## Penentuan Harga Opsi Barrier Menggunakan Metode Trinomial Kamrad- Ritchken Dengan Volatilitas Model Garch
S.Sulastri 1 , Lienda Novieyanti 2 , Sukono 3
Program Studi Kewirausahaan, Universitas Pendidikan Indonesia, Tasikmalaya, Indonesia Departemen Statistika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Padjajaran, Bandung, Indonesia 2 Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Padjajaran, Bandung, Indonesia 3
Abstract. This study aims to minimize the violation of the assumptions of determining price options by taking into account the actual market conditions in order to obtain the right price that will provide high profits for  investors. The method used to determine the option price in this study is the Kamrad Ritchken trinomial with volatility values that will be modeled first using GARCH. The data used in this study is daily data (5 working days per week) from the closing price of the stock price of PT. Bank Rakyat Indonesia, Tbk (BBRI. Based on the results of the research, the best model is GARCH (1,1). For the call up barrier option, increase the strike price with the initial price and barrier which causes the option price to call up the barrier "in" and "out" decreases, on the contrary to the put barrier option, an increase in strike price with the initial price and a barrier that causes the put barrier option price to both put up-in and put up-out. initial and barrier which still causes the call down barrier option price both in and out decreases, on the contrary in the put down barrier option, increasing strike price with the initial price and barrier which causes the put down barrier option price to increase in and out.
Keywords : Barrier Options, Trinomial, Kamrad Ritchken, Volatility, GARCH
Abstrak. Penelitian ini bertujuan untuk meminimalkan pelanggaran asumsi-asumsi penentuan harga opsi dengan memperhatikan  kondisi  pasar  yang  sebenarnya  sehingga  diperoleh  harga  yang  tepat  yang  akan  memberikan keuntungan tinggi bagi investor. Metode yang digunakan untuk menentukan harga opsi dalam penelitian ini adalah trinomial Kamrad Ritchken dengan nilai volatilitas yang akan dimodelkan terlebih  dahulu  dengan menggunakan GARCH.  Data  yang  digunakan  dalam  penelitian  ini  adalah  data  harian  (5  hari  kerja  per  minggu)  dari  harga penutupan harga saham PT. Bank Rakyat Indonesia, Tbk (BBRI). Berdasarkan hasil penelitian diperoleh model yang paling baik adalah GARCH (1,1). Untuk opsi call up barrier, peningkatan strike price dengan harga awal dan barrier yang  tetap  menyebabkan  harga  opsi  call  up  barrier  baik  "in"  maupun  "out"  menurun,  sebaliknya  pada opsi  put barrier, peningkatan strike price dengan harga awal dan barrier yang tetap menyebabkan harga opsi put barrier baik put up-in maupun put up-out meningkat. Sedangkan untuk opsi call barrier, peningkatan strike price dengan harga  awal  dan  barrier  yang  tetap  menyebabkan  harga  opsi  call  down  barrier  baik  in  maupun  out  menurun, sebaliknya  pada  opsi  put  down  barrier,  peningkatan  strike  price  dengan  harga  awal  dan  barrier  yang  tetap menyebabkan harga opsi put down barrier baik in maupun out meningkat.
Kata Kunci :  Opsi Barrier, Trinomial, Kamrad Ritchken, Volatilitas, GARCH
Correspondence. sulastri@upi.edu, lienda@unpad.ac.id, sukono@unpad.ac.id History of article. Received: Oktober 2018, Revision: Januari 2019, Published: Maret 2019

## 1. PENDAHULUAN
Opsi  merupakan  instrumen  keuangan  yang memegang  peranan  penting  dalam  suatu  investasi. Seorang  investor  yang  ingin  melindungi  investasinya dapat melakukan transaksi jual beli opsi. Di Indonesia, opsi mulai diperdagangkan pada tanggal 20 November 2007 yang diperkenalkan dengan nama Kontrak Opsi Saham  (KOS).  Opsi  merupakan  kontrak  perjanjian antara dua pihak yang memberikan hak kepada salah satu  pihak  saja,  untuk  menjual  atau  membeli  aset pada harga yang telah disepakati sampai waktu jatuh tempo. Berdasarkan waktu penggunaan haknya, opsi
terbagi  menjadi  opsi  Eropa  yaitu  opsi  yang  hanya dapat di eksekusi (exercise) pada tanggal berakhirnya kontrak,  dan  opsi  Amerika  yaitu  opsi  yang  dapat  di eksekusi kapan saja sampai waktu jatuh tempo. Opsi Eropa dan opsi Amerika dikenal sebagai opsi standar. Opsi lain selain opsi standar yang melibatkan turunan lebih  kompleks  disebut  dengan  opsi  eksotik.  Salah satu jenis opsi eksotik yang paling terkenal adalah opsi barrier (barrier option). Opsi barrier merupakan suatu opsi  dimana  pergerakan  harga  dari  asset  yang mendasarinya dibatasi pada tingkat harga yang telah ditentukan (Haruman & Hendrawan, 2009).

