Vol. 8, No.2,  64-68,  Januari  2012
Pembentukan Ideal Prim Gelanggang Polinom
Miring Atas Daerah ( √ )
Amir Kamal Amir 
Abstrak
Misalkan R adalah  suatu  gelanggang dengan identitas 1,  adalah suatu endomorfisma dari R ,  dan  adalah  suatu  -  derivatif.  Gelanggang  polinom  miring,  disimbol  dengan
[ ; , ] R x   ,  dalam  peubah  tak  diketahui x, adalah  gelanggang  yang  terdiri  dari  polinom
seperti 0 ( ) n n f x a x a    yang memenuhi aturan perkalian: ( ) ( ), xa a x a a R       . Dalam paper ini akan di konstruksi satu gelanggang polinom miring dengan mengambil ( √ ) Pada bagian akhir dari paper ini akan  diuraikan  bentuk  ideal  maksimal  dan ( , )    ideal  dari  gelanggang  polinom  miring tersebut.
Kata Kunci : Ideal, bilangan bulat, maksimal, polinom .

## Abstract
Let R be any ring with identity 1 ,  be an endomorphism of R and  be a left  -derivation. The skew polynomial  ring over R in an indeterminate x , denoted by [ ; , ] R x   , is the set of polynomials 1 1 0 n n n n a x a x a      where i a R  with    multiplication  rule
( ) ( )
xa a x a     for  all . a R 
In  this  paper  will  be  constructed  a  skew  polynomial ring where ( √ ) At the end of  this paper  will be showed a maximal ideal and ( , )    ideal of that skew polynomial ring.
Keywords : Ideal, integer, maximal, polynomial .

## 1. Pendahuluan
Gelanggang  polinom  miring  adalah  gelanggang  yang  terdiri  dari  polinom-polinom dengan  aturan  perkalian  yang  tidak  bersifat  komutatif.  Dalam  teori  sistem  kontrol,  gelanggang polinom  miring  digunakan  untuk  mentransfer  sistem  kontrol    klasik    ke  dalam  sistem  kontrol linier  abstrak  (aljabar).  Selanjutnya  pengkajian  sifat-sifat  dan  kelakuan  sistem  kontrol  linier diterjemahkan  menjadi  pengkajian  struktur,  sifat,  dan  kelakuan  sistem  linier  abstrak  terkait, misalnya  dengan  memanfaatkan  pengetahuan  aljabar.  Dengan  demikian,  pengkajian  sifat-sifat dan  kelakuan  sistem  kontrol  linier,  yang  banyak  digunakan  dalam  dunia  aplikasi  akan  sangat terbantu jika diketahui dengan baik sifat-sifat dan struktur gelanggang polinom miring tersebut.
 Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Hasanuddin, Jl. Perintis Kemerdekaan Km.10, email: amirkamalamir@yahoo.com.

## Amir Kamal Amir
Pengkajian    tentang    struktur  gelanggang  polinom  miring,  yang  dinotasikan  dengan ] , , [   x R , untuk kasus gelanggang tumpuan R berupa daerah Dedekind sudah dilakukan.
Secara  lengkap  pengertian  gelanggang  polinom  miring  disajikan  pada  [2]  dan  [3]. Misalkan R suatu gelanggang,  suatu endomorfisma di R , dan  suatu  -derivatif, yaitu:
1.  suatu endomorfisma grup di R .
2. ( ) ( ) ( ) ( ) ab a b a b       untuk setiap , . a b R 
Gelanggang  polinom  miring [ ; , ] R x   dalam  variabel  tak  diketahui x berisi  semua  polinom dengan  koefisien  di R yang  memenuhi  aturan  perkalian  sebagai  berikut:  untuk  setiap a R  berlaku ( ) ( ). xa a x a

