47

## PEMBELAJARAN MATEMATIKA  MENGGUNAKAN TEORI APOS DI PERGURUAN TINGGI

## Nerly Khairani
Abstract. APOS theory (action, process, object, and schema learning is an approach that combines the use of computers in teaching and learning in groups (cooperative learning), this learning approach was developed by Ed Dubinsky and his colleagues are  primarily  intended  for  learning  mathematics  at  university.  On  paper  learning paradigm  will  be  discussed  based  on  the  theory  of  APOS  and  several  studies related to the theory of APOS.
Keywords: learning, mathematics, theory of APOS.

## LATAR  BELAKANG
Matakuliah-matakuliah seperti alajabar  abstrak,  analisis  real,  dan  geometri merupakan  matakuliah  pokok  yang  harus diikuti  oleh  semua  mahasiswa  program  studi Matematika  di  semua  Perguruan  Tinggi  di Indonesia. Pada umumnya mahasiswa menganggap matakuliah tersebut sulit, terutama  karena  konsepnya  yang  abstrak  dan sarat dengan teorema-teorema yang pembuktiannya menuntut kemampuan penalaran  yang  ketat.  Untuk  matakuliah- matakuliah  yang  relatif  lebih  mudahpun sebagian  mahasiswa  juga  masih  mengalami kesulitan  dalam  memahaminya  sebagaimana yang  dikemukakan  oleh  Moise  (Ayers  at  al., 1988)  bahwa  sebagian  besar  mahasiswa masih mengalami kesulitan dalam memahami topik-topik  standar  matematika  universitas seperti  fungsi  komposisi,  limit,  dan  induksi matematika.
Dengan metode pembelajaran konvensional,
pembelajaran untuk matakuliah-matakuliah tersebut meliputi: penyampaian  materi  kepada  mahasiswa, pemberian  tugas-tugas,  dan  diakhiri  dengan ujian  tulis.  Dengan  metode  seperti  ini  jelas pembelajaran  hanya  berjalan  satu  arah, mahasiswa  kurang  aktif,  belajarnya  kurang bermakna,  dan  tidak  jarang  suatu  konsep hanya  dipahami  sebagai  hafalan,  bukan
sebagai pengertian, sehingga konsep tersebut  mudah  dilupakan.    Bahkan  tidak jarang  terjadi  suatu  matematika  dipahamani secara  keliru  oleh  mahasiswa.  Semua  ini pada  akhirnya  menyebabkan  mahasiswa tidak  dapat  menerapkan  dengan  baik konsep-konsep  dan  teorema-teorema  yang telah  dipelajarinya  dalam  menyesesaikan soal-soal latihan.
Berangkat  dari  kelemahan  metode pembelajaran  konvensional  yang  telah dikemukakan di atas, maka diperlukan suatu pengembangan  pendekatan  pembelajaran yang  dapat  membantu  mengatasi  kesulitan mahasiswa  dalam  ”mencerna”  konsep- konsep  matematika  dan  terutama  dapat membuat  mahasiswa  lebih  aktif  selama pembelajaran  baik  secara  fisik,  secara mental,  maupun  secara  emosional  dan belajarnya menjadi lebih bermakna.
Sehubungan  dengan  belajar  aktif dalam  pembelajaran  di kelas,  Piaget (Labinowicz,  1980:209)  berpendapat  bahwa peran  pengajar  di  dalam  kelas  bukan  hanya sebagai  penyampai  informasi,  tetapi  juga memfasilitasi  terjadinya  interaksi.  Agar “active  learning”  berjalan  dengan  baik, Duckworth (Labinowicz,
1980:209)
menyatakan bahwa:
Good pedagogy must involve presenting the  child  with  situations  in  which  he
48
himself  experiments  in  the  brodest  sense of  term-trying  things  out  to  see  what happens, manipulating thing, manipulating  symbols,  posing  questions, and seeking his own answers, reconciling what  he  find  at  one  a  time  with  what  he finds at another, comparising his findings with other children.
Usaha  yang  kita  dapat  lakukan  agar siswa mempunyai kesempatan untuk membandingkan  satu  sama  lain  tentang  apa- apa    yang  ia  temukan,  yaitu  dengan memberikan  kesempatan  kepada  mereka untuk  saling  berkomunikasi.  Sehubungan dengan  ini,  Sumarmo  (2003)  berpendapat bahwa: “Pada umumnya pembelajaran dalam kelompok  kecil  memberi  kesempatan  yang lebih besar kepada siswa untuk berkomunikasi dengan sebayanya”.
Berkaitan  dengan  pembelajaran  yang menggunakan  bantuan  komputer,  Dubinsky dan Tall ( 1991:235) menyatakan bahwa:
…….  learning  may  be  improve  by helping  students  to  construct  knowledge in  their  own  minds  in  a  context  which  is disigned  to  aid,  or  even  stimulate,  that constraction.  One  way  of  doing  this  is through providing richly endowed computer software which embodies powerful  mathematical  ideas  so  that  the student  can  manipulate  and  reflect  on them.
Pembelajaran  dengan  menggunakan bantuan komputer untuk matakuliah- matakuliah  yang  abstrak  seperti  aljabar, analisis,  dan  geomerti  dapat  dipakai  untuk melihat  sisi-sisi  kongkrit  dari  konsep-konsep dalam matakuliah-matakuliah tersebut. Usaha untuk memfasilitasi pembelajaran pada umumnya,  menghendaki  untuk  merevisi kurikulum,  pemakaian  teknologi  terbaru dalam  pembelajaran,  atau  mencoba  untuk menemukan suatu  cara   dimana  dosen dapat menyampaikan  materi  perkuliahan  dengan lebih baik. Menurut Ayers et al. (1988), salah satu cara yang menjanjikan suatu
keberhasilan    yang  dapat  dicoba  oleh  dosen adalah  dengan  mempertimbangan  proses- proses  mental  yang  terjadi  pada  pikiran mahasiswa  dalam  memahami  suatu  konsep. Selanjutnya  Ayers  (1988)  juga  menyarakan bahwa penggunaan komputer dalam pembelajaran  dapat  membantu  mahasiswa dalam melakukan konstruksi-konstruksi mental  dalam  mempelajari  suatu  konsep matematika.
Teori APOS merupakan suatu pendekatan  pembelajaran  yang  memadukan penggunaan  komputer  dalam  pembelajaran dan  belajar  dalam  kelompok  (cooperative learning),  Pendekatan  pembelajaran  ini dikembangkan  oleh  Ed  Dubinsky  dan koleganya  yang  terutama  diperuntukkan bagi pembelajaran matematika di universitas.  Pada  makalah  akan  dibahas paradigma  pembelajaran  berdasarkan  teori APOS  dan  beberapa  penelitian    yang berkaitan dengan teori APOS.

