JURNAL GAUSSIAN, Volume 12, Nomor 3, Tahun 2023, Halaman 392 - 402 Online di: https://ejournal3.undip.ac.id/index.php/gaussian/

## PENGGUNAAN MIXTURE MODEL KERNEL-GENERALIZED PARETO
DISTRIBUTION DAN D-VINE COPULA DALAM MENGANALISIS UKURAN PELANGGARAN DATA
Fathiyyah Yolianda Dzikra 1* , Yuciana Wilandari 2 , Arief Rachman Hakim 3 1,2,3 Departemen Statistika, Fakultas Sains dan Matematika, Universitas Diponegoro *e-mail : fathiyyahyd@gmail.com
DOI: 10.14710/j.gauss.12.3.392-402
Article Info: Received: 2022-12-12 Accepted: 2024-02-13 Available Online: 2024-02-26

## Keywords:
Breach Sizes ; Generalized Pareto Distribution; Kernel; D-Vine Copula
Abstract: The  research  conducted  on  the  2015-2021  Data  Breach Report  in  the  U.S.  Department  of  Health  and  Human  Services  is  a study related to the estimation and modeling of the breach sizes each type  of  entity  using  the  Kernel-Generalized  Pareto  Distribution Mixture Model method, as well as the estimation of the dependence of breach  sizes  between  years  with  the  D-Vine  Copula.  The  D-Vine Copula can accommodate the complex dependencies demonstrated by data breach reports across all enterprise categories. Before researching with  D-Vine  Copula,  we  will  first  model  and  estimate  breach  size parameters  for  each  type  of  entity  using  the  Mixture  Model  Kernel- Generalized  Pareto  Distribution  (GPD).  The  Mixture  Model  can accommodate large data breach sizes via GPD and also allows the use of  non-parametric  kernel  distributions  to  model  smaller  data  breach sizes. The data resulting from the logarithmic transformation of entity data  in  the  Business  Associate  and  Healthcare  Provider  types  has  a right  short-tail  with  Weibull  distribution,  while  the  Health  Plan category  has  a  right  heavy-tail  with  Frechet  distribution.  The  three types of entity were estimated using the maximum likelihood Cross- Validation  method.  Dependency  estimation  with  D-Vine  Copula shows  that  the  breach  sizes  between  years  measure  has  a  positive dependency.

## 1. PENDAHULUAN
Data dari sebuah perusahaan didapatkan dari  berbagai sumber, diantaranya data yang diperoleh dengan persetujuan klien, data yang didapatkan dari informasi publik, data yang berasal dari kerjasama antar perusahaan, dan lain-lain. Data-data yang sudah didapat tentu saja dijaga oleh perusahaan tersebut dengan ketat untuk menghindari terjadinya pelanggaran data. Namun sebaik-baik dan seketat-ketatnya perusahaan menjaga datanya, masih terdapat banyak hal yang menyebabkan pelanggaran data terjadi.
Organisasi Identity Theft Resource Center (2021) mengungkapkan bahwa, bulan Mei tahun  2021  merupakan  bulan  dengan  kasus  pelanggaran  data  terbanyak  dalam  5  tahun terakhir di Amerika Serikat. Fang et al (2021) meneliti menggunakan sebuah kerangka kerja untuk  memodelkan  dan  memprediksi multivariate  time  series terhadap  pelanggaran  data yang jarang terjadi. Hasil penelitian tersebut memiliki kesimpulan bahwa metode  D-Vine Copula  bisa  mengakomodasi  dependensi  kompleks  yang  ditunjukkan  oleh  laporan pelanggaran data di semua kategori perusahaan.
Penelitian  ini  meneliti  pelanggaran  data  di  bidang  kesehatan  dan  pelayanan  umum Amerika  Serikat  yang  dilaporkan  dari  Januari  2015  hingga  Oktober  2021  dengan  tujuan mengestimasi parameter ukuran pelanggaran data tiap kategori perusahaan dengan metode Mixture  Model Kernel-GPD,  serta  memodelkan  ukuran  pelanggaran  data  tiap  kategori
perusahaan berdasarkan parameter yang telah didapat, lalu mengestimasi dependensi ukuran pelanggaran data antar tahun dengan metode D-Vine Copula.
Mixture  Model Kernel-GPD  merupakan model  gabungan  antara  distribusi  kernel dan distribusi Generalized Pareto (GPD). Model ini dikembangkan dengan tujuan agar proses analisis nilai-nilai ekstrim menjadi lebih fleksibel. Menurut Sun et al (2020), mixture model Kernel-GPD sangat fleksibel untuk digunakan dalam memodelkan ukuran pelanggaran data, dimana mixture model dapat mengakomodasi kondisi heavy tail yang terjadi pada ukuran pelanggaran data yang besar melalui GPD dan juga memungkinkan penggunaan distribusi kernel untuk memodelkan ukuran pelanggaran data yang lebih kecil.
