PEMODELAN BANGUNAN UNTUK SIMULASI RESPONS STRUKTUR AKIBAT BEBAN DINAMIK

## Sukoyo
Jurusan Teknik Sipil Politeknik Negeri Semarang Jln. Prof. H.Soedarto, S.H. Tembalang, Semarang  50275 Telp. (024)7473417 Email : sipil.polines@yahoo.co.id

## Abstract
The  response  structure  due  to  dynamic  load  or  earthquake  in  a  building  is  very important  to  be  know.Therefore  we  tried  to  do  some  research  with  make  a  model that  can    show  the  behavior  of    structure  when  receives  the  dynamic  load.  In  this research  the  structure  is  modeled  with  two-dimensional  discrete  system  with  a system of beams and columns of the same strength, it is easier to see the behavior of structure.  The  system  is  made  by  Power  Fortran  language  program  Station.  The methods used for solve structural vibration dynamical equations is the Runge-Kutta order  4.  The  results  shown  in  graphical  form  with  the  help  of  MS  Excel  program. From the graph shows that the pattern of responses produced is  same  with a given load  pattern  but  have  different  intensity  and  deviation.  Beside  that  ,  the  structure will receives displacement, velocity, and acceleration are greater when receiving a load that is not harmonious with the same frequency. This suggests that the structure would  be  more  resistant  to  a  greater  load  if  given  regularly,  compared  with  the sudden load.
Keywords : response structure, dinamic load, model

## PENDAHULUAN
Struktur  adalah  suatu  kerangka  utama sistem  bangunan,  dimana  elemen utama tersebut akan menyangga beban dari  elemen  yang  lain  baik  secara langsung  maupun  tidak  langsung. Tujuan  utama  analisis  struktur  adalah untuk menentukan gaya luar
(komponen  reaksi)  dan  gaya  dalam (resultan tegangan) dari sistem struktur yang akan dipergunakan untuk memperkirakan  dimensi  penampang elemen  struktur  tersebut.  Gaya-gaya dalam  merupakan  respons  struktur terhadap  gaya  luar  dapat  dibedakan sebagai  gaya  axial,  gaya  lintang,  gaya lentur  (momen),  dan  gaya  puntir (momen puntir/ torsi atau twist). Gaya-
gaya  yang direspons oleh struktur atau elemen  struktur  tersebut  dapat  berasal dari  berat  sendiri  maupun  akibat getaran oleh pergerakan dasar bangunan  yang disebabkan oleh beban dinamik diantaranya gempa bumi.
Pada  struktur  bangunan  tahan gempa yang komplek analisis
perencanaannya harus dilakukan dengan  analisis  dinamik.  Salah  satu cara  yang  sering  dipergunakan  pada perencanaan  struktur  yaitu  :  Analisis Ragam  Spektrum  Respons  ( Modal Analysis ).  Pada  analisis  ragam  ini  , respons  dinamik  dari  struktur  dengan beberapa  derajat  kebebasan  ( Multi Degree  of  Freedom/  MDOF ),  didapat dari superposisi respons, dari sejumlah
bandul  getar  dengan  satu  derajat kebebasan ( Single Degree of Freedom/
SDOF ). Untuk lebih mudah memahami perilaku  beban  dinamik    perlu  dibuat suatu  model  alat  tertentu  yang  bisa menggambarkan perilaku struktur
dalam  merespons  beban  dinamik  yang merupakan fungsi dari massa
bangunan dan percepatan getaran dasar oleh  beban  dinamik.  Model  yang  akan digunakan  dalam  penelitian  ini  terbuat dari  plat  baja  yang  digetarkan  dengan putaran motor simulator dimana
diujungnya  diberi  bandul  SDOF  dan
MDOF seperti gambar berikut : a. Model SDOF

## b. Model MDOF

## Gambar 1.  Model Massa Getar SDOF dan MDOF
Respons  dinamik  dari  struktur  dapat ditentukan dengan menyelesaikan sistem  persamaan  gerak  dari  struktur, secara langsung atau dengan menggunakan metode numerik yaitu :
g . m kx x . c x . m . .. (1)
Gambar 2 berikut menunjukkan
contoh-contoh  struktur  yang  dianggap sebagai  struktur  SDOF,  yaitu  struktur yang dimodelkan sebagai sistem dengan koordinat perpindahan tunggal.
