Analisis Model Penyebaran Penyakit Menular Tipe Seirs yang Berkaitan dengan Transportasi Antar-Dua Kota
Devi Yolanda , Erna Apriliani
Jurusan Matematika, Fakultas MIPA, Institut Teknologi Sepuluh Nopember (ITS)
Jl. Arief Rahman Hakim, Surabaya 60111 Indonesia
e-mail : april @matematika.its.ac.id
Abstrak—Transportasi  antar  dua  kota  merupakan salah  satu  factor  utama  yang  mempengaruhi  penyebaran penyakit  menular.  Untuk  mengetahui  dampaknya,  sebuah model  penyebaran  penyakit  menular  dengan  tipe  SEIRS diformulasikan  dan  dianalisis.  Analisis  model  kestabilan secara  bebas  penyakit  dan  endemic  dengan  menunjukkan kestabilan  asimtotik  local  pada  keduanya.  Hasilnya mengatakan bahwa hubungan transportasi dapat membuat keadaan  menjadi  endemic  pada  masing-asing  wilayah sehingga  orang  yang  terinfeksi  akan  seakin  bertambah dengan melakukan perpindahan antar dua kota. Tujuannya  adalah  untuk  memberikan  informasi  untuk mencegah penyebaran lebih luas lagi.
Kata  Kunci—Kestabilan,  model  penyebaran  SEIRS, penyebaran terkait transportasi, titik kesetimbangan.

## I. PENDAHULUAN
enyakit  menular  pada  manusia  merupakan  masalah penting  yang  dapat  terjadi  sewaktu-waktu  terutama di  Negara  berkembang.  Keadaan  lingkungan  serta  cara hidup  manusia  yang  membuang  sampah  sembarangan menjadi sumber penyakit. Juga  sifat  manusia  yang tidak pernah  puas  untuk  memperoleh  kehidupan  yang  lebih baik  seperti  keinginan  belajar  di  ibu  kota,  memperoleh pekerjaan  layak  di  ikota  besar,  ingin  wisata  ke  kota maupun Negara lain. Penularan penyakit dari satu orang ke  orang  lain  dapat  terjadi  secara  kontak  langsung dengan  bersentuhan  maupun  penyakit  secara  tak langsung  yaitu  melalui  air  dan  udara[1].  Penulaan penyakit  secara  tak  langsung  dapat  juga  terjadi  jika  kita berpindah dari suatu tempat ke tempat lain. Dengan kata lain  perpindahan  dengan  menggunakan  transportasi menjadi  factor  utama  dalam  penyebaran  penyakit. Penyebaran  penyakit  menular  dapat  dilihat  perilakunya dengan  model  matematika.  Model  matematika  sangat penting  untuk  menganalisis  penyebaran,  kestabilan penyebaran  serta  dapat  pula  mengontrol  penyebaran penyakit.  Contoh  kasus  penyebaran  penyakt  secara meluas  adalah  SARS.  Model  epidemic  peneybaran penyakit,  kali  pertama  dikemukakan  oleh  Kenarck  dan McKendrik[2].
Peneliti  sebelumnya  telah  membahas  penyebaran penyakit menular berkaitan dengan transportasi antar dua kota  diantaranya  adalah  Agis  Nisa  membahas  model penyebaran SI [3],  M.  Fathoni  membahas  penyebaran dengan  model SEIS [4],  Kartikasari  membahas  model SIRS dengan  menggunakan  metode  Runge-Kutta [5]. Peneliti  –peneliti  tersebut  menganalisis  penyebaran penyakit  menular  dan  dilihat  kestabilan  dari  penyebaran penyakit.  Artikel  ini  membahas  model  penyebaran penyakit menular dengan tipe SEIRS berdasarkan[6]

## II. URAIAN PENELITIAN

## Model Penyebaran Penyakit Menular Tipe SEIRS yang Berkaitan Dengan Transportasi
Gambar. 1. Diagram Kompartemen Penyebaran
Penyakit Menular Tipe SEIRS
Model  epidemic  SEIRS  adalah  model  matematika dari  penyakit  menular  yang  terdiri  dari susceptible (individu  yang  rentan), exposed  ( individu  yang menampakkan gejala), infected (kelompok individu yang dapat  menyebabkan  infeksi), recovered (kelompok individu  yang  sembuh  dari  sakit)  dimana  individu  yang telah sembuh memiliki system imun sementara sehingga dapat tertular kembali.
