## SOLUSI PERSAMAAN MEDAN GRAVITASI EINSTEIN SIMETRI BOLA STATIS DENGAN SUMBER FLUIDA IDEAL

## Muh. Fachrul Latief, Idawati Supu
Jurusan Fisika,Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Negeri Gorontalo, Jl. Prof. Dr. Ing. B.J. Habibie, Tilongkabila, Kab. Bone Bolango, Gorontalo, 96554, Indonesia E-mail: idawatisupu@ung.ac.id

## Abstrak
Dalam studi ini telah ditelaah kembali solusi dari metrik Tolman, di mana tensor energi momentum yang digunakan untuk menyelesaikan solusi persamaan medan Einstein simetri bola untuk keadaan statis adalah persamaan fluida ideal dengan kasus persamaan geodesik pada koordinat bergerak (co-moving  coordinate).  Beberapa  hal  yang  ditelaah  mulai  dari  perumusan  Metrik  Tolman, perumusan  Persamaan  Medan  Einstein  dan  solusinya,  serta  Solusi  dari  medan  gravitasi  untuk fluida yang tidak dimampatkan. Solusi yang ditelaah memberikan pendekatan bagaiamana sebuah materi  yang  masif  mengalami  keruntuhan  fluida  pada  syarat  interior  dan  eksterior  dari  metrik Schwarzschildnya.
Kata  kunci : Metrik  Tolman;  tensor  energi-momentum;  persamaan  Medan  Einstein,  medan gravitasi, metrik Schwarzschild.

## Abstract
This study has been reviewed about the solution of the Tolman metric, where the momentum-energy tensor used to solve the solution of the spherical symmetric Einstein field equation for the static state which is an ideal fluid equation in the case of the geodesic equation in co-moving coordinates. Some of the things that were studied started from formulation of the Tolman Metric, formulation of the Einstein Field Equation and its solution, and solution of the gravitational field for an incompressible fluid.  The  solution  under  study  provides an approximation of how  a  massive  material  undergoes fluid collapse on the interior and exterior terms of its Schwarzschild metric.
Keywords : Tolman  Metric;  energy-momentum  tensor;  Einstein  field  equation;  gravity  field; Schwarzschild metric.

## PENDAHULUAN
Solusi  Schwarzschild  merupakan  solusi vakum dari persamaan medan gravitasi Einstein simteri  bola  dan  statis.  Solusi  ini  mampu menjelaskan  medan  gravitasi  yang  berada  di luar sebuah bola yang bermassa, dengan asumsi bahwa  muatan  listrik  dan  momentum  sudut bermassa dan konstanta kosmologi bernilai nol. Selain  itu,  solusi  Schwarzschild  telah  terbukti memainkan kepentingan yang paling mendasar dalam  konsep-konsep  relativitas  umum  dan dinamika  lainnya  seperti  fenomena  cakrawala peristiwa  ( event  horizon ),  singularitas  ruang- waktu  serta  beberapa  aspek  yang  berkaitan dengan  teori  medan  kuantum  dalam  ruang- waktu melengkung. Solusi inilah yang memberi wawasan pertama mengenai fenomena keruntuhan  gravitasi  [1]  dan  menginspirasi
konstruksi  dari  model  teoritik  tentang  bintang relativistik lainnya [2,3].
Pada pertengahan tahun 1960, objek yang dikenal  sebagai  lubang  hitam  diakibatkan adanya  bintang  yang  runtuh  atau  yang  dikenal sebagai  keruntuhan  gravitasi  [4]  atau  disebut juga sebagai bintang beku [5]. Baru pada tahun 1965 yang  menandai  era di  mana para peneliti intensif  pada  topik  lubang  hitam.  Oleh  karena itu,  uji  eksperimental  solusi  Schwarzschild, geometri  eksterior  telah  sangat  berhasil memberikan  makna  fisis  seperti  presisi perihelion  Merkurius,  fenomena  pembelokan cahaya di mana medan gravitasi Schwarzschild eksterior  bertindak  sebagai  lensa  gravitasi. Selain  itu,  sangat  menarik  untuk  melihat  efek kopling  Chern-Simons  dalam  gangguan  di sekitar  ruang-waktu  Schwarzschild.  Gangguan linier  dari  ruang-waktu  Schwarzschild  dalam
teori  ini  dijelaskan  dalam  [6,7,8],  dan gelombang gravitasi dari partikel yang mengorbit pada lintasannya dibahas dalam [9]. Ada  beberapa  topik  khusus  tentang  lubang hitam yang berputar secara peralahan [6,10,11,12], tetapi sangat sulit untuk menemukan solusi yang tepat dari lubang hitam yang berputar tersebut.
