## DIMENSI METRIK PADA GRAF BUKU GANDA
(METRIC DIMENSION ON DOUBLE BOOK GRAPHS)
Nur Ilmayasinta 1
1 Universitas Islam Lamongan, nurilma@unisla.ac.id
Abstrak. Misalkan 𝐺 graf terhubung dengan 𝑉(𝐺) himpunan simpul 𝑣 pada graf 𝐺 , himpunan sisi 𝐸(𝐺) dan 𝑆 ⊆ 𝑉(𝐺) dengan
simpul 𝑣 ∈ 𝑉(𝐺) ,  jarak  antara 𝑣 dan 𝑆 adalah 𝑑(𝑣, 𝑆) = 𝑚𝑖𝑛{𝑑(𝑣, 𝑥)|𝑥 ∈ 𝑆} . Untuk himpunan terurut 𝑊  = {𝑤 1 , 𝑤 2 , … , 𝑤 𝑘 } dari  simpul-simpul  dalam 𝐺 dan 𝑣 pada 𝑉(𝐺) , representasi  dari 𝑣 terhadap 𝑊 adalah 𝑘 -vektor,  dengan 𝑟(𝑣|𝑊) = (𝑑(𝑣, 𝑤 1 ), 𝑑(𝑣, 𝑤 2 ), … , 𝑑(𝑣, 𝑤 𝑘 )) untuk  setiap 𝑣 pada 𝑉(𝐺) berbeda,  maka 𝑊 disebut  himpunan  pembeda  dari 𝐺 . Kardinalitas minimum dari suatu himpunan pembeda disebut dimensi  metrik  dari 𝐺 dinotasikan  dengan 𝑑𝑖𝑚(𝐺) .  Pada penelitian  ini  dilakukan  analisis  dimensi metrik terhadap graf buku ganda (2𝐵 𝑛 ) dan  graf  buku  ganda (2𝐵 𝑛,𝑚 ) . Dari  analisis yang  telah  dilakukan  diperoleh  dimensi  metrik  graf  buku ganda (2𝐵 𝑛 ) adalah 2(𝑛 − 1) ,  sedangkan  dimensi  metrik  graf buku ganda (2𝐵 𝑛,𝑚 ) adalah (𝑛 − 1) + (𝑚 − 1) .
Kata  kunci:  himpunan  pembeda,  dimensi  metrik,  graf  buku ganda
Abstract.  Let  G  graph  be  connected  with 𝑉(𝐺) set  of  vertices 𝑣 on graph 𝐺 , set of sides 𝐸(𝐺) and 𝑆 ⊆ 𝑉(𝐺) with 𝑣 ∈ 𝑉(𝐺) , the distance between 𝑣 and 𝑆 is 𝑑(𝑣, 𝑆) = 𝑚𝑖𝑛{𝑑(𝑣, 𝑥)|𝑥 ∈ 𝑆} .  For 𝑊  = {𝑤 1 , 𝑤 2 , … , 𝑤 𝑘 } ordered sets of vertices in connected graph 𝐺 and 𝑣 at
𝑉(𝐺) ,  the  representation  of 𝑣 with 𝑊 is 𝑘 -vector,  with 𝑟(𝑣|𝑊) = (𝑑(𝑣, 𝑤 1 ), 𝑑(𝑣, 𝑤 2 ), … , 𝑑(𝑣, 𝑤 𝑘 )) for each 𝑣 on 𝑉(𝐺) is different, then 𝑊 is  called  a  distinguishing  set  of 𝐺 .  Minimum  cardinality  of  a distinguishing  set  is  called  dimension  the  metric  of
𝐺 is  denoted  by 𝑑𝑖𝑚(𝐺) .  In  this  study  metric  dimension  analysis  of  double  book graphs (2𝐵 𝑛 ) and double book graphs (2𝐵 𝑛,𝑚 ) was carried out. From the  analysis  that  has  been  done,  the  metric  dimension  of  the  double book graph (2𝐵 𝑛 ) is obtained 2(𝑛 − 1) , while the metric dimension of the double book graph (2𝐵 𝑛,𝑚 ) is (𝑛 − 1) + (𝑚 − 1) .
