## Prima: Jurnal Pendidikan Matematika
Vol. 2, No. 1, Januari 2018, hal. 49-56 P-ISSN: 2579-9827, E-ISSN: 2580-2216

## SIFAT-SIFAT HIMPUNAN PROXIMINAL

## Arta Ekayanti
Universitas Muhammadiyah Ponorogo, Jl. Budi Utomo No.10, Ronowijayan, Siman, Kabupaten Ponorogo, Jawa Timur 63471, (0352) 481124 e-mail: arta_ekayanti@ymail.com

## Abstrak
Pada  artikel  ini,  akan  dipelajari  beberapa  fakta  mengenai  himpunan  proximinal.  Di  antaranya,  himpunan proximinal pada ruang bernorma linear merupakan himpunan tertutup. Himpunan tertutup pada ruang bernorma linear  berdimensi  hingga  merupakan  himpunan  proximinal.  Himpunan  proximinal  yang  konveks  merupakan himpunan Chebyshev.
Kata Kunci: aproksimasi terbaik, himpunan proximinal, himpunan chebyshev, himpunan konveks

## Abstract
In this paper, we study about some fact of proximinal set. Such as, proximinal set in normed linear space was closed set. Closed set in finite dimensional normed linear space was proximinal set. Convex proximinal set was Chebyshev set.
Keywords : best approximation, proximinal set, chebyshev set, convex set

## PENDAHULUAN
Aproksimasi  terbaik  merupakan  salah  satu  bahasan  penting  pada  analisis  fungsional. Beberapa  referensi  telah  membahas  materi  mengenai  aproksimasi  terbaik  di  antaranya  pada buku  karangan  Kreyszig  (1978)  telah  memberikan  pengantar  mengenai  konsep  aproksimasi terbaik  pada  ruang  bernorma,  Ghazal  (2010)  membahas  mengenai  aproksimasi  terbaik  dan co-aproksimasi  terbaik  dalam  ruang  bernorma.  Di  samping  itu,  Vijayaragavan  (2013) membahas  mengenai  aproksimasi  terbaik  pada  ruang  bernorma  linear,  Khalil  (1988)  telah membahas  mengenai  aproksimasi  terbaik  dalam  ruang  metrik  konveks,  serta  Suharsono (2006)  telah  membahas  mengenai  hubungan  antara  aproksimasi  terbaik  dengan  titik  tetap pada  ruang  metrik  konveks.  Fokus  pada  ruang  metrik  konveks,  Aziz  (2008)  membahas mengenai  kaitan  antara  aproksimasi  terbaik  dengan  titik  tetap  pada  ruang  metrik  konveks Menger. Pada referensi-referensi tersebut telah dianalisis secara mendalam materi mengenai aproksimasi  terbaik.  Perlu  diperhatikan  bahwa,  salah  satu  bahasan  yang  terkait  dengan aproksimasi terbaik di antaranya adalah himpunan proximinal.
Suatu  himpunan  disebut  himpunan  proximinal  apabila  aproksimasi  terbaik  dari himpunan  tersebut  memiliki  anggota.  Pada  penelitian  ini  akan  dibahas  mengenai  definisi himpunan proximinal serta beberapa sifat yang berlaku pada himpunan proximinal. Penelitian ini  diharapkan  mampu  memberikan  kontribusi  pada  perkembangan  ilmu  pengetahuan
50
khususnya  matematika  cabang  analisis  yaitu  analisis  fungsional  pada  topik  pembahasan aproksimasi  terbaik.  Serta  memberikan  motivasi  untuk  melakukan  penelitian  mengenai pemetaan pada himpunan proximinal serta sifat-sifat yang berlaku di dalamnya.

## METODE PENELITIAN
Metode  penelitian  yang  digunakan  dalam  penulisan  ini  adalah  penelitian  kepustakaan atau  riset  kepustakaan  ( library  research ).  Peneliti  mengkaji  beberapa  literatur  seperti Introductory  Functional  Analysis  with  Applications karangan  Erwin  Kreyszig  serta  jurnal Best  Approximation in  Real  Linear 2-Normed Spaces yang ditulis oleh Vijayaragavan. Dari beberapa referensi tersebut, peneliti mengembangkan bahasan dengan fokus topik pada sifat- sifat himpunan proximinal.

