## PERFORMANSI GPH TERKOREKSI TERHADAP SKIP SAMPLING PADA PROSES LONG MEMORY DAN SPURIOUS LONG MEMORY
1 Gede Suwardika, 2 Heri Kuswanto
1 Jurusan Statistika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Terbuka
2 Jurusan Statistika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Institut Teknologi Sepuluh November, Surabaya
Alamat e-mail : 1 isuwardika@ut.ac.id

## ABSTRAK
Proses  long  memory  telah  diamati  dalam  banyak  hal,  seperti  hidrologi,  telekomunikasi, ekonomi  dan  keuangan.  Long  Memory  adalah  salah  satu  fenomena  dalam  time  series, dimana  dependensi  antara  kejadian  masih  ada  dan  dapat  diamati  untuk  waktu  yang  lama, yang dicirikan oleh nilai difference yang tidak bulat (fractional). Parameter differencing ini biasanya  diestimasi  menggunakan  GPH  estimator.  Dengan  estimator  ini,  seringkali menghasilkan  kesimpulan  yang  spurious  untuk  model-model  seperti  Estar,  Markov switching, STOP-BREAK dan level shift. Tesis ini akan melakukan simulasi model-model tersebut  dan  estimasi  parameter  GPH  terkoreksi  pada  proses  aggregasi.  Selanjutnya dilakukan  pemodelan  menggunakan  ARFIMA  dan  Markov  Switching  pada  data  stock price  LQ45  .  Pengidentifikasian  sifat  Long  Memory  dalam  suatu  series  data  dapat dilakukan  dengan  aggregasi  baik  flow  aggregation  maupun  stock  aggregation.  Dimana pada  kasus  ini  hanya  menggunakan  stock  aggregation.  Berdasarkan  hasil  simulasi,  stok aggregasi ini menghasilkan perilaku yang sama dalam parameternya untuk Spurious Long Memory,  yaitu  random,  tidak  memiliki  trend  turun  atau  naik  jika  seriesnya  diaggregasi. Pemodelan dari absolut return saham dari kedua series terpilih yaitu Indosat dan Telkom, didapatkan  bahwa  model  Markov  Switching  lebih  baik  diban-dingkan    model  ARFIMA. Hasil  aplikasi  saham  menunjukkan  nilai  estimasi  GPH  untuk  data  teraggregasi  memiliki pola  yang  random,  dilihat  dari  nilai  AIC  terkecil  berdasarkan  kedua  model,  model ARFIMA  memiliki  nilai  AIC  terkecil,  sehingga  GPH  standar  tidak  bisa  digunakan  untuk mendeteksi  Sprurious  Long  Memory,  dimana  return  saham  dari  kedua  series  adalah mengandung outlier.
Kata Kunci : Long Memory, GPH Estimator, ARFIMA, Markov Swtiching, Stock Price

## PENDAHULUAN
Proses  long  memory  telah  diamati dalam  banyak  hal,  seperti  hidrologi, telekomunikasi,  ekonomi  dan  keu-angan. Long memory adalah salah satu fenomena dalam  time  series,  dimana  dependensi antara  kejadian  masih  ada  dan  dapat diamati  untuk  waktu  yang  lama.  Long memory merupakan kondisi dimana setiap observasi  memiliki  korelasi  yang  cukup
kuat  dengan  observasi  lainnya  meskipun jarak  waktu  antar  observasi  cukup  jauh. Long memory dicirikan oleh plot Autocorrelation  Function  (ACF)  yang turun  secara  hyperbolic  atau  juga  dari nilai difference yang tidak bulat (fractional).  Para-meter  differencing  ini biasanya  diestimasi  menggunakan  GPH estimator yang diperkenalkan oleh Geweke  dan  Porter  Hudak [2] .  Untuk mendeteksi  adanya  long  memory  pada data,  dapat  dilakukan  estimasi  d  dengan

## menggunakan Hurst Exponent maupun uji
Rescaled  range  statistics  (R/S)  dan Modified rescaled range statistics (MR/S),  rescaled  varians  (V/S),  GPH (long  pe-riodgram  estimation)  dan  lain sebagainya.
Pada  penelitian  sebelumnya  telah dikembangkan  untuk  menguji  spurious long memory [4] . Kedua
peneliti
menggunakan sifat invariance dari parameter long memory terhadap temporal aggregation  (flow  aggregation).  Adapun hasil dari penelitian tersebut menunjukkan bahwa  flow  aggregation  dapat  diterapkan dan  dapat  membedakan  spurious  long memory  dengan  tingkat  akurasi  yang bagus. Namun, tes yang sudah dikembangkan  tidak  cukup  efisien  jika diterapkan pada data hasil stock aggregasi (skip  sampling).  Artinya,  jika  dilakukan pengujian  terhadap  data  hasil  stock aggregation dengan tes tersebut, kesimpulan yang didapatkan hanya sebatas  prosesnya  long  memory  atau spurious.
Penelitian  tentang  kekuatan  tes  yang diterapkan  pada  kasus  stock  aggregation belum  pernah  dilakukan.  Kedua  prosedur agregasi  memiliki  sifat  yang  sama  tentang invariance dari parameter long memory [1];
[6] .  Dimana  kedua  aggregasi  memiliki prosedur  sampling  yang  berbeda  sehingga konsekuensinya  tidak  bisa  begitu  saja digeneralisasi  bahwa  kekuatan  tes  dari stock  aggregation  sama  dengan  flow aggregation.  Oleh  karena  itu,  pada penelitian  ini  akan  dilakukan  simulasi untuk  mempelajari  pattern  yang  terbentuk dari estimasi GPH pada  data long memory dan  spurious  process  yang  teraggregasi. Estimasi  GPH  yang  diaplikasikan  adalah bias  corrected  GPH [5] .  Diharapkan  dari estimator  ini,  akan  didapatkan  kesimpulan mengenai  sifat  invariance  long  memory pada  proses  tersebut,  sehingga  hasil simulasi  bisa  dijadikan  sebagai  dasar membedakan  long  memory  dan  spurious long  memory.  Saham  merupakan  contoh aplikasi  data  series  yang  dihasilkan  dari
proses stock aggregation atau skip sampling.  Hasil  simulasi  akan  divalidasi dengan  data  harga  saham  untuk  bisa mengetahui  apakah  kesimpulan  yang didapatkan  dari  simulasi  sesuai  dengan data empiris.