## TEORI APOS
Teori  APOS  muncul  dengan  tujuan untuk  memahami  mekanisme  abstraksi reflektif  yang  diperkenalkan  oleh  Piaget yang  menjelaskan  perkembangan  berpikir logis  matematika  untuk  anak-anak.  Ide tersebut  kemudian  dikembangkan  untuk konsep matematika yang lebih luas, terutama  untuk  membentuk  perkembangan berpikir  logis  bagi  mahasiswa.  Menurut Dubinsky  dan  McDonald  (  2001:275),  teori APOS  ini  sangat  berguna  untuk  mencoba mengerti  pembelajaran  mahasiswa  dalam berbagai  topik  pada  kalkulus,  aljabar abstrak,  statistika,  matematika  diskrit,  dan topik-topik matematika lainnya.
Teori  APOS  dapat  digunakan  secara langsung dalam membandingkan keberhasilan  atau  kegagalan  individu  yang berkaitan  dengan  konstruksi  mental  yang telah terbentuk untuk suatu konsep matematika. Misalkan ada dua individu yang kelihatannya  sama-sama  menguasai  suatu konsep  matematika,  Dengan  teori  APOS dapat  dideteksi  lebih  lanjut  siapa  yang
49
penguasaan  konsep  matematikanya  lebih baik,  yaitu  jika  seseorang  dapat  menjelaskan lebih  lanjut  konsep  tersebut  maka  ia  berada pada  tingkat  yang  lebih  baik  daripada  yang satunya.  Disamping  itu,  jika  konstruksi mental  APOS,  yaitu action , process , object , dan schema untuk  suatu  konsep  matematika telah dikonstruksi  oleh individu  dengan baik, maka  dapat  dipakai  untuk  membuat  prediksi yang  mantap  dari  individu  tersebut  akan berhasil  menggunakan  konsep  matematika tersebut dalam menyelesaikan suatu persoalan.

