ALTERNATIVE  METHODS  FOR  SOLVING   X ! =  AX

## Muhammad Natsir
Department of Mathematics  Faculty of Matematics and Natural Science Riau  of University natsir100@gmail.com

## Abstract
The  solution  of   x ! =  Ax  which is
t n t o o n e v v x P x t x   n 1 1 1 t At c , , , , e c Pe e ) ( 1        , involves the computation of  eigenvectors  (  v 1 , v 2 , …. , v n ) , modal  matrices P =   (  v 1 , v 2 , …. , v n ) , and  their transformation  P -1 AP = J , the  Jordan canonical  form. For the case  distinct eigenvalue
n       ... 2 1 solution of x ! = Ax is then
         k j 1, j j o n 0 k k At } - (A Z Z e ) ( j k n o t o I where x e x t x k     and t At k e e     n 1 k k Z .  To  by  pass  such computations , several  alternative  methods  have  been  suggested , some of which  are  the  Putzer ! Methods and a Direct  method  of  solving x ! =  Ax
keywords : eigen vectors, matrices, ,putzer ! methods

## PENDAHULUAN
Persamaan diferensial yang memuat turunan  fungsi  satu  variabel    muncul  hampir disetiap  cabang    matematika  ,  suatu  fenomena yang  mengekspresikan  setiap  situasi  fisik  yang berhubungan  dengan  kecepatan  perubahan  satu variabel terhadap variabel lainnya akan menuju ke suatu persamaan diferensial  dan situasi seperti ini sangat biasa dijumpai .
Kecepatan  perubahan  y  terhadap  x    yang sebanding dengan y diilustrasikan dan diformulasikan dalam bentuk persamaan
y  dx dy , yang menghasilkan penyelesaian  y = C
e x , untuk sembarang konstanta  C .
Bentuk  umum  persamaan  differensial linier adalah x ! =  Ax  atau     t Ax t x   dengan t n t o o n e v v x P x t x   n 1 1 1 t At c , , , , e c Pe e ) ( 1       
berupa      n-vektor  dan A matriks  konstan berukuran n n  dengan   0 0 x x  .
Solusi  umum  dari  persamaan  differensial     t Ax t x   adalah   0 x e t x At  ,  dimana At e adalah matriks eksponensial yang dapat diekspresikan melalui perluasan fungsi matriks Eksponensial  matriks  merupakan  deret dari  fungsi  eksponensial  yang    konstantanya
diganti  menjadi  matriks  A  berukuran n n  , sehingga  terbentuklah  deret  matriks  A  berukuran n n  .  Suatu    deret  matriks  dapat  diperluas berdasarkan.  Teorema    Cayley-Hamilton  yang menguraikan    polynomial  nilai  eigen  dari  suatu matriks  A n n  kedalam  bentuk  polinomial matriks A nxn .
Penelitian  ini  menelusuri  lebih  mendalam tentang beberapa metode penyelesaian persamaan x ! =    Ax  yaitu  Metode    Sylvester ! s  ,  metode Putzer ! s  dan metode langsung .
Penelusuran  Literature  tentang  materi    yang berjkaitan  dengan  eksponen  matriks  memberikan informasi  yang  diperlukan  dalam  menganalisa perumusan  dari  eksponen  matriks    baik  dari  segi penelaahan  nilai  eigen  dari  matriks  A  tersebut maupun  tinjauan  tentang  solusi  dari  sistem persamaan  diferensial  linier  yang  dibangun  oleh A nxn sebagai  matriks  koefisien  sistem  linier tersebut  .
Perumusan tentang eksponensial dari suatu matriks  persegi  sebelumnya    dijabarkan  melalui perluasan  fungsi  matriks    A  yang  mempunyai eigen  value  λ 1 ,  λ 2 ,  λ 3 ,  ……..,    λ n yang diformulasikan  dalam bentuk :
 [1] A matriks untuk ) ( ) )( ( ) )( - (A ) ( ) )( ( ) )( - (A ) ( ) )( ( } )( - (A F(A) A matriks untuk , ) F( ) ( ) - (A } ( ) ( I) - (A ) ( 3x3 3 2 3 1 3 2 1 2 1 2 3 2 1 3 1 3 1 2 1 3 2 2x2 2 1 2 2 1 2 1 2                              F I A I F I A I f I A I I F A F         
      

