Jurnal Ilmiah Matematika dan Pendidikan Matematika (JMP) Vol. 14 No. 1, Juni 2022, hal. 95-108 ISSN (Cetak) : 2085-1456; ISSN ( Online ) : 2550-0422

## MODEL MATEMATIKA PENYEBARAN VIRUS NIPAH (NiV) DENGAN KONTROL OPTIMAL MENGGUNAKAN METODE PONTRYAGIN MAXIMUM PRINCIPLE (PMP)

## Nur Ilmayasinta*
Prodi Pendidikan Matematika FKIP Universitas Islam Lamongan nurilma@unisla.ac.id

## Annisa Rahmita Soemarsono
Prodi Matematika Institut Teknologi Kalimantan

## Erra Noer Rohmania Aishwaray
Prodi Pendidikan Matematika FKIP Universitas Islam Lamongan
ABSTRACT. The use of optimal intervention strategies to prevent the spread of Nipah virus (NiV) by applying optimal control approaches is discussed in this article. To begin, we developed a dynamic model of NiV infection as well as three control strategies: public awareness,  treatment,  and  quarantine.  The  study's  goal  was  to  lower  the  number  of affected  patients  while  lowering  the  three  control  costs.  The  Pontryagin  maximum concept will be used to characterize optimal control, followed by numerical simulations using  the  Runge  Kutta  method  of  order  4.  The  simulation  findings  suggest  that  the optimal  control  technique  is  effective  in  reducing  the  appropriate  cost  of  infected individuals  while  also  providing  three  ideal  controls. Early  control  measures  can  also effectively prevent the spread of the Nipah virus, according to numerical simulations.
Keywords :  Mathematical  Modelling,  Nipah  Virus  (NiV),  Optimal  Control, Pontryagin’s Maximum Principle.
ABSTRAK. Artikel ini membahas tentang penggunaan strategi intervensi yang optimal untuk menahan penyebaran virus Nipah (NiV) dengan menggunakan teknik pengendalian yang  optimal.  Pertama,  kami  membuat  model  dinamis  infeksi  NiV  dan  tiga  strategi kontrol yaitu kontrol kesadaran masyarakat, pengobatan dan karantina. Tujuan penelitian adalah  untuk  mengurangi  jumlah  orang  yang  teinfeksi  dan  meminimalkan  ketiga  biaya pengendalian. Karakterisasi kontrol optimal menggunakan prinsip maksimum pontryagin, yang  selanjutnya  akan  dilakukan  simulasi  numerik  menggunakan  metode  Runge  Kutta orde 4. Hasil simulasi yang dilakukan menunjukkan bahwa teknik kontrol optimal efektif dalam  mengurangi  jumlah  individu  yang  terinfeksi.  Simulasi  numerik  yang  dilakukan juga  menunjukkan  bahwa  strategi  pengendalian  dini  dapat  efektif  mengendalikan penyebaran virus Nipah.
Kata  Kunci :  Kontrol  Optimal,  Model  Matematika,  Prinsip  Maksimum Pontryagin, Virus Nipah (NiV).

## 1. PENDAHULUAN
Virus  adalah  parasit  berukuran  mikroskopik  yang  menginfeksi  sel organisme  biologis.  Virus  memiliki  peran  yang  dapat  menguntungkan  dan merugikan  bagi  manusia.  Virus  yang  menguntungkan  berfungsi  untuk  membuat antitoksin,  melemahkan  bakteri,  memproduksi  vaksin  dan  menyerang  patogen. Peran  lain  dari  virus  yang  merugikan  antara  lain  seperti  diantaranya  virus influenza, Flu burung, Tetelo pada Unggas, Virus Nipah dan lain sebagainya.
Pada  penelitian  ini,  membahas  mengenai  model  matematika  penyebaran virus  yang  dapat  merugikan  manusia  yakni  Virus  Nipah  (NiV).  Virus  Nipah merupakan  anggota  genus  Henipavirus,  kelas  virus  baru  di  keluarga Paramyxoviridae. Virus ini menarik perhatian sebagai virus zoonosis yang muncul di wilayah Asia Selatan dan Asia Tenggara(Chong et al., 2008). Penyakit menular yang  muncul  ini  telah  menjadi  salah  satu  ancaman  kesehatan  masyarakat  yang paling  mengkhawatirkan  terutama  karena  wabah  periodik  dan  tingginya  angka kematian(Directorate General  of  Health Services. Ministry of Health and  Family Welfare  &  Bangladesh,  n.d.).  Nipah  menyebabkan  penyakit  parah  yang  ditandai dengan  peradangan  pada  otak  (ensefalitis)  dan  sering  dikenal  dengan  penyakit pernapasan.  Virus  Nipah  dapat  menular  dari  hewan  ke  manusia,  dan  juga  dapat menular langsung dari manusia ke manusia.
