Vol. 12, No. 1,  36-47,  Juli  2015

## Penaksiran Parameter Model Kalibrasi Linier yang Berdistribusi Skew-Normal dengan Algoritma-EM
Try Widyaiswara Hairil 1 , Anna Islamiyati 1 , Raupong 1

## Abstrak
Sebuah penelitian yang ditujukan untuk memperlihatkan perubahan pola pada kurva distribusi normal. Model kalibrasi linier yang berdistribusi skew-normal. Pada tulisan ini, yang dibahas adalah  penaksiran  parameter  model  kalibrasi  linier  yang  berdistribusi  skew-normal.  Pada penaksiran  parameter  model  kalibrasi  linier  yang  berdistribusi  skew-normal  dengan  metode Maximum  Likelihood  Estimation (MLE),  tidak  diperoleh  solusi  eksplisit  dari  taksiran parameter.  Oleh  karena  itu,  penaksiran  parameternya  harus  dilakukan  dengan  metode  iterasi numerik  algortima- EM yang  merupakan  metode  optimisasi  iteratif  untuk  MLE  yang  terdiri dari  dua  tahap,  yakni  tahap  ekspektasi  dan  tahap  maksimisasi.  Sebuah  penerapan  empirik kemudian  disajikan  sebagai  ilustrasi  dari  metode  yang  dibahas,  yaitu  pada  data  pengukuran dimensional dan ultrasonografi pada testis dari 42 remaja.
Kata  Kunci :    Regresi,  model  kalibrasi  linier,  distribusi  skew-normal,  parameter kecondongan, MLE , algoritma- EM.

## 1. Pendahuluan
Analisis  regresi  merupakan  salah  satu  metode  statistika  yang  sering  dijumpai  dalam kehidupan sehari-hari. Dalam menggunakan analisis regresi, akan dilihat hubungan antara peubah respon  dan  satu  atau  lebih  peubah  bebas  (penjelas).  Persamaan  regresi  yang  sering  dijumpai adalah  regresi  linier  sederhana  dan  regresi  linier  berganda.  Kalibrasi  statistik  sangat  penting dalam  beberapa  bidang  pengetahuan  manusia.  Misalnya  dalam  bidang  kesehatan,  instrumen kalibrasi  digunakan  untuk  mengukur  tekanan  darah,  kolesterol,  suhu,  dan  lain-lain.  Percobaan kalibrasi  biasanya  ditandai  dengan  mengamati  dua  variabel, X dan Y ,  melalui  fungsi  yang  telah diketahui. Jadi model persamaan kalibrasi statistik dapat dirumuskan ke suatu model persamaan yang biasa disebut model kalibrasi linier [5].
Distribusi  normal  merupakan  salah  satu  model  distribusi  kontinu  dalam  teori  statistika. Distribusi  normal  diterapkan  dalam  berbagai  permasalahan.  Distribusi  normal  memiliki  kurva berbentuk  lonceng  yang  simetris.  Adapun  bentuk  lain  dari  distribusi  normal,  salah  satu diantaranya  yakni  distribusi  skew-normal.  Distribusi  skew-normal  merupakan  kasus  khusus dimana  jika  parameternya  bernilai  positif  maka  kurvanya  condong  ke  kanan,  dan  begitu sebaliknya.  Hal  yang  menjadi  masalah  pada  suatu  model  kalibrasi  linier  yakni  mengenai penaksiran parameternya. Ada beberapa metode yang dapat digunakan untuk menaksir parameter suatu  model  kalibrasi  linier,  salah  satu  di  antaranya  yakni Maximum  Likelihood  Estimation (MLE).
Algoritma Ekspektasi Maksimisasi (Algoritma- EM )  merupakan  sebuah  metode  optimasi iteratif  untuk  MLE  yang  berguna  dalam  permasalahan  data  yang  tidak  lengkap.  Dalam  setiap
1 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Hasanuddin, email : raupong@yahoo.com

## Try Widyaiswara Hairil, Anna Islamiyati, Raupong
iterasi pada algoritma- EM ini terdapat dua tahap, yaitu tahap Ekspektasi atau tahap E ( E-step ) dan tahap Maksimisasi atau tahap M ( M-step ).
Adapun tujuan penulisan ini adalah untuk menaksir parameter model kalibrasi linier yang berdistribusi  skew-normal  dengan  menggunakan  algoritma- EM serta  mengetahui  penerapan model  kalibrasi  linier  pada  data  pengukuran  dimensional  dan  ultrasonografi  pada  testis  dari  42 remaja.

