## SOLUSI INTEGRASI NUMERIK DENGAN METODE SIMPSON  (SIMPSON’S RULE) PADA TRANSFORMASI HANKEL
Ermawati i , Wahidah Alwi ii m, Nursyamsi iii
i Prodi Matematika FST, UINAM, Ermawati@uin-alauddin.ac.id
ii Prodi Matematika FST, UINAM, Wahidah.Alwi@uin-alauddin.ac.id
iii Mahasiswa Program Studi Matematika-FST, UINAM
ABSTRAK , Artikel ini membahas tentang integral tak tentu  berupa  transformasi  Hankel.  Salah    satu  metode integrasi numerik yang dapat digunakan untuk menyelesaikan  integral  tersebut  adalah  metode  Simpson (Simpson’s  rule).  Untuk  menghitung  integrasi  tersebut melingkupi nilai dari titik absis pias dan nilai fungsi dari titik  absis  pias,  dengan  penggunaan n titik  pada  metode Simpson  dibatasi  pada n =  8,  16,  24,  32,  40  dan  48. Penelitian  ini  bertujuan  untuk:  1)mendapatkan  solusi integrasi  numerik  transformasi  Hankel  menggunakan metode  Simpson  (Simpson  rule)  1/3.  2)  mendapatkan solusi  integrasi  numerik  konduksi  panas  pada  silinder menggunakan metode Simpson (Simpson rule) 1/3. Solusi integrasi  numerik  transformasi  Hankel  yaitu n 8 = 0,217301164 , n 16 = 0,21731224 , n 24 = 0,217312853 , n 32 = 0,217312986 , n 40 = 0,217312986 dan n 48 = 0,217312988 telah memenuhi kriteria  pemberhentian 10 −5 . Metode  Simpson  1/3  dapat digunakan  untuk  mencari  solusi  integrasi  numerik konduksi panas pada silinder, aproksimasi dari panas yang dihantarkan pada silinder yaitu n 8 = 2,203257893 , n 16 = 2,427428998 , n 24 = 2,50249395 , n 32 = 2,540077619 , n 40 = 2,562800972 , dan n 48 = 2,576328272 . menunjukkan bahwa semakin besar nilai dari n titik yang digunakan, maka aproksimasi/pendekatan dari panas yang dihantarkan akan semakin baik.
Kata  Kunci:  Transformasi  Hankel,  Integrasi  Numerik,
Metode Simpson (Simpson Rule) 1/3, Konduksi Panas

## 1. PENDAHULUAN
Penerapan  integral  banyak  didapatkan  dalam bidang  sains  dan  rekayasa.  Tetapi,    terkadang dalam  praktek  rekayasa  fungsi  yang  diberikan terlalu  rumit  untuk  diintegralkan  dengan menggunakan aturan-aturan kalkulus. Selain itu, apabila  integral  tersebut  bersifat  multidimensi, fungsi tersebut semakin sulit untuk diselesaikan dan  membutuhkan  banyak  waktu  dan  tenaga. Salah satu permasalahan yang ditemukan dalam bentuk  persamaan  integral  yaitu  transformsi Hankel  berbentuk  integral  tak  wajar  yang mengandung  fungsi  Bessel  jenis  pertama  dan fungsi f(x) tertentu. Dalam hal ini, permasalahan
dalam  transformasi  Hankel  dapat  ditemukan dalam kehidupan sehari-hari seperti pada bidang fisika  yakni  perpindahan  panas,  optik  dan  lain- lain.  Oleh  karena  itu,  solusi  analitik  dari transformasi Hankel tidak mudah untuk dihitung, Sehingga  dibutuhkan  metode  pendekatan  yang tepat  untuk  dapat  menyelesaikan  persamaan tersebut  secara  tepat  dan  efisien.  Metode pengintegralan  yang  umum  digunakan  adalah metode  numerik,  dimana  penggunaan  metode numerik  dapat  mendekati  atau  menghampiri solusi sejatinya. Integrasi numerik suatu metode yang  digunakan  untuk  mendapatkan  nilai-nilai hampiran  dari  beberapa  integral  tentu  yang memerlukan  penyelesaian  numerik  sebagai hampirannya.  Solusi  hampiran  yang  dihasilkan memang tidak tepat sama dengan solusi analitik. Akan tetapi dapat ditentukan selisih antara solusi analitik dan solusi numerik sekecil mungkin[1]. Integrasi  numerik  dengan  menggunakan  aturan Simpson ( Simpson’s rule ) terdiri atas dua aturan yaitu Simpson 1/3 dan Simpson 3/8 dan memiliki orde galat  yang sama. Namun pada prakteknya, aturan Simpson 1/3 dengan tiga titik sudah dapat diperoleh  orde  ketelitiannya  yang  sama  dengan empat  titik  (aturan  Simpson  3/8)  dengan  tiga titik, sedangkan 3/8 pada empat titik [2].

