J URNAL S AINSTEK STT P EKANBARU - V OL . 11 N O . 2 (2023)
Terbit online pada laman web jurnal :
https://ejournal.sttp-yds.ac.id/index.php/js/index

## SAINSTEK
|    ISSN (Print) 2337-6910    |    ISSN (Online) 2460-1039    |

## Hubungan Matriks Stirling Jenis Kedua dengan Matriks Tetranacci
Mirfaturiqa a , Weriono b , Fadhli Palaha c
a,b Program Studi Teknik Mesin,, Sekolah Tinggi Teknologi Pekanbaru, Jl. Dirgantara No.4, Pekanbaru, Indonesia
c Program Studi Teknik Elektro,, Sekolah Tinggi Teknologi Pekanbaru, Jl. Dirgantara No.4, Pekanbaru, Indonesia

## I NFORMASI A RTIKEL

## A B S T R A C T
Sejarah Artikel: Diterima Redaksi: 30 November 2023 Revisi Akhir: 25 Desember 2023 Diterbitkan Online : 29 Desember 2023
Matriks Stirling jenis kedua dinyatakan 𝑆 𝑛 (2) dengan setiap entrinya bilangan Stirling  jenis  kedua.  Selanjutnya,  matriks  Tetranacci  dinyatakan  dengan 𝑀 𝑛 dengan  setiap  entrinya  bilangan  Tetranacci.  Dalam  Artikel  ini,  membahas hubungan antara matriks Stirling jenis kedua dan matriks tetranacci. Kemudian, dari  hubungan  kedua  matriks  tersebut  diperoleh  sebuah  matriks  baru  yaitu matriks 𝐴 𝑛 , sehingga matriks 𝑆 𝑛 (2) dapat dinyatakan sebagai 𝑆 𝑛 (2) = 𝑀 𝑛 𝐴 𝑛
K ATA K UNCI
Bilangan Stirling jenis kedua,
Bilangan tetranacci,
Matriks Stirling jenis kedua,
Matriks Tetranacci.

## K ORESPONDENSI
Telepon: 0821-7238-3318 E-mail: turiqamirfa@gmail.com

## 1. PENDAHULUAN
Bilangan  Striling  pertam  kali  dikemukan  oleh  James Stirling sekitar abad ke-18 (1692-1770). Bilangan Striling terbagi  menjadi  dua  jenis  yaitu  bilangan  Striling  jenis pertama  dan  bilangan  Striling  Jenis  kedua.  Bona  [1] mendefinisikan  bilangan  Stirling  jenis  kedua  adalah banyaknya cara menyusun partisi suatu himpunan dengan n elemen ke dalam k himpunan bagian yang tidak kosong yang ditulis dengan 𝑆(𝑛, 𝑘) .
Banyak  penelitian  tentang  matriks  Stirling,  Comtet  [3] mendefinisikan  bilangan  Stirling  jenis  kedua  menjadi matriks  Stirling  jenis  kedua  yang  dinyatakan  dengan 𝑆 𝑛 (2), ∀𝑛 ∈ 𝑁 dengan  setiap  entir-entrinya  merupakan bilangan  Stirling  jenis  kedua.  Cheon  dan  Kim  [2]
membahas  hubungan  matriks  Stirling  dengan  matriks Pascal.
Rennie dan Dobson [8] membahas bilangan Striling jenis kedua, Lee et al. [4] membahas faktorisasi matriks Stirling dengan  matriks  Fibonacci.  Rasmi  et  al.  [7]  membahas hubungan  matruiks  Stirling  jenis  kedua  dan  matriks tribonacci.
Barisan  tetranacci  adalah  salah  satu  generalisasi  dari barisan  Fibonacci,    Mirfaturiqa  et  al.  [5]  mendefinisikan matriks  tetranacci 𝑀 𝑛 ,  dimana  setiap  entri  matriks 𝑀 𝑛 merupakan bilangan tetranacci dan memperoleh hubungan matriks  tetranacci  dan  matriks  Pascal,  hubungan  matriks tersebut  didefinisikan  matriks  baru 𝐸 𝑛 sehingga  matriks Pascal  dinyatakan  dalam  bentuk 𝑃 𝑛 = 𝑀 𝑛 𝐸 𝑛 .  Mirfaturiqa
et  al.  [6]  juga  membahas  faktorisasi  matriks  Pascal  dan matriks  Tetranacci,  hasil  faktorisasi  dari  kedua  matriks tersebut, didefinisikan matriks baru  yaitu matriks 𝑄 𝑛 dan matriks Pascal dinyatakan 𝑃 𝑛 = 𝑄 𝑛 𝑀 𝑛 .
Dalam  Artikel  ini  membahas  hubungan  matriks  striling jenis  kedua  dan  matriks  tetranacci.  Ide  penelitian  yang sama  dengan  Rasmi  et  al.  [7]  dapat  didefinisikan  sebuah matriks baru yaitu matriks 𝐴 𝑛 yang menyatakan hubungan matriks Stirling jenis kedua dan matriks tetranacci.

