## Contemporary Mathematics and Applications
Vol. 3, No. 1, 2021, pp. 19-35.
Analisis Kestabilan dan Kontrol Optimal Model Matematika Partisipasi Pemilih pada Pemilihan Umum dengan Saturated Incidence Rate
Dinda Ariska Putri 1 , Windarto 1,* & Cicik Alfiniyah 1
1 Departemen Matematika, Fakultas Sains dan Teknologi, Universitas Airlangga, Indonesia
*Corresponding author : windarto@fst.unair.ac.id
Abstract. Voter  participation  in  general  elections  is  an  important  aspect  of  a  democratic  state structure. Participation is determined by the level of public political awareness, if the level of public political  awareness  is  low,  voter  participation  tends  to  be  passive  (Abstinence).  A  mathematical model approach to voter participation in elections that has been modified to a saturated incidence rate is  needed  to  predict  voter  participation  in  future  elections.  This  thesis  aims  to  analyze  the stability of the equilibrium point and apply the optimal control variable in the form of an awareness campaign.  In  the  model  without  control  variables,  we  obtain  two  equilibriums,  namely,  the  non- endemic  equilibrium  and  the  endemic  equilibrium.  Local  stability  and  the  existence  of  endemic equilibrium  depend  on  the  basic  reproduction  number  (R 0 ),  where  R 0 =  /(  +  )  .  There  is  voter participation in elections when R 0 < 1 and the absence of voter participation in elections when R 0 > 1.  We  also  analyze  the  sensitivity  of  parameters  to  determine  which  parameters  are  the  most influential  in  this  mathematical  model.  Furthermore,  the  application  of  control  variables  in  the mathematical model of voter participation in elections with saturated incidence rate is determined through  the  Pontryagin  Maximum  Principle  method.  Numerical  simulation  results  show  that providing control variables in the form of awareness campaign it is quite effective in minimize the number of the voting population who abstained from election.
Keywords: Mathematical Models, Optimal Control, Saturated Incidence Rate, Stability, Voter Participation.

## 1 Pendahuluan
Partisipasi  politik  masyarakat  merupakan  aspek  penting  dalam  sebuah  tatanan  negara demokrasi.  Setiap  masyarakat  memiliki  hak  untuk  menentukan  pilihan  mereka  dalam pemilihan umum [1]. Pemilihan umum berperan  sebagai  mekanisme perubahan politik mengenai pola dan arah kebijakan publik atau mengenai sirkulasi elit secara periodik dan tertib [2].
Berdasarkan  Undang  Undang  Nomor  7  Tahun  2017  dalam  pelaksanaannya,  pemilihan umum di Indonesia bertujuan untuk memilih anggota legislatif, yaitu Dewan Perwakilan Rakyat,  anggota  Dewan  Perwakilan  Daerah,  Presiden  dan  Wakil  Presiden,  dan  untuk
memilih anggota Dewan Perwakilan Rakyat Daerah. Pemilihan umum diselenggarakan dengan  asas  langsung,  umum,  bebas,  rahasia,  jujur,  dan  adil  dalam  Negara  Kesatuan Republik Indonesia Tahun 1945 [3].
Partisipasi  politik  adalah  keikutsertaan  warga  negara  biasa  dalam  menentukan  segala keputusan  yang  menyangkut  atau  mempengaruhi  hidupnya  [4].  Tingginya  partisipasi politik masyarakat menunjukkan bahwa rakyat mengikuti dan memahami masalah politik dan  bersedia  melibatkan  diri  dalam  kegiatan-kegiatan  tersebut.  Sebaliknya,  apabila tingkat partisipasi politik masyarakat rendah menunjukkan bahwa rakyat tidak menaruh perhatian terhadap masalah kenegaraan dan ketidakpercayaan rakyat pada proses politik [5].
Partisipasi  ditentukan  oleh  tingkat  kesadaran  politik  dan  kepercayaan  masyarakat terhadap  pemerintah.  Apabila  seseorang  memiliki  kesadaran  politik  dan  tingkat kepercayaan  kepada  pemerintah  tinggi  maka  partisipasi  politik  cenderung  aktif. Sebaliknya apabila kesadaran politik dan tingkat kepercayaan kepada pemerintah rendah maka partisipasi politik cenderung pasif-tertekan (Golput) [6].
Pemodelan matematika mengenai dinamika partisipasi pemilih telah banyak dilakukan. Model matematika partisipasi pemilih dengan interaksi antara pemilih dan partai politik [7]. Selain itu, melakukan estimasi parameter terhadap data pemilih [8-9]. Selanjutnya, terdapat model yang menyajikan interaksi antara partai politik [10-11].
Berdasarkan uraian di atas, penulis akan mengkaji model matematika partisipasi pemilih pada pemilihan umum dengan saturated incidence rate yang merujuk pada jurnal yang dikembangkan  oleh  Balatif  dkk  [12].  Oleh  karena  itu,  dalam  artikel  ini  akan  dibahas modifikasi model Balatif dkk tersebut dengan memperhatikan saturated incidence rate dan menambahkan variabel kontrol optimal berupa kampanye kesadaran.

## 2 Formulasi Model
Pada  bagian  ini  akan  diformulasikan  model  matematika  partisipasi  pemilih  pada pemilihan  umum  dengan saturated  incidence  rate. Model  tersebut  terdiri  atas  tiga variabel yaitu populasi pemilih yang berhak berpartisipasi dalam pemilihan umum namun berpotensi golput (𝑃) , populasi pemilih yang golput pada pemilihan umum (𝐴) , populasi pemilih yang terdaftar dan menggunakan hak pilih (𝑅) . Adapun asumsi yang digunakan untuk kontruksi model sebagai berikut.
