JURNAL GAUSSIAN, Volume 8, Nomor 2, Tahun 2019, Halaman 253 - 271 Online di: http://ejournal3.undip.ac.id/index.php/gaussian

## PEMODELAN INDEKS PEMBANGUNAN MANUSIA DI JAWA TENGAH DENGAN REGRESI KOMPONEN UTAMA ROBUST
Tsania Faizia 1 , Alan Prahutama 2 , Hasbi Yasin 3 1,2,3 Departemen Statistika FSM Universitas Diponegoro Alan.prahutama@gmail.com

## ABSTRACT
Robust  principal  component  regression  is  development  of  principal  component regression  that  applies  robust  method  at  principal  component  analysis  and  principal component  regression  analysis.  Robust  principal  component  regression  does  not  only overcome  multicollinearity  problems,  but  also  overcomes  outlier  problems.  The  robust methods used in this research are Minimum Covariance Determinant (MCD) that is applied when  doing  principal  component  analysis  and  Least  Trimmed  Squares  (LTS)  that  is applied  when  doing  principal  component  regression  analysis.  The  case  study  in  this research is Human Development Index (HDI) in Central Java in 2017 which is influenced by labor force participation rates, school  enrollment  rates, percentage of poor population, population  aged  15  years  and  over  who  are  employed,  health  facilities,  gross  enrollment rates,  and  net  enrollment  rates.  The  model  of  HDI  in  Central  Java  in  2017  using  robust principal component regression MCD-LTS provides the most effective result for handling multicollinearity and outliers with Adjusted R 2 value of 0.6913 and RSE value of 0.469.
Keywords: Robust  Principal  Component  Regression,  Multicollinearity,  Outliers, Minimum  Covariance  Determinant  (MCD),  Least  Trimmed  Squares  (LTS),  Human Development Index (HDI).

## 1. PENDAHULUAN
Multikolinieritas merupakan salah satu masalah yang sering dihadapi dalam analisis regresi  berganda.  Multikolinieritas menyebabkan  estimator mempunyai  varian  yang besar sehingga  sulit  mendapatkan  estimasi  yang  tepat.  Akibatnya,  interval  estimasi  akan cenderung  lebih  besar  dan  nilai  statistik  uji  t  akan  kecil  sehingga  menyebabkan  variabel prediktor  secara  statistik  tidak  berpengaruh  nyata  (signifikan)  terhadap  variabel  respon, meskipun  nilai  koefisien  determinasi  (R 2 )  masih  relatif  tinggi  (Widarjono,  2005).  Oleh karena itu, diperlukan penanganan terhadap multikolinieritas agar diperoleh model regresi yang stabil.
Salah satu metode untuk mengatasi multikolinieritas adalah regresi komponen utama (Montgomery et al ., 2012). Regresi komponen utama menangani multikolinieritas dengan dua  tahap.  Tahap  pertama  yaitu  melakukan  analisis  komponen  utama  menggunakan eigenvector dari  matriks  kovarian  atau  matriks  korelasi  variabel  prediktor.  Tahap  kedua yaitu  meregresikan  komponen-komponen  utama  terpilih  dengan  variabel  respon menggunakan metode Ordinary Least Squares (OLS).
Menurut  Filzmoser  (1999),  analisis  komponen  utama  klasik  tidak  dapat  bekerja dengan baik jika data yang dianalisis mengandung outlier . Hal ini dikarenakan vektor rata- rata dan matriks kovarian atau matriks korelasi sampel sangat sensitif terhadap outlier dan akan  berpengaruh  pada  keakuratan  hasil  analisis  komponen  utama.  Kemudian,  menurut Srinadi  (2014),  metode Ordinary  Least  Squares (OLS)  pada  analisis  regresi  mempunyai kelemahan ketika outlier terdapat dalam data yang menyebabkan estimator dari parameter regresi  bersifat  bias.  Oleh  karena  itu,  regresi  komponen  utama  dikembangkan  menjadi
regresi  komponen  utama robust ,  yang  menerapkan  metode robust pada  kedua  tahap tersebut.
Metode robust yang  digunakan  dalam  penelitian  ini  adalah  metode Minimum Covariance Determinant (MCD) yang diterapkan pada saat melakukan analisis komponen utama  dan  metode Least  Trimmed  Squares (LTS)  yang  diterapkan  pada  saat  melakukan analisis  regresi  komponen  utama.  Metode  MCD  dipilih  karena  Rousseeuw  dan  Driessen (1999)  menyatakan  bahwa  metode  tersebut  lebih  unggul  dari  metode  lain  baik  dari  segi efisiensi maupun kecepatan perhitungan statistik. Selain itu, metode tersebut sangat r obust dalam  penentuan  lokasi  dan  sebaran  multivariat.  Sehingga,  metode  MCD  sangat  berguna dalam  menghasilkan  analisis  yang  lebih  handal.  Metode  LTS  dipilih  karena  menurut Rousseeuw  dan  Driessen  (2006),  metode  LTS  lebih  efisien  dan  memiliki  fungsi  objektif yang lebih smooth (halus) sehingga kurang sensitif terhadap efek lokal. Selain itu, menurut Perihatini (2018), metode LTS merupakan salah satu metode penaksiran parameter model regresi yang robust terhadap kehadiran outlier yang memiliki nilai breakdown point yang tinggi dibandingkan metode yang lainnya.
Indeks Pembangunan Manusia (IPM) merupakan indikator penting untuk  mengukur keberhasilan  dalam  upaya  membangun  kualitas  hidup  manusia.  IPM  dibangun  dari  tiga dimensi  dasar  yang  digunakan  sebagai  ukuran  kualitas  hidup  manusia.  Dimensi  tersebut mencakup kesehatan, pendidikan, dan ekonomi.
Adapun  variabel-variabel  yang  dapat  digunakan  untuk  mengukur  masing-masing dimensi dasar IPM tersebut adalah sebagai berikut:
1. Untuk  mengukur  dimensi  kesehatan  dapat  digunakan  banyaknya  sarana  kesehatan (Putra dan Ratnasari, 2015).
2. Untuk  mengukur  dimensi  pendidikan  dapat  digunakan  angka  partisipasi  kasar  dan angka partisipasi murni (Ekosiswoyo et al ., 2008).
3. Untuk  mengukur  dimensi  ekonomi  dapat  digunakan  presentase  penduduk  miskin, jumlah  penduduk  usia  15  tahun  ke  atas  yang  bekerja,  dan    tingkat  partisipasi angkatan kerja (Putra dan Ratnasari, 2015).
Menurut Putra dan Ratnasari (2015), faktor-faktor di setiap dimensi dasar IPM akan cenderung  memiliki  hubungan  yang  kuat  satu  sama  lainnya,  karena  antar  faktor-faktor tersebut  saling  mempengaruhi.  Sehingga  dapat  mengakibatkan  adanya  kasus multikolinieritas.
Dari  uraian  tersebut,  tujuan  utama  dalam  penelitian  ini  adalah  melakukan penanganan multikolinieritas dan outlier pada pemodelan Indeks Pembangunan Manusia di Jawa  Tengah  menggunakan  regresi  komponen  utama robust yang  menerapkan  metode MCD  pada  saat  melakukan  analisis  komponen  utama  dan  metode  LTS  pada  saat melakukan analisis regresi komponen utama. Selain itu, penelitian ini juga bertujuan untuk mengukur  efektivitas  penerapan  metode  MCD  dan  LTS  dalam  regresi  komponen  utama robust untuk pemodelan Indeks Pembangunan Manusia di Jawa Tengah.

## 2. TINJAUAN PUSTAKA
2.1 Analisis Regresi Regresi Berganda Menurut  Montgomery et  al .  (2012),  Model  regresi  berganda  dinyatakan  dalam bentuk persamaan:
𝑌 𝑖 = 𝛽 0 + 𝛽 1 𝑋 1𝑖 + 𝛽 2 𝑋 2𝑖 + ⋯ +   𝛽 𝑘 𝑋 𝑘𝑖 + 𝜀 𝑖 (1)
Jika ditulis dalam bentuk matriks, persamaan (1) dapat ditulis sebagai berikut:
y = Xβ + ε (2)
dimana
y = [ 𝑌 1 𝑌 2 ⋮ 𝑌 𝑛 ] ; X = [ 1 𝑋 11 𝑋 21 ⋯ 𝑋 𝑘1 1 𝑋 12 𝑋 22 ⋯ 𝑋 𝑘2 ⋮ 1 ⋮ 𝑋 1𝑛 ⋮ 𝑋 2𝑛 ⋱ ⋮ … 𝑋 𝑘𝑛 ] ; β = [ 𝛽 0 𝛽 1 𝛽 2 ⋮ 𝛽 𝑘 ] ; ε = [ 𝜀 1 𝜀 2 ⋮ 𝜀 𝑛 ]

