## SIMULASI NUMERIK PERSAMAAN GELOMBANG AIR DANGKAL UNTUK KASUS BENDUNGAN BOBOL

## NUMERICAL SIMULATION OF SHALLOW WATER EQUATION FOR DAM-BREAK CASE

## Raditya Panji Umbara
Pusat Teknologi Reduksi Risiko Bencana (PTRRB) – BPPT Gedung 820, GEOSTECH, PUSPIPTEK, Kota Tangerang Selatan, telepon: (021) 7579 1378 e-mail: raditya.panji@bppt.go.id

## ABSTRACT
Technological failure and natural disasters that caused the dam-break resulted in huge losses, both  material  loss  and  loss  of  life.  The  mathematical  model  for  the  dam-break  can  use  the shallow water equation. In this paper, modeling the dam-break in two dimensions is solved by using  the  finite  volume  method  with  a  staggered-grid  scheme.  The  staggered-grid  scheme produces more accurate when compared to the Lax –Friedrichs scheme. The stability of the water waves on the part of the damaged dam wall are also well preserved using a staggered- grid scheme. Modeling a dam-break with real bathymetric data will be a challenge for further research because it involves a more complex geometry.
Keywords: shallow water equation, dam-break, numerical simulation, finite volume method, staggered-grid, technological failure, natural disaster

## ABSTRAK
Kegagalan  teknologi  maupun  bencana  alam  yang  menyebabkan  bendungan  bobol mengakibatkan  kerugian  yang  besar,  baik  itu  kerugian  materiil  maupun  kerugian  hilangnya korban jiwa.   Model  matematika  untuk  pendekatan  bendungaan  bobol  dapat  menggunakan persamaan  air  dangkal.  Pada  tulisan  ini,  pemodelan  bendungan  bobol  dalam  dua  dimensi diselesaikan  menggunakan  pendekatan  metode  volume  hingga  dengan  skema staggered- grid .  Skema staggered-grid menghasilkan  hasil  yang  lebih  akurat  apabila  dibandingkan dengan  skema Lax –Friedrichs. Kestabilan  gelombang  air  pada  bagian  dinding  bendungan yang jebol juga terjaga dengan baik menggunakan skema staggered-grid . Untuk memodelkan bendungan  bobol  dengan  data  batimetri  sesungguhnya  akan  menjadi  tantangan  penelitian selanjutnya, karena melibatkan geometri yang lebih kompleks.
Kata  kunci: persamaan  air  dangkal,  bendungan  bobol,  simulasi  numerik,  metode  beda hingga, staggered-grid , gagal teknologi, bencana alam

