## GENERALIZED MULTILEVEL LINEAR MODEL DENGAN PENDEKATAN BAYESIAN UNTUK PEMODELAN DATA PENGELUARAN PERKAPITA RUMAHTANGGA
Azka Ubaidillah 1 , Anang Kurnia 2 , Kusman Sadik 2
1 Politeknik Statistika STIS, Jakarta
2 Departemen Statistika, Institut Pertanian Bogor, Bogor e-mail: 1 azka@stis.ac.id, 2 akstk29@gmail.com, 2 kusmansadik@gmail.com

## Abstrak
Data pengeluaran perkapita rumahtangga merupakan salah satu informasi penting sebagai pendekatan untuk mengukur tingkat kemakmuran dan kesejahteraan di suatu daerah. Data tersebut sangat diperlukan oleh  pemerintah  baik  di  pusat  maupun  daerah  dalam  merumuskan,  melaksanakan  dan  mengevaluasi pelaksanaan pembangunan. Penelitian ini akan menganalisis model yang tepat untuk pemodelan data pengeluaran  perkapita  rumahtangga  yang  memperhitungkan  kekhususan  data  BPS  yang  memiliki struktur hirarki dan pola distribusi data yang memiliki karakteristik skewed kanan. Pemodelan dilakukan dengan  menggunakan  distribusi  Log-normal  tiga  parameter  (LN3P)  dan  Log-logistik  tiga  parameter (LL3P) dengan struktur satu tingkat (unilevel) dan dua tingkat (multilevel). Proses pendugaan parameter dilakukan dengan metode Markov Chain Monte Carlo (MCMC) dan algoritma Gibbs Sampling. Hasil penelitian  menunjukkan  bahwa  pada  model  unilevel,  model  LL3P  lebih  baik  dari  model  LN3P. Sedangkan  pada  model  multilevel,  model  LN3P  lebih  baik  dari  model  LL3P.  Hasil  penelitian  juga menunjukkan model terbaik untuk pemodelan data pengeluaran perkapita rumahtangga adalah model multilevel  LN3P  dengan  intercept  sebagai  komponen  berhirarki  dengan  nilai  Deviance  Information Criterion (DIC) terkecil.
Kata  kunci : Generalized  Multilevel  Linear  Model ,  LL3P,  LN3P,  MCMC,  Pengeluaran  perkapita rumahtangga.

## Abstract
Household per capita expenditure data is one of the important information as an approach to measure the  level  of  prosperity  in  an  area.  Such  data  is  needed  by  the  government,  both  at  the  central  and regional  levels  in  formulating,  implementing  and  evaluating  the  implementation  of  development programs. This research is aimed at modeling the household per capita expenditure data which takes into account the specificity of BPS data which has a hierarchical structure, and data distribution pattern which has the right skewed characteristic. The modeling is done by using the three parameters of Log- normal  distribution  (LN3P)  and  the  three  parameters  of  Log-logistics  (LL3P)  with  a  single  level (unilevel) and two levels (multilevel) structure. The parameter estimation process is done by Markov Chain Monte Carlo (MCMC) method and Gibbs Sampling algorithm. The results showed that on the unilevel model, the LL3P model is better than the LN3P model. While in multilevel model, LN3P model is better than LL3P model. The results also show that the best model for modeling household per capita expenditure data is the LN3P multilevel model with the smallest Deviance Information Criterion (DIC) value.
Keywords:  Generalized  Multilevel  Linear  Model,  LL3P,  LN3P,  MCMC,  Household  per  capita expenditure.

