## MODEL PERSAMAAN BEDA PADA PENDAPATAN NASIONAL
Radhiah*, Ikhsan Maulidi, Nani Maulida, Intan Syahrini. Jurusan Matematika, Universitas Syiah Kuala, Banda Aceh 23111, Indonesia E-mail : radhiah@unsyiah.ac.id

## ABSTRAK
Penerapan  teori  persamaan  beda  pada  umumnya  timbul  dari  kejadian  yang terjadi pada kehidupan sehari-hari. Persamaan beda berkembang pesat dalam aneka  macam  bidang,  seperti  analisis  numerik,  teori  kontrol,  dan  ilmu komputer.  Dalam  ilmu  ekonomi  persamaan  beda  dapat  diaplikasikan  pada permasalahan  keuangan  yaitu  pada  perhitungan  pendapatan  nasional. Perhitungan  pendapatan  nasional  dapat  memberikan  gambaran  terhadap tingkat  perekonomian  yang  telah  dicapai  baik  dalam  hasil  produksi, pembelanjaan,  sumbangan  dari  berbagai  sektor  perekonomian  serta  tingkat kemakmuran.  Penelitian  ini  menerapkan  persamaan  beda  pada  pendapatan nasional  dalam  perekonomian  terbuka  menggunakan  metode  akar karakteristik. Tujuan penelitian ini yaitu menentukan kondisi kestabilan dari titik  keseimbangan  model  persamaan  beda  pada  pendapatan  nasional  dan diberikan  grafik  simulasinya.  Simulasi  yang  dilakukan  pada  penelitian  ini dengan  memilih  beberapa  nilai  parameter  berdasarkan  teorema  kondisi koefiesien.  Model  persamaan  beda  yang  dihasilkan  dalam  penentuan pendapatan nasional pada perekonomian terbuka adalah persamaan beda orde dua  dengan  koefisien  konstan.  Berdasarkan  hasil  pemilhan  nilai  parameter yang  sudah  memenuhi  kondisi  kestabilan  pada  teorema  kondisi  koefisien menghasilkan  grafik  solusi  pendapatan  nasional  stabil  dan  akan  selalu konvergen sekitar keadaan titik kesetimbangan.
Kata Kunci: Persamaan Perbedaan, Pendapatan Nasional,  Ekonomi Terbuka, Akar Kararakteristik.

## ABSTRACT
The application of the difference equation theory generally arises from events that occur in everyday life. Difference equations are developing rapidly in various fields,  such  as  numerical  analysis,  control  theory,  and  computer  science.  In economics, the difference equation can be applied to financial problems, namely the  calculation  of  national  income.  The  calculation  of  national  income  can provide an overview of the level of the economy that has been achieved in terms of  production,  spending,  contributions from  various economic  sectors and  the level of prosperity. This study applies the difference equation to national income in an open economy using the characteristic root method. The purpose of this study  is  to  determine  the  stability  condition  of  the  equilibrium  point  of  the difference equation model on national income and given a simulation graph. The simulation carried out in this study by selecting several parameter values based on the coefficient condition theorem. The difference equation model produced in determining national income in an open economy is a second-order difference
equation with constant coefficients. Based on the results of selecting parameter values that meet the stability conditions in the coefficient condition theorem, the graph of the national income solution is stable and will always converge around the equilibrium point.
Keywords: Difference Equation, National Income, Open Economy, Characteristic Roots.

