## MODE REPRESENTASI IDE DALAM BELAJAR MATEMATIKA

## Agung Hartoyo
Pend. Matematika, FKIP, Universitas Tanjungpura

## Abstract
The  aims  of  this  research  were  to  investigate  development processes  and  to  know  the  reason    that  student  pushes  to changes  her  representation  idea  in  problem  solving. Representation's  developmental  path  in  solving  problem  at starts  by  building imagery in  imagistic's  system  drawned  out by verbal representation by forms representation of rethorica's equation,  and  develops  it  as  equation syncopated.  She does several  times  change  her  representation.  The  Changing  of representation impelled by imagistic tactile system ; imbalance in cognitive stucture, comptency of information assimilation on problem , ordinary procedure utilized by respondent in solving problem,  and  characters  and  equality  relationship  of  algebra or arithmetica's structures.

## Keywords : representations
Pendahuluan Ada  dua  fungsi  yang  dijalankan dalam  pembelajaran  matematika sekolah, yaitu mengembangkan kemampuan mengomunikasikan gagasan melalui model matema-tika, dan  mengembangkan  kemampuan, kecakapan atau kemahiran matematika.  Karena  fungsi  tersebut, maka kecakapan menggunakan berbagai  simbol,  grafik,  tabel, diagram, merumuskan – menafsirkan – menyelesaikan  model  matematika untuk  memperjelas  keadaan  atau masalah  merupakan  bagian  penting dalam  pembelajaran  matematika.
Lesh,  Post,  &  Behr  (Hiebert  & Carpenter,  1992);  Janvier,  dkk. (1987); dan Goldin (1987) mengemukakan bahwa pengungkapan  ide-ide  matematika dengan menggunakan berbagai
modus  seperti :  bahasa lisan,  bahasa tulis,  simbol,  gambar,  di-agram, model,  grafik,  atau  menggunakan anggota  fisik  dikatakan  sebagai representasi  ide.  Itu  berarti  bahwa kecakapan  membangun  representasi merupakan  bagian  esensial  dalam pembelajaran matematika di samping kecakapan pemahaman konsep, pena-laran, komunikasi, dan pemecahan masalah. Representasi  ide-ide  matematika dalam  berbagai  cara  merupakan pondamen  untuk  memahami  dan menggunakan ide-ide tersebut
(NCTM,  2000).  Kaput  (1987)  dan Janvier  (1987)  berpendapat  bahwa representasi  sangat  berperan  dalam pembe-lajaran  matematika.  Berbagai representasi,  seperti  diagram,  grafik, ekspresi  bilangan  basis-10  atau biner,  pecahan,  atau  ekspresi-
Jurnal Pendidikan Matematika dan IPA Vol. 1. No. 1. Januari 2010:1 -10 2
ekspresi simbolik merupakan komponen  utama  dalam  kurikulum matematika sekolah. Bila para siswa telah  mengenal  repre-sentasi  dan dapat  merepresentasikan  ide-idenya, mereka  mendapat  sekumpulan  alat untuk  mengembangkan  kapasitasnya dalam  berpikir  matematis.  Oleh karena  itu,  re-presentasi  harus diperlakukan  sebagai  unsur  penting di  dalam  mendorong  siswa  me- mahami  konsep  matematika  dan relasi-relasinya, berkomunikasi dengan matematika, berargumentasi, mengenali
keterkaitan antar konsep matematika, dan  menerapkan  matematika  ke situasi  masalah  realistis  melalui pemodelan.  Secara  eksplisit  NCTM (2000)  menetapkan representasi sebagai salah satu standar kompetensi  dalam  pembe-lajaran matematika sekolah. Pada  kasus  pemecahan  masalah, Yamada  (2000)  mengidentifikasi banyak hal yang dilakukan responden ketika membangun representasi  mental  dari  pernyataan masalah. Representasi yang dibangun  selama  proses  pemecahan masalah sering mengalami
perubahan.  Sebagai  contoh,  setelah membaca  pernyataan  masalah  seba- gian  besar  siswa  membangun representasi verbal, tetapi pada tahap akhir pemecahan masalah representasi itu berbeda dari representasi  sebelumnya  melalui banyak  cara,  misalnya  dengan menambah representasi notasi formal.  Representasi  internal  yang dibangun secara mental dari pernyataan  permasalahan  diduga berkaitan  dengan  tindakan  imitasi untuk  melakukan  tiruan  atas  situasi atau  pengalaman  yang  dimiliki.
