## Journal of Medives : Journal of Mathematics Education IKIP Veteran Semarang
Volume 4, No. 2, 2020, pp. 295-309
https://doi.org/10.31331/medivesveteran.v4i2.1068

## Performa Mahasiswa dalam Menjawab Permasalahan Graf pada Mata Kuliah Matematika Diskrit
Andrea Arifsyah Nasution 1* , Asrin Lubis 2 , Muliawan Firdaus 3
1,2,3 Universita s Negeri  Meda n *a ndrea 86@unimed.ac.id
Diterima : Ja nua ri 2020. Disetujui: April  2020. Dipublika sika n: Juli  2020.

## ABSTRAK
Jenis penelitia n ya ng dila ksa na kan da lam a rtikel ini a da la h a dala h deskriptif ya ng bertujuan untuk memberika n ga mba ra n tenta ng kema mpuan  a wal berna la r ma tematika  mahasiswa, khususnya  Universita s  Negeri  Meda n, pa da  ma ta  kulia h ma tema tika  diskrit.  Subjek pada penelitia n  ini  a da la h ma hasiswa  semester  IV  pa da  progra m studi  pendidika n ma tematika ta hun a ka demik 2016/2017 ya ng berjumla h 45 ora ng. Pengumpula n da ta  pa da penelitia n ini dila kuka n denga n ca ra  memberika n pretest kepa da ma hasiswa  denga n wa ktu 15 menit dan wa wa nca ra .  Wa wa nca ra   dila kuka n  denga n  tujua n  menda pa tkan  informa si  mengenai ba ga ima na ma hasiswa  menyelesa ika n perma sala h ya ng disa jika n.  Ha sil  da ri  pretest  dan wa wa nca ra  dija dika n ba han untuk menja wab ma sala h utama pa da pen elitia n ini.  Da la m ha l ini,  temua n penelitia n mengemukakan bahwa kemampuan awa l ma hasiswa  pa da umumnya belum  da pa t  memba ntu  mereka   memeca hkan  ma sa la h-masala h  gra f  ba hka n  seba gian ma ha siswa   tida k  da pa t  menyelesa ika n  perta nya an-pertanyaan  ya ng  disa jika n.  Da lam meyelesa ika n perma sa la han  yang diberika n,  bebera pa  ma ha siswa  cenderung  mela kukan metode trial and error , seda ngka n ya ng la innya  mengguna kan penjabara n penjabara n dengan ka ta -kata a taupun ga mbar.
Kata  kunci: a na lisis  kema mpuan a wa l,  kema mpuan  berna lar  ( reasoning  skills ),  gra f, ma tematika diskrit.

## ABSTRACT
This paper attempts to descibe descriptively towards a study which is conducted to provide an overview about college students’ initial reasoning skills, especially Universitas Negeri Medan, at Discrete Mathematics course. The implementation of this study involves 45 fourth- semester students of mathematics education program as the research subject. The data was collected by giving fifteen-minute pretest and conducting interview with the students.  The interview aimed to acquire the information abo ut how the students deal with the problems. The  results of pretest and interview were laterly used to answer the main question of this study. In this case, the findings of this study show that the students’ initial understanding is not adequate to solve the problems about graph and some students leave the worksheet with no answer. In order to deal with the problems, students come up with trial and error method and others attempt to solve the problems with word description and pictures.
Keywords: initial understanding analysis, reasoning skills, graph, discrete mathematics.
How  to  Cite: Na sution A.  A.,  Lubis,  A.,  &  Firda us,  M.  (2020). Performa  Ma ha siswa  da la m Menjawab Perma sa la han Gra f pa da  Ma ta Kulia h Ma tema tika  Diskrit. Journal of Medives: Journal of Mathematics Education IKIP Veteran Semarang , 4 (2), 295-309.

