Abstrak — Magnetohidrodinamik (MHD) adalah studi mengenai dinamika  fluida  konduksi listrik akibat  medan  magnet.  Pada penelitian ini diamati permasalahan tentang aliran fluida kental yang  mengaliri  bola  teriris  bermagnet  dengan  alirannya dipengaruhi konveksi campuran  dengan berfokus pada  kondisi tak tunak. Aliran fluida kental yang melewati bola teriris akan membentuk lapisan batas.  Berdasarkan fenomena pada  lapisan batas  tersebut  dibentuk  Persamaan  Pembangun  dari  model matematika, Persamaan Pembangun berdimensi ditransformasikan ke dalam bentuk non-dimensional selanjutnya ditransformasikan  ke  dalam  bentuk  Persamaan  S imilaritas. Kemudian,  Persamaan  S imiliritas  tersebut diselesaikan secara numerik dengan metode  Keller-Box. S etelah itu, dikaji tentang perbandingan  parameter  yang  digunakan  yaitu  parameter magnetik,  parameter  konveksi,  dan  besar  sudut  irisan  bola terhadap  kurva  kecepatan  dan  te mperatur  dengan  cara mengembangkan model  matematika dari  permasalahan di  atas dan menyelesaikan  secara numerik menggunakan metode Keller- Box. Hasil dari penelitian ini, model matematika yang didapatkan melalui persamaan-persamaan sebelumnya, jika semakin besar parameter magnetik, parameter konveksi dan sudut irisan, maka semakin meningkat pula kecepatan aliran fluida. S ehingga variasi parameter  tersebut  berbanding  lurus dengan  kecepatan fluida. S elain  itu, jika semakin besar  parameter  magnetik, parameter konveksi  dan  sudut  irisan,  maka  semakin  berkurang  pula temperatur  fluida.  S ehingga  parameter  tersebut  berbanding terbalik  dengan  temperatur  fluida.  Namun  pada  simulasi temperatur  Bilangan  Prandtl  berlaku  sebaliknya.  Bilangan Prandtl  berbanding  lurus  dengan  temperatur  fluida  dan berbanding terbalik terhadap kecepatan fluida. Hasil dari setiap simulasi menunjukkan bahwa  setiap kurva  dari  setiap simulasi parameter akan berubah secara signifikan pada setiap perubahan jarak titik penelitan atau jarak lapisan batas.
Kata  Kunci —Bola  pejal  teriris,  Fluida  Kental,  Konveksi Campuran,  Magnetohidrodinamik, Metode Keller-Box.

## I. PENDAHULUAN
LIRAN magnetohidrodinamik atau
Magnetohydrodynamic  Flow  (MHD)  adalah  salah  satu aliran  khusus yang  cukup  sering  diteliti  beberapa  tahun  ini. Aliran  Magnetohidrodinamik  mempelajari  aliran  fluida  yang dapat menghantarkan aliran  listrik  dan dipengaruhi oleh medan magnet [1]. Pada bidang teknologi, pemanfaatan magnetohidrodinamik  cukup  luas.  Salah  satunya adalah  pada PLTU  [2].  Medan  magnet  juga  dapat  digunakan  untuk
mengendalikan  operasi  aliran  seperti  di  mana  cairan  keluar mengandung listrik  dan terionisasi [3].
Dalam  hal  ini  aliran  fluida  kental  dipengaruhi  oleh  medan magnet  dan  aliran  konveksi.  Medan  magnet  disekitar  fluida akan merubah kecepatan fluida.  Konveksi merubah temperatur aliran  fluida  kental  yang  melewati  permukaan  bola  teriris karena  adanya  gaya  luar  yang  mempengaruhi  perpindahan panas.  Permukaan  irisan  bola  mempengaruhi  kecepatan  dan suhu aliran fluida.  Variasi  sudut irisan bola juga mempengaruh i kecepatan fluida. Penelitian sebelumnya mengenai magnetohidrodinamik  fluida  kental  tak tunak dengan konveksi paksa yang mengalir  melewati  bola teriris  diteliti  menggunakn berbagai parameter  [4].
Dalam  penelitian  ini,  digunakan  beberapa tinjauan  pustaka mengenai  magnetohidrodinamik  mulai  dari  jenis  konveksi, jenis  fluida,  dan  lainnya  [5],  selain  itu  konveksi  bebas juga pernah diteliti [6]. Hasil simulasi numerik aliran magnetohidrodinamik tak  tunak  pada  konveksi  paksa menggunakan metode  Keller-Box  menunjukkan  bahwa  ketika parameter  magnetik  bertambah  maka  distribusi  temperatur fluida  berkurang  dan  ketika  parameter  magnetik  berkurang maka  distribusi kecepatan fluida juga berkurang [7].  Selain  itu, kecepatan  akan  semakin  bertambah  seiring  bertambahnya medan magnet [8].  Dan juga bertambahnya parameter magnetik maka  profil  kecepatan  semakin  bertambah  pada  fluida micropolar  [9].
Dalam  penelitian    ini  akan  diselidiki  pengaruh  adanya parameter magnetik,  parameter konveksi, dan besar sudut irisan bola terhadap kurva kecepatan dan temperatur  fluid.  Penelitian ini juga akan dikaji  secara teoritik dan numerik pengaruh medan magnet  dan  perpindahan panas dengan konveksi  paksa  pada fluida  pekat,  apabila  melewati  sebuah benda  yang berbentuk bola  teriris  dibawah  pengaruh koveksi  campuran.  Bola  yang diiris adalah bola pejal dengan permukaan halus (tidak berpori).

