Analisis Aliran Darah dalam Stenosis Arteri Menggunakan Model Fluida Casson dan Power-Law
Blood Flow Analysis in Arterial Stenosis Using Casson and Power-law Fluid Models
Riri Jonuarti Jurusan Fisika, FMIPA Universitas Negeri Padang Email: riri_jonuarti@yahoo.com

## ABSTRACT
Simulation of blood flow behavior in arteries and arterial stenosis has been made and will be discussed in this paper. This simulation uses pulsatile flow and blood flow in artery without stenosis is considered as a dynamic fluid, compressed and condensed. Whereas in case of arterial stenosis it has been used Casson and Power-law fluid  models.  In  arteries  without  stenosis,  blood  flow  velocity  profiles  show  the  same  pattern  for  each Womersley number, but with different speed value. In the case of arterial stenosis, blood flow rate decreases with  increasing  stenosis  position  away  from  axis  of  blood  vessels.  Resistances  to  flow  are  increased  with increasing the size (height and length) of  stenosis, both for the Casson and Power-law fluid models. If resistance to flow increases, it is more difficult for the blood to pass through an artery, result the flow decreases and heart has to work harder to maintain adequate circulation.
Keywords : Artery, blood flow, power-law fluid, Casson fluid, stenosis

## PENDAHULUAN
Darah adalah cairan dalam tubuh manusia yang beredar  melalui  jantung,  pembuluh  arteri, kapiler  dan  vena.  Proses  peredaran  darah dipengaruhi  juga  oleh  kecepatan  darah,  luas penampang pembuluh darah, tekanan darah dan kerja  otot  yang  terdapat  pada  jantung  dan pembuluh  darah.  Ada  banyak  bukti  bahwa dinamika  fluida  pembuluh  darah  memainkan peran  utama  dalam  pengembangan  dan perkembangan  penyakit  arteri  (Srivastava, 1985; Tu&Deville, 1996).
Salah  satu  dari  penyakit  arteri  adalah penyempitan  arteri  atau  di  dalam  istilah kedokteran  dikenal  dengan  stenosis  arteri. Perkembangan  dari  stenosis  ini  dapat menyebabkan  gangguan  peredaran  darah  yang serius,  dimana  pada  stenosis,  perilaku  aliran darah  sangat  berbeda  daripada  keadaan  arteri normal.  Dengan  demikian,  studi  aliran  darah pada  stenosis  memainkan  peran  penting  untuk pemahaman, diagnosis dan pengobatan penyakit  seperti  penyumbatan  arteri.  Melalui simulasi,  akan  diketahui  bagaimana  profil kecepatan  dan  resistansi  aliran  dalam  stenosis arteri,  sehingga  paramedis  terlebih  dahulu dapat  melakukan  perhitungan  tinggi  dan panjang stenosis, sebelum melakukan tindakan medis  lebih  lanjut.  Dalam  paper  ini,  akan
dipaparkan perilaku non-Newtonian dari aliran darah dalam arteri yang memiliki stenosis.

## Persamaan Aliran Darah Arteri
Aliran  darah  dalam  arteri  besar  didorong  oleh jantung,  oleh  karena  itu  alirannya  berdenyut. Model  sederhana  untuk  aliran  berdenyut dikembangkan  oleh  Womersley  (1955).  Untuk aliran  darah  yang  berosilasi  dimodelkan  dari fluida  yang  mampat  dalam  pipa  silinder, melingkar lurus dengan panjang l , dan jari-jari R yang  terisi  fluida  dengan  kerapatan ρ dan kekentalan µ . Dalam  aliran  tunak,  bila p 1 dan p 2 adalah tekanan  pada  ujung-ujung  pipa,  maka  gradien tekanan  ( p 1 – p 2 )/ l adalah  bernilai  konstan. Anggap w adalah kecepatan longitudinal cairan pada  suatu  titik  pada  jarak r dari  sumbu  pipa. Persamaan gerak cairan dinyatakan dengan:
(1)
dengan solusinya:
(2)
Bila  gradien  tekanan  tidak  konstan,  maka persamaan (1) berbentuk:
(3)
Tinjau  gradien  tekanan  sinusoidal  yang terdiri dari sinus dan kosinus,
(4)
Dengan  frekuensi  osilasi  adalah ω /2π. Subsitusi  persamaan  (4)  ke  persamaan  (3) diperoleh:
(5) dengan v adalah  viskositas.  Penyelesaian  dari persamaan  ini  akan  memberikan  komponen aksial  dan  radial  dari  laju  aliran  darah  dalam arteri.
Solusi persamaan (5) diperoleh dengan cara pemisahan variabel sebagai berikut:
(6) Dengan  subsitusi  persamaan  (6)  ke  dalam persamaan (5) diperoleh:
(7)
Persamaan  (7)  merupakan  persamaan  Bessel, dengan solusi sebagai berikut:
(8)
Dengan J 0 adalah fungsi Bessel untuk orde nol, v = µ / ρ adalah  viskositas  kinematika  dan adalah  parameter  tanpa  dimensi yang  dikenal  sebagai  bilangan  Womersley. Untuk  manusia  normal  dengan  diameter  arteri femoral  sekitar  0,5  cm,  laju  denyut  72  per menit, kerapatan darah 1,05 g/ml dan viskositas darah  0,04  Pa,  diperoleh  bilangan  Womersley sebesar:
Berdasarkan  persamaan  (8),  persamaan  (6) dapat ditulis menjadi:
(9)

