Pendekar : Jurnal  Pendidikan  Berkarakter http://journal.ummat.ac.id/index.php/pendekar
ISSN 2615-1421 | 10.31764
Vol. 3 No. 2 September 2020, Hal. 50-53

## KONSTRUKSI BUKTI MATEMATIS MAHASISWA BERGAYA KOGNITIF REFLEKTIF

## Minatun Nadlifah
Pendidikan Matematika, Universitas Muhammadiyah Malang, Indonesia minatun@umm.ac.id
INFO ARTIKEL ABSTRAK Riwayat Artikel: Diterima: 31-07-2020 Disetujui: 10-09-2020 Abstrak : Penelitian ini bertujuan untuk mendeskripsikan kualitas konstruksi bukti matematis yang  dihasilkan  oleh  mahasiswa  bergaya  kognitif  reflekttif.  Penelitian  dilakukan  dengan menggunakan pendekatan kualitatif dengan jenis penelitian deskriptif-eksploratif. Penelitian melibatkan tiga mahasiswa tahun pertama bergaya kognitif reflektif yang menempuh mata kuliah  teori  bilangan  .  Data  diperoleh  melalui  tiga  tahapan.  Pertama,  identifikasi  gaya kognitif mahasiswa dengan menggunakan instrumen Matching Familiar Figures Test (MFFT). Kedua,  tes  tertulis  terkait  masalah  pembuktian.  Ketiga,  eksplorasi  pemahaman  mahasiswa tentang  konstruksi  bukti  yang  dihasilkan  melalui  teknik  wawancara.  Hasil  penelitian menunjukkan  bahwa  terdapat  tiga  kategori  kualitas  konstruksi  bukti  yang  dihasilkan  oleh mahasiswa bergaya kognitif reflektif, yakni bukti kurang valid dan tidak valid. Hal ini berarti konstruksi  bukti  yang  dihasilkan  memuat  kesalahan  pada  aspek  struktur  bukti  dan pemahaman konseptual bukti.
Abstract: The  purpose  of  the  study  is  to  describe  the  quality  of  mathematical  proof construction  produced  by  the  reflective  cognitive  style  of  undergraduate  students’.  The research  was  conducted  by  a  qualitative  approach  and  used  a  descriptive-explorative research  type.  The  study  involved  three  first-year  undergraduate  students  who  have  a reflective  cognitive  style.  The  data  were  obtained  through  three  stages.  First,  identify  the students’ cognitive style using Matching Familiar Figures Test (MFFT) instrument. Second, a proof written test. Third, exploration of the undergraduate students’ understanding of proof construction  though  interview  technique.  The  results  showed  that  there  were  three categories  of  quality  of  proof  construction  produced  by  the  reflective  cognitive  style  of undergraduate  students,  namely  less  valid  proof  and  invalid  proof.  It  means  that  the construction  of  the  proof  construction  contains  many  errors  in  the  aspects  of  the  proof- structure and proof-conceptual understanding.
Kata Kunci: Konstruksi bukti; Gaya kognitif reflektif.

## ——————————  ——————————

## A. LATAR BELAKANG
Kemampuan  mengkonstruksi  bukti  matematis secara  formal  merupakan  domain  penting  dalam pembelajaran  matematika  di  universitas  (Alcock  & Weber,  2010;  Stylianou  et  al.,  2015).  Pengenalan  proses konstruksi  bukti  secara  formal  kepada  mahasiswa bertujuan untuk membuat makna ( sense )  suatu definisi formal  sebagai  cara  yang  dapat  digunakan  dalam membangun  teorema  secara  deduksi  (Syamsuri,  2016). Konstruksi  bukti  secara  formal  dilakukan  dengan melibatkan  penggunaan  definisi  formal  atau  teorema yang  telah  ditetapkan  sebelumnya  (Alcock  et  al.,  2015; Selden,  2012).  Mengkonstruksi  bukti  matematis  secara formal  berarti  melakukan  sebuah  proses  yang  diawali dari definisi eksplisit kemudian menyimpulkan sifat-sifat lainnya sebagai suatu sebuah konsekuensi (Tall, 2011).