## KERANGKA PENELITIAN PENDIDIKAN MATEMATIKA DI PERGURUAN TINGGI
Kerangka yang dipakai pada penelitian pendidikan matematika di perguruan  tinggi    yang  berdasarkan  teori APOS  terdiri  dari  tiga  komponen,  yaitu:
Theoretical Analysis,
Design and Implementation of Instruction, Collection and Analysis of Data

## THEORETICAL ANALYSIS
Maksud dari theoretical analysis untuk suatu  konsep  adalah  untuk  memberikan model kognisi, yaitu deskripsi dari konstruksi mental  tertentu  yang  mahasiswa  mungkin buat  dalam  usahanya  untuk  memahami  suatu konsep.Theoretical  analysis  suatu  konsep dibuat  berdasarkan  pemahaman  peneliti tentang  konsep  tersebut  dan  berdasarkan pengalaman  peneliti  sebagai  orang  yang pernah belajar dan mengajar konsep tersebut. Hasil  dari  theoretical  analysis  suatu  konsep disebut genetic decomposition konsep tersebut.
PENGETAHUAN MATEMATIKA DAN PENGKONSTRUKSIANNYA
Apa  yang  dimaksud  dengan  belajar dan  mengetahui  sesuatu  tentang  matematika? Asiala  et  al.  (2000:7)  mendeskripsikan sebagai berikut.
An individual’s mathematical knowledge  is  her  or  his  tendency  to respond  to  percieve  mathematical
problem  situation  by  reflecting  on problem and their solution in a social context and by constructing mathematical  actions,  process,  and object  and  organizing  these  in schemas  to  use  in  dealing  with  the situation
Pernyataan diatas menyatakan bahwa “memiliki” pengetahuan terdiri dari kecendrungan  untuk  membuat  konstruksi mental  yang  dipakai  untuk  menghadapi permasalahan.  Sering  sejumlah  konstruksi merupakan  rekonstruksi  dari  sesuatu  yang sudah  ada,  tetapi  rekonstruksinya  tidak persis  sama  seperti  yang  sudah  ada sebelumnya. Istilah konstruksi dan rekonstruksi yang dimaksudkan di sini mirip dengan  istilah  akomodasi  dan  asimilasi  dari Piaget.

## KONSTRUKSI-KONSTRUKSI MENTAL DALAM BELAJAR MATEMATIKA
Memahami konsep matematika dimulai  dengan  memanipulasi  konstruksi mental  yang  sudah  ada  atau  memanipulasi object untuk  membentuk action ; action kemudian  diinteriorisasi  untuk  membentuk process yang kemudian di-enkapsulasi untuk membentuk object. Object dapat  dide- encapsulasi kembali menjadi process . Akhirnya, action , process ,  dan object dapat diorganisasi dalam schema.
Berikut  ini  diberikan  deskripsi  yang lebih lengkap untuk masing-masing konstruksi mental yang dimaksud:
ACTION / ACTION KONSEP
Adalah  suatu  transformasi  yang diterima  oleh  individu  sebagai  hal  yang eksternal.  Tansformasi  dilakukan  dengan bereaksi terhadap petunjuk-petunjuk eksternal  yang  memberikan  rincian  yang tepat  mengenai  langkah-langkah  apa  yang harus  diambil.  Sebagai  contoh,  mahasiswa yang  tidak  dapat  menapsirkan  situasi sebagai  fungsi  kecuali  jika  ia  mempunyai formula  untuk  menghitung  nilai  fungsinya,
50
maka  individu  tersebut  terbatas  hanya  pada action konsep fungsi.

## PROCESS/PROCESS KONSEP
Ketika suatu action diulang-ulang dan individu  melakukan  refleksi  padanya,  maka action  diinteriorisasi  menjadi process, yaitu konstruksi  internal  dibuat  dengan  melakukan action  yang  sama,  tetapi  sekarang  tidak diarahkan  oleh  stimulus  dari  luar.  Individu yang  sudah  mengkonstruksi process konsep dapat menguraikan atau bahkan membalikkan langkah-langkah  dari  transformasi  tanpa benar-banar  melakukannya.    Berbeda  dengan action,  process dirasakan  oleh  individu sebagai hal yang internal dan dibawah kontrol individu tersebut. dalam kasus fungsi, proces s konsep memungkinkan individu untuk memaknai fungsi sebagai menerima satu atau lebih  nilai  variabel  bebas  (input),  melakukan satu  atau  lebih  operasi  pada    input  dan mengembalikan hasil itu sebagai  output, atau nilai  dari  variabel  terikat.  Sebagai  contoh, untuk  memahami  fungsi  seperti sin(x) seseorang  memerlukan  process  konsep  dari fungsi  karena  tidak  ada  formula  eksplisit untuk  memperoleh  output  dari  input  yang diberikan.