Metode copula menggabungkan beberapa variabel dengan fungsi distribusi berbeda ke dalam  bentuk  distribusi  bersama.  Copula  sepenuhnya  menangkap  struktur  dependensi  di antara  variabel  acak  dan  bersifat  fleksibel  dimana  tidak  memerlukan  asumsi  normalitas. Metode copula juga dapat melihat struktur dependensi antar variabel dengan distribusi yang berbeda.  Pemodelan  menggunakan  copula  vine  menciptakan  copula  multivariat  yang menggunakan copula bivariat sebagai landasannya. Salah satu kelas dari copula vine adalah copula d-vine yang mempunyai struktur berurut. Estimasi parameter dari copula d-vine dapat menunjukkan bagaimana dependensi ukuran pelanggaran data antar tahun pada data yang akan diteliti.

## 2. TINJAUAN PUSTAKA
Transformasi data dilakukan apabila data yang akan diteliti tidak berdistribusi normal, memiliki banyak ragam, ataupun keduanya. Transformasi jenis logaritma sering diterapkan pada data - data yang berupa ukuran ( size ), memiliki nilai yang besar, memiliki ragam yang banyak,  tidak  berdistribusi  normal,  atau  memiliki  kondisi  keruncingan  yang  parah. Transformasi logaritma mereduksi kemiringan data dan sering cocok untuk digunakan pada data yang akan dianalisis.
Menurut Friederichs (2007), Extreme Value Theory (EVT) berfokus pada nilai ekstrim serta  kejadian  yang  jarang  terjadi.  Metode Peak  Over  Threshold (POT)  merupakan  salah satu metode pendekatan dalam EVT yang bisa digunakan untuk menganalisis nilai ekstrim. Metode POT adalah salah satu metode untuk menganalisis nilai ekstrim dengan melihat nilai ekstrim dari suatu sampel yang melampaui ambang batas atau threshold tertentu.
Threshold merupakan  batas  ambang  dalam  menentukan  nilai  ekstrim,  dimana  nilai ekstrim adalah nilai-nilai yang lebih besar  dari threshold yang ditentukan. Secara teoritis, metode yang umum dan juga lebih mudah digunakan  dalam menentukan threshold adalah metode persentase, yaitu dengan melihat nilai persentil dari data. Persentil ke 90 digunakan sebagai threshold , sehingga 10% data di atasnya merupakan nilai ekstrim.
Berdasarkan Kang dan Song (2017), teorema Pickands-Balkema-de Haan menyatakan bahwa distribusi untuk  nilai ekstrim, secara umum diasumsikan berdistribusi Generalized Pareto (GPD). GPD memiliki bentuk fungsi distribusi sebagai berikut (Hu, 2013).
𝐺(𝑦|𝜇, 𝜎 𝓊 , 𝜉) = { 1 − [1 + 𝜉 ( 𝑦−𝜇 𝜎 𝓊 )] −1 𝜉 ⁄ 𝜉 ≠ 0 1 − 𝑒𝑥𝑝 [− ( 𝑦−𝜇 𝜎 𝓊 )] 𝜉 = 0. (1)
𝑦 adalah  nilai  ekstrim, 𝜇 merupakan  parameter  lokasi  yang  sering  dianggap  bernilai  0, 𝜉 merupakan parameter bentuk, dan 𝜎 𝓊 merupakan parameter skala sedangkan 𝓊 merupakan
notasi threshold .  Parameter-parameter  GPD  diestimasi  menggunakan  metode  maksimum likelihood beserta metode Newton-Raphson sebagai bantuan.
Data  non-ekstrim  dianalisis  dengan  distribusi  kernel  yang  memiliki  fungsi  densitas sebagai berikut (Herawati, 2017).
𝑟(𝑥; 𝑥 ℎ , 𝜆) = 1 𝑙𝜆 ∑ 𝐾 ( 𝑥 − 𝑥 ℎ 𝜆 ) 𝑙 ℎ=1 , (2)
dimana 𝑥 adalah  variabel  bebas, 𝑥 ℎ adalah  sampel  ke- ℎ dimana ℎ = 1, … , 𝑙 , 𝑙 adalah banyaknya  data  non-ekstrim, 𝐾 adalah  fungsi  kernel,  dan 𝜆 adalah  nilai bandwidth . Bandwidth adalah  parameter smoothing bernilai  positif  yang  digunakan  untuk  mengatur derajat kehalusan. Nilai bandwidth diestimasi menggunakan metode maksimum likelihood cross-validation (MLCV).  Nilai bandwidth yang  baik  didefinisikan  memiliki  nilai  yang mendekati batas maksimum, yaitu,
𝜆 𝑚𝑙𝑐𝑣 = argmax 𝜆>0 MLCV(𝜆), (3)
dimana MLCV adalah nilai maksimum likelihood cross validation yang digunakan untuk memilih jenis kernel yang akan digunakan. Pemilihan dilihat berdasarkan nilai MLCV yang paling kecil. MLCV memiliki rumus persamaan sebagai berikut.