Keywords: distinguishing set, metric dimension, double book graphs

## PENDAHULUAN
Teori  graf  pertama  kali  diperkenalkan  oleh  Leonhard  Euler  pada tahun  1736  ketika  mencoba  membuktikan  kemungkinan  untuk  melewati empat  daerah  yang  terhubung  dengan  tujuh  jembatan  di  atas  sungai Pregel  di  Konisberg,  Rusia  dalam  sekali  waktu.  Masalah  jembatan Konisberg  tersebut  dapat  dinyatakan  dalam  graf  dengan  menentukan keempat  daerah  tersebut  sebagai  titik  dan  ketujuh  jembatan  sebagai  sisi yang menghubungkan pasangan titik yang sesuai. Salah satu topik dalam teori graf adalah dimensi metrik pada graf.
Dimensi  metrik  pertama  kali  dikenalkan  oleh  Harary  dan  Melter pada tahun 1966, kajian tentang dimensi metrik menjadi sebuah  complate problem artinya tidak mudah untuk  mendapatkan  dimensi metrik dari suatu graf bentuk tertentu. Oleh karenanya untuk mendapatkan dimensi metrik bentuk graf tertentu ataupun kelas tertentu dilakukan analisis dari subkelas  terlebih dahulu  agar  lebih  mudah  mencari  dimensi  metrik  dari graf secara umum. Untuk simpul 𝑢 dan 𝑣 dalam graf terhubung 𝐺 , jarak 𝑑(𝑢, 𝑣) adalah  panjang  dari  lintasan  terpendek  antara 𝑢 dan 𝑣 pada 𝐺 . Untuk  himpunan  terurut 𝑊 = {𝑤 1 , 𝑤 2 , … , 𝑤 𝑘 } dari  simpul-simpul  dalam graf  terhubung 𝐺 dan  simpul 𝑣 pada 𝐺 ,  adalah  vektor- 𝑘 (pasangan 𝑘 - tuple), 𝑟(𝑣 |𝑊) = (𝑑(𝑣, 𝑤 1 ), 𝑑(𝑣, 𝑤 2 ), … , 𝑑(𝑣, 𝑤 𝑘 )) menunjukkan representasi dari 𝑣 pada 𝑊 . Himpunan 𝑊 dinamakan himpunan  pembeda (resolving  set) 𝐺 jika  simpul-simpul 𝐺 mempunyai  representasi  berbeda. Kardinalitas  minimum  dari  himpunan  pembeda  disebut  dimensi  metrik dari 𝐺 , dan dinotasikan dengan 𝑑𝑖𝑚(𝐺) (R, Rahadjeng, Si, & Si, n.d.). Sebuah graf lintasan 𝑃 𝑛 adalah graf yang terdiri dari satu lintasan. Graf  bintang  (Star) 𝑆 𝑛 merupakan  pohon  pada 𝑛 titik  yang  mempunyai satu  titik  berderajat 𝑛 − 1 dan 𝑛 − 1 titik  berderajat  satu.  Graf  Star isomorfik  dengan  graf  Bipartit  lengkap 𝐾 (1,𝑛−1) .  Banyak  sisi  pada  suatu graf bintang yang terdiri dari 𝑛 buah titik adalah 𝑛 − 1 . Untuk 𝑛 ≥ 3 , graf buku  (book  graph) 𝐵 𝑛 adalah  graf  hasil  kali  kartesius 𝑆 𝑛+1 × 𝑃 2 ,  dimana 𝑆 𝑛+1 adalah  graf  bintang  dengan 𝑛 + 1 titik  dan 𝑃 2 adalah  graf  lintasan dengan 2 titik.  Banyak  titik  pada  graf  buku 𝐵 𝑛 adalah 2(𝑛 + 1) dan banyak sisi adalah (3𝑛 + 1) (Tikasari et al., n.d.).
