Jurnal Matematika Murni dan Terapan “εpsilon” http://ppjp.ulm.ac.id/journals/index.php/epsilon p-ISSN: 1978-4422 | e-ISSN 2656-7660
Vol.14 No.1 (Juni 2020) Hal. 10 -20

## ANTI SUBGRUP α -FUZZY

## Fiqriani Noor, Saman Abdurrahman, Na’imah Hijriati
Program Studi Matematika Fakultas MIPA Universitas Lambung Mangkurat Jl. A. Yani KM. 36, Banjarbaru 70714. Kalimantan Selatan
Email: noor.fiqriani@gmail.com

## ABSTRACT
The concept of fuzzy subgroups is a combination of the group structure with the fuzzy set, which was first introduced by Rosenfeld (1971). This concept became the basic concept in other the fuzzy algebra fields such as fuzzy normal subgroups, anti fuzzy subgroups and anti fuzzy normal subgroups. The development in the area of fuzzy algebra is characterized by the continual emergence of new concepts, one of which is the α -anti fuzzy subgroup concept. The idea of α -anti fuzzy subgroups is a combination between the α -anti fuzzy subset and anti fuzzy subgroups. The α - anti  subset  fuzzy  which  is  an  anti  fuzzy  subgroup  is  called  as  α -anti fuzzy subgroup. The purpose of this study is to prove that t he α -anti fuzzy subset is an anti fuzzy subgroup, examine the relationship  between  α - anti  fuzzy  subgroups  with  anti  fuzzy  subgroups  and  α -fuzzy normal subgroups with anti fuzzy subgroups. The results of this study are, if A is an anti fuzzy subgroup (an an ti fuzzy normal subgroup), then an α -anti subset fuzzy of A is an anti fuzzy subgroup (an anti fuzzy normal subgroup). However, this does not apply otherwise. Furthermore, this study also provides sufficient and necessary conditions for an α -anti fuzzy sub set of any group to be an α -anti fuzzy subgroup and the formation of a group of factors that are built from an α -anti fuzzy normal subgroup.
Keywords : Anti Fuzzy Subgroup, Anti Fuzzy Normal Subgroup, α -Anti Fuzzy Subgroup and α - Anti Fuzzy Normal Subgroup.

## ABSTRAK
Konsep  subgrup fuzzy merupakan perpaduan antara struktur grup dengan himpunan fuzzy yang pertama kali diperkenalkan oleh Rosenfeld (1971). Konsep  ini  kemudian menjadi konsep dasar dari bidang aljabar fuzzy lainnya seperti subgrup normal fuzzy , anti subgrup fuzzy dan anti subgrup normal fuzzy .  Perkembangan pada bidang aljabar fuzzy ditandai dengan terusnya  muncul konsep baru  salah satunya konsep anti subgrup 𝛼𝛼 - fuzzy. Konsep anti subgrup 𝛼𝛼 - fuzzy merupakan perpaduan antara anti subset 𝛼𝛼 - fuzzy dengan anti subgrup fuzzy . Suatu anti subset 𝛼𝛼 - fuzzy yang merupakan anti subgrup fuzzy disebut anti subgrup 𝛼𝛼 - fuzzy .  Tujuan dari penelitian ini adalah membuktikan bahwa anti subset α - fuzzy dapat merupakan anti subgrup fuzzy , mengkaji hubungan antara anti subgrup α - fuzzy dengan anti subgrup fuzzy dan anti subgrup normal α - fuzzy dengan anti subgrup normal fuzzy . Hasil dari penelitian ini adalah, jika 𝐴𝐴 merupakan anti subgrup fuzzy (anti subgrup normal  fuzzy)  maka  anti subset 𝛼𝛼 -fuzzy dari 𝐴𝐴 merupakan  anti subgrup fuzzy (anti subgrup normal fuzzy ). Namun, hal tersebut tidak berlaku sebaliknya. Selanjutnya, penelitian ini juga memberikan syarat cukup suatu anti subset 𝛼𝛼 -fuzzy dari 𝐴𝐴 merupakan anti subgrup fuzzy (anti subgrup normal fuzzy )  dan  pembentukan  grup faktor yang dibangun dari anti subgrup normal α - fuzzy .
Kata Kunci : Anti Subgrup Fuzzy , Anti Subgrup Normal Fuzzy , Anti Subgrup α - Fuzzy dan Anti Subgrup Normal α - Fuzzy .
Jurnal Matematika Murni dan Terapan “εpsilon” http://ppjp.ulm.ac.id/journals/index.php/epsilon p-ISSN: 1978-4422 | e-ISSN 2656-7660 Vol.14 No.1 (Juni 2020) Hal. 10 -20

## 1. PENDAHULUAN
Konsep himpunan fuzzy merupakan perluasan dari konsep himpunan klasik yang pertama kali diperkenalkan oleh Lotfi A Zadeh pada [9]. Zadeh memperkenalkan himpunan fuzzy yang didefinisikan sebagai suatu pemetaan dari himpunan tak kosong X ke interval tertutup [0,1].
Setelah diperkenalkan, konsep himpunan fuzzy mengalami perkembangan. Para peneliti terus mendorong perkembangan konsep himpunan fuzzy baik secara teoritis maupun aplikasi. Salah  satunya adalah Rosenfield pada [7]  yang menggabungkan konsep himpunan fuzzy dengan struktur grup yang   kemudian memunculkan konsep grup fuzzy yang menjadi model awal dari bidang aljabar fuzzy dan kemudian konsep  tersebut menjadi dasar dari penelitian model aljabar fuzzy lainnya seperti subgrup fuzzy , subgrup normal fuzzy dan anti subgrup fuzzy .
Konsep aljabar fuzzy mengalami perkembangan, pendefinisian - pendefinisian baru terus bermunculan, diantaranya adalah konsep anti subset α - fuzzy yang  diperkenalkan oleh Sharma pada [8]. Diberikan A subset fuzzy dari grup G dan 𝛼𝛼 ∈ [0,1] . Dapat didefinisikan suatu pemetaan 𝐴𝐴 𝛼𝛼 dari G ke selang [0,1] dengan 𝐴𝐴 𝛼𝛼 ( 𝑥𝑥 ) = max { 𝐴𝐴 ( 𝑥𝑥 ), 1 − 𝛼𝛼 } maka 𝐴𝐴 𝛼𝛼 juga merupakan subset fuzzy dan 𝐴𝐴 𝛼𝛼 disebut anti subset α - fuzzy .  Pembahasan dalam penelitian ini akan membuktikan bahwa 𝐴𝐴 𝛼𝛼 dapat berlaku anti subgrup fuzzy ataupun anti subgrup normal fuzzy dan membahas tentang keterkaitan antara teori anti subgrup α - fuzzy (normal) dengan anti subgrup fuzzy (normal) klasik .

## 2. TINJAUAN PUSTAKA

## 2.1 Anti Subgrup Fuzzy
Sebelum masuk pada anti subgrup fuzzy , terlebih dahulu disajikan definisi dari himpunan fuzzy sebagai berikut.
Definisi  2.1.1  [9] Suatu himpunan fuzzy 𝐴𝐴 dari himpunan tak kosong 𝑋𝑋 adalah sebuah pemetaan 𝐴𝐴 : 𝑋𝑋 → [0,1] .
Bentuk himpunan fuzzy 𝐴𝐴 dari 𝑋𝑋 adalah 𝐴𝐴 = { �𝑥𝑥 , 𝐴𝐴 ( 𝑥𝑥 ) � | 𝑥𝑥 ∈ 𝑋𝑋 }.
Definisi 2.1.2 [8] Diberikan himpunan fuzzy 𝐴𝐴 dan 𝐵𝐵 dari himpunan tak kosong 𝑋𝑋 . Maka 𝐴𝐴 dan 𝐵𝐵 mengikuti pernyataan sebagai berikut
(i) 𝐴𝐴 ⊆ 𝐵𝐵 jika dan hanya jika 𝐴𝐴 ( 𝑥𝑥 ) ≤ 𝐵𝐵 ( 𝑥𝑥 ) , untuk setiap 𝑥𝑥 ∈ 𝑋𝑋 .
(ii) 𝐴𝐴 = 𝐵𝐵 jika dan hanya jika 𝐴𝐴 ⊆ 𝐵𝐵 dan 𝐵𝐵 ⊆ 𝐴𝐴 .
(iii) Komplemen dari himpunan fuzzy A adalah 𝐴𝐴 𝑐𝑐 dan didefinisikan sebagai 𝐴𝐴 𝑐𝑐 ( 𝑥𝑥 ) = 1 − 𝐴𝐴 ( 𝑥𝑥 ) , untuk setiap 𝑥𝑥 ∈ 𝑋𝑋 .
(iv) ( 𝐴𝐴 ∩ 𝐵𝐵 )( 𝑥𝑥 ) = 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 { 𝐴𝐴 ( 𝑥𝑥 ), 𝐵𝐵 ( 𝑥𝑥 )} , untuk setiap 𝑥𝑥 ∈ 𝑋𝑋 . (v) ( 𝐴𝐴 ∪ 𝐵𝐵 )( 𝑥𝑥 ) = 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑥𝑥 { 𝐴𝐴 ( 𝑥𝑥 ), 𝐵𝐵 ( 𝑥𝑥 )} , untuk setiap 𝑥𝑥 ∈ 𝑋𝑋 .
