Vol. 13, No. 1,  71-77,  Juli  2016

## Penaksiran Parameter dari Variansi Vektor pada Pengujian Hipotesis Kesamaan Matriks Kovariansi
Nasrah Sirajang 

## Abstrak
Variansi vektor merupakan salah satu ukuran dispersi data, yang didefinisikan sebagai jumlah dari  semua  elemen  diagonal  matriks  kovariansi.  Paper  ini  membahas  tentang  penaksiran parameter  dari  variansi  vektor  yang  digunakan  pada  pengujian  hipotesis  kesamaan  matriks kovariansi.  Yang  dilakukan  dalam  menguji  kesamaan  matriks  kovariansi  adalah  menentukan taksiran tak bias dari rataan dan variansi, dengan memamfaatkan  metode momen.
Kata Kunci: Metode Momen, matriks  kovariansi, variansi vector,  vec operator.

## 1. Pendahuluan
Salah  satu  statistik  inferensial  yang  digunakan  dalam  menarik  kesimpulan  mengenai suatu  populasi  dengan  memamfaatkan  sampel-sampel  yang  diambil  dari  populasi  tersebut  yaitu
dengan  menggunakan  estimasi  (penaksiran).  Misalkan  
  1 2 X X X          suatu  vektor  acak  yang dipartisi  menjadi   1 X dan   2 X masing-masing  berdimensi  q  dan  p-q.  Vektor  mean  dan matriks  kovariansi  masing-masing       i i E X   ,  dengan 1, 2 i  ,  dan
            t ij i i j j E X X             ,  dengan , 1, 2 i j  .  Untuk  mengukur  hubungan  linier antara  dua  vektor  acak   1 X dan   2 X digunakan     2 12 21 12 Tr vec     .  Parameter  ini disebut  kovariansi  vektor.  Bentuk  
12 21 Tr   adalah  jumlah  semua  elemen  diagonal    dari   12 21   . Dari pengertian tersebut, dapat didefinisikan  Variansi Vektor  dari   1 X dan   2 X adalah         2 2 11 11 1 VV X Tr vec      dan  
      2 2 22 22 2 VV X Tr vec      .

## 2. Penaksiran Sampel
Misalkan 1 2
, ,..., n X X X adalah sampel acak yang saling bebas dari distribusi   , p N  
. Vektor rata-rata sampel dan matriks kovariansi sampel adalah
 Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Hasanuddin, Jl. Perintis Kemerdekaan Km.10, Tamalanrea, Makassar.
Nasrah Sirajang 1 1 n i i X X n    dan    1 1 1 n t i i i S X X X X n       . (1)
Jika  S  berukuran m  x  m maka vec(S) adalah    representasi  dari    S  dalam  bentuk  vektor berukuran m x 1, dengan
      2 2 E vec S vec   dan       2 2 2 8 var 1 vec S vec n    .
Pada  aplikasi  akan  diperlukan  nilai  taksiran  tak  bias  dari   2 vec  dan   2 2 vec  ,  dimana nilai  tersebut  berasal  dari  nilai  sampel.  Oleh  karena  itu,  akan  dibahas  bagaimana  menentukan taksiran  tak  bias  dari   2 vec  dan   2 2 vec  ,  dengan  memanfaatkan    sifat-sifat  dari  trace yang berhubungan dengan nilai eigen dari matriks kovariansi. Misalkan k  dan k  adalah nilai eigen dari matriks kovariansi sampel (S) dan matriks kovariansi populasi (∑).

## Definisi 1.
Misalkan  A  adalah    matriks    berukuran  m  x  m      dengan    nilai  eigen 1 2 , ,..., m    ,  maka
 
1 m k k Tr A     .
Hubungan  dari Variansi  Vektor  dengan  nilai  eigen  dari  matriks  kovariansi  sampel    dan  matriks kovariansi populasi, sebagai berikut:
    2 2 2 1 m k k vec S Tr S   
  dan     2 2 2 1 m k k vec Tr        (2)

