## ANALISIS FUNGSI AKTIVASI JARINGAN SYARAF TIRUAN UNTUK MENDETEKSI KARAKTERISTIK BENTUK GELOMBANG SPEKTRA BABI DAN SAPI
Shofwan Ali Fauji 1 , Ari Kusumastuti 2
1 Universitas Darul ‘Ulum Lamongan, shofwan.ali.fauji@gmail.com
2 UIN Maulana Malik Ibrahim Malang, arikusumastuti@gmail.com
Abstract. Artificial  Neural  Network  (ANN)  is  beginning  little  by  little  to  replace the task of an expert, even  with the ANN can be a tool to replace a doctor. One of kind  of  ANN  is  backpropagation  networks,  this  network  can  be  used  to  training programs in order to be able to recognize whether it is pig or cow wave spectra. To determine  the  output  in  backpropagation  training  required  suitable  activation functions.  Therefore,  in  this  research  will  be  compared  to  some  of  the  activation function  that  can  be  used  in  training.  Activation  functions  will  be  tested  with  the ratio test to determine the interval convergence. After tested with the ratio test it was found that the activation function tanh z was the best activation function to use the backpropagation  network  training,  because  it  has  a  weight  range  that  can  meet  the methods  used  in  the  determination  of  weights.  When  tested  with  the  data,  the activation function tanh z is able to recognize correctly all trial datas.  An expected in future research to examine the weight that makes the interval training to achieve fast convergence and the error bit.
Keywords : backpropagation networks, binary sigmoid function, wave spectra in the case of cows and pigs.
Abstrak. Jaringan  Syaraf  Tiruan  (JST)  sedikit  demi  sedikit  mulai  mampu menggantikan  tugas  seorang  pakar,  bahkan  dengan  JST  mampu  dibuat  alat  untuk menggantikan seorang dokter. Salah satu jenis JST adalah jaringan backpropagation ,  jaringan  ini  bisa  digunakan  untuk  melakukan  pelatihan  agar program  mampu  mengenali  apakah  itu  gelombang  spektra  babi  atau  sapi.  Untuk menentukan  keluaran  dalam  pelatihan backpropagation dibutuhkan  fungsi  aktivasi yang  cocok.  Karena  itu  pada  penelitian  ini  akan  dibandingkan  beberapa  fungsi aktivasi yang bisa digunakan dalam pelatihan. Fungsi aktivasi-fungsi aktivasi itu di uji  coba  dengan  tes  rasio  untuk  mengetahui  interval  kekonvergenannya.  Setelah  di uji  coba  dengan  tes  rasio  didapatkan  bahwa  fungsi  aktivasi tanh 𝑧 adalah  fungsi aktivasi  yang  paling  bagus  untuk  dipakai  pelatihan  jaringan backpropagation , karena  memiliki  rentang  bobot  yang  bisa  memenuhi  metode-metode  yang  dipakai dalam  penentuan  bobot.  Setelah  diuji  coba  dengan  data,  fungsi  aktivasi tanh 𝑧 mampu  mengenali  data  uji  coba  dengan  tepat  semua.  Diharapkan  pada  penelitian selanjutnya  untuk  meneliti  interval  bobot  yang  membuat  pelatihan  mencapai konvergensi dengan cepat dan error nya sedikit.
Kata  Kunci : jaringan  backpropagation,  fungsi  sigmoid  biner,  gelombang  spektra pada kasus sapi dan babi.

## 1 Pendahuluan
Sebagai  mahluk  hidup,  babi  juga  memiliki  protein,  dari  protein  itulah  dapat diketahui  gelombang  spektra  babi.  Untuk  membandingkannya  digunakan gelombang  spektra  makanan  yang  halal  dan  sering  dipakai  sebagai  bahan makanan masyarakat luas, yaitu sapi. Berikut gambar gelombang spektra sapi dan babi yang digambar dengan alat Fourier Transform (FTIR).
Gambar 1. Turunan kedua spektra infra merah sapi dan babi dengan alat FTIR
Selanjutnya ,dalam penelitian ini akan dikaji kaitan jaringan syaraf tiruan (JST) dalam  pendeteksian  makanan  yang  mengandung  babi  atau  tidak.  JST  dipilih karena JST sistem pemroses  informasi  yang memiliki  karakteristik  mirip dengan jaringan  syaraf  biologi  [13].  Seperti  halnya  otak  manusia,  JST  juga  terdiri beberapa neuron dan ada hubungan antara neuron-neuron tersebut. Neuron-neuron tersebut  akan  mentransformasikan  informasi  yang  diterima  melalui  sambungan keluarnya  menuju  ke  neuron-neuron  yang  lain.  Pada  JST  informasi  tersebut disimpan pada suatu nilai tertentu yang disebut bobot.

