## Sturuktur Graf Fuzzy dan Aplikasinya pada Pengambilan Keputusan dalam Identifikasi Layanan Perjalanan

## Ilma Nindita Ramadhani, Arif Munandar 1
1 Program Studi Matematika, Fakultas Sains dan Teknologi, Uiniversitas Islam Negeri Sunan Kalijaga Yogyakarta, Jl. Marsda Adisucipto No. 1 Yogyakarta 55281, Indonesia
Korespondensi; Arif Munandar, Email: arif.munandar @uin-suka.ac.id

## Abstrak
Struktur graf fuzzy adalah penggabungan dari struktur graf dan graf fuzzy . Penelitian ini membahas beberapa pengertian dan sifat dari struktur graf fuzzy diantaranya struktur graf fuzzy komplit dan kuat, struktur graf fuzzy terhubung, serta struktur  graf fuzzy reguler.  Lebih  lanjut,  dibentuk  semi  strong  min-product  dari  dua  struktur  graf fuzzy dan  beberapa teoremanya dari semi strong min-product yang dihasilkan. Selanjutnya disajikan aplikasi dari struktur graf fuzzy dalam pengambilan keputusan, yaitu pengambilan keputusan dalam identifikasi layanan perjalanan, yang didasarkan pada tarif harga  dari masing-masing agen. Dengan menerapkan algoritma yang  telah disusun  disusun dapat  ditentukan layanan perjalanan dari satu kota ke kota lain, berdasarkan harga tiket terendah.
Kata Kunci : struktur graf fuzzy , semi strong min-product , pengambilan keputusan.

## Abstract
A fuzzy graph structure is an extension of graph structure and fuzzy graph. This research discusses several definitions and properties  of  the  fuzzy  graph  structure  including  complete  and  strong  fuzzy  graph  structure,  connected  fuzzy  graph structure, and regular fuzzy graph structure. Furthermore, the semi strong min-product of two fuzzy graph structures can be formed, then some theorems are discussed for semi strong min-product. Furthermore, the application of the fuzzy graph structure in decision making is presented, specially decision making for the identification of travel services, which is based on the price rates of each agent. Through the algorithm, it is possible to determine the travel service from one city to another, based on the lowest ticket price.
Keywords : fuzzy graph structures, semi strong min-product, decision-making.

## Pendahuluan
Zadeh [1] menggeneralisai pengertian himpunan tegas dengan memperluas himpunan nilai {0,1} menjadi interval  bernilai  real  antara  0  dan  1,  yaitu [0,1] .  Derajat  keanggotaan  suatu  elemen  himpunan fuzzy menyatakan derajat kesesuaianya elemen tersebut. Karena fleksibilitasnya, himpunan fuzzy kemudian dapat diaplikasikan dalam banyak bidang. Aplikasi dalam bidang system control dapat ditemukan dalam riset  [2],  aplikasi  dalam  bidang  pemrosesan  gambar  dapat  ditemukan  dalam  [3]  dan  aplikasi  lainnya dalam bidang peramalan dapat ditemukan misalnya dalam penelitian [4].
Seorang matematikawan berasal dari Swiss yang bernama Euler memperkenalkan teori graf pertama kalinya  pada  tahun  1736.  Pada  saat  itu  graf  mucul  untuk  menemukan  jalan  yang  menghubungkan jembatan di Konigsberg. Secara sederhana graf didefinisikan sebagai kumpulan titik yang dihubungkan oleh sisi. Konsep graf fuzzy diperkenalkan pertama kali oleh Kauffman [5]. Graf fuzzy yang terdiri dari himpunan titik tegas dan himpunan sisi fuzzy . Namun, Rosenfeld [6] menggambarkan suatu graf fuzzy sebagai suatu graf yang terdiri dari himpunan titik fuzzy dan himpunan sisi fuzzy . Penelitian tentang graf
fuzzy terus berkembang baik secara teoritis maupun aplikasi. Gani dan Radha [7], [8] memperkenalkan graf fuzzy reguler dan mendefinisikan tentang derajat vertek pada graf fuzzy yang diperoleh dari operasi union,  join,  cartesian,  dan    product.  Selanjutnya,  Bhattacharya  [9]  memberikan  beberapa  penjelasan mengenai graf fuzzy . Beberapa operasi pada graf fuzzy diperkenalkan oleh Moderson dan Chang- Shyh [10].  Kemudian,  Gani  [11]  menjelaskan  mengenai  order  dan  ukuran  pada  graf fuzzy .  Aplikasi  dalam bidang penjadwalan dilakukan oleh Prakasta [12].
Sampathkumar [13] memperkenalkan konsep struktur graf yang digeneralisasi. Struktur graf adalah generalisasi dari graf dan secara luas berguna dalam mempelajari beberapa struktur seperti, graf, semi graf, graf bertanda, graf berwarna edge dan graf berlabel   edge. Dinesh [14] mendefinisikan struktur graf fuzzy dan  mendeskripsikan  beberapa  hal,  seperti  operasi,  pewarnaan,  dan  aplikasi.  Struktur  graf fuzzy jauh  lebih  bermanfaat  daripada  struktur  graf  biasa,  karena  berurusan  dengan  ketidaktepatan  dan ambiguitas  dari  berbagai  fenomena  kehidupan  nyata.  Penelitian  yang  dilakukan  oleh  Sitara  dkk.  [15] membahas  mengenai  operasi maximal  product dari  struktur  graf fuzzy .  Konsep  struktur  graf fuzzy  m- polar diperkenalkan  oleh  Akram  dkk.  [16].  Penelitian  Akram  dan  Sitara  [17] memberikan  pengertian mengenai  struktur  graf fuzzy reguler, kuat,  lengkap, dan terhubung serta menghasilkan operasi    semi strong min-product dari struktur graf fuzzy tersebut.
