Vol. 2, No.1 , 1-7, Juli  2005
Pendekatan Matematika Model Ekonomi Makro
Jeffry Kusuma †

## Abstrak
Model  matematika  diberikan  untuk  menjelaskan  fenomena  dalam  dunia  ekonomi  makro seperti modal/kapital, tenaga kerja, pengetahuan, inovasi dalam riset dan pengembangannya.    Ketergantungan  elemen-elemen  dalam  ekonomi  makro  antara  satu dengan lainnya diberikan dalam hubungan fungsional.
Keywords: Model Matematika, model Solow, Ekonomi makro.

## 1. Pendahuluan
Perbedaan  kemakmuran  dan  standar  kehidupan  suatu  daerah  atau  negara  dengan daerah atau negara lain sering menimbulkan pertanyaan yang sulit dijelaskan. Mengapa suatu daerah atau negara yang satu lebih berkembang dari daerah atau negara lainnya ? Faktor apa saja yang mempengaruhi perkembangan suatu daerah ? Faktor apa saja yang mempengaruhi kemakmuran suatu daerah atau negara? Berapa lamakah waktu yang diperlukan untuk menuju kemakmuran?
Memang  tidak  dapat  dipungkiri  bahwa  dunia  sekarang  lebih  makmur  dari  dunia masa lalu. Fenomena ini, tentunya sangat menarik untuk dikaji.  Banyak model telah dibuat dalam  upaya  menerangkan  fenomena  ini.  Ada  model  matematika  yang  dapat  bertahan, demikian pula banyak  model matematika yang hilang dengan sendirinya disebabkan dengan ketidaksesuaikan dengan fenomena yang ada.  Di antara segelintir model yang dapat bertahan, model Solow adalah salah satunya.

## 2. Model Solow
Model  ekonomi  yang  dikembangkan  Solow  bertumpu  pada  empat  pilar pertumbuhan  yaitu  hasil  produksi  ( Y ),  modal/kapital  ( K), tenaga  kerja/labour  ( L )  dan pengetahuan atau efektifitas tenaga kerja ( A ), yang mana keempat pilar ini merupakan fungsi waktu ( t ) yang memenuhi hubungan fungsional fungsi produksi
)) ( ) ( ), ( ( ) ( t L t A t K F t
Y  atau ) , ( AL K F Y  (1)
Di  sini  terlihat  bahwa  waktu  tidak  masuk  ke  dalam  fungsi  produksi  secara  langsung, melainkan  melalui K , L dan A .  Demikian  pula  hasil  produksi  merupakan  fungsi  modal  dan hasil  kali A dan L yang  dapat  dianggap  sebagai  keefektifan  tenaga  kerja.  Model  ini menggunakan  asumsi  dasar  yang  melibatkan  pengembalian  yang  konstan  terhadap  kedua variabelnya. Secara umum dapat digambarkan sebagai
) , ( ) , ( AL K cF cAL cK F  untuksemua 0  c (2)
Penggandaankapitaldantenagakerja  yang  efektifakanmenggandakanhasil.  Sumberdayaalam, tanahletakgeografiswalaupundiketahuipentingtidakterlihatpada model.
† Staf Pengajar pada Jurusan Matematika FMIPA Universitas Hasanuddin Makassar
Asumsipengembalian yang
konstanmembuatfungsiproduksidapatdituliskandalambentuk
) , ( 1 1 , AL K F AL AL K
F       
(3)
dimana AL c / 1  .    Disini, AL K / merupakanbesarkapital  per  unit  tenagakerjaefektif,
AL AL K F / ) , ( atau AL Y / merupakanhasil per unit tenagakerjaefektif. Bilavariabel  di  atasditulisulangdengan , / AL K k  AL Y y /  dan ) 1 , ( ) ( k F k f  ,makafungsiproduksi Solow dapatdituliskandalambentuk
) ( k f y  (4) Dari persamaan diatas, dapatdilihatbahwahasil per unit tenagakerjaefektifhanyamerupakanfungsikapital/modal per unit tenagakerjaefektif.Selanjutnya,  fungsi ) ( k f diatas  diasumsikan  pula  memenuhi  sifat
, 0 ) 0 (  f 0 ) (   k f , 0 ) (   k f .    Disini  terlihat  jelas  bahwa ) ( k f  merupakan  produk marginal dari modal, karena ) / ( ) , ( AL K ALf AL K F  ,
) ( ) / 1 )( / ( / ) / ( k f AL AL K f AL K AL K F       .  Jadi asumsi ini mempunyai arti bahwa marginal  produk  dari  modal  adalah  positif  tetapi  akan  cenderung  menurun  bila  modal  (per unit  tenaga  kerja  efektif)  meningkat.    Lebih  lanjut ) ( k f diasumsikan  memenuhi  kondisi  In ada, yakni,   
 ) ( lim 0 k f k , 0 ) ( lim     k f k .
