ANALISIS STABILITAS MODEL  PERSAMAAN DIFERENSIAL PADA INTERAKSI DUA POPULASI DENGAN FAKTOR LOGISTIK
Supandi 1

## Abstrak
Persaingan  kehidupan  di  alam    dapat  dikategorikan  dua  jenis  yaitu    pertama persaingan    antara  dua  spesies  dengan  jenis  makanan  yang  sama,    dan  yang  kedua persaingan  antara  dua  spesies  dengan  satu  spesies  sebagai  pemangsa  (predator)  dan yang  lainnya  sebagai  mangsa  (prey).  Dalam  paper  ini  akan  dibahas  model  persaingan dua  spesies  dengan  jenis  makanan  yang  sama  dengan menggunakan sistem persamaan diferensial.    Dari  model  ini  akan  ditentukan  kapan kedua spesies saling berdampingan, atau  kapan  salah  satu  diantaranya  akan    punah  dengan  melihat  parameter  parameter yang diberikan.
Kata kunci  : titik  kritis,  nilai  eigen,  stabil

## Pendahuluan
Pandang  suatu  sistem  persamaan  diferensial  yang  menggambarkan  perkembangan populasi  dari  dua  spesies  dimana  kedua  spesies  tersebut  saling  bersaing/berkompetisi untuk      dapat  mempertahankan  hidupnya  dengan    jumlah  persediaan  makanan  (logistik) yang  tersedia  cukup.
Interaksi  dua  komunitas  spesies  dinyatakan  sebagai  bentuk  fungsi  x(t)  dan  fungsi yang  lain  yaitu  y(t).  Dalam  sistem  kehidupan  di  alam  kedua  fugnsi  tersebut  bisa digambarkan  sebagai  dua  komunitas  binatang  seperti  hidupnya  sekumpulan  serigala  dan sekumpulan  rusa  yang  hidup  di  suatu  daerah  yang  sama.  Dalam  paper  ini  diambil  dua komunitas  yang  memiliki  bahan  makanan  sama,  misal  komunitas  sapi  dan  kambing dalam  sautu  hutan  dengan  bahan    makanan  yang  sama.  Kedua  fungsi  tersebut  dapat digambarkan  dalam   sistem  persamaan  diferensial  biasa nonlinier  sebagai  berikut  :
g 1 = x(a-by-cx)
(1)
g 2 = y(d-ex-fy)
dengan  nilai  parameter   a,b,c,d >0.
Sistem  persamaan  differensial  (1) mempunyai  empat  titik  kritis  sebagai  berikut:
d a ea-cd db-fa {y=0,x=0}, (y= , x=0},{ y=0, x= } dan{y= , x = } f c eb-cf eb-cf
1 Program  Studi Pendidikan Matematika  IKIP  PGRI  Semarang
Dengan  bentuk  matrik  Jacobian  dari  persamaan  1 disajikan  sebagai  berikut:
1 1 2 2 J g g x y g g x y
(2)
= a-by-2cx xb
-ye d-ex-2fy
Dari  persamaan  matrik  Jacobian  yang  telah  diperoleh    dari  persamaan  2,  dapat ditentukan  syarat    terhadap  model  yang  digambarkan  dalam  persamaan  1  yang memungkinkan  terjadinya  koeksistensi  hidup  berdampingan    dua  spesies  yaitu  spesies  x dan  spesies  y.  Dengan  menggunakan  persamaan  1  maka  dapat  diperoleh  kasus  kasus  (  4 kasus  ) penyelesaian  untuk  nilai  x dan  y tidak  nol
Analisis  Model
Kasus pertama d a d a > d a n > e c f b
Dalam  hal  kasus  pertama  ini  terjadi  maka  persamaan  1  akan  memiliki  titik  kritis  yaitu (0,0), (0,d/f),(a/c,0)  dengan  analisis   analisis  linier  sebagai  berikut:
1. Titik  kritis  (0,0)
Bentuk  persamaan  2  untuk  titik  kritis  (0,0)  mempunyai    nilai  eigen 1 =a  >  0  dan 2 =  d >0 dengan  bentuk  matrik  Jacobian  sebagai  berikut:
a 0
J= 0 d
Dari  nilai  eigen  yang  dihasilkan  maka    titik  (0,0)    bersifat  node,  tidak  stabil  dan negatif  attracting
2. Titik  kritis  (0,d/f)
Untuk  titik  kritis  (0,d/f)  bentuk  persamaan  2  mempunyai  matrik  Jacobian  sebagai berikut:
bd
a- 0 f J= ed - -d f
dengan  nilai  eigen 1
2 db-fa λ =- <0 dan λ =-d <0 f .  Dengan  demikian  maka  titik  kritis (0,d/f)  merupakan  titik  asimptotik  stabil  dan positif  attracting
3. Titik  kritis  (a/c,0) Matrik  Jacobian  untuk  titik  kritis  (a/c,0) adalah
ba
-a - c J=
ea 0 d- c dengan  nilai  eigen 1 λ =-a <0 dan 2 ea-cd λ =- 0 c .  Sehingga  titik  kritis      (a/c,0)
bersifat  tidak  stabil  dan saddle.