## S.Sulastri
Penentuan  Harga  Opsi  Barrier  Menggunakan  Metode  Trinomial  Kamrad-Ritchken  Dengan  Volatilitas Model Garch
Salah  satu  faktor  penting  yang  harus diperhatikan  dalam  transaksi  jual  beli  opsi  adalah menentukan  harga  opsi  agar  keuntungan  yang diperoleh bisa maksimal. Oleh karena itu pengetahuan  mengenai  penentuan  harga  opsi  yang akurat  sangat  diperlukan  dalam  membuat  dan memutuskan strategi perdagangannya.
Dalam  menentukan  harga  opsi  barrier, terdapat  beberapa  faktor  yang  perlu  diperhatikan antara  lain  harga  saham  awal,  strike  price,  waktu, volatilitas  harga  saham,  tingkat  suku  bunga  bebas risiko  dan  metode  yang  digunakan.  Saat  ini  dalam penentuan  harga  opsi  masih  banyak  terjadi pelanggaran  asumsi  terhadap  faktor-faktor  tersebut, salah satunya adalah volatilitas.
Volatilitas merupakan ukuran ketidakpastian dari pergerakan harga  saham pada  waktu yang akan datang. Semakin besar volatilitas, akan semakin besar pula  kemungkinan  harga  aset  dapat  naik  atau  turun secara drastis. Dalam model keuangan konvensional, volatilitas  diasumsikan  bernilai  konstan  selama  satu periode  tertentu.  Asumsi  ini  tidak  sesuai  dengan kenyataan  bahwa  besarnya  volatilitas  tidak  pernah tetap.  Menurut  Ross  (1995)  perhitungan  volatilitas dapat  dilakukan  dengan  berbagai  metode  salah satunya dengan standard deviasi namun perhitungan dengan  standard  deviasi  dinilai  kurang  memiliki akurasi  yang  tepat  karena  belum  memperhitungkan varian  residualyang  tidak  konstan  sebagai  implikasi dari  volatilitas  yang  terjadi  dalam  suatu  data  series. Varian residual yang tidak konstan ini pada umumnya disebut juga sebagai kondisi heteroskedastisitas.
Untuk memperlihatkan volatilitas yang tidak konstan salah satunya dapat dilihat pada pergerakan harga  saham  PT.  Bank  Rakyat  Indonesia,  Tbk  (BBRI). Saham  PT.  Bank  Rakyat  Indonesia,  Tbk  merupakan salah satu saham yang  memiliki volatilitas tinggi, hal ini dapat dilihat dengan masuknya saham tersebut ke dalam daftar emiten LQ45 .
Indeks  LQ  45  adalah  nilai  kapitalisasi  pasar dari  45  saham  yang  paling  likuid  dan  memiliki  nilai kapitalisasi yang besar. Indeks LQ 45, menggunakan 45 saham yang terpilih berdasarkan likuiditas perdagangan  saham  dan  disesuaikan  setiap  enam bulan (setiap awal bulan Februari dan Agustus). Maka saham  yang  terdapat  dalam  indeks  tersebut  akan selalu  berubah.  Pergerakan  harga  saham  PT.  Bank Rakyat Indonesia Tbk dapat dilihat pada Gambar 1.1.
Berdasarkan  Gambar  1.  dapat  dilihat  harga saham  Bank  Rakyat  Indonesia,  Tbk  mempunyai volatilitas  yang  cenderung  tinggi.  Pada  suatu  ketika bisa  terjadi  kenaikan  yang  tajam,  kemudian  juga terjadi  penurunan  secara  tajam  pula.  Hal  tersebut menunjukkan volatilitas harga saham yang tinggi.
Sumber : finance.yahoo.com Gambar  1.  Harga  Saham  PT.  Bank  Rakyat  Indonesia Tbk Periode Tahun 2016 – Januari 2019
Selain permasalahan volatilitas yang seringkali diasumsikan konstan, permasalahan dalam metode  perhitungan  harga  opsi  yang  dipergunakan juga  seringkali  tidak  sesuai  dengan  kondisi  pasar. Contohnya  dalam  perhitungan  harga  opsi  dengan menggunakan metode binomial, peluang pergerakan harga  saham  hanya  dilihat  naik  atau  turun  saja. Padahal  dalam  kenyataannya  harga  saham  tidak hanya  mengalami  kenaikan  atau  penurunan  saja tetapi sangat memungkinkan pula harganya tetap.
Dalam  menentukan  harga  opsi  yang  tepat maka  kondisi-kondisi  seperti  di  atas  harus  dapat diatasi.  Dalam  mengatasi  permasalahan  volatilitas dengan varian residual yang bersifat heteroskedastis pada  tahun  1982  Engle  memperkenalkan  model Autoregressive Conditional Heteroscedasticity (ARCH). Engle menganalisis varian residual yang selalu berubah-ubah  untuk  setiap  observasi  dalam  runtun waktu. Pada tahun 1986, Bollerslev mengembangkan model  ARCH  menjadi  model  GARCH  (Generalized Autoregressive Conditional Heteroscedasticity). Menurut  Bollerslev,  varian  residual  tidak  hanya bergantung  pada  residual  periode  lalu  tetapi  juga varian  residual  periode  lalu.  Dengan  memodelkan terlebih  dahulu  varian  residual  dengan  GARCH diharapkan  diperoleh  perhitungan  volatilitas  yang tepat  sehingga  nilai  volatilitas  ini  dapat  digunakan dalam perhitungan harga opsi.
