## PEMODELAN DINAMIKA TIPPE TOP (TT) DENGAN KENDALA NON- HOLONOMIK BERBASIS KOMPUTASI FISIKA PADA BIDANG DATAR ( ℝ 𝟐 ×𝐒𝐎(𝟑) )
Melly Ariska * , Hamdi Akhsan, Muhammad Muslim
1 Physics Education, Faculty of Teacher Training and Education, Sriwijaya University Palembang-Prabumulih Street KM 32 Indralaya, Ogan Ilir, South Sumatra 32155, Indonesia * e-mail: mellyariska@fkip.unsri.ac.id

## ABSTRAK
Pemodelan sistem dinamik dalam real-time sangat penting dalam kemajuan teknologi otomatis yang berkembang pesat saat ini, seperti  metode  perencanaan  sistem  robotic.  Artikel  ini  menjelaskan  sistem  dinamik  benda  tegar  dengan  kendala  non-holonomik pada  ruang  konfigurasi ℝ ) ×SO(3) . Metode  yang  digunakan  adalah  Motion  Planning  Network  dan  simulasi  numerik  dengan komputasi  fisika  yang  dapat  digunakan  untuk  sistem  benda  non-holonomik  yang  bergerak  secara  real-time  dengan  Pendekatan Jellet Invarian (JI). Pendekatan JI dapat menghasilkan persamaan sistem gerak dan mengevaluasi simulasi model benda dengan kendala  non  holonomik  dan  juga  menampilkan  hasil  eksperimen  dinamika  benda  tegar  dalam  ruang  konfigurasi ℝ ) ×SO(3) . Sistem gerak benda dengan kendala non holonomik yang digunakanadalah Tippe top (TT). TT adalah mainan yang mirip seperti gasing yang jika diputar dapat membalik sendiri dengan batangnya.Penulis telah menyelesaikan dinamika gerak TT secara real- time dengan syarat awal bervariasi pada ruang konfigurasi ℝ ) ×SO(3) . Dinamika TT dalam ruang konfigurasi ℝ ) ×SO(3) telah dimodelkan  menggunakan  grafik  dengan  cara  memprediksi  gerak  TT  dalam  syarat  awal  yang  bervariasi  untuk  berbagai  sudut elevasi saat awal diputar dengan komputasi berbasis Maple 18.
Kata Kunci : Kendala non holonomik; Dinamika; Ruang Konfigurasi; Tippe Top (TT).

## ABSTRACT
[Title:  Modelling  Dynamics  of  Tippe  Top  (TT)  with  non-Holonomic  Constraints  on  the  Configuration  Space ℝ ) ×SO(3) ] Reliable  real-time  modelling  for  dynamic  systems  is  crucial  in  today's  rapidly  growing  automated  ecosystem,  such  as  the environment and methods of planning a robotic system. This paper describes the rigid dynamics system with non-holonomic constraints on the ℝ ) ×SO(3) configuration space. The method used is the motion planning network and numeric treatment using physics computation which can be used for non-holonomic object systems that move in real-time with Jellets Invarian (JI) approach. The JI approach can result in a motion system equation and evaluate the model of an object with non-holonomic constraints and also display experimental results for navigation in the ℝ ) ×SO(3) . configuration space. The motion system with non-holonomic constraints used is Tippe top (TT). TT is a toy like a top which when rotated will flip itself with its stem. The author succeeded in describing the dynamics of TT motions in real time with the initial conditions that have been determined with various coordinate in the ℝ ) ×SO(3) configuration space.
Keywords : Non-holonomic constraints; Dynamics; Configuration space; Tippe top (TT).

## PENDAHULUAN
Mekanika  geometri  adalah  studi  fisika, matematika  dan  teknik,  yang  berisi  banyak  topik penelitian.  Banyak  ide  dan  perkembangan  dalam mekanika  geometri  telah  berperan  dalam  disiplin ilmu  lain  untuk  menangani  masalah  praktis  [1]. Mekanika  geometris  terapan  dapat  ditemukan  di berbagai  bidang  seperti  robotika,  dinamika kendaraan, dan gerak lokomotif pada berbagai gerak hewan  yang  melibatkan  mekanika  non-holonomik [2].
