Vol. 15, No. 1,  88-96,  Juli  2018
Perbandingan Penduga M, S, dan MM pada Regresi Linier dalam Menangani Keberadaan Outlier
Hanifah Lainun 1 , Georgina M Tinungki 2 , Amran 3
1

## Abstrak
Metode Kuadrat Terkecil (MKT) merupakan metode penduga parameter yang paling banyak digunakan  pada  analisis  regresi.  MKT  merupakan  metode  penduga  parameter tak  bias  yang baik selama asumsi komponen galatnya terpenuhi. Namun dalam aplikasinya sering ditemui terjadinya  pelanggaran  asumsi.  Diantaranya,  pelanggaran  asumsi  galat  berdistribusi  normal disebabkan adanya outlier pada data amatan. Oleh karena itu, dibutuhkan suatu metode yang kekar  terhadap  keberadaan outlier .  Metode  pendugaan  parameter  yang  kekar  terhadap keberadaan outlier pada regresi linier diantaranya ialah penduga M, penduga S, dan penduga MM yang masing-masing memiliki keunggulan dari segi efisiensi dan breakdown point yang tinggi . Tujuan  dari  penelitian  ini  adalah  untuk  membandingkan  penduga  M,  S,  dan  MM dalam menduga parameter regresi pada analisis regresi linier sederhana terhadap keberadaan outlier menggunakan  data  simulasi.  Simulasi  dilakukan  untuk  ukuran  sampel  yang  berbeda (20,  60,  dan  120)  ketika  terdapat  20%  dan  45% outlier pada  variabel  bebas  dan  variabel terikat.  Metode  terbaik  ialah  metode  dengan Standard  Error (SE)  dan Mean  Square  Error (MSE)  terkecil.  Hasil  yang  diperoleh  menunjukkan  bahwa  penduga  MM  lebih  baik dibandingkan penduga M dan penduga S.
Kata Kunci : Regresi Robust , Penduga M, Penduga S, Penduga MM, Outlier

## 1. Pendahuluan
Analisis regresi merupakan suatu metode statistika yang digunakan untuk mengkaji hubungan antara  variabel  terikat  dan  satu  atau  lebih  variabel  bebas.  Metode  yang  banyak  digunakan  untuk mengestimasi parameter model regresi ialah Metode Kuadrat Terkecil (MKT)  yang  meminimumkan jumlah kuadrat galat. Disamping kemudahan dalam komputasinya, MKT merupakan penduga tak bias yang baik selama asumsi komponen galat ( ) dalam model yang diberikan terpenuhi. Namun dalam aplikasinya  seringkali  ditemui  terjadi  pelanggaran  asumsi.  Diantaranya  ialah  terlanggarnya  asumsi galat berdistribusi yang disebabkan adanya outlier pada data amatan sehingga diperlukan suatu metode yang kekar terhadap keberadaan outlier . Regresi robust adalah  metode  regresi  yang  digunakan  ketika  data  pengamatan  mengandung outlier yang  mempengaruhi  model.  Metode  ini  penting  untuk  menganalisis  data  yang  mengandung outlier agar model yang dihasilkan kekar terhadap keberadaan outlier [6]. Kekekaran suatu penduga dapat  diukur  dari breakdown  point dan  efesiensi  penduga.  Metode  penduga  parameter  yang robust terhadap keberadaan outlier pada regresi linier diantaranya ialah penduga M yang mana efisiensinya dapat mencapai hingga 95%, penduga S dengan breakdown point yang dapat mencapai hingga 50%, dan penduga MM yang merupakan kombinasi dari efisiensi dan breakdown point yang tinggi.
Penelitian  yang  mengkaji mengenai  penggunaan  regresi robust  pada  data  yang  mengandung outlier ialah  Gad  dan  Qura  [9]  dan  Cankaya  dan  Abaer  [5]  yang  membandingkan  beberapa  metode robust dan MKT apabila terdapat outlier pada variabel terikat ( ). Penelitian ini akan membandingkan
hanifahlainun311@gmail.com 1 , ina_matematika@yahoo.co.id 2 , amranihsani@gmail.com 3
1,2,3 Program Studi Statistika, Departemen Matematika, FMIPA, Universitas Hasanuddin