Banyak agen transportasi yang menyediakan layanan terbaik mereka. Setiap agen ingin memberikan layanan  terbaik  dengan  fasilitas  yang  tepat  kepada  pengguna  agar  merasa  puas  dengan  layanan  yang diterima dan menjadi pelanggan setia agen transportasi tersebut. Dalam melakukan perjalanan, beberapa hal  yang menjadi  pertimbangan bagi para pengguna untuk  memilih  agen transportasi,  misalnya harga tiket, waktu tempuh, fasilitas perjalanan, dan keamanan serta kenyamanan perjalanan dengan resiko yang akan  dihadapi.  Namun  dalam  penelitian  ini  penulis  hanya  menggunakan  satu  faktor  yaitu  haga  tiket, sehingga akan ditemukan agen perjalanan terbaik. Permasalahan di atas yang menjadi dorongan peneliti untuk membahas aplikasi dari struktur graf fuzzy , dengan melihat kota-kota sebagai himpunan vertek dan himpunan fuzzy agen  perjalanan  yang  menyediakan  layanan  dari  satu  kota  ke  kota  lain.  Pengambilan keputusan pada penelitian ini adalah identifikasi agen perjalanan terbaik dengan faktor harga tiket.

## Landasan Teori
Berikut ini diberikan konsep-konsep dasar yang akan digunakan pada bagian pembahasan.
Definisi 1. [18] Diberikan suatu graf 𝐺 yang dengan 𝑉(𝐺) merupakan himpunan berhingga tak kosong dan 𝐸(𝐺) merupakan himpunan berhingga (dapat kosong), sedemikian hingga:
1. Setiap edge 𝐸(𝐺) menghubungkan tepat dua vertek berbeda tak berurutan di 𝑉(𝐺) .
2. Setiap dua vertek dalam 𝑉(𝐺) terhubung minimal oleh satu edge atau tidak terhubung sama sekali.
Definisi  2. [19] Diberikan  suatu  himpunan 𝑋 dengan 𝑥 ∈ 𝑋 .  Suatu  himpunan  fuzzy 𝐴 dalam 𝑋 didefinisikan  sebagai  sebuah  fungsi  keanggotaan 𝜇 𝐴 (𝑥) yang  menghubungkan  setiap  titik  dalam 𝑋 dengan  sebuah  bilangan  real  dalam  interval [0,1] ,  dengan  nilai 𝜇 𝐴 (𝑥) pada 𝑥 yang  mewakili  nilai keanggotaan dari 𝑥 dalam 𝐴 .
Definisi 3. [5] Diberikan graf  fuzzy 𝐺 = (𝑉, 𝜎, 𝜇) dari graf 𝐺 = (𝑉, 𝐸) adalah himpunan tak kosong 𝑉 serta  pasangan  fungsi 𝜎: 𝑉 → [0,1] dan 𝜇: 𝑉 × 𝑉 → [0,1] sehingga  untuk  semua 𝑥, 𝑦 ∈  𝑉, 𝜇(𝑥, 𝑦) ≤ 𝜎(𝑥) ∧ 𝜎(𝑦) . Notasi 𝜎 adalah derajat keanggotaan dari vertek dan 𝜇 adalah derajat keanggotaan dari edge.
Setelah diberikan definisi graf, fuzzy , dan graf fuzzy , selanjutnya akan diberikan definisi dari struktur graf. Berikut adalah definisi struktur graf.
Definisi 4. [13] Struktur graf 𝐺 ∗ = (𝑉, 𝑅 1 , ⋯ , 𝑅 𝑛 ) terdiri dari himpunan tak kosong 𝑉 bersama dengan relasi-relasi 𝑅 1 , 𝑅 2 , ⋯ , 𝑅 𝑛 pada 𝑉 yang  saling  disjoint  sedemikian  sehingga  setiap 𝑅 𝑖 , 1 ≤ 𝑖 ≤  𝑛 , simetris dan tidak refleksif.
Selanjutnya akan diberikan definisi dari struktur graf fuzzy .
Definisi 5. [20] Diberikan 𝜎 adalah himpunan fuzzy pada himpunan 𝑉 dan 𝜇 1 , 𝜇 2 , ⋯ , 𝜇 𝑛 masing-masing adalah himpunan fuzzy pada 𝑅 1 , 𝑅 2 , ⋯ , 𝑅 𝑛 . Jika 0 ≤ 𝜇 𝑖 (𝑢𝑣) ≤ 𝜎(𝑢) ∧ 𝜎(𝑣) untuk semua 𝑢, 𝑣 ∈ 𝑉 , 𝑖 = 1,2, ⋯ , 𝑛 maka 𝐺 = (𝜎, 𝜇 1 , 𝜇 2 , ⋯ , 𝜇 𝑛 ) disebut struktur graf fuzzy dari struktur graf 𝐺 ∗ .
Sebagaimana pembahasan dalam graf  yang memungkinkan untuk  membuat  product  dari dua  graf, dalam  striktur  graf  fuzzy  juga  dapat  dilakukan  hal  yang  serupa.  Berikut  ini  adalah  definisi  dari semi strong min-product dua struktur graf fuzzy.