## 2. TINJAUAN PUSTAKA
Dibagian  ini  akan  diberikan  definisi  dari  matriks  Stirling jenis kedua dan matriks tetranacci. Bilangan Stirling jenis kedua 𝑆(𝑛, 𝑘) adalah  banyaknya  cara  menyusun  partisi suatu  himpunan  dengan n elemen  ke  dalam k himpunan bagian  yang  tidak  kosong  [1,  hal.19]  dengan  Teorema berikut.
Teorema 1. Untuk Setiap bilangan asli n dan k dimana 𝑛 ≥ 𝑘 memenuhi hubungan rekursif berikut.

## 𝑆(𝑛, 𝑘) = {𝑆(𝑛 − 1, 𝑘 − 1) + 𝑘𝑆(𝑘 − 1)}
Bukti. Bukti  teorema  ini  dapat  dilihat  dalam  Bona  [1, hal.19]
Bilangan  Stirling  jenis  kedua  dapat  dinyatakan  dalam bentuk  matriks  segitiga  bawah  dengan  ukuran 𝑛 × 𝑛 dengan setiap entri-entrinya  bilangan Stirling  jenis kedua 𝑆(𝑖, 𝑗) yang didefinisikan sebagai berikut.
Definisi 1. Untuk Setiap bilangan asli 𝑛 , matriks Stirling jenis  kedua 𝑛 × 𝑛 dengan  setiap  entri 𝑆 𝑛 (2) = [𝑆 𝑖𝑗 ] , ∀ 𝑖, 𝑗 = 1,2,3, ⋯ , 𝑛 didefinisikan sebagai,
𝑆 𝑖𝑗 = { 𝑆(𝑖, 𝑗)     𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑖 ≥ 𝑗 0            𝑙𝑎𝑖𝑛𝑛𝑦𝑎 ( ) 1
Barisan  tetranacci  merupakan  generalisasi  dari  bilangan Fibonacci.  Barisan  tetranacci  dapat  dinyatakan  dalam bentuk  matriks  segitiga  bawah  dengan  setiap  entrinya merupakan  bilangan  tetranacci,  sehingga  matriks  ini disebut  matriks  tetranacci,  Mirfaturiqa  et  al.  [5] mendefinisikan  matriks tetranacci sebagai berikut.
Definisi 2. Untuk setiap   n , matriks tetranacci n n  , 𝑀 𝑛 = [𝑚 𝑖𝑗 ] dengan n j i ,..., 3 , 2 , 1 , = ,  dapat  dinyatakan dan didefinisikan sebagai
𝑚 𝑖,𝑗 = { 𝑀 𝑖−𝑗+3 , jika 𝑖 ≥ 𝑗,
0, lainnya ( ) 2
Matriks  tetranacci 𝑀 𝑛 merupakan  matriks  segitiga  bawah dengan diagonal utamanya adalah 1 dan nilai determinan dari matriks tetranacci 𝑀 𝑛 merupakan hasil perkalian entri- entri    diagonalnya,  sehinggan  diperoleh det(𝑀 𝑛 ) = 1. Karena det(𝑀 𝑛 ) ≠ 0 ,  maka  matriks  tetranacci  memliki invers. Bentuk umum dari invers matriks tetranacci n n  untuk setiap   n dengan setiap entri dari invers matriks tetrancci 𝑀 𝑛 −1 = [𝑚 𝑖𝑗 ′ ] dengan n j i ,..., 3 , 2 , 1 , = ,  dapat dinyatakan dan didefinisikan sebagai
𝑚 𝑖𝑗 ′ = { 1,                       Jika  𝑖 = 𝑗,
−1,     jika 𝑖 − 4 ≤ 𝑗 ≤ 𝑖 − 1, 0,                            lainnya. ( ) 3

