## STUDI SIMULASI BIAS ESTIMATOR GPH PADA DATA SKIP SAMPLING
1 Gede Suwardika, 2 Heri Kuswanto, 3 Irhamah
1 Jurusan Statistika,Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Terbuka
2,3 Jurusan Statistika FMIPA Institut Teknologi Sepuluh November Alamat e-mail : 1 isuwardika@ut.ac.id

## ABSTRAK
Proses long memory telah diamati dalam banyak hal, seperti hidrologi, telekomunikasi, ekonomi  dan keuangan. Long  Memory adalah  salah  satu  fenomena  dalam  time  series, dimana  dependensi  antara  kejadian  masih  ada  dan  dapat  diamati  untuk  waktu  yang lama,  yang  dicirikan  oleh  nilai difference yang  tidak  bulat  (fractional).  Parameter differencing ini biasanya diestimasi menggunakan GPH estimator. Dengan estimator ini, seringkali menghasilkan kesimpulan yang spurious untuk model-model nonlinier seperti Markov  switching,  STOP-BREAK,  ESTAR,  level  shift  dan  lainnya.  Dalam  penelitian disimulasikan performansi dari GPH dan GPH terkoreksi pada proses long memory dan markov  switching.  Data  yang  diestimasi  merupakan  data  skip  sampling  dari  kedu aproses di atas. Hasil simulasi menujukkan bahwa GPH terkoreksi mampu mengurangi bias  parameter long  memory.  Selain  itu,  diamati  pula  bahwa  terdapat  perbedaan  yang signifikan  pola  yang  dihasilkan  oleh  estimasi  pada  data long  memory dan  data  yang mengikuti  proses Markov  switching.  Fakta  ini  dapat  digunakan  untuk  membedakan antara true dan spurious long memory.

## Kata Kunci : long memory, GPH terkoreksi, Markov Switching

## PENDAHULUAN
Proses long  memory telah  diamati dalam  banyak  hal,  seperti  hidrologi, telekomunikasi,  ekonomi dan  keuangan. Long  memory dicirikan  oleh  plot Autocorrelation  Function (ACF)  yang turun  secara hyperbolic atau  juga  dari nilai difference yang tidak bulat (fractional).  Parameter  differencing  ini biasanya  diestimasi  menggunakan  GPH estimator [3].  Untuk  mendeteksi  adanya long memory pada data, dapat dilakukan estimasi  d  dengan  menggunakan Hurst Exponent maupun  uji Rescaled  range statistics (R/S)  dan Modified  rescaled range statistics (MR/S), rescaled varians (V/S), GPH (long periodgram estimation) dan lain sebagainya.
Model Markov  Switching digunakan untuk  memodelkan  kejadian  perubahan
struktur  seperti  fenomena  krisis  yaitu sebagai  hasil  dari  variabel  random  tak teramati atau state. Markov Switching(MS) sebagai alternative
pemodelan data
time series yang mengalami perubahan struktur [4]. Dalam Markov  Switching,  perubahan struktur  yang  terjadi  tidak  dianggap sebagai suatu hasil peristiwa deterministic  tetapi  sebagai  suatu  hasil variabel random
tak teramati (unobservable) dan dalam literatur sering disebut state atau regime.
Pada  penelitian  ini  akan  dilakukan simulasi  untuk  mempelajari  pattern  yang terbentuk  dari  estimasi  GPH  pada  data long  memory dan spurious  process yang teraggregasi. Estimasi GPH yang diaplikasikan  adalah  bias  corrected  GPH estimator [10].

## METODE PENELITIAN

## Sumber Data dan Variabel Penelitian
Data yang digunakan dalam penelitian ini adalah data sekunder, yaitu data  harian  dari  dua saham Indosat dan  Telkom, yang  termasuk  ke  dalam saham LQ45 dari  tahun  2000  sampai 2011.

## Metode Analisis
Langkah analisis
yang dilakukan
untuk mencapai tujuan dari penelitian ini adalah sebagai berikut : Melakukan  proses  simulasi  dengan  data bangkitan dan mengestimasi GPH
terkoreksi dengan n = 500 dan n = 2000, dilakukan pengulangan
simulasi sebanyak  1000  kali pada  tiap-tiap  level aggregasi m,  Setiap  data  hasil  dari aggregasi akan diestimasi nilai parameter d  dan  standart  deviasinya  dengan estimator
GPH dengan bandwith optimum  0,5.  Jenis-jenis  agregasi  yang digunakan  adalah Markov-switching
process, model  yang digunakan  dalam proses Markov-switching :
= ∅ + ∈ = 1 ∅ + ∈ = 2 Dengan ∈ ~ (0,1) dan  peluang  p 00 dan p 11

## HASIL PENELITIAN
Estimator GPH berdasarkan penelitian  yang  dilakukan  oleh [10], sangat dipengaruhi oleh
pemilihan bandwith yang tepat. Pemilihan bandwith mempengaruhi bias estimasi yang
dihasilkan,  sehingga  pada  penelitian  ini diputuskan untuk menggunakan bandwith 0.5.

