Limits: Journal of Mathematics and Its Applications E-ISSN: 2579-8936 P-ISSN: 1829-605X Vol. 20, No. 3, Nopember 2023, 355-369 DOI: http://dx.doi.org/10.12962/limits.v20i3.18530
Model Predator Prey Leslie Gower dengan Respon Crowley Martin dan Prey Terinfeksi serta Faktor Ketakutan
Miswanto 1* , Nunik Suroiyah 2 , Windarto 3
1,2,3 Departemen Matematka, Fakultas Sains dan Teknologi, Universitas Airlangga
* Corresponding author: miswanto@fst.unair.ac.id
Diajukan: 13 Agustus 2023, Diperbaiki: 21 Oktober 2023, Diterima: 26 Oktober 2023

## Abstrak
Ekosistem adalah suatu sistem yang terdiri dari organisme hidup dan lingkungannya yang seringkali terjadi  interaksi  antara  makhluk  hidup  dengan  lingkungannya,  atau  makhluk  hidup  yang  satu  dengan mahkluk hidup yang lain. Sebagai contoh interaksi antara predator dengan prey, yaitu singa dengan rusa, ular dengan tikus, burung elang dengan ular dan lain-lain. Pada interaksi antara predator prey seringkali nampak adanya prey yang terinfeksi. Hal ini berdampak adanya penyebaran penyakit oleh prey terinfeksi. Penelitian  ini  mengkaji  model  predator  prey  Leslie  Gower  fungsi  respon  Crowley  Martin  dengan  prey terinfeksi  serta  adanya  faktor  ketakutan.  Metode  yang  digunakan  dalam  penelitian  ini  adalah  metode analitik dan simulasi numerik. Metode analitik digunakan untuk mengkaji  eksistensi titik setimbang dan analisis  kestabilan  titik  setimbang  model,  sedangkan  metode  simulasi  numerik  digunakan  untuk mendukung hasil metode analitik. Berdasarkan hasil analitik diperoleh dua titik setimbang yang cenderung stabil  asimtotis,  yaitu  titik  setimbang  kepunahan  prey  terinfeksi  dan  predator (𝐸 1 ) dan  titik  setimbang kepunahan predator (𝐸 2 ). Sedangkan titik setimbang kepunahan prey terinfeksi (𝐸 3 ) dan titik setimbang koeksistensi (𝐸 4 ) tidak diperoleh secara analitik. Oleh karena analisis kestabilannya menggunakan bidang fase.  Hasil  simulasi  numerik  menunjukkan  bahwa  keempat  titik  setimbang,  yaitu 𝐸 1 , 𝐸 2 , 𝐸 3 , dan 𝐸 4 cenderung stabil asimtotis.
Kata Kunci : Ekosistem, Model Predator-Prey Leslie Gower, Fungsi Respon Crowley Martin, Kestabilan.

## Abstract
An ecosystem is a system consisting of living organisms and their environment, where interactions often  occur  between  living  creatures  and  their  environment,  or  one  living  creature  and  another  living creature. For example, interactions between predators and prey, namely lions and deer, snakes and mice, eagles  and  snakes  and  so  on.  In  interactions  between  predator  prey,  infected  prey  often  appears.  This results  in  the  spread  of  disease  by  infected  prey.  This  research  examines  Leslie  Gower's  predator  prey model, Crowley Martin's response function to infected prey and the presence of fear factors. The methods used in this research are analytical methods and numerical simulations. Analytical methods are used to study  the  existence  of  equilibrium  points  and  analyze  the  stability  of  model  equilibrium  points,  while numerical simulation methods are used to support the results of analytical methods. Based on the analytical results obtained, two equilibrium points tend to be asymptotically stable, namely the equilibrium point for extinction of infected prey and predators (𝐸 1 ) and the equilibrium point for extinction of predators (𝐸 2 ) . Meanwhile,  the  equilibrium  point  of  extinction  of  infected  prey (𝐸 3 ) and  the  equilibrium  point  of coexistence (𝐸 4 ) are not obtained analytically. Such that, the stability analysis uses the phase plane. The numerical simulation results show that the four equilibrium points, namely 𝐸 1 , 𝐸 2 , 𝐸 3 and 𝐸 4 tend to be asymptotically stable.
Keywords:  Ecosystems,  Leslie  Gower  Predator-Prey  Models,  Crowley  Martin  Response  Functions, Stability.
356