## A. PENDAHULUAN
Persamaan  beda  (difference  equation)  muncul  sebagai  gambaran  dari  fenomena perubahan  yang  teramati  dengan  variabel  waktu  diskrit.  Penerapan  teori  persamaan  beda berkembang pesat dalam aneka macam bidang, seperti analisis numerik, teori kontrol, dan ilmu komputer  (Lakshmikantham dan Trigiante, 2017). Pada umumnya persamaan beda (difference equation)  timbul  dari  kejadian  yang  terjadi  pada  kehidupan  sehari-hari.  Seperti  contoh perubahan jumlah populasi kelinci di suatu pulau pada setiap waktu dengan jenis variabel diskrit waktu (Elaydi,2016)
Dalam ilmu ekonomi persamaan beda dapat diaplikasikan pada permasalahan keuangan, yaitu  pada  perhitungan  pendapatan  nasional.  Perhitungan  pendapatan  nasional  dapat memberikan  gambaran  terhadap  tingkat  perekonomian  yang  telah  dicapai  baik  dalam  hasil produksi, pembelanjaan, pada setiap waktu dengan jenis variabel diskrit waktu (Elaydi, 2016). berbagai  sektor  perekonomian  serta  tingkat  kemakmuran.  Menurut  Elaydi  (2016)  di  dalam bukunya  telah membahas  bentuk  penerapan  persamaan  beda  pada  pendapatan  nasional  yang dipengaruhi oleh 3 faktor, yaitu pengeluaan konsumen, pengeluaran pemerintah, dan investasi. Dassious  dan  Devine  (2016)  juga  telah  merumuskan  model  baru  perhitungan  pendapatan nasional  pada  sistem  waktu  diskret  ke  dalam  konteks  multi  negara,  dimana  setiap  elemen berinterakti dengan yang lain sesuai pengalaman tahun lalu dan hubungan perdagangan negara. Penelitian  ini  menerapkan  persamaan  beda  dalam  perhitungan  pendapatan  nasional  pada perekonomian terbuka yang dipengaruhi oleh pengeluaran konsumen, pengeluaran pemerintah, investasi, ekpor dan impor.
Flipping book berarti buku atau modul yang memiliki efek flip (memutar atau membalik), sehingga  menimbulkan  animasi  seakan-akan  membalik  lembaran  buku  yang  sebenarnya. Penggunaan flipping book sangat mudah, seperti halnya membaca buku digital lain yang sudah banyak digunakan seperti buku digital berformat pdf. Yang membedakan hanya cara membaca yang  bisa  dilakukan  dengan  cara  membalik  setiap  pojok  lembaran  sebelum  dan  sesudahnya dengan  bantuan  mouse  atau  tombol  tertentu.  Flipping  book  yang  akan  dirancang  ini menggunakan perangkat lunak Flip PDF Professional.
Perhitungan  matematika  sering  kali  didasarkan  pada  persamaan  yang  memungkinkan untuk menghitung nilai fungsi rekursif dari nilai yang diberikan. Persamaan seperti ini disebut "persamaan beda" atau "persamaan pengulangan" (Garnadi dan Khatizah, 2018).
Persamaan Beda Orde Pertama
Diberikan 𝑝(𝑡) dan 𝑟(𝑡) adalah fungsi dengan 𝑝(𝑡) ≠ 0 untuk setiap 𝑡 , dapat didefinisikan sebagai:
𝑦(𝑡 + 1) − 𝑝(𝑡)𝑦(𝑡) = 𝑟(𝑡). (1)
Persamaan (1) dikatakan persamaan beda orde pertama karena hanya terdapat 𝑦 bernilai saat 𝑡 dan 𝑡 + 1 pada ∆𝑦(𝑡) = 𝑦(𝑡 + 1) − 𝑦(𝑡) yang merupakan operator beda pertama, sehingga dapat ditulis ∆𝑦(𝑡) = 𝑟(𝑡) . Operator dasar yang sering digunakan dengan operator beda adalah operator geser. Operator geser 𝐸 dapat ditulis, 𝐸𝑦(𝑡) = 𝑦(𝑡 + 1) .
Persamaan Beda Orde 𝑛
Persamaan beda orde 𝑛 memiliki bentuk :
𝑝 𝑛 (𝑡)𝑦(𝑡 + 𝑛) + 𝑝 𝑛−1 (𝑡)𝑦(𝑡 + 𝑛 − 1) + ⋯ + 𝑝 0 (𝑡)𝑦(𝑡) = 𝑟(𝑡), (2)
dengan 𝑝 0 (𝑡) ,…, 𝑝 𝑛 (𝑡) dan 𝑟(𝑡) adalah fungsi dari 𝑡 dan 𝑝 0 (𝑡) ≠ 0, 𝑝 𝑛 (𝑡) ≠ 0 untuk setiap 𝑡 .
Persamaan (2) dapat dikatakan persamaan beda tak homogen dengan orde 𝑛 . Jika 𝑟(𝑡) = 0 ,  maka  disebut  persamaan  beda  homogen.  Apabila 𝑝 0 (𝑡) ,…, 𝑝 𝑛 (𝑡) berupa  konstanta  maka persamaan (2) disebut juga persamaan tak homogen orde 𝑛 dengan koefisien konstanta.