Sebagai contoh marilah tinjau fungsi produksi Cobb-Douglas
, ) ( ) , ( 1     AL K AL K F 1 0    (5)
Fungsi  ini  tetap  memenuhi  asumsi  awal  yang  berupapengembalianhasil  yang konstan.Kalikankedua input dengankonstan c diperoleh
) , ( ) ( ) ( ) ( ) , ( 1 1 1 AL K cF AL K c c cAL cK cAL cK F      
      (6)
yangmenunjukkandipenuhinyaasumsiawalpengembaliankonstan.    Demikian  pula  dengan asumsi  pemenuhan  kondisi  Inada.    Bila  kedua  input  fungsi  produksi  dibagi  dengan AL diperoleh
  k AL K AL K F k f                1 , ) ( (7)
yangmempunyaiturunanpertama 1 ) (      k k f yang
selalupositifdanturunankedua
2 ) 1 ( ) (         k k f yang selalunegatif.
Asumsi  lainnya  yang  tersisa  melibatkan  perubahan  tenaga  kerja,  pengetahuan  dan modal  dari  waktu  ke  waktu.    Dalam  model  Solow  ini,  perubahan  tersebut  diasumsikan kontinu dengan laju pertumbuhan
), ( ) ( t nL t L   (8)
Jeffry Kusuma
) ( ) ( t gA t A   (9)
dimana n dan g merupakan parameter yang menetukan kecepatan pertumbuhan tenaga kerja dan pengetahuan yang tumbuh secara eksponensial. Bila ) 0 ( L dan ) 0 ( A merupakan keadaan awalnya maka solusi (8) dan (9) dapat dituliskan sebagai nt e L t L ) 0 ( ) (  dan gt e A t A ) 0 ( ) ( 
.
Hasil  dibagi  antara  konsumsi  dan  investasi.  Sebagian  dari  hasil s diinvestasi kembali. Satu unit hasil diberikan sebagai satu unit modal baru. Demikian pula modal/kapital senantiasa  terdepresiasi pada laju  , jadi
) ( ) ( ) ( t K t sY t K    
(10)
Disini diasumsikan lagi bahwa jumlah nilai , n g dan  senantiasa bernilai positif.

## 3. Dinamika Model Solow
Dinamika  modal/kapital  model  Solow  mungkin  tumbuh  seiring  waktu  dan  akan lebih menyenangkan meninjau modal per unit tenaga kerja efektif dari pada modal kapital K .
