ISSN: 1978-4422 Vol.11 No.2 (Desember 2017) Hal. 36-46

## TEOREMA TITIK TETAP UNTUK PEMETAAN KONTRAKSI-F YANG DIPERUMUM PADA RUANG SEPERTI-METRIK-b

## Yunita Lidiyani, M. Mahfuzh Shiddiq*, Akhmad Yusuf
Program Studi Matematika Fakultas MIPA Universitas Lambung Mangkurat *Email: mmahfuzhs@unlam.ac.id

## ABSTRAK
Ruang metrik adalah pasangan himpunan tak kosong 𝑋 dengan suatu metrik (fungsi jarak) 𝑑 di dalam 𝑋 yang ditulis dengan ( 𝑋 , 𝑑 ) . Beberapa peneliti memperkenalkan notasi baru dari metric yaitu ruang seperti-metrik, lebih jauh lagi dikembangkan perumuman baru dari ruang seperti-metrik  dikenalkan yang selanjutnya disebut ruang seperti-metrik-b dan membuktikan teorema titik tetap pada ruang seperti-metrik-b.  Pada ruang seperti-metrik-b, kontraksi-F dapat diperumum dan dibuktikan teorema titik tetap pada ruang seperti-metrik-b  tersebut.  Tujuan dari penelitian ini adalah membuktikan teorema titik tetap untuk pemetaan kontraksi-F yang diperumum pada ruang seperti-metrik- b.Penelitian ini bersifat studi literatur dengan mengumpulkan materi yang berkaitan dengan topik penelitian. Berdasarkan hasil  pembahasan, diperoleh bahwa pemetaan 𝑇 yang merupakan kontraksi-F yang diperumum mempunyai titik tetap. Titik tetap dari 𝑇 dapat ditunjukkan dengan memenuhi syarat bahwa  barisan Cauchykonvergen ke titik 𝑥 𝜖 𝑋 , 𝑥 adalah titik tetap dari 𝑇 dan pemetaan tersebut merupakan pemetaan titik tetap terhadap dirinya sendiri pada ruang seperti-metrik-b.
Kata Kunci : Ruang seperti-metrik-b, pemetaan kontraksi-F yang diperumum, titiktetap

## ABSTRACT
A  Metric space is a pairs of nonempty set 𝑋 with a metric (distance function) 𝑑 in 𝑋 written as ( 𝑋 , 𝑑 ) . Harandi  introduced a new notion that is metric-like space  and Algamdi introduced a new generalized aboutmetric-like space were  called b-metric-like space  and  provesome  fixed point theorems in b-metric-like space. In the b-metric-like space, F-contrations  can be generalized and proved the fixed point theorems in that b-metric-like space. The purpose of this research is  prove a fixed point theorems  for generalized F-contraction  mapping in b-metric-like space. This research is study of literature by collecting materials related to research topic. The results of this research is found that a mapping 𝑇 thatrepresents the mapping of the F-contraction that is generalized has a fixed point. The fixed point of 𝑇 can be shown by satisfying the requirement that the Cauchy sequence converges to a point 𝑥 ∈ 𝑋 , 𝑥 is the fixed point of 𝑇 and  that mapping is a self-mapping fixed point in the b- metric-like space.
Keywords : b-metric-like space,generalized F-contractionsmapping,  fixed point

## 1. PENDAHULUAN
Peneliti mengembangkan bebarapa perluasan dari konsep metric, diantaranya pemetaan kontraksi pada ruang metrik-b dan ruang  seperti-metrik  [5,7]. Pada tahun 2013,  Alghamdi  [1]  memperkenalkan  perumuman baru dari ruang seperti-metrik yang selanjutnya disebut ruang seperti-metrik-b dan membuktikan teorema titik tetap pada ruang seperti-metrik-b.
Selanjutnya  Wardowski  [10]  memperkenalkan notasi pemetaan kontraksi baru yang disebut dengan pemetaan kontraksi-F dan membuktikan teorema titik tetap pada ruang metrik lengkap. Pada ruang seperti-metrik-b, pemetaan kontraksi-F dapat diperumum pada ruang seperti-metrik-b itu sendiri dan dapat diselidiki teorema titik tetap untuk pemetaan kontraksi-F pada ruang seperti-metrik-b.
Dalam matematika, teorema titik tetap merupakan hal penting pada konsep ruang metrik. Teorema ini menunjukkan bahwa titik tetap dari pemetaan satu-satu pada ruang metrik ada. Teorema ini pertama kali dibuktikan oleh Stefan Banach pada
ISSN: 1978-4422 Vol.11 No.2 (Desember 2017) Hal. 36-46
tahun 1920.Teori titik tetap banyak dikembangkan dalam analisis fungsional untuk menyelidiki titik tetap pada ruang metrik serta perluasan pada konsep ruang tersebut [9].
Salah satu domain perluasan ruang metrik yaitu pada ruang seperti-metrik-b, dimana perluasan tersebut untuk menyelidiki bahwa titik tetap pada ruang seperti- metrik-b  ada.Hal ini mempengaruhi  peneliti untuk mengembangkan teori titik tetap pada  ruang  seperti-metrik-b.  Berdasarkan uraian tersebut, penulis akan memperumum pemetaan kontraksi-F pada ruang seperti-metrik-b  dan membuktikan teorema titik tetap pada ruang seperti-metrik-b.

## TINJAUAN PUSTAKA

## 2.1 Ruang Seperti-metrik-b
Definisi 2.1.1[4]
Himpunan tak kosong X dengan suatu fungsi 𝑑 ∶ 𝑋 × 𝑋 → [0, + ∞ ) untuk setiap 𝑥 , 𝑦 , 𝑧 ∈ 𝑋 dan konstanta 𝑘 ≥ 1 , maka berlaku :
1. jika d ( 𝑥 , 𝑦 ) = 0 maka 𝑥 = 𝑦
2. 𝑑 ( 𝑥 , 𝑦 ) = 𝑑 ( 𝑦 , 𝑥 ) (simetri)
3. 𝑑 ( 𝑥 , 𝑦 ) ≤ 𝑘�𝑑 ( 𝑥 , 𝑧 ) + 𝑑 ( 𝑧 , 𝑦 ) � (ketaksamaan segitiga)
Pasangan ( 𝑋 , 𝑑 ) disebut dengan ruang seperti-metrik-b.
2.2 Barisan di Ruang Metrik dan di Ruang seperti-metrik-b
Definisi 2.2.1[3]
Barisan { 𝑥 𝑛 } di ruang seperti-metrik-b konvergen ke titik 𝑥 𝜖 𝑋 jika dan hanya jika 𝑙𝑖𝑚 𝑛→+∞ 𝑑 ( 𝑥 , 𝑥 𝑛 ) = 0 Teorema 2.2.2[2] Barisan monoton { 𝑥 𝑛 } bilangan riil dikatakan konvergen jika dan hanya jika barisan tersebut terbatas, lebih jauh :
(a) Jika 𝑋 = { 𝑥 𝑛 } adalah barisan terbatas atas, maka 𝑙𝑖𝑚 { 𝑥 𝑛 } = 𝑠𝑢𝑝 { 𝑥 𝑛 : 𝑛 ∈ ℕ }
(b) Jika 𝑌 = { 𝑦 𝑛 } adalah barisan terbatas bawah, maka 𝑙𝑖𝑚 { 𝑦 𝑛 } = 𝑖𝑛𝑓 { 𝑦 𝑛 : 𝑛 ∈ ℕ } Lemma 2.2.3[2] Suatu batas bawah dari himpunan tak kosong S di ℝ dikatakan infimum dari S jika dan hanya jika untuk setiap 𝜀 > 0 terdapat 𝑠 𝜀 ∈ 𝑆 sedemikian sehingga 𝑠 𝜀 < 𝑤 + 𝜀 . 2.3 Barisan Cauchy Defnisi 2.3.1[3] Barisan { 𝑥 𝑛 } di ruang seperti-metrik-b ( 𝑋 , 𝑑 ) dikatakan barisan Cauchy jika barisan tersebut ada (dan terbatas)
𝑙𝑖𝑚 𝑚 , 𝑛→+∞ 𝑑 ( 𝑥 𝑚 , 𝑥 𝑛 ) = 0