Selain  menentukan  nilai  volatilitas  yang tepat,  metode  perhitungan  harga  opsi  juga  perlu memperhatikan kondisi pasar yang sebenarnya. Pada tahun 1979, Cox, Ross dan Rubinstein memperkenalkan modelbinomial. Pada model binomial,  pemodelan  pergerakan  saham  hanya memiliki  dua  kemungkinan  yaitu  naik  atau  turun sehingga  dinilai  memiliki  kelemahan.  Model  ini dipandang tidak fleksibel dengan keadaan sebenarnya dimana  kemungkinan  pergerakan  harga  saham  tidak hanya  memiliki  dua  kemungkinan  (naik  atau  turun)
namun  bisa  saja  harga  saham  tersebut  tetap.  Oleh karena  itu  Phelim  Boyle  (1986)  mengembangkan suatu model yang dapat mengakomodasi adanya tiga kemungkinan  pergerakan  harga  saham  yang  dikenal dengan model trinomial.
Model trinomial merupakan suatu
pemodelan
pergerakan harga saham yang mengasumsikan  bahwa  terdapat  tiga  kemungkinan pergerakan  haga  saham,  yaitu  naik,  turun  ataupun tetap.  Karena  jumlah  titik  kemungkinan  harga sahamyang  lebih  banyak,  model  trinomial  dianggap lebih akurat dan lebih cepat dalam penentuan harga opsi dibandingkan model binomial.
Tahun  1991,  Ritchken  memodifikasi  model trinomial untuk penentuan harga opsi barrier karena model trinomial biasa yang dikembangkan oleh di nilai kurang  efektif  untuk  digunakan  dalam  penentuan harga opsi barrier. Model trinomial Ritchken mencari nilai  parameter  stretch  terbaik  yang  dapat menyesuaikan  pohon  harga  saham  sehingga  barrier akan tepat terletak pada salah satu baris kemungkinan harga  saham.  Tesis  ini  akan  membahas  mengenai penentuan  harga  opsi  barriermenggunakan  metode trinomial ritchken dengan volatilitas model GARCH. .

## 2. METODE PENELITIAN
Jenis penelitian yang digunakan merupakan jenis penelitian  terapan.  Data  yang  digunakan  dalam penelitian  ini  adalah  data  sekunder  yang  diperoleh dari www.finance.yahoo.com berupa harga penutupan  saham  Bank  Rakyat  Indonesia  (Persero) Tbk  PT  dengan  kode  BBRI.  Langkah-langkah  yang digunakan dalam penelitian ini yaitu sebagai berikut:
Gambar 2.  Langkah Kerja Volatilitas Model GARCH
Gambar 3. Langkah Kerja Trinomial Kamrad Ritchken

## S.Sulastri
Penentuan  Harga  Opsi  Barrier  Menggunakan  Metode  Trinomial  Kamrad-Ritchken  Dengan  Volatilitas Model Garch

## 3. HASIL DAN PEMBAHASAN
Menentukan Volatilitas dengan GARCH
Pengujian Stationeritas Data
Identifikasi  stationeritas  data  dapat  dilihat melalui Gambar 4 berikut.
Gambar 4. Augmented Dickey Fuller Test (ADF Test)
Pengujian  statsioneritas  dengan  menggunakan uji  Augmented  Dickey  Fuller  (ADF)  dengan  taraf signifikansi α = 5% ,  hipotesis sebagai berikut.
H0: Data tidak stationer
H1: Data stationer
Dengan  kriteria  uji  yaitu  tolak  H0  jika |ADF|   ≥ |t (α,v) | atau nilai Prob< α . Berdasarkan hasil pengujian diperoleh  nilai  kritis  t-statistic  pada  taraf  signifikansi 5% nilai |ADF| = 41,47356
dengan nilai Prob 0,000  <  0,05 .  Artinya  H0  ditolak  atau  data return saham stationer. 3.1.1 Estimasi Mean Model
Berdasarkan ciri teoritik proses AR, MA, atau ARMA  maka  identifikasi  model  AR,  MA,  atau  ARMA dapat  ditentukan  dari  ACF  dan  PACF  nya.  Berikut  ini disajikan plot ACF dan PACF data return, seperti pada Gambar 5  dan 6.
90 80 70 60 50 40 30 20 10 1 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0.0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1.0 Lag A ut oc or re la ti on Autocorrelation Function for C1 (with 5% significance limits for the autocorrelations)
Gambar 5.  ACF  Data Return Saham PT. Bank Rakyat Indonesia
90 80 70 60 50 40 30 20 10 1 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0.0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1.0 Lag P a rt ia l A u to co rr e la ti o n Partial Autocorrelation Function for C1 (with 5% significance limits for the partial autocorrelations)
Gambar 6. PACF Data Return Saham PT. Bank Rakyat Indonesia
Berdasarkan  Gambar  5  dan  PACF  pada  Gambar  6. terputus  setelah  lag  ke-1,  sehingga  model  yang mungkin adalah model AR (1), MA(1), dan ARMA(1,1).
