## Simulasi Model Matematika Dispersi Larutan Limbah Pada Saluran Air
Zeth Arthur Leleury 1 , Berny Pebo Tomasouw 2
1 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Pattimura, zetharthur82@gmail.com 2 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Pattimura, bptomasouw@gmail.com
DOI 10.31102/zeta.2019.4.2.28-33

## ABSTRACT
Water pollution is now a condition that needs special attention. One source of water pollution comes  from  waste solutions that produce pollutants that  can reduce water quality. The Chemical Oxygen Demand (COD) number is a parameter used to measure waste pollution. The  purpose  of  this  research  is  to  examine  the  effect  of  flow  velocity  and  rate  of  change  of substances  on  COD  concentrations.  The  method  used  in  this  research  is  a  finite  difference method  to  express  the  discrete  form  of  a  mathematical  model  of  the  dispersion  of  a  waste solution in a water channel. The results show that the greater the flow velocity, the lower the COD concentration and the greater the rate of change in the concentration of substances, the higher the COD concentration. So, if the COD is high then the water quality is not good to use or in other words the water can be said to be polluted.
.
Keywords: Mathematical Model, Dispersion, COD, Finite Difference Method

## ABSTRAK
Pencemaran air saat ini merupakan suatu kondisi yang perlu mendapatkan perhatian khusus.  Salah  satu  sumber  pencemaran  air  tersebut  berasal  dari  larutan  limbah  yang menghasilkan polutan yang dapat menurunkan kualitas air.  Angka Chemical Oxygen Demand (COD) merupakan parameter yang digunakan untuk pengukuran pencemaran limbah. Tujuan dari penelitian ini adalah untuk mengkaji pengaruh kecepatan aliran dan laju perubahan zat terhadap kosentrasi COD. Metode yang digunakan dalam penelitian ini adalah metode beda hingga  untuk  menyatakan  bentuk  diskrit  model  matematika  dispersi  larutan  limbah  pada saluran  air.  Hasil  penelitian  menunjukkan  bahwa  semakin  besar  kecepatan  aliran  maka semakin  rendah  konsentrasi  COD  dan  semakin  besar  laju  perubahan  konsentrasi  zat  maka semakin tinggi konsentrasi COD. Sehingga jika COD tinggi maka kualitas air itu tidak baik untuk digunakan atau dengan kata lain air tersebut dapat dikatakan tercemar.
Kata Kunci : Model Matematika, Dispersi, COD, Metode Beda Hingga

## 1. PENDAHULUAN
Air merupakan kebutuhan dasar dan utama bagi seluruh  makhluk  hidup  di  muka  bumi.  Air  dengan kualitas  baik  merupakan  hal  penting  yang  harus dipenuhi guna kelangsungan dan kelestarian makhluk hidup.  Fungsi  air  bagi  kehidupan  tidak  dapat digantikan  oleh  senyawa  lain.  Seiring  dengan meningkatnya aktivitas manusia terhadap penggunaan  air,  menyebabkan  perubahan  pada kualitas air. Senyawa atau unsur yang dilarutkan oleh air  disebut  zat  hidrofilik  dan  zat  hidrofobik.  Air memiliki karakteristik fisika, kimia dan biologis yang sangat mempengaruhi kualitas air tersebut. Sebagian besar  dari  air  alami,  air  domestik  dan  air  industri mengandung zat organik. Meskipun dalam kosentrasi yang  rendah,  zat  organik  dapat  menyebabkan penurunan  kadar  oksigen  dalam  air.  Hingga  kini, COD merupakan faktor kimia yang dapat menunjukkan tingkat pencemaran air yang terkontaminasi  oleh  polutan  reduktif  dan  sekaligus merupakan  salah  satu  parameter  penting  dalam pemantauan  kualitas  air  (Jinjun,  2008).  COD merupakan  banyaknya  oksigen  yang  dibutuhkan untuk mengoksidasi semua material organik menjadi karbondioksida dan air (Gholizadeh, 2016).
Pada  beberapa  penelitian  sebelumnya,  telah dilakukan  penelitian  model    regresi  perubahan kualitas  air  di  daerah  aliran  sungai    (Fadlilillah, 2010),  pemodelan  kualitas  air  dengan  parameter BOD dan DO pada sungai ciliwung (Budiman, 2010), diskritisasi  model  kualitas  air  pada natural  stream berbasis  elemen  hingga  (Ahsan,  2013)    dan  analisis model  matematika  proses  penyebaran  limbah  cair pada air tanah menggunakan metode volume hingga (Fatahilla, 2015). Pada penelitian ini diberikan suatu model matematika dispersi penyebaran polutan. Dari model  matematika  tersebut,  maka  dicari  bentuk diskrit  dan  solusi  numerik  untuk  mengukur konsentrasi COD menggunakan metode beda hingga. Metode  beda  hingga  merupakan  salah  satu  metode yang  dapat  diterapkan  untuk  kasus  fenomena transport di perairan air dangkal dan aliran air tanah yang  biasanya  dinyatakan  dengan  persamaan Adveksi Diffusi karena metode ini dapat memberikan hasil pendekatan yang cukup akurat (Ribal, 2008). Ide utama  yang  melatarbelakangi  munculnya  metode beda  hingga  dalam  memperoleh  solusi  persamaan differensial  parsial  adalah  sebuah  solusi  pendekatan yang sering dikenal sebagai pendekatan Deret Taylor (Zuhair,  2008).  Tujuan  dari  penelitian  ini  adalah untuk  mengkaji  pengaruh  kecepatan  aliran  dan  laju perubahan zat terhadap kosentrasi COD.

