Abstrak —Investasi merupakan penanaman uang atau modal dalam suatu perusahaan atau proyek guna memperoleh keuntungan. Diantara sekian banyak sekuritas yang ada, saham menjadi sekuritas yang mengalami kenaikan jumlah investor secara signifikan karena dapat memberikan keuntungan yang cukup besar. Dibalik keuntungan yang besar, terdapat risiko yang harus dihadapi oleh investor. Sehingga, investor perlu menerapkan strategi yang dapat meminimalkan risiko serta mengukur risiko pada portofolio. Dalam penelitian ini dilakukan diversifikasi dan estimasi risiko dengan menggunakan pendekatan Single Index Model, Copula-GARCH, dan  Value at Risk. Data yang digunakan adalah data harga penutupan saham bulanan pada saham yang terdaftar pada LQ45 selama periode 1 Desember 2010 hingga 31 Desember 2021. Berdasarkan metode Single Index Model, didapatkan tujuh saham yang masuk dalam portofolio optimal yang terdiri atas saham BBCA (10,48%), BBNI (4,22%), BBRI (24,88%), BBTN (2,41%), BMRI (8,53%), KLBF (21,90%), dan TLKM (27,58%). Setelah itu dilakukan pemodelan Copula-GARCH pada harga penutupan saham bulanan menggunakan lima jenis copula yang terdiri atas Copula Normal,  Student-t, Gumbel, Frank, dan Clayton. Didapatkan model copula terbaik untuk ketujuh  saham yaitu Copula Student-t  dengan nilai maximum log-likelihood sebesar 92,42. Hasil estimasi Value at Risk pada tingkat kepercayaan 95% menggunakan simulasi Monte Carlo berdasarkan model Copula  Student-t  menunjukkan angka kerugian maksimum sebesar 0,0439. Hal ini berarti bahwa kemungkinan kerugian yang dihadapi investor tidak akan melebihi 0,0439  bagian dari modal investasi. Semakin besar tingkat kepercayaan yang digunakan, maka semakin besar pula nilai Value at Risk.
Kata Kunci —Copula, GARCH, Portofolio,  Single Index Model, Value at Risk.

## I. PENDAHULUAN
NVESTASI dapat diartikan sebagai penanaman uang atau modal dalam suatu instansi atau proyek dengan tujuan memperoleh keuntungan. Menurut  Kustodian Sentral Efek Indonesia (KSEI), salah satu instrumen investasi yang cukup popular saat ini adalah saham [1]. Saham merupakan bukti atas bagian kepemilikan dari suatu instansi. Saham dinilai dapat memberikan imbal hasil  atau return yang ini cukup tinggi. Namun, return yang tinggi akan diikuti dengan risiko yang tinggi pula.
Risiko dapat diminimalisir dengan melakukan diversifikasi. Diversifikasi dilakukan dengan mengkombinasikan sejumlah aset serta menentukan proporsi masing-masing aset menjadi sebuah portofolio  [2]. Rachmatullah, et.al. (2021) mengatakan bahwa metode Single Index Model dapat membentuk portofolio yang lebih optimal dibandingkan dengan metode Markowitz [3]. Value at Risk merupakan salah satu metode statistika yang
dapat mengukur kemungkinan kerugian maksimum yang akan dihadapi oleh investor. Terdapat tiga pendekatan yang umum digunakan untuk menghitung Value at Risk diantara ialah varian-kovarian, simulasi historis, dan monte carlo [4]. Copula pertama kali diperkenalkan oleh Sklar pada 1959 sebagai fungsi distribusi  multivariat dengan marginal univariat berdistribusi uniform standar [5]. Metode ini tidak membutuhkan asumsi distribusi normal dan sering kali dipadukan dengan GARCH karena dapat membangun model univariat GARCH untuk aset keuangan individu  yang memiliki volatilitas cukup tinggi  [6].  Chen, et.al. (2020) mengestimasi VaR pada portofolio yang mengandung Bitcoin [7]. Dalam penelitian ini dilakukan estimasi Value at Risk pada data harga penutupan bulanan saham yang berturut-turut masuk dalam Indeks LQ45 dari Januari 2010 hingga Desember 2021 menggunakan Copula-GARCH. Dan saham yang masuk dalam portofolio optimal akan ditentukan menggunakan pendekatan Single Index Model .

## II. TINJAUAN PUSTAKA
A. Return Return saham merupakan tingkat pengembalian untuk saham biasa dan merupakan pembayaran kas yang diterima sebagai akibat dari suatu saham pada saat awal investasi, diberikan pada Persamaan 1 berikut:
𝑅𝑅 𝑖𝑖𝑖𝑖 = 𝑃𝑃 𝑡𝑡 −𝑃𝑃 𝑡𝑡−1 𝑃𝑃 𝑡𝑡−1 (1)
Dimana 𝑅𝑅 𝑖𝑖𝑖𝑖 adalah return saham 𝑖𝑖 periode 𝑡𝑡 , 𝑃𝑃 𝑖𝑖 adalah harga saham 𝑖𝑖 periode 𝑡𝑡 , dan 𝑃𝑃 𝑖𝑖−1 adalah harga saham periode 𝑡𝑡 − 1 [8].
B. Risiko Risiko atau risk merupakan suatu kemungkinan realisasi actual return lebih rendah dibanding dengan return minimum yang diharapkan ( expected return ) [9]. Semakin besar risiko, maka semakin besar pula return yang akan dihasilkan.

## C. Teori Portofolio
Dalam teori portofolio dinyatakan bahwa risiko ( risk ) dan pengembalian ( return ) harus dipertimbangkan dengan asumsi kerangka formal untuk mengukur keduanya dalam pembentukan portofolio tersedia. Tujuan dari dibentuknya portofolio adalah untuk meminimalisir risiko tanpa mengorbankan pengembalian yang dihasilkan dengan melakukan diversifikasi. Portofolio dapat dikatakan efisien apabila dapat memberikan imbal hasil harapan yang maksimal dengan tingkat risiko sama atau mengandung

## Pengukuran Value at Risk Portofolio Saham Optimal Menggunakan Copula-GARCH dengan Pendekatan Single Index Model
Siti Firdaus, Ulil Azmi, dan Galuh Oktavia Siswono Departemen Aktuaria, Institut Teknologi Sepuluh Nopember (ITS) e-mail : ulilazmi0211@gmail.com
I
tingkat risiko minimum dengan imbal hasil harapan yang sama. Sedangkan portofolio dapat dikatakan optimal apabila portofolio tersebut sesuai dengan karakter investor, dengan asumsi semua investor adalah risk averse yang mengusahakan tingkat imbal balik yang lebih besar untuk tambahan satu unit risiko yang sama. Portofolio yang efisien belum tentu merupakan portofolio yang optimal. Sedangkan portofolio optimal merupakan portofolio efisien [10].

