Vol. 20, No. 1, September 2023, pp. 245- 257 DOI: 10.20956/j.v20i1.27746

## Stability Analysis of the SIR-SI Model for Dengue Fever Transmission with Saturated Birth Rate
Analisis Kestabilan Model SIR-SI untuk Transmisi Penyakit Demam Berdarah Dengue dengan Angka Kelahiran Jenuh
Joko Harianto 1* , Katarina Lodia Tuturop 2 **
* Program Studi Matematika FMIPA Universitas Cenderawasih, Papua ** Program Studi Ilmu Kesehatan Masyarakat FKM Universitas Cenderawasih, Papua Email : joharijpr88@gmail.com 1 , lodiatuturop26@gmail.com 2

## Abstract
The  SIR-SI  mathematical  model  for  the  problem  of  dengue  virus  spread  which  has  been discussed  in  previous  studies  has  not  involved  the  saturated  birth  rate  of  mosquito.  This discussion  aims  to  construct  and  analyze  the  SIR-SI  model  which  involves  competition factors  in  mosquito  population  growth  so  that  the  model  used  to  predict  the  number  of dengue  virus  infections  becomes  more  realistic.  In  addition,  sensitivity  analysis  and numerical  simulations  of  the  models  that  have  been  constructed  are  also  discussed.  The method used is a literature study using theories derived from reputable articles. The results of this discussion show that the existence of an equilibrium point and its stability depends on  the  basic  reproduction  number.  If  the  basic  reproduction  number  is  less  than  one,  the number of cases of dengue fever infection will decrease. However, if the basic reproduction number  is  more  than  one,  the  number  of  cases  of  dengue  infection  will  not  decrease  and even tend to be constant at a certain number. The average parameter of bites carried out by one  mosquito  in  all  humans  ( )  is  the  most  dominant  in  increasing  the  spread  of  dengue disease in humans. On the other hand, mosquitoes' natural death rate parameter ( ) is the most  dominant  in  reducing  the  spread  of  dengue  fever  in  humans.  This  information provides  input  and  evaluation  to  decision-makers  in  solving  the  problem  of  the  spread  of dengue fever.
Keywords: Dengue fever, Sensitivity analysis, SIR-SI model

## JURNAL MATEMATIKA, STATISTIKA DAN KOMPUTASI
Joko Harianto, Katarina Lodia Tuturop

## Abstrak
Model matematika SIR-SI untuk masalah penyebaran virus dengue yang telah dibahas pada penelitian-penelitian  sebelumnya  belum  melibatkan  faktor  kejenuhan  pertumbuhan  alami nyamuk.  Pembahasan  ini  bertujuan  mengkonstruksi  dan  menganalisis  model  SIR-SI  yang melibatkan  faktor  kejenuhan  pertumbuhan  alami  nyamuk  sehingga  model  yang  dibahas lebih  realistis.  Selain  itu,  dibahas  juga  analisis  sensitivitas  dan  simulasi  numerik  model yang telah dikonstruksi. Metode yang digunakan adalah studi pustaka dengan menggunakan teori-teori  yang  berasal  dari  artikel  bereputasi.  Hasil  pembahasan  ini  menunjukkan  bahwa eksistensi  titik  ekuilibrium  dan  kestabilan  lokalnya  bergantung  pada  bilangan  reproduksi dasar  model  SIR-SI.  Jika  bilangan  reproduksi  dasar  kurang  dari  angka  satu  maka  jumlah kasus  infeksi  penyakit  Demam  Berdarah  Dengue  (DBD)  akan  menurun.  Namun,  jika bilangan reproduksi dasar lebih dari angka  satu  maka jumlah kasus infeksi penyakit DBD tidak  akan  menurun  bahkan  cenderung  konstan  pada  angka  tertentu.  Parameter  rata-rata gigitan  yang  dilakukan  oleh  satu  nyamuk  pada  semua  manusia  ( )  merupakan  parameter yang paling berdampak terhadap peningkatan penyebaran penyakit DBD pada manusia. Di sisi  lain,  parameter  laju  kematian  alami  nyamuk  ( )  merupakan  parameter  yang  paling berdampak  terhadap  penurunan  penyebaran  penyakit  DBD  pada  manusia.  Informasi  ini memberikan  masukan  dan  evaluasi  kepada  pihak  yang  berwenang  dalam  menyelesaikan masalah penyebaran penyakit DBD.
Kata kunci: Demam berdarah dengue, Analisis sensitivitas, Model SIR-SI