Gambar  1. Kasus dimana  x(t)  akan punah
Kasus kedua d e a b dan d f a b
Dengan  menggunakan  persamaan  1,  maka  untuk  kasus  kedua  ini  akan  diperoleh  titik-titik kritis  yaitu:
a d 0,0 , ,0 , 0, b e
Analisis  dari  masing-masing  titik  kritis  tersebut  sebagai  berikut  : 1. Titik  kritis  (0,0)
Matriks  Jacobi1
a 0
J= 0 d dengan  nilai-nilai  eigen 1 2 λ =a>0,  λ =d>0 sehingga  titik  kritis  (0,0)  bersifat  node, tidak  stabil  dan negatif  attracting.
2. Titik  kritis a ,0 b
Matriks  Jacobi2
ac
-a - b J af 0 a- b dengan  nilai-nilai  eigen 1 λ =-a < 0 dan 2 db-af λ = <0 b sehingga  titik  kritis a ,0 b
bersifat  asimtotik  stabil  dan positif  attracting.
3. Titik  kritis d 0, e
Matriks  Jacobi dc a- 0 e J= df - -d e
dengan  nilai-nilai  eigen 0 1 d dan 2 ae-dc λ = >0 e sehingga  titik  kritis d 0, e bersifat  tidak  stabil  dan saddle.
Gambar  2. Kasus dimana  y(t)  akan punah
Kasus ketiga d a a d > dan > e c b f
Titik-titik  kritisnya:
a d 0,0 , ,0 , 0, b e , ae-dc db-af , be-cf be-cf dan dengan  analisis  liniernya  didapat:
a. Titik  kritis  (0,0)
Matriks  Jacobi
a 0 J= 0 d dengan  nilai-nilai  eigen 1
2 λ =a>0,  λ =d>0 sehingga  titik  kritis  (0,0)  bersifat  node,  tidak stabil  dan negatif  attracting.
b. Titik  kritis a ,0 b Matriks  Jacobi ac -a - b J= af 0 d- b
dengan  nilai-nilai  eigen 1 λ =-a<0 dan 2 db-af λ = <0 b sehingga  titik  kritis a ,0 b bersifat node, stabil  dan positif  attracting
c. Titik  kritis d 0, e
Matriks  Jacobi dc a- 0 e J= df - -d e dengan  nilai-nilai  eigen 1 λ =-d<0 dan 2 ae-dc λ = <0 e sehingga  titik  kritis d 0, e bersifat node, stabil  dan positif  attracting
d. Titik  kritis   (x,y)= ae-dc db-af
, be-cf be-cf ,
Matriks  Jacobi -bx -cx J= -fy -ey dengan  nilai-nilai  eigennya  memenuhi  persamaan:
(λ+bx)(λ+ey)-cfxy=0
2 λ +(bx+ey)λ+(be-cf)xy=0
... (3)
Persamaan  (3) mempunyai  solusi:
2 1,2 -(bx+ey)± (bx+ey) -4(be-cf)xy λ = 2 ... (4)
Kasus-kasus  yang  terjadi  pada persamaan  (4):
a.Jika  be-cf<0   maka  nilai  akar  yang  berada  dalam  persamaan  (4)  bernilai  positif  dan lebih  besar  dari  nilai 2 (bx+ey) .  Sehingga  nilai  eigen-eigennya  adalah  real  dan  berlainan tanda.  Sehingga  titik  kritis  ( x , y )  adalah  titik  saddle  (tidak  stabil)  dan  koeksistensi  tidak mungkin  terjadi.
b.Jika  be-cf>0   maka  nilai  akar  yang  berada  dalam  persamaan  (4)  bernilai  lebih  dari  nilai 2 (bx+ey) .  Sehingga  nilai  eigen-eigennya  adalah  real,  negatif  dan  tidak  sama  atau kompleks  dengan  bagian  real  negatif.  Namun  kondisi  kompleks  tidak  mungkin  terjadi karena  nilai  akar yang  berada dalam  persamaan  (4)
2 2 (bx+ey) -4(be-cf)xy=(bx-ey) +4cfxy>0
sehingga  tidak  mungkin  nilai-nilai  eigennya  kompleks.  Dengan  demikian  maka  titik kritis  ( x,y ) adalah  titik  node stabil  asimtotik  dan koeksistensi  mungkin  terjadi.
Namun  pada kasus  ini  (lihat  gambar)   dimiliki  pertidaksamaan
d a > e c atau ae dc dan a d > b f atau af>db ... (5)
Dengan  persamaan  (5)  di  atas  dan  fakta  bahwa  nilai x , y positif,  diperoleh  pertidaksamaan cf be (memenuhi  kasus  (a)  di  atas  untuk  kondisi  persamaan  (4)).  Sehingga  dalam  kasus ini  titik  kritis  ( x , y ) adalah  titik  saddle  dan koeksistensi  tidak  mungkin  terjadi.
