## Beberapa Sifat Integral Henstock Sekuensial

## Malahayati
Program Studi Matematika Fakultas Sains dan Teknologi, UIN Sunan Kalijaga, Jl. Marsda Adisucipto No. 1 Yogyakarta, Indonesia
Korespondensi; Email: malahayati_01@yahoo.co.id

## Abstrak
Perkembangan teori integral khususnya integral Henstock yang terbaru berhasil dikemukakan oleh Laramie Paxton, yaitu integral Henstock Sekuensial. Pendefinisian Integral Henstock Sekuensial hampir sama seperti mendefinisikan integral  Henstock,  bedanya  pada  integral  Henstock  Sekuensial  partisinya  melibatkan  barisan  fungsi  positif  yang disebut partisi tag δ n -fine . Laramie membuktikan bahwa fungsi yang terintegral Henstock juga terintegral Henstock Sekuensial begitupun sebaliknya, sehingga sifat-sifat yang berlaku pada integral Henstock juga belaku pada integral Henstock Sekuensial. Di dalam tulisan ini dibuktikan beberapa sifat integral Henstock Sekuenisial dan teorema- teorema dasar seperti yang berlaku pada integral Henstock.
Kata Kunci Integral Henstock; Integral Henstock Sekuensial; partisi tag δ

## Abstract
The development of integral theories, in particular the latest Henstock integral, was succeeded by Laramie Paxton, the Sequential Henstock integral. The definition of a Sequential Henstock Integral is almost the same as defining the integral of Henstock, the difference in the Henstock integral Sequential partition involves a sequence of positive functions  called  the δ n -fine tag  partition.  Laramie  proves  that  Henstock's  integral  function  is  also  integral  to Sequential Henstock as well as vice versa, so that the properties that apply to the integral Henstock also apply to the Sequential Henstock integral. In this paper some of the attributes of Henstock Sekuenisial integrals and basic theorems such as those that apply to the integral Henstock.
Keywords Integral Henstock; Sequential Henstock Integral; δ tag partition

## Pendahuluan
Ilmu pengetahuan merupakan hal yang mengalami perkembangan secara terus-menerus. Diantaranya teori  integral  yaitu  ilmu  bidang  matematika  analisis  yang  terus  mengalami  perkembangan,  dan memungkinkan  untuk  terus  diteliti  dan  dikembangkan.  Pada  tahun  1854,  teori  integral  dengan penggunaan  partisi  sebagai  dasar  pengembangannya  telah  disusun  oleh  Riemann.  Teori  Integral Riemann  merupakan  teori  integral  yang  mudah  dipelajari  dan  dimengerti  dalam  mempelajarinya. Namun demikian, seiring jalannya waktu teori Integral Riemann juga mengalami perkembangan. Ralph Henstock (1957) seorang ahli matematikawan, mencermati ada fungsi yang tidak terintegral Riemann. Sebagaimana diketahui pendefinisian integral yang dilakukan Riemann hanya membahas fungsi yang terbatas,  namun  demikian  tidak  semua  fungsi  yang  terbatas  terintegralkan  secara  Riemann,  contoh fungsi yang tidak terintegral Riemann adalah fungsi Dirichlet. Dengan menggunakan partisi, Henstock menyusun teori integral baru yang dikenal dengan nama Integral Henstock.
Baru-baru ini, tepat di tahun 2016 perkembangan teori integral yang terbaru berhasil dikemukakan oleh Laramie Paxton, yaitu perkembangan dari integral Henstock menjadi integral Henstock Sekuensial melalui penggunaan  urutan umum atau biasa disebut barisan, yaitu, integral  Henstock didefinisikan melalui pendekatan barisan. Lebih lanjut, Laramie membuktikan bahwa fungsi yang terintegral Henstock juga  terintegral  Henstock  Sekuensial  begitupun  sebaliknya,  sehingga  sifat-sifat  yang  berlaku  pada integral  Henstock  juga  belaku  pada  integral  Henstock  Sekuensial.  Oleh  karena  itu,  menarik  untuk dipelajari  sifat-sifat  apa  saja  yang  berlaku  pada  integral  Henstock  Sekuensial  serta  mengkaji  lebih dalam bukti-bukti yang tidak diberikan oleh Laramie Paxton.

## Landasan Teori
Pada  bagian  ini,  akan  diberikan  definisi  partisi,  yang  telah  dikenal  ketika  mendefinisikan  integral Riemann maupun integral Henstock. Namun akan diberikan definisi non-overlapping terlebih dahulu.
Definisi  2.1.  (Bartle,  2001:4) Dua  interval  terbuka  pada ℝ dikatakan  tidak  tumpang  tindih  (non- overlapping)  apabila  irisan  dari  kedua  interval  tersebut  kosong  atau  dua  interval  tertutup  pada ℝ dikatakan  tidak  tumpang  tindih  (non-overlapping)  apabila  irisan  dari  kedua  interval  tersebut  paling banyak satu titik.
Berikut akan diberikan contoh agar lebih mudah dalam memahami definisi dua interval yang tidak tumpang tindih ( non-overlapping).
Contoh 2.2. Diberikan masing-masing dua pasang interval pada ℝ : a. 𝐴 = [0,2] dan 𝐵 = [2,5]
Dua interval tersebut dikatakan tidak tumpang tindih ( non-overlapping), karena 𝐴 ∩ 𝐵 = {2} . b. 𝑃 = (2,4) dan 𝑄 = (5,7)
Interval 𝑃 dan 𝑄 dikatakan tidak tumpang tindih ( non-overlapping), karena 𝐴 ∩ 𝐵 = ∅ . c. 𝑅 = [1,3] dan 𝑆 = [2,4] Dua interval tersebut dikatakan
tumpang tindih ( overlapping), karena 𝑅 ∩ 𝑆 = [2,3] .
Definisi 2.3.  (Bartle, 2000:145) Partisi 𝑃 pada suatu interval 𝐼 = [𝑎, 𝑏] adalah koleksi interval-interval tertutup yang non-overlapping sehingga 𝐼 = 𝐼 1 ∪ … ∪ 𝐼 𝑛 . Ditulis 𝑃 = {𝐼 1 , … , 𝐼 𝑛 } dengan 𝐼 𝑖 = [𝑥 𝑖−1 , 𝑥 𝑖 ] dimana
𝑎 = 𝑥 0 < ⋯ < 𝑥 𝑖−1 < 𝑥 𝑖 < ⋯ < 𝑥 𝑛−1 < 𝑥 𝑛 = 𝑏.
Titik-titik 𝑥 𝑖 (𝑖 = 0, … , 𝑛) disebut titik-titik partisi 𝑃 . Jika titik 𝑡 𝑖 dipilih dari setiap interval 𝐼 𝑖 , ∀𝑖 = 1, … , 𝑛 , maka 𝑡 𝑖 disebut tag dan himpunan pasangannya disebut partisi tag pada 𝐼 dapat ditulis
𝑃 = {([𝑥 𝑖−1 , 𝑥 𝑖 ], 𝑡 𝑖 )} 𝑖=1 𝑘
Dengan 𝑥 𝑖−1 ≤ 𝑡 𝑖 ≤ 𝑥 𝑖 .
Berikut akan diberikan contoh partisi dan partisi tag agar lebih mudah dalam memahami definisi partisi di atas.
Contoh 2.4.  Diberikan interval 𝐴 = [0,12] dibentuk
𝑃 1 = {[0,3], [3,6], [6,9], [9,12]}
𝑃 2 = {[0,2], [2,4], [4,6], [6,8], [8,10], [10,12]} maka 𝑃 1 dan 𝑃 2 disebut partisi.
