Didaktis, Vol. 8, No. 3, Hal 1 -67, Oktober  2009,  ISSN 1412-5889

## A.LATAR  BELAKANG
S alah satu standar kompetensi lulusan mata pelajaran matematika adalah mewujudkan kemampuan ber- pikir logis, kritis, dan kreatif (Depdiknas, 2006). Berpikir logis, kritis, dan kreatif tidak akan terbentuk begitu saja. Untuk mencapai hal tersebut harus ada kerjasama dari berbagai  pihak.  Pihak-pihak  yang  memiliki  akses langsung terhadap terciptanya kemampuan berpikir lo- gis, kritis, dan kreatif adalah guru. Guru harus mampu menciptakan  suasana  pembelajaran  yang  mendorong siswa untuk selalu aktif, baik fisik maupun mental.
Sejak kurikulum 2004 yang dikenal dengan istilah Kurikulum  Berbasis  Kompetensi  (KBK)  disosialisa- sikan, yang ditindaklanjuti dengan berbagai pelatihan tentang inovasi pembelajaran, banyak guru yang ber- usaha mengubah langkah-langkah pembelajaran di kelas dari  pembelajaran  yang  berpusat  pada  guru  ( teacher center ) menjadi berpusat pada siswa ( student center ). Hal ini cukup menggembirakan bagi dunia pendidikan, karena dengan pembelajaran yang berpusat pada siswa, kemampuan berpikir logis, kritis, dan kreatif perlahan- lahan akan tercapai.
Matematika  merupakan salah  satu mata  pelajaran yang diajarkan mulai dari Taman Kanak Kanak sampai Perguruan Tinggi. Proses pembelajaran matematika di jenjang yang satu tentu berbeda dengan di jenjang lain- nya. Hal ini dilakukan karena siswa pada setiap jenjang

## MELATIH PENALARAN SISWA SEKOLAH DASAR

## (SD) DALAM MEMAHAMI KONSEP BILANGAN PECAHAN DAN MENYELESAIKAN MASALAH PENJUMLAHAN DAN PENGURANGAN BILANGAN PECAHAN
Oleh : IIS HOLISIN Dosen  FKIP  UMSurabaya

## ABSTRAK
Bilangan  pecahan  selalu  men- jadi  topik  yang  menarik  untuk  dibi- carakan.  Mulai  cara  mengenalkan- nya  sampai  cara  menyelesaikan masalah-masalah  yang  berhu- bungan  dengan  pecahan.  Menge- nalkan  bilangan  pec ahan  tidak semudah  mengenalkan  bilangan bulat.  Mengenalkan  bilangan  pe- cahan  kepada  siswa  dapat  diawali dengan  menggunakan  benda konkrit,  kemudian  dengan  gambar (semi  konkrit),  dan  akhirnya  me- ngenalkan  simbol  pecahan.  De- ngan  menggunakan  media  terse- but, diharapkan  siswa lebih  mudah memahami  konsep  bilangan  pe- cahan.
Artikel  ini  akan  membahas  be- berapa  langkah  untuk  melatih  pe- nalaran  siswa  Sekolah  Dasar  (SD) dalam  memahami  konsep  bilang- an  pecahan  dan  menyelesaikan masalah  penjumlahan  dan  pengu- rangan  bilangan  pecahan.
memiliki  tingkat  perkembangan  intelektual yang  berbeda.  Piaget  (dalam  Dahar,  1988: 183) mengelompokkan tingkat perkembang- an intelektual siswa menjadi empat kelompok, yaitu: sensori motor (0-2 tahun), pra opera- sional (2-7 tahun), operasional konkrit (7-11 tahun),  dan  operasi  formal  (11  tahun  -ke atas). Karena siswa pada setiap jenjang me- miliki tingkat perkembangan intelektual yang berbeda, maka penalaran mereka dalam me- nerima dan memahami materi juga akan ber- beda-beda.
Pecahan  merupakan  salah  satu  materi yang  dikenalkan  mulai  kelas  II  SD.  Siswa SD  rata-rata  berusia  antara  7  –  12  tahun. Berdasarkan teori perkembangan intelektual yang dikemukakan Piaget, siswa SD terma- suk dalam kelompok operasional konkrit. Oleh karena itu proses pembelajaran di SD seba- iknya banyak melibatkan benda-benda kon- krit, begitu juga dalam pembelajaran pecah- an. Mengenalkan bilangan pecahan tidak se- mudah mengenalkan bilangan bulat.
Mengenalkan  bilangan  pecahan  kepada siswa  dapat  diawali  dengan  menggunakan benda konkrit, misalnya: coklat batangan, po- tongan-potongan  kertas  berbentuk  persegi panjang, lingkaran, dan sebagainya. Kemu- dian dengan gambar (semi konkrit), dan akhir- nya  mengenalkan  simbol  pecahan.  Dengan menggunakan media tersebut, diharapkan sis- wa lebih mudah memahami konsep bilangan pecahan.
Operasi pecahan mulai dikenalkan di ke- las III SD. Operasi yang pertama kali dipe- lajari adalah operasi penjumlahan. Sebelum siswa mempelajari operasi penjumlahan, ter- lebih  dahulu  mereka  harus  memahami pecahan  senilai.  Banyak  guru  yang  meng- ambil  jalan  pintas  untuk  menyampaikan
materi  ini.  Namun  tidak  sedikit  guru  yang telaten  membimbing  para  siswa  sesuai dengan perkembangan mental yang dimiliki siswa-siswanya. Mereka menggunakan ber- bagai media, baik benda nyata maupun hanya berupa gambar.
Hasil  wawancara  penulis  dengan  bebe- rapa siswa kelas III SD dari beberapa seko- lah  tentang  penjumlahan  dan  pengurangan pecahan, ternyata masih ada siswa yang ke- sulitan menyelesaikan masalah tersebut, ter- utama apabila penyebut kedua pecahan tidak sama. Masih ada siswa yang menjumlahkan penyebut  dengan  penyebut  dan  pembilang dengan pembilang. Setelah ditanya lebih jauh tentang  bagaimana  cara  guru  menjelaskan materi  penjumlahan  dan  pengurangan,  ter- nyata  rata-rata  guru  langsung  memberikan rumus  penjumlahan  dan  pengurangan  pe- cahan. Guru tidak membimbing siswa untuk menemukan  darimana  rumus  itu  diperoleh. Padahal kalau guru membimbing siswa untuk menemukan  darimana  rumus  itu  diperoleh, maka pemahaman siswa tentang rumus ter- sebut akan lebih bermakna.
Berdasarkan  kenyataan  di  atas,  penulis ingin  menganalisis  bagaimana  melatih penalaran  siswa  SD  dalam  memahami konsep bilangan pecahan dan menyelesaikan penjumlahan  dan  pengurangan  bilangan pecahan.

