Published: June 20, 2020
DOI: 10.20961/jmme.v10i1.42405

## NILAI KEKUATAN TAK TERATUR JARAK NON INKLUSIF TITIK PADA GRAF TADPOLE DAN GRAF LINTASAN KORONA LINTASAN
On Non-Inclusive Distance Vertex Irregularity Strength of Tadpole and Path Corona Path Graphs
Muhammad Bilal 1 *, Diari Indriati 2 , Vika Yugi Kurniawan 3
1,2,3 Prodi Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Sebelas Maret, Jl. Ir. Sutami No.36, Kentingan, Kec. Jebres, Kota Surakarta, Jawa Tengah 57126
*korespondensi, tel/fax : 0812-25069472, email: muhammadxbilal25@gmail.com
Abstrak: Misal 𝐺 = (𝑉, 𝐸) adalah  graf  terhubung dengan  himpunan  titik 𝑉(𝐺) dan  himpunan sisi 𝐸 ( 𝐺 ).  Pelabelan  titik  tak  teratur  jarak  non  inklusif  pada  graf 𝐺 dengan  himpunan  titik  tak kosong 𝑉 adalah  pemetaan 𝜆: (𝑉, 𝐺) ⟶ {1,2, … , 𝑘} sedemikian  sehingga  bobot  untuk  semua titiknya berbeda. Bobot dari titik 𝑣 pada graf 𝐺 dengan pelabelan 𝜆 , dinotasikan dengan 𝑤𝑡(𝑣) , didefinisikan sebagai jumlahan label dari semua titik yang adjacent dengan 𝑣 (jarak satu dengan 𝑣 . Nilai kekuatan tak teratur jarak non inklusif titik dari graf 𝐺 dinotasikan dengan 𝑑𝑖𝑠(𝐺) , adalah nilai  terkecil  dari  label  terbesar 𝑘 sehingga 𝐺 memiliki  pelabelan  titik  tak  teratur  jarak  non inklusif. Pada penelitian ini, ditentukan 𝑑𝑖𝑠(𝐺) dari graf 𝑇 𝑚,𝑛 dengan 𝑚 ≥ 3 , 𝑚 ganjil, dan 𝑛 ≥ 1 dan graf 𝑃 𝑛 ⊙ 𝑃 𝑛 dengan 𝑛 ≥ 2 dan 𝑛 genap.
Kata kunci : Pelabelan titik tak teratur jarak non inklusif, Nilai kekuatan tak teratur jarak non inklusif titik, Graf tadpole, Graf lintasan korona lintasan
Abstract: Let 𝐺 = (𝑉, 𝐸) be  a  connected  and  simple  graph  with  vertex  set 𝑉 ( 𝐺 )  and  edge  set 𝐸 ( 𝐺 ). A non-inclusive distance vertex irregular labeling of a graph 𝐺 is a mapping of 𝜆: (𝑉, 𝐺) ⟶ {1,2, … , 𝑘} such that the weights calculated for all vertices are distinct. The weight of a vertex 𝑣 , under labeling 𝜆 , denoted by 𝑤𝑡(𝑣) , is defined as the sum of the label of all vertices adjacent to 𝑣 distance 1 from 𝑣 ). A non-inclusive distance vertex irregularity strength of graph 𝐺 , denoted by 𝑑𝑖𝑠(𝐺) , is the minimum value of the largest label 𝑘 over all such non inclusive distance vertex irregular labeling. In this research, we determined 𝑑𝑖𝑠(𝐺) from 𝑇 𝑚,𝑛 graph with 𝑚 ≥ 3 , 𝑚 odd, and 𝑛 ≥ 1 and 𝑃 𝑛 ⊙ 𝑃 𝑛 graph with 𝑛 ≥ 2 and 𝑛 even.
Keywords : Non inclusive distance irregular labeling, Non-inclusive distance vertex irregularity strength, Tadpole graph, Path corona path graph

## PENDAHULUAN
Matematika  merupakan  kunci  pokok  dalam  pengembangan  ilmu  pengetahuan  dan  teknologi. Konsep matematika banyak digunakan sebagai alat bantu dalam penerapan- penerapan bidang ilmu lain maupun dalam pengembangan matematika itu sendiri. Salah satu cabang  ilmu  matematika  adalah  teori graf.  Teori graf merupakan cabang kajian ilmu matematika yang digunakan sebagai alat bantu untuk
Vol. 10, No. 1, June 2020 https://jurnal.uns.ac.id/jmme
menggambarkan  atau  menyatakan  suatu  persoalan  agar  lebih  mudah  dimengerti.  Bidang  penelitian dalam teori graf terus berkembang salah satunya adalah pelabelan graf.
