## AKSIOMA: Jurnal Matematika dan Pendidikan Matematika
Vol. 13, No. 3 Desember 2022 e-ISSN 2579-7646
Evaluasi dari metode: trapesium, simpson 1/3, simpson 3/8 dan newton cotes orde 4-10 untuk menghitung integral tertentu secara numerik

## Mulyono, Muhammad Eka Suryana, Chiko T. Siswoyo, Andri Rahmanto
Program Studi Ilmu Komputer FMIPA UNJ, Jln. Rawamangun Muka, Jakarta 13220 email korespondensi: mulyono@unj.ac.id

## Abstrak
Integral tertentu adalah integral yang menangani perhitungan integral diantara batas-batas integral  yang  telah  ditentukan.  Penelitian  ini  bertujuan  untuk  mengevaluasi  dan membandingkan  sejumlah  metode  untuk  menghitung  integral-integral  tertentu  secara numerik,  khususnya  untuk  fungsi-fungsi  yang  cukup  rumit  maupun  fungsi  yang ditabulasikan yaitu fungsi f(x) yang tidak diketahui secara eksplisit. Metode yang dimaksud diantaranya  adalah  metode  Trapesium,  metode  Simpson  1/3,  metode  Simpson  3/8,  dan metode Newton-Cotes orde 4 sampai dengan 10. Faktor utama sebagai pertimbangan dalam membandingkan  metode-metode  tersebut  di  atas  adalah  akurasi  penyelesaian  numerik. Penelitian  ini  memberikan  hasil  bahwa untuk  soal  integral  yang  dapat  dihitung  secara analitik, maka hasil perhitungan dengan metode Newton-Cotes orde 6 dan dengan banyak partisi 12 ( n=12) besar kesalahannya adalah 0,000026% sementara dengan metode Newton- Cotes orde 6 dan dengan n=30 diperoleh besar kesalahan 0,00000002 %  sedangkan dengan metode  Newton-Cotes  orde  10  dan  menggunakan  n=30,  maka  besar  kesalahannya  adalah 0,00000000  %,  sehingga  bisa  disimpulkan  bahwa  metode  integral  numerik  yang  terbaik adalah  metode  Newton-Cotes  Orde  Tertinggi  yang  bisa  digunakan,  karena  kesalahannya paling kecil.
Kata unci : Metode Trapesium; Metode Simpson 1/3 dan 3/8; Metode Newton-Cotes orde 4- 10.

## Absract
Certain  integrals  are  integrals  that  handle  integral  computations  between  predetermined integral boundaries. This study aims to evaluate and compare several methods to calculate certain integrals numerically, especially for quite complex and tabulated functions, namely the  function  f(x),  which  is  not  explicitly  known.  The  methods  in  question  include  the Trapezoidal method, the Simpson 1/3 method, the Simpson 3/8 method, and the Newton- Cotes method of orders 4 to 10. The main factor in comparing the methods mentioned above is the accuracy of the numerical solution. This study shows that for integral problems that can be calculated analytically, the results of calculations using the Newton-Cotes method of order 6 and with many partitions of 12 ( n = 12), the error is 0.0000026%. In contrast, with the Newton-Cotes method of order 6 and with n = 30, the error is 0.000000002 %, while with the Newton-Cotes method of order 10 and using n = 30, the error is 0.00000000 % , so that it can be  concluded  that  the  best  numerical  integral  method  is  the  highest  order  Newton-Cotes method that can be used, because the error is the smallest.
Keywords: Trapezoidal method; Simpson 1/3 and 3/8 method; Newton-Cotes method of order 4-10

## AKSIOMA: Jurnal Matematika dan Pendidikan Matematika
Vol. 13, No. 3 Desember 2022 e-ISSN 2579-7646

## A. Pendahuluan
Integral tertentu menangani perhitungan integral diantara batas-batas integral yang telah ditentukan, yang biasanya dinyatakan sebagai berikut :
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 𝑥=𝑏
𝑥=𝑎 =   𝐹(𝑥)| 𝑥 = 𝑏 𝑥 = 𝑎 = 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎) .
Secara  Geometri,  nilai  dari  integral  tertentu ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 𝑥=𝑏 𝑥=𝑎 sama  dengan luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = f(x), garis x = a dan garis x = b. Fungsi-fungsi  yang  dapat  diintegralkan  adalah  fungsi  kontinu  yang sederhana maupun fungsi kontinu yang cukup rumit, misalnya menghitung integral  berikut  ini  : ∫ 5+cos(3+ 𝑥 0,5 ) √3+0,5 sin 7 𝑥 𝑒 0,5𝑥 3 𝑑𝑥 𝑥=4 𝑥=1 .  Untuk  integral  dari  fungsi yang cukup rumit seperti ini, jelas sulit untuk diselesaikan dengan metode- metode integrasi yang sederhana, dan hanya bisa dihitung dengan metode numerik (Conte & Boor, 1992; Munir, 2013).
Demikian pula untuk fungsi yang ditabulasikan, yaitu fungsi yang nilai dari x dan f(x) pasangannya diberikan pada sejumlah titik diskrit dan pada umumnya fungsi f(x) tidak diketahui secara eksplisit, fungsi seperti ini sering dijumpai  pada  data  hasil  eksperimen  di  laboratorium  atau  berupa  data pengamatan  di  lapangan.  Untuk  menghitung  integral  dari  fungsi  yang ditabulasikan seperti ini harus dikerjakan secara numerik ( Otto & Denier, 2005; Karris, 2007).
Untuk  menghitung  integral  tertentu  dari ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 𝑥=𝑏 𝑥=𝑎 ada  banyak metode,  yang  pada  artikel  ini  akan  digunakan  metode  Trapesium,  metode Simpson  1/3  atau  metode  Newton-Cotes  Orde  2,  metode  Simpson  3/8  atau metode Newton-Cotes orde 3, dan metode Newton-Cotes orde 4, 5, 6, 7, 8, 9 dan 10.
Berikut  ini  adalah  sejumlah  metode  integral  numerik  yang  akan digunakan dan dibandingkan hasilnya (Chapra & Canale, 1991; Triatmodjo, 1992; Munir, 2013; Yang dkk, 2020 ):
1. Metode Trapesium
Perhatikan Gambar 1 berikut ini :
Gambar 1. Pias yang berbentuk trapesium Gambar 1 di atas adalah sebuah pias berbentuk trapesium dari x  =  x 0 dan  x  =  x 1 .  Luas  satu  pias  tersebut  adalah ∫ f(x) dx 𝑥 1 𝑥 0 =

