On A Generalized Köthe-Toeplitz Duals
Sumardyono 1 , Supama 2 , dan Soeparna Darmawijaya 3
1 PPPPTK Matematika, smrdyn2007@gmail.com
2 Mathematics Department, Gadjah Mada University, supama@ugm.ac.id
3 Mathematics Department, Gadjah Mada University
ABSTRACT .  In  this  paper,  we  generalized  the  notion  of  Kothe-Toeplitz  duals  of sequence space on introducing the concept sequence of sequences. Some properties of the generalized dual are obtained.
Keywords : Köthe-Toeplitz duals, Generalized dual spaces, Sequence of sequences
ABSTRAK. Pada paper ini dibahas mengenai dual Kothe-Toeplitz yang diperumum dari ruang  barisan  ke  ruang  barisan  dengan  suku  barisan.  Selain  itu,  akan  dibahas  juga mengenai sifat-sifat dari dual tersebut.
Kata  Kunci :  dual Kothe-Toeplitz,  ruang  dual  yang  diperumum,  barisan  dari barisan

## 1. PENDAHULUAN
Konsep ruang dual merupakan konsep penting dalam studi analisis. Salah satu bahasan mengenai dualitas suatu ruang telah disampaikan Köthe dan Toeplitz (1934), Garling (1967), dan juga Ruckle (1967) dengan memperkenalkan tipe-tipe dual  ruang  barisan  yaitu  dual-  ,  dual-  ,  dual-  ,  dan  dual-  .  Sifat-sifat  dual-  ,
dual-  , dan dual-  di atas juga telah dibahas oleh Kamthan & Gupta.
Berangkat dari pengertian di atas, kami memperluas konsep dual-  , dual-  , dual-  , dan dual-  dari ruang barisan ke ruang barisan dengan suku barisan.

## 2.  PERLUASAN DUAL KÖTHE-TOEPLITZ
Dimisalkan  koleksi semua barisan x = { x n } dengan x n  C, n  1.
JMP : Volume 4 Nomor 1, Juni 2012, hal. 31 - 39
Hasil kali dan penjumlahan dua barisan { x n }dan { y n } didefinisikan secara pointwise sebagai berikut.
{ x n }.{ y n } = { x 1 , x 2 , x 3 , ...}. { y 1 , y 2 , y 3 , ...} = { x 1 . y 1 , x 2 . y 2 , x 3 . y 3 ,  ...} { x n }+ { y n }   = { x 1 , x 2 , x 3 , ...} + { y 1 , y 2 , y 3 , ...} = { x 1 + y 1 , x 2 + y 2 , x 3 + y 3 ,  ...}
Dengan penjumlahan pointwise dan perkalian skalar, maka  menjadi ruang vektor atas C.
Himpunan semua permutasi dari N dinotasikan dengan  .
Definisi  2.1 ([6],  [1],  [5])  Dipandang  ruang  vektor  tak  nol    maka didefinisikan  dual-  ,  dual-  ,  dual-  ,  dan  dual-  dari  berturut-turut  sebagai berikut.
  = { x : x   ,     1 i i i y x ,  y   }
  = { x : x   ,     1 i i i y x ,  y   }   = { x : x   ,
    n i i i n y x 1 sup ,  y   }   = { x : x   ,     1 ) ( i i i y x  ,  y   , dan    }
Selanjutnya, untuk setiap x = { x n }   , beberapa notasi didefinisikan sebagai berikut.
 x  1 =  { x n }  1 =  x 1  +  x 2  +  x 3  + ...  dan  x  =  { x n }  = {  x 1  ,  x 2  ,  x 3  , ...  } .
Sehingga  x  1  C sedang  x    .
Barisan dengan entri di  dinotasikan dengan huruf kapital X = { x ( n ) } dengan x ( n ) menyatakan suku ke- n pada X .
X = { x (1) , x (2) , x (3) , ... }
dengan x (1) = { x 11 , x 12 , x 13 , ...}  