## Pemodelan Stenosis pada Arteri
Gambar 1. Geometri stenosis arteri
Seperti  terlihat  dalam  Gambar  1,  diasumsikan bahwa  stenosis  terbentuk  dalam  arteri  secara simetris  radial  bergantung  pada  jarak  aksial z dan  tinggi  pertumbuhannya.  Model  matematis untuk  jari-jari  bagian  stenosis  dinyatakan sebagai  berikut  (Sankar&  Hemalatha,  2006; Joshi et al , 2010) :
(10)
dengan R 0 adalah  jari-jari  arteri  normal  (tanpa stenosis), R adalah jari-jari arteri dalam daerah stenosis, L adalah  panjang  arteri, L 0 adalah panjang  stenosis, d adalah  lokasi  stenosis, δ h adalah tinggi stenosis.

## Model Fluida Casson
Model  fluida  Casson,  memiliki  persamaan konstitutif:
(11)
dengan w adalah  kecepatan  aksial, τ adalah tegangan geser dan η 2 adalah viskositas fluida.
Resistansi aliran dinyatakan dengan;
(12)
dengan  koefisien f , g ,  dan h diberikan  oleh persamaan (Joshi et al , 2010):
(13)
dan G 1 , G 2 dan G 3 diberikan dalam persamaan:
(((14)
(15)
(16)
Model Fluida Power-law Model  fluida  Power-law  atau  dikenal  dengan hubungan Ostwald-de Waele memiliki persamaan kontitutif: (17)
Dengan τ adalah  tegangan  geser, m dan n adalah  konstanta  yang  berhubungan  dengan aliran.  Laju  aliran  volume Q diberikan  oleh
(Bird et al , 1960):
(18)
dengan,
(19)
disini dp/dz adalah  gradien  tekanan  dan τ R adalah tegangan geser pada dinding pembuluh. Subsitusi  persamaan  (17)  dan  (19)  ke  dalam persamaan (18) diperoleh;
(20) Integrasikan persamaan (20) dengan
menggunakan syarat p = p i pada z = 0 dan p = p o pada z = L diperoleh:
(21)
dengan R/R 0 diberikan oleh persamaan (10). Definisikan  Resistansi  Aliran, λ sebagai berikut (Shukla et al , 1980):
(22)
Persamaan  (20)  dan  (21)  disubsitusikan  ke persamaan  (22)  diperoleh  resistansi  aliran sebagai berikut:
.
(23)
Perbandingan resistansi aliran,
(24) (24)
dengan,
(25)
(26) Dengan menggunakan persamaan (20),
diperoleh:
(27) (28)
Substitusi  persamaan  (27)  dan  (28)  ke persamaan  (24)  diperoleh  perbandingan resistansi aliran untuk model fluida Power-law :
(29) dengan λ adalah  resistansi  aliran, L adalah panjang arteri, L 0 adalah panjang stenosis, a = 1- ( δ h /2 R 0 ) dan b = ( δ h /2 R 0 ).

