## TRANFORMASI MATRIKS PADA RUANG BARISAN KONVERGEN

## Wahidah Alwi
Dosen pada Jurusan Matematika Fakultas Sains dan Teknologi UIN Alauddin Makassar Email. Tekno_sains@yahoo.com
Abstract: The  calculus  have  introduce  the  real  functions  namely  for  all functions to map real number to the real number. Now, the explanation it not only  to  real  number  but  the  mapping  of  norm  space  that  is  a  linier transformations,  namely  the  mathematical  sentences with  the  mapping  of  a vector space to the others.  The purpose of this research are how to know the requirements  a infinite  matrices in  order  to  be a  like as  transformations in the sequences  space  is the  sequences  space  c 0 to c 0 . Matrices  A n  x  m can  be looked as linier transformation of R m to R n . So the functions can map to point (x 1 ,  x 2 ,  x 3 , …, x m )  at  R m to a  point  (y 1 ,  y 2 ,  y 3 ,…,  y n )  at  R n .  The  similarly,  a matrices can be looked as linier transformation of the sequences space to the others provided that line and coloum matrices that infinite elements. In this case,  matrices  map  the  sequences  (x 1 ,  x 2 ,  x 3 ,  …)  to  the  sequences  (y 1 ,  y 2 , y 3 ,…). This matrices  is a infinite matrices. There for, the infinite matricres must  fulfill  several  requirements  in  order  be  linier  transformations  of  the sequences space to the certain sequences space, that is the infinite matrices A = (a nk ) n≥1 (k certain) with a finite suprimum can be linier transformation of the sequences c 0 to c 0 .
Key  Words :  The  matrices  of  transformation,  Banach  space,  Hilbert  space, the sequences space c 0 to c 0 .

## PENDAHULUAN
ransformasi  linear  merupakan  salah  satu  bagian  dari  matematika  yang penting,  khususnya  transformasi  matriks  yang  mempunyai  banyak penerapan dalam memecahkan persoalan-persoalan fisika, bidang teknik, ilmu  sosial,  dan  berbagai  cabang  matematika  lainnya.  Hal  ini  disebabkan  begitu banyaknya  model  matematika  yang  terbentuk  dari  bidang  tersebut.  Telah diketahui  bahwa  matriks  A n  m dapat  dipandang  sebagai  transformasi  linear  dari R m ke R n . Jadi ia memetakan titik (x 1 , x 2 , …, x m ) di R m ke suatu titik (y 1 , y 2 , …, y n )  di  R n .  Dengan  jalan  pikiran  serupa  kita  dapat  memandang  matriks  sebagai transformasi  linear  dari  suatu  ruang  barisan  ke  ruang  barisan  lain  asalkan  baris dan  kolom  matriks  tersebut  tak  hingga  banyaknya.  Dalam  hal  ini  matriks memetakan  barisan  (x 1 ,  x 2 ,  x 3 …)  ke  barisan  (y 1 ,  y 2 ,  y 3 …).  Matriks  seperti  ini disebut matriks tak hingga.
T
Misalkan  A  =  (a nk ),  n,  k  =  1,  2  …  adalah  matriks  tak  hingga  dimana  X  dan  Y ruang barisan, maka kita dapat menghubungkan A dengan suatu transformasi  T A = X  Y, jika x = (x k )  X oleh T A dikawankan dengan Ax  Y, maka
Ax = Y ....... ........ ........ ... 2 x 22 a 1 x 21 a ... 2 x 12 a 1 x 11 a ... x x ... ... ... ... a a ... a a 2 1 22 21 12 11                                     .
Oleh  karena  itu  secara  formal  barisan  x  dipetakan  ke  barisan  Ax  dimana  (Ax) n  A n (x) diberikan oleh,
A n (x) =    1 k k nk x a , asalkan A n (x) konvergen untuk setiap n.
Jadi  barisan  (A 1 (x),  A 2 (x),  …)  Y  adalah  peta  barisan  (x 1 ,  x 2 ,  …)  dibawah transformasi  T A .  Matriks  tak  berhingga  tersebut  harus  memenuhi  beberapa  syarat  agar dapat menjadi transfornasi linear dari suatu ruang barisan ke ruang barisan tertentu.
Berangkat dari latar belakang tersebut penulis mencoba untuk menuangkannya dalam bentuk karya tulis ilmiah dengan judul Transformasi Matriks Pada Ruang Barisan Konvergen.