Selain  solusi  Schwarzschild,  terdapat juga solusi Reissner-Nordstrom yang menjelaskan solusi statik dari perpaduan medan elektromagnet  dan  medan  gravitasi,  di  mana geometri  ruang-waktu  di  sekitar  massa  yang bermuatan  listrik  simetri  bola  [13,14].  Dengan kata lain, kelengkungan ruang-waktu diakibatkan karena adanya distribusi massa dari medan elektromagnet. Zhang, telah menyelesaikan solusi persamaan medan Einstein dengan kehadiran medan skalar [14].
Dalam  paper  ini  telah  dikaji  kembali solusi  persamaan  medan  Einstein  dengan distribusi  materi  fluida  ideal  yang  telah dijelaskan  oleh  Ricard  C.  Tolman  [15].  Pada tahun  2021,  Matondo  dan  Maharaj  telah mengkombinasikan  medan  listrik  dan  metrik Tolman  untuk menyelesaikan  persamaan medan  Einstein-Maxwell  [16].  Namun  telaah kali  ini  lebih  ke  kajian  solusi  medan  garvitasi eksterior dan interior untuk metrik Schwarzschild.  Dan  telaah  tentang  medan gravitasi  untuk  bola  fluida  yang  tidak dimampatkan.

## PERUMUSAN METRIK TOLMAN
Ansatz  untuk  metrik  simetri  bola  secara umum diungkapkan
𝑑𝑠 2 = 𝑎 𝑑𝑡 2 − 𝑏 𝑑𝑟 2 − 𝑐 𝑑Ω 2 (1)
di  mana 𝑎, 𝑏, dan 𝑐 merupakan  fungsi  dari koordinat 𝑡 dan 𝑟 . Sedangkan  ungkapan  untuk sudut azimuthnya adalah 𝑑Ω 2 = 𝑑𝜃 2 + sin 2 𝜃 𝑑𝜙 2 .
Selanjutnya,  metrik  pada  persamaan  (1) dapat  disederhanakan  lebih  lanjut  melalui transformasi koordinat. Dengan asumsi bahwasanya lintasan partikel yang dideskripsikan oleh persamaan geodesik melalui  koordinat  yang  bergerak  ( comoving coordinate ), di  mana lintasan partikel ini tidak berubah  sepanjang  geodesik  tersebut.  Oleh karenanya  ungkapan  vektor  4-kecepatan  aliran dapat dituliskan menjadi
𝑢 𝛼 = (𝑢 0 , 0,0,0) (2)
di mana 𝑢 0 = 𝑑𝑡 𝑑𝑠 = 𝑑𝑡′ .
Sekarang  tinjau  persamaan  geodesik yang diungkapkan
𝑑 2 𝑥 𝛼 𝑑𝑠 2 + Γ 𝜇𝜈 𝛼 𝑑𝑥 𝜇 𝑑𝑠 𝑑𝑥 𝜈 𝑑𝑠 = 0 (3)
Subtitusi  persamaan  (2)  ke  dalam  persamaan (3), maka persamaan geodesik menjadi
𝑑𝑥 𝛼 𝑑𝑠 + Γ 00 𝛼 (𝑢 0 ) 2 = 0 (4)
Hal  tersebut  memberikan  korelasi  untuk ungkapan simbol Christoffel terhadap koordinat waktu Γ 00 𝑘 = 0 dengan 𝑘 = 0,1,2,3 .  Dengan demikian,  diperoleh  juga  turunan  kovarian tensor  metrik  untuk  koordinat  waktunya  juga akan  bernilai  nol (𝜕 𝑘 𝑔 00 = 0 ).  Hal  ini memberikan  analisis  bahwasanya  nilai  untuk suku waktu 𝑔 00 = 𝑎 dalam metrik tersebut yang merupakan  fungsi  dari  koordinat  rupa-waktu ( timelike ) itu sendiri.
