## Analisis Kesalahan pada Number Sense dan Structure Sense Ditinjau dari Berpikir Logis
Siti Rulia 1 , Supratman, 2 Sri Tirto Madawistama 3
1, 2, 3 Program Studi Pendidikan Matematika, Pascasarjana, Universitas Siliwangi Jl. Siliwangi No 24, Tasikmalaya, Indonesia sitirulia22@gmail.com

## Abstract
This study aims to analyze errors in number sense and structure sense in terms of logical thinking. The method used is qualitative. Collecting data through logical thinking tests, number sense tests, structure sense tests and interviews. Subject selection based on exploration. Data analysis is in the form of data reduction, data presentation, and drawing conclusions.  The  results  showed  that  students  with  logical  thinking  in  the  transition  stage  made  mistakes  on  the number sense indicator of understanding the magnitude of numbers and were able to recognize the relative effects of number  operations  with  the  types  of  errors,  namely  principles’  errors  and  operating  errors.  Students  with  logical thinking  in  the  concrete  stage  make  mistakes  on  the  number  sense  indicator  of  understanding  the  magnitude  of numbers are able to recognize the relative effects of number operations and are able to use number representations with types of errors, namely principles’ errors and operating errors. Students with logical thinking in the transition stage make mistakes on the structure sense indicator, identify a familiar structure in the simplest way and the indicator handles complex algebraic expressions as a unit with the types of errors, namely fact errors and conceptual errors. Students with logical thinking in the concrete stage make mistakes on the structure sense indicator, identify a familiar structure in the simplest way and do not find a solution step in the indicator handling complex algebraic expressions as a unit.
Keywords: Error, Number Sense, Structure Sense, Logical Thinking

## Abstrak
Penelitian ini bertujuan untuk menganalisis kesalahan pada number sense dan structure sense ditinjau dari berpikir logis. Metode yang digunakan adalah kualitatif. Pengumpulan data melalui tes berpikir logis, tes number sense, tes structure  sense  dan  wawancara.  Pemilihan  subyek  berdasarkan  eksplorasi.  Analisis  data  berupa  reduksi  data, penyajian  data,  dan  menarik  kesimpulan.  Hasil  penelitian  menunjukan  peserta  didik  dengan  berpikir  logis  tahap transisi melakukan kesalahan pada indikator number sense pemahaman pada besaran bilangan dan mampu mengenali efek  relatif  operasi  bilangan  dengan  jenis  kesalahan  yaitu  kesalahan  prinsip  dan  kesalahan  operasi.  Peserta  didik dengan berpikir logis tahap konkret melakukan kesalahan indikator number sense pemahaman pada besaran bilangan, mampu  mengenali  efek  relatif  operasi  bilangan  dan  mampu  menggunakan  representasi  bilangan  dengan  jenis kesalahan yaitu kesalahan prinsip dan kesalahan operasi. Peserta didik dengan berpikir logis tahap transisi melakukan kesalahan  pada  indikator  structure  sense  mengidentifikasi  struktur  yang  sudah  dikenal  dengan  cara  yang  paling sederhana  dan  indikator  menangani  ekspresi  aljabar  kompleks  sebagai  satu  unit  dengan  jenis  kesalahan  yaitu kesalahan fakta dan kesalahan konsep. Peserta didik dengan berpikir logis tahap konkret melakukan kesalahan pada indikator structure sense mengidentifikasi struktur yang sudah dikenal dengan cara yang paling sederhana dan tidak menemukan langkah penyelesaian pada indikator menangani ekspresi aljabar kompleks sebagai satu unit.
Kata kunci: Kesalahan, Number Sense, Structure Sense, Berpikir Logis
Copyright (c) 2021 Siti Rulia, Supratman, Sri Tirto Madawistama 🖂 Corresponding author: Siti Rulia Email Address: sitirulia22@gmail.com (Jl. Siliwangi No 24, Tasikmalaya, Indonesia) Received 15 July 2021, Accepted 21 July 2021, Published 23 July 2021

## PENDAHULUAN
Menganalisa  penyebab  dan  mengatasi  kesalahan matematis sejak  awal  sangat  penting  dilakukan (Septiahani,  Melisari  &  Zanthy,  2020).  Analisis  terkait  kesalahan  juga  bertujuan  untuk  menghindari munculnya  ketidaktepatan  dan  ketidakefektifan  peserta  didik  dalam  menyelesaikan  soal  (Rahmawati  & Zanthy, 2019), mampu meningkatkan berbagai macam keterampilan berpikir matematis (Ratnaningsih & Edi, 2021), dan meningkatkan prestasi belajar peserta didik (Maharani & Subanji, 2018). Terdapat faktor-
faktor  penunjang  pada  proses  pembelajaran  matematika  diantaranya  adalah number  sense dan structure sense . Peran penting number sense pada pembelajaran matematika yaitu sebagai penunjang untuk peserta didik agar mampu terlibat dalam menyelesaiakan soal pada tingkat yang lebih tinggi (Arhamni, 2020). Peran penting  s tructure  sense sebagai  kelanjutan  dari number  sense adalah  jika  peserta  didik  memiliki kemampuan structure sense yang baik maka peserta didik menjadi lebih mudah memahami masalah yang berupa peralihan dari bilangan ke aljabar (Sugilar, Kariadinata & Sobarningsih,  2019).
Number  sense merupakan  pemahaman  umum  individu  tentang  bilangan  dan  operasi,  yang memungkinkan individu untuk mendemonstrasikan beberapa strategi yang berguna, fleksibel, dan efisien saat  menyelesaikan  masalah  yang  berkaitan  dengan  bilangan  dan  operasinya. Number  sense mencakup keterampilan  yang  berhubungan  dengan  berhitung,  mengenali  pola  bilangan,  mampu  membandingkan bilangan, dan mampu membuat estimasi hasil (Yilmaz, 2017). Hasil studi pendahuluan yang melibatkan 81 subjek penelitian dari empat sekolah menengah swasta di kabupaten Tasik dan Ciamis yang dilakukan pada bulan  Januari  dan  Fabruari  2021  untuk  menjawab  soal  sederhana  seperti  perhitungan  pecahan 1 5 + 1 7 sebanyak  70  subjek  penelitian  menjawab  salah.  Artinya,  kesalahan  peserta  didik  pada  keterampilan berhitung  yang  menjadi  salah  satu  indikator number  sense berada  pada  kategori  sangat  tinggi.  Hasil penelitian  yang  dilakukan  Yang  &  Sianturi  (2021)  menunjukkan  bahwa  sebagian  besar  peserta  didik berprestasi tidak memuaskan (menunjukkan number sense yang rendah) dengan tingkat kepercayaan diri yang relatif tinggi dan menunjukkan kesalahpahaman yang cukup besar.