## PENDAHULUAN
Salah  satu  tujuan  Negara  Republik Indonesia  yang  sekaligus  menjadi  amanat konstitusi  sebagaimana  termaktub  dalam Pembukaan  Undang-Undang  Dasar  1945 adalah  memajukan  kesejahteraan  umum. Untuk  mewujudkan  tujuan  tersebut  maka pemerintah melakukan perumusan perencanaan,  melaksanakan  pembangunan dan  secara  berkesinambungan  melakukan evaluasi  atas  pelaksanaan  pembangunan. Keberhasilan  pembangunan  secara  umum diukur  dari  tingkat  kemakmuran  dan kesejateraan  rakyat.  Salah  satu  pendekatan pengukuran tingkat kemakmuran dan kesejahteraan  rakyat  adalah  pengeluaran perkapita rumahtangga.
Pada dasarnya
faktor yang berpengaruh  dalam  masalah  kemakmuran dan  kesejahteraan    dapat  dikategorikan dalam  dua  hal  pokok  yaitu  paradigma perilaku  dan  paradigma  kebijakan  (Atika dan Pirmansyah, 2011). Paradigma perilaku terkait dengan upaya masing-masing individu  dan  rumahtangga  dalam  mencapai kesejahteraan. Sedangkan paradigma kebijakan  terkait  dengan  kondisi  ekonomi, politik  dan  kebijakan  pemerintah.  Hal  ini menunjukkan  bahwa  kondisi  di  luar rumahtangga itu sendiri juga mempengaruhi perbedaan  tingkat  kesejahteraan.  Dengan demikian
tingkat kesejahteraan rumahtangga  di  suatu  wilayah  dipengaruhi oleh faktor internal dan eksternal rumahtangga tersebut.
Pada umumnya, data di  bidang sosial seperti data pengeluaran perkapita rumahtangga  memiliki  struktur  data  yang berhirarki  dimana  unit-unit  di  tingkat  yang lebih  rendah,  yaitu  rumahtanga  tersarang ( nested ) atau terkelompok dalam unit-unit di tingkat  yang  lebih  tinggi  yaitu  wilayah (desa/kelurahan/dsb). Oleh karena itu pemodelan pengeluaran perkapita rumahtangga hendaknya mempertimbangkan kombinasi antara
karakteristik  rumahtangga  dan  karakteristik wilayahnya.
Keterbatasan  analisis  statistik  klasik untuk  data  berstruktur  hirarki  adalah  tidak diperhitungkannya  struktur  hirarki  data.
Teknik yang biasa digunakan adalah teknik agregasi, disagregasi dan pemodelan regresi menurut kelompok (Goldstein, 1995; Raudenbush dan Byrk, 2002; De Leeuw dan Meijer,  2008).  Analisis  dengan  metode klasik  hanya  dilakukan  pada  salah  satu tingkatan data yaitu tingkat individu dengan menggunakan  teknik  disagregasi,  atau  di tingkat  kelompok  dengan  menggunakan teknik  agregasi.  Namun  demikian,  teknik klasik tersebut akan sangat berpengaruh dari sisi metodologi dan statistiknya (De Leeuw dan Meijer, 2008).
Menurut  Goldstein  (1995)  dan  Hox (1995), penggunaan model multilevel untuk data  bestruktur  hirarki  memiliki  beberapa kelebihan.
Model multilevel
dapat digunakan  untuk  menganalisis  informasi dari  beberapa  tingkatan  yang  berbeda menjadi  satu  analisis  statistik.  Model multilevel memperhitungkan pengaruh variasi  setiap  tingkat  data  terhadap  variasi respon.  Hal  ini  memungkinkan  peneliti untuk mengetahui variasi di setiap tingkatan data terhadap variasi respon.
Data pengeluaran rumahtangga memiliki  karakteristik  khusus  dengan  nilai yang  selalu  positif  dan  memiliki  frekuensi tinggi untuk pengeluaran perkapita rumahtangga golongan menengah ke bawah, sedangkan  untuk  golongan  rumahtangga menengah  ke  atas  memiliki  frekuensi  yang relatif  rendah.  Distribusi  yang  sesuai  untuk pola  data  tersebut  dan  banyak  digunakan untuk  analisis  di  bidang  sosial  ekonomi adalah  distribusi  Log-normal  dan  distribusi Log-logistik (Johnson, Kotz dan Balakrishnan, 1995b). Sesuai dengan karakteristik pengeluaran perkapita
rumahtangga  yang  tidak  pernah  nol,  maka digunakan  distribusi  Log-normal  dan  Log- logistik yang diperluas dengan penambahan satu  parameter  yang  selanjutnya  dikenal dengan distribusi Log-normal tiga parameter dan  distribusi  Log-logistik  tiga  parameter (Ismartini dkk, 2012).
Beberapa penelitian yang
menggunakan  konsep multilevel dalam analisis  penelitiannya  antara  lain  dilakukan oleh  Ha  dkk  (2005)  yang  melakukan penelitian  mengenai  pemodelan  dengan menggunakan  metode multilevel  mixed
linear untuk  data  survival  CGD  (Chronic Granulomatous  Deseas).  Zimmer  dkk (2010)  menggunakan  model  hirarki  linier untuk memperkirakan perbedaan pedesaan/perkotaan dalam status fungsional transisi pada masyarakat Cina yang berumur 55  tahun  ke  atas  selama  2  tahun  dan memperkirakan  derajat  dimana  tingkat sosial  ekonomi  individu  dan  komunitas merupakan  penentu  dalam  menjelaskan perbedaan status tersebut. Sementara Anderson  dan  Wells  (2010)  menggunakan pendekatan  Bayesian  hirarki  regresi  pada pemodelan  hirarki  untuk  data  kelompok longitudinal penelitian hukum empiris.
Keterbatasan model hirarki sederhana seperti hirarki linier klasik dengan pendekatan Maximum  Likelihood adalah apabila jumlah sampel yang kecil dan tidak setimbang  terdapat  pada  model  dengan tingkat  yang  lebih  tinggi,  maka  inferensia statistiknya ada kemungkinan menjadi tidak dapat  dipercaya  (Raudenbush  dan  Bryk, 2002). Sehingga untuk mengatasi permasalahan  tersebut  maka  digunakan pendekatan  Bayesian  pada  model  hirarki atau Hierarchical  Bayesian (HB)  dimana menurut  Raudenbush  dan  Bryk  (2002), model  HB  memiliki  keuntungan  yaitu mampu mengatasi permasalahan pemodelan hirarki  untuk  jumlah  data  yang  sedikit  dan tidak  seimbang  baik  pada  tingkat  bawah maupun pada tingkat yang lebih tinggi.
Pada  tahun  2012,  Ismartini  dkk mengembangkan model linier hirarki dengan pendekatan Bayesian untuk pemodelan  data  pengeluaran  perkapita rumahtangga berbasis distribusi Log-normal tiga  parameter  (LN3P)  dan  distribusi  Log- logistik  tiga  parameter  (LL3P).  Namun penelitian  yang  dilakukan  oleh  Ismartini belum  dilakukan  kajian  yang  lebih  detail dari  sisi  konsep Generalized  Linear  Model (GLM).
Tujuan makalah ini yaitu memodelkan pengeluaran perkapita rumahtangga di Kota Jambi dengan menggunakan model unilevel dan multilevel berbasis pada distribusi LN3P dan  distribusi  LL3P.  Proses  pemodelan dimulai  dengan  membentuk  model  paling sederhana,  yaitu  model unilevel dengan tanpa kovariat, sampai model yang
kompleks yaitu model multilevel . Kemudian model-model  tersebut  dibandingkan  untuk diperoleh model terbaik dengan menggunakan kriteria Deviance Information Criterion (DIC).

