## KONSTRUKSI KODE CROSS BIFIX BEBAS TERNARI BERPANJANG GENAP UNTUK MENGATASI MASALAH SINKRONISASI FRAME
Moh. Affaf 1) , Zaiful Ulum 2)
1, 2) Pendidikan Matematika STKIP PGRI Bangkalan Jl. Sukarno Hatta Bangkalan Madura e-mail: mohaffaf@stkippgri-bkl.ac.id 1) , zaifululum@stkippgri-bkl.ac.id 2)

## ABSTRAK
Untuk  menjamin  adanya  keselarasan  diantara  transmitter  dan  receiver  pada  frame  data  yang  dipancarkan  secara berkesinambungan,  receiver  harus  dapat  mendeteksi  awalan  data  yang  dikirimkan  transmitter.  Dalam  sistem  komunikasi, masalah ini disebut Sinkronisasi Frame. Studi Kode Cross Bifix Bebas muncul untuk mengatasi masalah Sinkronisasi Frame melalui metode barisan pertama kali diperkenalkan pada tahun 2000. Suatu Kode Cross Bifix Bebas dengan panjang 𝑛 adalah himpunan barisan dengan panjang 𝑛 dimana awalan (prefix) dengan panjang kurang dari 𝑛 dari suatu barisan tidak muncul sebagai akhiran (suffix) dari barisan yang lain. Pada tahun 2012,  suatu Kode Cross Bifix Bebas Binari dikonstruksi dengan memanfaatkan  Lintasan Dyck .  Selanjutnya,  pada  tahun  2017  suatu  Kode Cross  Bifix Bebas  Ternari  berpanjang  ganjil, 𝐶𝐵𝐹𝑆 3 (2𝑚 + 1) ,  dikonstruksi  dengan  cara  memanfaatkan  konstruksi  Kode Cross  Bifix Bebas  Binari  yang  memanfaatkan Lintasan Dyck .  Pada  paper  ini,  akan  diberikan  suatu  metode  untuk  memperluas  Kode Cross  Bifix Bebas  Binari  yang dikonstruksi  dengan  memanfaatkan  Lintasan Dyck , 𝐶𝐵𝐹𝑆 2 (2𝑚 + 2) ,  menjadi  Kode Cross  Bifix Bebas  Ternari, 𝐶𝐵𝐹𝑆 3 (2𝑚 + 2) .
Kata Kunci : barisan terdistribusi, kode cross bifix bebas, Lintasan Dyck , sinkronisasi frame

## ABSTRACT
In order to guarantee the synchronization between a transmited data by transmitter and received data by receiver can be done by periodically inserting a fixed sequence into the transmited data. It is one of the main topic in digital communication systems  which  called  Frame Synchronization.  Study  of  Cross  Bifix  Free  Codes  arise  to  solve  Synchronization’s  problem  via distributed sequence’s method which introducted first in 2000. A Cross Bifix Free Codes is a set of sequences in which no prefix of any length of less than to 𝑛 of any sequences is the sufix of any sequence in the set. In 2012, a Binary Cross Bifix Free Codes was  constructed  by  using  Dyck  path.  In  2017,  a  Ternary  Cross  Bifix  Free  Codes  with  odd  lenght  was  constructed, 𝐶𝐵𝐹𝑆 3 (2𝑚 + 1) , by generalize the construction of binary cross bifix free. In this paper, will be constructed Ternary Cross Bifix Free Codes for even length, 𝐶𝐵𝐹𝑆 3 (2𝑚 + 2) , by expand the construction of Binary Cross Bifix Free Codes.
Keywords :  cross bifix free codes, distributed sequence, Dyck Path, frame synchronization

## I. P ENDAHULUAN
rame  Synchronization adalah  salah  satu  masalah  dalam  sistem  komunikasi.  Dalam  sistem  ini,  untuk menjamin  adanya  keselarasan  diantara transmitter /pengirim dan receiver /penerima  pada  frame  data  yang dipancarkan,  disisipkan  kata  penyelaras secara  periodik  ke  dalam  aliran  data.  Untuk  itu,  penerima  perlu mengetahui dimana aliran data dimulai. Dalam hal ini, kata penyelaras berperan sebagai penanda pada frame yang mana permulaan data dari pesan yang dikirimkan.
Dalam kasus sinkronisasi ini, receiver dilengkapi dengan alat pendeteksi pola untuk mengenali kata penyelaras. Pada tahun 1972, suatu prosedur untuk mencari kata penyelaras dalam suatu aliran data pada Gaussian Channel pertama kali diperkenalkan [1].  Setahun kemudian, yakni di tahun 1973, [2] menunjukkan bahwa pencarian kata penyelaras dapat diminimumkan jika kata penyelaras yang diambil memiliki sifat bebas imbuhan ( bifix free ). Disini terminologi Bifix Free diperkenalkan.
Pada tahun 2000, diperkenalkan metode baru untuk mengatasi masalah Sinkronisasi frame [3 ] . Caranya adalah dengan  mengirimkan  data-data  yang  berasal  dari  kode {𝑥 1 , 𝑥 2 𝑥 3 , . . . , 𝑥 𝑘 } yang  mempunyai  sifat  khusus.  Agar permulaan dari suatu data frame dapat dikenali, kita harus memastikan bahwa semua akhiran sejati dari 𝑥 𝑖 tidak muncul sebagai awalan dari 𝑥 𝑗 untuk setiap 𝑥 𝑖 dan 𝑥 𝑗 anggota {𝑥 1 , 𝑥 2 𝑥 3 , . . . , 𝑥 𝑘 } . Kode yang seperti ini disebut Himpunan/Kode  Cross  Bifix  Bebas .  Selanjutnya,  referensi  [4]-[5]  menjelaskan  bagaimana  sistem  mencari, mendeteksi, dan menemukan barisan terdistribusi ini dan referensi [6] menjelaskan bagaimanan penerapan Kode Cross Bifix Bebas dalam dunia kedokteran, tepatnya dalam penyimpanan DNA.
F
Para peneliti mengusulkan beberapa cara untuk mengontruksi kode tersebut. Pertama [7], yang mengkontruksi kode  tersebut  dengan  menggunakan  metode  yang  disebut Kernel  Set .  Kemudian,  pada  2012  diperkenalkan kontruksi kode cross bifix bebas dengan panjang sebarang [8]. Selanjutnnya, [9] memperluas [8] untuk panjang ganjil sehingga menjadi Kode Cross Bifix Bebas Ternari.
