## JURNAL PENDIDIKAN MATEMATIKA
Volume I, Nomor 2, Agustus 2015, Halaman 127 – 135 ISSN: 2442 – 4668

## STUDI PEMAHAMAN BUKTI DAN PEMBUKTIAN DALAM GEOMETRI EUCLID MAHASISWA JURUSAN TADRIS MATEMATIKA IAIN TULUNGAGUNG

## Beni Asyhar
Jurusan Tadris Matematika, Institut Agama Islam Negeri (IAIN) Tulungagung asyhar_beni@yahoo.com

## ABSTRACT
One of the problems to be solved in mathematics is a proof. At the college level, proving to be more  important  than  the  previous levels.  When  someone  has  a  hunch  about  something (theorem),  one  of  the  most  appropriate  way  to  ensure  that  something  (theorem)  is  true  is  by proving mathematically  valid (formally). That  is,  the truth  of the theorem is based on logical statements. However, proof of this is a problem when introduced during the learning. Not only the  beginning  students,  final  year  students, moreover those  already  graduated  are  still experiencing  difficulties  in  proving.  This  study  attempts  to  describe  the  understanding  of  the concept  of  proof  in  mathematics  and  describes  the  ability  of  students  in  validating  and compiling  of  proof  in  mathematics,  particularly  in  Euclidean  geometry  using  qualitative research approach, the type of case studies.

## Keywords: Understanding, Proof, Proving, Euclid Geometry

## PENDAHULUAN
Salah  satu  masalah  yang  harus  diselesaikan  dalam  matematika  adalah  masalah  pembuktian. Menurut Polya, masalah pembuktian nampak lebih penting pada matematika tingkat perguruan tinggi dibandingkan dengan tingkat-tingkat sebelumnya (Polya, 1981). Ketika seseorang mempunyai dugaan tentang suatu hal (teorema), salah satu cara yang paling tepat untuk meyakinkan bahwa hal (teorema) tersebut  benar  adalah  dengan  melakukan  pembuktian  matematis  yang  sah (secara  formal).  Proses mendefinisikan pembuktian ini berkembang dari masa ke masa sesuai dengan perkembangan zaman. Untuk memahami suatu penjelasan maka dibutuhkan pembuktian yang dilakukan sesuai definisi dan aksioma  yang  berlaku.  Dengan  cara  menyatukan  beberapa  konsep  secara  utuh,  hal  ini  akan memperbaiki  atau  mempertahankan  argumen  yang  telah  dikemukakan.  Jelaslah  saat  ini memperhatikan penalaran dan pembuktian dalam matematika sangat penting karena dalam memahami suatu kebenaran yang telah ditemukan atau sebelumnya telah dibuktikan.
Berdasarkan  hasil  penelitian  yang  dilakukan  oleh  Arnawa  diperoleh  informasi  bahwa mahasiswa  yang  memperoleh  pembelajaran  khusus  tentang  pembuktian  dalam  matematika  (materi Aljabar  Abstrak  berdasarkan  teori  APOS)  mempunyai  kemampuan  memvalidasi  bukti  lebih  baik secara  signifikan  jika  dibandingkan  dengan  mahasiswa  yang  memperoleh  pembelajaran  secara konvensional (Arnawa,  2009). Hal  ini  berarti  bahwa  mahasiswa  yang  tidak  mendapat  perhatian khusus  dalam  hal  pembuktian  matematika  cenderung  rendah  kemampuannya  dalam  melakukan pembuktian.  Begitu  juga  pada  saat  peneliti  melakukan  studi  pendahuluan  tentang  pemahaman mahasiswa  tentang  konsep  bukti  dan  pembuktian  dalam  matematika,  beberapa mahasiswa Jurusan Tadris Matematika  (TMT) IAIN  Tulungagung menyampaikan  bahwa  dalam  melakukan  pembuktian cenderung kesulitan menemukan ide untuk memulai dari mana, mau diapakan, dan menggunakan cara yang mana.  Mahasiswa  masih  kesulitan  menentukan  apa  yang  diketahui,  apa  yang  ditanyakan  atau apa yang akan dibuktikan, dan bagaimana memulai menyusun bukti tersebut.
Kesulitan yang dialami oleh mahasiswa memang ada  yang  mempengaruhi. Didasarkan pada konstruksi “skema pembuktian” (Harel & Sowder, 1998), Harel dan Sowder mengeneralisasikan suatu
perspektif komprehensif pada  pengajaran  dan  pembelajaran  bukti  yang  terdiri  dari  berbagai  faktor, yaitu:  matematika  dan  history-epistemologi,  kognitif,  dan  pembelajaran  sosio-cultural (Harel  & Sowder, 2007). Pada umumnya, penelitian empiris berfokus pada faktor kognitif dengan menganalisis jawaban-jawaban mahasiswa terhadap pertanyaan pembuktian. Selain itu, konsep yang dimiliki oleh mahasiswa tentang  pembuktian  juga  mempengaruhi  pendekatan yang  mereka  gunakan  untuk berargumentasi dan membuktikan (Healy & Hoyles, 2000).
Berdasarkan pentingnya  memahami  konsep  bukti  dan  pembuktian  dalam  matematika,  hasil penelitian  terdahulu,  dan kondisi di  lapangan yang  telah  dipaparkan  sebelumnya,  dengan mempertimbangkan  kemampuan  yang  dimiliki  mahasiswa  tentang  pemahaman  konsep  bukti dan pembuktian dalam  matematika,  maka  perlu  kiranya diteliti lebih  lanjut  mengenai  kemampuan mahasiswa dalam  memahami  konsep  bukti  dan  kemampuan  mahasiswa  dalam  memvalidasi  bukti matematika  serta  kemampuan  mahasiswa  dalam  menyusun  pembuktian  dalam  matematika sesuai pemahaman yang dimiliki oleh mahasiswa. Penelitian ini akan difokuskan pada pemahaman tentang konsep bukti dan pembuktian dalam Geometri Euclid. Dengan adanya penelitian ini, diharapkan dapat mendeskripsikan  pemahaman  mahasiswa  tentang  konsep  bukti  dan  pembuktian  dalam  Geometri Euclid.

