Abstrak — Sistem pendulum kereta merupakan salah satu contoh  sistem  yang  memiliki  karakteristik  nonlinear  dan  tak stabil  sistem  yang  sering  digunakan  untuk  menguji  metode- metode kontrol. Tugas Akhir ini membahas desain sistem kontrol stabilitas  pada  sistem  pendulum  kereta  dengan  metode kontrol Fuzzy Takagi-Sugeno  (T-S) dengan  mengguanakan  pendekatan PDC  modifikasi agar  sistem  pendulum  kereta  mampu menstabilkan  pendulum  pada  posisi  terbaliknya,  serta  menjaga kereta  pada  titik  tengah  rel.  Dalam  memperoleh  state  feedback gain,  digunakan  metode  Linear  Quadratic  Regulator (LQR) berbasis teknik  kontrol  optimal dengan  mencari  kombinasi matrik  Q  dan  R  sehingga  diperoleh  nilai  K  yang  diinginkan. Hasil  simulasi  dan  implementasi  menujukkan  bahwa  kontroler dapat  mempertahankan  pendulum  pada  keadaan  terbaliknya dan posisi kereta pada titik tengah rel.
Kata Kunci — Fuzzy Takagi  Sugeno,  Linear  Quadratic Regulator (LQR), Matriks Q dan R, PDC Modifikasi

## I. PENDAHULUAN
istem  Pendulum  Kereta (SPK)  merupakan  salah  satu sistem yang nonlinear dan tidak stabil, sehingga sistem ini sering  digunakan  sebagai  pengujian  metode-metode  kontrol. Permasalahan kontrol yang biasa digunakan pada SPK adalah swing-up ,  stabilisasi  dan tracking.  Swing-up adalah mengayunkan  pendulum  dari  posisi  menggantung  menuju posisi  terbalik.  Selanjutnya,  pendulum  dipertahankan  pada posisi  terbaliknya  yang  biasa  disebut  stabilisasi.  Stabilisasi merupakan usaha yang dilakukan untuk menjaga posisi batang pendulum  tetap  berada  dalam  posisi  terbalik  serta  menjaga pergerakan  kereta  sekecil  mungkin. Sedangkan  untuk tracking ,  kereta  dikontrol  agar  bergerak  mengikuti  sinyal referensi  yang  diberikan  dengan tetap  mempertahankan pendulum pada posisi terbalik.
Pada  penelitian ini  digunakan  metode  kontrol fuzzy optimal  yang  digunakan  untuk  menstabilkan  pendulum  pada sudut 0 radian terhadap garis vertikal dan posisi kereta berada pada  titik  tengah  rel. Posisi  terbalik  pada  SPK  merupakan state  ekuilibrium  yang  tidak  stabil  dari  sistem  pendulum- kereta.  Pada  posisi  tersebut,  pendulum  dan  kereta  cenderung mengalami  pergerakan  yang  berubah-ubah  sehingga  posisi pendulum  tidak  berada  pada state ekuilibrium  atau  sudut sekitar 0 radian.
Dalam  mendesain  kontroler  stabilisasi  untuk  sistem nonlinear  dapat  digunakan  skema  kontrol  pendekatan  model fuzzy Takagi-Sugeno (T-S) [1],[2]. Pendekatan model fuzzy T-
S dipilih karena mampu merepresentasikan perilaku nonlinear sistem  dari  kombinasi  beberapa  subsistem  linear  yang  lebih sederhana. Pada [3] menggunakan model fuzzy Takagi-Sugeno (T-S)  yang  menggunakan konsep Parallel  Distributed Compentation (PDC)  yang  telah  dimodifikasi.  Letak perbedaan  antara  aturan  PDC  konvensional  dan  PDC modifikasi  ada  pada  tahap  pembentukan  aturan  kontrol. Aturan  kontrol  pada  PDC  modifikasi  akan  dikelompokkan kembali  ke  dalam  range  yang  telah  ditentukan  sesuai  dengan spesifikasi  yang  diinginkan [4].  Skema  kontrol  secara keseluruhan  akan  mengikuti  aturan  PDC  modifikasi,  dimana dari  masing-masing  subsistem  dapat  dihitung state  feedback gain yang  akan  mengompensasi  model fuzzy T-S  yang bersesuaian. State  feedback  gain akan  diperoleh  dengan menggunakan metode Linear Quadratic Regulator (LQR). Makalah  ini  terbagi  menjadi  beberapa  bagian.  Bagian  II membahas  mengenai  Sistem  Pendulum-Kereta.  Pada  bagian III akan  membahas  desain  kontrol  stabilitas dan  bagian  IV membahas  hasil  pengujian  simulasi  dan  implementasi. Kesimpulan dari makalah ini diberikan pada bagian V.