## Hanifah Lainun, Georgina M Tinungki, Amran
penduga M, penduga S, dan penduga MM ketika data amatan mengandung 20% dan 45% outlier pada variabel terikat, outlier pada variabel bebas (good leverage point) , dan outlier pada variabel bebas dan variabel terikat (bad leverage point) untuk tiga ukuran sampel berbeda pada regresi linier sederhana.

## 2. Tinjuan Pustaka
2.1 Analisis Regresi
Model regresi linier secara umum dapat dinyatakan sebagai
, ( i=1,2,…,n ) (1) dengan,
Variabel terikat pada pengamatan ke-i Variabel bebas pada pengamatan ke-i variabel ke j (j=1,2,…,p) Konstanta (Nilai ketika ) Koefisien regresi (j=1,2,…,p)
Galat
Persamaan (1) dapat dituliskan kedalam notasi matriks sebagaimana pada persamaan (2).
(2)
Metode  Kuadrat  Terkecil  (MKT)  adalah  suatu  metode  penaksiran  parameter  pada  analisis regresi  linier  yang  paling  banyak  digunakan  dengan  tujuan  untuk  meminimumkan  jumlah  kuadrat galat.
∑ (3)
Persamaan normal untuk memperoleh nilai penduga menggunakan metode kuadrat terkecil adalah dengan memperoleh turunan parsial dari persamaan (3) terhadap dan menyamakannya dengan nol.
[ ] [ ] ̂ [ ] ̂ ̂ ̂ ̂
2.2 Outlier
Salah satu langkah awal untuk mendapatkan analisis yang tepat ialah mendeteksi keberadaan outlier .  Johnson  (1992)  mendefinisikan outlier sebagai  pengamatan  dalam  kumpulan  data  yang tampaknya  tidak  konsisten  dengan  data  lainnya.  Penghapusan outlier dari  kumpulan  data  yang dianalisis  dapat  secara  dramatis  mempengaruhi  kinerja  model  regresi  [3]. Outlier harus  dihilangkan jika  ada  alasan  yang  tepat.  Alternatif  lainnya  ialah  menggunakan  regresi robust ,  yang  mana algoritmanya  memberi  bobot  lebih  sedikit  pada outlier namun  tidak  membuangnya  [2].  Chen  [6] menyebutkan  bahwa  secara  historis,  tiga  jenis  permasalahan outlier yang  ditangani  dengan  regresi robust :  1) Outlier di  variabel  terikat  ( ),  2) Outlier di  variabel  bebas  ( )  yang  juga  disebut  dengan leverage point dan 3) Outlier di variabel terikat ( ) dan variabel bebas ( ). Ada banyak kesulitan dalam proses identifikasi outlier . Bengal [3] menyebutkan bahwa data yang  mengandung  beberapa outlier atau outlier yang  bergerombol  rentan  terhadap  efek  tumpang tindih  ( masking  and  swamping  effect ).  Uji  statistik  yang  dapat  digunakan  untuk  mengidentifikasi keberadaan multiple outlier ialah uji Hampel [8]. Uji ini menggunakan median dan MAD yang mana lebih kekar terhadap keberadaan outlier dibandingkan rata-rata dan standar deviasi. Pada uji hampel, pengamatan teridentifikasi sebagai outlier apabila
(4)