Selanjutnya diberikan definisi dan teorema anti subgrup fuzzy sebagai berikut
Definisi 2.1.3  [2] Diberikan grup 𝐺𝐺 . Subset fuzzy 𝐴𝐴 dari 𝐺𝐺 disebut dengan anti subgrup fuzzy dari 𝐺𝐺 jika untuk setiap 𝑥𝑥 , 𝑦𝑦 ∈ 𝐺𝐺 memenuhi kondisi sebagai berikut
Jurnal Matematika Murni dan Terapan “εpsilon” http://ppjp.ulm.ac.id/journals/index.php/epsilon p-ISSN: 1978-4422 | e-ISSN 2656-7660 Vol.14 No.1 (Juni 2020) Hal. 10 -20 (i) 𝐴𝐴 ( 𝑥𝑥𝑦𝑦 ) ≤ 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑥𝑥 { 𝐴𝐴 ( 𝑥𝑥 ), 𝐵𝐵 ( 𝑦𝑦 )} .
(ii) 𝐴𝐴 ( 𝑥𝑥 −1 ) ≤ 𝐴𝐴 ( 𝑥𝑥 ) .
Teorema  2.1.4  [2] Jika 𝐴𝐴 adalah anti subgrup fuzzy dari grup 𝐺𝐺 , maka untuk setiap 𝑥𝑥 ∈ 𝐺𝐺 berlaku
(i) 𝐴𝐴 ( 𝑒𝑒 ) ≤ 𝐴𝐴 ( 𝑥𝑥 ) , dengan 𝑒𝑒 identitas di 𝐺𝐺 .
(ii) 𝐴𝐴 ( 𝑥𝑥 −1 ) = 𝐴𝐴 ( 𝑥𝑥 ) .
Teorema  2.1.5  [2] Misal A merupakan subset fuzzy dari grup 𝐺𝐺 . A disebut anti subgrup fuzzy jika dan hanya jika untuk setiap 𝑥𝑥 , 𝑦𝑦 ∈ 𝐺𝐺 berlaku 𝐴𝐴 ( 𝑥𝑥𝑦𝑦 −1 ) ≤ 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑥𝑥 { 𝐴𝐴 ( 𝑥𝑥 ), 𝐴𝐴 ( 𝑦𝑦 )} .
Selanjutnya diberikan definisi koset dari anti subgrup fuzzy sebagai berikut.
Definisi  2.1.6  [4] Diberikan 𝐴𝐴 : 𝐺𝐺 → [0,1] subset fuzzy dari grup 𝐺𝐺 . Untuk setiap 𝑔𝑔 ∈ 𝐺𝐺 , subset 𝑔𝑔𝐴𝐴 : 𝐺𝐺 → [0,1] didefinisikan dengan ( 𝑔𝑔𝐴𝐴 )( 𝑥𝑥 ) = 𝐴𝐴 ( 𝑔𝑔 −1 𝑥𝑥 ) , untuk setiap 𝑔𝑔 , 𝑥𝑥 ∈ 𝐺𝐺 , disebut koset kiri dari A . Dan subset 𝐴𝐴𝑔𝑔 : 𝐺𝐺 → [0,1] didefinisikan dengan ( 𝐴𝐴𝑔𝑔 )( 𝑥𝑥 ) = 𝐴𝐴 ( 𝑥𝑥𝑔𝑔 −1 ) , untuk setiap 𝑔𝑔 , 𝑥𝑥 ∈ 𝐺𝐺 , disebut koset kanan dari A .
Selanjutnya disajikan definisi anti subgrup normal fuzzy sebagai berikut.
Definisi  2.1.7  [7] Diberikan  anti  subgrup fuzzy 𝐴𝐴 dari grup 𝐺𝐺 . 𝐴𝐴 disebut anti subgrup normal dari grup 𝐺𝐺 jika 𝐴𝐴 ( 𝑥𝑥𝑦𝑦 ) = 𝐴𝐴 ( 𝑦𝑦𝑥𝑥 ) , untuk setiap 𝑥𝑥 , 𝑦𝑦 ∈ 𝐺𝐺 .
Teorema 2.1.8 [7] Diberikan 𝐴𝐴 anti subgrup fuzzy dari grup 𝐺𝐺 , maka pernyataan berikut ekuivalen untuk setiap 𝑥𝑥 , 𝑦𝑦 ∈ 𝐺𝐺 .
(i) 𝐴𝐴 ( 𝑥𝑥𝑦𝑦 ) = 𝐴𝐴 ( 𝑦𝑦𝑥𝑥 ) .
(ii) 𝐴𝐴 ( 𝑦𝑦𝑥𝑥𝑦𝑦 −1 ) = 𝐴𝐴 ( 𝑥𝑥 ) .
(iii) 𝑦𝑦𝐴𝐴 = 𝐴𝐴𝑦𝑦 .

## 2.2 Anti Subset α -Fuzzy
Anti subset α - fuzzy merupakan subset fuzzy baru yang dibangun dari subset fuzzy biasa yang diperkenalkan oleh Sharma. Berikut ini disajikan definisi dan teorema anti subset α - fuzzy yang disebutkan oleh Sharma pada [8].
Definisi 2.2.1 [8] Diberikan 𝐴𝐴 suatu subset fuzzy dari grup 𝐺𝐺 dan 𝛼𝛼 ∈ [0,1] . Subset fuzzy 𝐴𝐴 disebut anti subset α - fuzzy yang dinotasikan dengan 𝐴𝐴 𝛼𝛼 didefinisikan sebagai 𝐴𝐴 𝛼𝛼 ( 𝑥𝑥 ) = 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑥𝑥 { 𝐴𝐴 ( 𝑥𝑥 ), 1 − 𝛼𝛼 } untuk setiap 𝑥𝑥 ∈ 𝐺𝐺 .
Teorema  2.2.2  [8] Diberikan 𝐴𝐴 dan 𝐵𝐵 adalah subset fuzzy dari himpunan tak kosong 𝑋𝑋 dan 𝛼𝛼 ∈ [0,1] . Untuk setiap 𝑥𝑥 ∈ 𝑋𝑋 berlaku ( 𝐴𝐴 𝛼𝛼 ∪ 𝐵𝐵 𝛼𝛼 )( 𝑥𝑥 ) = ( 𝐴𝐴 ∪ 𝐵𝐵 ) 𝛼𝛼 ( 𝑥𝑥 ) .

## 3. PROSEDUR PENELITIAN
Adapun prosedur-prosedur yang digunakan dalam penelitian ini adalah sebagai berikut:
Jurnal Matematika Murni dan Terapan “εpsilon” http://ppjp.ulm.ac.id/journals/index.php/epsilon p-ISSN: 1978-4422 | e-ISSN 2656-7660 Vol.14 No.1 (Juni 2020) Hal. 10 -20
1) Membuktikan teorema bahwa jika suatu subset fuzzy merupakan anti subgrup fuzzy maka subset fuzzy tersebut juga merupakan anti subgrup α - fuzzy .
2) Membuktikan teorema eksistensi subset α - fuzzy selalu merupakan anti subgrup α - fuzzy dengan kondisi tertentu.
3) Membuktikan sifat anti subset α - fuzzy tentang nilai fungsi elemen identitas dan nilai fungsi elemen invers digrup.
4) Membuktikan teorema bahwa jika suatu anti subgrup fuzzy merupakan anti subgrup normal maka anti subgrup fuzzy tersebut juga merupakan anti subgrup normal α - fuzzy .

## 4. HASIL DAN PEMBAHASAN
4.1 Anti Subgrup 𝜶𝜶 -Fuzzy
Proposisi 4.1.1 Jika 𝐴𝐴 merupakan anti subgrup fuzzy dari grup 𝐺𝐺 maka 𝐴𝐴 𝛼𝛼 merupakan anti subgrup fuzzy dari grup 𝐺𝐺 .
Bukti : Diambil sebarang 𝑥𝑥 , 𝑦𝑦 ∈ 𝐺𝐺 .
𝐴𝐴 𝛼𝛼 ( 𝑥𝑥𝑦𝑦 ) = max { 𝐴𝐴 ( 𝑥𝑥𝑦𝑦 ), 1 − 𝛼𝛼 } ≤ max {max{ 𝐴𝐴 ( 𝑥𝑥 ), 𝐴𝐴 ( 𝑦𝑦 )} , 1 − 𝛼𝛼 }
= max {max { 𝐴𝐴 ( 𝑥𝑥 ) , 1 − 𝛼𝛼 }, max { 𝐴𝐴 ( 𝑦𝑦 )1 − 𝛼𝛼 } } = max { 𝐴𝐴 𝛼𝛼 ( 𝑥𝑥 ), 𝐴𝐴 𝛼𝛼 ( 𝑦𝑦 )}
sehingga 𝐴𝐴 𝛼𝛼 ( 𝑥𝑥𝑦𝑦 ) ≤ max { 𝐴𝐴 𝛼𝛼 ( 𝑥𝑥 ), 𝐴𝐴 𝛼𝛼 ( 𝑦𝑦 ) }.