## METODE PENELITIAN

## Sumber Data dan Variabel Penelitian
Data  yang  digunakan  dalam  penelitian ini  adalah  data  sekunder,  yaitu data harian dari  dua  saham  Indosat  dan  Telkom,  yang termasuk  ke  dalam  saham  LQ45  dari tahun 2000 sampai 2011 yang diambil  adalah  saham  saham  bidang telekomunikasi.

## Metode Analisis
Langkah analisis yang dilakukan untuk  mencapai  tujuan  dari  penelitian  ini adalah sebagai berikut :
1. Melakukan  proses  simulasi  dengan data bangkitan dan mengestimasi GPH terkoreksi  dengan  n  =  500  dan  n  = 2000. Simulasi dilakukan pada masing-masing  jenis  aggregasi.  Setiap jenis  aggregasi  dilakukan  pengulangan simulasi sebanyak 1000 kali pada tiap- tiap  level  aggregasi  m,  dimana  m  = 1,2,...,10  dan  dilakukan  untuk  setiap fraksi  integrasi  d  dengan  d  =  0,1;  0,2; 0,3;  0,4.  Setiap  data  hasil  dari aggregasi akan diestimasi nilai parameter  d  dan  standart  deviasinya dengan estimator GPH dengan bandwith  optimum  0,5.  Jenis-jenis agregasi yang digunakan adalah :
a. Markov-Switching Process Model  yang  digunakan  dalam proses Markov-switching adalah :
= ∅ + = 1 ∅ + = 2 Dengan ~  (0,1) dan  peluang p 00 dan p 11
Model  Markov  Switching    yang dibangkitkan ada 3 macam, yaitu:
1. MS 1 : ( Ф 1 =  0.5, Ф 2 = -0.5, P 00 =  0.9,  P 11 =  0.9,  bandwith  =
0.5)
2. MS 2 : ( Ф 1 =  0.7, Ф 2 = -0.2, P 00 =  0.9,  P 11 =  0.9,  bandwith  = 0.5)
3. MS 3 : ( Ф 1 =  0.5, Ф 2 = -0.4, P 00 =  0.9,  P 11 =  0.9,  bandwith  =
0.5)
b. STOP-BREAK Process
Model  yang  digunalkan  dalam proses STOP-BREAK adalah :
= +  , = + + Dengan ~  (0,1)
Model Stop Break yang dibangkitkan ada 3 macam, yaitu:
1. Stop Break 1: (gamma 50)
2. Stop Break 2: (gamma 100)
3. Stop Break 3: (gamma 180)
c. Stationary  Random  Level  Shift Process
Model  yang  digunakan  dalam proses Stationary random level shif adalah :
= +  , = (1 − ) +
Dengan  j t mengikuti  IID  Bernoulli (p), ε t dan ε t adalah  proses  short memory dengan mean 0  dan varian σ 2 ε t Model  Random  Level  Shift  yang dibangkitkan ada 3 macam, yaitu:
1. Random Level Shift 1
(Probabilitas=0.005) 2. Random Level Shift 2 (Probabilitas=0.01) 3. Random Level Shift 3 (Probabilitas=0.1)
2. Mengevaluasi  pattern  yang  teramati dari  hasil  simulasi  untuk  masing- masing proses
a. Mengestimasi nilai GPH
terkoreksi  pada  data  3  saham LQ45 dengan sampling interval 10 serta menduga model long memory/spurious berdasarkan
hasil simulasi
b. Setiap data saham dibuat plot ACP
c. Pada  data  saham  akan  dilakukan aggregasi dengan stock aggregation dimana level aggregasi  m  =  1,2,…,10,  dan diestimasi  nilai  d  serta  diamati polanya
d. Memodelkan  data  return  saham
LQ45  dengan  ARFIMA  sebagai pendekatan long memory - Plot ACF - Estimasi  nilai  d  dengan  GPH
estimator
- Estimasi  parameter  AR  dan MA
- Pengujian  parameter  model ARFIMA
- Pengujian residual untuk diagnostic check e. Memodelkan  data  LQ45  dengan Markov Switching sebagai pendekatan  spurious  long  memory dengan  cara  Membentuk  dan memperoleh hasil pemodelan
Markov Switching dengan langkah
sebagai berikut.
- Estimasi  parameter  AR  dan MA
- Membentuk  matrik  transisi probabilitas
- Melakukan estimasi probabilitas  pada  setiap  state untuk sesuai persamaan
! = |# $ , untuk
= 1,2, … ,
- Membentuk  model  Markov switching  sesuai  persamaan & =
' + ( ) ' * + f. Membandingkan keakurasian hasil pemodelan antara ARFIMA dengan  Markov  Switching  dari kedua  data  saham  telekomuniasi tersebut  dengan  memilih  model
terbaik  berdasarkan  nilai  AIC terkecil.
Membandingkan  hasil  simulasi  dengan hasil pemodelan data empiris.