Jika sekarang dibuat transformasi koordinat  terhadap  sumbu  waktunya  yang bentuknya
𝑑𝑡 ′ = 𝑎 1/2 𝑑𝑡 (5)
sedangkan  untuk  koordinat  ruang  tidak berubah,  maka  komponen  tensor  metrik kovarian  dari  persamaan  (1)  dapat  ditulis kembali menjadi
𝑔 𝜇𝜈 = ( 1 0 0 0
0 −𝑒 𝜇 0 0 0 0 −𝑅 2 0
0 0 0 −𝑅 2 sin 2 𝜃 ) (6)
dan  bentuk  tensor  metrik  kontravariannya berbentuk
𝑔 𝜇𝜈 = ( 1 0 0 0 0 −𝑒 −𝜇 0 0 0 0 −𝑅 −2 0 0 0 0 −𝑅 −2 sin −2 𝜃 ) (7)
dengan  koordinat 𝑥 𝛼 = (𝑡, 𝑟, 𝜃, 𝜙) .  Dengan adanya  perbandingan  persamaan  (1)  terhadap tensor  metrik  kovarin  dari  koordinat  rupa- waktunya, maka diperoleh relasi koefisien 𝑎 = 1 , 𝑏 = 𝑒 𝜇 dan 𝑐 = 𝑅 2 .  Di  mana 𝜇 dan 𝑅 merupakan fungsi dari 𝑡 dan 𝑟 itu sendiri. Metik inilah yang biasa desbut sebagai metrik Tolman yang dituliskan
𝑑𝑠 2 = 𝑑𝑡 2 − 𝑒 𝜇 (𝑡, 𝑟)𝑑𝑟 2 −
𝑅 2 (𝑡, 𝑟)[𝑑𝜃 2 + sin 2 𝜃  𝑑𝜙 2 ] (8)
Bentuk  metrik  pada  persamaan  (8) menunjukkan  bahwasanya  luas  bola  pada 𝑟 = 𝑘𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛 yang  diberikan  oleh  ungkapan 4𝜋𝑅 2 dengan 𝑅 harus memenuhi syarat
𝑅 ′ = 𝜕𝑅 𝜕𝑟 > 0 (9)
Dengan syarat tersebut, memberi kemungkinan bahwa 𝑅 ′ = 0 pada  titik 𝑟 0 harus  dihilangkan karena memungkinkan garis-garis 𝑟 = 𝑘𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛 pada titik-titik sekitarnya 𝑟 0 dan 𝑟 0 + 𝑑𝑟 akan  bertepatan  di  titik 𝑟 0 sehingga menciptakan permukaan kaustik yang menyebabkan  koordinat  bergerak  tidak  dapat berlaku lagi.
Adanya  persamaan  geodesik  terhadap komponen koordinat waktu (𝑥 0 ) saja, memberikan  implikasi  dari  persamaan  (4) menjadi sebuah idenstitas, sedangkan koordinat ruang 𝑟(𝑥 1 ), 𝜃(𝑥 2 ), dan 𝜙(𝑥 3 ) menjadi konstan di  sepanjang  persamaan  geodesik  tersebut. Dengan  demikian  diperoleh 𝑑𝑠 = 𝑑𝑥 0 dan dituliskan menjadi
𝑢 𝛼 = 𝑢 𝛼 = (1,0,0,0) (10)

## PERUMUSAN PERSAMAAN MEDAN EINSTEIN
Solusai untuk persamaan medan Einstein diungkapkan oleh
𝑅 𝜇𝜈 = 𝜅 (𝑇 𝜇𝜈 − 1 2 𝑔 𝜇𝜈 𝑇) (11)
di  mana 𝑅 𝜇𝜈 adalah  tensor  Ricci  dari kelengkuang  ruang-waktu, 𝑇 𝜇𝜈 adalah  tensor enegi-momentum yang mendeskripsikan distribusi materi, dan 𝑔 𝜇𝜈 adalah tensor metrik kovarian  dari  elemen  garis  metrik  Tolman. Dalam  kasus  ini,  diasumsikan  bahwasanya kelengkungan  ruang-waktu  diakibatkan  karena adanya distribusi materi, dalam hal ini distribusi fluida  ideal  sederhana  (tanpa  adanya  tekanan aliran) yang  dideskripsikan  oleh tensor energi- momentum, yakni
𝑇 𝜇𝜈 = 𝜌 𝑢 𝜇 𝑢 𝜈 (12)
dan 𝑇 = 𝑇 𝜇𝜈 𝑔 𝜇𝜈 . Dengan menggunakan persamaan (10), maka diperoleh komponen 𝑇 𝜇𝜈 yang  tidak  bernilai  nol  adalah 𝑇 00 = 𝑇 = 𝜌 . Untuk  menyelesaikan solusi persamaan medan Einstein,  maka  diperlukan  ungkapan  simbol Chritoffel yang diungkapkan
Γ 𝜇𝜈 𝛼 = 1 2 𝑔 𝛼𝛽 ( 𝜕𝑔 𝛽𝜇 𝜕𝑥 𝜈 + 𝜕𝑔 𝛽𝜈 𝜕𝑥 𝜈 − 𝜕𝑔 𝜇𝜈 𝜕𝑥 𝛽 ) (13)
Komponen-komponen untuk simbol Christoffel yang tidak bernilai nol adalah
Γ 01 1 = 1 2 𝜇̇ Γ 11 0 = 1 2 𝑒 𝜇 𝜇̇ Γ 02 2 = Γ 03 3 = 𝑅 −1 𝑅̇ Γ 11 1 = 1 2 𝜇′
Γ 12 2 = Γ 13 3 = 𝑅 −1 𝑅′ Γ 22 0 = 𝑅𝑅̇
Γ 23 3 = cot 𝜃 Γ 33 0 = 𝑅𝑅̇ sin 𝜃 Γ 22 1 = −𝑒 −𝜇 𝑅 𝑅′ Γ 33 2 = − sin 𝜃 cos 𝜃
Γ 33 1 = −𝑒 −𝜇 𝑅𝑅 ′ sin 2 𝜃 (14)
di  mana  tanda dots (∙) dan primes (′) merupakan  turunan  dari  koordinat  waktu (𝑡) dan koordinat radius (𝑟) .