## 2. TINJAUAN PUSTAKA
2.1 Dispersi Pada Suatu Saluran Air
Pada  transportasi  larutan  dalam  suatu  saluran air,  dispersi  digunakan  sebagai  penyebaran  partikel pada  keadaan  air  yang  sedang  mengalir.  Dispersi
COD  digambarkan  oleh  persamaan  konveksi-difusi dalam domain [ a , b ] sebagai berikut:
−𝐷 𝑥 𝑑2𝐶 𝑑𝑥2 + 𝑢 𝑑𝐶 𝑑𝑥 + 𝑅𝐶 − 𝑄 = 0 (1) dimana:
C(x) merupakan  konsentrasi  dari  COD  pada  titik ∈ [𝑎, 𝑏](𝑘𝑔/𝑚 3 ) , 𝑢 merupakan  adalah  kecepatan aliran dalam arah 𝑥 ( 𝑚/𝑠) , 𝐷 𝑥 merupakan koefisien difusi  ( 𝑚/𝑠 2 ), 𝑅 merupakan  laju  peluruhan  zat ( 𝑠 −1 ) , dan 𝑄 adalah laju perubahan konsentrasi zat ( 𝑘𝑔/𝑚 3 𝑠).
(Pochai, 2006)

## 2.2 Metode Beda Hingga
Metode  ini  digunakan  untuk  memecahkan persamaan differensial biasa secara numerik, dengan menggunakan  deret  Taylor  yang  diputus  pada  orde tertentu sesuai kebutuhan yang ada (Luknanto, 2003).
Bentuk Umum Deret Taylor 𝑓(𝑥 𝑖+1 ) = 𝑓(𝑥 𝑖 + ∆𝑥) =  𝑓(𝑥 𝑖 ) + 𝑓 ′ (𝑥 𝑖 ) ∆𝑥 1! + 𝑓 ′′ (𝑥 𝑖 ) ∆𝑥2 2! + 𝑓 ′′′ (𝑥 𝑖 ) ∆𝑥3 3! + ⋯ + 𝑓 𝑛 (𝑥 𝑖 ) ∆𝑥𝑛 𝑛! + 𝑅 𝑛 Deret  Taylor  akan  memberikan  perkiraan  suatu fungsi  yang  benar  jika  semua  deret  diperhitungkan. Dalam  prakteknya  hanya  beberapa  suku  saja  yang diperhitungkan  sehingga  tidak  tepat  seperti  pada penyelesaian  analitik.  Sehingga  terdapat  kesalahan ( error )  yang  disebut  dengan  kesalahan  pemotongan
( truncation error ) 𝑅 𝑛 yang ditulis:
𝑅 𝑛 = 𝑂(∆𝑥 𝑛+1 ) = 𝑓 𝑛+1 (𝑥 𝑖 ) ∆𝑥 𝑛+1 (𝑛 + 1)! + 𝑓 𝑛+2 (𝑥 𝑖 ) ∆𝑥 𝑛+2 (𝑛 + 2)!
Ada  3  jenis  metode  beda  hingga  dalam  pendekatan diferensial yaitu:
a. Forward Difference (Beda Maju)
Jika data yang digunakan adalah titik 𝑥 𝑖 dan 𝑥 𝑖+1 maka disebut beda maju yang dapat dituliskan dalam bentuk yang sama dengan deret Taylor yaitu: 𝑓(𝑥 𝑖+1 ) = 𝑓(𝑥 𝑖 + ∆𝑥) =  𝑓(𝑥 𝑖 ) + 𝑓 ′ (𝑥 𝑖 ) ∆𝑥 1! + 𝑓 ′′ (𝑥 𝑖 ) ∆𝑥2 2! + 𝑓 ′′′ (𝑥 𝑖 ) ∆𝑥3 3! + ⋯ + 𝑓 𝑛 (𝑥 𝑖 ) ∆𝑥𝑛 𝑛! + 𝑅 𝑛 Untuk menghitung diferensial turunan pertama dapat diturunkan  berdasarkan  deret  Taylor,  yang  dapat dituliskan dalam bentuk:
𝑓(𝑥 𝑖+1 ) = 𝑓(𝑥 𝑖 ) + 𝑓′(𝑥 𝑖 )∆𝑥 + 𝑂(∆𝑥 2 )
𝑓′(𝑥 𝑖 ) = 𝑓(𝑥 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥) ∆𝑥 − 𝑂(∆𝑥)
b. Backward Difference (Beda mundur) Jika data yang digunakan adalah titik 𝑥 𝑖 dan 𝑥 𝑖−1 maka  disebut  beda  mundur  yang  dapat  dituliskan dalam bentuk:
𝑓(𝑥 − ∆𝑥) =  𝑓(𝑥) + 𝑓 ′ (𝑥 𝑖 ) (−∆𝑥) 1! + 𝑓 ′′ (𝑥 𝑖 ) (−∆𝑥) 2 2! +
𝑓 ′′′ (𝑥 𝑖 ) (−∆𝑥)3 3! + ⋯ + 𝑓 𝑛 (𝑥 𝑖 ) (−∆𝑥𝑛) 𝑛!
𝑓(𝑥 − ∆𝑥) =  𝑓(𝑥) − 𝑓 ′ (𝑥 𝑖 )∆𝑥 + 𝑓 ′′ (𝑥 𝑖 ) (∆𝑥) 2 2! − 𝑓 ′′′ (𝑥 𝑖 ) (∆𝑥)3 3! + ⋯ − 𝑓 𝑛 (𝑥 𝑖 ) (∆𝑥𝑛) 𝑛!
Untuk  perhitungan  differensial  pertama  dapat diturunkan  berdasarkan  deret  Taylor,  yang  dapat diturunkan berdasar deret Taylor, yang dapat ditulis dalam bentuk :
𝑓(𝑥 𝑖−1 ) = 𝑓(𝑥 𝑖 ) − 𝑓′(𝑥 𝑖 )∆𝑥 + 𝑂(∆𝑥 2 )
𝑓 ′ (𝑥 𝑖 )    = 𝑓(𝑥 𝑖 ) − 𝑓(𝑥 𝑖−1 ) ∆𝑥 + 𝑂(∆𝑥)
c. Central Difference (beda pusat)
Jenis beda ketiga ialah beda pusat digunakan jika data yang digunakan adalah titik 𝑥 𝑖+1 dan 𝑥 𝑖−1 . untuk perhitungan  differensial  turunan  pertama  dapat diturunkan  berdasarkan  derat  Taylor.  Dengan mengurangi deret Taylor pada persamaan beda maju dengan  persamaan  deret  Taylor  pada  beda  mundur, yang dapat dituliskan dalam bentuk:
𝑓(𝑥 𝑖+1 ) − 𝑓(𝑥 𝑖−1 ) = 2𝑓′(𝑥 𝑖 )∆𝑥 + 2𝑓 ′′′ (𝑥 𝑖 ) ∆𝑥 3 3! + ⋯ . +2𝑓 𝑛 (𝑥 𝑖 ) (∆𝑥 𝑛 ) 𝑛! atau 𝜕𝑓 𝜕𝑥 = 𝑓 ′ (𝑥 𝑖 ) = 𝑓(𝑥 𝑖+1 ) − 𝑓(𝑥 𝑖−1 ) 2∆𝑥 − 𝑓 ′′′ (𝑥 𝑖 ) (∆𝑥) 2 3!
Dapat ditulis sebagai : 𝜕𝑓 𝜕𝑥 = 𝑓 ′ (𝑥 𝑖 ) = 𝑓(𝑥 𝑖+1 ) − 𝑓(𝑥 𝑖−1 ) 2∆𝑥 −  𝑂(∆𝑥 2 )
Bila  differensialnya  sampai  orde  2, 𝑓 ′′ (𝑥 𝑖 ) ,  maka uraian  deret  Taylor  sampai  orde  2  kemudian dijumlahkan :
𝑓(𝑥 𝑖+1 ) + 𝑓(𝑥 𝑖−1 ) = 2𝑓(𝑥 𝑖 ) + 2𝑓 ′′ (𝑥 𝑖 ) (∆𝑥) 2 2! + 2𝑓 (4) (𝑥 𝑖 ) (∆𝑥)4 4! + ⋯
atau
𝜕 2 𝑓 𝜕𝑥 2 = 𝑓 ′′ (𝑥 𝑖 ) = 𝑓(𝑥 𝑖+1 ) − 2𝑓(𝑥 𝑖 ) + 𝑓(𝑥 𝑖−1 ) ∆𝑥 2 − 𝑂(∆𝑥 2 )