## 1.  PENDAHULUAN
Demam Berdarah Dengue (DBD) merupakan masalah kesehatan masyarakat yang utama di negara tropis dan subtropis. Penyakit ini ditularkan melalui vektor yaitu nyamuk Aedes aegypti dan Aedes albopictus . Demikian pula dengan manusia, nyamuk berbeda di antara mereka sendiri dalam  hal  ciri-ciri  sejarah  hidup  mereka.  Variasi  individu,  lingkungan,  suhu  dan  kelembaban memiliki  pengaruh  yang  kuat  terhadap  riwayat  hidup  nyamuk.  Lebih  dari  2,5  miliar  orang  atau hampir separuh penduduk dunia berisiko terinfeksi penyakit DBD. Sekitar 390 juta (kisaran 284- 528 juta) orang positif terinfeksi virus dengue setiap tahunnya [10],[19].
Prediksi  jumlah  kasus  infeksi  virus  dengue  diperlukan  melalui  model  matematika. Penelitian terkait model matematika untuk  masalah epidemi penyakit Demam Berdarah Dengue (DBD)  telah  banyak  dilakukan  sebelumnya.  Namun,  kasus  epidemi  penyakit  DBD  secara signifikan  masih  terus  mengalami  peningkatan  walaupun  terkadang  fluktuatif  tiap  tahunnya [1],[2],[8],[13],[14]. Oleh karena itu, penelitian terkait model matematika untuk masalah epidemi penyakit DBD terus dikembangkan sesuai dengan keadaan saat ini. Penelitian semacam ini perlu dilakukan dan terus dikembangkan karena dapat memberikan deskripsi terkait prediksi kecepatan penyebaran  penyakit  DBD  di  suatu  wilayah.  Hasil  penelitian  ini  kemudian  diharapkan  dapat menjadi  salah  satu  pertimbangan  dalam  pengambilan  keputusan  terkait  tindakan  pencegahan penyakit DBD.
Model  matematika  yang  digunakan  untuk  memprediksi  jumlah  kasus  epidemi  DBD  di masa  mendatang  antara  lain  model Susceptible-Infected-Recovered (SIR)  dan Susceptible- Exposed-Infected-Recovered (SEIR)  [3],[12][16]-[18].  Sebagian  besar  model  deterministik memanfaatkan  ide-ide  dari  model  SIR  yang  dikembangkan  oleh  Kermack  dan  McKendrick  [7]. Pada model SIR individu yang sembuh diasumsikan tidak akan terinfeksi lagi oleh virus dengue. Fakta  terkini  menunjukkan  bahwa  pasien  yang  sembuh  dari  penyakit  DBD  masih  berpeluang untuk  terinfeksi  kembali.  Hal  ini  memotivasi  para  peneliti  untuk  memodifikasi  model  SIR