Fenomena berputar, tergelincir dan menggelinding, hambatan holonomik pada
permukaan datar, dengan gesekan pada titik kontak, telah  dipelajari  selama  lebih  dari  satu  abad,  dan memang  persamaan  yang  mengatur  perilaku  telah dikenal  sejak  karya  Euler  .  Oleh  karena  itu,  dapat dipikirkan  bahwa  tidak  banyak  lagi  yang  bisa dikatakan  tentang  masalah  yang  sangat  klasik  ini. Namun  yang  mengejutkan,  semua  perlakuan  yang memperhitungkan slip dan gesekan pada titik kontak yang telah kami lacak [3–7] membuat asumsi bahwa bagian  permukaan  tubuh  yang  membuat  kontak dengan  meja  adalah  bola.  Ini  mungkin  perkiraan yang  baik  dengan  mempertimbangkan  stabilitas putaran  terhadap  vertikal,  atau  untuk  puncak
dengan  titik  tajam  yang  dapat  didekati  secara  lokal oleh  belahan  bumi,  atau  untuk  benda  hampir  bulat yang  distribusi  kerapatannya  sedemikian  rupa sehingga pusat -massa dipindahkan sepanjang sumbu simetri  dari  pusat  volumenya,  tetapi  jelas  gagal untuk  menggambarkan  perilaku  benda  seperti  bola ketika  sumbu  simetri  dicondongkan  pada  sudut sembarang  terhadap  vertikal.  Dalam  situasi  seperti itu,  asumsi  kebulatan  jelas  tidak  dapat  diterima. Pendekatan  awal  untuk  masalah  ini  secara  singkat dijelaskan oleh [8-10]. Di bawah pendekatan Eular- Lagrange  ini,  ditemukan  bahwa  produk  skalar  dari momentum sudut dan vektor dari pusat massa O ke titik kontak P adalah konstanta gerak. Konstanta ini pertama  kali  diperoleh  untuk  kasus  spherical-tippe top oleh Kilin AA dan Pivovarova EN (2020), Bou- Rabee  NM,  Marsden  JE  dan  Romero  LA  (2004), Lewis  AD  (2017)  [11-13].  Ini  telah  memainkan peran kunci dalam beberapa analisis tippe top yang telah diterbitkan [3,14]. Fakta bahwa invarian Jellett masih  tetap  invarian  untuk  benda  arbitrer axisimetris  di  bawah  pendekatan  Eular-Lagrange, dan fakta itulah yang menyebabkan penyederhanaan masalah yang mendalam.
Namun, penelitian mereka tidak menganalisis  solusi  numerik  untuk  benda  asimetris dengan  kendala  holonomik.  Sistem  non-holonomik diperkenalkan  dalam  mekanika  oleh  Ariska  M, Akhsan  H  dan  Muslim  M  (2020a),  Lewis  AD (2017), Ariska M, Akhsan H dan Muslim M (2020b) [2,13,15],  yang  berarti  bahwa  sistem  mengalami kendala  yang  membatasi  kecepatan  partikel  sistem dalam  ruang  konfigurasi  [16].  Kendala  adalah kondisi yang membatasi gerak suatu sistem mekanis sehingga  mengurangi  derajat  kebebasan  [17]. Kendala  holonomik  selalu  melibatkan  kecepatan sistem  dan  dapat  ditulis  dalam  bentuk  derajat  satu [6].  Kendala  tersebut  terdapat  pada  ruang konfigurasi dan tidak mengurangi derajat kebebasan serta  membatasi  pergerakan  sistem  dalam  ruang konfigurasi  dan  momentum  [15].  Sistem  tersebut dapat  digambarkan  dengan  keragaman  (manifold), yaitu  upaya  membangun  koordinat  suatu  ruang dalam bentuk kumpulan titik, garis atau fungsi [18]. Ruang konfigurasi yang digunakan berupa grup Lie, maka  untuk  mencari  kendala  teori  grup  dapat digunakan, namun dalam penelitian ini hanya perlu menggunakan perhitungan diferensial [19–22].
Kendala non-holonomik diatur oleh persamaan  dinamis  yang  bergantung  pada  turunan waktu  dari  ruang  konfigurasi  sistem  [12,22,23]. Kendala  tersebut  muncul  di  banyak  aplikasi,  mulai dari  navigasi  mobile  robot  hingga needle  steering dalam  operasi  robot  [24].  Untuk  menggeneralisasi, itu datang dalam kasus di mana ruang kontrol sistem
berdimensi lebih rendah daripada ruang konfigurasinya. Misalnya, pada robot seperti mobil, input kontrolnya adalah kecepatan linier dan sudut, sedangkan konfigurasi atau ruang gerak robot adalah tiga dimensi. Akibatnya, lintasan yang layak di ruang konfigurasi  robot  mungkin  tidak  layak  sehubungan dengan dinamika sistem [5,25]. Dalam makalah ini, dinamika yang dianalisis adalah dinamika pergerakan Tippe Top (TT) di ruang konfigurasi ℝ ) ×SO(3) . TT sebagai bola simetris aksial yang menggelinding dan meluncur  pada  permukaan ℝ ) ×SO(3) berdasarkan metode reduksi Jellet Invarian (JI) yang merupakan solusi persamaan gerak benda tegar.