## 3. METODE PENELITIAN
Tahapan yang dilakukan dalam penelitian ini adalah mendiskritisasi  model  matematika  dispersi  polutan pada saluran air, mencari solusi numerik dari model matematika  dispersi  polutan  tersebut,  melakukan simulasi  dengan  bantuan software Matlab,  analisis hasil  simulasi,  dan  membuat  kesimpulan  hasil simulasi.

## 4. HASIL PENELITIAN
4.1. Diskritisasi  Model  Matematika  Dispersi Larutan Limbah Pada Saluran Air
Persamaan  (1)  konveksi-difusi  dalam  domain [ a , b ] dapat ditulis sebagai 𝐷 𝑥 𝐶 ′′ = 𝑢𝐶 ′ + 𝑅𝐶 − 𝑄
Sehingga 𝑐 ′′ = 𝑢𝐶′+𝑅𝐶−𝑄
𝐷𝑥 dapat digambarkan persamaan konveksi difusi dalam bentuk Persamaan: 𝑐 ′′ = 𝑝(𝑥)𝑐 ′ + 𝑞(𝑥)𝑐 + 𝑟(𝑥) (2) dengan 𝑝(𝑥) = 𝑢 𝐷𝑥 , 𝑞(𝑥) = 𝑅 𝐷𝑥 , 𝑟(𝑥) = − 𝑄 𝐷𝑥
Untuk  perhitungan  numerik  maka  dalam  penelitian ini  dipilih  bilangan  bulat 𝑚 > 0 dan  membagi interval  [ a , b ].  Dengan  metode  beda  hingga,  akan ditentukan grid fungsi dari nilai
𝑐 0 , 𝑐 1 , 𝑐 2 , … . , 𝑐 𝑚 , 𝑐 𝑚+1 dengan 𝑐 𝑖 merupakan aproksimasi  solusi 𝑐(𝑥 𝑖 ) , 𝑐 0 = 𝑎 dan 𝑐 𝑚+1 = 𝑏 .
Disini 𝑥 𝑖 = 𝑎 + 𝑖ℎ dan ℎ = ∆𝑥 = 𝑏−𝑎 𝑚+1 merupakan jarak diantara grid point. Pada titik interior 𝑥 𝑖 , untuk 𝑖 = 1,2, … , 𝑚 ,  persamaan  diferensial  untuk  didekati adalah:
𝑐 ′′ (𝑥 𝑖 ) = 𝑝(𝑥 𝑖 )𝑐 ′ + 𝑞(𝑥 𝑖 )𝑐(𝑥 𝑖 ) + 𝑟(𝑥 𝑖 ) (3) Deret Taylor polinomial ketiga pada 𝑥 𝑖 didekati pada 𝑥 𝑖+1 dan 𝑥 𝑖−1 , diketahui: 𝑐(𝑥 𝑖+1 )   = 𝑐(𝑥 𝑖 + ℎ)
= 𝑐(𝑥 𝑖 ) + ℎ𝑐 ′ (𝑥 𝑖 ) + ℎ2 2 𝑐 ′′ (𝑥 𝑖 ) + ℎ3 6 𝑐 ′′′ (𝑥 𝑖 ) + ℎ4 24 𝑐 (4) (𝑥 𝑖 ) (4)
dan
𝑐(𝑥 𝑖−1 )   = 𝑐(𝑥 𝑖 − ℎ)
