Abstrak —Data Dinas Kesehatan Kabupaten Probolinggo tahun 2020 menyatakan Angka Kematian Bayi (AKB) di Kabupaten Probolinggo sebesar 8,11. Angka tersebut tergolong tinggi jika dibandingkan dengan AKB Provinsi Jawa Timur sebesar 6,3. Sehingga perlu dilakukan analisis untuk mengetahui faktor- faktor yang mempengaruhi jumlah kematian bayi di Kabupaten Probolinggo tahun 2020. Regresi poisson merupakan analisis yang sesuai dalam pemodelan kasus data diskrit. Namun regresi poisson mensyaratkan kondisi equidispersi yang sulit dipenuhi. Pada umumnya sering ditemui kondisi  overdispersi. Metode yang dapat digunakan untuk mengatasi kondisi overdispersi diantaranya adalah metode Generalized Poisson Regression ( GPR ) dan Negative Binomial Regression ( NBR ). Objek penelitian terdiri dari variabel respon yaitu jumlah kematian bayi serta variabel prediktor yang diduga mempengaruhi jumlah kematian bayi diantaranya yaitu faktor kesehatan ibu hamil dan bayinya, faktor kebersihan dan gizi, serta faktor peningkatan imunitas bayi yang terdiri dari 9 variabel serta 2 variabel tambahan yaitu jumlah tenaga kesehatan dan jumlah fasilitas kesehatan. Hasil analisis diperoleh bahwa terjadi kasus overdispersi sehingga analisis GPR dan NBR perlu dilakukan. Berdasarkan analisis GPR dan NBR, model yang layak untuk digunakan adalah model dengan kombinasi variabel prediktor jumlah bayi lahir rendah (X 7 ), jumlah ibu hamil mendapat imunisasi Td2+ (X 8 ), dan jumlah tenaga kesehatan (X 10 ). Keseluruhan variabel berpengaruh signifikan terhadap model. Diperoleh hasil bahwa metode yang paling baik digunakan untuk memodelkan jumlah kematian bayi untuk mengatasi overdispersi adalah metode  GPR karena memiliki kriteria kebaikan model AIC, AICc, BIC, dan BICc yang lebih kecil dibandingkan dengan metode NBR.
Kata Kunci —Generalized Poisson Regression, Kematian Bayi, Negative Binomial Regression, Overdispersi.

## I. PENDAHULUAN
ESEHATAN  bayi  sangat berpengaruh terhadap pertumbuhan dan perkembangan anak sehingga variabel yang mempengaruhi kesehatan bayi perlu diperhatikan. Kematian bayi merupakan kematian yang terjadi antara kelahiran bayi sampai sebelum hari ulang tahun pertama [1]. Angka kematian dinilai dapat merepresentasikan keberhasilan fasilitas dan program pelayanan kesehatan masyarakat. Selain itu, salah satu indikator yang lazim digunakan untuk mengukur derajat kesehatan masyarakat adalah Angka Kematian Bayi (AKB). Angka Kematian Bayi (AKB) menunjukkan jumlah kematian bayi pada umur kurang dari satu tahun per 1000 kelahiran bayi. Profil Kesehatan Jawa Timur menyebutkan bahwa pada selama tahun 2019, Kabupaten Probolinggo menempati urutan ketiga dengan jumlah kasus kematian bayi terbanyak yaitu sebesar 180 kasus. Berdasarkan data [2], angka kematian bayi (AKB)
Kabupaten Probolinggo sebesar 8,11. Angka tersebut masih tergolong tinggi jika dibandingkan dengan nilai AKB Provinsi Jawa Timur yaitu sebesar 6,3.
Setiap daerah selalu berusaha untuk meningkatkan kualitas kesehatan begitu pula dengan Kabupaten Probolinggo. Oleh karena itu, kualitas kesehatan bayi perlu ditingkatkan untuk mewujudkan derajat kesehatan masyarakat yang lebih baik. Penyebab kematian bayi terdiri dari faktor eksogen dan faktor endogen. Penyebab langsung kematian bayi berdasarkan [2] paling besar disebabkan oleh kasus Berat Bayi Lahir Rendah yaitu sebesar 23,12%. Penelitian terdahulu terkait kesehatan bayi dilakukan oleh [3] yang menyimpulkan bahwa terdapat tiga indikator kesehatan bayi yaitu faktor kesehatan ibu hamil dan bayinya, faktor kebersihan dan gizi, serta faktor peningkatan imunitas bayi.  Penelitian yang dilakukan oleh [4], [5]  tentang kematian bayi memperoleh hasil bahwa jumlah tenaga kesehatan dan jumlah fasilitas kesehatan berpengaruh signifikan terhadap jumlah kematian bayi. Jumlah tenaga dan fasilitas kesehatan yang memadai dapat meningkatkan kualitas pelayanan kesehatan sehingga dapat menurunkan risiko terjadinya kematian bayi.
Usaha peningkatan derajat kesehatan di Kabupaten Probolinggo, dapat dilakukan dengan mencari faktor-faktor yang mempengaruhi jumlah kematian bayi. Regresi poisson merupakan analisis regresi yang digunakan untuk menganalisis data diskrit seperti jumlah kematian bayi di Kabupaten Probolinggo tahun 2020. Dalam regresi poisson salah satu karakteristik yang harus dipenuhi adalah equidispersi. Equidispersi adalah kejadian dimana terdapat kesamaan nilai mean dan varians. Namun, kondisi tersebut tidak selalu bisa dipenuhi. Konsekuensi atas tidak terpenuhinya equidispersi menyebabkan nilai deviansi model menjadi sangat besar sehingga regresi poisson tidak sesuai untuk memodelkan data, dan model yang terbentuk akan menghasilkan estimasi parameter yang bias. Untuk menangani masalah overdispersi, dapat dilakukan pemodelan dengan Generalized Poisson Regresion ( GPR ) dan Negative Binomial Regression  (NBR) . Model ini dapat mengatasi masalah overdispersi karena tidak mengharuskan nilai mean yang sama dengan nilai varians seperti model regresi poisson.
Penelitian ini dilakukan untuk mendapatkan model terbaik dengan membandingkan hasil pemodelan menggunakan analisis GPR dan NBR untuk mengatasi adanya kasus overdispersi pada studi kasus jumlah kematian bayi di Kabupaten Probolinggo tahun 2020 menggunakan regresi poisson. Hasil penelitian diharapkan dapat memberikan informasi mengenai model terbaik untuk menangani overdispersi serta faktor yang mempengaruhi terjadinya kematian bayi.

## Pemodelan Generalized Poisson Regression

## (GPR) dan Negative Binomial Regression (NBR) untuk Mengatasi Overdispersi pada Jumlah Kematian Bayi di Kabupaten Probolinggo
Amara Deviana Chaniago, dan Sri Pingit Wulandari Departemen Statistika Bisnis, Institut Teknologi Sepuluh Nopember (ITS) e-mail : sri_pingit@statistika.its.ac.id
K

## II. TINJAUAN PUSTAKA

## A. Multikolinieritas
Multikolinearitas adalah kondisi terdapatnya hubungan linear atau korelasi yang tinggi antara masing-masing variabel prediktor dalam model regresi. Multikolinearitas biasanya terjadi ketika sebagian besar variabel yang digunakan saling terkait dalam suatu model regresi [6]. Oleh karena itu masalah multikolinearitas tidak terjadi pada regresi linear sederhana yang hanya melibatkan satu variabel independen. Pendeteksian adanya kasus multikolinearitas menurut [7] dapat dilihat melalui.
1. Variance Inflation Factors (VIF) > 10
VIF = 1 1−R j 2 (1)
R j 2 merupakan nilai koefisien determinasi antara variabel x j dengan variabel x lainnya. Nilai VIF yang lebih besar dari 10 menunjukkan adanya kasus multikolinearitas antar variabel prediktor.
2. Nilai koefisien korelasi Pearson ( r ij ) antar variabel- variabel prediktor.
Apabila  nilai koefisien korelasi Pearson antar variabel prediktor cukup besar (lebih dari 0,95) maka mengindikasikan adanya multikolinearitas.
r x a , x b = ∑ ( x i −x� a )( x i −x� b ) n i=1 �∑ ( x i −x� a ) 2 n i=1 ∑ ( x i −x� b ) 2 n i=1 , a ≠ b (2)