Selanjutnya,  tensor  Ricci  dapat  dihitung dengan menggunakan persamaan
𝑅 𝜇𝜈 = 1 √−𝑔 𝜕 𝛼 (√−𝑔 Γ 𝜇𝜈 𝛼 ) −
𝜕 𝜇𝜈 (ln √−𝑔) − Γ 𝜇𝛽 𝛼 Γ 𝜈𝛼 𝛽 (15)
Sehingga  komponen  tensor  Ricci  yang  tidak bernilai nol adalah
𝑅 00 = − 1 2 𝜇̈ − 1 2 𝑅̈ − 1 4 𝜇̇ 2 𝑅 01 = 1 𝑅 𝑅 ′ 𝜇̇ − 2 𝑅 𝑅̇′ 𝑅 11 = 𝑒 𝜇 ( 1 2 𝜇̈ + 1 4 𝜇̇ 2 + 1 𝑅 𝜇̇ 𝑅̇) (16) + 1 𝑅 (𝜇 ′ 𝑅 ′ − 2𝑅 ′′ ) 𝑅 22 = 𝑅𝑅̈ + 1 2 𝑅𝑅̇𝜇̇ + 𝑅̇ 2 + 1 −𝑒 −𝜇 (𝑅𝑅 ′′ − 1 2 𝑅𝑅 ′ 𝜇 ′ + 𝑅 ′2 )
Dari  komponen  tensor  Ricci  yang  ada,  maka diperoleh skalar Ricci (𝑅) , yakni
𝑅 = 𝑔 00 𝑅 00 + 𝑔 01 𝑅 01 + 𝑔 11 𝑅 11 +𝑔 22 𝑅 22 + 𝑔 33 𝑅 33 𝑅 = 2𝑒 −𝜇 [ 2𝑅 ′′ 𝑅 + ( 𝑅 ′ 𝑅 ) 2 − 𝑅 ′ 𝜇 ′ 𝑅 ] − 2 𝑅 𝜇̇𝑅̇ −2 ( 𝑅̇ 𝑅 ) 2 − 2 𝑅 2 − 4 𝑅̈ 𝑅 − 𝜇̈ − 1 2 𝜇̇ 2 (17)
Persamaan medan Einstein dapat diperoleh dengan menggunakan persamaan (11) dan menghasilkan tensor medan Einstein untuk komponen 00, 01, 22 ,  dan  khusus  untuk komponen 33 tidak  memberikan  informasi yang  baru  karena  distribusi  materinya  sama dengan  komponen  22.  Ungkapan  dari  tensor medan Einsteinnya diberikan oleh
−𝜇̈ − 4 𝑅 𝑅̇ − 1 2 𝜇̇ 2 = 𝜅𝜌 (18)
2𝑅̇ ′ − 𝑅 ′ 𝜇̇ = 0 (19)
𝜇̈ + 1 2 𝜇̇ 2 + 2 𝑅 𝑅̇𝜇̇ + (20)
𝑒 −𝜇 ( 2 𝑅 𝑅 ′ 𝜇 ′ − 4 𝑅 𝑅 ′′ ) = 𝜅𝜌 (21)
2 𝑅 𝑅̈ + 2 ( 𝑅̇ 𝑅 ) 2 + 1 𝑅 𝑅̇𝜇̇ + 2 𝑅 2 (22) +𝑒 −𝜇 [ 1 𝑅 𝑅 ′ 𝜇 ′ − 2 ( 𝑅 ′ 𝑅 ) − 2 𝑅 𝑅 ′′ ] = 𝜅𝜌
Untuk menyederhanakan keempat persamaan  di  atas,  maka  perlu  mengeleminasi suku 𝜇̈ sehingga  memberikan  3  bentuk
persamaan medan dengan kombinasi yang tidak bergantung satu sama lain, diungkapkan oleh
𝑒 𝜇 (2𝑅𝑅̈ + 𝑅̇ 2 + 1) − 𝑅 ′2 = 0 (23)
2𝑅̇ ′ − 𝑅 ′ 𝜇̇ = 0 (24)
𝑒 −𝜇 [ 1 𝑅 𝑅 ′ 𝜇 ′ − ( 𝑅 ′ 𝑅 ) 2 − 2 𝑅 𝑅 ′′ ] + 1 𝑅 𝑅̇𝜇̇ + ( 𝑅̇ 𝑅 ) 2 + 1 𝑅 2 = 𝜅𝜌 (25)
Dari  ketiga  persamaan  medan  di  atas memberikan solusi yang trivial, sehingga perlu kondisi  khusus  untuk  memperoleh  dan  akan dibahas selanjutnya.

