Jurnal Ilmiah Matematika dan Pendidikan Matematika (JMP) Vol. 10 No. 1, Juni 2018, hal. 27-38 ISSN (Cetak) : 2085-1456; ISSN ( Online ) : 2550-0422

## PENENTUAN KRITERIA PENGHENTIAN ITERASI PADA ALGORITMA STROBERI

## Mutia Nur Estri
Universitas Jenderal Soedirman mutia.estri@unsoed.ac.id

## Siti Rahmah Nurshiami, Rina Reorita, Muhammad Okky Ibrohim
Universitas Jenderal Soedirman
ABSTRACT. This  paper  discusses  the  application  of  two  types  of  stopping  criterion  on the  strawberry  algorithm,  which  are  stopping  criteria  based  on  iterative  error  and Cauchy  criterion.  Furthermore,  the  strawberry  algorithm  program  is  simulated  on  the optimization  problem  with  the  objective  function  is  quadratic  function.  The  simulation results  on  optimization  problem  with  the  objective  function  is  quadratic  function  show that strawberry algorithm with stopping criterion based on Cauchy criterion has the best performance,  when  compared  with  stopping  criterion  based  on  iterative  error  and without stopping criterion.
Keywords: Cauchy  criterion,  quadratic  function,  optimization,  stopping  criterion, strawberry algorithm.
ABSTRAK. Makalah ini membahas penerapan dua tipe kriteria penghentian iterasi pada algoritma  stroberi,  yaitu  kriteria  penghentian  iterasi  berdasarkan  galat  iteratif  dan berdasarkan  kriteria  Cauchy.  Selanjutnya  algoritma  stroberi  tersebut  disimulasikan  pada permasalahan optimisasi dengan fungsi tujuan yang berupa fungsi kuadrat. Hasil simulasi pada  permasalahan  optimisasi  dengan  fungsi  tujuan  yang  berupa  fungsi  kuadrat memperlihatkan bahwa untuk permasalahan optimisasi dengan fungsi tujuan yang berupa fungsi  kuadratik,  algoritma  stroberi  dengan  kriteria  penghentian  iterasi  berdasarkan kriteria  Cauchy  merupakan  algoritma  stroberi  dengan  hasil  yang  terbaik,  jika dibandingkan  dengan  kriteria  penghentian  iterasi  berdasarkan  galat  iteratif  dan  tanpa menggunakan kriteria penghentian.
Kata  kunci :  algoritma  stroberi,  fungsi  kuadrat,  kriteria  Cauchy,  kriteria  penghentian iterasi, optimisasi.

