Vol. 18, No. 1,  42-54,  September, 2021

## DOI: 10.20956/j.v18i1.13974
__________________________________________ *Program Studi Magister Matematika FMIPA-UNHAS Email : andiutarisamsir@gmail.com 1 , syamsuddint@yahoo.com 2 , 3 kasbawati@gmail.com 3
This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial 4.0 International License

## Optimal Control of a Mathematical Model of Smoking with Temporary Quitters and Permanent Quitters

## Kontrol Optimal Model Matematika Merokok dengan Perokok Berhenti Sementara dan Perokok Berhenti Permanen
Andi Utari Samsir 1* , Syamsuddin Toaha 2* , Kasbawati 3*

## Abstract
This  article  discusses  the  optimal  control  of  a  mathematical  model  on  smoking.  This  model consists  of  six  population  classes,  namely  potential  to  become  smoker ( ) snuffing  class ( ) irregular smokers ( ) regular smokers ( ) temporary quitters ( ) and permanent quitters ( ) The completion of this research uses the Pontryagin minimum principle and numerically using the forward-backward Sweep  method. Numerical simulations of the optimal problem show that  with the  implementation  of  education  campaigns  and  anti-nicotine  medicine,  the  smokers  can  be decreased more quickly and the smoking population who quit permanently can be increased. The implementation  of  both  through  large  amounts  needs  to  be  done  from  the  beginning.  The  use  of control in the  form of education campaigns is of  great value until the end of the research period means that it needs to be done continuously to reduce the number of smokers in the population.
Keywords: Mathematical Model on Smoking, Pontryagin Minimum Principle, Forward- Backward Sweep Method, Optimal Control.

## Abstrak
Artikel ini membahas tentang kontrol optimal model matematika merokok. Model ini terdiri dari enam kelas populasi, yaitu berpotensi sebagai perokok atau Potential Smokers ( ) Snuffing Class ( ) , perokok  tidak  aktif  atau Irregular  Smokers ( ) , perokok  aktif  atau Regular  Smokers ( ) perokok  yang  berhenti  sementara  atau Temporary  Quitters ( ) dan  perokok  yang  berhenti permanen  atau Permanent  Quitters ( ) .  Sistem  diselesaikan  dengan  menggunakan  prinsip minimum Pontryagin dan secara numerik diselesaikan dengan metode forward-backward Sweep . Simulasi numerik dari masalah optimal menunjukkan bahwa dengan adanya penerapan kampanye edukasi  dan  pemberian  obat  anti  nikotin  maka  perilaku  merokok  lebih  cepat  berkurang  dan populasi  perokok  yang  berhenti  permanen  akan  meningkat.  Penerapan  kedua  kontrol  tersebut dalam  jumlah  besar  perlu  dilakukan  sejak  awal.  Penggunaan  kontrol  berupa  kampanye  edukasi bernilai  besar  hingga  akhir  tahun  pengamatan  artinya  untuk  menekan  jumlah  populasi  perokok secara maksimal, kampanye edukasi harus dilakukan secara terus menerus.
Kata  Kunci: Model  Matematika  Merokok,  Prinsip  Minimum Pontryagin ,  Metode Forward-Backward Sweep, Kontrol Optimal.