Menurut Wallis (2001), pelabelan graf adalah suatu fungsi yang memetakan elemen suatu graf ke bilangan bulat positif atau non negatif. Jenis pelabelan graf dibagi menjadi pelabelan titik, pelabelan sisi, dan  pelabelan  total.  Pelabelan  titik  tak  teratur  jarak  non  inklusif  termasuk  dalam  pelabelan  titik. Pelabelan  graf  menjadi  pelabelan magic ,  yaitu  pelabelan magic dari  graf 𝐺 didefinisikan sebagai suatu pemetaan satu-satu 𝜆 dari 𝐸 ke suatu himpunan bilangan bulat positif sehingga untuk semua sisi yang incident dengan  titik  adalah  konstan  (Sedlack,1067).  Pelabelan magic dikembangkan  menjadi pelabelan  pelabelan  total  sisi-magic  dan  pelabelan  total  titik-magic.  Pelabelan  total  sisi-magic  yang dikenalkan oleh  Kotzig  dan  Rosa  (1970)  adalah  pelabelan  yang  didefinisikan  sebagai  pelabelan  titik- titik dan sisi-sisi dimana label sisi dan dua titik akhir adalah konstan. Sedangkan pelabelan total titik- magic  dikenalkan  oleh  MacDougall (2002) .  Pelabelan  tersebut  adalah  pelabelan  yang  didefinisikan sebagai penempatan bilangan bulat dari 1 ke 𝑣 + 𝑒 ke titik dan sisi 𝐺 sehingga pada setiap titik, label titik  dan  label  sisi incident pada  titik  tersebut  ditambahkan  konstanta  tetap.  Selain  itu, pelabelan  graf berdasarkan magic bahwa bobot 1-titik dari setiap titik 𝑥 dalam 𝐺 di bawah pelabelan titik didefinisikan sebagai jumlah label titik dari titik-titik yang adjacent dengan 𝑥 (yaitu jarak 1 dari 𝑥 ). Jika semua titik dalam 𝐺 memiliki bobot 𝑘 yang sama, maka disebut pelabelan titik 1-titik-magic (Miller, 2003).
Jenis lain dari pelabelan graf adalah pelabelan tak teratur. Gagasan pelabelan ini diperkenalkan oleh  Chartrand  (1998).  Gagasan  ini  mengusulkan  masalah,  yaitu  berapa  nilai  minimum  dari  label terbesar dari pelabelan tidak beraturan tersebut jika sisi-sisi dari graf terhubung sederhana yang diberi label  bilangan  bulat  positif  sehingga  graf  menjadi  tidak  beraturan,  yaitu  bobot  pada  setiap  titiknya berbeda. Nilai minimum label terbesar disebut nilai kekuatan tak teratur dari graf.  Dengan pelabelan yang serupa, tetapi berlaku untuk kedua sisi dan titik pada graf, (Bača,2007) mengenalkan pelabelan-k total tak teratur. Untuk graf 𝐺 = ( 𝑉 , 𝐸 ) dengan himpunan titik 𝑉 dan himpunan sisi 𝐸 , pelabelan-k total didefinisikan  dengan 𝜆: 𝑉 ∪ 𝐸  → 1,2, … , 𝑘 .  Pelabelan-k  total  didefinikan  sebagai  pelabelan-k  sisi  tak teratur dan pelabelan-k titik tak teratur. Minimum k dimana graf 𝐺 memiliki pelabelan-k sisi tak teratur disebut nilai kekuatan tak teratur sisi pada graf 𝐺 , 𝑡𝑒𝑠(𝐺) . Demikian pula untuk pelabelan-k titik tak teratur, minimum 𝑘 tersebut   disebut   nilai   kekuatan   tak   teratur   titik   pada   graf 𝐺 , 𝑡𝑒𝑠(𝐺) (Bača, 2007).