## 1. PENDAHULUAN
Masalah optimisasi merupakan proses meminimasi atau memaksimasi suatu fungsi tujuan dengan memperhatikan kendala-kendala yang ada pada variabelnya (Nocedal dan Wright, 2006: 2). Masalah optimasi merupakan masalah penting di berbagai  bidang,  seperti  teknik,  industri,  ekonomi  dan  kesehatan  karena  masalah
optimasi  ini  merupakan  masalah  untuk  mendapatkan  solusi  optimum  yang terbaik.
Permasalahan optimisasi dapat diselesaikan dengan beberapa metode eksak atau hampiran. Salah satu metode hampiran yang digunakan untuk menyelesaikan permasalahan  optimisasi  adalah the  plant  propagation  algorithm (PPA).
Algoritma  ini  diperkenalkan  pada  tahun  2011  oleh  Salhi  dan  Fraga.  PPA  sering disebut  juga  algoritma  stroberi  karena  algoritma  ini  terinspirasi  dari perkembangbiakan  tanaman  stroberi.  Algoritma  stroberi  merupakan  algoritma yang  sederhana  untuk  dijelaskan  dan  diterapkan,  serta  memiliki  parameter  yang lebih sedikit dibandingkan algoritma metaheuristik yang lainnya (Sulaiman, dkk., 2014: 1).
Pada  algoritma  stroberi  yang  diberikan  oleh  Salhi  dan  Fraga  (2011), pencarian  solusi  ditentukan  oleh  banyaknya  generasi  (iterasi).  Ini  berarti, meskipun  sudah  didapatkan  populasi  yang    merupakan    solusi    optimum,  iterasi akan  terus  berjalan  sebanyak  generasi  yang  telah  ditentukan.  Hal  ini  tentunya kurang  efektif  mengingat  suatu  algoritma  sebaiknya  dihentikan  saat  sudah mendapatkan hasil terbaiknya. Dengan demikian, perlu dilakukan modifikasi pada algoritma  stroberi  yang  diberikan  oleh  Salhi  dan  Fraga  agar  iterasinya  berhenti pada  saat  sudah  didapatkan  populasi  yang  merupakan  solusi  optimum.  Salah satunya  dapat  dilakukan  dengan  menerapkan  kriteria  penghentian  iterasi.  Pada makalah  ini  kriteria  penghentian  yang  digunakan  adalah  kriteria  penghentian iterasi berdasarkan galat iteratif dan berdasarkan kriteria Cauchy.
Tipe-tipe kriteria penghentian iterasi tersebut diterapkan untuk memodifikasi  algoritma  stroberi.  Selanjutnya  program  tersebut  digunakan  untuk melakukan simulasi permasalahan optimisasi dengan fungsi tujuan berupa fungsi kuadrat.  Hasil  simulasi  kemudian  dibandingkan,  untuk  mengetahui  kriteria penghentian iterasi yang terbaik.

## 2. METODE PENELITIAN
Metode  yang  digunakan  dalam  penelitian  ini  adalah  dengan  studi  pustaka, yaitu  dengan  mempelajari  terlebih  dahulu  algoritma  stroberi,  mengkaji  tipe-tipe
kriteria  penghentian  iterasi.  Selanjutnya  memodifikasi  algoritma  stroberi  yang sudah  ada,  yaitu  dengan  menambahkan  kriteria  penghentian  iterasi.  Hasil modifikasi  kemudian  digunakan  untuk  simulasi  permasalahan  optimisasi  dengan fungsi  tujuan  berupa  fungsi  kuadrat.  Kemudian,  menghitung  galat  relatif  antara solusi hampiran dan solusi eksaknya, yang diperoleh dengan program uji turunan kedua  yang  diberikan  oleh  Awalina  (2016),  pada  setiap  permasalahan  optimisasi yang  disimulasikan.  Terakhir  membandingkan  hasil  algoritma  stroberi  tanpa kriteria  penghentian  iterasi  dan  program  algoritma  dengan  kriteria  penghentian iterasi  berdasarkan  perolehan  galat  relatif  dan  waktu  komputasi  pada  setiap permasalahan optimisasi yang disimulasikan.

## 3. HASIL DAN PEMBAHASAN

## 3.1 Kriteria Penghentian Iterasi
Pada makalah ini kriteria penghentian iterasi yang digunakan adalah:

## 1. Kriteria Penghentian Iterasi Berdasarkan Galat Iteratif
Galat  iteratif  adalah  selisih  perkiraan  solusi  iterasi  sekarang  dengan perkiraan  solusi  iterasi  sebelumnya,  yang  disebut  sebagai  galat  iteratif (Triatmodjo, 2008: 4). Rumus galat iteratif adalah
| | (1)
dengan
: galat iteratif pada iterasi ke- k
: nilai solusi hampiran terbaik iterasi ke- k (iterasi saat ini)
: nilai solusi hampiran terbaik iterasi ke-( k- 1) (iterasi sebelumnya).