## Simulasi  Stock  Aggregation  (skip sampling)
Prosedur  dari stock  aggregation sama seperti  skip  sampling  atau  sampling sistematis.  Data  aggregasi  diambil  dari data  asli  pada  kelipatan  level  unit waktunya. Hasil  estimasi  GPH  stock aggregation  dapat  dilihat  pada  penelitian tersebut [11]. Berikut hasil estimasi GPH terkoreksi (GPH1) dan GPH tak terkoreksi  (GPH2)  untuk  data  long memory yang di skip sampling.
Tabel 1. Hasil  Simulasi  Stock  Aggregation dengan n = 500
m bandwidth = 0.5 0.1 0.2 GPH 1 GPH 2 GPH 1 GPH 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0.1047 0.0865 0.0708 0.0563 0.0463 0.0393 0.0356 0.0341 NaN NaN 0.1047 0.0708 0.0509 0.0317 0.0291 0.0252 0.0262 0.0218 0.0159 0.0095 0.1990 0.1756 0.1543 0.1387 0.1259 0.1154 0.1071 0.1074 NaN NaN 0.1990 0.1627 0.1362 0.1294 0.1178 0.1017 0.0803 0.1063 0.0648 0.0735
Tabel 2. Hasil  Simulasi  Stock  Aggregation dengan n = 500 m bandwidth = 0.5 0.3 0.4 GPH 1 GPH 2 GPH 1 GPH 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0.3073 0.2800 0.2609 0.2420 0.2259 0.2139 0.2058 0.2035 NaN NaN 0.3073 0.2662 0.2542 0.2347 0.2194 0.2069 0.1878 0.1834 0.1989 0.1716 0.4107 0.3912 0.3718 0.3538 0.3384 0.3277 0.3199 0.3184 NaN NaN 0.4107 0.3848 0.3652 0.3512 0.3400 0.3326 0.3069 0.3043 0.2979 0.2761
Dari  tabel di  atas,  GPH  terkoreksi hanya  mampu  mengestimasi  sampai dengan  level  aggregasi  8.  Hal  ini dikarenakan  jumlah  sampel  yang  kecil, sehingga dengan  aggregasi  10,  hanya didapatkan  50  sampel  yang  mana  tidak mencukupi untuk estimasi GPH
terkoreksi.  Salah  satu  komponen  penting
dari  untuk  mendekteksi  pattern  hasil estimasi  adalah  bias  estimasi.  Plot  dari hasil estimasi
untuk lebih jelas menunjukkan bias  yang  terjadi  disajikan pada Gambar 1 dan Gambar 2.
Gambar 1. GPH Terkoreksi n = 500

## Gambar 2. GPH Tak Terkoreksi n = 500
Pada  Tabel 1,  Tabel  2,  Gambar 1  serta Gambar  2,  dijelaskan  bahwa  untuk  data dengan  level aggregation yang  semakin besar  akan  menghasilkan  bias  yang cenderung  lebih  besar  juga.  Namun, terdapat  perbedaan  jelas  dari  kedua  plot diatas,  dimana  bias  yang  dihasilkan  oleh GPH terkoreksi cenderung monoton naik seiring  dengan  naiknya  level  aggregasi. Begitu  juga  dengan  bias  hasil  dari  GPH tak  terkoreksi.  Untuk  melihat  apakah hasil  diatas  apakah  cukup  konsisten, selanjutnya  akan  disimulasikan  dengan sampel  yang  lebih  besar  yaitu  2000. Berikut adalah hasil simulasi penggunaan stock aggregation.

## Tabel 3. Hasil Simulasi Stock Aggregation
n = 2000
m bandwidth = 0.5 0.1 0.2 GPH 1 GPH 2 GPH 1 GPH 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0.1001 0.0820 0.0680 0.0583 0.0519 0.0430 0.0373 0.0329 0.0280 0.0258 0.1001 0.0691 0.0509 0.0455 0.0464 0.0208 0.0277 0.0265 0.0137 0.0265 0.2065 0.1881 0.1726 0.1581 0.1445 0.1337 0.1228 0.1141 0.1059 0.1006 0.2065 0.1786 0.1599 0.1420 0.1249 0.1202 0.1016 0.0991 0.0851 0.0918 Tabel 4. Hasil Simulasi Stock Aggregation n = 2000 m bandwith = 0.5 0.3 0.4 GPH 1 GPH 2 GPH 1 GPH 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0.3039 0.2894 0.2756 0.2631 0.2500 0.2386 0.2263 0.2171 0.2078 0.2010 0.3039 0.2833 0.2669 0.2554 0.2375 0.2294 0.2064 0.2093 0.1900 0.1890 0.4032 0.3968 0.3870 0.3787 0.3680 0.3575 0.3477 0.3384 0.3304 0.3244 0.4032 0.3969 0.3835 0.3812 0.3639 0.3531 0.3438 0.3329 0.3272 0.3228
Berikut ini plot hasil simulasi yang lebih jelas menunjukkan bias :
Gambar 3. GPH Terkoreksi untuk n = 2000
Statistika, Vol. 2, No. 2, November 2014
dari  untuk  mendekteksi  pattern  hasil estimasi  adalah  bias  estimasi.  Plot  dari hasil estimasi
untuk lebih jelas menunjukkan bias  yang  terjadi  disajikan pada Gambar 1 dan Gambar 2.
Gambar 1. GPH Terkoreksi n = 500

## Gambar 2. GPH Tak Terkoreksi n = 500
Pada  Tabel 1,  Tabel  2,  Gambar 1  serta Gambar  2,  dijelaskan  bahwa  untuk  data dengan  level aggregation yang  semakin besar  akan  menghasilkan  bias  yang cenderung  lebih  besar  juga.  Namun, terdapat  perbedaan  jelas  dari  kedua  plot diatas,  dimana  bias  yang  dihasilkan  oleh GPH terkoreksi cenderung monoton naik seiring  dengan  naiknya  level  aggregasi. Begitu  juga  dengan  bias  hasil  dari  GPH tak  terkoreksi.  Untuk  melihat  apakah hasil  diatas  apakah  cukup  konsisten, selanjutnya  akan  disimulasikan  dengan sampel  yang  lebih  besar  yaitu  2000. Berikut adalah hasil simulasi penggunaan stock aggregation.

## Tabel 3. Hasil Simulasi Stock Aggregation
n = 2000
m bandwidth = 0.5 0.1 0.2 GPH 1 GPH 2 GPH 1 GPH 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0.1001 0.0820 0.0680 0.0583 0.0519 0.0430 0.0373 0.0329 0.0280 0.0258 0.1001 0.0691 0.0509 0.0455 0.0464 0.0208 0.0277 0.0265 0.0137 0.0265 0.2065 0.1881 0.1726 0.1581 0.1445 0.1337 0.1228 0.1141 0.1059 0.1006 0.2065 0.1786 0.1599 0.1420 0.1249 0.1202 0.1016 0.0991 0.0851 0.0918 Tabel 4. Hasil Simulasi Stock Aggregation n = 2000 m bandwith = 0.5 0.3 0.4 GPH 1 GPH 2 GPH 1 GPH 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0.3039 0.2894 0.2756 0.2631 0.2500 0.2386 0.2263 0.2171 0.2078 0.2010 0.3039 0.2833 0.2669 0.2554 0.2375 0.2294 0.2064 0.2093 0.1900 0.1890 0.4032 0.3968 0.3870 0.3787 0.3680 0.3575 0.3477 0.3384 0.3304 0.3244 0.4032 0.3969 0.3835 0.3812 0.3639 0.3531 0.3438 0.3329 0.3272 0.3228
Berikut ini plot hasil simulasi yang lebih jelas menunjukkan bias :
Gambar 3. GPH Terkoreksi untuk n = 2000
Statistika, Vol. 2, No. 2, November 2014
dari  untuk  mendekteksi  pattern  hasil estimasi  adalah  bias  estimasi.  Plot  dari hasil estimasi
untuk lebih jelas menunjukkan bias  yang  terjadi  disajikan pada Gambar 1 dan Gambar 2.
Gambar 1. GPH Terkoreksi n = 500