MLCV(𝜆) = 1 𝑙 ∑ log 𝑙 𝑔=1 (∑ 𝐾 𝜆 (𝑥 𝑔 − 𝑥 ℎ ) 𝑙 ℎ=1 ℎ≠𝑔 ) − log ( 𝑙−1 𝜆 ) , (4)
MacDonald  et  al  (2011)  menciptakan Mixture  Model Kernel-GPD.  Model  ini dikembangkan dengan tujuan agar proses analisis nilai-nilai ekstrim menjadi lebih fleksibel. Mixture model Kernel-GPD merupakan model gabungan antara GPD dan distribusi kernel. Fungsi distribusi model campuran Kernel-GPD adalah sebagai berikut,
𝑀(𝑥|𝑥 ℎ , 𝜆, 𝜇, 𝜎 𝓊 , 𝜉, 𝜙 𝓊 ) = { (1 − 𝜙 𝓊 ) 𝑅( 𝑥 | 𝑥 ℎ , 𝜆 ) 𝑅( 𝓊 | 𝑥 ℎ , 𝜆 ) ,                    𝑥 ≤ 𝓊,
(1 − 𝜙 𝓊 ) + 𝜙 𝓊 𝐺(𝑥|𝜇, 𝜎 𝓊 , 𝜉),       𝑥 > 𝓊, (5)
dimana 𝑅(. |𝑥 ℎ , 𝜆) adalah fungsi distribusi kernel dan 𝐺(𝑥|𝜇, 𝜎 𝓊 , 𝜉) menggambarkan fungsi GPD.  Sedangkan 𝜙 𝓊 adalah  proporsi  untuk data  yang  lebih  besar  dari threshold ,  bernilai 0 < 𝜙 𝓊 < 1 , dan berasal dari perhitungan 𝜙 𝑣 = 1 − 𝑅(𝓊|𝑥 ℎ , 𝜆) .
Copula  berasal  dari  bahasa  latin  yang  berdasarkan  Kamus  Bahasa  Latin  Cassell’s memiliki arti dalam bahasa inggris link , tie , bond . Czado dan Nagler (2022) menyampaikan bahwa pendekatan dengan copula memungkinkan model marginal dibangun untuk masing- masing  variabel  secara  terpisah  dan  variabel-variabel  tersebut  dapat  dihubungkan  dengan struktur dependensi yang digolongkan oleh copula. Kata copula pertama kali digunakan oleh Sklar pada tahun 1959, dalam teorinya yang menjadi teorema sentral dari teori copula, dan dikenal sebagai Teorema Sklar.
Misalkan 𝐹 adalah fungsi distribusi multivariat 𝑑 -dimensi dengan distribusi marginal 𝐹 1 , … , 𝐹 𝑑 , maka terdapat sebuah copula 𝐶 untuk 𝒙 = (𝑥 1 , … , 𝑥 𝑑 ) ∈   ℝ 𝑑 sebagai berikut,
𝐹(𝒙) = 𝐶(𝐹 1 (𝑥 1 ), … , 𝐹 𝑑 (𝑥 𝑑 )) . (6)
𝑑 adalah  banyaknya  dimensi  data.  Untuk  setiap 𝑑 ≥ 2 ,  copula 𝑑 -dimensi  adalah  fungsi distribusi 𝑑 -variat dengan range [0,1] 𝑑 yang distribusi marginal nya berdistribusi uniform [0,1] .  Pada  dasarnya  copula  merupakan  cara  untuk  mentransformasi  variabel  acak
(𝑋 1 , … , 𝑋 𝑑 ) menjadi variabel acak lain (𝑈 1 , … , 𝑈 𝑑 ) = (𝐹 1 (𝑋 1 ), … , 𝐹 𝑑 (𝑋 𝑑 )) yang distribusi marginal  nya  berdistribusi  uniform  [0,1]  dan  menjaga  dependensi  antar  komponen  di dalamnya (Durante dan Sempi, 2010).
𝐹(𝒙) bersifat kontinu apabila copula 𝐶 dan distribusi marginal 𝐹 1 , … , 𝐹 𝑑 juga kontinu. Dalam hal itu, maka fungsi densitas 𝑓(𝒙) dari 𝐹(𝒙) memenuhi,
𝑓(𝒙) = 𝑐(𝐹 1 (𝑥 1 ), … , 𝐹 𝑑 (𝑥 𝑑 )) ∏ 𝑓 𝑡 (𝑥 𝑡 ) 𝑑 𝑡=1 , (7)
untuk 𝒙 ∈ ∏ ran 𝑋 𝑡 𝑑 𝑡=1 ,  dimana ran 𝑋 𝑡 = {𝑥 ∈ ℝ ∶   𝑓 𝑡 (𝑥) > 0} untuk  setiap 𝑡 ∈ {1, 2, . . . , 𝑑} . 𝑓 𝑡 merupakan densitas dari 𝐹 𝑡 dan 𝑐 adalah densitas dari copula 𝐶 .
Copula  Gaussian  atau  copula  Normal  merupakan  copula  dari 𝑿 = (𝑋 1 , … , 𝑋 𝑑 ) yang berdistribusi  normal  standar 𝑑 -variat  dengan  vektor  mean  0  dan  matriks  korelasi 𝑃 yang memiliki bentuk fungsi copula sebagai berikut,
𝐶 𝑃 𝐺𝑎𝑢𝑠𝑠 (𝑢 1 , … , 𝑢 𝑑 ) = Φ 𝑃 𝑑 (Φ −1 (𝑢 1 ), … , Φ −1 (𝑢 𝑑 )), (8)
dimana (𝑢 1 , … , 𝑢 𝑑 ) ∈ [0,1] 𝑑 , Φ 𝑃 𝑑 adalah fungsi distribusi kumulatif gabungan dari distribusi normal  standar 𝑑 -variat  dengan  matriks  korelasi 𝑃 ,  dan Φ −1 (. ) merupakan  invers  dari distribusi normal standar.
