Jurnal Matematika Murni dan Terapan “εpsilon” http://ppjp.ulm.ac.id/journals/index.php/epsilon p-ISSN: 1978-4422 | e-ISSN 2656-7660 Vol.14 No.1 (Juni 2020 ) Hal. 40 -52

## PENYELESAIAN MODEL TRANSPORTASI MENGGUNAKAN METODE ASM
1* Nurul Iftitah, 1 Pardi Affandi, 1 Akhmad Yusuf
1 Program Studi Matematika Fakultas MIPA Universitas Lambung Mangkurat Jl. A. Yani KM. 36, Banjarbaru 70714, Kalimantan Selatan
* Email: nuruliftitah7@gmail.com

## ABSTRACT
Transportation problem is related by goods shipments from sources (supplies) to destination (demand). the method that could be used for solving the transportation problem is to directly find the optimal solution. The direct method that used in this study id the ASM method for solving the balance transportation problem and revised ASM method for solving the unbalance transportation problem. This study aims to construct a transportation model using those methods and it solution. The method on this study is to identify the transportation model, construct the transportation model matrixes, construct an algorithm table using ASM method  and to determine the optimal solution of the transportation problem. The obtained result from this study was the model ASM method  could determine the optimum value without using initial feasible solution. On solving the unbalance transportation problem, there is  an addition of dummy cell or column step. Then reducing the cost of cell and column and change the dummy cost with the biggest cost of reduced cell or column.
Keyword: Transportation Problem, ASM Method, Optimal Solution.

## ABSTRAK
Masalah transportasi berkaitan dengan pengiriman barang dari sumber (persediaan) ke tujuan (permintaan).  Cara  yang dapat digunakan dalam  menyelesaikan masalah transportasi yaitu langsung mencari solusi optimal. Dalam penelitian ini dilakukan dengan cara langsung mencari solusi optimal dengan menggunakan metode ASM    dalam kasus penyelesaian permasalahan transportasi seimbang dan  metode  revisi  ASM dalam kasus penyelesaian permasalahan transportasi tidak seimbang. Penelitian ini bertujuan untuk membentuk model transportasi menggunakan metode ASM dan penyelesaian  model transportasi tersebut. Metode pada penelitian ini yaitu mengidentifikasi masalah transportasi, membentuk matriks masalah transportasi, menyusun tabel algoritma dengan menggunakan metode ASM serta menentukan solusi optimal masalah transportasi. Hasil yang diperoleh pada penelitian ini yaitu model metode ASM  mampu menentukan nilai optimum tanpa harus menggunakan solusi fesibel awal. Pada  masalah transportasi tidak seimbang  terdapat langkah penambahan baris atau kolom dummy . Kemudian mereduksi biaya baris atau kolom dan menganti biaya dummy dengan hasil reduksi biaya baris atau kolom yang memiliki biaya terbesar.
Kata Kunci: Masalah Transportasi, Metode ASM, Solusi Optimal.

## 1. PENDAHULUAN
Menurut  [1], masalah transportasi berkaitan dengan mengatur distribusi dari sumber-sumber yang menyedikan produk-produk yang sama di tempat-tempat yang membutuhkan secara optimal. Penyelesaian masalah transportasi diperlukan untuk meminimalkan total biaya pengiriman serta memenuhi kapasitas persediaan dan permintaan. Beberapa cara yang dapat digunakan untuk menyelesaikan masalah transportasi yaitu mencari solusi fisibel awal diantaranya North West Corner Method ,
Jurnal Matematika Murni dan Terapan “εpsilon” http://ppjp.ulm.ac.id/journals/index.php/epsilon p-ISSN: 1978-4422 | e-ISSN 2656-7660
Vol.14 No.1 (Juni 2020 ) Hal. 40 -52
Least Cost Method , dan Vogel ’ s Approximation Method . Kemudian melanjutkan dengan mencari solusi optimal dengan menggunakan Metode Batu Loncat atau Metode Modified Distribution .
Pada tahun 2012  dikenalkan metode ASM (Abdul  Quddoos, Shakeel Javaid dan M. M. Khalid)  [2]. Metode ASM merupakan salah satu metode yang dapat mencari solusi optimal tanpa harus mencari solusi fisibel awal untuk meminimumkan biaya atau memaksimumkan keuntungan. Metode ASM memiliki karakteristik yang menitikberatkan pada biaya hasil reduksi biaya  baris dan kolom yang bernilai 0. Sehingga dapat menentukan indeks yaitu banyaknya angka 0 pada baris ke- 𝑖𝑖 dan kolom ke- 𝑗𝑗 selain dari angka 0 yang terpilih. Penentuan alokasi barang dari suatu permintaan tertentu dapat dilakukan dari indeks terkecil.
Metode ASM digunakan untuk menyelesaikan masalah transportasi seimbang. Sedangkan untuk menyelesaikan masalah transportasi tidak seimbang dibutuhkan perbaikan metode yang disebut dengan metode revisi ASM [3].  Berdasarkan uraian tersebut penulis ingin mengkaji  ulang  penelitian terkait penyelesaian masalah transportasi dengan menggunakan metode ASM.

