Vol. 11, No. 2,  115-121,  Januari  2015
Sifat-sifat Ruang Banach
Muhammad Zakir 

## Abstrak
Tulisan ini membahas tentang himpunan operator (pemetaan) linier dari ruang vektor ke ruang vektor yang dilambangkan dengan
, ditunjukkan bahwa himpunan tersebut adalah ruang vektor dan membentuk ruang bernorma yang lengkap, atau suatu ruang Banach, selanjutnya sifat-sifat ruang Banach tersebut akan dibahas.
Kata Kunci :Ruang Vektor, operator linier, Ruang Norm, Ruang Banach.

## Abstract
This  paper  discussed  a  set  of  linear  operator  (mapping)  froma  vector  space U to  a  vector space V , which denoted by
. It is shown that the set is a vector space and formed  a complete  norm  space,  or  formed  a  Banach  space.  The  properties  of  that  Banach  space  also discussed.
Keywords: Vector space, Linier Operator, Norm space, Banach space.

## 1. Pendahuluan
Ruang Banach adalah ruang norma yang lengkap, sedang ruang norma adalah ruang vektor yang dilengkapi dengan fungsi norm, selanjutnya kelengkapan suatu himpunan adalah bila untuk sebarang  barisan  Cauchy  dalam  himpunan    tersebut  konvergen  ke  himpunan  tersebut.  Dalam bagian  pendahuluan  ini  akan  diperkenalkan  beberapa  definisi  dan  teorema  yang  mendukung materi yang akan dibahas. 1
Definisi1.1. Misalkan  U  adalah ruang vektor atas lapangan F pemetaan ‖  ‖ disebut norma dari U bila memenuhi:
a. ‖ ‖ untuk setiap
b. Jika dan ‖ ‖ maka
c. ‖  ‖   | |‖ ‖ untuk  semua dan
d. ‖     ‖   ‖ ‖   ‖ ‖
Pasangan  ruang  vektor U dengan  norma  disebut  ruang  bernorma,  yang  biasanya  dilambangkan dengan ‖  ‖ .  Sebagai  contoh  adalah  ruang {
| } ,  adalah  ruang vektor dengan operasi :
Untuk  semua dan , ,    selanjutnya  bila didefinisikan ‖ ‖    ∑ | | ,  maka  dapat  dibuktikan  bahwa  fungsi  tersebut
 Dosen Jurusan Matematika FMIPA UNHAS, zakir@fmipa.unhas.ac.id
1,2,3 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Hasanuddin Makassar , Jl. Perintis Kemerdekaan Km.10 Makassar

## Muhammad Zakir
mendefinisikan  norma  di  ruang  vektor { | } ,  sehingga ‖  ‖ adalah ruang bernorma.
Definisi  1.2. Barisan disebut  barisan  Cauchy  bila  untuk  setiap terdapat sedemikian sehingga untuk setiap berlaku Barisan adalah barisan Cauchy di dengan metrik |     |
Definisi  1.3. Misalkan    U    adalah  ruang  bernorma  atas  lapangan  F  .  Ruang  bernorma  yang lengkap disebut ruang Banach.
Definisi  1.4. Misalkan    U  dan  V  adalah  ruang  vektor  atas  lapangan  F.  Himpunan  semua pemetaan linier dari ruang vektor U ke ruang vektor V disebut
Teorema 1.1. Untuk setiap barisan konvergen di X adalah Cauchy. Bukti.
Misalkan adalah barisan di dengan , dan misalkan maka terdapat bilangan  asli sedmikian  hingga  berlaku untuk  setiap ,  akibatnya untuk berlaku jadi barisan    Cauchy.
�

## 2. Pembahasan
Misalkan
adalah ruang vektor atas lapangan , pada sesi ini akan dibahas tentang sifat-sifat dari himpunan {   |                                            } , akan dibuktikan bahwa
adalah ruang bernorm yang lengkap, sehingga adalah ruang Banach, selanjutnya akan dibahas secara detail tentang sifat-sifat ruang Banach tersebut.
Definisi2.1. Misalkan    U  dan  V  adalah  ruang  vektor  atas  lapangan  F  dan  T  adalah  pemetaan dari ruang vektor U ke V. T disebut pemetaan linier jika dan hanya jika untuk setiap
dan
Teorema  2.1. Misalkan  T  tarnsformasi  linier  dari  ruang  vektor  U  ke  ruang  vektor  V,  Jika  T kontinu pada stu titik maka T kontinu pada U.
. Bukti.
Misalkan T kontinu pada ,  misalkan diberikan terdapat sedemikian sehingga
‖ ‖ dimana ‖ ‖ .  Misalkan
maka  untuk  setiapa dengan ‖ ‖ berarti ‖
‖     ‖ ‖ dan ‖ ‖
‖ ‖ ,  maka  terbukti T kontinu  pada ,  karna vektor  sebarang pada U maka T kontinu pada U . �
Definisi2.2. Misalkan    U  dan  V  adalah  ruang  vektor  atas  lapangan  F  dan  T  adalah  pemetaan linier  dari  ruang  vektor  U  ke  V.  T  disebut  pemetaan  linier  terbatas  jika  dan  hanya  jika {       ‖ ‖        } adalah himpunan bilangan real   terbatas. T disebut terbatas jika dan hanya jika terdapat bilangan real M  sedemikian sehingga ‖    ‖ dimana ‖    ‖
Muhammad Zakir
Teorema  2.2. Misalkan  T  tarnsformasi  linier  dari  ruang  vektor  U  ke  ruang  vektor  V, Transformasi linier T kontinu pada U jika dan hanya jika terbatas.. . Bukti.
Misalkan T kontinu pada U, maka T kontinu pada 0 karna , terdapat
sedemikian sehingga ‖    ‖ dimana ‖   ‖ .  Misalkan ‖   ‖ maka ‖ ‖ ‖   ‖
dan ‖ ‖ . Akan tetapi ( ) dan
‖      ‖   ‖ ‖ ‖ ‖ jadi  T   terbatas.
Sebaliknya jika T terbatas, akan dibuktikan T kontinu pada U , dengan memanfatkan teorema 1, cukup dibuktikan T kontinu di titik 0. Bila diberikan dan M sedemikian sehingga berlaku ‖      ‖ bila ‖     ‖ . Pilih sedemikian sehingga
. Jika ‖   ‖ maka ‖ ‖ ‖   ‖ dan ‖ ‖ .  Selanjutnya  untuk ‖    ‖ maka  diperoleh ‖      ‖   ‖ ‖    ‖ ‖ jadi  T  kontinu  pada  titik    0,  dari Teorema 1, berarti  T  kontinu pada U �
Definisi2.2. Misalkan    U  dan  V  adalah  ruang  vektor  atas  lapangan  F  dan  T  adalah  pemetaan linier dari ruang vektor U ke V. Didefinisikan suatu bilangan real non negatif :
‖ ‖ = {‖    ‖     ‖ ‖       } (1) Disebut norma  T, dalam bentuk lain penulisan sbb: ‖ ‖ = {‖    ‖     ‖ ‖       } (2) ‖ ‖ = { ‖    ‖ ‖ ‖ } (3)
‖ ‖ =inf
{           ‖    ‖     ‖ ‖             }
(4) ‖    ‖ = ‖  ‖‖   ‖ ,
Definisi 2.3. Misalkan dan adalah tranformasi linier dari ruang vektor U ke ruang vektor V dan misalkan , didefinisikan operasi jumlah dan perkalian skalar pada pemetaan linier
+ dan dari ruang vektor U ke lapangan F  sbb: + + untuk  setiap .
Teorema  2.3. Misalkan  himpunan adalah  himpunan  semua  transformasi  linier terbatas  dari  ruang  vektor  U  ke  ruang  vektor  V  adalah  ruang  vektor,  dan  pemetaan  linier ‖ ‖ norm  pada ,  selanjutnya  jika  V  ruang  Banach  maka
juga
ruang Banach. Bukti. Akan  dibuktikan  bahwa adalah  ruang  vektor  dengan  cara  menunjukkan  bahwa dan untuk  setiap .    Dari persamaan (5), jika ‖ ‖ maka :
‖          ‖     ‖           ‖
‖    ‖     ‖    ‖
‖ ‖‖ ‖   ‖ ‖‖ ‖
‖ ‖   ‖ ‖