## Definisi 2.3.2 [3]
Ruang seperti-metrik-b dikatakan lengkap jika setiap barisan Cauchy { 𝑥 𝑛 } konvergen ke titik 𝑥 𝜖 𝑋 sedemikian sehingga 𝑙𝑖𝑚 𝑛→+∞ 𝑑 ( 𝑥 , 𝑥 𝑛 ) = 0 = 𝑙𝑖𝑚 𝑚 , 𝑛→+∞ 𝑑 ( 𝑥 𝑚 , 𝑥 𝑛 )
2.4 Kriteria Barisan
Definisi2.4.1[2] Jika 𝑆 ⊆ ℝ ,  fungsi 𝑓 : 𝑆 → ℝ dikatakan naik pada 𝑆 jika 𝑥 1 , 𝑥 2 ∈ 𝑆 dan 𝑥 1 ≤ 𝑥 2 kemudian 𝑓 ( 𝑥 1 ) ≤ 𝑓 ( 𝑥 2 ) . Fungsi 𝑓 dikatakan naik murni pada 𝑆 jika 𝑥 1 , 𝑥 2 ∈ 𝑆 dan 𝑥 1 < 𝑥 2 kemudian 𝑓 ( 𝑥 1 ) < 𝑓 ( 𝑥 2 ).
Vol.11 No.2 (Desember 2017) Hal. 36-46
Jika 𝑆 ⊆ ℝ ,  fungsi 𝑔 : 𝑆 → ℝ dikatakan turun pada 𝑆 jika 𝑥 1 , 𝑥 2 ∈ 𝑆 dan 𝑥 1 ≤ 𝑥 2 kemudian 𝑔 ( 𝑥 1 ) ≥ 𝑔 ( 𝑥 2 ) . Fungsi 𝑔 dikatakan turun murni pada 𝑆 jika 𝑥 1 , 𝑥 2 ∈ 𝑆 dan 𝑥 1 < 𝑥 2 kemudian 𝑔 ( 𝑥 1 ) > 𝑔 ( 𝑥 2 ).
Definisi 2.4.2 [2] Diberikan { 𝑣 𝑛 } merupakan barisan bilangan riil.
(i) Dikatakan { 𝑣 𝑛 } menuju +
∞ , dan 𝑙𝑖𝑚 { 𝑣 𝑛 } = + ∞ , jika untuk setiap
𝛼 ∈ ℝ maka terdapat bilangan asli 𝐾 ( 𝛼 ) sedemikian sehingga jika 𝑛 ≥ 𝐾 ( 𝛼 ) maka 𝑣 𝑛 > 𝛼 . (ii) Dikatakan { 𝑣 𝑛 } menuju
−∞ , dan 𝑙𝑖𝑚 { 𝑣 𝑛 } = −∞ , jika untuk setiap 𝛽 ∈ ℝ maka terdapat bilangan asli 𝐾 ( 𝛽 ) sedemikian sehingga jika 𝑛 ≥ 𝐾 ( 𝛽 ) maka 𝑣 𝑛 < 𝛽 . Teorema 2.4.3[2] Diberikan { 𝑣 𝑛 } dan { 𝑤 𝑛 } adalah barisan di bilangan riil dan andaikan
𝑣 𝑛 ≤ 𝑤 𝑛 ∀ 𝑛 ∈ ℕ (a) Jika 𝑙𝑖𝑚 { 𝑣 𝑛 } = + ∞ , maka 𝑙𝑖𝑚 { 𝑤 𝑛 } = + ∞ .
(b) Jika 𝑙𝑖𝑚 { 𝑤 𝑛 } = −∞ , maka 𝑙𝑖𝑚 { 𝑣 𝑛 } = −∞ .

## 2.5 Pemetaan Kontraksi
Definisi 2.5.1 [4] Diberikan ruang metrik ( 𝑋 , 𝑑 ) adalah ruang metrik. Pemetaan 𝑇 ∶ 𝑋 → 𝑋 dikatakan kontraksi-F jika terdapat 𝜏 > 0 untuk setiap 𝑥 , 𝑦 𝜖 𝑋 sedemikian sehingga
𝑑�𝑇 𝑥 , 𝑇 𝑦 � > 0 ⇒ 𝜏 + 𝐹 �𝑑�𝑇 𝑥 , 𝑇 𝑦 �� ≤ 𝐹�𝑑 ( 𝑥 , 𝑦 ) �
dimana 𝐹 ∶ (0, + ∞ ) → ( −∞ , + ∞ ) adalah pemetaan yang memenuhi kondisi : ( 𝐹 1) F naik murni untuk setiap 𝛼 , 𝛽 𝜖 (0, + ∞ ) sedemikian sehingga 𝛼 < 𝛽 jika dan hanya jika 𝐹 ( 𝛼 ) < 𝐹 ( 𝛽 ) .
( 𝐹 2) Untuk setiap barisan { 𝑥 𝑛 } di bilangan riil positif, memenuhi kondisi : 𝑙𝑖𝑚 𝑛→+∞ 𝑥 𝑛 = 0 jika dan hanya jika 𝑙𝑖𝑚 𝑛→+∞ 𝐹 ( 𝑥 𝑛 ) = −∞ . ( 𝐹 3) terdapat 𝑘 𝜖 (0,1) sedemikian sehingga 𝑙𝑖𝑚 𝑥→0 + 𝑥 𝑘 𝐹 ( 𝑥 ) = 0. Definisi 2.5.2 [3]
Diberikan ruang seperti-metrik-b ( 𝑋 , 𝑑 ) . Pemetaan 𝑇 ∶ 𝑋 → 𝑋
dikatakan kontraksi-F yang diperumum jika terdapat 𝜏 > 0 untuk setiap 𝑥 , 𝑦 𝜖 𝑋 sedemikian sehingga 1 2 𝑘 𝑑 ( 𝑥 , 𝑇 𝑥 ) < 𝑑 ( 𝑥 , 𝑦 ) ⇒ 𝜏 + 𝐹 �𝑑�𝑇 𝑥 , 𝑇 𝑦 �� ≤ 𝛼𝐹�𝑑 ( 𝑥 , 𝑦 ) � + 𝛽𝐹�𝑑 ( 𝑥 , 𝑇 𝑥 ) �
+ 𝛾𝐹 �𝑑�𝑦 , 𝑇 𝑦 �� + 𝑡𝐹 � 𝑑�𝑥 , 𝑇 𝑦 � 2 𝑘 � + ℎ𝐹 � 𝑑 ( 𝑦 , 𝑇 𝑥 ) 2 𝑘 �
Dengan 𝑑�𝑇 𝑥 , 𝑇 𝑦 � > 0, dimana 𝛼 , 𝛽 , 𝛾 , 𝑡 , ℎ 𝜖 [0,1] sedemikian sehingga 𝛼 + 𝛽 + 𝛾 + 𝑡 + ℎ = 1 dan 1 − 𝛾 − 𝑡 > 0.

## 2.6 Titik Tetap
Definisi 2.6.1 [8]
Diberikan X himpunan tak kosong dan pemetaan 𝑇 ∶ 𝑋 → 𝑋 , 𝑥 ∈ 𝑋 dikatakan titik tetap dari T jika dan hanya jika 𝑇 ( 𝑥 ) = 𝑥 . Selanjutnya notasi 𝑇 ( 𝑥 ) yang menyatakan pemetaan 𝑇 untuk suatu 𝑥 ∈ 𝑋 dapat dituliskan menjadi 𝑇𝑥 .