## TINJAUAN PUSTAKA
1. Model Multilevel Linier
Model multilevel merupakan  model regresi yang mengakomodasi adanya struktur  data  hirarki  atau  data  bersarang. Dalam  sturktur  data  hirarki  ini,  variabel respon  diukur  pada  level  mikro  saja, sedangkan variabel prediktor diukur baik di level  mikro  maupun  di  level  makro (Goldstein,  1995;  Hox,  2010).  Sesuai dengan  konsep  hirarki,  maka  model multilevel menghasilkan  persamaan  regresi bertingkat, yaitu koefisien regresi di tingkat lebih  rendah  diregresikan  lagi  di  tingkat yang lebih tinggi. Ismartini dkk . (2012) pada penelitiannya tentang pemodelan pengeluaran per kapita rumahtangga, menjelaskan  model multilevel pada  level mikro  menggambarkan  hubungan  antara variabel  respon  (pengeluaran  per  kapita rumahtangga)  dengan  beberapa  variabel prediktor  yang  merupakan  karakteristik rumahtangga.  Sedangkan  model  pada  level makro menjelaskan hubungan antara koefisien  model  pada  level  mikro  dengan karakteristik wilayah.
Persamaan  model  mikro  untuk  setiap kelompok adalah sebagai berikut:
, (1)
dimana   = 1,2, ..., dan k = 1,2, ..., K , atau jika  dinyatakan  dalam  bentuk  matriks menjadi:
(2)
dengan:
,
, ,
,
Pembentukan model makro dilakukan dengan  menjadikan  koefisien  regresi  pada model  mikro, r =  0,1,2,  ..., P dalam persamaan (2) sebagai variabel respon yang dijelaskan  oleh  model  makro.  Bentuk persamaan makro adalah sebagai berikut:
,
atau  jika  dinyatakan  dalam  bentuk  matriks adalah
(3)
dengan:
,
, , .
Asumsi  model  hirarki  dua  tingkat tersebut adalah: (Hox, 1995; De Leeuw dan Kreft, 2006)
a. Level mikro
i. Residual  bersifat  independen  atau
,
ii. berdistribusi normal
iii. iv. dengan adalah varians residual
model mikro kelompok ke- k .
b. Level makro
i. Residual  bersifat  independen  atau , dan ii. berdistribusi normal iii. iv. , dengan: dengan adalah varians residual model makro untuk koefisien regresi ke-
r pada kelompok ke- k .
c. Antar level Residual level mikro bersifat independen  terhadap  residual  level makro atau . Persamaan  gabungan  dari  persamaan (2) dan (3) adalah:  (Raudenbush dan  Byrk, 2002; De Leeuw dan Kreft, 2006; Goldstein,
1995)
(4) dengan: adalah komponen tetap (deterministik)  dan adalah komponen random (stokastik) dalam model multilevel ,
,
.
2. Generalized Linear Model
Generalized  Linear  Model (GLM) merupakan  perluasan  dari Linear  Model .
Terdapat  tiga  komponen  dalam  GLM  yaitu komponen  random,  komponen  sistematik dan komponen fungsi penghubung.
Komponen random mencakup variabel yang mempunyai distribusi yang termasuk dalam keluarga  eksponensial,    misalnya  binomial, poisson,  normal,  gamma,  dsb.  Komponen sistematik  adalah  kombinasi  linier  dari fungsi nilai harapan komponen acak dengan kovariatnya.  Sedangkan fungsi penghubung merupakan  bentuk  dari  fungsi  parameter natural. Formula distribusi keluarga eksponensial adalah (Dobson, 2002):
(5)
Pada  penelitian  ini  digunakan  asumsi pola  distribusi  LN3P  dan  distribusi  LL3P. Jika Y adalah  variabel  random  yang berdistribusi Log-normal 3  parameter (LN3P) yang dinotasikan , maka fungsi
kepadatan peluang (pdf) dari Y dapat ditulis sebagai  berikut  (Johnson  dkk.,  1995a  dan Aitchison, 1957):
(6) dimana , , dan ,
dengan   adalah parameter lokasi ( location ), adalah  parameter  skala  ( scale )  dan adalah parameter batas ( threshold ).
Persamaan  (6)  di  atas  selanjutnya dapat ditulis kembali dalam bentuk persamaan:
(7)
Dari  persamaan  (7)  tersebut  terlihat bahwa  distribusi  LN3P  termasuk  keluarga eksponensial. Dengan cara yang sama untuk distribusi  LL3P  juga  dapat  dituliskan persamaan distribusi keluarga eksponensial.
Selanjutnya, nilai harapan dan varians model dapat dinyatakan sebagai berikut:
(8) (9) Fungsi nilai harapan model merupakan fungsi identitas dengan persamaan:
(10)
Kemudian,  untuk  pemodelan  GLM dengan struktur data berhirarki, maka GLM diperluas  menjadi Generalized  Multilevel Linear  Model (GMLM)  dengan  formula fungsi nilai harapan sebagai berikut:
(11)

