Limits: Journal of Mathematics and Its Applications E-ISSN: 2579-8936 P-ISSN: 1829-605X Vol. 19, No. 2, Nopember 2022, 155-165 DOI: http://dx.doi.org/10.12962/limits.v19i2.9000

## Pemodelan dan Perhitungan Premi Asuransi Keamanan Siber dengan Model Non-Markov
Ivander Jeremy 1 , Felivia Kusnadi 2 * , Benny Yong 3 1,2,3 Pusat Studi Matematika dan Masyarakat, Jurusan Matematika, Universitas Katolik Parahyangan *e-mail: felivia@unpar.ac.id
Diajukan: 3 April 2021, Diperbaiki: 5 Mei 2022, Diterima: 30 Mei 2022

## Abstrak
Perkembangan teknologi  informasi dan komunikasi tidak hanya memberikan dampak positif, melainkan dampak negatif, khususnya pada sektor keamanan siber.  Perusahaan asuransi perlu menciptakan produk asuransi yang relatif baru yaitu asuransi keamanan siber. Namun, pengembangan asuransi tersebut masih perlu diteliti lebih lanjut karena tidak adanya tabel aktuaria standar layaknya tabel mortalita pada asuransi jiwa. Artikel ini akan membahas tentang pemodelan proses infeksi dan pemulihan suatu simpul dan berbagai simpul lainnya yang saling terkoneksi dalam jaringan komputer di suatu perusahaan dengan model model non-Markov pada kasus tidak adanya ketergantungan (independen) antara risiko keamanan siber, lalu melakukan metode simulasi Monte Carlo untuk memperoleh data-data percobaan dengan berbagai distribusi – Weibull, Lognormal, dan Gauss Invers – untuk perhitungan besar premi yang dikenakan oleh perusahaan asuransi kepada perusahaan tertanggung yang tertarik untuk membeli produk asuransi keamanan siber. Perhitungan premi dilakukan dengan menggunakan prinsip premi standar deviasi dan prinsip premi utilitas eksponensial. Hasil yang diperoleh adalah waktu infeksi dan pemulihan dengan distribusi yang berekor panjang memiliki harga premi yang lebih murah dibandingkan dengan distribusi yang berekor pendek.
Kata Kunci : asuransi keamanan siber, model non-Markov, simulasi Monte Carlo.

## Abstract
The development of information and communication technology not only has positive impacts, but also negative impacts, especially in the cybersecurity sector. Insurance companies need to create a relatively new insurance product, namely cybersecurity insurance.  However, development of cybersecurity insurance still needs further investigation because there is no standard actuarial table like mortality table in life insurance. This article will discuss the modeling of infection and recovery process of a node and various other connected nodes in a computer network of the company using non-Markov model in the case of absence of dependence between cybersecurity risks, applying the  Monte Carlo simulation method to obtain experimental data with various distributions  –  Weibull, Lognormal, and Inverse Gaussian – for the calculation of premium charged by insurance companies to insured companies interested in purchasing cybersecurity insurance products. Standard deviation premium principle and exponential utility premium principle are used to calculate premium. We concluded that the infection and recovery time with a long-tailed distribution has a lower premium price compared to those with a short- tailed distribution.
Keywords : cybersecurity insurance, non-Markov model, Monte Carlo simulation.
156

## Pemodelan dan Perhitungan Premi Asuransi Keamanan Siber dengan Model Non-Markov

## 1 Pendahuluan
Perkembangan Teknologi Informasi dan Komunikasi yang  berkembang sangat pesat membawa dampak positif dan negatif, khususnya dampak negatif pada sektor keamanan siber seperti pembajakan data suatu perusahaan oleh pihak tertentu, pembobolan rekening nasabah di bank, dan sebagainya. Perusahaan asuransi berupaya menawarkan produk asuransi keamanan siber agar calon perusahaan tertanggung dapat mengalihkan risiko kehilangan atau kerugian yang dialami [1]. Asuransi keamanan siber memiliki ciri khusus yaitu terdapat jaringan komputer yang terdiri atas beberapa komputer maupun server yang dinotasikan sebagai kumpulan simpul yang saling terhubung sehingga jika salah satu simpul terserang atau dibajak (selanjutnya akan disebut sebagai kejadian infeksi) [2], akan memunculkan potensi simpul lain dapat terinfeksi. Selain itu, terdapat permasalahan minimnya data yang dapat diakses [3], terutama data keuangan, karena calon  perusahaan  tertanggung  cenderung tidak ingin menunjukkan catatan historis peristiwa infeksi pada jaringan komputer karena khawatir hal tersebut dapat merusak reputasinya.
Berikut adalah beberapa penelitian terkait pemodelan keamanan siber yang pernah dibahas. Xu dan Hua [4] menerapkan simulasi Monte Carlo untuk memodelkan risiko keamanan siber, baik hubungan antarsimpul yang independen maupun dependen. Kosub [5] meneliti pemodelan dan manajemen risiko keamanan siber.  Schwartz dan Sastry [6]  mengembangkan pengelolaan risiko keamanan siber pada jaringan interdependen skala besar.  Penelitian sebelumnya mengasumsikan simpul yang sedang dalam kondisi terinfeksi tetap dapat diserang  [4,  5]. Berdasarkan  Xu dan Hua  [4], artikel  ini membahas kasus tanpa adanya ketergantungan  pada model non-Markov  dengan menambahkan pembahasan menggunakan distribusi Gauss Invers untuk  waktu yang dibutuhkan agar simpul terinfeksi maupun  kembali pulih, menggunakan prinsip  standar deviasi dan  prinsip  utilitas eksponensial untuk menghitung  premi, serta menganalisis pengaruh ekor distribusi terhadap premi.
Batasan masalah yang diterapkan dalam artikel ini adalah simpul asal akan menginfeksi simpul tetangganya, proses infeksi hanya akan terjadi pada simpul yang sedang dalam kondisi aman, proses infeksi maupun pemulihan pada masing-masing simpul memiliki distribusi yang sama, tingkat keamanan semua komputer dan server adalah sama, serta tidak ada perubahan topologi jaringan komputer selama kontrak asuransi berlangsung.

