## Pemberian Syarat Reflektif Kecepatan Fluida di Batas Anomali Kedalaman dalam Simulasi Persamaan Air Dangkal

## N. A. Pramono
Jurusan Fisika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Malang, Universitas Negeri Malang, Indonesia
* E-mail : nugroho.adi.fmipa@um.ac.id

## Abstract
The  simulation  of  shallow  water  equation  with  straight  configuration  reflective  depth anomaly has been performed. This program simulated wave absorber in the beach in order to prevent further abrasion of by sea. This program using modified Navier-Stokes equation and running on Matlab program. The result shows that depth-anomaly reduced the amount on wave amplitude by a significant value.
Keywords : Shallow Water Equation, Navier Stokes, Depth Anomaly.

## Abstrak
Telah  dihasilkan  program  simulasi  persamaan  air  dangkal  dengan  pemberian  anomali kedalaman  yang  memiliki sifat  reflektif. Program ini  mensimulasikan pemecah ombak di pantai. Oleh karena itu dapat digunakan untuk mengurangi abrasi oleh air laut. Persamaan yang  digunakan  adalah  persamaan  Navier-Stokes.  Kode  program  ditulis  dalam  Matlab. Hasil  simulasi  menunjukkan  bahwa  pemberian  anomali  kedalaman  dapat  mengubah  arah gelombang.  Pemberian  sifat  reflektif  kecepatan  pada  anomali  kedalaman  memberikan pengurangan yang signifikan pada amplitudo gelombang.
Kata Kunci : Persamaan air dangkal, Navier-Stokes, anomali kedalaman.

## 1. Pendahuluan
Persamaan  Navier-Stokes  dapat  menjelaskan  tentang  fluida  yang  mengalir.  Contoh  dari  dinamika fluida adalah pergerakkan gelombang air laut. Oleh karena itu pergerakan gelombangh air laut dapat dijelaskan dengan menggunakan persamaan Navier-Stokes. Persamaan Navier-Stokes sendiri adalah persamaan yang menjelaskan proses fluida dalam tiga dimensi dengan beberapa penyederhanaan [1].
Simulasi  gelombang  yang  panjang  gelombangnya  mirip  dengan  ketinggian  air  secara kesuluruhan dapat menggunakan air dangkal [1]. Oleh karena itu fluida yang dipilih dalam penelitian ini adalah air dangkal ( shallow water ) yang secara otomatis pendekatannya menggunakan persamaan air dangkal. Perairan dangkal  adalah perairan yang punya batas permukaan ( surface ) dan batas dasar ( bottom ) [2].
Penelitian ini telah dilakukan oleh [1-7] dengan membuat variabel awal kedalaman, kecepatan arah x dan  arah y masing-masing  bernilai H  = 1, u = 1,  dan v = 0.  Penelitian  sebelumnya  tentang simulasi  persamaan  air  dangkal    dilakukan  dengan  membuat  variasi  pada    nilai H di  beberapa  titik yang  selanjutnya  disebut  dengan  anomali.  Akan  tetapi  pada  penelitian  tersebut  tidak  dilakukan perlakuan khusus terhadap batas anomali. Oleh karena itu anomali hanya berupa sel dengan H bernilai tetap.  Sementara tetangganya mengikuti aturan sel normal.
Secara simulasi telah didapatkan hasil bahwa amplitudo gelombang melemah setelah melewati batas anomali. Akan tetapi pelemahan tersebut kurang signifikan karena tidak ada perlakukan khusus pada proses penghitungan di batas anomali, sehingga dianggap seperti titik lain di sistem. Penelitian ini menambahkan syarat reflektif kedalaman dan kecepatan pada anomali sedemikian rupa sehingga sel-sel  yang  berbatasan  dengan  sel  anomali  akan  memiliki  sifat  reflektif  baik  dalam  kecepatan maupun  kedalaman  sehingga  mendekati  keadaan  sebenarnya,  yaitu  gelombang  air  yang  menabrak sebuah karang.
http://journal2.um.ac.id/index.php/jpse EISSN: 2541-2485
Received
7 November 2016
Revised 17  November 2016
Accepted for Publication 11 December 2016
Published 14 December 2016