## JURNAL MATEMATIKA, STATISTIKA DAN KOMPUTASI

## Joko Harianto, Katarina Lodia Tuturop
menjadi  model  SIRS  [16]-[17].  Beberapa  model  matematika  untuk  masalah  transmisi  virus dengue  telah  diteliti  dengan  mempertimbangkan  populasi  manusia  yang  konstan  dan  vektor sebagai  fungsi  waktu  [4].  Kemudian  model  tersebut  dikembangkan  dengan  asumsi  populasi manusia  yang  tidak  konstan  [5].  Penelitian  dilanjutkan  dengan  melibatkan  koeksistensi  serotipe yang berbeda [6] dan melibatkan tahapan perkembangan vektor [20]. Faktor iklim mempengaruhi jumlah pertumbuhan vektor pembawa virus dengue sehingga faktor iklim dilibatkan dalam model [2],[8],[13],[14].
Pembahasan  terkini  model  transmisi  penyakit  DBD  yang  melibatkan  populasi  manusia dan nyamuk dapat dipelajari dalam artikel Sanusi et al. (2021). Pembahasannya mengkonstruksi dan  menganalisis  model  SIRS,  menentukan  bilangan reproduksi  dasar  modelnya  serta  membuat simulasi  modelnya  untuk  memprediksi  jumlah  kasus  infeksi  penyakit  DBD.  Model  tersebut dikonstruksi  dengan  asumsi  bahwa  jumlah  populasi  nyamuk  konstan  [15].  Namun,  realitanya setiap saat jumlah populasi nyamuk dapat meningkat atau menurun (fluktuatif). Kondisi tersebut dapat terjadi  karena  dipengaruhi  oleh  berbagai  faktor.  Salah  satu faktornya  adalah  sumber  daya yang  terkait  dengan  reproduksi  nyamuk  terbatas ketika  jumlah  nyamuk  cukup  padat .  Kami berasumsi bahwa ada persaingan antara betina dewasa untuk menemukan tempat yang sesuai dan makanan  untuk  bertelur.  Jadi,  kami  mengadopsi  fungsi  laju  kelahiran  jenuh  [9],[11].  Faktor  ini penting  untuk  dilibatkan  dalam  model  agar  model  yang  dibahas  menjadi  lebih  realistis.  Oleh karena  itu,  tujuan  pembahasan  ini  adalah  mengkonstruksi  dan  menganalisis  model  SIR-SI  yang melibatkan  faktor kejenuhan  pertumbuhan  alami  nyamuk .  Analisis  sensitivitas  dan  simulasi numerik model dibahas juga dalam artikel ini.
Pembahasan  ini  menggunakan  metode  studi  pustaka  dengan  rujukan  dari  artikel-artikel bereputasi.  Langkah  awal  pembahasan  dimulai  dengan  mengkonstruksi  model  SIR-SI  yang merupakan  sistem  persamaan  diferensial.  Kemudian  menentukan  titik-titik  ekuilibrium  dari sistem  tersebut.  Selanjutnya  ditentukan  bilangan  reproduksi  dasar  dan  menganalisis  kestabilan lokal  titik  ekuilibrium  tersebut.  Terakhir  diberikan  analisis  sensitivitas  dan  simulasi  numerik modelnya. Simulasi yang diberikan menggunakan software Maple.
Populasi pada model transmisi penyakit DBD dibagi menjadi dua yaitu populasi manusia dan  nyamuk.  Populasi  manusia  dibagi  menjadi  tiga  subpopulasi,  yaitu  rentan,  terinfeksi  dan sembuh. Sedangkan populasi nyamuk dibagi menjadi dua subpopulasi yaitu rentan dan terinfeksi. Jumlah  manusia  yang  sehat  dan  rentan  pada  saat  t  dinotasikan  dengan ,  jumlah  manusia yang  telah  terinfeksi  pada  saat  t  dinotasikan  dengan
,  dan  jumlah  manusia  yang  sembuh namun  sebagian  kehilangan  kekebalan  pada  saat  t  dinotasikan  dengan
.  Jika  dimisalkan
jumlah  populasi  manusia  pada  saat  t  dinotasikan  dengan ,  maka
.  Kemudian  jumlah  nyamuk  yang  rentan  dan  dapat  terinfeksi  virus  dengue  pada  saat  t dinotasikan  dengan
,  dan  jumlah  nyamuk  yang  terinfeksi  virus  dengue  pada  saat  t dinotasikan dengan . Jika dimisalkan jumlah populasi nyamuk pada saat t dinyatakan dengan
,  maka Asumsi-asumsi  model  antara  lain,  laju  kelahiran  nyamuk lebih besar dari laju kematian pada nyamuk, adanya kejenuhan pertumbuhan alami ketika jumlah nyamuk  cukup  padat,  kematian  terjadi  di  setiap  subpopulasi  nyamuk  dengan  laju  yang  sama, kematian  alami  pada  nyamuk  berbeda  dengan  kematian  alami  pada  manusia,  terjadi  kematian alami di setiap subpopulasi manusia dengan laju yang sama, tidak semua manusia yang sembuh dari penyakit DBD mendapat kekebalan terhadap penyakit DBD.
Laju  kelahiran  pada  manusia  dinotasikan  dengan ,  laju  kematian  alami  pada  manusia dinotasikan dengan , laju kematian alami pada nyamuk dinotasikan dengan , laju kematian manusia  akibat  penyakit  DBD  dinotasikan  dengan ,  laju  hilangnya  kekebalan  tubuh  terhadap infeksi  virus  dengue  dinotasikan  dengan ,  laju  pemulihan  dari  penyakit  DBD  pada  manusia dinotasikan  dengan ,  laju  infeksi  virus  dengue  terhadap  manusia  yang  rentan  dinotasikan