## I. PENDAHULUAN

## 1.1  Latar Belakang
Banyak  fenomena  alam  yang  dapat diselesaikan  melalui  pemodelan  matematika.
Sebagai
contoh,
untuk memodelkan gelombang air dapat menggunakan persamaan gelombang air dangkal.
Pemodelan
matematika  untuk  persamaan  air  dangkal dengan  geometri  yang  kompleks  memberikan tantangan  tersendiri  bagi  beberapa  peneliti (Gambar 1). Beberapa aplikasi untuk persamaan air dangkal antara lain untuk model
bendungan bobol, aliran di saluran terbuka dan sungai, pemodelan tsunami, banjir, serta banjir bandang  yang  disebabkan  longsor  (García- Navarro et al., 2019).
Selama periode 2015-2019 telah dibangun sebanyak 61 bendungan (Kementerian
Pekerjaan  Umum  dan  Perumahan  Rakyat, 2020). Bendungan-bendungan tersebut diharapkan  dapat  berperan  sebagai  penyedia air baku, irigasi, dan pengendali banjir. Dalam keadaan yang tidak menguntungkan, bendungan bisa bobol karena beberapa faktor, di antaranya faktor kegagalan teknologi seperti struktur  yang  tidak  baik,  faktor  bencana  alam
seperti  gempa,  faktor  penggundulan  hutan  di bagian  hulu  maupun  umur  bendungan  yang sudah tua. Untuk mengantisipasi dan mempelajari aliran air akibat bendungan bobol, maka sangat penting mempelajari proses aliran air  akibat  bendungan  bobol.  Sehingga  dapat memberikan  gambaran  dan  prediksi  daerah- daerah terdampak akibat bendungan bobol.
Gambar 1. Salah Satu Bentuk Geometri untuk Bendungan (Sumber: kompas.com, 2017 dan
inews.id, 2018)
Fenomena bendungan bobol dapat dimodelkan  dengan  persamaan  air  dangkal, yang  kemudian  diselesaikan  menggunakan beberapa  metode  numerik,  seperti  metode beda  hingga  (Saiduzzaman  and  Ray,  2013), metode  volume  hingga  (Mungkasi,  2011), maupun  metode  element  hingga.  Metode- metode  tersebut  menggunakan  grid  untuk merepresentasikan  sifat  fisik  air  di  titik  tetap dan pada saat waktu t . Selain metode-metode tersebut,  persamaan  air  dangkal  juga  dapat disimulasikan  dengan  baik  menggunakan pendekatan metode Smoothed Particle
Hydrodynamics (SPH)  (Solenthaler et  al. ,
2011). Dalam metode SPH air
direpresentasikan dengan partikel yang memiliki  sifat-sifat  fisis  seperti  densitas, percepatan, dan energi. Dengan adanya sifat- sifat  fisis  tersebut,  interaksi  antar  partikel  air menghasilkan gaya dan gerakan dalam domain yang ditentukan pada setiap waktu t .
Model  bendungan  bobol  di  kedua  sisi dengan  persamaan air dangkal  menggunakan metode  volume  menghasilkan  akurasi  yang cukup baik (Mungkasi, 2011). Untuk
menghasilkan  hasil  yang  lebih  akurat  untuk pendekatan kasus realistis biasanya
melibatkan  jumlah  sel  yang  banyak  dan mengakibatkan  biaya  komputasi  yang  besar karena  membutuhkan  insfrastruktur  komputer yang  lebih  canggih.  Skema staggered-grid yang  diterapkan  pada  metode  volume  hingga merupakan salah satu alternatif untuk menyelesaikan persamaan air dangkal dengan hasil  yang  akurat  dan  waktu  yang  dibutuhkan untuk komputasi lebih cepat (Gunawan, 2015).
Tulisan  ini  mensimulasikan  persamaan gelombang air dangkal untuk kasus bendungan bobol  menggunakan  metode  volume  hingga dengan  skema  s taggered-grid .  Tujuannya adalah  untuk  melihat  perubahan  ketinggian permukaan  air  pada  daerah  hulu  dan  hilir beserta sifat perambatan gelombang air.

## 1.2.  Tujuan Penelitian
Tujuan  dari  penelitian  ini  adalah  untuk mengkaji  dan  menerapkan  metode  numerik yang  tepat  untuk  masalah  bendungan  bobol dan memahami karakteristiknya. Untuk mencapai  tujuan  ini  maka  dalam  penelitian  ini dikaji  beberapa  metode  numerik  sehingga diperoleh  metode  yang  memiliki  akurasi  baik serta waktu komputasi yang cepat.

## II. BAHAN DAN METODE

## 2.1.  Bahan
Bahan-bahan  yang  digunakan  adalah buku,  laporan,  dan  jurnal  baik  itu  yang dipublikasikan  secara  internasional  maupun nasional  sebagai  referensi  untuk  penelitian. Simulasi numerik dilakukan dengan menerapkan bahasa Python .
2.2.  Metode

