## MODEL EPIDEMI SIRS DENGAN TIME DELAY PADA PERIODE KESEMBUHAN
Ferdinand Sinuhaji
Dosen Matematika Universitas Quality Berastagi
Email : sinuhajiferdinand@gmail.com Abstrak
Penelitian  ini  bertujuan  mengindentifikasi  apakah  Time  delay  periode kesembuhan mempegaruhi atau tidak mempengaruhi stabilitas pada kesetimbangan  bebas  penyakit  dan  pada  kesetimbangan  endemic  penyakit.  Time delay  dalam  pengertian  pada  penelitian  ini  adalah  waktu  periode  kesembuhan. Time  delay  pada  penelitian  ini  di  fokuskan  pada  model  spesifik  tunggal,  dengan menghitung keadaan sementara dan keadaan permanen dari penyebaran penyakit.
Model  SIRS  yang  digunakan  pada  penelitian  ini  dengan  asumsi  bahwa semua  individu  yang  telah  sembuh  tidak  mempunyai  kekebalan  yang  permanen terhadap penyakit, sehingga akan kembali  masuk  ke dalam kelas rentan penyakit model  epidemi  SIRS  ini  membagi  populasi  menjadi  empat  subpopulasi  yaitu Susceptible, Infective, Recovered dan Susceptible .
Penelitian  ini  dilakukan  dengan  merevisi  kompartemen  model  epidemi SIRS  yang  selanjutnya  digunakan  untuk  menentukan  persamaan  pembangunan model  yang  direpresentasikan  dalam  sistem  persamaan  differensial.  Sistem tersebut menggambarkan interaksi antara subpopulasi dengan populasi lainnya.
Hasil  penelitian  diketahui  bahwa  kesetimbangan  bebas  penyakit  stabil global  untuk  semua  >  0  ketika  jumlah  bilangan R 0 <  1 .  Dapat  dikatakan,  time delay  periode  kesembuhan  tidak  dapat  mempengaruhi  kestabilan  kesetimbangan bebas penyakit. Dengan kata lain, pengaruh time delay periode kesembuhan dapat diabaikan untuk R 0 < 1 . Namun, ketika, R 0 > 1 kestabilan kesetimbangan endemi akan dipengaruhi oleh time delay periode kesembuhan.
Kata kunci : sirs, model epidemi sirs, time delay periode kesembuhan.

## Abstract
This study aims to identify whether the healing time delay period affects or does  not  affect  the  stability  of  disease-free  equilibrium  and  the  equilibrium  of disease  endemic.  Time  delay  in  the  sense  of  this  study  is  the  time  period  of recovery.  Time  delay  in  this  study  is  focused  on  a  single  specific  model,  by calculating the temporary and permanent state of the spread of the disease.
The SIRS model used in this study with the assumption that all individuals who have recovered do not have permanent immunity to the disease, so they will return to the disease-prone class. The SIRS epidemic model divides the population into  four  subpopulations  namely  Susceptible,  Infective,  Recovered  and Susceptible.
This  research  was  conducted  by  revising  the  SIRS  epidemic  model compartment which was then used to determine the model development equations
represented in differential equation systems. The system describes the interaction between subpopulations with other populations.
The results show that global disease-free equilibrium is stable for all  > 0 when the number of numbers is R 0 <1. It can be said that the time delay of the recovery period  cannot  affect  the stability of  disease-free equilibrium. In other words, the effect  of  the  time  delay  recovery  period  can  be  negligible  for  R 0 <1.  However, when, R 0 > 1 the stability of endemic equilibrium will be affected by the time delay of the recovery period.
Keywords: sirs, sirs epidemic model, time delay recovery period.