## AKSIOMA: Jurnal Matematika dan Pendidikan Matematika
Vol. 13, No. 3 Desember 2022 e-ISSN 2579-7646
ℎ
2 (𝑓(𝑥 0 ) +  𝑓(𝑥 1 )) , yang disebut metode trapesium. Bila suatu luasan pada interval [a, b] dibagi menjadi n pias, maka metode integrasi yang diperoleh adalah Metode Trapesium Gabungan sebagai berikut:
∫ f(x) dx b a = ∫ f(x) dx x 1 x 0 + ∫ f(x) dx x 2 x 1 + ⋯ . + ∫ f(x) dx x n x n−1 = ℎ 2 [𝑓(𝑥 0 ) + 𝑓(𝑥 1 )] + ℎ 2 [𝑓(𝑥 1 ) +  𝑓(𝑥 2 )] + ⋯ + ℎ 2 [𝑓(𝑥 𝑛−1 ) + 𝑓(𝑥 𝑛 )] = h 2 [f(x 0 ) + f(x n ) +
2 ∑ f(x i ) n−1 i=1 ] (1)

## 2. Metode Simpson 1/3
Hampiran  nilai  integral  yang  lebih  baik  dapat  ditingkatkan menggunakan polinom interpolasi derajat yang lebih tinggi, misalkan fungsi  f(x)  dihampiri  dengan  polinom  interpolasi  derajat  2  yang grafiknya  berbentuk  parabola.  Luas  daerah  yang  dihitung  sebagai hampiran  nilai  integral  adalah  daerah  di  bawah  parabola  seperti Gambar 2 berikut ini :
Gambar 2. Daerah di bawah y=f(x) yang dipartisi menjadi 2 pias Polinom  interpolasi  Newton-Gregory  derajat  2  yang  melalui  3  titik seperti gambar di atas adalah :
𝑝 2 (𝑥) = 𝑓(𝑥 0 ) + 𝑥 ℎ ∆𝑓(𝑥 0 ) + 𝑥(𝑥−ℎ)
2!ℎ 2 ∆ 2 𝑓(𝑥 0 ) =   𝑓 0 + 𝑥 ℎ ∆𝑓 0 + 𝑥(𝑥−ℎ)
2!ℎ 2 ∆ 2 𝑓 0 . 𝑝 2 (𝑥) =   𝑓 0 + 𝑥 ℎ ∆𝑓 0 + 𝑥(𝑥−ℎ) 2!ℎ 2 ∆ 2 𝑓 0 diintegralkan  didalam  interval  [0,  2h] sebagai berikut :
∫ f(x) dx 2h 0 ≈ ∫ 𝑝 2 (𝑥) dx 2h 0 ≈   ∫ (𝑓 0 + 𝑥 ℎ ∆𝑓 0 + 𝑥(𝑥−ℎ) 2!ℎ 2 ∆ 2 𝑓 0 ) dx  ≈ 2h 0 𝑓 0 𝑥 + 𝑥 2 2ℎ ∆𝑓 0 + ( 𝑥 3 6ℎ 2 − 𝑥 2 4ℎ ) ∆ 2 𝑓 0 | 𝑥 = 2ℎ 𝑥 = 0 ≈ 2ℎ 𝑓 0 + 2ℎ∆𝑓 0 +   ( 4ℎ 3 − ℎ) ∆ 2 𝑓 0 ≈ 2ℎ 𝑓 0 + 2ℎ∆𝑓 0 + ℎ 3 ∆ 2 𝑓 0 . ∆𝑓 0 =   𝑓 1 − 𝑓 0 dan ∆ 2 𝑓 0 = ∆𝑓 1 −   ∆𝑓 0 =    𝑓 2 − 𝑓 1 −   (𝑓 1 − 𝑓 0 ) =   𝑓 2 − 2𝑓 1 + 𝑓 0

## AKSIOMA: Jurnal Matematika dan Pendidikan Matematika
Vol. 13, No. 3 Desember 2022 e-ISSN 2579-7646

## Sehingga :
∫ 𝑝 2 (𝑥) dx 2h 0 ≈ 2ℎ 𝑓 0 + 2ℎ∆𝑓 0 + ℎ 3 ∆ 2 𝑓 0 ≈ 2ℎ 𝑓 0 + 2ℎ(𝑓 1 − 𝑓 0 ) + ℎ 3 (𝑓 2 − 2𝑓 1 + 𝑓 0 )    ≈ ℎ 3 𝑓 0 + 4ℎ 3 𝑓 1 + ℎ 3 𝑓 2 ≈ ℎ 3 (𝑓 0 + 4𝑓 1 + 𝑓 2 ) dan
∫ f(x) dx b a ≈   ∫ f(x) dx 𝑥 2 𝑥 0 +   ∫ f(x) dx
𝑥 4 𝑥 2 + ⋯ . + ∫ f(x) dx 𝑥 𝑛 𝑥 𝑛−2 ≈ ℎ 3 (𝑓 0 + 4𝑓 1 + 𝑓 2 ) + ℎ 3 (𝑓 2 + 4𝑓 3 + 𝑓 4 ) + ⋯ . + ℎ 3 (𝑓 𝑛−2 + 4𝑓 𝑛−1 + 𝑓 𝑛 )   ≈ ℎ 3 (𝑓 0 + 4𝑓 1 + 2𝑓 2 + 4𝑓 3 + 2𝑓 4 + ⋯ + 2𝑓 𝑛−2 + 4𝑓 𝑛−1 + 𝑓 𝑛 ) (2)