## Jurnal Matematika, Statistika & Komputasi

## Andi Utari Samsir, Syamsuddin Toaha, Kasbawati

## 1. Pendahuluan
Dinamika  perubahan  populasi  merupakan  salah  satu  kajian  dalam  pemodelan  matematika yang  mencoba  mendeskripsikan  fenomena  dari  sudut  pandang  matematika  [6].  Model matematika memberikan kemudahan dalam menyelesaikan masalah dalam kehidupan nyata [1]. Model  ini  digunakan  untuk  menjelaskan  karakteristik  fenomena  yang  dimodelkannya  secara kualitatif atau kuantitatif, yang dibuat dengan melibatkan asumsi – asumsi yang didasarkan atas eksperimen atau observasi terhadap fenomena sebenarnya [7]. Salah satu fenomena yang dapat dimodelkan secara matematika adalah perilaku merokok.
Terdapat berbagai bahaya yang ditimbulkan oleh rokok, tidak hanya bagi perokok itu sendiri melainkan  bahaya  bagi  orang  lain  disekitarnya  [16].  Merokok  merupakan  bentuk  utama penggunaan  tembakau.  Tembakau  menjadi  penyebab  tunggal  kematian  utama  yang  dapat dicegah.  Berdasarkan  laporan  World  Health  Organization  (WHO)  per  Desember  2019,    lebih dari  8  juta  orang  meninggal  setiap  tahunnya    karena  penggunaan  tembakau.  Lebih  dari  7  juta kematian tersebut berasal dari penggunaan tembakau secara langsung sementara sekitar 1,2 juta disebabkan oleh aktivitas penggunaan tembakau [20].
Indonesia  merupakan  produsen  rokok  terbesar  di  dunia  setelah  China  dan  menjadi  negara pertama dengan produksi rokok tertinggi di ASEAN.  Berdasarkan data Riset Kesehatan Dasar tahun  2018,  prevalensi  perokok  usia  di  atas  15  tahun  mencapai  33,8  persen  dan    pada  remaja usia 10-18 tahun mengalami peningkatan dari tahun 2013 sebesar 7,2 persen menjadi 9,1 persen di tahun 2018. Prevalensi perokok laki-laki usia di atas 15 tahun masih berada pada angka yang tinggi yaitu 62,9 persen dan menjadi prevalensi perokok laki-laki tertinggi di dunia [11].
Model matematika merokok pertama kali diperkenalkan oleh Garsow, dkk pada tahun 1997 [9]. Pada model tersebut, populasi terbagi menjadi tiga kelas yaitu potential smokers atau orang yang tidak  merokok namun memiliki potensi untuk menjadi perokok dimasa depan, kemudian kelas perokok dan kelas orang yang berhenti merokok. Model tersebut kemudian dikembangkan oleh Sharomi & Gumel pada tahun 2008 dengan membagi kelas perokok menjadi dua yaitu mild smokers dan chain smokers [17]. Zaman menganalisis model berhenti merokok Garsow dengan mempertimbangkan  kelas occasional  smokers dan  menyajikan  perilaku  kualitatif  pada  model [21].  Zeb,  dkk  pada  tahun  2013 menyajikan  model  berhenti  merokok  yang  baru  berdasarkan model  Zaman  dimana  interaksi  antara potential  smokers dan occasional  smokers adalah  akar kuadrat  [23]  kemudian  Din  dan  rekan-rekannya  pada  tahun  2016  memodifikasi  model  Zeb dengan  menambahkan  kompartemen  perokok  yang  menderita  penyakit  [8].  Guerrero menggunakan  model  matematika  untuk  menggambarkan  karakteristik  kebiasaan  merokok  di Spanyol  pada  tahun  2011  [10].  Pada  tahun  2013,  Alkhudari,dkk mengadopsi  dan mengembangkan penelitian Sharomi dan Gumel dengan mempertimbangkan efek teman sebaya pada perokok berhenti sementara [2], kemudian pada penelitian selanjutnya berdasarkan model yang  telah  diperoleh,  mereka    mengkaji  mengenai  pengaruh occasional  smokers terhadap potential  smoker [3]  dan  pada  tahun  2015  mengkaji  mengenai  pengaruh heavy  smokers terhadap potential  smokers [4].  Matintu  mengembangkan  model  baru  berdasarkan  ide  yang diberikan  oleh  ketiga  penelitian  Alkhudhari  dan  rekannya  [2,3,4]  dengan  mempertimbangkan efek dari heavy smokers dan occasional smokers terhadap potential smokers dan efek dari heavy smokers terhadap  perokok  berhenti  sementara  [13].  Pang,dkk pada  tahun  2015 mempertimbangkan  penyediaan  tempat  khusus  merokok  dan  peningkatan  harga  rokok  dalam mengendalikan perokok di China [14].
Dalam mengurangi perilaku merokok, beberapa peneliti menerapkan kontrol optimal [5, 15, 18, 19, 22]. Pada tahun 2019, Pang, dkk [15] mengkaji mengenai  pengendalian optimal dalam mengontrol  penggunaan  tembakau.  Dalam  penelitian  tersebut  dideskripsikan  model  kontrol dengan teori kontrol optimal untuk mengurangi jumlah perokok dengan menerapkan dua macam strategi  yaitu  media  dan  pengobatan  berhenti  merokok.  Populasi  perokok  dibagi  dalam  enam kompartemen  yaitu  perokok  potensial,  perokok  tidak  aktif,  perokok  aktif,    perokok  yang berhenti  sementara,  perokok  yang  berhenti  secara  permanen,  dan  pasien  karena  merokok.

