J URNAL S AINSTEK STT P EKANBARU - V OL . 9 N O . 2 (2021)
Terbit online pada laman web jurnal : http://jurnal.sttp-yds.ac.id

## SAINSTEK
(e-Journal)
|    ISSN (Print) 2337-6910    |    ISSN (Online) 2460-1039    |

## Metode Newton-Cotes Tertutup  Terkoreksi  Berdasarkan  Turunan  Rata-Rata Aritmatika
Rike Marjulisa a , Muhammad Natsir b
a Sekolah Tinggi Teknologi  Pekanbaru, Jl. Dirgantara, Pekanbaru 28294, Indonesia
b Sekolah Tinggi Teknologi  Pekanbaru, Jl. Dirgantara, Pekanbaru 28294, Indonesia

## I NFORMASI A RTIKEL

## ABSTRACT
Sejarah Artikel: Diterima Redaksi: 14 Juli 2021
Revisi Akhir: 12 Desember 2021
Diterbitkan Online : 15 Desember 2021
Pada  makalah  ini  dibahas  metode Newton-Cotes tertutup  terkoreksi berdasarkan  turunan  rata-rata  aritmatika  yang  merupakan  modifikasi  dari metode Newton-Cotes tertutup  terkoreksi.  Metode  ini  dimofikasi  dengan tujuan  untuk  memperoleh  metode  yang  menghasilkan  solusi  hampiran  yang mendekati  solusi  eksak  dalam  mengaproksimasi  integral  tentu..  Bentuk  eror diperoleh  dengan  menggunakan  konsep  ketelitian  antara    kuadratur  dan  nilai eksak.  Selanjutnya  hasil  komputasi  menunjukkan  bahwa  metode  yang diajukan  menghasilkan  eror  lebih  kecil  daripada    metode Newton-Cotes tertutup terkoreksi...
K ATA K UNCI
Metode Newton-Cotes , Rata-rata aritmatika, Kuadratur.

## K ORESPONDENSI
Telepon: 0853-7625-3149 E-mail: rikemarjulisa@gmail.com

## 1. PENDAHULUAN
Integral  tentu ∫  ( ) dapat  dihitung  dengan menggunakan  metode  analitik  yaitu  Teorema  dasar kalkulus
∫  ( ) ( )    ( ) (1)
dengan ( ) anti turunan dari ( ) . Penyelesaian dengan menggunakan  metode  analitik  memberikan  solusi  eksak. Namun,  tidak  semua ( ) memiliki  anti  turunan, sehingga  digunakanlah  pendekatan  secara  numerik  yang dikenal sebagai integrasi numerik.
Proses  integrasi  numerik  yang  paling  umum didasarkan pada mengaproksimasi ( ) dengan interpolasi ( ) sedemikian hingga diperoleh:
( ) ( ) .                               (2) Selanjutnya dengan mengganti ( ) dengan ( ) di persamaan (2) ke persamaan (1) dan mengintegralkannya, sehingga diperoleh formulasi integrasi numerik atau yang
disebut  juga  metode  numerik.  Metode  numerik  yang banyak digunakan adalah metode Newton-Cotes . Berdasarkan  Burden  dan  Faires  [2]  menjelaskan  bahwa metode Newton-Cotes terbagi dua, yaitu metode Newton- Cotes terbuka dan metode Newton-Cotes tertutup.
Metode Newton-Cotes tertutup  banyak  dimodifikasi untuk  memberikan  solusi  yang  lebih  baik  dan  eror  yang lebih  kecil,  diantaranya  diusulkan  oleh  Deghan et.al. [3] yaitu  perbaikan  aturan  kuadratur  dari  metode Newton- Cotes tertutup  dengan  menambahkan  variabel  baru  pada batas integrasinya. Sementara itu Ramachandran et.al. [5- 8]  berturut-turut  menambahkan  nilai  turunan  rata-rata geometri,  harmonik,  heronian,  dan root  mean  square .
Selanjutnya
Ramachandran dan Parimala [4]
memodifikasi  metode Newton-Cotes tertutup  dengan menambahkan nilai turunan rata-rata centroidal.
Pada  makalah  ini  akan  ditambahkan  turunan  rata- rata  aritmatika  pada  metode Newton-Cotes tertutup terkoreksi.  Penelitian  ini  bertujuan  untuk  memperoleh
metode  yang  menghasilkan  ketelitian  yang  lebih  baik dalam mengaproksimasi integral tentu.

