## KRITERIA KEKONVERGENAN CAUCHY PADA RUANG METRIK KABUR INTUITIONISTIC
Muhammad Ahsar Karim 1
Faisal 2
Yuni Yulida 3
[1,2,3] PS Matematika FMIPA Universitas Lambung Mangkurat Jl. Jend. A. Yani km 35, 8 Banjarbaru

## Abstract
In this paper, we construct the Cauchy-convergence criterion in intuitionistic fuzzy metric space.  We  start  our  aim  by  given  the  definition  of  concepts  convergence  sequence,  Cauchy sequence, and complete on intuitionistic fuzzy metric space.
Keywords: intuitionistic  fuzzy  metric  space,  I-convergence,  I-Cauchy  sequence,  I-complete,  and Cauchy-convergence criterion

## 1. PENDAHULUAN
Konsep  himpunan  kabur  ( fuzzy  set )  telah  diperkenalkan  oleh  Zadeh  pada tahun  1965.  Konsep  tersebut  menjadi  inspirasi  munculnya  konsep  ruang  metrik kabur  ( fuzzy  metric  space )  di  bidang  analisis  yang  merupakan  perluasan  dari konsep  ruang  metrik  ( metric  space ).  Selanjutnya,  konsep  ini  diperluas  lagi menjadi ruang metrik kabur intuitionistic ( intuitionistic fuzzy metric space ). Beberapa konsep di dalam ruang metrik telah diperluas pada ruang metrik kabur,  antara  lain  adalah  barisan  konvergen,  barisan  Cauchy,  dan  himpunan lengkap.  Konsep  tersebut  kemudian  diperluas  pada  ruang  metrik  kabur intuitionistic .  Berdasarkan  konsep-konsep  tersebut,  akan  dikaji  perluasan  kriteria konvergen-Cauchy  pada  ruang  metrik  kabur intuitionistic .  Tulisan  ini  dimulai dengan  memberikan  definisi  barisan  konvergen  dan  barisan  Cauchy  pada  ruang metrik kabur intuitionistic . Selanjutnya, dikonstruksi teorema kriteria konvergen- Cauchy pada ruang metrik kabur intuitionistic .

