Limits: Journal of Mathematics and Its Applications E-ISSN: 2579-8936 P-ISSN: 1829-605X Vol. 18, No. 2, Nopember 2021, 142-153 DOI: http://dx.doi.org/10.12962/limits.v18i2.7774

## Model Matematika SEAR dengan Memperhatikan Faktor Migrasi Terinfeksi untuk Kasus COVID-19 di Indonesia
E. Andry Dwi Kurniawan, Fatmawati * , Aprilia Dianpermatasari Departemen Matematika, Fakultas Sains dan Teknologi, Universitas Airlangga, Surabaya, Indonesia e-mail:fatmawati@fst.unair.ac.id
Diajukan: 23 September 2020, Diperbaiki: 27 September 2021, Diterima: 27 Oktober 2021
Abstrak Dalam paper ini, dikonstruksi  sebuah  model matematika SEAR ( Susceptible,  Exposed,  Acute, Recovery )  penyebaran  COVID-19 dengan memperhatikan faktor migrasi  yang terinfeksi.  Estimasi parameter dari model matematika SEAR dilakukan berdasarkan data perkembangan penyebaran COVID- 19 di Indonesia . Dari hasil estimasi diperoleh nilai basic reproduction number ( 𝑅𝑅 0 ) untuk mengetahui laju penyebaran COVID-19 di Indonesia.  Berdasarkan hasil simulasi numerik terlihat bahwa faktor migrasi memberikan pengaruh yang signifikan terhadap penyebaran kasus COVID-19 di Indonesia. Kata Kunci: Model matematika, Estimasi parameter, COVID-19, Coronavirus, Faktor migrasi.

## Abstract
In this paper, we constructed a mathematical model SEAR (susceptible exposed acute recovery) spread of COVID-19 within migration factor. The parameters estimation of the SEAR mathematical model are considered by using the reported data of COVID-19 in Indonesia. We also estimated the value of the basic reproduction number ( 𝑅𝑅 0 ) to determine the rate of spread of COVID-19 in Indonesia. Based on the result of numerical simulation, we can conclude that the migration factor gives a significant effect on to spread of COVID-19 in Indonesia.
Keywords : Mathematical model, parameter estimation, COVID-19, Coronavirus, migration factor.

## 1  Pendahuluan
Coronavirus merupakan keluarga besar virus yang menyebabkan penyakit pada manusia dan hewan. Pada manusia biasanya menyebabkan penyakit infeksi saluran pernapasan, mulai dari flu biasa hingga penyakit yang serius seperti Middle East Respiratory Syndrome (MERS) dan Sindrom Pernafasan Akut Berat/ Severe Acute Respiratory Syndrome (SARS). Coronavirus jenis baru pada manusia ditemukan sejak kejadian luar biasa yang pertama kali muncul di Wuhan Cina, pada Desember 2019. Kemudian virus tersebut diberi nama Severe Acute Respiratory Syndrome Coronavirus 2 (SARS-COV2) dan menyebabkan penyakit Coronavirus Disease-2019 (COVID- 19) yang menyebar keseluruh dunia dengan sangat cepat [1].
Penyebaran  COVID-19  pertama kali di Indonesia diketahui sejak  dilaporkannya kasus positif pada tanggal 2 Maret 2020. Pada tanggal 28 Mei 2020, Indonesia telah mencatat sebanyak 24,538 kasus positif COVID-19 [2]. Berbagai upaya telah dilakukan pemerintah untuk menekan

