## Contemporary Mathematics and Applications
Vol. 1, No. 2, 2019, pp. 74-103.

## Analisis Kestabilan Model Matematika Ko-infeksi Virus Influenza A dan Pneumokokus pada Sel Inang
Abdul Faliq Anwar 1 , Windarto 2 & Cicik Alfiniyah 3,*
1,2,3 Departemen Matematika, Fakultas Sains dan Teknologi, Kampus C Universitas Airlangga, Jl. Mulyorejo, Surabaya
*Corresponding author: cicik-a@fst.unair.ac.id
Abstract. Co-infection of influenza A virus and pneumococcus is caused by influenza A virus and pneumococcus bacteria which infected host cell at the same time. The purpose of this thesis is to analyze stability of equilibrium point on mathematical model within-host co-infection of influenza A and pneumococcus. Based on anlytical result of the model there are four quilibrium points, non endemic  co-infection  equilibrium  ( E 0 ),  endemic  influenza  A  virus  equilibrium  ( E 1 ),  endemic pneumococcus  equilbrium  ( E 2 )  and  endemic  co-infection  equilibrium  ( E 3 ).  By  Next  Generation Matrix (NGM), we obtain two basic reproduction number, which are basic reproduction number for influenza  A  virus  ( R 0v )  and  basic  reproduction  number  for  pneumococcus  ( R 0b ).  Existence  of equilibrium point and local stability of equilibrium point dependent on basic reproduction number. Non endemic co-infection equilibrium is locally asymtotically stable if R 0v < 1 and R 0b < 1; influenza A virus endemic equilibrium is locally asymtotically stable if R 0v > 1 and R 0b > 1; pneumococcus endemic  equilibrium  is  locally  asymtotically  stable  if R 0v <  1  and R 0b >  1.  Meanwhile,  the  co- infection  endemic  equilibrium  is  locally  asymtotically  stable  if R 0v >  1  and R 0b >  1.  From  the numerical  simulation  result,  it  was  shown  that  increasing  the  number  of  influenza  A  virus  and pneumococcus made the number of population cell infected by influenza A virus and pneumococcus (co-infection) also increased.
Keywords: mathematical model, influenza A virus, pneumococcus, co-infection, stability, host cell.

## 1 Pendahuluan
Influenza  adalah  penyakit  akibat  virus  RNA (Ribonucleid  Acid) dalam  kelompok Orthomyxoviridae yang  merupakan penyebab penting dalam morbiditas  dan mortalitas pada manusia [1]. Virus influenza menyerang hidung, tenggorokan, bronkus hingga paru- paru.  Virus  dapat  menyebar  dari  orang  ke  orang  melalui  udara  dengan  batuk,  bersin ataupun melakukan kontak langsung dengan orang yang terinfeksi [2]. Ada empat jenis virus influenza, yaitu A, B, C dan D. Di antara keempat jenis virus influenza tersebut, hanya virus influenza A yang diketahui sebagai penyebab pandemi (wabah penyakit yang terjadi secara luas di seluruh dunia) pada manusia [3].
Streptococcus  pneumoniae ,  atau  pneumokokus,  adalah  bakteri  yang  ditemukan  secara bersamaan dan independen pada akhir abad ke-19 oleh dokter Amerika  George Miller Sternberg  dan  kimiawan  Perancis,  Louis  Pasteur.  Pneumokokus  umumnya  berada  di nasofaring (daerah tenggorokan bagian atas yang terletak di belakang hidung) anak-anak kurang dari dua tahun. Pneumokokus dapat menyebabkan berbagai infeksi seperti infeksi
telinga, sinusitis dan pneumonia, dan penyakit invasif seperti meningitis dan septikemia. Pneumokokus  dapat  menular  dari  orang  ke  orang  melalui  kontak  langsung  maupun tetesan pernapasan (misalnya batuk dan bersin) dari orang yang terinfeksi [4].
Dalam tinjauan ekstensif (menjangkau secara luas) influenza dan ko-infeksi bakteri dari abad ke-20, Streptococcus pneumoniae menjadi penyebab paling umum pada ko-infeksi dibandingkan  dengan Haemophilus  influenzae,  Staphylococcus  spp. (khususnya S. aureus ),  dan Streptococcus  spp lainnya.  Di  luar  ancaman  tingginya  tingkat  ko-infeksi pada  pandemi  ini,  infeksi  bakteri  juga  berkontribusi  terhadap  sekitar  65.000  kematian akibat infeksi virus influenza setiap tahun di Amerika Serikat [5].
Pandemi yang disebabkan oleh pneumokokus memang relatif jarang terjadi, oleh karena itu tidak banyak data yang tersedia tentang infeksi bakteri pneumokokus daripada jenis pandemi influenza A. Pneumonia merupakan penyebab umum kasus kematian pada orang yang  terkena  virus  influenza  A.  Sekitar  25%  kasus  ko-infeksi  ditemukan  dari  semua kematian  yang  diakibatkan  oleh  virus  influenza  A.  Dari  sekitar  30%  kasus  pneumonia yang  melibatkan  ko-infeksi  bakteri  dengan  virus  didapatkan  bahwa  s treptococcus pneumoniae merupakan  penyebab  paling  umum  dari  ko-infeksi  bakteri  dengan  virus influenza A  [6]. Pada tahun 2013 sebanyak 56.832 kasus penyakit karena pneumonia dan influenza  menjadi  penyebab  utama  kematian  di  Amerika  Serikat.  Sementara  angka kematian menurut usia untuk pneumonia dan influenza meningkat 9% dari tahun 2012 hingga  2013.  Pada  tahun  2013,  53.282  orang  meninggal  akibat  pneumonia  dan  3.550 orang meninggal karena influenza [7].
Pemodelan  matematika  telah  banyak  diterapkan  untuk  mendeskripsikan  permasalahan nyata,  termasuk  dalam  dunia  kesehatan  yaitu  ko-infeksi  virus  influenza  A  dan pneumokokus.  Banyak  peneliti  telah  berusaha  untuk  mempelajari  ko-infeksi  virus influenza A dan pneumokokus. Diantaranya adalah [8] menjelaskan sebuah model untuk mengevaluasi  vaksinasi  masal  terhadap  pneumokokus  sebagai  tindakan  pencegahan terhadap  pandemi  influenza.  [9]  menjelaskan  model  matematika postcoinfection influenza A virus dan Streptococcus pneumoniae , dengan implikasi untuk pneumonia dan penilaian resiko COPD. [10] menjelaskan ko-infeksi virus influenza A dan pneumokokus pada  sel  inang  dengan  menerapkan  fungsi  respon  Beddington-DeAngelis  pada  laju transmisi dari populasi sel yang rentan ke populasi sel yang terinfeksi virus influenza A.
Berdasarkan uraian di atas, penulis tertarik untuk mengkaji kembali model matematika ko-infeksi  virus  influenza  A  dan  pneumokokus  pada  sel  inang  yang  merupakan modifikasi  dari  model  yang  telah  dikembangkan  oleh  [10].  Modifikasi  yang  akan dilakukan  yaitu  mengubah  laju  transmisi  dari  populasi  sel  yang  rentan  ke  populasi  sel yang terinfeksi virus influenza A ke dalam bentuk normal incident rate .

## 2 Formulasi Model
Pada bagian ini akan diformulasikan model matematika ko-infeksi virus influenza A dan pneumokokus  pada  sel  inang.  Adapun  asumsi  yang  digunakan  untuk  kontruksi  model sebagai berikut :
a. Ko-infeksi  pada  populasi  sel  inang  disebabkan  virus  influenza  A  dan pneumokokus.
b. Sel inang yang terinfeksi melepaskan virion selama masa hidupnya.
c. Populasi pneumokokus bersifat fagosit dengan makrofag alveolar.
d. Laju rekrutmen konstan.
Model matematika ko-infeksi virus influenza A dan pneumokokus pada sel inang dibagi menjadi dua populasi, yaitu populasi sel inang dan populasi patogen. Populasi sel inang terbagi menjadi empat populasi, yaitu populasi sel inang yang rentan dinotasikan dengan 𝑆 , populasi sel inang  yang terinfeksi pneumokokus dinotasikan dengan 𝐼 𝑏 , populasi sel inang  yang terinfeksi virus influenza A dinotasikan dengan 𝐼 𝑣 , populasi sel inang yang terinfeksi  virus  influenza  A  dan  pneumokokus  (ko-infeksi)  dinotasikan  dengan 𝐼 𝑣𝑏 . Sedangkan  populasi  patogen  terbagi  menjadi  dua  populasi,  yaitu  populasi  bakteri pneumokokus dinotasikan dengan 𝐵 dan populasi virus influenza A dinotasikan dengan 𝑉 . Pendefinisian parameter dapat dilihat pada Tabel 1 berikut.
Tabel 1. Pendefinisian Parameter Model Notasi Keterangan 𝐴 Populasi makrofag alveolar Λ Laju rekrutmen sel inang yang rentan 𝛽 1 Laju infeksi sel inang tiap bakteri 𝛽 2 Laju infeksi sel inang tiap virus influenza A 𝛽 3 Laju infeksi sel yang terinfeksi pneumokokus oleh virus influenza A 𝛽 4 Laju infeksi sel yang terinfeksi virus influenza A oleh pneumokokus 𝜇 1 Laju kematian alami sel yang rentan 𝜇 2 Laju kematian alami sel yang terinfeksi pneumokokus 𝜇 3 Laju kematian alami sel yang terinfeksi virus influenza A 𝜇 4 Laju kematian alami sel yang terkena ko-infeksi 𝜏 1 Laju pembentukan oleh sel yang terinfeksi pneumokokus 𝜏 2 Laju pembentukan oleh sel yang terinfeksi virus influenza A 𝜏 3 Laju pembentukan oleh sel yang tekena ko-infeksi 𝑛 1 Jumlah infeksi partikel pneumokokus yang dibebaskan dari lisis sel yang terinfeksi pneumokokus 𝑛 2 Jumlah infeksi partikel virus influenza A yang dibebaskan dari lisis sel yang terinfeksi virus influenza A 𝑛 3 Jumlah infeksi partikel ko-infeksi yang dibebaskan dari lisis sel yang terkena ko-infeksi
Notasi Keterangan 𝛼 1 Laju kehilangan pneumokokus karena interaksi sel sehat dengan virus influenza A 𝛼 2 Laju kehilangan virus influenza A karena interaksi sel sehat dengan pneumokokus 𝛿 1 Laju kematian oleh racun yang disebabkan pneumokokus 𝛿 2 Laju kematian oleh racun yang disebabkan virus influenza A 𝑟 Laju pertumbuhan maksimum pneumokokus 𝐾 Carrying capacity 𝛾 Laju kematian bakteri karena fagositosis 𝑚 Jumlah maksimal bakteri yang dapat ditangkap makrofag alveolar dalam satuan waktu 𝑡 ℎ Waktu penanganan untuk makrofag alveolar
Model yang dikembangkan oleh Mbabazi dkk. (2018) menggunakan respon Beddington- DeAngelis  untuk  laju  transmisi  dari  populasi  sel  yang  rentan  ke  populasi  sel  yang terinfeksi virus influenza A. Sehingga modifikasi yang dilakukan yaitu mengubah respon Beddington-DeAngelis ke dalam bentuk normal incident rate. Berdasarkan asumsi dan pendefinisian parameter serta variabel dapat dibentuk diagram transmisi penyebaran ko- infeksi virus influenza A dan pneumokokus pada sel inang yang disajikan pada Gambar 2.1 sebagai berikut.
