SITTAH: Journal of Primary Education P-ISSN: 2745-4479 E-ISSN: 2745-4487 Journal Homepage: https://jurnalfaktarbiyah.iainkediri.ac.id/index.php/sittah Journal e-mail: jurnalsittah@iainkediri.ac.id Page : 16-27

## LEARNING TRAJECTORY KONSEP NILAI TEMPAT TIGA ANGKA
Ulsana Puji Lestari, 1*
1 SDN Jogosimo Kebumen, Indonesia
1 ulsanapuji@gmail.com
*Correspondance Received: 2022-04-23; Approved: 2022-06-09; Published: 2022-06-25

## ABSTRACT
Learning  place  values  from  2  digits  to  multi-digit  requires  various  forms  of representation.  The  representation  will  bring  up  a  variety  of  Hypothetical  Learning Trajectory (HLT) in the form of predictions of possible student responses, which will later  produce  the  actual  student  learning  trajectory.  This  study  aims  to  find  students' learning trajectory patterns and determine the factors that influence students' learning trajectory  patterns  in  the  3-digit  place  value  material.  The  research  design  uses qualitative  research.  The  learning  trajectory  pattern  was  obtained  through  analysing student responses in the field based on the previously designed HLT. The subjects  of this study were 50 students of grade II from three elementary schools in the Kebumen Regency.  The  research  instrument  is  a  written  test  and  field  notes.  The  written  test contains  four  place  value  questions  with  a  horizontal  representation  strategy.  Field notes  in  the  form  of  student  responses  by  watching  videos  during  the  application  of lesson design accompanied by making transcripts to further clarify the word for word that  comes  out  as  a  form  of  response  during  learning  so  that  the  suitability  of  the response with HLT can be known. The results of this study indicate that the student's learning  trajectory  pattern  takes  place  through  the  application  of  a  didactic  design consisting of 4 types of lesson designs that place the  number 0 in different positions. The  application  of  didactic  design  can  also  direct  students  to  learn  independently gradually.  Meanwhile,  the  learning  trajectory  supporting  factors  consist  of  students' prerequisite  abilities,  planning  and  learning  processes,  and  the  use  of  learning resources.
KEYWORDS :  Hypothetical  Learning  Trajectory ; Lesson  Design ; Place  Value Concept.

## ABSTRAK
Pembelajaran  nilai  tempat  dari  2  angka  sampai  multidigit  membutuhkan  berbagai bentuk  representasi.  Representasinya  akan  memunculkan  beragam Hypothetical Learning Trajectory (HLT ), berupa prediksi kemungkinan-kemungkinan respon siswa yang  nantinya  akan  menghasilkan learning  trajectory siswa  yang  sebenarnya. Penelitian  ini  bertujuan  menemukan  pola learning  trajectory siswa  dan  mengetahui faktor  yang  mempengaruhi  pola learning  trajectory siswa  pada  materi  nilai  tempat  3 angka.  Desain  penelitian  menggunakan  penelitian  kualitatif.  Pola learning  trajectory diperoleh  melalui  analisis  respon  siswa  di  lapangan  berdasarkan  HLT  yang  telah dirancang  sebelumnya.  Subjek  penelitian  ini  adalah  siswa  kelas  II  dari  tiga  SD  di Kabupaten  Kebumen  berjumlah  50  orang.  Instrumen  penelitian  ini  adalah  tes  tertulis dan  catatan  lapangan.  Tes  tertulis  berisi  empat  soal  nilai  tempat  dengan  strategi representasi  mendatar.  Catatan  lapangan  berupa  respon  siswa  dengan  melihat  video selama  penerapan lesson  design disertai  dengan  pembuatan  transkrip  agar  lebih
memperjelas  kata  per  kata  yang  keluar  sebagai  bentuk  respon  selama  pembelajaran sehingga  dapat  diketahui  kesesuaian  antara  respon  dengan  HLT.  Hasil  penelitian  ini menunjukkan  bahwa  pola learning  trajectory siswa  berlangsung  melalui  penerapan desain  didaktis  yang  terdiri  4  jenis lesson  design yang  menempatkan  angka  0  pada posisi  berbeda.  Penerapa  desain  didaktis  juga  mampu  mengarahkan  siswa  belajar mandiri  secara bertahap. Sedangkan  Faktor penunjang learning trajectory terdiri dari kemampuan  prasyarat  siswa,  perencanaan  dan  proses  pembelajaran,  penggunaan sumber belajar.
KATA  KUNCI :  Desain  Pelajaran; Hypothetical  Learning  Trajectory ;  Konsep  Nilai Tempat.

