Limits: Journal of Mathematics and Its Applications E-ISSN: 2579-8936 P-ISSN: 1829-605X Vol. 19, No. 1, Mei 2022, 87-100 DOI: http://dx.doi.org/10.12962/limits.v19i1.12249

## Rumus Bilangan Reproduksi Dasar Covid-19 dengan Adanya Vaksinasi Dosis 1 dan 2
Aini Fitriyah 1 1 Prodi Matematika, Universitas Islam Negeri Walisongo Semarang, Indonesia e-mail: ainifitriyah@walisongo.ac.id
Diajukan: 3 Februari 2022, Diperbaiki: 17 Maret 2022, Diterima: 31 Maret 2022

## Abstrak
Penelitian ini bertujuan untuk menentukan rumus bilangan reproduksi dasar Covid-19 dengan adanya vaksinasi. Metode penelitian yang digunakan adalah studi literatur. Langkah penelitian diawali dengan menyusun model matematika penyebaran Covid-19 dengan adanya vaksinasi, menentukan rumus bilangan reproduksi dasar dan simulasi. Model matematika Covid-19 yang disusun membedakan subpopulasi rentan yang sudah melakukan vaksinasi dosis 1 dan 2, serta membedakan subpopulasi terinfeksi yang belum dan sudah pernah mendapatkan vaksinasi sebelumnya sehingga terbentuk model
1 2 v
SVV EII R . Dari model matematika yang terbentuk, diperoleh rumus bilangan reproduksi dasar yang terdiri dari beberapa jenis parameter. Hasil analisis penelitian sesuai dengan simulasi dengan menggunakan software Matlab. Sebagian data simulasi diambil berdasarkan data Covid-19 dan vaksinasinya di wilayah Provinsi Jawa Tengah. Hasil simulasi menunjukkan semakin besar parameter proporsi individu rentan melakukan vaksinasi, semakin kecil nilai bilangan reproduksi dasar. Hal ini berarti Covid-19 dapat menghilang jika semakin banyak individu yang melakukan vaksinasi Covid-19. Kata Kunci : Bilangan Reproduksi Dasar, Model Matematika Covid-19, Vaksinasi

## Abstract
This study aims to determine the basic reproduction number for Covid-19 with vaccination. The research method used is a literature study. The research step begins with construct a mathematical model of Covid-19 with  vaccination, determining the basic reproduction formula and simulation. The mathematical model of Covid-19 is constructed by distinguishing susceptible subpopulations that have vaccinated doses 1 or 2, as well as infected subpopulations that have been vaccinated or not before. The model is 1 2 v SVV EII R . The analysis shows that the basic reproduction formula consists of several types of parameters. It is in accordance with simulation by using Matlab software. Simulation was taken based on Covid-19 and vaccination data in the Central Java Province. It shows that the greater the value of individual being vaccinated, the lower the basic reproduction number. This means that Covid-19 can disappear if more individuals get vaccinated against Covid-19.
Keywords: basic reproduction number, Covid-19 mathematical model, vaccination

## 1 Pendahuluan
Pada kasus  penyebaran penyakit  terdapat istilah bilangan reproduksi dasar. Bilangan reproduksi dasar adalah rata-rata jumlah infeksi sekunder yang dihasilkan oleh satu individu terinfeksi dan menularkan yang terjadi pada subpopulasi rentan  [1].  Sementara Saputro  [2] menyatakan  bilangan reproduksi dasar sebagai seberapa banyak seorang terinfeksi bisa