## 3. Metode Simpson 3/8
Gambar 3. Daerah di bawah y=f(x) yang dipartisi menjadi 3 pias Pada  metode  Simpson  3/8,  fungsi  y=f(x)  dihampiri  dengan polinom interpolasi berderajat 3. Untuk membuat polinom interpolasi derajat 3, dibutuhkan 4 buah titik, misalkan titik-titik : (0, f(0)), (h, f(h)),  (2h,  f(2h)),  (3h,  f(3h)).  Luas  daerah  yang  dihitung  sebagai hampiran  nilai  integrasi  adalah  daerah  di  bawah  kurva  polinom derajat 3 (parabola) tersebut.
Polinom  interpolasi  Newton-Gregory  derajat  3  yang  melalui  4 titik seperti Gambar 3 di atas adalah :
𝑝 3 (𝑥) = 𝑓(𝑥 0 ) + 𝑥 ℎ ∆𝑓(𝑥 0 ) + 𝑥(𝑥−ℎ) 2!ℎ 2 ∆ 2 𝑓(𝑥 0 ) + 𝑥(𝑥−ℎ)(𝑥−2ℎ) 3!ℎ 3 ∆ 3 𝑓(𝑥 0 ) =   𝑓 0 + 𝑥 ℎ ∆𝑓 0 + 𝑥(𝑥−ℎ) 2!ℎ 2 ∆ 2 𝑓 0 + 𝑥(𝑥−ℎ)(𝑥−2ℎ) 3!ℎ 3 ∆ 3 𝑓 0 .
𝑝 3 (𝑥) =   𝑓 0 + 𝑥 ℎ ∆𝑓 0 + 𝑥(𝑥−ℎ) 2!ℎ 2 ∆ 2 𝑓 0 + 𝑥(𝑥−ℎ)(𝑥−2ℎ) 3!ℎ 3 ∆ 3 𝑓 0 diintegralkan
didalam interval [0, 3h] sebagai berikut :
∫ f(x) dx 3h 0 ≈ ∫ 𝑝 3 (𝑥) dx
3h 0 ≈   ∫ (𝑓 0 + 𝑥 ℎ ∆𝑓 0 + 𝑥(𝑥−ℎ) 2!ℎ 2 ∆ 2 𝑓 0 + 3h 0 𝑥(𝑥−ℎ)(𝑥−2ℎ) 3!ℎ 3 ∆ 3 𝑓 0 )  dx  ≈ ∫ (𝑓 0 + 𝑥 ℎ ∆𝑓 0 + ( 𝑥 2 2ℎ 2 − 𝑥 2ℎ ) ∆ 2 𝑓 0 +   ( 𝑥 3 6ℎ 3 − 𝑥 2 2ℎ 2 + 3h 0 𝑥 3ℎ ) ∆ 3 𝑓 0 )  dx     ≈ (𝑓 0 𝑥 + 𝑥 2 2ℎ ∆𝑓 0 +   ( 𝑥 3 6ℎ 2 − 𝑥 2 4ℎ ) ∆ 2 𝑓 0 + ( 𝑥 4 24ℎ 3 − 𝑥 3 6ℎ 2 + 𝑥 2 6ℎ ) ∆ 3 𝑓 0 )| 𝑥 = 3ℎ 𝑥 = 0 ≈ 3h𝑓 0 + 9 2 ℎ∆𝑓 0 +   ( 9ℎ 2 − 9ℎ 4 ) ∆ 2 𝑓 0 +   ( 27ℎ 8 − 9ℎ 2 + 3ℎ 2 ) ∆ 3 𝑓 0 ≈ 3ℎ𝑓 0 + 9 2 ℎ∆𝑓 0 + 9 4 ℎ∆ 2 𝑓 0 + 3 8 ℎ∆ 3 𝑓 0

## AKSIOMA: Jurnal Matematika dan Pendidikan Matematika
Vol. 13, No. 3 Desember 2022 e-ISSN 2579-7646
∆𝑓 0 =   𝑓 1 − 𝑓 0 , ∆ 2 𝑓 0 = ∆𝑓 1 −   ∆𝑓 0 =    𝑓 2 − 𝑓 1 −   (𝑓 1 − 𝑓 0 ) =   𝑓 2 − 2𝑓 1 + 𝑓 0 ∆ 2 𝑓 1 = ∆𝑓 2 −   ∆𝑓 1 =   𝑓 3 − 𝑓 2 −   (𝑓 2 − 𝑓 1 ) =   𝑓 3 − 2𝑓 2 + 𝑓 1 , ∆ 3 𝑓 0 =   ∆ 2 𝑓 1 − ∆ 2 𝑓 0 = 𝑓 3 − 2𝑓 2 + 𝑓 1 − (𝑓 2 − 2𝑓 1 + 𝑓 0 ) = 𝑓 3 − 3𝑓 2 + 3𝑓 1 − 𝑓 0
Sehingga :
∫ 𝑝 3 (𝑥) dx 3h 0 ≈ 3ℎ𝑓 0 + 9 2 ℎ∆𝑓 0 + 9 4 ℎ∆ 2 𝑓 0 + 3 8 ℎ∆ 3 𝑓 0 ≈ 3ℎ𝑓 0 + 9 2 ℎ(𝑓 1 − 𝑓 0 ) + 9 4 ℎ (𝑓 2 − 2𝑓 1 + 𝑓 0 ) + 3 8 ℎ(𝑓 3 − 3𝑓 2 + 3𝑓 1 − 𝑓 0 )    ≈   (3ℎ − 9 2 ℎ + 9 4 ℎ − 3 8 ℎ) 𝑓 0 +   ( 9 2 ℎ − 9 2 ℎ + 9 8 ℎ) 𝑓 1 +   ( 9 4 ℎ − 9 8 ℎ) 𝑓 2 + 3 8 ℎ𝑓 3 ≈ 3 8 ℎ(𝑓 0 + 3𝑓 1 + 3𝑓 2 + 𝑓 3 )
Sehingga metode Simpson 3/8 gabungan adalah :
∫ f(x) dx b a ≈ 3 8 ℎ(𝑓 0 + 3𝑓 1 + 3𝑓 2 + 2𝑓 3 + 3𝑓 4 + 3𝑓 5 + 2𝑓 6 + 3𝑓 7 + 3𝑓 8 + 2𝑓 9 + ⋯ + 2𝑓 𝑛−3 + 3𝑓 𝑛−2 + 3𝑓 𝑛−1 + 𝑓 𝑛 ) (3)

## 4. Metode Newton-Cotes
Metode Simpson 1/3 dan Metode Simpson 3/8 adalah dua metode integrasi  numerik  dari  Metode  Newton-Cotes,  yang  mana  metode Simpson  1/3  menghampiri  fungsi  f(x)  dengan  polinom  interpolasi derajat  2  dan  metode  Simpson  3/8  menghampiri  fungsi  f(x)  dengan polinom  interpolasi  derajat  3.  Bentuk  umum  metode  Newton-Cotes orde n dapat ditulis sebagai berikut :
∫ f(x) dx b a ≈ 𝛼ℎ[𝑤 0 𝑓 0 +   𝑤 1 𝑓 1 + 𝑤 2 𝑓 2 + ⋯ + 𝑤 𝑛 𝑓 𝑛 ] (4)
dengan: 𝑓 𝑗 = 𝑓(𝑥 𝑗 ) , 𝑥 𝑗 = 𝑎 + 𝑗ℎ   dan ℎ = 𝑏−𝑎 𝑛 ,  sedangkan 𝛼 dan 𝑤 𝑖 adalah konstanta riil seperti pada  Tabel 1 berikut ini (Munir, 2013; Klusalaas, 2005):
Tabel 1. Nilai Orde (n) dan Konstanta Riil dari Metode Newton-Cotes
𝐧 𝛂 𝐰 𝐢
1 1 2 1    1 2 1 3
1    4    1
3 3 8
1    3    3    1
4 2 45 7    32    12    32    7 5 5 288 19    75    50    50    75    19 6 1 140 41    216   27    272    27    216    41 7 7 17280 751    3577    1323    2989    2989    1323    3577    751 8 8 14175 989    5888    -928    10496    -4540    10496    -928 58888    989 9 9 89600 2857    15741    1080    19344    5788    5788    19344 1080    15741    2857 10 5 299376 16067    106300    -48525    272400    -260550    427368 -260550    272400    -48525    106300    16067