Selanjutnya, untuk sebarang 𝑥𝑥 −1 ∈ 𝐺𝐺 berlaku
𝐴𝐴 𝛼𝛼 ( 𝑥𝑥 −1 ) = max{ 𝐴𝐴 ( 𝑥𝑥 −1 ), 1 − 𝛼𝛼 } = max { 𝐴𝐴 ( 𝑥𝑥 ), 1 − 𝛼𝛼 } = 𝐴𝐴 𝛼𝛼 ( 𝑥𝑥 ) .
Berdasarkan analisa diatas, terbukti 𝐴𝐴 𝛼𝛼 merupakan anti subgrup fuzzy . ■
Selanjutnya suatu anti subset 𝛼𝛼 - fuzzy yang merupakan anti subgrup fuzzy disebut anti subgrup 𝛼𝛼 - fuzzy.
Kebalikan dari Proposisi 4.1.1  belum tentu berlaku. Sebagai ilustrasi dimisalkan 𝐺𝐺 = { 𝑒𝑒 , 𝑚𝑚 , 𝑏𝑏 , 𝑧𝑧 } merupakan grup dengan 𝑚𝑚 2 = 𝑏𝑏 2 = 𝑒𝑒 dan 𝑚𝑚𝑏𝑏 = 𝑏𝑏𝑚𝑚 = 𝑧𝑧 . Didefinisikan subset fuzzy 𝐴𝐴 dari 𝐺𝐺 sebagai berikut 𝐴𝐴 = {( 𝑒𝑒 , 0,5), ( 𝑚𝑚 , 0,4), ( 𝑏𝑏 , 0,3), ( 𝑧𝑧 , 0,2)} .
Jelas 𝐴𝐴 bukan anti subgrup fuzzy karena 𝐴𝐴 ( 𝑒𝑒 ) ≥ 𝐴𝐴 ( 𝑥𝑥 ) untuk setiap 𝑥𝑥 ∈ 𝐺𝐺 .
Selanjutnya, dipilih 𝛼𝛼 = 0,5 . Sehingga untuk setiap 𝑥𝑥 ∈ 𝐺𝐺 berlaku
𝐴𝐴 𝛼𝛼 ( 𝑥𝑥 ) = max{ 𝐴𝐴 ( 𝑥𝑥 ), 1 − 𝛼𝛼 } = 1 − 𝛼𝛼 .
Akibatnya,  untuk setiap 𝑥𝑥 , 𝑦𝑦 ∈ 𝐺𝐺 berlaku 𝐴𝐴 𝛼𝛼 ( 𝑥𝑥 ) = 𝐴𝐴 𝛼𝛼 ( 𝑦𝑦 ) dengan demikian memenuhi 𝐴𝐴 𝛼𝛼 ( 𝑥𝑥𝑦𝑦 ) = max { 𝐴𝐴 𝛼𝛼 ( 𝑥𝑥 ), 𝐴𝐴 𝛼𝛼 ( 𝑦𝑦 )} dan 𝐴𝐴 𝛼𝛼 ( 𝑥𝑥 −1 ) = 𝐴𝐴 𝛼𝛼 ( 𝑥𝑥 ) sehingga terbukti 𝐴𝐴 𝛼𝛼 merupakan anti subgrup fuzzy dari 𝐺𝐺 walaupun 𝐴𝐴 bukan anti subgrup fuzzy .
Jurnal Matematika Murni dan Terapan “εpsilon” http://ppjp.ulm.ac.id/journals/index.php/epsilon p-ISSN: 1978-4422 | e-ISSN 2656-7660 Vol.14 No.1 (Juni 2020) Hal. 10 -20
Selanjutnya dipaparkan proposisi syarat cukup 𝐴𝐴 𝛼𝛼 merupakan anti subgrup fuzzy walaukun 𝐴𝐴 bukan anti subgrup fuzzy .
Proposisi 4.1.2 Diberikan, subset fuzzy 𝐴𝐴 dari grup 𝐺𝐺 .  Jika 𝛼𝛼 ≤ 1 − 𝑞𝑞 dengan 𝑞𝑞 = 𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆 { 𝐴𝐴 ( 𝑥𝑥 )| 𝑥𝑥 ∈ 𝐺𝐺 , maka 𝐴𝐴 𝛼𝛼 merupakan anti subgrup fuzzy dari grup 𝐺𝐺 .
Bukti : Jika 𝛼𝛼 ≤ 1 − 𝑞𝑞 maka 𝑞𝑞 ≤ 1 − 𝛼𝛼 sehingga 𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆 { 𝐴𝐴 ( 𝑥𝑥 ) 𝑥𝑥 ∈ 𝐺𝐺 } ≤ 1 − 𝛼𝛼 . Dengan demikian untuk setiap 𝑥𝑥 ∈ 𝐺𝐺 berlaku 𝐴𝐴 ( 𝑥𝑥 ) ≤ 1 − 𝛼𝛼 ,  sehingga berlaku berlaku 𝐴𝐴 𝛼𝛼 ( 𝑥𝑥 ) = max{ 𝐴𝐴 ( 𝑥𝑥 ), 1 − 𝛼𝛼 } = 1 − 𝛼𝛼 untuk setiap 𝑥𝑥 ∈ 𝐺𝐺 .  Karena
𝐴𝐴 𝛼𝛼 ( 𝑥𝑥 ) = 1 − 𝛼𝛼 untuk setiap 𝑥𝑥 ∈ 𝐺𝐺 ,  diperoleh 𝐴𝐴 𝛼𝛼 ( 𝑥𝑥𝑦𝑦 ) = 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑥𝑥 { 𝐴𝐴 𝛼𝛼 ( 𝑥𝑥 ), 𝐴𝐴 𝛼𝛼 ( 𝑦𝑦 )} , dan 𝐴𝐴 𝛼𝛼 ( 𝑥𝑥 −1 ) = 𝐴𝐴 𝛼𝛼 ( 𝑥𝑥 ) . Terbukti 𝐴𝐴 𝛼𝛼 merupakan anti subgrup fuzzy dari grup 𝐺𝐺 . ■ Berikut ini diberikan sifat anti subgrup fuzzy terkait dengan elemen identitas dan invers pada anti subset 𝛼𝛼 - fuzzy .
Proposisi 4.1.3 Jika 𝐴𝐴 𝛼𝛼 adalah anti subgrup fuzzy dari grup 𝐺𝐺 , maka untuk setiap 𝑥𝑥 , 𝑦𝑦 ∈ 𝐺𝐺 berlaku
(i) 𝐴𝐴 𝛼𝛼 ( 𝑒𝑒 ) ≤ 𝐴𝐴 𝛼𝛼 ( 𝑥𝑥 ) . dengan 𝑒𝑒 identitas di 𝐺𝐺 . (ii) 𝐴𝐴 𝛼𝛼 ( 𝑥𝑥 −1 ) = 𝐴𝐴 𝛼𝛼 ( 𝑥𝑥 ) . (iii) Jika 𝐴𝐴 𝛼𝛼 ( 𝑥𝑥𝑦𝑦 −1 ) = 𝐴𝐴 𝛼𝛼 ( 𝑒𝑒 ) maka 𝐴𝐴 𝛼𝛼 ( 𝑥𝑥 ) = 𝐴𝐴 𝛼𝛼 ( 𝑦𝑦 ) .
Bukti : (i) Diambil sebarang 𝑥𝑥 ∈ 𝐺𝐺 , karena 𝐺𝐺 grup  dan 𝐴𝐴 𝛼𝛼 anti subgrup fuzzy , diperoleh
𝐴𝐴 𝛼𝛼 ( 𝑒𝑒 ) = 𝐴𝐴 𝛼𝛼 ( 𝑥𝑥𝑥𝑥 −1 ) ≤ max{ 𝐴𝐴 𝛼𝛼 ( 𝑥𝑥 ), 𝐴𝐴 𝛼𝛼 ( 𝑥𝑥 −1 )} = 𝐴𝐴 𝛼𝛼 ( 𝑥𝑥 ) .
Jadi, 𝐴𝐴 𝛼𝛼 ( 𝑒𝑒 ) ≤ 𝐴𝐴 𝛼𝛼 ( 𝑥𝑥 ) untuk setiap 𝑥𝑥 ∈ 𝐺𝐺 .
(ii) Diambil sebarang 𝑥𝑥 ∈ 𝐺𝐺 , karena 𝐺𝐺 grup,  berlaku 𝐴𝐴 𝛼𝛼 ( 𝑥𝑥 ) = 𝐴𝐴 𝛼𝛼 (( 𝑥𝑥 −1 ) −1 ) . Karena 𝐴𝐴 𝛼𝛼 anti subgrup fuzzy , sehingga diketahui 𝐴𝐴 𝛼𝛼 (( 𝑥𝑥 −1 ) −1 ) ≤ 𝐴𝐴 𝛼𝛼 ( 𝑥𝑥 −1 ) namun disisi lain 𝐴𝐴 𝛼𝛼 ( 𝑥𝑥 −1 ) ≤ 𝐴𝐴 𝛼𝛼 ( 𝑥𝑥 ) . Akibatnya, 𝐴𝐴 𝛼𝛼 ( 𝑥𝑥 −1 ) = 𝐴𝐴 𝛼𝛼 ( 𝑥𝑥 ) untuk setiap 𝑥𝑥 ∈ 𝐺𝐺 .