## PENDAHULUAN
Penguasaan  konsep  operasi  bilangan  cacah  telah  menjadi  perhatian  bagi  para pembuat kurikulum di luar negeri. Selain konsep penjumlahan dan pengurangan, konsep operasi  bilangan  perkalian  dan  pembagian  bilangan  cacah  juga  memiliki  urgensi  yang sama.  Pada  hakikatnya,  operasi  perkalian  adalah  operasi  penjumlahan  yang  dilakukan secara berulang sehingga untuk memahami konsep perkalian pada bilangan cacah harus memahami  terlebih  dahulu  konsep  penjumlahan  (Prabawanto  &  Rahayu,  2006). Sedangkan  konsep  pembagian  merupakan  pengurangan  berulang  sampai  habis (Heruman,  2007).  Oleh  karena  itu,  syarat  utama  yang  harus  dimiliki  siswa  dalam mempelajari  konsep  pembagian  adalah  pengurangan  dan  perkalian  (Walle,  2007; Simanjuntak, 1992).
Keempat konsep operasi bilangan cacah saling berkaitan satu sama lain. Betapa pentingnya  konsep  operasi  bilangan  cacah  maka  guru  harus  memberikan  perhatian khusus  karena  menjadi  landasan  konsep  matematika  selanjutnya.  Setelah  melakukan telaah, ternyata pemahaman konsep operasi bilangan cacah merupakan tujuan besar dari konsep  nilai  tempat.  Oleh  karena  itu,  guru  harus  terlebih  dahulu  mengajarkan  konsep nilai  tempat  dengan  benar  sebelum  siswa  mempelajari  konsep  operasi  bilangan  cacah. Sebagaimana pendapat Fuson, “ Concepts of place value are taught and practiced first, and  teaching  the  addition  and  substraction  procedures  assumes  that  children understand  the  place-value  concepts” (Fuson,  1986).  Dengan  memahami  nilai  tempat, siswa dapat membaca, memberi simbol, dan melakukan manipulasi (melakukan operasi) dengan semua bilangan (Thompson, 2000).
Di  beberapa  negara,  penanaman  konsep  nilai  tempat  telah  mendapatkan perhatian khusus dari para pembuat kebijakan kurikulum dengan mengadakan berbagai riset  mengenai  materi  nilai  tempat.  Sebagaimana  penelitian  yang  dilakukan  oleh Chandler & Kamii mengenai pembelajaran konsep nilai tempat 2 angka menggunakan
uang koin 10 sen dan 1 sen  yang bertujuan untuk menentukan nilai tempat bilangan 2 angka  dengan  cara  mengelompokkan  uang  recehan  sebagai  dasar  sebelum memperkenalkan konsep nilai tempat 3 angka dan multidigit (Chandler & Kamii, 2009). Penelitian  lain  dilakukan  oleh  Mix.,  dkk  dengan  partisipan  siswa  Sekolah  Dasar  (SD) yang berumur 7-9 tahun.  Hasilnya adalah sebagian besar siswa  SD di Michigan mahir dalam  menginterpretasikan  bilangan  2  dan  3  angka  dalam  bentuk  nilai  tempat,  akan tetapi sulit untuk bilangan multidigit (Mix et al., 2014). Sementara itu, penelitian Bussi menghasilkan  fakta  bahwa  di  China,  siswa  kelas  1  sampai  3  dituntut  untuk  dapat mengenali,  membaca,  dan  menulis  bilangan  hingga  sepuluh  ribuan,  serta  dapat menyebutkan nilai setiap angka sesuai dengan nilai tempatnya (Bussi & G, 2011).
Kurikulum  di  negara  maju  menyadari  bahwa  untuk  menanamkan  konsep penjumlahan  dan  pengurangan  yang  benar  dan  kuat  guru  harus  terlebih  dahulu mengajarkan konsep nilai tempat secara benar di kelas III dengan urutan mulai dari nilai tempat 2 angka (puluhan), 3 angka (ratusan), 4 angka (ribuan), dan multidigit  (Bednarz &  Janvier,  1988;  Fuson,  1986;  Fuson  &  Briars,  1990;  Kamii  &  Joseph,  1989). Pembelajaran  nilai  tempat  dari  2  sampai  multidgit  membutuhkan  berbagai  bentuk representasi,  seperti  alat  manipulatif  dan  simbol-simbol  tertulis,  gambar-gambar,  dan membangun koneksi antar materi sehingga dapat menghasilkan pemahaman yang lebih koheren  tentang  nilai  tempat  (Hiebert  &  Wearne,  1996).  Bahkan  Ross  melakukan pembelajaran  nilai  tempat  2  angka  pada  siswa  SD  kelas  II  menggunakan  kacang,  stik kayu,  gambar  lingkaran,  dan  blok  dienes  untuk  mengukur  media  mana  yang  paling efektif digunakan untuk siswa SD (Ross, 1986). Hal ini senada dengan pendapat Steffe &  Cobb  dalam  Hiebert  &  Wearne  yang  menyatakan  bahwa  pemahaman  nilai  tempat menyangkut  menghubungkan  antara  ide  dasar  nilai  tempat,  seperti  himpunan  objek dengan  pengelompokkan  sepuluh  dan  memperlakukan  sisanya  sebagai  satuan-satuan (Hiebert & Wearne, 1992).