Definisi 6. [17] Diberikan 𝐺 1 = (𝜎, 𝜇 1 ′ , 𝜇 2 ′ , … , 𝜇 𝑛 ′ ) dan 𝐺 2 = (𝜎, 𝜇 1 " , 𝜇 2 " , … , 𝜇 𝑛 " ) adalah dua struktur graf fuzzy dengan dasar struktur graf 𝐺 1 ∗ = (𝑉 1 , 𝑅 ′ 1 , 𝑅 2 ′ , … , 𝑅 𝑛 ′ ) dan 𝐺 2 ∗ = (𝑉 2 , 𝑅 " 1 , 𝑅 2 " , … , 𝑅 𝑛 " ). Didefinisikan 𝐺 = (𝜎, 𝜇 1 , 𝜇 2 , … , 𝜇 𝑛 ) dengan dasar struktur graf 𝐺 ∗ = (𝑉, 𝑅 1 , 𝑅 2 , … , 𝑅 𝑛 ) dimana 𝑉 = 𝑉 1 × 𝑉 2 dan 𝑅 𝑖 = {(𝑢 1 , 𝑣 1 )(𝑢 2 , 𝑣 2 )|𝑢 1 = 𝑢 2 , 𝑣 1 𝑣 2 ∈ 𝑅 𝑖 ", 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑢 1 𝑢 2 ∈ 𝑅 𝑖 ′} dan 𝜎(𝑢, 𝑣) = 𝜎 1 (𝑢) ∨ 𝜎 2 (𝑣) untuk  semua (𝑢, 𝑣) ∈ 𝑉 serta
𝜇 𝑖 (𝑢 1 , 𝑣 1 )(𝑢 2 , 𝑣 2 )) = { 𝜇 𝑖 ′ (𝑢 1 , 𝑢 2 ), 𝑢 1 𝑢 2 ∈ 𝑅 𝑖 ′ 𝜎 1 (𝑢 1 ) ∧ 𝜇 𝑖 "(𝑣 1 , 𝑣 2 ), 𝑢 1 = 𝑢 2 , 𝑣 1 𝑣 2 ∈ 𝑅 𝑖 " .
𝐺 dengan definisi di atas adalah semi strong min product dari 𝐺 1 dan 𝐺 2 , yang kemudian dinotasikan dengan 𝐺 1 [𝐺 2 ] 𝑚𝑖𝑛 .
Definisi 7. [21] Struktur graf fuzzy 𝐺 = (𝜎, 𝜇 1 , 𝜇 2 , ⋯ 𝜇 𝑛 ) dikatakan struktur graf fuzzy kuat(lengkap) jika
𝜇′ 𝑖 (𝑣 1 , 𝑣 2 ) = 𝜎(𝑣 1 ) ∧ 𝜎(𝑣 2 ), 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑠𝑒𝑡𝑖𝑎𝑝 𝑣 1 , 𝑣 2 ∈ 𝑅 𝑖 , 𝑖 ∈ {1,2, ⋯ , 𝑛} .
Berikut ini adalah syarat perlu semi strong min product dari dua struktur graf fuzzy menjadi struktur graf fuzzy yang kuat (lengkap).
Teorema  8. [17] 𝐺 1 = (𝜎, 𝜇 1 ′ , 𝜇 2 ′ , … , 𝜇 𝑛 ′ ) dan 𝐺 2 = (𝜎, 𝜇 1 " , 𝜇 2 " , … , 𝜇 𝑛 " ) adalah  dua  struktur  graf  fuzzy dengan 𝜎 2 ≤ 𝜎 1 dan 𝑢 𝑖 ′ serta 𝑢 𝑖 " adalah dua fugsi konstan yang sama, maka 𝐺 1 [𝐺 2 ] 𝑚𝑖𝑛 adalah struktur graf fuzzy kuat(lengkap).
Definisi 9. [20] Suatu 𝜇 𝑖 -path dari struktur graf fuzzy 𝐺 = (𝜎, 𝜇 1 , 𝜇 2 , ⋯ , 𝜇 𝑛 ) adalah urutan dari vertek- vertek, 𝑣 1 , 𝑣 2 , ⋯ , 𝑣 𝑛 yang  berbeda  (kecuali  mungkin 𝑣 0 = 𝑣 𝑛 )  sedemikian  sehingga (𝑣 𝑗−1 , 𝑣 𝑗 ) adalah suatu 𝜇 𝑖 -edge  untuk  semua 𝑗 = 1,2, ⋯ , 𝑛 .  Dua  vertek  dari  suatu  struktur  graf  fuzzy 𝐺 = (𝜎, 𝜇 1 , 𝜇 2 , ⋯ , 𝜇 𝑛 ) , yang dihubungkan oleh 𝜇 𝑖 -path dikatakan 𝜇 𝑖 -terhubung. Kemudian struktur graf fuzzy terhubung jika setiap dua vertek 𝜇 𝑖 -terhubung.
Definisi  10. [20] Diberikan 𝐺 = (𝜎, 𝜇 1 , 𝜇 2 , ⋯ , 𝜇 𝑛 ) adalah  struktur  graf  fuzzy  dari 𝐺 ∗ = (𝑉, 𝑅 1 , 𝑅 2 , ⋯ , 𝑅 𝑛 ) .  Jika 𝑑 𝜇 𝑖 (𝑣) = 𝑘, ∀𝑣 ∈ 𝑉 ,  dikatakan  sebagai 𝑘 − 𝜇 𝑖 -reguler.  Jika 𝑑 𝜇 12⋯𝑟 (𝑣) = 𝑘, ∀𝑣 ∈ 𝑉 ,  dikatakan  sebagai 𝑘 − 𝜇 𝑖 1 𝑖 2 ⋯𝑖 𝑟 -reguler.  Lebih  lanjut,  diperoleh  beberapa  hasil  pada 𝜇 𝑖 - regularity dan 𝜇 𝑖 1 𝑖 2 ⋯𝑖 𝑟 -regularity, yaitu sebagai berikut:
1. 𝐺 adalah 𝑘 − 𝜇 𝑖 -reguler jika dan hanya jika 𝛿 𝜇 𝑖 (𝐺) = 𝛥 𝜇 𝑖 (𝐺) = 𝑘 .
2. 𝐺 adalah 𝑘 − 𝜇 𝑖 1 𝑖 2 ⋯𝑖 𝑟 -reguler jika dan hanya jika 𝛿 𝜇 12⋯𝑟 (𝐺) = 𝛥 𝜇 12⋯𝑟 (𝐺) = 𝑘 .

