## FUNGSI GELOMBANG ION HELIUM DALAM REPRESENTASI RUANG POSISI MENGGUNAKAN PERSAMAAN SCHRODINGER
1) Muhamad Sukron Makmun, 1) Bambang Supriadi, 1) Trapsilo Prihandono
1) Program Studi Pendidikan Fisika, FKIP, Universitas Jember muhamadsukron32@gmail.com

## Abstract
The  helium  ion  is  one  of  the  ions  included  in  the  hydrogenic  atom because it only has a single electron in its outer orbital so  that the problem in helium ions can be solved by using the Schrodinger equation approach in spherical  coordinates.  This  research  was  conducted  to  examine  the  helium ion solution in the representation of positional space using the Schrodinger equation  at  the  quantum  number  n≤2.  The  type  of  research  used  is  basic research,  namely  the  development  of  theories  from  the  existing  ones.  The method used is literature study. The results obtained in the form of a radial wave function and a simulation of the radial probability in positional space.
Key word : Helium Ion, Schrodinger's Equation, Position Space, Wave Function, Probability

## PENDAHULUAN
Awal munculnya teori fisika kuantum  diawali  dari  beberapa  percobaan.
Salah  satunya  mengenai  sifat  dualisme partikel  gelombang  yaitu  efek  fotolistrik dan  efek  compton  yang  tidak  dapat dijelaskan  teori  klasik.  Dalam  percobaan tersebut,  partikel  dan  gelombang  tidak dapat dibedakan kapan berperilaku sebagai partikel  dan  kapan  berperilaku  sebagai gelombang  karena  kedua  hal  tersebut memiliki  kaitan  yang  sangat  fundamental. Salah  satu  perkembangan  yang  paling berpengaruh  saat  ini  adalah  gejala  atom hidrogen. Atom Hidrogen merupakan atom yang  paling  sederhana  dan  ringan  karena hanya  terdiri  dari  sebuah  proton  dan sebuah  elektron  pada  orbitalnya.  Helium merupakan salah satu atom gas mulia yang memiliki  2  proton,  2  neutron,  dan  2 elektron  dalam  orbitalnya.  Apabila  salah satu elektron dalam atom Helium terionisasi  sehingga  menjadi  ion  Helium dan berperilaku seperti atom-atom hidrogenik.  Hal  ini  telah  dijelaskan  oleh Gautreau dan Savin, 2006: 89 bahwa atom hidrogenik yaitu atom-atom yang memiliki elektron  tunggal  dalam  orbital  terluarnya
sehingga  ion ini  memiliki  perilaku seperti  hidrogen  dalam  seluruh  aspeknya, kecuali bahwa nukleusnya memiliki muatan positif Ze , dimana Z adalah nomor atomnya. Helium memiliki beberapa manfaat,  diantaranya  digunakan  sebagai pengisi balon udara, digunakan sebagai zat pendingin,  dan  digunakan  untuk  membuat udara  buatan  dimana  biasanya  dipakai dalam penyelaman dasar laut., Helium juga memiliki beberapa kelebihan yang dinyatakan  oleh  Alimah  dan  Sriyono, 2016:  123-124  yaitu  dapat  digunakan sebagai pendingin karena memiliki karakterisktik  sebagai  gas  ideal  atau  gas inert ,  tidak  mengalami  perubahan  sifat fisik  maupun  kimia  pada  temperature sangat  tinggi,  tidak  bereaksi  pada  zat  atau gas lain, efektif untuk keperluan perpindahan panas, dan mudah dimampatkan sampai lebih dari 5 MPa Persamaan Schrodinger merupakan  persamaan  differensial  orde dua  yang  telah  ditemukan  oleh  Erwin Schrodinger dimana persamaan ini memberikan  informasi  mengenai  perilaku gelombang  dari  suatu  partikel  seperti fungsi gelombang dan probabilitas.  Fungsi
gelombang  pada  atom  hidrogenik  menurut Idris-Bey dan Al-Hashimi (2018) merupakan  bentuk  kuantitas  kompleks yang  terdiri  dari  fungsi  radial  dan  fungsi angular.  Hal  ini  juga  dinyatakan  oleh Supriadi et  al (2018)  menyimpulkan bahwa  persamaan  Schrodinger  dapat digunakan  untuk  mengetahui  karakteristik atom dimana dengan menggunakan bilangan  kuantum  yang  berbeda  dapat menghasilkan  fungsi  gelombang  yang berbeda pula. Meskipun fungsi gelombang
