ISSN : 2460 – 7797 e-ISSN : 2614-8234 Website : jurnal.umj.ac.id/index.php/fbc Email : fibonacci@umj.ac.id Jurnal Pendidikan Matematika dan Matematika

## FUNGSI CANTOR-LEBESGUE DAN HIMPUNAN TERUKUR LEBESGUE

## Elin Herlinawati
Program Studi Matematika, Fakultas Sains dan Teknologi, Universitas Terbuka, Jalan Cabe Raya Pondok Cabe Pamulang Tangerang Selatan, 15418
elin@ecampus.ut.ac.id

## Abstrak
Ukuran  Lebesgue  diperkenalkan  oleh  Henri  Leon  Lebesgue.  Ukuran  ini  memetakan ke .    Hal  ini  menunjukkan  suatu  himpunan  dapat  berukuran  Lebesgue positif  atau  nol.  Salah  satu  himpunan  yang  mempunyai  ukuran  Lebesgue  nol  adalah himpunan Cantor yang faktanya termasuk kedalam himpunan tak terhitung. Artinya, ukuran Lebesgue  tidak  menyatakan  banyaknya  anggota  di  dalam  suatu  himpunan.  Lebih  jauh  lagi, Teorema  Vitali  menjamin  adanya  himpunan  yang  tidak  terukur  Lebesgue.  Pencarian  suatu fungsi yang dapat memetakan suatu himpunan terukur kedalam himpunan yang tidak terukur mejadi  fokus  pada  artikel  ini.  Fungsi  ini  diperoleh  dengan  menjumlahkan  fungsi  Cantor dengan fungsi linear. Karena ukuran yang digunakan adalah ukuran Lebesgue, maka fungsi ini  disebut  sebagai  fungsi  Cantor-Lebesgue.  Kemudian,  artikel  ini  juga  membahas  suatu fungsi  kontinu  yang  memetakan  himpunan  terukur  Lebesgue  kedalam  himpunan  yang  tidak terukur Lebesgue.
Kata Kunci: himpuanan Cantor, fungsi Cantor-Lebesgue, ukuran Lebesgue.

## PENDAHULUAN
Teori ukuran adalah cabang analisis real yang menginvestigasi aljabar-σ, ukuran,  fungsi  ukuran  dan  integral.  Henri Leon  Lebesgue  (1902)  menyusun  teori ukuran  yang  dikenal  dengan  ukuran Lebesgue.  Dengan  menggunakan  teori ukuran  tersebut,  Lebesgue  menyusun  teori integral  yang dikenal dengan nama integral Lebesgue  yang  merupakan  perluasan  dari integral  Riemann.  Selain  itu  ukuran  juga penting dalam teori peluang.
Selanjutnya,  misalkan adalah
himpunan tak kosong dan merupakan
koleksi  himpunan  bagian  dari maka disebut  aljabar- pada jika  memenuhi
sifat-sifat berikut: (i) (ii) jika , maka dan (iii) jika , maka ⋃ . Misalkan ruang terukur, yaitu
suatu  himpunan  dan sebuah  aljabar- pada .  Fungsi
dikatakan ukuran jika memenuhi sifat-sifat: 1. untuk semua . 2. jika , dan
Volume 6 No. 2 Bulan Desember Tahun 2020
3. ⋃ ∑ untuk semua yang  saling lepas  (yaitu untuk semua ). Anggota dari dikatakan himpunan terukur dan
disebut ruang ukuran.
Selanjutnya,  misalkan  A  adalah subhimpunan dari bilangan real dan { } menyatakan  koleksi  terhitung  dari  interval buka  tak  kosong  dan  terbatas  yang meng cover A . Ukuran luar dari , , didefinisikan sebagai
{∑ |    ⋃ }
Maka misalkan adalah himpunan terukur, ukuran  Lebesgue,  dinotasikan  dengan dan didefinisikan sebagai
Perlu diketahui bahwa suatu himpunan dapat mempunyai ukuran Lebesgue  nol,  positif  atau  bahkan  tidak terukur.  Sebagai  contoh,  himpunan  Cantor merupakan  himpunan  tak  terhitung  tetapi mempunyai  ukuran  Lebesgue  nol.  Selain itu, ada pula himmpunan yang tidak terukur Lebesgue  seperti  yang  disebutkan  pada teorema berikut.
Teorema  1. (Royden,  2010) Sebarang himpunan dari  bilangan  real  dengan ukuran  luar  positif  memuat  subhimpunan yang tidak terukur.
Teorema  1  juga  dikenal  sebagai Teorema  Vitali.  Dalam  teori  ukuran,
Teorema
Vitali digunakan untuk membuktikan  berbagai  teorema  tentang konvergensi keluarga fungsi terukur.
Teorema ini juga digunakan untuk membuktikan adanya himpunan bagian dari bilangan real yang tidak dapat diukur.
Selanjutnya, penelitian tentang teori ukuran  khususnya  mengenai  fungsi  Cantor dan  fungsi  terukur  telah  banyak  dilakukan diantaranya  yaitu  tentang  fungsi  Cantor oleh Dovgoshey dkk (2006) dan  Corin  dkk (2004)),  dan  fungsi  terukur  oleh  Zaanen (1986).
Oleh  karena  itu,  pada  artikel  ini dibahas tentang suatu fungsi yang memetakan  himpunan  terukur  kedalam himpunan tak terukur.