Pada  individu  Susceptible,  populasi  individu  ini bertambah  seiring  adanya  tingkat  kelahiran 𝑎 ,  individu Recoverd  menjadi  sembuh  dengan  tingkat 𝛼 2 kemudian adanya  perpindahan  individu  Susceptible  dari  kota 𝑖 ke kota 𝑗(𝑗 ≠ 𝑖, 𝑖 = 1,2) dengan  tingkat 𝛼 1 .  Kelompok individu  Susceptible  dapat  berkurang  jika  adanya kematian secara alami dengan tingkat 𝑏 kemudian adanya perpindahan individu dari kota 𝑗 ke kota 𝑖 dengan tingkat 𝛼 1 ,  adanya  kontak  dalam  antara  individu  rentan  dengan terinfeksi  dengan  tingkat 𝛽𝑆 𝑖 𝐼 𝑖 𝑁 𝑖 ,  adanya  perpindahan individu  dari  kota 𝑗 ke 𝑖 dan  penyebaran  penyakit  antar kota  dilambangkan  dengan 𝛾𝛼 1 𝑆 𝑗 𝐼 𝑗 𝑁 𝑗 .  Persamaan  dari individu Susceptible ialah
𝑑𝑆 𝑖 𝑑𝑡 = 𝑎 − 𝑏𝑆 𝑖 − 𝛽𝑆 𝑖 𝐼 𝑖 𝑁 𝑖 + 𝛼 2 𝑅 𝑖 − 𝛼 1 𝑆 𝑖 +𝛼 1 𝑆 𝑗 − 𝛾𝛼 1 𝑆 𝑗 𝐼 𝑗 𝑁 𝑗 (2.1a)
Bertambahnya  individu Exposed disebabkan  oleh kontak  antar  individu  rentan  dan  terinfeksi  dalam  kota sehingga  individu  rentan  menampakkan  gejala  dengan tingkat 𝛽𝑆 𝑖 𝐼 𝑖 𝑁 𝑖 , dan  perpindahan  individu  dari  kota 𝑖 ke 𝑗 beserta  penualran  penyakitnya  dengan  tingkat 𝛾𝛼 1 𝑆 𝑗 𝐼 𝑗 𝑁 𝑗
P
serta  perpindahan  individu  Exposed  dari  kota 𝑗 ke 𝑖 dengan  tingkat 𝛼 1 .  Kelompok  individu  Exposed  akan berkurang  dengan  adanya  perubahan  individu  Exposed menjadi  Infected  dengan  tingkat 𝑐 ,  adanya  kematian alami dengan tingkat 𝑏 , adanya perpindahan individu ke kota  lain  dengan  tingkat 𝛼 1 .  Persamaan  individu Exposed:
𝑑𝐸 𝑖 𝑑𝑡 = 𝛽𝑆 𝑖 𝐼 𝑖 𝑁 1 − (𝑏 + 𝑐 + 𝛼 1 )𝐸 𝑖 +𝛼 1 𝐸 𝑗 + 𝛾𝛼 1 𝑆 𝑗 𝐼 𝑗 𝑁 𝑗 (2.1b)
Populasi  pada  individu  Infected  di  kota 𝑖 akan bertambah  jika  individu  Exposed  berubah  menjadi individu  Infected  dengan  laju 𝑐 ,  dan  saat  individu Infected di kota 𝑖 berpindah ke kota 𝑗 dengan tingkat 𝛼 1 . Dapat  pula  berkurang  populasi  inidvidu  Infected  jika adanya  kematian  baik  alai  maupun  karena  penyakit dengan tingkat 𝑒 . Juga ketika individu Infected dari kota 𝑖 berpindah ke kota 𝑗 dengan tingkat 𝛼 1 , maka persamaan individu Infected yang didapat:
𝑑𝐼 𝑖 𝑑𝑡 = 𝑐𝐸 𝑖 − (𝑒 + 𝑑 + 𝛼 1 )𝐼 𝑖 + 𝛼 1 I 𝑗 (2.1c)
