## 1
Agus Dahlia, Rahma Qudsi Perbandingan Transformasi Laplace Dan Transformasi Shehu Untuk Meenyelesaikan Persamaan Integral Volterra Jenis Pertama

## PERBANDINGAN TRANSFORMASI LAPLACE DAN TRANSFORMASI SHEHU UNTUK MEENYELESAIKAN PERSAMAAN INTEGRAL VOLTERRA JENIS PERTAMA
Agus Dahlia 1 , Rahma Qudsi 2
Pendidikan Matematika FKIP Universitas Islam Riau, Jl. Kaharuddin Nasution 113 Pekanbaru Riau Indonesia 1,2 e-mail: agus.dahlia@edu.uir.ac.id 1 e-mail: rahma.qudsi@edu.uir.ac.id 2

## ABSTRAK
Tulisan ini merupakan studi perbandingan antara Transformasi Laplace dan transformasi integral baru  Shehu  untuk  menyelesaikan  Persamaan  Integral  Volterra  Jenis  Pertama.  Untuk mengilustrasikan  kedua  metode  yang  diusulkan,  tiga  persamaan  Volterra  Integral  yang  berbeda dari contoh jenis pertama disajikan, yang selanjutnya hasilnya dibandingkan.
Kata kunci :
Persamaan Integral Volterra; Transformasi Laplace; Transformasi Shehu.

## ABSTRACT
In this paper, a comparative study between Laplace Transform and new integral transform Shehu for solving Volterra Integral Equations of First Kind. To illustrate both of the proposed methods, three different Volterra Integral equations of first kind examples are presented. The results were compared.

## Keywords :
Laplace Transform;  Shehu Tranform; Volterra Itegral Equations.

## PENDAHULUAN
Dalam  beberapa  tahun  terakhir, beberapa metode transformasi integral untuk menyelesaikan  persamaan  integral  telah diperkenalkan, termasuk Transformasi Sadik (Ali  &  Chaudhary,  2011),  Transformasi Kamal (Kamal Sedeeg, 2016), Transformasi
Shehu (Maitama & Zhao, 2019), Transformasi Mahgoub (Mohand M.
Abdelrahim  Mahgoub,  2016),  dan  lainnya yang merupakan pengembangan dari Laplace  Transformasi  (Upadhyaya,  2019). Metode ini sangat berguna untuk menyelesaikan  masalah  matematika  yang sering  dijumpai  pada  aplikasi  matematika, fisika, dan teknik. Masalah matematika yang muncul berupa persamaan diferensial parsial linier  dan  nonlinier  yang  sangat  sulit  untuk diselesaikan dan solusi eksak dari persamaan tersebut  juga  sangat  sulit  didapatkan.  Salah satu  persamaan  diferensial  parsial  nonlinier yang  sering  dijumpai  dalam  aplikasi
matematika  adalah  Persamaan  Integral Volterra.
Beberapa penelitian telah menggunakan  metode  transformasi  integral untuk  menyelesaikan  persamaan  integral Volterra, termasuk Aggarwal, dkk. (Aggarwal,  et  al.,  2019;  Aggarwal  et  al., 2018b,  2018a,  2020;  Aggarwal  &  Sharma, 2019)  dan  Sharjeel  (Sharjeel  &  Barakzai, 2019).  Salah  satu  metode  transformasi integral  baru  untuk  menyelesaikan  masalah persamaan  diferensial  adalah  Transformasi Shehu.  Transformasi  Shehu  diperkenalkan oleh (Maitama & Zhao, 2019) dan Aggarwal et  al  telah  menggunakannya  dalam (Aggarwal et al., 2020) untuk menyelesaikan Persamaan  Integral  Volterra.  Makalah  ini memperkenalkan  studi  banding  untuk menyelesaikan Persamaan Integrasi Volterra jenis pertama dengan menggunakan transformasi  Laplace  dan  transformasi Shehu.

## 2
Agus Dahlia, Rahma Qudsi Perbandingan Transformasi Laplace Dan Transformasi Shehu Untuk Meenyelesaikan Persamaan Integral Volterra Jenis Pertama