## B.  RUMUSAN  MASALAH
Berdasarkan  latar  belakang  masalah  di atas,  maka  penulis  merumuskan  masalah sebagai  berikut :  Bagaimana melatih  pena- laran siswa SD dalam memahami konsep bi- langan pecahan dan menyelesaikan penjum- lahan dan pengurangan bilangan pecahan?
Iis Holisin - Melatih Penalaran Siswa Sekolah Dasar ....
Didaktis, Vol. 8, No. 3, Hal 1 -67, Oktober  2009,  ISSN 1412-5889

## C.  TUJUAN  PENULISAN
Sesuai dengan rumusan masalah yang di- rumuskan, tujuan penulisan makalah ini untuk mendeskripsikan  langkah-langkah  melatih penalaran siswa SD dalam memahami kon- sep  bilangan  pecahan  dan  menyelesaikan penjumlahan  dan  pengurangan  bilangan pecahan.

## D.  MANFAAT
Tulisan ini diharapkan dapat memberikan tambahan  wawasan  untuk  para  pembaca yang akan melatih penalaran siswa SD dalam memahami  konsep  bilangan  pecahan  dan menyelesaikan penjumlahan dan pengurang- an bilangan pecahan.

## E.  BATASAN  ISTILAH
Untuk  menghindari  salah  tafsir,  istilah- istilah  yang  digunakan  dalam  makalah  ini didefinisikan sebagai berikut. 1. Penalaran  adalah  merupakan  kegiatan, proses atau aktivitas berpikir untuk me- narik  suatu  kesimpulan  atau  membuat suatu  pernyataan  baru  berdasar  pada beberapa pernyataan yang diketahui be- nar ataupun yang dianggap benar. 2. Melatih penalaran  siswa adalah  melatih proses atau aktivitas berpikir siswa untuk menarik suatu kesimpulan atau membuat suatu pernyataan baru berdasar pada be- berapa pernyataan yang diketahui benar ataupun yang dianggap benar. 3. Pecahan adalah bilangan rasional yang di- nyatakan dalam bentuk  dengan a, b bi- langan bulat positif dan b  0 .
4. Siswa memahami konsep bilangan peca- han apabila siswa dapat memberikan con- toh  bilangan  pecahan  dan  menunjukkan representasi  bilangan  pecahan.
5. Melatih  penalaran  siswa  dalam  menye- lesaikan  penjumlahan  dan  pengurangan pecahan  diartikan  sebagai  suatu  proses untuk melatih proses atau aktivitas berfikir siswa dalam menyelesaikan penjumlahan dan pengurangan bilangan pecahan.

