## PENDUGAAN DATA HILANG DENGAN MENGGUNAKAN DATA AUGMENTATION
Mesra Nova 1 , Moch. Abdul Mukid 2
1 Alumni Program Studi Statistika UNDIP
2 Staf Pengajar Program Studi Statistika UNDIP mamukid@yahoo.com

## Abstract
Data augmentation is a method for estimating missing data.  It is a special case of Gibbs sampling which  has  two  important  steps.  The  first  step  is  imputation  or  I-step  where  the  missing  data  is generated  based  on  the  conditional distributions  for  missing  data if the  observed data  are known. The  next  step  is  posterior  or  P-step  where  the  estimation  process  of  parameter  values  from  the complete data is conducted. Imputation and posterior steps on the data augmentation will continue to  run  until  the  convergence  is  reached.  The  estimate  of  missing  data  is  obtained  through  the average of simulated values.
Keywords : Missing Data, Data Augmentation, Imputation Step, Posterior Step

## 1. Pendahuluan
Data  hilang  adalah  informasi  yang  tidak  tersedia  untuk  sebuah  kasus.  Data  hilang dapat  terjadi  karena  informasi  yang  dibutuhkan  untuk  sesuatu  pada  satu  atau  beberapa variabel  tidak  diberikan,  sulit  dicari  atau  memang  informasi  tersebut  tidak  tersedia. Beberapa  alasan  mengapa  data  tersebut  dapat  hilang  diantaranya  adalah  mungkin  hilang karena  peralatan  tidak  berfungsi,  cuaca  buruk,  orang  yang  diamati  sakit,  atau  data  tidak dimasukkan dengan benar [4] .
Jika  data  yang  diperoleh  dalam  suatu  penelitian  tidak  mengandung  data  hilang maka parameter  populasi  akan mudah  diduga  dengan  metode  maksimum likelihood. Jika data  yang  diperoleh  mengandung  data  hilang  maka  fungsi  likelihood  dari  data  yang teramati  akan  menjadi  sulit  untuk  dimaksimumkan.  Fungsi  likelihood  adalah  fungsi densitas  bersama  dari  n  sampel  random n Y ,..., Y , Y 2 1 dan  dinyatakan  dalam  bentuk   θ | y ,..., y , y f n 2 1 .  Jika  data  lengkap  yang  diperoleh  adalah  berdistribusi  normal  maka penduga maksimum likelihood untuk mean dari data tersebut adalah penjumlahan dari nilai data dalam satu variabel dibagi dengan ukuran data yaitu ̅ [1] . Namun ketika ada beberapa nilai dari variabel tersebut yang hilang maka penjumlahan dari nilai data variabel tersebut tidak diketahui, dan penghitungan terhadap dugaan untuk mean dari variabel tersebut tidak dapat dilakukan. Penggunaan metode maksimum likelihood untuk kasus yang mengandung data hilang akan menyebabkan hasil estimasi parameter menjadi bias dan tidak efisien [5] . Pendekatan  yang  paling  sederhana  untuk  mengatasi  data  hilang    yaitu  dengan metode listwise  deletion dan pairwise  deletion .  Kedua  metode  ini  menyarankan  untuk menghapus  nilai  data  yang  hilang  dan  tidak  melibatkannya  dalam  analisis  selanjutnya. Ketika kasus nilai hilang pada data hanya terdiri dari sebagian kecil dari semua data maka metode  penghapusan  yaitu listwise  deletion dan pairwise  deletion dapat  menjadi  solusi yang masuk akal. Namun, jika nilai data yang hilang terjadi pada sebagian besar data maka metode  penghapusan  akan  menyebabkan  sejumlah  informasi  dari  data  akan  terbuang
begitu  saja [6] .  Oleh  karena  itu  pendugaan  terhadap  nilai  data  hilang  menjadi  alternatif pilihan yang layak untuk dilakukan.
Pendekatan  yang  biasa  digunakan  untuk  menduga  nilai  data  hilang  diantaranya adalah mean  imputation , hot  deck  imputation ,  c old  decki  imputation , regression imputation , s ubstitution ,  dan c omposite  methods [4] . Untuk pendekatan  yang lebih  modern terdapat  metode  untuk  mengatasi  data  hilang  diantaranya  adalah  dengan  menggunakan algoritma Expectation  Maximization (EM)    atau  dengan  menggunakan  metode Markov Chain Monte Carlo (MCMC) yang terdiri atas algoritma Data Augmentation (DA), Gibbs Sampling , Metropolis-Hasting ,  dan  algoritma  terkait  lainnya [6] .  Algoritma  DA  yang merupakan  salah  satu  bagian  dari  metode  MCMC  adalah  algoritma  yang  akan  digunakan dalam penyelesaian masalah data hilang pada penulisan makalah ini.