## 143
angka kasus positif di Indonesia, mulai dari kebijakan pembatasan sosial berskala besar (PSBB) hingga pengendalian transportasi. Banyaknya masyarakat yang melanggar kebijakan pemerintah tersebut membuat upaya pemerintah seakan tidak memberikan dampak apapun terhadap angka kasus positif di Indonesia [3].
Menurut  survei yang dilakukan oleh LIPI (Pusat Penelitian Kependudukan), terdapat 43,78% dari total responden memiliki rencana untuk mudik ke kampung halaman. Berdasarkan penelitian tersebut,  LIPI menyimpulkan bahwa di tengah situasi pandemi COVID-19, masih banyak penduduk yang merencanakan untuk melakukan perjalanan jarak jauh atau mudik pada saat libur Hari Raya Idul Fitri [4]. Saat pemerintah telah melarang masyarakat untuk mudik dan bepergian di tengah pandemi COVID-19, sejumlah perantau yang tidak memiliki pekerjaan dan kesulitan ekonomi lebih memilih pulang kampung dengan alasan ada harapan ekonomi, dekat dengan keluarga, dan menghindari risiko tertular.  Hal tersebut menjadi salah satu penyebab meningkatnya jumlah kasus positif COVID-19 di Indonesia .
Kedatangan para pekerja migran dari luar negeri menjadi salah satu penyebab yang ikut memperburuk kasus COVID-19 di Indonesia. Sebanyak 591 warga negara Indonesia (WNI) yang bekerja di luar negeri dinyatakan positif corona [5]. Hal ini dapat mempengaruhi laju penyebaran pandemik COVID-19 di Indonesia semakin tidak terkendali. Orang yang bermigrasi dapat menjadi agen pembawa virus sehingga dapat menyebarkan penyakit ke wilayah baru.
Beberapa  peneliti  di  bidang matematika telah memodelkan kasus  penyebaran pandemi COVID-19 di Indonesia, diantaranya Nuning dkk yang menggunakan Richard’s Curve and Least Square Method untuk merepresentasikan dinamika penderita COVID-19 di Indonesia [6]. Susanto menggunakan model SI ( Susceptible, Infectious) untuk menggambarkan penyebaran COVID-19 dengan asumsi adanya lockdown namun masyarakat tetap beraktifitas seperti biasa [7]. Model deterministik lainnya yang diformulasikan untuk menganalisis wabah COVID-19 di Indonesia juga bisa dilihat pada [8]–[10]dan beberapa referensi lainnya.
Wang dkk (2010), memperkenalkan model SEIR ( Susceptible, Expose, Infectious, Recovery ) yang menggambarkan penyebaran penyakit yang dipengaruhi oleh adanya faktor migrasi [11]. Dengan menggunakan acuan model SEIR ( Susceptible, Expose, Infectious, Recovery ) pada [11], penulis  merepresentasikan model  matematika  penyebaran  COVID-19 dengan memperhatikan faktor migrasi terinfeksi. Tujuan dari penelitian ini adalah untuk melakukan estimasi parameter dan  mengetahui hasil simulasi  pada  model matematika SEAR  ( Susceptible,  Exposed,  Acute, Recovery ) penyebaran COVID-19 dengan  memperhatikan faktor migrasi yang terinfeksi.