## METODE
Program  simulasi  dibuat  berdasarkan  rumusan Womersley  (1955)  untuk  profil  kecepatan darah  dalam  pembuluh  arteri.  Profil  kecepatan dibatasi pada kecepatan radial. Program dibuat juga  untuk  menghitung  resistansi  aliran  darah pada  kasus  stenosis  di  arteri.  Diagram  alir pengambilan  data  diperlihatkan  pada  Gambar 2.

## HASIL DAN PEMBAHASAN
Telah  dilakukan  simulasi  aliran  darah  dalam pembuluh  arteri  dengan  memakai  persamaan aliran  darah  untuk  gradien  tekanan  berdenyut ( pulsatile ).

## Profil Kecepatan Aliran Darah dalam Arteri tanpa Stenosis
Hasil  simulasi  profil  kecepatan  aliran  darah untuk  beberapa  nilai  bilangan  Womersley diperlihatkan  dalam  Gambar  3,  dimana  profil kecepatan  diambil  plot  antara  posisi  radial terhadap posisi sudut ( ωt ) yang berbeda-beda.
Gambar 3. Profil kecepatan aliran darah dalam arteri  untuk  beberapa  bilangan Womersley. Profil kecepatan  diplot untuk  interval  Δ ωt =  15 0 .  (a). α = 3,34. (b). α = 3,52. (c). α = 3,75, (d). α = 4,00.
Terlihat  profil  kecepatan  aliran  darah menunjukkan  pola  yang  sama  untuk  setiap bilangan  Womersley,  namun  dengan  nilai kecepatan  yang  berbeda.  Ketika  bilangan Womersley  makin  besar,  terlihat  profil kecepatan menjadi lebih datar. Profil kecepatan untuk  Δ ωt =  180 0 memiliki  nilai  yang  sama dengan  Δ ωt =  0 0 tetapi  dengan  tanda  yang berlawanan. Hal ini mengikuti pola dari sumber
aliran  berdenyut  (berosilasi)  menggunakan gradien  tekanan  sinusoidal  yang  terdiri  dari sinus  dan  kosinus,  dimana  terjadi  pembalikan fase setelah 180 o .
Gambar  4  memperlihatkan  plot  profil kecepatan  aliran  darah  saat  Δ ωt =  0 o untuk beberapa  nilai  bilangan  Womersley  Terlihat bahwa  semakin  kecil  bilangan  Womersley semakin  besar  kecepatan  aliran.  Misalnya untuk  bilangan  Womersley  paling  kecil  3,34 kecepatannya  berfluktuasi  disekitar  12  sampai 14 cm/s, besar kecepatan aliran untuk bilangan ini  adalah  paling  besar  diantara  tiga  bilangan Womersley lainnya.
Gambar 4. Profil kecepatan aliran darah dalam arteri untuk beberapa bilangan Wormersley ( α ) pada saat Δ ωt = 0 0 .
Profil  kecepatan  terlihat  memiliki  puncak maksimum  dan  minimum  yang  tingginya berbeda untuk setiap bilangan Womersley yang dipakai.  Rata-rata  untuk  tiap-tiap  bilangan Womersley  puncak  maksimumnya  terletak pada  posisi  radial  antara  0,4  sampai  0,8, sedangkan  untuk  puncak  minimunnya  untuk semua  variasi  bilangan  Womerley  terletak  di sumbu  pembuluh  darah.  Adanya  puncak maksimum  dan  puncak  minimum  pada  profil kecepatan  ini  dikarenakan  aliran  darah dipompa  oleh  jantung  yang  menghasilkan gradien tekanan yang berdenyut sehingga aliran darah berosilasi terhadap waktu.
Pengaruh Stenosis Terhadap Profil Kecepatan Aliran Simulasi  profil  kecepatan  aliran  darah  pada kasus stenosis dibuat dengan parameter sebagai berikut: α = 3,52; R 0 = 0,24 cm; L = 10 cm, ρ = 1,05  g/cm 3 ,  dan µ =  3,0  x  10 -3 Kg/m.s.  Profil kecepatan aliran dalam pembuluh arteri dengan variasi  jarak  stenosis  dari  sumbu  pembuluh darah  ( R i )  diperlihatkan  dalam  Gambar  5. Makin  jauh  posisi  stenosis  dari  sumbu pembuluh  darah  makin  rendah  kecepatan
aliran.  Dari  Gambar  7  terlihat  bahwa  makin jauh  posisi  stenosis  dari  sumbu  pembuluh darah, berarti juga makin kecil ukuran stenosis, sehingga penampang lintang aliran yang dilalui darah makin besar.
Gambar 5. Profil kecepatan aliran darah untuk beberapa  nilai  jarak  stenosis  dari sumbu pembuluh darah