## TEORI DASAR
Pada  bagian  ini,  definisi  yang diperlukan dan sifat dasar tentang transformasi  Laplace  dan  transformasi Shehu  ,  yang  digunakan  lebih  lanjut  dalam makalah ini disajikan.
Transformasi Laplace
Transformasi  Laplace V = V(s) dari fungsi v = v(t) didefinisikan oleh (Boyce & DiPrima, 2012)
ℒ(f)(s) = V(s) = e v(t) dt.     (1)
Diintegralkan terhadap "t" .
Transformasi  Laplace  dari  beberapa fungsi  sederhana  adalah  sebagai  berikut (Aggarwal & Sharma, 2019):
1. jika 𝑣(𝑡) = 1 maka ℒ(1) =
2. jika v(t) = t maka ℒ(t) =
3. jika 𝑣(𝑡) = 𝑡 maka ℒ(𝑡 ) = 2!
4. jika 𝑣(𝑡) = 𝑡 , 𝑛 ∈ 𝑁 maka ℒ(𝑡 ) =
𝑛!
5. jika 𝑣(𝑡) = 𝑡 , 𝑛 > −1 maka ℒ(𝑡 ) = 𝛤(𝑛 + 1) 6. jika  𝑣(𝑡) = 𝑒 maka    ℒ(𝑒 ) = 7. jika 𝑣(𝑡) = 𝑠𝑖𝑛 𝑎𝑡 maka ℒ(𝑠𝑖𝑛 𝑎𝑡) = ( ) 8. jika 𝑣(𝑡) = 𝑐𝑜𝑠 𝑎𝑡 maka ℒ(𝑐𝑜𝑠 𝑎𝑡) = ( )
Sifat-sifat dasar transformasi Laplace:
1. Sifat Linieritas (Aggarwal & Sharma, 2019),
ℒ av(t) + bw(t) = aℒ v(t) + bℒ w(t)     (2)
dengan a, b adalah konstanta sembarang. 2. Sifat  perubahan  skala  (Aggarwal  et al., 2019)
Jika  fungsi v(t) terdapat  dalam himpunan A , maka
ℒ v(t) = 1 a v s a .                (3)
3. Sifat turunan (Aggarwal et al., 2019) Jika ℒ F (t) = f(s) , maka ℒ F′(t) = sf(s) − F(0)
ℒ F′′(t) = s f(s) − F(0) − F′(0) ℒ F ( ) (t) = s f(s) − s F(0) − s F (0) − ⋯ − F ( ) (0)
4. Sivat  konvolusi  (Aggarwal  et  al., 2019) F(t) ∗ G(t) = F ∗ G = F(x)G(t − x) dx

## = F(t − x)G(x) dx

## Transformasi Shehu
Definisi  1 .(Maitama  &  Zhao,  2019) Transformasi  Shehu  dari  fungsi v(t) dari barisan  eksponen  didefinisikan  sebagai himpunan fungsi,
A = v(t): ∃N, η , η > 0, |v(t)|
< N exp |t| η , if t
∈ (−1) × 0, ∞) , dengan integral berikut S v(t) = V(s, u) = exp −st u v(t)dt = lim → exp −st u v(t)dt ; s > 0, u
> 0.                                        (3) dengan S disebut sebagai operator transformasi  Shehu.  Operator  ini  dikatakan konvergen  jika  limit  dari  integral  ada  dan dikatakan divergen jika sebaliknya.

## 3
Agus Dahlia, Rahma Qudsi Perbandingan Transformasi Laplace Dan Transformasi Shehu Untuk Meenyelesaikan Persamaan Integral Volterra Jenis Pertama
Transformasi  Shehu  dikatakan    ada jika  syarat  perlu  berikut  ini    dipenuhi (Maitama & Zhao, 2019).
1. v(t) adalah  kontinu  sepotong-sepotong di  setiap  interval  berhingga 0 ≤ t ≤ β ;
dan
2. Barisan eksponen 𝑎 untuk t > β .
Transformasi  Shehu  dari  beberapa fungsi sederhana(Aggarwal, et al., 2019): 1. Jika 𝑣(𝑡) = 1 maka 𝑆(1) =
2. Jika 𝑣(𝑡) = 𝑡 maka 𝑆(𝑡) =
3. Jika 𝑣(𝑡) = 𝑡 maka 𝑆(𝑡 ) = 2!
4. Jika v(t) = t , n ∈ N maka S(t ) =
n!
5. Jika v(t) = t , n > −1 maka S(t ) = Γ(n + 1)
6. Jika v(t) = e maka S(e ) =
7. Jika v(t) = sin at maka S(sin at) =
( )
8. Jika v(t) = cos at maka S(cos at) =
( )
Sifat-sifat  dasar  Transformasi  Shehu (Maitama & Zhao, 2019):
1. Sifat linieritas.
Jika  fungsi αv(t) dan βw(t) terdapat dalam  himpunan A ,  maka (αv(t) + βw(t)) ∈ A , dengan α dan β sembarang konstanta bukan nol, dan
S αv(t) + βw(t) = αS v(t) + βS w(t) .   (4)
2. Sifat perubahan skala.
Jika  fungsi v(βt) terdapat  dalam himpunan A , dengan β adalah konstanta sembarang, maka
S v(βt) = u β V s β , u .        (5)
3. Sifat turunan.
Jika v ( ) (t) adalah  turunan  ke- 𝑛 dari fungsi v(t) ∈ A terhadap ′t′ ,  maka Transformasi Shehu didefinisikan sebagai
S v ( ) (t)
= s u V(s, u) − s u ( ) v ( ) (0).                    (6)
3. Sifat Konvolusi (Aggarwal, et al., 2019)
S v (t) ∗ v (t) = S v (t) S v (t)
dengan v (t) ∗ v (t) didefinisikan oleh
v (t) ∗ v (t) = v (t − x)v (x) dx = v (x)v (t − x) dx

