## EULER: Jurnal Ilmiah Matematika, Sains dan Teknologi

## DETERMINAN SUATU MATRIKS TOEPLITZ K-TRIDIAGONAL MENGGUNAKAN METODE REDUKSI BARIS DAN EKSPANSI KOFAKTOR
Rasmawati 1* , Lailay Yahya 2 , Agusyarif Rezka Nuha 3 , Resmawan 4
1,2,3,4 Jurusan Matematika, Universitas Negeri Gorontalo, Bone Bolango 96119, Indonesia
*Penulis Korespondensi. Email: rasmawati1407@gmail.com

## Abstrak
Tulisan  ini  membahas  tentang  determinan  suatu  matriks  Toeplitz  k-tridiagonal  dengan menggunakan metode reduksi baris dan ekspansi kofaktor. Analisis dilakukan secara rekursif dari bentuk umum determinan matriks Toeplitz tridiagonal, determinan matriks Toeplitz 2-tridiagonal dan determinan matriks Toeplitz 3-tridiagonal. Pada akhirnya, diperoleh bentuk umum determinan matriks Toeplitz k-tridiagonal.
Kata Kunci: Determinan; Matriks Teoplitz k-Tridiagonal; Reduksi Baris; Ekspansi Kofaktor

## Abstract
This paper discusses the determinants of a k-tridiagonal Toeplitz matrix using row reduction and cofactor expansion methods. The analysis was carried out recursively from the general form of the determinant of the tridiagonal Toeplitz matrix, the determinant of the 2-tridiagonal Toeplitz matrix, and  the  determinant  of  the  3-tridiagonal  Toeplitz  matrix.  In  the  end,  the  general  form  of  the determinant of the k-tridiagonal Toeplitz matrix is obtained.
Keywords: Determinant; k-Tridiagonal Teoplitz Matrix; Row Reduction; Cofactor Expansion

## 1. Pendahuluan
Salah  satu  cabang  dari  ilmu  matematika  adalah  aljabar  linear  yang  di  dalamnya  membahas tentang  matriks.  Matriks  merupakan  salah  satu  materi  dasar  untuk  mempelajari  ilmu  matematika khususnya  tentang  aljabar.  Matriks  adalah  susunan  segi  empat  siku-siku  dari  bilangan-bilangan, bilangan-bilangan  dalam  susunan  tersebut  dinamakan  entri  dari  matriks,  dalam  matriks  dikenal ukuran matriks yang disebut ordo yaitu banyaknya baris × banyaknya kolom [1].
Salah satu pembahasan dalam teori matriks yaitu menentukan determinan dari suatu matriks. Determinan  mempunyai  peranan  penting  dalam  menyelesaikan  beberapa  persoalan  dalam  matriks dan  banyak  dipergunakan  dalam  ilmu  matematika  maupun  ilmu  terapannya.  Menghitung  nilai determinan suatu matriks terdapat beberapa metode yang dapat digunakan, diantara metode tersebut adalah  metode  reduksi  baris,  metode  ekspansi  kofaktor,  serta  metode  corner.  Menentukan  nilai determinan  matriks  dengan  ukuran  yang  kecil,  tidaklah  begitu  sulit.  Namun  jika  matriksnya berukuran besar, penentuan determinannya menjadi rumit. Sehingga diperlukan formula yang tepat untuk memudahkan penentuan determinan matriks. Dalam teori matriks juga terdapat berbagai jenis matriks, salah satunya matriks toeplitz. Pada dasarnya matriks toeplitz mempunyai operasi yang sama dengan matriks  biasa hanya saja pada matriks  toeplitz mempunyai  struktur dan sifat  yang khusus. Matriks toeplitz adalah matriks simetris yang sirkulan dimana setiap unsur pada diagonal utamanya sama dan setiap unsur pada subdiagonal yang bersesuaian dengan diagonal utama juga sama.
Salah satu jenis dari matriks toeplitz yaitu matriks toeplitz tridiagonal. Menurut Salkuyeh [2], suatu matriks toeplitz tridiagonal berorde 𝑛 adalah suatu matriks yang berbentuk:
𝐴 = [ 𝑏 𝑎 𝑐 𝑏 0 0 𝑎 0 ⋯ 0 ⋯ 0 0 𝑐 ⋮ ⋮ 𝑏 𝑎 ⋮ ⋮ ⋯ 0 ⋱ ⋮ 0 0 0 0 ⋯ 𝑐 ⋯ 0 𝑏 𝑎 𝑐 𝑏 ] . (1)
Matriks  jenis  ini  sudah  beberapa  kali  dibahasa  pada  penelitian-penelitian  sebelumnya, diantaranya dilakukan oleh Siregar [3] yang menunjukkan bahwa determinan matriks toeplitz yang memiliki bentuk khusus seperti berikut ini,
𝑇 𝑛 = [ 0 𝑥 𝑥 0 ⋯ 𝑥 ⋯ 𝑥 ⋮ ⋮ 𝑥 𝑥 ⋱ ⋮ ⋯ 0 ] ∀∈ R (2)
memiliki determinan
|𝑇 𝑛 | = (−1) 𝑛 (𝑛 − 1)𝑥 𝑛 .