## Pengaruh  Tinggi  Stenosis  Pada  Resistansi Aliran untuk Model Fluida Casson
Kurva tinggi stenosis terhadap resistansi aliran untuk nilai panjang stenosis berturut-turut L 0 = 0,1 L , L 0 = 0,5 L , dan L 0 = L diperlihatkan dalam Gambar  6a.  Perhitungan  dilakukan  dengan parameter-parameter; n = 1, R 0 = 2,4 mm, ρ = 1,05 g/cm 3 , µ = 3,5 x 10 -3 kg/m.s, τ = 19,25 Pa, dan α = 3,59.
Gambar 6. (a). Variasi λ terhadap δ/R 0 saat τ = 19,25  Pa  untuk  beberapa  nilai L 0 . (b).  Variasi λ terhadap δ/R 0 untuk beberapa τ .
Dalam Gambar  6a  terlihat  bahwa  resistansi aliran bertambah dengan bertambahnya ukuran (tinggi  dan  panjang)  stenosis.  Hal  ini  terjadi karena pada stenosis terdapat penghalang yang terbentuk  dari  plak  pada  dinding-dinding pembuluh  darah.  Artinya,  kenaikan  nilai resistansi  aliran  terhadap  bertambahnya  tinggi stenosis  akan  sangat  besar  jika  stenosis bertambah  panjang  atau  stenosis  tersebut berada  disepanjang  pembuluh  darah.  Hasil  ini juga  sesuai  dengan  hasil  yang  diperoleh  oleh peneliti lain (Joshi et al, 2010).
Kurva  tinggi  stenosis  terhadap  resistansi aliran  untuk  beberapa  nilai  tegangan  geser diperlihatkan  dalam  Gambar  6b.  Perhitungan diambil untuk nilai n = 1, ρ = 1,05 g/cm 3 , µ = 3,5  x  10 -3 Kg/m.s,  dan L 0 =  0,5 L .  Dalam Gambar  6b  terlihat  bahwa  resistansi  aliran berkurang  apabila  tegangan  geser  bertambah. Misalnya  untuk  tegangan  geser  yang  bernilai rendah  seperti  0  Pa,  0,02  Pa  dan  0,04  Pa resistansi  alirannya  cenderung  bertambah sangat  besar  seiring  bertambahnya  ukuran stenosis. Sedangkan untuk nilai tegangan geser yang relatif besar 19,25 Pa, kenaikan resistansi aliran  terhadap  bertambahnya  ukuran  stenosis tidak  terlalu  besar.  Hal  ini  terjadi  karena tegangan  geser  membuat  pembuluh  darah menjadi  lentur  sehingga  memudahkan  darah mengalir.
Pengaruh Tinggi Stenosis terhadap
Resistansi  Aliran  untuk  Model  Fluida Hukum Kuadrat Kurva tinggi stenosis terhadap resistansi aliran untuk nilai panjang stenosis berturut-turut L 0 = 0,1 L , L 0 = 0,5 L , dan L 0 = L diperlihatkan dalam Gambar 7. Perhitungan dilakukan untuk n = 1, R 0 = 2,4 mm, ρ = 1,05 g/cm 3 , dan µ = 3,5 x 10 -3
kg/m.s.
Gambar  7.  Variasi  nilai  resistansi  aliran  ( λ )  dengan tinggi  stenosis  ( δ/R 0 )  saat τ =  19,25  Pa untuk beberapa nilai panjang stenosis ( L 0 )
Dalam  Gambar  7  terlihat  bahwa  resistansi aliran  memperlihatkan  perilaku  yang  sama untuk  model  fluida  Casson,  dimana  resistansi
aliran bertambah dengan bertambahnya ukuran (tinggi  dan  panjang)  stenosis.  Untuk  kurva dengan  panjang  stenosis  0,5  dari  panjang pembuluh,  kenaikan  resistansi  aliran  terhadap bertambahnya  tinggi  stenosis  lebih  besar dibandingkan keempat kurva yang lainnya. Hal ini  terjadi  karena  pada  stenosis  terdapat penghalang  yang  terbentuk  dari  plak  pada dinding-dinding  pembuluh  darah,  sehingga akan menghalangi aliran darah.
Gambar 8. Kurva resistansi aliran ( λ ) dengan tinggi stenosis untuk harga n yang berbeda.
Gambar  8  memperlihatkan  kurva  resistansi aliran ( λ ) dengan tinggi stenosis untuk harga n yang berbeda. Perhitungan dilakukan untuk R 0 =  2,4  mm, ρ =  1,05  g/cm 3 , µ =  3,5  ×  10 -3 kg/m.s,  dan L 0 =  0,1 L .    Terlihat  bahwa resistansi
aliran bertambah dengan bertambahnya  tinggi  stenosis,  serta  resistansi aliran  juga  bertambah  dengan  bertambahnya harga indeks n .

