Jurnal Ilmiah Matematika dan Pendidikan Matematika (JMP) Vol. 14 No. 1, Juni 2022, hal. 59-68 ISSN (Cetak) : 2085-1456; ISSN ( Online ) : 2550-0422

## ANALISIS DINAMIK MODEL LESLIE-GOWER YANG DIPENGARUHI WAKTU TUNDA DAN PEMANENAN PROPORSIONAL

## Azhari Kemalasari
Jurusan Matematika, Fakultas MIPA, Universitas Jenderal Soedirman azhari.kemalasari@mhs.unsoed.ac.id
Rina Reorita*
Jurusan Matematika, Fakultas MIPA, Universitas Jenderal Soedirman rina.reorita@unsoed.ac.id

## Renny
Jurusan Matematika, Fakultas MIPA, Universitas Jenderal Soedirman renny@unsoed.ac.id
ABSTRACT. The  main  purpose  of  this  research  is  to  study  the  Leslie-Gower  model with  time  delay  and  proportional  harvesting.  The  model  is  solved  qualitatively  by analyzing the stability around equilibrium points. The Leslie-Gower with delay time and proportional  harvesting  have  four  equilibrium  points.  There  is  an  unstable  equilibrium point and a stable equilibrium point. Meanwhile, the stability of the other two equilibrium points depends on the value of the parameters taken. The parameter of delay time causes the solution to oscillate. The greater the delay time value used the greater  amplitude of oscillations in the system. It means the model will take longer to stabilize.
Keywords : Model Leslie-Gower, equilibrium points, time delay.
ABSTRAK. Penelitian ini dilakukan untuk menganalisis perilaku model Leslie-Gower dengan  waktu  tunda  dan  pemanenan  proporsional.  Metode  yang  digunakan  pada penyelesaian  model  adalah  metode  kualitatif,  yaitu  dengan  menganalisis  kestabilan  titik kesetimbangan  model.  Model  Leslie-Gower  dengan  waktu  tunda  dan  pemanenan proporsional memiliki empat titik kesetimbangan. Terdapat satu titik kesetimbangan tidak stabil  dan  satu  titik  kesetimbangan  yang  bersifat  stabil.  Sementara  itu,  untuk  dua  titik kesetimbangan  lainnya,  bergantung  pada  nilai  parameter  yang  diambil.  Waktu  tunda mengakibatkan  adanya  osilasi  pada  model.  Semakin  besar  nilai  waktu  tunda  yang digunakan,  maka  semakin  besar  pula  simpangan  pada  osilasi  yang  terjadi  pada penyelesaian  sistem.  Hal  tersebut  mengakibatkan  model  akan  semakin  lama  untuk menuju kestabilan.
Kata Kunci : Model Leslie-Gower, titik kesetimbangan, waktu tunda.