a. Balok sederhana b. Balok kantilever c. Portal sederhana Gambar 2. Model Perpindahan Tunggal (SDOF) x F(t) x P(t) Meja Getar Bandul Massa Meja Getar F(t) x
Untuk  model  MDOF  ,  maka  dapat dibagi  dalam  3  macam  yaitu  model bagunan  geser,  model  diskret  dan model menerus. Model bangunan geser dapat  didefinisikan  sebagai  struktur dimana tidak terjadi rotasi pada elemen horizontal    dengan  asumsi  massa  total struktur terpusat pada bidang lantai dan balok  lantai  relatif  kaku  dibandingkan kolom.  Pada  model  diskret  berderajat
kebebasan banyak, sistem perpindahannya dapat dinyatakan dalam bentuk jumlah koordinat terbatas.  Pada  umumnya  bangunan  di bumi  akan  mengalami  gaya  eksitasi
(beban  dinamik)  pada  dasar  pondasi
akibat  gempa  bumi.  Besarnya  gaya eksitasi tergantung dari massa bangunan  dan  percepatan  gempa.
Apabila perpindahan pada dasar pondasi akibat gempa bumi dinyatakan dalam  x g (t)  maka  dapat  ditentukan perpindahan  relatif  x  pada  puncak bangunan  terhadap  dasar  pondasi.
Persamaan keseimbangan dinamik untuk  keadaan  tanpa  redaman  dapat disusun sebagai berikut :
) t ( x m kx x m g .. .. (2) untuk sistem MDOF : .. g .. )} t ( x ]{ m [ } x ]{ k [ } x ]{ m [ (3)
atau  secara  umum  dapat  disusun kembali menjadi :
)} t ( F { } x ]{ k [ } x ]{ m [ .. , (4)
Dimana
.. g )} t ( x ]{ m [ ) t ( F (5)
Dalam  teori  persamaan  dinamis  baik pada  sistem  SDOF  maupun  MDOF dapat  diselesaikan  dengan  metode Runge-Kutta baik orde 2, 3, 4 maupun
orde  tinggi.  Namun  pada  umumnya orde  4  merupakan  metode  Runge- Kutta  yang  sudah  cukup  akurat  dan populer dalam penyelesaian persamaan dinamis struktur. Adapun secara ringkas  penyelesaian  persamaan  gerak menurut  metode  Runge-Kutta  (Steven C.C. dan Raymond,1990 )…..adalah :
) f f 2 f 2 f ( 6 h y y 4 3 2 1 k 1 k (6)
Dari persamaan gerak :
)} t ( F { } x ]{ k [ } x ]{ m [ .. atau dapat ditulis kembali dalam bentuk
x K ) t ( F M x 1 ..
(7)
) t , x ( f x .. (8)
Dengan menetapkan y x . , sehingga .. ) t , x ( f x y (9)
Persamaan  (8)  dapat  ditulis  kembali dalam bentuk :
n i x k t f m x i p p jp j ij ,......, 3 , 2 , 1 , ) ( 1 .. (10)
dimana : m ij -1 adalah  elemen  ke  ij  dari  matrik invers [M] -1 Bila  gaya  gempa .. g } x ]{ m [ ) t ( f ,
maka :
n i x k t x m m x i p p jp g ij , , 3 , 2 , 1 , ) ( ] [ .. 1 .. (11)
Selanjutnya  perhitungan  secara  iterasi adalah :
t x y = x f = y = x
T 1 = t 1 X 1 = x 1 Y 1 = y 1 F 1 = f(T 1 ,X 1 ,Y 1 ) T 2 = t 1 + h /2 X 2 = x 1 + Y 1 h/2 Y 2 =  y 1 + F 1 h/2 F 2 = f(T 2 ,X 2 ,Y 2 ) T 3 = t 1 + h/2 X 2 = x 1 + Y 2 h/2 Y 2 =  y 1 + F 2 h/2 F 3 = f(T 3 ,X 3 ,Y 3 ) T 3 = t 1 + h/2 X 2 = x 1 + Y 3 h Y 2 =  y 1 + F 3 h F 4 = f(T 4 ,X 4 ,Y 4 )
Selanjutnya perpindahan dan
kecepatan  gempa  pada  bangunan dihitung dengan persamaan :
) Y Y 2 Y 2 Y ( 6 h x x 4 3 2 1 i 1 j
(13a) ) F F 2 F 2 F ( 6 h y y 4 3 2 1 i 1 i
(13b)
Untuk sistem dengan persamaan n anu yang  saling  terkait,  maka  akan  ada sejumlah  x n ,  y n dan  f n pada  t  yang sama.  Sehingga  perpindahan  dan kecepatan menjadi :
) Yn Yn 2 Yn 2 Yn ( 6 h x x 4 3 2 1 i 1 n i
(13c) ) Fn Fn 2 Fn 2 Fn ( 6 h y y 4 3 2 1 i 1 n i (13d)
dimana :
i + 1 = menyatakan iterasi ke i+1 n  = menyatakan perpindahan dan
kecepa-tan nodal ke- n
Selanjutnya  dengan  dibuat  program
sederhana akan diperoleh nilai perpindahan  dan  kecepatan  tiap  saat
dari  interval  waktu  kecil  h  dan kemudian hasil iterasi tersebut
digambar dengan bantuan software MS
EXCEL  yang  merupakan  respons
struktur akibat beban dinamik.
