Pewarnaan pada Graf 𝐠𝐬𝐡𝐚𝐜𝐤(𝑾 𝟔 , 𝑪 𝟑 , 𝐫) dan Peta

## Kabupaten Lumajang Menggunakan Algoritma Welch Powell
Mokhamad Saiful Hasan 1 , Ziaulhaq Fathulloh 2
1 Akademi Komunitas Teknologi Syarifuddin Lumajang, Indonesia; saifulhasanmtk@gmail.com
2 Akademi Komunitas Teknologi Syarifuddin Lumajang, Indonesia; ziyaboy88@gmail.com
IDAROTUNA: Jurnal Adminstrative Science Vol 3 No 2 November 2022 https://doi.org/10.54471/idarotuna.v3 i2.32
Received: September 30, 2022 Accepted: October 17, 2022 Published: November 28, 2022

## Publisher’s  Note:  Program  Study
Office  Adminstrative    stays  neutral with  regard  to  jurisdictional  claims in  published  maps  and  institutional affiliations.

## Copyright:  ©  2021  by  the  authors.
Submitted  for  possible  open  access publication  under  the  terms  and conditions of the Creative Commons Attribution (CC BY) license (https://creativecommons.org/license s/by/4.0/).
Abstrak : Suatu pekerjaan atau aktivitas akan memakan waktu yang lama dalam menyelesaikannya.  Bahkan  sering  kali  membuang  waktu,  tempat,  tenaga,  dan memperdayakan  banyak  pekerja  yang  tidak  seharusnya.  Semua  itu  bisa  terjadi jika  tidak  mengoptimalkan  perlakuan  terhadap  suatu  pekerjaan  tersebut.  Salah satu  aplikasi  dari  Teori  Graf yang  cukup  terkenal  dalam  pengoptimalan adalah Pewarnaan. Pewarnaan dalam teori graf terdapat tiga macam, yaitu pewarnaan titik,  pewarnaan  sisi,  dan  pewarnaan  daerah.  Metode  pada  penelitian  ini menggunakan  metode  studi  literatur  diawali  menggambar  graf,  memberikan label  pada  titik  graf.  Melakukan  pewarnaan,  dimana  teknik  pewarnaan  yang digunakan  dalam  pewarnaan  graf 𝑔𝑠ℎ𝑎𝑐𝑘(𝑊 6 , 𝐶 3 , 𝑟) dan  peta  Kabupaten Lumajang  adalah  pewarnaan  titik  menggunakan  algoritma  welch  powell. Algoritma  welch  powell  digunakan  untuk  menentukan  bilangan  kromatik. Bilangan  kromatik  yaitu  jumlah  minimum  dari  warna  yang  diperlukan  dalam pewarnaan pada titik graf. Pewarnaan pada graf 𝑔𝑠ℎ𝑎𝑐𝑘(𝑊 6 , 𝐶 3 , 𝑟) mendapatkan jumlah  yang  minimum  yaitu  4.  Pewarnaan  pada  peta  Kabupaten  Lumajang diperoleh  jumlah  warna  yang  minum  yaitu  juga  4  (merah,  kuning,  biru  dan hijau).
Kata Kunci: Pewarnaan Graf, Pewarnaan Peta, dan Algoritma Welch Powell
Pewarnaan pada Graf 𝑔𝑠ℎ𝑎𝑐𝑘(𝑊 6 , 𝐶 3 , 𝑟) dan Peta Kabupaten Lumajang Menggunakan Algoritma Welch Powell Mokhamad Saiful Hasan , Ziaulhaq Fathulloh

## 1. Pendahuluan
Teori Graf pertama kali dipopulerkan atau diperkenalkan pertama kali  oleh  Leonardo  Euler  seorang  matematikawan  yang  berasal  dari Swiss.  Jembatan  Konigsberg  dipresantasikan  kedalam  bentuk  graf, dimana  “jembatan”  dimisalkan  dalam  bentuk  “titik”  graf  dan  “jalan” dimisalkan  kedalam  bentuk  “sisi”  graf  (Nasir  et  al.,  2022).  Graf  jika dipandang  secara  matematis  dinotasikan 𝐺 = (𝑉, 𝐸) ,  dimana 𝐺 adalah himpunan  pasangan  dari (𝑉, 𝐸) ,  dengan 𝑉 = 𝑉(𝐺) = (𝑣 1 , 𝑣 2 , 𝑣 3 , … , 𝑣 𝑛 ) merupakan  himpunan  titik  yang  tidak  boleh  kosong  sedangkan 𝐸 = 𝐸(𝐺) = (𝑒 1 , 𝑒 2 , 𝑒 3 , … , 𝑒 𝑚 ) himpunan  sisi  yang  boleh  kosong.  Sehinggan graf memungkin hanya berupa titik saja (Lestari & Umilasari, 2022).
Banyak titik 𝑉 dalam graf 𝐺 dinamakan order (𝑝) atau dinotasikan |𝑉 (𝐺)| (Agustina  et  al.,  2017).  Sedangkan  banyak  sisi 𝐸 dalam  graf 𝐺 disebut  size (𝑞) atau  dinotasikan |𝐸(𝐺)| (Agustin  et  al.,  2021).    Titik 𝑣 yang  terhubung  oleh  sisi 𝑒 dengan  titik  yang  lain  disebut  bertetangga (adjacent)  (Putri,  2021).  Banyak  sisi 𝑒 yang  bersisian  (incident)  di  dalam sebuah titik 𝑣 disebut derajat (degree), dinotasikan 𝑑(𝐺) (Wijayanti et al., 2018).  Banyak  sisi 𝑒 yang  bersisian  (incident)  di  satu  titik 𝑣 dan merupakan  yang  terbanyak  jika  dibandingkan  dengan  jumlah  pada titik 𝑒 yang lain pada graf 𝐺 disebut derajat terbesar, dinotasikan ∆(𝐺) (Agustin  et  al.,  2016).  Sedangkan  jika  sisi 𝑒 yang  bersisian  (incident)  di satu  titik 𝑣 dan  merupakan  yang  paling  sedikit  jika  dibandingkan dengan  jumlah  pada    titik 𝑒 yang  lain  pada  graf 𝐺 disebut  derajat terkecil, dinotasikan 𝛿(𝐺) (Kristiana et al., 2022). Jalan (𝑊(𝐺)) adalah  sebuah  barisan  berhingga  yang  diawali  dan diakhiri  titik,  diamana  barisan  tersebut  berisikan  titik  dan  sisi  secara bergantian  tanpa  adanya  syarat  dalam  pengulangan  titik  dan  sisi (Febrianti  et  al.,  2019).  Sedangkan  jalan  dengan  titik  dan  sisinya  yang tidak berulang, dinamakan lintasan (path) pada graf 𝐺 (Makalew et al., 2021). Sebuah graf 𝐺 bisa dikatakan graf terhubung (connected graph) jika semua titik yang ada dalam graf 𝐺 tersebut dihubungkan oleh sisi, jika ada  paling  sedikitnya  satu  titik  yang  tidak  terhubung  oleh  sisi,  maka graf  tersebut  dinamakan  graf  tak-hubung  (disconnected  graph)  (Hasan, 2015).
