Jurnal Ilmiah Matematika dan Pendidikan Matematika (JMP) Vol. 10 No. 2, Desember 2018, hal. 1-8 ISSN (Cetak) : 2085-1456; ISSN ( Online ) : 2550-0422

## REPRESENTASI KODE KERNEL PADA DNA

## Isah Aisah
Departemen Matematika FMIPA Unpad isah.aisah@unpad.ac.id
M. Suyudi
Departemen Matematika FMIPA Unpad
Tika Kartika

## Departemen Matematika FMIPA Unpad
ABSTRACT . Deoxyribonucleic  acid  (DNA)  is  built  by  several  component  such  as group of deoxyribose sugar, group of phosphate, and group of nitrogen bases. Nitrogen bases’s set can be written as {          } . Combination of three elements of N form triplet codes (codon) which later are translated into amino acid during protein synthesis process.  During  amino  acid  forming  process,  sometimes  error  can  occurs  and  change something. This error is  called  gene mutation. There are several gene mutations, one of them is point mutation. This mutation is caused by one change of nitrogen base in a DNA sequence.Gene mutation can be represented by using several ways. One of them is using Kernel  code’s  representation.  This  representation  is  gained  by  constructing  a homomorphism  of  cross  product  of  group (DNA  sequences’s  group)  to  another comutative  group.  Kernel of  this  homomorphism  is called  kernel  code,  and  its elements represent normal DNA sequences.
Keyword : cross product, genetic, group homomorphism, kernel code, gene mutation.
ABSTRAK. DNA  ( deoxyribonucleic  acid, )    terdiri  dari  beberapa  komponen  yaitu gugus gula deoksiribosa, gugus fosfat, dan gugus basa nitogren. Himpunan basa nitrogen dapat  ditulis  sebagai {          } Kombinasi  dari  tiga  buah  elemen membentuk kode  triplet  (kodon)  yang  ditranslasikan  menjadi  asam  amino  dalam  proses  sintesis protein. Dalam penyusunan asam amino dapat terjadi suatu kesalahan atau disebut mutasi gen.  Terdapat  beberapa  jenis  mutasi  gen,  salah  satunya  adalah  mutasi  titik.  Mutasi  titik terjadi akibat perubahan satu buah basa nitrogen pada suatu barisan DNA. Dalam kajian matematika, mutasi gen khususnya mutasi titik dapat direpresentasikan melalui berbagai cara,  salah  satunya  adalah  menggunakan  representasi  kode  kernel . Representasi  ini diperoleh dengan cara mengkonstruksi pemetaan yang bersifat homomorfisma dari cross product grup (grup barisan DNA ) terhadap suatu grup komutatif. Kernel dari pemetaan tersebut disebut kode kernel. Elemen-elemen dari kode kernel merepresentasikan barisan DNA normal.
Kata Kunci : cross product , genetik, homomorfisma grup, kode kernel, mutasi gen.

## 1. PENDAHULUAN
Himpunan  basa  Nitrogen  dapat  disajikan  sebagai {          } Kombinasi  dari  tiga  buah  elemen membentuk  kode  triplet  (kodon)  yang ditranslasikan  menjadi  asam  amino  dengan  proses  sintesis  protein.  Kode  triplet (kodon)  disebut  sebagai  kode  genetik  standar.  Kombinasi  hingga  dari  elemen membentuk suatu barisan DNA. Himpunan barisan DNA tersebut dapat disajikan sebagai cross product himpunan atau { | } .
Mutasi  gen  dalam  kajian  Matematika  dapat  direpresentasikan  dengan berbagai  cara,  salah  satu  cara  yang  dapat  digunakan  adalah  dengan  kode  kernel. Kode  kernel  dapat  didefinisikan  sebagai  kernel  dari cross  product grup  yang dipetakan secara homomorfisma terhadap suatu grup. Permasalahan yang muncul, bagaimana  mengkonstruksi  pemetaan  yang  homomorfisma  dari cross  product himpunan terhadap sehingga  dapat  diperoleh  manfaatnya  yaitu  dapat mengkaji representasinya pada suatu penyakit anemia sel sabit.