## II. SISTEM PENDULUM KERETA
Sistem  Pendulum  Kereta  merupakan  modul  dari Feedback Instrumentation® yang digunakan untuk mendemonstrasikan pengendalian sistem Single Input Multiple Output (SIMO). Sistem pendulum  kereta terdiri dari sepasang batang  pendulum  yang  terpasang  pada  sebuah  kereta. Pendulum  dapat  bergerak  bebas  pada  bidang  vertikal, sedangkan  kereta  bergerak  pada  sisi  horizontal.  Kereta digerakan  oleh  motor  DC  yang  dihubungkan  dengan belt . Untuk  mengayunkan  dan  menyeimbangkan  pendulum,  kereta digerakan  ke  kanan  atau  ke  kiri  pada  rel  yang  panjangnya terbatas.
Struktur  Sistem  Pendulum  Kereta  dibagi  menjadi  dua bagian,  yaitu  batang  pendulum  dan  kereta.  Batang  pendulum dapat berotasi secara vertikal yang bersumbu pada sisi kereta. Sedangkan  kereta  mampu  bergerak  arah  horizontal  pada  rel dengan  panjang  yang  terbatas.  Model  fisik  serta  gaya-gaya yang terjadi  pada  sistem  pendulum  kereta  ditunjukkan  pada gambar 1.

## Desain Kontrol Optimal Fuzzy Menggunakan Pendekatan PDC Modifikasi Untuk Sistem Pendulum Kereta
Syfa Almira dan Trihastuti Agustinah
Jurusan Teknik Elektro, Fakultas Teknologi Industri, Institut Teknologi Sepuluh Nopember (ITS) Jl. Arief Rahman Hakim, Surabaya 60111 Indonesia
e-mail : trihastuti@ee.its.ac.id
S
Gambar 1. Model Laboratorium Sistem Pendulum-Kereta
Gaya kontrol F searah dengan lintasan kereta. terjadi  dapat  diturunkan  ke dalam  persamaan  ( ditunjukan  pada  gambar  2.  Koordinat  arah  horizontal  pada pusat  massa  adalah x 1 - l sin x 2 sedangkan  arah  vertikal  pusat massa adalah l cos x 2 . (a) (b)
Gambar 2. (a)  Gaya Translasi  terhadap  Sumbu  x;  (b)  Gaya  Translasi Terhadap Sumbu y; (c) Gaya Rotasi
Sehingga sesuai dengan hukum kedua Newton yang  bekerja  pada  sistem  pendulum  kereta,  persamaan  gerak dapat ditulis menjadi:
1 2 ( )( sin ) " c c p u T m m x l x    
2 ( ) ( )( cos ) "
c p c p V m m g m m l x    
2 2 2 ( ) cos sin " c p u T l x Vl x D Jx    
Persamaan (1) dan (2) menyatakan gerak translasi dari pusat massa sistem,  sedangkan  persamaan  (3)  menyatakan  gerak rotasi  sistem  terhadap  pusat  massa  sistem. sistem pendulum kereta adalah sebagai berikut:
3 1 x x   4 2 x x   2 4 2 2 2 4 3 2 2 ( si ( ) n ) cos sin sin c p a u T x x l x g x f x x
J l x  
        2 2 4 2 2 4 4 2 2 cos ( sin ) sin sin c p l x u T x x g x f x x
J l x     
    
dengan:
2 c p J a l m m    dan ( ) c p m m l   
Sistem pendulum kereta terdiri dari empat x 3 , dan x 4 di mana x 1 adalah posisi kereta yang diukur dari titik tengah  rel  (m), x 2 adalah  sudut  pendulum  terhadap  garis vertikal  yang  diukur  berlawanan  dengan  arah  jarum  jam
JURNAL TEKNIK ITS Vol. 4, No. 1, (2015) ISSN: 2337-3539 (2301-9271 Print)
Kereta
searah dengan lintasan kereta. Gaya yang ersamaan  (1)  sampai  (3) Koordinat  arah  horizontal  pada sedangkan  arah  vertikal  pusat

## (c)
Translasi  terhadap  Sumbu  x;  (b)  Gaya  Translasi
dengan hukum kedua Newton dan gaya
,  persamaan  gerak
(1) (2)
( ) cos sin " (3)
menyatakan gerak translasi dari pusat
)  menyatakan  gerak Persamaan state adalah sebagai berikut:
4 2 2 2 4 ( ) n ) cos sin c p a u T x x l x g x f x     2 4 2 2 4 cos ( sin ) sin c p l x u T x x g x f x     (4)
terdiri dari empat state , yaitu x 1 , x 2 , adalah posisi kereta yang diukur dari titik adalah  sudut  pendulum  terhadap  garis vertikal  yang  diukur  berlawanan  dengan  arah  jarum  jam
(rad), x 3 adalah  kecepatan  kereta  (m/detik),  dan kecepatan sudut pendulum (rad/detik).
Gaya kontrol u (N), sejajar  terhadap  rel kereta. Massa  kereta dan  massa  batang  pendulum dengan m c (kg)  dan m p (kg)  serta gravitasi  (m/detik 2 ).  Jarak  dari  sumbu  rotasi  ke  pusat  massa Sistem Pendulum-Kereta adalah l (m)
Pendulum-Kereta  terhadap  pusat  massa  adalah Gaya gesek kereta terhadap rel dinyatakan dengan adalah  konstanta  gesek  pendulum  (kg.m sistem  yang  digunakan  dalam  makalah  ini  adalah  sebagai berikut [5] : m c = 1,12 kg; m p = 0,12 kg; 0,0135735 kg.m 2 ; f p = 0,000107kg.m

