## Jurnal Ilmiah Teknologi dan Informasia ASIA (JITIKA)
Vol.9, No.2, Agustus 2015 ISSN: 0852-730X

## Analisis Dinamik Model Predator-Prey Leslie-Gower dengan Fungsi Respon Holling Tipe II

## Siti Nurul Afiyah
STMIK Asia Malang noeroel_afy@yahoo.com
ABSTRAK. Pada Artikel ini dibahas analisis dinamik model predator-prey Leslie-Gower dengan fungsi respon Holling tipe  II.  Model  tersebut  akan  dianalisis  sehingga  diperoleh  jenis  kestabilan  lokal  titik  kesetimbangan  model.  Model tersebut memiliki empat titik kesetimbangan yaitu titik kesetimbangan trivial, titik kesetimbangan kepunahan prey, titik kesetimbangan kepunahan predator dan titik kesetimbangan interior. Titik kesetimbangan trivial dan titik kesetimbangan kepunahan predator bersifat tak stabil. Sedangkan titik kesetimbangan kepunahan prey stabil dengan syarat tertentu.
Kata Kunci: Analisis Dinamik Kontinu, Model Predator-Prey Leslie-Gower, Fungsi Respon Holling Tipe II

## 1. PENDAHULUAN
Setiap  makhluk  hidup  dituntut  untuk  senantiasa  berinteraksi  dengan  makhluk  hidup  lainnya.  Interaksi yang  terjadi  antara  individu  dalam  satu  spesies  atau  interaksi  antara  individu  dengan  spesies  yang  berbeda dapat berdampak positif bagi  keduanya, berdampak  negatif bagi  keduanya  maupun berdampak negatif bagi salah  satu  spesies  dan  positif  bagi  spesies  yang  lain.  Jika  berdampak  positif  bagi  keduanya,  interaksi keduanya disebut simbiosis mutualisme. Jika berdampak negatif bagi keduanya disebut persaingan, dan jika berdampak positif bagi spesies yang satu sedangkan bagi spesies yang lainnya negatif maka interaksi tersebut disebut dengan mangsa-pemangsa ( prey-predator ).
Model  matematika  sering  digunakan  untuk  menjelaskan  fenomena-fenomena  alam  yang  terjadi  di sekitar manusia. Salah satu model yang dikaji dan diteliti adalah interaksi antar spesies yang hidup pada suatu ekosistem yang disebut dengan model Lotka-Volterra. Model Lotka-Volterra yang sering diteliti diantaranya adalah  model  interaksi  antara predator (pemangsa)  dan prey (mangsa).  Model  Lotka-Volterra  pertama  kali dikenalkan  oleh  Lotka  pada  tahun  1925  dan  Volterra  pada  tahun  1926.  Penelitian  Lotka-Volterra menghasilkan  model  sederhana  pemangsaan  atau  interaksi  antar  dua  spesies  dalam  suatu  ekosistem  dan selanjutnya juga mengenalkan model Lotka-Volterra klasik yang akhir-akhir ini banyak dikembangkan oleh para peneliti (Murray, 2002).

## 2. MODEL MATEMATIKA
Jika  kita  misalkan merupakan  kepadatan  populasi prey dan merupakan  kepadatan  populasi predator, maka model Lotka-Volterra klasik diberikan oleh sistem berikut:
{ (2.1)
dimana  semua  parameternya  bernilai  positif.  Pada  model  tersebut  diketahui  bahwa  pertumbuhan  predator tidak terbatas, tentunya hal ini tidak sesuai dengan kenyataan.
Pada  tahun  1948,  Leslie  dan  Gower  memperkenalkan  model  dengan  populasi  predator  tumbuh mengikuti model logistik sehingga pertumbuhannya terbatas. Selain itu, laju pertumbuhan predator sebanding dengan banyaknya populasi prey.
Sehingga, jika kita notasikan sebagai kepadatan populasi prey dan merupakan kepadatan populasi predator maka model Leslie-Gower diberikan pada sistem persamaan differensial berikut ini:
{ ( ) (2.2)
dimana semua parameter bernilai positif. Pada persamaan kedua model diatas memuat bentuk Leslie-Gower yaitu .  Bentuk  ini  didasarkan  pada  misalkan
maka  pertumbuhan  predator  akan  maksimum
( )
.  Begitu  juga  sebaliknya  jika  populasi  prey  menuju  nol  (
)  maka ,  sehingga
predator  akan  punah.  Interpretasi  dari  model  Leslie-Gower  bahwa Carrying  capacity pada  lingkungan predator sebanding dengan banyaknya prey yaitu,
( ) ( )
dimana yang diinterpretasikan sebagai faktor perubahan prey predator dan sebagai carrying capacity  predator  (  sebanding  dengan  banyaknya  prey).  Bentuk  Leslie-Gower diinterpretasikan  sebagai ukuran  hilangnya  populasi  predator  karena  kelangkaan  makanan  favoritnya  (prey ).  Kelangkaan  prey  bisa merangsang predator untuk  mengganti dengan sumber  makanan alternatif lainnya. Kemungkinannya bahwa predator tidak bergantung pada prey tunggal yang dimodelkan disini dengan menambahkan konstan positif pada pembaginya. Sehingga menjadi,