## METODE PENELITIAN
Penelitian  ini  diawali  dengan  studi literatur  yang  berkaitan  dengan  Teori Ukuran.  Setelah  itu,  dilakukan  pengkajian dan  analisis  lebih  mendalam  mengenai Teori Ukuran, khususnya Ukuran Lebesgue dan  Fungsi  Cantor,  sehingga  diperoleh suatu  teorema  yang  mengaitkan  antara fungsi  Cantor,  Ukuran  Lebesgue,  dan Himpunan Terukur.

## HASIL DAN PEMBAHASAN

## Fungsi Cantor dan Himpunan Cantor
Misalkan menyatakan  fungsi
Cantor  terner  dan menyatakan  himpunan
Cantor. Misalkan pula dan tulis sebagai ∑ {     } Notasikan sebagai terkecil  dengan jika ada dan tulis jika tidak  ada.  Kemudian,  definisikan fungsi Cantor sebagai

## ∑
Himpunan Cantor adalah
himpunan  dari  semua  titik  pada yang dapat dieksspansi dalam  bentuk (1) dengan hanya  menggunakan  digit  0  dan  2.  Pada
FIBONACCI : Jurnal Pendidikan Matematika dan Matematika. Vol. 6 (2), pp: 99-104.
kasus {   } persamaan  (2) diperoleh dari bentuk
∑
Selanjutnya, kontruksikan himpunan Cantor sebagai berikut.
Misalkan , kemudian definisikan subhimpunan  tutup dan berada  didalam  subhimpunan
tersebut.  Pertama, himpunan merupakan himpunan yang diperoleh dengan menghilangkan  sepertiga  bagian  tengah interval  buka ( ) dari sehingga memuat  2  interval  tutup  yang  saling  lepas, yakni * + dan * + . Kemudian himpunan diperoleh  dengan  cara  menghilangkan interval  buka ( ) dan ( ) dari sehingga memuat  4  interval  tutup  yang saling lepas. Perhatikan gambar berikut.
Gambar 1 . Ilustrasi pengkontruksian himpunan Cantor
Secara  umum, memuat interval  tutup  yang  saling  lepas,  dan dan seterusnya dikontruksi dengan cara  yang serupa seperti  yang telah dijelaskan  sehingga  diperoleh  himpunan Cantor sebagai berikut
⋂
Selanjutnya, Dovgoshey  dkk (2006) mengatakan bahwa fungsi Cantor bersifat kontinu  dan  monoton  naik  tapi  tidak kontinu mutlak ( absolutely continuous ).