## 3. METODE PENELITIAN
Penelitian ini dilakukan dengan cara mengumpulkan referensi pendukung yang berkaitan dengan ruang metrik, ruang metrik-b, ruang seperti-metrik-b, pemetaan kontraksi-F, teorema titik tetap pada ruang seperti-metrik-b. Referensi tersebut
Vol.11 No.2 (Desember 2017) Hal. 36-46
dipelajari, dibahas dan dijabarkan sehingga dapat dibuktikan teorema titik tetap untuk pemetaan kontraksi-F yang diperumum pada ruang seperti-metrik-b.

## 4. HASIL DAN PEMBAHASAN
4.1 Ruang Seperti-metrik-b Lengkap
Lemma 4.1.1 Diberikan ( 𝑋 , 𝑑 ) ruang seperti-metrik-b dan T merupakan pemetaan kontraksi-F yang diperumum dengan barisan { 𝑑 ( 𝑥 𝑛 , 𝑇𝑥 𝑛 )} yang didefinisikan 𝑥 1 = 𝑇 𝑥 0 𝑥 2 = 𝑇 𝑥 1 ⋮ 𝑥 𝑛 = 𝑇 𝑥 𝑛−1 𝑥 𝑛+1 = 𝑇 𝑥 𝑛 ∀𝑛 ∈ ℕ
Maka { 𝑑 ( 𝑥 𝑛 , 𝑇𝑥 𝑛 )} merupakan barisan bilangan riil turun murni.
Bukti :
Diberikan barisan { 𝑑 ( 𝑥 𝑛 , 𝑇𝑥 𝑛 )} yang didefinisikan
𝑥 1 = 𝑇 𝑥 0 𝑥 2 = 𝑇 𝑥 1 ⋮ 𝑥 𝑛 = 𝑇 𝑥 𝑛−1 𝑥 𝑛+1 = 𝑇 𝑥 𝑛 ∀ 𝑛 ∈ ℕ ⋯ (4.1)
Akan ditunjukkan bahwa barisan { 𝑑 ( 𝑥 𝑛 , 𝑇𝑥 𝑛 )} merupakan barisan turun murni. Bukti: Andaikan terdapat 𝑛 0 ∈ ℕ sedemikian sehingga
𝑑 ( 𝑥 𝑛 0 , 𝑇𝑥 𝑛 0 ) ≤ 𝑑�𝑥 𝑛 0 +1 , 𝑇𝑥 𝑛 0 +1 � ⋯ (4.2) 𝑑�𝑥 𝑛 0 , 𝑇𝑥 𝑛 0 � ≤ 𝑑�𝑇𝑥 𝑛 0 , 𝑇 2 𝑥 𝑛 0 � ⋯ (4.3)
Dengan kata lain, terdapat suku di barisan { 𝑑 ( 𝑥 𝑛 , 𝑇𝑥 𝑛 )} yang memenuhi sifat barisan naik. Definisi 2.5.6 menunjukkan bahwa : 𝜏 + 𝐹 �𝑑�𝑇𝑥 𝑛 0 , 𝑇 2 𝑥 𝑛 0 �� ≤ 𝛼𝐹 �𝑑�𝑥 𝑛 0 , 𝑇𝑥 𝑛 0 �� + 𝛽𝐹 �𝑑�𝑥 𝑛 0 , 𝑇𝑥 𝑛 0 ��
+ 𝛾𝐹 �𝑑�𝑇𝑥 𝑛 0 , 𝑇 2 𝑥 𝑛 0 �� + 𝑡𝐹 � 𝑑�𝑥 𝑛 0 , 𝑇 2 𝑥 𝑛 0 � 2 𝑘 � + ℎ𝐹 ( 𝑑�𝑇𝑥 𝑛 0 , 𝑇𝑥 𝑛 0 � 2 𝑘 )
Selanjutnya, Definisi 2.1.1 (3) menunjukkan bahwa:
𝜏 + 𝐹 �𝑑�𝑇𝑥 𝑛 0 , 𝑇 2 𝑥 𝑛 0 �� ≤ 𝛼𝐹 �𝑑�𝑥 𝑛 0 , 𝑇𝑥 𝑛 0 �� + 𝛽𝐹 �𝑑�𝑥 𝑛 0 , 𝑇𝑥 𝑛 0 �� + 𝛾𝐹 �𝑑�𝑇𝑥 𝑛 0 , 𝑇 2 𝑥 𝑛 0 �� + 𝑡𝐹�𝑑 ( 𝑇𝑥 𝑛 0 , 𝑇 2 𝑥 𝑛 0 � ) + ℎ𝐹 ( 𝑑�𝑇𝑥 𝑛 0 , 𝑥 𝑛 0 � ) ⇒ 𝐹 �𝑑�𝑇𝑥 𝑛 0 , 𝑇 2 𝑥 𝑛 0 �� ≤ ( 𝛼 + 𝛽 + ℎ ) 𝐹 �𝑑�𝑥 𝑛 0 , 𝑇𝑥 𝑛 0 �� − 𝜏 (1 − 𝛾 − 𝑡 ) ⋯ (4.4)
Persamaan 4.4 tersebut akan ditulis dengan bentuk lain dengan mempertimbangkan Definisi 2.5.2 , dan menjadi :
𝐹 �𝑑�𝑇𝑥 𝑛 0 , 𝑇 2 𝑥 𝑛 0 �� ≤ 𝐹 �𝑑�𝑥 𝑛 0 , 𝑇𝑥 𝑛 0 �� − 𝜏 (1 − 𝛾 − 𝑡 ) ⋯ (4.5)
sehingga diperoleh
𝐹 �𝑑�𝑇𝑥 𝑛 0 , 𝑇 2 𝑥 𝑛 0 �� < 𝐹 �𝑑�𝑥 𝑛 0 , 𝑇𝑥 𝑛 0 �� ⋯ (4.6) 𝑑�𝑇𝑥 𝑛 0 , 𝑇 2 𝑥 𝑛 0 � < 𝑑�𝑥 𝑛 0 , 𝑇𝑥 𝑛 0 � ⋯ (4.7)
Vol.11 No.2 (Desember 2017) Hal. 36-46
Persamaan (4.3) digunakan pada persamaan (4.7) dan dapat ditulis : 𝑑�𝑇𝑥 𝑛 0 , 𝑇 2 𝑥 𝑛 0 � < 𝑑�𝑥 𝑛 0 , 𝑇𝑥 𝑛 0 � ≤ 𝑑�𝑇𝑥 𝑛 0 , 𝑇 2 𝑥 𝑛 0 � 𝑑�𝑇𝑥 𝑛 0 , 𝑇 2 𝑥 𝑛 0 � < 𝑑�𝑇𝑥 𝑛 0 , 𝑇 2 𝑥 𝑛 0 � ⋯ ( 4. 8)
sehingga persamaan (4.8) kontradiksi dengan 𝑑�𝑇𝑥 𝑛 0 , 𝑇 2 𝑥 𝑛 0 � = 𝑑�𝑇𝑥 𝑛 0 , 𝑇 2 𝑥 𝑛 0 � .
Oleh karena itu, barisan { 𝑑 ( 𝑥 𝑛 , 𝑇𝑥 𝑛 )} merupakan barisan bilangan riil turun murni.

