ℱ(𝑋, 𝑁 𝑋 , 𝑠) . ℱ(𝐴, 𝑁 𝐴 , 𝑠) . ℱ(𝑋, 𝑁 𝑋 , 𝑠) ~ [ 𝑒 −5𝑠 −𝑒 −4𝑠 𝑒 −4𝑠 −𝑒 −3𝑠 −𝑒 −5𝑠 𝑒 −4𝑠 ] = ℱ(𝑋, 𝑁 𝑋 , 𝑠) , untuk 𝑠 → ∞
c. (ℱ(𝐴, 𝑁 𝐴 , 𝑠) . ℱ(𝑋, 𝑁 𝑋 , 𝑠)) 𝑇 ~ [ 2𝑒 −4𝑠 + 𝑒 −2𝑠 −𝑒 1𝑠 − 2𝑒 −3𝑠 −𝑒 −𝑠 − 2𝑒 −3𝑠 1 + 2𝑒 −2𝑠 ] = (ℱ(𝐴, 𝑁 𝐴 , 𝑠) . ℱ(𝑋, 𝑁 𝑋 , 𝑠)) , untuk 𝑠 → ∞
d. (ℱ(𝑋, 𝑁 𝑋 , 𝑠) . ℱ(𝐴, 𝑁 𝐴 , 𝑠) ) 𝑇 ~ [ 𝑒 −4𝑠 + 𝑒 −2𝑠 𝑒 −3𝑠 + 𝑒 −𝑠 −𝑒 −4𝑠 − 𝑒 −2𝑠 𝑒 −3𝑠 + 𝑒 −𝑠 𝑒 −2𝑠 + 1 −𝑒 −3𝑠 − 𝑒 −𝑠 −𝑒 −4𝑠 − 𝑒 −2𝑠 −𝑒 −3𝑠 − 𝑒 −𝑠 𝑒 −4𝑠 + 𝑒 −2𝑠 ] = ℱ(𝑋, 𝑁 𝑋 , 𝑠) . ℱ(𝐴, 𝑁 𝐴 , 𝑠), untuk 𝑠 → ∞ .
Berdasarkan uraian a, b, c dan d maka diperoleh bentuk kesetimbangan 1. 𝐴 ⊗ 𝑋 ⊗ 𝐴 ∇ 𝐴 2. 𝑋 ⊗ 𝐴 ⊗ 𝑋 ∇ 𝑋
3. (𝐴 ⊗ 𝑋) 𝑇 ∇ 𝐴 ⊗ 𝑋 4. (𝑋 ⊗ 𝐴) 𝑇 ∇ 𝑋 ⊗ 𝐴 . ∎
Pembahasan  Teorema  19,  Teorema  20,  Teorema  21  dan  Teorema  22  dilakukan  untuk menunjukkan  eksistensi  bentuk  kesetimbangan 𝐴 ⊗ 𝑋 ⊗ 𝐴 ∇ 𝐴 , 𝑋 ⊗ 𝐴 ⊗ 𝑋 ∇ 𝑋 , (𝐴 ⊗ 𝑋) 𝑇 ∇ 𝐴 ⊗ 𝑋 dan (𝑋 ⊗ 𝐴) 𝑇 ∇ 𝑋 ⊗ 𝐴 yang akan digunakan untuk mendefinisikan invers Moore- Penrose matriks atas aljabar max-plus tersimetri.
Teorema : Teori dan Riset Matematika , 6 (2), 204 – 209, September 2021
Berikut  diberikan  definisi  inverse  Moore-Penrose  pada  matriks  atas  aljabar  max-plus tersimetri.  Pendefinisian  ini  dilakukan  dengan  memodifikasi  definisi  inverse  Moore-Penrose  pada matriks  konvensional,  yakni  dengan  merubah  relasi “ sama  dengan ” pada  aljabar  konvensional menjadi relasi “ setimbang ” ( balance ) pada aljabar max-plus tersimetri.