## Model Predator Prey Leslie Gower dengan Respon Crowley Martin dan Prey Terinfeksi serta Faktor Ketakutan

## 1 Pendahuluan
Biosfer  dikenal  sebagai  wilayah  di  permukaan  bumi  yang  sesuai  untuk  lingkungan  hidup organisme.  Makhluk  hidup  memerlukan  kondisi  tertentu  untuk  menunjang  kehidupan  mereka seperti  oksigen,  air,  mineral  dan  unsur  hara  lainnya  yang  terdapat  dalam  biosfer.  Kehidupan makhluk  hidup  terbentuk  dari  beberapa  level  perkembangan  yaitu  spesies,  populasi,  komunitas dan  ekosistem.  Ekosistem  merupakan  lingkungan  tempat  terjadinya  interaksi  antara  komponen biotik  dan  komponen  abiotic  [1].  Dalam  suatu  ekosistem,  untuk  melangsungkan  hidup  spesies memiliki peran yang berbeda-beda sesuai dengan kebutuhan. Salah satu contohnya adalah spesies satwa  yang  memiliki  kebutuhan  khas  pakan  yang  disukai.  Kebutuhan  tersebut  menyebabkan munculnya  interaksi  mangsa-memangga.  Hubungan  mangsa-memangsa  yang  spresifik  tersebut disebut rantai makanan [2].
Interaksi merupakan bagian paling sederhana dari suatu rantai makanan, misalnya interaksi antara  mangsa  dan  pemangsa.  Interaksi  antarorganisme  dimana  satu  organisme  memangsa organisme  lain  disebut  predasi.  Organisme  yang  memangsa  disebut  predator,  sedangkan organisme  yang  dimangsa  disebut  prey.  Hubungan  antara  predator  dan  prey  mempengaruhi kelimpahan  organisme  dalam  suatu  ekosistem  [3].    Populasi  mangsa  mempunyai  persediaan makanan  yang  tersedia  cukup  di  dalam  lingkungannya,  sedangkan  pada  populasi  pemangsa memiliki makanan yang bergantung pada jumlah mangsa. Apabila populasi mangsa terbatas maka untuk populasi pemangsa akan menurun sesuai dengan jumlah proporsi mangsanya [4].
Perubahan fisiologis terkait pertumbuhan karena kehadiran predator, dan sebagai prey harus selalu waspada terhadap kemungkinan serangan dari predator disebut efek ketakutan [5]. Facco dkk.  melakukan  percobaan  pada  burung  pipit  ( Melospiza  melodia )  selama  masa perkembangbiakannya tanpa adanya predasi secara langsung dengan menggunakan pagar listrik dan menemukan bahwa terdapat 40% pengurangan jumlah keturunan karena resiko predasi [6]. Suraci  dkk.  juga  melakukan  percobaan  memanipulasi  ketakutan  buatan  terhadap  karnivora (serigala,  beruang  hitam)  pada  mesokarnivora  (rakun)  dengan  melakukan  pengulangan  selama sebulan dan menemukan bahwa rasa takut mempengaruhi perilaku mencari makan mesokarnivora (lebih rendah 66%) dan menguntungkan prey mesokarnivora   [7].
Peranan  matematika  telah  memberikan  pengaruh  yang  sangat  besar  terhadap  kemajuan pengetahuan  dan  teknologi.  Model  matematika  termasuk  salah  satu  bagian  dari  perkembangan tersebut.  Hampir  semua  permasalahan  di  dunia  nyata  dapat  digambarkan  ke  dalam  model matematika, salah satunya adalah tentang model dinamis rantai makanan tiga spesies [8]. Model predator-prey pertama kali dikenalkan oleh Lotka pada tahun 1925 dan Voltera pada tahun 1926, sehingga  model  ini  juga  disebut  model  Lotka-Voltera.  Namun  model  ini  hanya  melibatkan
predator dan prey sehat saja, sedangkan pada beberapa ekosistem terdapat populasi yang terinfeksi atau  tidak  sehat.  Xiao  dan  Chen  mengkaji  model  predator-prey  dengan  adanya  prey  yang terinfeksi,  dengan  spesies  yang  terinfeksi  atau  tidak  sehat  akan  bersikap  kurang  aktif  dan  bisa ditangkap dengan lebih mudah oleh predator [9]. Lafferty dan Morris mengkaji model predator prey  dengan  adanya  parasit.  Parasit  berfungsi  untuk  menularkan  penyakit  ke  mangsa  sehingga mangsa mudah ditangkap oleh predator [10].
Salah  satu  komponen  yang  dapat  mempengaruhi  model  mangsa  pemangsa  adalah  fungsi respon. Fungsi respon menggambarkan interaksi antara mangsa dan pemangsa yang dipengaruhi jumlah mangsa yang dikonsumsi oleh setiap pemangsa per satuan waktu [11]. Pada tahun 1989,
Crowley dan Martin mengusulkan fungsi respon yang mirip dengan fungsi respon Beddington- DeAngelis, fungsi respon ini menjelaskan adanya gangguan timbal balik predator pada kepadatan mangsanya. Fungsi respon ini dapat dipandang sebagai modifikasi dari fungsi respon Beddington- DeAngelis [12].
Berdasarkan  uraian  di  atas,  maka  penulis  tertarik  untuk  mengkaji  model  matematika predator-prey Leslie Gower yang merujuk pada model yang ditulis oleh Ibarra dan Flores [13]. Pada penelitian ini, penulis memodifikasi fungsi respon  Holling II menjadi fungsi respon Crowley Martin dan menambahkan populasi prey terinfeksi serta adanya efek ketakutan pada pertumbuhan prey  rentan.  Pada  penelitian  ini,  akan  dilakukan  analisis  kestabilan  titik  setimbang  model matematika  predator-prey  Leslie  Gower  dengan  fungsi  respon  Crowley  Martin  dan  adanya populasi  prey  terinfeksi  serta  faktor  ketakutan.  Berdasarkan  hasil  analitik  kemudian  dilakukan simulasi numerik dan interpretasi hasil simulasi.