## 2 Kajian Teori

## 2.1 Citra
Citra  adalah  suatu  representasi  (gambaran),  kemiripan,  atau  imitasi  dari  suatu objek  [16].  Citra  sebagai  keluaran  suatu  sistem  perekaman  data  dapat  bersifat optik berupa foto, bersifat analog berupa sinyal-sinyal video seperti gambar pada monitor  televisi  atau  bersifat  digital  yang  dapat  langsung  disimpan  pada  suatu media penyimpanan. Citra dapat  dibagi  menjadi  dua,  yaitu citra  analog dan citra digital.
Citra  analog  adalah  citra  yang  bersifat  kontinu,  seperti  gambar  pada  monitor televisi,  foto  sinar X ,  foto  yang  tercetak  di  kertas  foto,  lukisan,  pemandangan alam,  hasil CT  scan dan  lain  sebagainya.  Citra  digital  adalah  citra  yang  dapat diolah oleh komputer.

## 2.2 Akuisisi Citra
Akuisisi  citra  adalah  tahap  awal  untuk  mendapatkan  citra  digital  [16].  Tujuan akuisisi citra adalah untuk menentukan data yang diperlukan dan memilih metode
perekaman  citra  digital.  Tahap  ini  dimulai  dari  objek  yang  akan  diambil gambarnya, persiapan alat-alat, sampai pada pencitraan. Pencitraan adalah proses untuk mentranformasi  citra analog menjadi citra digital. Beberapa alat yang dapat digunakan  untuk  pencitraan  di  antaranya  adalah  video  kamera,  kamera  digital, scanner dan  sinar  infra  merah.  Hasil  dari  akuisisi  citra  ini  ditentukan  oleh kemampuan  sensor  untuk  mendigitalisasi  sinyal  yang  terkumpul  pada  sensor tersebut.

## 2.3 Jaringan Syaraf Tiruan
Jaringan syaraf tiruan merupakan model jaringan syaraf yang meniru prinsip kerja dari neuron otak manusia [12]. JST pertama kali muncul setelah model sederhana dari  neuron  buatan  diperkenalkan  oleh  McCulloch  dan  Pitts  pada  tahun  1943. Model  sederhana  tersebut  dibuat  berdasarkan  fungsi  neuron  biologis  yang merupakan dasar unit pensinyalan dari sistem syaraf.
JST memiliki beberapa kemampuan seperti yang dimiliki otak manusia, yaitu:
a. Kemampuan untuk belajar dari pengalaman.
b. Kemampuan  melakukan  perumpamaan  terhadap  masukan  baru  dari pengalaman yang dimilikinya.
c. Kemampuan  memisahkan  karakteristik  penting  dari  masukan  yang mengandung data yang tidak penting.
Sebagai contoh, perhatikan neuron 𝑌 pada Gambar 2
Gambar 2. Jaringan syaraf tiruan sederhana
JST  dapat  diaplikasikan  kedalam  pengenalan  pola.  Secara  umum  pengenalan pola  adalah  suatu  ilmu  untuk  mengklasifikasikan  atau  menggambarkan  sesuatu berdasarkan  pengukuran  kuantitatif  fitur  (ciri)  atau  sifat  utama  dari  suatu  objek [12].

## 2.4 Jaringan Backpropagation
Backpropagation merupakan  algoritma  pembelajaran  yang  terbimbing  [8]. Algoritma backpropagation menggunakan error keluaran  untuk  mengubah  nilai bobot-bobotnya  dalam  arah  mundur.  Untuk  mendapatkan error ini,  tahap perambatan maju harus dilakukan terlebih dahulu.

## Jurusan Matematika, UNISDA, Lamongan
Arsitektur  yang  digunakan  dalam  jaringan backpropagation merupakan arsitektur  lapisan  jamak  [13].  Karena  merupakan  jaringan  lapisan  jamak,  maka backpropagation memiliki lapisan tersembunyi.
Dalam jaringan backpropagation , fungsi aktivasi yang dipakai harus memenuhi beberapa  syarat,  yaitu  kontinu,  terdiferensial  dengan  mudah,  dan  merupakan fungsi  yang tidak turun.  Salah satu  fungsi  yang  memenuhi  ketiga syarat  tersebut dan  sering  dipakai  adalah  fungsi  sigmoid  biner.  Fungsi  lain  yang  sering  dipakai adalah fungsi sigmoid bipolar yang memiliki range (-1,1).