## KESIMPULAN
Simulasi  profil  kecepatan  aliran  darah  pada kasus  stenosis  memperlihatkan  makin  jauh posisi  stenosis  dari  sumbu  pembuluh  darah yang  berarti  juga  makin  kecil  ukuran  stenosis, makin  rendah  kecepatan  aliran,  begitupun sebaliknya.  Untuk  model  fluida Casson , diperoleh  resistansi  aliran  bertambah  dengan bertambahnya  ukuran  (tinggi  dan  panjang) stenosis. Sedangkan resistansi aliran berkurang apabila  tegangan  geser  bertambah.  Dalam model  fluida Power-law ,  resistansi  aliran bertambah  dengan  bertambahnya tinggi stenosis,  serta  resistansi  aliran  juga  bertambah dengan bertambahnya harga indeks n .

## DAFTAR PUSTAKA
Bird  R.B,  Steward  W.E  &  Lightfoot  E.N.  1960. Transport Phenomena , Wiley; New York. Joshi P, Pathak A & Joshi  BK. 2010. Modelling of arterial  stenosis and its effect  on flow of blood, International  Journal  of  Applied  Mathematics and Computation . 2 (4): 23-31.
Paquette  R,  Hiller  E  &  Munker  R.  2007.  The Myeloproliferative  Syndromes,  dalam Modern Hematology ,  Munker  R.  Hiller  E,  Glass  J  &
Paquette R (Eds). Humana Press Inc.
Rosencranz  R  &  Bogen  SA.  2006.  Clinical
Laboratory Measurement of Serum, Plasma, and Blood  Viscosity. Am  J  Clin  Pathol. 125 :  S78-
S86.
Sankar  DS  &  Hemalatha.  2006.  Pulsatile  flow  of Hershel-Bulkley fluid through stenosed arteries-
A mathematical model. International Journal of
Non-Linier Mechanics . 41 : 979-990.
Shukla  JB,  Gupta  SP  &  Parihar  RS.  1980. Biorheological  aspects  of  blood  flow  through artery  with  mild  stenosis:  Effect  of  peripheral layer. Biorheology. 17 : 403-410.
Sapna  RS.  2009.  Analysis  of  non-newtonian  fluid flow  in  a  stenosed  artery. International  Journal of Physical Science . 4 (11): 663-671.
Srivastava  LM.  1985.  Flow  of  couple  stress  fluid through  stenotic  blood  vessels. J.  Biomech , 18 :
479–85.
Tamariz  LJ,  Young  JH,  Pankow  JS,  Yeh  HC, Schmidt  MI,  Astor  B  &  Brancati  BL.  2008. Blood Viscosity and Hematocrit as Risk Factors for Type 2 Diabetes Mellitus The
Atherosclerosis  Risk  in  Communities  (ARIC)
Study. Am J Epidemiol . 168 : 1153–1160. Tu  C  &  Deville  M.  1996.  Pulsatile  flow  of  non- Newtonian  fluids  through  arterial  stenosis. J. Biomech . 29 : 899–908.
Womersley JR. 1955. Method for the Calculation of Velocity,  Rate  of  Flow  and  Viscous  Drag  in Arteries  when  the  Pressure  Gradient  is  Known.
J. Physiol . 127: 553-563.