## 2. TINJAUAN PUSTAKA

## 2.1 Masalah Transportasi
Masalah transportasi berkaitan dengan proses pengiriman barang dari sumber ( supply ) ke tujuan ( demand ). Penyelesaian masalah  transportasi diperlukan untuk meminimalkan total biaya pengiriman serta memenuhi kapasitas persediaan dan permintaan [4].
Secara umum model transportasi dapat direpresentasikan pada gambar berikut [4]:
Sumber Tujuan
𝑎𝑎 1
𝐶𝐶 11 : 𝑋𝑋 11
𝑏𝑏 1 Persediaan 𝑎𝑎 2 𝑏𝑏 2 Permintaan
⋮ 𝑎𝑎 𝑚𝑚 𝐶𝐶 𝑚𝑚𝑚𝑚 : 𝑋𝑋 𝑚𝑚𝑚𝑚 . . . ⋮ 𝑏𝑏 𝑚𝑚
Gambar 2.1 Model Umum Transportasi
Gambar 2.1 menjelaskan bahwa terdapat sumber sebanyak m dan tujuan sebanyak n. Panah (m,n) menyatakan rute yang menghubungkan dari sumber (m) menuju ke tujuan (n) sehingga terdapat biaya transportasi per unit (C mn ) dan jumlah barang yang dikirim (X mn ). Jumlah persediaan pada sumber (m) adalah a m dan jumlah permintaan pada tujuan adalah b n . Tujuan model masalah transportasi adalah menentukan X mn untuk meminimalkan total biaya transportasi [5].
Menurut [5] secara matematis, masalah ini dapat dinyatakan sebagai berikut: Fungsi tujuan model transportasi ini dapat ditulis sebagai: 𝑀𝑀𝑖𝑖𝑀𝑀𝑖𝑖𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 𝑍𝑍 = ∑ ∑ 𝐶𝐶 𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑋𝑋 𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑚𝑚 𝑖𝑖=1 𝑚𝑚 𝑖𝑖=1 , dengan fungsi kendala:
∑ 𝑋𝑋 𝑖𝑖𝑖𝑖 = 𝑎𝑎 𝑖𝑖 𝑚𝑚 𝑖𝑖=1 ; 𝑖𝑖 = 1,2, … , 𝑀𝑀 dan ∑ 𝑋𝑋 𝑖𝑖𝑖𝑖 = 𝑏𝑏 𝑖𝑖 𝑚𝑚 𝑖𝑖=1 ; 𝑗𝑗 = 1,2, … , 𝑀𝑀 1 2 m 1 2 n
Jurnal Matematika Murni dan Terapan “εpsilon” http://ppjp.ulm.ac.id/journals/index.php/epsilon p-ISSN: 1978-4422 | e-ISSN 2656-7660
Vol.14 No.1 (Juni 2020 ) Hal. 40 -52
Menurut [6] masalah transportasi dibedakan menjadi 2 permasalahan:
i. Masalah transportasi seimbang
Masalah transportasi seimbang adalah jumlah sumber ( supply ) sama dengan jumlah tujuan ( demand ), secara matematis, masalah ini dapat dinyatakan sebagai berikut: ∑ 𝑎𝑎 𝑖𝑖 = ∑ 𝑏𝑏 𝑖𝑖 𝑚𝑚 𝑖𝑖=1 𝑚𝑚 𝑖𝑖=1 .
ii.      Masalah transportasi tidak seimbang
Masalah transportasi tidak seimbang adalah jumlah sumber (supply) lebih banyak atau lebih sedikit dari jumlah tujuan (demand). Secara matematis, masalah ini dapat dinyatakan sebagai berikut: ∑ 𝑎𝑎 𝑖𝑖 ≠ ∑ 𝑏𝑏 𝑖𝑖 𝑚𝑚 𝑖𝑖=1 𝑚𝑚 𝑖𝑖=1 .

## 2.2 Metode Penyelesaian Masalah Transportasi
Metode ASM merupakan metode yang langsung mencari solusi optimal tanpa harus menggunakan solusi fesibel awal. Metode ASM dapat menyelesaikan masalah transportasi seimbang dan masalah transportasi tidak seimbang.

## 3.       METODE PENELITIAN
Adapun prosedur-prosedur yang digunakan dalam penyelesaian masalah transportasi menggunakan metode ASM adalah sebagai berikut:
1. Mengidentifikasi masalah transportasi sehingga dapat menentukan fungsi tujuan, parameter, dan variabel.
2. Membentuk matriks transportasi berdasarkan informasi yang diberikan pada poin 1.
3. Menyusun tabel algoritma transportasi dengan menggunakan langkah-langkah metode ASM [2] dan metode revisi ASM [3].
4. Menentukan solusi optimal (total biaya minimum).

## 4.       HASIL DAN PEMBAHASAN

## 4.1 Membentuk Model Permasalahan Transportasi
Diberikan fungsi kendala pada masalah transportasi seimbang:
𝑋𝑋 11 + 𝑋𝑋 12 + ⋯ + 𝑋𝑋 1𝑚𝑚 ≤ 𝑎𝑎 1 𝑋𝑋 21 + 𝑋𝑋 22 + ⋯ + 𝑋𝑋 2𝑚𝑚 ≤ 𝑎𝑎 2 𝑋𝑋 𝑚𝑚1 + 𝑋𝑋 𝑚𝑚2 + ⋯ + 𝑋𝑋 𝑚𝑚𝑚𝑚 ≤ 𝑎𝑎 𝑚𝑚 𝑋𝑋 11 + 𝑋𝑋 21 + ⋯ + 𝑋𝑋 𝑚𝑚1 = 𝑏𝑏 1 𝑋𝑋 12 + 𝑋𝑋 22 + ⋯ + 𝑋𝑋 𝑚𝑚2 = 𝑏𝑏 2 𝑋𝑋 1𝑚𝑚 + 𝑋𝑋 2𝑚𝑚 + ⋯ + 𝑀𝑀𝑀𝑀 = 𝑏𝑏 𝑚𝑚 dengan batasan positif 𝑋𝑋 𝑖𝑖𝑖𝑖 ≥ 0, 𝑎𝑎 𝑖𝑖 ≥ 0 dan 𝑏𝑏 𝑖𝑖 ≥ 0 .
Adapun model transportasi di atas dapat dijelaskan sebagai berikut:
1. 𝑍𝑍 = Total biaya pengangkutan pengiriman barang yang akan diminimumkan.
2. Persediaan 𝑎𝑎 𝑖𝑖 , ( 𝑖𝑖 = 1,2,3, … , 𝑀𝑀 ) , didefinisikan sebagai berikut 𝑎𝑎 1 = Persediaan ke-1 ⋮ 𝑎𝑎 𝑚𝑚 = Persediaan ke-m Permintaan 𝑏𝑏 𝑖𝑖 , ( 𝑗𝑗 = 1,2,3, … , 𝑀𝑀 ) , didefinisikan sebagai berikut
Jurnal Matematika Murni dan Terapan “εpsilon” http://ppjp.ulm.ac.id/journals/index.php/epsilon p-ISSN: 1978-4422 | e-ISSN 2656-7660
Vol.14 No.1 (Juni 2020 ) Hal. 40 -52 𝑏𝑏 1 = Permintaan ke-1
⋮ 𝑏𝑏 𝑚𝑚 = Permintaan ke-n
3. Besar kapasitas pengiriman barang dari sumber persediaan (supply) 𝑎𝑎 𝑖𝑖 ke tujuan permintaan (demand) 𝑏𝑏 𝑖𝑖 , didefinisikan sebagai berikut: a. 𝑋𝑋 11 = besar kapasitas pengiriman dari sumber 1 ke tujuan 1
⋮ c. 𝑋𝑋 1𝑚𝑚 = besar kapasitas pengiriman dari sumber 1 ke tujuan ke-n ⋮ i. 𝑋𝑋 𝑚𝑚𝑚𝑚 = besar kapasitas pengiriman dari sumber ke-m ke tujuan ke-n
4. Biaya pengiriman dari sumber persediaan (supply) 𝑎𝑎 𝑖𝑖 ke tujuan permintaan (demand) 𝑏𝑏 𝑖𝑖 , didefinisikan sebagai berikut:
a. 𝐶𝐶 11 = besar biaya pengiriman dari sumber 1 ke tujuan 1
⋮ c. 𝐶𝐶 1𝑚𝑚 = besar biaya pengiriman dari sumber 1 ke tujuan ke-n ⋮ i. 𝐶𝐶 𝑚𝑚𝑚𝑚 = besar biaya pengiriman dari sumber ke-m ke tujuan ke-n
5. Jenis sel dari sumber persediaan (supply) 𝑎𝑎 𝑖𝑖 ke tujuan permintaan (demand) 𝑏𝑏 𝑖𝑖 , didefinisikan sebagai berikut:
a. Sel 11 = jenis sel  dari sumber 1 ke tujuan 1
b.
Sel 12 = jenis sel  dari sumber 1 ke tujuan 2
⋮ n.          Sel mn = jenis sel  dari sumber ke-m ke tujuan ke-n

