Journal of Education and Teaching Learning (JETL) Volume 5, Issue 3, September 2023
Journal Homepage: http://pusdikra-publishing.com/index.php/jetl
Comparison  of  Speed  Completion  System  Linear  Equations  Using  the Elimination Method and Using Arithmetic Sequences
Zunaida Sitorus 1 , Miftahul Jannah 2 , Nurliana 3 , Septi Nur Selase 4 1,2,3,4 Universitas Asahan, Indonesia Corresponding Author : z_sitorus@yahoo.com

## ARTICLE INFO
Article history: Received
05 August 2023 Revised 25 August 2023 Accepted 10 September 2023

## ABSTRACT
There are many ways to  solve linear system equation problems, such as  using  Gaussian  Elimination  or  the  elimination  method.  To  solve linear  system  equation  problems,  we  can  transform  them  into  an arithmetic  sequence.  This  method  can  make  it  easier  to  answer  the questions  quickly.  The  objective  of  this  research  is  to  provide  a comparison  of  problem-solving  using  the  elimination  method  and using  arithmetic  sequences.  The  method  used  in  this  research  is quantitative.  Data  collection  involves  solving  linear  system  equation problems and recording the time it takes to solve them using both the elimination  method  and  the  arithmetic  sequence  method.  The  data used  consists  of  UNBK  (National  Computer-Based  Exam)  questions and university selection questions, comparing the time it takes to solve problems  using  the  substitution  method  and  the  arithmetic  sequence method. The conclusion from this research is that the use of arithmetic sequences  in  solving  linear  equations  is  easier  and  faster,  making  it applicable when answering exams with limited time duration. Key Word SPL, Sequence, UNBK, Substitution How to cite https://pusdikra-publishing.com/index.php/jetl Doi 10.51178/jetl.v5i3.1527

## This work is licensed under a
Creative Commons Attribution-ShareAlike 4.0 International License

## PENDAHULUAN
Kata  matematika  berasal  dari  kata  latin  mathematic  berasal  dari  kata Yunani  mathematic  yang  berarti  mempelajari.  Dunia  ini  berasal  dari  kata matema  yang  berarti  pengetahuan  atau  ilmu  (ilmu,  Sains).  Kata  matematika juga berhubungan dengan kata lain yaitu hampir hal yang sama yaitu Mathein atau  Mathenein  yang  artinya  belajar  berpikir  (Siagian,  2016).  Matematika adalah bahasa simbolik yang fungsi praktisnya adalah untuk mengekspresikan hubungan  kuantitatif  dan  spasial  sehingga  fungsi  teoretisnya  adalah  untuk memudahkan  berpikir.  Pendapat  lain  menegaskan  bahwa  matematika  adalah ilmu keteraturan, ilmu struktur diurutkan dari elemen tak terdefinisi ke elemen terdefinisi aksioma atau postulat dan akhirnya teorema (Siagian, 2017).
Matematika  lebih  mengedepankan  kegiatan  dalam  dunia  perbandingan (penalaran),  bukan  mengedepankan  dari  hasil  percobaan  atau  hasil
pengamatan matematika terbentuk karena pemikiran-pemikiran manusia, yang berhubungan dengan konsep, proses, dan penalaran (Rahmah, 2013). Salah satu bagian  dari  ilmu  matematika  adalah  Sistem  Persamaan  Linier.  Sistem Persamaan  Linier  adalah  sektor  dari  ilmu  matematika  yang  mempelajari  cara menyelesaikan permasalahan teknik dengan menggunakan aljabar linier (Noor Santi, 2012).
Persamaan linear adalah suatu persamaan di mana variabel yang terlibat memiliki  derajat  paling  tinggi  satu.  Jika  kita  memiliki  beberapa  persamaan linier maka sekumpulan persamaan linier itu disebut sistem persamaan linier. Suatu pasangan beberapa bilangan disebut solusi dari suatu SPL jika pasangan tersebut  memenuhi  kebenaran  masing-masing  persamaan  dari  SPL  (Azizah  & Ariyanti, 2020).