Definisi 24. Diberikan 𝑀 ∈ 𝕊 𝑚×𝑛 . Invers Moore-Penrose matriks 𝑀 adalah matriks 𝑀 + berukuran 𝑛 × 𝑚 yang memenuhi 1. 𝑀 ⊗ 𝑀 + ⊗ 𝑀∇𝑀
2. 𝑀 + ⊗ 𝑀 ⊗ 𝑀 + ∇𝑀 + 3. (𝑀 ⊗ 𝑀 + ) 𝑇 ∇𝑀 ⊗ 𝑀 + 4. (𝑀 + ⊗ 𝑀) 𝑇 ∇𝑀 + ⊗ 𝑀
Berdasarkan Contoh 23 diperoleh bahwa matriks 𝑋 memenuhi syarat invers Moore-Penrose untuk  matriks 𝐴 .  Dengan  demikian,  matriks 𝑋 = [
−5 ⊖ (−4) −4 ⊖ (−3) ⊖ (−5) −4 ] adalah  invers  Moore-
Penrose untuk matriks 𝐴 = [ 1 2 ⊖ 1 ⊖ 2 ⊖ 3 2 ] .
Pada  pembahasan  matriks  konvensional,  apabila  suatu  matriks 𝑀 memiliki  invers  Moore- Penrose 𝑀 + maka eksistensi 𝑀 + adalah tunggal. Sementara itu, pada pembahasan matriks atas aljabar  max-plus  tersimetri,  eksistensi  dari  invers  Moore-Penrose  dari  suatu  matriks  belum  tentu tunggal.  Teorema  berikut  menjelaskan  ketidaktunggalan  invers  Moore-Penrose  dari  suatu  matriks atas aljabar max-plus tersimetri.
Teorema 25. Diberikan 𝑀 + adalah invers Moore-Penrose untuk 𝑀 . Jika 𝑀 + adalah matriks bertanda maka setiap matriks 𝐵 dengan 𝐵∇𝑀 + adalah invers Moore-Penrose untuk 𝑀 . Bukti . Karena 𝐵∇𝐴 + dan 𝐴 + adalah matriks bertanda maka 𝐴 + dapat disubstitusi lemah dengan matriks 𝐵 . Dengan demikian diperoleh
1. 𝑀 ⊗ 𝐵 ⊗ 𝑀∇𝑀
2. 𝐵 ⊗ 𝑀 ⊗ 𝐵∇𝐵
3. (𝑀 ⊗ 𝐵) 𝑇 ∇𝑀 ⊗ 𝐵 4. (𝐵 ⊗ 𝑀) 𝑇 ∇𝐵 ⊗ 𝑀 .
Jadi 𝐵 memenuhi syarat invers Moore-Penrose untuk matriks 𝑀 . Dengan demikian 𝐵 juga merupakan invers Moore-Penrose untuk matriks 𝑀 . ∎
Contoh berikut menjelaskan ketidaktunggalan invers Moore-Penrose dari suatu matriks atas aljabar max-plus tersimetri.
Contoh 26. Matriks 𝑋 = [ −5 ⊖ (−4) −4 ⊖ (−3) ⊖ (−5) −4 ] adalah invers Moore-Penrose untuk matriks 𝐴 =
[ 1 2 ⊖ 1 ⊖ 2 ⊖ 3 2 ] .  Apabila  diambil  matriks 𝑋 ′ = [ 2 • ⊖ (−4) −4 ⊖ 1 • ⊖ (−5) 0 • ] dengan
𝑋 ′ ∇ [ −5 ⊖ (−4) −4 ⊖ (−3)
⊖ (−5) −4 ] = 𝑋 maka  matriks 𝑋′ juga  merupakan  invers  Moore-Penrose  untuk matriks 𝐴 . ∎
Teorema berikut menjelaskan syarat cukup suatu matriks 𝑋 menjadi invers Moore-Penrose dari suatu matriks 𝐴 .