## JURNAL MATEMATIKA, STATISTIKA DAN KOMPUTASI

## Joko Harianto, Katarina Lodia Tuturop
dengan , laju infeksi virus dengue terhadap nyamuk yang rentan dinotasikan dengan , jumlah rata-rata  gigitan  yang  dilakukan  oleh  satu  nyamuk  pada  semua  manusia  dinotasikan  dengan , jumlah  rata-rata  gigitan  yang  diterima  manusia  dari  semua  nyamuk  dinotasikan  dengan , probabilitas penularan virus dengue dari manusia ke nyamuk yang rentan dinotasikan dengan , probabilitas penularan virus dengue dari nyamuk ke manusia yang rentan dinotasikan dengan .
Gambar 1.1. Diagram model SIR-SI untuk populasi nyamuk dan manusia
Fungsi laju kelahiran nyamuk yang melibatkan tingkat kejenuhan, yaitu . Nilai maksimum laju rekrutmen populasi nyamuk dinotasikan dengan dengan asumsi .
Diagram  model  SIR-SI  untuk  populasi  nyamuk  dan  manusia  ditunjukkan  pada  Gambar  1.1. Secara matematis berdasarkan asumsi-asumsi yang telah dikemukakan dan diagram model SIR-SI untuk  populasi  nyamuk  dan  manusia  pada  Gambar  1.1  diperoleh  model  dalam  bentuk  sistem persamaan diferensial berikut ini

## JURNAL MATEMATIKA, STATISTIKA DAN KOMPUTASI
Joko Harianto, Katarina Lodia Tuturop
}
dengan
(2)
(3)

## 2. HASIL DAN PEMBAHASAN
Total populasi nyamuk memenuhi persamaan berikut:
(4)
sehingga Sistem (1) ekuivalen dengan sistem persamaan diferensial berikut ini:
} dengan dan  semua  parameternya  bernilai  positif.  Jika dimisalkan merupakan titik ekuilibrium non-endemik, maka

## JURNAL MATEMATIKA, STATISTIKA DAN KOMPUTASI

## Joko Harianto, Katarina Lodia Tuturop
Titik  equilibrium  mempunyai  interpretasi  biologis  yang  bergantung  pada .  Jika  manusia  dan nyamuk  tidak  ada  yang  terinfeksi  dengue  dalam  populasi
,  maka  disebut  sebagai keadaan bebas penyakit. Sebaliknya, jika masih ada manusia dan nyamuk yang terinfeksi dengue
,  maka  keadaan  ini  disebut  endemik.  Pada  Sistem  (6)  untuk  kasus terdapat satu titik ekuilibrium bebas penyakit, yakni ( ) .
Bilangan  reproduksi  dasar  merupakan  ambang  batas  untuk  menentukan  apakah  akan  terjadi endemik  DBD  dalam  populasi.  Berikut  ini  ditentukan  bilangan  reproduksi  dasar  menggunakan metode next generation matrix .
Sistem  (5)  mempunyai  dua  state  terinfeksi,  yaitu and sehingga  bilangan  reproduksi  dasar ditentukan melalui subsistem berikut ini,
dengan
. Dengan demikian, bilangan reproduksi dasar Sistem (5) berdasarkan metode next generation matrix adalah
√
dengan
[ ] [ ] Jika dan ,  maka  dari  Sistem  (6)  diperoleh  titik  ekuilibrium  endemik dengan
merupakan akar positif dari persamaan
(7)
dengan
( )
Nilai pada  Persamaan  (7)  bergantung  pada sehingga  untuk  menentukan  titik  ekuilibrium endemik dapat ditinjau berdasarkan dua kasus berikut ini
1. Jika , maka akibatnya a. Jika , maka tidak terdapat titik ekulibrium endemik, b. Jika , maka tidak terdapat titik ekuilibrium endemik,