## 2.2.1. Persamaan Air Dangkal
Beberapa penerapan persamaan air dangkal antara lain digunakan dalam pemodelan  aliran  fluida  baik  itu  di  sungai, saluran, maupun di daerah pantai. Perambatan gelombang  tsunami  juga  dapat  diperoleh dengan  pendekatan  persamaan  air  dangkal, seperti  yang  dikembangkan  dalam  software TUNAMI (Imamura et al. , 2006).
Aliran air dangkal dapat disketsakan dalam Gambar 2. Notasi yang digunakan antara lain x mewakili  jarak  tempuh  aliran  dan t mewakili variabel  waktu.  Persamaan  air  dangkal  terdiri dari  persamaan  kontinuitas  dan  persamaan momentum, dengan variabel yang dicari adalah h untuk  ketinggian  muka  air  dan u adalah kecepatan. Syarat lain adalah panjang domain x lebih dari atau sama dengan domain h.
Gambar 2. Sketsa Persamaan Air Dangkal Satu Dimensi
Sistem persamaan gelombang air dangkal satu dimensi (1D) adalah sebagai berikut.
( ) 0 h hu t x   + =   (2.1) 2 2 ( ) 1 0 2 hu z hu gh gh t x x      + + + =        (2.2)
dengan t adalah  variabel  waktu, x adalah koordinat, h adalah  ketinggian  muka  air, u kecepatan, g percepatan gravitasi dengan nilai 9,81  m/s 2 dan z adalah  batimetri  dasar permukaan.  Persamaan  (2.1)  disebut  dengan persamaan  kontinuitas  dan  persamaan  (2.2) disebut dengan persamaan momentum.
Untuk  sistem  persamaan  gelombang  air dangkal  dua  dimensi  (2D)  dijabarkan  dengan persamaan berikut ini.
0 h hu hv t x y    + + =
   (2.3) 2 2 ( ) 1 ( ) 0 2 hu huv z hu gh gh t x y x       + + + =         (2.4)
2 2 ( ) ( ) 1 0 2 hv huv z hv gh gh t x y y
      + + + + =         (2.5)
dengan x dan y adalah koordinat kartesius 2D u kecepatan  arah x dan v kecepatan  arah y . Variabel lainnya sama seperti pada kasus 1D.

## 2.2.2. Metode Numerik
Pada  bagaian  ini  menjelaskan  metode numerik yang digunakan untuk menyelesaikan sistem  persamaan  air  dangkal  satu  dimensi dan  dua  dimensi.  Metode  numerik  yang digunakan  adalah  metode  volume  hingga dengan  menggunakan  skema staggered-grid (Gunawan, 2015). 2.2.2.1. Skema Satu Dimensi (1D) Persamaan  air  dangkal  (2.1)  dan  (2.2) berada  dalam  interval  domain Ω = (0, L )  dan interval  waktu (0, T ) , dengan  kondisi  batas periodik.  Interval  waktu  dibagi  ke  dalam N t timesteps dengan  panjang Δ t , n ϵ { 0, 1, … N t } , dan t n = n Δ t . Interval domain dibagi ke dalam N sel dengan panjang Δt . Gambar 1
menggambarkan  diskritisasi  untuk  ketinggian muka  air h ,  kecepatan  air u ,  batimetri z pada
setiap sel. Nilai pendekatan h di titik x i dan pada waktu t n dinotasikan  dengan h i n .  Nilai pendekatan z di  titik x i dinotasikan  dengan z i . Nilai  pendekatan u di  titik x i+ 1 2 pada  waktu t n
dinotasikan dengan u i+ 1 2 n .
Gambar 3. Staggered-Grid untuk Model 1D
Diskritisasi  dari  persamaan  (2.1)  adalah sebagai berikut.
1 1 1 2 2 0 n n n n i i i i t h h q q x + + −    − + − =     
dengan,
1 1 1 2 2 2 n n n i i i q h u + + + = 1 2 1 2 1 1 2 ,      jika 0 ,     jika 0 n n i i n n n i i i h u h h u + + + +    =    