## 2. TINJAUANPUSTAKA

## Iterasi Numerik
Pada  umumnya,  perhitungan  integral secara  numerik  bekerja  dengan  sejumlah  titik diskrit.  Untuk  fungsi  menerus,  titik-titik  diskrit itu  diperoleh  dengan  menggunakan  persamaan fungsi yang diberikan untuk menghasilkan tabel nilai.  Dihubungkan  dengan  tafsiran  geometri integral tentu, titik-titik pada tabel sama dengan membagi selang integrasi [𝑎, 𝑏] manjadi 𝑛 buah pias  (strip)  atau  segmen.  Lebar  tiap  pias  adalah ℎ = 𝑏−𝑎 𝑛
titik  absis  pias  dinyatakan  sebagai 𝑥 𝑖 = 𝑎 + 𝑖ℎ 𝑖 = 0,1,2, … . 𝑛 Dan  nilai  fungsi  pada  titik  absis  pias  adalah 𝑓 𝑖 = 𝑓 𝑖 (𝑥 𝑖 )
Luas  daerah  integrasi [𝑎, 𝑏] dihampiri  sebagai luas 𝑛 buah pias. Metode integrasi numerik yang berbasis pias ini disebut metode pias [2].
Tabel 2.1 Metode Pias

## Gambar 2.1 Metode Pias

## Transformasi Hankel
Suatu  integral  dengan  batas  tak  hingga  dapat disebut sebagai integral tak wajar, seperti integral dengan  batas  atas  tak  hingga,  integral  dengan batas bawah takhingga, dan integral dengan batas atas  dan  bawah  tak  hingga[3].  seperti  halnya dengan  transformasi  Hankel  yang  disebut  juga sebagai  integral  tak  wajar  yang  didefinisikan sebagai berikut :
𝐻(𝑥) =   ∫ 𝑔(𝑥)𝐽 𝑣 (𝑥)𝑥 𝑑𝑥 ∞ 0 (2.1)
dimana 𝐽 𝑣 (𝑥) adalah fungsi Bessel jenis pertama berorde 𝑣 yang didefinisikan sebagai berikut :
𝐽 𝑣 (𝑥) = 𝑥 𝑣 ∑ (−1) 𝑟 𝑥 2𝑟 2 2𝑟+𝑣 𝑟!(𝑣+𝑟) ∞ 𝑟=0 (2.2)
Jika 𝑣 sama dengan 0, maka
𝐽 0 (𝑥) = 1 − 𝑥 2 4 + 𝑥 4 64 − 𝑥 6 2304 + 𝑥 8 147456 − 𝑥 10 14745600 + ⋯ (2.3) Dan Jika 𝑣 sama dengan 1, maka [4]
𝐽 1 (𝑥) = 𝑥 2 − 𝑥 3 16 + 𝑥 5 384 − 𝑥 7 18432 + 𝑥 9 1474560 − ⋯
Untuk mendapatkan solusi dalam bentuk integral transformasi Hankel, di mana kebanyakan  kasus  ,  integrasi  analitis  pada transformasi  Hankel  di  atas  sulit  untuk diselesaikan  oleh  sebab  itu  diperlukan  integrasi numerik.  Namun,  terdapat  kesulitan  dalam mengevaluasi  transformasi  Hankel    secara numerik apabila:
1.   batas integralnya adalah tak terbatas .