## AKSIOMA: Jurnal Matematika dan Pendidikan Matematika
Vol. 13, No. 3 Desember 2022 e-ISSN 2579-7646

## B. Metode Penelitian
Pelaksanaan penelitian ini dilakukan dengan tahapan-tahapan sebagai berikut:
a. Menyiapkan sejumlah fungsi f(x) yang akan diintegralkan dengan batas integral tertentu, yang akan diintegralkan dengan menggunakan metode- metode yang akan diteliti yaitu metode: Trapesium, Simpson 1/3, Simpson 3/8 dan Metode Newton-Cotes Orde 4, 5, 6, 7, 8, 9 dan 10.
b. Mengimplementasi  metode-metode  yang  akan  dikaji,  yaitu  metode: Trapesium, Simpson 1/3, Simpson 3/8 dan Metode Newton-Cotes Orde 4- 10.
c. Melakukan eksperimen terhadap  metode-metode tersebut  yaitu dengan cara  menghitung  integral  dari  fungsi  dan  batas  integral  yang  sama dengan metode-metode tersebut.
d. Melakukan evaluasi terhadap hasil-hasil uji coba yang dilakukan, yaitu dengan  cara  membandingkan  hasil  integral  yang  didapat  dari  metode- metode  yang  digunakan.  Parameter  yang  digunakan  untuk  melakukan evaluasi  kinerja  dari  metode-metode  tersebut  adalah  akurasi penyelesaian numerik.

## C. Hasil dan Pembahasan
Pada penelitian ini diberikan sejumlah soal integral tertentu yang bisa diselesaikan secara analitik maupun soal integral tertentu yang cukup rumit ataupun  berupa  fungsi  yang  ditabulasikan,  yaitu  nilai  dari  x  dan  f(x) pasangannya  diberikan  pada  sejumlah  titik  diskrit  dan  pada  umumnya fungsi  f(x)  tidak  diketahui  secara  eksplisit  yang  tidak  mungkin  bisa diselesaikan secara analitik. Berikut ini soal-soalnya:
1. Hitunglah ∫ e 0,1x 2 5 2 x dx secara :
a. Analitik
b. Numerik, yaitu dengan menggunakan metode : Trapesium, Simpson 1 3 , Simpson 3 8 dan Newton-Cotes Orde 4-10 yang menggunakan jarak antar titik ( h ) = 0,25.
c. Numerik, yaitu dengan menggunakan metode : Trapesium, Simpson 1 3 , Simpson 3 8 dan Newton-Cotes Orde 4-10 yang menggunakan jarak antar titik ( h ) = 0,1.
2. Hitunglah ∫ e √0,2𝑥 6 3 𝑥 2 3 ⁄ (5𝑥 − 3)dx secara  numerik,  yaitu  dengan menggunakan metode  : Trapesium,  Simpson 1 3 , Simpson 3 8 dan Newton- Cotes Orde 4-10 yang menggunakan banyak pias (n) = 12 dan 30.
3. Diberikan tabel data dalam Tabel 2 sebagai berikut:

## AKSIOMA: Jurnal Matematika dan Pendidikan Matematika
Vol. 13, No. 3 Desember 2022 e-ISSN 2579-7646
Tabel 2. Nilai x i dan f(x i ) dari Fungsi f(x)
i x i 𝑓(x i ) i x i 𝑓(x i ) 0 0,5 1,616300 7 1,2 12,638417 1 0,6 2,263429 8 1,3 16,391669 2 0,7 3,103386 9 1,4 21,165112 3 0,8 4,189755 10 1,5 27,223997 4 0,9 5,590002 11 1,6 34,900555 5 1,0 7,389056 12 1,7 44,610586 6 1,1 9,693762 13 - -
Hitunglah  integral  tertentu ∫ f(x)dx 1,7 0,5
secara    numerik,  yaitu  dengan menggunakan metode : Trapesium, Simpson 1 3 , Simpson 3 8 dan Newton-Cotes Orde 4-10 yang datanya diberikan pada tabel di atas. Untuk jawaban dari soal-soal di atas adalah sebagai berikut : Jawaban soal nomor 1:
a. Jawaban secara analitik dari ∫ e 0,1x 2 5 2 xdx adalah:
∫ 𝑒 0,1𝑥 2 𝑥 𝑑𝑥 = ∫ 𝑒 𝑢 5 𝑑𝑢 =  5𝑒 𝑢 + 𝐶 =  5 𝑒 0,1𝑥 2 + 𝐶 ∫ e 0,1x 2 5 2 x dx =   5 𝑒 0,1𝑥 2 | 2 5 =  5 𝑒 2,5 − 5 𝑒 0,4 = 53,45334632 b. Jawaban secara numerik dari ∫ e 0,1x 2 5 2
x dx , dengan menggunakan h=0,25 (nilai n=12)  adalah :
Metode Trapesium: Dengan menggunakan metode Trapesium, maka:
∫ e 0,1x 2 5 2 xdx = h 2 (f 0 + 2f 1 + 2f 2 + 2f 3 + 2f 4 + 2f 5 + 2f 6 + 2f 7 + 2f 8 + 2f 9 + 2f 10 + 2f 11 + f 12 ) .
Dari hasil hitungan, diperoleh data dalam Tabel 3 sebagai berikut :
Tabel 3. Nilai x i dan f(x i ) dari Fungsi f(x) = 𝑥e 0,1x 2 dengan h = 0,25.
i x i f i = f(x i ) i x i f i = f(x i ) 0 1 2
3 4 5 6 2 2,25 2,50 2,75 3 3,25 3,50 2,98364940 3,73288061 4,67061489 5,85824993 7,37880933 9,34559394 11,91458129 7 8 9 10 11 12 13 3,75 4 4,25 4,50 4,75 5 - 15,30234126 19,81212970 25,87219870 34,09249925 45,34929443 60,91246980 -
Jadi ∫ e 0,1x 2 5 2 x dx = h 2 (f 0 + 2f 1 + 2f 2 + 2f 3 + 2f 4 + 2f 5 + 2f 6 + 2f 7 + 2f 8 + 2f 9 + 2f 10 + 2f 11 + f 12 ) = 53,81931323 Kesalahan = |53,45334632−53,81931323| 53,45334632 = 0,0068 = 0,68 %
Metode Simpson 1 3 :
Dengan menggunakan metode Simpson 1 3 dan data dari Tabel 3, maka:

## AKSIOMA: Jurnal Matematika dan Pendidikan Matematika
Vol. 13, No. 3 Desember 2022 e-ISSN 2579-7646
∫ e 0,1x 2 5 2 xdx = h 3 (f 0 + 4f 1 + 2f 2 + 4f 3 + 2f 4 + 4f 5 + 2f 6 + 4f 7 + 2f 8 + 4f 9 + 2f 10 + 4f 11 + f 12 ) = 53,45630196 Kesalahan = |53,45334632−53,45630196| 53,45334632
= 0,000055 = 0,0055 %
Metode Simpson 3 8 :
Dengan  menggunakan  metode  Simpson 3 8 dan  data  dari  Tabel  3,  maka:
∫ e 0,1x 2 5 2 x dx = 3 8 h(f 0 + 3f 1 + 3f 2 + 2f 3 + 3f 4 + 3f 5 + 2f 6 + 3f 7 + 3f 8 + 2f 9 + 3f 10 + 3f 11 + f 12 ) = 53,45987524.
Kesalahan = |53,45334632−53,45987524| 53,45334632 = 0,000122 = 0,012 %
Metode Newton-Cotes Orde 4: Dengan menggunakan metode Newton-Cotes orde 4 dan data dari Tabel 3, maka: ∫ e 0,1x 2 5 2 x dx = 𝛼ℎ[w 0 f 0 +   w 1 f 1 + w 2 f 2 + ⋯ + w n f n ] = 2 45 ∗ 0,25[7 f 0 + 32f 1 + 12f 2 + 32f 3 + 14f 4 + 32f 5 + 12f 6 + 32f 7 + 14f 8 + 32f 9 + 12f 10 + 32f 11 + 7f 12 ] =  53,45351344. Kesalahan = |53,45334632−53,45351344|
53,45334632 = 0,0000031 = 0,0003 %
Metode Newton-Cotes Orde 6: Dengan menggunakan metode Newton-Cotes orde 6 dan data dari Tabel 3, maka: ∫ e 0,1x 2 5 2 x dx = 1 140 ∗ 0,25[41 f 0 + 216f 1 + 27f 2 + 272f 3 + 27f 4 + 216f 5 + 82f 6 + 216f 7 + 27f 8 + 272f 9 + 27f 10 + 216f 11 + 41f 12 ] = 53,45336040.
Kesalahan = |53,45334632−53,45336040|
53,45334632 = 0,00000026 = 0,000026 %
c. Jawaban secara numerik dari ∫ e 0,1x 2 5 2 x dx , dengan h = 0,1 adalah : Metode Trapesium: Dengan menggunakan metode Trapesium, maka:
∫ e 0,1x 2 5 2 xdx = h 2 (f 0 + 2f 1 + 2f 2 + 2f 3 + 2f 4 + 2f 5 + 2f 6 + 2f 7 + 2f 8 + 2f 9 + 2f 10 + 2f 11 + 2f 12 +   2f 13 + 2f 14 + 2f 15 + 2f 16 + 2f 17 + 2f 18 + 2f 19 + 2f 20 +
2f 21 + 2f 22 + 2f 23 + 2f 24 + 2f 25 + 2f 26 + 2f 27 + 2f 28 + 2f 29 + f 30 ) . Dari hasil hitungan, diperoleh data dalam Tabel 4 sebagai berikut : Tabel 4. Nilai x i dan f(x i ) dari Fungsi f(x) = 𝑥e 0,1x 2 dengan h = 0,1 i x i f i = f(x i ) i x i f i = f(x i ) i x i f i = f(x i )
0 1
2 3 4 5 6 7 8 9 10 2,0 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 2,7 2,8 2,9 3,0 2,98364940 3,26394747 3,56961362 3,90363872 4,26938051 4,67061489 5,11159478 5,59711772 6,13260376 6,72418506 7,37880933 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,6 3,7 3,8 3,9 4,0 4,1 8,10435938 8,90979123 9,80529424 10,80247670 11,91458129 13,15673567 14,54624405 16,10292716 17,84951886 19,81212970 22,02078926 22 23 24 25 26 27 28 29 30 - - 4,2 4,3 4,4 4,5 4,6 4,7 4,8 4,9 5,0 - - 24,51008156 27,31989039 30,49627488 34,09249925 38,17024569 42,80104460 48,06796361 54,06760485 60,91246980 - -

## AKSIOMA: Jurnal Matematika dan Pendidikan Matematika
Vol. 13, No. 3 Desember 2022 e-ISSN 2579-7646
Jadi  ∫ e 0,1x 2 5 2 x dx = 0,1 2 (f 0 + 2f 1 + 2f 2 + 2f 3 + 2f 4 + 2f 5 + 2f 6 + 2f 7 + 2f 8 + 2f 9 + 2f 10 + 2f 11 + 2f 12 +   2f 13 + 2f 14 + 2f 15 + 2f 16 + 2f 17 + 2f 18 + 2f 19 + 2f 20 +
2f 21 + 2f 22 + 2f 23 + 2f 24 + 2f 25 + 2f 26 + 2f 27 + 2f 28 + 2f 29 + f 30 ) =53,51200178
Kesalahan = |53,45334632−53,51200178| 53,45334632
= 0,00110 = 0,11 %
Metode Simpson 1
3 :
Dengan menggunakan metode Simpson 1 3 dan data dari tabel 4, maka:
∫ e 0,1x 2 5 2 xdx = h 3 (f 0 + 4f 1 + 2f 2 + 4f 3 + 2f 4 + 4f 5 + 2f 6 + 4f 7 + 2f 8 + 4f 9 + 2f 10 + 4f 11 + 2f 12 +   4f 13 + 2f 14 + 4f 15 + 2f 16 + 4f 17 + 2f 18 + 4f 19 + 2f 20 + 4f 21 + 2f 22 + 4f 23 + 2f 24 + 4f 25 + 2f 26 + 4f 27 + 2f 28 + 4f 29 + f 30 ) = 53,45342319. Kesalahan = |53,45334632−53,45342319|
53,45334632
= 0,0000014 = 0,0001 %
Metode Simpson 3 8 :
Dengan menggunakan metode Simpson 3 8 dan data dari tabel 4, maka:
∫ e 0,1x 2 5 2 x dx = 3 8 h( f 0 + 3f 1 + 3f 2 + 2f 3 + 3f 4 + 3f 5 + 2f 6 + 3f 7 + 3f 8 + 2f 9 + 3f 10 + 3f 11 + 2f 12 +   3f 13 + 3f 14 + 2f 15 + 3f 16 + 3f 17 + 2f 18 + 3f 19 + 3f 20 +
2f 21 + 3f 22 + 3f 23 + 2f 24 + 3f 25 + 3f 26 + 2f 27 + 3f 28 + 3f 29 + f 30 ) = 53,45351876.
Kesalahan = |53,45334632− 53,45351876 | 53,45334632 = 0,00000323 = 0,0003 %
Metode Newton-Cotes Orde 5: Dengan menggunakan metode Newton-Cotes orde 5 dan data dari tabel 4, maka: ∫ e 0,1x 2 5 2 x dx = 5 288 ∗ 0,1[19f 0 + 75f 1 + 50f 2 + 50f 3 + 75f 4 + 38f 5 + 75f 6 + 50f 7 + 50f 8 + 75f 9 + 38f 10 + 75f 11 + 50f 12 +   50f 13 + 75f 14 + 38f 15 + 75f 16 +
50f 17 + 50f 18 + 75f 19 + 38f 20 + 75f 21 + 50f 22 + 50f 23 + 75f 24 + 38f 25 +
75f 26 + 50f 27 + 50f 28 + 75f 29 + 19f 30 ] = 53,45334790 Kesalahan = |53,45334632−53,45334790| 53,45334632 = 0,00000003 = 0,000003 %
Metode Newton-Cotes Orde 6: Dengan menggunakan metode Newton-Cotes orde 6 dan data dari tabel 4, maka: ∫ e 0,1x 2 5 2 x dx = 1 140 ∗ 0,1[41f 0 + 216f 1 + 27f 2 + 272f 3 + 27f 4 + 216f 5 + 82f 6 + 216f 7 + 27f 8 + 272f 9 + 27f 10 + 216f 11 + 82f 12 +   216f 13 + 27f 14 + 272f 15 + 27f 16 + 216f 17 + 82f 18 + 216f 19 + 27f 20 + 272f 21 + 27f 22 + 216f 23 +
82f 24 + 216f 25 + 27f 26 + 272f 27 + 27f 28 + 216f 29 + 41f 30 ] = 53,45334633
Kesalahan = |53,45334632−53,45334633| 53,45334632
= 0,0000000002 = 0,00000002 %

