Abstrak — Sistem Keuangan mempunyai peran penting dalam ekonomi  dimana  stabilitas  sistem  keuangan  mempengaruhi stabilitas  ekonomi.  Ketidakstabilan  sistem  keuangan  dapat mengakibatkan  timbulnya  masalah  yang  sangat  berdampak pada kegiatan ekonomi, seperti krisis keuangan. Penelitian ini menganalisis  perilaku  dinamis  model  matematika  sistem keuangan. Oleh karena itu, diperlukan adanya kajian terhadap dinamika  sistem  keuangan  dengan  menggunakan  model matematika untuk mengetahui sistem keuangan yang berkaitan dengan kestabilan sistem. Analisis dinamika model matematika sistem  keuangan  pada  penelitian  ini  meliputi  mencari  titik tetap,  menentukan  kestabilitan  titik  tetap  menggunakan kriteria Routh-Hurwitz, dan analisis bifurkasi Hopf. Bifurkasi Hopf  terjadi  pada  titik  tetap 𝐄 𝟎 .  Eksistensi  bifurkasi  Hopf bergantung pada biaya per investasi di pasar komersial sebagai parameter  bifurkasi.  Hasil  analisis  menunjukkan  adanya bifurkasi  Hopf  yang  mengelilingi  titik  tetap  positif.  Untuk mendukung  hasil  analisis  dilakukan  simulasi  numerik  dengan menggunakan Runge-Kutta orde empat.
Kata  Kunci—Bifurkasi  Hopf,  Metode  Runge-Kutta,  Sistem Keuangan, Stabilitas.

## I. PENDAHULUAN
ISTEM keuangan merupakan satu kesatuan jaringan yang menggambarkan  interaksi  lembaga-lembaga  keuangan dan  pasar.  Interaksi  yang  terjadi  dalam  sistem  keuangan sangat  kompleks,  berkaitan  dengan  mobilitas  dana,  baik dalam  kegiatan  investasi,  penyediaan  keuangan,  maupun pembiayaan  kegiatan  komersial.  Lembaga  keuangan berperan penting terutama sebagai penengah antara lembaga- lembaga yang menyediakan dana dan lembaga-lembaga yang membutuhkan dana, sedangkan pasar berperan penting dalam memfasilitasi pengelolaan dana dan transformasi risiko[1].
Kestabilan  sistem  keuangan  berdampak  besar  terhadap jalannya kegiatan ekonomi. Sistem keuangan dikatakan stabil ketika mekanisme ekonomi dalam penetapan harga instrumen keuangan,  alokasi  dana,  dan  pengelolaan  dana  berfungsi secara  baik  dan  mendukung  kegiatan  ekonomi.  Mekanisme ekonomi dalam penetapan harga instrumen keuangan, alokasi dana, dan pengelolaan dana tersebut sangat berkaitan dengan fenomena-fenomena  perubahan  suku  bunga,  perubahan tingkat  permintaan  investasi,  dan  perubahan  indeks  harga instrumen  keuangan.  Ketiga  fenomena  tersebut  saling berhubungan satu sama lain dan tidak terlepas dari pengaruh total  tabungan  nasional,  biaya  investasi,  dan  elastisitas permintaan.  Jika  terdapat  ketidaksesuaian  antara  faktor- faktor  yang  saling  berpengaruh  tersebut  di  dalam  sistem keuangan,  maka  permasalahan  yang  ditimbulkan  sangat kompleks dan dapat berujung pada krisis keuangan[1].
Metode  pengendalian  yang  efektif  dan  cepat  sangat penting  bagi  pemerintah  ketika  beberapa  kasus  yang  rumit
muncul.  Model  sistem  keuangan  tiga  dimensi  yang menggambarkan  variasi  waktu  penyesuaian  negara  telah dipublikasikan  antara  lain  mencakup  tingkat  suku  bunga, indeks  harga,  dan  permintaan  investasi.  Kemudian,  sistem keuangan  tiga  dimensi  yang  rumit  serta  risiko  dari  analisis sistem  dinamis  yang  dibangun  untuk  mengatur  pasar keuangan    telah  terbukti  dapat  dikendalikan  secara  efektif [2][3]. Demikian pula pada [4]dengan menggunakan metode delayed  feedback  control (DFC)  dan  membuktikan  bahwa sistem keuangan yang rumit dapat distabilkan pada berbagai orbit periodik.
Pada  studi  ini,  penulis  menganalisis  kestabilan  dengan menggunakan  Kriteria  Routh-Hurwitz  dan  Bifurkasi  Hopf pada  model  matematika  sistem  keuangan  dengan  empat variable.  Serta  memberikan  penyelesaian  numerik  dengan menggunakan  metode  numerik  Runge-Kutta  yang  disajikan dalam bentuk simulasi sehingga hasil simulasi merepresentasikan hasil analisis dari model tersebut.

## II. METODE PENELITIAN

## A. Studi Literatur
Tahap ini  merupakan tahap  untuk  melakukan identifikasi permasalahan,  yaitu  mencari  referensi  yang  menunjang penelitian.Referensi  bisa  berupa  tugas  akhir,  jurnal,  buku, maupun artikel terkait.

## B. Tahap Mengkaji Model Matematika Sistem Keuangan
Pada  tahap  ini,  dilakukan  kajian  terhadap  model  sistem keuangan agar representasi dinamika sistem keuangan dalam kehidupan nyata dapat dipahami  melalui  model  matematika sistem keuangan .