Hal ini menunjukkan bahwa terdapat rumus khusus untuk menentukan determinan dari matriks toeplitz. Perhitungan determinan tidak perlu lagi melalui serangkaian proses yang panjang dan rumit, namun cukup dengan mensubstitusi entri-entri atau ukuran matriks yang akan dicari determinannya. Lebih lanjut, Borowska dan Lacinska [4] juga telah melakukan kajian terkait hubungan nilai eigen matriks toeplitz 2-tridiagonal dengan matriks toeplitz tridiagonal. Penelitian-penelitian terbaru yang secara  khusus  membahas  tentang  matriks  Toeplitz  k-Tridiagonal  dapat  ditemukan  pada  [5]-[8]. Beberapa pembahasan ini secara spesifik belum ada yang membahas tentang determinan matriks k- tridiagonal.
Pada makalah ini dibahas bentuk umum determinan matriks toeplitz k-tridiagonal yang belum ditemukan  pada  beberapa  penelitian  sebelumnya.  Formulasi  khusus/bentuk  umum  determinan matriks  toeplitz  k-tridiagonal  ditentukan  dengan  menggunakan  metode  reduksi  baris  dan  ekspansi kofaktor.

## 2. Metode Penelitian
Tedapat banyak jenis-jenis matriks, salah satunya adalah matriks toeplitz. Berikut diberikan definisi matriks toeplitz.
Definisi Gray [9] Sebuah matriks teoplitz adalah matriks berukuran 𝑛 × 𝑛 dinotasikan sebagai 𝑇 𝑛 = [𝑡 𝑘𝑗 ; 𝑘, 𝑗 = 0,1, . . . , 𝑛 − 1] dengan 𝑡 𝑘𝑗 = 𝑡 𝑘−𝑗 sebuah matriks dengan formula (3)
𝑇 𝑛 = [ 𝑡 0 𝑡 −1 𝑡 1 𝑡 0 𝑡 −2 ⋯ 𝑡 −1 ⋯ 𝑡 2 𝑡 1 ⋮ ⋮ 𝑡 0 ⋯ ⋮ ⋱ 𝑡 𝑛−1 𝑡 𝑛−2 ⋯ 𝑡 1 𝑡 −(𝑛−1) 𝑡 −(𝑛−2) 𝑡 −(𝑛−3) ⋮ 𝑡 0 ] (3)
Matriks ini diberi nama matriks toeplitz sebagaimana penemunya yaitu Otto Toeplitz, seorang matematikawan berkebangsaan Jerman di awal abad 20. Salah satu jenis dari matriks toeplitz adalah matriks toeplitz tridiagonal. Bentuk matriks toeplitz tridiagonal orde 𝑛 pada persamaan (1), dimana 𝑎 ≠ 0 dan 𝑐 ≠ 0 [3].
Dari matriks toeplitz tridiagonal ini dapat diperoleh matriks toeplits k-tridiagonal, Matriks k- tridiagonal umum 𝐴 𝑛 (𝑘) dapat ditulis dalam bentuk
𝐴 𝑛 (𝑘) = [𝑎 𝑖𝑗 ] 𝑛×𝑛 (4)
Jika
{ 𝑎,                             𝑖 = 𝑗 𝑏,                     𝑖 − 𝑗 = 𝑘 𝑐,                     𝑗 − 𝑖 = 𝑘 0,     𝑖, 𝑗, 𝑖 − 𝑗, 𝑘, 𝑗 − 𝑖, 𝑘 (5)
Dapat dicatat bahwa matriks tridiagonal (3) adalah kasus khusus dari matriks k-tridiagonal (4), ketika 𝑘 = 1 . Jika 𝑘 = 2 maka matriks ini memiliki bentuk (2)
𝐴 𝑛 (𝑘) = [ 𝑎 0 𝑐 0 𝑎 0 ⋱ ⋱ ⋱ 0 ⋯ 0 𝑐 ⋯ ⋯ ⋱ ⋱ ⋱ ⋯ ⋯ 0 ⋯ ⋯ 𝑏 0 ⋯ 0 𝑎 0 𝑐 0 𝑎 0 𝑏 0 𝑎 ] (6)
Ada beberapa metode untuk menentukan determinan dari matriks bujur sangkar yaitu metode sarrus,  metode  reduksi  baris,  metode  eliminasi  gauss,  metode  ekspansi  kofaktor.  Berdasarkan beberapa metode tersebut, penulis menggunakan dua metode yaitu metode reduksi baris dan ekspansi kofaktor.

## 2.1.  Metode Reduksi Baris
Metode  ini merupakan  salah  satu  cara  untuk  mengetahui  determinan  suatu  matriks  tidak memerhatikan  seberapa  besar  ukuran  matriks  tersebut.  Metode  ini  penting  untuk  menghindari perhitungan  pajang  yang  terlibat  dalam  penerapan  definisi  determinan  secara  langsung.  Jika 𝐴 memuat dua baris yang saling berkelipatan atau dua kolom yang saling berkelipatan, maka det(𝐴) = 0. Jika 𝐴 matriks segitiga maka 𝑑𝑒𝑡(𝐴) = 𝑎 11 𝑎 22 . . . 𝑎 𝑛𝑛 perkalian 𝑛 dari semua entri pada diagonal utama [10].