## 2 Model Penyebaran
Misalkan  terdapat 𝑛𝑛 buah simpul pada jaringan komputer yang dapat direpresentasikan sebagai sebuah graf tidak langsung Γ = ( 𝑉𝑉 ; 𝐸𝐸 ) . Notasi 𝑉𝑉 menyatakan himpunan simpul dan 𝐸𝐸 menyatakan himpunan kabel konektor serta ( 𝑢𝑢 , 𝑣𝑣 ) ∈ 𝐸𝐸 menyatakan simpul 𝑢𝑢 dan 𝑣𝑣 saling
terhubung sehingga  masing-masing simpul dapat saling menyerang satu sama lain. Matriks ketetanggaan 𝐴𝐴 dari graf Γ dengan entri 𝑎𝑎 𝑣𝑣𝑣𝑣 = 1 jika dan hanya jika ( 𝑢𝑢 , 𝑣𝑣 ) ∈ 𝐸𝐸 dan 𝑎𝑎 𝑣𝑣𝑣𝑣 = 0 untuk yang lain sehingga 𝑎𝑎 𝑣𝑣𝑣𝑣 = 0 . Status dari simpul-simpul di jaringan komputer pada waktu 𝑡𝑡 direpresentasikan sebagai
( 𝐼𝐼 1 ( 𝑡𝑡 ), 𝐼𝐼 2 ( 𝑡𝑡 ), … , 𝐼𝐼 𝑛𝑛 ( 𝑡𝑡 )), (1)
dengan 𝐼𝐼 𝑣𝑣 ( 𝑡𝑡 ) = 1 menyatakan simpul 𝑣𝑣 dalam status terinfeksi pada waktu 𝑡𝑡 dan 𝐼𝐼 𝑣𝑣 ( 𝑡𝑡 ) = 0 menyatakan simpul 𝑣𝑣 dalam status aman pada waktu 𝑡𝑡 . Vektor peluang infeksi dinotasikan:
𝑝𝑝 𝑇𝑇 ( 𝑡𝑡 ) = �𝑝𝑝 1 ( 𝑡𝑡 ), 𝑝𝑝 2 ( 𝑡𝑡 ), … , 𝑝𝑝 𝑛𝑛 ( 𝑡𝑡 ) � , (2)
dengan 𝑝𝑝 𝑗𝑗 ( 𝑡𝑡 ) = 𝑃𝑃 � 𝐼𝐼 𝑗𝑗 ( 𝑡𝑡 ) = 1 � , untuk 𝑗𝑗 = 0, 1, 2, … , 𝑛𝑛 .

## 2.1 Model Non-Markov
Pada model non-Markov diasumsikan bahwa untuk sembarang simpul 𝑣𝑣 , terdapat 𝐷𝐷 𝑣𝑣 buah simpul yang terinfeksi, bertetangga, dan dapat menyerang simpul 𝑣𝑣 . Waktu untuk terinfeksinya simpul 𝑣𝑣 yang diakibatkan oleh simpul yang bertetangga dan sedang terinfeksi diwakilkan oleh barisan peubah acak �𝑌𝑌 𝑣𝑣 1 , 𝑌𝑌 𝑣𝑣 2 , … , 𝑌𝑌 𝑣𝑣 𝐷𝐷𝑣𝑣 � dengan distribusi marginal yang sama yaitu 𝐹𝐹 .  Waktu untuk terinfeksinya simpul 𝑣𝑣 dari luar jaringan diwakilkan oleh peubah acak 𝑍𝑍 𝑣𝑣 dengan distribusi 𝐺𝐺 𝑣𝑣 . Karena
𝐷𝐷 𝑣𝑣 = ∑ 𝑎𝑎 𝑣𝑣𝑣𝑣 ⋅ 𝐼𝐼 𝑣𝑣 𝑛𝑛 𝑣𝑣=1 , (3)
maka waktu untuk terinfeksinya simpul 𝑣𝑣 adalah
𝑇𝑇 𝑣𝑣 = min �𝑌𝑌 𝑣𝑣 1 , 𝑌𝑌 𝑣𝑣 2 , … , 𝑌𝑌 𝑣𝑣 𝐷𝐷𝑣𝑣 , 𝑍𝑍 𝑣𝑣 � . (4)
Waktu untuk pemulihan suatu simpul 𝑣𝑣 yang terinfeksi dinotasikan oleh 𝑅𝑅 𝑣𝑣 . Ekspektasi dari 𝐷𝐷 𝑣𝑣 adalah
𝔼𝔼 ( 𝐷𝐷 𝑣𝑣 ) = 𝔼𝔼�∑ 𝑎𝑎 𝑣𝑣𝑣𝑣 ⋅ 𝐼𝐼 𝑣𝑣 𝑛𝑛 𝑣𝑣=1 � = ∑ 𝑎𝑎 𝑣𝑣𝑣𝑣 ⋅ 𝑝𝑝 𝑣𝑣 𝑛𝑛 𝑣𝑣=1 . (5)
Sebagai ilustrasi, perhatikan Gambar 1. Terdapat 3 buah simpul yang dinotasikan sebagai 𝑉𝑉 1 , 𝑉𝑉 2 , dan 𝑉𝑉 3 . Simpul 1 terhubung dengan simpul 2 dan 3, namun simpul 2 dan 3 tidak terhubung.

