Limits: Journal of Mathematics and Its Applications E-ISSN: 2579-8936 P-ISSN: 1829-605X Vol. 19, No. 2, Nopember 2022, 145-154 DOI: http://dx.doi.org/10.12962/limits.v19i2.8298

## Barisan Aritmetika Bertingkat dengan Menggunakan Interpolasi Lagrange
Heri Purnawan 1 , Subiono 2 1,2 Departemen Matematika, Fakultas Sains dan Analitika Data, Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya, Indonesia
1 Program Studi Teknik Elektro, Fakultas Teknik, Universitas Islam Lamongan, Lamongan, Indonesia e-mail: 1 heripurnawan@unisla.ac.id, 2 subiono2008@matematika.its.ac.id
Diajukan: 31 Desember 2020, Diperbaiki: 14 Juni 2022, Diterima: 4 September 2022
Abstrak
Penelitian ini membahas tentang suatu cara yang belum pernah digunakan untuk mengkonstruksi rumus suku ke- 𝑛𝑛 barisan  aritmetika  bertingkat menggunakan interpolasi Lagrange. Rumus yang telah didapat bisa dimanfaatkan untuk memperoleh suku ke- 𝑛𝑛 dari barisan aritmetika bertingkat 𝑘𝑘 , dengan syarat diketahui sebanyak 𝑘𝑘 + 1 suku dari barisan tersebut. Melalui beberapa contoh ternyata bahwa rumus suku ke- 𝑛𝑛 menggunakan interpolasi Lagrange, yaitu 𝑈𝑈 𝑛𝑛 ( 𝑘𝑘 ) dapat digunakan untuk memperoleh nilai suku yang diinginkan.
Kata Kunci : barisan bertingkat, aritmetika, interpolasi Lagrange

## Abstract
This paper discusses about a method that has never been used to construct the 𝑛𝑛 𝑡𝑡ℎ term formula of a multilevel arithmetic sequence using Lagrange's interpolation. The formula that has been obtained can be utilized to find the 𝑛𝑛 𝑡𝑡ℎ term of a k-level arithmetic sequence by providing a number 𝑘𝑘 +  1 terms of the sequence. Through several examples, it turns out that the 𝑛𝑛 𝑡𝑡ℎ term formula using Lagrange interpolation, namely 𝑈𝑈 𝑛𝑛 ( 𝑘𝑘 ) can be used to obtain the desired term value.
Keywords : multilevel sequence, arithmetic, Lagrange interpolation

## 1 Pendahuluan
Salah satu cabang materi aljabar yang dipelajari di sekolah menengah pertama (SMP) dan sekolah menengah atas (SMA) adalah barisan dan deret. Barisan didefinisikan sebagai susunan bilangan yang mempunyai pola atau aturan tertentu antara satu bilangan dan bilangan lainnya [1], sedangkan deret adalah jumlahan dari suku-suku suatu barisan. Dalam pembelajaran matematika di SMP dan SMA, barisan yang umum dipelajari adalah barisan aritmetika dan geometri. Barisan aritmetika adalah susunan bilangan yang mempunyai selisih atau beda yang sama di setiap dua suku yang berurutan [2], sedangkan barisan geometri didefinisikan sebagai susunan bilangan yang memiliki rasio atau perbandingan yang sama di setiap dua suku yang berurutan.

## 146
Salah satu jenis barisan aritmetika  yang umum dijumpai adalah barisan aritmetika bertingkat. Barisan ini mempunyai prinsip yang hampir sama dengan barisan  aritmetika. Perbedaan dengan barisan aritmetika biasa adalah ketika beda atau selisih yang konstan di setiap dua suku berurutan tidak langsung ditentukan. Mendapatkan suku ke- 𝑛𝑛 ( 𝑈𝑈 𝑛𝑛 ) barisan aritmetika bertingkat tidak bisa dilakukan dengan rumus 𝑈𝑈 𝑛𝑛 dari barisan aritmetika biasa. Beberapa rumus 𝑈𝑈 𝑛𝑛 barisan  aritmetika  bertingkat ini  telah dibahas di  [3]  yaitu melalui pendekatan persamaan polinomial dan segitiga Pascal.
Berdasarkan  [3]  untuk  mendapatkan 𝑈𝑈 𝑛𝑛 barisan  aritmetika  dapat dilakukan melalui persamaan polinomial, maka salah satu metode numerik yang bisa dimanfaatkan adalah interpolasi [4]. Interpolasi yang digunakan dalam penelitian ini untuk mengkonstruksi rumus 𝑈𝑈 𝑛𝑛 dari barisan bertingkat 𝑘𝑘 adalah interpolasi Lagrange. Pada umumnya, interpolasi ini mempunyai prinsip yang sama dengan beberapa metode interpolasi  lainnya, seperti Newton, Hermite, dan cubic  spline dengan  memanfaatkan beberapa titik sampel untuk mendekati suatu hampiran nilai yang diinginkan  [4]. Interpolasi Lagrange telah dimanfaatkan untuk beberapa aplikasi diantaranya adalah estimasi harga saham [5], peramalan HIV [6] dan peramalan jumlah penduduk [7]. Tujuan dari penelitian ini adalah untuk mendapatkan rumus 𝑈𝑈 𝑛𝑛 barisan  aritmetika  bertingkat 𝑘𝑘 menggunakan interpolasi  Lagrange yang dapat  dijadikan  sebagai alternatif solusi  untuk mendapatkan nilai suku yang diinginkan.