## 3. Pengujian Distribusi Data Respon
Pada  penelitian  ini  digunakan  uji Anderson-Darling untuk pengujian distribusi  data  variabel  respon.  Salah  satu alasan  digunakannya  uji  Anderson-Darling adalah  bahwa  uji  Anderson-Darling  lebih fleksibel daripada uji Kolmogorov-Smirnov (Anderson  dan  Darling,  1952).  Hal  ini karena  uji  Anderson-Darling  merupakan modifikasi  dari  uji  Kolmogorov-Smirnov dimana  dilakukan  penggabungan  fungsi bobot sehingga uji Anderson-Darling menjadi lebih fleksibel.
Formula hipotesis uji Anderson- Darling adalah sebagai berikut: H 0 :  Data  mengikuti  suatu  pola  fungsi distribusi tertentu
H 1 : Data tidak mengikuti suatu pola fungsi
distribusi tertentu Menurut  Anderson-Darling  (1954), misal dimana n adalah banyaknya pengamatan, maka statistik ujinya adalah sebagai berikut:
(12)
dimana
adalah  fungsi  distribusi
kumulatif.  Nilai  kritis  dari  uji  Anderson- Darling dirumuskan sebagai berikut:
(13)
dimana CV ( Critical  Value )  adalah  nilai kritis. H 0 ditolak jika

## 4. Analisis Bayesian
Metode  Bayesian  mengacu  nama ilmuwan  Thomas  Bayes  (1702-1761)  yang menemukan  perlakuan  matematika  untuk masalah non trivial dari inferensi Bayesian. Thomas Bayes menemukan suatu penyelesaian  untuk  kasus  khusus  yang kemudian  dikenal  dengan  nama  Teorema Bayesian.  Selanjutnya  Teorema  Bayesian dipopulerkan  oleh  Matematikawan  asal Prancis,  Peirre-Simon  Laplace  dengan istilah peluang Bayesian.
Berbeda dengan teori  statistika klasik ( frequentist ), analisis bayesian memperlakukan semua parameter yang tidak diketahui  sebagai  variabel  random  dan memiliki distribusi (Boldstad, 2007).
Teorema bayesian didasarkan pada distribusi posterior yang merupakan perpaduan antara distribusi prior (informasi masa lalu sebelum dilakukan observasi) dan data  observasi  yang  digunakan  untuk menyusun fungsi Likelihood (Box dan Tiao, 1973). Hubungan distribusi posterior dengan distribusi prior dan Likelihood dapat ditulis sebagai berikut.
Distribusi posterior  likelihood × Distribusi prior Pada  teorema  Bayes,  apabila  terdapat parameter  yang  diberikan  oleh  data observasi y ,  maka  distribusi  probabilitas untuk posterior  pada  data y akan proporsional dengan perkalian antara distribusi prior  dan  fungsi Likelihood  yang  diberikan  oleh  data y .  Secara matematis dapat ditulis sebagai berikut:
(14) dimana merupakan distribusi posterior yang proporsional dengan perkalian  antara  fungsi Likelihood dan distribusi prior . 4.1

## Markov Chain Monte Carlo
Untuk mendapatkan pendugaan
parameter  dari  distribusi posterior melalui proses  integrasi  seringkali  sulit  dilakukan apabila melibatkan persamaan integral yang sangat kompleks. Oleh karena itu penyelesaian
perhitungan
pendugaan parameter  seringkali  dilakukan  secara numerik,  salah  satunya  adalah  teknik Markov  Chain  Monte  Carlo (MCMC). Menurut  Carlin  (1992)  pendekatan  MCMC sangat  efektif  untuk  mengurangi  beban komputasi dalam menyelesaikan persamaan integrasi  yang  kompleks.  Scollnik  (2011) mengemukakan bahwa metode ini
memungkinkan  proses  simulasi  dengan mengambil  sampel  acak  dari  model stokastik yang sangat rumit.
Ide dasar dari MCMC adalah membangkitkan  data  sampel  dari  distribusi posterior sesuai  proses Markov  Chain dengan menggunakan simulasi Monte Carlo secara  iteratif  sehingga  diperoleh  kondisi yang konvergen terhadap posterior (Ntzoufras,  2009).  Kondisi  tersebut  harus memenuhi  sifat-sifat Markov  Chain yang strongly ergodic (Boldstad, 2010; Tailor dan Carlin, 1998) yaitu:
a. Irreducible ,  artinya  sampel  parameter yang dibangkitkan melalui proses MCMC adalah bersifat random.
b. Aperiodic , artinya sampel parameter yang dibangkitkan tersebut tidak memiliki pola yang  periodik  dalam  domain  nilai tertentu.
c. Recurrent ,  artinya  perubahan  sampel parameter  terjadi  secara  stabil  dalam domain nilai tertentu.
5. Hierarchical Bayesian (HB)
Raudenbush dan Byrk (2002) menyatakan  bahwa  secara  umum  proses pembentukan model HB dua tingkat diawali dengan  membentuk  model  mikro  sesuai persamaan  (2)  sebagai Likelihood dari  data observasi yang memiliki parameter   dan
, dengan sehingga  fungsi Likelihood adalah .  Selanjutnya ditentukan  prior  dari  parameter-parameter yang  tidak  diketahui  dan  dilakukan  secara bertingkat  yaitu two  stage  prior (untuk model  hirarki  dua  tingkat). Stage-1 prior berdasarkan model makro sesuai persamaan (2) yang dinyatakan dalam notasi
dengan adalah  matriks  koefisien  regresi model  makro  dan    adalah  matriks  varians kovarians dari . Tahap selanjutnya adalah menentukan stage-2 prior yang dinyatakan dalam notasi
.  Dengan  demikian  distribusi posterior model  HB  adalah  fungsi  yang proporsional terhadap perkalian Likelihood , stage-1  prior dan stage-2  prior yang dinyatakan dalam notasi sebagai berikut:
(15)
Distribusi prior yang digunakan untuk masing-masing  elemen  vektor  parameter model  HB  berdasarkan  distribusi  LN3 adalah sebagai berikut:
, , . (16)
Penentuan  nilai  parameter  distribusi prior dilakukan  dengan  cara  gabungan antara conjugate prior dan informative prior (berdasarkan  data).  Proses  penentuan  nilai parameter tersebut dilakukan secara berulang-ulang  dimana  hasil  ( posterior ) pada  setiap  percobaan  dijadikan  informasi untuk  memperbaiki prior model  sehingga diperoleh hasil estimasi yang konvergen dan memenuhi  sifat-sifat Markov  Chain yang strongly ergodic (Boldstad, 2010; Tailor dan Carlin,  1998),  proses  perbaikan  prior berulang  tersebut  dikenal  dengan two-step MCMC (Iriawan, 2012).
.
6. Pemodelan
Pemodelan data pengeluaran perkapita rumahtangga  dengan  distribusi  LN3P  dan distribusi  LL3P  dalam  penelitian  ini meliputi:
a. Model unilevel , yang meliputi:
a.1  GLM_min, yaitu model GLM minimal  (parameter  hanya  berupa intersep). Persamaan modelnya adalah:
(17)
a.2  GLM_mod,  yaitu  model  GLM dengan  kovariat  (X 1 ,  D 2 ,  X 3 ,  D 4 ). Persamaan modelnya adalah:
(18)
b. Model multilevel , yang meliputi:
b.1  GLMM_Int,  yaitu  model  GLM dengan  parameter  intersep  yang bervariasi  menurut  wilayah  dan
tanpa kovariat di model level kedua. Persamaan modelnya adalah:
(19)
b.2  GLMM_X, yaitu  model  GLM dengan  parameter  intersep  dan koefisien  kovariat  di  model  level pertama  yang  bervariasi  menurut wilayah dan tanpa kovariat di model level  kedua.  Persamaan  modelnya adalah:
(20) b.3  GMLM_Int,  yaitu  model  GMLM dengan struktur hirarki pada parameter intersep (terdapat kovariat di  model  level  kedua).  Persamaan modelnya adalah:
(21)
b.4  Model  GMLM_X,  yaitu  model GMLM dengan struktur hirarki pada intersep dan kovariat di  model level pertama  dan  terdapat  kovariat  di model  level  kedua.  Persamaan modelnya adalah:
(22)