## B. Regresi Poisson
Regresi Poisson  merupakan analisis regresi yang digunakan untuk memodelkan variabel respon yang diasumsikan berdistribusi poisson. Menurut Walpole (2012), distribusi poisson menyatakan banyaknya sukses yang terjadi dalam selang waktu atau daerah tertentu. Variabel acak poisson adalah variabel respon atau bilangan Y yang menunjukkan banyaknya hasil percobaan dalam suatu percobaan poisson, sebaran peluangnya disebut dengan sebaran poisson. Fungsi peluang dari distribusi poisson dinyatakan pada Persamaan 3 [8].
𝑓𝑓 ( 𝑦𝑦 , 𝜇𝜇 ) = 𝑒𝑒 −𝜇𝜇 𝜇𝜇 𝑦𝑦 𝑦𝑦 ! (3)
Distribusi poisson adalah adalah salah satu distribusi sederhana dalam pemodelan data yang berupa count (jumlah)..  Regresi poisson merupakan Generalized Linear Model ( GLM ) yang dikembangkan dari model linear klasik khususnya dalam mengatasi variabel respon tidak normal [9].
Distribusi poisson termasuk dalam keluarga eksponensial. Hal ini ditunjukkan oleh [9]  fungsi peluang densitasnya sebagai berikut.
Tabel 6. Variabel penelitian No. Variabel Keterangan 1. Y Jumlah Kematian Bayi 2. X 1 Jumlah Ibu Hamil Yang Mendapat 90 Tablet Tambah Darah 3. X 2 Jumlah Ibu Hamil Yang Melaksanakan Program K1 4. X 3 Jumlah Ibu Hamil Yang Melaksanakan Program K4 5. X 4 Jumlah Ibu Bersalin Ditolong Tenaga Kesehatan 6. X 5 Jumlah Bayi Dapat Vitamin A 7. X 6 Jumlah Bayi Mendapat Imunisasi Dasar Lengkap 8. X 7 Jumlah Bayi Berat Lahir Rendah 9. X 8 Jumlah Ibu Hamil Mendapat Imunisasi Td2+ 10. X 9 Jumlah Bayi Mendapat ASI Eksklusif 11. X 10 Jumlah Tenaga Kesehatan 12. X 11 Jumlah Fasilitas Kesehatan Tabel 7. Karakteristik data Variabel  Rata-rata Varians Minimum Maksimum Y 6,125 22,723 0 20 X 1 667,167 70358,058 138 1345 X 2 793,167 82072,841 230 1420 X 3 697,625 67540,940 196 1335 X 4 749,417 73559,993 210 1346 X 5 699,292 62152,476 208 1106
X 6 677,125 63617,766 203 1207 X 7 40,583 517,297 5 81 X 8 846,542 441877,650 77 2976 X 9 81,458 12943,476 9 599 X 10 80,958 12246,476 19 548 X 11 69,417 369,819 32 107
Tabel 1. Nilai VIF 11 variabel Variabel Rata-rata Varians Minimum Y 6,125 22,723 0 X 1 667,167 70358,058 138 X 2 793,167 82072,841 230 X 3 697,625 67540,940 196 X 4 749,417 73559,993 210 X 5 699,292 62152,476 208
X 6 21,28
Tabel 2. Nilai VIF 6 variabel
Variabel VIF X 1 4,28
X 7 3,23 X 8
3,83 X 9
1,31 X 10
3,02 X 11
5,91
Tabel 3. Parameter GPR Parameter Koefisien t hitung P-value β 0 0,7673 2,45 0,0221 β 7 0,0295 3,44 0,0021 β 8 -0,0006 -1,65 0,1116 β 10 0,0033 1,62 0,1174 Tabel 4. Pemodelan NBR Parameter Koefisien Z hitung P-value β 0 0,7979 2,673 0,0007 β 7 0,0283 3,779 0,0001 β 8 -0,0006 -1,613 0,1067 β 10 0,0031 1,656 0,0977 Tabel 5. Pemilihan model terbaik Metode Variabel Signifikan AIC AICc BIC BICc GPR β 0 , β 7 , β 8 , β 10 131,4 134,73  137,29  140,62 NBR β 0 , β 7 , β 8 , β 10 131,69  135,02  137,58  140,91
𝑓𝑓 ( 𝑦𝑦 , 𝜇𝜇 ) = 𝑒𝑒 −𝜇𝜇 𝜇𝜇 𝑦𝑦 𝑦𝑦 ! = 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 ( −𝜇𝜇 ) 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 ( 𝑦𝑦 𝑙𝑙𝑙𝑙 𝜇𝜇 ) 𝑦𝑦 ! (4)