Dapat dipilih 𝑡 𝑖 dari setiap 𝐼 𝑖 , sehingga dapat dibentuk partisi tag pada 𝐴 :
𝑃 1 = {([0,3], 1), ([3,6], 5), ([6,9], 7), ([9,12], 11)}
𝑃 2 = {([0,2], 1), ([2,4], 3), ([4,6], 5), ([6,8], 7), ([8,10], 9), ([10,12], 11)}
Selanjutnya, akan diberikan definisi partisi 𝛿 − 𝑓𝑖𝑛𝑒 yang menjadi dasar terbentuknya integral Riemann.
Definisi 2.5. (Paxton, 2016:3) Diberikan 𝛿 > 0 , partisi tag P pada 𝐼 = [𝑎, 𝑏] dikatakan 𝛿 -fine apabila setiap subinterval [𝑥 𝑖−1 , 𝑥 𝑖 ] ⊂ [𝑎, 𝑏], memenuhi 𝑥 𝑖 − 𝑥 𝑖−1 < 𝛿, ∀𝑖 = 1, 2, … , 𝑘 .
Berikut akan diberikan contoh partisi 𝛿 − 𝑓𝑖𝑛𝑒 agar lebih mudah dalam memahami definisi partisi 𝛿 − 𝑓𝑖𝑛𝑒 .
Contoh 2.6.  Diberikan 𝛿 = 3 . Berdasarkan Contoh 2.4. dapat disimpulkan bahwa:
 𝑃 1 bukan merupakan partisi 𝛿 − 𝑓𝑖𝑛𝑒 karena ada subinterval [0,3] ⊂ 𝐴 tetapi 3 − 0 > 𝛿 = 3  𝑃 2 merupakan partisi 𝛿 − 𝑓𝑖𝑛𝑒 .
Definisi integral Riemann, memotivasi Henstock memodifikasi partisi yang digunakan oleh Riemann sehingga terbentuk integral Henstock dengan definisi partisi 𝛿(𝑥) − 𝑓𝑖𝑛𝑒 berikut.
Definisi 2.7. (Wells, 2011:10) Diberikan 𝐼 = [𝑎, 𝑏] dan 𝛿(𝑥): 𝐼 → ℝ merupakan fungsi positif sehingga 𝛿(𝑥) > 0, ∀𝑥 ∈ 𝐼 . Himpunan 𝑃 dikatakan partisi 𝛿(𝑥) -fine pada 𝐼 apabila memenuhi
[𝑥 𝑖−1 , 𝑥 𝑖 ] ⊆ (𝑡 𝑖 − 𝛿(𝑡 𝑖 ), 𝑡 𝑖 + 𝛿(𝑡 𝑖 ))
∀𝑖 = 1, … , 𝑛, atau dengan kata lain, partisi tag 𝑃 = {([𝑥 𝑖−1 , 𝑥 𝑖 ], 𝑡 𝑖 )} 𝑖=1 𝑘 dikatakan 𝛿(𝑥) -fine apabila setiap subinterval [𝑥 𝑖−1 , 𝑥 𝑖 ] memenuhi:
𝑥 𝑖 − 𝑥 𝑖−1 < 𝛿(𝑡 𝑖 ), ∀𝑖 = 1, 2, … , 𝑘,
dengan 𝑥 𝑖−1 ≤ 𝑡 𝑖 ≤ 𝑥 𝑖 .
Berikut  akan  diberikan  contoh  partisi 𝛿(𝑥) − 𝑓𝑖𝑛𝑒 agar  lebih  mudah  dalam  memahami  definisi partisi 𝛿(𝑥) − 𝑓𝑖𝑛𝑒 .
Contoh 2.8. Diberikan interval 𝐼 = [0,1] dan didefinisikan fungsi:
𝛿(𝑥) = { 1/4, 𝑥 = 0 2𝑥, 0 < 𝑥 ≤ 1
dapat dibentuk 𝑃 yang merupakan partisi 𝛿(𝑥) :
𝑃 = {([0, 1 4 ] , 1 4 ) , ([ 1 4 , 2 4 ] , 1 4 ) , ([ 2 4 , 3 4 ] , 2 4 ) , ([ 3 4 , 1] , 7 8 )}.
Definisi 2.9. (Paxton, 2016: 3) Diberikan fungsi 𝛿: 𝐼 → ℝ dengan 𝛿(𝑥) > 0, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑠𝑒𝑡𝑖𝑎𝑝 𝑥 ∈ 𝐼 , yang kemudian 𝛿(𝑥) disebuat gauge pada I.
Definisi-definisi  diatas  sangat  bermanfaat  dalam  pendefinisian  integral  Henstock  sekuensial  serta pembuktian beberapa sifatnya.
Lemma  berikut  ini  akan  digunakan  dalam  pembuktian  teorema-teorema  pada  integral  Henstock Sekuensial.
Lemma 2.10.  (Wells,  2011:14) Diberikan  fungsi  positif 𝛿(𝑥) yang  didefinisikan  pada [𝑎, 𝑏] ,  dan interval tag (𝑡, [𝑎, 𝑏]) . Interval (𝑡, [𝑎, 𝑏]) merupakan partisi tag 𝛿(𝑥) -fine pada [𝑎, 𝑏] jika dan hanya jika {(𝑡, [𝑎, 𝑡]), (𝑡, [𝑡, 𝑏])} merupakan partisi tag 𝛿(𝑥) –fine pada [𝑎, 𝑏] . Selanjutnya, 𝑓(𝑡)(𝑏 − 𝑎) = 𝑓(𝑡)(𝑡 − 𝑎) + 𝑓(𝑡)(𝑏 − 𝑡).
Bukti:

## (Syarat perlu)
Diketahui bahwa (𝑡, [𝑎, 𝑏]) merupakan partisi tag 𝛿(𝑥) − 𝑓𝑖𝑛𝑒 pada [𝑎, 𝑏] dengan [𝑎, 𝑡] ⊆ [𝑎, 𝑏] dan [𝑡, 𝑏] ⊆ [𝑎, 𝑏] serta [𝑎, 𝑏] ⊆ (𝑡 − 𝛿(𝑡), 𝑡 + 𝛿(𝑡)) . Akibatnya, {(𝑡, [𝑎, 𝑡]), (𝑡, [𝑡, 𝑏])} merupakan partisi tag 𝛿(𝑥) − 𝑓𝑖𝑛𝑒 pada [𝑎, 𝑏] . (Syarat cukup) Diketahui bahwa {(𝑡, [𝑎, 𝑡]), (𝑡, [𝑡, 𝑏])} merupakan partisi tag 𝛿(𝑥) − 𝑓𝑖𝑛𝑒 pada [𝑎, 𝑏] berarti
[𝑎, 𝑡] ⊆ (𝑡 − 𝛿(𝑡), 𝑡 + 𝛿(𝑡))
Dan
[𝑡, 𝑏] ⊆ (𝑡 − 𝛿(𝑡), 𝑡 + 𝛿(𝑡)) Sehingga diperoleh [𝑎, 𝑡] ∪ [𝑡, 𝑏] = [𝑎, 𝑏]
dan
[𝑎, 𝑏] ⊆ (𝑡 − 𝛿(𝑡), 𝑡 + 𝛿(𝑡))
Oleh karena itu, (𝑡, [𝑎, 𝑏]) merupakan partisi tag 𝛿(𝑥) − 𝑓𝑖𝑛𝑒 pada [𝑎, 𝑏] .