Kemudian  Slamin  (2010)  menggabungkan  ide  dari  pelabelan magic dan  pelabelan  tak  teratur tersebut menjadi pelabelan titik tak teratur jarak non inklusif. Pelabelan titik tak teratur jarak non inklusif pada graf 𝐺 dengan himpunan titik 𝑉 adalah 𝜆: 𝑉 ⟶ {1,2, … , 𝑘} dengan bobot yang dihitung pada setiap titik harus berbeda. Bobot titik 𝑣 di graf 𝐺 didefinisikan sebagai jumlah label semua titik yang adjacent
dengan 𝑣 (berjarak satu dengan 𝑣 ). Slamin (2010) menyebutkan bahwa distance irregularity  strength atau  dapat    disebut  dengan  nilai  kekuatan  tak  teratur  jarak  dari  graf 𝐺 ,  dinotasikan  dengan 𝑑𝑖𝑠(𝐺) , adalah bilangan bulat positif terkecil dari label terbesar yang digunakan dalam pelabelan titik tak teratur jarak non inklusif.Graf yang sudah diteliti oleh Slamin (2010) adalah graf lengkap, graf lintasan, graf siklus, dan graf roda. Sedangkan graf yang sudah diteliti oleh Bong (2017) adalah graf siklus, graf roda, graf friendship , dan graf m-book . Oleh karena itu, pada penelitian ini akan diteliti graf yang belum diteliti dalam pelabelan titik tak teratur jarak non inklusif, yaitu graf tadpole (𝑇 𝑚,𝑛 ) dan graf lintasan korona lintasan (𝑃 𝑛 ⊙ 𝑃 𝑛 ) .

## METODE PENELITIAN
Nilai Kekuatan Tak Teratur Jarak Non Inklusif Titik pada Graf Tadpole
Menurut  Gallian  (2017),  graf  tadpole 𝑇 𝑚,𝑛 adalah  graf  yang  terdiri  dari  graf  siklus  yang mempunyai titik sebanyak 𝑚 dengan tambahan sebuah 𝑛 sisi lintasan (ekor) yang incident pada salah satu titik pada siklus tersebut. Suatu graf tadpole mempunyai 𝑚 + 𝑛 titik dan 𝑚 + 𝑛 sisi. Secara umum graf tadpole dapat dilihat pada Gambar 1.
Gambar 1. Graf tadpole 𝑇 𝑚,𝑛
Teorema 3.1. Misal graf 𝑇 𝑚,𝑛 adalah graf tadpole dengan 𝑚 ≥ 3, 𝑚 ganjil, dan 𝑛 ≥ 1, maka
𝑑𝑖𝑠(𝑇 𝑚,𝑛 ) = ⌈ 𝑚 + 𝑛 4 ⌉ + ⌊ 𝑚 + 𝑛 4 ⌋ … … … … … … … (3.1)
Bukti .  Dibuktikan  bahwa 𝑑𝑖𝑠(𝑇 𝑚,𝑛 ) ≥ (3.1) dan  selanjutnya  dibuktikan  bahwa 𝑑𝑖𝑠(𝑇 𝑚,𝑛 ) ≤ (3.1) untuk 𝑚 ≥ 3 , 𝑚 ganjil, dan 𝑛 ≥ 1 . Himpunan titik graf 𝑇 𝑚,𝑛 adalah 𝑉(𝑇 𝑚,𝑛 ) = {𝑣 𝑖 : 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚} ∪ {𝑢 𝑗 : 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑛} .
a. Ditunjukkan bahwa 𝑑𝑖𝑠(𝑇 𝑚,𝑛 ) ≥ (3.1) untuk 𝑚 ≥ 3 , 𝑚 ganjil, dan 𝑛 ≥ 1
Diandaikan 𝑑𝑖𝑠(𝑇 𝑚,𝑛 ) < (3.1) untuk 𝑚 ≥ 3 , 𝑚 ganjil,  dan 𝑛 ≥ 1 . Misalkan  titik  yang adjacent dengan  titik  yang ber- degree 1,  yaitu  titik 𝑣 2 diberi  label  1.  Kemudian  semua  titik  yang adjacent dengan titik yang ber- degree 2 diberi label secara terurut dari 1 sampai (3.1) – 1 sedemikian sehingga  tiap  titiknya  memiliki  bobot  yang  berbeda.  Hal  tersebut  berarti  memenuhi 𝑑𝑖𝑠(𝑇 𝑚,𝑛 ) <
(3.1) . Berdasarkan persamaan (3.2), jika diambil label titik dari 𝑢 𝑖 adalah (3.1) − 1, sebagai label terbesar, maka bobot titik 𝑢 𝑖 − 1 dan 𝑢 𝑖 + 1 akan sama.  Pada pelabelan titik tak teratur jarak non inklusif,  setiap  titik  harus  memiliki  bobot  yang  berbeda,  berarti  pengandaian  salah.  Benar  untuk 𝑑𝑖𝑠(𝑇 𝑚,𝑛 ) ≥ (3.1).
b. Dibuktikan bahwa 𝑑𝑖𝑠(𝑇 𝑚,𝑛 ) ≤ (3.1) untuk 𝑚 ≥ 3 , 𝑚 ganjil, dan 𝑛 ≥ 1
Dimisalkan 𝑘 = (3.1) . Selanjutnya, didefinisikan pemetaan 𝜆: 𝑉(𝐺) ⟶ {1,2, … , 𝑘} . Pelabelan titik tak teratur jarak non inklusif pada graf tadpole adalah sebagai berikut.