## KAJIAN TEORI Pengertian Tentang Pemahaman Mahasiswa
Kata  paham  atau mengerti adalah  satu  kata  yang  sangat  sering  diucapkan  dalam  proses pembelajaran matematika di dalam kelas. Dosen mengkoordinir berbagai kegiatan dan memfasilitasi berbagai  proses  pembelajaran  dengan  tujuan  mahasiswa  memahami  apa  yang  ingin  disampaikannya sejalan  dengan  rencana  pembelajaran  yang  telah  dipersiapkan  sebelum nya.  Pertanyaan  “Apakah kalian sudah mengerti?”, “Apakah kalian sudah paham?” sering diucapkan oleh guru atau dosen tanpa adanya rasa bosan. Pertanyaan tersebut digunakan oleh seorang guru atau dosen dalam rangka untuk memeriksa efektivitas kegiatan proses pembelajaran di dalam kelas.
Banyak ahli dan praktisi pendidikan yang membahas tentang pemahaman konsep matematika. Skemp (1976) membedakan pemahaman ini menjadi dua bagian, yaitu: ” instrumental understanding ” (pemahaman  instrumental)  dan  “ relational  understanding ”  (pemahaman  relasional).  Pemahaman instrumental mengacu pada aturan-aturan tanpa alasan, yaitu kemampuan menggunakan aturan-aturan matematis  tanpa  menyadari  alasan  penggunaan  aturan  tersebut.  Namun  kemudian  pemahaman  ini disanggahnya  dengan  menul iskan  kembali  pada  artikel  yang  sama  bahwa,  “ Instrumental understanding  I  would  until  recently  not  have regarded  as  understanding  at  all ”.  Skemp  melihat bahwa  pemahaman  instrumental  bukanlah  pemahaman  konsep  yang  sesungguhnya,  karena kebanyakan orang  yang menyebut diri mereka  memiliki pemahaman ini hanya  menggunakan aturan tanpa  alasan  dan  memiliki  kemampuan  untuk  menggunakannya  karena  mereka  memang  mengingat cara  untuk  melakukannya.  Pemahaman  relasional  mengacu  pada  mengetahui  apa  yang  harus dilakukan  dan mengapa  melakukannya.  Pemahaman  inilah  yang  dimaksud  Skemp,  termasuk  pada penelitian ini, sebagai pemahaman sesungguhnya.
Pemahaman  adalah  suatu  aspek  dari  hidup  seseorang;  merupakan  suatu  pernyataan  mental; atau merujuk pada kapasitas seseorang untuk bertindak dengan cara yang sesuai dan mengindikasikan pemahaman  yang  dimilikinya (Porteous, tt).  Pernyataan  mental  seseorang  akan  suatu  konsep (matematis)  sangat  dipengaruhi  oleh  pengetahuannya  tentang  konsep  tersebut.  Pengetahuan  ini merupakan hasil pengalaman yang didapat secara sengaja maupun tidak sengaja selama kurun waktu kehidupannya.  Pengetahuan  atau  pemahaman  ini  dimulai  dengan  benda  atau  peristiwa  nyata  yang dialami  dan  informasi  yang  diterimanya  dalam  kehidupan  sehari-hari.  Pemahaman  ini  kemudian termodifikasi  menjadi  pemahaman  yang  formal  dan  sengaja  dibentuk  oleh  adanya  pendidikan matematika yang diterimanya di sekolah.
Pemahaman  seseorang  erat  kaitannya  dengan  pengalaman  atau  informasi  yang  diterimanya. Pengalaman dan informasi tersebut sebagian besar diperoleh dari proses belajar mengajar di sekolah atau  di  kampus.  Pada  dasarnya  sebagian  besar  kegiatan  di  kelas  memang  bertujuan  untuk  membuat mahasiswa  mengingat  apa  yang  telah  dipelajari.  Namun  dengan  adanya  pemahaman,  usaha  untuk mengingat menjadi berkurang karena pemahaman membentuk suatu kesatuan konsep yang tersimpan dalam  otak  yang  sewaktu-waktu  dapat  diakses  kembali  sesuai  dengan  kebutuhan.  Hal  ini  sejalan
dengan  pendapat  Cockcroft (1986) yang  menyebutkan  bahwa  pemahaman  konsep  matematis merupakan  isyarat  dari  suatu  kemampuan  untuk  mengenali  dan  memanfaatkan  suatu  konsep matematis dalam berbagai macam keadaan, mencakup beberapa hal yang tidak dikenal secara umum.
Pemikiran  lain  mengenai  pemahaman  disampaikan  oleh  Haylock  dalam  Porteous  (tt).  Ia berpendapat bahwa “…to understand something means to make (cognitive) connections” . Memahami sesuatu  berarti  membuat  koneksi  kognitif  .  Koneksi  yang  dimaksud  adalah  situasi  konkret,  gambar, simbol, dan bahasa matematis. Memahami sesuatu berarti juga membuat koneksi antara pengalaman atau  informasi  yang  baru  saja  diterimanya  dengan  pemahaman  atau  pengetahuan  yang  telah  ada sebelumnya.  Hal  ini  sejalan  dengan  pendapat  Nickerson  dalam  Barmby,  et.  all (2007) yang menyebutkan bahwa pemahaman dalam kehidupan sehari-hari dapat ditingkatkan dengan kemampuan untuk membangun jembatan antara satu konsep dengan konsep lainnya. Semakin banyak pengetahuan seseorang, semakin baik orang tersebut dalam memahaminya. Semakin kaya konteks konseptual yang dapat  dikaitkan  seseorang  pada  sebuah  fakta  baru,  maka  semakin  layak  orang  tersebut  dikatakan mengerti akan fakta tersebut.
Alfeld (2004) mengatakan  bahwa  seseorang  dikatakan  memahami  suatu  konsep  matematika jika dapat melakukan hal-hal berikut ini:
a. Menjelaskan konsep dan fakta matematika dengan cara yang lebih sederhana.
b. Membuat koneksi logis dengan mudah antara fakta dan konsep yang berbeda.
c. Mengenali koneksi ketika dihadapkan pada sesuatu yang baru (di dalam atau di luar matematika) yang berkaitan dengan konsep matematis yang dipahami.
d. Mengidentifikasi prinsip-prinsip suatu konsep matematis yang dapat membuat semuanya bekerja dengan baik.
Pemahaman tidak dapat ditransfer dari siapapun. Setiap orang memahami apa yang dihadapi atau dialaminya dengan cara yang unik. Kegiatan yang sama dan perlakuan yang sama di dalam kelas tidak menjamin akan membentuk kemampuan yang sama pada setiap mahasiswa. Mereka menyerap pelajaran  sesuai  dengan  pengetahuan  awal  yang  mereka  miliki  dan  mengoneksikannya  dengan pengalaman yang baru mereka terima di sekolah atau di kampus. Dosen dalam kelas bertugas untuk memfasilitasi mahasiswa dalam rangka mencapai pemahaman yang seharusnya ditangkap mahasiswa selama pembelajaran.
Pemahaman  tidak  dapat  diamati  secara  langsung  oleh  guru  atau  dosen  karena  pemahaman adalah  suatu  sikap  pandang  internal  yang  harus  dicapai  secara  individu  oleh  masing-masing  peserta didik (Cockcroft, 1986). Dengan kata lain guru atau dosen tidak dapat benar-benar mengukur sejauh apa  pemahaman  peserta  didik  yang  sesungguhnya.  Kita  hanya  perlu  mendapatkan  penjelasan  yang lebih baik tentang pemahaman ini. Akan tetapi, pengukuran ini sangat penting untuk menilai sejauh apa pemahaman yang dimiliki seorang peserta didik dan sebagai feedback sejauh mana keberhasilan pembelajaran  yang  dilakukan  guru  atau  dosen.  Perlu  adanya  suatu  batasan  atau  standar  yang  dibuat untuk  mengetahui  sejauh  mana  pemahaman  seorang  peserta  didik.  Michener  mengatakan  bahwa pemahaman  matematika  adalah  suatu  proses  yang  dapat  dipahami  dan  mencapai  taraf  tertentu  dari bahan yang sudah diajarkan (Michener, 1978). Hal ini berarti peserta didik dianggap paham jika telah menyerap  suatu  konsep  matematis  tertentu  yang  telah  dibatasi  dan  ditetapkan  dalam  suatu pembelajaran matematika.
Memang  tidak  mungkin  seorang  mahasiswa  dapat  memahami  satu  materi  tertentu  secara tuntas,  namun  pemahaman  yang  dimaksud  dalam  penelitian  ini  adalah  pemahaman  pada  level tertentu. Hal ini sejalan dengan pendapat Barmby, et. all. (2007) bahwa seseorang tidak akan pernah mendapatkan  pemahaman  yang  komplet, karena  pemahaman  tersebut  dapat  terus  dikembangkan dengan  membuat  lebih  banyak  kaitan  (link)  terhadap  apa  yang  telah  dipahami  sebelumnya. Pemahaman seseorang akan suatu konsep adalah sesuatu yang abstrak dan bersifat internal, sehingga sulit  untuk  mengukur  dengan  tepat  bagaimana  pemahaman  sebenarnya  dari  seseorang.  Namun demikian,  Hiebert  dan  Carpenter  (1992)  dalam  Barmby,  et.  all.  (2007) menawarkan  metode  untuk mengukur (menilai) pemahaman seseorang dengan menganalisis:
a. Students’ errors (kesalahan yang dilakukan mahasiswa). b. Koneksi yang dibuat antara simbol dan prosedur simbolis dan representasi yang bersesuaian.
c. Koneksi  yang  dibuat  antara  prosedur  simbolis  dan  situasi  pemecahan  masalah  informal  (sehari- hari).
d. Koneksi yang dibuat antara sistem-sistem simbol yang berbeda.
Pemahaman  mahasiswa  dapat  diukur  dengan  melihat  seberapa  banyak  kesalahan  yang dilakukan mahasiswa. Memang mahasiswa sering memberikan jawaban yang benar walaupun mereka tidak memahami apa yang mereka kerjakan. Barmby, et. all. (2007) menga takan bahwa: “ The fact that a  student  gets  a  calculation correct  tells  us  little  about  the  extent  of  their  understanding.  However, when  a student  makes  a  mistake  in  a  calculation,  then  this  might  indicate  the  limitations of  their understanding,  even  if  that  understanding  is  only  instrumental ”.  Apabila kesalahan yang  dilakukan mahasiswa  sedikit  bukan  berarti  menunjukkan  bahwa  mereka  memahami  apa  yang  dikerjakan. Namun, jika kesalahan yang mereka lakukan begitu banyak, ini mengindikasikan bahwa pemahaman mereka masih rendah.
Berdasarkan  berbagai  pendapat  di  atas,  dapat  disimpulkan  bahwa  pemahaman  matematika merupakan  suatu  pernyataan  mental  seseorang  berdasarkan  pengalaman  dan  pengetahuan  tentang konsep  matematis  yang  diperoleh  sebelumnya  dan  kemampuan  membuat koneksi  berbagai  konsep tersebut  untuk  memahami  situasi  atau  fakta  baru,  menyelesaikan  permasalahan,  atau  memperkaya pemahaman  sebelumnya.  Pemahaman  konsep  matematis  ini  terintegrasi  dan  tersusun  dalam  pikiran setiap  mahasiswa.  Mahasiswa  mengetahui  apa  yang  harus  dilakukan  dan  mengapa  melakukan  hal tersebut  dengan  mengakses  kembali  konsep  matematis  tersebut dan  merekonstruksinya  kembali jika mereka lupa pada saat dihadapkan dengan permasalahan.
Berdasarkan  pemahaman  dari  uraian  di  atas,  penelitian  ini  memfokuskan  pengamatan pemahaman  konsep  bukti  mahasiswa  yang  mencakup  kemampuan  untuk  menyerap  atau  memahami ide atau konsep matematis tentang Geometri Euclid dan kemampuan mengaplikasikan konsep secara benar dan tepat pada pemecahan masalah, yaitu memahami kaidah-kaidah dan prosedur pembuktian dalam matematika.