## Sedangkan  diskritisasi  dari  persamaan
(2.2) adalah sebagai berikut.
( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 1 1 2 1 1 1 1 2 1 ( ) 0 2 n n n n n n n n i i i i i i i i n n n i i i i i t h u h u q u q u x t g h h gh z z x + + + + + + + + + + + + + + +   − + −     + − + − =   
dengan,
( ) 1 1 2 1 2 n n n i i i h h h + + = + ,
1 1 2 2 1 2 n n n i i i q q q − +   = +     , 1 2 1 2 ,      jika 0 ,      jika 0 n n i i n i n n i i u q u u q − +    =    
Perhitungan error menggunakan  rumus berikut ini.
1 1 ˆ N i i i Err x x N = = − 
di mana N adalah banyaknya sel, x i nilai eksak untuk  sel  ke- i ,  dan x ̂ i adalah  nilai  pendekatan untuk sel ke- i .
2.2.2.2.  Skema Dua Dimensi (2D)
Domain  interval  untuk  persamaan  air dangkal (2.3), (2.4), dan (2.5) adalah
Ω =(0, L x )×(0, L y ),  sedangkan  domain  waktu adalah (0, T ).  Sama  seperti  pada  kasus  1D, interval  waktu  dibagi  ke  dalam N t timesteps dengan  panjang Δ t , n ϵ { 0, 1, … N t } ,  dan t n = n Δ t . Domain dibagi ke dalam mesh {1, 2, ..., M } × {1,  2,  ..., N }.  Sel  pada  koordinat  ( i,  j ), dinotasikan oleh x i,j , dengan i = 1, 2, …, M dan j = 1, 2, …, N . Nilai pendekatan h di titik x i,j dan pada  waktu t n dinotasikan  dengan h i,j n .    Nilai pendekatan z di titik x i,j n dinotasikan dengan z i,j n . Nilai  pendekatan u di  titik x i+ 1 2 ,j pada  waktu t n
dinotasikan dengan u i+ 1 2 ,j n . Nilai pendekatan v di titik x i,j+ 1 2 pada  waktu t n dinotasikan  dengan
v i,j+ 1 2 n .
Skema  2D  untuk  persamaan  kontinuitas (2.3) adalah sebagai berikut.
1 , , 1 1 1 1 , , , , 2 2 2 2 0 n n n n n n i j i j i j i j i j i j t t h h p p q q x y + + − + −       − + − + − =          
dengan,
1 1 1 , , , 2 2 2 n n n i j i j i j p h u + + + = , , 1 , 2 1 , 2 1, 1 , 2 ,    jika 0 ,  jika 0 n n i j i j n n n i j i j i j h u h h u + + + +    =     1 1 1 , , , 2 2 2 n n n i j i j i j q h u + + + = , , 1 , 2 1 , 2 , 1 1 , 2 ,   jika 0 , jika 0 n n i j i j n n n i j i j i j h v h h v + + + +    =  


Pendekatan untuk persamaan momentum dengan  arah- x (persamaan  (2.4))  adalah sebagai berikut.
( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 , , , , 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 , , , , 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 1, 1, , , 1, ,
1 1 1, , , 2 1 ( ) 2 0 n n n n i j i j i j i j n n n n i j i j i j i j n n n n n n i j i j i j i j i j i j n i j i j i j h u h u t q u q u y t p u q u g h h x t gh z z x + + + + + + + + + + + − + − + + + + + + + + −    + −    
    + − + −       + − =  dengan ( ) 1 , 1, , 2 , 1 1 , , 2 2 1 , , 2 , 1 , , 2 1 1 1 1 , 1, , , 2 2 2 2 1 1 1 , , 2 2 1 1 , 2 2 1 , 2 1 , 2
,   jika 0 ,
,   jika 0 1 , 2 ,    jika n n n i j i j i j n n n i j i j i j n n i j i j n i j n n i j i j n n n i j i j i j n i j i j n i j h h h p p p
u p u u p q q q u q u + + − + − + + + + + + + + + + + = +   = +    
   =       = +     = 2 1 1 1 , 1 , 2 2 2 0 ,  jika 0 n n n i j i j u q + + + +    