1. Individu masuk ke dalam populasi pemilih ketika sudah berumur 17 tahun keatas.
2. Pemilih  yang  berhak  memilih  namun  berpotensi  golput (𝑃) bisa  menjadi  golput karena adanya pengaruh dari pemilih yang golput (𝐴) .
3. Pemilih  yang  berhak  memilih  namun  berpotensi  golput (𝑃) akan  mantap menggunakan hak pilihnya karena adanya pengaruh dari pemilih yang terdaftar dan menggunakan hak pilihnya (𝑅) .
Deskripsi parameter-parameter yang akan digunakan dalam model matematika partisipasi pemilih pada pemilihan umum dengan saturated incidence rate disajikan pada Tabel 1.
Tabel 1 Pendefinisian parameter model Notasi Keterangan 𝛬 Laju masuk individu baru di dalam sistem pemilu β Laju individu yang terpengaruh untuk golput 𝜂 Laju individu yang mantap menggunakan hak pilihnya 𝛾 Laju individu kehilangan minat untuk golput
Berdasarkan asumsi-asumsi dan pendefinisian variabel yang telah dijelaskan sebelumnya, diagram transmisi model matematika partisipasi pemilih pada pemilihan umum dengan saturated incidence rate disajikan dalam Gambar 1 berikut ini.
Gambar 1 Diagram transmisi model
Berdasarkan  diagram  transmisi  pada Gambar  1 ,  maka  model  matematika  partisipasi pemilih pada pemilihan umum dengan saturated incidence rate dapat dituliskan sebagai berikut.
𝑑𝑃 𝑑𝑡 = 𝛬 − 𝛽 𝐴𝑃 1+𝜎𝐴 −  𝜂𝑃𝑅 − 𝜇𝑃 , (1)
𝑑𝐴 𝑑𝑡 = 𝛽 𝐴𝑃 1+𝜎𝐴 − (𝛾 + 𝜇)𝐴 , (2)
𝑑𝑅 𝑑𝑡 = 𝜂𝑃𝑅 + 𝛾𝐴 − 𝜇𝑅 . (3)
Persamaan  (1)  menunjukkan  laju  perubahan  populasi  pemilih  yang  berhak  memilih namun  berpotensi  golput per satuan waktu.  Terdapat  pertambahan populasi  akibat laju masuk  individu  baru  di  dalam  sistem  pemilu  dan  berkurang  karena  adanya  interaksi dengan  populasi  pemilih  yang  terdaftar  dan  menggunakan  hak  pilih  sehingga  pemilih mantap menggunakan hak pilihnya. Meskipun demikian, populasi pemilih yang berhak memilih namun berpotensi golput berkurang adanya interaksi dengan populasi pemilih yang  golput  dari  pemilihan  umum.  Selain  itu,  populasi  dapat  berkurang  akibat  adanya kematian alami pada populasi pemilih yang berhak memilih namun berpotensi golput.
Persamaan (2) menyatakan laju perubahan populasi pemilh yang golput pada pemilihan umum terhadap waktu.  Populasi  ini bertambah ketika individu  dalam populasi pemilih yang berhak memilih namun berpotensi golput berinteraksi dengan populasi pemilih yang golput dari pemilihan umum. Selain itu, populasi dapat berkurang karena adanya interaksi dengan populasi pemilih yang terdaftar dan menggunakan hak pilih dan adanya kematian alami pada populasi pemilih yang golput pada pemilihan umum.
Persamaan  (3)  menyatakan  laju  perubahan  populasi  pemilih  yang  terdaftar  dan menggunakan  hak  pilih  terhadap  waktu.  Populasi  ini  bertambah  ketika  individu  dalam populasi  pemilih  yang  berhak  memilih  namun  berpotensi  golput  berinteraksi  dengan populasi  pemilih  yang  terdaftar  dan  menggunakan  hak  pilih.  Populasi  pemilih  yang terdaftar  dan  menggunakan  hak  pilih  juga  bertambah  karena  individu  dalam  populasi yang golput dalam pemilihan umum mulai sadar dan menggunakan hak pilihnya untuk berpartisipasi dalam pemilihan umum. Selain itu, populasi ini berkurang karena adanya kematian alami pada populasi pemilih yang terdaftar dan menggunakan hak pilih.

## 3 Analisis Kestabilan Titik Setimbang
Sebelum dilakukan uji kestabilan titik setimbang, akan ditentukan terlebih dahulu  titik setimbang  dengan  syarat  eksistensinya  dan bilangan  reproduksi  dasar.  Berdasarkan persamaan  (1)  -  (3)  didapatkan  dua  titik  setimbang  yaitu  titik  setimbang  non  pemilih golput (non endemik) dan titik setimbang adanya pemilih golput (endemik).
Titik  setimbang  non  pemilih  golput  merupakan  suatu  keadaan  ketika  populasi  pemilih yang golput dan populasi pemilih yang menggunakan hak pilih bernilai nol (𝐴 = 𝑅 = 0) . Misalkan titik setimbang non pemilih golput ini dapat dinyatakan dalam 𝐸 0 = (𝑃, 𝐴, 𝑅) . Dengan  mensubstitusikan 𝐴 = 𝑅 = 0 ke  dalam  persamaan  (1)  –  (3)  sehingga  dapat diperoleh titik setimbang non pemilih golput 𝐸 0 (𝑃, 𝐴, 𝑅) = ( 𝛬 𝜇 , 0,0) .