## 1) Estimasi Parameter
Maximum Likelihood Estimation (MLE) digunakan sebagai metode penaksiran parameter model regresi poisson. MLE dilakukan dengan cara memaksimumkan fungsi likelihood .
𝑙𝑙𝑙𝑙 𝐿𝐿 ( 𝜷𝜷 ) = 𝑙𝑙𝑙𝑙 �� 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 ( − 𝜇𝜇 𝑖𝑖 ) 𝜇𝜇 𝑖𝑖 𝑦𝑦 𝑖𝑖 𝑦𝑦 𝑖𝑖 ! 𝑙𝑙 𝑖𝑖=1 � = � 𝑙𝑙𝑙𝑙 � 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 ( − 𝜇𝜇 𝑖𝑖 ) 𝜇𝜇 𝑖𝑖 𝑦𝑦 𝑖𝑖 𝑦𝑦 𝑖𝑖 ! � 𝑙𝑙 𝑖𝑖=1 = � ( 𝑙𝑙𝑙𝑙 ( 𝑒𝑒 −𝜇𝜇 𝑖𝑖 ) + 𝑙𝑙𝑙𝑙𝜇𝜇 𝑖𝑖 𝑦𝑦 𝑖𝑖 ) − 𝑙𝑙𝑙𝑙 ( 𝑦𝑦 𝑖𝑖 !)) 𝑙𝑙 𝑖𝑖=1
= � ( −𝜇𝜇 𝑖𝑖 + 𝑦𝑦 𝑖𝑖 𝑙𝑙𝑙𝑙𝜇𝜇 𝑖𝑖 − 𝑙𝑙𝑙𝑙 ( 𝑦𝑦 𝑖𝑖 !)) 𝑙𝑙 𝑖𝑖=1 = � �−𝑒𝑒 𝒙𝒙 𝒊𝒊 𝑻𝑻 𝜷𝜷 + 𝑦𝑦 𝑖𝑖 𝒙𝒙 𝒊𝒊 𝑻𝑻 𝜷𝜷 − 𝑙𝑙𝑙𝑙 ( 𝑦𝑦 𝑖𝑖 !) � 𝑙𝑙 𝑖𝑖=1
𝑙𝑙𝑙𝑙 𝐿𝐿 ( 𝜷𝜷 ) = − ∑ 𝑒𝑒 𝒙𝒙 𝒊𝒊 𝑻𝑻 𝜷𝜷 𝑙𝑙 𝑖𝑖=1 + ∑ 𝑦𝑦 𝑖𝑖 𝒙𝒙 𝒊𝒊 𝑻𝑻 𝜷𝜷 𝑙𝑙 𝑖𝑖=1 − ∑ 𝑙𝑙𝑙𝑙 ( 𝑦𝑦 𝑖𝑖 !) 𝑙𝑙 𝑖𝑖=1 (5)
Persamaan  5  masih berbentuk implisit sehingga perlu dilakukan iterasi Newton Raphson untuk melakukan iterasi munerik dengan algoritma optimisasi sebagai berikut:
a. Menentukan nilai taksiran awal parameter ( 𝛽𝛽̂ ( 0 ) ) yang diperoleh dengan metode Ordinary Least Square (OLS) yaitu:
𝜷𝜷� ( 𝟎𝟎 ) = ( 𝑿𝑿 𝑻𝑻 𝑿𝑿 ) −𝟏𝟏 𝑿𝑿 𝑻𝑻 𝒀𝒀 (6)
dimana:
𝑿𝑿 = � 1 𝑒𝑒 11 ⋯ 𝑒𝑒 1𝑘𝑘 1 𝑒𝑒 21 ⋯ 𝑒𝑒 2𝑘𝑘 ⋮ ⋮ ⋯ ⋮ 1 𝑒𝑒 𝑙𝑙 , 1 ⋯ 𝑒𝑒 𝑙𝑙𝑘𝑘 � dan 𝐘𝐘 = [ 𝑌𝑌 1 𝑌𝑌 2 … 𝑌𝑌 𝑙𝑙 ] 𝑇𝑇 (7)
b. Membentuk vektor gradien g ,
𝒈𝒈 ( 𝜷𝜷 ) = − � 𝑒𝑒 𝑖𝑖 . 𝜇𝜇 𝑖𝑖 𝑙𝑙 𝑖𝑖=1 + � 𝑦𝑦 𝑖𝑖 𝑒𝑒 𝑖𝑖 𝑙𝑙 𝑖𝑖=1 = � 𝑒𝑒 𝑖𝑖 ( 𝑦𝑦 𝑖𝑖 − 𝜇𝜇 𝑖𝑖 ) 𝑙𝑙 𝑖𝑖=𝑖𝑖
Sehingga vektor 𝒈𝒈 𝑇𝑇 �𝜷𝜷 ( 𝑚𝑚 ) � ( 𝑘𝑘+1 ) 𝑒𝑒1 adalah sebagai berikut:
� 𝜕𝜕 𝑙𝑙𝑙𝑙 𝐿𝐿 ( 𝜷𝜷 ) 𝜕𝜕𝛽𝛽 0 𝜕𝜕 𝑙𝑙𝑙𝑙 𝐿𝐿 ( 𝜷𝜷 ) 𝜕𝜕𝛽𝛽 1 𝜕𝜕 𝑙𝑙𝑙𝑙 𝐿𝐿 ( 𝜷𝜷 ) 𝜕𝜕𝛽𝛽 2 … 𝜕𝜕 𝑙𝑙𝑙𝑙 𝐿𝐿 ( 𝜷𝜷 ) 𝜕𝜕𝛽𝛽 𝑘𝑘 � 𝜷𝜷=𝜷𝜷� ( 𝑚𝑚 ) dimana k adalah banyaknya parameter yang ditaksir.
c. Membentuk matriks Hessian H yang disebut juga matriks informasi.
𝑯𝑯 ( 𝜷𝜷 ) = − � 𝑒𝑒 𝑖𝑖 . 𝑒𝑒 𝑖𝑖 𝑇𝑇 . 𝜇𝜇 𝑖𝑖 𝑙𝑙 𝑖𝑖=1 = − � 𝜇𝜇 𝑖𝑖 . 𝑒𝑒 𝑖𝑖 . 𝑒𝑒 𝑖𝑖 𝑇𝑇 𝑙𝑙
𝑖𝑖=1
𝑯𝑯�𝜷𝜷 ( 𝑚𝑚 ) � ( 𝑘𝑘+1 ) 𝑒𝑒 ( 𝑘𝑘+1 ) = ⎣ ⎢ ⎢ ⎢
⎢ ⎢ ⎢ ⎡𝜕𝜕 2 𝑙𝑙𝑙𝑙 𝐿𝐿 ( 𝛽𝛽 ) 𝜕𝜕𝛽𝛽 0 2 𝜕𝜕 2 𝑙𝑙𝑙𝑙 𝐿𝐿 ( 𝛽𝛽 ) 𝜕𝜕𝛽𝛽 0 𝛽𝛽 1 … 𝜕𝜕 2 𝑙𝑙𝑙𝑙 𝐿𝐿 ( 𝛽𝛽 ) 𝜕𝜕𝛽𝛽 0 𝛽𝛽 𝑘𝑘 𝜕𝜕 2 𝑙𝑙𝑙𝑙 𝐿𝐿 ( 𝛽𝛽 ) 𝜕𝜕𝛽𝛽 1 2 … 𝜕𝜕 2 𝑙𝑙𝑙𝑙 𝐿𝐿 ( 𝛽𝛽 ) 𝜕𝜕𝛽𝛽 1 𝛽𝛽 𝑘𝑘 ⋱ ⋮ 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑒𝑒𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝜕𝜕 2 𝑙𝑙𝑙𝑙 𝐿𝐿 ( 𝛽𝛽 ) 𝜕𝜕𝛽𝛽 𝑘𝑘 2 ⎦ ⎥
⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤
𝛽𝛽=𝛽𝛽 ( 𝑚𝑚 )
𝑽𝑽𝑽𝑽𝑽𝑽�𝜷𝜷�� = −𝐸𝐸�𝑯𝑯 −𝟏𝟏 �𝜷𝜷���
d. Memasukkan nilai 𝜷𝜷� ( 0 ) ke dalam elemen-elemen vektor g dan matriks H , sehingga diperoleh vektor 𝒈𝒈�𝜷𝜷� ( 0 ) � dan matriks 𝑯𝑯�𝜷𝜷� ( 0 ) � . e. Mulai dari 𝑠𝑠 = 0 dilakukan iterasi pada persamaan: 𝜷𝜷� ( 𝑚𝑚+1 ) = 𝜷𝜷� ( 𝑚𝑚 ) − 𝑯𝑯 −𝟏𝟏 ( 𝜷𝜷 ( 𝑚𝑚 ) ) 𝒈𝒈 ( 𝜷𝜷 ( 𝑚𝑚 ) ) . Nilai 𝜷𝜷� ( 𝑚𝑚 ) merupakan sekumpulan penaksir parameter yang konvergen pada iterasi ke- m.
f. Kekonvergenan penaksir parameter dapat dilihat ketika nilai �𝜷𝜷� ( 𝑚𝑚+1 ) − 𝜷𝜷� ( 𝑚𝑚 ) � ≤ 𝜀𝜀 dimana  ε  merupakan  suatu bilangan yang sangat kecil sekali. Sehingga hampir tidak ada perbedaan antara 𝜷𝜷 ( 𝑚𝑚+1 ) dan 𝜷𝜷 ( 𝑚𝑚 ) . Jika belum didapatkan penaksir parameter yang konvergen, maka dilanjutkan kembali langkah 5 hingga iterasi ke 𝑠𝑠 = 𝑠𝑠 + 1 .

## 2) Pengujian Parameter
Salah satu metode yang digunakan untuk menentukan statistik uji dalam pengujian parameter model regresi poisson adalah dengan menggunakan metode Maximum Likelihood Ratio Test (MLRT) dengan hipotesis. 𝐿𝐿 ( Ω� ) adalah nilai likelihood untuk model lengkap dengan melibatkan variabel prediktor dan 𝐿𝐿 ( ω� )  yaitu nilai likelihood untuk model saturated . Model saturated adalah model teoritis dimana setiap observasi memiliki parameter masing-masing.
𝐻𝐻 0 : 𝛽𝛽 1 = 𝛽𝛽 2 = ⋯ = 𝛽𝛽 𝑗𝑗 = 0 𝐻𝐻 1 : paling sedikit ada satu 𝛽𝛽 𝑗𝑗 ≠ 0 ; j=1, 2, … , k Statistik uji untuk kelayakan model regresi poisson adalah sebagai berikut:
𝐷𝐷�𝜷𝜷�� = − 2 𝑙𝑙𝑙𝑙 � 𝐿𝐿 ( 𝜔𝜔 � ) 𝐿𝐿 ( 𝛺𝛺� ) � = 2 �𝑙𝑙𝑙𝑙 �𝐿𝐿�𝛺𝛺��� − 𝑙𝑙𝑙𝑙�𝐿𝐿 ( 𝜔𝜔� ) �� (8)
Keputusan tolak H 0 jika 𝐷𝐷�𝜷𝜷�� > 𝜒𝜒 𝑘𝑘 ; 𝛼𝛼 2 dengan k adalah banyaknya parameter model dibawah populasi dikurangi dengan banyaknya parameter dibawah H 0 . Parameter model regresi poisson yang telah dihasilkan dari estimasi perlu dilakukan pengujian terhadap parameter model regresi poisson secara individu dengan hipotesis sebagai berikut:
𝐻𝐻 0 : 𝛽𝛽 1 = 0 (pengaruh variabel ke-j tidak signifikan) 𝐻𝐻 1 : 𝛽𝛽 𝑗𝑗 ≠ 0 (pengaruh variabel ke-j signifikan) Statistik uji yang digunakan adalah:
𝑧𝑧 = 𝛽𝛽� 𝑗𝑗 𝑠𝑠𝑒𝑒�𝛽𝛽� 𝑗𝑗 � (9)
𝑠𝑠𝑒𝑒�𝛽𝛽̂ 𝑗𝑗 � adalah nilai standar error atau tingkat kesalahan dari parameter β j . 𝑠𝑠𝑒𝑒�𝛽𝛽̂ 𝑗𝑗 � didapatkan dari elemen diagonal ke (j+1) dari [ −𝑯𝑯 −1 ( 𝜷𝜷� )]. Diputuskan tolak H 0 jika | 𝑧𝑧 ℎ𝑖𝑖𝑖𝑖 | > 𝑧𝑧 𝛼𝛼 2 dimana α adalah tingkat signifikansi.
3) Overdispersi pada Regresi Poisson
Overdispersi terjadi apabila nilai varians variabel respon lebih besar dari nilai meannya. Apabila overdispersi terjadi pada regresi poisson, maka nilai dugaan dari koefisien parameter regresi tetap konsisten tetapi tidak efisien, sehingga kesimpulannya menjadi tidak valid. Fenomena overdispersi [10] dapat dituliskan 𝑉𝑉𝑉𝑉𝑠𝑠 ( 𝑌𝑌 ) > 𝐸𝐸 ( 𝑌𝑌 ) . Misal θ merupakan parameter dispersi maka jika θ = 0 artinya tidak terjadi kasus overdispersi.
Nilai θ dapat diindikasikan dengan nilai dispersi deviance yang dibagi dengan derajat bebasnya sebagai berikut:
𝜃𝜃 = 𝐷𝐷�𝛽𝛽�� 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 2�𝑙𝑙𝑙𝑙�𝐿𝐿 ( 𝛺𝛺� ) �−𝑙𝑙𝑙𝑙�𝐿𝐿 ( 𝜔𝜔 � ) �� 𝑑𝑑𝑑𝑑 (10)
Jika nilai 𝜃𝜃 > 0 maka dikatakan terjadi overdispersi pada data  [11]. Overdispersi dapat terjadi karena adanya pengamatan missing pada variabel prediktor, adanya pencilan pada data, perlunya interaksi dalam model, variabel prediktor perlu ditransformasi atau kesalahan spesifikasi link function [12].