## Pemodelan dan Perhitungan Premi Asuransi Keamanan Siber dengan Model Non-Markov
Gambar 1 . Ilustrasi Proses Infeksi dan Penyembuhan
Simpul 1 dapat menyerang 2 buah simpul lainnya, sedangkan masing-masing simpul 2 dan 3 hanya dapat menginfeksi simpul 1. Simpul 1 dapat menginfeksi simpul 2 dalam waktu 𝑌𝑌 21 , sedangkan simpul 2 dapat menginfeksi simpul 1 dalam waktu 𝑌𝑌 12 . Begitu pula untuk simpul 1 dan 3. 𝑍𝑍 1 , 𝑍𝑍 2 , dan 𝑍𝑍 3 menyatakan waktu simpul 1, 2, dan 3 dapat terinfeksi karena serangan dari luar. Oleh karena itu, 𝑇𝑇 1 , 𝑇𝑇 2 , dan 𝑇𝑇 3 menyatakan waktu minimum masing-masing simpul dapat terinfeksi karena serangan dari dalam atau luar jaringan. Selain itu, 𝑅𝑅 1 , 𝑅𝑅 2 , dan 𝑅𝑅 3 masing- masing menyatakan waktu pulihnya simpul yang terinfeksi bagi simpul 1, 2, dan 3.
Seperti halnya model Markov, penyebaran wabah pada model non-Markov juga dapat memasuki keadaan stasioner. Peluang simpul 𝑣𝑣 terinfeksi adalah
𝑝𝑝 𝑣𝑣 = 𝔼𝔼 ( 𝑅𝑅 𝑣𝑣 ) 𝔼𝔼 ( 𝑅𝑅 𝑣𝑣 ) +𝔼𝔼 ( 𝑇𝑇 𝑣𝑣 ) . (6)
Untuk kasus saling bebas, ekspektasi dari 𝑇𝑇 𝑣𝑣 , yaitu rata-rata waktu agar simpul 𝑣𝑣 terinfeksi.
𝔼𝔼 ( 𝑇𝑇 𝑣𝑣 ) = 𝔼𝔼 �� 𝐹𝐹� 𝐷𝐷 𝑣𝑣 ( 𝑡𝑡 ) ⋅ 𝐺𝐺̅ 𝑣𝑣 ( 𝑡𝑡 ) 𝑑𝑑𝑡𝑡 ∞ 0 �
dengan 𝐹𝐹� ( 𝑡𝑡 ) dan 𝐺𝐺̅ 𝑣𝑣 ( 𝑡𝑡 ) merupakan fungsi bertahan hidup untuk waktu infeksi dari simpul tetangga dan luar jaringan. Berdasarkan [4], dapat diterapkan pertidaksamaan Jensen yang menghasilkan
𝔼𝔼 �� 𝐹𝐹� 𝐷𝐷 𝑣𝑣 ( 𝑡𝑡 ) ⋅ 𝐺𝐺̅ 𝑣𝑣 ( 𝑡𝑡 ) 𝑑𝑑𝑡𝑡 ∞ 0 � ≥ � 𝐹𝐹� 𝔼𝔼 ( 𝐷𝐷 𝑣𝑣 ) ∞ 0 ⋅ 𝐺𝐺̅ 𝑣𝑣 ( 𝑡𝑡 ) 𝑑𝑑𝑡𝑡 ,
𝑝𝑝 𝑣𝑣 ≤ 𝔼𝔼 ( 𝑅𝑅 𝑣𝑣 ) 𝔼𝔼 ( 𝑅𝑅 𝑣𝑣 ) + ∫ 𝐹𝐹� ∑ 𝑎𝑎 𝑣𝑣𝑣𝑣 ⋅𝑝𝑝 𝑣𝑣 𝑛𝑛 𝑣𝑣=1 ( 𝑡𝑡 ) ⋅ 𝐺𝐺̅ 𝑣𝑣 ( 𝑡𝑡 ) 𝑑𝑑𝑡𝑡 ∞ 0 .
Oleh karena itu, aproksimasi batas atas peluang infeksi suatu simpul 𝑣𝑣 dengan bentuk
𝑝𝑝 𝑣𝑣 ∗ = 𝔼𝔼 ( 𝑅𝑅 𝑣𝑣 ) 𝔼𝔼 ( 𝑅𝑅 𝑣𝑣 ) +∫ 𝐹𝐹� ∑ 𝑎𝑎𝑣𝑣𝑣𝑣⋅𝑝𝑝𝑣𝑣 𝑛𝑛 𝑣𝑣=1 ( 𝑡𝑡 ) ⋅𝐺𝐺̅ 𝑣𝑣 ( 𝑡𝑡 ) 𝑑𝑑𝑡𝑡 ∞ 0 . (7)
Aproksimasi  batas atas peluang infeksi suatu simpul 𝑣𝑣 dengan  proses infeksi dan pemulihan yang berdistribusi  ekor  panjang  Weibull, Lognormal, dan Gauss Invers [7]  pada Tabel 1.
Tabel 1. Aproksimasi Batas Atas Peluang Infeksi Suatu Simpul 𝑣𝑣 Distribusi Aproksimasi Batas Atas Peluang Infeksi Suatu Simpul 𝒗𝒗 Weibull 𝑝𝑝 𝑣𝑣 ∗ = 1 𝛿𝛿 𝑣𝑣 ⋅ Γ � 1 + 1 𝛼𝛼 3 � 1 𝛿𝛿 𝑣𝑣 ⋅ Γ � 1 + 1 𝛼𝛼 3 � + ∫ exp �− ( 𝜖𝜖 𝑣𝑣 ⋅ 𝑡𝑡 ) 𝛼𝛼2 − ( 𝛽𝛽 ⋅ 𝑡𝑡 ) 𝛼𝛼1 ∑ 𝑎𝑎 𝑣𝑣𝑣𝑣 ⋅ 𝑝𝑝 𝑣𝑣 ∗ 𝑛𝑛 𝑣𝑣=1 � 𝑑𝑑𝑡𝑡 ∞ 0
Lognormal 𝑝𝑝 𝑣𝑣 ∗ = exp �𝜇𝜇 𝑣𝑣 + 𝜎𝜎 𝑣𝑣 2 2 � exp �𝜇𝜇 𝑣𝑣 + 𝜎𝜎 𝑣𝑣 2 2 � + ∫ � 1 − Φ � ln( 𝑡𝑡 ) − 𝜇𝜇 2 𝜎𝜎 2 �� ⋅ � 1 − Φ � ln( 𝑡𝑡 ) − 𝜇𝜇 1 𝜎𝜎 1 �� ∑ 𝑎𝑎𝑣𝑣𝑣𝑣⋅𝑝𝑝𝑣𝑣∗ 𝑛𝑛 𝑣𝑣=1 𝑑𝑑𝑡𝑡 ∞ 0
dengan Φ ( ⋅ ) merupakan fungsi distribusi kumulatif normal standar.
Gauss Invers
𝑝𝑝 𝑣𝑣 ∗ = 𝜇𝜇 𝑣𝑣 𝜇𝜇 𝑣𝑣 + ∫ 𝑈𝑈 ( 𝑡𝑡 ) ⋅ 𝑊𝑊 ( 𝑡𝑡 ) ∑ 𝑎𝑎𝑣𝑣𝑣𝑣⋅𝑝𝑝𝑣𝑣∗ 𝑛𝑛 𝑣𝑣=1 𝑑𝑑𝑡𝑡 ∞ 0
dengan
𝑈𝑈 ( 𝑡𝑡 ) = � 1 − �Φ �� 𝜆𝜆2 𝑡𝑡 ⋅ � 𝑡𝑡 𝜇𝜇2 − 1 �� + exp � 2⋅𝜆𝜆2 𝜇𝜇2 � ⋅ Φ �−� 𝜆𝜆2 𝑡𝑡 ⋅ � 𝑡𝑡 𝜇𝜇2 − 1 ���� dan 𝑊𝑊 ( 𝑡𝑡 ) =
� 1 − �Φ �� 𝜆𝜆1 𝑡𝑡 ⋅ � 𝑡𝑡 𝜇𝜇1 − 1 �� + exp � 2⋅𝜆𝜆1 𝜇𝜇1 � ⋅ Φ �−� 𝜆𝜆1 𝑡𝑡 ⋅ � 𝑡𝑡 𝜇𝜇1 − 1 ���� .