## 2. HASIL DAN PEMBAHASAN
Langkah  pertama  yang  akan  dilakukan  dalam  penelitian  ini  adalah mengaitkan himpunan basa nitrogen terhadap . Pengaitan ini dilakukan untuk mengetahui  struktur  dan  operasi  yang  ada  pada  himpunan  basa  nitrogen . Setelah mengetahui struktur dari himpunan basa nitrogen , kemudian dilakukan penentuan  struktur  dari cross  product himpunan  basa  nitrogen atau
.
Selanjutnya akan dikonstruksi pemetaan yang bersifat homomorfisma dari himpunan ke .  Pemetaan  ini  akan  menjadi  dasar  dari  pemetaan  selanjutnya yakni  pemetaan  pada  kodon  dan  barisan  DNA.  Selanjutnya  akan  dikonstruksi pemetaan  yang  bersifat  homomorfisma  dari  himpunan  kodon  ke .  Berikutnya akan  dikonstruksi  pemetaan  yang  bersifat  homomorfisma  dari  barisan  DNA dengan  jumlah  basa  nitrogen  18  buah  (6  kodon)  ke ,  kemudian  dilakukan perhitungan kode kernel dari pemetaan tersebut..

## 3.1   Struktur Himpunan Basa Nitrogen
DNA  terdiri  dari  dua  jenis  basa  nitrogen,  yakni  Purin  yang  terdiri  dari Adenin  (A)  dan  Guanin  (G),  serta  Pirimidin  yang  terdiri  dari  Sitosin  (C)  dan Timin (T). Keempat basa nitrogen tersebut dapat dibuat ke dalam suatu himpunan {          } .  Himpunan dengan  suatu  operasi  biner  dapat  dilihat  struktur aljabarnya. Perhatikan tabel cayley berikut:
Tabel 1. Tabel Cayley + A C G T A A C G T C C G T A G G T A C T T A C G
Berdasarkan Tabel 1, maka dapat disimpulkan :
1. tertutup terhadap penjumlahan;
2. asosiatif terhadap penjumlahan;
3. memiliki elemen identitas yaitu
4. Setiap elemen memiliki invers yaitu , , , dan ;
5. komutatif terhadap penjumlahan.
Dari 1 – 5, merupakan grup komutatif.
Selanjutnya  akan  dilakukan  pencocokan  dari  grup  basa  nitrogen
{          } terhadap {  ̅   ̅   ̅   ̅} agar  diketahui  sejauh  mana  kemiripan struktur  dari  kedua  buah  grup  tersebut.  Grup sendiri  dipilih  karena  memiliki jumlah elemen yang sama dengan grup yakni sebanyak 4 buah. Konstruksi pemetaan dengan : ̅ ̅

## ̅ ̅
Dengan pengaitan tersebut, dapat dibuktikan bahwa merupakan pemetaan yang isomorfisma.  Dengan  demikian
.  Selanjutnya,  akan  didefinisikan  struktur
dari Cross Product Himpunan Basa Nitrogen.
Kombinasi  dari  himpunan-himpunan  basa  nitrogen  membentuk  suatu barisan DNA atau  dapat  ditulis  menjadi  himpunan
{ | } .  Dengan merupakan  grup  komutatif,  akan  diselidiki struktur himpunan {
| } secara aljabar.  Definisikan  himpunan  barisan  DNA  sebagai
{ | } Dengan  menggunakan  aksioma  grup, maka M merupakan grup komutatif terhadap penjumlahan.
Selanjutnya  akan  dilakukan  pencocokan  basa  Nitrogen  terhadap , dengan  terlebih  dahulu  mengkonstruksi  pemetaan  dari N terhadap . Basa nitrogen  terdiri  dari  purin  dan  pirimidin,  sehingga  basa  nitrogen  dapat  dipetakan terhadap , yakni purin dikaitkan terhadap ̅ dan pirimidin dikaitkan terhadap ̅ . Dengan demikian dapat dikonstruksi pemetaan sebagai berikut :
Definisikan pemetaan
dengan ̅ , ̅
Dengan  menggunakan  definisi  homomorfisma  grup  maka  dapat  disimpulkan merupakan homomorfisma grup.  Pengaitan di  atas merupakan salah satu contoh yang memenuhi sifat homomorfisma grup.