## 88 Rumus Bilangan Reproduksi Dasar Covid-19 dengan Adanya Vaksinasi Dosis 1 dan 2
menularkan penyakitnya kepada orang lain. Semakin besar nilai bilangan reproduksi dasar, maka semakin mudah peyakit tersebut menular dan begitu pula sebaliknya.
Sejak awal terjadinya pandemi covid-19, bilangan reproduksi dasar  telah diperhitungkan oleh para peneliti untuk mengetahui seberapa cepat penyakit tersebut menyebar dan memprediksi kapan penyakit tersebut akan punah atau menghilang. Perolehan nilai reproduksi dasar penyebaran covid-19  yang berbeda oleh masing-masing peneliti merupakan hal wajar. Namun demikian secara umum bilangan reproduksi dasar kasus covid-19 cukup tinggi, diperkirakan antara 2 hingga 2,5. Bahkan dalam satu studi menyebutkan bahwa awal penularan covid-19 yang terjadi di Wuhan, Cina, bisa mencapai bilangan reproduksi dasar sebesar 5,7 [3]
Perbedaan nilai bilangan reproduksi dasar dalam berbagai hasil riset dapat terjadi karena banyak faktor. Salah satu faktor diantaranya adalah model matematika penyakit yang terbentuk tidak  selalu  sama  [4].  Setiap riset yang ada memperbaharui model matematika pada riset sebelumnya. Pembaharuan model tersebut diperlukan  agar  hasil analisis semakin mendekati fenomana riil. Saat ini kajian  tentang  model matematika  Covid-19 pun banyak  mengalami perkembangan. Mulai dari yang paling sederhana  berbentuk  SIR  [5][6][7]  hingga model  yang lebih kompleks dengan  memperhatikan adanya kelompok individu yang menimbulkan gejala atau tidak  [8]  maupun faktor migrasi terinfeksi  Covid-19  [9]  hingga dengan memperhatikan adanya  pemberian vaksin [10][11][12].
Analisis lebih lanjut tentang perhitungan bilangan reproduksi dasar penyebaran Covid-19 telah dilakukan oleh peneliti-peneliti sebelumnya. Sitinjak, A. A. [13] dan Alimohmadi, Y. Dkk [14] telah mendahului dalam melakukan studi dalam penentuan bilangan reproduksi dasar dari covid-19.  Perbedaan studi tersebut dengan  riset  ini adalah  model matematika  dalam riset  ini memperhatikan adanya vaksin sebagaimana fenomena  vaksin yang  baru ditemukan dan diwajibkan untuk seluruh kalangan masyarakat.  Sementara itu, riset oleh Alimohamadi dkk dilakukan dengan cara melakukan review dan mengkaji secara meta-analisis. Hal tersebut berbeda dengan penelitian ini yaitu melakukan perhitungan secara matematis untuk mendapatkan rumus baru bilangan reproduksi dasar penyebaran covid-19 dengan adanya vaksinasi. Kebaruan lain dari penelitian ini adalah pencarian nilai bilangan reproduksi dasar covid-19 di wilayah Jawa Tengah berdasarkan data terbaru yang bisa diperoleh.
Model matematika covid-19 yang dibentuk dalam penelitian ini, cenderung merujuk pada penelitian oleh Wintachai [10],  Azizah  [11]  dan Ghostine [12]. Ketiga penelitian tersebut mengonstruksi model matematika covid-19 dengan memperhatikan vaksinasi. Namun pada penelitian Wintachai,  model berbentuk SEIR dan v hanya dipandang sebagai parameter tingkat vaksinasi populasi. Berbeda dengan penelitian ini yang memunculkan kompartemen V. Di sisi
lain, studi yang dilakukan oleh Azizah dan Ghostine telah memunculkan kompartemen V namun tidak memperhatikan efek vaksin yang bisa mengurangi beratnya penyakit bila individu yang sudah divaksin tersebut terinfeksi virus sebagaimana yang dikaji dalam penelitian ini.

## 2  Metode Penelitian
Penelitian ini menggunakan metode library research (studi literatur). Peneliti mempelajari dari berbagai sumber terkait landasan teori maupun informasi lainnya yang diperlukan dalam penelitian. Sumber yang dimaksud dapat berupa penelitian terdahulu, jurnal, buku, maupun media lainnya. Penelitian diawali dengan penyusunan asumsi, pemodelan matematika, analisis dinamik, simulasi data hingga penarikan kesimpulan

