## PENGARUH PARAMETER PENGONTROL
DALAM MENEKAN PENYEBARAN PENYAKIT FLU BURUNG

## Rina Reorita, Niken Larasati, dan Renny
Program Studi Matematika, Jurusan MIPA, Fakultas Sains dan Teknik, Universitas Jenderal Soedirman Purwokerto, Indonesia

## ABSTRACT
Indonesia has been being a country which has the most victims of avian influenza case.  Avian  influenza  is  caused  by  influenza  virus  H5N1  type.  This  virus  can  be transmitted  from  infected  poultry  to  susceptible  poultry  and  infected  poutry  to susceptible human. This paper describes an SIR (Susceptible, Infection, Recovery) mathematic  model  for  the  spread  of  avian  influenza  disease.  The  basic reproduction number will be obtained for analyzing what are the factors that can influence the epidemic. By the Pontryagin Maximum Principle, it can be seen how is the influence of vaccine as a control to the spread of disease.
Keywords: avian influenza, SIR, Pontryagin Maximum Principle

## 1. Pendahuluan
Penyebab  flu  burung  pada  unggas  yang  sangat  ganas  dan  menular  ke manusia pada wabah akhir-akhir ini dinyatakan sebagai virus influenza A subtipe H5N1.  Awalnya  flu  burung  hanya  menyerang  unggas,  kemudian  virus  penyebab flu burung mengalami mutasi sehingga bisa menginfeksi manusia (Yuliarti, 2006). Sejauh ini belum ada kasus yang memperlihatkan transmisi virus dari manusia ke manusia  (Derouich  and  Boutayeb,  2008).  Karena  sebagian  besar  penduduk Indonesia  bekerja  pada  sektor  peternakan  unggas,  infeksi  virus  ini  tidak  boleh dipandang  remeh.  Berdasarkan  data  WHO  pada  tahun  2004,  virus  flu  burung sebagian  besar  menginfeksi  orang-orang  yang  bekerja  di  peternakan  unggas (Situngkir, 2004).
Derouich  (2008)  menurunkan  model  penyebaran  penyakit  flu  burung dengan  memperhatikan  populasi  manusia  dan  unggas.  Pada  model  tersebut,

## JMP : Volume 3 Nomor 1, Juni 2011
tingkat  kematian  alami  dan  tingkat  kematian  karena  penyakit  pada  unggas dianggap  sama.  Sementara  itu,  Zhao  (2009),  mengkonstruksi  model  dengan menambahkan variabel vaksin pada manusia yang rentan.
Selain  pemberian  vaksin  pada  manusia,  virus  flu  burung  dapat  juga dikontrol  dengan  memberikan  suatu  perlakuan  khusus  pada  unggas,  yang  salah satunya  adalah  dengan  pemberian  vaksin  pada  unggas  (Yuliarti,  2006).  Pada makalah  ini,  penulis  tertarik  untuk  mengkaji  model  penyebaran  flu  burung  yang dibahas  oleh  Derouich  dengan  menambahkan  kontrol  vaksin  pada  unggas  yang rentan terhadap penyakit flu burung. Penambahan variabel pengontrol pada model berupa penggunaaan vaksin pada unggas yang rentan, diharapkan dapat digunakan untuk menekan penyebaran penyakit tersebut.