## Tinjauan Pustaka

## Ruang Vektor
Obyek  utama  tentang  vektor  adalah  vektor-vektor  dapat  dijumlahkan  dan menghasilkan  vektor,  dan  dikalikan  dengan  suatu  bilangan  menghasilkan  vektor  lagi. Sebarang himpunan obyek dengan sifat seperti ini disebut “ruang vektor”. Pada bagian ini semua anggota himpunan bilangan kompleks ¢ dipandang sebagai “skalar”.
Sebelum mendefinisikan ruang vektor V atas ¢ maka ada dua operasi yang harus diperhatikan yaitu:
1. Operasi tambah di dalam himpunan V. Maksudnya adalah jika a, b  V, maka (a + b) juga di V. Dalam hal ini, V harus tertutup terhadap operasi tambah.
2. Operasi  perkalian  “skalar”  antara  anggota  –  anggota  himpunan  ¢  dengan  anggota  – anggota himpunan V. Maksudnya adalah jika   ¢ dan a  V maka  juga di V.

## Definisi 2.1.1 (Berberian, 1961:3)
Ruang vektor V atas ¢ adalah himpunan obyek – obyek x, y, z, … disebut vektor. Vektor nol dinotasikan dengan  , untuk setiap vektor x, negatif dari x dinotasikan dengan –x. Aksioma – aksioma berikut diasumsikan berlaku:
(A) Untuk setiap pasangan vektor x, y di V terdapat vektor yang disebut “jumlah x dan y”, dinotasikan x + y di V, dan berlaku:
(A1) x + y = y + x untuk setiap x, y  V
(A2) x + (y + z) = (x + y) + z untuk setiap x, y, z  V
(A3) Terdapat dengan tunggal   V sedemikian sehingga x +  = x untuk setiap x
 V
92 _ Jurnal Teknosains, Volume 7 Nomor 1, Januari 2013 , hlm. 90-98
(A4)  Untuk  setiap  x  V, terdapat  dengan  tunggal  –x  V  yang  disebut  negatif x sedemikian sehingga x + (-x) = 
(M) Untuk setiap skalar  dan setiap vektor x di V, terdapat vektor disebut “hasil kali x dengan  ”, dinotasikan dengan  x di V, dan berlaku:
(M1)  (x + y) =  x +  y untuk setiap x, y  V dan  adalah skalar (M2) (  +  )x =  x +  x untuk setiap x  V dan  ,  adalah skalar (M3) (  )x =  (  x) untuk setiap x  V dan  ,  adalah skalar (M4) 1 . x = x untuk setiap x  V
Sebagai catatan, x + (-y) biasa ditulis dengan x – y.
Teorema 2.1.2 (Berberian, 1961: 6) Untuk sebarang ruang vektor:
(i) Persamaan vektor  x + y = z mempunyai satu dan hanya satu penyelesaian x
(ii) Jika z + z = z maka z = 
(iii)  =  untuk setiap skalar 
(iv) 0x =  untuk setiap vektor x
(v) Jika  x =  maka  = 0 atau x = 
Akibat 2.1.3 (Berberian, 1961:7) Untuk sebarang ruang vektor V berlaku: (i). (-  )x =  (-x) = -(  x) (ii).  (x – y) =  x -  y (iii). (  -  )x =  x -  x

## Ruang Banach
Struktur  matematika  yang  akan  didefinisikan  adalah  ruang  Banach.  Secara gamblang  ruang  Banach  diartikan  ruang  vektor  real/kompleks bernorma dan lengkap (terhadap norma tersebut).

## Definisi 2.2.1
Ruang  vektor  V  dikatakan  “bernorma”  jika  terdapat  fungsi  bernilai  riil pada  .  : V  R dengan sifat-sifat sebagai berikut:
1. ||a||  0 untuk setiap a  V ||a|| = 0 jika dan hanya jika a =  2. ||  a|| = |  | ||a|| untuk setiap   R, a  V 3. ||a + b||  ||a|| + ||b|| untuk setiap a, b  V
Sebarang himpunan tak kosong X, disebut ruang metrik , jika untuk setiap pasangan (a,b)  X  X didefinisikan bilangan riil d(a,b) memenuhi:
(i). d(a,b)  0
d(a,b) = 0 jika dan hanya jika a = b (ii). d(a,b) = d(b,a)
(iii).   d(a,b)  d(a,c) + d(c,b) untuk setiap c  X
Jika  V  ruang  vektor  bernorma  (ruang  bernorma),  maka  fungsi  d  dengan d(a,b)  =  ||a  –  b||  memenuhi  sifat-sifat  metrik  (i),  (ii),  (iii)  tersebut  di  atas.  Ini berarti setiap ruang bernorma merupakan ruang metrik terhadap metrik d, dengan, d(a,b) = ||a – b||.
Jika  untuk  setiap  sebarang  barisan  Cauchy  (x n )  di  dalam  ruang  metrik  X terdapat x  X sehingga d(x,x n )  0, maka ruang metrik X dikatakan “lengkap” . Sekarang akan didefinisikan ruang Banach sebagai berikut:

## Definisi 2.2.2
Ruang vektor bernorma V disebut ruang Banach jika V lengkap di dalam ruang metrik yang didefinisikan oleh norma.
Definisi  2.2.2  menyatakan  bahwa  ruang  vektor  bernorma  V  dikatakan lengkap  jika  terhadap  norma  ||  .  ||  dengan  d(a,b)  =  ||a  –  b||,  V  merupakan  ruang metrik  lengkap,  yaitu  jika  untuk  setiap  barisan  Cauchy  (x n )  di  dalam  V  (yaitu dengan sifat ||x n - x m ||  0), terdapat x  V sehingga ||x – x n ||  0.

## Ruang Hilbert
Konjugate dari bilangan kompleks  akan dinotasikan dengan  * . Jadi, jika  =  + i  ,  dan  bilangan reall,  maka  * =  - i  . Sifat-sifat   dari konjugate adalah (  * ) * =  , (  +  ) * =  * +  * , (  ) * =  *  * , |  | =   * , dan  * =  jika dan hanya jika  bilangan real.

## Definisi 2.3.1
Diberikan ruang vektor V atas field ¢ yaitu:
a. Fungsi , : V  V  ¢ dikatakan inner product bila memenuhi:
(I 1 ). y x, * = x y, (tanda * dinotasikan sebagai konyugate)
(I 2 ). y , x  =  y x, jika x dan y  V dan  adalah skalar (I 3 ). z y, x  = z x, + z y, jika x, y dan z  V
(I 4 ). x x,  0 untuk setiap x  V dan x x, = 0 hanya jika x =  .
b. Ruang  vektor  V  yang  diperlengkapi  dengan  inner  product  dinamakan  ruang inner product atau ruang Pre-Hilbert.
Teorema 2.3.2 (Berberian, 1961:27)
Dalam sebarang ruang Pre-Hilbert berlaku: (1). z y x,  = y x, + z x,
(2). y x,  =  * y x,
(3). y ,  =  x, = 0
(4). z y, - x = z x, – z y, z - y x, = y x, – z x,
94 _ Jurnal Teknosains, Volume 7 Nomor 1, Januari 2013 , hlm. 90-98
(5). Jika z x, = z , y untuk setiap z, maka x =y.

## Teorema 2.3.3 (Berberian, 1961:30)
1. Ketaksamaan Cauchy – Schwarz
Dalam sebarang ruang Pre – Hilbert,
y x y , x  .
Teorema 2.3.4 (Berberian, 1961:30) 2. Ketaksamaan Segitiga
Di dalam sebarang ruang Pre – Hilbert, ||x + y||  ||x|| + ||y||.
Dari  sifat-sifat  sederhana  di  atas,  mudah  ditunjukkan  bahwa  setiap  ruang Pre-Hilbert  V  merupakan  ruang  bernorma  ,  sebab  jika  didefinisikan  ||  x  ||  =
x x , untuk setiap x  V maka || . || memenuhi sifat:
a).   || x ||  0  x  V
|| x || = 0 jika dan hanya jika x =  b).   ||  x|| = |  | ||x||  x  V c).   ||x + y||  ||x|| + ||y||  x, y  V

## Definisi 2.3.5
Ruang  Pre-Hilbert  dikatakan  lengkap  jika  setiap  barisan  Cauchy  (x n )  di dalam X, konvergen di dalam X

## Definisi 2.3.6 (Berberian, 1961:40)
Ruang Pre-Hilbert (inner product) yang lengkap dinamakan ruang Hilbert.

## Ruang Barisan Klasik
Definisi 2.4.1 Ruang Barisan Klasik c 0 Ruang  barisan  klasik  c 0 adalah  koleksi  dari  semua  barisan  bilangan  riil konvergen ke nol dan ditulis,
c 0 = {x = (x k ) : x k  0}
untuk setiap x  c 0 , didefinisikan norma c 0 sebagai berikut:
|| x || =   k n x 1 sup 

## Definisi 2.4.2 Ruang Barisan Klasik c
Ruang  barisan  klasik  c  adalah  koleksi  dari  semua  barisan  bilangan  riil konvergen dan ditulis,
c = {x = (x k ) : x k konvergen}
untuk setiap x  c, didefinisikan norma c sebagai berikut:
|| x || =   k n x 1 sup 

## TUJUAN PENELITIAN
Tujuan  penelitian  ini  untuk  mengetahui  syarat-syarat  dari  suatu  matriks takhingga sehingga  dapat  menjadi  transfornasi  linear dari suatu  ruang barisan ke ruang barisan tertentu yaitu ruang barisan c 0 ke c 0 .