## HASIL PENELITIAN

## Simulasi Stock Aggregation
Hasil  estimasi  GPH  terkoreksi  (GPH1) dan GPH tak terkoreksi (GPH2) untuk data long  memory  yang  di  skip  sampling dimana hasil Simulasi Stock Aggregation n =  500  menjelaskan GPH  terkoreksi  hanya mampu mengestimasi sampai dengan level aggregasi  8.  Hal  ini  dikarenakan  jumlah sampel  yang  kecil,  sehingga  dengan aggregasi  10,  Salah  satu  komponen penting  dari  untuk  mendekteksi  pattern hasil estimasi adalah bias estimasi.
Gambar 1 GPH Terkoreksi untuk n = 500

## Gambar 2 GPH Tak Terkoreksi untuk n = 500
Pada  Gambar  1  dan  2  dijelaskan  bahwa untuk  data  dengan  level  aggregation  yang semakin  besar  akan  menghasilkan  bias yang  cenderung  lebih  besar  juga.  Namun, terdapat  perbedaan  jelas  dari  kedua  plot diatas,  dimana  bias  yang  dihasilkan  oleh
GPH  terkoreksi  cenderung  monoton  naik seiring  dengan  naiknya  level  aggregasi. Begitu juga dengan bias hasil dari GPH tak terkoreksi
Untuk  melihat  apakah  hasil  diatas apakah  cukup  konsisten,  berikut  adalah hasil simulasi penggunaan stock aggregation  dengan  n=2000.  Plot  dari hasil simulasi untuk lebih jelas menunjukkan  bias  yang  terjadi  disajikan pada Gambar 3 dan Gambar 4.
Gambar 3 GPH Terkoreksi untuk n = 2000
Gambar 4 GPH Tak Terkoreksi untuk n = 2000
Gambar  3  serta  Gambar  4,  jelas menunjukkan  bahwa  dengan  n  =  2000, pada bandwith 0,5 menghasilkan bias yang cukup  besar.  Hal  ini  ditunjukkan  dengan rata-rata  parameter  d  yang  dihasilkan untuk  masing-masing  level  aggregasi berbeda  cukup  jauh.  Pada  semua  setting simulasi dengan estimator GPH terkoreksi, teramati  jelas  bahwa  level  bias  naik dengan naiknya level aggregasi, Bias yang dihasilkan  oleh  GPH  tak  terkoreksi  juga monoton  naik,  namun  dengan  besaran yang tidak konstan.
0 0,02 0,04 0,06 0,08 0,1 0,12 1 2 3 4 5 6 7 B ia s d = 0.1 d = 0.2 d = 0.3 Level Aggregate 0 0,05 0,1 0,15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 B ia s d = 0.1 d = 0.2 d = 0.3 d = 0.4 Level Aggregate 0 0,05 0,1 0,15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 B ia s d = 0.1 d = 0.2 Level Aggregate 0 0,05 0,1 0,15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 B ia s d = 0.1 d = 0.2 d = 0.3 d = 0.4
Level Aggregate

## Simulasi  Stock  Aggregation  pada  model spurious long memory

## Model Markov Switching
Hasil  estimasi  GPH  untuk  data  Markov switching  yang  telah  teragregasi  secara skip sampling seperti halnya pada simulasi sebelumnya,  untuk  jumlah  sampel  500 tidak mencukupi dalam estimasi parameter GPH  terkoreksi  jika  diagregasi  9  atau  10. Pemilihan parameter model Markov Switching  sudah  tepat  dalam  arti  telah mampu  menghasilkan  parameter  d  yang berada pada domain long memory. Hal ini terlihat dari parameter d  pada  aggregasi 1. Plot  dari  hasil  simulasi  untuk  lebih  jelas menunjukkan  bias  yang  terjadi  disajikan pada Gambar 5 dan Gambar 6.
Gambar 5 GPH Terkoreksi untuk n = 500
Gambar 6 GPH Tak Terkoreksi untuk n = 500
Model  markov  switching  merupakan salah  satu  metode  dalam  menangani adanya  lompatan  model  dari  regime  satu ke  regime  yang  lainnya.  Penggunaan properti stock aggregation dalam kasus ini
dapat menyebabkan nilai d yang dihasilkan naik dan turun atau tidak monoton. bahwa pada  GPH  Terkoreksi  terlihat  bahwa  tidak adanya trend tertentu dari estimasi parameter  d  seiring  dengan  naiknya  level aggregasi,  tetapi  pada  GPH  tak  terkoreksi tidak  terlihat  trend  yang  monoton  seiring dengan  bertambahhnya  level  aggregasi. Selanjutnya  akan  disimulasikan  dengan sampel  yang  lebih  besar  yaitu  2000.  Hasil simulasi  penggunaan  stock  aggregation pada  bangkitan  model  markov  switching dengan  sampel  2000  menunjukkan  bias yang  terjadi  disajikan  pada  Gambar  7  dan Gambar 8.
Gambar 7 GPH Terkoreksi untuk n = 2000