## 1. Nilai Eigen dan Teorema Cayley-Hamilton
Dibagian ini dijelaskan pengertian nilai eigen dan vektor  eigen  untuk  menjelaskan  teorema  Cayley- Hamilton.
o Definisi 1 Skalar λ disebut nilai eigen, bila AX=λx untuk x ≠ 0  dengan    matriks  A n  x  n dan  X  adalah  vektor eigen. Selanjutnya dapat dibentuk (λI – A)X = 0   dan   det(λI – A) = 0 , diperoleh nilai eigen λ 1 , λ 2 ,…λ n o Definisi 2 Jika λ 1 ,λ 2 ,…λ n adalah nilai-nilai eigen dari matriks A ordo n x n ,maka dapat dibentuk polinomial nilai eigen,
  0 1 1 1 c c c P n n n             [2]
 Teorema  1    [5]    (Teorema  Cayley- Hamilton)
Misalkan A matriks n  x  n dan λ 1 =λ 2 =….=λ n =λ adalah nilai-nilai eigennya.
Jika polynomial nilai eigen matriks A :
P(λ) = det (λI – A) =  a 0 +a 1 λ+a 2 λ 2 +…..+a n-1 λ (n-1) +λ n
Maka diperoleh P(λ) = a 0 I+a 1 A+a 2 A 2 +…..+A n = 0 [3]

## 2. Solusi  Sistem  Persamaan  Differensial  Linear Homogen dengan Koefisien Konstan
Bentuk  sistem  persamaan  differensial  linear homogen dengan koefisien konstan dirumuskan,    
 
   
     


           

##    

## 

##       

##  

##     
 
t x t x t x a a a a a a a a a a t x t x t x n nn n n n n n n         2 1 2 1 3 2 22 21 1 12 11 1 1 2 1 1 [4]
dengan titik asal,
                                                                      0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 2 2 2 1 1 1     n n x x t x x x x                                   1 0 0 0 0 0   n n n n x x x
[5]
Secara singkat persamaan (4) dan (5) dapat ditulis dalam bentuk X'(t) = AX(t) [6]
dengan nilai asal, X (0) = x [7] Solusi umum persamaan (6) :dinyatakan sebagai         t a t a t a t x n n         2 2 1 1 t n t t n e a e a e a         2 2 1 [8]
Selanjutnya  diasumsikan  persamaan  (8)  adalah solusi  persamaan  linier  homogen  orde- n dengan koefisien konstan, yaitu
:   0 0 1 1 1 1        x e x e x e x n n n  [9]
dengan  syarat  ,   1 1   k k x dan     0 0  i k x untuk 1 1   k , 1 0    n i
Dari  persamaan  (9)  dapat  diketahui  terdapat n solusi eksak dan ditulis [2] ,
        t t t S n    , , , 2 1   [10]
persamaan  (10)  adalah  suatu  basis  pada  vektor fungsi  turunan.  Oleh  karena  itu  ,  dari  persamaan (10)  dapat  dibentuk  matriks  yang  non  singular, yaitu:
                                             t t t t t t t t t B n n n n n n t 1 1 2 2 2 1 1 1 1 ... ... ...              [11]

## 3. Eksponensial matriks
Berikutnya  dijelaskan  eksponensial  matriks adalah  sebuah  solusi  khusus  dari  sistem persamaan  linier  dari  sistem  persamaan  linier homogen pada teorema dibawah ini.
 Teorema 2. Jika A matriks konstan n n  konstan  dengan  polynomial  karakteristik

##  

P ,  maka  eksponensial  matriksnya adalah:           1 2 3 2 1 ....       n n At A t x A t x A t x I t x e [12 dengan,          
                             1 2 1 1 0 2 1 n n n t t B t x t x t x      0 B adalah  matriks  persamaan  (10)  untuk 0  t
dan         t t t S n    , , , 2 1   adalah basis  solusi  sistem  persamaan  differensial homogen yang persamaan karakteristiknya adalah persamaan  karakteristik  dari    matriks  A  dengan   0   p .