Copula  Frank  merupakan  salah  satu  variasi  fungsi  pembangkit  dari  copula Archimedean. Berdasarkan Nelsen (2006), berikut fungsi distribusi dari copula Frank,
𝐶 𝛿 𝐹𝑟𝑎𝑛𝑘 ( 𝑢 1 , … , 𝑢 𝑑 ) = − 1 𝛿 ln ( 1 + ∏ (𝑒 −𝛿𝑢𝑡 −1) 𝑑 𝑡=1 (𝑒 −𝛿 −1) 𝑑−1 ) . (9)
𝛿 adalah parameter copula frank.
Pemodelan  menggunakan  copula  vine  menciptakan  copula  multivariat  yang menggunakan copula bivariat sebagai landasannya. Czado (2010) mengatakan bahwa, titik awal dari membangun distribusi multivariat adalah dekomposisi pengulangan dari densitas multivariat  menjadi  densitas  bersyarat.  Aas et  al (2009)  melambangkan  fungsi  distribusi bersyarat dalam kondisi 𝑥 dan 𝑧 bersifat uniform sebagai fungsi ℎ(𝑥, 𝑧, Θ) dengan persamaan sebagai berikut,
ℎ(𝑥, 𝑧, Θ) = 𝐹(𝑥|𝑧) = 𝜕𝐶 𝑥𝑧 (𝐹(𝑥),𝐹(𝑧)) 𝜕 𝐹(𝑧) , (10)
Θ menunjukkan kumpulan parameter dari fungsi distribusi gabungan copula dari 𝑥 dan 𝑧 . Fungsi  densitas 𝑓(𝑥 1 , … , 𝑥 𝑑 ) yang  disebut  Bedford  dan  Cooke  (2002)  sebagai dekomposisi distribusi D-vine memiliki bentuk sebagai berikut
𝑓(𝑥 1 , … , 𝑥 𝑑 ) = [∏ ∏ 𝑐 𝑠,(𝑠+𝑡)|(𝑠+1),…,(𝑠+𝑡−1) 𝑑−𝑡 𝑠=1 𝑑−1 𝑡=1 ] ∙ [∏ 𝑓 𝑗 (𝑥 𝑗 ) 𝑑 𝑗=1 ],
* 𝑐 𝑠,(𝑠+𝑡)|𝑠+1,…,(𝑠+𝑡)−1 ≔ 𝑐 𝑠,(𝑠+𝑡)|𝑠+1,…,(𝑠+𝑡)−1 (𝐹(𝑥 𝑠 |𝑥 𝑠+1 , … , 𝑥 (𝑠+𝑡)−1 ), 𝐹(𝑥 (𝑠+𝑡) |𝑥 𝑠+1 , … , 𝑥 (𝑠+𝑡)−1 )). (11)
Copula vine berdimensi- 𝑑 mempunyai 𝑑 − 1 pohon. Ciri khas dari pohon D-vine adalah, masing-masing  simpul  hanya  terhubung  maksimal  pada  2  simpul  lainnya.  2  simpul  yang terhubung  menghasilkan  1  tepi.  Menurut  Fang et  al (2021),  setiap  tepi  terkait  dengan densitas pasangan-copula yang digunakan untuk memodelkan dependensi antara 2 variabel, lalu label tepi menunjukkan parameter dependensi dari densitas pasangan-copula terkait.
Parameter  copula  multivariat  diestimasi  menggunakan  metode  maksimum  likelihood dengan fungsi log likelihood D-vine adalah sebagai berikut,
ℓ(𝑥 𝑖𝑡 ) = ∑ ∑ ∑ log(𝑐 𝑖; 𝑠,(𝑠+𝑡)|(𝑠+1),…,(𝑠+𝑡−1) ) 𝑑−𝑡 𝑠=1 𝑑−1 𝑡=1 𝑛 𝑖=1 + ∑ ∑ log (𝑓 𝑖,𝑗 (𝑥 𝑖𝑗 )) 𝑑 𝑗=1 𝑛 𝑖=1 . (12)
Sedangkan parameter untuk copula bivariat memiliki fungsi log likelihood sebagai berikut,
ℓ(𝒖 𝑖 |𝜃) = log 𝑐 𝑠𝑡 (𝑢 𝑖𝑠 , 𝑢 𝑖𝑡 , 𝜃 𝑠𝑡 ) , (13)
dimana 𝑠, 𝑡 = 1, … 𝑑 𝑠 ≠ 𝑡 dan 𝑖 = 1, . . 𝑛 . 𝑢 𝑖𝑠 /𝑢 𝑖𝑡 merupakan data asli atau data semu yang berdistribusi uniform. Fungsi log likelihood densitas copula bivariat untuk copula gaussian adalah sebagai berikut,
ℓ 𝜌 𝐺𝑎𝑢𝑠𝑠 (𝑢 𝑖1 , 𝑢 𝑖2 ) = − 1 2 log(1 − 𝜌 2 ) + 2𝜌𝑥 1 𝑥 2 −𝑥 1 2 −𝑥 2 2 2(1−𝜌 2 ) + 𝑥 1 2 +𝑥 2 2 2 , (14)
dimana 𝑥 1 = Φ −1 (𝑢 𝑖1 ) dan 𝑥 2 =   Φ −1 (𝑢 𝑖2 ) dan 𝜌 adalah parameter copula gaussian dimana 𝜌  ∈ [−1,1] . Sedangkan Fungsi log likelihood densitas copula bivariat untuk copula frank dengan 𝛿 sebagai parameter copula frank adalah sebagai berikut.