= 𝑐(𝑥 𝑖 ) − ℎ𝑐 ′ (𝑥 𝑖 ) + ℎ2 2 𝑐 ′′ (𝑥 𝑖 ) − ℎ3 6 𝑐 ′′′ (𝑥 𝑖 ) + ℎ4 24 𝑐 (4) (𝑥 𝑖 ) (5)
Diasumsikan 𝑐 ∈ [𝑥 𝑖+1 , 𝑥 𝑖−1 ] .  Jika  persamaan  (4) dan (5) dijumlahkan kemudian dilakukan manipulasi aljabar maka diperoleh persamaan berikut:
𝑐 ′′ (𝑥 𝑖 ) = 1 ℎ 2 [𝑐(𝑥 𝑖+ℎ ) − 2𝑐(𝑥 𝑖 ) + 𝑐(𝑥 𝑖−1 )] − ℎ2 12 𝑐 (4) (𝑥 𝑖 ) (6)
Suatu  rumusan  beda  pusat  untuk 𝑐 ′ (𝑥 𝑖 ) diperoleh dengan cara yang sama sehingga diperoleh yakni :
𝑐 ′ (𝑥 𝑖 ) = 1 2ℎ [𝑐(𝑥 𝑖+1 ) − 𝑐(𝑥 𝑖−1 )] − ℎ2 6 𝑐 ′′′ (𝑥 𝑖 ) (7)
Dengan  menggunakan  Persamaan  (6)  dan  (7)  yang disubtitusikan ke persamaan (3) maka diperoleh: 𝑐(𝑥 𝑖+1 )−2𝑐(𝑥 𝑖 )+𝑐(𝑥 𝑖−1 ) ℎ 2 = 𝑝(𝑥 𝑖 ) [ 𝑐(𝑥 𝑖+1 )−𝑐(𝑥 𝑖−1 ) 2ℎ ] + 𝑞(𝑥 𝑖 )𝑐(𝑥 𝑖 ) + 𝑟(𝑥 𝑖 ) − ℎ 2 12 [2𝑝(𝑥 𝑖 )𝑐 ′′′ (𝑥 𝑖 ) − 𝑐 (4) (𝑥 𝑖 )] (8)
Suatu metode beda hingga dengan pemotongan galat dari  order 0(ℎ 2 ) dihasilkan  dengan  menggunakan persamaan (8) dengan kondisi nilai batas 𝑐(𝑎) = 𝑐 𝑑𝑎𝑛 𝑐 ′ (𝑏) =   𝑇 0 𝑘 0 = 𝑐 0 (9)
𝑘 𝑚+1 = 2ℎ𝛽 + 𝑘 𝑚−1 (10)
Dengan  menggunakan  metode  beda-pusat,  maka diperoleh:
( 2𝑘 𝑖 −𝑘 𝑖+1 −𝑘 𝑖−1 ℎ 2 ) + 𝑝(𝑥 𝑖 ) ( 𝑘 𝑖+1 −𝑘 𝑖−1 2ℎ ) + 𝑞(𝑥 𝑖 )𝑘 𝑖 = −𝑟(𝑥 𝑖 ) (11) − (1 + ℎ 2 𝑝(𝑥 𝑖 )) 𝑘 𝑖−1 + (2 + ℎ 2 𝑞(𝑥 𝑖 ))𝑘 𝑖 − (1 − ℎ 2 𝑝(𝑥 𝑖 ))𝑘 𝑖+1
= −ℎ 2 𝑟(𝑥 𝑖 ) (12)
dimana 𝑤 𝑖 = 𝑐(𝑥 𝑖 ) ,untuk 𝑖 = 1,2,3, . . , 𝑚 − 1 . Untuk 𝑖 = 𝑚 ,  subtitusi  persamaan  (10)  ke  dalam persamaan (8), diperoleh: 𝑤 𝑚+1 = 2ℎ𝛽 + 𝑤 𝑚−1 Karena 𝑤 𝑖 = 𝑐(𝑥 𝑖 ) ,dengan demikian diperoleh:
(−2)𝑘 𝑚−1 + (2 + ℎ 2 𝑞(𝑥 𝑚 )𝑘 𝑚 = −ℎ 2 𝑟(𝑥 𝑚 ) + (2 − ℎ𝑝(𝑥 𝑚 ))ℎ𝛽 ` (13) Persamaan  (12)  sampai  (13)  dapat  ditulis  dalam bentuk matriks : 𝐴𝐾 = 𝐵 (14)
dimana :
          