## AKSIOMA: Jurnal Matematika dan Pendidikan Matematika
Vol. 13, No. 3 Desember 2022 e-ISSN 2579-7646
Metode Newton-Cotes Orde 10: Dengan menggunakan metode Newton-Cotes orde 10 dan data dari tabel 4, maka:
∫ e 0,1x 2 5 2 x dx = 5
299376 ∗ 0,1[16067f 0 + 106300f 1 − 48525f 2 + 272400f 3 − 260550f 4 + 427368f 5 − 260550f 6 + 272400f 7 − 48525f 8 + 106300f 9 + 32134f 10 + 106300f 11 − 48525f 12 +   272400f 13 − 260550f 14 + 427368f 15 − 260550f 16 + 272400f 17 − 48525f 18 + 106300f 19 + 32134f 20 + 106300f 21 −
48525f 22 + 272400f 23 − 260550f 24 + 427368f 25 − 260550f 26 + 272400f 27 − 48525f 28 + 106300f 29 + 16067f 30 ] = 53,45334632. Kesalahan =
|53,45334632−53,45334632|
53,45334632
= 0 %
Jawaban soal nomor 2:
a. Jawaban secara numerik dari ∫ e √0,2𝑥 6 3 𝑥 2 3 ⁄ (5𝑥 − 3)dx , h = 0,25 adalah : Metode Trapesium: Dengan menggunakan metode Trapesium, maka:
∫ e √0,2𝑥 6 3 𝑥 2 3 ⁄ (5𝑥 − 3)dx = h 2 (f 0 + 2f 1 + 2f 2 + 2f 3 + 2f 4 + 2f 5 + 2f 6 + 2f 7 + 2f 8 + 2f 9 + 2f 10 + 2f 11 + f 12 ) . Dari hasil hitungan, diperoleh data dalam Tabel 5 sebagai berikut :
Tabel 5. Nilai x i dan f(x i ) dari f(x) = 𝑒 √0,2 𝑥 𝑥 2 3 ⁄ (5𝑥 − 3) , (h=0,25)
I x i f i = f(x i ) i x i f i = f(x i ) 0 1 2 3 4 5 6 3,00 3,25 3,50 3,75 4,00 4,25 4,50 54,15831472 65,10447745 77,16793248 90,38120433 104,7772613 120,3894833 137,2516398 7 8 9 10 11 12 - 4,75 5,00 5,25 5,50 5,75 6,00 - 155,3978744 174,8626942 195,6809630 217,8878964 241,5190599 266,6103672 - Jadi ∫ e √0,2𝑥 6 3 𝑥 2 3 ⁄ (5𝑥 − 3)dx = 0,25 2 (f 0 + 2f 1 + 2f 2 + 2f 3 + 2f 4 + 2f 5 + 2f 6 + 2f 7 + 2f 8 + 2f 9 + 2f 10 + 2f 11 + f 12 ) = 435,2012069
Metode Simpson 1 3 :
Dengan menggunakan metode Simpson 1 3 dan data dari tabel 5,  maka:
∫ e √0,2𝑥 6 3 𝑥 2 3 ⁄ (5𝑥 − 3)dx = h 3 (f 0 + 4f 1 + 2f 2 + 4f 3 + 2f 4 + 4f 5 + 2f 6 + 4f 7 + 2f 8 + 4f 9 + 2f 10 + 4f 11 + f 12 ) = 434,8796483
Metode Simpson 3 8 :
Dengan menggunakan metode Simpson 3 8 dan data dari tabel 5, maka:
∫ e √0,2𝑥 6 3 𝑥 2 3 ⁄ (5𝑥 − 3)dx = 3 8 h(f 0 + 3f 1 + 3f 2 + 2f 3 + 3f 4 + 3f 5 + 2f 6 + 3f 7 + 3f 8 + 2f 9 + 3f 10 + 3f 11 + f 12 ) = 434,8796564.

