Vol. 12, No. 2,  83-91,  Januari  2016
Analisis Klasifikasi Dua Arah Model Campuran
Raupong  , Anisa  dan  Hasrina 
Abstract
Two ways Analysis of Variance (ANOVA) for mixed model can be found with Henderson II method. In this research, the mixed model
 
     Zu X y 1 was adjusted by found L
value  such  that  the  value  can  be  transform    into
0   a y      Zu X 1 ,  and  the  last model used to estimate variance of the mixed model.
Keywords: Mixed model, two ways ANOVA, Henderson II method

## 1. Pendahuluan
Pada perancangan percobaan, menguji lebih dari satu hipotesa dalam sebuah percobaan tunggal  meliputi  faktor  persilangan,  dimana  tiap  keadaan  dalam  percobaan  adalah  sebuah kombinasi  tingkatan  yang  berbeda  dari  tiap-tiap  faktor  yang  sedang  diuji.  Perbedaan  yang mendasar  dengan  klasifikasi  yang  lain  adalah  jika  dalam  klasifikasi  bersilang  setiap  tingkatan menyangkut satu faktor yang digunakan didalam kombinasi dengan setiap tingkatan pada faktor yang lain, maka pada klasifikasi dua arah tersarang tingkatan faktor yang tersarang tidak bertalian satu sama lain  (Searle, 1971).
Besarnya  keragaman  yang  ditimbulkan  oleh  pengaruh  perlakuan  disebut  Kuadrat Tengah  Perlakuan (KTP), besar keragaman yang ditimbulkan oleh pengaruh Kelompok disebut Kuadrat Tengah Kelompok (KTK), dan besar keragaman  yang ditimbulkan oleh pengaruh galat disebut Kuadrat Tengah Galat atau KTG (Gaspersz. 1991).
Metode Henderson II merupakan  adaptasi dari metode Henderson I yang perhitungannya juga  didasarkan  pada  metode  Henderson  I,  tetapi  digunakan  untuk  model  campuran.  Model campuran merupakan model yang menyaratkan sekurang-kurangnya satu kriteria klasifikasi yang merupakan  pengaruh  tetap  dan  lainnya  pengaruh  acak.  Misalkan  satu faktor  A  adalah tetap  dan faktor lainnya yaitu B adalah acak atau random (Searle & Cassela, 1992).

## 2. Landasan Teori
Klasifikasi  dua  arah  bersilang (crossed )  dua  faktor  merupakan  percobaan  dimana  tiap keadaan dalam percobaan adalah sebuah kombinasi tingkatan yang berbeda dari tiap–tiap faktor yang sedang diuji. Atau klasifikasi dua arah bersilang merupakan klasifikasi dengan setiap tingkat terjadi  dalam  kombinasi  dengan  setiap  tingkat  lainnya.  Menurut  Gaspersz  (1991),  model  linear untuk klasifikasi dua arah bersilang dapat dirumuskan sebagai berikut :
ij j i ij y         ; a i ,..., 2 , 1  b j ,...., 2 , 1  (1)
dimana :
 dan  Staf pengajar  pada Jurusan Matematika  F.MIPA Universitas Hasanuddin  Makassar
 Lulusan Program Studi Statistika Jurusan Matematika  F.MIPA Universitas Hasanuddin Makassar
ij y =  nilai pengamatan perlakuan ke- i dalam kelompok ke- j
 =  Nilai tengah populasi atau rataan umum
i  =  pengaruh perlakuan ke- i
j  =  pengaruh kelompok ke- j
ij  =  pengaruh galat percobaan dari perlakuan ke- i pada kelompok   ke- j
Asumsi yang digunakan pada model campuran adalah :
        b j j a i i 0 , 0       i i i i Var E    , , 2          j j j Var E    , , 0
2         ij ij e ij ij Var E     , , , 0 2    ~   2