## II. METODOLOGI PENELITIAN
Tahapan penelitian yang dijabarkan disini akan memperjela s apa  saja  yang  dilakukan  dalam  menyelesaikan  permasalahan pada penelitian ini. Secara detail,  desain dan metode penelitian ini dapat diuraikan sebagai berikut:

## Magnetohidrodinamik  Tak Tunak Pada Konveksi  Campuran Yang Mengalir Melalui Bola Teriris Dalam Fluida Kental Di Bawah Pengaruh  Medan Magnet
Mochamad Satria Dharma Utama, Basuki Widodo,  dan  Dieky Adzkiya Departemen Matematika, Fakultas Matematika Komputasi dan Sains Data, Institut  Teknologi  Sepuluh Nopember (ITS)
e-mail : b_widodo@matematika.its.ac.id,  dieky@matematika.its.ac.id
A
1. Mengkaji model  matematika  aliran  fluida dan perpindahan panas tak  tunak pada lapisan batas magnetohidrodinamik aliran  fluida kental yang melalui  bola teriris .
2. Mengkaji model  matematika  aliran  fluida dan perpindahan panas tak  tunak pada lapisan batas magnetohidrodinamik aliran  fluida  kental  yang  melalui  bola  teriris  dibawah pengaruh medan magnet.
3. Mengembangkan  model  aliran  fluida  dan  perpindahan panas tak  tunak pada lapisan batas magnetohidrodinamik aliran  fluida  kental  yang  melalui  bola  teriris  dibawah pengaruh  medan  magnet menggunakan continuum principle dan hukum-hukum  fisika.
4. Mengembangkan  metode  beda  hingga  implisit  dengan metode Keller-Box  untuk penyelesaian model  matematika dari  aliran  fluida  dan  perpindahan panas tak  tunak  pada lapisan  batas  magnetohidrodinamik  aliran  fluida  kental yang melalui  bola teriris dibawah pengaruh medan magnet.
5. Membuat algoritma program. Pada tahapan ini, akan dibuat algoritma  program  dari  penyelesaian metode beda hingga implisit  dengan skema Keller-Box
6. Membuat program  simulasi  hasil.

## III. ANALISIS DAN PEMBAHASAN

## A. Persamaan Pembangun
Persamaan  pembangun  yang  digunakan  pada  fluida  yang bersifat unsteady dan incompressible adalah s ebagai berikut Persamaan Kontinuitas
∇ ∙ 𝒖 = 𝟎 𝜕(𝑟̅𝑢̅)
𝜕 𝑥̅ + 𝜕(𝑟̅𝑣̅ ) 𝜕𝑦̅ = 0 (1)
Persamaan Energi
ρC p ( ∂T ∂t + u ∂𝑇 ∂𝑥 + v ∂𝑇 ∂𝑦 ) = c ( ∂2𝑇 ∂𝑥2 + ∂2 𝑇 ∂𝑦2 ) (2)
Persamaan momentum
∫ 𝜌 (( 𝜕𝒖 𝜕𝑡 ) + (𝒖 ∙ ∇𝒖)) 𝑑∀= (3) ∫(−∇𝑝 + 𝜇∇ 2 𝒖) 𝑑∀ + ∫ −𝜎 25 16 B 0 𝟐 𝒖 𝑑∀ + (𝜌 − 𝜌 ∞ )𝒈 dengan 𝑟̅(𝑥̅) = 𝑏̅ sin 𝑥̅ 𝑏̅ Dimana  variabel  yang  menggunakan  tanda ̅ menunjukan bahwa variabel tersebut merupakan  variabel berdimensi.