Graf 𝑔𝑠ℎ𝑎𝑐𝑘(𝑊 6 , 𝐶 3 , 𝑟) merupakan    graf  baru  yang  diperoleh  dari pengoperasian  graf  yaitu  Generalized  Shackle.  Dimana  graf  yang dioperasikan  adalah  graf  Graf  Roda  (Wheel  Graph) 𝑊 6 dengan penghubungnya Graf Siklus (Cycle Graph) serta digandakan sebanyak 𝑟 (Hasan,  2015).  Contoh  Graf 𝑔𝑠ℎ𝑎𝑐𝑘(𝑊 6 , 𝐶 3 , 𝑟) dapat  dilihat  pada Gambar 1.
Gambar  1.1  Contoh Graf 𝑔𝑠ℎ𝑎𝑐𝑘(𝑊 6 , 𝐶 3 , 𝑟) .
Pewarnaan  pada  Graf 𝑔𝑠ℎ𝑎𝑐𝑘(𝑊 6 , 𝐶 3 , 𝑟) dan  Peta  Kabupaten  Lumajang  Menggunakan  Algoritma  Welch Powell Mokhamad Saiful Hasan , Ziaulhaq Fathulloh
Kabupaten  Lumajang  terdiri  dari  21  kecamatan,  diantaranya: Kecamatan  Tempursari;  Kecamatan  Pronojiwo;  Kecamatan  Candipuro; Kecamatan  Pasirian;  Kecamatan  Tempeh;  Kecamatan  Lumajang; Kecamatan  Sumbersuko;  Kecamatan  Tekung;  Kecamatan  Kunir; Kecamatan  Yosowilangun;  Kecamatan  Rowokangkung;  Kecamatan Jatiroto;  Kecamatan  Randuagung;  Kecamatan  Sukodono;  Kecamatan Padang;  Kecamatan  Pasrujambe;  Kecamatan  Senduro;  Kecamatan Gucilait;  Kecamatan  Kedungjajang;  Kecamatan  Klakah;  Kecamatan Ranuyoso (sumber: LPPD, 2019).
Gambar  1.2  Peta Kabupaten Lumajang (sumber: LPPD, 2019).
Pewarnaan  pada  graf  terdapat  tiga  pewarnaan,  yaitu  pewarnaan titik, pewarnaan sisi dan pewarnaan daerah. Pewarnaan titik pada graf 𝐺 adalah  memberikan  warna  pada  semua  titik  yang  ada  di  graf 𝐺 , sedemikian  hingga  tidak  ada  warna  yang  sama  pada  titik  yang bertetangga (adjacent).  Warna yang dimiliki titik 𝑣 , dinotasikan dengan 𝑐(𝑣) . Jumlah minimum warna yang digunakan dalam pewarnaan graf 𝐺 disebut bilangan kromatik, dinotasikan 𝜒(𝐺) (Retnoningsih, 2022). Algoritma welch powell adalah salah satu algoritma yang digunakan dalam pewarnaan titik graf untuk mengetahui jumlah warna minimum dalam  pewarnaan  graf  (Monim  et  al.,  2022).  Algoritma  welch  powell memulai  pewarnaannya  dari  titik  yang  memiliki  derajat  paling  besar yang  dinamakan  dengan  metode  Largest  Degree  Ordering  (LDO). Algoritma  ini  cukup  efisien  dalam  mewarnai  sebuah  graf,  tetapi algoritma  welch  powell  hanya  lebih  tepat  digunakan  ketika  suatu  graf memiliki  order  yang  cenderung  kecil  (Ammar,  2019).  Tahapan pewarnaan  graf  dengan  algoritma  welch  powell  adalah:  tahap  pertama berikan label pada semua titik pada graf, misalkan 𝑣 1 , 𝑣 2 , 𝑣 3 , … , 𝑣 𝑛 ; tahap ke-dua  berikan  sebarang  warna  pada  titik  yang  memiliki  derajat terbesar; tahap ke-tiga berikan warna yang sama pada semua titik yang tidak bertetangga (adjacent) dengan titik yang berderajat terbesar; tahap
Pewarnaan pada Graf 𝑔𝑠ℎ𝑎𝑐𝑘(𝑊 6 , 𝐶 3 , 𝑟) dan Peta Kabupaten Lumajang Menggunakan Algoritma Welch Powell
Mokhamad Saiful Hasan , Ziaulhaq Fathulloh
ke-empat  apabila  ditemukan  warna  sama  pada  titik  yang  bertetangga maka salah satu warna pada titik tersebut harus dihapus sehingga tidak ada  lagi  titik  bertetangga  dengan  warna  yang  sama;  tahap  ke-lima ulangi  tahap  ke-dua  sampai  ke-empat  untuk  pewarnaan  pada  titik berderajat  tinggi  berikutnya,  sehingga  semua  titik  pada  graf  memiliki warna (Lestari & Umilasari, 2022).
Pewarnaan  pada  peta  Kabupaten  Lumajang  bertujuan  guna mempermudah  membaca  peta  dalam  membedakan  tiap  wilayah kecamatan (Firmansyah et  al., 2022). Satu cara  untuk  menjamin  bahwa dua kecamatan tidak memiliki warna sama maka menggunakan warna yang  berbeda  untuk  tiap  kecamatan.  Sehingga  kecamatan  yang bertetangga tidak memiliki warna yang sama (Ammar, 2019).

## 2. Hasil dan Diskusi
Penelitian  ini  menghasilkan  dua  pewarnaan,  yaitu  yang  pertama pewarnaan  pada  Graf 𝑔𝑠ℎ𝑎𝑐𝑘(𝑊 6 , 𝐶 3 , 𝑟) sehingga  diperoleh  Teroma baru  atas  pewarnaan  Graf 𝑔𝑠ℎ𝑎𝑐𝑘(𝑊 6 , 𝐶 3 , 𝑟) ,  hasil  yang  kedua  adalah pewarnaan  dengan  warna  yang  minimum  pada  peta  Kabupaten Lumajang.
2.1. Pewarnaan pada Graf 𝑔𝑠ℎ𝑎𝑐𝑘(𝑊 6 , 𝐶 3 , 𝑟)
Langkah  pertama  untuk  memulai  pewarnaan  adalah  dengan memberikan  label  pada  seluruh  titik  pada  graf 𝑔𝑠ℎ𝑎𝑐𝑘(𝑊 6 , 𝐶 3 , 𝑟) . Gambar  2.1  menunjukkan  graf 𝑔𝑠ℎ𝑎𝑐𝑘(𝑊 6 , 𝐶 3 , 𝑟) ,  dimana 𝑟 adalah banyaknya  graf  yang  akan  digambar,  tetapi  masih  dalam  batasan berhingga.