Sistem  persamaan  linear  terdiri  dari  variabel-variabel,  biasanya  terdapat 2-3 variabel yang memiliki nilai. Sistem persamaan linear ada dua macam yaitu sistem persamaan linear dua variabel (SPLDV) dengan bentuk umum ax+by=c dan  sistem  persamaan  linear  tiga  variabel  (SPLTV)  dengan  bentuk  umum ax+by+cz=d. Contoh dari yaitu sistem persamaan linear dua variabel (SPLDV) adalah  2x+y=12  dan  sistem  persamaan  linear  tiga  variabel  (SPLTV)  adalah x+3y+z=11.
Dalam  soal  SPLDV  atau  SPLTV  kita  dituntut  untuk  dapat  memecahkan masalah  dan  mencari  nilai  variabel  baik  x,y,  maupun  z.  Penyelesain  soal persamaan linear pada saat sekolah dasar kita diajarkan menggunakan metode eliminasi dan substitusi untuk mencari nilai variabel namun cara ini memakan waktu  yang  cukup  banyak  jika  dibandingkan  dengan  menggunakan  barisan aritmatika. Barisan aritmatika adalah barisan yang memiliki beda sama.
Barisan  aritmatika  terdiri  dari  suku  pertama  atau  biasa  disimbolkan dengan  “a”  dan  beda  yang  disimbolkan  dengan  “b”.  Setiap  angka  pada bilangan  aritmatika  disebut  suku  “U”  dan  “n”  sebagai  urutan  suku  tersebut. Sebagai contoh suku ke-12 maka kita akan menuliskannya dengan U12. Untuk suku pertama(U1)  senilai dengan “a” simbol ini saling menggantikan dan cara mencari beda yaitu dengan mengurangkan suku yang lebih besar dengan suku yang  lebih  kecil  tepat  dibawahnya  dapat  dirumuskan  dengan  b=(Un-(Un-1). Adapun  bentuk  umum  dari  barisan  aritmatika  adalah  a,  (a+b),  (a+2b), (a+3b),…, (a+(n -1)b), sehingga rumus suka ke-n adalah Un= a+(n-1)b.
Materi sistem persamaan linear selalu diujikan dalam soal-soal baik untuk seleksi  universitas  maupun  soal  ujian  sekolah.  Waktu  yang  diberikan  dalam mengerjakan  soal  cukup  terbatas  oleh  karena  itu  pelajar  dituntut  mampu menyelesaikan  soal  dengan  cepat  dan  tepat.  Namun,  kerap  kali  kita
membutuhkan  waktu  yang  lama  dalam  mengerjakan  soal  sistem  persamaan linea dengan metode eliminasi.
Metode  eliminasi  adalah  metode  dengan  mengurangkan  variabel  yang sama sehingga menghasilkan nol atau habis dikurang. Dalam soal, sering kali pembuat soal akan memberikan koefisien yang berbeda dengan variabel yang sama,  sehingga  kita  harus  menyamakan  koefisian  tersebut  dengan  operasi bilangan dengan kedua ruas harus diperlakukan sama. Setiap menemukan nilai suatu variabel maka kita akan menggunakan metode susbstitusi yaitu dengan memasukkan  nilai  variabel  ke  salah  satu  persamaan.  Metode  Penghapusan menyelesaikan persamaan dengan cara menghilangkan salah satu dari variabel yang  ada.  Sedangkan  metode  Penggantian  menyelesaikan  persamaan  dengan cara  memasukkan  salah  satu  persamaan  ke  dalam  persamaan  yang  lain. Berdasarkan penjelasan tersebut, maka akan dibuat sebuah aplikasi yang dapat menyelesaikan  perhitungan  sistem  persamaan  linier  untuk  mencari  nilai variabel yang belum diketahui dengan cepat dan efisien(Kristina et al., 2020).
Latar belakang penelitian ini dikarenakan banyaknya keluhan para siswa mengenai  waktu  pengerjaan  soal  ujian  masuk  PTN  yang  harus  dikerjakan dalam  1  menit,  namun  siswa  kesulitan  menjawab  dengan  waktu  secepat  itu. Oleh  karena  itu,  peneliti  ingin  memberikan  langkah  penyelesaian  yang  lebih cepat  menjawab  soal  ujian  terutama  materi  sistem  persamaan  linear.  Hal  ini dilakukan  dengan  perbandingan  waktu  pengerjaan  soal  dengan  dua  cara penyelesaian  yang  berbeda.  Salah  satu  mahasiswa  Universitas  Asahan diberikan tiga buah soal sistem persamaan linear. Selama masa pengerjaan soal waktu  pengerjaan  akan  dicatat  dan  akan  dibandingkan  waktu  pengerjaan antara dua cara penyelesaian tersebut.