## METODE PENELITIAN
Penelitian  ini  berbentuk  studi  literatur dengfan  menelusuri  beberapa  buku  teks  dan journal    terkait  untuk  menganalisa  lebih  lanjut tentang penyelesaian persamaan x ! =  Ax dengan metode Sylvester ! s , metode  Putzer ! s  dan metode langsung    dengan  pendekatan  dan  langkah- langkah berikut :
1.  Tentukan  nilaieigen  λ 1 ,    λ 2 ,  ….  ,    λ n dari matriks A yang diketahui . 2. Formulasikan
Z e ) ( n 0 k k At o t o x e x t x k      dimana
     k j 1, j j o } - (A Z j k n I    dan t At k e e     n 1 k k Z
[Metode Sylvester ! s] 3.  Formulasikan     1 1 At ) ( e n j j j A t q ,  dimana ) ( ),....., ( , ) ( q 1 1 o t q t q t n  merupakan  elemen  dari
vektor kolom
q=CZ, dimana dimana , CZ q kolom vektor dari elemen merupakan 
0 ... ... 0 1 0 ... 0 1 ... ... ... ... ... 0 1 ... c c 1 c ... c c C 1 3 2 1 - n 2 1                   n c dan               ) ( ... ) ( z z(t) Z(t) 1 1 t z t n , [Metode Pertama Putzer's] 4.  Formulasikan j n j j p t r ) ( e 1 0 1 At      ,  dimana  j k I A 1 k j o ) ( P ; I P      dengan ) ( ),..., ( 1 t r t r n merupakan solusi dari
0 ) 0 ( * r ; 1 ) 0 ( r n) 1,2,..., (j , r sistem j 1 1 - j ! 1 1 1            j j j r r r r   ,
[Metode kedua Putzer's]
5.Rumuskan o x k t x t k 0 k k e ] t ! I) - (A I [ ) (        ,
[ Metode Langsung ]

## HASIL DAN PEMBAHASAN
Penelusuran Literature tentang materi  yang berjkaitan  dengan  eksponen  matriks  memberikan informasi  yang  diperlukan  dalam  menganalisa perumusan  dari  eksponen  matriks    baik  dari  segi penelaahan  nilai  eigen  dari  matriks  A  tersebut maupun  tinjauan  tentang  solusi  dari  sistem persamaan  diferensial  linier  yang  dibangun  oleh A nxn sebagai  matriks  koefisien  sistem  linier tersebut  .
Perumusan tentang eksponensial dari suatu matriks  persegi  sebelumnya    dijabarkan  melalui perluasan  fungsi  matriks    A  yang  mempunyai eigen  value  λ 1 ,  λ 2 ,  λ 3 ,  ……..,    λ n yang diformulasikan  dalam bentuk :
 t At k e e     n 1 k k Z dan
o t o x e x t x k     n 0 k k At Z e ) (  ,
dimana      k j 1, j j o } - (A Z j k n I   
 Sebagai ilustrasi , Selesaikan persamaan x ! =
Ax , dengan  A =         3 2 1 0 ,        2 1 x o
Diperoleh    c(λ)  =    det  (A  –  λI)  =  0  . menghasilkan  λ =  { -1  ,  -2  } Maka
        1 - 2 - 1 2 - - A 2 1 2 1 
  I Z ;
                    4 4 2 1 1 - 2 - 1 2 Z 1 o x
         2 2 1 1 - - - A 1 2 1 1 2    I
Z ;                     6 3 - 2 1 2 2 1 - 1 - Z 2 o x
Sehingga penyelesaian dari persamaan x ! =  Ax  adalah
o 2 2t - 1 t - 2 1 k k x e e Z ) ( Z x Z x e t x o o t k                      6 3 - e 4 4 e 2t - t -
Jika  dibandingkan    dengan  cara  biasa  ,  dari nilaieigen  λ =  { -1  ,  -2  }
diperoleh  matriks  P  yang  dibentuk  oleh eigenvektor  [v 1 , v 2 ]  ,
sehingga P =  [v 1 , v 2 ]  =         2 1 1 1 P -1 x o =                      3 - 4 2 1 2 1 1 1 ,
diperoleh hubungan  Z 1 x o = c 1 v 1 dan  Z 2x x o = c 2 v 2 Jadi solusi persamaan
    
