Vol. 5, No. 1, Januari, 2024, Hal. 27-36 DOI: https://doi.org/10.20956/ejsa.v5i1.18487
Estimasi: Journal of Statistics and Its Application e-ISSN: 2721-3803, p-ISSN: 2721-379X http://journal.unhas.ac.id/index.php/ESTIMASI
Peta Kendali p Berdasarkan Metode Peningkatan Transformasi Akar Kuadrat
Riska Rasyid 1* , Erna Tri Herdiani 2 , Nurtiti Sunusi 3 123 Departemen Statistika, Fakultas MIPA, Universitas Hasanuddin, Makassar, 90245, Indonesia
*Corresponding author, email: riskarsyid@gmail.com

## Abstract
When  the  proportion  of  nonconformities  is  small,  the  effectiveness  of  the 𝑝 control  chart  performance becomes inadequate because it has a skewness that causes asymmetryc. Therefore, the Improved Square Root  Transformation  (ISRT)  method  is  used  to  construct  the 𝑝 attribute  control  chart  to  increase  the accuracy of the chart control limit which is called the ISRT- 𝑝 control chart. In this study, the effectiveness of the ISRT- 𝑝 control chart perfomance is compared with the 𝑝 control chart after being applied to the data on  the  number  of  defects  in  the  newspaper  production  process  at  PT.  Radar  Sulteng  Membangun.  The results showed that the production process at PT. Radar Sulteng Membangun was not in a statistically controlled and the ARL value obtained on the ISRT- 𝑝 control chart is much smaller than the ARL value for the 𝑝 control chart, so that the ISRT- 𝑝 chart is more effective and sensitive to detecting changes in the production process which produces in a small proportion of nonconformities.
Keywords : 𝑝 Control Chart, Improved Square Root Transformation, ISRT- 𝑝 Control Chart, ARL.

## Abstrak
Ketika proporsi ketidaksesuaian kecil, efektivitas kinerja peta kendali 𝑝 menjadi kurang memadai karena memiliki  kemiringan  yang  menyebabkan  asimetris.  Dengan  demikian,  digunakan  metode  peningkatan transformasi akar kuadrat dalam membentuk peta kendali 𝑝 untuk meningkatkan akurasi garis batas grafik yang disebut peta kendali ISRT- 𝑝 . Pada penelitian ini, efektivitas kinerja peta kendali ISRT- 𝑝 dibandingkan dengan peta kendali 𝑝 setelah diaplikasikan pada data jumlah cacat proses produksi koran di PT. Radar Sulteng Membangun. Hasil yang diperoleh adalah proses produksi pada PT. Radar Sulteng Membangun berada dalam keadaan tidak terkendali secara statistik serta nilai ARL yang diperoleh pada peta kendali ISRT- 𝑝 jauh lebih kecil dibandingkan dengan nilai ARL untuk peta kendali 𝑝 . Oleh karena itu, peta kendali ISRT- 𝑝 lebih efektif dan sensitif dalam mendeteksi perubahan proses produksi yang menghasilkan proporsi ketidaksesuaian kecil.
Kata Kunci : Peta Kendali 𝑝 , Peningkatan Transformasi Akar Kuadrat, Peta Kendali ISRT- 𝑝 , ARL.

## 1. Pendahuluan
Peta  kendali 𝑝 digunakan  untuk  mengendalikan  proporsi  ketidaksesuaian  yang diasumsikan berdistribusi binomial dengan pendekatan distribusi normal. Xie, dkk (2002) menyatakan  bahwa  pendekatan  distribusi  normal  terhadap  distribusi  binomial memperoleh hasil yang baik ketika proporsi ( 𝑝 ) berada pada kisaran ( 0,1 < 𝑝  < 0,9 ) atau ketika 𝑛𝑝(1 − 𝑝) > 25 [1]. Fleiss, dkk (2003) menunjukkan bahwa peta kendali atribut yang  diasumsikan  berdistribusi  binomial  dengan  pendekatan  distribusi  normal mendapatkan hasil yang baik ketika data proporsi terletak dalam kisaran ( 0,3  ≤ 𝑝 ≤ 0,7 ) dengan ukuran sampel 𝑛 yang besar untuk 𝑛𝑝  ≥ 5 [2]. Namun, saat ini proses produksi seringkali  menghasilkan  tingkat  ketidaksesuaian  yang  kecil  atau 𝑝 ≤ 0,1 dan  ukuran