## Pengertian Bukti dan Pembuktian dalam Matematika
Sebelum membahas pembuktian, ada baiknya jika membahas definisi bukti dalam matematika terlebih dahulu. Belum ada definisi yang tepat mengenai bukti formal dalam matematika. Sampai saat ini masih terdapat perbedaan pendapat, tergantung pada sudut pandang tertentu. Berikut ini beberapa pendapat mengenai bukti formal dalam matematika.
Kassios (2009) menyatakan bahwa bukti formal bukanlah suatu argumen bahasa natural. Hal ini adalah perhitungan yang  mengikuti aturan-aturan yang tepat. Mengikuti aturan-aturan yang tepat ini merupakan inti dari metode formal. Sebagai pengganti dari penggunaan bahasa natural (informal) untuk  alasan  tentang  kebenaran  suatu  program (pernyataan),  digunakan  notasi-notasi  formal  yang rigor (ketat), tidak ambigu (jelas), dan dapat diperiksa secara mekanis.
Hanna  dalam  Vanspronsen (2008) menyatakan  bahwa  bukti  matematis  diperoleh  dari sekumpulan  pernyataan  eksplisit  (seperti  aksioma,  prinsip-prinsip  yang  diterima,  atau  hasil  yang sudah  dibuktikan  sebelumnya)  kemudian  menggunakannya,  dengan  menerapkan  prinsip-prinsip logika  untuk  membentuk  sebuah  argumen  deduktif  yang  sahih.  Lebih  lanjut,  Hanna  dan  Barbeau dalam Vanspronsen (2008) menyatakan bahwa bukti adalah serangkaian jumlah hingga dari langkah- langkah  logika  dari  apa  yang  diketahui  menuju  suatu  kesimpulan  menggunakan  aturan-aturan inferensia.  Bukti  merupakan  serangkaian  argumen  yang  disusun  logis  untuk  menjelaskan  kebenaran suatu pernyataan (teorema).
Berdasarkan beberapa definisi bukti tersebut dapat dipahami bahwa bukti dalam matematika merupakan suatu tugas matematika yang dalam hal ini mahasiswa disediakan beberapa informasi awal tentang  pernyataan  yang  akan  dibuktikan  tersebut,  seperti:  asumsi,  aksioma,  definisi;  dan  diminta untuk  menerapkan  aturan  inferensia  (menggunakan  fakta-fakta  sebelumnya,  menerapkan  teorema) sampai  diperoleh  kesimpulan  yang  diharapkan.  Selain  itu,  dapat  ditentukan  mengenai  ciri-ciri  dari bukti formal, yaitu: 1) menggunakan notasi-notasi formal, yaitu: melibatkan variabel, operator logika, kesamaan, dan kuantor; 2) Logika yang dibangun harus ketat (rigor), tidak ambigu, menerapkan dan menggunakan prinsip logika (inferensia), dapat divalidasi secara mekanistis; dan 3) Menyusun bukti menggunakan pernyataan-pernyataan yang logis. Pernyataan-pernyataan ini dapat berasal dari premis pernyataan  itu  sendiri,  teorema-teorema  lainnya,  definisi,  dan  dapat  berasal  dari  postulat  di  mana sistem matematika tersebut berasal. Pentingnya bukti matematika  yaitu untuk meyakinkan bahwa apa yang selama ini dianggap benar adalah memang benar.
Selanjutnya  akan  dibahas  mengenai  pembuktian  dalam  metamatika.  Pembuktian  pada dasarnya  adalah  membuat  serangkaian  deduksi  dari  asumsi  (premis atau  aksioma)  dan  hasil-hasil
matematika  yang  sudah  ada  (lemma  atau  teorema)  untuk  memperoleh  hasil-hasil  penting  dari  suatu persoalan  matematika (Tall,  1989).  Satu-satunya  yang  dapat  menjamin  kebenaran  dari  suatu pernyataan matematika adalah dengan bernalar secara deduktif (Rich & Thomas, 2009). Pembuktian yang  diperoleh  melalui  bernalar  secara  deduktif  dimaksudkan  untuk  menetapkan  kepastian  dari pengetahuan matematika, tetapi kepastian itu tidaklah absolut.
Berdasarkan  perspektif  perkembangan  kognitif,  Tall  menjelaskan  bahwa  representasi  bukti berkembang melalui empat tahapan, yaitu: bukti enaktif (enactive proof), bukti visual (visual proof), bukti  simbolik (symbolic  proof),  dan  bukti  formal (formal  proof) (Tall,  1995).  Bukti  enaktif, melibatkan  peragaan fisik untuk  menunjukkan  suatu kebenaran;  bukti  visual,  melibatkan pembuatan grafik  atau  gambar;  bukti  simbolik,  melibatkan  pemanipulasian  simbol-simbol  aljabar;  dan  bukti formal melibatkan penalaran deduktif.
Metode  pembuktian  dikembangkan  bertujuan  untuk  meningkatkan  kemampuan  mahasiswa dalam  memahami  pembuktian,  dan  mengerjakan  (membuktikan)  suatu  pernyataan  matematik. Berbagai pendekatan dan metode telah dikembangkan, di antaranya Tall (1998) menyarankan konsep bukti  generik  sebagai  cara  untuk  meningkatkan  pemahaman  mahasiswa  terhadap  bukti  suatu pernyataan. Bukti  generik  diberikan  dalam  level  contoh  yang  menjelaskan  konsep  secara  umum dengan memandang contoh khusus. Hal ini tentu saja berbeda dengan pembuktian secara umum yang mensyaratkan  abstraksi  dengan  level  yang  lebih  tinggi.  Kemudian,  Leron  dalam  Tall (1998) mengajukan bukti terstruktur dengan sifat menggabungkan metode penyajian formal dan informal ke dalam  suatu  pembuktian.  Tujuan  utama  dari  bukti  terstruktur  ini  bukan  untuk  meyakinkan,  tetapi untuk  membantu  pembaca dalam  meningkatkan  pemahamannya  terhadap  gagasan  di  belakang  bukti itu, dan bagaimanakah hubungannya dengan hasil-hasil matematika lainnya.