Istilah structure  sense diciptakan  oleh  Linchevski  dan  Livneh  untuk  mendeskripsikan  kesulitan peserta  didik  dalam  menggunakan  pengetahuan  struktur  aritmatika  dalam  konteks  pembelajaran  awal aljabar kemudian disempurnakan dan dikembangkan oleh Hoch dan Dreyfus yang merujuk pada kumpulan kemampuan  terhadap  ekspresi  simbolik,  termasuk  keterampilan  menafsirkan,  memanipulasi  dan mempersepsikan simbol (Jupri, 2017). Structure sense mencakup kesadaran akan struktur dalam numerik dan juga dalam ekspresi aljabar (Vincent, Pierce & Bardini, 2017). Utami (2020) berpendapat penelitian internasional terkait dengan kemampuan stucture sense aljabar peserta didik sudah lama ditekuni sedangkan di Indonesia masih terbatas (p.4). Hasil studi pendahuluan yang dilakukan pada Februari 2021 di salah satu madrasah aliyah swasta yang melibatkan 15 subjek penelitian mendapatkan hasil yaitu pada pengerjaan soal structure sense diperoleh data bahwa peserta  didik tidak bisa menemukan jawaban yang benar dari soal persamaan:
1 − 1 𝑛+2 − (1 − 1 𝑛+2 ) = 1 110
Kondisi yang sama terjadi pada soal:
(1 − 1 𝑛+1 ) − (1 − 1 𝑛+1 ) = 1 132 dan 1 − 1 𝑛+3 − 1 +
1 𝑛+3 = 1 72
Jika diperhatikan lebih seksama, ketiga soal tersebut tidak memiliki penyelesaian, karena hasil akhir yang diperoleh secara berturut-turut 0 ≠ 1 110 , 0 ≠ 1 132 dan 0 ≠ 1 72 . Kasus ini menunjukkan bahwa masih terdapat
kelemahan peserta didik dalam melihat adanya karakteristik atau pola tertentu dalam suatu persamaan atau ekspresi aljabar.
Kemampuan  untuk  klasifikasi,  menghubungkan,  menarik  kesimpulan  dan  berhitung  merupakan karakteristik  dari  berpikir  logis  menurut  Jody  &  Johnsoh  (dalam  Fitriyah,  Nonik  &  Miftahul,  2019). Berpikir  logis  memiliki  peran  mendasar  dalam  kinerja  akademik  peserta  didik  dan  konstruksi  konsep mereka  (Septiati,  2018).  Yaman  mengungkapkan  kemampuan  berpikir  logis  adalah  kemampuan  yang ditentukan dalam periode proses abstrak pada fase perkembangan kognitif Piaget (Ash-Shiddieqy, Suparmi & Sunarno 2018). Berpikir logis dapat diukur dengan Test of Logical Thinking (TOLT) yang membagi ke dalam tiga kriteria yaitu berpikir logis pada tahap konkret, transisi dan formal (Tobin & Cappie, 1981).
Penelitian yang berhubungan dengan analisis kesalahan telah dilakukan seperti Jana (2018), Jumiati & Zanthy (2020) dan Nurfalah & Bernard (2020). Penelitian yang berhubungan dengan number sense telah dilakukan oleh Mawaddah Mawaddah, Noorbaiti & Ulfah, A (2021), Hakim (2019) dan Wulandari et al., (2020).  Penelitian  bertema structure  sense dilakukan  oleh  Sari,  Junarti  &  Ningrum  (2020).  Begitupun dengan penelitian tentang berpikir logis telah dilakukan oleh Fitriyah et al. (2019). Memperhatikan berbagai penelitian yang sudah diuraikan, peneliti sebelumnya umumnya melakukan riset pada salah satu variabel baik itu kesalahan, number sense ataupun structure sense . Dengan demikian kebaruan atau novelty pada penelitian  ini  yaitu  peneliti  menganalisis  kesalahan  pada number sense dan structure sense ditinjau  dari berpikir logis yang sebelumnya tidak pernah diteliti .

## METODE
Metode penelitian yang digunakan dalam penelitian ini adalah metode penelitian kualitatif. Denzin & Licoln  (dalam  Moleong,  2017)  mengemukakan  bahwa  penelitian  kualitatif  adalah  penelitian  yang menggunakan  latar  alamiah  dengan  tujuan  menerjemahkan  fenomena  yang  terjadi.  Penelitian  ini dilaksanakan di  kelas VII  MTs. Fadris.  Waktu penelitian dilaksanakan pada bulan  Juni 2021. Pemilihan subyek pada penelitian ini menggunakan purposive dengan cara eksplorasi. Peneltian ini memiliki empat subyek penelitian dengan tahap berpikir logis konkret dan transisi masing-masing dua subjek penelitian. Pertimbangan peserta didik yang dijadikan subyek penelitian merupakan peserta didik yang mengerjakan tes sampai mendapat jawaban akhir yang salah, dapat memberikan informasi yang lengkap dan jelas, dan mewakili tahap berpikir logis. Pengumpulan data dalam penelitian ini dilakukan dengan tes berpikir logis, tes number sense , mengerjakan tes structure sense , kemudian untuk mendapatkan data yang lengkap dan jelas dilakukan wawancara. Teknik analisis data berdasarkan Miles & Huberman (dalam Sugiyono, 2017) mengemukakan bahwa aktivitas dalam analisis data kualitatif dilakukan secara interaktif dan berlangsung secara terus menerus sampai tuntas, sehingga datanya sudah jenuh. Aktivitas dalam analisis data, yaitu data reduction, data display , dan conclusion drawing/verification .