Gambar  2.1 Graf 𝑔𝑠ℎ𝑎𝑐𝑘(𝑊 6 , 𝐶 3 , 𝑟) Sudah Diberikan Label.
Langkah  selanjutnya  adalah  mendaftarkan  titik-titik  yang  ada dalam graf, yaitu mendaftarkan derajat serta mengurutkan dari derajat terbesar ke derajat terkecil.
Tabel 2.1 Daftar derajat serta diurut dari derajat terbesar ke derajat terkecil.
No. Titik Derajat 1 𝐴 𝑖 ; 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑟 6 2 𝑦 𝑖 ; 2 ≤ 𝑖 ≤ 𝑟 6 3 𝑧 𝑖,2 ; 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑟 -1 4
Pewarnaan  pada  Graf 𝑔𝑠ℎ𝑎𝑐𝑘(𝑊 6 , 𝐶 3 , 𝑟) dan  Peta  Kabupaten  Lumajang  Menggunakan  Algoritma  Welch Powell Mokhamad Saiful Hasan , Ziaulhaq Fathulloh
4 𝑧 𝑖,1 ; 2 ≤ 𝑖 ≤ 𝑟 4 5 𝑥 𝑖,𝑗 ; 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑟 , 1 ≤ 𝑗 ≤ 2 3 6 𝑦 1 3 7 𝑦 𝑟+1 3 8 𝑧 1,1 3 9 𝑧 𝑟,2 3
2.1.1. Titik Berderajat Terbesar Pertama
Dimulai  dari  tahap  ke-dua,  berikan  sebarang  warna  misal  merah pada titik yang memiliki derajat terbesar, pada graf 𝑔𝑠ℎ𝑎𝑐𝑘(𝑊 6 , 𝐶 3 , 𝑟) ini dipilih titik 𝐴 1 sebagai titik berderajat terbesar pertama. Dilanjut  tahap ke-tiga,  berikan  warna  yang  sama  pada  semua  titik  yang  tidak bertetangga (adjacent) dengan titik yang berderajat terbesar 𝐴 1 . Sehingga diperoleh pewarnaan seperti pada Gambar 2.2.
Gambar    2.2  Graf 𝑔𝑠ℎ𝑎𝑐𝑘(𝑊 6 , 𝐶 3 , 𝑟) Sudah  Diberikan  Warna  Merah  pada Derajat  Terbesar  dan  yang  Tidak  Bertetangga  dengan  Derajat  Terbesar Juga Diberikan Warna Merah, Tetapi Masih Terdapat Warna Sama di Titik yang Bertetangga.
Tahap  ke-empat  ditemukan  banyak  warna  sama  pada  titik  yang bertetangga,  maka  salah  satu  warna  pada  titik  tersebut  harus  dihapus, sehingga  tidak  ada  lagi  titik  bertetangga  dengan  warna  yang  sama. Sehingga diperoleh pewarnaan seperti pada Gambar 2.3.
Gambar    2.3  Graf 𝑔𝑠ℎ𝑎𝑐𝑘(𝑊 6 , 𝐶 3 , 𝑟) Sudah  Diberikan  Warna  Merah  pada Derajat  Terbesar  dan  yang  Tidak  Bertetangga  dengan  Derajat  Terbesar
Pewarnaan pada Graf 𝑔𝑠ℎ𝑎𝑐𝑘(𝑊 6 , 𝐶 3 , 𝑟) dan Peta Kabupaten Lumajang Menggunakan Algoritma Welch Powell Mokhamad Saiful Hasan , Ziaulhaq Fathulloh
Juga  Diberikan  Warna  Merah,  Tetapi  Sudah  Tidak  Ada  Warna  Sama  di Titik yang Bertetangga.
2.1.2. Titik Berderajat Terbesar Kedua
Ulangi  tahap  ke-dua  untuk  titik  berderajat  terbesar  berikutnya, berikan sebarang  warna  misal kuning pada titik yang memiliki derajat terbesar  kedua.  Pada  graf 𝑔𝑠ℎ𝑎𝑐𝑘(𝑊 6 , 𝐶 3 , 𝑟) ini  dipilih  titik 𝑦 2 sebagai titik  berderajat  terbesar  kedua.  Dilanjut  tahap  ke-tiga,  berikan  warna yang  sama  pada  semua  titik  yang  tidak  bertetangga  (adjacent)  dengan titik yang  berderajat terbesar kedua 𝑦 2 . Sehingga  diperoleh pewarnaan seperti pada Gambar 2.4.
Gambar    2.4  Graf 𝑔𝑠ℎ𝑎𝑐𝑘(𝑊 6 , 𝐶 3 , 𝑟) Sudah  Diberikan  Warna  Merah  dan Kuning, Tetapi Ada Warna Sama di Titik yang Bertetangga.
Tahap  ke-empat  ditemukan  banyak  warna  sama  pada  titik  yang bertetangga,  maka  salah  satu  warna  pada  titik  tersebut  harus  dihapus, sehingga  tidak  ada  lagi  titik  bertetangga  dengan  warna  yang  sama. Sehingga diperoleh pewarnaan seperti pada Gambar 2.5.
Gambar    2.5  Graf 𝑔𝑠ℎ𝑎𝑐𝑘(𝑊 6 , 𝐶 3 , 𝑟) Sudah  Diberikan  Warna  Merah  dan Kuning, Serta Tidak Ada Warna Sama di Titik yang Bertetangga.
2.1.3. Titik Berderajat Terbesar Ketiga
Ulangi  tahap  ke-dua  untuk  titik  berderajat  terbesar  berikutnya, berikan  sebarang  warna  misal  biru  pada  titik  yang  memiliki  derajat terbesar  ketiga.  Pada  graf 𝑔𝑠ℎ𝑎𝑐𝑘(𝑊 6 , 𝐶 3 , 𝑟) ini  dipilih  titik 𝑧 1,2 sebagai titik  berderajat  terbesar  ketiga.  Dilanjut  tahap  ke-tiga,  berikan  warna
Pewarnaan  pada  Graf 𝑔𝑠ℎ𝑎𝑐𝑘(𝑊 6 , 𝐶 3 , 𝑟) dan  Peta  Kabupaten  Lumajang  Menggunakan  Algoritma  Welch Powell Mokhamad Saiful Hasan , Ziaulhaq Fathulloh
yang  sama  pada  semua  titik  yang  tidak  bertetangga  (adjacent)  dengan titik yang berderajat terbesar ketiga 𝑧 1,2 . Sehingga diperoleh pewarnaan seperti pada Gambar 2.6.