## METODE PENELITIAN
Penelitian  ini  menggunakan  pendekatan  kualitatif,  jenis  studi  kasus.  Subyek penelitian  ini adalah mahasiswa S-1 Jurusan Tadris Matematika IAIN Tulungagung. Pemilihan subyek didasarkan pada kriteria sebagai berikut: 1) mahasiswa aktif S-1 TMT IAIN Tulungagung, 2) minimal semester IV  (sudah  menempuh  mata  kuliah  Pengantar  Logika  dan sudah  atau sedang  menempuh  mata  kuliah Geometri  Euclid),  dan  3)  mampu  berkomunikasi  dengan  baik  dalam  bentuk  lisan  atau  tulisan. Berdasarkan  hasil  pemilihan  subyek,  diperoleh  MS dan DJE sebagai  subyek  berkemampuan  tinggi, ARR dan SK sebagai  subyek  berkemampuan  sedang,  kemudian UNH dan RH sebagai  subyek berkemampuan  rendah. Instrumen  penelitian  dalam  penelitian  ini  adalah:  1)  peneliti  sebagai instrumen, 2) pedoman observasi, 3) pedoman wawancara, 4) pedoman dokumentasi, dan 5) lembar tugas.  Sedangkan  teknik pengumpulan  datanya  menggunakan  observasi,  wawancara,  dan dokumentasi. Analisis data dalam penelitian ini dilakukan sejak sebelum memasuki lapangan, selama di  lapangan,  dan  setelah  selesai  di  lapangan.  Peneliti  menggunakan  3  tahapan  dalam  melakukan analisis data, yaitu: reduksi data, penyajian data, dan penarikan kesimpulan dan verifikasi.