## PENDAHULUAN
Dalam  sistem  pendidikan di Indo- nesia,  kemampuan  bernalaran  sudah menjadi  tajuk  utama  dari  kegiatan bermatematika  yang  dilakukan  dari mulai  sejak  siswa  duduk  dibangku Sekolah Dasar (SD) sampai di Perguruan Tinggi  (Depdiknas  2006).  Hal  ini  telah dinyatakan  secara eksplisit dalam kurikulum  sekolah tingkat dasar ataupun menengah  yakni agar  siswa mempunyai kompetensi  matematika  dalam  bentuk keterampilan  menyusun  bukti  secara induktif.  Pada  jenjang selanjutnya (SMA),  siswa  tidak  hanya  diharapkan dapat  menyusun  pembuktian  secara induktif,  tetapi  juga  mampu  meyusun bukti  secara  deduktif. Artinya,  kemam- puan  bernalar  bukanlah  suatu  hal  yang baru dalam dunia pendidikan.
Pada dasarnya, kemampuan berna- lar  dapat diartikan  sebagai  suatu proses pengambilan keputusan atau dugaan dari sebuah  informasi  yang  diterima  (Loh- man  &  Lakin,  2009).  Sementara  itu, Suriasumantri  (1999)  mengemukakan bahwa bernalar  adalah suatu proses ber- pikir  dalam menarik  sebuah kesimpulan yang berupa informasi atau pengetahuan dan  memiliki karakteristik  tertentu dalam  menemukan  kebenaran.  Dalam hal ini,  proses berpikir  tersebut haruslah dilakukan  dengan  cara  yang  benar supaya  pengetahuan  ataupun  informasi yang  dihasilkan  dari  penalaran  tersebut memilki  dasar kebenaran  yang kuat dan penarikan kesimpulan yang baru tersebut dianggap  valid  atau  sah  (Mikrayanti, 2016). Dari berbagai pernyataan-pernya- taan di atas, kemampuan  bernalar  meru- pakan  kemampuan  seseorang  untuk menarik  konklusi  atau kesimpulan  yang
tepat menurut fakta-fakta dengan meng- gunakan aturan-aturan tertentu.
Oleh karena  penalaran  merupakan hasil  dari  suatu  proses  berpikir,  maka kemampuan  bernalar  tersebut  memiliki karakteristik-karakteristik  dasar,  yaitu: adanya  suatu  pola  berpikir  logis  yang merupakan  kegiatan  berpikir  menurut pola,  alur  dan kerangka  tertentu ( frame of  logic )  dan  kedua,  adanya  proses berpikir  analitik yang merupakan konse- kuensi dari adanya pola berpikir analisis- sintesis  berdasarkan  langkah-langkah tertentu (diambil dari Sa’adah, 2010).
Dalam  ilmu  matematika,  kemam- puan bernalar terdiri dari 2 macam, yaitu kemampuan  bernalar  yang  bersifat  de- duktif  dan  kemampuan  bernalar  yang induktif  (diambil  dari  Sa’adah,  2010). Sa’adah  (2010)  mengatakan  bahwa penalaran  deduktif  merupakan  cara berpikir  dimana  dari  pernyataan  umum ditarik kesimpulan  yang bersifat khusus, penarikan  kesimpulan  menggunakan silogisme  (konstruksi  penalaran).  Se- mentara  itu,  silogisme  terdiri  atas kalimat-kalimat  pernyataan  yang  dalam logika/penalaran disebut proposisi. Proposisi-proposisi  yang  menjadi  dasar penyimpulan  disebut premis,  sedangkan kesimpulannya  disebut  konklusi.  Silo- gisme berfungsi sebagai proses pembuk- tian benar-salahnya suatu pendapat, tesis atau  hipotesis  tentang masalah  tertentu. Deduksi berpangkal  dari suatu pendapat umum  berupa  teori, hukum  atau kaedah dalam  menyusun suatu  penjelasan tentang  suatu  kejadian  khusus  atau dalam  menarik  kesimpulan,  seperti halnya di perguruan tinggi.
Proses penalaran  matematika pada tingkat perguruan tinggi bentuknya lebih
formal  dan  lebih  akurat  dibandingkan dengan yang telah  dilakukan di sekolah dasar  dan  sekolah  menengah  (Lee, 2004), yaitu dengan menggunakan meto- de deduktif, seperti implikasi, kontradik- si,  kontraposisi,  atau  bukti  secara  lang- sung.  Proses  tersebut sangat  sulit  sekali dipahami  oleh  mahasiswa  yang  menun- jukkan bahwa kemampuan  bernalar  me- merlukan  perhatian khusus  dan menjadi komponen  kunci  dalam  proses  pembe- lajaran (Supianti & Sari, 2016), misalnya pada mata kuliah Matematika diskrit.
Menurut Susanna  (2010),  “ mathe- matics  discrete  describes  the  processes that  consist  of  a  sequence  of  individual steps ”.  Untuk  itu,  matematika  diskrit memerlukan  banyak  penalaran  yang merupakan  proses  yang  terdiri  dari algoritma-algoritma  pemecahan  masa- lah.  Garis  besar  dalam  matematika diskrit  adalah  logika  dan  pembuktian ( logic  and  proof ),  struktur-struktur  dis- krit ( discrete  structures ),  kombinatorika ( combinatorics )  dan peluang diskrit ( dis- crete  probability ),  algoritma-algorit ma ( algorithms )  dan analisisnya,  serta  apli- kasi  ( applications )  dan pemodelan  ( mo- delling )  (Susanna,  2010).  Hal  ini  yang menyebabkan  matematika  diskrit  meru- pakan  mata  kuliah  yang  menuntut mahasiswa  untuk  bernalar  (Lubis  dkk, 2016).  Di  samping  itu,  matematika diskrit  merupakan  salah  satu  subjek dalam  ilmu  matematika  yang  memiliki aplikasi  dan  ranah  implementasi  yang luas  (Lubis  &  Nasution,  2017)  dan dijadikan sebagai  salah satu mata kuliah matematika  terapan.  Sebagai  salah  satu mata kuliah matematika analisis  terapan, konsep-konsep  yang  terkandung  di dalamnya  pada  umumnya  merupakan
definisi, teorema-teorema  yang  tersusun secara  hierarkis  yang  dapat  diterapkan dalam  bentuk  algoritma  (Rosen,  2012) yang dapat diterapkan dan diaplikasikan dalam kehidupan sehari-hari.  Salah satu contohnya  adalah  pemetaan  arus  lalu lintas di jalan-jalan  perkotaan sedemiki- an  sehingga  tidak  terjadi  kemacetan. Untuk memahami  kondisi  ini,  mahasis- wa  harus  dipersiapkan  untuk  memiliki kompetensi  dalam  matematika  diskrit, termasuk juga mahasiswa Program Studi Pendidikan  Matematika,  Universitas Negeri Medan.
Salah  satu  pokok  bahasan  dalam mata  kuliah  matematika  diskrit  yang memerlukan  banyak  penalaran  adalah graf  (Krantz,  2009).  Pada  kurikulum pendidikan  tingkat  tinggi  di  Unimed, materi  graf  itu  sendiri  dikemas  secara khusus  dalam  satu  mata  kuliah  yang wajib  ditempuh oleh  mahasiswa  di pro- gram studi pendidikan matematika (lihat Tabel  1).  Materi  graf  tersebut disajikan kepada mahasiswa  secara  komprehensif dan mendalam (Sopamena, 2012).
Walaupun  beberapa  studi  telah dilakukan untuk mendukung mahasiswa dalam  belajar  graf,  akan  tetapi  masih banyak mahasiswa  merasa  kesulitan  da- lam  memahami  makna  dari mata kuliah matematika  diskrit  (Lubis  &  Nasution, 2017). Salah satu faktor yang menyebab- kannya  adalah  performa  dosen  dalam mengajar  mata  kuliah  tersebut  di kelas. Biasanya  proses  pembelajaran  di  kelas dilakukan dalam bentuk metode ceramah di mana dosen menjelaskan dan mahasis- wa cenderung mendengarkan penjelasan dosen. Akibatnya,  kemampuan  bernalar mahasiswa  tidak  berkembang  (Wijaya dkk, 2014).
Ta bel 1. Kurikulum Pokok Ba ha sa n Gra f (Lubis dkk, 2016) Standar Kompetensi Kompetensi  Dasar 1. Teori Gra f  1.1. Pengertia n Gra f
1.2. Terminologi  Gra f
1.3. Penya jia n Gra f
1.4. Jenis-jenis  Gra f
1.5. Sub Gra f
1.6. Opera si Gra f
1.7. Gra f Isomorfik 2. Gra f Bera ra h 2.1. Pengertia n Gra f Bera ra h 2.2. Terminologi  Gra f Bera ra h 2.3. Penya jia n Gra f Bera ra h 2.4. Jenis Gra f Bera ra h 3. Linta sa n da n Sirkuit 3.1. Pengertia n Linta sa n da n Sirkuit 3.2. Gra f Terhubung
3.3. Gra f Bera ra h Terhubung
3.4. Linta sa n da n Isomorfisma 3.5. Menghitung Linta sa n di a nta ra  simpul 4. Linta sa n Euler da n Ha milton 4.1. Linta sa n da n Sirkuit Euler 4.2. Linta sa n da n Sirkuit Ha milton 4.3. Ma sa la h Linta sa n Terpendek 5. Pohon 5.1. Pohon Renta ng ( Spanning Tree ) 5.2. Pohon Bera ka r
5.3. Pohon Jumla h
5.4. Pohon Jumla h Minima l
5.5. Pohon Biner 6. Gra f Pla na r 6.1. Pengertia n Gra f pla na r 6.2. Aplika si  Gra f Pla na r 6.3. Formula  Euler
6.4. Teorema  Kura towski 7. Pewa rnaan Gra f 7.1. Pengertia n Pewa rna a n Gra f 7.2. Aplika si  Pewa rna a n