## Lemma 4.1.2
Diberikan ( 𝑋 , 𝑑 ) ruang seperti-metrik-b dan T merupakan pemetaan kontraksi-F yang diperumum dengan barisan { 𝑑 ( 𝑥 𝑛 , 𝑇𝑥 𝑛 )} yang didefinisikan 𝑥 1 = 𝑇 𝑥 0 𝑥 2 = 𝑇 𝑥 1 ⋮ 𝑥 𝑛 = 𝑇 𝑥 𝑛−1 𝑥 𝑛+1 = 𝑇 𝑥 𝑛 ∀𝑛 ∈ ℕ
Maka barisan { 𝑑 ( 𝑥 𝑛 , 𝑇𝑥 𝑛 )} terbatas bawah dan konvergen. Bukti:
Selanjutnya  akan buktikan bahwa barisan { 𝑑 ( 𝑥 𝑛 , 𝑇𝑥 𝑛 )} mempunyai batas bawah, infimum dan konvergen. Akan dibuktikan bahwa barisan { 𝑑 ( 𝑥 𝑛 , 𝑇𝑥 𝑛 )} mempunyai batas bawah dan infimum.Misalkan terdapat 𝐴 ≥ 0 sebagai infimumnya, sedemikian sehingga
𝑙𝑖𝑚 𝑛→+∞ 𝑑 ( 𝑥 𝑛 , 𝑇𝑥 𝑛 ) = 𝐴 = 𝑖𝑛𝑓 { 𝑑 ( 𝑥 𝑛 ,
𝑇𝑥 𝑛 ): 𝑛 ∈ ℕ } ⋯ ( 4. 9)
Akan ditunjukkan 𝐴 = 0 . Berdasarkan persamaan (4.9), maka selanjutnya dapat ditulis :
lim 𝑛→+∞ 𝑑 ( 𝑥 𝑛 , 𝑇𝑥 𝑛 ) = 𝐴
Dengan 𝐴 = 0 maka lim 𝑛→+∞ 𝑑 ( 𝑥 𝑛 , 𝑇𝑥 𝑛 ) = 0 Pembuktian dilakukan dengan cara tak langsung. Andaikan 𝐴 > 0 dan andaikan barisan { 𝑑 ( 𝑥 𝑛 , 𝑇𝑥 𝑛 )} mempunyai infimum maka sesuai dengan Lemma 2.2.3,  untuk setiap 𝜀 > 0 maka terdapat 𝑚 ∈ ℕ sedemikian sehingga
𝑑 ( 𝑥 𝑚 , 𝑇𝑥 𝑚 ) < 𝐴 + 𝜀 ⋯ ( 4. 10) 𝐹 ( 𝑑 ( 𝑥 𝑚 , 𝑇𝑥 𝑚 )) < 𝐹 ( 𝐴 + 𝜀 ) ⋯ ( 4. 11)
Berdasarkan persamaan (4.11) dan dari Definisi 2.5.2 diketahui bahwa :
1 2 𝑘 𝑑 ( 𝑥 𝑚 , 𝑇𝑥 𝑚 ) < 𝑑 ( 𝑥 𝑚 , 𝑇𝑥 𝑚 ) ⋯ (4.12)
𝜏 + 𝐹�𝑑 ( 𝑇𝑥 𝑚 , 𝑇 2 𝑥 𝑚 ) � ≤ 𝛼𝐹�𝑑 ( 𝑥 𝑚 , 𝑇𝑥 𝑚 ) � + 𝛽𝐹�𝑑 ( 𝑥 𝑚 , 𝑇𝑥 𝑚 ) � + 𝛾𝐹�𝑑 ( 𝑇𝑥 𝑚 , 𝑇 2 𝑥 𝑚 ) � + 𝑡𝐹 � 𝑑 ( 𝑥 𝑚 , 𝑇 2 𝑥 𝑚 ) 2 𝑘 � + ℎ𝐹 � 𝑑 ( 𝑇𝑥 𝑚 , 𝑇𝑥 𝑚 ) 2 𝑘 �
Berdasarkan Definisi 2.1.1 (3) maka : 𝜏 + 𝐹�𝑑 ( 𝑇𝑥 𝑚 , 𝑇 2 𝑥 𝑚 ) � ≤ 𝛼𝐹�𝑑 ( 𝑥 𝑚 , 𝑇𝑥 𝑚 ) � + 𝛽𝐹�𝑑 ( 𝑥 𝑚 , 𝑇𝑥 𝑚 ) � + 𝛾𝐹�𝑑 ( 𝑇𝑥 𝑚 , 𝑇 2 𝑥 𝑚 ) � + 𝑡𝐹 ( 𝑑 ( 𝑥 𝑚 , 𝑇𝑥 𝑚 ) ) + ℎ𝐹 ( 𝑑 ( 𝑇𝑥 𝑚 , 𝑥 𝑚 ) ) ⇒ 𝐹�𝑑 ( 𝑇𝑥 𝑚 , 𝑇 2 𝑥 𝑚 ) � ≤ ( 𝛼 + 𝛽 + 𝑡 + ℎ ) 𝐹�𝑑 ( 𝑥 𝑚 , 𝑇𝑥 𝑚 ) � − 𝜏 (1 − 𝛾 ) ⋯ (4.13)
Dari Definisi 2.5.2 dan dari persamaan ( 4. 13) didapatkan :
𝐹�𝑑 ( 𝑇𝑥 𝑚 , 𝑇 2 𝑥 𝑚 ) � ≤ 𝐹�𝑑 ( 𝑥 𝑚 , 𝑇𝑥 𝑚 ) � − 𝜏 (1 − 𝛾 ) ⋯ (4.14)
(i) Selanjutnya persamaan (4.14) menghasilkan :
Vol.11 No.2 (Desember 2017) Hal. 36-46
𝐹�𝑑 ( 𝑇𝑥 𝑚 , 𝑇 2 𝑥 𝑚 ) � < 𝐹�𝑑 ( 𝑥 𝑚 , 𝑇𝑥 𝑚 ) �
(ii) Berdasarkan (i) dan Definisi 2.5.1 (F1), mengakibatkan :
𝑑 ( 𝑇𝑥 𝑚 , 𝑇 2 𝑥 𝑚 ) < 𝑑 ( 𝑥 𝑚 , 𝑇𝑥 𝑚 )
(iii) Berdasarkan (ii) serta Definisi 2.5.2 dapat diketahui bahwa : 1 2 𝑘 𝑑 ( 𝑇𝑥 𝑚 , 𝑇 2 𝑥 𝑚 ) < 𝑑 ( 𝑇𝑥 𝑚 , 𝑇 2 𝑥 𝑚 )
(iv) Selanjutnya berdasarkan Definisi 2.5.2 berlaku : 𝜏 + 𝐹�𝑑 ( 𝑇 2 𝑥 𝑚 , 𝑇 3 𝑥 𝑚 ) � ≤ 𝛼𝐹�𝑑 ( 𝑇𝑥 𝑚 , 𝑇 2 𝑥 𝑚 ) � + 𝛽𝐹�𝑑 ( 𝑇𝑥 𝑚 , 𝑇 2 𝑥 𝑚 ) � + 𝛾𝐹�𝑑 ( 𝑇 2 𝑥 𝑚 , 𝑇 3 𝑥 𝑚 ) � + 𝑡𝐹 � 𝑑 ( 𝑇𝑥 𝑚 , 𝑇 3 𝑥 𝑚 ) 2 𝑘 � + ℎ𝐹 � 𝑑 ( 𝑇 2 𝑥 𝑚 , 𝑇 2 𝑥 𝑚 ) 2 𝑘 �
(v) Berdasarkan Definisi 2.1.1 maka selanjutnya diperoleh :
𝜏 + 𝐹�𝑑 ( 𝑇𝑥 𝑚 , 𝑇 2 𝑥 𝑚 ) � ≤ 𝛼𝐹�𝑑 ( 𝑇𝑥 𝑚 , 𝑇 2 𝑥 𝑚 ) � + 𝛽𝐹�𝑑 ( 𝑇𝑥 𝑚 , 𝑇 2 𝑥 𝑚 ) � + 𝛾𝐹�𝑑 ( 𝑇 2 𝑥 𝑚 , 𝑇 3 𝑥 𝑚 ) � + 𝑡𝐹 ( 𝑑 ( 𝑇𝑥 𝑚 , 𝑇 2 𝑥 𝑚 )) + ℎ𝐹�𝑑 ( 𝑇 2 𝑥 𝑚 , 𝑇𝑥 𝑚 ) � ⇒ 𝐹�𝑑 ( 𝑇 2 𝑥 𝑚 , 𝑇 3 𝑥 𝑚 ) � ≤ 𝐹�𝑑 ( 𝑇𝑥 𝑚 , 𝑇 2 𝑥 𝑚 ) � − 𝜏 (1 − 𝛾 )
Jika dari  proses (i), (ii), (iii), (iv), dan (v) dilanjutkan terus menerus, selanjutnya berdasarkan persamaan (4.11), persamaan (4.14) dan (v) maka berlaku :
𝐹�𝑑 ( 𝑇 𝑛 𝑥 𝑚 , 𝑇 𝑛+1 𝑥 𝑚 ) � ≤ 𝐹�𝑑 ( 𝑇 𝑛−1 𝑥 𝑚 , 𝑇 𝑛 𝑥 𝑚 ) � − 𝜏 (1 − 𝛾 ) ≤ 𝐹�𝑑 ( 𝑇 𝑛−2 𝑥 𝑚 , 𝑇 𝑛−1 𝑥 𝑚 ) � − 2 𝜏 (1 − 𝛾 ) ⋮ ⋯ ( 4. 15)