Gambar    2.6  Graf 𝑔𝑠ℎ𝑎𝑐𝑘(𝑊 6 , 𝐶 3 , 𝑟) Sudah  Diberikan  Warna  Merah, Kuning dan Biru Tetapi Ada Warna Sama di Titik yang Bertetangga.
Tahap  ke-empat  ditemukan  banyak  warna  sama  pada  titik  yang bertetangga,  maka  salah  satu  warna  pada  titik  tersebut  harus  dihapus, sehingga  tidak  ada  lagi  titik  bertetangga  dengan  warna  yang  sama. Sehingga diperoleh pewarnaan seperti pada Gambar 2.7.
Gambar    2.7  Graf 𝑔𝑠ℎ𝑎𝑐𝑘(𝑊 6 , 𝐶 3 , 𝑟) Sudah  Diberikan  Warna  Merah, Kuning dan Biru, Serta Tidak Ada Warna Sama di Titik yang Bertetangga.
2.1.4. Titik Berderajat Terbesar Keempat
Ulangi  tahap  ke-dua  untuk  titik  berderajat  terbesar  berikutnya, berikan  sebarang  warna  misal  hijau  pada  titik  yang  memiliki  derajat terbesar  keempat.  Pada  graf 𝑔𝑠ℎ𝑎𝑐𝑘(𝑊 6 , 𝐶 3 , 𝑟) ini  dipilih  titik 𝑧 2,1 sebagai titik berderajat terbesar keempat. Dilanjut tahap ke-tiga, berikan warna  yang  sama  pada  semua  titik  yang  tidak  bertetangga  (adjacent) dengan  titik  yang  berderajat  terbesar  ketiga 𝑧 2,1 .  Sehingga  diperoleh pewarnaan seperti pada Gambar 2.8.
Pewarnaan pada Graf 𝑔𝑠ℎ𝑎𝑐𝑘(𝑊 6 , 𝐶 3 , 𝑟) dan Peta Kabupaten Lumajang Menggunakan Algoritma Welch Powell
Mokhamad Saiful Hasan , Ziaulhaq Fathulloh
Gambar    2.8  Graf 𝑔𝑠ℎ𝑎𝑐𝑘(𝑊 6 , 𝐶 3 , 𝑟) Sudah  Diberikan  Warna  Merah, Kuning,  Biru  dan  Hijau,  Serta  Tidak  Ada  Warna  Sama  di  Titik  yang Bertetangga.
Pewarnaan  telah  selesai  untuk  graf 𝑔𝑠ℎ𝑎𝑐𝑘(𝑊 6 , 𝐶 3 , 𝑟) ,  dimana warna  yang  dibutuhkan  cukup  4  warna  saja  (merah,  kuning,  biru  dan hijau) dan tidak ada warna sama pada titik yang bertetangga. Sehingga tidak diperlukan ketahap berikutnya.
Teorema  2.1  Bilangan  kromatik  graf 𝑔𝑠ℎ𝑎𝑐𝑘(𝑊 6 , 𝐶 3 , 𝑟) dengan 𝑟 ≥ 2 , adalah 𝜒(𝑔𝑠ℎ𝑎𝑐𝑘(𝑊 6 , 𝐶 3 , 𝑟), ) = 4 . Bukti. Graf 𝑔𝑠ℎ𝑎𝑐𝑘(𝑊 6 , 𝐶 3 , 𝑟) adalah graf terhubung dengan himpunan titik 𝑉(𝑔𝑠ℎ𝑎𝑐𝑘(𝑊 6 , 𝐶 3 , 𝑟)) = {𝐴 𝑖 ; 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑟} ∪ {𝑥 𝑖,𝑗 , 𝑧 𝑖,𝑗 ; 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑟, 1 ≤ 𝑗 ≤
2} ∪ {𝑦 𝑖 ; 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑟 + 1}
dan memiliki himpunan sisi 𝐸(𝑔𝑠ℎ𝑎𝑐𝑘(𝑊 6 , 𝐶 3 , 𝑟)) = {𝑥 𝑖,1 𝑥 𝑖,2 ; 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑟} ∪ {𝑥 𝑖,1 𝑦 𝑖 , 𝑧 𝑖,1 𝑦 𝑖 ; 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑟} ∪ {𝑥 𝑖,2 𝑦 𝑖+1 , 𝑧 𝑖,2 𝑦 𝑖+1 ; 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑟} ∪ {𝑧 𝑖,1 𝑧 𝑖,2 ; 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑟} ∪ {𝑧 𝑖,2 𝑧 𝑖+1,1 ; 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑟 − 1} ∪ {𝐴 𝑖 𝑥 𝑖,𝑗 , 𝐴 𝑖 𝑦 𝑖 , 𝐴 𝑖 𝑦 𝑖+1 , 𝐴 𝑖 𝑧 𝑖,𝑗 ; 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑟, 1 ≤ 𝑗 ≤ 2} Sehingga graf
𝑔𝑠ℎ𝑎𝑐𝑘(𝑊 6 , 𝐶 3 , 𝑟) memiliki  order  dan  size  yaitu |𝑉(𝑔𝑠ℎ𝑎𝑐𝑘(𝑊 6 , 𝐶 3 , 𝑟))| = 6𝑟 + 1 dan |𝐸(𝑔𝑠ℎ𝑎𝑐𝑘(𝑊 6 , 𝐶 3 , 𝑟))| = 13𝑟 − 1 .  Graf 𝑔𝑠ℎ𝑎𝑐𝑘(𝑊 6 , 𝐶 3 , 𝑟) adalah  graf  yang  memiliki  satu  titik  pusat 𝐴 disetiap  pengulangan 𝑟 yang  saling  bertetangga  dengan  setiap  titik  yang  lainnya  diposisi 𝑟 tersebut, sehingga titik pusat 𝐴 harus berwarna beda dengan setiap titik lain yang bertetangga. Sehingga fungsi pewarnaan pada titik pada graf 𝑔𝑠ℎ𝑎𝑐𝑘(𝑊 6 , 𝐶 3 , 𝑟) sebagai berikut.