## PEMBAHASAN
A.Penalaran 1.Pengertian  Penalaran
Menurut Keraf (1982, dalam Suharnan,
2005:160) penalaran atau sering juga disebut jalan pikiran adalah suatu proses berpikir yang berusaha menghubungkan fakta-fakta yang diketahui  menuju  pada  suatu  kesimpulan. Shadiq  (2004:2)  mengatakan  “penalaran merupakan suatu ke giatan, suatu proses atau suatu  aktivitas  berpikir  untuk  menarik  ke- simpulan  atau  membuat  suatu  pernyataan baru yang benar berdasar pada beberapa per- nyataan yang kebenarannya telah dibuktikan atau  diasumsikan  sebelumnya”.  Soekadijo (1988  dalam  Suharnan,  2005)  mengatakan penalaran adalah aktivitas menilai hubungan proposisi-proposisi  yang  disusun  di  dalam bentuk premis-premis, kemudian menentukan kesimpulan­nya.  Penalaran  adalah  proses berpikir yang bertolak dari pengamatan indera (observasi  empirik)  yang  menghasilkan sejumlah konsep dan pengertian. Berdasar- kan pengamatan yang sejenis juga akan ter- bentuk proposisi-proposisi yang sejenis, ber- dasarkan sejumlah proposisi yang diketahui atau  dianggap  benar,  orang  menyimpulkan sebuah proposisi baru yang sebelumnya tidak diketahui. Proses inilah yang disebut menalar.
Berdasarkan beberapa pendapat di atas, yang dimaksud penalaran dalam makalah ini adalah merupakan kegiatan, proses atau ak- tivitas berpikir untuk menarik suatu kesim-
Contoh penalaran induktif Contoh penalaran deduktif Premis = Premis , dengan a  0  dan b  0
Simpulan
, dengan a  0  dan b  0

## Simpulan
Contoh-contoh di atas menunjukkan bah- wa  penalaran  induktif  merupakan  aktivitas berpikir untuk menarik kesimpulan berdasar- kan pada beberapa pernyataan khusus yang diketahui benar. Metode berpikir induktif ada- lah  metode  yang  digunakan  dalam  berpikir dengan bertolak dari hal-hal khusus ke umum. Hukum yang disimpulkan difenomena yang diselidiki berlaku bagi fenomena sejenis yang belum diteliti. Generalisasi adalah bentuk dari metode berpikir induktif.
Sedangkan penalaran deduktif merupakan aktivitas berpikir  untuk menarik kesimpulan berdasarkan definisi yang telah ada. Metode berpikir deduktif merupakan metode berpikir
yang menerapkan hal-hal yang umum terlebih dahulu untuk seterusnya dihubungkan dalam bagian-bagiannya yang khusus (spesifik).
Matematika dikenal sebagai ilmu deduktif. Ini  berarti  proses  pengerjaaan  matematika harus bersifat deduktif. Tetapi dalam mate- matika, mencari kebenaran itu bisa dimulai dengan cara induktif, selanjutnya generalisasi yang benar untuk sebuah keadaan harus da- pat dibuktikan secara deduktif. Soedjadi (da- lam Rochmad, 2009:7)  mengatakan “Mes- kipun pola pikir deduktif itu sangat penting, namun dalam pembelajaran matematika ter- utama di jenjang SD dan SMP, masih sangat diperlukan penggunaan pola pikir induktif”
pulan atau membuat suatu pernyataan baru berdasar pada beberapa pernyataan yang di- ketahui benar ataupun yang dianggap benar. Pernyataan yang diketahui benar atau diang- gap benar disebut premis .
2. Jenis-Jenis  Penalaran
Penalaran dapat dikelompokkan menjadi dua  bagian  besar,  yaitu  penalaran  deduktif dan penalaran induktif (Fearnside 1980; Hal-
pern, 1966; Soekadijo, 1989, dalam Suharnan, 2005:161). Penalaran induktif adalah pena- laran  yang  menghasilkan  kesimpulan  yang lebih  luas  daripada  premis-premisnya.  Se- dangkan penalaran deduktif adalah penalaran yang menghasilkan kesimpulan yang tidak le- bih luas dari pada premis-premisnya.
Untuk  menjelaskan  perbedaan  antara penalaran induktif dan deduktif, perhatikan contoh berikut.
Tabel 1.Contoh Penalaran Induktif dan Deduktif
Iis Holisin - Melatih Penalaran Siswa Sekolah Dasar ....
Didaktis, Vol. 8, No. 3, Hal 1 -67, Oktober  2009,  ISSN 1412-5889

