## KAJIAN SIMULASI PENDUGAAN SELANG KEPERCAYAAN BOOTSTRAP BAGI ARAH MEDIAN DATA SIRKULAR *
Cici Suhaeni 1 , I Made Sumertajaya 2 , dan Anik Djuraidah 3
1 Department of Statistics, Bogor Agricultural University (IPB), Indonesia, cici_suhaeni@apps.ipb.ac.id
2 Department of Statistics, Bogor Agricultural University (IPB), Indonesia, imsjaya@ipb.ac.id
3 Department of Statistics, Bogor Agricultural University (IPB), Indonesia, anikdjuraidah@ipb.ac.id
Indonesian Journal of Statistics and Its Applications (eISSN:2599-0802) Vol 2 No 1 (2018), 35 - 45
Copyright  ©  2018  Cici  Suhaeni,  I  Made  Sumertajaya,  and  Anik  Djuraidah.    This  is  an  open-access article  distributed  under  the  Creative  Commons  Attribution  License,  which  permits  unrestricted  use, distribution, and reproduction in any medium, provided the original work is properly cited.

## Abstract
The  median  direction  is  one  of  central  tendency  of  circular  data.  The  estimation process usually requires information about sampling distribution of statistic that want to be  used  as  a  parameter  estimate.  Theoretically,  sampling  distribution  derived  from population distribution. But, it is not easy to get sampling distribution of median although the population distribution is known.  When the sampling distribution cannot be derived easily from population distribution, the bootstrap method can be an alternative to handle it. This study wants to evaluate the effect of increasing concentration parameter to the performance  of  bootstrap  confidence  interval  estimation  for  median  direction  through simulation  study.  Three  methods  were  used  to  estimate  the  interval  which  are  equal- tailed  arc  (ETA),  symmetric  arc  (SYMA),  and  likelihood-based  arc  (LBA).  The  most important  criterion  to  evaluate  them  were  true  coverage  and  interval  width.  The simulation results that in general, the increasing of concentration parameter followed by more narrow  interval.  For  small  concentration  parameter  (κ<1),  all  methods  give unstable  true  coverage  and  interval  width.  The  authors  also  identify  that  those  three methods produce intervals with identical width when the parameter concentration is 20 or more. In terms of coverage and interval width, the best method was ETA.
Keywords :  Bootstrap  confidence  interval,  Circular  data,  Circular  statistics,  Median direction.

## 1.  Pendahuluan
Data sirkular merupakan salah satu jenis data berarah (directional data) yang banyak dijumpai  dalam  berbagai  bidang.  Data  jenis  ini  secara  umum  dapat  diukur menggunakan dua instrumen pengukuran yaitu kompas dan jam. Hasil pengukuran menggunakan kompas adalah data bersatuan arah (derajat/radian), sedangkan hasil pengukuran  menggunakan  jam  adalah  waktu,  dalam  hal  ini  dapat  berupa jam/hari/bulan (Mardia & Jupp 2000). Data sirkular diperoleh dari fenomena periodik yang  berbentuk  siklus,  artinya  nilai  data  yang  mungkin  terjadi  bergerak  dari  nilai minimum 0 o dan seterusnya hingga akhirnya kembali lagi ke titik tersebut. Data seperti
* Received Jan 2018; Accepted Apr 2018; Published online on Apr 2018
ini direpresentasikan dalam bentuk lingkaran.
Data berarah terbagi menjadi dua, yaitu data bola (sperichal data) dan data sirkular ( circular data ). Data sirkular adalah data berarah dalam ruang dimensi dua, sedangkan data bola merupakan data berarah pada ruang dimensi tiga.  Sedangkan,  data yang selama  ini  lazim  ditemui  dalam  kehidupan  sehari-hari  misalnya  umur,  pendapatan, jumlah  penduduk,  dan  sejenisnya,  dikenal  dengan  istilah  data  linier.  Dilihat  dari posisinya, data linier berada dalam ruang dimensi satu yaitu dapat direpresentasikan menggunakan garis bilangan.  Nilai yang mungkin  terjadi dari data ini tidak terbatas. Perbedaan  sifat  antara  data  linier  dan  data  sirkular  ini  mengakibatkan  perbedaan dalam prosedur analisisnya. Metode analisis yang banyak berkembang saat ini adalah analisis untuk data linier, sementara analisis untuk data sirkular masih sangat terbatas. Oleh karena itu, perlu dilakukan pengembangan metode analisis untuk data sirkular.
