## PENERAPAN METODE ADAMS-BASHFORTH-MOULTON PADA PERSAMAAN LOGISTIK DALAM MEMPREDIKSI PERTUMBUHAN PENDUDUK DI PROVINSI SULAWESI SELATAN

## Try Azisah Nurman
Prodi Matematika, Fakultas Sains dan Teknologi, UINAM
Wahyuni Abidin Prodi Matematika, Fakultas Sains dan Teknologi, UINAM Sumarni
Prodi Matematika,
Fakultas Sains dan Teknologi, UINAM
Info:
Jurnal MSA Vol. 4 No. 1 Edisi: Januari – Juni 2016 Artikel No.: 8
Halaman: 54 - 59 ISSN: 2355-083X
Prodi Matematika UINAM

## ABSTRAK
Persamaan logistik yang merupakan persamaan diferensial biasa (PDB) non linear.Salah satu metode numerik yang dapat digunakan untuk menyelesaiakan suatu PDB non linear adalah metode Adams-Bashforth-Moulton.Metode  Adams-Bashforth- Moulton merupakan metode multistep yang terdiri dari metode Adams-Bashforth sebagai prediktor dan metode Adams- Moulton sebagai korektor.Persamaan diferensial tersebut terlebih dahulu diselesaikan menggunakan metode Runge Kutta orde empat untuk memperoleh empat solusi awal.Penelitian ini bertujuan untuk memperoleh hasil prediksi pertumbuhan penduduk di Provinsi Sulawesi Selatan menggunakan metode Adams-Bashforth-Moulton.Persamaan logistik pada pertumbuhan penduduk dengan ukuran langkah ℎ = 1 dan kapasitas tampung Provinsi Sul-Sel yaitu 𝐾𝐾 = 20.000.000, dengan laju pertumbuhan 2%. Solusi numerik persamaan logistik pertumbuhan penduduk pada saat 𝑡𝑡 = 2020 dengan ukuran langkah yang optimal ℎ = 1 adalah 8.944.168 jiwa .
Kata Kunci: Persamaan Diferensial Biasa, Metode Runge Kutta, Metode Adams-Bashforth-Moulton

## 1. PENDAHULUAN
Persamaan diferensial biasa terbagi menjadi dua, yakni persamaan diferensial biasa linear dan persamaan diferensial biasa non linear.Beberapa fenomena di alam yang dapat dimodelkan dalam bentuk persamaan diferensial yaitu model ayunan sederhana, model logistik menurut Verhulst, laju perubahan tekanan uap suatu zat, hukum Newton tentang gerak dan lain- lain.Namun, yang merupakan persamaan diferensial biasa non linear yaitu model ayunan sederhana dan model logistik.Suatu persamaan diferensial dapat diselesaikan secara analitik atau secara numerik.Sebagian besar persamaan diferensial non linear sulit ditemukan solusinya secara analitik, sehingga penyelesaian secara numerik dapat digunakan untuk memperoleh solusi persamaan diferensial non linear
tersebut.Solusi yang diperoleh dari metode numerik merupakan solusi hampiran atau pendekatan dari solusi analitiknya, sehingga solusi numerik tersebut memuat nilai kesalahan.Metode numerik dalam penyelesaian persamaan diferensial biasa terbagi atas dua metode, yaitu metode satu langkah ( one-step ) dan metode banyak langkah ( multi-step ).Metode banyak langkah (multi-step ) biasa disebut juga metode prediktor-korektor.Dalam memperoleh solusi metode banyak langkah terbagi atas 2 langkah yakni langkah pertama adalah prediksi dengan menggunakan persamaan predictor dan langkah kedua adalah koreksi dengan menggunakan persamaan korektor.Metode banyak langkah ( multi-step ) yang banyak ditulis dalam literatur yakni Metode Adams-Bashforth- Moulton.