## 144 Model Matematika SEAR dengan Memperhatikan Faktor Migrasi Terinfeksi untuk Kasus COVID-19 di Indonesia

## 2  Model Matematika
Model matematika SEAR  dengan memperhatikan faktor migrasi terinfeksi untuk kasus penyebaran COVID-19 di Indonesia yang dibahas pada paper ini diperoleh dari hasil modifikasi model matematika yang ditulis oleh Wang dkk (2010) [11].
Adapun asumsi-asumsi dalam model matematika SEAR penyebaran COVID-19 di Indonesia sebagai berikut:
1. Populasi terbagi menjadi 4 kompartemen yaitu 𝑆𝑆 ( 𝑡𝑡 ) subpopulasi individu sehat dan rentan disebut juga Susceptible , 𝐸𝐸 ( 𝑡𝑡 ) subpopulasi individu dalam masa inkubasi/laten disebut juga Exposed , 𝐴𝐴 ( 𝑡𝑡 ) subpopulasi individu positif COVID-19  disebut juga Acute dan 𝑅𝑅 ( 𝑡𝑡 ) subpopulasi individu sembuh disebut juga Recovery .
2. Semua individu yang lahir masuk ke dalam subpopulasi Susceptible dan setiap individu yang mati dari setiap subpopulasi mempunyai laju proporsional dengan jumlah individu pada masing-masing subpopulasi.
3. Individu yang telah sembuh dari COVID-19 mengalami kekebalan yang permanen. Dengan demikian, individu yang telah sembuh tidak akan masuk kedalam subpopulasi Susceptible kembali.
Berikut notasi dan definisi dari masing-masing variabel dan parameter pada model matematika SEAR penyebaran COVID-19 di Indonesia.
Tabel 1. Variabel Model Matematika SEAR Penyebaran COVID-19 di Indonesia
Variabel Keterangan Satuan 𝑆𝑆 ( 𝑡𝑡 ) Jumlah individu sehat yang rentan pada saat t Orang 𝐸𝐸 ( 𝑡𝑡 ) Jumlah individu dalam masa inkubasi/laten pada saat t Orang 𝐴𝐴 ( 𝑡𝑡 ) Jumlah individu positif COVID-19 pada saat t Orang 𝑅𝑅 ( 𝑡𝑡 ) Jumlah individu yang sembuh dari COVID-19 pada saat t Orang
Parameter yang digunakan pada model matematika dalam paper ini ditunjukkan pada tabel sebagai berikut:
Tabel 2. Parameter Model Matematika SEAR Penyebaran COVID-19 di Indonesia
Parameter   Keterangan Satuan 𝜇𝜇 Laju kematian alami (orang.hari) -1 𝛽𝛽 Laju transmisi infeksi COVID-19 (orang.hari) -1 𝜀𝜀 Laju perubahan individu laten menjadi individu positif (orang.hari) -1 𝛼𝛼 Laju kematian oleh COVID-19 (orang.hari) -1 𝛾𝛾 Laju penyembuhan individu positif COVID-19 (orang.hari) -1 Λ Laju rekruitmen individu rentan orang.(hari) -1
Parameter   Keterangan Satuan 𝑝𝑝 Laju migrasi individu carrier (orang.hari) -1
Selanjutnya untuk memudahkan penulisan maka notasi 𝑆𝑆 ( 𝑡𝑡 ) , 𝐸𝐸 ( 𝑡𝑡 ) , 𝐴𝐴 ( 𝑡𝑡 ) dan 𝑅𝑅 ( 𝑡𝑡 ) berturut- turut ditulis dengan 𝑆𝑆 , 𝐸𝐸 , 𝐴𝐴 dan 𝑅𝑅 . Secara biologis, variabel yang digunakan menyatakan populasi pada waktu t tertentu sehingga semua variabel bernilai non negatif atau dapat dituliskan dalam pertidaksamaan 𝑆𝑆 , 𝐸𝐸 , 𝐴𝐴 , 𝑅𝑅 ≥ 0 , dengan 𝑁𝑁 = 𝑆𝑆 + 𝐸𝐸 + 𝐴𝐴 + 𝑅𝑅 . Selain itu, seluruh parameter diasumsikan bernilai positif sebab merupakan besaran yang menyatakan laju dan dapat dituliskan sebagai 𝜇𝜇 , 𝛽𝛽 , 𝜀𝜀 , 𝛼𝛼 , 𝛾𝛾 , Λ , 𝑝𝑝 > 0 . Berdasarkan asumsi dan pendefinisian variabel serta parameter yang berturut-turut diberikan pada Tabel 1 dan 2, dibentuk diagram transmisi seperti berikut
Gambar 1. Diagram Transmisi Model Matematika SEAR Penyebaran COVID-19 di Indonesia Berdasarkan diagram transmisi pada Gambar 1, dapat diformulasikan model matematika SEAR penyebaran COVID-19 di Indonesia yang berbentuk sistem persamaan diferensial biasa atau sistem dinamik sebagai berikut:
𝑑𝑑𝑆𝑆 𝑑𝑑𝑡𝑡 = Λ − 𝑝𝑝𝛽𝛽𝑆𝑆𝐴𝐴 𝑁𝑁 − 𝜇𝜇𝑆𝑆
𝑑𝑑𝐸𝐸 𝑑𝑑𝑡𝑡 = 𝑝𝑝𝛽𝛽𝑆𝑆𝐴𝐴 𝑁𝑁 − ( 𝜇𝜇 + 𝜀𝜀 ) 𝐸𝐸
𝑑𝑑𝐴𝐴 𝑑𝑑𝑡𝑡 = 𝜀𝜀𝐸𝐸 − ( 𝛼𝛼 + 𝛾𝛾 + 𝜇𝜇 ) 𝐴𝐴 (1) 𝑑𝑑𝑅𝑅 𝑑𝑑𝑡𝑡 = 𝛾𝛾𝐴𝐴 − 𝜇𝜇𝑅𝑅 .

## 2.1 Estimasi Parameter
Dalam menentukan estimasi parameter akan diasumsikan  bahwa laju migrasi yang terjadi dalam keadaan normal, hal ini berarti parameter 𝑝𝑝 bernilai satu ( 𝑝𝑝 = 1) .  Dengan demikian, parameter yang diperoleh dari hasil estimasi tidak akan menampilkan nilai parameter berupa faktor migrasi tersebut. Faktor migrasi dalam paper ini  akan diuji  pengaruhnya terhadap dinamika penyebaran kasus COVID-19 di Indonesia dengan cara memberikan dua nilai berbeda  saat dilakukan simulasi, yaitu nilai yang menunjukkan terjadinya keadaan migrasi gelombang rendah dan gelombang tinggi.
𝑆𝑆 𝐸𝐸 Λ 𝜇𝜇𝑆𝑆 𝜀𝜀 𝑝𝑝𝛽𝛽𝑆𝑆𝐴𝐴 𝑁𝑁 𝜇𝜇𝐸𝐸 𝐴𝐴 𝑅𝑅 𝜇𝜇𝐴𝐴 𝜇𝜇𝑅𝑅 𝛾𝛾 𝛼𝛼