Kontruksi  kode  cross  bifix  bebas  dengan  menggunakan alphabet yang  mempunyai q simbol  diperkenalkan pertama kali di tahun 2013 [10]. Kode yang dikonstruksi pada tahun 2013 tersebut dikenal sebagai Kode 𝑆 𝑘,𝑞 (𝑛) , yaitu kode dengan 𝑞 simbol dimana 𝑘 menyatakan banyaknya simbol nol yang muncul pada awalan dengan panjang 𝑛 pada  setiap  katakode.  Referensi  [10]  mengklaim  bahwa  kode  yang  dikonstruksinya  mendekati  kode  optimal 𝐶(𝑛, 𝑞) . Sayangnya keoptimalan kode Chee bergantung kepada parameter 𝑘 . Tidak diketahui dengan pasti untuk panjang kode 𝑛 tertentu berapa nilai 𝑘 yang membuat 𝑆 𝑘,𝑞 (𝑛) optimal.
Dua tahun kemudian, yaitu pada tahun 2015, diamati bahwa kode yang dihasilkan [10] memiliki sifat yang baik hanya saat 𝑞 simbol yang cukup kecil. Untuk mengatasi kelemahan tersebut, diajukan metoda baru yang merupakan perumuman  dari  metoda  [10]  yang  mempunyai  sifat  yang  baik  untuk  setiap  parameter  [11].  Kode  ini  diklaim menghasilkan kode yang optimal saat panjang katakodenya, yaitu 𝑛 , membagi banyaknya simbol, yaitu 𝑞 . Selain dari [7-11] di atas, konstruksi Kode Cross Bifix Bebas juga diangkat/dibahas dalam [12-14]

## II. M ETODE
Pada bagian ini akan dijelaskan mengenai beberapa definisi dan istilah dalam teori koding yang terkait dengan kode cross bifix bebas. Selain itu, pada bagian ini juga diberikan definisi dan lintasan Grand Dyck dan lintasan Dyck yang merupakan ide utama dari konstruksi yang dilakukan pada [2]. Di bagian akhir bagian ini akan diberikan metode konstruksi yang akan digunakan dalam penelitiaan ini.

## A. Definisi dan Istilah pada Kode
Misalkan Σ adalah  himpunan  berhingga  dengan  kardinalitas q .  Anggota  dari  Σ disebut simbol sedangkan  Σ disebut sebagai alfabet . Himpunan semua barisan berhingga (mungkin barisan kosong) di Σ dinotasikan dengan Σ ∗ dan anggota Σ ∗ disebut kata atau katakode . Selanjutnya, katakan Σ + adalah barisan berhingga yang takkosong di Σ. Dengan kata lain, Σ + = Σ ∗ \{𝜀} dimana 𝜀 menyatakan barisan kosong. Sebagai contoh, Misal Σ = {0,1} , maka 𝜀 , 101 , 00011 , 1110001 adalah anggota dari Σ ∗ , dimana 𝜀 menyatakan barisan kosong, dengan 𝜀 bukan anggota dari Σ + .
Selanjutnya, untuk 𝜔 anggota Σ + dengan 𝜔 = 𝑢𝑣𝑤 dimana 𝑢 dan 𝑤 anggota Σ + serta 𝑣 anggota Σ ∗ , maka u dan w disebut prefix dan sufix dari 𝜔 , dinotasikan berturut-turut sebagai pre ( ω ) dan suf ( ω ). Untuk prefix atau sufix dari ω dengan  panjang k dinotasikan  dengan 𝑝𝑟𝑒 𝑘 (𝜔) atau 𝑠𝑢𝑓 𝑘 (𝜔) ,  berurutan.  Dari sini, jelas  bahwa  panjang sufix  dan  prefix  suatu  kata  di Σ + kurang  dari  panjang  kata  tersebut.  Disini,  didefinisikan  pula |𝑝𝑟𝑒 𝑘 (𝜔)| 𝑎 dan |𝑠𝑢𝑓 𝑘 (𝜔)| 𝑎 berturut-turut sebagai banyaknya simbol 𝑎 pada prefix dan sufix dari 𝜔 dengan panjang k. Contohnya, untuk  Σ = {0,1} dengan 𝜔 =  111001001 ,  maka 𝑝𝑟𝑒 4 (𝜔) adalah  1110, 𝑠𝑢𝑓 3 (𝜔) adalah  001,  dan |𝑝𝑟𝑒 5 (𝜔)| 0 adalah 2.
Sebuah bifix dari 𝜔 adalah sebuah kata yang muncul sekaligus sebagai prefix dan sufix dari 𝜔 . Sebuah katakode di Σ + disebut Bifix Bebas jika dan hanya jika tidak ada 𝑝𝑟𝑒 𝑘 (𝜔) yang sekaligus merupakan 𝑠𝑢𝑓 𝑘 (𝜔) . Kemudian, subhimpunan  dari Σ + yang  anggotanya  kata-kata  bifix  bebas  disebut  himpunan  bifix  bebas.  Lebih  lanjut, subhimpunan tak kosong 𝐶 dari Σ + disebut kode cross bifix bebas jika dan hanya jika untuk setiap 𝜔 𝑖 dan 𝜔 𝑗 di 𝐶 tidak ada 𝑝𝑟𝑒 𝑘 (𝜔 𝑖 ) yang sekaligus 𝑠𝑢𝑓 𝑘 (𝜔 𝑗 ) . Jika 𝐶 subhimpunan dari Σ n , maka 𝐶 disebut kode cross bifix bebas dengan panjang 𝑛 . Jelas bahwa kode cross bifix bebas adalah himpunan dari katakode bifix bebas. Sebagai contoh, untuk Σ = {0,1} , kata 1010101 di Σ + memuat tiga bifix, yaitu 1, 101, dan 10101. Kemudian, himpunan katakode {1111000,111001100,1110100,1110010,1101010} yang merupakan subhimpunan dari Σ 7 adalah kode cross bifix bebas dengan panjang 7.
Pada subbagian selanjutnya, akan dibahas mengenai Lintasan Dyck, mengingat lintasan ini adalah ide utama dari konstruksi Bilotta. Sebelum itu, perlu diketahui tentang beberapa konsep lintasan yang akan mendukung definisi formal dari lintasan dyck.

## B. Lintasan Dyck
Lintasan Latis dengan panjang 𝑛 ialah barisan koordinat 𝑃 0 𝑃 1 𝑃 2 ⋯ 𝑃 𝑛 di ℤ × ℤ dengan 𝑃 𝑗 dan 𝑃 𝑗+1 dihubungkan oleh  sebuah  segmen/sisi  untuk  setiap 𝑗 = 0,1,2, ⋯ 𝑛 − 1 .  Untuk  kemudahan,  misalkan  segmen  yang menghubungkan 𝑃 𝑗 dan 𝑃 𝑗+1 dinotasikan dengan 𝑃 𝑗 𝑃 𝑗+1 . Dengan kata lain, lintasan latis dengan panjang 𝑛 dapat dipandang sebagai lintasan pada koordinat kartesius yang setiap ujung segmennya berada pada koordinat bilangan bulat. Dalam hal representasi geometris, dapat dipandang 𝑃 0 = (0,0) .