## B . Konstruktivisme
Konstruktivisime merupakan proses pem- belajaran yang menerangkan bagaimana pe- ngetahuan  disusun  dalam  pikiran  manusia. Slavin (2000) menyatakan bahwa siswa ha- rus mengkonstruksi pengetahuan dalam be- naknya. Dalam pembelajaran beracuan kon- struktivisme guru menjadi pembimbing dan fasilitator. Inti dari pembelajaran konstruk- tivis  adalah  siswa  secara  individual  mene- mukan dan mentransformasi informasi yang begitu kompleks dalam benaknya.  Kegiatan belajar  siswa  mengkonstruk  pengetahuan matematis  dengan  cara  siswa  sendiri  ber- dasar  hasil  pengamatannya.  Menurut  Roh- mad (2008) kegiatan belajar siswa   seperti itu termasuk fase kegiatan induktif.
Piaget (dalam Kamii, 1999:83)  membuat perbedaan mendasar di antara tiga jenis pe- ngetahuan berdasarkan sumber-sumber uta- ma mereka  dan cara  pembentukannya. Ke- tiga  jenis  pengetahuan  tersebut  adalah  pe-
ngetahuan  fisik  ( physical  knowledge ), pengetahuan    sosial  ( social  knowledge ), dan pengetahuan logika matematika ( logico- mathematical  knowledge ).  Pengetahuan fisik adalah pengetahuan empiris objek dalam realitas eksternal. Contoh warna dan bentuk suatu  objek. Sumber utama dari pengetahuan fisik adalah bagian  dari benda. Sebaliknya, pengetahuan tentang bahasa, liburan, dan sa- tuan  standar  seperti  centimeter  adalah  ter- masuk pengetahuan sosial.  Contoh: penge- tahuan  tentang  kata-kata  yang  diucapkan seperti  seperempat  dan  simbol  ditulis  ¼. Sumber pengetahuan sosial sebagian besar berupa konvensi yang dibuat oleh orang-or- ang. Pengetahuan logika matematika terdiri dari hubungan. Sumber utama dari pengeta- huan  logika  matematika  adalah  tindakan mental setiap individu. Contoh: pengetahuan tentang hubungan antara bilangan pecahan dengan  gambar  yang  menunjukkan  bagian dari keseluruhan. Gambar yang menunjukkan bagian dari keseluruhan Bilangan Pecahan
Langkah-langkah yang dilakukan guru sebagai berikut:
1. Guru membagikan selembar kertas berukuran sama kepada setiap siswa.
2. Guru  meminta  siswa  untuk  menunjukkan  bagian  dari  kertas  yang menunjukkan .
3. Setiap  siswa  melipat/membagi  kertas  menjadi  beberapa  bagian  sesuai  dengan pendapat mereka masing-masing.
4. Guru  memeriksa  pekerjaan  siswa  dan  meminta  beberapa  siswa  untuk menunjukkan hasilnya di depan kelas.
5. Guru meminta siswa untuk menjelaskan jawaban mereka.
6. Bersama-sama dengan siswa yang lain, guru mendiskusikan jawaban siswa.
7. Apabila  penjelasan  siswa  di  depan  kelas  belum  tepat,  guru  meminta  pendapat siswa yang lain.
8. Kegiatan tersebut diulang terus sampai diperoleh jawaban yang benar.
Tabel 2 :   Contoh mengenalkan hubungan bilangan pecahan dengan gambar (pengetahuan logika matematika)

## C. Bilangan  Pecahan
1. Pengertian  Bilangan  Pecahan Pecahan  diartikan  secara  berbeda  oleh beberapa ahli. Berikut ini beberapa penger- tian pecahan menurut beberapa ahli. a. Negoro dan Harahap (2005:248) menga- takan  “pecahan  adalah  bilangan  yang menggambarkan bagian dari suatu kese- luruhan, bagian dari suatu daerah, bagian dari suatu benda, atau bagian dari suatu himpunan.
b. Novillis dalam Bell (1983:119) menyata- kan bahwa konsep pecahan di SD terdiri dari tujuh konsep yang diurutkan berda- sarkan tingkat kesulitannya. Adapun ketujuh konsep menurut Novillis adalah sebagai berikut:
1) Part  group  congruent  parts (bagian dari suatu himpunan, bagian-bagiannya kongruen).  Siswa  mengasosiasikan pecahan        dengan  suatu  himpunan yang  terdiri dari  b  objek yang  kong- ruen dengan memperhatikan a objek. Contoh :
2 objek dihitamkan dari 3 objek
2) Part whole, congruent parts (bagian dari  keseluruhan,  bagian-bagiannya kongruen).  Siswa  mengasosiasikan pecahan     dengan suatu daerah  yang dibagi  atas  b  bagian  kongruen  dan memperhatikan a bagian.
siswa yang lain.
8. Kegiatan tersebut diulang terus sampai diperoleh jawaban yang benar.
9. Selanjutnya  guru  meminta  siswa  untuk  membuat  gambar  yang  menunjukkan bilangan   .
Dengan cara yang sama seperti pada langkah 1 sampai 9, guru meminta siswa untuk menunjukkan bagian dari kertas yang menunjukkan bilangan
bagian diarsir
3) Part  group,  non  congruent  parts
(bagian  suatu  himpunan,  bagian-ba- giannya tidak kongruen). Siswa meng- asosiasikan pecahan     dengan suatu himpunan yang terdiri dari b objek yang tidak kongruen dan memperhatikan a objek dalam himpunan tersebut.