## 2. Kriteria Penghentian Iterasi Berdasarkan Kriteria Cauchy
Kriteria  Cauchy  digunakan  untuk  memeriksa  jarak  dua  barisan  solusi hampiran  dengan  cara  menghitung  norm  dari  selisih  dua  barisan  tersebut  dan kemudian  membandingkannya  dengan  sebuah  nilai  toleransi (Cannas,  2016:
34).  Barisan  solusi  pada  algoritma  iteratif  sering  disebut  sebagai  vektor  solusi.
Rumus galat iteratif berdasarkan kriteria Cauchy adalah
‖ ‖ (2)
dengan
: galat iteratif Cauchy pada iterasi ke- k
: vektor solusi hampiran iterasi ke- k (iterasi saat ini)
: vektor solusi hampiran iterasi ke-( k- 1) (iterasi sebelumnya).
Pada rumus (2), definisi norm yang digunakan merupakan jarak Euclid dua vektor solusi dari dua iterasi yang berdekatan, yang dirumuskan sebagai berikut
‖ ‖   √∑ ( ) . (3)

## 3.2 Penerapan Kriteria Penghentian Iterasi pada Algoritma Stroberi
Penerapan kriteria penghentian iterasi dilakukan dengan cara memodifikasi algoritma  stroberi.  Modifikasi  tersebut  selanjutnya  diterapkan  pada  program algoritma stoberi  yang diberikan oleh Salhi dan Fraga (2011).

## 1. Penerapan Kriteria Penghentian Berdasarkan Galat Iteratif
Modifikasi  dilakukan  dengan  menambahkan  kondisi  apakah  galat  iteratif sudah  kurang  dari  nilai  toleransi  atau  belum.  Selengkapnya,  dapat  dilihat  pada Gambar 1.
Require : fungsi tujuan ,
Membangkitkan populasi { } while do menghitung mengurutkan secara menurun dari membuat populasi baru for setiap do /* hanya terbaik */ himpunan tunas dengan banyaknya anggota himpunan dan jarak untuk setiap tunas sebanding dengan
/* menambahkan ke populasi; terjadi kematian sehingga tunas yang mati dihilangkan */ end for /*populasi baru */
nilai dari tunas teratas ( ) if |
| menghentikan perkembangan generasi end if end while return , populasi dari solusi
Gambar 1 Algoritma stroberi dengan kriteria penghentian berdasarkan galat iteratif
Require : fungsi tujuan , Membangkitkan populasi { }
while
do menghitung mengurutkan secara menurun dari membuat populasi baru for setiap do /* hanya terbaik */ himpunan tunas dengan banyaknya anggota himpunan dan jarak untuk setiap tunas sebanding dengan
/* menambahkan ke populasi; terjadi kematian sehingga tunas yang mati dihilangkan */ end for
/*populasi baru */
vektor solusi pada if ‖ ‖
menghentikan perkembangan generasi end if end while return , populasi dari solusi
Gambar 2. Algoritma stroberi dengan kriteria penghentian berdasarkan kriteria Cauchy

## 2. Penerapan Kriteria Penghentian Berdasarkan Kriteria Cauchy
Secara umum, penerapan kriteria penghentian berdasarkan kriteria Cauchy pada algoritma stroberi analog dengan penerapan kriteria penghentian berdasarkan galat  iteratif.  Hal  yang  membedakan  adalah  rumus  yang  digunakan.  Algoritma stroberi  dengan  kriteria  penghentian  berdasarkan  kriteria  Cauchy  digambarkan pada Gambar 2.

## 3.3 Hasil  Simulasi  Algoritma  stroberi  pada  Permasalahan  Optimisasi dengan Fungsi Tujuan Berupa Fungsi Kuadrat
Permasalahan  optimisasi  yang  akan  disimulasikan  pada  makalah  ini  terdiri dari 5 kasus maksimasi dan 5 kasus minimasi. Selanjutnya, hasil simulasi tersebut dibandingkan  dengan  nilai  eksaknya  yang  diperoleh  menggunakan  program  uji turunan kedua sedemikian sehingga dapat  dilihat  tipe kriteria  penghentian iterasi terbaik pada setiap contoh kasus yang diberikan.