## HASIL DAN DISKUSI
Penelitian ini menganalisis kesalahan pada number sense dan structure sense ditinjau dari berpikir
logis. Kemampuan berpikir logis adalah kemampuan yang ditentukan dalam periode proses abstrak pada fase perkembangan kognitif Piaget yang dikriteriakan pada tahap konkret, transisi dan formal. Namun hasil penelitian hasil tes berpikir logis terhadap 40 subjek penelitian kelas VII perkembangan kognitif peserta didik yang didapat hanya dua kriteria yaitu pada tahap konkret sebanyak 33 orang dan transisi sebanyak 7 orang. Hasil penelitian tes berpikir logis pada penelitian ini yang tidak menemukan subjek dengan tahap formal bertentangan dengan teori Piaget yang menyatakan bahwa tahap formal di mulai dari usia umur 11 tahun (Hikmawati, 2018; Maulina & Meilantifa, 2017; Mu’min, 2013; Picauly, 2016; Puspitaningrum & Ningrum,  2020).  Namun  hasil  penelitian  terdahulu  juga  mengungkapkan  bahwa  perkembangan  kognitif akan berbeda pada setiap orang karena setiap mempunyai ciri khas dan keunikan sendiri-sendiri (Farida, 2018).  Juwantara  et  al.,  (2019)  mengungkapkan  semua  manusia  melalui  setiap  tingkat,  tetapi  dengan kecepatan  yang  berbeda,  jadi  mungkin  saja  seorang  anak  yang  berumur  6  tahun  berada  pada  tingkat operasional konkrit, sedangkan ada seorang anak yang berumur 8 tahun masih pada tingkat pra-operasional dalam cara berpikir. Diperkuat oleh Russefendi yang mengungkapkan bahwa masih terdapat peserta didik yang telah lulus dijenjang sekolah menengah dan juga mahasiswa tidak pernah mencapai tahap penalaran formal (Aini & Hidayati, 2017). Subjek penelitian untuk analisis kesalahan pada number sense yaitu S1 dengan berpikir logis tahap transisi dan S9 dengan berpikir logis tahap konkret, sedangkan untuj subjek penelitian analisis kesalahan pada structure sense yaitu S39 dengan berpikir logis tahap transisi dan S13 dengan berpikir logis tahap konkret.
Analisis Kesalahan pada Number Sense Ditinjau dari Berpikir Logis Tahap Transisi
Penyelesaian dari tes number sense oleh S1 dilakukan sampai mendapatkan hasil akhir namun salah. Penyelesaian yang dilakukan oleh S1 pada tes meliputi 3 indikator number sense berupa mampu memahami arti  dasar  bilangan  dan  operasi, mampu mengenali  besaran  bilangan,  dan  mampu  mengenali efek  relatif operasi  pada  bilangan.  Indikator  berupa  mampu  menilai  kewajaran  hasil  komputasi  didapat  dengan wawancara. Untuk keseluruhan penyelesaian dari S1 tersaji pada Gambar 1.
Gambar 1. Hasil Penyelesaian Tes Number Sense S1
S1 membutuhkan waktu yang cukup lama untuk menuliskan jawaban dari soal yang diberikan. S1 memahami masalah berupa apa yang diketahui yaitu terdapat uang 150 lembar, terdiri dari 20% pecahan
Rp  5.000,  setengah  bagiannya  uang  Rp  10.000, 2 5 dari  sisanya merupakan  uang Rp  20.000.  Hal  tersebut menunjukan  bahwa  S1  memahami  arti  dasar  bilangan  pada  nominal  uang  yang  berbeda.  Kemudian  S1 memahami arti dasar operasi berupa 150 lembar uang terbagi pada empat pecahan nominal. Sehingga dapat disimpulkan bahwa S1 memiliki kemampuan untuk memahami arti dasar bilangan dan operasi. Kesalahan terjadi  pada  saat  S1  melaksanakan  penyelesaian  masalah  yang  melibatkan  indikator  kedua  dari number sense yang  berkaitan  dengan  besaran  bilangan.  S1  terkecoh  dengan  bentuk 2 5 .  Kemudian  saat  S1 mengaplikasikan pemahaman besaran bilangan pada efek relatif operasi bilangan, S1 melakukan kesalahan operasi  karena  serta  didik  menentukan  jawaban  tidak  melalui  prosedur  langkah-langkah  suatu  operasi. Langkah pertama penyelesaian soal yang melibatkan indikator ke-3 number sense yaitu mampu mengenali efek  relatif  operasi  pada  bilangan  yang  dilakukan  S1  yaitu  mencari  uang  pecahan  Rp  5.000.  Proses perhitungan  benar  yaitu 100% − 20%  =  80% .  S1  kemudian  melakukan  kesalahan  prinsip  dengan menganggap  150  lembar  sebagai  bentuk  150%  dan  mengurangi  dengan 80% sebagai  acuan  untuk mendapatkan banyaknya lembaran uang pecahan Rp 5.000. Walau saat melakukan perhitungan 80 100 : 150 100 = 80 100 × 100 150 = 80 150 dilakukan  dengan  benar  oleh  S1,  namun  dikarenakan  adanya  kesalahan  prinsip  maka jawaban  tersebut  tidak  mengantarkan  S1  menuju  jawaban  yang  benar  untuk  mendapatkan  banyaknya lembaran uang 5000-an. Karena 80 150 menghasilkan bentuk desimal, S1 berinisiatif menukar posisi diantara penyebut dan pembilang menjadi 150 80 dan mendapatkan hasil yang salah yaitu 1 sisa 7 (hasil yang benar adalah  1  sisa  70)  artinya  S1  telah  melakukan  kesalahan  operasi.  Karena  proses  perhitungan  hasil  dari menukar  posisi  penyebut  dan  pembilang  maka  S1  menjadikan  hasil  perhitungan  berupa  sisa  7  tersebut sebagai  banyaknya  lembaran  pecahan  Rp  5.000.  Namun  saat  S1  menghitung  jumlah  keseluruhan  uang 5000-an, S1 melakukan kesalahan operasi berupa 𝑅𝑝. 5.000  × 7 lembar = 𝑅𝑝. 40.000 . Langkah kedua S1 mencari banyaknya lembaran uang pecahan 10.000-an. S1 terlebih dahulu mengurangkan total keseluruhan 150 lembar dengan banyaknya uang pecahan 5.000an yaitu 150 − 7 = 143 . Di mulai dari pemahaman kata ‘setengahnya’ di soal, S1 membagi 143 dengan 2 untuk mencari banyaknya lembaran uang 10.000 an. S1 mendapatkan  hasil  71,5  yang  kemudian  dibulatkan  menjadi  71.  Selanjutnya  S1  menjadikan  71  sebagai banyaknya  lembaran  uang  pecahan  Rp  10.000  dan  mengkalikanya: 𝑅𝑝. 10.000 × 71 lembar = 𝑅𝑝. 710.000 . Langkah ketiga S1 mencari banyaknya lembaran pecahan uang 20.000an dengan menghitung lembar seluruhnya dikurangi banyak uang 5000an dan 10.000an yaitu 150 − 7 − 71 = 72 . Anggapan S1 pada kalimat 2 5 dari sisanya adalah uang pecahan Rp 20.000 membuat S1 membagi 72 dengan 2 sehingga banyaknya lembaran Rp 20.000 adalah 36 lembar tanpa memperhatikan 2 5 . Proses ini menunjukan bahwa S1 melakukan kesalahan fakta.