## JPSE
(Journal of Physical Science and Engineering)

## 2. Metode Penelitian
Penelitian  ini  merupakan  simulasi  sistem  fisis  dengan  metode  komputasi.  Sistem  fisis  yang  dikaji adalah  fluida  dalam  wadah  berbentuk  kubus  dengan  ukuran  64  64  grid  dengan  kedalaman  satu satuan.
Pergerakan fluida dihitung dengan menggunakan persamaan air dangkal yaitu
    0 uh vh h t x y  
      
(1)
    2 2 1 2 0 u h gh uh uvh t x y                 (2)     2 2 1 2 0 v h gh vh uvh t x y                 (3)
Variabel bebas dalam persamaan (1),(2), dan (3) adalah x, y , dan t . Untuk variabel terikatnya adalah h dan dua dimensi kecepatan u dan v. Turunan parsial diperoleh dari komponen variabel di persamaan (1),(2),  dan  (3)   , , t x y    yang  selanjutnya  dikelompokkan  menjadi  vektor  dan  dituliskan  kembali sebagai turunan pertama hiperbolik parsial. Vektor tersebut adalah
h U uh vh    
      
(4)
  2 2 1 2 uh F U u h gh
uvh
  
           (5)   2 2 1 2 vh G U uvh v h gh
  
       
     (6)
Persamaan turunan pertama hiperbolik parsial adalah
    0 F U G U U t x y          (7)
Grid dari sistem fisis yang ditinjau menunjukkan setiap sel memiliki u , v dan h dengan nilai awal nol untuk u dan v dan satu untuk h seperti pada Gambar 1a. Saat sistem diberi gangguan, maka nilai dari u , v dan h tiap sel akan berubah sesuai dengan persamaan (7).
Penyelesaian persamaan turunan parsial hiperbolik adalah dengan metode numerik. Metode ini menggunakan  metode  Lax-Wendroff.  Nilai u , v dan h pada t  + 1  diperoleh  dengan  mencari  nilai antara  seperti  yang  ditunjukkan  Gambar.2.  Nilai  antara  titik-titik  tersebut  diperoleh  dengan menggunakan persamaan
    1 2 1 1, , 1, , , 2 1 2 2 n n n n n i j i j i j i j i j t U U U F F x           (8)
dan
    1 2 1 , 1 , , 1 , , 2 1 2 2 n n n n n i j i j i j i j i j t U U U G G x           (9)
Dari nilai-nilai antara tersebut dapat dihitung nilai di 1  t dengan menggunakan persamaan
1 1 1 1 1 2 2 2 2 , , 1 1 1 1 , , , , 2 2 2 2 n n n n n n i j i j i j i j i j i j t t U U F F G G x x                               (10)
Sementara  bagan  alur  program  simulasi  persamaan  air  dangkal  dengan  syarat  reflektif  ditunjukkan Gambar  2.  Matrik  yang  mewakili  sistem  fisis  dibuat  di  Matlab  dan  diberi  nilai  awal  dengan  kode sebagai berikut:
H = ones(n+2,n+2);   U = zeros(n+2,n+2);  V = zeros(n+2,n+2); Hx = zeros(n+1,n+1); Ux = zeros(n+1,n+1); Vx = zeros(n+1,n+1); Hy = zeros(n+1,n+1); Uy = zeros(n+1,n+1); Vy = zeros(n+1,n+1);
Sementara untuk menyimpan data sel[1,1] selama program berjalan, digunakan perintah berikut:
data=nstep; dlmwrite( 'SB3nStepR.csv' ,data, 'delimiter' , ',' , '-append' ); data=H(1,1); dlmwrite( 'SB3HR.csv' ,data, 'delimiter' , ',' , '-append' );