## 2 Model Matematika
Pada  bagian  ini  disajikan  hasil  kontruksi  model  matematika  predator-prey  Leslie-Gower dengan fungsi respon Crowley Martin dan adanya populasi prey terinfeksi serta faktor ketakutan. Pada model ini populasi akan dibagi menjadi tiga variabel yaitu populasi prey rentan (𝑥 1 ) , prey terinfeksi (𝑥 2 ) , dan predator (𝑦) . Berikut ini diberikan definisi dari masing-masing variabel dan parameter yang digunakan pada penelitian ini:
Tabel 1. Variabel Model Variabel Keterangan 𝑥 1 (𝑡) Jumlah populasi prey rentan pada saat t 𝑥 2 (𝑡) Jumlah populasi prey terinfeksi pada saat t 𝑦(𝑡) Jumlah populasi predator pada saat t
358
Tabel 2. Deskripsi Parameter Model Parameter Keterangan Satuan 𝑟 Laju pertumbuhan intrinsik populasi prey rentan 1 𝑤𝑎𝑘𝑡𝑢 𝛾 1 Besarnya faktor ketakutan prey rentan terhadap predator 1 𝑝𝑜𝑝𝑢𝑙𝑎𝑠𝑖 𝑘 Ukuran  maksimum  populasi  prey  rentan  yang  dapat didukung oleh lingkungan populasi 𝛽 Laju interaksi populasi prey rentan dengan prey terinfeksi 1 𝑝𝑜𝑝𝑢𝑙𝑎𝑠𝑖 . 𝑤𝑎𝑘𝑡𝑢 𝛼 1 Laju interaksi prey rentan dengan predator 1 𝑝𝑜𝑝𝑢𝑙𝑎𝑠𝑖 .  𝑤𝑎𝑘𝑡𝑢 𝛼 2 Laju interaksi prey terinfeksi dengan predator 1 𝑝𝑜𝑝𝑢𝑙𝑎𝑠𝑖 .  𝑤𝑎𝑘𝑡𝑢 𝑎 Waktu penanganan predator terhadap prey rentan 1 𝑝𝑜𝑝𝑢𝑙𝑎𝑠𝑖 𝑏 Besarnya gangguan predator terhadap prey rentan 1 𝑝𝑜𝑝𝑢𝑙𝑎𝑠𝑖 𝑐 Waktu penanganan predator terhadap prey terinfeksi 1 𝑝𝑜𝑝𝑢𝑙𝑎𝑠𝑖 𝑑 Besarnya gangguan predator terhadap prey terinfeksi 1 𝑝𝑜𝑝𝑢𝑙𝑎𝑠𝑖 𝜇 Kematian alami populasi 1 𝑤𝑎𝑘𝑡𝑢 𝑠 Laju pertumbuhan populasi predator 1 𝑤𝑎𝑘𝑡𝑢 𝛾 2 Ukuran kuantitas mangsa sebagai makanan bagi predator −
Selanjutnya  untuk  mempermudah  penulisan,  maka  notasi 𝑥 1 (𝑡), 𝑥 2 (𝑡) dan 𝑦(𝑡) ditulis  menjadi 𝑥 1 , 𝑥 2 , dan 𝑦 . Notasi tersebut menyatakan jumlah populasi pada saat 𝑡 , sehingga:
𝑥 1 (0), 𝑥 2 (0), 𝑦(0) ≥ 0
Semua parameter tersebut diasumsikan bernilai postif, yaitu:
𝑟, 𝛾 1 , 𝐾, 𝛽, 𝛼 1 , 𝛼 2 , 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝜇, 𝑠, 𝛾 2 > 0
Adapun model matematikanya adalah sebagai berikut:
𝑑𝑥 1 𝑑𝑡 = 𝑟𝑥 1 1 + 𝛾 1 𝑦 (1 − 𝑥 1 𝑘 ) − 𝛽𝑥 1 𝑥 2 − 𝛼 1 𝑥 1 𝑦 (1 + 𝑎𝑥 1 )(1 + 𝑏𝑦) 𝑑𝑥 2 𝑑𝑡 = 𝛽𝑥 1 𝑥 2 − 𝛼 2 𝑥 2 𝑦 (1 + 𝑐𝑥 2 )(1 + 𝑑𝑦) − 𝜇𝑥 2 𝑑𝑦 𝑑𝑡 = 𝑠𝑦 (1 − 𝑦 𝛾 2 (𝑥 1 + 𝑥 2 ) ) − 𝜇𝑦 (1)

## 3 Hasil dan Pembahasan
Pada  bab  ini  dibahas  keterbatasan  solusi,  titik  setimbang  dan  analisis  kestabilan  titik setimbang model. Pertama-tama akan dikaji keterbatasan solusi model.