## C. Tahap Mencari Titik Tetap dan Translasi Titik Tetap
Pada  tahap  ini,  dicari  titik  tetap  dari  model  matematika sistem  keuangan,  yaitu  titik  yang  diperoleh  ketika  sistem dalam keadaan stasioner atau ketika tidak terjadi perubahan terhadap waktu. Dilakukan translasi titik tetap sistem ke titik asal  untuk  mempermudah  analisis  kestabilan  dan  eksistensi bifurkasi Hopf pada model sistem keuangan.

## D. Tahap Linearisasi Sistem Nonlinear
Pada tahap ini, dilakukan pelinearan terhadap sistem model sistem keuangan karena model sistem keuangan adalah model sistem dinamik nonlinear.

## E. Tahap Kriteria Kestabilan Routh-Hurwitz
Pada tahap ini, diselidiki kestabilan dari titik tetap  dengan menggunakan kriteria Routh-Hurwitz.

## Analisis Bifurkasi Hopf Pada Sistem Keuangan dengan Kontrol Input
Anggita Dwi Saputri, Hariyanto, dan Mohammad Setijo Winarko Departemen Matematika, Fakultas MKSD, Institut Teknologi Sepuluh Nopember (ITS)
e-mail : hariyanto@matematika.its.ac.id
S

## F. Tahap Menyelediki Eksistensi Bifurkasi Hopf
Pada  tahap  ini,  berdasarkan  titik  tetap  yang  dicari  pada tahap  sebelumnya,  selanjutnya  pada  tahap  ini  dilakukan analisis mengenai eksistensi bifurkasi Hopf.

## G. Tahap Simulasi Numerik
Pada  tahap  ini,  dilakukan  analisis  hubungan  antara bilangan reproduksi dasar dan stabilitas titik kesetimbangan dengan metode numerik Runge Kutta orde 4, menggunakan software MATLAB2016b.

## H. Kesimpulan dan Saran
Pada tahap terakhir ini, dilakukan penarikan simpulan dari hasil  pembahasan  sebelumnya.Selanjutnya,  diberikan  saran untuk perbaikan pada penelitian berikutnya.

## III. ANALISIS DAN PEMBAHASAN

## A. Model Sistem Keuangan
Model  umum  sistem  keuangan  secara  sederhana  dapat ditulis  dengan  empat  variabel,  yaitu  suku  bunga 𝑥 ,  tingkat permintaan investasi 𝑦 , indeks  harga  instrumen  keuangan 𝑧 dan 𝑢 control  input dan  intervensi  ekonomi  untuk menyeimbangkan lingkungan ekonomi berikut ini :
{ 𝑥̇ = 𝑧 + (𝑦 − 𝑎)𝑥 𝑦̇ = 1 − 𝑏𝑦 − 𝑥 2
𝑧̇ = −𝑥 − 𝑐𝑧 + 𝑢 𝑢̇ =   −𝑑𝑥𝑦 − 𝑘𝑢 − 𝑚𝑧 (1)
dengan 𝑎 ≥ 0 adalah  total  tabungan  di  bank, 𝑏 ≥ 0 adalah biaya per investasi, 𝑐 ≥ 0 adalah elastisitas permintaan, d, k, dan m adalah amplitudo yang sesuai [5].
B. Titik Tetap Sistem dan Translasi Titik Tetap
Titik  tetap 𝐸(𝑥 0, 𝑦 0 , 𝑧 0 , 𝑢 0 ) adalah  titik  yang  diperoleh ketika  sistem  keuangan  berada  pada  keadaan  stasioner  [6]. Titik  tetap  dari  system  (1)  diperoleh  ketika  laju  perubahan suku bunga, laju perubahan tingkat permintaan investasi, laju perubahan indeks harga instrumen dan laju perubahan kontrol input sama dengan nol, yaitu
{ 𝑧 + (𝑦 − 𝑎)𝑥 = 0 1 − 𝑏𝑦 − 𝑥 2 = 0 −𝑥 − 𝑐𝑧 + 𝑢 = 0 −𝑑𝑥𝑦 − 𝑘𝑢 − 𝑚𝑧 = 0
(2)
untuk 𝑦 0 = 1 𝑏 diperoleh satu titik tetap 𝐸 0 (0, 1 𝑏 , 0,0) .
Untuk 𝑦 0 = 𝑘+𝑎𝑐𝑘+𝑎𝑚 𝑑−𝑐𝑘−𝑚 dengan  syarat 𝑑 − 𝑐𝑘 − 𝑚 ≠ 0 dan dapat  kita  misalkan Γ 1 = 𝑑 − 𝑐𝑘 − 𝑚 dan Γ 2 = 𝑘 + 𝑎𝑐𝑘 + 𝑎𝑚 dengan 0 < Γ 1 < 𝑏Γ 2 makadidapat titik tetap 𝐸 1,2 (±𝑥 0 , 𝑦 0 , ∓𝑧 0 , ∓𝑢 0 ) dimana
𝑥 0 = Γ 1 − 𝑏Γ 2 Γ 1 𝑦 0 = Γ 2 Γ 1 𝑧 0 = (𝑎𝑑 + 𝑘) Γ 1 − 𝑏Γ 2 Γ 1 3 2 𝑢 0 = (𝑑 + 𝑎𝑐𝑑 − 𝑚) Γ 1 − 𝑏Γ 2 Γ 1 3 2