## 2.2 Proses Infeksi dan Pemulihan pada Jaringan Komputer
Proses infeksi dan pemulihan pada jaringan komputer diilustrasikan seperti pada Gambar 1.  Simpul 𝑣𝑣 berstatus aman pada saat 𝑇𝑇 = 0 , proses infeksi pertama terjadi pada saat 𝑇𝑇 = 𝑡𝑡 1 , kembali pulih pada saat 𝑇𝑇 = 𝑡𝑡 2 , kemudian terinfeksi lagi pada saat 𝑇𝑇 = 𝑡𝑡 3 , dan seterusnya. Terdapat dua jenis kerugian yang terjadi karena proses infeksi.
• Kerugian yang disebabkan proses infeksi pada simpul 𝑣𝑣 terkait data:
𝜂𝜂 𝑣𝑣 �𝐿𝐿 𝑣𝑣 , 𝑖𝑖 � = 𝑐𝑐 ⋅ 𝐿𝐿 𝑣𝑣 , 𝑖𝑖 , (8)
dengan 𝜂𝜂 𝑣𝑣 ( ⋅ ) merupakan fungsi biaya yang diakibatkan oleh proses infeksi, 𝐿𝐿 𝑣𝑣 , 𝑖𝑖 merupakan nilai dari hilangnya data kali ke- 𝑖𝑖 pada simpul 𝑣𝑣 , 𝜔𝜔 𝑣𝑣 merupakan nilai

