Volume 2, Nomor  2, Agustus 2016, Halaman 154 – 165 ISSN: 2442–4668

## BERPIKIR ANALITIK MAHASISWA DALAM MENGONSTRUKSI BUKTI SECARA SINTAKSIS

## Puguh Darmawan
Pendidikan Matematika-Pascasarjana Universitas Negeri Malang e-mail: puguhdarmawan212@gmail.com

## Abstrak
Fenomena  menunjukan  kegagalan  mahasiswa  dalam  mengonstruksi  bukti secara sintaksis dikarenakan mahasiswa tidak berpikir analitik. Kemampuan mahasiswa  dalam  mengonstruksi  bukti  sangat  menentukan  keberhasilannya mempelajari  matematika  tingkat  lanjut,  sehingga  penelitian  untuk mengungkap  fenomena  ini  penting  dilakukan.  Penelitian  ini  bertujuan mendeskripsikan  berpikir  analitik  mahasiswa  dalam  mengonstruksi  bukti secara  sintaksis.  Untuk  mengetahui  berpikir  analitik  mahasiswa,  peneliti memberikan masalah pembuktian kepada sekelompok mahasiswa yang telah menempuh  Geometri.  Dilihat  dari  keanalitikan  jawaban  mahasiswa,  peneliti menemukan  tiga  kategori  berpikir,  yaitu;  (1)  analitik,  (2)  semi  analitik,  dan (3) pre analitik. Berpikir analitik ditandai oleh adanya konstruksi bukti yang jelas, kejelasan algoritma, keruntutuan penalaran, penggunaan simbol secara tepat,  setiap  pernyataan  dilandasi  oleh  alasan  yang  tepat  dan  langkah  yang efektif.  Berpikir  semi  analitik  ditandai  oleh  adanya  “elemen  pengganggu” pemutus  rantai  implikasi.  Berpikir  pre  analitik  ditandai  oleh  penggunaan gambar sebagai bukti.
Kata Kunci : Berpikir Analitik, Bukti, Sintaksis.

## PENDAHULUAN
Matematika  terbentuk  dari  pengalaman  manusia  dalam  dunianya  secara  empiris. Pengalaman  itu  diproses  secara  rasional  dan  analitis  dengan  penalaran  di  dalam  struktur kognitif sehingga sampai terbentuk konsep-konsep matematika (Ruseffendi,  1980). Windsor (2008) mengemukakan bahwa mempelajari matematika sama halnya dengan berpikir tentang pola-pola,  komunikasi  mengenai  pola-pola  itu,  atau  belajar  untuk  bekerja  dengan  pola-pola itu.  Mempelajari  matematika  berarti  belajar  tentang  sesuatu  yang  abstrak  dan  memuat pengertian-pengertian  yang  dituangkan  ke  dalam  simbol-simbol  atau  gambar-gambar.  Oleh karena itu didalam mempelajarinya diperlukan keterampilan berpikir dan bernalar tinggi pada diri mahasiswa.
Salah  satu  komponen  penting  dalam  matematika  yang  memerlukan  kemampuan berpikir  tingkat  tinggi  dalam  penyelesaiannya  adalah  bukti  matematis.  Bukti  sangat
fundamental dalam matematika (Varghese, 2009:3). Bukti menempati inti berpikir matematis dan bernalar secara deduktif (Healy & Hoyles, 1998) karena bukti adalah penentu kebenaran klaim  matematis  (Hanna  &  Barbeau,  2008:85).  Bukti  matematis  adalah  suatu  demonstrasi yang menyatakan kebenaran suatu pernyataan berdasarkan asumsi yang diberikan (Alcock & Inglis,  2010:44).  Kemampuan  mahasiswa  dalam  pembuktian  sangat  penting  bagi keberhasilan mereka dalam belajar matematika. Sebagaimana yang dinyatakan  Chen (2008) yaitu kemampuan siswa dalam menyusun bukti yang valid sangat penting untuk keberhasilan mereka  dalam  matematika,  ketidakmampuan  siswa  untuk  menyusun  bukti  sering  menjadi kendala utama mereka dalam menguasai topik topik lanjutan dalam matematika.