Sebelumnya,  penelitian  tentang  dimensi  metrik  sudah  banyak dilakukan, salah satunya oleh Annga B D., dan Darmaji, yang melakukan penelitian  tentang  dimensi  metrik  graf  pohon  bentuk  tertentu[4]. Penelitian tentang graf buku pernah dilakukan oleh Sri Kuntari dkk, yang menunjukkan  bahwa  digraf  eksentrik  dari  graf  buku  adalah  digraf 𝑆 𝑛 ∪ (𝐾 𝑛,𝑛 − 𝑀) ∪ 𝑆 𝑛 , dengan 𝑆 𝑛 graf bintang, 𝐾 𝑛,𝑛 graf bipartit lengkap dan 𝑀 matching dari 𝐾 𝑛,𝑛 (Kuntari & Sudibyo, 2011).
Sejauh  ini  belum  dilakukan  penelitian  dimensi  metrik  pada  graf buku  ganda 2𝐵 𝑛 ,  oleh  karena  itu  pada  penelitian  ini  akan  dilakukan analisa dimensi metrik pada graf buku ganda 2𝐵 𝑛 .

## METODE
a. Graf Graf  adalah  pasangan  himpunan (𝑉, 𝐸) dimana 𝑉 adalah  himpunan tidak  kosong  dari  titik  dan 𝐸 adalah  himpunan  tidak  kosong  yang menghubungkan  sepasang  titik  pada  suatu  graf.  Misalnya 𝑉 = {𝑣 1 , 𝑣 2 , … , 𝑣 𝑛 } dan 𝐸 = {𝑒 1 , 𝑒 2 , … , 𝑒 𝑛 } atau 𝐸 = {(𝑣 1 , 𝑣 2 ), (𝑣 2 , 𝑣 2 ), … , (𝑣 𝑛−1 , 𝑣 𝑛 )} dimana 𝐸 = {𝑣 𝑖 , 𝑣 𝑗 } yang  artinya  sisi yang menghubungkan titik 𝑣 𝑖 dan 𝑣 𝑗 .(Roda & Javaid, n.d.) b. Graf Komplit Graf  komplit  dengan 𝑛 titik,  dilambangkan  dengan 𝐾 𝑛 adalah  graf sederhana dengan 𝑛 titik dan setiap dua titik berhubungan langsung.(R et al., n.d.)
c. Graf Lintasan
Graf lintasan yang dinotasikan dengan 𝑃 𝑛 adalah graf yang mempunyai tepat satu lintasan dengan 𝑛 titik dan panjang 𝑛 − 1 . (R et al., n.d.) d. Graf Bipartit Graf 𝐺 disebut  graf  bipartit  jika  himpunan  titik  pada  graf 𝐺 dapat dipartisi  menjadi  dua  himpunan  bagian 𝐴 dan 𝐵 sedemikian  hingga setiap  sisi  dari  graf 𝐺 menghubungkan  sebuah  titik  di 𝐴 dan  sebuah titik di 𝐵 . Apabila setiap titik di 𝐴 berhubungan langsung dengan setiap titik  di 𝐵 ,  maka 𝐺 disebut  graf  bipartit  komplit  yang  dinotasikan dengan 𝐾 𝑠,𝑡 dimana 𝑠 banyak titik pada 𝐴 dan 𝑡 banyak titik pada 𝐵 .(R et al., n.d.) e. Graf Bintang Graf  bintang  yang  dinotasikan  dengan 𝐾 1,𝑛−1 adalah  graf  bipartit komplit  dengan 𝑛 titik.  Graf 𝐾 1,𝑛−1 mempunyai  satu  titik  berderajat 𝑛 − 1 yang  disebut  titik  pusat  dan 𝑛 − 1 titik  berderajat  satu  yang disebut daun.(R et al., n.d.)