## Gra f
Mengembangkan  penalaran maha- siswa  mengenai  pokok  bahasan  graf tidak  lepas  dari  pengalaman  belajar mereka  sebelumnya  (Nasution &  Lubis,
2017). Artinya, kemampuan awal maha- siswa  pada  saat  awal  pembelajaran sangat  berperan  aktif  dalam  perkem- bangan penalaran mereka. Hal ini sejalan dengan hasil  studi yang  dilakukan  oleh Widayat dkk (2019)  yang  mengemuka- kan bahwa salah satu faktor yang sangat mungkin  mempengaruhi  prestasi  maha- siswa  dalam  pembelajaran  adalah  ke- mampuan  awal  mahasiswa  itu  sendiri. Oleh karena itu, mengetahui kemampuan awal ( starting  point ) mahasiswa dan me- numbuhkembangkan kemampuan berna- lar  mereka  dipandang sebagai  suatu hal yang  sangat  penting  dilakukan  oleh dosen  ketika  melaksanakan  aktivitas pembelajaran  di  kelas  (Nasution  & Lubis, 2017).
Menurut  Sutrisno  (1993)  menge- mukakan  bahwa  kemampuan  awal ( starting point ) mengidentifikasikan pengetahuan  alam  dan  keterampilan yang relavan termasuk di dalamnya lain- lain  latar belakang  informasi  karakteris- tik peserta didik yang telah ia miliki  pada saat  akan  memulai  mengikuti  suatu program  pengajaran.  Di  samping  itu, Sumantri  (2015),  kemampuan  awal belajar  dapat dikatakan sebagai pengeta- huan  ataupun  keterampilan  yang  telah dimiliki oleh mahasiswa sehingga mereka  dapat  mengikuti  proses  belajar matematika dengan baik, termasuk mata kuliah matematika diskrit.
Dalam  informasi  tentang  kemam- puan  awal  mahasiswa  dalam  menyele- saikan  permasalahan  (Nasution & Luki- to,  2015;  Nasution  dkk.,  2014),  dapat membantu  dosen  dalam  mendesain aktivitas  pembelajaran yang  dapat mendukung  kemampuan mahasiswa dalam  belajar  mata  kuliah  matematika
diskrit. Untuk itu, penelititan  ini  dilaku- kan dengan tujuan untuk mengeksplorasi secara  deskriptif mengenai  kemampuan awal penalaran mahasiswa dalam menyelesaikan  permasalahan  tentang graf di Jurusan  Matematika, Universitas Negeri Medan.
Berdasarkan latar belakang peneli- tian di atas, maka rumusan masalah yang dibahas  dalam  penelitian  ini  adalah “Bagaimana  kemampuan  bernalar  mate- matika  mahasiswa  pada pokok  bahasan graf pada mata kuliah matematika diskrit di  Program  Studi  Pendidikan  matema- tika Universitas Negeri Medan?”

## METODE PENELITIAN Subjek Penelitian
Berdasarkan  kurikulum  di  pergu- ruan  tinggi,  mahasiswa  akan  menerima materi  pembelajaran secara  formal mengenai  matematika  tingkat  lanjut ketika  mereka  duduk  di  Perguruan Tinggi  (Kementrian  Riset,  Teknologi dan Pendidikan Tinggi, 2017), termasuk matematika  diskrit.  Oleh  karena  itu, penelitian  ini  dilaksanakan  di  jurusan matematika,  Universitas  Negeri  Medan, yang  terletak  di  kota  Medan.  Selama melaksanakan  penelitian  ini,  45  orang mahasiswa  semester  IV  Program  Studi Pendidikan  Matematika  yang  mengam- bil  mata  kuliah  matematika  diskrit dilibatkan  sebagai  subjek  penelitian.  Di samping  itu,  dosen  yang  mengimple- mentasikan  penelitian  ini  juga  diikut- sertakan.

## Pengambilan Data
Untuk  mendapatkan  data  menge- nai  bagaimana  mahasiswa  menyelesai- kan permasalahan  tentang graf, pengam-
bilan  data  dilakukan  dengan  berbagai cara  yang  dalam  hal  ini  disebut  “ Data Triangulation ”  (Bakker  &  Van  Eerde, 2013;  Nasution  &  Lukito,  2015).  Arti- nya,  data  diperoleh  melalui  rekaman video,  lembar  kerja  ( students’  work- sheet ),  wawancara  ( interview )  dengan mahasiswa,  dan catatan  lapangan  ( field note ).  Dalam  penelitian  ini,  rekaman video  berperan  penting  untuk merekam proses  wawancara  dan  segala  aktivitas selama  proses  belajar  dan  mengajar berlangsung.  Selama  kegiatan  belajar dan mengajar  berjalan,  semua  pekerjaan dan kegiatana mahasiswa direkam untuk kemudian  dianalisis  pada  tahapann retrospective  analysis.
Setelah  dilakukan pretest ,  lembar jawaban siswa dikelompokkan berdasar- kan  jawaban  yang  sejenis  atau  cara menyelesaikan permasalahan yang serupa.  Misalnya,  jawaban  mahasiswa dengan menyelesaikan  secara  deskriptif ( word  description )  ataupun  kesalahan yang  sama.  Setelah  jawaban  dikelom- pokkan,  kegiatan  selanjutnya  adalah melakukan interview dengan mahasiswa berdasarkan hasil pretest yang diperoleh. Untuk  mendapatkan  data  tentang bagaimana  mahasiswa  menyelesaikan permasalahan  graf,  wawancara  ( inter- view )  dilakukan  kepada  mahasiswa secara langsung. Dalam studi melakukan awal  ini, interview dilakukan  pada dasarnya dengan tujuan untuk mendapat- kan  informasi  bagaimana  mahasiswa menyelesaikan permasalahan graf.
Dalam hal ini, wawancara  tidak
dilakukan  terhadap  semua  mahasiswa; akan tetapi proses wawancara dilakukan terhadap  sebagian  mahasiswa  yang jawaban mereka perlu dieksplorasi  lebih
lanjut.  Misalnya  mahasiswa  mengguna- kan  gambar  ataupun  tabel  dalam menyelesaikan  masalah  yang  disajikan. Mereka  diminta  untuk  menjelaskan langkah-langkah  pemecahan  yang  dila- kukan dan bagaimana mereka mendapat- kan  atau  menarik  kesimpulan  untuk menentukan  solusi  dari  permasalahan graf tersebut. Sedangkan catatan lapang- an  ( field  note )  digunakan untuk menda- patkan  informasi tentang  aktivitas mahasiswa  yang  tidak  dapat  direkam oleh kamera.