## 2.1.1 Estimasi Parameter Model
Menurut  Montgomery et  al .  (2012),  estimasi  parameter  dapat  diperoleh  dengan menggunakan  metode Ordinary  Least  Squares (OLS)  yaitu  dengan  meminimumkan jumlah kuadrat error . S( β ) =   ∑ ε i 2 = 𝛆 ′ 𝛆 = n i=1 𝐲 ′ 𝐲 − 𝟐𝛃 ′ 𝐗 ′ 𝐲 + 𝛃 ′ 𝐗 ′ 𝐗𝛃 Untuk mendapatkan estimator OLS (𝜷 ̂) yang meminimumkan S( β ) disyaratkan bahwa: 𝜕S(𝛃) 𝜕𝜷 | 𝜷=𝜷 ̂ = 𝟎
maka 𝜕S(𝛃) 𝜕𝜷 | 𝜷=𝜷 ̂ = 𝟎 −𝟐𝐗 ′ 𝐲 + 𝟐𝐗 ′ 𝐗𝛃 ̂ = 𝟎
𝐗 ′ 𝐗𝛃 ̂    = 𝐗 ′ 𝐲 𝛃 ̂   = (𝐗 ′ 𝐗) −𝟏 (𝐗 ′ 𝐲) Menurut Kutner et  al . (2005), perbedaan unit satuan pada model  regresi  yang tidak distandarkan  dapat  menyebabkan  koefisien  regresi  tidak  bisa  dibandingkan.  Oleh  karena itu, perlu dilakukan standarisasi menggunakan rumus sebagai berikut:
𝑌 𝑖 ∗ = 𝑌 𝑖 −𝑌̅ 𝑆 𝑌 dan 𝑋 𝑗𝑖 ∗ = 𝑋 𝑗𝑖 −𝑋̅ 𝑗 𝑆 𝑗
dimana 𝑆 𝑌 = √ ∑ (𝑌 𝑖 −𝑌̅) 2 𝑛 𝑖=1 𝑛−1 dan 𝑆 𝑗 = √ ∑ (𝑋 𝑗𝑖 −𝑋̅ 𝑗 ) 2 𝑛 𝑖=1 𝑛−1 Sehingga diperoleh model regresi standar sebagai berikut:
𝑌 𝑖 ∗ = 𝛽 1 ∗ 𝑋 1𝑖 ∗ + 𝛽 2 ∗ 𝑋 2𝑖 ∗ + ⋯ +   𝛽 𝑘 ∗ 𝑋 𝑘𝑖 ∗ + 𝜀 𝑖 ∗

## 2.1.2 Uji Signifikansi dalam Regresi Berganda
Menurut Montgomery et al . (2012), dalam analisis regresi berganda ada beberapa uji signifikansi yang berguna untuk mengukur ketepatan model, antara lain sebagai berikut:
1. Uji Signifikansi Model Regresi
Uji  ini  dimaksudkan  untuk  menentukan  apakah  ada  hubungan  linier  antara  variabel respon Y dengan variabel prediktor X 1 , X 2 , … , X k atau tidak. Adanya hubungan linier antara  variabel  respon  dengan  variabel  prediktor  menandakan  bahwa  model  regresi yang terbentuk sesuai. Berikut langkah-langkahnya:
a. Hipotesis
H 0 : β 1 = β 2 = … = β k = 0 (Model regresi tidak sesuai) H 1 : ada minimal satu β j ≠ 0, dengan j = 1, 2, …, k (Model regresi sesuai)
b. Statistik uji
F 0 = SS R k ⁄ SS E (n−k−1) ⁄ = MSR MSE ; SSR = ∑ (𝑌̂ 𝑖 − 𝑌̅) 2 𝑛 𝑖=1 ; SSE = ∑ (𝑌 𝑖 − 𝑌̂ 𝑖 ) 2 𝑛 𝑖=1
c. Kriteria uji
H 0 ditolak jika F 0 > F tabel = F (  ; k; n-k-1) atau p-value < α.

## 2. Uji Signifikansi Koefisien Regresi Secara Individu
Uji  ini  digunakan  untuk  menguji  ada  tidaknya  pengaruh  masing-masing  variabel prediktor terhadap variabel respon. Langkah-langkahnya:
a. Hipotesis
H 0 : β j = 0, (koefisien regresi X j tidak signifikan) H 1 : β j ≠ 0, j = 1, 2, …, k (koefisien regresi X j signifikan)
b. Statistik uji
t 0 = β ̂ j Se(β ̂ j ) dengan Se(β̂ j ) = √σ ̂ 2 C jj
dimana C jj adalah elemen diagonal dari (𝐗 ′ 𝐗) −𝟏 dan σ ̂ 2 = ∑ (Y i −Y ̂ i ) 2 n i=1 n−k−1 c. Kriteria uji
H 0 ditolak jika | t 0 | > t tabel = t (  /2; n-k-1) atau p-value < α.

## 2.1.3 Ukuran Kecocokan Model Regresi
Kecocokan model regresi dapat diukur dengan melihat nilai-nilai berikut:
1. Koefisien Determinasi yang Disesuaikan ( Adjusted 𝑅 2 )
Pada  model  regresi  berganda  menurut  Gujarati  (2004), 𝑅 2 dikenal  untuk  mengukur proporsi atau persentase total variasi dalam Y yang dijelaskan oleh model regresi.
R adj 2 = 1 − ∑ (Y i −Y ̂ i ) 2 n i=1 /(n−k−1) ∑ (Y i −Y ̅) 2 n i=1 /(n−1)
2.
Residual Standard Error (RSE)
Residual  Standard  Error (RSE)  adalah  estimasi  simpangan  baku  ( standard deviation )  dari 𝜀 . 𝜀 merupakan  selisih  dari  nilai  yang  diprediksi  dengan  nilai  yang diamati.  Secara  umum,  menurut  James et  al .  (2013),  RSE  didefinisikan  sebagai berikut:
RSE = √ ∑ (Y i −Y ̂ i ) 2 n i=1 n−k−1 =   √MSE

## 2.2 Multikolinieritas
Tidak  adanya  multikolinieritas  atau  hubungan  antar  variabel  prediktor  merupakan salah satu asumsi yang harus dipenuhi dalam model regresi berganda. Menurut Widarjono (2005),  dampak  adanya  multikolinieritas,  jika  menggunakan  teknik  estimasi  dengan metode OLS tetapi masih mempertahankan asumsi lain adalah sebagai berikut:
1. Estimator  masih  bersifat  BLUE  dengan  adanya  multikolinieritas,  namun  estimator mempunyai varian yang besar sehingga sulit mendapatkan estimasi yang tepat.
2. Akibat nomor 1, maka interval estimasi akan cenderung lebih lebar dan nilai hitung statistik  uji  t  akan  kecil,  sehingga  membuat  variabel  prediktor  secara  statistik  tidak signifikan mempengaruhi variabel respon.
3. Walaupun  secara  individu  variabel  prediktor  tidak  berpengaruh  terhadap  variabel respon  melalui  uji  statistik  t,  namun  nilai  koefisien  determinasi  (R 2 )  masih  relatif tinggi.
Ada beberapa cara yang dapat digunakan untuk mendeteksi masalah multikolinieritas dalam suatu model regresi, yaitu:
1. Jika  nilai  R 2 tinggi  (misalnya:  antara  0,7  dan  1),  tetapi  hanya  sedikit  variabel prediktor yang signifikan (Gujarati, 2004).
2. Jika koefisien korelasi mendekati satu atau lebih besar dari 0,75 maka dapat diduga ada  multikolinieritas  dalam  model  (Marcus et  al .,  2012).  Koefisien  korelasi  parsial
antar  variabel  prediktor  dapat  dihitung  dengan  rumus  korelasi pearson sebagai berikut:
r X j X l = n ∑ X j X l −∑ X j ∑ X l √n ∑ X j 2 −(∑ X j ) 2 √n ∑ X l 2 −(∑ X l ) 2 dengan 𝑗 = 1, 2, …, 𝑘 dan 𝑙 = 1, 2, …, 𝑘 .
3. Jika  nilai  VIF  lebih  besar  dari  5  atau  10  telah  mengindikasikan  adanya multikolinieritas  pada  model  regresi  (Montgomery et  al .,  2012). Variance  Inflation Factors (VIF) dapat dihitung dengan menggunakan rumus sebagai berikut:
VIF = 1 1−R j 2 dengan R j 2 adalah koefisien determinasi ke- j dimana j = 1, 2, …, k .
Menurut Widarjono (2005), ada beberapa cara yang bisa digunakan untuk mengatasi kasus multikolinieritas antara lain:
1. Menghilangkan variabel prediktor
2. Menambahkan data
3. Mentransformasi variabel
Selain  itu,    multikolinieritas  dapat  juga  ditangani  dengan  menggunakan  analisis regresi ridge dan regresi komponen utama (Montgomery et al ., 2012).