## Peta Kendali p Berdasarkan Metode Peningkatan Transformasi Akar Kuadrat
Riska Rasyid, Erna Tri Herdiani, Nurtiti Sunusi
sampel tidak cukup besar sehingga kinerja peta kendali 𝑝 dianggap tidak memadai [3]. Pada saat terjadi tingkat ketidaksesuaian yang kecil, maka batas tengah peta kendali 𝑝 akan mendekati nol sehingga distribusi data juga akan semakin mendekati bahkan bernilai nol. Jika nilai BPB ≤ 0 maka akan dianggap BPB = 0, karena proporsi ketidaksesuaian tidak mungkin bernilai negatif. Akibatnya, garis BPB = 0 akan menyebabkan distribusi menjadi tidak simetris. Semakin kecil nilai 𝑝 , maka distribusi akan semakin tidak simetris [4]. Distribusi yang tidak simetris ketika dianalisis menggunakan peta kendali simetris, dapat menimbulkan error yang besar. Oleh karena itu, Chan, dkk (2002) juga mengatakan bahwa  ketika  tingkat  ketidaksesuaian  kecil,  maka  pemantauan  dengan  peta  kendali 𝑝 tidak memberikan hasil yang baik [5].
Untuk  meningkatkan  kinerja  peta  kendali 𝑝 ,  beberapa  peneliti  telah  mengusulkan metode  diantaranya  Ryan  dan  Schwertman  (1997)  menggunakan  metode  transformasi arcsin  untuk  membuat  bagan  kendali  dalam  memantau  proporsi  ketidaksesuaian  yang disebut  dengan  peta  kendali 𝑝 arcsin  [6].  Chen  (1998)  menunjukkan  peta  kendali 𝑝 modifikasi ekspansi Cornish-Fisher yang dibentuk berdasarkan ekspansi Cornish-Fisher dan memberikan hasil yang lebih baik dari peta kendali 𝑝 dalam memantau pengendalian proses untuk tingkat ketidaksesuaian yang kecil [7]. Wang (2009) mengevaluasi empat grafik pengendali yaitu peta kendali 𝑝 , peta kendali 𝑝 arcsin, peta kendali 𝑝 modifikasi ekspansi  Cornish-Fisher,  dan  peta  kendali  CPC  ( Cumulative  Probability  Control ), menyimpulkan bahwa keempat peta kendali tersebut dapat berfungsi dengan baik ketika proporsi ketidaksesuaian proses ( 𝑝 ) diketahui dan tidak dapat bekerja dengan baik ketika 𝑝 tidak diketahui [8].
Tsai,  dkk  (2006)  mengusulkan  metode  peningkatan  transformasi  akar  kuadrat ( Improved  Square  Root  Transformation /ISRT)  untuk  data  berdistribusi  binomial  dan Poisson, serta dapat diaplikasikan pada tiga grafik pengendali atribut yang salah satunya adalah peta kendali ISRT- 𝑝 [3] . Pada penelitian tersebut, peneliti juga membandingkan peta kendali 𝑝 dengan peta kendali 𝑝 alternatif lainnya yang diketahui seperti peta kendali 𝑝 arcsin,  peta  kendali 𝑝 modifikasi  ekspansi  Cornish-Fisher,  peta  kendali  Q,  dan  peta kendali 𝑝 berbasis regresi. Penelitian tersebut menunjukkan bahwa peta kendali ISRT- 𝑝 memiliki batas kendali yang lebih efektif untuk tingkat ketidaksesuaian yang kecil atau 𝑝  ≤ 0,1 , ukuran sampel kecil dan ketika 𝑝 tidak diketahui. Berdasarkan uraian tersebut, penelitian ini mengkaji tentang peta kendali ISRT- 𝑝 pada data berdistribusi binomial yang memiliki tingkat ketidaksesuaian kecil.

