## TRANSFORMASI LINEAR PADA SUATU FUNGSI
Wahyuni Abidin*
*) Dosen pada Jurusan Matematika Fakultas Sains dan Teknologi UIN Alauddin Makassar email. Wahyuni.ridwan@yahoo.co.id
Abstract  : Linear transformation  is  one of  the important branches of mathematics,  especially  linear  transformation  which  has  many applications  in  the problems of  physics,  engineering,  social sciences, and various other branches of mathematics. The purpose of this study to  determine  a  function  that  meets  the  requirements  of  linear transformations.  The  result  is  a  transformation  function  that  is  not linear  and  linear  transformation  is ), , 2 ( ) , ( y x y x y x F    ), , ( ) , , ( z y x x z y x F                           a d d c c b b a d c b a F
and ) ( 2 2 1 0 x a x a a F   = ) ) 1 ( ) 1 ( ( 2 2 1 0     x a x a a
a linear transformation  and ) , ( ) , , ( 3 3 y x z y x F  dan bc ad d c b a F              
is not a linear transformation.
Keyword s:  Linear transformation

## I. PENDAHULUAN
lmu  pengetahuan,  terdapat  ilmu  matematika  yang  berkaitan  dengan pekerjaan    menghitung,  sehingga    tidak    salah    jika    kemudian    ada    yang menyebut  matematika  adalah  ilmu hitung atau ilmu al hisab. Matematika tidak    lain    adalah    ilmu    yang    menjadi    alat    bagi    kebutuhan  manusia. Matematika    telah    diciptakan    dan    sengaja    disediakan    untuk    menuntun manusia memahami kekuasaan Allah Swt.
Alam    semesta    memuat    bentuk-bentuk    dan    konsep    matematika, meskipun alam  semesta  tercipta  sebelum  matematika  itu  ada.  Alam  semesta serta  segala isinya  diciptakan  Allah  dengan  ukuran-ukuran  yang  cermat  dan teliti,  dengan perhitungan-perhitungan  yang  mapan,  dan  dengan  rumus-rumus serta  persamaan yang seimbang dan rapi.
I
32 _ Jurnal Teknosains, Volume 8 Nomor 1, Januari 2014 , hlm. 31 – 38
Transformasi  linear  merupakan  salah  satu  cabang  matematika  yang penting, khususnya tranformasi linear yang mempunyai banyak penerapan dalam persoalan-persoalan  fisika,  bidang  teknik,  ilmu  sosial,  dan  berbagai  cabang matematika  lainnya.  Transformasi  linear  pada  suatu  fungsi  bernilai  vektor  dari sebuah  peubah  vektor.  Jika V dan W adalah  ruang  vektor  dan F adalah  sebuah fungsi yang mengasosiasikan vektor unik di W dengan setiap vektor terletak di V , maka F memetakan V ke  dalam W ,  dan  disimbolkan F:V→W. Jika F mengasosiasikan vektor dari v , maka disimbolkan w = F ( v ) dan dikatakan bahwa w adalah bayangan dari v di bawah F . Ruang vektor V dinamakan domain F .
Berangkat  dari  latar  belakang  tersebut  penulis  menuangkannya  dalam bentuk karya tulis ilmiah dengan judul Transformasi linear pada Suatu Fungsi.

## Tujuan Penelitian
Tujuan  penelitian  ini  untuk  mengetahui  suatu  fungsi  yang  memenuhi syarat- syarat transformasi linear.

## II. TINJAUAN PUSTAKA
A. Fungsi
1. Definisi 1
Fungsi f adalah  aturan  yang  memadakan  setiap  elemen x dalam  suatu himpunan A secara tepat satu elemen, yang disebut f ( x ), dalam suatu himpunan B . (Jemes Stewart, 2009:15)
Fungsi-fungsi  himpunan A dan B adalah  himpunan  bilangan  rill.
Himpunan A disebut daerah asal (domain) fungsi. Bilangan f ( x ) adalah nilai dari f pada x . Daerah  hasil ( range )  dari f adalah  himpunan  dari  semua  nilai  yang mungkin  dari f ( x ) dimana x bervariasi sepanjang daerah asal. Sebuah simbol yang memrepresentasikan  angka  sembarang  di  dalam daerah  asal dari  sebuah  sebuah fungsi f disebut variable bebas . Sebuah simbol yang memrepresentasikan angka di dalam daerah hasil dari f disebut variable terikat.