Pendahuluan Dalam kehidupan makhluk hidup  ini  banyak  permasalahan  yang muncul  diantaranya  banyak  penyakit menular  yang  mengancam  kehidupan. Sangat diperlukan sistem untuk mengontrol  dan  mengetahui  penyebaran penyakit  menular  tersebut  salah  satunya adalah  model  matematika  yang  dapat membantu dan mempermudah penyelesaaian masalah tersebut. Menyelesaikan masalah  juga  tidak mudah untuk menurunkan model matematisnya  terutama  untuk  masalah yang cukup kompleks.
Meskipun  model  matematisnya sudah  diperoleh  namun  masalah  waktu dan  biaya  biasanya  juga  menjadi kendala  apabila  menggunakan  model matematis  tersebut.  Model  epidemi merupakan sistem persamaan diferensial dirumuskan  sebagai masalah  nilai  awal atau  Initial  Value  Problems  (IVPs) .
Sehingga  model diintegrasikan  terhadap waktu,  yang  dimulai  dengan  awal  yang ditetapkan  untuk  kelas-kelas  populasi yang berbeda. Epidemi merupakan suatu keadaan  berjangkitnya  suatu  penyakit menular  dalam  populasi  pada  suatu tempat  yang  melebihi  perkiraan  yang normal dalam periode yang singkat. Bila penyakit  tersebut  selalu  terdapat  dalam
suatu  tempat  begitupun  dengan  faktor penyebabnya  maka  dikatakan endemik, kemudian bila penyakit tersebut mempunyai  ruang  lingkup  penyebaran yang sangat luas maka disebut
pandemik . Model  epidemik  pertama  kali menjelaskan masalah penyebaran penyakit  adalah  model  SIR  klasik  yang dikemukakan oleh (Kermack dan McKendrick,  1927).  Model  ini  terdiri atas tiga kompartemen yaitu S ( susceptible ), I ( infective ), R ( recovered ). Sejak (Kermack dan McKendrick,  1927)  mengusulkan  SIR klasik,  pemodelan  matematika  telah menjadi alat penting dalam menganalisis penyebaran  dan  pengendalian  infeksi penyakit.  Upaya  telah  dilakukan  untuk mengembangkan realistis model matematika  untuk  transmisi  infeksi penyakit.
Secara  grafik  dapat  ditunjukan model  teori  epidemik  (Anderson  dan May,  1991),  sebagai  latar  belakang  dari penelitian  ini.  Model  teori  epidemi untuk penyakit diilustrasikan pada gambar dibawah ini
Gambar 1. Model epidemi sirs Model epidemic sirs menggambarkan  bahwa  individu  yang terinfeksi penyakit (Invected), kemudian sembuh (Recovered), setelah  sembuh, individu memperoleh kekebalan sementara  terhadap  penyakit  tersebut. Seiring berjalan waktu kekebalan tersebut  menghilang  atau  berkurang, mengakibatkan  individu  yang  rentan terserang penyakit tersebut dapat kembali  terinfeksi  penyakit  yang  sama. Sistem persamaan diferensialnya menjadi :
, R SI dt ds      (1) , VI SI dt dI    (2) R VI dt dR   
(3) Rumusan masalah pada penelitian  ini  membahas  bagaimana menurunkan  model  matematisnya  untuk epidemi  SIRS  dengan  time  delay periode
kesembuhan sehingga menghasilkan  model  epidemi,  dari model  epidemi  tersebut  akan  terbentuk suatu sistem persamaan diferensial.
Dari persamaan diferensial yang sudah  terbentuk  tadi  dapat  dicari  titik kesetimbangan  bebas  penyakit  dan  titik kesetimbangan epidemi kemudian menganalisis kestabilannya.
Kemudian mengindentifikasi apakah  time  delay  periode  kesembuhan tersebut mempengaruhi atau tidak mempengaruhi stabilitas pada kesetimbangan  bebas  penyakit  dan  pada
kesetimbangan  endemi  penyakit  dengan memodifikasi pada dinamika transmisinya. Tujuan  penelitian  ini  adalah mengindentifikasi  apakah  time  delay periode kesembuhan mempengaruhi atau tidak  mempengaruhi stabilitas pada kesetimbangan  bebas  penyakit  dan  pada kesetimbangan endemic penyakit.