## 3.3.1 Hasil Simulasi untuk Kasus Maksimasi
Pada  makalah  ini,  akan  disimulasikan  5  kasus  maksimasi  pada  fungsi kuadrat.  Hasil  simulasi  kemudian  dibandingkan  dengan  nilai  eksaknya  yang diperoleh  menggunakan  program  uji  turunan  kedua  (Awalina,  2016).  Fungsi- fungsi kuadrat tersebut yaitu:
1.
(Estiasih, 2010); 2. (Ayres dan Mendelson, 2006: 324); 3. (Leithold, 1991: 383); 4. (Leithold, 1991: 387); 5. (Barnett, dkk., 2011: 470).
Nilai-nilai input yang  digunakan  pada  kasus  maksimasi  disajikan  pada  Tabel  1.
Hasil  solusi  eksak  dan  hampiran  terbaik  pada  fungsi-fungsi  yang  disimulasikan dari  setiap  kriteria  penghentian  iterasi  yang  digunakan  dan  perbandingan  waktu komputasi algoritma stroberi tanpa kriteria penghentian iterasi dan dengan kriteria penghentian iterasi diberikan pada Tabel 2.
Tabel 1. Nilai input untuk kasus maksimasi
No. Nama Input Input Nilai 1 Fungsi tujuan 2 Batas bawah domain [-30  -30] 3 Batas atas domain [30  30] 4 Lokasi awal peubah bebas [0  0] 5 Banyaknya generasi 30 6 Ukuran populasi 20 7 Jumlah stolon maksimum 5 8 Banyaknya iterasi 10
9 Nilai toleransi
Tabel 2. Hasil solusi eksak dan hampiran terbaik algoritma  stroberi   untuk  kasus maksimasi Fungsi Tujuan Nilai Eksak Hasil Solusi Hampiran Algoritma stroberi Waktu Komputasi Algoritma stroberi (Detik) Tanpa Kriteria Penghentian Iterasi Dengan Kriteria Penghentian Iterasi Tanpa Kriteria Penghentian Iterasi Dengan Kriteria Penghentian Iterasi Galat Iteratif Kriteria Cauchy Galat Iteratif Kriteria Cauchy Maksimasi 1 58,144 58,143 57,9400 58,1438 0,4791 0,0486 0,3632 Maksimasi 2 2,000 1,999 1,3677 1,9999 0,4689 0,0365 0,3876 Maksimasi 3 11,000 10,999 10,2303 10,9999 0,4898 0,0240 0,4610 Maksimasi 4 1137,0 1137,000 1133,9000 1137,0000 0,5309 0,0275 0,5205 Maksimasi 5 4,000 3,999 3,7503 3,9999 0,5277 0,0350 0,5049
Selanjutnya dapat  dihitung  galat  relatif pada setiap solusi  hampiran terbaik yang  dihasilkan  oleh  algoritma  stroberi.  Nilai  galat  relatif  pada  setiap  solusi hampiran terbaik yang dihasilkan oleh algoritma stroberi dapat dilihat pada Tabel 3.
Tabel 3. Nilai galat relatif untuk kasus maksimasi
Fungsi Tujuan Nilai Galat Relatif (%) Tanpa Kriteria Penghentian Iterasi Dengan Kriteria Penghentian Iterasi Berdasarkan Galat Iteratif Dengan Kriteria Penghentian Iterasi Berdasarkan Kriteria Cauchy Maksimasi 1 0,0002 0,3507 0,0002 Maksimasi 2 0,0050 31,6150 0,0050 Maksimasi 3 0,0009 6,9973 0,0009 Maksimasi 4 0,0000 0,2726 0,0000 Maksimasi 5 0,0025 6,2425 0,0025
Berdasarkan  perolehan  nilai  galat  relatif  yang  disajikan  pada  Tabel  3, terlihat bahwa galat relatif dari setiap solusi hampiran terbaik yang dihasilkan oleh program  algoritma  stoberi  tanpa  kriteria  penghentian  iterasi  dan  program algoritma stoberi dengan kriteria penghentian iterasi berdasarkan kriteria Cauchy relatif  sangat  kecil,  yang  mengimplikasikan  bahwa  kedua  algoritma  stroberi tersebut  baik  digunakan  untuk  menyelesaikan  kasus  maksimasi  dengan  fungsi tujuan  yang  diberikan.  Namun,  jika  dilihat  dari  waktu  komputasinya  (yang disajikan pada Tabel 2), waktu komputasi yang dihasilkan oleh algoritma stroberi dengan kriteria penghentian iterasi berdasarkan kriteria Cauchy relatif lebih cepat dari  algoritma  stroberi  tanpa  kriteria  penghentian  iterasi.  Ini  berarti,  kriteria penghentian  iterasi  berdasarkan  kriteria  Cauchy  baik  untuk  diterapkan  pada
algoritma stroberi apabila digunakan untuk menyelesaikan kasus maksimasi pada fungsi tujuan yang diberikan. Sebaliknya, untuk algoritma stroberi dengan kriteria penghentian  iterasi  berdasarkan  galat  iteratif,  meskipun  waktu  komputasi  yang dihasilkan  relatif  lebih  cepat  dari  kedua  algoritma  stroberi  lainnya,  namun  galat relatif  yang  diperoleh  relatif  sangat  besar  dibandingkan  galat  relatif  pada  kedua algoritma  stroberi  lainnya.  Ini  berarti,  kriteria  penghentian  iterasi  berdasarkan galat  relatif  kurang  baik  untuk  diterapkan  pada  algoritma  stroberi  apabila digunakan  untuk  menyelesaikan  kasus  maksimasi  pada  fungsi  tujuan  yang diberikan.