## 2. PENERAPAN PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA NON LINEAR DALAM PERTUMBUHAN PENDUDUK
Model logistik adalah model yang menggambarkan pertumbuhan populasi.Misalnya 𝑃𝑃 ( 𝑡𝑡 ) adalah jumlah penduduk di suatu kota saat t. Selanjutnya diasumsikan laju kelahiran dan laju kematian sebanding dengan jumlah penduduk saat itu. Misalnya 𝛽𝛽 laju kelahiran, dan 𝛿𝛿 laju kematian, maka selama selang waktu ∆𝑡𝑡 terdapat kelahiran sejumlah 𝛽𝛽∆𝑡𝑡𝑃𝑃 ( 𝑡𝑡 ) dan kematian 𝛿𝛿∆𝑡𝑡𝑃𝑃 ( 𝑡𝑡 ) . Maka ∆𝑃𝑃 = ( 𝛽𝛽 − 𝛿𝛿 ) 𝑃𝑃 ( 𝑡𝑡 ) ∆𝑡𝑡 (1) 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 = lim ∆𝑑𝑑→0 ∆𝑑𝑑 ∆𝑑𝑑 = 𝑚𝑚𝑃𝑃 ( 𝑡𝑡 ) (2)
Solusi persamaan diferensial diatas 𝑃𝑃 ( 𝑡𝑡 ) = 𝑃𝑃 0 𝑒𝑒 𝑚𝑚𝑑𝑑 dengan 𝑃𝑃 0 menyatakan jumlah populasi awal.
Pertumbuhan populasi secara eksponensial tidak relevan untuk populasi penduduk,  juga mungkin untuk populasi- populasi lain. Jika laju kelahiran 𝛽𝛽 merupakan fungsi P , dan 𝛽𝛽 ( 𝑃𝑃 ) = 𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑡𝑡𝑘𝑘𝑘𝑘𝑡𝑡𝑘𝑘 − 𝑘𝑘𝑃𝑃 (interpretasi), sedemikian sehingga
𝑑𝑑𝑃𝑃 𝑑𝑑𝑡𝑡 = ( 𝑚𝑚 − 𝑘𝑘𝑃𝑃 ) 𝑃𝑃 𝑑𝑑𝑃𝑃 𝑑𝑑𝑡𝑡 = �𝑚𝑚 − 𝑚𝑚 𝐾𝐾 𝑃𝑃� 𝑃𝑃 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑚𝑚 � 1 − 𝑑𝑑 𝐾𝐾 � 𝑃𝑃 (3)
𝑃𝑃 ( 𝑡𝑡 0 ) = 𝑃𝑃 0
Dimana 𝐾𝐾 = 𝑚𝑚 / 𝑘𝑘 . Persamaan di atas merupakan Persamaan diferensial biasa orde satu non linear dan disebut sebagai persamaan logistic.

## Metode Rugge-Kutta
Salah satu metode yang relatif sederhana dan cukup akurat yang sering digunakan adalah metode Runge-Kutta.Metode Runge-Kutta adalah alternatif lain dari metode deret Taylor yang tidak membutuhkan perhitungan turunan. Metode ini berusaha mendapatkan derajat ketelitian yang lebih tinggi, dan sekaligus menghindarkan keperluan mencari turunan yang
lebih tinggi dengan jalan mengevaluasi fungsi 𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥 , 𝑦𝑦 ) pada titik terpilih dalam setiap selang langkah.Metode Runge-Kutta adalah metode PDB yang paling populer karena banyak dipakai dalam praktek.
Diperhatikan persamaan diferensial tingkat satu:
𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥 , 𝑦𝑦 ), 𝑘𝑘 ≤ 𝑥𝑥 ≤ 𝑏𝑏 𝑦𝑦 ( 𝑥𝑥 0 ) = 𝑦𝑦 0 (4)
Tahap awal penyelesaian numerik adalah dengan menentukan titik-titik dalam jarak yang sama di dalam interval [ 𝑘𝑘 , 𝑏𝑏 ] , yaitu dengan menerapkan 𝑥𝑥 𝑟𝑟 = 𝑥𝑥 0 + 𝑟𝑟ℎ , 𝑟𝑟 = 0,1,2, … , 𝑘𝑘 (5)
Dimana ℎ menyatakan jarak antar titik yang dirumuskan oleh
ℎ = 𝑏𝑏−𝑎𝑎 𝑛𝑛 (6)
yang juga biasa dikenal sebagai lebar langkah ( step size ).