## 2 Metode Penelitian
Bagian ini menjelaskan langkah-langkah pengerjaan tentang bagaimana mengkonstruksi rumus 𝑈𝑈 𝑛𝑛 dari barisan aritmetika bertingkat 𝑘𝑘 menggunakan pendekatan interpolasi Lagrange. Beberapa tahapan yang dilakukan adalah sebagai berikut:
• Pembahasan barisan aritmetika bertingkat.
Bagian ini berisi penjelasan tentang bentuk umum suatu barisan  aritmetika  bertingkat. Selanjutnya, untuk memperjelas pengertian barisan aritmetika bertingkat diberikan beberapa contoh.
• Menyajikan langkah-langkah untuk mendapatkan rumus barisan aritmetika bertingkat. Pada bagian ini dibahas tentang bagaimana mendapatkan polinomial interpolasi untuk mendekati nilai dari suatu fungsi pada sebuah titik melalui beberapa titik yang telah diketahui. Pendekatan yang digunakan dalam penelitian ini adalah interpolasi Lagrange. Berdasarkan interpolasi Lagrange, rumus 𝑈𝑈 𝑛𝑛 barisan  aritmetika  bertingkat 𝑘𝑘 dapat dikonstruksi dan selanjutnya rumus yang diperoleh digunakan pada beberapa contoh kasus.

## •
Penarikan kesimpulan.
Berdasarkan hasil dan pembahasan yang telah dilakukan, bagian ini adalah bagian terakhir dari paper yang berisi tentang kesimpulan dari penelitian yang dibahas.

## 3  Hasil dan Pembahasan
Bagian ini berisi tentang penjelasan dari barisan aritmetika bertingkat, interpolasi Lagrange dan hasil penelitian yaitu rumus 𝑈𝑈 𝑛𝑛 dari barisan aritmetika bertingkat 𝑘𝑘 beserta contoh-contoh yang diselesaikan dengan rumus yang diperoleh menggunakan pendekatan interpolasi Lagrange.

## 3.1 Barisan Aritmetika Bertingkat
Penyebutan barisan ini digunakan ketika beda atau selisih dari barisan tersebut konstan pada tingkat 𝑘𝑘 ,  untuk 𝑘𝑘 ≥ 2 . Pada dasarnya, barisan aritmetika  sebagaimana yang diketahui merupakan barisan aritmetika bertingkat 1, karena beda dari barisan tersebut konstan pada tingkat ke-1.  Sebelum membahas barisan aritmetika  bertingkat 𝑘𝑘 , terlebih dahulu dijelaskan kembali tentang barisan aritmetika bertingkat yang paling sederhana yaitu barisan aritmetika. Diberikan barisan bilangan sebagai berikut:
𝑈𝑈 1 , 𝑈𝑈 2 , 𝑈𝑈 3 , ⋯ , 𝑈𝑈 𝑛𝑛−1 , 𝑈𝑈 𝑛𝑛 (1)
Barisan (1) disebut barisan aritmetika, jika barisan tersebut memenuhi syarat barisan aritmetika yaitu
𝑈𝑈 𝑖𝑖 − 𝑈𝑈 𝑖𝑖−1 = 𝑏𝑏 , 𝑖𝑖 = 2, 3, ⋯ , 𝑛𝑛 , (2)
dalam (2), 𝑏𝑏 dinamakan beda dari barisan aritmetika (1).
Contoh dari barisan aritmetika adalah sebagai berikut:
1, 2, 3, 4, ⋯ → barisan aritmetika dengan beda 1
20, 15, 10, 5, ⋯ → barisan aritmetika dengan beda − 5
Barisan aritmetika bertingkat 𝑘𝑘 , 𝑘𝑘 ≥ 2 adalah barisan bilangan dimana beda dari setiap dua suku yang berurutan tidak sama, tetapi pada tingkat ke- 𝑘𝑘 beda dari setiap dua suku yang berurutan konstan. Gambar 1 adalah salah satu contoh untuk mengilustrasikan barisan aritmetika bertingkat 2 dan 3.
Gambar 1. Barisan aritmetika bertingkat 2 (kiri) dan aritmetika bertingkat 3 (kanan)