## 2. Material dan Metode
Jenis data yang digunakan dalam penelitian ini adalah data sekunder yang diperoleh berdasarkan penelitian Nitafiyah, dkk (2019) [9]. Data yang digunakan merupakan data proporsi proses produksi koran di PT. Radar Sulteng Membangun yang berupa data cacat dengan total produksi sebanyak 49.727 eksemplar dalam 20 hari kerja terhitung mulai tanggal 1 Maret 2018 sampai dengan tanggal 24 Maret 2018. Variabel yang digunakan

## Peta Kendali p Berdasarkan Metode Peningkatan Transformasi Akar Kuadrat
Riska Rasyid, Erna Tri Herdiani, Nurtiti Sunusi
yaitu jenis kecacatan produk koran yang diamati pada PT. Radar Sulteng Membangun terdiri dari koran kotor (terdapat bercak tinta di lembaran koran), tidak register (warna satu  dengan  yang  lain  belum  menyatu),  lipatan  tidak  simetris,  dan  terpotong  (terdapat bagian  yang  terpotong  melebihi  garis  tepi).  Data  diaplikasikan  pada  peta  kendali 𝑝 berdasarkan metode peningkatan transformasi akar kuadrat (peta kendali ISRT- 𝑝 ) dan peta kendali 𝑝 yang digunakan sebagai pembanding untuk melihat efektivitas kinerja peta kendali ISRT- 𝑝 .
2.1 Peta Kendali 𝑝
Peta kendali 𝑝 merupakan salah satu grafik pengendali atribut yang digunakan untuk mengendalikan proporsi cacat (bagian tidak sesuai). Pandang 𝑋 ~ 𝐵𝐼𝑁(𝑛, 𝑝) , dengan 𝑋 biasanya  menunjukkan  banyak  item  yang  tak  sesuai  dengan  ukuran  sampel 𝑛 .  Jika 𝑝̂ adalah penaksir untuk parameter 𝑝 dengan 𝑝̂ = ! " , maka untuk membuat peta kendali 𝑝 dicari terlebih dahulu mean dan standar deviasi dari 𝑝̂ yaitu:
𝜇 #$ = 𝐸(𝑝̂) = 𝐸 > 𝑋 𝑛 ? = 𝑛𝑝 𝑛 = 𝑝 (1)
𝜎 #$ =   A𝜎 #$ % = B𝑉𝑎𝑟(𝑝̂) = F𝑉𝑎𝑟 > 𝑋 𝑛 ? = F 1 𝑛 % 𝑉𝑎𝑟(𝑋)
= F 𝑛𝑝(1 − 𝑝) 𝑛 %
= A #('(#) " (2)
Apabila 𝑝̂ merupakan  proporsi  ketidaksesuaian  dalam  proses  produksi  diketahui, maka batas-batas pengendali peta kendali 𝑝 adalah:
𝐺𝑇 = 𝜇 #$ = 𝑝 (3) 𝐵𝑃𝐴 = 𝜇 #$ + 𝑤𝜎 #$ = 𝑝 + 3A #('(#) " (4)
𝐵𝑃𝐵 = 𝜇 #$ − 𝑤𝜎 #$