## C. Generalized Poisson Regression (GPR)
Model GPR merupakan suatu model yang sesuai digunakan untuk data count dimana terjadi over/under dispersi. Sehingga selain parameter µ juga terdapat θ sebagai parameter dispersi. GPR hampir mirip dengan regresi poisson yaitu merupakan suatu model GLM. Akan tetapi pada model GPR mengasumsikan bahwa komponen randomnya berdistribusi Generalized Poisson (GP). Misal, y = 0,1,2,... merupakan variabel respon. Distribusi GP diberikan sebagai berikut [13].
f(y; μ ; θ ) = � μ 1+θμ � y ( 1+θy ) y−1 y ! exp � −μ ( 1+θy ) 1+θμ � (11)
dengan mean dan varians model GPR adalah sebagai berikut:
E(y) = μ dan Var(y) = μ (1 + θμ ) 2
Apabila θ = 0 maka model GPR akan menjadi regresi poisson biasa, apabila θ > 0 maka model GPR merepresentasikan data count yang overdispersion, dan jika θ < 0 maka GPR merepresentasikan data count yang underdispersion.
1) Penaksiran Parameter Generalized Poisson Regression
(GPR)
Penaksir parameter model GPR pada  Persamaan  11 dilakukan dengan metode MLE (Maximum Likelihood Estimator) . Fungsi likelihood untuk model GPR adalah sebagai berikut:
𝐿𝐿 ( 𝜷𝜷 , 𝜃𝜃 ) = � 𝑓𝑓 ( 𝜷𝜷 , 𝜃𝜃 ) 𝑙𝑙 𝑖𝑖=1
𝐿𝐿 ( 𝜷𝜷 , 𝜃𝜃 ) = ∏ �� 𝜇𝜇 𝑖𝑖 1+𝜃𝜃𝜇𝜇 𝑖𝑖 � 𝑦𝑦 𝑖𝑖 ( 1+𝜃𝜃𝑦𝑦 𝑖𝑖 ) �𝑦𝑦𝑖𝑖−1� 𝑦𝑦 𝑖𝑖 ! 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 � −𝜇𝜇 𝑖𝑖 ( 1+𝜃𝜃𝑦𝑦 𝑖𝑖 ) 1+𝜃𝜃𝜇𝜇 𝑖𝑖 �� 𝑙𝑙 𝑖𝑖=1 (12)
Selanjutnya persamaan (12) diubah dalam bentuk fungsi logaritma natural menjadi:
𝑙𝑙𝑙𝑙 𝐿𝐿 ( 𝜷𝜷 , 𝜃𝜃 ) = ∑ { 𝑦𝑦 𝑖𝑖 𝑙𝑙𝑙𝑙 ( 𝜇𝜇 𝑖𝑖 ) − 𝑦𝑦 𝑖𝑖 𝑙𝑙𝑙𝑙 (1 + 𝜃𝜃𝜇𝜇 𝑖𝑖 ) + 𝛥𝛥 } 𝑙𝑙 𝑖𝑖=1 (13)
dimana:
Δ = ( 𝑦𝑦 𝑖𝑖 − 1) 𝑙𝑙𝑙𝑙 (1 + 𝜃𝜃𝑦𝑦 𝑖𝑖 ) − 𝑙𝑙𝑙𝑙 ( 𝑦𝑦 𝑖𝑖 !) − 𝜇𝜇 𝑖𝑖 (1 + 𝜃𝜃𝑦𝑦 𝑖𝑖 ) 1 + 𝜃𝜃𝜇𝜇 𝑖𝑖 Kemudian persamaan logaritma natural dari fungsi likelihood diturunkan terhadap 𝜷𝜷 𝑇𝑇 dan disamakan dengan nol untuk mendapatkan parameter 𝜷𝜷� . Jika ingin mendapatkan penaksir parameter 𝜃𝜃� maka persamaan tersebut diturunkan terhadap 𝜃𝜃 dan disamakan dengan nol.  Selanjutnya digunakan iterasi Newton-Raphson sampai didapatkan penaksir parameter yang konvergen.
2) Pengujian Parameter Generalized Poisson Regression
(GPR)
Pengujian parameter GPR dilakukan dengan metode Maximum Likelihood Ratio Test (MLRT) . Hipotesis yang digunakan adalah sebagai berikut:
𝐻𝐻 0 : 𝛽𝛽 1 = 𝛽𝛽 2 = ⋯ = 𝛽𝛽 𝑗𝑗 = 0 𝐻𝐻 1 : paling sedikit ada satu 𝛽𝛽 𝑗𝑗 ≠ 0; 𝑗𝑗 = 1,2, … , 𝑘𝑘 Statistik uji:
𝐷𝐷�𝛽𝛽̂� = − 2 𝑙𝑙𝑙𝑙 � 𝐿𝐿 ( 𝜔𝜔 � ) 𝐿𝐿 ( 𝛺𝛺� ) � = 2 �𝑙𝑙𝑙𝑙 𝐿𝐿 �𝛺𝛺�� − 𝑙𝑙𝑙𝑙 𝐿𝐿 ( 𝜔𝜔� ) � (14)
Tolak H 0 jika 𝐷𝐷�𝛽𝛽̂� > 𝜒𝜒 ( 𝑘𝑘 ; 𝛼𝛼 ) 2 sehingga paling tidak ada satu 𝛽𝛽 𝑗𝑗 ≠ 0 yang menunjukkan bahwa X j berpengaruh secara signifikan terhadap model. Pengujian dilanjutkan dengan uji secara parsial dengan hipotesis sebagai berikut:
𝐻𝐻 0 : 𝛽𝛽 1 = 0 (pengaruh variabel ke-j tidak signifikan) 𝐻𝐻 1 : 𝛽𝛽 𝑗𝑗 ≠ 0 (pengaruh variabel ke-j signifikan) Statistik uji yang digunakan mengikuti distribusi z yaitu:
𝑠𝑠 = 𝛽𝛽� 𝑗𝑗 𝑠𝑠𝑒𝑒�𝛽𝛽� 𝑗𝑗 � (15)
𝑠𝑠𝑒𝑒�𝛽𝛽̂ 𝑗𝑗 � adalah nilai standar error atau tingkat kesalahan dari parameter β j . 𝑠𝑠𝑒𝑒�𝛽𝛽̂ 𝑗𝑗 � didapatkan dari elemen diagonal ke (j+1) dari [ −𝑯𝑯 −1 ( 𝜷𝜷� )]. Diputuskan tolak H 0 jika | 𝑠𝑠 ℎ𝑖𝑖𝑖𝑖 | > 𝑠𝑠 𝛼𝛼 2 , 𝑑𝑑𝑑𝑑 dimana α adalah tingkat signifikansi.
D. Negative Binomial Regression (NRB) Negative Binomial Regression merupakan salah satu model regresi terapan dari GLM.  Pada Negative Binomial Regression variabel respon Y i diasumsikan berdistribusi binomial negatif yang dihasilkan dari distribusi mixture poisson-gamma. 𝑃𝑃 ( 𝑌𝑌 | 𝛼𝛼 , 𝛽𝛽 ) merupakan fungsi kepadatan peluang binomial negatif yang dihasilkan dari distribusi mixture poisson-gamma. Nilai mean dan varians poisson- gamma mixture adalah 𝐸𝐸 [ 𝑌𝑌 ] = 𝛼𝛼𝛽𝛽 dan V [ 𝑌𝑌 ] = 𝛼𝛼𝛽𝛽 + 𝛼𝛼𝛽𝛽 2 . Untuk membentuk suatu model regresi pada distribusi binomial negatif, maka nilai parameter dari distribusi poisson-gamma mixture dinyatakan dalam 𝜇𝜇 = 𝛼𝛼𝛽𝛽 dan 𝜃𝜃 = 1 𝛼𝛼 sehingga diperoleh mean dan varians sebagai berikut:
𝐸𝐸 [ 𝑌𝑌 ] = 𝜇𝜇 dan 𝑉𝑉 [ 𝑌𝑌 ] = 𝜇𝜇 + 𝜃𝜃𝜇𝜇 2
Kemudian fungsi massa peluang binomial negatif menjadi [14]:
𝑓𝑓 ( 𝑦𝑦 ; 𝜇𝜇 , 𝜃𝜃 ) = 𝛤𝛤�𝑦𝑦+ 1 𝜃𝜃 � 𝛤𝛤� 1 𝜃𝜃 �𝑦𝑦 ! � 1 1+𝜃𝜃𝜇𝜇 � 1 𝜃𝜃 � 𝜃𝜃𝜇𝜇 1+𝜃𝜃𝜇𝜇 � 𝑦𝑦 (16)
Saat 𝜃𝜃 → 0 maka distribusi binomial negatif memiliki varians 𝑉𝑉 [ 𝑌𝑌 ] → 𝜇𝜇 . Distribusi binomial negatif akan mendekati suatu distribusi poisson yang mengasumsikan mean dan varians sama yaitu 𝐸𝐸 [ 𝑌𝑌 ] = 𝑉𝑉 [ 𝑌𝑌 ] = 𝜇𝜇 . Fungsi distribusi keluarga eksponensial dari distribusi binomial negatif adalah sebagai berikut:
𝑓𝑓 ( 𝑦𝑦 ; 𝜇𝜇 , 𝜃𝜃 ) = 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 �𝑦𝑦 𝑙𝑙𝑙𝑙 � 𝜃𝜃𝜇𝜇 1+𝜃𝜃𝜇𝜇 � + 1 𝜃𝜃 𝑙𝑙𝑙𝑙 � 1 1+𝜃𝜃𝜇𝜇 � + Δ� (17) dimana:
Δ = 𝑙𝑙𝑙𝑙 � 𝛤𝛤 �𝑦𝑦 + 1 𝜃𝜃� 𝛤𝛤 � 1 𝜃𝜃� 𝑦𝑦 ! �
1) Penaksir Parameter Negative Binomial Regression
(NRB)
Estimasi parameter dari Negative Binomial Regression digunakan metode MLE dengan prosedur Newton Rhapson. Metode ini membutuhkan turunan pertama dan kedua dari fungsi likelihood . Y i mempunyai fungsi massa probabilitas distribusi binomial negatif sebagai berikut:
𝑓𝑓 ( 𝑦𝑦 𝑖𝑖 | 𝜇𝜇 𝑖𝑖 , 𝜃𝜃 ) = 𝛤𝛤�𝑦𝑦 𝑖𝑖 + 1 𝜃𝜃 � 𝛤𝛤� 1 𝜃𝜃 �𝛤𝛤 ( 𝑦𝑦 𝑖𝑖 +1 ) � 1 1+𝜃𝜃𝜇𝜇 𝑖𝑖 � 1 𝜃𝜃 � 𝜃𝜃𝜇𝜇 𝑖𝑖 1+𝜃𝜃𝜇𝜇 𝑖𝑖 � 𝑦𝑦 𝑖𝑖 (18)
Karena fungsinya saling bebas, maka fungsi likelihood adalah sebagai berikut [14]:
𝐿𝐿 ( 𝜷𝜷 , 𝜃𝜃 ) = ∏ 𝛤𝛤�𝑦𝑦+ 1 𝜃𝜃 � 𝛤𝛤� 1 𝜃𝜃 �𝛤𝛤 ( 𝑦𝑦+1 ) � 1 1+𝜃𝜃𝜇𝜇 𝑖𝑖 � 1 𝜃𝜃 � 𝜃𝜃𝜇𝜇 𝑖𝑖 1+𝜃𝜃𝜇𝜇 𝑖𝑖 � 𝑙𝑙 𝑖𝑖=1 𝑦𝑦 (19)
dengan:
𝛤𝛤 �𝑦𝑦 + 1 𝜃𝜃� 𝛤𝛤 � 1 𝜃𝜃� = � ( 𝑗𝑗 + 𝜃𝜃 −1 ) 𝑦𝑦−1