##    
Memperhatikan  definisi  dari  gelanggang  polinom  miring  dapat  disimpulkan  bahwa gelanggang polinom miring mengandung tiga unsur, yaitu gelanggang biasa, disimbol dengan R (biasa  juga  disebut  gelanggang  tumpuan  dari  gelanggang  polinom  miring  tersebut),  suatu endomorfisma  di R ,  dan  suatu  -derivatif.  Ketiga  unsur  tersebut  bersama-sama  memenuhi syarat-syarat  gelanggang  polinom  miring.  Dalam  tulisan  ini  akan  dikonstruksi  gelanggang polinom miring dengan gelanggang tumpuan ( √ ) Dengan adanya  dan  , maka struktur dari gelanggang polinom miring [ ; , ] R x   akan  berbeda  dengan  struktur  dari  gelanggang  tumpuannya.  Oleh  karena  itu,  bentuk  ideal  dari [ ; , ] R x   juga  akan  berbeda  dengan  bentuk  ideal  dari  gelanggang  tumpuannya.  Lebih  lanjut,
Dengan adanya  dan  , maka dalam gelanggang polinom miring dikenal istilah  -ideal,  -ideal  dan ( , )    ideal.  Pada  baigan  akhir  tulisan  ini  akan  dipaparkan  bentuk  ideal  prim  dari gelanggang  polinom  miring [ ; , ] R x   yang  akan  dikonstruksi  dari ( , )    ideal  dari gelanggang tumpuannya, yaitu R .

## 2. Pembentukan Gelanggang Polinom Miring
Dalam  bagian  ini  akan  dikonstruksi  gelanggang  polinom  miring [ ; , ] R x   untuk ( √ ) dengan adalah himpunan bilangan bulat.
Lemma 1.
Misalkan dengan .     ( √ )/   (     )    ( √ ) untuk setiap ( √ )
maka adalah suatu automorfisma dari
Bukti:
1. memenuhi syarat jumlah
Misalkan ( √ ) dan ( √ ) , maka
(     )   (     )( √ ) .
Dengan demikian dapat dengan mudah dilihat bahwa:
(     )   (             )   (     )( √ )    ( )    ( )
Amir Kamal Amir
2. memenuhi syarat perkalian
Misalkan u dan v seperti pada Bagian 1, maka dengan kalkulasi sederhana diperoleh:
(       )   (            )( √ ) .
Dengan demikian,
(  )    [(       )   (            )( √ )]
(                      )   (            )( √ ) .
Pada sisi lain dapat dengan mudah dilihat bahwa:
( ) ( )   0(     )     . √ /1 0(     )     . √ /1
(                      )   (            )( √ ) .
Jadi diperoleh (  )    ( ) ( )
Lemma 2. Misalkan seperti pada Lemma 1 diatas dan
dengan .     ( √ )/ untuk setiap ( √ ) maka adalah suatu derivatif.

## Bukti:
1.   Dengan mudah dapat dilihat bahwa  adalah suatu endomorfisma grup di R . 2.   Misalkan u dan v seperti pada bagian 1, maka:
(       )   (            )( √ ) .
Dengan demikian,
(  )   (            )   [(     )    ( √ )]     [     ( √ )] .
Jadi diperoleh (  )    ( ) ( )    ( )
Dari  Lemma  1  dan  Lemma  2  terlihat  bahwa ,       - memenuhi  syarat  gelanggang  polinom miring.

## 3. Pembentukan Ideal Prim Minimal
Dalam  bagian  ini  akan  diuraikan  pembentukan  ideal  prim  minimal  dari ,       - .  Ideal prim minimal dari ,       - diperoleh dari ideal (    ) -prim dari R.