## 3 objek diberi warna hitam dari 4
objek 4) Part  group  comparison (memban- dingkan bagian dari himpunan). Siswa mengasosiasikan  pecahan        dengan perbandingan relatif dua himpunan A
Iis Holisin - Melatih Penalaran Siswa Sekolah Dasar ....
Didaktis, Vol. 8, No. 3, Hal 1 -67, Oktober  2009,  ISSN 1412-5889
dan B, dengan n(A)=a dan n(B)=b dan semua objek kongruen.
5) Number line (garis  bilangan). Siswa
mengasosiasikan  pecahan    dengan sebuah titik pada garis bilangan, di ma- na setiap satuan dibagi atas b bagian segmen  yang  sama  dengan  memper- hatikan titik ke-a di sebelah kanan titik nol).
0 b  bagian
1
6) Part  whole,  comparison (memban- dingkan bagian dari keseluruhan). Gambar A Gambar B Daerah  pada  gambar  A  adalah dari daerah pada gambar B 7) Part  whole,  noncongruent  parts
(bagian  dari  keseluruhan,  bagian- bagiannya tidak kongruen).
Daerah  yang  diarsir  menunjukkan  bi- langan    .
c. Underhill (1972:286) mengemukakan “ A rasional  number  is  defined  as  a  num- ber  which  can  be  represented  by  the quotient  of  two  integers    where  the denominator  b  is  not  zero.  The  com- mon  name  for  a  rational  number  is “fraction”.  Fraction  generally  refers to  a  rasional  number  which  is  non negative  since  negative  rasionals  are not  usually  included  in  elementary school  mathemathics” Berdasarkan beberapa pendapat di atas, maka  yang  dimaksud  pecahan  dalam  ma- kalah ini  adalah bilangan  rasional yang  di- nyatakan dalam bentuk  dengan a, b bilangan bulat positif, a < b,  dan b  0.
D. Melatih Penalaran Siswa Dalam Mema- hami  Bilangan  Pecahan  dan  Menyele- saikan  Penjumlahan  dan  Pengurangan Bilangan  Pecahan
1. Mengenalkan  Bilangan  Pecahan
Ada beberapa prinsip dasar untuk menga- jar  pecahan  yang  dikemukakan  oleh  Kamii (1999:85) yaitu :
a. Jangan  dulu  mengatakan  kepada  siswa bagaimana langkah-langkah untuk meng- hitung  dengan  menggunakan  algoritma. Sebaliknya, mereka diberi  masalah dan meminta  mereka  untuk  menggunakan apa yang mereka ketahui untuk mencari tahu apa yang mereka tidak tahu. Alasan untuk  tidak  menunjukkan  cara  meme- cahkan  masalah  adalah  bahwa  penge-
n(A) = 3 n(B) = 4
tahuan  logika  matematika  berkembang dari  tindakan  mental  siswa-siswa  itu sendiri.
b. Jangan langsung mengatakan   bahwa ja- waban  siswa  benar  atau  salah.  Seba- liknya, mendorong mereka untuk mendis- kusikan pendapat mereka, sampai diper- oleh jawaban yang disetujui, masuk akal dan  benar.
c. Mendorong  para  siswa  untuk  menggu- nakan alat-alat mereka sendiri untuk ber- pikir bukan memberi   representasi yang sudah jadi.  Siswa menggunakan  gambar- gambar mereka sendiri yang berasal dari pemikiran mereka sendiri, karena hal ini akan memfasilitasi penalaran mereka. d. Mintalah  para  siswa  untuk  memperki- rakan  solusi  dari  masalah  yang  mereka hadapi,  karena memperkirakan merupa- kan cara yang efektif dan kuat untuk mem- bangun  konsep bilangan.
Sesuai  dengan  pendapat  Kamii  di  atas, dalam mengajarkan pecahan sebaiknya sis- wa diberi  masalah dan meminta mereka un- tuk menggunakan apa yang mereka ketahui untuk mencari  tahu apa yang  mereka tidak tahu. Langkah-langkah yang dilakukan guru sebagai berikut.
a. Guru  memberi  contoh-contoh  masalah yang berhubungan dengan pecahan.
b. Guru meminta siswa untuk memperkira- kan penyelesaian masalah sementara, dan menanyakan  cara  yang  akan  digunakan siswa.
c. Guru memberikan benda manipulatif, dan meminta  siswa  untuk  melaksanakan  ide yang mereka miliki.
d. Bersama dengan siswa,  guru mendisku- sikan hasil pekerjaan siswa.
e. Guru membimbing siswa untuk membuat simpulan (generalisasi).
Contoh melatih penalaran siswa mengenal
bilangan pecahan.
Guru memberi masalah kepada siswa. Masalah  1 :  Andi  mempunyai  sebatang coklat. Coklat tersebut akan diberikan kepada lima orang temannya sama besar. Berapa ba- gian yang akan didapat masing-masing teman Andi? a. Guru bertanya kepada siswa. Bagaimana cara  kalian  menyelesaikan  masalah  ter- sebut?
b. Apakah  kalian  memerlukan  alat  bantu? Guru menawarkan benda manipulatif be- rupa potongan kertas. Semua siswa diberi selembar potongan  kertas yang ukuran- nya sama. Anggaplah potongan kertas ter- sebut sebagai sebatang coklat.