## 2. Model Matematika
Model  penyebaran  penyakit  flu  burung  pada  makalah  ini  berdasarkan model SIR (Derouich,  2008),  tetapi  tingkat  kematian  alami  tidak  sama  dengan tingkat kematian karena penyakit baik pada manusia maupun unggas.. Pada model ini,  sistem  dibagi  menjadi  dua  populasi,  yaitu  populasi  manusia  dan  populasi unggas.  Populasi  manusia  ( N )  dibagi  menjadi  tiga  kelompok,  yaitu  kelompok manusia sehat yang rentan flu burung ( S ), kelompok manusia terinfeksi ( I ), dan kelompok  manusia  yang  sembuh  dari  flu  burung  ( R ).  Kelompok  manusia  yang sembuh  memiliki  kekebalan  sementara  terhadap  flu  burung  dan  mempunyai kemungkinan  untuk  kembali  menjadi  kelompok  manusia  rentan.  Sedangkan populasi unggas ( 0 N ) dibagi menjadi dua kelompok, yaitu kelompok unggas sehat yang rentan flu burung ( 0 S ) dan kelompok unggas yang terinfeksi flu burung ( 0 I ). Kelompok unggas terinfeksi diasumsikan tidak akan sembuh dari flu burung.
Penambahan  jumlah  kelompok  manusia  rentan  dipengaruhi  oleh  faktor imigrasi dan kelahiran dengan laju  dan tingkat perpindahan  kelompok manusia yang  sembuh  menjadi  kelompok  manusia  rentan  sebesar  .  Terjadinya  kontak antara  kelompok  manusia  rentan  dengan  kelompok  unggas  terinfeksi  dengan tingkat  menyebabkan  kelompok  manusia  rentan  berubah  menjadi  kelompok
R.  Reorita, Niken Larasati, dan Renny                                                                        22
manusia  terinfeksi.  Pengurangan  jumlah  pada  kelompok  manusia  rentan  juga dipengaruhi  oleh  tingkat  kematian  alami  sebesar  .  Pengurangan  jumlah  pada kelompok  manusia  terinfeksi  dipengaruhi  oleh  tingkat  kematian  karena  penyakit flu  burung    dan  kemungkinan  kelompok  manusia  terinfeksi  sembuh  dari  flu burung    .
Penambahan jumlah kelompok unggas rentan dipengaruhi adanya tingkat kelahiran  alami  sebesar  .  Sedangkan  pengurangan  jumlah  pada  kelompok  ini dipegaruhi  oleh  tingkat  kematian  alami  sebesar 0  ,  tingkat  kontak  antara kelompok  unggas  rentan  dengan  kelompok  unggas  terinfeksi  sebesar 0  . Penambahan jumlah kelompok unggas terinfeksi dipengaruhi oleh tingkat kontak
0  ,  sedangkan    pengurangan  pada  kelompok  ini  dipengaruhi  oleh  tingkat kematian karena penyakit sebesar  .
Diagram kompartemen untuk penyebaran penyakit flu burung seperti  pada Gambar 2.1 .
Berdasarkan  diagram  kompartemen  pada  Gambar  2.1,  diperoleh  model penyebaran penyakit flu burung, yaitu
0 0 I dS R S dt N               (1) Gambar 2.1 Diagram kompartemen penyebaran penyakit flu burung
 0   0   0  0 s I 0        s R I
  0 0 SI dI I dt N      
(2)
  dR I R dt       (3)
0
0 0 0 0 0 0 dS I N S dt N             (4)
0 0 0 0 0 0 dI S I I dt N     (5)
dengan N S I R    dan 0 0 0 N S I   .
Proses  analisis  akan  lebih  mudah  dilakukan  jika  dibentuk  sistem  baru dengan menggunakan proporsi (perbandingan), yaitu
  0 ds r i s dt         (6)
  0 di si i dt      
(7)
  dr i r dt       (8)
2 0 0 0 0 0 0 di i i i dt       (9)
dengan
S S s N     , I I i N     , R R r N     dan 0 0 0 S s N  , 0 0 0 I i N  .

## 2.1   Titik Kesetimbangan dan Angka Rasio Reproduksi Dasar
Model  penyebaran  penyakit  flu  burung  mempunyai  dua  titik kesetimbangan  yaitu  titik  kesetimbangan  bebas  penyakit  dan  endemik.  Titik kesetimbangan  bebas  penyakit   1 1, 0, 0, 0 T  stabil  asimtotis  jika 0    ,
sedangkan titik kesetimbangan endemik   * * * * 2 , , , o T s i r i  , dengan
R.  Reorita, Niken Larasati, dan Renny                                                                        24
          0 * 0 0 s                    
           
          0 * 0 0 i                    
                     0 * 0 0 r         
                    * 0 0 o i     
akan  stabil  asimtotis  jika 0    .    Selanjutnya,  dengan  menggunakan  metode pendekatan  operator  generasi  selanjutnya  diperoleh  angka  rasio  reproduksi  dasar dari model penyebaran penyakit flu burung yaitu 0 0 R    .