## 4.2 Langkah-Langkah Penyelesaian Permasalahan Transportasi

## Masalah Transportasi Seimbang Menggunakan Metode ASM
Permasalahan transportasi seimbang menggunakan metode ASM sebagai berikut:

## Langkah 1
Membentuk tabel transportasi dari permasalahan transportasi yang diberikan. Terbentuk Tabel 4.6 sebagai berikut:
Tabel 1. Permasalahan Transportasi Seimbang Sumber (i) Tujuan (j)
Persediaan (a i ) 1 2 … T 1
X 11 X 12 … X 1n 𝑎𝑎 1
2
X 21 X 22 … X 2n 𝑎𝑎 2
⋮
… ⋮ P X m1 X m2 … X mn 𝑎𝑎 𝑚𝑚 Permintaan (b j ) 𝑏𝑏 1 𝑏𝑏 2 … 𝑏𝑏 𝑚𝑚 � 𝑎𝑎 𝑖𝑖 = � 𝑏𝑏 𝑖𝑖
Langkah 2
C 12 C 1 n C m1 C m2
C mn C 21 C 22 C 2 n C 11
Jurnal Matematika Murni dan Terapan “εpsilon” http://ppjp.ulm.ac.id/journals/index.php/epsilon p-ISSN: 1978-4422 | e-ISSN 2656-7660
Vol.14 No.1 (Juni 2020 ) Hal. 40 -52
Mengurangi setiap entri baris pada tabel transportasi dengan biaya terkecil dari entri masing-masing baris. Andaikan biaya terkecil pada: baris 1=C 11 , baris 2=C 22 , baris m=C mn . Maka terbentuk Tabel 2 sebagai berikut:
Tabel 2. Hasil Reduksi Biaya Baris Sumber (i) Tujuan (j) Persediaan (a i ) 1 2 … T 1 X 11 X 12 … X 1n 𝑎𝑎 1 2 X 21 X 22 … X 2n 𝑎𝑎 2 ⋮ … ⋮ P X m1 X m2 … X mn 𝑎𝑎 𝑚𝑚 Permintaan (b j ) 𝑏𝑏 1 𝑏𝑏 2 … 𝑏𝑏 𝑚𝑚 � 𝑎𝑎 𝑖𝑖 = � 𝑏𝑏 𝑖𝑖
Dan  mengurangi setiap entri kolom pada tabel transportasi dengan biaya terkecil dari entri masing-masing kolom.
Andaikan biaya terkecil pada: kolom 1=C 11 , kolom 2=C 22 , kolom n=C mn . Maka terbentuk Tabel 3 sebagai berikut:
Tabel 3 Hasil Reduksi Biaya Kolom
Sumber (i) Tujuan (j) Persediaan (a i ) 1 2 … T 1 X 11 X 12
… X 1n 𝑎𝑎 1 2 X 21 X 22 … X 2n 𝑎𝑎 2 ⋮ … ⋮ P X m1 X m2 … X mn 𝑎𝑎 𝑚𝑚 Permintaan (b j ) 𝑏𝑏 1 𝑏𝑏 2 … 𝑏𝑏 𝑚𝑚 � 𝑎𝑎 𝑖𝑖 = � 𝑏𝑏 𝑖𝑖