## 2.2.  Metode Ekspansi Kofaktor
Misalkan 𝐴 𝑛×𝑛 = [𝑎 𝑖𝑗 ] , maka minor dari 𝑎 𝑖𝑗 ,yang dilambangkan oleh 𝑀 𝑖𝑗 , adalah determinan dari submatriks A yang diperoleh dengan cara membuang semua entri pada baris ke-i dan semua entri pada  kolom  ke-j.  Sedangkan  kofaktor  dari 𝑎 𝑖𝑗 ,  yang  dilambangkan  oleh 𝐶 𝑖𝑗 ,  adalah (−1) 𝑖+𝑗 𝑀 𝑖𝑗 . Determinan  matriks 𝐴 yang  berukuran 𝑛 × 𝑛 dapat  dihitung  dengan  mengalikan  entri-entri  dalam suatu  baris  atau  kolom  dengan  kofaktor-kofaktornya  dan  menambahkan  hasil-hasil  kali  yang dihasilkan;  yakni,  untuk  setiap 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 dan 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑛 ,  maka det(𝐴) = 𝑎 1𝑗 𝐶 1𝑗 + 𝑎 2𝑗 𝐶 2𝑗 + ⋯ + ⋯ 𝑎 𝑛𝑗 𝐶 𝑛𝑗 (ekspansi kofaktor sepanjang kolom ke j), dan det(𝐴) = 𝑎 𝑖1 𝐶 𝑖1 + 𝑎 𝑖2 𝐶 𝑖2 + ⋯ + ⋯ 𝑎 𝑖𝑛 𝐶 𝑖𝑛 (ekspansi kofaktor sepanjang baris ke i) [10].
Metode  penelitian  yang  digunakan  adalah  studi  literatur,  terdapat  beberapa  langkah  yang dikerjakan.  Pertama  menentukan  determinan  matriks  toeplitz  tridiagonal  ordo 2 × 2 sampai 5 × 5 dan matriks toeplitz 2-tridiagonal ordo 3 × 3 sampai 6 × 6 dengan menggunakan kombinasi metode reduksi baris dan ekspansi kofaktor, menduga bentuk umum determinan matriks toeplitz tridiagonal dan  matriks  toeplitz  2-tridiagonal  dengan  memperhatikan  pola  rekursifnya.  Kedua  membuktikan bentuk  umum  determinan  matriks  toeplitz  tridiagonal  dan  matriks  toeplitz  2-tridiagonal  dengan menggunakan metode ekspansi kofaktor. Ketiga merumuskan bentuk determinan secara umum dari matriks  toeplitz  3-tridiagonal.  Keempat  membuktikan  rumus  determinan  dari  matriks  toeplitz  3- tridiagonal  yang  berorde 𝑛 × 𝑛 yang  diperoleh  menggunakan  metode  ekspansi  kofaktor.  Kelima merumuskan  bentuk  determinan  secara  umum  dari  matriks  toeplitz  k-tridiagonal.  Keenam
membuktikan  rumus  determinan  dari  matriks  Toeplitz 𝑘 -tridiagonal  yang  berorde 𝑛 × 𝑛 yang diperoleh menggunakan ekspansi kofaktor.

## 3. Hasil dan Pembahasan

## 3.1 Matriks Toeplitz Tridiagonal
Diberikan matriks toeplitz tridiagonal ordo 2 × 2 sampai 5 × 5 sebagai berikut:
𝑇 2 (1) = [ 𝑎 𝑐 𝑏 𝑎 ]
Dapat langsung diperoleh
|𝑇 2 (1) | = 𝑎 2 − 𝑏𝑐
Lalu diberikan matriks toeplitz tridiagonal ordo 3 × 3 sebagai berikut:
𝑇 3 (1) = [ 𝑎 𝑐 0 𝑏 𝑎 𝑐 0 𝑏 𝑎 ]
