Jurnal Matematika Murni dan Terapan “εpsilon” ISSN: 1978-4422 Vol.1 2 No. 1 (Juni 2018 ) Hal. 11-20

## APLIKASI MODEL ANTRIAN PADA OPTIMALISASI PELAYANAN PT KAI STASIUN LEMPUYANGAN YOGYAKARTA
Kris Suryowati * , Maria Titah JP, Etika Permata Sari Jurusan Statistika, Fakultas Sains Terapan, IST AKPRIND Yogyakarta Jl. Bima Sakti No.3 , Pengok, Yogyakarta
* Email: suryowati@akprind.ac.id

## ABSTRAK
Model antrian merupakan pemodelan matematika yang berkaitan  dengan masalah mengantri. Pelayanan  pada  PT Kereta Api Indonesia Stasiun Lempuyangan Yogyakarta pada  akhir pekan ( week end ) biasanya terjadi peningkatan kedatangan pelanggan cukup tinggi sehingga waktu antar kedatangan lebih kecil dari pada waktu pelayanan, dan garis tunggu ( waiting line ) cukup panjang. Hal ini menunjukkan tingkat pelayanan tidak optimal,  sehingga  pada penelitian ini dibahas pembentukan model antrian yang tepat dalam rangka peningkatan kualitas sistem pelayanan. Pada pembahasannya diasumsikan tidak ada pelanggan yang saling mendahului ataupun meninggalkan antrian sebelum selesai dilayani. Data survey waktu antar kedatangan, rata-rata jumlah kedatangan pelanggan  per waktu,  dan rata-rata pelayanan  loket pembelian tiket jarak jauh, serta hasil uji hipotesis menunjukan rata-rata tingkat kedatangan  pelanggan  berdistribusi Poisson, waktu antar kedatangan berdistribusi eksponensial,  rata-rata waktu pelayanan  berdistribusi eksponensial, sehingga bentuk modelnya (M/M/1): (GD/ ∞ / ∞ ). Hasil simulasi diperoleh model optimal (M/M/2): (GD/ ∞ / ∞ ). Model antrian pada pelayanan check in tiket  (M/M/2): (GD/ ∞ / ∞ ) menunjukkan sudah optimal.  Pelayanan cetak tiket mandiri menunjukkan model self service dan modelnya berbentuk (M/M/ ∞ ): (GD/ ∞ / ∞ ), hal ini perlu ditingkatkan kualitas layanannya  dengan mengganti komputer sesuai spesifikasinya dan diberi petugas, sehingga waktu pelayanan lebih efektif.
Kata Kunci : Distribusi Poisson, distribusi  eksponensial, (M/M/2): (GD/ ∞ / ∞ ), self service

## 1. PENDAHULUAN
Masyarakat pada akhir-akhir ini dalam melakukan perjalanan jarak jauh atau antar propinsi sering menggunakan kereta api, dikarenakan  perjalanan bisa tepat waktu, lebih nyaman dan harganya terjangkau. Oleh karena fasilitas pendukung layanan  di stasiun  perlu  ditingkatkan. Fasilitas layanan yang perlu ditingkatkan yaitu  pelayanan  loket, pelayanan check in tiket, penambahan komputer untuk cetak tiket mandiri serta waktu pelayanan singkat.
Stasiun Lempuyangan merupakan  stasiun kereta api yang terletak di Kota Yogyakarta, berjarak sekitar 1 km di sebelah timur dari stasiun utama yaitu Stasiun Tugu di Yogyakarta. Layanan reservasi pada stasiun dibuka dari jam 7:30 sampai jam 19:30. Stasiun yang didirikan pada tanggal 2 Maret 1872 ini melayani semua Kereta Api ekonomi yang melintasi Yogyakarta dan  melayani  kereta api jarak dekat  misalkan Pramex, Bogowonto dan Wijayakusuma. Adapun jumlah penumpang yang memanfaatkan jasa kereta api untuk KA Ekonomi mengalami peningkatan yaitu 12.047 orang tahun 2016  sedangkan pada tahun 2017 mencapai 16.509. Dan untuk total volume KA Lokal tahun 2017 mencapai 14.889 orang dan tahun 2016 mencapai 12.065 orang (Manajer Humas PT KAI,  Des. 2017). Berkaitan dengan meningkatnya jumlah penumpang yang memanfaatkan jasa
Jurnal Matematika Murni dan Terapan “εpsilon” ISSN: 1978-4422 Vol.1 2 No. 1 (Juni 2018 ) Hal. 11-20
kerata api maka perlu ditingkatkan kualitas layananan yang ada, khususnya pelayanan loket pembelian tiket, check in dan cetak tiket madiri. Stasiun ini memiliki  3  loket  pelayanan pembelian tiket dan  masing-masing loket melayani satu tujuan keberangkatan.  Tersedia dua pintu untuk check in tiket  dengan dua petugas  dan  cetak tiket  mandiri  tersedia 5 komputer untuk pelayanan.  Kualitas pelayanan di stasiun sangat penting berkaitan dengan tingkat kepuasan pelanggan yang menggunakan jasa kereta api. Peningkatan kualitas layanan dalam hal ini berkaitan dengan optimalisasi sistem pelayanan di stasiun.