## AKSIOMA: Jurnal Matematika dan Pendidikan Matematika
Vol. 13, No. 3 Desember 2022 e-ISSN 2579-7646
Metode Newton-Cotes Orde 4: Dengan menggunakan metode Newton-Cotes orde 4 dan data dari tabel 5, maka: ∫ e √0,2𝑥 6 3 𝑥 2 3 ⁄ (5𝑥 − 3)dx = 2 45 ∗ 0,25[7 f 0 + 32f 1 + 12f 2 + 32f 3 + 14f 4 + 32f 5 + 12f 6 + 32f 7 + 14f 8 + 32f 9 + 12f 10 + 32f 11 + 7f 12 ] = 434,87964194 Metode Newton-Cotes Orde 6: Dengan menggunakan metode Newton-Cotes orde 6 dan data dari tabel 5, maka:
∫ e √0,2𝑥 6 3 𝑥 2 3 ⁄ (5𝑥 − 3)dx = 1 140 ∗ 0,25[41 f 0 + 216f 1 + 27f 2 + 272f 3 + 27f 4 + 216f 5 + 82f 6 + 216f 7 + 27f 8 + 272f 9 + 27f 10 + 216f 11 + 41f 12 ] =
434,8796419.
b. Jawaban  secara  numerik  dari ∫ e √0,2𝑥 6 3 𝑥 2 3 ⁄ (5𝑥 − 3)dx ,  dengan menggunakan h = 0,1( n=30) adalah :
Metode Trapesium: Dengan menggunakan metode Trapesium, maka:
∫ e √0,2𝑥
6 3 𝑥 2 3 ⁄ (5𝑥 − 3)dx = h 2 (f 0 + 2f 1 + 2f 2 + 2f 3 + 2f 4 + 2f 5 + 2f 6 + 2f 7 + 2f 8 + 2f 9 + 2f 10 + 2f 11 + 2f 12 +   2f 13 + 2f 14 + 2f 15 + 2f 16 + 2f 17 + 2f 18 + 2f 19 + 2f 20 + 2f 21 + 2f 22 + 2f 23 + 2f 24 + 2f 25 + 2f 26 + 2f 27 + 2f 28 + 2f 29 + f 30 ) . Dari hasil hitungan, diperoleh data dalam Tabel 6 sebagai berikut :
Tabel 6. Nilai x i dan f(x i ) dari f(x) = 𝑒 √0,2 𝑥 𝑥 2 3 ⁄ (5𝑥 − 3) dengan h = 0,1 i x i f i = f(x i ) I x i f i = f(x i ) i x i f i = f(x i ) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
3,0 3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,6 3,7 3,8 3,9 4,0 54,15831472 58,40476658 62,82689403 67,42675100 72,20640418 77,16793248 82,31342651 87,64498823 93,16473051 98,87477689 104,77726128 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 4,1 4,2 4,3 4,4 4,5 4,6 4,7 4,8 4,9 5,0 5,1 110,87432772 117,16813022 123,66083256 130,35460813 137,25163984 144,35411997 151,66425010 159,18424105 166,91631275 174,86269425 183,02562363 22 23 24 25 26 27 28 29 30 - - 5,2 5,3 5,4 5,5 5,6 5,7 5,8 5,9 6,0 - - 191,40734799 200,01012340 208,83621489 217,88789641 227,16745084 236,67716998 246,41935453 256,39631411 266,61036723 - -
Jadi ∫ e √0,2𝑥 6 3 𝑥 2 3 ⁄ (5𝑥 − 3)dx = 0,1 2 (f 0 + 2f 1 + 2f 2 + 2f 3 + 2f 4 + 2f 5 + 2f 6 + 2f 7 + 2f 8 + 2f 9 + 2f 10 + 2f 11 + 2f 12 +   2f 13 + 2f 14 + 2f 15 + 2f 16 + 2f 17 + 2f 18 + 2f 19 +
2f 20 + 2f 21 + 2f 22 + 2f 23 + 2f 24 + 2f 25 + 2f 26 + 2f 27 + 2f 28 + 2f 29 + f 30 ) =
434,9310925 Metode Simpson 1 3 :
Dengan menggunakan metode Simpson 1 3 dan data dari tabel 6, maka:
∫ e √0,2𝑥 6 3 𝑥 2 3 ⁄ (5𝑥 − 3)dx = h 3 (f 0 + 4f 1 + 2f 2 + 4f 3 + 2f 4 + 4f 5 + 2f 6 + 4f 7 + 2f 8 +
4f 9 + 2f 10 + 4f 11 + 2f 12 +   4f 13 + 2f 14 + 4f 15 + 2f 16 + 4f 17 + 2f 18 + 4f 19 + 2f 20 + 4f 21 + 2f 22 + 4f 23 + 2f 24 + 4f 25 + 2f 26 + 4f 27 + 2f 28 + 4f 29 + f 30 ) = 434,87964205.

## AKSIOMA: Jurnal Matematika dan Pendidikan Matematika
Vol. 13, No. 3 Desember 2022 e-ISSN 2579-7646
Metode Simpson 3 8 :
Dengan menggunakan metode Simpson 3 8 dan data dari tabel 6, maka:
∫ e √0,2𝑥 6 3 𝑥 2 3 ⁄ (5𝑥 − 3)dx = 3 8 h( f 0 + 3f 1 + 3f 2 + 2f 3 + 3f 4 + 3f 5 + 2f 6 + 3f 7 + 3f 8 +
2f 9 + 3f 10 + 3f 11 + 2f 12 +   3f 13 + 3f 14 + 2f 15 + 3f 16 + 3f 17 + 2f 18 + 3f 19 + 3f 20 + 2f 21 + 3f 22 + 3f 23 + 2f 24 + 3f 25 + 3f 26 + 2f 27 + 3f 28 + 3f 29 + f 30 ) = 434,87964226.
Metode Newton-Cotes Orde 5:
Dengan menggunakan metode Newton-Cotes orde 5 dan  data dari tabel 6, maka: ∫ e √0,2𝑥 6 3 𝑥 2 3 ⁄ (5𝑥 − 3)dx = 5 288 ∗ 0,1[19f 0 + 75f 1 + 50f 2 + 50f 3 + 75f 4 + 38f 5 + 75f 6 + 50f 7 + 50f 8 + 75f 9 + 38f 10 + 75f 11 + 50f 12 +   50f 13 + 75f 14 + 38f 15 + 75f 16 + 50f 17 + 50f 18 + 75f 19 + 38f 20 + 75f 21 + 50f 22 + 50f 23 + 75f 24 + 38f 25 + 75f 26 + 50f 27 + 50f 28 + 75f 29 + 19f 30 ] = 434,87964188. Metode Newton-Cotes Orde 6: Dengan menggunakan metode Newton-Cotes orde 6 dan data dari tabel 6, maka: ∫ e √0,2𝑥 6
3 𝑥 2 3 ⁄ (5𝑥 − 3)dx = 1 140 ∗ 0,1[41f 0 + 216f 1 + 27f 2 + 272f 3 + 27f 4 + 216f 5 + 82f 6 + 216f 7 + 27f 8 + 272f 9 + 27f 10 + 216f 11 + 82f 12 +   216f 13 + 27f 14 + 272f 15 + 27f 16 + 216f 17 + 82f 18 + 216f 19 + 27f 20 + 272f 21 + 27f 22 + 216f 23 + 82f 24 + 216f 25 + 27f 26 + 272f 27 + 27f 28 + 216f 29 + 41f 30 ] = 434,87964188. Metode Newton-Cotes Orde 10: Dengan menggunakan metode Newton-Cotes orde 10 dan data dari tabel 6, maka: ∫ e √0,2𝑥 6 3 𝑥 2 3 ⁄ (5𝑥 − 3)dx = 5 299376 ∗ 0,1[16067f 0 + 106300f 1 − 48525f 2 + 272400f 3 − 260550f 4 + 427368f 5 − 260550f 6 + 272400f 7 − 48525f 8 + 106300f 9 + 32134f 10 + 106300f 11 − 48525f 12 +   272400f 13 − 260550f 14 + 427368f 15 − 260550f 16 + 272400f 17 − 48525f 18 + 106300f 19 + 32134f 20 + 106300f 21 − 48525f 22 + 272400f 23 − 260550f 24 + 427368f 25 − 260550f 26 + 272400f 27 − 48525f 28 + 106300f 29 + 16067f 30 ] = 434,87964188. Jawaban soal nomor 3:
Jawaban secara numerik dari ∫ f(x)dx 1,7 0,5 , h = 0,1 adalah:
Metode Trapesium: Dengan menggunakan metode Trapesium, maka:
∫ f(x)dx 1,7 0,5 = h 2 (f 0 + 2f 1 + 2f 2 + 2f 3 + 2f 4 + 2f 5 + 2f 6 + 2f 7 + 2f 8 + 2f 9 + 2f 10 + 2f 11 + f 12 ) . Diberikan data sebagai berikut: Tabel 7. Nilai x i dan f(x i ) dari suatu fungsi f(x) i x i f i = f(x i ) i x i f i = f(x i ) 0 1 2 3 4
5 6 0,5 0,6
0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,616300 2,263429 3,103386 4,189755 5,590002 7,389056 9,693762 7 8 9 10 11 12 - 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 - 12,638417 16,391669 21,165112 27,223997 34,900555 44,610586 -