Pada populasi individu Recovered. Individu Recovered dapat  bertambah  dengan  sembuhnya  individu  terinfeksi dengan  tingkat 𝑑 ,  kemudian  juga  adanya  perpindahan individu  Recovered  dari  kota 𝑗 ke  kota 𝑖 dengan  tingkat 𝛼 1 .  Indivdiu  Recovered  dapat  berkurang  dengan  adanya kematian  alami  dari  individu  dengan  tingkat 𝑏 ,  adanya perpindahan  individu  Recovered  dari  kota 𝑖 ke  kota 𝑗 dengan  tingkat 𝛼 1 juga  adanya  individu  sembuh  dan menjadi  rentan  dengan  tingkat 𝛼 2 .  Maka  persamaannya adalah sebagai berikut 𝑑𝑅 𝑖 𝑑𝑡 = 𝑑𝐼 𝑖 − (𝑏 + 𝛼 1 + 𝛼 2 )𝑅 𝑖 + 𝛼 1 𝑅 𝑗 (2.1d)
Model  penyebaran  penyakit  akan  dibagi  menjadi  tiga dalam  penganalisisan  yaitu  model  tanpa  adanya perpindahan  individu,  model  dengan  hanya  individu Susceptible dan Exposed yang  berpindah,  serta  seluruh individu yang berpindah

## Model Penyebaran Tanpa Adanya Perpindahan Individu
Tidak  adanya  perpindahan  individu  maka 𝛼 1 = 0 . Persamaannya menjadi:
𝑆̇ = 𝑎 − 𝑏𝑠 − 𝛽𝑆𝐼 𝑁 + 𝛼 2 𝑅 (2.2a)
𝐸̇ = 𝛽𝑆𝐼 𝑁 − (𝑏 + 𝑐)𝐸 (2.2b) 𝐼̇ = 𝑐𝐸 − (𝑒 + 𝑑)𝐼 (2.2c) 𝑅̇ = 𝑑𝐼 − (𝑏 + 𝛼 2 )𝑅
(2.2d)
Titik  kesetimbangan sistem  diperoleh  jika 𝑆̇ = 𝐸̇ = 𝐼̇ = 𝑅̇ = 0 .  Terdapat  dua  titik  kesetimbangan  yaitu  titik kesetimbangan  bebas  penyakitnya 𝑃 1 (𝑆 0 , 𝐸 0 , 𝐼 0 , 𝑅 0 ) = ( 𝑎 𝑏 , 0,0,0) . Dan titik kesetimbangan endemic
𝑃 2 (𝑆 ∗ , 𝐸 ∗ , 𝐼 ∗ , 𝑅 ∗ ) dengan
𝑆 ∗ = 𝑎𝑐𝑑 − 𝑅 ∗ [(𝑏 + 𝛼 2 )(𝑏𝑒 + 𝑏𝑑 + 𝑐𝑒) + 𝑏𝑐𝑑] 𝑏𝑐𝑑 𝐸 ∗ = (𝑒 + 𝑑)𝐼 ∗ 𝑐 = (𝑏 + 𝛼 2 )(𝑒 + 𝑑) 𝑐𝑑 𝑅 ∗ 𝐼 ∗ = (𝑏 + 𝛼 2 ) 𝑑 𝑅 ∗
Kestabilan  titik  kesetimbangan  ditentukan  dengan terlebih  dahulu  melakukan  linearisasi  sistem  (2.2)  di sekitar  titik  kesetimbangan.  Matriks  Jacobian  untuk sistem (2.2) adalah
𝐽(𝑃 𝑜 ) = [ −𝑏 − 𝜓 1 𝜓 2 𝜓 1 −𝜓 2 − 𝑏 − 𝑐 −𝜓 3 𝜓 2 + 𝛼 2 𝜓 3 −𝜓 2 0 𝑐 0                          0 −𝑒 − 𝑑 0 𝑑 −𝑏 − 𝛼 2 ]
Dengan 𝜓 1 = ( 𝛽𝐼 ∗ (𝑁 ∗ −𝑆 ∗ ) 𝑁 ∗2 ) , 𝜓 2 = 𝛽𝑆𝐼 𝑁 2 , 𝜓 3 = ( 𝛽𝑆(𝑁−𝐼) 𝑁 2 )
Nilai  eigen 𝐽(𝑃 𝑜 ) dapat  diketahui  dengan  menganalisis nilai  eigen  dari 𝑑𝑒𝑡(𝐽(𝑃 𝑜 ) − 𝜆𝐼) = 0 .  Kestabilan  titik kesetimbangan bebas penyakit dapat disimpulkan bahwa jika 𝛽𝑐 (𝑏+𝑐)(𝑒+𝑑) < 1 titik kesetimbangan stabil.