## Translasi Titik Tetap
Sistem  (1)  ditranslasi  terlebih  dahulu  sehingga  titik  tetap
𝐸 0 (0, 1 𝑏 , 0,0) bergeser  menjadi 𝐸 0 ∗ (0,0,0,0) .  Setelah ditransformasi, sistem (1) menjadi :
{ 𝑋̇ = ( 1 𝑏 − 𝑎) 𝑋 + 𝑍 + 𝑋𝑌
𝑌̇ = −𝑏𝑌 − 𝑋 2 𝑍̇ = −𝑋 − 𝑐𝑍 + 𝑈 𝑈̇ = −𝑑𝑋 (𝑌 + 1 𝑏 ) − 𝑘𝑈 − 𝑚𝑍 (3)

## C. Linearisasi Sistem [6]
Sistem  (1)  merupakan  system  nonlinear.  Oleh  karena  itu system harus dilinearkan terlebih dahulu di sekitar titik tetap 𝐸 ∗ (𝑥 ∗ , 𝑦 ∗ , 𝑧 ∗ , 𝑢 ∗ ) .  Dimana  dapat  kita  ketahui 𝐸 ∗ adalah  kita misalkan  titik  tetap  dimana  didalamnya  ada 𝐸 0 dan 𝐸 1,2 . Sehingga diperoleh Jacobian sistem di sekitar titik tetap
𝐽 = [ (𝑦 ∗ − 𝑎) 𝑥 ∗ −2𝑥 ∗ −𝑏 1 0 0 0 −1 0 −𝑑𝑦 ∗ −𝑑𝑥 ∗ −𝑐 1 −𝑚 −𝑘 ]

## D. Kriteria Kestabilan Routh-Hurwitz
Diperoleh akar akar karakteristik pada persamaan dengan titik tetap (𝑥 ∗ , 𝑦 ∗ , 𝑧 ∗ , 𝑢 ∗ ) adalah 𝜆 4 + (𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑘 − 𝑦 ∗ )𝜆 3 + (1 + 𝑎𝑏 + 𝑎𝑐 + 𝑏𝑐 + 𝑎𝑘 + 𝑏𝑘 + 𝑐𝑘 + 𝑚 + 2𝑥 ∗ 2 − 𝑏𝑦 ∗ )𝜆 2 + (𝑏 + 𝑎𝑏𝑐 + 𝑘 + 𝑎𝑏𝑘 + 𝑎𝑐𝑘 + 𝑏𝑐𝑘 + 𝑎𝑚 + 𝑏𝑚 + 2𝑐𝑥 ∗ 2 − 𝑏𝑐𝑦 ∗ + 𝑑𝑦 ∗ − 𝑏𝑘𝑦 ∗ − 𝑐𝑘𝑦 ∗ − 𝑚𝑦 ∗ )𝜆 + 𝑏𝑘 + 𝑎𝑏𝑐𝑘 + 𝑎𝑏𝑚 − 2𝑑𝑥 ∗ 2 + 2𝑐𝑘𝑥 ∗ 2 + 2𝑚𝑥 ∗ 2 + 𝑏𝑑𝑦 ∗ − 𝑏𝑐𝑘𝑦 ∗ − 𝑏𝑚𝑦 ∗ = 0 (4) Menggunakan  kriteria  stabilitas  Routh-Hurwitz  dalam menganalisis  kestabilan  pada  titik  ini  seperti  yang  telah dituliskan  pada  [6].  maka  persamaan  karakteristik  sistem menjadi:
ℎ 0 𝑠 4 + ℎ 1 𝑠 3 + ℎ 2 𝑠 2 + ℎ 3 𝑠 + ℎ 4 = 0 (5) Dengan nilai ℎ 0 = 1, ℎ 1 = 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑘 − 𝑦 ∗ , ℎ 2 = 1 + 𝑎𝑏 + 𝑎𝑐 + 𝑏𝑐 + 𝑎𝑘 + 𝑏𝑘 + 𝑐𝑘 + 𝑚 + 2𝑥 ∗ 2 − 𝑏𝑦 ∗ , ℎ 3 = 𝑏 + 𝑎𝑏𝑐 + 𝑘 + 𝑎𝑏𝑘 + 𝑎𝑐𝑘 + 𝑏𝑐𝑘 + 𝑎𝑚 + 𝑏𝑚 + 2𝑐𝑥 ∗ 2 − 𝑏𝑐𝑦 ∗ + 𝑑𝑦 ∗ − 𝑏𝑘𝑦 ∗ − 𝑐𝑘𝑦 ∗ − 𝑚𝑦 ∗ , ℎ 4 = 𝑏𝑘 + 𝑎𝑏𝑐𝑘 + 𝑎𝑏𝑚 − 2𝑑𝑥 ∗ 2 + 2𝑐𝑘𝑥 ∗ 2 + 2𝑚𝑥 ∗ 2 + 𝑏𝑑𝑦 ∗ − 𝑏𝑐𝑘𝑦 ∗ − 𝑏𝑚𝑦 ∗
Berdasarkan [6] agar nilai-nilai karakteristik pada persamaan (5) bernilai negatif maka harus berlaku ℎ 4 > 0 dengan
{ ℎ 1 , ℎ 2 , ℎ 3 , ℎ 4 > 0 ℎ 1 ℎ 2 − ℎ 3 > 0 ℎ 1 ℎ 2 ℎ 3 − ℎ 3 2 − ℎ 1 2 ℎ 4 > 0 (6)
dengan mengambil nilai ℎ 1 , ℎ 2 , ℎ 3 , ℎ 4 > 0 , ℎ 1 ℎ 2 − ℎ 3 > 0 dan ℎ 1 ℎ 2 ℎ 3 − ℎ 3 2 − ℎ 1 2 ℎ 4 > 0 maka model sistem keuangan tersebut  pada  titik  tetap (𝑥 ∗ , 𝑦 ∗ , 𝑧 ∗ , 𝑢 ∗ ) akan  bersifat  stabil. Namun jika sebaliknya diambil kondisi bahwa ℎ 1 < 0 maka sistem akan berada pada kondisi tak stabil.