## Langkah 3
Melakukan pemeriksaan pada tabel transportasi, paling tidak terdapat sebuah 0 di setiap baris dan di setiap kolom. Memilih angka 0 pertama pada baris. Kemudian menghitung jumlah total angka 0 untuk setiap sel 𝑖𝑖𝑗𝑗 . Menghitung banyaknya angka 0 pada baris ke- 𝑖𝑖 dan kolom ke- 𝑗𝑗 dan tidak termasuk angka 0 yang terpilih pada sel 𝑖𝑖𝑗𝑗 . Karena dari hasil reduksi baris dan kolom biaya terkecil terletak pada: baris 1=C 11 , baris 2=C 22 , baris m=C mn dan kolom 1=C 11 , kolom 2=C 22 , kolom n=C mn . Sehingga Sel 11, 22 , dan mn bernilai 0. Andaikan beberapa sel lainnya seperti C 2n dan C m1 memiliki hasil reduksi baris dan kolom sama dengan 0. Sehingga terbentuk Tabel 3 sebagai berikut:
C 12 * - C 22 * C 1n * - C mn * C 12 * - C 11 * C 22 * - C 22 * C 2n * - C mn * C 11 * - C 11 * C m1 * - C 11 * C m2 * - C 22 * C mn * - C mn * C 12 - C 11 = C 12 * C 1n - C 11 = C 1n * C 21 -C 22 = C 21 * C 22 -C 22 = C 22 * C 2n -C 22 = C 2n * C 11 - C 11 = C 11 * C m1 -C mn = C m1 * C m2 -C mn = C m2 * C mn -C mn = C mn *
Jurnal Matematika Murni dan Terapan “εpsilon” http://ppjp.ulm.ac.id/journals/index.php/epsilon p-ISSN: 1978-4422 | e-ISSN 2656-7660
Vol.14 No.1 (Juni 2020 ) Hal. 40 -52
Tabel 3. Menentukan Indeks
Sumber (i) Tujuan (j) Persediaan (a i ) 1 2 … T 1 X 11 X 12 … X 1n 𝑎𝑎 1 2 X 21 X 22
… X 2n 𝑎𝑎 2 ⋮ … ⋮ P X m1 X m2 … X mn 𝑎𝑎 𝑚𝑚 Permintaan (b j ) 𝑏𝑏 1 𝑏𝑏 2 … 𝑏𝑏 𝑚𝑚 � 𝑎𝑎 𝑖𝑖 = � 𝑏𝑏 𝑖𝑖
Sehingga terpenuhi bahwa setiap baris dan kolom memiliki paling tidak sebuah 0.

## Langkah 4
Memilih angka 0 dengan jumlah total angka 0 terkecil dan mengalokasikan sel dengan jumlah terbesar pada sel tersebut disesuaikan dengan batasan persediaan dan permintaan. Jika terdapat jumlah total angka 0 terkecil yang sama, maka menghitung masing-masing jumlah semua elemen pada baris ke- 𝑖𝑖 dan kolom ke- 𝑗𝑗 dari sel 𝑖𝑖𝑗𝑗 yang bersangkutan dan mengalokasikan sebesar mungkin pada sel dengan hasil penjumlahan terbesar.
Karena jumlah angka 0 terkecil terdapat pada sel 11 dan 22, maka menghitung masing-masing jumlah semua elemen baris ke- 𝑖𝑖 dan kolom ke- 𝑗𝑗 dari sel 11 dan 22. Misalkan sel 11 memiliki jumlah terbesar, maka pengalokasian barang pertama diletakkan pada sel C 11 pada 𝑋𝑋 11 . Terbentuk Tabel 4 sebagai berikut:
Tabel 4 Mengalokasikan Barang ke Indeks Terkecil
Sumber (i)
Tujuan (j)
Persediaan (a i ) 1 2 … T
1 X 11 X 12 … X 1n 𝑎𝑎 1 2 X 21 X 22 … X 2n 𝑎𝑎 2
⋮
… ⋮ P X m1 X m2 … X mn 𝑎𝑎 𝑚𝑚 Permintaan (b j ) 𝑏𝑏 1 𝑏𝑏 2 … 𝑏𝑏 𝑚𝑚 � 𝑎𝑎 𝑖𝑖 = � 𝑏𝑏 𝑖𝑖

## Langkah 5
Setelah langkah 4, menghapus baris atau kolom dimana persediaan dari sumber kosong atau permintaan dari tujuan terpenuhi. Misalnya Permintaan dari sel 11 pada 𝑋𝑋 11 dimana permintaan dari tujuan terpenuhi maka menghapus kolom 1, dimana jumlah pengalokasian pada 𝑋𝑋 11 = 𝑏𝑏 1 . Maka terbentuk Tabel 4.11 dan Tabel 5 sebagai berikut:
C 12 C 1 n
0 2 C m2
0 2 C 21 0 1 0 2 0 1 C 12 C 1 n C m1 C m2
C mn
C 21 C 22 C 2 n C 11
Jurnal Matematika Murni dan Terapan “εpsilon” http://ppjp.ulm.ac.id/journals/index.php/epsilon p-ISSN: 1978-4422 | e-ISSN 2656-7660
Vol.14 No.1 (Juni 2020 ) Hal. 40 -52
Tabel 5. Menghapus Kolom yang Permintaannya Telah Terpenuhi
Sumber (i) Tujuan (j) Persediaan (a i ) 1 2 … T 1 X 11 X 12 … X 1n 𝑎𝑎 1 2 X 21 X 22
… X 2n 𝑎𝑎 2 ⋮ … ⋮ P X m1 X m2 … X mn 𝑎𝑎 𝑚𝑚 Permintaan (b j ) 𝑏𝑏 1 𝑏𝑏 2 … 𝑏𝑏 𝑚𝑚 � 𝑎𝑎 𝑖𝑖 = � 𝑏𝑏 𝑖𝑖 Tabel 6 Menghapus Baris yang Persediaannya Telah Habis Sumber (i) Tujuan (j) Persediaan (a i ) 1 2 …
T 1 X 11 X 12 … X 1n 𝑎𝑎 1 2 X 21 X 22 … X 2n 𝑎𝑎 2
⋮ … ⋮ P X m1 X m2 … X mn 𝑎𝑎 𝑚𝑚 Permintaan (b j ) 𝑏𝑏 1 𝑏𝑏 2 … 𝑏𝑏 𝑚𝑚 � 𝑎𝑎 𝑖𝑖 = � 𝑏𝑏 𝑖𝑖

## Langkah 6
Mengecek tabel transportasi baru apakah memiliki 0 pada setiap baris dan kolom. Jika tidak, mengulang langkah 2, begitu sebaliknya, jika masih memiliki 0 pada setiap baris dan kolom maka lanjut ke langkah 7.