## Gambar 8 GPH Tak Terkoreksi untuk n = 2000
Hasil  simulasi  kembali  menunjukkan sekaligus  memperkuat  keterangan  bahwa model  markov  switching  menghasilkan pattern  yang  berbeda  untuk  kedua  macam GPH  dengan  harapan  akan  semakin memperkuat  kesimpulan  di  awal  saat mensimulasikan  markov  switching  dengan sampel sebanyak 500. Gambar 8 menunjukkan  bahwa  penambahan  jumlah sampel n tidak memberikan efek signifikan terhadap  hasil  estimasi  parameter  d  ketika
0 0,02 0,04 0,06 0,08 0,1 0,12 0,14 1 2 3 4 5 6 7 B ia s MS 1 MS 2 MS 3 Level Aggregate 0 0,05 0,1 0,15 0,2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 B ia s MS 1 MS 2 Level Aggregate
0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 1 2 3 4 5 6 7 8 9 B ia s MS 1 MS 2 MS 3 Level Aggregate 0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 1 2 3 4 5 6 7 8 9 B ia s MS 1 MS 2 MS 3 Level Aggregate
diaggregasi, plot yang ditampilkan memang  jelas  tetap  menun-jukkan  bahwa tidak  adanya  pola  yang  jelas  (random) terhadap  naiknya  level  aggregasi  untuk GPH tidak terkoreksi.

## Model  Stationary  Random  Level  Shift Process
Model  kedua    yang  disimulasikan adalah proses Stationary random level shif, hasil  simulasi  stock  aggregation  untuk model  random  level  shift  n  =  500  terlihat jelas  dari  hasil  estimasi  parameter  di  atas, bahwa  model  random  level  shift  dengan parameter  di  atas  mampu  menghasilkan parameter  d  yang  termasuk  long  memory. Namun, untuk p = 0.01, didapatkan d yang merupakan  long  memory  nonstasioner. Untuk memudahkan evaluasi hasil simulasi,  akan  ditampilkan  plot  bias estimator.  Plot  dari  hasil  simulasi  untuk lebih  jelas  menunjukkan  bias  yang  terjadi disajikan pada Gambar 9 dan Gambar 10.
Gambar 9 GPH Terkoreksi untuk n = 500
Gambar 10 GPH Tak Terkoreksi untuk n = 500
Pada  sampel  500  terlihat  bahwa  dengan penambahan jumlah level tidak memberikan efek signifikan terhadap hasil estimasi parameter d ketika diaggregasi.
Selanjutnya disimulasikan dengan sampel  yang  lebih  besar  yaitu  2000.  Plot dari  hasil  simulasi  untuk  lebih  jelas menunjukkan  bias  yang  terjadi  disajikan pada Gambar 11 dan Gambar 12.
Gambar 11 GPH Terkoreksi untuk n = 2000

## Gambar 12 GPH Tak Terkoreksi untuk n = 2000
Hasil simulasi menunjukan bahwa pada probabilitas dan pattern yang berbeda pada kedua macam GPH  menunjukkan kembali keterangan  bahwa  model  random  shift kembali  menghasilkan  nilai  d  yang  kecil dengan  harapan  akan  semakin  jelas menunjukkan kerandoman dari pergerakan parameter  d  dan  memperkuat  kesimpulan di  awal  saat  mensimulasikan  random  shift dengan  sampel  sebanyak  500.  Gambar  11 dan  Gambar  12,  menunjukkan  bahwa penambahan  jumlah  sampel  n  tidak memberikan efek signifikan terhadap hasil estimasi  parameter  d  ketika  diaggregasi, plot  yang  ditampilkan  memang  jelas  tetap menunjukkan  bahwa  tidak  adanya  pola
0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 1 2 3 4 5 6 7 B ia s Random Shift 1 Level Aggregate 0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 B ia s Random Shift 1 Level Aggregate
0 0,05 0,1 0,15 0,2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 B ia s Random Shift 1 Level Aggregate 0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 1 2 3 4 5 6 7 8 9 B ia s Random Shift 1 Level Aggregate
yang jelas (random) terhadap naiknya level aggregasi untuk GPH tidak terkoreksi.

## Model Stop Break
Hasil  simulasi  stock  aggregation  untuk model  stop  berak  n  =  500.  Plot  dari  hasil simulasi  untuk  lebih  jelas  menunjukkan bias yang terjadi disajikan pada Gambar 13 dan Gambar 14.
Gambar 13 GPH Terkoreksi untuk n = 500

## Gambar 14 GPH Tak Terkoreksi untuk n = 500
Dengan  penggujian  menggunakan  tiga parameter  berbeda  dimana  terlihat  dengan semakin  besarnya  penggunaan  gamma akan  dihasilan  nilai  d yang  kecil menunjukkan  keterangan  bahwa  model stop break menghasilkan nilai d yang kecil dan  jelas  menunjukkan  kerandoman  dari pergerakan  parameter  d,  dimana  nilai  d akan  cenderung  monoton  turun  dengan naiknya  level  aggregasi.  Gambar  13  dan Gambar
14, menunjukkan bahwa penambahan jumlah level
tidak memberikan efek signifikan terhadap hasil estimasi  parameter  d  ketika  diaggregasi, plot  yang  ditampilkan  memang  jelas  tetap menunjukkan  bahwa  tidak  adanya  pola
yang jelas (random) terhadap naiknya level aggregasi.
Selanjutnya  akan  disimulasikan  dengan sampel  yang  lebih  besar  yaitu  2000.  Plot dari  hasil  simulasi  untuk  lebih  jelas menunjukkan  bias  yang  terjadi  disajikan pada Gambar 15 dan Gambar 16.
Gambar 15 GPH Terkoreksi untuk n = 2000
Gambar 16 GPH Tak Terkoreksi untuk n =

## 2000
Dengan bertambahnya sampel n terlihat kembali  bawah  dengan  bandwith  0.5 bahwa  model  stop  break  menghasilkan nilai  d  kecil  dan  random    monoton  turun yang sangat jelas menunjukkan kerandoman  dari  pergerakan  parameter  d. Penambahan jumlah level tidak memberikan  efek  signifikan  juga  terhadap hasil estimasi parameter d ketika diaggregasi,  plot  yang  ditampilkan  juga tetap  menunjukkan  bahwa  tidak  adanya pola yang jelas (random) terhadap naiknya level aggregasi GPH tidak terkoreksi.