Kemudian  untuk  titik  kesetimbangan endemic dikatakan  bahwa  jika 𝛽𝑐 (𝑏+𝑐)(𝑒+𝑑) > 1 maka  titik kesetimbangan endemic stabil .

## Model Penyebaran Penyakit Menular dengan Hanya IndividuSusceptible dan Exposed berpindah
Pada  model  penyebaran  ini  tidak  ada  model penyebaran  individu  maka 𝛼 1 = 𝛾 = 0 .  Persamaannya menjadi
𝑆̇ 1 = 𝑎 − 𝑏𝑆 1 − 𝛽𝑆 1 𝐼 1 𝑁 1 − 𝛼 2 𝑅 1 − 𝛼 1 𝑆 1 + 𝛼 1 𝑆 2 (2.3a)
𝐼̇ 1 = 𝛽𝑆 1 𝐼 1 𝑁 1 − (𝑏 + 𝑐 + 𝛼 1 )𝐸 1 + 𝛼 1 𝐸 2 (2.3b)
𝐸̇ 1 = 𝑐𝐸 1 − (𝑒 + 𝑑)𝐼 1 (2.3c)
𝑅̇ 1 = 𝑑𝐼 1 − (𝑏 + 𝛼 2 )𝑅 1 (2.3d)
𝑆̇ 2 = 𝑎 − 𝑏𝑆 2 − 𝛽𝑆 2 𝐼 2 𝑁 2 − 𝛼 2 𝑅 2 − 𝛼 1 𝑆 2 + 𝛼 1 𝑆 1 (2.3e)
𝐼̇ 2 = 𝛽𝑆 2 𝐼 2 𝑁 2 − (𝑏 + 𝑐 + 𝛼 1 )𝐸 2 + 𝛼 1 𝐸 1 (2.3f)
𝐸̇ 2 = 𝑐𝐸 2 − (𝑒 + 𝑑)𝐼 2 (2.3g)
𝑅̇ 2 = 𝑑𝐼 2 − (𝑏 + 𝛼 2 )𝑅 2 (2.3h)
Titik  kesetimbangan  diperoleh  ketika 𝑆̇ 𝑖 = 𝐸̇ 𝑖 = 𝐼̇ 𝑖 = 𝑅̇ 𝑖 = 0 dengan 𝑖 = 1,2 .  Titik  kesetimbangan  bebas penyakit  dari  sistem  (2.3)  diperoleh 𝑃 1 ( 𝑎 𝑏 , 0,0,0, 𝑎 𝑏 , 0,0,0) .