## AKSIOMA: Jurnal Matematika dan Pendidikan Matematika
Vol. 13, No. 3 Desember 2022 e-ISSN 2579-7646
Jadi ∫ f(x)dx 1,7 0,5 = 0,1 3 (f 0 + 2f 1 + 2f 2 + 2f 3 + 2f 4 + 2f 5 + 2f 6 + 2f 7 + 2f 8 + 2f 9 + 2f 10 + 2f 11 + f 12 ) = 16,76625836 Metode Simpson 1 3 :
Dengan menggunakan metode Simpson 1 3 dan data dari tabel 7, maka:
∫ f(x)dx 1,7 0,5 = h 3 (f 0 + 4f 1 + 2f 2 + 4f 3 + 2f 4 + 4f 5 + 2f 6 + 4f 7 + 2f 8 + 4f 9 + 2f 10 + 4f 11 + f 12 ) = 16,68059386 Metode Simpson 3 8 :
Dengan menggunakan metode Simpson 3 8 dan data dari tabel 7, maka:
∫ f(x)dx 1,7 0,5 = 3 8 h(f 0 + 3f 1 + 3f 2 + 2f 3 + 3f 4 + 3f 5 + 2f 6 + 3f 7 + 3f 8 + 2f 9 + 3f 10 + 3f 11 + f 12 ) = 16,68096291 Metode Newton-Cotes Orde 4: Dengan menggunakan metode Newton-Cotes orde 4 dan data dari tabel 7, maka: ∫ f(x)dx 1,7 0,5 = 2 45 ∗ 0,1 ∗ [7 f 0 + 32f 1 + 12f 2 + 32f 3 + 14f 4 + 32f 5 + 12f 6 + 32f 7 + 14f 8 + 32f 9 + 12f 10 + 32f 11 + 7f 12 ] = 16,68030096 Metode Newton-Cotes Orde 6: Dengan menggunakan metode Newton-Cotes orde 6 dan data dari tabel 7, maka:
∫ f(x)dx 1,7 0,5 = 1 140 ∗ 0,1 ∗ [41 f 0 + 216f 1 + 27f 2 + 272f 3 + 27f 4 + 216f 5 + 82f 6 + 216f 7 + 27f 8 + 272f 9 + 27f 10 + 216f 11 + 41f 12 ] = 16,68029567

## D. Simpulan
Dari hasil analisis jawaban 3 soal integral tertentu di atas, didapatkan beberapa kesimpulan sebagai berikut:
1. Dari  soal  integral  tertentu  yang  bisa  dihitung  nilai  integralnya  secara analitik, maka bisa disimpulkan bahwa:
a. Semakin  besar  nilai  n  yang  digunakan  atau  semakin  banyak  partisi yang  dibuat  untuk  suatu  area  yang  dihitung  luasnya,  dan  semakin besar  nilai  orde  dari  metode  Newton-Cotes  yang  digunakan,  maka hasilnya akan semakin mendekati hasil analitiknya.
b. Untuk hasil integral dari soal nomor 1, yang dihitung dengan metode Newton-Cotes  Orde  10  yang  menggunakan  n=30,  hasil  integralnya sama  persis  dengan  hasil  analitiknya  sampai  ketelitian  8  angka  di belakang koma.
2. Untuk  soal  integral  yang  tidak  bisa  dihitung  nilainya  secara  analitik, maka untuk mendapatkan hasil yang terbaik, sebaiknya dihitung dengan menggunakan  metode  Newton-Cotes  orde  p  yang  mana  p  adalah  faktor terbesar dari nilai n (banyak partisi yang digunakan).

## AKSIOMA: Jurnal Matematika dan Pendidikan Matematika
Vol. 13, No. 3 Desember 2022 e-ISSN 2579-7646

## E. Daftar Pustaka
Chapra, S.C. & Canale, R.P. (1991). “Numerical Methods For Engineers with Personal  Computer  Applications”,  Mc.Graw -Hill  Book  Company,  New York.
Conte,  D.S.  &  Carl  de  Boor,  D.C.(1992). “Dasar -Dasar  Analisis  Numerik, Su atu Pendekatan Algoritma”, Penerbit Erlangga. Karris, T.S.(2007). “Numerical analysis using MATLAB and Excel”, Orchard Publications, California. Klusalaas,  J.(2005). “Numerical  methods  in  engineering  with  MATLAB’, Cambridge Univ. Press.
Mulyono  &  Suryana,  M.E.  (2021).  Kajian  Sejumlah  Metode  Untuk Menghitung  Integral  Tentu  Secara  Numerik. Prosiding  Seminar Nasional  Sains  Dan  Teknologi  ke-11 ,  Diselenggarakan  oleh  Fakultas Teknik Universitas Wahid Hasyim Semarang, 27 Oktober 2021 (hal. 24-
31). Diakses
dari
https://publikasiilmiah.unwahas.ac.id/
index.php/PROSIDING_SNST_FT/issue/view/306/showToc . Mulyono & Suryana, M.E. (2022). Evaluasi Metode Kuadratur Gauss, Suatu Metode  Untuk  Menghitung  Integral  Tertentu  Secara  Numerik. Prosiding  Seminar  Nasional  Sains  Dan  Teknologi  ke-12 , Diselenggarakan  oleh  Fakultas  Teknik  Universitas  Wahid  Hasyim Semarang,  26  Oktober  2022  (hal.  24-31).  Diakses  dari https://publikasiilmiah.unwahas.ac.id/index.php/PROSIDING_SNST_ FT/issue/view/380 . Munir, R.(2013). “ Metode Numerik “, Informat ika Bandung, 271-297. Otto, S.R dan J.P. Denier, J.P. (2005). “An introduction to programming and numerical methods in MATLAB’, Springer – Verlag. Triatmodjo, B.(1992). “ Metode Numerik”, Beta Offset , 93-102.
Yang, W.Y, Cao, W., Kim, J., Park, K.W.,  Park, H.H, Joung, J.,  Ro, J.S., Lee, H.L., Hong,  C.H., Taeho  Im,  T.  (2020). .“Applied  numerical  methods using MATLAB”, Wiley -Interscience, Canada.