Teorema 27. Diberikan 𝐴 dan 𝑋 masing-masing matriks atas 𝕊 . Jika terdapat 𝑁 𝐴 , 𝑁 𝑋 sedemikian hingga
1. ℱ(𝐴, 𝑁 𝐴 , 𝑠) . ℱ(𝑋, 𝑁 𝑋 , 𝑠) . ℱ(𝐴, 𝑁 𝐴 , 𝑠) ~ℱ(𝐴, 𝑁 𝐴 , 𝑠) , 𝑠 → ∞ 2. ℱ(𝑋, 𝑁 𝑋 , 𝑠) . ℱ(𝐴, 𝑁 𝐴 , 𝑠) . ℱ(𝑋, 𝑁 𝑋 , 𝑠) ~ℱ(𝑋, 𝑁 𝑋 , 𝑠)  , 𝑠 → ∞ 3. (ℱ(𝐴, 𝑁 𝐴 , 𝑠) . ℱ(𝑋, 𝑁 𝑋 , 𝑠)) 𝑇 ~ℱ(𝐴, 𝑁 𝐴 , 𝑠) . ℱ(𝑋, 𝑁 𝑋 , 𝑠) , 𝑠 → ∞ 4. (ℱ(𝑋, 𝑁 𝑋 , 𝑠) . ℱ(𝐴, 𝑁 𝐴 , 𝑠)) 𝑇 ~ℱ(𝑋, 𝑁 𝑋 , 𝑠) . ℱ(𝐴, 𝑁 𝐴 , 𝑠) , 𝑠 → ∞ maka 𝑋 adalah invers Moore-Penrose dari 𝐴 .
Bukti. Karena terdapat 𝑁 𝐴 , 𝑁 𝑋 sedemikian hingga 1. ℱ(𝐴, 𝑁 𝐴 , 𝑠) . ℱ(𝑋, 𝑁 𝑋 , 𝑠) . ℱ(𝐴, 𝑁 𝐴 , 𝑠) ~ℱ(𝐴, 𝑁 𝐴 , 𝑠) , 𝑠 → ∞ 2. ℱ(𝑋, 𝑁 𝑋 , 𝑠) . ℱ(𝐴, 𝑁 𝐴 , 𝑠) . ℱ(𝑋, 𝑁 𝑋 , 𝑠) ~ℱ(𝑋, 𝑁 𝑋 , 𝑠)  , 𝑠 → ∞ 3. (ℱ(𝐴, 𝑁 𝐴 , 𝑠) . ℱ(𝑋, 𝑁 𝑋 , 𝑠)) 𝑇 ~ℱ(𝐴, 𝑁 𝐴 , 𝑠) . ℱ(𝑋, 𝑁 𝑋 , 𝑠) , 𝑠 → ∞ 4. (ℱ(𝑋, 𝑁 𝑋 , 𝑠) . ℱ(𝐴, 𝑁 𝐴 , 𝑠)) 𝑇 ~ℱ(𝑋, 𝑁 𝑋 , 𝑠) . ℱ(𝐴, 𝑁 𝐴 , 𝑠) , 𝑠 → ∞ maka berdasarkan Teorema 19, Teorema 20, Teorema 21 dan Teorema 22, berturut-turut diperoleh 1. 𝐴 ⊗ 𝑋 ⊗ 𝐴∇𝐴 2. 𝑋 ⊗ 𝐴 ⊗ 𝑋∇𝑋
3. (𝐴 ⊗ 𝑋) 𝑇 ∇𝐴 ⊗ 𝑋 4. (𝑋 ⊗ 𝐴) 𝑇 ∇𝑋 ⊗ 𝐴 . Dengan demikian 𝑋 memenuhi syarat invers Moore-Penrose untuk 𝐴 . Jadi 𝑋 adalah invers Moore-Penrose untuk 𝐴 . ∎
Selanjutnya  dibahas  beberapa  sifat  invers  Moore-Penrose  pada  matriks  atas 𝕊 .  Berikut disajikan teorema yang menjelaskan bahwa suatu matriks adalah invers Moore-Penrose dari invers Moore-Penrose matriks tersebut.