## 1. PENDAHULUAN
Predasi  adalah  salah  satu  jenis  interaksi  yang  terjadi  antara  dua  spesies atau lebih dalam sebuah eksosistem. Predasi merupakan interaksi antara pemangsa
(predator) dan mangsa ( prey ) dengan tujuan untuk memenuhi kelangsungan hidup dan  menjaga  keseimbangan  ekosistem.  Tanpa  adanya prey ,  maka  predator  akan mengalami  kepunahan.  Begitupun  sebaliknya,  tanpa  adanya  predator,  maka populasi prey akan bertambah tak terkendali.
Dalam sudut pandang matematika, interaksi antara predator dan prey dapat direpresentasikan ke dalam model matematika. Model predator- prey pertama kali diperkenalkan oleh Alfred James Lotka tahun 1925 dan Vito Volterra tahun 1926 [1].  Pada  model  Lotka-Volterra  terdapat  asumsi  bahwa  predator  dan prey mengalami  pertumbuhan  secara  eksponensial.  Akan  tetapi  pada  kenyataannya, populasi predator dan prey tidak dapat tumbuh secara terus menerus dikarenakan beberapa faktor penghambat lainnya. Berdasarkan permasalahan tersebut,  Leslie- Gower melakukan modifikasi terhadap model Lotka-Volterra [5].
Model  Leslie-Gower  dibangun  berdasar  pada  asumsi  bahwa  predator meningkat  secara  logistik  [2],  dan  menekankan  fakta  bahwa  terdapat  batas  atas untuk  laju  peningkatan prey dan  predator,  yang  tidak  diakomodasi  pada  model Lotka-Volterra  [10].  Nindjin,  dkk,  pada  tahun  2006  [8]  telah  menganalisis kestabilan model  Leslie-Gower dan respon fungsional Holling [4] tipe  II  dengan waktu  tunda.  Respon  fungsional  adalah  respon  predator  terhadap  perubahan kepadatan prey [3].  Waktu  tunda  mengasumsikan  bahwa  laju  pertumbuhan populasi tidak hanya bergantung pada waktu sekarang tetapi juga bergantung pada waktu di masa lalu [6].
Pada kenyataannya, jumlah populasi juga bergantung pada faktor eksternal pada  ekosistem,  misalnya  pemanenan.  Dilihat  dari  segi  kebutuhan  manusia, eksploitasi  sumber  daya  hayati  dan  pemanenan  populasi  umumnya  dipraktikkan dalam  perikanan,  kehutanan  dan  pengelolaan  satwa  liar  [9].  Pemanenan  dapat dilakukan  pada  populasi  predator,  pada  populasi prey ,  atau  pada  kedua  populasi tersebut,  bergantung  pada  nilai  ekonomis  yang  dapat  dirasakan  oleh  manusia. Pengaruh  tingkat  pemanenan  konstan  pada  pada  model  predator- prey dengan waktu tunda telah dibahas oleh Martin dan Ruan tahun 2001 [7]. Pada penelitian ini,  penulis  tertarik  untuk  memodifikasi  model  predator- prey Leslie-Gower dengan  respon  fungsional  Holling  Tipe  II  pada  Nindjin,  dkk  tahun  2006  [8].
Modifikasi dilakukan dengan menambahkan faktor pemanenan proporsional pada model  [8]  tersebut.  Tujuan  dari  penelitian  ini  adalah  untuk  melihat  perilaku dinamik dari model yang dipengaruhi oleh waktu tunda.

## 2. HASIL DAN PEMBAHASAN

## 2.1   Model Matematika
Model  yang  dibahas  pada  penelitian  ini  adalah  model  Leslie-Gower  dan respon Holling tipe II dengan waktu tunda dan pemanenan proporsional.  Asumsi yang digunakan dalam pembentukan model Leslie-Gower dan respon Holling tipe II dengan waktu tunda dan pemanenan proporsional adalah sebagai berikut:
1. Populasi predator dan populasi prey bersifat tertutup.
2. Model  Leslie-Gower  yang  dikaji  terdiri  dari  satu  populasi prey dan  satu populasi predator ,  dimana  pada  populasi prey dilakukan  pemanenan  secara proporsional.
3. Terdapat faktor waktu tunda yang digunakan pada hilangnya populasi predator karena  kelangkaan  populasi prey .  Hal  ini  dikarenakan  hilangnya  populasi predator karena  kelangkaan  makanannya,  yaitu  populasi prey ,  tidak  hanya bergantung pada kelangkaan prey waktu sekarang, tetapi juga bergantung pada kelangkaan prey pada waktu sebelumnya.
Berdasarkan asumsi yang digunakan, dapat diperoleh model Leslie-Gower dan  respon  Holling  tipe  II  dengan  waktu  tunda  dan  pemanenan  proporsional sebagai berikut:
( ) ( )
(1)
Variabel dan parameter yang digunakan pada persamaan (1) dijelaskan pada Tabel 1 berikut.
Tabel 1. Daftar variabel dan parameter yang digunakan dalam model Simbol Definisi Syarat ( ) x t Jumlah populasi prey terhadap waktu t ( ) 0 x t  ( ) y t Jumlah populasi predator terhadap waktu t ( ) 0 y t 
1 a Laju pertumbuhan intrinsik populasi prey 1 0 a  2 a Laju pertumbuhan intrinsik populasi predator 2 0 a   Waktu tunda 0   h Prosentase pemanenan  pada populasi prey 0 h  1 c Laju pengurangan populasi prey karena populasi predator 1 0 c  2 c Laju kompetisi antar populasi predator 2 0 c 
1 k Half saturation constant populasi prey 1 0 k  2 k Perlindungan populasi predator oleh lingkungan 2 0 k  b Laju kompetisi antar populasi prey 0 b 