 
Sedangkan pendekatan untuk persamaan momentum  dengan  arah-y  (persamaan  (2.5)) adalah sebagai berikut.
( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 , , , , 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 , , , , 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 , 1 , 1 , , , 1 , 1 1 , 1 , , 2 1 ( ) 2 0 n n n n i j i j i j i j n n n n i j i j i j i j n n n n n n i j i j i j i j i j i j n i j i j i j h u h u t p v p v x t p v q v g h h y t gh z z y + + + + + + + + + + − + − + + + + + + + + + −    + −        
+ − + −       + − = 
dengan
( ) 1 , , 1 , 2 , 1 1 , , 2 2 1 , , 2 , 1 , , 2 1 1 1 1 , , 1 , 2 2 2 2 1 1 1 , , 2 2 2 1 1 , 2 2 1 , 2 1 , 2 ,   jika 0
, ,   jika 0 1 , 2 ,    jika n n n i j i j i j n n n i j i j i j n n i j i j n i j n n i j i j n n n i j i j i j n i j i j n i j h h h q q q v q v v q p p p v p v + + + − − + + + + + + + + + + + = +   = +        =       = +     = 1 1 1 1, , 2 2 2 0 ,  jika 0 n n n i j i j v p + + + +       

## III.  HASIL DAN PEMBAHASAN
Pada  bagian  ini  akan  dibahas  mengenai hasil-hasil penelitian baik dalam kasus 1D dan 2D.  Untuk  kasus  1D  terdapat  dua  hasil,  yaitu yang  pertama  adalah  simulasi  bendungan bobol  1D  dengan  batimetri  datar  dan  yang kedua adalah tes akurasi untuk batimetri tidak datar. Sedangkan kasus 2D terdapat beberapa
hasil  simulasi,  yaitu  simulasi  air  tenang  yang tiba-tiba  memperoleh  gangguan  dan  model bendungan bobol 2D. Semua simulasi menggunakan  metode  volume  hingga  dengan skema staggered-grid .
3.1.  Model Satu Dimensi
3.1.1.    Model  Bendungan  Bobol  1D  dengan Batimetri Datar
Kondisi  awal  model  bendungan  bobol  1D untuk  ketinggian  muka  air  dan  kecepatan  air saat t = 0 adalah sebagai berikut.
1, 0,5 ( ,0) 0,2, 0,5 x h x x   =    dan u ( x , 0) = 0, 0 ≤ x ≤ 1. Untuk batimetri adalah datar  yaitu z ( x )  =  0,  0 ≤ x ≤ 1.  Keadaan  awal tersebut  menunjukkan  bahwa  bendungan bobol di titik x = 0,5 (Gambar 3) pada saat t = 0.  Pada  model  bendungan  bobol  1D,  solusi analitik  yang  dilakukan  oleh  Delestre et  al.
(2013),  digunakan  untuk  menguji  akurasi  dari persamaan  air  dangkal dengan menggunakan skema staggered-grid.
Gambar 3. Kondisi Awal untuk Ketinggian Muka Air dan Kecepatan Air Model Bendungan Bobol
1D pada t = 0
Parameter simulasi antara lain panjang sel seragam yaitu ∆ x = 0,01, dengan banyak sel N = 200. Gambar 4 menunjukkan perolehan hasil simulasi  saat x =  0,1.  Terlihat  bahwa gelombang bergerak dari kiri ke kanan ke arah permukaan air yang lebih rendah.
Gambar 4. Perbandingan Hasil Simulasi Numerik dan Solusi Analitis untuk Model Bendungan Bobol 1D pada t = 0,1 (Hasil
Simulasi, 2021) Pada titik-titik sudut terdapat ketidakakuratan  yang  menyebabkan  adanya error yang  cukup  jelas. Error tersebut  dapat diperbaiki  dengan  menambah  jumlah  sel (Gambar 5).
Gambar 5. Perbandingan Error antara Skema Staggered-Grid dengan Skema Lax –Friedrichs , untuk Ketinggian Muka Air ( h ) dan Kecepatan Air ( u ) pada t = 0,1 (Hasil Simulasi, 2021)
Sebagai  perbandingan,  digunakan  skema Lax –Friedrichs pada  model  bendungan  bobol 1D  (Setiyowati  dan  Sumardi,  2019 ) .  Hasilnya dapat  dilihat  pada  Gambar  5  dan  Tabel  1. Skema staggered-grid menghasilkan error
yang lebih rendah dibandingkan dengan skema Lax –Friedrichs. Untuk kebutuhan waktu komputasi, skema staggered-grid juga memberikan hasil yang lebih cepat.
Tabel 1. Perbandingan Error antara Skema Staggered-Grid dengan Skema Lax –Friedrichs
pada t = 0,1
N Skema Staggered- Grid Skema Lax – Friedrichs h u H u 50 1.332×10 -2 5.649×10 -2 3.793×10 -2 1.829×10 -1 100 7.217×10 -3 3.271×10 -2 2.326×10 -2 1.077×10 -1 200 4.608×10 -3 2.239×10 -2 1.392×10 -2 6.240×10 -2 400 2.505×10 -3 1.177×10 -2 8.099×10 -3 3.563×10 -2 800 1.573×10 -3 7.433×10 -3 4.816×10 -3 2.086×10 -2 1.600 9.725×10 -4 4.647×10 -3 2.809×10 -3 1.119×10 -2