Salah satu ukuran pemusatan data yang sering menjadi perhatian selain rata-rata adalah  median,  yaitu  nilai  tengah  setelah  data  diurutkan.  Dalam  statistika  sirkular, median disebut dengan arah median ( median direction) .
Pendugaan  selang  kepercayaan  baik  pada  data  linier  maupun  sirkular membutuhkan informasi mengenai sebaran penarikan contoh. Secara teoritis, sebaran penarikan contoh dapat diperoleh dari sebaran populasi. Namun, tidak semua statistik memiliki  sebaran  penarikan  contoh,  seperti  halnya  median.  Walaupun  sebaran populasinya  diketahui,  sebaran  penarikan  contoh  dari  median  ini  tidak  diketahui. Sehingga,  selang kepercayaan bagi median tidak dapat diformulasikan secara baku menggunakan  sebaran  penarikan  contoh.  Oleh  karena  itu,  diperlukan  metode pendugaan  selang  kepercayaan  yang  tidak  memerlukan  sebaran  penarikan  contoh, yaitu dengan resampling bootstrap. Hal ini sesuai dengan pendapat Rice (2006) bahwa solusi  untuk  mengatasi  pendugaan  selang  kepercayaan  apabila  sebaran  penarikan contohnya tidak diketahui maka dapat digunakan metode bootstrap.
Selang kepercayaan dapat dievaluasi melalui dua ukuran yaitu lebar selang dan seberapa  besar  peluang  selang  tersebut  dapat  mencakup  nilai  parameter sesungguhnya  (Casella  &  Berger  2002).  Lebar  selang  sangat  dipengaruhi  oleh keragaman data. Pada data sirkular yang memiliki sebaran von Mises (normal sirkular), keragaman  data  dapat  dilihat  dari  besarnya  parameter  konsentrasi  ( 𝜅) .  Sehingga, perlu  dilakukan  kajian  mengenai  perubahan  lebar  selang  kepercayaan  data  sirkular akibat perubahan parameter konsentrasi.
Pendugaan selang kepercayaan bootstrap untuk data sirkular telah dilakukan oleh para  peneliti  terdahulu.  Ducharme et  al. (1985)  mengkaji  selang  kepercayaan bootstrap bagi ukuran pemusatan data sirkular  menggunakan metode busur simetri. Fisher  &  Hall  (1989)  memperkenalkan  metode  pendugaan  selang  kepercayaan bootstrap berdasarkan besaran pivot, yaitu metode busur ekor sama (BES), metode busur simetri (BSIM), dan metode busur berbasis kemungkinan (BBK).
Selanjutnya,  Otieno  (2002)  membandingkan  ketiga  metode  tersebut  untuk menduga selang kepercayaan ukuran pemusatan data sirkular dengan menggunakan parameter  konsentrasi κ = 2 dan κ = 10 dengan  ukuran  contoh  N  =  10.  Kesimpulan yang  diperolehnya  adalah  bahwa  metode  selang  kepercayaan  yang  berbeda-beda akan cenderung memberikan hasil yang sama atau konvergen dengan meningkatnya parameter  konsentrasi.  Kesimpulan  tersebut  berlaku  bagi  arah-rata-rata  dan  arah median.
Kemudian, Suhaeni et al . (2012) membuktikan kesimpulan tersebut untuk dugaan selang  kepercayaan  bootstrap  bagi  arah  rata-rata  menggunakan  parameter konsentrasi  dan  ukuran  contoh  yang  lebih  bervariasi.  Hasil  yang  diperoleh  pun memberikan  kesimpulan  yang  sejalan dengan  penelitian  Otieno, yaitu  metode BES, BSIM,  dan  BBK  cenderung  memberikan  selang  yang  sempit  dan  konvergen  seiring dengan meningkatnya parameter konsentrasi. Hasil penelitian tersebut menjadi dasar pemikiran  untuk  meneliti  lebih  lanjut  mengenai  pendugaan  selang  kepercayaan bootstrap menggunakan BES, BSIM, dan BBK bagi arah median.
Berdasarkan latar belakang tersebut, maka penelitian ini bertujuan mengkaji pengaruh parameter konsentrasi (𝜅) terhadap dugaan selang kepercayaan bootstrap bagi arah median  pada  metode  busur  ekor  sama,  busur  simetri,  dan  busur  berbasis kemungkinan.