Teorema 28. Apabila 𝑀 + adalah invers Moore-Penrose 𝑀 , maka 𝑀 adalah invers Moore-Penrose untuk 𝑀 + . Bukti. Apabila syarat pada Definisi 24 disajikan dengan urutan 1. 𝑀 + ⊗ 𝑀 ⊗ 𝑀 + ∇𝑀 + 2. 𝑀 ⊗ 𝑀 + ⊗ 𝑀∇𝑀 3. (𝑀 + ⊗ 𝑀) 𝑇 ∇𝑀 + ⊗ 𝑀 4. (𝑀 ⊗ 𝑀 + ) 𝑇 ∇𝑀 ⊗ 𝑀 + maka 𝑀 memenuhi syarat invers Moore-Penrose untuk 𝑀 + .  Dengan demikian, 𝑀 adalah invers Moore-Penrose untuk 𝑀 + . ∎
Contoh berikut memberikan penjelasan makna dari Teorema 28, yakni suatu matriks adalah invers Moore-Penrose dari invers Moore-Penrose matriks tersebut.
Contoh 29. Matriks 𝑋 = [
−5 ⊖ (−4) −4 ⊖ (−3) ⊖ (−5) −4 ] adalah invers Moore-Penrose untuk matriks 𝐴 =
[ 1 2 ⊖ 1 ⊖ 2 ⊖ 3 2 ] . Dengan demikian, matriks 𝐴 adalah invers Moore-Penrose untuk matriks 𝑋 . ∎
Berikut  disajikan  teorema  yang  menjelaskan  invers  Moore-Penrose  dari  matriks  identitas terhadap operasi penjumlahan (matriks nol) pada aljabar max-plus tersimetri.
Teorema 30. Untuk 𝑀 = ℰ 𝑚×𝑛 maka  matriks 𝑋 = ℰ 𝑛×𝑚 adalah  invers  Moore-Penrose  untuk matriks 𝐴 .
Bukti. Diperhatikan bahwa perkalian matriks nol ℰ akan selalu menghasilkan matriks nol juga.
1. 𝑀 ⊗ 𝑋 ⊗ 𝑀 = 𝑀∇𝑀
2. 𝑋 ⊗ 𝑀 ⊗ 𝑋 = 𝑋∇𝑋
Teorema : Teori dan Riset Matematika , 6 (2), 206 – 209, September 2021
3. (𝑀 ⊗ 𝑋) 𝑇 = 𝑀 ⊗ 𝑋∇𝑀 ⊗ 𝑋 4. (𝑋 ⊗ 𝑀) 𝑇 = 𝑋 ⊗ 𝑀∇𝑋 ⊗ 𝑀 Jadi 𝑋 = ℰ 𝑛×𝑚 adalah invers Moore-Penrose untuk matriks 𝑀 . ∎
Akibat 31. Untuk 𝑀 = ℰ 𝑚×𝑛 maka  setiap  matriks setimbang ( balanced  matrix ) 𝑋′ 𝑛×𝑚 adalah invers Moore-Penrose untuk matriks 𝑀 = ℰ 𝑚×𝑛 . Bukti. Karena 𝑋′ 𝑛×𝑚 adalah  matriks  setimbang  berarti  setiap  entri  pada 𝑋′ 𝑛×𝑚 adalah  elemen setimbang. Selanjutnya, karena ℰ 𝑛×𝑚 adalah matriks bertanda dan 𝑋′∇ℰ 𝑛×𝑚 , maka matriks ℰ 𝑛×𝑚 dapat disubstitusi dengan 𝑋′ . Dengan demikian diperoleh matriks 𝑋′ memenuhi syarat untuk invers Moore-Penrose untuk matriks 𝑀 = ℰ 𝑚×𝑛 . ∎
Contoh  berikut  menjelaskan  invers  Moore-Penrose  dari  matriks  nol  pada  aljabar  max-plus tersimetri pada Teorema 30.