≤ 𝐹 ( 𝑑 ( 𝑥 𝑚 , 𝑇𝑥 𝑚 )) − 𝑛𝜏 (1 − 𝛾 ) < 𝐹 ( 𝐴 + 𝜀 ) − 𝑛𝜏 (1 − 𝛾 )
Saat 𝑛 → + ∞ pada persamaan (4.15) dan berdasarkan Teorema 2.4.3 (b) maka : lim 𝑛→+∞ 𝐹 ( 𝑑 ( 𝑇 𝑛 𝑥 𝑚 , 𝑇 𝑛+1 𝑥 𝑚 )) = −∞ ⋯ (4.16) lim 𝑛→+∞ 𝑑 ( 𝑇 𝑛 𝑥 𝑚 , 𝑇 𝑛+1 𝑥 𝑚 ) = 0 ⋯ (4.17)
Dari persamaan (4.17), andaikan terdapat 𝑁 1 ∈ ℕ sedemikian sehingga : 𝑑 ( 𝑥 𝑚+𝑛 , 𝑇𝑥 𝑚+𝑛 ) < 𝐴 untuk setiap 𝑛 > 𝑁 1 ,
Sehingga 𝐴 bukan batas bawah dari 𝑑 ( 𝑥 𝑚+𝑛 , 𝑇𝑥 𝑚+𝑛 ) yang menyebabkan kontradiksi dengan definisi dari 𝐴 . Jadi pengandaian 𝐴 > 0 salah, seharusnya 𝐴 = 0 . Karena
𝐴 = 0 maka menyebabkan : lim 𝑛→+∞ 𝑑 ( 𝑥 𝑛 , 𝑇𝑥 𝑛 ) = 0 ⋯ ( 4. 18)
Dengan kata lain, 𝐴 = 0 adalah batas bawah dari barisan { 𝑑 ( 𝑥 𝑛 , 𝑇𝑥 𝑛 )} . Karena barisan { 𝑑 ( 𝑥 𝑛 , 𝑇𝑥 𝑛 )} memiliki batas bawah maka : 𝑙𝑖𝑚 𝑛→+∞ 𝑑 ( 𝑥 𝑛 , 𝑇𝑥 𝑛 ) = 0 = 𝑖𝑛𝑓 { 𝑑 ( 𝑥 𝑛 , 𝑇𝑥 𝑛 ): 𝑛 ∈ ℕ }
Berdasarkan Teorema 2.2.2, maka barisan { 𝑑 ( 𝑥 𝑛 , 𝑇𝑥 𝑛 )} dikatakan konvergen. ∎ Lemma 4.1.3 Diberikan ( 𝑋 , 𝑑 ) ruang seperti-metrik-b dan T merupakan pemetaan kontraksi-F yang diperumum dengan barisan { 𝑥 𝑛 } yang didefinisikan 𝑥 1 = 𝑇 𝑥 0 𝑥 2 = 𝑇 𝑥 1
ISSN: 1978-4422 Vol.11 No.2 (Desember 2017) Hal. 36-46
⋮ 𝑥 𝑛 = 𝑇 𝑥 𝑛−1 𝑥 𝑛+1 = 𝑇 𝑥 𝑛 ∀𝑛 ∈ ℕ Maka barisan { 𝑑 ( 𝑥 𝑛 , 𝑇𝑥 𝑛 )} merupakan barisan Cauchy.
Bukti : Sekarang akan dibuktikan bahwa barisan { 𝑑 ( 𝑥 𝑛 , 𝑇𝑥 𝑛 )} merupakan barisan Cauchy sesuai dengan Definisi 2.3.1, yaitu : lim 𝑚 , 𝑛→+∞ 𝑑 ( 𝑥 𝑚 , 𝑥 𝑛 ) = 0 ⋯ ( 4. 19)
Pembuktian dilakukan secara tak langsung.
Andaikan persamaan (4.19) kontradiksi, maka terdapat 𝜀 > 0 dengan barisan { 𝑟 𝑛 } dan { 𝑠 𝑛 } bilangan asli sedemikian sehingga : 𝑟 𝑛 > 𝑠 𝑛 > 𝑛 , dan misalkan : 𝑑�𝑥 𝑟 𝑛 , 𝑥 𝑠 𝑛 � ≥ 𝜀 dan 𝑑�𝑥 𝑟 𝑛−1 , 𝑥 𝑠 𝑛 � < 𝜀 ∀ 𝑛 ∈ ℕ ⋯ ( 4. 20) Dengan menggunakan Definisi 2.1.1 (3), persamaan (4.20) selanjutnya diperoleh : 𝑑�𝑥 𝑟 𝑛 , 𝑥 𝑠 𝑛 � ≤ 𝑘𝑑�𝑥 𝑟 𝑛 , 𝑥 𝑟 𝑛−1 � + 𝑘𝑑�𝑥 𝑟 𝑛−1 , 𝑥 𝑠 𝑛 � < 𝑘𝑑�𝑥 𝑟 𝑛 , 𝑥 𝑟 𝑛−1 � + 𝑘𝜀 = 𝑘𝑑�𝑇𝑥 𝑟 𝑛−1 , 𝑥 𝑟 𝑛−1 � + 𝑘𝜀 , ∀ 𝑛 ∈ ℕ ⋯ (4.21)
Berdasarkan persamaan (4.18), maka terdapat 𝑁 2 ∈ ℕ sedemikian sehingga : 𝑑�𝑥 𝑟 𝑛 , 𝑇𝑥 𝑟 𝑛 � < 𝜀 , 𝑑�𝑇𝑥 𝑟 𝑛−1 , 𝑥 𝑟 𝑛−1 � < 𝜀 , 𝑑�𝑥 𝑠 𝑛 , 𝑇𝑥 𝑠 𝑛 � < 𝜀 ∀ 𝑛 > 𝑁 2 ⋯ ( 4. 22)
Dengan melihat persamaan (4.21) maka berlaku :
𝑑�𝑥 𝑟 𝑛 , 𝑥 𝑠 𝑛 � < 𝑘𝑑�𝑇𝑥 𝑟 𝑛−1 , 𝑥 𝑟 𝑛−1 � + 𝑘𝜀 < 𝑘𝜀 + 𝑘𝜀 = 2 𝑘𝜀∀ 𝑛 > 𝑁 2 ⋯ ( 4.23 )
Dengan Definisi 2.5.1 (F1), persamaan (4.23) mengakibatkan :
𝐹 �𝑑�𝑥 𝑟 𝑛 , 𝑥 𝑠 𝑛 �� < 𝐹 (2 𝑘𝜀 ) ∀𝑛 > 𝑁 2 ⋯ ( 4. 24)
dari persamaan (4.20) dan persamaan (4.22) maka :
1 2 𝑘 𝑑�𝑥 𝑟 𝑛 , 𝑇𝑥 𝑟 𝑛 � < 𝜀 2 𝑘 ≤ 𝑑�𝑥 𝑟 𝑛 , 𝑥 𝑠 𝑛 � ∀ 𝑛 > 𝑁 2 ⋯ (4.25)
Berdasarkan Definisi 2.1.1 (3), maka selanjutnya persamaan (4.25) berlaku :
𝜀 ≤ 𝑑�𝑥 𝑟 𝑛 , 𝑥 𝑠 𝑛 � ≤ 𝑘𝑑�𝑥 𝑟 𝑛 , 𝑥 𝑟 𝑛+1 � + 𝑘 2 𝑑�𝑥 𝑟 𝑛+1 , 𝑥 𝑠 𝑛+1 � + 𝑘 2 𝑑�𝑥 𝑠 𝑛+1 , 𝑥 𝑠 𝑛+1 � (4.26)
Saat 𝑛 → + ∞ pada persamaan (4.26) dan berdasarkan (4.18) sehingga didapatkan: 𝜀 𝑘 2 ≤ lim 𝑛→+∞ inf 𝑑 ( 𝑥 𝑟 𝑛+1 , 𝑥 𝑠 𝑛+1 )
Oleh karena itu, terdapat 𝑁 3 ∈ ℕ sedemikian sehingga :
𝑑�𝑥 𝑟 𝑛+1 , 𝑥 𝑠 𝑛+1 � > 0 untuk 𝑛 > 𝑁 3 atau dengan kata lain, sesuai dengan persamaan (4.1) sedemikian sehingga
𝑑�𝑇𝑥 𝑟 𝑛
, 𝑇𝑥 𝑠 𝑛 � > 0 untuk 𝑛 > 𝑁 3 ⋯ (4.27)