## D. Single Index Model
Single Index Model atau yang biasa disebut sebagai model indeks tunggal merupakan metode pembentukan portofolio yang dikembangkan oleh Willam Sharpe (1963) dengan menyederhanakan perhitungan pada model Markowitz [11]. Metode ini menyeleksi saham-saham yang akan masuk dalam portofolio optimal dengan membandingkan Excess Return To Beta (ERB) dengan cut off point sebagai batasan. Pembentukan Portofolio optimal menggunakan metode Single Index Model (SIM) dapat dibagi menjadi tiga tahap, yaitu [9].
Pertama, pemeringkatan saham berdasarkan Excess Return to Bet a (ERB) yang merupakan rasio yang menunjukkan nilai ekstra atau nilai lebih dari return yang akan diterima tiap unit risiko. ERB dapat dirumuskan dalam Persamaan 2  sebagai berikut:
𝐸𝐸𝑅𝑅𝐸𝐸 = 𝑅𝑅� 𝑖𝑖 −𝑅𝑅 𝑓𝑓 𝛽𝛽 𝑖𝑖 (2)
Kedua, penentuan Cut Off Rate yang  dilakukan guna memisahkan saham-saham yang masuk atau keluar dari portofolio optimal. Pada pendekatan Single Index Model , nilai maksimum dari 𝐶𝐶 𝑖𝑖 merupakan cut off point ( 𝐶𝐶 ∗ ). Nilai 𝐶𝐶 𝑖𝑖 dapat dirumuskan dalam Persamaan 3 sebagai berikut:
𝐶𝐶 𝑖𝑖 = 𝜎𝜎 𝑚𝑚 2 ∑ ( 𝑅𝑅�𝑗𝑗−𝑅𝑅𝑓𝑓 ) 𝛽𝛽𝑗𝑗 𝜎𝜎𝑒𝑒𝑗𝑗 2 𝑖𝑖 𝑗𝑗=1
1+𝜎𝜎 𝑚𝑚 2 ∑ 𝛽𝛽𝑗𝑗2 𝜎𝜎𝑒𝑒𝑗𝑗 2 𝑖𝑖 𝑗𝑗=1 (3)
Ketiga, penentuan Proporsi Optimal  yang  dilakukan dengan mencari nilai 𝑍𝑍 𝑖𝑖 dari setiap sekuritas yang masuk dalam kriteria portofolio optimal. Nilai 𝑍𝑍 𝑖𝑖 dapat didefinisikan dalam Persamaan 4 sebagai berikut:
𝑍𝑍 𝑖𝑖 = 𝛽𝛽 𝑖𝑖 𝜎𝜎 𝑒𝑒𝑖𝑖 2 � 𝑅𝑅� 𝑖𝑖 −𝑅𝑅 𝑓𝑓 𝛽𝛽 𝑖𝑖 − 𝐶𝐶 ∗ � (4)
Pembobotan tiap sekuritas dapat dilakukan dengan menggunakan Persamaan 5 sebagai berikut:
𝑤𝑤 𝑖𝑖 = 𝑍𝑍 𝑖𝑖 ∑ 𝑍𝑍 𝑗𝑗 𝑁𝑁 𝑗𝑗=1 (5)
E. Value at Risk Value at Risk merupakan metode pengukuran risiko yang memperkirakan kerugian maksimum pada suatu portofolio pada tingkat kepercayaan tertentu yang bisa saja terjadi di masa yang akan datang secara statistik, diberikan pada Persamaan 6 berikut ini.
𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃 [ 𝑅𝑅 < 𝑅𝑅 ∗ ] = ∫ 𝑓𝑓 ( 𝑅𝑅 ) 𝑑𝑑𝑅𝑅 𝑅𝑅 ∗ −∞ = 𝛼𝛼 (6)
Dimana 𝑅𝑅 ∗ adalah kuartil ke- 𝛼𝛼 dari distribusi imbal hasil. Value at Risk pada level konfidensi ( 1 − 𝛼𝛼 ) dapat didefinisikan dalam persamaan sebagai berikut:
𝑉𝑉𝑉𝑉𝑅𝑅 ( 1−𝛼𝛼 ) = 𝑊𝑊 0 𝑅𝑅 ∗ (7)
Dengan 𝑊𝑊 0 merupakan jumlah uang yang diinvestasikan pada suatu periode 𝑡𝑡 = 0 [12].

## F. Simulasi Monte Carlo
Simulasi Monte Carlo merupakan metode parametrik yang digunakan untuk membangkitkan data acak pada pengembalian faktor risiko ( risk factor return ) dari estimasi distribusi parameter  [13]. Umumnya metode ini menggunakan asumsi bahwa pengembalian faktor risiko berdistribusi normal multivariat dan matriks kovarian dapat menjelaskan ketergantungan antar pengembalian dari faktor risiko. Tetapi, Monte Carlo sangat fleksibel karena dapat digunakan pada distribusi multivariat yang berbeda pada pengembalian faktor risikonya dengan melakukan modifikasi [14].

## G. Uji Normalitas
Uji kolmogorov smirnov merupakan alat uji statistik yang digunakan untuk menentukan apakah suatu sampel berasal dari suatu populasi yang memiliki sebaran data tertentu atau mengikuti distribusi statistik tertentu. Hipotesis dari uji kolmogorov smirnov meliputi,
𝐻𝐻 0 : data mengikuti distribusi normal,
𝐻𝐻 1 : data tidak mengikuti distribusi normal. Dengan statisik uji diberikan pada Persamaan 8:
𝐷𝐷 = 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑥𝑥 | 𝑆𝑆 ( 𝑥𝑥 ) − 𝐹𝐹 0 ( 𝑥𝑥 )| (8)
Dimana 𝑆𝑆 ( 𝑥𝑥 ) adalah nilai distribusi kumulatif dari data sampel dan 𝐹𝐹 0 ( 𝑥𝑥 ) adalah nilai distribusi kumulatif dari distribusi normal. Dengan daerah kritis tolak 𝐻𝐻 0 jika 𝐷𝐷 > 𝐾𝐾 1−𝛼𝛼 , 𝑛𝑛 , dimana 𝑛𝑛 adalah banyaknya observasi atau amatan.