𝜆(𝑣 𝑗 ) = ⌈ 𝑗 4 ⌉ + ⌊ 𝑗 4 ⌋ , untuk 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑛 𝜆(𝑢 𝑖 ) =
{ ⌈ 𝑛 + 1 4 ⌉ + ⌊ 𝑛 + 1 4 ⌋ + 2 + 2 ( 𝑖 − 4 4 ) , untuk 𝑖 ≡ 0 𝑚𝑜𝑑 4
⌈ 𝑛 − 1 4 ⌉ + ⌊ 𝑛 − 1 4 ⌋ + 1 + 2 ( 𝑖 − 2 4 ) , untuk 𝑖 ≡ 2 𝑚𝑜𝑑 4
2 ⌈ 𝑛 4 ⌉ + 1 + 2 ⌊ 𝑚 − 𝑖 4 ⌋ , untuk 𝑖 ≡ (1,3) 𝑚𝑜𝑑 4, 𝑛 ≡ 0 𝑚𝑜𝑑 4
2 ⌈ 𝑛 4 ⌉ + 2 ⌊ 𝑚 − 𝑖 4 ⌋ − 1, untuk 𝑖 ≡ (1,3) 𝑚𝑜𝑑 4, 𝑛 ≡ 2 𝑚𝑜𝑑 4
𝑛 + 𝑚 − 𝑛 2 − 𝑖 − 1 2 , untuk 𝑖 ≡ (1,3) 𝑚𝑜𝑑 4, 𝑛 ≡ (1,3) 𝑚𝑜𝑑 4
𝜆(𝑢 𝑚 ) = ⌈ 𝑛 + 1 4 ⌉ + ⌊ 𝑛 + 1 4 ⌋ … … … … … … … (3.2)
Label  titik  dikonstruksikan  sebagai 𝜆(𝑢 𝑖 ): 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚 dan 𝜆(𝑣 𝑗 ): 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑛 .  Berdasarkan pengkonstruksian label, dapat dilihat bahwa fungsi 𝜆 adalah pemetaan yang membawa 𝑉(𝑇 𝑚,𝑛 ) ke {1,2, … , 𝑘} .  Dengan  demikian, 𝜆 adalah  pelabelan  titik  tak  teratur  jarak  non  inklusif  dengan 𝑘 = (3.1) . Selanjutnya, dihitung bobot masing-masing titik seperti berikut
𝑤𝑡(𝑣 𝑗 ) = 𝑗, untuk 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑛
𝑤𝑡(𝑢 𝑖 ) = { 𝑖 + 𝑛, untuk 𝑖 ganjil 𝑚 + 𝑛 + 1 − 𝑖, untuk 𝑖 genap
𝑤𝑡(𝑢 𝑚 ) = { 𝑚 + 𝑛 + 1 + 2 ( 𝑛 4 ) + (𝑚 + 1) 𝑚𝑜𝑑 4 2 − 𝑚 𝑚𝑜𝑑 4, untuk 𝑛 ≡ 0 𝑚𝑜𝑑 4
𝑚 + 𝑛 + 2 ⌊ 𝑛 4 ⌋ + (𝑚 − 1) 𝑚𝑜𝑑 4 2 , untuk 𝑛 ≡ 2 𝑚𝑜𝑑 4 𝑚 + 𝑛 + 2 ⌊ 𝑛 4 ⌋ + (𝑚 + 1) 𝑚𝑜𝑑 4 2 , untuk 𝑛 ≡ (1,3) 𝑚𝑜𝑑 4
Persamaan………………(3.3)
Dapat dilihat bahwa bobot masing-masing sisi dari 𝑇 𝑚,𝑛 di bawah pelabelan titik tak teratur jarak non inklusif 𝜆 , yaitu bilangan bulat berurutan dari 1 sampai 𝜆(𝑣 𝑛 )   +  𝜆(𝑢 1 )  + 𝜆(𝑢 𝑚 ) . Artinya, bobot masing-masing titik berbeda sehingga diperoleh pelabelan titik tak teratur jarak non inklusif
dari 𝑇 𝑚,𝑛 dengan  label  terbesar  adalah 𝑘 = (3.1) .  Dengan  demikian  terbukti 𝑑𝑖𝑠(𝑇 𝑚,𝑛 ) = (3.1) untuk 𝑚 ≥ 3 , 𝑚 ganjil, dan 𝑛 ≥ 1 .