## Syarat reflektif tepi sistem adalah
H(:,1) = H(:,2);      U(:,1) = U(:,2);       V(:,1) = -V(:,2); H(:,n+2) = H(:,n+1);  U(:,n+2) = U(:,n+1);   V(:,n+2) = -V(:,n+1); H(1,:) = H(2,:);      U(1,:) = -U(2,:);      V(1,:) = V(2,:); H(n+2,:) = H(n+1,:);  U(n+2,:) = -U(n+1,:);  V(n+2,:) = V(n+1,:);
Selanjutnya setengah langkah pertama adalah menghitung nilai-antara pada persamaan (8) yaitu
i = 1:n+1; j = 1:n;
Hx(i,j) = (H(i+1,j+1)+H(i,j+1))/2 - dt/(2*dx)*(U(i+1,j+1)-U(i,j+1));
Ux(i,j) = (U(i+1,j+1)+U(i,j+1))/2 - ... dt/(2*dx)*((U(i+1,j+1).^2./H(i+1,j+1) + g/2*H(i+1,j+1).^2) - ... (U(i,j+1).^2./H(i,j+1) + g/2*H(i,j+1).^2));
Vx(i,j) = (V(i+1,j+1)+V(i,j+1))/2 - ... dt/(2*dx)*((U(i+1,j+1).*V(i+1,j+1)./H(i+1,j+1)) - ... (U(i,j+1).*V(i,j+1)./H(i,j+1)));
(a) (b)
Gambar 1. (a) Grid dari sistem fisis, (b) Nilai antara untuk menghitung u , v , dan h
Gambar 2 . Bagan alur program simulasi persamaan air dangkal dengan syarat reflektif dan Persamaan (9) yaitu
i = 1:n; j = 1:n+1;
Hy(i,j) = (H(i+1,j+1)+H(i+1,j))/2 - dt/(2*dy)*(V(i+1,j+1)-V(i+1,j));
Uy(i,j) = (U(i+1,j+1)+U(i+1,j))/2 - ... dt/(2*dy)*((V(i+1,j+1).*U(i+1,j+1)./H(i+1,j+1)) - ... (V(i+1,j).*U(i+1,j)./H(i+1,j)));
Vy(i,j) = (V(i+1,j+1)+V(i+1,j))/2 - ... dt/(2*dy)*((V(i+1,j+1).^2./H(i+1,j+1) + g/2*H(i+1,j+1).^2) - ... (V(i+1,j).^2./H(i+1,j) + g/2*H(i+1,j).^2));
Sementara setengah langkah kedua adalah menghitung nilai di 1  t seperti pada Persamaan (10) yaitu i = 2:n+1; j = 2:n+1;
H(i,j) = H(i,j) - (dt/dx)*(Ux(i,j-1)-Ux(i-1,j-1)) - ... (dt/dy)*(Vy(i-1,j)-Vy(i-1,j-1))
U(i,j) = U(i,j) - (dt/dx)*((Ux(i,j-1).^2./Hx(i,j-1)+g/2*Hx(i,j-1).^2) - ... (Ux(i-1,j-1).^2./Hx(i-1,j-1) + g/2*Hx(i-1,j-1).^2)) ...
- (dt/dy)*((Vy(i-1,j).*Uy(i-1,j)./Hy(i-1,j)) - ... (Vy(i-1,j-1).*Uy(i-1,j-1)./Hy(i-1,j-1)));
V(i,j) = V(i,j) - (dt/dx)*((Ux(i,j-1).*Vx(i,j-1)./Hx(i,j-1)) - ...
(Ux(i-1,j-1).*Vx(i-1,j-1)./Hx(i-1,j-1))) ... - (dt/dy)*((Vy(i-1,j).^2./Hy(i-1,j) + g/2*Hy(i-1,j).^2) - ... (Vy(i-1,j-1).^2./Hy(i-1,j-1) + g/2*Hy(i-1,j-1).^2));
Anomali berselang non-reflektif digunakan kode seperti berikut for i=1:n if mod(i,4)==0 H(i,20)=1;
end end
Sementara untuk anomali kedalaman dan kecepatan berselang reflektif gunakan kode
for i=1:n if mod(i,4)==0 H(i,20)=1; H(i,21)=H(i,22);U(i,21)=U(i,22);V(i,21)=V(i,22); H(i,19)=H(i,18);U(i,19)=U(i,18);V(i,19)=V(i,18); end end
Ketiga  program  simulasi,  baik  normal,  menggunakan  anomali  non  reflektif,  maupun  reflektif dijalankan dalam loop hingga 11000 loop.
Untuk membandingkan pengaruh anomali antara variasi selang, nilai amplitudo gelombang di sel [1,1] dicatat selama program berjalan. Hasil yang dibandingkan adalah grafik H terhadap t pada sel  [1,1]  pada  simulasi  persamaan  air  dangkal  normal  (tanpa  anomali  kedalaman),  simulasi  dengan anomali sejajar (non-reflektif), dan simulasi dengan anomali sejajar reflektif

