## Solusi Persamaan Diferensial Biasa dengan Metode Runge-Kutta Orde Lima
Fardinah i
i STKIP YPUP Makassar, fardinah.fardinah@gmail.com
ABSTRAK ,  Penelitian  ini  merupakan  studi  literatur dengan  menggunakan  metode  numerik  yang  digunakan untuk  menentukan  solusi  persamaan  diferensial  biasa dengan  bentuk   y x f y , '  dengan    suatu  nilai  awal   0 0 y x y  yang diberikan.
Metode  numerik  yang  digunakan  yaitu  metode  Runge- Kutta Orde Lima. Prinsip kerja dari metode tersebut pada dasarnya  adalah  menyelesaikan  persamaan  diferensial biasa  dengan  menentukan  himpunan  titik-titik   y x ,
dimana  untuk  menentukan  sebuah  titik  maka  kita menggunakan satu titik sebelumnya. Hasil dari penelitian ini  menunjukkan  bahwa  metode  Runge-Kutta  Orde  Lima dapat  dignakan  untuk  menentukan  solusi  persamaan diferensial  biasa  dan  memiliki  tingkat  ketelitian  yang relatif tinggi
Kata Kunci: Persamaan diferensial biasa, metode Runge- Kutta, Masalah nilai awal

## 1. PENDAHULUAN
Persamaan  diferensial  merupakan  mata  kuliah yang  cukup  strategis  karena  berkaitan  dengan bagian-bagian  sentral  dalam  matematika  seperti dalam  analisis,  aljabar,  geometri  dan  bagain sental  lain  yang  akan  sangat  berperan  dalam pengenalan konsep maupun pemecahan masalah yang berkaitan dengan dunia nyata.
Solusi  persamaan  diferensial  dapat  ditentukan dengan menggunakan dua metode  yaitu metode analitik  dan  metode  numerik.    Metode  analitik memberikan  solusi  sejati  yaitu  solusi  yang memiliki  galat  (error)  sama  dengan  nol sedangkan  dengan  metode  numerik kita memperoleh  solusi  yang  menghampiri  solusi sejati.  Namun  solusi  hampiran  dapat  dibuat seteliti yang kita inginkan.
Sayangnya, metode analitik hanya unggul untuk sejumlah persoalan yang terbatas, yaitu persoalan  yang  memiliki  tafsiran  geometri sederhana. Bila metode analitik tidak dapat lagi diterapkan,  maka  solusi  persoalan  dapat  dicari dengan  menggunakan  metode  numerik.  Metode
tersebut  diantaranya  adalah  metode  Euler, metode Deret Taylor, dan metode Runge-Kutta.
Metode  Runge-Kutta  merupakan  metode  yang lebih  praktis  dari  pada  metode  deret  Taylor karena    dengan  metode  Runge-Kutta  kita  tidak perlu  mencari  turunan  fungsi  yang  lebih  tinggi. Kita  hanya  mengevaluasi  fungsi  pada  titik terpilih untuk setiap selang langkah. Sedangkan dari  segi  ketelitian,  hasil  yang  diperoleh  dari metode  Runge-Kutta  lebih  teliti  dibandingkan metode Euler. Tingkat ketelitian dari metode ini dipengaruhi  oleh  ordenya.  Semakin  besar ordenya  maka  semakin  teliti  hasil  yang diperoleh..

## 2. TINJAUAN PUSTAKA
Metode  Runge-Kutta  Orde  Lima  merupakan metode numerik yang digunakan untuk menyelesaikan  masalah  persamaan  diferensial yang berbentuk masalah nilai awal.
Masalahnilaiawaladalahpersamaandiferensial yang berkaitandengannilaiawal (nilaiawaladalahsyaratbatas  di  satutitik)yang berbentuk   y x f y , '  dengan sebuah nilai awal
  0 0 y x y  , dengan fungsi f bergantung pada x dan y , (Talib, 2003:4)
Pada  umumnya  metode  numerik  diturunkan berdasarkan  penghampiran  fungsi  ke  dalam bentuk  polinom.  Alat  utama  untuk  membuat polinom hampiran adalah Deret Taylor.Misalkan f kontinu  pada  selang  tertutup   b a , dan      , , 2 1 f f menyatakan  turunan  pertama, kedua,  dan  seterusnya  yang  juga  kontinu  pada selang tersebut. Misalkan  r x   b a , , maka untuk nilai
1  r x disekitar r x dengan   1 r x   b a , ,   1  r x f dengan
n r , , 2 , 1 , 0   dapat  diperluas (diekspansi)  ke  dalam  deret  Taylor  sebagai berikut:

##     
                              r n n r r r r r r r r r r x f n x x x f x x x f x x x f x f ! ! 2 ! 1 1 2 2 1 1 1 1 Jika  dimisalkan h x x r r    1 ,  maka   1  r x f dapat juga ditulis sebagai berikut:
                       r n n r r r r x f n h x f h x f h x f x f ! ! 2 ! 1 2 2 1 1
Selanjutnya jika   1 1
   r r y x f maka deret Taylor tersebut dapat ditulis:
                   r n n r r r r x f n h x f h x f h y y ! ! 2 ! 1 2 2 1 1

## (Paduppai, 2006:3-4)
Ketelitian  suatu  metode  numerik  diselidiki dengan  cara  menentukan  galat.  Misalkan  a menyatakan nilai dari hasil metode numerik dan a menyatakan  nilai  dari  hasil  metode  analitik, maka  galat  (ɛ)  mutlak  didefinisikan  sebagai
   a a  .(Paduppai, 2006:6)

## 3. METODOLOGI
Langkah-langkah  penentuan  solusi  persamaan diferensial dengan metode runge-kutta dilakukan sebagai  berikut:  menentukan  formula  dari Metode Runge-Kutta Orde Lima, menyelesaikan masalah nilai awal dengan Metode Runge-Kutta Orde Lima dan metode analitik serta menentukan galat Metode Runge-Kutta Orde Lima.

## 4. PEMBAHASAN
Diberikan  bentuk  umum  persamaan  metode Runge-Kutta Orde Lima yaitu:

 h k a k a k a k a k a k a y y r r 6 6 5 5 4 4 3 3 2 2 1 1 1         (4.1)
dimana:
  r r y x f k , 1 
  h k q y h p x f k r r 1 11 1 2 ,      h k q h k q y h p x f k r r 2 22 1 21 2 3 ,    
  h k q h k q h k q y h p x f k r r 3 33 2 32 1 31 3 4 ,
    
  h k q h k q h k q h k q y h p x f k r r 4 44 3 43 2 42 1 41 4 5 ,      
5 51 1 52 2 6 53 3
54 4 55 5 , r r x p h y q k h q k h k f q k h q k h q k h              dengan r r x x h    1 dan n r , , 2 , 1 , 0  
Selanjutnya  persamaan  (4.1)  disamakan  dengan deret Taylor orde enam yaitu:
                  
     2 3 4 1 2 3 4 1 5
6 5 6 , , , , 1! 2! 3! 4!
, , 5! 6! r r r r r r r r r r r r r r h h h h
y y f x y f x y f x y f x y h h f x y f x y        
Jika f fungsi sebarang, maka diperoleh:
    dx dy y f x f y x f r r       , 1     2 2 2 2 2 2 2 2 ,                 dx dy y f dx dy x y f x f y x f r r     3 3 3 2 2 3 2 3 3 3 3 3 3 ,                           dx dy y f dx dy y x y dx dy y x f x f y x f r r     2 4 4 4 4 4 3 2 2 3 4 4 4 3 4 , 4 6 4 r r f f dy y dy f x y x x y dx x y dx f dy f dy x y dx y dx                                         2 5 5 5 5 54 4 3 2 3 4 5 5 5 5 2 3 4 5 , 5 10 10 5 r r f f dy y dy f x y x x y dx x y dx f dy f dy f dy x y dx x y dx y dx                                               Dengan  mensubtitusi           5 4 3 2 1 , , , , f f f f f ke deret Taylor orde enam, diperoleh:
  2 1 2 3 2 2 2 2 2 , 2 2 6 r r r r h f f dy y y h f x y x y dx h f f dy f dy x y x dx y dx                    
            