## 2.3 Deteksi Outlier
Menurut  Anisa  (2010),  terdapat  beberapa  kemungkinan  adanya  data outlier ,  yaitu outlier pada  variabel  prediktor, outlier pada  variabel  respon,  atau  keduanya.  Adanya outlier pada  variabel  prediktor  dapat  dideteksi  dengan  menghitung  jarak  mahalanobis. Untuk  mengukur  jarak  mahalanobis  digunakan  vektor  rata-rata  dan  matriks  kovarian. Sebuah pengamatan 𝑋 𝑖 dideteksi sebagai outlier jika jarak mahalanobisnya: 𝑑 𝑀𝐷 2 = (𝑿 𝒊 − 𝑿 ̅) ′ 𝑺 −𝟏 (𝑿 𝒊 − 𝑿 ̅) >   𝜒 (𝑘,𝛼) 2
dengan 𝑿 ̅ dan 𝑺 adalah vektor rata-rata dan matriks kovarian dari data. Selanjutnya, untuk  mendeteksi adanya outlier pada variabel  respon dapat  dilakukan dengan melihat residual ( error ) dari model regresi (Anisa, 2010). Salah satu metode yang dapat  digunakan  adalah  metode DFFITS ( Difference  in  Fit  Standardized ).  Perhitungan 𝐷𝐹𝐹𝐼𝑇𝑆 𝑖 adalah sebagai berikut:
𝐷𝐹𝐹𝐼𝑇𝑆 𝑖 =   𝑡 𝑖 ( ℎ 𝑖𝑖 1 − ℎ 𝑖𝑖 ) 1 2 ;    𝑡 𝑖 = 𝑒 𝑖 √ 𝑛 − 𝑝 − 1 𝑆𝑆𝐸(1 − ℎ 𝑖𝑖 ) − 𝑒 𝑖 2 dimana e i : residual ke- i ℎ 𝑖𝑖 : elemen baris ke- i kolom ke- i dari matriks 𝐇 = 𝐗(𝐗 ′ 𝐗) −𝟏 𝐗 ′
Data  dikatakan outlier apabila  nilai |𝐷𝐹𝐹𝐼𝑇𝑆 𝑖 | > 2√ 𝑝 𝑛 dengan 𝑝 adalah  banyaknya parameter dan 𝑛 adalah banyaknya pengamatan (Perihatini, 2018).

## 2.4 Regresi Komponen Utama
Menurut Soemartini (2008), ada beberapa keuntungan dari regresi komponen utama apabila  dibandingkan  metode-metode  lain  dalam  mengatasi  masalah  multikolinieritas, diantaranya:
1. Dapat  menghilangkan  korelasi  secara  bersih  (korelasi  =  0)  sehingga  masalah multikolinieritas dapat benar-benar teratasi secara bersih.
2. Dapat digunakan untuk segala kondisi data/penelitian.
3. Dapat digunakan tanpa mengurangi jumlah variabel asal.
4. Meskipun regresi  komponen utama ini memiliki tingkat  kesulitan  yang tinggi,  akan tetapi kesimpulan yang diberikan lebih akurat dibandingkan dengan metode lain.
Menurut  Notiragayu  dan  Nisa  (2008),  ada  dua  tahapan  dalam  regresi  komponen utama,  yaitu  tahap  pertama  adalah  melakukan  analisis  komponen  utama  dan  tahap  kedua adalah meregresikan komponen-komponen utama dengan variabel respon.

## 2.4.1 Analisis Komponen Utama
Pada analisis komponen utama, didasarkan bahwa skala pengukuran dari X 1 , X 2 , …, X k sama, kemudian dibentuk variabel baru W yang disebut sebagai komponen utama yang merupakan  kombinasi  linier  dari  X 1 ,  X 2 ,  …,  X k dengan  bentuk  sebagai  berikut  (Johnson dan Wichern, 2007):
W 1 = a 1 ’ X = a 11 X 1 + a 12 X 2 + … + a 1k X k W 2 = a 2 ’ X = a 21 X 1 + a 22 X 2 + … + a 2k X k ⋮
W k = a k ’ X = a k1 X 1 + a k2 X 2 + … + a kk X k dengan Cov (W j ,W l ) = a j ’ S a l
j, l = 1, 2, …, k Var (W j ) = a j ’ S a j j = 1, 2, …, k Syarat untuk membentuk komponen utama yang merupakan kombinasi linier dari X 1 , X 2 , …, X k agar mempunyai varian maksimum adalah dengan memilih eigenvector yaitu 𝐚 𝐣 ′ = [ 𝐚 𝟏𝐣 , 𝐚 𝟐𝐣 ,  …, 𝐚 𝐤𝐣 ]  dengan  j  =  1,  2,  …,  k,  sedemikian  sehingga  Var  (W j )  = 𝐚 𝐣 ′ S 𝐚 𝐣 maksimum dengan kendala 𝐚 𝐣 ′ a j = 1 .
Untuk mencari eigenvector yaitu 𝐚 𝐣 ′ = [ 𝐚 𝟏𝐣 , 𝐚 𝟐𝐣 , …, 𝐚 𝐤𝐣 ] dari S berlaku (𝐒 −  𝑰 ) 𝐚 𝒋 = 𝟎 .  Akan  tetapi,  sebelumnya  dicari  terlebih  dahulu eigenvalue (  ) dari S dengan  syarat | 𝐒 −  𝑰 | = 0 .
Keragaman  yang  dapat  dijelaskan  oleh  komponen  utama  ke- j terhadap  keragaman total adalah  𝑗  1 +  2 +⋯+  𝑘 × 100% ; j = 1, 2, …, k
Sedangkan  secara  kumulatif,  keragaman  total  yang  dijelaskan  oleh m komponen utama adalah
∑  𝑗 𝑚 𝑗=1 ∑  𝑗 𝑘 𝑗=1 × 100% dengan m  k
m adalah banyaknya komponen utama yang terpilih.
Pada  masalah  regresi  biasanya  skala  pengukuran  untuk  variabel-variabel  prediktor X 1 ,  X 2 ,  …,  X k biasanya  belum  sama,  sehingga  perlu  disamakan  dengan  cara mentransformasi ke dalam variabel baku Z (Widiharih, 2001).
Variabel baku Z diperoleh dari transformasi terhadap variabel asal yang dirumuskan sebagai berikut:
Z 1 = (𝑋 1 −𝜇 1 ) √𝜎 11 Z 2 = (𝑋 2 −𝜇 2 ) √𝜎 22 ⋮
Z k = (𝑋 𝑘 −𝜇 𝑘 ) √𝜎 𝑘𝑘
Menurut  Johnson  dan  Wichern  (2007),  komponen  utama  yang  dibentuk  sebagai kombinasi linier dari variabel yang dibakukan yaitu Z 1 , Z 2 , …, Z k adalah: W 1 = a 1 ’ Z = a 11 Z 1 + a 12 Z 2 + … + a 1k Z k W 2 = a 2 ’ Z = a 21 Z 1 + a 22 Z 2 + … + a 2k Z k ⋮ W k = a k ’ Z = a k1 Z 1 + a k2 Z 2 + … + a kk Z k dengan Cov ( Z ) adalah matriks korelasi R yang didefinisikan sebagai berikut:
𝐑 = [ 𝑟 11 𝑟 12 …  𝑟 1𝑘 𝑟 21 𝑟 22 …  𝑟 2𝑘 ⋮ 𝑟 𝑘1 ⋮ 𝑟 𝑘2 ⋱ … ⋮ 𝑟 𝑘𝑘 ]
Nilai 𝑟 𝑖𝑗 dapat dihitung dengan rumus korelasi pearson berikut:
𝑟 𝑖𝑗 = r Z i Z j = n ∑ Z i 𝑍 j −∑ Z i ∑ Z j √n ∑ Z i 2 −(∑ Z i ) 2 √n ∑ Z j 2 −(∑ Z j ) 2
Semua  formula  yang  telah  dijelaskan  berdasarkan  variabel-variabel  X 1 ,  X 2 ,  …,  X k dengan matriks S akan berlaku untuk variabel-variabel Z 1 , Z 2 , …, Z k dengan matriks R . Syarat untuk membentuk komponen utama yang merupakan kombinasi linier dari Z 1 , Z 2 , …, Z k agar mempunyai varian maksimum adalah dengan memilih eigenvector yaitu 𝐚 𝐣 ′ = [ 𝐚 𝟏𝐣 , 𝐚 𝟐𝐣 ,  …, 𝐚 𝐤𝐣 ]  dengan  j  =  1,  2,  …,  k,  sedemikian  sehingga  Var  (W j )  = 𝐚 𝐣 ′ R 𝐚 𝐣 maksimum dengan kendala 𝐚 𝐣 ′ a j = 1 .
Untuk  mencari eigenvector yaitu 𝐚 𝐣 ′ = [ 𝐚 𝟏𝐣 , 𝐚 𝟐𝐣 ,  …, 𝐚 𝐤𝐣 ] dari R berlaku (𝐑 −  𝑰 ) 𝐚 𝒋 = 𝟎 . Akan tetapi, sebelumnya dicari terlebih dahulu eigenvalue (  ) dari R dengan syarat | 𝐑 −  𝑰 | = 0 .
Menurut  Johnson  dan  Wichern  (2007),  keragaman  total  yang  dapat  dijelaskan  oleh komponen utama ke- j dari variabel yang dibakukan yaitu Z 1 , Z 2 , …, Z k adalah  𝑗 𝑘 × 100% ; j = 1, 2, …, k
Pemilihan  komponen  utama  yang  digunakan  untuk  regresi  komponen  utama  dapat dilakukan dengan cara-cara berikut:
1. Menggunakan  kumulatif  proporsi  keragaman  total  yang  mampu  dijelaskan  oleh komponen-komponen  utama  yang  dipilih.  Marison  (1978)  dalam  Sriningsih et  al . (2018)  menyarankan  untuk  memilih  komponen-komponen  utama  yang  mempunyai kumulatif proporsi keragaman total 75%.
2. Menggunakan eigenvalue yang mempunyai  nilai lebih besar atau sama dengan satu (Safidah, 2014).
3. Melihat scree  plot yaitu  plot  antara eigenvalue  𝑗 dengan 𝑗 .  Penentuan    banyaknya komponen  utama  yang  digunakan  adalah  dengan  memperhatikan  patahan  siku  dari scree plot (Jumiati, 2018).
Meskipun  demikian,  sebagian  ahli  menyarankan  agar  memilih  komponen  utama yang  mempunyai eigenvalue lebih  besar  dari  satu.  Hal  ini  dikarenakan,  jika eigenvalue kurang dari satu, maka keragaman data yang diterangkan semakin kecil (Sringingsih et al ., 2018).
Setelah  komponen  utama  diperoleh,  langkah  berikutnya  adalah  menghitung  skor komponen utama dari setiap pengamatan dengan rumus (Widiharih, 2001):
SK-W ji = 𝐚 𝐣 ′ Z i untuk i = 1, 2, …, n dan j = 1, 2, …, m dimana SK-W ji : skor komponen utama ke-j untuk pengamatan ke-i 𝐚 𝐣 ′ : eigenvector komponen utama ke-j Z i : vektor skor variabel baku yang diamati pada pengamatan ke-i