## OBJECT/OBJECT KONSEP
Ketika  individu  berrefleksi  pada operasi  yang  diterapkan  pada process tertentu,  menjadi  sadar  terhadap process sebagai keseluruhan, menyadari bahwa transformasi  (baik action maupun process ) dapat  bertindak  padanya,  dan  benar-benar dapat  mengkonstruksi  transformasi  itu,  maka individu  tersebut  memaknai process sebagai object .    Dalam  kasus  ini  dikatakan  bahwa process  telah  di-encapsulasi  menjadi object . Dalam  kasus  fungsi, process fungsi  telah  di- encapsulasi  menjadi object ,  ketika  individu dapat  memikirkan  tentang  memanipulasi fungsi  seperti  penjumlahan,  perkalian,  atau hanya membentuk himpunan fungsi.
CHEMA/SCHEMA KONSEP Sekali dikonstruksi, object dan process dapat diinterkoneksi dengan berbagai cara. Process dan object dihubungkan dengan
fakta  bahwa  process  bertindak  pada  object. Kumpulan  dari  action,process,  object,  dan schema lainnya yang terhubung secara padu dan  diorganisasi  secara  terstruktur  dalam pikiran individu disebut schema . Schema ini yang  dapat  diandalkan  dalam  menghadapi persoalan dalam bidang matematika. Perbedaan antara schema dengan konstruksi- konstruksi  mental  lainnya  adalah  seperti perbedaan  dalam  bidang  biologi  antara organ  dengan  sel.  Keduanya  adalah  object, tetapi organ (schema) memberikan keperluan-keperluan  agar  sel  berfungsi sebagaimana  mestinya,    Schema  dari seorang individu adalah keseluruhan pengetahuan  yang  ia  hubungkan  secara sadar  maupun  tidak  sadar  dengan  konsep matematika tertentu. Seorang individu dapat mempunyai  schema  untuk  fungsi,  schema untuk turunan, dan lain-lain. Schema sendiri dapat  diperlakukan  sebagai object dan termuat  dalam  organisasi schema pada tingkatan yang lebih tinggi. Sebagai contoh, fungsi-fungsi  dapat  dinyatakan  sebagai himpunan,  operasi  pada  himpunan  tersebut didefinisikan,  dan  sifat-sifat  dari  operasinya dapat diperiksa. Semua ini dapat diorganisasi  untuk  membentuk schema untuk  ruang  fungsi  yang  kemudian  dapat diterapkan  kepada  konsep-konsep  seperti ruang  dual,  ruang  pemetaan  linear,  dan aljabar fungsi.

## DISAIAN DAN IMPLEMENTASI PEMBELAJARAN
Komponen  kedua  dari  kerangka penelitian pendidikan matematika di perguruan tinggi adalah disain dan implementasi  pembelajaran  yang  dibuat berdasarkan  pada  theoretical  analysis  yang sudah  ada.  Dalam  perspektif  teori  belajar, teori  APOS  mempengaruhi  pembelajaran dengan  dua  cara.  Pertama,  theoretical analysis  mempostulatkan  konstruksi  mental tertentu  yang  dapat  dibantu  konstruksinya melalui pembelajaran. Kedua, disain pembelajaran  tergantung  kepada  topik matematika tertentu.
51
Dalam perspektif pembelajaran dengan  teori  APOS,  mahasiswa  diceburkan secara sengaja ke dalam lingkungan ketidakseimbangan  yang  memuat  sebanyak mungkin  materi  yang  akan  dipelajari. Gagasannya  adalah  semuanya  disajikan secara  menyeluruh  (holistik),  sebagai  lawan dari  penyajian  yang  berurutan.  Setiap individu  (atau  kelompok  kecil)  mencoba untuk  memahami  situasi,  yaitu  mereka mencoba  menyelesaikan  masalah,  menjawab pertanyaan atau memahami gagasannya.
Kontek  sosial  yang  merupakan  acuan dari  teori  APOS,  diimplementasikan  dalam pembelajaran  melalui  penerapan  kooperatif learning.  Mahasiswa  dikelompokkan  di  awal semester  kedalam  kelompok-kelompok  kecil yang  terdiri  dari  tiga  sampai  lima  orang, untuk mengerjakan semua tugas-tugas perkulihan  seperti  praktikum,  diskusi  kelas, pekerjaan  rumah,  dan  latihan-latihan  soal secara bersama-sama.
Strategi  pembelajaran  dalam  teori  APOS juga  dimaksudkan  agar  mahasiswa  mencoba untuk  melakukan  refleksi  pada  apa  yang mereka kerjakan melalui keseluruhan struktur perkuliahan.  Pendekatan  pedagogi  yang diperkirakan  mendukung  maksud  ini  adalah silklus  pembelajaran  ACE,  yaitu:  activities, class discussion, dan exercise. Dengan disain ini, perkuliahan dibagi menjadi beberapa sesi dan setiap sesi dilaksanakan selama seminggu.  Dalam  seminggu  itu  kegiatannya meliputi  kegiatan  di  laboratorium  komputer dan kegiatan di ruang kelas. Pekerjaan rumah diberikan diluar jam kuliah.
Activities:
Kegiatan  mahaiswa  di  laboratorium komputer  dalam  mengerjakan  tugas-tugas pemrograman secara berkelompok dimaksudkan  untuk  membantu  konstruksi mental  yang  diusulkan  oleh  theoretical analysis. Pengerjaan tugas-tugas pemrograman  komputer  tidak      dibatasi waktunya  (dapat  dikerjakan  diluar  jadwal praktikum  yang  resmi).  Tujuan  utama kegiatan  ini  lebih  ditekankan  pada  usaha untuk memberikan mahasiswa suatu
pengalaman dasar daripada meminta mereka untuk  memberikan  jawaban  yang  benar. Melalui kegiatan ini mahasiswa memperoleh pengalaman  yang  berhubungan  dengan  isu- isu matematika  yang akan dikembangkan di dalam perkuliahan.