Banyak  penelitian  yang  sudah  dilakukan  oleh  para  ilmuwan  mengenai virus ini, khususnya dalam bidang matematika. (Biswas et al., 2013; Chong et al., 2008; Mondal et al., 2017; Pontryagin, 1986; Sultana & Podder, 2016; Zewdie & Gakkhar, 2020). Biswas (Biswas et al., 2013) Model tipe SIR untuk infeksi NiV telah  dirumuskan  secara  matematis  dan  kemudian  dianalisis  secara  numerik. Penelitian ini dapat membantu para dokter dan ahli biologi untuk menentukan dan memperoleh  strategi  pengendalian  dan  pencegahan  dari  infeksi  virus  nipah  yang mematikan ini. Zewdie (Zewdie & Gakkhar, 2020) mengusulkan model SIRD dan menyajikan  dampak  kontak  tanpa  pelindung  dengan  mayat  individu  yang terinfeksi  Nipah  dan  pembuangannya  (penguburan  atau  kremasi)  terhadap penyebaran  infeksi  Nipah.  Sultana  (Sultana  &  Podder,  2016)  melakukan  analisis model  matematika  dari  infeksi  virus  Nipah.  Penelitian  ini  juga  membahas
mengenai  kontrol  optimal  pada  model  matematika  yang  digunakan,  dimana kontrol yang diberikan berupa menciptakan kesadaran di kalangan masyarakat dan pengobatan. Penelitian tersebut menunjukkan bahwa dari simulasi yang dilakukan bahwa  kombinasi  pengobatan  yang  optimal  dan  menciptakan  kesadaran,  efektif untuk eliminasi penyakit. Salah satu cara yang dapat dilakukan untuk mengurangi penyebaran  virus  Nipah  adalah  dengan  meningkatkan  kesadaran  tentang  faktor- faktor risiko dan memberikan sosialisasi dalam upaya mengurangi resiko terpapar oleh virus tersebut, memberikan pengobatan serta karantina, karena vaksin untuk virus tersebut belum ditemukan.
Berdasarkan  permasalahan  diatas,  penelitian  ini  membahas  model matematika  penyebaran  virus  Nipah  dengan  membagi  kelas  terinfeksi  kedalam dua kelas, yaitu terinfeksi ringan dan terinfeksi berat,  yang selanjutnya diberikan kontrol  optimal.  Kontrol  yang  diberikan  berupa  upaya  peningkatan  kesadaran individu,  pengobatan  dan  karantina.  Tujuan  dari  penelitian  ini  adalah  untuk menurunkan  jumlah  individu  terinfeksi,  serta  memberikan  informasi  kepada pemerintah terkait virus Nipah dan penelitian selanjutnya.