## Hanifah Lainun, Georgina M Tinungki, Amran

## 2.3 Metode Robust
Metode  Kuadrat  Terkecil  dengan observasi,  untuk  model dengan parameter mengharuskan terpenuhinya beberapa asumsi agar hasil yang diperoleh dapat mewakili populasi yang sebenarnya.  Dalam  aplikasinya,  seringkali  ditemui  terjadi  pelanggaran  asumsi  tersebut.  Diantaranya ialah  terlanggarnya  asumsi  galat  berdistribusi
yang  disebabkan  adanya outlier pada  data amatan. Regresi robust adalah metode regresi yang digunakan  ketika terdapat beberapa outlier yang mempengaruhi  model.  Agar  dapat  mencapai  hal  ini  regresi robust membatasi  pengaruh  dari outlier [6].  Selain  itu,  diwaktu  yang  bersamaan  metode  ini  dapat  digunakan  untuk  mengidentifikasi  data mana yang merupakan outlier .
Andersen  [1]  menyebutkan  dua  kriteria  kekekaran  suatu  penduga  yang  patut  diperhitungkan yaitu breakdown point dan efesiensi penduga. Breakdown point adalah proporsi atau persentase data yang terkontaminasi yang masih dapat ditangani suatu penduga sebelum  menghasilkan dugaan yang keliru. Sementara itu, suatu penduga dapat dikatakan efisien jika penduga tersebut yang paling akurat dibandingkan penduga tak bias lainnya.

## 2.3.1 Penduga M
Penduga  M  dalam  konteks  regresi  pertama  kali  diperkenalkan  oleh  Huber  (1973)  sebagai hasil  pendekatan  dari  penduga  kuadrat  terkecil  yang robust .  Meskipun  penduga  M  tidak  dapat menaksir  parameter  dengan  baik  apabila  terdapat leverage  point ,  penduga  M  populer  ketika  dalam aplikasinya leverage point bukanlah suatu masalah [10]. Penduga M meminimumkan fungsi objektif dari galat:

## ̂ ∑
Langkah-langkah yang dilakukan dalam mengestimasi parameter dengan penduga M adalah: 1. Menaksir β awal yaitu ̂ dengan menggunakan metode kuadrat terkecil. 2. Menghitung nilai residual
̂ .
3. Menghitung nilai
̂ 4. Menghitung nilai ̂ ⁄ 5. Menghitung  nilai  boboti  ( )  menggunakan  fungsi  pembobot  Tukey’s bisquare dengan  nilai tuning constant sehingga diperoleh efisiensi sebesar 95%. {( ) 6. Menghitung ̂ menggunakan kuadrat terkecil terboboti berdasarkan nilai bobot .
̂
7. Mengulangi langkah 2-6 sampai  diperoleh nilai ̂ yang konvergen.

## 2.3.2 Penduga S
Penduga S pertama kali diperkenalkan oleh Rousseeuw dan Yohai (1984) dengan breakdown point yang  dapat  mencapai  hingga  50%.  Dengan  cara  yang  sama  metode  kuadrat  terkecil meminimumkan ragam dari galat, penduga S meminimumkan dispersi dari galat,
̂
dimana dispersi adalah solusi dari

## ∑
dengan K adalah nilai konstan yang tepat untuk memastikan kekonsistenan.
Langkah-langkah yang dilakukan dalam mengestimasi parameter dengan penduga S adalah: 1. Menaksir β awal yaitu ̂ dengan menggunakan metode kuadrat terkecil.
2. Menghitung nilai residual
̂ . 3. Menghitung nilai
̂
{
√ ∑ 4. Menghitung nilai
̂ ⁄
5. Menghitung  nilai  boboti  ( )  menggunakan  fungsi  pembobot  Tukey’s bisquare dengan  nilai tuning constant
sehingga diperoleh breakdown point sebesar 50%. {( ) 6. Menghitung ̂ menggunakan kuadrat terkecil terboboti berdasarkan nilai bobot .
̂
7. Mengulangi langkah 2-6 sampai  diperoleh nilai ̂ yang konvergen.