(iii)  Diambil sebarang 𝑥𝑥 , 𝑦𝑦 ∈ 𝐺𝐺 , karena 𝐺𝐺 grup dan 𝐴𝐴 𝛼𝛼 anti subgrup fuzzy , diperoleh
𝐴𝐴 𝛼𝛼 ( 𝑥𝑥 ) = 𝐴𝐴 𝛼𝛼 �𝑥𝑥 ( 𝑦𝑦 −1 𝑦𝑦 ) � = 𝐴𝐴 𝛼𝛼 � ( 𝑥𝑥𝑦𝑦 −1 ) 𝑦𝑦� ≤ max{ 𝐴𝐴 𝛼𝛼 ( 𝑥𝑥𝑦𝑦 −1 ), 𝐴𝐴 𝛼𝛼 ( 𝑦𝑦 )} = max{ 𝐴𝐴 𝛼𝛼 ( 𝑒𝑒 ), 𝐴𝐴 𝛼𝛼 ( 𝑦𝑦 )} = 𝐴𝐴 𝛼𝛼 ( 𝑦𝑦 ) . 𝐴𝐴 𝛼𝛼 ( 𝑦𝑦 ) = 𝐴𝐴 𝛼𝛼 �𝑦𝑦 ( 𝑥𝑥 −1 𝑥𝑥 ) � = 𝐴𝐴 𝛼𝛼 � ( 𝑦𝑦𝑥𝑥 −1 ) 𝑥𝑥� ≤ max{ 𝐴𝐴 𝛼𝛼 ( 𝑦𝑦𝑥𝑥 −1 ), 𝐴𝐴 𝛼𝛼 ( 𝑥𝑥 )} = max{ 𝐴𝐴 𝛼𝛼 ( 𝑒𝑒 ), 𝐴𝐴 𝛼𝛼 ( 𝑥𝑥 )} = 𝐴𝐴 𝛼𝛼 ( 𝑥𝑥 ) .
Jadi, 𝐴𝐴 𝛼𝛼 ( 𝑥𝑥 ) = 𝐴𝐴 𝛼𝛼 ( 𝑦𝑦 ) . ■
Proposisi 4.1.4 Diberikan 𝐴𝐴 suatu subset fuzzy dari grup 𝐺𝐺 dan 𝛼𝛼 ∈ [0,1] . 𝐴𝐴 𝛼𝛼 adalah anti subgrup fuzzy jika dan hanya jika untuk setiap 𝑥𝑥 , 𝑦𝑦 ∈ 𝐺𝐺 berlaku 𝐴𝐴 𝛼𝛼 ( 𝑥𝑥𝑦𝑦 −1 ) ≤ max { 𝐴𝐴 𝛼𝛼 ( 𝑥𝑥 ), 𝐴𝐴 𝛼𝛼 ( 𝑦𝑦 )} .
Bukti : ( ⇒ ) 𝐴𝐴 𝛼𝛼 ( 𝑥𝑥𝑦𝑦 −1 ) ≤ max{ 𝐴𝐴 𝛼𝛼 ( 𝑥𝑥 ), 𝐴𝐴 𝛼𝛼 ( 𝑦𝑦 −1 )} = max{ 𝐴𝐴 𝛼𝛼 ( 𝑥𝑥 ), 𝐴𝐴 𝛼𝛼 ( 𝑦𝑦 )}
( ⇐ ) Diambil sebarang 𝑥𝑥 ∈ 𝐺𝐺 , karena 𝐺𝐺 grup sehingga berlaku
Jurnal Matematika Murni dan Terapan “εpsilon” http://ppjp.ulm.ac.id/journals/index.php/epsilon p-ISSN: 1978-4422 | e-ISSN 2656-7660 Vol.14 No.1 (Juni 2020) Hal. 10
-20 𝐴𝐴 𝛼𝛼 ( 𝑒𝑒 ) = 𝐴𝐴 𝛼𝛼 ( 𝑥𝑥𝑥𝑥 −1 ) ≤ max{ 𝐴𝐴 𝛼𝛼 ( 𝑥𝑥 ), 𝐴𝐴 𝛼𝛼 ( 𝑥𝑥 )} = 𝐴𝐴 𝛼𝛼 ( 𝑥𝑥 ) .
Jadi diketahui 𝐴𝐴 𝛼𝛼 ( 𝑒𝑒 ) ≤ 𝐴𝐴 𝛼𝛼 ( 𝑥𝑥 ) .
Selanjutnya, diambil sebarang 𝑥𝑥 −1 ∈ 𝐺𝐺 , sehingga
𝐴𝐴 𝛼𝛼 ( 𝑥𝑥 −1 ) = 𝐴𝐴 𝛼𝛼 ( 𝑒𝑒𝑥𝑥 −1 ) ≤ max{ 𝐴𝐴 𝛼𝛼 ( 𝑒𝑒 ), 𝐴𝐴 𝛼𝛼 ( 𝑥𝑥 )} = 𝐴𝐴 𝛼𝛼 ( 𝑥𝑥 ) . Jadi 𝐴𝐴 𝛼𝛼 ( 𝑥𝑥 −1 ) ≤ 𝐴𝐴 𝛼𝛼 ( 𝑥𝑥 ) .
Diambil sebarang 𝑥𝑥 , 𝑦𝑦 ∈ 𝐺𝐺 , karena 𝐺𝐺 grup sehingga berlaku 𝐴𝐴 𝛼𝛼 ( 𝑥𝑥𝑦𝑦 ) = 𝐴𝐴 𝛼𝛼 ( 𝑥𝑥 ( 𝑦𝑦 −1 ) −1 ) ≤ max{ 𝐴𝐴 𝛼𝛼 ( 𝑥𝑥 ), 𝐴𝐴 𝛼𝛼 ( 𝑦𝑦 −1 )} = max{ 𝐴𝐴 𝛼𝛼 ( 𝑥𝑥 ), 𝐴𝐴 𝛼𝛼 ( 𝑦𝑦 )} .
Berdasarkan analisa diatas, terbukti 𝐴𝐴 𝛼𝛼 anti subgrup fuzzy . ■
Selanjutnya dipaparkan sifat gabungan dari dua anti subgrup 𝛼𝛼 - fuzzy dari grup 𝐺𝐺 sebagai berikut.
Proposisi 4.1.5 Jika 𝐴𝐴 𝛼𝛼 dan 𝐵𝐵 𝛼𝛼 merupakan anti subgrup fuzzy dari grup 𝐺𝐺 , maka ( 𝐴𝐴 ∪ 𝐵𝐵 ) 𝛼𝛼 adalah anti subgrup fuzzy dari grup 𝐺𝐺 .
Bukti : Diambil sebarang 𝑥𝑥 , 𝑦𝑦 ∈ 𝐺𝐺 , diperoleh ( 𝐴𝐴 ∪ 𝐵𝐵 ) 𝛼𝛼 ( 𝑥𝑥𝑦𝑦 −1 ) = ( 𝐴𝐴 𝛼𝛼 ∪ 𝐵𝐵 𝛼𝛼 )( 𝑥𝑥𝑦𝑦 −1 ) = max{ 𝐴𝐴 𝛼𝛼 ( 𝑥𝑥𝑦𝑦 −1 ), 𝐵𝐵 𝛼𝛼 ( 𝑥𝑥𝑦𝑦 −1 )} ≤ max {max{ 𝐴𝐴 𝛼𝛼 ( 𝑥𝑥 ), 𝐴𝐴 𝛼𝛼 ( 𝑦𝑦 −1 )} , max{ 𝐵𝐵 𝛼𝛼 ( 𝑥𝑥 ), 𝐵𝐵 𝛼𝛼 ( 𝑦𝑦 −1 )}} = max {max{ 𝐴𝐴 𝛼𝛼 ( 𝑥𝑥 ), 𝐵𝐵 𝛼𝛼 ( 𝑥𝑥 )} , max{ 𝐴𝐴 𝛼𝛼 ( 𝑦𝑦 ), 𝐵𝐵 𝛼𝛼 ( 𝑦𝑦 )}} = max{ ( 𝐴𝐴 𝛼𝛼 ∪ 𝐵𝐵 𝛼𝛼 )( 𝑥𝑥 ), ( 𝐴𝐴 𝛼𝛼 ∪ 𝐵𝐵 𝛼𝛼 )( 𝑦𝑦 ) .
Berdasarkan Proposisi 4.1.4, terbukti ( 𝐴𝐴 ∪ 𝐵𝐵 ) 𝛼𝛼 anti subgrup fuzzy dari grup 𝐺𝐺 . ■ Irisan dari dua anti subgrup 𝛼𝛼 - fuzzy dari grup 𝐺𝐺 belum tentu anti subgrup 𝛼𝛼 - fuzzy dari grup 𝐺𝐺 . Diberikan contoh sebagai berikut.
Misal 𝐺𝐺 = 𝑍𝑍 , merupakan grup bilangan bulat dibawah operasi penjumlahan. Dinotasikan dua buah anti subgrup fuzzy sebagai berikut.
