## Grup Multiplikatif 2 𝑼 𝒏
Mahmudi 1 , Malahayati 2
1 Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Syiah Kuala, Jl. Syech Abdurrauf No. 3, Kopelma Darussalam, Banda Aceh 23111, Indonesia 2 Program Studi Matematika, Fakultas Sains dan Teknologi, UIN Sunan Kalijaga, Jl. Marsda Adisucipto No. 1 Yogyakarta, Indonesia
Korespondensi; Mahmudi, Email: mahmudi@unsyiah.ac.id; Malahayati, Email: malahayati_01@yahoo.co.id

## Abstrak
Artikel ini membahas bukti grup multiplikatif 𝟐𝑼 𝒏 menggunakan aturan kanselasi. Lebih jauh, juga dibuktikan bahwa grup tersebut merupakan grup siklik menggunakan hubungan isomorfisma grup dengan grup 𝑼 𝒏 .
Kata Kunci aturan kanselasi; grup multiplikatif; grup siklik; isomorfisma grup

## Abstract
In this article, we prove the multiplicative group 𝟐𝑼 𝒏 using the cancellation law. Futhermore, we also prove that 𝟐𝑼 𝒏 is a cyclic group using an isomorphism property.
Keywords cancellation law; multiplicative groups; cylic groups; Isomorphism

## Pendahuluan
Telah  diketahui  secara  umum  bahwa  himpunan ℤ 𝑛 merupakan  grup  terhadap  operasi  penjumlahan modulo 𝑛 tetapi  tidak  membentuk  struktur  grup  terhadap  operasi  perkalian  modulo 𝑛 [1].  Dengan membentuk  himpunan 𝑈 𝑛 = {𝑥 ∈ ℤ 𝑛 |(𝑥, 𝑛) = 1} maka  dapat  diperiksa  bahwa  himpunan  tersebut membentuk grup terhadap operasi perkalian modulo 𝑛 [2]. Lebih jauh, Green membuktikan bahwa himpunan 2𝑈 𝑛 juga  merupakan  grup  terhadap  operasi  perkalian  modulo 2𝑛 [3].  Selain  itu,  Green juga memberikan beberapa ide lanjutan yang dapat dilakukan pada himpunan 2𝑈 𝑛 .
Artikel  ini  mencoba  untuk  membahas  beberapa  ide  tersebut,  diantaranya  adalah  membuktikan semigrup 2𝑈 𝑛 merupakan  grup  dengan  menggunakan  aturan  kanselasi.  Selain  itu,  artikel  ini  juga membuktikan  bahwa  grup 2𝑈 𝑛 isomorfik  dengan  grup 𝑈 𝑛 , dan  berdasarkan  hal  tersebut  diperoleh hasil bahwa 2𝑈 𝑛 merupakan grup siklik.
Satu hal yang dibatasi dalam artikel ini, bilangan 𝑛 pada grup 𝑈 𝑛 maupun himpunan 2𝑈 𝑛 adalah bilangan prima ganjil lebih besar dari 1.

## Landasan Teori
Suatu  operasi  biner  pada  himpunan  tak  kosong 𝐺 didefinisikan  sebagai  fungsi 𝐺 × 𝐺 → 𝐺 yang mengaitkan setiap pasang (𝑎, 𝑏) ∈ 𝐺 × 𝐺 dengan suatu elemen tunggal 𝑎 ∗ 𝑏 , atau 𝑎𝑏 di 𝐺 [4]. Grup (𝐺,∗ )  adalah  himpunan  tak  kosong 𝐺 terhadap  operasi  biner ∗ yang  memenuhi  4  aksioma,  yaitu tertutup, asosiatif, memiliki elemen identitas dan setiap elemen 𝐺 memiliki invers di 𝐺 [2]. Grup 𝐺 yang  memenuhi 𝑎 ∗ 𝑏 = 𝑏 ∗ 𝑎 untuk  setiap 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐺 dinamakan  grup  komutatif,  dan  jika  tidak memenuhi sifat tersebut dinamakan grup tak komutatif [4].