## METODE PENELITIAN
Metode  penelitian  yang  dilakukan  adalah  metode  penelitian  kuantitatif. Penelitian kuantitatif dianggap penelitian murni yang dapat dijelaskan dengan angka pasti (Darwin et al., 2021). Subjek pada penelitian ini adalah salah satu Mahasiswa  una  prodi  teknik  informatika  kelas  2A  Universitas  Asahan  dan objek yang digunakan adalah soal spldv dan spltv. Proses pengumpulan data adalah  dengan  subjek  mengerjakan  soal  spl(objek)  dengan  dua  metode pengerjakan  yaitu  menggunakan  metode  eliminasi  dan  dengan  mengginakan cara barisan aritmatika. Setiap pengerjakan dengan metode yang berbeda akan dihitung waktu pengerjaannya. Alat yang digunakan adalah stopwatch.  Hasil penelitian dijabarkan dalam bentuk tabel berupa waktu setiap pengerjaan soal sistem persamaan linear dengan metode penyelesaian yang berbeda.

## HASIL DAN PEMBAHASAN
Berikut  adalah  hasil  penelitian  dari  pengerjaan  soal  oleh  sampel  dengan mengerjakan  tiga  soal  UNBK  dengan  dua  metode  yang  berbeda  dan  waktu yang tercatat.
Contoh Penyelesaian dengan barisan aritmatika SBMPTN 2014/TKPA/693/12 Jika x+2y = 2a+1 dan 3x-y=a+p, maka 5x – 4y=…
A) 2a+2p-1 B) a+p-1 C) p-1 D) 2p-1 E) 2a-1 Penyelesaian Diketahui: x+2y=2a+1 3x-y=a+p Ditanya: 5x – 4y=…?
Gunakan barisan aritmatika untuk mendapatkan penyederhanaan.
Menggunakan  barisan  aritmatika  adalah  untuk  memudahkan  kita menyederhanakan  persamaan  tanpa  menggunakan  metode  eliminasi.  Barisan aritmatika  berbeda  setiap  variabel.  Persamaan  selanjutnya  atau  sebelumnya mengikuti pola barisan pada soal. Setiap barisan aritmatika kita dapat langsung menuju  penyederhanaan  pada  soal  dan  akan  mendapatkan  hasilnya  hanya dengan barisan yang ada.
Contohnya sebagai berikut: x=1,3,5… beda=2 y=2,-1,- 4…beda= -3 a=2,1,0…beda= -1 p=0, 1, 2…beda=1 c=1, 0, - 1…beda= -1 5x-4y=2p-1(D) Soal UNBK IPA 2018 Sebuah  toko  buku  menjual  2  buku  gambar  dan  8  buku  tulis  seharga Rp48.000,00,  sedangkan  untuk  3  buku  gambar  dan  5  buku  tulis  seharga Rp37.000,00. Jika Adi membeli 1 buku gambar dan 2 buku tulis di toko itu, ia harus membayar sebesar…
(A) Rp24.000,00 (B) Rp20.000,00
(C) Rp17.000,00 (D) Rp14.000,00 (E) Rp13.000,00 Diketahui : Buatlah permisalan buku gambar=x dan buku tulis=y Maka didapat pernyataan 2x + 8y = 48.000,00…(1)
3x + 5y = 37.000,00…(2) Ditanya : x + 2y = …? Penyelesaian dengan metode eliminasi 2x + 8y = 48.000,00   *3 6x + 24y = 144.000,00 3x + 5y = 37.000,00 *2 6x + 10y = 74.000,00 _________________ __________________ - 14y = 70.000,00
y = 5.000,00
Substitusi nilai y ke pers (2) 3x + 5(5.000,00) = 37.000,00 3x + 25.000,00 = 37.000,00 3x = 12.000,00 x = 4.000,00 Masukkan nilai x dan y pada soal x + 2y = 4.000,00 + 2(5.000,00) = 14.000,00 (D) Penyelesaian dengan barisan aritmatika 2x + 8y = 48.000,00 3x + 5y = 37.000,00 Buatlah ke dalam bentuk barisan aritmatika seperti berikut. x = 0 , 1, 2 , 3 , 4 (beda 1) y = 14 , 11, 8 , 5 , 2 (beda 3) hasil = 70 , 59, 48 , 37 , 26 (beda 11)
Jika  sudah  menemukan  salah  satu  variabel  mencapai  nol,  buatlah persamaan dari barisan tersebut.