## Muhammad Zakir
Maka  terbukti  bahwa
dan ‖     ‖       ‖ ‖   ‖ ‖ .  Oleh  karna
‖       ‖   ‖     ‖   | |‖ ‖ .  Akhirnya  akan  ditunjukkan  bahwa dan
‖ ‖ .  Dari persamaan (5) , ‖    ‖ dan untuk semua jadi , jadi lengkaplah bahwa himpunan adalah ruang vektor atas lapangan F.  Selanjutnya akan  ditunnjukkan  bahwa adalah  ruang  Banach,  berarti  akan  ditunjukkan  bahwa adalah ruang yang lengkap, yang berarti akan ditunjukkan bahwa sebarang barisan Cauchy    di akan  konvergen  ke .  Misalkan  sebarang  barisan  Cauchy  di , artinya  bila diberikan maka untuk setiap untuk suatu bilangan asli akan berlaku ‖ ‖ .  Misalkan dan  jika maka diperoleh : ‖ ‖     ‖ ‖ ‖ ‖ ‖   ‖ (6) Jadi  terbukti  bahwa adalah  barisan  Cauchy  di ,  karna lengkap  maka konvergen. Misalkan : (7)
Karna x sebarang    di U maka adalah  pemetaan  dari  ruang  vektor U ke  ruang  vektor V , selanjutnya akan ditunjukkan bahwa dan . Misalkan dan maka  dari  persamaan (7), linieritas maka diperoleh :
Jadi linier.
Terakhir  untuk semua x  di U dan semua bilangan positif ,  dari persamaan (7) diberikan :
Jadi ‖ ‖ ‖ ‖ Tetapi dari persamaan  (6)   sehingga diperoleh : ‖ ‖     ‖ ‖ (8)
Untuk semua  x di U dan semua . Dari persamaan  (5)  dan  (8)  diberikan untuk setiap x di U maka diperoleh :
‖    ‖       ‖ ‖   ‖ ‖
‖ ‖   ‖ ‖‖ ‖
‖ ‖‖ ‖ Karna T pemetaan linier terbatas maka
.  Selanjutnya dari persamaan  (8) bila diberikan :
‖ ‖      {‖ ‖     ‖ ‖     } untuk  semua atau . Oleh karna sebarang barisan Cauchy di konvergen, maka
Muhammad Zakir terbukti  bahwa    ruang lengkap  sehingga  ruang adalah  ruang Banach. � Teorema 2.4. Misalkan U, V, W  adalah ruang vektor atas lapangan F, jika dan maka dan ‖     ‖     ‖ ‖‖ ‖ Bukti. Dapat  diperipikasi  bahwa tranformasi  linier  .  Untuk  semua ,  dari      (5)
diberikan :
‖          ‖     ‖       ‖ ‖ ‖‖    ‖ ‖ ‖‖ ‖‖ ‖ Maka terbukti bahwa dan ‖ ‖‖ ‖ �
Teorema 2.5. Misalkan T transformasi linier tidak nol  dari ruang vektor U kw ruang vektor  V. T  satu-satu  dan terbatas  jika  dan  hanya  jika  terdapat  bilangan  real  positip  m  sedemikian sehingga ‖    ‖ untuk setiap dengan ‖ ‖ Bukti. Misalkan  T    satu-satu  dan karna { } maka  ada dan memenuhi ‖ ‖ . Misalkan dengan ‖ ‖ maka : ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖‖    ‖ Sehingga diperoleh ‖    ‖   ‖ ‖ Sebaliknya  jika  terdapat
sedmikian  sehingga ‖    ‖ untuk ‖ ‖ . Perhatikan  bahwa ‖    ‖    ‖ ‖ untuk  semua (karna    jika maka ‖‖ ‖ ‖ ),  berarti    T    satu-satu.  Misalkan dan .    Maka dan ‖ ‖   ‖ ‖ ‖    ‖ ‖ ‖ berarti .
�
Teorema 2.6. Misalkan dan
adalah barisan dalam ruang vektor U atas lapangan F
dengan dan , dan misalkan ad lah barisan di F dengan . Maka dan demikian juga ‖ ‖   ‖ ‖
Bukti.
Misalkan
, terdapat bilangan bulat N,M sedemikian sehingga ‖ ‖ untuk semua dan ‖ ‖ untuk semua
. Pilih {    } , untuk semua
berlaku :
‖ ‖   ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖   ‖ ‖
Maka terbukti bahwa