## 148
Dari Gambar 1 dapat dilihat bahwa untuk barisan aritmetika bertingkat 2 dengan beda dari barisan tersebut konstan sebesar 3, sedangkan untuk barisan aritmetika bertingkat 3, beda dari barisan tersebut konstan sebesar 6. Selanjutnya, untuk mendapatkan rumus 𝑈𝑈 𝑛𝑛 barisan aritmetika bertingkat 𝑘𝑘 digunakan pendekatan interpolasi Lagrange.

## 3.2 Interpolasi Lagrange
Menentukan polinomial derajat satu yang melalui dua titik yang berbeda yaitu ( 𝑥𝑥 0 , 𝑦𝑦 0 ) dan ( 𝑥𝑥 1 , 𝑦𝑦 1 ) sama halnya dengan mencari sebuah fungsi 𝑓𝑓 dimana 𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥 0 ) = 𝑦𝑦 0 dan 𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥 1 ) = 𝑦𝑦 1 . Mendapatkan polinomial 𝑓𝑓 dengan memanfaatkan titik-titik interval yang diberikan dinamakan interpolasi polinomial [4]. Selanjutnya, didefinisikan polinomial interpolasi Lagrange linier yang melalui ( 𝑥𝑥 0 , 𝑦𝑦 0 ) dan ( 𝑥𝑥 1 , 𝑦𝑦 1 ) adalah sebagai berikut [4]:
𝑃𝑃 1 ( 𝑥𝑥 ) = 𝐿𝐿 0 ( 𝑥𝑥 ) 𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥 0 ) + 𝐿𝐿 1 ( 𝑥𝑥 ) 𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥 1 ) (3)
dimana,
𝐿𝐿 0 ( 𝑥𝑥 ) = 𝑥𝑥 − 𝑥𝑥 1 𝑥𝑥 0 − 𝑥𝑥 1 dan 𝐿𝐿 1 ( 𝑥𝑥 ) = 𝑥𝑥 − 𝑥𝑥 0 𝑥𝑥 1 − 𝑥𝑥 0 , 𝑥𝑥 0 ≠ 𝑥𝑥 1 .
Ketika 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥 0 dan 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥 1 , maka
𝐿𝐿 0 ( 𝑥𝑥 0 ) = 1, 𝐿𝐿 0 ( 𝑥𝑥 1 ) = 0, 𝐿𝐿 1 ( 𝑥𝑥 0 ) = 0, dan 𝐿𝐿 1 ( 𝑥𝑥 1 ) = 1, yang mengakibatkan
𝑃𝑃 1 ( 𝑥𝑥 0 ) = 1 ⋅ 𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥 0 ) + 0 ⋅ 𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥 0 ) = 𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥 0 ) = 𝑦𝑦 0 ,
dan
𝑃𝑃 1 ( 𝑥𝑥 1 ) = 0 ⋅ 𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥 1 ) + 1 ⋅ 𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥 1 ) = 𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥 1 ) = 𝑦𝑦 1 .
Hal ini menunjukkan bahwa polinomial 𝑃𝑃 1 pada Persamaan (3) adalah polinomial derajat satu tunggal yang melalui ( 𝑥𝑥 0 , 𝑦𝑦 0 ) dan ( 𝑥𝑥 1 , 𝑦𝑦 1 ) . Kemudian, untuk mendapatkan polinomial derajat dua yang melalui tiga titik yang berbeda yaitu ( 𝑥𝑥 0 , 𝑦𝑦 0 ), ( 𝑥𝑥 1 , 𝑦𝑦 1 ) dan ( 𝑥𝑥 2 , 𝑦𝑦 2 ) dimana 𝑥𝑥 0 ≠ 𝑥𝑥 1 ≠ 𝑥𝑥 2 , polinomial interpolasi Lagrange dapat didefinisikan sebagai berikut:
𝑃𝑃 2 ( 𝑥𝑥 ) = 𝐿𝐿 0 ( 𝑥𝑥 ) 𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥 0 ) + 𝐿𝐿 1 ( 𝑥𝑥 ) 𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥 1 ) + 𝐿𝐿 2 ( 𝑥𝑥 ) 𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥 2 ) (4)
Agar memenuhi 𝑃𝑃 2 ( 𝑥𝑥 0 ) = 𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥 0 ) = 𝑦𝑦 0 , 𝑃𝑃 2 ( 𝑥𝑥 1 ) = 𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥 1 ) = 𝑦𝑦 1 dan 𝑃𝑃 2 ( 𝑥𝑥 2 ) = 𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥 2 ) = 𝑦𝑦 2 ,  maka haruslah
𝐿𝐿 𝑗𝑗 ( 𝑥𝑥 𝑖𝑖 ) = � 0, bila 𝑖𝑖 ≠ 𝑗𝑗 , 𝑖𝑖 , 𝑗𝑗 = 0, 1, 2 1, bila 𝑖𝑖 = 𝑗𝑗 , 𝑖𝑖 , 𝑗𝑗 = 0, 1, 2.
Oleh karena itu, 𝐿𝐿 0 ( 𝑥𝑥 ), 𝐿𝐿 1 ( 𝑥𝑥 ) dan 𝐿𝐿 2 ( 𝑥𝑥 ) dapat didefinisikan sebagai
𝐿𝐿 0 ( 𝑥𝑥 ) = ( 𝑥𝑥 − 𝑥𝑥 1 )( 𝑥𝑥 − 𝑥𝑥 2 ) ( 𝑥𝑥 0 − 𝑥𝑥 1 )( 𝑥𝑥 0 − 𝑥𝑥 2 ) , 𝐿𝐿 1 ( 𝑥𝑥 ) = ( 𝑥𝑥 − 𝑥𝑥 0 )( 𝑥𝑥 − 𝑥𝑥 2 ) ( 𝑥𝑥 1 − 𝑥𝑥 0 )( 𝑥𝑥 1 − 𝑥𝑥 2 ) , dan 𝐿𝐿 2 ( 𝑥𝑥 ) = ( 𝑥𝑥 − 𝑥𝑥 0 )( 𝑥𝑥 − 𝑥𝑥 1 ) ( 𝑥𝑥 2 − 𝑥𝑥 0 )( 𝑥𝑥 2 − 𝑥𝑥 1 ).