## Bahan dan Metode
Penelitian  ini  memanfaatkan  petunjuk  algoritma  yang  muncul  dalam  artikel  [17]  dan  kemudian  akan diterapkan  pada  beberapa  kota  dipulau  jawa.  Adapun  langkah-langkah  untuk  menerapkannya  adalah sebagai berikut:
1. Masukkkan masing-masing kota sebagai vertek dan himpun dalam 𝑉 = {𝑣 1 , 𝑣 2 , … , 𝑣 𝑛 } 2. Bentuk himpunan fuzzy 𝜇 dari agen layanan yang menyediakan transportasi dari masing-masing kota dalam himpunan 𝑉 3. Bentuk himpunan fuzzy 𝜎 yang memenuhi relasi 𝜇(𝑣 𝑖 , 𝑣 𝑗 ) ≤ 𝜎(𝑣 𝑖 ) ∧ 𝜎(𝑣 𝑗 ).
4. Ulangi langkah 2 dan 3 untuk semua kota dalam himpunan 𝑉
5. Bentuk relasi dari layanan perjalanan
6. Kembangkan relasi yang disjoint, simetris dan tidak refleksi, kemudian beri nama 𝑅 1 , 𝑅 2 , … , 𝑅 𝑛 .
7. Buat stuktur graf dengan himpuan kota dan relasi tersebut
8. Tuliskan semua relasi berikut dengan nilai keanggotaanya, sehingga terbentuk struktur graf fuzzy.
Guna menerapkan langkah-langkah tersebut diperlukan data pendukungnya, yaitu dapat yang berupa harga untuk sekali perjalanan dari kota-kota yang ada di Jawa. Data tersebut, kami ambil dari  sumber www.redbus.id, diambil pada tanggal 8 Februari 2024 dengan nominal ribu Rupiah.
Tabel 1 Harga tiket agen perjalanan yang menyediakan layanan dari Jakarta ke kota-kota lain.
Agen Transportasi Jakarta, Magelang Jakarta, Semarang Jakarta, Madiun Rosalia Indah 240 240 235 Harapan Jaya 236 252 Sinar Jaya 175 161 Haryanto 280 280 303 Agra Mas 230 210 270 Kereta Api 104 240 Gunung Harta Kramat Djadi 210 250 Handoyo 210 Tabel 2 Harga tiket agen perjalanan yang menyediakan layanan dari Tangerang ke kota-kota lain.
Agen Transportasi Tangerang, Surakarta Tangerang, Yogyakarta Tangerang, Malang Rosalia Indah 235 235 385 Harapan Jaya 237 336 Sinar Jaya 210 170 340 Haryanto 279 279 Agra Mas 240 190 420 Kereta Api Gunung Harta 400 Kramat Djadi 240 230 350 Handoyo 205 330
Tabel 3 Harga tiket agen perjalanan yang menyediakan layanan dari Bekasi ke kota-kota lain.
Agen Transportasi Bekasi, Yogyakarta Bekasi, Surabaya Bekasi, Madiun Rosalia Indah 215 235 Harapan Jaya 315 252 Sinar Jaya 170 310 Haryanto 280 360 303.6 Agra Mas 230 550 270 Kereta Api 210 245 Gunung Harta 310 Kramat Djadi 220 Handoyo 205 290 Tabel 4 Harga tiket agen perjalanan yang menyediakan layanan dari Bogor ke kota-kota lain. Agen Transportasi Bogor, Surakarta Bogor, Semarang Bogor, Malang Rosalia Indah 215 215 385 Harapan Jaya 237 237 373 Sinar Jaya 200 170 340 Haryanto 280 280 406 Agra Mas 250 230 420 Kereta Api 245 Gunung Harta 400 Kramat Djadi 230 230 340 Handoyo Tabel 5 Harga tiket agen perjalanan yang menyediakan layanan dari Yogyakarta ke kota-kota lain. Agen Transportasi Yogyakarta, Jakarta Yogyakarta, Bogor Rosalia Indah 215 215 Harapan Jaya Sinar Jaya 166 170 Haryanto 280 280 Agra Mas 190 230 Kereta Api 200 Gunung Harta 250 250 Kramat Djadi 220 Handoyo 199 205 Tabel 6 Harga tiket agen perjalanan yang menyediakan layanan dari Magelang ke kota-kota lain. Agen Transportasi Magelang, Tangerang Magelang, Bekasi Magelang, Bogor Rosalia Indah 235 215 215 Harapan Jaya Sinar Jaya 200 170 170 Haryanto 279 280 280 Agra Mas 230 230 230 Kereta Api Gunung Harta 260 250 Kramat Djadi
Handoyo 205 205 205 Tabel 7 Harga tiket agen perjalanan yang menyediakan layanan dari Surakarta ke kota-kota lain. Agen Transportasi Surakarta, Jakarta Surakarta, Bekasi Rosalia Indah 215 215 Harapan Jaya 219 237 Sinar Jaya 210 200 Haryanto 280 280 Agra Mas 220 250 Kereta Api 240 240 Gunung Harta 250 Kramat Djadi 210 220 Handoyo Tabel 8 Harga tiket agen perjalanan yang menyediakan layanan dari Semarang ke kota-kota lain. Agen Transportasi Semarang, Tangerang  Semarang, Bekasi Rosalia Indah 235 215 Harapan Jaya 237 237 Sinar Jaya 163 160 Haryanto 279 280 Agra Mas 210 230 Kereta Api 104 Gunung Harta Kramat Djadi 240 220 Handoyo Tabel 9 Harga tiket agen perjalanan yang menyediakan layanan dari Madiun ke kota-kota lain. Agen Transportasi Madiun, Tangerang Madiun, Bogor Rosalia Indah 235 235 Harapan Jaya 252 252 Sinar Jaya Haryanto 302 303.6 Agra Mas 270 270 Kereta Api Gunung Harta Kramat Djadi 260 250 Handoyo Tabel 10 Harga tiket agen perjalanan yang menyediakan layanan dari Malang ke kota-kota lain. Agen Transportasi Malang, Jakarta Malang, Bekasi Rosalia Indah 385 385 Harapan Jaya 302 326 Sinar Jaya 330 330 Haryanto 406 406 Agra Mas 400 570 Kereta Api 250 245 Gunung Harta 390 390
Kramat Djadi 340 Handoyo 330 Tabel 11 Harga tiket agen perjalanan yang menyediakan layanan dari Surabaya ke kota-kota lain.