## 3.1     Keterbatasan Solusi
Teorema  1:  Semua  solusi  dari  model  predator  prey  (1)  dengan  nilai  awal  di 𝑅 + 3 terbatas  untuk semua 𝑡 ≥ 0 .
Bukti: Misalkan (𝑥 1 (𝑡), 𝑥 2 (𝑡), 𝑦(𝑡)) adalah solusi dari model (1). Karena
𝑑𝑥 1 𝑑𝑡 = 𝑟𝑥 1 1 + 𝛾 1 𝑦 (1 − 𝑥 1 𝑘 ) − 𝛽𝑥 1 𝑥 2 − 𝛼 1 𝑥 1 𝑦 (1 + 𝑎𝑥 1 )(1 + 𝑏𝑦) ≤ 𝑟𝑥 1 (1 − 𝑥 1 𝑘 ).
Maka diperoleh:
lim 𝑡→∞ sup 𝑥 1 (𝑡) = 𝐾.
Misalkan: 𝑊 = 𝑥 1 + 𝑥 2 + 𝑦 , then
𝑊̇ = 𝑥̇ 1 + 𝑥̇ 2 + 𝑦̇ = 𝑟𝑥 1 1 + 𝛾 1 𝑦 (1 − 𝑥 1 𝑘 ) − 𝛼 1 𝑥 1 𝑦 (1 + 𝑎𝑥 1 )(1 + 𝑏𝑦) − 𝛼 2 𝑥 2 𝑦 (1 + 𝑐𝑥 2 )(1 + 𝑑𝑦) − 𝜇𝑥 2 + 𝑠𝑦 (1 − 𝑦 𝛾 2 (𝑥 1 + 𝑥 2 ) ) − 𝜇𝑦 𝑊̇ ≤ 𝑟𝑥 1 1 + 𝛾 1 𝑦 (1 − 𝑥 1 𝑘 ) − 𝜇𝑥 2 + 𝑠𝑦 − 𝜇𝑦 ≤ 𝑟𝑥 1 (2 − 𝑥 1 𝑘 ) − 𝑟𝑥 1 − 𝜇𝑥 2 − (𝜇 − 𝑠)𝑦,
ambil 𝜎 = 𝑚𝑖𝑛{𝑟, 𝜇, 𝜇 − 𝛿} dan diasumsikan 𝜇 > 𝛿 , maka diperoleh:
𝑊̇ + 𝜎𝑊 ≤ 2𝑘,
dengan menggunakan pertidaksamaan diferensial maka untuk semua 𝑡 ≥ 0, diperoleh:
0 ≤ 𝑊(𝑡) ≤ 2𝐾 𝜎 + (𝑊(0) − 2𝐾 𝜎 ) 𝑒 −𝜎𝑡 .
Hal ini berarti untuk semua 𝑡 → ∞ diperoleh:
0 ≤ 𝑊(𝑡) ≤ 2𝐾 𝜎 .
Sehingga diperoleh bahwa solusi model (1) terbatas dalam 𝑅 + 3 untuk semua 𝑡 ≥ 0. ■
3.2     Titik Setimbang Model
Keadaan  setimbang  adalah  suatu  kondisi  ketika  laju  perubahan  populasi  sama  dengan  0. Model matematika predator-prey Leslie-Gower dengan fungsi respon Crowley Martin dan adanya populasi prey terinfeksi serta faktor ketakutan, mempunyai titik setimbang jika:
𝑑𝑥 1 𝑑𝑡 = 𝑑𝑥 2 𝑑𝑡 = 𝑑𝑦 𝑑𝑡 = 0.
Sistem persamaan (1) mempunyai empat titik setimbang yaitu:
a. Titik setimbang kepunahan prey terinfeksi dan predator yaitu 𝐸 1 = (𝑘, 0,0) .
b. Titik setimbang kepunahan predator, yaitu 𝐸 2 = ( 𝜇 𝛽 , 𝑟(𝛽𝑘−𝜇) 𝛽 2 𝑘 , 0) .
Karena semua parameter bernilai positif, maka titik setimbang 𝐸 2 ada jika 𝛽𝑘 > 𝜇 .
c. Titik setimbang kepunahan prey terinfeksi (𝐸 3 ) sulit ditentukan secara analitik. Oleh karena itu, analisis kestabilannya menggunakan bidang fase.
d. Titik  setimbang  koeksistensi (𝐸 4 ) juga  sulit  ditentukan  secara  analitik.  Oleh  karena  itu analisis kestabilan dari titik setimbang ini menggunakan bidang fase.

## 3.3     Analisis Kestabilan Titik Setimbang Model
Model predator-prey Leslie-Gower dengan fungsi respon Crowley Martin dan prey terinfeksi serta faktor ketakutan berbentuk sistem persamaan diferensial nonlinear autonomous. Oleh karena itu, analisis kestabilannya menggunakan pendekatan linerarisasi disekitar titik setimbang. Adapun metode linearisasi menggunakan matriks Jacobian. Matriks Jacobian dari model (1) adalah:
𝐽 =
( 𝑑𝑓 1 𝑑𝑥 1 𝑑𝑓 1 𝑑𝑥 2 𝑑𝑓 1 𝑑𝑦 𝑑𝑓 2 𝑑𝑥 1 𝑑𝑓 2 𝑑𝑥 2 𝑑𝑓 2 𝑑𝑦 𝑑𝑓 3 𝑑𝑥 1 𝑑𝑓 3 𝑑𝑥 2 𝑑𝑓 3 𝑑𝑦 ) = ( 𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 𝐸 𝐹 𝐺 𝐻 𝐼 ),
dengan
𝐴 = 𝑟(1− 𝑥1 𝑘 ) 1+𝛾 1 𝑦 − 𝑟𝑥 1 (1+𝛾 1 𝑦)𝑘 − 𝛽𝑥 2 − 𝛼 1 𝑦 (1+𝑎𝑥 1 )(1+𝑏𝑦) + 𝛼 1 𝑥 1 𝑦𝑎 (1+𝑎𝑥 1 )(1+𝑏𝑦) 2
𝐵 = −𝛽𝑥 1 𝐶 =   − 𝑟𝑥 1 (1− 𝑥1 𝑘 )𝛾 1 (1+𝛾 1 𝑦) 2 − 𝛼 1 𝑥 1 (1+𝑎𝑥 1 )(1+𝑏𝑦) + 𝛼 1 𝑥 1 𝑦𝑏 (1+𝑎𝑥 1 )(1+𝑏𝑦) 2 𝐷 = 𝛽𝑥 2 𝐸 = 𝛽𝑥 1 − 𝛼 2 𝑦 (1+𝑐𝑥 2 )(1+𝑑𝑦) + 𝛼 2 𝑥 2 𝑦𝑐 (1+𝑐𝑥 2 ) 2 (1+𝑑𝑦) − 𝜇 𝐹 = − 𝛼 2 𝑥 2 (1+𝑐𝑥 2 )(1+𝑑𝑦) + 𝛼 2 𝑥 2 𝑦𝑑 (1+𝑐𝑥 2 )(1+𝑑𝑦) 2 𝐺 = 𝑠𝑦 2 𝛾 2 (𝑥 1 +𝑥 2 ) 2 𝐻 = 𝑠𝑦 2 𝛾 2 (𝑥 1 +𝑥 2 ) 2 𝐼 = 𝑠 (1 − 𝑦 𝛾 2 (𝑥 1 +𝑥 2 ) ) − 𝑠𝑦 𝛾 2 (𝑥 1 +𝑥 2 ) − 𝜇 .