## 2. HASIL DAN PEMBAHASAN
2.1 Model Matematika Penyebaran Virus Nipah
Virus Nipah adalah virus zoonosis dan ditransmisikan terlebih dahulu dari hewan  ke  manusia.  Seiring  dengan  perkembangan  dari  virus  tersebut,  setelah ditransmisikan  ke  manusia  maka  virus  terbut  dapat  ditularkan  dari  manusia  ke manusia oleh kontak langsung dengan  yang terinfeksi.  Pada penelitian ini model ( ) ( ) ( ) dan ( ) menunjukkan  jumlah  individu  dalam  kelas  yang rentan,  terinfeksi  ringan,  terinfeksi  berat  dan  pulih  pada  masing-masing  waktu . Jumlah  populasi  pada  waktu diwakili  oleh  : ( )    ( ) ( ) ( ) ( )
Penelitian  ini  menganggap  sistem  persamaan  diferensial  nonlinier  yang digunakan adalah sejenis model penyakit SIR standar dengan membagi (jumlah individu  terinfeksi)  menjadi  dua  bagian  yakni mewakili  jumlah  individu terinfeksi ringan, mewakili jumlah individu yang terinfeksi berat yang nantinya
masing-masing  persamaan state dari  model  matematika  penyebaran  virus  Nipah diberikan  kontrol  yang  berbeda,  untuk  menggambarkan  dinamika  infeksi  Virus Nipah  (NiV)  di  masyarakat.  Model  matematika  SIR  virus  Nipah  adalah  sebagai berikut :
( )     ( )     ( ) ( )     ( ) ( )     ( )
( )     ( ) ( )   (         ) ( )
( )     ( ) ( )   (         ) ( )
( ) ( ) ( )     ( )
( )     ( ) ( ) ( )     ( )
dengan  kondisi  awal, (0) 0 0 𝑎 (0) 𝑎0 0 𝑏 (0) 𝑏0 0   (0)
0 0   (0) 0 dan  parameter mewakili  tingkat  efektitas  kontak/interaksi antar kontak, adalah tingkat kelahiran alami, adalah tingkat kematian alami, adalah tingkat pemulihan dan mewakili tingkat kematian akibat penyakit.
Belum ditemukannya vaksinasi yang tepat atau obat yang tepat untuk virus NiV  maka  pada  penelitian  ini  diperkenalkan  tiga  strategi  kontrol,  kontrol 𝑢 1 ( ) mengukur  upaya  yang  dibutuhkan  untuk  meningkatkan  kesadaran  masyarakat akan  bahaya  virus  NiV  yang  menghasilkan  pengurangan  tingkat  transmisi ( ) , kontrol 𝑢 2 ( ) mengukur  upaya  yang  diperlukan  untuk  memberikan  perawatan kesehatan berupa pengobatan dan kontrol 𝑢 3 ( ) berupa karantina bagi orang yang terinfeksi  untuk  mengurangi  orang  yang  terinfeksi.  Dengan  demikian,  model matematika  untuk  pendalian  virus  NiV  dengan  tiga  strategi  kontrol  dapat dituliskan sebagai berikut :
( )     ( )     ( ) ( )     ( ) ( )   (    𝑢 ) ( ) (1)
( )     ( ) ( )   (         ) ( )   (𝑢 𝑢 ) ( ) (2)
( )     ( ) ( )   (         ) ( )   (𝑢 𝑢 ) ( ) (3)
( ) ( ) ( )     ( )   𝑢 ( )   (𝑢 𝑢 ) ( ) (𝑢 𝑢 ) ( ) (4)
( )     ( ) ( ) ( )     ( ) (5)
dengan  kondiri  awal (0) 0 0 𝑎 (0) 𝑎0 0 𝑏 (0) 𝑏0 0   (0)
0 0   (0) 0 .
Tujuan  utama  dari  penelitian  ini  adalah  untuk  meminimalkan  jumlah individu  yang  terinfeksi  serta  meminimalkan  biaya  yang  diperlukan  untuk menciptakan  kesadaran  akan  bahaya  virus  NiV,  pengobatan,  dan  karantina  pada interval  waktu  yang  ditentukan.  Untuk  pemenuhan  tujuan  tersebut,  maka  fungsi tujuan dari penelitian ini adalah sebagai berikut:
𝒥 (𝑢 1 ( )  𝑢 2 ( )  𝑢 3 ( ))
∫ (𝐴 1 𝑎 ( )   𝐴 2 𝑏 ( ) 1 2 (𝐵 1 𝑢 1 2 ( )   𝐵 2 𝑢 2 2 ( )   𝐵 3 𝑢 3 2 ( ))) 𝑇 0 𝑑      (6)
dimana 𝐵 1 𝐵 2 dan 𝐵 3 adalah  parameter  bobot  yang  membantu  menyeimbangkan biaya  yang sesuai pada masing-masing kontrol. Dengan batas-batas kontrol  yang ditetapkan  sebagai  berikut  : 𝑈   {(𝑢 1 ( )  𝑢 2 ( )  𝑢 3 ( ))   0   𝑢 1 ( )   1 0 𝑢 2 ( )   1 0   𝑢 3 ( )   1      [0  𝑇]} .Pada  fungsi  objektif, 𝐴 1 𝑎 dan 𝐴 2 𝑏 mewakili jumlah total individu yang terinfeksi ringan dan terinfeksi berat.