## Tinjauan Pustaka
A. Sistem persamaan diferensial

## Autonomous
(Boyce  dan  Diprima  ((2001) Misalkan  suatu  persamaan  diferensial autonomous dinyatakan sebagai berikut
m = Y (x) (4)
Dengan Y adalah  fungsi  kontinu bernilai  real  dari x dan  mempunyai turunan parsial kontinu. Pada persamaan (4) disebut persamaan diferensial
autonomous karena  tidak  mendatangkan t di  dalam.  Apabila  (4)  dapat  ditulis dalam bentuk :
, ... . . , ... , ... 2 2 1 1 21 2 22 1 21 2 1 2 12 1 11 1 n nm n n n n n n n x a x a x a x x a x a x a x x a x a x a x            

## B. Sistem persamaan difrensial
(Waluya (2006) Persamaan diferensial adalah persamaan
matematika  untuk  fungsi  satu  variabel atau  lebih  yang  menghubungkan  fungsi itu  sendiri  dan  turunannya  dalam berbagai  orde.  Selain  itu  persamaan diferensial  juga  didefinisikan  sebagai persamaan  yang  memuat  satu  atau beberapa  turunan  fungsi  yang  tidak
diketahui Jenis-jenis persamaan diferensial dapat dibedakan menjadi dua jenis  yaitu  persamaan  diferensial  biasa dan  diferensial  parsial.  Sedangkan persamaan diferensial dilihat dari bentuk  fungsi  atau  pangkatnya  juga dibedakan  menjadi  dua yaitu persamaan diferensial linear dan persamaan
diferensial nonlinear. Persamaan  diferensial  linear adalah  jika  memenuhi  dua  hal  yaitu pada variabel-variabel terikat dan turunannya  paling  tinggi  berpangkat satu  dan  tidak  mengandung  bentuk perkalian  antara  sebuah  variabel  terikat dengan  variabel  terikat  lainnya  atau turunan  yang  satu  dengan  turunan lainnya  atau  variabel  terikat  dengan sebuah turunan.
Persamaan  diferensial  nonlinear adalah  persamaan  diferensial  yang bukan  merupakan persamaan diferensial linear.  Pada  istilah  dengan  linear berkaitan  dengan  kenyataan  bahwa  tiap suku  dalam  persamaan  diferensial  itu, peubah-peubah y,y 1 ,...,y m berderajat satu atau  nol  Bentuk umum  dari  persamaan diferensial linear orde-n
adalah  : a n  1 ( x ) y n  1  a 1 ( x ) y 1  a 0 ( x ) y  f ( x )
Pada persamaan diferensial F(x,y 1 ,...,y m ) =  0  adalah  merupakan  persamaan diferensial nonlinear, jika salah satu dari berikut  di  penuhi F : F tidak  berbentuk polinom,  dalam y,y 1 ,...,y m dan F tidak
berbentuk  polinom berpangkat  lebih dari  dua  dalam  y,y 1 ,...,y m .  (Waluya,
2006).
C. Titik kesetimbangan dan kestabilan (Haberman (1987)) Dengan menggunakan  titik  kesetimbangan  maka suatu  sistem  dapat  lebih  memudahkan untuk mengamati perilaku kestabilannya. Berikut ini adalah
definisi titik kesetimbangan.

## Definisi 1
Titik kesetimbangan adalah
sebuah keadaan  dari  suatu  sistem  yang tidak  berubah  terhadap  waktu.  Jika sistem dinamika dituangkan dalam
bentuk persamaan diferensial  maka  titik kesetimbangan  dapat  diperoleh  dengan mengambil  turunan  pertama  yang  sama dengan  nol.  Suatu  titik m ˆ  R disebut titik kesetimbangan dari system
persamaan  m  =  F  (x),  jika  memenuhi persamaan  f  (m*)  =  0,  Dalam  sistem epidemologi dikenal titik kesetimbangan bebas  penyakit  dan  titik  kesetimbangan endemik.