Berdasarkan  ketiga  penelitian  tersebut  terlihat  bahwa  konsep  nilai  tempat mendapat  perhatian  serius  di  berbagai  negara.  Sedangkan,  apabila  merujuk  pada kurikulum  matematika  SD  di  Indonesia  yang  berlaku  saat  ini  yaitu  kurikulum  2013, materi nilai tempat yang diajarkan hanya nilai tempat 2 angka (puluhan) di kelas I dan 3 angka  (ratusan)  di  kelas  II  (Astuti,  2017;  Hendrifiana  et  al.,  2017).  Sedangkan  materi nilai  tempat  4  angka  (ribuan)  dan  multidigit  tidak  diajarkan.  Hal  ini  juga  merupakan suatu  hal  yang  patut  dipertanyakan  mengenai  alasan  tidak  diajarkannya  materi  nilai tempat  multidigit  pada  pembelajaran  matematika  SD  di  Indonesia.  Berdasarkan  telaah
buku siswa kurikulum 2013 tersebut, maka penelitian ini mengambil materi konsep nilai tempat  3  angka  yang  diajarkan  di  kelas  II.  Alasannya  adalah  untuk  mengetahui pengetahuan siswa terhadap konsep nilai tempat 2 angka, penjumlahan, perkalian, nama dan  lambang  bilangan  sampai  99  yang  telah  dipelajari  di  kelas  I.  Selain  itu,  tidak tertutup kemungkinan adanya hambatan belajar yang muncul selama siswa mempelajari materi nilai tempat 3 angka.
Usaha  untuk  meminimalkan  hambatan  belajar  tersebut  dapat  dilakukan  dengan menganalisis learning  trajectory siswa. Learning  trajectory merupakan  suatu  lintasan belajar yang memberi isyarat mengenai pengetahuan prasyarat yang telah dimiliki oleh siswa  serta  proses  berpikir  dan  langkah-langkah  yang  siswa  terapkan  dalam  proses belajar (Simon & Tzur, 2004). Hal ini penting karena dalam pembelajaran perlu adanya keterkaitan  antara  konsep  prasyarat  dengan  konsep  selanjutnya  sehingga  tidak  ada lompatan  alur  berpikir  yang  dapat  menimbulkan learning  obstacle. Setelah  guru mengkaji learning  trajectory ,  maka  guru  akan  mengetahui  tujuan  besar  konsep  materi nilai  tempat  3  angka  sehingga  dapat  menggunakannya  sebagai  tangga  untuk menjembatani  alur  berpikir  anak  dalam  mempelajari  materi  selanjutnya.  Selain  itu, berguna  pula  untuk  mengetahui  konteks  yang  dapat  membantu  siswa  dalam  usaha memahami konsep nilai tempat 3 angka.
Berdasarkan  paparan  di  atas,  terlihat  jelas  bahwa  guru  perlu  memiliki pengetahuan mengenai learning trajectory. Oleh karena itu, tujuan penelitian ini adalah untuk  menemukan  pola learning  trajectory siswa  pada  materi  nilai  tempat  3  angka. Selain itu, penelitian ini juga akan mengkaji mengenai faktor yang mempengaruhi pola learning trajectory siswa pada materi nilai tempat 3 angka.

## METODE PENELITIAN
Penelitian  ini  dilakukan  di  tiga  SD  di  Kabupaten  Kebumen,  Jawa  Tengah. Terdapat  50  siswa  kelas  II  yang  berusia  rata-rata  7-8  tahun  sebagai  partisipan.  Ketiga SD itu telah menggunakan kurikulum 2013. Instrumen penelitian ini adalah tes tertulis dan  catatan  lapangan.  Tes  tertulis  berisi  empat  soal  nilai  tempat  dengan  strategi representasi  mendatar.  Catatan  lapangan  berupa  respon  siswa  dengan  melihat  video selama  penerapan lesson  design disertai  dengan  pembuatan  transkrip  agar  lebih memperjelas  kata  per  kata  yang  keluar  sebagai  bentuk  respon  selama  pembelajaran sehingga  dapat  diketahui  kesesuaian  antara  respon  dengan Hypothetical  Learning Trajectory (HLT).  Penelitian  ini  menggunakan  metode  kualitatif  yang  akan
mengeksplorasi fenomena sentral berupa learning trajectory pada materi nilai tempat 3 angka.  Sebagaimana  penelitian  kualitatif  lainnya,  uji  keabsahan  data  penelitian  ini mengikuti  empat  indikator  yaitu  kredibilitas, transferability ,  kebergantungan  dan kepastian. Adapun teknik yang digunakan adalah perpanjangan waktu pengamatan dan triangulasi data, dan kecukupan referensial (Putra, 2012, p. 224).