## Jurnal Matematika, Statistika & Komputasi

## Andi Utari Samsir, Syamsuddin Toaha, Kasbawati
Selanjutnya, penelitian yang ditulis oleh Alzahrani dan Zeb [5] menjelaskan mengenai strategi pencegahan  pada  model  dinamik  perilaku  merokok  dan  analisis  kontrol  optimalnya.  Pada analisis kontrol optimalnya diberikan dua strategi yaitu kampanye edukasi dan obat anti nikotin. Penelitian tersebut membagi populasi dalam lima kompartemen yaitu populasi rentan merokok, kelas menghirup tembakau atau snuffing class , perokok tidak aktif, perokok aktif, dan  populasi berhenti merokok.
Dalam penelitian ini, model yang dikaji oleh Alzahrani dan Zeb [5] dikembangkan dengan membagi  kompartemen  berhenti  merokok  menjadi  dua  kompartemen  yaitu  perokok  yang berhenti  sementara  dan  perokok  yang  berhenti  secara  permanen  seperti  yang  dimuat  pada penelitian  Pang,  dkk  [15]  dengan  tetap  memperhatikan  kompartemen  berhenti  merokok  pada penelitian Alzahrani dan Zeb [5]. Pada penelitian ini pula diberikan dua macam strategi dalam mengendalikan konsumsi rokok yaitu kampanye edukasi dan obat anti nikotin.

## 2. Model Matematika Perilaku Merokok
Model  dalam  penelitian  ini  merupakan  pengembangan  model  perilaku  merokok  menurut Alzahrani dan Zeb [5] dengan mengadopsi model Pang, dkk [15]. Hasil pengembangan model yang  diperoleh  adalah  enam  kompartemen,  yaitu potential  smokers ( ) snuffing  class ( ) irregular smokers ( ) regular smokers ( ) temporary  quiters ( ) permanent  quitters ( ) Pengembangan  model  dilakukan  dengan  membagi  kelas quit  smokers menjadi temporary quitters ( ) dan permanent  quitters ( ) dan  menambahkan  beberapa  faktor  dalam  upaya menekan perilaku merokok.
Adapun asumsi yang dibentuk sebagai berikut:
1. Setiap  individu  yang  lahir  dan  migrasi  diasumsikan  bukan  perokok  dan  rentan  terhadap perilaku  merokok  masuk  ke  dalam  kompartemen potential  smokers ( )  dengan  laju masukan sebesar   individu per satuan waktu.
2. Kompartemen snuffing  class ( ) merupakan  individu  yang  merokok  dengan  menggunakan tembakau bubuk yang ditempatkan di dekat hidung dan dihirup secara langsung.
3. Snuff bersifat adiktif atau menimbulkan kecanduan karena adanya pengaruh nikotin. Hal ini membuat  penggunanya  sulit  lepas  dan  akan  memberikan  pengaruh  terhadap potential smokers ( ) untuk mencoba dan menjadi pengguna snuff.
4. Laju interaksi antara populasi rentan potential smokers ( ) dengan snuffing class ( ) adalah sebesar per satuan waktu.
5. Diasumsikan setiap populasi berkurang karena kematian alami dengan laju keluaran sebesar per satuan waktu.
6. Interaksi  antara  populasi  pada snuffing  class ( ) dan irregular  smokers  ( ) dengan  laju sebesar individu per satuan waktu .
7. Diasumsikan  bahwa  populasi  pada snuffing  class ( ) berkurang  karena  penggunaan tembakau dengan laju sebesar .
8. Populasi  pada irregular  smokers ( ) berkurang  karena  adanya  individu  yang  menjadi regular smokers ( ) dengan laju sebesar dan karena adanya kematian oleh penyakit yang disebabkan karena penggunaan tembakau dengan laju sebesar .
9. Diasumsikan  bahwa  individu  yang  berhenti  merokok  secara  sementara  dapat  kembali kambuh atau memiliki keinginan untuk kembali merokok dengan laju sebesar per satuan waktu.
10. Populasi perokok berkurang  ketika perokok  berhenti untuk merokok dengan laju sebesar per satuan waktu .
11. Perokok  dengan  proporsi adalah  perokok  yang  berhenti  secara  sementara  sedangkan perokok dengan proporsi (     ) adalah perokok yang berhenti secara permanen .
12. Diasumsikan  bahwa  perokok  yang  berhenti  untuk  sementara  hanya  dapat  kembali  menjadi regular smokers .