## HASIL DAN PEMBAHASAN Persamaa Integral Volterra Jenis Satu
Persamaan Volterra  jenis  pertama diberikan oleh [6]–[9], [14]
𝑓(𝑥) = 𝐾(𝑥, 𝑡)𝑢(𝑡) 𝑑𝑡.            (7)
dengan  fungsi  yang  tidak  diketahui 𝑢(𝑥) dalam  integral  agan  ditentukan.  Kernel fungsi-fungsi  yang  diberikan  adalah  fungsi bernilai Riil.
Misalkan kernel 𝐾(𝑥, 𝑡) dari persamaan (7) adalah tipe kernel konvolusionalyang selisihnya dapat dinyatakan.  Sehingga,  persamaan  (1)  dapat dinyatakan sebagai:

## 𝑓(𝑥) = 𝐾(𝑥 − 𝑡)𝑢(𝑡) 𝑑𝑡.            (8)

## Aplikasi
Pada bagian ini, Transformasi Laplace dan  Transformasi  Shehu  diaplikasikan  pada tiga  contoh  dari  persamaan-persamaan integral  Volterra  jenis  pertama  dan kemudian  hasil  yang  diperoleh  dari keduanya dibandingkan.
Contoh  1 :  Misalkan  persamaan  integral Volterra jenis pertama
4
Agus Dahlia, Rahma Qudsi Perbandingan Transformasi Laplace Dan Transformasi Shehu Untuk Meenyelesaikan Persamaan Integral Volterra Jenis Pertama
𝑥 = 𝑒 ( ) 𝑢(𝑡) 𝑑𝑡             (9)
Solusi  dengan  menggunakan  Transform Laplace
Lakukan  transformasi  Laplace  pada  kedua sisi persamaan (9), sehingga diperoleh ℒ 𝑥 = ℒ 𝑒 ( ) 𝑢(𝑡) 𝑑𝑡                  (10) 1 𝑣 = ℒ 𝑒 ℒ 𝑢(𝑥)
1 𝑣 = 1 𝑣 − 1 ℒ 𝑢(𝑥) ℒ 𝑢(𝑥) = 𝑣 − 1 𝑣 (11) Lakukan  invers  transformasi  Laplace transform  dari  kedua  sisi  persamaan  (11), solusi eksak yang diperoleh
𝑢(𝑥) = ℒ 𝑣 − 1 𝑣 𝑢(𝑥) = ℒ 1 𝑣 − ℒ 1 𝑣 𝑢(𝑥) = 1 − 𝑥                                               (12) Solusi dengan menggunakan transformasi

## Shehu
Lakukan transformasi Shehu pada kedua sisi persamaan (9), sehingga diperoleh
𝑆 𝑥 = 𝑆 𝑒 ( ) 𝑢(𝑡) 𝑑𝑡                       (13)
𝑢 𝑣 = 𝑆 𝑒 𝑆 𝑢(𝑥) 𝑢 𝑣 = 𝑢 𝑣 − 𝑢 𝑆 𝑢(𝑥)
𝑆 𝑢(𝑥) = 𝑢 𝑣 − 𝑢 𝑣 (14)
Lakukan invers transformasi Shehu transform  dari  kedua  sisi  persamaan    (14), solusi eksak yang diperoleh 𝑢(𝑥) = 𝑆 𝑢 𝑣 − 𝑢 𝑣 𝑢(𝑥) = 𝑆 𝑢 𝑣 − 𝑆 𝑢 𝑣 𝑢(𝑥) = 1 − 𝑥                                               (15)
Contoh  2 :  Misalkan  persamaan  integral Volterra jenis pertama