Agen Transportasi Surabaya, Jakarta Surabaya, Tangerang Surabaya, Bogor Rosalia Indah Harapan Jaya 296 315 363 Sinar Jaya 310 310 330 Haryanto 370 365 394 Agra Mas 375 400 400 Kereta Api 104 Gunung Harta 310 320 320 Kramat Djadi 300 310 300 Handoyo 280 290 300
Keterangan:
Derajat keanggotaan diperoleh dengan menggunakan rumus berikut 𝜇(𝑣 𝑖 ) : 1 − ℎ𝑎𝑟𝑔𝑎 𝑡𝑖𝑘𝑒𝑡 ℎ𝑎𝑟𝑔𝑎 𝑡𝑖𝑘𝑒𝑡 𝑡𝑒𝑟𝑡𝑖𝑛𝑔𝑔𝑖 .

## Hasil dan Pembahasan
Berikut  ini  adalah  langkah-langkah  untuk  menentukan  layanan  perjalanan  terbaik  berdasarkan harga termurah dengan memanfaatkan data dan algoritma yang ditampilkan di atas.
Langkah 1. Masukkan himpunan vertek 𝑉 = {𝑣 1 , 𝑣 2 , ⋯ , 𝑣 𝑛 } dari kota-kota.
Dibentuk sebuah himpunan 𝑉 yang terdiri dari sebelas kota.
𝑉 = {𝐽𝑎𝑘𝑎𝑟𝑡𝑎 (𝐽𝐾𝑇), 𝑇𝑎𝑛𝑔𝑒𝑟𝑎𝑛𝑔 (𝑇𝑁𝐺), 𝐵𝑜𝑔𝑜𝑟 (𝐵𝐺𝑅), 𝐵𝑒𝑘𝑎𝑠𝑖 (𝐵𝐾𝑆), 𝑌𝑜𝑔𝑦𝑎𝑘𝑎𝑟𝑡𝑎 (𝑌𝐾), 𝑀𝑎𝑔𝑒𝑙𝑎𝑛𝑔 (𝑀𝐺𝐿), 𝑆𝑒𝑚𝑎𝑟𝑎𝑛𝑔 (𝑆𝑀𝐺), 𝑆𝑢𝑟𝑎𝑘𝑎𝑟𝑡𝑎 (𝑆𝐾𝑇), 𝑀𝑎𝑙𝑎𝑛𝑔 (𝑀𝐿𝐺),
𝑆𝑢𝑟𝑎𝑏𝑎𝑦𝑎 (𝑆𝐵𝑌), 𝑀𝑎𝑑𝑖𝑢𝑛 (𝑀𝐷𝑁)} .
Langkah 2. Masukkan himpunan fuzzy agen perjalanan yang menyediakan layanan dari satu kota ke kota lain.
Pada table di atas telah didefinisikan derajat keanggotaan agen perjalanan di antara setiap pasangan kota yang didapat dari memperhatikan harga tiket.
Langkah  3. Masukkan  himpunan fuzzy 𝜎 didefinisikan  pada  himpunan 𝑉 .  Hitung  derajat keanggotaannya dengan menggunakan, 𝜇(𝑣 𝑖 𝑣 𝑗 ) ≤ 𝜎(𝑣 𝑖 ) ∧ 𝜎(𝑣 𝑗 ) .
Tabel 12 Himpunan fuzzy 𝜎 dari sebelas kota. Kota Derajat Keanggotaan Jakarta (JKT) 0.8 Tangerang (TNG) 0.65 Bekasi (BKS) 0.65 Bogor (BGR) 0.6 Yogyakarta (YK) 0.85 Semarang (SMG) 0.78 Surakarta (SKT) 0.9 Magelang (MGL) 0.8
Madiun (MDN) 0.55 Malang (MLG) 0.7 Surabaya (SBY) 0.8 Langkah 4 . Ulangi langkah 2 dan 3 untuk semua kota di himpunan 𝑉 .
Langkah  5. Bentuk  relasi-relasi  dari  layanan  perjalanan.  Setiap  elemen  dalam  relasi  apapun menunjukkan jenis layanan perjalanan terbaik di antara kedua kota tersebut.
Pada himpunan 𝑉 , banyak relasi yang dapat didefinisikan, berikut ini relasi-relasi pada 𝑉 :
𝑅 1 = {𝑅𝑜𝑠𝑎𝑙𝑖𝑎 𝐼𝑛𝑑𝑎ℎ, 𝐻𝑎𝑟𝑎𝑝𝑎𝑛 𝐽𝑎𝑦𝑎}, 𝑅 2 = {𝑆𝑖𝑛𝑎𝑟 𝐽𝑎𝑦𝑎, 𝐻𝑎𝑟𝑦𝑎𝑛𝑡𝑜}, 𝑅 3 = {𝐴𝑔𝑟𝑎𝑀𝑎𝑠, 𝐾𝑒𝑟𝑒𝑡𝑎 𝐴𝑝𝑖}, 𝑅 4 = {𝐺𝑢𝑛𝑢𝑛𝑔 𝐻𝑎𝑟𝑡𝑎, 𝐾𝑟𝑎𝑚𝑎𝑡 𝐷𝑗𝑎𝑡𝑖},
𝑅 5 = {𝐻𝑎𝑛𝑑𝑜𝑦𝑜} .