## 3  Hasil dan Pembahasan
Pemodelan  matematika penyebaran Covid-19  dalam studi ini mengasumsikan  penyakit covid-19 fatal (menyebabkan kematian), masa inkubasi singkat, tingkat kematian alami setiap subpopulasi sama, dan individu yang sembuh dari covid-19 mengalami kekebalan imunitas sehingga tidak akan menjadi individu rentan kembali. Selain itu individu terinfeksi yang belum dan sudah pernah melakukan vaksinasi (dosis 1 maupun 2) mempunyai tingkat kesembuhan berbeda. Selanjutnya populasi dibagi menjadi 7 yaitu kelompok  individu rentan  ( S ), individu yang telah melakukan vaksinasi covid-19 dosis 1 ( 1 V ), individu yang telah melakukan vaksinasi covid-19 dosis 2  ( 2 V ),  individu dalam masa inkubasi  ( E ),  individu terinfeksi covid-19 yang belum pernah melakukan vaksinasi baik dosis 1 maupun dosis 2 ( I ), individu terinfeksi covid-19 yang sudah pernah melakukan vaksinasi baik dosis 1 maupun dosis 2  ( v I ) dan individu yang dinyatakan sembuh dari penyakit covid-19 ( R ). Gambar 1 menunjukkan diagram transfer model matematika penyakit Covid-19 dengan adanya vaksinasi.
Gambar 1. Diagram Transfer Model Matematika Penyakit Covid-19 dengan Adanya Vaksinasi
Berdasarkan Gambar 1, terbentuk sistem persamaan diferensial (1) dengan parameter sebagaimana Tabel 1.
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 2 1 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 0 (1 )( ) ( ) ( ) (1 )( ) ( ) ( ) (1 ) (1) (1 ) v v v v v v v v v v v v v v dS I I S
dt dV S I I V dt dV V I I V dt dE I I S I I V dt
I I V E dI E I dt dI E I dt dR I I dt α β η αρ µ
αρ γ β η ω µ ω γ β η µ
α β η γ β η γ β η α κ ακ µ α κ σ µ µ
ακ σ µ µ σ σ µ = Λ − − + + + = − + + + = − + + = − + + + + + − − + + = − − + + = − + + = + − R
Dengan kondisi awal
1 2 0 (0), (0), (0), (0), (0), (0), (0) 1. v S V V E I I R ≤ ≤

## Tabel 1. Definisi Parameter pada Sistem (1)
Parameter Definisi Satuan Λ Tingkat kelahiran Hari -1 β Tingkat kontak infektif individu rentan dan individu terinfeksi yang belum pernah melakukan vaksinasi Hari -1 1 β Tingkat kontak infektif individu tervaksinasi dosis 1 dan individu terinfeksi yang belum pernah melakukan vaksinasi Hari -1 2 β
Tingkat kontak infektif individu tervaksinasi dosis 2 dan individu terinfeksi yang
Hari -1
Parameter Definisi Satuan belum pernah melakukan vaksinasi η Tingkat kontak infektif individu rentan dan individu terinfeksi yang sudah pernah melakukan vaksinasi Hari -1 1 η Tingkat kontak infektif individu tervaksinasi dosis 1 dan individu terinfeksi yang sudah pernah melakukan vaksinasi Hari -1 2 η
Tingkat kontak infektif individu tervakasinasi dosis 2 dan individu terinfeksi yang sudah pernah melakukan vaksinasi Hari -1 ρ Tingkat individu rentan melakukan vaksinasi dosis 1 Hari -1 ω Tingkat individu tervaksinasi dosis 1 melakukan vaksinasi tahap 2 Hari -1 κ Tingkat perkembangan penyakit menjadi individu terinfeksi yang belum pernah melakukan vaksinasi dari individu laten Hari -1 v κ Tingkat perkembangan penyakit menjadi individu terinfeksi yang sudah pernah melakukan vaksinasi dari individu laten Hari -1 σ Tingkat kesembuhan individu terinfeksi yang belum pernah melakukan vaksinasi Hari -1 v σ Tingkat kesembuhan individu terinfeksi yang sudah pernah melakukan vaksinasi (baik dosis 1 maupun 2) Hari -1 µ Tingkat kematian alami Hari -1 0 µ Tingkat kematian yang disebabkan oleh penyakit covid-19 pada individu terinfeksi yang belum pernah melakukan vaksinasi Hari -1 v µ
Tingkat kematian yang disebabkan oleh penyakit covid-19 pada individu terinfeksi yang sudah pernah melakukan vaksinasi (dosis 1 maupun 2) Hari -1 α Proporsi individu rentan melakukan vaksinasi dosis 1 - 1 γ Prosentase ketidakefektifan vaksinasi dosis 1 persen 2 γ Prosentase ketidakefektifan vaksinasi dosis 2 persen
Untuk mendapatkan bilangan reproduksi dasar, perlu diketahui titik ekuilibrium bebas penyakit. Perolehan titik ekuilibrium bebas penyakit model sebagaimana termuat dalam Teorema 1.
Teorema 1 Sistem persamaan diferensial (1)  selalu mempunyai titik ekuilibrium bebas penyakit yaitu
1 2 { , , ,0,0,0,0} TE S V V = dengan , S αρ µ Λ = + ( ) ( ) 1 2 , ( ) ( ) V dan V αρ αρω ω µ αρ µ µ ω µ αρ µ Λ Λ = = + + + +