Selanjutnya, untuk 𝑚 > 0 , lintasan latis dengan panjang 2𝑚 , 𝑃 0 𝑃 1 𝑃 2 ⋯ 𝑃 2𝑚 , dikatakan Lintasan Grand Dyck jika dan hanya jika 𝑃 0 dan 𝑃 2𝑚 memiliki koordinat yang sama dan segmen PjPj+1 termuat dalam garis bergradien 1  atau  termuat  dalam  garis  bergradien −1 serta |𝑃 𝑗 𝑃 𝑗+1 | = |𝑃 𝑘 𝑃 𝑘+1 | untuk  setiap 𝑗 dan 𝑘 di {0,1,2, ⋯ 𝑛 − 1} . Katakan segmen yang termuat pada garis bergradien 1 disebut langkah naik, dinotasikan dengan 𝑥 dan segmen yang termuat pada garis bergradien −1 disebut langkah turun, dinotasikan dengan 𝑥̅ . Jadi, Lintasan Grand Dyck dengan  panjang 2𝑚 dapat  didefinisikan  sebagai lintasan yang  berawal  dari (0,0) dan  berakhir  di (2𝑚, 0) yang hanya memiliki langkah naik dan langkah turun, dimana setiap langkah tersebut berpanjang sama.
Gambar 1. Lintasan Latis dengan panjang 7
Gambar 2. Lintasan Grand Dyck dengan 𝑚 = 3
Lebih  jauh,  dengan  asumsi 𝑃 0 = (0,0) ,  maka  lintasan  Grand  Dyck  dengan  panjang 2𝑚 , 𝑃 0 𝑃 1 𝑃 2 ⋯ 𝑃 2𝑚 , dikatakan Lintasan Dyck dengan panjang 2𝑚 jika dan hanya jika tidak ada 𝑃 𝑖 berada yang berada di bawah sumbu- 𝑥 .
Misalkan 𝐷 2𝑚 adalah himpunan lintasan Dyck dengan panjang 2𝑚 . Telah diketahui bahwa kardinalitas dari 𝐷 2𝑚 adalah sebanyak 1 𝑚+1 ( 2𝑚 𝑚 ) , yaitu Bilangan Catalan ke- 𝑚 yang dinotasikan dengan 𝐶 𝑚 . Lintasan Dyck dengan panjang  nol  didefinisikan  sebagai  lintasan  latis  yang  hanya  terdiri  dari  satu  titik  P  di ℤ × ℤ .  Oleh  karena  itu, dikatakan kardinalitas dari 𝐷 0 adalah 1.
Mengingat 𝑔𝑜𝑎𝑙 dari  penelitian  ini  adalah  memperluas  Konstruksi  pada [2] ,  maka  kajian  pustaka  ini  akan ditutup  dengan  konstruksi  kode cross  bifix bebas  Binari  oleh  Stefano  Bilotta  dkk  pada  tahun  2012.  Bilotta mengkonstruksi kode cross bifix bebas Binari dengan memanfaatkan Lintasan Dyck . Dalam konstruksinya, Bilotta membagi kode yang dikonstruksinya menjadi tiga bagian, yaitu untuk panjang kode ganjil, panjang kode ganjil dengan  parameter  genap,  dan  panjang  kode  genap  dengan  parameter  ganjil.  Dari  konstruksinya  ini,  Bilotta memperoleh hasil bahwa 𝐶𝐵𝐹𝑆 2 (𝑛) adalah himpunan cross bifix bebas yang tak dapat diperluas di 𝐻 2 (𝑛) , yaitu himpunan  kata  kode  Binari  dengan  panjang 𝑛 ,  artinya  setiap  diambil ℎ anggota 𝐻 2 (𝑛) yang  bukan  anggota 𝐶𝐵𝐹𝑆 2 (𝑛) , maka himpunan 𝐶𝐵𝐹𝑆 2 (𝑛)\{ℎ} bukan lagi himpunan cross bifix bebas.

## C. Konstruksi Kode Cross Bifix Bebas Binari oleh Bilotta
Seperti yang telah dikatakan di atas, Bilotta membagi kode  yang dikonstruksinya menjadi tiga bagian, yaitu untuk panjang kode ganjil, panjang kode ganjil dengan parameter genap, dan panjang kode genap dengan parameter ganjil. Oleh karena itu, subbagian ini akan dibagi lagi menjadi tiga bagian.
Gambar 3. Lintasan Dyck dengan 𝑚 = 4
Gambar 4. Semua katakode di 𝐶𝐵𝐹𝑆 2 (7)
1)  Konstruksi 𝐶𝐵𝐹𝑆 2 (2𝑚 + 1) Kode cross bifix bebas 𝐶𝐵𝐹𝑆 2 (2𝑚 + 1) didefinisikan oleh Stefano Bilotta sebagai himpunan 𝐶𝐵𝐹𝑆 2 (2𝑚 + 1) = {𝑥𝛼: 𝛼 ∈ 𝐷 2𝑚 }, yaitu  himpunan  lintasan  dengan  panjang 2𝑚 + 1 yang  diawali  dengan  langkah  naik  yang  kemudian  diteruskan dengan  lintasan  Dyck  dengan  panjang 2𝑚 .  Tentu  saja,  kardinalitas  dari 𝐶𝐵𝐹𝑆 2 (2𝑚 + 1) adalah 𝐶 𝑚 ,  Bilangan Catalan ke- 𝑚 . Sebagai contoh, dari hasil kosntruksinya, Bilotta menghasilkan kode 𝐶𝐵𝐹𝑆 2 (7) , yaitu himpunan kata/katakode {1111000, 1101100, 1110010, 1110100,1101010} .
Dari konstruksi 𝐶𝐵𝐹𝑆 2 (2𝑚 + 1) , Bilotta memperoleh hasil berikut. Teorema 1.1. 𝐶𝐵𝐹𝑆 2 (2𝑚 + 1) adalah kode cross bifix bebas dengan kardinalitas 𝐶 𝑚 yang tak dapat diperluas di 𝐻 2 (2𝑚 + 1) .