## HASIL DAN PEMBAHASAN
Definisi 2.1 Diberikan himpunan tak kosong 𝑋 . Pemetaan 𝑑: 𝑋 × 𝑋 → ℝ disebut metrik pada 𝑋 jika memenuhi:
1. Untuk setiap 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋 berlaku 𝑑(𝑥, 𝑦) ≥ 0.
2. Untuk setiap 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋, 𝑑(𝑥, 𝑦) = 0 jika dan hanya jika 𝑥 = 𝑦.
3. Untuk setiap 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋 berlaku 𝑑(𝑥, 𝑦) = 𝑑(𝑦, 𝑥).
4. Untuk setiap 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝑋 berlaku 𝑑(𝑥, 𝑦 ≤ 𝑑(𝑥, 𝑧) + 𝑑(𝑧, 𝑦).
Pasangan (𝑋, 𝑑) selanjutnya disebut ruang metrik.
Untuk  suatu  ruang  metrik (𝑋, 𝑑) dan  himpunan 𝑆 ,  jarak  antara  titik 𝑥 ∈ 𝑋 dan himpunan 𝐴 dinotasikan dengan 𝑑(𝑥, 𝑆) didefinisikan dengan 𝑑(𝑥, 𝑆) = inf  {𝑑(𝑥, 𝑦): 𝑦 ∈ 𝑆}
Definisi  2.2 Diberikan  ruang  vektor 𝑋 ,  pemetaan ||. ||: 𝑋 → ℝ disebut  norma  pada 𝑋 jika memenuhi:
1. Untuk setiap 𝑥 ∈ 𝑋 berlaku ∥ 𝑥 ∥≥ 0.
2. Untuk setiap 𝑥 ∈ 𝑋 , ∥ 𝑥 ∥= 0 jika dan hanya jika 𝑥 = 0.
3. Untuk setiap 𝑥 ∈ 𝑋 dan 𝛼 ∈ ℝ berlaku ∥ 𝛼𝑥 ∥= |𝛼| ∥ 𝑥 ∥.
4. Untuk setiap 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋 berlaku ∥ 𝑥 + 𝑦 ∥≤∥ 𝑥 ∥ +∥ 𝑦 ∥ .
Pasangan (𝑋, ∥. ∥) selanjutnya disebut ruang bernorma.
Berikut diberikan definisi aproksimasi terbaik.
Definisi  2.3 Diberikan  ruang  bernorma  linear 𝑋 dan 𝑆 ⊆ 𝑋 tak  kosong.  Elemen 𝑠 0 ∈ 𝑆 disebut aproksimasi terbaik untuk 𝑥 ∈ 𝑋 jika untuk setiap 𝑠 ∈ 𝑆 berlaku
51 ∥ 𝑥 − 𝑠 0 ∥≤∥ 𝑥 − 𝑠 ∥.
Selanjutnya, dinotasikan 𝑃 𝑆 (𝑥) = {𝑠 0 ∈ 𝑆: ∥ 𝑥 − 𝑠 0 ∥≤∥ 𝑥 − 𝑠 ∥, ∀𝑠 ∈ 𝑆} merupakan koleksi semua aproksimasi terbaik 𝑥 ∈ 𝑋.
Lebih  lanjut,  himpunan 𝑃 𝑆 (𝑥) koleksi  semua  aproksimasi  terbaik 𝑥 ∈ 𝑋 dapat dituliskan dengan
𝑃 𝑆 (𝑥) = {𝑠 0 ∈ 𝑆: ‖𝑥 − 𝑠 0 ‖ = 𝑑(𝑥, 𝑆)}.
Jika 𝑃 𝑆 (𝑥) memiliki  anggota,  maka 𝑆 disebut  sebagai  himpunan  proximinal.  Hal  ini sebagaimana disebutkan pada definisi berikut:
Definisi 2.4 Jika 𝑃 𝑆 (𝑋) ≠ ∅, 𝑆 disebut himpunan proximinal.