## 2.4.2 Analisis Regresi Komponen Utama
Setelah  dilakukan  analisis  komponen  utama  dan  telah  diperoleh  skor  komponen utama, langkah selanjutnya adalah meregresikan komponen-komponen utama terpilih ( W ) dengan  variabel  respon  menggunakan  metode Ordinary  Least  Squares (OLS). Bentuk persamaan  regresi  komponen  utama  sama  seperti  bentuk  persamaan  regresi  pada umumnya, yaitu:
𝑌 𝑖 = 𝛼 0 + 𝛼 1 𝑊 1𝑖 + 𝛼 2 𝑊 2𝑖 + ⋯ +   𝛼 𝑚 𝑊 𝑚𝑖 + 𝛾 𝑖
Atau dapat juga dituliskan dalam bentuk matriks sebagai berikut:
y = W  + 𝜸 dengan
y = [ 𝑌 1 𝑌 2 ⋮ 𝑌 𝑛 ] ; W = [ 1 𝑊 11 𝑊 21 ⋯ 𝑊 𝑚1 1 𝑊 12 𝑊 22 ⋯ 𝑊 𝑚2 ⋮ 1 ⋮ 𝑊 1𝑛 ⋮ 𝑊 2𝑛 ⋱     ⋮ … 𝑊 𝑚𝑛 ] ;  = [ 𝛼 0 𝛼 1 𝛼 2 ⋮ 𝛼 𝑚 ] ; 𝜸 = [ 𝛾 1 𝛾 2 ⋮ 𝛾 𝑛 ]
Parameter 𝛂 ̂ dapat  diestimasi  menggunakan  metode Ordinary  Least  Squares (OLS) menggunakan rumus:
𝛂 ̂ = (𝐖 ′ 𝐖) −𝟏 (𝐖 ′ 𝐲)

## 2.5 Metode Minimum Covariance Determinant (MCD)
Metode Minimum  Covariance  Determinant (MCD)  merupakan  metode  untuk mendapatkan  penaksir  yang robust yang  didapatkan  dari  rata-rata  dan  kovarian  dari sebagian pengamatan yang memiliki determinan matriks kovarian yang minimum. Metode ini bertujuan untuk  menemukan h - observations atau subsampel  dari data, dimana matriks kovariannya memiliki determinan terkecil.
Misalkan n adalah  banyaknya  pengamatan  dan k adalah  banyaknya  variabel,  maka algoritma  FAST-MCD  secara  garis  besar  menurut  Rousseuw  dan  Driessen  (1999)  adalah sebagai berikut:
1. Menentukan ℎ = ⌊ 𝑛+𝑘+1 2 ⌋ , tetapi dapat juga memilih h dengan ⌊ 𝑛+𝑘+1 2 ⌋ ≤ ℎ  ≤ 𝑛 . 2. Jika h = n , maka perkiraan lokasi 𝑿 ̅ 𝑴𝑪𝑫 adalah rata-rata dari himpunan data tersebut dan perkiraan 𝑺 𝑴𝑪𝑫 adalah matriks kovariannya.
3. Untuk h < n dan k  2. Jika n kecil (misalkan n  600), maka a. Bentuk h himpunan bagian H 1 awal dengan cara:
1) Ambil  secara  acak  ( k +1)  himpunan  bagian J dan  hitung 𝑿 ̅ 𝟎 =  rata-rata  ( J ) dan 𝑺 𝟎 = cov ( J ) [Jika 𝑑𝑒𝑡(𝑺 𝟎 ) = 0, maka perluas J dengan menambah satu demi satu pengamatan acak lainnya sampai 𝑑𝑒𝑡(𝑺 𝟎 ) > 0].
2) Hitung jarak 𝑑 0 2 (𝑖) = (𝑿 𝒊 − 𝑿 ̅ 𝟎 ) ′ 𝑺 𝟎 −𝟏 (𝑿 𝒊 − 𝑿 ̅ 𝟎 ) untuk i = 1, 2, …, n . Urutkan ke dalam 𝑑 0 (𝜋(1)) ≤ ⋯ ≤ 𝑑 0 (𝜋(𝑛)) dan tempatkan pada H 1 = { 𝜋(1) , …, 𝜋(ℎ) }
b. Lakukan C - Steps yaitu dengan cara:
1) Hitung 𝑿 ̅ 𝟏 = 1 ℎ ∑ 𝑿 𝒊 𝒊 ∈ 𝑯 𝟏 2) Hitung 𝑺 𝟏 = 1 ℎ ∑ (𝑿 𝒊 − 𝑿 ̅ 𝟏 )(𝑿 𝒊 − 𝑿 ̅ 𝟏 ) ′ 𝒊 ∈ 𝑯 𝟏 3) Jika 𝑑𝑒𝑡(𝑺 𝟏 )   ≠ 0 ,  maka  hitung  jarak  relatif  dengan  rumus  jarak mahalanobis, sebagai berikut:
𝑑 1 2 (𝑖) = (𝑿 𝒊 − 𝑿 ̅ 𝟏 ) ′ 𝑺 𝟏 −𝟏 (𝑿 𝒊 − 𝑿 ̅ 𝟏 ) untuk i = 1, 2, …, n
4) Urutkan ke dalam 𝑑 1 (𝜋(1)) ≤ ⋯ ≤ 𝑑 1 (𝜋(𝑛))
5) Tempatkan pada H 2 = { 𝜋(1) , …, 𝜋(ℎ) } 6) Hitung 𝑿 ̅ 𝟐 = rata-rata ( H 2 ) dan 𝑺 𝟐 = cov ( H 2 ) c. Ulangi C - Steps sehingga  diperoleh 𝑑𝑒𝑡(𝑺 𝟏 ) ≥  𝑑𝑒𝑡(𝑺 𝟐 ) ≥ ⋯ ≥ 𝑑𝑒𝑡(𝑺 𝒎−𝟏 ) ≥ 𝑑𝑒𝑡(𝑺 𝒎 ) yang bernilai nonnegatif.
d. Perulangan  berhenti  jika 𝑑𝑒𝑡(𝑺 𝒎 ) =  0  atau 𝑑𝑒𝑡(𝑺 𝒎 ) konvergen  dengan 𝑑𝑒𝑡(𝑺 𝒎−𝟏 ) .
e. Laporkan solusi ( 𝑿 ̅ , 𝑺 ) dengan 𝑑𝑒𝑡(𝑺) terkecil.