## 2. Tinjauan Pustaka

## 2.1. Regresi Linier
Regresi  merupakan  pengukur  hubungan  antara  dua  variabel  atau  lebih  yang  dinyatakan dengan  bentuk  hubungan  atau  fungsi.  Untuk  menentukan  bentuk  hubungan  (regresi)  diperlukan pemisahan antara variabel bebas yang sering diberi simbol dan variabel terikat dengan simbol . Pada regresi linier sederhana hanya terdapat satu variabel bebas dan satu variabel terikat . Apabila  hubungan  antara  dua  variabel  atau  lebih  bersifat  kausal,  maka  variabel  yang  sebagai sebab  merupakan  variabel  bebas  atau  variabel dan  akibat  yang  ditimbulkannya  menjadi variabel terikat atau variabel .

## Model Regresi Linier Sederhana
Bentuk  hubungan  yang  paling  sederhana  antara  variabel dengan  variabel adalah berbentuk garis lurus atau berbentuk hubungan linier yang disebut dengan regresi linier sederhana atau  sering  disebut  regresi  linier  saja  dengan  persamaan  matematikanya  sebagaimana  yang diungkapkan [11] adalah sebagai berikut:
(1)
dimana: : variabel terikat, : variabel bebas, : intersep, : koefisien  regresi  linier sederhana, : error atau kesalahan.
Salah  satu  metode  dalam  penaksiran  parameter  adalah Maximum  Likelihood  Estimation (MLE). Prinsip dari MLE adalah menentukan dan yang memaksimumkan fungsi likelihood dengan disamakan dengan nol. Misalkan sampel acak dengan fungsi kepadatan peluang (f.k.p) yaitu (       ) . MLE merupakan penyelesaian dari persamaan:
, (    )- , (    )- (2) Jika  terdapat  peubah  acak dengan yang  saling  bebas  dengan  f.k.p  dari
(       ) maka fungsi peluang bersama berbentuk sebagai berikut:
(    )   ∏ ( ) (3)
Nilai  parameter dapat  diperoleh  dengan  memaksimumkan  f.k.p  bersama  atau disebut MLE. Hal tersebut dilakukan dengan metode turunan pertama dari fungsi likelihood -nya terhadap  setiap  parameternya  sama  dengan  nol.  Selain  itu,  karena  biasanya  sulit  untuk  mencari turunan  fungsi likelihood ,  maka  yang  dilakukan  adalah  menentukan  nilai  maksimum  dari logaritma natural fungsi likelihood tersebut atau disebut dengan fungsi log-likelihood . Fungsi log- likelihood merupakan  f.k.p  bersama  yang  diubah  menjadi  bentuk  logaritma,  tujuannya  untuk mempermudah di dalam menaksir parameter. Fungsi log-likehood dapat ditulis dalam bentuk:

## Try Widyaiswara Hairil, Anna Islamiyati, Raupong
(    )   ∑ ( ( )) (4)
Langkah-langkah  untuk  menentukan  parameter  taksiran  dengan  MLE  yaitu  (1)  menentukan fungsi likelihood ,  (2)  menentukan  fungsi log-likelihood ,  dan  (3)  nilai ̂      ̂ diperoleh  dari turunan pertama disamakan dengan nol. Menyelesaikan fungsi log-likelihood yang diperoleh pada langkah (2) atau (3) dan mendapatkan ̂      ̂ sebagai MLE taksirannya.