Gambar 1. Diagram Transmisi Model.
Dari diagram transmisi pada Gambar 1 dapat diformulasikan model sebagai berikut:
𝑆̇ = Λ − 𝛽 2 𝑆𝑉 𝑆 + 𝐼 𝑏 + 𝐼 𝑣 + 𝐼 𝑣𝑏 − 𝛽 1 𝑆𝐵 − 𝜇 1 𝑆,
𝐼̇ 𝑏 = 𝛽 1 𝑆𝐵 − (𝜇 2 + 𝛽 3 𝑉)𝐼 𝑏 , 𝐼̇ 𝑣 = 𝛽 2 𝑆𝑉 𝑆 + 𝐼 𝑏 + 𝐼 𝑣 + 𝐼 𝑣𝑏 − (𝛽 4 𝐵 + 𝜇 3 )𝐼 𝑣 , 𝐼̇ 𝑣𝑏 = 𝛽 3 𝐼 𝑏 𝑉 + 𝛽 4 𝐼 𝑣 𝐵 − 𝜇 4 𝐼 𝑣𝑏 , 𝐵̇ = 𝑟𝐵 (1 − 𝐵 𝐾 ) + 𝜏 1 𝑛 1 𝐼 𝑏 − 𝛾𝑚𝐴𝐵 𝐴 + ℎ𝐵 − (𝛼 2 + 𝛿 1 )𝐵,
𝑉̇ = 𝜏 2 𝑛 2 𝐼 𝑣 + 𝜏 3 𝑛 3 𝐼 𝑣𝑏 − (𝛼 1 + 𝛿 2 )𝑉,
dengan 𝑆, 𝐼 𝑏 , 𝐼 𝑣 , 𝐼 𝑣𝑏 , 𝐵, 𝑉 ≥ 0. dan semua parameter bernilai positif.
Persamaan (1.1a) menyatakan laju perubahan populasi sel inang sehat tetapi rentan tiap satuan  waktu.  Populasi  sel  inang  sehat  tetapi  rentan  bertambah  karena  adanya  laju rekutmen sel inang yang sehat, berkurang karena adanya interaksi antara sel inang sehat tetapi rentan dengan virus influenza A, berkurang karena adanya interaksi antara sel inang sehat tetapi rentan dengan pneumokokus dan berkurang karena adanya kematian alami pada sel inang sehat tetapi rentan.
Persamaan (1.1b) menyatakan laju perubahan populasi sel yang terinfeksi pneumokokus tiap satuan waktu. Populasi sel yang terinfeksi pneumokokus bertambah karena adanya interaksi  antara  sel  inang  sehat  tetapi  rentan  dengan  pneumokokus,  berkurang  karena adanya kematian alami sel  yang terinfeksi pneumokokus dan berkurang karena adanya interaksi antara sel yang terinfeksi pneumokokus dengan virus influenza A.
Persamaan (1.1c) menyatakan laju perubahan populasi sel yang terinfeksi virus influenza A  tiap  satuan  waktu.  Populasi  sel  yang  terinfeksi  virus  influenza  A  bertambah  karena adanya interaksi antara sel inang sehat tetapi rentan dengan virus influenza A, berkurang karena adanya interaksi antara sel terinfeksi virus influenza A dengan pneumokokus dan berkurang karena adanya kematian alami sel yang terinfeksi virus influenza A.
Persamaan  (1.1d)  menyatakan  laju  perubahan  populasi  sel  yang  terkena  ko-infeksi. Populasi sel yang terkena ko-infeksi bertambah karena adanya interaksi antara sel yang terinfeksi  pneumokokus  dengan  virus  influenza  A,  bertambah  karena  adanya  interaksi antara sel yang terinfeksi virus influenza A dengan pneumokokus dan berkurang karena adanya kematian alami sel yang terkena ko-infeksi.
Persamaan (1.1e) menyatakan laju perubahan populasi bakteri pneumokokus tiap satuan waktu.  Populasi  bakteri  pneumokokus  bertambah  secara  logistik,  bertambah  karena
(1.1a)
(1.1b)
(1.1c) (1.1f) (1.1d)
(1.1e)
(2.1f)
adanya pelepasan oleh sel yang terinfeksi pneumokokus, berkurang karena adanya rasio ketergantungan  (fagositosis),  berkurang  karena  adanya  kehilangan  virus  influenza  A disebabkan  interaksi  sel  sehat  dengan  pneumokokus  dan  berkurang  karena  adanya kematian beracun yang disebabkan pneumokokus.
Persamaan  (1.1f)  menyatakan  populasi  laju  perubahan  virus  influenza  A  tiap  satuan waktu.  Populasi  virus  influenza  A  bertambah  karena  adanya  pelepasan  oleh  sel  yang terinfeksi virus influenza A, bertambah karena adanya pelepasan oleh sel yang terkena ko-infeksi, berkurang karena adanya kehilangan pneumokokus disebabkan interaksi sel sehat  dengan  virus  influenza  A  dan  berkurang  karena  adanya  kematian  beracun  yang disebabkan virus influenza A.

## 3 Titik Setimbang Model
Model  matematika  ko-infeksi  virus  influenza  A  dan  pneumokokus  pada  sel  inang memiliki empat titik setimbang, yaitu titik setimbang non endemik ko-infeksi (𝐸 0 ) , titik setimbang endemik virus influenza A (𝐸 1 ) , titik setimbang endemik pneumokokus (𝐸 2 ) dan titik setimbang endemik ko-infeksi (𝐸 3 ) . Titik setimbang non endemik dari model tersebut adalah 𝐸 0 = (𝑆, 𝐼 𝑏 , 𝐼 𝑣 , 𝐼 𝑣𝑏 , 𝐵, 𝑉) = ( Λ 𝜇 1 , 0,0,0,0,0) .
Selanjutnya,  dari  titik  setimbang  non  endemik 𝐸 0 dengan  menggunakan  metode Next Generation Matrix (NGM) [11] sehingga diperoleh dua bilangan reproduksi dasar yaitu, bilangan  reproduksi  dasar  virus  influenza  A (𝑅 0𝑣 ) dan  bilangan  reproduksi  dasar pneumokokus (𝑅 0𝑏 ) sebagai berikut:
𝑅 0𝑣 = 𝛽 2 𝜏 2 𝑛 2 𝜇 3 (𝛼 1 + 𝛿 2 ) , 𝑅 0𝑏 = 𝛽 1 Λ𝜏 1 𝑛 1 𝜇 1 𝜇 2 (𝛼 2 + 𝛿 1 + 𝛾𝑚 − 𝑟) .
Dari  hasil  perhitungan  diperoleh  titik  setimbang  endemik  dari  model  tersebut  adalah sebagai berikut:
1. Titik setimbang endemik virus influenza A (𝐸 1 )
𝐸 1 = (𝑆, 𝐼 𝑏 , 𝐼 𝑣 , 𝐼 𝑣𝑏 , 𝐵, 𝑉) = (𝑆 𝑣 , 0, 𝐼 𝑣 𝑣 , 0,0, 𝑉 𝑣 )
dengan
𝑆 𝑣 = 𝜇 3 (𝛼 1 + 𝛿 2 ) 2 𝑉 ∗ 𝜏 2 𝑛 2 (𝜏 2 𝑛 2 𝛽 2 − 𝜇 3 (𝛼 1 + 𝛿 2 )) ,
𝐼 𝑣 𝑣 = (𝛼 1 + 𝛿 2 )𝑉 ∗ 𝜏 2 𝑛 2 , 𝑉 𝑣 = 𝑉 ∗ ,
dengan
𝑉 ∗ = Λ𝜏 2 𝑛 2 (𝜏 2 𝑛 2 𝛽 2 − 𝜇 3 (𝛼 1 + 𝛿 2 )) 𝜇 3 (𝛼 1 + 𝛿 2 )(𝜏 2 𝑛 2 𝛽 2 − 𝜇 3 (𝛼 1 + 𝛿 2 ) + 𝜇 1 (𝛼 1 + 𝛿 2 )) .
Berdasarkan uraian diatas, titik setimbang endemik virus influenza A (𝐸 1 ) akan eksis atau ada jika memenuhi syarat 𝜏 2 𝑛 2 𝛽 2 − 𝜇 3 (𝛼 1 + 𝛿 2 ) > 0 ⇔ 𝜏 2 𝑛 2 𝛽 2 𝜇 3 (𝛼 1 +𝛿 2 ) > 1 ⇔ 𝑅 0𝑣 > 1.
2. Titik setimbang endemik pneumokokus (𝐸 2 )
𝐸 2 = (𝑆, 𝐼 𝑏 , 𝐼 𝑣 , 𝐼 𝑣𝑏 , 𝐵, 𝑉) = (𝑆 𝑏 , 𝐼 𝑏 𝑏 , 0,0, 𝐵 𝑏 , 0)
dengan
𝑆 𝑏 = Λ (𝛽 1 𝐵 ∗ + 𝜇 1 ) ,
𝐼 𝑏 𝑏 = 𝛽 1 Λ𝐵 ∗ 𝜇 2 (𝛽 1 𝐵 ∗ + 𝜇 1 ) , 𝐵 𝑏 = 𝐵 ∗ ,
dengan 𝐵 ∗ merupakan persamaan polinomial pangkat tiga sebagai berikut
𝐵 ∗3 + 𝑎 0 𝐵 ∗2 + 𝑎 1 𝐵 ∗ + 𝑎 2 = 0, dengan
𝑎 0 = (𝑟𝜇 2 𝛽 1 𝐴 + 𝑟𝜇 1 𝜇 2 ℎ + 𝜇 2 𝛽 1 𝛼 2 𝐾ℎ + 𝜇 2 𝛽 1 𝛿 1 𝐾ℎ − 𝑟𝜇 2 𝐾𝛽 1 ℎ) 𝑟𝜇 2 𝛽 1 ℎ , 𝑎 1 = (𝑟𝜇 1 𝜇 2 𝐴 + 𝜇 2 𝛽 1 𝛾𝑚𝐴𝐾 + 𝜇 2 𝛽 1 𝛼 2 𝐾𝐴 + 𝜇 1 𝜇 2 𝛼 2 𝐾ℎ + 𝜇 2 𝛽 1 𝛿 1 𝐾𝐴 + 𝜇 1 𝜇 2 𝛿 1 𝐾ℎ − 𝑟𝜇 2 𝐾𝛽 1 𝐴 − 𝑟𝜇 1 𝜇 2 𝐾ℎ − 𝛽 1 Λ𝜏 1 𝑛 1 𝐾ℎ)/𝑟𝜇 2 𝛽 1 ℎ, 𝑎 2 = (𝜇 1 𝜇 2 𝛾𝑚𝐴𝐾+𝜇 1 𝜇 2 𝛼 2 𝐾𝐴+𝜇 1 𝜇 2 𝛿 1 𝐾𝐴−𝑟𝜇 1 𝜇 2 𝐾𝐴−𝛽 1 Λ𝜏 1 𝑛 1 𝐾𝐴) 𝑟𝜇 2 𝛽 1 ℎ .