Setelah diperoleh beberapa model sementara,  langkah  selanjutnya  adalah  mencari penaksir  terbaik  untuk  parameter  model  tersebut. Hasil penaksiran disajikan sebagai berikut. Berdasarkan  beberapa  model  yang  diusulkan tersebut,  selanjutnya  adalah  dilakukan  verifikasi model  berdasarkan  perbandingan  AIC  dan  SC  yang disajikan dalam Tabel 1.
Tabel  1.  Nilai  AIC  dan  SC  Model  AR(1),  MA(1),  dan ARMA(1,1) Model AIC SC AR(1) -4.353700 -4.348170 MA(1) -4.354917 -4.349389 ARMA(1,1) -4.354598 -4.346302
Penentuan  model  yang  paling  cocok  dapat dilakukan  berdasarkan  nilai  AIC  dan  SC.  Model  yang terbaik  adalah  model  yang  memiliki  nilai  AIC  dan  SC terkecil.  Sehingga  dari  ketiga  model  di  atas  model terbaik yang dapat digunakan adalah model MA(1).
3.1.2 Pengujian Hipotesis Model MA(1)
Berdasarkan  verifikasi  model  diperoleh model  MA(1),  selanjutnya  akan  dilakukan  pengujian hipotesis pada model MA(1) yang meliputi uji parsial, uji simultan, dan pengujian diagnostik.
1. Pengujian Parsial
Berdasarkan  verifikasi  model  dijelaskan bahwa  kostanta  pada  model  MA(1)  tidak  perlu diperhitungkan sehingga parameter yang diuji hanya untuk θ 1 dimana hipotesis yang diajukan adalah. H0 : θ 1 = 0 H1: θ 1 ≠ 0, kriteria  uji  tolak  H0jika t > t α ,  dengan Prob < α . Berdasarkan  Tabel  2  diperoleh  nilai t = 0.090961 0.0221 =
4.115355 dengan  nilai Prob 0.000  <  0.05 yang berarti H0ditolak.
2. Pengujian Simultan
Berdasarkan  verifikasi  model  dijelaskan bahwa  kostanta  pada  model  MA(1)  tidak  perlu diperhitungkan sehingga parameter yang diuji hanya untuk θ 1 dimana hipotesis yang diajukan adalah. H0 : θ 0 = θ 1 = ⋯ = θ n = 0 H1: ∃θ 0 ≠ θ 1 ≠ ⋯ ≠ θ n ≠ 0 , kriteria  uji  tolak  H0  jika F > F α ,  dengan prob < α . Berdasarkan  hasil  pengujian  diperoleh  nilai F = 15.37191 dengan  nilai Prob 0.000091 <  0.05 yang berarti H0 ditolak.
3. Pengujian Diagnostik
Hasil  analisis  di  atas  masih  memerlukan pemeriksaan terhadap kenormalan data. Pemeriksaan kenormalan residu disajikan dalam Gambar 7 berikut ini.
Gambar 7. Pengujian Normalitas Residual dari MA(1)
Pengujian  normalitas  data  dilakukan  dengan taraf signifikansi α = 5% , hipotesis sebagai berikut. H0: Residualberdistribusi normal
H1: Residualtidak berdistribusi normal
dengan kriteria uji yaitu tolak H0 jika nilai Prob < α . Berdasarkan  Gambar  4.3dapat  dilihat  bahwa  nilai Prob  0.777713>  0,05  sehingga  H0diterima  atau  data berdistribusi normal.
Pengujian Efek Heteroskedastisitas Berdasarkan estimasi mean model diperoleh model  terbaik  yaitu  MA(1),  maka  sebelum memodelkan  variansi  residual  dengan  GARCH, terlebih  dahulu  akan  diuji  ada  tidaknya  efek heteroskedastisitas dalam residual dari model MA(1).
Tabel 2. ARCH LM Test
Pengujian efek heteroskedastisitas dilakukan dengan  menggunakan  ARCH  LM  Test  dengan  taraf signifikansi α = 5% , hipotesis sebagai berikut.
H0: Tidak terdapat efek heteroskedastisitas H1: Terdapat efek heteroskedastisitas dengan  kriteria  uji  yaitu  tolak  H0  jika LM > χ m 2 (α) atau  nilai Prob < 0.05 .  Berdasarkan  Tabel  2 dapat dilihat bahwa nilai LM = 160,0831 dengan nilai Prob 0.000  < 0,05 sehingga  H0  ditolak  atau terdapat efek GARCH pada data.
Selain menggunakan LM Test, pengujian efek heteroskedastisitas  juga  dapat  dilakukan  dengan melihat  correlogram  Squared  Residual  sebagai berikut.