## ( )
Alaoui  dan  Aziz  pada  tahun  2003  mengkaji  model  Leslie-Gower  dua  dimensi  dengan mengasumsikan  fungsi  respon  yang  menyatakan  besarnya  pemangsaan  predator  terhadap  prey  mengikuti fungsi respon Holling tipe II. Alaoui dan Aziz mengkaji keterbatasan solusi, eksistensi invarian positif, dan kestabilan  global  titik  kesetimbangan  koeksis  model  dengan  mengkontruksi  fungsi  Lyapunov.  Selanjutnya, banyak  peneliti  yang  meneliti    tentang  modifikasi  Leslie-Gower  ini  ditambahi  dengan  waktu  tunda  seperti halnya penelitian Nindjin, Alaoui dan Cadivel pada tahun 2006, ada juga yang menambahkan dengan adanya kontrol  impulsif  seperti  halnya  penelitian  Guo  dan  Song  tahun  2006,  dan  banyak  lagi  yang  lainnya.    Pada tahun  2012  Shengbin  Yun  memperbaharui  hasil  dari  penelitian  Alaoui  dan  Aziz,  karena  pada  penelitian Alaoui dan Aziz ada beberapa kondisi yang kurang tepat. Artikel ini didasarkan pada penelitian Yu(2012).

## 3. HASIL DAN PEMBAHASAN
Berikut ini merupakan model Leslie-Gower dengan fungsi respon Holling tipe II:
( ) (3.1) ( ) Di sini, merupakan kepadatan populasi prey dan merupakan kepadatan populasi predator . Semua parameter diasumsikan bernilai positif. Parameter dan berturut-turut menunjukkan pertumbuhan intrinsik prey dan predator .  Parameter merupakan  parameter  interaksi  pemangsaan predator terhadap prey .  Parameter adalah  parameter  interaksi  antar prey ,  sedangkan adalah  parameter  interaksi  antar predator . Parameter merupakan  parameter  perlindungan prey dari predator oleh  lingkungan,  dan parameter adalah parameter perlindungan terhadap predator .

## 3.1 Titik Kesetimbangan
Sistem tersebut memiliki 4 titik kesetimbangan, yaitu , , , dan . Untuk titik kesetimbangan terdapat beberapa kasus berikut. a. Kasus 1. Jika salah satu kondisi di bawah ini terpenuhi i. ii. dan iii. , dan Maka sistem (3.1) mempunyai titik kesetimbangan positif tunggal ( ) , dengan √ dan ( ) ⁄ .
b. Kasus  2.  Jika
, dan ,  maka  (3.1)  mempunyai  dua  titik  kesetimbangan  positif ( ) dimana √ dan ( ) ⁄ .
c. Kasus  3.  Jika  kondisi-kondisi  pada  kasus  1  dan  2  tidak  terpenuhi,  maka  sistem  (3.1)  tidak mempunyai titik kesetimbangan positif.

## 3.2 Analisis Kestabilan
Jenis kestabilan keempat titik kesetimbangan adalah
a)
tak stabil.
b) tak stabil pelana. c) akan stabil jika dan akan tidak stabil jika d) pada kasus 1(i) dan (ii) stabil jika tak stabil dan stabil jika

## 4. KESIMPULAN
Model  predator-prey  Leslie-Gower  dengan  fungsi  respon  Holling  tipe  II  memiliki  empat  titik kesetimbangan  yaitu  titik  kesetimbangan  trivial,  titik  kesetimbangan  kepunahan  prey,  titik  kesetimbangan kepunahan  predator  dan  titik  kesetimbangan  interior.  Titik  kesetimbangan  trivial  dan  titik  kesetimbangan kepunahan  predator  bersifat  tak  stabil.  Sedangkan  titik  kesetimbangan  kepunahan  prey  stabil  dengan  syarat tertentu. Titik kesetimbangan interior bersifat stabil untuk kasus (i) dan (ii).

## DAFTAR PUSTAKA
[1] Aziz-Alaoui, M.A. dan M.D. Okiye. 2003. Boundedness and Global Stability for a Predator-Prey Model with Modified Leslie-Gower and Holling-Type II. Applied Math .Vol. 16, hal. 1069-1075.
[2]  Guo,  H.  dan  X.  Song.  2006.  An  Impulsive  Predator-Prey  System  with  Modified  Leslie-Gower  and Holling Type II Schemes. Chaos, Solitons & Fractals . Vol. 36, no. 5, hal. 1320–1331.
[3]  Leslie,  P.H.  1948.  Some  Further  Notes  on  The  Use  of  Matrices  in  Population  Mathematics .  Bometrika . Vol.35, hal. 213-245.
[4]  Murray,  J.D.  2002. Mathematical  Biology  I:  An  Introduction  Third  Edition .  Springer–Verlag  Berlin Heidelberg.
[5] Nindjin, A.F.,  M.Aziz-Alaoui, dan M. Cadivel. 2006. Analysis of a predator–prey model with modified Leslie–Gower  and  Holling-type  II  schemes  with  time  delay. Nonlinear  Analysis:  RealWorld Applications . Vol.7, hal. 1104 – 1118.
[6]  Yu,  S.  2012. Global  Asymptotic  Stability  of  a  Predator-Prey  Model  with  Modified  Leslie-Gower  and Holling-Type  II  Schemes .  Hindawi  Publishing  Corporation  Discrete  Dynamics  in  Nature  and  Society . Vol. 2012 ID 208167.