## 7. Pemilihan Model Terbaik
Strategi  pemilihan  model  terbaik dalam penelitian ini menggunakan Deviance
Information Criterion (DIC) yang dirumuskan sebagai berikut: (23)
dimana adalah  jumlah  parameter  efektif dari model. Menurut Ntzoufras (2009), DIC merupakan  kriteria  seleksi  model  terbaik yang  hampir  sama  dengan Akaike’s Information Criterion (AIC).

## METODOLOGI

## 1. Sumber Data
Data yang digunakan dalam penelitian ini  bersumber  dari  Badan  Pusat  Statistik (BPS), yaitu:
Data karakteristik individu dan rumahtangga di  Kota  Jambi  yang  berasal  dari  Susenas 2011  dan  data  karakteristik  desa/kelurahan di Kota Jambi yang berasal dari Podes 2011.

## 2. Variabel Penelitian
Variabel respon yang digunakan yaitu data  pengeluaran  perkapita  perbulan  yang diperoleh dengan cara menghitung pengeluaran  rumahtangga  per  bulan  dibagi dengan  jumlah  anggota  rumahtangganya. Sedangkan  variabel  prediktor  dapat  dilihat pada Tabel 1 dan Tabel 2 berikut ini.

## Tabel 1. Variabel Prediktor pada Model Mikro (Karakteristik rumahtangga)
Var Keterangan X 1 Jumlah anggota rumahtangga (ART)
D 2
X 3 D 4
=1, jenis lantai terluas dari keramik/ubin/tegel/teraso
=0, jenis lantai terluas dari lainnya
Luas lantai perkapita =1, sumber energi untuk memasak dari LPG/gas =0, sumber energi untuk memasak dari lainnya Tabel 2. Variabel  Prediktor  pada  Model Makro  (Karakteristik  wilayah Kelurahan) Var Keterangan Z 1 Z 2
Rasio SLTA per 10.000 penduduk

## Rasio Puskesmas per 10.000 penduduk

## HASIL DAN PEMBAHASAN

## 1. Karakteristik Variabel Respon
Karakteristik  variabel  respon  perlu diketahui untuk menentukan bentuk distribusi likelihood yang  nantinya  akan diterapkan pada pemodelan dengan
pendekatan  Bayesian.  Gambar  1  berikut
dapat  menjelaskan  karakteristik  variabel respon (pengeluaran perkapita rumahtangga perbulan).
4000000 2000000 0 Median Mean 850000 800000 750000 700000 650000 600000 550000 1st Q uartile 400255 Median 580867
3rd Q uartile 936162 Maximum 14806907 713720 847319 553069 617246 770966 865612 A -Squared 57,47 P-V alue < 0,005 Mean 780519 StDev 815534 V ariance 6,65096E+11 Skew ness 9,753 Kurtosis 153,988 N 575 Minimum 153095 A nderson-Darling Normality  Test 95%  C onfidence Interv al for Mean 95%  C onfidence Interv al for Median 95%  C onfidence Interv al for StDev 95% Confidence Intervals
Gambar 1.  Karakteristik
data pengeluaran  perkapita rumahtangga  perbulan di Kota Jambi
Dari  Gambar  1  di  atas  terlihat  bahwa terdapat  dua  ciri  pola  data  pengeluaran perkapita rumah tangga perbulan yaitu nilai datanya  positif  dan  memiliki  ekor  yang menceng ke kanan. Beberapa jenis distribusi yang memiliki kedua ciri tersebut diantaranya  adalah  distribusi  Log-normal  2 parameter,  Log-normal  3  Parameter,  Log- logistik  3  parameter  dan  Weibull  3 parameter.