## B. METODE

## 1. Metode Akar Persamaan Karakteristik
Menurut    (Kelley,  2001)  persamaan  beda  homogen  dengan  koefisien  konstan  dapat diselesaikan dengan menggunakan metode  akar persamaan karakteristik. Untuk 𝑝 𝑛 ≠ 0 , maka dapat dibagi kedua ruas dari persamaan (2) dengan 𝑝 𝑛 dan akan membentuk persamaan 𝑢(𝑡 + 𝑛) + 𝑝 𝑛−1 𝑢(𝑡 + 𝑛 − 1) + ⋯ + 𝑝 0 𝑢(𝑡) = 0, (3)
dengan 𝑝 0 , … , 𝑝 𝑛−1 konstanta dan 𝑝 0 ≠ 0 .
Akar Persamaan Karakteristik :
a. Polinomial 𝜆 𝑛 + 𝑝 𝑛−1 𝜆 𝑛−1 + ⋯ + 𝑝 0 disebut polinomial karakteristik dari persamaan (3).
b. Persamaan 𝜆 𝑛 + 𝑝 𝑛−1 𝜆 𝑛−1 + ⋯ + 𝑝 0 = 0 merupakan persamaan karakteristik dari persamaan (3).
c. Solusi 𝜆 1 , 𝜆 2 , … , 𝜆 𝑘 dari persamaan karakteristik merupakan akar-akar karakteristik.
d. Solusi 𝜆 𝑘 memiliki kelipatan 𝑎 𝑘 dengan 𝑎 𝑘 ∈ ℕ , jika terdapat faktor (𝜆 − 𝜆 𝑘 ) 𝑎 𝑘 pada persamaan karakteristik dari persamaan (3) (Kelley, 2001).

## 2.  Batasan Sifat Solusi
Pada bahasan ini semua bahasan merujuk pada  (Elaydi, 2005). Dalam menyederhanakan solusi  persamaan  beda  diperlukan  batasan  sifat  solusi.  Hal  ini  dikarenakan  berkaitan  dengan osilasi  dan  stabilitas  dari  suatu  solusi.  Osilasi  merupakan  siklus  periodik  dari  fungsi  tertentu (Maha dan Kiftiah, 2021).

## Diberikan persamaan beda orde kedua
𝑦(𝑛 + 2) +   𝑝 1 𝑦(𝑛 + 1) + 𝑝 2 𝑦(𝑛) = 0, (4)
Misalkan 𝜆 1 dan 𝜆 2 adalah  akar karakteristik dari persamaan (4), maka ada tiga kasus berikut ini:
a. Jika 𝜆 1 dan 𝜆 2 adalah akar-akar real yang berbeda, maka 𝑦 1 (𝑛) = 𝜆 1 𝑛 dan 𝑦 2 (𝑛) = 𝜆 2 𝑛 adalah dua solusi yang bebas linier dari persamaan (4), mempunyai solusi umum
𝑦(𝑛) = 𝑎 1 𝜆 1 𝑛 + 𝑎 2 𝜆 2 𝑛 (5)
b. 𝜆 1 =   𝜆 2 = 𝜆 merupakan akar kembar real. Solusi umum dari persamaan (4) yaitu
𝑦(𝑛) = (𝑎 1 + 𝑎 2 𝑛)𝜆 𝑛 (6)
c. Akar kompleks 𝜆 1 = 𝑐 + 𝑖𝑑 , dan 𝜆 2 = 𝑐 − 𝑖𝑑 , di mana 𝑑 ≠ 0 . Solusi dari (4) adalah
(𝑛) = 𝑟 𝑛 [𝑎 1 cos(𝑛𝜃) + 𝑎 2 sin(𝑛𝜃)] (7)
Persamaan beda non homogen di mana nilainya konstan sebagai berikut.
𝑦(𝑛  +  2)   +   𝑝 1 𝑦(𝑛  +  1)   +   𝑝 2 𝑦(𝑛)   =  𝐾, (8)
di mana 𝐾 adalah konstanta bukan nol. Persaman (8) memiliki titik kesetimbangan atau solusi 𝑦(𝑛)   =   𝑌 ∗ , sehingga
𝑌 ∗ +   𝑝 1 𝑌 ∗ +   𝑝 2 𝑌 ∗ =  𝐾,
Atau
𝑌 ∗ = 𝐾 1 + 𝑝 1 + 𝑝 2 . (9)
Akibatnya, bentuk solusi dari (8)  yaitu
𝑦(𝑛) = 𝑌 ∗ + 𝑦 𝑐 (𝑛). (10)
𝑦 𝑐 (𝑛) adalah solusi umum dari persamaan (8) yang homogen.
Kondisi Koefisien
Bentuk kondisi 𝑝 1 dan 𝑝 2 untuk titik kesetimbangan (solusi) persamaan (4) dan persamaan (8) stabil secara asimtotik (semua solusi konvergen ke 𝑌 ∗ ) jika hanya jika
𝑖.  1 + 𝑝 1 + 𝑝 2 > 0 𝑖𝑖.  1 − 𝑝 1 + 𝑝 2 > 0 𝑖𝑖𝑖.  1 − 𝑝 2 > 0