Selanjutnya,
𝑓(𝑡)(𝑏 − 𝑎)     = 𝑓(𝑡)𝑏 − 𝑓(𝑡)𝑎 + 𝑓(𝑡)𝑡 − 𝑓(𝑡)𝑡 = 𝑓(𝑡)(𝑡 − 𝑎) + 𝑓(𝑡)(𝑏 − 𝑡).  ∎
Berikut ini diberikan definisi integral Henstock, dapat digunakan dalam memahami integral Henstock Sekuensial. Pendefinisian integral Henstock menggunakan partisi tag 𝛿(𝑥) -fine.
Definisi 2.11. (Bartle, 2001:12) Fungsi 𝑓: 𝐼 = [𝑎, 𝑏] → ℝ dikatakan terintegral Henstock pada 𝐼 apabila terdapat bilangan positif 𝐴 ∈ ℝ dan untuk setiap 𝜀 > 0, 𝑡𝑒𝑟𝑑𝑎𝑝𝑎𝑡 𝛿(𝑥) > 0 sehingga untuk setiap 𝑃 = {([𝑥 𝑖−1 , 𝑥 𝑖 ], 𝑡 𝑖 )} 𝑖=1 𝑘 yang merupakan partisi tag 𝛿(𝑥) -fine pada 𝑙 berlaku
|∑ 𝑓(𝑡 𝑖 )(𝑥 𝑖 − 𝑥 𝑖−1 ) − 𝐴 𝑘 𝑖=1 | < 𝜀 , atau dapat ditulis |𝑆(𝑓, 𝑃) − 𝐴| < 𝜀.
Bilangan 𝐴 disebut nilai integral Henstock fungsi 𝑓 pada 𝐼 ditulis 𝐴 = ∫ 𝑓 𝑏 𝑎 , kemudian fungsi 𝑓 terintegral Henstock pada 𝐼 dapat ditulis 𝑓 ∈ ℛ ∗ (𝐼) .
Berikut diberikan contoh fungsi terintegral Henstock, agar lebih mudah dalam memahami definisi diatas.
Contoh 2.12.  Diberikan fungsi Dirichlet, ∀𝑥 ∈ [0,1] didefinisikan
𝑓(𝑥) = { 1, 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑥 ∈ ℚ 0, 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑥  ∉ ℚ
Akan dibuktikan bahwa 𝑓(𝑥) terintegral Henstock pada [0,1] dan ∫ 𝑓(𝑥) = 0 1 0

## Penjelasan:
Ambil  sebarang 𝜀 > 0 ,  didefinisikan 𝐸 = {𝑥 𝑖 ∈ ℚ, 𝑥 𝑖 ∈ [0,1]}, 𝑖 = 1, 2, 3, … , 𝑛 ,  selanjutnya didefinisikan fungsi 𝛿(𝑥) pada [0,1] dengan
𝛿(𝑥 𝑖 ) = { 𝜀 2 𝑖+1 ⁄ , 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑥 𝑖 ∈ 𝐸 0,        𝑗𝑖𝑘𝑎  𝑥 𝑖 ∉ 𝐸 .
Untuk sebarang partisi 𝛿(𝑥) − 𝑓𝑖𝑛𝑒 pada [0,1] berlaku
|∑ 𝑓(𝑡 𝑖 )(𝑥 𝑖 − 𝑥 𝑖−1 ) − 0 𝑘 𝑖=1 | = |∑ 𝑓(𝑡 𝑖 )(𝑥 𝑖 − 𝑥 𝑖−1 ) 𝑘 𝑖=1 |
= | ∑ 𝑓(𝑡 𝑖 )(𝑥 𝑖 − 𝑥 𝑖−1 ) + ∑ 𝑓(𝑡 𝑖 )(𝑥 𝑖 − 𝑥 𝑖−1 ) 𝑘 𝑥 𝑖 ∉𝐸 𝑘 𝑥 𝑖 ∈𝐸 | ≤ | ∑ 𝑓(𝑡 𝑖 )(𝑥 𝑖 − 𝑥 𝑖−1 ) 𝑘 𝑥 𝑖 ∈𝐸 | + | ∑ 𝑓(𝑡 𝑖 )(𝑥 𝑖 − 𝑥 𝑖−1 ) 𝑘 𝑥 𝑖 ∉𝐸 | = | ∑ 1 (𝑥 𝑖 − 𝑥 𝑖−1 ) 𝑘 𝑥 𝑖 ∈𝐸 | + | ∑ 0 (𝑥 𝑖 − 𝑥 𝑖−1 ) 𝑘 𝑥 𝑖 ∉𝐸 | = | ∑ (𝑥 𝑖 − 𝑥 𝑖−1 ) 𝑘 𝑥 𝑖 ∈𝐸 | + 0 = | ∑ (𝑥 𝑖 − 𝑥 𝑖−1 ) 𝑘 𝑥 𝑖 ∈𝐸 | < ∑ 𝛿(𝑥 𝑖 ) < 𝑘 𝑥 𝑖 ∈𝐸 ∑ 𝜀 2 𝑖+1 ⁄ 𝑘 𝑥 𝑖 ∈𝐸
= 𝜀 ∑ 1 2 𝑖+1 ⁄ 𝑘 𝑥 𝑖 ∈𝐸 = 1 2 𝜀 ∑ 1 2 𝑖 ⁄ 𝑘 𝑥 𝑖 ∈𝐸 = 1 2 𝜀 . 1 = 1 2 𝜀 < 𝜀 .
Dengan kata lain, terbukti bahwa 𝑓(𝑥) terintegral Henstock pada [0,1] dan ∫ 𝑓(𝑥) = 0 1 0 .

## Hasil dan Pembahasan
Berikut diberikan definisi integral Henstock Sekuensial, agar mudah dalam memahaminya dapat dilihat kembali definisi tentang partisi yang telah diberikan sebelumnya.
Definisi 3.1 (Paxton, 2016:9) Fungsi 𝑓: 𝐼 = [𝑎, 𝑏] → ℝ dikatakan terintegral Henstock Sekuensial pada 𝐼 apabila  terdapat  bilangan  positif 𝐴 dan  suatu  barisan  fungsi  positif {𝛿 𝑛 (𝑥)} 𝑛=1 ∞ sehingga  untuk setiap 𝑃 𝑛 yang merupakan partisi tag 𝛿 𝑛 (𝑥) -fine, berlaku
|∑ 𝑓(𝑡 𝑖 ) 𝑛 (𝑥 𝑖 − 𝑥 𝑖−1 ) 𝑛 − 𝐴 𝑘 𝑖=1 | < 𝜀, atau dapat ditulis
|𝑆(𝑓, 𝑃 𝑛 ) − 𝐴| < 𝜀.
Bilangan 𝐴 disebut nilai integral Henstock Sekuensial fungsi 𝑓 pada 𝐼 dengan 𝐴 = ∫ 𝑓 𝑏 𝑎 , kemudian fungsi 𝑓 terintegral Henstock Sekuensial pada 𝐼 , dapat ditulis: 𝑓 ∈ 𝐻 ∗ (𝐼) .
Berikut akan diberikan contoh fungsi terintegral Henstock Sekuensial, agar dapat memberi gambaran tentang definisi integral Henstock Sekuensial.
Contoh 3.2. (Paxton, 2016:9) Diberikan fungsi Dirichlet, ∀𝑥 ∈ [0,1] didefinisikan
𝑓(𝑥) = { 1,    𝑥 ∈ ℚ

## 0,   𝑥 ∉ ℚ
Akan dibuktikan bahwa fungsi 𝑓 terintegral Henstock Sekuensial pada [0,1] dan ∫ 𝑓(𝑥) = 0 1 0 .
Penjelasan: Didefinisikan keluarga bilangan rasional {𝑞 𝑚 } untuk setiap 𝑚 ∈ ℕ.