f. Graf buku
𝐵 𝑛 dimana 𝑛 ≥ 3 merupakan graf cartesian product 𝑆 𝑛+1 × 𝑃 2 dengan 𝑆 𝑛 adalah graf bintang. Dimana graf sendiri isomorfik dengan graf bipartit lengkap 𝑆 𝑛 ≅ 𝐾 1,𝑛−1 . (Kuntari & Sudibyo, 2011)
g. Graf buku ganda 2𝐵 𝑛 dimana 𝑛 ≥ 3 merupakan  hasil  amalgamasi  sisi 𝑃 2 (𝑢, 𝑣) dimana 𝑢, 𝑣 ∉ 𝐾 1 .  Untuk  Graf  buku  ganda 2𝐵 𝑛,𝑚 dimana 𝑛, 𝑚 ≥ 3 merupakan hasil amalgamasi sisi 𝑃 2 (𝑢, 𝑣) dimana 𝑢, 𝑣 ∉ 𝐾 1 .
h. Jarak Jarak (distance) antara simpul 𝑢 dan 𝑣 pada graf 𝐺 , dinotasikan dengan 𝑑(𝑢, 𝑣) adalah  panjang lintasan  terpendek  antara 𝑢 dan 𝑣 pada  graf 𝐺 (Permana & Darmaji, 2012).
i. Dimensi Metrik Slater  dan  Imran  dkk  (2012)  menyebutkan  suatu  himpunan  dengan sebutan  locating  set  yang  sering  dikenal  dengan  himpunan  pembeda (resolving  set).  Diberikan  sebuah  graf  terhubung 𝐺 .  Misalkan  dua
simpul 𝑢 dan 𝑣 adalah  simpul-simpul  dari  graf  terhubung 𝐺 .  Jarak antara  simpul 𝑢 dan 𝑣 didenisikan  sebagai  lintasan  terpendek  dari simpul 𝑢 ke 𝑣 di 𝐺 dan  dinotasikan 𝑑(𝑢, 𝑣) .  Jika  diberikan  suatu himpunan  terurut 𝑊 = {𝑤 1 , 𝑤 2 , 𝑤 3 , … , 𝑤 𝑘 } ⊆ 𝑉(𝐺) dari  simpul-simpul dalam graf terhubung 𝐺 dan simpul 𝑣 di 𝑉(𝐺) , maka representasi dari simpul 𝑣 terhadap 𝑊 adalah 𝑟(𝑣|𝑊)   = (𝑑(𝑣, 𝑤 1 ), 𝑑(𝑣, 𝑤 2 ), 𝑑(𝑣, 𝑤 3 ), … , 𝑑(𝑣, 𝑤 𝑘 )) .  Jika 𝑟(𝑣|𝑊) untuk  setiap simpul 𝑣 ∈ 𝑉(𝐺) berbeda, maka 𝑊 disebut sebagai himpunan pembeda dari 𝑉(𝐺) . Himpunan pembeda dengan kardinalitas minimum disebut himpunan  pembeda  minimum.  Kardinalitas  dari  himpunan  pembeda minimum disebut dimensi metrik dari graf 𝐺 yang dinotasikan 𝑑𝑖𝑚(𝐺) (Alfarisi et al., 2017).  Permana dan Darmaji (2012) memberikan Lemma 2.1  untuk  menentukan  setiap  anggota  himpunan  berbeda  memiliki representasi yang berbeda.(Permana & Darmaji, 2012)
Lemma 1. Untuk setiap simpul 𝑢 anggota himpunan pembeda 𝑍 pasti memiliki representasi yang berbeda terhadap 𝑍 . Bukti:
Misalkan terdapat sebuah graf terhubung 𝐺 dengan himpunan simpul 𝑉(𝐺) = {𝑢 1 , 𝑢 2 , … , 𝑢 𝑛 } dan  himpunan  pembeda 𝑍 = {𝑢 1 , 𝑢 2 , … , 𝑢 𝑛 } jika dilakukan  analisis  jarak  setiap  simpul  anggota  pada  himpunan pembeda diperoleh:
𝑟(𝑢 1 |𝑍) = (0, 𝑝 2 , 𝑝 3 , … , 𝑝 𝑛 ) 𝑟(𝑢 2 |𝑍) = (𝑝 1 , 0, 𝑝 3 , … , 𝑝 𝑛 ) 𝑟(𝑢 3 |𝑍) = (𝑝 1 , 𝑝 2 , 0, … , 𝑝 𝑛 )
seterusnya  sampai 𝑟(𝑢 𝑛 |𝑍) = (𝑝 1 , 𝑝 2 , 𝑝 3 , … , 𝑝 𝑛 ) memiliki  representasi yang berbeda terhadap 𝑍 .