## B. Persamaan Momentum
Pada  kasus  ini  sumbu −𝑧 diabaikan.  Sehingga  persamaan momentum  yang ada dapat dibangun cukup pada sumbu −𝑥 dan sumbu −𝑦 . Pada Persamaan momentum  (3)  terdapat komponen vektor,  yang apabila dijabarkan  dan dengan mengelompokka n vektor 𝑖̂ untuk sumbu 𝑥 dan vektor 𝑗̂ untuk sumbu y didapatkan persamaan momentum  pada sumbu 𝑥 𝜌 ( 𝜕𝑢̅ 𝜕𝑡 ̅ + 𝑢̅ 𝜕𝑢 ̅ 𝜕𝑥̅ + 𝑣̅ 𝜕𝑢 ̅ 𝜕𝑦̅ ) = (4) − 𝜕𝑝 𝜕𝑥̅ + 𝜇 ( 𝜕2𝑢̅ 𝜕𝑥̅2 + 𝜕2𝑢 ̅ 𝜕𝑦̅2 ) − 25 16 𝜎 B 0 2 𝑢̅ + (𝜌 − 𝜌 ∞ )𝑔 𝑥 Dan untuk persamaan momentum  pada sumbu 𝑦 𝜌 ( 𝜕𝑣̅ 𝜕𝑡 ̅ + 𝑢̅ 𝜕𝑣̅ 𝜕𝑥̅ + 𝑣̅ 𝜕𝑣̅ 𝜕𝑦̅ ) = (5) − 𝜕𝑝 𝜕𝑦̅ + 𝜇 ( 𝜕2𝑣̅ 𝜕𝑥̅2 + 𝜕2𝑣̅ 𝜕𝑦̅2 ) − 25 16 𝜎B 0 2 𝑣̅ + (𝜌 − 𝜌 ∞ )𝑔 𝑦
Pendekatan  Boussinesq  digunakan  untuk  mendekat i perbedaan kerapatan yang menyebabkan  adanya aliran  akibat
dari  interaksi  antara  gaya  gravitasi  dan  tekanan  hidrostatis seperti  pengaruh  temperatur.  Berdasarkan  pendekatan  Deret Taylor, yaitu 𝜌∞ 𝜌 = 1 + 𝛽(𝑇̅ − 𝑇 ∞ ) + 𝑂(𝑇̅ − 𝑇 ∞ ) 2
Diasumsikan  bahwa  nilai (𝑇̅ − 𝑇 ∞ ) kecil  sehingga  bagian yang  berorder  tinggi  dapat dihilangkan,  maka  persamaannya dapat diubah menjadi
𝜌 − 𝜌 ∞ = −𝜌𝛽(𝑇̅ − 𝑇 ∞ ) (6)
Dengan 𝛽 adalah  koefisien  ekspansi  panas  yang  dapat dinyatakan dengan
𝛽 = − 1 𝜌 ( 𝜕𝜌 𝜕𝑇 ̅ ) 𝑝
Selanjutnya  dengan  mensubtitusikan  persamaan  (6)  pada persamaan  momentum sumbu −𝑥 dan  sumbu −𝑦 yang ditunjukan  pada  persamaan  (4) dan  (5), persamaan momentumnya  menjadi
𝜌 ( 𝜕𝑢̅ 𝜕𝑡 ̅ + 𝑢̅ 𝜕𝑢 ̅ 𝜕𝑥̅ + 𝑣̅ 𝜕𝑢 ̅ 𝜕𝑦̅ ) = (7) − 𝜕𝑝 𝜕𝑥̅ + 𝜇 ( 𝜕2𝑢̅ 𝜕𝑥̅2 + 𝜕2𝑢 ̅ 𝜕𝑦̅2 ) − 25 16 𝜎 B 0 2 𝑢̅ + 𝜌𝛽(𝑇̅ − 𝑇 ∞ )𝑔 𝑥 pada sumbu −𝑥 dan pada sumbu −𝑦 dapat dituliskan menjadi 𝜌 ( 𝜕𝑣̅ 𝜕𝑡 ̅ + 𝑢̅ 𝜕𝑣̅ 𝜕𝑥̅ + 𝑣̅ 𝜕𝑣̅ 𝜕𝑦̅ ) = (8) − 𝜕𝑝̅ 𝜕𝑦̅ + 𝜇 ( 𝜕2𝑣̅ 𝜕𝑥̅2 + 𝜕2𝑣̅ 𝜕𝑦̅2 ) − 25 16 𝜎B 0 2 𝑣̅ + 𝜌𝛽(𝑇̅ − 𝑇 ∞ )𝑔 𝑦 Pada penelitian ini  menggunakan kondisi batas yaitu 𝑡̅ < 0 ∶ 𝑢̅ = 𝑣̅ = 0, 𝑇̅ = 𝑇 ∞ untuk setiap 𝑥̅, 𝑦̅ 𝑡̅ ≥ 0 ∶ 𝑢̅ = 𝑣̅ = 0, 𝑇̅ = 𝑇 𝑤 untuk setiap 𝑦̅ = 0 𝑢̅ = 𝑢̅ 𝑒 (𝑥̅), 𝑇̅ = 𝑇 ∞ saat 𝑦̅ → ∞
Dengan kecepatan aliran  bebas 𝑢̅ 𝑒 = 3 2 sin ( 𝑥̅ 𝑏̅ )

## C. Transformasi Variabel Tak  Berdimensi
Variabel  tak  berdimensi  digunakan  untuk  mempermud a h proses  komputasi.  Pada  permasalahan  ini  variable  tak berdimensi  yang digunakan adalah sebagai berikut[6]
𝑥 = 𝑥̅ 𝑎 ,         𝑦 = 𝑅𝑒 1/2 𝑦̅ 𝑎 ,        𝑟 = 𝑟 𝑎 ̅ ,        𝑏 = 𝑏̅ 𝑎 𝑢 = 𝑢̅ 𝑈 ∞ ,       𝑣 = 𝑅𝑒 1/2 𝑣̅ 𝑈 ∞ 𝑡 = 𝑈 ∞ 𝑡̅ 𝑎 𝑝 = 𝑝̅ 𝜌𝑈 ∞ 2 ,       𝑇 = 𝑇̅ − 𝑇 ∞ 𝑇 𝑤 − 𝑇 ∞ (9)
Dengan 𝑅𝑒 = 𝑈∞𝑎 𝓋 dan 𝓋 adalah viskositas kinematik  yang dapat dituliskan  sebagai 𝓋 = 𝜇 𝜌 . Ditambahkan  pula parameter- parameter  yang didefinisikan  sebagai berikut:
Parameter  Magnetik(M) 𝑀 = 𝜎𝐵 0 2 𝑎 𝜌𝑈 ∞
(10)
Parameter  Konveksi (𝛼) 𝛼 = 𝐺𝑟 𝑅𝑒 2
Bilangan Grashof  (Gr)
𝐺𝑟 = 𝑔𝛽(𝑇 𝑤 − 𝑇 ∞ )𝑎 3 𝓋
Bilangan Prandtl (𝑃𝑟) 𝑃𝑟 = 𝓋𝜌𝐶 𝑝 𝑐
Gambar 1. Gambar Stensil Beda Hingga.
Gambar  2.  Kurva  Kecepatan  dengan  Variasi  Parameter  Konveksi (𝛼) ,
Pr =0.7, 𝜃 𝑠 = 45 ° dan 𝑀 = 10 .