## JURNAL MATEMATIKA, STATISTIKA DAN KOMPUTASI

## Joko Harianto, Katarina Lodia Tuturop
c. Jika
,  maka  untuk
tidak  terdapat  titik  ekuilibrium  endemik,  untuk terdapat satu titik ekuilibrium endemik, dan untuk terdapat dua titik ekuilibrium
endemik.
2. Jika maka akibatnya  pada  Sistem  (5)  terdapat  satu  titik  ekuilibrium endemik.
Teorema  2.1. Diberikan  Sistem  (5)  dan  didefinisikan  bilangan  reproduksi  dasar sebagai berikut
√ (i) Jika ,  maka  titik  ekuilibrium stabil  asimtotik  lokal,  sebaliknya  jika , maka titik ekuilibrium tidak stabil. (ii) Jika dan ,  maka  titik  ekuilibrium  endemik stabil asimtotik lokal dengan
Bukti.
(i) Karena  persamaan  terakhir  pada  Sistem  (5)  tidak  berpengaruh  terhadap  persamaan  yang lainnya, maka Sistem (5) dapat disederhanakan menjadi
}
sehingga matriks Jacobian Sistem (8) di sekitar titik ekuilibrium adalah [ ] dengan , , ,  dan sehingga persamaan karakteristik dari matriks adalah (9)

## JURNAL MATEMATIKA, STATISTIKA DAN KOMPUTASI

## Joko Harianto, Katarina Lodia Tuturop
Jadi,  diperoleh  dua  nilai  eigen  dari  Persamaan  (9)  yaitu , .  Sedangkan  dua nilai  eigen  lainnya,  yaitu dan diperoleh  dari  Persamaan . Karena , maka jelas bahwa dan , sehingga  berdasarkan  kriteria  Routh-Harwitz  semau  akar  persamaan bernilai  negatif.  Dengan  demikian,  titik  ekuilibrium  non  endemik bersifat  stabil  asimtotik  lokal.  Sedangkan  jika maka , sehingga berdasarkan kriteria Routh-Harwitz tidak semua akar persamaan bernilai  negatif.  Jadi,  jika ,    maka  titik  ekuilibrium non endemik tidak stabil.
(ii) Jelas  bahwa  titik  ekuilibrium  endemik ada  saat ,  sehingga  matriks  Jacobian  di sekitar titik ekuilibrium adalah sebagai berikut [ ] sehingga persamaan karakteristiknya adalah (9) dengan Jika ,  dan ,  maka  semua  akar  Persamaan  (9)  bernilai negatif, akibatnya titik ekuilibrium endemik stabil asimtotik lokal. Tabel
2.1  menunjukkan  semua  nilai  dasar  parameter  yang  digunakan  untuk  melakukan  simulasi.  Nilai parameter  tersebut  terdiri  dari  dua  kasus,  yaitu  kasus  transmisi  rendah
dan  transmisi
tinggi
.  Bilangan  reproduksi  dasar  untuk  kasus  transmisi  rendah  berdasarkan  nilai parameter pada Tabel 2.1 adalah . Titik ekuilibrium bebas penyakit stabil  asimtotik  lokal  untuk  kasus  ini  dengan  nilai  awal .  Sedangkan bilangan reproduksi dasar untuk kasus transmisi tinggi berdasarkan nilai parameter pada Tabel 1 adalah .  Titik  ekuilibrium  endemik stabil  asimtotik  lokal untuk kasus ini dengan nilai awal .
Indeks sensitivitas variabel dari suatu parameter didefinisikan sebagai