## 3.2 Pencocokkan Kodon terhadap
Kombinasi  dari  tiga  buah  elemen  himpunan  basa  nitrogen membentuk kode  triplet  atau  kodon  yang  selanjutnya  mengkodekan  asam  amino.  Dengan menggunakan  pemetaan terhadap ,  selanjutnya  akan  dikonstruksi  pemetaan kodon  terhadap dan  dicari  kode  kernel  dari  pemetaan  tersebut.  Elemen  dari kode  kernel  yang  diperoleh  akan  merepresentasikan  kodon-kodon  normal  pada DNA. Definisikan pemetaan
Representasi Kode Kernel pada DNA                                                                                  5
sebagai dengan homomorfisma  grup, dan ̅ , ̅ .
Kodon pada himpunan NNN dapat dibagi menjadi dua kelompok yaitu :
1. Kodon  dengan  banyaknya  basa  nitrogen  purin  ( A,  G )  berjumlah    genap  dan basa nitrogen pirimidin ( C, T ) berjumlah ganjil. Selanjutnya, kelompok kodon ini disebut kelompok (a).
2. Kodon dengan banyaknya basa nitrogen purin ( A, G ) berjumlah ganjil dan basa nitrogen  pirimidin  ( C,  T )  berjumlah  genap.  Selanjutnya,  kelompok  kodon  ini disebut kelompok (b).
Akibatnya,  kodon  dapat  dipetakan  terhadap yakni  kodon  yang  termasuk kelompok (a) dipetakan terhadap ̅ sedangkan kodon yang termasuk kelompok (b) dipetakan terhadap ̅ . Dengan demikian dapat dikontruksi pemetaan dari ke dengan pengaitan sebagai berikut :
Dengan demikian,
dengan merupakan  pemetaan  yang  bersifat  homomorfisma
grup.
̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅
Selanjutnya, akan ditentukan kernel dari pemetaan tersebut yaitu
{                   |          ̅ } .
Dari  pengaitan  di  atas  maka  elemen-elemen  kode  kernel  dapat  disajikan  dalam bentuk tabel seperti berikut
Tabel 2. Tabel Kode Kernel dari Pemetaan AAA CCG TGT GTC CCA TAT ATC GGG AAG CGC GTT GCT CAC ATT ACT GGA AGA CGG TCG CGT ACC TCA CAT GAG GAA TTG TGC CTG TTA TAC CTA AGG
Selanjutnya  dapat  dilihat  bahwa  kode  kernel  bersifat  siklis.  Sebagai contoh :
a. AAG bentuk siklisnya adalah GAA dan merupakan elemen kode kernel.
b. TCA bentuk siklisnya adalah ATC dan merupakan elemen kode kernel.
Dengan demikian seluruh anggota Kode Kernel bersifat Siklis. Selain itu, seluruh anggota kode kernel bersifat reversible . Sebagai contoh :
a. CTG bentuk reversibelnya adalah GTC dan merupakan elemen kode kernel.
b. TCA bentuk reversibelnya adalah ACT dan merupakan elemen kode kernel.

## 3. KESIMPULAN DAN SARAN
Berdasarkan  uraian  di  atas,  dapat  disimpulkan  bahwa  kode  kernel diperoleh  melalui  pemetaan  tertentu  yang  bersifat  homomorfisma  dari  barisan DNA  ke  suatu  grup  komutatif.  Dari  kode  kernel  yang  diperoleh,  dapat  pula diselidiki sifat-sifatnya yaitu bersifat siklis dan reversible.

## DAFTAR PUSTAKA
Elrod,  S.  dan  Stansfield,  W., Schaum’s  Outlines : Genetika ,  Terjemahan  oleh Damaring Tyas W., Penerbit Erlangga, Jakarta, 2002.
Judson, T. W. dan Stephen F., Abstract Algebra : Theory and Application , Austin State University, 2011.
Jose, M.  V. R.,  Morgado, E., Sanchez, R., dan Govezensky, T., The 24  Possible Algebraic  Representation  of  the  Standard  Genetic  Code  in  Six  or  Three Dimensions , Advanced Studies in Biology, 119-152, 2012.
Herstein,  I.  N., Topic  in  Algebra  :  Third  Edition ,  Ginn  and  Company,  London, 1995.
Marks,  A.  D.,  Smith,  C.,  dan  Lieberman,  M., Basic  Medical  Biochemistry  :  A Clinical Approach , Second Edition , Lippincott William and Wilkins, 2005. Pai, A. C., Dasar-Dasar Genetika , Terjemahan oleh Muchidin Apanndi, Penerbit Erlangga, Jakarta, 2006.
Priyani,  N., Sifat  Fisik  dan  Kimia  DNA ,  Program  Studi  Biologi,  Universitas Sumatera Utara, 2004.
Sanchez,  R.,  Morgado,  E.,  dan  Grau,  R., The  Genetic  Code  Boolean  Lattice , Journal of MATCH Commun. Math. Comput, 52 (2004), 29-46.
Selvakumar,  R., Kernel  Code  and  Its  Controllability ,  Journal  of  Discrete Mathematical Sciences and Cryptography, 2014, 98-101.
8 Isah Aisah d.k.k.