Metode Runge-Kutta orde empat yang sering digunakan adalah sebagai berikut:
𝑘𝑘 1 = ℎ𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥 𝑟𝑟 , 𝑦𝑦 𝑟𝑟 ) 𝑘𝑘 2 = ℎ𝑓𝑓 �𝑥𝑥 𝑟𝑟 + 1 2 ℎ , 𝑦𝑦 𝑟𝑟 + 1 2 𝑘𝑘 1 � 𝑘𝑘 3 = ℎ𝑓𝑓 �𝑥𝑥 𝑟𝑟 + 1 2 ℎ , 𝑦𝑦 𝑟𝑟 + 1 2 𝑘𝑘 2 � 𝑘𝑘 4 = ℎ𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥 𝑟𝑟 + ℎ , 𝑦𝑦 𝑟𝑟 + 𝑘𝑘 3 ) 𝑦𝑦 𝑟𝑟+1 = 𝑦𝑦 𝑟𝑟 + 1 6 ( 𝑘𝑘 1 + 2 𝑘𝑘 2 + 2 𝑘𝑘 3 + 𝑘𝑘 4 )

## Metode Adams-Bashforth-Moulton
Metode Adams-Bashforth-Moulton melibatkan dua langkah.Langkah pertama adalah prediksi dan langkah kedua adalah koreksi [6]. Metode prediktor-korektor adalah suatu satu himpunan dua persamaan untuk 𝑦𝑦 𝑟𝑟+1 . Persamaan pertama disebut predictor , digunakan untuk memprediksi (memperoleh aproksimasi pertama untuk) 𝑦𝑦 𝑟𝑟+1 ; persamaan kedua, yang disebut korektor , kemudian digunakan untuk memperoleh nilai hasil koreksi (aproksimasi kedua untuk) 𝑦𝑦 𝑟𝑟+1 [7].
Tinjau PDB orde satu
𝑦𝑦 ′ = 𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥 , 𝑦𝑦 ( 𝑥𝑥 )) (7)
Integrasikan kedua ruas persamaan dari 𝑥𝑥 𝑟𝑟 sampai 𝑥𝑥 𝑟𝑟+1 :
� 𝑓𝑓�𝑥𝑥 , 𝑦𝑦 ( 𝑥𝑥 ) �𝑑𝑑𝑥𝑥 = � 𝑦𝑦 ′ ( 𝑥𝑥 ) 𝑑𝑑𝑥𝑥 𝑑𝑑 𝑟𝑟+1 𝑑𝑑 𝑟𝑟 𝑑𝑑 𝑟𝑟+1 𝑑𝑑 𝑟𝑟
= 𝑦𝑦 ( 𝑥𝑥 )| 𝑑𝑑 𝑟𝑟 𝑑𝑑 𝑟𝑟+1 = 𝑦𝑦 ( 𝑥𝑥 𝑟𝑟+1 ) − 𝑦𝑦 ( 𝑥𝑥 𝑟𝑟 ) = 𝑦𝑦 𝑟𝑟+1 − 𝑦𝑦 𝑟𝑟
Nyatakan 𝑦𝑦 𝑟𝑟+1 diruas kiri persamaan dan suku lainnya di ruas kanan.
𝑦𝑦 𝑟𝑟+1 = 𝑦𝑦 𝑟𝑟 + ∫ 𝑓𝑓�𝑥𝑥 , 𝑦𝑦 ( 𝑥𝑥 ) �𝑑𝑑𝑥𝑥 𝑑𝑑 𝑟𝑟+1 𝑑𝑑 𝑟𝑟 (8)
Persamaan prediktor diperoleh dengan menghampiri fungsi 𝑓𝑓�𝑥𝑥 , 𝑦𝑦 ( 𝑥𝑥 ) � ke  dalam polinom  interpolasi derajat tiga. Untuk itu, diperlukan empat buah titik yang berjarak sama, yaitu:
( 𝑥𝑥 𝑟𝑟−3 , 𝑓𝑓 𝑟𝑟−3 ), ( 𝑥𝑥 𝑟𝑟−2 , 𝑓𝑓 𝑟𝑟−2 ), ( 𝑥𝑥 𝑟𝑟−1 , 𝑓𝑓 𝑟𝑟−1 ), ( 𝑥𝑥 𝑟𝑟 , 𝑓𝑓 𝑟𝑟 ) , dari empat buah titik tersebut, dibentuk polinom interpolasi Lagrange derajat tiga:
𝑓𝑓�𝑥𝑥 , 𝑦𝑦 ( 𝑥𝑥 ) � ≈ ( 𝑑𝑑−𝑑𝑑 𝑟𝑟−2 )( 𝑑𝑑−𝑑𝑑 𝑟𝑟−1 )( 𝑑𝑑−𝑑𝑑 𝑟𝑟 ) 𝑓𝑓 𝑟𝑟−3 ( 𝑑𝑑 𝑟𝑟−3 −𝑑𝑑 𝑟𝑟−2 )( 𝑑𝑑 𝑟𝑟−3 −𝑑𝑑 𝑟𝑟−1 )( 𝑑𝑑 𝑟𝑟−3 −𝑑𝑑 𝑟𝑟 ) + ( 𝑑𝑑−𝑑𝑑 𝑟𝑟−3 )( 𝑑𝑑−𝑑𝑑 𝑟𝑟−1 )( 𝑑𝑑−𝑑𝑑 𝑟𝑟 ) 𝑓𝑓 𝑟𝑟−2 ( 𝑑𝑑 𝑟𝑟−2 −𝑑𝑑 𝑟𝑟−3 )( 𝑑𝑑 𝑟𝑟−2 −𝑑𝑑 𝑟𝑟−1 )( 𝑑𝑑 𝑟𝑟−2 −𝑑𝑑 𝑟𝑟 ) + ( 𝑑𝑑−𝑑𝑑 𝑟𝑟−3 )( 𝑑𝑑−𝑑𝑑 𝑟𝑟−2 )( 𝑑𝑑−𝑑𝑑 𝑟𝑟 ) 𝑓𝑓 𝑟𝑟−1 ( 𝑑𝑑 𝑟𝑟−1 −𝑑𝑑 𝑟𝑟−3 )( 𝑑𝑑 𝑟𝑟−1 −𝑑𝑑 𝑟𝑟−2 )( 𝑑𝑑 𝑟𝑟−1 −𝑑𝑑 𝑟𝑟 ) + ( 𝑑𝑑−𝑑𝑑 𝑟𝑟−3 )( 𝑑𝑑−𝑑𝑑 𝑟𝑟−2 )( 𝑑𝑑−𝑑𝑑 𝑟𝑟 ) 𝑓𝑓 𝑟𝑟 ( 𝑑𝑑 𝑟𝑟 −𝑑𝑑 𝑟𝑟−3 )( 𝑑𝑑 𝑟𝑟 −𝑑𝑑 𝑟𝑟−2 )( 𝑑𝑑 𝑟𝑟 −𝑑𝑑 𝑟𝑟−1 ) (9)
Setelah itu persamaan (9)  diselesaikan dan di substitusi ke dalam persamaan (8). Hasil integrasi persamaan (8) memberikan
𝑦𝑦 𝑟𝑟+1 ∗ = 𝑦𝑦 𝑟𝑟 + ℎ 24 ( − 9 𝑓𝑓 𝑟𝑟−3 + 37 𝑓𝑓 𝑟𝑟−2 − 59 𝑓𝑓 𝑟𝑟−1 + 55 𝑓𝑓 𝑟𝑟 ) (10)
Yang merupakan persamaan prediktor.
Persamaan korektor dibentuk dengan cara yang sama seperti pada persamaan prediktor. Tetapi, titik-titik yang diperlukan untuk pembentukan polinom interpolasi
( 𝑥𝑥 𝑟𝑟−2 , 𝑓𝑓 𝑟𝑟−2 ), ( 𝑥𝑥 𝑟𝑟−1 , 𝑓𝑓 𝑟𝑟−1 ), ( 𝑥𝑥 𝑟𝑟 , 𝑓𝑓 𝑟𝑟 ) ,
dan titik baru 𝑥𝑥 𝑟𝑟+1 , 𝑓𝑓 𝑟𝑟+1 ∗ = ( 𝑥𝑥 𝑟𝑟+1 , 𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥 𝑟𝑟+1 , 𝑦𝑦 𝑟𝑟+1 ∗ ))
dari empat buah titik tersebut, terbentuk polinom interpolasi Lagrange derajat tiga. Kemudian,
integrasikan polinom interpolasi tersebut dalam selang [ 𝑥𝑥 𝑟𝑟 , 𝑥𝑥 𝑟𝑟+1 ], 𝑦𝑦 𝑟𝑟+1 = 𝑦𝑦 𝑟𝑟 + ℎ 24 ( 𝑓𝑓 𝑟𝑟−2 − 5 𝑓𝑓 𝑟𝑟−1 + 19 𝑓𝑓 𝑟𝑟 + 9 𝑓𝑓 𝑟𝑟+1 ∗ ) (11)
𝑓𝑓 𝑟𝑟+1 ( 0 ) = 𝑓𝑓�𝑥𝑥 𝑟𝑟+1 , 𝑦𝑦 𝑟𝑟+1 ( 0 ) � (12)
Yang merupakan persamaan korektor.