Titik kesetimbangan bebas penyakit  adalah  dimana  sudah  tidak  ada lagi  penyakit  yang  menyerang  dalam populasi  sedangkan  titik  kesetimbangan endemik  adalah  dimana  penyakit  selalu menetap  dalam  populasi.  Berikut  ini adalah definisi kestabilan titik kesetimbangan  menurut  (Guckenheimer dan Holmes (1983)).

## Definisi 2
1. Kestabilan  titik  kesetimbangan  dari sistem m  Fx dan m 0 adalah  titik  asal. 2.  Kestabilan  disebut  stabil  asimtotik, jika m * stabil dan terdapat b  0
3. Kestabilan  disebut  tidak  stabil,  jika terdapat  suatu  0  sedemikian  sehingga untuk  sebarang  terdapat  sebuah
0   m 0 .  Jika  kondisi  awal  berada  sangat dekat  dengan  kestabilan  dan  solusi
sistem cenderung mendekati titik kesetimbangan  kestabilan,  maka  sistem disebut stabil asimtotik. Jika sifat solusi menjauh dari titik kesetimbangan kestabilan  akibat  perubahan  kecil  pada kondisi  awal  maka  sistem  disebut  tidak stabil.
Teorema  1 (Finizio  dan  Ladas  (1982)) Jika matriks A pada  sistem  persamaan (1)  adalah  matriks  koefisien  dengan nilai  eigen , ,..., , 2 1 n    maka  titik kesetimbangan m* disebut :
1. Stabil, jika (  1 )  0 ,  i  1, 2 ,3 ..., n 2. Stabil asimtotik, (  1 )  0 ,  i  1, 2 ,3 ..., n 3. Tidak stabil, (  s )  0 , untuk suatu s Pada  teorema  (1)  dapat  dipergunakan untuk menentukan kestabilan lokal suatu titik kesetimbangan. Titik kesetimbangan  yang  stabil  atau  stabil asimtotik  hanya  pada  suatu  daerah tertentu  dalam  lingkup  solusi  sistem dikatakan  stabil  lokal  atau  stabil asimtotik. Titik kesetimbangan dikatakan  stabil  global  atau  stabil asimtotik global jika titik kesetimbangan tersebut atau stabil asimtotik pada setiap lingkup solusi sistem.

## D. Nilai eigen dan vektor eigen
Dalam    hal    ini,    penulis menganggap  bahwa 1 0  R  .Dengan menggunakan    time  delay  sebagai bifurkasi  sebagai  parameternya.  (Anton (  1998))  Jika A adalah  matriks n  x  n, maka  vektor  taknol x didalam R n dinamakan  vektor  eigen  dari A jika Ax adalah  kelipatan  skalar  dari x yaitu,  Ax = x  (5), supaya 
menjadi  nilai  eigen,  maka  harus  ada penyelesaian  taknol  dari  persamaan  ini. Sehingga akan mempunyai penyelesaian
tak nol jika dan hanya jika det( (  I  A )  0      (6).  Persamaan  (5)  dinamakan persamaan  karakteristik A ,  Skalar  yang memenuhi  persamaan  ini  adalah  nilai eigen  dari A .  Bila  diperluas,  maka determinan det (  I  A ) adalah polinom
 yang dinamakan polinom  karakteristik dari A.

## E. Bilangan  reproduksi  dasar
(R 0 ) (Hethcote (2000)) Untuk mengetahui  tingkat  penyebaran  pada suatu penyakit diperlukan suatu parameter  tertentu.  Parameter  yang biasa digunakan dalam masalah penyebaran  penyakit  adalah  bilangan reproduksi dasar. Kemungkinan
terjadinya  infeksi  pada  suatu  populasi tergantung  pada  bilangan  reproduksi. Bilangan  reproduksi  dasar  ( R 0 )  adalah potensi penularan penyakit pada populasi  rentan  merupakan  rata-rata jumlah  individu  yang  terinfeksi  secara langsung  oleh  seseorang  penderita selama  masa  penularanya  bila  termasuk dalam  populasi  yang  seluruhnya  masih rentan.  (Liu  (2013))  ( R 0 )  adalah  nilai yang  menunjukkan  apakah  penyebaran penyakit  menjadi  epidemi  atau  tidak epidemi pada suatu populasi.