           + − + + − − − + + − − − + = )) ( 2 ( 2 0 0 0 )) ( 2 ( )) ( 2 1 ( 0 )) ( 2 1 ( )) ( 2 ( )) ( 2 1 ( 0 0 )) ( 2 1 ( )) ( 2 ( 2 2 2 1 3 2 2 1 2 1 2 m x q h x q h x p h x p h x q h x p h x p h x q h A   
      
𝐾 = [ 𝑘 1 𝑘 2 ⋮ 𝑘 𝑚−1 𝑘 𝑚 ] 𝐵 = [ −ℎ 2 𝑟(𝑥 1 ) + (1 + ℎ 2 𝑝(𝑥 1 ))𝑘 0 0 0 ⋮ −ℎ 2 𝑟(𝑥 𝑚 ) + (2 − ℎ𝑝(𝑥 𝑚 )ℎ𝛽)]

## 4.2. Simulasi Model Matematika Dispersi
Dalam  proses  simulasi,  dikaji  pengaruh kecepatan  aliran  dan  laju  perubahan  konsentrasi  zat terhadap  konsentrasi  COD  disetiap  titik  pada  jarak tertentu.

## 4.2.1  Pengaruh  Kecepatan  Aliran  Terhadap Konsentrasi COD
Asumsikan  bahwa  ada  larutan  limbah  yang dibuang ke suatu saluran air dengan titik awal 0,0 𝑘𝑚 dan  konsentrasi  COD  dari  air  limbah  adalah 𝑘 0 = 20 𝑘𝑔 /𝑚 3 .  Parameter  fisik  adalah  sebagai  berikut: Koefisien  difusi 𝐷 𝑥 = 10 𝑚 2 / 𝑠 ,  Kecepatan  aliran 𝑢  = ( 5 − 𝑥) 𝑚/𝑠 , di mana 𝑥 𝜖[0,4] , Laju peluruhan zat adalah 𝑅 = 3 𝑠 −1 dan Laju perubahan Konsentrasi zat adalah 𝑄 = 1 𝐾𝑔 / 𝑚 3 𝑠 .
Persamaan  Konveksi  Difusi  dalam  bentuk Persamaan :
𝑐 ′′ = 𝑝(𝑥)𝑐 ′ + 𝑞(𝑥)𝑐 + 𝑟(𝑥)
Sehingga  koefisien  variabel  persamaan  konveksi- difusi adalah:
𝑝(𝑥) = 5 − 𝑥 10
𝑞(𝑥) = 3
10
𝑟(𝑥) = − 1
10
dengan 𝑥 𝜖[0,4] dan ℎ  =  0.5 sehingga  jarak (𝑥) dipartisi  menjadi  9  bagian.  Hasil  aproksimasi terhadap  konsentrasi  COD  disajikan  dalam  Tabel  1 berikut.