Selanjutnya dilakukan subtitusi variabel-variabel tak berdimensi  (9)  dan parameter  (10)  pada Persamaan (1),  (2),  (7) dan (8) sehingga didapatkan Persamaan Kontinuitas 𝜕(𝑟𝑢)
𝜕𝑥 + 𝜕(𝑟𝑣) 𝜕𝑦 = 0 Persamaan Momentum  sumbu- 𝑥 𝜕𝑢 𝜕𝑡 + 𝑢 𝜕𝑢 𝜕𝑥 + 𝑣 𝜕𝑢 𝜕𝑦 = − 𝜕𝑝 𝜕𝑥 + 1 𝑅𝑒 ( 𝜕 2 𝑢 𝜕𝑥 2 + 1 𝑅𝑒 −1 𝜕 2 𝑢 𝜕𝑦 2 ) − 25 16 𝑀𝑢 + 𝛼𝑇 tan ( 𝑥 cos 𝑥 cos 𝜃 𝑠 )
Persamaan Momentum  sumbu- 𝑦 1 𝑅𝑒 ( 𝜕𝑢 𝜕𝑡 + 𝑢 𝜕𝑢 𝜕x + 𝑣 𝜕𝑢 𝜕𝑦 ) = − 𝜕𝑝 𝜕𝑦 + 1 𝑅𝑒 2 𝜕 2 𝑣 𝜕𝑥 2 + 1 𝑅e 𝜕 2 𝑣 𝜕𝑦 2 − 25 16 𝑀 𝑅𝑒 𝑣 + 𝛼𝑇 𝑅𝑒 1 2 cos ( 𝑥 cos 𝑥 cos 𝜃 𝑠 )
Persamaan Energi
( 𝜕𝑇 𝜕𝑡 + 𝑢 𝜕𝑇 𝜕𝑥 + 𝑣 𝜕𝑇 𝜕𝑦 ) = 1 𝑅𝑒Pr 𝜕 2 𝑇 𝜕𝑥 2 + 1 Pr 𝜕 2 𝑇 𝜕𝑦 2

## D. Pendek atan Lapisan Batas
Digunakan  pendekatan  lapisan  batas  dengan 𝑅𝑒 → ∞ sehingga 1 𝑅𝑒 → 0 , maka  diperoleh
Persamaan Kontinuitas 𝜕(𝑟𝑢) 𝜕𝑥 + 𝜕(𝑟𝑣) 𝜕𝑦 = 0 (11)
Persamaan Momentum  sumbu- 𝑥
𝜕𝑢
𝜕𝑡 + 𝑢 𝜕𝑢 𝜕𝑥 + 𝑣 𝜕𝑢 𝜕𝑦 = − 𝜕𝑝 𝜕𝑥 + 𝜕 2 𝑢 𝜕𝑦 2 − 25 16 𝑀𝑢 + 𝛼𝑇 tan ( 𝑥 cos 𝑥 cos 𝜃 𝑠 ) (12)
Persamaan Momentum  sumbu- 𝑦 𝜕𝑝 𝜕𝑦 = 0 (13)
Persamaan Energi
( 𝜕𝑇 𝜕𝑡 + 𝑢 𝜕𝑇 𝜕𝑥 + 𝑣 𝜕𝑇 𝜕𝑦 ) = 1 Pr 𝜕 2 𝑇 𝜕𝑦 2 (14)
Pada  Persamaan  (13)  ditunjukkan  bahwa  Persamaan momentum  tidak  terpengaruh  oleh  variabel 𝑦 .  Sehingga tekanan  alirannya  hanya  bergantung pada  sumbu −𝑥 .  Maka persamaan momentum  diluar  lapisan batas menjadi
𝜕𝑢 𝑒 𝜕𝑡 + 𝑢 𝑒 𝜕𝑢 𝑒 𝜕𝑥 + 𝑣 𝜕𝑢 𝑒 𝜕𝑦 = (15) − 𝜕𝑝 𝜕𝑥 + 𝜕 2 𝑢 𝑒 𝜕𝑦 2 − 25 16 𝑀𝑢 𝑒 + 𝛼𝑇 tan ( 𝑥 cos 𝑥 cos 𝜃 𝑠 )
dengan menggunakan kecepatan aliran bebas 𝑢 𝑒 = 3
2 sin ( 𝑥 cos 𝑥 cos 𝜃𝑠 ) sehingga diperoleh
𝜕𝑢 𝑒 𝜕𝑡 = 0      ; 𝜕𝑢 𝑒 𝜕𝑦 = 0       ; 𝜕 2 𝑢 𝑒 𝜕𝑦 2 = 0 (16)
Selanjutnya  disubtitusikan  Persamaan  (16)  pada  Persamaaan (15)  diperoleh
𝑢 𝑒 𝜕𝑢 𝑒 𝜕𝑥 = − 𝜕𝑝 𝜕𝑥 − 25 16 𝑀𝑢 𝑒 + 𝛼𝑇 tan ( 𝑥 cos 𝑥 cos 𝜃 𝑠 ) (17)
dan pada saat 𝑇 = 0 diperoleh persamaan
− 𝜕𝑝 𝜕𝑥 = 𝑢 𝑒 𝜕𝑢 𝑒 𝜕𝑥 + 25 16 𝑀𝑢 𝑒 (18)
Kemudian  kondisi 𝑇 = 0 Persamaan (18)  pada Persamaan (12) 𝜕𝑢 𝜕𝑡 + 𝑢 𝜕𝑢 𝜕𝑥 + 𝑣 𝜕𝑢 𝜕𝑦 = (19) 𝑢 𝑒 𝜕𝑢 𝑒 𝜕𝑥 + 𝜕 2 𝑢 𝜕𝑦 2 − 25 16 𝑀(𝑢 − 𝑢 𝑒 ) + 𝛼𝑇 tan ( 𝑥 cos 𝑥 cos 𝜃 𝑠 )

## E. Fungsi Alir
Fungsi alir  ini dinyatakan sebagai berikut:
𝑢 = 1 𝑟 𝜕𝜓 𝜕𝑦 𝑣 = − 1 𝑟 𝜕𝜓 𝜕𝑥
Dengan mensubtitusikan pers amaan fungsi alir pada persamaan (11),  (19)  dan (14),  maka  didapat persamaan sebagai berikut: Persamaan Kontinuitas
𝜕 2 𝜓 𝜕𝑥𝜕𝑦 = 𝜕 2 𝜓 𝜕𝑥𝜕𝑦 (20)
Persamaan Momentum
1 𝑟 𝜕 2 𝜓 𝜕𝑡𝜕𝑦 + 1 𝑟 𝜕𝜓 𝜕𝑦 𝜕 2 𝜓 𝜕𝑥𝜕𝑦 − 1 𝑟 𝜕𝜓 𝜕𝑥 𝜕 2 𝜓 𝜕𝑦 2 = 𝑢 𝑒 𝜕𝑢 𝑒 𝜕𝑥 + 1 𝑟 𝜕 3 𝜓 𝜕𝑦 3 − 25 16 𝑀 ( 1 𝑟 𝜕𝜓 𝜕𝑦 − 𝑢 𝑒 ) + 𝛼𝑇 tan ( 𝑥 cos 𝑥 cos 𝜃 𝑠 ) Persamaan Energi ( 𝜕𝑇 𝜕𝑡 + 1 𝑟 𝜕𝜓 𝜕𝑦 𝜕𝑇 𝜕𝑥 − 1 𝑟 𝜕𝜓 𝜕𝑥 𝜕𝑇 𝜕𝑦 ) = 1 Pr 𝜕 2 𝑇 𝜕𝑦 2
Gambar 3. Kurva T emperatur dengan Variasi Parameter Konveksi (𝛼) , Pr=0.7, 𝜃 𝑠 = 45 ° dan 𝑀 = 10 .