Karena AL K k /  , maka dengan aturan rantai diperoleh
    ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 2 t A t A t L t A t K t L t L t L t A t K t L t A t K t L t A t L t A t L t A t K t L t A t K t k              (11)
Dari persamaan (8) , (9), (10) dan  persamaan (11), diperoleh
) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( t gk t nk t k t L t A t Y s g t k n t k t L t A t K y sY t k            (12)
Dan akhirnya dengan menggunakan kenyataan AL Y / yang diberikan oleh ) ( k f diperoleh
) ( ) ( )) ( ( ) ( t k g n t k sf t k       (13)
Persamaan  inilah  yang  merupakan  inti  dari  model  Solow  yang  mengatakan  bahwa  laju perubahan modal terhadap unit tenaga kerja efektif merupakan selisih dari dua bentuk.Bentuk pertama adalah ) ( k sf yang berupa investasi nyata per unit tenaga kerja efektif. Bentuk kedua adalah k g n ) (    yang berupa investasi break even yaitu investasi yang harus dilakukan untuk  menjaga  nilai  kapital k pada  level  yang  diinginkan.    Terdapat  dua  alasan  dimana investasi senantiasa diperlukan.  Yang pertama adalah adanya depresiasi atau penurunan nilai modal/kapital.    Yang  kedua  adalah  jumlah  tenaga  kerja  efektif  yang  senantiasa  bertambah. Jadi  untuk  menjaga  jumlah  modal    ( K )  agar  tetap,  tidak  cukup  dengan  menjaga  jumlah modal per tenaga kerja efektif ( k ) tetap.
Dari persamaan (13) terlihat pula bahwa terdapat suatu nilai * k k  yang membuat jumlah modal kapital tidak berubah.  Bila nilai k pada awalnya kurang dari * k yakni ) ( k sf
Jeffry Kusuma
investasi nyata lebih besar dari k g n ) (    investasi break even , perubahan modal kapital menjadi positif.  Sebaliknya bila nilai k pada awalnya lebih dari * k maka perubahan modal kapital menjadi negatif.  Dari manapun nilai k berawal, senantiasa akan konvergen ke nilai * k .
Juga  terlihat  dari  persamaan  (13)  bahwa  peningkatan  nilai s juga  akan  membuat perubahan nilai modal kapital k kearah positif atau peningkatan nilai * k . Walaupun secara tidak langsung, peningkatan nilai s akan mengakibatkan pengeseran nilai * k kearah kanan. Dari segi hasil per tenaga kerja, L Y / akan bernilai sama dengan ) ( k Af . Bila k
tidak  berubah  maka L Y / akan  tumbuh  sebesar g yaitu  laju  pertumbuhan A .    Bila k bertambah maka A akan bertambah pula yang disebabkan oleh pertambahan k yang  mana akan melebihi nilai g .  Ketika k mencapai nilai barunya * k , maka hanya pertumbuhan dari A yang  memberikan  sumbangan  pada  pertumbuhan L Y / .    Jadi  pertambahan  dalam s hanya  mengakibatkan  penambahan  laju  pertumbuhan  hasil  per  pekerja  secara  sementara. Modal kapital k bertambah pada suatu saat hingga mencapai titik dimana s dipergunakan untuk mengatur tingkat k yang lebih tinggi.
Konsumsi  per  unit  tenaga  kerja  efektif  sama  dengan  hasil  per  unit  tenaga  kerja efektif ) ( k f dikali  dengan  bagian  yang  dikonsumsi s  1 .  Jadi  ,  karena s berubah  secara diskontinu pada saat 0 t dan k tidak, konsumsi awal per unit tenaga kerja efektif akan jatuh kebawah.    Konsumsi  kemudian  barulah  meningkat  perlahan.  Apakah  konsumsi  akan meningkat menuju tingkat konsumsi sebelumnya, merupakan hal yang tidak jelas.
Bila * c menandakan  konsumsi  per  unit  tenaga  kerja  efektif  pada  tingkat  yang seimbang,  maka * c akan  sama  dengan  hasil  per  unit  tenaga  kerja  efektif ) ( * k f dikurangi dengan  investasi  per  unit  tenaga  kerja  efektif ) ( * k sf .    Pada  tingkat  pertumbuhan  yang seimbang,  investasi  nyata  akan  sama  dengan  investasi breakeven .    Secara  matematis dituliskan sebagai
* * * ) ( ) ( k g n k f c      (14)
Nilai * k ditentukanoleh s dan  parameter  lainnyadalam  model  seperti n , g dan  ,  jadi ) , , , ( * *  g n s k k  , yang manajugaberarti
  s g n s k g n g n s k f s c          ) , , , ( ) ( )) , , , ( ( * * *
   (15)
Telahdiketahuibahwapeningkatan s akanmenaikkan * k . Jadipeningkatanataupunpenurunankonsumsidalamjangkapanjangtergantungpadaapakah marginal  produkdari  modal ) ( * k f  lebihbesarataukecildaripada    g n .    Bila k meningkat,  investasi  (per  unit  tenaga  kerja  efektif)  harus  meningkat  dengan    g n kali
perubahan  pada k agar  peningkatan  dapat  bertahan.    Bila ) ( * k f  kurang  dari    g n maka hasil tambahan dari peningkatan modal kapital tidak cukup untuk mempertahankan stok modal kapital yang lebih tinggi.  Jadi pada kasus ini, konsumsi harus menurun. Demikian pula sebaliknya, konsumsi akan meningkat.