## 3.1. Ideal Prim dari R.
Dalam bagian ini akan ditunjukkan bahwa:
{     ( √ )            }
Amir Kamal Amir
merupakan ideal prim dari R . Pembuktian bahwa I merupakan ideal prim dari R dilakukan dalam beberapa tahap.
1.   Bukti bahwa I adalah ideal dari R .
Ambil ( √ ) dan ( √ ) diperoleh [     ( √ )][     ( √ )]   (       )   (            )( √ )
Karena (       )  (            )
2.   Bukti bahwa I adalah ideal maksimal dari R . Misalkan M adalah suatu ideal dari R sedemikian sehingga Untuk menunjukkan bahwa I adalah ideal maksimal dari R , akan ditunjukkan bahwa Karena maka M memuat elemen yang bebentuk seperti salah satu dibawah ini:
a. (      )   (      )( √ ) untuk suatu
b. (      )     ( √ ) untuk suatu
c. (  )   (      )( √ ) untuk suatu
Bukti:
a.   Jika (      )   (      )( √ ) untuk suatu maka
[(      )   (      )( √ )][(  )   (      )( √ )]   ,(      )(  )                  ( )(      )-     ,(      )(      )   (      )(  )   (      )(                    )-( √ ) ( ) ( √ )

## Dengan demikian
[( ) ( √ )]   [( ) ( √ )]( ) Karena dan M adalah suatu ideal dari R , maka
b.   Jika (      )     ( √ ) untuk suatu
, maka dengan cara yang serupa dengan bagian a, dapat juga ditunjukkan bahwa sehingga diperoleh juga
c.   Jika (  )   (      )( √ ) untuk suatu , maka dengan cara yang serupa dengan bagian a, dapat juga ditunjukkan bahwa sehingga diperoleh juga
Dari bagian a, b, dan c dapat ditunjukkan bahwa I adalah ideal maksimal. Selanjutnya, karena R adalah  gelanggang  komutatif,  maka  ideal  maksimal  juga  merupakan  ideal  prim.  Jadi I adalah ideal prim dari R .

## 3.2. Ideal (    ) dari R
Pada bagian ini akan ditunjukkan satu bentuk ideal (    ) dari R .
Defenisi 1.
Misalkan adalah  suatu  himpunan  pemetaan-pemetaan  dari  R  ke  R    sendiri.      S-ideal dari R adalah  suatu ideal   I    dari  R  sedemikian  sehingga ( ) untuk setiap Suatu S-ideal

## Amir Kamal Amir
prim  (atau S-prim) adalah suatu  S-ideal murni I dari  R sedemikian sehingga jika  J, K adalah S-ideal yang memenuhi JK I  , maka J I  atau K I  , [1].
Untuk pembahasan dalam gelanggang polinom miring ,       - definisi di atas digunakan untuk kasus * + , * + ,  dan *    +
Teorema 1.
Ideal {     ( √ )            } . Seperti yang didefinisikan pada bagian 3.1 merupakan ideal (    ) prim  dari R.
Bukti:
Karena .     ( √ )/   (     )    ( √ ) , maka  dengan  mudah  dapat  dilihat  bahwa ( ) Pada sisi lain .     ( √ )/ maka dengan mudah dapat dilihat bahwa ( ) .  Dengan  demikian, I merupakan (    ) ideal.  Selanjutnya  dari  Bagian 3.1  diketahui  bahwa I adalah  ideal  prim.  Oleh  karena  itu,  dengan  mencermati  Definisi  1,  disimpulkan  bahwa I merupakan (    ) prim.

## 4. Kesimpulan
Berdasarkan      Teorema    1      pada        bagian      terakhir    diketahui    bahwa {     ( √ )            } adalah (    ) prim dari R . Dengan demikian, menggunakan Teorema 3.1.  pada  [1]  disimpulkan  bahwa ,       - merupakan  ideal  prim  dari  gelanggang  polinom miring ,       -

## Daftar Pustaka
[1] Goodearl K.R., 1992. Prieme ideals in skew polinomial ring and quantized Weyl algebras. J. of Algebra , 150,  324-377.
[2] Goodearl  K.R.  dan  Warfiled  J.R.,  1989. An  Introduction  to  Noncommutative  Noetherian Rings. Cambridge University Press, London.
[3] McConnel J.C. dan Robson J.C., 1987. Noncommutative Noetherian Rings . John Wiley & Sons Inc., New York.