## CLASS DISCUSSION
Kegiatan  di  dalam  ruangan  kelas dimana  mereka  masih  bekerja  berkelompok diisi  dengan  kegiatan  mahasiswa  berupa pengerjaan tugas-tugas yang masih berhubungan  dengan  kegiatan  yang  telah diberikan di laboratorium komputer. Keterlibatan  dosen  dalam  diskusi  pada masing-masing kelompok dimaksudkan untuk memberi kesempatan kepada mahasiswa  untuk  berefleksi  pada  apa  yang sudah  mereka  kerjakan  di  laboratorium  dan pada  tugas  yang  sedang  mereka  kerjakan. Dalam  diskusi  kelas  ini  juga,  dosen memberikan definisi, penjelasan, dan tinjauan  untuk  mengaitkan  dengan  apa-apa yang mahasiswa telah pikirkan.

## Exercises:
Pada  siklus  ini  mahasiswa  diberikan latihan-latihan  soal  untuk  dikerjakan  secara berkelompok,  diharapkan  ini  dikerjakan diluar  kegiatan  kelas  dan  laboratorium  dan dapat berupa pekerjaan rumah tentang tugas laboratorium.  Maksud  dari  latihan-latihan ini  adalah  untuk  mengokohkan  konsep- konsep  matematika  yang  telah  dikonstruksi, menerapkan  konsep-konsep  yang  sudah dipelajari, dan mulai berpikir tentang hal-hal yang akan dipelajari pada sesi berikutnya. Tugas-tugas pemrograman yang dikerjakan  pada  siklus  activities  berkenaan dengan  konsep-konsep  matematika  tertentu yang  akan  dipelajari,  jenis-jenis  tugas pemrogrmannya  yang  diberikan  disesuaikan dengan  usaha  untuk  membantu  konstruksi mental  APOS.  Ada  beberapa  bahasa pemrograman  yang  dapat  dipakai  untuk membuat tugas-tugas pemrograman, misalnya  Mathematica,  Maple,  dan  ISETL. Dari  ketiga  jenis  bahasa  pemrograman tersebut,  bahasa  pemrograman  ISETL  yang
52
lebih  dekat  dengan  notasi  matematika  yang standar.

## PENGUMPULAN DAN ANALISIS DATA
Dalam perspektif pembelajaran dengan teori APOS, kita dapat mengumpulkan  data  tentang  hasil  belajar mahasiswa  yang  belajar  secara  tradisional, data  tentang  hasil  belajar  mahasiswa  yang belajar  berdasarkan  teori  APOS,  dan  data tentang sikap mahasiswa terhadap matakuliah tertentu  yang  menjadi  kajian  kita.  Data-data seperti  ini  dapat  dikumpulkan  dengan menggunakan  tiga  jenis  instrumen,  yaitu:  tes terulis,  wawancara,  dan  kombinasi  dari  tes tertulis  dan  wawancara.  Data  dari  tes  tertulis dapat memberi informasi kepada kita tentang apa  yang  mahasiswa  dapat  atau  tidak  dapat pelajari  dan  juga  tentang  konstruksi  mental yang mungkin. Dengan menggunakan analisis data  yang  sesuai,  kita  juga  dapat  melihat apakah  pembelajaran  dengan  teori  APOS lebih  efektif  atau  tidak  dibandingkan  dengan pembelajaran  secara  tradisional.  Wawancara dapat  dilakukan  terhadap  semua  responden atau  terhadap  sebagian  saja.  Dalam  hal wawancara  dilakukan  terhadap  sebagian responden,  responden  dipilih  berdasarkan tingkat  pemahaman  yang  mereka  miliki, mulai  dari  yang  terendah  sampai  yang tertinggi,  yaitu  dengan  memilih  mahasiswa yang menjawab benar untuk suatu soal, benar sebagian, dan sama sekali salah.