## 3.1.2.    Model  Akurasi  dengan  Batimetri Tidak Datar
Model  selanjutnya  adalah  tes  akurasi dengan  menggunakan  batimetri  yang  tidak datar  (Gunawan,  2015).  Domain  adalah Ω = [0,40]  dan fungsi batimetri adalah sebagai berikut.
2
20 0,48 1 ,  jika 20 4 ( ) 4 0,  untuk   lainnya x x z x x    −   −
−         =       
Kondisi awal untuk ketinggian muka air h ( x ,
0) = 0, 0 ≤ x ≤ 40  dan kecepatan air u ( x , 0) = 10 4 ,
0 ≤ x ≤ 40 . Gambar  6  menunjukkan  hasil simulasi  untuk  ketinggian  muka  air  dan kecepatan air pada waktu t = 1.
Gambar 6. Hasil Simulasi untuk Tes Akurasi dengan Batimetri yang Tidak Datar untuk Ketinggian Muka Air (Kiri) dan Kecepatan
(Kanan) pada t = 0,1 (Hasil Simulasi, 2021)

## 3.2.  Model Dua Dimensi
3.2.1.  Air Tenang yang Terkena Gangguan Simulasi  ini  menggambarkan  bahwa  air yang  tenang  tiba-tiba  terkena  gangguan tetesan  air,  sehingga  pada  saat t =  0,  kondisi awal  untuk  permukaan  air  laut  (Gambar  7) membentuk fungsi:
( ) ( ) 2 2 2 0,25, 0,25 0,01
( , ,0) 0,8 0,2 x y
h x y e    − + −   −     = +
pada  domain  [0,  1] × [0,  1] . Simulasi  dilakukan pada saat t = 0 sampai dengan t = 0,5.
Pada Gambar 8a, amplitudo gelombang air pada  saat t =  0,02  mulai  mengecil  dan berosilasi menjauh dari sumber gangguan.
Gambar 7. Kondisi Awal untuk Simulasi Persamaan Air Dangkal 2D pada t = 0, yaitu Tepat Saat Air Mendapatkan Gangguan (Hasil Simulasi, 2021)
(a) (b)
(c)
Gambar 8. Hasil Simulasi Persamaan Air Dangkal 2D untuk Ketinggian Muka Air (kiri) dan Overlay Vektor Kecepatan Air dengan Kontur Ketinggian Muka Air (Kanan) pada t = 0,02 (Gambar 8a), t = 0,2 (Gambar 8b), dan t = 0,5 (Gambar 8c) (Hasil Simulasi, 2021)