## 2.6 Metode Least Trimmed Squares (LTS)
Metode Least  Trimmed  Squares (LTS)  merupakan  suatu  metode  pendugaan parameter regresi robust untuk meminimumkan jumlah kuadrat h residual (fungsi objektif) (Rousseeuw dan Leroy, 1987). Fungsi objektif dari metode LTS adalah sebagai berikut:
𝑄 = ∑ 𝑒 (𝑖:𝑛) 2 ℎ 𝑖=1
dengan
ℎ = ⌊ 𝑛+𝑝+1 2 ⌋ atau ℎ = 𝛾 ∗ 𝑛 dimana 𝛾 = (1 − 𝛼) 𝛾 : persentase besar data yang akan dipangkas ( trimmed ) 𝛼 : nilai breakdown (persentase banyaknya pencilan terhadap seluruh data) 𝑒 𝑖 = (𝑌 𝑖 − 𝑌̂ 𝑖 ) 𝑒 1 2 ≤   𝑒 2 2 ≤ ⋯   ≤   𝑒 𝑛 2 : kuadrat residual diurutkan dari terkecil ke terbesar : banyaknya pengamatan
: banyaknya parameter
Jumlah h menunjukkan  sejumlah  subset  data  dengan  kuadrat  residual  terkecil. Menurut  Rousseeuw  dan  Driessen  (1999)  dalam  Willems  dan  Aels  (2005),  estimasi parameter  LTS  dilakukan  dengan  menggabungkan  algoritma  FAST-LTS  dan C - Steps seperti berikut:
1. Hitung estimasi awal parameter regresi yaitu 𝜷 ̂ 𝟎 .
2. Hitung residual 𝑒 0 (𝑖) untuk i = 1, 2, …, n .
3. Hitung residual 𝑒 0 2 (𝑖) untuk i = 1, 2, …, n .
4. Urutkan ke dalam 𝑒 0 2 (𝜋(1)) ≤ ⋯ ≤ 𝑒 0 2 (𝜋(𝑛)) dan tempatkan pada H 1 = { 𝜋(1) , …, 𝜋(ℎ) } dengan ℎ = 𝛾 ∗ 𝑛
5. Lakukan C - Steps yaitu dengan cara:
a. Hitung 𝜷 ̂ 𝟏 , yaitu estimasi parameter regresi dari H 1 .
b. Hitung residual 𝑒 1 (𝑖) untuk i = 1, 2, …, n .
c. Hitung residual 𝑒 1 2 (𝑖) untuk i = 1, 2, …, n .
d. Hitung 𝑄 1 = ∑ 𝑒 1 2 (𝑖) 𝑖 ∈𝐻 1 .
e. Urutkan ke dalam 𝑒 1 2 (𝜋(1)) ≤ ⋯ ≤ 𝑒 1 2 (𝜋(𝑛)) dan tempatkan pada H 2 = { 𝜋(1) , …, 𝜋(ℎ) } dengan ℎ = 𝛾 ∗ 𝑛 .
f. Hitung 𝜷 ̂ 𝟐 , yaitu  estimasi parameter regresi dari H 2 .
6. Ulangi C - Steps sehingga  diperoleh 𝑄 1 ≥   𝑄 2 ≥ ⋯ ≥ 𝑄 𝑚−1 ≥   𝑄 𝑚 yang  bernilai nonnegatif.
7. Perulangan  berhenti  jika 𝑄 𝑚 ≤ 𝑄 𝑚−1 dan  nilai  estimasi  parameter  regresi 𝜷 ̂ 𝒎 konvergen dengan 𝜷 ̂ 𝒎−𝟏 . 8. Laporkan solusi 𝜷 ̂ dengan fungsi objektif 𝑄 terkecil.

## 2.7 Indeks Pembangunan Manusia (IPM)
Indeks Pembangunan Manusia (IPM) merupakan indikator penting untuk  mengukur keberhasilan  dalam  upaya  membangun  kualitas  hidup  manusia.  IPM  dibangun  dari  tiga dimensi  dasar  yang  digunakan  sebagai  ukuran  kualitas  hidup  manusia.  Dimensi  tersebut mencakup kesehatan, pendidikan, dan ekonomi.
Adapun  variabel-variabel  yang  dapat  digunakan  untuk  mengukur  masing-masing dimensi dasar IPM tersebut adalah sebagai berikut:
1. Untuk  mengukur  dimensi  kesehatan  dapat  digunakan  banyaknya  sarana  kesehatan (Putra dan Ratnasari, 2015).
2. Untuk  mengukur  dimensi  pendidikan  dapat  digunakan  angka  partisipasi  kasar  dan angka partisipasi murni (Ekosiswoyo et al ., 2008).
3. Untuk  mengukur  dimensi  ekonomi  dapat  digunakan  presentase  penduduk  miskin, jumlah  penduduk  usia  15  tahun  ke  atas  yang  bekerja,  dan    tingkat  partisipasi angkatan kerja (Putra dan Ratnasari, 2015).

## 3. METODE PENELITIAN

## 3.1 Jenis dan Sumber Data
Data yang digunakan dalam penelitian ini adalah data Indeks Pembangunan Manusia (IPM),  tingkat  partisipasi  angkatan  kerja,  angka  partisipasi  sekolah,  presentase  penduduk miskin, jumlah penduduk usia 15 tahun ke atas yang bekerja, banyaknya sarana kesehatan, angka  partisipasi  kasar,  dan  angka  partisipasi  murni.  Data-data  tersebut  merupakan  data sekunder  yang  diperoleh  dari  publikasi  Badan  Pusat  Statistik  Provinsi  Jawa  Tengah  dan Dinas Kesehatan Provinsi Jawa Tengah tahun 2017.

## 3.2 Variabel Penelitian
Y : Indeks Pembangunan Manusia (IPM)
X 1 : Tingkat Partisipasi Angkatan Kerja (TPAK) X 2 : Angka partisipasi sekolah (APS) X 3 : Persentase penduduk miskin X 4 : Jumlah penduduk usia 15 tahun ke atas yang bekerja X 5 : Banyaknya sarana kesehatan X 6 : Angka Partisipasi Kasar (APK) X 7 : Angka Partisipasi Murni (APM)

## 3.3 Tahapan Analisis Data
1. Mencari  data  yang  akan  digunakan,  meliputi  data  IPM,  tingkat  partisipasi angkatan kerja, angka partisipasi sekolah, presentase penduduk miskin, jumlah penduduk  usia  15  tahun  ke  atas  yang  bekerja,  banyaknya  sarana  kesehatan, angka partisipasi kasar, dan angka partisipasi murni.
2. Menentukan variabel respon dan variabel prediktor dari data yang diperoleh.
3. Mempersiapkan software R 3.4.3 .
4. Menginstal beberapa package dalam software R 3.4.3 diantaranya yaitu lmtest, car, MASS, dan robustbase .
5. Memasukkan data ke dalam software R 3.4.3 .
6. Melakukan analisis deskriptif terhadap data penelitian.
7. Melakukan standarisasi data penelitian.
8. Melakukan analisis regresi berganda dengan metode OLS.
9. Melakukan pemeriksaan asumsi non-multikolinieritas dengan cara melihat nilai VIF dan nilai koefisien korelasi pearson antar variabel prediktor.
10. Mendeteksi  adanya outlier pada  variabel  prediktor  menggunakan  jarak mahalanobis.
11. Melakukan  analisis  komponen  utama  klasik  dan  analisis  komponen  utama robust terhadap variabel prediktor. Langkah-langkah analisis komponen utama klasik dan analisis komponen utama robust adalah sebagai berikut:
A. Analisis komponen utama klasik, dilakukan dengan cara berikut:
a) Menghitung  penaksir  klasik,  yaitu  matriks  korelasi  antar  variabel prediktor yang sudah distandarisasi.
b) Mencari eigenvalue dan eigenvector .
c) Menentukan  komponen-komponen  utama  yang  akan  digunakan,  yaitu komponen  utama  yang  mempunyai eigenvalue lebih  besar  atau  sama dengan satu.
d) Menghitung  proporsi  kumulatif  varian  yang  dapat  dijelaskan  oleh komponen-komponen utama yang terpilih.
e) Menghitung skor komponen utama.
B. Analisis komponen utama robust , dilakukan dengan cara berikut:
a) Menghitung  penaksir robust ,  yaitu  matriks  kovarian  antar  variabel prediktor  yang  sudah  distandarisasi  dengan  metode  C-Step  melalui algoritma FAST-MCD.
b) Mencari eigenvalue dan eigenvector .
c) Menentukan  komponen-komponen  utama  yang  akan  digunakan,  yaitu komponen  utama  yang  mempunyai eigenvalue lebih  besar  atau  sama dengan satu.
d) Menghitung  proporsi  kumulatif  varian  yang  dapat  dijelaskan  oleh komponen-komponen utama yang terpilih.
e) Menghitung skor komponen utama.
12. Meregresikan  komponen-komponen  utama  terpilih  dari  analisis  komponen utama  klasik  dan  analisis  komponen  utama robust dengan  variabel  respon menggunakan  metode  OLS,  sehingga  diperoleh  dua  buah  model  yaitu  model RKU Klasik-OLS dan model RKU Robust -OLS.
13. Melakukan uji signifikansi model regresi melalui uji F.
14. Melakukan uji koefisien regresi secara individu melalui uji t.
15. Melakukan  deteksi  multikolinieritas  dan  diperoleh  hasil  bahwa  masalah multikolinieritas sudah teratasi.
16. Menghitung nilai Adjusted R 2 .
17. Menghitung nilai RSE.
18. Mendeteksi  adanya outlier pada  dua  buah  model  yang  diperoleh  dari  langkah 12 menggunakan metode DFFITS .
19. Jika  ada outlier ,  maka  lakukan  analisis  regresi  komponen  utama robust ,  yaitu meregresikan  komponen-komponen  utama  terpilih  dengan  variabel  respon menggunakan  metode  LTS.  Sehingga,  diperoleh  dua  buah  model  lagi,  yaitu RKU Klasik-LTS dan RKU Robust -LTS.
20. Melakukan uji signifikansi model regresi melalui uji F.
21. Melakukan uji koefisien regresi secara individu melalui uji t.
22. Menghitung nilai Adjusted R 2 .
23. Menghitung nilai RSE.
24. Mengembalikan persamaan regresi ke bentuk variabel standar.
25. Mengembalikan persamaan regresi ke bentuk variabel asal.
26. Menarik kesimpulan.