## 2.2  Simulasi Model
Simulasi  model  dilakukan  untuk  mengetahui  perilaku  model  pada persekitaran titik kesetimbangan bebas penyakit dan titik kesetimbangan endemik. Nilai-nilai parameter yang digunakan untuk simulasi di titik kesetimbangan bebas penyakit   1 1, 0, 0, 0 T  adalah 200   ; 0, 05   ; 0 0, 08   ; 0, 06   ;
0 0, 002   ; 0, 07   ; 0,1  
; 0, 02   ; 0, 001   ; 0, 2.   Syarat  awal yang  diberikan  adalah   0 2400 S  ,   0 800 I  ,   0 400 R  ,   0 0 1000 N  ,
  0 0 500 I  .
Hasil simulasi dapat dilihat pada Gambar 2.2  berikut ini.
a. Grafik s ( t ) terhadap t b.  Grafik i ( t ) terhadap t
c. Grafik r ( t ) terhadap t d. Grafik i 0 ( t ) terhadap t
Gambar 2.2 Grafik s ( t ), i ( t ), r ( t ), i 0 ( t ) terhadap t untuk titik kesetimbangan bebas penyakit (1, 0, 0, 0) Berdasarkan  hasil  simulasi  pada  Gambar  2.2,  untuk 0 0, 01 1 R  
proporsi  kelompok  manusia  rentan  akan  menuju  1  ,  proporsi  kelompok  manusia terinfeksi, kelompok manusia yang sembuh dan kelompok unggas terinfeksi akan menuju  0  untuk  jangka  waktu  yang  lama.    Hal  ini  berarti  tidak  terjadi  epidemi pada populasi.
Nilai-nilai  parameter  yang  digunakan  untuk  simulasi  di  titik kesetimbangan  endemik  adalah 200   ; 0, 05   ; 0 0, 002   ; 0, 06   ;
0 0, 2   ; 0, 09   ; 0,1;   0, 02; 0, 001; 0, 08.       Kemudian diberikan
R.  Reorita, Niken Larasati, dan Renny                                                                        26
syarat  awal   0 3800, S          0 0 0 500, 0 0, 0 1000, 0 25 I R N I     .  Hasil simulasi dapat dilihat pada Gambar 2.3  berikut ini.
a. Grafik s ( t ) terhadap t b.  Grafik i ( t ) terhadap t
c. Grafik r ( t ) terhadap t d. Grafik i 0 ( t ) terhadap t
Gambar  2.3 Grafik s ( t ), i ( t ), r ( t ), i 0 ( t )  terhadap t untuk  titik  kesetimbangan endemik
  2 0, 6125;0, 2;0, 0267;0, 6 T  .
Berdasarkan hasil simulasi pada Gambar 2.3, untuk 0 2,5 1 R   proporsi kelompok  manusia  rentan  akan  menuju  0,6125,  proporsi  kelompok  manusia terinfeksi  akan  menuju  0,2  ,  proporsi  kelompok  manusia  yang  sembuh  akan menuju  0,0267  dan  proporsi  kelompok  unggas  terinfeksi  akan  menuju  0,6  untuk jangka waktu yang lama.  Hal ini berarti terjadi epidemi pada populasi.