## 4. Implikasi Kuantitatif

## Jeffry Kusuma
Di  samping  gambaran  kualitatif  diatas,  sering  pula  dapat  diperoleh  gambaran kuantitatif.    Gambaran  kuantitatif  di  sini  diperoleh  dari  keadaan  setimbang  dalam  jangka panjang.  Efek jangka panjang dari peningkatan tabungan terhadap hasil diberikan sebagai
s g n s k k f s y       ) , , , ( ) ( * * *  (16)
dimana ) ( * * k f y  merupakan  tingkat  hasil  per  unit  tenaga  kerja  efektif  pada  keadaan pertumbuhan yang seimbang.  Jadi untuk mendapatkan s y   / * , maka perlu terlebih dahulu mendapatkan s k   / * .  Patut dicatat bahwa * k diperoleh dari kondisi 0  k  , jadi * k harus memenuhi
) , , , ( ) ( )) , , , ( ( * *    g n s k g n g n s k sf    (17)
Persamaan (17) berlaku untuk semua nilai s (dan g n , dan  ).  Jadi, differensialkan kedua ruas persamaan terhadap s akan diperoleh hubungan
s k g n k f s k k f s          * * * * ) ( ) ( ) (  (18)
atau dalam bentuk yang lebih sederhana
) ( ) ( ) ( * * * k f s g n k f s k         (19)
Substitusi (19) kepersamaan (16)  diperoleh
) ( ) ( ) ( ) ( * * * * k f s g n k f k f s y          (20)
Dua  perubahan  akan  menolong  menginterpretasikan  ekspresi  ini.  Yang  pertama  adalah merubahnya  kebentuk  elastisitas  dengan  mengalikannya  dengan * / y s .    Yang  kedua  adalah dengan  menggunakan  kenyataan  bahwa
* *
) ( ) ( k g n k sf     untuk  memperoleh penggatian untuk s .  Dengan melakukan hal diatas diperoleh
    ) ( / ) ( * 1 ) ( / ) ( * ) ( / ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (
* * * * * * * * * * * * * * * * k f k f k k f k f k k f k f k g n g n k f k f k g n k f s g n k f k f k f s s y y s                          
(21)
Nilai ) ( / ) ( * * * k f k f k  adalah  elastisitas  hasil  terhadap  modal  kapital  pada * k k  .
Denganmenuliskannyasebagai ) ( * k K  ,persamaan (21) menjadi
) ( 1 ) ( * * * * k k s y y s K K       (22)
Bilapasarkompetitifdantidakadahallainnyadiluarpertimbangan, modal kapitalmemperolehprodukmarginalnya.Dalamhalini  total  yang  diterimaoleh  modal  (per  unit

## Jeffry Kusuma
tenagakerjaefektif) padapertumbuhan yangseimbangadalah ). ( * k f k  Jadibila modal memperolehprodukmarginalnya, bagiandari total pendapatanakanmenuju modal padapertumbuhannyayakni ), ( / ) ( * * * k f k f k  atau ) ( * k K  .