## 160

## Pemodelan dan Perhitungan Premi Asuransi Keamanan Siber
dengan Model Non-Markov
kekayaan awal simpul 𝑣𝑣 , dan 𝑐𝑐 merupakan tingkat biaya yang diakibatkan infeksi.
Kerugian jenis pertama pada simpul 𝑣𝑣 akan diasumsikan mengikuti distribusi Beta dengan fungsi kepadatan peluang
𝑓𝑓 𝐿𝐿 𝑣𝑣 ( 𝑥𝑥 ) = 1 ( 𝜔𝜔 𝑣𝑣 ) 𝑎𝑎+𝑏𝑏+1 ⋅ 1 𝐵𝐵 ( 𝑎𝑎 , 𝑏𝑏 ) ⋅ 𝑥𝑥 𝑎𝑎−1 ⋅ ( 𝜔𝜔 𝑣𝑣 − 𝑥𝑥 ) 𝑏𝑏−1 , (9)
dengan 0 ≤ 𝑥𝑥 ≤ 𝜔𝜔 𝑣𝑣 dan parameter bentuk 𝑎𝑎 , 𝑏𝑏 > 0 .
• Hilangnya  potensi pemasukan karena sistem komputer tidak dapat beroperasi seperti normal ( opportunity cost ):
𝐶𝐶 𝑣𝑣 �𝑅𝑅 𝑣𝑣 , 𝑖𝑖 � = 𝑐𝑐 1 ⋅ 𝜔𝜔 𝑣𝑣 + 𝑐𝑐 2 ⋅ 𝑅𝑅 𝑣𝑣 , 𝑖𝑖 , (10)
dengan 𝐶𝐶 𝑣𝑣 ( ⋅ ) merupakan fungsi biaya dikarenakan simpul 𝑣𝑣 tidak dapat beroperasi, 𝑅𝑅 𝑣𝑣 , 𝑖𝑖 ialah durasi simpul 𝑣𝑣 tidak dapat beroperasi untuk kali ke- 𝑖𝑖 , 𝑐𝑐 1 merupakan tingkat biaya akibat simpul yang terinfeksi, dan 𝑐𝑐 2 merupakan tingkat biaya dari opportunity cost .
Gambar 2 . Siklus Proses Infeksi dan Pemulihan yang Terjadi pada Simpul 𝑣𝑣 Oleh karena itu, kerugian kumulatif untuk simpul 𝑣𝑣 sampai saat 𝑡𝑡 dapat dinyatakan sebagai
𝑆𝑆 𝑣𝑣 ( 𝑡𝑡 ) = � �𝜂𝜂 𝑣𝑣 �𝐿𝐿 𝑣𝑣 , 𝑖𝑖 � + 𝐶𝐶 𝑣𝑣 �𝑅𝑅 𝑣𝑣 , 𝑖𝑖 �� 𝑀𝑀 𝑣𝑣 ( 𝑡𝑡 ) 𝑖𝑖=1
dengan 𝑀𝑀 𝑣𝑣 ( 𝑡𝑡 ) merupakan banyak kejadian infeksi pada simpul 𝑣𝑣 sampai saat 𝑡𝑡 , sedangkan total kerugian kumulatif yang dialami sampai saat 𝑡𝑡 adalah
𝑆𝑆 ( 𝑡𝑡 ) = � 𝑆𝑆 𝑣𝑣 ( 𝑡𝑡 ) 𝑛𝑛 𝑣𝑣=1 .
Berikut ini merupakan algoritma untuk melakukan simulasi kontrak risiko keamanan siber selama 365 hari (1 tahun) dengan menggunakan metode simulasi Monte Carlo.

## Algoritma
Simulasi kontrak risiko keamanan siber selama 365 hari
Masukan : Matriks ketetanggaan dari jaringan komputer, durasi kontrak, banyak simulasi, distribusi untuk proses infeksi dan pemulihan jaringan komputer, serta parameter dari proses infeksi, proses pemulihan, dan fungsi kerugian.