## 2. TINJAUAN PUSTAKA
Atkinson  [1]  menjelaskan  bahwa  metode Newton- Cotes tertutup  terdiri  dari  beberapa  aturan  yaitu  aturan trapesium,  aturan  Simpson ,  aturan  Simpson ,  dan aturan Boole .  Selanjutnya  dengan  melibatkan  turunan  di titik  ujung  interval  pada  metode Newton-Cotes tertutup diperoleh  metode Newton-Cotes tertutup  terkoreksi  yang memiliki bentuk umum sebagai berikut: a.  Aturan  Trapesium  Terkoreksi (ATT)
∫  ( ) (   ) [ ( ) ( )]
(   ) [ ( ) ( )] (3)
b. Aturan Simpson Terkoreksi (AS1T)
∫  ( ) (   ) * ( )      ( )    ( )+
(   ) [ ( ) ( )] .         (4)
c. Aturan Simpson Terkoreksi (AS3T)
∫  ( ) (   ) * ( )      ( )      ( ) ( )] ( ) * ( ) ( )+ (5)
d. Aturan Boole Terkoreksi (ABT)
∫  ( ) (   ) *  ( )       ( )       ( )
( ) ( ) + ( ) * ( ) ( ) ( ) ( )+ .             (6)
Selanjutnya  Ramachandran  et.al  [5]  menjelaskan bahwa ketelitian diperoleh dari bentuk umum eror
[ ] (   ) ,
dimana p merupakan ketelitian dari rumus kuadratur.

## 3. METODOLOGI
Ramachandran et.al [5]  telah  memodifikasi  metode Newton-Cotes tertutup  yang  salah  satunya  adalah  aturan trapesium. Aturan trapesium yang memiliki bentuk umum sebagai berikut:
∫  ( ) (   ) [ ( )    ( )] (   ) ( ) ,
dengan [    ] .  Aturan  ini  dimodifikasi  dengan menambahkan  nilai  turunan  rata-rata  geometri  sehingga mendapatkan bentuk umum sebagai berikut:
∫  ( ) (   ) [ ( )    ( )] (   ) (√  )
(   ) (√    √ )
( ) ,
dengan [    ] .  Selanjutnya  dengan  cara  yang  sama akan  ditambahkan  turunan  rata-rata  aritmatika  pada Metode Newton-Cotes tertutup terkoreksi.

## 4. HASIL DAN PEMBAHASAN
Penurunan  metode Newton-Cotes tertutup  terkoreksi berdasarkan  turunan  rata-rata  aritmatika  serta  ketelitian, orde dan bentuk eror dibahas pada bagian ini.
4.1. Metode Newton-Cotes Tertutup Terkoreksi Berdasarkan Turunan Rata-Rata Aritmatika
4.1.1. Aturan  Trapesium  Terkoreksi  Berdasarkan
Turunan Rata-Rata Aritmatika (ATTA)
Pada  bagian  ini,  eror  pada  persamaan  (3)  akan dimodifikasi  dengan  menambahkan  rata-rata  aritmatika sehingga diperoleh
Teorema  1 Aturan  trapesium  terkoreksi  berdasarkan turunan rata-rata Aritmatika (ATTA)
∫  ( ) (   ) [ ( )    ( )] (   ) [ ( ) ( )] (   ) ( ) ( ) (7)
Jadi derajat ketelitian aturan ini adalah 5.
Bukti: Persamaan  (7)  diverifikasi  dengan ( )
yang  memiliki  nilai  eksak ∫ ( ) maka diperoleh
∫ (   ) [ ] (   ) [ ] (   ) (         ) , ∫ ( ) .                                               (8)
Dari persamaan (8) terlihat bahwa solusi  yang diperoleh eksak.  Derajat  ketelitian  ATT  3  sedangkan  derajat ketelitian ATTA adalah 5.
4.1.2 Aturan Simpson Terkoreksi Berdasarkan Turunan
Rata-Rata Aritmatika (AS1TA)
Aturan  Simpson terkoreksi  pada  persamaan  (4)  akan
dimodifikasi dengan  mengganti  nilai ( ) sehingga diperoleh
Teorema  2 Aturan  Simpson terkoreksi  berdasarkan turunan rata-rata Aritmatika (AS1TA)
∫  ( ) (   ) * ( )      ( )    ( )+ (   ) [ ( ) ( )]
(   ) ( ) ( ) .                          (9)
Derajat ketelitian aturan ini adalah 7.
Bukti: Persamaan  (9)  diverifikasi  dengan ( )
yang  memiliki  nilai  eksak ∫ ( ) maka diperoleh
∫ (   ) [ ( ) ]
(   ) [
]
(   ) (             ) ,
∫ ( ) (10)
Berdasarkan persamaan (10) solusi  yang diperoleh  eksak dengan  derajat  ketelitian  AS1TA  adalah  7  sedangkan derajat ketelitian AS1T adalah 5. 4.1.3 Aturan Simpson Terkoreksi Berdasarkan Turunan