## Tabel 1. Konsentrasi COD
Jarak (km) Konsentrasi (kg/m 3 ) 0.0 20 0.5 17.7976 1.0 13.1731 1.5 10.2875 2.0 8.5758 2.5 7.7012 3.0 7.4731 3.5 6.8006 4.0 4.4967
Untuk mengkaji pengaruh kecepatan aliran terhadap konsentrasi  COD  maka  pada  penelitian  ini  diambil beberapa  kecepatan  yang  berbeda-beda  antara  lain (8 − 𝑥)𝑚/𝑠 , (10 − 𝑥)𝑚/𝑠 ,  dan (14 − 𝑥)𝑚/𝑠 ,
dimana  parameter  fisik  lainnya  tetap,  maka  hasil perhitungan  konsentrasi  COD  pada  kecepatan (8 − 𝑥)𝑚/𝑠 , (10 − 𝑥)𝑚/𝑠 ,  dan (14 − 𝑥)𝑚/𝑠 ,  dapat disajikan pada Gambar 1 di bawah ini.
Gambar  1.  Grafik  konsentrasi  COD  dengan kecepatan aliran yang berbeda
Berdasarkan  Gambar  1  di  atas  terlihat  bahwa konsentrasi  COD  sepanjang  saluran  mengalami penurunan.  Sehingga  dapat  disimpulkan  bahwa kecepatan  aliran  sangat  berpengaruh  terhadap konsentrasi COD.

## 4.2.2 Pengaruh Laju Perubahan  Konsentrasi Zat Terhadap Konsentrasi COD
Untuk  mengkaji  pengaruh  laju  perubahan konsentrasi zat terhadap konsentrasi COD maka pada penelitian ini diambil beberapa laju perubahan yang berbeda-beda  antara  lain 1.5 𝑘𝑔/𝑚 3 𝑠 , 2 𝑘𝑔/𝑚 3 𝑠 , dan 2.5 𝑘𝑔/𝑚 3 𝑠 ,  dimana  parameter  fisik  lainnya tetap.  Berikut  disajikan  hasil  simulasi  dispersi konsentrasi  COD  berdasarkan  pada  laju  perubahan konsentrasi zat yang diberikan.
Gambar  2.  Grafik  konsentrasi  COD  dengan  laju perubahan kosentrasi zat 1 𝑘𝑔/𝑚 3 𝑠
Berdasarkan  Gambar  2  dengan  laju  perubahan konsentrasi  zat 𝑄 = 1 𝑘𝑔/𝑚 3 𝑠 menunjukan  bahwa grafiknya  mengalami  penurunan  dari  jarak 0,0 𝑘𝑚 dengan  konsentrasi  awal 𝑘 0 = 20 𝑘𝑔 /𝑚 3 hingga jarak  yang  ke 4,0 𝑘𝑚 konsentrasi  COD-nya  lebih rendah dari konsentrasi awal yaitu 4.4967 𝑘𝑔/𝑚 3 .
Gambar  3.  Grafik  kosentrasi  COD  dengan  laju perubahan kosentrasi zat 1.5 𝑘𝑔/𝑚 3 𝑠
Berdasarkan  Gambar  3  dengan  laju  perubahan konsentrasi zat 𝑄 = 1,5 𝑘𝑔/𝑚 3 𝑠 menunjukan bahwa grafiknya  mengalami  penurunan  dari  jarak 0,0 𝑘𝑚 dengan  konsentrasi  awal 𝑘 0 = 20 𝑘𝑔 /𝑚 3 hingga jarak  yang  ke 4,0 𝑘𝑚 konsentrasi  COD-nya  lebih rendah dari konsentrasi awal yaitu 4.5188 𝑘𝑔/𝑚 3 .
Selanjutnya  berdasarkan  Gambar  4  dengan  laju perubahan konsentrasi zat 𝑄 = 2 𝑘𝑔/𝑚 3 𝑠 menunjukan bahwa  grafiknya  mengalami  penurunan  dari  jarak 0,0 𝑘𝑚 dengan  konsentrasi  awal 𝑘 0 = 20 𝑘𝑔 /𝑚 3 hingga jarak yang ke 4,0 𝑘𝑚 konsentrasi COD-nya lebih rendah dari konsentrasi awal yaitu 4.5409 𝑘𝑔/ 𝑚 3 .
Gambar  4.  Grafik  konsentrasi  COD  dengan  laju perubahan kosetrasi zat 2 𝑘𝑔/𝑚 3 𝑠 .
Gambar  5.  Grafik  kosentrasi  COD  dengan  laju perubahan kosentrasi zat 2,5 𝑘𝑔/𝑚 3 𝑠
Berdasarkan  Gambar  5  dengan  laju  perubahan konsentrasi zat 𝑄 = 2,5 𝑘𝑔/𝑚 3 𝑠 menunjukan bahwa grafiknya  mengalami  penurunan  dari  jarak 0,0 𝑘𝑚 dengan  konsentrasi  awal 𝑘 0 = 20 𝑘𝑔 /𝑚 3 hingga jarak  yang  ke 4,0 𝑘𝑚 konsentrasi  COD-nya  lebih rendah dari konsentrasi awal yaitu 4.5630 𝑘𝑔/𝑚 3 . Dengan  demikian,  sesuai  hasil  simulasi  dari program  matlab  dengan  menggunakan  metode  beda hingga pada Gambar 2 sampai Gambar 5 maka  dapat disimpulkan  bahwa  laju  perubahan  konsentrasi  zat juga berpengaruh terhadap konsentrasi COD, dimana semakin  besar  laju  perubahan  konsentrasi  zat  maka semakin tinggi konsentrasi COD-nya.