Hasil jawaban S1 tentang seluruh jumlah uang 20.000-an adalah 𝑅𝑝. 20.000  × 36 = 𝑅𝑝. 720.000 . Melanjutkan  penyelesaian  soal,  langkah  keempat  S1  yaitu  menghitung  uang  pecahan  50.000an  dengan mengkalikan dengan 36 yang didapat dari seluruh lembaran uang dikurangi dengan banyaknya lembaran
uang  5000-an,  10.000-an,  dan  20.000an  yaitu 15 − 7 − 71 − 36 = 36 .  Saat  mencari  jumlah  uang Rp.50.000  S1  melakukan  kesalahan  operasi,  yaitu  berupa  kesalahan  akibat  ketidaktelitian 𝑅𝑝. 50.000 × 36 = 𝑅𝑝. 1.300.000 . Langkah terakhir untuk penyelesaian soal S1 menjumlah semua uang pecahan dan mendapatkan hasil Rp 2.770.000. Adapun untuk indikator number sense berupa mampu menilai kewajaran hasil  yang  diperoleh  saat  menyelesaikan  masalah,  mengungkapkan  bahwa  proses  penyelesaian  yang dilakukan olehnya benar, sehingga hasil yang dia dapatkan dari penyelesaian adalah wajar.
P     : Yakin benar ya jawabannya ?
S1   : mmm… yakin
P    : Kenapa bisa yakin ?
S1  : Hasil yang aku dapat nggak terlalu kecil dan nggak terlalu besar
P   : Rentang kecil dan besar yang kamu maksud seperti apa ? Bisa dijelaskan?
S1 : Ini kan ada 150 lembar. 150 lembar dikali 50.000 aja hasilnya 7 juta setengah. Nah kalau
150 lembar dikali 5.000 hasilnya 750.000
P   : Ada cara lain untuk mengecek kembali keberanan jawaban kamu ?

## S1 : Tidak ada
Subjek penelitian dengan tahap transisi sudah melewati tahapan operasional konkret berupa sudah dapat berpikir tentang sebab-akibat, konservatif, klarifikasi, penarikan kesimpulan (Wiresti, 2020) namun belum mencapai tahapan formal. Karena telah melewati tahap konkret maka konsep tentang bilangan pada subjek penelitian telah berkembang (Juwantara et al., 2019). Kesalahan dilakukan oleh subjek penelitian pada indikator number sense pemahaman pada besaran bilangan dan mampu mengenali efek relatif operasi bilangan. Jenis kesalahan yang dilakukan yaitu kesalahan prinsip dan kesalahan operasi berupa kesalahan karena kurang teliti dalam proses perhitungan. Sulistyaningsih & Rakhmawati (2017) penyebab kesalahan perhitungan (komputasi) yaitu peserta didik kurang teliti dalam melakukan perhitungan dan peserta didik kurang memahami operasi bilangan bulat. Sedangkan kesalahan pada berpikir logis terjadi ketika peserta didik  membuat  asumsi  yang  menurutnya  benar  meskipun  sebenarnya  salah  secara  substansi  konsep  dan tidak logis. Akibatnya, proses konstruksi penyelesaian masalah yang melibatkan asumsi tersebut menjadi salah (Hidayanto et al., 2018).

## Analisis Kesalahan pada Number Sense Ditinjau dari Berpikir Logis Tahap Konkret
Penyelesaian  tes number  sense oleh  S9  dilakukan  sampai  mendapatkan  hasil  akhir.  S9  dalam pengerjaan tes number sense meliputi 4 indikator berupa mampu memahami arti dasar bilangan dan operasi, mampu mengenali besaran bilangan, mampu menggunakan representasi bilangan dan operasi, dan mampu mampu  mengenali  efek  relatif  operasi  pada  bilangan.  Indikator  berupa  mampu  menilai  kewajaran  hasil komputasi didapat dengan wawancara. Saat mengerjakan tes number sense S9 terlihat percaya diri untuk menyelesaikan  soal  yang  diberikan  oleh  peneliti.  Selama  proses  menyelesaikan  soal  S9  membutuhkan waktu lebih cepat daripada S1 untuk mengerjakan soal. Gambar 2 merupakan dokumentasi jawaban S9.