Contoh  32. Diberikan matriks 𝐴 = [ ℰ ℰ ℰ ℰ ℰ ℰ ] .  Diperhatikan  bahwa 𝑋 = [ ℰ ℰ ℰ ℰ ℰ ℰ ] adalah  invers
Moore-Penrose untuk matriks 𝐴 . Jika diambil 𝑋 ′ = [ ⊖ 3 • 1 • ℰ ℰ ℰ ⊖ (−1) • ] ∇ [ ℰ ℰ ℰ ℰ ℰ ℰ ] = 𝑋 maka 𝑋 ′
juga merupakan invers Moore-Penrose untuk matriks 𝐴 = [ ℰ ℰ ℰ ℰ ℰ ℰ ] . ∎
Berikut  disajikan  teorema  yang  menjelaskan  invers  Moore-Penrose  dari  hasil  perkalian skalar matriks pada aljabar max-plus tersimetri.
Teorema 33. Diberikan 𝑀 + adalah invers Moore-Penrose untuk 𝑀 ∈ 𝕊 𝑚×𝑛 dan 𝑘 ∈ 𝕊 ∗ ∨ . Matriks 𝑘 −1 ⊗ 𝑀 + adalah invers Moore-Penrose untuk matriks 𝑘 ⊗ 𝑀 . Bukti. Diperhatikan bahwa
1. (𝑘 ⊗ 𝑀) ⊗ (𝑘 −1 ⊗ 𝑀 + ) ⊗ (𝑘 ⊗ 𝑀) = 𝑘 ⊗ 𝑘 −1 ⊗ 𝑘 ⊗ 𝑀 ⊗ 𝑀 + ⊗ 𝑀 = 𝑒 ⊗ 𝑘 ⊗ 𝑀 ⊗ 𝑀 + ⊗ 𝑀 = 𝑘 ⊗ 𝑀 ⊗ 𝑀 + ⊗ 𝑀 ∇ 𝑘 ⊗ 𝑀 2. (𝑘 −1 ⊗ 𝑀 + ) ⊗ (𝑘 ⊗ 𝑀) ⊗ (𝑘 −1 ⊗ 𝑀 + ) = 𝑘 −1 ⊗ 𝑘 ⊗ 𝑘 −1 ⊗ 𝑀 + ⊗ 𝑀 ⊗ 𝑀 + = 𝑒 ⊗ 𝑘 −1 ⊗ 𝑀 + ⊗ 𝑀 ⊗ 𝑀 + = 𝑘 −1 ⊗ 𝑀 + ⊗ 𝑀 ⊗ 𝑀 + ∇ 𝑘 −1 ⊗ 𝑀 +
3. ((𝑘 ⊗ 𝑀) ⊗ (𝑘 −1 ⊗ 𝑀 + )) 𝑇 = (𝑘 ⊗ 𝑘 −1 ⊗ 𝑀 ⊗ 𝑀 + ) 𝑇 = (𝑒 ⊗ 𝑀 ⊗ 𝑀 + ) 𝑇 = (𝑀 ⊗ 𝑀 + ) 𝑇 ∇ 𝑀 ⊗ 𝑀 + = 𝑒 ⊗ 𝑀 ⊗ 𝑀 + = 𝑘 ⊗ 𝑘 −1 ⊗ 𝑀 ⊗ 𝑀 + = (𝑘 ⊗ 𝑀) ⊗ (𝑘 −1 ⊗ 𝑀 + )
4. ((𝑘 −1 ⊗ 𝑀 + ) ⊗ (𝑘 ⊗ 𝑀)) 𝑇 = (𝑘 −1 ⊗ 𝑘 ⊗ 𝑀 + ⊗ 𝑀) 𝑇 = (𝑒 ⊗ 𝑀 + ⊗ 𝑀) 𝑇 = (𝑀 + ⊗ 𝑀) 𝑇 ∇ 𝑀 + ⊗ 𝑀 = 𝑒 ⊗ 𝑀 + ⊗ 𝑀 = 𝑘 −1 ⊗ 𝑘 ⊗ 𝑀 + ⊗ 𝑀 = (𝑘 −1 ⊗ 𝑀 + ) ⊗ (𝑘 ⊗ 𝑀) . Jadi 𝑘 −1 ⊗ 𝑀 + adalah invers Moore-Penrose untuk matriks 𝑘 ⊗ 𝑀 . ∎
Sifat-sifat  invers  Moore-Penrose  pada  matriks  aljabar  konvensional  dapat  diadopsi  pada pembahasan  invers  Moore-Penrose  pada  matriks  aljabar  max-plus  tersimetri.  Pengadopsian  sifat tersebut tidak bisa dilakukan secara langsung, akan tetapi harus dilakukan dengan memperhatikan sifat substitusi lemah pada aljabar max-plus tersimetri.