Dalam  menyelesaikan  masalah  pembuktian  mahasiswa  perlu  memahami  kondisi yang  ada.  Menurut  Polya  (dalam  Orton,  1991:94)  untuk  memecahkan  suatu  masalah, termasuk  masalah  pembuktian  diperlukan  empat  tahap  yaitu  (1)  memahami  masalah,  (2) membuat  rencana,  (3)  melaksanakan  rencana,  dan  (4)  melihat  kembali.  Menurut  Musser  & Burger  (1994:4)  tahap-tahap  pemecahan  masalah  Polya  dapat  dijabarkan  kedalam  beberapa poin.  Pada  tahap  memahami  masalah  seseorang  dihadapkan  dengan  beberapa  pertanyaan, diantaranya  adalah  sebagai  berikut  (a)  Apakah  informasi  yang  tersedia  cukup?  (b)    Apakah terdapat  informasi  tambahan?.  Pada  tahap  membuat  rencana  seseorang  dihadapkan  dengan pertanyaan  tentang  pemilihan  strategi  yang  tepat  dalam  memecahkan  masalah.  Setelah melalui  dua  tahap  tersebut  seseorang  kemudian  dapat  melaksanakan  strategi  yang  telah dipilih  sampai  masalah  terpecahkan  atau  sampai  suatu    tindakan  baru  dianjurkan.  Jadi berpikir  analitik  merupakan  bagian  yang  harus  dilakukan  dalam  pemecahan  masalah pembuktian karena berpikir analitik merupakan; (1) kemampuan untuk meneliti dan mengurai fakta-fakta  dan  pemikiran  menjadi  kekuatan-kelemahan;  dan  (2)  mengembangkan  kapasitas untuk  berpikir bijaksana, cerdas,  menyelesaikan  masalah, menganalisis  data, mengingat  dan menggunakan  informasi  (Amer,  dkk,  2005).  Parta  (2016)  juga  menyatakan  bahwa  berpikir analitik digunakan dalam menyelesaikan soal non rutin (masalah).
Menurut  Robbins  (2011:  41),  berpikir  analitik  adalah  serentetan  perilaku  yang seragam,  tetapi  melibatkan  unsur  penyelidikan  dan  situasi  lebih  lanjut  dengan  hasil  dan parameter  yang kurang terdefinisi dengan  baik.  Berpikir analitik adalah  berpikir tahap demi tahap  untuk  menyelesaikan  masalah  dalam  rangka  mengaitkan  hubungan  dan  menjelaskan pengaruh  antar  variabel  yang  disertai  dengan  mempertimbangkan  bukti-bukti  yang  ada, dengan  tantangan  situasi  yang  ambigu  dan  masalah  yang  kurang  terstruktur  lengkap  atau informasi  yang  disampaikan  kurang,  sehingga  mahasiswa  bisa  memilih  informasi  yang penting dan relevan berdasarkan masalah yang diajukan.
Montaku (2011) berpandangan bahwa berpikir analitik berarti berpikir dari peristiwa yang berurutan menjadi bagian-bagian masalah yang disajikan dengan alasan, prinsip, fungsi, kemampuan  untuk  menghubungkan  isu-isu,  kemampuan  untuk  menjawab  masing-masing masalah dan melihat kembali masalah sebelumnya. Analisis dapat  diklasifikasikan menjadi 3 bagian  kecil;  (1)  analisis  elemen  yang  dimaksudkan    untuk  mengklasifikasikan  apa  yang penting atau diperlukan atau yang paling berperan dan mana yang merupakan penyebab atau
hasil,  (2)  analisis  hubungan  berarti  pencarian  untuk  sub-hubungan  cerita  atau  bukti  dan bagaimana hal tersebut saling berhubungan, konsisten atau bertentangan, (3) analisis prinsip- prinsip organisasi berarti mencari struktur sistem atau soal cerita dan tindakan yang berbeda untuk  melihat  bagaimana  sistem  tersebut  berhubungan  (Bloom  dalam  Montaku,  2012). Pandangan ini sesuai dengan berpikir analitik mahasiswa pada penelitian Parta (2016) dalam menyelesaikan persamaan garis lurus dengan gradien tak terdefinisi. Berpikir analitik  dalam menyelesaikan  masalah  tampak  bertahap  pada  empat  bagian  dari  penyelesaian  masalah. Keempat bagian itu diberi kode 1, 2, 3, dan 4 seperti gambar di bawah ini.