## 1. Hasil Dan Pembahasan Simulasi
Properti stock aggregation dalam mendeteksi fenomena Long Memory
0,0000 0,0200 0,0400 0,0600 0,0800 0,1000 0,1200 1 2 3 4 5 6 B ia s Stop Break 1 Stop Break 2 Stop Break 3 Level Aggregate 0 0,05 0,1 0,15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 B ia s Stop Break 1 Level Aggregate 0 0,02 0,04 0,06 0,08 0,1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 B ia s Stop … Stop … Level Aggregate 0 0,02 0,04 0,06 0,08 0,1 0,12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 B ia s Stop Break 1 Level Aggregate
dimana  bias  yang  dihasilkan  dengan menggunakan  aggregasi  ini  lebih  besar. Baik menggunakan estimator GPH dengan bandwith  0,5.  Trend  estimasi  nilai  d  yang dihasilkan dengan aggregasi adalah menurun,  artinya  semakin  besar  level aggregasi  yang  digunakan  akan  cenderung menghasilkan  estimasi  nilai  d  yang  lebih kecil  bahkan  bisa  saja  hampir  setengah dari  parameter  d  awalnya  dengan  tanpa aggregasi.  Hal  ini  tidak  sesuai  dengan gagasan  awal  bahwa  untuk  mendeteksi fenomena Long Memory, parameter d hasil aggre-gasi tidak berbeda dengan parameter d  tanpa  aggregasi.  Namun  perlu  diakui bahwa  meskipun  parameter  d  yang dihasilkan  berbeda,  namun  masih  berada dalam  range  nilai  d  untuk  Long  Memory. Hal  ini  bisa  saja  terjadi  karena  dengan menggunakan  metode  stock  aggregation yang  mirip  dengan  skip  sampling  ini  akan menghilangkan  beberapa  informasi  data dan  semakin  besar  level  aggre-gasinya akan  semakin  besar  pula  informasi  yang hilang.  Pada  kasus  bangkitan  Markov
Switching,    Random  Level  Shift  dan  Stop
Break, pengaruh
aggregasi ini
menunjukkan  bahwa  tidak  ditemukan trend,  dimana  terlihat  pada  ketiga  model dengan  menggunakan  sampel  500  dan sampel  2000  tidak  terlihat  memberikan efek  yang  signifikan  terhadap  hasil estimasi  parameter  d  ketika  diaggregasi dengan GPH terkoreksi maupun GPH tidak terkoreksi.

## 2. Aplikasi ke Saham LQ45
Bagian ini dimaksudkan untuk
memvalidasi  hasil  simulasi  terhadap  kasus riil pada  LQ45  yang dijadikan bahan studi kasus dalam tesis ini adalah saham Indosat dan  Telkom.  Kedua  jenis  indeks  saham tersebut  diambil  datanya  mulai  awal Januari 2001 hingga akhir Desember 2011. Seperti  biasa,  yang  dianalisis  adalah absolut  dari  nilai  return  harga  saham, bukan  harga  saham  secara  langsung  sebab kenyataannya investor lebih tertarik
mengetahui  informasi  pergerakan  return saham  daripada  harga  saham  itu  sendiri (Ding  et  al.(1993),  Andersen  et  al.(2003), Sibbertsen (2004).

## 3. Identifikasi Long Memory

## Plot ACF
Cara paling sederhana untuk mendeteksi fenomena Long Memory adalah secara visual melalui plot ACF. Jika plot  ACF  turun  secara  hiperbolik  naik turun  seperti  gelombang,  maka  ada indikasi awal bahwa series tersebut masuk ke  dalam  fenomena  Long  Memory.  Hal serupa  terjadi  pada  series  saham  Indosat dan  Telkom,  plot  ACF  dapat  dilihat  pada Gambar 18.a dan18.b.
Gambar 18.a Plot ACF Indosat

## Gambar 18.b Plot ACF Telkom
Pada  Gambar  18.a  dan  18.b  tersebut terlihat  bahwa  plot  ACF  untuk  series Indosat  turun  secara  hiperbolik  namun hanya  pada  beberapa  lag  saja,  sedangkan plot  ACF  untuk  series  Telkom  nampak jelas  turun  secara  hiperboliknya.  Hal  ini memberikan  dugaan  awal  bahwa  kedua series  tersebut  tergolong  Long  Memory. Namun  begitu,  plot  ACF  hanyalah  cara
0 5 10 15 20 25 30 35 0 .0 0 .2 0 .4 0 .6 0 .8 1 .0 Lag A C F 0 5 10 15 20 25 30 35 0 .0 0 .2 0 .4 0 .6 0 .8 1 .0 Lag A C F
visual untuk deteksi, kenyataannya seringkali  plot  ACF  tidak  menampilkan pola  yang  sempurna  untuk  bisa  benar- benar  memutuskan  apakah  datanya  long memory atau tidak.
Identifikasi Data Dengan Stock