Selanjutnya,  akan  ditentukan  nilai  dari  bilangan  reproduksi  dasar (𝑅 0 ) yang  dapat digunakan  untuk  mengetahui  ambang  batas  suatu  keadaan  yang  menunjukkan  bahwa partisipasi  pemilih  akan  berpengaruh  atau  tidak  dalam  pemilihan  umum.  Metode  yang
digunakan dalam menentukan 𝑅 0 yaitu dengan menggunakan metode Next  Generation Matrix (NGM) diperoleh sebagai berikut.
𝑅 0 = 𝛽𝛬 (𝛾 + 𝜇)𝜇
Titik setimbang adaya pemilih golput merupakan suatu keadaan ketika terdapat populasi pemilih  yang  berhak  memilih  namun  berpotensi  golput,  adanya  populasi  golput,  dan adanya  populasi  yang  menggunakan  hak  pilih  ( 𝑃 ≠ 0, 𝐴 ≠ 0, 𝑅 ≠ 0 ).  Misalkan  titik setimbang  adanya  pemilih  golput  dinyatakan  sebagai 𝐸 1 = (𝑃 ∗ , 𝐴 ∗ , 𝑅 ∗ ) .  Dengan demikian, diperoleh titik setimbang adanya pemilih golput sebagai berikut:
𝑃 ∗ = 𝛬𝜎+𝛾+𝜇 𝛽+𝜂𝜎𝑅 ∗ +𝜇𝜎 , (4)
𝐴 ∗ = − (−𝛽𝛬+𝛾𝜂𝑅 ∗ +𝛾𝜇+𝜇𝜂𝑅 ∗ +𝜇 2 ) (𝛽+𝜂𝜎𝑅 ∗ +𝜇𝜎)(𝛾+𝜇) , (5)
𝑅 ∗ merupakan akar positif dari persamaan
𝑎𝑅 ∗2 + 𝑏𝑅 ∗ + 𝑐 = 0 (6)
dengan,
𝑎 = 𝜇𝜂𝜎𝛾 + 𝜇 2 𝜂𝜎 , 𝑏 = 𝜂𝛬𝜎𝛾 + 𝜂𝛬𝜎𝜇 + 𝜂𝜇𝛾 + 𝜂𝜇 2 + 𝜇𝛽𝛾 + 𝜇 2 𝜎𝛾 + 𝜇 2 𝛽 + 𝜇 3 𝜎 , 𝑐 = 𝛾𝛽𝛬−𝛾 2 𝜇 − 𝛾𝜇 2 .
Berdasarkan titik setimbang adanya pemilih golput pada pemilihan umum 𝐸 1 akan eksis jika 𝑅 ∗ > 0 . Persamaan (6) akan memiliki satu akar positif jika memenuhi kondisi 𝑐 𝑎 < 0 . Karena  semua  parameter  bernilai  positif,  maka 𝑎 > 0 sehingga  diperoleh 𝑐 < 0 merupakan syarat eksistensi titik setimbang 𝐸 1 . Akibatnya,
⇔ 𝛾𝛽𝛬−𝛾 2 𝜇 − 𝛾𝜇 2 < 0 𝛾 2 𝜇 + 𝛾𝜇 2 < 𝛾𝛽𝛬 (𝛾 + 𝜇)𝜇 < 𝛽𝛬
Sehingga, 𝛽𝛬 (𝛾 + 𝜇)𝜇 > 1
Dengan  demikian  titik  setimbang  adanya  pemilih  golput 𝐸 1 akan  eksis  jika  memenuhi syarat 𝑅 0 > 1 .
Setelah diperoleh titik setimbang, akan dilakukan analisis kestabilan terhadap kedua titik setimbang.  Model  matematika  partisipasi  pemilih  pada  pemilihan  umum  dengan saturated incidence rate berbentuk sistem dinamik non linier sehingga perlu dilakukan
linierisasi  menggunakan  matriks  Jacobian.  Matriks  Jacobian  dari  model  matematika partisipasi pemilih pada pemilihan umum dengan saturated incidence rate adalah sebagai berikut.
𝐽 = [ − 𝛽𝐴 1+𝜎𝐴 − 𝜂𝑅 − 𝜇 − 𝛽𝑃 1+𝜎𝐴 + 𝛽𝜎𝑃𝐴 (1+𝜎𝐴) 2 −𝜂𝑃 𝛽𝐴 1+𝜎𝐴 𝛽𝑃 1+𝜎𝐴 − 𝛽𝜎𝑃𝐴 (1+𝜎𝐴) 2 − (𝛾 + 𝜇) 0
𝜂𝑅 𝛾 𝜂𝑃 − 𝜇] , (7)
Selanjutnya,  untuk  melakukan  analisis  kestabilan  titik  setimbang  non  pemilih  golput, akan  disubtitusikan  titik  setimbang  non  pemilih  golput 𝐸 0 pada  matriks  Jacobian  (7) sehingga diperoleh sebagai berikut.