## 2.5 Tes Rasio dan Deret Taylor
Tes  rasio  sangat  berguna  menentukan  apakah  deret  yang  diberikan  konvergen [14],
a. Jika lim 𝑛→∞ | 𝑎 𝑛+1 𝑎 𝑛 | = 𝐿 < 1 , maka deret ∑ 𝑎 𝑛 ∞ 𝑛=1 adalah konvergen.
b. Jika lim 𝑛→∞ | 𝑎 𝑛+1 𝑎 𝑛 | = 𝐿 > 1 atau lim 𝑛→∞ | 𝑎 𝑛+1 𝑎 𝑛 | = ∞ maka  deret ∑ 𝑎 𝑛 ∞ 𝑛=1 adalah divergen.
Jika lim 𝑛→∞ | 𝑎 𝑛+1 𝑎 𝑛 | = 1 ,  maka  tes  rasio  tidak  dapat  ditentukan.  Tidak  ada  hasil yang bisa ditentukan apakah ∑ 𝑎 𝑛 ∞ 𝑛=1 konvergen atau divergen.

## Deret Taylor
Teorema  Taylor.  Andaikan 𝑓 sebuah  fungsi  yang  memiliki  turunan  dari semua  tingkatan  dalam  suatu  selang [𝑎 − 𝑟, 𝑎 + 𝑟] .  Syarat  perlu  dan  cukup  agar menjadi deret Taylor adalah
𝑓(𝑎) + 𝑓 ′ (𝑎)(𝑥 − 𝑎) + 𝑓 ′′ (𝑎)(𝑥 − 𝑎) 2 2! + ⋯ + 𝑓(𝑛)(𝑥 − 𝑎) 𝑛 𝑛! . (1)
Apabila 𝑎 = 0 , maka deret tersebut disebut deret MacLaurin.

## 2.6 Spektroskopi Infra Merah
Spektroskopi  infra  merah  merupakan  salah  satu  alat  yang  banyak  dipakai  untuk mengidentifikasi  senyawa  baik  alami  maupun  buatan  [6].  Bila  sinar  infra  merah dilewatkan  melalui  cuplikan  senyawa  organik,  maka  sejumlah  frekuensi  akan diserap,  sedangkan  frekuensi  yang  lain  diteruskan  atau  ditransmisikan  tanpa diserap. Ada 2 jenis  instrmentasi  untuk  absorbsi infra merah,  yaitu  instrumentasi dispersi  (konvensional)  yang  hanya  digunakan  untuk  analisis  kualitatif  dan instrumentasi  yang  menggunakan Fourier  Transform (FTIR)  dapat  digunakan untuk analisis kuantitatif dan kualitatif .
Spektroskopi  FTIR  ( fourier  transform  infrared )  merupakan  salah  satu  teknik analitik  yang  sangat  baik  dalam  proses  identifikasi  struktur  molekul  suatu senyawa. Uji kandungan lemak babi dengan metode FTIR telah ditemukan adanya kekhasan  vibrasi  ulur  C-H  pada  sampel  lemak  babi  yang  berbeda  dengan  lemak hewani  lainnya.  Hasil  yang  diperoleh  menunjukkan  bahwa  mesin  FTIR  sangat berpotensi  digunakan  sebagai  alat  untuk  mendeteksi  lemak  babi  secara  cepat dengan hasil yang konsisten.