## Permasalahan
Pada  waktu  pelaksanaan pretest , mahasiswa disajikan tiga buah pertanya- an yang berkaitan dengan graf. Pertanya- an-pertanyaan  tersebut  didesain  dengan tujuan  mendapatkan  data  mengenai bagaimana  mahasiswa  menggunakan kemampuan  awal  penalaran  mereka dalam  memecahkan masalah graf. Mahasiswa  diminta  untuk  menyelesai- kan pertanyaan-pertanyaan di bawah ini.
1. Diberikan  sebuah  graf  G  yang  merupakan graf  komplit  dengan  28  sisi.  Menurut pendapat kamu,  berapakah banyaknya titik (simpul) di G!
2. Perhatikan gambar di bawah ini!
Menurut  pendapat  kamu,  apakah  kedua graph berikut ini saling isomorfis? jelaskan!
3. Diberikan  denah  suatu  rumah  sebagai berikut.
Berapa banyak cara seseorang untuk mema - suki  rumah  dari  ruang  A,  melewati  setiap ruang tepat satu kali dan keluar rumah dari ruang H?

## Alternatif Penyelesaian

## Permasalahan Pertama
Permasalahan  ini  didesain  untuk mengetahui  kemampuan  awal penalaran mahasiswa  tentang  graf,  khususnya aplikasi graf komplit. Di sini, mahasiswa diberikan permasalahan  untuk menentu- kan  banyaknya  simpul  yang  ada  jika sebuah  graf  komplit  memiliki  sisi sebanyak 28 buah.
Untuk menyelesaikan  permasalah- an  tersebut,  mahasiswa  harus  mengerti pengertian dari graf komplit. Karena graf komplit  merupakan  graf  sederhana dimana setiap simpul  saling  berdekatan, maka  banyaknya  jalur  dapat ditentukan dengan menggunakan deret barisan.
(𝑛 − 1) + (𝑛 − 2) + (𝑛 − 3) + (𝑛 − 4) + (𝑛 − 5) + (𝑛 − 6) + (𝑛 − 7) + (𝑛 − 8) = 𝐽𝑢𝑚𝑙𝑎ℎ 𝑆𝑖𝑚𝑝𝑢𝑙 8𝑛 − 36 = 28 8𝑛 = 28 + 36 8𝑛 = 64 𝑛 = 8 Maka,  graf  komplit  yang  sisinya berjumlah  28 buah memiliki  8 simpul.

## Permasalahan Kedua
Pertanyaan  ini  disajikan  kepada mahasiswa dengan tujuan untuk menguji
kemampuan  awal  penalaran  mahasiswa mengenai  graf  dan  sifat-sifat  isomorfis dua buah graf. Dalam hal ini, pertanyaan ini ditujukan untuk mendapatkan informasi  mengenai  apakah  mahasiswa telah memiliki  pemahaman tentang topik tersebut atau tidak.
Untuk  menjawab  pertanyaan  ini, mahasiswa  dapat  memulainya dari definisi dari graf dan isomorfis dua buah graf.  Graf  merupakan  struktur  diskrit yang  terdiri  atas  simpul  dan  sisi  yang menghubungkan  simpul-simpul  tersebut (Rosen, 2012). Sedangkan dua buah graf dikatakan isomorfik  jika  terdapat fungsi onto  satu-satu f dari  V 1 ke  V 2 dengan sifat bahwa a dan b berdekatan pada graf pertama (G 1 ), jika dan hanya jika f(a) dan f(b) juga  berdekatan di graf kedua (G 2 ), untuk semua  a  dan b  di V 1 (Lubis  dkk, 2017).
Kedua graf di atas adalah dua buah graf yang  isomorfik.  Untuk mengetahui keisomorfikan  kedua  graf  tersebut, pekerjaan  pertama  adalah  memetakan setiap  simpul  pada graf  G 1 ke  graf  G 2 , sedemikian sehingga simpul-simpul yang  berdekatan  pada  graf  G 1 maka petanya juga berdekatan di G 2 . Pemetaan tersebut didefinisikan dengan f ( v 1 )  = x 1 , f ( v 2 ) = x 3 , f ( v 3 ) = x 6 , f ( v 4 ) = x 2 , f ( v 5 ) = x 4 , f ( v 6 ) = x 5 . Hasil pemetaan tersebut dapat diuraikan sebagai berikut.
1. Simpul v 1 berdekatan  dengan simpul-simpul v 4 , v 5 ,  dan v 6 pada graf G 1 , maka x 1 berdekatan dengan x 2 , x 4 ,  dan x 5 (petanya  juga  saling berdekatan) di graf G 2 .
2. Simpul v 2 berdekatan  dengan simpul-simpul v 4 , v 5 ,  dan v 6 pada graf G 1 , maka x 3 berdekatan dengan x 2 , x 4 , dan x 5 di graf G 2 .
3. Simpul v 3 berdekatan  dengan simpul-simpul v 4 , v 5 ,  dan v 6 pada graf G 1 , maka x 6 berdekatan dengan x 2 , x 4 , dan x 5 di graf G 2 .
4. Simpul v 4 berdekatan  dengan simpul-simpul v 1 , v 2 ,  dan v 3 pada graf G 1 , maka x 2 berdekatan dengan x 1 , x 3 , dan x 6 di graf G 2 .
5. Simpul v 5 berdekatan  dengan simpul-simpul v 1 , v 2 ,  dan v 3 pada graf G 1 , maka x 4 berdekatan dengan x 1 , x 3 , dan x 6 di graf G 2 .
6. Simpul v 6 berdekatan  dengan simpul-simpul v 1 , v 2 ,  dan v 3 pada graf G 1 , maka x 5 berdekatan dengan x 1 , x 3 , dan x 6 di graf G 2 . Berdasarkan  penjelasan  di  atas, dapat  dilihat  bahwa  terdapat  terdapat fungsi  onto  satu-satu f dari  V 1 ke  V 2 dengan sifat  bahwa  a  dan b  berdekatan pada graf  pertama  (G 1 ),  jika  dan hanya jika f(a) dan f(b) juga berdekatan di graf kedua (G 2 ), untuk semua  a dan b di V 1 . Atinya, graf G 1 dan G 2 merupakan  dua buah graf yang isomorfik.