## III. DESAIN KONTROL FUZZY MODIFIKASI

## A. Pemodelan Fuzzy Takagi Sugeno
Pemodelan fuzzy Takagi-Sugeno disusun berdasarkan hasil linearisasi beberapa titik kerja. Tujuan utama dari model T-S  adalah  untuk  menyatakan  dinamika  lokal  dari  tiap implikasi fuzzy (aturan)  dengan  model  sistem  linear.Model fuzzy keseluruhan  dari  sistem  diperoleh  dengan  pencampuran ( blending ) fuzzy dari  beberapa  model  sistem  linear. melinearisasi  pada  dua titik  kerja,  yaitu x 2 *=+0,2 rad,  maka  model Fuzzy memiliki dua aturan dengan  satu  variabe pendulum.  Aturan  model Fuzzy T sebagai berikut:
Aturan plant ke-1:
If 2 ( ) x t is 1 M ( sekitar 0 rad Then 1 1 ( ) ( ) ( ) x t A x t B x t   
1 ( ) ( ) y t C x t 
Aturan plant ke-2:
If 2 ( ) x t is 2 M ( sekitar ±0,2 rad) Then 2 2 ( ) ( ) ( ) x t A x t B x t    2 ( ) ( ) y t C x t

## 
Dengan menggunakan konsep PDC, dapat disusun aturan kontroler Fuzzy yang sesuai dengan aturan (6) sebagai berikut: Aturan kontroler ke-1:
If 2 ( ) x t is 1 M ( sekitar 0 rad
Then 1 ( ) ( ) u t K x t  
Aturan kontroler ke-2:
If 2 ( ) x t is 2 M ( sekitar ±0,2 rad) Then
2 ( ) ( ) u t K x t  
Fungsi  keanggotaan M 1 yang  digunakan  adalah  fungsi keanggotaan Gaussian seperti  ditunjukkan  pada  Gambar  3 dengan  parameter c =  0  dan σ =  0,08.  Sedangkan  fungsi keanggotaan M 2 adalah komplemen dari M 2 merupakan  fungsi  dari  posisi  sudut  pendulum.  Dalam bentuk  matematika,  fungsi  keanggotaan dituliskan seperti pada persamaaan (
adalah  kecepatan  kereta  (m/detik),  dan x 4 adalah kecepatan sudut pendulum (rad/detik).
sejajar  terhadap  rel,  bekerja  pada dan  massa  batang  pendulum dinyatakan (kg)  serta g merupakan  percepatan .  Jarak  dari  sumbu  rotasi  ke  pusat  massa (m). Momen inersia Sistem Kereta  terhadap  pusat  massa  adalah J (kg.m 2 ). Gaya gesek kereta terhadap rel dinyatakan dengan T c (N) dan f p adalah  konstanta  gesek  pendulum  (kg.m 2 /detik).  Parameter sistem  yang  digunakan  dalam  makalah  ini  adalah  sebagai 0,12 kg; l = 0,0167903 m; J = = 0,000107kg.m 2 /detik.

## FUZZY-OPTIMAL PDC MODIFIKASI

## Takagi Sugeno
Sugeno disusun berdasarkan hasil Tujuan utama dari model fuzzy S  adalah  untuk  menyatakan  dinamika  lokal  dari  tiap-tiap (aturan)  dengan  model  sistem  linear.Model ari  sistem  diperoleh  dengan  pencampuran dari  beberapa  model  sistem  linear. Dengan titik  kerja,  yaitu x 2 *=0  rad dan Fuzzy T-S  yang  digunakan aturan dengan  satu  variabel premis, yaitu sudut
T-S yang dibentuk  adalah
sekitar 0 rad)
( ) ( ) ( ) x t A x t B x t (5)
sekitar ±0,2 rad) ( ) ( ) ( ) x t A x t B x t (6)
Dengan menggunakan konsep PDC, dapat disusun aturan dengan aturan plant pada (5) dan
sekitar 0 rad)
(7)
sekitar ±0,2 rad)
(8)
yang  digunakan  adalah  fungsi seperti  ditunjukkan  pada  Gambar  3 =  0,08.  Sedangkan  fungsi adalah komplemen dari M 1 . Baik M 1 ataupun merupakan  fungsi  dari  posisi  sudut  pendulum.  Dalam bentuk  matematika,  fungsi  keanggotaan M 1 dan M 2 dapat ersamaaan (9) [6].
Gambar 3. Fungsi Keanggotaan Aturan Model Plant dan Kontroler
2 1 2 2 ( 0 ) ,5 0,08 ( ( )) x t M e x t         2 2 1 2
( ( )) 1 ( ( )) M x t M x t   (9)
Bentuk keseluruhan model fuzzy T-S pada persamaan (5) dan (6) dapat dilihat pada Persamaan (10).
2 2 1 ( ) ( ( ))[ ( ) ( )] i i i i x t M x t A x t B u t      2 2 1 ( ) ( ( ))[ ( )] i i i y t M x t C x t    (10)
Sedangkan  keluaran  kontroler fuzzy pada  (7)  dan  (8)  secara keseluruhan dapat ditulis seperti pada persamaan (11)
2
2 1 ( ) ( ( ))[ ( )] i i
u t M x t Kx t     (11)
Substitusi (11) pada (10) akan didapat:
2 2 2 2 1 1 ( ) ( ( ))[( ) ( )] ( ) ( ) i j i i j i j
x t x t A B K x t x t M M        2 2 1 ( ))[ ( )] ( ) ( i i i x t C x t y t M    (12)
Persamaan (11) akan menghasilkan bentuk sinyal kontrol yang dapat ditulis seperti pada persamaan (13).
1 2 1 2 2 2
( ) ( ( ))[ ( )] ( ( ))[ ( )] u t M x t K x t M x t K x t     (13)