## E. Analisis Bifurkasi Hopf
Telah  dijelaskan  sebelumnya  bahwa  Persamaan  5  akan bersifat stabil jika berlaku ℎ 1 , ℎ 2 , ℎ 3 , ℎ 4 > 0 , ℎ 1 ℎ 2 − ℎ 3 > 0 , dan ℎ 1 ℎ 2 ℎ 3 − ℎ 3 2 − ℎ 1 2 ℎ 4 > 0 . Karena pada titik ini berlaku polinomial yaitu ℎ 0 𝑠 4 + ℎ 1 𝑠 3 + ℎ 2 𝑠 2 + ℎ 3 𝑠 + ℎ 4 = 0 (7)
Maka berdasarkan teorema 4 bifurkasi Hopf pada titik tetap tersebut  terjadi  jika ℎ 0 > 0, ℎ 1 > 0 , ℎ 1 ℎ 2 − ℎ 3 > 0 dan ℎ 1 ℎ 2 ℎ 3 − ℎ 3 2 − ℎ 1 2 ℎ 4 = 0 berlaku sedemikian hingga 𝑑 𝑑𝑏 (ℎ 1 ℎ 2 ℎ 3 − ℎ 3 2 − ℎ 1 2 ℎ 4 ) ≠ 0
Sesuai  pada  subbab  sebelumnya  yaitu  tentang  kriteria kestabilan Routh-Hurwitz dalam hal ini akan diambil ℎ 1 ≥ 0 , ℎ 2 ≥ 0 ,  maka jelas bahwa ℎ 1 ℎ 2 ℎ 3 = ℎ 3 2 + ℎ 1 2 ℎ 4 agar syarat awal bifurkasi Hopf terjadi dapat dipenuhi dimana ℎ 1 ℎ 2 ℎ 3 ≠ ℎ 3 2 + ℎ 1 2 ℎ 4 untuk ℎ 1 < 0 dan ℎ 2 < 0 .
Untuk  mendapatkan  turunan  dari  persamaan  diatas    maka dapat diperoleh nilai nilai sebagai berikut :
𝑑 𝑑𝑏 ℎ 1 = 1 (8) 𝑑 𝑑𝑏 ℎ 2 = 𝑎 + 𝑐 + 𝑘 − 𝑦 ∗ (9) 𝑑 𝑑𝑏 ℎ 3 = 1 + 𝑎𝑐 + 𝑎𝑘 + 𝑐𝑘 + 𝑚 + (−𝑐𝑦 ∗ ) − 𝑘𝑦 ∗ (10) 𝑑 𝑑𝑏 ℎ 4 = 𝑘 + 𝑎𝑐𝑘 + 𝑎𝑚 + 𝑐𝑘 + 𝑚 + 𝑑𝑦 ∗ − 𝑐𝑘𝑦 ∗ − 𝑚𝑦 ∗ (11)
Dalam hal ini dapat berlaku 𝑑 𝑑𝑏 (ℎ 1 ℎ 2 ℎ 3 − ℎ 3 2 − ℎ 1 2 ℎ 4 ) = (ℎ 2 ℎ 3 − 2ℎ 1 ℎ 4 ) 𝑑 𝑑𝑏 ℎ 1 + ℎ 1 ℎ 3 𝑑 𝑑𝑏 ℎ 2 + (ℎ 1 ℎ 2 − 2ℎ 3 ) 𝑑 𝑑𝑏 ℎ 3 − ℎ 1 2 𝑑 𝑑𝑏 ℎ 4 (12) substitusikan persamaan (8) sampai (11) kedalam persamaan (12) sehingga dapat diperoleh 𝑑 𝑑𝑏 (ℎ 1 ℎ 2 ℎ 3 − ℎ 3 2 − ℎ 1 2 ℎ 4 ) = (ℎ 2 ℎ 3 − 2ℎ 1 ℎ 4 ) + ℎ 1 ℎ 3 (𝑎 +
𝑐 + 𝑘 − 𝑦 ∗ ) + (ℎ 1 ℎ 2 − 2ℎ 3 )(1 + 𝑎𝑐 + 𝑎𝑘 + 𝑐𝑘 + 𝑚 + (−𝑐𝑦 ∗ ) − 𝑘𝑦 ∗ ) − ℎ 1 2 (𝑘 + 𝑎𝑐𝑘 + 𝑎𝑚 + 𝑐𝑘 + 𝑚 + 𝑑𝑦 ∗ − 𝑐𝑘𝑦 ∗ − 𝑚𝑦 ∗ ) (13) Berdasarkan persamaan (13) maka jelas bahwa 𝑑 𝑑𝑏 (ℎ 1 ℎ 2 ℎ 3 − ℎ 3 2 − ℎ 1 2 ℎ 4 ) = (ℎ 2 ℎ 3 − 2ℎ 1 ℎ 4 ) 𝑑 𝑑𝑏 ℎ 1 + ℎ 1 ℎ 3 𝑑 𝑑𝑏 ℎ 2 + (ℎ 1 ℎ 2 − 2ℎ 3 ) 𝑑 𝑑𝑏 ℎ 3 − ℎ 1 2 𝑑 𝑑𝑏 ℎ 4 ≠ 0 Jadi dapat disimpulkan bahwa pada titik tetap 𝐸 ∗ (𝑥 ∗ , 𝑦 ∗ , 𝑧 ∗ , 𝑢 ∗ ) terdapat parameter 𝑏 dimana dengan sedikit pergeseran  nilai  pada 𝑏 dapat  menyebabkan  perubahan kestabilan pada sistem. Nilai kritis dari parameter b dimulai ketika  kondisi ℎ 1 ℎ 2 ℎ 3 − ℎ 3 2 − ℎ 1 2 ℎ 4 = 0 .  Sehingga  benar bahwa  pada  titik  tetap  ini  memiliki  kemungkinan  akan adanya bifurkasi Hopf.
Catatan : demi penyerdehanaan sistem perilaku dinamis pada sistem (3.1) diberikan nilai-nilai parameter tetap seperti pada [11] dengan 𝑎 = 0.9, 𝑐 = 1.5 , 𝑑 = 0.2 , dan 𝑘 = 0.05 . 1. Ketika 𝑚 = 0.005 ,  persamaan  (1)  mempunyai  tiga  titik setimbang untuk 𝐸 0 dan 𝐸 1,2 : a. 𝐸 0 (0, 1 𝑏 , 0,0)
𝐸 0 stabil  asimtotik  saat 𝑏 > 0.7068 karena  syarat- syarat  terpenuhi  seperti  yang  sudah  dijelaskan  pada kriteria kestabilan Routh-Hurwitz.
b. 𝐸 1,2 (±𝑥 0 , 𝑦 0 , ∓𝑧 0 , ∓𝑢 0 ) 𝐸 1,2 tidak stabil untuk 𝑏 ∈ ℝ + . Pada syarat stabil adalah ketika ℎ 1 ℎ 2 − ℎ 3 > 0 namun dapat  kita  hitung  dengan  memasukkan  nilai-nilai parameter syarat tidak terpenuhi karena ℎ 1 ℎ 2 − ℎ 3 < 0 . 2. Ketika 𝑏 = 0.2 ,  persamaan  (1)  mempunyai  tiga  titik setimbang untuk 𝐸 0 dan 𝐸 1,2 :
a. 𝐸 0 (0, 1 𝑏 , 0,0) sistem tidak stabil untuk 𝑚 ∈ ℝ + karena ℎ 1 < 0 .
b. 𝐸 1,2 (±𝑥 0 , 𝑦 0 , ∓𝑧 0 , ∓𝑢 0 ) 𝐸 1,2 stabil asimtotik saat 𝑚 > 0.5139 karena syarat- syarat  terpenuhi  seperti  yang  sudah  dijelaskan  pada kriteria kestabilan Routh-Hurwitz.
Dengan  ini  dapat  diketahui  bahwa  sistem  akan  bersifat stabil  asimtotik  pada  saat  titik  tetap 𝐸 0 dengan  syarat  nilai dari  parameter 𝑏 > 0.7068 dan 𝑚 = 0.005 .  Saat  titik  tetap 𝐸 1,2 akan  bersifat  stabil  asimtotik  dengan  syarat  nilai parameter  dari 𝑚 > 0.5139 dan 𝑏 = 0.2 .  Dengan memasukkan  nilai  parameter  seperti  pada  [7]  .  misalkan = 0.9, 𝑐 = 1.5 , 𝑑 = 0.2 , 𝑘 = 0.05 , 𝑏 =  𝑏 0 = 0.7068 dan 𝑚 = 0.005 menggunakan  perhitungan  numerik  diperoleh  nilai eigen
1. Pada titik tetap 𝐸 0 (0, 1 𝑏 , 0,0) = 𝐸 0 (0, 1 0.7068 , 0,0)
𝜆 1 = −0.7068 𝜆 2,3 = ±0.5309𝑖 𝜆 4 = −1.0351 2. Pada titik tetap 𝐸 1,2 (±𝑥 0 , 𝑦 0 , ∓𝑧 0 , ∓𝑢 0 ) 𝜆 1 = 0.0557 𝜆 2,3 = −1.3722 ± 2.5857𝑖 𝜆 4 = −1.4849
Dari  perhitungan  numerik  diatas,  diketahui  bahwa bifurkasi Hopf terjadi pada titik tetap 𝐸 0 karena terdapat nilai eigen  yang  mempunyai  sepasang  bilangan  imajiner  dengan nilai  eigen  lainnya  bernilai  negatif.  Selanjutnya  akan diselidiki  eksistensi  bifurkasi  Hopf  menggunakan  simulasi numerik.
Gambar 1. Trayektori orbit periodik 2D (𝑥, 𝑦)
Gambar 2. Trayektori orbit periodik 2D (𝑥, 𝑧) .
Berdasarkan hasil simulasi pada Gambar 1 sampai dengan Gambar 7, terlihat adanya orbit periodik dengan arah menuju ke  limit  cycle  pada  nilai 𝑏 = 0.7068 ,  sehingga  dapat disimpulkan  bifurkasi  Hopf  adalah  bifurkasi  Hopf Superkritikal.
Gambar 3. Trayektori orbit periodik 2D (𝑥, 𝑢)
Gambar 4. Trayektori orbit periodik 2D (𝑦, 𝑧)
Gambar 5. Trayektori orbit periodik 2D (𝑦, 𝑢)
Gambar 6. Trayektori orbit periodik 2D (𝑧, 𝑢)