Untuk  menginterpretasi  berbagai hal yang  berkaitan  dengan  representasi masalah,  penelitian  ini  bersandar pada dua perspektif pokok. Perspektif  pertama  adalah  model Goldin (1987); kemudian dikembangkan oleh Thomas, Mulligan,  &  Goldin,  (2002)  yaitu model kompetensi dalam pemecahan masalah matematika yang didasarkan pada  sistem  representasi.  Perspektif kedua  adalah  aktivitas  eksternal siswa  selama  menye-lesaikan  tugas pemecahan masalah.
Dalam  menetapkan  karakteristik tugas-tugas  pemecahan  masalah  dan mendes-kripsikan  proses  kognitif pada pembentukan representasi eksternal, Goldin (1987) membedakan  sistem  representasi kognitif  internal  pada  pemecahan masalah atas lima sistem representasi. Model  Goldin  tersebut  meliputi  :  (1) sistem  sintaktik  /  verbal  (2)  sistem imagistik (3) sistem notasi formal (4) sistem  perencanaan,  monitor  (5) sistem representasi affektif. Dari pra- survey yang  berkaitan dengan representasi (Hartoyo, 2002) ditemukan  beberapa  respon  siswa dalam mememecahkan masalah.
Respon  mereka  antara  lain  :  pada penyelesaian  kasus-kasus  khusus mereka  menggunakan  suatu  pola yang  mencerminkan  penerapan  suatu formula; mengubah representasi yang digunakan  pada  pemecahan  masalah, misalnya  gambar  – tabel  – formula; dan  melakukan  gerakan  anggota tubuh, mengerutkan dahi atau memicingkan mata yang menyiratkan kegiatan berpikir . Representasi eksternal  yang  digunakan  siswa ketika memecahkan masalah kontekstual dan menjawab pertanyaan wawancara  pada  pra-survey,  antara
lain  :  gambar  statis,  tabel,  simbol tertulis,  bahasa  tulisan  dengan  kali- mat  sendiri,  melakukan  gerakan  fisik seperti  menggerakkan  tangan  sambil meng-gumam,  atau  mendongakkan kepala  sambil  mengerutkan  dahi. Tentu  ada  banyak  hal  terjadi  dalam benak siswa yang mendasari pembentukan  representasi  eksternal dalam memberi respon atau melakukan  aktivitas,  baik  ketika memecahkan  masalah  konteks-tual maupun  ketika  menjawab  pertanyaan wawancara.
Metode Untuk mengungkap dan menjelaskan  fenomena  tingkah  laku responden  menang-kap  ide-ide  dan menyatakan dalam berbagai representasi, penelitian ini menggunakan  metode  pencapaian pengertian  berdasarkan  interpretasi tingkah  laku  yang  bersangkut-an (Miles dan Huberman, 1994). Penelitian  ini  lebih  memperhatikan proses  dari  pada  hasil,  serta memusatkan  perhatian  pada  suatu pemaknaan,  dan  memandang  upaya pe-mahaman  tingkah  laku  siswa dalam  merepresentasikan  ide-ide matematika  yang  ter-kandung  pada masalah  kontekstual  sebagai  suatu kasus,  meskipun  bukan  merupakan kasus yang baru sama sekali. Dengan karakteristik seperti itu, maka penelitian  ini    dapat  dikategorikan sebagai  penelitian  kualitatif  (Lincoln
& Guba, 1994; dan Bogdan & Biglen, 1982). Responden pada  penelitian ini adalah satu orang anak yang berstatus sebagai  siswa  kelas  2  SMP. Pemilihan responden didasarkan pada pertimbangan bahwa yang bersangkutan  bersedia  menjawab masalah  kontekstual  yang  diberikan kepadanya dan bersedia diwawancarai secara mendalam berkaitan  dengan  lembar  jawaban masalah.  Masalah  kontekstual  yang dikembangkan  menjadi  perangkat untuk  mengamati aktivitas  responden dalam memahami ide-ide matematika berkaitan  de-ngan  topik  persamaan linier  bentuk  ax  +  b  =  c  seperti berikut.