## 4. HASIL DAN PEMBAHASAN

## 4.1 Deskripsi Data Penelitian
Disajikan deskripsi data penelitian dalam Tabel 1 sebagai berikut: Tabel 1. Deskripsi Data Penelitian Variabel  Minimum  Maksimum Rata-Rata Standar Deviasi Y 64,86 82,01 71,19 4,48 X 1 64,48 76,37 69,17 2,95 X 2 53,72 90,74 70,20 9,81 X 3 4,62 20,32 12,49 4,13 X 4 58582 899796 491047,83 201784,47 X 5 11 61 31,40 11,66 X 6 52,98 109,61 85,58 14,54 X 7 42,18 75,72 59,50 7,91

## 4.2 Analisis Regresi Berganda
Pada awal penelitian dilakukan analisis regresi berganda dengan estimasi parameter menggunakan Ordinary Least Squares (OLS). Karena terdapat perbedaan unit satuan pada variabel-variabel  tersebut,  maka  dalam  penelitian  ini  dilakukan  standarisasi  terhadap variabel respon dan variabel prediktor terlebih dahulu.

## 4.2.1 Estimasi Parameter Model
Dari hasil output didapatkan model regresi linier berganda sebagai berikut:
Q ̂ = 0,08068 Z 1 + 0,56930 Z 2 − 0,45329 Z 3 − 0,19787 Z 4 + 0,28958 Z 5 + 0,42591 Z 6 − 0,47257 Z 7 Keterangan: Q ̂ : Data Indeks Pembangunan Manusia (IPM) yang Distandarisasi Z 1 : Data Tingkat Partisipasi Angkatan Kerja (TPAK) yang Distandarisasi Z 2 : Data Angka Partisipasi Sekolah (APS) yang Distandarisasi Z 3 : Data Presentase Penduduk Miskin yang Distandarisasi Z 4 : Data Jumlah Penduduk Usia 15 Tahun ke Atas yang Bekerja yang Distandarisasi
Z 5 : Data Banyaknya Sarana Kesehatan yang Distandarisasi Z 6 : Data Angka Partisipasi Kasar (APK) yang Distandarisasi Z 7 : Data Angka Partisipasi Murni (APM) yang Distandarisasi

## 4.2.2 Uji Signifikansi dalam Regresi Berganda
Setelah dilakukan estimasi parameter model, untuk mengukur ketepatan model maka dilakukan  uji  signifikansi  model  regresi  dan  uji  signifikansi  koefisien  regresi  secara individu seperti berikut:
1. Uji Signifikansi Model Regresi
a. Hipotesis
H 0 : β 1 = β 2 = … = β 7 = 0 (Model regresi tidak sesuai) H 1 : ada minimal satu β j ≠ 0, dengan j = 1, 2, …, 7 (Model regresi sesuai)
b. Statistik uji
F 0 = 15,21 dan p-value = 4,965 × 10 -8
c. Kriteria uji
H 0 ditolak jika F 0 >   F (0,05;7;28) = 2,359 atau p-value <  α = 0,05.
d. Kesimpulan
H 0 ditolak sehingga dapat disimpulkan bahwa pada taraf signifikansi 5%, model sesuai  yang  berarti  ada  hubungan  linier  antara  variabel  respon  dengan  variabel predictor atau model sesuai.
2. Uji Signifikansi Koefisien Regresi Secara Individu
a. Hipotesis
H 0 : β j = 0, (koefisien regresi X j tidak signifikan) H 1 : β j ≠ 0, j = 1, 2, …, 7 (koefisien regresi X j signifikan)
b. Statistik uji
t 0 dan p-value yang disajikan dalam Tabel 2.
c. Kriteria uji
H 0 ditolak jika | t 0 | > t (0,025;28) = 2,048  atau p-value < α = 0,05.
d. Kesimpulan
Tabel 2. Uji t Regresi Berganda Variabel |𝐭 𝟎 | p-value Keputusan Kesimpulan Z 1 0,780 0,441875  H 0 diterima Tidak Signifikan Z 2 2,735 0,010692  H 0 ditolak Signifikan Z 3 4,106 0,000316  H 0 ditolak Signifikan Z 4 1,181 0,247586  H 0 diterima Tidak Signifikan Z 5 1,750 0,091064  H 0 diterima Tidak Signifikan Z 6 2,268 0,031262  H 0 ditolak Signifikan Z 7 2,318 0,027992  H 0 ditolak Signifikan
Dari  Tabel  tersebut,  pada  taraf  signifikansi  5%,  variabel  angka  partisipasi sekolah (Z 2 ), presentase penduduk miskin (Z 3 ), angka partisipasi kasar (Z 6 ), dan angka  partisipasi  murni  (Z 7 )  berpengaruh  signifikan  terhadap  IPM  (Q). Sedangkan  variabel  tingkat  partisipasi  angkatan  kerja  (Z 1 ),  jumlah  penduduk usia  15  tahun  ke  atas  yang  bekerja  (Z 4 ),  dan  banyaknya  sarana  kesehatan  (Z 5 ) tidak berpengaruh signifikan terhadap IPM (Q).

## 4.2.3 Ukuran Kecocokan Model Rgresi
Diperoleh  nilai  RSE  sebesar  0,5028  dan Adjusted R 2 sebesar  0,7397  yang menunjukkan  bahwa  besar  pengaruh  tingkat  partisipasi  angkatan  kerja,  angka  partisipasi sekolah, presentase penduduk miskin, jumlah penduduk usia 15 tahun ke atas yang bekerja, banyaknya sarana kesehatan, angka partisipasi kasar, dan angka partisipasi murni terhadap
IPM adalah 73,97%. Sedangkan sisanya sebesar 26,03% IPM dipengaruhi oleh faktor lain di luar model.

## 4.3 Deteksi Multikolinieritas
1. Menggunakan nilai Variance Inflation Factors (VIF) Jika nilai VIF lebih besar dari 5 atau 10 dapat mengindikasikan adanya multikolinieritas dalam model regresi.
Tabel 3. Deteksi Multikolinieritas dengan VIF Variabel VIF Keterangan Z 1 1,438382 VIF < 5 Z 2 5,824945 VIF > 5 Z 3 1,638559 VIF < 5 Z 4 3,775565 VIF < 5 Z 5 3,681816 VIF < 5 Z 6 4,743491 VIF < 5 Z 7 5,590096 VIF > 5
Dilihat dari Tabel 3, variabel angka partisipasi sekolah (Z 2 ) dan angka partisipasi murni (Z 7 ) mempunyai nilai VIF lebih besar dari 5 yang mengindikasikan adanya multikolinieritas dalam model regresi.
2. Menggunakan nilai koefisien korelasi parsial antar variabel prediktor Jika nilai koefisien korelasi parsial antar variabel prediktor mendekati satu atau lebih besar  dari  0,75  maka  dapat  diduga  ada  multikolinieritas  dalam  model  regresi.  Pada output diperoleh matriks korelasi ( R ) antar variabel prediktor berikut:
𝐑 = [ 1,000 −0,223 −0,073 0,073
−0,132 −0,401 −0,304 −0,223 1,000 −0,332 −0,345 −0,122 0,790 0,823 −0,073 −0,332 1,000 0,261 0,298 −0,447 −0,234 0,073 −0,345 0,261 1,000 0,803 −0,160 0,009 −0,132 −0,122 0,298 0,803 1,000 0,053 0,223 −0,401 0,790 −0,447 −0,160 0,053 1,000 0,801 −0,304 0,823 −0,234 0,009 0,223 0,801 1,000 ]
Dari matriks tersebut, terlihat  bahwa ada korelasi  yang cukup tinggi antara variabel angka  partisipasi  sekolah  (Z 2 )  dengan  angka  partisipasi  kasar  (Z 6 )  sebesar  0,790. Angka  partisipasi  sekolah  (Z 2 )  dengan  angka  partisipasi  murni  (Z 7 )  sebesar  0,823. Jumlah penduduk usia 15 tahun ke atas yang bekerja (Z 4 ) dengan banyaknya sarana kesehatan (Z 5 ) sebesar 0,803. Angka partisipasi  kasar (Z 6 ) dengan  angka partisipasi murni  (Z 7 ) sebesar 0,801. Karena nilai-nilai  koefisien korelasi parsial  tersebut  lebih besar dari 0,75, maka hal ini mengindikasikan adanya multikolinieritas dalam model regresi.
Dari  pendeteksian  multikolinieritas  dapat  disimpulkan  bahwa  ada  gejala multikolinieritas pada model regresi sehingga pada penelitian ini akan dilakukan tindakan lanjutan untuk mengatasi multikolinieritas dengan menggunakan regresi komponen utama. Regresi  komponen  utama  merupakan  metode  yang  menggabungkan  analisis  komponen utama dengan analisis regresi.

## 4.4 Analisis Komponen Utama
Sebelum  melakukan  analisis  komponen  utama,  terlebih  dahulu  dilakukan pendeteksian outlier pada  variabel  prediktor  menggunakan  jarak  mahalanobis.  Dengan nilai 𝜒 (7;0,05) 2 = 14,067 dari output terlihat bahwa ada dua outlier yang terdeteksi, yaitu data ke-32 dan 33 dengan nilai 𝑑 𝑀𝐷 2 masing-masing adalah 16,736 dan 17,507. Karena terdapat outlier pada  variabel  prediktor,  maka  pada  penelitian  ini,  analisis  komponen  utama dilakukan dengan dua cara,  yaitu analisis komponen utama klasik dan analisis komponen utama robust .