( ) dapat memberikan informasi mengenai keadaan  suatu  sistem  setiap  saat  namun secara  fisis  belum  memiliki  makna.  Akan tetapi,  nilai  mutlak  dari  fungsi  gelombang dikuadratkan  dan  diintergralkan  terhadap variabel  tertentu,  maka  hal  ini  dapat memberikan  informasi  mengenai  makna fisis  berupa  nilai  probabilitas.  Nilai probabilitas  dari  fungsi  gelombang  radial menyatakan  peluang  ditemukan  suatu partikel  dalam  posisi r tertentu  di  dalam atom  di  mana  secara  matematis  dapat dituliskan ∫ (Warsono, 2007). Pemecahan  permasalahan  dalam atom  hidrogenik  dapat  dilakukan  dengan menggunakan persamaan schrodinger. Penelitian sebelumnya telah dilakukan oleh Ganesan  dan  Balaji  (2008)  mengatakan bahwa  untuk  menyelesaikan  permasalahan atom  berelektron  tunggal  atau  bersifat hidrogenik yaitu dengan mengubah koordinat  kartesius  ke  koordinat  polar  dan butuh  pemahaman  materi  tentang  polinom laguerre  dan  legendre..  Hal  ini  juga  telah dinyatakan  oleh  penelitian  Azis  dan Abdullah  (2015)  menyimpulkan  bahwa teknik  pendekatan  spektral  dan  pemisahan operator  dengan  menerapkan  fungsi  basis Chebyshev  dan  fungsi  basis  operator- operatornya  berupa:  operator  laplacian radian  satu  dimensi,  operator  potensial, dan  operator  sudut  dapat  menyelesaikan persamaan schrodinger tiga dimensi dalam koordinat bola.
Solusi  berupa  fungsi  gelombang dapat  diperoleh  dengan  menggunakan pendekatan  persamaan  schrodinger  dalam
koordinat  menggunakan  metode  separasi variabel  dalam  keadaan  tunak  yang  dapat dituliskan sebagai berikut:
(1)
Untuk  memudahkan  penyelesaian  dapat digunakan  operator  laplacian  yang  dapat diberikan sebagai berikut: ( ) ( ) (2) Substitusi persamaan (2) ke dalam persamaan (1) diperoleh: * ( ) ( ) + (3)
Metode  separasi  variabel  dapat  dituliskan sebagai berikut:
(4)
Dengan  mesubstitusi  persamaan  (4)  ke dalam  persamaan  (3)  diperoleh  bentuk sebagai berikut:
* ( ) + * ( ) + (5)
Dari  persamaan  (5)  diperoleh  tiga  bentuk persamaan  yaitu  persamaan  radial  yang bergantung  pada  jari-jari ,  persamaan polar  bergantung  pada  sudut dan persamaan  azimuth  bergantung  pada  sudut .  Persamaan  radial  dapat  dituliskan sebagai berikut:
( ) (6) Apabila  dipilih  suatu  konstanta  pemisah dengan nilai serta dengan mendefiniskan ,  substitusi ke dalam persamaan (6) diperoleh: ( ) (7) Sehingga  diperoleh  solusi  radial  sebagai berikut:
√( ) (      ) ( ) (8)
Persamaan polar dapat dituliskan sebagai berikut:
( )   * + (9)
Solusi  dari  persamaan  (9)  diberikan  deret polinom  legendre  terasosiasi dapat diberikan sebagai berikut:
(10) merupakan  polinomial  legendre yang  didapatkan  dari  rumus  rodrigues dimana  berdasarkan  Damanik,  2010:  92 dapat dituliskan sebagai berikut:
(11)
Sehingga  diperoleh  solusi  umum  dari persamaan polar sebagai berikut:
√ (12) Persamaan azimuth dapat dituliskan sebagai berikut: (13) Persamaan (13) merupakan bentuk persamaan  differensial  orde  dua  dimana dengan memisalkan dan , maka diperoleh: (14) Dengan  menggunakan  rumus  abc,  maka diperoleh nilai sebagai berikut:
(15)
Kemudian, kedua ruas dikalikan dengan dan diintegralkan didapatkan: (16)
Solusi  persamaan  schrodinger  berupa fungsi  dapat  diperoleh  dengan  mengalikan ketiga fungsi  yakni  fungsi  radial,  fungsi polar  dan  fungsi  azimuth  yakni  dapat dituliskan sebagai berikut:
(17)
Peluang  ditemukan  suatu  partikel  dalam suatu  ruang  tertentu  disebut  probabilitas.