## Gambar 2. GPH Tak Terkoreksi n = 500
Pada  Tabel 1,  Tabel  2,  Gambar 1  serta Gambar  2,  dijelaskan  bahwa  untuk  data dengan  level aggregation yang  semakin besar  akan  menghasilkan  bias  yang cenderung  lebih  besar  juga.  Namun, terdapat  perbedaan  jelas  dari  kedua  plot diatas,  dimana  bias  yang  dihasilkan  oleh GPH terkoreksi cenderung monoton naik seiring  dengan  naiknya  level  aggregasi. Begitu  juga  dengan  bias  hasil  dari  GPH tak  terkoreksi.  Untuk  melihat  apakah hasil  diatas  apakah  cukup  konsisten, selanjutnya  akan  disimulasikan  dengan sampel  yang  lebih  besar  yaitu  2000. Berikut adalah hasil simulasi penggunaan stock aggregation.

## Tabel 3. Hasil Simulasi Stock Aggregation
n = 2000
m bandwidth = 0.5 0.1 0.2 GPH 1 GPH 2 GPH 1 GPH 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0.1001 0.0820 0.0680 0.0583 0.0519 0.0430 0.0373 0.0329 0.0280 0.0258 0.1001 0.0691 0.0509 0.0455 0.0464 0.0208 0.0277 0.0265 0.0137 0.0265 0.2065 0.1881 0.1726 0.1581 0.1445 0.1337 0.1228 0.1141 0.1059 0.1006 0.2065 0.1786 0.1599 0.1420 0.1249 0.1202 0.1016 0.0991 0.0851 0.0918 Tabel 4. Hasil Simulasi Stock Aggregation n = 2000 m bandwith = 0.5 0.3 0.4 GPH 1 GPH 2 GPH 1 GPH 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0.3039 0.2894 0.2756 0.2631 0.2500 0.2386 0.2263 0.2171 0.2078 0.2010 0.3039 0.2833 0.2669 0.2554 0.2375 0.2294 0.2064 0.2093 0.1900 0.1890 0.4032 0.3968 0.3870 0.3787 0.3680 0.3575 0.3477 0.3384 0.3304 0.3244 0.4032 0.3969 0.3835 0.3812 0.3639 0.3531 0.3438 0.3329 0.3272 0.3228
Berikut ini plot hasil simulasi yang lebih jelas menunjukkan bias :
Gambar 3. GPH Terkoreksi untuk n = 2000
Gambar 4. GPH Tak Terkoreksi untuk n = 2000
Tabel 3,  Tabel  4 ,  Gambar  3  dan Gambar 4,  jelas  menunjukkan  bahwa dengan  n  =  2000,  pada  bandwith  0,5 menghasilkan bias yang cukup besar. Hal ini ditunjukkan dengan
rata-rata
parameter d yang  dihasilkan  untuk masing-masing  level  aggregasi  berbeda cukup  jauh.  Pada  semua  setting  simulasi dengan estimator GPH terkoreksi, teramati  jelas  bahwa  level  bias  naik dengan  naiknya  level  aggregasi,  Bias yang  dihasilkan  oleh  GPH  tak  terkoreksi juga  monoton  naik,  namun  dengan besaran yang tidak konstan.

## Model Markov Switching
Model Spurious Long Memory
pertama  yang  pernah  dibahas  adalah Markov  Switching  untuk  sifat stock aggregation, Oleh  karena  itu,  berikut akan  disajikan  hasil  simulasi  penerapan GPH  baik  terkoreksi  maupun  tidak terkoreksi  pada  data stock  aggregation dalam mendeteksi model Markov Switching. Model yang digunakan dalam proses Markov-switching adalah :
= ∅ + ∈ = 1 ∅ + ∈ = 2 dengan ∈ ~ (0,1) dan peluang p 00 dan p 11. Model Markov Switching yang dibangkitkan ada 3 macam, yaitu : 1) MS 1 : MS (Ф 1 = 0.5, Ф 2 = -0.5, P 00 = 0.9, P 11 = -0.9, bandwith = 0.5)
2) MS 2 : MS (Ф 1 =  0.7, Ф 2 = -0.2, P 00 = 0.9, P 11 = -0.9, bandwith = 0.5) 3) MS 3 : MS (Ф 1 =  0.5, Ф 2 = -0.4, P 00 = 0.9, P 11 = -0.9, bandwith = 0.5) Setting  parameter  untuk model  Markov di  atas  akan  menghasilkan  serangkaian data  time  series  yang  persisten,  yang merupakan  salah  satu  ciri  dari  spurious long  memory.  Dalam  hal  ini,  parameter transition  probability  yang  sangat  besar menyebabkan switching dari regime 1 ke regime  2 menjadi  persisten.  Berikut disajikan  hasil  estimasi  GPH  untuk  data Markov  switching  yang  telah  teragregasi secara skip sampling.