Salah satu sifat penting yang akan digunakan dalam hasil utama artikel ini adalah aturan kanselasi sebagaimana berikut ini.
Lemma 2.1 [5]. Misalkan 𝐺 adalah grup dan 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝐺 maka 𝑥𝑦 = 𝑥𝑧 berakibat 𝑦 = 𝑧 , dan 𝑦𝑥 = 𝑧𝑥 berakibat 𝑦 = 𝑧 .
Bukti Lemma 2.1 dapat dengan mudah dibaca di beberapa referensi aljabar [1][2][4][5].
Sementara semigrup (𝐺,∗) adalah himpunan tak kosong 𝐺 terhadap operasi biner ∗ yang memenuhi 2 aksioma, yaitu tertutup dan asosiatif  [5]. Beberapa sifat semigrup dinyatakan dalam teorema berikut.
Teorema 2.2 [5]. Misalkan (𝐺,∗) adalah semigrup. Jika 𝐺 memiliki elemen identitas kiri dan setiap elemen 𝐺 memiliki elemen invers kiri maka (𝐺,∗) adalah grup.
Bukti: Misalkan 𝑒 adalah elemen identitas kiri, yaitu 𝑒 ∗ 𝑥 = 𝑥 untuk setiap 𝑥 ∈ 𝐺, dan terdapat 𝑥 −1 ∈ 𝐺 sedemikian  sehingga 𝑥 −1 ∗ 𝑥 = 𝑒. Pertama,  akan  dibuktikan  bahwa 𝑒 juga  merupakan  elemen identitas kanan. Dapat diperiksa bahwa
𝑥 −1 ∗ 𝑥 = 𝑒 = 𝑒 ∗ 𝑒 = (𝑥 −1 ∗ 𝑥) ∗ 𝑒.
Karena 𝑥 −1 ∈ 𝐺 dan memiliki invers kiri maka (𝑥 −1 ) −1 ∈ 𝐺 dan (𝑥 −1 ) −1 ∗ 𝑥 −1 = 𝑒 , yang berakibat 𝑥 −1 ∗ 𝑥 = (𝑥 −1 ∗ 𝑥) ∗ 𝑒 ⟹ (𝑥 −1 ) −1 ∗ (𝑥 −1 ∗ 𝑥) = (𝑥 −1 ) −1 ∗ (𝑥 −1 ∗ 𝑥) ∗ 𝑒 ⟹ ((𝑥 −1 ) −1 ∗ 𝑥 −1 ) ∗ 𝑥 = ((𝑥 −1 ) −1 ∗ 𝑥 −1 ) ∗ (𝑥 ∗ 𝑒)
⟹ 𝑒 ∗ 𝑥 = 𝑒 ∗ (𝑥 ∗ 𝑒) ⟹ 𝑥 = 𝑥 ∗ 𝑒
Artinya, 𝑒 merupakan elemen identitas kanan. Kedua, untuk setiap 𝑥 ∈ 𝐺 akan dibuktikan bahwa 𝑥 −1 juga merupakan elemen invers kanan, yaitu 𝑥 ∗ 𝑥 −1 = 𝑒. Dapat diperiksa bahwa 𝑥 −1 ∗ 𝑒 = 𝑥 −1 = 𝑒 ∗ 𝑥 −1 = (𝑥 −1 ∗ 𝑥) ∗ 𝑥 −1 .
Dengan  cara  yang  serupa  dengan  sebelumnya,  diperoleh 𝑒 = 𝑥 ∗ 𝑥 −1 . Artinya 𝑥 −1 merupakan elemen invers kanan. ∎
Teorema berikut akan digunakan untuk membuktikan salah satu hasil dari artikel ini, bahwa untuk menjamin  suatu  semigrup  berhingga  merupakan  suatu  grup  cukup  dengan  menggunakan  aturan kanselasi.