(0)x+ 14y = 70.000,00 y = 5.000,00 Substitusi nilai y ke pers (2) 3x + 5(5.000,00) = 37.000,00 3x + 25.000,00 = 37.000,00 3x = 12.000,00 x = 4.000,00
Masukkan nilai x dan y pada soal x + 2y = 4.000,00 + 2(5.000,00) = 14.000,00 (D) Soal UNBK IPS 2018
Kakak membeli 2 kg duku dan 1 kg manggis dengan harga Rp12.000,00. Adik membeli  3  kg  duku  dan  2  kg  manggis  dengan  harga  Rp19.000,00.  Jika  ibu membeli 4 kg duku dan 5 kg manggis, maka ibu harus membayar…rupiah (A) Rp25.000,00 (B) Rp30.000,00 (C) Rp35.000,00 (D) Rp40.000,00 (E) Rp45.000,00 Diketahui : Buatlah permisalan x=duku dan y=manggis 2x +   y = 12.000,00…(1) 3x + 2y = 19.000,00…(2) Ditanya : 4x + 5y = …? Penyelesaian dengan metode eliminasi 2x +   y = 12.000,00 *2
4x + 2y = 24.000,00 3x + 2y = 19.000,00 *1 3x + 2y = 19.000,00 ________________ ________________-
x = 5.000,00
Substitusi nilai x ke persamaan (1) 2(5.000,00) +   y = 12.000,00 y = 2.000,00 Masukkan nilai x dan y ke soal 4x + 5y=…?
4(5.000,00) + 5(2.000,00) = 30.000,00 (B) Penyelesaian dengan barisan aritmatika Ubahlah menjadi bentuk barisan sebagai berikut x= 1, 2, 3 y= 0, 1, 2 hasil= 5, 12, 19
Jika  sudah  menemukan  salah  satu  variabel  mencapai  nol,  buatlah  persamaan dari barisan tersebut.
1x + (0)y = 5.000,00 x = 5.000,00
Substitusi nilai x ke persamaan (1) 2(5.000,00) +   y = 12.000,00 y = 2.000,00 Masukkan nilai x dan y ke soal 4x + 5y=…?
4(5.000,00) + 5(2.000,00) = 30.000,00 (B) Soal UNBK IPS 2019 Jika (x1,y1) merupakan himpuna penyelesaian dari sistem persamaan 2x+5y=12 dan x+4y=15, nilai dari 5x1+3y1 adalah…
(A) 63 (B) 57 (C) 21 (D) -27 (E) -39 Diketahui : 2x+5y=12…(1) x+4y=15…(2) Ditanya : 5x1+3y1…? Penyelesaian dengan metode eliminasi 2x+5y=12 *1  2x+5y=12 x+4y=15 *2   2x+8y=30 ________ ________- -3y=-18 y=6 Substitusi nilai y ke persamaan (2) x+4(6)=15 x+ 24  = 15 x=-9 Substitusi nilai x dan y ke soal 5x1+3y1= 5(-9)+3(6)= -27 (D) Penyelesaian dengan barisan aritmatika Ubahlah menjadi bentuk barisan sebagai berikut x=2, 1, 0 y=5, 4, 3 hasil=12, 15, 18
Jika  sudah  menemukan  salah  satu  variabel  mencapai  nol,  buatlah  persamaan dari barisan tersebut.