## 2. TINJAUAN PUSTAKA

## 2.1 Ruang Metrik Kabur
Sebelum dibahas pengertian ruang metrik kabur, terlebih dahulu diberikan pengertian himpunan kabur dan pengertian norma- t .
Definisi 2.1 Diberikan  himpunan X ,  A X  ,  dan  fungsi   : 0,1 A X   . Himpunan  pasangan  terurut     ; ( ) : A x x x X   disebut himpunan kabur A   di dalam  semesta  X.  Sedangkan  fungsi A  disebut fungsi  keanggotaan dari himpunan A. Fungsi A  biasa juga disebut himpunan kabur di dalam X.
Sebagai  contoh,  diberikan  himpunan  semesta R dan  himpunan  kabur   : dekat dengan nol A x R x   .  Didefinisikan  fungsi   : 0,1 R   dengan:
2 ( ) x x e    .  Fungsi  merupakan  salah  satu  fungsi  keanggotaan  dari  himpunan kabur A . Jadi, himpunan kabur A dapat dinyatakan dengan:
    2 ; ( ) : dan ( ) x A A
A x x x R x e       .
Di dalam semesta   0,1 , himpunan kabur A dapat dinyatakan sebagai berikut:
      2 ; ( ) : 0,1 dan ( ) x A A A x x x x e                2 2 0 1 0; , 1; (0;1), (1; 0, 7) e e    .
Di  dalam  konsep  himpunan  kabur, operasi  uner dan operasi  biner dapat dirampatkan sehingga menjadi kejadian khusus dari perampatannya.  Diantaranya yang  akan  digunakan  di  dalam  tulisan  ini  adalah  norma- t ( triangular  norm )  dan konorma- t ( triangular conorm ). Berikut ini diberikan definisi-definisinya.
Definisi 2.2 Diberikan fungsi-fungsi , :[0,1] [0,1] [0,1]     .
(i) Fungsi  disebut norma-t jika memenuhi sifat:
a. Asosiatif dan komutatif,
b. unsur identitas 1: 1 a a   untuk setiap [0,1], a 
c. monoton:  a b c d
   dengan a c  dan  b d  , untuk setiap , , , [0,1].
a b c d 
Selanjutnya, fungsi  disebut norma-t kontinu , jika  kontinu.
(ii) Fungsi  disebut konorma-t jika memenuhi sifat:
a. asosiatif dan komutatif,
b. unsur identitas 1: 0 a a   untuk setiap [0,1], a 
c. monoton:  a b c d    dengan a c  dan  b d  , untuk setiap , , , [0,1].
a b c d 
Selanjutnya, fungsi  disebut konorma-t kontinu , jika  kontinu.
Sebagai contoh, fungsi :[0,1] [0,1] [0,1]    dengan:   maks 0, 1 a b a b     atau min{ , } a b a b   ,  untuk  setiap , [0,1] a b  , merupakan  norma- t kontinu.  Selanjutnya,  Norma- t kontinu  dengan min{ , } a b a b   disebut norma- t kontinu  standar ,  dilambangkan  dengan s  . Contoh lain dari norma- t kontinu adalah darab aljabar , yaitu: :[0,1] [0,1] [0,1] da    dengan da a b ab   , untuk  setiap  , [0,1] a b  .  Sedangkan fungsi :[0,1] [0,1] [0,1]    yang  didefinisikan: min{1, } a b a b    atau   1 (1 ) (1 ) a b a b       untuk  setiap , [0,1] a b  ,  merupakan  konorma- t kontinu. Yang kedua disebut konorma- t kontinu standar .
Selanjutnya,  diberikan  pengertian  ruang  metrik  kabur.  Berikut  ini diberikan definisi metrik kabur dan definisi ruang metrik kabur.
Definisi 2.3 Diberikan X  himpunan tak kosong dan  norma-t kontinu.
(i) Himpunan  kabur 2 : (0, ) [0,1] M X    dengan  sifat,  untuk  setiap , , dan , 0 x y z X t s   berlaku:
(F1)   , , 0 M x y t  ,
(F2)   , , 1
M x y t  jika dan hanya jika x y  ,
(F3)     , ,
, , M x y t M y x t  , (F4)       , ,
, , , , M x y t M y z s M x z t s    , (F5)   , , : (0, ) [0,1] M x y    kontinu,
disebut metrik kabur pada X .
(ii) Himpunan X  yang dilengkapi dengan metrik kabur M dan t-norm kontinu
 ,  dituliskan  dengan  tupel-3   , , X M  ,  disebut ruang  metrik  kabur .
Selanjutnya,  jika  metrik  kaburnya  telah  diketahui  (tertentu),  maka  ruang metrik kabur   , , X M  biasa ditulis dengan X saja.
Sebagai  contoh,  diberikan  ruang  metrik   , X d dan  didefinisikan  fungsi
    2 : 0, 0,1
M X    dengan:     , , , , t M x y t t d x y  
untuk  setiap , x y X  dan 0 t  .  Dapat  ditunjukkan  bahwa   , , da X M  dan
  , , s X M  masing-masing  merupakan  ruang  metrik  kabur.  Dari  sini  dapat dikatakan bahwa setiap ruang metrik dapat dibentuk menjadi ruang metrik kabur. Selanjutnya, ruang metrik kabur   , , s X M  dan ruang metrik  kabur   , , da X M  pada  contoh  di  atas  berturut-turut  disebut ruang  metrik  kabur  standar- s dan ruang  metrik  kabur  standar- da .   , , s R M  dan   , , da R M  berturut-turut disebut ruang metrik kabur biasa- s dan ruang metrik kabur biasa- da .
Selanjutnya,  diberikan  pengertian  barisan  konvergen  dan  pengertian barisan Cauchy di dalam ruang metrik kabur sebagai berikut.
Definisi 2.4 Diberikan ruang metrik kabur   , , X M  dan barisan   n x X  .
(i) Barisan   n x dikatakan konvergen ke x X  di dalam ruang metrik kabur
  , , X M  , disingkat, konvergen-M , jika untuk setiap 0 t  berlaku lim ( , , ) 1 n n M x x t   . (ii) Barisan   n x disebut barisan  Cauchy  di  dalam  ruang  metrik  kabur
  , , X M  ,  disingkat, barisan  Cauchy - M ,  jika  untuk  setiap 0 t  dan p N  berlaku
lim ( , , ) 1 n p n n M x x t    ,
Dalam hal   n x konvergen- M , barisan { } n x dikatakan mempunyai limit x untuk n  dan  dituliskan  dengan: lim n n x x   .  Selanjutnya,  x  disebut  limit barisan { } n x . Barisan yang tak konvergen- M dikatakan divergen- M .
Lemma 2.5
Diberikan ruang metrik   , X d sebarang dan ruang metrik kabur standar   , , X M  . Untuk setiap barisan { } n x X  berlaku:
(i)   n x konvergen    n x konvergen-M.
(ii)   n x barisan Cauchy    n x barisan Cauchy-M.
Teorema  kriteria  konvergen-Cauchy  pada  ruang  metrik  kabur  diberikan sebagai berikut ini.
Teorema 2.6 Diberikan   , , X M  ruang metrik kabur dan barisan   n x X  . Jika barisan   n x konvergen - M, maka   n x merupakan barisan Cauchy - M.
Bukti:
Diketahui barisan   n x konvergen- M . Artinya, untuk setiap 0 t  berlaku: lim ( , , ) 1 2 n n t M x x   . Hal ini berakibat, untuk setiap p N  dan 0 t  berlaku
lim ( , , ) 1 2 n p n t M x x    .
Selanjutnya diperoleh
lim ( , , ) lim ( , , ) lim ( , , ) 1 1 1 2 2 n p n n p n n n n t t M x x t M x x M x x           .
Karena ( , , ) 1 n p n M x x t   (yang berakibat  lim ( , , ) 1 n p n n M x x t    ), maka diperoleh lim ( , , ) 1 n p n n M x x t    .
Jadi,   n x merupakan barisan Cauchy- M . ■
Konvers  dari  Teorema  2.6  belum  tentu  benar.  Sebagai  contoh,  diberikan himpunan (0,1] X  dan  didefinisikan  fungsi d dengan: ( , ) d x y x y   ,  untuk setiap  , (0,1] x y  .  Dapat  ditunjukkan  bahwa   (0,1], d merupakan  ruang  metrik. Dengan  demikian,  dapat  dibentuk  ruang  metrik  kabur  standar- s   (0,1], , s M  .
Selanjutnya,  diambil  barisan { } (0,1] n x  ,  dengan 1 n x n  ; 1, 2,3,... n  .  Jelas
bahwa barisan { } n x tidak konvergen di dalam   (0,1], d . Oleh karena itu, menurut Lemma  2.5  (i),  barisan { } n x tidak  konvergen- M .  Di  lain  pihak,  barisan { } n x merupakan  barisan  Cauchy.  Menurut  Lemma  2.5  (ii),  barisan { } n x merupakan barisan Cauchy- M . Jadi, barisan Cauchy- M belum tentu konvergen- M . Misalkan   , , X M  adalah  ruang  metrik  kabur  sebarang.  Jika  setiap barisan  Cauchy- M didalamnya  merupakan  barisan  konvergen- M ,  maka  ruang
metrik  kabur   , , X M  dikatakan lengkap-M .  Salah  satu  contoh  ruang  metrik kabur lengkap- M adalah ruang metrik kabur biasa   , , R M  .