𝑐(𝐴 𝑖 ) = 𝑐(𝑧 1,1 ) = 𝑐(𝑥 1,1 ) = 𝑐(𝑧 𝑟,2 ) = 𝑐(𝑥 𝑟,2 ) = 𝑐(𝑦 𝑖 ) = 𝑐(𝑦 1 ) = 𝑐(𝑦 𝑟+1 ) = 𝑐(𝑥 𝑟,1 ) = 𝑐(𝑧 𝑖,2 ) = 𝑐(𝑥 𝑖,2 ) = 𝑐(𝑥 𝑖,1 ) = 𝑐(𝑧 𝑖,1 ) = 1 , untuk 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑟
2 2 , untuk 2 ≤ 𝑖 ≤ 𝑟 3
3 , untuk 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑟 − 1 4 , untuk 2 ≤ 𝑖 ≤ 𝑟 − 1 4 , untuk 2 ≤ 𝑖 ≤ 𝑟
Terbukti jika bilangan kromatik pada graf 𝑔𝑠ℎ𝑎𝑐𝑘(𝑊 6 , 𝐶 3 , 𝑟) dengan 𝑟 ≥ 2 , adalah 𝜒(𝑔𝑠ℎ𝑎𝑐𝑘(𝑊 6 , 𝐶 3 , 𝑟), ) = 4 . □
Pewarnaan  graf 𝑔𝑠ℎ𝑎𝑐𝑘(𝑊 6 , 𝐶 3 , 𝑟) menggunakan  algoritma  welch powell bisa menghasilkan warna minimum dalam penerapan warnanya, yaitu  cukup  4  warna  saja  (merah,  kuning,  biru  dan  hijau).    Graf 𝑔𝑠ℎ𝑎𝑐𝑘(𝑊 6 , 𝐶 3 , 𝑟) memiliki order |𝑉(𝑔𝑠ℎ𝑎𝑐𝑘(𝑊 6 , 𝐶 3 , 𝑟))| = 6𝑟 + 1
Pewarnaan  pada  Graf 𝑔𝑠ℎ𝑎𝑐𝑘(𝑊 6 , 𝐶 3 , 𝑟) dan  Peta  Kabupaten  Lumajang  Menggunakan  Algoritma  Welch Powell Mokhamad Saiful Hasan , Ziaulhaq Fathulloh
(Hasan, 2015). Order (banyaknya titik) dari graf ini cenderung  banyak, tetapi masih bisa melakukan pewarnaan menggunakan algoritma welch powell dikarenakan titik pada graf ini bergerak secara teratur.

## 2.2. Pewarnaan pada Peta Kabupaten Lumajang
Langkah  pertama  untuk  memulai  pewarnaan  adalah  dengan mempresentasikan  peta  Kabupaten  Lumajang  kedalam  bentuk  graf. Kumpulan  atau  himpunan  kecamatan  yang  berada  di  Kabupaten Lumajang  dipresentasikan  sebagai  himpunan  titik  graf.  Hubungan ketetanggaan  antar  kecamatan  dipresentasikan  menjadi  himpunan  sisi graf.  Gambar  2.9  menunjukkan  graf  baru  hasil  dari  mempresentasikan peta Kabupaten Lumajang kedalam bentuk graf.
Gambar  2.9 Hasil Representasi Peta Kabupaten Lumajang ke Bentuk Graf.
Langkah  selanjutnya,  agar  lebih  mudah  dalam  pewarnaan  maka nama  kecamatan  digantikan  dengan  label  seperti  pada  tabel  2.2 sekaligus  juga  tersedia  daftar  derajat  setiap  titik.  Gambar  2.10 merupakan graf yang sudah diberikan label.

## Tabel 2.2 Label setiap kecamatan dan jumlah derajat
No. Nama Kecamatan Label Derajat 1 Tempursari 𝑣 1 2 2 Pronojiwo 𝑣 2 3 3 Candipuro 𝑣 3 5 4 Pasirian 𝑣 4 2 5 Tempeh 𝑣 5 5 6 Lumajang 𝑣 6 6 7 Sumbersuko 𝑣 7 7
Pewarnaan pada Graf 𝑔𝑠ℎ𝑎𝑐𝑘(𝑊 6 , 𝐶 3 , 𝑟) dan Peta Kabupaten Lumajang Menggunakan Algoritma Welch Powell
Mokhamad Saiful Hasan , Ziaulhaq Fathulloh
8 Tekung 𝑣 8 5 9 Kunir 𝑣 9 4 10 Yosowilangun 𝑣 10 3 11 Rowokangkung 𝑣 11 4 12 Jatiroto 𝑣 12 4 13 Randuagung 𝑣 13 5 14 Sukodono 𝑣 14 5 15 Padang 𝑣 15 6 16 Pasrujambe 𝑣 16 5 17 Senduro 𝑣 17 4 18 Gucilait 𝑣 18 5 19 Kedungjajang 𝑣 19 5 20 Klakah 𝑣 20 4 21 Ranuyoso 𝑣 21 3
Gambar  2.10  Hasil  Representasi  Peta  Kabupaten  Lumajang  ke  Bentuk Graf.
2.2.1. Titik Berderajat Terbesar Pertama
Sama  halnya  dengan  pewarnaan  sebelumnya,  dimulai  dari  tahap ke-dua. Berikan sebarang warna  misal merah pada titik yang memiliki derajat terbesar pada graf, yaitu titik 𝑣 7 sebagai titik berderajat terbesar pertama. Dilanjut tahap ke-tiga, berikan warna yang sama pada semua titik  yang  tidak  bertetangga  (adjacent)  dengan  titik  yang  berderajat terbesar 𝑣 7 . Sehingga diperoleh pewarnaan seperti pada Gambar 2.11.
Pewarnaan  pada  Graf 𝑔𝑠ℎ𝑎𝑐𝑘(𝑊 6 , 𝐶 3 , 𝑟) dan  Peta  Kabupaten  Lumajang  Menggunakan  Algoritma  Welch Powell Mokhamad Saiful Hasan , Ziaulhaq Fathulloh
Gambar    2.11  Graf  Peta  Kabupaten  Lumajang  Sudah  Diberikan  Warna Merah pada Derajat Terbesar dan yang Tidak Bertetangga dengan Derajat Terbesar  Juga  Diberikan  Warna  Merah,  Tetapi  Masih  Terdapat  Warna Sama di Titik yang Bertetangga.
Tahap  ke-empat  ditemukan  banyak  warna  sama  pada  titik  yang bertetangga,  maka  salah  satu  warna  pada  titik  tersebut  harus  dihapus, sehingga  tidak  ada  lagi  titik  bertetangga  dengan  warna  yang  sama. Sehingga diperoleh pewarnaan seperti pada Gambar 2.12.
Pewarnaan pada Graf 𝑔𝑠ℎ𝑎𝑐𝑘(𝑊 6 , 𝐶 3 , 𝑟) dan Peta Kabupaten Lumajang Menggunakan Algoritma Welch Powell
Mokhamad Saiful Hasan , Ziaulhaq Fathulloh
Gambar    2.12  Graf  Peta  Kabupaten  Lumajang  Sudah  Diberikan  Warna Merah pada Derajat Terbesar dan yang Tidak Bertetangga dengan Derajat Terbesar  Juga  Diberikan  Warna  Merah,  Tetapi  Sudah  Tidak  Ada  Warna Sama di Titik yang Bertetangga.