## PEMBAHASAN

## Pemahaman Mahasiswa Tentang Konsep Bukti dalam Matematika
Berdasarkan  data  hasil  penelitian,  pemahaman  mahasiswa  tentang  konsep  bukti  dalam matematika  masih jauh  dari  harapan.  Mahasiswa  masih  lemah  dalam  memahami  hal-hal  yang berhubungan  dengan  bukti  atau  pembuktian  dalam  matematika.  Seperti  diketahui  bahwa  bukti merupakan  serangkaian  argumen  yang  disusun logis untuk  menjelaskan  kebenaran  suatu  pernyataan (teorema).  Hal  ini  sesuai  dengan  pendapat  Hanna  dan  Barbeau  dalam  Vanspronsen (2008) yang menyatakan bahwa bukti adalah serangkaian jumlah hingga dari langkah-langkah logika dari apa yang diketahui  menuju  suatu  kesimpulan  menggunakan  aturan-aturan  inferensia. Aturan-aturan  inferensia yang dimaksud adalah aturan yang nilai kebenarannya sudah diketahui valid.
Mahasiswa  memahami  bukti itu  merupakan  suatu  himpunan  pernyataan  yang  disusun  untuk menentukan kebenaran suatu pernyataan (teorema) dalam matematika. MS mengatakan bahwa bukti dalam  matematika  adalah  konsep  dasar  untuk  mengetahui  bahwa  suatu  teorema  itu  valid  atau  tidak valid. DJE mengatakan bahwa pembuktian dalam matematika adalah membuktikan suatu pernyataan (teorema)  dalam  matematika  dengan  cara  cara  langsung  maupun  tidak  langsung.  ARR  memahami bukti  sebagai  suatu  konsep  atau  landasan  yang  mampu  menjadikan  suatu  teorema  terbukti  dengan langkah-langkah membawa aksioma, definisi, dan lain-lain. Lebih lanjut, SK memahami bukti dalam
matematika  tentu  harus  dikembalikan  kepada  teorema-teorema,  definisi  yang  sudah  diketahui  yang kemudian  diselesaikan  menggunakan  cara-cara  tertentu.  Sedangkan  UNH  memahami  bukti  dalam matematika dapat dilakukan secara langsung membuktikan dengan urutan pernyataan dan secara tidak tidak  langsung  dapat  dilakukan  dengan  kontradiksi  dan  kontrapositif.  Menurut  RH,  bukti  dalam matematika  adalah  pembuktian  benar  atau  salahnya  suatu  pernyataan  secara  umum  dalam  bidang matematika.
Berkaitan dengan pemahaman konsep bukti, ada beberapa hal yang harus dipahami sebelum melakukan  pembuktian,  yaitu:  definisi,  kalimat  tertutup,  pernyataan,  proposisi,  premis,  hipotesis, konklusi,  aksioma,  postulat,  teorema, lemma,  dan corollary.  Tidak  semua  subyek  penelitian memahami beberapa istilah yang sering digunakan untuk menyusun bukti suatu pernyataan. Terutama lemma dan corollary,  hanya  UNH  yang  mampu  menjelaskan  bahwa lemma adalah  teorema  yang terbatas/semi teorema yang cakupannya lebih kecil dibandingkan teorema dan corollary adalah akibat langsung dari suatu teorema.
Berdasarkan data hasil penelitian, 3 orang subyek penelitian sudah memahami bahwa definisi adalah  uraian  pengertian  yang  berfungsi  untuk  membatasi objek, konsep,  dan  keadaan  berdasarkan waktu  dan  tempat  suatu  kajian,  yaitu:  DJE,  ARR,  dan  UNH.  Sedangkan  MS,  SK,  dan  RH  masih memahami definisi sebagai pernyataan yang tidak perlu dibuktikan.
Selanjutnya,  kalimat  tertutup,  pernyataan,  dan  proposisi  masih  dianggap  sesuatu  yang berbeda. Padahal ketiga istilah tersebut merupakan sesuatu yang sama atau memiliki arti yang sama. Kalimat  tertutup,  pernyataan,  dan  proposisi  merupakan  kalimat  deklaratif  yang  bernilai  benar  atau salah,  tetapi  tidak  keduanya (Marsudi,  2010).  Istilah  yang  digunakan  dalam  literatur  buku  berbeda- beda,  tergantung  kepada  penulis  buku  tersebut,  ada  yang  menggunakan  istilah  kalimat  tertutup, pernyataan, atau proposisi.
Berdasarkan beberapa pendapat yang disampaikan oleh subyek penelitian, hanya SK dan RH yang mengetahui definisi premis. MS mengatakan bahwa premis merupakan pernyataan primitif atau pernyataan  asal.  DJE  mengatakan  bahwa  premis  adalah  pernyataan,  baik  tunggal  yang  dilengkapi dengan  perangkai  logika.  ARR memahami  premis  sebagai  pernyataan  sebab  akibat  yang  perlu dibuktikan  kebenarannya.  Kemudian  SK  memahami  premis  sebagai  pernyataan  yang  jika dihubungkan dengan pernyataan lain menggunakan hukum-hukum logika, maka akan diketahui nilai kebenarannya. Selanjutnya, premis menurut UNH adalah pernyataan sedangkan menurut RH, premis merupakan pernyataan yang digunakan sebagai dasar penarikan kesimpulan.
Secara umum, mahasiswa sudah memahami bahwa hipotesis adalah kesimpulan awal/dugaan awal  (apa  yang  diketahui)  dan  konklusi  adalah  kesimpulan  (apa  yang  akan  dibuktikan),  yaitu pernyataan/informasi  baru  yang  didapatkan  dari  sintesis  premis-premis.  Dari  6  subyek  penelitian,  5 subyek  dapat  menjelaskan  definisi  dari  hipotesis  dan  konklusi.  Hanya  RH  yang  belum  mampu menjelaskan definisi dari hipotesis dan konklusi.
Berdasarkan data hasil penelitian, semua subyek penelitian menganggap bahwa aksioma dan postulat adalah sesuatu yang sama. Memang, aksioma dan postulat merupakan pernyataan yang tidak perlu dibuktikan kebenarannya karena sudah disepakati benar. Akan tetapi pada prakteknya, aksioma digunakan untuk matematika secara umum, sedangkan postulat lebih khusus di geometri.