## 3.3.1   Analisis Kestabilan pada Titik Setimbang Kepunahan Prey Terinfeksi dan Predator
Teorema 1 : Titik setimbang 𝐸 1 stabil jika 𝛽𝑘 < 𝜇 dan 𝑠 < 𝜇 .
Bukti: Matrik Jacobian dari titik setimbang 𝐸 1 (𝑘, 0,0) adalah:
𝐽 𝐸 1 = ( −𝑟 −𝛽𝑘 − 𝛼 1 𝑘 1 + 𝑎𝑘 0 𝛽𝑘 − 𝜇 0
0 0 𝑠 − 𝜇 )
Berdasarkan matriks Jacobian (𝐽(𝐸 1 )) di atas diperoleh persamaan karakterisrik, yaitu:
(λ + r 1 )(λ − 𝛽𝑘 + 𝜇)(λ − s + 𝜇) = 0.
Hal  ini  berarti,  nilai  eigennya  adalah 𝜆 1 = −𝑟, 𝜆 2 = 𝛽𝑘 −  𝜇 dan 𝜆 3 = 𝑠 − 𝜇 .  Sehingga  titik setimbang 𝐸 1 stabil asimtotis jika: 𝛽𝑘 < 𝜇 dan 𝑠 < 𝜇 . ■ 3.3.2   Analisis Kestabilan pada Titik Setimbang Kepunahan Predator
Matrik Jacobian dari titik setimbang kepunahan predator (𝐸 2 ) adalah sebagai berikut:
𝐽 𝐸 2 = ( 𝑟 (1 − 𝜇 𝑘 𝛽 ) − 𝑟𝜇 𝑘 𝛽 − 𝑟(𝛽𝑘 − 𝜇) 𝑘𝛽 −𝜇 − 𝑟𝜇𝛾 1 (𝛽𝑘 − 𝜇) 𝛽 2 𝑘 − 𝛼 1 𝜇𝛽 𝛽(𝑎𝜇 + 𝛽)
𝑟(𝛽𝑘 − 𝜇) 𝑘𝛽 0 𝑟𝛼2(𝛽𝑘 − 𝜇) 𝑐𝑟(𝛽𝑘 − 𝜇) + 𝛽 2 𝑘 0 0 𝑠 − 𝜇 )
Berdasarkan matriks Jacobian (𝐽 𝐸 2 ) di atas diperoleh persamaan karakterisrik, yaitu:
(λ − s + μ)(𝛽 𝑘 𝜆 2 + 𝜇 𝑟 𝜆 + 𝛽 𝑘 𝜇 𝑟 − 𝜇 2 𝑟) = 0                        (2)
dengan menggunakan kriteria Routh-Hurwitz, titik setimbang kepunahan predator stabil asimtotis jika memenuhi syarat sebagai berikut: 𝑠 < 𝜇 dan 𝛽 𝑘  > 𝜇 .