Jadi, metode Adams-Bashforth-Moulton dapat diringkas sebagai berikut:
𝑃𝑃𝑟𝑟𝑒𝑒𝑑𝑑𝑃𝑃𝑘𝑘𝑡𝑡𝑘𝑘𝑟𝑟
𝑦𝑦 𝑟𝑟+1 ∗ = 𝑦𝑦 𝑟𝑟 + ℎ 24 ( − 9 𝑓𝑓 𝑟𝑟−3 + 37 𝑓𝑓 𝑟𝑟−2 − 59 𝑓𝑓 𝑟𝑟−1 + 55 𝑓𝑓 𝑟𝑟 )
𝐾𝐾𝑘𝑘𝑟𝑟𝑒𝑒𝑘𝑘𝑡𝑡𝑘𝑘𝑟𝑟 ∶
𝑦𝑦 𝑟𝑟+1 = 𝑦𝑦 𝑟𝑟 + ℎ 24 ( 𝑓𝑓 𝑟𝑟−2 − 5 𝑓𝑓 𝑟𝑟−1 + 19 𝑓𝑓 𝑟𝑟 + 9 𝑓𝑓 𝑟𝑟+1 ∗ )

## 3. PEMBAHASAN
Data yang akan digunakan adalah data jumlah Penduduk
Tabel 1: Data Jumlah penduduk Provinsi
Sulawesi Selatan No Tahun Hasil Sensus 1 2005 7.494.701 2 2006 7.629.138 3 2007 7.700.255 4 2008 7.805.024 5 2009 7.908.519 6 2010 8.034.776 7 2011 8.115.638 8 2012 8.250.018 9 2013 8.342.047 10 2014 8.432.163 Sumber: BPS Provinsi Sulawesi Selatan
Berdasarkan Tabel 1 mengenai data jumlah penduduk Provinsi Sul-Sel  menurut
Badan Pusat Statistik (BPS) hasil sensus antara tahun 2005-2014, dari data tersebut maka diperoleh pertambahan penduduk sebagai berikut:
Tabel 2 Pertambahan Penduduk dari 2005-2014 No Tahun Pertambahan Penduduk setiap tahun 1 2005-2006 134.437 2 2006-2007 71.117 3 2007-2008 104.769 4 2008-2009 103.495 5 2009-2010 126.257 6 2010-2011 80.862 7 2011-2012 134.380 8 2012-2013 92.029 9 2013-2014 90.116
Berdasarkan Tabel 2 menunjukkan bahwa setiap tahunnya jumlah penduduk bertambah dengan  rata-rata 104.162 Jiwa. Peneliti ingin memprediksikan pertumbuhan penduduk di tahun yang akan datang dengan persamaan logistik menggunakan metode Adams-Bashforth-Moulton sebagai berikut:
Untuk menentukan laju pertumbuhan digunakan rumus sebagai berikut
𝑚𝑚 = 1 𝑡𝑡 ln � 𝑃𝑃 ( 𝑡𝑡 ) 𝑃𝑃 0 � 𝑚𝑚 = 1 1 ln � 7.629.138 7.494.701 � = 0,01777 = 0,02
Misalkan diasumsikan untuk kapasitas tampung Provinsi Sul-Sel yaitu 𝐾𝐾 = 20.000.000 , dengan laju pertumbuhan 2% , 𝑃𝑃 (0) = 7.494.701 sebagai nilai awal. Pada interval [0,15]
Dengan banyak iterasi 𝑘𝑘 = 15,
ℎ = 𝑏𝑏 − 𝑘𝑘 𝑘𝑘 = 15 − 0 15 = 1
denganukuran langkah ℎ = 1
LaluMemberikan Persamaan Logistik pada Pertumbuhan Penduduk
Nilai-nilai yang diperoleh dari langkah 1 di substitusikan ke persamaan logistik
𝑑𝑑𝑃𝑃 𝑑𝑑𝑡𝑡 = 𝑚𝑚 � 1 − 𝑃𝑃 𝐾𝐾 � 𝑃𝑃 = 0,02 � 1 − 𝑃𝑃 20.000.000 � 𝑃𝑃
Diketahui 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 0,02 � 1 − 𝑑𝑑 20 . 000 . 000 � 𝑃𝑃 dengan nilai awal 𝑃𝑃 (0) = 7.494.701 Pada interval [1,15] dengan  ukuran langkah ℎ = 1 . Untuk memperoleh solusi awal digunakan metode Rungge-Kutta.