## 2.3.  Pengaruh Variabel Kontrol terhadap Model
Implementasi  vaksin  pada  unggas  merupakan  salah  satu  cara  untuk mengontrol  penyebaran  penyakit  flu  burung.  Karena  vaksin  diterapkan  hanya
Pengaruh Parameter Pengontrol                                                                                     27
pada  unggas,  maka  untuk  penyederhanaan,  pengaruh  kontrol  dapat  dilihat  pada sistem  unggas  saja.  Persamaan state yang  menggambarkan  model  penyebaran penyakit flu burung pada unggas adalah sebagai berikut:
  0 0 0 0 0 ds i s u dt        (10) 0 0 0 0 0 di i s i dt     . (11)
Pada  keadaan  awal,  diasumsikan  bahwa  proporsi  unggas  yang  terinfeksi  adalah
0 (0) 0 i a   , dengan 0 (0) 1 s a   . Semakin banyak unggas yang terinfeksi, maka akan  semakin  besar  potensinya  untuk  menginfeksi  seluruh  populasi.  Tujuan  dari vaksin  ini  adalah  mengurangi  proporsi  kelompok  unggas  terinfeksi  sampai  suatu nilai  yaitu bilangan positif yang sangat kecil, dengan a   , dan interval waktu yang tidak ditentukan ( free terminal time ).
Fungsi  kontrol  (dalam  hal  ini  vaksin)  dinyatakan  oleh u .  Fungsi  ongkos memuat  suatu  komponen  yang  menaikkan  nilai u secara  kuadratik.  Hal  ini mengindikasikan  bahwa  ongkos  akan  besar  jika  vaksin  dilakukan  secara  besar- besaran. Bentuk fungsi kontrol dapat dirumuskan sebagai berikut:
1
2 0 t J u dt   . (12)
Nilai  awal  untuk 0 i dan 0 s telah  ditentukan  sebelumnya.  Pada  keadaan awal, 0 ( ) i t haruslah  merupakan  fungsi  naik,  sehingga  dari  persamaan  (11) diperoleh syarat   0 1 0 a      . Jika sebaliknya, maka tidak mungkin penyakit menyebar secara signifikan.
Pada saat akhir,   0 1 i t   , karena 0 i akan turun secara eksponensial ketika
0 0 s    , sehingga perlu waktu tak hingga untuk 0 i agar berkurang hingga sama dengan  nol.  Untuk  proporsi  populasi 0 s ada  dua  kemungkinan,  yaitu   0 1 0 s t  dan   0 1 0 s t  . Untuk   0 1 0 s t  , jelas bahwa pada saat 1 t semua unggas di dalam populasi  tersebut  kebal.  Selanjutnya,  berdasarkan  kondisi  transversal   1 1 0 z t  , untuk   0 1 0 s t  .
Fungsi Hamiltonian untuk persamaan state tesebut adalah sebagai berikut:     2 0 0 0 0 1 0 0 0 0 2 H u i s u z i s i z                  (13)
dengan persamaan co-state sebagai berikut:
  1 0 0 0 1 0 0 2 0 dz H i z i z dt s           (14)
  2 0 0 1 0 0 2 0 dz H i z s z dt i           . (15)
Supremum  dari H dicapai  apabila  dipilih
1 1 2 u z   ketika 0 0 s  dan 0 u  ketika 0 0 s  . Misalkan, 0 0 s  pada saat 2 t t  , maka dari 0 t  ke 2 t t 
diterapkan 1 1 2 u z   , sedangkan dari 2 t t  ke 1 t t  diterapkan 0 u  .
Apabila  digunakan Pontryagin  Maximum  Principle ,  yaitu H =  0, sepanjang trajektori optimal pada 1 t t  , maka diperoleh   0 0 0 0 2 0 i s i z     . (16)
Sedangkan  solusi  variabel state dan co - state untuk  selang  waktu 2 t sampai 1 t adalah sebagai berikut:
0 ( ) 0 s t  (17)
2 ( ) 0 0 ( ) t t i t I e     (18)
2 ( ) t z t e   (19)
dengan   0 2 0 i t I  .
Nilai 1 t dapat diperoleh dari persamaan (18), yaitu sebagai berikut:
0 1 2 1 ln I t t     (20)
dengan 1 t adalah  waktu  akhir  penggunaan  vaksin,  sedangkan 2 t adalah  waktu dimana kelompok unggas yang rentan menjadi nol.
Jika J 2 menyatakan  nilai  integral  fungsi  ongkos  sepanjang  0  sampai dengan 2 t , maka fungsi ongkos optimal diperoleh sebagai berikut:
1 1 2 1 1 2 1 2 2 2 1 2 0 0 2 1 0 1 0 2 t t t t t t t J u dt J J J u dt u dt J z dt dt                      maka 1 2 1 0 1 4 t J z dt C    . (21)
Persamaan  (21)  ini  belum  dapat  memperlihatkan  secara  tepat  berapa ongkos  minimum  yang  dicapai  selama  penggunaan  vaksin  dari  waktu  0  sampai dengan 1 t .  Akan  tetapi,  pengaruh  kontrol  ini  dapat  dilihat  melalui  plot  gambar untuk persamaan (10), (11), (14), dan (15). Plot gambar seperti yang ditunjukkan oleh  Gambar  (2.4)  diperoleh  dengan  menggunakan  program  Maple  9,5  dan mengambil 0 (0) 500 s  , 0 (0) 20 i  ,   1 0 100 z  , dan   2 0 50 z  , serta parameter- parameter 0, 001   , 0 0, 05   , 0 0, 06   , dan 0, 2   .
Gambar 2.4 Grafik i 0 ( t ) terhadap t tanpa vaksin dan dengan vaksin Dari  gambar  tersebut  terlihat  bahwa  dengan  adanya  vaksin,  maka  kelompok unggas 0 ( ) i t akan  lebih  cepat  menuju  nol  dibandingkan  tanpa  vaksin.  Hal  ini menunjukkan  bahwa  pengaruh  kontrol  akan  mempercepat  penurunan  kelompok unggas yang terinfeksi sehingga epidemik dapat dicegah.
0 ( ) i t tanpa vaksin dengan vaksin R.  Reorita, Niken Larasati, dan Renny                                                                        30