## 4 Simlasi Numerik dan Interpretasi
Pada  sub  bab  ini  dibahas  mengenai  simulasi  numerik  dan  bidang  fase  dari  hasil  analitik. Pertama-tama dibahas simulasi numerik laju perubahan populasi terhadap waktu (𝑡). Nilai awal populasi adalah (𝑥 1 (0), 𝑥 2 (0), 𝑦(0)) = (15,10,8) untuk 𝑡 = 0 sampai 𝑡 = 100 dalam satuan hari, sedangkan nilai parameter disajikan pada Tabel 3 sebagai berikut:
Tabel 3. Nilai Parameter Model Parameter         Nilai Sumber 𝑟 0.95 Asumsi 𝑘 100 Asumsi 𝛽 0.035 Asumsi 𝛼 1 0.002 Asumsi 𝛼 2 0.04 Asumsi 𝑎 0.008 Asumsi 𝑏 0.2 Asumsi
362
Model Predator Prey Leslie Gower dengan Respon Crowley Martin dan Prey Terinfeksi serta Faktor Ketakutan Parameter         Nilai Sumber 𝑐 0.8 Asumsi 𝑑 0.005 Asumsi 𝜇 0.38 Asumsi 𝑠 0.85 Asumsi 𝛾 1 0.3 Asumsi 𝛾 2 0.55 Asumsi
Hasil  simulasi  numerik  dinamika  model  predator-prey  leslie-gower  dengan  fungsi  respon Crowley Martin dan adanya prey terinfeksi serta faktor ketakutan disajikan pada Gambar 1 berikut ini:
Gambar 1. Laju Perubahan Populasi Terhadap Waktu
Gambar  1  di  atas  menunjukkan laju perubahan  populasi  terhadap  waktu selama 100 hari. Berdasarkan  gambar  tersebut  terlihat  bahwa  laju  pertumbuhan  populasi  prey  rentan  dan  prey terinfeksi  pertumbuhannya  tetap  berada  di  atas  laju  pertumbuhan  populasi  predator.  Hal  ini disebabkan bahwa pertumbuhan predator, dipengaruhi oleh jumlah kepadatan populasi prey rentan dan prey terinfeksi dan penurunan populasi predator dikarenakan adanya kematian alami sebesar 𝛍. Laju pertumbuhan prey juga dipengaruhi oleh faktor ketakutan prey terhadap predator dan laju pertumbuhan  predator  juga  dipengaruhi  oleh  kepadatan  populasi  prey.  Gambar  2  di  bawah  ini menunjukan faktor yang mempengaruhi laju pertumbuhan populasi dengan 𝛄 𝟏 = 𝟎. 𝟎𝟑 .
Gambar 2. Pengaruh 𝛄 𝟏 Pada Perubahan Populasi Terhadap Waktu
Berdasarkan Gambar 2 di atas, terlihat bahwa predator lebih banyak dibandingkan dengan populasi prey. Hal ini disebabkan dengan semakin kecil faktor ketakutan (𝛄 𝟏 ) , dapat menyebakan pertumbuhan populasi prey rentan semakin membesar tetapi hal ini menyebabkan persaingan prey rentan semakin besar sehingga kematian populasi prey rentan juga membesar atau pertumbuhan populasi  prey  rentan  semakin  kecil.  Pertumbuhan  populasi  prey  rentan  juga  mempengaruhi populasi prey terinfeksi, yaitu dengan populasi prey rentan semakin kecil menyababkan populasi prey terinfeksi juga semakin mengecil.
Gambar  3  di  bawah  ini  menunjukkan  simulasi  numerik  dari  kestabilan  titik  setimbang kepunahan  prey  terinfeksi  dan  predator.  Adapun  nilai  awal  dan  nilai  parameter  model disajikan pada Tabel 4 dan Tabel 5 di bawah ini.

## Tabel 4. Nilai Awal Populasi Model
Nilai Awal 𝒙 𝟏 𝒙 𝟐 𝒚 Warna 1 45 25 15 Biru
2
40 20 10 Hijau
3
25 15 10 Merah
364
Tabel 5. Nilai Parameter Model Parameter          Nilai Sumber 𝑟 0.5 Asumsi 𝑘 100 Asumsi 𝛽 0.0005 Asumsi 𝛼 1 0.5 Asumsi 𝛼 2 0.8 Asumsi 𝑎 0.2 Asumsi 𝑏 0.2 Asumsi 𝑐 0.5 Asumsi 𝑑 0.5 Asumsi 𝜇 0.8 Asumsi 𝑠 0.005 Asumsi 𝛾 1 0.3 Asumsi 𝛾 2 0.0225 Asumsi
Hasil dari simulasi numerik adalah sebagai berikut:
Gambar 3. Kestabilan t itik setimbang kepunahan prey terinfeksi dan predator.
Pada Gambar 3 di atas, terlihat bahwa ketiga populasi menuju ke satu titik yaitu (𝟏𝟎𝟎, 𝟎, 𝟎).
Hal  ini  berarti  titik  setimbang  kepunahan  prey  terinfeksi  dan  predator  stabil  asimtotis.  Karena analisis kestabilan menggunakan pendekatan linier disekitar titik setimbang, maka kestabilannya dinamakan kestabilan asimtotis secara lokal.
Selanjutnya  ditunjukkan  simulasi  numerik  dari  kestabilan  titik  setimbang  kepunahan populasi predator.  Adapun  nilai  awal  dan  parameter model disajikan pada Tabel  6 dan Tabel 7 berikut ini.
Tabel 6. Nilai Awal Populasi Model
Nilai Awal 𝒙 𝟏 𝒙 𝟐 𝒚 Warna 1 45 25 15 Biru 2 40 20 10 Hijau 3 25 15 10 Merah