2. 𝑔( 𝑥 ) menunjukkan  perilaku  tunggal  atau osilasi [5].

## Konduksi Panas Pada Koordinat Silinder
Persoalan  Transformasi  Hankel  terdapat pada  silinder,  salah  satunya  yaitu  perpindahan panas dalam silinder, namun yang akan dibahas pada sripsi ini hanya pada persoalan perpindahan panas  secara  konduksi.  Konduksi  panas  yaitu perpindahan  panas  dalam  suatu  medium  tanpa disertai  perpindahan  partikel  dalam  medium tersebut. Misalnya, jika salah satu ujung batang besi  dipanaskan,  maka  ujung  besi  lainnya  akan terasa  panas.  Dalam  hal  ini,  panas  akan berpindah  dari  benda/medium  yang  suhunya tinggi  ke  benda/medium  yang  suhunya  lebih rendah.  Laju  aliran  panas  dapat  dipengaruhi beberapa  faktor,  antara  lain  luas  permukaan benda yang saling bersensentuhan, dan konduktivitas  panas  [6].  Apabila  suhu  dalam keadaan  tunak  (steady-state)  yaitu  kondisi sewaktu  sifat-sifat  suatu  sistem  tak  berubah dengan berjalannya waktu atau dengan kata lain, konstan tanpa pembangkit suhu, maka persamaan konduksi  panas pada silinder yaitu:
𝑇 = 𝑇(𝑟, 𝑧) = 𝑞𝑝 𝑘 ∫ 𝑒 −𝑥𝑧 𝑏 𝑎 𝐽 1 (𝑝𝑥)𝐽 0 (𝑟𝑥) 1 𝑥 𝑑𝑥 (2.4)
Keterangan :
𝑞 = laju perpindahan panas (𝑊) 𝑘 = konduktivitas thermal ( 𝑊 𝑚 ℃) 𝑟 = tebal silinder (𝑚) 𝑧 = panjang silinder (𝑚)
𝑖 𝑥 𝑖 𝑓 𝑖 0 𝑥 0 𝑓 0 1 𝑥 1 𝑓 1 2 𝑥 2 𝑓 2 3 𝑥 3 𝑓 3 4 𝑥 4 𝑓 4 … … … 𝑛 − 2 𝑥 𝑛 − 2 𝑓 𝑛− 2 𝑛 − 1 𝑥 𝑛 − 1 𝑓 𝑛− 1 𝑛 𝑥 𝑛 𝑓 𝑛 𝑦
𝑓 0 𝑓 1 𝑓 2 𝑓 𝑛−1 𝑓 𝑛 𝑦 = 𝑓(𝑥)
ℎ ℎ ℎ 𝑎 = 𝑥 0 𝑥 1 𝑥 2 𝑥 𝑛−1 𝑥 𝑛 = 𝑏 𝑥
𝑝 = jari-jari silinder ( 𝑚) [4].

## Metode Simpson (Simpson’s Rule)
Dengan menggunakan ruas-ruas parabola partisi selang [𝑎, 𝑏] dibagi  menjadi 𝑛 + 1 buah  titik diskrit x 0, x 1, x 2,…, x n dengan 𝑛 berupa  bilangan genap bagian yang panjangnya ℎ = (𝑏−𝑎) 𝑛 , maka kaidah Simpson 1/3 gabungan sebagai berikut.