## 2.3.3 Penduga MM
Penduga  MM  adalah  prosedur  untuk  menaksir  parameter  regresi  menggunakan  penduga  S yang  meminimumkan scale dari  galat  pada  penduga  M  dengan breakdown  point hingga  50% , kemudian melanjutkan proses dengan penduga M yang efisien. Penduga MM adalah solusi dari
̂

## ∑
Langkah-langkah  yang  dilakukan  dalam  mengestimasi  parameter  dengan  penduga  MM adalah:
1. Menaksir β awal yaitu ̂ dengan menggunakan penduga S sehingga diperoleh breakdown point sebesar 50%.
2. Menghitung nilai residual
̂ .
3. Menghitung nilai

## ̂
4. Menghitung nilai ̂ ⁄
5. Menghitung  nilai  boboti  ( )  menggunakan  fungsi  pembobot  Tukey’s bisquare dengan  nilai
tuning constant sehingga diperoleh efisiensi sebesar 95%. {( ) 6. Menghitung ̂
menggunakan kuadrat terkecil terboboti berdasarkan nilai bobot .
7. Mengulangi langkah 2-6 sampai  diperoleh nilai ̂ yang konvergen.

## 3. Data Simulasi
Prosedur  simulasi  yang  dilakukan  adalah  menggunakan Model  Based  Simulation dengan algoritma sebagai berikut.
1. Menentukan parameter bagi populasi yaitu .
2. Membangkitkan , ,  dan untuk menggunakan  softwere  SAS  9.2  dengan ketentuan sebagaimana pada Tabel 3.1.
Tabel 3. 1 Kriteria Data Simulasi
s Data ‘normal’ Outlier di y Outlier di x Outlier di x dan y N
3. Mengambil sampel secara acak untuk , , dan . Adapun persentase data
‘normal’ dan data outlier (baik pada variabel bebas ( ), variabel terikat ( ), dan variabel bebas ( ) dan variabel terikat ( )) ditetapkan: 1) 80% dan 20%  dari banyaknya sampel dan 2) 55% dan 45% dari banyaknya sampel.
4. Melakukan  penaksiran  parameter  menggunakan  metode  kuadrat  terkecil (MKT),  penduga  M, penduga S, dan penduga MM.
5. Menghitung Mean Square Error (MSE) berdasarkan model regresi yang diperoleh pada MKT, penduga M, penduga S dan penduga MM.
( ̂    ) ( ̂    )
dengan ̂ adalah  vektor  parameter  dugaan  dan merupakan  vektor  koefisien  model  yang sebenarnya.
6. Mengulangi langkah 3-5 sebanyak lima kali.
7. Menentukan metode yang paling baik yaitu metode dengan MSE terkecil.