## , 0 e NI 
Jika  model  campuran  yang  digunakan  dalam  klasifikasi  dua  arah,  maka  pengaruh kelompok  dalam  klasifikasi  dua  arah  tersebut  diasumsikan  sebagai  efek  acak,  dan  pengaruh perlakuan diasumsikan sebagai efek tetap.
Klasifikasi dua arah bersilangan terdiri dari a perlakuan dan b kelompok yang berbeda. Data pengamatan dalam tabulasi diberikan pada Tabel 1 berikut.
Tabel 1 .   Tabulasi  Data  Klasifikasi  Dua  Arah  Bersilang  untuk  Data  Tak  Seimbang  yang  terdiri dari a Perlakuan dan b Kelompok PERLAKUAN KELOMPOK TOTAL PERLAKUAN RATAAN 1         2  ……………….... b 1 2 . . a Y 11 Y 12 …           Y 1 b
Y 21 Y 22 …           Y 2 b .           .               …            .
Y a 1 Y a 2 …          Y ab Y 1.
Y 2. . Y a . . 1 Y . 21 Y . . a Y
TOTAL KELOMPOK Y .1 Y .2 ... Y . j .....    Y . b Y ..
RATAAN 1 . Y 2 . Y .... j Y . ..... b Y . .. Y
dimana :
. i Y =  jumlah semua pengamatan dalam sampel dari kelompok ke- i , i =1,2,..., a j Y . =  jumlah semua pengamatan dalam sampel dan perlakuan ke- j , j = 1,2, ..., b
. i Y =  rataan pengamatan dalam kelompok ke – i
j Y . =  rataan pengamatan dalam perlakuan ke – j
.. Y =  jumlah semua pengamatan
.. Y =  rataan semua pengamatan (rataan umum)

## Raupong, Anisa,  Hasrina
Untuk  percobaan  yang  menggunakan a buah  perlakuan  dengan  jumlah  kelompok sebanyak b , maka analisis ragam untuk klasifikasi dua arah bersilang diuraikan berikut ini. Derajat  bebas  (db)  perlakuan adalah a – 1, derajat bebas (db)  kelompok adalah b – 1, derajat bebas (db) galat adalah ( a – 1) ( b – 1) dan derajat bebas total adalah ab – 1. Jumlah kuadrat Total (JKT) adalah :
JKG JKK JKP
JKT   
(2)
dimana
       a i b j i y y JKP 1 1 2    ;   2 1 1      a i b j j y y JKK    ;   2 1 1        a i b j j i ij y y y y JKG    
sehingga diperoleh :
-  Kuadrat Tengah Perlakuan (KTP),
1   a JKP
KTP (3)
-  Kuadrat Tengah Kelompok (Kelompok),
1   b JKK KTK (4)
- Kuadrat Tengah Galat (KTG),    1 1   
a b JKG KTG (5)
Berdasarkan  hasil  analisis  di  atas  maka  bentuk  baku  dari  analisis  variansi  diberikan dalam suatu tabel analisis variansi seperti yang diperlihatkan pada Tabel 2 berikut.
Tabel 2. Analisis Variansi untuk Klasifikasi Dua Arah Bersilang
SUMBER KERAGAMAN DERAJAT BEBAS (DB) JUMLAH KUADRAT (JK) RATAAN KUADRAT (KT) F HITUNG Perlakuan Kelompok Galat a – 1
b – 1 ( b – 1) ( a – 1)
JKP JKK JKG KTP KTK KTG KTG KTP KTG KTK Total ab – 1 JKT

## 2.1. Metode Henderson II
Metode  Henderson  II  merupakan  metode  penaksiran  analisis  variansi  yang menggunakan prinsip dasar metode Henderson I, tetapi diterapkan pada model campuran. Namun demikian, metode Henderson II ini hanya dapat diterapkan pada model campuran tanpa interaksi. Dengan  metode  Henderson  II,  maka  akan  diperoleh  penyesuaian  ( adjusting )  untuk  suatu  efek tetap  dari  suatu  model  campuran,  sehingga  analisis  variansi  dari  model  campuran  yang  telah disesuaikan tersebut dapat ditaksir dengan prinsip dasar metode Henderson I.
Pada metode Henderson II, model umum yang digunakan adalah :
Raupong, Anisa,  Hasrina
e     Zu β μ1 y X
(6)
Selanjutnya  pada  model  umum  tersebut  akan  dilakukan  penyesuaian  ( adjusting )  sehingga menghasilkan model persamaan :
ε Zu 1 μ y 0 a    (7)
yang dalam penaksiran analisis variansi dapat dilakukan melalui pendekatan persamaan  metode Henderson I.