2)  Konstruksi 𝐶𝐵𝐹𝑆 2 (2𝑚 + 2) dengan 𝑚 genap Kode cross bifix bebas 𝐶𝐵𝐹𝑆 2 (2𝑚 + 2) untuk 𝑚 genap didefinisikan oleh Bilotta sebagai himpunan
𝐶𝐵𝐹𝑆 2 (2𝑚 + 2) = {𝛼𝑥𝛽𝑥̅: 𝛼 ∈ 𝐷 2𝑖 , 𝛼 ∈ 𝐷 2(𝑚−𝑖) , 0 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚 2 },
yaitu himpunan lintasan dengan panjang 2𝑚 + 2 yang diawali dengan lintasan Dyck dengan panjang 2𝑖 , diikuti dengan langkah naik, lalu dilanjutkan dengan lintasan Dyck dengan panjang 2(𝑚 − 𝑖) , kemudian diakhiri dengan langkah  turun.  Tentu  saja,  kardinalitas  dari 𝐶𝐵𝐹𝑆 2 (2𝑚 + 2) untuk 𝑚 genap  ini  adalah ∑ 𝐶 𝑚 𝐶 𝑚−𝑖 𝑚 2 𝑖=0 .  Sebagai contoh,  dari  hasil  kosntruksinya,  Bilotta  menghasilkan  kode 𝐶𝐵𝐹𝑆 2 (6) ,  yaitu  himpunan  kata/katakode {111000, 110100, 101100} .
Dari konstruksi 𝐶𝐵𝐹𝑆 2 (2𝑚 + 2) untuk 𝑚 genap ini, Bilotta memperoleh hasil berikut.
Teorema 2.1. 𝐶𝐵𝐹𝑆 2 (2𝑚 + 2) untuk 𝑚 genap adalah kode cross bifix bebas dengan kardinalitas ∑ 𝐶 𝑖 𝐶 𝑚−𝑖 𝑚 2 𝑖=0 yang tak dapat diperluas di 𝐻 2 (2𝑚 + 2) .
3)  Konstruksi 𝐶𝐵𝐹𝑆 2 (2𝑚 + 2) dengan 𝑚 ganjil Kode cross bifix bebas 𝐶𝐵𝐹𝑆 2 (2𝑚 + 2) untuk 𝑚 ganjil didefinisikan oleh Bilotta sebagai himpunan
𝐶𝐵𝐹𝑆 2 (2𝑚 + 2) = {𝛼𝑥𝛽𝑥̅: 𝛼 ∈ 𝐷 2𝑖 , 𝛼 ∈ 𝐷 2(𝑚−𝑖) , 0 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚 + 1 2 }
\{𝑥𝑎𝑥̅𝑥𝛽𝑥̅: 𝛼 ∈ 𝐷 2𝑖 , 𝛼 ∈ 𝐷 2(𝑚−1) },
Gambar 5. Semua katakode di 𝐶𝐵𝐹𝑆 2 (6)
Gambar 6. Semua katakode di 𝐶𝐵𝐹𝑆 2 (8)
yaitu himpunan lintasan dengan panjang 2𝑚 + 2 yang diawali dengan lintasan Dyck dengan panjang 2𝑖 , diikuti dengan langkah naik, lalu dilanjutkan dengan lintasan Dyck dengan panjang 2(𝑚 − 𝑖) , kemudian diakhiri dengan langkah turun; setelah semua lintasan ini terkumpul, maka Bilotta membuang semua lintasan yang diawali dengan langkah naik yang dilanjutkan dengan lintasan Dyck  dengan panjang 𝑚 − 1 , diikuti dengan langkah turun, lalu diikuti  langkah  naik,  lalu  dilanjutkan  dengan  lintasan  Dyck  dengan  panjang 𝑚 − 1 ,  kemudian  diakhiri  dengan langkah  turun.  Tentu  saja,  kardinalitas  dari 𝐶𝐵𝐹𝑆 2 (2𝑚 + 2) untuk 𝑚 ganjil  ini  adalah ∑ 𝐶 𝑖 𝐶 𝑚−𝑖 𝑚 2 𝑖=0 − 𝐶 𝑚−1 2 2 . Sebagai contoh, dari hasil kosntruksinya, Bilotta menghasilkan kode 𝐶𝐵𝐹𝑆 2 (8) , yaitu {11110000, 11011000, 11100100,11101000,11010100,10111000} ∪ {10110100, 10101100} .
Dari konstruksi 𝐶𝐵𝐹𝑆 2 (2𝑚 + 2) untuk 𝑚 ganjil ini, Bilotta memperoleh hasil berikut.
Teorema 3.1. 𝐶𝐵𝐹𝑆 2 (2𝑚 + 2) untuk 𝑚 ganjil adalah kode cross bifix bebas berkardinalitas ∑ 𝐶 𝑖 𝐶 𝑚−𝑖 𝑚+1 2 𝑖=0 − 𝐶 𝑚−1 2 2
yang tak dapat diperluas di 𝐻 2 (2𝑚 + 2) .

## D. Metode Konstruksi
Berikut ini adalah metode/konstruksi untuk memperluas konstruksi Bilotta untuk panjang genap ke Kode Cross Bifix Bebas Ternari.
Konstruksi 4.1. Misalkan 𝐶𝐵𝐹𝑆 2 (2𝑚 + 2) adalah Kode Cross Bifix Bebas dengan panjang genap hasil konstruksi Bilotta. Perluasan 𝐶𝐵𝐹𝑆 2 (2𝑚 + 2) menjadi 𝐶𝐵𝐹𝑆 3 (2𝑚 + 2) adalah sebagai berikut.
i) Jadikan semua anggota 𝐶𝐵𝐹𝑆 2 (2𝑚 + 2) sebagai anggota 𝐶𝐵𝐹𝑆 3 (2𝑚 + 2) . ii) Semua anggota 𝐻 3 (2𝑚 + 2) dari anggota 𝐶𝐵𝐹𝑆 2 (2𝑚 + 2) dengan cara mengganti 0 dengan 2, juga dijadikan anggota 𝐶𝐵𝐹𝑆 3 (2𝑚 + 2) .
Seperti  yang  telah  diketahui  sebelumnya  dari  konstruksi  Bilotta, 𝐶𝐵𝐹𝑆 2 (5) = {00011,00101} .  Selanjutnya, semua kemungkinan mengganti simbol 0 pada 00011 dengan 2 adalah 00011; 20011; 02011; 00211; 22011; 20211; 02211; 22211 dan semua kemungkinan mengganti simbol 0 pada 00101 dengan 2 adalah 00101; 20101; 02101; 00121;  22101;  20121;  02121;  22121,  sehingga  diperoleh  himpunancross  bifix  bebas  Ternari 𝐶𝐵𝐹𝑆 3 (5) = {00011,20011,02011,00211,22011,20211,02211,22211} ∪ {00101,20101,02101,00121,22101,20121,02121,22121} . Jika  diperhatikan  dengan  seksama,  semua  anggota 𝐶𝐵𝐹𝑆 3 (5) sama  dengan  barisan  yang  terbentuk  dengan mengisi semua posisi 0 pada barisan di 𝐶𝐵𝐹𝑆 2 (5) dengan semua kemungkinan simbol genap di {0,1,2} .