## H. Uji Stasioneritas
Kestasioneran data dapat diketahui menggunakan Uji Augmented Dickey Fuller (ADF) dengan hipotesis sebagai berikut:
𝐻𝐻 0 : 𝛿𝛿 = 0 , 𝐻𝐻 1 : 𝛿𝛿 < 0 . Dengan statistik uji sebagai Persamaan 9 berikut:
𝜏𝜏 ∗ = 𝛿𝛿� 𝑠𝑠𝑠𝑠 ( 𝛿𝛿� ) (9)
Apabila nilai | 𝜏𝜏 ∗ | lebih besar dari nilai kritis 𝜏𝜏 Dickey Fulle r dengan derajat bebas ( 𝑑𝑑𝑓𝑓 )  dan taraf nyata 𝛼𝛼 atau nilai p-value lebih besar dari 𝛼𝛼 maka keputusannya adalah tolak 𝐻𝐻 0 . Sehingga data dapat dikatakan bersifat stasioner [15].
I. Model  Autoregressive Integrated Moving Average (ARIMA)
Tsay (2010)  menyatakan bahwa model ARIMA secara umum  dapat dirumuskan dalam persamaan sebagai berikut [15]: Pertama, model ARIMA ( 𝑠𝑠 , 0,0) atau AR ( 𝑞𝑞 ) , diberikan pada Persamaan 10:
𝑃𝑃 𝑖𝑖 = 𝜙𝜙 0 + 𝜙𝜙 1 𝑃𝑃 𝑖𝑖−1 + ⋯ + 𝜙𝜙 𝑝𝑝 𝑃𝑃 𝑖𝑖−𝑝𝑝 + 𝑉𝑉 𝑖𝑖 (10)
Kedua, model ARIMA (0,0, 𝑞𝑞 ) atau MA ( 𝑞𝑞 ) , diberikan pada Persamaan 11:
𝑃𝑃 𝑖𝑖 = 𝑐𝑐 0 + 𝑉𝑉 𝑖𝑖 − 𝜃𝜃 1 𝑉𝑉 𝑖𝑖−1 − ⋯ − 𝜃𝜃 𝑞𝑞 𝑉𝑉 𝑖𝑖−𝑞𝑞 (11)
Ketiga, model ARIMA ( 𝑠𝑠 , 0, 𝑞𝑞 ) atau ARMA ( 𝑠𝑠 , 𝑞𝑞 ) ,
diberikan pada Persamaan 12:
𝑃𝑃 𝑖𝑖 = 𝜙𝜙 0 + ∑ 𝜙𝜙 𝑖𝑖 𝑃𝑃 𝑖𝑖−𝑖𝑖 + 𝑉𝑉 𝑖𝑖 𝑝𝑝 𝑖𝑖=1 − ∑ 𝜃𝜃 𝑞𝑞 𝑉𝑉 𝑖𝑖−𝑞𝑞 𝑞𝑞 𝑖𝑖=1 (12)
Keempat, model ARIMA ( 𝑠𝑠 , 𝑑𝑑 , 𝑞𝑞 ) , diberikan pada Persamaan 13:
𝑊𝑊 𝑖𝑖 = 𝜃𝜃 0 + 𝜙𝜙 1 𝑊𝑊 𝑖𝑖−1 + ⋯ + 𝜙𝜙 𝑝𝑝 𝑊𝑊 𝑖𝑖−𝑝𝑝 + 𝑒𝑒 𝑖𝑖 − 𝜃𝜃 1 𝑒𝑒 𝑖𝑖−1 − ⋯ − 𝜃𝜃 𝑞𝑞 𝑒𝑒 𝑖𝑖−𝑞𝑞 (13)
Dengan,
𝑊𝑊 𝑖𝑖 = 𝑃𝑃 𝑖𝑖 − 𝑃𝑃 𝑖𝑖−1 = 𝜙𝜙 1 ( 𝑃𝑃 𝑖𝑖−1 − 𝑃𝑃 𝑖𝑖−2 ) + 𝜙𝜙 2 ( 𝑃𝑃 𝑖𝑖−2 − 𝑃𝑃 𝑖𝑖−3 ) + ⋯ + 𝜙𝜙 𝑝𝑝 �𝑃𝑃 𝑖𝑖−𝑝𝑝 − 𝑃𝑃 𝑖𝑖−𝑝𝑝−1 � + 𝑒𝑒 𝑖𝑖 − 𝜃𝜃 1 𝑒𝑒 𝑖𝑖−1 − 𝜃𝜃 2 𝑒𝑒 𝑖𝑖−2 − ⋯ − 𝜃𝜃 𝑞𝑞 𝑒𝑒 𝑖𝑖−𝑞𝑞 Dimana untuk mengidentifikasi model perlu dilakukan pemeriksaan plot ACF dan PACF.
Pengujian signifikansi parameter dilakukan dengan menggunakan hipotesis sebagai berikut:
𝐻𝐻 0 : 𝜙𝜙 = 0 , parameter sama dengan nol,
𝐻𝐻 1 : 𝜙𝜙 ≠ 0 , parameter tidak sama dengan nol. Dan statistik uji sebagai Persamaan 14 berikut:
𝑡𝑡 ℎ𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑛𝑛𝑖𝑖 = 𝜙𝜙� 𝑆𝑆𝑆𝑆 ( 𝜙𝜙� ) (14)
Keputusan tolak 𝐻𝐻 0 apabila | 𝑡𝑡 ℎ𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑛𝑛𝑖𝑖 | > 𝑡𝑡 1− 𝛼𝛼 2 ; 𝑑𝑑𝑑𝑑=𝑛𝑛−𝑛𝑛 𝑝𝑝 atau p-value < 𝛼𝛼 dengan 𝑛𝑛 𝑝𝑝 adalah banyaknya parameter. Cryer (2008) mengatakan bahwa salah satu kriteria dalam memilih model terbaik adalah kriteria AIC [16]. AIC dalam ditulis dalam Persamaan 15 sebagai berikut:
𝐴𝐴𝐴𝐴𝐶𝐶 = − 2 log( 𝑀𝑀𝑀𝑀𝐸𝐸 ) + 2 𝑘𝑘 (15)

## J. Uji Lagrange Multiplier
Uji yang sering digunakan untuk mengidentifikasi efek ARCH adalah Uji Lagrange Multiplier dengan hipotesis sebagai berikut:
𝐻𝐻 0 : 𝛼𝛼 1 = 𝛼𝛼 2 = ⋯ = 𝛼𝛼 𝑚𝑚 = 0 , tidak terdapat efek ARCH 𝐻𝐻 1 : minimal terdapat satu 𝛼𝛼 𝑖𝑖 ≠ 0 untuk 𝑖𝑖 = 1,2, … , 𝑠𝑠 , terdapat efek ARCH Dan statistik uji sebagai Persamaan 16 berikut:
𝐹𝐹 = ( 𝑆𝑆𝑆𝑆𝑅𝑅 0 −𝑆𝑆𝑆𝑆𝑅𝑅 1 )/ 𝑚𝑚 𝑆𝑆𝑆𝑆𝑅𝑅 1 /( 𝑇𝑇−2𝑚𝑚−1 ) (16)
Keputusan Tolak 𝐻𝐻 0 apabila 𝐹𝐹 > 𝜒𝜒 𝑚𝑚 2 ( 𝛼𝛼 ) atau p-value statistik uji 𝐹𝐹 lebih kecil dari nilai 𝛼𝛼 [15].