Gambar 4. Kurva Kecepatan dengan Variasi Parameter Sudut Irisan (𝜃 𝑠 ) , Pr=0.7, 𝛼 = 2 dan 𝑀 = 10 .
Gambar  5.  Kurva  T emperatur  dengan  Variasi  Parameter  Sudut Irisan (𝜃 𝑠 ) , Pr =0.7, 𝛼 = 2 dan 𝑀 = 10 .
Gambar 6. Kurva Kecepatan dengan Variasi Parameter Magnetik (𝑀) , Pr =0.7, 𝛼 = 2 dan 𝜃 𝑠 = 45 ° .

## F. Persamaan Similaritas
Persamaan kontinuitas  pada  Persamaan (20) dapat dihilangkan  dari  hasil  fungsi  alir  sehingga  Persamaan pembangun  hanya  ada  2  yaitu  persamaan  momentum  dan persamaan  energi.  Variabel  similaritas  untuk small  time (𝑡 ≤ 𝑡 ∗ ) dengan 𝑡 ∗ sebarang nilai yaitu
𝜓 = 𝑡 1 2 𝑢 𝑒 (𝑥)𝑟(𝑥) 𝑓(𝑥, 𝜂, 𝑡)      𝑇 = 𝑠(𝑥, 𝜂, 𝑡)     𝜂 = 𝑦
𝑡 1 2
Sedangkan untuk large time (𝑡 > 𝑡 ∗ ) dengan 𝑡 ∗ sebarang nila i yaitu 𝜓 = 𝑢 𝑒 (𝑥)𝑟(𝑥)𝐹(𝑥, 𝑌, 𝑡)         𝑇 = 𝑆(𝑥, 𝑌, 𝑡)        𝑌 = 𝑦 dan pada penelitian  ini  sudut pengamatannya yaitu 𝑥 ≈ 0 atau dititik  stagnasi sehingga nilai 𝑢 𝑒 (𝑥) = 0 𝜕𝑢 𝑒 𝜕𝑥 = 3 2 cos 𝜃 𝑠 tan ( 𝑥 cos 𝑥 cos 𝜃 𝑠 ) 𝑢 𝑒 = 2 3
kemudian  dimisalkan 𝜕𝑓 𝜕𝜂 = 𝑓′ dan 𝜕𝑠 𝜕𝜂 = 𝑠 ′ untuk small time dan 𝜕𝐹 𝜕𝑌 = 𝐹′ dan 𝜕𝑆 𝜕𝑌 = 𝑆′ untuk large time
Sehingga Persamaan untuk small time menjadi
𝑓 ′′′ + 𝜂 2 𝑓 ′′ + 𝑡 𝜕𝑢 𝑒 𝜕𝑥 [1 − (𝑓 ′ ) 2 + 𝑓𝑓 ′′ ] = 𝑡 𝜕𝑓′ 𝜕𝑡 − 25 16 𝑀𝑡(1 − 𝑓′) − 3 2 𝛼𝑡𝑠 𝑠′′ + 𝐏𝐫𝜂 2 𝑠′ + 3𝐏𝐫𝑡 2 cos 𝜃 𝑠 𝑓𝑠′ = 𝐏𝐫𝑡 𝜕𝑠 𝜕𝑡
Dan untuk large time menjadi
𝐹′′′ + 3 2 cos 𝜃 𝑠 [1 − (𝐹 ′ ) 2 + 𝐹𝐹′′ )] = 𝜕𝐹 ′ 𝜕𝑡 − 25 16 𝑀(1 − 𝐹′) + 2 3 𝛼𝑆 𝑆′′ + 3𝐏𝐫 2 cos 𝜃 𝑠 𝐹𝑆′ = 𝐏𝐫 𝑆′

## G. Langk ah-langkah Keller-Box
1. Dilakukan  proses merubah  persamaan-persamaan  orde tinggi menjadi  persamaan-persamaan  orde pertama  dan melakukan  permisalan  fungsi sebagai berikut : Small Time
𝑓′ = 𝑢 𝑓 ′′ = 𝑣 𝑠 ′ = 𝑞
Large Time 𝐹 ′ = 𝑈
𝐹′′ = 𝑉 𝑆 ′ = 𝑄
2. Dilakukan  proses diskritisasi  pada  model  matematika yang diperoleh pada waktu kecil  ( Small Time )  dan pada waktu besar ( Large Time )  menggunakan titik  pusat atau titik  tengah (𝜂 𝑗− 1 2 , 𝑡 𝑛 ) pada  ruas 𝑃 1 𝑃 2 dengan  beda hingga  pusat. Sedangkan  untuk  persamaan-persamaan yang tak  linier  digunakan  titik  pusat atau titik    tengah (𝜂 𝑗− 1 2 , 𝑡 𝑛− 1 2 ) pada  segi  empat 𝑃 1 𝑃 2 𝑃 3 𝑃 4 .    Untuk  lebih memahami  pernyataan di atas lihat (Gambar  1):
3. Pada  langkah  ketiga  dilakukan  proses  pelinieran persamaan-persamaan yang diperoleh dengan menggunakan  metode  Newton  yang  kemudian disajikan  dalam  bentuk  matriks  vektor.    Sebelu m melakukan  proses  pelinieran,  diperkenalkan  bentuk iterasi untuk metode Newton sebagai berikut :
Gambar  7.  Kurva  T emperatur  dengan  Variasi  Parameter  Magnetik (𝑀) , Pr =0.7, 𝛼 = 2 dan 𝜃 𝑠 = 45 ° .
