## DENGAN PENDEKATAN  MATRIKS  DALAM REGRESI
Chandra Utama
Fakultas Ekonomi  Universitas  Katolik  Parahyangan
Abstract
. Regression is a model  that is usually used in many  field of study, include  economics and business, rn a purpose to find causal relation of independent variable to dependent variable. /f r's described  the relation of one  or more independent  variables to one dependent  variable. ln many cases, the regression with more than two independent  variables  is estimated by wrong formula or equation.  The  fallacy usually exist because statistical or econometrics tax book, which is used as reference, often show only the regression formula for maximum two independent variables.  On the other side, it is not much  explanation  how the formula can be employed to find the coefficient of regression. There  are  many cases that researchers  used formula to calculate  coefficient for two independent  variables in calculation of more than two independent variables. This paper uses matrix analysis to find formula of regression  as well as calculate it by using matrix approach because the development of formula of coefficient in regression can be explained clearly by matrix approach.  The  different  formula and equation  must be used in different number  of independent  variable is concluded by this paper. All variables that used in the model are always calculated in every formula  of coefficient.
Key Wo rds.' reg ression coefficient, independent variable, dependent variable
Pendahuluan Dalam  banyak  studi,  termasuk studi ekonomi  dan bisnis, regresi biasa  digunakan untuk mengetahui pengaruh satu atau beberapa variabel bebas (independent  variable) terhadap satu  variabel terikat (dipendent variabe[).  Dapat disusun regresi mulai dari satu hingga jumlah tak hingga varibel bebas  yang  akan diketahui pengaruhnya terhadap satu variabel  terikat.
Dalam banyak penelitian,  sangat disayangkan  terjadi kesalahan dalam menggunakan rumus untuk memperoleh koefisien regresi berganda.  Karena dalam  buku statistik  atau ekonometri  selalu maksimal rumus yang disampaikan  untuk regresi berganda adalah  rumus koefisien B untuk dua variabel bebas maka sering terjadi kesalahan  dengan menghitung nllai p dari regresi dengan lebih dari dua variabel bebas menggunakan rumus p tersebut. Kesalahan juga biasa terjadi sekalipun perhitungan koefisien regresi telah benar, karena menggunakan program statistik, namun dalan  menampilkan  rumus di dalam  laporan penelitian menjadi salah  karena yang ditampilkan adalah rumus P untuk dua variabel  bebas.
Volume 13, Nomor 1, Januari2009
Kekeliruan ini sering terjadi  karena kurangnya penjelasan,  minimal untuk buku  statistik bagi ilmu-ilmu sosial, mengapa suatu rumus koefisien regresi satu digunakan  dan  bukan  yang lain. Sehingga  terkesan hanya ada dua model rumus yaitu  untuk regresi dengan satu variabel bebas atau disebut  regresi sederhana dan regresi dengan  lebih dari satu variabel  bebas atau disebut  regresi berganda. Padahal seharusnya tidak demikian, setiap  rumus  regresi untuk variabel bebas yang berbeda tentu akan berbeda. Rumus koefisien regresi berganda yang disampaikan hanya berlaku untuk regresidengan dua variabel bebas. Tulisan ini tidak ditujukan untuk menjelaskan regresi sampai mendalam.  Dalam tulisan ini disampaikan  menggunakan pendekatan matrik bagaimana rumus koefisien regresi dapat  terbentuk. Dengan pendekatan ini akan diketahui bahwa rumus koefisien suatu regresitentu akan berbeda untuk satu, dua, tiga, dan seterusnya varibel bebas. Untuk menjelaskan kekeliruan tersebut pendekatan matriks dirasa sangat membantu.