## 146 Model Matematika SEAR dengan Memperhatikan Faktor Migrasi Terinfeksi untuk Kasus COVID-19 di Indonesia
Untuk selanjutnya, model matematika yang akan digunakan untuk diestimasi parameternya adalah sebagai berikut:
𝑑𝑑𝑆𝑆 𝑑𝑑𝑡𝑡 = Λ − 𝛽𝛽𝑆𝑆𝐴𝐴 𝑁𝑁 − 𝜇𝜇𝑆𝑆
𝑑𝑑𝐸𝐸 𝑑𝑑𝑡𝑡 = 𝛽𝛽𝑆𝑆𝐴𝐴 𝑁𝑁 − ( 𝜇𝜇 + 𝜀𝜀 ) 𝐸𝐸
𝑑𝑑𝐴𝐴 𝑑𝑑𝑡𝑡 = 𝜀𝜀𝐸𝐸 − ( 𝛼𝛼 + 𝛾𝛾 + 𝜇𝜇 ) 𝐴𝐴 (2)
𝑑𝑑𝑅𝑅 𝑑𝑑𝑡𝑡 = 𝛾𝛾𝐴𝐴 − 𝜇𝜇𝑅𝑅 .
Parameter laju kematian alami telah ditentukan nilainya yaitu dari invers angka harapan hidup pada tahun 2019  sebesar  71.34  [12]. Dengan demikian, laju kematian alami 𝜇𝜇 = 1 ( 71 , 34 × 365 ) = 0.0000384037 . Berdasarkan model di atas, nilai parameter pada model yang belum diketahui berjumlah 5 parameter yaitu 𝛽𝛽 , 𝜀𝜀 , 𝛼𝛼 , 𝛾𝛾 , dan Λ . Parameter-parameter ini yang akan diestimasi nilainya menggunakan algoritma genetika.
Data yang digunakan untuk melakukan estimasi parameter dari model matematika SEIR untuk kasus COVID-19 di Indonesia adalah data jumlah kasus per hari dari masing-masing variabel dari 15 April 2020 sampai 24 Agustus 2020. Data secara lengkap disajikan pada Tabel 3.
Tabel 3. Data Jumlah Kasus Harian COVID-19 di Indonesia
Tanggal Jumlah Kasus Sehat Jumlah Kasus Laten Jumlah Kasus Positif Jumlah Kasus Sembuh 15 April 2020 269813254 181164 5136 446 16 April 2020 269812617 181319 5516 548 17 April 2020 269807128 186342 5923 607 18 April 2020 269803798 189323 6248 631 19 April 2020 269798210 194529 6575 686 20 April 2020 269794380 198113 6760 747 21 April 2020 269788930 203093 7135 842 22 April 2020 269780344 211325 7418 913 23 April 2020 269777034 214231 7775 960 24 April 2020 269774535 216252 8211 1002 25 April 2020 269764356 225995 8607 1042 26 April 2020 269761323 228688 8882 1107 27 April 2020 269759567 230186 9096 1151 28 April 2020 269755163 234072 9511 1254 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 22 Agustus 2020 263704203 6039101 151498 105198

## 147
Tanggal Jumlah Kasus Sehat Jumlah Kasus Laten Jumlah Kasus Positif Jumlah Kasus Sembuh 23 Agustus 2020 263624342 6114623 153535 107500 24 Agustus 2020 263542160 6191368 155412 111060
Sumber : Kementerian Kesehatan Indonesia [2]
Proses estimasi parameter dalam model matematika SEIR untuk kasus COVID-19 di Indonesia terdiri dari 5 parameter (gen). Hasil yang akan diambil dari proses estimasi parameter adalah nilai-nilai parameter yang menyebabkan nilai hasil perhitungan mmemiliki selisih terkecil dengan data riil. Nilai parameter yang akan dipilih yaitu jika memiliki nilai e (error) yang didefinisikan pada persamaan (3) memiliki nilai minimal dari semua percobaan yang telah dilakukan. Persamaan (3) dipilih sebagai fungsi tujuan yang akan digunakan dalam program. Fungsi tujuan yang akan digunakan adalah sebagai berikut:
𝑒𝑒 = 1 4𝑛𝑛 ∑ �� 𝑤𝑤 𝑖𝑖 −𝑤𝑤 𝑖𝑖 ∗ 𝑤𝑤 𝑖𝑖∗ � + � 𝑥𝑥 𝑖𝑖 −𝑥𝑥 𝑖𝑖 ∗ 𝑥𝑥 𝑖𝑖∗ � + � 𝑦𝑦 𝑖𝑖 −𝑦𝑦 𝑖𝑖 ∗ 𝑦𝑦 𝑖𝑖∗ � + � 𝑧𝑧 𝑖𝑖 −𝑧𝑧 𝑖𝑖 ∗ 𝑧𝑧 𝑖𝑖∗ �� 𝑛𝑛 𝑖𝑖=1 (3)
dengan n adalah banyaknya data, 𝑤𝑤 𝑖𝑖 ∗ , 𝑥𝑥 𝑖𝑖 ∗ , 𝑦𝑦 𝑖𝑖 ∗ , dan 𝑧𝑧 𝑖𝑖 ∗ adalah jumlah kasus ke- i dari data riil untuk setiap variabel. Selanjutnya, 𝑤𝑤 𝑖𝑖 , 𝑥𝑥 𝑖𝑖 , 𝑦𝑦 𝑖𝑖 , dan 𝑧𝑧 𝑖𝑖 adalah jumlah kasus ke- i yang diperoleh dari solusi model, dengan i = 1, 2, 3, ..., n . Dalam program di penelitian ini, terdapat jumlah parameter ( nvar ), jumlah populasi awal ( npop ), probabilitas mutasi, jumlah generasi dan probabilitas pindah silang yang terlebih dahulu harus ditentukan nilainya.
Parameter nvar menyatakan jumlah parameter yang akan diestimasi. Sedangkan nilai parameter npop tidak ditentukan secara spesifik, sehingga perlu dicari nilainya yang memberikan hasi yang mendekati optimum. Pada penelitian ini menggunakan npop sebesar 100, karena semakin besar npop maka akan membuat waktu yang dibutuhkan prohram untuk memproses perhitungan semakin besar.
Selanjutnya, untuk keperluan praktis, probabilitas pindah silang dipilih sebesar 0.5 [13]. Sedangkan nilai parameter probabilitas mutasi akan menggunakan lima macam nilai yaitu 0.025, 0.05, 0.125, 0.25 dan 0.5 agar mendapatkan hasil yang mendekati optimum. Setiap nilai dari kelima macam nilai probabilitas mutasi tersebut akan dilakukan tujuh kali percobaan. Nilai dari probabilitas mutasi diubah-ubah karena proses mutasi merupakan eksplorasi ruang solusi [14].
Dalam kode program juga terdapat jumlah generasi yang harus ditentukan nilainya. Semakin banyak generasi maka semakin banyak  waktu yang dibutuhkan program untuk memproses perhitungan, sehingga dalam penelitian ini akan digunakan jumlah generasi sebanyak 100 generasi. Dari percobaan dengan nilai  iterasi sebesar 100, diperoleh nilai fungsi biaya yang cenderung bernilai sama menuju iterasi ke-100.