## 2.2 Simulasi Numerik
Untuk  mendapatkan  kondisi  yang  diperlukan  agar  pengendalian  virus menjadi optimal maka akan digunakan prinsip maksimum pontryagin. Prinsip ini mengubah sistem dan fungsionalitas menjadi masalah yang meminimalkan sebuah fungsi  Hamiltonian yang  berhubungan  dengan 𝑢 𝑢 dan 𝑢 .  Pada  fungsi objektif, nilai 𝐴 dan 𝐴 adalah parameter penyeimbang, 𝐵 𝐵 dan 𝐵 parameter bobot yang menyeimbangkan biaya. Pada penelitian ini, simulasi dilakukan untuk seluruh persamaan model yang ada, yang dalam hal ini adalah dan . Adapun  langkah-langkah  penyelesaian  kontrol  optimal  menggunakan metode  PMP  adalah  sebagai  berikut  (Ilmayasinta  et  al.,  2021;  Ilmayasinta  & Purnawan, 2021; Mardlijah et al., 2018, 2019; Pontryagin, 1986) :
1. model dinamik virus NiV dengan pemberian kontrol pada persamaan (1-5);
2. fungsi tujuan pada penelitian ini diberikan pada persamaan (6);
3. Langkah-langkah penyelesaian :
 membentuk fungsi Hamiltonian
( )
𝐴 𝐴 𝐵 1 𝑢 1 2 2 𝐵 2 𝑢 2 2 2 𝐵 3 𝑢 3 2 2 𝜆 ( 𝑎 𝑏 𝑢 1 ) 𝜆 𝑎 ( 𝑎 (         ) 𝑎 (𝑢 2 𝑢 3 ) 𝑎 ) 𝜆 𝑏 ( 𝑏 (         ) 𝑏 (𝑢 2 𝑢
3 ) 𝑏 ) 𝜆 ( 𝑎 𝑏 𝑢 1 (𝑢 2 𝑢 3 ) 𝑎 (𝑢 2 𝑢 3 ) 𝑏 ) 𝜆 ( 𝑎 𝑏 ) ( )
dengan 𝜆 𝜆 𝜆 𝜆 𝜆 adalah  adjoin  pada  masing-masing state
 memaksimalkan terhadap  ketiga  kontrol (𝑢 𝑢 𝑢 ) untuk  mendapatkan 𝑢 (𝑢 𝑢 𝑢 ) 𝑢 𝑢 (𝜆 𝜆 ) 𝐵 𝑢 𝑢 𝜆 𝜆 𝜆 ( ) 𝐵 𝑢 𝑢 𝜆 𝜆 𝜆 ( )
𝐵
Sesuai  dengan  batas-batas  nilai 𝑈 yang  telah  ditetapkan  pada  penelitian  ini yakni  untuk 𝑈   {(𝑢 1 ( )  𝑢 2 ( )  𝑢 3 ( ))   0   𝑢 1 ( )   1 0   𝑢 2 ( )   1 0
𝑢 3 ( )   1      [0  𝑇]} ,  untuk  mengoptimalkan  fungsi  tujuan,  diperoleh bentuk kontrol optimal sebagai berikut,
𝑢 1 𝑚𝑖𝑛 {1  𝑚𝑎𝑥 {0 ( ) }}   𝑢 2 min {1  𝑚𝑎𝑥 {0 ( ) }} ,
𝑢 3 𝑚    𝑛 {1  𝑚𝑎𝑥 {0 𝜆 𝜆 𝜆 ( ) 𝐵 }}
 menentukan optimal :
( )
𝐴 𝐴 𝐵 1 𝑢 1 2 2 𝐵 2 𝑢 2 2 2 𝐵 3 𝑢 3 2 2
𝜆 ( 𝑎 𝑏 (𝑚𝑖𝑛 {1  𝑚𝑎𝑥 {0 (𝜆 𝜆 ) 𝐵 }})  ) 𝜆 𝑎 ( 𝑎 (         ) 𝑎
(𝑚𝑖𝑛 {1  𝑚𝑎𝑥 {0 𝜆 𝜆 𝜆 ( ) 𝐵 }}) 𝑎 ) 𝜆 𝑏 ( 𝑏 (         ) 𝑏 (𝑚𝑖𝑛 {1  𝑚𝑎𝑥 {0 𝜆 𝜆 𝜆 ( ) 𝐵 }}) 𝑏 )
𝜆 ( 𝑎 𝑏 (𝑚𝑖𝑛 {1  𝑚𝑎𝑥 {0 (𝜆 𝜆 ) 𝐵 }})