Sehingga  kita  dapat  menghitung  gaya gempa yang terjadi pada bangunan dan selanjutnya  gaya  tersebut  digunakan untuk  perhitungan  elemen  balok, kolom  dan  pondasi yang  tahan terhadap gempa.

## METODE PENELITIAN
Untuk  menganalisis  alat  pengukur deformasi  modal  pada  sistem  struktur dibuat penyederhanaan berupa bandul- bandul  massa  yang  terpusat  pada  tiap tingkat  lantai.  Berikut  ini  merupakan ringkasan  langkah-langkah  penelitian secara umum :
a. penentuan sifat material dan dimensi struktur.
b. menentukan  bentuk  dan  susunan frame  model  dan  dimensi  bandul massa.
c. memberikan  getaran  dinamik  pada dasar dan mengukur respons struktur model.
d. menganalisis  perpindahan  yang terjadi akibat beban dinamik.
e. membandingkan  model  deformasi hasil  eksperimen  dengan  teoritis metode Runge-Kutta orde 4.
f. Menganalisis  hasil  pengujian  dan membuat laporan.
Sedangkan
langkah-langkah
penyusunan  program  komputer  untuk penelitian ini adalah sebagai berikut :
a. Menyusun  matrik  kekakuan  dan matrik massa struktur dalam sumbu global
b. Menyususn  matrik  gaya  eksitasi berupa  data  gempa  maupun  beban harmonis.
c. Menyelesaikan  persamaan  matrik dinamis  dengan  metode  Runge- Kutta ordo 4 seperti yang
dijelaskan dalam tinjauan pustaka.
d. Membuat program untuk
mendapatkan respons struktur, dalam  hal  ini  menggunakan  sistem
MDOF diskret.
e. Menggambarkan output perpindahan, kecepatan, dan percepatan  sesuai  dengan  DOF
struktur yang ditentukan.
f. Menganalisis output yang
dihasilkan dari program.
Gambar  3  dan  4  berikut  menunjukkan sket model rencana :
Gambar 3.  Sket Model SDOF
Gambar 4. Sket Model 1 Lantai (Diskret 2D)
Selanjutnya analisis pemrograman yang didasarkan pada sistem
persamaan  MDOF  diskret  melalui matrik  kekakuan  dan  matrik  massa untuk  model  dua  dimensi  sebagai berikut :
a. Matrik  kekakuan  sistem  struktur yang  dimodelkan  dengan  sistem diskret  dalam acuan sumbu  global adalah :
6 5 3 4 2 1 7 5 4 6 5 3 2 5 3 4 2 1 4 2 1 g g g tris me si g g g g g g g g g g g g g g g g g g
K (14)
Dimana : g 1 =   ( c 2 +12s 2 ) ;g 2 =   cs ( -12) g 3 =   ( s 2 +12c 2 ); g 4 = - 6Ls g 5 =  6Lc ; g 6 =  4L 2 g 7 =  2L 2        ; I AL ; L EI 2 3 OSILOSKOP Untuk merekam getaran Strain Gauge Meja Getar Bandul Massa Meja Getar
1 2 3 4 5 6 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 0 .0 2 0 .6 8 1 .3 4 2 2 .6 6 3 .3 2 3 .9 8 4 .6 4 5 .3 5 .9 6 6 .6 2 7 .2 8 7 .9 4 8 .6 9 .2 6 9 .9 2 1 0 .5 8 1 1 .2 4 1 1 .9 1 2 .5 6 1 3 .2 2 1 3 .3 0 2 1 3 .8 1 4 .4 6 1 5 .1 2 1 5 .7 8 1 6 .4 4 1 7 .1 1 7 .7 6 1 8 .4 2 1 9 .0 8 1 9 .7 4 Grafik Perpindahan Translasi Gempa Elcentro DOF 1 2 2 2 4 22 156 0 0 140 3 13 0 4 13 54 0 22 156 0 0 70 0 0 140 420 L L tris m e si L L L L L L m m b. Matrik Massa dalam sumbu lokal : ( 15)
Matrik  Tranformasi  digunakan  untuk menyusun matrik kekakuan dan matrik masa dalam sumbu global.