## Jurnal Matematika, Statistika & Komputasi

## Andi Utari Samsir, Syamsuddin Toaha, Kasbawati
13. Populasi  dalam snuffing  class ( ) akan  menjadi  perokok  hanya  jika  berinteraksi  dengan perokok tidak aktif atau irregular smokers ( ) .
14. Diasumsikan  bahwa individu  yang  telah  berhenti  merokok  tidak  dapat  dimasukkan  lagi  ke dalam  kelas potential  smokers ( ) karena  dianggap  bahwa  kebiasaan  merokok  tersebut dapat kambuh kembali.
15. Diasumsikan  bahwa  proporsi  dari  kampanye  edukasi ( ) yang  diberikan  dapat mengurangi perilaku merokok.
16. Penambahan  kontrol  lain  yaitu  berupa  obat  anti  nikotin ( ) bertujuan  untuk  membuat individu dapat berhenti merokok.
Diagram kompartemen dari model berdasarkan asumsi-asumsi di atas ditunjukkan pada Gambar 2.1
Gambar 2.1 Diagram Kompartemen Model Matematika Perilaku Merokok
Dari diagram kompartemen tersebut, diperoleh sistem persamaan differensial berikut:
, (     ) , (         ) , (2.1) (     )     ( ) ,
( )     (     ( )) ,
( )(     ) .
Diasumsikan bahwa kondisi awal memenuhi :
( )       ( )       ( )       ( ) ( ) ( ) .
Keterangan variabel dan parameter yang digunakan dijelaskan pada Tabel 2.1
Tabel 2.1 Deskripsi Parameter dan Variabel Model Simbol Keterangan Satuan ( ) Populasi  yang  berpotensi  menjadi  perokok ( potential smokers ) pada waktu Orang ( ) Populasi  yang  berada  pada snuffing  class pada waktu Orang ( ) Populasi  yang  tidak  sering  merokok  ( irregular smokers ) pada waktu Orang ( ) Populasi  yang  sering  merokok  ( regular  smokers ) pada waktu Orang ( ) Populasi  perokok  yang  berhenti  sementara
Orang
𝑃 u τ 𝜇𝑄 𝑡 𝑆 𝑋 𝑌 𝑄 𝑝 𝑄 𝑡 Λ β β ω
γ
𝜇𝑄 𝑝 α(    u ) 𝛾(    𝑢 )𝛿𝑌
𝛾(    𝑢 )(    𝛿)𝑌
μ (ρ   μ)𝑆 (η   μ   u τ )𝑋 μ

## Jurnal Matematika, Statistika & Komputasi
Andi Utari Samsir, Syamsuddin Toaha, Kasbawati
( temporary quitters ) pada waktu
( )
Populasi  perokok  yang  berhenti  secara  permanen ( permanent quitters ) pada waktu Orang Laju  pertambahan  populasi  berpotensi  merokok baik melalui proses kelahiran maupun migrasi Orang/tahun Laju  perpindahan  individu  dari potential  smokers ( ) ke  individu  yang  berada  pada snuffing  class ( ) 1 / (waktu x orang) Laju  perpindahan  individu  dari snuffing  class  ( ) ke irregular smokers ( ) 1 / (waktu x orang) Laju pengurangan populasi pada snuffing class ( ) karena penggunaan tembakau 1 / tahun Laju kematian alami populasi di semua kompartemen 1 / tahun Laju  kematian  populasi irregular  smokers  ( ) karena penyakit 1 / tahun Laju  perpindahan  populasi irregular  smokers  ( ) menjadi populasi regular smokers ( ) 1 / tahun Laju  individu  yang  berhenti  merokok  sementara kembali  kambuh  atau  memiliki  keinginan  untuk kembali merokok 1 / tahun Laju individu berhenti merokok 1 / tahun Proporsi perokok yang berhenti sementara - (     ) Proporsi perokok yang berhenti permanen - Efektitiftas kampanye edukasi - Efektifitas pengobatan - Proporsi  kampanye  edukasi  yang  dilakukan, - Proporsi pemberian obat anti nikotin , -

## 3. Masalah Kontrol Optimal
Pada  penelitian  ini  permasalahan  kontrol  optimal  akan  diselesaikan  dengan  tujuan  untuk meminimumkan jumlah individu yang merokok dengan biaya penerapan kontrol dan yang minimum pula. Fungsi tujuan yang akan diminimumkan didefinisikan sebagai berikut:
( ) ( ) ∫ 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 (3.1)
dimana  kontrol  optimal  berada  pada
dengan merupakan  waktu akhir  pengontrolan,  koefisien merupakan  nilai  bobot  tujuan  untuk  mengurangi  jumlah individu  dalam snuffing  class ,  koefisien merupakan  nilai  bobot  tujuan  untuk  mengurangi jumlah irregular smokers , koefisien merupakan nilai bobot tujuan untuk mengurangi jumlah regular smokers ,  koefisien merupakan  nilai  bobot tujuan  dari  fungsi  kontrol yaitu  upaya kampanye  edukasi,  dan  koefisien merupakan  nilai  bobot tujuan dari fungsi  kontrol yaitu upaya  pemberian  obat  anti  nikotin.  Dengan  kata  lain,  Persamaan (   ) merepresentasikan pencarian  fungsi  kontrol ( ) sedemikian  sehingga ( )    ( ) untuk setiap ( ) .
4. Pembentukan Persamaan State, Costate, dan Syarat Kestasioneran
Pada  persamaan (   ) diberikan  masalah  optimasi,  kemudian  akan  ditentukan  kontrol optimal yang  memenuhi ( )      * ( )       + Pencarian  kontrol  optimal dengan