## K. Model Generalized Autoregressive Conditional Heterocedasticity (GARCH)
Tsay (2010) mengatakan bahwa secara umum, bentuk model ARCH ( 𝑞𝑞 ) sebagai Persamaan 17 berikut [15].
𝜎𝜎 𝑖𝑖 2 = 𝜔𝜔 + ∑ 𝛼𝛼 𝑖𝑖 𝑉𝑉 𝑖𝑖−𝑖𝑖 2 𝑞𝑞 𝑖𝑖=1 (17)
Sedangkan model GARCH ( 𝑞𝑞 , 𝑠𝑠 ) secara umum dapat didefinisikan dalam Persamaan 18 sebagai berikut.
𝜎𝜎 𝑖𝑖 2 = 𝛼𝛼 0 + ∑ 𝛼𝛼 𝑖𝑖 𝑉𝑉 𝑖𝑖−𝑖𝑖 2 𝑞𝑞 𝑖𝑖=1 + ∑ 𝛽𝛽 𝑗𝑗 𝜎𝜎 𝑖𝑖−𝑗𝑗 2 𝑝𝑝 𝑗𝑗=1 (18)

## L. Copula
Terdapat dua macam copula yang sering digunakan dalam dunia keuangan yaitu copula Elliptical dan Archimedean. Copula elliptical merupakan copula dari distribusi elips. Terdapat dua copula yang sangat penting dalam keluarga Eliptical, yaitu sebagai berikut [17]:
1. Copula Normal.  Copula Normal dapat ditulis dalam fungsi pada Persamaan 19 sebagai berikut:
𝐶𝐶 𝑃𝑃 𝑛𝑛 ( 𝑠𝑠 ) = Φ 𝑃𝑃 �Φ −1 ( 𝑠𝑠 1 ), … , Φ −1 ( 𝑠𝑠 𝑑𝑑 ) � = ∫ … Φ −1 ( 𝑖𝑖 𝑑𝑑 ) −∞ ∫ exp ( − 1 2 𝑥𝑥′𝑃𝑃 −1 𝑥𝑥 ) ( 2𝜋𝜋 ) 𝑑𝑑 2 √det 𝑃𝑃 Φ −1 ( 𝑖𝑖 1 ) −∞ 𝑑𝑑𝑥𝑥 1 … 𝑑𝑑𝑥𝑥 𝑑𝑑 (19)
2. Copula Student-t. Copula Student-t dapat ditulis dalam fungsi Persamaan 20 sebagai berikut:
𝐶𝐶 𝑃𝑃 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖 ( 𝑠𝑠 ) = t 𝑃𝑃 , 𝑣𝑣 �𝑡𝑡 𝑣𝑣 −1 ( 𝑠𝑠 1 ), … , 𝑡𝑡 𝑣𝑣 −1 ( 𝑠𝑠 𝑑𝑑 ) � = ∫ … 𝑖𝑖 𝑣𝑣 −1 ( 𝑖𝑖 𝑑𝑑 ) −∞ ∫ Γ� 𝑣𝑣+𝑑𝑑 2 � Γ� 𝑣𝑣 2 � ( 𝜋𝜋𝑣𝑣 ) 𝑑𝑑 2 √det 𝑃𝑃 � 1 + 𝑖𝑖 𝑣𝑣 −1 ( 𝑖𝑖 1 ) −∞ 𝑥𝑥′𝑃𝑃 −1 𝑥𝑥 𝑣𝑣 � − 𝑣𝑣+𝑑𝑑 2 𝑑𝑑𝑥𝑥 1 … 𝑑𝑑𝑥𝑥 𝑑𝑑 (20)
Copula Archimedean adalah copula multivariat kontinu yang memiliki bentuk sederhana, namun memiliki range yang lebar untuk struktur dependensi yang mudah diimplementasikan [17].
1. Copula Clayton. Copula Clayton berdimensi 𝑑𝑑 diberikan pada Persamaan 21 sebagai berikut:
𝐶𝐶 ( 𝑠𝑠 ) = �∑ 𝑠𝑠 𝑖𝑖 −𝛼𝛼 − 𝑛𝑛 + 1 𝑑𝑑 𝑖𝑖=1 � − 1 𝛼𝛼 (21)
2. Copula Frank.  Copula  Frank berdimensi 𝑑𝑑 diberikan pada Persamaan 22 sebagai berikut:
𝐶𝐶 ( 𝑠𝑠 ) = − 1 𝛼𝛼 ln � 1 + ∏ 𝑠𝑠 −𝛼𝛼𝑢𝑢𝑖𝑖 −1 𝑑𝑑 𝑖𝑖=1 ( 𝑠𝑠 −𝛼𝛼 −1 ) 𝑛𝑛−1 � (22)
3. Copula Gumbel. Copula Gumbel berdimensi 𝑑𝑑 diberikan pada Persamaan 23 sebagai berikut:
𝐶𝐶 ( 𝑠𝑠 ) = exp �−�∑ ( − ln 𝑠𝑠 𝑖𝑖 ) 𝛼𝛼 𝑑𝑑 𝑖𝑖=1 � 1 𝛼𝛼 � (23)

## M. Maximum Likelihood Estimation (MLE)
Apabila ℵ = { 𝑥𝑥 1𝑖𝑖 , 𝑥𝑥 2𝑖𝑖 , … , 𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑖𝑖 } 𝑖𝑖=1 𝑇𝑇 merupakan matriks data sampel yang dapat dirumuskan dalam persamaan log- likelihood sebagai Persamaan 24 berikut:
𝑙𝑙 ( 𝜃𝜃 ) = ∑ ln 𝑐𝑐�𝐹𝐹 1 ( 𝑥𝑥 1𝑖𝑖 ), 𝐹𝐹 2 ( 𝑥𝑥 2𝑖𝑖 ), … , 𝐹𝐹 𝑑𝑑 ( 𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑖𝑖 ) � 𝑇𝑇 𝑖𝑖=1 + ∑ ∑ ln 𝑓𝑓 𝑗𝑗 ( 𝑥𝑥 𝑗𝑗𝑖𝑖 ) 𝑑𝑑 𝑗𝑗=1 𝑇𝑇 𝑖𝑖=1 (24)
dengan 𝜃𝜃 adalah  kumpulan parameter dari marginal dan copula. Dengan menggunakan fungsi peluang densitas dari marjinal dan copula pada fungsi log-likelihood sebelumnya, estimasi maximum likelihood didapatkan nilai maksimum sebagai Persamaan 25 berikut [17]:
𝜃𝜃� 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑆𝑆 = max 𝜃𝜃∈Θ 𝑙𝑙 ( 𝜃𝜃 ) (25)