Jadi,  diperoleh  pelabelan  titik  tak  teratur  jarak  non  inklusif  dengan 𝑘 = (3.1) .  Dari  a  dan  b diperoleh 𝑑𝑖𝑠(𝑇 𝑚,𝑛 ) = (3.1) untuk 𝑚 ≥ 3 , 𝑚 ganjil, dan 𝑛 ≥ 1 .
Gambar 2. Pelabelan titik tak teratur jarak non inklusif pada graf 𝑇 7,4
Berdasarkan  Gambar  2  pelabelan  setiap  titik  ditunjukkan  dengan bilangan  berwarna  hitam  dan bobot setiap titik ditunjukkan dengan bilangan berwarna hitam bergaris bawah sehingga diperoleh bobot setiap titik berbeda dan nilai kekuatan tak teratur jarak non inklusif titik dari graf 𝑇 7,4 yaitu 𝑑𝑖𝑠(𝑇 7,4 ) = 5 .
Nilai Kekuatan Tak Teratur Jarak Non Inklusif Titik pada Graf Lintasan Korona Lintasan
Menurut  Fruncht  dan  Harary  (1970),  korona  dari  graf  lintasan 𝑃 𝑛 dengan  graf  lintasan 𝑃 𝑚 , dinotasikan 𝑃 𝑛 ⨀𝑃 𝑚 adalah  graf  yang  terbentuk  dari  graf 𝑃 𝑛 dan 𝑛 kopi  graf 𝑃 𝑚 ,  kemudian menghubungkan setiap titik dari 𝑉(𝑃 𝑛 ) dengan sebuah sisi ke setiap titik dari 𝑉(𝑃 𝑚 ) . Suatu graf lintasan korona lintasan memiliki 𝑚𝑛 + 𝑛 titik dan 𝑛(2𝑚 − 1) + 𝑛 − 1 sisi. Secara umum graf lintasan korona lintasan dapat dilihat pada Gambar 3.
Gambar 3. Graf lintasan korona lintasan 𝑃 𝑛 ⨀𝑃 𝑚
Teorema  3.2. Misal  graf 𝑃 𝑛 ⨀𝑃 𝑛 adalah  graf  lintasan  korona  lintasan  dengan 𝑛 ≥ 2, 𝑛 genap, maka
𝑑𝑖𝑠(𝑃 𝑛 ⨀𝑃 𝑛 ) = 𝑛 2 + (𝑛 𝑚𝑜𝑑 4)
2 … … … … … … … (3.4)
Bukti. Ditunjukkan  bahwa 𝑑𝑖𝑠(𝑃 𝑛 ⨀𝑃 𝑛 ) ≥ (3.4) dan  selanjutnya  dibuktikan  bahwa 𝑑𝑖𝑠(𝑃 𝑛 ⨀𝑃 𝑛 ) ≤ (3.4) untuk 𝑛 ≥ 2 dan n genap.  Himpunan  titik  graf 𝑃 𝑛 ⨀𝑃 𝑛 adalah 𝑉(𝑃 𝑛 ⨀𝑃 𝑛 ) = {𝑣 𝑖 : 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛} ∪ {𝑣 𝑖,𝑗 : 1 ≤ 𝑖, 𝑗 ≤ 𝑛} .
a. Ditunjukkan bahwa 𝑑𝑖𝑠(𝑃 𝑛 ⨀𝑃 𝑛 ) ≥ (3.4) untuk 𝑛 ≥ 2 dan n genap.