## Langkah 7
Mengulangi langkah 3 sampai langkah 6 hingga semua permintaan terpenuhi dan persediaan habis.

## 4.3 Ilustrasi Numerik
Diberikan ilustrasi numerik melaui contoh permasalahan transportasi seimbang (Quddoos et al , 2012) berikut ini.
Diketahui dari permasalahan transportasi terdapat 3 sumber ( 𝑃𝑃 𝑖𝑖 )  dan 4 tujuan ( 𝑇𝑇 𝑖𝑖 ). Permasalahan transportasi yang diketahui  biaya pengiriman, total persediaan  dan total permintaan. Maka tujuannya adalah memilih nilai dari ke 12 variabel keputusan �𝑋𝑋 𝑖𝑖𝑖𝑖 � yang dapat diformulasikan sebagai berikut:
1) Fungsi Tujuan
C 12 C 1 n
C m1 C m2
C mn C 21 C 22
C 2 n C 11 C 12 C 1 n
C m1 C m2
C mn
C 21 C 22 C 2 n C 11
Jurnal Matematika Murni dan Terapan “εpsilon” http://ppjp.ulm.ac.id/journals/index.php/epsilon p-ISSN: 1978-4422 | e-ISSN 2656-7660
Vol.14 No.1 (Juni 2020 ) Hal. 40 -52
Dalam permasalahan transportasi, fungsi tujuan dilambangkan dengan 𝑍𝑍 . Adapun 𝑍𝑍 adalah total dari biaya pengiriman dari 3 sumber sebagai persediaan ke 4 tujuan permintaan, dengan tujuan meminimumkan nilai 𝑍𝑍 . Sehingga diperoleh fungsi tujuan sebagai berikut: 𝑀𝑀𝑖𝑖𝑀𝑀𝑖𝑖𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 𝑍𝑍 = ∑ ∑ 𝐶𝐶 𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑋𝑋 𝑖𝑖𝑖𝑖 4 𝑖𝑖=1 , 𝑖𝑖 = 1,2,3 𝑑𝑑𝑎𝑎𝑀𝑀 𝑗𝑗 = 1,2,3 3 𝑖𝑖=1 , 4
2) Fungsi Kendala
Adapun fungsi kendala pada kasus ini adalah sebagai berikut:
𝑋𝑋 11 + 𝑋𝑋 12 + 𝑋𝑋 13 + 𝑋𝑋 14 = 8 𝑋𝑋 21 + 𝑋𝑋 22 + 𝑋𝑋 23 + 𝑋𝑋 24 = 10 𝑋𝑋 31 + 𝑋𝑋 32 + 𝑋𝑋 33 + 𝑋𝑋 34 = 11 𝑋𝑋 11 + 𝑋𝑋 21 + 𝑋𝑋 31 = 4 𝑋𝑋 12 + 𝑋𝑋 22 + 𝑋𝑋 32 = 7 𝑋𝑋 13 + 𝑋𝑋 23 + 𝑋𝑋 33 = 6 𝑋𝑋 14 + 𝑋𝑋 24 + 𝑋𝑋 34 = 12
Dengan demikian dari fungsi kendala dapat kita ketahui bahwa:
∑ 𝑎𝑎 𝑖𝑖 = ∑ 𝑏𝑏 𝑖𝑖 4 𝑖𝑖=1 3 𝑖𝑖=1 ; 𝑥𝑥 𝑖𝑖𝑖𝑖 ≥ 0, 𝑖𝑖 = 1,2,3; 𝑗𝑗 = 1,2,3,4
Dimana batasan positif 𝑋𝑋 𝑖𝑖𝑖𝑖 ≥ 0, 𝑎𝑎 𝑖𝑖 ≥ 0 dan 𝑏𝑏 𝑖𝑖 ≥ 0 .
Adapun model transportasi di atas dapat dijelaskan sebagai berikut: 1. 𝑍𝑍 = Total seluruh biaya pengalokasian yang akan diminimumkan.  Jumlah persediaan dari pabrik pengalengan masing-masing sebagai berikut:
a. Sumber 𝑃𝑃 1 : 8
b. Sumber 𝑃𝑃 2 : 10
c. Sumber 𝑃𝑃 3 : 11
2. Jumlah permintaan masing-masing adalah sebagai berikut:
a. Permintaan 𝑇𝑇 1 : 4
b. Permintaan 𝑇𝑇 2 : 7
c. Permintaan 𝑇𝑇 3 : 6
d. Permintaan 𝑇𝑇 4 : 12
3. Besar kapasitas pengiriman dari sumber persediaan 𝑎𝑎 𝑖𝑖 ke tujuan permintaan 𝑏𝑏 𝑖𝑖 , didefinisikan sebagai berikut:
a. 𝑋𝑋 11 = besar kapasitas pengiriman dari sumber 𝑃𝑃 1 ke permintaan 𝑇𝑇 1 b. 𝑋𝑋 12 = besar kapasitas pengiriman dari sumber 𝑃𝑃 1 ke permintaan 𝑇𝑇 2 c. 𝑋𝑋 13 = besar kapasitas pengiriman dari sumber 𝑃𝑃 1 ke permintaan 𝑇𝑇 3
d. 𝑋𝑋 14 = besar kapasitas pengiriman dari sumber 𝑃𝑃 1 ke permintaan 𝑇𝑇 4