Berdasarkan  uraian  diatas,  titik  setimbang  endemik  pneumokokus (𝐸 2 ) bergantung  pada 𝐵 ∗ yang  merupakan  persamaan  polinomial  pangkat  tiga, sehingga perlu diselidiki apakah persamaan tersebut memiliki akar bilangan real positif.  Persamaan  di  atas  akan  memiliki  satu  akar  bilangan  real  positif  jika memenuhi kondisi 𝑥 1 𝑥 2 𝑥 3 > 0 dengan 𝑥 1 , 𝑥 2 , 𝑥 3 merupakan akar-akar persamaan di  atas.  Dengan  sifat  persamaan  akar  pangkat  tiga  diperoleh 𝑥 1 𝑥 2 𝑥 3 = − 𝑑 𝑎 . Sehingga agar persamaan di atas mempunyai satu akar bilangan real positif maka
−𝑑 > 0 . Sehingga didapatkan titik setimbang 𝐸 2 eksis jika 𝛽 1 Λ𝜏 1 𝑛 1 (𝛾𝑚+𝛼 2 𝐾𝐴+𝛿 1 −𝑟)𝜇 1 𝜇 2 > 1 ⇔ 𝑅 0𝑏 > 1 .
3. Titik setimbang ko-infeksi (𝐸 3 )
𝐸 3 = (𝑆, 𝐼 𝑏 , 𝐼 𝑣 , 𝐼 𝑣𝑏 , 𝐵, 𝑉) = (𝑆 𝑣𝑏 , 𝐼 𝑏 𝑣𝑏 , 𝐼 𝑣 𝑣𝑏 , 𝐼 𝑣𝑏 𝑣𝑏 , 𝐵 𝑣𝑏 , 𝑉 𝑣𝑏 )
dengan
𝑆 𝑣𝑏 = 𝑏 0 𝑆 ∗2 + 𝑏 1 𝑆 ∗ + 𝑏 2 = 0 , 𝐼 𝑏 𝑣𝑏 = 𝛽 1 𝑆 ∗ 𝐵 ∗ (𝜇 2 + 𝛽 3 𝑉 ∗ ) , 𝐼 𝑣 𝑣𝑏 = 𝑐 0 𝐼 𝑣 ∗2 + 𝑐 1 𝐼 𝑣 ∗ + 𝑐 2 = 0 , 𝐼 𝑣𝑏 𝑣𝑏 = 𝛽 3 𝐼 𝑏 ∗ 𝑉 ∗ + 𝛽 4 𝐼 𝑣 ∗ 𝐵 ∗ 𝜇 4 , 𝐵 𝑣𝑏 = 𝑑 0 𝐵 ∗2 + 𝑑 1 𝐵 ∗ + 𝑑 2 = 0 , 𝑉 𝑣𝑏 = 𝜏 2 𝑛 2 𝐼 𝑣 ∗ + 𝜏 3 𝑛 3 𝐼 𝑣𝑏 ∗ (𝛼 1 + 𝛿 2 ) ,
dengan
𝑏 0 = (𝛽 1 𝐵 ∗ + 𝜇 1 ),
𝑏 1 = (𝛽 2 𝑉 ∗ + 𝛽 1 𝐵 ∗ 𝑃 + 𝜇 1 𝑃 − Λ), 𝑏 2 = −Λ𝑃, 𝑃 = 𝐼 𝑏 ∗ + 𝐼 𝑣 ∗ + 𝐼 𝑣𝑏 ∗ 𝑐 0 = (𝛽 4 𝐵 ∗ + 𝜇 3 ), 𝑐 1 = (𝛽 4 𝐵 ∗ + 𝜇 3 )𝑄, 𝑐 2 = −𝛽 2 𝑆 ∗ 𝑉 ∗ , 𝑄 = 𝑆 ∗ + 𝐼 𝑏 ∗ + 𝐼 𝑣𝑏 ∗ 𝑑 0 = 𝑟ℎ (1 − 1 𝐾 ),
𝑑 1 = (𝑟𝐴 (1 − 1 𝐾 ) + ℎ𝜏 1 𝑛 1 ( 𝛽 1 𝑆 ∗ (𝜇 2 + 𝛽 3 𝑉 ∗ ) ) − ℎ(𝛼 2 + 𝛿 1 )),
𝑑 2 = (𝐴𝜏 1 𝑛 1 ( 𝛽 1 𝑆 ∗ (𝜇 2 + 𝛽 3 𝑉 ∗ ) ) − 𝛾𝑚𝐴 − 𝐴(𝛼 2 + 𝛿 1 )).
Karena  perhitungan  secara  analitik  sulit  untuk  dilakukan.  Maka  dengan menggunakan  perhitungan  numerik  titik  setimbang  endemik  ko-infeksi  diduga eksis jika 𝑅 0𝑣 > 1 dan 𝑅 0𝑏 > 1 .

## 4 Kestabilan Lokal Titik Setimbang
Pada  bagian  ini  akan  dilakukan  analisis  kestabilan  lokal  pada  kedua  titik  setimbang model, yaitu titik setimbang non endemik ko-infeksi (𝐸 0 ) dan titik setimbang endemik virus influenza A (𝐸 1 ) , titik setimbang endemik pneumokokus (𝐸 2 ) dan titik setimbang endemik ko-infeksi (𝐸 3 ) .

## 4.1 Kestabilan Lokal Titik Setimbang Non Endemik
Analisis kestabilan lokal titik setimbang non endemik diawali dengan mensubstitusikan nilai  titik  setimbang  non  endemik 𝐸 0 = (𝑆, 𝐼 𝑏 , 𝐼 𝑣 , 𝐼 𝑣𝑏 , 𝐵, 𝑉) = ( Λ 𝜇 1 , 0,0,0,0,0) ke  dalam matriks Jacobian, dengan demikian diperoleh:
𝐽 𝐸 0 =
( −𝜇 1 0 0 0 −𝛽 1 Λ 𝜇 1 −𝛽 2 0 −𝜇 2 0 0 𝛽 1 Λ 𝜇 1 0 0 0 −𝜇 3 0 0 𝛽 2 0 0 0 −𝜇 4 0 0 0 𝜏 1 𝑛 1 0 0 −𝐷 1 0 0 0 𝜏 2 𝑛 2 𝜏 3 𝑛 3 0 −𝐷 2 )
dengan 𝐷 1 = 𝛼 2 + 𝛿 1 + 𝛾𝑚 − 𝑟 dan 𝐷 2 = 𝛼 1 + 𝛿 2 .
Berdasarkan  matriks  Jacobian 𝐽 𝐸 0 ,  dapat  dibentuk  persamaan  karakteristik  sebagai berikut:
𝑑𝑒𝑡(𝜆𝐼 − 𝐽 𝐸 0 ) = 0. 𝑑𝑒𝑡 ( 𝜆 + 𝜇 1 0 0 0 𝛽 1 Λ 𝜇 1 𝛽 2 0 𝜆 + 𝜇 2 0 0 −𝛽 1 Λ 𝜇 1 0
0 0 𝜆 + 𝜇 3 0 0 −𝛽 2 0 0 0 𝜆 + 𝜇 4 0 0 0 −𝜏 1 𝑛 1 0 0 𝜆 + 𝐷 1 0 0 0 −𝜏 2 𝑛 2 −𝜏 3 𝑛 3 0 𝜆 + 𝐷 2 ) = 0
dengan demikian diperoleh bentuk yang ekivalen sebagai berikut:
(𝜆 + 𝜇 1 )(𝜆 + 𝜇 4 )[𝜆 4 + 𝑒 0 𝜆 3 + 𝑒 1 𝜆 2 + 𝑒 2 𝜆 + 𝑒 3 ] = 0
dengan
(2)
𝑒 0 = ((𝐷 2 + 𝜇 3 ) + (𝐷 1 + 𝜇 2 )),
𝑒 1 = (𝐷 2 𝜇 3 − 𝛽 2 𝜏 2 𝑛 2 ) + (𝐷 2 + 𝜇 3 )(𝐷 1 + 𝜇 2 ) + (𝐷 1 𝜇 2 − 𝛽 1 Λ 𝜇 1 𝜏 1 𝑛 1 ), 𝑒 2 = ((𝐷 2 𝜇 3 − 𝛽 2 𝜏 2 𝑛 2 )(𝐷 1 + 𝜇 2 ) + (𝐷 2 + 𝜇 3 ) (𝐷 1 𝜇 2 − 𝛽 1 Λ 𝜇 1 𝜏 1 𝑛 1 )),
𝑒 3 = ( 𝐷 2 𝜇 3 − 𝛽 2 𝜏 2 𝑛 2 ) ( 𝐷 1 𝜇 2 − 𝛽 1 Λ 𝜇1 𝜏 1 𝑛 1 ) .
Berdasarkan  persamaan  (2),  diperoleh  nilai  eigen 𝜆 1 = −𝜇 1 , 𝜆 2 = −𝜇 4 ,  dan  sisanya adalah akar-akar dari persamaan berikut.
𝜆 4 + 𝑒 0 𝜆 3 + 𝑒 1 𝜆 2 + 𝑒 2 𝜆 + 𝑒 3
Titik  setimbang  non  endemik  akan  stabil  asimtotis  jika  dan  hanya  jika  persamaan karakteristik (1) memiliki akar-akar bagian real negatif. Jelas bahwa 𝜆 1 dan 𝜆 2 bernilai negatif karena semua parameter seperti yang telah dijelaskan bernilai positif. Kemudian akan  ditentukan  persamaan  (2)  memiliki  akar-akar  bagian  real  negatif,  yaitu  dengan menggunakan  kriteria  Routh-Hurwitz.  Berdasarkan  kriteria  Routh-Hurwitz,  titik setimbang non endemik akan stabil asimtotis jika dan hanya jika:
𝑅 1 = 𝑟 (𝛼 1 + 𝛿 2 + 𝜇 3 + 𝛼 2 + 𝛿 1 + 𝛾𝑚 + 𝜇 2 ) < 1, 𝑅 2 = 𝛽 2 𝜏 2 𝑛 2 + 𝛽 1 Λ 𝜇 1 𝜏 1 𝑛 1 𝐹 2 𝜇 3 + (𝐹 2 + 𝜇 3 )(𝐹 1 + 𝜇 2 ) + 𝐹 1 𝜇 2 < 1, 𝑅 3 = 𝛽 2 𝜏 2 𝑛 2 (𝐹 1 + 𝜇 2 ) + 𝛽 1 Λ 𝜇 1 𝜏 1 𝑛 1 (𝐹 2 + 𝜇 3 ) 𝐹 2 𝜇 3 (𝐹 1 + 𝜇 2 ) + 𝐹 1 𝜇 2 (𝐹 2 + 𝜇 3 ) < 1, 𝑅 0𝑏 = 𝛽 1 Λ𝜏 1 𝑛 1 (𝛼 2 + 𝛿 1 + 𝛾𝑚 − 𝑟)𝜇 1 𝜇 2 < 1,
𝑅 0𝑣 = 𝛽 2 𝜏 2 𝑛 2 (𝛼 1 + 𝛿 2 )𝜇 3 < 1, 𝑒 0 2 𝑒 3 + 𝑒 2 2 𝑒 0 𝑒 1 𝑒 2 < 1.