## 4. Hasil dan Pembahasan
Sebelum  melakukan  penaksiran  parameter,  identifikasi  outlier  dilakukan  pada  data  simulasi untuk  tiga  jumlah  sampel  dan  tiga  jenis outlier yang  berbeda  untuk  memastikan  bahwa  data  yang diperoleh  telah  sesuai  dengan  tujuan  penelitian.  Statistik  uji  yang  digunakan  untuk  melihat pengamatan keberapa yang teridentifikasi sebagai outlier ialah uji hampel pada Persamaan (4). Hasil yang  diperoleh  menunjukkan  bahwa  20%  dan  45%  data  terakhir  dari  sampel  teridentifiaksi  sebagai outlier .
Pada  berbagai  ukuran  sampel  dan  jenis outlier yang  berbeda  diperoleh  nilai Mean  Square Error (MSE)  ketika  menggunakan  MKT,  penduga  M,  penduga  S,  dan  penduga  MM.  Berdasarkan hasil yang diperoleh dapat diambil kesimpulan sebagai berikut.
Skenario 1: 20% outlier di variabel terikat
Hasil dugaan parameter MKT adalah yang terburuk berdasarkan MSE yang diperoleh. Selain itu,  MKT juga  memiliki Standard  Error (SE)  yang  terbesar terutama  pada  sampel  kecil  yaitu n=20 dibanding  metode  lainnya.  Hal  ini  disebabkan  model  yang  diperoleh  dari  MKT  bias  terhadap
keberadaan outlier menyebabkan  interval  kepercayaan  lebih  lebar.  Secara  keseluruhan,  SE  semakin kecil  seiring  bertambah  besarnya  ukuran  sampel.  Sementara  itu,  metode robust tetap  tidak dipengaruhi  oleh  keberadaan outlier dengan  memberikan  bobot  yang  kecil  pada  data  yang diidentifikasi  sebagai outlier .  Diantara  ketiga  metode robust ,  penduga  MM  memiliki  MSE  yang paling minimum yang kemudian disusul oleh penguga M, dan terakhir penduga S.
Skenario 2: 45% outlier di variabel terikat
Diperoleh  bahwa  penduga  M  menghasilkan  dugaan  yang  keliru  sebagaimana  MKT  pada berbagai  ukuran  sampel.  Hal  ini  disebabkan  pada  penduga M,  semakin  tinggi  efisiensinya  maka kemampuan dalam mendeteksi outlier akan berkurang. Pada penelitian ditetapkan nilai c=4.685 yang menghasilkan  efisiensi  sebesar  95%.  Oleh  karena  itu,  disarankan  untuk  menggunakan  nilai tuning constat c yang  lebih  kecil  apabila  proporsi  dari outlier besar  dan  mendekati  50%  sehingga kemampuan penduga M dalam mendeteksi outlier lebih baik meski efisiensinya berkurang. Sementara itu, penduga S dan penduga MM tetap dapat mengestimasi parameter dengan baik dengan penduga MM menghasilkan MSE yang lebih kecil dibandingkan penduga S.
Skenario 3: 20% outlier di variabel bebas
MKT merupakan metode terbaik dengan MSE paling minimum yang kemudian disusul oleh penduga MM, peduga M, dan terakhir penduga S.
Skenario 4: 45% outlier di variabel bebas
Hasil  yang  diperoleh  sama  halnya  ketika  tedapat  20%  outlier  pada  variabel  bebas.  MKT merupakan metode terbaik dengan MSE paling minimum yang kemudian disusul oleh penduga MM, peduga M, dan terakhir penduga S.
Skenario 5: 20% outlier di variabel terikat dan variabel bebas Diperoleh  bahwa  penduga M  menghasilkan  dugaan  yang  keliru  sebagaimana  MKT  pada berbagai  ukuran  sampel.  Dugaan  parameter  yang  diperoleh  bias  terhadap  keberadaan outlier menyebabkan nilai MSE yang besar. Hal ini disebabkan karena bad leverage point memberi pengaruh yang  besar  terhadap  dugaan  kemiringan  garis  regresi  apabila  metode  dengan breakdown  point yang rendah digunakan. Sementara itu,  penduga S dan penduga MM tetap dapat mengestimasi parameter regresi dengan baik dengan penduga MM memiliki MSE yang lebih kecil dibandingkan penduga S.
Skenario 6: 45% outlier di variabel terikat dan variabel bebas Kinerja  dari  keempat  metode  menurun  untuk
dimana  MSE  yang  dihasilkan  lebih besar  dibadingkan  MSE  yang  diperoleh  pada  kondisi outlier lainnya.  Sementara  itu,  untuk dan hasil yang diperoleh sama halnya ketika terdapat outlier di variabel terikat dan variabel bebas  sebanyak  20%.  MKT  dan  penduga  M  menghasilkan  dugaan  parameter  yang  keliru  sehingga diperoleh  nilai  MSE  yang  besar,  sementara  penduga  S  dan  penduga  MM  tetap  dapat  mengestimasi parameter  regresi  dengan  baik  dengan  penduga  MM  memiliki  MSE  yang  lebih  kecil  dibandingkan penduga S.

## 5. Kesimpulan
Pada penelitian ini berdasarkan MSE yang diperoleh, penduga MM lebih baik dibandingkan penduga M dan penduga S ketika terdapat outlier pada variabel terikat dan outlier ada variabel terikat dan  variabel  bebas.  Namun,  kelemahan  dari  penduga  MM  ialah  ketika  ukuran  sampel  kecil  dan proporsi outlier besar  yaitu  mendekati  nilai breakdown  point .  Adapun  ketika  terdapat outlier pada

## Hanifah Lainun, Georgina M Tinungki, Amran
variabel  bebas,  MKT  tetap  dapat  menaksir  parameter  regresi  dengan  baik,  bahkan  dapat meningkatkan keakuratan koefisien regresi.