## Fungsi Cantor-Lebesgue
Telah  disebutkan  bahwa  fungsi Cantor  merupakan  fungsi  kontinu  yang monoton naik. Perhatikan teorema berikut.
Teorema 2. (Royden, 2010) Fungsi Cantor- Lebesgue adalah  fungsi  kontinu  yang monoton  naik  yang  memetakan ke . Maka turunannya ada pada himpunan buka , komplemen di dari himpunan
Cantor, yakni pada ketika
Gambar 2. Grafik fungsi Cantor-Lebesgue pada
Teorema di atas menjelaskan bahwa fungsi Cantor bersifat kontinu dan monoton naik  tapi  tidak  kontinu  mutlak  ( absolutely continuous )  dan  memetakan  himpunan
Cantor kepada .
Selanjutnya, perhatikan lemma berikut.
Lemma  3. Misalkan adalah  himpunan Cantor,  maka tertutup,  tak  terhitung  dan
.
Volume 6 No. 2 Bulan Desember Tahun 2020
Lemma  di  atas  mengatakan  bahwa himpunan  Cantor,  walapun  merupakan himpunan  tak  terhitung  namun  memiliki ukuran lebegsue nol. Selanjutnya, perhatikan lemma berikut.
Lemma 4 . (Dovgoshey dkk, 2006) Misalkan adalah  subhimpunan  terukur Lebesgue  dari  interval .  Maka
tidak terukur Lebegue.
Berdasarkan  Lemma  4,  peta  dari fungsi  Cantor  dengan  himpunan  Cantor merupakan  himpunan  yang  tidak  terukur Lebesgue.
Selanjutnya, hasil utama dari artikel ini adalah teorema-teorema berikut.
Teorema  5. Misalkan adalah  fungsi Cantor-Lebesgue  dan  definisikan  fungsi pada sebagai
untuk  setiap Maka adalah fungsi  kontinu  naik  sejati  yang  memetakan kedalam dan (i) memetakan  himpunan  Cantor kedalam sebuah himpunan terukur  yang  berukuran  positif dan
(ii) memetakan  himpunan  terukur, subhimpunan  dari  himpunan Cantor,  kedalam  himpunan  tak
terukur.
Bukti.
Perhatikan  bahwa  fungsi adalah  fungsi  kontinu  dan  monoton  naik, sedangkan  fungsi adalah  fungsi
kontinu  yang naik  sejati. Akibatnya,  fungsi adalah fungsi  kontinu karena merupakan jumlah  dari  dua  fungsi  yang  kontinu. Fungsi juga  fungsi  yang  naik  sejati
karena merupakan  jumlah  dari  fungsi
naik  dan fungsi naik sejati. Selanjutnya,  karena dan maka . Tinjau untuk . Maka diperoleh
dan
[ ] Akan ditunjukkan bahwa fungsi memenuhi (i).
Perhatikan bahwa sifat fungsi kontinu  yang  naik  sejati  pada  sebuah interval  menjamin  adanya  fungsi  invers. Akibatnya, karena tutup maka tutup dan  karena buka  maka buka
sehingga  keduanya  merupakan  fungsi terukur.
Selanjutnya, misalkan { } adalah koleksi  dari  interval  yang  dihilangkan  dari proses penghapusan dalam pengkontruksian himpunan  Cantor.  Maka ⋃ . Karena konstan  pada  setiap ,  maka memetakan kedalam  translasi sendiri dengan panjang interval yang sama. Karena fungsi satu-satu, maka koleksi
{ } saling lepas. Berdasarkan sifat countable additivity dari ukuran Lebesgue, maka
(    )   ∑  ( ) ∑
Tetapi sehingga . Oleh  karena  itu, (    ) dan akibatnya,  dari  (1), (    ) .  Jadi, memetakan  himpuanan  Cantor  C  kedalam himpunan yang berukuran positif.
Kemudian,  berdasarkan  Teorema Vitali, memuat  suatu  himpunan  tak
terukur,  sebut .  Himpunan adalah himpunan terukur dengan ( ) karena merupakan
Elin Herlinawati : Fungsi Cantor-Lebesgue Dan Himpunan Terukur Lebesgue.
FIBONACCI : Jurnal Pendidikan Matematika dan Matematika. Vol. 6 (2), pp: 99-104.
subhimpuanan  dari  himpunan  Cantor.  Jadi, himpunan adalah  himpunan terukur subhimpunan dari himpunan Cantor yang  dipetakan  oleh kedalam  himpunan tak terukur .
Dari  Teorema  5,  dapat  dibuat perumuman salah satu keluarga fungsi yang memetakan  himpunan  terukur  ke  dalam himpunan tak terukur seperti yang disebutkan pada teorema berikut.
Teorema  6. Misalkan adalah  fungsi Cantor-Lebesgue  dan  definisikan  fungsi pada sebagai
untuk  setiap Maka adalah fungsi  kontinu  naik  sejati  yang  memetakan ke  dalam ,  memetakan himpunan  Cantor kedalam  sebuah himpunan  terukur  yang  berukuran  positif dan memetakan himpunan terukur, subhimpunan dari himpunan Cantor, kedalam himpunan tak terukur.
Bukti.
Perhatikan dan maka .  Tinjau  untuk . Maka diperoleh dan Karena merupakan  fungsi  kontinu  dan
fungsi  naik  sejati  maka ada  dan kontinu.  Akibatnya,
tutup  dan
buka  sehingga  keduanya  merupakan  fungsi terukur.
Selanjutnya, misalkan { } adalah koleksi dari interval yang dihilangkan dari proses penghapusan dalam pengkontruksian  himpunan  Cantor.  Maka ⋃ . Karena konstan pada setiap
, maka { } saling lepas.
Berdasarkan sifat countable
additivity dari ukuran Lebesgue, maka (    ) Tetapi sehingga .
Oleh  karena  itu, (    ) dan akibatnya,  dari  (1), (    ) .  Jadi, memetakan  himpuanan  Cantor  C  kedalam himpunan yang berukuran positif.
Kemudian,  berdasarkan  Teorema
Vitali, memuat  suatu  himpunan  tak terukur, sebut . Karena merupakan  subhimpuanan  dari  himpunan Cantor  maka  himpunan adalah himpunan  terukur  dengan ( ) .  Jadi,  himpunan adalah
himpunan terukur subhimpunan dari himpunan  Cantor  yang  dipetakan  oleh kedalam himpunan tak terukur . Berdasarkan Teorema 5 dan Teorema 6, diperoleh hasil berikut.
Akibat  7 .  Misalkan adalah  himpunan terukur dan fungsi kontinu pada .  Maka himpunan peta belum tentu terukur.