## 3. Hasil dan Pembahasan

## 3.1. Metode Henderson II
Metode  II  berisi  penyesuaian  data  hasil  perkalian  vektor  dari  pengamatan  yang disesuaikan dengan model linear yang merupakan model acak lengkap yang terdiri dari rata–rata umum dan efek acak yang merupakan bagian dari model untuk y hasil dari transformasi bentuk error.
Pada umumnya persamaan model yang digunakan adalah sebagai berikut :
e    Zu Xβ y (8)
Namun pada Henderson II pada persamaan (6) adalah :
e Zu       X 1 y atau
(9)
dimana   Z X X 1  dan
           u b   .
Dengan mengalikan kedua ruas pada persamaan (9) dengan X ’ , diperoleh :
e X Xb X y X ' ' '  
karena e X ' mendekati nol, maka diperoleh
  X X y
X ' '  , dimana b   
(10)
atau dengan kata lain
  y X X X ' ' ˆ 1  
 (11)
Prosedur  umum  dari  Metode  II  perhitungannya  didasarkan  pada Ly   ˆ ,  sehingga  dari persamaan (11) dapat dituliskan :
  ' ' 1 X X X L   , (12)
Dengan menggunakan persamaan (9), yang dikali  dengan   Z 1 X , akan diperoleh :
  
                  
     u Z Z Z Z u Z u Z y Z y y ˆ ' ˆ ' ˆ 1 ' ˆ ' ˆ ' ˆ 1 ' ˆ ' 1 ˆ ' 1 ˆ 1 ' 1 ' ' ' 1       X X X X X X X
(13)
e Xb y  
Raupong, Anisa,  Hasrina
Dengan proses absorpsi, dan menganggap 0 ˆ   , maka persamaan di atas menjadi
                   y Z y u Z Z Z Z ' ' ˆ ˆ ' ' ' ' X X X X X 
Persamaan yang telah diuraikan di atas biasanya tidak memenuhi baris, sehingga akan terdapat  tak  berhingga  banyaknya  solusi.  Solusi  tersebut  dapat  dipilih    dengan  menggunakan invers umum dari persamaan
      
Z Z Z Z C ' ' ' ' X X X X ,
(14)            
      
     
     
          0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 22 21 12 11 1 ' 2 ' ' 2 2 ' 2 1 Q Q Q Q
Z Z X Z Z X X X C (15)
Untuk membentuk persamaan Henderson I digunakan persamaan berikut
 ˆ X   y y a (16)
dengan  ˆ seperti pada persamaan (11), yaitu
  y X X X ' ' ˆ 1  
 = Ly (17)
Subtitusi  menggunakan  persamaan (7)  ke persamaan (16) diperoleh
Ly y y a X     e Zu L e Zu             X X X 1 1   Le LZu L L e Zu X X X X X X             1 1 
       e L I Zu L I L I L I X X X X X       
   1 (18)
Berdasarkan  persamaan  (17)  di  atas,  maka  syarat  yang  harus  dipenuhi  untuk mendapatkan L adalah sebagai berikut :
(1)   LZu Zu Zu L I X X      u LZ Z X   Z LZ Z    X bila 0  LZ X (19)
(2) 1 1 1   L X , untuk skalar 1  (20)
(3) '
1 X X X    L , untuk beberapa baris vektor '  (21)
Jika L memenuhi ketiga kondisi tersebut maka dari persamaan (18) akan diperoleh:
Le e LZu Zu L y a X X X X X X             1 L 1   Le e LZu Zu L X X X X X    
       1 1   e L I Zu X        0 1 1 1 ' 1    
Raupong, Anisa,  Hasrina
ε Zu 1 μ 0    atau   Le LZu L L e Zu y a X X X X X X             1 1 
       e L I u LZ Z L L I
X X X X X X       
   1       Zu 0 1 0 ε Zu 1 μ y 0 a    (22)