𝐼 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 𝑏 𝑎 ≈ ∫ 𝑓 0 (𝑥)𝑑𝑥 𝑥 2 𝑥 0 + ∫ 𝑓 2 (𝑥)𝑑𝑥 + 𝑥 4 𝑥 2 ⋯ + ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 𝑥 𝑛 𝑥 𝑛−2
≈ ℎ 3 (𝑓 0 + 4𝑓 1 + 𝑓 2 ) + ℎ 3 (𝑓 2 + 4𝑓 3 + 𝑓 4 ) +…+ ℎ 3 (𝑓 𝑛−2 + 4𝑓 𝑛−1 + 𝑓 𝑛 ) ≈ ℎ 3 (𝑦 0 + 4𝑦 1 + 2𝑦 2 + 4𝑦 3 + 2𝑦 4 + ⋯ + 2𝑦 𝑛−2 + 4𝑦 𝑛−1 + 𝑦 𝑛 ).                                                           (2.5) Dengan menggunakan notasi jumlahan,
persamaan terakhir diperoleh aturan 1 3 Simpson:
𝑆 3 (𝑛) = ℎ 3 (𝑓 0 + 4 ∑ 𝑓 𝑖 + 2 ∑ 𝑓 𝑖 + 𝑛−2 𝑖=2,4,6… 𝑛−1 𝑖=1,3,5.. 𝑓 𝑛 )
Berdasarkan  persamaan  (2.4),  maka  pola koefisien-koefisein  aturan 1 3 simpson  adalah
1,4,2,4,2,4,2,….,2,4,1. Namun penggunaan kaidah  Simpson  1/3  mensyaratkan  jumlah upselang 𝑛 harus genap [2].

## 3. PEMBAHASAN
Pada  penelitian  ini,  ada  2  rumusan masalah yang harus diselesaikan yaitu :
1. Untuk memperoleh aproksimasi transformasi
Hankel dengan menggunakan metode Simpson (Simpson rule) .
Berdasarkan  prosedur  penelitian,  langkah- langkah  yang  perlu  dilakukan  pada  tahap  ini adalah sebagai berikut:
Langkah 1 : Memberikan persamaan
Transformasi Hankel yang akan diselesaikan. Misalnya 𝑓(𝑥) = ∫ 𝑥 1 (1+𝑥) 3 2 𝐽 0 (𝑥) 𝑏 𝑎 𝑑𝑥 ,  dengan
𝐽 0 (𝑥) fungsi bessel pertama dengan orde nol pada interval [0, 1].
Langkah  2 :  Menghitung  titik  absis  pias  yaitu 𝑥 𝑖 = 𝑥 0 + 𝑖ℎ dengan nilai awal 𝑥 0 = 0 dan nilai fungsi  pada  titik  absis  pias  yaitu 𝑓 𝑖 = 𝑓(𝑥 𝑖 ) , dimana 𝑖 = 0,1,2,3 … dengan ℎ adalah lebar tiap pias    dan  banyaknya  iterasi    ( 𝑛) buah
pias/segmen  bilangan  genap  berdasarkan  aturan Simpson 1/3 yaitu sebagai berikut :
Jika 𝒏 = 𝟖 , maka ℎ = b−a 𝑛 = 1−0 8 = 0,125 Untuk 𝑖 = 0 𝑥 0 = 𝑥 0 + 𝑖ℎ = 0 + 0(0,125) = 0 𝑓 0 = (𝑥 0 ) 1 (1+𝑥 0 ) 3 2 𝐽 0 (𝑥 0 ) = (0) 1 (1+0) 3 2 𝐽 0 (0) = 0 Untuk 𝑖 = 1 𝑥 1 = 𝑥 0 + 1ℎ = 0 + 1(0,125) = 0,125 𝑓 1 = (𝑥 1 ) 1 (1+𝑥 1 ) 3 2 𝐽 0 (𝑥 1 ) = (0,125) 1 (1+0,125) 3 2 𝐽 0 (0,125) = 0,104347354