## Tabel 3. Simulasi Stock Aggregation untuk
Model Markov Switchingn = 500
m bandwidth = 0.5 Ф 1 = 0.7
Ф 2 = -0.2 P 00 = 0.9
P 11 = -0.9 Ф 1 = 0.5 Ф 2 = -0.4 P 00 = 0.9
P 11 = -0.9 Ф 1 = 0.5 Ф 2 = -0.4
P 00 = 0.9 P 11 = -0.9 GPH 2 GPH 1 GPH 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0.1715 0.0945 0.0808 0.0493 0.0538 0.0386 0.0449 0.0106 0.0236 0.0123 0.1419 0.1098 0.0899 0.0704 0.0579 0.0503 0.0457 0.0427 NaN NaN 0.1419 0.0837 0.0671 0.0387 0.0390 0.0404 0.0349 0.0192 0.0429 0.0148

## Tabel 4. Simulasi Stock Aggregation untuk
Model Markov Switchingn = 500 m bandwith = 0.5 Ф 1 = 0.5
Ф 2 = -0.5 P 00 = 0.9
P 11 = -0.9 Ф 1 = 0.5
Ф 2 = -0.5 P 00 = 0.9
P 11 = -0.9
Ф 1 = 0.7
Ф 2 = -0.2 P 00 = 0.9 P 11 = -0.9 GPH 1 GPH 2 GPH 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0.1404 0.1069 0.0859 0.0676 0.0559 0.0477 0.0393 0.0348 NaN NaN 0.1404 0.0797 0.0614 0.0397 0.0410 0.0354 0.0057 0.0005 0.0126 0.0153 0.1715 0.1285 0.1053 0.0830 0.0694 0.0585 0.0536 0.0486 NaN NaN

## Statistika, Vol. 2, No. 2, November 2014

## Gambar 4. GPH Tak Terkoreksi untuk n = 2000
Tabel 3,  Tabel  4 ,  Gambar  3  dan Gambar 4,  jelas  menunjukkan  bahwa dengan  n  =  2000,  pada  bandwith  0,5 menghasilkan bias yang cukup besar. Hal ini ditunjukkan dengan
rata-rata
parameter d yang  dihasilkan  untuk masing-masing  level  aggregasi  berbeda cukup  jauh.  Pada  semua  setting  simulasi dengan estimator GPH terkoreksi, teramati  jelas  bahwa  level  bias  naik dengan  naiknya  level  aggregasi,  Bias yang  dihasilkan  oleh  GPH  tak  terkoreksi juga  monoton  naik,  namun  dengan besaran yang tidak konstan.

## Model Markov Switching
Model Spurious Long Memory
pertama  yang  pernah  dibahas  adalah Markov  Switching  untuk  sifat stock aggregation, Oleh  karena  itu,  berikut akan  disajikan  hasil  simulasi  penerapan GPH  baik  terkoreksi  maupun  tidak terkoreksi  pada  data stock  aggregation dalam mendeteksi model Markov Switching. Model yang digunakan dalam proses Markov-switching adalah :
= ∅ + ∈ = 1 ∅ + ∈ = 2 dengan ∈ ~ (0,1) dan peluang p 00 dan p 11. Model Markov Switching yang dibangkitkan ada 3 macam, yaitu : 1) MS 1 : MS (Ф 1 = 0.5, Ф 2 = -0.5, P 00 = 0.9, P 11 = -0.9, bandwith = 0.5)
2) MS 2 : MS (Ф 1 =  0.7, Ф 2 = -0.2, P 00 = 0.9, P 11 = -0.9, bandwith = 0.5) 3) MS 3 : MS (Ф 1 =  0.5, Ф 2 = -0.4, P 00 = 0.9, P 11 = -0.9, bandwith = 0.5) Setting  parameter  untuk model  Markov di  atas  akan  menghasilkan  serangkaian data  time  series  yang  persisten,  yang merupakan  salah  satu  ciri  dari  spurious long  memory.  Dalam  hal  ini,  parameter transition  probability  yang  sangat  besar menyebabkan switching dari regime 1 ke regime  2 menjadi  persisten.  Berikut disajikan  hasil  estimasi  GPH  untuk  data Markov  switching  yang  telah  teragregasi secara skip sampling.

## Tabel 3. Simulasi Stock Aggregation untuk
Model Markov Switchingn = 500
m bandwidth = 0.5 Ф 1 = 0.7
Ф 2 = -0.2 P 00 = 0.9
P 11 = -0.9 Ф 1 = 0.5 Ф 2 = -0.4
P 00 = 0.9
P 11 = -0.9 Ф 1 = 0.5 Ф 2 = -0.4
P 00 = 0.9
P 11 = -0.9 GPH 2 GPH 1 GPH 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0.1715 0.0945 0.0808 0.0493 0.0538 0.0386 0.0449 0.0106 0.0236 0.0123 0.1419 0.1098 0.0899 0.0704 0.0579 0.0503 0.0457 0.0427 NaN NaN 0.1419 0.0837 0.0671 0.0387 0.0390 0.0404 0.0349 0.0192 0.0429 0.0148

## Tabel 4. Simulasi Stock Aggregation untuk
Model Markov Switchingn = 500 m bandwith = 0.5 Ф 1 = 0.5
Ф 2 = -0.5 P 00 = 0.9
P 11 = -0.9 Ф 1 = 0.5
Ф 2 = -0.5 P 00 = 0.9
P 11 = -0.9
Ф 1 = 0.7
Ф 2 = -0.2
P 00 = 0.9 P 11 = -0.9 GPH 1 GPH 2 GPH 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0.1404 0.1069 0.0859 0.0676 0.0559 0.0477 0.0393 0.0348 NaN NaN 0.1404 0.0797 0.0614 0.0397 0.0410 0.0354 0.0057 0.0005 0.0126 0.0153 0.1715 0.1285 0.1053 0.0830 0.0694 0.0585 0.0536 0.0486 NaN NaN

## Statistika, Vol. 2, No. 2, November 2014

## Gambar 4. GPH Tak Terkoreksi untuk n = 2000
Tabel 3,  Tabel  4 ,  Gambar  3  dan Gambar 4,  jelas  menunjukkan  bahwa dengan  n  =  2000,  pada  bandwith  0,5 menghasilkan bias yang cukup besar. Hal ini ditunjukkan dengan
rata-rata
parameter d yang  dihasilkan  untuk masing-masing  level  aggregasi  berbeda cukup  jauh.  Pada  semua  setting  simulasi dengan estimator GPH terkoreksi, teramati  jelas  bahwa  level  bias  naik dengan  naiknya  level  aggregasi,  Bias yang  dihasilkan  oleh  GPH  tak  terkoreksi juga  monoton  naik,  namun  dengan besaran yang tidak konstan.