## HASIL-HASIL PENELITIAN YANG MENGGUNAKAN TEORI APOS
Terdapat  beberapa  penelitian  yang menggunakan  pendekatan  teori  APOS  dalam pembelajaran topik-topik matematika universitas,  diantaranya  telah  dilakukan  oleh M.  Asiala,  A.  Brown,  J.  Kleimen  dan  D. Mathews,  1997;  M.  Asiala,  J.  Cottrill,  E. Dubinsky,  dan  K.  Schwingendorf,  1997;  M. Asiala,  E.  Dubinsky,  D.  Mathews,  S.  Norics, dan  A.  Oktac,  1997;  D.  Breidenbach,  E. Dubinsky, J. Hanks, dan D. Nichols, 1992; A. Brown,  D.  De  Vries,  E.  Dubinsky,  dan  K. Thomas,  1997;  J.  Clark,  F.  Cordero,  J.
Cottrill, B. Czarnocha, D.J. De Vries, D. St. John, G. Tolias, dan D.  Vidakovic, 1997;  J. Clark, C. Hemenway, D. St. John, G. Tolias, dan  R.  Vakil,  1999;  E.  Dubinsky,  1989, 1997. Secara umum, hasil penelitian tersebut mengindikasikan  bahwa:  (i)  pendekatan pembelajaran berdasarkan teori APOS dapat meningkatkan pemahaman mahasiswa terhadap  topik-topik  matematika  dan  (ii) pendekatan  pembelajaran  berdasarkan  teori APOS  dapat  membuat  siswa  bersikap  lebih positif  terhadap  topik-topik  matematika universitas.
Secara rinci, beberapa hasil penelitian  yang  menggunakan  pendekatan teori APOS akan dibahas lebih lanjut. Asiala et  al.  (1997a;  1997b;  1998;    )  telah melakukan  penelitian  tentang  bagaimana mahasiswa dapat memahami konsep-konsep matematika  universitas  seperti:  permutasi dan  simetri;  fungsi  turunan  dan  grafiknya; koset,  group  kosien,  dan  subgroup  normal. Peneliti  terlebih  dahulu  membuat  initial theoritical  analyses  dari  masing-masing konsep,  yaitu  uraian  tentang  apa  yang dimaksud dengan memahami konsep-konsep tersebut,  yang  dinyatakan  dalam  konstruksi mental APOS. Selanjutnya peneliti membuat rencana pembelajarannya yang dibuat berdasar  initial  theoritical  analyses,  yang dimaksudkan  untuk  membantu  mahasiswa dalam membuat konstruksi-konstruksi mental APOS yang diharapkan. Berdasarkan hasil wawancara dan tes, peneliti menyatakan bahwa pendekatan pembelajaran  berdasarkan  teori  APOS sangat  efektif  dalam  membantu  mahasiswa meningkatkan  pemahaman  konsep-konsep tersebut.  Selanjutnya  berdasarkan  data  yang terkumpul,  peneliti  mengusulkan  perbaikan initial  theoritical  analyses  untuk  masing- masing konsep tersebut.
Dalam  pembelajaran    “turunan  dan grafiknya” Asiala et al.(1997a) mengusulkan model pembelajarannya sebagai berikut.
a). Initial  theoretical  analysis  (genetic decomposition) untuk konsep turunan

## 53
Pengetahuan Prasyarat:
1) Mahasiswa  tahu  dan  memahami  tentang representasi  secara  grafik  dari  suatu  titik pada kurva dalam koordinat kartesius dan dapat menginterpretasikannya.
2) Mahasiswa  tahu  dan  memahami  tentang gradien dari suatu garis.
3) Mahasiswa  tahu  dan  memahami  tentang konsep fungsi.
Jalur grafik dan analitik untuk turunan
Peneliti mengusulkan bahwa paling sedikit  ada  dua  jalur  yang  dapat  dipakai dalam  mengkonstruksi  schema  untuk  konsep turunan,  yaitu:  jalur  grafik  dan  jalur  analitik. Selengkapnya dinyatakan sebagai berikut. 1a. Secara grafik: action dari menghubungkan dua titik pada kurva dan action dari menghitung gradien dari suatu garis yang melalui dua buah titik.
1b.  Secara  analitik:  action dari  menghitung tingkat perubahan rata-rata, yaitu menghitung beda terbagi pada suatu titik.
2a. Secara  grafik: Interiorisasi  dari action pada  butir 1a menjadi  suatu process , yaitu  dua  titik  pada  kurva  makin  lama makin dekat.
2b. Secara analitik: Interiorisasi action pada butuir 1b menjadi  suatu  process,  yaitu panjang  intervalnya  (∆x)  makin  lama makin mendekati nol.
3a. Secara grafik: Enkapsulasi  process  pada butir 2a untuk memperoleh garis singgung.
3b.Secara  analitik: Enkapsulasi  procces pada butir 2b untuk memperoleh perubahan sesaat pada suatu titik.
4. Enkapsulasi process pada butir 2a dan 2b untuk  memperoleh  definisi  dari  fungsi turunan pada suatu titik sebagai limit dari beda terbagi pada suatu titik.
5. Koordinasi process pada  butir 2a dan 2b
dalam berbagai situasi untuk
menghubungkan  definisi  turunan  dengan beberapa interpretasi.
6. Interiorisasi  dari action dari  menentukan turunan  pada  suatu  titik  menjadi process untuk  fungsi  f”(mengubah  input  x menjadi output f”(x))
7. Enkapsulasi process pada  butir 6 untuk memperoleh fungsi f” sebagai object. 8. Reconstruksi
schema untuk
menginterpretasikan  secara  grafik  suatu fungsi dengan memakai hubungan antara sifat-sifat fungsi dan turunannya.