## 2.  Metodologi

## 2.1 Bahan dan Data
Data  yang  digunakan  dalam  penelitian  ini  adalah  data  simulasi.  Simulasi  dilakukan dengan  membangkitkan  data  dari  sebaran  von  Mises  dengan  nilai  parameter konsentrasi κ = 0.05, 0.5, 1, 1.5, 5, 10, 20, 50, 100 ,  ukuran  contoh  N=10,  30,  50, 100,  dan  arah  rata-rata 0 ° .  Pembangkitan  data  ini  diulang  sebanyak  M=100  kali menggunakan software R.

## 2.2 Metode Analisis
Langkah-langkah  analisis  data  yang  dilakukan  berkaitan  dengan  tujuan  penelitian terbagi menjadi tiga tahap. Tahap-tahap ini merujuk pada (Suhaeni et al, 2012), yaitu: Tahap I : Membangkitkan data sebanyak 100 contoh, disebut data asli. Tahap II : Menentukan selang kepercayaan bootstrap.
Selang  kepercayaan  yang  akan  dibentuk  menggunakan 𝛼 = 0,05  dan dilakukan pada  100  contoh  dari  data  simulasi.  Adapun  langkah-langkah  dalam  menentukan selang kepercayaannnya adalah sebagai berikut : 1.  Mengambil contoh ( sampling ) dari data asli 2.  Menghitung dugaan arah median ( 𝜃̃ ∗ ) 3.  Pengambilan contoh ulang ( resampling ) dari contoh yang terambil Ulangi  langkah  1  dan  2  sebanyak  B=500  kali  untuk  memperoleh  dugaan  arah median 𝜃̃ 1 ∗ , … , 𝜃̃ 𝐵 ∗ .
4.  Menentukan selang kepercayaan bootstrap.
Selang kepercayaan bootstrap bagi arah median, ditentukan dengan tiga metode (Otieno 2002), yaitu :
a.  Metode busur ekor sama, dengan prosedur sebagai berikut.
1)  Menghitung perbedaan ukuran pemusatan (arah median) dari data asli ( 𝜃̂) dan contoh bootstrap ke-b (𝜃̃ 𝑏 ∗ ) , dengan rumus :
𝛾 𝑏= 𝜃̃ 𝑏 ∗ − 𝜃̂,
(−𝜋 ≤ 𝛾 𝑏 ≤ 𝜋)dan
𝑏 = 1, … , 𝐵.
2)  Urutkan nilai-nilai 𝛾 𝑏 dari yang terkecil sampai yang terbesar.
𝛾 1 ≤ 𝛾 2 ≤ ⋯ . ≤ 𝛾 𝐵
3)  Selang kepercayaan busur ekor sama :
[𝜃̂ + 𝛾 (𝑙+1) , 𝜃̂ + 𝛾 (𝑚) ]
dengan : 𝑙 = bilangan bulat terbesar ≤ ( 1 2 𝐵𝛼 + 1 2 ) 𝑚 = 𝐵 − 𝑙
𝛾 (𝑙+1) =  nilai𝛾pada posisi ke − (𝑙 + 1)
b.  Metode busur simetri, dengan prosedur sebagai berikut.
1)  Menghitung  perbedaan  ukuran  pemusatan  dari  data  asli  ( 𝜃̂) dan  contoh bootstrap ke-b ( 𝜃̃ 𝑏 ∗ ) , dengan rumus :
Ψ 𝑏 = |𝜃̃ 𝑏 ∗ − 𝜃̂|,
(−𝜋 ≤ Ψ 𝑏 ≤ 𝜋) ,
𝑏  = 1, … . , 𝐵
2)  Urutkan Ψ 𝑏 dari yang terkecil sampai yang terbesar
Ψ 1 ≤ Ψ 2 ≤ ⋯ . ≤ Ψ 𝐵
3)  Selang kepercayaan busur simetri adalah :
[ 𝜃̂ − Ψ 𝑚 , 𝜃̂ + Ψ 𝑚 ]
dengan :
𝑙 = 𝐵𝛼 + 1 2 𝑚 = 𝐵 − 𝑙
Ψ 𝑚 = nilai Ψ pada posisi ke-m.