Pada acara perpisahan siswa kelas 3,  panitia  menyediakan  17  dos minuman    Aqua  kemasan  gelas plastik.  Kepala  sekolah  memberi tambahan  sebanyak  38  gelas plastik Aqua, sehingga persediaan minuman  itu  menjadi  854  gelas plastik Aqua. Bagaimana caramu mengetahui banyaknya  gelas  plastik  Aqua  pada masing-masing dos, bila dos itu sama ukurannya ? Berapa banyak isi setiap dos ?
Dengan mengacu pada kesempatan  terjadinya  matematisasi, konteks masalah tersebut dikategorikan  konteks  berorde  dua (Lange,  1995),  dan  menurut  derajat reali-tasnya masalah ini dapat dikategorikan sebagai masalah dengan konteks esensial. Berdasarkan hasil coba instrumen dapat
dikemukakan  bahwa  53,  66  %  siswa menyu-kai  masalah  ini  dan  sebanyak 56,09 % menyatakan bahwa kegiatan perpisahan ini sering diselenggarakan di  lingkungannya  dan  4,88  % menyatakan  belum  pernah  me-nemui di  lingkungannya.  Jenis  representasi yang mungkin digunakan siswa untuk memecahkan masalah adalah representasi konkrit / benda manipulatif, verbal dengan menggunakan  kalimat  secara  tertulis atau lisan,  gambar  /  sketsa,  atau notasi formal.
Jurnal Pendidikan Matematika dan IPA Vol. 1. No. 1. Januari 2010:1 -10 4
Untuk  menangkap  penafsiran tingkah laku responden menggunakan metode inter-pretatif  understanding (Miles  dan  Huberman,  1994) untuk menginterpretasi  fenome-na  atau fakta-fakta  yang  muncul,  yang direfleksikan  atau dipolakan  oleh responden ketika memecahkan masalah. Ada dua teknik pengumpulan data untuk menggambar-kan  fenomena  didaktik tersebut  yaitu  :  (1)  wawancara  yang didasarkan tugas peme-cahan masalah,  (2)  pengamatan  aktivitas alamiah  selama  pemecahan  masalah.
Wawancara  juga  dimaksudkan  untuk meneliti kebenaran data, atau
melengkapi data.
Dalam  menganalisis  data  mula- mula  dideskripsikan  tentang  struktur episode  pemecahan  masalah  untuk melihat  konstruksi  mental  responden dalam  mengorgani-sasi  ide-ide  dan pengembangan  representasi  selama proses  pemecahan  masalah  yang berkaitan  dengan  konsep  persamaan linier  bentuk  ax  +  b  =  c  Dalam mencermati model
kompetensi responden  dilakukan  analisis  struktur episode  pemecahan  masalah  dengan menggunakan  episode  Schoenfeld (1985, 1992)  dan  Polya  (1973). Sekuen  pengembangan  representasi dilakukan analisis bagian demi bagian sesuai  dengan  unit  analisis  masalah. Ada  tiga  unit  analisis  dalam  proses pengembangan  representasi,  yaitu tahap inventive  – semiotic, tahap pengembangan  struktur,  dan  tahap otonomi. Analisis perubahan-perubahan representasi  selama  menyelesaiakan masalah dila-kukan dengan
mencermati berbagai representasi dan aktivitas  yang  diperlihatkan  atau diisyaratkan oleh yang bersangkutan.

## Hasil-hasil Penelitian
Struktur Episode Pemecahan Masalah
Dalam menyelesaikan masalah, mula- mula  responden    (RA)  memandang masalah  yang  dihadapkan  kepadanya sebagai  masalah  aritmetika,  sehingga dalam  penyelesai-annya  mula-mula menggunakan  prosedur  aritmetika dengan  mengoperasikan  bila-ngan- bilangan  yang  diketahui untuk memperoleh  jawaban.  Prosedurnya adalah mem-baca  masalah  identifikasi  informasi,  membangun representasi verbal  merencanakan  penyelesaian-1  menerapkan rencana-1 
memeriksa  ulang,  menyadari  ada kesalahan  memanggil  ulang hasil  identifikasi  informasi  dari struktur  ingatannya  merevisi rencana penyelesaian-1  menerapkan  rencana  berhasil.
Pada  pengembangannya  RA  juga menggunakan prosedur aljabar dengan langkah-langkah : merencanakan  penyelesaian-2  menerapkan rencana-2  memverikasi  berhasil. RA  tidak menulis  secara  eksplisit  dan  lengkap prosedur  penyelesaian  pada  lembar kerjanya,  sebagian  dilakukan  secara mental di kepala.
