Vol. 4, No.1, 12-18,  Juli  2007
Hubungan Antara Konvergen Hampir di mana mana, Konvergen dalam ruang Lebesgue, Konvergen dalam ukuran pada fungsi terukur
Firman 

## Abstrak
Dalam  tulisan  ini  akan  dibahas  hubungan  antara  konvergen  hampir  dimana-mana  dengan konvergen  dalam  ruang  Lebesgue  pada  fungsi  terukur,  disamping  itu  juga  akan  dibahas hubungan  antara  konvergen  dalam  ruang  Lebesgue  dengan  konvergen  dalam  ukuran  pada fungsi  terukur
Kata  Kunci : fungsi  terukur,  konvergen  hampir  dimana-mana,  konvergen  dalam ruang Lebesgue, konvergen dalam ukuran, ukuran Lebesgue.

## 1. Pendahuluan
Salah  satu  cabang  ilmu  dalam  bidang  analisis  yang  cukup  penting  untuk  dikaji sehubungan  dengan  kelompok  bidang  lain  adalah  mengenai  kekonvergenan.  Pada  awalnya konsep  konvergen  yang  kita  kenal  adalah  konvergen  barisan  bilangan  real,  kemudian  secara berurutan dikenal pula konvergen barisan fungsi.

## Definisi 1.
Misalkan  adalah  suatu  keluarga  himpunana  bagian  dari  X.  disebut  aljabar  -  jika memenuhi:
(i)    X ,
(ii)   jika   A , maka   c A
(iii) jika N n A n    ,  , maka   n A 
Pasangan terurut    , X disebut ruang terukur
Definisi 2.
Misal    , X ruang terukur. Suatu fungsi R X f  : dikatakan terukur , jika untuk setiap
R   maka himpunan        ) ( : x f X x
Definisi 3.
Ukuran adalah sebuah fungsi
R    : yang memenuhi
(i)   0   
(ii) 0 ) (  E  untuk semua   E
 Staf pengajar  pada Jurusan Matematika  F.MIPA Universitas Hasanuddin  Makassar
(iii)          1 n n E  =      1 n n E  , dengan n E adalah barisan disjoint di 
Definisi 4.
Tripel     , , X ,  dengan X himpunan  sebarang,  aljabar-  pada X dan  ukuran  pada  disebut ruang ukuran.
Definisi 5.
Sifat P dikatakan berlaku hampir dimana-mana atau , . e a   jika    N dengan   0  N 
sehingga P berlaku pada N X \ . Dalam hal ini 1 e a g f . ,    jika dan hanya jika    N dengan   0  N  sehingga N X x x g x f \ , ) ( ) (    2    jika dan hanya jika    N dengan   0  N  sehingga
N X x x f x f n \ , ) ( lim ) (   
Definisi 6.
Misal    p 1 , ruang ) , , (   X L L p p  adalah kelas fungsi terukur yakni:
) , , (   X L p =        d f dan R X f f p : :
Dua  fungsi  di p L dikatakan  -equivalent  jika  keduanya  sama  hampir  dimana-mana.
Kemudian norm di p L didefenisikan sebagai berikut :
  p p p d f f 1   
Dengan norm tersebut ruang p L adalah ruang bernorm yang lengkap atau ruang Banach.
Definisi 7.
Suatu  barisan   n f di p L adalah  barisan  Cauchy  di p L jika  untuk  setiap 0   terdapat    M sedemikian sehingga jika   , ,  M n m  maka .    p n m f f Suatu barisan   n f di p L adalah  konvergen  ke f di p L jika  untuk  setiap 0   terdapat    N sedemikian sehingga  jika    N n  maka .    p n m f f Ruang  linear  bernorm  adalah  lengkap  jika setiap barisan Cauchy konvergen ke elemen ruang tersebut.