Diandaikan 𝑑𝑖𝑠(𝑃 𝑛 ⨀𝑃 𝑛 ) < (3.4) untuk 𝑛 ≥ 2 dan n genap.  Misalkan titik yang adjacent dengan titik yang ber- degree 2, yaitu titik 𝑣 𝑖,2 , 𝑣 𝑖,𝑛−1 dan 𝑣 𝑖 diberi label secara terurut dari 1 sampai (3.4) –  1 sedemikian sehingga tiap titiknya memiliki bobot  yang  berbeda.  Kemudian  semua  titik yang adjacent dengan  titik  yang  ber- degree 3 diberi label secara terurut dari 1 sampai (3.4) –  1 sedemikian  sehingga  tiap  titiknya  memiliki  bobot  yang  berbeda.  Hal  tersebut  berarti  memenuhi 𝑑𝑖𝑠(𝑃 𝑛 ⨀𝑃 𝑛 ) < (3.4) . Berdasarkan persamaan (3.5), jika diambil label titik dari 𝑣 𝑖,𝑛−2 dan 𝑣 ( 𝑛 2 +1),𝑛 akan sama. Pada pelabelan titik tak teratur jarak non inklusif, setiap titik harus memiliki bobot yang berbeda, berarti pengandaian salah. Benar untuk 𝑑𝑖𝑠(𝑃 𝑛 ⨀𝑃 𝑛 ) < (3.4) .
b. Ditunjukkan bahwa 𝑑𝑖𝑠 ( 𝑃𝑛 ⊙ 𝑃𝑛 ) ≤ (3.4) untuk 𝑛 ≥  2 dan 𝑛 genap.
Dimisalkan 𝑘 = (3.4) . Selanjutnya didefinisikan pemetaan 𝜆: 𝑉(𝐺) ⟶ {1,2, … , 𝑘} . Pelabelan titik tak teratur jarak non inklusif pada graf lintasan korona lintasan adalah sebagai berikut.
𝜆(𝑣 𝑖 ) = { 2𝑖  −  1, untuk 𝑖 ≤ 𝑛 2
2(𝑛 − 𝑖 + 1), untuk 𝑖 > 𝑛 2 𝜆(𝑣 𝑖,𝑗 ) = { 𝑗𝑛 2 , untuk 𝑛 ≡ 0 𝑚𝑜𝑑 4, 𝑗 ≡ 0 𝑚𝑜𝑑 4
𝑛 2 (𝑛 − 𝑗 + 1), untuk 𝑛 ≡ 0 𝑚𝑜𝑑 4, 𝑗 ≡ 1 𝑚𝑜𝑑 4
2𝑖 + 𝑛 2 (𝑗 − 2) − 1, untuk 𝑛 ≡ 0 𝑚𝑜𝑑 4, 𝑗 ≡ 2 𝑚𝑜𝑑 4, 𝑖 ≤ 𝑛 2 2(𝑛 − 𝑖 + 1) + 𝑛 2 (𝑗 − 2), untuk 𝑛 ≡ 0 𝑚𝑜𝑑 4, 𝑗 ≡ 2 𝑚𝑜𝑑 4, 𝑖 > 𝑛 2 2𝑖 + 𝑛 2 (𝑛 − 𝑗 − 1), untuk 𝑛 ≡ 0 𝑚𝑜𝑑 4, 𝑗 ≡ 3 𝑚𝑜𝑑 4, 𝑖 ≤ 𝑛 2
2(𝑛 − 𝑖) + 𝑛 2 (𝑛 − 𝑗 − 1) + 3, untuk 𝑛 ≡ 0 𝑚𝑜𝑑 4, 𝑗 ≡ 3 𝑚𝑜𝑑 4, 𝑖 > 𝑛 2
𝜆(𝑣 𝑖,𝑗 ) = { 𝑗𝑛 2 , untuk 𝑛 ≡ 2 𝑚𝑜𝑑 4, 𝑗 ≡ 0 𝑚𝑜𝑑 4
2𝑖 + 𝑛 2 (𝑛 − 𝑗 − 1), untuk 𝑛 ≡ 2 𝑚𝑜𝑑 4, 𝑗 ≡ 1 𝑚𝑜𝑑 4, 𝑖 ≤ 𝑛 2 2(𝑛 − 𝑖) + 𝑛 2 (𝑛 − 𝑗 − 1) + 3, untuk 𝑛 ≡ 2 𝑚𝑜𝑑 4, 𝑗 ≡ 1 𝑚𝑜𝑑 4, 𝑖 > 𝑛 2 2𝑖 + 𝑛 2 (𝑗 − 2) − 1, untuk 𝑛 ≡ 2 𝑚𝑜𝑑 4, 𝑗 ≡ 2 𝑚𝑜𝑑 4, 𝑖 ≤ 𝑛 2 2(𝑛 − 𝑖 + 1) + 𝑛 2 (𝑗 − 2), untuk 𝑛 ≡ 2 𝑚𝑜𝑑 4, 𝑗 ≡ 2 𝑚𝑜𝑑 4, 𝑖 > 𝑛 2 𝑛 2 (𝑛 − 𝑗 − 1), untuk 𝑛 ≡ 2 𝑚𝑜𝑑 4, 𝑗 ≡ 3 𝑚𝑜𝑑 4 4𝑖 + 𝑛(𝑛 − 𝑗) − 1, untuk 𝑗 ≡ 0 𝑚𝑜𝑑 2, 𝑖 ≤ 𝑛 2 4(𝑛 − 𝑖) + 𝑛(𝑛 − 𝑗) + 5, untuk 𝑗 ≡ 0 𝑚𝑜𝑑 2, 𝑖 > 𝑛 2 4𝑖 + 𝑛(𝑗 − 1) − 2, untuk 𝑗 ≡ 1 𝑚𝑜𝑑 2, 𝑖 ≤ 𝑛 2