Gambar 8. Correlogram Squared Residual
Pengujian efek heteroskedastisitas dilakukan melalui  Correlogram  Squared  Residual  dengan  taraf signifikansi α = 5% , hipotesis sebagai berikut.
H0: tidak terdapat efek heteroskedastisitas H1: terdapat efek heteroskedastisitas dengan kriteria uji yaitu tolak  H0 jika nilai Prob < α . Berdasarkan  Gambar  8  dapat  dilihat  bahwa  nilai Prob 0.000  <  0,05 sehingga  H0  ditolak  atau terdapat efek GARCH pada data.
3.1.3 Estimasi dan Verifikasi Model GARCH
Dalam  mengidentifikasi  model  volatilitas GARCH dapat dilihat dalam correlogram pada Gambar 9,  dalam  gambar  tersebut  terlihat  bahwa  ACF  dan PACF  turun  pada  lag-1  sehingga  model  volatilitas sementara adalah GARCH(1,1) namun untuk mencari model  yang  terbaik  akan  diuji  pula  GARCH(1,2), GARCH(2,1)  dan  GARCH(2,2).Setelah  memenuhi asumsi  adanya  efek  heteroskedatisitas  maka selanjutnya  adalah  identifikasi  model  kemudian mengestimasi  parameter  dari  beberapa  model  yang diusulkan.    Setelah  dilakukan  estimasi  parameter model  GARCH  selanjutnya  dilakukan  uji  diagnostik

## S.Sulastri
Penentuan  Harga  Opsi  Barrier  Menggunakan  Metode  Trinomial  Kamrad-Ritchken  Dengan  Volatilitas Model Garch
terhadap  masing-masing  model  yang  diajukan.  Uji diagnostik  dilakukan  dengan  cara  uji  keberartian koefisien  serta  membandingkan  nilai  AIC  dan  SC. Berdasarkan  hasil  pengujian  bahwa  hanya  model GARCH(1,1)  yang  memiliki  nilai 𝑃𝑟𝑜𝑏 < 0,05 .  Dilihat dari nilai AIC dan AC juga model GARCH(1,1) memiliki nilai-nilai  yang  paling  kecil  yaitu  AIC  =-4.559635  dan nilai SC=-4.545814. Sehingga model terbaik yang akan digunakan untuk peramalan yaitu model GARCH(1,1).
Pengujian Hipotesis Model Volatilitas Berdasarkan  verifikasi  model  diperoleh model  GARCH(1,1),  selanjutnya  akan  dilakukan pengujian  hipotesis  pada  model  GARCH(1,1)  yang meliputi uji parsial, uji simultan, pengujian diagnostik, dan pengujian heteroskedastisitas untuk e t . 1. Pengujian Parsial
Pengujian  secara  parsial  akan  dilakukan terhadap model mean dan model volatilitas. Hipotesis yang diajukan adalah.
H0 : α i = 0 H1: ∃α i ≠ 0,dimana i=1,2,3,4,5
Hasil  pengujian  hipotesis  secara  parsial  disajikan dalam Tabel 3 berikut ini.
Tabel 3. Hasil Pengujian Parsial Z Prob Keputusan Model Mean α 1 3.153024 0.000 H0ditolak α 2 2.853813 0.000 H0ditolak Model Volatilitas α 3 4.822599 0.000 H0ditolak α 4 8.541618 0.000 H0ditolak α 5 75.49345 0.000 H0ditolak
kriteria  uji  tolak  H0jika z > z α ,  dengan Prob < α . Berdasarkan  Tabel  3  dapat  dilihat  bahwa  seluruh koefisien  memiliki  nilai Prob 0.000 < 0.5 sehingga secara  parsial  H0  untuk  masing-masing  koefisien  di tolak.
2. Pengujian Simultan
Hipotesis  yang  diajukan  dalam  pengujian simultan adalah.
H0 : α 1 = α 1 = ⋯ = α 5 = 0 H1: ∃α 1 ≠ α 1 ≠ ⋯ ≠ α 5 ≠ 0 kriteria  uji  tolak  H0  jika F > F α ,  dengan Prob < α . Berdasarkan Tabel 4 (Lampiran 2) diperoleh nilai F = 2.610432 dengan  nilai Prob 0.033916  <  0.05 yang berarti H0 ditolak.
Pengujian Diagnostik Model Hasil  analisis  di  atas  masih  memerlukan pemeriksaan terhadap kenormalan data. Pemeriksaan kenormalan residu disajikan dalam Gambar 10  berikut ini.
Gambar 9. Pengujian Normalitas Residual Model GARCH (1,1)
Pengujian normalitas data dilakukan dengan taraf signifikansi α = 5% , hipotesis sebagai berikut.
H0: Residual berdistribusi normal H1: Residualtidak berdistribusi normal
dengan kriteria uji yaitu tolak H0 jika nilai Prob < 0.05. Berdasarkan Gambar 9 dapat dilihat bahwa nilai Prob 0.779017  >  0,05  sehingga  H0  diterima  atau  data berdistribusi normal.