) ( 1       d d b R o (7) Bilangan reproduksi dasar merupakan  parameter  yang  penting dalam  matematika  epidemilogi  yang merupakan  ambang  batas (threshold) terjadinya penyebaran penyakit. Bilangan  ini  diperoleh  dengan  cara menetukan  nilai  eigen  matriks  jacobian pada  titik  keseimbangan  bebas  penyakit
(disease  free equilibrium) dan  titik
keseimbangan endemik (endemi equilibrium) . F. Model Epidemi (Lowe  dan  Kostrzewski  (1973)) Ilmu yang membahas mengenai penyebaran penyakit disebut epidemiologi. Epidemiologi adalah studi tentang faktor yang menentukan
frekuensi  dan  distribusi  penyakit  pada populasi manusia.
Epidemi  adalah  penyakit  yang timbul  sebagai  kasus  baru  pada  suatu populasi  tertentu,  dengan  laju  yang melampaui  perkiraan.  Suatu  infeksi dikatakan  sebagai  endemik  pada  suatu
populasi jika infeksi tersebut berlangsung  di  dalam  populasi  tersebut tanpa  adanya  pengaruh  dari  luar.  Suatu infeksi  penyakit  dikatakan  sebagai endemik bila setiap orang yang terinfeksi penyakit tersebut menularkannya  kepada  tepat  satu  orang lain.
(Kermack dan McKendrick 1927)) Model epidemi adalah merupakan  suatu  model  matematika yang dapat digunakan untuk melihat laju penyebaran  penyakit.  Kondisi  epidemi terjadi  ketika  ada  salah  satu  individu rentan  pada  populasi  tersebut,  maka populasi  tersebut  memiliki  peluang menjadi populasi rentan, dan kemungkinan besar infeksi tersebut akan mewabah pada populasi tersebut.
Sehingga pada akhirnya seluruh individu dalam  populasi  berpeluang  terinfeksi. Pada  dasarnya  model  epidemi  pada penyakit  memiliki  tiga  kompartemen, yaitu  ( Susceptible, Invected,  Recovered ) yang didefinisikan :
1. Susceptible , yaitu individu yang sehat
dapat terinfeksi. 2. Invected , yaitu individu yang terinfeksi memungkinkan untuk menularkan penyakit. 3. Recovered ,  yaitu  seseorang  yang memiliki kekebalan karena telah terinfeksi,  dan  dapat  sembuh. Sehingga,
model  epidemik  suatu    penyakit  dapat dituliskan dalam bentuk :
) , , ( ), , , ( ). , , ( R I S c dt dR R I S b dt dI R I S a dt dS    (8)

## G. Memodifikasi dinamika
transmisi (Huitao  et  al  (2013))  dalam penelitiannya  pada  media  coverage memodifikasi dinamika transmisi menjadi seperti berikut :
, ) ( ) ( )) ( ( 2 1            t I m t I t I g (9)
Dimana  >  0  adalah  time  delay  yang mewakili  periode  laten  media  pada coverage. Penulis memodifikasi dinamika tranmisi menjadi seperti berikut,  secara  umum  model  epidemic SIRS dapat dirumuskan menjadi :
, ) ( . ) ( ) ( , ) ( R d I dt dR I d S I g dt dI R S I g dS b dt dS                
(10)
Kemudian  model  (10),  menjadi  seperti berikut ini (11):
, ) ( , ) ( , 2 1 2 1 R d I dt dR I d SI mI I dt dI R SI mI I dS b dt dS                                    
Sehingga dinamika transisi pada penularan  penyakit  dapat  dimodifikasi sebagai berikut ini : ) ( ) ( )) ( ( 2 1            t mI t I t I g (12)
di  mana  penulis  mendefinisikan   0 adalah  time  delay  periode  kesembuhan yang  diartikan  sebagai  waktu  periode kesembuhan  dari  individu invected sampai menjadi individu recovered .