       2 3 4 3 3 3 3 3 2 2 3
5 4 4 4 3 3 3 24 4 120 h f f dy y dy f dy x x y dx x y dx y dx h f f x x y    
                                      2 3 4 4 4 4 2 2 3 4 6 5 5 5 4 6 4 5 720 dy y dy f dy f dy dx x y dx x y dx y dx h f f dy x x y dx
                                         2 3 5 5 3 2 2 3 4 5 5 5 4 5 10 10 5 y dy f dy x y dx x y dx f dy f dy x y dx y dx 
                                             (4.2)
Selanjutnya menentukan nilai-nilai
31 22 21 11 5 4 3 2 1 6 5 4 3 2 1 , , , , , , , , , , , , , , q q q q p p p p p a a a a a a 55 54 53 52 51 44 43 42 41 33 32 , , , , , , , , , , q q q q q q q q q q q dengan  menyamakan  persamaan  (4.1)  dengan 6 5 4 3 2 1 , , , , , k k k k k k pada  deret  Taylor  persamaan (4.2).
dengan:
  r r y x f k , 1      h y x f y q h x p y x f k r r r r , , 11 1 2       
     
    3 2 21 22 2 2 2 2 1 22 11 22 2 , , , , , r r r r r r r r r r k f x y p h q f x y h q f x y h x y y p q h f x y q q f x y h x y y                 
      4 3 31 32 1 11 , , , r r r r r r k f x y p h q f x y h x y q f x y p h q y x y                
     

      33 2 21 22 2 2 2 2 1 22 11 22 2 , , , , , r r r r r r r r r r f x y h h q f x y p h y x q f x y h q f x y y y h p q h q q f x y h h x y y    
                            5 4 41 42 1 11 , , , r r r r r r k f x y p h q f x y h x y q f x y p h q y x y  
                    
    43 2 21 22 , , , , r r r r r r r r f x y h h q f x y p h y x q f x y h q f x y y y    
     
          2 2 2 2 1 22 11 22 2 44 3 , , r r r r h p q h q q f x y h h x y y q f x y p h y x  
                        31 32 2 2 2 2 32 1 32 11 2 , , , r r r r r r q f x y h q f x y h y y q p h q q f x y h x y y    
               2 2 2 2 33 33 2 32 21 2 2 2 32 22 2 , , , r r r r r r q f x y h q p h q q f x y h y x y y q q f x y h y    
       
  h h y x f y q q q h y x p q q r r           3 3 3 11 22 33 3 2 3 1 22 33 ,
      6 5 51 52 1 11 , , , r r r r r r k f x y p h q f x y h x y q f x y p h q y x y                            53 2 21 22 , , , , r r r r r r r r f x y h h q f x y p h y x
q f x y h q f x y y y        
            2 2 2 2 1 22 11 22 2 54 3 , , r r r r h p q h q q f x y h h x y y q f x y p h y x                           31 32 2 2 2 2 32 1 32 11 2 , , , r r r r r r q f x y h q f x y h y y
q p h q q f x y h x y y    
               2 2 33 33 2 2 2 2 32 21 32 22 2 2 , , , r r r r r r q f x y h q p h y x y q q f x y h q q f x y y y    
            3 3 2 3
3 33 22 1 33 22 11 2 3 55 4 , , r r r r h q q p h q q q f x y h h x y y q f x y p y    
         

     
2 2 41 42 42 1 2 2 42 2
, ,
, r r r r r r h q f x y h q f x y h q p h
x y y x y
q f x y h y  
                   2 2 2 2
43 43 2 43 21 2 2 43 22 2 , , , r r r r r r q f x y h q p h q q f x y h y x y y q q f x y y    
             3 3 2 3
3 43 22 1 43 22 11 2 3 44 44 , , r r r r h q q p h q q q f x y h x y y q f x y h q y    
  
 
 
      2 2 2 2 2 2
3 44 31 44 31 2 2 2 44 32 2 , , , r r r r r r p h q q f x y h q q f x y h x y y y q q f x y y            
    3 3 2 3
3 44 32 1 44 32 11 2 3 2 2 44 33 2 , , r r r r h q q p h q q q f x y h x y y q q f x y h y    
  
   
  h h y x f y q q q q h y x p q q r r          4 4 4 11 22 33 44 4 3 4 1 22 33 ,
Subtitusi nilai
6 5 4 3 2 1 , , , , , k k k k k k pada persamaan  (4.1)  dan  selanjutnya  berdasarkan persamaan (4.2) diperoleh:
1 6 5 4 3 2 1       a a a a a a 2 1 5 6 4 5 3 4 2 3 1 2      p a p a p a p a p a 2 11 3 21 3 22 4 31 4 32 5 41 5 42 5 43 5 44 6 51 6 52 a q a q a q a q a q a q a q
a q a q a q a q            2 1 55 6 54 6 53 6    q a q a q a 3 22 1 4 32 1 4 33 2 5 42 1 5 43 2 5 44 3 6 52 1 6 53 2 a q p a q p a q p a q p a q p a q p a q p a q p
        6 1 4 55 6 3 54 6   p q a p q a 3 22 11 4 32 11 4 33 21 4 33 22 5 42 11 5 43 21 5 43 22 5 44 31 a q q a q q a q q a q q a q q a q q a q q a q q    
  