## Tabel 7. Nilai Parameter Model
Parameter          Nilai Sumber 𝑟 0.98 Asumsi 𝑘 100 Asumsi 𝛽 0.025 Asumsi 𝛼 1 0.002 Asumsi 𝛼 2 0.001 Asumsi 𝑎 0.8 Asumsi 𝑏 0.2 Asumsi 𝑐 0.8 Asumsi 𝑑 0.65 Asumsi 𝜇 0.55 Asumsi 𝑠 0.15 Asumsi 𝛾 1 0.3 Asumsi 𝛾 2 0.5 Asumsi
Simulasi  numerik  dari  kestabilan  titik  setimbang  kepunahan  predator  ditunjukkan  pada Gambar 4 di bawah ini.
Gambar 4. Kestabilan titik setimbang kepunahan predator .
Berdasarkan Gambar 4 di atas terlihat bahwa ketiga populasi cenderung menuju ke satu titik, yaitu titik 𝐄 𝟐 = (𝟐𝟐; 𝟑𝟎. 𝟓; 𝟎) , dengan  kata  lain  titik  setimbang  kepunahan  predator (𝐄 𝟐 ) stabil asimtotis.
Gambar  5  di  bawah  ini  menunjukkan  kestabilan  dari  titik  setimbang  kepunahan  populasi prey terinfeksi. Nilai awal dan parameter model disajikan pada Tabel 8 dan Tabel 9 berikut ini.
Tabel 8. Nilai Awal Populasi Model Nilai Awal 𝒙 𝟏 𝒙 𝟐 𝒚 Warna 1 45 25 15 Biru 2 40 20 10 Hijau 3 25 15 10 Merah
366
Model Predator Prey Leslie Gower dengan Respon Crowley Martin dan Prey Terinfeksi serta Faktor Ketakutan Tabel 9 . Nilai Parameter Model Parameter Nilai Sumber 𝑟 0.65 Asumsi 𝑘 100 Asumsi 𝛽 0.001 Asumsi 𝛼 1 0.5 Asumsi 𝛼 2 0.4 Asumsi 𝑎 0.8 Asumsi 𝑏 0.6 Asumsi 𝑐 0.56 Asumsi 𝑑 0.45 Asumsi 𝜇 0.55 Asumsi 𝑠 0.65 Asumsi 𝛾 1 0.03 Asumsi 𝛾 2 0.3 Asumsi
Bidang fase dari kestabilan titik setimbang kepunahan predator ditunjukkan pada Gambar 5 di bawah ini.
Gambar 5. Kestabilan t itik setimbang kepunahan prey
Berdasarkan  Gambar  5  di  atas  terlihat  bahwa  ketiga  populasi  dengan  nilai  awal  yang  berbeda cenderung menuju ke satu titik, yaitu titik 𝐄 𝟑 = (𝟗𝟖. 𝟔𝟕; 𝟎; 𝟒. 𝟓𝟓) . Hal ini berarti solusi model konvergen  ke  titik 𝐄 𝟑 dengan  kata  lain  titik  setimbang  kepunahan  prey  terinfeksi (𝐄 𝟑 ) stabil asimtotis.
Berikut ini disajikan analisis kestabilan dari titik setimbang koeksistensi yang disajikan pada Gambar  6  di  bawah  ini.  Adapun  nilai  awal  seperti  pada  Tabel  8,  sedangkan  parameter  model disajika pada Tabel 10 berikut ini.
Tabel 10. Nilai Parameter Model Parameter         Nilai Sumber 𝑟 0.95 Asumsi 𝑘 100 Asumsi 𝛽 0.035 Asumsi 𝛼 1 0.002 Asumsi 𝛼 2 0.04 Asumsi 𝑎 0.008 Asumsi 𝑏 0.2 Asumsi 𝑐 0.8 Asumsi 𝑑 0.005 Asumsi 𝜇 0.38 Asumsi 𝑠 0.85 Asumsi 𝛾 1 0.3 Asumsi 𝛾 2 0.55 Asumsi
Bidang  fase  dari  kestabilan  titik  setimbang  koeksistensi  ditunjukkan  pada  Gambar  6  di bawah ini.
Gambar 6. Kestabilan t itik setimbang koeksistensi
Berdasarkan  Gambar  6  di  atas  terlihat  bahwa  ketiga  populasi  dengan  nilai  awal  yang  berbeda cenderung menuju ke satu titik, yaitu titik 𝑬 𝟒 = (𝟏𝟏. 𝟓𝟏; 𝟗. 𝟗𝟑; 𝟔. 𝟒𝟒) . Hal ini berarti solusi model konvergen ke titik 𝑬 𝟒 dengan kata lain titik setimbang koeksistensi (𝑬 𝟒 ) cenderung stabil asimtotis secara local.

## 5 Simpulan
Berdasarkan hasil yang diperoleh dari pembahasan dan simulasi numerik, maka penelitian ini disimpulkan sebagai berikut:
368