𝐽(𝐸 0 ) = [ −𝜇 − 𝛽𝛬 𝜇 − 𝜂𝛬 𝜇 0 𝛽𝛬 𝜇 − (𝛾 + 𝜇) 0
0 𝛾 𝜂𝛬 𝜇 − 𝜇] , (8)
Akibatnya, diperoleh persamaan karakteristik sebagai berikut:
(𝜆 + 𝜇) (𝜆 − 𝛽𝛬 𝜇 + (𝛾 + 𝜇)) (𝜆 − 𝜂𝛬 𝜇 + 𝜇) = 0 , (9)
Berdasarkan persamaan karakteristik (9) diperoleh nilai eigen sebagai berikut. 𝜆 1 = −𝜇
𝜆 2 = 𝛽𝛬 𝜇 − (𝛾 + 𝜇) , dengan syarat 𝛽𝛬 (𝛾+𝜇)𝜇 < 1 atau 𝑅 0 = 𝛽𝛬 (𝛾+𝜇)𝜇 < 1 𝜆 3 = 𝜂𝛬 𝜇 − 𝜇 , dengan syarat 𝜂𝛬 < 𝜇 2
Titik  setimbang  non  pemilih  golput 𝐸 0 stabil  asimtotis  jika  hanya  jika  persamaan karakteristik mempunyai akar negatif. Karena semua parameter bernilai positif maka jelas bahwa nilai eigen 𝜆 1 bernilai negatif. Sedangkan syarat agar nilai eigen 𝜆 2 < 0 terpenuhi jika 𝑅 0 = 𝛽𝛬 (𝛾+𝜇)𝜇 < 1 dan 𝜆 3 < 0 terpenuhi  jika 𝜂𝛬 < 𝜇 2 .  Dengan  demikian  titik setimbang 𝐸 0 stabil asimtotis bersyarat.
Selanjutnya, untuk melakukan analisis kestabilan titik setimbang adanya pemilih golput, akan disubtitusikan titik setimbang adanya pemilih golput 𝐸 1 pada matriks Jacobian (7) sehingga diperoleh:
𝐽(𝐸 1 ) =
[ − 𝛬 𝑃 ∗ − 𝛽𝑃 ∗ (1+𝜎𝐴 ∗ ) 2 −𝜂𝑃 ∗ 𝛽𝐴 ∗ 1+𝜎𝐴 ∗ − 𝛽𝜎𝑃 ∗ 𝐴 ∗ (1+𝜎𝐴 ∗ ) 2 0 𝜂𝑅 ∗ 𝛾 − 𝛾𝐴 ∗ 𝑅 ∗ ] .
Selanjutnya, diperoleh persamaan karakteristik sebagai berikut:
𝜆 3 + 𝑝 1 𝜆 2 + 𝑝 2 𝜆 + 𝑝 3 = 0 , (10)
dengan,
𝑝 1 = ( 𝛾𝐴 ∗ 𝑅 ∗ + 𝛽𝜎𝑃 ∗ 𝐴 ∗ (1+𝜎𝐴 ∗ ) 2 + 𝛬 𝑃 ∗ ) , 𝑝 2 = ( 𝛬𝛽𝜎𝐴 ∗ (1+𝜎𝐴 ∗ ) 2 + 𝛽 2 𝑃 ∗ 𝐴 ∗ (1+𝜎𝐴 ∗ ) 3 + 𝛾𝛽𝜎𝑃 ∗ 𝐴 ∗2 𝑅(1+𝜎𝐴 ∗ ) 2 + 𝛬𝛾𝐴 ∗ 𝑃 ∗ 𝑅 ∗ + 𝜂 2 𝑃 ∗ 𝑅 ∗ ) ,
𝑝 3 = ( 𝛬𝛽𝛾𝜎𝐴 ∗2 𝑅 ∗ (1+𝜎𝐴 ∗ ) 2 + 𝛽 2 𝛾𝑃 ∗ 𝐴 ∗2 𝑅 ∗ (1+𝜎𝐴 ∗ ) 2 + 𝛽𝜂𝛾𝑃 ∗ 𝐴 ∗ 1+𝜎𝐴 ∗ + 𝛽𝜎𝜂 2 𝑅 ∗ 𝑃 ∗2 𝐴 ∗ (1+𝜎𝐴 ∗ ) 2 ) .
Berdasarkan  kriteria  Routh-Hurwitz,  persamaan  karakteristik  (10)  memiliki  akar-akar yang memiliki bagian real negatif jika nilai 𝑝 1 , 𝑝 2 , 𝑝 3 > 0 dan 𝑝 1 𝑝 2 − 𝑝 3 > 0 . Dari uraian tersebut diperoleh beberapa hal, yaitu
i. Oleh  karena  semua  parameter  dan  variabel  bernilai  positif,  maka  jelas  bahwa 𝑝 1 , 𝑝 2 , 𝑝 3 > 0 . ii. Selanjutnya,  titik  setimabang 𝐸 1 bersifat  stabil  asimtotis  jika  dan  hanya  jika 𝑝 1 𝑝 2 − 𝑝 3 > 0 .  Karena 𝑝 1 , 𝑝 2 , 𝑝 3 > 0 ,  maka  kondisi  tersebut  dapat  dipenuhi dengan
𝑝 1 𝑝 2 > 𝑝 3 ⇔ 𝑝 1 𝑝 2 𝑝 3 > 1 .
Akar-akar  dari  persamaan  (10)  sulit  untuk  ditentukan  secara  analitik,  sehingga  titik setimbang  adanya  pemilih  golput  ini  akan  dianalisis  melalui  simulasi  numerik  dengan menggunakan bidang fase dengan software MATLAB. Berikut diberikan nilai parameter dan tiga nilai awal pada Tabel 2 dan Tabel 3 untuk masing-masing variabel.