## Jurnal Matematika, Statistika & Komputasi
Andi Utari Samsir, Syamsuddin Toaha, Kasbawati
menggunakan  prinsip  minimum  Pontryagin  yaitu  menentukan  fungsi  Hamiltonian  dari  fungsi tujuan. Bentuk umum dari fungsi Hamiltonian adalah:
(          )    (       ) ( ) (       ) dengan
(       ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
dengan pengali Lagrange dari Persamaan (2.1)
( )
maka fungsi Hamilton dapat diuraikan seperti berikut:
( ) ( (     ) ( ) ) ( (         ) ( ) ) (     (     )     ( ( )) ( ) )
. ( ( ))     .     ( ( ))/ /
( ( ( )) (     ) ) . (4.1)
Dari Persamaan (4.1) diperoleh persamaan state berikut:
̇ ( )
dengan
̇ ( )
dengan
, (     ) ( ) ,
(         ) ( ) , (     )     ( ( ))
( ) ,
( ( ))     (     ( ( ))) ,
( ( )) (     )
Untuk persamaan costate diperoleh:
̇ ( ) ( ̇ ̇ ̇ ̇ ̇ ̇ ) dengan ̇ ( ) . ̇ ( ) ̇ ( ) ̇ ( ) ( ) ( )(     ) ̇ ( ) (      ( ))
̇

## Jurnal Matematika, Statistika & Komputasi

## Andi Utari Samsir, Syamsuddin Toaha, Kasbawati
Bentuk dan yang optimal diperoleh dengan menggunakan syarat stasioner diberikan oleh:
( ) Dari syarat stasioner tersebut diperoleh: ( ) ( ) ( (     ))
Sehingga diperoleh kontrol optimal dan sebagai berikut: {     { ( ) }    } {     { ( ) ( (     )) }    }

## 5. Simulasi Numerik
Pada  bagian  ini,  dilakukan  simulasi  numerik  untuk  mendapatkan  solusi  optimal  sistem. Metode  numerik  yang  digunakan  adalah  metode forward-backward Sweep .  Interval  waktu
, - yaitu dan  waktu tahun.  Begitu  pula  dengan  fungsi  kontrol ( ) dengan ( ) dan
.  Pada  metode  tersebut  solusi
( ) dan ( ) dicari  dengan  menggunakan  metode forward-backward Runge-Kutta  orde  4.
Sedangan  nilai diperbaharui  disetiap  iterasi  menggunakan
( ) ,  dengan diperoleh  dari  syarat  keoptimalan
[12].  Diasumsikan  nilai  awal  dari  masing-masing populasi  adalah ( ) individu, ( ) individu, ( ) individu, ( ) individu, ( ) individu dan ( ) nilai bobot yang digunakan dan dengan  parameter  yang  digunakan  yaitu
Simulasi  terhadap  populasi potential  smokers ( ) ditunjukkan  pada  Gambar  5.1.  Pada gambar  tersebut,  kedua  populasi  baik  dengan  kontrol  maupun  tanpa  kontrol  mengalami penurunan  sejak  tahun  pertama  secara  bersamaan  dan  kemudian  kedua  populasi  mengalami peningkatan.  Populasi potential  smokers tanpa  kontrol  terus  meningkat  dengan  cepat  hingga akhir  waktu  pengamatan.  Sedangkan  untuk  populasi  dengan  kontrol  optimal,  peningkatan terjadi  hingga  awal  tahun  ketiga  dimana  populasi potential  smokers dengan  kontrol  optimal bertambah  lebih  sedikit  dibandingkan  dengan  populasi  tanpa  kontrol.  Populasi dengan  kontrol optimal terus mengalami penurunan secara perlahan hingga tahun ke tujuh belas dan akhirnya stabil hingga akhir waktu pengamatan.
Gambar  5.2  menunjukkan  grafik  perbandingan  individu  dalam snuffing  class ( ) dengan kontrol  dan  tanpa  kontrol.  Pada  gambar  tersebut  terlihat  bahwa  di  awal  tahun  pertama  kedua populasi  mengalami  sedikit  peningkatan  dan  kemudian  turun  dengan  cepat  secara  bersamaan hingga  akhir  tahun  pertama.  Kemudian  populasi  tanpa  kontrol  tidak  mengalami  perubahan hingga  tahun  keenam  namun  di  tahun  ketujuh  populasi  meningkat  hingga  tahun  kedelapan, populasi  kembali  stabil  hingga  enam  tahun  berikutnya  dan  kembali  meningkat  selama  satu tahun  dan  akhirnya  populasi  stabil  hingga  akhir  tahun  pengamatan.  Sedangkan  untuk  populasi snuffing class dengan kontrol, populasi perlahan meningkat dari tahun pertama hingga tahun ke empat  kemudian  turun  di  tahun  kelima  dan  akhirnya  stabil  hingga  akhir  waktu  pengamatan. Peningkatan  pada  populasi  setelah  dikontrol  disebabkan  adanya  individu  perokok  aktif  yang berkurang setelah diberikan kontrol dan kemudian masuk dalam snuffing class .