## 148 Model Matematika SEAR dengan Memperhatikan Faktor Migrasi Terinfeksi untuk Kasus COVID-19 di Indonesia
Hasil estimasi parameter yang digunakan adalah nilai error minimal dari tujuh kali percobaan pada setiap probabilitas mutasi. Berikut akan disajikan nilai error minimal hasil estimasi parameter yang dilakukan sebanyak tujuh kali percobaan pada setiap probabilitas mutasi.
Tabel 4. Hasil Estimasi Parameter dengan Tujuh Kali Percobaan untuk Error Minimal
No Parameter Probabilitas Mutasi 0.025 0.05 0.125 0.25 0.5 1 𝛽𝛽 0.57029 0.71804 0.99102 0.82307 0.73038 2 𝜀𝜀 0.001924 0.0015031 0.0083116 0.0016138 0.001462 3 𝛼𝛼 7.2217 × 10 -6 9.4957 × 10 -6 0.18169 1.6138  × 10 -6 7.3038  × 10 -6 4 𝛾𝛾 0.010457 0.0097531 0.012122 0.016138 0.0073038 5 Λ 233.9332 1942.577 552.2431 322.7688 1460.7661 Error 0.15628 0.18052 0.1317 0.15189 0.21112
Berdasarkan Tabel 4 dapat diamati bahwa nilai estimasi parameter dengan error terkecil adalah ketika nilai probabilitas mutasi sebesar 0.125, dengan nilai error terkecil yaitu 0.1317 atau sebesar 13.17% Nilai masing-masing parameter dari hasil estimasi disajikan pada Tabel 5 berikut.
Tabel 5. Nilai Parameter Hasil Estimasi No Parameter Nilai Parameter Satuan 1. 𝛽𝛽 0.99102 (orang.hari) -1 2. 𝜀𝜀 0.0083116 (orang.hari) -1 3. 𝛼𝛼 0.18169 (orang.hari) -1 4. 𝛾𝛾 0.012122 (orang.hari) -1 5. Λ 552.2431 orang.(hari) -1
Hasil simulasi perbandingan antara penyelesaian persamaan diferensial dengan data riil disajikan pada Gambar 2.
(b)
Gambar 2. Perbandingan Jumlah Kasus Positif (a) dan Sembuh (b) dengan Simulasi Model