𝐴𝐴 ( 𝑥𝑥 ) = � 0,6 , 𝐽𝐽𝑚𝑚𝐽𝐽𝑚𝑚 𝑥𝑥 = 2 𝑍𝑍 0,83 , 𝑦𝑦𝑚𝑚𝑚𝑚𝑔𝑔 𝑙𝑙𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 Dan 𝐵𝐵 ( 𝑥𝑥 ) = � 0,7 , 𝐽𝐽𝑚𝑚𝐽𝐽𝑚𝑚 𝑥𝑥 = 3 𝑍𝑍 0,8 , 𝑦𝑦𝑚𝑚𝑚𝑚𝑔𝑔 𝑙𝑙𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 Selanjutnya, ( 𝐴𝐴 ∩ 𝐵𝐵 )( 𝑥𝑥 ) = min{ 𝐴𝐴 ( 𝑥𝑥 ), 𝐵𝐵 ( 𝑥𝑥 )} diperoleh
( 𝐴𝐴 ∩ 𝐵𝐵 )( 𝑥𝑥 ) = � 0,6, 𝐽𝐽𝑚𝑚𝐽𝐽𝑚𝑚 𝑥𝑥 ∈ 2 𝑍𝑍 0,7, 𝐽𝐽𝑚𝑚𝐽𝐽𝑚𝑚 𝑥𝑥 ∈ 3 𝑍𝑍 − 2 𝑍𝑍 0,8, 𝑦𝑦𝑚𝑚𝑚𝑚𝑔𝑔 𝑙𝑙𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 Diambil 𝑥𝑥 = 2 dan 𝑦𝑦 = 3 maka ( 𝐴𝐴 ∩ 𝐵𝐵 )( 𝑥𝑥 ) = 0,6 , ( 𝐴𝐴 ∩ 𝐵𝐵 )( 𝑦𝑦 ) = 0,7 , kemudian ( 𝐴𝐴 ∩ 𝐵𝐵 )( 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 ) = ( 𝐴𝐴 ∩ 𝐵𝐵 )(2 + 3) = ( 𝐴𝐴 ∩ 𝐵𝐵 )(5) = 0,8 . Sedangkan max{( 𝐴𝐴 ∩ 𝐵𝐵 )( 𝑥𝑥 ), ( 𝐴𝐴 ∩ 𝐵𝐵 )( 𝑦𝑦 )} = max{0,6 , 0,7} = 0,7.
Sehingga ( 𝐴𝐴 ∩ 𝐵𝐵 )( 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 ) > max{( 𝐴𝐴 ∩ 𝐵𝐵 )( 𝑥𝑥 ), ( 𝐴𝐴 ∩ 𝐵𝐵 )( 𝑦𝑦 )} . Jadi ( 𝐴𝐴 ∩ 𝐵𝐵 ) bukan anti subgrup fuzzy , sehingga jelas ( 𝐴𝐴 ∩ 𝐵𝐵 ) 𝛼𝛼 belum tentu anti subgrup fuzzy .
4.2 Anti Subgrup Normal 𝜶𝜶 -Fuzzy
Jurnal Matematika Murni dan Terapan “εpsilon” http://ppjp.ulm.ac.id/journals/index.php/epsilon p-ISSN: 1978-4422 | e-ISSN 2656-7660 Vol.14 No.1 (Juni 2020) Hal. 10 -20 Proposisi 4.2.1 Jika 𝐴𝐴 anti subgrup normal fuzzy dari grup 𝐺𝐺 , maka 𝐴𝐴 𝛼𝛼 anti subgrup fuzzy dari grup 𝐺𝐺 .
Bukti : Diambil sebarang 𝑥𝑥 , 𝑦𝑦 ∈ 𝐺𝐺 , diperoleh
𝐴𝐴 𝛼𝛼 ( 𝑥𝑥𝑦𝑦 ) = max { 𝐴𝐴 ( 𝑥𝑥𝑦𝑦 ), 1 − 𝛼𝛼 }
= max { 𝐴𝐴 ( 𝑦𝑦𝑥𝑥 ), 1 − 𝛼𝛼 } = 𝐴𝐴 𝛼𝛼 ( 𝑦𝑦𝑥𝑥 )
Jadi 𝐴𝐴 𝛼𝛼 anti subgrup normal fuzzy dair grup 𝐺𝐺 . ■
Selanjutnya suatu anti subset 𝛼𝛼 - fuzzy yang merupakan anti subgrup normal fuzzy disebut anti subgrup normal 𝛼𝛼 - fuzzy.
Kebalikan dari Proposisi (4.2.1) belum tentu berlaku. Sebagai ilustrasi dimisalkan 𝐺𝐺 = { 𝑚𝑚 , 𝑏𝑏 , 𝑚𝑚𝑏𝑏 , 𝑏𝑏𝑚𝑚 , 𝑚𝑚 2 , 𝑒𝑒 } adalah grup dengan 𝑚𝑚 3 = 𝑏𝑏 2 = 𝑒𝑒 dan 𝑏𝑏𝑚𝑚 = 𝑚𝑚 2 𝑏𝑏 . Selanjutnya didefinisikan anti subgrup fuzzy 𝐴𝐴 dari 𝐺𝐺 sebagai berikut.
𝐴𝐴 ( 𝑥𝑥 ) = � 0,1 , 𝐽𝐽𝑚𝑚𝐽𝐽𝑚𝑚 𝑥𝑥 = 𝑏𝑏 , 𝑥𝑥 = 𝑒𝑒 0,2 , 𝐽𝐽𝑚𝑚𝐽𝐽𝑚𝑚 𝑥𝑥 ≠ 𝑏𝑏 , 𝑥𝑥 ≠ 𝑒𝑒
Jelas A bukan anti subgrup normal fuzzy karena terdapat 𝑚𝑚 2 , 𝑏𝑏𝑚𝑚 ∈ 𝐺𝐺 sedemikian
𝐴𝐴 ( 𝑚𝑚 2 ( 𝑏𝑏𝑚𝑚 ) = 0,2 ≠ 0,1 = 𝐴𝐴 (( 𝑏𝑏𝑚𝑚 ) 𝑚𝑚 2 ) .
Selanjutnya, diambil 𝛼𝛼 = 0,6 sehingga untuk setiap 𝑥𝑥 , 𝑔𝑔 ∈ 𝐺𝐺 berlaku 𝑥𝑥𝐴𝐴 𝛼𝛼 ( 𝑔𝑔 ) = max{ 𝐴𝐴 ( 𝑥𝑥 −1 𝑔𝑔 ), 1 − 𝛼𝛼 } = 1 − 𝛼𝛼 = max{ 𝐴𝐴 ( 𝑔𝑔𝑥𝑥 −1 ), 1 − 𝛼𝛼 } = 𝐴𝐴 𝛼𝛼 𝑥𝑥 ( 𝑔𝑔 )
Jadi 𝐴𝐴 𝛼𝛼 adalah anti subgrup normal fuzzy .
Selanjutnya akan dipaparkan syarat cukup 𝐴𝐴 𝛼𝛼 selalu merupakan anti subgrup fuzzy yaitu jika memenuhi proposisi sebagai berikut.
Proposisi  4.2.2 Diberikan 𝐴𝐴 merupakan anti subgrup fuzzy dari grup 𝐺𝐺 . Jika 𝛼𝛼 ≤ 1 − 𝑞𝑞 dengan 𝑞𝑞 = sup { 𝐴𝐴 ( 𝑥𝑥 )| 𝑥𝑥 ∈ 𝐺𝐺 } , maka 𝐴𝐴 𝛼𝛼 merupakan anti subgrup normal fuzzy dari grup 𝐺𝐺 .
Bukti :  Jika 𝛼𝛼 ≤ 1 − 𝑞𝑞 , maka 𝑞𝑞 ≤ 1 − 𝛼𝛼 ,  sehingga  diperoleh 𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆 { 𝐴𝐴 ( 𝑥𝑥 )| 𝑥𝑥 ∈
𝐺𝐺 } ≤ 1 − 𝛼𝛼 atau dengan kata lain untuk setiap 𝑥𝑥 ∈ 𝐺𝐺 berlaku 𝐴𝐴 ( 𝑥𝑥 ) ≤ 1 − 𝛼𝛼 , dengan demikian diperoleh
𝐴𝐴 𝛼𝛼 ( 𝑥𝑥 ) = max{ 𝐴𝐴 ( 𝑥𝑥 ), 1 − 𝛼𝛼 } = 1 − 𝛼𝛼 .
Akibatnya, untuk  sebarang 𝑥𝑥 , 𝑦𝑦 ∈ 𝐺𝐺 , berlaku 𝐴𝐴 𝛼𝛼 ( 𝑥𝑥𝑦𝑦 ) = max{ 𝐴𝐴 ( 𝑥𝑥𝑦𝑦 ), 1 − 𝛼𝛼 } = 1 − 𝛼𝛼 , dan 𝐴𝐴 𝛼𝛼 ( 𝑦𝑦𝑥𝑥 ) = max{ 𝐴𝐴 ( 𝑦𝑦𝑥𝑥 ), 1 − 𝛼𝛼 } = 1 − 𝛼𝛼 . Jadi 𝐴𝐴 𝛼𝛼 ( 𝑥𝑥𝑦𝑦 ) = 𝐴𝐴 𝛼𝛼 ( 𝑦𝑦𝑥𝑥 ) .