## III. H ASIL
Dengan memperhatikan tinjauan pada bagian akhir subbagian sebelumnya, diperoleh Kontruksi 3.1 berikut yang merupakan konstruksi untuk mengubah Kode Cross Bifix Bebas Binari pada [2] menjadi suatu himpunan ternari. Konstruksi  3.1. Misalkan 𝜔 = 𝜔 1 𝜔 2 𝜔 3 … 𝜔 2𝑚+2 anggota 𝐶𝐵𝐹𝑆 2 (2𝑚 + 2) .  Selanjutnya,  definisikan 𝟎 𝜔 = {𝑖 ∈ [𝑛]: 𝜔 𝑖 = 0} , yaitu himpunan semua posisi di 𝜔 yang bersimbol 0. Himpunan 𝐶𝐵𝐹𝑆 3 (2𝑚 + 2) didefinisikan sebagai
𝐶𝐵𝐹𝑆 3 (2𝑚 + 2) =∪ 𝜔∈𝐶𝐵𝐹𝑆 2 (𝑛) 𝐶 𝜔,3 2𝑚+2
dimana
𝐶 𝜔,𝑞 2𝑚+2 = {𝑐 ∈ 𝐻 3 (2𝑚 + 2): 𝑖 ∈ 𝟎 𝜔 ⇒ 2|𝑐 𝑖 ; ∀ 𝑐 𝑖 ∈{0,1,2} }
yaitu himpunan barisan Ternari yang posisi ke- 𝑖 -nya bersimbol genap di {0,1,2} jika posisi tersebut bersimbol 0 di 𝜔 .
Sebagai  contoh,  jika  ingin  membentuk 𝐶𝐵𝐹𝑆 3 (4) maka  cukup  melihat 𝐶𝐵𝐹𝑆 2 (4) .  Karena 𝐶𝐵𝐹𝑆 2 (4) = {1010,1100} , maka 𝟎 1010 = {2,4} dan 𝟎 1100 = {3,4} . Sehingga didapat 𝐶𝐵𝐹𝑆 3 (4) = {1010,1210,1012,1212,1100,1120,1102,1122} . Selanjutnya, akan dibahas bahwa Konstruksi 3.1 bukan hanya sekedar membentuk himpunan ternari, tetapi juga membentuk Kode Cross Bifix Bebas Ternari.

## IV. P EMBAHASAN
Pada  bagian  ini,  akan  ditunjukkan  bahwa  himpunan 𝐶𝐵𝐹𝑆 3 (2𝑚 + 2) pada  Konstruksi  3.2.1  tidak  hanya himpunan barisan Ternari hasil perluasan Konstruksi [2] , tetapi 𝐶𝐵𝐹𝑆 3 (2𝑚 + 2) juga merupakan Himpunan/Kode Cross Bifix Bebas Ternari. Hasil ini akan dibahas dalam dua teorema, yaitu untuk 𝑚 genap yang akan ditetapkan dalam Teorema 3.2 berikut dan untuk 𝑚 ganjil yang akan ditetapkan dalam Teorema 3.3.
Teorema  3.2. Untuk 𝑚 genap, 𝐶𝐵𝐹𝑆 3 (2𝑚 + 2) adalah  Kode  Cross  Bifix  Bebas  dengan  kardinalitas 2 𝑚 ∑ 𝐶 𝑚 𝐶 𝑚−𝑖 𝑚 2 𝑖=0 .
Bukti.  Dari  konstruksi  himpunan 𝐶𝐵𝐹𝑆 2 (2𝑚 + 2) ,  untuk 𝑚 genap,  diketahui  bahwa  untuk  setiap 𝜔 di 𝐶𝐵𝐹𝑆 2 (2𝑚 + 2) , berlaku |𝑝𝑟𝑒 𝑘 𝜔| 0 ≥ |𝑝𝑟𝑒 𝑘 𝜔| 1 dan |𝑠𝑢𝑓 𝑘 𝛾| 0 ≤ |𝑠𝑢𝑓 𝑘 𝛾| 1 untuk setiap 𝜔 dan 𝛾 di 𝐶𝐵𝐹𝑆 2 (2𝑚 + 2) serta 0 < 𝑘 < 2𝑚 + 2 . Oleh karenanya, untuk setiap 𝑤 ∈ 𝐶 𝜔,𝑞 2𝑚+2 dan 𝑦 ∈ 𝐶 𝛾,𝑞 2𝑚+2 berlaku
|𝑝𝑟𝑒 𝑘 𝑤| 0 + |𝑝𝑟𝑒 𝑘 𝑤| 2 ≥ |𝑝𝑟𝑒 𝑘 𝑤| 1 (1)
Dan
|𝑠𝑢𝑓 𝑘 𝑦| 0 + |𝑠𝑢𝑓 𝑘 𝑦| 2 ≤ |𝑠𝑢𝑓 𝑘 𝑦| 1 (2)
a) Untuk |𝑝𝑟𝑒 𝑘 𝜔| 0 > |𝑝𝑟𝑒 𝑘 𝜔| 1 ,  Karena 𝐶𝐵𝐹𝑆 2 (2𝑚 + 2) adalah  himpunan  lintasan  latis  yang  diawali  langkah  naik yang diikuti lintasan Dyck dengan panjang 2𝑚 , maka untuk setiap 0 < 𝑘 < 2𝑚 + 2 berlaku |𝑝𝑟𝑒 𝑘 𝜔| 0 > |𝑝𝑟𝑒 𝑘 𝜔| 1 dan |𝑠𝑢𝑓 𝑘 𝛾| 0 ≤ |𝑠𝑢𝑓 𝑘 𝛾| 1 untuk  setiap 𝜔 dan 𝛾 anggota 𝐶𝐵𝐹𝑆 2 (2𝑚 + 2) .  Karena  simbol  genap  pada  barisan  di 𝐶𝐵𝐹𝑆 3 (2𝑚 + 2) menempati posisi yang sama dengan posisi simbol 0 pada barisan di himpunan 𝐶𝐵𝐹𝑆 2 (2𝑚 + 2) , maka untuk 𝑘 yang memenuhi kondisi 0 < 𝑘 < 2𝑚 + 2 , berlaku
|𝑝𝑟𝑒 𝑘 𝛼| 0 + |𝑝𝑟𝑒 𝑘 𝛼| 2 >   |𝑝𝑟𝑒 𝑘 𝛼| 1 (𝑖)
dan
|𝑠𝑢𝑓 𝑘 𝛽| 0 + |𝑠𝑢𝑓 𝑘 𝛽| 2 ≤   |𝑠𝑢𝑓 𝑘 𝛽| 1 (𝑖𝑖)
untuk setiap 𝛼 dan 𝛽 di 𝐶𝐵𝐹𝑆 3 (2𝑚 + 1) .