Pada proses penyelesaian, RA melakukan  kesalahan  hitung  karena tidak  cermat  dalam  mencari  hasil pengurangan.  Ia  mendapat  kemajuan dalam  penyelesaian  masalah  setelah memanggil (retrieved)
kompetensi perbendaharaan  istilah  dalam  sistem verbal  yang  mendorongnya  untuk memeriksa  ulang  pekerjaan  dan mengulang algoritma sehingga berhasil  mencapai  tujuan  yang ditetapkannya. Pengembangan
representasi  dilakukan  RA  dalam beberapa  tahap  ketika  menggunakan prosedur aljabar. Pengembangan dilakukan  dari  representasi verbal  ke representasi  dalam  bentuk  persamaan retorika,  kemudian  dikembangkan lagi  menjadi  representasi  dalam bentuk syncopated dan  kemudian menjadi  representasi  simbolik  dalam sistem  notasi  formal.  Pengembangan representasi dilakukan setelah berhasil  memanggil  ulang  konsep peubah  dari  memori,  yang  menjadi titik tolak untuk mengubah (transformasi atau translasi) representasi-representasi yang ia perlukan  dalam  pemecahan  masalah. Struktur  episode  pemecahan  masalah oleh  RA  tersebut  bila  dinyatakan dalam diagram alur seperti berikut.
Gambar 1.  Diagram alur struktur episode pemecahan masalah oleh RA Analisis  Proses  Pengembangan Representasi
Tahap inventive – semiotic :
RA menangkap masalah yang dihadapinya  setelah  ia  membaca berulang-ulang sebanyak tiga kali, ia menangkap intisari masalah berdasar sintaks  informasi.  Kemampuannya menangkap  sintaks  informasi  itu
menuntun  RA  untuk  mengkons-truk imagery atau skema image kemudian mengungkapkannya  secara  verbal. Dalam mengkonstruk sistem
imagistik  RA  memaknai  informasi- informasi  yang  disediakan  pada masalah  sehingga  ia  dapat memilah istilah yang bermakna dan yang tidak bermakna dan membangun Membaca Identifikasi informasi, bangun representasi verbal Rencana-1 (aritmetika), organisasi relasi informasi
Implementasi rencana
Ragu- ragu
Selesai Rencana-2 (aljabar), organisasi relasi informasi Implementasi rencana Pemeriksaan jawaban, bandingkan dgn masalah Ragu- ragu Selesai
Jurnal Pendidikan Matematika dan IPA Vol. 1. No. 1. Januari 2010:1 -10 6
representasi verbal sampai. Aktivitasnya itu dilakukan RA secara internal, dan tidak dinyatakan secara eksternal pada lembar jawaban.
Penjelasan  RA  tentang  dos bermuatan  daya  cipta  istilah baru yang  menjadi  pendorong  baginya untuk  mengkonstruk  label  dari sistem representasi verbal. Ia memberi  label  peubah  untuk  dos yang belum diketahui isinya. Meskipun  ia  tidak  bisa  memberi penjelasan  atau  batasan  tentang peubah,  namun  secara  konseptual dapat  membedakan  antara  contoh dan bukan contoh peubah. Pengetahuan  RA  pada  konsep peubah  menjadi  pemandu  baginya mengkonstruk  sistem  notasi  formal untuk mere-presentasikan permasalahan yang dihadapinya.