(𝑚𝑖𝑛 {1  𝑚𝑎𝑥 {0 𝜆 𝜆 𝜆 ( ) 𝐵 }}) 𝑎
(𝑚𝑖𝑛 {1  𝑚𝑎𝑥 {0 𝜆 𝜆 𝜆 ( ) 𝐵 }}) 𝑏 ) 𝜆 ( 𝑎 𝑏 )
 membentuk  persamaan state dan co-state untuk  memperoleh  sistem  yang optimal :
persamaan state :
𝜆 ( )     ( ) ( )     ( ) ( )   (    𝑢 ) ( )
𝜆 𝑎 ( ) ( )   (         ) ( )   (𝑢 𝑢 ) ( )
𝜆 𝑏 ( ) ( )   (         ) ( )   (𝑢 𝑢 ) ( )
𝜆 ( ) ( )     ( )   𝑢 ( )   (𝑢 𝑢 ) ( )   (𝑢 𝑢 ) ( )
𝜆 ( ) ( ) ( )     ( )
persamaan co-state :
𝜆 ( )    𝜆 ( 𝑢 )   𝜆 ( )   𝜆 ( )   𝜆 𝑢
𝜆 𝑎 ( 𝑎 ) 𝐴 𝜆 (  )   𝜆 (                 𝑢 𝑢 )   𝜆 (    𝑢 𝑢 ) 𝜆
𝜆 𝑏 ( 𝑏 ) 𝐴 𝜆 (  )   𝜆 (                 𝑢 𝑢 )   𝜆 (    𝑢 𝑢 )
𝜆
𝜆 ( )   𝜆
𝜆
( )    𝜆 𝜆 (     )

## 2.3 Simulasi
Solusi  numerik  pada  sistem  optimal  diselesaikan  dengan  menggunakan MATLAB.  Tiga  kontrol  yang  dipertimbangkan (𝑢 𝑢 𝑢 ) bergantung  pada adjoin 𝜆 𝜆 𝜆 𝜆 𝜆 dari masing-masing variabel keadaan . Nilai awal  yang  digunakan  diambil  dari  peneltian  sebelumnya  (Zewdie  &  Gakkhar, 2020).
Tabel 1 . Deskripsi dan Nilai Variabel. Variabel Deskripsi Nilai Individu yang rentan terkena virus 0,90 Individu yang terinfeksi 1 0,025 Individu yang terinfeksi 2 0,025 Individu yang sembuh 0,05 Populasi Virus NiV 1
Pada  penelitian  ini  disimulasikan  model  tanpa  kontrol  dan  model  dengan kontrol,  kemudian  dibandingkan  hasilnya.  Penulis  juga  memantau  keefektifan
parameter  bobot  untuk  melihat  bagaimana  kontrol  terkait  dengan  fungsi  bobot. Dalam  simulasi  ini  kita  mengasumsikan  nilai  awal 𝑢 𝑢 𝑢 sebagai  proporsi, bukan bilangan bulat keseluruhan. Seperti yang telah diinformasikan sebelumnya bahwa  untuk  simulasi  kontrol  optimal  kali  ini  menggunakan  Matlab.  Pada simulasi numerik, dalam penyelesaian masalah kontrol optimal digunakan metode numerik  Runge-Kutta  Orde  4.  Untuk  nilai-nilai  parameter  yang  digunakan  kita peroleh  dari  penelitian  (Sultana  &  Podder,  2016)  dan  beberapa  kita  peroleh  dari permisalan seperti yang tercantum pada Tabel 1 dan Tabel 2.