Gambar 2. Hasil Penyelesaian Tes Number Sense S9
S9 memahami masalah berupa apa yang diketahui yaitu terdapat uang 150 lembar, terdiri dari 20% pecahan Rp 5.000 setengah bagiannya uang Rp 10.000, 2 5 dari sisanya uang Rp 20.000 dan sisanya ada Rp 50.000.  Untuk  memudahkan  pekerjaannya  S9  memisalkan  jumlah  uang  pecahan  Rp.5000  sebagai a , memisalkan  jumlah  uang  pecahan  Rp.10.000  sebagai b kemudian  memisalkan  jumlah  uang  pecahan Rp.20.000  sebagai c dan  melupakan  jumlah  uang  pecahan  Rp.50.000  yang  artinya  pada  kasus  ini  S9 melakukan  kesalahan  fakta.  Proses  pemisalan  ini  menunjukan  S9  melibatkan  representasi  bilangan  dan operasi  yang  menjadi  indikator  ketiga  pada number  sense .  Dan  S9  juga  mampu  memahami  indikator pertama  dari number  sense yaitu  memahami  arti  dasar  bilangan  dan  operasi.  S9  memahami  arti  dasar bilangan pada nominal uang yang berbeda. Kemudian S9 memahami arti dasar operasi berupa 150 lembar uang terbagi pada empat pecahan nominal. Langkah pertama pengerjaan S9 melakukan kesalahan prinsip karena menganggap 150 lembar itu sebanding dengan 150%. Hal ini salah karena jika 150 lembar adalah keseluruhan maka itu sebanding dengan 100%. S9 kemudian menghitung 150% × 20% = 30 yang dalam perhitungan  ini  pun  S9  melakukan  kesalahan  operasi  sekaligus  kesalahan  prinsip.  Dari  pengerjaan  yang salah  tersebut,  S9 mendapatkan  hasil  bahwa  banyak  lembaran  Rp  5.000  adalah  30  lembar.  Keseluruhan pecahan  uang  Rp  5.000  di  dapatkan  oleh  S9  dengan 𝑅𝑝. 5.000  × 30 lembar = 𝑅𝑝. 150.000 .    Langkah kedua  untuk  mencari  banyak  uang  pecahan  10.000-an  S9  melakukan  kesalahan  prinsip.  Pengerjaan  S9 adalah mengurangkan seluruh lembaran uang dengan banyak lembaran uang Rp 5.000 dan mendapatkan hasil 120. Selain itu S9 juga melakukan pengurangan dari keseluruhan uang yang S9 anggap sebagai 100% dikurangi dengan banyak uang pecahan Rp 5.000 yaitu 20% dengan hasil 80%. Dari apa yang diketahui di soal  bahwa  uang  pecahan  10.000-an  adalah  setengah  bagiannya  maka  S9  mengkali  80%  dengan 1 2 dan menghasilkan 40%. Selanjutnya S9 menggunakan semua perhitungan tersebut untuk mendapatkan banyak lembaran uang 10.000an yaitu 120 80 × 40% = 60 . Uang keseluruhan pecahan Rp 10.000 dihitung oleh S9 dengan 60  × 𝑅𝑝. 10.000 = 𝑅𝑝. 600.000 . Langkah ketiga untuk mencari banyak uang pecahan Rp 20.000 S9 melakukan kesalahan prinsip sama seperti langkah kedua. Pengerjaan S9 adalah mengurangkan seluruh lembaran uang dengan banyak lembaran uang Rp 5.000 dan banyak lembaran Rp 10.000 dan mendapatkan hasil 60. Selain itu S9 juga melakukan pengurangan dari keseluruhan uang yang S9 anggap sebagai 100%
dikurangi dengan banyak uang pecahan Rp 5.000 yaitu 20% dan 40% lembaran uang Rp 10.000 dengan hasil 40%. Dari apa yang diketahui di soal bahwa uang pecahan Rp 20.000 adalah dua perlima sisanya maka S9  mengkali  40%  dengan 2 5 dan  menghasilkan  16%.  Selanjutnya  S9  menggunakan  semua  perhitungan tersebut  untuk mendapatkan  banyak lembaran  uang  Rp.20.000  yaitu 60 40 × 16% = 24 .  Uang  keseluruhan pecahan  Rp  20.000  dihitung  oleh  S9  dengan 24 × 𝑅𝑝. 20.000 = 𝑅𝑝. 480.000 .  Langkah  terakhir  S9 langsung menghitung keseluruhan uang yang dimiliki Rini dan mendapatkan hasil Rp.1.230.000. Adapun untuk indikator number sense berupa mampu menilai kewajaran hasil yang diperoleh saat menyelesaikan masalah, S9 mengungkapkan bahwa proses penyelesaian yang dilakukan olehnya salah, sehingga hasil yang dia dapatkan dari penyelesaian adalah tidak wajar. Artinya, S9 mampu menilai kewajaran hasil. Juwantara et al., (2019) peserta didik pada tahap operasi konkret sudah cukup matang untuk menggunakan pemikiran logika atau operasi, tetapi hanya untuk objek fisik yang ada saat ini namun tanpa objek fisik di hadapan mereka,  peserta  didik  pada  tahap  operasional  kongkrit  masih  mengalami  kesulitan  besar  dalam menyelesaikan tugas-tugas logika. Menurut Syafmen & Marbun (dalam Septiati, 2018) dalam pemahaman konsep yang tidak didukung oleh kemampuan berpikir logis akan mengakibatkan peserta didik mempunyai intuisi yang baik tentang suatu konsep tapi tidak mampu menyelesaikan suatu masalah. Anditiasari & Dewi (2021)  pada  tahap  operasional  konkret  bisa  disimpulkan  bahwa  tidak  semua  anak  pada  usia  11  tahun menguasai  operasi      matematika      dasar      dengan      baik.  Kemudian    Nurjanah  &  Hakim  (2019) mengungkapkan bahwa peserta didik masih banyak ditemukan masalah dalam kemampuan number sense yang diliat dari gambaran jawaban peserta didik.
Analisis Kesalahan pada Structure Sense Ditinjau dari Berpikir Logis Kriteria Transisi
Penyelesaian  tes structure  sense S39  dilakukan  sampai  mendapatkan  hasil  akhir  dan  meliputi  3 indikator structure sense . Saat S39 mengerjakan tes structure sense S39 terlihat beberapa kali menghentikan penyelesaiannya. S39 menuliskan hal pertama yang diketahui adalah bentuk pertidaksamaan bilangan laki- laki > bilangan perempuan dimana bilangan laki-laki lebih dari 3 dari bilangan perempuan. Kemudian S39 menuliskan juga selisih bilangan kuadrat dari keduanya adalah 45. Langkah S9 untuk menemukan jawaban diawali  dengan  menggunakan  bilangan  laki-laki  >  bilangan  perempuan  karena  itulah  S39  melakukan kesalahan  fakta  pada  penyelesaian  soal.  Hasil  proses  penyelesaian  soal  tes structure  sense S39  dengan berpikir logis kriteria transisi tersaji pada Gambar 3 berikut.