## F. Simulasi Numerik
Dibahas bagaimana cara untuk memperoleh solusi numerik dari model sistem keuangan dan simulasi numeriknya, serta interpretasi  dari  hasil  analisis  yang  sudah  dilakukan. Penyelesaian  numerik  dicari  dengan  menggunakan  metode numerik  Runge-Kutta  orde-4.  Metode  ini  mempunyai  suatu galat pemotongan ℎ 4 , dengan ℎ merupakan langkah waktu. Perhatikan kembali sistem (1). Misalkan 𝑓 1 (𝑡, 𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑢) = 𝑥̇ = 𝑧 + (𝑦 − 𝑎)𝑥
𝑓 2 (𝑡, 𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑢) = 𝑦̇ = 1 − 𝑏𝑦 − 𝑥 2
𝑓 3 (𝑡, 𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑢) = 𝑧̇ = −𝑥 − 𝑐𝑧 + 𝑢 𝑓 4 (𝑡, 𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑢) = 𝑢̇ = −𝑑𝑥𝑦 − 𝑘𝑢 − 𝑚𝑧
(14)
dan misalkan nilai awal untuk (14) adalah 𝑥(𝑡 0 ) = 𝑥 0
𝑦(𝑡 0 ) = 𝑦 0 𝑧(𝑡 0 ) = 𝑧 0 𝑢(𝑡 0 ) = 𝑢 0 maka  diperoleh  integrasi  numerik  dengan  menggunakan metode numerik Runge-Kutta orde-4 sebagai berikut :
𝑥 𝑗+1 = 𝑥 𝑗 + 1 6 (𝑘 1,𝑥 + 2𝑘 2,𝑥 + 2𝑘 3,𝑥 + 𝑘 4,𝑥 ) 𝑦 𝑗+1 = 𝑦 𝑗 + 1 6 (𝑘 1,𝑦 + 2𝑘 2,𝑦 + 2𝑘 3,𝑦 + 𝑘 4,𝑦 ) 𝑧 𝑗+1 = 𝑧 𝑗 + 1 6 (𝑘 1,𝑧 + 2𝑘 2,𝑧 + 2𝑘 3,𝑧 + 𝑘 4,𝑧 ) 𝑢 𝑗+1 = 𝑢 𝑗 +
1 6 (𝑘 1,𝑢 + 2𝑘 2,𝑢 + 2𝑘 3,𝑢 + 𝑘 4,𝑢 )
Selanjutnya dengan program MATLAB diselidiki hubungan antara  biaya  per  investasi (𝑏) dengan  kestabilan  titik  tetap sehingga diperoleh
G. Analisis kestabilan titik tetap ketika biaya per investasi 𝑏 < 0.7068
Simulasi  menggunakan  parameter  seperti  pada  [6]. Misalkan  Misalkan 𝑎 = 0.9, 𝑐 = 1.5, 𝑑 = 0.2, 𝑘 = 0.05 dan 𝑚 = 0.005 agar  system  bersifat  stabil  maka  nilai 𝑏 < 0.7068 .  Ambil  nilai 𝑏 = 0.4 dengan  kondisi  awal  seperti pada [6] (𝑥 0 , 𝑦 0 , 𝑧 0 , 𝑢 0 ) = (0, 1, −0.5, 0) , diperoleh
Gambar 8 . Grafik Kestabilan (x,y,z,u) terhadap fungsi t(waktu) pada saat 𝑏 = 0.4
1) 𝐿𝑎𝑗𝑢 𝑃𝑒𝑟𝑢𝑏𝑎ℎ𝑎𝑛 𝑆𝑢𝑘𝑢 𝐵𝑢𝑛𝑔𝑎 (𝑥)
Berdasarkan Gambar 8, dapat diketahui bahwa penyelesaian untuk suku bunga dengan nilai awal sebesar 0 berosilasi seiring bertambahnya waktu jauh dari titik 0.
2) 𝐿𝑎𝑗𝑢 𝑃𝑒𝑟𝑢𝑏𝑎ℎ𝑎𝑛 𝑇𝑖𝑛𝑔𝑘𝑎𝑡 𝑃𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑡𝑎𝑎𝑛 𝐼𝑛𝑣𝑒𝑠𝑡𝑎𝑠𝑖 (𝑦)
Berdasarkan Gambar 8, dapat diketahui bahwa penyelesaian untuk tingkat permintaan investasi dengan nilai awal 1  berosilasi seiring bertambahnya waktu jauh dari titik 1.
3) 𝐿𝑎𝑗𝑢 𝑃𝑒𝑟𝑢𝑏𝑎ℎ𝑎𝑛 𝐼𝑛𝑑𝑒𝑘𝑠 𝐻𝑎𝑟𝑔𝑎 𝐼𝑛𝑠𝑡𝑟𝑢𝑚𝑒𝑛 𝐾𝑒𝑢𝑎𝑛𝑔𝑎𝑛 (𝑧)
Berdasarkan Gambar 8, dapat diketahui bahwa penyelesaian untuk indeks harga instumen keuangan dengan nilai  awal  sebesar −0.5 berosilasi  seiring  bertambahnya waktu jauh dari titik -0.5.
4) 𝐿𝑎𝑗𝑢 𝑃𝑒𝑟𝑢𝑏𝑎ℎ𝑎𝑛 𝐶𝑜𝑛𝑡𝑟𝑜𝑙 𝐼𝑛𝑝𝑢𝑡
Berdasarkan Gambar 8, dapat diketahui bahwa penyelesaian  untuk  control  input  dengan  nilai  awal  0 berosilasi seiring bertambahnya waktu jauh dari titik 0.
Intepretasi  dari  hasil  analisis  dan  hasil  simulasi  Pada Gambar 8 menunjukkan bahwa fenomena yang terjadi pada sistem keuangan real memenuhi kondisi dimana suku bunga akan naik turun tidak terkendali seiring bertambahya waktu. Hal tersebut berdampak pada naik turunnya harga instrumen keuangan  sehingga  indeks  harga  intrumen  juga  ikut  naik turun.  Tingkat  permintaan  investasi  naik  turun  karena  para pelaku  akan  mengikuti  kondisi  yang  ada  dan  control  input juga tidak terlaksana secara maksimal akibatnya pemerintah juga  kesulitan  untuk  mengontrol.  Akibatnya,  total  kegiatan produksi  tidak  mencukupi  untuk  total  konsumsi  di masyarakat. pada kondisi ini, sistem keuangan tidak stabil.