Teorema 2.3. [5]. Misalkan 𝐺 adalah suatu semigrup dengan banyaknya elemen berhingga. Jika untuk semua 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝐺 berlaku 𝑎𝑏 = 𝑎𝑐 berakibat 𝑏 = 𝑐 dan 𝑦𝑥 = 𝑧𝑥 berakibat 𝑦 = 𝑧 maka 𝐺 adalah grup.
Bukti: Karena 𝐺 adalah semigrup, maka hanya perlu dibuktikan bahwa 𝐺 memuat elemen identitas dan setiap elemen 𝐺 memiliki invers. Untuk memudahkan, penulisan operasi di 𝐺 tidak dinotasikan dan ditulis sebagaimana operasi perkalian biasa.
Tulis 𝐺 = {𝑥 1 , 𝑥 2 , 𝑥 3 , ⋯ , 𝑥 𝑛 } dan 𝑦 adalah elemen tertentu di 𝐺. Karena 𝐺 semigrup maka 𝑦𝑥 𝑖 ∈ 𝐺 untuk  semua 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 .  Berdasarkan  asumsi  juga  diperoleh 𝑦𝑥 𝑖 = 𝑦𝑥 𝑗 berakibat 𝑥 𝑖 = 𝑥 𝑗 , dengan demikian 𝐺 = {𝑦𝑥 1 , 𝑦𝑥 2 , 𝑦𝑥 3 , ⋯ , 𝑦𝑥 𝑛 }. Khususnya 𝑦 = 𝑦𝑥 𝑚 untuk suatu 1 ≤ 𝑚 ≤ 𝑛.
Dapat diperiksa bahwa 𝑦𝑦 = (𝑦𝑥 𝑚 )𝑦 = 𝑦(𝑥 𝑚 𝑦), dengan menggunakan aturan kanselasi diperoleh 𝑦 = 𝑥 𝑚 𝑦. Artinya, elemen 𝑥 𝑚 merupakan identitas kiri bagi elemen 𝑦. Selanjutnya, akan dibuktikan bahwa 𝑥 𝑚 merupakan elemen identitas kiri bagi semua elemen di 𝐺. Ambil sebarang 𝑝 ∈ 𝐺, diperoleh 𝑝 = 𝑦𝑥 𝑙 untuk  suatu 1 ≤ 𝑙 ≤ 𝑛. Dengan  demikian, 𝑥 𝑚 𝑝 = 𝑥 𝑚 (𝑦𝑥 𝑙 ) = (𝑥 𝑚 𝑦)𝑥 𝑙 = 𝑦𝑥 𝑙 = 𝑝, artinya 𝑥 𝑚 adalah elemen identitas kiri di 𝐺.
Berikutnya, akan dibuktikan bahwa setiap elemen 𝐺 memiliki elemen identitas kiri. Ambil sebarang 𝑞 ∈ 𝐺, dan bentuk himpunan {𝑥 1 𝑞, 𝑥 2 𝑞, ⋯ , 𝑥 𝑛 𝑞}. Berdasarkan aturan kanselasi kanan diperoleh bahwa himpunan tersebut merupakan 𝐺. Dengan demikian, 𝑥 𝑚 = 𝑥 𝑟 𝑞 untuk suatu 1 ≤ 𝑟 ≤ 𝑛, artinya elemen 𝑥 𝑟 adalah invers kiri bagi elemen 𝑞.
Berdasarkan Teorema 2.2 maka 𝐺 adalah grup. ∎
Satu  grup  dapat  saling  terkait  dengan  grup  yang  lain,  hubungan  antar  grup  yang  dapat mempertahankan  operasi  biner  dinamakan  homomorfisma  grup,  lebih  jauh  didefinisikan  juga isomorfisma grup sebagaimana Definisi 2.4 berikut.