## 2.2. Model Kalibrasi
Model  kalibrasi  linier  adalah  model  linier  yang  memperhitungkan  nilai  kalibrasi  pada variabel prediktor ( ) yang dapat disimbolkan dengan ( ) , sehingga diperoleh model kalibrasi linier sebagai berikut:
(5) (6)
dimana: :  nilai-nilai  variabel  respon  yang  bersesuaian  dengan , :  nilai-nilai  variabel respon  yang  bersesuaian  dengan , :  nilai  variabel  prediktor  yang  mengikuti  pola  distribusi normal, : nilai prediktor dimana mulai terjadi kemencengan (skew), : konstanta, : koefisien regresi, : error ke – , : error ke – , : banyaknya data yang mengikuti distribusi normal, :  banyaknya  data  yang  mengalami  kemencengan  (skew). berdistribusi identik dan saling bebas (i.i.d.) dengan rataan sama dengan nol, dan variansi sama dengan .  Lalu diketahui  konstan  dan merupakan  parameter  yang  tidak diketahui. Adapun kelebihan dari model kalibrasi yaitu dapat digunakan pada data yang ketika di plot terjadi kemencengan atau perubahan pola.
Perluasan  dari  persamaan normal,  mempertimbangkan  bahwa  error  dari  model kalibrasi normal  mengikuti  distribusi  skew-normal.  Dengan  asumsi  baru,  bahwa  model  kalibrasi  linier sebelumnya  memiliki  empat  parameter  yakni
,  berubah  menjadi  lima  parameter yakni
.  Pada  persamaan  (5)  dan  (6)  untuk  menentukan  nilai-nilai  awal  dari masing-masing  parameternya  dapat  ditentukan  dengan  menggunakan  rumus  persamaan  (7) sebagai berikut :
∑ ∑ ∑ ∑ √ ̅ ̂ ̂ ∑ ( ̅) . ∑ ( ̅) / .
dimana adalah koefisien korelasi antara dan | | , .

## 2.3. Distribusi Normal
Distribusi  normal  merupakan  salah  satu  model  distribusi  kontinu  yang  paling  penting dalam  teori  statistika.  Dua  parameter  yang  menentukan  distribusi  normal  adalah  rataan  / ekspektasi ( ) dan  standar  deviasi ( ) .  Fungsi  kepadatan  peluang  (f.k.p)  dari  distribusi  normal diberikan rumus berikut:
( ) √ 0 (     ) 1 (8)

## Try Widyaiswara Hairil, Anna Islamiyati, Raupong
Distribusi Skew-Normal
Suatu  variabel  acak mengikuti  distribusi  skew-normal  standar  jika  memiliki  f.k.p sebagai berikut :
( ) √ 2 (     ) 3   ( (     )) (9)
dimana ( ) dan ( ) merupakan fungsi kepadatan peluang dan fungsi distribusi komulatif  dari distribusi normal standar.

## Distribusi Truncated Normal
Misalkan (    ) *         + merupakan  distribusi  Truncated  Normal  yang mempunyai fungsi kepadatan peluang sebagai berikut:
( )   2  . /     .
/3 √ 2 (     ) 3 (10)
dimana
merupakan  batas  atas  dan  bawah  titik  potong.  Maka,  ketika diperoleh fungsi kepadatan peluang distribusi truncated normal sebagai berikut:
( )   2  . /3 √ 2 (     ) 3 (11)

## Distribusi Half Normal
Misalkan (    ) *         + ,  ketika diperoleh  sebuah  fungsi kepadatan peluang suatu distribusi Half Normal sebagai berikut:
( )   √ 2 (     ) 3 (12)

## 2.4. Algoritma- EM
Algoritma Ekspektasi Maksimisasi (Algoritma- EM ) merupakan sebuah metode optimisasi iteratif  untuk Maximum  Likelihood  Estimation (MLE)  yang  berguna  dalam  permasalahan  data yang  tidak  lengkap.  Dalam  setiap  iterasi  pada  algoritma- EM ini  terdapat  dua  tahap,  yaitu  tahap Ekspektasi atau tahap E ( E-step ) dan tahap Maksimisasi atau tahap M ( M-step ). Langkah-langkah algoritma- EM diberikan sebagai berikut:
(1) E-step :  estimasi  statistik  cukup  ( sufficient  statistic )  untuk  data  lengkap dengan cara menghitung nilai ekspektasinya.
(2) M-step : tentukan (   ) dengan metode Maximum Likelihood Estimation (MLE) dari .
(3)  Iterasi  sampai  nilai ( ) konvergen,  atau (   )
( ) mendekati  nol.  Hasilnya merupakan  barisan  dari  nilai-nilai ( )
( ) dimulai  dari  suatu  nilai ( )