Jadi, terbukti 𝐴𝐴 𝛼𝛼 adalah anti subgrup normal fuzzy . ■
Proposisi 4.2.3 Misalkan 𝐴𝐴 adalah anti subgrup normal fuzzy . Pernyataan berikut ekuivalen untuk setiap 𝑥𝑥 , 𝑦𝑦 ∈ 𝐺𝐺 .
(i) 𝐴𝐴 𝛼𝛼 ( 𝑥𝑥𝑦𝑦 ) = 𝐴𝐴 𝛼𝛼 ( 𝑦𝑦𝑥𝑥 ) . (ii) 𝐴𝐴 𝛼𝛼 ( 𝑦𝑦𝑥𝑥𝑦𝑦 −1 ) = 𝐴𝐴 𝛼𝛼 ( 𝑥𝑥 ) .
Bukti : (i) ⇒ (ii) Diambil sebarang 𝑥𝑥 , 𝑦𝑦 ∈ 𝐺𝐺 , sehingga
𝐴𝐴 𝛼𝛼 ( 𝑦𝑦𝑥𝑥𝑦𝑦 −1 ) = 𝐴𝐴 𝛼𝛼 (( 𝑦𝑦𝑥𝑥 ) 𝑦𝑦 −1 ) = 𝐴𝐴 𝛼𝛼 (( 𝑦𝑦 −1 𝑦𝑦 ) 𝑥𝑥 ) = 𝐴𝐴 𝛼𝛼 ( 𝑥𝑥 )
Jadi 𝐴𝐴 𝛼𝛼 ( 𝑦𝑦𝑥𝑥𝑦𝑦 −1 ) = 𝐴𝐴 𝛼𝛼 ( 𝑥𝑥 ) .
Jurnal Matematika Murni dan Terapan “εpsilon” http://ppjp.ulm.ac.id/journals/index.php/epsilon p-ISSN: 1978-4422 | e-ISSN 2656-7660 Vol.14 No.1 (Juni 2020) Hal. 10 -20
(ii) ⇒ (i) Diambil sebarang 𝑥𝑥 , 𝑦𝑦 ∈ 𝐺𝐺 , berdasarkan (ii) diperoleh
𝐴𝐴 𝛼𝛼 ( 𝑥𝑥𝑦𝑦 ) = 𝐴𝐴 𝛼𝛼 ( 𝑦𝑦 ( 𝑥𝑥𝑦𝑦 ) 𝑦𝑦 −1 ) = max{ 𝐴𝐴 ( 𝑦𝑦 ( 𝑥𝑥𝑦𝑦 ) 𝑦𝑦 −1 ) , 1 − 𝛼𝛼 } = max{ 𝐴𝐴 (( 𝑦𝑦𝑥𝑥 ) 𝑦𝑦𝑦𝑦 −1 ) , 1 − 𝛼𝛼 } = max{ 𝐴𝐴 ( 𝑦𝑦𝑥𝑥 ) , 1 − 𝛼𝛼 } = 𝐴𝐴 𝛼𝛼 ( 𝑦𝑦𝑥𝑥 )
Jadi 𝐴𝐴 𝛼𝛼 ( 𝑥𝑥𝑦𝑦 ) = 𝐴𝐴 𝛼𝛼 ( 𝑦𝑦𝑥𝑥 ) . ■
Proposisi 4.2.4 Jika 𝐴𝐴 𝛼𝛼 merupakan anti subgrup fuzzy dari grup 𝐺𝐺 ,  maka subset 𝐺𝐺 𝐴𝐴 𝛼𝛼 = { 𝑥𝑥 ∈ 𝐺𝐺 | 𝐴𝐴 𝛼𝛼 ( 𝑥𝑥 ) = 𝐴𝐴 𝛼𝛼 ( 𝑒𝑒 )} merupakan subgrup normal dari 𝐺𝐺 .
Bukti :
Berdasarkan definisi 𝐺𝐺 𝐴𝐴 𝛼𝛼 jelas 𝐺𝐺 𝐴𝐴 𝛼𝛼 ⊆ 𝐺𝐺 dan 𝐺𝐺 𝐴𝐴 𝛼𝛼 bukan himpunan kosong karena terdapat 𝑒𝑒 ∈ 𝐺𝐺 𝐴𝐴 𝛼𝛼 .
Diambil sebarang 𝑥𝑥 , 𝑦𝑦 ∈ 𝐺𝐺 , diperoleh
𝐴𝐴 𝛼𝛼 ( 𝑥𝑥𝑦𝑦 −1 ) ≤ max { 𝐴𝐴 𝛼𝛼 ( 𝑥𝑥 ), 𝐴𝐴 𝛼𝛼 ( 𝑦𝑦 ) = max { 𝐴𝐴 𝛼𝛼 ( 𝑒𝑒 ), 𝐴𝐴 𝛼𝛼 ( 𝑒𝑒 ) = 𝐴𝐴 𝛼𝛼 ( 𝑒𝑒 ) ,
Sehingga 𝐴𝐴 𝛼𝛼 ( 𝑥𝑥𝑦𝑦 −1 ) ≤ 𝐴𝐴 𝛼𝛼 ( 𝑒𝑒 ) , namun disisi lain diketahui 𝐴𝐴 𝛼𝛼 ( 𝑒𝑒 ) ≤ 𝐴𝐴 𝛼𝛼 ( 𝑥𝑥𝑦𝑦 −1 ) . Akibatnya 𝐴𝐴 𝛼𝛼 ( 𝑥𝑥𝑦𝑦 −1 ) = 𝐴𝐴 𝛼𝛼 ( 𝑒𝑒 ) , berdasarkan definisi 𝐺𝐺 𝐴𝐴 𝛼𝛼 diperoleh 𝑥𝑥𝑦𝑦 −1 ∈ 𝐺𝐺 𝐴𝐴 𝛼𝛼 .
Selanjutnya, diambil sebarang 𝑥𝑥 ∈ 𝐺𝐺 𝐴𝐴 𝛼𝛼 dan 𝑦𝑦 ∈ 𝐺𝐺 , diperoleh 𝐴𝐴 𝛼𝛼 ( 𝑦𝑦 −1 𝑥𝑥𝑦𝑦 ) =
𝐴𝐴 𝛼𝛼 ( 𝑥𝑥 ) = 𝐴𝐴 𝛼𝛼 ( 𝑒𝑒 ) . Jadi 𝐺𝐺 𝐴𝐴 𝛼𝛼 subgrup normal dari G. ■
Proposisi 4.2.5 Jika 𝐴𝐴 𝛼𝛼 merupakan anti subgrup normal fuzzy dari grup 𝐺𝐺 , maka untuk setiap 𝑥𝑥 , 𝑦𝑦 ∈ 𝐺𝐺 berlaku
(i) 𝑦𝑦𝐴𝐴 𝛼𝛼 = 𝑥𝑥𝐴𝐴 𝛼𝛼 ⟺ 𝑦𝑦 −1 𝑥𝑥 ∈ 𝐺𝐺 𝐴𝐴 𝛼𝛼 .
(ii) 𝐴𝐴 𝛼𝛼 𝑦𝑦 = 𝐴𝐴 𝛼𝛼 𝑥𝑥 ⟺ 𝑦𝑦𝑥𝑥 −1 ∈ 𝐺𝐺 𝐴𝐴 𝛼𝛼 .
Bukti : (i) ( ⇒ ) Diketahui 𝑦𝑦𝐴𝐴 𝛼𝛼 = 𝑥𝑥𝐴𝐴 𝛼𝛼 untuk sebarang 𝑥𝑥 , 𝑦𝑦 ∈ 𝐺𝐺 ,  sehingga  untuk suatu 𝑥𝑥 ∈ 𝐺𝐺 berlaku
𝑦𝑦𝐴𝐴 𝛼𝛼 ( 𝑥𝑥 ) = 𝑥𝑥𝐴𝐴 𝛼𝛼 ( 𝑥𝑥 ) ⇔ 𝐴𝐴 𝛼𝛼 ( 𝑦𝑦 −1 𝑥𝑥 ) = 𝐴𝐴 𝛼𝛼 ( 𝑥𝑥 −1 𝑥𝑥 ) = 𝐴𝐴 𝛼𝛼 ( 𝑒𝑒 ) .
Karena 𝐴𝐴 𝛼𝛼 ( 𝑦𝑦 −1 𝑥𝑥 ) = 𝐴𝐴 𝛼𝛼 ( 𝑒𝑒 ) berdasarkan definisi 𝐺𝐺 𝐴𝐴 𝛼𝛼 diperoleh 𝑦𝑦 −1 𝑥𝑥 ∈ 𝐺𝐺 𝐴𝐴 𝛼𝛼 .
( ⇐ ) Diketahui 𝑦𝑦 −1 𝑥𝑥 ∈ 𝐺𝐺 𝐴𝐴 𝛼𝛼 , sehingga 𝐴𝐴 𝛼𝛼 ( 𝑦𝑦 −1 𝑥𝑥 ) = 𝐴𝐴 𝛼𝛼 ( 𝑒𝑒 ) .