## Gambar 1. Penyelesaian Bertahap
Dengan berpikir analitik, mahasiswa dapat merancang kerangka bukti, menggunakan definisi  yang  sesuai  dan  mempertimbangkan  bukti-bukti  yang  ada  untuk  menurunkan pernyataan  dengan  menerapkan  teorema  yang  ada  dan  aturan  inferensi,  hingga  mencapai kesimpulan.  Mahasiswa  dapat  melakukan  itu  tanpa  mempertimbangkan  bentuk/struktur dalam sistem representasi lain, seperti grafik, argumen informal, atau contoh prototipikal dari konsep-konsep matematika yang relevan dengan strategi sintaksis (Weber & Alcock, 2004). Alcock  &  Inglis  (2008:115)  mendefinisikan  strategi  sintaksis  terjadi  ketika  seluruh  proses pembuktian  terjadi  dalam  dunia  formal.  Istilah  berbeda  dari  strategi  sintaksis  adalah  jalur formal  (Pinto  ,1998).  Mahsiswa  harus  mampu  berpikir  formal  dalam  mengonstruksi  bukti karena argumen yang dianggap sebagai bukti matematis, harus didasarkan pada aksioma dan definisi (Chazan, D & Lueke, M. dalam Knuth, 2009). Akan tetapi pada kenyataannya masih banyak mahasiswa yang tidak mampu berpikir formal. Fakta ini ditemukan pada mahasiswa semester satu. Padahal kemampuan berpikir formal adalah salah satu unsur yang mempunyai peranan  penting  untuk  memahami  konsep,  hukum  dan  prinsip-prinsip  ilmu  pengetahuan. Kemampuan  seseorang  untuk  membuat  analisis  dan  mengembangkan  teori  memerlukan kemampuan berpikir yang ada di dunia formal. Dunia formal yang berdasarkan pada aksioma berguna  untuk  membangun  sistem,  berdasarkan  definisi  untuk  membuat  konsep  baru,  dan berdasarkan bukti formal untuk membangun teori-teori yang koheren (Tall, 2009).
Kemampuan  mahasiswa  semester  pertama  dalam  pembuktian  tentu  saja  akan berpengaruh  pada  pembelajaran  matakuliah  lainnya  yang  sarat  dengan  pembuktian,  seperti mata kuliah Analisis Real, Aljabar Abstrak, dan yang lainnya. Geometri adalah matakuliah di semester  pertama  yang  memberikan  kesempatan  kepada  mahasiswa  untuk  mengembangkan
kemampuan  berpikir  analitik  dalam  mengonstruksi  bukti.  Kemampuan  mahasiswa  dalam mengonstruksi bukti pada matakuliah Geometri sangatlah penting sebagai dasar mempelajari bukti  matematis  lebih  lanjut,  khususnya  pada  materi  kekongruenan  segitiga,  hal  ini dikarenakan bagian paling luas dan sangat penting dalam Geometri adalah perhatian terhadap hubungan  yang  ada  pada  segitiga  (Lewis,1968).  Mulyati  (1999)  juga  berpendapat  bahwa segitiga memegang peranan yang sangat penting dalam mempelajari Geometri, karena semua poligon dapat dipartisi ke dalam daerah-daerah segitiga.
Dalam dokumen NCTM (2000: 124) tertulis “Pembuktian dirasakan sangat sulit bagi mahasiswa  matematika  tingkat  sarjana”.  Penelitian  menemukan  bahwa  masih  banyak mahasiswa yang mengalami kesulitan dalam membuktikan Weber; (2001), Recio & Godino; (2001),  dan  Selden  &  Selden;  (2003).  Kesulitan  ini  dapat  dipicu  oleh  berbagai  hal.  Weber (2001)  menemukan  bahwa  penyebab  awal  kegagalan  mahasiswa  dalam  membuktikan disebabkan  oleh  kurangnya  pengetahuan  strategik.  Sementara  Recio  &  Godino  (2001) menemukan bahwa kemampuan mahasiswa untuk menghasilkan bukti secara deduktif masih sangat terbatas. Selden & Selden (dalam Weber, 2004) menyatakan bahwa mahasiswa tidak dapat  menentukan  apakah  bukti  yang  dimaksud  sah  atau  tidak.  Weber  (2004)  menyatakan bahwa penelitian mengenai kemampuan mahasiswa dalam menyusun bukti lebih difokuskan pada  bukti  yang  dihasilkan  mahasiswa.  Bukti  dipilah  ke  dalam  bukti  yang  valid  dan  tidak valid.  Rasio  antara  bukti  yang  valid  dan  tidak  valid  digunakan  sebagai  alat  ukur  mengenai kemampuan  menyusun  bukti  (Senk  dalam  Weber,  2004).  Bukti  yang  tidak  valid  digunakan untuk  mengklasifikasikan  kesulitan  mahasiswa  dan  untuk  mengetahui  konsepsi  mahasiswa mengenai bukti (Selden & Selden, 2003 dan Zazkis, dkk.,2003). Peneliti berpendapat bahwa untuk  mengetahui  kemampuan  mahasiswa  dalam  mengonstruksi  bukti  tidak  cukup  dilihat dari bukti yang dihasilkan. Lebih dari itu, proses berpikir yang terjadi dalam menyusun bukti justru  dapat  memberi  petunjuk  yang  lebih  baik  untuk  mengetahui  kemampuan  mahasiswa dalam menyusun bukti formal.