## Langkah
:
1.  Bangkitkan  durasi pemulihan acak 𝑟𝑟 1 , 𝑟𝑟 2 , … , 𝑟𝑟 𝑚𝑚 , dengan 𝑚𝑚 merupakan banyak simpul yang terinfeksi saat 𝑡𝑡 .
2.  Bangkitkan durasi  infeksi secara acak 𝑦𝑦 1 , 𝑦𝑦 2 , … , 𝑦𝑦 𝑑𝑑 𝑣𝑣 , 𝑧𝑧 𝑣𝑣 ,  dengan 𝑦𝑦 𝑖𝑖 merupakan  waktu  infeksi dari dalam  jaringan, 𝑑𝑑 𝑣𝑣 merupakan banyak tetangga simpul 𝑣𝑣 yang terinfeksi, dan 𝑧𝑧 𝑣𝑣 merupakan waktu infeksi dari luar jaringan.
3.  Tentukan peristiwa yang terjadi terlebih dahulu dan catat durasi peristiwa yang terjadi terlebih dahulu 𝑡𝑡 1 = min{ 𝑟𝑟 1 , 𝑟𝑟 2 , … , 𝑟𝑟 𝑚𝑚 , 𝑦𝑦 1 , 𝑦𝑦 2 , 𝑦𝑦 𝑑𝑑 𝑣𝑣 , 𝑧𝑧 𝑣𝑣 } .
4.  Catat setiap peristiwa infeksi atau pemulihan yang terjadi, serta ubah status simpulnya. Hitung besar kerugian untuk setiap simpul 𝑣𝑣 yang terinfeksi.
5.  Akumulasi waktu saat 𝑡𝑡 ( 𝑡𝑡 𝑙𝑙𝑎𝑎𝑚𝑚𝑎𝑎 ) dengan durasi dari peristiwa yang terjadi terlebih dahulu ( 𝑡𝑡 1 ) sehingga 𝑡𝑡 𝑏𝑏𝑎𝑎𝑏𝑏𝑣𝑣 = 𝑡𝑡 𝑙𝑙𝑎𝑎𝑚𝑚𝑎𝑎 + 𝑡𝑡 1 .
6.  Ulangi kembali langkah 1 hingga waktu 𝑡𝑡 𝑏𝑏𝑎𝑎𝑏𝑏𝑣𝑣 melebihi 365 hari.
Keluaran : Rata-rata, standar deviasi, nilai minimum, dan nilai maksimum dari banyak kejadian infeksi dan kerugian kumulatif untuk masing-masing simpul 𝑣𝑣 .
2.3 Prinsip Perhitungan Premi
• Prinsip Premi Standar Deviasi [4], [8] Besar premi 𝑃𝑃 ( 𝑋𝑋 ) yang diterapkan pada prinsip premi standar deviasi adalah
𝑃𝑃 ( 𝑋𝑋 ) = 𝔼𝔼 ( 𝑋𝑋 ) + 𝜆𝜆 ⋅ � Var( 𝑋𝑋 ), (11)
dengan 𝜆𝜆 > 0 merupakan parameter risk loading .
• Prinsip Premi Utilitas Eksponensial [9], [10]
Prinsip premi utilitas eksponensial berasal dari prinsip kesetaraan utilitas ( principle of equivalent utility ), dengan besar premi 𝑃𝑃 ( 𝑋𝑋 ) diperoleh dengan menyelesaikan persamaan
𝑢𝑢 ( 𝜔𝜔 ) = 𝔼𝔼 �𝑢𝑢�𝜔𝜔 − 𝑋𝑋 + 𝑃𝑃 ( 𝑋𝑋 ) �� ,
dengan 𝜔𝜔 merupakan kekayaan awal, dan 𝑢𝑢 ( ⋅ ) merupakan fungsi utilitas yang digunakan adalah
𝑢𝑢 ( 𝜔𝜔 ) = � 1 − 𝑒𝑒 −𝛾𝛾⋅𝜔𝜔 𝛾𝛾 , 𝛾𝛾 ≠ 0; 𝜔𝜔 , 𝛾𝛾 = 0,
dengan 𝛾𝛾 ialah  parameter tingkat preferensi risiko. Perhitungan  premi 𝑃𝑃 ( 𝑋𝑋 ) dapat diperoleh sebagai
𝑃𝑃 ( 𝑋𝑋 ) = ln �𝔼𝔼�𝑒𝑒 𝛾𝛾⋅𝑋𝑋 �� 𝛾𝛾 . (12)
162

## Pemodelan dan Perhitungan Premi Asuransi Keamanan Siber dengan Model Non-Markov

## 3  Hasil dan Pembahasan
Berdasarkan Persamaan (8), (9), dan (10), berikut ini merupakan parameter-parameter yang digunakan untuk fungsi kerugian.
( 𝑎𝑎 , 𝑏𝑏 , 𝑐𝑐 , 𝑐𝑐 1 , 𝑐𝑐 2 , 𝜔𝜔 𝑣𝑣 ) = (2, 4, 10 −3 , 10 −7 , 5 × 10 −5 , $1000).
Gambar 2 merupakan  contoh jaringan komputer sederhana dari calon perusahaan tertanggung beserta matriks ketetanggaannya yang terbentuk.
Gambar 3 . Contoh Jaringan Komputer Sederhana Beserta Matriks Ketetanggaannya Banyaknya  simulasi adalah 500, lama kontrak adalah 365 hari (1 tahun), dan status semua simpul aman saat kontrak dimulai. Kuantitas yang dihitung dari simulasi adalah banyak kejadian infeksi ( 𝑁𝑁 ) dan besar kerugian kumulatif ( 𝑆𝑆 ) selama kontrak berlangsung. Parameter yang digunakan untuk Persamaan (11) adalah 𝜆𝜆 = 0,2 dan untuk Persamaan (12) adalah 𝛾𝛾 = 0,5 . Notasi 𝑃𝑃 1 dan 𝑃𝑃 2 menyatakan besar premi berdasarkan prinsip standar deviasi dan prinsip utilitas eksponensial.
Berikut hasil simulasi pemilihan distribusi berbeda antara keempat distribusi dengan nilai rata-rata dan variansi yang sama. Diasumsikan nilai parameter memiliki satuan hari per kejadian: 𝔼𝔼 ( 𝑍𝑍 𝑣𝑣 ) = 3,5 , Var( 𝑍𝑍 𝑣𝑣 ) = 2 , 𝔼𝔼�𝑌𝑌 𝑣𝑣𝑖𝑖 � = 4 , Var �𝑌𝑌 𝑣𝑣 𝑖𝑖 � = 1,5 , 𝔼𝔼 ( 𝑅𝑅 𝑣𝑣 ) = 2 , dan Var( 𝑅𝑅 𝑣𝑣 ) = 1 .

## 3.1 Simulasi dengan menggunakan distribusi Weibull
Untuk sembarang simpul 𝑣𝑣 , dengan 𝑣𝑣 = 1, 2, … , 10 , memiliki proses infeksi dan pemulihan berdistribusi Weibull dengan parameter sebagai berikut.
( 𝛽𝛽 ; 𝛼𝛼 1 ; 𝜖𝜖 ; 𝛼𝛼 2 ; 𝛿𝛿 ; 𝛼𝛼 3 ) = (0,2254; 3,6306; 0,254; 2,6654; 0,4428; 2,1013).
Rata-rata waktu untuk terinfeksinya masing-masing simpul adalah
𝔼𝔼 ( 𝑇𝑇 ∗ ) = (2,6944; 2,774; 2,6107; 3,2126; 3,0194; 2,8804; 2,8783; 2,6944; 2,8804; 3,0224), dan aproksimasi peluang batas atas infeksi untuk masing-masing simpul adalah
𝑝𝑝 ∗ = (0,426; 0,4189; 0,4338; 0,3837; 0,3985; 0,4098; 0,41; 0,426; 0,4098; 0,3982).