Langkah  pertama  yang  dilakukan  adalah  mereduksi  matriks  yang  diberikan  melalui  operasi baris elementer hingga terdapat suatu baris atau kolom yang banyak memuat entri nol (hanya satu yang bukan nol).
𝑇 3 (1) = [ 𝑎 𝑐 0 𝑏 𝑎 𝑐 0 𝑏 𝑎 ] 𝐵 2 + (− 𝑏 𝑎 ∙ 𝐵 1 )
diperoleh
𝑇 3 (1) = [ 𝑎 𝑐 0 0 𝑎 2 − 𝑏𝑐 𝑎 𝑐 0 𝑏 𝑎 ]
selanjutnya adalah melakukan ekspansi kofaktor sepanjang baris atau kolom yang banyak memuat entri nol. Pada kasus ini dipilih ekspansi kofaktor sepanjang kolom pertama dengan rumus 𝑎 11 𝐶 11 + 𝑎 21 𝐶 21 + 𝑎 31 𝐶 31 , sehingga diperoleh
|𝑇 3 (1) | = 𝑎 [ 𝑎 2 − 𝑏𝑐 𝑎 𝑐 𝑏 𝑎 ]
jadi, determinan dari |𝑇 3 (1) | adalah
|𝑇 3 (1) | = 𝑎((𝑎 2 − 𝑏𝑐) − (𝑏𝑐)) |𝑇 3 (1) | = 𝑎 3 − 𝑎𝑏𝑐 − 𝑎𝑏𝑐 |𝑇 3 (1) | = 𝑎 3 − 2𝑎𝑏𝑐
Dengan menggunakan cara yang sama seperti sebelumnya didapat determinan matriks toeplitz tridiagonal menggunakan kombinasi reduksi baris dan ekspansi kofaktor
|𝑇 4 (1) | = 𝑎 4 − 3𝑎 2 𝑏𝑐  +   𝑏 2 𝑐 2
|𝑇 5 (1) | = 𝑎 5 − 4𝑎 3 𝑏𝑐  +  3𝑎𝑏 2 𝑐 2
Dari urutan determinan diatas dapat diperoleh bentuk umum matriks toeplitz tridiagonal ordo 𝑛 × 𝑛 dimana 𝑛  ≥ 2 dinyatakan sebagai:
Teorema 1. Bentuk Umum Determinan Matriks Toeplitz Tridiagonal
Andaikan 𝑇 𝑛 (1) adalah suatu matriks toeplitz tridiagonal berordo 𝑛  ×  𝑛 maka determinan dari matriks 𝑇 𝑛 (1) dapat dinyatakan sebagai berikut
|𝑇 𝑛 (1) | = 𝑎|𝑇 𝑛−1 (1) | − 𝑏𝑐|𝑇 𝑛−2 (1) | (7)
dimana |𝑇 0 (1) | = 1 dan |𝑇 1 (1) | = 𝑎
Bukti. Pembuktian dilakukan dengan ekspansi kofaktor 𝑇 𝑛 (1) |𝑇 𝑛 (1) | = | | 𝑎 𝑐 0 𝑏 𝑎 𝑐 0 𝑏 𝑎 0 ⋯ 0 0 ⋯ ⋯ 𝑐 ⋯ ⋯ ⋮ ⋱ ⋱ ⋯ ⋯ 𝑏 ⋯ ⋯ 0 ⋱ ⋱ ⋮ 𝑎 𝑐 0 𝑏 𝑎 𝑐 0 ⋯ 0 0 𝑏 𝑎 | | 𝑛×𝑛
Menggunakan ekspansi kofaktor untuk 𝑇 𝑛 (1) disepanjang kolom pertama
|𝑇 𝑛 (1) | = 𝑎 | | 𝑎 𝑐 0 𝑏 𝑎 𝑐 0 𝑏 𝑎 0 ⋯ 0 0 ⋯ ⋯ 𝑐 ⋯ ⋯ ⋮ ⋱ ⋱ ⋯ ⋯ 𝑏 ⋯ ⋯ 0 ⋱ ⋱ ⋮ 𝑎 𝑐 0 𝑏 𝑎 𝑐 0 ⋯ 0 0 𝑏 𝑎 | | 𝑛−1×𝑛−1 − 𝑏 | | 𝑐 0 0 𝑏 𝑎 𝑐 0 𝑏 𝑎 0 ⋯ 0 0 ⋯ ⋯ 𝑐 ⋯ ⋯ ⋮ ⋱ ⋱ ⋯ ⋯ 𝑏 ⋯ ⋯ 0 ⋱ ⋱ ⋮ 𝑎 𝑐 0 𝑏 𝑎 𝑐 0 ⋯ 0 0 𝑏 𝑎 | | 𝑛−1×𝑛−1
Selanjutnya melakukan ekspansi kofaktor sepanjang baris pertama, jadi didapatkan
|𝑇 𝑛 (1) | = 𝑎|𝑇 𝑛−1 (1) | − 𝑏𝑐 | | 𝑎 𝑐 0 𝑏 𝑎 𝑐 0 𝑏 𝑎 0 ⋯ 0 0 ⋯ ⋯ 𝑐 ⋯ ⋯ ⋮ ⋱ ⋱ ⋯ ⋯ 𝑏 ⋯ ⋯ 0 ⋱ ⋱ ⋮ 𝑎 𝑐 0 𝑏 𝑎 𝑐 0 ⋯ 0 0 𝑏 𝑎 | | 𝑛−2×𝑛−2
Dengan demikian terbukti bahwa |𝑇 𝑛 (1) | = 𝑎|𝑇 𝑛−1 (1) | − 𝑏𝑐|𝑇 𝑛−2 (1) |.

## 3.2 Matriks Toeplitz 2-Tridiagonal
Diberikan matriks toeplitz 2-tridiagonal ordo 3 × 3 sampai 6 × 6 sebagai berikut:
𝑇 3 (2) = [ 𝑎 0 𝑐 0 𝑎 0 𝑏 0 𝑎 ]
Langkah  pertama  yang  dilakukan  adalah  mereduksi  matriks  yang  diberikan  melalui  operasi  baris elementer hingga terdapat suatu baris atau kolom yang  banyak memuat entri nol (hanya satu yang bukan nol).