Peneliti  menemukan  kegagalan  mahasiswa  dalam  mengonstruksi  bukti  kongruensi segitiga  secara  sintaksis  karena  mahasiswa  tidak  berpikir  analitik,  hal  itu  nampak  pada gambar di bawah ini.
Diberikan : dan saling membagi sama panjang
di  . Buktikan :
Bukti:
Diberikan Definisi kongruen Diberikan Definisi garis tegak lurus CE  +  EB  = CB
transitif
DE  +  EA  = AD transitif Definisi
kongruen
Gambar 2. Jawaban Mahasiswa
Dari  jawaban  di  atas  terlihat  bahwa  mahasiswa  tidak  mampu  melihat  sifat  analitik dari  kondisi  yang  diberikan  dan  menggunakan  aturan  untuk  membuat  rantai  implikasi sehingga mencapai kesimpulan yang diinginkan.
Berdasarkan  penelitian  terdahulu  tentang  bukti,  pentingnya  berpikir  analitik  dalam mengonstruksi bukti serta fakta empiris di atas maka penelitian yang mengeksplorasi berpikir analitik  mahasiswa  dalam  mengonstruksi  bukti  kongruensi  segitiga  secara  sintaksis  ini penting  dilakukan.  Penelitian  ini  dapat  memberikan  sumbangan  teori  mengenai  berpikir analitik  mahasiswa  dalam  mengonstruksi  bukti  secara  sintaksis  dan  dapat  digunakan  dosen sebagai  informasi  mengenai  berpikir  analitik  yang  dapat  dilakukan  mahasiswa  dalam mengonstruksi  bukti  secara  sintaksis  sehingga  dosen  dapat  memilih  metode  pembuktian dalam mengajar yang disesuaikan dengan kemungkinan berpikir mahasiswa.

## METODE
Penelitian  kualitatif  dengan  jenis  penelitian  deskriptif  eksploratif  ini  mengambil subjek  dari  sekelompok  mahasiswa  yang  telah  menempuh  Geometri,  karena  tujuan  dari penelitian  ini  adalah  untuk  mengetahui  berpikir  analitik  yang  melibatkan  pengetahuan  yang sudah tersimpan dalam memori. Berpikir analitik dalam mengonstruksi bukti secara sintaksis dilihat  berdasarkan  keanalitikan  jawaban  tertulis  mahasiswa  dan  dipertegas  dengan wawancara. Masalah pembuktian berupa masalah uraian yang diambil dari buku Geometry A Contemporary Course oleh Harry Lewis.
Masalah  tersebut  dipilih  karena  memberikan  kondisi  awal  tanpa  suatu  ukuran tertentu sehingga mahasiswa harus menyelesaikannya secara analitik. Selain itu gambar yang diberikan  terdiri  dari  berbagai  segitiga  yang  menuntut  mahasiswa  untuk  dapat  memilih segitiga segitiga tertentu sebagai kunci utama dalam pembuktian. Oleh karena itu masalah ini sesuai  untuk  digunakan  karena  penyelesaian  secara  analitik  perlu  didukung  oleh  berpikir yang analitik (Parta, 2016). Berikut ini adalah masalah yang digunakan dan struktur berpikir analitik yang diharapkan.
Diberikan :
Buktikan:
Tabel 1. Keterangan Kode Penjelasan m Memahami masalah m1 Memahami yang ditanyakan m2 Memahami asumsi dan gambar yang diberikan f Fokus pada r Menyusun rencana r1 Menggunakan teorema sisi, sisi, sisi r2 Menggunakan postulat sisi, sudut, sisi k Melaksanakan rencana a dari asumsi b Membuktikan c Membuktikan
d e h p dengan postulat sisi, sudut, sisi t dengan teorema sisi, sisi, sisi s sisi sd sudut Langkah selanjutnya Postulat sisi, sudut, sisi Teorema sisi, sisi, sisi Memahami masalah Melaksanakan rencana merencanakan
Gambar 2. Struktur Berpikir
Format bukti yang diharapkan pada penelitian ini adalah format bukti dua kolom. Kolom yang kiri diisi oleh pernyataan dan di kolom yang kanan berisi alasan yang menjelaskan pernyataan tersebut, dimana pernyataan-pernyatan tersebut membentuk suatu argumen matematis yang mengarah pada suatu kesimpulan (Leff, 2009).