## 3. Hasil dan Pembahasan
Hasil  simulasi  secara  visual  3D  ditunjukkan  pada  Gambar.3.  Grafik  amplitudo  sel  [1,1]  selama program berjalan untuk sistem dengan anomali non reflektif dapat dilihat pada Gambar 4a. Gambar. 4b menunjukkan amplitudo sel yang sama saat sistem diberi anomali kedalaman reflektif. Dari grafik terlihat  bahwa  seiring  berjalannya  waktu,  amplitudo  sel  menjadi  relatif  lebih  kecil  daripada  sistem fisis  dengan  anomali  normal.  Perbandingan  amplitudo  sel  [1,1]  dengan  hanya  pemberian  anomali reflektif kedalaman dan reflektif kedalaman ditambah kecepatan dapat ditunjukkan pada Gambar 4c. Gambar  4d  menunjukkan  perbandingan  amplitudo  yang  sama  dengan  Gambar  4c,  tetapi  dengan menambahkan grafik amplitudo simulasi normal tanpa pemberian anomali kedalaman.
Di  setiap  saat  grafik  amplitudo  sel  [1,1]  pada  simulasi  tanpa  anomali  (warna  merah) menunjukkan selalu lebih tinggi daripada grafik simulasi dengan anomali. Pemberian syarat reflektif pada  sel  yang  berbatasan  langsung  dengan  anomali  menjadikan  amplitudo  sel  [1,1]  lebih  kecil dibandingkan  dengan  simulasi  dengan  anomali  non-reflektif.  Syarat  tambahan  berupa  pemantulan kecepatan saat menimpa anomali menghasilkan amplitudo menjadi lebih kecil.
Gambar 3. Hasil simulasi 3D
(a) (b) (c) (d)
Gambar  4. Amplitudo  sel  [1,1]  pada  (a)  gelombang  normal,  (b)  anomali  sejajar  berselang  reflektif  (kecepatan  dan kedalaman), (c) gabungan nilai amplitudo reflektif kedalaman saja (warna hijau) dan reflektif kedalaman+kecepatan (warna biru) , (d) gabungan nilai amplitudo simulasi normal (merah), reflektif kedalaman (hijau) dan reflektif kedalaan+kecepatan (biru)

## 4. Simpulan dan Saran
Hasil simulasi menunjukkan bahwa pemberian anomali kedalaman dengan syarat reflektif kedalaman dapat  mengubah  arah  gelombang  dan  menurunkan  amplitudo  gelombang.  Syarat reflektif tambahan berupa kecepatan menurunkan amplitudo gelombang  menjadi lebih kecil. Perlu penelitian lebih lanjut dengan  tambahan  syarat  reflektif  yang  menyelimuti  anomali  sehingga  menyerupai  keadaan sesungguhnya.

## Daftar Rujukan
[1] N.  Thurey,  M.  Muller-Fischer,  S.  Schrim,  M.  Gross  (2006) . Real-time  Breaking  Waves  for Shallow Water Simulation. Proceedings of Pacific Graphics, Maui , Hawaii, October 29-30.
[2] C. Ancey (2007). Plasticity and Geophysical Flows . J. Non-Newtonian Fluid Mech. , 142, 4-35.
[3] C.  Moler.  "Chapter  18:  Shallow  Water  Equations." Experiments  with  MATLAB .  MathWorks. Web. <http://www.mathworks.com/moler/exm/chapters.html>.
[4] A.  V.  Tiwow,  J.  D.  Malago  (2015).  Application  of  Navier-Stokes  Equation  to  Laminar  Fluid Flow Case in Unhorizontal Pipe. Jurnal Sainsmat , 51-56.
[5] C. R. Robinson (2011). Shallow Water Equation. Syracuse University.
[6] H.  Zhang,  Y.  Shi,  D.  A.  Yuen,  Z.  Yan,  X.  Yuan,  dan  C.  Zhang  (2008).  Modelling  and Visualization of Tsunamis . Pure and Applied Geophysics, 475-496.
[7] N. A. Pramono (2016a). Pemberian Anomali Kedalaman Reflektif pada Simulasi Persamaan Air Dangkal  dengan  Konfigurasi  Sejajar. Prosiding  Seminar  Nasional  Fisika  Universitas  Negeri Malang, Seminar Nasional Fisika dan Pembelajarannya.
[8] N.  A.  Pramono  (2016b).  Simulasi  Persamaan  Air  Dangkal  Menggunakan  Persamaan  Navier- Stokes  Dengan  Penambahan  Anomali  Kedalaman  Konfigurasi  Zig-Zag  Sebagai  Pemecah Ombak. Prosiding  Seminar  Nasional  Fisika  Universitas  Negeri  Malang,  Seminar  Nasional Fisika dan Pembelajarannya.