## Jurnal Matematika, Statistika & Komputasi
Andi Utari Samsir, Syamsuddin Toaha, Kasbawati
Gambar 5.1 Grafik Perubahan Potential Smokers dalam Populasi terhadap Waktu ( tahun)
Gambar 5.2 Grafik Perubahan Snuffing Class dalam Populasi terhadap Waktu ( tahun)

## Jurnal Matematika, Statistika & Komputasi

## Andi Utari Samsir, Syamsuddin Toaha, Kasbawati
Simulasi  populasi irregular  smokers ( ) ditunjukkan  pada  Gambar  5.3.  Pada  gambar tersebut,  kedua  populasi  baik  dengan  kontrol  maupun  tanpa  kontrol  mengalami  peningkatan sejak  tahun  pertama  dimana  jumlah  populasi  dengan  kontrol  meningkat  lebih  sedikit dibandingkan  dengan  populasi  tanpa  kontrol.  Selanjutnya  populasi  tanpa  kontrol  terus meningkat  hingga  akhir  waktu  pengamatan  sedangkan  populasi  dengan  kontrol  mengalami penurunan  hingga  tahun  keempat  belas  dan  kemudian  stabil  hingga  akhir  waktu  pengamatan. Hal  ini  menunjukkan  bahwa  jumlah  individu irregular  smokers ( ) dapat  dikurangi  dengan memberikan kontrol berupa kampanye edukasi.
Gambar 5.3 Grafik Perubahan Irregular Smokers dalam Populasi
terhadap Waktu ( tahun)
Gambar  5.4  menunjukkan  grafik  perbandingan  populasi regular  smokers ( ) dengan kontrol dan tanpa kontrol. Pada gambar tersebut terlihat jelas perbedaan antar kedua populasi. Populasi tanpa kontrol terus mengalami peningkatan hingga akhir waktu pengamatan sedangkan populasi  dengan  kontrol  terus  menurun  hingga  tahun  kedelapan  belas  dan  kemudian  stabil hingga  akhir  waktu  pengamatan.  Hal  ini  berarti  bahwa  pemberian  kontrol  berupa  obat  anti nikotin pada populasi perokok aktif atau regular smokers memberikan hasil yang baik.
Gambar 5.4 Grafik Perubahan Regular Smokers dalam Populasi
terhadap Waktu ( tahun)

## Jurnal Matematika, Statistika & Komputasi
Andi Utari Samsir, Syamsuddin Toaha, Kasbawati
Gambar 5.5 Grafik Perubahan Temporary Quitters dalam Populasi terhadap Waktu ( tahun)
Simulasi  terhadap  populasi  perokok  yang  berhenti  sementara  atau temporary  quitters ( ) ditunjukkan  pada  Gambar  5.5.  Pada  gambar  tersebut  menunjukkan  bahwa  populasi  yang telah dikontrol maupun tanpa kontrol mengalami peningkatan, namun peningkatan lebih sedikit terjadi  pada  populasi  yang  telah  dikontrol.  Hal  ini  disebabkan  karena  adanya  perokok  yang kembali menjadi perokok aktif.
Gambar 5.6 Grafik Perubahan Permanent Quitters dalam Populasi
terhadap Waktu ( tahun)
Sedangkan Gambar 5.6 menunjukkan grafik perbandingan populasi perokok yang berhenti secara  permanen  atau permanent  quitters ( ) .  Pada  gambar  tersebut  terlihat  bahwa  populasi yang  telah  dikontrol  mengalami  peningkatan.  Hal  ini  berarti  bahwa  penerapan  kontrol  berupa pemberian obat anti nikotin dapat meningkatkan jumlah individu yang berhenti merokok secara permanen.