## 3. Kesimpulan
Berdasarkan  model  penyebaran  penyakit  flu  burung,  epidemik  pada populasi  dipengaruhi  oleh  kemungkinan  kontak  antara  kelompok  unggas  rentan dengan  kelompok  unggas  terinfeksi   0  dan  tingkat  kematian  karena  penyakit pada sub populasi unggas    .
Implementasi  vaksin  pada  unggas  merupakan  salah  satu  cara  untuk mengontrol  penyebaran  penyakit  flu  burung.  Dengan  adanya  vaksin,  maka populasi 0 ( ) i t akan  lebih  cepat  menuju  nol  dibandingkan  tanpa  vaksin.  Hal  ini menunjukkan  bahwa  pengaruh  kontrol  akan  mempercepat  penurunan  kelompok unggas yang terinfeksi sehingga epidemik dapat dicegah.

## 4. Daftar Pustaka
Boyce,  W.  E.  dan  DiPrima,  R.  C.  1997  : Elementary  Differential  Equations  and Boundary Value Problems Sixth Edition , John Wiley & Sons, New York.
Derouich, M. dan Boutayeb, A. 2008 : An Avian Influenza Mathematical Model, Applied Mathematical Sciences , Vol. 2, No. 36, 1749 – 1760.
Edwards, C. H. dan Penney, D. E. 2000 : Elementary Differential Equations with Boundary Value Problems Fourth Edition , Prentice-Hall, New Jersey.
Finizio, N. dan Ladas, G. 1988 : Persamaan Diferensial Biasa dengan Penerapan Modern Edisi Kedua , Erlangga, Jakarta.
Hocking.    1991:  Optimal  Control:  An  Introduction  to  the  Theory  with Applications. Clarendon Press, Oxford.
Ma, Z. dan Li, J. 2009 : Dinamical Modelling and Analysis of Epidemics , World Scientific Publishing, Singapore.
Situngkir,  H.  2004. Epidemiology  Through  Cellular  Automata  Case  of  Study: Avian  Influenza  in  Indonesia ,  Working  Paper  WPF2004,  Bandung  Fe Institute.
Yuliarti,  N.  2006  : Menyingkap  Rahasia  Penyakit  Flu  Burung ,  ANDI, Yogyakarta.
Zhao,  Y.  2009  : Modelling  Avian  Influenza  in  Bird-Human  Systems ,  Massey University, New Zealand.
Pengaruh Parameter Pengontrol                                                                                     31
R.  Reorita, Niken Larasati, dan Renny                                                                        32