## Gambar 3. Penyelesaian Tes Structure Sense S39
Pada indikator structure sense berupa mengidentifikasi struktur yang sudah dikenal dengan cara yang  paling  sederhana  selain  dengan  mengidentifikasi  bilangan  laki-laki  >  perempuan,  S39  juga
memisalkan bilangan laki-laki menjadi 𝑙 dan bilangan perempuan menjadi 𝑝 . Kesalahan pada indikator ini terjadi saat S39 tidak memisalkan selisih kuadrat angka keduanya kedalam simbol yang akibatnya adalah muncul  kesalahan  fakta.  Langkah selanjutnya  dari  bentuk  pertidaksamaan,  S39 mulai menyederhanakan bentuk setelah mendapatkan bentuk 𝑙 + 3 > 𝑝 . S39 mengurangi ruas kanan dan ruas kiri dengan 𝑝 sehingga menghasilkan  pertidaksamaan 𝑙 − 𝑝 > −3 .  Indikator structure  sense berupa  mengidentifikasi  struktur familiar  yang  lebih  kompleks  dengan  operasi  substitusi  yang  tepat  untuk  dilakukan  saat  menggunakan struktur untuk memecahkan masalah yang diberikan dilakukan oleh S39 saat mensubsitusi selisih kuadrat angka  keduanya  pada  bentuk  pertidaksamaan  sehingga  menghasilkan (𝑙 − 𝑝) 2 > −3 .  Saat  menangani ekspresi  aljabar  kompleks  sebagai  satu  unit  sebagai  salah  satu  indikator structure  sense S39  melakukan kesalahan konsep berupa (𝑙 − 𝑝) 2 = 𝑙 2 − 𝑝 2 . Kesalahan fakta berupa mensubstitusikan 45 pada 𝑙 2 sehingga mendapatkan bentuk pertidaksamaan 45 − 𝑝 2 > −3 .
P : 𝑙 2 − 𝑝 2 itu darimana?
S29 : Ini kan 𝑙 − 𝑝 ada ditanda kurung. Terus dikuadratin. Jadinya 𝑙 2 sama 𝑝 2
P : Oh, iya. Terus kalau 𝑙 2 sama dengan 45 ini darimana?
S39 : Dari soal ustadzah. Kan selisih angka keduanya 45. Terus yang dipegang perempuan lebih besar 3.
Untuk menyederhanakan bentuk pertidaksamaan S39 mengurangi ruas kanan dan ruas kiri dengan 45  menjadi −𝑝 2 > −3 − 45 .  Setelah  menghitung −3 − 45  = −48 ,  S39  menuliskan  persamaan −𝑝 2 > −48 menjadi 𝑝 2 > 48 . Pencarian nilai 𝑝 oleh S39 lanjutkan dengan mencari akar dari 48 yang dibulatkan menjadi  7.  Dan  hasil  ini  dijadikan  sebagai  jawaban  bilangan  yang  dipegang  oleh  perempuan.    Langkah terakhir untuk mencari bilangan yang dipegang oleh laki-laki S39 menjumlahkan 7 dengan 3 sehingga di dapatkan hasil akhir bahwa bilangan yang dipegang oleh laki-laki adalah 10.
P : Menurut kamu jawaban yang kamu dapatkan sudah betul?
S39 : Betul ustadzah. Di soal kan disebutkan bedanya 3. Jawaban aku kan 10 sama 7. Bedanya 3.
Sugilar et al. (2019)  kemampuan structure sense peserta didik masih rendah dikarenakan kepekaan simbol dan manipulasi aljabar masih rendah dengan faktor penyebab peserta didik kesulitan mengubah soal cerita  ke  bentuk  simbol,  kurang  memahami  makna  simbol  atau  peubah  itu  apa,  dan  kebingungan mengoperasikan simbol itu. Tahap transisi adalah tahapan dimana tahap konkret sudah dilalui namun belum sampai pada tahap formal. Anak pada tahap konkret mulai memiliki kemampuan untuk mengetahui simbol- simbol matematis, namun belum dapat menghadapi hal-hal yang abstrak (Syarifin, 2017).

## Analisis Kesalahan pada Structure Sense Ditinjau dari Berpikir Logis Kriteria Konkret
Penyelesaian tes structure sense S13 dilakukan sampai mendapatkan hasil akhir dan meliputi dua indikator structure  sense .  Hasil  proses  penyelesaian  soal  tes structure  sense S13  dengan  berpikir  logis kriteria konkret tersaji pada Gambar 4 berikut.
Gambar 4. Hasil Penyelesaian Tes Structure Sense S13
Penyelesaian  soal  yang  dilakukan  oleh  S13  langkah-langkahnya  lebih  sederhana  dikarenakan kesalahan fakta saat merepresentasikan apa yang diketahui dari soal ke bentuk simbol. Hal pertama yang dituliskan oleh S13 untuk menyelesaikan soal adalah menulis apa diketahui di soal berupa ada dua bilangan berbeda  dan  memisalkan  bilangan  laki-laki  menjadi 𝑎 dan  bilangan  perempuan  menjadi 𝑏 .  Hal  ini menunjukan  S13  mengidentifikasi  struktur  yang  sudah  dikenal  dengan cara  yang  paling  sederhana  yang menjadi salah satu indikator structure sense . Kesalahan fakta terjadi saat S13 memisalkan bilangan laki- laki lebih 3 dari bilangan perempuan dengan 𝑎 = 3𝑏 yang seharusnya 𝑎 = 3 + 𝑏 atau 𝑎 = 𝑏 + 3 . P : 𝑎 = 3𝑏 itu darimana?
S13 : Ini kan yang diketahui di soalnya, angka yang ada di laki-laki lebih 3 dari angka yang ada di perempuan.
P : Oh iya. Kalau 𝑎 − 𝑏 = 45 2 darimana?
S13 : Dari selisih kuadrat angka keduanya 45.
P
: Jadi yang dikuadratkan 45 nya ya?
S13 : Iya.
P : Bukan 𝑎 dan 𝑏 yang dikuadratkannya?
S13 : Bukan, ustadzah.
Selain kesalahan fakta pada bagian tersebut, kesalahan fakta juga terjadi saat S13 memisalkan selisih kuadrat angka keduanya pada simbol dengan menuliskan 𝑎 − 𝑏 = 45 2 sehingga dari kesalahan fakta ini S13 tidak menemukan langkah yang merujuk pada indikator structure sense menangani ekspresi aljabar kompleks  sebagai  satu  unit.  S13  memulai  pengerjaan  dari  dari 𝑎 − 𝑏 = 45 2 yang  merupakan  hasil kesalahan  berupa  kesalahan  fakta  dan  menghitung 45 2 = 45 × 45 = 2025 .  Setelahnya  S13  melakukan indikator structure sense mengidentifikasi struktur familiar yang lebih kompleks dengan operasi substitusi
yang tepat untuk dilakukan saat menggunakan struktur untuk memecahkan masalah yang diberikan dengan melakukan  substitusi 𝑎 = 3𝑏 pada  persamaan.  S39  menyederhanakan  bentuk 3𝑏 − 𝑏 = 2025 → 2𝑏 = 2025 .  Untuk  mendapatkan  nilai 𝑏 maka  S13  membagi  ruas  kanan  dan  ruas  kiri  dengan  2  sehingga menghasilkan 1012,5 .  Untuk  menjawab  pertanyaan  menebak  angka  yang  ada  dilaki-laki  S39  kemudian mensubstitusikan b pada persamaan 𝑎 = 3𝑏 → 𝑎 = 3 × 1012,5 dan menghasilkan 𝑎 = 3037,5 .