## 2. Distribusi Variabel Respon
Merujuk pada penelitian yang dilakukan oleh Ismartini dkk. (2012), maka pada penelitian ini dilakukan pengujian data pengeluaran perkapita rumahtangga
perbulan di Kota Jambi dengan asumsi awal bahwa  data  mengikuti  pola  distribusi  Log- normal tiga parameter (LN3P) dan distribusi Log-logistik  tiga  parameter  (LL3P).  Dari Tabel  3  terlihat  bahwa  distribusi  data pengeluaran  perkapita  rumahtangga  dapat dimodelkan  dengan  distribusi  LN3P  dan distribusi LL3P.

## Tabel 3. Hasil Uji Anderson Darling
Distribusi Banyaknya amatan Nilai AD Critical value LN3P 575 0,44956 2,5018 LL3P 575 0,63205 2,5018
Selanjutnya,  distribusi  LN3P  dan distribusi LL3P dimodelkan dengan metode Generalized  Liniear  Model (GLM)  karena kedua distribusi tersebut dapat dikategorikan sebagai keluarga eksponensial.

## 3. Pemodelan  Pengeluaran  Perkapita Rumahtangga
Proses  pendugaan  parameter  model LN3P  dan  LL3P  dengan  pendekatan Bayesian  dilakukan  dengan  menggunakan MCMC  dan  algoritma Gibbs  Sampling dengan iterasi sebanyak 10.000, thin 10 dan burn-in sebanyak 1000 iterasi.
➢ Pemodelan Unilevel Hasil  pemodelan unilevel ditampilkan pada Tabel 4 sebagai berikut:
Tabel 4. Hasil Pendugaan Parameter
Model  Unilevel  Distribusi  LN3P dan LL3P Parameter 1. Model Berdistribusi LN3P Model Berdistribusi LL3P
GLM_min GLM_mod 2. GLM_min 3.
GLM_mod
𝜆 ( Threshold ) 125000 (100.2) 124900 (100.7) 124900 (100.3) 124900.0 (102.1) β 0 13.06 (0.03159) 12.99 (0.01987) 13.05 (0.03188) 12.99 (0.01989) β 1 - -0.09684 (0.004649) - 0.3091 (0.01707) β 2 - 0.3109 (0.01699) - 0.01077 (0.00058) β 3 - 0.01075 (0.000589) - 0.2862 (0.0191) β 4 - 0.2879 (0.01987) - 0.3091 (0.01707) DIC 16369.3 16081.0 16372.2 16061.0
Dari  Tabel  4  terlihat  bahwa  model unilevel yang terbaik adalah model GLM_mod berdistribusi LL3P, yaitu model dengan variabel X 1 , D 2 , X 3 , dan D 4 sebagai kovariat.
Model  GLM_mod  dengan  empat kovariat  (X 1 ,  D 2 ,  X 3 ,  dan  D 4 )  selanjutnya digunakan sebagai basis pemodelan multilevel .
➢ Pemodelan Multilevel
Kondisi  berbeda  terjadi  pada  model multilevel ,  dimana  model  LN3P  secara
umum lebih baik daripada model LL3P jika dilihat dari nilai DIC sebagaimana ditampilkan pada Tabel 5 berikut ini.
Tabel 5. Nilai  Deviance  dan  DIC  untuk
Pemodelan Multilevel Distribusi Model Deviance DIC LN3P GLMM_Int 15950 15975,5 GLMM_X 15940 15966,4 GMLM_Int * 15870 15922.5 GMLM_X * 16630 16654,4 LL3P GLMM_Int 15950 15992,6 GLMM_X 15940 15979,9 GMLM_Int * 15870 15935.9 GMLM_X * 16660 16694,4 Keterangan :
*) Model  GMLM  menggunakan  empat kovariat  di  model  level  pertama  (X 1 ,  D 2 , X 3 , dan D 4 ) dan dua kovariat di model level kedua  (Z 1 dan  Z 2 ).  Penggunaan  kovariat tersebut  didasarkan  pada  signifikansi parameter dan kebaikan model
Tabel  5  menunjukkan  bahwa  model GMLM_Int berdistribusi LN3P mempunyai nilai DIC yang paling kecil di antara model multilevel lainnya. Selain itu, jika dibandingkan dengan model unilevel terbaik (GLM_mod2  berdistribusi  LL3P),  model GMLM_Int berdistribusi LN3P mempunyai nilai  DIC  yang  lebih  kecil.  Dengan demikian,  model  terbaik  di  antara  semua model  yang  dihasilkan  pada  penelitian  ini adalah model multilevel berdistribusi LN3P dengan  struktur  hirarki  pada  parameter intersep (GMLM_Int berdistribusi LN3P).