Hal ini menunjukkan bahwa jika syarat terpenuhi maka tidak ada penyebaran penyakit.

## 4.2 Kestabilan Lokal Titik Setimbang Endemik Virus Influenza A
Langkah pertama untuk menentukan kestabilan titik setimbang endemik virus influenza A  yaitu  dengan  mensubstitusikan  titik  setimbang  endemik 𝐸 1 = (𝑆, 𝐼 𝑏 , 𝐼 𝑣 , 𝐼 𝑣𝑏 , 𝐵, 𝑉) = (𝑆 𝑣 , 0, 𝐼 𝑣 𝑣 , 0,0, 𝑉 𝑣 ) pada matriks Jacobian, sehingga diperoleh :
(3)
𝐽 𝐸1 =
( −𝐹 1 + 𝐹 2 − 𝜇 1 𝐹 2 𝐹 2 𝐹 2 −𝐹 3 −𝐹 7 0 −𝜇 2 − 𝛽 3 𝑉 0 0 𝐹 3 0 𝐹 1 − 𝐹 2 −𝐹 2 −𝐹 2 − 𝜇 3 −𝐹 2 −𝐹 4 𝐹 7 0 𝛽 3 𝑉 0 −𝜇 4 𝐹 4 0 0 𝜏 1 𝑛 1 0 0 −𝐹 5 0 0 0 𝜏 2 𝑛 2 𝜏 3 𝑛 3 0 −𝐹 6 )
dengan
𝐹 1 = 𝛽 2 𝑉 ∗ ( 𝜇 3 (𝛼 1 + 𝛿 2 ) 2 𝑉 ∗ 𝜏 2 𝑛 2 (𝜏 2 𝑛 2 𝛽 2 − 𝜇 3 (𝛼 1 + 𝛿 2 )) ) + ( (𝛼 1 + 𝛿 2 )𝑉 ∗ 𝜏 2 𝑛 2 ) , 𝐹 2 = 𝛽 2 ( 𝜇 3 (𝛼 1 + 𝛿 2 ) 2 𝑉 ∗ 𝜏 2 𝑛 2 (𝜏 2 𝑛 2 𝛽 2 − 𝜇 3 (𝛼 1 + 𝛿 2 )) ) 𝑉 ∗ (( 𝜇 3 (𝛼 1 + 𝛿 2 ) 2 𝑉 ∗ 𝜏 2 𝑛 2 (𝜏 2 𝑛 2 𝛽 2 − 𝜇 3 (𝛼 1 + 𝛿 2 )) ) + ( (𝛼 1 + 𝛿 2 )𝑉 ∗ 𝜏 2 𝑛 2 )) 2 , 𝐹 3 = 𝛽 1 ( 𝜇 3 (𝛼 1 + 𝛿 2 ) 2 𝑉 ∗ 𝜏 2 𝑛 2 (𝜏 2 𝑛 2 𝛽 2 − 𝜇 3 (𝛼 1 + 𝛿 2 )) ), 𝐹 4 = 𝛽 3 ( (𝛼 1 + 𝛿 2 )𝑉 ∗ 𝜏 2 𝑛 2 ), 𝐹 5 = 𝛾𝑚 + 𝛼 2 + 𝛿 1 − 𝑟,
𝐹 6 = (𝛼 1 + 𝛿 2 ),
𝐹 7 = 𝛽 2 ( 𝜇 3 (𝛼 1 + 𝛿 2 ) 2 𝑉 ∗ 𝜏 2 𝑛 2 (𝜏 2 𝑛 2 𝛽 2 − 𝜇 3 (𝛼 1 + 𝛿 2 )) ) ( 𝜇 3 (𝛼 1 + 𝛿 2 ) 2 𝑉 ∗ 𝜏 2 𝑛 2 (𝜏 2 𝑛 2 𝛽 2 − 𝜇 3 (𝛼 1 + 𝛿 2 )) ) + ( (𝛼 1 + 𝛿 2 )𝑉 ∗ 𝜏 2 𝑛 2 ) .
Dalam  menentukan  akar-akar  persamaan  karakteristik  dari 𝑑𝑒𝑡(𝜆𝐼 − 𝐽 𝐸 1 ) = 0 sulit dilakukan secara analitik karena persamaan yang dihasilkan rumit dan bergantung pada variabel 𝑉 ∗ , maka dilakukan analisis secara numerik dengan menggunakan bidang fase.
Simulasi ini dilakukan dengan memberi nilai parameter dan tiga nilai awal yang berbeda untuk masing-masing subpopulasi 𝑆, 𝐼 𝑏 , 𝐼 𝑣 , 𝐼 𝑣𝑏 , 𝐵, 𝑉 . Hal ini bertujuan untuk mengetahui kestabilan solusi dari masing-masing nilai awal dan parameter yang digunakan. Simulasi ini dilakukan untuk waktu 𝑡 = 0 sampai dengan 𝑡 = 50 hari. Nilai awal dan parameter untuk  simulasi  bidang  fase  pada  model  matematika  ko-infeksi  virus  influenza  A  dan pneumokokus pada sel inang disajikan pada Tabel 2.2. dan 2.3.
Tabel 2. Nilai Awal Bidang Fase Titik Setimbang Endemik 𝐸 1 Nilai Awal 1 2 3 𝑆 4 × 10 8 5 × 10 8 2.6 × 10 8 𝐼 𝑏 10 5 9 × 10 7 9 × 10 6 𝐼 𝑣 10 7 9 × 10 7 5 × 10 7 𝐼 𝑣𝑏 10 3 9 × 10 6 9 × 10 7 𝐵 1.6 × 10 3 1.7 × 10 3 1.2 × 10 3 𝑉 10 12 9 × 10 12 5 × 10 12 Warna Biru Hijau Merah
Tabel 3. Nilai Parameter Bidang Fase Titik Setimbang Endemik 𝐸 1 Parameter Nilai Satuan Sumber Λ 6.25 × 10 7 𝑠𝑒𝑙. ℎ𝑎𝑟𝑖 −1 Mbabazi dkk. 𝛽 1 1.2 × 10 −5 𝑠𝑒𝑙 −1 . ℎ𝑎𝑟𝑖 −1 Mbabazi dkk. 𝛽 2 2.7 × 10 −5 𝑠𝑒𝑙 −1 . ℎ𝑎𝑟𝑖 −1 Mbabazi dkk. 𝛽 3 7.3 × 10 −8 𝑠𝑒𝑙 −1 . ℎ𝑎𝑟𝑖 −1 Mbabazi dkk. 𝛽 4 4.1 × 10 −6 𝑠𝑒𝑙 −1 . ℎ𝑎𝑟𝑖 −1 Mbabazi dkk. 𝜇 1 6.25 × 10 −2 ℎ𝑎𝑟𝑖 −1 Mbabazi dkk. 𝜇 2 1.34 × 10 −5 ℎ𝑎𝑟𝑖 −1 Asumsi 𝜇 3 8.9 × 10 −1 ℎ𝑎𝑟𝑖 −1 Mbabazi dkk. 𝜇 4 5.2 × 10 −2 ℎ𝑎𝑟𝑖 −1 Asumsi 𝜏 1 1.102 × 10 −5 ℎ𝑎𝑟𝑖 −1 Asumsi 𝜏 2 8.6 × 10 −1 ℎ𝑎𝑟𝑖 −1 Asumsi 𝜏 3 2.4 × 10 −3 ℎ𝑎𝑟𝑖 −1 Asumsi 𝑛 1 1 × 10 3 ℎ𝑎𝑟𝑖 −1 Mbabazi dkk. 𝑛 2 10 5 ℎ𝑎𝑟𝑖 −1 Asumsi 𝑛 3 2.51 × 10 1 ℎ𝑎𝑟𝑖 −1 Mbabazi dkk. 𝛼 1 3.2 × 10 −4 ℎ𝑎𝑟𝑖 −1 Mbabazi dkk. 𝛼 2 10 −3 ℎ𝑎𝑟𝑖 −1 Mbabazi dkk. 𝛿 1 2 × 10 −5 ℎ𝑎𝑟𝑖 −1 Mbabazi dkk. 𝛿 2 0.5 ℎ𝑎𝑟𝑖 −1 Mbabazi dkk. 𝑟 2.7 × 10 1 ℎ𝑎𝑟𝑖 −1 Mbabazi dkk. 𝐾 2.3 × 10 8 𝐶𝐹𝑈 Mbabazi dkk. 𝛾 8.877 × 10 −1 𝑠𝑒𝑙 −1 . ℎ𝑎𝑟𝑖 −1 Mbabazi dkk. 𝑚 10 11 (𝐶𝐹𝑈/𝑚𝑙)𝑠𝑒𝑙 −1 Asumsi ℎ 5 𝑗𝑎𝑚 Mbabazi dkk. 𝐴 10 5.5 𝑠𝑒𝑙 Mbabazi dkk.
Hasil  simulasi  bidang  fase  pada  titik  setimbang  endemik  model  ditunjukkan  pada  Gambar  2 berikut:
Gambar 2. Simulasi Bidang Fase pada Bidang 𝐼 𝑣 − 𝑉 untuk 𝐸 1
Gambar 2 merupakan gambar grafik pada ruang dua dimensi dari populasi 𝐼 𝑣 dan 𝑉 pada model matematika ko-infeksi virus influenza A dan pneumokokus pada sel inang. Pada gambar terlihat bahwa untuk 𝑡 yang semakin besar maka solusi dari model khususnya 𝐼 𝑣 dan 𝑉 cenderung  menuju  ke  suatu  titik  yang  sama  atau  cenderung  konvergen  ke  titik (6.907 × 10 7 , 1.187 × 10 13 ) . Secara keseluruhan dinamika dari setiap subpopulasi pada model  matematika  ko-infeksi  virus  influenza  A  dan  pneumokokus  pada  sel  inang bergerak  menuju  titik  setimbang  endemik  virus  influenza  A 𝐸 1 = (1.639 × 10 7 , 0, 6.907 × 10 7 , 0, 0, 1.187 × 10 13 ) .  Nilai 𝐸 1 diperoleh  dengan  mensubstitusikan nilai  parameter pada Tabel  2.3 pada  persamaan  (2.1a) –  (2.1f). Selain itu, berdasarkan nilai parameter yang diberikan pada Tabel 2.3 dapat diperoleh nilai 𝑅 0𝑣 > 1 dan 𝑅 0𝑏 < 1.
Berdasarkan  hasil  simulasi  pada  Gambar  2.2  diperoleh  hasil  bahwa  titik  setimbang endemik  virus  influenza  A  pada  model  matematika  ko-infeksi  virus  influenza  A  dan pneumokokus pada sel inang akan cenderung stabil asimtotis lokal jika memenuhi 𝑅 0𝑣 > 1 dan 𝑅 0𝑏 < 1 .  Hal  ini  merepresentasikan    bahwa  jika 𝑅 0𝑣 > 1 ,  maka  setiap  sel  yang terinfeksi virus influenza A dapat menularkan penyakit influenza A rata-rata lebih dari satu  penderita  baru  atau  dengan  kata  lain  terdapat  penyebaran  penyakit  influenza  A. Sedangkan  jika 𝑅 0𝑏 < 1 ,  maka  setiap  sel  yang  terinfeksi  bakteri  pneumokokus  dapat menularkan penyakit pneumokokus rata-rata kurang dari satu penderita baru atau dengan kata lain tidak terjadi penyebaran penyakit pneumokokus.