## Model Markov Switching
Model Spurious Long Memory
pertama  yang  pernah  dibahas  adalah Markov  Switching  untuk  sifat stock aggregation, Oleh  karena  itu,  berikut akan  disajikan  hasil  simulasi  penerapan GPH  baik  terkoreksi  maupun  tidak terkoreksi  pada  data stock  aggregation dalam mendeteksi model Markov Switching. Model yang digunakan dalam proses Markov-switching adalah :
= ∅ + ∈ = 1 ∅ + ∈ = 2 dengan ∈ ~ (0,1) dan peluang p 00 dan p 11. Model Markov Switching yang dibangkitkan ada 3 macam, yaitu : 1) MS 1 : MS (Ф 1 = 0.5, Ф 2 = -0.5, P 00 = 0.9, P 11 = -0.9, bandwith = 0.5)
2) MS 2 : MS (Ф 1 =  0.7, Ф 2 = -0.2, P 00 = 0.9, P 11 = -0.9, bandwith = 0.5) 3) MS 3 : MS (Ф 1 =  0.5, Ф 2 = -0.4, P 00 = 0.9, P 11 = -0.9, bandwith = 0.5) Setting  parameter  untuk model  Markov di  atas  akan  menghasilkan  serangkaian data  time  series  yang  persisten,  yang merupakan  salah  satu  ciri  dari  spurious long  memory.  Dalam  hal  ini,  parameter transition  probability  yang  sangat  besar menyebabkan switching dari regime 1 ke regime  2 menjadi  persisten.  Berikut disajikan  hasil  estimasi  GPH  untuk  data Markov  switching  yang  telah  teragregasi secara skip sampling.

## Tabel 3. Simulasi Stock Aggregation untuk
Model Markov Switchingn = 500
m bandwidth = 0.5 Ф 1 = 0.7
Ф 2 = -0.2 P 00 = 0.9
P 11 = -0.9 Ф 1 = 0.5 Ф 2 = -0.4
P 00 = 0.9
P 11 = -0.9 Ф 1 = 0.5 Ф 2 = -0.4
P 00 = 0.9
P 11 = -0.9 GPH 2 GPH 1 GPH 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0.1715 0.0945 0.0808 0.0493 0.0538 0.0386 0.0449 0.0106 0.0236 0.0123 0.1419 0.1098 0.0899 0.0704 0.0579 0.0503 0.0457 0.0427 NaN NaN 0.1419 0.0837 0.0671 0.0387 0.0390 0.0404 0.0349 0.0192 0.0429 0.0148

## Tabel 4. Simulasi Stock Aggregation untuk
Model Markov Switchingn = 500 m bandwith = 0.5 Ф 1 = 0.5
Ф 2 = -0.5 P 00 = 0.9
P 11 = -0.9 Ф 1 = 0.5
Ф 2 = -0.5 P 00 = 0.9
P 11 = -0.9
Ф 1 = 0.7
Ф 2 = -0.2
P 00 = 0.9 P 11 = -0.9 GPH 1 GPH 2 GPH 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0.1404 0.1069 0.0859 0.0676 0.0559 0.0477 0.0393 0.0348 NaN NaN 0.1404 0.0797 0.0614 0.0397 0.0410 0.0354 0.0057 0.0005 0.0126 0.0153 0.1715 0.1285 0.1053 0.0830 0.0694 0.0585 0.0536 0.0486 NaN NaN
Seperti halnya pada simulasi sebelumnya,  untuk  jumlah  sampel  500 tidak mencukupi
dalam estimasi parameter GPH terkoreksi jika diagregasi 9  atau  10.  Pemilihan  parameter  model Markov  di  atas  sudah  tepat  dalam  arti telah mampu  menghasilkan  parameter  d yang  berada  pada  domain  long  memory. Hal  ini  terlihat  dari  parameter  d  pada aggregasi 1. Plot dari hasil simulasi untuk lebih jelas menunjukkan bias yang terjadi disajikan pada Gambar 5 dan Gambar 6
Gambar 5. GPH Terkoreksi untuk n = 500
Gambar 6. GPH Tak Terkoreksi untuk n = 500
Model markov switching merupakan salah  satu  metode  dalam  menangani adanya  lompatan  model  dari  regime  satu ke  regime  yang  lainnya.  Tabel 3 dan Tabel 4 menunjukkan bukti bahwa model Markov switching
secara umum menghasilkan  parameter  integrasi d cenderung mendekati nol (short
memory).  Penggunaan  properti stock aggregation dalam  kasus  ini  dapat
menyebabkan  nilai d yang  dihasilkan naik  dan  turun  atau  tidak  monoton. Sebagaimana yang  ditampilkan  pada Gambar 6,  jelas  menunjukkan  bahwa pada  GPH  Terkoreksi  terlihat  bahwa tidak  adanya  trend  tertentu  dari  estimasi parameter d seiring dengan naiknya level aggregasi., tetapi pada GPH tak terkoreksi  tidak  terlihat  trend  yang monoto  seiring  dengan  bertambahhnya level aggregasiSelanjutnya
akan disimulasikan  dengan  sampel  yang  lebih besar  yaitu  2000.  Berikut  adalah  hasil simulasi  penggunaan stock  aggregation pada  bangkitan  model  markov  switching dengan sampel 2000.
Tabel 5. Simulasi Stock Aggregation untuk Model Markov Switching n = 2000
m bandwidth = 0.5 Ф 1 = 0.5 Ф 2 = -0.5 P 00 = 0.9
P 11 = -0.9 Ф 1 = 0.5 Ф 2 = -0.5
P 00 = 0.9
P 11 = -0.9 Ф 1 = 0.7
Ф 2 = -0.2
P 00 = 0.9 P 11 = -0.9 GPH 1 GPH 2 GPH 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0.0460 0.0361 0.0290 0.0230 0.0194 0.0152 0.0115 0.0088 0.0063 0.0040 0.04599 0.02607 0.01779 0.01059 0.01250 0.00333 -0.00023 0.00033 -0.00316 -0.00842 0.0473 0.0388 0.0323 0.0278 0.0256 0.0227 0.0202 0.0188 0.0172 0.0155 Tabel 6. Simulasi Stock  Aggregation untuk
Model Markov Switching n = 2000
m
bandwidth = 0.5
Ф 1 = 0.7
Ф 2 = -0.2 P 00 = 0.9
P 11 = -0.9
Ф 1 = 0.5
Ф 2 = -0.4
P 00 = 0.9
P 11 = -0.9
Ф 1 = 0.5
Ф 2 = -0.4
P 00 = 0.9 P 11 = -0.9 GPH 2 GPH 1 GPH 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0.04729 0.03002 0.02232 0.01997 0.02470 0.01749 0.01564 0.01978 0.01520 0.00947 0.0424 0.0354 0.0288 0.0242 0.0224 0.0195 0.0179 0.0156 0.0139 0.0127 0.04244 0.02772 0.01791 0.01519 0.02196 0.01335 0.01767 0.00899 0.00986 0.00974