Selden (2012)  mengemukakan bahwa terdapat tiga tindakan  yang  berguna  dalam  mengkonstruksi  bukti. Pertama, mengeksplorasi. Tindakan ini berupa memahami  hal  yang  harus  dibuktikan  dan  hal  yang tersedia  untuk  digunakan  dalam  pembuktian  tanpa
memiliki  gagasan  tentang  cara  untuk  melanjutkan. Kedua, pengerjaan  ulang  argumen  dalam  kasus  yang dicurigai  sebagai  kesalahan  atau  menyampaikan argumen  yang  tidak  sesuai  arah  dan  tidak    membantu. Hal  yang  perlu  dilakukan  adalah  tanggapan  ulang bagian  dari  argumen  tersebut. Ketiga, memvalidasi sebuah penyelesaian bukti. Setelah menyelesaikan bukti, mahasiswa  harus  membaca  dan  memeriksanya  dengan cermat  kebenaran  pada  setiap  baris  dari  atas  ke  bawah dan setiap baris berikutnya dari hal yang telah dijelaskan sebelumnya.
Studi pendahuluan yang dilakukan terhadap empat puluh  lima  mahasiswa  yang  dipilih  secara  acak  untuk menyelesaikan  masalah  pembuktian  yang  berkaitan dengan  materi  keterbagian,  yakni  “Buktikan  dengan menggunakan  induksi  matematika  bahwa habis dibagi  3, ”  menunjukkan  tidak  ditemukannya penggunaan  prosedur  induksi  matematika  dalam konstruksi  pembuktian  yang  dihasilkan.  Sebanyak  76% mahasiswa memilih menyelesaikan masalah pembuktian melalui  penggunaan  contoh  khusus  sedangkan  24%
mahasiswa  menggunakan  prosedur  pembuktian  lain yang tidak mendukung penyelesaian masalah.
Melalui wawancara diketahui bahwa sebagian besar mahasiswa  menyatakan  lupa  prosedur  pembuktian dengan  menggunakan  induksi  matematika.  Selain  itu, diketahui  juga  terdapat  mahasiswa  yang  mengetahui prosedur  pembuktian  dengan  menggunakan  induksi matematika  namun  tidak  dapat  mengaplikasikannya dalam penyelesaian masalah. Oleh karenanya, mahasiswa  cenderung  memilih  sebarang  dua  atau  tiga bilangan  bulat  positif  yang  lebih  mudah  digunakan untuk  menunjukkan  pernyataan
habis  dibagi 3, bernilai benar.
Beberapa  peneliti  telah  memfokuskan  penelitian pada  konstruksi  bukti  matematis.  Hasil  penelitian Nadlifah  &  Prabawanto  (2017)  menunjukkan  bahwa konstruksi  bukti  yang  dihasilkan  oleh  mahasiswa  tahun pertama  berada  pada  dua  kategori  bukti,  yakni  visual dan  simbolik.  Syamsuri  dkk  (2016)  mendeskripsikan karakteristik konstruksi bukti formal berdasarkan struktur bukti  yang  dihasilkan  dan  pemahaman  konseptual mahasiswa  dalam  bentuk  Model  Kuadran.  Abdussakir (2014) mengggambarkan proses berpikir yang digunakan oleh mahasiswa dalam mengkonstruksi bukti dengan menggunakan strategi semantik.
Upaya  peningkatan  kemampuan  mahasiswa  dalam pembuktian  matematis  juga  dilakukan  oleh  beberapa peneliti  melalui  beberapa  penerapan  strategi  dan pendekatan berikut: strategi abduktif-deduktif (Salsabila, Ratnaningsih,  &  Hadi,  2015);  pendekatan  induktif- deduktif  berbasis  definisi  termodifikasi  (Samparadja, 2014)  dan  pendekatan  progresif    (Kodirun,  2014). Dengan  demikian,  fokus  kajian  yang  dilakukan  peneliti sebagian  besar  menekankan  pada  prosedur  dan  proses berpikir  dalam  mengkonstruksi  bukti  tanpa  melibatkan karakteristik yang dimiliki oleh mahasiswa.
Secara  psikologis,  mahasiswa  memiliki  cara  yang berbeda  dalam  menerima,  mengolah,  mengorganisasi, dan  merespon  suatu  informasi  (Michalska  &  Zajac- Lamparska, 2015). Perbedaan karakter tersebut berkaitan dengan gaya kognitif. Gaya kognitif reflektif merupakan salah  satu  dimensi  gaya  kognitif  yang  menunjukkan kecenderungan  seseorang  dalam  merespon  masalah secara lambat namun respon yang diberikan cenderung tepat.  Dalam  proses  pemecahan  masalah  matematika, subjek  yang  bergaya  kognitif  reflektif  terlihat  sangat berhati-hati dalam setiap tahapannya serta mempertimbangkan  semua  alternatif  penyelesaian masalah (Rosyada & Rosyidi, 2018).