Langkah 6. Kembangkan relasi yang saling disjoint , simetris, dan tidak refleksif 𝑅 1 , 𝑅 2 , ⋯ , 𝑅 𝑛 pada himpunan kota 𝑉 dan beri nama setiap relasi sebagai agen perjalanan. Pilih agen perjalanan sebagai layanan terbaik untuk melakukan perjalanan dari satu kota ke kota lain, yang nilai keanggotaannya lebih tinggi.
𝑅 1 = {(𝐽𝑎𝑘𝑎𝑟𝑡𝑎, 𝑀𝑎𝑑𝑖𝑢𝑛), (𝐵𝑒𝑘𝑎𝑠𝑖, 𝑀𝑎𝑑𝑖𝑢𝑛), (𝑀𝑎𝑑𝑖𝑢𝑛, 𝑇𝑎𝑛𝑔𝑒𝑟𝑎𝑛𝑔), (𝑀𝑎𝑑𝑖𝑢𝑛, 𝐵𝑜𝑔𝑜𝑟)} ,
𝑅 2 = {(𝐽𝑎𝑘𝑎𝑟𝑡𝑎, 𝑀𝑎𝑔𝑒𝑙𝑎𝑛𝑔), (𝑇𝑎𝑛𝑔𝑒𝑟𝑎𝑛𝑔, 𝑆𝑢𝑟𝑎𝑘𝑎𝑟𝑡𝑎), (𝑇𝑎𝑛𝑔𝑒𝑟𝑎𝑛𝑔, 𝑌𝑜𝑔𝑦𝑎𝑘𝑎𝑟𝑡𝑎),
(𝐵𝑒𝑘𝑎𝑠𝑖, 𝑌𝑜𝑔𝑦𝑎𝑘𝑎𝑟𝑡𝑎), (𝐵𝑜𝑔𝑜𝑟, 𝑆𝑢𝑟𝑎𝑘𝑎𝑟𝑡𝑎), (𝐵𝑜𝑔𝑜𝑟, 𝑆𝑒𝑚𝑎𝑟𝑎𝑛𝑔), (𝑌𝑜𝑔𝑦𝑎𝑘𝑎𝑟𝑡𝑎, 𝐽𝑎𝑘𝑎𝑟𝑡𝑎),
(𝑌𝑜𝑔𝑦𝑎𝑘𝑎𝑟𝑡𝑎, 𝐵𝑜𝑔𝑜𝑟), (𝑆𝑒𝑚𝑎𝑟𝑎𝑛𝑔, 𝑇𝑎𝑛𝑔𝑒𝑟𝑎𝑛𝑔), (𝑆𝑢𝑟𝑎𝑘𝑎𝑟𝑡𝑎, 𝐵𝑒𝑘𝑎𝑠𝑖), (𝑀𝑎𝑔𝑒𝑙𝑎𝑛𝑔, 𝑇𝑎𝑛𝑔𝑒𝑟𝑎𝑛𝑔),
(𝑀𝑎𝑔𝑒𝑙𝑎𝑛𝑔, 𝐵𝑒𝑘𝑎𝑠𝑖), (𝑀𝑎𝑔𝑒𝑙𝑎𝑛𝑔, 𝐵𝑜𝑔𝑜𝑟)} ,
𝑅 3 = {(𝐽𝑎𝑘𝑎𝑟𝑡𝑎, 𝑆𝑒𝑚𝑎𝑟𝑎𝑛𝑔), (𝐵𝑜𝑔𝑜𝑟, 𝑀𝑎𝑙𝑎𝑛𝑔), (𝑆𝑒𝑚𝑎𝑟𝑎𝑛𝑔, 𝐵𝑒𝑘𝑎𝑠𝑖), (𝑀𝑎𝑙𝑎𝑛𝑔, 𝐽𝑎𝑘𝑎𝑟𝑡𝑎),
(𝑀𝑎𝑙𝑎𝑛𝑔, 𝐵𝑒𝑘𝑎𝑠𝑖), (𝑆𝑢𝑟𝑎𝑏𝑎𝑦𝑎, 𝐽𝑎𝑘𝑎𝑟𝑡𝑎)} ,
𝑅 4 = {(𝐽𝑎𝑘𝑎𝑟𝑡𝑎, 𝑆𝑢𝑟𝑎𝑘𝑎𝑟𝑡𝑎), (𝑆𝑢𝑟𝑎𝑏𝑎𝑦𝑎, 𝐵𝑜𝑔𝑜𝑟)} ,
𝑅 5 = {(𝑇𝑎𝑛𝑔𝑒𝑟𝑎𝑛𝑔, 𝑀𝑎𝑙𝑎𝑛𝑔), (𝐵𝑒𝑘𝑎𝑠𝑖, 𝑆𝑢𝑟𝑎𝑏𝑎𝑦𝑎), (𝑆𝑢𝑟𝑎𝑏𝑎𝑦𝑎, 𝑇𝑎𝑛𝑔𝑒𝑟𝑎𝑛𝑔)} .
Langkah  7. Buatlah  struktur  graf  pada  himpunan  kota  dengan  relasi,  pilih  pasangan  kota  yang memiliki jenis agen perjalanan terbaik yang sama sebagai elemen dari relasi yang sama.
Langkah  8. Tuliskan  semua  elemen  relasi  dengan  nilai  keaggotaannya,  sehingga  diperoleh  relasi (𝜇 1 , 𝜇 2 , ⋯ , 𝜇 𝑛 ) adalah himpunan fuzzy pada 𝑅 1 , 𝑅 2 , ⋯ , 𝑅 𝑛 dan (𝜎, 𝜇 1 , 𝜇 2 , ⋯ , 𝜇 𝑛 ) adalah struktur graf fuzzy . Gambarkan struktur graf fuzzy yang setiap edge -nya mengidentifikasi agen perjalanan terbaik di antara kota-kota yang bersesuaian.