Selanjutnya dengan cara yang sama di atas nilai titik  absis  pias (𝑥 𝑖 ) dan  nilai  fungsi  pada  titik absis pias (𝑓 𝑖 ) dapat dilihat pada tabel berikut:
Tabel  4.1  : Nilai  titik  absis  pias (𝑥 𝑖 ) dan  nilai fungsi pada titik absis pias (𝑓 𝑖 ) untuk 𝑛 = 8 𝑖 𝒙 𝒊 𝒇 𝒊 0 0 0 1 0,125 0,104347354 2 0,25 0,176101252 3 0,375 0,224405588 4 0,5 0,25541913 5 0,625 0,272244809 6 0,75 0,279988179 7 0,875 0,27557354 8 1 0,270538237
Langkah  3  : Menghitung  integrasi  numerik dengan metode Simpson 1/3
Setelah  didapatkan  nilai-nilai 𝑓 𝑖 = 𝑓(𝑥 𝑖 ) dengan 𝑛 = 8, 16, 24, 32, 40, dan 48 . Kemudian di  subsitusi  ke  persamaan  metode  simpson  1/3 yaitu :
𝐼 = ℎ 3 (𝑓 0 + 4𝑓 1 + 2𝑓 2 + ⋯ + 2𝑓 𝑛−2 + 4𝑓 𝑛−1 + 𝑓 𝑛 ) Untuk 𝑛 = 8 Berdasarkan  Tabel  4.1  nilai 𝑓 𝑖 disubsitusi  ke dalam persamaan metode Simpson 1/3. Sehingga diperoleh :
I = ℎ 3 ( f 0 + 4 f 1 + 2 f 2 +4 f 3 + 2 f 4 + 4 f 5 + 2 f 6 + 4 f 7 + f 8 ) = 0,125 3 [0 + (4(0,104347354)) +
(2(0,176101252)) + (4(0,224405588)) + (2(0,255419)) +
(4(0,27224481)) + (2(0,27998817)) + (4(0,2755735 ))+0,270538237]

## 𝐼 = 0,125
3 ⌈5,199840524⌉ = 0,216660022
Sehingga  hasil  untuk  beberapa 𝑛 titik atau  banyaknya  iterasi  digunakan  dapat  dilihat pada tabel berikut hasil integrasi numerik berikut dan  menghitung  galat  relatife  dan  kriteria pemberhentian 𝜀 = 5× 10 −5
𝑔𝑎𝑙𝑎𝑡 𝑟𝑒𝑙𝑎𝑡𝑖𝑓 = 𝑒𝑘𝑠𝑎𝑘−𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑠𝑎𝑖 𝑆𝑖𝑚𝑝𝑠𝑜𝑛1/3

## 𝑒𝑘𝑠𝑎𝑘
Tabel  4.2  :  Tabel  integrasi  numerik    dengan menggunakan metode Simpson 1/3
Berdasarkan  Table  4.2  terlihat  bahwa  diperoleh untuk sejumlah iterasi atau 𝑛 titik yang diberikan telah  terpenuhi,  karena  galat  relatife  pada masing-masing  titik  tersebut    < 5 × 10 −5 dan semakin besar nilai dari 𝑛 titik yang digunakan, maka nilai yang diperoleh pun semakin baik.
2. Untuk  mendapatkan  solusi  dari  perpindahan panas  secara  konduksi  pada  silinder  dengan menggunakan metode Simpson 1/3.