Berdasarkan  paparan  hasil  penelitian,  pendapat para  ahli  serta  fakta-fakta  tentang  pembuktian matematis  dan  gaya  koginitif  reflektif,  maka  kualitas konstruksi bukti matematis mahasiswa perlu untuk dikaji secara  mendalam,  khususnya  pada  mahasiswa  tahun pertama yang bergaya kognitif reflektif.

## B. METODE PENELITIAN
Penelitian  ini  menggunakan  pendekatan  kualitatif dengan  jenis  penelitian  deskriptif-eksploratif.  Penelitian melibatkan empat mahasiswa tahun pertama di Program Studi
Pendidikan Matematika Universitas
Muhammadiyah Malang yang bergaya kognitif reflektif.
Data diperoleh melalui tiga tahapan. Tahap pertama, identifikasi  gaya  kognitif  mahasiswa  tahun  pertama dengan  menggunakan  instrumen  tes Matching  Familiar Figure  Test (MFFT).  Mahasiswa  tahun  pertama  yang memenuhi  kriteria  bergaya  kognitif  reflektif  selanjutnya disebut  sebagai  mahasiswa  reflektif.  Tahap  kedua,  tes tertulis  tentang  masalah  pembuktian  matematis  yang berkaitan dengan materi keterbagian bilangan bulat. Tes diberikan  kepada  tiga  mahasiswa  reflektif  yang  telah dipilih secara acak. Tahap ketiga, eksplorasi pemahaman mahasiswa  terhadap  konstruksi  bukti  yang  dihasilkan melalui teknik wawancara.
Kualitas  konstruksi  bukti  yang  dihasilkan  oleh mahasiswa  reflektif  selanjutnya  dianalis  dengan menggunakan  dua  aspek  penilaian  pembuktian,  yakni struktur  dan  pemahaman  konseptual.  Aspek  struktur bukti meliputi susunan bukti, asumsi, urutan bukti, jenis bukti  dan  penggunaan  notasi.  Aspek  pemahaman konseptual  meliputi  kecukupan  rincian,  kejelasan pernyataan,  kebenaran  implikasi  dan  pernyataan,  serta penyajian kasus.
Adapun  kriteria  kualitas  konstruksi  bukti  yang dihasilkan  oleh  mahasiswa  reflektif  diklasifikasikan  ke dalam empat kategori, yakni (1) valid , jika bukti memuat semua  kriteria  pada  aspek  penilaian  pembuktian,  (2) kurang  valid ,  jika  bukti  secara  subtansial  memuat langkah/gagasan  sudah  benar  atau  memenuhi  kategori pada aspek penilaian namun terdapat kekurangan dalam penyajiannya,  (3) tidak  valid ,  jika  bukti  memuat  banyak kesalahan  pada  aspek  penilaian  atau  berupa  penulisan kembali  masalah  menggunakan  bahasa    mahasiswa sendiri  namun  tidak  ada  dasar  dalam  upaya mengkonstruksi  bukti,  dan  (4) sangat  tidak  valid, jika tidak memberikan bukti.

## C. HASIL DAN PEMBAHASAN
1. Hasil
Penelitian  ini  berupaya  untuk  mendeskripsikan kualitas  konstruksi  bukti  matematis  yang  dihasilkan oleh  mahasiswa  reflektif.  Tabel  1  menunjukkan kualitas  konstruksi  bukti  yang  dihasilkan  oleh mahasiswa  reflektif  dalam  menyelesaikan  masalah pembuktian  berikut:  “Buktikan  bahwa  jumlah  lima bilangan bulat berurutan selalu habis dibagi lima!”
Tabel 1. Kualitas Konstruksi Bukti Mahasiswa
Responden Konstruksi Bukti M1 Kurang Valid M2 Tidak Valid M3 Tidak Valid
Tabel  1  menunjukkan  bahwa  kualitas  konstruksi bukti  yang  dihasilkan  oleh  mahasiswa  reflektif termasuk dalam kategori kurang valid dan tidak valid. Konstruksi  bukti  yang  dihasilkan  oleh  M1  dan  M4 termasuk  dalam  kategori  kurang  valid  sedangkan konstruksi  bukti  yang  dihasilkan  oleh  M2  dan  M3 termasuk dalam kategori tudak valid.