Ambil  sebarang  bilangan 𝜀 > 0 ,  dan {𝛿 𝑛 (𝑥)} 𝑛=1 ∞ merupakan  fungsi  gauge  yang  turun  pada  [0,1] artinya 𝛿 𝑛+1 (𝑥) < 𝛿 𝑛 (𝑥), ∀𝑥 ∈ 𝐼 akibatnya,  untuk  setiap 𝑡 𝑖 ∈ 𝐼 𝑖 ,  dengan 𝐼 𝑖 = [𝑥 𝑖−1 − 𝑥 𝑖 ], 𝑖 = 1, 2, 3, … , 𝑘 ,  dan 𝑃 𝑛 = {([𝑥 𝑖−1 − 𝑥 𝑖 ], 𝑡 𝑖 )} 𝑖=1 𝑘 yang  merupakan  partisi 𝛿 𝑛 (𝑥) − 𝑓𝑖𝑛𝑒 juga  turun, didefinisikan 𝐼 𝑖
𝐼 𝑖 ⊆ [𝑡 𝑖 − 1 2 𝛿 𝑛 (𝑡 𝑖 ), 𝑡 𝑖 + 1 2 𝛿 𝑛 (𝑡 𝑖 )] , ∀𝑖 = 1, 2, 3, … , 𝑘.
Jika 𝑡 merupakan titik tag, maka kita dapat memilih 𝑁 yang cukup besar dari barisan fungsi gauge tadi, dan didefinisikan:
𝛿 𝑁 (𝑡) = { 𝜀 2 𝑚 ,        𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑡 = 𝑞 𝑚 𝑥 , 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑡 ∉ ℚ .
Diberikan 𝑃 𝑛 merupakan partisi 𝛿 𝑛 (𝑥) − 𝑓𝑖𝑛𝑒 pada [0,1] untuk setiap 𝑛 ≥ 𝑁 . Jika 𝑡 𝑖 ∈ 𝐼 𝑖 dan 𝑡 𝑖 ∉ ℚ , maka 𝑓(𝑡 𝑖 ) = 0 , akibatnya jumlahan Riemannya bernilai 0. Jika 𝑡 𝑖 ∈ 𝐼 𝑖 dan 𝑡 𝑖 ∈ ℚ , maka 𝑓(𝑡 𝑖 ) = 1 , perhatikan dua kondisi berikut terlebih dahulu: 1. Jika 𝑞 𝑚 merupakan tag pada interval 𝐼 𝑖 , maka:
𝐼 𝑖 ⊆ [𝑞 𝑚 − 1 2 𝛿 𝑛 (𝑞 𝑚 ), 𝑞 𝑚 + 1 2 𝛿 𝑛 (𝑞 𝑚 )]
sehingga (𝑥 𝑖 − 𝑥 𝑖−1 ) ≤   𝛿 𝑛 (𝑞 𝑚 ) ≤ 𝜀 2 𝑚 = 𝛿 𝑁 (𝑡).
2. Jika 𝑞 𝑚 merupakan tag pada dua interval 𝐼 𝑖 yang berurutan, maka:
(𝑥 𝑖 − 𝑥 𝑖−1 ) + (𝑥 𝑖+1 − 𝑥 𝑖 ) ≤ 𝜀 2 𝑚 ,
karena
𝐼 𝑖 ⊆ [𝑞 𝑚 − 1 2 𝛿 𝑛 (𝑞 𝑚 ), 𝑞 𝑚 ]   ⟹ 𝑥 𝑖 − 𝑥 𝑖−1 ≤ 1 2 𝛿 𝑛 (𝑞 𝑚 ),
dan
𝐼 𝑖 ⊆ [𝑞 𝑚 , 𝑞 𝑚 + 1 2 𝛿 𝑛 (𝑞 𝑚 ), ] ⟹ 𝑥 𝑖 − 𝑥 𝑖−1 ≤ 1 2 𝛿 𝑛 (𝑞 𝑚 )
maka,
𝑓(𝑡 𝑖 )(𝑥 𝑖 − 𝑥 𝑖−1 ) ≤ 𝜀 2 𝑚 sehingga,
|𝑆(𝑓, 𝑃 𝑛 ) − 0| = |∑ 𝑓(𝑡 𝑖 )(𝑥 𝑖 − 𝑥 𝑖−1 ) − 0 ∞ 𝑖=1 | = |∑ 𝑓(𝑡 𝑖 )(𝑥 𝑖 − 𝑥 𝑖−1 ) ∞ 𝑖=1 | ≤ ∑ 𝜀 2 𝑚 ∞ 𝑖=1 = 𝜀 ∑ 1 2 𝑚 ∞ 𝑖=1 = 𝜀 . 1 = 𝜀.
Dengan kata lain, terbukti bahwa 𝑓(𝑥) terintegral Henstock Sekuensial pada [0,1] dan ∫ 𝑓(𝑥) = 0 1
0 .
Berikut akan ditunjukan bahwa integral Henstock ekuivalen dengan integral Henstock Sekuensial.
Teorema 3.3.  (Paxton, 2016:11) Fungsi 𝑓: [𝑎, 𝑏] → ℝ terintegral Henstock pada [𝑎, 𝑏] jika dan hanya jika fungsi 𝑓 terintegral Henstock Sekuensial pada [𝑎, 𝑏].
Bukti: Akan  dibuktikan  bahwa 𝑓 ∈ ℛ ∗ (𝐼) jika  dan  hanya  jika 𝑓 ∈ 𝐻 ∗ (𝐼) .  Asumsikan  bahwa {𝛿 𝑛 (𝑥)} 𝑛=1 ∞ adalah barisan fungsi gauge yang turun, sehingga berlaku
𝛿 𝑛+1 (𝑥) < 𝛿 𝑛 (𝑥), ∀𝑥 ∈ 𝐼 (Syarat perlu)
Diketahui 𝑓: 𝐼 → ℝ merupakan fungsi yang terintegral Henstock, artinya untuk setiap 𝜀 > 0, terdapat 𝛿(𝑥) > 0 sehingga untuk setiap 𝑃 yang merupakan partisi 𝛿(𝑥) − 𝑓𝑖𝑛𝑒 , berlaku
|𝑆(𝑓, 𝑃) − 𝐴| < 𝜀. (3.1)
Untuk  setiap = 1,2,3 … , diberikan 𝜀 𝑛 merupakan bilangan rasional 𝜀 sehingga 0 < 𝜀 < 1 .  Karena fungsi f terintegral Henstock, maka terdapat 𝛿 𝑛 (𝑥) untuk setiap 𝜀 𝑛 yang memenuhi
|𝑆(𝑓, 𝑃) − 𝐴| < 𝜀 .
Jika ℚ adalah himpunan bilangan rasional yang terhitung, maka {𝛿 𝑁 (𝑥)} 𝑛=1 ∞ adalah barisan. Untuk setiap 𝜀 > 0 ,  terdapat 𝛿 𝑁 (𝑥) ∈ {𝛿 𝑛 (𝑥)} 𝑛=1 ∞ sehingga  untuk  setiap 𝑛 ≥ 𝑁 dan 𝑃 𝑛 yang  merupakan barisan partisi 𝛿 𝑛 (𝑥) − 𝑓𝑖𝑛𝑒 pada 𝐼 , berlaku
|𝑆(𝑓, 𝑃 𝑛 ) − 𝐴| < 𝜀.
Jadi, dengan kata lain terbukti bahwa 𝑓 ∈ 𝐻 ∗ (𝐼) .

## (Syarat cukup)
Diketahui 𝑓: 𝐼 → ℝ merupakan fungsi yang terintegral Henstock Sekuensial, artinya, untuk setiap 𝜀 > 0 terdapat barisan fungsi gauge {𝛿 𝑛 (𝑥)} 𝑛=1 ∞ sehingga untuk setiap 𝑃 𝑛 yang merupakan barisan partisi 𝛿 𝑛 (𝑥) − 𝑓𝑖𝑛𝑒 pada 𝐼 , berlaku
|𝑆(𝑓, 𝑃 𝑛 ) − 𝐴| < 1 𝑛 .