## 3.   Pendapatan Nasional
Pendapatan nasional merupakan salah satu tolak ukur yang dapat digunakan untuk menilai kondisi  perekonomian  suatu  negara.  Perhitungan  pendapatan  nasional  ini  bertujuan  untuk mendapatkan  gambaran  tentang  tingkat  ekonomi  yang  telah  dicapai  dan  nilai output yang diproduksi,  komposisi  pembelanjaan  agregat,  sumbangan  dari  berbagai  sektor  perekonomian, serta  tingkat  kemakmuran  yang  dicapai.  Indentitas  keseimbangan  pendapatan  nasional  pada perekonomian tertutup yang ditinjau dari segi pengeluaran adalah sebagai berikut.
𝑌  =  𝐶  +  𝐼  +  𝐺
Berikut indentitas keseimbangan pendapatan nasional pada perekonomian terbuka yang ditinjau dari segi pengeluaran.
𝑌  =  𝐶  +  𝐼  +  𝐺  +   (𝑋 − 𝑀)
Di mana, 𝑌 adalah pendapatan nasional, 𝐶 adalah pengeluaran konsumsi, 𝐼 adalah investasi, 𝐺 adalah pengeluran pemerintah, 𝑋 adalah ekspor dan 𝑀 adalah impor (Dumairy, 2017d).

## 4.  Model Persamaan Beda Pendapatan Nasional
Di negara kapitalis, pendapatan nasional 𝑌(𝑛) pada perekonomian tertutup dalam periode tertentu 𝑛 dapat ditulis sebagai :
𝑌(𝑛) =  𝐶(𝑛) +  𝐼(𝑛) +  𝐺(𝑛),
(11)
di mana
𝐶(𝑛) = pengeluaran konsumen untuk pembelian barang konsumsi,
𝐼(𝑛)   = induksi investasi swasta untuk membeli peralatan modal,
𝐺(𝑛) = pengeluaran pemerintah,
di mana 𝑛 biasanya diukur dalam tahun.
Berikut ini beberapa asumsi yang diterima secara luas oleh para ekonom.
a. Pengeluaran  konsumen 𝐶(𝑛) sebanding  dengan  pendapatan  nasional 𝑌(𝑛  − 1) pada  tahun sebelumnya 𝑛  − 1 ,  yaitu,
𝐶(𝑛) = 𝛼𝑌(𝑛 − 1),
(12)
di mana 𝛼 > 0 biasa disebut kecenderungan mengkonsumsi marjinal.
b. Investasi swasta terinduksi 𝐼(𝑛) sebanding dengan peningkatan konsumsi 𝐶(𝑛) −  𝐶(𝑛 − 1) , yaitu,
𝐼(𝑛) =  𝛽 [𝐶(𝑛) − 𝐶(𝑛 − 1)], (13)
di mana 𝛽 > 0 disebut perubahan konsumsi dengan tingkat investasi .
c. Pengeluaran pemerintah 𝐺(𝑛) konstan selama bertahun-tahun, sedemikian rupa sehingga
𝐺(𝑛) = 1. (14)
Menggunakan  persamaan  (12),  persamaan  (13),  dan  persamaan  (14)  substitusikan  dalam persamaan (11)
𝑌(𝑛 + 2) − 𝛼(1 + 𝛽)𝑌(𝑛 + 1) + 𝛼𝛽𝑌(𝑛) = 1

## menghasilkan persamaan beda orde kedua
𝑌(𝑛 + 2) − 𝛼(1 + 𝛽)𝑌(𝑛 + 1) + 𝛼𝛽𝑌(𝑛) = 1, 𝑛 ∈   ℤ + .
Keadaan setimbang dari pendapatan nasional adalah 𝑌 ∗ = 1 (1−𝛼) stabil asimtotik (stabil dalam teori ekonomi) jika dan hanya jika kondisi berlaku sebagaimana Teorema 1.
i. 𝛼 < 1
ii. 1 + 𝛼 + 2𝛼𝛽 > 0
iii. 𝛼𝛽 < 1
Pendapatan nasional 𝑌(𝑛) berosilasi sekitar keadaan setimbang 𝑌 ∗ jika dan hanya jika
𝛼  < 4𝛽 (1 + 𝛽) 2 .
Berikut  contoh  konkret  di  mana 𝛼 = 1 2 , 𝛽 =  1,  maka 𝑌 ∗ sama  dengan  dua  kali  pengeluaran pemerintah. Oleh karena itu pendapatan nasional 𝑌(𝑛) selalu konvergen dalam mode osilasi ke 𝑌 ∗ = 2 , terlepas dari kondisi awalnya pendapatan nasional 𝑌(0) dan 𝑌(1) (Lihat Gambar 1).
𝑌(𝑛 + 2) − 𝑌(𝑛 + 1) + 1 2 𝑌(𝑛) = 1
Solusi umum dapat diberikan :
𝑌(𝑛) = ( 1 √2 ) 𝑛 [𝑎 1 cos ( 𝜋 4 𝑛) + 𝑎 2 sin ( 𝜋 4 𝑛)] + 2
Gambar 1 menggambarkan Solusi 𝑌(𝑛) jika 𝑌(0) = 1 dan 𝑌(1) = 2 , diperoleh 𝑎 1 = −1 dan 𝑎 2 = 1 , solusi khususnya:
𝑌(𝑛) = ( 1 √2 ) 𝑛 [− cos ( 𝜋 4 𝑛) + sin ( 𝜋 4 𝑛)] + 2
Gambar 1. Solusi dari 𝑌(𝑛 + 2) −  𝑌(𝑛 + 1) + 1 2 𝑌(𝑛) =  1, 𝑌(0) =  1, 𝑌(1) =  2.