𝑇 3 (2) = [ 𝑎 0 𝑐 0 𝑎 0 𝑏 0 𝑎 ] 𝐵 3 + (− 𝑏 𝑎 ∙ 𝐵 1 ) 𝑇 3 (2) = [ 𝑎 0 𝑐 0 𝑎 0 0 0 𝑎 2 − 𝑏𝑐 𝑎 ]
Selanjutnya adalah melakukan ekspansi kofaktor sepanjang baris atau kolom yang banyak memuat entri nol. Pada kasus ini dipilih ekspansi kofaktor sepanjang kolom pertama dengan rumus 𝑎 11 𝐶 11 + 𝑎 21 𝐶 21 + 𝑎 31 𝐶 31 . Sehingga diperoleh
|𝑇 3 (2) | = 𝑎 [ 𝑎 0 0 𝑎 2 − 𝑏𝑐 𝑎 ]
Jadi determinan dari 𝑇 3 (2) adalah
|𝑇 3 (2) | = 𝑎(𝑎) ( 𝑎 2 − 𝑏𝑐 𝑎 ) |𝑇 3 (2) | = 𝑎 3 − 𝑎𝑏𝑐
Dengan menggunakan cara yang sama seperti sebelumnya didapat determinan matriks toeplitz 2-tridiagonal menggunakan kombinasi reduksi baris dan ekspansi kofaktor
|𝑇 4 (2) | = 𝑎 4 − 2𝑎 2 𝑏𝑐 + 𝑏 2 𝑐 2 |𝑇 5 (2) | = 𝑎 5 − 3𝑎 3 𝑏𝑐 + 2𝑎𝑏 2 𝑐 2
|𝑇 6 (2) | = 𝑎 6 − 4𝑎 4 𝑏𝑐 + 4𝑎 2 𝑏 2 𝑐 2
Dari urutan determinan diatas dapat diperoleh bentuk umum matriks toeplitz 2-tridiagonal ordo 𝑛 × 𝑛 dimana 𝑛  ≥ 3 dinyatakan sebagai:
Teorema 2. Bentuk Umum Determinan Matriks Toeplitz 2-Tridiagonal
Andaikan 𝑇 𝑛 (2) adalah suatu matriks toeplitz tridiagonal berordo 𝑛  ×  𝑛 maka determinan dari matriks 𝑇 𝑛 (2) dapat dinyatakan sebagai berikut
|𝑇 𝑛 (2) | = 𝑎|𝑇 𝑛−1 (2) | − 𝑎𝑏𝑐|𝑇 𝑛−3 (2) | − 𝑏 2 𝑐 2 |𝑇 𝑛−4 (2) | (8)
dimana |𝑇 −1 (2) | = 0 , |𝑇 0 (2) | = 1 , |𝑇 1 (2) | = 𝑎 dan |𝑇 2 (2) | = 𝑎 2
Bukti. Pembuktian dilakukan dengan ekspansi kofaktor 𝑇 𝑛 (2)
|𝑇 𝑛 (2) | = | | 𝑎 0 𝑐 0 𝑎 0 𝑏 0 𝑎 0 0 ⋯ 𝑐 0 ⋯ 0 𝑐 ⋯ 0 ⋯ ⋯ ⋮ ⋱ ⋱ ⋯ ⋯ 𝑏 ⋯ ⋯ 0 ⋱ ⋱ ⋱ 0 𝑎 0 𝑏 0 𝑎 ⋮ 0 0 0 ⋯ 0 0 𝑏 0 𝑎 | | 𝑛×𝑛
Menggunakan ekspansi kofaktor untuk |𝑇 𝑛 (2) | disepanjang kolom pertama
|𝑇 𝑛 (2) | = 𝑎 | | 𝑎 0 𝑐 0 𝑎 0 𝑏 0 𝑎 0 0 ⋯ 𝑐 0 ⋯ 0 𝑐 ⋯ 0 ⋯ ⋯ ⋮ ⋱ ⋱ ⋯ ⋯ 𝑏 ⋯ ⋯ 0 ⋱ ⋱ ⋱ 0 𝑎 0 𝑏 0 𝑎 ⋮ 0 0 0 ⋯ 0 0 𝑏 0 𝑎 | | 𝑛−1×𝑛−1 + 𝑏 | | 0 𝑐 0 𝑎 0 𝑐 𝑏 0 𝑎 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0 𝑐 ⋯ 0 ⋯ ⋯ ⋮ ⋱ ⋱ ⋯ ⋯ 𝑏 ⋯ ⋯ 0 ⋱ ⋱ ⋱ 0 𝑎 0 𝑏 0 𝑎 ⋮ 0 0 0 ⋯ 0 0 𝑏 0 𝑎 | | 𝑛−1×𝑛−1
Selanjutnya melakukan ekspansi kofaktor pada baris pertama, jadi didapatkan
|𝑇 𝑛 (2) | = 𝑎|𝑇 𝑛−1 (2) | − 𝑏𝑐 | | 𝑎 𝑐 0 𝑏 𝑎 0 0 0 𝑎 0 0 ⋯ 𝑐 0 ⋯ 0 𝑐 ⋯ 0 ⋯ ⋯ ⋮ ⋱ ⋱ ⋯ ⋯ 𝑏 ⋯ ⋯ 0 ⋱ ⋱ ⋱ 0 𝑎 0 𝑏 0 𝑎 ⋮ 0 0 0 ⋯ 0 0 𝑏 0 𝑎 | | 𝑛−2×𝑛−2
Kemudian kembali melakukan ekspansi kofaktor di sepanjang baris pertama. Sehingga diperoleh
|𝑇 𝑛 (2) | = 𝑎|𝑇 𝑛−1 (2) | − 𝑎𝑏𝑐 | | 𝑎 0 𝑐 0 𝑎 0 𝑏 0 𝑎 0 0 ⋯ 𝑐 0 ⋯ 0 𝑐 ⋯ 0 ⋯ ⋯ ⋮ ⋱ ⋱ ⋯ ⋯ 𝑏 ⋯ ⋯ 0 ⋱ ⋱ ⋱ 0 𝑎 0 𝑏 0 𝑎 ⋮ 0 0 0 ⋯ 0 0 𝑏 0 𝑎 | | 𝑛−3×𝑛−3
+ 𝑏𝑐 2 | | 𝑏 0 𝑐 0 𝑎 0 0 0 𝑎 0 0 ⋯ 𝑐 0 ⋯ 0 𝑐 ⋯ 0 ⋯ ⋯ ⋮ ⋱ ⋱ ⋯ ⋯ 𝑏 ⋯ ⋯ 0 ⋱ ⋱ ⋱ 0 𝑎 0 𝑏 0 𝑎 ⋮ 0 0 0 ⋯ 0 0 𝑏 0 𝑎 | | 𝑛−3×𝑛−3
Selanjutnya dilakukan kembali ekspansi kofaktor di sepanjang kolom pertama, diperoleh
|𝑇 𝑛 (2) | = 𝑎|𝑇 𝑛−1 (2) | − 𝑎𝑏𝑐|𝑇 𝑛−3 (2) | + 𝑏 2 𝑐 2 | | 𝑎 0 𝑐 0 𝑎 0 𝑏 0 𝑎 0 0 ⋯ 𝑐 0 ⋯ 0 𝑐 ⋯ 0 ⋯ ⋯ ⋮ ⋱ ⋱ ⋯ ⋯ 𝑏 ⋯ ⋯ 0 ⋱ ⋱ ⋱ 0 𝑎 0 𝑏 0 𝑎 ⋮ 0 0 0 ⋯ 0 0 𝑏 0 𝑎 | | 𝑛−4×𝑛−4
Dengan demikian terbukti bahwa |𝑇 𝑛 (2) | = 𝑎|𝑇 𝑛−1 (2) | − 𝑎𝑏𝑐|𝑇 𝑛−3 (2) | + 𝑏 2 𝑐 2 |𝑇 𝑛−4 (2) |.