## Daftar Pustaka
[1]   Andersen, R., 2008. Modern Method for Robust Regression . London: Sage Publication.
[2] Anonymous. tahun. Outliers . ( http://web.sonoma.edu/users/c/cuellar/econ317/Outliers.pdf diakses pada taggal 27 September 2017)
[3]   Ben-Gal, Irad. 2005. Outlier detection. Data mining and knowledge discovery handbook , 131-146.
[4]   Blatná, Dagmar. 2006. Outliers in regression. Trutnov , 30 , 2006-03.
[5]   Cankaya, Soner dan Samet Hasan Abaci. 2015. Comparative Study of Some Estimation Methods in Simple Linier Regression Model for Different Sample Sizes in Presence of Outliers. Turkish  Journal  of  Agliculture  –  Food  Science  and  Thechnology ,  3(6):  380- 386.
[6]    Chen,  Colin.  2002.  Paper  256-27  Robust  Regression  and  Outlier  Detection  with  the ROBUSTREG  Procedure.  In Proceedings  of  the  Proceedings  of  the  Twenty-Seventh Annual SAS Users Group International Conference.
[7]    Draper,  N.  R.  dan  K.  Smith  (1998). Applied  Regression  Analysis.  Third  edition .  New York: Wiley.
[8]    Farazi,  Manzur  Rahman.  2015.  Identification  of  Outlier  in  Gene  Expression  Data [Thesis]. Indiana: Ball State University.
[9]      Gad,  Ahmed  M.  dan  Maha  E.  Qura.  2016.  Regression  Estimation  in  Presence  of Outliers:  A  Comparative  Study. International  Journal  of  Probability  and  Statistics 2016 , 5(3): 65-72.
[10]  SAS  Institute  Inc,  2009.  SAS/STAT  ®  9.2,  User’s  Guide,  Chapter  74:  The ROBUSTREG Procedure, Second Edition, Cary, NC: USA
[11]  Stuart,  Chaterine.  2011.  Robust  regression. Department  of  Mathematical  Sciences, Durham Universit y, 169.
Lampiran: Rata-rata MSE pada berbagai kondisi
Ul ang an 20% outlier pada variabel terikat n20 n60 n120 ols m s mm ols m s mm ols m s mm 1 349.072  0.608  0.288  0.587  3926.442  0.264  0.782  0.279  1814.770  0.001 0.003 0.001 2 2794.541  0.411  0.686  0.410 479.173  0.015  0.080  0.011 407.131  0.001 0.011 0.001 3 1748.917  1.815  3.833  1.848  5725.855  0.568  0.567  0.546 46.731  0.000 0.030 0.000 4 5020.405  0.007  0.066  0.008  2197.514  0.029  0.090  0.030 607.483  0.006 0.261 0.001 5 3851.017  0.548  0.045  0.508  2243.063  0.069  0.323  0.081 356.067  0.002 0.001 0.002 2752.791  0.678  0.983  0.672  2914.410  0.189  0.368  0.189 646.437  0.002 0.061 0.001 MSE min Penduga MM Penduga M Penduga MM Ul ang an 45% outlier pada variabel terikat n20 n60 n120 ols m s mm ols m s mm ols m s mm 1 3543.169 2957.329  0.186  0.188 6553.030 6088.962  0.238  0.213  4978.162  4509.475  0.004  0.002 2 16992.020  17496.020  0.535  0.532 7837.398 7622.011  0.011  0.009  6176.370  5785.087  0.000  0.004 3 11171.837  11245.498  0.513  0.512  18619.193  19424.090  0.009  0.005  6053.223  5687.225  0.386  0.343 4 11250.259  11358.500  4.452  4.458 3986.085 3489.459  0.012  0.012  6735.370  6370.205  