## Rata-Rata Aritmatika (AS3TA)
Nilai pada  aturan  Simpson terkoreksi  di persamaan  (5)  akan  diganti  dengan  rata-rata  aritmatika sehingga diperoleh
Teorema  3 Aturan  Simpson terkoreksi  berdasarkan turunan rata-rata aritmatika (AS3TA)
∫  ( ) (   ) * ( )      ( )      ( )
( )] ( ) * ( ) ( )+
(   ) ( ) ( ) .                          (11)
Derajat ketelitian aturan ini adalah 7.
Bukti: Persamaan  (11)  diverifikasi  dengan ( )
yang  memiliki  nilai  eksak ∫ ( ) maka diperoleh ∫ (   ) [ ( ) (
)
] (   ) [ ]
(   ) (             ) ,
∫ ( ) (12)
Persamaan  (12)  menunjukkan  solusi  yang  diperoleh eksak.  Derajat  ketelitian  AS3TA  ini  adalah  7  sedangkan derajat ketelitian AS3T hanya 5.
4.1.4  Aturan  Boole  Terkoreksi  Berdasarkan  Turunan Rata-Rata Aritmatika (ABTA)
Jika nilai pada persamaan (6) diganti dengan rata - rata aritmatika  maka diperoleh    aturan Boole terkoreksi berdasarkan turunan rata-rata aritmatika (ABTA) yaitu
Teorema 4 Aturan Boole terkoreksi  berdasarkan  turunan rata-rata aritmatika (ABTA)
∫  ( ) (   ) *  ( )       ( )       ( )
( ) ( ) + ( ) [ ( ) ( ) ( ) ( )] (   ) ( ) ( ) (13)
Aturan ini mempunyai ketelitian 9.
Bukti: Persamaan  (13)  diverifikasi  dengan ( ) yang  memiliki  nilai  eksak ∫ ( ) maka diperoleh ∫ (   ) [ ( ) ( ) ( ) ] (   ) [ ] (   ) [ ] ∫ ( ) (14)
Solusi  yang  diperoleh  pada  persamaan  (14)  adalah eksak.  ABTA ini memiliki derajat ketelitian 9 sedangkan derajat ketelitian ABT adalah 7.

## 4.2. Analisis Eror
Pada  makalah  ini  eror  metode Newton-Cotes tertutup terkoreksi  berdasarkan  turunan  rata-rata  Aritmatika diperoleh dengan menggunakan ketelitian antara kuadratur monomial (   ) dan nilai eksak (   ) ∫ (   ) dimana merupakan ketelitian dari rumus kuadratur.
4.2.1  Eror  Aturan  Trapesium  Terkoreksi    Berdasarkan Turunan Rata-Rata Aritmatika
Teorema  5 Misalkan [    ] adalah  fungsi kontinu  dan  mempunyai  turunan  yang  kontinu.  Aturan trapesium  terkoreksi  berdasarkan  turunan  rata-rata aritmatika
∫  ( ) (   ) [ ( )    ( )] (   ) [ ( ) ( )] (   ) ( ) ( )
mempunyai bentuk eror
[ ] (   ) ( ) ( ) , dengan [    ] (15)
Bukti: Misalkan ( ) pada  persamaan  (15)  diverifikasi dengan ( ) ,  dengan  solusi  eksak  yaitu ∫
( )
Selanjutnya  dengan  menggunakan  aturan trapesium teroreksi berdasarkan turunan rata-rata aritmatika diperoleh
∫ (   ) * + (   ) * + (   ) ( ) , ∫ ,
mempunyai bentuk eror
[ ] [ ] (   ) ( ) ( ) , dengan [    ] .
4.2.2  Eror  Aturan Simpson Terkoreksi  Berdasarkan
Turunan Rata-Rata Aritmatika
Teorema  6 Misalkan [    ] adalah  fungsi kontinu  dan  mempunyai  turunan  yang  kontinu.  Aturan Simpson terkoreksi  berdasarkan  turunan  rata-rata aritmatika
∫  ( ) (   ) * ( )      ( )    ( )+ (   ) [ ( ) ( )] (   ) ( ) ( ) ,
diperoleh bentuk eror
[ ] (   ) ( ) ( ) dengan [    ] .    (16)
Bukti: Misalkan ( ) pada  persamaan  (16)  diverifikasi dengan ( ) ,  dengan  solusi  eksak  yaitu ∫ ( ) Selanjutnya dengan menggunakan
aturan  Simpson teroreksi  berdasarkan  turunan  rata-rata aritmatika diperoleh
∫ (   ) [ ( ) ] (   ) * + (   ) ( ) , ∫ ,
diperoleh bentuk eror
[ ] [ ] (   ) ( ) ( ) , dengan [    ] .
4.2.3  Eror  Aturan Simpson Terkoreksi  Berdasarkan
Turunan Rata-Rata Aritmatika
Teorema  7 Misalkan [    ] adalah  fungsi kontinu  dan  mempunyai  turunan  yang  kontinu.  Aturan
Simpson terkoreksi  berdasarkan  turunan  rata-rata Aritmatika
∫  ( ) (   ) * ( )      ( ) ( )    ( )+ (   ) [ ( ) ( )] (   ) ( ) ( )