c.  Metode Busur Berbasis Kemungkinan
Prosedur  metode  ini  sangat  fleksibel,  yaitu  dengan  cara  memilih  busur terpendek yang mengandung (1 − 𝛼)𝐵 dari nilai-nilai 𝜃̃ 𝑏 ∗ . Tahap III : Mengevaluasi hasil selang dugaan bootstrap. Evaluasi selang kepercayaan didasarkan pada tiga ukuran, yaitu :
a.  Cakupan  sebenarnya  ( true  coverage ),  yaitu  persentase  dari  jumlah  selang kepercayaan  yang  dengan  benar  mencakup  arah  median  sesungguhnya. Cakupan  yang  terbaik  adalah  cakupan  yang  mendekati  atau  sama  dengan cakupan nominal (tingkat kepercayaan).
b.  Lebar selang, yang merupakan rata-rata lebar selang dari 100 simulasi. Selang yang terbaik adalah selang terpendek.
c.  Keragaman  lebar  selang,  yang  diukur  menggunakan  ragam  sirkular  dari  100 lebar selang hasil simulasi. Semakin kecil nilai dari keragaman lebar selang ini, maka lebar selang yang dihasilkan semakin seragam atau konsisten.
Proses evaluasi ini ada dua tahap, yaitu :
1.  Melihat pengaruh perubahan nilai 𝜅 terhadap cakupan dan lebar selang.
2.  Membandingkan  selang  kepercayaan  bootstrap  dari  ketiga  metode  yang digunakan pada Tahap II.
Prosedur  pembandingannya  adalah  dengan  cara  memberikan  peringkat terhadap ketiga metode pada masing-masing ukuran contoh. Peringkat tertinggi diberi nilai 3, tertinggi kedua diberi nilai 2, dan terendah diberi nilai 1. Kemudian, dihitung  rata-rata peringkat  dari empat  ukuran  contoh  yang  digunakan  dalam simulasi ini. Metode yang menempati peringkat tertinggi pada interval κ tertentu dikatakan metode terbaik.
3.  Menarik kesimpulan.

## 3.  Hasil dan Pembahasan
Hasil pendugaan selang kepercayaan bootstrap bagi arah median untuk metode busur ekor sama, busur simetri, dan busur berbasis kemungkinan serta evaluasi dari ketiga metode adalah sebagai berikut.

## a.  Busur Ekor Sama (BES)
Selang kepercayaan busur ekor sama bagi arah median (BES Median) memberikan cakupan selang yang stabil saat parameter konsentrasinya sudah di atas 1,5 (Gambar 1). Hal ini berlaku untuk semua ukuran contoh. Untuk ukuran contoh N=50 dan N=100, cakupan mulai berada di sekitar 95% pada κ = 0.5, sedangkan untuk ukuran contoh yang lebih kecil, cakupan sebenarnya masih jauh dari 95%. Jika dibandingkan dengan cakupan selang pada ukuran contoh yang lain, ukuran contoh yang kecil cenderung menghasilkan  cakupan  yang  lebih  kecil  dari  yang  lainnya.  Hal  ini  mengindikasikan bahwa, data yang menyebar di sekeliling lingkaran akan membuat selang kepercayaan BES Median tidak mampu mencakup arah median sesungguhnya dengan baik.
Lebar selang kepercayaan BES Median (Gambar 2) memperlihatkan bahwa, dari empat  macam  ukuran  contoh,  lebar  selang  akan  membentuk  pola  menurun (konvergen) seiring peningkatan parameter konsentrasi.  Konvergensi ini dicapai saat κ = 20.  Ukuran  contoh  kecil  pun  menghasilkan  selang  yang  lebih  lebar  dari  yang lainnya.  Hasil  ini  juga  menunjukkan  bahwa,  selang  kepercayaan  BES  Median  akan menjadi lebar saat datanya menyebar di sekeliling lingkaran.
Keragaman lebar selang dari selang kepercayaan median menghasilkan pola yang relatif  sama  dengan  pola  lebar  selang  BES Median  ini.  (Gambar  3).  Semakin  besar parameter konsentrasi, keragaman lebar selang akan semakin kecil (Gambar 3). κ = 5 juga menjadi titik konvergensi dari keragaman lebar selang. Artinya, ketika parameter konsentrasinya sudah lebih dari 5, maka berapapun ukuran contohnya, lebar selang yang dihasilkan dari 1000 simulasi akan cenderung seragam atau konsisten.