ℓ 𝛿 𝐹𝑟𝑎𝑛𝑘 (𝑢 𝑖1 , 𝑢 𝑖2 ) = 2 log[(𝑒 −𝛿𝑢 𝑖1 − 1)(𝑒 −𝛿𝑢 𝑖2 − 1) + (𝑒 −𝛿 − 1)] . (15)
Metode Akaike Information Criteria (AIC) digunakan untuk menentukan model copula terbaik  yang  pengestimasian  parameternya  menggunakan  metode  maksimum  likelihood dengan rumus sebagai berikut,
𝐴𝐼𝐶 = −2(log 𝑙𝑖𝑘𝑒𝑙𝑖ℎ𝑜𝑜𝑑) + 2𝜃,
(16)
dimana 𝜃 adalah  jumlah  parameter  model  copula.  Jika  nilai  AIC  semakin  kecil,  maka semakin baik pula modelnya.
Menurut  bagian  Administrasi  Anak  dan  Keluarga  Departemen  Kesehatan  dan Pelayanan  Umum  Amerika  Serikat  (2015),  pelanggaran  data  atau data  breach adalah pelanggaran  keamanan  dimana  data  rahasia,  sensitif  atau  data  yang  dilindungi,  disalin, dikirim, dilihat, diambil, atau digunakan oleh pihak yang tidak memiliki kewenangan atas data  tersebut.  Departemen  Kesehatan  dan  Pelayanan  Umum  Amerika  Serikat  (HHS) mengungkapkan bahwa sejak tahun 2009 hingga tahun 2014, laporan kasus pelanggaran data terus meningkat. Walaupun sempat turun pada tahun 2015, laporan kasus pelanggaran data kembali meningkat pada tahun 2016 hingga tahun 2019. HHS membagi jenis pelanggaran menjadi  5  tipe,  yaitu  peretasan/insiden  IT,  pencurian,  kehilangan,  kecerobohan  dalam pembuangan data tak terpakai, dan pengaksesan yang tidak sah.
Pelanggaran data memberikan dampak bagi pihak klien maupun perusahaan. Bagi pihak klien tentu saja akan terjadi penyalahgunaan data, dimana data klien bisa saja tersebar dan disalahgunakan  oleh  pihak-pihak  tertentu.  Bagi  perusahaan,  Organisasi Cypress  Data Defense mengatakan  terdapat  2  jenis  dampak  finansial  bagi  perusahaan  yaitu  dampak langsung dan tidak langsung. Dampak langsung bagi perusahaan adalah pengokohan sistem keamanan, membayar denda, dan menyelesaikan tuntutan hukum, sedangkan dampak tidak langsung  adalah  kehilangan  klien,  penurunan  pendapatan  karena  rusaknya  reputasi perusahaan, dan lain-lain.

## 3. METODE PENELITIAN
Data yang digunakan dalam penelitian ini adalah data sekunder berupa Laporan Kasus Pelanggaran  Data  di  Bidang  Kesehatan  dan  Pelayanan  Umum  Amerika  Serikat  Periode Januari 2015 hingga Oktober 2021 yang diperoleh dari website Departemen Kesehatan dan
Pelayanan Umum Amerika Serikat bagian arsip laporan pelanggaran ( Breach Report ) pada 11 Januari 2022.
Variabel  yang  diteliti  adalah  ukuran  pelanggaran  data  atau Breach  Sizes dengan mengelompokkan  ukuran  pelanggaran  data  dari  2  sisi.  Yang  pertama  dari  sisi  kategori perusahaan,  dimana ada  3  kategori  yaitu Business  Associate (BA), Health  Plan (HP)  dan Healthcare Provider (HCP) . Sedangkan sisi lainnya adalah dari sisi tahun kasus pelanggaran data dilaporkan, sehingga terdapat 7 periode tahun yaitu dari 2015 hingga 2021.
Berikut merupakan tahapan analisis data pada penelitian ini:
1. Mengambil  data  dari  website Breach  Report milik  Departemen  Kesehatan  dan Pelayanan Umum Amerika Serikat
2. Mentransformasi ukuran pelanggaran data menggunakan fungsi logaritma
3. Mencari threshold dan memisahkan antara data ekstrim dan non-ekstrim
4. Mengestimasi parameter data ekstrim dengan GPD
5. Mengestimasi parameter bandwidth data non-ekstrim dengan distribusi kernel
6. Pemodelan  campuran  berdasarkan  parameter  GPD  dan  distribusi  kernel  yang  sudah didapatkan
7. Hasil  pemodelan  dibawa  ke  bentuk  CDF  dan  ditransformasi  ke  bentuk  distribusi uniform.
8. Data  hasil  transformasi  uniform  dibuat  ke  dalam  bentuk  matriks 𝑑 × 𝑛 , 𝑑 adalah dimensi data periode tahun dan 𝑛 adalah banyaknya perusahaan.