Diambil sebarang 𝑦𝑦 , 𝑔𝑔 ∈ 𝐺𝐺 , sehingga koset kiri dari 𝑦𝑦𝐴𝐴 𝛼𝛼 : 𝐺𝐺 → [0,1] adalah
𝑦𝑦𝐴𝐴 𝛼𝛼 ( 𝑔𝑔 ) = 𝐴𝐴 𝛼𝛼 ( 𝑦𝑦 −1 𝑔𝑔 ) = 𝐴𝐴 𝛼𝛼 ( 𝑦𝑦 −1 ( 𝑥𝑥𝑥𝑥 −1 ) 𝑔𝑔 ) = 𝐴𝐴 𝛼𝛼 � ( 𝑦𝑦 −1 𝑥𝑥 )( 𝑥𝑥 −1 𝑔𝑔 ) � ≤ max { 𝐴𝐴 𝛼𝛼 ( 𝑦𝑦 −1 𝑥𝑥 ), 𝐴𝐴 𝛼𝛼 ( 𝑥𝑥 −1 𝑔𝑔 )} = max { 𝐴𝐴 𝛼𝛼 ( 𝑒𝑒 ), 𝐴𝐴 𝛼𝛼 ( 𝑥𝑥 −1 𝑔𝑔 )} = 𝐴𝐴 𝛼𝛼 ( 𝑥𝑥 −1 𝑔𝑔 ) = 𝑥𝑥𝐴𝐴 𝛼𝛼 ( 𝑔𝑔 ) ,
Jurnal Matematika Murni dan Terapan “εpsilon” http://ppjp.ulm.ac.id/journals/index.php/epsilon p-ISSN: 1978-4422 | e-ISSN 2656-7660 Vol.14 No.1 (Juni 2020) Hal. 10 -20 diperoleh, 𝑦𝑦𝐴𝐴 𝛼𝛼 ( 𝑔𝑔 ) ≤ 𝑥𝑥𝐴𝐴 𝛼𝛼 ( 𝑔𝑔 ) .
Selanjutnya dengan menukar peran 𝑦𝑦 dan 𝑥𝑥 pada pembuktian diatas, dapat diperoleh 𝑥𝑥𝐴𝐴 𝛼𝛼 ( 𝑔𝑔 ) ≤ 𝑦𝑦𝐴𝐴 𝛼𝛼 ( 𝑔𝑔 ) . Akibatnya, diperoleh 𝑦𝑦𝐴𝐴 𝛼𝛼 ( 𝑔𝑔 ) = 𝑥𝑥𝐴𝐴 𝛼𝛼 ( 𝑔𝑔 ) . (ii) Pembuktian mengikuti cara yang sama pada bagian (i). ■
Proposisi  4.2.6 Diberikan  anti subgrup normal fuzzy 𝐴𝐴 𝛼𝛼 dari grup 𝐺𝐺 dan 𝑆𝑆 , 𝑣𝑣 , 𝑥𝑥 , 𝑦𝑦 ∈ 𝐺𝐺 , maka :
(i) Jika 𝑥𝑥𝐴𝐴 𝛼𝛼 = 𝑆𝑆𝐴𝐴 𝛼𝛼 dan 𝑦𝑦𝐴𝐴 𝛼𝛼 = 𝑣𝑣𝐴𝐴 𝛼𝛼 maka 𝑥𝑥𝑦𝑦𝐴𝐴 𝛼𝛼 = 𝑆𝑆𝑣𝑣𝐴𝐴 𝛼𝛼 .
(ii) Jika 𝐴𝐴 𝛼𝛼 𝑥𝑥 = 𝐴𝐴 𝛼𝛼 𝑆𝑆 dan 𝐴𝐴 𝛼𝛼 𝑦𝑦 = 𝐴𝐴 𝛼𝛼 𝑣𝑣 maka 𝐴𝐴 𝛼𝛼 𝑆𝑆𝑣𝑣 = 𝐴𝐴 𝛼𝛼 𝑆𝑆𝑣𝑣 .
Bukti : (i) Misal 𝑥𝑥𝐴𝐴 𝛼𝛼 = 𝑆𝑆𝐴𝐴 𝛼𝛼 dan 𝑦𝑦𝐴𝐴 𝛼𝛼 = 𝑣𝑣𝐴𝐴 𝛼𝛼 , maka 𝑥𝑥 −1 𝑆𝑆 , 𝑦𝑦 −1 𝑣𝑣 ∈ 𝐺𝐺 𝐴𝐴 𝛼𝛼 .
Selanjutnya diambil 𝑆𝑆 , 𝑣𝑣 , 𝑥𝑥 , 𝑦𝑦 ∈ 𝐺𝐺 sedemikian
𝐴𝐴 𝛼𝛼 � ( 𝑥𝑥𝑦𝑦 ) −1 ( 𝑆𝑆𝑣𝑣 ) � = 𝐴𝐴 𝛼𝛼 ( 𝑦𝑦 −1 𝑥𝑥 −1 𝑆𝑆𝑣𝑣 ) = 𝐴𝐴 𝛼𝛼 � ( 𝑥𝑥 −1 𝑆𝑆 )( 𝑦𝑦 −1 𝑣𝑣 ) � ≤ max{ 𝐴𝐴 𝛼𝛼 ( 𝑥𝑥 −1 𝑆𝑆 ), 𝐴𝐴 𝛼𝛼 ( 𝑦𝑦 −1 𝑣𝑣 )} = max{ 𝐴𝐴 𝛼𝛼 ( 𝑒𝑒 ), 𝐴𝐴 𝛼𝛼 ( 𝑒𝑒 )} = 𝐴𝐴 𝛼𝛼 ( 𝑒𝑒 ) ,
diperoleh 𝐴𝐴 𝛼𝛼 � ( 𝑥𝑥𝑦𝑦 ) −1 ( 𝑆𝑆𝑣𝑣 ) � ≤ 𝐴𝐴 𝛼𝛼 ( 𝑒𝑒 ) , namun disisi lain diketahui 𝐴𝐴 𝛼𝛼 ( 𝑒𝑒 ) ≤ 𝐴𝐴 𝛼𝛼 ( 𝑚𝑚 ) untuk setiap 𝑚𝑚 ∈ 𝐺𝐺 sehingga diperoleh 𝐴𝐴 𝛼𝛼 � ( 𝑥𝑥𝑦𝑦 ) −1 ( 𝑆𝑆𝑣𝑣 ) � = 𝐴𝐴 𝛼𝛼 ( 𝑒𝑒 ) .
Berdasarkan Proposisi (4.2.5) terbukti 𝑥𝑥𝑦𝑦𝐴𝐴 𝛼𝛼 = 𝑆𝑆𝑣𝑣𝐴𝐴 𝛼𝛼 .
(ii) Pembuktian mengikuti cara yang sama pada (i). ■
Selanjutnya akan disajikan proposisi yang berkaitan dengan grup faktor dari anti subgrup normal 𝛼𝛼 - fuzzy sebagai berikut.
Proposisi 4.2.7 Diberikan 𝐺𝐺 / 𝐴𝐴 𝛼𝛼 kumpulan semua  anti fuzzy koset dari anti subgrup normal fuzzy 𝐴𝐴 𝛼𝛼 dengan definisi 𝐺𝐺 / 𝐴𝐴 𝛼𝛼 = { 𝐴𝐴 𝛼𝛼 𝑥𝑥 | 𝑥𝑥 ∈ 𝐺𝐺 } . Operasi “ ⊗ ” merupakan operasi biner pada 𝐺𝐺 / 𝐴𝐴 𝛼𝛼 dengan definisi
𝐴𝐴 𝛼𝛼 𝑥𝑥 ⊗ 𝐴𝐴 𝛼𝛼 𝑦𝑦 = 𝐴𝐴 𝛼𝛼 𝑥𝑥𝑦𝑦 , ∀ 𝐴𝐴 𝛼𝛼 𝑥𝑥 , 𝐴𝐴 𝛼𝛼 𝑦𝑦 ∈ 𝐺𝐺 / 𝐴𝐴 𝛼𝛼 .
Bukti : Misal 𝐴𝐴 𝛼𝛼 𝑥𝑥 = 𝐴𝐴 𝛼𝛼 𝑥𝑥 ′ dan 𝐴𝐴 𝛼𝛼 𝑦𝑦 = 𝐴𝐴 𝛼𝛼 𝑦𝑦 ′ untuk sebarang 𝑥𝑥 , 𝑦𝑦 , 𝑥𝑥 ′ , 𝑦𝑦 ′ ∈ 𝐺𝐺 , maka berdasarkan Proposisi (4.2.6) bagian (ii) diperoleh 𝐴𝐴 𝛼𝛼 𝑥𝑥𝑦𝑦 = 𝐴𝐴 𝛼𝛼 𝑥𝑥′𝑦𝑦 ′
Diambil sebarang 𝑧𝑧 ∈ 𝐺𝐺 , berdasarkan definisi “ ⊗ ” sehingga ( 𝐴𝐴 𝛼𝛼 𝑥𝑥 ⊗ 𝐴𝐴 𝛼𝛼 𝑦𝑦 )( 𝑧𝑧 ) = 𝐴𝐴 𝛼𝛼 𝑥𝑥𝑦𝑦 ( 𝑧𝑧 ) = 𝐴𝐴 𝛼𝛼 𝑥𝑥′𝑦𝑦′
Jadi terbukti bahwa “ ⊗ ” well defined pada 𝐺𝐺 / 𝐴𝐴 𝛼𝛼 . ■
Proposisi 4.2.8 Diberikan 𝐴𝐴 𝛼𝛼 adalah anti subgrup normal fuzzy dari grup 𝐺𝐺 , maka subset 𝐺𝐺 / 𝐴𝐴 𝛼𝛼 adalah grup dengan operasi biner “ ⊗ ”.