## HASIL
Berpikir  analitik  dalam  mengonstruksi  bukti  secara  sintaksis  terlihat  sejak  awal ketika subjek memilah dan memilih segitiga yang dianggap penting. Fakta ini sesuai dengan pengertian  berpikir  analitik  menurut  Amer,  dkk  (2005)  yaitu  kemamampuan  untuk  meneliti dan  mengurai  fakta-fakta  dan  pemikiran  menjadi  kekuatan-kelemahan.  Bagian-bagian tersebut  pada  gambar  3  ditandai  dengan  1,  2  ,  3  dimana  keseluruhan  dari  bagian-bagian  itu
m1 m m2 r1 c b f r2 r k s s a sd d s h e p t
juga  menunjukan  konstruksi  bukti  secara  utuh  yang  dibuat  subjek.  Subjek  merencanakan pembuktian bertahap sesuai urutan tersebut. Berikut ini disajikan sketsa yang dibuat subjek.
Gambar 3. Konstruksi Bukti
Berdasarkan  konstruksi  bukti  yang  telah  dimiliki,  subjek  mengawali  pembuktian  dengan membuktikan
.  Dengan  memperhatikan  kondisi  awal  yang  diberikan  dan memilih  postulat  yang  dapat  menghubungkan  kondisi  tersebut,  maka  subjek  memutuskan menggunakan  postulat  sisi,  sudut,  sisi  untuk  membuktikan
.  Kondisi  ini sesuai dengan karakteristik berpikir analitik yang dinyatakan Kinard, James T., Alex Kozulin (dalam Parta, 2016), yaitu subjek menemukan prinsip dasar yang berlaku dalam penyelesaian tugas. Proses pembuktian ini dapat dilihat pada sub bukti 1 di bawah ini.
Gambar 4. Sub Bukti 1
Berikutnya  berdasarkan  konstruksi  bukti  subjek  menyusun  sub  bukti  2  yang bertujuan untuk membuktikan
. Dengan mempertimbangkan sub bukti 1 dan fakta-fakta yang ada, subjek memutuskan menggunakan postulat sudut, sisi, sudut. Sub bukti 2 tampak pada gambar di bawah ini.
Gambar 5. Sub Bukti 2
1 2 3
sd 1 s sd 2 sd,s,sd
Pembuktian
tampak  pada  empat  bagian  pada  gambar  di  atas.
Pertama subjek menyatakan bahwa
pada gambar yang ditandai dengan sd 1 di atas berdasarkan  definisi  poligon  yang  kongruen  yaitu
yang  diperoleh  pada  sub bukti  1.  Berikutnya  pada  gambar  yang  ditandai  s  di  atas,  subjek  menyatakan  bahwa
dan dengan  alasan  postulat  partisi.  Selanjutnya  dengan alasan  postulat  substitusi  subjek  menyatakan  bahwa karena berdasarkan kondisi  yang diberikan . Karena maka subjek mensubstitusi dengan dari  langkah  sebelumnya  sehingga  mengakibatkan . Kemudian dengan alasan sifat refleksif subjek menyatakan bahwa dan berdasarkan postulat pengurangan subjek menyatakan bahwa sehingga akibatnya yang ekuivalen dengan . Tahap selanjutnya yang dilakukan subjek ditandai dengan sd 2 pada gambar di atas. Subjek menyatakan bahwa berdasarkan definisi poligon yang kongruen yaitu .  Kemudian  subjek  menyatakan  bahwa bersuplemen  dengan
dan bersuplemen dengan . Pernyataan subjek ini didasarkan pada sifat analitik dari  sudut  yang  terbentuk  dari  dua  sinar  garis  yang  berlawanan.  Dua  sinar  garis  yang berlawanan adalah dua sinar yang mempunyai titik pangkal yang sama dan terletak pada garis yang  sama  tetapi  arahnya  berlawanan  (Lewis,  1968).  Dalam  hal  ini  subjek  memperoleh  ide kunci yaitu sudut lurus. Dari definisi sudut lurus yaitu sudut yang ukurannya kemudian subjek  menurunkan  pernyataan-pernyataan  yang  dilandasi  dengan  definisi  dua  sudut bersuplemen  yang  jumlah  ukurannya .  Kemudian  subjek  menyatakan  bahwa berdasarkan teorema yang menyatakan jika dua sudut bersuplemen pada dua sudut yang kongruen maka dua sudut itu kongruen (Lewis, 1968).