## PEMBAHASAN

## Transformasi Matriks Pada Ruang Barisan
Transformasi  matriks  yang  dibahas  dalam  penelitian  ini  adalah transformasi  matriks  tak  hingga  yang  memetakan  suatu  ruang  barisan  ke  ruang barisan lain. Misalkan A = (a nk ), n, k = 1, 2 … adalah matriks tak hingga dimana V  dan  W  ruang  barisan,  maka  kita  dapat  menghubungkan  A  dengan  suatu transformasi T A = V  W. Jika x = (x n )  V dipetakan ke y = (y n ) = (A n (x))  W, maka
Ax = (A n (x)) n  1 = W ... ) ( 1 ... 2 x 1 x ... 2 1 . ... ... ... ... 22 a 21 a ... 12 a 11 a ) ( 2                                    x A x A A A .
Oleh  karena  itu  secara  formal  barisan  x  dipetakan  ke  barisan  Ax  dimana (Ax) n  A n (x) diberikan oleh,
A n (x) = 1 1 k k nk x a           n , asalkan A n (x) konvergen untuk setiap n.
Jika A = (a nk ) matriks tak hingga dari V dan W dimana V dan W masing- masing ruang barisan, maka A liniear sebab jika x = (x k ), y = (y k )  V dan   R berlaku:
A(x + y) =
1 1 ) (            n k k k nk y x a = 1 1 1 1                     
n k k nk n k k nk y a x a = A(x) + A(y)
A(  x) = ) ( ) ( 1 1 1 1 x A x a x a n k k nk n k k nk                          .