## 5. KESIMPULAN
Berdasarkan  hasil  pembahasan  maka  dapat disimpulkan  bahwa  perilaku  dispersi  COD  pada larutan  limbah  yang  mengalir  sepanjang  saluran  air adalah semakin besar kecepatan aliran maka semakin rendah konsentrasi COD-nya dan semakin besar laju perubahan  konsentrasi  zat  maka  semakin  tinggi konsentrasi COD-nya. Sehingga jika COD-nya tinggi maka akan berpengaruh pada saluran air tersebut atau air  tersebut  dapat  dikatakan  tercemar . Penelitian  ini dapat dikembangkan melalui studi kasus pada daerah atau  lokasi  pembuangan  larutan  limbah  yang bersumber dari pabrik.

## DAFTAR PUSTAKA
Ahsan,  N  (2013) Development  of  A  Finite  Element Based  Model  For  Water  Quality  In  Natural Streams, International  Journal  of  Civil, Structural,  Environmental  and  Infrastructure Engineering Research and Development
(IJCSEIERD), Vol. 3 No. 3, TJPRC Pvt. Ltd.
Budiman, A. (2010) Pemodelan Kualitas Air dengan Parameter  BOD  dan  DO  pada  Sungai Ciliwung , Jurnal Teknologi Lingkungan, Vol. 5 No.3 pp 97-106. Fadlilillah, M. I (2010) Model Matematis Perubahan Kualitas  Air  Di  Daerah  Aliran  Sungai  (Das) Citarum  Jawa  Barat, Skripsi  : Departemen Teknik Pertanian, IPB. Fatahillah,  A.,  Gangga,  M.  D.  F.  F(2015) Analisis Model Matematika Proses Penyebaran Limbah Cair  Pada  Air  Tanah ,  al-Khwarizmi,  Vol.  3 No.1 pp 1-8.
Gholizadeh, M. H., Melesse, A. M., Reddi, L (2016)
A  Comprehensive  Review  on  Water  Quality Parameters  Estimation  Using  Remote  Sensing Techniques, Florida  International  University, USA. Jinjun, T., Yonggang, H., Jie, Z (2008)
Chemiluminescence detection of permanganate index  (COD Mn )  by  a  luminol-KM n O 4 based reaction, Journal  of  Environmental  Sciences, Vol. 20 pp 252–256, Science Direct. Luknanto,  D  (2003) Model  Matematika  Numerik , Bahan kuliah. Laboratorium Hidraulika, JTS FT Universitas Gajah Mada, Yogyakarta. Pochai,  N.,  Tangmanee,  S.,  Crane  L.J.  and  Miller, J.J.H  (2006). A  Mathematical  Model  of  Water
Pollution  Control  Using  the  Finite  Element Method ,  Proc.  Appl.  Math.  Mech,  vol.  6,  pp 755-756. Ribal  (2008). Metode  Beda  Hingga,  Draft  Lecture Note  On  Finite  Difference  Methods .  Jurusan Matematika FMIPA Unhas, Makasar. Zuhair. (2008 ). Metode Numerik – Deret Taylor dan Deret  MacLaurin .  Universitas  Mercubuana, Jakarta.