Email : fibonacci@umj.ac.id

## Jurnal Pendidikan Matematika dan Matematika

## MEMAHAMI PENGGUNAAN REGRESI PADA DATA RESPON MULTINOMIAL UNTUK PENELITIAN SOSIAL DAN KEPENDIDIKAN
Halimatus Sa’diyah 1)* dan Riza Yuli Rusdiana 2)
1,2) Lab. Biometrika, Fakultas Pertanian, Universitas Jember
* sadiyah@unej.ac.id

## Abstrak
Model logit multinomial digunakan untuk memodelkan sifat hubungan antara peubah respon politomus  dan  peubah  penjelas.  Ada  dua  model  logit  multinomial  untuk  peubah  respon politomus  yang  strukturnya  tak  berurut:  model  logit  terampat  dan  model  logit  bersyarat. Kedua model mempunyai struktur serupa, 𝑔[𝑃(𝑌 = 𝑗)] = 𝑥 𝑇 𝛽 𝑗 ,  j = 1, …, k, tetapi berbeda dalam  karakteristik  peubah  penjelasnya.  Logit  terampat  menggunakan  karakteristik  dari individu (subyek) sebagai peubah penjelas, sedang logit bersyarat menggunakan karakteristik dari  pilihan  individu.    Tulisan  ini  ingin  menyajikan  penggunaan  keduanya  dalam  model regresi yang sering dibutuhkan dalam penelitian-penelitian sosial dan kependidikan. Ilustrasi melalui  data  hipotetik  digunakan  untuk  memperjelas  kebutuhan,  kegunaan,  metode  analisis data sampai pada interpretasi hasil model regrgesi. Sajian komputasi yang ringkas dilakukan melalui  dua  software  yang  populer  yaitu  SAS  untuk  model  regresi  generalized-logit. Sedangkan untuk model regresi logit bersyarat dapat dilakukan dengan SAS dan SPSS. Baik SAS  dan  SPSS  menyajikan  hasil  analsis  regresi  yang  sama  untuk  model  regresi  logit bersyarat.
Kata Kunci: Regresi, Nominal, Logit, Bersyarat.

## PENDAHULUAN
Setiap  model  statistika  didasarkan pada: yang pertama, gagasan bahwa peubah acak  yang  diselidiki  mempunyai  struktur yang  dapat  menjelaskan  nilai-nilai  yang diperoleh,  dan  memprediksi  nilai-nilai untuk  studi  berikutnya.    Keacakan  justru menjadi sesuatu yang sangat penting dalam prediksi  statistika  ini.  Bahkan  Hadi  (2021)
menyebutkan  keacakan  sebagai  sesuatu yang  wajib  ada  dalam  apa  yang  disebut sebagai “gambar besar” ( big picture ) dalam Statistika Intuitif (Hadi, 2021).
Yang  kedua,  adalah  postulat  bahwa peubah acak yang diselidiki dapat diungkapkan  atau  diekspresikan  ke  dalam suku-suku yang disebut komponen struktur. Jika  suku-suku  ini  mempunyai  nilai  tetap
Volume 7 No. 2 Bulan Desember Tahun 2021
(meskipun tidak diketahui), maka ia disebut komponen sistematik dan jika bernilai acak disebut  komponen  acak.  Struktur  ini dianggap  sebagai  deskripsi  populasi  yang nilai-nilainya  diberikan  oleh  nilai-nilai  dari contoh  acak  ( random  sample ).  Dengan perkataan lain, setiap model statistika selalu terdiri  atas  dua  komponen,  yaitu  (1) komponen  sistematik  yang  menjelaskan perilaku data, dan (2) komponen acak yang menjelaskan  keragaman  data  (McCullagh dan Nelder, 1989).
Model  logit  multinomial  digunakan untuk  memodelkan  sifat  hubungan  antara peubah  respon  politomus  dan  segugus peubah  penjelas  ( covariate,  explanatory variable, regressor variable ). Model-model respon  politomus  ini  dapat  dikelompokkan ke  dalam  dua  kelas  model  yang  berbeda bergantung  pada  apakah  peubah  respon yang  diselidiki  mempunyai  struktur  terurut ( ordered )  ataukah  tak  berurut  ( unordered ).
Naskah  ini  hanya  berkenaan  dengan  model logit  multinomial  yang  peubah  responnya mempunyai  struktur  tak  berurut  atau  yang berskala nominal.
Ada dua model logit multinomial untuk peubah  respon  nominal,  yaitu  model  logit terampat  (generalized  logit  model)  dan model  logit  bersyarat  (conditional  logit model).  Kedua  model  ini  mempunyai struktur model serupa,
𝑔[𝑃(𝑌 = 𝑗)] = 𝑥 𝑇 𝛽 𝑗 , j = 1, …, k , tetapi  berbeda  dalam  karakteristik peubah penjelas yang digunakan.  Disini, g adalah  model  sebaran  peluang.  Peubah penjelas model logit terampat menggunakan  karakteristik  dari  individu (subjek),  sedang  model  logit  bersyarat menggunakan  karakteristik  dari  pilihan individu.  Untuk  memperjelas  pengertian tentang  kedua  model  dan  perbedaan  antara karakteristik  individu  dan  karakteristik
pilihan  individu,  marilah  kita  mencermati tiga ilustrasi berikut:
Ilustrasi  1 .    Simaklah  data  dalam  List  1 (dalam format tahapan DATA SAS) tentang pilihan jenis angkutan (buatan).  Anggaplah sejumlah subyek (responden) diminta untuk memilih  jenis  angkutan  yang  digunakan: pesawat,  kereta-bisnis,  ataukah  bis-cepat. Pilihan didasarkan atas pertimbangan biaya (dalam  hal  ini  satuan  waktu  yang dihabiskan dalam perjalanan mulai dari asal sampai tujuan).
List 1 .  Pilihan jenis angkutan
data angkutan; input wpesawat wkereta wbis umur preferensi $ frek; datalines; 4.5 10.0 10.5 32 pesawat 1
6.0  4.5  5.5 41 bis     1
...
4.0  1.5  2.0 22 kereta  1
;
Peubah wpesawat , wkereta ,  dan wbis merupakan  peubah-peubah  yang menjadi  pertimbangan  preferensi  atau pilihan  subyek,  sedang  umur  merupakan karakteristik subyek (responden).
Model  logit  terampat  digunakan untuk  menyelidiki  sifat  hubungan  antara preferensi  angkutan  dan  umur,  sedang model  logit  bersyarat  digunakan  untuk meyelidiki bagaimana waktu tempuh mempengaruhi preferensi responden.
Untuk  menyelidiki  bagaimana  kedua  jenis peubah penjelas (waktu dan umur) mempengaruhi  preferensi  jenis  angkutan, kita  memerlukan  model  campuran  ( mixed model )  yang  menggabungkan  kedua  jenis peubah penjelas.
Ilustrasi  2 .  Hasil  riset  Ries  dan  Smith tahun  1963  (Agresti,  1996)  dalam  List  2 berkenaan dengan preferensi subyek
Halimatus  Sa’diyah  dan  Riza  Yuli  Rusdiana :  Memahami  Penggunaan  Regresi  pada  Data  Respon Multinomial untuk Penelitian Sosial dan Kependidikan FIBONACCI : Jurnal Pendidikan Matematika dan Matematika. Vol. 7 (2), pp: 109 – 126
terhadap  merek  deterjen  M  dan  X  yang dihubungkan  dengan  tiga  peubah  penjelas: kelembutan  ( softness )  air  cucian  (lembut, sedang, atau kasar), temperatur air (tinggi/rendah),  dan  subyek  (responden) pernah menggunakan merek M (Ya/Tidak).
List 2 .  Preferensi merek deterjen M dan X.
data deterjen; input pernahM $ suhu $ cairan $ preferensi $ frek;
datalines; ya     rendah  lembut  M  49 ya     rendah  sedang  M  55 ya     rendah  kasar   M  52
... tidak  tinggi  lembut  X  29 tidak  tinggi  sedang  X  33 tidak  tinggi  kasar   X  42
;
Dalam  kasus  ini,  peubah-peubah  pernahM merupakan  karakteristik  individu,  sedang suhu  dan  cairan  adalah  karakteristik  dari pilihan individu.
Ilustrasi  3 .  Data  dalam  List  3  merupakan hasil  survei  General  Social  Survey  pada tahun  1991  (Agresti  1996,  hal  169,  urutan pertanyaan  diubah)  untuk  tiga  pertanyaan yang  diajukan  kepada  kaum  kulit  putih. Ketiga  pertanyaan  (A,  B,  dan  C)  tersebut adalah
A. Jika  partai  Anda  mencalonkan  seorang Presiden  yang  berkulit  hitam  (baca: negro),  akankah  Anda  memilihnya  jika ia pantas ( qualified ) untuk jenis pekerjaan (jabatan) itu?
B. Sukakah  Anda  (responden  kulit  putih) mengantarkan  anak-anak  sekolah  negro dan  kulit  putih  dari  satu  tempat  ke tempat lain?
C. Selama  beberapa  tahun  terakhir  ini, adakah di  antara  anggota keluarga Anda (termasuk  Anda)  mengajak  teman  negro untuk  makan  malam  bersama  dengan keluarga Anda?
Skala  respon  untuk  setiap  jenis pertanyaan  adalah  1=Ya,  2=Tidak,  dan 3=Tidak  tahu.  Untuk  kasus  kita  disini, jawaban yang diinginkan (mungkin) adalah apakah ada hubungan antara peubah respon A  dengan  peubah  penjelas  B  dan  C.    Dari jenis  pertanyaan  tersebut,  jelas  bahwa  B dan  C  bukan  karakteristik  pilihan  individu, tetapi karakteristik individu.
List  3 .    Preferensi  kaum  kulit  putih terhadap calon Presiden kulit hitam (negro).
data presiden; input A B C frek; datalines;
1 1 1  41
1 1 2  65 1 1 3   0 ... 3 3 3   1
;
Tujuan  dari  naskah  ini  adalah mempelajari  penerapan  model-model  logit multinomial pada peubah respon tak berurut ( unordered ) atau skala nominal..