Kemudian  titik  kesetimbangan  endemic  untuk  sistem (2.3) adalah 𝑃 1 (𝑆 1 ∗ , 𝐸 1 ∗ , 𝐼 1 ∗ , 𝑅 1 ∗ , 𝑆 2 ∗ , 𝐸 2 ∗ , 𝐼 2 ∗ , 𝑅 2 ∗ ) dengan
𝑆 1 ∗ = 1 (𝑏 + 𝛼 1 ) [𝑎 + 𝛼 2 𝑅 1 ∗ + 𝛼 1 𝑆 2 ∗ − (𝑏 + 𝛼 2 )(𝑏 + 𝑐)(𝑒 + 𝑑)𝑅 1 ∗ 𝑐𝑑 ]
𝐸 1 ∗ = (𝑒 + 𝑑)𝐼 1 ∗ 𝑐 = (𝑏 + 𝛼 2 )(𝑒 + 𝑑) 𝑐𝑑 𝑅 1 ∗ 𝐼 1 ∗ = (𝑏 + 𝛼 2 ) 𝑑 𝑅 1 ∗ 𝑆 2 ∗ = 1 (𝑏 + 𝛼 1 ) [𝑎 + 𝛼 2 𝑅 2 ∗ + 𝛼 1 𝑆 1 ∗ − (𝑏 + 𝛼 2 )(𝑏 + 𝑐)(𝑒 + 𝑑)𝑅 2 ∗ 𝑐𝑑 ] 𝐸 2 ∗ = (𝑒 + 𝑑)𝐼 2 ∗ 𝑐 = (𝑏 + 𝛼 2 )(𝑒 + 𝑑) 𝑐𝑑 𝑅 2 ∗ 𝐼 2 ∗ = (𝑏 + 𝛼 2 ) 𝑑 𝑅 2 ∗
Terlebih dahulu melakukan pelinearan pada sistem di sekitar titik kesetimbangan sehingga matriks Jacobiannya
𝐽(𝑃) = ( 𝐴 𝐵 𝐵 𝐴 ) dengan
𝐴 =   ( −𝑏 − 𝛼 1 − 𝜓 1 𝜓 2 𝜓 1 −𝜓 2 −𝜓 3 𝜓 2 + 𝛼 2 𝜓 3 −𝜓 2 0 𝑐 0                  0 −𝑒 − 𝑑 0 𝑑 −𝑏 − 𝛼 2 ) 𝐵 = ( 𝛼 1 0 0 𝛼 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 )
Misalkan :
𝜓 1 = ( 𝛽𝐼 ∗ (𝑁 ∗ −𝑆 ∗ ) 𝑁 ∗2 ) , 𝜓 2 = 𝛽𝑆𝐼 𝑁 2 , 𝜓 3 = ( 𝛽𝑆(𝑁−𝐼) 𝑁 2 )

## Berdasarkan sifat determinan matriks partisi diperoleh
𝑑𝑒𝑡(𝐽(𝑃) − 𝜆𝐼) = 𝑑𝑒𝑡(𝐴 − 𝐵 − 𝜆𝐼) det(𝐴 + 𝐵 − 𝜆𝐼) = 0
Nilai  eigen 𝐽(𝑃) dapat  diketahui  dengan  menganalisis nilai  eigen  dari 𝐴 − 𝐵 dan 𝐴 + 𝐵 .  Dari  analisis  nilai eigen  matriks 𝐴 − 𝐵 dan 𝐴 + 𝐵 dapat  disimpulkan bahwa  jika 𝛽𝑐 (𝑏+𝑐)(𝑒+𝑑) < 1 maka  titik  kesetimbangan bebas  penyakit  ada  dan  stabil  namun  jika 𝛽𝑐 (𝑏+𝑐)(𝑒+𝑑) > 1 titik kesetimbangan endemic ada dan stabil.