## JURNAL MATEMATIKA, STATISTIKA DAN KOMPUTASI

## Joko Harianto, Katarina Lodia Tuturop
Definisi ini berarti bahwa semakin tinggi indeks sensitivitas, semakin besar pengaruhnya terhadap variabel  yang  diukur,  begitu  pula  sebaliknya.  Parameter  yang  sensitif  harus  dievaluasi  dengan hati-hati  karena  perubahan  kecil  dalam  parameter  ini  menyebabkan  perubahan  kuantitatif  yang besar. Indeks sensitivitas bilangan reproduksi dasar dari parameter dihitung sebagai berikut
Indeks sensitivitas bilangan reproduksi dasar dari parameter lainnya dapat dihitung secara analog seperti definisi di atas. Indeks sensitivitas bilangan reproduksi dari setiap parameter pada Sistem (5) diberikan pada Tabel 2.2.
Tabel 2.1. Nilai parameter (baseline) untuk model transmisi DBD
No  Parameter Transmisi rendah Transmisi tinggi Sumber 1. 0,375 0,375 [16] 2. 0,75 0,75 [16] 3. 0,5 2 [16] 4. 200 200 Asumsi 5. 0,12 0,12 [16] 6. 0,5 0,5 [16] 7. 0,328 0,328 [16] 8. 5 5 Asumsi 9. 0,0323 0,0323 [16] 10. 0,575 0,575 Asumsi
Tabel 2.2. Indeks sensitivitas setiap parameter pada Sistem (5)
No. Parameter Sensitivity Index Transmisi rendah Transmisi tinggi 1. 0,5 0,5 2. 0,5 0,5 3. 1 0,99 4. -0,5 -0,5 5. 0,24 0,45 6. -0,16 -0,19 7. -0,08 -0,26 8. 0,52 0,54 9. -1,02 -1,04 10. 0 0
Tabel  2.2  memperlihatkan  parameter  yang  berpengaruh  besar  hingga  kecil  terhadap  bilangan reproduksi  dasar.  Dua  parameter  yang  paling  berpengaruh  terhadap  bilangan  reproduksi  dasar, yaitu  rata-rata  gigitan  yang  dilakukan  oleh  satu  nyamuk  pada  semua  manusia dan  laju kematian  alami  nyamuk
.  Indeks  sensitivitas  positif  menunjukkan  peningkatan  bilangan reproduksi  dasar,  sebaliknya  indeks  sensitivitas  negatif  menunjukkan  penurunan  bilangan reproduksi  dasar.  Jika  dimisalkan  nilai  parameter pada  Tabel  2.1  diperbesar  sedangkan parameter yang lainnya nilainya tetap, maka akibatnya bilangan reproduksi dasar membesar. Jika

## JURNAL MATEMATIKA, STATISTIKA DAN KOMPUTASI

## Joko Harianto, Katarina Lodia Tuturop
dimisalkan  nilai  parameter pada  Tabel  2.1  diperbesar  nilainya  sedangkan  parameter  lainnya nilainya  tetap,  maka  akibatnya  bilangan  reproduksi  dasar  menurun.  Tabel  2.2  menunjukkan bahwa  rata-rata  gigitan  yang  dilakukan  oleh  satu  nyamuk  pada  semua  manusia and  laju kematian  alami  nyamuk
sebagai  parameter  yang  paling  berdampak  terhadap  penyebaran penyakit DBD. Hal ini karena indeks sensitivitas parameter untuk kasus transmisi rendah dan transmisi tinggi lebih besar nilainya dibandingkan dengan indeks sensitivitas parameter lainnya. Begitu  juga  untuk  indeks  sensitivitas  parameter untuk  kasus  transmisi  rendah  dan  transmisi tinggi merupakan nilai terendah dibandingkan dengan indeks sensitivitas parameter lainnya.
Gambar 2.1. Dinamika populasi manusia terinfeksi DBD dengan variasi nilai
Jika  parameter nilainya  diperbesar  10%  maka  bilangan  reproduksi  dasar  meningkat  sebesar 10,6%  dari  semula.  Sedangkan,  jika  nilai  parameter nilainya  diperkecil  10%  maka  bilangan reproduksi  dasar  meningkat  sebesar  22,6%  dari  semula.  Jika  nilai  parameter untuk  kasus transmisi tinggi pada Tabel 1.1 sebesar naik 10 % menjadi 2,2, maka dalam situasi ini jumlah manusia terinfeksi akan meningkat. Sedangkan jika nilai parameter turun 10 % menjadi sekitar 1,8,  maka  jumlah  manusia  terinfeksi  akan  menurun.  Simulasi  dinamika  populasi  manusia  yang terinfeksi penyakit DBD dengan variasi nilai ditunjukkan pada Gambar 2.1. Jika nilai parameter pada  Tabel  2.1  sebesar
(transmisi  tinggi)  diperbesar  10%  menjadi ,  maka
dalam  situasi  ini  jumlah  manusia  terinfeksi  akan  menurun.  Sedangkan  jika  nilai  parameter pada Tabel 1 diperkecil 10% menjadi
, maka jumlah manusia terinfeksi akan meningkat.