## Try Widyaiswara Hairil, Anna Islamiyati, Raupong
tertentu.  Secara  umum,  proses  iterasi  pada  algoritma- EM merupakan  aturan  yang berlaku untuk ( )

## 3. Hasil dan Pembahasan

## 3.1.    Penaksiran Parameter Model Kalibrasi Linier
Model  kalibrasi  linier  adalah  model  linier  yang  memperhitungkan  nilai  kalibrasi  pada variabel  prediktor ( ) yang  mengalami  kemencengan  atau  berdistribusi  skew-normal, menyebabkan data variabel prediktor tersebut terbagi atas dua bagian berdasarkan nilai distribusi frekuensinya.  Bagian  pertama  pada  kelompok  data  yang  memiliki  distribusi  frekuensi berdistribusi  normal  dan  bagian  kedua  pada  kelompok  data  yang  memiliki  distribusi  frekuensi yang mengalami kemencengan. Kelompok data pertama mengikuti model seperti pada persamaan (5), dan kelompok data kedua mengikuti model seperti pada persamaan (6).
Parameter-parameter  yang  akan  ditaksir  dalam  model  kalibrasi  linier  yang  berdistribusi skew-normal adalah
dengan metode yang digunakan pada penelitian ini adalah metode Maximum Likelihood Estimation (MLE) dan Algoritma- EM . Berdasarkan persamaan (5) dan (6) pada bagian sebelumnya, dimana dan dari model kalibrasi linier berdistribusi skew- normal,  dengan merupakan  vektor  parameter
.  Adapun  fungsi  kepadatan peluang (f.k.p) dari distribusi skew-normal dapat ditulis sebagai berikut:
( )     √ 2 ( ) 3   ( ( )) (13) ( )   √ 2 ( ) 3   ( ( )) (14)
Langkah  pertama  adalah  menentukan  f.k.p  bersama  dari  model  kalibrasi  linier  yang berdistribusi skew-normal sebagai berikut:
( )   ∏ [√ { ( ) }] ∏   ( ( )) ∏ 6√ 2 ( ) 37 ∏ ( ( )) (15) dimana .  Fungsi likelihood ( ) dari  f.k.p  bersama  model  kalibrasi linier yang berdistribusi skew-normal sebagai berikut:
( )   4√ 5 2 ∑ ( ) 3 ∏ ( ( )) 4√ 5 2 ∑ ( ) 3 ∏ ( ( )) (16)
sehingga fungsi log-likelihood ( ) sebagai berikut:
Try Widyaiswara Hairil, Anna Islamiyati, Raupong
( ) ∑ ( ) ∑ 0   2  ( ( ))31 ( ) ∑ ( ) ∑ 0   2  ( ( ))31 (17) Langkah selanjutnya, persamaan (17) diturunkan terhadap parameter dan disamakan dengan nol dengan cara sebagai berikut: , , , , . Namun karena
tidak mudah memperoleh solusi eksplisit karena parameter-parameternya masih saling terkait satu sama  lain,  maka  akan  dilakukan  proses  maksimisasi  numerik.  Kesulitan  dalam  proses  estimasi juga  dipaparkan  oleh  Azzalini  [2]  dalam  model  kalibrasi  linear.  Ada  beberapa  metode maksimisasi  numerik,  seperti  Newton  Raphson  dan  Fisher,  tetapi  dalam  proses  estimasi parameter  model  kalibrasi  terdapat  kesulitan  dalam  mengestimasi  parameter  seperti  yang dipaparkan  oleh  Liseo  dan  Loperfido  [8].  Sehingga  Sartori,  memberikan  suatu  metode  estimasi dua tahap untuk menyelesaikan masalah tersebut melalui Algoritma- EM . Sebelum  memulai  menaksir  parameter  model  kalibrasi  linier  dengan  Algoritma- EM , terlebih  dahulu  mengingat  beberapa  hal  yang  berkaitan  dengan  distribusi  truncated  normal. Selanjutnya, nilai ekspektasi dari dan pada persamaan (11) diperoleh sebagai berikut:
( ) . /
. / ( ) . / . / (18)
Berdasarkan jurnal  Henze [6] dan  mempertimbangkan  nilai dan yang  merupakan variabel  acak  yang  berdistribusi  identik  dan  saling  bebas (   ) ,  sehingga  diperoleh  nilai | |   √( ) ( ) | |
√( ) ( ) . Berdasarkan nilai dan di atas, model kalibrasi linier pada persamaan (5) dan (6) dapat ditulis kembali sebagai berikut:
| |   √( ) (19)
| |   √( ) (20)
dengan  mengganti  nilai | | | | √( ) dan √( )
maka persamaan (19) dan (20) dapat ditulis kembali sebagai berikut :
(21) (22)
Diperoleh nilai dan yang berdistribusi identik dan saling bebas ( i.i.d ) ( ( )) serta  nilai dan yang  mengikuti  distribusi  distribusi  half  normal.  Oleh  karena  itu, dengan  kondisi  nilai dan serta  mengganti  nilai dan ( ) maka persamaan (21) dan (22) dapat ditulis kembali sebagai berikut:
(23)
(24)