## SOLUSI PERSAMAAN MEDAN EINSTEIN
Pada bagian ini, akan dianalisis persamaan
(23-25) yang bersifat non-linier dan mempunyai  solusi  trial  sehingga  memberikan makna  fisis  dari  kasus  tersebut.    Tinjau persamaan (24) dengan syarat harus memenuhi kondisi 𝑅 ′ > 0 sesuai  persamaan  (9),  maka diperoleh
𝑒 𝜇 = 𝑅 ′2 1+𝑓(𝑟) (26)
di  mana 𝑓(𝑟) adalah  fungsi  yang  bergantung terhadap  koordinat 𝑟 dan  memenuhi  kondisi 𝑓(𝑟) > −1 .    Dengan  mensubtitusi  persamaan (26)  ke  dalam  dua  persamaan  medan  lainnya persamaan (23) dan (25), maka diperoleh
2𝑅𝑅̈ + 𝑅̇ 2 − 𝑓 = 0 (27)
1
𝑅𝑅 ′ (2𝑅̇𝑅̇ ′ − 𝑓 ′ ) + 1 𝑅 2 (𝑅̇ 2 − 𝑓) = 𝜅𝜌 (28)
Hasil  integrasi  dari  persamaan  (27)  diperoleh ungkapan
𝑅̇ 2 = 𝑓(𝑟) + 𝐹(𝑟) 𝑅 (29)
di  mana 𝐹(𝑟) merupakan  fungsi  sembarang yang  merupakan  fungsi  dari  koordinat 𝑟 .
Dengan mensubtitusi persamaan (29) ke dalam persamaan (28), maka memberikan ungkapan
𝐹 ′ 𝑅 2 𝑅′ = 𝜅𝜌 (30)
Hasil  integrasi  darri  persamaan  (29) terhadap koordinat waktu memberikan ungkapan
𝑅(𝑡, 𝑟) = [𝑅 2 3 (𝑟) ± 3 2 𝐹 1 2 (𝑟) 𝑡] 2/3
(31)
di mana ungkapan 𝑅(𝑟) = 𝑅(0, 𝑟)
didefenisikan  sebagai 𝑅(𝑡, 𝑟) pada 𝑡 = 0 . Dengan  menggunakan  persamaan  (29),  maka diperoleh ungkapan lain dari persamaan (31) di
mana  masih  memenuhi  syarat  terhadap koordinat 𝑟 adalah
𝑅(𝑡, 𝑟) = (𝜅𝜌) −2/3 [ 𝑅 1 2 (𝑟)𝑅 ′ (𝑟) 𝐹 ′ (𝑟) ± 𝑡 2𝐹 1 2 (𝑟) ] − 2 3 (32)
Dengan  demikian,  ungkapan  dari  persamaan (30) adalah
𝜕 𝜕𝑡 (𝜌𝑅 2 𝑅 ′ ) = 𝜕𝐹 ′ 𝜕𝑡 = 0 (33)
Hal  ini  memberikan  makna  fisis  bahwasanya kecepatan  gerak  partikel  pada  titik 𝑡, 𝑟 dapat berupa  parabolik  untuk 𝑓(𝑟) = 0 ,  hiperbolik untuk 𝑓(𝑟) > 0 dan  eliptik  untuk 𝑓(𝑟) < 0 yang diungkapkan pada persamaan (27).

## SOLUSI  EKSTERIOR  DARI  METRIK TOLMAN
Pada bagian ini dibahas mengenai solusi eksterior  dari  metrik  Tolman  yang  dapat ditranformasi  ke  metrik  Schwarzild,  yakni solusi  persamaan  medan  Einstein  simetri  bola yang  statis  dan  dalam  keadaan  vakum.  Untuk solusi  eksterior, maka kasus ini 𝑟 > 𝑎 , dengan demikian 𝑎 dapat  menjadi  sebuah  konstanta.