## 2.2 Basic Reproduction Number ( 𝑅𝑅 0 )
Selanjutnya, akan ditentukan nilai dari Basic Reproduction Number atau ( 𝑅𝑅 0 ) dari titik setimbang non endemik. Parameter ( 𝑅𝑅 0 ) ini akan ditentukan untuk mengetahui ambang batas suatu keadaan yang menunjukkan bahwa suatu penyakit mengalami keadaan ada penyebaran atau tidak. Metode yang digunakan adalah dengan NGM ( Next Generation Matrix ) melalui pendekatan Driessche dan Watmough (2002) [15]. Berikut langkah-langkah dalam menentukan ( 𝑅𝑅 0 ) :
1. Akan dicari terlebih dahulu titik setimbang non endemik (bebas penyakit). Keadaan ini terjadi ketika populasi individu yang positif COVID-19 bernilai nol ( 𝐴𝐴 = 0) sehingga menyebabkan ( 𝐸𝐸 = 𝑅𝑅 = 0) . Dengan demikian diperoleh 𝑆𝑆 = Λ 𝜇𝜇 . Misalkan titik setimbang non endemik dinyatakan sebagai 𝐸𝐸 0 = ( 𝑆𝑆 , 𝐸𝐸 , 𝐴𝐴 , 𝑅𝑅 ) , maka titik setimbang 𝐸𝐸 0 dari model matematika SEAR penyebaran COVID-19 di Indonesia adalah 𝐸𝐸 0 = ( Λ 𝜇𝜇 , 0, 0, 0) .
2. Misalkan 𝑑𝑑𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑 = ℱ ( 𝑥𝑥 ) − 𝒵𝒵 ( 𝑥𝑥 ) , dengan ℱ ( 𝑥𝑥 ) menyatakan matriks transmisi, yang elemennya berisi populasi yang terinfeksi akibat interaksi dengan 𝐴𝐴 sedangkan 𝒵𝒵 ( 𝑥𝑥 ) menyatakan matriks transisi, matriks yang berisi populasi yang terinfeksi yang tidak memuat suku interaksi penularan
ℱ ( 𝑥𝑥 ) = � 𝛽𝛽𝑆𝑆𝐴𝐴 𝑁𝑁 0 � dan 𝑍𝑍 ( 𝑥𝑥 ) = � ( 𝜇𝜇 + 𝜀𝜀 ) 𝐸𝐸 𝛼𝛼 + 𝛾𝛾 + 𝜇𝜇 − 𝜀𝜀𝐸𝐸 �
3. Misalkan 𝔽𝔽 dan ℤ adalah matriks Jacobian dari ℱ ( 𝑥𝑥 ) dan 𝑍𝑍 ( 𝑥𝑥 ) yang telah disubsitusikan titik setimbang 𝐸𝐸 0 , dengan demikian diperoleh
𝔽𝔽 = � 0 𝛽𝛽
0 0 � ℤ = �𝜇𝜇 + 𝜀𝜀 0 −𝜀𝜀 𝛼𝛼 + 𝛾𝛾 + 𝜇𝜇�
ℤ −1 = 1 𝑐𝑐 �𝛼𝛼 + 𝛾𝛾 + 𝜇𝜇 0 𝜀𝜀 𝜇𝜇 + 𝜀𝜀� dengan 𝑐𝑐 = ( 𝜇𝜇 + 𝜀𝜀 )( 𝛼𝛼 + 𝛾𝛾 + 𝜇𝜇 )
4. Misalkan ℛ = 𝔽𝔽ℤ −1 , Parameter 𝑅𝑅 0 diperoleh dengan menentukan nilai eigen terbesar dari matriks ℛ atau dapat dinyatakan dengan 𝑅𝑅 0 = 𝜂𝜂 ( ℛ ) sehingga didapatkan ℛ = 𝔽𝔽ℤ −1
ℛ = � 𝛽𝛽𝛽𝛽 𝐶𝐶 𝛽𝛽 𝛼𝛼+𝛾𝛾+𝜇𝜇 0 0 � dengan 𝑐𝑐 = ( 𝜇𝜇 + 𝜀𝜀 )( 𝛼𝛼 + 𝛾𝛾 + 𝜇𝜇 )
Parameter 𝑅𝑅 0 merupakan nilai eigen terbesar dari matriks ℛ = 𝔽𝔽ℤ −1 , sehingga dapat diperoleh 𝑅𝑅 0 adalah sebagai berikut
𝑅𝑅 0 = 𝛽𝛽𝛽𝛽 ( 𝜇𝜇+𝛽𝛽 )( 𝛼𝛼+𝛾𝛾+𝜇𝜇 ) (4)

## 150 Model Matematika SEAR dengan Memperhatikan Faktor Migrasi Terinfeksi untuk Kasus COVID-19 di Indonesia
Selanjutnya disubstitusikan semua nilai parameter dari hasil estimasi ke 𝑅𝑅 0 yang telah diperoleh seperti pada Persamaan (4)  dan didapatkan nilai 𝑅𝑅 0 =  3.2562. Hal ini berarti  dengan nilai parameter-parameter yang dihasilkan dari hasil estimasi parameter menunjukkan bahwa masih ada penyebaran COVID-19 di Indonesia.