2.2.2. Titik Berderajat Terbesar Kedua
Ulangi  tahap  ke-dua  untuk  titik  berderajat  terbesar  berikutnya, berikan sebarang  warna misal kuning pada titik yang memiliki derajat terbesar  kedua.  Pada  graf  ini  dipilih  titik 𝑣 15 sebagai  titik  berderajat terbesar  kedua.  Dilanjut  tahap  ke-tiga,  berikan  warna  yang  sama  pada semua  titik  yang  tidak  bertetangga  (adjacent)  dengan  titik  yang berderajat  terbesar  kedua 𝑣 15 .  Sehingga  diperoleh  pewarnaan  seperti pada Gambar 2.13.
Gambar    2.13  Graf 𝑔𝑠ℎ𝑎𝑐𝑘(𝑊 6 , 𝐶 3 , 𝑟) Sudah  Diberikan  Warna  Merah  dan Kuning, Tetapi Ada Warna Sama di Titik yang Bertetangga.
Tahap  ke-empat  ditemukan  banyak  warna  sama  pada  titik  yang bertetangga,  maka  salah  satu  warna  pada  titik  tersebut  harus  dihapus, sehingga  tidak  ada  lagi  titik  bertetangga  dengan  warna  yang  sama. Sehingga diperoleh pewarnaan seperti pada Gambar 2.14.
Pewarnaan  pada  Graf 𝑔𝑠ℎ𝑎𝑐𝑘(𝑊 6 , 𝐶 3 , 𝑟) dan  Peta  Kabupaten  Lumajang  Menggunakan  Algoritma  Welch Powell Mokhamad Saiful Hasan , Ziaulhaq Fathulloh
Gambar    2.14  Graf  Peta  Kabupaten  Lumajang  Sudah  Diberikan  Warna Merah  dan  Kuning,  Serta  Tidak  Ada  Warna  Sama  di  Titik  yang Bertetangga.
2.2.3. Titik Berderajat Terbesar Ketiga
Ulangi  tahap  ke-dua  untuk  titik  berderajat  terbesar  berikutnya, berikan  sebarang  warna  misal  biru  pada  titik  yang  memiliki  derajat terbesar  ketiga.  Pada  graf  ini  dipilih  titik 𝑣 18 sebagai  titik  berderajat terbesar  ketiga.  Dilanjut  tahap  ke-tiga,  berikan  warna  yang  sama  pada semua  titik  yang  tidak  bertetangga  (adjacent)  dengan  titik  yang berderajat  terbesar  ketiga 𝑣 18 .  Sehingga  diperoleh  pewarnaan  seperti pada Gambar 2.15.
Pewarnaan pada Graf 𝑔𝑠ℎ𝑎𝑐𝑘(𝑊 6 , 𝐶 3 , 𝑟) dan Peta Kabupaten Lumajang Menggunakan Algoritma Welch Powell
Mokhamad Saiful Hasan , Ziaulhaq Fathulloh
Gambar    2.15  Graf  Peta  Kabupaten  Lumajang  Sudah  Diberikan  Warna Merah,  Kuning  dan  Biru  Tetapi  Ada  Warna  Sama  di  Titik  yang Bertetangga.
Tahap  ke-empat  ditemukan  banyak  warna  sama  pada  titik  yang bertetangga,  maka  salah  satu  warna  pada  titik  tersebut  harus  dihapus, sehingga  tidak  ada  lagi  titik  bertetangga  dengan  warna  yang  sama. Sehingga diperoleh pewarnaan seperti pada Gambar 2.16.
Gambar    2.16  Graf  Peta  Kabupaten  Lumajang  Sudah  Diberikan  Warna Merah,  Kuning  dan  Biru,  Serta  Tidak  Ada  Warna  Sama  di  Titik  yang Bertetangga.
2.2.4. Titik Berderajat Terbesar Keempat
Ulangi  tahap  ke-dua  untuk  titik  berderajat  terbesar  berikutnya, berikan  sebarang  warna  misal  hijau  pada  titik  yang  memiliki  derajat terbesar  keempat.  Pada  graf  ini  dipilih  titik 𝑣 19 sebagai  titik  berderajat terbesar  keempat.  Dilanjut  tahap  ke-tiga,  berikan  warna  yang  sama pada  semua  titik  yang  tidak  bertetangga  (adjacent)  dengan  titik  yang berderajat  terbesar  ketiga 𝑣 19 .  Sehingga  diperoleh  pewarnaan  seperti pada Gambar 2.17.
Pewarnaan  pada  Graf 𝑔𝑠ℎ𝑎𝑐𝑘(𝑊 6 , 𝐶 3 , 𝑟) dan  Peta  Kabupaten  Lumajang  Menggunakan  Algoritma  Welch Powell Mokhamad Saiful Hasan , Ziaulhaq Fathulloh
Gambar    2.17  Graf  Peta  Kabupaten  Lumajang  Sudah  Diberikan  Warna Merah,  Kuning,  Biru  dan  Hijau,  Serta  Tidak  Ada  Warna  Sama  di  Titik yang Bertetangga.
Pewarnaan  telah  selesai  untuk  graf  Peta  Kabupaten  Lumajang,  dimana warna  yang  dibutuhkan  cukup  4  warna  saja  (merah,  kuning,  biru  dan hijau) dan tidak ada warna sama pada titik yang bertetangga. Sehingga tidak  diperlukan  ketahap  berikutnya.  Pewarnaan  graf  Peta  Kabupaten Lumajang menggunakan  algoritma  welch  powell  bisa  menghasilkan warna minimum dalam penerapan warnanya, yaitu cukup 4 warna saja (merah, kuning, biru dan hijau).  Nama kecamatan beserta warna yang dimiliki kecamatan tersebut, disajikan pada Tabel 2.3.