Bentuk  formula  dari  probabilitas  radial berdasarkan  Krane,  2012:  208  dapat dituliskan sebagai berikut: ∫ (18)

## METODE PENELITIAN
Penelitian ini merupakan jenis
penelitian non eksperimen di mana metode yang  digunakan  adalah  study  literature
yaitu  mengembangkan  teori  yang  sudah ada sebelumnya. Dalam melakukan penelitian  ini  terdapat  beberapa  langkah- langkah,  diantaranya  yaitu  persiapan, pengembangan  teori,  validasi,  simulasi, pembahasan, dan kesimpulan.
Tahapan  awal  berupa  persiapan.  Pada tahap  ini,  mempersiapkan  beberapa  bahan yang  dapat  dijadikan  sebagai  sumber informasi  guna  mendukung  penelitian, yaitu berupa buku fisika matematika, fisika atom,  fisika  modern,  fisika  kuantum, mekanika  kuantum,  jurnal  mengenai  ion Helium  dan  Persamaan  Schrodinger  untuk atom  berelektron  tunggal  baik  berskala nasional  maupun  internasional  dan  artikel- artikel yang relevan dengan topik penelitian. Tahap kedua yaitu pengembangan teori Pada yaitu mengembangkan  teori  yang  sudah  ada dalam  literatur  atau  buku  mengenai Persamaan Schrodinger untuk atom berelektron tunggal. Persamaan Schrodinger  atom  berelektron  tunggal menggunakan persamaan Schrodinger
tidak  bergantung  waktu  dalam  koordinat bola  dimana  dalam  penyelesaian  ini menggunakan  metode  separasi  variabel. Dari  separasi  variabel  tersebut,  diperoleh tiga  persamaan  yaitu  persamaan  radial yang  hanya  bergantung  jari-jari  dan persamaan angular yang hanya bergantung pada  sudut.  Persamaan  angular  dibagi menjadi  dua  yaitu  persamaan  polar  yang hanya  bergantung  pada  sudut dan persamaan azimuth yang hanya bergantung pada  sudut .  Dari  persamaan  tersebut dapat  diperoleh  solusi  yang  berupa  fungsi gelombang  dimana  gabungan  dari  ketiga persamaan tersebut merupakan solusi atom berelektron tunggal ternormalisasi. Adapun teori yang dikembangkan adalah Persamaan Schrodinger ion Helium dengan bilangan kuantum . Tahapan  selanjutnya  yang  dilakukan adalah  validasi  alat  simulasi  di  mana peneliti  melakukan  validasi  alat  simulasi dari  hasil  pengembangan  teori  dimana menggunakan  validasi  terhadap  fungsi gelombang  dari  atom  hidrogen  dan
hasilnya dicocokkan dengan buku literature atau penelitian-penelitian sebelumnya.  Selanjutnya,  adalah  tahapan simulasi/pengambilan data yakni melakukan pengambilan data secara analitik yaitu menentukan fungsi gelombang, probabilitas, dan harga ekspektasi  pada  ion  Helium  dengan bilangan kuantum kemudian diambil data  secara  numerik  untuk  memperoleh bentuk  grafik  fungsi  radial  dan  grafik probabilitas  radial.  Setelah  pengambilan data, langkah selanjutnya yaitu pembahasan di mana membahas lebih rinci mengenai  perhitungan  fungsi  gelombang, probabilitas, dan harga ekspektasi pada ion Helium  dengan  bilangan  kuantum dan  langkah  terakhir  berupa  kesimpulan yaitu  peneliti  menyimpulkan  hasil  dari pembahasan guna menjawab semua rumusan masalah yang ada.