Untuk  suatu 𝑦 ∈ 𝑋 dan 𝛼 ∈ ℝ didefinisikan  koleksi  semua  aproksimasi  terbaik 𝑃 𝑆+𝑦 (𝑥 + 𝑦) = {𝑠 0 ∈ 𝑆: ∥ 𝑥 + 𝑦 − 𝑠 0 ∥= 𝑑(𝑥, 𝑆 + 𝑦)} dan 𝑃 𝛼𝑆 = {𝑠 0 ∈ 𝑆: ∥ 𝛼𝑥 − 𝑦 0 ∥= 𝑑(𝑥, 𝛼𝑆)}. Berikut  diberikan  teorema  yang  membahas  sifat  koleksi  semua  aproksimasi terbaik.
Teorema 2.1 Diberikan ruang bernorma 𝑋 dan 𝑆 ⊆ 𝑋 tak kosong, maka berlaku 1. 𝑃 𝑆+𝑦 (𝑥 + 𝑦) = 𝑃 𝑆 (𝑥) + 𝑦, untuk setiap 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋.
2. 𝑃 𝛼𝑆 (𝛼𝑥) = 𝛼𝑃 𝑆 (𝑥) untuk setiap 𝑥 ∈ 𝑋 dan 𝛼 ∈ ℝ.
Bukti:
1. Diambil  sebarang 𝑦 0 ∈ 𝑃 𝑆+𝑦 (𝑥 + 𝑦) maka 𝑦 0 ∈ 𝑆 + 𝑦 dan ∥ 𝑥 + 𝑦 − 𝑦 0 ∥≤∥ 𝑥 + 𝑦 − (𝑠 + 𝑦) ∥ untuk  setiap 𝑠 + 𝑦 ∈ 𝑆 + 𝑦. Diperoleh (𝑦 0 − 𝑦) ∈ 𝑆 dan ∥ 𝑥 − (𝑦 0 − 𝑦) ∥≤∥ 𝑥 − 𝑠 ∥ untuk setiap 𝑠 ∈ 𝑆. Artinya (𝑦 0 − 𝑦) ∈ 𝑃 𝑆 (𝑥) , sehingga 𝑦 0 ∈ 𝑃 𝑆 (𝑥) + 𝑦 . Dengan demikian  diperoleh 𝑃 𝑆+𝑦 (𝑥 + 𝑦) ⊆ 𝑃 𝑆 (𝑥) + 𝑦. Selanjutnya,  dapat  dibuktikan  bahwa 𝑃 𝑆 (𝑥) + 𝑦 ⊆ 𝑃 𝑆+𝑦 (𝑥 + 𝑦) , sehingga disimpulkan bahwa 𝑃 𝑆+𝑦 (𝑥 + 𝑦) = 𝑃 𝑆 (𝑥) + 𝑦 untuk setiap 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋.
2. Diambil 𝛼 ∈ ℝ sebarang.  Untuk 𝛼 = 0 trivial.  Diperhatikan  untuk 𝛼 ≠ 0. Diambil sebarang 𝑦 0 ∈ 𝑃 𝛼𝑆 (𝛼𝑥) maka 𝑦 0 ∈ 𝛼𝑆 dan ∥ 𝛼𝑥 − 𝑦 0 ∥≤∥ 𝛼𝑥 − 𝛼𝑠 ∥ untuk setiap 𝑠 ∈ 𝑆. Akibatnya diperoleh
|𝛼| ‖𝑥 − 1 𝛼 𝑦 0 ‖ ≤ |𝛼| ∥ 𝑥 − 𝑠 ∥
untuk  setiap 𝑠 ∈ 𝑆. Dengan demikian diperoleh 1 𝛼 𝑦 0 ∈ 𝑃 𝑆 (𝑥) artinya 𝑦 0 ∈ 𝛼𝑃 𝑆 (𝑥) . Jadi, diperoleh 𝑃 𝛼𝑆 (𝛼𝑥) ⊆ 𝛼𝑃 𝑆 (𝑥). Dapat  dibuktikan  bahwa 𝛼𝑃 𝑆 (𝑥) ⊆ 𝑃 𝛼𝑆 (𝛼𝑥) ,  sehingga disimpulkan bahwa 𝑃 𝛼𝑆 (𝛼𝑥) = 𝛼𝑃 𝑆 (𝑥). ∎
52
Berkaitan  dengan  teorema  di  atas,  berikut  diberikan  sifat  himpunan  proximinal  yang berkaitan dengan sifat aljabar.