Selanjutnya, untuk memperumum konsep dari interpolasi polinomial Lagrange linier dan kuadrat, dipertimbangkan konstruksi untuk  polinomial berderajat 𝑘𝑘 melalui 𝑘𝑘 + 1 titik  yang berbeda, yaitu:
�𝑥𝑥 0 , 𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥 0 ) � , �𝑥𝑥 1 , 𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥 1 ) � , ⋯ , �𝑥𝑥 𝑘𝑘 , 𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥 𝑘𝑘 ) � .
Polinomial  interpolasi Lagrange, yaitu 𝑃𝑃 𝑘𝑘 ( 𝑥𝑥 ) melalui 𝑘𝑘 + 1 titik  yang  berbeda, 𝑥𝑥 0 , 𝑥𝑥 1 , ⋯ , 𝑥𝑥 𝑘𝑘 dengan 𝑥𝑥 𝑖𝑖 ≠ 𝑥𝑥 𝑗𝑗 , 𝑖𝑖 , 𝑗𝑗 = 0,1, ⋯ , 𝑘𝑘 dan nilai 𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥 0 ), 𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥 1 ), ⋯ , 𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥 𝑘𝑘 ) berdasarkan [4], didefinisikan sebagai:
𝑃𝑃 𝑘𝑘 ( 𝑥𝑥 ) = 𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥 0 ) 𝐿𝐿 0 ( 𝑥𝑥 ) + 𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥 1 ) 𝐿𝐿 1 ( 𝑥𝑥 ) + ⋯ + 𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥 𝑘𝑘 ) 𝐿𝐿 𝑘𝑘 ( 𝑥𝑥 ) = � 𝑓𝑓�𝑥𝑥 𝑗𝑗 �𝐿𝐿 𝑗𝑗 ( 𝑥𝑥 ) 𝑘𝑘 𝑗𝑗=0 (5)
dimana untuk sembarang 𝑗𝑗 tetap di {0,1, ⋯ , 𝑘𝑘 } , didefinisikan
𝐿𝐿 𝑗𝑗 ( 𝑥𝑥 ) = � � 𝑥𝑥 − 𝑥𝑥 𝑖𝑖 𝑥𝑥 𝑗𝑗 − 𝑥𝑥 𝑖𝑖 � . 𝑘𝑘 𝑖𝑖=0 𝑖𝑖≠𝑗𝑗
Selanjutnya, dengan menggunakan bentuk Persamaan (5), rumus suku ke- 𝑛𝑛 barisan  aritmetika bertingkat 𝑘𝑘 akan dapat dikonstruksi dari nilai suku-suku yang diketahui.
Untuk mendapatkan rumus suku ke- 𝑛𝑛 barisan aritmetika bertingkat 𝑘𝑘 yang dinotasikan oleh 𝑈𝑈 𝑛𝑛 ( 𝑘𝑘 ) dapat dilakukan dengan mendefinisikan ulang absis dan ordinat dari pasangan 𝑘𝑘 + 1 titik yang diberikan. Misalkan didefinisikan 𝑥𝑥 0 = 1, 𝑥𝑥 1 = 2, ⋯ , 𝑥𝑥 𝑘𝑘 = 𝑘𝑘 + 1 dan 𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥 0 ) = 𝑈𝑈 1 , 𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥 1 ) = 𝑈𝑈 2 , ⋯ , 𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥 𝑘𝑘 ) = 𝑈𝑈 𝑘𝑘+1 , sehingga dengan polinomial 𝑃𝑃 𝑘𝑘 ( 𝑥𝑥 ) pada Persamaan (5), rumus suku ke- 𝑛𝑛 barisan aritmetika bertingkat 𝑘𝑘 dapat dituliskan menjadi:
𝑈𝑈 𝑛𝑛 ( 𝑘𝑘 ) = � ⎣ ⎢ ⎢ ⎡ 𝑈𝑈 𝑗𝑗 � � 𝑛𝑛 − 𝑖𝑖 𝑗𝑗 − 𝑖𝑖 � 𝑘𝑘+1 𝑖𝑖=1 𝑖𝑖≠𝑗𝑗 ⎦ ⎥ ⎥ ⎤ 𝑘𝑘+1 𝑗𝑗=1
(6)
Untuk mengimplementasikan hasil yang diperoleh pada Persamaan (6), maka diberikan contoh barisan aritmetika bertingkat 2 dan 3.
Contoh 1 Tentukan 3 suku selanjutnya, jika diberikan barisan aritmetika bertingkat 2 sebagai berikut: 3, 4, 8, 15, …
Barisan pada contoh 1 termasuk barisan aritmetika bertingkat 2, karena beda dari barisan tersebut konstan pada tingkat ke-2 (Gambar 2).
Untuk mendapatkan suku ke-5, 6 dan 7 dari contoh 1, maka Persamaan (6) dapat dituliskan dalam bentuk rumus suku ke- 𝑛𝑛 barisan aritmetika bertingkat 2 sebagai berikut:
𝑈𝑈 𝑛𝑛 ( 2 ) = 𝑈𝑈 1 2 ( 𝑛𝑛 − 2)( 𝑛𝑛 − 3) − 𝑈𝑈 2 ( 𝑛𝑛 − 1)( 𝑛𝑛 − 3) + 𝑈𝑈 3 2 ( 𝑛𝑛 − 1)( 𝑛𝑛 − 2) = 3 2 ( 𝑛𝑛 − 2)( 𝑛𝑛 − 3) − 4( 𝑛𝑛 − 1)( 𝑛𝑛 − 3) + 8 2 ( 𝑛𝑛 − 1)( 𝑛𝑛 − 2) = 3 2 ( 𝑛𝑛 2 − 5 𝑛𝑛 + 6) − 8 2 ( 𝑛𝑛 2 − 4 𝑛𝑛 + 3) + 8 2 ( 𝑛𝑛 2 − 3 𝑛𝑛 + 2) = 3 2 𝑛𝑛 2 − 7 2 𝑛𝑛 + 5
• Untuk 𝑛𝑛 = 5 , maka 𝑈𝑈 5 ( 2 ) = 3 2 (5) 2 − 7 2 (5) + 5 = 25
• Untuk 𝑛𝑛 = 6 , maka 𝑈𝑈 6 ( 2 ) = 3 2 (6) 2 − 7 2 (6) + 5 = 38
• Untuk 𝑛𝑛 = 7 , maka 𝑈𝑈 7 ( 2 ) = 3 2 (7) 2 − 7 2 (7) + 5 = 54