Selanjutnya, definisi tentang dimensi metrik diberikan oleh Harary dan Melter.
Definisi 1. Subset 𝑊 adalah set penyelesaian jika 𝑟(𝑣|𝑊) untuk setiap dua  simpul 𝐺 memiliki  representasi  yang  berbeda.  Set  penyelesaian kardinalitas minimum untuk graf 𝐺 disebut set penyelesaian minimum atau  basis  untuk 𝐺 .  Dimensi  metrik 𝐺 ,  dilambangkan  dengan dim (𝐺) , adalah basis untuk 𝐺 .

## HASIL DAN PEMBAHASAN
Teorema 1. Graf buku ganda 2𝐵 𝑛 dengan 𝑛 ≥ 3 memiliki dimensi metrik 𝑑𝑖𝑚(2𝐵 𝑛 )   =  2(𝑛 − 1) . Bukti:
Dilakukan  beberapa  percobaan,  kemudian  dari  beberapa  percobaan tersebut diperoleh supremum dari dimensi metrik sebagai berikut: untuk 𝑛 = 3 dimensi  metriknya  adalah  4,  dan  diberikan  gambar  untuk 2𝐵 3 pada Figure 1. Untuk menemukan batas atas dimensi 2𝐵 3 dilakukan
konstruksi,  misalkan  diambil  himpunan  pembeda 𝑊 = {𝑣 1 , 𝑣 2 , 𝑣 5 , 𝑣 7 } , maka diperoleh representasi terhadap 𝑊 :
Figure 1: 2B 3 𝑟(𝑣 1 |𝑊) = (0,2,4,4)
𝑟(𝑣 2 |𝑊) = (2,0,4,4) 𝑟(𝑣 3 |𝑊) = (1,1,3,3) 𝑟(𝑣 4 |𝑊) = (2,2,2,2) 𝑟(𝑣 5 |𝑊) = (4,4,0,2) 𝑟(𝑣 6 |𝑊) = (3,3,1,1) 𝑟(𝑣 7 |𝑊) = (4,4,2,0) 𝑟(𝑣 8 |𝑊) = (5,5,3,1) 𝑟(𝑣 9 |𝑊) = (4,4,2,2) 𝑟(𝑣 10 |𝑊) = (5,5,3,1) 𝑟(𝑣 11 |𝑊) = (3,3,3,3) 𝑟(𝑣 12 |𝑊) = (2,2,4,4) 𝑟(𝑣 13 |𝑊) = (3,1,5,5)
𝑟(𝑣 14 |𝑊) = (1,3,5,5)
sehingga didapat bahwa dimensi metrik dari graf buku ganda 2𝐵 3 adalah 4. Selanjutnya didapat bahwa graf buku ganda 2𝐵 𝑛 : untuk 𝑛 = 3 dimensi metriknya adalah 4 untuk 𝑛 = 4 dimensi metriknya adalah 6 untuk 𝑛 = 5 dimensi metriknya adalah 8 untuk 𝑛 = 6 dimensi metriknya adalah 10 untuk 𝑛 = 7 dimensi metriknya adalah 12, sehingga  dari  6  percobaan  diatas  diperoleh  supremum  dari  dimensi metrik adalah 2(𝑛 − 1) , sehingga 𝑖𝑛𝑓𝑖𝑚𝑢𝑚 ≤ dim(2𝐵 𝑛 ) ≤ 2(𝑛 − 1) . Selanjutnya akan ditunjukkan 𝑖𝑛𝑓𝑖𝑚𝑢𝑚 nya adalah 2(𝑛 − 1) sehingga 𝑑𝑖𝑚(2𝐵 𝑛 ) = 2(𝑛 − 1) . Andaikan 𝑖𝑛𝑓𝑖𝑚𝑢𝑚 dari dimensi metrik 2𝐵 𝑛 adalah 2𝑛 − 3 , ambil sebarang