Pada akhir pekan ( weekend ) yaitu hari Sabtu dan Minggu merupakan waktu sibuk karena pada  hari tersebut kedatangan  penumpang  dari kota-kota lain mengalami  lonjakan penumpang yang significan. Pada kedatangan calon penumpang yang akan melakukan perjalanan dari stasiun Lempuyangan Yogyakarta  menuju   kota lain baik jarak dekat maupun jarak jauh  juga mengalami peningkatan, sementara waktu pelayanan mempunyai rata-rata tetap sehingga waktu antar kedatangan lebih kecil dari waktu pelayanan, hal ini berakibat  terjadi waiting line atau garis tunggu atau antrian yang panjang  [3]. Oleh karena itu menyebabkan  pelanggan akan membutuhkan waktu lama untuk mendapatkan  pelayanan, dengan antrian panjang maka jumlah pelanggan dalam antrian cukup banyak  serta pada pelayanan menjadi sangat sibuk. Hal ini menunjukan kualitas pelayanan kurang baik  atau tingkat pelayanannya rendah khususnya pada jam sibuk. Kenyataan ini jauh dari harapan managemen Stasiun Lempuyangan sebagai penyedia layanan bagi penumpang. Dengan demikian perlu perhatian yang khusus bagi pengelola stasiun untuk peningkatan kualitas layanan.
Pada penelitian ini untuk meningkatkan kualitas pelayanan yang baik khususnya pada waktu sibuk, berkaitan dengan ketersediaan layanan yang ada di Stasiun Lempuyangan maka diperlukan adanya optimalisasi pelayanan, meliputi optimalisasi  pelayanan loket  penjualan  tiket, pelayanan  loket check in tiket dan pelayanan  cetak  tiket  mandiri bagi pelanggan yang sudah transaksi pembelian tiket secara online. Pada optimalisasi pelayanan secara umum memuat pelayanan yang optimal, sehingga antrian tidak panjang,  waktu pelanggan dalam antrian singkat sehingga pelanggan berada dalam sistem antrian tidak begitu lama.
Penelitian  tentang model  antrian sudah diterbitkan pada beberapa  jurnal antara lain, pada [1]  membahas identifikasi model antrian  pada antrian bus Kampus  menggunakan model P-K satu pelayanan. Pada  Kajian Antrian self service dengan sistem pelayanan yang lambat dan pelanggan tidak sabar mengantri [4]. Pada [8], membahas antrian pada pelayanan teller di Bank Rakyat Indonesia Kantor Cabang Kota Tegal.  Pada  [7]  membahas  Model Antrian pada Pelayanan Kesehatan di Rumah Sakit .
Berdasarkan latar belakang  dan peneliti sebelumnya sehingga pada penelitian ini dibahas bagaimana distribusi pola kedatangan dan pola pelayanannya juga model antrian yang tepat pada pelayanan loket penjualan tiket jarak jauh, pelayanan check in tiket  dan pelayanan cetak tiket   mandiri (self service) . Pada penentuan model optimal digunakan metode simulasi.
Jurnal Matematika Murni dan Terapan “εpsilon” ISSN: 1978-4422 Vol.1 2 No. 1 (Juni 2018 ) Hal. 11-20

## 2. TINJAUAN PUSTAKA
Teori antrian salah satu cabang  teori statistika yang membahas perilaku sistem pelayanan dengan kedatangan pelanggan atau permintaan pelayanan dan lama  waktu pelayanan bersifat stokastik. Pada banyak hal, tambahan fasilitas pelayanan dapat diberikan untuk mengurangi antrian panjang.  Ahli matematika dari Denmark Agner Krarup Erlang (1878-1929) pelopor penyusun teori antrian[3].
Tiga  komponen dasar sistem  antrian yaitu kedatangan, pelayanan dan antrian.  Proses kedatangan pelanggan dipandang sebagai suatu renewal proses, artinya selang waktu antar kedatangan,  variabel–variabel acak yang saling bebas dan berdistribusi identik independen ( i.i.d ). Proses kedatangan  pelanggan  dilihat dari  waktu  antar kedatangan  dua  pelanggan  yang  berurutan  ( interarrival time ).  Ukuran kedatangan pelanggan yang datang dari populasi terbatas ( limited ) maupun populasi tidak terbatas ( unlimited ), [2]. Pada [10], pola kedatangan merupakan pembentukan antrian akibat kedatangan  pelanggan  dalam  selang waktu tertentu lebih kecil dari lama pelayanan, yang dapat  diketahui secara pasti dan merupakan  suatu peubah acak yang distribusi peluang sesuai. Jenis kedatangan pelanggan dapat berupa individu atau kelompok. Apabila tidak ada penjelasan secara spesifik maka kedatangan pelanggan dianggap secara individu.
Server merupakan saluran pelayanan, yang dapat dilakukan dengan satu atau lebih fasilitas pelayanan. Dalam proses pelayanan terdapat bentuk pelayanan tunggal ( single server ) dan pelayanan majemuk ( multi server ), pada [3]. Lama pelayanan,  waktu yang dibutuhkan untuk melayani  pelanggang selama waktu tertentu.  Waktu pelayanan diasumsikan  sebagai variabel acak yang terpencar secara bebas dan sama serta tidak tergantung pada waktu kedatangan [6].