Tabel  2 Nilai  parameter  pada  model  matematika  partisipasi  pemilih  pada  pemilihan  umum dengan saturated incidence rate Parameter Nilai Sumber Λ 0.043 Asumsi 𝛽 0.3 [12] 𝜎 0.7 Asumsi 𝜂 0.04 [12] 𝜇 0.04 [12] 𝛾 0.08 [12]
Tabel 3 Nilai Awal Simulasi Bidang Fase Nilai Awal 𝑷(𝟎) 𝑨(𝟎) 𝑹(𝟎) Warna Nilai Awal 1 100 50 70 Hijau Nilai Awal 2 80 40 85 Biru Nilai Awal 3 70 55 90 Merah
Simulasi ini dilakukan pada waktu 𝑡 = 0 sampai 𝑡 = 1000 . Hasil simulasi bidang fase pada titik setimbang adanya pemilih golput model matematika partisipasi pemilih pada pemilihan umum dengan saturated incidence rate ditunjukkan pada Gambar 2 .
Gambar 2 Bidang Fase untuk Titik Setimbang adanya pemilih golput
Berdasarkan Gambar 2 , ketika diberikan tiga nilai awal yang berbeda, grafik populasi 𝐴 dan 𝑅 cenderung konvergen ke titik (𝐴, 𝑅) = (0.1394 , 0.4965) . Selain itu, berdasarkan nilai  parameter  pada Tabel  2 ,  diperoleh  nilai 𝑅 0 = 2.6875 > 1 .  Hal  ini  menunjukkan bahwa titik setimbang adanya pemilih golput pada model matematika partisipasi pemilih pada pemilihan umum dengan saturated incidence rate cenderung stabil  asimtotis  jika 𝑅 0 > 1 .

## 4 Analisis Sensitivitas Parameter
Analisis  sensitivitas  bertujuan  untuk  mengetahui  parameter  yang  memiliki  pengaruh besar pada suatu model [13]. Hal tersebut dapat diketahui melalui indeks sensitivitas dari masing-masing  parameter.  Adapun  indeks  sensitivitas  parameter (𝑖𝑛𝑑 𝑚) dirumuskan sebagai berikut.
𝑖𝑛𝑑 𝑚 = ( 𝜕𝑅 0 𝜕m ) 𝑚 𝑅 0 0 10 20 30 40 50 60 0 20 40 60 80 100 120 140 160 Populasi A P o p u la s i R Nilai Awal 1 Nilai Awal 2 Nilai Awal 3
dengan 𝑚 merupakan parameter yang akan dianalisis.
Hasil  perhitungan  indeks  sensitivitas  parameter  model  matematika  partisipasi  pemilih pada pemilihan umum dengan saturated incidence rate dapat dilihat pada Tabel 4 berikut.
Tabel 4 Nilai indeks sensitivitas parameter Parameter Indeks Sensitivitas Λ 1 𝛽 1 𝛾 -1.333 𝜇 -0.666
Selanjutnya,  pada  Tabel  5  akan  ditunjukkan  hubungan  antara  perubahan  pada  nilai parameter terhadap perubahan 𝑅 0 .
Tabel 5 Hubungan antara perubahan pada nilai parameter terhadap nilai 𝑅 0
Berdasarkan hasil indeks sensitivitas pada Tabel 5 , parameter yang memiliki pengaruh yang besar dalam model matematika partisipasi pemilih pada pemilihan umum dengan saturated incidence rate adalah Λ, 𝛽 dan 𝛾 . Namun, karena parameter laju masuk individu baru di dalam sistem pemilu (Λ) tidak dapat dikontrol, maka parameter yang berpengaruh adalah parameter 𝛽 dan 𝛾 .
Selanjutnya, akan dilakukan simulasi parameter 𝛽 dan 𝛾 terhadap 𝑅 0 yang masing-masing merupakan  laju  individu  yang  terpengaruh  untuk  golput  dan  laju  individu  yang kehilangan minat untuk golput. Pada simulasi dipilih nilai 𝛽 = 0.03, 𝛽 = 0.3 dan 𝛽 = 3 dengan 𝛾 berada pada interval 0.1  ≤ 𝛾 ≤ 0.5.
Parameter (𝒑) Indeks Sensitivitas
𝑹 𝟎 = 𝟐. 𝟔𝟖𝟕𝟓 𝒑 − 𝟏𝟎% 𝒑 − 𝟏𝟓% 𝒑 + 𝟏𝟎% 𝒑 + 𝟏𝟓% Λ 1 2.42 2.28 2.96 3.09 𝛽 1 2.42 2.28 2.96 3.09 𝛾 -1.333 2.879 2.986 2.52 2.443 𝜇 -0.666 3.089 3.328 2.364 2.226
Gambar 3 Sensitivitas terhadap nilai 𝑅 0
Berdasarkan Gambar  3 ,  dapat  dilihat  bahwa  ketika  dipilih  tiga  nilai 𝛽 yang  berbeda yaitu 𝛽 = 0.03, 𝛽 = 0.3 dan 𝛽 = 3 pada interval 0.1  ≤ 𝛾 ≤ 0.5 , jika nilai parameter 𝛾 meningkat, maka nilai 𝑅 0 akan menurun untuk seluruh nilai 𝛽 .