## 3.3.2 Hasil Simulasi untuk Kasus Minimasi
Fungsi tujuan yang akan disimulasikan pada kasus minimasi ada sebanyak 5 kasus.  Hasil  simulasi  kemudian  dibandingkan  dengan  nilai  eksaknya  yang diperoleh  menggunakan  program  uji  turunan  kedua  (Awalina,  2016).  Fungsi- fungsi kuadrat tersebut yaitu:
1.
(Barnett, dkk., 2011: 470);
2.
(Barnett, dkk., 2011: 474); 3. (Ayres dan Mendelson, 2006: 322); 4. (Stewart, 2003: 398); 5. (Lial, dkk., 1993: 431).
Nilai-nilai input yang  digunakan  pada  kasus  minimasi  sama  dengan  pada kasus maksimasi, seperti disajikan pada Tabel 1. Hasil solusi eksak dan hampiran terbaik  dari  setiap  fungsi  yang  disimulasikan  pada  kasus  minimasi    dan perbandingan  waktu  komputasi  algoritma  stroberi  tanpa  kriteria  penghentian iterasi  dan  dengan  kriteria  penghentian  iterasi  untuk  kasus  minimasi  diberikan pada Tabel 4.
Tabel 4. Hasil solusi eksak dan hampiran terbaik program algoritma  stroberi   untuk kasus minimasi Fungsi Tujuan Nilai Eksak Hasil Solusi Hampiran Algoritma stroberi Waktu Komputasi Algoritma stroberi (Detik) Tanpa Kriteria Penghentian Iterasi Dengan Kriteria Penghentian Iterasi Berdasarkan Tanpa Kriteria Penghentian Iterasi Dengan Kriteria Penghentian Iterasi Berdasarkan Galat Iteratif Kriteria Cauchy Galat Iteratif Kriteria Cauchy Minimasi 1 10,0000 10,0001 11,1257 10,0001 0,5210 0,0392 0,4994 Minimasi 2 12,0000 12,0001 12,5924 12,0001 0,5336 0,0332 0,4983 Minimasi 3 12,0000 12,0001 12,5692 12,0001 0,4824 0,0437 0,4041 Minimasi 4 4,0000 4,0001 4,5661 4,0001 0,4812 0,0549 0,4120 Minimasi 5 -77,0000 -76,9999 -76,3147 -76,9999 0,4938 0,0355 0,4486
Selanjutnya dapat  dihitung  galat  relatif pada setiap solusi  hampiran terbaik yang  dihasilkan  oleh  algoritma  stroberi.  Nilai  galat  relatif  pada  setiap  solusi hampiran terbaik yang dihasilkan oleh algoritma stroberi dapat dilihat pada Tabel 5.