Menurut [3]  dan [4] disiplin pelayanan yang umum diterapkan FIFO (first in first out) . Pada [3], [9], dan [10] notasi model antrian (a/b/c): (d/e/f) dengana : distribusi kedatangan, b : distribusi waktu pelayanan, c : jumlah pelayanan, d : disiplin pelayanan, e : Jumlah kapasitas maksimum sistem, f : jumlah populasi sumber kedatangan.
Model – model  Sistem Antrian
a. Model antrian dengan pelayanan tunggal dan populasi tidak terbatas
Rata-rata pelanggan datang berdasarkan proses Poisson dengan laju 𝜆𝜆 dan waktu pelayanan untuk setiap pelanggan berdistribusi eksponensial dengan mean 1/ 𝜇𝜇 , sumber kedatangan dan kapasitas layanan tidak dibatasi  sehingga  bentuk model antrian (M/M/1) : (GD/∞/∞).
Jika tingkat kedatangan 𝜆𝜆 dan Probabilitas tidak ada pelanggan  dinotasikan P 0 , maka tingkat proses untuk n = 0  adalah 𝜆𝜆𝑃𝑃 0 .  Jika tingkat pelayanan 𝜇𝜇 dan proporsi waktu untuk sistem yang yang sudah melayani satu pelanggan adalah P 1 maka  tingkat proses yang masuk dalam keadaan 0 adalah 𝜇𝜇𝑃𝑃 1 . Oleh sebab itu, berdasarkan pernyataan diatas didapat rumus sebagai berikut, 𝜆𝜆𝑃𝑃 0 = 𝜇𝜇𝑃𝑃 1 Proporsi waktu P 1 laju dimana suatu proses meninggalkan keadaan 1 adalah ( 𝜆𝜆 + 𝜇𝜇 ) 𝑃𝑃 1 , dan laju pada suatu proses memasuki keadaan 1 adalah 𝜆𝜆𝑃𝑃 0 + 𝜇𝜇𝑃𝑃 2 . Berdasarkan pernyataan tersebut berdasarkan [5], diperoleh,
Jurnal Matematika Murni dan Terapan “εpsilon” ISSN: 1978-4422 Vol.1 2 No. 1 (Juni 2018 ) Hal. 11-20
𝑃𝑃 1 = 𝜆𝜆 𝜇𝜇 𝑃𝑃 0 𝑃𝑃 ( 𝑛𝑛 +1) = 𝜆𝜆 𝜇𝜇 𝑃𝑃 𝑛𝑛 + � 𝑃𝑃 𝑛𝑛 − 𝜆𝜆 𝜇𝜇 𝑃𝑃 𝑛𝑛− 1 � , 𝑛𝑛 ≥ 1
Diperoleh 𝑃𝑃 1 = 𝜆𝜆 𝜇𝜇 𝑃𝑃 0 𝑃𝑃 2 = 𝜆𝜆 𝜇𝜇 𝑃𝑃 1 + � 𝑃𝑃 1 − 𝜆𝜆 𝜇𝜇 𝑃𝑃 0 � = � 𝜆𝜆 𝜇𝜇 � 2 𝑃𝑃 0 𝑃𝑃 3 = 𝜆𝜆 𝜇𝜇 𝑃𝑃 2 + � 𝑃𝑃 2 − 𝜆𝜆 𝜇𝜇 𝑃𝑃 1 � = 𝜆𝜆 𝜇𝜇 𝑃𝑃 2 = � 𝜆𝜆 𝜇𝜇 � 3 𝑃𝑃 0 . ⋮ . 𝑃𝑃 𝑛𝑛 +1 = 𝜆𝜆 𝜇𝜇 𝑃𝑃 𝑛𝑛 + � 𝑃𝑃 𝑛𝑛 − 𝜆𝜆 𝜇𝜇 𝑃𝑃 𝑛𝑛− 1 � = 𝜆𝜆 𝜇𝜇 𝑃𝑃 𝑛𝑛 = ( 𝜆𝜆 𝜇𝜇 ) 𝑛𝑛 +1 𝑃𝑃 0
Perhitungan P 0 dan P n digunakan formulasi 𝑃𝑃 0 = 1 − 𝜆𝜆 𝜇𝜇 dan 𝑃𝑃 𝑛𝑛 = ( 𝜆𝜆 𝜇𝜇 ) 𝑛𝑛 ∗ (1 − 𝜆𝜆 𝜇𝜇 ) Perhitungan nilai L s , L q , W s , dan W q pada model antrian (M/M/1 ): (GD/∞/∞)
a) Jumlah rata – rata pelanggan yang menunggu dalam sistem
𝐿𝐿 𝑠𝑠 = ∑ 𝑛𝑛𝑃𝑃 𝑛𝑛 ∞ 𝑛𝑛 =0 = ∑ 𝑛𝑛 . ( 𝜆𝜆 𝜇𝜇 ) 𝑛𝑛 (1 − 𝜆𝜆 𝜇𝜇 ) ∞ 𝑛𝑛 =0 = 𝜆𝜆 𝜇𝜇−𝜆𝜆 b) Waktu rata – rata menunggu dalam sistem   : 𝑊𝑊 𝑠𝑠 = 𝐿𝐿 𝑠𝑠 𝜆𝜆 = 1 𝜇𝜇−𝜆𝜆
c) Waktu rata –rata menunggu dalam antrian , 𝑊𝑊 𝑞𝑞 = 𝑊𝑊 𝑠𝑠 − 𝐸𝐸 [ 𝑆𝑆 ] = 𝜆𝜆 𝜇𝜇 ( 𝜇𝜇−𝜆𝜆 )
d) Jumlah rata–rata pelanggan dalam antrian, 𝐿𝐿 𝑞𝑞 = 𝜆𝜆 ∗ 𝑊𝑊 𝑞𝑞 = 𝜆𝜆 2 𝜇𝜇 ( 𝜇𝜇−𝜆𝜆 )

## b. Model populasi tidak terbatas dengan pelayanan majemuk
Pada  [3]  bentuk model sistem antrian dengan populasi tidak terbatas dan pelayanan majemuk atau sistem pelayanan multiple, didasarkan asumsi pola kedatangan pelanggan berdistribusi Poisson, rata-rata waktu pelayanan berdistribusi eksponensial,  populasi tidak terbatas serta sumber kedatangan  tidak dibatasi.