## Teorema Utama
Teorema utama  yang akan dibuktikan dalam penelitian ini dikembangkan dari  suatu  hasil  sederhana  transformasi  matriks  A  =  (a nk )  dengan  sifat
            1 1 sup k nk n a .  Akan  ditunjukkan  bahwa  dengan  penambahan  satu  atau beberapa syarat terhadap matriks di atas, matriks-matriks seperti ini dapat menjadi transformasi linear baik dari c 0 ke c 0 maupun c ke c.
96 _ Jurnal Teknosains, Volume 7 Nomor 1, Januari 2013 , hlm. 90-98
Dimisalkan A = (a nk ) matriks tak hingga dan M =             1 1 sup k nk n a , maka untuk sebarang barisan x = (x k ) berlaku:
|A n (x)| = |    1 k k nk x a | = k m k nk k m k nk x a x a        1 1  ||x||        m k k m k nk x maks M a 1 1 (*)
untuk suatu m yang cukup besar.
Dari (*) terlihat bahwa:
1. ||x||   m 1 k nk a konvergen  ke  nol  bilamana  (a nk ) n  1 konvergen  ke  nol  untuk setiap k.
2. Jika (x k ) konvergen ke nol maka M ( k 1 m k x maks   ) konvergen ke nol.
Ini berarti jika matriks (a nk ) di atas bersifat (a nk ) n  1 konvergen ke nol untuk setiap  k  maka  matriks  tersebut  memetakan  barisan  konvergen  ke  nol  ke  barisan konvergen ke nol lagi.
Matriks yang memetakan c 0 ke c 0
Teorema 4.2.1 Diketahui A = (a nk ) matriks tak hingga, (a nk ) n  1  0 (k tertentu) dan,
M =             1 1 sup k nk n a ,
suprimum  diambil  di  atas  semua  jumlahan  atas  k  untuk  setiap  n  maka  A memetakan c 0 ke c 0 , ditulis A  (c 0 , c 0 ). Bukti:
Misalkan x  c 0 dan  > 0. Berdasarkan (1), untuk setiap n berlaku:
|A n (x)|  ||x||        m k k m k nk x maks M a 1 1 untuk suatu m yang cukup besar.
Karena x = (x k ) konvergen ke nol maka dapat dipilih m yang cukup besar sehingga     k m k x maks 1
. Untuk setiap n berlaku:
|A(x)|  ||x||           m k nk a 1 . Karena 0 1 1           n m k nk a maka  untuk  n  yang  cukup  besar  berlaku
||x||           m k nk a 1 .  Dengan  demikian  |A n (x)|  <  2  untuk  n  yang  cukup  besar.
Sehingga   1 ) (  n n x A  0 dalam hal ini (A n (x))  0. Kesimpulannya x  c 0 maka A n (x)  c 0 artinya A  (c 0 , c 0 ).
Berikut ini diberikan contoh matriks tak hingga yang memetakan c 0 ke c 0 dan  memenuhi  syarat-syarat  pada  Teorema  4.2.1.  Matriks  tak  hingga  berikut memetakan barisan x = (x k )  c 0 ke y = (y k )  c 0 . Contoh:
Diberikan  matriks  tak  hingga  A  =  (a nk ), n, k = 1, 2, …, maka kita dapat menghubungkan A dengan suatu transformasi T A = c 0  c 0 , jika x = (x n ) =       n 1  c 0 oleh  T A dikawankan  dengan  Ax  c 0 dimana  c 0 adalah  ruang  barisan  yang konvergen ke nol, maka
Ax = 0 c ... 9 1 4 1 1 ... 3 1 2 1 1 ... ... ... ... ... ... 0 3 1 0 0 ... 0 0 2 1 0 ... 0 0 0 1                                                   .
y n =          ... 3 1 2 1 1
2 2 .
Oleh  karena  itu  secara  formal  barisan  x  dipetakan  ke  barisan  Ax  dimana (Ax) n  A n (x) yang diberikan oleh,
A n (x) =      1 n 2 n 1 , asalkan A n (x) konvergen untuk setiap n.
Contoh:
Diberikan  matriks  tak  hingga  A  =  (a nk ), n, k = 1, 2, …, maka kita dapat menghubungkan A dengan suatu transformasi T A = c 0  c 0 , jika x = (x n ) =       n 2 1  c 0 oleh  T A dikawankan  dengan  Ax  c 0 dimana  c 0 adalah  ruang  barisan  yang konvergen ke nol, maka
Ax = 0 3 2 6 4 2 3 2 3 2 c ... 4 1 4 1 4 1 ... 2 1 2 1 2 1 ... 2 1 2 1 2 1 ... ... ... ... ... ... 0 2 1 0 0 ... 0 0 2 1 0 ... 0 0 0 2 1                                                                            .
y n =          ... 4 1 4 1 4 1 3 2 .
Oleh  karena  itu  secara  formal  barisan  x  dipetakan  ke  barisan  Ax  dimana (Ax) n  A n (x) yang diberikan oleh,
98 _ Jurnal Teknosains, Volume 7 Nomor 1, Januari 2013 , hlm. 90-98
A n (x) =      1 k k 4 1 , asalkan A n (x) konvergen untuk setiap n.

## PENUTUP

## Kesimpulan
Berdasarkan  tujuan  penelitian    ini  yaitu  untuk  mengetahui  syarat-syarat dari suatu matriks takhingga sehingga dapat menjadi transfornasi linear dari suatu ruang  barisan  ke  ruang  barisan  tertentu  atau  dari  ruang  barisan  c 0 ke  c 0, maka diperoleh    beberapa  syarat  yang  harus  dipenuhi  oleh  matriks  tak  hingga  tersebut yaitu    matriks  tak  hingga  A  =  (a nk ) n  1 haruslah  konvergen  ke  0  (k  tertentu),  dan memenuhi sifat             1 1 sup k nk n a .

## DAFTAR RUJUKAN
Anton, Howard. 1998. Aljabar Linear Elementer . Erlangga, Jakarta.
Bartle, G. Robert. 1982. Introduction to  Real  Analysis . John Wiley  & Sons.  Inc,
New York
Berberian.K,  Sterling.  1961. Introduktion  to  Hilbert  Space .  Oxpord  University Press, New York
Echols,  John.  M  dan  Hassan  Shadily.  1975. Kamus  Inggris  Indonesia .  PT
Gramedia Pustaka Utama, Jakarta
Klambauer,  Gabriel.  1973. Real  Analysis .  American  Elseviser  Publishing Company, Inc, New York.
Maddox, I. J. 1970. Element of Functional Analisis . Cambridge at The University
Press.
P. Y. Lee. Zeller  Theory And Classical Sequence Spaces. National  University of Singapore, Singapore.
Randolph. F, John. 1968. Basic Riil and Abstract Analisis . Academic Press, New York and London.
Rudin,  Walter.  1986. Riil  and  Complex  Analisis .  Mc  Graw-Hill  International Edition, New York.
Sukarjono.  2000. Aljabar  Linear  dan  Penerapannya .  Universitas  Negeri
Yogyakarta, Yokyakarta.