## HASIL DAN PEMBAHASAN
Pola learning  trajectory diperoleh  melalui  analisis  respon  siswa  di  lapangan berdasarkan  HLT  yang  telah  dirancang  sebelumnya.  HLT  terdiri  dari  tiga  komponen yaitu  tujuan  pembelajaran,  kegiatan  pembelajaran,  dan  hipotesis  proses  pembelajaran yang  memprediksi  perkembangan  pikiran  siswa  (Putri  et  al.,  2020).  Peneliti  mencatat respon  siswa  dengan  melihat  video  selama  penerapan lesson  design sehingga  dapat diketahui  kesesuaian  antara  respon  dengan  HLT.  Selain  itu,  analisis  video  penerapan lesson  design juga  bertujuan  untuk  menganalisis  ketepatan  pemilihan  dan  pemberian antisipasi  didaktis  yang  diberikan  berdasarkan  respon  terutama  respon-respon  yang belum diprediksi sebelumnya. Analisis terhadap video penerapan lesson design disertai dengan pembuatan transkrip agar lebih memperjelas kata per kata  yang keluar sebagai bentuk respon selama pembelajaran.
Pola Learning Trajectory Lesson Design 1: Angka 0 di Tempat Puluhan dan Satuan HLT  yang  telah  dibuat  pada lesson  design bertujuan  untuk  memprediksi  alur berpikir siswa ( learning trajectory ). Setelah setiap lesson design diterapkan maka akan terlihat learning  trajectory yang  dilalui  oleh  siswa  (Daro  et  al.,  2011).  Guru  akan memberikan antisipasi didaktis terhadap berbagai respon  yang ditunjukkan oleh siswa. Penerapan lesson design 1 memunculkan learning trajectory baik yang telah terprediksi (HLT) maupun yang belum diprediksi (Clements & Sarama, 2004; Brown et al., 2007). Pola learning  trajectory pada  situasi  aksi  membutuhkan  paling  banyak  antisipasi didaktis karena banyak terdapat respon siswa yang tidak terprediksi sebelumnya.
Urutan learning trajectory yang dapat dilalui siswa saat penanaman konsep nilai tempat  dengan  angka  0  yang  menempati  nilai  tempat  puluhan  dan  satuan  sebagai berikut:  (1)  Ide  bilangan  99  dan  100;  (2)  Korelasi  kubus  satuan,  puluhan  dan  ratusan; (3)  Konsep  kartu  nilai,  0  puluhan  dan  0  satuan;  (4)  Konsep  nilai  ratusan,  puluhan, satuan;  (5)  Konsep  kartu  lambang  bilangan;  (6)  Konsep  lambang  dan  nama  bilangan;
(7)  Representasi  perkalian  dan  penjumlahan  berdasarkan  nilai  tempat;  (8)  Kesimpulan nilai angka berdasarkan nilai tempat.
Pola Learning Trajectory Lesson Design 2: Angka 0 di Tempat Puluhan
Pola learning trajectory lesson design 2 siswa masih mengalami kesulitan yang sama  yaitu  menentukan  sisa  kubus  satuan.  Namun,  intervensi  guru  mulai  berkurang dibandingkan  pada  situasi  aksi lesson  design 1  dikarenakan  pengalaman  siswa  saat membagi 100-900 kubus satuan pada lesson design 1. Selanjutnya terdapat respon yang tidak terduga dari siswa yaitu siswa tidak mempraktikkan saat membagi 101-109 kubus satuan  menjadi  kubus  puluhan  dan  ratusan.  Siswa  langsung  menuliskan  berdasarkan urutan  angkanya  saja.  Guru  tidak  melakukan  antisipasi  didaktis  karena  semua  respon yang dimunculkan oleh siswa masih berada dalam koridor yang sesuai.
Urutan learning trajectory yang dapat dilalui siswa saat penanaman konsep nilai tempat  dengan  angka  0  yang  menempati nilai  tempat  puluhan  sebagai  berikut:  (1)  Ide bilangan 101  dan konsep 0 satuan; (2) Gambar  kubus ratusan,  puluhan, dan satuan; (3) Kartu  nilai  dan  kartu  lambang  bilangan;  (4)  Konsep  lambang  dan  nama  bilangan;  (5) Konsep perkalian dasar 0, 1, 10, dan 100; (6) Penjumlahan dengan angka 0 dan 1; (7) Kesimpulan nilai angka berdasarkan nilai tempatnya
Pola Learning Trajectory Lesson Design 3: Angka 0 di Tempat Satuan
Pada penerapan lesson design 3, guru hanya melakukan 5 kali antisipasi didaktis selama pembelajaran. Dapat dikatakan bahwa siswa sudah dapat belajar mandiri untuk membangun  pengetahuan  baru  dan  guru  hanya  sebagai  fasilitator  apabila  ada  siswa yang melenceng dari alur berpikir yang relevan. Pola learning trajectory lesson design 3 semua  kelompok  menggabungkan  sisa  kubus  puluhan  pada  kubus  ratusan  yang  telah terbentuk  sehingga  muncul  kesan  bahwa  tidak  terdapat  sisa  kubus  puluhan  pada kumpulan  kubus  satuan  yang  berjumlah  110.  Namun,  setelah  diantisipasi  oleh  guru untuk  memisahkan  sisa  kubus  puluhan  yang  tidak  termasuk  dalam  kubus  ratusan sehingga  melalui  cara  ini  siswa  dapat  membangun  sendiri  konsep  bahwa  110  kubus satuan  dapat membentuk  1  kubus  ratusan  dan  1  kubus  puluhan.  Bahkan  siswa mampu menggeneralisasikannya sampai pada kumpulan kubus satuan yang berjumlah 190 tanpa harus bertanya lagi kepada guru.