Definisi  2.4.  [2]. Misalkan (𝐺 1 ,⊕) dan (𝐺 2 ,⊗) masing-masing  adalah  grup  terhadap  operasi  yang diberikan. Pemetaan 𝑓: 𝐺 1 → 𝐺 2 adalah isomorfisma grup jika 𝑓 adalah pemetaan korespondensi satu- satu dan untuk setiap 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐺 1 berlaku 𝑓(𝑥 ⊕ 𝑦) = 𝑓(𝑥) ⊗ 𝑓(𝑦).
Salah satu manfaat mengetahui hubungan antar grup adalah untuk mengetahui struktur grup yang belum diketahui dari struktur grup yang lainnya. Sepertinya halnya sifat siklik suatu grup, sebagaimana Teorema 2.5 berikut.
Teorema 2.5. [1]. Misalkan 𝑓 adalah isomorfisma grup dari 𝐺 1 ke 𝐺 2 maka 𝐺 1 adalah grup siklik jika dan hanya jika 𝐺 2 grup siklik.
Bukti: Misalkan 𝐺 1 = 〈𝑥〉 , karena 𝑥 ∈ 𝐺 1 maka 𝑓(𝑥) ∈ 𝐺 2 dan 〈𝑓(𝑥)〉 ⊆ 𝐺 2 . Ambil sebarang 𝑦 ∈ 𝐺 2 , karena 𝑓 pada maka terdapat 𝑥 𝑘 ∈ 𝐺 1 sedemikian sehingga 𝑦 = 𝑓(𝑥 𝑘 ), yang berakibat 𝑦 = (𝑓(𝑥)) 𝑘 . Diperoleh 𝑦 ∈ 〈𝑓(𝑥)〉, dengan  demikian 𝐺 2 ⊆ 〈𝑓(𝑥)〉. Karena, 〈𝑓(𝑥)〉 ⊆ 𝐺 2 dan 𝐺 2 ⊆ 〈𝑓(𝑥)〉 maka 𝐺 2 = 〈𝑓(𝑥)〉 , artinya 𝐺 2 grup siklik. Dengan cara serupa, dapat dibuktikan untuk arah sebaliknya. ∎

## Hasil dan Pembahasan
Untuk 𝑛 > 1, Green  menggunakan  empat  aksioma  grup  untuk  membuktikan  bahwa  himpunan 2𝑈 𝑛 merupakan grup terhadap operasi perkalian modulo 2𝑛 jika dan hanya jika 𝑛 bilangan prima ganjil [3]. Green menemukan bahwa elemen 𝑛 + 1 merupakan elemen identitas di grup 2𝑈 𝑛 . Tanpa harus mengulang tulis bukti, diasumsikan bahwa himpunan 2𝑈 𝑛 merupakan semigrup berhingga.
Teorema berikut menyatakan bahwa berlakunya aturan kanselasi pada semigrup 2𝑈 𝑛 . Teorema 3.1. Untuk setiap 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 2𝑈 𝑛 , jika 𝑎 ∗ 2𝑛 𝑏 = 𝑎 ∗ 2𝑛 𝑐 maka 𝑏 = 𝑐.
Bukti:  Ambil  sebarang 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 2𝑈 𝑛 maka 𝑎 = 2𝑥, 𝑏 = 2𝑦, dan 𝑐 = 2𝑧 untuk  suatu 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝑈 𝑛 . Dikarenakan 𝑎 ∗ 2𝑛 𝑏 = 𝑎 ∗ 2𝑛 𝑐 maka (2𝑥)(2𝑦 − 2𝑧) = 2𝑛𝑘. Dengan kata lain 2𝑛|2𝑥(2𝑦 − 2𝑧),
Karena 𝑥 ∈ 𝑈 𝑛 maka 𝑥 dan 𝑛 saling prima atau 𝑛 tidak membagi habis 𝑥, yang berakibat 2𝑛 ∤ 2𝑥 . Dengan demikian 2𝑛 membagi habis 2𝑦 − 2𝑧 atau 2𝑦 = 2𝑧 ( 𝑚𝑜𝑑 2𝑛). Artinya 𝑏 = 𝑐. ∎
Telah  terbukti  bahwa  pada  semigrup 2𝑈 𝑛 berlaku  aturan  kanselasi  kiri,  karena 2𝑈 𝑛 memiliki  sifat komutatif  maka  aturan  kanselasi  kanan  juga  berlaku.    Dengan  demikian,  versi  Teorema  2.3  untuk semigrup 2𝑈 𝑛 dapat dinyatakan sebagai berikut.