## 4.3 Kestabilan Lokal Titik Setimbang Endemik Pneumokokus
Langkah pertama untuk  menentukan kestabilan titik setimbang endemik  pneumokokus yaitu  dengan  mensubstitusikan  titik  setimbang  endemik 𝐸 2 = (𝑆, 𝐼 𝑏 , 𝐼 𝑣 , 𝐼 𝑣𝑏 , 𝐵, 𝑉) = (𝑆 𝑏 , 𝐼 𝑏 𝑏 , 0,0, 𝐵 𝑏 , 0) pada matriks Jacobian, sehingga diperoleh :
𝐽 𝐸 2 = ( −𝛽 1 𝐵 ∗ − 𝜇 1 0 0 0 −𝐻 1 −𝐻 2 𝛽 1 𝐵 ∗ −𝜇 2 0 0 𝐻 1 −𝐻 5 0 0 −𝛽 4 𝐵 ∗ − 𝜇 3 0 0 𝐻 2 0 0 𝛽 4 𝐵 ∗ −𝜇 4 0 𝐻 5 0 𝜏 1 𝑛 1 0 0 −𝐻 3 0 0 0 𝜏 2 𝑛 2 𝜏 3 𝑛 3 0 −𝐻 4 )
dengan
𝐻 1 = 𝛽 1 ( Λ (𝛽 1 𝐵 ∗ + 𝜇 1 ) ),
𝐻 2 = 𝛽 2 ( Λ (𝛽 1 𝐵 ∗ + 𝜇 1 ) ) ( Λ (𝛽 1 𝐵 ∗ + 𝜇 1 ) ) + ( 𝛽 1 Λ𝐵 ∗ 𝜇 2 (𝛽 1 𝐵 ∗ + 𝜇 1 ) ) , 𝐻 3 = 2𝑟𝐵 ∗ 𝐾 + 𝛾𝑚𝐴 𝐴 + ℎ𝐵 ∗ + 𝛾𝑚𝐴ℎ𝐵 ∗ (𝐴 + ℎ𝐵 ∗ ) 2 + 𝛼 2 + 𝛿 1 − 𝑟,
𝐻 4 = (𝛼 1 + 𝛿 2 ),
𝐻 5 = 𝛽 3 ( 𝛽 1 Λ𝐵 ∗ 𝜇 2 (𝛽 1 𝐵 ∗ + 𝜇 1 ) ).
Dalam  menentukan  akar-akar  persamaan  karakteristik  dari 𝑑𝑒𝑡(𝜆𝐼 − 𝐽 𝐸 2 ) = 0 sulit dilakukan secara analitik karena persamaan yang dihasilkan rumit dan bergantung pada variabel 𝐵 ∗ , maka dilakukan analisis secara numerik dengan menggunakan bidang fase.
Simulasi ini dilakukan dengan memberi nilai parameter dan tiga nilai awal yang berbeda untuk masing-masing subpopulasi 𝑆, 𝐼 𝑏 , 𝐼 𝑣 , 𝐼 𝑣𝑏 , 𝐵, 𝑉 . Hal ini bertujuan untuk mengetahui kestabilan solusi dari masing-masing nilai awal dan parameter yang digunakan. Simulasi ini dilakukan untuk waktu 𝑡 = 0 sampai dengan 𝑡 = 50 hari. Nilai awal dan parameter untuk  simulasi  bidang  fase  pada  model  matematika  ko-infeksi  virus  influenza  A  dan pneumokokus pada sel inang disajikan pada Tabel 4. dan 5.
Tabel 4. Nilai Awal Bidang Fase Titik Setimbang Endemik 𝐸 2 Nilai Awal 1 2 3 𝑆 4 × 10 8 4.5 × 10 8 3.9 × 10 8 𝐼 𝑏 10 5 9 × 10 7 7 × 10 8 𝐼 𝑣 10 2 1.5 × 10 2 0.7 × 10 2 𝐼 𝑣𝑏 10 3 1.5 × 10 3 0.7 × 10 3 𝐵 1.6 × 10 3 1.7 × 10 8 1.5 × 10 7 𝑉 10 5 1.5 × 10 5 0.7 × 10 5 Warna Biru Hijau Merah
Tabel 5. Nilai Parameter Bidang Fase Titik Setimbang Endemik 𝐸 2 Parameter Nilai Satuan Sumber Λ 6.25 × 10 7 𝑠𝑒𝑙. ℎ𝑎𝑟𝑖 −1 Mbabazi dkk. 𝛽 1 1.2 × 10 −5 𝑠𝑒𝑙 −1 . ℎ𝑎𝑟𝑖 −1 Mbabazi dkk. 𝛽 2 2.7 × 10 −5 𝑠𝑒𝑙 −1 . ℎ𝑎𝑟𝑖 −1 Mbabazi dkk. 𝛽 3 7.3 × 10 −8 𝑠𝑒𝑙 −1 . ℎ𝑎𝑟𝑖 −1 Mbabazi dkk. 𝛽 4 4.1 × 10 −6 𝑠𝑒𝑙 −1 . ℎ𝑎𝑟𝑖 −1 Mbabazi dkk. 𝜇 1 6.25 × 10 −3 ℎ𝑎𝑟𝑖 −1 Mbabazi dkk. 𝜇 2 1.34 × 10 −1 ℎ𝑎𝑟𝑖 −1 Asumsi 𝜇 3 8.9 × 10 −1 ℎ𝑎𝑟𝑖 −1 Mbabazi dkk. 𝜇 4 5.2 × 10 −1 ℎ𝑎𝑟𝑖 −1 Asumsi 𝜏 1 1.102 × 10 −5 ℎ𝑎𝑟𝑖 −1 Asumsi 𝜏 2 8.6 × 10 −2 ℎ𝑎𝑟𝑖 −1 Asumsi 𝜏 3 2.4 × 10 −5 ℎ𝑎𝑟𝑖 −1 Asumsi 𝑛 1 1 × 10 3 ℎ𝑎𝑟𝑖 −1 Mbabazi dkk. 𝑛 2 10 5 ℎ𝑎𝑟𝑖 −1 Asumsi 𝑛 3 2.51 × 10 1 ℎ𝑎𝑟𝑖 −1 Mbabazi dkk. 𝛼 1 3.2 × 10 −4 ℎ𝑎𝑟𝑖 −1 Mbabazi dkk. 𝛼 2 10 −3 ℎ𝑎𝑟𝑖 −1 Mbabazi dkk. 𝛿 1 2 × 10 −5 ℎ𝑎𝑟𝑖 −1 Mbabazi dkk. 𝛿 2 0,5 ℎ𝑎𝑟𝑖 −1 Mbabazi dkk. 𝑟 2.7 × 10 1 ℎ𝑎𝑟𝑖 −1 Mbabazi dkk. 𝐾 2.3 × 10 8 𝐶𝐹𝑈 Mbabazi dkk. 𝛾 8.877 × 10 −1 𝑠𝑒𝑙 −1 . ℎ𝑎𝑟𝑖 −1 Mbabazi dkk. 𝑚 60 (𝐶𝐹𝑈/𝑚𝑙)𝑠𝑒𝑙 −1 Asumsi ℎ 5 𝑗𝑎𝑚 Mbabazi dkk. 𝐴 10 5.5 𝑠𝑒𝑙 Mbabazi dkk.
Hasil simulasi bidang fase pada titik setimbang endemik model ditunjukkan pada Gambar 3 berikut:
Gambar 3. Simulasi Bidang Fase pada Bidang 𝐼 𝑏 − 𝐵 untuk 𝐸 2
Gambar 3 merupakan gambar grafik pada ruang dua dimensi dari populasi 𝐼 𝑏 dan 𝐵 pada model matematik  ko-infeksi  virus influenza A dan pneumokokus pada sel  inang. Pada gambar terlihat bahwa untuk 𝑡 yang semakin besar maka solusi dari model khususnya 𝐼 𝑏 dan 𝐵 cenderung  menuju  ke  suatu  titik  yang  sama  atau  cenderung  konvergen  ke  titik (4.664 × 10 8 , 2.301 × 10 8 ) . Secara keseluruhan dinamika dari setiap subpopulasi pada model  matematika  ko-infeksi  virus  influenza  A  dan  pneumokokus  pada  sel  inang bergerak  menuju  titik  setimbang  endemik  pneumokokus 𝐸 2 = (22639, 4.664 × 10 8 , 0, 0, 2.301 × 10 8 , 0) .  Nilai 𝐸 2 diperoleh  dengan  mensubstitusikan  nilai  parameter pada Tabel  2.5 pada  persamaan (2.1a) –  (2.1f).  Selain itu, berdasarkan nilai  parameter yang diberikan pada Tabel 2.5 dapat diperoleh nilai 𝑅 0𝑣 < 1 dan 𝑅 0𝑏 > 1.
Berdasarkan  hasil  simulasi  pada  Gambar  2.3  diperoleh  hasil  bahwa  titik  setimbang endemik  pneumokokus  pada  model  matematika  ko-infeksi  virus  influenza  A  dan pneumokokus pada sel inang akan cenderung stabil asimtotis lokal jika memenuhi 𝑅 0𝑣 < 1 dan 𝑅 0𝑏 > 1 .  Hal  ini  merepresentasikan    bahwa  jika 𝑅 0𝑣 < 1 ,  maka  setiap  sel  yang terinfeksi virus influenza A dapat menularkan penyakit influenza A rata-rata kurang dari satu penderita baru atau dengan kata lain tidak terjadi penyebaran penyakit influenza A. Sedangkan  jika 𝑅 0𝑏 > 1 ,  maka  setiap  sel  yang  terinfeksi  bakteri  pneumokokus  dapat menularkan penyakit pneumokokus rata-rata lebih dari satu penderita baru atau dengan kata lain terjadi penyebaran penyakit pneumokokus.

