## PENDEKATAN KUANTITATIF SEBAGAI SALAH SATU ALTERNATIF METODE PEMECAHAN MASALAH

## Dewi Atika
Dosen Tetap Fakultas Ekonomi
Universitas Pakuan

## ABSTRAK
Pemecahan  masalah  dengan  menggunakan pendekatan  kuantitatif,  semakin  banyak dipergunakan  baik  dikalangan  pemerintah  maupun  kalangan  bisnis.  Hal  ini  dikarenakan pemecahan  masalah  dengan  pendekatan  kuantitatif  diharapkan  di  satu  sisi  tujuan  dapat tercapai secara optimal  dan pada sisi  yang lain dengan  adanya pemecahan masalah tersebut biaya operasional yang dikeluarkan adalah serendah-rendahnya yaitu dengan mempergunakan  sumberdaya  yang  langka  dan  mahal  secara  optimal  yang  pada  akhirnya tujuan dapat dicapai tanpa harus mengeksplorasi seluruh sumberdaya yang ada.
Kata kunci: Program Linier, Pendekatan Kuantitatif

## I. Pendahuluan
Salah  satu  masalah  yang  mencolok  dalam  industri  adalah  produksi  belum  dilakukan dengan  efisien.  Hal  ini  bisa  disebabkan  karena  penggunaan  kapasitas  terpasang  belum maksimal, dimana  pemanfaatan  kapasitas  terpasang  berkaitan  erat  dengan  penggunaan kapasitas mesin.
Inefisiensi dapat pula disebabkan oleh pemakaian dan penyediaan bahan baku yang tidak  tepat.  Penggunaan  kapasitas  mesin  yang  tidak  tepat  dapat  menyebabkan  ketersediaan bahan baku yang tidak tepat pula, mungkin mengalami kekurangan bahan baku atau mungkin sebaliknya mengalami kelebihan bahan baku.
Kekurangan  bahan  baku  dapat  merugikan  perusahaan,  sebaliknya  kelebihan  bahan baku  belum  tentu  menguntungkan  perusahaan,  selain  perlu  untuk  menyediakan  biaya tambahan  juga  diperlukan  ekstra  pengawasan  mutu  yang  tidak  mudah  untuk  dilakukan. Dengan keadaan tersebut keuntungan maksimum sulit untuk dicapai.
Untuk  menjawab  masalah-masalah  tersebut  diperlukan  berbagai  alat  analisis. Program  linier  merupakan  salah  satu  alat  analisis  kuantitatif  yang  efektif.  Keberhasilannya berakar dari keluwesan alat tersebut dalam menjabarkan berbagai situasi kehidupan nyata di bidang-bidang  berikut:  militer,  industri,  pertanian,  transportasi,  ekonomi, kesehatan  dan bahkan ilmu social lainnya. Disamping itu tersedianya perangkat lunak komputer yang sangat