## Aggregation
Sebagaimana  telah  disimpulkan  dari hasil simulasi bahwa temporal aggregation dapat  digunakan  untuk  me-ngidentifikasi data bersifat long memory atau tidak. Oleh karena  itu  kedua  series  tersebut  akan diidentifikasi dengan menggunakan properti  dari  salah  satu  jenis  aggregasi yang  sesuai.  Pencatatan  harga  saham menyerupai sifat dari skip sampling, maka untuk identifikasi kedua series ini digunakan stock aggregation.
Model  GPH  tak  terkoreksi  tidak digunakan untuk identifikasi model, sebagaimana yang dihasilkan dari simulasi.
Gambar 19 Plot Bias Estimasi Nilai d Indosat

## Gambar 20 Plot Bias Estimasi Nilai d Telkom
Selanjutnya akan dilakukan  identifikasi berdasarkan  orde-orde  model  terbaik berdasarkan  nilai  AIC  terkecil  untuk memodelkan ARFIMA (long memory) dan
model  Makov  Switching  sebagai  model spurious  long  memory  sehingga  didapat model  mana  yang  terbaik  (Tabel  10  lihat lampiran).  Tabel  10  didapatkan  ordo ARFIMA  yang  berdasarkan  nilai  terkecil, selanjutnya  akan  dilakukan  cek  asumsi residual  white  noise  dan  berdistribusi normal.  White  Noise  Test  adalah  uji  untuk mengetahui  apakah  residual  sudah  white noise.  Statistik  uji  yang  digunakan  adalah Ljung-Box  Test  dengan  H 0 adalah  residual white  noise.  Dari  hasil  pengujian  white noise, diketahui bahwa residual dari model tidak  white  noise  karena  plot  p-value hingga  lag-12  berada  di  bawah  nilai α =
0.05 yang berarti tolak H 0 .
Tahapan  evaluasi  yang  lain  adalah Normality  Test  yang  berguna  untuk mengetahui apakah residual sudah berdistribusi  normal.  Statistik  uji  yang akan  digunakan  adalah  Kolmogorov- Smirnov  Test  dengan  H 0 adalah  residual berdistribusi  normal.  Uji  normalitas  untuk residual  dari  model  ARFIMA  untuk  series data  indosat,  hasil  uji  menggunakan Kolmogorof-Smirnov  Test  nilai  KS  = 0.4868  dengan  p-value  =  2.2e-16  kurang dari α =  0,05,  Oleh  karena  p-value  < α , maka  tolak  H 0 dan  disimpulkan  bahwa residual yang dihasilkan kedua model tidak berdistribusi  normal.  Selanjutnya  akan dimodelkan  untuk  series  data  Telkom. Setelah diperoleh ordo ARFIMA, selanjutnya  akan  dilakukan  uji  residual white noise dan berbistribusi normal untuk series  data  Telkom.  Dari  hasil  masing- masing model ARFIMA didapatkan Ljung- Box  Test  untuk  uji  asumsi  residual  white noise  untuk  model  ARFIMA  (1,d,1),
(2,d,2)  dan  (5,d,5)  sudah  white  noise karena  p-value  hingga  lag-12  berada  di atas  nilai α =  0.05  yang  berarti  terima  H 0 , tetapi  pada  model  ARFIMA  (2,d,2)  ada yang  tidak  white  noise  pada  lag-6, sehingga tetap diputuskan bahwa tolak H 0 , yang  artinya tidak white  noise pada model tersebut.
Selanjutnya,  uji  normalitas  untuk residual  dari  model  ARFIMA  untuk  series
-0,2 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 B ia s GHP … Level Aggregate -0,2 0 0,2 0,4 0,6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 B ia s GHP Terkoreksi Level Aggregate
data  telkom,  hasil  uji  menggunakan Kolmogorof-Smirnov Test model ARFIMA pada Tabel 1.
Tabel 1 Normality Test Model Arfima N KS P-Value (1,d,1) (2,d,2) (5,d,5) 3128 3127 3127 0.4874 0.4872 0.4872 2.2e-16 2.2e-16 2.2e-16
Hasil  uji  normalitas  diperoleh  nilai  KS dan  p-value,  sehingga  dapat  simpulkan untuk  ketiga  model  ARFIMA  tersebut menunjukkan bahwa residual tidak berdistribusi  normal,  dikarenakan  nilai  P- value kurang dari α = 0,05, Oleh karena p- value  < α ,  maka  tolak  H 0, hanya  model Arfima (5,d,5)  yang nilai p-valuenya lebih dari α =  0,05.  Dapat  dijelaskan  bawah, pada series data Indosat, diduga kemungkinan  modelnya  ARFIMA  (3,d,3) dengan  AIC  =  8158,22.  Sedangkan  untuk series data Telkom, menunjukkan kemungkinan  modelnya  adalah  ARFIMA (1,d,1)  dengan  AIC  =  8406,35,  ARFIMA (2,d,2)  dengan  AIC  =  8402,73,  serta ARFIMA  (5,d,5)  dengan  AIC  =  8400,23. Sehingga jika dilihat dari estimasi parameter  pada  Tabel  di  atas  untuk  semua model  yang  siginifikan,  model  dugaan ARFIMA untuk series data Indosat  adalah ARFIMA  (3,  0.18888,  3)  dan  series  data Telkom adalah ARFIMA (5, 0.18712, 5).

## 4. Pemodelan Markov Switching
Pada model Markov Switching dengan 2 regime,  dilakukan  fitting  model  secara langsung  yang  menghasilkan  AIC  terkecil dan menghasilkan parameter yang signifikan  pula,  dengan  demikian  akan dilakukan  pemilihan  ordo  berdasarkan parameter yang sesuai terlebih dahulu.