## 92 Rumus Bilangan Reproduksi Dasar Covid-19 dengan Adanya Vaksinasi Dosis 1 dan 2

## Bukti:
Dimisalkan  titik ekuilibrium  bebas penyakit disimbolkan sebagai 1 2 { , , , , , , } v TE S V V E I I R = .
Titik ekuilibrium bebas penyakit didapat dengan cara membuat setiap persamaan pada Sistem (1) sama dengan nol dan tidak ada satu individupun yang terinfeksi penyakit sehingga 0 v E I I = = =
Jika keadaan tersebut diterapkan pada Sistem (1) maka diperoleh 0 R = , S αρ µ Λ = + , ( ) 1 S V αρ ω µ = + , dan 1 2 . V V ω µ = Jadi diperoleh TE bebas penyakit 1 2 { , , ,0,0,0,0} TE S V V = dengan , S αρ µ Λ = + ( ) 1 , ( ) V αρ ω µ αρ µ Λ = + + dan ( ) 2 ( ) V αρω µ ω µ αρ µ Λ = + + 
Selanjutnya penentuan bilangan reproduksi dasar dengan menggunakan metode matriks generasi berikutnya ( the next generation matrix ) sebagaimana Teorema 2.
Teorema 2 Bilangan repoduksi dasar model matematika Covid-19 sistem (1) adalah
( ) ( ) 1 2 1 2 1 1 2 2
1 1 2 2 0 1 2 1 3 (1 ) (1 ) (1 ) v S V V S V V R k k k k α β γ β γ β α κ α η γ η γ η ακ
− + + − − + + = +
dengan
( ) ( ) 1 2 0 3 1 2 (1 ) , , , , , ( ) ( ) v v v k k k S V V α κ ακ µ σ µ µ σ µ µ
αρ µ
αρ ω µ αρ µ αρω µ ω µ αρ µ = − + + = + + = + +
Λ = + Λ = + + Λ = + +

## Bukti:
Diambil persamaan  kompartemen E, I dan Iv pada Sistem (1) lalu dibentuk
( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 2 2 2 2 0 (1 )( ) ( ) ( ) 0 0 (1 ) (1 ) v v v v v v v v I I S I I V I I V E I E I E α β η γ β η γ β η α κ ακ µ σ µ µ α κ σ µ µ ακ − + + + + +    
=  
    − + +     = + + − −     + + −   F W
Lalu dibentuk matriks F dan W  berordo 2x2 yang diperoleh dari (0, ) i j F y x   ∂ =   ∂     F dan (0, ) j W y x   ∂ =   ∂     i W dengan , 1,2 i j = dan (0, ) y adalah titik ekuilibirum bebas penyakit. Matriks generasi berikutnya adalah perkalian matriks F dan W -1 setelah disubstitusikan titik ekuilibrium bebas penyakit. Diperoleh
1 2 1 2 1 1 2 2 1 1 2 2 (0, ) 0 (1 ) (1 ) 0
0
0 0 0 0 i j F y x S V V S V V α β γ β γ β α η γ η γ η ∂ = ∂   − + + − + +
 
=       F dan 0 (0, ) (1 ) 0 0 (1 ) 0 0 i j v v v v W y x α κ ακ µ α κ σ µ µ ακ σ µ µ ∂ = ∂ − + +    
= − − + +     − + +   W
Dengan menggunakan metode kofaktor, diperoleh invers W adalah 1 1 1 2 2 1 3 3 1 0 0 (1 ) 1 0 1 0 v k W k k k k k k κ α ακ −      
  − = 
  