H. Analisis kestabilan titik tetap ketika biaya per investasi 𝑏 > 0.7068
Simulasi  menggunakan  parameter  seperti  pada  [7]. Misalkan  Misalkan 𝑎 = 0.9, 𝑐 = 1.5, 𝑑 = 0.2, 𝑘 = 0.05 dan 𝑚 = 0.005 agar  system  bersifat  stabil  maka  nilai 𝑏 > 0.7068 .  Ambil  nilai 𝑏 = 0.9 dengan  kondisi  awal  seperti pada [7] (𝑥 0 , 𝑦 0 , 𝑧 0 , 𝑢 0 ) = (0, 1, −0.5, 0) , diperoleh
Gambar 9 . Grafik Kestabilan (x,y,z,u) terhadap fungsi t(waktu) pada saat 𝑏 = 0.9
1) 𝐿𝑎𝑗𝑢 𝑃𝑒𝑟𝑢𝑏𝑎ℎ𝑎𝑛 𝑆𝑢𝑘𝑢 𝐵𝑢𝑛𝑔𝑎 (𝑥)
Berdasarkan Gambar 9, dapat diketahui bahwa penyelesaian untuk suku bunga dengan nilai awal sebesar 0 beriosilasi  bergerak  naik  kemudian  bergerak  didekat  titik  0 dan konstan di titik 0 seiring bertambahnya waktu.
2) 𝐿𝑎𝑗𝑢 𝑃𝑒𝑟𝑢𝑏𝑎ℎ𝑎𝑛 𝑇𝑖𝑛𝑔𝑘𝑎𝑡 𝑃𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑡𝑎𝑎𝑛 𝐼𝑛𝑣𝑒𝑠𝑡𝑎𝑠𝑖 (𝑦)
Berdasarkan Gambar 9, dapat diketahui bahwa penyelesaian untuk tingkat permintaan investasi dengan nilai awal 1 bergerak naik mendekati titik 1,11 kemudian konstan seiring bertambahnya waktu.
3) 𝐿𝑎𝑗𝑢 𝑃𝑒𝑟𝑢𝑏𝑎ℎ𝑎𝑛 𝐼𝑛𝑑𝑒𝑘𝑠 𝐻𝑎𝑟𝑔𝑎 𝐼𝑛𝑠𝑡𝑟𝑢𝑚𝑒𝑛 𝐾𝑒𝑢𝑎𝑛𝑔𝑎𝑛 (𝑧)
Berdasarkan Gambar 9, dapat diketahui bahwa penyelesaian untuk indeks harga instumen keuangan dengan nilai  awal  sebesar −0.5 bergerak  naik  dan  setelah  itu berosilasi  mendekati  titik  0  kemudian  konstan  di  titik  0 seiring bertambahnya waktu.
4) 𝐿𝑎𝑗𝑢 𝑃𝑒𝑟𝑢𝑏𝑎ℎ𝑎𝑛 𝐶𝑜𝑛𝑡𝑟𝑜𝑙 𝐼𝑛𝑝𝑢𝑡 (𝑢)
Berdasarkan Gambar 9, dapat diketahui bahwa penyelesaian  untuk  control  input  dengan  nilai  awal  0 bergerak  naik  turun  dan  berosilasi  mendekati  titik  0, kemudian konstan di 0 seiring bertambahnya waktu.
Interpretasi  dari  hasil  analisis  dan  hasil  simulasi menunjukkan  bahwa  ketika  fenomena  yang  terjadi  pada sistem  keuangan  memenuhi  kondisi  ini,  maka  sistem keuangan akan stabil dengan penambahan kontrol input yaitu dari pemerintah memberikan kebijakan yang mana kebijakan tersebut  berpengaruh  langsung  terhadap  tinggi  rendahnya indeks harga instrumen keuangan, dengan mengontrol biaya per  investasi  maka  suku  bunga  menjadi  turun  namun  akan naik kembali dan konstan kembali di angka yang seharusnya dengan  seiring  bertambahnya  waktu,  tingkat  permintaan investasi  dan  indeks  harga  instrumen  meningkat  dengan seiring  berjalannya  waktu  menjadi  konstan  di  angka  yang seharusnya.  Kondisi  ini  memberikan  gambaran  dimana sistem  keuangan  berjalan  dengan  baik  dan  perekonomian berjalan  lancar  karena  adanya  kebijakan  pemerintah  yang mana  mengontrol  biaya  per  investasi  agar  tinggi  rendahnya suku  bunga,  tingkat  permintaan  investasi  dan  juga  indeks harga  instrumen  keuangan  yang  sesuai  pada  kondisi  ini menyebabkan total kegiatan produksi tetap mencukupi untuk total konsumsi di masyarakat.