Diberikan 𝜆 > 0 , dipilih 𝛿 𝑁 (𝑥) ∈ {𝛿 𝑛 (𝑥)} 𝑛=1 ∞ sehingga untuk setiap 𝛿(𝑥) > 0 , berlaku
|𝛿(𝑥) − 𝛿 𝑁 (𝑥)| < 𝜆  ∀𝑥 ∈ 𝐼
Jika  diberikan 𝜆 → 0 ,  maka 𝛿 𝑁 (𝑥) menjamin  bahwa 𝑃 𝑁 merupakan  partisi 𝛿 𝑛 (𝑥) − 𝑓𝑖𝑛𝑒 dan  juga merupakan partisi 𝛿(𝑥) − 𝑓𝑖𝑛𝑒 , sehingga untuk 𝑃 yang  merupakan partisi 𝛿(𝑥) − 𝑓𝑖𝑛𝑒 , kita dapat membentuk jumlahan Riemann untuk 𝑃 &𝑃 𝑁 secara acak, sehingga
|𝑆(𝑓, 𝑃) − 𝑆(𝑓, 𝑃 𝑁 )| < 𝜀 2 .
Selanjutnya, untuk setiap 𝜀 > 0 , terdapat 𝛿(𝑥) sehingga dapat ditemukan 𝛿 𝑁 (𝑥) yang memenuhi
|𝛿(𝑥) − 𝛿 𝑁 (𝑥)| < 𝜆  ∀𝑥 ∈ 𝐼,
dan barisan {𝛿 𝑛 (𝑥)} 𝑛=1 ∞ merupakan barisan turun dimana 𝑛 ≥ 𝑁 ∗ , ∀ 𝑁 ∗ ∈ ℕ sehingga 1 𝑁 ∗ < 𝜀 2 . untuk setiap 𝑃 yang merupakan partisi 𝛿(𝑥) − 𝑓𝑖𝑛𝑒 berlaku
|𝑆(𝑓, 𝑃) − 𝐴| = |𝑆(𝑓, 𝑃) − 𝑆(𝑓, 𝑃 𝑁 ∗ ) + 𝑆(𝑓, 𝑃 𝑁 ∗ ) − 𝐴| ≤ |𝑆(𝑓, 𝑃) − 𝑆(𝑓, 𝑃 𝑁 ∗ )| + |𝑆(𝑓, 𝑃 𝑁 ∗ ) − 𝐴| < 𝜀 2 + 1 𝑁 ∗ < 𝜀 2 + 𝜀 2 = 𝜀 . ∎
Teorema diatas secara tidak langsung mengatakan bahwa semua sifat-sifat dan teorema yang berlaku pada integral Henstock berlaku pula di integral Henstock Sekuensial. Berikut akan dibuktikan beberapa sifat yang telah berlaku di integral Henstock berlaku pula di integral Henstock Sekuensial. Diantaranya, apabila diberikan fungsi non negative maka nilai integral Henstock Sekuensial dari fungsi tersebut juga bernilai non negative. Selain itu pula nilai integral Henstock Sekuensial dari perkalian scalar dan suatu fungsi  sama  dengan  scalar  tersebut  dikalikan  dengan  nilai  dari  integral  Henstock  sekuensial  fungsi tersebut.
Teorema  3.4.  (Paxton,  2016:15) Diberikan 𝑓, 𝑔 ∶ 𝐼 → ℝ merupakan  fungsi-fungsi  yang  terintegral Henstock Sekuensial pada 𝐼 = [𝑎, 𝑏] ⊂ ℝ , 𝑑𝑎𝑛 𝑐 ∈ ℝ .
i) Jika 𝑓 ≥ 0 pada 𝐼 maka ∫ 𝑓 𝐼 ≥ 0.
ii) 𝑐𝑓 terintegral Henstock Sekuensial pada 𝐼 dan ∫ 𝑐𝑓 = 𝑐 ∫ 𝑓 𝐼 . 𝐼 iii) Jika 𝑓 + 𝑔 terintegral Henstock Sekuensial pada 𝐼 maka ∫ (𝑓 + 𝑔) 𝐼 = ∫ 𝑓 𝐼 + ∫ 𝑔 𝐼 .
iv) Jika 𝑓(𝑥) ≤ 𝑔(𝑥), ∀𝑥 ∈ 𝐼, maka ∫ 𝑓 𝐼 ≤ ∫ 𝑔. 𝐼
Bukti: i) Diberikan 𝑓 ≥ 0
dan 𝑓 ∈ 𝐻 ∗ (𝐼) , maka untuk setiap 𝜀 > 0, terdapat 𝛿 𝑁 (𝑥) ∈ {𝛿 𝑛 (𝑥)} 𝑛=1 ∞ sehingga untuk setiap 𝑛 ≥ 𝑁 dan 𝑃 𝑛 yang merupakan partisi 𝛿 𝑛 (𝑥) − 𝑓𝑖𝑛𝑒 , berlaku
|𝑆(𝑓, 𝑃 𝑛 ) − ∫ 𝑓 𝐼 | ≤ 𝜀.
Artinya,
|∑ 𝑓(𝑡 𝑖 )(𝑥 𝑖 − 𝑥 𝑖−1 ) − ∫ 𝑓 𝐼 𝑘 𝑖=1 | ≤ 𝜀 sehingga,
−𝜀 ≤ ∑ 𝑓(𝑡 𝑖 )(𝑥 𝑖 − 𝑥 𝑖−1 ) − ∫ 𝑓 𝐼 𝑘 𝑖=1 ≤ 𝜀 ∫ 𝑓 𝐼 − 𝜀 ≤ ∑ 𝑓(𝑡 𝑖 )(𝑥 𝑖 − 𝑥 𝑖−1 ) ≤ 𝜀 + ∫ 𝑓 𝐼 𝑘 𝑖=1 , (3.2)
dengan 𝑓(𝑡 𝑖 ) ≥ 0, untuk setiap 𝑡 𝑖 ∈ 𝑃 𝑛 dan (𝑥 𝑖 − 𝑥 𝑖−1 ) ≥ 0 , maka diperoleh
0 ≤ ∑ 𝑓(𝑡 𝑖 )(𝑥 𝑖 − 𝑥 𝑖−1 ) = 𝑆(𝑓, 𝑘 𝑖=1
𝑃 𝑛 ),
sehingga jika dikombinasikan dengan (3.2) menjadi
0 ≤ 𝑆(𝑓, 𝑃 𝑛 ) ≤ ∫ 𝑓
𝐼 + 𝜀    ∀𝑛 ≥ 𝑁.