## Tabel 2. Hasil Simulasi untuk Distribusi Weibull
Simpul 𝔼𝔼 ( 𝑁𝑁 ) � Var( 𝑁𝑁 ) 𝔼𝔼 ( 𝑆𝑆 ) ($) � Var( 𝑆𝑆 ) ($) 𝑃𝑃 1 ($) 𝑃𝑃 2 ($) 1 17,432 3,4271 5,7479 1,332 6,0143 6,2129 2 16,682 3,1725 5,5941 1,2802 5,8501 6,0244 3 17,84 3,2378 5,9476 1,2804 6,2037 6,3715 4 15,104 3,2506 5,0403 1,2831 5,2969 5,4763 5 15,606 3,1867 5,1603 1,2634 5,413 5,5767 6 16,32 3,2439 5,4014 1,2741 5,6562 5,8237 7 16,224 3,3359 5,4402 1,2657 5,6933 5,8648 8 17,258 3,2761 5,8126 1,2735 6,0673 6,2342 9 16,17 3,3183 5,4228 1,3172 5,6863 5,8612 10 15,54 3,1414 5,2077 1,3015 5,468 5,6478 Jaringan 164,176 4,5798 54,7748 2,7765 55,3301 56,5786

## 3.2 Simulasi dengan menggunakan distribusi Lognormal
Untuk sembarang simpul 𝑣𝑣 , dengan 𝑣𝑣 = 1, 2, … , 10 , memiliki proses infeksi dan pemulihan berdistribusi Lognormal dengan parameter sebagai berikut.
( 𝜇𝜇 1 ; 𝜎𝜎 1 2 ; 𝜇𝜇 2 ; 𝜎𝜎 2 2 ; 𝜇𝜇 𝑣𝑣 ; 𝜎𝜎 𝑣𝑣 2 ) = (1,1771; 0,3889 2 ; 1,3415; 0,2994 2 ; 0,5816; 0,4724 2 ). Rata-rata waktu untuk terinfeksinya masing-masing simpul adalah
𝔼𝔼 ( 𝑇𝑇 ∗ ) = (2,5813; 2,683; 2,4656; 3,4209; 3,0663; 2,8393; 2,8351; 2,5799; 2,8394; 3,0735), dan aproksimasi peluang batas atas infeksi untuk masing-masing simpul adalah
𝑝𝑝 ∗ = (0,4366; 0,4271; 0,4479; 0,3689; 0,3948; 0,4133; 0,4136; 0,4367; 0,4133; 0,3942).

## Tabel 3. Hasil Simulasi untuk Distribusi Lognormal
Simpul 𝔼𝔼 ( 𝑁𝑁 ) � Var ( 𝑁𝑁 ) 𝔼𝔼 ( 𝑆𝑆 ) ($) � Var ( 𝑆𝑆 ) ($) 𝑃𝑃 1 ($) 𝑃𝑃 2 ($) 1 11,764 3,1305 3,9528 1,2501 4,2029 4,362 2 10,866 2,9742 3,6396 1,1686 3,8733 3,992 3 12,612 3,1319 4,1898 1,2523 4,44 4,6303 4 8,046 2,6476 2,7161 1,0422 2,9245 2,9995 5 9,152 2,8986 3,0267 1,0918 3,245 3,336 6 10,186 2,8754 3,3731 1,119 3,5969 3,6982 7 10,29 2,8994 3,4214 1,1419 3,6497 3,7796 8 12,052 2,9663 4,0369 1,1384 4,2646 4,3797 9 10,138 2,876 3,4192 1,1397 3,647 3,7731 10 9,162 2,9423 3,0605 1,0612 3,2727 3,353 Jaringan 104,268 2,3484 34,8361 1,9588 35,2278 35,8512
164

## Pemodelan dan Perhitungan Premi Asuransi Keamanan Siber dengan Model Non-Markov

## 3.3 Simulasi dengan menggunakan distribusi Gauss Invers
Untuk sembarang simpul 𝑣𝑣 , dengan 𝑣𝑣 = 1, 2, … , 10 , memiliki proses infeksi dan pemulihan berdistribusi Gauss Invers dengan parameter sebagai berikut.
( 𝜇𝜇 1 ; 𝜆𝜆 1 ; 𝜇𝜇 2 ; 𝜆𝜆 2 ; 𝜇𝜇 𝑣𝑣 ; 𝜆𝜆 𝑣𝑣 ) = (4; 42,6667; 3,5; 21,4375; 2; 8).
Rata-rata waktu untuk terinfeksinya masing-masing simpul adalah
𝔼𝔼 ( 𝑇𝑇 ∗ ) = (2,7851; 2,8458; 2,7255; 3,212; 3,0424; 2,9288; 2,9275; 2,7847; 2,9288; 3,0441), dan aproksimasi peluang batas atas infeksi untuk masing-masing simpul adalah
𝑝𝑝 ∗ = (0,418; 0,4127; 0,4232; 0,3837; 0,3966; 0,4058; 0,4059; 0,418; 0,4058; 0,3965).