P : Menurutmu jawaban yang didapat sudah benar?
S39 : Salah ustadzah.
P : Kok bisa salah? Salahnya dimana coba?
S39 : Ini hasilnya koma-komaan, tidak bulat.
Kesimpulan dari penyelesaian tes structure sense dan wawancara dari S13 yang berpikir logis dengan kriteria  konkret  adalah  S13  melakukan  kesalahan  fakta  pada  bagian  indikator structure  sense mengidentifikasi  struktur  yang  sudah  dikenal  dengan  cara  yang  paling  sederhana  dan  tidak  menemukan langkah yang merujuk pada indikator structure sense menangani ekspresi aljabar kompleks sebagai satu unit. . Marina dan Clements melaporkan bahwa sekitar 70% dari kesalahan yang dilakukan peserta didik karena  kurangnya  pemahaman  makna  kata  atau  kosakata  matematika  dan  ketidakmampuan  untuk melakukan operasi matematika secara sistematis (White, 2005). Pada komponen berpikir logis yaitu mampu berargumen  dan  menarik  kesimpulan  subjek  penelitian  gagal  melakukannya  karena  argumen  yang diungkapkan tidak sesuai dengan fakta di soal dan alasan diberikan tidak logis.  Hidayanto et al., (2018) mengungkapkan  kesalahan  pada  berpikir  logis  terjadi  ketika  peserta  didik  membuat  asumsi  yang menurutnya benar meskipun sebenarnya salah secara substansi konsep dan tidak logis. Akibatnya, proses konstruksi penyelesaian masalah yang melibatkan asumsi tersebut menjadi salah.

## KESIMPULAN
Berdasarkan hasil penelitian dan analisis data maka dapat diperoleh simpulan peserta didik dengan berpikir logis tahap transisi melakukan kesalahan pada indikator number sense pemahaman pada besaran bilangan  dan  mampu  mengenali  efek  relatif  operasi  bilangan.  Jenis  kesalahan  yang  dilakukan  yaitu kesalahan prinsip dan kesalahan operasi berupa kesalahan karena kurang teliti dalam proses perhitungan. Peserta didik dengan berpikir logis tahap konkret melakukan kesalahan indikator number sense pemahaman pada  besaran  bilangan,  mampu  mengenali  efek  relatif  operasi  bilangan  dan  mampu  menggunakan representasi bilangan. Jenis kesalahan yang dilakukan yaitu kesalahan prinsip dan kesalahan operasi pada penggunaan bentuk persen. Peserta didik dengan berpikir logis tahap transisi melakukan kesalahan pada indikator structure sense mengidentifikasi struktur yang sudah dikenal dengan cara yang paling sederhana dan indikator menangani ekspresi aljabar kompleks sebagai satu unit. Jenis kesalahan yang dilakukan adalah kesalahan fakta dan kesalahan konsep. Peserta didik dengan kriteria berpikir logis tahap konkret melakukan kesalahan pada indikator structure sense mengidentifikasi struktur yang sudah dikenal dengan cara yang paling sederhana dan tidak menemukan langkah yang merujuk pada indikator structure sense menangani ekspresi aljabar kompleks sebagai satu unit.
Bagi guru diharapkan memperhatikan tahap berpikir logis peserta didik agar pembelajaran dapat berjalan maksimal. Bagi peneliti selanjutnya diharapkan dapat mengkaji kesalahan dengan variabel bersifat jenuh. Selain itu, diharapkan hasil penelitian ini dapat dijadikan bahan pengalaman bagi peneliti selanjutnya supaya dapat melakukan penelitian lebih baik lagi dan dapat mengembangkan dan meningkatkan kualitas pembelajaran berlangsung.

## UCAPAN TERIMA KASIH
1. Dr. Nani Ratnaningsih, M.Pd. selaku Ketua Prodi Magister Pendidikan Matematika.
2. Dr.  H.  Supratman,  M.  Pd  sebagai  pembimbing  I  yang  telah  membimbing  penulis  dalam penyelesaian penyusunan tesis.
3. Dr. Sri Tirto Madawistama, M. Pd sebagai pembimbing II yang telah membimbing penulis dalam penyelesaian penyusunan tesis.
4. Seluruh  Dosen  dan  Staf  Program  Studi  Magister  Pendidikan  Matematika  Universitas Siliwangi Tasikmalaya.
5. Fahrulraji,  S.Pd  selaku  Kepala  Sekolah  MTs.  Fadris  yang  telah  mengijinkan  penulis melakukan penelitian di lembaga yang dipimpin.
6. Megarani  Puspita,  M.Pd  selaku  guru  matematika  di  MTs.  Fadris  yang  telah  menjadi narasumber untuk studi pendahuluan.
7. Osep Yulian Nugraha, S.Pd selaku suami yang selalu memberikan  ridha, dukungan dan waktu kepada penulis untuk bertukar pikiran.

## REFERENSI
Anditiasari, N., & Dewi, N. R. (2021). Analisis Teori Perkembangan Kognitif Piaget Pada Anak Usia 11 Tahun Di Brebes Piaget ’ s Theory of Cognitive Development Analysis in 11 Year Olds in Brebes.
Jurnal Matematika Dan Pendidikan Matematika , 6 (1), 97–108.
Ash-Shiddieqy, M. H., Suparmi, A., & Sunarno, W. (2018). The effectiveness of module based on guided inquiry method to improve students’ logical thinking ability. Journal of Physics: Conference Series , 1006 (1). https://doi.org/10.1088/1742-6596/1006/1/012001
Fitriyah, D. M., Indrawatiningsih, N., & Khoiri, M. (2019). Analisis Kemampuan Berpikir Logis Matematis Siswa SMP Kelas VII dalam Memecahkan Masalah Matematika Ditinjau dari Gaya Belajar. Jurnal Edukasi Matematika Dan Sains , 7 (1), 1. https://doi.org/10.25273/jems.v7i1.5286
Hidayanto,  T.,  Subanji,  &  Erry,  H.  (2018).  Jurnal  Kajian  Pembelajaran  Matematika. Jurnal  Kajian Pembelajaran Matematika , 2 (1), 10. http://journal2.um.ac.id/index.php/jkpm
Jana,  P.,  Studi,  P.,  Matematika,  P.,  &  Yogyakarta,  K.  (2018). Analisis  Kesalahan  Mahasiswa  Dalam Menyelesaikan Soal Matematika Pada Pokok Bahasan Vektor . 2 (2), 1–7.