Selain  itu  kasus,  untuk  solusi  eksterior,  maka tidak  terdapat  distribusi  materi,  sehingga  rapat materi fluida menjadi 𝜌 = 0 hanya dengan
𝑓(𝑟) = 0 ;
𝐹(𝑟) = 𝑟 𝑠 = 𝑘𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛; (34)
dengan mensubtitusi ke dalam persamaan (31), maka diperoleh ungkapan
𝑅(𝑟) = ( 3 2 ) 3/2 𝑟 𝑠 1/3 𝑟 2/3 𝑅(𝑡, 𝑟) = ( 3 2 ) 3/2 𝑟 𝑠 1/3 (𝑟 − 𝑡) 2/3 (35)
Untuk menyelesaikan kasus ini, maka diperlukan transformasi koordinat yang invarian.  Transformasi  koordinat  tersebut diberikan oleh persamaan
𝑡 = 𝑡 ′ + ∫ 𝜓(𝑟 ′ )𝑑𝑟 ′ 1+𝜓(𝑟 ′ ) 𝑟 = 𝑡 ′ + ∫ 1 𝜓(𝑟 ′ ) + 𝜓(𝑟 ′ ) 1+𝜓(𝑟 ′ ) 𝑑𝑟 ′ (36)
di  mana 𝜓(𝑟 ′ ) = ( 𝑟 𝑠 𝑟 ′ ) 1/2 .  Dengan  demikian,
diperoleh metrik Schwarzschild dalam koordinat Eddington-Finkelstein yang bentuknya
𝑑𝑠 2 = (1 − 𝑟 𝑠 𝑟 ′ ) 𝑑𝑡 ′2 − (1 + 𝑟 𝑠 𝑟 ′ ) 𝑑𝑟 ′2 −2 𝑟 𝑠 𝑟 ′ 𝑑𝑡 ′ 𝑑𝑟 ′ − 𝑟 ′2 𝑑Ω 2 (37)
dengan 𝑟 𝑠 adalah radius Schwarzschild.

## MEDAN  GRAVITASI  SIMETRI  BOLA YANG  STATIK  UNTUK  FLUIDA  YANG TIDAK DIMAMPATKAN
Untuk kasus fluida yang tidak termampatkan,  maka  tensor  energi-momentum yang  digunakan  adalah  fluida  ideal  dengan kehadiran  tekanan  fluida,  yang  diungkapkan oleh 𝑇 𝜇𝜈 = (𝜌 + 𝑝)𝑢 𝜇 𝑢 𝜈 − 𝑝𝑔 𝜇𝜈 (38)
di  mana 𝑐 = 1 .  Medan  gravitasi  yang  ditinjau dalam  kasus  diasumsikan  simetri  bola  dan dalam  keadaan  yang  statis.  Oleh  karena  itu, geometri ruang-waktu (tensor Ricci) yang tidak sama dengan nol adalah [17] :
𝑒 −𝜆 ( 1 𝑟 2 − 𝜆 ′ 𝑟 ) − 1 𝑟 2 = −𝜅𝜌 (39)
𝑒 −𝜆 ( 1 𝑟 2 + 𝑣 ′ 𝑟 ) − 1 𝑟 2 = 𝜅𝑝 (40)
1 2 𝑒 −𝜆 (𝑣 ′′ + 1 2 𝑣 ′ + 𝑣 ′ −𝜆 ′ 𝑟 − 1 2 𝑣 ′ 𝜆 ′ ) = 𝜅𝑝 (41)
di  mana 𝜆 dan 𝑣 maerupakan  fungsi  dari 𝑟 itu sendiri.  Sedangkan  untuk  vektor  4-kecepatan aliran  fluida 𝑢 𝜇 = (𝑢 0 + 𝑢 𝛼 ) memberikan ungkapan 𝑢 0 = 𝑢 0 −1 = (𝑔 00 ) 1/2 dan  untuk komponen ruangnya menjadi nol 𝑢 𝛼 = 0 . Sama pada  pembahasan  sebelumnya,  tanda prime menunjukkan  turunan  pertama  terhadap 𝑟 . Berdasarkan  hukum  konservatif ∇ 𝜈 𝑇 𝜇𝜈 = 0 , sehingga menghasilkan 𝑝 ′ = − 1 2 𝜈 ′ ( 𝑝 + 𝜌 ) (42)
Persamaan (42) tidak independent dari persamaan  (39  –  41)  karena  konsekuensi  dari identitas  Bianchi  yang  memberikan  deskripsi gerak dan distribusi  materi dalam ruang-waktu melengkung  melalui  hukum  konservatif  dari tensor  energi  momentumnya.  Oleh  karena  itu, terdapat tiga persamaan (39 – 41) untuk empat fungsi  yang  tidak  diketahui 𝜈, 𝜆, 𝜌, 𝑝 .  Dengan mengasumsikan  bahwasanya 𝜌 bergantung pada 𝑟 ,  maka 𝜈 dan 𝜆 dapat  diperoleh  dari asumsi  tersebut  sehingga  ungkapan  untuk 𝑝 juga dapat dihitung.