Dalambanyaknegara, bagiandaripendapatan yang diberikanpada modal adalahsekitarsepertiga.Bilahalinidigunakanuntukmenaksirnilai ) ( * k K  , akandiperolehnilaielastisitashasilterhadaplajutabungansekitarsetengah. Sebagaicontoh, peningkatan 10% dalamlajutabungan (katakandari 20% ke
22%),akanmenaikanpendapatanhasilsekitar 5% dalamjangkawaktupanjang. Bahkan peningkatan  50  %  dalam  laju  tabungan  hanya  akan  meningkatkan  pendapatan  hasil  sekitar 22%. Jadi perubahan yang signifikan pada laju tabungan hanya memberikan sedikit pengaruh pada pendapatan hasilnya.
Sering  kali  dalam  dunia  ekonomi,  bukan  hanya  besar  pengaruh  yang dipertimbangkan untuk mendapatkan suatu ukuran melainkan juga kecepatan perubahan yang terjadi.  Dalam  hal  ini,  difokuskan  kepada  dinamika k daripada  dinamika y .    Tujuannya adalah seberapa cepat k mendekati * k .  Diketahui bahwa k  ditentukan oleh k , jadi dapat dituliskan  sebagai ) ( k k k    .  Ketika k bernilai  sama  dengan * k , 0  k  ,  dan  pendekatan deret Taylor untuk ) ( k k  disekitar * k k  menjadi ) ( ) ( * * k k k k k k k k            
   (23)
Yakni, k  didekati dengan hasil kali beda dari k dan * k dengan turunan dari k  terhadap k pada * k k  .  Dengan  mendiferensialkan  persamaan  (13)  untuk k  terhadap k dan mengevaluasinya pada * k k  diperoleh
  ) ( 1 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( * * * * * *                         g n k g n k f k f k g n g n k f s k k k K k k  (24)
dimanabariskeduamenggunakankenyataanbahwa
* * ) ( ) ( k g n k sf     untukmenggantikan s , danbaristerakhirmenggunakandefenisi K  .  Substitusikan (24) ke (23) diperolehhubungan
    * * ) ( ) ( ) ( 1 ) ( k t k g n k t k K          (25)
Terlihatpadapersamaan diataskecepatankonvergen ) ( t k tergantungpadajarakdari * k . Biladituliskandefenisi * ) ( ) ( k t k t    dan ) )( 1 (        g n K , makapersamaan (25) menjadi ) ( ) ( t t      .  Laju pertumbuhan  adalah konstan atau   , dengan solusi t e t      ) 0 ( ) ( dan ) 0 (  merupakan nilai awal  .  Dalam bentuk k , hal ini berarti
) ) 0 ( ( ) ( * ) )( 1 ( * k k e k t k t g n K          (26)
Terlihat pula bahwa y mendekati * y dengan laju sama dengan k mendekati * k , yakni
Jeffry Kusuma
] ) 0 ( [ ) ( * * y y e y t y t     
Sebagai  ilustrasi  akan  kecepatan  ekonomi  mendekati  kesetimbangannya,  diambil    g n sekitar 6% per tahun (katakanlah pertumbuhan populasi 1 hingga 2%, 1 hingga 2% pertumbuhantenagakerja, dan 3 hingga 4% depresiasi).  Bila modal kapital berkisar sepertiga, maka ) )( 1 (      g n K secara kasar berkisar 4%. k dan y bergerak 4% dari sisa jarak terhadap * k dan * y setiap  tahunnya  yang  memerlukan  sekitar  18  tahun  untuk  menjadi setengahnya.    Jadi  peningkatan  10%  laju  tabungan,  akan  menaikan  hasil  sebesar 0,04(5%)=0,2% tiap tahunnya.  Peningkatan laju hasil 0,5(5%)=2,5% setelah 18 tahun yang mana dapat dikatakan sangat lambat.

## Daftar Pustaka
[1]   Romer,D.,1996, “Advanced  Macroeconomics”. McGraw-Hill  CompaniesInc.,  United States Military Academy, West Point.
[2]  Solow,  R.M.,  1957,  “A  contribution  to  the  theory  of  Economics  growth”, Quarterly Journal of Economics, 70, 65-94.
[3]  Solow,  R.M.,  Stiglitz,  J.E.,  1968,  “Output,  employment,  and  wages  in  the  sort  run”, Quarterly Journal of Economics , 82, 537-560.