## IV. KESIMPULAN
Berdasarkan  keseluruhan  hasil  analisis  yang  telah dilakukan, dapat disimpulkan bahwa
1. Pada  model  sistem  keuangan  dengan  empat  variable diperoleh 3 titik tetap
 Ketika 𝑦 0 = 1 𝑏 maka diperoleh titik tetap
𝐸 0 (0, 1 𝑏 , 0,0)
 dan  ketika 𝑦 0 = −(𝑘+𝑎𝑐𝑘+𝑎𝑚) 𝑑−𝑐𝑘−𝑚 dengan  syarat 𝑑 − 𝑐𝑘 − 𝑚 ≠ 0 dan dapat kita misalkan Γ 1 = 𝑑 − 𝑐𝑘 − 𝑚 dan Γ 2 = −(𝑘 + 𝑎𝑐𝑘 + 𝑎𝑚) dengan 0 < Γ 1 < 𝑏Γ 2 maka didapat titik tetap 𝐸 1,2 (±𝑥 0 , 𝑦 0 , ∓𝑧 0 , ∓𝑢 0 ) dimana
𝑥 0 = Γ 1 − 𝑏Γ 2 Γ 1 𝑦 0 = Γ 2 Γ 1 𝑧 0 = (𝑎𝑑 + 𝑘) Γ 1 − 𝑏Γ 2
Γ 1 3 2 𝑢 0 = (𝑑 + 𝑎𝑐𝑑 − 𝑚) Γ 1 − 𝑏Γ 2
Γ 1 3 2  𝐸 ∗ adalah titik tetap yang didalamnya ada titik tetap 𝐸 0 dan 𝐸 1,2
2. Kestabilan pada titik tetap 𝐸 ∗ (𝑥 ∗ , 𝑦 ∗ , 𝑧 ∗ , 𝑢 ∗ ) berlaku saat ℎ 1 , ℎ 2 , ℎ 3 , ℎ 4 > 0 , ℎ 1 ℎ 2 − ℎ 3 > 0 dan ℎ 1 ℎ 2 ℎ 3 − ℎ 3 2 − ℎ 1 2 ℎ 4 > 0 .  Nilai-nilai  tersebut  diperoleh  menggunakan kriteria Routh-Hurwitz. Bifurkasi Hopf juga dapat terjadi pada titik tetap ini jika ℎ 0 > 0, ℎ 1 , ℎ 2 , ℎ 3 , ℎ 4 > 0 , ℎ 1 ℎ 2 − ℎ 3 > 0 dan ℎ 1 ℎ 2 ℎ 3 − ℎ 3 2 − ℎ 1 2 ℎ 4 = 0 berlaku sedemikian hingga
𝑑 𝑑𝑏 (ℎ 1 ℎ 2 ℎ 3 − ℎ 3 2 − ℎ 1 2 ℎ 4 ) ≠ 0
3. Bifurkasi Hopf terjadi pada titik tetap 𝐸 0 dimana ketika biaya  per  investasi 𝑏 = 𝑏 0 = 0.7068 sistem  masuk kedalam bifurkasi Hopf mengelilingi titik tetap positif. 4. Dengan metode Numerik Runge-Kutta orde-4 menggunakan
software
MATLAB, diperoleh
penyelesaian numerik dari sistem keuangan memberikan hasil  yang  sama  dengan  hasil  analisis  untuk  kestabilan titik tetap.