## Try Widyaiswara Hairil, Anna Islamiyati, Raupong
lalu menentukan kembali f.k.p dari model kalibrasi linier pada persamaan (23) dan (24)  sebagai berikut:
( ) √ 2 ( ) 3     2 ( ) 3 (25) ( ) √ 2 ( ) 3     2 ( ) 3 (26)
sehingga f.k.p bersama sebagai berikut:
( )   ∏ [ √ 2 ( ) 3     2 ( ) 3]
∏ [ √ 2 ( ) 3     2 ( ) 3] (27) dimana . Sehingga diperoleh fungsi likelihood sebagai berikut : ( )   ( √ ) 2 ∑ ( ) 3     2 ∑ ( ) 3
( √ ) 2 ∑ ( ) 3     2 ∑ ( ) 3 (28)
cara sebagai berikut:
( ) ∑ ( ) ∑ ( ) ( ) ∑ ( ) ∑ ( ) (29)
Dari fungsi di atas, maka dapat dilanjutkan dengan algoritma- EM . Algoritma- EM . Dalam setiap iterasi pada algoritma- EM ini terdapat dua tahap, yaitu tahap Ekspektasi atau tahap E ( E-step ) dan tahap Maksimisasi atau tahap M ( M-step ) seperti yang dikemukakan oleh Weinstein [3]. Adapun langkah-langkah algoritma- EM sebagai berikut.

## Tahap- E
Tahap ini bertujuan menemukan statistik cukup dengan cara menghitung nilai ekspektasi bersyarat dari fungsi pada persamaan (29) di atas sebagai berikut:
( ) ( ) *∑ ( ) ∑ ( )  ( | )
∑ ( | ) + ∑ (( | ) ) ( ) 2∑ ( ) ∑ ( ) ( | ) ∑ ( | ) }
∑ .( | ) / (30)