9. Menentukan matriks struktur copula d-vine dan membangun konstruksi copula
10. Mengestimasi  parameter  copula  yang  dimulai  dengan  mengestimasi  parameter- parameter  copula  bivariat  di  pohon  pertama  dengan  menggunakan  data  asli  yang berdistribusi uniform.
11. Menghitung  data  semu  untuk  pohon  kedua  dengan  fungsi  distribusi  bersyarat  yang diperoleh  dari  perhitungan  Persamaan  (10)  yang  sesuai  dan  parameter  copula  pohon pertama.
12. Mengulangi langkah 10 dan 11 hingga pohon terakhir dalam konstruksi copula untuk mendapatkan semua parameter copula.
13. Memilih copula terbaik.

## 4. HASIL DAN PEMBAHASAN
Data yang digunakan dalam penelitian ini adalah laporan pelanggaran data di bidang kesehatan dan pelayanan umum Amerika Serikat yang diambil pada 11 Januari 2022, yang memuat  kasus  pelanggaran  data  yang  dilaporkan  dari  bulan  Januari  2015  hingga  bulan Oktober 2021. Data tersebut terdiri dari 2243 kasus pelanggaran data yang terbagi dalam 3 kategori  perusahaan  yaitu Business  Associate (BA), Health  Plan (HP),  dan Healthcare Provider (HCP).
Tabel 1. Statistik Deskriptif Data Asli Type Enterprise Records Year Business Associate: 188 Length:2243 Min. :     500 2015:261 Health Plan: 305 Class :character 1st Qu.:    1078 2016:317 Healthcare Provider:1750 Mode  :character Median :    2933 2017:347 Mean   :   93297 2018:349 3rd Qu.:   12654 2019:470 Max.   :78800000 2020:413 Sd   : 1735430 2021: 86
Berdasarkan  Tabel  1,  kasus  pelanggaran  data  paling  banyak  terjadi  pada  perusahaan dengan  kategori  HCP  yaitu  1750  kasus.  Dari  kolom Records yang  merupakan  ukuran pelanggaran data ( breach sizes ), dapat disimpulkan bahwa terdapat jangkauan serta varian data  yang  sangat  besar.  Jumlah  kasus  pelanggaran  data  antar  tahun  terpantau  terus  naik hingga mencapai puncaknya tahun 2019.
Gambar 1. Kasus Pelanggaran Data dari Sisi Perusahaan
Sebanyak  2243  kasus  pelanggaran  data  menimpa  2077  perusahaan,  dimana  0,289% diantaranya mengalami lebih dari 3 kali pelanggaran data, 0,818% diantaranya mengalami 3 kali pelanggaran data, 5,392% mengalami 2 kali pelanggaran data, lalu sisanya mengalami 1 kali pelanggaran data.
Gambar 2. Plot Data Sebelum dan Setelah Transformasi Logaritma
Berdasarkan  Gambar  2  dapat  terlihat  plot-plot  data  yang  awalnya  landai  berubah  ke bentuk plot right skewed . Kondisi tersebut didukung oleh Tabel 2 yang menampilkan nilai skewness data keseluruhan maupun per kategori perusahaan bernilai positif, sehingga data hasil  transformasi  dapat  dikatakan  miring  ke  kanan  atau right  skewed .  Dari  Tabel  2  juga terlihat bahwa nilai standar deviasi sudah sangat lebih kecil dari nilai standar deviasi sebelum transformasi, hal ini menunjukkan bahwa data tersebar lebih merata dari sebelumnya.
Tabel 2. Statistik Deskriptif Data Hasil Transformasi
Mean SD Skewness Kurtosis 25% 50% 75% n BA 3,8431 0,9104 1,0723 1,0433 3,1347 3.6357 4.3186 188 HP 3,6280 0,8219 1,7036 4,1255 3,0000 3.4234 3.9687 305 HCP 3,6304 0,7387 0,9468 0,5256 3,0291 3.4646 4.0923 1750 Records 3,6479 0.7681 1.1153 1.3659 3.0328 3.4673 4.1022 2243
Threshold (𝓊) merupakan bagian dari parameter GPD. Setelah menentukan besaran threshold ,  metode  maksimum  likelihood  diterapkan  pada  data  ekstrim  untuk  mencari parameter skala (𝜎 𝓊 ) dan bentuk (𝜉) .
Tabel 3. Estimasi Parameter GPD Parameter 𝜎 𝓊 𝜉 𝓊 ( 𝑘 ) BA Estimasi 1,3815 -0,6239 4,9706 (19) SE 0,4173 0,2431 - HP Estimasi 0,5520 0,2742 4,6973 (31) SE 0,2236 0,3664 - HCP Estimasi 0,5717 -0,1760 4,6990 (173) SE 0,0527 0,0538 -
Notasi 𝑘 dalam Tabel 3 merupakan banyaknya data ekstrim. Dari Tabel 3 diketahui perusahaan kategori BA dan HCP dengan nilai parameter bentuk yang negatif memiliki ekor kanan yang kurus atau short-tailed dan berdistribusi weibull. Sedangkan untuk perusahaan kategori  HP  memiliki  parameter  bentuk  bernilai  positif  yang  menunjukkan  bahwa  ekor kanan data bersifat gemuk atau heavy-tailed dan berdistribusi frechet atau pareto.