## Jurnal Matematika, Statistika & Komputasi

## Andi Utari Samsir, Syamsuddin Toaha, Kasbawati
Pada  pemaparan  sebelumnya,  telah  dijelaskan  bahwa  terdapat  dua  macam  konrol  dalam model  perilaku  merokok  ini,  yaitu  kontrol ( ) merupakan  upaya  kampanye  edukasi  dan kontrol ( ) merupakan  upaya  pemberian  obat  anti  nikotin.  Adapun  bentuk  grafik  yang optimal dari ( ) dan ( ) ditunjukkan pada Gambar 5.7.
Gambar 5.7 Grafik Perbandingan Fungsi Kontrol Optimal ( ) dan ( )
Gambar  5.7  menunjukkan  perbandingan  dari  kedua  kontrol.  Pada  waktu  awal, ( ) dan ( ) mencapai  nilai  optimal  yang  berarti  bahwa  kampanye  edukasi  dan  pemberian  obat  anti nikotin  dalam  jumlah  besar  perlu  dilakukan  sejak  awal.  Pada  gambar  tersebut  terlihat  bahwa kontrol ( ) tidak  mengalami  perubahan  hingga  akhir  waktu  pengamatan.  Hal  ini  berarti bahwa  untuk  menekan  jumlah  populasi  perokok  secara  maksimal,  kampanye  edukasi  harus dilakukan  secara  terus  menerus.  Sedangkan  pada  kontrol ( ) ,  dari  tahun  pertama  hingga tahun  kesembilan  belas  kontrol ( ) bernilai  nol  dan  satu  dan  kemudian  turun  secara  cepat mencapai  nilai  nol  di  akhir  waktu  pengamatan.  Penurunan  ini  terjadi  karena  semakin berkurangnya  populasi  perokok  aktif  setelah  dikontrol  yang  mengakibatkan  proporsi  kontrol berupa pemberian obat anti nikotin semakin berkurang karena tidak ada lagi individu yang akan dikontrol.

## 6. Kesimpulan
Model  matematika  perilaku  merokok  dikembangkan  dengan  enam  kompartemen  yaitu Potential Smokers ( ) Snuffing Class ( ) perokok ringan atau Irregular Smokers ( ) perokok berat  atau Regular  Smokers ( ) Temporary  Quitters ( ) dan Permanent  Quitters ( ) dengan  penerapan  kontrol  optimal  berupa  upaya  kampanye  edukasi  dan  pemberian  obat  anti nikotin. Diperoleh dua bentuk kontrol optimal yaitu:
{     { ( ) }    } {     { ( ) ( (     )) }    }
Berdasarkan  hasil  simulasi  numerik,  diperoleh  bahwa  dengan  penerapan  kontrol  berupa kampanye edukasi dan pemberian obat anti nikotin dapat mengurangi populasi perokok dengan

## Jurnal Matematika, Statistika & Komputasi

## Andi Utari Samsir, Syamsuddin Toaha, Kasbawati
cepat  dan  meningkatkan  perokok  yang  berhenti  secara  permanen.  Penerapan  kontrol  optimal berupa upaya penerapan kampanye edukasi berada pada nilai maksimal dari awal hingga akhir tahun pengamatan dibandingkan dengan upaya pemberian obat anti nikotin yang mencapai nilai nol di akhir pengamatan. Hal ini berarti bahwa masyarakat perlu diberikan edukasi lebih lama untuk mengurangi perilaku merokok.