Misalkan c :  jumlah pelayanan, dan  c μ :  rata-rata pelayanan efektif pada sistem, nilai karakteristik  harus melebihi tingkat kedatangan c μ > λ untuk mencapai kondisi steady-state, dipenuhi 𝜌𝜌 = 𝜆𝜆 𝑐𝑐 . 𝜇𝜇 < 1 , bentuk modelnya (M/M/c): (GD/ ∞ / ∞ ) Probabilitas tidak adanya pelanggan dalam sistem
0 1 0 1 1 1 ! ! n c n c n P c n c c + − = =    
    λ λ µ +
   
    µ µ µ − λ           ∑
Probabilitas terdapat n pelanggan dalam sistem antrian tersebut
0 , 0 , 1 1 ! n n n n c n P P untuk n c
P P untuk n c n c c −   λ = >   µ     λ = ≤   µ  
Jurnal Matematika Murni dan Terapan “εpsilon” ISSN: 1978-4422 Vol.1 2 No. 1 (Juni 2018 ) Hal. 11-20 15
Jumlah rata-rata pelanggan dalam sistem
( ) ( ) 0 ( ) 2 1 ! s c L
P c c λ µ λµ λ = + µ − µ − λ Waktu rata-rata pelanggan untuk mengantri pada sistem s s L W = λ
Jumlah rata-rata pelanggan dalam antrian q s L L λ = − µ
Waktu rata-rata pelanggan dalam antrian 1 q q s L W W = − = µ λ
Probabilitas pelanggan dalam sistem  harus menunggu untuk dilayani
0 1 ! c c c P P c c µ = µ − λ   λ   µ  
Jika jumlah server tunggal, c=1, maka formulasinya menjadi pelayanan tunggal.
c. Model Self service
Berdasarkan  [3]  model self service tidak  perlu  barisan antrian kusus seperti pada antrian dan jumlah pelayanannya tidak terbatas karena pelanggan melayani sendiri, bentuk model self  service (M/M/ ∞ ):(GD/ ∞ / ∞ ). Berdasarkan model  (m/m/1):(GD/ ∞ / ∞ ); asumsi λ n = λ untuk  n ≥ 0 dan µ n ≥ 0 serta substitusi ke persamaan P n ,  diperoleh 𝑃𝑃 𝑛𝑛 = 𝜆𝜆 𝑛𝑛 𝑛𝑛 ! 𝜇𝜇 𝑛𝑛 𝑃𝑃 0 = 𝜌𝜌 𝑛𝑛 𝑛𝑛 ! . 𝑃𝑃 0
Karena ∑ 𝑃𝑃𝑛𝑛 = 1 maka ∑ 𝑃𝑃 𝑖𝑖 𝑛𝑛 𝑖𝑖 =0 = ∑ 𝜌𝜌 𝑖𝑖 𝑖𝑖 ! 𝑃𝑃 0 𝑛𝑛 𝑖𝑖 =0 = 1 � 𝜌𝜌 0 0! + 𝜌𝜌 1 1! + 𝜌𝜌 2 2! + 𝜌𝜌 3 3! + ⋯ + 𝜌𝜌 𝑛𝑛 𝑛𝑛 ! � . 𝑃𝑃 0 = 1 ; maka diperoleh 𝑃𝑃 0 = 𝑒𝑒 −𝜌𝜌
Jadi formulasi untuk probabilitas n pelanggan sebesar 𝑃𝑃 𝑛𝑛 = 𝜌𝜌 𝑛𝑛 𝑒𝑒 −𝜌𝜌 𝑛𝑛 !