## 𝑗𝑗=1
Selanjutnya  persamaan  diubah dalam bentuk fungsi logaritma natural menjadi:
𝐿𝐿 ( 𝜷𝜷 , 𝜃𝜃 ) = 𝑙𝑙𝑙𝑙 { 𝑙𝑙 ( 𝜷𝜷 , 𝜃𝜃 )} = � ��� 𝑙𝑙𝑙𝑙 ( 𝑗𝑗 + 𝜃𝜃 −1 ) 𝑦𝑦 𝑖𝑖 −1 𝑟𝑟=0 � − 𝑙𝑙𝑙𝑙�𝛤𝛤 ( 𝑦𝑦 + 1) � − Δ�
𝑙𝑙 𝑖𝑖=1
dimana:
Δ = ( 𝑦𝑦 𝑖𝑖 + 𝜃𝜃 −1 ) 𝑙𝑙𝑙𝑙 (1 + 𝜃𝜃𝜇𝜇 𝑖𝑖 ) + 𝑦𝑦 𝑖𝑖 𝑙𝑙𝑙𝑙 ( 𝜃𝜃 ) + 𝑦𝑦 𝑖𝑖 𝑙𝑙𝑙𝑙 ( 𝜇𝜇 𝑖𝑖 )
Estimasi parameter Negative Binomial Regression dilakukan dengan langkah sebagai berikut:
a. Menentukan taksiran awal dari 𝜃𝜃 , misal 𝜃𝜃� 1 = 0 b. Menentukan estimasi maksimum likelihood dari parameter 𝛽𝛽 menggunakan prosedur iterasi Fisher Scoring dengan asumsi 𝜃𝜃 = 𝜃𝜃� 1
𝛽𝛽̂ 𝑖𝑖+1 = 𝛽𝛽̂ 𝑖𝑖 + ( 𝑋𝑋 𝑇𝑇 𝑊𝑊 𝑖𝑖 𝑋𝑋 ) −1 𝑋𝑋 𝑇𝑇 𝑊𝑊 𝑖𝑖 𝑧𝑧 𝑖𝑖
Iterasi berakhir jika diperoleh �𝛽𝛽̂ 𝑖𝑖+1 − 𝛽𝛽̂ 𝑖𝑖 � ≤ 𝜀𝜀 c. Menggunakan 𝛽𝛽̂ untuk menghasilkan estimasi dari parameter  θ  dengan  menggunakan  prosedur  iterasi Newthon-Rhapson satu dimensi
𝑐𝑐𝜃𝜃� 𝑖𝑖+1 = 𝜃𝜃� 𝑖𝑖 − 𝑓𝑓′ ( 𝜃𝜃 𝑖𝑖 ) 𝑓𝑓 "( 𝜃𝜃 𝑖𝑖 )
Iterasi berakhir jika diperoleh �𝜃𝜃� 𝑖𝑖+1 − 𝜃𝜃� 1 � < 𝜀𝜀 d. Jika �𝜃𝜃� 𝑖𝑖+1 − 𝜃𝜃� 1 � < 𝜀𝜀 selesai; bila tidak, gunakan parameter 𝜃𝜃 = 𝜃𝜃� 𝑖𝑖+1 dan kembali ke langkah 2. Nilai 𝜀𝜀 merupakan nilai bilangan positif yang sangat kecil
2) Pengujian Parameter Generalized Poisson Regression (GPR)
Pengujian parameter NBR menggunakan dengan uji deviansi megunakan hipotesis sebagai berikut:
𝐻𝐻 0 : 𝛽𝛽 1 = 𝛽𝛽 2 = ⋯ = 𝛽𝛽 𝑗𝑗 = 0 𝐻𝐻 1 : paling sedikit ada satu 𝛽𝛽 𝑗𝑗 ≠ 0; 𝑗𝑗 = 1,2, … , 𝑘𝑘 Statistik uji:
𝐷𝐷�𝛽𝛽̂� = − 2 𝑙𝑙𝑙𝑙 � 𝐿𝐿 ( 𝜔𝜔 � ) 𝐿𝐿 ( 𝛺𝛺� ) � = 2 �𝑙𝑙𝑙𝑙 𝐿𝐿 �𝛺𝛺�� − 𝑙𝑙𝑙𝑙 𝐿𝐿 ( 𝜔𝜔� ) � (20)
Tolak H 0 jika 𝐷𝐷�𝛽𝛽̂� > 𝜒𝜒 ( 𝑘𝑘 ; 𝛼𝛼 ) 2 . Pengujian dilanjutkan dengan uji secara parsial dengan hipotesis sebagai berikut: 𝐻𝐻 0 : 𝛽𝛽 1 = 0 (pengaruh variabel ke-j tidak signifikan) 𝐻𝐻 1 : 𝛽𝛽 𝑗𝑗 ≠ 0 (pengaruh variabel ke-j signifikan) Statistik uji yang digunakan mengikuti distribusi z yaitu:
𝑧𝑧 = 𝛽𝛽� 𝑗𝑗 𝑠𝑠𝑒𝑒�𝛽𝛽� 𝑗𝑗 � (21)
𝑠𝑠𝑒𝑒�𝛽𝛽̂ 𝑗𝑗 � adalah nilai standar error atau tingkat kesalahan dari parameter β j . 𝑠𝑠𝑒𝑒�𝛽𝛽̂ 𝑗𝑗 � didapatkan dari elemen diagonal ke (j+1) dari [ −𝑯𝑯 −1 ( 𝜷𝜷� )]. Diputuskan tolak H 0 jika �𝑧𝑧 ℎ𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑙𝑙𝑖𝑖 � > 𝑧𝑧 𝛼𝛼 2 dimana α adalah tingkat signifikansi.