H. Titik  kesetimbangan  bebas
Penyakit (E 0 ) Titik kesetimbangan bebas penyakit  ( disease  free  equilibrium) adalah  suatu  keadaan  dimana  tidak terjadi  penyebaran  penyakit  dalam populasi.  Pertama  terlebih  menentukan titik  kesetimbangan  bebas  penyakit, misalkan  titik  tersebut  dituliskan  E 0 = ( S 0, I 0 ,R 0 ).  Karena  populasi  bebas  dari penyakit  maka I 0 =  0,  yaitu  suatu keadaan dimana titik terjadi infeksi pada populasi. Untuk mencari titik kesetimbangan  bebas  penyakit  dimana 0   . Teorema  1, untuk  setiap  time delay periode kesembuhan , 0   penulis  mempergunakan  :  1.  Titik kesetimbangan  bebas  penyakit (E 0 ) adalah stabil asimtotik local jika R 0 < 1 .
2.  Titik  kesetimbangan  bebas  penyakit (E 0 ) adalah tidak stabil jika R 0 > 1 .
I. Titik  kesetimbangan  epidemic ( E*)
Titik  kesetimbangan  epidemi (endemic equilibrium) adalah  dimana didalam kondisi populasi terjadi penyebaran  penyakit  yang  hasilkan  dari nilai (R 0 ) yang  didapatkan  dari  nilai
3 2 1 , ,    .Jika  semua  individu  rentan maka S  =  (S 0 )= , d b dan  karena  rentang waktu  hidup  manusia  yang  terinfeksi adalah , ( 1     d d bearti ) ( 1 0       d d b R

## Hasil dan pembahasan
A. Hasil Penelitian Penurunan model epidemi SIRS
dengan time delay periode  kesembuhan adalah sebagai berikut :
1.  Laju  perubahan  populasi Susceptible per  satuan  waktu  dipengaruhi  oleh  laju pertambahan  rekruitmen  pada  populasi manusia (b). Populasi Susceptible sepanjang  waktu (t) akan  berkurang akibat laju kematian alami pada Susceptible  (dS)(t) dan  dipengaruhi kekuatan penyebaran infeksi pada Susceptible 1  dan
akan  berkurang akibat adanya I/ 2  + mI dengan dipengaruhi time delay periode kesembuhan  dan  kekuatan  penyebaran infeksi dipengaruhi pada recorvered
 dan  berpengaruh  laju  antara  individu yang terjangkit penyakit menjadi individu  terinfeksi  kemudian  individu yang  telah  sembuh  maka  dapat  ditulis  :
                 t mI t I t dS b dt t dS ( ( ) ( ) ( 2 1
2.  Laju perubahan populasi Invected per satuan waktu dipengaruhi oleh
pertambahan populasi invected sepanjang  waktu (t) akibat  kekuatan penyebaran infeksi pada susceptible 1 
Dan akan berkurang akibat adanya I/ 2  + mI dengan  dipengaruhi time  delay periode kesembuhan betambahnya populasi Invected per  satuan  waktu dipengaruhi  faktor  laju  kematian  alami, laju  kesembuhan  tiap  individu  yang sakit  menjadi  individu  rentan,  laju kematian  tiap  individu  yang  disebabkan oleh  penyakit  pada  populasi  yang terinfeksi penyakit invected ) ( ) t I d     dan laju perubahan yang rentan menjadi terinfeksi pada popolasi
Invected , maka dapat ditulis :
) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 2 1 t I t S t mI t I dt t dI      
        