Penyusunan regresi  menggunakan  pendekatan matriks Bentuk umum suatu  regresi linier yang ingin diperoleh dapat dilihat pada persamaan 1 berikut. Y= Fo+F,X,+ FzXr+....+ pnX,+u, (1)
Dimana Y adalah varibel terikat dan X adalah varibel  bebas yang mempengaruhi Y mulai dari varibdl  bebas t hingga n. F, hingga B, melambangkan besar pengaruh  masing-masing  varibel bebas terhadap varibel teri[iatnya. po menunjukkan  konstanta  persamaan  regresi yang menunjukftan  nilai Y tanpa pengaruh variabel bebas. Penjdlasan bagaimana suatu rumus koefisien B terbentuk dimulai Oergbn  menampilkan  contoh susunan data yang dapat dilihat pada fab6l'1 ,
Dimana terdapat m observasi dan n jumlah varibel bebas. Xzt melambangkan data varibel  bebas X1 pada  observasi ke 2. Sedangkan X.'' melambangkan data varibel bebas Xn pada observasi ke m. Dari data yang ada dapat  disusun sebanyak m persamaan yang  dapat diliahat dalam  persamaan 2 berikut.
Tabel 1: Gontoh data Observasi Y Xr Xz xn 1 Yr X" &r' Xr^ 2 Yc Xzt Xz, Xzn 3 Y. Xer X", X"^ M Ym Xmt Xt"z Xrn
Bina EkonomiMajalah  llmiah Fakultas  Ekonomi  Unpar
97
Yr= fo+ frXrr+ FrXr, +....+ P,Xrn+u,
Yr= fo+ FrXrr+ FrXr, +....+ B,Xr,+u,
Yr= Fo+ f,Xr,+ frXr, +....+ P,Xr,+u,
Y, = Fo * FrX,,r + f rX,r -f .... + FnX,u, * D,,
Jika persam aan 2 tersebut  disusun dalam beberapa  matriks  maka dapat ditulis sebagai berikut.
(2) Y, Y2 Y. Y^l lt  x,t  X,z  x,,) lP,
Y=X mx7 mx n I  x,,  x,, X,' I  Xr',  Xn Xr,
I  X!  X, Xrn fu o Pt F, ul u2 u3 ,l (3) P+u mxl mxl
Dimana: Y = matriks m x 1 dari m observasi  variabel terikat Y X = matriks m x (n+1) dari m observasi dari n variabel bebas X1 sampai Xn ditambah kolom pertama yang kesemuanya berisi angka 1 yang menunjukkan intersep dari persamaan.
/ = matriks m x 1 dari parameter  yang  belum  diketahui
D= matriks mx 1 dari residual
Secara  ringkas  persamaan  3 dapat  disusun  pada  persamaan 4 sebagai berikut.
Y=XF+u (4)
karena  diasumsikan sebaran data terdistribusi normal maka rata-rata Dadalah  nol.  Karena  nilai u adalah nol maka persamaan 4 dapat ditulis kembali  menjadi  persamaan  5 berikut.
Y=XF
(5)
Dari persamaan 5 diatas, karena matrik Y dan X dapat disusun  dari data yang  ada maka  dengan  mudah dapat  diperoleh  nilai matriks B dengan membagi matrik Y dengan matriks X yang ditunjukkan  dalam persamaan
6.
F =Y lx (6)
Pembagian ini dalam  operasi matriks  dapat ditulis  menjadi  persamaan 7 dimana dioperasikan dengan mengali matrik Y dengan invers dari matriks  X.
F = x-'Y (7) 98
Volume 13, Nomor 1, Januari  2009
Dalam operasi matriks, invers  hanya dapat  diperoleh  dari  matriks bujur sangkar.  Biasanya dari  data yang dihadapi nilai m lebih besar dibanding n sehingga tidak dimungkinkan diperoleh invers dari matriks X. Untuk menghadapi  masalah  ini maka persamaan  5 diubah menjadi.
(x,Y) = (x,x)B (8)
Dimana sisi kanan dan  kiri persaman 5 dikalikan dengan transpose atau balikan matrik X yang dilambangkan dengan -f,' sehingga persamaan 7 akan berubah menjadi
B = (x,x)-'(x,y) (e)
Dengan mengalikan sisi kanan dan sisi kiri dengan transpose  matriks X maka baik matriks (X'Y) menjadi matriks (n+1)x 1 dan matriks (X'X) menjadi matriks  (n+1)x(n+1).  Dengan mengalikan sisi kanan dan kiri persamaan  dengan  sesuatu  yang  nilainya sama  maka perbandingan antara X dan  Y tidak berubah.  Dengan mengalikan transpose  matriks X di kedua sisi maka persamaan 3 tanpa matriks u seperti yang dijelaskan persamaan  8 akan menjadi  berikut.