(a) κ=0.05 s.d 5                                        (b)κ=5 s.d 100 Gambar 1. Cakupan selang kepercayaan BES Median C ak upan se be na rny a (%)
(a) κ=0.05 s.d 5                                        (b)κ=5 s.d 100
Gambar 2. Lebar selang kepercayaan BES Median
(a) κ=0.05 s.d 5                                       (b)κ=5 s.d 100
Gambar 3. Keragaman lebar selang BES Median

## b.  Busur Simetri (BSIM)
Secara umum, hasil dari selang kepercayaan BSIMsama dengan BES. Pada κ=0.05, cakupan selang yang dihasilkan juga rendah dan jauh dari tingkat kepercayaan selang. Cakupan  selang  akan  mulai  stabil  mendekati  tingkat  kepercayaan  selang  saat κ≥ 1(Gambar 4).
Lebar  selang  juga  menunjukkan  pola  yang  sama  dengan  BES  (Gambar  5). Semakin  besar  parameter  konsentrasi  maka  lebar  selang  kepercayaan  BSIM  akan semakin  sempit.  Lebar  selang  dari  keempat  ukuran  contoh  akan  mulai  sama  saat κ=20. Untuk N=10, keragaman lebar selang pada κ=0.05 lebih kecil daripada κ=0.5. Setelah κ≥0.5,  keragaman  lebar  selang  semakin  menurun  seiring  dengan meningkatnya parameter konsentrasi. Dari keempat ukuran contoh, keragaman lebar selang cenderung sama saat κ= 5 (Gambar 6).
(a) κ=0.05 s.d 5                                        (b)κ=5 s.d 100 Gambar 4. Cakupan selang kepercayaan BSIM Median
Le bar s e lang K e ra ga m an le ba r se lan g C ak upan se be na rny a (%)
(a) κ=0.05 s.d 5                                        (b)κ=5 s.d 100 Gambar 5. Lebar selang kepercayaan BSIM Median
(a) κ=0.05 s.d 5                                        (b)κ=5 s.d 100
Gambar 6. Keragaman lebar selang BSIM Median

## c.  Busur Berbasis Kemungkinan (BBK)
Hasil selang kepercayaan BBK serupa dengan BSIM. Cakupan selang jauh dari 95% saat κ<1, setelah κ≥1 cakupan selang mulai stabil mendekati 95% (Gambar 7). Lebar selang  juga  akan  semakin  sempit  seiring  dengan  meningkatnya  parameter konsentrasi.  Pada κ=20,  keempat  ukuran  contoh  memberikan  lebar  selang  yang cenderung sama (Gambar 8).
Keragaman lebar selang BBK memiliki perilaku yang sama dengan selang BSIM. Keragaman  lebar  selang  saat κ=0.05  lebih  kecil  dari  pada  saat  κ=0.5.  Setelah  itu, keragaman akan terus menurun seiring dengan meningkatnya κ. Pada κ=5, keempat macam ukuran contoh sudah memberikan hasil yang cenderung sama (Gambar 9).
κ=0.05 s.d 5 (b) κ=5 s.d 100
Gambar 7. Cakupan selang kepercayaan BBK Median
Le bar s e lang K e ra ga m an le ba r se lan g C ak upan se be na rny a (%)
(a) 𝜅 = 0.05 s. d 5 (b) 𝜅 = 5 s. d 100
Gambar 8. Lebar selang kepercayaan BBK Median
(a) κ=0.05 s.d 5                                       (b)κ=5 s.d 100 Gambar 9. Keragaman lebar selang kepercayaan BBK Median

## d.  Evaluasi Ketiga Metode
Dari uraian hasil selang kepercayaan BES, BSIM, dan BBK, secara umum diperoleh kesamaan  perilaku  selang  kepercayaan  berdasarkan  tiga  ukuran.  Cakupan  selang kepercayaan  akan  terlihat  stabil  dan  mendekati  tingkat  kepercayaan  95%  saat parameter  konsentrasinya  lebih  dari atau  sama  dengan  1.  Selang kepercayaan  dari ketiga  metode  akan  semakin  sempit  dan  sama  (konvergen)  seiring  dengan meningkatnya  parameter  konsentrasi.  Hasil  ini  sejalan  dengan  penelitian  Otieno (2002).  Kekonvergenan  lebar  selang  dari  ketiga  metode  dijumpai  saat  parameter konsentrasinya  sudah  mencapai  20.  Artinya,  pada  data  dengan κ =20  berapapun ukuran  contohnya  ketiga  metode  memberikan  lebar  yang  relatif  sama.  Keragaman lebar selang memiliki pola yang sama dengan lebar selang, yaitu semakin kecil seiring meningkatnya  parameter  konsentrasi.  Ukuran  contoh  kecil  selalu  memberikan keragaman lebar selang yang paling besar.