## B. Matriks
2. Definisi 2 (Howard Anton, 1987:11).
Matriks adalah  susunan  segi  empat  siku-siku  dari  bilangan-bilangan.
Bilangan-bilangan dalam susunan tersebut dinamakan entri  dalam matriks.
Penulisan  matriks  dapat  menggunakan  tanda  kurung  siku  [  ]  atau  tanda kurung  biasa  (  ).  Huruf  besar  digunakan  untuk  menyatakan  matriks,  sedangkan huruf-huruf kecilnya digunakan untuk menyatakan entri-entri matriks. Entri-entri
matriks yang berada pada garis horisontal membentuk baris, sedangkan entri-entri yang ada pada garis vertikal membentuk kolom.
Suatu  matriks dengan m baris dan n kolom dikatakan sebagai  matriks m kali n atau matriks tersebut berukuran (berordo) m x n. Pasangan bilangan m kali n disebut ukuran matriks. Ukuran matriks dijelaskan dengan menyatakan banyaknya baris (garis horizontal) dan banyaknya kolom (garis vertikal) (Ririen Kusumawati, 2009: 2).

## C. Vektor
3. Definisi 3 (Mahmud Imrona, 2013:14)
Vektor adalah besaran yang mempunyai besar dan arah.
Vektor-vektor dapat dinyatakan secara geometris sebagai segmen-segmen garis terarah atau panah-panah di ruang-2 dan di ruang-3, arah panah menentukan arah vektor dan panjang panah menyatakan besarnya. Ekor panah dinamakan titik awal dari vektor, dan ujung panah dinamakan titik terminal . Vektor dinyatakan dengan huruf kecil tebal misalkan, a, k, v, w, dan x. skalar menyatakan bilangan riil dan dinyatakan huruf kecil biasa misalkan a, k, v, w, dan x.
Operasi-operasi pada Vektor
a. Kesamaan Dua Vektor (T. Sutojo, dkk,2010:11)
Vektor a dikatakan  sama  dengan  vektor b  (a  =  b) bila  keduanya  mempunyai panjang  dan  arah  yang  sama,  dengan  tidak  memperhatikan  kedudukan  titik pangkal.
a b b. Negatif Sebuah Vektor (T. Sutojo, dkk,2010:11)
Vektor  ( -a )  adalah  vektor  yang  mempunyai  arah  berlawanan  dengan  vektor a
tetapi panjangnya sama dengan panjang vektor a.
a -a
c. Penjumlahan Vektor (Howard Anton,1997:92)
Jika v dan w adalah  sebarang  dua  vektor,  maka  jumlah v  +  w adalah  vektor yang  ditentukan  sebagai  berikut.  Tempatkan  vektor w sehingga  titik  awalnya
34 _ Jurnal Teknosains, Volume 8 Nomor 1, Januari 2014 , hlm. 31 – 38
berimpit dengan titik terminal v . Vektor v + w dinyatakan oleh panah dari titik awal terhadap titik terminal w .
w
v
v + w
d. Perkalian Vektor dengan Skalar (Howard Anton,1997:93)
Jika v adalah vektor taknol dan k bilangan riil taknol (skalar), maka hasil kali k v didefinisikan  sebagai  vektor  yang  panjangnya k kali  panjang v dan  yang arahnya sama seperti arah v jika k >0 dan berlawanan dengan arah v jika k <0.
Didefinisikan k v = 0 jika k = 0 atau v = 0.
v                2v                     1v

## Vektor Ruang-2 dan Vektor Ruang-3
Secara  analitik,sebuah  vektor  pada  bidang  (R 2 )  dapat  dinyatakan  sebagai pasangan  bilangan  terurut,  misalkan a =  ( a 1 , a 2 ),  yang  digambarkan  dalam koordinat  dua  sumbu  yang  saling  tegak  lurus  sedangkan  vektor  dalam  ruang-3 (R 3 )  dapat  digambarkan  dengan  menggunakan  koordinat  tiga  sumbu  yang  saling tegak  lurus,  yang  mengikuti  aturan  tangan  kanan,  dan  secara  analitik  dinyatakan sebagai  tiga  bilangan  terurut, a =  ( a 1 , a 2 , a 3 ).  Vektor  yang  titik  awalnya  di  titik asal (0,0) untuk vektor pada bidang dan (0,0,0) untuk vektor dalam ruang disebut vektor posisi.

## Pemetaan
Misalkan A dan B adalah  sebarang  himpunan  bukan  kosong.  Misalkan setiap elemen pada A dihubungkan dengan satu elemen B yang unik, kumpulan f yang  terdiri  dari  hubungan  seperti  ini  disebut  pemetaan  dari A ke B ,  dan dilambangkan dengan
f : A → B
Himpunan A disebut daerah asal , dan B disebut himpunan target.