## 3.2. Penaksiran Analisis Variansi
Pada  klasifikasi  dua  arah  yang  menggunakan  model  campuran  setelah  datanya dilakukan  penyesuaian  dengan  metode  Henderson  II  maka  analisis  variansi  dari  data  tersebut ditaksir dengan menggunakan persamaan dari metode Henderson I yang telah disesuaikan.
Berdasarkan persamaan (8) jika   ) ( y E dan V y Var  ) ( maka dapat ditulis y ~   V ,  , dan berdasarkan teorema :
        y E A y E AV tr Ay y E ' '   (23)
  ' ' '  X y
E  dan    X y E  sehingga    
  X X A AV tr Ay y E ' ' '   , dimana 0 '  X X A
Karena   2 ' e A k Ay y E  
, maka
    A tr I A tr k e e e A 2 2 2      (24)
Dan karena     2 ' e A A a a k Ay y E     , maka akan diperoleh:
        a a a a y E A y E AV tr Ay y E ' '   , dimana     0 '  a a y E A y E
atau
    AV tr k e A A   2   (25)
Dari  persamaan (22), dimana
ε Zu 1 μ y 0 a    , dengan   e L I X    , maka akan diperoleh penyederhanaan persamaan (25), yaitu
      e L I Var A tr k e A A X    2   (26)
Berdasarkan sifat variansi dimana
 
  X a aX Var var 2  , maka:
        e L I e L I Var var 2 X X        2 ' e L I L I  X X   
sehingga persamaan (26) dapat disederhanakan menjadi :
       2 ' 2 e e A A L I L I A tr k    X X          ' 2 L I L I A tr e X X          ' L I L I A tr X X    (27)
Berdasarkan pada persamaan (15), X  dipartisi menjadi :
  2 1 X X X  (28)
dengan  persamaan (12) diperoleh :
        ' 12 2 ' 11 0 Z Q Q L X (29)
Dengan mengalikan persamaan (28) dan (29), akan diperoleh :
 L X   ' 12 11 2 . 0 Z Q Q   ' 2 1 X X X   ' 12 11 2 Z Q Q   ' X X 2 (30) Misalkan ' 12 ' 2 11 Z Q Q U   X ,
Maka 
 ' ' 12 2 ' 11 ' Z Q Q U   X ' 12 1 ' 11 2 Q Z Q   X Jadi U L 2 X X  dengan ' 12 ' 2 11 Z Q Q U   X (31)
sehingga:
      ' 2 2 U I U I A tr k A A X X          ' 2 ' 2 2 ' 2 ' X X X X
UU U U I A tr           ' 2 ' 12 ' 11 2 2 2 ' 2 ' X X X X X Q Z Q U U U I A tr      (32)
Persamaan (31) disederhanakan dalam bentuk :
I Z Q Q   2 ' 12 2 ' 2 11 X X X   I Z Q Q   2 ' 12 ' 2 11 X X I
U  2 X (33) 0 ' 12 ' 2 11   Z Z Q Z Q X   0 ' 12 ' 2 11   Z Z Q Q X 0  Z U
(34)
Subtitusi persamaan (25) ke persamaan (32) diperoleh :
    ' 2 11 2 2 ' 2 ' X X X X Q U U A tr k k A A A       (35)
      0 2 ' ' 2 ' ' 2    X X X Z FMF UZ tr U Z FMF Z tr U A tr
Karena 0 1  Z U seperti pada persamaan (34), maka :
  U A tr 2 0 X        ' 2 ' ' 2 ' ' ' 2 '
X X X AU tr A U tr A U tr   
Raupong, Anisa,  Hasrina
sehingga persamaan (35) akan menjadi :
  ' 2 11 2 X X Q A tr A   (36)
Dari persamaan (36), diperoleh persamaan penaksiran analisis variansi untuk metode Henderson II yang mengalami penyesuaian ( adjusting ) sebagai berikut :
  A A 2 e δ k AV tr σ   
(37)
dimana, dari persamaan (25) diketahui   e L I V X   ,  dan   A tr k A  dan                      
      N N N N N N N N N N N N A 1 1 1 1 1 1 1 1 1
             