Siswa  sangat  mandiri  saat  pembelajaran  dengan  menerapkan  sehingga  tidak banyak  antisipasi  yang  dilakukan  oleh  guru.  Siswa  melewati learning  trajectory yang
sama  dengan  pembelajaran lesson  design 1  dan  2.  Hal  ini  membuat  intervensi  guru sangat  sedikit  dan  komunikasi  antara  guru  dan  siswa  tidak  terlalu  banyak  sebaliknya siswa  lebih  banyak  berkomunikasi  dengan  teman  sekelompoknya  untuk  berdikusi. Urutan learning trajectory yang dapat dilalui siswa saat penanaman konsep nilai tempat dengan  angka  0  yang  menempati  nilai  tempat  satuan  sebagai  berikut:  (1)  Ide  bilangan 110;  (2)  Konsep  0  satuan;  (3)  Gambar    kubus  ratusan,    puluhan  dan  satuan;  (4)  Kartu nilai dan kartu lambang bilangan; (5) Konsep perkalian dasar 0 dan 10; (6) Penjumlahan dengan angka 0 dan 10; (7) Kesimpulan nilai angka berdasarkan nilai tempat
Pola Learning Trajectory Lesson Design 4: Tanpa Angka 0 di Tempat Puluhan dan Satuan
Pola learning trajectory pada penerapan lesson design 4 sangat sederhana. Siswa bahkan sudah hafal setiap langkah pembelajarannya. Campur tangan guru sangat sedikit sehingga  sangat  memungkinkan  siswa  dapat  belajar  dan  membangun  pengetahuannya sendiri. Guru hanya melakukan sekali antisipasi didaktis selebihnya siswa sudah dapat belajar  dengan  mandiri.  Siswa  menyatukan  sisa  1  kubus  satuan  dengan  sisa  1  kubus puluhan sehingga terlihat tidak terdapat sisa kubus satuan dan puluhan. Namun, setelah guru membimbing siswa untuk memisahkan sisa kubus satuan dan puluhan, siswa dapat dilepas untuk belajar mandiri. Guru sudah tidak memberikan antisipasi didaktis apapun selama pembelajaran. Siswa sudah dapat lepas dari media konkret, semi konkret, semi abstrak, dan sekarang siswa dapat mengerjakan soal yang abstrak tanpa bantuan media, yaitu:  (1)  Kubus-kubus  satuan;  (2)  Gambar  kubus  satuan,  puluhan,  dan  ratusan;  (2) Kartu nilai; dan (3) Kartu lambang bilangan.
Urutan learning trajectory yang dapat dilalui siswa saat penanaman konsep nilai tempat  tanpa  angka  0  di  tempat  puluhan  dan  satuan  sebagai  berikut:  (1)  Ide  bilangan 111; (2) Gambar  kubus ratusan,  puluhan, dan satuan; (3) Kartu nilai dan kartu lambang bilangan; (4) Konsep perkalian dasar 1 dan10; (5) Penjumlahan dengan angka 1 dan 10; (6) Kesimpulan nilai angka berdasarkan nilai tempat.
Dari  penemuan  pola learning  trajectory pada lesson  design 4  maka  dapat dikatakan bahwa mulai dari lesson design 1-4 siswa mulai mengurangi ketergantungan terhadap  bimbingan  guru,  mempunyai  pola learning  trajectory yang  ajek,  dan  waktu pembelajaran  semakin  efektif.  Ini  berarti  penerapan  desain  didaktis  pada  empat  jenis lesson  design sudah  selaras  dengan  prediksi  guru  (Fitriani  et  al.,  2020).  Selain  itu, penerapan  desain  didaktis  ini  mampu  membelajarkan  siswa  mengenai  konsep  nilai
tempat  dengan  baik  secara  bertahap  sebagaimana  tampak  pada  penerapan  desain didaktis  mulai lesson  design 1  sampai lesson  design 4.  Hal  ini  menunjukkan  bahwa desain  didaktis  dengan  empat lesson  design menggunakan  perspektif  pembelajaran konstruktivis (Rezky, 2019).