Solusi dari persamaan (39) diberikan oleh
𝑒 −𝜆 = 1 − 𝜅 4𝜋 𝑚(𝑟) 𝑟 (43)
di mana
𝑚(𝑟) = 4𝜋 ∫ 𝜌(𝑟 ′ )𝑟 ′ 𝑑𝑟 ′ 𝑟 0 (44)
adalah  massa  fluida  yang  terkandung  dalam bola  yang  berjari-jari 𝑟 .  Solusi  yang  diberikan pada  persamaan  (44)  dipilih  sehingga 𝑔 𝜇𝜈 secara  beraturan  pada 𝑟 = 0 akan  menuju  ke bentuk Schwarzschild yang diungkapkan
𝑒 −𝜆 = 1 − 𝑟 𝑠 𝑟 (45)
di  mana 𝑟 𝑠 = 2 𝐺𝑚/𝑐 2 , 𝐺 adalah  konstanta gravitasi Newton, dan 𝑚 = 𝑚(𝑟 0 ) adalah total massa  yang  dapat  menghasilkan  medan gravitasi. Hal tersebut memenuhi jika tidak ada rapat  materi  untuk  kasus  jari-jari  lebih  besar dari jari-jari awalnya (𝜌(𝑟) = 0 untuk 𝑟 > 𝑟 0 ) . Sekarang  ditinjau  untuk  kasus 𝑟 < 𝑟 0 dengan  mengasumsikan  bahwasanya  rapat materi (𝜌) merupakan  sebuah  konstanta. Dengan demikian, untuk persamaan (42), (39), (40),  dan  (43)  diperoleh  ungkapan  lainnya, yakni
𝑒 −𝜆 = 1 − 𝑟 2 𝑅 2 (46)
𝑒 𝜈/2 = 𝐴 − 𝐵 (1 − 𝑟 2 𝑅 2 ) 1/2 (47)
𝑝 = 1 𝜅𝑅 2 [ 3𝐵(1− 𝑟2 𝑅2 ) 1 2 −𝐴 𝐴−𝐵(1− 𝑟2 𝑅2 ) 1 2 ] (48)
di mana 𝐴 dan 𝐵 adalah konstanta, dan 𝑅 2 = 3 𝜅𝜌 .
Konstanta 𝐴 dan 𝐵 dapat  diselesaikan  dengan syarat 𝑝 = 0 dan 𝑒 𝜈 dapat  direduksi  ke  dalam medan  Schwarzschild  pada  permukaan  bola. Sehingga diperoleh
𝐴 = 3 2 (1 − 𝑟 0 2 𝑅 2 ) 1/2 ; 𝐵 = 1 2 ; (49)
𝑒 𝜈/2 = 3 2 (1 − 𝑟 0 2 𝑅 2 ) 1/2 − 1 2 (1 − 𝑟 2 𝑅 2 ) 1/2 ; (50)
𝑝 = 𝜌 [ (1− 𝑟2 𝑅2 ) 1 2 −(1− 𝑟0 2 𝑅2 ) 1 2 3(1− 𝑟0 2 𝑅2 ) 1 2 −(1− 𝑟2 𝑅2 ) 1 2 ] (51)
dengan  syarat 𝑟 0 2 <   𝑅 2 .  Jika  diasumsikan bahwa  tekanan  di  dalam  fluida  tersebar  secara homogen  namun terbatas, dari Persamaan (42) dapat  diperoleh  kondisi  yang  lebih  membatasi pada
𝑟 0 2 < 8 9 𝑅 2 (52)
Solusi  yang  disajikan  pada  persamaan  (52) adalah solusi untuk kasus di dalam  fluida yang disebut  sebagai  metrik  interior  Schwarzschild. Sedangkan  untuk  kasus  di  luar  fluida,  disebut metrik  eksterior  Schwarzschild.  Solusinya memberikan contoh sederhana untuk keruntuhan fluida pada kondisi di atas.

## KESIMPULAN
Persamaan medan Einstein dapat diperoleh dengan  menggunakan analisis tensor
Reimann-Christoffel dalam ruang-waktu melengkung  dimensi  empat  yang  berbentuk koordinat  bola  simetri  statis.  Dalam  kasus  ini ditinjau kelengkungan ruang-waktu diakibatkan karena  adanya  distribusi  materi  fluida  ideal yang  dideskripsikan  oleh  tensor  energi- momentum.  Solusi  persamaan  medan  Einstein yang diperoleh sangat tidak linier, namun dapat diselesaikan  dengan  asumsi  bahwa  lintasan partikel  tidak  berubah  sepanjang  geodesik tersebut dalam koordinat bergerak (co-moving) . Dengan  demikian,  jari-jari 𝑟 = 𝑘𝑜𝑠𝑛𝑡𝑎𝑛 pada titik-titik 𝑟 0 dan 𝑟 0 + 𝑑𝑟 .
Solusi  medan  Einstein  yang  diperoleh menunjukkan  kecepatan  gerak  partikel  daapat berupa parabolik (𝑓(𝑟) = 0) , hiperbolik (𝑓(𝑟) > 0) , dan eliptik (𝑓(𝑟) < 0) . Selain itu, diperoleh  juga  solusi  eksterior  simetri  bola untuk  metrik  Tolman  oleh  persamaan  (37). Untuk  kasus 𝑟 → ∞ ,  maka  sumber  medan gravitasi dalam hal ini distribusi fluida jauh dari medan  sehingga  ruang-waktu  melengkung (Riemann)  dimensi  empat  dapat  direduksi menjadi  ruang-waktu  datar  dimensi  empat (Minkowski).