## Try Widyaiswara Hairil, Anna Islamiyati, Raupong
Sebagai  perpanjangan  dari  hasil  yang  dijelaskan  Arellano et  al. [1],  bahwa | mengikuti distribusi truncated normal 4(          )
5 dengan f.k.p bersyaratnya sebagai berikut:
( | )   √ ( ) { ( ) 0 (      ) ( ) 1 } (31)
dengan  memanfaatkan  nilai  ekspektasi  untuk  distribusi  truncated  normal  pada persaamaan  (17), diperoleh  persamaan  momen  pertama  dan  kedua  dari  fungsi | yang  terdiri  dari    persamaan momen untuk percobaan regresi untuk
sebagai berikut :
̂ ( ̂    ̂ ) ̂ ̂ ̂ ̂ √ ̂ ̂ ( ) ( ) (32)
dan
̂ ( ̂    ̂ ) ̂ ( ̂ ̂ ) ̂ ̂ ̂ ( ̂    ̂ ) ̂ ̂ ̂ ̂ √ ̂ ̂ ( ) ( ) (33)
dimana ( ) ̂( ̂ ̂ ) ̂ √ ̂ ̂ ,  dan  diperoleh  persamaan  momen  percobaan  kalibrasi  untuk sebagai berikut:
̂ ( ̂    ̂ ̂ ) ̂ ̂ ̂ ̂ √ ̂ ̂ (  ) (  ) (34)
dan
̂ ( ̂    ̂ ̂ ) ̂ ( ̂ ̂ ) ̂ ̂ ̂ ( ̂    ̂ ̂ ) ̂ ̂ ̂ ̂ √ ̂ ̂ (  ) (  ) (35)
dimana (  ) ̂( ̂ ̂ ) ̂ √ ̂ ̂ .
Setelah diperoleh persamaan momen di atas, maka nilai ekspektasi pada persamaan (18) dapat ditulis kembali seperti persamaan berikut:
( ) ( ) *∑ ( ) ∑ ( ) ̂ ∑ ̂ + ∑ ( ̂ ) ( ) 2∑ ( ) ∑ ( ) ̂ ∑ ̂ } ∑ ( ̂ ) (36)
Tahap- M
Tahap ini bertujuan untuk memaksimalkan hubungan dengan vektor paramater dimana ( ) .  Oleh  karena  itu,  nilai  ekspektasi  pada  persamaan  (36)  dimaksimalkan dengan  cara  menurunkannya  terhadap  parameter  yang  akan  ditaksir  dan  disamakan  dengan  nol. Setelah  itu,  dilakukan  beberapa  manipulasi  aljabar  sehingga  diperoleh  nilai  parameter  sebagai berikut:
Try Widyaiswara Hairil, Anna Islamiyati, Raupong
̂ ( ) ( ) ( ) ∑ ̂ ∑ ̂ ̂ ̅ ( ) ∑ ̂ ̂ ̅ ( ) ∑ ̂ ( ( ) ) ̂ ̂ ( ) ̂    ̅    ̂ ̅    ̂ ̂ ̅ ( ) ̂ ̅ ̂ ̂ ̂ ̂ ̅ ( ) ̂ ̂ [ .∑ ( ̂    ̂ ) ∑ ( ̂    ̂ ) ̂ ̂ ̅ ̂ ∑ ̂ / ( ) .∑ ( ̂    ̂ ̂ ) ∑ ( ̂    ̂ ̂ ) ̂ ̂ ̅ ̂ ∑ ̂ / ( ) ]
dimana:
( ) ∑( ̅)( ̂ ̂ ̅ ( ) ) ( ) ∑( ̅) ( ̂ ̂ ̅ ( ) )
∑( ̅)( ̅) ( ) ∑( ̅ )( ̂ ̂ ̅ ( ) ) ∑( ̅) ̂ ̅ ( ) ∑ ̂ ̂ ̅ ( ) ∑ ̂

## 3.2.    Aplikasi pada Data yang Diperoleh pada Jurnal [4]
Data  yang  digunakan  dalam  penelitian  ini  yakni  data  yang  diperoleh  pada  jurnal Figueiredo [4] mengenai pengukuran dimensional dan ultrasonografi pada testis dari 42 remaja. Langkah-langkah dalam menganalisis data yaitu pertama, mem-plot frekuensi data untuk variabel X  untuk  mengetahui  distribusi  dari  data  tersebut.  Adapun  histogram  datanya  diberikan  pada Gambar 1 berikut.
Histogram  pada  Gambar  1  di  bawah,  dapat  dilihat  bahwa  data  tersebut  mengalami kemencengan  atau  mengikuti  distribusi  skew-normal.  Kemencengan  mulai  terlihat  setelah kelompok  data  12,5–15.  Sehingga  data  tersebut  dapat  diasumsikan  mengikuti  distribusi  skew- normal  dan  dapat  dimodelkan  dengan  pendekatan  model  kalibrasi.  Penaksiran  parameter dilakukan  melalui  tahapan  iterasi,  sehingga  diperlukan  bobot  awal  bagi  setiap  parameter yang akan ditaksir. Penentuan  nilai dilakukan berdasarkan pada histogram dimana yang  terpilih  adalah  titik  awal  pada yang  diasumsikan  terjadinya  perubahan  pola data (skew/kemencengan). Berdasarkan Gambar 1, maka nilai yang dipilih adalah .