## Teorema 1.
Jika 1 ,    p maka ruang p L adalah ruang linear bernorm yang lengkap dengan     norm
  p p p d f f 1   

## 2.  Pembahasan
2.1.  Beberapa jenis kekonvergenan  pada fungsi terukur
Definisi 8.
Misalkan   n f adalah  barisan  fungsi-fungsi  terukur.  Barisan  ( n f )  dikatakan  kovergen hampir  dimana-mana  ke f jika  terdapat  himpunan   M dengan   M  =  0  sedemikian
sehingga  untuk  setiap 0   dan M X x \  terdapat  bilangan  asli   x N .  sedemikian
sehingga jika   x N n ,   , maka    ) ( ) ( x f x f n
Definisi 9.
Misalkan   n f adalah barisan fungsi-fungsi terukur.
Barisan  ( n f )  di p L konvergen  dalam p L ke  f  ,  dengan  f p L ,  jika  untuk  setiap 0   terdapat bilangan asli N(  ) sedemikian sehingga jika    N n  , maka
p n f f  =   . 1      p p n d f f
Barisan  ( n f )  di p L dikatakan  Cauchy  dalam p L ,  jika  untuk  setiap 0   terdapat bilangan asli N(  ) sedemikian hingga jika    N m n  , .
Definisi 10.
Misalkan   n f adalah barisan fungsi-fungsi terukur
Barisan ( n f ) dikatakan kovergen dalam ukuran ke f , jika:
    0 ) ( ) ( : lim ,         x f x f X x n n m ,
untuk setiap 0  
2.2.  Hubungan antara berbagai jenis konvergen  pada fungsi terukur
Suatu barisan n f yang konvergen hampir dimana-mana ke suatu fungsi f di p L , tetapi tidak mengakibatkan konvergen dalam p L . Hal ini dapat dilihat pada contoh berikut
Contoh 1.
Misalkan   n n n n f 2 , 1   .
(i)  Akan ditunjukkan barisan
  n n n n f 2 , 1   konvergen hampir dimana-mana ke f =0
Ambil 0   sebarang Ambil X x 
-   Jika 0  x , maka   0 ) ( 2 , 1   n n n n x f 
Jadi n f konvergen ke 0  f
-   Jika 2 0   x
Pilih 0 N sedemikian hingga 0 N x 2  Akibatnya     0 2 , 1 0 0 N n n x f n n n      
 