Teorema 2.2 Diberikan ruang bernorma 𝑋 dan 𝑆 ⊆ 𝑋 tak kosong.
1. Himpunan 𝑆 proximinal jika hanya jika himpunan 𝑆 + 𝑦 proximinal, untuk setiap 𝑦 ∈ 𝑋. 2. Himpunan 𝑆 proximinal  jika  hanya  jika  himpunan 𝛼𝑆 proximinal  untuk  setiap 𝛼 ∈ ℝ\{0}.
Bukti:
1. Diketahui 𝑆 proximinal  artinya 𝑃 𝑆 (𝑥) ≠ ∅. Karena 𝑃 𝑆 (𝑥) ≠ ∅ maka 𝑃 𝑆 (𝑥) + 𝑦 ≠ ∅. Berdasarkan  Teorema  2.1  poin  1  berlaku 𝑃 𝑆 (𝑥) + 𝑦 = 𝑃 𝑆+𝑦 (𝑥 + 𝑦), maka 𝑃 𝑆+𝑦 (𝑥 + 𝑦) ≠ ∅ . Artinya 𝑆 + 𝑦 proximinal.
2. Diketahui 𝑆 proximinal  maka 𝑃 𝑆 (𝑥) ≠ ∅ .  Karena 𝑃 𝑆 (𝑥) ≠ ∅ maka 𝛼𝑃 𝑆 (𝑥) ≠ ∅. Berdasarkan Teorema 2.1 poin 2 berlaku 𝛼𝑃 𝑆 (𝑥) = 𝑃 𝛼𝑆 (𝛼𝑥) maka 𝑃 𝛼𝑆 (𝛼𝑥) ≠ ∅. Artinya 𝛼𝑆 proximinal.
∎
Pada himpunan dikenal sifat terbuka dan tertutup. Tentunya, hal ini juga berlaku untuk himpunan  proximinal.  Perlu  diketahui  bahwa  himpunan  proximinal  merupakan  himpunan tertutup. Hal ini dapat dilihat pada teorema berikut:
Teorema 2.3 Jika 𝑋 ruang bernorma linear dengan 𝑆 ⊆ 𝑋 proximinal maka 𝑆 tertutup.
Bukti:
Diketahui 𝑋 ruang bernorma linear. Diambil sebarang barisan (𝑥 𝑛 ) ⊆ 𝑆 dengan lim(𝑥 𝑛 ) = 𝑥 . Karena 𝑆 proximinal  maka 𝑃 𝑆 (𝑥) ≠ ∅, dengan  demikian  terdapat 𝑠 0 ∈ 𝑃 𝑆 (𝑥) sehingga ‖𝑥 − 𝑠 0 ‖ ≤ ‖𝑥 − 𝑥 𝑛 ‖ untuk  setiap 𝑛 ∈ ℕ. Karena lim (𝑥 𝑛 ) = 𝑥 maka ‖𝑥 − 𝑥 𝑛 ‖ → 0 . Akibatnya, ‖𝑥 − 𝑠 0 ‖ = 0 atau 𝑥 = 𝑠 0 . Artinya, 𝑥 ∈ 𝑆. Dengan kata lain, 𝑆 tertutup.
∎
Lebih lanjut, akan diberikan teorema mengenai sifat tertutup himpunan proximinal.
Teorema  2.4 Diberikan  ruang  bernorma  linear 𝑋 .  Jika 𝑋 ruang  berdimensi  hingga  maka untuk setiap 𝑆 ⊆ 𝑋 tak kosong dan tertutup merupakan himpunan proximinal.