Jumiati, Y., & Zanthy, L. S. (2020). Analisis Kesalahan Siswa Dalam Menyelesaikan Soal Cerita Persamaan
dan Pertidaksamaan Linear Satu Variabel. JPMI (Jurnal Pembelajaran Matematika Inovatif) , 3 (1), 11–18. https://doi.org/10.22460/jpmi.v3i1.p11-18
Juwantara, R. A., Pendidikan, P., Madrasah, G., Universitas, P., Negeri, I., & Kalijaga, S. (2019). ANALISIS TEORI  PERKEMBANGAN  KOGNITIF  PIAGET  PADA  TAHAP  ANAK  USIA  OPERASIONAL KONKRET 7-12 TAHUN DALAM . 9 (1), 27–34.
Maharani, I. P., & Subanji, S. (2018). Scaffolding Based on Cognitive Conflict in Correcting the Students’ Algebra  Errors. International  Electronic  Journal  of  Mathematics  Education , 13 (2),  67–74. https://doi.org/10.12973/iejme/2697
Mawaddah,  S.,  Noorbaiti, R.,  &  Ulfah,  A.  (2021).  Analysis  of  number  sense  capabilities  of  prospective mathematics teachers. Journal of Physics: Conference Series , 1760 , 012042. https://doi.org/10.1088/1742-6596/1760/1/012042
Moleong, L.J. (2017). Metodologi Penelitian Kualitatif Edisi Revisi . Bandung: PT Remaja Rosdakarya Nurfalah, A., & Bernard, M. (2020). Analisis Kesalahan Siswa SMK dalam Menyelesaikan Soal Materi Geometri Dimensi Tiga. Maju , 7 (1), 70–75. https://doi.org/10.22460/jpmi.v4i1.193-204
Nurjanah,  U.,  &  Hakim,  D.  L.  (2019).  Number  sense  siswa  pada  materi  bilangan. Prosiding  Seminar Nasional Matematika Dan Pendidikan Matematika , 1174–1182.
Ratnaningsih N & E Hidayat. (2021). Error analysis and its causal factors in solving mathematical literacy problems  in terms  of  habits  of  mind  Error  analysis  and  its  causal factors  in solving  mathematical literacy problems in terms of habits of mind . https://doi.org/10.1088/1742-6596/1764/1/012104 Sari,  H.  E.,  Junarti,  D.,  Pd,  M.,  &  Ningrum,  I.  K.  (2020). Kemampuan  Prosedural  Dalam  Mengenal Structure  Sense  Pada  Hukum  Distributif  Siswa  Kelas  VII  MTs  Matholi  ’  Ul  Fallah  Simo  Tahun Pelajaran 2019 / 2020 . 1–12.
Septiahani, A., Melisari, & Zanthy, L. S. (2020). Analisis Kesalahan Siswa SMK dalam Menyelesaikan Soal  Materi  Barisan  dan  Deret. Mosharafa  Jurnal  Pendidikan  Matematika , 9 (2),  311–322. http://journal.institutpendidikan.ac.id/index.php/mosharafa%0AI.
Septiati,  E.  (2018).  Kemampuan  Berpikir  Logis  Mahasiswa  Pendidikan  Matematika  Pada  Mata  Kuliah Analisis Real. Wahana Didaktika : Jurnal Ilmu Kependidikan , 16 (2), 207. https://doi.org/10.31851/wahanadidaktika.v16i2.2048
Sugilar, H., Kariadinata, R., & Sobarningsih, N. (2019). Spektrum Symbol Dan Structure Sense Matematika Siswa  Madrasah  Tsanawiyah. KALAMATIKA  Jurnal  Pendidikan  Matematika , 4 (1),  37–48. https://doi.org/10.22236/kalamatika.vol4no1.2019pp37-48
Sulistyaningsih,  A.,  &  Rakhmawati,  E.  (2017).  Analisis  Kesalahan  Siswa  Menurut  Kastolan  Dalam Pemecahan Masalah Matematika. Seminar Matematika Dan Pendidikan Matematika Uny , 19 (2), 123– 130.
Syarifin,  A.  (2017).  Percepatan  Perkembangan  Kognitif  Anak:  Analisis  Terhadap  Kemungkinan  Dan
Persoalannya. Al-Bahtsu: Jurnal Penelitian Pendidikan … , 2 (1). https://ejournal.iainbengkulu.ac.id/index.php/albahtsu/article/view/343
Madawistama
Tobin, K. G. (1981). Reasoning Ability . 1 , 413–423.
Vincent, J., Pierce, R., & Bardini, C. (2017). Structure Sense: A Precursor to Competency in Undergraduate Mathematics. Australian Senior Mathematics Journal , 31 (1), 38–47.
Wiresti,  R.  D.  (2020). Aulad :  Journal  on  Early  Childhood  Aspek  Perkembangan  Anak :  Urgensitas
Ditinjau dalam Paradigma Psikologi Perkembangan Anak . 3 (1), 36–43. https://doi.org/10.31004/aulad.v3i1.53
Wulandari,  N.  P.,  Safitri, A.  S.,  Apsari,  R.  A.,  Junaidi,  J., &  Lu’luilmaknun,  U.  (2020).  Pengembangan Lembar  Kegiatan  Siswa  Untuk  Meningkatkan  Kemampuan  Number  Sense  Siswa. SAP  (Susunan Artikel Pendidikan) , 4 (3). https://doi.org/10.30998/sap.v4i3.6284
Yang, D. C., & Sianturi, I. A. J. (2021). Sixth Grade Students’ Performance, Misconception, and Confidence on a Three-Tier Number Sense Test. International Journal of Science and Mathematics Education , 19 (2), 355–375. https://doi.org/10.1007/s10763-020-10051-3
Yilmaz, Z. (2017). Young children’s number sense development: Age related complexity across cases of three children. International Electronic Journal of Elementary Education , 9 (4), 891–902.