Persamaan  gerak  tidak  dapat  diintegrasikan dan sulit untuk dianalisis. Sebuah TT adalah contoh sederhana  dari  sistem  gerak  lokomotif  dengan kendala non holonomik, tetapi studi mekanik tidak sepele  dan  tidak  kompleks  [15,16].  TT  adalah mainan  berbentuk  bola  terpotong  dengan  pasak kecil.  Ketika  mainan  diputar  pada  bagian  bulatnya pada permukaan datar atau permukaan bagian dalam tabung, mainan akan mulai terbalik untuk berputar pada pasaknya [7]. Kami akan mendekati pemodelan dari perspektif Jellet Invarian (JI) terkontrol, karena JI  adalah  salah  satu  cara  untuk  mengekspresikan energi  sistem  dengan  kuat  [27].  Selain  itu,  Jellet Invarian  adalah  sistem  dinamis  yang  dapat digambarkan  dengan  serangkaian  persamaan diferensial. Dalam makalah ini, persamaan gerak TT diturunkan  melalui  metode  JI  dengan  perhitungan fisika berbasis Maple 18.
Sistem dengan kendala non-holonomic dapat disembunyikan dengan membuat atau memilih salah satu koneksi Levi-Civita [4,28]. Tujuan menyembunyikan kendala adalah untuk menghilangkan  pengali  Lagrange  dalam  persamaan gerak.  Makalah  ini  merupakan  upaya  untuk  lebih memahami  sistem  dengan  kendala  non-holonomik dari  sudut  pandang  mekanika  geometri,  yang menganalisis masalah gerak geometris [15,19,29]. Gerak benda yang dibahas dalam penelitian ini  adalah  gerak  TT.  Mengingat  gerak  TT merupakan contoh gerak benda yang dapat bergerak secara  translasi  dan  rotasi  [6,30].  Dalam  sebuah penelitian  penelitian  tentang  TT  telah  berhasil memecahkan persamaan dinamika TT terbalik pada bidang  datar  sambil  menggambarkan  persamaan gerak  menggunakan  fisika  komputasi  [31].  Analisis sistem  dinamis  yang  kompleks  dan  rumit  yang beroperasi pada bidang datar dan bola pada saat yang sama  dengan  dan  tanpa  gesekan  telah  diselesaikan dengan baik oleh Persamaan Poincare.
Dinamika  TT  di  ruang  konfigurasi ℝ ) × SO(3) dengan bantuan komputasi fisika. Penyelesaian persamaan  ini  tidaklah  mudah,  karena  konfigurasi
ruang yang akan dilalui oleh TT merupakan bidang lengkung yang memiliki variabel koordinat bola dan koordinat  TT  yang  bergerak  menggunakan  tiga sistem koordinat, sehingga jumlah koordinat umum adalah  yang  harus  diselesaikan  adalah  enam koordinat  umum,  yaitu  dua  koordinat  translasi  dan tiga koordinat rotasi [15,17]. Selain itu, peneliti juga menganalisis  dan  memprediksi  pergerakan  TT dengan  gesekan  dengan  simulasi  grafis  secara  real time.
Masalah yang dipecahkan dalam penelitian ini adalah  bagaimana  menganalisis  gerak  TT  dalam komputasi dengan menggunakan jaringan perencanaan gerak dengan Metode JI. Penelitian ini menerapkan  teknologi  dalam  menyelesaikan persamaan  umum  sistem  gerak  dalam  ruang  tiga dimensi.  Mengingat  semakin  berkembangnya  ilmu pengetahuan dan teknologi dalam dunia pendidikan, maka  dinamika  benda  yang  memiliki  konfigurasi ruang  yang  cukup  rumit  karena  terdiri  dari  gerak translasi  dan  gerak  rotasi  sangat  rumit  jika diselesaikan  secara  manual.  Penelitian  ini merupakan  solusi  bagi  dosen  dan  mahasiswa  dalam menyelesaikan  dinamika  kompleks  objek  secara menyeluruh  dan  tepat.  Penelitian  ini  bertujuan untuk  menganalisis  dinamika  sistem  mekanik  pada TT  dengan  kendala  non-holonomik  yang  bergerak pada  ruang  konfigurasi ℝ ) ×SO(3) menggunakan komputasi fisika.
Persamaan  gerak  TT  dengan  menerapkan teori  grup  dalam  bentuk  grup  rotasi  menggunakan persamaan  Poincare  pada  bidang  datar  telah dirumuskan  dengan  perhitungan  fisika  [22,25]. Selain  itu,  penelitian  sebelumnya  tentang  dinamika sistem  mekanik  hanya  diformulasikan  untuk  TT yang beroperasi pada bidang datar. Oleh karena itu penulis  tertarik  untuk  melanjutkan  penelitian dengan  merumuskan  dinamika  suatu  sistem  yang memiliki  gerakan  yang  lebih  kompleks  yaitu  TT yang  dimainkan  pada  bidang  lengkung  berupa permukaan  pada  bola  dengan  cepat  dan  tanpa gesekan.  Prediksi  detail  gerakan  akan  dianalisis menggunakan komputasi fisika.