0.022  0.021 5 992067.783 9084.900  2.537  2.551 1397.869 1021.645  2.267  2.259  9875.117  9870.007  0.013  0.013 207005.014  10428.449  1.645  1.648 7678.715 7529.233  0.507  0.500  6763.648  6444.400  0.085  0.077 MSE min Penduga S Penduga MM Penduga MM Ulang an 20% outlier pada variabel bebas n20 n60 n120 ols m s mm ols m s mm ols m s mm 1 0.000  0.002  0.034  0.005 0.003  0.002  0.048  0.000 0.003  0.005 0.000  0.008 2 0.168  0.452  0.603  0.494 0.127  0.124  0.300  0.122 0.021  0.016 0.002  0.012 3 0.106  0.385  0.884  0.208 0.003  0.006  0.226  0.015 0.006  0.006 0.004  0.005 4 0.269  0.378  0.679  0.456 0.017  0.012  0.051  0.006 0.001  0.000 0.105  0.001 5 0.009  0.013  0.081  0.020 0.002  0.002  0.002  0.002 0.000  0.000 0.031  0.000 MSE min OLS Penduga M Penduga MM Ulang an 45% outlier pada variabel bebas n20 n60 n120 ols m s mm
ols m s mm ols m s mm 1 0.040  0.080  0.083  0.118  0.008  0.014  0.100  0.022 0.002  0.002  0.012  0.003 2 0.018  0.027  0.240  0.047  0.022  0.033  0.232  0.042 0.012  0.032  0.476  0.072 3 0.025  0.015  0.257  0.016  0.029  0.022  0.015  0.016 0.001  0.001  0.080  0.005 4 0.266  0.254  0.000  0.168  0.156  0.151  0.400  0.147 0.013  0.006  0.067  0.003
5 0.070  0.188  0.655  0.295  0.005  0.009  0.041  0.012 0.007  0.008  0.138  0.010 0.084  0.113  0.247  0.129  0.044  0.046  0.158  0.048 0.007  0.010  0.155  0.019 MSE min OLS OLS OLS Ul ang an 20% outlier pada variabel terikat dan variabel bebas n20 n60 n120 ols m s mm ols m s mm ols m s mm 1 159.475  121.265  0.288  0.587  135.952  102.662  0.782  0.279  170.330  135.282  0.003 0.001 2 90.433 92.182  0.686  0.410  178.942  155.108  0.080  0.011  172.846  132.627  0.011 0.001 3 150.780  124.925  3.833  1.848  182.404  137.586  0.567  0.546  173.728  124.671  0.030 0.000 4 283.296  191.565  0.066  0.008  210.583  189.847  0.090  0.030  183.717  120.706  0.261 0.001 5 204.802  171.381  0.045  0.508  172.269  150.550  0.323  0.081  159.828  107.239  0.001 0.003 177.757  140.263  0.983  0.672  176.030  147.151  0.368  0.189  172.090  124.105  0.061 0.001 MSE min Penduga MM Penduga MM Penduga MM Ul ang an 45% outlier pada variabel terikat dan variabel bebas n20 n60 n120 ols m s mm ols m s mm ols m s mm 1 287.449  166.349 49.108 56.195  321.302  157.773 0.238 0.213  247.508  137.187  0.004  0.002 2 203.387  101.055 77.236 95.444  349.387  133.489 0.011 0.009  289.996  160.894  0.000  0.004 3 292.252  159.141 34.865 35.681  221.549  135.718 0.009 0.005  324.248  103.477  0.386  0.343 4 175.073  127.158 69.325 70.127  402.687  176.612 0.012 0.011  232.601  123.298  0.022  0.021 5 243.136  124.362  125.467  124.833  338.189 88.891  15.457  15.417  349.972  154.534  0.013  0.013 240.259  135.613 71.200 76.456  326.623  138.496 3.145 3.131  288.865  135.878  0.085  0.077 MSE min Penduga S Penduga MM Penduga MM