## III. METODOLOGI PENELITIAN
Data yang digunakan dalam penelitian ini adalah data sekunder harga penutupan saham bulana pada saham yang berturut-turut terdaftar dalam LQ45 selama periode Januari 2011 hingga Desember 2021. Data dikumpulkan melalui website https://id.investing.com/.
Langkah analisis diawali dengan menghitung actual return, expected return, standar deviasi, dan varian saham. Lalu menghitung kovarian antar saham individu dan IHSG. Setelah itu menghitung Alpha dan Beta untuk mendapatkan Variance Error Residuals . Kemudian menghitung Cut Off Rate untuk mendapatkan cut off point (nilai maksimum cut
off rate ) yang nantinya akan dijadikan batasan untuk menentukan saham yang akan masuk ke dalam portofolio optimal. Setelah menghitung Excess Return To Beta , dilakukan pengambilan keputusan saham yang masuk dalam portofolio dengan membandingkan nilai ERB dengan cut off point . Apabila nilai ERB lebih besar dari cut off point , maka saham tersebut masuk dalam portofolio optimal. Lalu dilakukan pembobotan untuk masing-masing saham pada portofolio optimal serta menghitung Expected Return dan Variance portofolio tersebut. Selanjutnya adalah melakukan analisis deskriptif pada saham yang masuk dalam portofolio optimal. Lalu menentukan orde ARIMA berdasarkan plot ACF dan PACF serta dilakukan uji diagnostik pada residual model ARIMA. Pemilihan model ARIMA terbaik ditentukan berdasarkan nilai AIC. Setelah mendapatkan model ARIMA terbaik, dilakukan uji hesterokedastisitas pada residual kuadratnya menggunakan uji Lagrange Multiplier . Apabila terdapat unsur heterokedastisitas pada residual kuadratnya, dilakukan pemodelan GARCH. Residual dari model GARCH akan dimodelkan dengan lima jenis copula yang diantaranya ialah Copula Normal, Student-t , Clayton, Gumbel, dan Frank. Dari kelima copula, dipilih model copula terbaik berdasarkan nilai likelihood terbesar lalu dilakukan estimasi VaR menggunakan simulasi Monte Carlo.

## IV. HASIL DAN PEMBAHASAN
A. Pembentukan  Portofolio Optimal dengan Single Index Model
Dalam menentukan saham yang masuk dalam portofolio
optimal, digunakan pendekatan Single Index Model pada 18 saham yang meliputi ADRO, ASII, BBCA, BBNI, BBRI, BBTN, BMRI, GGRM, INDF, INTP, JSMR, KLBF, PGAS, PTBA, SMGR, TLKM, UNTR, dan UNVR.
Gambar 1 menunjukkan grafik actual return beberapa saham dengan volatilitas yang cukup tinggi yaitu saham ADRO, BBTN, INTP, PGAS, dan PTBA.
Tabel 1 menunjukkan bahwa terdapat 1 saham yang memiliki nilai expected return negatif yaitu saham PGAS (- 0,0007). Warna abu-abu menunjukkan saham dengan nilai expected return positif serta masuk dalam perhitungan selanjutnya.
Tabel 2 menunjukkan nilai kovarian saham individual dengan IHSG. Kovarian yang bernilai positif memiliki arti kecenderungan kedua sekuritas bergerak searah. Ketika actual return dari indeks pasar mengalami kenaikan maka actual return dari saham individual juga akan mengalami kenaikan begitu juga sebaliknya.
Tabel 3 menunjukkan bahwa terdapat 8 saham yang memiliki nilai alpha positif. Saham yang memiliki nilai alpha positif mencerminkan kinerja lebih baik dari indeks pasar dan sebaliknya.  Tabel 3 juga menunjukkan bahwa terdapat 7 saham  yang memiliki  nilai beta lebih kecil  dari 1.  Saham dengan nilai beta lebih besar dari 1 merupakan saham yang memiliki volatilitas lebih tinggi dibandingkan dengan pasar. Sedangkan saham dengan nilai beta lebih kecil dari 1 merupakan saham yang memiliki tingkat volatilitas lebih rendah dibandingkan dengan pasar. Nilai alpha dan beta yang sudah didapatkan, digunakan untuk menghitung nilai variance error residual masing-masing saham. Dari nilai variance error residual yang didapatkan sebelumnya, masing-masing saham dihitung nilai Excess
Tabel 2.

## Kovarian saham individual dan IHSG
Saham Kovarian Saham Kovarian ADRO 0,0017 INTP 0,0020 ASII 0,0021 JSMR 0,0019 BBCA 0,0014 KLBF 0,0014 BBNI 0,0030 PTBA 0,0018 BBRI 0,0026 SMGR 0,0025 BBTN 0,0033 TLKM 0,0011 BMRI 0,0024 UNTR 0,0013 GGRM 0,0012 UNVR 0,0005 INDF 0,0013 Tabel 3.
Alpha , beta , dan variance error residual saham individual
Saham 𝜶𝜶 𝜷𝜷 𝝈𝝈 𝒆𝒆 𝒊𝒊 𝟐𝟐 ADRO 0,0005 1,0579 0,01620 ASII -0,0034 1,2743 0,00837 BBCA 0,0040 0,8413 0,00913 BBNI -0,0005 1,8586 0,01490 BBRI 0,0056 1,5808 0,01085 BBTN -0,0013 2,0562 0,02406 BMRI 0,0013 1,4945 0,00941 GGRM -0,0023 0,7207 0,00766 INDF 0,0002 0,7867 0,00567 INTP -0,0037 1,2297 0,01205 JSMR -0,0013 1,1993 0,00962 KLBF 0,0047 0,8620 0,00571 PTBA -0,0030 1,0809 0,02180 SMGR -0,0052 1,5163 0,01534 TLKM 0,0054 0,6932 0,01316 UNTR -0,0008 0,8232 0,00470 UNVR 0,0021 0,3393 0,00877 Gambar 1. Actual return saham.
Tabel 1.
Expected return, standar deviasi, dan varian saham individual Saham Expected Return St. Dev Variance ADRO 0,0060 0,1200 0,0144 ASII 0,0033 0,0757 0,0057 BBCA 0,0084 0,0893 0,0080 BBNI 0,0092 0,0964 0,0093 BBRI 0,0138 0,0825 0,0068 BBTN 0,0094 0,1312 0,0172 BMRI 0,0090 0,0761 0,0058 GGRM 0,0014 0,0826 0,0068 INDF 0,0043 0,0683 0,0047 INTP 0,0027 0,0980 0,0096 JSMR 0,0049 0,0854 0,0073 KLBF 0,0091 0,0671 0,0045 PGAS -0,0007 0,1278 0,0163 PTBA 0,0026 0,1160 0,0134 SMGR 0,0027 0,0971 0,0094 TLKM 0,0090 0,0626 0,0039 UNTR 0,0035 0,0876 0,0077 UNVR 0,0038 0,0658 0,0043 -0.50 -0.25 0.00 0.25 0.50 2012 2014 2016 2018 2020 2022 Time series ADRO BBTN INTP PGAS PTBA
Return to Beta (ERB). Tabel 4 menunjukkan saham yang masuk dalam portofolio optimal berdasarkan perbandingan nilai ERB dan cut off point. Cut off point merupakan nilai maksimum dari nilai cut off rate seluruh saham yang ditunjukkan dengan warna abu-abu. Apabila nilai ERB lebih besar dari nilai cut off point , maka saham dapat dimasukkan dalam portofolio optimal.
Tabel 5 menunjukkan proporsi atau hasil pembobotan masing-masing saham yang masuk dalam portofolio optimal berdasarkan nilai 𝑍𝑍 .