## E. Pemilihan Model Terbaik
Kriteria pemilihan model terbaik dalam analisis regresi diantaranya terdapat beberapa metode yaitu Akaike Information Criterion ( AIC ) dan Bayes Information Criterion ( BIC ). Akaike Information Criterion ( AIC ) menurut  [15] didefinisikan sebagai berikut:
𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 = − 2 𝑙𝑙𝑙𝑙 𝐿𝐿 �𝜃𝜃�� + 2 𝑘𝑘 (22) dimana 𝐿𝐿�𝜃𝜃�� nilai likelihood , dan k jumlah parameter. Model terbaik adalah model yang mempunyai nilai AIC terkecil. Faktor koreksi pada AIC yaitu Corrected Akaike Information Criterion ( AIC C ), dimana n menunjukkan jumlah data pada penelitian dan k adalah jumlah parameter.
𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 𝐶𝐶 = 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 + 2𝑘𝑘 ( 𝑘𝑘+1 ) 𝑙𝑙−𝑘𝑘−1 (23)
Salah satu modifikasi dari AIC adalah BIC. BIC sering digunakan karena memiliki keunggulan dalam kecepatan serta kesederhanaan komputasi [14].
𝐵𝐵𝐴𝐴𝐴𝐴 = − 2 𝑙𝑙𝑙𝑙 𝐿𝐿 �𝜃𝜃�� + 𝑘𝑘 𝑙𝑙𝑙𝑙 ( 𝑙𝑙 ) (24)
𝐵𝐵𝐴𝐴𝐴𝐴 𝐶𝐶 = 𝐵𝐵𝐴𝐴𝐴𝐴 + 2𝑘𝑘 ( 𝑘𝑘+1 ) 𝑙𝑙−𝑘𝑘−1 (25)

## III. METODOLOGI PENELITIAN

## A. Sumber Data
Sumber data yang digunakan dalam penelitian ini adalah data sekunder. Data diperoleh dari publikasi Dinas Kesehatan Kabupaten Probolinggo yang dapat diakses melalui website https://dinkesprobolinggokab.go.id dan publikasi Badan Pusat Statistik Kabupaten Probolinggo yang dapat diakses melalui website https://probolinggokab.bps.go.id. Variabel prediktor yang diduga berpengaruh terhadap jumlah kematian bayi merupakan indikator kesehatan bayi yang sebanyak 9 variabel serta 2 variabel tambahan yaitu jumlah tenaga kesehatan dan jumlah fasilitas kesehatan. Jumlah data yang digunakan sebanyak 24 data yang terdiri dari kecamatan di Kabupaten Probolinggo.

## B. Variabel Penelitian
Variabel penelitian yang digunakan dalam penelitian ini adalah jumlah kematian bayi sebagai variabel respon dan variabel prediktor yang terdiri dari 11 variabel dengan skala data rasio disajikan pada Tabel 1.

## C. Langkah Analitis
Langkah-langkah analisis pada penelitian ini diantaranya yaitu sebagai berikut:
1. Melakukan analisis statistika deskriptif jumlah kematian bayi yang terjadi di Kabupaten Probolinggo beserta dengan variabel prediktor.
2. Menganalisis korelasi antar variabel-variabel prediktor untuk mendeteksi adanya kasus multikolinearitas menggunakan nilai VIF dan koefisien korelasi.
3. Mendeteksi adanya overdispersi pada data dengan melihat nilai Deviance yang dibagi dengan derajat bebasnya.
4. Mendapatkan model terbaik untuk GPR pada pemodelan jumlah kematian bayi yang terjadi pada kecamatan di Kabupaten Probolinggo.
a. Menaksir parameter model GPR . b. Menguji signifikansi parameter model GPR secara serentak dan parsial.
5. Mendapatkan model terbaik untuk NBR pada pemodelan jumlah kematian bayi yang terjadi pada kecamatan di Kabupaten Probolinggo.
a. Menaksir parameter model NBR.
b. Menguji signifikansi parameter model NBR secara serentak dan parsial.
6. Membandingkan nilai AIC , AIC C, BIC, dan BICc dari GPR dan NBR yang dihasilkan  untuk mendapatkan model terbaik. Model terbaik adalah model dengan nilai AIC , AIC C, BIC, dan BICc terkecil.

## IV. ANALISIS DAN PEMBAHASAN

## A. Karakteristik Data
Tabel 2 menunjukkan rata-rata jumlah kematian bayi pada 24 kecamatan di Kabupaten Probolinggo sebesar 6,125 kasus. Pada tahun 2020, di Kecamatan Sukapura tidak terdapat kasus kematian bayi. Jumlah kematian bayi tertinggi terdapat pada Kecamatan Paiton yaitu sejumlah 20 kematian bayi. Keragaman dari jumlah kematian bayi di Kabupaten Probolinggo cukup kecil yaitu sebesar 22,732. Hal tersebut menunjukkan bahwa persebaran jumlah kematian bayi di tiap kecamatan di Kabupaten Probolinggo besarnya hampir sama.
Nilai  keragaman tertinggi pada variabel yang diduga berpengaruh terhadap kematian bayi di Kabupaten Probolinggo terdapat pada variabel X 8 (Jumlah Ibu Hamil Mendapat Imunisasi Td2+) yaitu sebesar 441877,65 dengan nilai minimum 77 terdapat pada Kecamatan Sukapura dan nilai maksimum 2976 ibu hamil terdapat pada Kecamatan Kraksaan.  Kecamatan Kraksaan diduga dapat menjadi kecamatan dengan jumlah ibu hamil yang mendapat imunisasi Td2+ tertinggi karena daerah tersebut merupakan daerah pusat pemerintahan daerah sehingga program imunisasi dapat lebih terakomodir.

## B. Pemeriksaan Multikolinieritas
Hasil pemeriksaan multikolinearitas pada 11 variabel terdapat pada Tabel  3.  Multikolinearitas mengindikasikan adanya hubungan antar variabel prediktor. Nilai VIF pada variabel X 1 , X 2 , X 3 , X 4 , X 5 , dan X 6 memiliki nilai lebih dari 10 sehingga variabel terindikasi terjadi kasus multikolinearitas pada variabel tersebut. Deteksi kasus multikolinearitas diperkuat dengan hasil nilai koefisien
korelasi  dimana  terdapat koefisien korelasi yang nilainya besar (>0,95) yang memperkuat indikasi terjadinya kasus multikolinearitas pada variabel X 2 , X 3 , X 4 , X 5 , dan X 6 . Oleh karena itu perlu dilakukan penanganan dengan menghapus variabel X 2 , X 3 , X 4 , X 5 , dan X 6 yang kemudian dilakukan perhitungan nilai VIF kembali yang disajikan pada Tabel 4. Hasil penanganan multikolinearitas menunjukkan bahwa dengan cara menghapus variabel X 2 , X 3 , X 4 , X 5 , dan X 6 telah mampu menangani kasus multikolinearitas. Hal tersebut dibuktikan dengan keseluruhan variabel memiliki nilai VIF kurang dari 10.

## C. Pemeriksaan Overdispersi
Pemeriksaan  overdispersi  dapat dilakukan menggunakan statistik uji serentak yang dibagi dengan derajat bebas yang disimbolkan dengan θ .  Jika nilai θ lebih dari nol maka terdapat kondisi overdispersi.  Didapatkan nilai residual devians pada model regresi poisson sebesar 23,8595 dengan derajat bebas 17 sehingga didapatkan nilai θ sebesar 1,4035 sehingga terjadi kondisi overdispersi.