## Gambar 2. Barisan aritmetika bertingkat 2
Untuk memverifikasi hasil ini, maka dapat dibandingkan dengan rumus suku ke- 𝑛𝑛 barisan aritmetika bertingkat 𝑘𝑘 , yaitu 𝑈𝑈 𝑛𝑛 dari pendekatan segitiga Pascal [3]. Karena merupakan barisan aritmetika bertingkat 2, maka rumus 𝑈𝑈 𝑛𝑛 yang digunakan adalah
𝑈𝑈 𝑛𝑛 = 𝑈𝑈 1 + 𝑎𝑎 1 , 1 ( 𝑛𝑛 − 1) + 𝑎𝑎 2 , 1 2 ! ( 𝑛𝑛 − 1)( 𝑛𝑛 − 2), dengan 𝑈𝑈 1 = 3, 𝑎𝑎 1 , 1 = 1 dan 𝑎𝑎 2 , 1 = 3 , dimana: 𝑎𝑎 1 , 1 merupakan beda pertama pada tingkat 1, sedangkan 𝑎𝑎 2 , 1 merupakan beda konstan pada tingkat 2. Sehingga,
𝑈𝑈 𝑛𝑛 = 3 + 1( 𝑛𝑛 − 1) + 3 2 ( 𝑛𝑛 − 1)( 𝑛𝑛 − 2) = 3 2 𝑛𝑛 2 − 7 2 𝑛𝑛 + 5 • Untuk 𝑛𝑛 = 5 , maka 𝑈𝑈 5 = 3 2 (5) 2 − 7 2 (5) + 5 = 25
• Untuk 𝑛𝑛 = 6 , maka 𝑈𝑈 6 = 3 2 (6) 2 − 7 2 (6) + 5 = 38
• Untuk 𝑛𝑛 = 7, maka 𝑈𝑈 7 = 3 2 (7) 2 − 7 2 (7) + 5 = 54
Dengan menggunakan konsep yang sama yaitu 3 suku berurutan yang diketahui, yaitu 𝑈𝑈 𝑗𝑗 , 𝑗𝑗 = 2, 3, 4 , maka rumus suku ke- 𝑛𝑛 barisan aritmetika bertingkat 2 dapat dikonstruksi sebagai berikut:
𝑎𝑎 2 , 1 𝑎𝑎 2 , 2 𝑎𝑎 1 , 3 𝑎𝑎 1 , 2 𝑎𝑎 1 , 1 → Beda tingkat 1 3 3 1 4 7 3 4 8 15 → Beda tingkat 2
𝑈𝑈 𝑛𝑛 ( 2 ) = 𝑈𝑈 2 (2 − 3)(2 − 4) ( 𝑛𝑛 − 3)( 𝑛𝑛 − 4) − 𝑈𝑈 3 (3 − 2)(3 − 4) ( 𝑛𝑛 − 2)( 𝑛𝑛 − 4) + 𝑈𝑈 4 (4 − 2)(4 − 3) ( 𝑛𝑛 − 2)( 𝑛𝑛 − 3) = 4 2 ( 𝑛𝑛 − 3)( 𝑛𝑛 − 4) − 8( 𝑛𝑛 − 2)( 𝑛𝑛 − 4) + 15 2 ( 𝑛𝑛 − 2)( 𝑛𝑛 − 3) = 4 2 ( 𝑛𝑛 2 − 7 𝑛𝑛 + 12) − 16 2 ( 𝑛𝑛 2 − 6 𝑛𝑛 + 8) + 15 2 ( 𝑛𝑛 2 − 5 𝑛𝑛 + 6) = 3 2 𝑛𝑛 2 − 7