## METODE PENELITIAN
Sebaran Multinomial
Diberikan  contoh  acak  berukuran  n.    Jika hasil  setiap  pengamatan  bebas  hanya termasuk ke dalam satu dan hanya satu dari J kategori,
Y j ∈ { Y 1 , Y 2 , …, Y J }, dimana j = 1, …, J , dan ∑ 𝑌 𝑗 𝐽 𝑗=1 = 𝑛 ,
Volume 7 No. 2 Bulan Desember Tahun 2021
maka  Yj  dikatakan  mengikuti  sebaran peluang multinomial.  Peluang contoh yang berukuran  n  mengandung  nj  kategori  ke-j adalah
𝑃(𝑛 1 , 𝑛 2 , . . . , 𝑛 𝐽 ) = 𝑛! 𝑛 1 !𝑛 2 !...𝑛 𝐽 ! 𝑝 1 𝑛 1 𝑝 2 𝑛 2 . . . . . 𝑝 𝐽 𝑛 𝐽 dengan ∑ 𝑝 𝑗 = 1 𝐽 𝑗=1 .
Suatu transformasi logit untuk peluang multinomial p 1 , p 2 , …, p j ke gugus parameter  1 ,  2 ,  …,  j yang  didefinisikan sebagai
𝜋 𝑗 = 𝑙𝑜𝑔 ( 𝑝 𝑗 𝑝 𝐽 ) untuk j = 1, …, J . disebut  logit  multinomial.  Catatlah  bahwa  j =  0,  sehingga  ada j –  1  parameter  logit.
Definisi  ini  menggunakan  kategori  terakhir ( j )  sebagai  kategori-landasan  ( baseline- categorical ) atau kategori-acuan ( reference- categorical ).  Pemilihan  kategori-landasan ini tidak khas.  Sembarang kategori j ( j = 1, …,  j )  dapat  dipilih  sebagai  kategori- landasan.    Misalnya,  jika  logit  multinomial didefinisikan sebagai
𝜋 𝑗 ∗ = 𝑙𝑜𝑔 ( 𝑝 𝑗 𝑝 1 ) sehingga 𝜋 1 ∗ = 0, maka 𝜋 𝑗 ∗ hanyalah reparameterisasi  j , karena
𝜋 𝑗 ∗ = 𝜋 𝑗 + 𝑙𝑜𝑔 ( 𝑝 𝐽 𝑝 1 ) .
Logit  multinomial  memainkan  peranan penting  dalam  analisis  data  respon  multi- kategorik  seperti  halnya  logit  binomial dalam tabel dua-arah. Data hasil pengamatan  untuk  kasus  di  atas  biasanya disajikan dalam bentuk matriks data/peluang atau tabel kontingensi (Gambar 1). Dalam konteks ini (Gambar 1), sel-sel  dalam  tabel  yang  tidak  mempunyai kategori  biasanya  diperlakukan  sebagai contoh  acak Poisson bebas.  Jika J  = 2 (ada dua  kategori),  maka  baris  sel  dalam  tabel
kontingensi yang berukuran I  J mempunyai  sebaran  binomial;  dan  respon dari peubah acak Y1 dan Y2 disebut respon biner  atau  respon  kuantal.  Jika  setiap  baris tabel  merupakan  contoh  bebas,  maka rancangannya  disebut  rancangan  binomial bebas.  Untuk  J  3,  setiap  baris  sel  dalam tabel  kontingensi  mempunyai  sebaran multinomial;  dan  respon  dari  peubah  acak Y 1 , Y 2 , …, Y J disebut respon multikategorik  ( multicategorical  response ), juga disebut respon polikotomus ( polychotomous  response )  atau  respon politomus  ( polytomous  response ).  Serupa dengan  rancangan  binomial  bebas,  jika setiap  baris  tabel  saling  bebas,  maka rancangan  disebut  rancangan  multinomial bebas (Agresti 1996).