## C. HASIL DAN PEMBAHASAN
Berikut persamaan pendapatan nasional pada perekonomian terbuka.
𝑌(𝑛) =  𝐶(𝑛) +  𝐼(𝑛) +  𝐺(𝑛) +  𝑋(𝑛) − 𝑀(𝑛),
(15)
dengan:
𝑌(𝑛) pendapatan nasional pada tahun ke 𝑛 ,
𝐶(𝑛) pengeluaran konsumsi pada tahun ke 𝑛 ,
𝐼(𝑛) Investasi pada tahun ke 𝑛 ,
𝐺(𝑛) pengeluaran pemerintah pada tahun  ke 𝑛 ,
𝑋(𝑛) Ekspor pada tahun ke 𝑛 ,
𝑀(𝑛) Impor pada tahun  ke 𝑛 ,
Asumsi-asumsi yang digunakan adalah sebagai berikut :

## Asumsi 1
Pengeluaran konsumen pada tahun ke 𝑛 , 𝐶(𝑛) sebanding dengan pendapatan nasional 𝑌(𝑛 − 1) pada tahun sebelumnya 𝑛 − 1 ,  yaitu,
𝐶(𝑛) = 𝛼𝑌(𝑛 − 1), (16)
di  mana 𝛼 > 0 biasa  disebut  kecenderungan  mengkonsumsi  marjinal.  Kecenderungan mengkonsumsi marjinal merupakan besarnya penambahan konsumsi untuk membeli barang atau jasa akibat peningkatan pendapatan.

## Asumsi 2
Investasi pada tahun ke 𝑛, 𝐼(𝑛) sebanding dengan peningkatan konsumsi
𝐶(𝑛) −  𝐶(𝑛 − 1) , yaitu,
𝐼(𝑛) =  𝛽 [𝐶(𝑛) − 𝐶(𝑛 − 1)]
=  𝛽[𝛼𝑌(𝑛 − 1) − 𝛼𝑌(𝑛 − 2)]
=  𝛼𝛽[𝑌(𝑛 − 1) − 𝑌(𝑛 − 2)],
(17)
di mana 𝛽 > 0 disebut perubahan konsumsi dengan tingkat investasi.

## Asumsi 3
Pengeluaran pemerintah pada tahun ke 𝑛 , 𝐺(𝑛) konstan selama bertahun-tahun, sedemikian rupa sehingga
𝐺(𝑛) = 1. (18)
(Elaydi, 2005) .

## Asumsi 4
Impor negara pada tahun ke 𝑛 bergantung pada pendapatan masa lalu dan pengganda 𝛾 𝑀(𝑛) = 𝛾 𝑌(𝑛 − 1) (19)
Angka  pengganda/ multiplier 𝑚 ialah  angka  yang  menunjukan  besaran  perubahan  pendapatan nasional 𝑌(𝑛) akibat perubahan impor.

## Asumsi 5
Impor juga merupakan  linier dari ekspor ke negara lain pada tahun ke 𝑛
𝑀(𝑛) = 𝛿𝑋(𝑛)
𝑋(𝑛)   = 1 𝛿 𝑀(𝑛) 𝑋(𝑛)   = 1 𝛿 𝛾 𝑌(𝑛 − 1) (20)
(Dassios dan Devine, 2016).
Dari persamaan (16) sampai dengan persamaan (20) disubstitusikan ke dalam persamaan (15), diperoleh
𝑌(𝑛) − (𝛼 + 𝛼𝛽 + 1 𝛿 𝛾 − 𝛾) 𝑌(𝑛 − 1) + (𝛼𝛽) 𝑌(𝑛 − 2) = 1.