## 2. Tinjauan Pustaka
Pada  bagian  ini  akan  dibahas  mengenai  berbagai  konsep  yang  berkaitan  dengan Data Augmentation (DA), yaitu mengenai prosedur DA, penerapan DA untuk estimasi data hilang, konvergensi DA dan penerapan DA untuk data berdistribusi normal multivariate.

## 2.1 Prosedur Data Augmentation
Data augmentation (DA) adalah  sebuah algoritma untuk membangkitkan data dari distribusi  tertentu.  DA  dipandang  sebagai  kasus  khusus  dari  Gibbs  sampling  yang  terdiri atas  dua  langkah.  Dua  langkah  Gibbs  sampling  tersebut  merupakan  proses  penarikan sampel  berdasarkan  dua  distribusi  bersyarat.  Metode  ini  diperkenalkan  oleh  Tanner  dan Wong  yang  menetapkan  proses  berulang  untuk  mendapatkan  perkiraan  suatu  parameter tertentu berdasarkan distribusi posteriornya [7] . Berikut ini akan dijelaskan tentang prosedur DA.
Misalkan vektor acak dipartisi  menjadi  dua  subvektor  yaitu (    ) , dimana distribusi  bersama ( ) akan  lebih  mudah  disimulasikan  jika  dipartisi  menjadi  distribusi bersyarat (   )    (   ) dan (   )    (   ) . Pada iterasi ke- diberikan vektor acak Z sebagai berikut
( ) ( ( ) ( ) ( ) ) (1)
yang merupakan sampel berukuran dari distribusi yang mendekati distribusi target ( ) , yang kemudian dipartisi menjadi
(( ( ) ( ) )  ( ( ) ( ) )      ( ( ) ( ) )) (2)
Dengan menggunakan DA, sampel di atas akan diperbaharui melalui dua langkah berikut:
1. Langkah  pertama,  pada  iterasi  ke
,  sampel  acak  dari  U  diambil  dari  distribusi bersyarat ( ( ) ) dan menghasilkan
(   ) ( (   ) (   ) (   ) ) (3)
yang saling bebas untuk .
2. Langkah kedua, pada iterasi ke , yaitu sampel acak dari V diambil dari distribusi bersyarat ( (   ) ) ,
(   ) ( (   ) (   ) (   ) ) (4)
Hasil  dari  dua  langkah  pada  DA  di  atas  akan  melengkapi  sampel  baru  dengan  bentuk sebagai berikut:
(   ) (( (   ) (   ) )      ( (   ) (   ) )) (5)
Dengan  menggunakan  analisis  fungsional,  Tanner  dan  Wong  menunjukkan  bahwa distribusi dari ( ) konvergen kepada ( ) ketika [7] .
2.2 Penerapan Data Augmentation untuk Pendugaan Data Hilang
Data  Augmentation (DA)  merupakan  algoritma  yang  diterapkan  untuk  menduga nilai  data  hilang  melalui  pendekatan  Bayesian.  DA  menganggap  bahwa  mekanisme hilangnya data adalah Missing at Random , yaitu peluang data yang hilang tidak tergantung pada nilai data yang hilang, tetapi tergantung pada nilai data yang teramati.
Jika adalah seluruh nilai data yang teramati dan adalah notasi untuk nilai data yang hilang serta    adalah parameter pembangkit data maka distribusi posterior pada masalah  data  hilang ( ) biasanya  akan  sulit  untuk  disimulasikan  secara  langsung. Tetapi jika kemudian ditambah oleh nilai yang diasumsikan dari , maka posterior ( ) akan menjadi lebih mudah untuk disimulasikan. Berikut ini akan dijelaskan skema sampling iteratif pada DA.
Jika  pada  iterasi  ke- diberikan parameter ( ) ,  maka  selanjutnya  dapat dibangkitkan  sebuah  dugaan  dari  nilai  data  yang  hilang  dari  distribusi  prediksi  bersyarat yaitu:
( ) ( ( ) ) (6)
Kemudian dengan memperhatikan ( ) , nilai baru untuk pada iterasi ke ( )  diambil dari distribusi posterior jika data lengkap diketahui yaitu:
(   ) ( ( ) ) (7)
Ulangi langkah (6) dan (7) dengan sebuah nilai awal ( ) . Hasil akhirnya akan membentuk sebuah  barisan  stochastic {( ( ) ( ) )             } yang  mempunyai  distribusi ( ) . Sementara untuk sub rangkaian { ( ) } dan { ( ) } masing-masing akan  mempunyai distribusi ( ) dan ( ) .
Tahapan yang bersesuaian pada persamaan (6) disebut sebagai tahap Imputasi atau step-I dan persamaan (7) sebagai tahap Posterior atau step-P. Persamaan (6) menunjukkan proses  imputasi  mencari  nilai  data  hilang
dan  persamaan  (7)  sesuai  untuk menggambarkan  proses  mencari  nilai yang  baru  dari  posterior  jika  data  lengkap diketahui.  Tahap-Imputasi  dan  tahap  Posterior  akan  terus  berjalan  sampai  didapatkan kekonvergenan untuk