## Try Widyaiswara Hairil, Anna Islamiyati, Raupong
Gambar 1. Histogram Data Sebelum Dikalibrasi.
Setelah  diperoleh  nilai ,  maka  langkah  selanjutnya  menentukan  nilai-nilai  awal  dari masing-masing  parameter
.  Nilai  awal  untuk  masing-masing  parameter  diperoleh dengan  menggunakan  rumus  sesuai  persamaan  (7),  (8),  (9),  (10),  dan  (11).  Sehingga  diperoleh nilai-nilai awal dari masing-masing parameter yang digunakan sebagai nilai awal pada algoritma- EM .  Langkah  selanjutnya  yaitu  menjalankan  algoritma- EM .  Pada  penelitian  ini,  proses  iterasi algoritma- EM dijalankan  menggunakan  Microsoft  Excel  2007.  Adapun  hasil  iterasinya  sebagai berikut.
Tabel 1. Nilai Parameter Hasil Iterasi.
Iterasi Nilai Parameter ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ 0 1 2 20.66
Hasil  iterasi  nilai-nilai  parameter  pada  Tabel  1  di  atas,  diperoleh  nilai  parameter  awal yaitu ̂          ̂          ̂ ̂ . Pada proses iterasi dilakukan terlihat nilai-nilai parameter pada iterasi kedua semakin besar selisihnya dengan iterasi kedua, sehingga nilai  taksiran  yang  digunakan  adalah  hasil  iterasi  pertama,  yaitu ̂           ̂          ̂ ̂ ̂ . Nilai taksiran sebesar berarti bahwa data variable yang berada  di  atas
akan  dikalibrasi  menjadi
dengan  pasangan  data yang  bersesuaian berdasarkan  persamaan  (6),  dan  diperoleh sebesar
.  Dari  data  yang  ada,  menunjukkan
bahwa terdapat empat data yang berada di atas 17,33, yaitu dan .
Hasil ini menunjukkan bahwa dari 42 data keseluruhan, terdapat 4 data yang dikalibrasi sehingga  nilai  keempat  data  tersebut  mengikuti  nilai  kalibrasi  yang  diperoleh  yaitu yang  berpasangan  dengan  nilai
.  Selanjutnya  data  hasil  kalibrasi  tersebut  diplotkan melalui histogram, dan ditunjukkan pada gambar berikut ini.

## Try Widyaiswara Hairil, Anna Islamiyati, Raupong
Gambar 2. Histogram Data Setelah Dikalibrasi.
Pada  Gambar  1  dan  Gambar  2  terlihat  perubahan  histogram,  dimana  pada  Gambar  1 terlihat data yang menceng, dan setelah dikalibrasi pada Gambar 2, terlihat histogram yang sudah seimbang.  Data  hasil  kalibrasi  tersebut  selanjutnya  dimodelkan  kembali  melalui  pendekatan analisis regresi, dan diperoleh hasil sebagai berikut.
Tabel 2.   Perbandingan Nilai Parameter Model Regresi Liniear

## Kalibrasi dan Model Liniear
Parameter  Model Regresi Linear  Model Kalibrasi Linear Alpa Beta Se
Berdasarkan  Tabel  2  di  atas,  menunjukkan  bahwa  model  yang  diperoleh  dari  hasil  kalibrasi memiliki standard error (SE) yang lebih kecil dibanding model regresi linear biasa, yaitu sebesar , artinya model kalibrasi lebih layak digunakan dalam menjelaskan hubungan antara variabel dengan .