## Tabel 5 Nilai galat relatif untuk kasus minimasi
Fungsi Tujuan Nilai Galat Relatif (%) Tanpa Kriteria Penghentian Iterasi Dengan Kriteria Penghentian Iterasi Berdasarkan Galat Iteratif Dengan Kriteria Penghentian Iterasi Berdasarkan Kriteria Cauchy Minimasi 1 0,0010 11,2570 0,0010 Minimasi 2 0,0008 4,9366 0,0008 Minimasi 3 0,0008 4,7433 0,0008 Minimasi 4 0,0025 14,1525 0,0025 Minimasi 5 0,0001 0,8900 0,0001
Berdasarkan  perolehan  nilai  galat  relatif  yang  disajikan  pada  Tabel  5, terlihat bahwa galat relatif dari setiap solusi hampiran terbaik yang dihasilkan oleh program  algoritma  stoberi  tanpa  kriteria  penghentian  iterasi  dan  program algoritma  stoberi  dengan  kriteria  penghentian  berdasarkan  kiteria  Cauchy  relatif sangat  kecil,  yang  mengimplikasikan  bahwa  kedua  algoritma  stroberi  tersebut baik  apabila  digunakan  untuk  menyelesaikan  kasus  minimasi  dengan  fungsi tujuan  yang  diberikan.  Namun,  jika  dilihat  dari  waktu  komputasinya  (yang disajikan pada Tabel 4), waktu komputasi yang dihasilkan oleh algoritma stroberi dengan kriteria penghentian iterasi berdasarkan kriteria Cauchy relatif lebih cepat dari  algoritma  stroberi  tanpa  kriteria  penghentian  iterasi.  Hal  ini  menunjukan
bahwa  kriteria  penghentian  berdasarkan  kriteria  Cauchy  baik  untuk  diterapkan pada  algoritma  stroberi  apabila  digunakan  untuk  mencari  solusi  hampiran  pada setiap  kasus  minimasi  yang  disimulasikan.  Sebaliknya,  untuk  algoritma  stroberi dengan kriteria penghentian berdasarkan galat iteratif, meskipun waktu komputasi yang  dihasilkan  relatif  lebih  cepat  dari  kedua  algoritma  stroberi  lainnya,  namun galat relatif  yang diperoleh relatif sangat besar dibandingkan dengan galat relatif pada  kedua  algoritma  stroberi  lainnya.  Ini  berarti,  kriteria  penghentian berdasarkan  galat  iteratif  kurang  baik  untuk  diterapkan  pada  algoritma  stroberi apabila digunakan untuk mencari solusi hampiran dari setiap kasus minimasi pada fungsi tujuan yang diberikan.