Teorema 3.2. Untuk bilangan prima ganjil 𝑛 > 1 , (2𝑈 𝑛 ,∗ 2𝑛 ) merupakan grup multiplikatif.
Bukti:  Berdasarkan  Teorema  3.1,  semigrup  berhingga 2𝑈 𝑛 memenuhi  aturan  kanselasi,  dengan demikian, berdasarkan Teorema 2.3 terbukti bahwa (2U n ,∗ 2n ) merupakan grup multiplikatif. ∎
Selanjutnya, akan dibuktikan bahwa terdapat hubungan antara grup 𝑈 𝑛 dengan grup 2𝑈 𝑛 . Bukti disajikan  dengan  mendefinisikan  pengaitan  dari 𝑈 𝑛 ke  grup 2𝑈 𝑛 dan  dibuktikan  bahwa  pengaitan tersebut  merupakan  pemetaan.  Berikutnya  dibuktikan  bahwa  pemetaan  tersebut  mempertahankan
operasi  biner.  Untuk  membuktikan  bahwa  terdapat  korespondensi  satu-satu  dilakukan  dengan menghitung nilai kernel dan image pemetaan tersebut. Berikut dapat dibaca detailnya.
Teorema 3.3. Grup (𝑈 𝑛 ,∗ 𝑛 ) isomorfik dengan grup (2𝑈 𝑛 ,∗ 2𝑛 ).
Bukti: Definisikan pengaitan 𝑓: 𝑈 𝑛 → 2𝑈 𝑛 sebagai 𝑓(𝑥) = (𝑛 + 1)𝑥 (𝑚𝑜𝑑 2𝑛) untuk setiap 𝑥 ∈ 𝑈 𝑛 . Ambil sebarang 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑈 𝑛 maka 𝑥 − 𝑦 = 𝑛𝑘 , perhatikan bahwa (𝑛 + 1)(𝑥 − 𝑦) = (𝑛 + 1)(𝑛𝑘) = 2𝑙(𝑛𝑘) = (2𝑛)𝑙𝑘, diperoleh (𝑛 + 1)𝑥 = (𝑛 + 1)𝑦  (𝑚𝑜𝑑 2𝑛) .  Artinya, 𝑓 adalah  suatu  pemetaan.  Selanjutnya,  ambil sebarang 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑈 𝑛 , dapat dibuktikan bahwa ((𝑛 + 1)𝑥)((𝑛 + 1)𝑦) − (𝑛 + 1)𝑥𝑦 = (𝑛 + 1)𝑥𝑦(𝑛 + 1 − 1)
= (𝑛 + 1)𝑥𝑦(𝑛) = 2𝑛𝑝,
untuk suatu 2𝑝 = (𝑛 + 1)𝑥𝑦.