Selanjutnya  misalkan
,  terdapat  bilangan  bulat
L sedemikian  sehingga ‖ ‖ dan ‖ ‖ , untuk semua .  Untuk  semua berlaku ; ‖ ‖   ‖ ‖   ‖ ‖       ‖ ‖ Dan ‖ ‖   ‖ ‖ ‖ ‖   ‖ ‖ | |‖ ‖   | |‖ ‖ | |   ‖ ‖ Bila diberikan , Misalkan {     | |   ‖ ‖ } , maka terbukti bahwa terdapat M sedemikian  sehingga ‖ ‖ untuk  semua .  Terbukti
akhirnya telah diketahui bahwa |‖ ‖   ‖ ‖|   ‖ ‖ dan ‖ ‖     ‖ ‖ . �
Teorema 2.7. Misalkan W adalah subruang vektor dari U dan misalkan adalah transformasi linier pada W ke ruang Banach V , maka terdapat dengan tunggal pemetaan linier T dari W ke V sedeminian sehingga
untuk setiap dan selanjutnya ‖ ‖   ‖ ‖ .
Bukti.
Misalkan , berarti terdapat barisan di sedemikian sehingga , maka barisan adalah  barisan  Cauchy.    Oleh  karna ‖ ‖   ‖ ‖ ‖ ‖‖ ‖ hal  ini  berarti juga  barisan  Cauchy  dan
konvergen  ke V karna V adalah  ruang  Banach.  Misalkan
adalah  sebarang  barisan  di  W  dengan
,  maka juga  konvergen  .  Akan  dibuktikan  bahwa .  Diketahui  bahwa ‖ ‖   ‖ ‖‖ ‖ ,  karna ‖ ‖ maka ‖ ‖ dari teorema 6 diperoleh
.  Sekarang  didefinisikan  pemetaan T dari ke V yaitu dimana dan  barisan adalah  barisan  di  W  dengan .  Selanjutnya  akan  dibuktikan  T  memenuhi  teorema  pertama  misalkan , jika untuk setiap , maka dan karna untuk setiap , sementara itu diketahui . Selanjutnya misalkan dan ,  jika  barisan dan adalah  barisan  di  W  dengan
dan
dari teorema 2.6  diperoleh , tetapi
dan sekali lagi dengan teorema 2.6.  diperoleh :
( )
Jadi  T  linier.
Terakhir  misalkan dengan ‖ ‖ .  Jika  barisan
adalah  barisan  di dengan dari  teorema6dipunyai ‖
‖   ‖ ‖‖ ‖ untuk dari  teorema  2.6
diperoleh :
‖    ‖ ‖ ‖‖ ‖   ‖ ‖ Jadi  terbukti    T    terbatas  dan ‖ ‖   ‖ ‖ maka :
Muhammad Zakir
‖ ‖      {‖ ‖             ‖ ‖    } {‖    ‖             ‖ ‖    } {‖    ‖             ‖ ‖    }
‖ ‖
Jadi ‖ ‖   ‖ ‖
Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa tunggal. Misalkan adalah transformasi linier dari ke V sedemikian  sehingga untuk  semua .  Misalkan dan  misalkan  pula  barisan di sedemikian  sehingga . Karna kontinu  pada maka .  Definisikan dan diketahui untuk setiap konsekwensinya , maka terbukti . �

## 3. Kesimpulan/Saran
Himpunan operator (pemetaan) linier dari ruang vektor U keruang vektor V yang dilambangkan membentuk  ruang  bernorma  yang  lengkap,  sehingga  himpunan  tersebut  juga membentuk ruang Banach.

## Daftar Pustaka
[1] Conway, 1990, A Course In Fungtional Analysis , Springer-Verlag, New Yourk
[2] G.F. Simon, 1963, Fintroduction to Topology and Modern Analysis ,Mc Graw-Hill Book Company, Inc.
[3] Hewit E and K Stromberg, 1969, Freal Abstract Analysis ,Springer , Berlin
[4] Kreyzig  E,  1978, Fintroduction  Fungtional  Analysisi  Whith  Application,John  Wilay  & soon  New Yourk
[5] A.L Brawon and A. Page, 1970, Elements of Fungtional Analysisis ,Butler & Tanner Ltd , LondoN
[6] Lang Serge 1993, Algebra, Addison Weslay Publishing Company Inc