Bukti : Mudah untuk menunjukkan bahwa identitas dari 𝐺𝐺 / 𝐴𝐴 𝛼𝛼 adalah 𝐴𝐴 𝛼𝛼 𝑒𝑒 dengan 𝑒𝑒 elemen identitas di 𝐺𝐺 , dan invers untuk setiap elemen 𝐴𝐴 𝛼𝛼 𝑥𝑥 adalah 𝐴𝐴 𝛼𝛼 𝑥𝑥 −1 .
Jurnal Matematika Murni dan Terapan “εpsilon” http://ppjp.ulm.ac.id/journals/index.php/epsilon p-ISSN: 1978-4422 | e-ISSN 2656-7660 Vol.14 No.1 (Juni 2020) Hal. 10 -20
Definisi 4.2.9 Diberikan 𝐴𝐴 𝛼𝛼 adalah anti subgrup normal fuzzy dari grup G , maka 𝐺𝐺 / 𝐴𝐴 𝛼𝛼 disebut grup faktor atau grup kosien dari G yang dibangun oleh anti subgrup normal fuzzy 𝐴𝐴 𝛼𝛼 .
Proposisi  4.2.10 Diberikan 𝐴𝐴 𝛼𝛼 adalah anti subgrup normal fuzzy dari grup G . Didefinisikan pemetaan 𝑓𝑓 : 𝐺𝐺 → 𝐺𝐺 / 𝐴𝐴 𝛼𝛼 dengan aturan 𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥 ) = 𝐴𝐴 𝛼𝛼 𝑥𝑥 untuk setiap 𝑥𝑥 ∈ 𝐺𝐺 , maka 𝑓𝑓 adalah epimorfisma dari G ke 𝐺𝐺 / 𝐴𝐴 𝛼𝛼 dan 𝐽𝐽𝑒𝑒𝑘𝑘 𝑓𝑓 = 𝐺𝐺 𝐴𝐴 𝛼𝛼 . (Homomorfisma 𝑓𝑓 disebut homomorfisma natural dari G ke 𝐺𝐺 / 𝐴𝐴 𝛼𝛼 )
Bukti  :  Diambil sebarang 𝑥𝑥 , 𝑦𝑦 ∈ 𝐺𝐺 , diperoleh 𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥𝑦𝑦 ) = 𝐴𝐴 𝛼𝛼 𝑥𝑥𝑦𝑦 = 𝐴𝐴 𝛼𝛼 𝑥𝑥𝐴𝐴 𝛼𝛼 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥 ) 𝑓𝑓 ( 𝑦𝑦 ) . Sehingga , 𝑓𝑓 homomorfisma.
Selanjutnya, berdasarkan definisi himpunan 𝐺𝐺 / 𝐴𝐴 𝛼𝛼 = { 𝐴𝐴 𝛼𝛼 𝑥𝑥 | 𝑥𝑥 ∈ 𝐺𝐺 } diketahui berlaku untuk setiap 𝑥𝑥′ ∈ 𝐺𝐺 / 𝐴𝐴 𝛼𝛼 terdapat 𝑥𝑥 ∈ 𝐺𝐺 sedemikian 𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥 ) = 𝐴𝐴 𝛼𝛼 ( 𝑥𝑥 ) = 𝑥𝑥′ . Jadi 𝑓𝑓 bersifat surjektif. ■
Menggunakan Proposisi 4.2.9, akan mudah menunjukkan grup 𝐺𝐺 / 𝐴𝐴 𝛼𝛼 isomorfik terhadap grup 𝐺𝐺 / 𝐺𝐺 𝐴𝐴 𝛼𝛼 . Berikut disajikan Akibat dari Proposisi  (4.2.10) sebagai berikut.
Akibat 4.2.11 Diberikan 𝐴𝐴 𝛼𝛼 adalah anti subgrup normal fuzzy dari grup G , maka grup 𝐺𝐺 / 𝐴𝐴 𝛼𝛼 isomorfik terhadap grup kosien 𝐺𝐺 / 𝐺𝐺 𝐴𝐴 𝛼𝛼 . Dinotasikan 𝐺𝐺 / 𝐺𝐺 𝐴𝐴 𝛼𝛼 ≅ 𝐺𝐺 / 𝐴𝐴 𝛼𝛼 .

## 5. KESIMPULAN
Berdasarkan hasil dan pembahasan dari penelitian diperoleh kesimpulan sebagai berikut :
1. Jika suatu subset fuzzy A dari grup G merupakan anti subgrup fuzzy (anti subgrup  normal fuzzy ) maka anti subset α - fuzzy A juga merupakan anti subgrup fuzzy (anti subgrup normal fuzzy )  dari grup G .  Selanjutnya,  syarat cukup untuk anti subset α - fuzzy dari 𝐴𝐴 merupakan anti subgrup normal fuzzy adalah jika 𝛼𝛼 ≤ 1 − 𝑞𝑞 dan 𝑞𝑞 = 𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆 { 𝐴𝐴 ( 𝑥𝑥 )| 𝑥𝑥 ∈ 𝐺𝐺 } . 2. Anti subset α - fuzzy dari 𝐴𝐴 merupakan anti subgrup fuzzy jika dan hanya jika untuk setiap 𝑥𝑥 , 𝑦𝑦 ∈ 𝐺𝐺 berlaku 𝐴𝐴 𝛼𝛼 ( 𝑥𝑥𝑦𝑦 −1 ) ≤ max { 𝐴𝐴 𝛼𝛼 ( 𝑥𝑥 ), 𝐴𝐴 𝛼𝛼 ( 𝑦𝑦 )} . 3. Terdapat grup faktor yang dibangun dari sebuah anti subgrup normal 𝐴𝐴 𝛼𝛼 yaitu kumpulan semua koset α -fuzzy dari 𝐴𝐴 𝛼𝛼 didefinisiakan 𝐺𝐺 / 𝐴𝐴 𝛼𝛼 = { 𝐴𝐴 𝛼𝛼 𝑥𝑥 | 𝑥𝑥 ∈ 𝐺𝐺 } dibawah operasi biner " ⊗ " dengan definisi, 𝐴𝐴 𝛼𝛼 𝑥𝑥 ⊗ 𝐴𝐴 𝛼𝛼 𝑦𝑦 = 𝐴𝐴 𝛼𝛼 𝑥𝑥𝑦𝑦 , ∀ 𝐴𝐴 𝛼𝛼 𝑥𝑥 , 𝐴𝐴 𝛼𝛼 𝑦𝑦 ∈ 𝐺𝐺 / 𝐴𝐴 𝛼𝛼 . 4. Grup faktor 𝐺𝐺 / 𝐺𝐺 𝐴𝐴 𝛼𝛼 isomorfik 𝐺𝐺 / 𝐴𝐴 𝛼𝛼 dengan 𝐺𝐺 𝐴𝐴 𝛼𝛼 = { 𝑥𝑥 ∈ 𝐺𝐺 | 𝐴𝐴 𝛼𝛼 ( 𝑥𝑥 ) = 𝐴𝐴 𝛼𝛼 ( 𝑒𝑒 )} .

## 6. REFERENSI
[1] Abdurrahman, S. 2019. Seri Buku Ajar Bidang Aljabar Pengantar Teori Grup. Zifatama Jawara , Sidoarjo.
[2] Biswas, R. 1990. Fuzzy Subgroup and Anti Fuzzy Subgroup . Departement of Mathematics. 35:121-124.
Jurnal Matematika Murni dan Terapan “εpsilon” http://ppjp.ulm.ac.id/journals/index.php/epsilon p-ISSN: 1978-4422 | e-ISSN 2656-7660
Vol.14 No.1 (Juni 2020) Hal. 10 -20 [3] Fraleigh, J.B. 2003. A First Course in Abstract Algebra . Edisi ke-7. Addison Wasley Publishing Company, New York.
[4] Jian, T & Yunfei, Y. 2012. Correspondence Theorem for Anti L-fuzzy Normal Subgroup . International Journal of Computational and Mathematical Sciences. 6:192-194.
[5] Judson, Thomas W. 2009. Abstact Algebra Theory and Applications . Stephen F. Austin State University, Texas.
[6] Malik, DS, John N.M, M.K. Sen. 2007. Introduction to Abstract Algebra . Scientific Word, United States.
[7] Rosenfeld, Azriel. 1971. Fuzzy Groups . Journal of Mathematical Analysis and Applications. 35:512-517.
[8] Sharma, P.K. 2012. α-  Anti  Fuzzy  Subgroups . International Review of Fuzzy Mathematics, 7:47-58.
[9] Zadeh, L. 1965. Fuzzy Sets . Information and control. 8:338-353.