1 0 0 0 cos sin 0 sin cos T
c. Matrik  kekakuan  dan  matrik  massa dengan persamaan berikut : d. [K] = [T] T [k][T]
e. [M] = [T] T [m][T]
e.  Menyelesaikan  persamaan  gerak struktur  tanpa  redaman  dengan menggunakan  metode  Runge-Kutta orde 4.

## HASIL DAN PEMBAHASAN
Setelah  dilakukan  eksekusi  program
dengan data percepatan beban harmonis  dan  beban  gempa  El  Centro diperoleh  pola  grafik  perpindahan, percepatan, dan kecepatan untuk
kondisi  tanpa  redaman  untuk  sistem MDOF diskret sebagai berikut :
Gambar 5.  Sistem Strutur Frame 2D MDOF Diskret
Angka  1,2,…,  6  menyatakan  kode  dof
yang  sesuai,  yaitu  1,4  menyatakan perpindahan, kecepatan,
dan percepatan  transalasi  arah  X,  2,5 menyatakan  perpindahan,  kecepatan, percepatan,    translasi  arah  sumbu  Z, sedangkan  angka  3  dan  6  menyatakan perpindahan,  kecepatan,  percepatan rotasi  arah Y.  Gambar  6 dan 7  berikut menunjukkan  contoh  respons  dinamik akibat  beban  gempa  El  Centro  dan akibat beban harmonis 2 Hz.
Gambar 6. Grafik Perpindahan Translasi DOF 1 Gambar berikut menunjukkan respons dinamik akibat beban harmonis 2 Hz.
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 0 .0 2 0 .7 1 .3 8 2 .0 6 2 .7 4 3 .4 2 4 .1 4 .7 8 5 .4 6 6 .1 4 6 .8 2 7 .5 8 .1 8 8 .8 6 9 .5 4 1 0 .2 2 1 0 .9 1 1 .5 8 1 2 .2 6 1 2 .9 4 1 3 .6 2 1 4 .3 1 4 .9 8 1 5 .6 6 1 6 .3 4 1 7 .0 2 1 7 .7 1 8 .3 8 1 9 .0 6 1 9 .7 4 Grafik Respons Perpindahan Akibat Beban Harmonis DOF1 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 0 .0 2 0 .6 8 1 .3 4 2 2 .6 6 3 .3 2 3 .9 8 4 .6 4 5 .3 5 .9 6 6 .6 2 7 .2 8 7 .9 4 8 .6 9 .2 6 9 .9 2 1 0 .5 8 1 1 .2 4 1 1 .9 1 2 .5 6 1 3 .2 2 1 3 .3 0 2 1 3 .8 1 4 .4 6 1 5 .1 2 1 5 .7 8 1 6 .4 4 1 7 .1 1 7 .7 6 1 8 .4 2 1 9 .0 8 1 9 .7 4 Grafik Perpindahan Translasi Gempa Elcentro DOF 1 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 0 .0 2 0 .7 1 .3 8 2 .0 6 2 .7 4 3 .4 2 4 .1 4 .7 8 5 .4 6 6 .1 4 6 .8 2 7 .5 8 .1 8 8 .8 6 9 .5 4 1 0 .2 2 1 0 .9 1 1 .5 8 1 2 .2 6 1 2 .9 4 1 3 .6 2 1 4 .3 1 4 .9 8 1 5 .6 6 1 6 .3 4 1 7 .0 2 1 7 .7 1 8 .3 8 1 9 .0 6 1 9 .7 4 Grafik Respons Perpindahan Akibat Beban Harmonis DOF1 Gambar 7. Grafik Perpindahan
Translasi DOF 1
Dari  grafik  yang  diperoleh  dari eksekusi program dengan model diskret yang telah dibuat menunjukkan bahwa secara umum pola perpindahan, kecepatan  dan  percepatan  mengikuti pola beban yang bekerja baik gempa El Centro maupun beban gempa harmonis berupa masukan beban dinamik
dengan  frekuensi  2  Hz.  Perpindahan translasi  mendatar  pada  dof  1  dan  2 memiliki pola perpindahan dan
simpangan  yang  relatif  sama  dengan
asal beban, namun mempunyai kerapatan  yang berbeda  hal  ini adanya penyerapan tidak langsung oleh