Dari Definisi 2.5.2, maka persamaan (4.27) menghasilkan :
𝜏 + 𝐹 �𝑑�𝑇𝑥 𝑟 𝑛 , 𝑇𝑥 𝑠 𝑛 �� ≤ 𝛼𝐹 �𝑑�𝑥 𝑟 𝑛 , 𝑥 𝑠 𝑛 �� + 𝛽𝐹 �𝑑�𝑥 𝑟 𝑛 , 𝑇𝑥 𝑟 𝑛 �� + 𝛾𝐹 �𝑑�𝑥 𝑠 𝑛 , 𝑇𝑥 𝑠 𝑛 �� + 𝑡𝐹 � 𝑑�𝑥 𝑟 𝑛 , 𝑇𝑥 𝑠 𝑛 � 2 𝑘 � + ℎ𝐹 � 𝑑�𝑥 𝑠 𝑛 , 𝑇𝑥 𝑟 𝑛 � 2 𝑘 �
Berdasarkan Definisi 2.1.1 (3) maka : 𝜏 + 𝐹 �𝑑�𝑇𝑥 𝑟 𝑛 , 𝑇𝑥 𝑠 𝑛 ��
Vol.11 No.2 (Desember 2017) Hal. 36-46
≤ 𝛼𝐹 �𝑑�𝑥 𝑟 𝑛 , 𝑥 𝑠 𝑛 �� + 𝛽𝐹 �𝑑�𝑥 𝑟 𝑛 , 𝑇𝑥 𝑟 𝑛 �� + 𝛾𝐹 �𝑑�𝑥 𝑠 𝑛 , 𝑇𝑥 𝑠 𝑛 �� + 𝑡𝐹 � 𝑑�𝑥 𝑟 𝑛 , 𝑥 𝑠 𝑛 � + 𝑑 ( 𝑥 𝑠 𝑛 , 𝑇𝑥 𝑠 𝑛 ) 2 � + ℎ𝐹 � 𝑑�𝑥 𝑠 𝑛 , 𝑥 𝑟 𝑛 � + 𝑑 ( 𝑥 𝑟 𝑛 , 𝑇𝑥 𝑟 𝑛 ) 2 � ⋯ (4.28)
Jika dipilih 𝑛 > 𝑚𝑎𝑥 { 𝑁 2 , 𝑁 3 } , sesuai dengan persamaan (4.22), (4.23), dan (4.24), maka persamaan (4.28) menjadi :
𝜏 + 𝐹 �𝑑�𝑇𝑥 𝑟 𝑛 , 𝑇𝑥 𝑠 𝑛 �� < 𝛼𝐹 (2 𝑘𝜀 ) + 𝛽𝐹 �𝑑�𝑥 𝑟 𝑛 , 𝑇𝑥 𝑟 𝑛 �� + 𝛾𝐹 �𝑑�𝑥 𝑠 𝑛 , 𝑇𝑥 𝑠 𝑛 �� + 𝑡𝐹 � 2 𝑘𝜀 + 𝜀 2 � + ℎ𝐹 � 2 𝑘𝜀 + 𝜀 2 � ⋯ (4.29)
Jika dipilih 𝑛 > 𝑚𝑎𝑥 { 𝑁 2 , 𝑁 3 }
Saat 𝑛 → + ∞ pada persamaan (4.29) maka diperoleh : lim 𝑛→+∞ 𝐹 �𝑑�𝑇𝑥 𝑟 𝑛 , 𝑇𝑥 𝑠 𝑛 �� = −∞ ⋯ (4.30)
Sesuai dengan Definisi 2.5.1 (F2) maka persamaan (4.30) dapat ditulis :
lim 𝑛→+∞ 𝑑 ( 𝑇𝑥 𝑟 𝑛 , 𝑇𝑥 𝑠 𝑛 ) = 0 ⋯ (4.31)
Disisi lain, 𝑑�𝑥 𝑟 𝑛 , 𝑥 𝑠 𝑛 � ≤ 𝑘𝑑�𝑥 𝑟 𝑛 , 𝑥 𝑟 𝑛+1 � + 𝑘 2 𝑑�𝑥 𝑟 𝑛+1 , 𝑥 𝑠 𝑛+1 � + 𝑘 2 𝑑�𝑥 𝑠 𝑛+1 , 𝑥 𝑠 𝑛 � Sesuai dengan persamaan (4.1) maka : 𝑑�𝑥 𝑟 𝑛 , 𝑥 𝑠 𝑛 � ≤ 𝑘𝑑�𝑥 𝑟 𝑛 , 𝑇𝑥 𝑟 𝑛 � + 𝑘 2 𝑑�𝑇𝑥 𝑟 𝑛 , 𝑇𝑥 𝑠 𝑛 � + 𝑘 2 𝑑�𝑥 𝑠 𝑛 , 𝑇𝑥 𝑠 𝑛 �
Saat 𝑛 → + ∞ dan  berdasarkan persamaan (4.18) dan persamaan (4.31),  maka selanjutnya didapatkan lim 𝑛→+∞ 𝑑 ( 𝑥 𝑟 𝑛 , 𝑥 𝑠 𝑛 ) = 0 .Kontradiksi dengan persamaan (4.20), maka persamaan (4.19) terbukti. Oleh karena itu barisan { 𝑑 ( 𝑥 𝑛 , 𝑇𝑥 𝑛 )} merupakan barisan Cauchy di 𝑥 ∈ 𝑋 . ∎
4.2 Teorema Titik Tetap Pada Ruang Seperti-metrik-b Lengkap Teorema 4.2.1 Diberikan ( 𝑋 , 𝑑 ) adalahruang seperti-metrik-b lengkapdan T merupakan pemetaan kontraksi-F yang diperumum. Maka T mempunyai titik tetap di 𝑥 ∈ 𝑋 , yaitu 𝑇𝑥 = 𝑥 .
Bukti:
Berdasarkan Lemma 4.1.1, 4.1.2, 4.1.3, dan berdasarkan Definisi 2.3.2maka : 𝑙𝑖𝑚 𝑛→+∞ 𝑑 ( 𝑥 , 𝑥 𝑛 ) = 0 = 𝑙𝑖𝑚 𝑚 , 𝑛→+∞ 𝑑 ( 𝑥 𝑚 , 𝑥 𝑛 ) ⋯ (4.32)
Selanjutnya akan dibuktikan bahwa : 1 2𝑘 𝑑 ( 𝑥 𝑛 , 𝑇𝑥 𝑛 ) < 𝑑 ( 𝑥 𝑛 , 𝑥 ) atau 1 2𝑘 𝑑 ( 𝑇𝑥 𝑛 , 𝑇 2 𝑥 𝑛 ) < 𝑑 ( 𝑇𝑥 𝑛 , 𝑥 ) ⋯ (4.33)
pembuktian dilakukan dengan cara tak langsung.
Andaikan persamaan (4.33) kontradiksi, kemudian terdapat 𝑚 0 ∈ ℕ sedemikian sehingga : 1 2𝑘 𝑑�𝑥 𝑚 0 , 𝑇𝑥 𝑚 0 � ≥ 𝑑�𝑥 𝑚 0 , 𝑥� dan 1 2𝑘 𝑑�𝑇𝑥 𝑚 0 , 𝑇 2 𝑥 𝑚 0 � ≥ 𝑑�𝑇𝑥 𝑚 0 , 𝑥� ⋯ (4.34)
Dari persamaan (4.34) dan berdasarkan Definisi 2.1.1 (3), maka berlaku : 𝑑�𝑥 𝑚 0 , 𝑇𝑥 𝑚 0 � ≤ 𝑘 ( 𝑑�𝑥 𝑚 0 , 𝑥� + 𝑑�𝑥 , 𝑇𝑥 𝑚 0 � ) ≤ 𝑑�𝑥 𝑚 0 , 𝑇𝑥 𝑚 0 � 2 + 𝑑�𝑥 𝑚 0 , 𝑇𝑥 𝑚 0 � 2 = 𝑑�𝑥 𝑚 0 , 𝑇𝑥 𝑚 0 �
ISSN: 1978-4422 Vol.11 No.2 (Desember 2017) Hal. 36-46
Persamaan (4.34) kontradiksi dengan pernyataan awal, maka persamaan (4.34) tidak terpenuhi. Sehingga persamaan (4.33) terbukti, dan sesuai dengan Definisi 2.5.2, maka selanjutnya persamaan (4.33) memenuhi :
𝜏 + 𝐹�𝑑 ( 𝑇𝑥 𝑛 , 𝑇𝑥 ) � ≤ 𝛼𝐹�𝑑 ( 𝑥 𝑛 , 𝑥 ) � + 𝛽𝐹�𝑑 ( 𝑥 𝑛 , 𝑇𝑥 𝑛 ) � + 𝛾𝐹�𝑑 ( 𝑥 , 𝑇𝑥 ) � + 𝑡𝐹 � 𝑑 ( 𝑥 𝑛 , 𝑇𝑥 ) 2 𝑘 � + ℎ𝐹 � 𝑑 ( 𝑥 , 𝑇𝑥 𝑛 ) 2 𝑘 � ⋯ (4.35)
atau