## Kategori Respon
𝐶𝑜𝑛𝑡𝑜ℎ 1 2 ⋯ 𝐽 𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 1 𝑛 11 𝑛 12 ⋯ 𝑛 1𝐽 𝑛 1 ⋅ 2 𝑛 21 𝑛 22 ⋯ 𝑛 2𝐽 𝑛 2 ⋅ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ 𝐼 𝑛 𝐼1 𝑛 𝐽2 ⋯ 𝑛 𝐼𝐽 𝑛 𝐼 ⋅ 𝑛 11 𝑛 ⋅ 1 𝑛 ⋅ 2 ⋯ 𝑛 ⋅ 𝐽 𝑛
Peluang Respon Contoh 1 2 ⋯ 𝑗 ⋯ 𝐽 Total 1 𝜋 11 𝜋 12 ⋯ 𝜋 1𝑗 ⋯ 𝜋 1𝐽 𝜋 1 ⋅ 2 𝜋 21 𝜋 22 ⋯
𝜋 2𝑗 ⋯ 𝜋 2𝐽 𝜋 2 ⋅
⋮ ⋮ ⋮ ⋱
⋮ ⋮ ⋮ ⋮
𝑖 𝜋 𝑖1 𝜋 𝑖2 ⋯ 𝜋 𝑖𝑗 = 𝑛 𝑖𝑗 𝑛 ⋯ 𝜋 𝑖𝐽 𝜋 𝑖 ⋅ = ∑ 𝜋 𝑖𝑗 𝐽 𝑗=1 ⋮ ⋮ ⋮
⋮ ⋱ ⋮ ⋮ 𝐼 𝜋 𝐼1 𝜋 𝐽2 ⋯ 𝜋 𝐼𝑗 ⋯ 𝜋 𝐼𝐽 𝜋 𝐼 ⋅ 𝜋 ⋅ 1 𝜋 ⋅ 2 ⋯ 𝜋 ⋅ 𝑗 = ∑ 𝜋 𝑖𝑗 𝐼 𝑖=1 𝜋 ⋅ 𝐽 1
Gambar 1 . Matriks  data  atau  tabel kontingensi hasil hitungan ( count data ) dan nilai peluangnya
Merujuk pada Gambar 1, kategori baris tabel  mungkin  tunggal,  mungkin  majemuk. Setiap peubah kategori dalam baris matriks
Halimatus  Sa’diyah  dan  Riza  Yuli  Rusdiana :  Memahami  Penggunaan  Regresi  pada  Data  Respon Multinomial untuk Penelitian Sosial dan Kependidikan FIBONACCI : Jurnal Pendidikan Matematika dan Matematika. Vol. 7 (2), pp: 109 – 126
atau  tabel  kontingensi,  dalam  konteks bahasan  ini,  disebut  sebagai  peubah penjelas ( covariate , explanatory variable ).
Peluang Respon Multinomial Misalkan responden dihadapkan pada J alternatif yang tersedia. Andaikan  jk (j = 1, …,  n,  k  =  1,  …,  J)  menyatakan  peluang bahwa  responden  j  memilih  alternatif  k,  X j menyatakan karakteristik individu j, dan Z jk menyatakan  karakteristik  dari  alternatif  k yang  menjadi  pilihan  individu  j.  Dalam ilustrasi  1,  X j adalah  umur  dan  setiap  Z jk adalah  waktu  perjalanan.  Dalam  model logit  terampat,  setiap  subyek/individu dianggap  sebagai  satuan  analisis  ( analysis unit )  dan  karakteristik  individu  digunakan sebagai  peubah  penjelas.  Sebagai  peubah penjelas,  karakteristik  individu  dianggap konstan terhadap alternatif yang tersedia.
Misalkan,  setiap J pilihan  jenis angkutan dalam ilustrasi 1, X j = (1 umur) T , dan untuk responden pertama X 1 = (1 32) T . Peluang bahwa individu j memilih alternatif k adalah
𝜋 𝑗𝑘 = 𝑒𝑥𝑝(𝛽𝑘 𝑇𝑥 𝑗) ∑ 𝑒𝑥𝑝(𝛽𝑚 𝑇 𝑥𝑗) 𝑛 𝑚=1
= 1 ∑ 𝑒𝑥𝑝[(𝛽𝑚 𝑇 −𝛽 𝑘 𝑇)𝑥 𝑗] 𝑛 𝑚=1 [1]
dimana  1,  1,  …,  n,  adalah  vektor parameter  regresi  berukuran  n  (tidak diketahui),  meskipun  Xj  konstan  untuk seluruh alternatif. Karena ∑ 𝜋 𝑗𝑘 𝑛 𝑗=1 = 1 , maka n gugus dari parameter ini tidak khas.
Jika gugus terakhir dipilih sama dengan 0  (  n =  0),  maka  k mewakili  pengaruh peubah X terhadap  peluang  memilih alternatif k relatif  terhadap  alternatif terakhir.  Dengan memilih  n = 0, ada n – 1 gugus  koefisien  regresi  atau  persamaan regresi  logit.    Model  logit  terampat  oleh Agresti  (1990  &  1996)  disebut  sebagai model logit berkategori-landasan ( baseline- categorical  logit  model ).  Beberapa  penulis lain mengatakan model logit yang
mempunyai  kategori  acuan  ( reference- categorical  logit  model )  (Aitkin et.  al . 1989).
Pada  software  SAS,  model  logit terampat dikerjakan dengan PROC CATMOD,  dan  dalam  SPSS  ditetapkan dengan  prosedur  GENLOG.  Beberapa software  lain  yang  dapat  digunakan  untuk analisis  model  logit  terampat  adalah MINITAB  13.0,  STATA,  S-PLUS  2000, dan  mungkin  masih  banyak  yang  lain. Model  ini  banyak  digunakan  dalam berbagai bidang,  misalnya:  pertanian, sosial,  ekonomi,  politik,  dan  hukum khususnya untuk evaluasi kebijakan. Dalam bidang keproyekan banyak digunakan  untuk  studi  BME  ( benefit , monitoring , and evaluation )  dan  mengkaji informasi benchmark .
Dalam  model  logit  bersyarat,  peubah penjelas Z dianggap  mempunyai  nilai-nilai alternatif  berbeda,  dan  dampak  ( impact ) dari  unit Z diasumsikan  konstan  terhadap alternatif yang lain. Dalam ilustrasi 1, untuk setiap n pilihan  jenis  angkutan Z jk = (waktu) T .  Untuk subyek pertama nilai Z 11 = (4.5) T , Z 12 =  (10.0) T ,  dan Z 12 =  (10.5) T . Peluang  bahwa  subyek j memilih  alternatif k adalah
𝜋 𝑗𝑘 = 𝑒𝑥𝑝(𝜃𝑇 𝑍𝑗𝑘) ∑ 𝑒𝑥𝑝(𝜃𝑇 𝑍𝑗𝑚) 𝑛 𝑚=1 = 1 ∑ 𝑒𝑥𝑝[𝜃𝑇 (𝑍𝑗𝑚−𝑍𝑗𝑘)] 𝑛 𝑗=1 [2]
dimana 𝜃 adalah  vektor  koefisien  regresi tunggal. Pengaruh peubah penjelas terhadap peluang  alternatif  yang  dipilih  berasal  dari perbedaan  antara  nilai-nilai  dari  alternatif. Dengan perkataan lain, sifat dari Persamaan [2]  ini  adalah  kepastian  ( odds )  bahwa individu j memilih  alternatif k relatif terhadap  alternatif ℓ merupakan  fungsi  dari perbedaan  antara Z jk dan Z jℓ (karakteristik pilihan  subyek,  dan  bukan  karakteristik subyek):
𝑙𝑜𝑔 ( 𝜋 𝑗𝑘 𝜋 𝑗ℓ ) = 𝛽(𝑍 𝑗𝑘 − 𝑍 𝑗ℓ ) .
Volume 7 No. 2 Bulan Desember Tahun 2021
Jadi  kepastian  suatu  subyek  j  memilih alternatif k relatif terhadap alternatif ℓ tidak bergantung  pada  pilihan-pilihan  (option) lain dalam gugus pilihan yang tersedia atau nilai-nilai  yang  lain  pada  peubah  atribut. Oleh  sebab  itu,  model  dapat  diungkapkan dalam  bentuk  model  logit  bersyarat  yang pendugaannya  didasarkan  pada  model resiko kesebandingan (Agresti, 1990).
Dalam  SAS,  model  logit  bersyarat dapat  dikerjakan  dengan  PROC  PHREG, dan  dalam  SPSS  dapat  dikerjakan  dengan COXREG.  Model  ini  didasarkan  pada model  resiko  kesebandingan  ( proportional hazard  model )  yang  banyak  digunakan dalam  riset  kesehatan  ( medical  reasearch ), riset penyakit tanaman, atau analisis model- model  yang  mendasarkan  pada  analisis peluang-hidup  ( survival  analysis ).  Dalam riset  pemasaran  digunakan  untuk  analisis preferensi  merek  dan  merupakan  alternatif analisis  konjoin  (Ying  So  dan  Kuhfeld, 1995).  Di  bidang  pertanian,  digunakan untuk  uji  preferensi  hama  atau  penyakit terhadap varietas tanaman.
Model  logit  campuran  ( mixed  logit model ) menggabungkan karakteristik subyek dan karakteristik dari pilihan subyek (Ying  So  dan  Kuhfeld,  1995),  mempunyai bentuk peluang
𝜋 𝑗𝑘 = 𝑒𝑥𝑝(𝛽 𝑘 𝑇 𝑋 𝑗 + 𝜃 𝑇 𝑍 𝑗𝑘 ) ∑ 𝑒𝑥𝑝(𝛽 𝑚 𝑇 𝑋 𝑗 + 𝜃 𝑇 𝑍 𝑗𝑚 ) 𝑛 𝑚=1
Kita tidak membahas model ini.  Bagi yang tertarik,  dapat  membaca  lebih  lanjut  pada kepustakaan naskah ini, terutama pada Ying So & Kuhfeld (1995).