## 2.2 Analisis Kestabilan Titik Kesetimbangan
Terdapat  empat  buah  titik  kesetimbangan  sistem  persamaan  (1)  yaitu ( ) ( ) dan ( ) , dengan  syarat  kepositifan  titik  kesetimbangan  yaitu Untuk
menganalisis  kestabilan  setiap  titik  kesetimbangan  tersebut,  terlebih  dahulu dilakukan linierisasi sistem persamaan (1) dengan memisalkan
dan dan ,
dengan dalam hal ini adalah titik kesetimbangan sistem. Hasil linierisasi sistem adalah sebagai berikut :
( )        ( ) ( )            ( ) (2)
Selanjutnya  untuk  menentukan  matriks  Jacobi,  dilakukan  penurunan parsial  terhadap  ruas  kanan  persamaan  (2).  Dengan  demikian  diperoleh  matriks Jacobi sistem persamaan (2) di sekitar titik kesetimbangan sistem :
( ( ) ( )
) (3) 2.2.1 Analisis Kestabilan Titik Kesetimbangan
Titik  kesetimbangan dengan dan disubstitusikan ke  dalam  elemen-elemen  matriks  Jacobi  (3),  sehingga  diperoleh  matriks  Jacobi dari titik kesetimbangan sebagai berikut :
* +
Selanjutnya,  berdasarkan  matriks  Jacobi  di  sekitar  titik  kesetimbangan diperoleh persamaan karakteristik sebagai berikut :
(4) Berdasarkan  persamaan  karakteristik  (4)  diperoleh  nilai  eigen dan . Karena , maka titik kesetimbangan bersifat tidak stabil.

## 2.2.2 Analisis Kestabilan Titik Kesetimbangan
Matriks  Jacobi  pada  titik  kesetimbangan ( ) adalah  sebagai berikut :
[ ]
Selanjutnya,  berdasarkan  matriks  Jacobi  di  sekitar  titik  kesetimbangan diperoleh persamaan karakteristik sebagai berikut :
(5) Berdasarkan  persamaan  karakteristik  (5)  diperoleh  nilai  eigen dan Karena , maka titik kesetimbangan bersifat stabil.

## 2.2.3 Analisis Kestabilan Titik Kesetimbangan
Matriks  Jacobi  pada  titik  kesetimbangan ( ) adalah  sebagai
berikut :
[ ( ) ]
yang menghasilkan persamaan karakteristik seperti berikut :
(6)
dengan
(
) dan ( ) ( ) Perhatikan  bahwa  suku bernilai  negatif.  Berdasarkan  kriteria  Routh- Hurwitz, agar ( ) stabil asimtotis, haruslah .

## 2.2.4 Analisis Kestabilan Titik Kesetimbangan
Titik  kesetimbangan ( ) disubstitusikan  ke  dalam
elemen-elemen  matriks  Jacobi  (3),  sehingga  diperoleh  matriks  Jacobi  di  sekitar titik kesetimbangan sebagai berikut :
[ [ ] [ ] ( ) ] Selanjutnya, berdasarkan matriks Jacobi di sekitar titik kesetimbangan diperoleh persamaan karakteristik
sebagai berikut :
(7)
dengan
[ ] [ ]
Dengan  menggunakan  kriteria  Rurth-Hurwitz,  akar-akar  dari  persamaan karakteristik (7) dikatakan memiliki bagian riil negatif apabila syarat
[ ] terpenuhi, karena dan nilai selalu positif. Sementara itu, syarat [ ] terpenuhi  karena dan  nilai selalu  postif.  Karena  syarat dan terpenuhi, maka titik kesetimbangan TE 4 bersifat stabil asimtotis.