## 32                                                      Sumardyono, Supama, dan Soeparna Darmawijaya
x (2) = { x 21 , x 22 , x 23 , ...}   x (3) = { x 31 , x 32 , x 33 , ...}  
...........
Dimisalkan  koleksi semua barisan X = { x ( n ) } dengan x ( n )   . Hasil kali dan penjumlahan pada  dilakukan secara pointwise sebagai berikut.
Untuk setiap X, Y   maka
X.Y = { x ( n ) }. { y ( n ) } = { x (1) . y (1) , x (2) . y (2) , x (3) . y (3) , .... } X + Y = { x ( n ) } + { y ( n ) } = { x (1) + y (1) , x (2) + y (2) , x (3) + y (3) , .... }
Dengan penjumlahan bersifat pointwise dan perkalian skalar, maka  menjadi sebuah ruang vektor atas C.
Definisi 2.2 Dipandang    sebuah ruang vektor atau ruang linear yang tak nol. Dengan X = { x ( n ) } dan Y = { y ( n ) }, x ( n ) , y ( n )   maka didefinisikan berturut- turut,
  = { X : X   ,   1 1 ) ( ) ( i i i y x   ,  Y   }   = { X : X   , 1 1 ) ( ) (   i i i y x   ,  Y   }   = { X : X   , 1 1 ) ( ) ( sup   n i i i n y x   ,  Y   }   = { X : X   , 1 1 ) ( ) (   i i i y x    ,  Y   dan    }
Selanjutnya, berturut-turut ruang   ,   ,   , dan   disebut dual-  , dual-  , dual-  , dan dual-  dari  .
Dengan mengingat bahwa untuk setiap x = { x n }   , bentuk  x  1 didefinisikan sebagai  x 1  +  x 2  +  x 3  + ...   maka diperoleh sebagai berikut.
1 1 ) ( ) (   i i i y x = ... 1 ) 3 ( ) 3 ( 1 ) 2 ( ) 2 ( 1 ) 1 ( ) 1 (    y x y x y x
On A Generalized Köthe-Toeplitz Duals                                                                                   33
 1 13 12 11 13 12 11 ,...} , , ,...}.{ , , { y y y x x x + 1 23 22 21 23 22 21 ,...} , , ,...}.{ , , { y y y x x x + 1 33 32 31 33 32 31 ,...} , , ,...}.{ , , { y y y x x x + ...
= 1 13 13 12 12 11 11 ,...} . , . , . { y x y x y x + 1 23 23 22 22 21 21 ,...} . , . , . { y x y x y x + 1 33 33 32 32 31 31 ,...} . , . , . { y x y x y x + ...
=   { 11 11 y x + 12 12 y x + 13 13 y x + ... } + { 21 21 y x + 22 22 y x + 23 23 y x + ... } +
{ 31 31 y x + 32 32 y x + 33 33 y x + ... } + ... =   1 1 1 j j j y x +   1 2 2 j j j y x +   1 3 3 j j j y x + ... =     1 1 i j ij ij y x
Selanjutnya dengan cara yang sama diperoleh berturut-turut.
1 1 ) ( ) (   i i i y x
=     1 1 j i ij ij y x sup n 1 1 ) ( ) (   n i i i y x =  sup n     1 1 j n i ij ij y x 1 1 ) ( ) (   i i i y x  =     1 1 ) ( i j j i ij y x 
Dengan demikian, dual-  , dual-  , dual-  , dan dual-  dari  dapat dinyatakan kembali sebagai berikut.
Definisi 2.3 Dipandang    sebuah ruang vektor atau ruang linear yang tak nol. Dengan X = { x ( n ) } dan Y = { y ( n ) }, x ( n ) , y ( n )   serta x ( i ) = { x ij } dan y ( i ) = { y ij } maka didefinisikan berturut-turut,
  = { X : X   ,     1 1 i j ij ij y x   ,  Y   }   = { X : X   ,     1 1 j i ij ij y x   ,  Y   }   = { X : X   ,  sup n     1 1 j n i ij ij y x   ,  Y   }