 
 
    dengan : 1
2 0 3 (1 ) v v v k k k α κ ακ µ σ µ µ σ µ µ = − + + = + + = + +
Selanjutnya perkalian 1 FW − menghasilkan dua nilai eigen berbeda yaitu
( ) ( ) 1 2 1 2
1 1 2 2
1 1 2 2 1 2 3 1 2 1 3 (1 ) (1 ) (1 ) 0, v S V V S V V
k k k k
α β γ β γ β α κ α η γ η γ η ακ λ λ λ − + + − − + + = = = +
dengan
( ) ( ) 1 2 0 3 1 2 (1 ) , , , , , ( ) ( ) v v v k k k S V V α κ ακ µ σ µ µ σ µ µ αρ µ αρ ω µ αρ µ αρω µ ω µ αρ µ = − + + = + + = + +
Λ = + Λ = + + Λ =
+ +
Karena semua parameter bernilai positif, maka radius spektral matriks 1 FW − atau yang menjadi formula bilangan reproduksi dasar adalah 3 λ . Dengan demikian terpenuhi Teorema 2. 
Selanjutnya  disajikan  simulasi  yang  dapat mendukung perhitungan rumus bilangan reproduksi dasar yang diperoleh.  Simulasi model dilakukan dengan menggunakan software Matlab dan diujikan dengan menggunakan nilai awal dari data kasus Covid-19 yang terjadi di wilayah provinsi Jawa Tengah. Jika nilai awal simulasi dalam penelitian ini disusun per ratusan juta, maka nilai pecahan masing-masing subpopulasi dapat disajikan sebagaimana Tabel 2.
Tabel 2. Pengambilan Nilai Awal Variabel dan Nilai Parameter dalam Model
Variabel Nilai Keterangan Variabel Nilai Keterangan (0) S 0,06124993
asumsi
2 η 0,002 asumsi 1 (0)
V 0,17481647 [15] ρ
0,0222 perhitungan 2 (0) V 0,10077476 [15] ω
0,0071 perhitungan (0) E 0,00298117 asumsi
κ 0,087 asumsi (0) I 0,00384559 asumsi
v κ 0,05 asumsi (0) v I 0,00100616 asumsi σ 0,05 asumsi R (0) 0,00449632 [16] v σ 0,67 asumsi Λ 0,0073 asumsi µ 0,012 asumsi β 0,007 asumsi 0 µ 0,17 asumsi 1 β 0,005 asumsi v µ 0,04 asumsi

## Aini Fitriyah
Variabel Nilai Keterangan Variabel Nilai Keterangan 2 β 0,002 asumsi α 0,6125 [15] η 0,007 asumsi 1 γ 0,447 asumsi
1 η
0,005 asumsi 2 γ 0,22 [17]
Berdasarkan nilai awal dan parameter Tabel 2, perhitungan untuk titik ekuilibrium bebas penyakit diperoleh: {0,2852;0,203;0,1201;0;0;0;0} TE = dan bilangan reproduksi dasar sebesar
( ) ( ) 1 2 1 2 1 1 2 2 1 1 2 2 0 1 2 1 3 (1 ) (1 ) (1 ) 0,47 1 v S V V S V V R k k k k α β γ β γ β α κ α η γ η γ η ακ
− + + − − + + = + = < a b c d
e f g Gambar 2a-2g. Grafik Solusi masing-masing Subpopulasi saat 0 0,47 R =
Berdasarkan Gambar 2a-2g,  saat 0 0,47 R = solusi model matematika Covid-19 menuju angka-angka pada titik ekuilibrium bebas penyakit.  Hal ini terlihat dari solusi masing-masing subpopulasi 1 2 , , , , , v S V V E I I dan R yang berturut-turut menuju 0,2852;0,203;0,1201;0;0;0;0 .
Selanjutnya disajikan grafik solusi model dengan variasi nilai bilangan reproduksi dasar. Variasi nilai tersebut diperoleh  dengan mengubah nilai α sedemikian hingga didapat nilai bilangan reproduksi dasar yang berbeda yaitu 0 0,47 R = , 0 0,76 R = , 0 1,2 R = dan 0 2 R = . Selain α , semua nilai parameter yang disubstitusikan ke dalam formula nilai keempat 0 R tersebut sama. Pengambilan nilai parameter α dapat dilihat dalam Tabel 3.
Tabel 3. Pengambilan Nilai Parameter untuk Beberapa Bilangan Reproduksi Dasar
Parameter Nilai untuk
0 0,47 R = Nilai untuk 0 0,76 R =
Nilai untuk 0 1,2 R =
Nilai untuk 0 2 R = α 0,6125 0,4125 0,2125 0,0125
Aini Fitriyah a b c d Gambar 3a-3d. Grafik Solusi Sistem Persamaan Diferensial (1) dengan variasi nilai 0 R Berdasarkan Gambar 3a saat 0 0,47 R = solusi masing-masing subpopulasi 1 2 , , , , , v S V V E I I dan R berturut-turut menuju 0,2852;0,203;0,1201;0;0;0;0 dan  bedasarkan Gambar 3b  saat 0 0,76 R = solusi masing-masing subpopulasi 1 2 , , , , , v S V V E I I dan R berturut-turut menuju 0,345;0,1654;0,0979;0;0;0;0 . Sementara berdasarkan perhitungan, angka-angka tersebut adalah titik ekuilibrium bebas penyakit pada masing-masing kondisi 0 R . Jadi dapat disimpulkan bahwa saat 0 1 R < grafik solusi Sistem Persamaan Diferensial (1)  selalu menuju titik ekuilibrium bebas penyakit.
Di sisi lain saat 0 1 R > grafik solusi Sistem Persamaan Diferensial (1) selalu menuju pada satu titik yang bukan merupakan titik ekuilibrium bebas penyakit. Berdasarkan Gambar 3c dan 3d, saat 0 1,2 R = dan 0 2 R = grafik solusi ( ), ( ) dan ( ) v E t I t I t menuju suatu nilai positif yang tidak sama dengan nol. Hal ini menunjukkan bahwa saat 0 1 R > Covid-19 akan menjadi penyakit