Gambar  1  merupakan  konstruksi  bukti  yang dihasilkan  oleh  M1.  Secara  umum,  M1  memiliki pemahaman  yang  baik  tentang  fakta  yag  diketahui dan  unsur  yang  hendak  dibuktikan.  Hal  ini  terlihat
dari  kemampuan  M1  dalam  merepresentasikan  fakta tentang  lima  bilangan  bulat  berurutan  dan  bilangan habis dibagi 5.
Gambar 1. Hasil Konstruksi Bukti oleh M1
Ditinjau  dari  struktur  bukti,  M1  menggunakan metode  pembuktian  langsung  namun  belum disajikan  secara  sistematis.  Selain  itu,  M1  juga menggunakan notasi “ ” secara  tidak tepat. Ditinjau dari  pemahaman  konsep,  terdapat  langkah  penting yang  memerlukan  justifikasi  dan  penjelasan  namun tidak disertakan dalam pembuktian, yakni “
”. Berbeda  dengan  M1,  secara  umum,  M2  telah mengetahui  fakta  dalam  pernyataan  namun  belum mampu  merepresentasikan  fakta  dalam  notasi matematika  yang  tepat.  Gambar  2  menunjukkan konstruksi bukti yang dihasilkan oleh M2.
Gambar 2. Hasil Konstruksi Bukti oleh M2
Ditinjau  dari  struktur  bukti,  M2  hanya memberikan  contoh  kasus  dalam  penyeledaian masalah  pembuktian.  Pemilihan  lima  bilangan  bulat tertentu  yang  berurutan  sebagai  asumsi  pembuktian merupakan  hal  yang  tidak  dibenarkan.  Ditinjau  dari pemahaman  konsep,  hanya  ada  dua  contoh  kasus khusus yang belum dapat digeneralisasi.
Tidak berbeda dengan M2, hasil konstruksi bukti M3  juga  dilakukan  melalui  pemilihan  contoh  kasus sebagaimana  tersaji  pada  Gambar  3.  Secara  umum, M3  telah  mampu  mengidentifikasi  fakta  yang diketahui  dalam  pernyataan  dan  juga  unsur  yang akan dibuktikan namun belum dapat menghubungkannya  dengan  bahasa  dan  notasi matematika yang benar.
Gambar 3. Hasil Konstruksi Bukti oleh M3
Ditinjau daei pemahaman konsep, argumen yang ditampilkan  pada  pembuktian  mengandung  makna ambigu  atau  membingungkan.  Ditinjau  dari  struktur pembuktian,  Gambar  4.6  menunjukkan  bahwa  RF3 mengawali  pembuktian  dengan  cara  menetapkan bilangan  1,  2,  3,  4,  5  sebagai  asumsi  kebenaran. Selanjutnya digunakan operasi penjumlahan terhadap asumsi  untuk  membuktikan  pernyataan  jumlah  lima bilangan  bulat  berurutan  habis  dibagi  lima.  Pada proses  pembuktian,  muncul  lima  bilangan  bulat berurutan lain yang tidak diasumsikan diawal langkah pembuktian,  yakni  bilangan  2,  3,  4,  5,  6.    Langkah pembuktian juga memuat notasi yang membingungkan, yakni .

## 2. Pembahasan
Secara  umum,  konstruksi  bukti  yang  dihasilkan oleh mahasiswa reflektif tidak termasuk dalam kriteria konstruksi  bukti  yang  valid.  Konstruksi  bukti  yang dihasilkan oleh mahasiswa reflektif banyak dikategorikan  sebagai  bukti  yang  tidak  valid,  artinya konstruksi  bukti  yang  dihasilkan  banyak  memuat kesalahan  terkait  aspek  struktur  bukti  dan pemahaman  konseptual.  Kriteria  konstruksi  bukti yang  tidak  valid  sejalan  dengan  kriteria  bukti  formal pada  model  kuadran  III  yang  dikemukakan  oleh Syamsuri  dkk  (2016).  Adapun  karakteristik  konstruksi bukti  formal  pada  kuadran  III,  yakni  bukti  berisi beberapa  konsep  yang  salah,  membuat  pernyataan yang  tidak  tepat  atau  salah  perhitungan,  serta mengklaim  suatu  pernyataan  merupakan  implikasi dari pernyataan yang lain.