Dengan demikian, ((𝑛 + 1)𝑥)((𝑛 + 1)𝑦) = (𝑛 + 1)𝑥𝑦 (𝑚𝑜𝑑 2𝑛) , diperoleh
𝑓(𝑥) ∗ 2𝑛 𝑓(𝑦) = 𝑓(𝑥 ∗ 𝑛 𝑦), artinya 𝑓 mempertahankan operasi biner. Untuk membuktikan terdapat korespondensi satu-satu, dapat dilakukan dengan menghitung nilai ker 𝑓 dan 𝑖𝑚 𝑓. ker 𝑓 = {𝑥 ∈ 𝑈 𝑛 |𝑓(𝑥) = 𝑛 + 1}
= {𝑥 ∈ 𝑈 𝑛 |(𝑛 + 1)𝑥 = 𝑛 + 1}
= {𝑥 ∈ 𝑈 𝑛 |(𝑛 + 1)(𝑥 − 1) = 2𝑛𝑙}
= {𝑥 ∈ 𝑈 𝑛 |2𝑝(𝑥 − 1) = 2𝑛𝑙} = {𝑥 ∈ 𝑈 𝑛 |𝑝(𝑥 − 1) = 𝑛𝑙} = {1 ∈ 𝑈 𝑛 }
Ide untuk menghitung 𝑖𝑚 𝑓 berikut diperoleh dari Berger [6]. im 𝑓 = {(𝑛 + 1)𝑥(𝑚𝑜𝑑 2𝑛)|𝑥 ∈ 𝑈 𝑛 } = {2𝑝𝑥 (𝑚𝑜𝑑 2𝑛)|𝑥 ∈ 𝑈 𝑛 } = {2(𝑝𝑥) (𝑚𝑜𝑑 2𝑛)|𝑝𝑥 ∈ 𝑈 𝑛 } = {2𝑦 (𝑚𝑜𝑑 2𝑛)|𝑦 ∈ 𝑈 𝑛 }
= 2𝑈 𝑛 .
Dengan  demikian,  terdapat  korespondensi  satu-satu  antara  grup 𝑈 𝑛 dengan  grup 2𝑈 𝑛 . Artinya, 𝑈 𝑛 isomorfik dengan 2𝑈 𝑛 . ∎
Karena 𝑈 𝑛 isomorfik dengan 2𝑈 𝑛 maka akan diperoleh akibat berikut. Akibat 3.4. Grup 2𝑈 𝑛 merupakan grup siklik.
Bukti: Berdasarkan Teorema 3.3, diperoleh bahwa 𝑈 𝑛 isomorfik dengan 2𝑈 𝑛 , karena 𝑈 𝑛 merupakan grup siklik, maka berdasarkan Teorema 2.5 grup 2𝑈 𝑛 juga merupakan grup siklik. ∎

## Kesimpulan
Berdasarkan  hasil  dan  pembahasan  telah  dapat  dibuktikan  bahwa  semigrup 2𝑈 𝑛 untuk 𝑛 bilangan prima ganjil merupakan grup dengan menggunakan aturan kanselasi. Salah satu kekurangan pembuktian dengan metode ini adalah elemen identitas tidak dapat langsung ditentukan. Selain itu, telah dibuktikan bahwa 2𝑈 𝑛 juga merupakan grup siklik menggunakan sifat isomorfik dengan grup 𝑈 𝑛 . Penelitian ini masih dapat dikembangkan untuk sebarang bilangan 𝑛 dan sebarang bilangan 𝑘 untuk membentuk 𝑘𝑈 𝑛 .

## Referensi
[1] J. A. Gallian, Contemporary Abstract Algebra, 9th ed. Boston: Cengage Learning , 2017.
[2] L. Gilbert and J. Gilbert, Elements of Modern Algebra., 8th ed. Stamford: Cengage Learning , 2015.
[3] B. Green, “A Project for Discovery, Extension, and Generalization in Abstract Algebra ,” Coll. Math. J., vol. 31, no. 4, pp. 329– 332, 2000.
[4] T. W. Judson and R. A. Beezer, Abstract Algebra , Theory and Applications. pretextbook.org, 2019.
[5] Shariar  Shariari, Algebra in  Action, A Course in Groups, Rings, and Fields. Providence, Rhode Island: American Mathematical Society, 2017.
[6] R. I. Berger, “Hidden Group Structure,” Math. Assoc. Am., vol. 78, no. 1, pp. 45–48, 2005.

## THIS PAGE INTENTIONALLY LEFT BLANK