Jadi, dapat disimpulkan bahwa untuk setiap 𝜀 > 0 berlaku ∫ 𝑓 𝐼 ≥ 0. ii) Diberikan 𝑓 ∈ 𝐻 ∗ (𝐼) , artinya untuk setiap 𝜀 > 0,
terdapat 𝛿 𝑁 (𝑥) ∈ {𝛿 𝑛 (𝑥)} 𝑛=1 ∞ sehingga untuk setiap 𝑛 ≥ 𝑁 dan 𝑃 𝑛 yang merupakan partisi 𝛿 𝑛 (𝑥) − 𝑓𝑖𝑛𝑒 berlaku
|𝑆(𝑓, 𝑃 𝑛 ) − ∫ 𝑓 𝐼 | ≤ 𝜀 |𝑐| ,
Sehingga untuk setiap 𝑛 ≥ 𝑁 berlaku
|𝑆(𝑐𝑓, 𝑃 𝑛 ) − 𝑐 ∫ 𝑓 𝐼 | = |∑ 𝑐𝑓(𝑡 𝑖 )(𝑥 𝑖 − 𝑥 𝑖−1 ) − 𝑐 ∫ 𝑓 𝐼 𝑘 𝑖=1 |
= |𝑐 (∑ 𝑓(𝑡 𝑖 )(𝑥 𝑖 − 𝑥 𝑖−1 ) − ∫ 𝑓 𝐼 𝑘 𝑖=1 )| = |𝑐| |∑ 𝑓(𝑡 𝑖 )(𝑥 𝑖 − 𝑥 𝑖−1 ) − ∫ 𝑓 𝐼 𝑘 𝑖=1 | = |𝑐| |𝑆(𝑓, 𝑃 𝑛 ) − ∫ 𝑓 𝐼 |
< |𝑐| 𝜀 |𝑐| = 𝜀,
sehingga 𝑐𝑓 ∈ 𝐻 ∗ (𝐼) dan ∫ 𝑐𝑓 = 𝑐 ∫ 𝑓
𝐼 𝐼 .
iii) Ambil  sebarang 𝜀 > 0 ,  karena 𝑓 ∈ 𝐻 ∗ (𝐼) maka  terdapat 𝛿 𝑀 (𝑥) ∈ {𝛿 𝑚 (𝑥)} 𝑚=1 ∞ sehingga  untuk setiap 𝑚 ≥ 𝑀 ∈ ℕ dan 𝑃 𝑚 yang merupakan partisi 𝛿 𝑚 (𝑥) − 𝑓𝑖𝑛𝑒 , berlaku:
|𝑆(𝑓, 𝑃 𝑚 ) − ∫ 𝑓 𝐼 | < 𝜀 2 ,
dan karena 𝑔 ∈ 𝐻 ∗ (𝐼) , maka terdapat 𝛿 𝐾 (𝑥) ∈ {𝛿 𝑘 (𝑥)} 𝑘=1 ∞ sehingga untuk setiap 𝑘 ≥ 𝑀 ∈ ℕ dan 𝑃 𝑘 yang merupakan partisi 𝛿 𝑘 (𝑥) − 𝑓𝑖𝑛𝑒 , berlaku:
|𝑆(𝑔, 𝑃 𝑘 ) − ∫ 𝑓 𝐼 | < 𝜀 2 .
Selanjutnya,  untuk  setiap 𝛿 𝑚 (𝑥) ∈ {𝛿 𝑚 (𝑥)} 𝑚=1 ∞ dan 𝛿 𝑘 (𝑥) ∈ {𝛿 𝑘 (𝑥)} 𝑘=1 ∞ ,  dipilih 𝛿 𝑛 (𝑥) = min{𝛿 𝑚 (𝑥), 𝛿 𝑘 (𝑥)} dengan 𝑛, 𝑚, 𝑘 = 1,2,3 … ∀𝑥 ∈ 𝐼 . Jelas, 𝛿 𝑛 (𝑥) merupakan barisan fungsi gauge pada 𝐼 . Jika 𝑃 𝑛 merupakan partisi 𝛿 𝑛 (𝑥) − 𝑓𝑖𝑛𝑒 , maka 𝑃 𝑛 merupakan partisi 𝛿 𝑚 (𝑥) − 𝑓𝑖𝑛𝑒 dan 𝑃 𝑛 juga merupakan partisi 𝛿 𝑘 (𝑥) − 𝑓𝑖𝑛𝑒 .
Perhatikan bahwa untuk setiap 𝜀 > 0, terdapat 𝛿 𝑁 (𝑥) ∈ {𝛿 𝑛 (𝑥)} 𝑛=1 ∞ sehingga untuk setiap 𝑛 ≥ 𝑁 dan 𝑃 𝑛 yang merupakan partisi 𝛿 𝑛 (𝑥) − 𝑓𝑖𝑛𝑒 𝑃 𝑛 , berlaku
|𝑆(𝑓 + 𝑔, 𝑃 𝑛 ) − (∫ 𝑓
𝐼 ∫ 𝑔 𝐼 )| = |∑(𝑓 + 𝑔)(𝑡 𝑖 )(𝑥 𝑖 − 𝑥 𝑖−1 ) 𝑘 𝑖=1 − (∫ 𝑓 𝐼 ∫ 𝑔 𝐼 )| = |∑ 𝑓(𝑡 𝑖 )(𝑥 𝑖 − 𝑥 𝑖−1 ) − ∫ 𝑓 𝐼 + ∑ 𝑔(𝑡 𝑖 )(𝑥 𝑖 − 𝑥 𝑖−1 ) − ∫ 𝑔 𝐼 𝑘 𝑖=1 𝑘 𝑖=1 |
≤ |∑ 𝑓(𝑡 𝑖 )(𝑥 𝑖 − 𝑥 𝑖−1 ) − ∫ 𝑓 𝐼 𝑘 𝑖=1 | + |∑ 𝑔(𝑡 𝑖 )(𝑥 𝑖 − 𝑥 𝑖−1 ) − ∫ 𝑔 𝐼 𝑘 𝑖=1 | < 𝜀 2 + 𝜀 2 = 𝜀,
sehingga, 𝑓 + 𝑔 ∈ 𝐻 ∗ (𝐼) dan ∫ 𝑓 + 𝑔 = 𝐼 ∫ 𝑓 𝐼 + ∫ 𝑔. 𝐼
iv) Diketahui 𝑓, 𝑔 ∈ 𝐻 ∗ (𝐼) dan 𝑓(𝑥) ≤ 𝑔(𝑥) ∀𝑥 ∈ 𝐼 . Diberikan ℎ = 𝑔 − 𝑓 ≥ 0 berdasarkan Teorema 3.3. bagian iii) maka berlaku
ℎ = 𝑔 − 𝑓 ∈ 𝐻 ∗ (𝐼)
dan
∫ (𝑔 − 𝑓) = ∫ 𝑔 𝐼 + ∫ −𝑓 𝐼 = ∫ 𝑔 𝐼 − ∫ 𝑓 𝐼 𝐼
Selanjutnya, berdasarkan Teorema 3.3. bagian i), ∫ ℎ 𝐼 ≥ 0 , sehingga
0 ≤ ∫ ℎ 𝐼 = ∫ (𝑔 − 𝑓) = ∫ 𝑔 𝐼 − ∫ 𝑓 𝐼 , 𝐼 artinya, 0 ≤ ∫ 𝑔
𝐼 − ∫ 𝑓 𝐼 ,
sehingga,
∫ 𝑓 𝐼 ≤ ∫ 𝑔.
𝐼
Berikut akan diberikan sifat penambahan interval yang menyatakan bahwa “Apabila suatu fungsi terintegral Henstock Sekuensial pada dua subinterval tertutup yang dimuat oleh suatu interval tertutup, maka  fungsi  tersebut  juga  terintegral  Henstock  Sekuensial  pada  interval  tertutup  tersebut,  dan  nilai integral  dari  fungsi  yang  terintegral  Henstock  Sekuensial  pada  interval  tertutup  tersebut  merupakan penjumlahan  dari  nilai  integral  fungsi  yang  terintegral  Henstock  Sekuensial  pada  dua  subinterval tersebut.
Teorema 3.5. (Paxton, 2016:18) Diberikan fungsi 𝑓: [𝑎, 𝑏] → ℝ dan 𝑐 ∈ (𝑎, 𝑏) . Jika fungsi 𝑓 merupakan fungsi yang terintegral Henstock Sekuensial pada [𝑎, 𝑐] 𝑑𝑎𝑛 [𝑐, 𝑏], maka fungsi 𝑓 terintegral Henstock Sekuensial pada [𝑎, 𝑏] dan
∫ 𝑓 𝑏 𝑎 = ∫ 𝑓 𝑐 𝑎 + ∫ 𝑓 𝑏 𝑐 .