## 3  Simulasi
Pada bagian ini akan disimulasikan model matematika dengan memperhatikan faktor migrasi terinfeksi untuk kasus penyebaran COVID-19 di Indonesia dengan menggunakan nilai parameter- parameter yang diperoleh dari hasil estimasi parameter. Simulasi dilakukan dengan  tujuan untuk mengetahui dinamika perkembangan kasus harian positif COVID-19 yang terjadi di Indonesia. Nilai awal yang digunakan adalah jumlah kasus pada tanggal 15 April 2020 dari setiap variabel ( 𝑆𝑆 , 𝐸𝐸 , 𝐴𝐴 , 𝑅𝑅 ) yaitu 269.813.254, 181.164, 5.136, dan 446.
Gambar 3. Prediksi Pertambahan Kasus Harian Positif COVID-19 di Indonesia
Pada Gambar 3 terlihat bahwa jumlah kasus harian positif COVID-19 di Indonesia terus mengalami peningkatan hingga pada hari ke-300 pengamatan. Dengan awal pengamatan tertanggal 15 April 2020 maka dapat disimpulkan bahwa prediksi puncak pandemi COVID-19 di Indonesia akan terjadi pada tanggal 09 Februari 2021. Dari Gambar 3 juga disimpulkan bahwa setelah mengalami puncak pandemi pada tanggal 09 Februari 2021, akan diperlukan waktu yang cukup lama untuk masa pemulihan hingga pada hari terakhir pengamatan yaitu tertanggal 10 Januari 2023.
Selanjutnya, untuk mengetahui lebih jauh lagi besar pengaruh faktor migrasi yang terinfeksi terhadap peningkatan kasus harian positif COVID-19 di Indonesia, maka akan dilakukan dua kali simulasi dengan mengubah nilai parameter 𝑝𝑝 pada model matematika di persamaan ke-1, yaitu ketika gelombang migrasi
rendah ( 𝑝𝑝 < 1 ) dan ketika gelombang migrasi tinggi ( 𝑝𝑝 > 1 ). Keadaan seperti pada model matematika di persamaan ke-2, dianggap sebagai kondisi normal dan dinamikanya dapat dilihat pada Gambar 3.
Gambar 4. Prediksi Kasus Harian Positif COVID-19 di Indonesia dengan Tiga Kondisi Berbeda Dari  Gambar 4  terlihat bahwa ketika terjadi gelombang migrasi tinggi ( 𝑝𝑝 > 1 ),  puncak pandemik COVID-19 mengalami peningkatan sehingga kurva yang terbentuk lebih lancip dan tinggi. Dengan demikian, masa pemulihan pada keadaan ini terjadi lebih lama dibandingkan pada keadaan normal. Hal ini mungkin saja terjadi karena kapasitas dari fasilitas dan tenaga medis yang tidak memadai untuk menangani kasus yang terlampau banyak diatas kapasitas normal yang mampu untuk ditanggung. Berikutnya, ketika terjadi gelombang migrasi rendah ( 𝑝𝑝 < 1 ), puncak pandemik COVID-19 mengalami penurunan sehingga kurva yang terbentuk lebih tumpul dan rendah. Dari sini, durasi masa pemulihan dari puncak pandemi terjadi lebih sebentar dibandingkan pada keadaan normal. Oleh karena itu, pada keadaan ini jika terjadi penambahan kasus baru maka langkah penangan bisa dilakukan lebih baik dan optimal.
Dari simulasi tersebut dapat disimpulkan bahwa faktor migrasi memberikan pengaruh yang signifikan terhadap penyebaran kasus COVID-19 di Indonesia, yang membuat semakin parahnya pandemi ini berlangsung.

## 4  Simpulan
Pada paper ini telah diformulasikan model matematika SEAR dengan memperhatikan faktor migrasi terinfeksi untuk memprediksi kasus COVID-19 di Indonesia. Berikutnya dilakukan estimasi parameter menggunakan algoritma genetika dari model matematika SEAR menggunakan data kasus COVID-19 di Indonesia. Berdasarkan hasil estimasi parameter diperoleh nilai perhitungan basic reproduction number ( 𝑅𝑅 0 ) sebesar 𝑅𝑅 0 = 3.2562. Hal ini menunjukkan bahwa masih terjadi endemik kasus penyebaran

## 152 Model Matematika SEAR dengan Memperhatikan Faktor Migrasi Terinfeksi untuk Kasus COVID-19 di Indonesia
COVID-19 di Indonesia. Selanjutnya, dari hasil simulasi numerik dapat diprediksi puncak pandemi COVID-19 di Indonesia akan terjadi sekitar bulan Februari 2021. Setelah mengalami puncak pandemi akan diperlukan waktu yang cukup lama untuk masa pemulihan yakni sekitar bulan Januari 2023. Selain itu juga dapat  ditunjukkan bahwa faktor migrasi memberikan pengaruh yang signifikan terhadap penyebaran kasus COVID-19 di Indonesia. Semakin besar faktor migrasi yang terjadi maka semakin lancip dan tinggi kurva dari penyebaran kasus COVID-19 di Indonesia sehingga membuat semakin parahnya pandemi ini berlangsung.