## B. Perancangan Kontroler PDC Modifikasi
Pada  konsep  PDC  modifikasi, state  feedback  gain yang dimiliki  dapat  dikategorikan  kembali  menjadi  beberapa kondisi.  Kondisi  yang  ditentukan  pada  setiap  subsistem dilakukan  berdasarkan  nilai  maksimum  parameter  yang  ingin diukur  dan  dibagi  sesuai  range  yang  diinginkan.    Beberapa gain yang  terkait  dari masing-masing  subsistem  kemudian dilakukan  proses pencampuran  “ blending ” fuzzy, sehingga respon  yang  diinginkan  dapat  tercapai. Linearisasi  dilakukan pada 2 titik kerja, sehingga terdapat 2 subsistem.
Bentuk  susunan  metode  PDC  modifikasi dengan  2 subsistem, sinyal  kontrol  hasil gain  state  feedback yang diperoleh  akan  dikategorikan  menjadi  2  kondisi  sesuai parameter  yang  diinginka.  Pada  perancangan  aturan  PDC modifikasi  ini,  sinyal  kontrol  dibagi  menjadi  2  range  sinyal, yaitu  sinyal  kontrol  rendah  dan  sinyal  kontrol  tinggi. Fungsi keanggotaan sinyal kontrol ditunjukan pada gambar 4.

## Gambar 4. Fungsi Keanggotaan Sinyal Kontrol
Dengan  menggunakan  PDC  modifikasi,  maka  aturan fuzzy T-S  akan diperoleh 2  grafik fungsi  keanggotaan,  yaitu  fungsi keanggotaan Gaussian untuk aturan model plant dan kontroler dan fungsi keanggotaan sinyal kontrol untuk PDC modifikasi. Aturan kontroler akan diperoleh 4 buah rule, yaitu :
Aturan 1 : If 2 ( ) x t is 1 M (0 rad) AND ( ) u t is “small” then 1 1 ( ) ( ) u t K x t  
Aturan 2 : If 2 ( ) x t is 1 M (0 rad) AND ( ) u t is “high” then 1 2 ( ) ( ) u t K x t  
Aturan 3 : If 2 ( ) x t is 2 M (±0,2 rad) AND ( ) u t is “small”
then 2 1 ( ) ( ) u t K x t  
Aturan 4 : If 2 ( ) x t is 2 M (±0,2 rad) AND ( ) u t is “high”
then 2 2 ( ) ( ) u t K x t   (14)
masukan  kontrol  secara  keseluruhan  yang  dihasilkan  oleh kontroler  PDC  adalah  dalam  bentuk K i ,  dapat  dilihat  dalam bentuk:
2 1 ( ) ( ( )) ( ) r i i i u t x t u t     (15)
dengan
1 2 ( ) ( ) n i i i n u t m K x t   
2 2 2 1 ( ( )) ( ( )) i i i i x t x t m      (16)
β = nilai derajat keanggotaan fungsi keanggotaan sinyal kontrol
Untuk  memperoleh  sinyak  kontrol  keseluruhan  maka Persamaan  (16)  dapat  disubstitusikan  ke  Persamaan  (15), sehingga diperoleh Persamaan (17)
1 2 1 2 2
2 ( ) ( ( )) ( ) ( ( )) ( ) u t x t u t x t u t     (17)
dengan:
1 1 1 2 1 2 1 1 2 1 2 ( ) ( ) K K x t u t                 (18)
2 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 ( ) ( ) K K x t u t                 (19)
Sinyal  kontrol  keseluruhan  dari  2  subsistem  dapat  diperoleh dengan  mensubtitusikan  persamaan  (18)  dan  (19)  ke  dalam persamaan (17).
2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( )) K K x t u t x t                    2 2 1 2 1 2 2 2 1 2 1 2 ( ) ( ) ( )
( ( )) K K x t x t   
                (20)