Tabel 2 . Deskripsi dan Nilai Parameter. Parameter Deskripsi Nilai Rate kelahiran 0,03 Rate kematian 0,002 Rate kontak/interaksi 0,75 Rate pemulihan 0,005 Tingkat kematian akibat penyakit 0,3 𝐴 Parameter penyeimbang 5 𝐴 Parameter penyeimbang 5 𝐵 Parameter bobot menyeimbangkan biaya 1 𝐵 Parameter bobot menyeimbangkan biaya 2 𝐵 Parameter bobot menyeimbangkan biaya 3 T Batas waktu pengamatan dalam tahun 6
Pada  Gambar  1  (a),  menunjukkan  laju  perubahan  individu  yang  rentan terkena  virus ( ) .  Sebelum  diberikan  kontrol  terlihat  jumlah  individu cukup tinggi walaupun di tiap tahun pengamatan mengalami penurunan. Dengan adanya kontrol 𝑢 yakni  meningkatkan  kesadaran  masyarakat  akan  bahaya  virus  NiV maka  pada  grafik terlihat  penurunan  laju  perubahan  individu  yang  rentan terkena  virus.  Mulai  dari  awal  diberi  kontrol  telah  mengalami  penurunan  yang sangat signifikan sampai di akhir tahun pengamatan. Dengan demikian kontrol 𝑢 berjalan efektif.
Pada Gambar 1 (b), menunjukkan laju perubahan individu yang terinfeksi virus  NiV.  Dalam  hal  ini  infeksinya  tidak  terlalu  parah  yang  dimisalkan  sebagai
.  Sebelum  diberikan  kontrol 𝑢 dan 𝑢 terlihat  bahwa  gambar  grafiknya  selalu naik  ditiap  tahun  pengamatan.  Hal  tersebut  menunjukkan  jumlah  individu  yang
terinfeksi virus meningkat. Namun setelah diberi kontrol 𝑢 dan 𝑢 , individu yang terinfeksi tersebut berkurang secara signifikan.
(a) (b) (c) (d) (e)
Gambar 1 . (a) Simulasi Tanpa dan dengan Kontrol untuk , (b) Simulasi Tanpa dan dengan Kontrol untuk , (c) Simulasi Tanpa dan dengan Kontrol untuk , (d) Simulasi Tanpa dan dengan Kontrol untuk , (e) Simulasi Tanpa dan dengan Kontrol untuk .
Laju  perubahan  individu  yang  terinfeksi  (berat)  direpresentasikan  pada Gambar  1  (c).  Berdasarkan  gambar  tersebut  terlihat  bahwa  tanpa  adanya  kontrol 𝑢 dan 𝑢 maka laju jumlah individu yang terinfeksi akan semakin meningkat tiap
tahunnya.  Sedangkan  setelah  diberikan  kontrol 𝑢 dan 𝑢 laju  jumlah  individu yang  terinfeksi  mengalami  penurunan  sampai  akhir  pengamatan.  Hal  tersebut menunjukkan bahwa kontrol 𝑢 dan 𝑢 efektif untuk menurunkan jumlah individu yang terinfeksi ( ) .
Gambar 2 . Grafik Kontrol 𝑢 𝑢 𝑢 .
Pada  Gambar  1  (d),  menunjukkan  laju  perubahan  individu  yang  pulih (Recovery).  Dari  gambar  tersebut  terlihat  tanpa  adanya  kontrol,  jumlah  individu yang  pulih  hampir  menyentuh  angka  0  dengan  nilai  yang  sama  dari  waktu  ke waktu, tidak ada peningkatan. Hal ini berarti jumlah individu yang terinfeksi terus bertambah dari waktu ke waktu. Namun setelah diberikan kontrol  pada individu yang  rentan  terinfeksi  dan  individu  yang  terinfeksi  maka  jumlah  individu  yang berada  pada  tahap  pemulihan ( ) terus  meningkat.  Hal  tersebut  menunjukkan bahwa  ketiga  kontrol  yakni 𝑢 𝑢 𝑢 efektif  dalam  meningkatkan  angka pemulihan individu.
Laju  perubahan  jumlah  total  populasi  sebelum  dan  setelah  diberi  kontrol direpresentasikan  pada  Gambar  1  (e).  Sebelum  adanya  kontrol,  terlihat  bahwa grafik  jumlah  total  populasi  menurun.  Hal  tersebut  dikarenakan  jumlah  individu yang  meninggal  karena  penyakit  meningkat.  Namun  setelah  diberi  kontrol 𝑢 𝑢 𝑢 menunjukkan peningkatan.