Berdasarkan  prosedur  penelitian,  langkah- langkah yang perlu dilakukan pada penelitian ini adalah sebagai berikut :
Langkah 1 : Memberikan persamaan perpindahan  konduksi  panas  pada  silinder  yang akan diseleaikan
yaitu 𝑇 =
𝑞𝑝 𝑘 ∫ 𝑒 −𝑥𝑧 𝑏 𝑎 𝐽 1 (𝑝𝑥)𝐽 0 (𝑟𝑥) 1 𝑥 𝑑𝑥 Misalkan  sebuah pipa  silindris  memiliki  40  mm  tebal  lapisan isolasi  dan  jari-jari  80  mm  dengan  laju perpindahan  panas 270,27 W  .  Panjang  pipa tersebut  4  m  ,  Konduktivitas  termalnya  adalah 0,08 W / m K. z
p
Diketahui : Tebal lapisan isolasi pipa silinder:
(𝑝) = 40 mm = 0,04 m Jari- jari pipa silinder (𝑟) = 80 mm = 0,08 m laju perpindahan panas (𝑞) = 270,27 W Panjang pipa silinder (z) = 4 m Konduktivitas termal (𝑘) = 0,08 W / m K
𝑇 = (270,27 )(0,04) 0,08 ∫ 𝑒 −4𝑥 𝑏 𝑎 𝐽 1 (0,08𝑥)𝐽 0 (0,04𝑥) 1 𝑥 𝑑𝑥
Langkah 2 : Menghitung 𝑥 0 sampai 𝑥 𝑖 ,dengan rumus 𝑥 𝑖 = 𝑥 0 + 𝑖ℎ dan 𝑇 𝑖 = 𝑇(𝑥 𝑖 ) , dimana 𝑖 = 0,1,2,3 … Nilai awal 𝑥 0 = 0 , pada interval [0, 1] dengan 𝑖 = 0,1,2,3 …,
Jika 8 , maka ℎ = b−a 𝑛 = 1−0 8 = 0,125 Untuk 𝑖 = 0 𝑥 0 = 𝑥 0 + 𝑖ℎ = 0 + 0(0,125) = 0
𝑇 0 = (270,27)𝑒 −4𝑥 0 𝐽 1 (0,08)𝐽 0 (0,04𝑥 0 ) 1 𝑥 0 = (270,27)𝑒 −4(0) 𝐽 1 (0,08(0))𝐽 0 (0,04(0)) 1 (0) = 0
Untuk 𝑖 = 1 𝑥 1 = 𝑥 1 + 𝑖ℎ = 0 + 1(0,125) = 0,125
𝑇 1 = (270,27)𝑒 −4𝑥 1 𝐽 1 (0,08𝑥 1 )𝐽 0 (0,04𝑥 1 ) 1 𝑥 1 = (270,27)𝑒 −4(0,125) 𝐽 1 (0,08(0,125))𝐽 0 (0,04(0,125)) 1 (0,125) =  6,556959367
Selanjutnya dengan cara yang sama di atas nilai titik  absis  pias (𝑥 𝑖 ) dan  nilai  fungsi  pada  titik absis pias (𝑇 𝑖 ) dapat dilihat pada tabel berikut Tabel  4.3  :  Nilai  titik  absis  pias (𝑥 𝑖 ) dan  nilai fungsi pada titik absis pias (𝑇 𝑖 ) untuk n = 8 𝑖 𝑥 𝑖 𝑇 𝑖 0 0 0 1 0,125 6,556959367 2 0,25 3,976772787 3 0,375 2,411808572 4 0,5 1,462643787 5 0,625 0,886988599 6 0,75 0,537874825 7 0,875 0,32615805 8 1 0,197769214 𝑛 Integrasi Sumpson 1/3 Eksak Galat relative 8 0,217301164 0,2173130053 5,4488 x 10 -5 16 0,21731224 0,2173130053 3,52027 x 10 -6 24 0,217312853 0,2173130053 6,99452 x 10 -7 32 0,217312986 0,2173130053 8,74315 x 10 -8 40 0,217312986 0,2173130053 8,74315 x 10 -8 48 0,217312988 0,2173130053 7,82282 x 10 -8
Langkah  3 :  Menghitung  integrasi  numerik dengan metode Simpson 1/3
Setelah didapatkan nilai-nilai 𝑇 𝑖 = 𝑇(𝑥 𝑖 ) dengan 𝑛 = 8, 16, 24, 32, 40, dan 48 . Kemudian di  subsitusi  ke  persamaan  metode  simpson  1/3 yaitu :
𝐼 = ℎ 3 (𝑇 0 + 4𝑇 1 + 2𝑇 2 + ⋯ + 2𝑇 𝑖−2 + 4𝑇 𝑖−1 + 𝑇 𝑛 )
Untuk 𝑛 = 8 Berdasarkan Tabel 4.3 nilai 𝑇 𝑖 disubsitusi ke  dalam  persamaan  metode  Simpson  1/3. Sehingga diperoleh :