## Pemetaan Matriks
Misalkan A adalah  sebarang  matriks m  x  n atas K .  Maka A menentukan pemetaan F A : K n →K m sebagai
F A ( u ) = Au
dimana vektor-vektor pada K n →K m dan ditulis sebagai kolom-kolom.

## D. Transformasi Linear

## 4. Definisi 4 (Howard Anton,1997:227)
Jika F:  V→W adalah  sebuah  fungsi  dari  ruang  vektor V ke  dalam  ruang vektor W , maka F dinamakan transformasi linear jika:
(i) F ( u + v) = F ( u) + F ( v)
(ii) F ( k u) = kF ( u)
Untuk sebarang skalar a , b K dan sebarang vektor v , w V, diperoleh
F ( av + bw ) = F ( av ) + F ( bw )= aF ( v ) + bF ( w )
Secara  umum,  untuk  sebarang  skalar a i K dan  sebarang  vektor v i V diperoleh sifat-sifat dasar transformasi linear (pemetaan linear) berikut ini:
F ( a 1 v 1 + a 2 v 2 + . . . + a m v m ) = a 1 F ( v 1 ) + a 2 F ( v 2 ) + . . . + a m F ( v m )

## III. PEMBAHASAN
Pada bagian ini,  akan dibahas apakah suatu  fungsi  memenuhi  syarat-syarat transformasi linear. Untuk mengetahui suatu fungsi dari ruang vektor V ke dalam ruang vektor W merupakan transformasi linear jika F memenuhi
(i) F ( u + v) = F ( u) + F ( v)
(ii) F ( k u) = kF ( u)
Fungsi  yang  merupakan  transformasi  linear  dan  yang  bukan  transfomasi linear.
Jika F:R 2 → R 2 adalah fungsi  yang didefinisikan ). , 2 ( ) , ( y x y x y x F    Jika ) , ( 1 1 y x  u dan ), , ( 2 2 y x  v maka ) , ( 2 1 2 1 y y x x     v u sehingga,
  ) , ( 2 1 2 1 y y x x F F     v u           2 1 2 1 2 1 2 1 , 2 y y x x y y x x          2 1 2 1 2 1 2 1 , 2 2 y y x x y y x x            2 2 2 2 1 1 1 1 , 2 , 2 y x y x y x y x       ) ( ) ( v u F F   Jika k adalah sebuah skalar dan ) , ( 1 1 y x  u maka ) , ( 1 1 ky kx k  u sehingga   ) , ( 1 1 ky kx F k F  u ) , 2 ( 1 1 1 1 ky kx ky kx    ) , 2 ( 1 1 1 1 y x y x k    ) ( u kF 
Jadi, F merupakan transformasi linear.
36 _ Jurnal Teknosains, Volume 8 Nomor 1, Januari 2014 , hlm. 31 – 38
Jika F:R 3 →  R 2 adalah  fungsi  yang  didefinisikan ). , ( ) , , ( 3 3 y x z y x F  Jika ) , ( 1 1 y x  u dan ), , ( 2 2 y x  v maka ) , ( 2 1 2 1 y y x x     v u sehingga,
  ) , ( 2 1 2 1 y y x x F F     v u   3 2 1 3 2 1 , y y x x    ) ( ) ( ) ( v u v u F F F   
Jadi, F merupakan sebuah transformasi linear.
Jika F:R 2 → R 2 adalah fungsi yang didefinisikan ). , ( ) , , ( z y x x z y x F    Jika ) , , ( 1 1 1 z y x  u dan ), , , ( 2 2 2 z y x  v maka ) , , ( 2 1 2 1 2 1 z z y y x x      v u
sehingga,
  ) , , ( 2 1 2 1 2 1 z z y y x x F F      v u         2 1 2 1 2 1 2 1 , z z y y x x x x            2 2 2 2 1 1 1 1 , , z y x x z y x x           2 2 2 2 1 1 1 1 , 2 , 2 y x y x y x y x       ) ( ) ( v u F F   Jika k adalah sebuah skalar dan ) , , ( 1 1 1 z y x  u maka ) , , ( 1 1 1 kz ky kx k  u sehingga
  ) , , ( 1 1 1 kz ky kx F k F  u ) , ( 1 1 1 1 kz ky kx kx    ) , ( 1 1 1 1 z y x x k    ) ( u kF 
Jadi, F merupakan sebuah transformasi linear.
Jika F:R 3 →  R 2 adalah  fungsi  yang  didefinisikan ). , ( ) , , ( 3 3 y x z y x F 
Jika ) , ( 1 1 y x  u dan ), , ( 2 2 y x  v maka ) , ( 2 1 2 1 y y x x     v u sehingga,
  ) , ( 2 1 2 1 y y x x F F     v u   3 2 1 3 2 1 , y y x x    ) ( ) ( ) ( v u v u F F F   
Jadi, F merupakan sebuah transformasi linear.
Jika F:M 22 →  R adalah  fungsi  yang  didefinisikan . bc ad d c b a F              
Jika       
1 1 1 1 d c b a a dan       
2 2 2 2 d c b a b maka      
      2 1 2 1 2 1 2 1 d d c c b b a a b a sehingga,
              2 1 2 1 2 1 2 1 d d c c b b a a F F b a       2 1 2 1 2 1 2 1 c c b b d d a a           2 2 1 2 2 1 1 1 2 2 1 2 2 1 1 1 c b c b c b c b d a d a d a d a         ) ( ) ( ) ( b a b a F F F   
Jadi, F bukan transformasi linear.
Jika F:M 22 → M 22 adalah fungsi yang didefinisikan
                       a d d c c b b a d c b a F
Jika       
1 1 1 1 d c b a a dan        2 2 2 2 d c b a b maka             2 1 2 1 2 1 2 1 d d c c b b a a b a sehingga,
              2 1 2 1 2 1 2 1 d d c c b b a a F F b a
=                                   2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 a a d d d d c c c c b b b b a a                       2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 a d d c c b b a a d d c c b b a
= ) ( ) ( b a F F 
Jika k adalah skalar dan       
1 1 1 1 d c b a a maka        1 1 1 1 kd kc kb ka k a sehingga
       1 1 1 1 ) ( kd kc kb ka F k F a                    1 1 1 1 1 1 1 1 ka kd kd kc kc kb kb ka                    1 1 1 1 1 1 1 1 a d kd c c b b a k        1 1 1 1 d c b a kF ) ( a kF 
Jadi, F merupakan transformasi linear.
Jika
F: 2 P →
2 P adalah fungsi yang didefinisikan
). ) 1 ( ) 1 ( ( ) ( 2 2 1 0 2 2 1 0        x a x a a x a x a a F Jika 2 2 1 0 x a x a a p    dan 2 2 1 0 x b x b b q    maka       2 2 2 1 1 0 0 x b a x b a b a q p        sehingga,           2 2 2 1 1 0 0 x b a x b a b a F q p F                2 2 2 1 1 0 0 1 1         x b a x b a b a             2 2 1 0 2 2 1 0 1 1 1 1           x b x b b x a x a a ) ( ) ( q F p F   Jika k adalah sebuah skalar dan
2 2 1 0 x a x a a p    maka ) ( 2 2 1 0 x ka x ka ka kp    sehingga
  ) ( 2 2 1 0 x ka x ka ka F kp F  
 2 2 1 0 ) 1 ( ) 1 (      x ka x ka ka
38 _ Jurnal Teknosains, Volume 8 Nomor 1, Januari 2014 , hlm. 31 – 38
  2 2 1 0 ) 1 ( ) 1 (      x a x a a k ) ( p kF 
Jadi, F merupakan sebuah transformasi linear.