4(𝑛 − 𝑖 + 1) + 𝑛(𝑗 − 1), untuk 𝑗 ≡ 1 𝑚𝑜𝑑 2, 𝑖 > 𝑛 2
Persamaan………………(3.5)
𝑤𝑡(𝑣 𝑖 ) = { 𝑛 4 (𝑛 2 + 3) + 3, untuk 𝑛 ≡ 0 𝑚𝑜𝑑 4, 𝑖 ≡ 1
𝑛 4 (𝑛 2 + 3) + 𝑛(𝑖 − 1) + 2(2𝑖 − 1) − ⌊ 2𝑖 𝑛 ⌋ , untuk 𝑛 ≡ 0 𝑚𝑜𝑑 4,1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 2
𝑛
4 (𝑛 2 + 5) + (𝑛 − 𝑖)(𝑛 + 4) + 3 ⌈ 2(𝑖 − 1)
𝑛 ⌉ − 2, untuk 𝑛 ≡ 0 𝑚𝑜𝑑 4, 𝑖 ≥ 𝑛 2
(𝑛 2 + 2𝑛)(𝑛 − 2) + 3(𝑛 + 6), untuk 𝑛 ≡ 2 𝑚𝑜𝑑 4, 𝑖 = 1
( 𝑛 2 4 + 𝑛 2 ) (𝑛 − 2) + (𝑛 + 2) (𝑖 − 1 4 ) + 4𝑖 − 2, untuk 𝑛 ≡ 2 𝑚𝑜𝑑 4,1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 2 ( 𝑛 2 4 + 𝑛 2 ) (𝑛 − 2) + (𝑛 − 𝑖 + 5 4 ) (𝑛 + 2) + 4(𝑛 − 𝑖 + 1) + 3 ⌈ 2(𝑖 − 1) 𝑛 ⌉ − 6,
untuk 𝑛 ≡ 2 𝑚𝑜𝑑 4, 𝑖 ≥ 𝑛 2

## Persamaan………………(3.6)
Label  titik  dikonstruksikan  sebagai 𝜆(𝑣 𝑖,𝑗 ): 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛, 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑛 dan 𝜆(𝑣 𝑖 ): 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 . Berdasarkan pengkonstruksian label, dapat dilihat bahwa fungsi 𝜆 adalah pemetaan yang membawa 𝑉(𝑃 𝑛 ⨀𝑃 𝑛 ) ke {1,2, … , 𝑘} . Dengan demikian, 𝜆 adalah pelabelan titik tak teratur jarak non inklusif dengan 𝑘 = (3.4) . Selanjutnya, dihitung bobot masing-masing titik pada graf lintasan korona lintasan dengan 𝑛 ≥ 2 dan n genap seperti persamaan (3.6).
Dapat dilihat bahwa bobot masing-masing sisi dari 𝑃 𝑛 ⨀𝑃 𝑛 di bawah pelabelan titik tak teratur jarak non inklusif 𝜆 ,  yaitu  bilangan bulat berurutan dari  2  sampai 𝜆(𝑣 𝑖,𝑗 ) + 𝜆(𝑣 𝑖−1 ) + 𝜆(𝑣 𝑖+1 ) . Artinya, bobot masing-masing titik berbeda sehingga diperoleh pelabelan titik tak teratur jarak non
inklusif  dari 𝑃 𝑛 ⨀𝑃 𝑛 dengan  label  terbesar  adalah 𝑘 = (3.4) .  Dengan  demikian,  terbukti  bahwa 𝑑𝑖𝑠 ( 𝑃𝑛 ⊙ 𝑃𝑛 ) ≤ (3.4) untuk 𝑛 ≥  2 dan 𝑛 genap ( Kotzig & Rosa, 1970).