Bukti:
Diambil  sebarang 𝑆 ⊆ 𝑋 tak  kosong  dan  tertutup.  Diambil  sebarang 𝑥 0 ∈ 𝑋\𝑆. Pilih 𝑟 0 = 𝑑(𝑥 0 , 𝑆) = inf {𝑑(𝑥 0 , 𝑠): 𝑠 ∈ 𝑆} .  Selanjutnya  akan  ditunjukkan  bahwa 𝑟 0 ≠ 0 .  Akan dibuktikan  dengan  kontradiksi.  Andai 𝑟 0 = 𝑑(𝑥 0 , 𝑆) = 0 untuk  suatu 𝑥 0 ∈ 𝑆. Karena 𝑑(𝑥 0 , 𝑆) = inf{𝑑(𝑥 0 , 𝑠): 𝑠 ∈ 𝑆} maka  terdapat  barisan (𝑥 𝑛 ) ⊆ 𝑆 dengan lim(𝑑(𝑥 0 , 𝑥 𝑛 )) = 𝑑(𝑥 0 , 𝑆) = 0. Karena 𝑆 tertutup maka terdapat 𝑥 ∈ 𝑆 sehingga lim(𝑥 𝑛 ) = 𝑥, maka 𝑑(𝑥 0 , 𝑥) =
53 0. Akibatnya 𝑥 0 = 𝑥 ∈ 𝑆, sehingga  diperoleh  suatu  bentuk  kontradiksi.  Haruslah 𝑟 0 = 𝑑(𝑥 0 , 𝑆) ≠ 0. Jika 𝑟 > 𝑟 0 maka  terdapat 𝑦 ∈ 𝑆 sehingga ‖𝑥 0 − 𝑦‖ < 𝑟. Akibatnya 𝑦 ∈ 𝐵(𝑥 0 , 𝑟) ∩ 𝑆. Dengan kata lain, 𝐵(𝑥 0 , 𝑟) ∩ 𝑆 ≠ ∅.
Selanjutnya  didefinisikan 𝐵̅(𝑥 0 , 𝑟) = {𝑦 ∈ 𝑋: ‖𝑥 0 − 𝑦‖ ≤ 𝑟} dan 𝐵 𝑛 = 𝐵̅ (𝑥 0 , 𝑟 0 + 1 𝑛 ) ∩ 𝑆.
Diperhatikan  bahwa 𝐵̅ tertutup  dan  terbatas  serta  diketahui  bahwa 𝑆 merupakan  himpunan tertutup dan terbatas maka 𝐵 𝑛 tertutup dan terbatas. Hal ini mengakibatkan 𝐵 𝑛 kompak. Lebih lanjut, diperhatikan
bahwa jika 𝑦 ∈ 𝐵 𝑛+1 maka ‖𝑦 − 𝑥 0 ‖ ≤ 𝑟 + 1 𝑛 + 1 ≤ 𝑟 + 1 𝑛
maka 𝑦 ∈ 𝐵 𝑛 sehingga 𝐵 𝑛+1 ⊆ 𝐵 𝑛 untuk  setiap 𝑛 ∈ ℕ. Karena 𝑟 0 = 𝑑(𝑥 0 , 𝑆) dan 𝑦 0 ∈ 𝑆 maka
‖𝑦 0 − 𝑥 0 ‖ ≥ 𝑟 0 .
Untuk 𝑛 → ∞ berlaku
‖𝑦 0 − 𝑥 0 ‖ = 𝑟 0 = 𝑑(𝑥 0 , 𝑆).
Hal  ini  menunjukkan  bahwa 𝑦 0 merupakan  aproksimasi  terbaik  untuk 𝑥 0 . Artinya, 𝑆 merupakan himpunan proximinal.
∎
Untuk  suatu  ruang  vektor 𝑋 dengan 𝑆 ⊆ 𝑋, himpunan 𝑆 dikatakan  konveks  apabila untuk setiap 𝑦, 𝑧 ∈ 𝑆 berlaku himpunan
𝑅 = {𝑟 = 𝛼𝑦 + (1 − 𝛼)𝑧 ∶ 0 ≤ 𝛼 ≤ 1}
merupakan himpunan bagian dari 𝑆.
Berikut  diberikan  beberapa  teorema  yang  selanjutnya  digunakan  untuk  menunjukkan sifat-sifat yang lain dari himpunan proximinal.
Teorema  2.5 Jika 𝑋 ruang  bernorma  linear, 𝑆 ⊆ 𝑋 dan 𝑥 ∈ 𝑋 maka 𝑃 𝑆 (𝑥) himpunan konveks.