5 44 32 5 44 33 6 52 11 6 53 21 6 53 22 6 54 31 6 54 32 6 54 33 a q q a q q a q q a q q a q q
a q q a q q a q q         6 1 44 55 6 43 55 6 42 55 6 41 55 6      q q a q q a q q a q q a 4 33 22 1 5 43 22 1 5 44 32 1 5 44 33 2 5 44 33 2 6 53 22 1 6 a q q p a q q p a q q p a q q p a q q p a q q p a       6 54 32 1 54 33 2 6 54 33 2 6 55 42 1 6 55 43 2 6 55 44 3 1 24 a q q p q q p a q q p a q q p a q q p a q q p      
4 33 22 11 5 43 22 11 5 44 32 11 5 44 33 21 5 44 33 22 6 54 32 11 a q q q a q q q a q q q a q q q a q q q a q q q       6 54 33 11 6 54 33 22 6 53 22 11 6 55 42 11 6 55 43 21 6 55 43 22 a q q q a q q q a q q q a q q q a q q q a q q q       24 1 33 44 55 6 32 44 55 6   q q q a q q q a 5 44 33 22 1 6 54 33 22 1 6 55 43 22 1 6 55 44 32 1 6 55 44 33 2 1 120 a q q q p a q q q p a q q q p a q q q p a q q q p    
 5 44 33 22 11 6 54 33 22 11 6 55 43 22 11 6 55 44 32 11 6 55 44 33 21 a q q q q a q q q q a q q q q a q q q q a q q q q
     120 1 22 33 44 55 6  q q q q a 720 1 1 22 33 44 55 6  p q q q q a 720 1 11 22 33 44 55 6  q q q q q a
Hasil yang diperoleh di atas menyebabkan solusi yang  tak  hingga  banyaknya,  namun  metode Runge-Kutta  Orde  Lima  yang  biasa  dipakai yaitu:
  h k k k k k y y r r 6 5 4 3 1 1 7 32 12 2 3 7 90 1       
dengan:
  r r y x f k , 1 
         1 2 4 1 , 4 1 k h y h x f k r r           2 1 3 8 1 8 1 , 4 1 k h k h y h x f k r r           3 2 4 2 1 , 2 1 k h hk y h x f k r r           4 1 5 16 9 16 3 , 4 3 k h hk y h x f k r r              5 4 3 2 1 6 7 8 7 12 7 12 7 2 7 3 , k h hk hk hk hk y h x f k r r dimana n r , , 2 , 1 , 0   dan r r x x h    1

## Simulasi
Selesaikan persamaan   2 1 1 3 3 ' y x x y y     
dengan nilai awal   0.40825 1  y dan nilai 1 , 0  h
Penyelesaian:

## Metode analitik
  2 1 1 3 3 ' y x x y y      dapat diubah menjadi
  2 1 1 3 3 y x x y dx dy      (1)   2 1 1 3 3 y x x y dx dy      : 3 y
diperoleh
  2 1 1 3 2 3        x x y dx dy y (2)
Misalkan 2   y z diperoleh dx dy y dx dz 3 2   
Maka persamaan (2) menjadi
  2 1 1 2 1 3       x x z dx dz
  3 1 1 2     x x z dx dz (3)
Misalkan uv z  diperoleh dx du v dx dv u dx dz   subtitusi pada persamaan (3) diperoleh
  3 1 1 2      x x uv dx du v dx dv u   3 1 1 2      x dx du v x uv dx dv u   3 1 1 2            x dx du v x v dx dv u (4) 0 1 2    x v dx dv maka 1 2   x v dx dv diperoleh 1 2   x dx v dv dx x dv v     1 2 1   1 ln 2 ln   x v atau   2 1 ln ln   x v diperoleh   2 1   x v
selanjutnyadaripersamaan (4) diperoleh:
 