3. Pengujian Efek Heteroskedastisitas untuk e t
Pengujian  selanjutnya  yang  dilakukan  untuk model  GARCH  ini  adalah  pengujian  kembali  efek GARCH  dalam  residual  model.  Hasil  pengujian ditunjukkan pada Tabel 4.
Tabel 4. ARCH LM Test
Pengujian efek heteroskedastisitas pada data tersebut  dilakukan  dengan  menggunakan  ARCH  LM Testdengan  taraf  signifikansi α = 5% ,  hipotesis sebagai berikut.
H0: Tidak terdapat efek heteroskedastisitas H1: Terdapat efek heteroskedastisitas dengan  kriteria  uji  yaitu  tolak  H0  jika LM > χ m 2 (α) atau  nilai  Prob<0.05.  Berdasarkan  Tabel  4.2 dapat dilihat bahwa nilai LM = 0.001108 dengan nilai Prob0.000  >0,05  sehingga  H0diterima  atau  tidak terdapat efek GARCH pada data.
Selain  dengan  menggunakan  LM  Test, pengujian  efek  heteroskedastisitas  juga  dapat dilakukan  dengan  melihat  correlogram  Squared Residual sebagai berikut.
Gambar 10. Correlogram Squared Residual
Pengujian  efek  heteroskedastisitas  dilakukan melalui  Correlogram  Squared  Residual  dengan  taraf signifikansi α = 5% , hipotesis sebagai berikut. H0: Tidak terdapat efek heteroskedastisitas H1: Terdapat efek heteroskedastisitas dengan kriteria uji yaitu tolak H0 jika nilai Prob  <  α . Berdasarkan  Gambar  10  dapat  dilihat  bahwa  nilai Prob 0.000  >  0,05 sehingga  H0diterima  atau  tidak terdapat  efek  GARCH  pada  data.  Berdasarkan pengujian  hipotesis  tersebut  dapat  disimpulkan bahwa  data  sudah  tidak  mengandung  efek heteroskedastisitas  sehingga  data  sudah  dapat digunakan peramalan.
3.1.4 Peramalan
Langkah  terakhir  dalam  pembentukan  model adalah melakukan peramalan satu langkah ke depan untuk  memperoleh  nilai  volatilitas.  Ramalan  yang dilakukan  adalah  ramalan  satu  hari  selanjutnya  dari nilai  penutupan  harga  saham  PT.  Bank  Rakyat Indonesia  dengan  menggunakan  model  yang  telah lolos uji diagnostik yaitu model GARCH(1,1).Berdasarkan hasil perhitungan (Lampiran 1) diperoleh nilai volatilitas adalah sebesar 0.0321atau sebesar 3.21%.

## 3.3 Menentukan Harga Opsi
Tabel 5. Rekapitulasi Hasil PerhitunganHarga OpsiCall Up dan Put Up Barrier
No S0 B K Call Up-In Call Up- Out Put Up- In Put Up- Out 1 7400 7450 7000 194.2 221.48 0 0 2 7400 7450 7050 174.24 192.01 0 0 3 7400 7450 7100 154.28 162.55 0 0 4 7400 7450 7150 134.32 133.08 0 0 5 7400 7450 7200 114.35 103.61 0 0 6 7400 7450 7250 94.39 74.23 0 0.09 7 7400 7450 7300 74.43 45.61 0 0.95 8 7400 7450 7350 54.47 20.34 0 5.14 9 7400 7450 7400 34.51 3.55 0 17.83 10 7400 7450 7450 14.55 0 0 43.75 11 7400 7450 7500 3.79 0 9.34 73.22
Berdasarkan tabel di atas dapat dilihat bahwa untuk  opsi  call  up  barrier,  peningkatan  strike  price dengan  harga  awal  dan  barrier  yang  tetap menyebabkan  harga  opsi  call  up  barrier  baik  in maupun  out  menurun.  Namun  begitu  penurunan harga opsi pada call up-out lebih cepat dibandingkan pada  call  up-in.  sebaliknya  pada  opsi  put  barrier, peningkatan  strike  price  dengan  harga  awal  dan barrier  yang  tetap  menyebabkan  harga  opsi  put barrier baik put up-in maupun put up-out meningkat. Namun  begitu  peningkatan  harga  opsi  pada  put  up- out  lebih  cepat  dibandingkan  pada  put  up-in.  secara lebih  jelas  data  disajikan  dalam  Gambar  11  sebagai berikut.
Gambar 11. Keterkaitan Strike Price dengan Harga Opsi Call dan Put Barrier Sedangkan  keterkaitan  antara  strike  price dengan harga opsi call down dan put down disajikan dalam tabel berikut ini.