Bukti:
Diambil  sebarang 𝑠 1 , 𝑠 2 ∈ 𝑃 𝑆 (𝑥) ,  maka  berlaku ‖𝑥 − 𝑠 1 ‖ ≤ ‖𝑥 − 𝑠‖ untuk  setiap 𝑠 ∈ 𝑆 dan ‖𝑥 − 𝑠 2 ‖ ≤ ‖𝑥 − 𝑠‖ untuk setiap 𝑠 ∈ 𝑆. Selanjutnya untuk sebarang 𝛼 ∈ ℝ dengan 0 ≤ 𝛼 ≤ 1 dan untuk sebarang 𝑠 ∈ 𝑆 berlaku
54
‖𝑥 − (𝛼𝑠 1 + (1 − 𝛼)𝑠 2 )‖ = ‖𝑥 − 𝛼𝑠 1 − 𝑠 2 + 𝛼𝑠 2 ‖ = ‖𝑥 − 𝛼𝑠 1 − 𝑠 2 + 𝛼𝑠 2 − 𝛼𝑥 + 𝛼𝑥‖ = ‖𝛼𝑥 − 𝛼𝑠 1 + 𝑥 − 𝛼𝑥 − 𝑠 2 + 𝛼𝑠 2 ‖
= ‖𝛼(𝑥 − 𝑠 1 ) + (1 − 𝛼)(𝑥 − 𝑠 2 )‖
≤ 𝛼‖𝑥 − 𝑠 1 ‖ + (1 − 𝛼)‖𝑥 − 𝑠 2 ‖ ≤ 𝛼‖𝑥 − 𝑠‖ + (1 − 𝛼)‖𝑥 − 𝑠‖
= ‖𝑥 − 𝑠‖
Dengan demikian diperoleh
‖𝑥 − (𝛼𝑠 1 + (1 − 𝛼)𝑠 2 )‖ ≤ ‖𝑥 − 𝑠‖
Artinya (𝛼𝑠 1 + (1 − 𝛼)𝑠 2 ) ∈ 𝑃 𝑆 (𝑥) sehingga  dapat  disimpulkan  bahwa 𝑃 𝑆 (𝑥) merupakan himpunan konveks. ∎
Berdasarkan  Definisi  2.3,  suatu  himpunan  merupakan  himpunan  proximinal  apabila setiap  anggota  dari  semesta  yang  dibicarakan  minimal  mempunyai  satu  aproksimasi  terbaik pada  suatu  himpunan  bagiannya.  Berikut  diberikan  definisi  kasus  khusus  dari  himpunan proximinal.
Definisi  2.5 Diberikan  ruang  bernorma 𝑋 .  Jika  untuk  setiap 𝑥 ∈ 𝑋 memiliki  aproksimasi terbaik tunggal pada 𝑆 , maka 𝑆 disebut himpunan Chebyshev dari 𝑋 .
Dari  Definisi  2.5  diatas,  dapat  diketahui  bahwa  himpunan 𝑆 disebut  himpunan Chebyshev  jika  hanya  jika 𝑃 𝑆 (𝑥) hanya  mempunyai  satu  anggota  (singleton).  Lebih  lanjut, berikut diberikan sifat himpunan proximinal yang berkaitan dengan konveks dan Chebyshev. Berdasarkan  definisi  aproksimasi  terbaik  dapat  diperoleh  hubungan  bahwa 𝑆 konveks  jika dan hanya jika 𝑃 𝑆 (𝑥) konveks.
Teorema  2.6 Jika 𝑋 ruang  bernorma  linear  dan 𝑆 ⊆ 𝑋 maka  untuk  setiap 𝑥 ∈ 𝑋 memiliki aproksimasi tunggal di 𝑆. Dengan kata lain, setiap himpunan proximinal konveks merupakan himpunan Chebyshev.