## 3. METODOLOGI
Rasmi et al [7] membahas hubungan matiks Stirling jenis kedua  dan  matriks  tribonacci.    Kemudian  dari  hubungan dua  matriks  tersebut  diperoleh  definisi  matriks  baru, misalkan matriks baru tersebut adalah matriks N n D n
  , yang didefinisikan sebagai mstriks segitiga bawah berikut Dari pendefinisian matriks n D diperoleh teorema berikut.
Definisi 3. Untuk setiap   n , n D adalah matriks n n 
dengan setiap entri   ij n d D = dengan n j i ,..., 3 , 2 , 1 , = , didefinisikan sebagai ( ) ( ) ( ) ( ) j i S j i S j i S j i S d ij , 3 , 2 , 1 , − − − − − − = ( ) 4
Dari  pendefinisan  matriks n D diturunkan  beberapa teorema . selajutnya, dengan ide yang sama dari Rasmi et al.  [7],  penulis  membahas  antara  matriks  Stirling  jenis kedua dan matriks tetranacci . .

## 4. HASIL DAN PEMBAHASAN
Ide  yang  sama  dari  Rasmi  et  al.  [7]  dibentuk  hubungan antara matriks Stirling jenis kedua dan matriks Tetranacci. Kemudian,  dari  hubungan  dua  matriks  tersebut  diperoleh deﬁnisi  matriks  baru,  misalkan  matriks  baru  tersebut adalah matriks N n A n   , dan setiap entri dari matriks
n A dinyatakan dengan 𝑎 𝑖𝑗 .
Definisi  4. Untuk  setiap N n   , n A adalah  matriks n n  dengan setiap entri n A = [𝑎 𝑖𝑗 ] dengan n j i ,..., 3 , 2 , 1 , = , didefinisikan sebagai ( ) ( ) ( ) ( ) j i S j i S j i S j i S a ij , 3 , 2 , 1 , − − − − − − = ) , 4 ( j i S −
− ) 5 (
Dari  definisi
( ) 5 maka  diperoleh, 1 11 = a , 0 1 = j a , 2   j ; 0 21 = a , 1 22 = a , 0 2 = j a , 3   j ; 1 31 − = a , 2 32 = a , 1 33 = a , 0 3 = j q , 4   j ;    dan
2 , 
 j i , ( )( ) ( )( ) j i j i ij d d a 1 1 1 − − − + = .
Matriks n Q merupakan  matriks  segitiga  bawah  dengan diagonal  utamanya  adalah  1  dan  nilai  determinan  sari matriks n Q merupakan hasil perkalian entri-entri diagonalnya,  sehinggan  diperoleh ( ) 1 det = n Q .  Karena ( ) , 0 det  n Q maka  matriks n Q memiliki  invers.  Misalkan
1 − n Q adalah    invers  dari  matriks n Q dan  setiap  entrik  dari matriks 1 − n Q dinyatakan  sebagai . , ij q Entri-entri  dari  matriks
1 − n Q diperoleh dari perkalian n M dengan matriks 1 − n P .
Dari  pendefinisian  matriks n Q yang  didefinisikan    pada persamaan (5) dapat diturunkan teorema berikut.
Teorema 1. Misalkan untuk setiap   n dengan matriks
𝐴 𝑛 yang didefinisikan pada persamaan (5), matriks Stirling jenis  kedua  yang  didefinisikan  pada  persamaan  (1)  dan matriks tetranacci n M yang didefiniskan pada persamaan
(2), dapat dinyatakan
n n n A M S = ) 2 ( .
Bukti. Karena det(𝑀 𝑛 ) ≠ 0 ,  maka  matriks  tetranacci
n M memiliki invers.  akan dibuktikan bahwa
n n n A S
M = − ) 2 ( 1 ( ) 7
Memperhatikan  sisi  kiri  persamaan  (7),  jika
1 =  i dan
2   j , maka , 1 ,
j ij m m = . Kemudian 1 , =  j i diperoleh
  = = = = = n k n k k k kj ik a S m S m 1 11 1 1 , 1 , 1
Jika 1 =  i dan 2   j maka 0 , 1 = j m dan 0 1 = j S .
Kemudian 1 =  i dan 2   j , diperoleh
  = = = = = n k j n k k k kj ik a S m S m
1 1 1 1 , 1 , 0
Selanjutnya  dari  persamaan  (5)  dan  (2)
5   i dan
2 
 j diperoleh
( ) ( ) ( )  = − − − − − = n k kj ik j i S j i S j i S S m 1 , , 2 , 1 , ( ) ( ) j i S j i S , 4 , 3 − − − ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) j i j i S j i S , 2 1 , 1 1 , 1 − − + − − + = ( ) ( ) ( ) ( ) + − − + − − j i S j i S , 4 1 , 3 1 ( ) ( ) ( ) ( ) j n S j i S , 0 , 5 0 + + −  ij a = Dengan demikian terbukti bahwa n n n A S M = − ) 2 ( 1 .