c. Guru meminta siswa menunjukkan hasil pekerjaannya,  dan  menjelaskan  cara memperolehnya.
Jawaban   siswa  diharapkan sebagai  be- rikut:
- Siswa membagi potongan kertas menjadi lima bagian sama besar.
- Guru meminta siswa untuk menjelaskan alasan jawaban yang dibuat dia.
- Siswa memotong bagian yang akan dite- rima setiap teman Andi sebagai berikut. (bagian yang dipotong adalah bagian yang diarsir).
- Guru meminta siswa menjelaskan alasan jawaban yang diberikan.
- Apabila jawaban siswa belum tepat, guru meminta siswa lain untuk mengemukakan
Iis Holisin - Melatih Penalaran Siswa Sekolah Dasar ....
Didaktis, Vol. 8, No. 3, Hal 1 -67, Oktober  2009,  ISSN 1412-5889
pendapatnya. Kegiatan ini terus diulang sampai diperoleh jawaban yang tepat.
- Dengan tanya jawab, guru membimbing siswa untuk menunjukkan bahwa bagian yang  diterima  teman  Andi  sebesar  .
Daerah  yang  dipotong  itu  menunjukkan bilangan .
- Guru  meminta  siswa  untuk  membuat gambar yang menunjukkan bilangan  .
- Jawaban  siswa  yang  diharapkan  adalah sebagai berikut.
d. Setelah  siswa  memahami  bilangan pecahan guru memberi bimbingan untuk melatih  penalaran  tentang  representasi bilangan pecahan sebagai berikut. Dengan  cara  menggambar,  tunjukkan
daerah yang menunjukkan bilangan
,
,    , dan   .
Masalah 2 : Dinda mempunyai dua buah jeruk  yang  sama  besar,  akan  diberikan kepada tiga orang temannya. Berapa  bagian yang  akan  didapat  masing-masing  teman Dinda?
a. Guru bertanya kepada siswa bagaimana
cara  menyelesaikan  masalah  tersebut?
b. Guru  memberi kebebasan  kepada  siswa tentang media yang digunakan dan cara menyelesaikan  masalah  tersebut.
c. Benda manipulatif yang digunakan siswa dapat berupa potongan kertas bentuk per- segi panjang, lingkaran, atau buah jeruk yang  sesungguhnya.
d. Siswa dikelompokkan menjadi beberapa kelompok. Setiap kelompok diberi benda
manipulatif yang berbeda.
e. Guru meminta kepada siswa untuk men- diskusikan penyelesaian masalah.
f. Siswa mendiskusikan masalah dalam ke- lompok masing-masing.
g. Setelah beberpa menit, guru meminta sis- wa  menyampaikan  hasil  diskusi  kelom- pok. Selama siswa diskusi kelompok, guru membimbing kelompok satu persatu, dan selalu meminta alasan pada setiap jawa- ban yang diberikan siswa.
h. Jawaban  yang  diberikan  siswa  diharap- kan sebagai berikut.
- Siswa  mengambil  dua  lembar  po- tongan  kertas  berbentuk  persegipan- jang yang sama ukurannya, kemudian masing-masing  dibagi tiga bagian yang sama.
- Selanjutnya  siswa  memotong  satu bagian dari masing-masing kertas ter- sebut, sehingga bagian yang akan di- peroleh teman-teman Dinda sebanyak dua  bagian yang  ukurannya  masing- masing  , sehingga setiap teman Dinda akan memperoleh  .
Atau siswa memilih dua kertas berbentuk lingkaran dan masing-masing lingkaran dibagi menjadi tiga bagian yang sama. Setiap bagian diberi warna berbeda seperti berikut.
Masalah  3: Untuk  memantapkan  penalaran  siswa  tentang  bilangan  pecahan,  Guru memberi model benda manipulatif misalnya seperti berikut.
Model yang diberikan:
Guru bertanya :
(i). Daerah yang diberi arsir menunjukkan bilangan pecahan berapa?  Mengapa?
(ii). Daerah yang diberi arsir menunjukkan bilangan pecahan berapa?  Mengapa?
(iii). Banyak gambar yang diberi arsir dibandingkan dengan banyak  gambar  seluruhnya  menunjukkan  bilangan pecahan  berapa?  Mengapa?
(iv).  Banyak  gambar  yang  diberi  arsir  jika  dibandingkan dengan  banyak  gambar  seluruhnya  menunjukkan bilangan pecahan berapa? Mengapa? A B C Masing-masing  teman  Dinda  akan memperoleh dua bagian, yaitu yang pertama (A) memperoleh dua bagian  warna hijau, teman  yang  kedua  (B)  memperoleh  dua bagian warna kuning, dan teman ketiga (C) memperoleh  dua  bagian  warna  merah. Masing-masing bagian besarnya
Guru  :  berapa  bagian  yang  diperoleh masing-Masing teman Dinda?
Siswa ;
(i) (ii) (iii) (iv)
Iis Holisin - Melatih Penalaran Siswa Sekolah Dasar ....
Didaktis, Vol. 8, No. 3, Hal 1 -67, Oktober  2009,  ISSN 1412-5889
Dengan  memberikan  berbagai  benda manipulatif  tersebut,  diharapkan  penalaran siswa makin baik dan berkembang.