## Pendekatan Kuantitatif sebagai Salah Satu Alternatif Metode Pemecahan Masalah
efisien  memudahkan  pekerjaan  dalam  pemecahan  masalah-masalah  program  linier  yang sangat luas.
Dalam  proses  produksi  suatu  industri  selalu  menggunakan masukan  atau  sumber daya,  untuk  menghasilkan  tingkat  produksi  tertentu.  Pelaku  produksi  diharapkan  pada pemilihan  kombinasi  masukan  sehingga  dicapai  aktivitas  produksi  yang  optimal  dan menghasilkan keuntungan yang maksimal.
Masalah pengalokasian sumber daya muncul bila terdapat pilihan untuk menentukan tingkat  kegiatan  dimana  masing-masing  kegiatan  membutuhkan  sumber-sumber  yang  sama sedangkan  jumlahnya  terbatas.  Optimalisasi  mengandung  pengertian  pencapaian  suatu keadaan terbaik.
Program  linier  merupakan  salah  satu  metoda  dalam  perencanaan  terbaik,  diantara banyak kemungkinan, banyak alternatif untuk pemecahan masalah dan adanya sumber daya yang terbatas. Program linier adalah suatu cara untuk menyelesaikan persoalan pengalokasian sumber-sumber yang terbatas, diantaranya beberapa aktivitas yang bersaing dengan cara yang terbaik  yang  mungkin  dilakukan  atau  suatu  model  umum  untuk  memecahkan  masalah pengalokasian sumber-sumber yang terbatas secara optimal.
Optimalisasi adalah untuk menemukan kombinasi yang optimum (untuk menemukan titik  optimum)  daripada  faktor-faktor  yang  berhubungan  satu  sama  lain  serta  dalam  jumlah yang sangat besar sekali. Jumlah factor-faktor yang sebesar-besarnya untuk dipakai di dalam perhitungan  sesuatu  situasi  penting  sekali,  artinya  oleh  karena  semakin  banyak  faktor  yang diperhitungkan akan semakin dekat ke titik ketepatan optimal.
Dalam teknik optimalisasi, fungsi tujuan merupakan unsur yang penting, karena akan sangat membantu menentukan kondisi optimal suatu keadaan.  Selain itu pembentukan model perlu  perhatian  khusus,  sebab  model  akan  menjelaskan  kompleksitas  dan  ketidak  pastian pengambilan  keputusan.  Model  akan  membantu  menganalisis  dalam  mengambil  keputusan ke  arah  kerangka  logis  secara  menyeluruh.  Model  akan  memberikan  kerangka  logika  dan analisa  konsisten,  dimana  model  akan  memberikan  kesempatan  untuk  mempergunakan secara sistimatis metode kuantitatif yang bermanfaat yang dapat menangani variable-variabel dan interaksi dalam jumlah yang besar.
Suatu  proses  produksi  selalu  menggunakan  masukan  atau  sumber  daya  untuk menghasilkan  tingkat  produksi  tertentu.    Pelaku  produksi  dihadapkan  pada  pemilihan kombinasi  masukan  sehingga  dicapai  aktivitas  produksi  yang  optimal  dan  menghasilkan keuntungan yang maksimal.
Prilaku optimasi dapat ditempuh dengan dua cara :
1. Maksimisasi,  yaitu  dengan  menggunakan  atau  mengalokasikan  masukan  (biaya)  yang sudah  tertentu  dengan  mendapatkan  keuntungan  yang  maksimal  (constrained  output maximization ).
2. Minimisasi,  yaitu  untuk  menghasilkan  suatu  tingkat  produksi  tertentu  dengan  masukan atau biaya yang paling minimal (constrained cost minimization )

## II. Metode Penelitian

## Metode yang digunakan Program Linier
Program  linier  adalah  salah  satu  dari  pendekatan  matematis  yang  paling  sering dipergunakan  dan  sukses diterapkan  dalam  keputusan-keputusan  manajerial.    Progam  linier adalah  sebuah  alat  determenistik,  yang  berarti  bahwa  semua  parameter  model  diasumsikan diketahui  dengan  pasti.Tetapi  dalam  kehidupan  nyata  khususnya  dunia  usaha,  jarang ditemukan masalah dimana terdapat kepastian yang sesungguhnya  bahkan sebaliknya unsur ketidak  pastian  yang  selalu  dihadapi.  Untuk  mengkompensasikan  kekurangan  ini  program linier  memberikan  analisis  pasca  optimum  yang  statis  terhadap  perubahan  diskrit  atau kontinyu  dalam  berbagai  parameter  dari    model  tersebut  yang  pada  akhirnya  akan memberikan  dimensi  dinamis  pada  sifat  pemecahan  program  linier  yang  optimal  (Taha, 1996).
Program  linier  adalah  suatu  cara  untuk  menyelesaikan  persoalan  pengalokasian sumber-sumber  yang  terbatas  diantara  beberapa  aktivitas  yang  bersaing  dengan  cara  yang terbaik yang mungkin dilakukan (Dimyati dan Achmad, 1992).  Persoalan pengalokasian ini akan  muncul  manakala  seseorang  harus  memilih  tingkat  aktivitas-aktivitas  tertentu  yang bersaing  dalam  hal  penggunaan  sumber  daya  langka  yang  dibutuhkan  untuk  melaksanakan aktivitas-aktivitas tersebut.