Tabel 3: Solusi awal Menggunakan Metode Rugge-Kutta pada persamaan logistik
𝑟𝑟 𝑡𝑡 𝑟𝑟 ℎ = 1 𝑃𝑃 𝑟𝑟 𝑃𝑃 ′ = 𝑓𝑓 ( 𝑡𝑡 , 𝑃𝑃 ) = 0,02 � 1 − 𝑃𝑃 20.000.000 � 𝑃𝑃
0 1 7.494.701 93.723,47692 1 2 7.588.656,732 94.185,42365
2 3 7.683.066,664
94.631,81992 3 3 7.777.915,079 95.062,33861
Kemudian Menentukan solusi numerik dengan metode Adams-Bashforth
Setelah mendapatkan nilai-nilai 𝑓𝑓 𝑟𝑟 ( 𝑥𝑥 𝑟𝑟 , 𝑦𝑦 𝑟𝑟 ) selanjutnya di subsitusi ke persamaan Adams-Bashforth,
Untuk 𝑟𝑟 = 3 𝑃𝑃 3 = 7.777.915,079
𝑃𝑃 3+1 = 𝑃𝑃 3 + ℎ 24 (55 𝑓𝑓 3 − 59 𝑓𝑓 2 + 37 𝑓𝑓 1 − 9 𝑓𝑓 0 )
𝑃𝑃 4 ( 0 ) = 7.777.915,079 + 1 24 (55( 95.062,33861 ) − 59( 94.631,81992 ) + 37( 94.185,42365)
− 9(93.723,47692))
= 7.873.185,939
Setelah mendapatkan nilai-nilai 𝑓𝑓 𝑟𝑟+1 ( 0 ) selanjutnya di subsitusi ke persamaan Adams-Moulton
𝑓𝑓 4 ( 0 ) �𝑡𝑡 4 , 𝑃𝑃 4 ( 0 ) � = 𝑓𝑓 4 (4 ; 7.873.185,939)
= 0,02 � 1 − 7.873.185,939 20.000.000 � 7.873.185,939 = 95.476,66195
Untuk 𝑟𝑟 = 3 , 𝑡𝑡 4 = 4 dan 𝑃𝑃 3 = 7.777.915,079
𝑃𝑃 3+1 ( 1 ) = 𝑃𝑃 3 + ℎ 24 �𝑓𝑓 1 − 5 𝑓𝑓 2 + 19 𝑓𝑓 3 + 9 𝑓𝑓 4 ( 0 ) �
𝑃𝑃 4 ( 1 ) = 7.777.915,079
+ 1 24 � 94.185,42365
− 5( 94.631,81992 ) � + 19( 95.062,33861 )
+ 9( 95.476,66195 ))
= 7.873.185,943
Dihitung galat relatifnya dan dibandingkan dengan kriteria pemberhentian 𝜀𝜀 = 5  × 10 −9
�𝑃𝑃 4 ( 1 ) − 𝑃𝑃 4 ( 0 ) �
�𝑃𝑃 4 ( 1 ) �
= |7.873.185,943 − 7.873.185,939| |7.873.185,943| = 4,45674 × 10 −10
Dari  hasil tersebut terlihat bahwa galat relatif lebih kecil dari kriteria pemberhentian.
4,45674 × 10 −10 < 5  × 10 −9
maka iterasi dilanjutkan sampai iterasi ke-15
Tabel 4 Solusi Numerik Menggunakan Metode Adams-Bashforth-Moulton  pada persamaan logistik untuk pertumbuhan penduduk Provinsi
Sul-Sel
Tahu n 𝑡𝑡 𝑟𝑟 ℎ = 1 Galat Relatif 𝑃𝑃 𝑟𝑟 ( 0 ) 𝑃𝑃 𝑟𝑟 (jiwa) 2005 0 7.494.701
2006 1
7.588.656,73 2
2007 2
7.683.066,66 4 2008 3
7.777.915,07
9 2009 4  7.873.185,939 7.873.185,94 3 4,45674 × 10 −10 2010 5  7.968.862,899 7.968.862,90 3 4,65689 × 10 −10 2011 6  8.064.929,303 8.064.929,30 3 4,78152 × 10 −10 2012 7  8.161.368,206 8.161.368,21 4,96295 × 10 −10 2013 8  8.258.162,382 8.258.162,38 6 5,10227 × 10 −10 2014 9  8.355.294,334 8.355.294,33 8 5,2373 × 10 −10 2015 10  8.452.746,309 8.452.746,31 3 5,36309 × 10 −10 2016 11  8.550.500,307 8.550.500,31 1 5,47839 × 10 −10 2017 12 8.648.538,09 5 8.648.538,1 5,58346 × 10 −10 2018 13 8.746.841,22 3 8.746.841,22 8 5,67813 × 10 −10 2019 14 8.845.391,02 9 8.845.391,03 5 5,76231 × 10 −10 2020 15 8.944.168,66 5 8.944.168,67 5,83596 × 10 −10
Semua solusi numerik yang ada pada Tabel 4.4 telah memenuhi kriteria pemberhentian 𝜀𝜀 = 5  × 10 −9 . Terlihat bahwa semakin bertambahnya tahun, maka jumlah penduduk di Provinsi Sul-Sel semakin meningkat.