## 2. Pembelajaran  Penjumlahan  dan  Pe- ngurangan  Bilangan  Pecahan
Sebelum  kurikulum 2004 diberlakukan, banyak guru yang menyampaikan materi pen- jumlahan dan pengurangan bilangan pecahan menekankan pada pengajaran algoritma. Mi- salnya untuk menghitung , guru mem- berikan penjelasan tentang langkah-langkah menyelesaikannya sebagai berikut:
· Perhatikan  penyebut  kedua  pecahan;
· Apabila  berbeda  maka  samakan  dahulu penyebutnya;
· Untuk  menyamakan  penyebut  kedua pecahan dapat dilakukan dengan menga- likan kedua penyebut tersebut, atau men- cari  Kelipatan  Persekutuan  Terkecil (KPK) kedua penyebut itu.
· Tentukan  pecahan  yang  senilai  dengan pecahan yang diketahui dengan penyebut yang  sama.
· Setelah diperoleh pecahan senilai dengan penyebut yang sama, langkah berikutnya adalah  jumlahkan  masing-masing  pem- bilang pecahan tersebut.
Jadi untuk menyelesaikan
, diperlukan langkah-langkah berikut.
· Karena  penyebutnya  berbeda,  maka dicari KPK dari 2 dan 3 yaitu 6
· Pecahan  yang  senilai  dengan    dan penyebutnya 6 adalah  ,
· Pecahan yang senilai dengan    adalah  .
· Jadi =   +   = =
Pembelajaran  seperti  ini  terfokus  pada pengajaran algoritma. Siswa dituntut untuk mengingat langkah-langkah tersebut. Proses pembelajaran seperti ini kurang melibatkan siswa  secara  mental.  Dalam  pembelajaran konstruktivis,  para  siswa  tidak  diajarkan algoritma, tetapi mereka diberi masalah dan diminta untuk melakukan penalaran sendiri untuk  memecahkan  masalah-masalah  ter- sebut (Kamii, 1999:82).   Prinsip-prinsip dari teori  konstruktivisme  yang  disampaikan Piaget adalah agar kita fokus pada penalaran (kemampuan  logika matematika).
Agar  pembelajaran    melibatkan  mental siswa, terlebih dahulu siswa diberi masalah nyata. Contoh:
Masalah 1: Irma mempunyai   meter pita berwarna hijau, kemudian Linda memberi meter  pita  warna  merah  kepada  Irma.  Be- rapa meter  pita yang dimiliki Irma sekarang?
Dari contoh masalah tersebut, siswa di- bimbing  dengan  langkah-langkah  sebagai berikut.
Dengan  tanya  jawab  guru  membimbing untuk merumuskan masalah yang dimaksud,
yaitu menghitung hasil o Guru membimbing siswa untuk membuat representasi dari masalah.
Representasi  yang  dibuat  dapat  berupa gambar atau potongan-potongan kertas.
Guru: Apa yang akan kalian lakukan untuk menyelesaikan masalah di atas? Siswa mengambil tiga lembar potongan kertas yang berukuran sama, kemudian  membuat representasi bilangan pecahan    dan   seperti berikut.
½
1/3
Guru : setelah itu apa yang akan kalian lakukan? Siswa memotong masing-masing potongan kertas, kemudian menempelkan potongan-potongan tersebut pada kertas yang ketiga.
Siswa memotong sisa bagian kertas yang ke tiga, kemudian memotong bagian yang berwarna hijau dan merah seukuran dengan potongan warna putih.
Guru: Apa yang dapat kalian simpulkan? Siswa: potongan kertas yang ke tiga terbagi menjadi
enam bagian yang sama, maka dan Guru : Jadi bagaimana menyelesaikan Siswa : =
Masalah 2: Ibu memiliki sebatang coklat. Setengah  dari  coklat  tersebut    diberikan kepada Andi, sepertiganya diberikan Linda, sedangkan sisanya  diberikan kepada Rani. Berapa bagian yang akan diterima Rani?
Dari contoh masalah tersebut, siswa di- bimbing dengan langkah-langkah sebagai be- rikut.
o Dengan  tanya  jawab  guru  membimbing untuk merumuskan masalah yang dimak-
sud, yaitu menghitung hasil .
o Guru membimbing siswa untuk membuat representasi dari masalah.
o Representasi  yang  dibuat  dapat  berupa gambar  atau potongan-potongan  kertas. Contoh  representasi  dengan  menggu- nakan gambar.
Dengan  langkah  ini  diharapkan  siswa dapat berpikir dan bernalar bahwa = 1 –    -   =   -    -   =  . Langkah-langkah ini  sesuai  dengan  teori  konstruktivis  yang dikemukakan  Piaget.
Setelah  siswa  memahami  proses  penye- lesaian di atas, guru memberikan masalah la- in  yang  melibatkan  bilangan  pecahan  yang lebih bervariasi dengan penyebut yang ber- beda, sampai siswa menemukan rumus pen- jumlahan dan pengurangan bilangan pecahan.
Pembelajaran seperti itu dapat melibatkan siswa secara mental. Siswa merasa terlibat dalam perolehan konsep dan akhirnya konsep yang  mereka  peroleh  lebih  tahan  lama. Pembelajaran seperti ini yang dianjurkan oleh kaum konstruktivis, yaitu melibatkan siswa dalam membangun konsep. Pada akhir pem- belajaran,  siswa  diharapkan  dapat  mene- mukan rumus penjumlahan dan pengurangan pecahan secara umum. Proses pembelajaran seperti  ini  akan  melatih  penalaran  induktif siswa.
1 1
Karena siswa sudah memahami representasi bilangan pecahan, maka guru meminta siswa untuk menunjukkan daerah yang menunjukkan   , dan
½ 1 - 1/3
Setelah siswa mampu menunjukkan bilangan    , dan  , guru bertanya bagaimana menyelesaikan dengan menggunakan potongan –potongan kertas tersebut?
Jawaban yang diharapkan sebagai berikut. Siswa menutup potongan kertas berukuran satu dengan potongan berukuran ½ dan 1/3, kemudian memotong/menandai kertas yang tersisa. Guru : apa yang dapat kalian lakukan dengan kertas sisa tersebut? Jawaban yang diharapkan: kertas sisa ini merupakan penyelesaiannya. Guru : berapa besarnya?
Siswa : siswa membagi kertas berukuran satu  dengan potongan kertas yang tersisa tadi. Ternyata kertas yang berukuran satu terbagi menjadi 6 bagian yang sama.
Guru : Apa yang dapat kamu simpulkan?
Siswa : penyelesaian dari masalah di atas adalah    .
Apabila  siswa  sudah  memahami  rumus penjumlahan  dan  pengurangan  pecahan, maka langkah selanjutnya guru memberikan berbagai latihan. Selama pemberian latihan, guru selalu meminta siswa untuk menjelaskan alasan pada setiap jawaban yang diberikan, kegiatan ini penting untuk melatih penalaran siswa,  baik  penalaran  induktif  maupun penalaran deduktif siswa.