## Bentuk erornya yaitu
[ ] [ ] (   ) ( ) ( ) dengan [    ] .      (17)
Bukti: Misalkan ( ) pada  persamaan  (17)  diverifikasi
dengan ( ) ,  dengan  solusi  eksak  yaitu ∫
( ) Selanjutnya dengan menggunakan
aturan Simpson terkoreksi berdasarkan turunan rata-rata aritmatika diperoleh
∫ (   ) [ ( ) ( ) ]
(   ) * + (   ) ( ) ∫
.

## Bentuk erornya adalah
[ ] [ ] (   ) ( ) ( ) dengan [    ] .

## 4.2.4  Eror  Aturan  Boole  Terkoreksi  Berdasarkan
Turunan Rata-Rata Aritmatika
Teorema  8 Misalkan [    ] adalah  fungsi kontinu  dan  mempunyai  turunan  yang  kontinu.  Aturan Boole terkoreksi berdasarkan turunan rata-rata aritmatika
∫  ( ) (   ) *  ( )       ( ) ( )     ( )+ (   ) [ ( ) ( ) ( ) ( )] (   ) ( ) ( ) ,
memiliki bentuk eror
[ ] [ ] (   ) (  ) ( ) , dengan [    ] .(18)
Bukti: Misalkan ( ) pada  persamaan  (18)  diverifikasi dengan ( ) , dengan solusi eksak yaitu ∫ ( ) Selanjutnya  dengan  menggunakan
aturan Boole terkoreksi  berdasarkan  turunan  rata-rata aritmatika diperoleh
∫ (   ) [ ( ) ( ) ( ) + (   ) * + (   ) ( )
∫ -
,
memiliki bentuk eror [ ] [ ] (   ) (  ) ( ) ,dengan [    ]

## 4.3. Hasil Komputasi Numerik
Pada bagian ini, nilai-nilai dari ∫ , ∫ ,  dan ∫ ( ) diaproksimasi  dengan menggunakan  (ATT),  (AS1T),  (AS3T),  (ABT),  (ATTA), (AS1TA), (AS3TA), dan (ABTA) akan ditunjukkan pada Tabel 1.
Tabel 1. Perbandingan ATT, AS1T, AS3T, ABT, ATTA, AS1TA, AS3TA dan ABTA.
Metode Integral ∫ ∫ ∫ ( ) Eror Eror Eror ATT 2.33e-03 2.25e-03 2.78-01 AS1T 1.73e-05 4.15e-05 5.85e-02 AS3T 6.84e-06 1.64e-05 2.33e-02 ABT 2.84e-08 1.68e-07 6.84e-04 ATTA 4.12e-05 1.02e-04 1.32e-01 AS1TA 2.64e-07 1.61e-06 6.42e-03 AS3TA 1.11e-07 6.78e-07 2.70e-03 ABTA 4.17e-10 6.29e-09 0.00e+00
Berdasarkan  hasil  komputasi  yang  ditunjukkan  oleh Tabel  1,  terlihat  bahwa  ATTA,  AS1TA,  AS3TA,  dan ABTA menghasilkan eror lebih kecil untuk ketiga contoh dibandingkan dengan eror ATT, AS1T, AS3T, dan ABT. Misalnya  untuk ∫ ( ) , ATTA,  AS1TA,  AS3TA berturut-turut menghasilkan eror sebesar 1.32e-01, 6.42e- 03, dan 2.70e-03, bahkan ABTA memiliki eror 0.00e+00, sedangkan  ATT,  AS1T,  AS3T,  dan  ABT  menghasilkan eror  yang  jauh  lebih  besar.  Hal  ini  juga  berlaku  untuk
∫ dan ∫ .  Ini  menunjukkan ATTA,  AS1TA,
AS3TA, dan ABTA memiliki keakuratan yang baik.