Gambar  8.  Kurva Kecepatan dengan Variasi Bilangan  Prandtl (𝐏𝐫) , dengan 𝜃 𝑠 = 45 ° , 𝛼 = 2 dan 𝑀 = 10 .
Small Time 𝑓 𝑗 (𝑖+1) = 𝑓 𝑗 (𝑖) + 𝛿𝑓 𝑗 (𝑖) 𝑢 𝑗 (𝑖+1) = 𝑢 𝑗 (𝑖) + 𝛿𝑢 𝑗 (𝑖) 𝑣 𝑗 (𝑖+1) = 𝑣 𝑗 (𝑖) + 𝛿𝑣 𝑗 (𝑖) 𝑠 𝑗 (𝑖+1) = 𝑠 𝑗 (𝑖) + 𝛿𝑠 𝑗 (𝑖) 𝑞 𝑗 (𝑖+1) = 𝑞 𝑗 (𝑖) + 𝛿𝑞 𝑗 (𝑖) Large Time 𝐹 𝑗 (𝑖+1) = 𝐹 𝑗 (𝑖) + 𝛿𝐹 𝑗 (𝑖) 𝑈 𝑗 (𝑖+1) = 𝑈 𝑗 (𝑖) + 𝛿𝑈 𝑗 (𝑖) 𝑉 𝑗 (𝑖+1) = 𝑉 𝑗 (𝑖) + 𝛿𝑉 𝑗 (𝑖) 𝑆 𝑗 (𝑖+1) = 𝑆 𝑗 (𝑖) + 𝛿𝑆 𝑗 (𝑖) 𝑄 𝑗 (𝑖+1) = 𝑄 𝑗 (𝑖) + 𝛿𝑄 𝑗 (𝑖)
4. Pada  langkah  keempat,  hasil  dari  proses pelinieran diselesaikan  dengan  menggunakan  teknik  elimina s i matriks  blok  tridiagonal.  Persamaan-persamaan  dari hasil  linierisasi  di  atas  dapat  diselesaikan  dengan teknik  eliminasi  blok tridiagonal  yang berupa matriks blok.  Hal  ini  yang merupakan  ciri  dari  penyelesaian dengan metode Keller-Box,  karena pada penyelesaian dengan matriks  tridiagonal,  pada umumnya  elemen - elemennya  berisi  konstanta-konstanta.  Hasil  dari proses linierisasi  tersebut dapat dibentuk matriks  blok tridiagonal  dengan  cara  dinyatakan  dalam  keadaan yaitu saat 𝑗 = 1 , 𝑗 = 𝑁 − 1 , dan , 𝑗 = 𝑁

## H. Hasil Simulasi Numerik
Dilakukan  simulasi  dengan memberikan  inputan  beberapa variasi  yaitu  variasi  magnetik  ( 𝑀 ),  variasi    irisan (𝜃) ,  variasi konveksi (𝛼) ,  dan variasi  bilangan  Prandtl  pada titik  stagnasi terendah yakni 𝑥 = 0° . Dilakukan  simulasi  numerik  bertujuan untuk  mengetahui  bagaimana  profil  kecepatan  dan  profil temeperatur dari pengaruh variasi berbagai kondisi.
1) Pengaruh Variasi  Parameter  Konveksi
Variasi  parameter  konveksi  yang digunakan  pada simulas i ini  yaitu 𝛼 = 1,2,3,4,5 ,  nilai  parameter  lain  yang digunakan adalah 𝑀 = 10 , 𝐏𝐫 = 0,7 , 𝜃 𝑠 = 30 ° ,  banyak  partisi 𝜂 = 40 dengan ∆𝜂 = 𝑙 𝑗 = 0.1 dan  partisi 𝑡 = 33 dengan ∆𝑡 = 𝑘 𝑛 = 5 × 10 −2 dan 𝑡 = 1.65 .  Hasil  simulasinya  dapat dilihat  pada (Gambar  2).
Berdasarkan  Gambar  2,  mulai  dari 𝑓 ′ = 0 sampai 𝑓 ′ ≈ 1 kurva  mengalami  peningkatan.  Dengan  digunakannya variasi parameter  konveksi,  kecepatan mengalami  peningkatan lebih signifikan sebanding dengan parameter variasi yang digun akan. Hal  ini  diakibatkan  karena  meningkatnya  parameter  konveksi akan meningkatkan  gaya apung fluida. Gaya  apung fluida akan mempengaruhi momentum fluida yang juga akan meningkatkan  kecepatan fluida.
Berdasarkan Gambar  3, mulai  dari 𝑠 = 1 sampai 𝑠 ≈ 0 kurva mengalami penurunan. Dengan digunakannya variasi parameter  konveksi,  temperatur  mengalami  penurunan lebih
cepat  dengan  digunakan  variasi  parameter  konveksi  lebih tinggi.  Secara  matematis  hal  ini  terjadi  akibat 𝛼 = 𝐺𝑟 𝑅𝑒2 .  Pada 𝛼 = 𝐺𝑟 𝑅𝑒2 ditunjukan  bahwa (𝛼~𝐺𝑟) .  Bilangan  Grashof  sendiri dapat dinyatakan dengan 𝐺𝑟 = 𝑔𝛽(𝑇𝑤−𝑇∞)𝑎 3 𝑣2 , yang berarti bahwa 𝛼~𝐺𝑟~(𝑇 𝑤 − 𝑇 ∞ ) .  Penurunan  temperatur    terjadi  karena (𝑇 𝑤 − 𝑇 ∞ ) semakin  besar.  Dengan 𝑇 𝑤 nilainya  tetap,  maka temperatur fluida  semakin kecil.