## III. Hasil dan Pembahasan

## Model Program Linier
Model  matematis  perumusan  masalah  umum  pengalokasian  sumber  daya  untuk berbagai kegiatan, disebut model liner programming ( LP ).  Pengembangan model matematis dapat dimulai dengan menjawab ketiga pertanyaan berikut ini  (Taha, 1996) :
1. Apa  yang  diusahakan  untuk  ditentukan  oleh  model  tersebut  ?    Dengan  kata  lain  apa variable (yang tidak diketahui) dari masalah tersebut ?
2. Apa  batasan  (kendala)  yang  harus  dikenakan  atas  variable  untuk  memenuhi  batasan system yang ada di model tersebut ?
3. Apa  tujuan  (sasaran)  yang  harus  dicapai  untuk  menentukan  pemecahan  optimal (terbaik) dari semua nilai yang layak dari variable tersebut ?
Dalam model LP dikenal 2 ( dua )  macam fungsi, yaitu fungsi tujuan ( objective function ) dan fungsi kendala ( constraint function ).
Fungsi  tujuan  adalah  fungsi  yang  menggambarkan  tujuan  atau  sasaran  didalam masalah  LP  yang  berkaitan  dengan  pengaturan  secara  optimal  sumber  daya-sumber  daya, untuk memperoleh keuntungan yang maksimal atai biaya minimal. Sedangkan fungsi kendala merupakan bentuk penyajian secara matematis batasan-batasan kapasitas  yang tersedia  yang akan  dialokasikan  secara  optimal  ke  berbagai  kegiatan.  Secara  umum  fungsi  tujuan  dan fungsi kendala dalam program linier dirumuskan dalam tabel standar program linier sebagai berikut : Tabel 1.  Tabel Standar Program  Linier
Sumberdaya Aktivitas Kapasitas sumber 1 2 3 .… n 1 a   11 a 12 a 13 ….. aln >   b l 2 a   21 a 22 a 23 ….. 12 n b2 3 a   31 a 32 a 33 ….. 13n b3 …. ….. …… …… ….. ….. ………… M A m1 a m2 a m3 ….. amn bm Cj Cl c2 c3 ….. cn Xj x1 a 12 a 13 …..
xn
Dalam bentuk matematis model program linier dapat dirumuskan sebagai berikut:
Fungsi tujuan :
Maksimisasi :  Z =  C1X1  +  C2X2  +  …………………CnXn
Fungsi kendala :
a11x1  +  a12x2  +………….  +  a1nxn  b1
a21x1  +  a22x2  +………….  +  a2nxn  b2
……..      ……..    …………      ………       … am1x1  +  am2x2  +…………  +  amnxn  bm
Xj  0, untuk  j  +  1, 2, 3…..  n
Dimana :
Xj  :   Aktivitas ke j, untuk  j  =  1, 2, 3,….. n
Cj :   Koefisien fungsi tujuan, untuk  j  =  1, 2, 3, …....n
Aij :   Koefisien tehnis dari kendala, untuk kendala ke-I pada aktivitas ke-j,
dimana I = 1, 2, 3….m    dan    j  =  1, 2, 3, ……  n
bi :   Sumberdaya yang tersedia atau nilai kendala ke-I
untuk I  =  1, 2, 3,….. m
Adapun asumsi yang dipergunakan dalam program linier menurut Nasendi dan Anwar (1985 ) adalah :
1. Perbandingan antara input yang satu dengan input yang lain besarnya tetap dan tidak tergantung tingkat produksi (asumsi linieritas).
2. Dampak  perubahan  peubah  pengambil  keputusan  akan  menyebar  dalam proporsi  yang  sama  terhadap  fungsi  tujuan  serta  kendalanya,  dengan  kata lain kenaikan output sebanyak dua kali lipat harus diikuti dengan kenaikan input atau sumberdaya sebanyak dua kali lipat juga (asumsi proporsional).
3. Jumlah sumberdaya yang dipakai merupakan jumlah dari sumberdaya yang dipakai  oleh  berbagai  aktivitas  baik  secara  tersendiri  maupun  bersama (asumsi additivitas).
4. Sumberdaya dan aktivitas dapat dibagi menjadi bilangan pecahan atau non integer (asumsi divisibilitas).
5. Nilai  sumua  parameter  (aktivitas  koefisien  input-output,  harga  input  dan output serta besarnya kendala) dapat ditentukan dengan pasti dan besarnya tetap,  meskipun  jarang  dapat  ditentukan  dengan  tepat  (asumsi deterministik).
6. Variabel-variabel keputusan bersifat non-negatif
Menurut    Beneke  dan  Winterboer  (1980)  dalam  konstruksi  model  program  linier, yang  bertindak  sebagai  peubah  tidak  bebas  adalah  pendapatan  yang  akan  dimaksimumkan, sedangkan aktivitas berproduksi dan kendala sumberdaya bertindak sebagai peubah bebas. Supranto  (1980)  mengatakan  bahwa  syarat-syarat  yang  harus  dipenuhi  dalam  menggunakan program linier adalah :
1. Tujuan  yang  harus  dicapai  dapat  dinyatakan  dalam  bentuk  fungsi  linier yang disebut fungsi    tujuan.
2. Harus  ada  alternatif  pemecahan  yang  membuat  nilai  fungsi  tujuan  optimal (maksimal atau minimal) yang harus diperoleh.