Parameter  konsentrasi  merupakan  ukuran  konsentrasi  data  terhadap  arah  rata- ratanya (Jammalamadaka&SenGupta2001; Fisher 1995). Parameter konsentrasi yang kecil  menandakan  bahwa  titik-titik  data  menyebar  di  sekeliling  lingkaran,  dan sebaliknya.Keragaman lebar selang menunjukkan konsistensi lebar selang dari 1000 simulasi.Keragaman yang besar menandakan bahwa lebar selang yang dihasilkan dari 1000 simulasi cenderung beragam atau tidak konsisten, dan sebaliknya.Hasil dugaan selang  dari  ketiga  metode  mengindikasikan  bahwa,  saat  datanya  menyebar  di sekeliling lingkaran selang kepercayaan dari 1000 simulasi akan memiliki lebar yang beragam  atau  tidak  konsisten.  Saat  datanya  mengumpul,  berapapun  ukuran contohnya lebar selang dari 1000 simulasi cenderung seragam atau konsisten.
Hasil perbandingan ketiga metode menunjukkan bahwa pada κ=0.05 metode BES
Le bar s e lang K e ra ga m an le ba r se lan g
memiliki cakupan yang paling baik dan BSIM sama dengan BBK.Pada κ=0.5 metode BES sama dengan BSIM memiliki cakupan terbaik. Setelah κ≥1, cakupan selang mulai stabil dan metode BSIM yang memiliki cakupan tertinggi, metode BES tertinggi kedua, dan BBK memiliki cakupan yang paling rendah (Gambar 10).Dengan demikian, saat parameter konsentrasinya kecil maka ketiga metode memberikan cakupan yang tidak stabil.
Berdasarkan  lebar  selang,  pada κ =0.05metode  BSIM  memberikan  selang tersempit dan metode BES memberikan selang terlebar. Pada parameter konsentrasi 0,5,  metode  BBK  paling  sempit  dan  BES  paling  lebar.  Hal  tersebut  juga mengindikasikan bahwa saat parameter konsentrasinya kecil, lebar selang dari ketiga metode  terlihat  tidak  stabil.Setelah κ≥1,  metode  BBK  stabil  memberikan  selang tersempit  dan BSIM memberikan selang terlebar, sedangkan BES berada ditengah- tengah (Gambar 11).
(a) κ=0.05 s.d 5                                       (b)κ=5 s.d 100 Gambar 10. Rata-rata peringkat dari cakupan selang kepercayaan bagi arah median
(a) κ=0.05 s.d 5                                       (b)κ=5 s.d 100 Gambar 11. Rata-rata peringkat dari lebar selang kepercayaan bagi arah median
(a) κ=0.05 s.d 5                                       (b)κ=5 s.d 100 Gambar 12. Peringkat dari keragaman lebar selang kepercayaan bagi arah rata-rata
Pada  Gambar  12  terlihat  bahwa  pada  saat κ < 1,  metode  BSIM  memberikan keragaman lebar selang terkecil, sedangkan BES  memberikan keragaman terbesar. Namun,  untuk κ ≥ 1 ,metode  BBKmemiliki  keragaman  terkecil,  BSIMmemiliki keragaman  terbesar,  dan  BES  stabil  berada  di  tengah-tengah.Karena  metode  BBK
R ata -r ata pe ri ng ka t R ata -r ata pe ri ng ka t R ata -r ata pe ri ng ka t
memberikan  keragaman  yang  paling  kecil  untuk κ ≥ 1,  maka  pada κ ≥ 1  metode tersebut  memiliki  lebar  selang  lebih  konsisten  atau  seragam  dari  yang lainnya.Sehingga,  BBK  merupakan  metode  yang  terbaik  berdasarkan  lebar  selang karena memiliki lebar tersempit dan keragamaan lebar selang terkecil.Metode terbaik kedua adalah BES dan terakhir adalah BSIM.