𝑅 1 = {((𝐽𝑎𝑘𝑎𝑟𝑡𝑎, 𝑀𝑎𝑑𝑖𝑢𝑛),0.33), ((𝐵𝑒𝑘𝑎𝑠𝑖, 𝑀𝑎𝑑𝑖𝑢𝑛),0.33), ((𝑀𝑎𝑑𝑖𝑢𝑛, 𝑇𝑎𝑛𝑔𝑒𝑟𝑎𝑛𝑔),0.33),
((𝑀𝑎𝑑𝑖𝑢𝑛, 𝐵𝑜𝑔𝑜𝑟),0.33)} ,
𝑅 2 = {((𝐽𝑎𝑘𝑎𝑟𝑡𝑎, 𝑀𝑎𝑔𝑒𝑙𝑎𝑛𝑔),0.42), ((𝑇𝑎𝑛𝑔𝑒𝑟𝑎𝑛𝑔, 𝑆𝑢𝑟𝑎𝑘𝑎𝑟𝑡𝑎),0.4), ((𝑇𝑎𝑛𝑔𝑒𝑟𝑎𝑛𝑔, 𝑌𝑜𝑔𝑦𝑎𝑘𝑎𝑟𝑡𝑎),0.43), ((𝐵𝑒𝑘𝑎𝑠𝑖, 𝑌𝑜𝑔𝑦𝑎𝑘𝑎𝑟𝑡𝑎),0.43), ((𝐵𝑜𝑔𝑜𝑟, 𝑆𝑢𝑟𝑎𝑘𝑎𝑟𝑡𝑎),0.33),
((𝐵𝑜𝑔𝑜𝑟, 𝑆𝑒𝑚𝑎𝑟𝑎𝑛𝑔), 0.43), ((𝑌𝑜𝑔𝑦𝑎𝑘𝑎𝑟𝑡𝑎, 𝐽𝑎𝑘𝑎𝑟𝑡𝑎), 0.45), ((𝑌𝑜𝑔𝑦𝑎𝑘𝑎𝑟𝑡𝑎, 𝐵𝑜𝑔𝑜𝑟), 0.43),
((𝑆𝑒𝑚𝑎𝑟𝑎𝑛𝑔, 𝑇𝑎𝑛𝑔𝑒𝑟𝑎𝑛𝑔),0.53), ((𝑆𝑢𝑟𝑎𝑘𝑎𝑟𝑡𝑎, 𝐵𝑒𝑘𝑎𝑠𝑖),0.33), ((𝑀𝑎𝑔𝑒𝑙𝑎𝑛𝑔, 𝑇𝑎𝑛𝑔𝑒𝑟𝑎𝑛𝑔),0.33), ((𝑀𝑎𝑔𝑒𝑙𝑎𝑛𝑔, 𝐵𝑒𝑘𝑎𝑠𝑖),0.43), ((𝑀𝑎𝑔𝑒𝑙𝑎𝑛𝑔, 𝐵𝑜𝑔𝑜𝑟),0.43)},
𝑅 3 = {((𝐽𝑎𝑘𝑎𝑟𝑡𝑎, 𝑆𝑒𝑚𝑎𝑟𝑎𝑛𝑔),0.65), ((𝐵𝑜𝑔𝑜𝑟, 𝑀𝑎𝑙𝑎𝑛𝑔),0.46), ((𝑆𝑒𝑚𝑎𝑟𝑎𝑛𝑔, 𝐵𝑒𝑘𝑎𝑠𝑖),0.65),
((𝑀𝑎𝑙𝑎𝑛𝑔, 𝐽𝑎𝑘𝑎𝑟𝑡𝑎),0.44), ((𝑀𝑎𝑙𝑎𝑛𝑔, 𝐵𝑒𝑘𝑎𝑠𝑖),0.6)},
𝑅 4 = {((𝐽𝑎𝑘𝑎𝑟𝑡𝑎, 𝑆𝑢𝑟𝑎𝑘𝑎𝑟𝑡𝑎),0.3), ((𝑆𝑢𝑟𝑎𝑏𝑎𝑦𝑎, 𝐵𝑜𝑔𝑜𝑟),0.33)},
𝑅 5 = {((𝑇𝑎𝑛𝑔𝑒𝑟𝑎𝑛𝑔, 𝑀𝑎𝑙𝑎𝑛𝑔),0.27), ((𝐵𝑒𝑘𝑎𝑠𝑖, 𝑆𝑢𝑟𝑎𝑏𝑎𝑦𝑎),0.52),
((𝑆𝑢𝑟𝑎𝑏𝑎𝑦𝑎, 𝑇𝑎𝑛𝑔𝑒𝑟𝑎𝑛𝑔),0.36)}.
Gambar 1. Struktur graf fuzzy menunjukkan agen transportasi terbaik diantara kota-kota
Berdasarkan  struktur  graf  yang  ditunjukkan  pada  Gambar  1  dapat  dilihat  bahwa  setiap  relasi menunjukkan pasangan kota yang memiliki jenis agen terbaik. Namun dalam beberapa kasus, apek- aspek tertentu yang dihasilkan dari teori graf dapat bersifat ambigu, sehingga membutuhkan teori fuzzy dalam menangani permasalahan tersebut. Struktur graf pada Gambar 1 merupakan struktur graf fuzzy dengan  penambahan  nilai  keanggotaan fuzzy untuk  masing-masing  derajat  keanggotaan  pada himpunan vertek sesuai  dengan Tabel  (kota) dan derajat keanggotaan himpunan relasi-relasi sesuai dengan yang dijelaskan di atas.