## 2.3 Simulasi
Pada simulasi ini, nilai-nilai parameter yang digunakan adalah
Berdasarkan  nilai-nilai  parameter tersebut, diperoleh hasil seperti pada Tabel 2.
Tabel 2. Titik kesetimbangan dan nilai eigen Titik Kesetimbangan Nilai Eigen Keterangan dan Tidak Stabil dan Stabil dan Tidak Stabil ( ) Stabil Asimtotis Berdasarkan  Tabel  2,  dapat  dilihat  bahwa bersifat  stabil  dan bersifat  stabil  asimtotis.  Titik  kesetimbangan merupakan titik  kesetimbangan  kepunahan predator Sementara  itu,  titik  kesetimbangan merupakan  titik  kesetimbangan  dimana prey dan predator hidup berdampingan.
Lebih  lanjut  lagi,  akan  dilihat  simulasi  sistem  persamaan  (1)  di  sekitar dengan  nilai  awal dan Simulasi  dibagi  menjadi tiga  kasus  dengan  nilai  waktu  tunda berbeda-beda,  yaitu dan
untuk  melihat  pengaruh  dari  waktu  tunda  terhadap  kesetimbangan populasi predator dan prey .  Berikut  merupakan  bidang  solusi  sistem  persamaan (1)  di  sekitar  titik  kesetimbangan
dengan  nilai  parameter  waktu tunda yang berbeda-beda.
(a) Kasus 1 untuk (b) Kasus 2 untuk
(c) Kasus 3 untuk
Gambar 1 Bidang solusi sistem persamaan (1) dengan nilai waktu tunda bervariasi.
Berdasarkan  Gambar  1(a)  dapat  dilihat  bahwa  bidang  solusi  dari  sistem persamaan (1) untuk jangka waktu yang lama dengan nilai parameter waktu tunda mengalami  kenaikan  pada  populasi predator sedangkan  untuk  populasi prey mengalami  penurunan.  Pada  bidang  solusi  tersebut,  diketahui  bahwa populasi prey mengalami penurunan yang akhirnya mencapai kestabilan populasi prey menuju
Sementara  itu,  pada  populasi predator mengalami  kenaikan lalu  penurunan  yang  mengakibatkan  kestabilan  populasi predator menuju
Dari Gambar  1(b) diketahui  bahwa pada  populasi prey mengalami  osilasi di  awal  pertumbuhan,  namun  seiring  berjalannya  waktu  osilasi  yang  terjadi  di populasi prey semakin kecil yang mengakibatkan kestabilan populasi prey menuju Sementara  itu,  pada  populasi predator mengalami  hal  yang  sama  seperti jumlah  populasi prey yaitu  osilasi.  Osilasi  pada  jumlah  populasi predator
mengalami  penurunan  seiring  berjalannya  waktu,  dan  populasi predator mengalami kestabilan menuju
.
Gambar 1(c) menunjukkan bahwa osilasi pada jumlah populasi predator dan prey terjadi dalam jangka waktu yang lama. Akan tetapi berdasarkan perhitungan nilai  eigen  pada  Tabel  2  dengan  nilai  parameter
,  titik  kesetimbangan bersifat stabil asimtotis. Karena nilai parameter waktu tunda yang
diambil  pada  kasus  3  cukup  besar  yaitu
,  maka  sistem  persamaan  (1) membutuhkan  waktu  yang  lebih  lama  untuk  mencapai  kestabilan,  dibandingkan dengan nilai yang lebih kecil.
Berdasarkan tiga kasus dari sistem persamaan (1) dengan nilai waktu tunda yang  berbeda-beda,  dapat  disimpulkan  bahwa  semakin  besar  nilai  waktu  tunda yang  digunakan,  maka  penurunan  nilai  simpangan  osilasi  berlangsung  dalam waktu  yang  lebih  lama.  Hal  ini  mengakibatkan  sistem  persamaan  (1) membutuhkan waktu lebih lama untuk menuju kestabilan.