e. 𝑋𝑋 21 = besar kapasitas pengiriman dari sumber 𝑃𝑃 2 ke permintaan 𝑇𝑇 1
f. 𝑋𝑋 22 = besar kapasitas pengiriman dari sumber 𝑃𝑃 2 ke permintaan 𝑇𝑇 2
g. 𝑋𝑋 23 = besar kapasitas pengiriman dari sumber 𝑃𝑃 2 ke permintaan 𝑇𝑇 3
h. 𝑋𝑋 24 = besar kapasitas pengiriman dari sumber 𝑃𝑃 2 ke permintaan 𝑇𝑇 4 i. 𝑋𝑋 31 = besar kapasitas pengiriman dari sumber 𝑃𝑃 3 ke permintaan 𝑇𝑇 1 j. 𝑋𝑋 32 = besar kapasitas pengiriman dari sumber 𝑃𝑃 3 ke permintaan 𝑇𝑇 2 k. 𝑋𝑋 33 = besar kapasitas pengiriman dari sumber 𝑃𝑃 3 ke permintaan 𝑇𝑇 3 l. 𝑋𝑋 34 = besar kapasitas pengiriman dari sumber 𝑃𝑃 3 ke permintaan 𝑇𝑇 4 4. Adapun biaya angkut pengiriman dari sumber persediaan 𝑎𝑎 𝑖𝑖 ke tujuan permintaan 𝑏𝑏 𝑖𝑖 , didefinisikan sebagai berikut:
a. 𝐶𝐶 11 = besar biaya pengiriman dari sumber 𝑃𝑃 1 ke permintaan 𝑇𝑇 1
Jurnal Matematika Murni dan Terapan “εpsilon” http://ppjp.ulm.ac.id/journals/index.php/epsilon p-ISSN: 1978-4422 | e-ISSN 2656-7660
Vol.14 No.1 (Juni 2020 ) Hal. 40 -52
b. 𝐶𝐶 12 = besar biaya pengiriman dari sumber 𝑃𝑃 1 ke permintaan 𝑇𝑇 2 c. 𝐶𝐶 13 = besar biaya pengiriman dari sumber 𝑃𝑃 1 ke permintaan 𝑇𝑇 3 d. 𝐶𝐶 14 = besar biaya pengiriman dari sumber 𝑃𝑃 1 ke permintaan 𝑇𝑇 4 e. 𝐶𝐶 21 = besar biaya pengiriman dari sumber 𝑃𝑃 2 ke permintaan 𝑇𝑇 1 f. 𝐶𝐶 22 = besar biaya pengiriman dari sumber 𝑃𝑃 2 ke permintaan 𝑇𝑇 2 g. 𝐶𝐶 23 = besar biaya pengiriman dari sumber 𝑃𝑃 2 ke permintaan 𝑇𝑇 3 h. 𝐶𝐶 24 = besar biaya pengiriman dari sumber 𝑃𝑃 2 ke permintaan 𝑇𝑇 4 i. 𝐶𝐶 31 = besar biaya pengiriman dari sumber 𝑃𝑃 3 ke permintaan 𝑇𝑇 1 j. 𝐶𝐶 32 = besar biaya pengiriman dari sumber 𝑃𝑃 3 ke permintaan 𝑇𝑇 2 k. 𝐶𝐶 33 = besar biaya pengiriman dari sumber 𝑃𝑃 3 ke permintaan 𝑇𝑇 3 l. 𝐶𝐶 34 = besar biaya pengiriman dari sumber 𝑃𝑃 3 ke permintaan 𝑇𝑇 4
5. Jenis sel dari sumber persediaan (supply) 𝑎𝑎 𝑖𝑖 ke tujuan permintaan (demand) 𝑏𝑏 𝑖𝑖 , didefinisikan sebagai berikut:
a. Sel 11 = jenis sel  dari sumber 𝑃𝑃 1 ke permintaan 𝑇𝑇 1 b. Sel 12 = jenis sel  dari sumber 𝑃𝑃 1 ke permintaan 𝑇𝑇 2 c. Sel 13 = jenis sel  dari sumber 𝑃𝑃 1 ke permintaan 𝑇𝑇 3 d. Sel 14 = jenis sel  dari sumber 𝑃𝑃 1 ke permintaan 𝑇𝑇 4 e. Sel 21 = jenis sel  dari sumber 𝑃𝑃 2 ke permintaan 𝑇𝑇 1 f. Sel 22 = jenis sel  dari sumber 𝑃𝑃 2 ke permintaan 𝑇𝑇 2 g. Sel 23 = jenis sel  dari sumber 𝑃𝑃 2 ke permintaan 𝑇𝑇 3 h. Sel 24 = jenis sel  dari sumber 𝑃𝑃 2 ke permintaan 𝑇𝑇 4 i. Sel 31 = jenis sel  dari sumber 𝑃𝑃 3 ke permintaan 𝑇𝑇 1 j. Sel 32 = jenis sel  dari sumber 𝑃𝑃 3 ke permintaan 𝑇𝑇 2 k. Sel 33 = jenis sel  dari sumber 𝑃𝑃 3 ke permintaan 𝑇𝑇 3 l. Sel 34 = jenis sel  dari sumber 𝑃𝑃 3 ke permintaan 𝑇𝑇 4