## C. Linear Quadratic Regulator (LQR)
Metode  yang  digunakan  untuk  memperoleh state feedback gain dalam pengendalian kestabilan pendulum-kereta yaitu  metode  LQR.  Dalam  sebuah  sistem  kontrol, kontroler mempunyai  kontribusi  yang  besar  terhadap  perilaku  sistem. Salah  satu  tugas  kontroler  adalah  meminimalkan  sinyal kesalahan,  yaitu set  point dan  sinyal  aktual.  Semakin  cepat sinyal reaksi sistem (sinyal  aktual)  mengikuti sinyal set point dan  semakin  kecil  kesalahan  yang  terjadi,  maka  semakin baiklah kinearja sistem kontrol yang diinginkan.
Kontrol  optimal  secara  umum  ditujukan  untuk  memilih input plant u dengan indeks performasi yang minimum. Linear Quadratic  Regulator, disebut linear karena  model  dan kontrolernya  berupa linear. Sedangkan  disebut  kuadratik karena cost  function dari  sistem  merupakan  kuadratik  dan karena referensinya bukan berupa fungsi  waktu maka disebut regulator. Sistem kontrol yang dirancang berdasarkan optimasi indeks  performasi  disebut  sistem  kontrol  optimal.Indeks performansi  dalam  interval  [ t 0 ,∞]  diupayakan  dapat meminimalisasi  energi  ( cost  function/quadratic  function ) dapat dinyatakan dengan Persamaan (21).
0 1 ( ) 2 T T t
J x Qx u Ru dt    
(21)
dimana :
0 t = waktu awal
 = waktu akhir
Q = matriks semidefinit positif R = matriks definit positif Persoalan regulator dapat diselesaikan dengan menggunakan Aljabar Riccati sebagai berikut:
1 0 T T
A P AP PBR B P Q      (22)
dengan pembobot matriks Q dan R berpedoman pada:
1. Semakin besar nilai Q , maka akan semakin memperbesar harga elemen penguatan K sehingga mempercepat sistem untuk  mencapai  keadaan  stabil  ( intermediate  state  cost function ).
2. Semakin  besar  harga R ,  maka  akan  memperkecil  harga Penguatan K dan  memperlambat  keadaan  tunak ( energy drive ).
State  feedback  gain diperoleh  dengan  menggunakan solusi aljabar Riccati sebagai berikut:
1 T K R B P   (23) maka diperoleh: u Kx   (24)
Berdasarkan analisis di atas, kontrol optimal-fuzzy berbasis performansi PDC Modifikasi dapat diringkas sebagai berikut:
1. Memperoleh  hasil  definisi  sistem  pendulum  kereta sesuai titik kerja. Titik kerja yang dipilih adalah pada saat  sudut  pendulum  berada  pada  0  radian  dan  ±0.2
radian. Maka diperoleh hasil linearisasi berupa matriks A dan B pada masing masing titik kerja. Titik kerja 1 (0 radian):
1 1 ( ) ( ) ( ) x t A x t B u t    1 0,2524 0 0 1 0
0 0 0 1 ; 0 0 0,0001 0 15,0319 0 0,0079 A                  1 0,8272 1,2370 0 0 B                Titik kerja 2 (±0,2 radian) : 2 2 ( ) ( ) ( ) x t A x t B u t    2 0,2317 0 0 1 0
0 0 0 1 ; 0 0 0,0001
0 14,6874 0 0,0079 A                  2 0,8264 1,2111 0 0 B               
2. Mendefinisikan  indeks  performansi  sesuai  dengan Persamaan (21), sehingga diperoleh kombinasi  matrik Q dan R yang  sesuai  dengan  sinyal  kontrol  yang diinginkan. Kombinasi Q dan R untuk sinyal kontrol:
1 2 5000 0 0 0 0 100 0 0 0 0 50 0 0 0 0 100 Q Q    
              1 2 1 ; 0,3 R R  
3. Memperoleh  matriks P dengan  menggunakan  aljabar Riccati. Berdasarkan aturan kontroler terdapat 4 aturan maka akan diperoleh 4 buah matriks P yang mewakili masing-masing aturan.
3 11 0.9849 -1.2507 0.4350 -0.3165 -1.2507 3.1091 -0.9147 0.7305 0.4350 -0.9147 0.3009  -0.2264 -0.3165 0.7305 -0.2264 0.1833 10
; x P        
     4 12 0.1770 -0.3439 0.1067 -0.0894 -0.3439 2.2714 -0.5192 0.5853 0.1067 -0.5192 0.1537 -0.1348 -0.0894 0.5853 -0.1348 0.1522 10 ; x P
               3 21
0.9997 -1.3240 0.4497 -0.3473 -1.3240 3.3619 -0.9756 0.8246 0.4497 -0.9756 0.3141 -0.2508 -0.3473 0.8246 -0.2508 0.2146 10
; x P
 
             4 22
0.1787 -0.3625 0.1097 -0.0974 -0.3625 2.4402 -0.5503 0.6505 0.1097 -0.5503 0.1590 -0.1476 -0.0974 0.6505 -0.1476 0.1749
10 ; x P
 
            
4. Memperoleh state  feedback  gain dari  hasil  matriks P dengan  menggunakan  persamaan  (23), sehingga diperoleh 4 state feedback gain:
1 1 [129.09 347.01 94.812 92.182] K    1 2 [70.710 210.71 53.994 55.752] K    2 1 [129.09 359.47 96.679 98.437] K    2 2 [70.710 218.19 55.075 59.547] K   

## IV. HASIL SIMULASI DAN IMPLEMENTASI
Simulasi dilakukan dengan menggunakan toolbox Simulink pada  MATLAB.  Sedangkan  pada  implementasi,  mekanisme pemberian  kondisi  awal  dilakukan  dengan  menggunakan tangan (menaikan pendulum secara  manual) dan dilepas pada sudut tertentu. Tahap implementasi akan diterapkan pada nyata,  “ Digital  Pendulum  Mechanical  Unit  33 Feedback Instruments Ltd.