Bentuk formulasi tersebut menunjukkan distribusi Poisson dengan rata-rata ,
E(n) = ρ ; 𝐿𝐿 𝑠𝑠 = 𝜌𝜌 ; 𝑊𝑊 𝑠𝑠 = 1 𝜇𝜇 dan 𝑊𝑊 𝑞𝑞 = 𝐿𝐿 𝑞𝑞 = 0
Peubah acak X dikatakan berdistribusi Poisson, paramenter 𝜆𝜆
𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥 ) = � 𝜆𝜆 𝑥𝑥 𝑒𝑒 −𝜆𝜆 𝑥𝑥 ! , 𝑥𝑥 > 0, 𝜆𝜆 > 0 0, 𝑥𝑥 𝑦𝑦𝑦𝑦𝑛𝑛𝑦𝑦 𝑙𝑙𝑦𝑦𝑖𝑖𝑛𝑛
Peubah acak X berdistribusi Poisson, paramenter 𝜆𝜆 sehingga E(x) = var(x) = 𝜆𝜆
Variabel acak X berdistribusi eksponensial,  parameter µ,
𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥 ) = � 1 𝜇𝜇 𝑒𝑒 −𝑥𝑥𝜇𝜇 , 𝑥𝑥 > 0, 𝜇𝜇 > 0 0, 𝑥𝑥 𝑦𝑦𝑦𝑦𝑛𝑛𝑦𝑦 𝑙𝑙𝑦𝑦𝑖𝑖𝑛𝑛
3. METODOLOGI
Pada  penelitian  ini,  diasumsikan  disiplin antrian FIFO  dan tidak ada pelanggan  yang mendapatkan prioritas layanan, tidak ada pelanggan yang keluar dari waiting line sebelum proses pelayanan selesai. Pelayanan dilakukan untuk
Jurnal Matematika Murni dan Terapan “εpsilon” ISSN: 1978-4422 Vol.1 2 No. 1 (Juni 2018 ) Hal. 11-20
setiap  pelanggan selama waktu tertentu. Pengambilan data observasi  pada waktu sibuk yaitu pada weekend yaitu pada hari Sabtu dan Minggu juga pada musim liburan terjadi lonjakan peningkatan penumpang di Stasiun . Langkah berikutnya menganalis pola kedatangan dan pelayanan pada loket pembelian tiket jarak jauh, uji tingkat kedatangan pelanggan, uji waktu antar kedatangan dan uji waktu pelayanan, kemudian pembentukan model antrian dan simulasi model untuk optimalisasi pelayanan.    Selanjutnya menganilis sistem pelayanan cetak tiket mandiri (self  service ) meliputi uji rata-rata tingkat kedatangan, waktu antar kedatangan,  dan lama pelayanan serta pempentukan model antrian juga simulasinya  untuk optimalisasi pelayanan. Kemudian analisis pelayanan pada check in tiket ketika pelanggan memasuki ruang tunggu keberangkatan kereta.

## 4. ANALISIS DAN PEMBAHASAN
Penelitian ini membahas tentang sistem pelayanan PT KAI Stasiun Lempuyangan meliputi pelayanan loket  pembelian tiket jarak jauh,  pelayanan cetak tiket mandiri  bagi  pelanggan yang sudah memesan lewat online  dan pelayanan check in tiket.  Selanjutnya dianalisis berdasarkan kedatangan pelanggan  pada  pola kedatangan per satuan waktu dan rata-rata waktu antar kedatangan,  serta rata-rata waktu pelayanan, selanjutnya dibentuk model antriannya kemudian disimulasikan untuk membentuk model optimal.

## Analisis pelayanan pada loket pembelian tiket jarak jauh
Berdasarkan data  tingkat kedatangan pelanggan diperoleh   rata-rata  kedatangan pelanggan sebesar 33,3 pelanggan perjam  atau sekitar  34 pelanggan perjam. Pada uji distribusi  rata-rata kedatangan pelanggan  perjam, digunakan uji Kolmogorof–Smirnov  dengan perhitungan menggunakan software SPSS, diperoleh hasil  yang menunjukkan bahwa sig. =  0,972 > α  = 0.05 sehingga  H 0 tidak ditolak, berarti tingkat kedatangan pelanggan berdistribusi Poisson.

## Waktu antar kedatangan pelanggan
Untuk menguji rata-rata waktu antar kedatangan pelangga menggunakan  uji one sample kolmogorov Smirnov tes,  diperoleh  waktu antar kedatangan pelanggan mempunyai nilai sig. lebih besar  dari  α = 0.05 sehingga H 0 tidak ditolak  berarti waktu antar kedatangan pelanggan berdistribusi Eksponensial, dan rata-rata waktu antar kedatangan pelanggan λ = 0.01765  menit  per pelanggan artinya   rata-rata kedatangan pelanggan λ = 60/1,765 = 33,994 = 34 pelanggan per jam.

## Waktu pelayanan pelanggan
Data statistik deskriptif waktu pelayanan pelanggan adalah µ = 70,9656 detik per pelanggan , atau µ = 1,183 menit /pelanggan. Dengan kata lain rata-rata pelayanan µ = 51 pelanggan per jam.