## Pendekatan Kuantitatif sebagai Salah Satu Alternatif Metode Pemecahan Masalah

## 3. Sumberdaya yang tersedia dalam jumlah yang terbatas.
Metode-metode  yang  digunakan  untuk  memecahkan  model  program  linier ditujukan  untuk mencari  solusi  dari  beberapa  alternatif  solusi  yang  dibentuk  oleh  persamaan-persamaan pembatas, sehingga diperoleh fungsi tujuan yang optimal.
Penyelesaian  persoalan  dengan  program  linier  dapat  menggunakan  dua  cara  yaitu dengan  cara  grafis dan  dengan  metode  simpleks.  Cara  grafis  digunakan  apabila  persoalan program  linier  hanya  mempunyai  dua  variabel  saja  sedangkan  metode  simpleks  digunakan untuk  memecahkan  persoalan  program  linier  yang  mempunyai  variabel  keputusan  dan pembatas  atau  kendala  yang  besar.    Dengan  metode  simpleks  ,  program  linier  dapat dipecahkan  secara  bertahap  dari  sebuah  program  yang  tidak  fisibel  ke  program  lain  yang fisibel dengan nilai kriteria yang lebih tinggi.
Setiap  persoalan  program  linier  selalu  memiliki  dua  macam  analisis,  yaitu  analisis primal  dan  dual.  Keduanya  biasa  disebut  analisis  primal  dual-dual  (Nasendi  dan  Anwar, 1985).  Bila  analisis  primal  bertujuan  memaksimumkan  pendapatan,  maka  analisis  dual bertujuan meminimumkan biaya, dan sebaliknya.
Tabel 2.  Tabel --Primal – Dual Program Linier
Primal D u a l Maksimum fungsi tujuan Z  =  cjxj Dengan syarat  : Aijxj  bi
i    = 1,2,3, ………. m j    = 1,2,3, ………. n xj    >    0
Minimum fungsi tujuan G   = biYi Dengan syarat : aijYj 
ci j    = 1,2,3, ………. n
i    = 1,2,3, .………m.
Yi    >    0
Dimana  Z =  cjXj adalah sama dengan  G  =  biYi dalam kondisi optimal.
Dari  sisi  ekonomi  solusi  optimal  bentuk  dual  dapat  ditafsirkan  sebagai  sumbangan per  unit  sumber  daya  yang  biasa  disebut  harga  bayangan  (shadow price).  Solusi  ini  dapat memberikan  informasi  mengenai  kelangkaan  sumber  daya.    Harga  bayangan  ini menunjukkan besarnya tambahan pendapatan yang diperoleh akibat menambah satu unit lagi sumber  daya.    Harga  bayangan  untuk  sumber  daya  langka  tidak  sama  dengan  nol.    Dengan membandingkan harga bayangan dari setiap sumber daya maka dapat diketahui sumber daya
yang  menjadi  kendala  utama  dalam  mencapai  kondisi  optimal,  yaitu  sumber  daya  yang memiliki  harga  bayangan  tertinggi.    Sumber  daya  ini  mampu  memberikan  tambahan pendapatan bersih paling tinggi jika ketersediaannya ditambah satu satuan (Taha, 1996)
Menurut Birowo (1985), beberapa penafsiran yang perlu dipahami pada tahap optimal dari pemecahan masalah dalam program linier adalah :
1. Aktivitas  yang  masuk  dalam  program  optimal  akan  memiliki  reduced  cost  atau opportunity cost sama dengan nol.  Hal ini menunjukkan bahwa dalam struktur retriksi yang  ada , perluasan pengusahaan aktivitas  yang  masuk dalam proses optimal sebesar satu unit, tidak akan mengubah nilai program optimal.
2. Untuk  aktivitas  yang  tidak  masuk  dalam  program  optimal,  opportunity  cost  aktivitas tersebut  tidak  akan  sama  dengan  nol.    Bila  satu  unit  aktivitas  ini  dimasukkan  dalam program optimal akan menurunkan nilai fungsi sebesar opportunitasnya.
3. Pembatas  atau  restriksi  yang  terpakai  habis  akan  memiliki  harga  bayangan  (shadow price)  yang positif dan tidak sama dengan nol.  Penambahan satu unit factor produksi yang  terbatas  penyediaannya  akan  menambah  nilai  program    sebesar  satu  nilai  harga bayangan sumberda daya yang terbatas itu.  Dalam hal ini harga bayangan mempunyai makna yang serupa dengan nilai marjinal dalam teori produksi.
4. Faktor  produksi  yang  tidak  terpakai  habis  dan  masih  tersisa,  harga  bayangannya menjadi  sama  dengan  nol.    Penambahan  satu unit  factor  produksi  ini  dalam  program optimal tidak akan mengubah nilai program.