## 3.  METODE PENELITIAN
Penelitian dilakukan dengan cara studi literatur.

## 4. HASIL DAN PEMBAHASAN

## 4.1 Ruang Metrik Kabur Intuitionistic
Definisi  metrik  kabur intuitionistic dan  ruang  metrik  kabur intuitionistic diberikan berikut ini.
Definisi 4.1 Diberikan X   himpunan  tak  kosong,  dan  berturut-turut norma-t kontinu dan konorma-t kontinu, serta M dan N masing-masing himpunan kabur pada 2 (0, ) [0,1] X    yang memenuhi:
(I-1)     , , , , 1 M x y t N x y t   , untuk setiap , x y X  dan 0 t  .
(I-2)   , , 0 0 M x y  untuk setiap , x y X  .
(I-3)   , , 1 M x y t  jika dan hanya jika x y  , untuk setiap , x y X  dan 0 t  ;
(I-4)     , , , ,
M x y t M y x t  , untuk setiap , x y X  dan 0 t  ;
(I-5)       , , , , , , M x y t M y z s M x z t s    ,  untuk  setiap , , x y z X  dan
, 0 t s  ;
(I-6)   , , :[0, ) [0,1] M x y    kontinu, untuk setiap , x y X  ; (I-7)   lim , , 1 t M x y t   , untuk setiap , x y X  ; (I-8)   , , 0 1 N x y  untuk setiap , x y X  ;
(I-9)   , , 0 N x y t  jika dan hanya jika x y  , untuk setiap , x y X  dan 0 t  ;
(I-10)     , , , , N x y t N y x t  , untuk setiap , x y X  dan 0 t  ;
(I-11)       , , , , , , N x y t N y z s N x z t s    , untuk setiap , , x y z X  dan , 0 t s  (I-12)   , , :[0, ) [0,1] N x y    kontinu, untuk setiap , x y X  ; (I-13)   lim , , 0 t N x y t   , untuk setiap , x y X  .
Pasangan  terurut   , M N disebut metrik  kabur  intuitionistic pada X .  Fungsi- fungsi  
, , M x y t dan   , , N x y t berturut-turut  disebut  derajat  kedekatan  dan derajat  ketidakdekatan  antara  x  dan  y  yang  bergantung  pada  t.  Tupel-5
 