Pada persamaan logistik ukuran langkah ℎ yang dipilih adalah 1 dengan kriteria
pemberhentian 𝜀𝜀 = 5  × 10 −9 . Pada penyelesaian awal dengan menggunakan metode Runge-Kutta untuk mencari tiga solusi awal yaitu 𝑃𝑃 1 = 7.588.656,732 , 𝑃𝑃 2 = 7.683.066,664, dan 𝑃𝑃 3 = 7.777.915,079 .  Tiga solusi  awal tersebut di substitusikan ke persamaan logistik untuk memperoleh nilai-nilai 𝑓𝑓 𝑟𝑟 , 𝑓𝑓 𝑟𝑟−1 , 𝑓𝑓 𝑟𝑟−2 , 𝑓𝑓 𝑟𝑟−3 . Metode Adams-Bashforth untuk memprediksi  nilai 𝑃𝑃 𝑟𝑟+1 ( 0 ) dengan 𝑟𝑟 = 3,4, … , 𝑘𝑘 selanjutnya nilai prediksi tersebut diperbaiki menggunakan metode Adams- Moulton 𝑃𝑃 𝑟𝑟+1 dengan ukuran langkah ℎ = 1 . Galat relatifnya lebih kecil dari kriteria pemberhentian maka iterasi dilanjutkan sampai iterasi ke- 𝑘𝑘 , Semua solusi numerik yang ada pada Tabel 4.3 telah memenuhi kriteria pemberhentian 𝜀𝜀 = 5  × 10 −9 . Terlihat bahwa semakin bertambahnya tahun, maka jumlah penduduk di Provinsi Sulawesi Selatan semakin meningkat.

## 4. KESIMPULAN
Metode Adams-Bashforth-Moulton  pada persamaan logistik dalam memprediksi jumlah penduduk di Provinsi Sulawesi Selatan menunjukkan bahwa setiap tahunnya jumlah penduduk bertambah. Dimana hasil pertambahan penduduk di Provinsi Sulawesi Selatan pada tahun 2015 bertambah 97.452 Jiwa, tahun 2016 bertambah 97.754 Jiwa, tahun 2017 bertambah 98.037 Jiwa, tahun 2018 bertambah 98.303 Jiwa, tahun 2019 bertambah 98.549 Jiwa dan tahun 2020 bertambah 98.777 Jiwa.

## DAFTAR PUSTAKA
Bayu Prihandono,  Apriadi, dan Evi Noviani, “ Metode Adams-Bashforth-Moulton dalam Penyelesaian Persamaan Diferensial Non Linear”, Buletin Ilmiah Mat. Stat dan terapanya, no. 2(2014):
Sri Redjeki P, “ Persamaan Diferensial ” (Diktak Kuliah MA2271 Metode Matematika di Prodi Matematika Institut Teknologi Bandung). 2011
Kartono, Persamaan Diferensial Biasa (Model Matematika Fenomena Perubahan) ,
Rinaldi Munir, Metode Numerik ,.  Bandung: INFORMATIKA, 2003
Didit Budi Nugroho, Diktat Kuliah (Metode Numerik. Salatiga: Universitas Kristen Satya Wacana, 2009
P.Buyung Kosasih, Komputasi Numerik Teori dan Aplikasi. Yogyakarta: ANDI, 2006
Richard Bronson dan Gabriel B. Costa, Persamaan Diferensial Jakarta: Erlangga, 2007