## Tabel 2.3 Warna setiap kecamatan
No. Nama Kecamatan Label Warna 1 Tempursari 𝑣 1 Biru 2 Pronojiwo 𝑣 2 Kuning 3 Candipuro 𝑣 3 Merah 4 Pasirian 𝑣 4 Biru 5 Tempeh 𝑣 5 Kuning 6 Lumajang 𝑣 6 Biru 7 Sumbersuko 𝑣 7 Merah 8 Tekung 𝑣 8 Kuning 9 Kunir 𝑣 9 Biru 10 Yosowilangun 𝑣 10 Hijau
Pewarnaan pada Graf 𝑔𝑠ℎ𝑎𝑐𝑘(𝑊 6 , 𝐶 3 , 𝑟) dan Peta Kabupaten Lumajang Menggunakan Algoritma Welch Powell
Mokhamad Saiful Hasan , Ziaulhaq Fathulloh
11 Rowokangkung 𝑣 11 Merah 12 Jatiroto 𝑣 12 Hijau 13 Randuagung 𝑣 13 Kuning 14 Sukodono 𝑣 14 Merah 15 Padang 𝑣 15 Kuning 16 Pasrujambe 𝑣 16 Biru 17 Senduro 𝑣 17 Hijau 18 Gucilait 𝑣 18 Biru 19 Kedungjajang 𝑣 19 Hijau 20 Klakah 𝑣 20 Merah 21 Ranuyoso 𝑣 21 Hijau

## 3. Bahan dan Metode
Metode  pada  penelitian  ini  menggunakan  metode  studi  literatur (Noor et al., 2021). Prosedur   pewarnaan graf 𝑔𝑠ℎ𝑎𝑐𝑘(𝑊 6 , 𝐶 3 , 𝑟) sebagai berikut: diawali mencari kajian serta analisa untuk mempelajari definisi pewarnaan graf; menggambar graf 𝑔𝑠ℎ𝑎𝑐𝑘(𝑊 6 , 𝐶 3 , 𝑟) ; menentukan label titik  dan  sisi  dari  graf 𝑔𝑠ℎ𝑎𝑐𝑘(𝑊 6 , 𝐶 3 , 𝑟) ;  menentukan  fungsi  titik  dan sisi  serta  mendefinsikannya  dari  graf 𝑔𝑠ℎ𝑎𝑐𝑘(𝑊 6 , 𝐶 3 , 𝑟) ;  melakukan pewarnaan,  dimana  teknik  pewarnaan  yang  digunakan  dalam pewarnaan graf 𝑔𝑠ℎ𝑎𝑐𝑘(𝑊 6 , 𝐶 3 , 𝑟) adalah pewarnaan titik menggunakan algoritma  welch  powell,  algoritma  welch  powell  digunakan  untuk menentukan  bilangan  kromatik;  menemukan  teorema  dalam  pelabelan pewarnaan  graf 𝑔𝑠ℎ𝑎𝑐𝑘(𝑊 6 , 𝐶 3 , 𝑟) ;  pembuktian  terhadap  teorema pewarnaan graf 𝑔𝑠ℎ𝑎𝑐𝑘(𝑊 6 , 𝐶 3 , 𝑟) (Amri et al., 2018).
Prosedur    pewarnaan  pada  graf  Kabupaten  Lumajang  sebagai berikut: diawali mencari kajian serta analisa untuk mempelajari definisi pewarnaan graf; mempresentasikan peta Kabupaten Lumajang kedalam bentuk  garf;  menentukan  label  titik  dari  graf  baru  yaitu  graf  peta Kabupaten  Lumajang;  melakukan  pewarnaan,  dimana  teknik pewarnaan  yang  digunakan  dalam  pewarnaan  graf  peta  Kabupaten Lumajang adalah pewarnaan titik menggunakan algoritma welch powell, algoritma  welch  powell  digunakan  untuk  menentukan  bilangan kromatik;  menemukan  bilangan  kromatik,  yaitu  bilangan  minimal dalam  pemberian  warna  pada  graf  peta  Kabupaten  Lumajang; mendapatkan kesimpulan dalam pewarnaan peta Kabupaten Lumajang (Bustan & Salim, 2019).

## 4. Kesimpulan
Pewarnaan  graf 𝑔𝑠ℎ𝑎𝑐𝑘(𝑊 6 , 𝐶 3 , 𝑟) menggunakan  algoritma  welch powell  menghasilkan  warna  minimum  dalam  penerapan  warnanya, yaitu  cukup  4  warna  saja  (merah,  kuning,  biru  dan  hijau).    Graf 𝑔𝑠ℎ𝑎𝑐𝑘(𝑊 6 , 𝐶 3 , 𝑟) memiliki order |𝑉(𝑔𝑠ℎ𝑎𝑐𝑘(𝑊 6 , 𝐶 3 , 𝑟))| = 6𝑟 + 1 . Order (banyaknya  titik)  dari  graf  ini  cenderung  banyak,  tetapi  masih  bisa melakukan pewarnaan menggunakan algoritma welch powell dikarenakan titik pada graf ini bergerak secara teratur.
Pewarnaan  pada  peta  Kabupaten  Lumajang  menggunakan algoritma welch powell menghasilkan 4 warna (merah, kuning, biru dan hijau),  dengan  rincian  sebagai  berikut.  Merah:  Kecamatan  Candipuro, Kecamatan  Sumbersuko,  Kecamatan  Rowokangkung,  Kecamatan
Pewarnaan  pada  Graf 𝑔𝑠ℎ𝑎𝑐𝑘(𝑊 6 , 𝐶 3 , 𝑟) dan  Peta  Kabupaten  Lumajang  Menggunakan  Algoritma  Welch Powell Mokhamad Saiful Hasan , Ziaulhaq Fathulloh
Sukodono  dan  Kecamatan  Klakah.  Kuning:  Kecamatan  Pronojiwo, Kecamatan  Tempeh,  Kecamatan  Tekung,  Kecamatan  Randuagung  dan Kecamatan  Padang.  Biru:  Kecamatan  Tempursari,  Kecamatan  Pasirian, Kecamatan  Lumajang,  Kecamatan  Kunir,  Kecamatan  Pasrujambe  dan Kecamatan  Gucialit.  Hijau:  Kecamatan  Yosowilangun,  Kecamatan Jatiroto, Kecamatan Senduro, Kecamatan Kedungjajang dan Kecamatan Ranuyoso.
Pewarnaan pada Graf 𝑔𝑠ℎ𝑎𝑐𝑘(𝑊 6 , 𝐶 3 , 𝑟) dan Peta Kabupaten Lumajang Menggunakan Algoritma Welch Powell
Mokhamad Saiful Hasan , Ziaulhaq Fathulloh

## Referensi
Agustin,  I.  H.,  Dafik,  D.,  &  Harsya,  A.  Y.  (2016).  On  r-dynamic  coloring  of  some  graph operations. Indonesian Journal of Combinatorics, 1(1), 22-30.
http://www.ijc.or.id/index.php/ijc/article/view/5/4. [diakses pada 27 November 2022].
Agustin, I. H., Retnowardani, D. A., & Kurniawati, E. Y. (2021). On the resolving strong domination number  of  graphs:  a  new  notion.  In Journal  of  Physics:  Conference  Series (Vol.  1836,  No.  1,  p. 012019). IOP Publishing. https://iopscience.iop.org/article/10.1088/1742-6596/1836/1/012019/pdf. [diakses pada 23 November 2022].
Agustina,  M.,  Dafik,  D.,  Slamin,  S.,  &  Kusbudiono,  K.  (2017).  On  the  Rainbow  Vertex  Connection Number of
Edge
Comb of Some
Graph. UNEJ
e-Proceeding,
340-342. https://jurnal.unej.ac.id/index.php/prosiding/article/view/5165/3906. [diakses pada 27 November 2022].
Ammar,  M.  (2019).  Implementasi  Algoritma  Sequential  dan  Welch  Powell  phsada  Pewarnaan  Graf (Studi Kasus Pewarnaan Peta Kota Makassar). Junal Varian, 3(1). https://journal.universitasbumigora.ac.id/index.php/Varian/article/view/488/375.  [diakses  pada 15 November 2022].