## 1 + 𝑥 − 𝑒 = (𝑡 − 𝑥)𝑢(𝑡) 𝑑𝑡      (16)
Sebelum menyelesaikan persamaan ini, ingat bahwa (𝑡 − 𝑥) = −(𝑥 − 𝑡) .
Solusi  dengan  menggunakan  Transform Laplace
Lakukan  transformasi  Laplace  pada  kedua sisi persamaan (16), sehingga diperoleh
ℒ 1 + 𝑥 − 𝑒 = ℒ (𝑡 − 𝑥)𝑢(𝑡) 𝑑𝑡  (17)
1 𝑣 + 1 𝑣 − 1 𝑣 − 1 = −ℒ (𝑥) ℒ 𝑢(𝑥) 1 𝑣 + 1 𝑣 − 1 𝑣 − 1 = − 1 𝑣 ℒ 𝑢(𝑥) ℒ 𝑢(𝑥) = 1 𝑣 − 1 (18)
Lakukan  invers  transformasi  Laplace transform  dari  kedua  sisi  persamaan  (18),
solusi eksak yang diperoleh 𝑢(𝑥) = ℒ 1 𝑣 − 1 𝑢(𝑥) = 𝑒                                                      (19) Solusi dengan menggunakan transformasi

## Shehu
Lakukan transformasi Shehu pada kedua sisi persamaan  (16), sehingga diperoleh
𝑆 1 + 𝑥 − 𝑒 = 𝑆 (𝑡 − 𝑥)𝑢(𝑡) 𝑑𝑡  (20)
𝑢 𝑣 + 𝑢 𝑣 − 𝑢 𝑣 − 𝑢 = −𝑆 (𝑥) 𝑆 𝑢(𝑥)
𝑢 𝑣 + 𝑢 𝑣 − 𝑢 𝑣 − 𝑢 = − 𝑢 𝑣 𝑆 𝑢(𝑥)
ℒ 𝑢(𝑥) = 𝑢 𝑣 − 𝑢 (21)

## 5
Agus Dahlia, Rahma Qudsi Perbandingan Transformasi Laplace Dan Transformasi Shehu Untuk Meenyelesaikan Persamaan Integral Volterra Jenis Pertama
Lakukan invers transformasi Shehu transform  dari  kedua  sisi  persamaan  (21), solusi eksak yang diperoleh 𝑢(𝑥) = 𝑆 𝑢 𝑣 − 𝑢 𝑢(𝑥) = 𝑒                                                      (22) Contoh  2 :  Misalkan  persamaan  integral Volterra jenis pertama 𝑒 − sin 𝑥 − cos 𝑥 = 2𝑒 𝑢(𝑡)𝑑𝑡   (23)

## Solusi  dengan  menggunakan  Transform Laplace
Lakukan  transformasi  Laplace  pada  kedua sisi persamaan (23), sehingga diperoleh ℒ 𝑒 − sin 𝑥 − cos 𝑥 = ℒ 2𝑒 𝑢(𝑡)𝑑𝑡                       (24) 1 𝑣 − 1 − 1 𝑣 + 1 − 𝑣 𝑣 + 1 = 2ℒ (𝑒 ) ℒ 𝑢(𝑥) 1 𝑣 − 1 − 1 𝑣 + 1 − 𝑣 𝑣 + 1 = 2 1 𝑣 − 1 ℒ 𝑢(𝑥) ℒ 𝑢(𝑥) = 1 𝑣 + 1 (25)
Lakukan  invers  transformasi  Laplace transform  dari  kedua  sisi  persamaan  (25), solusi eksak yang diperoleh
𝑢(𝑥) = ℒ 1 𝑣 + 1 𝑢(𝑥) = sin 𝑥                                                (26) Solusi dengan menggunakan transformasi

## Shehu
Lakukan transformasi Shehu pada kedua sisi persamaan  (23), sehingga diperoleh 𝑆 𝑒 − sin 𝑥 − cos 𝑥 = 𝑆 2𝑒 𝑢(𝑡)𝑑𝑡    (27) 𝑢 𝑣 − 𝑢 − 𝑢 𝑣 + 𝑢 − 𝑢𝑣 𝑣 + 𝑢 = 2𝑆 (𝑒 ) 𝑆 𝑢(𝑥)
𝑢 𝑣 − 𝑢 − 𝑢 𝑣 + 𝑢 − 𝑣 𝑣 + 𝑢
= 2 𝑢 𝑣 − 𝑢 𝑆 𝑢(𝑥) ℒ 𝑢(𝑥) = 𝑢 𝑣 + 𝑢 (28) Lakukan invers transformasi Shehu transform  dari  kedua  sisi  persamaan  (28), solusi eksak yang diperoleh 𝑢(𝑥) = ℒ 𝑢 𝑣 + 𝑢 𝑢(𝑥) = sin 𝑥                                                        (29) SIMPULAN DAN SARAN Dalam tulisan ini, transformasi Laplace  dan  transformasi  Shehu  telah daplikasikan untuk menyelesaikan
persamaan  integral  Volterra.  Dari  contoh yang  diberikan  pada  bagian  3,  dapat  dilihat bahwa  hasil  yang  diperoleh  dari  kedua integral  transformasi  ini  adalah  sama.  Jadi, dapat  disimpulkan  bahwa  transformasi Shehu adalah alat alternatif untuk menyelesaikan  persamaan  integral  Volterra jenis pertama.