Faktor yang Mempengaruhi Pola Learning Trajectory
Faktor  yang  mempengaruhi  pola learning  trajectory dapat  diketahui  melalui wawancara terhadap guru dan siswa, analisis buku kurikulum 2013 kelas I dan  II,  dan penerapan lesson  design .  Secara  umum,  peneliti  menemukan  tiga  faktor  yang mempengaruhi pola learning trajectory yaitu: kemampuan prasyarat siswa, perencanaan dan  proses  pembelajaran,  penggunaan  sumber  belajar.  Berikut  ini  uraian  mengenai ketiga faktor tersebut. Pertama, kemampuan prasyarat. Beberapa kemampuan prasyarat yang  dibutuhkan  sebelum  siswa  mendapatkan  pembelajaran  nilai  tempat  3  angka berdasarkan  analisis  buku  kurikulum  2013  kelas  I  dan  II  serta  transkrip  penerapan lesson  design ,  yaitu:  membilang,  lambang  dan  nama  bilangan,  penjumlahan  bilangan cacah,  perkalian  dasar  0,  1,  10,  dan  100,  serta  nilai  tempat  2  angka.  Pengetahuan prasyarat ini sangat penting agar siswa mampu mempelajari konsep nilai tempat karena tanpanya siswa akan mengalami kesulitan memahami pelajaran.
Pentingnya  pengetahuan  prasyarat  juga  telah  dikemukakan  oleh  beberapa peneliti  lain.  Unaenah  dan  Sumantri  menjelaskan  tentang  pentingnya  pemahaman konsep  penjumlahan  hingga  faktor  bilangan  besar  dan  kelipatan  persekutuan  terkecil sebagai  pengetahuan  prasyarat  agar  siswa  mampu  memahami  konsep  materi  pecahan (Unaenah  &  Sumantri,  2019).  Dalam  pembelajaran  matematika  Thalhah  menyebut materi  prasyarat  adalah  materi  yang  harus  dikuasai  sebelum  mempelajari  materi selanjutnya  karena  penyajian  materi  pembelajaran  matematika  tersusun  secara  hirarkis mulai dari konsep sederhana hingga konsep rumit (Thalhah, 2018).
Kedua,  perencanaan  dan  proses  pembelajaran.  Perencanaan  berperan  penting dalam  menemukan  pola-pola learning  trajectory yang  mungkin  akan  dan  dapat  dilalui oleh  siswa.  Dari  segi  perencanaan  yaitu  berupa  Rencana  Pelaksanan  Pembelajaran (RPP)  yang  digunakan  sebagai  patokan  untuk  kegiatan  pembelajaran  merupakan  RPP dari Compact  Disk (CD)  kumpulan  RPP  yang  bersifat  komersil.  Beralih  pada  proses pembelajaran. Guru menuturkan bahwa selama proses pembelajaran nilai tempat baik 2 angka  maupun  3  angka,  guru  tidak  pernah  menggunakan  media  guna  mendukung
penanaman  konsep  berupa  kubus-kubus  satuan.  Padahal,  menurut  Bruner  anak  akan berhasil dalam belajar jika melalui tahap enaktif, ikonik, dan simbolik (Bruner, 1977).
Penggunaan  variasi  media  dalam  kegiatan  pembelajaran  merupakan  cara  untuk meningkatkan  hasil  belajar  siswa  sehingga  guru  dapat  memanfaatkan  berbagai  varian media  dan  mempersiapkannya  sesuai  dengan  materi  yang  akan  diajarkan  (Hidayati, 2018).  Oleh  karena  itu,  penggunaan  media  pembelajaran  merupakan  aspek  penting karena mampu mengubah konsep abstrak menjadi sesuatu yang lebih konkret. Tanpanya maka  penerapan learning  trajectory siswa  berpotensi  mengarahkan  siswa  untuk langsung  berpikir  secara  simbolik.  Indikator  pentingya  pemanfaatan  media pembelajaran  juga  terlihat  dari  respon  siswa  yakni,  asingnya  mereka  terhadap  kubus- kubus satuan membuat siswa pun merasa kesulitan menggunaan alat peraga manipulatif berupa  kubus  satuan.  Bahkan  mereka  hampir  tidak  mengenali  gambar  kubus  satuan, puluhan, dan ratusan. Padahal, pembelajaran matematika kelas rendah disarankan untuk dilakukan  secara  induktif  dan  konstruktif.  Dengan  konstruktivisme  siswa  akan  aktif menciptakan struktur-struktur dalam interaksinya dengan lingkungan (Dahar, 2011).
Ketiga,  sumber  belajar.  Sumber  belajar  dalam  pengertian  luas  berarti sekumpulan  bahan  atau  situasi  yang  diciptakan  untuk  memungkinkan  siswa  belajar secara individual (Sitepu, 2014, p. 20). Sumber balajar yang selama ini digunakan juga menjadi salah satu faktor yang menentukan pola learning trajectory siswa. Berdasarkan hasil  wawancara  terhadap  guru  ditemukan  fakta  bahwa  sebenarnya  guru  sudah menggunakan sumber belajar yang cukup beragam yaitu buku-buku KTSP yang masih sesuai  dengan  materi  nilai  tempat.  Namun,  yang  menjadi  masalah  di  sini  adalah pemilihan  konteks  soal  yang  kurang  beragam.  Guru  hanya  mengambil  soal-soal  nilai tempat  3  angka  dengan  bilangan  yang  tidak  memiliki  angka  0.  Di  sisi  lain, learning trajectory siswa menjadi tidak dapat diprediksi. Siswa tidak memberikan respon apapun selama  proses  pembelajaran  karena  siswa  kebingungan  tidak  memiliki  pengetahuan awal  apapun  mengenai  soal-soal  yang  memiliki  konteks  yang  berbeda.  Dalam  hal  ini, posisi  pentingnya  sumber  belajar  sebagai  bagian  dari  analisis learning  trajectory juga sejalan  dengan  pendapat  Dedy  dan  Sumiaty  bahwa  analisis learning  trajectory terdiri dari analisis buku sumber yang digunakan oleh guru dan siswa serta menganalisis video pembelajarannya (Dedy & Sumiaty, 2017).