## 98 Rumus Bilangan Reproduksi Dasar Covid-19 dengan Adanya Vaksinasi Dosis 1 dan 2
endemik yang selalu ada di tengah masyarakat.  Perubahan nilai α yang menyebabkan perubahan pada nilai bilangan reproduksi dasar menujukkan bahwa proporsi individu rentan yang mau melakukan vaksinasi Covid-19 memberikan pengaruh terhadap laju penyebaran Covid-19.

## 4  Simpulan
Berdasarkan susunan asumsi, terbentuk model  98actor98ika  penyakit Covid-19 dengan adanya vaksinasi sebagaimana  system  persamaan diferensial  (1).  Rumus bilangan reproduksi dasar pada model 98actor98ika  penyebaran Covid-19 dengan adanya vaksinasi sebagaimana Teorema 2. Diantara  parameter-parameter  pada bilangan reproduksi dasar, proporsi individu rentan yang mau melakukan vaksinasi Covid-19 cukup memberikan pengaruh terhadap perubahan nilai bilangan reproduksi dasar. Berdasarkan simulasi, semakin besar proporsi individu rentan yang mau melakukan vaksinasi Covid-19 maka semakin kecil bilangan reproduksi dasar. Dengan demikian dapat dilakukan upaya konkrit meningkatkan kesadaran dan mendorong masyarakat untuk melakukan vaksinasi Covid-19 agar Covid-19 dapat segera menghilang.  Hasil  simulasi ini  sesuai dengan uji efektivitas vaksinasi di Indonesia yang dilakukan oleh Junaedi dkk [18] yang menghasilkan kesimpulan bahwa  adanya vaksinasi baik dosis 1 maupun 2 memberikan pengaruh nyata pada kasus perkembangan Covid-19 di Indonesia selain  98actor  PPKM dan PSBB. Uji efektivitas dilakukan dengan standar eror 5% (tingkat kepercayaan 95%).

## 5  Daftar Pustaka
[1]  Z. Ma and J. Li, Dinamical Modeling and Analysis of Epidemics . Singapore: World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd., 2009.
[2]  A. P. Saputro, Matematika Untuk Kehidupan: Fungsi Eksponensial . Deepublish, 2019.
[3]  S. Sanche, Y. T. Lin, C. Xu, E. Romero-Severson, N. Hengartner, and R. Ke, “High contagiousness and rapid spread of severe acute respiratory syndrome coronavirus 2,” Emerg. Infect. Dis. , vol. 26, no. 7, p. 1470, 2020.
[4]  H. Najafimehr, K. Mohamed Ali, S. Safari, M. Yousefifard, and M. Hosseini, “Estimation of basic reproduction number for COVID-19 and the reasons for its differences,” Int. J. Clin. Pract. , vol. 74, no. 8, pp. 6–7, 2020, doi: 10.1111/ijcp.13518.
[5]  R. Teguh, A. S. Sahay, and F. F. Adji, “Pemodelan Penyebaran Infeksi Covid-19 Di Kalimantan, 2020,” J. Teknol. Inf. J. Keilmuan dan Apl. Bid. Tek. Inform. , vol. 14, no. 2, pp. 171–178, 2020, doi: 10.47111/jti.v14i2.1229.