2) Pengaruh Variasi  Parameter  Sudut Irisan 𝜽 𝒔
Variasi  parameter sudut irisan yang digunakan pada simulas i ini  yaitu 𝜃 𝑠 = 15 ° , 30 ° , 45 ° , 53 ° , 60 ° , 65 ° , 70 ° , 85 ° , 89 ° ,  nila i parameter  lain  yang digunakan adalah 𝑀 = 10 , 𝐏𝐫 = 0,7 , 𝛼 = 2 , banyak partisi 𝜂 = 40 dengan ∆𝜂 = 𝑙 𝑗 = 0.1 dan partisi 𝑡 = 33 dengan ∆𝑡 = 𝑘 𝑛 = 5 × 10 −2 dan 𝑡 = 1.65 . Hasil simulasinya dapat dilihat  pada (Gambar  4).
Berdasarkan  Gambar  4,  mulai  dari 𝑓 ′ = 0 sampai 𝑓 ′ ≈ 1 kurva  mengalami  peningkatan.  Dengan  digunakannya variasi parameter 𝜃 𝑠 ,  kecepatan  mengalami peningkatan  lebih signifikan sebanding dengan parameter variasi yang digunakan. Hal ini akan sesuai jika dianalisa bahwa 3𝑡 2 cos 𝜃𝑠 pada persamaan momentum  meningkat  maka cos 𝜃 𝑠 semakin  kecil,  maka  akan mengakibatkan nilai 3𝑡 2 cos 𝜃𝑠 semakin besar, sehingga momentumnya  akan  bertambah  yang  juga  menyebabkan kecepatan fluida semakin  meningkat.
Berdasarkan Gambar  5, mulai  dari 𝑠 = 1 sampai 𝑠 ≈ 0 kurva mengalami penurunan. Dengan digunakannya variasi parameter  konveksi,  temperatur  mengalami  penurunan lebih cepat dengan digunakan variasi  parameter 𝜃 𝑠 lebih  besar. Hal ini  terjadi  Karena  semakin  besar  sudut  irisan  bola  maka permukaan  depan semakin  luas yang mengakibatkan  distribusi panas ke  bola  semakin  cepat  dibandingkan  dengan distribusi panas fluidanya sehingga temperatur semakin  menurun. 3) Pengaruh Variasi  Parameter  Magnetik (𝑴)
Variasi  parameter  magnetik  yang digunakan  pada simulas i ini  yaitu 𝑀 = 0,10,20,30,40 ,  nilai  parameter  lain  yang digunakan  adalah 𝛼 = 2 , 𝐏𝐫 = 0,7 , 𝜃 𝑠 = 30 ° ,  banyak  partisi 𝜂 = 40 dengan ∆𝜂 = 𝑙 𝑗 = 0.1 dan partisi 𝑡 = 33 dengan ∆𝑡 = 𝑘 𝑛 = 5 × 10 −2 dan 𝑡 = 1.65 .  Hasil  simulasinya  dapat dilihat pada (Gambar  6).
Berdasarkan  Gambar  6,  mulai  dari 𝑓 ′ = 0 sampai 𝑓 ′ ≈ 1 kurva  mengalami  peningkatan .  Dengan digunakannya variasi parameter 𝜃 𝑠 ,  kecepatan  mengalami peningkatan  lebih signifikan sebanding dengan parameter variasi yang digunakan.
Gambar 9. Kurva T emperatur dengan Variasi Bilangan Prandtl (𝐏𝐫) , dengan 𝜃 𝑠 = 45 ° , 𝛼 = 2 dan 𝑀 = 10 .
Secara matematis 𝑀 = 𝜎𝐵0 2 𝑎
𝜌𝑈∞ yang berarti dengan bertambahnya  medan  magnet  maka  densitas akan  berkurang sehingga hambatan  akibat  gaya antar partikel  akan  berkurang membuat  kecepatan semakin bertambah.
Berdasarkan Gambar  7, mulai  dari 𝑠 = 1 sampai 𝑠 ≈ 0 kurva mengalami penurunan. Dengan digunakannya variasi parameter magnetik.  Hal ini terjadi karena energi internal fluida semakin  bertambah  karena  pengaruh  medan  magnet  dan densitas  yang  berkurang  sebagai  akibat  bertambahnya parameter  magnetik.  Dengan  bertambahnya  energi  internal maka  energi yang digunakan fluida  untuk bergerak  berkurang, demikian  juga  dengan  densitas  yang  berkurang  artinya kerapatan  molekul  fluida  berkurang sehingga distribusi  panas antar  fluida  berkurang.  Ini  berakibat  temperatur  mengala mi penurunan seiring bertambahnya parameter  magnetik. 4) Pengaruh Variasi  Bilangan Prandtl (𝑷𝒓)
Variasi  bilangan  Prandtl  yang digunakan pada simulasi  ini yaitu 𝐏𝐫 = 0,1,7,40,100 , nilai  parameter  lain  yang digunakan adalah 𝛼 = 2 , M = 10 , 𝜃 𝑠 = 30 ° , banyak partisi 𝜂 = 40 dengan ∆𝜂 = 𝑙 𝑗 = 0.1 dan partisi 𝑡 = 33 dengan ∆𝑡 = 𝑘 𝑛 = 5 × 10 −2 dan 𝑡 = 1.65 . Hasil simulasinya dapat dilihat pada (Gambar  8). Berdasarkan  Gambar  8,  mulai  dari 𝑓 ′ = 0 sampai 𝑓 ′ ≈ 1 kurva  mengalami  peningkatan.  Dengan  digunakannya variasi Bilangan  Prandtl temperatur mengalami  penurunan lebih cepat pada  Bilangan  Prandtl  yang  semakin  besar.  Hal  ini  terjadi karena  secara  matematis 𝐏𝐫  = 𝜈𝜌𝐶𝑝 𝑐 yang  berarti  bahwa bilangan Prandtl  sebanding dengan densitas fluida (𝐏𝐫  ∼  𝜌) . Jadi  jika  bilangan  Prandtl  bertambah  maka  densitas  fluida semakin  meningkat.  Sehingga hal  inilah  yang mengakibatkan kecepatan  fluida  mengalami penurunan  seiring  dengan bertambahnya bilangan Prandtl.