## 5 Formulasi Model dengan Adanya Kontrol Optimal
Pada  bagian  ini  akan  diformulasikan  model  matematika  partisipasi  pemilih  pada pemilihan  umum  dengan saturated  incidence  rate disertai  variabel  kontrol . Adapun variabel  kontrol  yang  digunakan  berupa  kampanye  kesadaran (𝑢) .  Adapun  model matematika partisipasi  pemilih pada pemilihan umum dengan saturated incidence rate dengan adanya kontrol adalah sebagai berikut.
𝑑𝑃 𝑑𝑡 = 𝛬 − 𝛽 𝐴𝑃 1+𝜎𝐴 −  𝜂𝑃𝑅 − 𝜇𝑃,
(11)
𝑑𝐴
𝑑𝑡 = 𝛽 𝐴𝑃 1+𝜎𝐴 − (𝛾 + 𝜇)𝐴 − 𝛿𝑢𝐴,
(12) 𝑑𝑅 𝑑𝑡 = 𝜂𝑃𝑅 + 𝛾𝐴 − 𝜇𝑅 + 𝛿𝑢𝐴. (13)
Selanjutnya,  fungsi  ongkos  atau  indeks  performansi  yang  dapat  dibentuk  berdasarkan model matematika partisipasi pemilih pada pemilihan umum dengan saturated incidence rate dengan adanya kontrol berupa kampanye kesadaran adalah sebagai berikut.
Min 𝐽(𝑢) = ∫ (𝑎𝐴 + 𝑏 2 𝑢 2 ) 𝑡 𝑓 𝑡 0 𝑑𝑡, (14)
dengan 𝑢  ∈   [0,1] .
0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 0 5 10 15 20 25 gamma Ro beta 1 =0.03 beta 2 =0.3 beta 3 =3
Indeks  performansi  ini  bertujuan  untuk  meminimumkan  jumlah  populasi pemilih  yang golput. Input 𝑢 yang memiliki kisaran nilai 0 ≤ 𝑢 ≤ 1 menunjukkan bahwa kampanye kesadaran  memiliki  peluang  sukses  antara  0  sampai  1,  sedangkan 𝑎, 𝑏 secara  berturut- turut menyatakan konstanta pembobot kepadatan populasi 𝐴 serta pembobot berupa biaya yang harus dikeluarkan untuk kampanye kesadaran.

## 6 Kontrol Optimal
Permasalahan kontrol optimal pada model matematika partisipasi pemilih pada pemilihan umum  dengan saturated  incidence  rate ini  diselesaikan  dengan  menerapkan  Prinsip Maksimum  Pontryagin.  Misalkan  variabel state pada  model  disertai  kontrol  optimal sebagai berikut.
𝑥 = (𝑃, 𝐴, 𝑅) 𝑇 ,
Dengan nilai awal dari semua populasi diasumsikan non negatif yang dinyatakan sebagai berikut.
𝑃(0), 𝐴(0), 𝑅(0) ≥ 0 .
Batas waktu pengontrol mempunyai nilai interval 0 ≤ 𝑡 ≤ 𝑡 𝑓 . Hal ini menyatakan waktu pengamatan  saat  diberi  kontrol  hingga  waktu  akhir  pengamatan  setelah  diberi  kontrol. Berdasarkan  prinsip  Maksimum  Pontryagin,  langkah  pertama  yang  dilakukan  adalah membentuk fungsi Hamiltonian pada model sebagai berikut.
ℋ = [𝑎𝐴 + 𝑏 2 𝑢 2 ] + 𝜆 𝑇 (𝑡)𝑓(𝑥(𝑡), 𝑢(𝑡)) , (15)
dengan  adanya 𝑓(𝑥(𝑡), 𝑢(𝑡)) adalah  ruas  kanan  dari  model  matematika  partisipasi pemilih  pada  pemilihan  umum  dengan saturated  incidence  rate yang  disertai  variabel kontrol,  sedangkan 𝜆(𝑡) menyatakan  pengali  Lagrange  atau  variabel co-state dengan 𝜆 𝑇 (𝑡) adalah transpos dari 𝜆(𝑡) . Selanjutnya, agar diperoleh kondisi optimal maka fungsi H harus memenuhi kondisi stasioner, yaitu
𝜕ℋ 𝜕𝑢 = 0 . (16)
Berdasarkan  persamaan  (16)  diperoleh  nilai  untuk 𝑢 dengan 0 ≤ 𝑢(𝑡) ≤ 1 sebagai berikut.
𝑢 ∗ = { 0                                                                      ,         untuk 𝑢 ≤ 0 1 𝑏 [𝛿𝐴(𝜆 2 − 𝜆 3 )]                                                  ,       untuk 0 < 𝑢 < 1 1                                                                     ,         untuk 𝑢 ≥ 1
Dari sini, diperoleh nilai kontrol yang optimal adalah sebagai berikut.
𝑢 ∗ = min (1, max (0, 1 𝑏 [𝛿𝐴(𝜆 2 − 𝜆 3 )])) (17)
Selanjutnya,  karena  dalam  pengontrol 𝑢 ∗ terdapat  variabel state yaitu 𝑥 = (𝑃, 𝐴, 𝑅) 𝑇 , dengan  demikian  akan  ditentukan  penyelesaian  persamaan state untuk  memperoleh variabel tersebut yaitu
𝑥̇ = 𝜕𝑥 𝜕𝜆 .