## 4.4 Kestabilan Lokal Titik Setimbang Endemik Ko-infeksi
Langkah pertama untuk  menentukan kestabilan titik setimbang endemik  pneumokokus yaitu  dengan  mensubstitusikan  titik  setimbang  endemik 𝐸 3 = (𝑆, 𝐼 𝑏 , 𝐼 𝑣 , 𝐼 𝑣𝑏 , 𝐵, 𝑉) = (𝑆 𝑣𝑏 , 𝐼 𝑏 𝑣𝑏 , 𝐼 𝑣 𝑣𝑏 , 𝐼 𝑣𝑏 𝑣𝑏 , 𝐵 𝑣𝑏 , 𝑉 𝑣𝑏 ) pada matriks Jacobian, sehingga diperoleh :
𝐽 𝐸 3 = ( −𝐿 1 + 𝐿 2 − 𝐿 4 − 𝜇 1 𝐿 2 𝐿 2 𝐿 2 −𝐿 7 −𝐿 3 𝐿 4 −𝜇 2 − 𝐿 5 0 0 𝐿 7 −𝐿 9 𝐿 1 − 𝐿 2 −𝐿 2 −𝐿 2 − 𝐿 6 − 𝜇 3 −𝐿 2 −𝐿 8 𝐿 3 0 𝐿 5 𝐿 6 −𝜇 4 𝐿 8 𝐿 9 0 𝜏 1 𝑛 1 0 0 −𝐿 10 0 0 0 𝜏 2 𝑛 2 𝜏 3 𝑛 3 0 −𝐿 11 )
dengan
𝐿 1 = 𝛽 2 𝑉 ∗ 𝑆 + 𝐼 𝑏 ∗ + 𝐼 𝑣 ∗ + 𝐼 𝑣𝑏 ∗ , 𝐿 2 = 𝛽 2 𝑆 ∗ 𝑉 ∗ (𝑆 ∗ + 𝐼 𝑏 ∗ + 𝐼 𝑣 ∗ + 𝐼 𝑣𝑏 ∗ ) 2 , 𝐿 3 = 𝛽 2 𝑆 ∗ 𝑆 ∗ + 𝐼 𝑏 ∗ + 𝐼 𝑣 ∗ + 𝐼 𝑣𝑏 ∗ , 𝐿 4 = 𝛽 1 𝐵 ∗ , 𝐿 5 = 𝛽 3 𝑉 ∗ , 𝐿 6 = 𝛽 4 𝐵 ∗ ,
𝐿 7 = 𝛽 1 𝑆 ∗ , 𝐿 8 = 𝛽 4 𝐼 𝑣 ∗ ,
𝐿 9 = 𝛽 3 𝐼 𝑏 ∗ , 𝐿 10 = 2𝑟𝐵 ∗ 𝐾 + 𝛾𝑚𝐴 𝐴 + ℎ𝐵 ∗ − 𝛾𝑚𝐴ℎ𝐵 ∗ (𝐴 + ℎ𝐵 ∗ ) 2 + 𝛼 2 + 𝛿 1 − 𝑟,
𝐿 11 = 𝛼 1 + 𝛿 2 .
Dalam  menentukan  akar-akar  persamaan  karakteristik  dari det(𝜆𝐼 − 𝐽 𝐸 3 ) = 0 sulit dilakukan secara analitik karena persamaan yang dihasilkan rumit dan bergantung pada variabel 𝑆, 𝐼 𝑏 , 𝐼 𝑣 , 𝐼 𝑣𝑏 , 𝐵, 𝑉 , maka dilakukan analisis secara numerik dengan menggunakan bidang fase.
Simulasi ini dilakukan dengan memberi nilai parameter dan tiga nilai awal yang berbeda untuk masing-masing subpopulasi 𝑆, 𝐼 𝑏 , 𝐼 𝑣 , 𝐼 𝑣𝑏 , 𝐵, 𝑉 . Hal ini bertujuan untuk mengetahui kestabilan solusi dari masing-masing nilai awal dan parameter yang digunakan. Simulasi ini dilakukan untuk waktu 𝑡 = 0 sampai dengan 𝑡 = 50 hari. Nilai awal dan parameter untuk  simulasi  bidang  fase  pada  model  matematika  ko-infeksi  virus  influenza  A  dan pneumokokus pada sel inang disajikan pada Tabel 6. dan 7.
Tabel 6. Nilai Awal Bidang Fase Titik Setimbang Endemik 𝐸 3 Nilai Awal 1 2 3 𝑆 4 × 10 8 5 × 10 8 2.6 × 10 8 𝐼 𝑏 10 5 3 × 10 8 5 × 10 6 𝐼 𝑣 10 2 1.5 × 10 2 0.3 × 10 2 𝐼 𝑣𝑏 10 3 9 × 10 6 2 × 10 8 𝐵 1.6 × 10 3 1.7 × 10 3 1.2 × 10 3 𝑉 10 5 1.5 × 10 5 0.6 × 10 4 Warna Biru Hijau Merah
Tabel 7. Nilai Parameter Bidang Fase Titik Setimbang Endemik 𝐸 3 Parameter Nilai Satuan Sumber Λ 6.25 × 10 7 𝑠𝑒𝑙. ℎ𝑎𝑟𝑖 −1 Mbabazi dkk. 𝛽 1 1.2 × 10 −5 𝑠𝑒𝑙 −1 . ℎ𝑎𝑟𝑖 −1 Mbabazi dkk. 𝛽 2 2.7 × 10 −5 𝑠𝑒𝑙 −1 . ℎ𝑎𝑟𝑖 −1 Mbabazi dkk. 𝛽 3 7.3 × 10 −8 𝑠𝑒𝑙 −1 . ℎ𝑎𝑟𝑖 −1 Mbabazi dkk. 𝛽 4 4.1 × 10 −6 𝑠𝑒𝑙 −1 . ℎ𝑎𝑟𝑖 −1 Mbabazi dkk. 𝜇 1 6.25 × 10 −2 ℎ𝑎𝑟𝑖 −1 Mbabazi dkk. 𝜇 2 1.34 × 10 −5 ℎ𝑎𝑟𝑖 −1 Asumsi 𝜇 3 8.9 × 10 −1 ℎ𝑎𝑟𝑖 −1 Mbabazi dkk. 𝜇 4 5.2 × 10 −1 ℎ𝑎𝑟𝑖 −1 Asumsi 𝜏 1 1.102 × 10 −5 ℎ𝑎𝑟𝑖 −1 Asumsi 𝜏 2 8.6 × 10 −1 ℎ𝑎𝑟𝑖 −1 Asumsi 𝜏 3 2.4 × 10 −3 ℎ𝑎𝑟𝑖 −1 Asumsi 𝑛 1 1 × 10 3 ℎ𝑎𝑟𝑖 −1 Mbabazi dkk. 𝑛 2 10 5 ℎ𝑎𝑟𝑖 −1 Asumsi 𝑛 3 2.51 × 10 1 ℎ𝑎𝑟𝑖 −1 Mbabazi dkk. 𝛼 1 3.2 × 10 −4 ℎ𝑎𝑟𝑖 −1 Mbabazi dkk. 𝛼 2 10 −3 ℎ𝑎𝑟𝑖 −1 Mbabazi dkk. 𝛿 1 2 × 10 −5 ℎ𝑎𝑟𝑖 −1 Mbabazi dkk. 𝛿 2 0,5 ℎ𝑎𝑟𝑖 −1 Mbabazi dkk. 𝑟 2.7 × 10 1 ℎ𝑎𝑟𝑖 −1 Mbabazi dkk. 𝐾 2.3 × 10 8 𝐶𝐹𝑈 Mbabazi dkk. 𝛾 8.877 × 10 −1 𝑠𝑒𝑙 −1 . ℎ𝑎𝑟𝑖 −1 Mbabazi dkk. 𝑚 60 (𝐶𝐹𝑈/𝑚𝑙)𝑠𝑒𝑙 −1 Asumsi ℎ 5 𝑗𝑎𝑚 Mbabazi dkk. 𝐴 10 5.5 𝑠𝑒𝑙 Mbabazi dkk.
Hasil simulasi bidang fase pada titik setimbang endemik model Gambar 4 berikut:
Gambar 4. Simulasi Bidang Fase pada Bidang 𝐼 𝑏 − 𝐼 𝑣𝑏 untuk 𝐸 3
Gambar  4  merupakan  gambar  grafik  pada  ruang  dua  dimensi  dari  populasi 𝐼 𝑏 dan 𝐼 𝑣𝑏 pada  model  matematik  ko-infeksi  virus  influenza  A  dan  pneumokokus  pada  sel  inang. Pada  gambar  terlihat  bahwa  untuk 𝑡 yang  semakin  besar  maka  solusi  dari  model khususnya 𝐼 𝑏 dan 𝐼 𝑣𝑏 cenderung  menuju  ke  suatu  titik  yang  sama  atau  cenderung konvergen ke titik (5.979 × 10 7 , 1.202 × 10 8 ) . Secara keseluruhan dinamika dari setiap subpopulasi pada model matematika ko-infeksi virus influenza A dan pneumokokus pada sel  inang  bergerak  menuju  titik  setimbang  endemik  ko-infeksi 𝐸 3 = (22655, 5.979 × 10 7 , 5.2307 × 10 −5 , 1.202 × 10 8 , 2.29 × 10 8 , 1.4471 × 10 7 ) .  Nilai 𝐸 3 diperoleh dengan  mensubstitusikan  nilai  parameter  pada  Tabel  7  pada  persamaan  (1.a)  –  (1.f). Selain itu, berdasarkan nilai parameter yang diberikan pada Tabel 7 dapat diperoleh nilai 𝑅 0𝑣 > 1 dan 𝑅 0𝑏 > 1.
Berdasarkan hasil simulasi pada Gambar 4 diperoleh hasil bahwa titik setimbang endemik ko-infeksi pada model matematika ko-infeksi virus influenza A dan pneumokokus pada sel inang akan cenderung stabil asimtotis lokal jika memenuhi 𝑅 0𝑣 > 1 dan 𝑅 0𝑏 > 1 . Hal ini  merepresentasikan    bahwa  jika 𝑅 0𝑣 > 1 ,  maka  setiap  sel  yang  terinfeksi  virus influenza  A  dapat  menularkan  penyakit  influenza  A  rata-rata  lebih  dari  satu  penderita baru atau dengan kata lain terjadi penyebaran penyakit influenza A. Jika 𝑅 0𝑏 > 1 , maka setiap sel yang terinfeksi bakteri pneumokokus dapat menularkan penyakit pneumokokus rata-rata lebih dari satu penderita baru atau dengan kata lain terjadi penyebaran penyakit pneumokokus. Sehingga mengakibatkan terjadinya ko-infeksi.

## 5 Simulasi dan Interpretasi
Simulasi numerik dilakukan dengan menggunakan software MATLAB 7.0 dengan nilai awal untuk setiap kondisi adalah 𝑆 = 4 × 10 1 , 𝐼 𝑏 = 10 4 , 𝐼 𝑣 = 10 3 , 𝐼 𝑣𝑏 = 10 3 , 𝐵 = 1.6 × 10 3 , 𝑉 = 2 × 10 7 untuk  kondisi  non  endemik  dan 𝑆 = 4 × 10 8 , 𝐼 𝑏 = 10 5 , 𝐼 𝑣 = 10 2 , 𝐼 𝑣𝑏 = 10 3 , 𝐵 = 1.6 × 10 3 , 𝑉 = 10 5 untuk kondisi endemik.
Kondisi non endemik ko-infeksi terjadi ketika tidak ada penyebaran penyakit, baik virus influenza A maupun bakteri pneumokokus, yang dapat dinyatakan dengan 𝑅 0𝑣 < 1 dan 𝑅 0𝑏 < 1 .  Simulasi  dilakukan  untuk 𝑡 = 0 sampai  dengan 𝑡 = 50 hari.  Nilai  parameter yang digunakan untuk simulasi numerik tertera pada Tabel 8.