## SIMPULAN
Umumnya,  kekontinuan  suatu  fungsi mempertahankan  sifat  domain  dari  fungsi tersebut.  Namun,  hal  tersebut  tidak  selalu berlaku  dalam  ruang  ukuran.  Kekontinuan suatu  fungsi  tidak  selalu  mempertahankan sifat  keterukuran  domain  dari  fungsi. Fungsi
untuk
setiap
adalah  fungsi  Cantor-
Lebesgue  yang  kontinu  dan  memetakan himpunan terukur, subhimpunan dari himpunan  Cantor,  ke  dalam  himpunan  tak terukur.
.
Volume 6 No. 2 Bulan Desember Tahun 2020

## DAFTAR PUSTAKA
Royden,  H.L.  dan  Fitzpatrick,  PM.  (2010). Real Analysis Fourth Edition. China Machine Press.
Fleron,  J.F.  (1994).  A  note  on  the  History of  the  Cantor  Set  and  Cantor Function.  Mathematics  Magazine Vol.67 No.2 halaman 136-140. Dovgoshey,O.,  Martio,O.,  Ryazanov,  V.,
Vuorinen,M.  (2006).  The  Cantor Function. Expositiones Mathematicae Vol, 24 hal: 1-37. Zaanen,  C.A. (1986).  Continuity  of Measurable Functions. The American  Mathematical  Monthly Vol 93 No 2 hal:128-130. Franks,  J.  2009.  Notes  on  Measure  and Integration. Departement of Mathematics, Northwestern University.
Corin, EA., Kukushkin, HN. 2004. Integrals related  to  the  Cantor  Function.  St. Petersburg Math Journal  Vol 15 No 3 hal 449-468.