## Permasalahan Ketiga
Persoalan yang ketiga desain untuk mengungkap  kemampuan  awal  penalar- an  mahasiswa  tetang  pokok  bahasan lintasan  Hamilton.  Dalam  menyelesai- kan pertanyaan yang ketiga ini, mahasiswa cukup mencari berapa banyak jalur  dari ruangan  A ke ruangan H  dimana  setiap  pintu  dilewati  hanya satu  kali.  Defenisi  yang  terkait  dengan permasalahan  ini  adalah  defenisi  dari lintasan  Hamilton.  Lubis  dkk  (2017) mengemukakan  bahwa  lintasan  Hamil- ton  merupakan  lintasan  sederhana  pada suatu graf G yang melewati setiap simpul tepat satu  kali.  Akan  tetapi,  mahasiswa
pertama-tama  harus  merepresentasikan bentuk  denah  rumah  tersebut  menjadi sebuah  graf. Gambar  1  memperlihatkan graf yang direpresentasikan oleh gambar soal nomor 3.
Ga mba r 1. Gra f Representa si Soa l Nomor 3
Untuk  menemukan banyaknya lintasan  yang  dapat dibuat dari  ruangan A  menuju  ruangan  H  di  mana  setiap ruangan  hanya  dilewati  tepat satu  kali, mahasiswa setidaknya dapat melakukan- nya dengan menggunakan  metode coba- coba ( Trial  and Error ).
Cara ini sangatlah mungkin dilakukan mahasiswa jika mereka belum ada  pengetahuan  tentang  graf.  Akan tetapi,  mereka  harus  dapat merepresen - tasikan  masalah  ( problem  situation ) ke dalam  bentuk  representasinya.  Jika  hal tersebut  dilakukan,  maka  mereka  akan menemukan  bahwa  hanya  2  cara  yang dapat  dilakukan  dari  ruang  A  menuju ruang  H  dengan melalui  setiap  ruangan hanya satu kali,  yaitu, A, B, C, E, D, F, G, H dan A, D, B, C, E, G, F, H.

## HASIL DAN PEMBAHASAN
Untuk  mendapatkan  informasi atau jawaban dari rumusan masalah pada penelitian  ini  mengenai  “ Bagaimana kemampuan awal penalaran matematika
mahasiswa  pada  pokok  bahasan  graf pada  mata kuliah  matematika  diskrit  di Program  Studi  Pendidikan  matematika Universitas  Negeri  Medan ”  kami  mem- buat  sebuah  tes  di  awal  penelitian  ini yang terdiri dari tiga buah permasalahan. Permasalahan  tersebut  dikembangkan berdasarkan  referensi  buku-buku  mate- matika  diskrit  dan  kemudian  divalidasi oleh  tiga  orang  pakar  matematika. Setelah soal  dikatakan valid oleh  ketiga validator,  selanjutnya  disajikan  kepada 45  orang  mahasiswa  Pendidikan  Mate- matika Universitas Negeri Medan dalam
bentuk pretest .
Dari  45  orang  mahasiswa  yang mengikuti pretest , hanya 18 orang (40%) yang dapat menjawab  ketiga pertanyaan tersebut  tapi  dengan  penjelasan  yang tidak  cukup.  Sedangkan  22  mahasiswa (60%)  yang  lainnya  mencoba  menyele- saikan  ketiga  pertanyaan  tersebut,  akan tetapi  jawaban  mereka  masih  belum benar.
Berdasarkan  analisis  kemampuan awal  ini,  penalaran  mahasiswa  tentang graf  dapat  dilihat  dengan  jelas.  Dalam hal  ini,  mahasiswa  menggunakan  ke- mampuan  serta  keterampilan  mereka dalam  mencari solusi  dari  setiap permasalahan. Misalnya, bagaimana mahasiswa  menyelesaikan  setiap  per- masalahan tertuang dalam Lembar Kerja (LK) mereka. Kemudian, hasil pekerjaan mahasiswa  tersebut  dianalis  dan dijadi- kan  bahan pertimbangan  untuk melaku- kan wawancara terhadap mahasiswa.

## Permasalahan Pertama
Pada pertanyaan pertama ini,  20% dari  mahasiswa  yang  mengikuti pretest dapat menentukan berapa banyak simpu l
jika  sebuah  graf komplit  yang memiliki 28 buah jalur. Dalam menentukan berapa jumlah  simpul  tersebut, pada umumnya mahasiswa  menyelesaikannya  dengan menggunakan  gambar  ( manipulatives ) dan penjabaran ( word description ).
Beberapa  mahasiswa  mengguna- kan  gambar,  akan  tetapi  mereka  men- coba  sampai  menemukan  gambar  yang sesuai  untuk  menjadi  jawaban  atas pertanyaan tersebut. Strategi mahasiswa tersebut dapat dilihat dengan jelas  pada Gambar 2.
Ga mba r 2. Stra tegi denga n Mengguna ka n Ga mba r
Gambar 2 mengilustrasikan  bagai- mana  usaha  mahasiswa  menyelesaikan permasalahan pertama. Berdasarkan hasil  pekerjaan  di  atas  dapat  dikatakan mahasiswa  tersebut  sudah  memilki pemahaman dasar mengenai graf.
Dalam  mencari  solusi  dari  per- masalahan  pertama,  mahasiswa  tersebut membuat  delapan  buah  simpul  yang kemudian  menamainya  dengan  V(G)  = {v 1 , v 2 , v 3 , v 4 , v 5 , v 6 , v 7 , v 8 } dan menamai setiap jalurnya dengan E(G) = {e 1 , e 2 , e 3 , e 4 ,  e 5 ,  e 6 ,  …  ,  e 28 ).  Di  sini,  jawaban
mahasiswa ini benar bahwa graf komplit tersebut memiliki  delapan  buah simpul. Akan  tetapi,  tidak  ada  penjelasan  yang eksplisit mengenai bagaimana dia mendapatkan  kedelapan  buah  simpul tersebut.
Di  samping  itu,  mahasiswa  yang lainnya  menyelesaikan  pertanyaan  per- tama  dengan  menggunakan  penjabaran ( word  description )  seperti  yang  terlihat di Gambar 3.
Ga mba r 3. Stra tegi denga n Mengguna ka n

## Penja ba ra n
Dari Gambar 3 dapat dilihat bahwa mahasiswa  tersebut  sudah  memiliki pengetahuan  dasar  ( standing  point ) mengenai  graf  komplit  karena  ia menuliskan  “ graf  komplit:  graf  yang semua  simpulnya  saling  terhubung ”. Akan tetapi, dalam meyelesaikan pertanyaan  pertama  ini  mahasiswa tersebut hanya menuliskan  graf G dapat digambarkan  dengan 28 sisi  dan 8 buah simpul.  Hal  sama  dengan  mahasiswa pada  Gambar  1.  Walaupun  jawaban mahasiswa  tersebut  benar,  akan  tetapi tidak  ada  penjelasan yang  cukup mengenai  bagaimana  ia  mendapatkan 8 buah simpul  tersebut. Untuk mengklari- fikasi jawaban tersebut, kami melakukan wawancara dengan mahasiswa.
Dari  Gambar  2,  Gambar  3,  dan hasil  wawancara,  dapat  disimpulkan bahwa mahasiswa  sudah ada pemaham- an  tentang  graf,  akan  tetapi  mereka masih  sulit  mengungkapkan  “mengapa”
mereka  bisa  mendapatkan  hasil  seperti itu  dan “bagaimana”  cara  mereka  men- dapatkannya. Hal  tersebut  dapat dilihat dari hasil  pekerjaan  mereka,  yaitu  tidak ada penjelasan  yang  mendalam  menge- nai jawaban yang mereka dapatkan.