## JURNAL MATEMATIKA, STATISTIKA DAN KOMPUTASI

## Joko Harianto, Katarina Lodia Tuturop
Simulasi  dinamika  populasi  manusia  yang  terinfeksi  penyakit  DBD  dengan  variasi  nilai parameter ditunjukkan pada Gambar 2.2.
Gambar 2.2. Dinamika populasi manusia terinfeksi DBD dengan variasi nilai

## 3.  KESIMPULAN
Eksistensi  titik  ekuilibrium  dan  kestabilan  lokalnya  bergantung  pada  bilangan  reproduksi dasar  model  transmisi  penyakit  DBD.  Jika  bilangan  reproduksi  dasar  kurang  dari  angka  satu, maka  terdapat  satu  titik  ekuilibrium  yaitu  titik  ekuilibrium  non  endemik  (bebas  penyakit). Sebaliknya, jika bilangan reproduksi dasar lebih dari angka satu, maka ada dua titik ekuilibrium, yaitu titik ekuilibrium non endemik dan endemik. Titik ekuilibrium non endemik stabil asimtotik lokal  merepresentasikan  penyebaran  penyakit  DBD  yang  cenderung  menurun  karena  jumlah subpopulasi terinfeksi sama dengan nol
. Titik ekuilibrium endemik stabil asimtotik lokal
merepresentasikan  terjadinya  penyebaran  penyakit  DBD  yang  masih  terus  berlangsung  karena
.  Hasil  analisis  menunjukkan  bahwa  jika
maka  titik  ekuilibrium  non  endemik stabil asimtotik lokal. Interpretasi biologis dari hasil tersebut adalah jika syarat dipenuhi, maka  penyebaran  penyakit  DBD  akan  menurun.  Selanjutnya,  titik  ekuilibrium  endemik  stabil asimtotik lokal jika . Hal ini secara biologis berarti bahwa penyebaran penyakit DBD akan tetap  berlangsung  dalam  populasi  dengan  jumlah  subpopulasi  terinfeksi  yang  konstan.  Indeks sensitivitas  menunjukkan  bahwa  parameter  rata-rata  gigitan  yang  dilakukan  oleh  satu  nyamuk pada  semua  manusia merupakan  parameter  yang  paling  dominan  terhadap  peningkatan penyebaran  penyakit  DBD  pada  manusia.  Di  sisi  lain,  parameter  laju  kematian  alami  nyamuk

## JURNAL MATEMATIKA, STATISTIKA DAN KOMPUTASI
Joko Harianto, Katarina Lodia Tuturop
merupakan parameter yang paling dominan terhadap penurunan penyebaran penyakit DBD pada  manusia.  Analisis  ini  memberikan  informasi  bagi  pengambil  keputusan  dalam menyelesaikan masalah penyebaran penyakit DBD.