## 3.3.  Aplikasi  Penaksiran  Analisis  Variansi  pada  Klasifikasi  Dua  Arah  Model Campuran
Data yang digunakan sebagai contoh untuk aplikasi penulisan ini adalah data sekunder yang diperoleh dari penelitian dengan judul ”Pertumbuhan dan Hasil Bawang Merah ( Allium ascalonicum  L ) Pada Berbagai  Dosis Pupuk Top Ziolite” ,  oleh  Sulastri  (2002).    Data  terdiri dari  6  perlakuan  dan  3  kelompok.  Dosis  pupuk  Top  Ziolite  yang  digunakan  diklasifikasikan adalah sebagai berikut:
T 0 : Tanpa Top Ziolite (Kontrol)
T 1 : Dosis Top Ziolite 0.30 g / 8 kg tanah T 2 : Dosis Top Ziolite 0.60 g / 8 kg tanah
T 3 : Dosis Top Ziolite 0.90 g / 8 kg tanah
T 4 : Dosis Top Ziolite 1.20 g / 8 kg tanah
T 5 : Dosis Top Ziolite 1.50 g / 8 kg tanah
Hasil  pengolahan  data  dengan  metode  Henderson  II  diperoleh  nilai  taksiran  dari analisis variansi sebagai berikut :
 
A A e k AV Tr     2 176 . 33 176 . 49 765 . 17    936 . 82 765 . 17   0.36124  

## 4. Kesimpulan dan Saran
Berdasarkan  aplikasi  dari  penelitian  ini,  disimpulkan  bahwa  dengan  menggunakan metode  Henderson  II  pada  klasifikasi  dua  arah  bersilangan  ( Crossed )  untuk  model  campuran tanpa  interaksi  dengan  data  tak  seimbang,  pada  data  tinggi  tanaman  bawang  merah  (cm),
Raupong, Anisa,  Hasrina
diperoleh  taksiran  variansi 36124 . 0 2   e  ,  yang  berarti  bahwa  tidak  ada  pengaruh  dalam keragaman baik dalam perlakuan maupun dalam kelompok.
Penelitan  lebih  lanjut  dapat  dilakukan  pada  data  seimbang  dan  membandingkan  hasil penyesuaian  dengan  metode  Henderson  II  pada  kedua  data  tersebut.  Perlu  pula  dilakukan penelitian  lebih  jauh  mengenai  spesifikasi  komponen  acak  dan  tetap  yang  memberikan  taksiran variansi 2 e  dengan metode Henderson II yang positif.

## Daftar Pustaka
[1]. Sulastri  D,  2002,  “ Pertumbuhan  dan  Hasil  Bawang  Merah  (Allium  ascalonicum  L)  pada Berbagai Dosis Pupuk Top Ziolite”, Jurusan Pertanian, Fakultas Pertanian dan Kehutanan Universitas Hasanuddin, Makassar.
[2]. Gaspersz G, 1991, ” Metode Perancangan Percobaan”, PT. Armico, Bandung.
[3]. Searle SR, 1971, “ Linear Models”, John Wiley & Son Inc., Canada.
[4]. Searle SR & Casella G, 1992, “ Variance Components”, John Wiley & Son Inc., Canada.
[5].  Daniel WW, 1989,” Statistik Non Parametrik”, PT. Gramedia, Jakarta .