-     Jika 2  x , maka   n x f n   , 0
Firman
Dengan demikian n f konvergen ke 0  f
(ii) Akan dibuktikan barisan n f tidak konvergen dalam p L ke fungsi p L f  Pilih 2 1   Perhatikan N n   berlaku
p n f f  =   p n n n 2 , 1 `  = 1 1 1      p p n n
Karena  terdapat 2 1   maka  untuk  setiap  bilangan  asli    N berlaku
2 1 0   p n f
Jadi terbukti bahwa n f tidak konvergen dalam p L ke fungsi 0  f .
Tetapi jika barisan didominasi oleh suatu fungsi dalam p L , maka barisan fungsi di p L yang  konvergen dimana-mana mengakibatkan konvergen dalam p L , hal ini dapat dilihat dalam teorema berikut :
Teorema 2.
Misalkan   n f adalah  barisan  fungsi-fungsi  terukur  di p L yang  konvergen  hampir  dimana- mana ke fungsi f . Jika terdapat g di p L sedemikian sehingga:
N n X x x g x f n    , ) ( ) ( maka p L f  dan n f konvergen dalam p L ke f .
Bukti:
Pilih   N dengan 0 ) (  N  sedemikian hingga N X x x f x f n \ ), ( ) (   Karena N n X x x g x f n    , , ) ( ) ( dan N X x x f x f n \ ), ( ) (   , maka
N X x x g x f \ , ) ( ) (    Ambil 0   sebarang Misal N X x \  sebarang. Pilih 0
0 , ) ( ) ( N n x f x f N N n        Perhatikan ) ( ) ( ) ( ) ( x f x f x f x f n n    ) ( x g    Maka
N X x x g x f \ ) ( ) (    . Dalam hal ini e a x g x f . . , ) ( ) (  
Karena p L g  dan diketahui f terukur dan ) ( ) ( x g x f  , maka f terintegralkan.
Jadi p L f 
Kemudian
) ( 2 ) ( ) ( ) ( ) ( x g x f x f x f x f n n    
Firman
Jadi e a x g x f x f p p n . . , ) ( 2 ( ) ( ) (    Karena e a x f x f p n n . . , 0 ) ( ) ( lim      dan 1 2 L g p p  , maka menurut teorema kekonvergenan terdominasi Lebesque diperoleh
       X X p n n d d f f
0 0 lim  
Akibatnya 0
lim     p n n f f Hubungan Konvergen dalam p L dengan konvergen dalam ukuran
Dari definisi, akan ditinjau hubungan konvergen dalam p L dan  konvergen dalam ukuran Teorema 3.
Jika   n f adalah barisan dari fungsi-fungsi di p L yang konvergen dalam p L ke f  p L , maka   n f konvergen dalam ukuran
Bukti.
Ambil  > 0 sebarang
Pilih bilangan asli         p N 1
Karena   n f konvergen dalam p L , maka
p n x f x f ) ( ) (  =   p p n d x f x f 1 ) ( ) (    < . 1   p ,
dengan  n         p N 1 Misalkan               x f x f X x E n n : , maka
                     a E E x f x f d x f x f n p n p p n n      Perhatikan       p p n d x f x f 1      p 1  Sehingga     p n p n E x f x f      ) ( ) ( Jadi:     .     n E Akibatnya   0 ) ( ) ( : lim         x f x f X x n n Dengan demikian   n f konvergen dalam ukuran ke f .
Tetapi  konvergen  dalam  ukuran  belum  tentu  konvergen  dalam . p L Hal  ini  dapat  dilihat  pada contoh berikut :
Contoh 2:
Barisan
  n n n n f 2 , 1   konvergen  dalam  ukuran  ke  fungsi 0  f ,  tetapi  tidak  konvergen dalam p L ke fungsi 0  f
(i)  Akan ditunjukkan konvergen dalam ukuran
Ambil 0  
Perhatikan                  n n n X x n n 2 , 1 : 2 , 1  
Ambil 0   sebarang
Pilih N N  1 sedemikian sehingga   1 N Pilih N N  2 sedemikian sehingga
 1
2  N
Pilih   2 1 0 , N N maks N  Jadi:   0 0 , 1 1 2 , 1 N n N n n n        Akibatnya barisan   n n n n f 2 , 1   konvergen dalam ukuran ke fungsi 0  f (ii) Akan ditunjukkan tidak konvergen dalam p L ke 0  f Pilih 2 1   Perhatikan N n   berlaku
  p n n p n n f f 2 , 1    = 1 1 1      p p n n
Jadi terdapat
2 1   sedemikian sehingga 2 1  p n f
Akibatnya barisan
  n n n n f 2 , 1   tidak konvergen dalam p L ke fungsi 0  f
Tetapi  jika n f didominasi  oleh  oleh  fungsi p L g  ,  maka  kekonvergenan  dalam  ukuran mengakibatkan konvergen dalam . p L . Hal ini dapat dilihat pada teorema berikut:
Teorema 4.
Misalkan   n f adalah barisan fungsi-fungsi di p L .
Jika   n f konvergen dalam ukuran ke f dan p L g  sedemikian sehingga
e a x g x f n . . ) ( ) (  
maka p L f  dan   n f konvergen dalam p L ke f
Bukti
(i)  Akan dibuktikan p L f 
Karena n f konvergen dalam ukuran ke , f maka n f Cauchy dalam ukuran. Kemudian
n f di p L ,  maka n f terukur.  Jadi  terdapat  sub  barisan k n f yang  konvergen  hampir dimana–mana ke , h dengan f h  hampir dimana – mana. Perhatikan k n f di p L , dan terdapat
p L g  , sedemikian sehingga:
    X x x g x f k n    ,
,
Jadi
p L f  .
(ii) Akan dibuktikan n f konvergen dalam p L ke f .
Andaikan n f tidak konvergen dalam p L ke f , maka terdapat subbarisan   k g dari n f
dan suatu 0  sedemikian sehingga   f g k untuk N k  .
Karena   k g adalah subbarisan dari n f , dimana barisan n f konvergen dalam ukuran ke f . Karena k g konvergen ke fungsi f maka   k g adalah barisan Cauchy. Karena   k g Cauchy dalam ukuran maka terdapat subbarisan   r h dari   k g yang konvergen hampir dimana–mana dan dalam ukuran ke fungsi h . Dari ketunggalan f h  hampir dimana– mana. Karena r h konvergen hampir dimana – mana ke f dan didominasi oleh fungsi g dalam p L dan     x g x f n  maka
p L f  dan 0   p r f h
Jadi r h konvergen dalam p L ke p L f 
Dengan demikian n f konvergen dalam p L ke f .

## 3. Kesimpulan
a. Suatu  barisan  fungsi  terukur  yang    konvergen  hampir  dimana  –  mana  belum            tentu konvergen dalam p L , tetapi    jika barisan fungsi terukur didominasi oleh suatu fungsi dalam
p L maka  barisan  yang  konvergen  hampir  dimana  –  mana  mengakibatkan  konvergen  dalam
p L .
b. Suatu barisan fungsi terukur yang konvergen dalam p L menyebabkan      konvergen dalam ukuran,  sebaliknya  akan  berlaku  jika  barisan  fungsi  tersebut  didominasi  oleh  suatu  fungsi dalam p L .

## Daftar Pustaka
[1]. Robert G Bartle, 1996, “ The Elements Of Integration ”, John Wiley & Sons, Inc New York. London, Sidney.
[2]. H.  Lieb  Elliot  dan  Michael  Loss,  1997,  “ Analysis,  Graduate  Studies  In  Mathematics ”, volume 14, American Mathematical Society.
[3]. Gabriel Klambauer, 1973, “ Real  Analysis ”, American Elsevier Publishing Company, Inc.
New York, London Amsterdam.