Tabel 8. Nilai Parameter untuk Simulasi Numerik Titik Setimbang 𝐸 0 Parameter Nilai Satuan Sumber Λ 6.25 × 10 4 𝑠𝑒𝑙. ℎ𝑎𝑟𝑖 −1 Mbabazi dkk. 𝛽 1 1.2 × 10 −5 𝑠𝑒𝑙 −1 . ℎ𝑎𝑟𝑖 −1 Mbabazi dkk. 𝛽 2 2.7 × 10 −5 𝑠𝑒𝑙 −1 . ℎ𝑎𝑟𝑖 −1 Mbabazi dkk. 𝛽 3 7.3 × 10 −8 𝑠𝑒𝑙 −1 . ℎ𝑎𝑟𝑖 −1 Mbabazi dkk. 𝛽 4 4.1 × 10 −6 𝑠𝑒𝑙 −1 . ℎ𝑎𝑟𝑖 −1 Mbabazi dkk. 𝜇 1 6.25 × 10 −1 ℎ𝑎𝑟𝑖 −1 Mbabazi dkk. 𝜇 2 1.34 × 10 −6 ℎ𝑎𝑟𝑖 −1 Asumsi 𝜇 3 8.9 × 10 −1 ℎ𝑎𝑟𝑖 −1 Mbabazi dkk. 𝜇 4 5.2 × 10 −1 ℎ𝑎𝑟𝑖 −1 Asumsi 𝜏 1 1.102 × 10 −8 ℎ𝑎𝑟𝑖 −1 Asumsi 𝜏 2 8.6 × 10 −2 ℎ𝑎𝑟𝑖 −1 Asumsi 𝜏 3 2.4 × 10 −3 ℎ𝑎𝑟𝑖 −1 Asumsi 𝑛 1 1 × 10 3 ℎ𝑎𝑟𝑖 −1 Mbabazi dkk. 𝑛 2 10 5 ℎ𝑎𝑟𝑖 −1 Asumsi 𝑛 3 2.51 × 10 1 ℎ𝑎𝑟𝑖 −1 Mbabazi dkk. 𝛼 1 3.2 × 10 −4 ℎ𝑎𝑟𝑖 −1 Mbabazi dkk. 𝛼 2 10 −3 ℎ𝑎𝑟𝑖 −1 Mbabazi dkk. 𝛿 1 2 × 10 −5 ℎ𝑎𝑟𝑖 −1 Mbabazi dkk. 𝛿 2 0.5 ℎ𝑎𝑟𝑖 −1 Mbabazi dkk. 𝑟 2.7 × 10 1 ℎ𝑎𝑟𝑖 −1 Mbabazi dkk. 𝐾 2.3 × 10 8 𝐶𝐹𝑈 Mbabazi dkk. 𝛾 8.877 × 10 −1 𝑠𝑒𝑙 −1 . ℎ𝑎𝑟𝑖 −1 Mbabazi dkk. 𝑚 60 (𝐶𝐹𝑈/𝑚𝑙)𝑠𝑒𝑙 −1 Asumsi ℎ 5 𝑗𝑎𝑚 Mbabazi dkk. 𝐴 10 5.5 𝑠𝑒𝑙
Mbabazi dkk.
Berdasarkan nilai parameter pada Tabel 8 diperoleh nilai 𝑅 0𝑣 = 𝛽 2 𝜏 2 𝑛 2 𝜇 3 (𝛼 1 +𝛿 2 ) = 0.5215 < 1 dan 𝑅 0𝑏 = 𝛽 1 Λ𝜏 1 𝑛 1 𝜇 1 𝜇 2 (𝛼 2 +𝛿 1 +𝛾𝑚−𝑟) = 0.3758 < 1 . Berikut adalah hasil simulasi untuk populasi sel, populasi bakteri pneumokokus dan populasi virus influenza A
Gambar 5. Dinamika Populasi Sel Saat 𝑅 0𝑣 < 1 dan 𝑅 0𝑏 < 1
Gambar 6. Dinamika Populasi Bakteri Saat 𝑅 0𝑣 < 1 dan 𝑅 0𝑏 < 1
Gambar 7. Dinamika Populasi Virus Saat 𝑅 0𝑣 < 1 dan 𝑅 0𝑏 < 1
Gambar 5 – 7 merupakan hasil simulasi pada populasi sel, populasi bakteri pneumokokus dan  populasi  virus  influenza  A  ketika  tidak  ada  penyebaran  penyakit  influenza  A  dan pneumokokus. Jumlah populasi sel yang terinfeksi virus influenza A, sel yang terinfeksi pneumokokus, sel yang terkena ko-infeksi, virus influenza A dan bakteri pneumokokus dalam jangka waktu tertentu bergerak menuju nol atau mengalami kepunahan. Sedangkan populasi sel yang rentan mengalami kenaikan sampai hari ke-10 kemudian konstan.
Kondisi endemik ko-infeksi terjadi ketika terdapat penyebaran penyakit influenza A dan pneumokokus secara bersamaan,  yang dapat dinyatakan  dengan 𝑅 0𝑣 > 1 dan 𝑅 0𝑏 > 1 . Simulasi  dilakukan untuk 𝑡 = 0 sampai dengan 𝑡 = 50 hari.  Nilai awal  dan parameter yang digunakan untuk simulasi numerik tertera pada Tabel 2.6 dan Tabel 2.7. berdasarkan nilai  parameter  tersebut  diperoleh  nilai 𝑅 0𝑣 = 𝛽 2 𝜏 2 𝑛 2 𝜇 3 (𝛼 1 +𝛿 2 ) = 5.2146 > 1 dan 𝑅 0𝑏 = 𝛽 1 Λ𝜏 1 𝑛 1 𝜇 1 𝜇 2 (𝛼 2 +𝛿 1 +𝛾𝑚−𝑟) = 3.7576 × 10 9 > 1 . Berikut adalah hasil simulasi untuk populasi sel, populasi bakteri pneumokokus dan populasi virus influenza A
Gambar 8. Dinamika Populasi Sel Saat 𝑅 0𝑣 > 1 dan 𝑅 0𝑏 > 1
Gambar 9. Dinamika Populasi Bakteri Saat 𝑅 0𝑣 > 1 dan 𝑅 0𝑏 > 1
Gambar 10. Dinamika Populasi Virus Saat 𝑅 0𝑣 > 1 dan 𝑅 0𝑏 > 1
Gambar  8  –  10  merupakan  hasil  simulasi  pada  populasi  sel,  populasi  bakteri pneumokokus  dan  populasi  virus  influenza  A  ketika  terjadi  penyebaran  penyakit influenza  A  dan  pneumokokus  secara  bersamaan.  Jumlah  populasi  sel  yang  terinfeksi pneumokokus  dan  sel  yang  terkena  ko-infeksi  mengalami  kenaikan  sampai  hari  ke-4 kemudian sedikit turun sampai hari ke-20 dan kemudian konstan. Jumlah populasi bakteri pneumokokus  juga  mengalami  kenaikan  pada  hari  ke-4  kemudian  konstan.  Jumlah populasi virus influenza A mengalami kenaikan sampai hari ke-3 kemudian turun drastis pada  hari  ke-4  dikarenakan  jumlah  populasi  sel  yang  terinfeksi  virus  influenza  A  juga mengalami  penurunan  drastis  pada  waktu  yang  sama  sampai  hari  ke-20  kemudian konstan.  Sedangkan  populasi  sel  yang  rentan  dalam  jangka  waktu  tertentu  bergerak menuju nol atau mengalami kepunahan.

## 6 Analisis Sensitivitas Parameter
Analisis  sensitivitas  bertujuan  untuk  menentukan  parameter  yang  memiliki  pengaruh besar  pada  syarat  kestabilan  dari  titik  setimbang  non  endemik  maupun  endemik.  Hal tersebut dapat diketahui melalui indeks sensitivitas ( 𝑒 𝑛 ) dari masing-masing parameter. Adapun indeks sensitivitas parameter dirumuskan sebagai berikut [12] :
𝑒 𝑛 = ( 𝜕𝑅 0 𝜕𝑛 ) 𝑛 𝑅 0 ,
dengan : 𝑛 : parameter yang akan dianalisis 𝑒 𝑛 : indeks sensitivitas parameter 𝑛 .
Pada penelitian initelah diperoleh nilai 𝑅 0 , yaitu
𝑅 0𝑣 = 𝛽 2 𝜏 2 𝑛 2 𝜇 3 (𝛼 1 + 𝛿 2 ) , 𝑅 0𝑏 = 𝛽 1 Λ𝜏 1 𝑛 1 𝜇 1 𝜇 2 (𝛼 2 + 𝛿 1 + 𝛾𝑚 − 𝑟) ,
berdasarkan nilai 𝑅 0𝑣 dan 𝑅 0𝑏 yang telah diperoleh, pada 𝑅 0𝑣 terdapat enam parameter yang  akan  ditentukan  indeks  sensitivitasnya,  yaitu 𝛽 2 , 𝜏 2 , 𝑛 2 , 𝜇 3 , 𝛼 1 dan 𝛿 2 .  Sedangkan pada 𝑅 0𝑏 terdapat sebelas parameter yang akan ditentukan indeks sensitivitasnya, yaitu Λ, 𝛽 1 , 𝜏 1 , 𝑛 1 , 𝜇 1 , 𝜇 2 , 𝛼 2 , 𝛿 1 , 𝑟, 𝛾 dan 𝑚 .  Berikut  adalah  contoh  perhitungan  indeks sensitivitas untuk parameter 𝜇 1 .
𝑒 𝜇 1 = 𝜕𝑅 0𝑏 𝜕𝜇 1 𝜇 1 𝑅 0𝑏 = − 𝛽 1 Λ𝜏 1 𝑛 1 𝜇 1 2 𝜇 2 (𝛼 2 + 𝛿 1 + 𝛾𝑚 − 𝑟) 𝜇 1 𝛽 1 Λ𝜏 1 𝑛 1 𝜇 1 𝜇 2 (𝛼 2 + 𝛿 1 + 𝛾𝑚 − 𝑟) = −1,
Hasil perhitungan indeks sensitivitas parameter pada model matematika ko-infeksi virus influenza  A  dan  pneumokokus  pada  sel  inang  disajikan  dalam  Tabel  9  dan  Tabel  10 sebagai berikut:
Tabel 9. Hasil Perhitungan Indeks Sensitivitas Parameter 𝑅 0𝑣 Parameter Indeks Sensitivitas 𝛽 2 1 𝜏 2 1 𝑛 2 1 𝜇 3 -0.99 𝛼 1 -0.0006
𝛿 2
-0.99
Tabel 10. Hasil Perhitungan Indeks Sensitivitas Parameter 𝑅 0𝑏 Parameter Indeks Sensitivitas Λ 1 𝛽 1 1 𝜏 1 1 𝑛 1 1 𝜇 1 -1 𝜇 2 -1
𝛼 2 -0.0003
𝛿 1 -0.0000007 𝛾 -2.02 𝑚 -2.02 𝑟 1.02
Indeks sensitivitas positif menunjukkan bahwa jika nilai suatu parameter bertambah maka nilai 𝑅 0𝑣 dan 𝑅 0𝑏 juga akan bertambah. Sedangkan apabila indeks sensitivitasnya negatif menunjukkan bahwa jika nilai suatu parameter bertambah mengakibatkan nilai 𝑅 0𝑣 dan 𝑅 0𝑏 akan berkurang. Berdasarkan Tabel 2.9 dan Tabel 2.10 dapat diketahui bahwa indeks sensitivitas dari 𝑟 adalah 1.02, maka dapat diinterpretasikan bahwa jika laju pertumbuhan maksimum pneumokokus (𝑟) bertambah sebesar 10%, maka nilai 𝑅 0𝑏 akan bertambah sebesar 10.2% dan begitu pula sebaliknya. Analisis tersebut juga berlaku pada parameter 𝛽 2 , 𝜏 2 , 𝑛 2 , Λ, 𝛽 1 , 𝜏 1 dan 𝑛 1 .  Sedangkan  apabila  laju  kematian  alami  sel  yang  terinfeksi virus influenza A (𝜇 3 ) bertambah 10% maka nilai 𝑅 0𝑣 akan berkurang 9.9%.  Analisis tersebut juga berlaku pada parameter 𝜇 1 , 𝜇 2 , 𝛼 1 , 𝛼 2 , 𝛿 1 , 𝛿 2 , 𝛾 dan 𝑚 . Dari uraian tersebut dapat  disimpulkan  bahwa  parameter  yang  memiliki  pengaruh  besar  pada  model matematika  ko-infeksi  virus  influenza  A  dan  pneumokokus  pada  sel  inang  untuk 𝑅 0𝑣 adalah 𝛽 2 , 𝜏 2 , 𝑛 2 dan untuk 𝑅 0𝑏 adalah 𝛾 dan 𝑚 .