## Peta Kendali p Berdasarkan Metode Peningkatan Transformasi Akar Kuadrat
Riska Rasyid, Erna Tri Herdiani, Nurtiti Sunusi
= 𝑝 − 3A #('(#) " (5)
Semakin  besar  nilai 𝑤 maka  semakin  kecil  nilai  kesalahan  pada  proses  produksi, sehingga  nilai 𝑤 yang  umumnya  digunakan  adalah  3  dengan  dasar  bahwa  batas-batas tersebut  memberikan  hasil  yang  baik  dalam  prakteknya  di  lapangan.  Oleh  karena  itu, pendekatan dengan distribusi normal ini biasa disebut batas kendali 3-sigma [10]. Apabila proporsi  ketidaksesuaian  tidak  diketahui,  maka 𝑝̂ harus  ditaksir  dari  data  pengamatan. Untuk mengestimasi nilai 𝑝 digunakan rata-rata dari keseluruhan proporsi 𝑝̂ * yaitu 𝑝̂ pada ukuran sampel 𝑛 dengan banyaknya pengamatan 𝑚 dinyatakan sebagai:
𝑝̅ = ' + ∑ 𝑝̂ * = ∑ ! ! " !#$ "+ + *-' , 𝑖 = 1,2,3, … , 𝑚
2.2 Peta Kendali ISRT- 𝒑
Misalkan 𝑋 variabel acak binomial dengan ukuran sampel n dan parameter 𝑝 , maka 𝑝̂ = ! " adalah proporsi ketidaksesuaian binomial dengan rata-rata 𝑝 dan standar deviasi A #('(#) " . Jika 𝑔(𝑝̂) =   B𝑝̂ , maka dengan menggunakan ekspansi deret Taylor orde dua, diperoleh:
𝑔(𝑝̂) = 𝑔(𝑝) + 𝑔 . (𝑝)(𝑝̂ − 𝑝) + / %% (#) % (𝑝̂ − 𝑝) %
Ekuivalen dengan,
√𝑛 U𝑔(𝑝̂) − 𝑔(𝑝) − / %% (#) % (𝑝̂ − 𝑝) % V = 𝑔′(𝑝)√𝑛(𝑝̂ − 𝑝) (6)
Berdasarkan  Teorema  Limit  Pusat,  diketahui 𝑍 = √"(!1(2)
3 ~ 𝑁(0,1) dengan √𝑛(𝑋Y − 𝜇) ~ 𝑁(0, 𝜎 % ) . Dalam kasus ini, didapatkan bahwa kedua ruas pada Persamaan (6) memiliki distribusi asimtotik yang sama, yaitu:
√𝑛 Z𝑔(𝑝̂) − 𝑔(𝑝) − 𝑔 .. (𝑝) 2 (𝑝̂ − 𝑝) % [ ~ 𝑁(0, [𝑔 . (𝑝)] % 𝑝(1 − 𝑝))
Diketahui 𝜀 =   |𝑝̂ − 𝑝| sebagai  kesalahan  estimasi  mutlak  dalam  proses,  sehingga dapat ditunjukkan persamaan standarisasi sebagai berikut:
𝑍 = /(#$)(/(#) |/.(#)|3 & ' − / %% (#)5 ( %|/ % (#)|3 & ' ~ 𝑁(0,1) (7)
Selanjutnya untuk membuat sebuah peta kendali, perlu dilakukan penentuan batas- batas kendalinya. Penentuan batas-batas kendali dapat dilakukan dengan terlebih dahulu menentukan interval kepercayaannya yaitu:
𝑃 ^−𝑍 ) ( < 𝑍  < 𝑍 ) ( _ = 1 − 𝛼 (8)
Subtitusi Persamaan (7) kedalam Persamaan (8) maka diperoleh,
𝑃 $𝑔(𝑝) − 𝑍 * + |𝑔 , (𝑝)|𝜎 -. + 𝑔 ,, (𝑝)𝑒 + 2 < 𝑔(𝑝̂) < 𝑔(𝑝) + 𝑍 * + |𝑔 , (𝑝)|𝜎 -. + 𝑔 ,, (𝑝)𝑒 + 2 1 = 1 − 𝛼
Karena  pendekatan  yang  digunakan  adalah  pendekatan  distribusi  normal,  maka berdasarkan  tabel  distribusi  normal  standar  nilai 𝑍 ) ( dapat  diketahui,  yaitu  jika 𝛼 =

## Peta Kendali p Berdasarkan Metode Peningkatan Transformasi Akar Kuadrat
Riska Rasyid, Erna Tri Herdiani, Nurtiti Sunusi
0,0027 maka nilai 𝑍 ) ( yang sesuai adalah 3. Oleh karena itu, peta kendali ISRT- 𝑝 dapat dibentuk dengan batas-batas kendali sebagai berikut:
𝐺𝑇 #(6789 = 𝑔(𝑝)
𝐵𝑃𝐴 #(6789 = 𝑔(𝑝) +  3|𝑔 . (𝑝)|𝜎 #$ + / %% (#) % 𝜀 % 𝐵𝑃𝐵 #(6789 = 𝑔(𝑝) −  3|𝑔 . (𝑝)|𝜎 #$ + / %% (#) % 𝜀 %
Selanjutnya,  kesalahan  estimasi  mutlak  yang  digunakan  ialah 3A #('(#) " .  Dengan demikian, batas-batas kendali peta kendali ISRT- 𝑝 dapat ditulis sebagai berikut:
𝐺𝑇 #(6789 =   B𝑝 (9)
𝐵𝑃𝐴 #(6789 =   B𝑝 + : % A '(# " − ; < ^ '(# "√# _ (10)
𝐵𝑃𝐵 #(6789 =   B𝑝 − : % A '(# " − ; < ^ '(# "√# _ (11)
Jika parameter 𝑝 tidak diketahui, maka dapat diestimasi dengan menggunakan rata- rata  dari  keseluruhan  proporsi 𝑝̂ * yaitu 𝑝̂ pada  ukuran  sampel 𝑛 dengan  banyaknya pengamatan 𝑚 yang dinyatakan dengan persamaan:
𝑝̅ = ∑ 𝑋 * + *-' 𝑚𝑛 = ∑ 𝑝 = a + *-' 𝑚