## KESIMPULAN
HLT yang  dikembangkan  cocok  untuk  memfasilitasi learning  trajectory siswa untuk  mencapai  tujuan  belajar.  Pada learning  trajectory  lesson  design 1,  guru  paling banyak  melakukan  ADP  namun  berkurang  dengan  semakin  banyaknya lesson  design yang  diterapkan.  Puncaknya  pada lesson  design 4,  bantuan  yang  diberikan  oleh  guru semakin  jarang  dikarenakan  kemandirian  siswa  sudah  semakin  berkembang.  Faktor yang mempengaruhi pola learning trajectory , antara lain: kemampuan prasyarat siswa, perencanaan dan proses pembelajaran, penggunaan sumber belajar.

## REFERENSI
Astuti, I.  M. J. (2017). Tema 1 Hidup Rukun Buku Tematik Terpadu Kurikulum 2013: Buku Guru SD/MI Kelas II . Pusat Kurikulum dan Perbukuan Kemendikbud.
Bednarz, N., & Janvier, B. (1988). A constructivist approach to numeration in primary school:  Results  of  a  three  year  intervention  with  the  same  group  of  children.
Educational Studies in Mathematics , 19 (3), 299–331. https://doi.org/10.1007/BF00312450
Brown,  C.  S.,  Sarama,  J.,  &  Clements,  D.  H.  (2007).  Thinking  about  Learning Trajectories in Preschool. Teaching Children Mathematics , 14 (3), 178–181. Bruner, J. S. (1977). The Process of Education: First Edition . Harvard University Press. Bussi, B., & G, M. (2011). Artefacts and Utilization Schemes in Mathematics Teacher Education: Place Value in Early Childhood Education. Journal of Mathematics Teacher Education , 14 (2), 93–112. https://doi.org/10.1007/s10857-011-9171-2 Chandler,  C.  C.,  &  Kamii,  C.  (2009).  Giving  Change  When  Payment  Is  Made  With  a Dime:  The  Difficulty  of  Tens  and  Ones. Journal  for  Research  in  Mathematics Education , 40 (2), 97–118. https://doi.org/10.2307/40539328
Clements, D. H., & Sarama, J. (2004).  Learning trajectories in mathematics education.
Mathematical Thinking and Learning , 6 (2), 81–89. https://doi.org/10.1207/s15327833mtl0602_1
Dahar, R. W. (2011). Teori-teori Belajar dan Pembelajaran . Erlangga.
Daro, P., Mosher, F. A., & Corcoran, T. (2011). Learning Trajectories in Mathematics: A  Foundation  for  Standards,  Curriculum,  Assessment,  and  Instruction.  CPRE Research  Report  #  RR-68.  In Consortium  for  Policy  Research  in  Education . Consortium for Policy Research in Education. https://eric.ed.gov/?id=ED519792 Dedy, E., & Sumiaty, E. (2017). Desain Didaktis Bahan Ajar Matematika SMP Berbasis Learning  Obstacle  dan  Learning  Trajectory. JRPM  (Jurnal  Review Pembelajaran Matematika) , 2 (1), 69–80. https://doi.org/10.15642/jrpm.2017.2.1.69-80
Fitriani, N., Kadarisma, G., & Amelia, R. (2020). Pengembangan Desain Didaktis untuk Mengatasi  Learning  Obstacle  pada  Materi  Dimensi  Tiga. AKSIOMA:  Jurnal Program
Studi Pendidikan Matematika , 9 (2), 231–241. https://doi.org/10.24127/ajpm.v9i2.2686
Fuson, K. C. (1986). Roles of representation and verbalization in the teaching of multi- digit  addition  and  subtraction. European  Journal  of  Psychology  of  Education , 1 (2), 35–56. https://doi.org/10.1007/BF03172568
Fuson,  K.  C.,  &  Briars,  D.  J.  (1990).  Using  a  base-ten  blocks  learning/teaching approach  for  first-  and  second-grade  place-value  and  multidigit  addition  and subtraction. Journal  for  Research  in  Mathematics  Education , 21 (3),  180–206. https://doi.org/10.2307/749373
Hendrifiana,  Y.,  Ariguntar,  P.,  &  Assagaf,  L.  (2017). Diriku:  Buku  tematik  terpadu kurikulum 13 buku guru SD/MI Kelas I (L. Chamisijatin, H. S. Prabawanto, N. W. Rochmadi, F. N. Utorodewo, T. H. Retnowati, M. Mulyana, L. Purnastuti, H. Setyawati, Y. Mulyati, H. A. Sastromiharjo, R. Al-Atok, S. Sugiarto, E. Yetti, S. Suharji,  W.  Pekerti,  R.  Milyartini,  &  B.  Prihadi,  Eds.).  Pusat  Kurikulum  dan Perbukuan,  Badan  Penelitian  dan  Pengembangan,  Kementrian  Pendidikan  dan Kebudayaan. http://repositori.kemdikbud.go.id/6895/
Heruman. (2007). Model Pembelajaran Matematika di SD . Remaja Rosdakarya.