## Model Predator Prey Leslie Gower dengan Respon Crowley Martin dan Prey Terinfeksi serta Faktor Ketakutan
1. Dinamika  model  predator-prey  Leslie-Gower  dengan  fungsi  respon  Crowley  Martin  dan adanya  prey  terinfeksi  serta  faktor  ketakutan  memiliki  empat  titik  setimbang,  yaitu  titik setimbang kepunahan populasi prey terinfeksi dan predator (𝐸 1 ) , titik setimbang kepunahan populasi predator (𝐸 2 ) yang eksis jika 𝛽𝑘 > 𝜇 , titik setimbang kepunahan prey terinfeksi (𝐸 3 ) dan  titik  setimbang  koeksistensi (𝐸 4 ) .  Titik  setimbang 𝐸 1 cenderung  stabil  asimtotis  jika 𝛽𝑘 < 𝜇 dan 𝑠 < 𝜇 . Titik setimbang 𝐸 2 cenderung stabil asimtotis jika 𝑠 < 𝜇 dan 𝛽 𝑘  > 𝜇.
Sedangkan titik setimbang 𝐸 3 dan 𝐸 4 tidak diperoleh secara analitik. Oleh karena itu analisis kestabilannya menggunakan bidang fase. Secara bidang fase kedua titik setimbang tersebut, yaitu 𝐸 3 dan 𝐸 4 cenderung  stabil  asimtotis.  Dari  hasil  simulasi  numerik  juga  diperoleh pengaruh  faktor  ketakutan,  yaitu  semakin  kecil  faktor  ketakutan (𝛾 1 ) ,  dapat  menyebakan pertumbuhan populasi prey rentan semakin membesar tetapi hal ini menyebabkan persaingan prey rentan semakin besar sehingga pertumbuhan populasi prey rentan semakin kecil.
2. Hasil  simulasi  numerik  dinamika  model  predator-prey  Leslie-Gower  dengan  fungsi  respon Crowley  Martin  dan  adanya  prey  terinfeksi  serta  faktor  ketakutan  menunjukkan  bahwa pertumbuhan  populasi  prey  rentan  mengalami  kenaikan  disebabkan  karena  adanya  laju pertumbuhan  secara  logistik  dan  mengalami  penurunan  akibat  adanya  interaksi  terhadap predator  dan  prey  terinfeksi.  Prey  terinfeksi  mengalami  penurunan  karena  adanya  laju penularan  prey  rentan  menjadi  prey  terinfeksi  dan  menderita  penyakit  terinfeksi  yang menyebabkan kematian. Pada populasi predator kenaikan karena adanya laju pertumbuhannya secara logistik yang dipengaruhi oleh kepadatan populasi prey rentan dan prey terinfeksi dan mengalami  penurunan  dikarenakan  adanya  kematian  alami  predator.  Berdasarkan  hasil simulasi numerik juga diperoleh bahwa keempat titik setimbang cenderung stabil asimtotis.

## 6 Ucapan Terima Kasih
Ucapan  terima  kasih  ditujukan  kepada  Departemen  Matematika  Fakultas  Sains  dan Teknologi yang telah memberikan fasilitas Laboratorium Komputer untuk penelitian ini, sehingga penelitian dapat berjalan dengan baik.

## 7 Daftar Pustaka
[1] I.  Setiawan,  D.  Supyandi,  S.  Rasiska,  and  M.  G.  Judawinata, Pertanian  Postmodern . Penebar Swadaya Grup, 2018.
[2] M. Indrawan, R. B. Primack, and J. Supriatna, Biologi Konservasi Edisi Revisi . Yayasan Pustaka Obor Indonesia, 2012.
369 Miswanto, Nunik Suroiyah, Windarto
[3] H. Purnomo, Pengantar Pengendalian Hayati . Yogyakarta: CV Andi Offset, 2010.
[4] M. Soleh and S. Kholipah, “Model matematika mangsa-pemangsa dengan sebagian mangsa sakit,” SITEKIN: Jurnal Sains Teknologi dan industri , vol. 10, no. 2, 2013.
[5] P.  Samui,  D.  Kim,  and  C.  Ghosh,  Eds., Integrating  Disaster  Science  and  Management Global Case Studies in Mitigation and Recovery , 1st edition. Elsevier, 2018.
[6] E. Facco, G. Zanette, L. Favero, and C. Bacci, “Toward the Validation of Visual Analogue Scale for Anxiety,” Anesth Prog , vol. 58, no. 1, 2011.
[7] J. P. Suraci, M. Clinchy, L. Dill, and D. Roberts, “Fear of large carnivores causes a trophic cascade,” Nat Commun , vol. 7, no. 1, 2016.
[8] W.  B.  Pratikno  and  S.  Sunarsih,  “Model  dinamis  rantai  makanan  tiga  spesies,” Jurnal Matematika , vol. 13, no. 3, 2012.
[9] Y. Xiao and L. Chen, “Modeling and analysis of a predator–prey model with disease in the prey,” Math  Biosci ,  vol.  171,  no.  1,  pp.  59–82,  May  2001,  doi:  10.1016/S0025- 5564(01)00049-9.
[10]  K.  D.  Lafferty  and  A.  K.  Morris,  “Altered  Behavior  of  Parasitized  Killifish  Increases Susceptibility to Predation by Bird Final Hosts,” Ecology , vol. 77, no. 5, pp. 1390–1397, Jul. 1996.
[11]  S.  Chakraborty,  S.  Pal,  and  N.  Bairagi,  “Predator–prey  interaction  with  harvesting: mathematical study with biological ramifications,” Appl Math Model , vol. 36, no. 9, 2012.
[12]  P.  H.  Crowley  and  E.  K.  Martin,  “Functional  Responses  and  Interference  within  and between Year Classes of a Dragonfly Population,” J North Am Benthol Soc , vol. 8, pp. 211– 221, 1989.
[13]  C. Arancibia–Ibarra and J. Flores, “Dynamics of a Leslie–Gower predator–prey model with Holling type II functional response, Allee effect and a generalist predator,” Mathematics and  Computers  in  Simulation  (MATCOM) ,  vol.  188,  no.  C,  pp.  1–22,  2021,  doi:  DOI: 10.1016/j.matcom.2021.03.