## Analisis Kepekaan
Setiap  perubahan  nilai  koefisien  data  akan  mengubah  masalah  program  linier  yang dapat  mempengaruhi  solusi  optimal.  Untuk  mengembangkan  suatu  strategi  yang  dapat memenuhi berbagai ketidak pastian ini maka digunakan analisis kepekaan. Analisis kepekaan adalah  suatu  cara  untuk  memperbaiki  jawab  optimal  yang  telah  dicapai  sebagai  akibat berfluktuasinya  faktor-faktor  kendala  yang  ada  tanpa  harus  memformulasikan  kembali masalah  tersebut  dari  awal.  Tujuannya  adalah  mengurangi  perhitungan  ulang  bila  terjadi perubahan satu atau beberapa koefisien model pada saat penyelesaian optimal telah tercapai (Subagyo dkk, 1988).
Pada  dasarnya  perubahan-perubahan yang  mungkin  terjadi  setelah  dicapainya penyelesaian optimal terdiri dari perubahan kapasitas sumber daya, perubahan pada koefisien

## Pendekatan Kuantitatif sebagai Salah Satu Alternatif Metode Pemecahan Masalah
fungsi  tujuan,  perubahan  pada  koefisien  teknis  kendala  yaitu  koefisien  yang  menunjukkan berapa bagian kegiatan, penambahan variable baru dan penambahan fungsi kendala baru. Secara umum perubahan-perubahan tersebut akan mengakibatkan :
1. Penyelesaian  optimal  tidak  berubah,  artinya  baik  variable  dasar  maupun  nilai-nilainya tidak mengalami perubahan.
2. Variabel dasar mengalami perubahan, tetapi nilai-nilainya tidak berubah.