Y,, 4,, >x, A,, |4, Y,,x,, Y,,xo ...Y,,X,,, fi,,x,, Lx:' A,,x,, ".Y,,x,, |xoxu fi,,x,, Zx:, ...Y,,x,, 4,, Y,, Y,, lp, lp, lB' I I IB, Zu l\x,, 1!x,, l\x,, Z\X,,, XY= (n+l)xl 4,, Y,,,xu Y,,X,, XX (ta+l)x(n+l) fi,,L. Lx:, B (10)
(n+l)xl
Dengan mengali  masing masing sisi persamaan maka akan diperoleh matrik bujur sangkar X'X dengan ordo (n+l)x(n +l) sehingga  persamaan  nllai p yang  sebelumnya tidak dapat diselesaikan menggunakan persamaan 7  bisa diselesaikan menggunakan persamaan 9. Setelah masing-masing koefisien B diperoleh menggunakan persamaan 9 maka  regresi pada persamaan 1 dapat disusun.  Nilai n pada  persamaan  10 adalah jumlah variabel  bebas yang ada dalam regresi.
Penentuan rumus koefisien regresi Untuk memperoleh rumus nilai estimasi B untuk berbagaijumlah variabel bebas, berdasarkan persaman 9, dapat  diperoleh dengan menggunakan  persamaan 10 dengan cara yang dapat dilihat pada gambar 1 dibawah.
Bina Ekonomi  Majalah llmiah Fakultas  Ekonomi  Unpar
99
Gambar 1 Cara memperoleh matriks untuk menyusun rumus koefisien
zxo  Y. V"x. ZX.X' m E'.oxo Er- l- Zx"x-l >'x-l I l;. l-l=" I LEr- Uox.
Zx.X" ZFoxn >E *:*- | z*-*. zi-r" z,n. l
Pada  gambar 1 dapat dilihat bahwa  untuk satu variabel bebas matriks X'X dapat diperoleh  dengan  mengambil 2x2 bujur  sangkar  terkiri dari matriks umum X'X. Begitu juga untuk  Bdan  (X'Y)diperoleh dengan menggunakan 2 kolom teratas. Rumus  koefisien  regresi dengan dua variabel bebas, matriks X'X dapat diperoleh dengan mengambil 3x3 bujur sangkar terkiri dari matriks  umum X'X . Begitu juga untuk B dan (X' Y)diperoleh  dengan menggunakan 2 kolom  teratas.
Berdasarkan  gambar 1 diatas maka  untuk satu  variabel bebas, matriks  B dapat diperoleh menggunakan persamaan berikut. l4:l - Err'l-' f zv 1 LAI-UEI6' E$J  lffi,J persamaan 12 berikut. | >*r [4-|] m't7,TrEx,tx,) LnJ-l 2x,, L ru,:fi:trx,Itil
Selanjutnya untuk membuat persamaan yang menjelaskan oservasi, dihilangkan persaman 11 setelah diketahui nilai (1 1) terlihat kurang rumit, tanda i
dari persamaan. Sehingga inversnya berubah menjadi (12) (13) f Ir I LIr"'.i
Dengan  menyederhanakan sisi kanan dari persamaan maka diperoleh
Sehingga persamaan 13 dapat dituliskan lagi menjadi flxily -lx,lrx,l fa,t-lTffix;f-Evffiil (14)
LP,)-l -Zx,EY  +nlYX,
I LG'"tFtrEEilJ
satlr wuiabcl bebas 4 l- lz;ra >ttdlt^ i#"-|
100 Volume 13, Nomor 1, Januari2009
Dari persamaan 14 diatas akhirnya  diperoleh  rumus  berikut.
(1s)
p,, = L !,i_L Y : Z:,2,,v(, ((,I-r',')- (I .r',)') dan
, _ -Ix,IY +nlr x,
,, __Gr;,mtli_ (16)
Terlihat dalam kedua rumus diatas terdapat Xr dan Y yang diperhitungkan.
Dengan cara yang sama,  untuk  regresi dengan dua variabel bebas nilai B dapat diperoleh menggunakan  rumus sebagai berikut.