## SIMPULAN
Berdasarkan  hasil  pembahasan  di  atas diperoleh  simpulan  bahwa  untuk  melatih penalaran  siswa  Sekolah  Dasar  dalam  me- mahami  bilangan  pecahan  harus  memper- hatikan hal-hal berikut.
1. Di awal pembelajaran, mulailah dari ma- salah nyata.
2. Jangan  langsung  memberitahu  siswa bagaimana langkah-langkah untuk meng- hitung  dengan  menggunakan  algoritma (rumus).
3. Mendorong  para  siswa  untuk  meng- gunakan  alat-alat  mereka  sendiri  untuk berpikir  bukan  memberi      representasi yang sudah jadi.
4. Bimbinglah siswa untuk mengkonstruksi pengetahuannya  sendiri.
5. Jangan langsung mengatakan   bahwa ja- waban siswa benar atau salah.
6. Mintalah para siswa untuk memperkira- kan solusi dari masalah yang ada.
7. Berilah latihan yang bervariasi.

## DAFTAR  PUSTAKA
Dahar,  Ratna  Wilis.  1988.  Teori-Teori Belajar. Jakarta:Proyek Pengembangan LPTK Dirjen Dikti Depdikbud Jakarta. Kamii,Constance,  Warrington,Mary Ann. (1999). Develoving  Mathematical
Reasoning  in  Grades  K-12  :  Teach- ing  Fractions  Fostering  Children’s Own  Reasoni ng .  Reston,  Virginia  : National Council of Teachers of Math- ematics.
Khabibah, Siti. (2006). Pengembangan Model Pembelajaran Matematika dengan Soal Terbuka  untuk  Meningkatkan  Kreati- vitas  Siswa  Sekolah  Dasar.  Disertasi. Tidak  dipublikasikan.  Surabaya:Pas- casarjana UNESA Surabaya.
Negoro,ST dan Harahap,B. (2005). Ensiklo- pedia Matematika. Bogor:Ghalia Indo- nesia.
Rochmad. 2009. Pengembangan Model Pe- rangkat  Pembelajaran  Matematika Beracuan Konstruktivisme yang Meng- gunakan Penggunaan Pola Pikir Induk- tif-Deduktif  (Model  PMBK-ID)  untuk Siswa SMP/MTs. Ringkasan Disertasi. Tidak  dipublikasikan.  Surabaya  :  PPs UNESA.
Rochmad. 2008. Penggunaan Pola Pikir In- duktif-Deduktif  Dalam  Pembelajaran Matematika Beracuan Konstruktivisme.
Shadiq, Fadjar. 2004. Penalaran, Pemecahan Masalah  dan  Komunikasi  dalam  Pem- belajaran  Matematika.  Disajikan  pada Diklat Instruktur/Pengembang Matema- tika SMP Jenjang Dasar tanggal 10 s.d. 23 Oktober 2004 di Yogyakarta. Slavin, R.E. 2000. Educational Psychology: Theory  and  Practice.  Boston: Allyn  &
Bacon.
Suharnan. 2005. Psikologi Kognitif. Suraba-
ya: Srikandi.
Solso, Robert L. (1995). Cognitive Psychol- ogy . Boston: Allyn And Bacon.
Iis Holisin - Melatih Penalaran Siswa Sekolah Dasar ....