## 4.4.1 Analisis Komponen Utama Klasik
Dengan  menggunakan  penaksir  klasik,  yaitu  matriks  korelasi  ( R )  antar  variabel prediktor berikut:
𝐑 =
[ 1,000 −0,223 −0,073 0,073
−0,132 −0,401 −0,304 −0,223 1,000 −0,332 −0,345 −0,122 0,790 0,823 −0,073 −0,332 1,000 0,261 0,298 −0,447 −0,234 0,073 −0,345 0,261 1,000 0,803 −0,160 0,009 −0,132 −0,122 0,298 0,803 1,000 0,053 0,223 −0,401 0,790 −0,447 −0,160 0,053 1,000 0,801 −0,304 0,823 −0,234 0,009 0,223 0,801 1,000 ] Dari matriks korelasi ( R ) diperoleh eigenvalue (  ) dan eigenvector (𝐚) sebagai berikut:  1 = 2,9986;  2 = 1,9648;  3 = 0,9875;  4 = 0,6473;  5 = 0,1556;  6 = 0,1467;  7 = 0,0995
𝐚 𝟏 = [ 0,23299 −0,52984 0,29509 0,20946 0,07582 −0,53422 −0,49285] ; 𝐚 𝟐 = [ 0,20586 0,00007 −0,25707 −0,59285 −0,67067 −0,13008 −0,27082] ; 𝐚 𝟑 =
[
0,76237 0,04130 −0,54554 0,30473 0,12921 0,04709 0,08771] ; 𝐚 𝟒 =
[ 0,51516 0,38711 0,68453 −0,15415 −0,05962 −0,10678 0,27830] ; 𝐚 𝟓 = [
0,17425 −0,06676 0,04247 −0,56061 0,60978 0,37419 −0,37047] ; 𝐚 𝟔 = [ −0,13617
0,24266 −0,27994 −0,31192 0,39031 −0,73543 0,23177] ; 𝐚 𝟕 =
[ −0,08843
0,71019 −0,02157 0,27651 0,00557 −0,05662
−0,63847]
Terlihat bahwa komponen utama ke-1 dan ke-2 mempunyai eigenvalue yang lebih besar  dari  satu,  sehingga  dalam  penelitian  ini  dipilihlah  komponen  utama  ke-1  dan  ke-2 untuk  digunakan  dalam  analisis  selanjutnya.  Proporsi  kumulatif  varian  yang  dapat dijelaskan oleh dua komponen utama terpilih adalah
∑  𝑗 2 𝑗=1 ∑  𝑗 7 𝑗=1 × 100% = 2,9985881+1,9648179 2,9985881+1,9648179+⋯+0,0995220 × 100% = 70,91%
Selanjutnya diperoleh persamaan untuk menghitung skor komponen utama sebagai berikut:
K 1 = 0,23299 Z 1 − 0,52984 Z 2 + 0,29509 Z 3 + 0,20946 Z 4 + 0,07582 Z 5 − 0,53422 Z 6 − 0,49285 Z 7 K 2 = 0,20586 Z 1 + 0,00007 Z 2 − 0,25707 Z 3 − 0,59285 Z 4 − 0,67067 Z 5 − 0,13008 Z 6 − 0,27082 Z 7

## 4.4.2 Analisis Komponen Utama Robust
Dengan  menggunakan  metode C - Steps melalui  algoritma FAST-MCD  diperoleh matriks kovarian ( S ) dari variabel prediktor adalah sebagai berikut:
𝐒 = [ 0,996 −0,008 −0,200 0,112
−0,068 −0,362 −0,226
−0,008 0,857 −0,024 −0,165 0,004 0,555 0,883 −0,200 −0,024 0,656 0,216 0,420 0,005 −0,012 0,112 −0,165 0,216 0,577 0,412 −0,045 −0,072 −0,068 0,004 0,420 0,412 0,634 0,081 0,168 −0,362 0,555 0,005 −0,045 0,081 0,684 0,730 −0,226 0,883 −0,012 −0,072 0,168 0,730 1,056] Dari matriks kovarian ( S ) diperoleh eigenvalue (  ) dan eigenvector (𝐚) sebagai berikut:  1 = 2,4529;  2 = 1,3771;  3 = 1,0135;  4 = 0,3868;  5 = 0,1363;  6 = 0,0884;  7 = 0,0047
𝐚 𝟏 = [ 0,23588 −0,53267
−0,02526 0,07700 −0,07898 −0,48566 −0,64183] ; 𝐚 𝟐 = [ 0,28010 0,17165 −0,56940 −0,45766 −0,59756 −0,02839 0,02300] ; 𝐚 𝟑 = [ 0,85059 0,26466 −0,01305 0,32715 0,24759 −0,09191 0,17179] ; 𝐚 𝟒 =
[ 0,14532
0,28803 0,69909 −0,57032 −0,06839 −0,26911 −0,06951] ; 𝐚 𝟓 = [
0,09342 0,09657 0,36987 0,43223 −0,64197 0,42704 −0,25265] ; 𝐚 𝟔 = [ −0,31203
0,39653 −0,04332 0,40672 −0,26328 −0,69411 0,16435] ; 𝐚 𝟕 =
[ −0,12327
0,60600 −0,21809 −0,00950 0,29878 0,13532 −0,67996]
Terlihat bahwa komponen utama ke-1, ke-2, dan ke-3 mempunyai eigenvalue yang lebih besar dari satu, sehingga dalam penelitian ini dipilihlah komponen utama ke-1, ke-2, dan ke-3 untuk digunakan dalam analisis selanjutnya. Proporsi kumulatif varian yang dapat dijelaskan oleh tiga komponen utama terpilih adalah
∑  𝑗 3 𝑗=1 ∑  𝑗 7 𝑗=1 × 100% = 2,452937216+1,377066269+1,013489902
2,452937216+1,377066269+⋯+0,004693679 × 100% = 88,71%
Selanjutnya diperoleh persamaan untuk menghitung skor komponen utama sebagai berikut:
W 1 = 0,23588 Z 1 − 0,53267 Z 2 − 0,02526 Z 3 + 0,07700 Z 4 − 0,07898 Z 5 − 0,48566 Z 6 − 0,64183 Z 7
W 2 = 0,28010 Z 1 + 0,17165 Z 2 − 0,56940 Z 3 − 0,45766 Z 4 − 0,59756 Z 5 − 0,02839 Z 6 − 0,02300 Z 7 W 3 = 0,85059 Z 1 + 0,26466 Z 2 − 0,01305 Z 3 + 0,32715 Z 4 +  0,24759 Z 5 − 0,09191 Z 6 + 0,17179 Z 7

## 4.5 Regresi Komponen Utama
Regresi  komponen  utama  dilakukan  dengan  meregresikan  komponen-komponen utama  terpilih  dengan  variabel  respon.  Apabila  terdapat  komponen  utama  yang  tidak signifikan  maka  dikeluarkan  dari  model  dan  dilakukam  analisis  regresi  kembali  tanpa menggunakan komponen utama yang tidak signifikan.
1. Pemodelan  Indeks  Pembangunan  Manusia  di  Jawa  Tengah  menggunakan  analisis komponen  utama  klasik  yang  dikombinasikan  dengan  analisis  regresi  OLS menghasilkan persamaan model sebagai berikut:
Q ̂ = −0,43071 K 1 Y ̂ = 40047515596,88450 − 1,32624 X 1 + 10,02944 X 2 − 2,35162 X 3 +
81555,22810 X 4 − 1,70587 X 5 + 14,98813 X 6 + 7,52236 X 7 dengan nilai Adjusted R 2 sebesar 0,5432 dan RSE sebesar 0,6661. Karena jumlah data (n) = 35 dan banyaknya parameter ( 𝑝 ) = 1, maka batas suatu data dikatakan sebagai outlier jika nilai |𝐷𝐹𝐹𝐼𝑇𝑆 𝑖 | > 2√𝑝/𝑛 = 0,3380617. Berdasarkan output deteksi outlier yang  dilakukan  dengan  uji DFFITS didapatkan bahwa ada sebanyak 6 outlier , yaitu data ke-5, 6, 7, 31, 32, dan 33.
2. Pemodelan  Indeks  Pembangunan  Manusia  di  Jawa  Tengah  menggunakan  analisis komponen  utama  klasik  yang  dikombinasikan  dengan  analisis  regresi  robust  LTS menghasilkan persamaan model sebagai berikut:
Y ̂ = 76246704518,65540 + 0,12644 X 1 + 10,30716 X 2 − 3,19767 X 3 − 155273,48156 X 4 − 8,54883 X 5 + 10,09273 X 6 + 7,42005 X 7 dengan nilai Adjusted R 2 sebesar 0,5590 dan RSE sebesar 0,6545. Karena jumlah data (n) = 35 dan banyaknya parameter ( 𝑝 ) = 2, maka batas suatu data dikatakan sebagai outlier jika nilai |𝐷𝐹𝐹𝐼𝑇𝑆 𝑖 | > 2√𝑝/𝑛 = 0,4780914. Berdasarkan output deteksi outlier yang  dilakukan  dengan  uji DFFITS didapatkan bahwa ada sebanyak 5 outlier , yaitu data ke-2, 5, 6, 32, dan 33.
Karena terdapat outlier pada residual model regresi komponen utama yang diestimasi dengan  metode Ordinary  Least  Squares (OLS),  maka  penelitian  dilanjutkan  dengan metode Least  Trimmed  Squares (LTS)  sebagai  pengganti  metode  OLS  dalam  melakukan analisis regresi komponen utama.
3. Pemodelan  Indeks  Pembangunan  Manusia  di  Jawa  Tengah  menggunakan  analisis komponen  utama  robust  MCD  yang  dikombinasikan  dengan  analisis  regresi  OLS menghasilkan persamaan model sebagai berikut:
Q ̂ = −0,40214 K 1 Y ̂ = 37391070381,84630 − 1,23827 X 1 + 9,36416 X 2 − 2,19563 X 3 − 76145,47939 X 4 − 1,59271 X 5 + 13,99393 X 6 + 7,02339 X 7 dengan nilai Adjusted R 2 sebesar 0,6030 dan RSE sebesar 0,5523.
4. Pemodelan  Indeks  Pembangunan  Manusia  di  Jawa  Tengah  menggunakan  analisis komponen  utama  robust  MCD  yang  dikombinasikan  dengan  analisis  regresi  robust LTS menghasilkan persamaan model sebagai berikut:
Q ̂ = −0,26396 W 1 + 0,36136 W 2 Y ̂ = 82435256442,11270 + 0,51482 X 1 + 8,90539 X 2 − 3,68366 X 3 −
167876,22840 X 4 − 10,19071 X 5 + 7,68224 X 6 + 5,70909 X 7
dengan nilai Adjusted R 2 sebesar 0,6913 dan RSE sebesar 0,4690.