## HASIL DAN PEMBAHASAN
Berdasarkan studi literatur diperoleh  data  ketetapan  untuk  mencari jari-jari  atom  bohr  ion  Helium  ( ) sebagai berikut: Konstanta planck ( ); massa Proton ( );  massa  elektron  ( );  massa  neutron  ( )  dan  konstanta  struktur halus (
.  Nilai  massa  tereduksi  ion  Helium
( )  dapat  dicari  dengan  menggunakan persamaan dan  diperoleh hasil  sebesar  9,1077608645938 kg.  Untuk  mencari  jari-jari  atom  bohr  ion Helium  ( )  dengan (jumlah elektron)  menggunakan  massa  tereduksi, maka  dapat  menggunakan  persamaan serta  diperoleh  hasil sebesar .  Setelah melakukan  pengembangan  teori  atom hidrogenik  berupa  ion  Helium  ( ) maka  diperoleh  hasil  simulasi  berupa fungsi  gelombang  ion  Helium  ( ) dalam representasi ruang posisi pada Tabel (1) sebagai berikut:
Tabel 1. Hasil Simulasi Fungsi Gelombang Ion Helium (
) dalam Representasi Ruang Posisi dengan Bilangan Kuantum n L m 1 0 0 √ √ 2 0 0 ( ) √ √ 2 1 0 √ ( ) √ √ 2 1 √ ( ) √ √
Fungsi  Gelombang  Ion  Helium merupakan  solusi  persamaan  Ion  Helium yang dapat diperoleh dengan menggunakan persamaan  schrodinger  dalam  koordinat bola menggunakan metode separasi variabel, di mana berupa kuantitas kompleks  yang  terdiri  dari  fungsi  radial bergantung  pada dan  fungsi  angular bergantung  pada  sudut  ( ).  Fungsi angular  terbagi  menjadi  dua,  yakni  fungsi polar  dan  fungsi  azimuth.  Secara  fisis, fungsi gelombang radial dapat merepresentasikan  bahwa  elektron  dapat ditemukan  pada  jarak  orbit  elektron  ( ) ketika  mengorbit  pada  inti  atom  (proton) diukur  dari  pusat  atom.  Sedangkan  fungsi gelombang polar merepresentasikan bentuk  orbital  elektron  berdasarkan  sudut teta  ( )  yang  memotong  bidang xy serta fungsi gelombang azimuth merepresentasikan gerakan elektron berotasi  terhadap  sudut  phi  ( )  secara periodik  disekitar  sumbu z .  Solusi  Ion Helium  dapat  diartikan  gabungan  dari fungsi  gelombang  radial  dan  angular  yang merepresentasikan  keberadaan  elektron dan bentuk orbital ketika mengorbit inti.
Fungsi  gelombang  yang  diperoleh terdiri  dari  fungsi  gelombang  radial  yang bergantung  pada  bilangan  kuantum  utama ( n ) dan bilangan kuantum orbital ( l ), fungsi gelombang polar bergantung pada bilangan kuantum  orbital  ( l )  dan  bilangan  kuantum
magnetik  ( m )  serta  fungsi  gelombang azimuth  yang  hanya  bergantung  pada bilangan  kuantum  magnetik  ( m ).  Ketiga bilangan  kuantum  tersebut  yaitu  bilangan kuantum  utama  ( n ),  bilangan  kuantum orbital ( l ), dan bilangan kuantum magnetik ( m ) masing-masing merepresentasikan tingkat  energi  orbital,  bentuk  orbital,  dan orientasi  ruang  orbital.  Selain  itu,  pada fungsi gelombang radial terdapat polinomial  laguerre  terasosiasi  dan  pada fungsi gelombang polar terdapat polinomial legendre terasosiasi. Dalam mekanika kuantum, meskipun fungsi gelombang dapat memberikan  informasi  keadaan  sistem setiap saat namun hal ini belum sepenuhnya  memiliki  makna  fisis.  Akan tetapi,  ketika  nilai  mutlak  dari  fungsi gelombang dikuadratkan dan diintergralkan  terhadap  variabel  tertentu, maka  hal  ini  dapat  memberikan  informasi mengenai makna fisis berupa nilai probabilitas  di  mana  secara  matematis dapat dituliskan