Dikarenakan  parameter 𝑛 2 adalah  jumlah  infeksi  partikel  virus  influenza  A  yang dibebaskan  dari  lisis  sel  yang  terinfeksi  virus  influenza  A,  sehingga  tidak  bisa  untuk dikontrol. Selanjutnya akan dilakukan simulasi sensitivitas parameter 𝛽 2 dan 𝜏 2 terhadap 𝑅 0𝑣 yang  masing  masing-masing  merupakan  laju  sel  inang  yang  terinfeksi  oleh  virus influenza  A  dan  laju  pelepasan  oleh  sel  yang  terinfeksi  virus  influenza  A.  Kemudian parameter 𝛾 dan 𝑚 terhadap 𝑅 0𝑏 yang masing-masing merupakan laju fagositosis dan jumlah maksimal makrofag alveolar dapat tertangkap. Pada simulasi pertama untuk 𝑅 0𝑣 , dipilih nilai 𝛽 2 = 2.7 × 10 −4 , 𝛽 2 = 2.7 × 10 −5 dan 𝛽 2 = 2.7 × 10 −6 , sedangkan nilai 𝜏 2 berada pada interval 1 × 10 −1 < 𝜏 2 < 2 × 10 −1 . Simulasi kedua untuk 𝑅 0𝑣 , dipilih 𝜏 2 = 8.6 × 10 −0.8 , 𝜏 2 = 8.6 × 10 −1 dan 𝜏 2 = 8.6 × 10 −2 ,  sedangkan  nilai 𝛽 2 berada pada interval 1 × 10 −5 < 𝛽 2 < 2 × 10 −5 . Pada simulasi pertama untuk 𝑅 0𝑏 , dipilih nilai 𝑚 = 40 , 𝑚 = 60 dan 𝑚 = 80 , sedangkan nilai 𝛾 berada pada interval 2 × 10 −1 < 𝛾 < 9 × 10 −1 . Simulasi kedua untuk 𝑅 0𝑏 , dipilih 𝛾 = 7.877 × 10 −1 , 𝛾 = 8.877 × 10 −1 dan 𝛾 = 9.877 × 10 −1 , sedangkan nilai 𝛽 1 berada pada interval 55 < 𝑚 < 65 . Adapun hasil simulasi berupa grafik sensitivitas 𝛽 2 dan 𝜏 2 terhadap 𝑅 0𝑣 , 𝛾 dan 𝑚 terhadap 𝑅 0𝑏 dapat dilihat pada Gambar 11 – 14 berikut:
Gambar 11. Sensitivitas 𝛽 2 Terhadap 𝑅 0𝑣 dengan Tiga Nilai 𝜏 2 Berbeda
Gambar 12. Sensitivitas 𝜏 2 Terhadap 𝑅 0𝑣 dengan Tiga Nilai 𝛽 2 Berbeda
Gambar 13. Sensitivitas 𝛾 Terhadap 𝑅 0𝑏 dengan Tiga Nilai 𝑚 Berbeda
Gambar 14. Sensitivitas 𝑚 Terhadap 𝑅 0𝑏 dengan Tiga Nilai 𝛾 Berbeda
Gambar  11  dan  12  menunjukkan  bahwa  jika  laju  sel  inang  yang  terinfeksi  oleh  virus influenza  A (𝛽 2 ) dan  laju  pelepasan  oleh  sel  yang  terinfeksi  virus  influenza  A (𝜏 2 ) semakin  besar,  maka  nilai 𝑅 0𝑣 juga  akan  semakin  besar,  artinya  penyebaran  virus influenza A akan semakin meluas. Sedangkan Gambar 13 dan 14  menunjukkan bahwa untuk  ketiga nilai 𝛾 dan 𝑚 yang berbeda, semakin besar nilai 𝛾 dan 𝑚 maka semakin besar  nilai 1 𝑅 0𝑏 .  Karena  nilai 1 𝑅 0𝑏 semakin  besar,  maka  nilai 𝑅 0𝑏 akan  semakin  kecil. Sehingga dapat diartikan bahwa jika laju fagositosis (𝛾) dan jumlah maksimal makrofag alveolar dapat  tertangkap (𝑚) semakin besar, maka  nilai 𝑅 0𝑏 akan semakin  kecil. Hal tersebut  dikarenakan  indeks  sensitivitas  dari  parameter 𝛽 2 dan 𝜏 2 bernilai  positif, sehingga ketika nilai parameter tersebut semakin besar maka nilai 𝑅 0𝑣 juga akan semakin besar. Sedangkan untuk indeks sensitivitas parameter 𝛾 dan 𝑚 yang bernilai negatif, maka ketika nilai parameternya semakin besar mengakibatkan nilai 𝑅 0𝑏 akan semakin kecil.

## 7 Kesimpulan
Berdasarkan hasil pembahasan yang telah dijelaskan pada bab sebelumnya, maka dapat disimpulkan bahwa:
1. Model  matematika  ko-infeksi  virus  influenza  A  dan  pneumokokus  pada  sel  inang memiliki empat titik setimbang, yaitu titik setimbang non endemik ko-infeksi (𝐸 0 ) , titik  setimbang  endemik  virus  influenza  A (𝐸 1 ) ,  titik  setimbang  endemik pneumokokus (𝐸 2 ) dan titik setimbang endemik ko-infeksi (𝐸 3 ) . Titik setimbang non endemic  ko-infeksi  akan  stabil  asimtotis  jika 𝑅 0𝑣 < 1 , 𝑅 0𝑏 < 1 dan  memenuhi beberapa kondisi. Titik setimbang endemik virus influenza A akan cenderung stabil asimtotis  lokal jika 𝑅 0𝑣 > 1 dan 𝑅 0𝑏 < 1 . Titik setimbang endemik pneumokokus
akan  cenderung  stabil  asimtotis  lokal  jika 𝑅 0𝑣 < 1 dan 𝑅 0𝑏 > 1 .  Titik  setimbang endemik ko-infeksi akan cenderung stabil asimtotis lokal jika 𝑅 0𝑣 > 1 dan 𝑅 0𝑏 > 1 , dengan nilai 𝑅 0𝑣 dan 𝑅 0𝑏 sebagai berikut:
𝑅 0𝑣 = 𝛽 2 𝜏 2 𝑛 2 𝜇 3 (𝛼 1 + 𝛿 2 ) , 𝑅 0𝑏 = 𝛽 1 Λ𝜏 1 𝑛 1 𝜇 1 𝜇 2 (𝛼 2 + 𝛿 1 + 𝛾𝑚 − 𝑟) .
2. Berdasarkan hasil simulasi numerik menunjukkan bahwa kenaikan jumlah populasi virus influenza A dan jumlah populasi pneumokokus mengakibatkan jumlah populasi sel yang terinfeksi virus influenza A dan pneumokokus (ko-infeksi) juga mengalami kenaikan.

## 8 Saran
Pada penelitian selanjutnya dapat dilakukan estimasi parameter untuk model matematika ko-infeksi virus influenza A dan pneumokokus pada sel inang dengan data yang ada di Indonesia.  Dengan  demikian  model  matematika  ko-infeksi  virus  influenza  A  dan pneumokokus pada sel inang dapat digunakan untuk memprediksi penyebaran ko-infeksi virus influenza A dan pneumokokus pada sel inang di Indonesia.

## Daftar Pustaka
[1] Asaduzzaman S.  M. ,  Ma  J.,  dan  Driessche  P.  V.  D.,  2015,  The  coexistence  or replacement of two subtypes of influenza, Mathematical Biosience , 270 : 1-9.
[2] Khanh  N.  H.,  2016,  Stability  analysis  of  an  influenza  virus  model  with  disease resistance , Journal of the Egyptian Mathematical Society , 24 :193-199.
[3] WHO,  2018, Influenza  (Seasonal) ,  di  https://www.who.int/en/news-room/fact- sheets/detail/influenza-(seasonal) (diakses pada 5 April 2019).
[4] Lamb K. E., Greenhalgh D., dan Robertson C., 2011, A Simple mathematical model for  genetic  effect  in  pneumococcal  carriage  and  transmission, Journal  of Computation and Applied Mathematics , 235 :1812-1818.
[5] Rudd J.M., Ashar H. K., Chow V. TK., dan Teluguakula N., 2016, Lethal synergism between influenza and Streptococcus pneumoniae, J Infect Pulm Dis, 2(2) :1-13.
[6] Gupta R.K., George R., dan Nguyen-Van-Tam J. S., 2008, Bacterial pneumonia and pandemic influenza planning, Emerging Infectious Diseases , 14(8) :1187-1192.
[7] American  Lung  Association  (ALA),  2015, Trends  in  pneumonia  and  influenza morbidity and mortality , [Internet], Tersedian di:
https://www.lung.org/assets/documents/research/pi-trend-report.pdf.
[8] Crowe S., Utley M.,Walker G., Grove P., dan Pagel C., 2011, A model to evaluate mass  vaccination  against  pneumococcus  as  a  countermeasure  against  pandemic influenza, Vaccine , 29 :5065-5077.
[9] Cheng Y-H., You S-H., Lin Y-J., Chen S-C., Chen W-Y., Chou W-C., Hsieh N-H., dan Liao C-M., 2017, Mathematical modelling of postcoinfection with influenza A
virus and strepcococcus pneumoniae, with implications for pneumonia and COPD- risk assessment, International Journal of COPD , 12 :1973-1988.
[10] Mbabazi F. K., Mugisha J.Y.T., dan Kimathi M., 2018, Modelling the within-host co-infection  of  influenza  A  virus  and  pneumococcus, Applied  Mathematics  and Computation, 339 :488-506.
[11] Driessche  P.  van  den,  dan  Watmough  J.,  2002,  Reproduction  numbers  and  sub- threshold  endemic  equilibria  for  compartmental  models  of  disease  transmission, Mathematical Biosciences, 180 :29-48.
[12] Chitnis, N., Hyman, J.M., dan Cushing, 2008, Determine important parameters in the  spread  of  malaria  through  the  sensitivity  analysis  of  mathematics  model, Bulletin of Mathematical Biology, 70 :1272-1296.