## 3. Penyelesaian optimal sama sekali berubah

## Tipe-tipe Khusus Program Linier
Tipe khusus persoalan program linier adalah Persoalan Transportasi (transportation problem) disamping  itu  ada  juga    Persoalan Transshipment  dan  Persoalan  Penugasan  (Assignment) yang erat kaitannya dengan persoalan transportasi.
Persoalan transportasi membahas masalah pendistribusian suatu produk dari sumber- sumber  yang menyediakan produk  yang sama, ke tempat-tempat  yang membutuhkan secara optimal yaitu dengan tujuan meminimumkan ongkos pengangkutan yang terjadi.  Sedangkan persoalan  transhipment  adalah  model  transportasi  yang  memungkinkan  dilakukannya pengiriman suatu produk dengan cara tidak langsung, dimana produk atau barang dari suatu sumber  dapat  berada  pada  sumber  lain  atau  tujuan  lain  sebelum  mencapai  tujuan  akhirnya. Persoalan assignment merupakan kasus khusus dari model transportasi, dimana sejumlah “m” sumber  ditugaskan  kepada  sejumlah  “n”  tujuan  (satu  sumber  untuk  satu tujuan)  sedemikian rupa sehingga sehingga didapat ongkos total yang minimum.
Adapun ciri-ciri khusus persoalan transportasi menurut  Dimyati dan Akhmad (1992) adalah :
1. Terdapat  sejumlah  sumber  (supply)  dan  sejumlah  tujuan  (destination,  demand) tertentu.
2. Kuantitas  komoditi  atau  barang  yang  di  distribusikan  dari  setiap  sumber  dan  yang diminta oleh setiap tujuan, besarnya tertentu.
3. Komoditi  yang  dikirim  atau  diangkut  dari  suatu  sumber  ke  suatu  tujuan,  besarnya sesuai dengan permintaan dan atau kapasitas sumber.
4. Ongkos pengangkutan komoditi dari suatu sumber ke suatu tujuan, besarnya tertentu.
Dalam bentuk matematis model program linier untuk persoalan transportation adalah sebagai beriku :
Fungsi Tujuan : m      n Minimumkan     Z   =   C ij X ij i  =1  j =1 n
Dimana :
- Cij adalah ongkos pengiriman per unit komodity dari sumber I ke tujuan j.
- Xij adalah jumlah satuan (unit) yang dikirimkan dari sumber I  ke tujuan j.
- bj adalah jumlah kebutuhan masing-masingtujuan.
- ai adalah jumlah kapasitas masing-masing sumber.
Tipe  khusus  persoalan  program  linier  yang  paling  penting  adalah  persoalan  transportasi, karena  persoalan  trasportasi  dapat  juga  digunakan  untuk  memecahkan  masalah-masalah dunia usaha (bisnis), misalnya  alokasi dana untuk investasi, analisis lokasi, skejul produksi, dan lain-lain yang kesemuanya terarah pada penyelesaian optimal.

## IV. Kesimpulan
Dari  setiap  pilihan  alternatif  pemecahan  masalah,  hasil  yang  diharapkan  tentunya adalah  hasil yang    dapat  memanfaatkan  sumberdaya  yang  terbatas  secara  optimal.    Dengan menggunakan  model  matematis,  pemecahan  masalah  dapat  terbantu  untuk  menentukan pilihan yang rasional karena sebuah keputusan dapat diambil dengan memilih alternatif yang dinilai  terbaik  diantara  semua  pilihan  yang  tersedia. Suatu  teknik  pemecahan  masalah dengan menggunakan program linier, dilakukan penyusuana suatu situasi kehidupan nyata ke suatu  model  matematis  yang  diarahkan  kepada  pemecahan  masalah  dalam  satu  kesatuan sistem  yang dapat  menghasilkan  suatu  nilai  optimal  dari  sistem  tersebut  sesuai  dengan tingkat yang diinginkan, dimana biasanya dalam dunia bisnis diukur dengan biaya dan laba.

## V. Daftar Pustaka
Dimyati  dan  Akhmad,  1992.  Opertions  Research  Model-Model  Pengambilan  Keputusan.
Bandung: Sinar Baru.
Frank S. Budnick et all. 1988. Principle of Operations Research for Management.
Nasendi dan Affendi. 1985. Program Linier dan Variasinya. Jakarta: PT Gramedia. Subagyo dkk. 1991. Dasar-Dasar Operations Research. Yogyakarta: BPFE.
Supranto.  1988.  Linier  Programming  Edisi  Kedua.  Jakarta:  Lembaga  Penerbit  Universitas Indonesia.

## Pendekatan Kuantitatif sebagai Salah Satu Alternatif Metode Pemecahan Masalah
Taha,  H.  A.  1987.  Operations  Reseach  an  Intoduction.  Departement  of  Industrial Engineering, University of  Arkansas, Fayetteville.