## Analisis Pengembangan Struktur
Representasi  verbal  yang dibangun  RA  ketika  membaca  soal digunakan  untuk  mengidentifikasi informasi  ensensial  dan  membangun relasional  di antara  informasi tersebut  dalam  bentuk  persamaan aljabar retorika. Aktivitas pengembangan repre-sentasi itu dilakukan  secara  internal  di  benak pikiran,  ia  tidak  menuliskan  secara eksplisit  pada  LKS.  RA  juga melakukan aktivitas prosedural komputasi  aljabar  retorika  secara mental dengan melakukan transformasi representasi dari
“panitia  menyediakan  tujuh  belas dos,  dapat  tambahan  tiga  puluh delapan  dari  kepala  sekolah,  kan jumlahnya  menjadi  delapan  ratus lima puluh empat” menjad i “delapan  ratus  lima  puluh  empat dikurangi tiga puluh delapan itu ada
tujuh  belas  dos” .  Representasi retorika  tersebut  merupakan  bagian dari  rencana  untuk  mencari  jawab numerik  dari  masalah.  Tujuan  yang ingin  dicapai  adalah  meng-etahui banyak  Aqua  kemasan  gelas  plastik pada tujuh belas dos tanpa tambahan dari  kepala  sekolah.  Pada  lembar kerjanya ia mengubah (mengembangkan) persamaan retorikanya dengan persamaan aljabar dalam bentuk syncopated. RA melakukan pengembangan representasi berikutnya  setelah  ia  menangkap unsur  peubah  pada  permasalahan. RA dapat menunjukkan peubah yang terdapat pada  persamaan syncopated yang  dibangunnya.  Ia  mampu mengembangkan representasi-nya sehingga  terkonstruksi  representasi simbolik  dalam  bentuk  persamaan dalam sistem notasi formal.
Analisis tahap otonomi Representasi verbal berbentuk persamaan aljabar retorika yang dibangun pada tahap sebelumnya dikembangkan RA menjadi  persamaan syncopated, dan ditulis  pa-da  lembar  kerja  sebagai  : 17  dos  +  38  gelas  =  854  gelas. Dengan  representasi  tersebut,  RA menemukan  tujuan  akhir  dari pemecahan masalah yaitu menemukan  jawaban  numerik  untuk mengetahui  isi  dari  masing-masing dos minuman aqua. Setelah membangun persamaan, RA mengintegrasikan dengan pengetahuan  strategis  yang  dimiliki untuk merencanakan aktivitas- aktivitas prosedural pemecahan masalah melalui transformasi representasi (RA (1.21)). Representasi  berbentuk  persamaan
syncopated yang  dibangun  RA mencapai  tahap  otonomi  ketika  ia berhasil meng-integrasikannya dengan pengetahuan strategis sehingga ia dapat melakukan transformasi representasi untuk memperoleh jawab. Representasi  simbolik  yang mula-mula  dibangun  RA  dalam penyelesaian ma-salah adalah peubah  dengan  menggunakan  huruf x.  Dengan  representasi  simbolik atomik  itu,  RA  mengembangkan lebih lanjut dengan cara mengkombinasikan dengan informasi  lain  sehingga  terbentuk relasi  antar  informasi  menjadi persamaan  linier  satu  variabel.
Representasi  yang dibangun  RA dapat  mencapai  tahap  otonomi setelah  representasi  tersebut  dapat ditempatkan pada sistem relasi-relasi simbolik,  RA  berhasil  melakukan transformasi  representasi  sehingga diperoleh jawaban numerik.

## Analisis Perubahan Representasi
Analisis perubahan representasi oleh RA selama menyelesaikan  masalah  dilaku-kan dengan mencermati berbagai representasi  dan  aktivitas  yang diperlihatkan atau diisyaratkan olehnya. Untuk ini perlu pengkodean berikut  :  representasi  yang  diguna- kan  oleh  responden  dikode R INT untuk representasi  internal ;  dan
R EKS
menyatakan representasi ekternal . R INT diketahui  dari ungkapan  lisan  responden. A INT menyata-kan aktivitas internal responden, A EKS menyatakan aktivitas  ekternal. A INT dike-tahui dari ungkapan lisan atau diisyaratkan oleh yang bersangkutan.
Setelah  membaca (A EKS-1 ) dan memahami masalah dengan membangun repre-sentasi verbal, dan R INT ,  RA  membangun  relasional struktur  masalah dalam  persamaan aljabar retorik (R INT ). Secara internal dalam sistem imagistik, RA mengidentifikasi  informasi  untuk ditemukan  (pertanyaan).  Informasi itu  ditetapkan  sebagai  tujuan  antara dan  menjadi  bagian  dari  rencana penyelesaian.
RA menerapkan representasi  internal tactile (A INT ) ketika  ia  melakukan  transformasi representasi secara internal ((R INT )  (R INT )) dengan  mengubah persamaan aljabar retorika : “ panitia menyediakan  tujuh  belas  dos,  dapat tambahan  tiga  puluh  delapan  dari kepala  sekolah,  kan  jumlahnya persediaan  men-jadi  delapan  ratus lima  puluh  empat”  (17  dos  +  38  = 854) menjadi  “ delapan ratus lima puluh  empat  dikurangi  tiga  puluh delapan  itu  ada  tujuh  belas  dos” (854-38= 17 dos).