Pada uji distribusi rata-rata waktu pelayanan menggunakan uji K-S  menunjukkan rata-rata waktu  pelayanan  untuk  setiap pelanggan mempunyai  nilai sig. 0,056 > α = 0.05 artinya  H 0 tidak ditolak,  berarti  rata-rata waktu pelayanan pelanggan berdistribusi Eksponensial.
Jurnal Matematika Murni dan Terapan “εpsilon” ISSN: 1978-4422 Vol.1 2 No. 1 (Juni 2018 ) Hal. 11-20
Berdasarkan  asumsi dan hasil perhitungan analisis data  pada pelayanan loket pembelian tiket  diperoleh rata-rata tingkat kedatangan pelanggan setiap waktu berdistribusi Poisson, waktu antar kedatangan pelanggan berdistribusi eksponensial dan rata-rata waktu pelayanan per pelanggan berdistribusi eksponensial, dengan  λ = 34  pelanggan  perjam;    μ    =  51    pelanggan  per  jam , sehingga diperoleh bentuk model  antrian (M/M/1) : (GD/∞/∞) .
Analisis perhitungan sebagai berikut,
a. Kondisi steady State , 𝜌𝜌 = 𝜆𝜆 𝜇𝜇 = 34 51 = 0,6667 < 1
Artinya tingkat kesibukan pada sistem pelayanan sebesar 66,67% dan prosentasi tingkat  menganggur 100 % - 66,67% = 33,33% b. Ekspetasi jumlah menunggu dalam system, 𝐿𝐿𝑠𝑠 = 𝜆𝜆 𝜇𝜇− 𝜆𝜆 = 34 51−34 = 2
Jumlah pelanggan  yang  diharapkan menunggu  pada sistem antrian loket untuk mendapat  pelayanan sebesar 2  pelanggan
c. Ekspetasi jumlah pelanggan menunggu dalam antrian
𝐿𝐿𝑞𝑞 = 𝜆𝜆 2 𝜇𝜇 ( 𝜇𝜇−𝜆𝜆 ) = 34 2 51 ( 51−34 ) = 1,33
Jumlah pelanggan yang mengantri sekitar 1 sampai 2 pelanggan.
d. Ekspektasi waktu menunggu dalam sistem 𝑊𝑊𝑠𝑠 = 1 𝜇𝜇−𝜆𝜆 = 1 51−34 = 1 17 = 0,0588 𝑗𝑗𝑦𝑦𝑗𝑗
Waktu yang  diharapkan pelanggan berada pada sistem antrian 0,0588 jam atau 0,0588*60 = 3,528 menit.
e. Wq : Ekspetasi waktu menunggu dalam antrian
𝑊𝑊𝑞𝑞 = 𝜆𝜆 𝜇𝜇 ( 𝜇𝜇−𝜆𝜆 ) = 34 51 ( 51 − 34 ) = 34 51 ∗ 17 = 0,0392 𝑗𝑗𝑦𝑦𝑗𝑗
Waktu yang  diharapkan pelanggan  menunggu dalam antrian 0,0392 *60 menit per  pelanggan yaitu sebesar 2,352 menit per pelanggan.
Simulasi, misalkan jumlah server 2 dan rata-rata kedatangan pelanggan serta rata-rata pelayanan tetap yaitu λ = 34 pelanggan perjam;  μ  = 51  pelanggan per jam  sehingga model yang dibentuk (M/M/2):(GD/ ∞ / ∞ ), perhitungan komponen antrian sebagai berikut,
1. steady-state, dipenuhi 𝜌𝜌 = 𝜆𝜆 𝑐𝑐 . 𝜇𝜇 = 34 2∗51 = 0,33 2. Jumlah rata-rata pelanggan dalam sistem ( ) ( ) 0 ( ) 2 1 ! s c L P c c λ µ λµ λ = + µ − µ − λ ( ) ( ) 34 51 2 34 * 51( ) 34 * 0, 5 0, 75 2 51 2 1 ! 2 * 51 34 s L = + = − − 3. Waktu rata-rata pelanggan pada sistem
0, 75 0, 024 34 s s L W = = = λ 4. Jumlah rata-rata pelanggan pada antrian 34 0, 75 0, 083 51 q s L L λ = − = − = µ
Jurnal Matematika Murni dan Terapan “εpsilon” ISSN: 1978-4422 Vol.1 2 No. 1 (Juni 2018 ) Hal. 11-20
5. Waktu rata-rata pelanggan pada antrian 1 0, 083 0, 0016 51 q q s L W W = − = = = µ λ
Hasil perhitungan dengan 2 server dan model yang terbentuk (M/M/2):(GD/ ∞ / ∞ ), disajikan pada tabel 1 berikut,
Tabel 1. Hasil simulasi model (M/M/2):(GD/ ∞ / ∞ ) Parameter Nilai Parameter nilai menit Detik Average server sibuk ( ρ ) 0,33 Rata-rata kedatangan ( λ ) 34 ekspektasi jml pelanggan mengantri (Lq) 0,08 Rata-rata pelayanan ( µ ) 51 ekspektasi jml dlm sistem (Ls) 0,75 Jumlah pelayanan 2 ekspektasi waktu dlm antrian (Wq) 0 0,15 8,82 ekspektasi waktu dlm sistem (Ws) 0,02 1,32 79,41
Hasil simulasi model menunjukkan, dengan 2 (dua)  loket  maka  lebih efektif karena  steady state ρ = 33% ,  Lq = 0,08  pelanggan atau  hampir tidak ada pelanggan yang mengantri di loket,  Ls = 0,75 pelanggan artinya terdapat satu pelanggan berada pada sistem yang sedang mendapat pelayanan. Waktu menunggu pelanggan untuk mendapatkan pelayanan lebih  singkat, sehingga pelanggan tidak perlu membutuhkan waktu yang lama pada sistem pelayanan.