bilangan pembeda sebanyak 2𝑛 − 3 pada graf 2𝐵 𝑛 , kemudian  asumsikan  bilangan  pembeda  yang  diambil  adalah  yang memiliki diameter terbesar yaitu pada simpul ujung tiap lembar graf 2𝐵 𝑛 , untuk  simpul  dengan  diameter  terjauh  diujung  graf 2𝐵 𝑛 maka  pasti himpunan  pembedanya  berbeda  sehingga  banyaknya  menjadi 2(𝑛 − 1) , dengan  mengambil  bilangan  pembeda  sebanyak 2𝑛 − 3 dan  dimensi metrik 2(𝑛 − 1) maka sesuai prinsip rumah merpati (php) maka pasti ada setidaknya 2 himpunan pembeda yang sama (kontradiksi) dengan by way of  contradictions  diatas  minimal  dibutuhkan  sebanyak 2(𝑛 − 1) bilangan
pembeda  agar  semua  himpunan  pembeda  graf 2𝐵 𝑛 bisa  berbeda  untuk setiap simpulnya.
Jadi 𝑖𝑛𝑓𝑖𝑚𝑢𝑚 dimensi  metrik  graf 2𝐵 𝑛 adalah 2(𝑛 − 1) ,    sehingga 2(𝑛 − 1) ≤ 𝑑𝑖𝑚(2𝐵 𝑛 ) ≤ 2(𝑛 − 1) . ∴ 𝑑𝑖𝑚𝐺(2𝐵 𝑛 ) adalah 2(𝑛 − 1) .
Teorema  2.  Graf  buku  ganda 2𝐵 𝑛,𝑚 dengan 𝑛, 𝑚 ≥ 3 memiliki  dimensi metrik 𝑑𝑖𝑚(2𝐵 𝑛,𝑚 ) = (𝑛 − 1) + (𝑚 − 1) . Bukti:
dari  beberapa  percobaan  diperoleh  supremum  dari  dimensi  metrik sebagai berikut:
untuk 𝑛 = 3 dan 𝑚 = 4 dimensi metriknya adalah 5 untuk 𝑛 = 3 dan 𝑚 = 5 dimensi metriknya adalah 6 untuk 𝑛 = 4 dan 𝑚 = 3 dimensi metriknya adalah 5 untuk 𝑛 = 4 dan 𝑚 = 5 dimensi metriknya adalah 7 untuk 𝑛 = 5 dan 𝑚 = 3 dimensi metriknya adalah 6, dari  7  percobaan  diatas  diperoleh  supremum  dari  dimensi  metrik  graf 2𝐵 𝑛,𝑚 adalah (𝑛 − 1) + (𝑚 − 1) . Maka, 𝑖𝑛𝑓𝑖𝑚𝑢𝑚 ≤ 𝑑𝑖𝑚(2𝐵 𝑛,𝑚 ) ≤ (𝑛 − 1) + (𝑚 − 1) . Akan  ditunjukkan 𝑖𝑛𝑓𝑖𝑚𝑢𝑚 nya  adalah (𝑛 − 1) + (𝑚 − 1) sehingga 𝑑𝑖𝑚(2𝐵 𝑛,𝑚 )   =  2𝑛 . Andaikan 𝑖𝑛𝑓𝑖𝑚𝑢𝑚 dari dimensi metrik 2𝐵 𝑛,𝑚 adalah (𝑛 − 1) + (𝑚 − 1) − 1 , ambil sebarang bilangan pembeda sebanyak (𝑛 − 1) + (𝑚 − 1) − 1 pada graf 2𝐵 𝑛,𝑚 , kemudian asumsikan bilangan pembeda yang diambil adalah yang memiliki diameter terbesar yaitu pada simpul ujung tiap lembar graf 2𝐵 𝑛,𝑚 ,  untuk  simpul  dengan  diameter  terjauh  diujung  graf 2𝐵 𝑛,𝑚 maka pasti himpunan pembedanya berbeda sehingga banyaknya menjadi (𝑛 −