Berikutnya, persamaan co-state pada pengontrol 𝑢 ∗ dapat diperoleh dari
𝜆̇ = − 𝜕𝐻 𝜕𝑥 ,
Dengan demikian diperoleh,
𝜆 1 ̇ = − 𝜕𝐻 𝜕𝑃 = − [𝜆 1 (− 𝛽𝐴 1+𝜎𝐴 − 𝜂𝑅 − 𝜇) + 𝜆 2 ( 𝛽𝐴 1+𝜎𝐴 ) + 𝜆 3 (𝜂𝑅)],
𝜆̇ 2 = − 𝜕𝐻 𝜕𝐴 = − [𝑎 + 𝜆 1 ( 𝛽𝑃 1 + 𝜎𝐴 − 𝛽𝑃𝜎𝐴 (1 + 𝜎𝐴) 2 ) + 𝜆 2 ( 𝛽𝑃 1 + 𝜎𝐴 − 𝛽𝑃𝜎𝐴 (1 + 𝜎𝐴) 2 − (𝛾 + 𝜇) − 𝛿𝑢) + 𝜆 3 (𝛾 + 𝛿𝑢)],
𝜆̇ 3 = − 𝜕𝐻 𝜕𝑅 = −[𝜆 1 𝜂𝑃 + 𝜆 3 (𝜂𝑃 − 𝜇)].
dengan 𝜆 𝑖 (𝑡 𝑓 ) = 0 , untuk I = 1,2,3.
Selanjutnya,  setelah  didapatkan  variabel state dan co-state ,  maka  nilai  tersebut  akan disubstitusikan  ke 𝑢 ∗ .  Solusi  yang  optimal  diperoleh  dengan  mensubstitusikan  strategi pengendali 𝑢 ∗ ke dalam persamaan state . Kemudian, untuk memperoleh nilai 𝑃, 𝐴, 𝑅 dari bentuk 𝑢 ∗ yang  optimal  maka  harus  ditentukan  penyelesaian  persamaan state yang berbentuk  non  linier  dan  sulit  untuk  diselesaikan  secara  analitik  sehingga  akan diselesaikan secara numerik.

## 7 Simulasi Numerik
Simulasi ini digunakan untuk mengetahui efektivitas dari adanya kontrol 𝑢 yaitu berupa kampanye  kesadaran.  Adapun  nilai  awal  yang  digunakan  pada  simulasi  ini  adalah (𝑃(𝑡 0 ), 𝐴(𝑡 0 ), 𝑅(𝑡 0 )) = (100 90 80) . Waktu awal dan akhir pengamatan pada simulasi ini berturut-turut adalah 𝑡 0 = 0 dan 𝑡 𝑓 = 50 dalam satuan bulan. Konstanta pembobot untuk populasi yang golput sebesar 𝑎 = 1 . Selanjutnya, konstanta pembobot untuk biaya usaha  kampanye  kesadaran (𝑏) sebesar  10.  Adapun  nilai  parameter  yang  digunakan mengacu pada Tabel 2 dengan Λ = 5 . Pada program ini, persamaan state didefinisikan sebagai 𝑃 = 𝑦(1), 𝐴 = 𝑦(2) , dan 𝑅 = 𝑦(3) . Selain itu, indeks performansi didefinisikan sebagai state baru yaitu 𝑦(4) , serta pengendali 𝑢 . Hasil simulasi numerik kontrol optimal partisipasi pemilih pada pemilihan umum dengan saturated incidence rate disajikan pada Gambar 4 .
Berdasarkan Gambar  4 ,  diperoleh  perbandingan  populasi  sebelum  dan  sesudah  diberi kontrol dengan dua skenario untuk populasi pemilih yang golput (a) dan populasi pemilih yang  terdaftar  dan  menggunakan  hak  pilih  (b).  Perbandingan  jumlah  populasi  dapat dilihat pada Tabel 6 .
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 Waktu J u m la h P o p u la s i A Tanpa Kontrol Kontrol u (a) Grafik Populasi A
Gambar 4 Simulasi perbandingan jumlah populasi 𝐴 dan 𝑅 .
Tabel 6 Perbandingan populasi 𝐴 dan 𝑅 pada waktu akhir pengamatan Kondisi Jumlah Populasi 𝑨 𝑹 Tanpa Kontrol 2 141 Dengan Kontrol 𝑢 0 143
Berdasarkan Tabel  6 ,  secara  umum  terlihat  adanya  perbedaan  jumlah  populasi  tanpa kontrol dan ketika diberikan kontrol dengan dua skenario. Populasi pemilih yang golput (𝐴) mencapai jumlah penurunan populasi terkecil pada akhir waktu dengan pemberian kontrol  upaya  kampanye  kesadaran.  Berikutnya,  populasi  pemilih  yang  terdaftar  dan menggunakan  hak  pilih (𝑅) pada  awal  waktu  pemberian  kontrol 𝑢 berupa  kampanye kesadaran memiliki pengaruh  yang sangat besar dalam meningkatkan jumlah populasi. Seiring  dengan  bertambahnya  waktu,  efektivitas  kontrol  berkurang  karena  adanya pengaruh dari faktor teknis selama pengadaan pemilihan umum. Faktor tersebut antara lain pemilih lebih mengutamakan urusan pribadi yang mendesak seperti sedang bekerja atau sakit serta kesulitan dalam sistem administratif pemilihan umum.
Selanjutnya, hasil simulasi numerik untuk profil usaha 𝑢 disajikan pada Gambar 5.