## Model pelayanan check in tiket
Pada pelayanan check in tiket  bagi  pelanggan  sudah mendapatkan tiket dan memasuki ruang keberangkatan. Pelayanan ini terdiri dari dua petugas yang melayani, dan berdasarkan  hasil analisis perhitungan  diperoleh  rata-rata kedatangan pelanggan  berdistibusi poisson dan rata-rata pelayanan check in tiket berdistribusi eksponensial, sumber kedatangan dan kapasitas layanan tidak dibatasi sehingga model antrianya adalah   (M/M/2):(GD/ ∞ / ∞ ).  Berdasarkan perhitungan diperoleh jumlah server 2, rata-rata pelayanan µ = 540 pelanggan per jam dan rata-rata kedatangan berdistribusi poisson dengan λ =  254 pelanggan per jam. Pada perhitungan komponen dalam antrian menggunakan software POM dan pembulatan sampai dua angka di belakang koma, dihasilkan tabel  3 sebagai berikut,
Tabel 2. Hasil perhitungan model (M/M/2):(GD/ ∞ / ∞ ) dengan POM Parameter Nilai Parameter Nilai menit Detik m/m/s (model pelayanan) Average server sibuk ( ρ ) 0,24 Rata-rata kedatangan ( λ ) 254 ekspektasi jml pelanggan mengantri (Lq) 0,03 Rata-rata pelayanan ( µ ) 540 ekspektasi jml dlm sistem (Ls) 0,5 Jumlah pelayanan 2 ekspektasi waktu dlm antrian (Wq) 0 0,01 0,39 ekspektasi waktu dlm sistem (Ws) 0 0,12 7,06
Berdasarkan tabel 2, menunjukan probabilitas sistem keadaan sibuk 24% , rata- rata jumlah pelanggan yang antri hampir tidak ada. Artinya begitu loket chek in dibuka maka pelanggan langsung masuk antrian dalam proses pelayanan yang memadai sehingga semua pelanggan dapat dilayani secara optimal.

## Model antrian pada pelayanan cetak tiket mandiri
Pelanggan melakukan cetak tiketnya secara  mandiri,  apabila  pelanggan sudah  memesan tiket melalui online.  PT KAI Stasiun Lempuyangan Yogyakarta
Jurnal Matematika Murni dan Terapan “εpsilon” ISSN: 1978-4422 Vol.1 2 No. 1 (Juni 2018 ) Hal. 11-20
tmenyediakan 5 (lima) komputer untuk melayani cetak tiket mandiri (self service). Berdasarkan hasil survey pada sistem pelayanan cetak tiket yang dilakukan pada saat weakend dan jam sibuk, diperoleh data rata-rata kedatangan pelanggan pada tiap-tiap komputer yang tersedia 12,58 atau 13 pelanggan perjam. Uji  rata-rata tingkat kedatangan pelanggan persatuan waktu untuk 5 komputer dengan metode Kolmogorof-Smirnov dan diambil α = 0,5, sehingga dihasilkan tabel sebagai berikut
Tabel 3. One-Sample Kolmogorov-Smirnov Test
Komp.1 Komp.2 Komp.3 Komp. 4 Komp.5 N 5 5 5 5 5 Poisson Parameter a Mean 11.3333 11.0000 15.0000 15.0000 10.6667 Most Extreme Differences Absolute .305 .341 .315 .322 .263 Positive .250 .311 .315 .315 .189 Negative -.305 -.341 -.280 -.322 -.263 Kolmogorov-Smirnov Z .529 .590 .546 .558 .455 Asymp. Sig. (2-tailed) .942 .878 .927 .915 .986
a. Test distribution is Poisson.
Tabel 3 menunjukkan bahwa  p-value untuk  rata-rata kedatangan pelanggan pada Komp.1, Komp.2, Komp.3, Komp.4  dan Komp. 5 > α = 0,05 , sehingga  H 0 tidak ditolak, yang berarti pola kedatangan pelanggan pada pelayanan cetak tiket secara mandiri berdistribusi Poisson.