## Langkah 1
Tabel 7. Tabel Awal Permasalahan Transportasi
Sumber (i)
Tujuan (j)
Persediaan (a i ) 𝑇𝑇 1 𝑇𝑇 2
𝑇𝑇 3 𝑇𝑇 4 𝑃𝑃 1 8 𝑃𝑃 2 10 𝑃𝑃 3 11 Permintaan (b j ) 4 7 6 12 29

## Langkah 2
Mengurangi setiap entri baris pada tabel transportasi dengan biaya terkecil dari entri masing-masing baris.
Pada baris ke-1 ( 𝑃𝑃 1 ) biaya terkecil terletak pada 𝐶𝐶 14 = 8, sehingga: Biaya sel 11 = 𝐶𝐶 11 − 𝐶𝐶 14 = 13 − 8 = 5
Biaya sel 12 = 𝐶𝐶 12 − 𝐶𝐶 14 = 18 − 8 = 10 Biaya sel 13 = 𝐶𝐶 13 − 𝐶𝐶 14 = 30 − 8 = 22
Biaya sel 14 = 𝐶𝐶 14 − 𝐶𝐶 14 = 8 − 8 = 0
Pada baris ke-2 ( 𝑃𝑃 2 ) biaya terkecil terletak pada 𝐶𝐶 22 = 20, sehingga: 18 30 8 30 6 50 10 55 20 25 40 13
Jurnal Matematika Murni dan Terapan “εpsilon” http://ppjp.ulm.ac.id/journals/index.php/epsilon p-ISSN: 1978-4422 | e-ISSN 2656-7660
Vol.14 No.1 (Juni 2020 ) Hal. 40 -52 Biaya sel 21 = 𝐶𝐶 21 − 𝐶𝐶 22 = 55 − 20 = 35 Biaya sel 22 = 𝐶𝐶 22 − 𝐶𝐶 22 = 20 − 20 = 0
Biaya sel 23 = 𝐶𝐶 23 − 𝐶𝐶 22 = 25 − 20 = 5 Biaya sel 24 = 𝐶𝐶 24 − 𝐶𝐶 22 = 40 − 20 = 20
Pada baris ke-3 ( 𝑃𝑃 3 ) biaya terkecil terletak pada 𝐶𝐶 32 = 6, sehingga: Biaya sel 31 = 𝐶𝐶 31 − 𝐶𝐶 32 = 30 − 6 = 24 Biaya sel 32 = 𝐶𝐶 32 − 𝐶𝐶 32 = 6 − 6 = 0 Biaya sel 33 = 𝐶𝐶 33 − 𝐶𝐶 32 = 50 − 6 = 44 Biaya sel 34 = 𝐶𝐶 34 − 𝐶𝐶 32 = 10 − 6 = 4
Dari hasil reduksi di atas terbentuk Tabel 8 sebagai berikut:
Tabel 8. Hasil Reduksi Biaya Baris
Sumber (i) Tujuan (j) Persediaan (a i ) 𝑇𝑇 1
𝑇𝑇 2 𝑇𝑇 3 𝑇𝑇 4 𝑃𝑃 1 8 𝑃𝑃 2 10 𝑃𝑃 3 11 Permintaan (b j ) 4 7 6 12 29
Mengurangi setiap entri kolom pada tabel transportasi dengan biaya terkecil dari entri masing-masing kolom.
Pada kolom ke-1 ( 𝑇𝑇 1 ) biaya terkecil terletak pada 𝐶𝐶 11 = 5, sehingga: Biaya sel 11 = 𝐶𝐶 11 − 𝐶𝐶 11 = 5 − 5 = 0 Biaya sel 21 = 𝐶𝐶 21 − 𝐶𝐶 11 = 35 − 5 = 30
Biaya sel 31 = 𝐶𝐶 31 − 𝐶𝐶 11 = 24 − 5 = 19
Pada kolom ke-2 ( 𝑇𝑇 2 ) biaya terkecil terletak pada 𝐶𝐶 22 = 𝐶𝐶 32 = 0, sehingga: Biaya sel 12 = 𝐶𝐶 12 − 𝐶𝐶 22 = 10 − 0 = 10 Biaya sel 22 = 𝐶𝐶 22 − 𝐶𝐶 22 = 0 − 0 = 0
Biaya sel 32 = 𝐶𝐶 32 − 𝐶𝐶 22 = 0 − 0 = 0
Pada kolom ke-3 ( 𝑇𝑇 3 ) biaya terkecil terletak pada 𝐶𝐶 23 = 5, sehingga: Biaya sel 13 = 𝐶𝐶 13 − 𝐶𝐶 23 = 22 − 5 = 17 Biaya sel 23 = 𝐶𝐶 23 − 𝐶𝐶 23 = 5 − 5 = 0
Biaya sel 33 = 𝐶𝐶 33 − 𝐶𝐶 23 = 44 − 5 = 39
Pada kolom ke-4 ( 𝑇𝑇 4 ) biaya terkecil terletak pada 𝐶𝐶 14 = 0, sehingga: Biaya sel 14 = 𝐶𝐶 14 − 𝐶𝐶 14 = 0 − 0 = 0
Biaya sel 24 = 𝐶𝐶 24 − 𝐶𝐶 14 = 20 − 0 = 20
Biaya sel 34 = 𝐶𝐶 34 − 𝐶𝐶 14 = 4 − 0 = 4
Dari hasil reduksi di atas terbentuk Tabel 9 sebagai berikut:
10 22 0 24 0 44 4 35 0 5 20 13
Jurnal Matematika Murni dan Terapan “εpsilon” http://ppjp.ulm.ac.id/journals/index.php/epsilon p-ISSN: 1978-4422 | e-ISSN 2656-7660
Vol.14 No.1 (Juni 2020 ) Hal. 40 -52
Tabel 9. Hasil Reduksi Biaya Kolom
Sumber (i) Tujuan (j) Persediaan (a i ) 𝑇𝑇 1 𝑇𝑇 2 𝑇𝑇 3 𝑇𝑇 4 𝑃𝑃 1 8 𝑃𝑃 2 10 𝑃𝑃 3 11 Permintaan (b j ) 4 7 6 12 29

## Langkah 3
Melakukan pemeriksaan pada tabel transportasi, paling tidak terdapat sebuah 0 di setiap baris dan di setiap kolom. Memilih angka 0 pertama pada baris. Kemudian menghitung jumlah total angka 0 untuk setiap sel 𝑖𝑖𝑗𝑗 . Menghitung banyaknya angka 0 pada baris ke- 𝑖𝑖 dan kolom ke- 𝑗𝑗 dan tidak termasuk angka 0 yang terpilih pada sel 𝑖𝑖𝑗𝑗 .
Terbentuk Tabel 10 sebagai berikut:
Tabel 10. Menentukan Indeks
Sumber (i) Tujuan (j) Persediaan (a i ) 𝑇𝑇 1 𝑇𝑇 2
𝑇𝑇 3 𝑇𝑇 4 𝑃𝑃 1 8 𝑃𝑃 2 10 𝑃𝑃 3 11 Permintaan (b j ) 4 7 6 12 29