## A. Series Data Indosat
Berdasarkan  nilai  AIC  dan  parameter yang  signifikan  baik  pada  regime  1  dan regime  2    diperoleh  model    Markov Switching  yang  terbaik  mengikuti  proses AR (1) danMA (1)
Dari  ordo  ARIMA  pada  Tabel  12  di atas,  selanjutnya  akan  dilakukan  uji residual  white  noise  dan  berdistribusi normal  untuk  series  data  Indosat.  Model ARMA  didapatkan  hasil  dengan  Ljung- Box  Test  untuk  uji  asumsi  residual  white noise  untuk  model  ARIMA(1,0,0)  dan (0,0,1)  tidak  white  noise  karena  p-value hingga lag-12 berada di atas nilai α = 0.05 yang berarti terima H 0 , dikarenakan model ARMA diatas tidak white noise, selanjutnya  akan  dilakukan  uji  normalitas untuk  residual,  hasil  uji  menggunakan Kolmogorof-Smirnov Test pada Tabel 2.
Tabel 2 Normality Test Model Markov N KS P-Value AR(1) MA(1) 3128 3129 0.4901 0.4895 2.2e-16 2.2e-16
Hasil  uji  normalitas  diperoleh  nilai  KS dan  p-value,  sehingga    dapat  simpulkan untuk  kedua  model  ARMA  tersebut menunjukkan bahwa residual tidak berdistribusi  normal,  dikarenakan  nilai  P- value kurang dari α = 0,05, Oleh karena p- value < α , maka tolak H 0.
Selanjutnya  didapat  matrik  transisinya dari  model  AR  (1)  dan  model  MA  (1) sebagai berikut :

## = + ,
Matrik  Markov  Transition  Probabilities AR (1) :
- = .0.96096 0.039038 0.74292 0.25708 7
Matrik  Markov  Transition  Probabilities MA (1): - = .0.99349

## 0.0065125 1.0000 1.45258 − 0117
Model  Markov-switching  dengan  proses AR(p)  sesuai  dengan  persamaan    yang dijelaskan oleh Zivot dan Wang (2006).
) ,' (9): =         untuk ? = 1,2, … , ? & = ' + ) ,' & + ) ,' &
+ ⋯ + ) ,' & + & = A + ( ) A +
dimana
B C = & , & , … , &
$ dan D ' * adalah vektor koefisien AR berukuran - × 1 .

## Berdasarkan  Tabel  12  diperoleh    model
Markov  Switching  pada  regime  1  dan regime 2 untuk AR (1): & = ' + ) ,' & + ) ,' & + ⋯ + ) ,' & + & = + ) , & + & = 0.01578 + 0.10024&
+ ……. Regime 1 & = 0.01578 + 0.1.07575& + ……. Regime 2
Sehingga dari persamaan diatas diperoleh :
& = F + ∅ & +
F + ∅ & +
& = 0.01578 + 0.10024& +
0.01578 + 0.1.07575 & +
Berdasarkan  Tabel  12  diperoleh  model Markov  Switching  untuk  regime  1  dan regime 2 untuk MA (1) : & = ' − G ,'
− G ,' − … −
G ,' & = − G , & = 0.01611 − 0.13604 ……. Regime 1 & = 0.01611 − 0.84443 ……. Regime 2
Sehingga dari persamaan diatas diperoleh : & = F + G & +
F + G & + & = 0.01611 − 0.13604& + 0.01611 − 0.84443 & +

## B. Series data Telkom
Berbeda  dengan  series  data  pada indosat,  untuk  series  data  Telkom  model yang terbaik diliat dari nilai AIC baik pada regime  1  maupun  regime  2  dan  parameter yang dihasilkan signifikan diperoleh model Markov  Switching  yang  terbaik  mengikuti proses AR (1)  dan MA (1)
Dari  ordo  ARIMA  diatas,  selanjutnya akan  dilakukan  uji  residual  white  noise
dan  berdistribusi  normal  untuk  series  data Telkom  Model  ARMA  didapatkan  hasil dengan  Ljung-Box  Test  untuk  uji  asumsi residual  white  noise  untuk  model  AR(1) dan  MA  (1)  tidak  white  noise  karena  p- value hingga lag-12 berada di atas nilai α = 0.05  yang  berarti  terima  H 0 ,  dikarenakan model  ARMA  diatas  tidak  white  noise, selanjutnya  akan  dilakukan  uji  normalitas untuk  residual,  hasil  uji  menggunakan Kolmogorof-Smirnov Test pada Tabel 3.
Tabel 3 Normality Test Model Markov N KS P-Value AR(1) MA(1) 3128 3129 0.4899 0.4897 2.2e-16 2.2e-16
Hasil  uji  normalitas  diperoleh  nilai  KS dan  p-value,  sehingga    dari  tabel  diatas dapat  simpulkan  untuk  kedua  model ARMA  tersebut  menunjukkan  bahwa residual tidak berdistribusi normal, dikarenakan  nilai  p-value  kurang  dari α = 0,05, Oleh karena p-value < α , maka tolak
H 0.
Selanjutnya  didapat  matrik  transisinya dari  model  AR(1)  dan  model  MA  (1) sebagai berikut :
= + ,
Matrik  Markov  Transition  Probabilities AR (1):
- = . 0.10782 0.89218 0.044902 0.955107
Matrik  Markov  Transition  Probabilities MA (1):
- = .0.99075 0.0092519 0.68634 0.31366 7
Model  Markov  Switching  pada  regime  1 dan regime 2 untuk AR (1) : & = ' + ) ,' & + ) ,' & + ⋯ + ) ,' & + & = + ) , & +
& = 0.01552 + 1.32619&
+ …….
Regime 1
& = 0.01552 − 1.23108& + …….
Regime 2
Sehingga dari persamaan diatas diperoleh :
& = F + ∅ & + F + ∅ & + & = 0.01552 + 1.32619& + 0.01552 − 1.23108 &
+
Model  Markov  Switching  untuk  regime  1 dan regime 2 untuk MA (1) : & = ' − G ,'
− G ,' − … − G ,'
& = − G , & = 0.01583 − 0.12431
……. Regime 1 & = 0.01583 − 0.84802 ……. Regime 2 Sehingga dari persamaan diatas diperoleh : & = F + G & +
F + G & +
& = 0.01583 − 0.12431& +
0.01583 − 0.84802 & +
Dari  diagnosa  test  apakah  model ARFIMA  dan  Markov  Switching  white noise  dan  berdistribusi  normal  residuals, ternyata  diperoleh  hasil  bahwa  kedua model baik ARFIMA dan Markov Switching  tidak  white  noise  dan  tidak berdistribusi  normal,  jika  dilihat  hasil  dari kedua  uji  baik  uji  white  noise  dan  uji normalitas dapat disimpulkan tidak sesuai, maka  akan  dilakukan  cek  apakah  series data  indosat  maupun  telkom  tersebut outlier  atau  tidak  dengan  metode  boxplot seperti pada gambar 21 dan gambar 22.