## B. Statistika Deskriptif
Pada tahap ini dilakukan analisis statistika deskriptif untuk mengetahui karakteristik masing-masing saham yang masuk dalam portofolio optimal.
Tabel 6 menunjukkan bahwa harga saham tertinggi adalah saham BBCA  yaitu sebesar 35000  dengan penyimpangan harga saham terbesar yaitu 8889.  Sedangkan harga saham terendah  adalah  saham  KLBF yaitu sebesar 565 dengan penyimpangan harga saham terkecil yaitu 339. Nilai skewness menunjukkan seluruh saham tidak berdistribusi normal.
C. Pemodelan ARIMA pada Harga Penutupan Saham Sebelum melakukan pemodelan GARCH, dilakukan
pemodelan ARIMA untuk mengetahui model rata-rata. Dengan mengidentifikasi kestasioneran data dan pendugaan model berdasarkan Uji Box Cox, plot ACF, PACF, dan uji ADF. Apabila data tidak stasioner dalam varian dan rata-rata, maka akan dilakukan transformasi Box Cox dan differencing . Tabel 7  menunjukkan model dugaan serta estimasi parameter dari masing-masing  data  saham  yang telah stasioner  dalam varian maupun rata-rata.  Model yang memiliki parameter signifikan Lalu dilakukan uji white noise pada residualnya.
Tabel 8 menunjukkan p-value dari masing-masing model dugaan ARIMA lebih besar dari 0,05 kecuali model ARIMA (0,2,1) untuk saham BBCA. Tersisa satu model untuk masing-masing saham yang merupakan model terbaik. Sehingga tidak dilakukan perbandingan nilai AIC.
Tabel 9 menunjukkan bahwa residual model enam saham tidak berdistribusi normal karena nilai p-value lebih kecil dari alpha (5%).  Sedangkan residual model saham BBCA berdistribusi normal.

## D. Pemodelan GARCH
Setelah mendapatkan model ARIMA terbaik untuk masing-masing saham, langkah selanjutnya adalah melakukan uji Lagrange Multiplier pada residual kuadrat untuk mengetahui keberadaan unsur heterokedastisitas
Tabel 4. Pendugaan dan uji signifikansi parameter model ARIMA Saham Model Parameter Signifikansi BBCA ARIMA (0,2,1) 𝜃𝜃 1 -0,9604 < 2,2 × 10 −16
ARIMA (1,2,0) 𝜙𝜙 1 -0,4753 5,5 × 10 −10 BBRI ARIMA (1,1,1) 𝜙𝜙 1 0,8128 1,5 × 10 −9 𝜃𝜃 1 -0,8685 1,3 × 10 −15 BBTN ARIMA (1,1,1) 𝜙𝜙 1 -0,8727 < 2,2 × 10 −16 𝜃𝜃 1 0,7832 7,8 × 10 −10 BMRI ARIMA (3,1,3) 𝜙𝜙 1 1,0189 0,0028 𝜙𝜙 2 -0,8516 0,0148 𝜙𝜙 3 0,4648 0,0289 𝜃𝜃 1 -1,0524 0,0003 𝜃𝜃 2 0,9377 0,0006 𝜃𝜃 3 -0,6687 0,0001 KLBF ARIMA (2,1,2) 𝜙𝜙 1 0,3299 1,09 × 10 −8 𝜙𝜙 2 -0,9080 < 2,2 × 10 −16 𝜃𝜃 1 -0,4159 < 2,2 × 10 −16 𝜃𝜃 2 0,9999 < 2,2 × 10 −16
BBNI ARIMA (3,1,3) 𝜙𝜙 1 0,9658 < 2,2 × 10 −16 𝜙𝜙 2 -0,9793 < 2,2 × 10 −16 𝜙𝜙 3 0,8005 3,2 × 10 −15 𝜃𝜃 1 -1,0583 < 2,2 × 10 −16 𝜃𝜃 2 1,1022 < 2,2 × 10 −16 𝜃𝜃 3 -0,9508 < 2,2 × 10 −16
TLKM ARIMA (2,1,2) 𝜙𝜙 1 -0,0672 < 2,2 × 10 −16 𝜙𝜙 2 -0,9006 < 2,2 × 10 −16 𝜃𝜃 1 0,0160
< 2,2 × 10 −16 𝜃𝜃 2 0,9999 < 2,2 × 10 −16
Tabel 5. Uji asumsi residual white noise Saham Model ARIMA p-value BBCA ARIMA(1,2,0) 0,0397 ARIMA(0,2,1) 0,5249 BBNI ARIMA(3,1,3) 0,8003 BBRI ARIMA(1,1,1) 0,9323 BBTN ARIMA(1,1,1) 0,8224 BMRI ARIMA(3,1,3) 0,9797 KLBF ARIMA(2,1,2) 0,4983 TLKM ARIMA(2,1,2) 0,6416
Tabel 6. Excess return to beta, cut off rate , dan keputusan portofolio optimal Saham 𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬 𝑪𝑪 𝒊𝒊 Keputusan ADRO 0,0012 0,0001 - ASII -0,0011 -0,0003 - BBCA 0,0044 0,0005 Optimal BBNI 0,0024 0,0007 Optimal BBRI 0,0058 0,0016 Optimal BBTN 0,0023 0,0005 Optimal BMRI 0,0029 0,0008 Optimal GGRM -0,0046 -0,0005 - INDF -0,0006 -0,0001 - INTP -0,0017 -0,0003 - JSMR 0,0002 0,0000 - KLBF 0,0051 0,0009 Optimal PTBA -0,0019 -0,0002 - SMGR -0,0014 -0,0003 - TLKM 0,0062 0,0009 Optimal UNTR -0,0015 -0,0002 - UNVR -0,0027 -0,0001 - Tabel 7. Pembobotan portofolio optimal Saham 𝒁𝒁 𝒊𝒊 𝑾𝑾 𝒊𝒊 BBCA 0,25727 10,48% BBNI 0,10347 4,22% BBRI 0,610773 24,88% BBTN 0,059139 2,41% BMRI 0,209273 8,53% KLBF 0,537607 21,90% TLKM 0,676901 27,58%
Tabel 8.
Analisis deskriptif Saham  Min  Rerata  Maks  St. Dev Skewness Kurtosis BBCA  5650  17396  35000 8889 0,5223 -1,1917 BBNI  3225 5698 9900 1688 0,6976 -0,5217 BBRI 940 2606 4710 1050 0,3034 -1,1649 BBTN 760 1708 3800 670 1,1264 0,7834 BMRI  2900 5435 8300 1400 0,1390 -1,0125 KLBF 565 1369 1865 339 -0,9831 -0,0671 TLKM  1373 3022 4690 950 -0,2020 -1,1271
dengan hipotesis sebagai berikut:
𝐻𝐻 0 : 𝛼𝛼 1 = 𝛼𝛼 2 = ⋯ = 𝛼𝛼 𝑚𝑚 = 0 , tidak terdapat efek ARCH 𝐻𝐻 1 : minimal terdapat satu 𝛼𝛼 𝑖𝑖 ≠ 0 untuk 𝑖𝑖 = 1,2, … , 𝑠𝑠 Uji Lagrange Multiplier menunjukkan bahwa ketujuh saham memiliki heterokedastisitas pada residualnya. Lalu dilakukan pemodean GARCH untuk mengatasi heterokedastisitas.  Model ARIMA-GARCH terbaik untuk ketujuh saham ialah sebagai berikut:
1. BBCA
𝑃𝑃 𝑖𝑖 = 2 𝑃𝑃 𝑖𝑖−1 − 𝑃𝑃 𝑖𝑖−2 + 𝑉𝑉 𝑖𝑖 + 0,8699 𝑉𝑉 𝑖𝑖−1 𝜎𝜎 𝑖𝑖 2 = 0,4979 +  0,0676 𝑉𝑉 𝑖𝑖−1 2
2. BBNI
𝑃𝑃 𝑖𝑖 = 𝑉𝑉 𝑖𝑖 + 2,3405 𝑃𝑃 𝑖𝑖−1 − 2,0081 𝑃𝑃 𝑖𝑖−2 − 0,4951 𝑃𝑃 𝑖𝑖−3
+ 1,1627 𝑃𝑃 𝑖𝑖−4 + 1,3862 𝑉𝑉 𝑖𝑖−1
− 1,0270 𝑉𝑉 𝑖𝑖−2 +  0,4361 𝑉𝑉 𝑖𝑖−3
𝜎𝜎 𝑖𝑖 2 = 0,0030 + 0,2381 𝑉𝑉 𝑖𝑖−1 2