Terakhir pada gambar 5 yang ditandai dengan sd, s, sd subjek menyimpulkan bahwa berdasarkan  postulat  sudut,  sisi,  sudut.  Akibat  dari adalah .  Setelah  menyusun  sub  bukti  1  dan  sub  bukti  2,  subjek  mengorganisir  informasi- informasi  penting  untuk  mencapai  kesimpulan  akhir.  Fakta  ini  sesuai  dengan  pandangan Ferdinando,  A.  (dalam  Parta,  2016)  terhadap  kegunaan  berpikir  analitik  yaitu  untuk mengorganisasikan informasi yang akan diartikulasikan. Hal tersebut tampak pada gambar di bawah ini.
Gambar 6. Kesimpulan
Subjek menyatakan , berdasarkan sifat refleksif kongruensi dan dari  kondisi  yang  diberikan.  Sehingga  dengan  teorema  sisi,  sisi,  sisi maka .  Jika  dilihat  secara  utuh  langkah-langkah  subjek  ini  efektif,  artinya
untuk mencapai kesimpulan, subjek tidak melakukan langkah berlebih.
Temuan lain pada penelitian ini adalah adanya berpikir semi analitik. Berpikir semi analitik ditandai oleh adanya “elemen-elemen” pengganggu yang mengakibatkan terputusnya struktur  “logis”  penyelesaian  masalah  (Parta,  2016).  Pada  langkah-langkah  awal  subjek mampu menyusun sub bukti secara analitik seperti di bawah ini.
Gambar 7. Pekerjaan Awal
Beriktnya pada langkah 5 sampai langkah 11, subjek merujuk pada postulat partisi, postulat  substitusi,  sifat  refleksif  kongruensi  dan  postulat  pengurangan.  Namun  pernyataan yang  dilandasi  oleh  postulat  substitusi  tidak  dinyatakan  dengan  simbol  yang  tepat.  Hal tersebut  tampak  pada  langkah  6  dan  langkah  8  yaitu dan .  Substitusi  hanya  dapat  dilakukan  pada  kuantitas,  namun  subjek mensubstitusi ruas garis dan bukan ukuran ruas garisnya. Begitupun pada langkah 10 subjek melakukan  operasi  pengurangan  pada  ruas  garis  dan  bukan  pada  ukuran  ruas  garisnya. Adanya  elemen-elemen  inilah  yang  memutus  rantai  implikasi  subjek  yang  berpikir  semi analitik dan akibatnya bukti yang dihasilkan tidak valid.

## Gambar 8. Elemen pengganggu
Temuan  berikutnya  adalah  adanya  berpikir  pre  analitik  dalam  mengonstruksi  bukti secara  sintaksis.  Berpikir  pre  analitik  subjek  ditandai  dengan  penggunaan  informasi permukaan  (berupa  gambar).  Dalam  matematika  formal,  gambar  bukan  penyelesaian  final dari  suatu  masalah.  Gamabar  atau  sketsa  grafik  digunakan  hanya  untuk  identifikasi  awal tentang  kemungkinan  model  matematika  atau  strategi  penyelesaian  masalah  yang  sesuai (Parta,  2016).  Dalam  temuan  ini  sebujek  mendemonstrasikan  bukti  dengan  gambar  dengan membuat ukuran tertentu dari ruas garis. Pekerjaan subjek tampak pada gambar di bawah ini.
(a)
Elemen pengganggu
Membuat ukuran
(b)
(c)

## PEMBAHASAN
Berpikir  yang  termasuk  jenis  berpikir  analitik  yang  dinyatakan  oleh  Stenberg,  R.J, dkk  (dalam  Parta,  2016)  mencakup  kemampuan  menganalisis,  membandingkan,  dan mengevaluasi.  Jika  dilihat  dari  hal  tersebut  maka  munculnya  elemen-elemen  pengganggu pada berpikir semi analitik disebabkan karena ketidakmampuan subjek dalam mengevaluasi. Hal  tersebut  tampak  pada  kesalahan  dalam  penulisan  simbol  yang  tidak  disadari  subjek. Subjek  mensubstitusikan  ruas  garis  dan  melakukan  operasi  pengurangan  pada  ruas  garis, bukan  pada  ukurannya.  Adanya  kesalahan  dalam  penulisan  simbol  tersebut  mengakibatkan terputusnya  struktur  logis  dari  bukti  yang  disusun  subjek  sehingga  bukti  yang  dihasilkan tidak valid.