## 34                                                      Sumardyono, Supama, dan Soeparna Darmawijaya
  = { X : X   ,     1 1 ) ( i j j i ij y x    ,  Y   dan    }
Pandang koleksi  * = { X   : X = { x ( n ) }, x n = { x n , 0, 0, 0, ...}, n  1}  dan  
 * ruang vektor tak nol, maka
    1 1 i j ij ij y x =   1 i i i y x ,     1 1 j i ij ij y x =   1 i i i y x sup n     1 1 j n i ij ij y x = sup n   n i i i y x 1     1 1 ) ( i j j i ij y x  =   1 ) ( i i i y x 
Diperoleh bahwa.
  =   ,   =   ,   =   ,   =  
dengan  = {{ y j } : y j  C }   , dan  = {{ x j } : x j  C }
Jadi   ,   ,   , dan   merupakan suatu perluasan atau generalisasi dari   ,   ,   , dan   .
Sementara, untuk koleksi  ** = { X   : X = { x (1) , 0, 0, 0, .... } }  dan    ** ruang vektor tak nol, maka
  =   =   =   =   dengan  = {{ y j } : y j  C }   , dan  = {{ x j } : x j  C }

## 3. BEBERAPA SIFAT PERLUASAN DUAL KÖTHE-TOEPLITZ
Pada bagian akhir ini, kami sampaikan beberapa sifat Perluasan dual Köthe- Toeplitz yang masih serupa dengan sifat-sifat pada dual Köthe-Toeplitz.

## Proposisi 3.1     
Bukti : Diambil sebarang X    maka untuk sebarang Y   diperoleh
    1 1 j i ij ij y x =      1 3 3 2 2 1 1 ... j j j j j j j y x y x y x         1 3 3 2 2 1 1 ... j j j j j j j y x y x y x =     1 1 j i ij ij y x =     1 1 i j ij ij y x  
On A Generalized Köthe-Toeplitz Duals                                                                                   35
Sehingga, X    .
Proposisi 3.2     
Bukti :  Diambil sebarang X    maka     1 1 j i ij ij y x   untuk setiap Y   .
Dengan kata lain, barisan 
     1 1 j n i ij ij y x konvergen (ke suatu bilangan kompleks).
Karena konvergen, maka barisan
      1 1 j n i ij ij y x merupakan barisan Cauchy.
Selanjutnya, karena barisan Cauchy, maka barisan       1 1 j n i ij ij y x
terbatas.
Dengan kata lain, untuk setiap n berlaku     1 1 j n i ij ij y x   .
Dengan demikian diperoleh,
sup n     1 1 j n i ij ij y x   .
Sehingga, X    .
Proposisi 3.3     
Bukti : Diambil sebarang X    maka     1 1 ) ( i j j i ij y x    untuk setiap Y   dan setiap permutasi 
  .
Karena    maka dapat dipilih  = N  sehingga diperoleh  ( i ) = i dan     1 1 i j ij ij y x  
Sehingga, X    .
Proposisi 3.4 Jika    maka      , dengan  =  ,  ,  , atau 
Bukti :  Misal    . Diambil sebarang X    .
Untuk sebarang Y   maka Y   .  Lalu karena Y   sedang X    maka berlaku
    1 1 i j ij ij y x   di mana x ij dan y ij berturut-turut adalah entri suku ke- j dari barisan ke- i dari X dan Y .