Tabel 6. Rekapitulasi Hasil Perhitungan Harga Opsi Call Down dan Put Down Barrier
No S0 B K Call Down- In Call Down- Out Put Down- In Put Down- Out 1 7400 7350 7000 63.88 357.14 0 0 2 7400 7350 7050 54.02 317.03 0 0 3 7400 7350 7100 44.16 276.92 0 0 4 7400 7350 7150 34.3 236.81 0 0 5 7400 7350 7200 24.44 196.7
0 0 6 7400 7350 7250 14.67 156.59 0.09 0 7 7400 7350 7300 5.66 116.48 0.94 0 8 7400 7350 7350 0 76.37 5.14 0 9 7400 7350 7400 0 39.13 15 2.87 10 7400 7350 7450 0 15.14 24.86 18.99 11 7400 7350 7500 0 4.02 34.72 47.98
Berdasarkan  Tabel  6  dapat  dilihat  bahwa untuk  opsi  call  barrier,  peningkatan  strike  price

## S.Sulastri
Penentuan  Harga  Opsi  Barrier  Menggunakan  Metode  Trinomial  Kamrad-Ritchken  Dengan  Volatilitas Model Garch
dengan  harga  awal  dan  barrier  yang  tetap menyebabkan  harga  opsi  call  down  barrier  baik  in maupun  out  menurun.  Namun  begitu  penurunan harga opsi pada call down-in lebih cepat dibandingkan pada  call  down-out.  sebaliknya  pada  opsi  put  down barrier,  peningkatan  strike  price  dengan  harga  awal dan  barrier  yang  tetap  menyebabkan  harga  opsi  put down barrier baik in maupun out meningkat. Namun begitu peningkatan harga opsi pada put down-inlebih cepat dibandingkan pada put down-out. secara lebih jelas data disajikan dalam Gambar 12 sebagai berikut.
Gambar 12. Keterkaitan Strike Price dengan Harga

## Opsi Call Down dan Put DownBarrier

## 4. KESIMPULAN
Secara  umum  metode  penentuan  harga  opsi barrier  menggunakan  trinomial  Kamrad-Ritchken dengan  volatilitas  model  GARCH  adalah  dengan memodelkan  volatilitas  terlebih  dahulu  berdasarkan pergerakan  rate  return  harga  saham,  kemudian setelah dimodelkan baru dihitung nilai volatilitasnya. Berdasarkan pengolahan data pada BAB IV diperoleh bahwa  pada  kasus  PT.  Bank  Rakyat  Indonesia  model GARCH  yang  paling  baik  adalah  GARCH(1,1).  Pada trinomial  Kamrad  Ritchken  intinya  adalah  hitung kerenggangan  pohon  trinomial,  kemudian  hitung besar kenaikan dan penurunan harga saham beserta ketiga  probabilitasnya.  Selanjutnya  bangun  pohon harga  saham  dan  hitung  nilai  payoffnya,  kemudian hitung  nilai  opsi  dengan  cara  backward  (langkah mundur) hingga diperoleh nilai 𝑓 00.
Berdasarkan  hasil  simulasi,  untuk  opsi  call  up barrier,  peningkatan  strike  price  dengan  harga  awal dan  barrier  yang  tetap  menyebabkan  harga  opsi  call up  barrier  baik  in  maupun  out  menurun,  sebaliknya pada opsi put barrier, peningkatan strike price dengan harga  awal  dan  barrier  yang  tetap  menyebabkan harga opsi put barrier baik put up-in maupun put up- out  meningkat.  Sedangkan  untuk  opsi  call  barrier, peningkatan  strike  price  dengan  harga  awal  dan barrier yang tetap menyebabkan harga opsi call down barrier baik in maupun out menurun, sebaliknya pada opsi  put  down  barrier,  peningkatan  strike  price dengan  harga  awal  dan  barrier  yang  tetap menyebabkan  harga  opsi  put  down  barrier  baik  in maupun out meningkat.

## 5. REKOMENDASI
Penelitian  ini  membahas  mengenai  penentuan harga opsi dengan berbagai jenis barrier menggunakan  model  trinomial  Kamrad-Ritchken dengan volatilitas model GARCH. Sebagai kajian lebih lanjut,  dapat  dipertimbangkan  mengenai  penentuan mean model. Dimana berdasarkan hasil pembentukan mean  model  perbedaan  antara  model  AR(1),  MA(1), ARMA(1,1)  tidak  terlalu  signifikan,  sehingga  pada penelitian  selanjutnya  dapat  dipertimbangkan  untuk membuat model GARCH dari mean model AR(1) dan ARMA(1,1).  Untuk  perhitungan  harga  opsi  trinomial Kamrad-Ritchken  dapat  dikaji  lebih  lanjut  simulasi data dimana nilai barrier bergerak baik untuk barrier up maupun barrier down.

## DAFTAR PUSTAKA
Abdul Halim,. 2003, Analisis Investasi, Edisi Pertama, Penerbit Salemba Empat : Jakarta Black, Fischer and Myron S. Scholes, 1973, The Pricing of Options and Corporate Liabilities, Journal of Political Economy, 81 (3), 637-654, tersedia di http://www.cs.princeton.edu/courses/archive /fall09/cos323/papers/black_scholes73.pdf, diunduh tanggal 10 Agustus 2012 Bollerslev, T,1986, Generalized Autoregressive Conditional  Heteroskedasticity,  Journal  of Econometrics, 31, 307-327. Tersediadi http://citeseer.ist.psu.edu/viewdoc/download ;jsessionid...?doi=10.1.1  ,  diunduh  tanggal  13 Agustus 2012
I. Brockwell, P.J and R. A. Davis, 1996, Introduction to Time  Series  and  Forecasting,  Second  Edition, New York:Springer-Verlag,Inc
Enders,  W,  2004,  Applied  Econometric  Time  Series. 2nd ed. New York: Wiley
Engle,  R.  F.  and  A.  J.  Patton,2001,  What  Good  Is  A Volatility Model?. Quantitative Finance 1, 237- 245.