## Persamaan pendapatan nasional dapat dibentuk persamaan beda orde dua sebagai berikut
𝑌(𝑛 + 2) − (𝛼 + 𝛼𝛽 + 1 𝛿 𝛾 − 𝛾) 𝑌(𝑛 + 1) + (𝛼𝛽) 𝑌(𝑛) = 1,   𝑛 ∈ ℤ +
(21)
Berdasarkan persamaan (9) keadaan setimbang dari pendapatan nasional yaitu
𝑌 ∗ = 1 1 − 𝛼 − 𝛾( 1 𝛿 − 1)
(22)
Keadaan setimbang 𝑌 ∗ stabil asimtotik jika dan hanya jika kondisi parameter berlaku.
Berdasarkan persamaan (22) diperoleh  keadaan setimbang pendapatan nasional 𝑌(𝑛) sebagai berikut
𝑌 ∗ = 1 2
Substitusikan nilai parameter pada persamaan (21) Persamaan beda yang homogen
𝑌(𝑛 + 2) + 5 6 𝑌(𝑛 + 1) + 1 6 𝑌(𝑛) = 0
Diperoleh  akar-akar  karakteristik 𝜆 1 = −1 2 dan 𝜆 2 = −1 3 Karena  akar-akar  karakteristik  adalah bilangan real negatif berbeda, maka solusi umumnya
i. 𝛼 + 1 𝛿 𝛾 − 𝛾 < 1
ii. 1 + 𝛼 + 2𝛼𝛽 + 1 𝛿 𝛾 − 𝛾 > 0
iii. 𝛼𝛽 < 1 (23)
Untuk  memperoleh  solusi  umum  dan  solusi  khusus  pendapatan  nasional  pada  persamaan (21) maka dilakukan pemilihan nilai parameter. Pada penelitian ini dipilih parameter yang sudah memenuhi  kondisi  kestabilan  pada  pertidaksamaan  (23).  Simulasi  dari  solusi  pendapatan nasional 𝑌(𝑛) berupa grafik agar dilihat kekonvergen solusi. Selanjutnya diberikan grafik untuk
melihat kondisi kestabilan dari titik kesetimbangan. Pilih masing-masing nilai parameter yang memenuhi persamaan (23).
1. Jika 𝛼 = 1 6 , 𝛽 = 1, 𝛿 = 2 dan 𝛾 = 7 3
Berdasarkan persamaan (7) dan persamaan (10)  maka solusi umumnya
𝑌(𝑛) = 1 2 + 𝑎 1 ( −1 2 ) 𝑛 + 𝑎 2 ( −1 3 ) 𝑛
diasumsikan  nilai  awal  pendapatan  nasional  adalah 𝑌(0) = 1, 𝑌(1) = 2 . Sehingga  solusi khusus persamaan beda pendapatan nasional adalah
𝑌(𝑛) = 1 2 − 10 ( −1 2 ) 𝑛 + 21 2 ( −1 3 ) 𝑛 .
Tabel 1 berikut ini adalah nilai Y(n), untuk n=1, 2, 3, …, 12 dengan parameter yang ditentukan adalah 𝛼 = 1 6 , 𝛽 = 1, 𝛿 = 2 dan 𝛾 = 7 3
Tabel 1 . Solusi pendapatan ketika 𝛼 = 1 6 , 𝛽 = 1, 𝛿 = 2 dan 𝛾 = 7 3 𝑛 𝑌(𝑛) 𝐶(𝑛) 𝐼(𝑛) 𝐺(𝑛) 𝑋(𝑛) 𝑀(𝑛) 0 1 − − − − − 1 2 − − − − − 2 −0,83333 0,333333 0,166667 1 2,333333 4,66667 3 1,36111 −0,13889 −0,47222 1 −0,97222 −1,9444 4 0,00463 0,226852 0,365741 1 1,587963 3,17593 5 0,76929 0,000772 −0,22608 1 0,005401 0,01080 6 0,35815 0,128215 0,127443 1 0,897505 1,79501 7 0,57332 0,059692 −0,06852 1 0,417846 0,83569 8 0,46254 0,095554 0,035862 1 0,668878 1,33776 9 0,51900 0,07709 −0,01846 1 0,539628 1,07926 10 0,49041 0,0865 0,00941 1 0,605497 1,21099 11 0,50482 0,081735 −0,00476 1 0,572148 1,14430 12 0,49758 0,084137 0,002402 1 0,588961 1,17792
Berdasarkan  pemilihan  nilai  parameter 𝛼 = 1 6 , 𝛽 = 1, 𝛿 = 2 dan 𝛾 = 7 3 yang  memenuhi kondisi  pada  pertidaksamaan  (23)  menghasilkan  akar  karakteristik  bilangan  real  negatif berbeda sehingga solusi pendapatan nasional 𝑌(𝑛) stabil dan akan selalu konvergen pada titik kesetimbangan 𝑌 ∗ = 1 2 seperti pada Gambar 2 berikut ini:
Gambar 2. Solusi pendapatan ketika 𝛼 = 1 6 , 𝛽 = 1, 𝛿 = 2 dan 𝛾 = 7 3