## A. Simulasi
Simulasi dilakukan dengan memberikan kondisi awal sudut pendulum  yang  bervariasi  yaitu  0,2  rad,  0,3  rad  dan  0,5  rad. Respon  posisi  sudut  pendulum,  posisi  kereta kontrol untuk  tiga  kondisi  awal  berbeda  dapat  dilihat  pada Gambar 5
Gambar 5. Respons  Simulasi  Posisi  Kereta,  Posisi  Sudut  Pendulum,  dan Sinyal Kontrol dengan Kondisi Awal Sudut Pendulum
Respon  posisi  kereta  menunjukan  bahwa  posisi  kereta saat  sudut  awal  0,3  rad  dan  0,5  rad  memiliki  nilai undershoot yang  lebih  besar  dibandingkan kereta  dengan kondisi  awal  sudut  pendulum  0,2  rad  yaitu sekitar  0,3  m  pada  saat  0,355  detik. Ketiga  respon  tersebut
JURNAL TEKNIK ITS Vol. 4, No. 1, (2015) ISSN: 2337-3539 (2301-9271 Print)
[129.09 347.01 94.812 92.182]    [70.710 210.71 53.994 55.752]    [129.09 359.47 96.679 98.437]    [70.710 218.19 55.075 59.547]   

## IMPLEMENTASI
Simulasi dilakukan dengan menggunakan toolbox Simulink pada  MATLAB.  Sedangkan  pada  implementasi,  mekanisme pemberian  kondisi  awal  dilakukan  dengan  menggunakan tangan (menaikan pendulum secara  manual) dan dilepas pada udut tertentu. Tahap implementasi akan diterapkan pada plant Digital  Pendulum  Mechanical  Unit  33-200 ”  dari
dilakukan dengan memberikan kondisi awal sudut pendulum  yang  bervariasi  yaitu  0,2  rad,  0,3  rad  dan  0,5  rad. posisi  kereta dan  sinyal untuk  tiga  kondisi  awal  berbeda  dapat  dilihat  pada
Posisi  Kereta,  Posisi  Sudut  Pendulum,  dan
Respon  posisi  kereta  menunjukan  bahwa  posisi  kereta saat  sudut  awal  0,3  rad  dan  0,5  rad  memiliki  nilai maximum yang  lebih  besar  dibandingkan respon posisi kondisi  awal  sudut  pendulum  0,2  rad  yaitu Ketiga  respon  tersebut
menunjukan bahwa pada waktu sekitar 1, kembali  ke  titik  tengah  rel.  Hasil  respon  sinyal  kontrol sudut awal 0,2 rad menunjukan bahwa dan maximum berturut-turut adalah - sudut  awal  0,3 rad  dan  0,5  rad  memiliki minimum dan maximum berturut-turut Berdasarkan  hasil  respon  simulasi  posisi  sudut  pendulum, posisi  kereta  dan  sinyal  kontrol  dengan  kondisi  awal  sudut pendulum  yang  berbeda  dapat  disimpulkan  bahwa  kontroler yang dirancang mampu  menstabilkan pendulum pada  sudut 0 rad walaupun dengan kondisi awal yang berbeda.
Untuk membuktikan  bahwa  sistem  akan  tetap  stabil  pada kondisi apapun, maka dilakukan simulasi dengan menggunakan gangguan. Hasil respon posisi sudut pendulum, posisi kereta dan  sinyal  kontrol  dapat  dilihat pada  Gambar Gangguan w ( t )  yang  diberikan  dituliskan matematika sebagai berikut:
0, 5 ,
( ) 0, 5 ,
0 , N w t N N        5 10 15 20 . t t etc    
Gambar 6. Respons  Simulasi  Posisi  Kereta,  Posisi  Sudut  Pendulum,  dan Sinyal Kontrol dengan Pemberian Gangguan
Ketika  sistem  diberi  gangguan  sebesar  0,5  N  pada detik  ke-5,  posisi  batang  pendulum  bergeser  0,009  rad  dan
ukan bahwa pada waktu sekitar 1,78 detik, kereta dapat kembali  ke  titik  tengah  rel.  Hasil  respon  sinyal  kontrol  pada menunjukan bahwa sinyal kontrol minimum -72,83 N dan 8,3 N. Untuk dan  0,5  rad  memiliki  sinyal  kontrol turut sekitar -125 N dan 7 N. simulasi  posisi  sudut  pendulum, posisi  kereta  dan  sinyal  kontrol  dengan  kondisi  awal  sudut dapat  disimpulkan  bahwa  kontroler yang dirancang mampu  menstabilkan pendulum pada  sudut 0 walaupun dengan kondisi awal yang berbeda.
membuktikan  bahwa  sistem  akan  tetap  stabil  pada kondisi apapun, maka dilakukan simulasi dengan Hasil respon posisi sudut pendulum, posisi kereta dan  sinyal  kontrol  dapat  dilihat pada  Gambar  6. )  yang  diberikan  dituliskan dalam  bentuk
5 10 15
20
Posisi  Kereta,  Posisi  Sudut  Pendulum,  dan
Ketika  sistem  diberi  gangguan  sebesar  0,5  N  pada 5,  posisi  batang  pendulum  bergeser  0,009  rad  dan
pada  detik  ke-7  posisi  batang  pendulum  kembali  ke  posisi sudut 0 rad. Pada saat gangguan dilepas di detik  ke batang  pendulum  bergeser  -0,008  rad,  dan  pada  detik  ke posisi  batang  pendulum  kembali  ke sudut 0  rad. hasil  respon  pada  Gambar  6 dapat  dilihat  pada  saat  diberi gangguan  sebesar  0,5  N  posisi kereta  dan  posisi  pendulum bergeser sangat kecil sekali tetapi akan kembali pada rad.  Hal  ini  menunjukkan  bahwa  sistem  kontrol  yang dirancang  mampu  menjaga  kestabilan  sistem  saat  diberi gangguan sebesar 0,5 N. Sinyal kontrol akan bergeser sebesar -0,66  N  pada  saat  sistem  diberi  gangguan  sebesar  0,5  N  dan saat  sistem  diberi  gangguan  sebesar  -0,5  N,  sinyal  kontrol bergeser sebesar 0,688 N. Dapat disimpulkan bahwa pada saat sistem  diberi  gangguan,  sinyal  kontrol  merespon  dengan memberikan gaya yang berlawanan untuk melawan gangguan sehingga  sistem  dapat  tetap  stabil  terhadap  gangg diberikan.