Bukti:
Ambil  sebarang 𝜀 > 0 ,  karena 𝑓 ∈ 𝐻 ∗ ([𝑎, 𝑐]) maka  terdapat 𝛿 𝑀 (𝑥) ∈ {𝛿 𝑚 (𝑥)} 𝑚=1 ∞ sehingga  untuk setiap 𝑚 ≥ 𝑀 ∈ ℕ dan 𝑃 𝑚 yang merupakan partisi 𝛿 𝑚 (𝑥) − 𝑓𝑖𝑛𝑒 , berlaku
|𝑆(𝑓, 𝑃 𝑚 ) − ∫ 𝑓 𝑐 𝑎 | < 𝜀 2 ,
dan juga karena 𝑓 ∈ 𝐻 ∗ ([𝑐, 𝑏]) , maka terdapat 𝛿 𝐾 (𝑥) ∈ {𝛿 𝑘 (𝑥)} 𝑘=1 ∞ sehingga untuk setiap 𝑘 ≥ 𝐾 ∈ ℕ dan 𝑃 𝑘 yang merupakan partisi 𝛿 𝑘 (𝑥) − 𝑓𝑖𝑛𝑒 , berlaku
|𝑆(𝑓, 𝑃 𝑘 ) − ∫ 𝑓 𝑏 𝑐 | < 𝜀 2 .
Didefinisikan gauge 𝛿 𝑁 (𝑥) ∈ {𝛿 𝑛 (𝑥)} 𝑛=1 ∞ sehingga untuk setiap 𝑛 ≥ 𝑁 ∈ ℕ dan 𝑃 𝑛 yang merupakan partisi 𝛿 𝑛 (𝑥) − 𝑓𝑖𝑛𝑒 , setiap partisi 𝑃 𝑛 dapat dipecahkan menjadi:
𝛿 𝑁 (𝑡) = { min {𝛿 𝑚 (𝑡), 1 2 (𝑐 − 𝑡)} , min    { 𝛿 𝑚 (𝑐), 𝛿 𝑘 (𝑐)}, min {𝛿 𝑘 (𝑡), 1 2 (𝑡 − 𝑐)} , 𝑡 ∈ [𝑎, 𝑐) 𝑡 = 𝑐 𝑡 ∈ (𝑐, 𝑏]
untuk 𝑚 ≥ 𝑀 dan 𝑘 ≥ 𝐾.
Diberikan 𝑃 𝑛 merupakan  partisi 𝛿 𝑛 (𝑥) -fine,  untuk  setiap 𝑛 ≥ 𝑁 ,  karena 𝑃 𝑚 merupakan  barisan partisi pada [𝑎, 𝑐] yang terdiri atas 𝑃 𝑛 ∩ [𝑎, 𝑐] , dan 𝑃 𝑘 merupakan barisan partisi pada [𝑐, 𝑏] yang terdiri atas 𝑃 𝑛 ∩ [𝑐, 𝑏] dengan 𝑛, 𝑚, 𝑘 = 1,2,3 … maka diperoleh
𝑆(𝑓, 𝑃 𝑛 ) = 𝑆(𝑓, 𝑃 𝑚 ) + 𝑆(𝑓, 𝑃 𝑘 ).
Untuk setiap 𝜀 > 0, terdapat 𝛿 𝑁 (𝑥) ∈ {𝛿 𝑛 (𝑥)} 𝑛=1 ∞ sehingga untuk setiap 𝑛 ≥ 𝑁 berlaku
|𝑆(𝑓, 𝑃 𝑛 ) − (∫ 𝑓 + 𝑐 𝑎 ∫ 𝑓 𝑏 𝑐 )| = |∑ 𝑓( 𝑗 𝑖=1 𝑡 𝑖 )(𝑥 𝑖 − 𝑥 𝑖−1 ) 𝑛 − (∫ 𝑓 + 𝑐 𝑎 ∫ 𝑓 𝑏 𝑐 )| = |∑ 𝑓( 𝑝 𝑖=1 𝑡 𝑖 )(𝑥 𝑖 − 𝑥 𝑖−1 ) 𝑚 ∑ 𝑓( 𝑗 𝑖=𝑝 𝑡 𝑖 )(𝑥 𝑖 − 𝑥 𝑖−1 ) 𝑘 − (∫ 𝑓 + 𝑐 𝑎 ∫ 𝑓 𝑏 𝑐 )| = |𝑆(𝑓, 𝑃 𝑚 ) − ∫ 𝑓 + 𝑐 𝑎 𝑆(𝑓, 𝑃 𝑘 ) − ∫ 𝑓 𝑏 𝑐 | ≤ |𝑆(𝑓, 𝑃 𝑚 ) − ∫ 𝑓 𝑐 𝑎 | + |𝑆(𝑓, 𝑃 𝑘 ) − ∫ 𝑓 𝑏 𝑐 | < 𝜀 2 + 𝜀 2 = 𝜀.
Sehingga, terbukti bahwa 𝑓 ∈ 𝐻 ∗ ([𝑎, 𝑏]) dan ∫ 𝑓 𝑏 𝑎 = ∫ 𝑓 𝑐 𝑎 + ∫ 𝑓 𝑏 𝑐 . ∎
Berikut  akan  diberikan  sifat  yang  menyatakan  bahwa  “Apabila  suatu  fungsi  terintegral  Henstock pada  suatu  interval,  maka  fungsi  tersebut  juga  terintegral  Henstock  Sekuensial  pada  setiap subintervalnya.
Teorema  3.6. (Paxton, 2016:19) Diberikan 𝑓: 𝐼 ⊆ ℝ → ℝ . Jika 𝑓 ∈ 𝐻 ∗ (𝐼), maka 𝑓 ∈ 𝐻 ∗ (𝐼 𝑖 ) dengan 𝑖 = 1,2,3, … 𝑘 ∈ ℕ
Bukti: Akan  dibuktikan  bahwa 𝑓 ∈ 𝐻 ∗ (𝐼 𝑖 ) artinya  fungsi 𝑓 terintegral  Henstock  Sekuensial  pada  setiap subinterval 𝐼 𝑖 , ∀𝑖 = 1,2,3, … 𝑘 ∈ ℕ dengan menggunakan induksi matematika. Pertama, akan dibuktikan benar untuk 𝑘 = 2 . Diberikan 𝜀 > 0 , maka terdapat 𝛿 𝑁 (𝑥) ∈ {𝛿 𝑛 (𝑥)} 𝑛=1 ∞ sehingga untuk setiap 𝑛 ≥ 𝑁 dan 𝑃 𝑛 = {(𝐼 𝑖 , 𝑡 𝑖 )} 𝑖=1 𝑘 yang merupakan partisi 𝛿 𝑛 (𝑥) − 𝑓𝑖𝑛𝑒 pada 𝐼 , berlaku
|𝑆(𝑓, 𝑃 𝑛 ) − ∫ 𝑓 𝐼 | < 𝜀 2 .