## 3. BBRI
𝑃𝑃 𝑖𝑖 = 𝑉𝑉 𝑖𝑖 + 1,4824 𝑃𝑃 𝑖𝑖−1 − 0,4824 𝑃𝑃 𝑖𝑖−2 − 0,3621 𝑉𝑉 𝑖𝑖−1 𝜎𝜎 𝑖𝑖 2 = 0,2034 𝑉𝑉 𝑖𝑖−1 2
4. BBTN 𝑃𝑃 𝑖𝑖 = 𝑉𝑉 𝑖𝑖 + 0,1228 𝑃𝑃 𝑖𝑖−1 + 0,8772 𝑃𝑃 𝑖𝑖−2 − 0,7849 𝑉𝑉 𝑖𝑖−1 𝜎𝜎 𝑖𝑖 2 = 0,9999 𝜎𝜎 𝑖𝑖−1 2
5. BMRI
𝑃𝑃 𝑖𝑖 = 𝑉𝑉 𝑖𝑖 + 0,9217 𝑃𝑃 𝑖𝑖−1 + 1,4463 𝑃𝑃 𝑖𝑖−2 − 4,2460 𝑃𝑃 𝑖𝑖−3 + 2,8780 𝑃𝑃 𝑖𝑖−4 + 0,4718 𝑉𝑉 𝑖𝑖−1
− 0,2265 𝑉𝑉 𝑖𝑖−2 +  0,1639 𝑉𝑉 𝑖𝑖−3 𝜎𝜎 𝑖𝑖 2 = 0,9990 𝑉𝑉 𝑖𝑖−1 2

## 6. KLBF
𝑃𝑃 𝑖𝑖 = 0,6502 𝑃𝑃 𝑖𝑖−1 − 0,1304 𝑃𝑃 𝑖𝑖−2 + 0,4802 𝑃𝑃 𝑖𝑖−3 + 𝑉𝑉 𝑖𝑖 + 0,1565 𝑉𝑉 𝑖𝑖−1 + 0,5118 𝑉𝑉 𝑖𝑖−2
𝜎𝜎 𝑖𝑖 2 = 2,9 × 10 −6 + 0,9990 𝑉𝑉 𝑖𝑖−1 2 7. TLKM 𝑃𝑃 𝑖𝑖 = 0,5010 𝑃𝑃 𝑖𝑖−1 + 0,9862 𝑃𝑃 𝑖𝑖−2 + 0,5148 𝑃𝑃 𝑖𝑖−3 + 𝑉𝑉 𝑖𝑖 − 1,6290 𝑉𝑉 𝑖𝑖−1 − 0,6006 𝑉𝑉 𝑖𝑖−2
𝜎𝜎 𝑖𝑖 2 = 3,7 × 10 −5 + 0,1015 𝑉𝑉 𝑖𝑖−1 2

## E. Pemodelan Copula
Tahap selanjutnya adalah memodelkan residual GARCH dengan metode copula dan melakukan uji normalitas pada residual yang tercantum dalam Tabel 10.  Ketujuh saham memiliki nilai p-value kurang dari 0,05 sehingga residual GARCH teridentifikasi tidak berdistribusi normal.  Lalu dilakukan uji dependensi untuk mengetahui keberadaan dependensi di antara masing-masing saham dengan hipotesis sebagai berikut:
𝐻𝐻 0 : 𝐶𝐶 = Π , tujuh variabel independen 𝐻𝐻 1 : 𝐶𝐶 ≠ Π , tujuh variabel tidak independen Tabel 11 menunjukkan hasil uji dependensi pada masing- masing residual saham dengan p-value sebesar 0,0004. Oleh karena itu, keputusannya adalah tolak 𝐻𝐻 0 yang artinya terdapat dependensi antar residual.
Tabel  12  menunjukkan nilai maximum log-likelihood untuk masing-masing copula dan didapati Copula Student-t sebagai copula terbaik untuk ketujuh saham dengan nilai log- likelihood terbesar yaitu 92,42. Parameter Copula Student-t ditunjukkan pada Tabel 13.

## F. Estimasi Value at Risk
Setelah mendapatkan model copula terbaik, dilakukan estimasi Value at Risk dengan simulasi Monte Carlo pada tingkat kepercayaan 99%, 95% dan 90%.   Tabel 14 menunjukkan  nilai  VaR  portofolio saham optimal pada tingkat kepercayaan yang berbeda-beda.
Merujuk pada Tabel 14, apabila investor memiliki modal sebesar Rp. 1.000.000,00 maka maka nilai VaR untuk portofolio saham tersebut pada tingkat kepercayaan 99%, 95%, dan 90% berturut-turut adalah Rp. 93.300,00, Rp. 43.900,00, dan Rp. 30.000,00.