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 80 100 120 140 160 180 200 220 240 260 Waktu J u m la h P o p u la s i R Tanpa Kontrol Kontrol u (b) Grafik Populasi R
Gambar 5 Grafik Profil Usaha u
Gambar 6 Grafik Fungsi Ongkos
Adapun  fungsi  ongkos  kontrol 𝑢 adalah  sebesar  128.627  guna  meminimalkan  jumlah populasi  pemilih  yang  golput  dengan  pemberian  kontrol  berupa  kampanye  kesadaran. Dengan demikian dari pemaparan diatas dapat disimpulkan bahwa untuk meminimalkan jumlah  populasi  pemilih  yang  golput  serta  meminimalkan  biaya,  maka  langkah  yang efektif dengan menerapkan kontrol 𝑢 berupa kampanye kesadaran.

## 8 Kesimpulan
Berdasarkan  pembahasan  yang  telah  diuraikan  sebelumnya,  maka  dapat  ditarik kesimpulan sebagai berikut:
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 Time C o n tr o l V a ri a b le s min J 0 =128.62744440 [FMINCON: 1e-005; CVODEs: 1e-007; N=50; MATLAB] Kontrol u 0 100 200 300 400 500 600 700 800 100 200 300 400 500 600 700 800 900 CPU time [seconds] O b je c ti v e F u n c ti o n V a lu e [ -] min J 0 =128.62744440 [FMINCON: 1e-005; CVODEs: 1e-007; N=50; MATLAB]
1. Model  matematika  partisipasi  pemilih  pada  pemilihan  umum  dengan saturated incidence rate memiliki dua titik setimbang yaitu titik setimbang non pemilih golput (𝐸 0 ) dan titik setimbang adanya pemilih golput (𝐸 1 ) . Titik setimbang non pemilih golput akan stabil asimtotis jika memenuhi 𝑅 0 < 1 . Titik setimbang adanya pemilih golput cenderung stabil asimtotis jika memenuhi 𝑅 0 > 1 , dengan
𝑅 0 = 𝛽𝛬 (𝛾 + 𝜇)𝜇 .
2. Bentuk fungsi kontrol optimal model matematika partisipasi pemilih pada pemilihan umum dengan saturated incidence rate adalah sebagai berikut.
𝑢 ∗ = min (1, max (0, 1 𝑏 [𝛿𝐴(𝜆 2 − 𝜆 3 )])).
3. Berdasarkan hasil simulasi numerik pada model matematika partisipasi pemilih pada pemilihan  umum  dengan saturated  incidence  rate sebelum  dan  sesudah  diberi kontrol  menunjukkan  bahwa  pemberian  kontrol  berupa  kampanye  kesadaran 𝑢 merupakan  langkah  yang  optimal  dalam  menurunkan  jumlah  populasi  pemilih yang golput.

## 9 Daftar Pustaka
[1] Liando,  D.  M.,  2017,  Pemilu  dan  Partisipasi  Politik  Masyarakat  (Studi  Pada Pemilihan Anggota Legislatif Dan Pemilihan Presiden Dan Calon Wakil Presiden Di Kabupaten Minahasa Tahun 2014), Jurnal LPPM Bidang EkoSosBudKum , 3 (2), 14-28.
[2] Surbakti, A. R., Supriyanto, D., dan Santoso, T., 2008, Perekayasaan sistem pemilu untuk  pembangunan  tata  politik  demokratis ,  Partnership  for  Governance  Reform Indonesia.
[3] R.I., Undang-Undang Nomor.7 Tahun 2017 tentang “Pemilihan Umum”
[4] Surbakti, R., 1992, Memahami ilmu politik , Jakarta: PT Grasindo.
[5] Budiarjo, Miriam., 2008, Dasar-Dasar Ilmu Politik. Jakarta:PT Gramedia Pustaka Utama.
[6] Surbakti,  Ramlan.,  1999, Memahami  Ilmu  Politik ,  Cetakan  keempat,  Jakarta: Grasindo.
[7] Petersen,  I.,  1991,  Stability  of  equilibria  in  multi-party  political  systems, Mathematical Social Sciences , vol.21, no.1, pp.81-93.
[8] Ansolabehere, S., 2005, The Introduction of Voter Registration and Its Effect on Turnout, Political Analysis , vol.14, no.1, pp.83-100.
[9] Yong, B., dan Samat, N, A., 2018, The SIR political fanaticism figure voters model for estimating number of voter in Indonesian presidential elections, Model Assisted Statistics and Applications , 13(3), 279-286.
[10] Calderon, K., Orbe, C., Panjwani, A., Romero, D, M., Kribs-Zaleta, C., dan Ros- Soto,  K.,  2005, An  Epidemiological  Approach  to  the  Spread  of  Political  Third Parties , Arizona State University, Tempe, AZ, USA.
[11] Balatif, O., Labzai, A., dan Rachik, M., 2018, A Discrete Mathematical Modeling and  Optimal  Control  of  the  Electoral  Behavior  with  Regard  to  a  Political  Party, Discrete Dynamics in  Nature and Society Research Article , vol.2018, Article  ID 9649014, 14 pages.
[12] Balatif,  O., Khajji,  B., dan Rachik,  M., 2020, Mathematical  Modeling, Analysis, and Optimal Control of Abstinence Behavior of Registration on the Electoral Lists, Discrete Dynamics in  Nature and Society Research Article , vol.2020, Article  ID 9738934, 12 pages.
[13] Chitnis, N., Hyman, J. M., dan Cushing, 2008, Determine Important Parameters in the Spread of Malaria Through the Sensitivity Analysis of a Mathematics Model, Bulletion of Mathematical Biology , 70 , 1272 – 1296.