## Daftar Pustaka
[1]    Agustianingsih  S.,  Reorita  R.  &  Renny.,  2020.  Kontrol  Optimal  pada  Model  SIR  dengan Pengaruh  Vaksinasi,  Karantina,  dan  Faktor  Imigrasi. Jurnal Matematika,  Statistika  & Komputasi . Vol. 16, No. 3, 311-324.
[2]  Alkhudhari Z.,  Al-Sheikh S. & Al-Tuwairqi S., 2014. Global Dynamics of a Mathematical Model on Smoking. ISRN Applied Mathematics , Vol. 2014, 1-8.
[3]  Alkhudhari Z.,  Al-Sheikh S. & Al-Tuwairqi S., 2014. The Effect of Occasional Smokers on The Dynamics of a Smoking Model. International Mathematical Forum, Vol. 9, No. 25, 1207-1222.
[4]  Alkhudhari Z.,  Al-Sheikh S. & Al-Tuwairqi S., 2015. The Effect of Heavy Smokers on The Dynamics  of  a  Smoking  Model. International  Journal  of  Differential  Equations  and Applications , Vol. 14, No.  4, 343-356.
[5]  Alzahrani  E.  &  Zeb  A.,  2020.  Stability Analysis  and  Prevention  Strategies  of  Tobacco Smoking Model. Springer Open Journal , Vol. 2020, No. 3, 1-13.
[6]  Anggriani N., Toaha S. & Kasbawati., 2021. Kontrol Optimal Model Matematika terhadap Dinamika  Penyebaran  Penyalahgunaan  Narkoba. Jurnal  Matematika,  Statistika  & Komputasi . Vol. 17, No. 3, 339-348.
[7]  Cahyono E., 2013. Pemodelan Matematika , Edisi Pertama. Graham Ilmu., Yogyakarta.
[8]  Din Q., Ozair M., Hussain T. & Saeed U., 2016. Qualitative Behavior of Smoking Model. Advance in Difference Equations, Vol . 2016(2016), No. 96, 1-12.
[9]  Garsow, C.C., Salivia, G.J. & Herrera, A.A., 1997. Mathematical Models for The Dynamics of Tobacco Use, Recovery and Relapse. Technical Report Series BU-1505-M .
[10] Guerrero F.,  Santonja, F.J. & Villanueva, R.J., 2011. Analysing The Spanish Smoke-Free Legislation  of  2006:  A  New  Method  to  Quantify  Its  Impact  Using  a  Dynamic  Model. International Journal of Drug Policy , Vol. 22, 247–251.
[11]  Kemenkes  RI.,  2018. Hasil  Utama  RISKESDAS  2018 .  Badan  Penelitian  dan Pengembangan Kesehatan Kementerian Kesehatan RI., Jakarta.
[12]  Lenhart S. & Workman J., 2007. Optimal Control Applied to Biological Models . Chapman & Hall., New York.
[13]  Matintu,  S.A.  2017.  Smoking  as  Epidemic:  Modeling  and  Simulation  Study. American Journal of Applied Mathematics , Vol. 5, No. 1, 31-38.
[14]  Pang L., Zhao Z., Liu S. & Zhang X., 2015. A Mathematical Model Approach for Tobacco Control in China. Applied Mathematics and Computation , Vol. 259, 497-509.
[15]  Pang L., Liu S., Zhang X & Tian T., 2019. The Cost-Effectiveness Analysis and Optimal Strategy of the Tobacco Control. Computational and Mathematical Methods in Medicine . Vol. 2019, 1-15.
[16]  Salawati T & Indrawati, N. D., 2016. Analisis Kebutuhan untuk Merancang Komik Anak “Asetaro” (Aku Akan Tetap Sehat Tanpa Rokok). Jurnal Kesehatan Masyarakat , Vol. 11, No. 2, 96-105.
[17]  Sharomi  O  &  Gumel,  A.B.,  2008.  Curtaling  Smoking  Dynamics:  A  Mathematical Modeling Approach. Applied Mathematics and Computation , Vol. 195, 475–499.
[18]  Sikander W., Khan U., Ahmed N. & Mohyud-Din, S.T., 2017. Optimal Solutions for a Bio Mathematical Model for The Evolution of Smoking Habit. Result in Physic , Vol. 7, 510- 517.

## Jurnal Matematika, Statistika & Komputasi

## Andi Utari Samsir, Syamsuddin Toaha, Kasbawati
[19]  Verma  V.,  2020.  Optimal  Control  Analysis  of  a  Mathematical  Model  on  Smoking. Modelling Earth Systems and Environment . doi.org/10.1007/s40808-020-00847-1.
[20]  WHO  (World  Health  Organization).  2019. WHO  Launches  New  Report  On  Global Tobacco  Use  Trends. Publishing,  Switzerland.  https://www.who.int/news/item/19-12- 2019-who-launches-new-report-on-global-tobacco-use-trends. [26 November 2020].
[21]  Zaman G., 2011. Qualitative Behavior of Giving Up Smoking Models. Bull.Malays.MathSci.Soc , Vol. 34, No. 2, 403-415.
[22]  Zaman  G.,  2011.  Optimal  Campaign  in  The  Smoking  Dynamics. Computational  and Mathematical Methods in Medicine , 1-9.
[23]  Zeb A., Zaman G. & Momani S., 2013. Square-root Dynamics of a Giving Up Smoking Model. Applied Mathematical Modelling , Vol. 37, 5326-5334.