## IV. KESIMPULAN
Berdasarkan  tujuan  penelitian  ini  yaitu  untuk  mengetahui  suatu  fungsi yang  memenuhi  syarat-  syarat  transformasi  linear,  maka  diperoleh  beberapa fungsi  yang  merupakan  transformasi  linear  dan  yang  bukan  tranformasi  linear yaitu ), , 2 ( ) , ( y x y x y x F    ), , ( ) , , ( z y x x z y x F    dan ) ( 2 2 1 0 x a x a a F   = ) ) 1 ( ) 1 ( ( 2 2 1 0     x a x a a merupakan transformasi linear, sedangkan
) , ( ) , , ( 3 3 y x z y x F  dan bc ad d c b a F               bukan transformasi linear.

## DAFTAR RUJUKAN
Anton, Howard. 1998. Aljabar Linear Elementer. Erlangga. Jakarta
Imrona, Mahmud. 2013. Aljabar Linear Dasar. Erlangga, Jakarta
Kusumawati,  Ririen.  2009. Aljabar  Linear  &  Matriks. UIN-Malang  Press, Malang.
Lipschutz,  Seymour  &  Lipson  Marc. Teori  dan  Soal  Aljabar  linear .  Erlangga, Jakarta.
Sutojo,  T,  dkk.  2010. Teori  dan  Aplikasi  Aljabar  Linear  &  Matriks .  Penerbit Andi. Yokyakarta.