Zhang  (dalam  Parta,  2016)  memberikan  batasan  pada  berpikir  analitik  yang mencakup  empat  aspek,  yaitu;  (1)  pemisahan  objek  dari  konteksnya,  (2)  kecenderungan untuk fokus pada atribut tertentu, (3) penetapan kategori, dan (4) pemilihan pada penggunaan aturan.  Jika  ditinjau  dari  empat  aspek  tersebut,  maka  berpikir  pre  analitik  terjadi  karena subjek  cenderung  untuk  fokus  pada  atribut  tertentu.  Hal  tersebut  tampak  ketika  subjek membuat  ukuran tertentu dari ruas  garis. Subjek berkeyakinan bahwa setiap ruas garis pasti dapat  diukur  atau  dapat  dibuat  suatu  ukuran  dengan  satuan  tertentu.  Sehingga  jika  sudah diketahui ukurannya maka subjek dapat menentukan apakah dua segitiga yang diminta pada masalah kongruen atau tidak. Dalam hal ini subjek tidak berpikir secara deduktif formal.

## SIMPULAN DAN SARAN
Berpikir  analitik  subjek  dalam  mengonstruksi  bukti  secara  sintaksis  ditandai  oleh beberapa  indikator,  yaitu  adanya  konstruksi  bukti  yang  jelas,  kejelasan  algoritma, keruntutuan  penalaran,  penggunaan  simbol  secara  tepat,  setiap  pernyataan  dilandasi  oleh alasan  yang tepat, dan langkah  yang efektif. adanya konstruksi bukti  yang jelas terlihat dari sketsa  yang  dibuat  subjek.  Konstruksi  tersebut  menunjukan  penalaran  bertahap  yang dilakukan  subjek.  Kejelasan  algoritma  maksudnya  adalah  pada  setiap  langkah  secara  jelas ditunjukan  informasi  yang  akan  dicari.  Keruntutun  penalaran  maksudnya  adalah  terdapat
Bukti yang diperagakan
Gambar dipakai sebagai bukti
hubungan logis dari langkah yang mendahului ke langkah selanjutnya. Langkah yang efektif maksudnya tidak ada langkah yang berlebih untuk mencapai kesimpulan.
Berpikir  semi  analitik  ditandai  oleh  adanya  “elemen  pengganggu”  pemutus  rantai implikasi.  Adanya  elemen  pengganggu  tersebut  terjadi  karena  subjek  melakukan  kesalahan dalam penggunaan simbol ukuran ruas garis. Berpikir pre analitik ditandai oleh penggunaan gambar  sebagai  bukti.  Subjek  memperagakan  bukti  dengan  membuat  ukuran  tertentu  dari ruas  garis  untuk  menyimpulkan  kongruensi  segitiga.  Bukti  tidak  diturunkan  secara  deduktif formal.
Pada penelitian ini ditemukan subjek yang berpikir pre analitik dalam mengonstruksi bukti. Berpikir pre analitik terjadi ketika subjek memperagakan bukti menggunakan gambar yang  secara  mutlak  tidak  diterima  dalam  bukti  formal.  Subjek  penelitian  ini  adalah mahasiswa  yang  seharusnya  sudah  mampu  berpikir  formal  deduktif,  oleh  karena  itu  perlu adanya  metode  pembelajaran  tentang  pembuktian  yang  disesuaikan  dengan  kemungkinan berpikir mahasiswa agar pengetahuan dan pengalaman belajar terinternalisasi dengan baik.

## DAFTAR RUJUKAN
Alcock,  L.Inglis,  M.  2010.  Visual  Consideration  In  The  Presentation  Of  Mathematical Proofs. International Journal of Media, Technology and Lifelong Learning , 6 (1): 43 – 59.
Amer, Ayman, dkk. 2005 . Analytical  Thinking. Cairo: Center for Advancement Studies  and Research in Engineering Science , Cairo: Faculty of EngineeringCairo University. Chen,Y.  2008.  From  formal  proofs  to  informal  proofs-teaching. International  Journal  of Case  Method  Research  &  Application .  New  Britain,  Connecticut,  U.S.A.  :  Central Connecticut State University.