Berdasarkan  perbandingan-perbandingan  sesuai  tiga  ukuran  selang,  tidak  ada metode yang konsisten selalu menempati peringkat tertinggi, terlebih lagi saat κ < 1. Oleh karena itu, untuk κ < 1 penentuan metode terbaik tergantung pada kondisi data. Ukuran  utama  yang  dijadikan  dasar  penentuan  kebaikan  selang  adalah  cakupan sebenarnya,  karena  ini  terkait  dengan  keakuratan  dugaan  terhadap  parameter populasi.  Namun,  untuk κ ≥ 1  ketiga  metode  menghasilkan  perbedaan  angka  yang tidak terlalu besar. Sehingga metode terbaik diambil dari metode yang memiliki posisi peringkat  konsisten  berada  di  tengah-tengah  dari  semua  ukuran  selang.  Metode tersebut adalah busur ekor sama.

## 4.  Simpulan dan Saran
Pada  parameter  konsentrasi  yang  kecil  ( κ < 1) ,  ketiga  metode  pendugaan  selang kepercayaan bootstrap bagi arah median, yaitu BES, BSIM, dan BBK menghasilkan cakupan  yang  cenderung  tidak  stabil.  Setelah κ ≥ 1 ,  ketiga  metode  memberikan cakupan  yang  stabil  mendekati  tingkat  kepercayaan.  Metode  yang  terbaik  adalah busur simetri.
Lebar selang dari ketiga metode juga tidak stabil pada pada κ < 1 .  Pada selang parameter konsentrasi ini, metode yang terbaik adalah busur ekor sama. Pada κ ≥ 1, ketiga  metode  memiliki  lebar  yang  stabil  dan  metode  yang  terbaik  adalah  busur berbasis kemungkinan.
Secara umum, ketiga metode cenderung memberikan selang yang semakin sempit dan  sama  (konvergen)  seiring  dengan  meningkatnya  parameter  konsentrasi. Kekonvergenan lebar selang ini dicapai saat parameter konsentrasinya sekitar 20. Dari segi cakupan dan lebar selang, metode terbaik adalah metode yang memiliki cakupan dan lebar selang konsisten yaitu metode busur ekor sama pada κ ≥ 1.

## Daftar Pustaka
Benton,  D.,  &  Krishnamoorthy,  K.  (2002).  Performance  of  the  parametric  bootstrap method in small sample interval estimates. Advances and Applications in Statistics, 2(3), 269-285.
Casella,  G.,  & Berger, R. L.  (2002). Statistical inference (Vol. 2). Pacific Grove,  CA: Duxbury.
Ducharme,  G.  R.,  Jhun,  M.,  Romano,  J.  P.,  &  Truong,  K.  N.  (1985).  Bootstrap confidence cones for directional data. Biometrika, 72(3), 637-645.
Fisher , N. I., & Hall, P. (1989). Bootstrap confidence regions for directional data. Journal of the American Statistical Association, 84(408), 996-1002.
Fisher , N. I. (1995). Statistical analysis of circular data. Cambridge University Press.
Hall,  P.  (1988a).  On  symmetric  bootstrap  confidence  intervals.  Journal  of  the  Royal Statistical Society. Series B (Methodological), 50, 35-45.
Hall, P. (1988b). Theoretical comparison of bootstrap confidence intervals. The Annals of Statistics, 16, 927-953.
Jammalamadaka,  S. R.,  & Sengupta,  A.  (2001). Topics in  circular statistics (Vol. 5). World Scientific.
[Kemenkes]  Pusat  Data  dan  Surveilans  Epidemiologi  Kementrian  Kesehatan  RI. (2010).  Demam berdarah  dengue  di Indonesia  tahun 1968-2009.  Buletin  jendela epidemiologi, 2, 1-14.
Moore, D. S., & McCabe, G. P. (1998). Introduction to the Practice of Statistics, Third edition. W.H. Freeman and Company
Otieno,  B.  S.  (2002).  An  alternative  estimate  of  preferred  direction  for  circular  data (Doctoral dissertation, Virginia Tech).
Rice, J. (2006). Mathematical statistics and data analysis. Nelson Education.
Suhaeni,  C.,  Sumertajaya,  I.  M.,  &  Djuraidah,  A.  (2012).  Pendugaan  Selang Kepercayaan  Bootstrap  bagi  Arah  Rata-rata  Data  Sirkular.  Forum  Statistika  dan Komputasi, 17(2), 1-8.