∫ merupakan  jumlah  parsial  dari (Warsono,  2007).  Berikut  ini  merupakan hasil  simulasi  probabilitas  radial  elektron ion  helium  ( )  dalam  ruang  posisi dengan  bilangan  kuantum disajikan dalam Tabel (2) sebagai berikut: Tabel 2. Hasil Simulasi Probabilitas Radial Ion Helium ( ) dalam Representasi Ruang Posisi dengan Bilangan Kuantum R n = 1 n = 2 l = 0 l = 0 l = 1 0.32332358381694 0.03431646692496 0.00365984682734 0.79852797222392 0.05265301734371 0.05265301734371 0.93803119558334 0.07271585164853 0.18473675547623 0.986246032256 0.17579625000696 0.37116306482013 Untuk  mengetahui  peluang  ditemukan elektrn  pada  posisi  tertentu  di  dalam atom  dapat  dilakukan  menggunakan nilai probabilitas. Semakin besar bilangan  kuantum  utama  dan  bilangan kuantum  orbital  maka  nilai  probabilitas semakin  kecil.  Namun,  semakin  besar
nilai  interval  posisi  partikel r yang diukur  dari  inti  atom  maka  nilai probabilitas  semakin  besar  karena  nilai probabilitas ini berbanding lurus dengan . Hal ini juga dapat ditunjukkan dalam grafik pada Gambar (1) sebagai berikut:
Gambar  1.  Hasil  Simulasi  Grafik  Rapat Probabilitas  Radial  Ion  Helium  ( ) dalam  Representasi  Ruang  Posisi  dengan Bilangan Kuantum Sumbu ordinat menyatakan posisi  elektron  ( r )  diukur  dari  inti  atom sedangkan pada sumbu absis menyatakan  simpangan untuk probabilitas. Pada keadaan diperoleh  tiga  jenis  grafik  yaitu , ,  dan di  mana  masing-masing  menghasilkan sebuah titik puncak maksimun, dua buah titik puncak maksimum, dan sebuah titik puncak maksimum. nilai tiap-tiap simpangannya  tidak  ada  yang  bernilai negatif, sedangkan nilai fungsional pada posisi r =  0  adalah  0,  artinya  peluang untuk  menemukan  elektron  pada  posisi 0  yaitu  tidak  ada.  Peluang  ditemukan elektron  sangat  besar  dapat  ditemukan pada  jarak  tertinggi  yang  diukur  dari nilai  titik  puncak  yang  disebut  dengan serta  dapat  memberikan  informasi mengenai  ukuran  kulit  elektron  dan ukuran  atom  (Ohno,  2004:  81).  Nilai probabilitas  untuk  menemukan  elektron semakin  kecil  ketika  bilangan  kuantum utama  semakin  besar  di  mana  hal  ini ditandai dengan menurunnya nilai simpangan namun  semakin  besar interval  posisi r maka  semakin  besar pula nilai probabilitas yang diperoleh.

## Saran
Perlu  diadakan  penelitian  lebih lanjut mengenai atom hidrogenik berupa Ion  Helium  ( )  dengan  bilangan kuantum lainnya
berupa harga
ekspektasi, energy atom, atau ketidakpastian  baik  posisi  maupun momentum dalam ruang posisi.

## DAFTAR PUSTAKA
Alimah,  Siti.,  Sriyono.  2016.  Kajian Sistem  Pemurnian  Helium  Reaktor HTGRBerdaya Kecil. Jurnal Pengembangan Energi Nuklir Vol 18
(2): 123-133.
Anderson,  E.  E.  1982. Introduction  to Modern  Physics .  1982.  Philadelphia:
Saunders College Publishing.
Alberty, R. A., Daniels, Farrington. 1987.
Kimia Fisika.  Jakarta:  PT  Midas SuryaGrafindo.
Azis,  S.  A.,  Abdullah,  Z.  2015.  Teknik
Pemisahan  Operator  dan  Pendekatan Spektral  sebagai  Solusi  Persamaan Schrodinger Bergantung Waktu pada Atom Hidrogen. Jurnal Fisika Unand . Vol 4 (3): 255-262.
Beiser, Arthur. 2003. Concepts of Modern Physics  Six  Edition .  New  York:  The McGraw-Hill Companies, Inc.
Boas, M. L. 2006. Mathematical Methods in  the  Physical  Sciences  Third Edition .United  States  of  America: John Wiley and Sons, Inc.
Damanik,  Asan.  2010. Fungsi-Fungsi Khusus . Yogyakarta: Graha Ilmu.
Dong, Xiao., Organov, A. R., Goncharov,
A.  F.  2014.  A  Stable  Compound  of Helium and Sodium at High Pressure. Journal of Nature Chemistry 9 (5):440-445 . Ganesan,  L.  R.,  Balaji,  M.  2008. Schrodinger Equation for the Hydrogen Atom ASimplified Treatment. Journal of Chemistry . Vol
5 (3): 659-662.
Gasiorowics,  S.1996. Quantum  Physics Second  Edition .  Canada:  John  Wiley &Sons, Inc.
Gautreau,  W.,  Savin,  W.  2006. Fisika
Modern . Jakarta: Erlangga. Goswami, Amit. 1992. Quantum
Mechanics . Dubuque: Wm.C. Brown Publishers. Griffith,  D.  J.  2005. Introduction  to Quantum Mechanics: Second Edition . ReedCollege,  United  States of America. Pearson Prentice Hall.