## METODE
Penelitian  ini  merupakan  kajian  teoritis matematis  yang  dilakukan  dengan  meninjau beberapa pustaka tentang sistem mekanik pada kasus TT  yang  telah  dikembangkan  sebelumnya  dan perhitungan  matematis  menggunakan  komputasi fisika  khususnya  berbasis  Maple.  Metode  yang digunakan  adalah  jaringan  perencanaan  gerak  yang dapat digunakan untuk sistem objek non-holonomik yang  bergerak  secara  real-time  dengan  pendekatan Jellet  Invarian  (JI)  [7].  Penelitian  ini  disusun  dari
perlakuan  Numerik  dan  menyajikan  hasil  dari beberapa perhitungan berdasarkan sistem eksak,
𝑑 𝑑𝑡 𝜕𝑅 𝜕𝑣 2 − 𝑐 6 72 𝑣 7 𝜕𝑅 𝜕𝑣 6 − 8 69) 8 79) 𝑐 6 72 𝑣 7 𝛽 ; 8 79) − 𝑋 2 𝑅 = 0,        𝜌
= 2, … , 𝑛.                                   (1)
Makalah  ini  menggunakan  metode  adaptif berdasarkan rumus diferensiasi numerik orde kedua karena Reduksi Routhian [17,29] dan serupa dengan yang  dijelaskan  oleh  Jellet  Invarian  (JI)  [7,11]. Metode  ini  memiliki  dua  sifat  yang  diinginkan: penerapan  adaptasi  langkah  waktu  yang  mudah  dan kelonggaran  sistem  yang  mungkin  kaku.  Untuk sebagian besar proses, kami menggunakan toleransi kesalahan  relatif  10 -9 [2,15,17,19].  Perhitungan yang  digunakan  adalah  Maple  18.  Dinamika  TT diilustrasikan  dengan  jelas  oleh  Maple  18.  TT bergerak dalam ruang konfigurasi ℝ ) ×SO(3) .

## HASIL DAN PEMBAHASAN
Perhitungan kendala (konstrain) TT diselesaikan  dengan  metode  Jellet  Invarian  (JI). Kendala  adalah  kondisi  yang  membatasi  pergerakan sistem  mekanis  yang  mengurangi  baik  derajat kebebasan  maupun  jangkauan  setiap  derajat kebebasan  [23].  Skema  dinamika  TT  dapat  dilihat pada Gambar 1 di bawah ini,
Gambar 1. Skematik dinamika TT
Medan  Vektor  TT  ada  ruang  konfigurasi ℝ ) ×SO 3 didapat dengan menggunakan transformasi reduksi Jellet Invarian (JI) Andaikan ada transformasi sebagai berikut,
x G = 𝑒 I.J x                          (2) Pada  kasus  sistem  tanpa  gesekan  atau  non-disipatif,  nilai persamaan 𝐉 = −𝐋 ∙ 𝐫 adalah konstan[13]. Namun, Routh melanjutkan  penemuan  ini  dan  membuktikan  bahwa  itu bukan  hanya  sistem  non-dissipatif.  Sistem  disipatif  juga memiliki konstanta 𝐉 = −𝐋 ∙ 𝐫 yang konstan . Dengan 𝐋 adalah momentum sudut atas terbalik di pusat massa dan 𝐫 adalah  vektor  yang  menghubungkan  pusat  massa  dan titik  kontak  pada  permukaan.  Di  bagian  atas  sebaliknya,
ditemukan  bahwa  invarian  Jellet  atau  konstanta  Jellet ditulis sebagai [32]
𝐉 = −𝐋 ∙ 𝐫(2)
=   𝐼 P (𝜓 + 𝜙 cos 𝜃)(𝑅 cos 𝜃 − 𝑎) + 𝐼𝜙𝑅 sin ) 𝜃  (3)
Sebuah TT bergerak di bidang datar memiliki ruang konfigurasi ℝ ) ×𝑆𝑂 3 . Sehingga, TT memiliki dua tipe generator  yaitu  generator  translasi  dan  generator  rotasi. Generator  translasi  menggambarkan  TT  bergerak  pada ruang konfigurasi ℝ ) ,
𝜒 ^ = 𝜕 𝜕𝑥 ,         𝜒 ` = 𝜕 𝜕𝑦 (4)
Sedangkan  generator  rotasi  menggambarkan  TT berorientasi pada ruang konfigurasi SO(3)