## Model Penyebaran dengan Semua Individu Berpindah
Karena  semua  individu  berpindah  maka 𝛾 ≠ 0 dan persamaan sistemnya sebagai berikut:
𝑆̇ 1 = 𝑎 − 𝑏𝑆 1 − 𝛽𝑆 1 𝐼 1 𝑁 1 − 𝛾𝛼 1 𝑆 2 𝐼 2 𝑁 2 + 𝛼 2 𝑅 1 −𝛼 1 𝑆 1 +𝛼 1 𝑆 2 (2.4a)
𝐸̇ 1 = 𝛽𝑆 1 𝐼 1 𝑁 1 − (𝑏 + 𝑐 + 𝛼 1 )𝐸 1 +𝛼 1 𝐸 2 + 𝛾𝛼 1 𝑆 2 𝐼 2 𝑁 2 (2.4b)
𝐼̇ 1 = 𝑐𝐸 1 − (𝑒 + 𝑑 + 𝛼 1 )𝐼 1 + 𝛼 1 I 2 (2.4c)
𝑅̇ 1 = 𝑑𝐼 1 − (𝑏 + 𝛼 1 + 𝛼 2 )𝑅 1 + 𝛼 1 𝑅 2 (2.4d)
𝑆̇ 2 = 𝑎 − 𝑏𝑆 2 − 𝛽𝑆 2 𝐼 2 𝑁 2 − 𝛾𝛼 1 𝑆 1 𝐼 1 𝑁 1 + 𝛼 2 𝑅 2 −𝛼 1 𝑆 2 +𝛼 1 𝑆 1 (2.4e)
𝐸̇ 2 = 𝛽𝑆 2 𝐼 2 𝑁 2 + 𝛾𝛼 1 𝑆 1 𝐼 1 𝑁 1 − (𝑏 + 𝑐 + 𝛼 1 )𝐸 2 +𝛼 1 𝐸 1 (2.4f)
𝐼̇ 2 = 𝑐𝐸 2 − (𝑒 + 𝑑 + 𝛼 1 )𝐼 2 + 𝛼 1 I 1 (2.4g)
𝑅̇ 2 = 𝑑𝐼 2 − (𝑏 + 𝛼 1 + 𝛼 2 )𝑅 2 + 𝛼 1 𝑅 1 (2.4h)
Titik  kestimbangan  didapat  saat 𝑆̇ 𝑖 = 𝐸̇ 𝑖 = 𝐼̇ 𝑖 = 𝑅̇ 𝑖 = 0 dengan 𝑖 = 1,2 .  Titik  kesetimbangan  bebas  penyakit  dan titik  kesetimbangan  endemic  yang  diperoleh  adalah 𝑃 1 ( 𝑎 𝑏 , 0,0,0, 𝑎 𝑏 , 0,0,0) dan 𝑃 1 (𝑆 1 ∗ , 𝐸 1 ∗ , 𝐼 1 ∗ , 𝑅 1 ∗ , 𝑆 2 ∗ , 𝐸 2 ∗ , 𝐼 2 ∗ , 𝑅 2 ∗ ) dengan:
𝑆 1 ∗ = 1 (𝑏+𝛼 1 ) [𝑎 + 𝛼 1 𝑆 2 ∗ + 𝛼 2 𝑅 1 ∗ − (𝑏 + 𝑐 + 𝛼 1 )𝐸 1 ∗ ] +𝛼 1 𝐸 2 ∗
𝐸 1 ∗ = (𝑒+𝑑)𝐼 1 ∗ 𝑐 = (𝑏+𝛼 2 )(𝑒+𝑑) 𝑐𝑑 𝑅 1 ∗ 𝐼 1 ∗ = (𝑏+𝛼 2 ) 𝑑 𝑅 1 ∗ 𝑆 2 ∗ = 1 (𝑏+𝛼 1 ) [−(𝑏 + 𝑐 + 𝛼 1 )𝐸 2 ∗ +𝛼 1 𝐸 1 ∗ + 𝛼 2 𝑅 2 ∗ +𝛼 1 𝑆 1 ∗ ] 𝐸 2 ∗ = (𝑒+𝑑)𝐼 2 ∗ 𝑐 = (𝑏+𝛼 2 )(𝑒+𝑑) 𝑐𝑑 𝑅 2 ∗ 𝐼 2 ∗ = (𝑏+𝛼 2 ) 𝑑 𝑅 2 ∗
Terlebih  dulu  melakukan  pelinearan  sistem  sehingga matriks Jacobiannya 𝐽(𝑃) = ( 𝐴 𝐵 𝐵 𝐴 ) dengan
𝐽(𝑃 2 ) = ( 𝐴 1 𝐵 2 𝐵 1 𝐴 2 )
𝐴 𝑖 = ( −𝑏 − 𝛼 1 − 𝜓 1 −𝜓 2 𝜓 1 −𝜓 2 − 𝑏 − 𝑐 − 𝛼 1 −𝜓 3 𝜓 2 + 𝛼 2 𝜓 3 −𝜓 2 0 𝑐 0 0
𝑒 − 𝑑 − 𝛼 1
0
𝑑 −𝑏 − 𝛼 1 − 𝛼 2 )
𝐵 𝑖 = ( 𝛼 1 − 𝜇 1 𝜇 2 𝜇 1 𝛼 1 − 𝜇 2 −𝜇 3 𝜇 2 𝜇 3 −𝜇 2 0 0 0 0 𝛼 1 0 0 𝛼 1 )
Misalkan
𝜓 1 = ( 𝛽𝐼(𝑁−𝑆)
𝑁 2 ) , 𝜓 2 = 𝛽𝑆𝐼 𝑁 2 , 𝜓 3 = ( 𝛽𝑆(𝑁−𝐼) 𝑁 2 ) , 𝜇 1 =
𝛾𝛼 1 𝐼 1 (𝑁−𝑆) 𝑁 2 , 𝜇 2 = 𝛾𝛼 1 𝑆𝐼 𝑁 2 , 𝜇 3 = 𝛾𝛼 1 𝑆 1 (𝑁−𝐼) 𝑁 2