Sekarang,  andaikan 𝐶𝐵𝐹𝑆 3 (2𝑚 + 2) bukan  himpunan  cross  bifix  bebas,  maka  ada 𝛼 dan 𝛽 di 𝐶𝐵𝐹𝑆 3 (2𝑚 + 2) sehingga  untuk  suatu 𝑘 yang  berada  di 0 < 𝑘 < 2𝑚 + 2 berlaku 𝑝𝑟𝑒 𝑘 𝛼 = 𝑠𝑢𝑓 𝑘 𝛽 . Akibatnya,  berlaku |𝑝𝑟𝑒 𝑘 𝛼| 𝑡 = |𝑠𝑢𝑓 𝑘 𝛽| 𝑡 untuk  setiap 𝑡 di [3] .s  Akibatnya,  dengan  menggunakan persamaan (𝑖) , diperoleh |𝑠𝑢𝑓 𝑘 𝛽| 0 + |𝑠𝑢𝑓 𝑘 𝛽| 2 =   |𝑝𝑟𝑒 𝑘 𝛼| 0 + |𝑝𝑟𝑒 𝑘 𝛼| 2 >   |𝑝𝑟𝑒 𝑘 𝛼| 1 =   |𝑠𝑢𝑓 𝑘 𝛽| 1 Namun,  hal  ini  kontradiksi  dengan  persamaan (𝑖𝑖) .    Jadi 𝐶 𝜔,𝑞 2𝑚+2 ∪ 𝐶 𝛾,𝑞 2𝑚+2 adalah  himpunan  cross  bifix bebas.
b) Untuk |𝑝𝑟𝑒 𝑘 𝜔| 0 = |𝑝𝑟𝑒 𝑘 𝜔| 1 ,  Bilotta  telah  membuktikan  bahwa  untuk  sebarang 𝛾 di 𝐶𝐵𝐹𝑆 2 (2𝑚 + 2) ,  berlaku |𝑠𝑢𝑓 𝑘 𝛾| 0 < |𝑠𝑢𝑓 𝑘 𝛾| 1 . Oleh karenanya, persamaan (1) dan (2) menjadi
|𝑝𝑟𝑒 𝑘 𝑤| 0 + |𝑝𝑟𝑒 𝑘 𝑤| 2 = |𝑝𝑟𝑒 𝑘 𝑤| 1 (1)
dan
|𝑠𝑢𝑓 𝑘 𝑦| 0 + |𝑠𝑢𝑓 𝑘 𝑦| 2 < |𝑠𝑢𝑓 𝑘 𝑦| 1 (2)
Sekarang,  andaikan 𝐶 𝜔,𝑞 2𝑚+2 ∪ 𝐶 𝛾,𝑞 2𝑚+2 bukan  himpunan  cross  bifix  bebas,  maka  ada 𝑤 dan 𝑦 di 𝐶 𝜔,𝑞 2𝑚+2 ∪ 𝐶 𝛾,𝑞 2𝑚+2 sehingga  untuk  suatu 𝑘 yang  berada  di 0 < 𝑘 < 𝑛 berlaku 𝑝𝑟𝑒 𝑘 𝑤 = 𝑠𝑢𝑓 𝑘 𝑦 .  Akibatnya,  berlaku |𝑝𝑟𝑒 𝑘 𝑤| 𝑡 = |𝑠𝑢𝑓 𝑘 𝑦| 𝑡 untuk setiap 𝑡 di [𝑞] . Akibatnya, dengan menggunakan persamaan (1) , diperoleh |𝑠𝑢𝑓 𝑘 𝛽| 0 + |𝑠𝑢𝑓 𝑘 𝛽| 2 = |𝑝𝑟𝑒 𝑘 𝛼| 0 + |𝑝𝑟𝑒 𝑘 𝛼| 2 =   |𝑝𝑟𝑒 𝑘 𝛼| 1 =   |𝑠𝑢𝑓 𝑘 𝛽| 1 Namun,  hal  ini  kontradiksi  dengan  persamaan (2) .  Oleh  karena  itu,  haruslah 𝐶 𝜔,𝑞 2𝑚+2 ∪ 𝐶 𝛾,𝑞 2𝑚+2 adalah himpunan cross bifix bebas.
Jadi 𝐶𝐵𝐹𝑆 3 (2𝑚 + 2) =∪ 𝜔∈𝐶𝐵𝐹𝑆 2 (2𝑚+2) 𝐶 𝜔,3 2𝑚+2 untuk 𝑚 genap adalah himpunan cross bifix bebas.
Terakhir,  karena  banyaknya  cara  mengganti  simbol  0  sebanyak 𝑡 dengan  simbol  2  pada  setiap  anggota 𝐶𝐵𝐹𝑆 2 (2𝑚 + 2) adalah  sebanyak ( 𝑚 𝑡 ) untuk  setiap 𝑡 = 0,1,2,3, . . . , 𝑚 dan  anggota 𝐶𝐵𝐹𝑆 2 (2𝑚 + 2) untuk 𝑚 genap sebanyak ∑ 𝐶 𝑚 𝐶 𝑚−𝑖 𝑚 2 𝑖=0 , maka diperoleh kardinalitas dari 𝐶𝐵𝐹𝑆 3 (2𝑚 + 2) untuk 𝑚 genap adalah
|𝐶𝐵𝐹𝑆 3 (2𝑚 + 2)| = ( 𝑚 0 ) + ( 𝑚 1 ) + ⋯ + ( 𝑚 𝑚 ) + ⋯ + ( 𝑚 0 ) + ( 𝑚 1 ) + ⋯ + ( 𝑚 𝑚 ) ⏟
( 𝑚 0 )+( 𝑚 1 )+⋯+( 𝑚 𝑚 ) sebanyak ∑ 𝐶 𝑚 𝐶 𝑚−𝑖 𝑚 2 𝑖=0
|𝐶𝐵𝐹𝑆 3 (2𝑚 + 1)| = [( 𝑚 0 ) + ( 𝑚 1 ) + ( 𝑚 2 ) + ( 𝑚 3 ) + ⋯ + ( 𝑚 𝑚 )] ∑ 𝐶 𝑚 𝐶 𝑚−𝑖 𝑚 2 𝑖=0
|𝐶𝐵𝐹𝑆 3 (2𝑚 + 1)| = 2 𝑚 ∑ 𝐶 𝑚 𝐶 𝑚−𝑖 𝑚 2 𝑖=0 .
Teorema  3.3. Untuk 𝑚 genap, 𝐶𝐵𝐹𝑆 3 (2𝑚 + 2) adalah  Kode  Cross  Bifix  Bebas  dengan  kardinalitas 2 𝑚 (∑ 𝐶 𝑖 𝐶 𝑚−𝑖 𝑚 2 𝑖=0 − 𝐶 𝑚−1 2 2 ) .