Terdapat  satu  orang  mahasiswa  reflektif  yang menghasilkan  konstruksi  bukti  dalam  kriteria  bukti yang  kurang  valid  pada  setiap  penyelesaian  soal pembuktian  yang  diberikan.  Ini  berarti  bukti  yang dihasilkan  secara  subtansial  menunjukkan  gagasan yang  mendukung  pembuktian  atau  memenuhi kategori  pada  aspek  penilaian  pembuktian  namun terdapat  kekurangan  dalam  penyajiannya.  Kriteria konstruksi bukti tersebut sejalan dengan kriteria bukti formal pada model kuadran II (Syamsuri dkk, 2016).
Hasil  penelitian  menunjukkan  hanya  M1  yang melakukan  pembuktian  melalui  metode  pembuktian langsung.  Konstruksi  bukti  yang  dihasilkan  juga menunjukkan  kemampuan  M1  dalam  membuat koneksi  antara  fakta  yang  diketahui  dan  unsur  yang akan dibuktikan. M1 memanfaatkan aturan suku ke- n dari barisan dan deret aritmatika untuk membuktikan pernyataan  “jumlah  lima  bilangan  bulat  berurutan selalu  habis  dibagi  5”.  Konstruksi  bukti  yang dihasilkan  M1  juga  mengarah  pada  kebenaran penarikan  kesimpulan  melalui  koneksi  antara  fakta
jumlah  lima  bilangan  berurutan  dan  bilangan  yang habis  dibagi  lima  dengan  memanfaatkan  sifat keterbagian bilangan bulat.
Langkah  pembuktian  yang  dilakukan  oleh  M1 sejalan  dengan  pernyataan  Healy  &  Hoyles  (1998), yakni  untuk  dapat  mengkonstruksi  pembuktian secara valid, mahasiswa harus mampu memilah-milah sifat-sifat  tertentu  yang  telah  diketahui  dan  yang akan disimpulkan serta mampu mengatur transformasi  yang  penting  untuk  menyimpulkan kumpulan  sifat  kedua  dari  rangkaian  pertama sehingga menjadi rangkaian bukti yang koheren dan lengkap.
Hasil  penelitian  yang  berbeda  ditunjukkan  oleh M2  dan  M3.  Keduanya  hanya  memberikan  contoh kasus untuk menetapkan kebenaran pernyataan lima bilangan  bulat  habis  dibagi  lima.  M2  menyadari bahwa  pembuktian  seharusnya  dilakukan  dengan cara  membuktikan  pernyataan  secara  umum  namun keterbatasan pemahaman tentang cara merepresentasikan  fakta  lima  bilangan  berurutan secara  matematis  mendorong  M2  dan  M3  memilih contoh kasus sebagai upaya membuktikan pernyataan.  Padahal,  penggunaan  contoh  spesifik hanya  untuk  membantu  proses  konstruksi  bukti  dan bukan  sebagai  bukti  yang  valid  (Alcock  &  Weber, 2010).

## D. SIMPULAN DAN SARAN
Konstruksi  bukti  yang  dihasilkan  oleh  mahasiswa reflektif  dikategorikan  ke  dalam  tiga  kategori,  yakni kurang  valid,  dan  tidak  valid.  Meskipun  demikian, konstruksi bukti yang dihasilkan oleh mahasiswa reflektif banyak  dikategorikan  sebagai  bukti  yang  tidak  valid, artinya konstruksi bukti yang dihasilkan banyak memuat kesalahan  terkait  aspek  struktur  bukti  dan  pemahaman konseptual.
Mahasiswa  reflektif  mampu  mengaitkan  fakta dengan  konsep  matematika,  seperti  konsep  bilangan bulat  berurutan  dengan  konsep  barisan  dan  deret aritmatika.  Meskipun  demikian,  temuan  penelitian menunjukkan  mahasiswa  reflektif  kesulitan  dalam mentranformasi  fakta  yang  ada  ke  dalam  notasi matematika.  Hal  ini  menjadi  faktor  penyebab  pemilihan contoh  kasus  sebagai  upaya  menunjukkan  kebenaran suatu  pernyataan.  Oleh  karena  itu,  perlu  adanya pemberian scaffolding dan reinforcement untuk mengatasi  kesulitan  mahasiswa  dalam  menghasilkan konstruksi bukti yang valid.

## DAFTAR RUJUKAN
Abdussakir. (2014). Proses Berpikir Mahasiswa dalam Menyusun Bukti  Matematis  dengan  Strategi  Semantik. Jurnal Pendidikan Sains, 2(3), 132–140.