0(x) + 3y = 18 y = 6 Substitusi nilai y ke persamaan (2) x+4(6)=15 x+ 24  = 15 x=-9 Substitusi nilai x dan y ke soal 5x1+3y1= 5(-9)+3(6)= -27 (D)
Berikut adalah waktu pengerjaan soal-soal dengan metode eliminasi dan metode barisan aritmatika
Soal Sistem Persamaan Linear Waktu Metode Eliminasi Waktu Metode Barisan Aritmatika Soal UNBK IPA 2018 1.13,25 menit 45,26 detik Soal UNBK IPS 2018 45,94 detik 32,13 detik Soal UNBK IPS 2019 54,63 detik 39,90 detik

## CONCLUSION
Dari  penelitian  yang  telah  dilakukan  didapat  kesimpulan  bahwa penyelesaian soal sistem persamaan linear lebih mudah jika menggunakan cara barisan  aritmatika.  Waktu  pengerjaan  dengan  menggunakan  cara  barisan aritmatika  lebih  cepat  dibandingkan  dengan  metode  eliminasi,  pengerjaannya juga  lebih  mudah,  dan  caranya  lebih  singkat.  Untuk  pengerjaan  soal  ujian masuk perguruan tinggi yang maksimal pengerjaannya hanya satu menit maka penyelesaian  soal  dengan  cara  barisan  aritmatika  ini  cukup  efesien  dan menghemat waktu pengerjaan.
Jika  yang  ditanya  berupa  konstanta  persamaan  maka  dengan menggunakan barisan aritmatika kita dapat lebih  cepat menemukan hasilnya. Waktu  pengerjaan  soal  dengan  cara  aritmatika  akan  semakin  cepat  jika  kita terus berlatih menggunakannya dan cepat dalam membuat barisan aritmatika. Perbedaan  waktu  pengerjaan  kedua  metode  tersebut  berkisar  13-28  detik bergantung  pada  tingkat  kesulitan  soal.  Metode  ini  bisa  digunakan  untuk menyelesaikan soal ujian yang harus diselesaikan dengan waktu singkat.
Tidak  semua  soal  sistem  persamaan  linear  bisa  diselesaikan  dengan barisan  aritmatika,  beberapa  soal  dapat  lebih  cepat  jika  menggunakan eliminasi,  namun  ada  juga  soal  yang  lebih  mudah  dikerjakan  dengan  barisan aritmatika. Cara ini bisa digunakan untuk mengerjakan soal ujian namun perlu
diperhatikan  bahwa  konsep  materi  juga  penting.  Waktu  pengerjaan  soal dengan metode aritmatika akan semakin cepat jika terus berlatih karena dapat terbiasa dengan pola barisan aritmatika.

## DAFTAR PUSTAKA
Azizah, N. L., & Ariyanti, N. (2020). Buku Ajar Mata Kuliah Dasar-Dasar Aljabar Linear. In Buku Ajar Mata Kuliah Dasar-Dasar Aljabar Linear .
https://doi.org/10.21070/2020/978-623-6833-41-4
Darwin, M., Mamondol, M. R., Sormin, S. A., Nurhayati, Y., Tambunan, H., Sylvia, D., Adnyana, I. M. D. M., Prasetiyo, B., Vianitati, P., & Gebang, A. A. (2021). Quantitative approach research method .
Kristina, Willay, T., & Hutagaul, W. (2020). Penerapan metode eliminasi dan substitusi pada rancangan aplikasi penyelesaian sistem persamaan linier. Jurnal InTekSis ,
7 (1), 80 – 89.
Noor Santi, R. C. (2012). Implementasi Sistem Persamaan Linier menggunakan Metode Aturan Cramer Rina. Jurnal Teknologi Informasi DINAMIK , 17 (1), 34 – 38. https://doi.org/10.1515/9783112372760-020
Rahmah, N. (2013). Hakikat Pendidikan Matematika. Higher Education Quarterly , 2 (1), 1 – 10. https://doi.org/10.1111/j.1468-2273.1960.tb01726.x Siagian, M. D. (2016). Kemampuan koneksi matematik dalam pembelajaran matematika. MES: Journal of Matematics Education and Science2 , 2 (1), 58 – 67. Siagian, M. D. (2017). Pembelajaran Matematika Dalam Persfektif Konstruktivisme. NIZHAMIYAH: Jurnal Pendidikan Islam Dan Teknologi Pendidikan , VII (2), 61 – 73.