## 1. Kesimpulan dan Saran
Berdasarkan  pembahasan  hasil  yang  telah  diselesaikan  maka  dapat  ditarik  kesimpulan sebagai berikut :
a. Penerapan  pada  data  pengukuran  dimensional  dan  ultrasononografi  pada  testis  dari  42 remaja  yang  dikalibrasi  karena  error  pada  data  tersebut  berdistribusi  skew-normal. Sehingga  diperoleh  model  kalibrasi  linier  untuk  data  tersebut  sebagai  berikut: ̂ ̂
̂ ̂ ̂    ̂ ̂ dengan  nilai-nilai  taksiran  parameter  sebagai  berikut: ̂ ; ̂          ̂ ̂ ̂ .
b. Berdasarkan  Tabel  3.2,  menunjukkan  bahwa  nilai  standard  error  (SE)  dari  kalibrasi liniear lebih kecil dibanding SE dari model regresi liniear, artinya model yang diperoleh dari hasil kalibrasi lebih layak digunakan dalam menjelaskan hubungan antara variabel dengan .

## Try Widyaiswara Hairil, Anna Islamiyati, Raupong
Tulisan  ini  hanya  melakukan  penaksiran  parameter  model  kalibrasi  linier  yang berdistribusi  skew-normal  dengan  pendekatan MLE dan  iterasi  numerik  algoritma- EM . Disarankan bagi pembaca yang berminat lebih dalam dengan permasalahan penaksiran parameter model  kalibrasi  linier  khususnya  yang  berdistribusi  skew-normal  untuk  mencoba  metode pendekatan numerik lainnya serta penggunaan algoritma- EM pada berbagai macam program agar menghasilkan nilai iterasi yang lebih akurat.
.

## Daftar Pustaka
[1] Arellano-Valle  R.B.,  Bolfarine  H.,  and  Lachos  V.H.,  2005.  Skew-Normal  Linear  Mixed Model .  J. Data. Sci .
[2] Azzalini A., 1985. A Class of Distribution Which Includes The Normal One . Scand. J. Stat .
[3] Couvreur C., 1996. The EM Algorithm: A Guided Tour . Belgia.
[4] Weinstein  E.,  2006. Expectation-Maximization  Algorithm  and  Aplications .  Courant Institute of Mathematical Science.
[5] Figueiredo C.C. et al ., 2010. On The Skew-Normal Calibration Model . Brazil: Universitas Federal Pernambuco.
[6] Henze N., 1986. A Probabilistic Representation Of The Skew-Normal Distribution. Scand. J. Stat .
[7] Jilmes J.A.,  1998. A Gentle Tutorial of the EM Algorithm and its Application to Parameter Estimation  for  Gaussian  Mixture  and  Hidden  Markov  Models .  International  Computer Science Institute, California.
[8] Liseo  B.  and  Loperfido  N.,  2006.  A  Note  On  Reference  Priors  For  The  Scalar  Skew- Normal Distribution . J. Stat.
[9] Mandel  M. et  al .,  2003. An  EM  Algorithm  for  Localizing  Multiple  Sound  Sources  in Reveberant Environments . Columbia University, New York.
[10]  McLachlan et al ., 2004. The EM Algorithm . Center for Applied Statistics and Economics, Berlin.
[11]  Walpole  R.E.,  and    Myres  R.H.,  1995. Ilmu  Peluang  dan  Statistika  untuk  Insinyur  dan Ilmuwan Edisi ke-4 . Institut Teknologi Bandung, Bandung.
[12]  Santuo,  2012.  Penaksiran  Parameter  Model  Regresi  Inverse  Gaussian  Dengan  Peubah Respon Kontinu Non-Negatif. Skripsi. Universitas Hasanuddin, Makassar.
[13]  Sartori  N.,  2012. Bias  Prevention  Of  Maximum  Likelihood  Estimates  For  Scalar  Skew-
Normal And Skew-t Distribution . Venezia: Universita “Ca’Foscari” http://www.fp.unud.ac.id/ind/AnalisisRegresiLinierSederhana.pdf . [Diakses pada tanggal 3 November 2012]