## Statistika, Vol. 2, No. 2, November 2014
Seperti halnya pada simulasi sebelumnya,  untuk  jumlah  sampel  500 tidak mencukupi
dalam estimasi parameter GPH terkoreksi jika diagregasi 9  atau  10.  Pemilihan  parameter  model Markov  di  atas  sudah  tepat  dalam  arti telah mampu  menghasilkan  parameter  d yang  berada  pada  domain  long  memory. Hal  ini  terlihat  dari  parameter  d  pada aggregasi 1. Plot dari hasil simulasi untuk lebih jelas menunjukkan bias yang terjadi disajikan pada Gambar 5 dan Gambar 6
Gambar 5. GPH Terkoreksi untuk n = 500
Gambar 6. GPH Tak Terkoreksi untuk n = 500
Model markov switching merupakan salah  satu  metode  dalam  menangani adanya  lompatan  model  dari  regime  satu ke  regime  yang  lainnya.  Tabel 3 dan Tabel 4 menunjukkan bukti bahwa model Markov switching
secara umum menghasilkan  parameter  integrasi d cenderung mendekati nol (short
memory).  Penggunaan  properti stock aggregation dalam  kasus  ini  dapat
menyebabkan  nilai d yang  dihasilkan naik  dan  turun  atau  tidak  monoton. Sebagaimana yang  ditampilkan  pada Gambar 6,  jelas  menunjukkan  bahwa pada  GPH  Terkoreksi  terlihat  bahwa tidak  adanya  trend  tertentu  dari  estimasi parameter d seiring dengan naiknya level aggregasi., tetapi pada GPH tak terkoreksi  tidak  terlihat  trend  yang monoto  seiring  dengan  bertambahhnya level aggregasiSelanjutnya
akan disimulasikan  dengan  sampel  yang  lebih besar  yaitu  2000.  Berikut  adalah  hasil simulasi  penggunaan stock  aggregation pada  bangkitan  model  markov  switching dengan sampel 2000.
Tabel 5. Simulasi Stock Aggregation untuk Model Markov Switching n = 2000
m bandwidth = 0.5 Ф 1 = 0.5 Ф 2 = -0.5 P 00 = 0.9
P 11 = -0.9 Ф 1 = 0.5 Ф 2 = -0.5
P 00 = 0.9
P 11 = -0.9 Ф 1 = 0.7 Ф 2 = -0.2 P 00 = 0.9 P 11 = -0.9 GPH 1 GPH 2 GPH 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0.0460 0.0361 0.0290 0.0230 0.0194 0.0152 0.0115 0.0088 0.0063 0.0040 0.04599 0.02607 0.01779 0.01059 0.01250 0.00333 -0.00023 0.00033 -0.00316 -0.00842 0.0473 0.0388 0.0323 0.0278 0.0256 0.0227 0.0202 0.0188 0.0172 0.0155 Tabel 6. Simulasi Stock  Aggregation untuk Model Markov Switching n = 2000 m bandwidth = 0.5 Ф 1 = 0.7 Ф 2 = -0.2
P 00 = 0.9 P 11 = -0.9 Ф 1 = 0.5
Ф 2 = -0.4
P 00 = 0.9
P 11 = -0.9
Ф 1 = 0.5
Ф 2 = -0.4
P 00 = 0.9 P 11 = -0.9 GPH 2 GPH 1 GPH 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0.04729 0.03002 0.02232 0.01997 0.02470 0.01749 0.01564 0.01978 0.01520 0.00947 0.0424 0.0354 0.0288 0.0242 0.0224 0.0195 0.0179 0.0156 0.0139 0.0127 0.04244 0.02772 0.01791 0.01519 0.02196 0.01335 0.01767 0.00899 0.00986 0.00974

## Statistika, Vol. 2, No. 2, November 2014
Seperti halnya pada simulasi sebelumnya,  untuk  jumlah  sampel  500 tidak mencukupi
dalam estimasi parameter GPH terkoreksi jika diagregasi 9  atau  10.  Pemilihan  parameter  model Markov  di  atas  sudah  tepat  dalam  arti telah mampu  menghasilkan  parameter  d yang  berada  pada  domain  long  memory. Hal  ini  terlihat  dari  parameter  d  pada aggregasi 1. Plot dari hasil simulasi untuk lebih jelas menunjukkan bias yang terjadi disajikan pada Gambar 5 dan Gambar 6
Gambar 5. GPH Terkoreksi untuk n = 500
Gambar 6. GPH Tak Terkoreksi untuk n = 500
Model markov switching merupakan salah  satu  metode  dalam  menangani adanya  lompatan  model  dari  regime  satu ke  regime  yang  lainnya.  Tabel 3 dan Tabel 4 menunjukkan bukti bahwa model Markov switching
secara umum menghasilkan  parameter  integrasi d cenderung mendekati nol (short
memory).  Penggunaan  properti stock aggregation dalam  kasus  ini  dapat
menyebabkan  nilai d yang  dihasilkan naik  dan  turun  atau  tidak  monoton. Sebagaimana yang  ditampilkan  pada Gambar 6,  jelas  menunjukkan  bahwa pada  GPH  Terkoreksi  terlihat  bahwa tidak  adanya  trend  tertentu  dari  estimasi parameter d seiring dengan naiknya level aggregasi., tetapi pada GPH tak terkoreksi  tidak  terlihat  trend  yang monoto  seiring  dengan  bertambahhnya level aggregasiSelanjutnya
akan disimulasikan  dengan  sampel  yang  lebih besar  yaitu  2000.  Berikut  adalah  hasil simulasi  penggunaan stock  aggregation pada  bangkitan  model  markov  switching dengan sampel 2000.
Tabel 5. Simulasi Stock Aggregation untuk Model Markov Switching n = 2000
m bandwidth = 0.5 Ф 1 = 0.5 Ф 2 = -0.5 P 00 = 0.9
P 11 = -0.9 Ф 1 = 0.5 Ф 2 = -0.5
P 00 = 0.9
P 11 = -0.9 Ф 1 = 0.7 Ф 2 = -0.2 P 00 = 0.9 P 11 = -0.9 GPH 1 GPH 2 GPH 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0.0460 0.0361 0.0290 0.0230 0.0194 0.0152 0.0115 0.0088 0.0063 0.0040 0.04599 0.02607 0.01779 0.01059 0.01250 0.00333 -0.00023 0.00033 -0.00316 -0.00842 0.0473 0.0388 0.0323 0.0278 0.0256 0.0227 0.0202 0.0188 0.0172 0.0155 Tabel 6. Simulasi Stock  Aggregation untuk Model Markov Switching n = 2000 m bandwidth = 0.5 Ф 1 = 0.7 Ф 2 = -0.2
P 00 = 0.9 P 11 = -0.9 Ф 1 = 0.5
Ф 2 = -0.4
P 00 = 0.9
P 11 = -0.9
Ф 1 = 0.5
Ф 2 = -0.4
P 00 = 0.9 P 11 = -0.9 GPH 2 GPH 1 GPH 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0.04729 0.03002 0.02232 0.01997 0.02470 0.01749 0.01564 0.01978 0.01520 0.00947 0.0424 0.0354 0.0288 0.0242 0.0224 0.0195 0.0179 0.0156 0.0139 0.0127 0.04244 0.02772 0.01791 0.01519 0.02196 0.01335 0.01767 0.00899 0.00986 0.00974
Plot  dari  hasil  simulasi  untuk  lebih  jelas menunjukkan bias  yang terjadi  disajikan pada Gambar 7 dan Gambar 8.
Gambar 7. GPH Terkoreksi untuk n = 2000