Bukti:
Diambil sebarang 𝑥 ∈ 𝑋 dan 𝑠 1 , 𝑠 2 ∈ 𝑆 . Karena 𝑆 konveks maka 𝑠 1 +𝑠 2 2 ∈ 𝑆 dan karena 𝑃 𝑆 (𝑥) konveks maka 𝑠 1 +𝑠 2 2 ∈ 𝑃 𝑆 (𝑥). Diperhatikan bahwa
55
𝑑(𝑥, 𝑆) = ‖𝑥 − 1 2 (𝑠 1 + 𝑠 2 )‖ = ‖ 1 2 (𝑥 − 𝑠 1 ) + 1 2 (𝑥 − 𝑠 2 )‖ ≤ 1 2 ‖𝑥 − 𝑠 1 ‖ + 1 2 ‖𝑥 − 𝑠 2 ‖ = 1 2 𝑑(𝑥, 𝑆) + 1 2 𝑑(𝑥, 𝑆) =

## Dengan demikian berlaku
‖𝑥 − 1 2 (𝑠 1 + 𝑠 2 )‖ = 1 2 ‖𝑥 − 𝑠 1 ‖ + 1 2 ‖𝑥 − 𝑠 2 ‖.
Berdasarkan  ketaksamaan  segitiga,  bentuk  tersebut  berlaku  dengan  syarat  terdapat 𝑝 ∈ ℝ dengan 𝑝 > 0 sehingga 𝑥 − 𝑠 1 = 𝑝(𝑥 − 𝑠 2 ) . Akan tetapi
𝑥 − 𝑠 1 = 𝑑(𝑥, 𝑆) = 𝑥 − 𝑠 2
Oleh  karena  itu,  didapatkan  hasil 𝑝 = 1 .  Artinya 𝑠 1 = 𝑠 2 . Dengan  demikian,  dapat disimpulkan bahwa 𝑆 merupakan himpunan Chebyshev. ∎

## SIMPULAN DAN SARAN
Sifat-sifat himpunan proximinal di antaranya:
1. Memenuhi sifat aljabar perjumlahan dan perkalian skalar yaitu ketika himpunan 𝑆 ⊆ 𝑋 proximinal maka 𝑆 + 𝑦 dan 𝛼𝑆 juga merupakan himpunan proximinal untuk  sebarang 𝑦 ∈ 𝑋 dan 𝛼 ∈ ℝ{0}.
2. Himpunan proximinal 𝑆 yang merupakan himpunan bagian dari ruang bernorma linear adalah himpunan tertutup.
3. Himpunan  bagian  tertutup  dari  suatu  ruang  bernorma  linear  berdimensi  hingga merupakan himpunan proximinal.
4. Setiap himpunan proximinal konveks merupakan himpunan Chebyshev.
Setelah  mengetahui  sifat-sifat  himpunan  proximinal,  selanjutnya  dapat  diteliti  lebih lanjut terkait pemetaan pada himpunan proximinal serta sifat-sifat dari pemetaan tersebut.

## DAFTAR PUSTAKA
Aziz,  D.  (2008).  Kaitan  Antara  Himpunan  Konveks,  Titik  Tetap  dan  Aproksimasi  Terbaik pada Ruang Metrik Menger. Jurnal Sains MIPA , 14 (2), 126–128.
Ghazal,  A.  M.  A.  (2010). Best  approximation  and  best  co-approximation  in  normed  space
56
Best Approximation and Best Co − approximation in Normed Spaces .  THE  ISLAMIC UNIVERSITY OF GAZA. Retrieved from http://library.iugaza.edu.ps/Thesis/88068.pdf
Khalil,  R.  (1988).  Best  Approximation  in  Metric  Spaces.  In Proceeding  of  The  American Mathematical  Society (Vol.  103,  pp.  579–586).  https://doi.org/10.1016/S0304- 0208(08)70635-2
Kreyszig,  E.  (1978). Introductory  Functional  Analysis  with  Applications .  New  York:  John Wiley & Sons. https://doi.org/10.1002/zamm.19660460126
Suharsono,  S.  (2006).  Aproksimasi  Terbaik  dalam  Ruang  Metrik  Konveks.  In Seminar Nasional MIPA 2006 (Vol. 1, pp. 1–7). Yogyakarta. Retrieved from http://eprints.uny.ac.id/11964/1/M-1 Suharsono S.pdf
Vijayaragavan,  R.  (2013).  Best  Approximation  in  Real  Linear  2-Normed  Spaces. IOSR Journal of Mathematics (IOSR-JM) , 6 (3), 16–24.