material  konstruksi.  Namun  untuk  dof 2  dan  5  walaupun  pola  tetap  mirip namun mempunyai
penambahan getaran  minor  yang  yang  terjadi  pada antara  gelombang  mayor,  ini  artinya disamping  mengalami  perpindahan, kecepatan,  dan  percepatan  secara struktural  juga  mengalami  getaran (perpindahan,  kecepatan,  percepatan) secara  individula  per  elemen  dof (getaran  mikro).  Pada  grafik  respons kecepatan menunjukkan bahwa selama proses  penggetaran  oleh  beban  gempa El  Centro  kecepatan  akan  bertambah ketika  sudah  mencapai  waktu  13,25 detik. Ini menunjukkan bahwa respons kecepatan  maupun  percepatan  akan
bertambah sering dengan bertambahnya waktu, dan akan
perlahan  hilang  ketika  getaran  yang diberikan menurun.
Dari  respons  struktur  akibat beban  dinamis  yang  besifat  harmonis, walaupun diberikan simpangan getaran yang lebih besar, namun bila
dibandingkan  getaran  yang  diberikan oleh beban gempa El Centro menunjukkan  bahwa  struktur  secara fungsional  akan  lebih  tahan  menerima beban  harmonis  dibandingkan  dengan beban  yang  tidak  tetap.  Ini  artinya struktur  akan  mudah  runtuh  bila menerima  beban  yang  frekuensinya tidak teratur seperti yang
dikomparasikan pada gambar 8 s/d 10.
Gambar 8. Komparasi  Perpindahan
DOF 1 Akibat Gempa El Centro dan
Harmonis
-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 0 .0 2 0 .7 1 .3 8 2 .0 6 2 .7 4 3 .4 2 4 .1 4 .7 8 5 .4 6 6 .1 4 6 .8 2 7 .5 8 .1 8 8 .8 6 9 .5 4 1 0 .2 2 1 0 .9 1 1 .5 8 1 2 .2 6 1 2 .9 4 1 3 .2 7 6 1 3 .5 6 1 4 .2 4 1 4 .9 2 1 5 .6 1 6 .2 8 1 6 .9 6 1 7 .6 4 1 8 .3 2 19 1 9 .6 8 Grafik Respons Kecepatan Translasi  Gempa Elcentro DOF 2 -0.015 -0.01 -0.005 0 0.005 0.01 0.015 0 .0 2 0 .7 2 1 .4 2 2 .1 2 2 .8 2 3 .5 2 4 .2 2 4 .9 2 5 .6 2 6 .3 2 7 .0 2 7 .7 2 8 .4 2 9 .1 2 9 .8 2 1 0 .5 2 1 1 .2 2 1 1 .9 2 1 2 .6 2 1 3 .3 2 1 4 .0 2 1 4 .7 2 1 5 .4 2 1 6 .1 2 1 6 .8 2 1 7 .5 2 1 8 .2 2 1 8 .9 2 1 9 .6 2 Grafik Respons Kecepatan Translasi  Beban Harmonis DOF 2 -400 -300 -200 -100 0 100 200 300 0 .0 2 0 .7 1 .3 8 2 .0 6 2 .7 4 3 .4 2 4 .1 4 .7 8 5 .4 6 6 .1 4 6 .8 2 7 .5 8 .1 8 8 .8 6 9 .5 4 1 0 .2 2 1 0 .9 1 1 .5 8 1 2 .2 6 1 2 .9 4 1 3 .2 7 6 1 3 .5 6 1 4 .2 4 1 4 .9 2 1 5 .6 1 6 .2 8 1 6 .9 6 1 7 .6 4 1 8 .3 2 19 1 9 .6 8 Grafik Respons Percepatan Translasi  Gempa Elcentro DOF 1 -60 -40 -20 0 20 40 60 0 .0 2 0 .7 8 1 .5 4 2 .3 3 .0 6 3 .8 2 4 .5 8 5 .3 4 6 .1 6 .8 6 7 .6 2 8 .3 8 9 .1 4 9 .9 1 0 .6 6 1 1 .4 2 1 2 .1 8 1 2 .9 4 1 3 .7 1 4 .4 6 1 5 .2 2 1 5 .9 8 1 6 .7 4 1 7 .5 1 8 .2 6 1 9 .0 2 1 9 .7 8 Grafik Respons Percepatan Translasi  Beban Harmonis DOF 1
Gambar 9.  Komparasi  Kecepatan