𝜏 + 𝐹�𝑑 ( 𝑇 2 𝑥 𝑛 , 𝑇𝑥 ) � ≤ 𝛼𝐹�𝑑 ( 𝑇𝑥 𝑛 , 𝑥 ) � + 𝛽𝐹�𝑑 ( 𝑇𝑥 𝑛 , 𝑇 2 𝑥 𝑛 ) � + 𝛾𝐹�𝑑 ( 𝑥 , 𝑇𝑥 ) � + 𝑡𝐹 � 𝑑 ( 𝑇𝑥 𝑛 , 𝑇𝑥 ) 2 𝑘 � + ℎ𝐹 � 𝑑 ( 𝑥 , 𝑇 2 𝑥 𝑛 ) 2 𝑘 � ⋯ (4.36)
Selanjutnya persamaan (4.35) dan persamaan (4.36) akan dibahas dengan melihat beberapa kasus.
Kasus 1 Andaikan persamaan (4.35) terpenuhi, 𝜏 + 𝐹�𝑑 ( 𝑇𝑥 𝑛 , 𝑇𝑥 ) � ≤ 𝛼𝐹�𝑑 ( 𝑥 𝑛 , 𝑥 ) � + 𝛽𝐹�𝑑 ( 𝑥 𝑛 , 𝑇𝑥 𝑛 ) � + 𝛾𝐹�𝑑 ( 𝑥 , 𝑇𝑥 ) � + 𝑡𝐹 � 𝑑 ( 𝑥 𝑛 , 𝑇𝑥 ) 2 𝑘 � + ℎ𝐹 � 𝑑 ( 𝑥 , 𝑇𝑥 𝑛 ) 2 𝑘 �
Berdasarkan Definisi 2.1.1 (3) maka : 𝜏 + 𝐹�𝑑 ( 𝑇𝑥 𝑛 , 𝑇𝑥 ) � ≤ 𝛼𝐹�𝑑 ( 𝑥 𝑛 , 𝑥 ) � + 𝛽𝐹�𝑑 ( 𝑥 𝑛 , 𝑇𝑥 𝑛 ) � + 𝛾𝐹�𝑑 ( 𝑥 , 𝑇𝑥 ) � + 𝑡𝐹 � 𝑑 ( 𝑥 𝑛 , 𝑥 ) + 𝑑 ( 𝑥 , 𝑇𝑥 ) 2 � + ℎ𝐹 � 𝑑 ( 𝑥 , 𝑥 𝑛 ) + 𝑑 ( 𝑥 𝑛 , 𝑇𝑥 𝑛 ) 2 � ⋯ (4.37)
Dengan melihat persamaan (4.18) dan persamaan (4.32), serta diberikan 𝜀 0 > 0 maka terdapat 𝑁 4 ∈ ℕ sedemikian sehingga : 𝑑 ( 𝑥 , 𝑥 𝑛 ) < 𝜀 0 dan 𝑑 ( 𝑥 𝑛 , 𝑇𝑥 𝑛 ) < 𝜀 0 ⋯ ( 4. 38)
Untuk 𝑛 > 𝑁 4 dengan melihat persamaan (4.37) dan persamaan (4.38), didapatkan : 𝜏 + 𝐹�𝑑 ( 𝑇𝑥 𝑛 , 𝑇𝑥 ) � ≤ 𝛼𝐹�𝑑 ( 𝑥 𝑛 , 𝑥 ) � + 𝛽𝐹�𝑑 ( 𝑥 𝑛 , 𝑇𝑥 𝑛 ) � + 𝛾𝐹�𝑑 ( 𝑥 , 𝑇𝑥 ) � + 𝑡𝐹 � 𝑑 ( 𝑥 𝑛 , 𝑥 ) + 𝑑 ( 𝑥 , 𝑇𝑥 ) 2 � + ℎ𝐹 � 𝑑 ( 𝑥 , 𝑥 𝑛 ) + 𝑑 ( 𝑥 𝑛 , 𝑇𝑥 𝑛 ) 2 � ≤ 𝛼𝐹�𝑑 ( 𝑥 𝑛 , 𝑥 ) � + 𝛽𝐹�𝑑 ( 𝑥 𝑛 , 𝑇𝑥 𝑛 ) � + 𝛾𝐹�𝑑 ( 𝑥 , 𝑇𝑥 ) � + 𝑡𝐹 � 𝜀 0 + 𝑑 ( 𝑥 , 𝑇𝑥 ) 2 � + ℎ𝐹 ( 𝜀 0 ) ⋯ (4.39)
Untuk 𝑛 > 𝑁 4 dan saat 𝑛 → + ∞ pada persamaan (4.39) maka :
lim 𝑛→+∞ 𝐹�𝑑 ( 𝑇𝑥 𝑛 , 𝑇𝑥 ) � = −∞ ⋯ (4.40)
Sedemikian sehingga dari persamaan (4.39) dan persamaan (4.40) serta dari Definisi 2.5.1 (F2) maka: lim 𝑛→+∞ 𝑑 ( 𝑇𝑥 𝑛 , 𝑇𝑥 ) = 0 ⋯ (4.41)
Disisi lain, diketahui bahwa : 𝑑 ( 𝑥 , 𝑇𝑥 ) ≤ 𝑘𝑑 ( 𝑥 , 𝑇𝑥 𝑛 ) + 𝑘𝑑 ( 𝑇𝑥 𝑛 , 𝑇𝑥 ) Saat 𝑛 → + ∞ , dengan melihat persamaan (4.41)  dan Definisi  2.1.1 (1), selanjutnya didapatkan hasil : 𝑑 ( 𝑥 , 𝑇𝑥 ) = 0 ⋯ (4.42)
Ini berarti 𝑥 = 𝑇𝑥 atau 𝑇𝑥 = 𝑥 . Jadi 𝑥 merupakan titik tetap pada 𝑇 . ∎ Kasus 2 Andaikan persamaan (4.36) terpenuhi, 𝜏 + 𝐹�𝑑 ( 𝑇 2 𝑥 𝑛 , 𝑇𝑥 ) � ≤ 𝛼𝐹�𝑑 ( 𝑇𝑥 𝑛 , 𝑥 ) � + 𝛽𝐹�𝑑 ( 𝑇𝑥 𝑛 , 𝑇 2 𝑥 𝑛 ) � + 𝛾𝐹�𝑑 ( 𝑥 , 𝑇𝑥 ) �
Vol.11 No.2 (Desember 2017) Hal. 36-46
+ 𝑡𝐹 � 𝑑 ( 𝑇𝑥 𝑛 , 𝑇𝑥 ) 2 𝑘 � + ℎ𝐹 � 𝑑 ( 𝑥 , 𝑇 2 𝑥 𝑛 ) 2 𝑘 �
Berdasarkan Definisi 2.1.1 (3) maka : 𝜏 + 𝐹�𝑑 ( 𝑇 2 𝑥 𝑛 , 𝑇𝑥 ) � ≤ 𝛼𝐹�𝑑 ( 𝑇𝑥 𝑛 , 𝑥 ) � + 𝛽𝐹�𝑑 ( 𝑇𝑥 𝑛 , 𝑇 2 𝑥 𝑛 ) � + 𝛾𝐹�𝑑 ( 𝑥 , 𝑇𝑥 ) � + 𝑡𝐹 � 𝑑 ( 𝑇𝑥 𝑛 , 𝑥 ) + 𝑑 ( 𝑥 , 𝑇𝑥 ) 2 � + ℎ𝐹 � 𝑑 ( 𝑥 , 𝑇𝑥 𝑛 ) + 𝑑 ( 𝑇𝑥 𝑛 , 𝑇 2 𝑥 𝑛 ) 2 � ⋯ (4.43)
Dari persamaan (4.38) dan persamaan (4.43) sehingga menyebabkan : 𝐹�𝑑 ( 𝑇 2 𝑥 𝑛 , 𝑇𝑥 ) � < 𝛼𝐹�𝑑 ( 𝑥 𝑛+1 , 𝑥 ) � + 𝛽𝐹�𝑑 ( 𝑥 𝑛+1 , 𝑇𝑥 𝑛+1 ) � + 𝛾𝐹�𝑑 ( 𝑥 , 𝑇𝑥 ) � + 𝑡𝐹 � 𝜀 0 + 𝑑 ( 𝑥 , 𝑇𝑥 ) 2 � + ℎ𝐹 ( 𝜀 0 ) ⋯ (4.44)
Untuk 𝑛 > 𝑁 4 , saat 𝑛 → + ∞ pada persamaan (4.44), selanjutnya didapatkan : lim 𝑛→+∞ 𝐹�𝑑 ( 𝑇 2 𝑥 𝑛 , 𝑇𝑥 ) � = −∞ ⋯ (4.45)
Sesuai dengan persamaan (4.45) dan Definisi 2.5.1 (F2), maka diperoleh:
lim 𝑛→+∞ 𝑑 ( 𝑇 2 𝑥 𝑛 , 𝑇𝑥 ) = 0 ⋯ ( 4. 46)
Disisi lain, diketahui bahwa : 𝑑 ( 𝑥 , 𝑇𝑥 ) ≤ 𝑘𝑑 ( 𝑥 , 𝑇 2 𝑥 𝑛 ) + 𝑘𝑑 ( 𝑇 2 𝑥 𝑛 , 𝑇𝑥 )
Saat 𝑛 → + ∞ , dengan melihat persamaan (4.32), persamaan (4.46) dan Definisi 2.1.1(1), selanjutnya didapatkan hasil : 𝑑 ( 𝑥 , 𝑇𝑥 ) = 0 ⋯ (4.47) ini berarti 𝑥 = 𝑇𝑥 atau 𝑇𝑥 = 𝑥 Berdasarkan persamaan (4.42) dan persamaan (4.47) maka terbukti bahwa 𝑥 adalah titik tetap 𝑇 . ∎