Selanjutnya, diberikan interval 𝐼 1 dan 𝐼 2 dengan 𝐼 1 ∩ 𝐼 2 ≠ ∅ dan 𝐼 1 ∪ 𝐼 2 = 𝐼 . Diberikan pula 𝛿 1𝑛 (𝑥) dan 𝛿 2𝑛 (𝑥) berturut-turut  merupakan  gauge  pada 𝐼 1 dan 𝐼 2 ,  sehingga  untuk  sebarang 𝑃 1𝑛 yang merupakan partisi 𝛿 1𝑛 (𝑥) − 𝑓𝑖𝑛𝑒 dan 𝑃 2𝑛 yang merupakan partisi 𝛿 2𝑛 (𝑥) − 𝑓𝑖𝑛𝑒 berlaku
𝑆(𝑓, 𝑃 𝑛 ) = ∑ 𝑓(𝑡 𝑖 )(𝑥 𝑖 − 𝑥 𝑖−1 ) 𝑛 2 𝑖=1 = 𝑓(𝑡 1 )(𝑥 1 − 𝑥 0 ) 𝑛 + 𝑓(𝑡 2 )(𝑥 2 − 𝑥 1 ) 𝑛 = 𝑆(𝑓, 𝑃 1𝑛 ) + 𝑆(𝑓, 𝑃 2𝑛 ).
Perhatikan bahwa jika 𝑄 16 merupakan partisi 𝛿 1𝑛 (𝑥) − 𝑓𝑖𝑛𝑒 dan 𝑃 2𝑛 merupakan partisi 𝛿 2𝑛 (𝑥) − 𝑓𝑖𝑛𝑒 maka 𝑅 𝑛 = 𝑄 1𝑛 ∪ 𝑃 2𝑛 merupakan partisi 𝛿 𝑛 (𝑥) − 𝑓𝑖𝑛𝑒 , untuk setiap 𝑛 = 1,2,3 … . Selanjutnya diberikan 𝜀 > 0 ,  maka  terdapat 𝛿 𝑁 (𝑥) ∈ {𝛿 𝑛 (𝑥)} 𝑛=1 ∞ sehingga  untuk  setiap 𝑛 ≥ 𝑁 dan 𝑃 1𝑛 , 𝑄 1𝑛 merupakan partisi 𝛿 1𝑛 (𝑥) − 𝑓𝑖𝑛𝑒 pada 𝐼 , berlaku
|𝑆(𝑓, 𝑃 1𝑛 ) − 𝑆(𝑓, 𝑄 1𝑛 )|
= |𝑆(𝑓, 𝑃 1𝑛 ) − 𝑆(𝑓, 𝑄 1𝑛 ) + 𝑆(𝑓, 𝑃 2𝑛 ) − 𝑆(𝑓, 𝑃 2𝑛 ) + ∫ 𝑓 𝐼 − ∫ 𝑓 𝐼 | ≤ |𝑆(𝑓, 𝑃 1𝑛 ) + 𝑆(𝑓, 𝑃 2𝑛 ) − ∫ 𝑓
𝐼 | + |𝑆(𝑓, 𝑄 1𝑛 ) + 𝑆(𝑓, 𝑃 2𝑛 ) − ∫ 𝑓
𝐼 | = |𝑆(𝑓, 𝑃 𝑛 ) − ∫ 𝑓 𝐼 | + |𝑆(𝑓, 𝑅 𝑛 ) ∫ 𝑓 𝐼 | ≤ 𝜀 2 + 𝜀 2 = 𝜀 .
Selanjutnya,  diasumsikan  benar  untuk 𝑘 = 𝑙 ,  sehingga  akan  dibuktikan  benar  untuk 𝑘 = 𝑙 + 1 . Diberikan  sebarang 𝜀 > 0 ,  maka  terdapat 𝛿 𝑁 (𝑥) ∈ {𝛿 𝑛 (𝑥)} 𝑛=1 ∞ sehingga  untuk  setiap 𝑛 ≥ 𝑁 dan 𝑃 (𝑙+1) 𝑛 , 𝑄 (𝑙+1) 𝑛 yang merupakan partisi 𝛿 (𝑙+1) 𝑛 − 𝑓𝑖𝑛𝑒 pada 𝐼 (𝑙+1) , berlaku
|𝑆(𝑓, 𝑃 (𝑙+1) 𝑛 ) − 𝑆(𝑓, 𝑄 (𝑙+1) 𝑛 )|
≤ |𝑆(𝑓, 𝑃 (𝑙+1) 𝑛 ) + [𝑆(𝑓, 𝑃 1𝑛 ) + 𝑆(𝑓, 𝑃 2𝑛 ) + ⋯ + 𝑆(𝑓, 𝑃 𝑙𝑛 ] − ∫ 𝑓
𝐼 | + |𝑆(𝑓, 𝑄 (𝑙+1)𝑛 + [𝑆(𝑓, 𝑃 1𝑛 ) + 𝑆(𝑓, 𝑃 2𝑛 ) + ⋯ + 𝑆(𝑓, 𝑃 𝑙𝑛 )] − ∫ 𝑓 𝐼 | = |𝑆(𝑓, 𝑃 𝑛 ) − ∫ 𝑓 𝐼 | + |𝑆(𝑓, 𝑅 𝑛 ) ∫ 𝑓 𝐼 | ≤ 𝜀 2 + 𝜀 2 = 𝜀 ,
sehingga terbukti bahwa fungsi 𝑓 ∈ 𝐻 ∗ (𝐼 𝑖 ) dengan 𝑖 = 1,2,3, … 𝑘 ∈ ℕ. ∎

## Kesimpulan
Pendefinisian  Integral  Henstock  Sekuensial  hampir  sama  seperti  mendefinisikan  integral  Henstock, bedanya pada integral Henstock Sekuensial partisinya melibatkan barisan fungsi positif yang disebut partisi tag δ δ . Sifat-sifat yang berlaku pada integral Henstock berlaku pula pada integral Henstock Sekuensial, beberapa diantaranya berikut ini. Apabila suatu fungsi terintegral Henstock Sekuensial pada dua subinterval tertutup yang dimuat oleh suatu interval tertutup, maka fungsi tersebut juga terintegral Henstock  Sekuensial  pada  interval  tertutup  tersebut,  dan  nilai  integral  dari  fungsi  yang  terintegral Henstock Sekuensial pada interval tertutup tersebut merupakan penjumlahan dari nilai integral fungsi yang terintegral Henstock Sekuensial pada dua subinterval tersebut. Selanjutnya apabila suatu fungsi terintegral  Henstock  pada  suatu  interval,  maka  fungsi  tersebut  juga  terintegral  Henstock  Sekuensial pada  setiap  subintervalnya.  Selain  itu,  apabila  diberikan  fungsi  non  negative  maka  nilai  integral Henstock Sekuensial dari fungsi tersebut juga bernilai non negative. Sifat lainnya mengatakan bahwa nilai integral Henstock Sekuensial dari perkalian scalar dan suatu fungsi sama dengan scalar tersebut dikalikan dengan nilai dari integral Henstock sekuensial fungsi tersebut.

## Referensi
[1] Bartle Robert G., 2000, Intrduction to Real Analysis , Third Edition, John Wiley and Sons, Inc, USA.
[2] Bartle  Robert  G.,  2000, A  Modern  Theory  of  Integration ,  Graduate  Studies  in  Mathematics,  Vol.  32.  American Mathematical Society, Providence, RI.
[3] Lee  Tuo  Yeong,  2006, Multipliers  for  Generalized  Riemann  Integrals  in  the  Real  Line ,  Mathematica  Bohemica, Singapore
[4] Lee Tuo Yeong, 2011, Henstock-Kurzweil Integration on  Euclidean Spaces , Series in Real  Analysis, Vol.12, World Scientific.
[5] Paxton Laramie, 2016, A Sequential Approach to the Henstock Integral , Washington State University.
[6] Wells  Jonathan,  2011, Generalizations  of  the  Riemann  Integral:An  Investigation  of    the  Henstock  Integral ,  diakses tanggal 16 Agustus 2017. https://www.whitman.edu/Documents/Academics/Mathematics/SeniorProject_JonathanWells.pdf