## DAFTAR PUSTAKA
Aggarwal, S., Gupta, A. R., & Sharma, S. D. (2019).  A  New  Application  of  Shehu Transform  for  Handling  Volterra Integral  Equations  of  First  Kind.
International Journal of Research in Advent Technology , 7 (4) ,  438–445. https://doi.org/10.32622/ijrat.74201915 1 Aggarwal, S., & Sharma, N. (2019). Laplace Transform  for  the  Solution  of  First Kind Linear Volterra Integral Equation.
J Adv Res Appl Math Stat , 4 (3&4) , 16–
23.
Aggarwal,  S.,  Sharma,  N.,  &  Chauhan,  R.
(2018a). Application of Elzaki

## 6
Agus Dahlia, Rahma Qudsi Perbandingan Transformasi Laplace Dan Transformasi Shehu Untuk Meenyelesaikan Persamaan Integral Volterra Jenis Pertama
Transform  for  Solving  Linear  Volterra Integral  Equations  of  First  Kind.
International Journal of Research in Advent Technology , 6 ,  3687–3692.
www.ijrat.org Aggarwal,  S.,  Sharma,  N.,  &  Chauhan,  R.
(2018b). Application of Kamal
Transform  for  Solving  Linear  Volterra Integral  Equations  of  First  Kind.
International Journal of Research in
Advent Technology , 6 (8) . www.ijrat.org
Aggarwal,  S.,  Singh,  A.,  Kumar,  A.,  &
Kumar,  N.  (2019).  Application  of Laplace Transform for Solving Improper  Integrals  whose  Integrand
Consisting  Error  Function. Journal of Advanced Research in Applied Mathematics and Statistics , 4 (2) , 1–7. Aggarwal,  S.,  Vyas,  A.,  &  Sharma,  S.  D. (2020).  Analytical  Solution  of  First Kind  Volterra  Integro-  Differential Equation  Using  Sadik  Transform.
International Journal of Research and Innovation in Applied Science (IJRIAS) | , V (VIII) , 73–80. Ali, S. S., & Chaudhary, M. S. (2011). On a new  integral  transform  and  solution  of some  integral  equations. International Journal of Pure and Applied Mathematics , 73 (3) , 299–308. Boyce,  W.  E.,  &  DiPrima,  R.  C.  (2012).
Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems . In D. Dietz
&  J.  Sinacori  (Eds.),  John  Wiley  &
Sons,  Inc  (10th  ed.).  John  Wiley  & Sons, Inc. Kamal  Sedeeg,  A.  H.  (2016).  The  New Integral Transform “‘Kamal Transform.’” Advances in Theoretical and Applied Mathematics , 11 (4) ,  451–
458. http://www.ripublication.com
Maitama,  S.,  &  Zhao,  W.  (2019).  New integral  transform:  Shehu  transform  a generalization  of  Sumudu  and  lapalace transform  for  solving  differential equations. ArXiv , 1947 , 1–22.
https://doi.org/10.28924/2291-8639-17- 2019-167 Mohand  M.  Abdelrahim  Mahgoub.  (2016). The  new  integral  transform  “Mahgoub transform.” Global Journal of Pure and Applied Mathematics , 11 , 391–398. Sharjeel,  S.,  &  Barakzai,  M.  A.  K.  (2019). Some  New  Applications  of  Elzaki Transform  for  Solution  of  Linear Volterra  Type  Integral  Equations.
Journal of Applied Mathematics and Physics , 07 (08) , 1877–1892. https://doi.org/10.4236/jamp.2019.7812
9
Upadhyaya,  L.  M.  (2019).  Introducing  the upadhyaya  integral  transform. Bulletin of Pure & Applied Sciences- Mathematics and Statistics , 38e (1) , 471. https://doi.org/10.5958/2320- 3226.2019.00051.1