Gambar  3. Kasus dimana   salah satu dari  x(t)  atau  y(t)  akan  punah
Kasus keempat a d d a > dan > c e f b
Titik-titik  kritisnya:
a d
0,0 , ,0 , 0, b e , ae-dc db-af
, be-cf be-cf dan dengan  analisis  liniernya:
a.Titik  kritis  (0,0) Matriks  Jacobi a 0 J= 0 d dengan  nilai-nilai  eigen 1
2 λ =a>0,  λ =d>0 sehingga  titik  kritis  (0,0)  bersifat  node,  tidak stabil  dan negatif  attracting.
b.Titik  kritis a ,0 b
Matriks  Jacobi ac -a - b J= af
0 d- b
dengan  nilai-nilai  eigen 1 λ =-a<0 dan 2 db-af λ = >0 b sehingga  titik  kritis a ,0 b bersifat tidak  stabil  dan saddle.
c.Titik  kritis d 0, e Matriks  Jacobi dc a- 0 e J= df - -d e dengan  nilai-nilai  eigen 1 λ =-d<0 dan 2 ae-dc λ = >0 e sehingga  titik  kritis d 0, e bersifat tidak  stabil  dan saddle.
d.Titik  kritis
ae-dc db-af x,y = , be-cf be-cf Matriks  Jacobi
-bx -cx J= -fy -ey
dengan  nilai-nilai  eigennya  memenuhi  persamaan  (3).  Dengan  kasus-kasus  yang  sama terjadi  pada persamaan  (4).
Namun  pada kasus  (lihat  gambar)  ini  dimiliki  pertidaksamaan
d a < e c atau  dc<ae   dan a d < b f atau  af<db ... (6)
Dengan  persamaan  (6)  di  atas  dan  fakta  bahwa  nilai x , y positif,  diperoleh  pertidaksamaan cf be (memenuhi  kasus  (b)  di  atas  untuk  kondisi  persamaan  (4)).  Sehingga  dalam  kasus ini  titik  kritis  ( x, y) adalah  titik  stabil  asimtotik  dan koeksistensi  terjadi.
Gambar  4. Kasus dimana  x(t)  dan  y(t)  akan hidup  berdampingan

## Kesimpulan
Untuk  beberapa kasus di  atas dapat terlihat  dan diambil  kesimpulan  bahwa titik-titik  kritis
a d 0,0 , ,0 , 0, b e tidak  stabil.  Kemudian  untuk  sebarang  nilai  awal  positif  dari populasi  x  dan  y,  dua  populasi  mendekati  keadaan  equilibrium  yaitu  keadaan  koeksistensi yang  diberikan  oleh  titik  kritis ae-dc db-af , be-cf be-cf .
Sistem  (2)  membuktikan  interpretasi  secara  biologis  bahwa  terjadi  atau  tidak  terjadinya koeksistensi  bergantung  dari cf be bernilai  positif  atau  negatif.  ‘b’  adalah  ukuran  dari pengaruh  pelarangan  pertumbuhan  setiap  populasi  pada  populasinya  sendiri  (keterbatasan logistik),  sedangkan  ‘c’  adalah  ukuran  dari  pengaruh  larangan  pertumbuhan  dari  setiap populasi  terhadap  species  lainnya.
Selanjutnya  ketika cf be ,  interaksi  (kompetisi)  antar  species  yang  terjadi  lemah  dan species  dapat  koeksistensi  (bertumbuh  secara  beriringan).  Sedangkan  ketika cf be , interaksi  (kompetisi)  antar  species  yang  terjadi  kuat  dan  species  tidak  dapat  koeksistensi sehingga  berakibat  salah  atau  species  harus  mati  (punah).
Kasus  a,b  dan  c  merupakan  titik-titik  terjadinya  kepunahan  salah  satu  atau  kedua  species, dan hanya  kasus  d  yang  berkorespodensi  terhadap  panjang  waktu  survival  kedua  species.
Jadi  dapat disimpulkan  bahwa dari  sistem  (1):
- Jika 0 x dari  persamaan  (1.a)  menunjukkan x meningkat  atau  menurun  menurut
0 cy bx a atau 0 cy bx a
- Begitu  juga  untuk  persamaan  (1.b)  bahwa  y  naik  atau  turun  berdasarkan
0 fx ey d atau 0 fx ey d
- Garis 0 cy bx a disebut nullciline x  bila    titik  kritisnya    terjadi  untuk  no.4  untuk setiap  kasus

## Daftar Pustaka
[1]  C.Henry  Eduards  &  David  E.  Penney,  2000,  Differential    Equations  and  Boundary Value  Problems,  Computing  and  Modelling,  Second  Edition,  Prentice    Hall,  New Jersey
[2]  F.  Verhulst,  1996,  Nonlinier  Differential  Equations  and  Dynamical  System,  Second Edition,  Springer-Verlag,  New York Inc.
[3]  http://www.duke.edu/education/ccp/materials/postcalc/predprey/contents.html, System  of Differential  Equations  :  Model  of  Species  Interaction
[4]    S.Wiggins.,  1990,  Introduction  to  applied  Nonlinier  Dynamical  System  and  Chaos, Springer-Verlag,  New York Inc