## DAFTAR PUSTAKA
[1] Andraud,  M.,  Hens,  N.  & Beutels,  P.,  2013.  A  simple  periodic-forced  model  for  dengue fitted to incidence data in Singapore. Mathematical Biosciences , vol. 244, no. 1, 22-28.
[2] Alkhaldy, I., 2017. Modelling the association of dengue fever cases with temperature and relative  humidity  in  Jeddah,  Saudi  Arabia-A  generalised  linear  model  with  break-point analysis. Acta Tropica , vol. 168, 9-15.
[3] Chimeh, M. K. & Richmond, P., 2018. Simulating heterogeneous behaviours in complex systems on GPUs. Simulation Modelling Practice and Theory , vol. 83, 3-17.
[4] Esteva,  L.  &  Vargas,  C.,  1998.  Analysis  of  a  dengue  disease  transmission  model. Mathematical Biosciences , vol. 150, no. 2, 131-151.
[5] Esteva,  L.  &  Vargas,  C.,  1999.  A  model  for  dengue  disease  with  variable  human population. Journal of Mathematical Biology , vol. 38, no. 3, 220-240.
[6] Esteva,  L.  &  Vargas,  C.,  2003.  Coexistence  of  different  serotypes  of  dengue  virus. Journal of Mathematical Biology , vol. 46, no. 1, 31-47.
[7] Kermack, W. O. & McKendrick, A. G., 1991. Contributions to the mathematical theory of epidemics-I. Bulletin of Mathematical Biology , Vol. 53, 33-55.
[8] Li, C. et al., 2017. Modeling and projection of dengue fever cases in Guangzhou based on variation of weather factors. Science of The Total Enviroment , vol. 8, No. 3, 605–606.
[9] Li, Y., Guo, Z. & Xing, Y., 2020. Modeling Wolbachia Diffusion in Mosquito Populations by Discrete Competition Model. Discrete Dynamics in Nature and Society , vol. 2020, 1- 11.
[10] Liu-Helmersson,  J.,  et  al.,  2014.  Vectorial  capacity  of  Aedes  aegypti:  Effects  of temperature and implications for global dengue epidemic potential. PLoS One , vol. 9, no. 3, 1-10.
[11] Marini, G. et al . , 2017. The effect of interspecific competition on the temporal dynamics of Aedes albopictus and Culex pipiens. Parasites and Vectors , vol. 10, no. 1, 1-9.
[12] Nur, W. et al., 2018. SIR Model Analysis for Transmission of Dengue Fever Disease with Climate  Factors  Using  Lyapunov  Function. Journal  of  Physics:  Conference  Series ,  vol. 1028, no. 1, 1-7.
[13] Nuraini, N. et al., 2021. Climate-based dengue model in Semarang, Indonesia: Predictions and descriptive analysis. Infectious Disease. Modelling , vol. 6, 598-611.
[14] Putra, P. S. & Nuraini, N., 2017. Modeling of dengue occurrences early warning involving temperature and rainfall factors. Asian Pacific Journal of Tropcal Disease , vol. 7, no. 7, 385-390.
[15] Sanusi,  W.  et  al.,  2021.  Analysis  and  Simulation  of  SIRS  Model  for  Dengue  Fever Transmission in South Sulawesi, Indonesia. Journal of Applied Mathematics , vol. 2021, 1- 8.
[16] Side,  S.  &  Noorani,  S.  M.,  2013.  A  SIR  model  for  spread  of  dengue  fever  disease (simulation  for  South  Sulawesi,  Indonesia  and  Selangor,  Malaysia). World  Journal  of Modelling and  Simulation , vol. 9, no. 2, 96-105.
[17] Side,  S.  et  al.,  2019.  A  SEIRS  model  analysis  and  simulation  for  dengue  fever

## JURNAL MATEMATIKA, STATISTIKA DAN KOMPUTASI
Joko Harianto, Katarina Lodia Tuturop
transmission. International Journal of Scientific and Technology Research , vol. 8, no. 10, 1048-1053.
[18] Side,  S.  et  al.,  2016.  Global  stability  of  SIR  and  SEIR  model  for  tuberculosis  disease transmission with lyapunov function method. Asian Journal of Applied Sciences , vol. 9, no. 3, 87-96.
[19] Williams,  C.,  R.,  et  al . ,  2015.  Testing  the  impact  of  virus  importation  rates  and  future climate  change  on  dengue  activity  in  Malaysia  using  a  mechanistic  entomology  and disease model. Epidemiology and Infection , vol. 143, no. 13, 2856–2864.
[20] Yang,  H.  M.  &  Ferreira,  C.  P.,  2008.  Assessing  the  effects  of  vector  control  on  dengue transmission. Applied Mathematics and Computation , vol. 198, no. 1, 401-413.