## 3 Hasil dan Pembahasan
Sebelum  melakukan  pelatihan  data,  maka  yang  harus  disiapkan  adalah  data pelatihan, dan data pelatihan diambil dari data  gelombang spektra sapi  dan babi, Didefinisikan 𝑥 𝑛 adalah  bilangan  gelombang  dan 𝑦 𝑛 adalah  absorbansi  (sinar- x yang  diserap  oleh  benda  dan  diteruskan  untuk  mengetahui  vibrasi  molekulnya). Dan  kemudian  akan  diinterpolasi  lagrange  untuk  mengetahui  aproksimasi  fungsi dari  data  berpasangan.  Berikut  adalah  data  bilangan  gelombang  dan  absorbansi untuk data babi.
Tabel 1. Bilangan gelombang dan absorbansi pada data babi Bilangan gelombang Absorbansi 𝑥 0 = 970,192166 𝑦 0 = -0,000009 𝑥 1 = 972,120977 𝑦 1 = 0,000002 𝑥 2 = 974,049789 𝑦 2 = 0,000003 𝑥 3 = 975,9786 𝑦 3 = -0,000002 𝑥 4 = 977,907411 𝑦 4 = -0,000006 𝑥 5 = 979,836223 𝑦 5 = -0,000003 𝑥 6 = 981,765034 𝑦 6 = -0,000004 𝑥 7 = 983,693846 𝑦 7 = -0,000015 𝑥 8 = 985,622657 𝑦 8 = -0,000007
Data  bilangan  gelombang  dan  absorbansi  pada  tabel  di  atas  diinterpolasi lagrange, sehingga menghasilkan Persamaan 2 berikut ini,
𝑃(𝑥) = −1,035741567042484 . 10 −11 𝑥 8 (2) + 8,104872585865455. 10 −8 𝑥 7
− 2,774703359707413.10 −4 𝑥 6
+ 0,542808208062731 𝑥 5
− 6,636724626885896. 10 2 𝑥 4 + 5,193243594766944. 10 5 𝑥 3
− 2,539809476507496. 10 8 𝑥 2
+7,097788748923267. 10 10 𝑥
− 8,678018906807824.10 12
Akibatnya,  didapatkan  Gambar  3  sebagai  gambar  gelombang  spektra  daging babi grafik data pelatihan, dan gambarnya adalah sebagai berikut
Gambar 3. Gelombang spektra babi
-0.00002 -0.00001 0 0.00001 960 970 980 990 Bilangan Gelombang babi 100%
Untuk  data  sapi  dengan  alat  FTIR,  didapatkan  bilangan  gelombang  dan  data absorbansi pada Tabel 2 berikut.
Tabel 2. Bilangan gelombang dan absorbansi pada data sapi
Bilangan gelombang Absorbansi 𝑥 0 = 970,192166 𝑦 0 = 0.00005 𝑥 1 = 972,120977 𝑦 1 = 0.000034 𝑥 2 = 974,049789 𝑦 2 = -0.000006 𝑥 3 = 975,9786 𝑦 3 = -0.000043 𝑥 4 = 977,907411 𝑦 4 = -0.000061 𝑥 5 = 979,836223 𝑦 5 = -0.00006 𝑥 6 = 981,765034 𝑦 6 = -0.000041 𝑥 7 = 983,693846 𝑦 7 = -0.000011 𝑥 8 = 985,622657 𝑦 8 = 0.000013
Setelah  itu,  data  bilangan  gelombang  dan  absorbansi  diinterpolasi  lagrange, sehingga didapatkan aproksimasi fungsi data berpasangannya adalah,
𝑃(𝑥) = 7,897573065875410. 10 −12 𝑥 8 (3) −6,180374054490586. 10 −8 𝑥 7
+2,115981828265967. 10 −4 𝑥 6 −0.413970186280669 𝑥 5
+ 5,061791113327844. 10 2 𝑥 4 −3,961114096958705.10 5 𝑥 3 + 1,937351871176862. 10 8 𝑥 2 −5,414515674767383. 10 10 𝑥
+6,62043892617714810 12 .
Akibatnya,  didapatkan  Gambar  4  sebagai  gelombang  spektra  sapi  berikut  ini sebagai grafiknya untuk dijadikan data pelatihan.
Gambar 4 . Gelombang spektra sapi
Fungsi aktivasi yang akan dibanding ditampilkan pada Tabel 3 berikut ini
Tabel 3. Fungsi aktivasi yang akan dibandingkan Fungsi aktivasi Bentuk Kompleks tan 𝑧 𝑒 𝑖𝑧 − 𝑒 −𝑖𝑧 𝑖 (𝑒 𝑖𝑧 + 𝑒 −𝑖𝑧 )
sin 𝑧 𝑒 𝑖𝑧 − 𝑒 −𝑖𝑧 2 𝑖 tanh 𝑧 𝑒 𝑧 − 𝑒 −𝑧 𝑒 𝑧 + 𝑒 −𝑧
sinh 𝑧 𝑒 𝑧 − 𝑒 −𝑧 2 arctan 𝑧 1 2𝑖 ln ( 𝑖𝑧 + 1 1 − 𝑖𝑧 )
arcsin 𝑧 1 𝑖 ln (𝑧𝑖 + √1 − 𝑧 2 ) arctanh 𝑧 1 2 ln ( 𝑧 + 1 1 − 𝑧 )
arcsinh 𝑧 ln (𝑧 + √𝑧 2 + 1)
Delapan fungsi aktivasi itu dipilih karena sebagai fungsi non linier yang cukup memadai  untuk  digunakan sebagai  fungsi  aktivasi  [7]. Kedelapan fungsi  aktivasi diata  diuji  dengan  tes  rasio  untuk  mengetahui  interval  kekonvergenannya.  Dan berikut ini hasill dari tes rasio dalam mendeteksi interval kekonvergenannya.
Tabel 4. Perbandingan fungsi aktivasi setelah dicari interval kekonvergenannya    dengan tes rasio Fungsi Aktivasi Interval Kekonvergenan tan 𝑧 −3 < 𝑧 < 3 sin 𝑧 −1 < 𝑧 < 1 tanh 𝑧 −3 < 𝑧 < 3 sinh 𝑧 −1 < 𝑧 < 1 arctan 𝑧 −1 < 𝑧 < 1 arcsin 𝑧 −1 < 𝑧 < 1 arctanh 𝑧 −1 < 𝑧 < 1 arcsinh 𝑧 −1 < 𝑧 < 1
Untuk interval −1 < 𝑧 < 1 dianggap terlalu terbatas karena metode penentuan bobot  yang  biasa  digunakan  adalah  metode backpropagation yang  mampu menghasilkan  bobot  lebih  dari  satu.  Akibatnya,  fungsi  aktivasi  ini  terlalu  riskan untuk  dipakai  sebagai  fungsi  aktivasi.  Untuk tan 𝑧 ,  memang  memiliki  interval yang bagus sebagai fungsi aktivasi, tapi setelah dimasukkan nilai 𝑧 ternyata malah
menghasilkan  nilai  kompleks,  padahal  algoritma  yang  dipakai  dalam  pengenalan pola  kali  ini  adalah  algoritma  bilangan  riil.  Algoritma  bilangan  riil  tidak  bisa digunakan  untuk  bilangan  kompleks.  Berbeda  dengan tanh 𝑧 ,  fungsi  aktivasi  ini memiliki  interval  kekonvergenan  yang  bagus  dan  bila  dimasukkan  nilai 𝑧 menghasilkan nilai  bilangan riil.  Dengan demikian, fungsi  aktivasi tanh 𝑧 sangat bagus  untuk  digunakan  sebagai  fungsi  aktivasi  agar  pelatihan  bisa  mengenali perbedaan karakteristik bentuk gelombang spektra babi dan sapi.
Berikutnya  akan  dianalisis  mengenai  tingkat  tingginya  MSE  ( mean  square error )  bila  dilihat  dari  banyaknya  jumlah  unit  tersembunyi  dalam  satu  lapisan tersembunyi  dengan  laju  pelatihan 𝛼 = 0,0001 .  Berikut  tabel  jumlah error pelatihan backpropagation,
Tabel 5. MSE berdasarkan banyaknya unit dalam satu lapisan tersembunyi Banyak unit MSE 3 0,06082 4 0,020942 5 0,020208 30 0,0053801 40 0,0019251
Dari  kelima  uji  coba  pada  tabel  di  atas,  dapat  disimpulkan  bahwa  semakin banyak  jaringan  dalam  satu  lapisan  tersembunyi,  maka  semakin  kecil error nya sehingga  semakin  bagus  hasil  pelatihannya.  Setelah  melakukan  pelatihan,  maka hasil dari pelatihan disimpan dalam bobot.
Kemudian,  penulis  akan  menguji  coba  hasil  pelatihan  dengan  data  uji  coba, apakah  hasil  pelatihan  mampu  mengenali  data  uji  coba  dengan  benar  atau  tidak. Pertama-tama  disediakan  gambar  gelombang  spektra  babi  dan  sapi.  Berikut gambar gelombang spektra babi dan sapi.
Gambar 5. Gelombang spektra babi yang pertama
Kemudian, berikut gambar gelombang spektra sapi
Gambar 6. Gelombang spektra sapi yang pertama
Dua  gambar  di  atas  adalah  perwakilan  dari  tiga  gambar  gelombang  spektra babi  dan  sapi  yang  digunakan  untuk  menguji  coba  hasil  pelatihan backpropagation .  Gambar  yang  dipanggil  pertama  adalah  gambar  gelombang spektra babi. Selanjutnya, setelah program dijalankan, maka hasilnya adalah
Gambar 7. Program menebak bahwa gelombang spektra itu adalah gelombang spektra babi
Ketika  gambar  gelombang  spektra  yang  dipanggil  adalah  gelombang  spektra sapi, maka hasilnya adalah
Gambar 8. Program menebak bahwa gelombang spektra itu adalah gelombang spektra sapi
Dari 6 tebakan program  dapat menebak jenis ke-6 gambar gelombang spektra dengan benar. Berarti hasil pelatihan dengan backpropagation yang menggunakan hasil analisis matematik tadi sudah bagus.