## 3.2.2.  Model Bendungan Bobol 2D
Permasalahan model bendungan bobol 2D terdiri  dari  dua  skenario,  antara  lain  dinding bendungan  bobol  di  tengah  (simetri)  dan dinding bendungan bobol di samping (asimetri). Dalam  model  ini  yang  dilakukan  adalah menentukan  aliran  yang  disebabkan  oleh bobolnya  bendungan  secara  tiba-tiba,  yang terjadi  akibat  umur  bendungan  yang  tua, konstruksi bendungan, karena struktur pondasi yang  tidak  stabil,  atau  bahkan  karena  adanya bencana gempa bumi.
Gambar 9. Hasil Simulasi Menggunakan Skema Staggered-Grid untuk Model Bendungan Bobol Simetri Tanpa Adanya Gesekan, untuk Ketinggian Muka Air (a) dan Overlay Vektor Kecepatan Air dengan Kontur Ketinggian Muka Air (b) pada t = 0,1, di mana Kedalaman Air h 1 = 1 m dan Ketinggian Muka Air h 2 = 0,2 m (Hasil Simulasi, 2021)
Gambar 10. Hasil Simulasi Menggunakan Skema Staggered-Grid untuk Model Bendungan Bobol Asimetri Tanpa Adanya
Gesekan, untuk Ketinggian Muka Air (a) dan Overlay Vektor Kecepatan Air dengan Kontur Ketinggian Muka Air (b) pada t = 0,15, di mana Kedalaman Air di Daerah Hulu h 1 = 1 m dan Ketinggian Muka Air di Daerah Hilir h 2 = 0,5 m (Hasil Simulasi, 2021)
Simulasi yang dilakukan masih dalam skala laboratorium. Domain simulasi adalah [0, 1] × [0,
1,5] . Simulasi dilakukan pada saat t = 0 sampai dengan t =  0,15.  Hasil  simulasi  untuk bendungan bobol dengan kerusakan bendungan  tepat  di  tengah  (Gambar  9)  dan kerusakan  struktur  bendungan  berada  di  tepi bendungan (Gambar 10, 11, 12) menunjukkan gelombang shock pada titik jebolnya bendungan  pada  waktu t =  0,15.  Kedua simulasi  pada  Gambar  9  dan  Gambar  10 menunjukkan bahwa ketinggian air di area hulu adalah  1  m,  sedangkan  ketinggian  air  di  area hilir 0,2 m.
Gambar  11  menunjukkan  hasil  simulasi kerusakan  struktur  bendungan  berada  di  tepi bendungan  dengan  daerah  hilir  merupakan daerah kering. Daerah kering memiliki ketinggian  muka  air  cukup  rendah  tetapi  tidak nol. Terlihat jelas perbedaan vektor kecepatan air pada bagian hilir (Gambar 10b dan Gambar 11b). Vektor kecepatan pada Gambar 10b lebih halus  dibandingkan  vektor  kecepatan  pada daerah kering (Gambar 11b).
Gambar 11. Hasil Simulasi Menggunakan Skema Staggered-Grid untuk Model Bendungan Bobol Asimetri Tanpa Adanya Gesekan, untuk Ketinggian Muka Air (a) dan Overlay Vektor Kecepatan Air dengan Kontur Ketinggian Muka Air (b) pada t = 0,15, di mana Kedalaman Air di Daerah Hulu h 1 = 1 m dan Ketinggian Muka Air di Daerah Hilir h 2 = 0,2 m (Hasil Simulasi, 2021)
Gambar 12. Hasil Simulasi Menggunakan Skema Staggered-Grid untuk Model Bendungan Bobol Asimetri Tanpa Adanya Gesekan, untuk Ketinggian Muka Air (a) dan Overlay Vektor Kecepatan AIr dengan Kontur Ketinggian Muka Air (b) pada t = 0,15, di mana Kedalaman Air di Daerah Hulu h 1 = 1 m dan Ketinggian Muka Air di Daerah Hilir h 2 = 0 m (Hasil Simulasi, 2021)