## 5. KESIMPULAN DAN SARAN

## 5.1 Kesimpulan
Metode Newton-Cotes tertutup terkoreksi  berdasarkan turunan  rata-rata  aritmatika  diperoleh  dari  modifikasi metode Newton-Cotes tertutup terkoreksi dengan menambahkan  turunan  rata-rata  aritmatika  pada  erornya.
Metode Newton-Cotes tertutup  terkoreksi  berdasarkan turunan rata-rata aritmatika memiliki ketelitian yang lebih tinggi daripada metode Newton-Cotes tertutup terkoreksi.
Uji  numerik  menunjukkan  bahwa  metode Newton- Cotes tertutup  terkoreksi  berdasarkan  turunan  rata-rata aritmatika  memiliki  keakuratan  yang  baik  dan  lebih efisien  dibandingkan  dengan  metode Newton-Cotes tertutup  terkoreksi.  Jadi  secara  keseluruhan  dapat disimpulkan  metode Newton-Cotes tertutup  terkoreksi berdasarkan  turunan  rata-rata  aritmatika  dapat  dijadikan salah  satu  metode  alternatif  dalam  menghitung  integral tentu.

## 5.2 Saran
Pada  makalah  ini  hanya  dibahas  modifikasi  metode Newton-Cotes tertutup  terkoreksi  berdasarkan  turunan rata-rata aritmatika. Penelitian selanjutnya dapat dilakukan  modifikasi  metode  integrasi  numerik  yang berbeda dengan menggunakan variasi rata-rata lainnya.

## DAFTAR PUSTAKA
[1]  K.E.  Atkinson, An  Introduction  to  Numerical Analysis,  Second  Ed., Jhon  Wiley  Sons,  New  York, 1989.
[2]  R.L.  Burden  dan  J.D.  Faires, Numerical  Analysis , Ninth Edition ., Brooks/Cole, Boston, 2010.
[3] M. Deghan, M. Masjed-Jamei dan M.R. Eslahchi, On Numerical  Improvement  of  Closed  Newton-Cotes Quadrature  Rules, Appl..  Math.  And  Comput., Volume 165, 2005, pages 251-260.
[4]  T.  Ramachandran  dan  R.  Parimal, Centroidal  Mean Derivative-Based  Closed  Newton-Cotes  Quadrature, LJSR, Volume 5, 2016, pages 338-343.
[5]  T.  Ramachandran,  D.  Udayakumar  dan  R.  Parimala, Geometric  Mean  Derivative-Based  Closed  Newton- Cotes  Quadrature, IJPEM,  Volume  4,  2016,  pages 107-116.
[6]  T.  Ramachandran,  D.  Udayakumar  dan  R.  Parimala, Harmonic  Mean  Derivative-Based  Closed  Newton- Cotes  Quadrature, IOSR-JM,  Volume  12,  2016, pages 36-41.
[7]  T.  Ramachandran,  D.  Udayakumar  dan  R.  Parimala, Heronian  Mean  Derivative-Based  Closed  Newton- Cotes Quadrature, IOSR-JM, Volume 7, 2016, pages 53-58.
[8]  T.  Ramachandran,  D.  Udayakumar  dan  R.  Parimala, Root Mean Square Derivative-Based Closed Newton- Cotes  Quadrature, IOSR-Journal  of  Scientic  and Research Publications, Volume 11, 2016, pages 9-13.
[9]  J.  Stewart, Calculus,  Eight  Edition, Cengage Learning, Boston, 2015.