DOF 2 Akibat Gempa El Centro dan Harmonis Gambar 10. Komparasi Percepatan DOF 1 Akibat Gempa El Centro dan Harmonis Dengan  melihat  pola  dan  perilaku perpindahan, kecepatan,dan percepatan struktur yang mengalami beban dinamik  seperti  gempa  El  Centro  dan lain-lain diharapkan dapat memberikan gambaran  mengenai  dampak  dari struktur  yang  mengalami  getaran dinamik  kepada  mahasiswa  khususnya teknik  sipil  dalam  memperkirakan
perkuatan elemen struktur tahan gempa.

## SIMPULAN
Dari  hasil  penelitian  dan  pembahasan di  atas  dapat  disimpulkan  bahwa  pola respons  perpindahan,  kecepatan,  dan percepatan dari struktur yang menerima beban dinamik akan
mengikuti  pola  beban  yang  bekerja. Struktur  akan  lebih  mampu  menahan beban dinamik harmonis dengan percepatan  yang  lebih  besar  dibanding beban yang percepatannya kecil namun mempunyai getaran  yang tidak teratur. Resonansi  akan  terjadi  apabila  getaran beban gempa sama dengan waktu getar
alami dari bangunan. Dengan memberikan gambaran respons
struktur  akibat  beban  dinamik  akan mempermudah  memperkirakan  dalam merencanakan  elemen-elemen  struktur dengan lebih baik dan akurat.

## UCAPAN TERIMA KASIH
Penulis  mengucapkan  terima  kasih yang sebesar-besarnya kepada berbagai pihak yang telah mendukung
pelaksanaan  penelitian  ini  antara  lain Unit Penelitian dan Pengabdian
Masyarakat (UP2M) Politeknik Negeri Semarang yang telah mendanai pelaksanaan  penelitian  ini  dan  para anggota  tim  penelitian  dan  mahasiswa yang  telah  bekerja  keras  untuk membantu proses penelitian ini.

## DAFTAR PUSTAKA
Ajit,  K.M  and  Singh,  S.T.,  1991,
Deformation  of  Elastic  Solids ,
Prentice Hall, Englewood Cliffs, New Jersey.
Armenakas, A.E., 1991, Modern
Structural  Analysis  The  Matrix Method  Approach ,  Mc  Graw- Hill, Inc, New York. Cook, R.D., 1985, Advanced Mechanics of Materials , Macmillan Publishing Company, New York. Cook,  R.D.,  1990, Konsep  dan
Aplikasi  METODE  ELEMEN
HINGGA ,  Edisi  Pertama,  PT.
ERESCO, Bandung.
Dally,  J.M  and  Riley,  W.F.,  1991,  3 rd edition, Experimental  Stress Analysis , Mc Graw-Hill International, New York. Reddy,  J.N.,  1993, An  Introduction  to the FINITE ELEMENT METHOD, Second  Edition, McGraw-Hill International, New York.
Steven C.Chapra  and  Raymond P.G.,
1990, Numerical  Methods  for Engineers , Mc Graw-Hill
Interna-tional, New York.
Timoshenko,  S.P.  and  Goodier,  J.N.,
1970, Theory  of  Elasticity ,
McGraw-Hill International,
New York.
Wilson  E.L  and  Habibullah  A.,  2002, SAP2000 A Series Of Computer Program  for  the  Static  and Dynamic Finite Element Analysis  of  Structures ,  CSI, Inc, Berkeley, California