## Permasalahan Kedua
Dari  45  orang  mahasiswa  yang mengikuti tes kemampuan awal ini, pada umumnya mahasiswa tidak  dapat menentukan  apakah kedua graf tersebut isomorfis  atau  tidak  dan  hanya  lima orang  mahasiswa  yang  dapat  menentu- kan  keisomorfisan  dua buah  graf,  akan tetapi  tidak  dengan alasan yang memadai. Walaupun mahasiswa tersebut dapat  menentukan  apakah  kedua  graf tersebut  isomorfik,  akan  tetapi  alasan mereka tidak  cukup  membuktikan bahawa  mereka  memiliki  pemahaman yang  baik  mengenai  topik  ini  (lihat Gambar 4).
Ga mba r 4. Ja wa ba n Ma hasiswa  denga n Penja ba ra n ( Word Description )
Pada  Gambar  4  dapat  dilihat bahwa  mahasiswa  tersebut  mencoba menjawab  pertanyaan  kedua  dengan penjabaran  kata-kata. Dalam hal  ini, dia mencoba untuk mengorelasikannya dengan defenisi isomorfis.
Langkah yang dilakukan mahasis- wa  ini  sudah  memenuhi  syarat.  Akan tetapi,  jawaban  yang  disajikan  belum benar.  Hal  ini  menunjukkan  bahwa mahasiswa  tersebut  belum  memiliki pemahaman  dan  penalaran  yang  baik terahdap  defenisi  dari  graf,  terutama tentang keisomorfisan  dua buah graf.
Dalam  hal  yang  lain,  kami menemukan  juga  ada  mahasiswa  yang menjawab  pertanyaan  dengan salah  dan penjelasan yang tidak benar. Contoh dari kasus ini dapat dilihat pada Gambar 5.
Ga mba r 5. Miskonsepsi Ma ha siswa  Mengena i

## Gra f
Pada  Gambar  5,  dapat  dilihat bahwa  jawaban  mahasiswa  tersebut tidak  benar  dengan  mengatakan  bahwa kedua  graf  tidak  isomorfik.  Alasanya mahasiswa  tersebut  mengatakan  bahwa kedua graf tidak isomorfik  adalah kedua graf  itu  tidak memiliki  graf  dasar  yang sama. Alasan tersebut bukanlah merupa- kan  penentu  bahwa  dua  buah  graf dikatakan isomorfik.
Dari  Gambar  4  dan  Gambar  5, dapat  disimpulkan  bahwa  contoh  hasil kerja  mahasiswa  menunjukkan  mereka belum  memiliki  pemahaman  yang  baik mengenai  graf,  khususnya  sifat isomor-
fisme  dari  graf  tersebut.  Mereka  sudah memiliki  langkah  awal  yang baik,  yaitu berusaha  menyingkronisasikan  antara permasalahan  dengan  defenisi  yang valid.  Hal  ini  dapat  diartikan  bahwa kesalahan  pada  jawaban  mahasiswa dikarenakan  interpretasi  dan  penalaran yang  kurang  baik  mengenai  defenisi isomorfisme  graf.