## DAFTAR PUSTAKA
[1] IMF, Compilation  Guide  on  Financial  Soundness  Indicators . Washington D.C, 2004.
[2] C. Y. Ma, J., “Study for The Global Complicated Character of A
Kind of Non-Linear Finance System.  I,” Appl. Math. Mech. Vol.
22 , vol. 11, pp. 1240–1251, 2001.
[3] L. X,-D, Zhang., X, -D, Liu., Y, Zheng., and C, “Chaotic Dynamic Behavior  Analysis  and  Control  For  A  Financial  Risk  System,” Chinese Physic B , vol. 22, no. 3, 2013.
[4] U. J, A, Holyst., K, “Chaos Control In Economical Model by Time- Delayed  Feddback  Method,” Phys.  A  Stat.  Mech.  Its  Appl. ,  vol. 287, no. 3–4, pp. 587–589, 2000.
[5] Subiono, “Sistem Linear dan Kontrol Optimal,” ITS, 2013.
[6] W.  Liu,  “Criterion  of  Hopf  Bifurcation  without  Using  Eigen Values,” 1994.
[7] A.  G,  Kai.,  W,  Zhang.,  Z,  C,  Wei.,  J,  F,  Wang.,  and  A,  “Hopf Bifurcation, Positively Invariant Set, and Phisical Realization of a New  Four-Dimensional  Hyperchaotic  Financial  System,” Math. Probl. Eng. , 2017.