## 2.1 Satu Sampel
Misalkan 1 2 , ,..., n X X X sampel  acak  dari  distribusi   , p N   dan  misalkan k  dan k  nilai-nilai  eigen  dari  S  dan  ∑, (n-1)S berdistribusi  Wishart  yang  dinotasikan
    1 , 1
p n S W n    .  Misalkan k  dan k  nilai-nilai  eigen  dari    S    dan    ∑.  Untuk  n  yang berukuran besar maka distribusi asimptotik dari k  adalah normal dengan rataan k  dan variansi
2 2 1 k n   ditulis (
) .  Untuk  memperoleh  taksiran  dari dan digunakan  metode momen,  dimana  momen  kedua  dan  keempat  dari k  yang  digunakan  untuk  mendapatkan  nilai taksiran  rataan dan variansi dari variansi vektor.

## Definisi 2.
Jika X adalah vektor acak multinormal dengan rataan µ dan matriks kovariansi ∑, maka fungsi pembangkit momen dari X adalah
  ' ' exp 2 x t t M t t    
      , (3)
Nasrah Sirajang     r x r r d M t E X dt  , (4)
Dengan mengambil t = 0, maka   r E X menyatakan momen ke– r dari vektor acak X .
Dari persamaan   (3) , untuk  rataan k  dan  variansi
2 2 1 k n   ,     maka   2 2 exp 1 k x k t M t t n            (5)
Untuk  menemukan  momen  kedua  dan  keempat  dari k  ,  maka  persamaan  (4)  diterapkan  pada persamaan  (5), sehingga diperoleh
a. ( k  )
;
b. ( )
; ( ) c. ( ) ; = ( ) d. ( ) ; = ( )
Hal ini menunjukkan bahwa dari momen kedua dan momen keempat diperoleh:
  2 2 2 1 1 k k E n    
           1 2 2 2 1 1 E vec S vec n                    
dan     4 4 2 12 12 1 1 1 k k E n n    
                 1 2 2 2 2 2 12 12 1 1 1 E vec S vec n n                         Maka  statistik
  1 2 2 1 1 vec S n         
,  penaksir    tak  bias  dari   2 vec  dan
    1 2 2 2 12 12 1 1
1 vec S n n 
              ,  penaksir    tak  bias  dari   2 2 vec  .  Karena
    2 2 vec S
Tr S  , maka
      1 2 2 2 1 1 E Tr S Tr S n           dan
        1 2 4 2 8 12
12 var 1 1 1 1 Tr S Tr S n n n                 
.

## 2.2 Beberapa Sampel
Misalkan m sampel  acak  yang  saling  bebas  dari  suatu  distribusi   , p N   ,  masing- masing sampel berukuran:
Sampel-1   :
1 1 2 , ,..., n X X X Sampel-2   : 2 1 2 , ,..., n Y Y Y  
Sampel- m : 1 2 , ,..., m n Z Z Z
Kemudian i S matriks kovariansi sampel ke- i, 1, 2,..., i m  dan (∑ ) Ini berarti ∑ , ∑ ,..., ∑ .  Misalkan   1 1 1 1 A n S   ,   2 2 2 1 A n S   , ... ,   1 m m m A n S   maka 1 m i i A A    berdistribusi  Wishart  dengan derajat bebas n – m , dengan kata lain distribusi  dari gab S adalah
∑ Rata-
rata  matriks  kovariansi  gabungan  adalah       1 1 1 1 1 1 1 m i i m i gab i i m i i i n S S n S n m n      
      ,  dimana 1 m i i n n    .  Misalkan k  rataan  nilai    eigen      dari gab S .  Untuk n yang    berukuran  besar distribusi asimptotik   dari k  adalah normal  dengan rataan k  dan variansi 2 2 k n m   , ditulis
k  ( )
Seperti  halnya  pada  satu  sampel.    Untuk  memperoleh  taksiran dan digunakan  metode momen, sehingga diperoleh ( ) ; ( ) ( ) ; = ( )
Hal ini menunjukkan bahwa dari momen kedua dan keempat diperoleh,
  2 2 2 1 k k E n m    
           1 2 2 2 1 gab E vec S vec n m                         4 4 2 12 12 1 k k E n m n m    
                 1 2 2 2 2 2 12 12 1 gab
E vec S vec n m n m                        
Maka    statistik   1 2 2 1 gab vec S n m          merupakan  penaksir  tak bias dari   2 vec 
dan     1 2 2 2 12 12 1 g a b vec S n m n m  
          