## 4 Kesimpulan
Dari  pembahasan  di  atas,  dapat  disimpulkan  bahwa  fungsi  aktivasi  tangen hiperbolik adalah fungsi yang terbaik untuk menbedakan gelombang spektra sapi dan  babi.  Karena  menghasilkan  bilangan  riil  dan  meiliki  interval  konvergensi yang  cukup  memadai  untuk  beberapa  metode  seperti backpropagation ataupun bilangan acak -0,5 sampai 0,5 maupun bilangan acak -1 sampai 1.
Setelah diuji coba pun fungsi aktivasi ini mampu melakukan pelatihan dengan baik,  sehingga  hasil  pelatihan  mampu  mengenali  gambar  uji  coba  dengan sempurna.  Fungsi  aktivasi  dan  interval  bobot  adalah  hal  yang  sangat  esensial dalam pelatihan jaringan backpropagation. Karena bila salah menggunakan fungsi aktivasi  ataupun  bobotnya  tidak  sesuai  sehingga  bisa  divergen  maka  pelatihan akan gagal.
Dengan fungsi aktivasi tangen hiperbolik dan interval kekonvergenannya telah mampu  membedakan  gelombang  spektra  sapi  dan  babi.  Bila  menginginkan pelatihan  yang  lebih  baik,  dapat  menambah  jumlah  unit  jaringan  tersembunyi dalama satu lapisan tersembunyi karena telah diuji coba sampai 40 unit jaringan, bahwa semakin banyak unit jaringan semakin kecil MSE.