Hanafi, I., Supriadi, B., Handayani, R. D., 2016.  Tingkat  Energi  Atom  Helium dengan  Pendekatan  Model  Partikel Bebas  (Independent  Particle  Model). Seminar  Nasional  Pendidikan  2016 . Vol 1. ISSN: 2527-5917.
Hermanto,  W.  2016.  Fungsi  Gelombang Atom  Deuterium  dengan  Pendekatan Persamaan Schrodinger. Jurnal Fisika Prosiding  Semnas  UNESA.  ISBN 978-602-72071-1-0.
Idris-Bey,  K.,  Al-Hashimi,  M.  H.  2018. Modeling of the Waves Function and ofthe  Energy  States  of  Hydrogen Stored  in  a Spherical  Cavity.
Advances inScience,  Technology  and Engineering  System  Journal .  3(2): 157-163.
Kozlowski,  M.,  Marciak,  J.  2010. Modified  Schrodinger  Equation  for Particleswith  Mass  of  the  Order  of Human Neuron Mass. Neuroquantology . Vol 8(4): 564-570. Krane,  K.  2012. Modern  Physics  Third Edition .  USA:  John  Wiley  &  Son, Inc. McMahon, David. 2006. Quantum Mechanics Demistified . United States ofAmerica: The McGraw-Hill Companies, Inc.
Ohno,  K.  2004.  Quantum  Chemistry.
Tokyo:  Permission  of  Iwanami
Shoten.
Purwanto,  Agus.  2016. Fisika  Kuantum .
Surabaya: Gava Media.
Sani,  R.  A.,  Kadri,  M.  2017. Fisika Kuantum . Jakarta: Bumi Aksara.
Singh,  R.  B.  2009. Introduction  to Modern  Physics  Volume  1 .  New Delhi: NewAge International Publisher. Siregar,  R.  E.  2019. Mekanika  Kuantum
Molekul .  Jatinangor:  Departemen FisikaUniversitas Padjajaran.
Spake, J. J., D. K. Sing., T. M. Evans., V. Bourrier.  2018.  Helium  in  the
ErodingAtmosphere of an Exoplanet. Journal of Nature 557(7703): 68-70 . Sriyono., Febrianto. 2011. Desain Konseptual Sistem Pemurnian Helium padaRGTT200K untuk Menjamin Keselamatan Pengoperasiannya. ISSN,15(3), 132. Sudiarta, I. W. 2019. Mekanika Kuantum . Mataram: CV. Garuda Ilmu. Sugiyono, Vani. 2016. Mekanika Kuantum . Yogyakarta: CPAS.
Sukardjo.  2013. Kimia  Fisika .  Cetakan Ketiga. Jakarta: PT. Rineka Cipta.
Supriadi,  B.,  Ridlo,  Z.  R.,  Fuadah,  F.,
Halim, M. A., Maulana, M., Santoso., Y. R.2018. Solution of Spherical  Equation  in  3  Dimensions forHydrogenAtom  with  Quantum Numbers . Journal  of Physics:Conf.Series.  1211  (2019) 012054, 1-12 . doi:10.1088/1742 6596/1211/1/012054 Supriyadi.,  Arkundato,  A.  2006.  Metode Elemen  Hingga  untuk  Penyelesaian Persamaan Schrodinger Atom Hidrogenik. Jurnal Matematika,
Sains, danTeknologi .  Vol  7  (1):  11- 23.
Vaughn,  M.  T.  2007. Introduction  to Mathematical  Physics .  Germany:
Wiley.
Warsono.  2007.  Visualisasi  Probabilitas Elektron  Atom  Hidrogenik  Dengan GUI( Graphical User Interface )
MATLAB). Jurnal Pendidikan
Fisika.
Wiyatmo,  Yusman.  2008. Fisika  Atom . Yogyakarta: Pustaka Pelajar.
Yusron,  M.,  Firdausi,  K.  S.,  Sumariyah.
2007. Review Probabilitas MenemukanElektron  dengan  Fungsi Gelombang  Simetri  dan  Antisimetri pada Molekul . Jurnal Fisika . Vol
10 (1): 7-12.
Zettili, Nouredine. 2009. Quantum Mechanics Concept and Applications . NewDelhi:  John  Ram
Nagar.