## Analisis :
RA mengimplementasikan (menulis) rencana pemecahan masalah (A EKS-2 ) de-ngan menggunakan  prosedur  aritmetika.
Setelah  menyelesaikan  pembagian (716  :  17)=  42,141 pada  lembar coretan  kemudian  RA  mengerutkan dahi,  meragukan  jawaban  numerik hasil  kalkulasi  yang  ia  peroleh. Dengan  jawaban  itu,  RA  terdorong memanggil  ulang  kompetensinya pada  sistem  verbal  /  sintatik (R INT ) . Istilah  kunci  yang  menjadi  dasar berpikirnya  adalah  dos  diketahui berukuran sama. Ia memban-dingkan antara  dos  yang  berisi  gelas  aqua berukuran  sama  dengan  hasil  kal- kulasi  numerik  berupa  bilangan
Jurnal Pendidikan Matematika dan IPA Vol. 1. No. 1. Januari 2010:1 -10
8
desimal.  Ia  menyadari  adanya kesalahan  hitung,  dan  memutuskan untuk mengulangi prosedur kalkulasinya.
Untuk  memeriksa  ulang  hasil dan prosedur pembagian,  mula-mula RA  memi-kirkan  untuk  memeriksa ulang  hasil  pengurangan (854-38)  = … ( R INT ). Namun,  pada  lembar coretan RA tidak melakukan pengurangan, tetapi mengubah representasinya dengan    representasi penambahan (716+38)  =  … (R EKS ) untuk  mengetahui  kebenaran  (716  + 38 = 816) (A EKS ) . Dari  pemeriksaan ulang  itu  ia  mengetahui  penyebab kesa-lahan  karena  tidak  cermat dalam pengurangan, dan memutuskan untuk mengulangi kalkulasi pembagian. Ketika melakukan  pembagian  816  oleh  17
(A EKS ) RA  tidak  me-nyelesaikan secara  tuntas.  Setelah  memperoleh 136 sejenak menghentikan operasinya  dan  memainkan  bola matanya.  Ia  membagi  136  oleh  17 secara  mental  (RA(1.38) (A INT ). Untuk  mendapatkan  hasilnya,  ia
menggunakan  ope-rasi  kebalikan dari pembagian. Dengan  coba-salah RA mencari hasil perkalian 17 x 4 = …,  17  x  5  =  …  ,  17  x  7  =  119 (A EKS ) , dan secara rekursif diperoleh 17 x  8 = 136 (RA(1.41)).
RA  melakukan  perubahan representasi  lagi  setelah  dapat mengasosiasikan  informasi  yang didapat dari masalah dengan pengetahuan yang ada dalam memori-nya.  Ia  mentranslasi (A INT ) dari  representasi  verbal  (dos) (R INT ) menjadi  representasi  simbolik  (x) (R INT ) ;  dan  melanjutkan  dengan mengubah (A INT ) representasi  dari persamaan  retorik (R INT ) ;  menjadi persamaan syncopated (R EKS ) dan dikembangkan lagi menjadi persamaan  simbolik  (lihat  gambar
4.1) (R EKS ) .  Perubahan  lebih  lanjut dilakukan  RA  untuk  mendapat jawaban    numerik  dengan  operasi aljabar. Dinamika perubahan aktivitas  dan  representasi  dalam pemecahan  permasalahan  seperti berikut. Gambar 2. Bagan Simpulan Aktivitas Eks- ternal (A EKS-1 ) Aktivitas Inter- nal (A INT ) Aktivitas Eks- ternal (A EKS-2 ) Representasi Inter- nal (R INT ) Representasi Eks- ternal (R EKS )
Alur  pengembangan  representasi  yang  dilakukan  oleh  responden  ketika meme-cahkan  masalah  diawali  dengan  membangun imagery dalam  sistem imagistik  untuk  memaknai  informasi-informasi  yang  tersedia  dan  membangun representasi  verbal.  Hubungan  di  antara  informasi-informasi  dinyatakan  dalam representasi  berbentuk  persamaan  retorika,  kemudian  dikembangkan  menjadi bentuk persamaan syncopated. Pemberian label peubah untuk istilah esensial yang tersedia pada masalah ( dos ) merupakan daya untuk membangun simbol atomik (ia menggunakan  huruf  x),  dan  merupakan  unsur  penting  untuk  dikembangkan menjadi  notasi  simbolik  dalam  bentuk  molekuler.  Representasi  yang  dibangun oleh RA dapat mencapai tahap otonomi sete-lah hasil pengembangan representasi tersebut  dapat  ditempatkan  pada  sistem  relasi-relasi  simbolik,  sehingga  berhasil melakukan transformasi representasi dan memper-oleh jawaban numerik.