Bukti.  Dari  konstruksi  himpunan 𝐶𝐵𝐹𝑆 2 (2𝑚 + 2) ,  untuk 𝑚 ganjil,  diketahui  bahwa  untuk  setiap 𝜔 di 𝐶𝐵𝐹𝑆 2 (2𝑚 + 2) , berlaku |𝑝𝑟𝑒 𝑘 𝜔| 0 ≥ |𝑝𝑟𝑒 𝑘 𝜔| 1 dan |𝑠𝑢𝑓 𝑘 𝛾| 0 ≤ |𝑠𝑢𝑓 𝑘 𝛾| 1 untuk setiap 𝜔 dan 𝛾 di 𝐶𝐵𝐹𝑆 2 (2𝑚 + 2) serta 0 < 𝑘 < 2𝑚 + 2 . Oleh karena itu, seperti halnya bukti untuk 𝑛 = 2𝑚 + 2 dengan 𝑚 genap di atas, maka bukti untuk kasus ini cukup dibuktikan untuk kasus ∑ |𝑝𝑟𝑒 𝑘 𝑤| 𝑡 2|𝑡,𝑡∈[𝑞] = ∑ |𝑝𝑟𝑒 𝑘 𝑤| 𝑠 2∤𝑠,𝑡∈[𝑞] untuk sebarang 𝑤 anggota 𝐶 𝜔,𝑞 2𝑚+2 ⊆ 𝐶𝐵𝐹𝑆 𝑞 (2𝑚 + 2) dengan 𝜔 ∈ 𝐶𝐵𝐹𝑆 2 (2𝑚 + 2) yang  memenuhi |𝑝𝑟𝑒 𝑘 𝜔| 0 = |𝑝𝑟𝑒 𝑘 𝜔| 1 untuk sebarang 𝑘 di 0 < 𝑘 < 2𝑚 + 2 .
a) Untuk 0 ≤ 𝑖 < 𝑚+1 2 dan 1 ≤ 𝑘 ≤ 2𝑖 , buktinya serupa dengan kasus untuk 𝑛 genap dengan 𝑚 genap b) Untuk 𝑖 = 𝑚+1 2 dan 1 ≤ 𝑘 < 2𝑖 , buktinya juga serupa dengan kasus untuk 𝑛 genap dengan 𝑚 genap.
c) Untuk 𝑖 = 𝑚+1 2 dan 𝑘 = 2𝑖
Perhatikan bahwa untuk kasus ini berlaku |𝑝𝑟𝑒 𝑘 𝑤| 0 +   |𝑝𝑟𝑒 𝑘 𝑤| 2 = |𝑝𝑟𝑒 𝑘 𝑤| 1 Andaikan 𝐶𝐵𝐹𝑆 3 (2𝑚 + 2) untuk 𝑚 genap bukan himpunan cross bifix bebas, maka terdapat 𝑧 ∈ 𝐶 𝛾,3 2𝑚+2 ⊆ 𝐶𝐵𝐹𝑆 3 (2𝑚 + 2) sehingga  berlaku 𝑝𝑟𝑒 𝑘 𝑤 = 𝑠𝑢𝑓 𝑘 𝑧 .  Dari  sini  diperoleh 𝑝𝑟𝑒 𝑢 (𝑝𝑟𝑒 𝑘 𝑤) = 𝑝𝑟𝑒 𝑢 (𝑠𝑢𝑓 𝑘 𝑧) untuk setiap 𝑢 yang memenuhi 0 < 𝑢 < 𝑘 . Hal ini mengakibatkan |𝑝𝑟𝑒 𝑢 (𝑝𝑟𝑒 𝑘 𝑤)| 𝑗 = |𝑝𝑟𝑒 𝑢 (𝑠𝑢𝑓 𝑘 𝑧)| 𝑗 untuk setiap 𝑗 di {0,1,2} . Sekarang, perhatikan bahwa 𝑠𝑢𝑓 𝑘 𝛾 = 𝑥𝛽𝑥̅ , sehingga untuk setiap 𝑘′ yang memenuhi 0 < 𝑘′ < 𝑘 berlaku |𝑝𝑟𝑒 𝑘 ′ (𝑠𝑢𝑓 𝑘 𝑧)| 0 +   |𝑝𝑟𝑒 𝑘 ′ (𝑠𝑢𝑓 𝑘 𝑧)| 2 > |𝑝𝑟𝑒 𝑘 ′ (𝑠𝑢𝑓 𝑘 𝑧)| 1 (1̂)
Dilain pihak, karena 𝑝𝑟𝑒 𝑘 𝜔 = 𝛼 ∈ 𝐷 2( 𝑚+1 2 ) \ {𝑥𝛼𝑥̅: 𝛼 ∈ 𝐷 2( 𝑚−1 2 ) } , maka terdapat bilangan asli 𝑟 yang kurang dari 𝑘 sehingga berlaku |𝑝𝑟𝑒 𝑟 (𝑝𝑟𝑒 𝑘 𝑤)| 0 +   |𝑝𝑟𝑒 𝑟 (𝑝𝑟𝑒 𝑘 𝑤)| 2 = |𝑝𝑟𝑒 𝑟 (𝑝𝑟𝑒 𝑘 𝑤)| 1 Dari kesamaan ini, diperoleh |𝑝𝑟𝑒 𝑘 ′ (𝑠𝑢𝑓 𝑘 𝑧)| 0 +   |𝑝𝑟𝑒 𝑘 ′ (𝑠𝑢𝑓 𝑘 𝑧)| 2 = |𝑝𝑟𝑒 𝑟 (𝑝𝑟𝑒 𝑘 𝑤)| 0 +   |𝑝𝑟𝑒 𝑟 (𝑝𝑟𝑒 𝑘 𝑤)| 2 =
|𝑝𝑟𝑒 𝑟 (𝑝𝑟𝑒 𝑘 𝑤)| 1 = |𝑝𝑟𝑒 𝑘 ′ (𝑠𝑢𝑓 𝑘 𝑧)| 1 . Jadi, terdapat bilangan asli 𝑟 yang memenuhi 0 < 𝑟 < 𝑘 yang memenuhi |𝑝𝑟𝑒 𝑘 ′ (𝑠𝑢𝑓 𝑘 𝑧)| 0 +   |𝑝𝑟𝑒 𝑘 ′ (𝑠𝑢𝑓 𝑘 𝑧)| 2 = |𝑝𝑟𝑒 𝑘 ′ (𝑠𝑢𝑓 𝑘 𝑧)| 1 Hal ini kontradiksi dengan kesamaan (1̂) . Oleh karena itu, haruslah 𝐶 𝜔,3 2𝑚+2 ∪ 𝐶 𝛾,3 2𝑚+2 adalah himpunan cross bifix bebas.