## Aini Fitriyah
[6]  Sifriyani and D. Rosadi, “Pemodelan Susceptible Infected Recovered ( Sir ) Untuk Estimasi Angka Reproduksi Covid-19 Di Kalimantan Timur Dan Samarinda,” J. Media Stat. , no. July, pp. 1–13, 2020.
[7]  M. Fajar, “Estimation of COVID-19 reproductive number case of Indonesia ( estimasi angka reproduksi novel coronavirus ( COVID-19 ),” ResearchGate , no. March, pp. 1–7, 2020, doi: 10.13140/RG.2.2.32287.92328.
[8]  I. Ahmed, G. U. Modu, A. Yusuf, P. Kumam, and I. Yusuf, “A mathematical model of Coronavirus Disease (COVID-19) containing asymptomatic and symptomatic classes,” Results Phys. , vol. 21, p. 103776, 2021, doi: 10.1016/j.rinp.2020.103776.
[9]  E. A. D. Kurniawan and A. Dianpermatasari, “Model Matematika SEAR dengan Memperhatikan Faktor Migrasi Terinfeksi untuk Kasus COVID-19 di Indonesia,” Limits J. Math. Its Appl. , vol. 18, no. 2, pp. 142–153, 2021.
[10]  P. Wintachai and K. Prathom, “Stability analysis of SEIR model related to efficiency of vaccines for COVID-19 situation,” Heliyon , vol. 7, no. 4, p. e06812, 2021, doi: 10.1016/j.heliyon.2021.e06812.
[11]  M. Azizah, “Model Matematika Penyebaran Penyakit Coronavirus Disease 2019 (Covid- 19) Dengan Vaksinasi, Isolasi Mandiri, Dan Karantina Di Rumah Sakit,” J. Sains dan Mat. , vol. 2019, p. 97, 2020, [Online]. Available: https://repository.uinjkt.ac.id/dspace/handle/123456789/56206.
[12]  R. Ghostine, M. Gharamti, S. Hassrouny, and I. Hoteit, “Ghostine-2021-An extended seir model with vacc.pdf,” Mathematics , vol. 9, p. 636, 2021.
[13]  A. A. Sitinjak, “Penentuan Rumus Bilangan Berproduksi Dasar pada Model Matematika Covid-19 dari Model SIR yang Dimodifikasi,” J. Edumatsains , vol. 5, no. 2, pp. 203–210, 2021.
[14]  Y. Alimohamadi, M. Taghdir, and M. Sepandi, “Estimate of the basic reproduction number for COVID-19: a systematic review and meta-analysis,” J. Prev. Med. Public Heal. , vol. 53, no. 3, p. 151, 2020.
[15]  “Vaksinasi Covid-19 Nasional,” Kementerian Kesehatan Republik Indonesia , 2021. https://vaksin.kemkes.go.id/#/vaccines (accessed Nov. 01, 2021).
[16]  “Tanggap Covid-19 Provinsi Jawa Tengah,” Pemerintah Provinsi Jawa Tengah , 2021. https://corona.jatengprov.go.id/ (accessed Nov. 02, 2021).
[17]  A. Simatupang, “Mengupas vaksin covid-19 dan nutrisi untuk lansia,” Repository.Uki.Ac.Id , pp. 1–21, 2021.

## 100 Rumus Bilangan Reproduksi Dasar Covid-19 dengan Adanya Vaksinasi Dosis 1 dan 2
[18]  D. Junaedi, M. R. Arsyad, F. Salistia, and R. Moh., “Menguji Efektivitas Vaksinasi Covid-19 di Indonesia,” Reslaj  Relig. Educ. Soc. Laa Roiba J. , vol. 4, no. 1, pp. 158–167, 2022, doi: 10.47476/reslaj.v4i2.558.