Berikut  disajikan  contoh  kasus  aplikasi  invers  Moore-Penrose  pada  penyelesaian  sistem kesetimbangan linier atas aljabar max-plus tersimetri. Diberikan permasalahan sistem linier
[ 0 −4 3 2 ] ⊗ [ 𝑥 1 𝑥 2 ] ⊕ [ 1 −5 ] = [ −1 1 ℰ 2 ] ⊗ [ 𝑥 1 𝑥 2 ] ⊕ [ 2 7 ] .
Permasalahan tersebut berkorespondensi dengan sistem kesetimbangan linier Crammer
[ 0 ⊖ 1 3 2 • ] ⊗ [ 𝑥 1 𝑥 2 ] ∇ [ 2 7 ] .
Diperhatikan  bahwa  matriks 𝐴 + = [ (−2) • −3 ⊖ (−1) −4 ] adalah  invers  Moore-Penrose  untuk  matriks
𝐴 = [ 0 ⊖ 1 3 2 • ] .  Selanjutnya [ 𝑥 1 𝑥 2 ] ∇𝐴 + ⊗ [ 2 7 ] = [ 4 3 ] adalah  solusi  sistem  kesetimbangan  linier Crammer.
KESIMPULAN Invers  Moore-Penrose  pada  matriks  atas  aljabar  max-plus  tersimetri  dapat  didefinisikan  mirip seperti  pada  matriks  konvensional ,  yakni  dengan  mengganti  relasi  “sama  dengan”  pada  matriks konvensional dengan relasi “ setimbang ( balance ) ” pada matriks atas aljabar max-plus tersimetri. Apabila matriks 𝑀 + adalah invers Moore-Penrose dari 𝑀 pada aljabar max-plus tersimetri, maka eksistensi dari 𝑀 + tidak tunggal. Beberapa sifat invers Moore-Penrose matriks atas aljabar max-plus tersimetri adaah 1.  Matriks 𝑀 adalah invers Moore-Penrose untuk matriks 𝑀 + 2.  Setiap matriks setimbang ( balanced matrix ) adalah invers Moore-Penrose untuk matriks nol 3.  Untuk  suatu  skalar  bertanda  tak  nol 𝑘 ,  matriks 𝑘 −1 ⊗ 𝑀 + adalah  invers  Moore-Penrose  untuk matriks 𝑘 ⊗ 𝑀 .
REKOMENDASI
Penelitian  selanjutnya  berpotensi  dapat  dilakukan  pada  konstruksi  invers  Moore-Penrose dengan menggunakan dekomposisi matriks atas aljabar max-plus tersimetri. Selain itu, juga dapat dilakukan pada aplikasi invers Moore-Penrose pada sistem kesetimbangan linier atas aljabar max- plus tersimetri.