2. Laju  perubahan  populasi Recovered per  satuan  waktu  dipengaruhi  oleh pertambahan  populasi Recovered per satuan  waktu  merupakan  akibat  laju perubahan status dari terinfeksi penyakit terhadap  populasi Invected ) )( ( t I  dan berpegaruh antara individu yang terjangkit  penyakit  menjadi  individu terinfeksi  kemudian  individu  yang  telah sembuh. Selain itu, berkurangnya populasi Recovered per  satuan  waktu dipengaruhi  oleh  laju  kematian  alami tiap individu d pada populasi Recovered dan  laju  kehilangan  kekebalan  tiap individu  terhadap  penyakit  dan  akan
kembali menjadi individu rentan penyakit ,  maka dapat ditulis
) ( ) ) ( ) ( t R d t I dt t dR     

## Pembahasan
Contoh model matematika epidemi Sirs dengan time delay periode kesembuhan
Contoh  pertama  dan  contoh kedua  membahas  sistem  persamaan epidemi  SIRS  dengan  time  delay periode kesembuhan dengan memperhatikan kestabilan titik
kesetimbanganya.  Contoh  ini  bertujuan memberikan  gambaran  mengenai  sistem persamaan  epidemi  SIRS  dengan  time delay  periode  kesembuhan  dengan memberikan  dan  memperhatikan  nilai- nilai  untuk  masing-masing  parameter sesuai  dengan  kondisi  nilai  bilangan reproduksi  dasar R 0 dalam  teorema- teorema yang telah diberikan.
Dalam  penelitian  ini  dianalisis kesetimbangan dan kestabilan untuk dua kondisi, yaitu ketika R 0  1 pada saat  > 0 ,  dimana kesetimbangan bebas penyakit  stabil  karena  time  delay periode kesembuhan tidak dapat mempengaruhi kestabilan kesetimbangan  bebas  penyakit  dan ketika R 0  1 , kestabilan kesetimbangan endemi  akan  dipengaruhi  oleh  time delay  periode  kesembuhan.  Pada  contoh ketiga  akan  membahas  model  SIRS dengan  tanpa  time  delay  periode kesembuhan. Contoh  ini bertujuan untuk memperbandingkan  model  SIRS dengan  time  delay  periode  kesembuhan dan tanpa time delay periode kesembuhan. 
Contoh 1 Jika R 0  1 Perilaku sistem persamaan epidemi  SIRS  dengan  time  delay periode kesembuhan diperlihatkan dengan  pertama  kali  menentukan  nilai
parameternya. Nilai-nilai parameter adalah sebagai berikut dimana  nilai b =
30, d =  0,07, 1  =  0,0009, 2  =  0,00027, m = 60, 5 , 0   , 07 , 0   , 07 . 0   Dengan 986 /  d b ,  sesuai  dengan  (7) penulis  menghitung R 0 =  0,8896  <  1 selain  itu  penulis  mendapatkan  bebas penyakit E 0 = (986,0,0) Dari teorema
,diketahui diketahui bahwa titik kesetimbangan bebas penyakit E 0 adalah stabil  asimtotik  lokal  untuk  setiap  saat time delay periode kesembuhan  
Contoh 2 Jika R 0 > 1 Perilaku sistem persamaan epidemi  SIRS  dengan  time  delay periode kesembuhan diperlihatkan dengan  pertama  kali  menentukan  nilai parameternya. Nilai-nilai parameter adalah sebagai berikut : b = 30, d = 0,07,
1  =  0,0009, 2
 =  0,00027, m =  60, 5 , 0   , 07 , 0   , 07 . 0   Dengan 986 /  d b ,  sesuai  dengan  (7)  penulis menghitung R 0 =  0,8896  >  1  selain  itu penulis  mendapatkan  bebas  penyakit E 0 = (986,0,0) dan titik kesetimbangan 0 E
=  (368.1359,    64.7522,    85.6021). Dengan    demikian    dari  teorema  (1) diketahui  bahwa  titik  kesetimbangan bebas  penyakit  ( E 0 ) adalah  tidak  stabil asimtotik  lokal  untuk  setiap  saat  time delay  periode  kesembuhan 0   dan titik    kesetimbangan E * adalah  stabil untuk   [0,91.06947).