Kestabilan  sistem  diperoleh  dari 𝑑𝑒𝑡(𝐽(𝑃) − 𝜆𝐼) = 𝑑𝑒𝑡(𝐴 − 𝐵 − 𝜆𝐼) det(𝐴 + 𝐵 − 𝜆𝐼) = 0
Jika  keadaan 𝛽𝑐 (𝑒+𝑑)(𝑏+𝑐) < 1 maka  terdapat  titik kesetimbangan  bebas  penyakit  yang  stabil  dan  jika 𝛽𝑐 (𝑒+𝑑)(𝑏+𝑐) > 1 maka  terdapat  titik  kesetimbangan endemic yang stabil.

## III. PETUNJUK TAMBAHAN

## Gambar
Dengan  menggunakan  parameter 𝑎 = 1 , 𝑏 = 0.2 , 𝑐 = 0.3 , 𝑑 = 0.1 , 𝑒 = 0.4 , 𝛼 2 = 0.03, 𝛾 = 0 dan 𝛽 = 0.6 pada persamaan  tanpa  ada  perpindahan  individu  dan didapat  angka  reproduksi  0,72.  Menunjukkan  bahwa titik kesetimbangan bebas penyakit stabil pada kedua kota.  Hal  ini  ditunjukkan  dengan  angka  reproduksi kurang dari satu.
Gambar 2. Gambar Kestabilan Penyebaran Penyakit Tanpa Ada Perpindahan individu Kemudian jika mengambil 𝛽 = 0.95 didapat angka reproduksinya  1,14  menunjukkan  bahwa  titik kesetimbangan  endemic  pada  populasi  di  kedua  kota ditunjukka dengan bilangan reproduksi lebih dari satu
Gambar 3. Gambar Kestabilan Penyebaran Penyakit Tanpa Ada Perpindahan individu Pada  model  dengan  individu Susceptible dan Exposed berpindah  dengan parameter 𝑎 = 1 , 𝑏 = 0.2 , 𝑐 = 0.3 , 𝑑 = 0.1 , 𝑒 = 0.4 , 𝛼 2 = 0.03, 𝛾 = 0 dan 𝛽 = 0.6 diperoleh  angka  reproduksi  0,72.  Angka  reproduksi kurang  dari  satu  menunjukkan  kestabilan  titik kesetimbangan bebas penyakit
Gambar 4. Gambar Kestabilan Penyebaran Penyakit Dengan Individu Susceptible dan Exposed Berpindah di Kota 1
Gambar 5. Gambar Kestabilan Penyebaran Penyakit Dengan Individu Susceptible dan Exposed Berpindah di Kota 2 Dengan  mengambil 𝛽 = 0.95 diperoleh  angka reproduksi  1,14  yang  menunjukkan  bahwa  adanya titik  kesetimbangan  endemic  yang  stabil  jika  angka reproduksi lebih dari satu.