## B. Implementasi
Pada  implementasi  dilakukan  pengujian  dengan  kondisi awal  sudut  pendulum  0,2  rad  dan  0,3  rad, yang lain memiliki kondisi awal 0. Hasil implementasi dengan pemberian  kondisi  awal dan  gangguan  seperti  pada  simulasi dapat dilihat pada Gambar 7.
Gambar 7. Respons Implementasi Posisi Kereta, Posisi Sudut Pendulum, dan Sinyal Kontrol dengan Kondisi Awal Sudut Pendulum
JURNAL TEKNIK ITS Vol. 4, No. 1, (2015) ISSN: 2337-3539 (2301-9271 Print)
7  posisi  batang  pendulum  kembali  ke  posisi sudut 0 rad. Pada saat gangguan dilepas di detik  ke-10 posisi 8  rad,  dan  pada  detik  ke-12 posisi  batang  pendulum  kembali  ke sudut 0  rad. Berdasarkan dapat  dilihat  pada  saat  diberi dan  posisi  pendulum bergeser sangat kecil sekali tetapi akan kembali pada posisi 0 rad.  Hal  ini  menunjukkan  bahwa  sistem  kontrol  yang dirancang  mampu  menjaga  kestabilan  sistem  saat  diberi Sinyal kontrol akan bergeser sebesar 0,66  N  pada  saat  sistem  diberi  gangguan  sebesar  0,5  N  dan 0,5  N,  sinyal  kontrol bergeser sebesar 0,688 N. Dapat disimpulkan bahwa pada saat sistem  diberi  gangguan,  sinyal  kontrol  merespon  dengan memberikan gaya yang berlawanan untuk melawan gangguan sehingga  sistem  dapat  tetap  stabil  terhadap  gangguan  yang
pengujian  dengan  kondisi 3  rad,  sedangkan state Hasil implementasi dengan dan  gangguan  seperti  pada  simulasi
Posisi Kereta, Posisi Sudut Pendulum, dan
Respons  posisi  sudut  pendulum  dalam  satuan  radian ditunjukkan seperti pada Gambar 7. Untuk sudut awal 0,3 rad respon  akan  lebih  cepat  menuju  kondisi dibandingkan dengan sudut awal 0,2 rad. Hal ini dikarenakan angle encoder akan lebih cepat men besar. Pada sudut awal 0,3 rad, saat batang pendulum dinaikan dan  posisi batang pendulum masuk ke sekitar 0,3 maka sinyal kontrol akan langsung mengirimkan sinyal untuk menstabilkan  pendulum  ke  posisi  0  rad.  Sehingga  pada  saat sudut  awal  0,3  rad,  maka  sinyal  kontrol  akan  lebih  cepat merespon. Hal ini pula yang menyebabkan sinyal kontrol pada saat  kondisi  awal  0,3  rad  akan  lebih  besar  dibandingkan dengan sinyal kontrol pada saat kondisi awal 0.2 rad.
Dari  Gambar  7 dapat  disimpulk yang dirancang mampu  menstabilkan pendulum pada  sudut 0 rad  dan  menjaga  kereta  di  titik  tengah  rel  pada  implementasi nyata pada saat diberikan 2 kondisi awal sudut pendulum yang berbeda.  Hasil  yang  didapat  pada  implementasi  hampir menyerupai  hasil  yang  didapat  pada  simulasi  saat  sudut pendulum berada pada sudut 0 rad.