  3 1 0    x dx du v u diperoleh   3 1   x dx du v     3 2 1 1    x dx du x   1   x dx du   dx x du 1         dx x du 1 c x x u    2 2 1
uv z  maka   2 2 1 2 1           x c x x z Karena 2   y z diperoleh
  2 2 2 1 2 1            x c x x y Subtitusi nilai awal   0.40825 1  y maka       2 2 2 1 1 1 1 2 1 40825 . 0            c   c c 4 6 2 2 3 6 2          
c 4 6 6 
 atau 0 4  c , diperoleh 0  c
Jadi  solusi  khusus  dari
  2 1 1 3 3 ' y x x y y      adalah   2 2 2 1 2 1           x x x y • Untuk 1 . 1 1 . 0 1 0 1      h x x maka
0.36469 7.51905 1   y • Untuk
2 . 1 1 . 0 1 . 1 1 2      h x x maka
0.32804 9.29280 1   y • Untuk 3 . 1 1 . 0 2 . 1 2 3      h x x maka 0.29686 11.34705 1   y • Untuk 4 . 1 1 . 0 3 . 1 3 4      h x x maka 0.27008 13.70880 1   y • Untuk 5 . 1 1 . 0 4 . 1 4 5      h x x maka 0.24689 16.40625 1   y • Untuk 6 . 1 1 . 0 5 . 1 5 6      h x x maka 0.22664 19.46880 1   y Metode Runge-Kutta Orde Lima Dari   2 1 1 3 3 ' y x x y y      diketahui     1 2 1 , 3 3      x y y x y x f Dengan menggunakan rumus:   h k k k k k y y r r 6 5 4 3 1 1 7 32 12 2 3 7 90 1       
dengan:
  r r y x f k , 1           1 2 4 1 , 4 1 k h y h x f k r r           2 1 3 8 1 8 1 , 4 1 k h k h y h x f k r r           3 2 4 2 1 , 2 1 k h hk y h x f k r r           4 1 5 16 9 16 3 , 4 3 k h hk y h x f k r r              5 4 3 2 1 6 7 8 7 12 7 12 7 2 7 3 , k h hk hk hk hk y h x f k r r
Dengan nilai n r , , 2 , 1 , 0   dan r r x x h    1 Untuk 0 . 1 1 1 0 1      x x x r diperoleh             1 0 0 3 3 , 1.0 , 0.40825 1.0 1 0.40825 0.40825 -0.47629 2 1.0 1 k f x y f                   2 0 0 1 1 0.1 , 0.1 -0.47629 4 4
1 1 1.0 0.1 , 0.40825 0.1 -0.47629 4 4 k f x y f           
                 3 3 1.02500 , 0.39634 1.02500 1 0.39634 0.39634 -0.45422 2 1.02500 1 f    
           0 0 3 1 1
0.1 , 0.1 -0.47629 4 8 1 0.1 -0.45422 8 x y k f
                         1 1 1.0 0.1 , 0.40825 0.1
4 8 1 -0.47629
0.1 -0.45422 8 f                
          3 3 1.02500 , 0.39662
1.02500 1 0.39662 0.39662
2 1.02500 1 f 
    
-0.45490 0.19586 - -0.25904  
        0 0 4 1 1 0.1 , 0.1 -0.45422 2 2 0.1 -0.45490 x y k f                   
   1 1 1.0 0.1 , 0.40825 0.1 -0.45422 2 2 0.1 -0.45490 f    
                    3 3 1.05000 , 0.38547
1.05000 1 0.38547 0.38547
2 1.05000 1 f     
 -0.43475 0.18803 - -0.24672  
                  0.43475 - 1 . 0 16 9 0.47629 - 1 . 0 16 3 , 1 . 0 4 3 0 0 5 y x f k
   
     3 3 1.0 0.1 , 0.40825 0.1
4 16
9 -0.47629
0.1 -0.43475 16 f                           3 3 1.07500 , 0.39272
1.07500 1 0.39272 0.39272
2 1.07500 1
f      
-0.45984 0.18926 - -0.27057 

                0 0
6 3 2 12 0.1, 0.1 -0.47629 0.1 -0.45422 0.1 7 7 7 12 8 -0.45490 0.1 -0.43475 0.1 -0.45984 7 7 x y k f               