## Daftar Pustaka
[1] Aizenberg, I. 2011 . Complex Valued Neural Networks With Multi-Valued Neurons . Springer. Berlin.
[2] Anita S. G., P. K. Kalra, dan D.S. Chauhan. 2009. Inversion of Complex Back-Propagation Algorithm.
[3] Anton, H. 2000. Dasar-dasar Aljabar Linier. Interaksara. Batam.
[4] Bartle, R. G.,  dan Sherbert, D. R. 2000. Introduction to Real Analysis. John Willey & Sons. USA.
[5] Fausett, L. 1994. Fundamentals of Neural Networks . Prentice Hall. New Jersey.
[6] Habsari,  L.  Y.  D.  2010. Identifikasi  Pola  Khas  Spektra  Infra  Merah    Protein  Daging  Sapi Dan  Babi  Rebus  Menggunakan  Metode  Second  Derivative  (2d ) .  Skripsi  Tidak  Diterbitkan. Jurusan Kimia FSAINTEK UIN Maulana Malik Ibrahim Malang. Malang.
[7] Kim, T.,  dan  Adali, T. 2001. Complex Backpropagation Neural Network Using Elementary Transcendental Activation Functions .
[8] Kusumadewi,  S.  2004. Membangun  Jaringan  Syaraf  Tiruan  (Menggunakan  Matlab  dan Excel Link) . Graha Ilmu. Jakarta.
[9] Munir, Ri. 2008. Metode Numerik . Informatika. Baandung.
[10] Purnomo,  M.  H.,  dan  Kurniawan,  A.  2006. Supervised  Neural  Networks  dan  Aplikasinya. Graha Ilmu. Yogyakarta.
[11] Purwanto, H., dkk. 2005. Aljabar Linier . PT Ercontara Rajawali. Jakarta.
[12] Putra, D. 2010. Pengolahan Citra . Andi. Yogyakarta.
[13] Siang, J. J. 2009. Jaringan Syaraf Tiruan dan Pemrogamannya Menggunakan Matlab . Andi. Yogyakarta.
[14] Stewart, J. 2010. Calculus Concepts and Contexts . Cengage Learning. Belmont.
[15] Suhartono. 2007. Feedforward Neural  Networks Untuk Pemodelan Runtun Waktu . Disertasi Tidak Diterbitkan. Program Pasca Sarjana Universitas Gadjah Mada. Yogyakarta.
[16] Sutoyo, T., dkk, 2009. Teori Pengolahan Citra . Andi. Yogyakarta.
[17] Wunsh, A. D. 2005. Complex Varibles with Application . Pearson Education. USA.