## IV.  KESIMPULAN
Dalam penelitian ini telah berhasil dimodelkan bendungan bobol 2D menggunakan metode volume hingga dengan skema staggered-grid . Asumsi yang digunakan adalah tidak  adanya  gesekan  pada  permukaan batimetri  dan  juga  pada  dinding  bendungan yang  jebol.  Untuk  model  asimetri,  hasilnya akurat dan bisa dibandingkan dengan hasil yang juga diperoleh oleh Zoppou dan Roberts (2000).
Skema staggered-grid juga menghasilkan hasil yang  lebih  akurat  serta  waktu  komputasi  yang lebih  cepat  dibandingkan  dengan  skema Lax – Friedrichs .  Selanjutnya  akan  dicoba  skema  ini untuk  pemodelan  menggunakan  data  batimetri sesungguhnya.  Hal  ini  akan  memberikan
tantangan penelitian selanjutnya, karena melibatkan geometri yang lebih kompleks.

## DAFTAR PUSTAKA
Zoppou,  C.,  and  S.  Roberts.  2000.  Numerical solution  of  the  two-dimensional  unsteady dam break. Applied Mathematical Modelling. 24 (7): 457-475. Mungkasi,  Sudi.  2011.  Metode  Volume  Hingga untuk  Menyelesaikan  Masalah  Bendungan Bobol . Jurnal Mat Stat. 11(1): 52-62. Delestre, O., C. Lucas, P.A. Ksinant, F. Darboux, C.  Laguerre,  T.N.T.  Vo,  F.  James,  and  S. Cordier. 2013. SWASHES: a Compilation of Shallow  Water  Analytic  Solutions  for Hydraulic  and  Environmental  Studies. International Journal for Numerical Methods in Fluids. 72(3): 269-300.
Saiduzzaman,  M.,  and  S.K.  Ray.  2013. Comparison  of  Numerical  Schemes  for Shallow  Water  Equation.  Global  Journal  of Science Frontier Research. 13(4): 28-46.
Gunawan,  H.P.  2015.  Numerical  simulation  of shallow  water  equations  and  related models. Doctoral dissertation. Paris Est.
Setiyowati, R., and Sumardi. 2019. A Simulation of  Shallow  Water  Wave  Equation  Using Finite  Volume  Method:  Lax-Friedrichs Scheme.  Journal  of  Physics:  Conference Series. 1306(1): 012022.
Imamura, F., A.C. Yalciner, and G. Ozyurt. 2006. Tunami  modelling  manual. UNESCO  IOC international  training  course  on  Tsunami Numerical Modelling.
Solenthaler,  B.,  P.  Bucher,  N.  Chentanez,  M.
Muller,  and  M.  Gross.  2011.  SPH-based shallow  water  simulation.  In  Virtual  Reality Interactions and Physical Simulations (VRIPhys). 39 –46.
García-Navarro,  P.  J.,  J.  Murillo,  J.  Fernández- Pato,  I.  Echeverribar,  and  M.  Morales- Hernández.  2019.  The  shallow  water equations  and  their  application  to  realistic cases.  Environ  Fluid  Mech.  19(5):  1235 –
1252.
Kementerian  Pekerjaan  Umum  dan  Perumahan
Rakyat. 2020. Rencana Strategis Kementerian Pekerjaan Umum dan
Perumahan Rakyat Tahun 2020-2024.
Kompas. 2017. Semua Bendungan di Indonesia Bakal  Dipasangi  Panel  Surya.  [terhubung berkala]. https://properti.kompas.com/read/2017/08/1 4/182008921/semua-bendungan-di- indonesia-bakal-dipasangi-panel-surya
INews. 2018. Bendungan Jebol Sapu
Permukiman  di  Laos,  Ratusan  Orang Hilang. [terhubung berkala].