## 3 KESIMPULAN DAN SARAN
Berdasarkan  hasil  penelitian  dan  pembahasan  yang  telah  diuraikan  pada bagian  sebelumnya,  diperoleh  kesimpulan  bahwa  model  Leslie-Gower  dan Respon  Holling  Tipe  II  dengan  waktu  tunda  dan  pemanenan  proporsional memiliki satu titik kesetimbangan tidak stabil, satu titik kesetimbangan stabil, dan dua  titik  kesetimbangan  bersifat  stabil  asimtotis  bergantung  pada  nilai-nilai parameter tertentu. Hasil simulasi model memberikan kesimpulan bahwa semakin besar  nilai  parameter  waktu  tunda  yang  digunakan,  maka  penyelesaian  sistem akan  berosilasi  dengan  simpangan  yang  semakin  besar.  Selain  itu,  dibutuhkan waktu yang lama untuk penyelesaian sistem agar menuju kestabilan.
Pada  penelitian  ini  diasumsikan  waktu  tunda  konstan,  sehingga  untuk penelitian  selanjutnya  diharapkan  dapat  dikaji  model  Leslie-Gower  dengan pengaruh waktu tunda yang bergantung pada waktu.

## DAFTAR PUSTAKA
[1] Boyce,  W.  E.  dan  DiPrima,  R.  C., Elementary  Differential  Equation  and Boundary Value Problem , 9th Ed., John Wiley & Sons, New Jersey, 2009.
[2] Chen,  S.,  Li,  W.,  dan  Ma,  Z., Analysis  on  A  Modified  Leslie-Gower  and Holling-Type  II  Predator-Prey  System  Incorporating  A  Prey  Refuge  and Time Delay , Dynamic System and Applications, 27 (2) (2018), 397-421.
[3] Hunsicker, M. E., Lorenzo, C., Bailey, K. M., Buckel, J. A., White, J. W., Link,  J.  S.,  Essington,  T.  E.,  Gaichas,  S.,  Anderson,  T.  W.,  Brodeur,  R., D., Chan, K., Chen, K., Englund, G., Frank, K. T., Freitas, V., Hixon, M. A.,  Hurst,  T.,  Johnson,  D.  W.,  Kitchell,  J.  F.,  Reese,  D.,  Rose,  G.  A., Sjodin, H., Sydeman, W. J., Van der Veer, H. W., Vollset, K, dan Zador, S., Functional  Responses  and    Sclaing  in  Predator-Prey    Interactions  of Marine  Fishes:  Contemporary  Issues  and  Emerging  Concepts ,  Ecology Letters, 14 (2011), 1288-1299.
[4] Holling,  C.  S., Some  Characteristics  of  Simple  Types  of  Predation  and Parasitism , Canadian Etimologi, 91 (1959), 385-398.
[5] Korobeinikov,  A., A  Lyapunov  Function  for  Leslie-Gower  Predator-Prey Models , Applied Mathematics Letters, 14 (2001), 697-699.
[6] Kuang,  Y., Delay  Differential  Equations  with  Applications  in  Population Dynamics , Academic Press, 1993.
[7] Martin,  A.  dan  Ruan,  S., Predator-prey  Models  with  Delay  and  Prey Harvesting , Journal of Mathematical Biology, 43 (2001), 247-267.
[8] Nindjin, A. F., Aziz-Alaoui, M. A., dan Cadivel, M., Analysis of Predator- Prey Model with Modified Leslie-Gower and Holling-Type II Schemes with Time Delay , Nonlinear Analysis: Real World Applicaton, 7 (2006), 1104- 1119.
[9] Xiao,  D.,  Li,  W.,  dan  Han,  M., Dynamics  in  Ratio-Dependent  Predator- Prey  Model  with  Predator  Harvesting ,  Journal  of  Mathematical  Analysis and Applications, 324 (2006), 14-29.
[10] Yue,  Q., Dynamics  of  Modified  Leslie-Gower  Predator-Prey  Model  with Holling-Type II Schemes and A Prey Refuge , SpingerPlus, 5 (2016), 461.