2. Jika 𝛼 = 2 3 , 𝛽 = 1 2 , 𝛿 = 1 dan 𝛾 = 1 2
Dengan cara yang sama diperoleh solusi umum sebagai berikut:
𝑌(𝑛) =  3 + 𝑎 1 ( 1 √3 ) 𝑛 sin( 𝜋 6 𝑛) + 𝑎 2 ( 1 √3 ) 𝑛 cos( 𝜋 6 𝑛)
diasumsikan  nilai  awal  pendapatan  nasional 𝑌(0) = 1, 𝑌(1) = 2 . Sehingga  solusi  khusus persamaan beda pendapatan nasional adalah
𝑌(𝑛) = 3 − 2 ( 1 √3 ) 𝑛 cos( 𝜋 6 𝑛)
Tabel 2 Solusi pendapatan ketika 𝛼 = 2 3 , 𝛽 = 1 2 , 𝛿 = 1 dan 𝛾 = 1 2 𝑛 𝑌(𝑛) 𝐶(𝑛) 𝐼(𝑛) 𝐺(𝑛) 𝑋(𝑛) 𝑀(𝑛) 0 1 − − − − − 1 2 − − − − − 2 2,66667 1,333333 0,333333 1 1 1 3 3 1,77778 0,222222 1 1,333334 1,33334 4 3,11111 2 0,111111 1 1,5 1,5 5 3,11111 2,074407 0,037037 1 1,555555 1,55555 6 3,07407 2,074407 0 1 1,555555 1,55555 7 3,03704 2,049383 −0,01235 1 1,537037 1,53704 8 3,01235 2,024691 −0,01235 1 1,518519 1,51852 9 3 2,008231 −0,00823 1 1,506173 1,50617 10 2,99589 2 −0,00412 1 1,5 1,5 11 2,99589 1,997257 −0,00137 1 1,497943 1,49794 12 2,99726 1,997257 0 1 1,497943 1,49794
-1 0 1 2 3 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Y(n)
Gambar 3 . Solusi pendapatan ketika 𝛼 = 2 3 , 𝛽 = 1 2 , 𝛿 = 1 dan 𝛾 = 1 2
Berdasarkan  pemilihan  nilai  parameter 𝛼 = 2 3 , 𝛽 = 1 2 , 𝛿 = 1 dan 𝛾 = 1 2 yang  memenuhi kondisi  pada  pertidaksamaan  (23)  menghasilkan  akar  karakteristik  bilangan  komplek sehingga solusi pendapatan nasional 𝑌(𝑛) stabil akan selalu konvergen dan berosilasi pada titik kesetimbangan 𝑌 ∗ = 3 seperti pada Gambar (3).
3. Jika 𝛼 = 1 4 , 𝛽 = 3, 𝛿 = 2 dan 𝛾 = 6
Dengan cara yang sama diperoleh solusi umum sebagai berikut:
𝑌(𝑛) = 4 15 + 𝑎 1 ( −1 2 ) 𝑛 + 𝑎 2 ( −3 2 ) 𝑛
diasumsikan nilai awal pendapatan nasional sebagai berikut: 𝑌(0) = 1, 𝑌(1) = 2
Sehingga solusi khusus persamaan beda pendapatan nasional adalah
𝑌(𝑛) = 4 15 + 17 6 ( −1 2 ) 𝑛 − 21 10 ( −3 2 ) 𝑛
Tabel 3 Solusi pendapatan ketika 𝛼 = 1 4 , 𝛽 = 3, 𝛿 = 2 dan 𝛾 = 6 𝑛 𝑌(𝑛) 𝐶(𝑛) 𝐼(𝑛) 𝐺(𝑛) 𝑋(𝑛) 𝑀(𝑛) 0 1 − − − − − 1 2 − − − − − 2 −3,75 0,5 0,75 1 6 12 3 7 −0,9375 −4,3125 1 −11,25 −22,5 4 −10,188 1,75 8,0625 1 21 42 5 16,125 −2,54688 −12,8906 1 −30,5625 −61,125 6 −23,609 4,03125 19,73438 1 48,375 96,75 7 36,125 −5,90234 −29,8008 1 −70,8281 −141,656 8 −53,543 9,03125 44,80078 1 108,375 216,75 9 80,9922 −13,3857 −67,251 1 −160,629 −321,258 10 −120,827 20,24805 100,9014 1 242,9766 485,9531 11 181,910 −30,2068 −151,365 1 −362,48 1 −724,963 12 −272,2 45,47754 227,053 1 545,7305 1091,461
0 2 4 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
y(n)
Gambar 4. Solusi pendapatan ketika 𝛼 = 1 4 , 𝛽 = 3, 𝛿 = 2 dan 𝛾 = 6
Berdasarkan  pemilihan  nilai  parameter 𝛼 = 1 4 , 𝛽 = 3, 𝛿 = 2 dan 𝛾 = 6 yang  tidak memenuhi kondisi pada pertidaksamaan (23) akan memiliki solusi pendapatan nasional 𝑌(𝑛) dari  akar  karakteristik  bilangan  real  negatif  berbeda  tidak  stabil  dan  menjauhi  titik kesetimbangan 𝑌 ∗ = 4 15 seperti pada Gambar 4.