## D. Pemodelan Generalized Poisson Regression (GPR)
Pemodelan dilakukan dengan menggunakan 6 variabel prediktor dengan memilih model terbaik berdasarkan jumlah variabel signifikan dalam model. Penelitian ini menggunakan 6 variabel prediktor sehingga terdapat 63 kombinasi.
Nilai estimasi parameter yang diperoleh  pada Tabel 5 selanjutnya dilakukan uji signifikansi secara serentak dan parsial. Uji serentak dari model GPR dijelaskan dengan hipotesis sebagai berikut:
𝐻𝐻 0 : 𝛽𝛽 7 , 𝛽𝛽 8 , 𝛽𝛽 10 = 0 atau tidak ada variabel prediktor yang berpengaruh signifikan terhadap model. 𝐻𝐻 1 :  Paling sedikit ada satu 𝛽𝛽 𝑖𝑖 ≠ 0, 𝑠𝑠 = 7, 8, 10 atau minimal terdapat satu variabel prediktor yang berpengaruh signifikan terhadap model.
Pada tingkat signifikansi 𝛼𝛼 sebesar 0,15, jika nilai 𝐷𝐷�𝜷𝜷�� lebih besar dari 𝜒𝜒 2 ( 3 ; 0 . 15 ) maka  diputuskan tolak H 0. Nilai 𝐷𝐷�𝜷𝜷�� yang didapatkan adalah sebesar 13,49 lebih besar dari 𝜒𝜒 2 ( 3 ; 0 , 15 ) sebesar  5,32  sehingga diputuskan tolak H 0 yang artinya minimal terdapat satu variabel prediktor yang berpengaruh signifikan terhadap model.
Selanjutnya  dilakukan pengujian  secara parsial dengan hipotesis sebagai berikut:
𝐻𝐻 0 : 𝛽𝛽 𝑖𝑖 = 0, 𝑠𝑠 = 7, 8, 10 atau variabel prediktor ke- i tidak memberikan pengaruh yang signifikan terhadap model secara parsial. 𝐻𝐻 1 : 𝛽𝛽 𝑖𝑖 ≠ 0 atau  variabel variabel prediktor ke- i memberikan pengaruh yang signifikan terhadap model secara parsial.
Hipotesis diputuskan tolak H 0 jika statistik uji t hitung yang didapatkan nilainya lebih dari 𝑠𝑠 ( 0 , 15 2 , 1 ) yang diperkuat dengan nilai p-value yang nilainya kurang dari 𝛼𝛼 sebesar 0,15. Tabel 5 menunjukkan bahwa nilai | 𝑠𝑠 ℎ𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑙𝑙𝑖𝑖 | variabel pada prediktor X 7 , X 8 , dan X 10 lebih besar daripada 𝑠𝑠 ( 0 . 15 2 , 1 ) sebesar 1,49  yang diperkuat dengan nilai p-value yang nilainya kurang dari taraf signifikan ( 𝛼𝛼 ) sebesar 0,15 sehingga diputuskan tolak H 0 yang artinya variabel jumlah bayi lahir rendah  (X 7 ),  jumlah ibu hamil mendapat imunisasi Td2+ (X 8 ), dan  umlah tenaga kesehatan  (X 10 )  berpengaruh
signifikan terhadap jumlah kematian bayi di Kabupaten Probolinggo tahun 2020 dengan model GPR sebagai berikut:
𝜇𝜇̂ = 𝑒𝑒 0 , 7673+0 , 02955𝑋𝑋 7 −0 , 0006𝑋𝑋 8 +0 , 0033𝑋𝑋 10
Didapatkan nilai parameter dispersi sebesar 0,078 yang nilainya lebih besar daripada nol sehingga pemodelan GPR sesuai dan dapat digunakan untuk mengatasi overdispersi. Berdasarkan model yang terbentuk maka dapat diketahui bahwa jika setiap peningkatan 1 jumlah bayi lahir rendah akan meningkatkan rata-rata jumlah kematian bayi sebesar exp(0,02955)  = 1,0299 kali lipat nilai sebelumnya dengan asumsi variabel lain konstan, setiap peningkatan 1 ibu hamil yang mendapat imunisasi Td2+ akan mengurangi rata-rata jumlah kematian bayi sebesar exp(-0,0006) = 0,999 kali lipat dari nilai sebelumnya dengan asumsi variabel lain konstan, dan  setiap peningkatan 1 tenaga kesehatan akan meningkatkan rata-rata jumlah kematian bayi sebesar exp(0,0033)=1,0033 kali lipat dari nilai sebelumnya dengan asumsi variabel lain konstan.
Prediksi dapat dilakukan berdasarkan hasil model yang didapatkan. Jika terdapat satu bayi lahir rendah, 1 ibu hamil yang mendapat imunisasi Td2+ dan terdapat 1 tenaga kesehatan makadiprediksi akan terdapat 2,22 ≈ 2 kasus kematian bayi di Kabupaten Probolinggo tahun 2020.

## E. Pemodelan Negative Binomial Regression (NBR)
Pemodelan Pemodelan dilakukan dengan memilih model terbaik berdasarkan jumlah variabel signifikan dalam model. Penelitian ini menggunakan 6 variabel prediktor  sehingga terdapat 63 kombinasi.
Nilai estimasi parameter yang diperoleh selanjutnya dilakukan uji signifikansi secara serentak dan parsial. Uji serentak dari model NBR dijelaskan dengan hipotesis berikut:
𝐻𝐻 0 : 𝛽𝛽 7 , 𝛽𝛽 8 , 𝛽𝛽 10 = 0 atau tidak ada variabel prediktor yang berpengaruh signifikan terhadap model.
𝐻𝐻 1 :  Paling sedikit ada satu 𝛽𝛽 𝑖𝑖 ≠ 0, 𝑠𝑠 = 7, 8, 10 atau minimal terdapat satu variabel prediktor yang berpengaruh signifikan terhadap model.
Pada tingkat signifikansi 𝛼𝛼 sebesar 0,15, jika nilai 𝐷𝐷�𝜷𝜷�� lebih besar dari 𝜒𝜒 2 ( 3 ; 0 . 15 ) maka  diputuskan tolak H 0. Nilai 𝐷𝐷�𝜷𝜷�� yang didapatkan adalah sebesar 25,208 lebih besar dari 𝜒𝜒 2 ( 3 ; 0 , 15 ) sebesar  5,32  sehingga diputuskan tolak H 0 yang artinya minimal terdapat satu variabel prediktor yang berpengaruh signifikan jumlah kematian bayi di Kabupaten Probolinggo tahun 2020.  Selanjutnya untuk mengetahui variabel yang berpengaruh secara parsial terhadap jumlah kematian bayi di Kabupaten Probolinggo tahun 2020 dilakukan pengujian dengan hipotesis sebagai berikut:
𝐻𝐻 0 : 𝛽𝛽 𝑖𝑖 = 0, 𝑠𝑠 = 7, 8, 10 atau variabel prediktor ke-i tidak memberikan pengaruh yang signifikan terhadap model secara parsial.
𝐻𝐻 1 : 𝛽𝛽 𝑖𝑖 ≠ 0 atau  variabel variabel prediktor ke-i memberikan pengaruh yang signifikan terhadap model secara parsial.
Hipotesis diputuskan tolak H 0 jika statistik uji Z hitung yang didapatkan nilainya lebih dari 𝑍𝑍 � 0 , 15 2 � yang diperkuat dengan nilai p-value yang nilainya kurang dari 𝛼𝛼 sebesar 0,15. Tabel 6 menunjukkan bahwa nilai | 𝑍𝑍 ℎ 𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑙𝑙𝑖𝑖 | variabel pada prediktor X 7 , X 8 ,  dan  X 10 lebih besar daripada 𝑍𝑍 ( 0 . 15 / 2 )
sebesar  1,43  yang diperkuat dengan nilai p-value yang nilainya kurang dari taraf signifikan ( 𝛼𝛼 ) sebesar 0,15 sehingga diputuskan tolak H 0 yang artinya artinya variabel jumlah bayi lahir rendah  (X 7 ),  jumlah ibu hamil mendapat imunisasi Td2+  (X 8 ), dan  umlah tenaga kesehatan  (X 10 ) berpengaruh signifikan terhadap jumlah kematian bayi di Kabupaten Probolinggo tahun 2020  dengan model  NBR sebagai berikut:
𝜇𝜇̂ = 𝑒𝑒 0 , 7070+0 , 0283𝑋𝑋 7 −0 , 0006𝑋𝑋 8 +0 , 0031𝑋𝑋 10
Didapatkan nilai  parameter dispersi sebesar 5,13 yang nilainya lebih besar daripada nol sehingga pemodelan NBR sesuai dan dapat digunakan untuk mengatasi overdispersi. Berdasarkan model yang terbentuk maka dapat diketahui bahwa jika setiap peningkatan 1 jumlah bayi lahir rendah akan meningkatkan rata-rata jumlah kasus kematian bayi sebesar exp(0,0283) = 1,0287 kali lipat dari jumlah sebelumnya dengan asumsi variabel lain konstan, setiap peningkatan 1 ibu hamil yang mendapat imunisasi Td2+ akan mengurangi rata-rata jumlah kematian bayi sebesar exp(- 0,0006) = 0,999 kali lipat nilai sebelumnya dengan asumsi variabel lain konstan, dan setiap peningkatan 1 tenaga kesehatan akan meningkatkan rata-rata kematian bayi sebesar exp(0,00311)=1,0031 kali lipat dari nilai sebelumnya dengan asumsi variabel lain konstan.
Prediksi dapat dilakukan berdasarkan hasil model yang didapatkan. Jika terdapat satu bayi lahir rendah, 1 ibu hamil yang mendapat imunisasi Td2+ dan terdapat 1 tenaga kesehatan makadiprediksi akan terdapat 2,23 ≈ 2 kasus kematian bayi di Kabupaten Probolinggo tahun 2020.