𝑅 c = 𝜕 𝜕𝜃 = 𝑦 𝜕 𝜕𝑧 − 𝑧 𝜕 𝜕𝑦 (5) 𝑅 f = 𝜕 𝜕𝜙 = 𝑧 𝜕 𝜕𝑥 − 𝑥 𝜕 𝜕𝑧 (6) 𝑅 h = 𝜕 𝜕𝜓 = 𝑥 𝜕 𝜕𝑦 − 𝑦 𝜕 𝜕𝑥 (7)
Persamaan  ini  dibuat  lebih  sederhana  untuk diselesaikan dengan persamaan Poincaré yang didasarkan pada  reduksi  Routhian.  untuk  mencari  Lagrangian  baru yaitu Routhian, yang diungkapkan sebagai berikut:
𝑅 = 𝑇 − 𝑈 − 𝜓 𝜕𝑇 𝜕𝜓 (8)
Sehingga, didapatkan Routhian (R) pada TT didapat sebagai berikut, So,
𝑅 = 1 2 𝐼𝜃 ) + 𝐼 sin ) 𝜃 𝜙 ) + (𝛽 ; ) ) 𝐼 P − 𝑚𝑔(𝑅 − 𝑎cos 𝜃) − 𝛽 ; 𝐼 P − 𝜙 cos 𝜃 𝛽 ; (9)
Dinamika  TT  dirumuskan  lebih  lanjut menggunakan  persamaan  Poincaré  yang  didasarkan  pada reduksi  Routhian  ini.  Hasil  reduksi  Routhian  ini  [4,33] disubstitusikan  persamaan  dinamika  TT,  sehingga didapatkan sebagai berikut [1,34,35]
𝑥 𝑦 𝜃 𝜙 𝜓 = −𝜇 F r 𝑚 (𝑥 + 𝑅𝜓 + 𝑎𝜙 sin 𝜃 cos 𝜙
−𝜇 F r 𝑚 (𝑦 + 𝜃 sin 𝜙 (𝑅 − 𝑎 cos 𝜃)) sin 𝜃 𝐼 cos 𝜃 𝐼𝜙 ) + 𝑚𝑔𝑎 − 𝜇 𝐹 r 𝑥 𝐼 (𝑅 − 𝑎 cos 𝜃)
−𝜇 𝐹 r 𝑦 𝑎 − 𝑅 sin 𝜃 − 2𝐼𝜃𝜙 cos 𝜃 cos 𝜃 𝐼 2𝜙𝛽 ; + 𝜇 𝐹 r 𝑥 + 𝑚𝑔𝑎
Dengan variabel luarnya adalah,
F r = tu vwx c yfz x{|z c}ycz ~•€f x{|z c y}tuz x{|z c~7tu x{| c(•~u vwx c)^ (10)
Solusi numerik dari persamaan gerak terbalik untuk koordinat 𝜃 𝑡 , 𝜙 𝑡 , 𝜓 𝑡 , 𝑥 𝑡 , 𝑦(𝑡) Dengan kondisi awal TT dituliskan pada Tabel 1. Tabel 1 menjelaskan syarat awal pada TT yang bergerak pada ruang konfigurasi ℝ ) ×𝑆𝑂 3 .
Table 1. Syarat  awal TT I n =I n’ =I ( gr.cm 2 )
I 3
( gr.cm 2 ) m total (g) R (cm) D (cm)
45 50 13 1.3 2.6
Nilai  kondisi  awal  Dinamika  TT  dengan 𝜃 0 beragam dan  heterogen  ketika  kecepatan  untuk  setiap  koordinat umum  adalah 𝜃 0 = 𝜙 0 = 𝜓 0 = 0 = 𝑥 0 = 𝑦 0 = 0 dapat ditunjukkan pada Tabel 2,
Table 2. Kondisi awal dinamika TT saat input Maple 18
No 𝜽 𝒕 rad 𝜷 𝟏 𝐠𝐦 𝟐 𝐫𝐚𝐝/𝐬 𝝁 Waktu TT membalik (s) 1 0.1 2500 0.3 23 2 0.2 2500 0.3 22 3 0.3 2500 0.3 21 4 0.4 2500 0.3 21 5 0.5 2500 0.3 20 6 0.6 2500 0.3 18 7 0.7 2500 0.3 18 8 0.8 2500 0.3 17 9 0.9 2500 0.3

## Tidak membalik
Grafik  didapatkan  dengan  Komputasi  fisika dengan  Maple  18  berdasarkan  syarat  dan  kondisi  awal pada Tabel 1 dan Tabel 2,
Gambar    2. Grafik  Dinamika  TT  pada  Ruang Konfigurasi ℝ ) ×𝑆𝑂 3 dengan  nilai 𝜃 0 bervariasi
Gambar  2  menunjukkan  dinamika  TT  dengan sudut elevasi ( 𝜃 ) bervariasi dari 0.1 rad samapai 0.9 rad saat  pertama  kali  dimainkan (𝑡 = 0) .  Prediksi dinamikaTT dari awal berputar hingga membalik sampai berputar dengan batangnya dapat dilihat pada Gambar 2. Pada grafik terlihat bahwa dari awal TT berputar sampai membalik  dengan  stabil  dan  presisi  tidak  lebih  dari  23 detik  maka  TT  akan  membalik  sendiri  secara  perlahan,
1 2 3 6 5 4 7 8 9
kemudian  setelah 𝜃 membentuk  sudut  0.8  rad,  maka  TT akan  berputar  dengan  batang  dan  berputar  dengan mantap  dan  presisi.  Berdasarkan  Tabel  2,  pada  saat  TT bergerak  pada  konfigurasi  ruang ℝ ) ×SO(3) ,  sudut kemiringan (𝜃) mula-mula  diputar  dengan  nilai  sudut 𝜃(0) = 0 sampai  tidak  lebih  dari  0,8  rad,  karena  pada saat 𝜃 (0)>0,8  rad  maka  TT    tidak  akan  membalik  dan berputar dengan batangnya.