Hanna, G., & Barbeau, E. 2008. Proofs as bearers of mathematical knowledge. Zentralblatt für Didaktik der Mathematik , 40(30), 345–353.
Healy, L. & Holyes, C. 1998. A study of proof conceptions in algebra. Journal for research in mathematics education , 31 (4) : 396 – 428.
Leff, L., S. 2009. E-Z Geometry . New York: Barron’s Educational Series.
Lewis, H. 1968 Geometry A Contemporary Course . New York: D. Van  Nostand Company, Ltd.
Montaku, S., dkk. 2012. The Model Of Analytical Thinking Skill Training Process. Research Journal of Applied Sciences 7 (1) 17-20, 2012 ISSN: 1815-932X. Medwell Journal.
Montaku,  S..  2011.  Results  of  Analytical  Thinking  Training  Through  Students  in    System Analysis and Design Course. Proceeding of  the IETEC’11Conference, Kuala Lumpur, Malaysia.
Mulyati,  S.  1999. Segitiga  dalam  Geometri. Malang:  Departemen  Pendidikan  dan Kebudayaan Universitas Negeri Malang.
Musser, G.L. & Burger, W.F. 1994. Mathematics for Elementary Teachers; A  Contemporary Approach, third edition . New York; Mac Millan Publishing Company, Inc. NCTM. 2000. Principles and Standards for School Mathematics . United States of America: The National Council of Teachers of Mathematics, Inc.
Orton,  A.  1992. Learning  Mathematics: Issue, Theory and Classroom Practice . London: Cassel.
Parta, I. N. 2016. Karakteristik Berpikir analitik Mahasiswa dalam Menyelesaikan “Masalah Sederhana” . Malang: Universitas Negeri Malang.
Pinto,  MMF.  1998. Students’  Understanding  of  Real  Analysis .  Unpublished  PhD  Thesis. Warwick, UK: University of Warwick.
Recio,  A.M.  &  Godino,  J.D.  2001. Institutional  and  Personal  Meanings  of  Mathematical Proof . Educational Studies in Mathematics, Volume 48: 83-99. Robbins, J. K.  2011. Problem solving, Reasoning, andAnalytical  Thinking in  a  Classroom Environmen. Jurnal  ISSN:  1555-7855  Vol.  12,  No.1,  page  40-47.  Morningside Academy and Patnerships for EducationalExcellence  and Research, International.
Ruseffendi, E.T. 1980. Pendidikan Matematika 3 . Jakarta: Depdikbud.
Shelden,  A.  J.  &  Selden.  2003.  Validation  of    Proof  Consideren  as  Texts:  Can Undergraduates  Tell  Wether  an  Argument  Proves  a  Theorem? Journal  for  Research Mathematics Education , 34(1):4-36. Stylianou, D.A., Blanton, M. L., Knuth, E. J. 2009. Teaching and Learning Proof Across the Grades. New York: Routledge.
Tall,  D.O.  2009.  Cognitive  and  Social  Development  of  Proof  Through  Embodiment, Symbolism & Formalism. Dalam Lin, Fou Lai (eds). Proceeding of The ICMI Study 19 Conference:  Proof  and  Proving  in  Math-ematics  Education,  Vol  2. Taipei:  The Department of Mathematics, National Taiwan Normal University.
Varghese,  T.  2009.  Secondary-level  Student  Teachers'  Conceptions  of  Mathematical  Proof. Issues in the undergraduate Mathematics Preparation of School Teacher : The Journal , 1: 1 - 14
Weber,  K.  2001.  Student  Difficulty  in  Constructing  Proofs:  The  Need  for  Strategic Knowledge. Educational Studies in Mathematics, Volume 48: 101-119.
Weber,  K.  2004.  A  Framework  for  Describing  the  Processes  That  Undergraduates  Use  to Construct  Proofs. Proceedings  of  the  28th  Conference  of  the  International  Group  for the Psychology of Mathematics Education, Vol 4 pp 425–432. Weber,  K.,  &  Alcock,  L.  (2004)  Semantic  and  syntactic  proof  productions. Educational Studies in Mathematics , 56, 209–234. Windsor  W.J.J.,  M.Ed.  2008. Algebraic  Thinking-  More  to  Do  with  Why,  Than  X  and  Y . Queensland: Griffith University.
Zazkis,  R., Gholamazad, S., &  Liljedahl,  P.. 2003. One  Line Proof:  What  Can Go Wrong?. Proceeding  of  the  27 th Conference  of  The  International  Group  for  the  Psychology  of Mathematics Education, 2, 437 – 444. Honolulu, HI.