## 5. KESIMPULAN DAN SARAN
Artikel  ini  ,  hanya  membahas  hubungan  antara  matriks Stirling jenis keduadan matriks  tetranacci segitiga bawah. Kemudian, dari hubungan kedua matriks tersebut diperoleh definisi      matriks  baru  yaitu  matriks n A .  Selain  itu,  dari pendefinisan matriks n A diperoleh faktorisasi  hubungan matriksStirling  jenis kedua dan  matriks Tetranacci dalam satu  teorema.  Kajian  berikutnya  dapat  dilanjutkan  untuk membahas hubungan  matriks Stirling  jenis kedua dengan matriks tetranacci segitiga atas, matriks tetranacci simetris dan generalisasi matriks tetranacci. .

## DAFTAR PUSTAKA
[1] M.  Bona,  A  Walk  Through  Combinatorics, World Scientific Publishing, Singapore, (2006).
[2] G. S Cheon dan J. S. Kim, Stirling matrix via Pascal Matrix, Linear  Algebra  and  Its  Applicatiuns, 329(2001), 49-50.
[3] L.  Comtet,  Advamved  Combinatorics, Reidel Publishing Company, Holand, (1974).
[4] G. Y Lee, J. S Kim and S. H Cho, Some combinatorial Identities  via  Fibonacci  numbers, Discrete  Applied Mathematics, 130 (2003), 527-534.
[5] Mirfaturiqa,  S.  Gemawati  and  M.  D.  H  Gamal, Tetranacci  Matrix  via  Pascal’s  Matrix. Bulletin  Of Mathematics, Volume 7, 2017, Pages 1-7.
[6] Mirfaturiqa,  Nurhasnah,    dan  M.  B.  Baheramsyah, Faktorisasi  Matriks Pascal dan Mtriks Tetrananacci, Jurnal  Sainstek  STTPekanbaru, Volume  11.  2023,
Pages 60-65.
[7] F.  Rasmi,  S.  Gemawati,    Kartini,  M.  D.  H.  Gamal,
Relation Between Stirling’s Numbers Of the Second Kind and Tribonacci Matrix, Bulletin of Mathematics, Volume 10, 2018, Pages 33-39.
[8] B.C Rennie And A. J. Dobson, On Stirling Numbers of  the  Second  Kind, Journal  of  Combinatorial
Theory, 7 (1969), 116-121.