## 2.3 Average Run Length
Setelah mengaplikasikan data pada peta kendali ISRT- 𝑝 dan peta kendali 𝑝 , langkah selanjutnya adalah menghitung dan membandingkan nilai ARL peta kendali 𝑝 dan peta kendali  ISRT- 𝑝 untuk  melihat  efektivitas  kinerja  peta  kendali. Average  Run  Length (ARL) berfungsi untuk mengukur efektivitas kinerja grafik pengendali dalam mendeteksi perubahan pada suatu proses [11]. Peta kendali yang lebih cepat mendeteksi sinyal out of control disebut lebih sensitif terhadap perubahan proses. Secara umum persamaan untuk perhitungan ARL adalah sebagai berikut:
𝐴𝑅𝐿 = ' # (12)
dengan 𝑝 adalah probabilitas suatu titik keluar dari batas-batas peta kendali.
Untuk ARL 0 , 𝑝 = 𝛼 = probabilitas kesalahan/ error tipe I (menyatakan keadaan tidak terkendali  padahal  keadaan  terkendali)  atau  probabilitas  suatu  titik  rata-rata  sampel berada  di  luar  batas  kendali  pada  saat  proses  terkendali, 𝛼 disebut  juga  sebagai probabilitas false alarm . Untuk ARL 1 , nilai 𝑝 = 1 −  𝛽  = probabilitas kesalahan/ error tipe  II  (menyatakan  keadaan  terkendali  padahal  keadaan  tidak  terkendali)  atau probabilitas suatu titik rata-rata sampel berada di dalam batas kendali pada saat proses tidak terkendali.

## 3. Hasil dan Diskusi
3.1 Aplikasi Peta Kendal 𝒑 pada Data

## Peta Kendali p Berdasarkan Metode Peningkatan Transformasi Akar Kuadrat
Riska Rasyid, Erna Tri Herdiani, Nurtiti Sunusi
Untuk membuat suatu peta kendali 𝑝 , langkah pertama yang harus dilakukan ialah menentukan rata-rata dan standar deviasi dari data jumlah cacat proses produksi koran menggunakan Persamaan (1) dan (2) sebagai berikut:
𝜇 #$ =   𝑝̅
=  0.002091
𝜎 #$ $ = F 𝑝̅(1 − 𝑝̅) 𝑛 '
= 0,000882
Selanjutnya,  menghitung  proporsi  cacat  untuk  pengamatan  pertama  yang  dapat dituliskan sebagai berikut:
𝑝 ' = 𝑥 ' 𝑛 ' = 0.001119
Dengan menggunakan cara yang sama, diperoleh nilai standar deviasi dan proporsi cacat  untuk  pengamatan  kedua  sampai  dengan  pengamatan  kedua  puluh.  Langkah selanjutnya  adalah  menentukan  batas-batas  kendali  peta  kendali 𝑝 yaitu  nilai  Garis Tengah (GT), Batas Pengendalian Atas (BPA), serta Batas Pengendalian Bawah (BPB) berdasarkan Persamaan (3), (4) dan (5) dengan penjabaran sebagai berikut:
𝐵𝑃𝐴 # $ = 𝑝̅ + 3F 𝑝̅(1 − 𝑝̅) 𝑛 '
=  0.004739 𝐺𝑇 # $ = 𝑝̅
=  0.002091 𝐵𝑃𝐵 # $ =   𝑝̅ − 3F 𝑝̅(1 − 𝑝̅)
𝑛 '
= −0,000556
Dengan cara yang sama, diperoleh nilai GT, BPA, dan BPB untuk pengamatan kedua sampai dengan pengamatan kedua puluh. Setelah semua nilai diperoleh, dibentuk peta kendali 𝑝 seperti pada Gambar 1. Gambar 1 menunjukkan bahwa terdapat 1 titik yang berada di luar Batas Pengendalian Atas (BPA), yaitu titik ke-13 yakni proses produksi pada tanggal 14 Maret 2018 sehingga mengakibatkan proses produksi koran di PT. Radar Sulteng Membangun dalam keadaan tidak terkendali secara statistik. Titik yang berada di luar batas kendali ini menunjukkan bahwa telah terjadi penyebab-penyebab terduga yang membuat proses produksi koran di PT. Radar Sulteng Membangun tidak sesuai dengan target produksi. Terkait dengan hal tersebut, perlu dianalisis lebih lanjut sehingga dapat segera dilakukan perbaikan untuk proses produksi kedepannya.