## 3.3 Matriks Toelitz 3-Tridiagonal
Bentuk umum matriks toeplitz 3-tridiagonal sebagai berikut:
𝑇 𝑛 (3) = [ 𝑎 0 0 0 𝑎 0 0 0 𝑎 𝑐 0 0 0 𝑐 0 0 0 𝑐 0 ⋯ 0 0 ⋯ ⋯ 0 ⋯ ⋯ 𝑏 0 0 ⋮ ⋱ ⋱ ⋯ ⋯ 0 𝑎 0 0 ⋱ ⋱ ⋱ 𝑏 0 0 𝑐 ⋯ ⋯ ⋱ ⋱ ⋮ 𝑎 0 0 ⋯ ⋯ 0 0 ⋯ 0 0 𝑏 0 0 0 𝑏 0 𝑎 0 0 0 𝑎 ]
dimana 𝑛 ≥ 3 dan 𝑘 = 3
Teorema 3. Bentuk Umum Determinan Matriks Toeplitz 3-Tridiagonal
Andaikan |𝑇 𝑛 (3) | adalah suatu matriks toeplitz 3-tridiagonal berordo 𝑛  ×  𝑛 maka determinan dari matriks |𝑇 𝑛 (3) | dapat dinyatakans ebagai berikut
|𝑇 𝑛 (3) | = a|𝑇 𝑛−1 (3) | − 𝑏𝑐 |𝑇 ⌈ 𝑛 3 ⌉−2 (1) | |𝑇 𝑛−⌈ 𝑛 3 ⌉ (2) | (9)
dimana |𝑇 3 (3) | = 𝑎 3 dan ⌈ 𝑛 3 ⌉ merupakan pembulatan keatas.
Bukti. Pembuktian  dilakukan  dengan  ekspansi  kofaktor |𝑇 𝑛 (3) | .  Pada  bukti  teorema  ini  tidak  akan ditulis matriks yang diperoleh dari setiap langkah ekspansi kofaktor dengan jelas seperti pada bukti teorema 1 dan bukti teorema 2. Namun hanya akan dituliskan langkah-langkah yang akan digunakan sebagai langkah kerjanya.
Langkah 1:
Dengan melakukan ekspansi kofaktor dari |𝑇 𝑛 (3) | di sepanjang kolom pertama, diperoleh
|𝑇 𝑛 (3) | = 𝑎|𝑇 𝑛−1 (3) | − 𝑏|𝑀 𝑛−1 |
notasi |𝑀 𝑛−1 | merupakan determinan dari matriks dengan ordo 𝑛 − 1 × 𝑛 − 1 yang tidak memenuhi bentuk (5)
Langkah 2:
Selanjutnya adalah melakukan ekspansi kofaktor di sepanjang baris pertama pada |𝑀 𝑛−1 | , diperoleh |𝑇 𝑛 (3) | = 𝑎|𝑇 𝑛−1 (3) | − 𝑏𝑐|𝑀 𝑛−2 |
notasi |𝑀 𝑛−2 | merupakan determinan dari matriks dengan ordo 𝑛 − 2 × 𝑛 − 2 yang tidak memenuhi bentuk (5).
Langkah-langkah selanjutnya akan dilanjutkan dengan mengekspansi kofaktor dari |𝑀 𝑛−2 | dan semua submatriks yang diperoleh dari mengekspansi kofaktor disepanjang kolom (3 + 2𝑖) , dimana 𝑖 = 1,2,3,4, ⋯ , ⌈ 𝑛 3 ⌉ − 2 .  Jadi  langkah  selanjutnya  adalah  melakukan  ekspansi  kofaktor  disepanjang kolom  ke-5  dari |𝑀 𝑛−2 | sehingga  diperoleh  determinan  matriks  yang  berordo 𝑛 − 3 × 𝑛 − 3 , kemudian  dilakukan  lagi  ekspansi  kofaktor  disepanjang  kolom  ke-7  sehingga  menghasilkan determinan matriks berordo 𝑛 − 4 × 𝑛 − 4 , dan kemudian dilakukan ekspansi kofaktor kembali dan mendapatkan  determinan  matriks  ordo 𝑛 − 5 × 𝑛 − 5 dan  seterusnya.  Proses  ekspansi  kofaktor
disepanjang  kolom  ini  secara  keseluruhan  diulangi  sampai ⌈ 𝑛 3 ⌉ kali.  Koefisien  dari |𝑇 𝑛−⌈ 𝑛 3 ⌉ (2) | yang
diperoleh merupakan polinomial dengan variabel 𝑎, 𝑏 dan 𝑐 . Polinomial ini sesuai dengan |𝑇 ⌈ 𝑛 3 ⌉−2 (1) | .