## HASIL DAN PEMBAHASAN
Bagian  ini  akan  membahas  penerapan model-model nominal dan mendiskusikannya dalam beberapa
kegunaan  pada  penelitian  sosial  juga  pada
penggunaan software yang berbeda. Penerapan  model  regresi  nominal  diawali dengan  model  multinomial-logit  dengan software SAS dan SPSS.

## Aplikasi  Logit  Multinomial:  Respon Nominal
Regresi  Logit  Terampat  dalam  SAS:

## PROC CATMOD
Model  regresi  multinomial,  dalam SAS, dikerjakan dengan  PROC CATMOD. Jika  x 1 kuantitatif  dan  x 2 kualitatif,  sintaks untuk  model  logit  terampat  dalam  SAS adalah:
proc catmod; direct x1; response logits; model y=x1 x2; run;
Pernyataan DIRECT menyatakan  bahwa  x 1 kontinu,  dan  ini  harus  diletakkan  sebelum pernyataan MODEL .  Pernyataan RESPONSE menspesifikkan fungsi peluang respon yang digunakan untuk memodelkan fungsi respon sebagai kombinasi linear dari unsur- unsur vektor parameter 𝛽 .
Tipe RESPONSE yang digunakan dalam PROC CATMOD bergantung  pada  model  yang digunakan:
CLOGITS ( cumulative logits ):
𝑙𝑜𝑔 ( 𝑝 1 1−𝑝 1 ) , 𝑙𝑜𝑔 ( 𝑝 1 +𝑝 2 1−𝑝 1 −𝑝 2 ) , ......., 𝑙𝑜𝑔 ( 𝑝 1 +𝑝 2 +.....+𝑝 𝐽 1−𝑝 1 −𝑝 2 −.....−𝑝 𝐽 )
ALOGITS ( adjacent logits ):
𝑙𝑜𝑔 ( 𝑝 2 𝑝 1 ) , 𝑙𝑜𝑔 ( 𝑝 3 𝑝 2 ) , ......., 𝑙𝑜𝑔 ( 𝑝 𝑘+1 𝑝 𝐽 )
Tipe RESPONSE memiliki  nilai default LOGITS ( generalized logits ) yang mempunyai bentuk (Guido, et al, 2006):
𝑙𝑜𝑔 ( 𝑝 𝑗 𝑝 𝐽 ) = 𝑥 𝑇 𝛽 𝑗 , for j = 1, …, k .
Halimatus  Sa’diyah  dan  Riza  Yuli  Rusdiana :  Memahami  Penggunaan  Regresi  pada  Data  Respon Multinomial untuk Penelitian Sosial dan Kependidikan FIBONACCI : Jurnal Pendidikan Matematika dan Matematika. Vol. 7 (2), pp: 109 – 126
Sebagai catatan, model logit terampat bergantung  pada  pendekatan  asimptotik ( assymptotic approximations ), jadi
diperlukan  contoh  yang  cukup  besar  untuk mendukung fungsi sebaran normal asimptotik.  Sebagai  pedoman  umum  (SAS Technical  Support,  2005),  menyarankan sedikitnya  ada  25–30  contoh  untuk  setiap fungsi  respon.    Misalnya,  jika  ada  satu peubah  bebas  dengan J =  4  kategori,  maka model  logit  terampat  (ada  tiga  model) masing-masing  memerlukan  sedikitnya  75. Subyek  juga  perlu  cukup  tersebar  ke seluruh    sel-sel  tabel  sehingga  kurang  dari 20% fungsi respon yang mempunyai ukuran contoh  efektif  kurang  dari  5.    Jika  setiap populasi  ukurannya  kurang  dari  5  subyek dalam  fungsi  respon  kategori  pertama, maka  lebih  baik  menggabungkan  kategori ini  ke  kategori  yang  lain  daripada memaksakan asumsi kenormalan asimptotik untuk  fungsi  respon.  Jika  peubah  respon mempunyai skala ordinal, sebaiknya menggunakan rataan fungsi respon daripada meminta  tiga  logit  terampat.  Jika  ada  lebih dari  satu  peubah  respon,  dan  Anda menspesifikkan  rata-rata  respon,  maka ukuran  contoh  efektif  30  cukup  untuk mendukung empat fungsi respon
Teladan  disini  menggunakan  data coklat (McCullagh dan Nelder, 1989) tetapi beberapa  frekuensinya  dimodifikasi  tanpa mengurangi  total  frekuensi.  Ini  dilakukan untuk menghindari sparseness yang menimbulkan  masalah  dalam  pemodelan model logit terampat. Versi modifikasi juga digunakan  dalam  manual  SAS  (SAS Institute,
2000:435-438). Untuk
menyederhanakan perhitungan, dalam
teladan  ini,  kategori  respon  diubah  dari  9 (aslinya  ordinal,  y)  menjadi  hanya  3 (dianggap nominal, ymin).
List 4 .  Teladan PROC CATMOD dengan data coklat data coklat; input y x1 x2 x3 x4 frek; if y=1 or y=2 or y=3 then ymin=1;  /* baris ini digunakan untuk */ else if y=4 or y=5 or y=6 then ymin=2; /*mengkonversi 9 skala */ else ymin=3; /* ordinal menjadi 3 skala nominal*/
*Kode peubah baru x (dalam pembahasan) sisipkan disini; datalines;
1 1 0 0 0  1 2 1 0 0 0  1 3 1 0 0 0  1 4 1 0 0 0  5 5 1 0 0 0  8 6 1 0 0 0  8 7 1 0 0 0 19 8 1 0 0 0  8 9 1 0 0 0  1 1 0 1 0 0  6 2 0 1 0 0  9 3 0 1 0 0 12 4 0 1 0 0 11 5 0 1 0 0  7 6 0 1 0 0  4 7 0 1 0 0  1 8 0 1 0 0  1 9 0 1 0 0  1 1 0 0 1 0  1 2 0 0 1 0  1 3 0 0 1 0  6 4 0 0 1 0  8 5 0 0 1 0 23 6 0 0 1 0  7 7 0 0 1 0  4 8 0 0 1 0  1 9 0 0 1 0  1 1 0 0 0 1  1 2 0 0 0 1  1 3 0 0 0 1  1 4 0 0 0 1  1 5 0 0 0 1  1 6 0 0 0 1  6 7 0 0 0 1 14 8 0 0 0 1 16
9 0 0 0 1 11 ; proc catmod data=coklat; direct x1-x4; weight frek; response logits; model ymin=x1-x4 / noiter freq; run;
*/Kode  proc  catmod  dengan  x  kategorik  (dalam pembahasan) dapat sisipkan disini*/ quit;
Volume 7 No. 2 Bulan Desember Tahun 2021

## Output dari program di atas adalah

## The CATMOD  Procedure
Response           ymin       Response Levels    3 Weight Variable    frek       Populations        4 Data Set           COKLAT     Total Frequency  208 Frequency Missing  0          Observations      36
Population Profiles Sample Sample    x1    x2    x3    x4       Size ------------------------------------------
1     0     0     0     1           52 2     0     0     1     0           52 3     0     1     0     0           52
4     1     0     0     0           52
Response Profiles Response    ymin ----------------- 1       1 2       2 3       3
Response Frequencies Response Number Sample        1        2        3 --------------------------------- 1         3        8       41 2         8       38        6 3        27       22        3 4         3       21       28 Maximum Likelihood Analysis of Variance Source               DF   Chi-Square    Pr > ChiSq -------------------------------------------------- Intercept             2        33.46        <.0001 x1                    2         7.79        0.0203 x2                    2        36.33        <.0001 x3                    2        37.07        <.0001 x4                    0*         .           .
Likelihood Ratio      0          .           .
NOTE: Effects marked with '*' contain one or more redundant or restricted parameters.