## Kemampuan  Mahasiswa  dalam  Memvalidasi  Bukti  Suatu  Pernyataan (Teorema) dalam Geometri Euclid
Belum  ada  formula  khusus  yang  disepakati  oleh  pada  ilmuwan  yang  bergelut  di  dunia matematika  dan  pendidikan  matematika  untuk  mendefinisikan  bukti  matematis.  Oleh  karena  itu, membuktikan  suatu  pernyataan (teorema) merupakan  masalah  tersendiri.  Mengkonstruksi  dan menuliskan  suatu  bukti  serta  memvalidasi  kebenaran  suatu  bukti  merupakan  masalah  yang  sering muncul pada saat dihadapkan dengan pembuktian.
Berdasarkan  data  hasil  penelitian,  kemampuan  mahasiswa  dalam  memvalidasi  bukti  suatu pernyataan (teorema) dalam  Geometri  Euclid  masih  belum  memenuhi  harapan  peneliti.  Pada penelitian  ini  mahasiswa  diharapkan  dapat  mengecek  kebenaran  bukti  suatu  pernyataan (teorema) berikut: “Jika  dua  sudut  suatu  segitiga  kongruen,  maka  sisi -sisi  di  hadapan  sudut-sudut  tersebut kongrue n.” Mahasiswa  masih  belum  mampu  memvalidasi  kebenaran  suatu  teorema.  Dari  6  subyek penelitian,  sebanyak  3  subyek  mengatakan  bukti  yang  diberikan  sudah  benar  dan  3  sisanya mengatakan bahwa bukti yang diberikan masih salah.
Keenam  subyek  penelitian  berbeda-beda  dalam  memvalidasi  kebenaran  teorema  tersebut. Pertama, MS  mengatakan  bahwa  bukti  yang  diberikan  benar.  MS  kurang  teliti  dalam  mengecek kebenaran  suatu  pernyataan.  MS  juga  tidak  teliti  dengan  pernyataan-pernyataan  yang  diketahui. Kedua, DJE juga mengatakan bahwa bukti yang diberikan benar. Sama halnya dengan MS, DJE juga kurang teliti dalam mengecek kebenaran suatu pernyataan. Akan tetapi DJE lebih teliti dibandingkan MS  dalam  menyusun  pernyataan-pernyataan  yang  diketahui.  Kemudian  yang  dijadikan  dasar  dalam menganalisis  pernyataan-pernyataan  yang  diketahui  adalah  gambar  yang  ada  pada  lembar  tugas. Akibatnya,  pernyataan-pernyataan  yang  disusun  tersebut  tidak  akan  memperoleh  kesimpulan  yang benar. Ketiga, ARR  juga  mengatakan  bahwa  bukti  yang  diberikan  benar.  ARR  kurang  teliti  dalam mengecek  kebenaran  suatu  pernyataan.  Sama  halnya  dengan  MS  dan  DJE  yang  juga  kurang  teliti dalam mengecek kebenaran suatu pernyataan. Keempat, KS mengatakan bahwa bukti yang diberikan salah.  Hal  ini  berarti  KS  sudah  teliti  dalam mengecek  kebenaran  suatu  pernyataan.  KS  sudah  dapat mengidentifikasi  kesalahan  bukti  yang  diberikan,  namun  belum  mampu  memberikan  masukan  bukti yang benar. Justru KS menggunakan pernyataan-pernyataan yang salah sebelumnya untuk menyusun bukti  yang  benar.  KS  belum  konsisten  dalam  memberikan  penjelasan  kebenaran  suatu  pernyataan. Kelima, mengatakan bahwa bukti yang diberikan salah. UNH sudah teliti dalam mengecek kebenaran suatu  pernyataan,  namun  belum  mampu  memberikan  masukan  bukti  yang  benar.  Justru  UNH melakukan  kesalahan  dengan  menggunakan  pernyataan-pernyataan  yang  salah  sebelumnya  untuk menyusun bukti yang benar. Ketujuh, RH mengatakan bahwa bukti yang diberikan salah. RH belum teliti dalam mengecek kebenaran suatu pernyataan. RH menganggap pernyataan yang diberikan salah, bukan buktinya yang salah. RH salah dalam mengaplikasikan teorema sebelumnya yang mengatakan bahwa jika dua sudut suatu segitiga kongruen, maka sudut yang lain kongruen. Pada awalnya peneliti mengira  bahwa  RH  menganggap  pernyataan  yang dibuktikan  salah,  akan  tetapi  setelah  dilakukan wawancara diagnostik, RH mengatakan bahwa pernyataannya yang salah, bukan buktinya.