, , , , X M N   disebut ruang metrik kabur intuitionistic .
Sebagai  contoh,  diberikan  himpunan   1 : 0 X n N n          ,  norma- t
kontinu,  dan  konorma- t kontinu  yang  secara  berturut-turut  didefinisikan:
dan min{1, } a b ab a b a b      ,  untuk  setiap , [0,1] a b  .  Untuk  setiap , x y X  dan (0, ) t   didefinisikan   , M N sebagai berikut:
| | ; 0 ; 0 | | | | ( , , ) dan ( , , ) 0 ; 0 1 ; 0 t x y t t t x y t x y M x y t N x y t t t  
                   . Dapat  ditunjukkan  bahwa   , , , , X M N   merupakan  ruang  metrik  kabur intuitionistic .
Lemma 4.2 Jika   , , X M  ruang  metrik  kabur,  dengan 1 N M   dan 
konorma-t  yang  didefinisikan:
  1 (1 ) (1 ) x y x y       ,  untuk  setiap , x y X  ,
maka   , , , , X M N   merupakan ruang metrik kabur intuitionistic.
Ruang metrik kabur intuitionistic pada Lemma 4.2 disebut ruang metrik kabur intuitionistic standar. Jika X R  ,  maka   , , , , X M N   disebut ruang metrik kabur intuitionistic biasa.
Definisi 4.3 Diberikan  ruang  metrik  kabur  intuitionistic   , , , , X M N   dan barisan   n x X  .
(i) Barisan   n x dikatakan konvergen ke x X  di  dalam ruang metrik kabur
intuitionistic  
, , , , X M N   , disingkat konvergen-I , jika untuk setiap 0 t 
berlaku
lim ( , , ) 1 n n M x x t   dan lim ( , , ) 0 n n N x x t   (ii) Barisan   n x disebut  barisan  Cauchy  di  dalam  ruang  metrik  kabur intuitionistic   , , , , X M N   ,  disingkat  barisan Cauchy-I ,  jika  untuk  setiap
0 t  dan 0 p  berlaku
lim ( , , ) 1 n p n n M x x t    dan lim ( , , ) 0 n p n n N x x t   
Dalam  hal   n x konvergen- I ,  barisan { } n x dikatakan  mempunyai  limit  x untuk n  dan  dituliskan  dengan: lim n n x x   .  Selanjutnya,  x  disebut  limit barisan { } n x . Karena Fungsi-fungsi  dan  pada Definisi 3.1 merupakan fungsi- fungsi  yang  kontinu,  maka  limitnya  tunggal.  Barisan  yang  tak  konvergen- I dikatakan divergen- I .
Lemma 4.4 Diberikan  ruang  metrik  kabur  sebarang   , , X M  dan  ruang metrik  kabur  intuitionistic  standar   , , , , X M N   .  Untuk  setiap  barisan
{ } n x X  berlaku:
(i)   n x konvergen-M    n x konvergen-I.
(ii)   n x barisan Cauchy-M    n x barisan Cauchy-I.
Teorema kriteria konvergen-Cauchy  yang tergeneralisasi pada ruang metrik kabur intuitionistic diberikan berikut ini.
Teorema 4.5 Diberikan  ruang  metrik  kabur  intuitionistic   , , , , X M N   dan barisan   n x X  .  Jika  barisan   n x konvergen - I,  maka   n x merupakan barisan Cauchy - I. Bukti:
Diketahui barisan   n x konvergen- I . Artinya, untuk setiap 0 t  berlaku: lim ( , , ) 1 n n
M x x t   dan  lim ( , , ) 0 n n N x x t   . Hal ini berakibat, untuk setiap N p  dan 0 t  berlaku lim ( , , ) 1 2 n p n t M x x    dan   0 2 , , lim     t x x N p n n Selanjutnya diperoleh lim ( , , ) lim ( , , ) lim ( , , ) 1 1 1 2 2 n p n n p n n n n t t M x x t M x x M x x           dan       0 0 0 2 , , lim 2 , , lim , , lim               t x x N t x x N t x x N p n n p n n p n n
.
Karena ( , , ) 1 n p n M x x t   , yang berakibat  lim ( , , ) 1 n p n n M x x t    , maka diperoleh lim ( , , ) 1 n p n n M x x t    .
Lebih lanjut, karena 0 ) , , (   t x x N n p n , yang berakibat   0 , , lim     t x x N p n n , maka diperoleh   0 , , lim     t x x N p n
n .
Dengan demikian  lim ( , , ) 1 n p n n M x x t    dan   0 , , lim     t x x N p n n .
Jadi,   n x merupakan barisan Cauchy- I ■
Konvers  dari  Teorema  4.5  belum  tentu  benar.  Sebagai  contoh,  dari  ruang metrik   (0,1], d dengan ( , ) d x y x y   ,  untuk  setiap , (0,1] x y  ,  dibentuk
ruang metrik kabur standar- s   (0,1], , s M  . Kemudian dibentuk pula ruang metrik kabur intuitionistic standar   (0,1], , , , s M N   . Diambil
barisan
 