## 5  Daftar Pustaka
[1]  Kementerian Kesehatan Indonesia, “Apakah Coronavirus dan COVID-19 itu?,” Aug. 2020. https://infeksiemerging.kemkes.go.id/uncategorized/qna-pertanyaan-dan-jawaban-terkait- covid-19 (accessed Aug. 25, 2020).
[2]  Kementerian Kesehatan Indonesia, “Situasi Terkini Perkembangan Novel Coronavirus (Covid-19),” May 28, 2020. https://infeksiemerging.kemkes.go.id/situasi-infeksi- emerging/situasi-terkini-perkembangan-coronavirus-disease-covid-19-28-mei-2020 (accessed Aug. 25, 2020).
[3]  Detik.com, “JK Soroti Protokol Kesehatan yang Tiap Hari Dilanggar, Ini Respons Pemerintah,” May 21, 2020. https://news.detik.com/berita/d-5023223/jk-soroti-protokol- kesehatan-yang-tiap-hari-dilanggar-ini-respons-pemerintah (accessed Sep. 13, 2020).
[4]  Pusat  Penelitian  Kependudukan  (LIPI),  “Kajian  LIPI :  Di  Tengah  Pandemi  Covid-19, Ribuan Orang Tetap Akan Mudik Lebaran.,” Apr. 15, 2020. https://kependudukan.lipi.go.id/liputan-media/kajian-lipi-di-tengah-pandemi-covid-19- ribuan-orang-tetap-akan-mudik-lebaran/ (accessed Jun. 13, 2020).
[5]  Merdeka.com, “591 Pekerja Migran Tiba di Jakarta & Bali Positif Terpapar Covid-19,” May 18, 2020. https://www.merdeka.com/peristiwa/591-pekerja-migran-tiba-di-jakarta- bali-positif-terpapar-covid-19.html (accessed Jun. 13, 2021).
[6]  N. Nuraini, K. Khairudin, and M. Apri, “Modeling Simulation of COVID-19 in Indonesia based on Early Endemic Data,” Communication in Biomathematical Sciences , vol. 3, no. 1, Apr. 2020, doi: 10.5614/cbms.2020.3.1.1.
[7]  H. Susanto, “Kalau kita tidak serius, puncak COVID-19 di Indonesia bisa sekitar 2 bulan lagi, di bulan Ramadan,” Mar. 2020. Accessed: Mar. 17, 2020. [Online]. Available: http://hadisusanto.net/paper2/covid19.pdf
[8]  D. Aldila, “Analyzing the impact of the media campaign and rapid testing for COVID-19 as an optimal control problem in East Java, Indonesia,” Chaos, Solitons & Fractals , vol. 141, Dec. 2020, doi: 10.1016/j.chaos.2020.110364.
[9]  D. Aldila, B. M. Samiadji, G. M. Simorangkir, S. H. A. Khosnaw, and M. Shahzad, “Impact of early detection and vaccination strategy in COVID-19 eradication program in Jakarta, Indonesia,” BMC Research Notes , vol. 14, no. 1, Dec. 2021, doi: 10.1186/s13104-021- 05540-9.
[10]  H. N. Fadhilah, E. Apriliani, and D. K. Arif, “Prediksi Penyebaran Covid-19 di Indonesia dan Jawa Timur dengan Metode Extended Kalman Filter,” Limits: Journal of Mathematics and Its Applications , vol. 18, no. 1, p. 1, Mar. 2021, doi: 10.12962/limits.v18i1.6933.
[11]  W. Wang, J. Xin, and F. Zhang, “Persistence of an SEIR Model with Immigration Dependent on the Prevalence of Infection,” Discrete Dynamics in Nature and Society , vol. 2010, 2010, doi: 10.1155/2010/727168.
[12]  Badan Pusat Statistik, “Umur Harapan Hidup Saat Lahir (UHH) Menurut Provinsi [Metode Baru], 2010-2019,” Apr. 16, 2018. https://www.bps.go.id/dynamictable/2018/04/16/1298/angka-harapan-hidup-saat-lahir- menurut-provinsi-2010-2017.html (accessed May 30, 2020).
[13]  R. L. Haupt and S. E. Haupt, PRACTICAL GENETIC ALGORITHMS SECOND EDITION . 2004.
[14]  Windarto, S. W. Indratno, N. Nuraini, and E. Soewono, “A comparison of binary and continuous genetic algorithm in parameter estimation of a logistic growth model,” in AIP Conference Proceedings , 2014, pp. 139–42.1587. doi: 10.1063/1.4866550.
[15]  P. van den Driessche and J. Watmough, “Reproduction numbers and sub-threshold endemic equilibria for compartmental models of disease transmission,” Mathematical Biosciences , vol. 180, no. 1–2, Nov. 2002, doi: 10.1016/S0025-5564(02)00108-6.