Solusi medan gravitasi untuk kasus fluida yang tidak  dapat  dimampatkan  harus  memenuhi identitas  Bianchi  yang  memberikan  deskripsi gerak dan distribusi  materi dalam ruang-waktu melengkung melalui hukum konservatif melalui tensor energi momentum. Solusi yang diperoleh untuk 𝑟 > 𝑟 0 memberikan  makna  bahwa  tidak ada  rapat  materi 𝜌(𝑟) = 0 di  luar  dari  bola fluida yang tidak dapat dimampatkan dan biasa disebut sebagai solusi eksterior Schwarzschild. Sedangkan  untuk 𝑟 > 𝑟 0 menjelaskan  bahwa rapat materi 𝜌(𝑟) = 𝑘𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛 sehingga kembali menjadi solusi Schwarzschild. Dengan membangun  asumsi  bahwa  tekanan  fluida tersebuar  secara  homgen  dan  terbatas,  maka memberikan  batasan  untuk  solusi  interior Schawrzschild yakni 𝑟 0 2 < 8 9 𝑅 2 . Solusi merupakan contoh sederhana untuk keruntuhan fluida pada syarat tersebut.

## DAFTAR PUSTAKA
1 J.  R.  Oppenheimer  and  H.  Snyder. 1939.  On  Continued  Gravitational Contraction. Phys. Rev. 56 : 455.
2 K.  Schwarzschild.  1916.  Uber  das Gravitationsfeld einer Kugelaus
inkompressibler  Flussigkeit  nach  der Einsteinschen  Theorie.  Sitzber.  Deut.
Akad.  Wiss.  Berlin,  Kl.  Math-Phys. Tech.: 424-434. 3 J.  R.  Oppenheimer  and  G.  Volkoff.
1939. On massive neutron cores. Phys. Rev. 55 : 374.
4 K.  S.  Thorne,  R.  H.  Price  and  D.  A. Macdonald.  1986. Black  holes:  The membrane  paradigm. Yale  University Press: New Haven and London.
5 Ya.  B.  Zel’dovich  and  I.  D.  Novikov. 1971. Relativistic  Astrophysics ,  The University  of  Chicago  Press:  Chicago, Illinois.
6 Yunes,  N.  and  Pretorius,  F.  2009. Dynamical  Chern-Simons  Modified Gravity I: Spinning Black Holes in the Slow-Rotation  Approximation.  Phys.
Rev. D 79 : 084043.
7 Cardoso,  V.  and  Gualtieri,  L.  2010. Perturbations  of  Schwarzschild  black holes  in  Dynamical  Chern-Simons modified  gravity.  Phys.  Rev.  D 81 : 089903.
8 Molina,  C.,  Pani,  P.,  Cardoso,  V.  and Gualtieri, L. 2010. Gravitational signature of Schwarzschild black holes in  dynamical  Chern-Simons  gravity. Phys. Rev. D 81 : 124021.
9 Pani,  P.,  Cardoso  V.  and  Gualtieri,  L. 2011. Gravitational waves from extreme mass-ratio inspirals in Dynamical Chern-Simons gravity.
Phys. Rev. D 83 : 104048.
10 Konno, K., Matsuyama, T. and Tanda, S.  2009.  Rotating  black  hole  in extended  Chern  Simons  modified gravity.  Prog. Theor. Phys. 122 : 561.
11 Chen,  S.  and  Jing,  J.  2010.  Geodetic precession  and  strong  gravitational lensing in the dynamical Chern-Simons modified  gravity.    Class.  Quant.  Grav. 27 : 225006.
12 Pani,  P.,  Macedo,  C.F.B.,  Crispino, L.C.B.  and  Cardoso,  V.  2011.  Slowly rotating  black  holes  in  alternative theories  of  gravity.  Phys.  Rev.  D 84 : 087501.
13 Reissner, H. 1916. Ober die
Eigengravitation des elektrischen
Feldes nach der Einsteinschen Theorie.
Annalen  der  Physik, 355 (9):  p.  106- 120.
14 Nordstrom,  G.  On  the  Energy  of  the Gravitation  field  in  Einstein  Theory.
Koninklijke  Nederlandse  Akademie van  Weteschappen  Proceedings  Series B Physical Sciences, 1918. 20: p. 1238-
1245 15 Zhang,  Z.Y.  1992.  Gravitation  of  the Klein-Gordon  Scalar  Field.  Int.  Journ. of Theo. Phys 32 : 2015–2021.
16 Tolman,  Richard  C. 1934. Effect  of Inhomogeneity on Cosmological Models . Proc. Natl. Acad. Sci. National
Academy  of  Sciences  of  the  USA. 20
(3): 169–76.
17 Griffiths,  J.B.,  and  Podolsky,  J.  2009. Exact Spaces-Time in  Einstein’s General Relativity. Cambridge University Press: Cambridge University, New York.