## Gambar 8. GPH Tak Terkoreksi untuk n = 2000
Tabel 5  dan  6 kembali  menunjukkan sekaligus  memperkuat  keterangan  bahwa model  markov  switching menghasilkan pattern yang berbeda untuk kedua macam GPH  dengan  harapan  akan  semakin memperkuat  kesimpulan  di  awal  saat mensimulasikan
markov
switching dengan  sampel  sebanyak  500.  Gambar 4 menunjukkan bahwa penambahan jumlah sampel n tidak memberikan efek signifikan
terhadap hasil estimasi parameter d ketika diaggregasi, plot yang ditampilkan
memang jelas
tetap
menunjukkan  bahwa  tidak  adanya  pola yang  jelas  (random)  terhadap  naiknya level aggregasi untuk
GPH tidak terkoreksi

## KESIMPULAN
Properti stock  aggregation dalam mendeteksi  fenomena Long  Memory dimana  bias  yang  dihasilkan  dengan menggunakan  aggregasi  ini  lebih  besar.
Baik menggunakan estimator GPH dengan bandwith 0,5 Trend estimasi nilai d yang  dihasilkan  dengan  aggregasi adalah  menurun. Hal  ini  tidak sesuai dengan  gagasan  awal  bahwa  untuk mendeteksi  fenomena Long  Memory, parameter d hasil aggregasi tidak berbeda dengan  parameter d tanpa  aggregasi. Namun  perlu  diakui  bahwa  meskipun parameter d yang  dihasilkan  berbeda, namun masih berada dalam range nilai d untuk Long  Memory.  Hal  ini  bisa  saja terjadi  karena  dengan  menggunakan metode stock  aggregation yang  mirip dengan skip sampling ini akan menghilangkan  beberapa  informasi  data dan  semakin  besar  level  aggregasinya akan  semakin  besar  pula  informasi  yang hilang.  Pada  kasus  bangkitan  Markov Switching, pengaruh aggregasi ini
menunjukkan  bahwa  tidak  ditemukan trend, baik menggunakan sampel 500 dan sampel  2000  tidak  terlihat  memberikan efek  yang  signifikan  terhadap  hasil estimasi  parameter  d  ketika  diaggregasi dengan  GPH  terkoreksi  maupun  GPH tidak terkoreksi.

## DAFTAR PUSTAKA
[1] Chambers,  M.  J.,  1998,  Long Memory  And  Aggregation  In Macroeconomic
Time Series. International  Economic  Review 39, 1053-1072.
[2] Diebold,  F.  X.  and  Inoue,  C.  A. (2001)  Long  memory  and regime switching. Journal of Econometrics, 105(1), 131-159. [3] Geweke,  J.  And  S.  Porter-Hudak (1983) The Estimation And Application  Of  Long  Memory Time  Series  Models. Journal  Of
Time Series Analysis 4, 221-237.
[4] Hamilton,  J.D.  (1989)  A  New Approach  To  The  Economic Analysis  Of  Non  Stationarity Times  Series  And  The  Business

## Statistika, Vol. 2, No. 2, November 2014
Plot  dari  hasil  simulasi  untuk  lebih  jelas menunjukkan bias  yang terjadi  disajikan pada Gambar 7 dan Gambar 8.
Gambar 7. GPH Terkoreksi untuk n = 2000

## Gambar 8. GPH Tak Terkoreksi untuk n = 2000
Tabel 5  dan  6 kembali  menunjukkan sekaligus  memperkuat  keterangan  bahwa model  markov  switching menghasilkan pattern yang berbeda untuk kedua macam GPH  dengan  harapan  akan  semakin memperkuat  kesimpulan  di  awal  saat mensimulasikan
markov
switching dengan  sampel  sebanyak  500.  Gambar 4 menunjukkan bahwa penambahan jumlah sampel n tidak memberikan efek signifikan terhadap hasil estimasi parameter d ketika diaggregasi, plot yang ditampilkan memang
jelas
tetap
menunjukkan  bahwa  tidak  adanya  pola yang  jelas  (random)  terhadap  naiknya level aggregasi untuk
GPH tidak terkoreksi

## KESIMPULAN
Properti stock  aggregation dalam mendeteksi  fenomena Long  Memory dimana  bias  yang  dihasilkan  dengan menggunakan  aggregasi  ini  lebih  besar.
Baik menggunakan estimator GPH dengan bandwith 0,5 Trend estimasi nilai d yang  dihasilkan  dengan  aggregasi adalah  menurun. Hal  ini  tidak sesuai dengan  gagasan  awal  bahwa  untuk mendeteksi  fenomena Long  Memory, parameter d hasil aggregasi tidak berbeda dengan  parameter d tanpa  aggregasi. Namun  perlu  diakui  bahwa  meskipun parameter d yang  dihasilkan  berbeda, namun masih berada dalam range nilai d untuk Long  Memory.  Hal  ini  bisa  saja terjadi  karena  dengan  menggunakan metode stock  aggregation yang  mirip dengan skip sampling ini akan menghilangkan  beberapa  informasi  data dan  semakin  besar  level  aggregasinya akan  semakin  besar  pula  informasi  yang hilang.  Pada  kasus  bangkitan  Markov Switching, pengaruh aggregasi ini
menunjukkan  bahwa  tidak  ditemukan trend, baik menggunakan sampel 500 dan sampel  2000  tidak  terlihat  memberikan efek  yang  signifikan  terhadap  hasil estimasi  parameter  d  ketika  diaggregasi dengan  GPH  terkoreksi  maupun  GPH tidak terkoreksi.