## Pertanyaan dalam wawancara
Pertanyaan  dalam  wawancara  ada  sebelas buah, soal nomor tujuh sebagai berikut. Buatlak  sketsa  grafik  dari  fungsi  h  yang memenuhi kondisi berikut:
h adalah fungsi kontinu h(0) = 0, h’(-2) = h’(3)=0, dan lim h’(x) = ∞,
h’(x)>0 jika -4<x<-2, dan jika -2<x<3 h’(x)<0 jika x<-4, dan jika x>3
h”(x)<0 jika x<-4, jika -4<x< -2, dan jika 0<x<5,
h”(x)>0 jika -2<x<0, dan jika x>5,
lim h(x) = ∞ dan lim h(x) = -2
Pertanyaan  (dalam  hati)  yang  diajukan peneliti  dalam  mencermati  hasil  wawancara adalah sebagai berikut.
Pemahaman secara grafik suatu fungsi:
1. Apakah  mahasiswa  tampak  memahami notasi  y  =  f(x)  yang  dinyatakan  dalam bentuk grafik?
2. Apa  yang  mahasiswa  dapat  lakukan tentang  suatu  fungsi  dengan  hanya mengetahui grafik dari fungsi tersebut?
3. Apakah  mahasiswa  tampak  memahami notasi fungsi secara umum?
4. Apakah  mahasiswa  dapat  menggambar grafik suatu fungsi dengan baik berdasarkan  beberapa  informasi  tentang nilai fungsi dan nilai
turunannya.(pertanyaan soal no 7)?
Pemahaman  secara  grafik  dari  fungsi turunan:
1. Apakah  mahasiswa  tampak  memahami bahwa nilai dari f’(x) adalah gradien dari garis  singgung  suatu  fungsi  di  titik (x,f(x))?
2. Apa  yang  mahasiswa  dapat  lakukan tentang  suatu  fungsi  turunan  dengan hanya  mengetahui  grafik  dari  fungsi tersebut.
3. Dalam  mengerjakan  soal  no  7,  apakah mahasiswa  tampak  memahami  bahwa
54
kalau  nilai  turunannya  mendekati  tak terhingga  pada  suatu  titik,  maka  gradien dari  garis  singgung  di  titik  tersebut  juga menuju tak terhingga? Sehingga ada garis singgung yang vertikal?
4. Dalam  mengerjakan  soal  no  7,  apakah mahasiswa tampak memahami bagaimana memakai  turunan  untuk  menentukan interval dimana fungsi monoton?
Penelitian  dengan  hasil  yang  serupa juga  telah  dilakukan  oleh  D.  Breidenbach  et al. (1992) dalam topik fungsi; A. Brown et al. (1997)  dalam  topik  operasi  biner,  group,  dan subgroup.  Dalam  topik  operasi  biner,  group, dan  subgroup,  A.  Brown  et  al.  mengusulkan beberapa  kode  ISETL  untuk  operasi  biner, group, dan subgroup sebagai berikut.
Untuk
membantu mahasiswa mengkonstruksi action konsep  operasi  biner, mahasiswa  diminta  untuk  mengerjakan  kode ISETL,
x:= 4; y:= 2; if (x+y) mod 6 =0 then ans:= ”Aditive Inverse!”; end; ans;
Untuk membantu mahasiswa memahami  group  sebagai object ,  mahasiswa diminta untuk mengerjakan kode ISETL, name_group:= proc(set,operation); G:= set; o:= operation; e:= identity (G,o); i:= | g-> inverse (G,o,g)|; Writeln”Group  objects  defined:  G, o, e, i”; end;
Berbeda  dengan  hasil  penelitian  yang  telah diperoleh  oleh    Asiala  et  al.,        Breidenbach et  al.,  dan  Brown  et  al.,  peneliti  lain  yaitu Clark et  al.  (1997) menyatakan bahwa dalam mengkonstruksi schema untuk  konsep aturan rantai,  teori  APOS  saja  belum  cukup, melainkan  harus  dilengkapi  dengan  Triad (intra, inter, dan trans level).
Penelitian  yang  berkenaan  dengan sikap mahasiswa setelah memperoleh pembelajaran  berdasarkan  teori  APOS  antara
lain telah dilakukan oleh  Clark et al. (1999). Hasil  penelitiannya  mengindikasikan  bahwa mahasiswa  yang  menerima  pembelajaran aljabar abstrak berdasarkan teori APOS pada umumnya  bersikap  lebih  positif  terhadap aljabar abstrak dibangdingkan dengan mahasiswa  yang  memperoleh  pembelajaran secara  tradisional.  Ini  terlihat  melalui komentar  delapan  dari  sebelas  mahasiswa pada  kelompok  eksperimen  (pembelajaran berdasarkan teori APOS) tentang pembelajaran  yang  mereka  terima.  Berikut ini adalah beberapa dari komentar mereka.
James :  In  comparison  with  all  the other  course  I  took  at  [this university]  I  would  probably say it is the best math class  I took.
Jeff : That it was a good class. I liked it.
Diane : I enjoiyed it.
Lynette : umm, I thought it was very positive experience.
Sebaliknya, hanya 7 dari 22 mahasiswa pada kelompok kontrol
(pembelajaran  secara  tradisional)  yang bersikap positif terhadap pembelajaran yang mereka  terima.  Berikut  ini  adalah  beberapa dari komentar mereka.
Tammy :  [I  remember]  how  much  I hated  it.  Um,  I  put  a  lot  of work into it and I still don’t understand,  I  don’t  think Professor X did a very good job teaching it.
Janet: I did’t like it. (laughter…) It’s Mark: Uh, my general memeries of the course are not pleasant. I did’t enjoy it very much… At the very beginning,  I thought it was going to be fairly easy, because  we  started  off  with induction, which I had extensively  before  and  I knew very well. And then we gotinto  groups  and  that  was fairly  easy.  Then  I  got  lost. The  rest  of  the  course  was  a
55
blur.  Then  I  got  lost.  The  rest of the course was a blur.