  1 0,1 n x n         ; 1, 2,3,... n  . Telah diketahui sebelumnya bahwa barisan 1 n      
tidak  konvergen- M sehingga  menurut  Lemma  3.4  (i),  barisan 1
n       tidak konvergen- I. Di  pihak  lain,  telah  diketahui  pula  bahwa 1 n       merupakan  barisan
Cauchy- M sehingga  menurut  Lemma  4.4  (ii),  barisan 1 n       merupakan  barisan Cauchy- I . Jadi, barisan Cauchy- I belum tentu konvergen- I .
Misalkan   , , , , X M N   ruang  metrik  kabur intuitionistic sebarang.  Jika setiap barisan Cauchy- I didalamnya merupakan barisan konvergen- I , maka ruang metrik kabur intuitionistic   , , , , X M N   dikatakan lengkap-I . Salah satu contoh ruang  metrik  kabur intuitionistic lengkap- I adalah  ruang  metrik  kabur intuitionistic biasa   , , , , R M N   .

## 5. DAFTAR PUSTAKA
Alaca,  C.,  Altun,  I.,  &  Turkoglu,  D.,  On  Compatible  Mappings  of  Type  (I)  and (II) in  Intuitionistic Fuzzy Metric Spaces, Commun. Korean Math. Soc ., 23 (2008), No. 3, pp. 427–446
Bruckner, A. M, Bruckner, J. B, & Thomson, B. S., Real Analysis , Prentice-Hall, New Jersey, 1997.
Efe, H., Round Fuzzy Metric Spaces, International Mathematical Forum , Vol. 2, No. 35, pp. 1717-1721, 2007.
George,  A.  dan  Veeramani,  P.,  On  Some  Result  of  Analysis  for  Fuzzy  Metric Spaces, Fuzzy Sets and Systems , Elsevier, 90 (1997), 365-368, 1997.
Karim,  M.  A.  &  Yulida,  Y.,  Teorema  Titik  Tetap  Banach  pada  Ruang  Metrik Kabur, Jurnal Al-Jabar ( Jurnal Matematika Murni dan Terapan ), Lampung, Vol. 1. No. 1, hal 10-18, 2010.
Muralisankar,  S.  &  Kalpana,  G.,  Common  Fixed  Point  Theorem  in  Intuitionistic Fuzzy Metric Space Using General Contractive Condition of Integral Type, Int. J. Contemp. Math. Sciences , Vol. 4, 2009, no. 11, 505 - 518
Royden, H. L., Real Analysis , Macmillan Publishing Company, New York, 1989.
Zadeh, L. A., Fuzzy Sets* , Information and Control, Vol. 8, pp. 338-353, 1965.