1) + (𝑚 − 1) ,  dengan  mengambil  bilangan  pembeda  sebanyak (𝑛 − 1) + (𝑚 − 1) − 1 dan  dimensi  metrik (𝑛 − 1) + (𝑚 − 1) maka  sesuai  prinsip rumah  merpati  (php)  maka  pasti  ada  setidaknya  2  himpunan  pembeda yang  sama  (kontradiksi)  dengan  by  way  of  contradictions  diatas  minimal dibutuhkan  sebanyak (𝑛 − 1) + (𝑚 − 1) bilangan  pembeda  agar  semua himpunan pembeda graf 2𝐵 𝑛,𝑚 bisa berbeda untuk setiap simpulnya. Jadi 𝑖𝑛𝑓𝑖𝑚𝑢𝑚 dimensi  metrik  graf 2𝐵 𝑛,𝑚 adalan (𝑛 − 1) + (𝑚 − 1) , sehingga (𝑛 − 1) + (𝑚 − 1) ≤ 𝑑𝑖𝑚(2𝐵 𝑛,𝑚 ) ≤ (𝑛 − 1) + (𝑚 − 1) . ∴ 𝑑𝑖𝑚𝐺(2𝐵 𝑛,𝑚 ) adalah (𝑛 − 1) + (𝑚 − 1) .

## KESIMPULAN DAN SARAN
Dari hasil penelitian yang dilakukan, dapat disimpulkan bahwa:
1. Dimensi metrik dari graf buku ganda 2𝐵 𝑛 adalah 2(𝑛 − 1) .
2. Dimensi metrik dari graf buku ganda 2𝐵 𝑛,𝑚 adalah (𝑛 − 1) + (𝑚 − 1) .
DAFTAR PUSTAKA
Alfarisi, R., Magister, P., Matematika, J., Matematika, F., Ilmu, D. A. N., & Alam, P. (2017). Dimensi partisi dan dimensi partisi bintang graf hasil operasi comb dua graf terhubung.
Kuntari, S., & Sudibyo, N. (2011). Digraf eksentrik dari graf buku, 223–226. Permana,  A.  B.,  &  Darmaji.  (2012).  Dimensi  metrik  graf  pohon  bentuk tertentu. Jurnal Teknik Pomits, 1(1), 1–4.
R,  S.  E.,  Rahadjeng,  B.,  Si,  S.,  &  Si,  M.  (n.d.).  Dimensi  Metrik  pada  Graf Lintasan,  Graf  Komplit,  Graf  Sikel,  Graf  Bintang  dan  Graf  Bipartit Komplit, 1–6.
Roda,  G.,  &  Javaid,  I.  (n.d.).  Dimensi  Metrik  dan  Dimensi  Partisi  dari Famili Graf Tangga, (49), 105–112.
Tikasari, A., Rahadjeng, B., Si, S., Si, M., Surabaya, U. N., & Surabaya, U. N.  (n.d.).  PELABELAN  SISI  AJAIB  DAN  SISI  AJAIB  SUPER  PADA GRAF KIPAS , GRAF TANGGA , GRAF PRISMA , GRAF LINTASAN , GRAF SIKEL , DAN GRAF BUKU, 1–5.