## Tabel 4. Hasil Simulasi untuk Distribusi Gauss Invers
Simpul 𝔼𝔼 ( 𝑁𝑁 ) � Var( 𝑁𝑁 ) 𝔼𝔼 ( 𝑆𝑆 ) ($) � Var( 𝑆𝑆 ) ($) 𝑃𝑃 1 ($) 𝑃𝑃 2 ($) 1 12,358 3,1435 4,1254 1,238 4,373 4,5261 2 12,228 3,019 4,1108 1,1816 4,3471 4,4732 3 12,366 2,9883 4,1702 1,1848 4,4071 4,5563 4 11,948 3,1453 4,0332 1,2226 4,2777 4,4367 5 12,038 3,0369 3,9778 1,1796 4,2137 4,3542 6 12,042 3,1926 4,0021 1,2048 4,2431 4,3729 7 11,982 2,9022 3,9988 1,1653 4,2319 4,3651 8 12,424 3,1241 4,1632 1,2532 4,4138 4,5874 9 11,912 3,0547 3,9869 1,2137 4,2296 4,3865 10 12,188 3,0363 4,1227 1,2252 4,3677 4,5176 Jaringan 121,486 2,1106 40,6909 2,0858 41,1081 41,779
Pada semua distribusi, peluang batas atas terinfeksinya simpul 3 dan simpul 4 secara terurut adalah yang terbesar dan yang terkecil. Simpul 3 paling banyak terhubung dengan 6 simpul lainnya, sedangkan simpul 4 hanya terhubung dengan 1 simpul lain. Tabel 2, 3, dan 4 menunjukkan bahwa dengan rata-rata dan variansi yang  sama pada ketiga distribusi, rata-rata banyak kejadian infeksi, kerugian kumulatif, serta harga premi dengan kedua prinsip premi yang diperoleh berbeda. Distribusi Weibull dengan nilai parameter bentuk lebih dari 1 memiliki ekor distribusi yang pendek sedangkan distribusi Lognormal dan Gauss Invers memiliki  ekor distribusi yang panjang [7, 8] sehingga hasil yang diperoleh pada Tabel 3 dan Tabel 4 serupa.

## 4  Simpulan
Penelitian ini menghasilkan  kesimpulan  bahwa simpul  yang  terhubung dengan banyak simpul lain  akan lebih mudah/sering terinfeksi dibandingkan simpul yang terhubung dengan sedikit simpul lain sehingga disarankan agar simpul yang terhubung dengan banyak simpul lain (seperti server pusat) memerlukan proteksi lebih baik dibandingkan simpul lainnya  atau akan

## 165
dikenakan biaya premi yang lebih mahal disbanding simpul lainnya. Distribusi yang memiliki ekor distribusi panjang menghasilkan banyaknya kejadian infeksi dan kerugian kumulatif yang lebih kecil dibandingkan distribusi yang memiliki ekor distribusi pendek sehingga besar premi pada distribusi berekor panjang juga akan lebih murah dibandingkan distribusi berekor pendek.

## 5  Daftar Pustaka
[1]  J. M. Lemnitzer, “Why cybersecurity insurance should be regulated and compulsory,” J. Cyber Policy , vol. 6, no. 2, pp. 118–136, 2021.
[2]  Y. Zhao and L. Jones, “Integrating Human Reasoning and Machine Learning to Classify Cyber Attacks,” Advers. Learn. Tech. Trends Cybersecurity , pp. 147–165, 2021.
[3]  M. Carfora, F. Martinelli, F. Mercaldo, and A. Orlando, “Cyber risk management: An actuarial point of view,” J. Oper. Risk , vol. 14, no. 4, 2019.
[4]  M. Xu and L. Hua, “Cybersecurity Insurance: Modeling and Pricing,” North Am. Actuar.
J. , vol. 23, no. 2, pp. 220–249, 2019, doi: 10.1080/10920277.2019.1566076.
[5]  T. Kosub, “Components and challenges of integrated cyber risk management,” Zeitschrift fur die gesamte Versicherungswiss. , vol. 104, no. 5, pp. 615–634, 2015, doi:
10.1007/s12297-015-0316-8.
[6]  G. A. Schwartz and S. S. Sastry, “Cyber-insurance framework for large scale interdependent networks,” HiCoNS 2014 - Proc. 3rd Int. Conf. High Confid. Networked Syst. (Part CPS Week) , pp. 145–153, 2014, doi: 10.1145/2566468.2566481.
[7]  B. Edwards, S. Hofmeyr, and S. Forrest, “Hype and heavy tails: A closer look at data breaches,” J. Cybersecurity , vol. 2, no. 1, pp. 3–14, 2016.
[8]  K. Awiszus, T. Knispel, I. Penner, G. Svindland, A. Voß, and S. Weber, “Modeling and Pricing Cyber Insurance,” 2021.
[9]  R. Kaas, M. Goovaerts, J. Dhaene, and M. Denuit, Modern Actuarial Risk Theory . 2008.
[10]  M. Chudziak and M. Żołdak, “On Extendability of the Principle of Equivalent Utility,” Symmetry (Basel). , vol. 12, no. 1, p. 42, 2019.
[11]  G. Trenkler, “Continuous univariate distributions,” Comput. Stat. Data Anal. , vol. 21, no.
1, p. 119, 1996, doi: 10.1016/0167-9473(96)90015-8.
[12]  J. Rojo, “On Tail Categorization of Probability Laws,” J. Am. Stat. Assoc. , vol. 91, no. 433, pp. 378–384, 2014.