## Kemampuan  Mahasiswa  dalam  Melakukan  Pembuktian  Suatu  Pernyataan (Teorema) dalam Geometri Euclid
Berdasarkan  data  hasil  penelitian,  kemampuan  mahasiswa  dalam  melakukan  pembuktian suatu  pernyataan (teorema) dalam  Geometri  Euclid  masih  belum  memenuhi  harapan  peneliti.  Pada penelitian  ini  mahasiswa  diharapkan  dapat  menunjukkan  atau  membuktikan  kebenaran  suatu pernyataan (teorema) berikut: “Jika  garis -berat  pada  sisi-sisi  suatu  segitiga  bertemu  di  satu  titik, maka jarak dari titik sudut- titik sudut segitiga ke titik pertemuan tersebut adalah sama.” Mahasiswa masih  belum  mampu  membuktikan  kebenaran  suatu  teorema  secara  lengkap.  Dari 6  subyek penelitian, hanya 1 subyek saja yang mampu menyusun pernyataan-pernyataan yang logis dan disertai alasan  yang  lengkap,  2  subyek  sudah  mampu  menyusun  pernyataan-pernyataan  yang  logis  tetapi belum  disertai  alasan  yang  lengkap,  2  subyek  salah  menerjemahkan  penyataan  ke  dalam  bentuk gambar, dan 1 subyek belum mampu menyelesaikan bukti tersebut.
Pertama, MS masih salah dalam menerjemahkan pernyataan yang diberikan ke dalam bentuk gambar. Dengan kata lain, MS masih belum mampu menguasai dengan baik cara memvisualisasikan suatu  pernyataan  ke  bentuk  gambar.  Akibatnya,  pernyataan-pernyataan  yang  disusun  tidak memperoleh  kesimpulan  yang  benar. Kedua, DJE  sudah  dapat  menerjemahkan  atau memvisualisasikan  pernyataan  yang  diberikan  ke  dalam  bentuk  gambar.  Argumen-argumen  yang disusun untuk memperoleh kesimpulan sudah menggunakan pernyataan-pernyataan yang logis. Akan tetapi  alasan  yang  diberikan  belum  lengkap. Ketiga, ARR  sudah  dapat  menerjemahkan  atau memvisualisasikan  pernyataan  yang  diberikan  ke  dalam  bentuk  gambar.  Argumen-argumen  yang disusun untuk memperoleh kesimpulan sudah menggunakan pernyataan-pernyataan yang logis. Akan tetapi  alasan  yang  diberikan  belum  lengkap. Keempat, KS  sudah  dapat  menerjemahkan  atau memvisualisasikan  pernyataan  yang  diberikan  ke  dalam  bentuk  gambar.  Akan  tetapi  belum  teliti dalam  menyusun  pernyataan  berdasarkan  gambar  yang  dibuat  sebelumnya.  Akibatnya,  pernyataan- pernyataan  yang  disusun  tidak  memperoleh  kesimpulan  yang  benar. Kelima, UNH  sudah  dapat menerjemahkan  atau  memvisualisasikan  pernyataan  yang  diberikan  ke  dalam  bentuk  gambar.  UNH juga  mampu  menyususn  bukti  pernyataan  tersebut  dengan  menyusun  pernyataan-pernyataan  yang logis berdasarkan definisi, postulat, atau teorema-teorema sebelumnya untuk memperoleh kesimpulan yang benar. Keenam, RH dapat menerjemahkan atau memvisualisasikan pernyataan yang diberikan ke
dalam  bentuk  gambar.  Akan  tetapi  belum  mampu  menyusun  buktinya  dalam  bentuk  narasi  atau pernyataan-pernyataan yang logis.

## Faktor-faktor  yang  Mempengaruhi  Mahasiswa  dalam  Melakukan  Pembuktian  Suatu Pernyataan (Teorema) dalam Matematika
Berdasarkan  data  hasil  penelitian,  ada  beberapa  faktor  yang  menyebabkan  mahasiswa mengalami  kesulitan  dalam  melakukan  pembuktian  suatu  pernyataan (teorema) dalam  matematika. Penyebab kesulitan tersebut cenderung berasal dari dalam diri mahasiswa sendiri dan juga ada yang disebabkan  oleh  faktor  luar,  seperti:  proses  pembelajaran,  lingkungan  belajar,  dan  metode pembelajaran.  Faktor-faktor  yang  menjadi  penyebab  kesulitan  tersebut  dapat  diuraikan  sebagai berikut.
Pertama,  keterbatasan  penggunaan  bahasa  dan  simbol  matematika.  Akibatnya,  mahasiswa kesulitan memodelkan pernyataan dalam bentuk simbol dan tidak mampu mengidentifikasi apa yang diketahui,  apa  yang  tanyakan,  dan  harus  bagaimana  membuktikannya. Kedua,  kurang  menguasai materi. Mahasiswa lupa dengan berberapa hal yang berkaitan dengan pernyataan tersebut, misalnya: definisi, teorema, aksioma, maupun postulat. Ketiga, kesulitan menyusun bukti dalam bentuk narasi. Mahasiswa  sebenarnya  dapat  menjelaskan  secara  detail  mengenai  definisi,  gambar  yang  dimaksud dalam  pernyataan,  dan juga  dapat  menjelaskan  menggunakan  teorema  berdasarkan  gambar  tersebut, akan  tetapi  mahasiswa  masih  mengalami  kesulitan  untuk  menyusun  dalam  bentuk  pernyataan- pernyataan yang  logis  (bentuk  narasi).  Mahasiswa  cenderung  dapat  menjelaskan  atau  membuktikan secara informal, bukan formal. Keempat, kesulitan menentukan metode dalam membuktikan. Metode yang  digunakan  dalam  proses  pembuktian  bermacam-macam,  ada  pembuktian  langsung dan pembuktian  tidak  langsung. Kelima, proses  pembelajaran  yang  belum  mengarahkan  kepada kemandirian  mahasiswa  dalam  melakukan  pembuktian.  Dalam  pembelajaran,  pernyataan (teorema) yang  ada  dibuktikan  secara  terbatas.  Kemudian  tidak  ada  tuntutan  kepada  mahasiswa  untuk membuktikan  kebanaran  teorema  tersebut.  Dan keenam, cenderung  menghafal  bukti.  Kebanyakan mahasiswa  masih  menyukai  metode  hafalan.  Mereka  dapat  membuktikan  kebenaran  suatu  teorema karena  sudah  hafal  cara  membuktikannya.  Kemampuan  membuktikan  tersebut  bukan  berasal  dari pemahaman,  akan  tetapi  karena  hafalan  saja.  Mahasiswa  merasa  kesulitan  untuk  mengeluarkan  ide pada saat dihadapkan dengan persoalan pembuktian yang baru.