## Permasalahan Ketiga
Dalam  menyelesaikan  pertanya- an  yang  ketiga  ini,  hampir  seluruh mahasiswa tidak  bisa  memberikan jawaban  yang  benar.  Dalam  hal  ini, masih  banyak terdapat kesalahan  dalam menjawabnya.  Contoh pekerjaan  maha- siswa untuk menjawab pertanyaan ketiga ini  dapat  dilihat  pada  Gambar  6  dan Gambar 7.
Ga mba r 6. Sta rtegi Ma ha siswa  denga n Metode Menda ftar ( Listing )
Pada  Gambar  6,  dapat  kita  lihat bahwa mahasiswa  mencoba menyelesai- kan  masalah  tersebut  dengan  meng- gunakan  metode  mendaftar.  Dalam  hal ini, mendaftar yang dimaksudkan adalah menuliskan segala kemungkinan- kemungkinan  jalur  yang dapat terjadi di
mana  diawali  dari  ruangan  A  dan berakhir  di  ruangan  H  dimana  setiap ruangan hanya dilewati tepat satu kali.
Jika kita  melakukan refleksi terhadap  hasil  kerja  mahasiswa  seperti yang  ada  pada  Gambar  6,  kita  dapat melihat  bahwa  dengan  jelas  bahwa mahasiswa  tersebut  hanya  mendaftar semua kemungkinan yang dapat dilakukan  untuk  menunjukkan  bahwa ada 12 cara  yang  dapat ditempuh untuk melakukan  perjalanan  dari  ruangan  A sampai ruangan H.  Akan  tetapi, mahasiswa  tersebut  tidak  menyadari bahwa  setiap  ruangan  pada  denah tersebut  harus  dilewati  tepat  satu  kali. Oleh karena kejadian tersebut, maka dia mendapatkan  bahwa  terdapat  12  cara. Dalam hal ini,  mahasiswa  tersebut salah menerima atau menginterpretasikan informasi  yang  disajikan  di dalam  soal. Dia  tidak  memperhatikan  kondisi  atau restriksi  yang terdapat pada soal.
Di  samping  itu,  hal  yang  sama dilakukan  oleh  mahasiswa  yang  terlihat pada  Gambar  7.  Mahasiswa  tersebut melakukan  strategi  yang  sama  dengan mahasiswa  pada  Gambar  6,  yaitu  cara mendaftar.  Di  sini,  dia  mendaftarkan semua  kemungkinan-kemungkinan  jalur yang  dapat  ditempuh  oleh  seseorang dimana  berangkat  dari  ruangan  A menuju  ruangan  H  di  mana  setiap ruangan  pada  denah  tersebut  harus dilewati tepat satu kali. Dalam pekerjaan pada  Gambar  7,  terlihat  bahwa  maha- siswa  tersebut  mendapatkan  12  cara dengan cara menuliskan  jalur yang dapat dibentuk,  seperti  A,  B,  C,  E,  G,  F,  H. Pada contoh tersebut terlihat jelas bahwa ada  ruangan  yang  tidak  dilewati  tepat satu kali,  yaitu ruangan  D. Oleh  karena
itu, hal  yang  mungkin  melatarbelakangi kesenjangan ini adalah kesalahan mener- jemahkan  informasi  yang  disediakan oleh soal.
Ga mba r 7. Stra tegi Ma ha siswa  denga n Metode Menda ftar ( Listing )
Untuk  menjawab  rumusan  masa- lah  yang  telah  dipaparkan  di  atas  pada penelitian ini, kami menggunakan analisis  dari  pengumpulan  data, seperti lembar  kerja  mahasiswa  ( student’s written  work )  dan  wawancara  ( inter- view ). Artinya data mengenai kemampu- an penalaran  mahasiswa  dapat diperoleh berdasarkan  hasil  pekerjaan  dan  juga tanya  jawab  secara  langsung  dengan mahasiswa tersebut.
Pada  pembahasan  pekerjaan  ter- tulis  mahasiswa,  kami  mendapatkan bahwa ketiga pertanyaan yang disajikan membuat  mahasiswa  dapat  bernalar dengan menggunakan  kata-kata  mereka sendiri  (diilustrasikan  pada  Gambar  3, Gambar 4, dan Gambar 5). Pada analisis tersebut  diperoleh bahwa  strategi- strategi  yang  umumnya  dilakukan  oleh mahasiswa  dalam  menyelesaikan  masa- lah  graf  pada  mata  kuliah  matematika diskrit  adalah  penggunaan  gambar ( drawing  picture ),  penjabaran  kata-kata ( word  description ), dan  mendaftar ( listing ).
Pertama,  mereka  mencoba  sampai menemukan  gambar  yang  sesuai  untuk menjadi  jawaban  atas  pertanyaan  terse- but.  Strategi  mahasiswa  seperti  dapat dilihat dengan jelas pada Gambar 2. Pada Gambar  2  di  atas,  dapat dilihat  dengan jelas,  bahwa  mahasiswa  tersebut  sudah memilki  pemahaman  dasar  mengenai graf.  Dalam  hal  mahasiswa  tersebut membuat  delapan  buah  simpul  yang kemudian  menamainya  dengan  V(G)  =
{v 1 , v 2 , v 3 , v 4 , v 5 , v 6 , v 7 , v 8 } dan menamai setiap jalurnya dengan E(G) = {e 1 , e 2 , e 3 , e 4 , e 5 , e 6 , … , e 28 ). Dalam hal ini, jawaban mahasiswa  tersebut  benar  bahwa  graf komplit  tersebut memiliki  delapan buah simpul.  Akan  tetapi,  tidak  diketahui dengan  jelas  bagaimana  dia  mendapat- kan  kedelapan  buah  simpul  tersebut karena  tidak  ada  penjelasan  yang eksplisit.
Di  samping  itu,  mahasiswa  yang lainnya menyelesaikan pertanyaan perta- ma  dengan  menggunakan  penjabaran ( word  description )  seperti  yang  terlihat di Gambar  3,  4, dan 5.  Dari  Gambar  3, dapat  dilihat  dengan  jelas  bahwa mahasiswa  tersebut  sudah  memiliki dasar  mengenai  graf  komplit  karena  ia menuliskan  “ graf  komplit:  graf  yang semua  simpulnya  saling  terhubung ”.
Akan tetapi, dalam  meyelesaikan  perta- nyaan  pertama  ini  mahasiswa  tersebut hanya  menuliskan  graf  G  dapat digam- barkan dengan 28 sisi dan 8 buah simpul. Hal  sama  dengan  mahasiswa  pada Gambar  1.  Walaupun  jawaban  benar, akan  tetapi  tidak  ada  penjelasan  yang cukup  mengenai  bagaimana  ia  menda- patkan 8 buah simpul tersebut.
Pada  Gambar  4,  dapat  dilihat dengan  jelas  bahwa  mahasiswa  ini
mencoba  menjawab  pertanyaan  kedua dengan penjabaran  kata-kata. Dalam hal ini,  dia mencoba untuk mengorelasikan- nya dengan defenisi isomorfis.  Langkah yang  dilakukan  mahasiswa  ini  sudah memenuhi  syarat.  Akan tetapi,  jawaban yang  disajikan  belum  benar.  Hal  ini menunjukkan bahwa mahasiswa tersebut belum  memiliki  pemahaman  dan pena- laran  yang  baik  terhadap  defenisi  dari graf, terutama tentang keisomorfisan dua buah graf.
Dalam  hal  yang  lain,  kami menemukan  juga  ada  mahasiswa  yang menjawab  pertanyaan  dengan salah  dan penjelasan yang tidak benar. Contoh dari kasus  ini  dapat dilihat  pada  Gambar  5. Pada  Gambar  5,  jawaban  mahasiswa tersebut tidak benar dengan mengatakan bahwa  kedua  graf  tidak  isomorfik. Alasan  mahasiswa  tersebut  mengatakan bahwa kedua graf tidak isomorfik adalah kedua graf itu tidak memiliki  graf dasar yang  sama.  Alasan  tersebut  bukanlah merupakan penentu bahwa dua buah graf dikatakan isomorfik.