Tabel 4. Nilai MLCV tiap Jenis Kernel Nilai MLCV BA Nilai MLCV HP Nilai MLCV HCP Gaussian -0.8507 -0.6459 -0.6725 Epanechnikov -0.8471 -0.6309 -0.6474 Uniform -0.8424 -0.6315 -0.6583 Triagular -0.8333 -0.6284 -0.6425 Biweight -0.8362 -0.6290 -0.6426
Berdasarkan  Tabel  4,  maka  jenis  kernel  yang  akan  digunakan  untuk  perusahaan katerogi BA, HP, maupun HCP adalah kernel Gaussian yang memiliki nilai MLCV terkecil diantara jenis kernel yang lain.
Dalam  Tabel  5, 𝑙 merupakan  banyaknya data  non-ekstrim  dan 𝜆 merupakan  notasi untuk bandwidth . Meskipun memiliki perbedaan dalam besaran nilai MLCV dan banyaknya data non-ekstrim,  ketiga  kategori  perusahaan  memiliki  nilai bandwidth yang  sama  ketika diestimasi  menggunakan  metode  maksimum  likelihood Cross-Validation dengan  jenis kernel Gaussian.
Tabel 5. Estimasi Parameter Kernel 𝜆 MLCV 𝑙 BA 0,1058 -0,8507 169 HP 0,1058 -0,6459 274 HCP 0,1058 -0,6725 1574
Matriks struktur copula d-vine yang digunakan adalah sebagai berikut.
[ 7 0 0 6 1 0 5 6 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 5 6 3 4 5 3 0 6 4 0 0 0 0 2 3 4 1 2 3 5 6 4 5 5 0 6 6]
Sehingga terbentuklah konstruksi copula d-vine yang ditunjukkan oleh Gambar 3.
Gambar 3. Konstruksi Copula D-Vine yang Digunakan Tabel 6. Estimasi Parameter Copula
Pohon Pasangan Gaussian Frank Parameter (𝜌) Tau (𝜏) Parameter (𝛿) Tau (𝜏) 1 1,7 0,65 0,45 11,88 0,71 2,1 0,55 0,37 7,21 0,57 3,2 0,52 0,35 6,13 0,52 4,3 0,50 0,34 5,76 0,50 5,4 0,47 0,31 4,95 0,45 6,5 0,45 0,30 4,58 0,43 2 2,7;1 0,36 0,23 5,87 0,51 3,1;2 0,29 0,19 3,79 0,37 4,2;3 0,28 0,18 3,27 0,33 5,3;4 0,24 0,16 2,61 0,27 6,4;5 0,29 0,19 2,80 0,29 3 3,7;2,1 0,29 0,19 4,98 0,45 4,1;3,2 0,23 0,14 3,27 0,33 5,2;4,3 0,18 0,11 2,14 0,23 6,3;5,4 0,21 0,13 2,28 0,24 4 4,7;3,2,1 0,26 0,17 4,71 0,44 5,1;4,3,2 0,16 0,10 2,35 0,25 6,2;5,4,3 0,17 0,11 2,20 0,23 5 5,7;4,3,2,1 0,22 0,14 3,50 0,35 6,1;5,4,3,2 0,16 0,10 2,51 0,26 6 6,7;5,4,3,2,1 0,23 0,15 3,92 0,38 Log Likelihood 142857,9 22415,78 AIC -285673,7 -44789,57
Berdasarkan nilai AIC pada Tabel 6, dapat disimpulkan, copula terbaik adalah copula gaussian, karena copula tersebut memiliki nilai AIC yang paling kecil yaitu -285673,7. Tabel 6 juga menampilkan nilai parameter yang positif di semua pasangan copula. Sehingga dapat disimpulkan bahwa ukuran pelanggaran data antar tahun pada laporan pelanggaran data di
bidang  kesehatan  dan  pelayanan  umum  Amerika  Serikat  tahun  2015-2021  memiliki dependensi  yang  positif,  hal  ini  juga  didukung  oleh  nilai  tau  tiap  pasangan  copula  yang positif.  Dependensi  positif  pada  ukuran  pelanggaran  data  dapat  diartikan  sebagai,  jika  di masa lampau sebuah perusahaan tidak terkena pelanggaran data, maka di masa depan pun pelanggaran  data  diantisipasi  tidak  akan  terjadi,  dan  apabila  sebuah  perusahaan  terkena pelanggaran data di masa lampau, kemungkinan di masa depan pelanggaran data akan terjadi pada perusahaan tersebut.