Alcock, L., Hodds, M., Roy, S., & Inglis, M. (2015). Investigating and  Improving  Undergraduate  Proof  Comprehension. Notices of the American Mathematical Society, 62(07), 1. https://doi.org/10.1090/noti1263 Alcock, L., & Weber, K. (2010). Undergraduates’ Example Use in Proof  Construction:  Purposes  and  Effectiveness. Investigations  in  Mathematics  Learning,  3(1),  1–22. https://doi.org/10.1080/24727466.2010.11790298 Healy, L., & Hoyles, C. (1998). Justifying and proving in school
mathematics. Technical Report on the Nationwide Survey (Mathematic).  Institute  of  Education,  University  of London.
Kodirun.  (2014). Pengaruh  Pendekatan  Progresif  Terhadap Peningkatan  Kemampuan  Mahasiswa  dalam  Pembuktian dan  Penulisan  Jurnal  Matematika.  Sekolah  Pascasarjana, Universitas Pendidikan Indonesia.
Michalska,  P.,  &  Zajac-Lamparska,  L.  (2015).  The  Measurement of  Cognitive  Style  Reflection-Impulsivity  in  the Adulthood-Results of Own Study. Journal Polskie Forum Psychologiczne, 20(4), 573–588.
Nadlifah,  M.,  &  Prabawanto,  S.  (2017).  Mathematical  Proof Construction :  Students  ’  Ability  in  Higher  Education Mathematical  Proof  Construction :  Students  ’  Ability  in Higher  Education. Journal  of  Physics:  Conference  Series, 895(1), 1–5.
Rosyada, A., & Rosyidi, A. H. (2018). Profil Pemecahan Masalah Matematika Konstektual Terbuka Siswa ditinjau dari Gaya Kognitif  Reflektif  dan  Impulsif. Jurnal  Ilmiah  Pendidikan Matematika, 7(2), 299–307.
Salsabila,  E.,  Ratnaningsih,  &  Hadi,  I.  (2015).  Pembekalan
Pemahaman  Metode  Pembuktian  Matematika  dan Penerapan Strategi Abduktif-Deduktif untuk
Mengembangkan  Kemampuan  Membuktikan  Konsep Aljabar  Abstrak  pada  Mahasiswa  Jurusan  Matematika FMIPA UNJ. Jurnal Matematika Integratif, 11(1), 15–24. Samparadja, H. (2014). Pengaruh Pendekatan Induktif-Deduktif Berbasis  Definisi  Termodifikasi  dalam  Pembelajaran Struktur  Aljabar  terhadap  Peningkatan  Kemampuan Pembuktian  dan  Disposisi  Berpikir  Kreatif  Matematis Mahasiswa. Sekolah Pascasarjana, Universitas Pendidikan Indonesia,.
Selden, A. (2012). Transitions and Proof and Proving at Tertiary Level.  In  G.  Hanna  &  M.  de  Villiers  (Eds.), Proof  and Proving in Mathematics Education : 19th ICMI Study (pp. 391–420). Springer.
Stylianou,  D.  A.,  Blanton,  M.  L.,  &  Rotou,  O.  (2015). Undergraduate  Students’  Understanding  of  Proof: Relationships  Between  Proof  Conceptions,  Beliefs,  and Classroom Experiences with Learning Proof. International Journal  of  Research  in  Undergraduate  Mathematics Education,  1(1),  91–134.  https://doi.org/10.1007/s40753- 015-0003-0
Syamsuri.  (2016).  Skema  Berpikir  Mahasiswa  Dalam Mengonstruksi  Bukti  Formal  Matematis  Menggunakan Cognitive  Mapping. Jurnal  Penelitian  Dan  Pembelajaran Matematika, 9(1), 73–82.
Syamsuri,  Purwanto,  Subanji,  &  Irawati,  S.  (2016a).  Facilitating Students  From  Inadequacy  Concept  in  Constructing Proof  to  Formal  Proof. 3rd  International  Conference  on Research, Implementation and Education of Mathematics and Science, May, ME-34.
Syamsuri,  S.,  Purwanto,  P.,  Subanji,  S.,  &  Irawati,  S.  (2016b). Characterization of students formal-proof construction in mathematics  learning. Communications  in  Science  and Technology, 1(2), 42–50. https://doi.org/10.21924/cst.1.2.2016.2 Tall,  D.  (2011). Perceptions,  operations  and  proof  in undergraduate mathematics. 1(1), 19–27.