𝐼 = ℎ 3 (𝑇 0 + 4𝑇 1 + 2𝑇 2 + 4𝑇 3 + 2𝑇 4 + 4𝑇 5 + 2𝑇 6 + 4𝑇 7 + 𝑇 8 ) = 0,125 3 (0 + (4 ∗ 27,40248) + (2 ∗ 25,75959) + (4 ∗ 23,81573) + (2 ∗ 21,64063) +
(2 ∗ 16,88734) + (4 ∗ 14,45123) + 17,292)
𝐼 = 0,125 3 (485,772801) = 2,203257893
Sehingga  hasil  untuk  beberapa 𝑛 titik atau  banyaknya  iterasi  digunakan  dapat  dilihat pada  tabel  berikut  hasil  integrasi  numerik berikut :
Tabel  4.4  :  Integrasi  Numerik  Konduksi  Panas pada  Silinder  dengan  Menggunakan Metode Simpson 1/3.
Perhitungan integrasi numerik dengan menggunakan  metode  Simpson  ( Simpson  rule ) 1/3  untuk  mengaproksimasi  atau  mendapatkan nilai  pendekatan  dari  transformasi  Hankel  dan model  matematika  dari  konduki  panas  pada sebuah  medium  yang  berbentuk  silinder  yang merupakan integral tak wajar. Hal ini bergantung
pada 𝑛 titik  atau  banyaknya  iterasi  ( 𝑛 )  yang digunakan,  semakin  besar  nilai  iterasi  yang digunakan  maka  hasilnya akan  semakin mendekati  nilai  sebenarnya,  dimana  jumlah 𝑛 titik atau jumlah iterasinya dibatasi pada 𝑛 = 8, 16, 24, 32, 40 dan 48.
Pada  Tabel  4.7  dapat  dilihat  hasil  perhitungan integrasi  transformasi  Hankel,  untu 𝑛 = 8 , 𝑛 = 16 , 𝑛 = 24 , 𝑛 = 32 , 𝑛 = 40 dan 𝑛 = 48 yaitu nilai yang didapatkan 0.217301164, 0.21731224, 0.217312853,  0.217312986,  0.217312986  dan 0.217312988 .  Adapun  kriteria  pemberhentian atau batas toleransi diberikan sebesar 𝜀 = 10 −5 , dimana  hasil  dari  integrasi  transformasi  Hankel telah  memenuhi  kriteri  pemberian 10 −5 karena galat relatif dari masing-masing 𝑛 titik lebih kecil dari kriteria pemberhentian. Sedangkan. Hal  ini menunjukkan  bahwa  semakin  besar 𝑛 titik  atau jumlah  iterasi  ( 𝑛) yang  digunakan,  maka  nilai pendekatan  ( aproksimation )  yang  diperolehpun semakin baik.
Perhitungan integrasi numerik persamaan konduksi  panas  pada  silinder,  dalam  hal  ini diberikan contoh pada sebuah pipa silinder yang akan  dicari  nilai  aproksimasinya.  Adapun  batas toleransi  atau  kriteria  pemberhentian  yang diberikan  sebesar 5× 10 −2 ,  pada  Tabel  4.14 dapat dilihat bahwa nilai pendekatan ( aproksimas i)  pada  model  matematika  dalam konduksi panas pada silinder dengan menggunakan  metode  Simpson    1/3,  dengan beberapa 𝑛 titik  diperoleh  2.203257893, 2.427428998, 2.50249395, 2.540077619, 2.562800972 dan
2.576328272 .  Hal  ini  menunjukkan  bahwa untuk penggunaan 𝑛 iterasi yang semakin besar, maka hasil yang diberikan cenderung baik.