## Gambar 21 Boxplot Indosat

## Gambar 22 Boxplot Telkom
Dilihat  dari  boxplot  untuk  series  data Indosat  maupun  series  data  Telkom  dapat disimpulkan  bahwa  data  kedua  series adalah  outlier,  Boxplot  dapat  memberikan gambaran  yang  lebih  sepesifik  tentang distribusi  data,  terlihat  jelas  disana  series data Indosat maupun Telkom banyak  yang outlier  dan  tidak  berada  pada  median  dan dapat dipastikan series data Indosat adalah spurious  long  memory  dan  series  data Telkom juga spurious long memory.
Hasil  evaluasi  akhir  tentang  ARFIMA dengan  Markov  Switching  menunjukkan hasil  simulasi  terlihat  bahwa  sifat  stock aggregate memiliki pola yang random baik untuk  GPH  terkoreksi  maupun  GPH  tak terkoreksi. Sedangkan pada aplikasi model berdasarkan nilai AIC terkecil dan parameter  yang signifikan, ARFIMA lebih baik  dibandingan  Markov  Switching, ternyata  data  dari  kedua  return  saham LQ45 datanya mengandung outlier sehingga  dengan  hasil  simulasi  yang menujukkan  bahwa  untuk  data  spurious long  memory,  maka  hasil  estimator  GPH untuk  data  teraggregasi  tidak  menujukkan pola tertentu, tetapi jika dilihat pemodelannya  dimana  kedua  series  data menunjukkan  outlier  dan  sudah  dapat dipastikan  bahwa  memang  spurious  long memory.
0.20 0.15 0.10 0.05 0.00 t e l k o m 0.30 0.25 0.20 0.15 0.10 0.05 0.00 i n d o s a t

## KESIMPULAN
Berdasarkan  analisis  dan  pembahasan yang  telah  dilakukan,  berikut  beberapa kesimpulan yang diperoleh adalah :
1. Pengidentifikasian  sifat  Long  Memory dalam suatu series data dapat dilakukan dengan aggregasi baik flow aggregation maupun stock aggregation.  Dimana  pada  kasus  ini hanya menggunakan stock aggregation. Berdasarkan hasil simulasi, stok aggregasi  ini  menghasilkan  perilaku yang  sama  dalam  parameternya  untuk Spurious  Long  Memory,  yaitu  random, tidak  memiliki  trend  turun  atau  naik jika seriesnya diaggregasi.
2. Pemodelan  dari  absolut  return  saham dari  kedua  series  terpilih  yaitu  Indosat dan  Telkom,  didapatkan  bahwa  model
ARFIMA  lebih  baik  dibandingkan model Markov
Switching. Hasil aplikasi  saham  menunjukkan  nilai estimasi  GPH  untuk  data  teraggregasi memiliki  pola  yang  random,  dilihat dari  nilai  AIC  terkecil  berdasarkan kedua model, model ARFIMA
memiliki  nilai  AIC  terkecil,  sehingga GPH  standart  tidak  bisa  digunakan untuk  mendeteksi  sprurious  long memory,  dimana  return  saham  dari kedua series terpilih adalah mengandung outlier.

## DAFTAR PUSTAKA
[1] Chambers,  M.  J.,  1998,  Long  Memory And  Aggregation  In  Macroeconomic Time  Series.  International  Economic Review 39, 1053-1072.
[2] Geweke,  J.  And  S.  Porter-Hudak (1983) The Estimation And Application  Of  Long  Memory  Time Series  Models.  Journal  Of  Time
Series Analysis 4, 221-237.
[3] Kuswanto, H. and Sibbertsen, P. 2008. A  study  on  spurious  long  memory  in nonlinear  time  series  models.  Applied
Mathematical  Science,  2(55),  2713- 2734.
[4] Kuswanto,  H.  2011.  A  New  Test Against Spurious Long Memory Using Temporal  Aggregation.  Journal  Of Statistical Computation And Simulation,  I-First  Published  On  17 January 2011. DOI: 10.1080/00949655.2010.483231 [5] Souza, L. R. 2005. Temporal Aggregation And Bandwidth Selection In  Estimating  Long  Memory.  Journal Of  Time  Series  Analysis  28(5),  701- 722.
[6] Souza,  L.  R.  2008.  Spectral  properties of temporally aggregated long memory process. Brazilian Journal of
Probability  and  Statistics  22(2),  135-
155.