Analisis  keadaan  stabil  sistem  benda  tegar diidentifikasi    pada  Gambar  2.  Penulis  terus menggunakan  model  gesekan  dalam  Reduksi  Routh [15,29], yang memungkinkan perlakuan analitis. Analisis ini  akan  membantu  dalam  interpretasi  lintasan  yang dihitung  dari  sistem  yang  mengikuti  di  Rauch- Wojciechowski  S,  et.  Al  (2005)  [7].  Lintasan  ini  dapat dihitung  baik  untuk  gesekan  atau  gesekan  Coulomb; seperti  yang  diakui  oleh  Ciocci  MC  (2012),  Soodak  H (2002)  [21,36]  untuk  kasus spherical-tippe  top , ketergantungan  pada  parameter  gesekan  mungkin diharapkan berbeda secara kualitatif dalam dua kasus ini.
Penelitian  ini  mengkaji  dinamika  benda  non- holonomik pada energi rendah dengan maksud bahwa TT hanya  dianalisisbergerak  di  arena  berupa ℝ ) ×SO(3) atau bidang datar yang dianggap cukup besar dari ukuran TT dan  penelitiandilakukan  tanpa  memperhatiksn  keadaan non-relativistik klasik.

## KESIMPULAN DAN SARAN
Sistem  mekanik  dengan  kendala  non- holonomik dalam ruang konfigurasi ℝ ) ×SO(3) dapat dijelaskan  dengan  reduksi  Jellet  Invarian  (JI),  yang merupakan  sistem  dinamika  yang  dapat  dijelaskan oleh satu set persamaan diferensial dan energi sistem seperti  yang  dinyatakan  dengan  jelas.  Berdasarkan hasil  penelitian  sebelumnya  pada  objek  sejenis,  TT diselesaikan  dengan  Persamaan  Eular-Lagrange, Persamaan  Routhian  Reduction  dan  Poincare. Dalam penelitian ini dinamika dinamika TT berhasil diselesaikan  dengan  Jellet  Invarian  (JI)  yang merupakan  turunan  dari  Routhian  dengan  bantuan komputasi  berbasis  Maple  pada  ruang  konfigurasi ℝ ) ×SO(3) . Penulis berhasil menggambarkan dinamika gerak TT secara real time dengan kondisi awal  yang  telah  ditentukan  dengan  berbagai koordinat.  Dinamika  TT  dalam  ruang  konfigurasi ℝ ) ×SO(3) dapat  diilustrasikan  menggunakan  grafik dengan  memprediksi  gerak  TT  dengan  berbagai sudut  elevasi  ketika  awalnya  diputar  dengan komputasi.
Artikel  ini  dapat  menambah  pengetahuan tentang teori mekanika geometri dan penerapannya dalam  menganalisis  sistem  mekanik  untuk perancangan  taman  bermain  TT  yang  tepat  dan memahami  gerak  kompleks  yang  ada  di  alam. Penelitian  ini  bermanfaat  dalam  merancang  gerak kompleks  di  bidang  robotika  dan  dapat  menjadi
referensi  untuk  memahami  kendala  non-holonomik dalam teknologi mekanik, khususnya robotika.

## UCAPAN TERIMAKASIH
Terima kasih pada Universitas Sriwijaya yang telah  memberikan  hibah  Sains,Teknologi  dan  Seni tahun anggaran 2021 No. SP.DIPA- 023.17.2.677515/2021,  Revisi  ke  01  tanggal  16 Maret  2021.  Sesuai  dengan  SK  Rektor  Nomor 0684/UN9/SK.BUK.KP/2021  tanggal  19  Juli 2021.

## DAFTAR PUSTAKA
[1] Holm DD. Geometric Mechanics . 2011.
DOI:10.1142/p802.
[2]  Ariska  M,  Akhsan  H  and  Muslim  M. Dynamic Analysis  of  Tippe  Top  on  Cylinder’s  Inner  Surface  with and Without Friction Based on Routh Reduction , in: J. Phys.  Conf.  Ser.,  2020.  DOI:10.1088/1742- 6596/1467/1/012040.