Dengan demikian |𝑇 𝑛 (3) | = 𝑎|𝑇 𝑛−1 (3) | − 𝑏𝑐|𝑀 𝑛−2 | menjadi
|𝑇 𝑛 (3) | = a|𝑇 𝑛−1 (3) | − 𝑏𝑐 |𝑇 ⌈ 𝑛 3 ⌉−2 (1) | |𝑇 𝑛−⌈ 𝑛 3 ⌉ (2) |
Akibatnya,  setelah  langkah  terakhir  dari  ekspansi  kofaktor,  diperoleh  determinan  matriks  yang berordo 𝑛 − ⌈ 𝑛 3 ⌉ × 𝑛 − ⌈ 𝑛 3 ⌉ , dimana matriks tersebut memiliki bentuk toeplitz 2-tridiagonal.

## 3.4 Matriks Toeplitz k-Tridiagonal
Bentuk umum matriks toeplitz k-tridiagonal sebagai berikut:
𝑇 𝑛 (𝑘) =
[ 𝑎 0 ⋯ 0 𝑎 0 ⋮ 0 𝑎 0 𝑐 ⋯ ⋯ 0 𝑐 ⋱ ⋯ ⋱ ⋯ ⋯ 0 0 ⋯ ⋮ ⋱ ⋱ ⋮ 0 ⋮ ⋱ 𝑏 0 ⋯ ⋮ ⋱ ⋱ ⋱ ⋱ ⋯ ⋱ 𝑎 ⋱ ⋯ ⋱ ⋱ ⋱ ⋱ ⋮ ⋯ 0 𝑐 ⋱ ⋯ 0 ⋮ ⋯ ⋱ ⋮ ⋯ ⋯ 0 ⋯ ⋯ ⋱ ⋯ ⋱ ⋱ ⋱ ⋯ ⋯ 𝑏 0 𝑎 0 ⋮ 0 𝑎 0 ⋯ 0 𝑎 ]
Bentuk umum dari matriks toeplitz k-tridiagonal memenuhi persamaan rekursif pada teorema 4.
Teorema 4. Bentuk Umum Matriks Toeplitz k-Tridiagonal
Andaikan 𝑇 𝑛 (𝑘) adalah  suatu  matriks  toeplitz  k-tridiagonal  berordo 𝑛 × 𝑛 maka  determinan  dari matriks 𝑇 𝑛 (𝑘) dapat dinyatakan sebagai berikut:
|𝑇 𝑛 (𝑘) | = a|𝑇 𝑛−1 (𝑘) | − 𝑏𝑐 |𝑇 ⌈ 𝑛 𝑘 ⌉−2 (1) | |𝑇 𝑛−⌈ 𝑛 𝑘 ⌉ (𝑘−1) | (10)
dimana 𝑛 ≥ 𝑘 + 1 , |𝑇 𝑠 (𝑘) | = 𝑎 𝑠 untuk 0 ≤ 𝑠 ≤ 𝑘 , dan ⌈ 𝑛 𝑘 ⌉ merupakan pembulatan angka keatas.
Bukti. Pembuktian  pada  teorema  ini  dilakukan  dengan  menggunakan  analogi  yang  sama  pada pembuktian teorema 3. Sebagai ilustrasi perhatikan penyelesaian matriks berikut yang berbentuk 4- tridiagonal dengan ordo 18
Langkah 1:
Pertama-tama adalah melakukan ekspansi kofaktor sepanjang kolom pertama pada |𝑇 18 (4) | , sehingga diperoleh
|𝑇 18 (4) | = 𝑎|𝑇 17 (4) | − 𝑏|𝑀 17 |
|𝑀 17 | merupakan determinan matriks 17 × 17 .
Langkah 2:
Melakukan ekspansi kofaktor disepanjang baris pertama pada |𝑀 17 | , dan diperoleh
|𝑇 18 (4) | = 𝑎|𝑇 17 (4) | − 𝑏𝑐|𝑀 16 |
|𝑀 16 | merupakan determinan matriks ordo 16 × 16 .
Langkah  ini  akan  terus  dilanjutkan  dengan  melakukan  ekspansi  kofaktor  pada |𝑀 16 | di  sepanjang kolom (3𝑖 + 2𝑖), 𝑖 = 1,2,3,4, ⋯ , ⌈ 18 4 ⌉ − 2 .  Dengan  demikian  ekspansi  kofaktor  akan  dilakukan disepanjang kolom ke 7,10 dan 13
Langkah 3:
Melakukan ekspansi kofaktor di sepanjang kolom ke-5 pada |𝑀 16 | , sehingga diperoleh
|𝑇 18 (4) | = 𝑎|𝑇 17 (4) | − 𝑎𝑏𝑐|𝑀 2 | − 𝑏 2 𝑐|𝑀 3 | |𝑀 2 | dan |𝑀 3 | merupakan determinan matriks ordo 15 × 15 setelah langkah ke-3.