## Kesimpulan
Berdasarkan struktur graf fuzzy yang ditunjukkan pada Gambar 1, setiap edge menunjukkan layanan perjalanan  terbaik  di  antara  kota-kota  terkait.  Sebagai  contoh,  layanan  perjalanan  terbaik  antara Surabaya (SBY) dan Tangerang (TNG) adalah Handoyo. Terlihat bahwa vertek Surabaya memiliki derajat relasi tertinggi yaitu Handoyo, ini berarti bahwa Surabaya memiliki Handoyo sebagai layanan perjalanan terbaik.  Selain itu, berdasarkan struktur graf fuzzy ,  Bekasi  (BKS) dan Yogyakarta (YK) memiliki  Sinar  Jaya  sebagai  layanan  perjalanan  terbaik  saat  ini.  Selanjutnya,  untuk  bepergian  dari Jakarta (JKT) ke Surakarta (SKT) layanan perjalanan terbaik adalah Kramat Djati. Dapat dilihat juga bahwa Sinar Jaya adalah layanan perjalanan terbaik saat ini di wilayah sebelas kota ini.

## Referensi
[1] L. A. Zadeh, “Fuzzy Sets,” Inf. Control 8 , vol. 353, pp. 1562–1569, 2014, doi: 10.1061/9780784413616.194. [2] L.  Tyagi  and  S.  Singal,  “Application  of  Fuzzy  Logic  Control  Systems  in  Military  Platforms,”  in 2019  9th  International
Conference  on  Cloud  Computing,  Data  Science  &  Engineering  (Confluence) ,  IEEE,  Jan.  2019,  pp.  397–402.  doi:
10.1109/CONFLUENCE.2019.8776955.
[3] C. G. Amza and D. T. Cicic, “Industrial Image Processing Using Fuzzy-logic,” Procedia Eng. , vol. 100, pp. 492–498, 2015, doi:
10.1016/j.proeng.2015.01.404.
[4] Y.  Anggara  and  A.  Munandar,  “Implementation  of  Hybrid  RNN-ANFIS  on  Forecasting  Jakarta  Islamic  Index,” Jambura  J.
Math. , vol. 5, no. 2, pp. 419–430, Aug. 2023, doi: 10.34312/jjom.v5i2.20407.
[5] A. Kauffman, “Introduction a la Theorie des Sous-emsembles Flous 1,” Masson Cie, Paris , 1973.
[6] A. Rosenfeld, “FUZZY GRAPHS,” Fuzzy Sets their Appl. to Cogn. Decis. Process. , pp. 77–95, 1975, doi: 10.1016/b978-0-12- 775260-0.50008-6.
[7] A. N. Gani and K. Radha, “On Regular Fuzzy Graphs,” J. Phys. Sci. , vol. 12, pp. 33–40, 2008.
[8] A. N. Gani and K. Radha, “The degree of a vertex in some fuzzy graphs,” Int. J. Algorithms, Comput. Math. , vol. 2, no. 3, pp. 107–116, 2009.
[9] P.  Bhattacharya,  “Some  remarks  on  fuzzy  graphs,” Pattern  Recognit.  Lett. ,  vol.  6,  no.  5,  pp.  297–302,  1987,  doi: 10.1016/0167-8655(87)90012-2.
[10] J. N. Mordeson and P. Chang-Shyh, “Operations on fuzzy graphs,” Inf. Sci. (Ny). , vol. 79, no. 3–4, pp. 159–170, 1994, doi: 10.1016/0020-0255(94)90116-3.
[11] N. Gani, “Order and size in fuzzy Graph,” no. May, 2015, doi: 10.13140/2.1.3884.0969.
[12] M. L. Prakasta and A. Munandar, “Pewarnaan Fraksional Fuzzy pada Graf Fuzzy Beserta Aplikasinya dalam Penjadwalan Ujian,” J. Fourier , vol. 12, no. 1, pp. 1–9, Apr. 2023, doi: 10.14421/fourier.2023.121.1-9.
[13] E. Sampathkumar, “Generalized Graph Structures,” Bull. Kerala Math. Assoc. , vol. 3, no. 2, pp. 67–123, 2006.
[14] T. Dinesh and T. V. Ramakrishnan, “On generalised fuzzy graph structures,” Appl. Math. Sci. , vol. 5, no. 1–4, pp. 173–180, 2011.
[15] M.  Sitara,  M.  Akram,  and  M.  Y.  Bhatti,  “Fuzzy  graph  structures  with  application,” Mathematics ,  vol.  7,  no.  1,  2019,  doi:
10.3390/math7010063.
[16] M.  Akram,  R.  Akmal,  and  N.  Alshehri,  “On  m-polar  fuzzy  graph  structures,” SpringerPlus ,  vol.  5,  no.  1.  2016.  doi:
10.1186/s40064-016-3066-8.
[17] M. Akram and M. Sitara, “Certain fuzzy graph structures,” J. Appl. Math. Comput. , vol. 61, no. 1–2, pp. 25–56, 2019, doi: 10.1007/s12190-019-01237-2.
[18] A. Munandar, Pengantar Matematika Diskrit dan Teori Graf . Deepulish, 2022.
[19] L. A. Zadeh, “Similarity relations and fuzzy orderings,” Inf. Sci. (Ny). , vol. 3, no. 2, pp. 177–200, 1971, doi: 10.1016/S0020- 0255(71)80005-1.
[20] T.  Dinesh,  “A  study  on  graph  structures,  incidence  algebras  and  their  fuzzy  analogues,” Ph.D.  Thesis,Kannur  Univ. Kerala,India , no. June, 2012.
[21] M. Pal, S. Samanta, and G. Ghorai, Modern Trends in Fuzzy Graph Theory . 2020. doi: 10.1007/978-981-15-8803-7.