18,,1 |  n  Zx,, Lx,, l-1 l-lr I
l oi,l= l r r,, t r;, {*,,i,,1 l {r,*,,1 lB,) lL*,,  zX,rX,, 2X," ]

## LIY,X,r) (17)
Berdasarkan persamaan 17 maka diperoleh matriks B meryadi  berikut.
+I ril fll f; - r! x,x, ir - ilrr,ll.ql.ri - I f,I f,f, ii + I ry,ll x,Ix,& - Ix,Ixi I
nf ri I ri + Il r, I,{2 I.rrr, i - ii! t, i 1 rj i- nI r,1 x,x, - tyx,i yxl
-Iril/rlxl-Ixrl,trxrr +!rx,inlxi-rr;,ir -IDr,yrXx,&-I/)If,i
{ xr r,rj + zif, 41 4 r r,r, i- |1,f, r, lf, rj i- n!.r,f, .r,r, - tI r, l; rj
+f, ril.r,f, x,x,--Ilr,Irii - irx,irlr,x, -f,x,x, i tln,hlx;-ryr,i i
{ xif, ri + z[ rrf, r,f, r,x, i- iir x, i 1 rj i- { x,f, .r/, - iI r, f lxi 4l= 18)
Terlihat dalam persamaan 18 sifat matrik X'Xsangat terlihat. Untuk rumus  Bo.p, dan fl kesemunya memperhitungkan nilai Y, Xr dan Xz
Biasanya dalam banyak buku statistik  persamaan 18 akan ditulis menjadi  berikut.
V-B.Er-F"E"
iE:'rq.XE-,'J- tEyrr= i{Z-,-" i lE*,"}.E-." i- if -,-,.f
tEyrs li.Erq 1- (Eyrqi{E-,-" 1 A P" Bina  Ekonomi  Majalah llmiah Fakultas  Ekonomi  Unpar
(1e) 101
Dimana:
I/ = rata-rata  Y
7r = rata-rata Xr
X z= r"ta-rata Xz
xr= Xr, -X,
xz=Xz,-Iz
y =Yi-v
Menggunakan  cara yang  sama  seperti  yang telah  diuraikan  maka  dapat diperoleh rumus koefisien / untuk regresi dengan jumlah  variabel bebas berapapun. Secara teoritis  hal tersebut  dapat dilakukan  sekalipun dalam praktek akan dihadapi perhitungan  matematika yang  semakin rumit dengan meningkatnya variabel bebas  yang  ada.
Kekeliruan  dalam menggunakan rumus regresi  berganda
Tentu saja nilai koefisien B, dan prdalam  mempengaruhi Y akan berbeda jika digunakan persamaan 16 untuk Y dan Xr ldlu Y dan Xz. Jika menggunakan  persamaan 16 dan bukan  18 maka  ketika  mencari nilai p,maka yang diperhitungkan  hanyalah  X1 tanpa X2 sehingga hasil koefisien f, yang diperoleh salah. Begitupun  kesalahan yang sama terjadi saat menghitung Brtanpa  memperhitungkan Xr. Kesalahan ini pun akan terjadi saat Bo dihitung  menggunakan  persamaan 15.
Kesalahan yang  sama juga akan terjadi jika untuk  menghitung koefisien B untuk  variabel bebas lebih  dari dua tetap menggunakan persamaan
18 atau 19. Kekeliruan ini biasa dilakukan karena dalam  banyak buku teks statistik hanya disampaikan bahwa untuk regresi berganda rumus / yang digunakan adalah rumus persamaan 18 atau 19 tanpa  menjelaskan bahwa rumus tersebut  berlaku  hanya untuk  regresi dengan  dua variabel bebas dan  tidak lebih. Namun disadari  berdasar  pembahasan diatas ternyata penggunaan rumus tersebut tidak tepat untuk mencari koefisien B bagi variabel bebas  lebih dari  2 variabelterikat'
Jika rumus regresi berganda dua variabel  bebas digunakan  tentu saat melakukan  pengolahan  data regresi dengan  lebih  dari dua variabel bebas terjadi  kebingungan  untuk setiap perhitungan nilai Bvariabelyang menjadi X1 variabel  lainya mana yang akan  menjadi Xz. Andaikan  ada 3 variabel bebas  maka  terdapat dua kemungkinan variabel lain yang menjadi  X2. Tentu saja kebingungan aka semakin  bertambah jika  jumlah variabel  bebas  meningkat.