Langkah 4:
Melakukan ekspansi kofaktor di sepanjang kolom ke-10 pada |𝑀 2 | dan |𝑀 3 | , diperoleh
|𝑇 18 (4) | = 𝑎|𝑇 17 (4) | − 𝑎 2 𝑏𝑐|𝑀 4 | − 𝑎𝑏 2 𝑐|𝑀 5 | + 𝑏 2 𝑐 2 |𝑀 6 | − 𝑏 3 𝑐|𝑀 7 |
|𝑀 4 | , |𝑀 5 | , |𝑀 6 | dan |𝑀 7 | merupakan determinan matriks berordo 14 × 14 setelah langkah ke-4. Langkah 5:
Melakukan ekspansi kofaktor di sepanjang kolom ke-13 pada |𝑀 4 | , |𝑀 5 | , |𝑀 6 | dan |𝑀 7 | , diperoleh
|𝑇 18 (4) | = 𝑎|𝑇 17 (4) | − 𝑎 3 𝑏𝑐|𝑀 8 | + 𝑎𝑏 2 𝑐 2 |𝑀 9 | + 𝑎𝑏 2 𝑐 2 |𝑀 10 | − 0
|𝑀 8 | , |𝑀 9 | , dan |𝑀 10 | merupakan determinan matriks berordo 13 × 13 . Pengerjaan ini berakhir pada langkah ini karena matriks yang diperoleh merupakan bentuk matriks pada persamaan (5), dan juga karena jumlah langkah sama dengan ⌈ 18 4 ⌉ . Sehingga langkah 5 ini dapat dituliskan sebagai berikut
|𝑇 18 (4) | = 𝑎|𝑇 17 (4) | − 𝑎 3 𝑏𝑐|𝑇 13 (2) | + 𝑎𝑏 2 𝑐 2 |𝑇 13 (2) | + 𝑎𝑏 2 𝑐 2 |𝑇 13 (2) | |𝑇 18 (4) | = 𝑎|𝑇 17 (4) | − (𝑎 3 𝑏𝑐 − 2𝑎𝑏 2 𝑐 2 )|𝑇 13 (2) |
|𝑇 18 (4) | = 𝑎|𝑇 17 (4) | − 𝑏𝑐(𝑎 3 − 2𝑎𝑏𝑐)|𝑇 13 (2) |
(𝑎 3 − 2𝑎𝑏𝑐) merupakan |𝑇 3 (1) | , maka
|𝑇 18 (4) | = 𝑎|𝑇 17 (4) | − 𝑏𝑐|𝑇 3 (1) ||𝑇 3 (2) |.

## 4. Kesimpulan
Bentuk umum dari matriks toeplitz k-tridiagonal adalah:
|𝑇 𝑛 (𝑘) | = a|𝑇 𝑛−1 (𝑘) | − 𝑏𝑐 |𝑇 ⌈ 𝑛 𝑘 ⌉−2 (1) | |𝑇 𝑛−⌈ 𝑛 𝑘 ⌉ (𝑘−1) |
dimana 𝑛 ≥ 𝑘 + 1 , |𝑇 𝑠 (𝑘) | = 𝑎 𝑠 untuk 0 ≤ 𝑠 ≤ 𝑘 , dan ⌈ 𝑛 𝑘 ⌉ merupakan pembulatan angka keatas.

## Referensi
[1] H. Anton, Aljabar Linear Elementer , Jakarta: Erlangga, 1997.
[2] D.  K.  Salkuyeh,  “Positive  Integer  Powers  of  the  Tridiagonal  Toeplitz  Matrices,”  in International Mathematical Forum Ardabil , Iran, 2006.
[3] B. Siregar, T. Tulus, and S. Sawaluddin, “Invers Suatu Matriks Toeplitz Menggunakan Metode Adjoin,” Saintia Matematika , vol. 2, No. 1, pp. 85-94, 2014.
[4] J.  Borowska,  and  L.  Lacinska,  “Eigenvalues  of  2-Tridiagonal  Toeplitz  Matrix,” Jurnal  of applied mathematics and computation mechanics , vol. 14, no. 4, pp. 11-17, 2015.
[5] A. Z. Küçük, M. Özen, and H. Ince, H. “Recursive and combinational formulas for permanents of general k-tridiagonal Toeplitz matrices,” Filomat , vol. 33, no . 1, pp. 307-317, 2019.
[6] C.  M.  da  Fonseca,  V.  Kowalenko,  and  L.  Losonczi,  “Ninety  years  of  k-tridiagonal matrices,” Studia Scientiarum Mathematicarum Hungarica , vol. 57, no. 3, 298-311, 2020.
[7] A.  Z.  Kucuk,  and  M.  Duz,  “Relationships  between  the  permanents  of  a  certain  type  of  k- tridiagonal symmetric Toeplitz matrix and the Chebyshev polynomials,” Journal of Applied Mathematics and Computational Mechanics , vol. 16, no. 1, 2017.
[8] A. Tănăsescu, and P.G. Popescu, “A fast singular value decomposition algorithm of general k- tridiagonal matrices,” Journal of Computational Science , vol. 31, pp. 1-5, 2019.
[9] R.  M.  Gray,  “Toeplitz  and  Circulan  Matrices,” Departement  of  Electrical  Engineering Stanford University. , Stanford 94305, USA, 2005.
[10]  I. E. Wijayanti, S. Wahyuni, and Y. Susanti, Dasar-Dasar Aljabar Linear dan Penggunaannya dalam Berbagai Bidang , UGM PRESS, 2018.