## Langkah 4
Memilih angka 0 dengan jumlah total angka 0 terkecil dan mengalokasikan sel dengan jumlah terbesar pada sel tersebut disesuaikan dengan batasan persediaan dan permintaan. Jika terdapat jumlah total angka 0 terkecil yang sama, maka menghitung masing-masing jumlah semua elemen pada baris ke- 𝑖𝑖 dan kolom ke- 𝑗𝑗 dari sel 𝑖𝑖𝑗𝑗 yang bersangkutan dan mengalokasikan sebesar mungkin pada sel dengan hasil penjumlahan terbesar.
Karena jumlah indeks 0 terkecil adalah bernilai 1 dan berada dibeberapa sel yaitu sel 11, 14, 23 dan 32. Sehingga untuk memilih tempat pengalokasian barang distribusi yaitu menghitung masing-masing jumlah elemen pada baris ke- 𝑖𝑖 dan kolom ke- 𝑗𝑗 dari setiap sel 𝑖𝑖𝑗𝑗 tersebut. Total biaya sel 11 = 10 + 17 + 0 + 30 + 19 = 76 Total biaya sel 14 = 0 + 10 + 17 + 20 + 4 = 51 Total biaya sel 23 = 30 + 0 + 20 + 17 + 39 = 106 Total biaya sel 32 = 19 + 39 + 4 + 10 + 0 = 72 Karena hasil  jumlah elemen tertinggi pada baris ke- 𝑖𝑖 dan kolom ke- 𝑗𝑗 berada di sel 23 yaitu 106, sehingga pengalokasian barang distribusi dialokasikan pada sel tersebut.
10 17 0 19 0 39 4 30 0 0 20 0 10 17 0 1 19 0 1 39 4 30 0 2 0 1 20 0 1
Jurnal Matematika Murni dan Terapan “εpsilon” http://ppjp.ulm.ac.id/journals/index.php/epsilon p-ISSN: 1978-4422 | e-ISSN 2656-7660
Vol.14 No.1 (Juni 2020 ) Hal. 40 -52
Terbentuk Tabel 11 sebagai berikut:
Tabel 11. Mengalokasikan Barang (1)
Sumber (i) Tujuan (j) Persediaan (a i ) 𝑇𝑇 1 𝑇𝑇 2 𝑇𝑇 3 𝑇𝑇 4 𝑃𝑃 1 0 8 𝑃𝑃 2 6 4
𝑃𝑃 3 0 11 Permintaan (b j ) 4 7 0 12 29

## Langkah 5
Setelah langkah 4, mengabaikan baris atau kolom yang permintaan atau persediannya telah terpenuhi. Terbentuk Tabel 12 sebagai berikut:
Tabel 12. Menghapus Kolom T 3 Sumber (i) Tujuan (j) Persediaan (a i ) 𝑇𝑇 1 𝑇𝑇 2
𝑇𝑇 3 𝑇𝑇 4 𝑃𝑃 1 0 8 𝑃𝑃 2 6 4 𝑃𝑃 3 0 11 Permintaan (b j ) 4 7 0 12 29

## Langkah 6
Mengecek tabel transportasi baru apakah memiliki 0 pada setiap baris dan kolom. Jika tidak, mengulang langkah 2, begitu sebaliknya, jika masih memiliki 0 pada setiap baris dan kolom maka lanjut ke langkah 7.

## Langkah 7
Mengulangi langkah 3 sampai langkah 6 hingga semua permintaan terpenuhi dan persediaan habis.
Didapatkan hasil pengerjaan seperti yang tertera dalam Tabel 13 sebagai berikut:
Tabel 13 Menghapus Baris P 1 , Baris P 3 dan Kolom T 4
Sumber (i) Tujuan (j) Persediaan (a i )
𝑇𝑇 1
𝑇𝑇 2 𝑇𝑇 3 𝑇𝑇 4 𝑃𝑃 1 4 0 0 4
0 𝑃𝑃 2 0 4 6
0 0 𝑃𝑃 3 0 3 0 8
0 Permintaan (b j ) 0 0 0 0 29 18 30 8 30 6 50 10 55 20 25 40 13 18 30 8 30 6 50 10 55 20 25 40 13 18 30 8 30 6 50 10 55 20 25 40 13
Jurnal Matematika Murni dan Terapan “εpsilon” http://ppjp.ulm.ac.id/journals/index.php/epsilon p-ISSN: 1978-4422 | e-ISSN 2656-7660
Vol.14 No.1 (Juni 2020 ) Hal. 40 -52
Karena tempat pengalokasian sudah terisi semua, sehingga dari Tabel 4.56 dapat kita hitung biaya minimal sebagai berikut:
Min Z = C 11 X 11 + C 14 X 14 + C 22 X 22 + C 23 X 23 + C 32 X 32 + C 34 X 34
= 13(4) + 8(4) + 20(4) + 25(6) + 6(3) + 10(8)= 412 satuan Jadi biaya minimum yang diperoleh adalah 412 satuan.

## 5.      KESIMPULAN
Metode ASM dan metode revisi ASM dapat digunakan untuk mencari solusi optimal tanpa harus mencari solusi fisibel awal pada masalah transportasi seimbang dan tidak seimbang dengan tujuan untuk meminimumkan biaya atau memaksimumkan keuntungan. Metode ASM memiliki karakteristik yang menitikberatkan pada biaya hasil reduksi baris dan kolom yang bernilai 0, sehingga dapat menentukan indeks yaitu banyaknya angka 0 pada baris ke- 𝑖𝑖 dan kolom ke- 𝑗𝑗 selain dari angka 0 yang terpilih. Adapun penentuan alokasi barang dari suatu permintaan dilakukan dari indeks terkecil.
Metode revisi ASM dapat digunakan untuk menentukan solusi optimal dari masalah transportasi tidak seimbang dengan menambahkan baris atau kolom dummy dimana biaya pada baris atau kolom dummy tersebut bernilai 0. Kemudian mereduksi biaya baris atau kolom dan mengubah biaya dummy dengan hasil biaya terbesar dari reduksi baris atau kolom tersebut.

## 6.      REFERENSI
[1] Affandi, P. 2019. Buku Ajar Riset Operasi . Edisi Pertama. Purwokerto, Indonesia.
[2] Quddoos, A., S. Javaid, & M. M. Khalid. 2012. A New Method for Finding an Optimal Solution for Transportation Problems. International Journal on Computer Science and Engineering. Vol. 4(7): 1271-1274.
[3] Quddoos, A., S. Javaid, & M. M. Khalid. 2016. A Revised Version Of ASM- Method For Solving Transportation Problem. International Journal Agriculture, Statistics, Science . Vol. 12(1):267–272.
[4] Taha, H.  A. 2007. Operation Research  An Introduction . Edisi ke- 8. Upper Saddle River, New Jersey.
[5] Sharma, G., S. H. Abbas, & V. K. Gupta. 2012. Optimum  solution of Transportation Problem with the help of Zero Point Method. International Journal of Engineering Research & Technology. Vol. 1:1–6.
[6] Mamidi, P.  L.,  & M. S. R. Murthy. 2014. An Approach for Unreliability of Direct Method Optimal Solution of Transportasi Problem. Internastional Journal of Engineering Science & Research Technology . Vol. 3(4): 1834-1837.