## DAFTAR PUSTAKA
Asiala,  M.  et  al.  (1997a).  “The  Development of  Student’s  graphical  Understanding of The Derivative”. Journal of Mathematical  Behavior .  16(4),  399- 431.
Asiala,  M.  et  al.  (1997b).  “Student’s Understanding  of  Cosets,  Normality, and  Quotient  Groups”. Journal  of Mathematical Behavior . 16(3), 241-309. Asiala,  M.  et  al.  (1998).  “The  Development of  Student’s  Understanding  of  The Permutation and Symetries”. Journal of Mathematical Behavior . 3, 13-43. Asiala,  M.  et  al.  (2000). A  Framework  for Research  and  Curiculum Development in undergraduate Mathematics education .[online].Tersedia: http://
www.  cs.  gsu.  edu  /~rumec/paper/  [16- 4-2004]
Breidenbach, D. et  al.  (1992). “Development
of The Process Conception of Function”. Educational Studies in Mathematics , 23, 247-285. Brown,  A.  et  al.  (1997).  “Learning  Binary Operations,  group,  and  Subgroup”. Journal  of  Mathematics  behavior . 16(3), 187-239.
the  worst  math  class  here.  I did’t like the material.
Clark,  J.  et  al.  (1997).  “Constructing  a Schema: The Case of The Chain rule”. Journal  of  Mathematical  Behavior .  16(4). 345-364.
Clark,  J.  et  al.  (1999).  “Student  Attitudes Toward  Abstract  Algebra”. Primus . 9(1). 76-95.
Dubinsky,  E.  &  McDonald,  M.  (1991).
“APOS:  A  Construtivist  Theory  of Learning
in Undergraduate Mathematics  Education  Research ”, dalam  an  ICMI  Study.(1991),  The Teaching and Learning of
Mathematics  at  University  Level.
London: Kluwer Academic Publiser
Dubinsky,  E.  &  Tall,  D  (1991).  “Advanced Mathematical Thinking and The Computer”, dalam Advanced Mathematical Thinking.(1991),London: Kluwer Academic Publiser.
Labinowicz,E.  (1980). The  Piaget  Primer Thinking  Learning  Teaching. London:
Adison  Wesley. Sumarmo,U. (2003). “pembelajaran Ketrampilan  Membaca  Matematika” Makalah  pada  Pelatihan  Nasional Training  of  Trainer  (TOT)  bagi  Guru
Bahasa  Indonesia  dan    Matematika SLTP Tahun 2003.