## PENUTUP
Berdasarkan  hasil  penelitian  tentang  pemahaman  konsep  bukti  dan  pembuktian  dalam Geometri  Euclid  dapat  disimpulkan  sebagai  berikut:  1)  mahasiswa  masih  lemah  dalam  memahami hal-hal  yang  berhubungan  dengan  bukti  atau  pembuktian  dalam  matematika,  2)  mahasiswa  masih belum mampu menvalidasi dengan baik bukti suatu pernyataan (teorema) dalam Geometri Euclid, 3) mahasiswa  masih  belum  mampu  membuktian  kebenaran  suatu  teorema  secara  formal  dan  lengkap, dan  4)  faktor-faktor  yang  menyebabkan  mahasiswa  mengalami  kesulitan  dalam  melakukan pembuktian  adalah:  (a) keterbatasan  penggunaan  bahasa  dan  simbol  matematika,  (b)  kurang menguasai  materi,  (c)  kesulitan  menyusun  bukti  dalam  bentuk  narasi,  (d)  kesulitan  menentukan metode dalam membuktikan, (e) proses pembelajaran yang belum mengarahkan kepada kemandirian mahasiswa dalam melakukan pembuktian, dan (f) cenderung menghafal bukti.
Berdasarkan  hasil  penelitian  ini  dapat  diberikan  saran  sebagai  berikut:  1)  hendaknya  hasil penelitian  ini  ditindaklanjuti  dengan  mengembangkan  metode  pembelajaran  yang  mengarahkan kepada kemandirian mahasiswa dalam memvalidasi bukti suatu pernyataan (teorema) dan melakukan pembuktian  suatu  pernyataan (teorema) secara  formal,  dan  2)  hendaknya  dalam  pembelajaran, mahasiswa diberikan banyak contoh pernyataan (teorema) yang dibuktikan.

## DAFTAR RUJUKAN
Alfeld,  P.  200 4.  “Understanding  Mathematics”,  ( http://www.math.utah.edu/~pa/math.  html,  diakses 03 Oktober 2014)
Arnawa,  I  Made.  2009.  “Mengembangkan  Kemampuan  Mahasiswa  dalam  Memvalidasi  Bukti  pada Aljabar  Abstrak melalui  Pembelajaran  Berdasarkan  Teori  APOS”, Jurnal  Matematika  dan Sains, Juni 2009, Vol. 14 No. 2
Barmby, P., et. all, 2007, “How Can We Assess Mathematical Understanding?”, dalam Proceedings of  the  31 st Conference  of  the  International  Group  for  the  Psychology  of  Mathematics Education, Vol. 2, pp. 41-48. Seoul: PME
Cockcroft,  W.  H.  1986.  “Mathematics  Counts”,  ( http://www.educationengland.org.uk/documents/ cockcroft/cockcroft00.html, diakses 27 Januari 2012)
Harel, Guershon & Larry Sowder. 1998. “Students’ proof schemes: results from exploratory studies.” In  A.H.  Schoenfeld,  J.  Kaput  &  E.  Dubinsky  (Eds.), Research  in collegiate  mathematics education, 1998, Volume 3, pp.234-283, Mathematical Association of America
........................ 2007.  “Toward  the  comprehensive  perspectives  on  the  learning  and  teaching  of proof.”  In  F.  Lester  (Ed.), Second  handbook  of  research  on  mathematics  teaching  and learning, 2007, pp. 805-842, Charlotte, NC: Information Age Publishing
Healy, Lulu & Celia Hoyles. 2000. “A study of proof conceptions in algebra”, Journal for Research in Mathematics Education, 2000, 31(4), 396-428.
Kassios,  Y.  2009.  “Formal  Proof”,  ( http://www.cs.toronto.edu/~hehner/aPToP/formalproof-1.pdf, diakses  tanggal 15 Oktober 2014)
Marsudi. 2010. Logika dan Himpunan. Malang: UB Press.
Michener,  E.  R.  1978. Understanding  Understanding  Mathematics. Cambridge,  Massachusetts:
Massachusetts Institute of Technology.
Polya, G.  1981. Mathematical  Discovery:  On  Understanding, Learning  and  Teaching Problem Solving, Combined Edition. New York: John Willey & Sons, Inc.
Porteous,  K.  tt.  “Understanding  Mathematics”,  ( http://people.exeter.ac.uk/PErnest/pome23/ Porteous%20Understanding%20Mathematics.doc, diakses 03 Oktober 2014)
Rich,  B.  &  Christopher  Thomas.  2009. Geometry:  includes  plane,  analytic,  and  transformational geometries Fourth Edition. New York: McGraw-Hill Companies, Inc.
Skemp,  Richard  R.  1976.  “Relational  Understanding  and  Instrumental  Understanding”, (http://www.grahamtall.co.uk/skemp/pdfs/instrumental-relational.pdf,  diakses  03  Oktober 2014)
Tall, D. 1989. “The Nature of Mathematical Proof”, dalam Mathematics Teaching, 127, hal. 23-32.
……… ...............1995. Cognitive Development, Representations, and Proof, Makalah dipresentasikan pada  Conference  on  Justifying  and  Proving  in  School  Mathematics,  Institute  of  Education, Desember 1995, London.
… .................. ……..1998. The  Cognitive  Development  of  Proof:  Is  Mathematical  Proof  For  All  or Some? Conference of the University of Chicago School Mathematics Project.
Vanspronsen,  H.D.  2008.  Doctoral  Dissertation: “Proof  Processes  Of  Novice  Mathematics  Proof Writers.” Missoula: University of Montana.