Lampiran Pengotahan regresi  berganda 3 variabel bebas menggunakan pendekatan matriks
Berikut disampaikan contoh pengolahan data menggunakan  matrik untuk membentuk regresi berikut. Digunakan  regresi dengan 3 variabel bebas.
Y = Fo+ 9,X,+ QrXr+ frX,
102
Volume 13, Nomor 1, Januari2009
Dimana: Y = Total penjualan plastik Xt = GNP X, = jumlah rumahtangga
X, = tingkat pengangguran
Berikut  disampaikan data untuk persamaan regresidiatas.
Jumlah rumah  Tingkat Total penjualan T.qllu-n
GNP  tangga pengangguran plastik 1968  10s1 1503 3.6 5873- 't486 3.5 7852 8189 7497 1972  1171 2360 5.6 8534
4.9 8688
1969 1078 1970 1075
1971 1107
1973 1235
1974 1217 1975 1202
1434 5 2035 6
1976  1271 1535
1977  1332
1961 7 1978 1399 1979 1431 1980 1480 1981 1510 1982 1492 1983 1535 7270
8.5 5020
7.7 6035 7425 9400 9350 7.2 6540 2043 1 331 1 160 5.6 2009 6
1721 6 1298 1 100 '1039 1200 7.6 9.2 8.8 7675 7419 7923 Sehingga diperoleh matrik X dan Y sebagai  berikut:
x=
Dari matrik  X dan  Y diatas  maka p =(x,x)'(x,y) Y= 5A73 "452 a 149 '149'?
453 { a 688 7274 502 o 603 5 ?425 9400 9350 6540 ? 6?5 ?419
?92 3
persamaan  9 dapat disusun menjadi
1 1051 i- 10?a 1 10?5 1 110"
1 11?1
1 1235 1 121? 1 1202 L L2'7 t
1 l-332 1 1? acl
1 1431
1 yIAO 1 1510 1 1492 1 1535
1503 3 .6 l_{45 3 . s 1434 5.O 2035 5.O ?3 60 5.6 2043  {.9 1331  s.6 1160 B.s 1535 't .'7 1961 ?.O 2009 6.O 71ZL 6.0 12 9A '7 .2 1100 ?.6 1039 9 -2 1ZOO  B.B
Bina Ekonomi  Majalah llmiah Fakultas  Ekonomi  Unpar
103
,q r0 A
,4

## LA
Dan setelah niai (X'X)-' diketahui  maka persamaan 9 berubah menjadi persamaan  berikut.

## L
Sehingga diperoleh nilai matriks p menjadi
R f-0
.q

## Pr
&
Sehingga dapat disusun persamaan regresi menjadi Y = 2020,50 + 6,215 X, + 1,493 X, - 47 I,056X?

## Daftar Pustaka
Chiang, Alpha  C. And Kevin Wainwright,  2005,  Fundamental  Methods of Mathematical Economics, 4th edition, McGraw Hill.
Draper N. R and H. Smith, 1981, Applied  Regression  Analysis, 2nd edition,  John Waley & Sons.
Gujarati,  Domador N., (2003), Basic Econometrics, 4th edition,  McGraw Hiil.
P'
I.{ 11 ,4 I r  rl- I I ro.o ?osn6 zszls 1oz l -ll tzorso I | 20s86.0  3691?s3{ 3208?2?s 1346?2 | | 1ss93439s I = | 2s21s.0 3208?2?s 42139389 1s6283 | | 193831+6? |
L rnz.z 1s46?z 1s6zai 6e? |  [ reaetsl I r.rorr', -0.00{1s3e -0.00122?1 0.021sr90 I Irrorro I
| -0.00+rs 0.80000{e 0.0000000 -0.00034s2 | | rssss+sss I
- | -0.00123 0.0000000  0.00000us [.0000s4? | | 1s383115? I
L 0.021s2 -0.0003{92 0.0000s{7 0.0s346?1J I r0z0ssl
= ['o'l,th I L-*=r. oss I 104 Volume 13, Nomor 1, Januari  2009