## 4. Model Terbaik
Uraian  berikut  ini  menjelaskan  lebih detail model terbaik (GMLM_Int berdistribusi LN3P) yang dihasilkan, meliputi  pemilihan  distribusi  prior,  hasil pendugaan parameter dan diagnosa model.
Distribusi prior yang digunakan untuk model GMLM_Int LN3P adalah:
,
,
, , ,
(24)
Adapun  hasil  pendugaan  parameter model  terbaik  ditampilkan  pada  Tabel  6 berikut ini:

## Tabel 6. Hasil Pendugaan Parameter Model GMLM_Int Berdistribusi LN3P
Parameter Mean sd 2.5% 97.5% 4. Sample 𝜆 ( Threshold ) 121100 3008.0 115100 1.27E+5 9001 γ 00 13.13 0.07217 12.99 13.27 9001 γ 01 0.06592 7.6E-4 0.06441 0.06741 9001 γ 02 0.06593 7.599E-4 0.06445 0.0674 9001 β 1 -0.0921 0.005058 -0.1022 -0.0824 9001 β 2 - - - - - β 3 0.3136 0.01699 0.281 0.3469 9001 β 4 0.01114 6.07E-4 0.00992 0.0123 9001 β 5 0.279 0.01974 0.2399 0.3175 9001
Tabel  6  menunjukkan  bahwa  semua parameter  model  dapat  diduga  secara signifikan. Hal ini terlihat dari nilai Credible Interval (antara 2.5% sampai dengan 97.5%) yang  tidak  mengandung  nilai  nol.  Secara matematis  dapat  ditulis  dalam  persamaan sebagai berikut:
Dari persamaan model terlihat  bahwa kovariat  model  di  level  kedua  (proporsi banyaknya SMU terhadap jumlah penduduk dan  proporsi  puskesmas  terhadap  jumlah penduduk)  berpengaruh  positif  terhadap pengeluaran perkapita rumah tangga masing-masing  sebesar  exp(0.066)=1.068 kali.  Adapun  pengaruh  kovariat  model  di level pertama terlihat bahwa variabel jumlah anggota  rumahtangga  berpengaruh  negatif terhadap pengeluaran
perkapita
rumahtangga  sebesar  exp(-0.0921)=0.91 kali. Selanjutnya, variabel jenis lantai terluas dari    keramik/  keramik/  ubin/  tegel/  teraso
berpengaruh terhadap pengeluaran perkapita rumahtangga sebesar sebesar exp(0.3136)=1.368  kali,  kemudian  variabel luas  lantai  perkapita  berpengaruh  terhadap pengeluaran perkapita rumahtangga sebesar exp(0.0111)=1.011 kali, dan variabel sumber energi untuk memasak berpengaruh terhadap pengeluaran perkapita rumahtangga sebesar exp(0.279)=1.322 kali. ➢ Diagnosa Model
Diagnosa  model  terbaik  ditampilkan dalam  Gambar  2.  Dari  Gambar  2  terlihat bahwa sampel parameter yang dibangkitkan dari  distribusi  posterior  untuk  menduga parameter  sudah  memenuhi  persyaratan pemodelan  Bayesian.  Hal  ini  terlihat  dari plot  ACF  yang  menunjukkan  kondisi
Irreducible (sampel parameter yang dibangkitkan melalui proses MCMC bersifat random) dan Aperiodic (tidak memiliki pola periodik).  Kemudian,  dari Density plot terlihat  bahwa  sampel  parameter  yang dibangkitkan  melalui  proses  MCMC  sudah sesuai  dengan  distribusi  normal  dan  dari Serial plot terlihat bahwa pergerakan sampel parameter tercapai kondisi recurrent (stabil dalam  domain  nilai  tertentu).  Dengan terpenuhinya kondisi Irreducible , Aperiodic dan Recurrent maka dapat disimpulkan hasil pendugaan parameter model telah
memenuhi  sifat-sifat Markov  Chain yang strongly  ergodic sehingga  model  layak digunakan untuk keperluan analisis statistik.
(a) ACF Plot a00 lag 0 20 40 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 (b) Density Plot a00 sample: 9001 12.8 13.0 13.2 13.4 0.0 2.0 4.0 6.0 (c) Serial Plot
a00
iteration 1000 2500 5000 7500 10000 12.8 13.0 13.2 13.4 13.6
Gambar 2. Diagnostic plot model GMLM_Int  distribusi  LN3P untuk parameter γ 00 ➢ Prediksi Model Prediksi model GMLM_Int berdistribusi LN3P dan distribusi LL3P ditampilkan  dalam  Gambar  3  sebagai berikut:
100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 1 17 16 15 14 13 12 11 Percentile Ln (Y -t h re sh o ld ) Aktual Pred GMLM_Int LN3P Pred GMLM_Int LL3P
Gambar 3 Plot persentil data aktual dan hasil  prediksi  model  GMLM berdistribusi LN3P dan LL3P Dari  Gambar  4.3  terlihat  bahwa  hasil prediksi  antara  model  GMLM  berdistribusi LN3P dan model GMLM berdistribusi LL3P mempunyai kemiripan dimana plot prediksi kedua  model  tersebut  berhimpitan.  Namun masih  terlihat  bahwa  kemampuan  prediksi kedua  model  masih  perlu  ditingkatkan, khususnya  untuk  persentil  bawah  dan persentil atas  yang terdapat gap antara data aktual dengan hasil prediksi model.

## KESIMPULAN DAN SARAN
1. Kesimpulan
Dari hasil analisa yang sudah diuraikan pada bab sebelumnya, maka dapat diperoleh kesimpulan sebagai berikut: 1. Model LL3P memberikan hasil pemodelan  yang  lebih  baik  daripada model LN3P untuk pemodelan unilevel .
Sedangkan untuk pemodelan multilevel , model LN3P memberikan hasil pemodelan  yang  lebih  baik  dari  model LL3P.
2. Model  GMLM_Int  LN3P  (model multilevel berdistribusi  LN3P  dengan struktur hirarki pada parameter intersep) adalah  model  terbaik  untuk  pemodelan data pengeluaran perkapita rumahtangga dengan nilai DIC terkecil.