[3]  Branicki  M,  Moffatt  HK  and  Shimomura  Y. Dynamics of an Axisymmetric Body Spinning on a Horizontal  Surface.  III.  Geometry  of  Steady  State Structures  for  Convex  Bodies. Proceedings  of  the Royal Society A: Mathematical, Physical and Engineering
Sciences . 2006; 462 (2066): 371–390. DOI:10.1098/rspa.2005.1586.
[4]  Tembely,  M.;  Vadillo,  D.;  Soucemarianadin,  A.; Dolatabadi,  A.  Numerical  Simulations  of  Polymer Solution  Droplet  Impact  on  Surfaces  of  Different Wettabilities. Processes 2019, 7, 798,
doi:10.3390/pr7110798.
[5]  Fokker  AD.  The  Tracks  of  Tops’  Pegs  on  the Floor. Physica .  1952; 18 (8–9):  497–502. DOI:10.1016/S0031-8914(52)80050-3.
[6]  Shimomura  Y,  Branicki  M  and  Moffatt  HK. Dynamics of an Axisymmetric Body Spinning on a Horizontal  Surface.  II.  Self-Induced  Jumping. Proceedings  of  the  Royal  Society  A:  Mathematical, Physical  and  Engineering  Sciences .  2005; 461 (2058):
1753–1774. DOI:10.1098/rspa.2004.1429.
[7]  Rauch-Wojciechowski S, Sköldstam M and Glad T. Mathematical  Analysis  of  the  Tippe  Top. Regular and  Chaotic  Dynamics .  2005; 10 (4):  333–362. DOI:10.1070/RD2005v010n04ABEH000319.
[8]  Ueda  T,  Sasaki  K  and  Watanabe  S.  Motion  of  the Tippe  Top:  Gyroscopic  Balance  Condition  and Stability. SIAM Journal on Applied Dynamical Systems . 2005; 4 (4): 1159–1194.
DOI:10.1137/040615985.
[9]  Moffatt  HK  and  Tokieda  T.  Celt  Reversals:  A Prototype  of  Chiral  Dynamics. Proceedings  of  the Royal  Society  of  Edinburgh  Section  A:  Mathematics .
2008; 138 (2): 361–368. DOI:10.1017/S0308210506000679.
[10]  C.  R ̈ osmann,  F.  Hoffmann,  and  T.  Bertram, “Kinodynamic trajectoryoptimization  and  control for
car-like robots,” in2017
IEEE/RSJInternational  Conference  on  Intelligent
Robots  and  Systems  (IROS).IEEE,  2017,  pp. 5681–5686.
[11]  Kilin AA and Pivovarova EN. The Influence of the Rolling Resistance Model on Tippe Top Inversion. 2020; (February). Available from: http://arxiv.org/abs/2002.06335.
[12]  Bou-Rabee  NM,  Marsden  JE  and  Romero  LA. Tippe  Top  Inversion  as  a  Dissipation-Induced Instability. SIAM  Journal  on  Applied  Dynamical
Systems . 2004; 3 (3): 352–377.
DOI:10.1137/030601351.
[13]  Lewis AD. The Physical Foundations of Geometric Mechanics. Journal  of  Geometric  Mechanics .  2017;
9 (4): 411–437. DOI:10.3934/jgm.2017019.
[14]  Glad ST, Petersson D and Rauch-Wojciechowski S. Phase Space of Rolling Solutions of the Tippe Top. Symmetry,  Integrability  and  Geometry:  Methods  and
Applications (SIGMA) . 2007; 3 .
DOI:10.3842/SIGMA.2007.041.
[15]  Ariska M, Akhsan H and Muslim M. Potential Energy of  Mechanical  System  Dynamics  with  Nonholonomic Constraints on the Cylinder Configuration Space , in: J. Phys.  Conf.  Ser.,  2020.  DOI:10.1088/1742- 6596/1480/1/012075.
[16]  A.    H.    Qureshi,    A.    Simeonov,    M.    J.    Bency, and    M.    C.    Yip,    “Motionplanning  networks,” in2019  International  Conference  on  Robotics andAutomation (ICRA).    IEEE, 2019, pp. 2118– 2124.
[17]  Ariska M, Akhsan H and Zulherman Z. Utilization of  Maple-Based  Physics  Computation  in Determining  the  Dynamics  of  Tippe  Top. Jurnal Penelitian  Fisika  dan  Aplikasinya  (JPFA) .  2018; 8 (2): 123. DOI:10.26740/jpfa.v8n2.p123-131.
[18]  Sriyanti  I,  Ariska  M,  Cahyati  N  and  Jauhari  J. Moment of Inertia Analysis of Rigid Bodies Using a Smartphone  Magnetometer. Physics  Education . 2020; 55 (1). DOI:10.1088/1361-6552/ab58ba.