## 36                                                      Sumardyono, Supama, dan Soeparna Darmawijaya
Jadi, untuk sebarang Y   berlaku     1 1 i j ij ij y x   . Ini artinya bahwa X    .
Jadi,      .
Untuk dual-  , dual-  , dan dual-  , bukti serupa di atas.
Proposisi 3.5 Jika  =  1   2 maka   =  1    2  dengan  =  ,  ,  , atau 
Bukti :  Dimisalkan bahwa  =  1   2 diperoleh  1 ,  2   .
Karena  1   maka     1  , juga karena  2   maka     2  .
Dengan demikian, diperoleh     1    2  ... (i)
Di lain pihak, jika diambil sebarang X   1    2  maka X   1  dan X   2  .  Dengan demikian,
    1 1 i j ij ij y x   untuk setiap Y   1 .... (i)  dan
    1 1 i j ij ij y x   untuk setiap Y   2 ..... (ii)
Sekarang, diambil sebarang H   =  1   2 maka H   1 atau H   2 .
Jika H   1 maka berdasarkan (i) diperoleh     1 1 i j ij ij h x   . Jika H   2 maka berdasarkan (ii) diperoleh     1 1 i j ij ij h x   .
Karena berlaku untuk sebarang H   maka X    .
Dengan demikian,  1    2     ... (ii)
Dari (i) dan (ii) maka   =  1    2  .
Untuk dual-  , dual-  , dan dual-  , bukti serupa di atas.
Proposisi 3.6 Jika  =  n i i 1   maka   =  n i i 1    dengan  =  ,  ,  , atau 
Bukti: Untuk n = 1  maka benar bahwa  =  maka   =   .
Misalkan pernyataan benar untuk n = k yaitu
 =  k i i 1   maka   =  k i i 1   
Selanjutnya akan dibuktikan bahwa pernyataan benar untuk n = k + 1.
 =  1 1    k i i =   
      k i i 1   k +1
maka   =              1 1 k k i i  =              1 1 k k i i  =  1 1     k i i
Jadi, benar bahwa jika  =  n i i 1   maka   =  n i i 1   
Proposisi 3.7     dengan  =  ,  ,  , atau 
Bukti: Dipandang dual-  berikut.
  = { X : X   ,     1 1 i j ij ij y x   ,  Y   }
Lalu, jika diambil sebarang Y   maka     1 1 i j ij ij y x   ,  X   
Pernyataan terakhir menyatakan bahwa Y  (   ) 
Jadi,    
Untuk dual-  , dual-  , dan dual-  , bukti serupa di atas.
Secara umum tidak berlaku  =   . Untuk ruang barisan  yang memenuhi kesamaan  =   maka  disebut ruang sempurna ( perfect space ).
Proposisi 3.8   =   dengan  =  ,  ,  , atau 
Bukti: Untuk setiap    berlaku    
Oleh karena itu, untuk ruang barisan   berlaku    (   )  atau   
  ... (i)
Sebaliknya, oleh karena     maka (   )     atau      ...
(ii)
Dari (i) dan (ii) maka   =   .
Beberapa akibat langsung dari proposisi di atas antara lain sebagai berikut.
Proposisi 3.9 Dengan  =  ,  ,  , atau  maka
(1) Untuk setiap    maka   merupakan ruang sempurna.
(2) Ruang barisan  merupakan ruang sempurna jika terdapat ruang barisan
   sedemikian hingga   =  (3) Jika  =   dan  ruang sempurna maka  =   .
38                                                        Sumardyono, Supama, dan Soeparna Darmawijaya

## DAFTAR PUSTAKA
Chillingworth,  H.R.  (1958).  Generalized  “dual”  sequence  spaces. Nederl.  Akad. Wetensch. Indag. Math. 20
Choudhary,  B,  dan  Mishra,  S.K.  (1993).  On  Kothe-Toeplitz  Duals  of  Certain Sequence  Spaces  and  Their  Matrix  Transformations. Indian  Jurnal  Pure apllied Math , 24 (5): 291-301 Conway, J. B. (1990). A Course in Functional Analysis. Springer-Verlag.
Garling, D.J.H. (1967). The  - and  -duality . Proc. Cambridge Philos. Soc. 63 Kamthan,  P.K.  dan  Gupta,  M.  (1981). Sequence  spaces  and  series .  New  York. Marcel Dekker, Inc.
Köthe,  G.  &  Toeplitz.  (1934).  Lineare  Räume  mit  unendlich  vielen  Koordinaten und Ringe unendlicher Matrizen, Jour. Reine angew. Math . 171 Royden,  H.  L.  (1988). Real  Analysis .  MacMillan  Publishing  Company.  New York.
Rudin, W. (1973). Functional analysis . New York: McGraw-Hill Book Company Wilansky, A. (1984). Summability through Fuctional Analysis . Amsterdam: North Holland.
On A Generalized Köthe-Toeplitz Duals                                                                                   39