Contoh 3 model Sirs tanpa time delay periode kesembuhan
Salah  satu  perbedaan  dengan time  delay  periode  kesembuhan  dan
tanpa  time  delay  periode  kesembuhan terletak pada metode yang akan digunakan  untuk  menganalisis  model dengan  time  delay  periode  kesembuhan dengan  tanpa  time  delay  periode kesembuhan.  Menganalisis  untuk  model dengan  time  delay  periode  kesembuhan biasanya  lebih  kompleks  dan  masih jarang metode yang telah ditemukan.
Diberikan  nilai  parameter  pada  contoh ketiga : b = 30, d = 0,07, 4 , 0 , 1 , 0 , 1 , 0008 , 0        g dengan 986 /  d b didapatkan hasilnya
R 0 =  0,8656 <  1 dan R 0 =  8,9876  >  1. Jika R 0 >  1 titik  kesetimbangan E * =( 202.7654.68.9097,90.5677).
Sekarang  akan  diperbandingkan  dengan model  dengan  time  delay  periode kesembuhan. Setelah  dihitung  nilai R 0  1 dan  hasil R 0  1 hasilnya adalah sama dengan  time  delay  periode  kesembuhan. Kemudian  diketahui  jika R 0  1  pada titik  kesetimbangan  bebas  penyakit  ( E 0 ) tanpa  time  delay  periode  kesembuhan juga  sama  yaitu  adalah  stabil  asimtotik dapat  dikatakan  bahwa  pengaruh  time delay periode kesembuhan tidak mempengaruhi.  Ketika, R 0 >  1 titik kesetimbangan  bebas  penyakit  ( E 0 )  dan titik  kestabilan  kesetimbangan  endemic akan  dipengaruhi  oleh  time  delay periode kesembuhan.

## Kesimpulan Dan Saran
Berdasarkan hasil dan pembahasan dalam penelitian ini menunjukan bahwa kesetimbangan
bebas  penyakit  stabil  global  untuk semua   1,  ketika  bilangan  reproduksi dasar R 0  1.  Dapat  di  simpulkan,  time delay  pada  periode  kesembuhan  tidak dapat mem pengaruhi kestabilan
kesetimbangan  bebas  penyakit.  Dengan kata  lain  pengaruh  time  delay  periode kesembuhan  dapat diabaikan untuk R 0  1.  Namun  ketika R 0  1  kestabilan kesetimbangan endemic akan dipengaruhi  oleh  time  delay  periode kesembuhan.  Saran  peneliti  membuka dan  memberikan  peneliti  lainnya  yang tertarik  dengan  model  sirs  ini  untuk selanjutnya  meneliti  kembali  dengan menambah  variabel  parameter  dan  nilai pada parameternya.

## Daftar Pustaka
Boyce, W. E dan Diprima, R. C. (2001).
Elementary Diffrensial Equation and Boundary Problems ,
Seventh edition,
Enatsu,  Y.  and  Messina,  E.  (2012).
Global  Dynamics  of  a  Delayed SIRS  Epidemic  Model  with Class  of  Non  Linear  Incidence
Rates. Applied Mathematics and Computation, Volume  218,  No
9, 5327--5336.
Hethcote, H. W. (2000). Mathematics of Infectious Diseases , SIAM, Vol.
42, 599--653.
Huitao,  Zhou.  and  Yiping,  Lin.  (2013). An  SIRS  Epidemic  Model
Incorporating  Media  Coverage with  Time  Delay. Discreate Dynamics in Nature and Society ,  Volume  2013,  Hindawi publishing Corporation.