Model selft service berbentuk (M/M/∞)  :  (GD/∞/∞) ,  berdasarkan hasil perhitungan  rata-rata tingkat  kedatangan pelanggan berdistribusi poisson dengan tingkat kedatangan pelanggan 13 pelanggan/jam, dan tingkat pelayanan berdistribusi eksponensial.  Karena bentuk pelayanan self service sehingga dengan λ  =  13  pelanggan  per  unit  waktu, 𝜇𝜇 = 1 pelanggan per unit waktu, sehingga diperoleh    ρ  = 𝜆𝜆 µ = 13 1 = 13 pelanggan sehingga  banyaknya pelanggan yang diharapkan dapat menggunakan komputer tersebut sebanyak 13  pelanggan  per jam perkomputer.
a. Perhitungan probabilitas waktu kosong dalam sistem antrian ini adalah : P o = e - λ = e -13 = 2,2603 x 10 -6 = 0,0000022603 b. Ekspektasi (rata-rata) jumlah dalam antrian adalah :
Lq = ( 𝑘𝑘 . 𝜌𝜌 )( 𝑃𝑃 𝑜𝑜 ) ( 𝑘𝑘−𝜌𝜌 ) 2 = (5 ( 13 ) )(2,2603 𝑥𝑥 10 − 6 ) (5 − 13) 2 = 2,296 x 10 -6
tidak ada jumlah pelanggan dalam antrian. artinya pelanggan yang mengantri nol  (0) atau pelanggan tidak perlu antri.
c. Ekspektasi (rata-rata) waktu dalam antrian dapat dihitung :
Wq = 𝐿𝐿𝑞𝑞 𝜆𝜆 = 0,000002296 13 = 1,766 x 10 -7
Ekspektasi waktu tunggu pelanggan untuk mengantri mendapatkan pelayanan cetak tiket adalah 0 artinya  pelanggan tidak perlu waktu untuk mengantri sehingga pelanggan  yang datang dapat  langsung  melakukan transaksi pada komputer yang tersedia.
Jurnal Matematika Murni dan Terapan “εpsilon” ISSN: 1978-4422 Vol.1 2 No. 1 (Juni 2018 ) Hal. 11-20

## 5. KESIMPULAN
Sistem pelayanan pada  PT KAI Stasiun Lempuyangan sudah cukup memadai, tetapi pada week  end perlu  ditingkatkan pelayanannya dengan penambahan  loket pelayanan tiket jarak jauh. Sistem  pelayanan loket jarak jauh rata–rata kedatangan pelanggan be rdistribusi  Poisson  dengan  λ= 34 pelanggan perjam dan waktu antar kedatangan berdistribusi eksponensial. Rata-rata waktu pelayanannya berdistribusi eksponensial, μ = 51 pelanggan per jam, bentuk model antrian (M/M/1) : (GD/∞/∞) . Hasil  simulasi menunjukkan pelayanan optimal, 2 server, dan modelnya (M/M/2) : (GD/∞/∞) . Model ini menunjukkan hampir tidak ada pelanggan yang mengantri di loket.  Waktu menunggu pelanggan untuk mendapatkan pelayanan pada antrian 0,15 menit atau 9 detik dan waktu menunggu dalam sistem selama 1,32 menit.
Pelayanan check in tiket  terdpat  dua server,  pelayanan  sudah optimal  dan modelnya berbentuk (M/M/2) : (GD/∞/∞) .
Pelayanan cetak tiket secara mandiri menunjukkan model antrian self service berbentuk (M/M/∞)  :  (GD/∞/∞) ,  tersedia  5 komputer  dalam hal ini pelanggan tidak perlu antri lama untuk cetak tiket, sehingga pelayanan sudah optimal. Tetapi waktu pelayanan masih cukup lama, sehingga perlu peningkatan layanan dengan diberikan petugas yang siap membantu dan kualitas  spesifikasi komputer ditingkatkan.

## 6. DAFTAR PUSTAKA
[1]  Ersyad, ZA dan Devianto, D , 2010 , Jurnal Matematika, Identifikasi Model Antrian pada Antrian Bus Kampus Universitas Andalas, UNAND, Padang
[2]  Haizer, J. & Render, B., 2005, Operation Research , Salemba Empat, Jakarta [3]  Kakiay, T.J.,2004, Dasar Teori Antrian Untuk Kehidupan Nyat a,  Andi, Yogyakarta
[4]  Nurrahmi, E F dan Prita, L , 2012, Jurnal Teknik POMITS, Kajian Antrian tipe M/M/ ∞ dengan Sistem Pelayanan yang Lambat dan Pelanggan yang tidak sabar, ITS, Surabaya
[5]  Ross, S.M., 2007 , Introduction to Probability Models , Academic Press, California
[6]  Siagian, P., 1992, Operation Research , FEUI, Jakarta
[7]  Suryadi, P.A dan Manurung N.J, 2009, Jurnal Teknologi, Model Antrian pada Pelayanan Kesehatan di Rumah Sakit, Universitas Udayana, Bali
[8]  Sya’diyah, E. dan Suryowati, K, 2017, Analisis Sistem Antrian pada Pelayanan Teller di Bank Rakyat Indonesia Kantor Cabang Kota Tegal , Jurnal Statistika Industri dan Komputasi Vol.2, IST AKPRIND, Yogyakarta
[9]  Taha, H.A., 1996, Riset Operasi Jilid 5 , Binarupa Aksara, Jakarta
[10] Wagner, H.M., 1978, Principle of Operation Research , Mc-Graw Hill Book Co , New York