## 2. Saran
Dari  plot  antara  data  aktual  dan  hasil prediksi  model  ternyata  masih  didapatkan gap  yang  semakin  besar  untuk  persentil menengah ke bawah dan persentil menengah ke  atas.  Selain  itu,  nilai Deviance  dan  DIC yang  diperoleh  dari  pemodelan  GMLM masih  cukup  tinggi.  Oleh  karena  itu disarankan untuk penelitian selanjutnya agar menambah  level  model  menjadi  tiga  level. Harapannya dengan menambah level model akan  memperkecil  nilai  Deviance  dan mengurangi besarnya gap antara data aktual dan prediksi model.

## DAFTAR PUSTAKA
Anderson, T.W. dan Darling, D.A. 1954. A test  Goodness  of  Fit. Journal  of American Statistical Association ,
Volume 49, Issue 268, hal. 765-769.
Anderson,  T.W.  dan  Darling,  D.A  .1952.
Asymptotic Theory of Certain
“Goodness  of  Fit”  Criteria  Based  on stochastic  Process. The  Annals  of Mathematical Statistics , Vol. 23, No. 2, hal. 193-212.
Anderson,  W.,  dan  Wells,  M.T.  2010.  A
Bayesian Hierarchical Regression Approach to Clustered and Longitudinal  Data  in  Empirical  Legal Studies. Journal  of  Empirical  Legal Studies ,  Volume  7,  Issue  4,  hal.  634- 663.
Boldstad,  W.M.  2007. Introduction  to Bayesian Statistics. 2nd Edition . Wiley, New Jersey.
Box, G.E.P. dan Tiao, G.C. 1973. Bayesian Inference  in  Statistical  Analysis .  John Willey And Sons, Inc : New York.
BPS Kota Jambi. 2011. Kota Jambi Dalam Angka  2011. Badan  Pusat  Statistik Kota Jambi, Provinsi Jambi.
Carlin,  B.P.  1992.  A  SimpleMonte  Carlo
Approach  to  Bayesian  Graduation. Transactions of the Society of Actuaries XLIV, hal. 55–76.
Carlin,  B.  P.  dan  Chib,  S.  1995.  Bayesian model choice via Markov  Chain  Monte Carlo  methods .  Journal  of  the  Royal Statistical Society, Ser. B. Vol.57 No.3, hal.473–484.
De  Leeuw,  J.  dan  Kreft,  I.  2006.  Random Coefficient  Models  for  Multilevel
Analysis. Departement  of  Statistics
Paper . Departement of Statistics, UCLA, Los Angeles. http://preprints.stat.ucla.edu/496/dLK_j es.pdf (19 Juli 2010).
Dobson,  A.J.  2002. An  Introduction  to Generalized  Linear  Models,  Second Edition . Chapman & Hall, London
Gelman, A., dan Hill, J. 2006. Data Analysis Using  Regression  and  Multilevel  /
Hierarchical Models . Cambridge University Press.
Goldstein,  H.  1995. Multilevel  Statistical Models .  2 nd e dition .  Arnold,  London.
ISBN-10: 111995682X, hal. 382.
Ha,  I.D.,  dan  Lee.  Y.  2005.  Multilevel Mixed Linear Models for Survival Data.
Lifetime Data Analysis , 11, hal. 131-142.
Hox, J.J. 1995. Applied Multilevel Analysis , 1 st e dition ,  TT-Publikaties,  Amsterdam, hal. 119.
Iriawan,  N.  2012. Pemodelan  dan  Analisis Data Driven . ITS Press : Surabaya .
Ismartini,  P.,  Iriawan,  N.,  Setiawan,  dan
Ulama, B.S.S. 2012. Toward a
Hierarchical  Bayesian  Framework  for Modelling  the  Effect  of  Regional Diversity  on  Household  Expenditure. Journal  of  Mathematics  and  Statistics, Vol.8, No.2, hal. 283-291.
Kaashoek,  J.F.  dan  Van  Dijk,  H.K.  2002. Neural Network Pruning Applied to Real Exchange  Rate  Analysis. Journal  of Forecasting , 21, pp. 559-577.
McCullagh,  P.,  dan  Nelder,  J.A.  1989.
Generalized  Linear  Models , Second
Edition . Chapman & Hall, London Raudenbush,  S.W.  dan  A.S.  Bryk.  2002. Hierarchical Linear Models: Applications and Data Analysis
Methods . 2 nd edition . Sage Publications,
Thousand Oaks. ISBN-10: 076191904X, hal. 485.
Scollnik, D. P. M. 2011. An Introduction To Markov  Chain  Monte  Carlo  Methods And  Their  Actuarial  Applications . Handbook  of  Markov  Chain  Monte Carlo Chapter 1, hal.114-165 : Chapman
&  Hall/CRC  Handbooks  of  Modern Statistical Method.
Steenbergen, M. R., dan Jones, B. S. 2002.
Modelling  Multilevel  Data  Structure. American Journal of Political Science ,
Vol. 46, No. 1, hal. 218-237.
Tailor,  H.M.,  dan  Carlin,  S.  1998. An Introduction to Stochastic Modelling 3 rd edition . Academic Press, San Diego.
Zimmer, Z., Wen, M., dan Kaneda, T. 2010.
A Multi-Level Analysis of Urban/Rural and  Socioeconomic  Differences  in Functional  Health  Status  Transition among Older Chinese. Social Science & Medicine 71, hal. 559-567.