Engle,  R.  F,  1982,  Autoregressive  Conditional Heterocedasticity (ARCH) with Estimates of The Variance  of  United  Kingdom  Inflation.Journal of  Econometrics  50,  987-1007.  Tersedia  di http://faculty.chicagobooth.edu/jeffrey.russell /teaching/finecon/readings/EngleARCH.pdf, diunduh tanggal 13 Agustus 2012
Halim,  Abdul,  2003,Analisis  Investasi,  Jakarta: Salemba Empat.
John  C.  Cox,  Stephen  A.  Ross,  and  Mark  Rubinstein,
1979,Option Pricing: A Simplified
Approach,Journal  of  Financial  Economics  7:
229-263. Tersedia di http://www.er.ethz.ch/teaching/CoxRossRubi nstein_JFE1979.pdf,  diunduh  tanggal  13 Agustus 2012
John Hull and Alan White, 1990, Pricing Interest-Rate Derivative  Securities,  The  Review  of  Financial Studies 1990 Volume 3, number 4, pp. 573-392,
Tersedia di http://efinance.org.cn/cn/feshuo/pricing%20i nterest-rate-derivative%20securities.pdf Kamrad,  B.  and  Ritchken,  P,  1991,  Multinomial Approximating  Models  For  Options  With  K State Variables. Management Science, 37:1640–1652. Tersedia di http://mansci.journal.informs.org/content/37
/12/1640, diunduh tanggal 13 Agustus 2012
Kudret Topyan  and Nusret  Cakici, 2000, The GARCH
Option  Pricing  Model:a  Lattice  Approach, Journal  of  Computational  Finance,  Volume  3, Number  4  Summer  2000,  tersedia  di http://www.risk.net/digital_assets/4413/v3n4 a4b.pdf, diunduh tanggal 13 Agustus 2012 McLeod, A.I., dan Li, W.K, 1983, Diagnostic Checking ARMA  Time  Series  Models  Using  Squared- residual  Autocorrelations,  Journal  of  Time Series  Analysis,  4(4),  269-273.  Tersedia  di http://onlinelibrary.wiley.com/doi/10.1111/j. 1467-9892.1983.tb00373.x/, diunduh tanggal 5 Oktober 2012 Muhamad  Nahdi,  2008,  Perdagangan  Derivatif  : Menguntungkan  atau  Merugikan?,  diunduh Tanggal  11  Agustus  2012  tersedia  di http://muhamadnahdi.blogspot.com/2008/01 /artikel-perdagangan-derivatif.html Nachrowi,  Nachrowi  D.,  dan  Hardius  Usman, 2006,Pendekatan
Populer
dan Praktis
Ekonometrika  Untuk  Analisis  Ekonomi  dan Keuangan. Jakarta: Lembaga Penerbit Fakultas
Ekonomi UI.
Nelson,  D.B,  1991,  Conditional  Heteroscedasticity  in Asset  Return:A  New  Approach,  Mimeo. University  of  Chicago.  Graduate  School  of
Business
Phelim  Boyle,  1986,Option  Valuation  Using  a  Three- Jump Process, International Options Journal 3, 7-12.
Ross  S.  Guest  and  Ian  M.  McDonald,  1995,  The Volatility  Of  The  Socially  Optimal  Level  Of Investment,  Monash  University,  School  of Banking and Finance Ruppert,  D,  2004,Statistics  And  Finance  -  An Introduction. Springer.
Soejoeti,  Z,  1987,  Analisis  Runtun  Waktu.  Jakarta: Karunia Jakarta Universitas Terbuka.
Tendi Haruman dan Riko Hendrawan, 2009, Pengujian GARCH Option Model untuk  Barrier Option di Bursa  Efek  Indonesia,  Jurnal  Keuangan  dan Perbankan,  Vol.13,  No.2,  Mei  2009,  Hal  228- 236
Tsay, Ruey. S., 2005, Analysis of Financial Time Series. New Jersey: John Wiley& Sons, Inc.
Wahyudi  D.  Maulana,  2010,  Peramalan  Nilai  Tukar Rupiah  terhadap  Yen  Menggunakan  Model Volatilitas  APARCH,  Tugas  Akhir  Universitas Pendidikan  Indonesia,  Bandung  ;  tidak diterbitkan
Wei,  W.W.S.,  1990,Time  Series  Analysis,  Univariate
and Multivariate Methods, Canada, Addison Wesley Publishing Company.
Yue-Kuen  Kwok,  2008,  Mathematical  Models  of Financing Derivatives, Springer