Selama  berlangsungnya  pemecahan  masalah,  RA  melakukan  beberapa  kali peru-bahan  representasi.  Perubahan  represenatsi  tersebut  didorong  oleh :  tujuan yang  ingin  dicapai,  baik  tujuan  antara  (jangka  pendek)  maupun  tujuan  akhir ; image tentang  per-samaan  aljabar  retorika  dalam  sistem imagistic  tactile yang menjadi  penggendali  bagi  RA  untuk  mentransformasi  representasinya ; ketidakseimbangan dalam stuktur kogni-tif; kompetensi RA dalam mengasimilasi informasi  pada  masalah  dengan  pengeta-huan  yang  tersimpan  dalam  struktur kognitifnya (peubah); prosedur  yang  telah  biasa  digunakan  responden  dalam menyelesaikan  masalah;  serta  sifat-sifat  dan  relasi  kesa-maan  dari  struktur aritmetika atau aljabar.

## DAFTAR PUSTAKA
Bogdan,  R.C.  &  Biglen  S.K.  (1982). Qualitative  Research  for  Education  :  An Introduction  to  Theory  and  Methods. Needham  Heights,  MA  :  Allyn  and Bacon.
Goldin, G.A. (1987a). Levels of Language in Mathematical Problem Solving. In Claudia  Janvier. Problem of  Representationin  the Teaching  and  Learning  of Mathematics. Hildale, NJ : Lawrence Erlbaum. Goldin,  G.A.  (1987b).  Cognitive  Representational  System  for  Mathematical Problem  Solving.  In  Claudia  Janvier. Problem  of  Representationin  the Teaching and Learning of Mathematics. Hildale, NJ : Lawrence Erlbaum.
Hartoyo, A. (2002). Apa yang Diperoleh Anak Ketika Dihadapkan Pada Masalah Kontekstual. Hasil Pra-Survey. Surabaya : UNESA.
Hiebert,  J.  &  Carpenter,  T.P.  (1992).  Learning  With  Understanding.  In  Grouws D.A. (ed). Handbook of Research on Mathematics Teaching and Learning, A Project of NCTM. New York : Macmillan. Janvier, C. (1987). Conceptions and Representations : The Circle as an Example. In  Claude  Janvier  (editor). Problems  of  Representation  in  the  Teaching  and Learning of Mathematics. Hillsdale, NJ : LEA. Kaput,  J.  (1987).  Representation  Systems  and  Mathematics.  In  Claude  Janvier (editor). Problems  of  Representation  in  the  Teaching  and  Learning  of Mathematics. Hillsdale, NJ : LEA.
Jurnal Pendidikan Matematika dan IPA Vol. 1. No. 1. Januari 2010:1 -10 10
Lesh,  P.;Post,  T.;  &  Berh,  M.  (1987).  Representation  and  Translation  Among Representation  in  Mathematics  Leraning  and  Problem  Solving.  In  Claude Janvier (editor). Problems of Representation in the Teaching and Learning of Mathematics. Hillsdale, NJ : LEA. Lincoln, Y.S & Guba, E.G. (1985). Naturalistic Inquiry. Baverly Hills, California
: Sage.
Miles, M.B. & Huberman, A.M. (1994). Qualitative Data Analysis : An Expanded Sourcebook. 2 nd ed. Thousand Oak, CA : Sage.
NCTM. (2000). Principles and Standards for School Mathematics. Drive, Reston, VA.
Thomas, N.D., Mulligan, J.T., & Goldin, G.A., (2002). Children’s Representation and  Structural  Development  of  the  Counting  Sequence  1  – 100. www.sciencedirect.com /science/Journal .
Yamada,  A.  (2000). Two  Patterns  of  Progress  of  Problem-Solving  Processes  :
From a Representational Perspective. Email : yamada@auecc.aichi-edu.ac.jp