## 2 𝑛𝑛 + 5
Untuk metode segitiga Pascal, dengan memanfaatkan suku ke-2, beda kedua pada tingkat 1, dan beda kedua pada tingkat 2 berturut-turut dinotasikan 𝑈𝑈 2 , 𝑎𝑎 1 , 2 , dan 𝑎𝑎 2 , 2 , rumus suku ke- 𝑛𝑛 barisan aritmetika bertingkat 2 diperoleh sebagai berikut:
𝑈𝑈 𝑛𝑛 = 𝑈𝑈 2 + 𝑎𝑎 1 , 2 ( 𝑛𝑛 − 2) + 𝑎𝑎 2 , 2 2! ( 𝑛𝑛 − 2)( 𝑛𝑛 − 3),
dengan 𝑈𝑈 2 = 4, 𝑎𝑎 1 , 2 = 4, dan 𝑎𝑎 2 , 2 = 3 ,maka diperoleh
𝑈𝑈 𝑛𝑛 = 4 + 4( 𝑛𝑛 − 2) + 3 2 ( 𝑛𝑛 − 2)( 𝑛𝑛 − 3)
= 4 + 4 𝑛𝑛 − 2 + 3 2 ( 𝑛𝑛 2 − 5 𝑛𝑛 + 6)
= 2 + 4 𝑛𝑛 + 3 2 𝑛𝑛 2 − 15 2 𝑛𝑛 + 3 = 3 2 𝑛𝑛 2 − 7 2 𝑛𝑛 + 5
Berdasarkan pembahasan yang dilakukan dengan menggunakan 3 suku berurutan, yaitu 𝑈𝑈 2 , 𝑈𝑈 3 , 𝑈𝑈 4 pada interpolasi Lagrange dan 𝑈𝑈 2 , 𝑎𝑎 1 , 2 , dan 𝑎𝑎 2 , 2 pada segitiga Pascal, rumus suku ke- 𝑛𝑛 barisan aritmetika bertingkat 2 yang diperoleh adalah sama. Hal ini menunjukkan bahwa rumus suku ke- 𝑛𝑛 barisan  aritmetika  bertingkat 𝑘𝑘 dapat diperoleh dari setiap 𝑘𝑘 + 1 suku berurutan yang telah diketahui.