Jadi haruslah 𝐶𝐵𝐹𝑆 3 (2𝑚 + 2) =∪ 𝜔∈𝐶𝐵𝐹𝑆 2 (2𝑚+2) 𝐶 𝜔,3 2𝑚+2 untuk 𝑚 ganjil adalah himpunan/kode cross bifix bebas. Terakhir,  karena  banyaknya  cara  mengganti  simbol  0  sebanyak 𝑡 dengan  simbol  2  pada  setiap  anggota 𝐶𝐵𝐹𝑆 2 (2𝑚 + 2) adalah  sebanyak ( 𝑚 𝑡 ) untuk  setiap 𝑡 = 0,1,2,3, . . . , 𝑚 dan  anggota 𝐶𝐵𝐹𝑆 2 (2𝑚 + 2) untuk 𝑚
ganjil sebanyak ∑ 𝐶 𝑖 𝐶 𝑚−𝑖 𝑚 2 𝑖=0 − 𝐶 𝑚−1 2 2 , maka diperoleh kardinalitas dari 𝐶𝐵𝐹𝑆 3 (2𝑚 + 2) untuk 𝑚 ganjil adalah
|𝐶𝐵𝐹𝑆 3 (2𝑚 + 2)| = ( 𝑚 0 ) + ( 𝑚 1 ) + ⋯ + ( 𝑚 𝑚 ) + ⋯ + ( 𝑚 0 ) + ( 𝑚 1 ) + ⋯ + ( 𝑚 𝑚 ) ⏟
( 𝑚 0 )+( 𝑚 1 )+⋯+( 𝑚 𝑚 ) sebanyak ∑ 𝐶 𝑖 𝐶 𝑚−𝑖 𝑚 2 𝑖=0 −𝐶 𝑚−1 2 2
|𝐶𝐵𝐹𝑆 3 (2𝑚 + 1)| = [( 𝑚 0 ) + ( 𝑚 1 ) + ( 𝑚 2 ) + ⋯ + ( 𝑚 𝑚 )] ∑ 𝐶 𝑖 𝐶 𝑚−𝑖 𝑚 2 𝑖=0 − 𝐶 𝑚−1 2 2
|𝐶𝐵𝐹𝑆 3 (2𝑚 + 1)| = 2 𝑚 (∑ 𝐶 𝑖 𝐶 𝑚−𝑖 𝑚 2 𝑖=0 − 𝐶 𝑚−1 2 2 ) .

## V. S IMPULAN DAN SARAN
Dari hasil penelitian ini, diperoleh kesimpulan bahwa Kode Cross Bifix Bebas hasil Konstruksi Bilotta untuk panjang  genap, 𝐶𝐵𝐹𝑆 2 (2𝑚 + 2) ,  dapat  diperluas  menjadi  Kode  Cross  Bifix  Bebas  Ternari, 𝐶𝐵𝐹𝑆 3 (2𝑚 + 2) . Langkah yang dilakukan adalah dengan cara mengganti semua posisi simbol 0 dengan semua kemungkinan simbol genap di [3] . Untuk penelitian selanjutnya, dapat dilakukan telaah apakah untuk sebarang panjang 𝑛 , 𝐶𝐵𝐹𝑆 3 (𝑛) merupakan  Kode  Cross  Bifix  Bebas  maksimal  atau  bukan.  Artinya,  untuk  setiap ℎ di 𝐻 3 (𝑛) yang  tidak  di 𝐶𝐵𝐹𝑆 3 (𝑛) , berlaku 𝐶𝐵𝐹𝑆 3 (𝑛) ∪ {ℎ} bukan lagi kode cross bifix bebas.

## U CAPAN TERIMA KASIH
Penulis  mengucapkan  syukur  kepada  Allah  SWT, Alhamdulillaahi  Robbil  ‘Aalamiiin .  Selanjutnya,  Penulis mengucapkan  banyak  terima  kasih  kepada  DRPM  KEMENRISTEK-DIKTI  atas  bantuan  dana  yang  diberikan sehingga  penulis  dapat  menyelesaikan  penelitian  ini  dengan  baik.  Terakhir,  Penulis  juga  mengucapkan  banyak terima  kasih  kepada  Bapak  Aleams  Barra  Ph.  D,  Dosen    FMIPA  Matematika  Institut  Teknologi  Bandung,  atas arahan yang diberikan kepada penulis.
. REFERENSI
[1] Massey, James L.(1972). Optimum frame synchronization. Communications, IEEE Transactions on, 20(2):115
[2] Nielsen, P. T. (1973). On the expected duration of a search for a fixed pattern in random data. IEEE Transactions on Information Theory, 19(5):702
[3] Van Wijngaarden, A. D. L., & Willink, T. J. (2000). Frame synchronization using distributed sequences. IEEE Transactions on Communications , 48 (12), 2127-2138.
[4] Bajic, D., & Stojanovic, J. (2004). Distributed sequences and search process. In IEEE International Conference on Communications .
[5] Bajic, D., Stefanovic, C., & Vukobratovic, D. (2005, September). Search process and probabilistic bifix approach. In Information Theory, 2005. ISIT 2005. Proceedings. International Symposium on (pp. 19-22). IEEE.
[6] Levy, M., & Yaakobi, E. (2017, June). Mutually uncorrelated codes for DNA storage. In Information Theory (ISIT), 2017 IEEE International Symposium on (pp. 3115-3119). IEEE.
[7] Bajic, D., & Loncar-Turukalo, T. (2014). A simple suboptimal construction of cross-bifix-free codes. Cryptography and Communications , 6 (1), 27-37.
[8] Bilotta, S., Pergola, E., & Pinzani, R. (2012). A new approach to cross-bifix-free sets. IEEE Transactions on Information Theory , 58 (6), 4058-4063.
[9] Affaf,  M.,  &  Ulum,  Z.  (2017,  July).  Konstruksi  Kode  Cross  Bifix  Bebas  Ternair  untuk  Panjang  Ganjil.  In Prosiding  SI  MaNIs  (Seminar  Nasional Integrasi Matematika dan Nilai-Nilai Islami) (Vol. 1, No. 1, pp. 1-5).
[10] Chee, Y. M., Kiah, H. M., Purkayastha, P., & Wang, C. (2013). Cross-bifix-free codes within a constant factor of optimality. IEEE Transactions on Information Theory , 59 (7), 4668-4674.
[11] Blackburn, S. R. (2015). Non-overlapping codes. IEEE Transactions on Information Theory , 61 (9), 4890-4894.
[12] Bilotta, S., Grazzini, E., Pergola, E., & Pinzani, R. (2013). Avoiding cross-bifix-free binary words. Acta informatica , 50 (3), 157-173.
[13] Bernini, A., Bilotta, S., Pinzani, R., Sabri, A., & Vajnovszki, V. (2014). Prefix partitioned gray codes for particular cross-bifix-free sets. Cryptography and Communications , 6 (4), 359-369.
[14] Bernini, A., Bilotta, S., Pinzani, R., & Vajnovszki, V. (2017). A Gray Code for cross-bifix-free sets. Mathematical Structures in Computer Science , 27 (2), 184-196.