## D. PENUTUP

## 1. Kesimpulan
Berdasarkan bahasan di atas dapat disimpulkan bahwa model persamaan beda penentuan pendapatan  nasional 𝑌(𝑛) pada  perekonomian  terbuka  merupakan  persamaan  beda  orde  dua dengan koefisien konstan. Bentuk persamaannya adalah:
𝑌(𝑛 + 2) − (𝛼 + 𝛼𝛽 + 1 𝛿 𝛾 − 𝛾) 𝑌(𝑛 + 1) + (𝛼𝛽) 𝑌(𝑛) = 1,
𝑛 ∈ ℤ + .
Kondisi  kestabilan  titik  kesetimbangan  model  persamaan  beda  pendapatan  nasional  pada perekonomian terbuka akan konvergen jika kondisi parameternya sebagai berikut
𝛼 + 1 𝛿 𝛾 − 𝛾 < 1, 1 + 𝛼 + 2𝛼𝛽 + 1 𝛿 𝛾 − 𝛾 > 0, 𝛼𝛽 < 1.
Apabila pemilihan nilai parameter 𝛼 = 1 6 , 𝛽 = 1, 𝛿 = 2, 𝛾 = 7 3 dan 𝛼 = 2 3 , 𝛽 = 1 2 , 𝛿 = 1, 𝛾 = 1 2 terpenuhi kondisi parameter menghasilkan grafik 𝑌(𝑛) akan selalu konvergen sekitar keadaan titik  kesetimbangan 𝑌 ∗ ,  sedangkan 𝛼 = 1 4 , 𝛽 = 3, 𝛿 = 2, 𝛾 = 6 tidak  terpenuhi  kondisi parameter menghasilkan grafik 𝑌(𝑛) tidak stabil dan menjauhi titik kesetimbangan 𝑌 ∗ .

## 2. Saran
Penelitian selanjutnya dapat mengembangkan model dengan melibatkan peubah wage (upah), rent (sewa), interest (bunga), dan profit (laba).
-500 0 500 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Y(n)

## DAFTAR PUSTAKA
Dassious, I. K., dan Devine, M. T., (2016). A Macroeconomic Mathematical Model for the National Income of Union of Countries with Interaction and Trade. Economic Struktures , 1-15.
Dumairy. (2017). Perekonomian Indonesia . Jakarta: Erlangga.
Elaydi, S. (2016). An Introduction to Difference Equation. USA: Springer Science Business Media, Inc. Garnadi,  A.  D.,  dan  Khatizah,  E.,  (2018).  Masalah  Dirichlet  untuk  Persamaan  Beda  dalam  Graf
Terboboti. Journal Of Mathematics And Its Applications , 9(2), 31–40.
Kelley, W. G., dan Peterson, A. C., (2001). Difference Equations. San Diego: Academic Press.
Lakshmikantham, V. d. (2017). Theory of Difference Equation: Numerical Methods and Applications.
USA: Marcel Dekker, Inc.
Maha,  F.,  dan  Kiftiah,  M.,  (2021).  Metode  Gupta  dalam  Menentukan  Solusi  Partikular  Persamaan.
Bimaster : Buletin Ilmiah Matematika, Statistika dan Terapannya , 10(4), 477–484.