## Contoh 2 Tentukan suku ke–8 dari barisan 1, 3, 9, 21, 41, …
Barisan pada contoh 2 termasuk barisan aritmetika bertingkat 3, karena bedanya konstan bernilai 2 pada tingkat ke-3.

## → Beda tingkat 1
→ Beda tingkat 2
2 2 4 6 8 2 6 12 20 1 3 9 21 41 → Beda tingkat 3

## 152
Sehingga, dari Persamaan (6), rumus suku ke- 𝑛𝑛 barisan aritmetika bertingkat 3 dapat dituliskan menjadi:
𝑈𝑈 𝑛𝑛 ( 3 ) = − 𝑈𝑈 1 6 ( 𝑛𝑛 − 2)( 𝑛𝑛 − 3)( 𝑛𝑛 − 4) + 𝑈𝑈 2 2 ( 𝑛𝑛 − 1)( 𝑛𝑛 − 3)( 𝑛𝑛 − 4) − 𝑈𝑈 3 2 ( 𝑛𝑛 − 1)( 𝑛𝑛 − 2)( 𝑛𝑛 − 4) + 𝑈𝑈 4 6 ( 𝑛𝑛 − 1)( 𝑛𝑛 − 2)( 𝑛𝑛 − 3) = − 1 6 ( 𝑛𝑛 − 2)( 𝑛𝑛 − 3)( 𝑛𝑛 − 4) + 3 2 ( 𝑛𝑛 − 1)( 𝑛𝑛 − 3)( 𝑛𝑛 − 4) − 9 2 ( 𝑛𝑛 − 1)( 𝑛𝑛 − 2)( 𝑛𝑛 − 4) + 21 6 ( 𝑛𝑛 − 1)( 𝑛𝑛 − 2)( 𝑛𝑛 − 3) = 𝑛𝑛 3 − 𝑛𝑛 + 3
3
Sehingga suku ke-8 dari barisan tersebut adalah
𝑈𝑈 8 ( 3 ) = (8) 3 − 8 + 3 3 = 507 3 = 169
Untuk melakukan verifikasi hasil tersebut, maka dilakukan perbandingan yang sama seperti pada  contoh 1. Karena merupakan barisan aritmetika  bertingkat 3, maka 𝑈𝑈 𝑛𝑛 dapat dituliskan menjadi bentuk sebagai berikut:
𝑈𝑈 𝑛𝑛 = 𝑈𝑈 1 + 𝑎𝑎 1 , 1 ( 𝑛𝑛 − 1) + 𝑎𝑎 2 , 1 2! ( 𝑛𝑛 − 1)( 𝑛𝑛 − 2) + 𝑎𝑎 3 , 1 3! ( 𝑛𝑛 − 1)( 𝑛𝑛 − 2)( 𝑛𝑛 − 3),
dengan, 𝑈𝑈 1 = 1, 𝑎𝑎 1 = 2, 𝑎𝑎 2 = 4, 𝑎𝑎 3 = 2 , dimana: 𝑎𝑎 1 , 1 merupakan beda pertama pada tingkat 1, 𝑎𝑎 2 , 1 merupakan beda pertama pada tingkat 2, dan 𝑎𝑎 3 , 1 merupakan beda konstan pada tingkat 3.
Rumus suku ke- 𝑛𝑛 dari barisan tersebut adalah
𝑈𝑈 𝑛𝑛 = 1 + 2( 𝑛𝑛 − 1) + 4 2 ( 𝑛𝑛 − 1)( 𝑛𝑛 − 2) + 2 6 ( 𝑛𝑛 − 1)( 𝑛𝑛 − 2)( 𝑛𝑛 − 3) = 𝑛𝑛 3 − 𝑛𝑛 + 3 3 ,
sehingga, suku ke-8, yaitu 𝑈𝑈 8 = ( 8 ) 3 −8+3 3 = 169
Dari  contoh 1 dan 2, maka hasil yang diperoleh sama, baik menggunakan rumus 𝑈𝑈 𝑛𝑛 dari pendekatan segitiga Pascal  [3]  dan rumus 𝑈𝑈 𝑛𝑛 ( 𝑘𝑘 ) dari interpolasi Lagrange. Selanjutnya,  untuk menentukan nilai suku yang lebih tinggi, maka perhitungan dapat  dilakukan dengan bantuan komputer dengan menggunakan algoritma berikut.
Algoritma Menentukan suku ke- 𝑛𝑛 barisan  aritmetika  bertingkat 𝑘𝑘 dengan interpolasi Lagrange
1:  Tentukan tingkat dari barisan aritmetika, yaitu nilai 𝑘𝑘 .
2: Input : nilai dari 𝑘𝑘 + 1 suku yang diketahui, yaitu 𝑈𝑈 𝑗𝑗 , dimana 𝑗𝑗 = 1, 2, 3 ⋯ , 𝑘𝑘 + 1 dan suku yang ingin dicari nilainya, yaitu 𝑛𝑛 .
3:  For 𝑗𝑗 = 1, 2, 3, ⋯ , 𝑘𝑘 + 1 For 𝑖𝑖 = 1, 2, 3, ⋯ , 𝑘𝑘 + 1
If 𝑖𝑖 ≠ 𝑗𝑗
𝐿𝐿 𝑗𝑗 = � � 𝑛𝑛 − 𝑖𝑖 𝑗𝑗 − 𝑖𝑖 � 𝑖𝑖 End End 𝑈𝑈 𝑛𝑛 ( 𝑘𝑘 ) = � 𝑈𝑈 𝑗𝑗 𝐿𝐿 𝑗𝑗
𝑗𝑗 End
4: Output : nilai suku ke- 𝑛𝑛 , yaitu 𝑈𝑈 𝑛𝑛 ( 𝑘𝑘 )