Hidayati,  E.  W.  (2018).  Penggunaan  Media  Puzzle  Konstruksi  Terhadap  Hasil  Belajar Kognitif  Siswa  SDN  Kemangsen  II  Krian. Indonesian  Journal  of  Islamic Education Studies (IJIES) , 1 (1), 61–88. https://doi.org/10.33367/ijies.v1i1.519 Hiebert, J., & Wearne, D. (1992). Links between teaching and learning place value with understanding  in  first  grade. Journal  for  Research  in  Mathematics  Education , 23 (2), 98–122. https://doi.org/10.2307/749496
Hiebert,  J.,  &  Wearne,  D.  (1996).  Instruction,  Understanding,  and  Skill  in  Multidigit Addition  and  Subtraction. Cognition  and  Instruction , 14 (3),  251–283. https://doi.org/10.1207/s1532690xci1403_1
Kamii,  C.,  &  Joseph,  L.  L.  (1989). Young  Children  Continue  to Reinvent Arithmetic-- 2nd Grade: Implications of Piaget’s Theory . Teachers College Press.
Mix,  K.  S.,  Prather,  R.  W.,  Smith,  L.  B.,  &  Stockton, J.  D.  (2014).  Young  children’s interpretation  of  multidigit  number  names:  From  emerging  competence  to mastery. Child Development , 85 (3), 1306–1319. https://doi.org/10.1111/cdev.12197
Prabawanto, S., & Rahayu, P. (2006). Bilangan . UPI Press.
Putra, N. (2012). Metode Penelitan Kualitatif Pendidikan . PT. RajaGrafindo Persada.
Putri,  D.  P.,  Manfaat,  B.,  &  Haqq,  A.  A.  (2020).  Desain  didaktis  pembelajaran matematika  untuk  mengatasi  hambatan  belajar  pada  materi  matriks. Jurnal Analisa , 6 (1), 56–68. https://doi.org/10.15575/ja.v6i1.5694
Rezky, R. (2019).  Hypothetical  Learning Trajectory (HLT) dalam Perspektif Psikologi Belajar Matematika. Ekspose: Jurnal Penelitian Hukum dan Pendidikan , 18 (1), 762–769. https://doi.org/10.30863/ekspose.v18i1.364
Ross, S.  H. (1986). The Development of Children’s Place-Value Numeration Concepts in Grades Two through Five . https://eric.ed.gov/?id=ED273482 Simanjuntak, L. (1992). Metode Mengajar Matematika . Rineka cipta.
Simon,  M.  A.,  &  Tzur,  R.  (2004).  Explicating  the  Role  of  Mathematical  Tasks  in Conceptual  Learning:  An  Elaboration  of  the  Hypothetical  Learning  Trajectory.
Mathematical Thinking and Learning , 6 (2), 91–104. https://doi.org/10.1207/s15327833mtl0602_2
Sitepu, B. P. (2014). Pengembangan Sumber Belajar . PT. RajaGrafindo Persada.
Thalhah,  S.  Z.  (2018).  Profil  Kemampuan  Mahasiswa  Tadris  Matematika  dalam Memecahkan  Masalah  Program  Linear  Ditinjau  dari  Perbedaan  Tingkat Kemampuan  Prasyarat  dan  Gaya  Kognitif  Fiel  Dependent. Al-Khwarizmi : Jurnal  Pendidikan  Matematika  dan  Ilmu  Pengetahuan  Alam , 6 (1),  29–46. https://doi.org/10.24256/jpmipa.v6i1.397
Thompson,  I.  (2000).  Teaching  Place  Value  in  the  UK:  Time  for  a  reappraisal? Educational Review , 52 (3), 291–298. https://doi.org/10.1080/713664046
Unaenah, E., & Sumantri, M. S. (2019). Analisis Pemahaman Konsep Matematis Siswa Kelas  5  Sekolah  Dasar  pada  Materi  Pecahan. Jurnal  Basicedu , 3 (1),  106–111. https://doi.org/10.31004/basicedu.v3i1.85
Walle, J. A. V. D. (2007). Matematika Sekolah Dasar dan Menengah (Suryono, Trans.). Erlangga.