## UCAPAN TERIMAKASIH
Ucapan  terima  kasih  disampaikan  kepada  Universitas  Jenderal  Soedirman  yang  telah memfasilitasi peneliti untuk dapat melakukan penelitian ini.

## DAFTAR PUSTAKA
Baccelli,  F.  (ed.).  (1992). Synchronization  and  linearity:  an  algebra  for  discrete  event  systems . Chichester ; New York: Wiley (Wiley series in probability and mathematical statistics).
Bapat,  R.  B.,  Bhaskara,  R.  K.  P.  S.,  &  Prasad,  K.  M.  (1990).  Generalized  inverses  over  integral domains. Linear  Algebra  and  Its  Applications , 140 ,  181 – 196.  doi:  10.1016/0024- 3795(90)90229-6.
Beezer, R. A. (2015). A first course in linear algebra . Gig Harbor, Wash: Congruent Press. Available at: https://open.umn.edu/opentextbooks/BookDetail.aspx?bookId=5 (Accessed: 10 September 2021).
Ben-Israel,  A.  &  Greville,  T.  N.  E.  (2003). Generalized  inverses : theory  and  applications .  2nd  ed. New York: Springer (CMS books in mathematics, 15).
Bhaskara,  R.  K.  P.  S.  (1983).  On  generalized  inverses  of  matrices  over  integral  domains. Linear Algebra and Its Applications , 49 , 179 – 189. doi:10.1016/0024-3795(83)90102-7.
Campbell, S. L., & Meyer, C. D. (2009). Generalized inverses of linear transformations . Philadelphia: Society for Industrial and Applied Mathematics (Classics in applied mathematics, 56).
Teorema : Teori dan Riset Matematika , 6 (2), 208 – 209, September 2021
De,  S.  B.,  &  De,  B.  (2002).  The  QR  decomposition  and  the  singular  value  decomposition  in  the symmetrized  max-plus  algebra  revisited. SIAM  Review , 44 ( 3 ),  417 – 454. doi:10.1137/S00361445024039.
Farid, F. O., Khan, I. A., & Wang, Q. W. (2013). On matrices over  an arbitrary semiring and their generalized  inverses. Linear  Algebra  and  Its  Applications , 439 ( 7 ),  2085 – 2105. doi:10.1016/j.laa.2013.06.002.
Golub,  G.  H.,  &  Van.  L.  C.  F.  (2013). Matrix  computations .  Fourth  edition.  Baltimore:  The  Johns Hopkins University Press (Johns Hopkins studies in the mathematical sciences).
Hogben, L. (ed.). (2007). Handbook of linear algebra . Boca Raton: Chapman & Hall/CRC (Discrete mathematics and its applications).
Manjunatha, P. K., & Bapat, R. B. (1992). The generalized moore-penrose inverse. Linear Algebra and Its Applications , 165 , 59 – 69. doi:10.1016/0024-3795(92)90229-4.
Pearl,  M.  H.  (1968).  Generalized  inverses  of  matrices  with  entries  taken  from  an  arbitrary  field. Linear Algebra and Its Applications , 1 ( 4 ), 571 – 587. doi:10.1016/0024-3795(68)90028-1.
Pradhan, R., & Pal, M. (2014). Some results on generalized inverse of intuitionistic fuzzy matrices. Fuzzy Information and Engineering , 6 ( 2 ), 133 – 145. doi:10.1016/j.fiae.2014.08.001.
Schutter, B. de. (1996). Max-algebraic system theory for discrete event systems .
Xu, S., & Chen, J. (2019). The Moore-penrose inverse in rings with involution. Filomat , 33 ( 18 ), 5791 – 5802. doi:10.2298/FIL1918791X.