## PENUTUP
Berdasarkan  analisis  kemampuan awal penalaran mahasiswa dalam
menyelesaikan  masalah  graf  pada  mata kuliah matematika diskrit, dapat disimpulkan bahwa mahasiswa memiliki strategi  atau  cara  penyelesaian  yang berbeda-beda dalam menyelesaikan masalah  graf  yang  disajikan  kepada mereka. Perbedaan cara berpikir
mahasiswa-mahasiswa  tersebut  dapat diartikan  bahwa  mereka  juga  memiliki pemahaman  yang  berbeda  terhadap permasalahan  yang mereka selesaikan.
Hasil  penelitian  ini  menunjukkan bahwa  walaupun  beberapa  mahasiswa dapat menentukan  jawaban  yang  benar; akan  tetapi,  hal  ini  tidak merefleksikan bahwa  mereka  memiliki  kemampuan awal  penalaran  yang  baik  terhadap masalah yang disajikan. Oleh karena itu, penelitian  yang  akan  datang  haruslah terfokus  pada  bagaimana  cara  mening- katkan  kemampuan dan  penalaran mahasiswa dalam belajar  graf pada mata kuliah matematika diskrit melalui  desain aktivitas pembelajaran  di kelas.
Dalam  mendesain  aktivitas  pem- belajaran  di  kelas,  mengetahui  kemam- puan  awal  mahasiswa  merupakan  hal yang  sangat  krusial  dilakukan.  Hal  ini dikarenakan  kemampuan  mahasiswa dalam  mengikuti  perkuliahan  dapat tergambar  dari  pengalaman  belajar mereka  sebelumnya  (Lubis  & Nasution, 2017; Nasution dkk, 2014).
Solusi mahasiswa  dalam menyele- saikan  permasalahan  matematika  dapat dijadikan  awal  untuk  mengajarkan pokok  bahasan  yang  akan  dibahas,
seperti graf. Jawaban mahasiswa tersebut dapat digunakan sebagai  bahan aktivitas  untuk meningkatkan  penalaran mereka dengan cara memberikan pertanyaan-pertanyaan  lanjutan  yang mengarah  kepada  solusi  yang  tepat (Widjaya  dkk,  2010).  Oleh  karena  itu, diperlukan  kemampuan  dosen  dalam mendesain  pembelajaran  yang  dapat mendukung kemampuan bernalar mahasiswa dalam belajar  graf.
Untuk  memenuhi  tuntutan  terse- but, salah satu cara yang dapat dilakukan oleh  dosen  dalam  mendesain  pembela- jaran  di kelas  adalah dengan mendekat- kan pembelajaran kepada metode
pembelajaran yang konstruktif (Widjaya,  2010;  Bustang 2013),  seperti pembelajaran kontekstual. Memulai pembelajaran dengan permasalahan
yang kontekstual dapat membuat mahasiswa mengenal permasalahan yang sedang mereka selesaikan. Dengan mendekatkan permasalah-
an  kepada  situasi  yang  kontekstual, mahasiswa dapat membayangkan masalah tersebut dan selanjutnya mereka dapat  beragumentasi  bagaimana  cara menyelesaikan  permasalahan  itu.  Arti- nya,  mahasiswa  dapat  menjelaskan sesuatu  dengan menggunakan  kata-kata sendiri  jika  mereka  mengenal  dan memahami  duduk  permasalahan  yang diberikan. Beberapa contoh dapat dilihat pada pertanyaan  1  sampai  pertanyaan  3 di atas.

## DAFTAR PUSTAKA
Bakker, A., & Van Eerde, D. (2013). An introduction  to  designed-based research  with  an  example  from statistics education . The Netherlands: Utrecht University.
Bustang  dkk.  (2013).  Developing  A
Local  Instruction  Theory for Learning  The  Concept  of  Angle Through  Visual  Field  Activities and Spatial Representations. International  Education  Studies ,
6(8), pp. 58-70. Depdiknas.  (2006). Kurikulum  Tingkat Satuan Pendidikan Sekolah Menengah Atas . Jakarta: Depdiknas. Kementrian Riset, Teknologi dan Pendidikan Tinggi. (2017). Panduan  Ringkas  Penyusunan KPT-LPTK .  Jakarta:  RISTEK-
DIKTI.
Krantz, S. G. (2009). Discrete Mathematics .  The  United  States: The McGraw-Hill Companies, Inc.
Lee, P.Y. (2004). “What Do We Do with School Geometry”. Conference on Recent  Progress  in  Mathematics Education  (CRPME  2004) ,  6-9
September 2004. ITB Bandung.
Lohman, David F. & Lakin, J. M. (2009).
Reasoning  and  Intelligence .  New York: Cambridge University Press.
Lubis,  A.  dkk.  (2016). Matematika
Diskrit . Medan: Unimed Press.
Lubis,  A.  dkk.  (2017). Matematika Diskrit  (Edisi  Revisi) .  Medan: Unimed Press.
Lubis, A., Nasution, A. A. (2017).  How
Do  Higher-Education  Students Use Their  Initial Understanding to Deal with Contextual Logic-Based Problems in Discrete Mathematics?. International Education Studies , pp. 72-86. Mikrayanti. (2016). Meningkatkan Penalaran Matematis Melalui Pembelajaran  Berbasis  Masalah. Suska  Journal  of  Mathematics
Education , pp. 97-102.
Nasution,  A.  A.  &  Lukito,  A.  (2015).
Developing Students’ Proportional Reasoning through Informal Way. Journal of Science and Mathematics Education in Southeast Asia , 38(1), 77-101. Nasution, A. A. dkk. (2014). Educational Design Research: Supporting Fifth-Grade  Students  To  Learn About  Proportion. The  2 nd SEA-
DR , pp. 43-51.
Rosen, K. H. (2012). Discrete
Mathematics  and  Its  Applications (7th edition) . New York: McGraw-
Hill.
Sa’adah,  W.  N.  (2010). Peningkatan Kemampuan Penalaran Matematis Siswa  Kelas  VIII  SMP  Negeri  3 Banguntapan dalam Pembelajaran Matematika Melalui  Pendekatan  Pendidikan Matematika  Realistik  Indonesia (PMRI) .  Jogjakarta:  Universitas Negeri Jogjakarta. Sopamena, P. (2012). Analisis Kemampuan Reasoning Mahasiswa Pendidikan Matematika  IAIN Ambon  Dalam Menyelesaikan Masalah Geometri. Horizon Pendidikan , vol. 7, Nomor 1. Sumantri,  M.  S.  (2015). Strategi Pembelajaran Teori dan Praktik di Tingkat Pendidikan Dasar . Jakarta: Raja Grafindo Persada. Supianti,  I-I  &  Sari,  N.M.  (2016). Pembelajaran  Matematika Dengan Strategi  Abduktif-Deduktif Untuk Meningkatkan Advanced Mathematical Thinking Mahasiswa. Prosiding  Seminar Nasional  Matematika  Universitas
Siliwangi , pp. 107-114.
Suriasumantri,  J.  S.  (1999). Filsafat Ilmu:  Sebuah  Pengantar  Populer . Jakarta: Pustaka Sinar Harapan.
Susanna  (2010). Discrete  Mathematics With Applications (Fourth Edition) . Canada: Richard Stratton.
Sutrisno.  (1993). Metodologi  Research . Yogyakarta:  Universitas  Gajah Mada.
Widayat,  E.  dkk.  (2019).  Pengaruh Kemampuan  Awal  dan  Motivasi Belajar Mahasiswa Prodi Pendidikan Matematika FKIP UNITOMO terhadap Indeks Prestasi  (IP)  Ditinjau  dari  Asal Daerah. MUST: Journal of Mathematics  Education,  Science and  Technology ,  4(2),  pp.  147-
162. Widjaya,  W.,  Dolk  M.,  Fauzan  A. (2010).  The  Role  of  Context and Teacher’s Questioning To Enhance Students’  Thinking. Journal of Science and Mathematics Education in Southeast  Asia ,  33(2),  pp.  168- 186.
Wijaya,  A., Van den Heuvel-Panhuizen,
M., Doorman, M., & Robitzsch, A.
(2014).  Difficulties  in  solving context-based  PISA  mathematics tasks:  An  analysis  of  students’ errors. The Mathematics Enthusiast,  11 (3), 555-584.