Amri,  Z.,  Aulia,  A.,  Syella,  A.,  Pratamal,  H.,  &  Ramadhani,  S.  (2018).  PELABELAN  HARMONIS GANJIL  PADA  GRAF  2S_n  [(C]  _4,  n). EduTech:  Jurnal  Ilmu  Pendidikan  dan  Ilmu  Sosial, 4(1). http://jurnal.umsu.ac.id/index.php/edutech/article/view/1952/2014. [diakses pada 27 November 2022].
Bustan,  A.  W.,  &  Salim,  M.  R.  (2019).  Penerapan  Pewarnaan  Graf  Menggunakan  Algoritma  Welch Powell  untuk  Menentukan  Jadwal  Bimbingan  Mahasiswa. Jurnal  THEOREMS  (The  Original Research  of  Mathematics), 4(1),  79-86.  https://core.ac.uk/download/pdf/228883523.pdf.  [diakses pada 27 November 2022].
Febrianti,  F.,  Yulianti,  L.,  &  Narwen,  N.  (2019).  Dimensi  Metrik  Pada  Graf  Amalgamasi  Tangga Segitiga
Diperumum Homogen. Jurnal Matematika UNAND, 8(1), 84-90. http://jmua.fmipa.unand.ac.id/index.php/jmua/article/view/411/397. [diakses pada 27
November 2022].
Firmansyah,  F.  dkk.  (2022).  Kerangka  Aktivitas  Pembelajaran  Berbasis  Riset  dengan  Pendekatan STEM: Penerapan Teknik Pewarnaan Graf Sederhana untuk Meningkatkan Metaliterasi Siswa dalam  Mengembangkan  Desain  Wallpaper  Dinding.  Ebook  CGANT  Universitas  Jember. http://ebook-cgantunej.or.id/index.php/cgant/article/view/15/30.  [diakses  pada  15  November 2022].
Hasan, M. S. (2015). Analisa Rainbow Connection dan Strong Rainbow Connection pada Graf Hasil Operasi. Skripsi. Jurusan Matematika, FMIPA: UNEJ.
https://ppid.lumajangkab.go.id/file/LPPD-TAHUN-2019-KABUPATEN-LUMAJANG-PROVINSI- JAWA-TIMURpdf1586395255.pdf. [diakses pada 20 November 2022].
Kristiana,  A.  I.  dkk.  (2022).  On  the  r-Dynamic  Chromatic  Number  of  Corona  Product  of  Star
Graph. Thai Journal
of
Mathematics, 20(3), 1389-1397.
https://repository.unej.ac.id/xmlui/bitstream/handle/123456789/110254/FKIP_JURNAL_ArikaIn dah_On%20the%20r-
Dynamic%20Chromatic%20Numberof%20Corona%20Product%20of%20Star%20Graph.pdf?seq uence=1&isAllowed=y. [diakses pada 15 November 2022].
Lestari,  I.  L.,  &  Umilasari,  R.  (2022).  Aplikasi  Pewarnaan  Graf  untuk  Menentukan  Jadwal  Ujian Skripsi  di  Prodi  Pendidikan  Matematika  ITSNU  Pasuruan. Center  of  Education  Journal (CEJou), 3(2),  27-35.  https://journal.itsnupasuruan.ac.id/index.php/cejou/article/view/162/125. [diakses pada 15 November 2022].
Makalew, R. A. M., Montolalu, C. E., & Mananohas, M. L. (2021). Lintasan Hamiltonian pada Graf 4- Connected. d'CARTESIAN:
Jurnal Matematika dan Aplikasi, 9(2), 181-188.
Pewarnaan  pada  Graf 𝑔𝑠ℎ𝑎𝑐𝑘(𝑊 6 , 𝐶 3 , 𝑟) dan  Peta  Kabupaten  Lumajang  Menggunakan  Algoritma  Welch Powell Mokhamad Saiful Hasan , Ziaulhaq Fathulloh
https://ejournal.unsrat.ac.id/index.php/decartesian/article/view/29735/30314.  [diakses  pada  27 November 2022].
Monim, H. O., Widjajanti, T. W. T., & Sesa, J. (2022, May). Aplikasi Pewarnaan Graf dalam Penentuan Distrik yang Strategis di Kabupaten Manokwari dengan Algoritma Welch Powell. In Prosiding Seminar Nasional MIPA UNIPA (pp. 126-141). https://prosiding.fmipa.unipa.ac.id/index.php/SNMIPAUNIPA/article/view/18/16. [diakses
pada 15 November 2022].
Nasir,  A.  M.,  &  Setyawan,  D.  (2022).  Optimalisasi  Penjadwalan  Mata  Kuliah  Menggunakan  Teori Pewarnaan  Graf. Proximal:  Jurnal  Penelitian  Matematika  Dan  Pendidikan  Matematika, 5(1),  57-69. https://www.e-journal.my.id/proximal/article/view/1398/proximal.v5i1.1398.g1297. [diakses pada 15 November 2022].
Noor, C. A. P., Yahya, L., Nasib, S. K., & Yahya, N. I. (2021). BILANGAN TERHUBUNG PELANGI PADA  GRAF  SALJU  (Sn_m). Journal  of  Fundamental  Mathematics  and  Applications  (JFMA), 4(1), 29-44.  https://ejournal2.undip.ac.id/index.php/jfma/article/view/9035/5995.  [diakses  pada  27 November 2022].
Putri,  Lucia  Devita.  (2021).  Penerapan  Pewarnaan  Graf  Menggunakan  Algoritma  Welch  Powell dengan  Pemrograman  Python  untuk  Menyusun  Jadwal  Mata  Pelajaran  di  Smp  Kanisius Pakem.  Skripsi.  Jurusan  Pendidikan  Matematika,  FKIP:  Universitas  Sanata  Dharma. https://repository.usd.ac.id/40849/2/171414051_full.pdf. [diakses pada 15 November 2022].
Retnoningsih,  I.  I.,  Dafik,  D.,  &  Hussen,  S.  (2022).  Pewarnaan  Titik  pada  Keluarga  Graf Sentripetal. CGANT JOURNAL OF MATHEMATICS AND APPLICATIONS, 3(1). http://jcgantunej.or.id/index.php/cgant/article/view/75/pdf. [diakses pada 15 November 2022]. Wijayanti,  E.,  Dafik,  D.,  & Oktavianingtyas,  E.  (2018).  ANALISIS  DUA  KONEKSI  PELANGI  PADA GRAF  HASIL  OPERASI  PERKALIAN  KARTESIAN  GRAF  KIPAS  F_  (1,  3)  DAN  GRAF LINGKARAN  C_n  SERTA  KAITANNYA  DENGAN  KETERAMPILAN  BERPIKIR  TINGKAT TINGGI. KadikmA, 9(1), 1-8. https://jurnal.unej.ac.id/index.php/kadikma/article/view/7046/5092. [diakses pada 27 November 2022].