## Analysis of Maximum Likelihood Estimates
Standard       Chi- Effect      Parameter   Estimate      Error     Square   Pr > ChiSq ------------------------------------------------------------------- Intercept        1       -2.6150     0.5981      19.12       <.0001
2       -1.6341     0.3865      17.88       <.0001 x1               3        0.3814     0.8525       0.20       0.6546 4        1.3464     0.4824       7.79       0.0053 x2               5        4.8122     0.8532      31.81       <.0001 6        3.6266     0.7267      24.90       <.0001 x3               7        2.9026     0.8058      12.97       0.0003
8        3.4800     0.5851      35.37       <.0001 x4               9             .          .        .          . 10             .          .        .          .
Halimatus  Sa’diyah  dan  Riza  Yuli  Rusdiana :  Memahami  Penggunaan  Regresi  pada  Data  Respon Multinomial untuk Penelitian Sosial dan Kependidikan FIBONACCI : Jurnal Pendidikan Matematika dan Matematika. Vol. 7 (2), pp: 109 – 126
Dari analisis diperoleh dua model regresi dugaan:
𝑙𝑜𝑔 ( 𝑝 1 𝑝 3 ) = −2.6150 + 0.3814𝑋 1 +
4.8122𝑋 2 + 2.9026𝑋 3 𝑙𝑜𝑔 ( 𝑝 2 𝑝 3 ) = −1.6341 + 1.3464𝑋 1 + 3.6266𝑋 2 + 3.4800𝑋 3
Model  logit  yang  diduga  pada  setiap kombinasi matriks rancangan X adalah:
X 1 X 2 X 3 X 4 𝑙𝑜𝑔 ( 𝑝 1 𝑝 3 ) 𝑙𝑜𝑔 ( 𝑝 2 𝑝 3 )
1 0 0 0 -2.6150 + 0.3814 = -2.2336 -1.6341 + 1.3464 = -0.2877 0 1 0 0 -2.6150 + 4.8122 = -2.1972 -1.6341 + 1.3464 =  1.9925 0 0 1 0 -2.6150 + 2.9026 =  0.2876 -1.6341 + 1.3464 =  1.8459 0 0 0 1 -2.6150 + 0      = -2.6150 -1.6341 + 0      = -1.6341
Untuk memprediksi nilai-nilai peluang, kita dapat menggunakan persamaan [1]. Misalnya, nilai prediksi peluang untuk X 1 = 1, X 2 = 0 dan X 3 = 0 adalah 𝑝 1 = 𝑒𝑥𝑝(−2.2336) 1+𝑒𝑥𝑝(−2.2336)+𝑒𝑥𝑝(0.2877) = 0.05769
𝑝 2 = 𝑒𝑥𝑝(−0.2877) 1 + 𝑒𝑥𝑝(−2.2336) + 𝑒𝑥𝑝(0.2877) = 0.40384
Hasil  komputasi  ini  dapat  diperoleh  secara mudah  dengan  menambahkan  opsi PROB dalam perintah MODEL .
proc catmod data=coklat; direct x1-x4; response logits; model ymin = x1-x4 / noiter freq prob;
run;
Dengan menambahkan opsi PROB , maka SAS menampilkan output berikut sebagai tambahan dari output sebelumnya:

## Response Probabilities
Response Number Sample  1       2       3 ------------------------------
1   0.05769  0.15385  0.78846 2   0.15385  0.73077  0.11538 3   0.51923  0.42308  0.05769 4   0.05769  0.40385  0.53846
Dalam  contoh  sebelumnya, X 1 , X 2 , X 3 , dan X 4 adalah  peubah  boneka  ( dummy variables )  untuk  menyatakan  setiap  tipe aditif. Hasil yang sama juga dapat diperoleh dengan  menggunakan  peubah  kategorik untuk  menyatakan  tipe  aditif.    Ini dikerjakan dengan cara menciptakan peubah baru X berikut: if x1=1 then x=1; else if x2=1 then x=2; else if x3=1 then x=3; else if x4=4 then x=4; else x=0;
Jika  kode  ini  disisipkan  dalam  tahap DATA , kemudian  kita  menambahkan  perintah berikut (setelah kode proc catmod
sebelumnya):
proc catmod data=coklat;
response logits;
model ymin = x / noiter freq prob; run;
Volume 7 No. 2 Bulan Desember Tahun 2021

## maka SAS memberikan output:

## The CATMOD Procedure
Response           ymin       Response Levels    3 Weight Variable    frek       Populations        4 Data Set           COKLAT     Total Frequency  208 Frequency Missing  0          Observations      36
Population Profiles
Sample    x    Sample Size --------------------------
1     1             52 2     2             52 3     3             52 4     4             52 Response Profiles
Response    ymin --------------- ƒ 1       1 2       2
3       3
Response Frequencies Response Number Sample        1        2        3
--------------------------------- 1         3       21       28 2        27       22        3 3         8       38        6 4         3        8       41
Response Probabilities Response Number Sample          1          2          3
--------------------------------------- 1     0.05769    0.40385    0.53846 2     0.51923    0.42308    0.05769 3     0.15385    0.73077    0.11538 4     0.05769    0.15385    0.78846 Maximum Likelihood Analysis Maximum likelihood computations converged.
Maximum Likelihood Analysis of Variance Source               DF   Chi-Square    Pr > ChiSq -------------------------------------------------- Intercept             2        18.26        0.0001 x                     6        78.70        <.0001 Likelihood Ratio      0          .           .
Analysis of Maximum Likelihood Estimates Standard       Chi- Effect      Parameter   Estimate      Error     Square   Pr > ChiSq ------------------------------------------------------------------- Intercept        1       -0.5909     0.2946       4.02       0.0449
2        0.4791     0.2242       4.57       0.0326 x                3       -1.6427     0.5209       9.95       0.0016 4       -0.7668     0.3032       6.39       0.0114 5        2.7881     0.5215      28.59       <.0001 6        1.5133     0.4895       9.56       0.0020 7        0.8786     0.4823       3.32       0.0685
8        1.3667     0.3831      12.73       0.0004
Halimatus  Sa’diyah  dan  Riza  Yuli  Rusdiana :  Memahami  Penggunaan  Regresi  pada  Data  Respon Multinomial untuk Penelitian Sosial dan Kependidikan FIBONACCI : Jurnal Pendidikan Matematika dan Matematika. Vol. 7 (2), pp: 109 – 126
Hasil ini memperlihatkan setiap logit dugaan, yang dapat dihitung sebagai berikut:
X 𝑙𝑜𝑔 ( 𝑝 1 𝑝 3 ) 𝑙𝑜𝑔 ( 𝑝 2 𝑝 3 )
1 – 0.5909 – 1.6427 = – 2.2336 0.4791 – 0.7668 = – 0.2877 2 – 0.5909 + 2.7881 = 2.1972 0.4791 + 1.5133 = 1.9942 3 – 0.5909 + 0.8786 = 0.877 0.4791 + 1.3667 = 1.8458 4 – 0.5909 – ( – 1.6427 + 2.7881 + 0.8786) = – 2.6149  0.4791 – ( – 07668 + 1.5133 + 1.3667) = – 1.6341