## V. KESIMPULAN
Kontrol fuzzy T-S  dengan  menggunakan  konsep  PDC modifikasi mampu  menstabilkan  pendulum  pada  posisi terbalik dan mempertahankan kereta pada titik tengah rel mampu    mempertahankan  posisi  sudut  pendulum  dan  posisi kereta  sesuai  yang  diinginkan  pada  saat  sistem  diberi gangguan.  Pada  saat  implementasi,  pemberian  kondisi  sudut awal  pada  posisi  sudut  pendulum  mempengaruhi  pergerakan pada  kereta.  Linesarisasi  dilakukan pada  titik  kerja  0 rad  dan ±0,2  rad,  saat  sudut  pendulum  diberikan  kondisi  awal  yang berbeda lebih dari 0,35 rad kereta tidak mampu menstabilkan posisi  pendulum  akibatnya  sinyal  kontrol  yang  diberikan terlalu  besar  sehingga  pergerakan  kereta  melebihi  b maksimum  yaitu  0,4  meter.  Saat  implementasi  pada  waktu sistem diberi gangguan, kontroler tetap mampu mempertahankan  posisi  sudut  pendulum  0  rad  dan kereta pada titik tengah rel.

## DAFTAR PUSTAKA
[1] H.O. Wang, K. Tanaka, M. Griffin, “Parallel Distributed Compensation on  Nonlinear  System  by  Takagi-Sugeno FUZZ-IEEE, pp. 531-538,1995 [2] Pasino,  K.  M.  dan  Yurkovich,  S.,  “ Fuzzy Longman, California, 1998.
[3] Kamran  Vafaee,  and  Behdad  Geranmehr,  “Controlling  Inverted Pendulum  Using  Performance-Oriented  PDC  Method.” Automation  and  Control ,  vol.  2,  no.  2  (2014):  39 10.12691/automation-2-2-1
[4] M.  Seidi,  A.H.D. Markazi,  “Performance compensation”, J. Franklin Inst . (2010).
[5] “ Control in a MATLAB Environment ”,Feedback Instruments Ltd.,
[6] M. Seidi, A.H.D. Markazi, “Performance
Compensation”, J. Franklin Inst . (2010).
Respons  posisi  sudut  pendulum  dalam  satuan  radian . Untuk sudut awal 0,3 rad respon  akan  lebih  cepat  menuju  kondisi steady  state dibandingkan dengan sudut awal 0,2 rad. Hal ini dikarenakan akan lebih cepat mendeteksi derajat yang lebih besar. Pada sudut awal 0,3 rad, saat batang pendulum dinaikan dan  posisi batang pendulum masuk ke sekitar 0,3 maka sinyal kontrol akan langsung mengirimkan sinyal untuk menstabilkan  pendulum  ke  posisi  0  rad.  Sehingga  pada  saat udut  awal  0,3  rad,  maka  sinyal  kontrol  akan  lebih  cepat merespon. Hal ini pula yang menyebabkan sinyal kontrol pada saat  kondisi  awal  0,3  rad  akan  lebih  besar  dibandingkan dengan sinyal kontrol pada saat kondisi awal 0.2 rad.
dapat  disimpulkan  bahwa  kontroler yang dirancang mampu  menstabilkan pendulum pada  sudut 0 rad  dan  menjaga  kereta  di  titik  tengah  rel  pada  implementasi pada saat diberikan 2 kondisi awal sudut pendulum yang .  Hasil  yang  didapat  pada  implementasi  hampir upai  hasil  yang  didapat  pada  simulasi  saat  sudut

## SIMPULAN
dengan  menggunakan  konsep  PDC mampu  menstabilkan  pendulum  pada  posisi terbalik dan mempertahankan kereta pada titik tengah rel, serta mampu    mempertahankan  posisi  sudut  pendulum  dan  posisi kereta  sesuai  yang  diinginkan  pada  saat  sistem  diberi gangguan.  Pada  saat  implementasi,  pemberian  kondisi  sudut awal  pada  posisi  sudut  pendulum  mempengaruhi  pergerakan kan pada  titik  kerja  0 rad  dan ±0,2  rad,  saat  sudut  pendulum  diberikan  kondisi  awal  yang berbeda lebih dari 0,35 rad kereta tidak mampu menstabilkan posisi  pendulum  akibatnya  sinyal  kontrol  yang  diberikan terlalu  besar  sehingga  pergerakan  kereta  melebihi  batas maksimum  yaitu  0,4  meter.  Saat  implementasi  pada  waktu sistem diberi gangguan, kontroler tetap mampu mempertahankan  posisi  sudut  pendulum  0  rad  dan  posisi

## PUSTAKA
H.O. Wang, K. Tanaka, M. Griffin, “Parallel Distributed Compensation Sugeno Fuzzy Model,” Proceeding  of
Fuzzy Control ”,  Addison  Wesley
Kamran  Vafaee,  and  Behdad  Geranmehr,  “Controlling  Inverted Oriented  PDC  Method.” Journal  of ,  vol.  2,  no.  2  (2014):  39-44.  doi:
Performance-oriented  parallel  distributed . (2010).
Feedback Instruments Ltd., 2004.
Performance-oriented Parallel Distributed . (2010).