## 4  Simpulan
Berdasarkan analisis hasil dan pembahasan yang telah dibahas, rumus suku ke- 𝑛𝑛 barisan aritmetika bertingkat 𝑘𝑘 yang diperoleh menggunakan interpolasi Lagrange adalah sebagai berikut:
𝑈𝑈 𝑛𝑛 ( 𝑘𝑘 ) = � ⎣ ⎢ ⎢ ⎡ 𝑈𝑈 𝑗𝑗 � � 𝑛𝑛 − 𝑖𝑖 𝑗𝑗 − 𝑖𝑖 � 𝑘𝑘+1 𝑖𝑖=1 𝑖𝑖≠𝑗𝑗 ⎦ ⎥ ⎥ ⎤ 𝑘𝑘+1 𝑗𝑗=1 .
Dengan menggunakan 𝑈𝑈 𝑛𝑛 ( 𝑘𝑘 ) , nilai suku yang diinginkan dari barisan aritmetika bertingkat 𝑘𝑘 dapat diperoleh,  yaitu dengan memanfaatkan nilai 𝑘𝑘 + 1 suku yang telah diketahui. Hasil dengan pendekatan yang diusulkan juga telah diverifikasi dan dibandingkan dengan metode segitiga Pascal.

## 5  Daftar Pustaka
[1]  R. G. Bartle and D. R. Sherbert, Introduction to Real Analysis , Fourth Ed. John Wiley & Sons, Inc., 2010.
[2]  P. Iryanti, Pembelajaran Barisan, Deret Bilangan dan Notasi Sigma di SMA .  Pusat Pengembangan dan Pemberdayaan Pendidik dan Tenaga Kependidikan Matematika, 2008.
[3]  Y. Azrida and S. Gemawati, “Menentukan Suku Ke-n Barisan Bertingkat,” vol. 1, no. 2, pp. 45–53, 2015.

## 154
[4]  R. L. Burden and J. D. Faires, Numerical Analysis , Ninth Ed. Boston, MA 02210: Richard Stratton, 2015.
[5]  L. W. Astuti, S. Sudarwanto, and L. Ambarwati, “Perbandingan Metode Lagrange dan Metode Newton pada Interpolasi Polinomial dalam Mengestimasi Harga Saham,” JMT J. Mat. dan Terap. , vol. 2, no. 1, pp. 25–35, 2018.
[6]  T. Yulianto, N. I. Ulfaniyah, and R. Amalia, “Peramalan HIV Menggunakan Interpolasi Lagrange,” Zeta-Math J. , vol. 2, no. 1, pp. 3–6, 2016.
[7]  I. Rodliyah, “Aplikasi Interpolasi Lagrange dan Ekstrapolasi dalam Peramalan Jumlah Penduduk,” in Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika , 2015, pp. 265– 272.