## F. Pemilihan Model Terbaik GPR dan NBR
Pemodelan Pemilihan model terbaik dari pemodelan dengan metode GPR dan NBR didasarkan pada kriteria kebaikan model dengan nilai AIC, AICc, BIC, dan BICc terkecil. Hasil nilai kebaikan model pada masing-masing metode disajikan pada Tabel  7 yang  menunjukkan bahwa baik pada metode GPR maupun NBR memiliki model dengan variabel signifikan yang sama yaitu β 0 ,  β 7 ,  β 8 ,  dan  β 10 . Pemodelan menggunakan metode GPR memiliki keseluruhan nilai kriteria kebaikan model yang lebih kecil dibandingkan dengan metode NBR. Berdasarkan hal tersebut maka pemodelan jumlah kematian bayi di Kabupaten Probolinggo untuk mengatasi overdispersi lebih baik menggunakan metode GPR. Namun, perbedaan nilai kriteria kebaikan model dari metode GPR dan NBR tidak berbeda secara signifikan.

## V. KESIMPULAN DAN SARAN
Berdasarkan hasil analisis statistika deskriptif, GPR, dan NBR, serta perbandingan hasil analisis maka data diperoleh kesimpulan sebagai berikut: (1)  Secara umum, gambaran jumlah kematian bayi di Kabupaten Probolinggo tahun 2020 menunjukkan tingkat keragaman yang tinggi. Kecamatan dengan jumlah kasus kematian bayi tertinggi adalah Kecamatan Paiton. Sedangkan daerah yang tidak memiliki jumlah kematian bayi adalah Kecamatan Sukapura.  Daerah dataran tinggi yang berada pada bagian barat Kabupaten Probolinggo yaitu Kecamatan Sukapuran, Sumber, Lumbang, dan Kuripan mayoritas termasuk dalam kategori rendah pada
seluruh variabel. (2) Analisis Generalized Poisson Regression dan Negative Binomial Regression menunjukkan hasil yang sama berdasarkan kombinasi dari variabel prediktor yang telah terbebas dari multikolinearitas. Model terpilih adalah model dengan variabel prediktor adalah kombinasi dari variabel jumlah bayi lahir rendah (X 7 ), jumlah ibu hamil mendapat imunisasi Td2+ (X8), dan jumlah tenaga kesehatan (X10). Hasil pengujian secara serentak maupun parsial menunjukkan bahwa keseluruhan parameter berpengaruh signifikan terhadap model, sehingga dapat disimpulkan bahwa jumlah bayi lahir rendah (X7), jumlah ibu hamil mendapat imunisasi Td2+ (X8), dan jumlah tenaga kesehatan (X10) berpengaruh terhadap jumlah kematian bayi (Y). (3) Hasil perbandingan metode Generalized Poisson Regression dan Negative Binomial Regression menunjukkan hasil yang tidak berbeda secara signifikan. Parameter signifikan yang diperoleh dari kedua metode sama. Namun, dilihat dari kebaikan model yang dihasilkan, metode Generalized Poisson Regression menunjukkan nilai kriteria kebaikan model yang lebih kecil baik pada nilai AIC, AICc, BIC, maupun BICc. Sehingga untuk mengatasi kondisi overdispersi pada pemodelan kasus jumlah kematian bayi di Kabupaten Probolinggo lebih baik menggunakan metode Generalized Poisson Regression. hasil analisis dan pembahasan dapat diambil kesimpulan bahwa lulusan SMK Negeri 3 Boyolangu tahun 2018 dengan keputusan setelah lulus adalah melanjutkan pendidikan sebesar 42.7%. Sedangkan berdasarkan model yang terbentuk peluang lulusan SMK melanjutkan pendidikan sebesar 93.7% dan ketepatan klasifikasinya sebesar 79.2%. Faktor yang berpengaruh signifikan terhadap keputusan setelah lulus untuk melanjutkan pendidikan adalah harapan orang tua dan peringkat 5 besar.
Berdasarkan hasil analisis didapatkan variabel yang berpengaruh  terhadap jumlah kematian bayi adalah jumlah bayi berat lahir rendah, jumlah ibu hamil mendapat imunisasi Td2+, dan jumlah tenaga kesehatan. Sehingga saran untuk pemerintah khususnya dinas kesehatan Kabupaten Probolinggo untuk lebih memeperhatian variabel tersebut.
Saran mengenai upaya yang dapat dilakukan diantaranya dengan mengurangi kasus terjadinya BBLR (Berat Bayi Lahir Rendah) sehingga jumlah kematian bayi akibat BBLR dapat berkurang. Selain itu perlu dilakukan penambahan jumlah tenaga kesehatan khusus nya tenaga kesehatan seperti dokter, bidan, dan perawat yang menangani langsung masalah bayi, kehamilan, serta kelahiran. Pemerataan jumlah tenaga kesehatan di setiap kecamatan juga perlu diperhatikan, karena
berdasarkan analisis statistika deskriptif hanya terdapat 4 kecamatan dari total 24 kecamatan yang memiliki jumlah tenaga kesehatan dalam kategori sedang hingga tinggi sementara sisanya yaitu 20 kecamatan memiliki jumlah tenaga kesehatan yang tergolong rendah.
Saran untuk penelitian selanjutnya terkait dengan kematian bayi adalah melakukan penelitian dengan menggunakan data individu dengan metode regresi logistik sehingga faktor yang mempengaruhi kematian bayi beserta peluang terjadinya kematian bayi pada ibu hamil dapat diketahui secara lebih mendalam.

## DAFTAR PUSTAKA
[1] A. K. Wandira and R. Indawati, “Faktor penyebab kematian bayi di kabupaten sidoarjo,” Jurnal Biometrika dan Kependudukan , vol. 1, no. 1, pp. 33–42, 2012.
[2] Dinas Kesehatan Kabupaten Probolinggo, Profil Kesehatan Kabupaten Probolinggo Tahun 2021 . Kabupaten Probolinggo: Dinas Kesehatan Kabupaten Probolinggo, 2021.
[3] R. A. Putri, “Penentuan Indikator Kesehatan Bayi dengan Menggunakan Analisis Faktor,” Departemen Matematika, Universitas Andalas, Padang, 2017.
[4] S. N. Aulele, “Pemodelan jumlah kematian bayi di provinsi maluku tahun 2010 dengan menggunakan regresi poisson,” Jurnal Barekeng , vol. 5, no. 2, pp. 23–27, 2012.
[5] N. S. Umami, D. Ispriyanti, and T. Widiharih, “Aplikasi model regresi poisson  tergeneralisasi pada kasus angka kematian bayi di jawa tengah tahun 2007,” Jurnal Gaussian , vol. 2, no. 4, pp. 361–368, Oct. 2013.
[6] N. R. Draper and H. Smith, Applied Regression Analysis , 3rd ed. New York: John Wiley & Sons, 1998. ISBN 9780471170822.
[7] R. R. Hocking, “Methods and applications of linear models: regression and analysis of variance,” Eur J Orthod , vol. 19, no. 2, p. 232, Apr. 1996, doi: 10.1093/ejo/19.2.232.
[8] R. E. Walpole, Probability and Statistics for Engineers and Scientists . 2012. ISBN 9780321629111.
[9] A. Agresti, Categorical Data Analysis , 2nd ed. New York: John Wiley & Sons, 2002. doi: 10.1002/0471249688.  ISBN 9780471249689.
[10]  P. McCullagh and J. A. Nedler, Generalized Linear Models , 2nd ed. New York: CRC Press, 1989. ISBN 9780412317606.
[11]  P. C. Consul and F. Famoye, “Generalized poisson regression model,” Commun Stat Theory Methods , vol. 21, no. 1, pp. 89–109, Jan. 1992, doi: 10.1080/03610929208830766.
[12]  J. W. H. J. M. H. J. H. James W. Hardin, Generalized Linear Model and Extentisions , 2nd ed. United States of America: Stata Press, 2007. ISBN 9781597180146.
[13]  W. Wang and F. Famoye, “Modeling household fertility decisions with generalized poisson regression,” J Popul Econ , vol. 10, no. 3, pp. 273–283, 1997, doi: 10.1007/s001480050043.
[14]  A. C. Cameron and P. K. Trivedi, Regression Analysis of Count Data , 2nd ed. United States of America: Cambridge University Press, 2013. ISBN 9781107014169.
[15]  H. Bozdogan, “Akaike’s information criterion and recent developments in information complexity,” J Math Psychol , vol. 44, no. 1, pp. 62–91, 2000, doi: 10.1006/jmps.1999.1277.