## V. KESIMPULAN DAN SARAN
Berdasarkan  penelitian yang telah dilakukan, didapatkan portofolio optimal yang terdiri atas tujuh saham beserta proporsinya  yaitu,  BBCA (PT Bank Central Asia Tbk) sebesar 10,48%, BBNI (Bank Negara Indonesia (Persero) Tbk) sebesar 4,22%, BBRI (Bank Rakyat Indonesia (Persero)
Tabel 11. Uji dependensi Statistik Uji P-Value 0,0821 0,0004 Tabel 12. Pemodelan copula Copula Nilai MLE Normal 81,74 Student-t 92,42 Gumbel 26,94 Clayton 29,13 Frank 27,39
Tabel 9.
Uji asumsi normalitas Saham 𝑫𝑫 𝒉𝒉𝒊𝒊𝒉𝒉𝒉𝒉𝒉𝒉𝒉𝒉 Model ARIMA p-value BBCA 0,0652 ARIMA(0,2,1) 0,6222 BBNI 0,1538 ARIMA(3,1,3) 0,0036 BBRI 0,5587 ARIMA(1,1,1) < 2,2 × 10 −16 BBTN 0,3394 ARIMA(1,1,1) 9,7 × 10 −14 BMRI 0,2580 ARIMA(3,1,3) 4 × 10 −8 KLBF 0,3989 ARIMA(2,1,2) < 2,2 × 10 −16 TLKM 0,4943 ARIMA(2,1,2) < 2,2 × 10 −16
Tabel 10. Uji normalitas residual GARCH
Saham Model p-value BBCA ARIMA(0,2,1) GARCH(1,0) < 2,2 × 10 −16 BBNI ARIMA(3,1,3) GARCH(1,0) < 2,2 × 10 −16 BBRI ARIMA(1,1,1) GARCH(1,0) < 2,2 × 10 −16 BBTN ARIMA(1,1,1) GARCH(0,1) < 2,2 × 10 −16 BMRI ARIMA(3,1,3) GARCH(1,0) 1,8 × 10 −15 KLBF ARIMA(2,1,2) GARCH(1,0) < 2,2 × 10 −16 TLKM ARIMA(2,1,2) GARCH(1,0) < 2,2 × 10 −16
Tbk) sebesar 24,88%, BBTN (Bank Tabungan Negara (Persero) Tbk ) sebesar 2,41%, BMRI (Bank Mandiri (Persero) Tbk) sebesar 8,53%, KLBF (PT. Kalbe Farma Tbk) sebesar  21,90%, dan TLKM (Telkom Indonesia (Persero) Tbk) sebesar 27,58%.  Model copula terbaik yang dapat menggambarkan struktur dependensi dari residual GARCH ketujuh saham berdasarkan nilai maximum  log-likelihood adalah Copula Student-t . Nilai Value at Risk portofolio saham optimal pada tingkat kepercayaan kepercayaan 99%, 95%, dan 90% adalah sebesar sebesar 0,0933; 0,0439; dan 0,0300. Semakin tinggi tingkat kepercayaan maka akan semakin tinggi pula nilai VaR yang didapatkan.
Peneliti  selanjutnya disarankan untuk menggunakan metode copula lain karena tidak menutup kemungkinan bahwa copula lain dapat mendefinisikan struktur dependensi yang lebih baik dan melakukan estimasi risiko menggunakan metode lain seperti Conditional Value at Risk, Modified Value at Risk , dan lain sebagainya. Sehingga, nilai estimasi risiko yang didapatkan akan lebih akurat.

## DAFTAR PUSTAKA
[1]  Kustodian Sentral Efek Indonesia (KSEI), “Statistik Pasar Modal Indonesia,” Jakarta: PT Kustodian Sentral Efek Indonesia, 2021.
[2]  S. Handini and E. D. Astawinetu, Teori Protofolio dan Pasar Modal Indonesia. Surabaya: Scopindo Media Pustaka, 2020.
[3]  I. Rachmatullah, J. Nawir, and T. Siswantini, “Analisis portofolio optimal markowitz dan single index model pada Jakarta islamic index,” Ekon. dan Bisnis, vol. 8, no. 1, pp. 122–141, 2021, doi: 10.35590/jeb.v8i1.2682.
[4]  E. J. Elton, M. J. Gruber, S. J. Brown, and W. N. Goetzmann, Modern Portfolio Theory and Investment Analysis, 9th Edition. New Jersey: Wiley, 2014.
[5]  M. Hofert, I. Kojadinovic, M. Mächler, and J. Yan, Elements of Copula Modeling with R. Switzerland: Springer, 2019.
[6]  E. Jondeau and M. Rockinger, “The Copula-GARCH model of conditional dependencies: An international stock market application,” J. Int. Money Financ., vol. 25, no. 5, pp. 827–853, 2006, doi: 10.1016/j.jimonfin.2006.04.007.
[7]  T.-Y. Chen and L.-C. So, “Discussion on the effectiveness of the Copula-GARCH method to detect risk of a portfolio containing bitcoin,” J. Math. Financ., vol. 10, no. 4, pp. 499–512, 2020, doi: 10.4236/jmf.2020.104030.
[8]  L. J. Gitman and C. J. Zutter, Principles of Managerial Finance (13th edition). Boston: Pearson, 2012.
[9]  E. Tandelilin, Portofolio dan Investasi: Teori dan Aplikasi. Yogyakarta: Kanisius, 2010.
[10]  S. Husnan and E. Pudjiastuti, Dasar-Dasar Teori Portofolio dan Analisis Sekuritas Edisi Keempat. Yogyakarta: UPP AMP YKPN, 2005.
[11]  Z. Zubir, Manajemen Portofolio: Penerapannya dalam Investasi Saham. Jakarta: Salemba Empat, 2011.
[12]  K. Dowd, Beyond Value at Risk: The New Science of Risk Management. New York: Wiley, 1998.
[13]  P. Jorion, Value at Risk: The New Benchmark for Managing Financial Risk, 3rd Edition. New York: McGraw Hill, 2007.
[14]  C. Alexander, Market Risk Analysis, Value at Risk Models. New Jersey: John Wiley & Sons, 2009.
[15]  R. S. Tsay, Analysis of Financial Time Series Third Edition. New Jersey: John Wiley & Sons, 2010.
[16]  J. D. Cryer and K.-S. Chan, Time Series Analysis With Applications in R. New York: Springer, 2008.
[17]  U. Cherubini, E. Luciano, and W. Vecchiato, Copula Methods in Finance. England: John Wiley & Sons Ltd, 2004. doi: 10.1002/9781118673331.
Tabel 14.
Estimasi value at risk Copula Student-t 𝜶𝜶 1% 5% 10% BBCA, BBNI, BBRI, BBTN, BMRI, KLBF, dan TLKM -0,0933 -0,0439 -0,0300 Tabel 13. Parameter copula student-t Estimasi Parameter Standard Deviasi Error Rho 1 0,1379 0,095 Rho 2 0,5086 0,066 Rho 3 0,3940 0,076 Rho 4 0,2044 0,090 Rho 5 0,2790 0,084 Rho 6 0,2387 0,090 Rho 7 0,0975 0,095 Rho 8 0,2103 0,090 Rho 9 0,5285 0,061 Rho 10 0,0954 0,088 Rho 11 0,0910 0,095 Rho 12 0,3752 0,077 Rho 13 0,0235 0,095 Rho 14 0,3830 0,091 Rho 15 0,2041 0,092 Rho 16 0,1493 0,087 Rho 17 0,2137 0,092 Rho 18 0,2289 0,086 Rho 19 -0,1953 0,094 Rho 20 0,1500 0,088 Rho 21 0,2000 0,088