## DAFTAR PUSTAKA
[1] Chambers,  M.  J.,  1998,  Long Memory  And  Aggregation  In Macroeconomic
Time Series. International  Economic  Review 39, 1053-1072.
[2] Diebold,  F.  X.  and  Inoue,  C.  A. (2001)  Long  memory  and regime switching. Journal of Econometrics, 105(1), 131-159. [3] Geweke,  J.  And  S.  Porter-Hudak (1983) The Estimation And Application  Of  Long  Memory Time  Series  Models. Journal  Of
Time Series Analysis 4, 221-237.
[4] Hamilton,  J.D.  (1989)  A  New Approach  To  The  Economic Analysis  Of  Non  Stationarity Times  Series  And  The  Business

## Statistika, Vol. 2, No. 2, November 2014
Plot  dari  hasil  simulasi  untuk  lebih  jelas menunjukkan bias  yang terjadi  disajikan pada Gambar 7 dan Gambar 8.
Gambar 7. GPH Terkoreksi untuk n = 2000

## Gambar 8. GPH Tak Terkoreksi untuk n = 2000
Tabel 5  dan  6 kembali  menunjukkan sekaligus  memperkuat  keterangan  bahwa model  markov  switching menghasilkan pattern yang berbeda untuk kedua macam GPH  dengan  harapan  akan  semakin memperkuat  kesimpulan  di  awal  saat mensimulasikan
markov
switching dengan  sampel  sebanyak  500.  Gambar 4 menunjukkan bahwa penambahan jumlah sampel n tidak memberikan efek signifikan terhadap hasil estimasi parameter d ketika diaggregasi, plot yang ditampilkan memang
jelas
tetap
menunjukkan  bahwa  tidak  adanya  pola yang  jelas  (random)  terhadap  naiknya level aggregasi untuk
GPH tidak terkoreksi

## KESIMPULAN
Properti stock  aggregation dalam mendeteksi  fenomena Long  Memory dimana  bias  yang  dihasilkan  dengan menggunakan  aggregasi  ini  lebih  besar.
Baik menggunakan estimator GPH dengan bandwith 0,5 Trend estimasi nilai d yang  dihasilkan  dengan  aggregasi adalah  menurun. Hal  ini  tidak sesuai dengan  gagasan  awal  bahwa  untuk mendeteksi  fenomena Long  Memory, parameter d hasil aggregasi tidak berbeda dengan  parameter d tanpa  aggregasi. Namun  perlu  diakui  bahwa  meskipun parameter d yang  dihasilkan  berbeda, namun masih berada dalam range nilai d untuk Long  Memory.  Hal  ini  bisa  saja terjadi  karena  dengan  menggunakan metode stock  aggregation yang  mirip dengan skip sampling ini akan menghilangkan  beberapa  informasi  data dan  semakin  besar  level  aggregasinya akan  semakin  besar  pula  informasi  yang hilang.  Pada  kasus  bangkitan  Markov Switching, pengaruh aggregasi ini
menunjukkan  bahwa  tidak  ditemukan trend, baik menggunakan sampel 500 dan sampel  2000  tidak  terlihat  memberikan efek  yang  signifikan  terhadap  hasil estimasi  parameter  d  ketika  diaggregasi dengan  GPH  terkoreksi  maupun  GPH tidak terkoreksi.

## DAFTAR PUSTAKA
[1] Chambers,  M.  J.,  1998,  Long Memory  And  Aggregation  In Macroeconomic
Time Series. International  Economic  Review 39, 1053-1072.
[2] Diebold,  F.  X.  and  Inoue,  C.  A. (2001)  Long  memory  and regime switching. Journal of Econometrics, 105(1), 131-159. [3] Geweke,  J.  And  S.  Porter-Hudak (1983) The Estimation And Application  Of  Long  Memory Time  Series  Models. Journal  Of
Time Series Analysis 4, 221-237.
[4] Hamilton,  J.D.  (1989)  A  New Approach  To  The  Economic Analysis  Of  Non  Stationarity Times  Series  And  The  Business
Cycle. Econometrica 57, 357-384.
[5] Kuswanto,  H.  And  Sibbertsen,  P. (2008) A Study On Spurious Long Memory In Nonlinear Time Series
Models.  Applied  Mathematical
Science, 2(55), 2713-2734
[6] Kuswanto,  H.  (2011) A  New Test Against  Spurious  Long  Memory Using Temporal Aggregation. Journal Of Statistical Computation  And  Simulation,  I- First  Published  On  17  January 2011. DOI: 10.1080/00949655.2010.483231 [7] Parke,  W.R.  (1999) What  Is Fractional Integration? Review Of Economics And Statistics 81, 632- 638. [8] Timmermann, A. (2000). Moments  Of  Markov  Switching Models. Journal  Of  Econometrics (96): 75-111.
[9] Souza,  L.  R.  (2003)  Temporal
Aggregation And Bandwidth Selection  In  Estimating  Long Memory. Journal  Of  Time  Series Analysis 28(5), 701-722.
[10] Souza,  L.  R.  (2005)  Temporal Aggregation
And
Bandwidth
Selection  In  Estimating  Long Memory. Journal  Of  Time  Series Analysis 28(5), 701-722. [11] Souza,  L. R.  (2008)  Spectral Properties Of Temporally Aggregated Long Memory Process.  Brazilian Journal  Of Probability  And  Statistics 22(2),
135-155.
[12] Zivot,  E.,  &  Wang,  J.  (2006). Modelling  Financial  Time  Series
Models  With  S-PLUS.  New  York:
Springer.