                 3 2 12 1.0 0.1, 0.40825 0.1 -0.47629 0.1 -0.45422 0.1 -0.4549 0 12 8 0.1 -0.43475 0.1 -0.45984 7 7 7 7 7 f               
          3 3 1.10000 , 0.35968 1.10000 1 0.35968 0.35968 2 1.10000 1 f      
-0.38673 0.17127 - -0.21546   Jadi   h k k k k k y y y 6 5 4 3 1 0 1 1 0 7 32 12 2 3 7 90 1         0.36322 0.04503 - 40825 . 0 

## 
Dengan  cara  yang  sama  diperoleh  hasil  seperti dalam tabel 4.1.
Tabel 4.1 Hasil metode Runge-Kutta Orde Lima
r x Hasil analitik R-K orde lima galat R-K 1 1.0 0.40825 - - 2 1.1 0.36469 0.36322 0.00147 3 1.2 0.32804 0.32573 0.00231 4 1.3 0.29686 0.29410 0.00276 5 1.4 0.27008 0.26710 0.00298 6 1.5 0.24689 0.24383 0.00306 7 1.6 0.22664 0.22360 0.00304
Dari  tabel  di  atas  dapat  dilihat  bahwa  metode Runge-Kutta  Orde  Lima  memiliki  galat  yang relatif  kecil  yang  menunjukkan  bahwa  tingkat ketelitian metode Runge-Kutta Orde Lima tinggi.

## 5. KESIMPULAN
Dari uraian pembahasan tersebut, dapat simpulkan bawah
1. Untuk  menyelesaikan  solusi  persamaan diferensial biasa, rumus untuk metode Runge- Kutta Orde Lima yang biasa dipakai adalah:
  h k k k k k y y r r 6 5 4 3 1 1 7 32 12 2 3 7 90 1       
dengan:
  r r y x f k , 1 
         1 2 4 1 , 4 1 k h y h x f k r r           2 1 3 8 1 8 1 , 4 1 k h k h y h x f k r r           3 2 4 2 1 , 2 1 k h hk y h x f k r r           4 1 5 16 9 16 3 , 4 3 k h hk y h x f k r r 1 2 3 6 4 5 3 2 12 , 7 7 7 12 8
7 7 r r x h y hk hk hk k f
hk h k
 
                
dengan r r x x h    1 dan n r , , 2 , 1 , 0  
2. Solusi  persamaan  diferensial  biasa  dengan menggunakan  metode  Runge-Kutta  Orde Lima memiliki tingkat ketelitian yang tinggi.

## 6. DAFTAR PUSTAKA
Fachruddin,  Imam.  MetodeNumerik  1.  http:  //is.its-sby. edu/ subjects/ numerical
_methods /Irfan_Metode_Numerik.pdf.  (diakses  tanggal  4 Juni 2009).

## Fardinah.  2009.  Skipsi  Solusi  Persamaan
Diferensial  Biasa  Dengan  Metode  Runge- Kutta  Orde  Lima  Dan  Metode  Euler. Makassar:  Jurusan  Matematika  Fakultas Matematika  dan  Ilmu  Pengetahuan  Alam Universitas Negeri Makassar.
Finizio  N  &  Ladas  G.  1988.  Persamaan Diferensial Biasa dengan Penerapan
Moderen. Jakarta: Erlangga.
Gunawan,  Hendra.  Analisis  Numerik  Lanjut.  http:
//personal. fmipa.itb. ac.id
/hgunawan/files/2007/11.  (diakses  tanggal  4  juni 2009).
Paduppai,  Darwing.  2004.  Metode  Numerik. Makassar:  Jurusan  Matematika  Fakultas Matematika  dan  Ilmu  Pengetahuan  Alam Universitas Negeri Makassar.
Santosa,  Widiarti  dan  Pamuntjak  R.J.  1994.
Persamaan  Diferensial  Biasa.  Jakarta: Departemen  Pendidikan  dan  Kebudayaan, Direktorat Jenderal Pendidikan Tinggi.
Talib,  Ahmad.  2004.  Masalah  Syarat  Batas.
Jurusan Matematika FMIPA UNM.
Wahyuddin.  1987.  Metode  Analisis  Numerik. Bandung: Tarsito.