## Peta Kendali p Berdasarkan Metode Peningkatan Transformasi Akar Kuadrat
Riska Rasyid, Erna Tri Herdiani, Nurtiti Sunusi

## Gambar 1. Peta Kendali p

## 3.2 Aplikasi Peta Kendali ISRT- 𝒑 pada Data
Langkah pertama yang harus dilakukan dalam membuat peta kendali ISRT- 𝑝 ialah menghitung proporsi cacat pada setiap pengamatan. Berdasarkan nilai proporsi cacat yang telah dihitung pada peta kendali 𝑝 , dapat dihitung proporsi cacat pada peta kendali ISRT- 𝑝 untuk pengamatan pertama dengan penjabaran sebagai berikut:
B𝑝 ' =   F 𝑥 ' 𝑛 '
= 0,033457
Selanjutnya, menghitung nilai standar deviasi. Untuk pengamatan pertama, diperoleh hasil perhitungan standar deviasi yaitu:
𝜎 >#$ $ = 1 2B𝑝 F 𝑝(1 − 𝑝) 𝑛 '
= 0,009648
Dengan  menggunakan  cara  yang  sama,  diperoleh  nilai  proporsi  cacat  dan  standar deviasi  untuk  pengamatan  kedua  sampai  dengan  pengamatan  kedua  puluh.  Langkah selanjutnya adalah menentukan batas-batas kendali peta kendali ISRT- 𝑝 dengan merujuk pada Persamaan (9), (10), dan (11), sehingga diperoleh batas-batas kendali peta kendali ISRT- 𝑝 untuk pengamatan pertama adalah sebagai berikut:
𝐺𝑇 #(6789 $ = 0,045732 𝐵𝑃𝐴 #(6789 $ = 0.065517 𝐵𝑃𝐵 #(6789 $ =  0.007627
Dengan menggunakan perhitungan yang sama, diperoleh nilai Garis Tengah (GT), Batas  Pengendalian  Atas  (BPA),  dan  Batas  Pengendalian  Bawah  (BPB)  untuk pengamatan kedua sampai dengan pengamatan kedua puluh. Setelah didapatkan batas- batas pengendalinya, peta kendali ISRT- 𝑝 dari data proporsi cacat proses produksi koran dapat dibentuk seperti pada Gambar 2.

## Peta Kendali p Berdasarkan Metode Peningkatan Transformasi Akar Kuadrat

## Gambar 2. Peta Kendali ISRT- 𝑝
Berdasarkan Gambar 2, dapat dilihat bahwa terdapat 1 titik yang berada di luar Batas Pengendalian Atas (BPA), yaitu titik ke-13 yakni proses produksi pada tanggal 14 Maret 2018 sama dengan peta kendali 𝑝 yang terlihat pada Gambar 1. Dengan demikian, dapat disimpulkan  bahwa  proses  produksi  koran  di  PT.  Radar  Sulteng  Membangun  dalam keadaan tidak terkendali secara statistik. Hal ini juga menunjukkan bahwa terdapat faktor- faktor yang menjadi penyebab cacat pada proses produksi koran di PT. Radar Sulteng Membangun.  Apabila  dibandingkan  dengan  peta  kendali 𝑝 ,  peta  kendali  ISRT- 𝑝 juga menggunakan  nilai-nilai  Batas  Pengendalian  Bawah  (BPB)  sebagai  batas  kendalinya karena  BPB  yang  diperoleh  bernilai  positif.  Selanjutnya,  akan  dianalisis  efektivitas kinerja peta kendali ISRT- 𝑝 yang dibandingkan dengan peta kendali 𝑝 menggunakan nilai Average Run Length (ARL).