Jadi,  diperoleh  pelabelan  titik  tak  teratur  jarak  non  inklusif  dengan 𝑘 =  (3.4).  Dari  a  dan  b diperoleh 𝑑𝑖𝑠 ( 𝑃𝑛 ⊙ 𝑃𝑛 ) = (3.4) untuk 𝑛 ≥ 2 dan 𝑛 genap. Gambar 4 menunjukkan pelabelan titik tak teratur jarak non inklusif pada graf lintasan korona lintasan 𝑃 4 ⊙ 𝑃 4.
Gambar 4. Pelabelan titik tak teratur jarak non inklusif pada graf 𝑃 4 ⊙ 𝑃 4 Berdasarkan  Gambar  4  pelabelan  setiap  titik  ditunjukkan  dengan bilangan  berwarna  hitam  dan bobot setiap titik ditunjukkan dengan bilangan berwarna hitam bergaris bawah sehingga diperoleh bobot setiap titik berbeda dan nilai tak teratur jarak non inklusif titik dari graf 𝑃 4 ⊙ 𝑃 4 yaitu 𝑑𝑖𝑠 ( 𝑃 4 ⊙ 𝑃 4) = 8.

## SIMPULAN DAN SARAN
Berdasarkan hasil dan pembahasan diperoleh kesimpulan sebagai berikut. 1) Nilai kekuatan tak teratur jarak non inklusif titik dari graf tadpole adalah 𝑑𝑖𝑠(𝑇 𝑚,𝑛 ) = ⌈ 𝑚+𝑛 4 ⌉ + ⌊ 𝑚+𝑛 4 ⌋ dengan 𝑚 ≥ 3, m ganjl,  dan 𝑛 ≥ 1 .  Nilai  kekuatan  tak  teratur  jarak  non  inklusif  titik  dari  graf  lintasan  korona  lintasan adalah 𝑑𝑖𝑠(𝑃 𝑛 ⨀𝑃 𝑛 ) = 𝑛 2 +(𝑛 𝑚𝑜𝑑 4) 2 dengan 𝑛 ≥ 2 dan n genap.
Saran bagi pembaca yang tertarik dengan topik ini, dapat mengembangkan penelitian ini dengan menentukan nilai kekuatan tak teratur jarak non inklusif titik pada graf tadpole 𝑇 𝑚,𝑛 dengan m genap dan graf lintasan korona lintasan 𝑃𝑛 ⊙ 𝑃𝑛 dengan 𝑛 ganjil, atau graf lintasan korona lintasan 𝑃𝑛 ⊙ 𝑃𝑚 secara umum.

## REFERENSI
Bača,  M.,  S.  Jendrol’,  M.  Miller,  and  J.  Ryan.  (2007).  On  Irregular  Total  Labeling. Discrete Mathematics . 307, 1378-1388.
Bong, N.H. and L. Yuqing. (2017). On Distance-Irregular Labelings of Cycles and Wheels. Australasian Journal of Combinatorics . 69(3), 315-322.
Chartrand,  G.,  M.S.  Jacobson,  J.  Lehel,  O.R.  Oellerman,  S.  Ruiz,  and  F.  Saba.  (1998).  Irregular Networks. Congr. Numer . 64, 187-192.
Fruncth and F. Harary. (1970). On The Corona of Two Graphs , Aequationes Math 4, 322-325.
Gallian, J.A. (2017). A Dynamic Survey of Graph Labeling. The Electronic Journal of Combinatorics , 20(6), 1-432.
Kotzig, A. and A. Rosa. (1970). Magic Valuations of Finite Graphs . Canada: Math. Bull.
MacDougall,  J.A.,  M.  Miller,  Slamin,  and  W.D.  Wallis. (2002). Vertex-Magic Total Labelings of Graphs, Util. Math. 61, 3-21.
Miller, M., C. Rodger, and R. Simanjuntak. (2003). Distance Magic Labelings of Graphs. Aurstralas. J. Combin . 28, 305-315.
Sedláčk, J. (1963). Theory of Graphs and Its Applications , Prague: House Czechoslovak Acad. Sci.
Slamin. (2017). On Distance Irregular Labelling of Graphs. Far East Journal of Mathematical Sciences . 102, 919-932.
Wallis, W.D. (2001). Magic Graph , Berlin: Birkhäuser.