Gambar  2  menunjukkan  jumlah  kontrol 𝑢 𝑢 𝑢 yang  digunakan  dari tahun ke-0 sampai tahun ke-6. Dari grafik tersebut terlihat bahwa jumlah kontrol 𝑢 𝑢 𝑢 dari  tahun  ke  tahun  mengalami  penurunan.  Hal  ini  berarti  sangat penting menggunakan kontrol 𝑢 𝑢 𝑢 pada awal-awal tahun agar individu yang rentang  terinfeksi ( ) ,  dan  individu  yang  terinfeksi ( ) menurun  drastis  di tahun-tahun  berikutnya.  Dengan  demikian,  individu  yang  masuk  ke  tahap pemulihan ( ) dapat  semakin  meningkat  di  tahun  berikutnya  sampai  ditahun akhir pengamatan.

## 3. KESIMPULAN DAN SARAN
Berdasarkan pembahasan di atas, dapat disimpulkan bahwa adanya kontrol 𝑢 (meningkatkan  kesadaran  masyarakat  akan  bahaya  virus), 𝑢 (pengobatan), dan 𝑢 (karantina)  secara  garis  besar  dapat  menurunkan  jumlah  individu  yang rentan  terkena  virus ( ) ,  dan  dapat  menurunkan  individu  yang  terinfeksi  virus baik terinfeksi ringan ( ) maupun terinfeksi berat ( ) . Berdasarkan hal tersebut, mengakibatkan  jumlah  individu  yang  masuk  ke  tahap  pemulihan ( ) menjadi meningkat dan total populasi ( ) mengalami peningkatan.

## DAFTAR PUSTAKA
Biswas,  M.  H.  A.,  Wahiduzzaman,  M.,  dan  Sultana,  R., Outbreaks  of  Deadly Nipah Virus (NiV) Infections in Bangladesh: An Analysis of Mathematical Model , International Conference on Engineering Research, Innovation and Education (ICERIE)  2013, January 2013.
Chong, H. T., Hossain, M. J., dan Tan, C. T. (2008), Differences in epidemiologic and  clinical  features  of  Nipah  virus  encephalitis  between  the  Malaysian and Bangladesh outbreaks , Neurology Asia, 13 (2008), 23–26.
Directorate  General  of  Health  Services,  Ministry  of  Health  and  Family  Welfare, Government  of  the  People's  Republic  of  Bangladesh, National  Guideline for  Management,  Prevention  and  Control  of  Nipah  Virus  Infection including Encephalitis , Desember 2011.
Ilmayasinta,  N.,  Anjarsari,  E.,  dan  Ahdi,  M.  W., Optimal  Control  for  Smoking
Epidemic  Model ,  Proceedings  of  the  7th  International  Conference  on Research,  Implementation,  and  Education  of  Mathematics  and  Sciences (ICRIEMS 2020), 528 (2021), 323–328.
Ilmayasinta, N. dan Purnawan, H., Optimal Control in A Mathematical Model of Smoking ,  Journal  of  Mathematical  and  Fundamental  Sciences, 53 (3) (2021), 380–394.
Mardlijah,  Ilmayasinta,  N.,  dan  Arif  Irhami,  E., Optimal  Control  for  Extraction Lipid  Model  of  Microalgae  Chlorella  Vulgaris  Using  PMP  method , Journal of Physics: Conference Series, 1218 (1) (2019).
Mardlijah, Ilmayasinta, N., Hanafi, L., dan Sanjaya, S., Optimal Control of Lipid Extraction  Model  on  Microalgae  Using  Linear  Quadratic  Regulator  ( LQR  )  and  Pontryagin  Maximum  Principle  (  PMP  )  Methods ,  Malaysian Journal of Industrial and Applied Mathematics, 34 (2018), 129–141.
Mondal, M. K., Hanif, M., dan Biswas, M. H. A., A Mathematical Aanalysis for Controlling  the  Spread  of  Nipah  Virus  Infection ,  International  Journal  of Modelling and Simulation, 37 (3) (2017), 185–197.
Pontryagin,  L.  S., The  Mathematical  Theory  of  Optimal  Processes  :  L.S. Pontryagin Selected Works , 4 (1987).
Sultana, J. dan Podder, C. N., Mathematical Analysis of Optimal Control Theory on Underweight , Advances in Research, 8 (5) (2016), 1–11.
Zewdie, A. D. dan Gakkhar, S., A Mathematical Model for Nipah Virus Infection , Journal of Applied Mathematics, 2020 (2020), 1-10.