## 5. Kesimpulan
Kesimpulan yang dapat ditarik dari hasil penelitian adalah sebagai berikut : 1. Ruang  seperti-metrik-b ( 𝑋 , 𝑑 ) dengan 𝑇 ∶ 𝑋 → 𝑋 yang merupakan pemetaan kontraksi-F yang diperumum mempunyai titik tetap di 𝑥 ∈ 𝑋 yaitu 𝑇𝑥 = 𝑥 . 2. Untuk  menunjukkan titik tetap dari pemetaan kontraksi-F yang diperumum pada ruang seperti-metrik-b harus memenuhi syarat :
a. Barisan { 𝑥 𝑛 } konvergen ke 𝑥 ∈ 𝑋 b. Barisan { 𝑥 𝑛 } merupakan barisan Cauchy c. 𝑥 merupakan titik tetap dari pemetaan 𝑇 ∶ 𝑋 → 𝑋 yang merupakan pemetaan kontraksi-F yang diperumum.

## DAFTAR PUSTAKA
[1] Alghamdi, M. A. Hussain N dan Salimi, P. 2013.Fixed Point and Coupled Fixed Point Theorems on b-Metric-Like Space. Journal of Inequalities and Applications. 2013:402
[2] Bartle, R.G & D.R Sherbert. 2010. Introduction to Real Analysis, Fourth Edition. Urbana, Illinois: John Wiley & Sons, Inc., New York.
[3]  Chen, C. Wen, L. Dong, J. dan Gu, Y. 2016.  Fixed Point Theorems for Generalized F-contractions in b-Metric-Like-Space. Journal of Nonlinier Science and Applications. 2161-2174
[4]  Chen, C. Dong, J. Zhu, C. 2015. Some Fixed Point Theorems in b-Metric-Like Space. Springer. 2015:122
[5] Czerwik, S. 1993. Contraction Mappings in B-Metric Space. Acta Mathematica et Informatica Universitatis Ostraviensis. 1:5-11
ISSN: 1978-4422 Vol.11 No.2 (Desember 2017) Hal. 36-46
[6] Goldberg, R. 1975. Methods of Real Analysis, Second Edition. The University of Lowa, Canada.
[7]  Harandi,  A. A. 2012. Metric-like Space, Partial Metric Space and Fixed Point. Springer. 2012:204
[8]  Kreyszig, E. 1978. Introductory Functional Analysis with Applications. University of Windsor, Canada.
[9] Putra, D. A. S. 2015. Sifat Titik Tetap Pada Ruang Metrik-G.Skripsi. Universitas Islam Negeri Sunan Kalijaga.
[10] Wardowski, D. 2012. Fixed Points of a New Type of Contractive Mappings in Complete Metric Spaces . Springer. 2012:94