## 4. KESIMPULAN
Berdasarkan  rumusan  masalah  yang  ada  serta hasil  yang  diperoleh  dari  penelitian  ini,  maka dapat disimpulkan bahwa :
a. Solusi  integrasi  numerik  menggunakan metode  Simpson  ( Simpson  rule )  1/3  pada
transformasi Hankel 𝑓(𝑥) =
∫ 𝑥 1 (1+𝑥) 3 2 𝐽 0 (𝑥) 𝑏 𝑎 dengan  jumlah  iterasi 𝑛 titik diperoleh 𝑛 8 = 0.217301164 , 𝑛 16 =
𝑛 Integrasi Simpson Eksak Galat Relatif 8 2,203257893  2,652889500  1,69487499 × 10 − 1
16 2,427428998  2,652889500  8,4986767 × 10 − 2 24 2,50249395 2,652889500  5,6691223 × 10 − 2 32 2,540077619  2,652889500  4,2524154 × 10 − 2
40 2,562800972  2,652889500  3,3958643 × 10 − 2
48 2,576328272 2,652889500  2,8321636 × 10 − 2
0.21731224 , 𝑛 24 = 0.217312853 , 𝑛 32 = 0.217312986 , 𝑛 40 = 0.217312986 dan 𝑛 48 = 0.217312988 menunjukkan bahwa solusi integrasi  numerik  dihasilkan  telah  memenuhi kriteria pemberhentian 𝜀 = 5× 10 −5 .
b. Solusi integrasi numerik konduksi panas pada silinder  dengan  menggunakan  metode  Simpson
( Simpson rule ) 1/3 dengan Konduktivitas thermal (𝑘) yaitu 0,08 W / m K, laju perpindahan panas sebesar 270.27 W, 𝑟 = 40 mm,  serta    nilai 𝑝 dan z masing-masing  adalah 80 mm  dan 4 m. Konduksi
panas pada silinder 𝑇 =
𝑞𝑝 𝑘 ∫ 𝑒 −𝑥𝑧 𝑏 𝑎 𝐽 1 (𝑝𝑥)𝐽 0 (𝑟𝑥) 1 𝑥 𝑑𝑥 diperoleh
aproksimasi panas  yang dihantarkan  yaitu 𝑛 8 = 2.203257893 , 𝑛 16 = 2.427428998 , 𝑛 24 = 2.50249395 , 𝑛 32 = 2.540077619 , 𝑛 40 = 2.562800972
dan 𝑛 48 = 2.576328272 . Menunjukkan bahwa semakin besar nilai dari 𝑛 titik yang digunakan, maka
aproksimasi/pendekatan dari panas yang dihantarkan semakin baik

## 5. DAFTAR PUSTAKA
[1] Sahid. Pengantar Komputasi Numerik dengan Matlab . Yogyakarta : Andi. 2005.
[2] Munir, Rinaldi. Metode Numerik . Bandung : Informatika bandung. 2003.
[3]  Kurniawati,  Anisa    dan  Wuryanto. Penyelesaian Kasus Beberapa Integral Tak
Wajar  dengan  Integral  Memuat  Fungsi Eksponensial dan Fungsi Logaritma .
UJM1 .2012.
[4]  Spiegel,  Murray.  R. Matematika  Lanjutan untuk  Para  Insinyur  dan  Ilmuan .  Jakarta  : Erlangga. 2000.
[5]  Piessens,  Robert. The  Transforms  and Applications  Handbook  :  Second  Edition . Katholieke Universieit Leuven : CRC Press
LLC. 2000.
[6] Isnaeni, Wiwi. Fisiologi Hewan. Yogyakarta
: Kansius. 2006.