## Regresi Logit Terampat dalam SPSS: GENLOG
Dalam  SPSS,  model  logit  dikerjakan dengan prosedur GENLOG . Prosedur ini juga digunakan  untuk  analisis  model  loglinear umum ( general loglinear analysis ).
Bedanya  dengan  SAS,  SPSS  9.01  hanya dapat mengerjakan model logit multinomial yang peubah penjelasnya kategorik. Sintaks dasar model logit multinomial:
genlog y by x1 x2 /model=multinomial /design y y*x1 y*x2 y*x1*x2. dimana y adalah peubah respon, sedang x1 dan x2  adalah  peubah  penjelas  kategorik.  Data yang  sama  (versi  yang  dimodifikasi)  kita gunakan untuk teladan disini:
genlog ymin by x /model=multinomial /print freq estim /plot none
/criteria=cin(95)
iteration(20) converge(.001) delta(0) /design ymin ymin*x.

## Output dari SPSS adalah:

## GENERALIZED LOGLINEAR ANALYSIS
Data Information
208 cases are accepted.
0 cases are rejected because of missing data.
208 weighted cases will be used in the analysis.
12 cells are defined.
0 structural zeros are imposed by design.
0 sampling zeros are encountered.
Variable Information Factor Levels Value YMIN   3 1.00 2.00 3.00 X 4 1.00 2.00 3.00 4.00
Model and Design Information
Model: Multinomial Logit Design: Constant + YMIN + YMIN*X
Note:  There is a separate constant term for each combination of levels of the independent factors.
Volume 7 No. 2 Bulan Desember Tahun 2021
Correspondence Between Parameters and Terms of the Design
Parameter Aliased Term 1 Constant for [X = 1.00] 2 Constant for [X = 2.00] 3 Constant for [X = 3.00] 4 Constant for [X = 4.00] 5 [YMIN = 1.00] 6 [YMIN = 2.00] 7 x [YMIN = 3.00] 8 [YMIN = 1.00]*[X = 1.00] 9 [YMIN = 1.00]*[X = 2.00] 10 [YMIN = 1.00]*[X = 3.00] 11 x [YMIN = 1.00]*[X = 4.00] 12 [YMIN = 2.00]*[X = 1.00] 13 [YMIN = 2.00]*[X = 2.00] 14 [YMIN = 2.00]*[X = 3.00] 15 x [YMIN = 2.00]*[X = 4.00] 16 x [YMIN = 3.00]*[X = 1.00] 17 x [YMIN = 3.00]*[X = 2.00] 18 x [YMIN = 3.00]*[X = 3.00] 19 x [YMIN = 3.00]*[X = 4.00]
Note: 'x' indicates an aliased (or a redundant) parameter. These parameters are set to zero.
Convergence Information
Maximum number of iterations: 20 Relative difference tolerance: .001 Final relative difference: 2.92779E-14 Maximum likelihood estimation converged at iteration 1.
Table Information Observed Expected Factor Value Count %  Count % X 1.00 YMIN   1.00 3.00 (  5.77) 3.00 (  5.77) YMIN   2.00 21.00 ( 40.38) 21.00 ( 40.38) YMIN   3.00 28.00 ( 53.85) 28.00 ( 53.85) X 2.00 YMIN   1.00 27.00 ( 51.92) 27.00 ( 51.92) YMIN   2.00 22.00 ( 42.31) 22.00 ( 42.31) YMIN   3.00 3.00 (  5.77) 3.00 (  5.77) X 3.00 YMIN   1.00 8.00 ( 15.38) 8.00 ( 15.38) YMIN   2.00 38.00 ( 73.08) 38.00 ( 73.08) YMIN   3.00 6.00 ( 11.54) 6.00 ( 11.54) X 4.00 YMIN   1.00 3.00 (  5.77) 3.00 (  5.77) YMIN   2.00 8.00 ( 15.38) 8.00 ( 15.38) YMIN   3.00 41.00 ( 78.85) 41.00 ( 78.85) Goodness-of-fit Statistics Chi-Square   DF Sig. Likelihood Ratio .0000  0 . Pearson .0000  0 . Analysis of Dispersion Source of Dispersion Entropy Concentration DF Due to Model 55.4019 35.2404 12 Due to Residual 163.2376 97.3462 402 Total 218.6395 132.5865 414 Measures of Association Entropy = .2534
Concentration = .2658
Halimatus  Sa’diyah  dan  Riza  Yuli  Rusdiana :  Memahami  Penggunaan  Regresi  pada  Data  Respon Multinomial untuk Penelitian Sosial dan Kependidikan FIBONACCI : Jurnal Pendidikan Matematika dan Matematika. Vol. 7 (2), pp: 109 – 126
Parameter Estimates Constant Estimate 1 3.3322 2 1.0986 3 1.7918 4 3.7136
Note: Constants are not parameters under multinomial assumption. Therefore, standard errors are not calculated.
Asymptotic 95% CI Parameter Estimate SE Z-value Lower  Upper 5 -2.6150 .5981  -4.37 -3.79  -1.44 6 -1.6341 .3865  -4.23 -2.39   -.88 7 .0000 . . .      . 8 .3814 .8525    .45 -1.29   2.05 9 4.8122 .8533   5.64 3.14   6.48 10 2.9026 .8058   3.60 1.32   4.48 11 .0000 . . .     . 12 1.3464 .4824   2.79 .40   2.29 13 3.6266 .7268   4.99 2.20   5.05 14 3.4800 .5851   5.95 2.33   4.63 15 .0000 . . .     . 16 .0000 . . .     . 17 .0000 . . .     . 18 .0000 . . .     . 19 .0000 . . .     .
Output  SPSS  mempunyai  struktur  model berikut:
Anggaplah  Y MIN =3  sebagai  kategori  acuan ( reference / baseline  category ),  maka  logit dugaan untuk Y MIN =1 pada X=1 adalah
𝑙𝑜𝑔 ( 𝑚 11 𝑚 31 ) = 𝜆 𝑌𝑀𝐼𝑁=1 + 𝜆 𝑌𝑀𝐼𝑁=1 dan 𝑋=1
dimana  m 11 merupakan  hitungan  yang diprediksi untuk Y MIN =1 pada X=1 dan m 31 merupakan  hitungan  yang  diprediksi  untuk Y MIN =3  pada  X=1.    Serupa,  logit  yang diduga dari Y MIN =2 pada X=1 adalah
𝑙𝑜𝑔 ( 𝑚 21 𝑚 31 ) = 𝜆 𝑌𝑀𝐼𝑁=2 + 𝜆 𝑌𝑀𝐼𝑁=2 dan 𝑋=1
dimana  m 21 merupakan  hitungan  yang diprediksi  untuk  Y MIN =2  pada  X=1.
Komputasi logit yang lain pada X=2, 3, dan 4 dapat diturunkan dengan cara serupa.
Output  SPSS  di  atas  menyediakan  hasil pendugaan berikut:
𝑙𝑜𝑔 ( 𝑚 11 𝑚 31 ) = −2.6150 + 0.3814 = −2.2336, 𝑙𝑜𝑔 ( 𝑚 12 𝑚 32 ) = −2.6150 + 4.8122 = 2.1972 𝑙𝑜𝑔 ( 𝑚 13 𝑚 33 ) = −2.6150 + 2.9026 =    0.2876, 𝑙𝑜𝑔 ( 𝑚 14 𝑚 34 ) = −2.6150 + 0 = −2.6150 𝑙𝑜𝑔 ( 𝑚 21 𝑚 31 ) = −1.6341 + 1.3464 = −0.2877, 𝑙𝑜𝑔 ( 𝑚 22 𝑚 32 ) = −1.6341 + 3.6266 = 1.9924 𝑙𝑜𝑔 ( 𝑚 23 𝑚 33 ) = −1.6341 + 3.4800 =    1.8459, 𝑙𝑜𝑔 ( 𝑚 24 𝑚 34 ) = −1.6341 + 0 = −1.6341
Output SPSS ini tepat sama dengan yang diberikan oleh SAS.
Volume 7 No. 2 Bulan Desember Tahun 2021
Regresi Logit Bersyarat dalam SAS:

## PROC PHREG
Prosedur  SAS PHREG mengerjakan analisis  data  peluang-hidup  ( survival ) berdasarkan  model  resiko  kesebandingan Cox  ( Cox’s  proportional  hazards  model ).
Fungsi kemungkinannya ( likelihood function ) sama dengan model logit bersyarat  ( conditional  logit  model ).  Untuk model  logit  bersyarat  dengan PROC  PHREG , kita  perlu  mengatur  gugus  data  dalam bentuk  yang  sesuai  untuk  analisis  data peluang-hidup.  Dalam model ini, dianggap bahwa  pilihan  yang  paling  disukai  terjadi pada  waktu  1  dan  semua  pilihan  yang  lain terjadi  diwaktu  berikutnya  atau  dikatakan disensor  (tidak  dapat  diamati).  Disini  perlu dibuat peubah status ( status variable ) untuk menyatakan  apakah  pengamatan  disensor ataukah tidak. Peubah indikator mempunyai nilai 0 jika pilihan disensor dan 1 jika tidak (artinya dipilih). Sintaks dalam SAS:
proc phreg; strata peubah_strata; model peubah_waktu*peubah_status(0)  =  x1 x2;
run;
dimana peubah_strata adalah  nama dari  peubah  yang  menentukan  stratifikasi , peubah_waktu adalah  nama  dari  peubah waktu  gagal  (nilai-nilai  yang  kecil  berarti alternatif  dipilih), peubah_status adalah nama  dari  peubah  indikator  yang  disensor (0  jika  disensor  dan  1  jika  tidak),    sedang x1  dan  x2  adalah  peubah  penjelas ( regressor , explanatory variable , covariate ).
Teladan  berikut  berasal  dari  Logistic Regression  Examples  Using  the  SAS System,  pp.  2-3  (SAS,  1995).  Sepuluh subyek  (responden)  disajikan  8  macam permen  coklat,  kemudian  diminta  untuk memilih satu yang paling disukai.
Kedelapan permen ini merupakan kombinasi:  warna  (1=  coklat,  0=susu), tekstur (1=lunak, 0= keras), bentuk (1=bulat, 0=tidak).    Tahapan DATA berikut menciptakan  gugus  data  SAS  yang  diberi nama COKLAT : data coklat; input subyek pilihan warna tekstur bentuk @@; t=2-pilihan; datalines;
1 0 0 0 0   1 0 0 0 1   1 0 0 1 0
1 0 0 1 1
1 1 1 0 0   1 0 1 0 1   1 0 1 1 0 1 0 1 1 1 2 0 0 0 0 2 0 0 0 1   2 0 0 1 0 2 0 0 1 1 2 0 1 0 0   2 1 1 0 1   2 0 1 1 0 2 0 1 1 1 3 0 0 0 0   3 0 0 0 1   3 0 0 1 0 3 0 0 1 1 3 0 1 0 0   3 0 1 0 1   3 1 1 1 0 3 0 1 1 1 4 0 0 0 0   4 0 0 0 1   4 0 0 1 0 4 0 0 1 1 4 1 1 0 0   4 0 1 0 1   4 0 1 1 0 4 0 1 1 1 5 0 0 0 0   5 1 0 0 1   5 0 0 1 0 5 0 0 1 1 5 0 1 0 0   5 0 1 0 1   5 0 1 1 0 5 0 1 1 1 6 0 0 0 0   6 0 0 0 1   6 0 0 1 0 6 0 0 1 1 6 0 1 0 0   6 1 1 0 1   6 0 1 1 0 6 0 1 1 1 7 0 0 0 0   7 1 0 0 1   7 0 0 1 0 7 0 0 1 1 7 0 1 0 0   7 0 1 0 1   7 0 1 1 0 7 0 1 1 1 8 0 0 0 0   8 0 0 0 1   8 0 0 1 0 8 0 0 1 1 8 0 1 0 0   8 1 1 0 1   8 0 1 1 0 8 0 1 1 1 9 0 0 0 0   9 0 0 0 1   9 0 0 1 0 9 0 0 1 1 9 0 1 0 0   9 1 1 0 1   9 0 1 1 0 9 0 1 1 1 10 0 0 0 0  10 0 0 0 1  10 0 0 1 0
10 0 0 1 1
10 0 1 0 0  10 1 1 0 1  10 0 1 1 0
10 0 1 1 1
; dimana  subyek  sebagai  nomor  subyek ( subject  number ), pilihan sebagai  peubah status  ( status  variable ),  dan  t  sebagai peubah waktu ( time variable ). Kita menggunakan sintaks berikut:
proc phreg data=coklat; strata subyek; model t*pilihan(0)=warna tekstur bentuk; run;
Halimatus  Sa’diyah  dan  Riza  Yuli  Rusdiana :  Memahami  Penggunaan  Regresi  pada  Data  Respon Multinomial untuk Penelitian Sosial dan Kependidikan FIBONACCI : Jurnal Pendidikan Matematika dan Matematika. Vol. 7 (2), pp: 109 – 126
Hasil analisis adalah sebagai berikut:
Analisis Data Peluang-hidup: The PHREG Procedure
Model Information
Data Set                 WORK.COKLAT Dependent Variable       t
Censoring Variable       pilihan Censoring Value(s)       0 Ties Handling            BRESLOW Summary of the Number of Event and Censored Values Percent Stratum    subyek     Total     Event    Censored    Censored 1         1         8         1           7        87.50 2         2         8         1           7        87.50 3         3         8         1           7        87.50 4         4         8         1           7        87.50 5         5         8         1           7        87.50 6         6         8         1           7        87.50 7         7         8         1           7        87.50 8         8         8         1           7        87.50 9         9         8         1           7        87.50 10        10         8         1           7        87.50
Total                80        10          70        87.50
Convergence Status: Convergence criterion (GCONV=1E-8) satisfied.
Model Fit Statistics Without           With Criterion     Covariates     Covariates -2 LOG L          41.589         28.727
AIC               41.589         34.727 SBC               41.589         35.635
Testing Global Null Hypothesis: BETA=0
Test                 Chi-Square       DF     Pr > ChiSq Likelihood Ratio        12.8618        3         0.0049
Score                   11.6000        3         0.0089 Wald                     8.9275        3         0.0303
Analysis of Maximum Likelihood Estimates
Parameter    Standard                            Hazard Variable  DF    Estimate       Error  Chi-Square  Pr > ChiSq     Ratio warna      1     1.38629     0.79057      3.0749      0.0795     4.000 tekstur    1    -2.19722     1.05409      4.3450      0.0371     0.111 bentuk     1     0.84730     0.69007      1.5076      0.2195     2.333
Hasil di atas memberikan model pendugaan peluang berikut:
𝑝 𝑗 = 𝑒𝑥𝑝(1.38629∗ warna 𝑗 −2.19722∗ tekstur 𝑗 +0.84730∗ bentuk 𝑗 ) ∑ 𝑒𝑥𝑝(1.38629∗ warna 𝑗 −2.19722∗ tekstur 𝑗 +0.84730∗ bentuk 𝑗 ) 𝑛 𝑗=1 , dimana n = 8.
Volume 7 No. 2 Bulan Desember Tahun 2021
Nilai  dugaan  yang  positif  untuk warna  dan  bentuk  berarti  kedua  peubah  ini meningkatkan  preferensi,  sedang  nilai dugaan negatif (tekstur) menurunkan preferensi.    Jadi,  macam  permen  yang paling  disukai  oleh  konsumen  adalah  yang punya  warna  coklat,  tekstur  keras,  dan bentuk  bulat.  Ini  diperlihatkan  oleh  nilai prediksi peluang berikut:
Pilih -an Warn a Tekstu r
Bentu k 𝑒𝑥𝑝(𝑥 𝑗 𝑇 𝛽 𝑗 ) Pred.
Peluang 1 0 0 0 1.000 0.054 2 0 0 1 2.333 0.126 3 0 1 0 0.111 0.006 4 0 1 1 0.269 0.014 5 1 0 0 4.000 0.216 6 1 0 1 9.333 0.504 7 1 1 0 0.444 0.024 8 1 1 1 1.037 0.056 18.518 1.000