## 5. KESIMPULAN
Berdasarkan  hasil  dan  pembahasan,  dapat  diambil  kesimpulan  bahwa  regresi komponen utama robust MCD-LTS paling efektif untuk penanganan multikolinieritas dan outlier  pada  pemodelan  Indeks  Pembangunan  Manusia  di  Jawa  Tengah.  Efektivitas penerapan  metode  MCD  dan  LTS  dalam  pemodelan  Indeks  Pembangunan  Manusia  di Jawa  Tengah  ditunjukkan  dengan  nilai Adjusted R 2 sebesar  0,6913  dan  RSE  sebesar 0,4690. Nilai-nilai tersebut merupakan nilai Adjusted R 2 yang paling besar dan RSE yang paling kecil jika dibandingkan dengan ketiga model lainnya.

## DAFTAR PUSTAKA
Anisa, R. 2010. Penggunaan Analisis Komponen Utama Kekar dan Regresi Kekar dalam Pendugaan  Curah  Hujan  Lokal  di  Indramayu . https://s3.amazonaws.  com/ppt- download/skripsirahmaanisa-120723220346-phpapp01.pdf?response-content-disposi tion=attachment&Signature=ryAfEglLdU289Sp9VdKVdgkWdZI%3D&Expires=154 8591267&AWSAccessKeyId=AKIAIA5TS2BVP74IAVEQ .  Diakses:  4  November 2018.
Ekosiswoyo,  R.,  Kardoyo,  dan  Raharjo,  T.  J.  2008. Strategi  Akselerasi  Pencapaian  IPM Bidang Pendidikan untuk Mendukung Keberhasilan Pembangunan Jangka Menengah Kota Semarang . Riptek Vol. 1, No. 2: Hal. 23-33.
Filzmoser,  P.  1999. Robust  Principal  Component  and  Factor  Analysis  in  The Geostatistical  Treatment  of  Environmental  Data .  Environmetrics  Vol.  10,  Hal.  363- 375.
Gujarati,  D.  2004. Ekonometrika  Dasar. Diterjemahkan  oleh:  Sumarno  Zain.  Jakarta: Erlangga. Terjemahan dari: Basic Econometrics .
James,  G.,  Witten,  D.,  Hastie,  T.,  dan  Tibshirani,  R.  2013. An  Introduction  to  Statistical Learning with Applications in R . New York: Springer.
Johnson,  R.A. dan Wichern, D. W. 2007. Applied Multivariate Statistical Analysis . Sixth Edition.  New Jersey: Pearson Prentice Hall.
Jumiati, S., Martha, S., dan Imro’ah, N. 2018. Penerapan Analisis Komponen Utama untuk Mereduksi  Variabel  dalam  Pengukuran  Desain  Helm .  Bimaster  Vol.  7,  No.  3:  Hal. 225-230.
Kutner  M.  H.,  Nachtsheim,  C.  J.,  Neter,  J.,  dan  Li,  W.  2005. Applied  Linear  Statistical Models. Fifth Edition. New York: The McGraw-Hill Companies, Inc. Marcus,  G.  L.,  Wattimanela,  H.  J.,  dan  Lesnussa,  Y.A.  2012. Analisis  Komponen  Utama untuk Mengatasai  Masalah Multikolinieritas dalam Analisa Regresi Linier Berganda (Studi Kasus: Curah Hujan di Kota Ambon Tahun 2010) . Jurnal Barekeng Vol. 6, No. 1: Hal. 31-40.
Montgomery,  D.  C.,  Peck,  E.  A.,  dan  Vining,  G.  G.  2012. Introduction  to  Linear Regression Analysis . Fifth Edition . New Jersey: John Wiley & Sons, Inc. Notiragayu  dan  Nisa,  K.  2008. Analisis  Regresi  Komponen  Utama  Robust  untuk  Data Mengandung Pencilan . Jurnal Sains MIPA Vol. 14, No.1: Hal. 45-50.
Perihatini,  D.  I.  2018. Perbandingan  Metode  Estimasi  LTS,  Estimasi  M,  dan  Estimasi  S pada  Regresi  Robust  (Studi  Kasus:  Pembiayaan  Mobil  pada  Perusahaan  ‘X’  Tahun 2016) . https://dspace.uii.ac.id/bitstream/handle/123456789/6590/14611091%20Denis ha%20Intan%20Perihatini.pdf?sequence=1&isAllowed=y .  Diakses:  6  November 2018.
Putra,  D.  M.  dan  Ratnasari,  V.  2015. Pemodelan  Indeks  Pembangunan  Manusia  (IPM) Provinsi  Jawa  Timur  dengan  Menggunakan  Metode  Regresi  Logistik  Ridge. Jurnal Sains dan Seni ITS Vol. 4, No. 2.
Rousseeuw,  P.  J.  dan  Driessen,  K.  V.  1999. A  Fast  Algorithm  for  The  Minimum Covariance Determinant Estimator . Technometrics Vol. 41, No. 3: Hal. 212-223. Rousseeuw,  P.  J.  dan  Driessen,  K.  V.  2006. Computing  LTS  Regression  for  Large  Data Sets . Data Mining and Knowledge Discovery Vol. 12: Hal. 29-45.
Rousseeuw  P.  J.  dan  Leroy,  A.M.  1987. Robust  Regression  and  Outlier  Detection. New York: John Wiley & Sons, Inc.
Safidah,  A.  2014. Analisis  Dekomposisi  Spektral  dengan  Metode  Principal  Component Analysis . http://etheses.uin-malang.ac.id/6842/1/09610121.pdf .    Diakses:  27  Oktober 2018.
Soemartini. 2008. Principal Component Analysis (PCA) sebagai Salah Satu Metode untuk Mengatasi  Masalah  Multikolinieritas . https://elmurobbie.  files.wordpress.com/ 2009/06/principal-component-analysis-pca2.pdf . Diakses: 27 Oktober 2018.
Srinadi,  I  G.  A.  M.  2014.  Pengaruh  Outlier  terhadap  Estimator  Parameter  Regresi  dan Metode  Regresi  Robust. Prosiding  Konferensi  Nasional  Matematika  XVII-2014 . Surabaya, 11-14 Juni 2014: Institut Teknologi Sepuluh November.
Srinigsih,  M.,  Hatidja,  D.,  dan  Prang,  J.  D.  2018. Penanganan  Multikolinieritas  dengan Menggunakan  Analisis  Regresi  Komponen  Utama  pada  Kasus  Impor  Beras  di Provinsi Sulawesi Utara. Jurnal Ilmiah Sains Vol. 18, No. 1. Widarjono,  A.  2005. Ekonometrika:  Teori  dan  Aplikasi  untuk  Ekonomi  dan  Bisnis. Edisi Pertama. Yogyakarta: Ekonisia.
Widiharih, T. 2001. Penanganan Multikolinieritas (Kekolinieran Ganda) dengan Analisis Regresi Komponen Utama . Jurnal Matematika dan Komputer Vol. 4, No. 2: Hal. 71- 81.
Willems,  G.  dan  Aelst,  S.  V.  2005. Fast  and  Robust  Bootstrap  for  LTS .  Computational Statistics and Data Analysis Vol. 48: Hal. 703-715.