## 3.3 Menghitung Nilai Average Run Length (ARL)
Untuk  menentukan  nilai  ARL  pada  kedua  peta  kendali  tersebut,  digunakan  nilai ARL 1 atau kesalahan tipe II merujuk pada Persamaan (12) berikut:
𝐴𝑅𝐿 = ' '(? dengan:
𝛽 = 𝑃 >𝑍  ≤ 𝐵𝑃𝐴 − 𝜇 ' 𝜎 o 𝜇 ' =   𝜇 @ + 𝑘𝜎? − 𝑃 >𝑍 ≤ 𝐵𝑃𝐵 − 𝜇 ' 𝜎 o 𝜇 ' =   𝜇 @ + 𝑘𝜎?
Berdasarkan nilai batas-batas kendali dari peta kendali 𝑝 dan peta kendali ISRT- 𝑝 yang diaplikasikan pada data proporsi cacat proses produksi koran di PT. Radar Sulteng Membangun, diperoleh hasil perhitungan nilai ARL untuk peta kendali 𝑝 dan peta kendali ISRT- 𝑝 dengan merujuk pada persamaan di atas menggunakan nilai pergeseran proses yakni 𝑘 = 0,001 , 𝑘 = 0,05 , dan 𝑘 = 0,1 adalah sebagai berikut:

## Peta Kendali p Berdasarkan Metode Peningkatan Transformasi Akar Kuadrat
Riska Rasyid, Erna Tri Herdiani, Nurtiti Sunusi
Tabel 1. Nilai ARL untuk Peta Kendali 𝑝 dan Peta Kendali ISRT- 𝑝 Sampel 𝒌 = 𝟎, 𝟎𝟎𝟏 𝒌 = 𝟎, 𝟎𝟓 𝒌 = 𝟎, 𝟏 𝒑 ISRT- 𝑝 𝒑 ISRT- 𝑝 𝒑 ISRT- 𝑝 1 370,397 49,414 365,888 43,964 352,931 39,103 2 370,395 45,352 365,886 40,409 352,929 35,994 3 370,398 48,566 365,889 43,223 352,932 38,454 4 370,396 39,971 365,888 35,693 352,930 31,865 5 370,398 47,613 365,889 42,389 352,932 37,725 6 370,398 46,415 365,889 41,339 352,932 36,808 7 370,398 47,518 365,889 42,305 352,932 37,653 8 370,395 45,373 365,887 40,427 352,930 36,011 9 370,398 47,120 365,889 41,957 352,932 37,348 10 370,397 48,317 365,888 43,005 352,931 38,264 11 370,397 40,340 365,888 36,017 352,931 32,150 12 370,397 46,866 365,888 41,735 352,931 37,154 13 370,397 44,089 365,889 39,303 352,932 35,027 14 370,399 46,844 365,890 41,715 352,933 37,136 15 370,395 45,163 365,887 40,244 352,930 35,850 16 370,398 44,109 365,889 39,320 352,932 35,042 17 370,397 41,528 365,888 37,058 352,931 33,062 18 370,398 42,410 365,889 37,832 352,932 33,739 19 370,397 44,915 365,888 40,026 352,931 35,659 20 370,397 43,951 365,888 39,182 352,931 34,921
Pada Tabel 1, ditunjukkan bahwa nilai ARL yang diperoleh untuk peta kendali ISRT- 𝑝 lebih kecil dibandingkan nilai ARL untuk peta kendali 𝑝 pada semua nilai 𝑘 yaitu ketika 𝑘 = 0,001 , 𝑘 = 0,05 ,  dan 𝑘 = 0,1 .  Apabila  nilai  ARL  yang  dihasilkan  semakin  kecil maka sampel yang dibutuhkan untuk memberikan sinyal perubahan proses pun semakin kecil. Atau dengan kata lain, semakin kecil nilai ARL maka semakin cepat pula grafik pengendali  dapat  mendeteksi  perubahan  proses.  Oleh  karena  itu,  dapat  disimpulkan bahwa  peta  kendali  ISRT- 𝑝 lebih  baik  dan  lebih  sensitif  dibandingkan  peta  kendali 𝑝 dalam  mendeteksi  perubahan  proses  produksi  yang  menghasilkan  proporsi ketidaksesuaian  kecil  dalam  kasus  ini  yaitu  pada  proses  produksi  koran  di  PT.  Radar Sulteng Membangun.