[19]  Ariska  M,  Akhsan  H  and  Muslim  M. Utilization  of Physics Computation Based on Maple in Determining the Dynamics of Tippe Top , in: J. Phys. Conf. Ser., 2019. DOI:10.1088/1742-6596/1166/1/012009.
[20]  Ciocci  MC  and  Langerock  B.  Dynamics  of  the Tippe  Top  via  Routhian  Reduction. Regular  and Chaotic  Dynamics .  2007; 12 (6):  602–614. DOI:10.1134/S1560354707060032.
[21]  Ciocci  MC,  Malengier  B,  Langerock  B  and Grimonprez B. Towards a Prototype of a Spherical Tippe  Top. Journal  of  Applied  Mathematics .  2012; 2012 . DOI:10.1155/2012/268537.
[22]  Zobova  AA.  Comments  on  the  Paper  by  M.C. Ciocci,  B.  Malengier,  B.  Langerock,  and  B. Grimonprez  “Towards  a  Prototype  of  a  Spherical Tippe  Top.” Regular  and  Chaotic  Dynamics .  2012;
17 (3–4): 367–369.
DOI:10.1134/S1560354712030112.
[23]  Johnson JJ, et al. Dynamically Constrained Motion Planning  Networks  for  Non-Holonomic  Robots. 2020;
. Available from:
http://arxiv.org/abs/2008.05112.
[24]  Zobova AA. Analitical and Numerical Investigation of  the  Double-Spherical  Tippe-Top  Dynamics. n.d.; : 1–25.
[25]  Analysis G. Global Analysis of Dynamical Systems. Global  Analysis  of  Dynamical  Systems .  2001;  . DOI:10.1887/0750308036.
[26]  Soodak  H.  A  Geometric  Theory  of  Rapidly Spinning Tops, Tippe Tops, and Footballs. American Journal  of  Physics .  2002; 70 (8):  815–828. DOI:10.1119/1.1479741.
[27]  B.    J.    Cohen,    S.    Chitta,    and    M.    Likhachev, “Search-based    planningfor    manipulation    with motion    primitives,”    in  Robotics  and  Automation (ICRA),  2010  IEEE  International  Conference  on. IEEE,  2010,  pp. 2902–2908.
[28]  Bou-Rabee  NM,  Marsden  JE  and  Romero  LA. Dissipation-Induced  Heteroclinic  Orbits  in  Tippe Tops. SIAM  Review .  2008; 50 (2):  325–344. DOI:10.1137/080716177.
[29]  Gray CG and Nickel BG. Constants of the Motion for  Nonslipping  Tippe  Tops  and  Other  Tops  with Round  Pegs. American  Journal  of  Physics .  2000;
68 (9): 821–828. DOI:10.1119/1.1302299.
[30]  Blankenstein  G.  Symmetries  and  Locomotion  of  a 2D  Mechanical  Network :  The  Snakeboard.  2003; (July): 1–16.
[31]  E.  Huang,  M.  Mukadam,  Z.  Liu,  and  B.  Boots, “Motion  planning  withgraph-based    trajectories and    gaussian    process    inference,”    inRoboticsand Automation  (ICRA),  2017  IEEE  International Conference on, 2017,pp. 5591–5598.
[32]  Domercq C, et al. Hall B. 2015; : 7–8.
[33]  Raman, K.A.; Jaiman, R.K.; Lee, T.-S.; Low, H.- T. Dynamics of simultaneously impinging drops on a dry surface:   Role   of   impact   velocity   and air      inertia.      J.      Colloid      Interface      Sci.2017, 486,   265–276,   doi:10.1016/j.jcis.2016.09.062.
[34]  Montgomery  R.  Geometric  Mechanics.  2006; 209–220. DOI:10.1090/surv/091/15.
[35]  A.  Faust,  K.  Oslund,  O.  Ramirez,  A.  Francis, L.  Tapia,  M.  Fiser,and  J.  Davidson,  “Prm-rl: Long-range  robotic  navigation  tasks  bycombining reinforcement    learning    and    sampling-based planning,”  in 2018 IEEE International Conference on  Robotics  and  Automation  (ICRA).        IEEE, 2018, pp. 5113–5120..
[36]  Langerock  B,  Cantrijn  F  and  Vankerschaver  J. Routhian Reduction for Quasi-Invariant Lagrangians. Journal  of  Mathematical  Physics .  2010;
51 (2). DOI:10.1063/1.3277181.
[37]  Branicki  M  and  Shimomura  Y.  Dynamics  of  an Axisymmetric  Body  Spinning  on  a  Horizontal Surface. IV. Stability of Steady Spin States and the “rising Egg” Phenomenon for Convex Axisymmetric Bodies. Proceedings of the Royal Society
A:  Mathematical,  Physical  and  Engineering  Sciences .
2006;
462 (2075): 3253–3275. DOI:10.1098/rspa.2006.1727.