Gambar 6. Gambar Kestabilan Penyebaran Penyakit Dengan Individu Susceptible dan Exposed Berpindah
di Kota 1
Gambar 7. Gambar Kestabilan Penyebaran Penyakit Dengan Individu Susceptible dan Exposed Berpindah di Kota 2 Model dengan semua individu berpinda disimulasikan dengan parameter parameter 𝑎 = 1 , 𝑏 = 0.2 , 𝑐 = 0.3 , 𝑑 = 0.1 , 𝑒 = 0.4 , 𝛼 2 = 0.03, 𝛾 = 0.09 dan 𝛽 = 0.6 didapat  angka  reproduksinya  0,82.  Dari  nilai reproduksi  tersebut  dipeorleh  0,82  yang  menujukkan bahwa  tidak  adanya  individu  yang  menular  dan dinamakan keadaan bebas penyakit.
Gambar 8. Gambar Kestabilan Penyebaran Penyakit Dengan Semua Individu  Berpindah pada  Kota 1
Gambar 9. Gambar Kestabilan Penyebaran Penyakit Dengan Semua Individu Berpindah pada  Kota 2
Jika mengambil
𝛽 = 0.95 𝑑𝑎𝑛 𝛾 = 1 angka
reproduksinya  2,2  (angka  reproduksi  lebih  dari  satu) menunjukkan  bahwa  terjadi  penularan  penyakit  di masing-masing  kota  sehingga  keadaan  menjadi endemic .
Gambar 10. Gambar Kestabilan Penyebaran Penyakit Dengan Semua Individu Berpindah pada
Kota 1
Gambar 11 . Gambar Kestabilan Penyebaran Penyakit Dengan Semua Individu Berpindah pada Kota 2

## IV. KESIMPULAN/RINGKASAN
Model  epidemic SEIRS merupakan  sistem  nonlinear yang  mungkin  dapat  terjadi  jika  jenis  penyakitnya termasuk  cepat  menyebar  melalui  komtak  tak  langsung dan tergolong penyakit global seperti SARS atau demam berdarah.  Jika  adanya  perpindahan  atau  perpindahan antar-kota dapat memperparah keadaan endemic di kedua kota dan semakin bertambah parah.

## DAFTAR PUSTAKA
[1] Penyakit Menular. http://mencegahpenyakit.com/pengertian-penyakit- menular/ (2016, Juli) [2] Hidayati,  K.Kestabilan  Dan  Bifurkasi  Model Epidemik SEIR Dengan  Laju  Kesembuhan  Tipe Jenuh. Tugas Akhir Jurusan Matematika FMIPA ITS (2013).
[3] Sari,  A.N.  Analisis  Stabilitas  Model  Matematika Dari Oenyebaran Penyakit
Menular Melalui Transportasi  Antar-Dua  Kota.  Tugas  Akhir  Jurusan Matematika FMIPA ITS  (2011).
[4] Fathoni, M. A. Analisis Dinamik Model Matematika Penyebaran  Penyakit  Menular  Tipe SEIS Melalui Transportasi  Antar-Kota.  Tugas  Akhir  Jurusan Matematika FMIPA Universitas Brawijaya Malang. [5] Kartikasari,  N.  Solusi  Model  Penyebaran  Penyakit Influenza  Melalui  Transportasi  Antar-Dua  Kota Dengan  Metode  Runge-Kutta.  Tugas  Akhir  Jurusan Matematika FMIPA Universitas Jember (2013).
[6] Depenphedtnog.  A,.  On  The  Dynamic  of SEIRS Epidemic  Model  With  Transport-Related  Infection. (2013).