## Regresi Logit Bersyarat dalam SPSS: Prosedur COXREG
Logit bersyarat dalam SPSS dikerjakan  dengan  menggunakan  prosedur COXREG yang sintaksnya sebagai berikut:
coxreg peubah_waktu with X1 X2 /status=peubah_status(1) /strata=peubah_strata.
dimana peubah_waktu adalah  nama  dari peubah  waktu  gagal  (nilai  yang  lebih  kecil berarti  alternatif  dipilih), peubah_status adalah  nama  dari  peubah  indikator  yang disensor (1=disensor,
0=tidak),
peubah_strata adalah  nama  dari  peubah yang menentukan stratifikasi, sedang x 1 dan x 2 adalah peubah penjelas.
Untuk data kita, kode program SPSS adalah coxreg t with warna tektur bentuk /status=pilihan(1) /strata=subyek.

## yang menghasilkan output sebagai berikut:

## C O X R E G R E S S I O N
80 Total cases read
0 Cases with missing values
0 Valid cases with non-positive times
0 Censored cases before the earliest event in a stratum
0 Total cases dropped 80 Cases available for the analysis Dependent Variable: T SUBJECT Events Censored 1.00 1 7 (87.5%) 2.00 1 7 (87.5%) 3.00 1 7 (87.5%) 4.00 1 7 (87.5%) 5.00 1 7 (87.5%) 6.00 1 7 (87.5%) 7.00 1 7 (87.5%) 8.00 1 7 (87.5%) 9.00 1 7 (87.5%) 10.00 1 7 (87.5%) Total 10 70 (87.5%)
Beginning Block Number 0. Initial Log Likelihood Function
-2 Log Likelihood   41.589
Halimatus  Sa’diyah  dan  Riza  Yuli  Rusdiana :  Memahami  Penggunaan  Regresi  pada  Data  Respon Multinomial untuk Penelitian Sosial dan Kependidikan FIBONACCI : Jurnal Pendidikan Matematika dan Matematika. Vol. 7 (2), pp: 109 – 126
Beginning Block Number 1.  Method: Enter
Variable(s) Entered at Step Number 1.. WARNA BENTUK

## TEKSTUR
Coefficients converged after 5 iterations.
1-2 Log Likelihood  28.727 Chi-Square   df Sig Overall (score) 11.600 3 .0089 Change (-2LL) from Previous Block 12.862 3 .0049 Previous Step 12.862 3 .0049 ------------------------ Variables in the Equation --------------------- Variable B S.E. Wald df   Sig R Exp(B) WARNA 1.3863   .7906   3.0749    1   .0795   .1608 4.0000 BENTUK .8473   .6901   1.5076    1   .2195   .0000 2.3333 TEKSTUR -2.1972  1.0541   4.3450    1   .0371   -.2375    .1111 Covariate Means Variable Mean WARNA .5000 BENTUK .5000 TEKSTUR .5000
Hasil pendugaan ini tepat sama dengan hasil PROC PHREG SAS .

## SIMPULAN
Dua  model  regresi  logit  multinomial untuk  peubah  respon  politomus  atau multinomial  yang  strukturnya  tak  berurut, yaitu (i) model logit terampat ( generalized ) dan  (ii)  model  logit  bersyarat.  Model  logit menggunakan  karakteristik  dari  individu (subyek)  sebagai  peubah  penjelas,  sedang model logit bersyarat menggunakan karakteristik  dari  pilihan  individu.  Dalam dunia  pendidikan  karakteristik  pilihan individu  ini  dapat  berwujud  penilaian  pada rubrik  penilaian  yang  berupa  pilihan preferensi  psikologis  atau  angka  tingkat kesetujuan/ketidaksetujuan  terhadap  suatu hal  yang  dievaluasi.  Sedangkan  karakter individu  pada  model  regresi  logit  terampat dapat berupa latar belakang pendidikan dan sosio-kultur-ekonomi dari penilai dalam hal ini bisa guru, dosen atau asesor.
Regresi  logit  terampat  ( generalized logit )  dapat  dilakukan  dengan  PROC CATMOD  dalam  SAS.    Sedangkan  untuk melakukan  perhitungan  model  regresi  logit bersyarat  ( conditional  logit )  terdapat  dua pilihan  yaitu  dengan  SAS  melalui  PROC PHREG  atau  dengan  SPSS  melalui  PROC COXREG. Kedua pendekatan untuk regresi logit  bersyarat  ini  telah  ditunjukkan  dalam artikel ini menghasilkan luaran yang sama.
Lebih jauh, meskipun di luar cakupan pembahasan  kali  ini,  penelaahan  terhadap penggabungan  kedua  model  logit  ini menurut  hemat  penulis  sangat  menarik untuk dilakukan. Yaitu sebuah upaya untuk melakukan  pemodelan  yang  menggunakan karakteristik dari individu (subyek) sebagai peubah  penjelas  seperti  pada  model  logit terampat,  dan  sekaligus  menggunakan karakteristik  dari  pilihan  individu  seperti pada model logit bersyarat.
Volume 7 No. 2 Bulan Desember Tahun 2021

## DAFTAR PUSTAKA
Agresti,  Alan.  1996. An  Introduction  to Catagorical Data Analysis . New York: John Wiley & Sons, Inc.
Agresti,  Alan.  1990. Catagorical  Data Analysis .  New  York:  John  Wiley  & Sons, Inc.
Aitkin,  M.,  Anderson,  D.,  Francis,  B.,  & Hinde, J.  1989. Statistical  Modelling in GLIM . New York: Clarenden Press.
Hadi,  A.  F.  2021.  Statistika  Intuitif.  Elstat: Statistika  Digital  Indonesia.  [Online] Tersedia:  https://elstat.id/intutivestatis tics-an-introduction-1/  [1  Desember 2021].
Guido, J. J,  Winters,  P.  C., & Rains,  A. B. 2006. Logistic  Regression  Basics . NESUG  2006.  [Online]  Tersedia:
https://www.lexjansen.com/nesug/nesu g06/an/da26.pdf [10 November 2021].
SAS  Institute.  2000.  SAS/Stat  Software: Changes  and  Enhancements  through Release  6.11  Paperback  –  August  1,
2000.
SAS  Technical  Support.  2005.  [Online] Tersedia: http://support.sas.com/
techsup/tnote/tnote_stat.html [10 November 2021]
McCullagh,  P.,  &  Nelder,  J.  A.  1989.
Generalized  Linear  Models .    London: Chapman & Hall.
Ying  So,  and  Kuhfeld,  W.  F.  1995. Multinomial  logit  models ,  Makalah disajikan  dalam  SAS  Users  Group International  20  (SUGI  20).  Orlando,
Florida, 2-5 April.