penaksir  tak bias dari   2 2 vec  . Sehingga diperoleh     1 2 2 2 1 gab gab
E Tr S Tr S n m                 dan
        1 2 4 2 8 12 12 var 1
1 gab gab
Tr S Tr S n n m n m                  . Bila 1 2 0 m n n n n     , 1 1 m i i S S m    ,  dimana i S matriks  kovariansi  sampel  ke- i ; 1, 2,..., i m  dan
(∑ ) . Ini berarti
(∑ ) (∑ )

(∑ ) .
Misalkan
  1 0 1 1 A n S     2 0 2 1 A n S  
   0 1 m m A n S   maka 1 m i i A A    berdistribusi Wishart  dengan   derajat bebas   0 1 m n  (Anderson,  1984) .
Dengan    kata lain   distribusi dari S adalah
[ ] [∑ ] .
Misalkan k  nilai eigen dari S . Untuk n yang berukuran besar distribusi asimptotik   dari k  adalah normal  dengan rataan k  dan  variansi   2 0 2 1 k m n   . Dengan cara yang sama pada n yang berbeda, maka untuk momen kedua dan keempat diperoleh
    2 2 0 2 1 1 k k E m n    
        
        4 4 2 0 0 12 12 1 1 1 k k E m n m n     
         
sehingga,    statistik
    1 2 0 2 1 1 vec S m n           
merupakan    penaksir    tak  bias  dari
  2 vec  dan         1 2 2 2 0 0 12 12 1 1 1 vec S m n m n              merupakan    penaksir    tak  bias
dari   2 2 vec  .  Jadi       1 2 2 0 2 1 1 E Tr S Tr S m n                   penaksir tak bias dari rataan dan             1 2 4 2 0 0 0 8 12 12 var 1 1 1 1 Tr S Tr S n m n m n               
penaksir  tak  bias  dari variansi.

## 5. Kesimpulan
Berikut  beberapa  kesimpulan  yang  dapat  diberikan  dalam  penelitian  ini  adalah  sebagai berikut.
1. Momen kedua dan keempat dari k  yang digunakan untuk mendapatkan nilai taksiran  rataan dan variansi dari variansi vektor.
2. Taksiran  dari   2 vec  =   2 Tr  dan   2 2 vec  =   4 Tr  merupakan  taksiran  tak bias dari rataan dan variansi berdasarkan variansi vektor .
3. Rataan dan variansi berdasarkan variansi vektor adalah sebagai berikut:
a. Untuk satu sampel,
      1 2 2 2 1 1 E Tr S
Tr S n 
         ,
        1 2 4 2 8 12 12 var
1 1 1 1 Tr S Tr S n n n                 
b. Untuk beberapa sampel dengan 1 2 , ,..., m n n n berbeda,     1 2 2 2 1 gab gab E Tr S Tr S
n m   
             ,         1 2 4 2 8 12 12 var
1 1 gab gab Tr S
Tr S n n m n m                 
c. Untuk beberapa sampel dengan 1 2
0 m n n n n     ,
      1 2 2 0 2 1 1 E Tr S
Tr S m n                   ,             1 2 4 2 0 0 0 8 12
12
var 1 1 1 1 Tr S
Tr S n m n m n  
            

## Daftar Pustaka
Anderson, T.W., 1984. An Introduction to Multivariate Statistical Analysis . John Wiley & Sons Inc., New York .
Djauhari,  M.A.,  2007.  A  measure  of  data  concentration. Journal  of  Applied  Probability  & Statistics , Vol 2 No.2, pp. 139-155.
Guritno, S., 2007. Statistik Multivariat Terapan, Teori dan Aplikasi . UGM, Yokyakarta.
Rencher, A.C., 2002. Methods of Multivariate Analysis . John Wiley & Sons Inc., New   York.
Schott, J.R., 1997. Matrix Analysis for Statistics . John Wiley & Sons Inc., New York