                    3 4 0 0 2 - 1 - 1 1 Pe ) ( 2 1 t t t o e e x P t x 2t - t - e 2 - 1 3 - e 1 - 1 4             
Tinjau  suatu  matriks  A  berukuran    3x3  yang mempunyai  akar  berulang    dengan  polinomial karakteristik  Sebagai    ilustrasi    untuk  metode pertama  Putzer ! s f(x) =  ( x – λ) 3
= x 3 – 3x 2 λ + 3xλ 2 – λ 3
= x 3 + c 2 x 2 + c 1 x + c o diperoleh hubungan  c o = – λ 3 = dert A, c 2 = – 3λ = - Tr A    ,
c 1 = 3λ 2
=  jumlah  dari  hasil  kali dua  nilai eigennya Untuk metode i Putzer ! s  diperoleh q=CZ=                       11 1 1 2 2 1 0 0 1 0 1 1 z z z c c c                          2 2 2 3 2 1 2 2 2 2 2 1 t t t t e q q q t    
Jadi penyelesaiannya  adalah x(t) =  e At x o =  ½  e λt [q 1 I + q 2 A + q 3 A 2 ] x o
Sedangkan  untuk    metode  kedua      Putzer ! s  , diperoleh  persamaan :
                    
    
         3 2 1 1 3 1 2 1 1 1 0 0 1 0 0 r r r r r r    Jadi                        2 1 e r r r 2 At 3 2 1 t t Jadi penyelesaiannya adalah
x(t) = e At x o = ½  e λt [2I + 2t (A  -   λI ) + t 2 (A – λI) 2 ] x o
Untuk metode langsung  , solusi persamaan x ! =  Ax  adalah x(t)  =  e At x o =  e (A-λI)t e λIt x o =    e (A-λI)t e λt x o o x t I A t I A I t 2 2 e ...] ! 2 ) ( ) ( [          o x k t x t k 0 k k e ] t ! I) - (A I [ ) (       

## KESIMPULAN
Hasil  penelitian  dalam    bentuk  penelusuran penyelesaian  persamaan    x ! =    Ax    dapat  ditarik beberapa kesimpulan :
1. Penggunaan  Metode  Putzer ! s  menghasilkan perumusan    yang  lebih  efiisien  digunakan untuk kasus  nilai egen yang berulang
2. Penggunaan  Metode  Putzer ! s  didapat  hasil eksak dengan menggunakan  definisi  e At
3. Hasil  perbandingan  metode    Sylvester ! s  dan metode Langsung diperoleh hubungan
Z 1 x o = c 1 v 1 dan  Z 2x x o = c 2 v 2

## DAFTAR ACUAN
Antan  H.  1984. Elementary  Linear  Algebra ,  J,
Wiley & Sons , New York Aston,  H.&  C.  Rorres.  1984. Elementary  Linear Algebra  with  Applications .  New  York:
Wiley &  Sons.
Coddington , E,A , & Levinson , 1955 , Theory of
Ordinary  Differential  Equations .  Mc  Graw-
Hill , New York .
Jack,L.G.1991. Matrix  theory  with    application.
Mc Graw Hill,New York
Leonard,  I.E.1996., The  matrix  exponential.
SIAM Rev . , 38 : 507–512.
Liz,  E.  1998., A  Note  on the  matrix   exponential.
SIAM Rev . , 40 : 700–702.
Piere  N,V.  Tu  ,    1994  , Dynamical  Systems ,
Springer  Verlag , New York.