## 4. Kesimpulan
Berdasarkan  hasil  yang  diperoleh,  dapat  disimpulkan  bahwa  perbandingan  grafik pengendali 𝑝 dan  ISRT- 𝑝 menunjukkan  bahwa  proses  produksi  di  PT.  Radar  Sulteng Membangun  berada  dalam  keadaan  tidak  terkendali  secara  statistik  disebabkan  oleh proses produksi pada tanggal 14 Maret 2018 berada di luar batas kendali. Pada kedua

## Peta Kendali p Berdasarkan Metode Peningkatan Transformasi Akar Kuadrat
Riska Rasyid, Erna Tri Herdiani, Nurtiti Sunusi
grafik  tersebut,  juga  diketahui  bahwa  batas-batas  kendali  yang  diperoleh  pada  peta kendali  ISRT- 𝑝 dapat  memberikan  hasil  yang  lebih  baik  pada  saat  proporsi ketidaksesuaian kecil dibandingkan peta kendali 𝑝 karena pada grafik pengendali ISRT- 𝑝 digunakan  Batas  Pengendalian  Bawah  (BPB).  Hal  tersebut  diperkuat  dengan membandingkan nilai ARL masing-masing peta kendali menggunakan nilai pergeseran proses  sebesar  0,1,  0,05,  dan  0,001,  yang  menunjukkan  bahwa  nilai  ARL  untuk  peta kendali ISRT- 𝑝 jauh lebih kecil dibandingkan dengan nilai ARL untuk peta kendali 𝑝 . Oleh  karena  itu,  peta  kendali  ISRT- 𝑝 lebih  efektif  dan  sensitif  dalam  mendeteksi perubahan proses produksi yang menghasilkan proporsi ketidaksesuaian kecil.
Penelitian  ini  menggunakan  peta  kendali  atribut 𝑝 ,  sehingga  untuk  penelitian berikunya dapat menggunakan peta kendali atribut lainnya seperti peta kendali c , n 𝑝 , dan u serta dapat menggunakan metode pendekatan atau distribusi yang lain.

## Daftar Pustaka
[1]   Xie, M., Goh, T. N., & Kuralmani, V. Statistical Models and Control Charts for High Quality Processes . Kluwer Academic Publication, Massachusetts. 2002.
[2]   Fleis, J.L., Levin, B., & Paik, M. Statistical Method for Rates and Proportion . John Wiley and Sons, New Jersey. 2003.
[3]  Tsai, T. R., Lin, C. C., & Wu, S. J. Alternative Attribute Control Charts Based on Improved Square Root Transformation. Tamsui Oxford Journal of Mathematical Sciences, 22(1), 61-72, 2006.
[4]  Octavia,  T.,  Prajogo,  D.I.,  &  Prabudy,  L.  M.  Studi  tentang  Peta  Kendali  p  yang Distandarisasi untuk Proses Pendek Kualitas. Jurnal Teknik Industri, 2(1), 53-64, 2000.
[5]  Chan,  L.Y.,  Lin,  D.K.J.,  Xie,  M.,  &  Goh,  T.N.  Cumulative  Probability  Control Chart for Geometric and Exponential Process Characteristics. International Journal of Production Research, 14, 133-150, 2002.
[6]  Ryan, T. P., & Schwertman, N.C. Optimal Limits for Attributes Control Charts. Journal of Quality Technology, 29(1), 86-98, 1997.
[7]  Chen, G. An Improved p Chart Through Simple Adjustments. Journal of Quality Technology, 30, 142-151, 1998.
[8]  Wang, H. Comparison of p Control Charts for Low Defective Rate. Computational Statistics and Data Analysis, 53, 4210-4220, 2009.
[9]  Nitafiyah, Z., Kaseng, S., & Syamsuddin. Analisis Pengendalian Kualitas Produk Koran pada PT. Radar Sulteng Membangun di Kota Palu. Jurnal Ilmu Manajemen Universitas Tadulako, 5(3), 287-297 , 2019.
[10]  Montgomery, D. C. Introduction to Statistical Quality Control (6th edition).  Jhon Wiley and Sons, New York. 2009.
[11]  Delsen, M. S. N. V. dan Talakua, M. W. Kinerja Diagram Kontrol W dan Diagram Kontrol G. Jurnal Ilmu Matematika dan Terapan , 10(2), 137-147, 2016.