## 4. KESIMPULAN DAN SARAN
Berdasarkan  hasil  simulasi,  galat  relatif  dari  setiap  solusi  hampiran  terbaik yang  dihasilkan  oleh  algoritma  stroberi  tanpa  kriteria  penghentian  iterasi  dan dengan  kriteria  penghentian  iterasi  berdasarkan  kriteria  Cauchy  relatif  sangat kecil,  yang  mengimplikasikan  bahwa  kedua  algoritma  stroberi  tersebut  baik apabila  digunakan  untuk  menyelesaikan  kasus  maksimasi  dan  minimasi  pada setiap  fungsi  tujuan  yang  diberikan  pada  makalah  ini.  Namun,  jika  dilihat  dari waktu  komputasinya,  waktu  komputasi  yang  dihasilkan  oleh  algoritma  stroberi dengan  kriteria  penghentian  berdasarkan  kriteria  Cauchy  relatif  lebih  cepat  dari algoritma stroberi tanpa kriteria penghentian iterasi. Hal ini menunjukkan bahwa kriteria  penghentian  berdasarkan  kriteria  Cauchy  baik  untuk  diterapkan  pada algoritma  stroberi  apabila  digunakan  untuk  mencari  solusi  hampiran  pada  setiap kasus maksimasi dan kasus minimasi yang disimulasikan.
Untuk  penelitian  selanjutnya,  penulis  menyarankan  perlunya  penerapan kriteria  penghentian  iterasi  pada  algoritma  untuk  mencari  solusi  optimum  dari permasalahan  optimisasi  dengan  fungsi-fungsi  tujuan  lain,  misalnya  fungsi Griewank,  fungsi  Ackley,  dan  fungsi  Rastrigin.  Selain  itu,  algoritma  stroberi dengan kriteria penghentian iterasi perlu dikembangkan lagi agar dapat digunakan untuk mencari solusi optimum pada kasus multi-objective .

## UCAPAN TERIMAKASIH
Terima  kasih  diucapkan  kepada  Dr.  Idha  Sihwaningrum,  M.Sc.St.  yang banyak memberikan masukan dan saran pada proses penyusunan makalah  ini.

## DAFTAR PUSTAKA
Awalina,  A.  S., Algoritma  Stroberi:  Kajian  dan  Aplikasinya  Pada  Fungsi
Kuadrat , Skripsi, Universitas Jenderal Soedirman, 2016.
Ayres, F., dan Mendelson, E., Kalkulus, Edisi ke-4, Erlangga, Jakarta, 2006.
Barnett,  R.  A.,  Ziegler  M.  R.,  dan  Byleen,  K.  E., Calculus  for  Business, Economics,  Life  Sciences,  and  Social Sciences,  Edisi  ke-12,  Prentice  Hall, New York, 2011
Cannas, E. D., Parallel Computing: A Comparative Analysis Using Matlab, Tesis,
Universita Degli Studi Di Cagliari, Clagiari, 2016.
Estiasih, T., Optimasi Kristalisasi Urea pada Pembuatan Asam Lemak dari
Minyak  Hasil  Samping  Penepungan  Ikan  Lemuru  (Sardinella  longiceps) , Jurnal Teknologi Pertanian, 11 (2010), 37-46.
Leithold,  L. ,  Kalkulus  dan  Ilmu  Ukur  Analitik  Jilid 3,  Edisi  ke-5,  Erlangga, Jakarta, 1991.
Lial, M. L., Miller, C. D., dan Greenwell, R. N., Calculus with Applications , Edisi ke-5, HarperCollins College Publisher, New York, 1993.
Nocedal,  J.  dan  Wright,  S.  J., Numerical Optimization,  Springer  Science  and Business Media, New York, 2006.
Salhi,  A.  dan  Fraga,  E.  S., Nature-Inspired  Optimisastion  Approaches  and  the New  Plant  Propagation  Algorithm ,  Proceedings  of  The  International Conference on Numerical Analysis and Optimization, Yogyakarta, 2011, 1- 8.
Stewart, J., Kalkulus Jilid 2, edisi ke-4, Erlangga, Jakarta, 2003.
Sulaiman,  M.,  Salhi,  A.,  Selamoglu,  B.  I.,  dan  Kirikchi,  O.  B.,  A  Plant Propagation Algorithm for Constrained Engineering Optimisation Problems,
Mathematical Problems in Engineering , Article ID 627416, 10 pages, 2014.
Triatmodjo, B., Metode Numerik, Beta Offset, Yogyakarta, 2008.