## 5. KESIMPULAN
Metode mixture  model kernel-GPD  digunakan  untuk  mengestimasi  paramater  ukuran pelanggaran  data  per  kategori  perusahaan.  Data  asli  terlebih  dahulu  ditransformasi menggunakan  fungsi  logaritma.  GPD  diterapkan  pada  data  ekstrim  dan  distribusi  kernel diterapkan  pada  data  non  ekstrim.  Hasil  estimasi  parameter  GPD  pada  data  non  ekstrim memiliki hasil bahwa data perusahaan kategori Business Associate dan Healthcare Provider memiliki  ekor  kanan  yang  kurus  dan  berdistribusi  weibull.  Sedangkan  untuk  perusahaan kategori Health Plan menunjukkan bahwa ekor kanan data bersifat gemuk dan berdistribusi frechet atau pareto. Untuk distribusi kernel pada data non-ekstrim, dengan jenis kernel yang terpilih  yaitu  kernel  gaussian,  dperoleh  hasil  bahwa  ketiga  kategori  perusahaan  memiliki nilai bandwidth yang  sama.  Estimasi  dependensi  pada  ukuran  pelanggaran  data  dengan metode D-Vine Copula memperoleh hasil copula gaussian sebagai copula terbaik dan dapat disimpulkan bahwa ukuran pelanggaran data antar tahun memiliki dependensi yang positif. Dependensi  positif  pada  ukuran  pelanggaran  data  dapat  diartikan  sebagai,  jika  di  masa lampau  sebuah  perusahaan  tidak  terkena  pelanggaran  data,  maka  di  masa  depan  pun pelanggaran  data  diantisipasi  tidak  akan  terjadi,  dan  apabila  sebuah  perusahaan  terkena pelanggaran data di masa lampau, kemungkinan di masa depan pelanggaran data akan terjadi pada perusahaan tersebut.

## DAFTAR PUSTAKA
Aas, K., Czado, C., Frigessi, A., dan Bakken, H. 2009. Pair-copula constructions of multiple dependence. Insurance: Mathematics and economics Vol. 44, No. 2, Hal: 182-198.
Bedford, T. dan Cooke, R.M. 2002. Vines: A New Graphical Model for Dependent Random Variables. The Annals of Statistics Vol. 33, No. 4, Hal: 1031-1068. Czado,  C.  2010.  Pair-Copula  Constructions  of  Multivariate  Copula. Proceedings  on Workshop of Lecture Notes in Statistics Vol. 198, Copula Theory and Its Applications , University of Warsaw: 25-26 September 2009.
Czado, C. dan Nagler, T. 2022. Vine Copula Based Modeling. Annual Review of Statistics and Its Application Vol. 9, No. 1, Hal: 453-477. Durante, F. dan Sempi, C. 2010. Copula Theory: An Introduction. Proceedings on Workshop of Lecture Notes in Statistics Vol. 198, Copula Theory and Its Applications , University of Warsaw: 25-26 September 2009.
Fang, Z., Xu, M., Xu, S., dan Hu, T. 2021. A framework for Predicting Data Breach Risk: Leveraging  Dependence  to  Cope  with  Sparsity. IEEE  Transactions  on  Information Forensics and Security Vol. 13, Hal: 2186-2201.
Friederichs, P. 2007. An introduction to extreme value theory. COPS Summer School .
Herawati, N., Nisa, K., dan Setiawan, E. 2017. The Optimal Bandwidth for Kernel Density Estimation ff Skewed Distribution: A Case Study on Survival Time Data of Cancer Patients. Prosiding  Seminar  Nasional  Metode  Kuantitatif  2017 Vol.  1,  No.  1,  Hal: 380-388. Jurusan Matematika FMIPA Universitas Lampung.
Hu, Y. 2013. Extreme Value Mixture Modelling with Simulation Study and Applications in Finance and Insurance. Tesis . Department of Mathematics and Statistics Canterbury University New Zealand.
Identity  Theft  Resource  Center.  2021. ITRC’s  Notified  - The  ITRC’s  Convenient, Comprehensive,
Source for Data Breach Information . Tersedia: https://notified.idtheftcenter.org/s/ (diakses pada tanggal 20 Desember 2021).
Kang, S. dan Song, J. 2017. Parameter and quantile estimation for the generalized Pareto distribution  in  peaks  over  threshold  framework. Journal  of  the  Korean  Statistical Society Vol. 46, No. 4, Hal: 487-501. MacDonald, A.E., et al . 2011. A Flexible Extreme Value Mixture Model. Computational Statistics and Data Analysis Vol. 55, No. 6, Hal: 2137-2157.
Nelsen, R.B. 2006. An Introduction to Copula 2 nd Ed . New York: Springer.
Sun, H., Xu, M., dan Zhao, P. 2020. Modeling Malicious Hacking Data Breach Risks. North American Actuarial Journal Vol. 25, No. 4, Hal: 484-502.
U.S.  Department  of  Health  and  Human  Services.  2022. Breach  Portal:  Notice  to  the Secretary of HHS Breach of Unsecured Protected . Tersedia: https://ocrportal.hhs.gov/ocr/breach/breach_report.jsf.  (diakses  pada  tanggal  11 Januari 2022).
U.S. Department of Health and Human Services Administration for Children and Families. 2015. Information Memorandum: Information Security Programs and Guidelines for
Responding to Data Breaches . Tersedia:
https://www.acf.hhs.gov/sites/default/files/documents/cb/  im1504.pdf  (diakses  pada tanggal 31 Mei 2022).