Berdasarkan Gambar  9, mulai  dari 𝑠 = 1 sampai 𝑠 ≈ 0 kurva mengalami penurunan. Dengan digunakannya variasi parameter  magnetik,  temperatur  mengalami  penurunan lebih cepat sebanding dengan bilangan Prandtl yang semakin  besar. Jika  diamati  dengan variasi bilangan Prandtl, kurva temperatur semakin  menurun  dengan bertambahnya bilangan Prandtl.  Hal ini  terjadi  karena 𝑃𝑟  = 𝑣𝜌𝐶𝑝 𝑐 yang  artinya  bilangan  Prandtl merupakan perbandingan  viskositas  kinematika dengan
difusivitas  termal.  Viskositas  kinematika  berkaitan  dengan kecepatan perpindahan  antara  molekul,  sedangkan difusivitas termal  berkaitan dengan perbandingan penerusan pan as dengan kapasitas  penyimpanan  energi  molekul. Semakin besar bilangan  Prandtl  mengakibatkan  difusivitas  termal  semakin kecil  karena  bilangan  Prandtl  berbanding  terbalik  dengan difusivitas  termal.  Ini  berarti  bahwa  dengan  bertambahnya bilangan Prandtl  maka  distribusi panas antar fluida  berkurang atau dapat dikatakan  perpindahan panas ke  permukaan  benda lebih  cepat  dari  pada  fluidanya  sehingga  mengakibatkan temperatur  fluida  semakin  menurun  dengan  bertambahnya bilangan Prandtl.

## IV. KESIMPULAN
Dari  hasil  analisis  dan  pembahasan  yang  telah  dilakukan , sehingga dapat disimpulkan  sebagai berikut:
Berdasarkan  analisis,  pembahasan,  serta  simulasi  numerik dari  magnetohidrodinamik  yang tak  tunak  pada lapisan  batas yang  mengalir  melalui  bola  teriris  di  dalam  fluid a  kental  di bawah  pengaruh  medan  magnet,  maka  dapat  disimpulka n bahwa parameter  magnetik  ( 𝑀 ),  parameter  konveksi ( 𝛼 ),  besar sudut irisan bola (θ s ) , d a n   bilangan Prandtl berbanding lurus dengan kecepatan fluida.  Sedangkan, parameter  magnetik  ( 𝑀 ), parameter konveksi ( 𝛼 ), besar sudut irisan bola (θ s ) berbanding terbalik  dengan  temperatur  fluida,  d a n bilangan  Prandtl berbanding lurus dengan temperatur fluida.

## DAFTAR PUSTAKA
[1] B.  Widodo,  D.  A.  Khalimah,  F.  D.  S.  Zainal,  and  C.  Imron, “Numerical Solution of Heat T ransfer Unsteady Boundary Layer Magnetohydrodynamics in Micropolar Fluid Past a Sphere,” Int. J. Far East J. Math. Sci. Publ. House-India , 2015.
[2] S.  Irianto,  “ Kombinasi  Operasi  PLTU  -  MHD  -  Fuel  Cell  Dan Kemungkinan Penerannya Di Indonesia,” Institut Teknologi Sepuluh Nopember, 2013. [3]
P.  A.  Davidso, An  Introduction  to  Magnetohydrodynamics .  New York: Cambridge University Press, 2010.
[4] I. G. E. P Wijaya, “Magnetohidrodinamik Fluida Kental Tak Tunak dengan  Konveksi  Paksa  yang  Mengalir  Melewati  Bola  T eriris,”
Institut Teknologi Sepuluh Nopember, 2016.
[5] D. .  Khalimah, “ Analisa Aliran Tak Tunak Konveksi Paksa Fluida Kental  Magnetohidrodinamik  (MHD)  Melewati  Silinder  Eliptik,”
Institut Teknologi Sepuluh Nopember, 2015.
[6] B.  Widodo,  C.  Imron,  and  R.  Sahaya,  “ Aliran  Fluida Magnetohidrodinamik Viskoelatis Tersuspensi yang Melewati Pelat Datar,” J. Sains dan Seni ITS , vol. 5, no. 2, 2016.
[7] B.  Widodo, D. A. Khalimah, F. D. S.  Zainal, and C. Imron, “The Effect  of  Prandtl  Number  and  Magnetic  Parameter  on  Forced Convection Unsteady Magnetohydrodynamic Boundary Layer Flow Of A Viscous  Fluid Past A Sphere,” in International Conference on Science and Innovative Engineering (ICSIE) , 2015.
[8] B. Widodo, C. Imron, N. Asiyah, G. O. Siswono, T . Rahayuningsih, and  Purbandini, “ Viscoelastic Fluid Flow  Pass A  Porous Circular Cylinder When T he Magnetic Field Included,” J. Math. Sci. , vol. 99, no. 2, pp. 173–186, 2016.
[9] B.  Widodo, I.  Anggriani, D. .  Khalimah, F. D. S.  Zainal, and  C. Imron,  “ Unsteady  Boundary  Layer  Magnetohydrodynamics  In Micropolar Fluid Past A Sphere,” Far East J. Math. Sci. , vol. 2, pp. 291–299, 2016.