## 2.3 Konvergensi Data Augmentation
Data  Augmentation (DA) akan  menghasilkan  rangkaian  nilai-nilai  simulasi ( ( ) ( ) ) yang cukup panjang. Nilai-nilai simulasi tersebut merupakan nilai yang diduga dari distribusi posterior, dan akan konvergen kepada  distribusi yang dituju yaitu distribusi ( ) [6] .
Iterasi  yang  dilakukan  dengan  mengulangi  langkah  pada  persamaan  (6)  dan  (7) pada  periode  T  tertentu  akan  menghasilkan  nilai-nilai  yang  tidak  dipengaruhi  oleh  nilai awal  dan  distribusi  dari  iterasi  yang baru tersebut akan  mendekati distribusi  posteriornya. Tahap  awal  ini  disebut  dengan  proses burn-in  period ,    yang  berguna  untuk  melepaskan ketergantungan  pada  nilai awal dan distribusi awal. Salah  satu cara untuk  memperkirakan panjang burn-in period adalah  dengan  memeriksa  plot time-series dari  simulasi  rata-rata untuk setiap variabel terhadap jumlah iterasinya [3] . Plot time-series merupakan  plot  simulasi  nilai  rata-rata  setiap  variabel  yang berturut-turut  terhadap  jumlah  iterasinya.  Adanya  trend  jangka  panjang  dalam  plot menunjukkan  bahwa  iterasi  yang  berurutan  sangat  berkorelasi  dan  bahwa  serangkaian iterasinya belum mencapai konvergensi. Kecenderungan peningkatan atau penurunan nilai rata-rata dalam plot time-series menunjukkan bahwa burn-in period belum berakhir. Tidak adanya  trend  naik  atau  trend  turun  pada  plot  merupakan  keadaan  yang  ideal  yang menunjukkan  bahwa  rata-rata  setiap  variabel  setelah  proses  iterasi  pada  DA  tersebut konvergen kepada distribusi posterior yang dituju [3] . Penilaian  konvergensi DA dapat  juga  dilakukan  dengan  mengukur  tingkat ketergantungan  antara  rantai  simulasi  yang  berturut-turut  atau  nilai  autokorelasinya. Autokorelasi  mengkuantifikasi  besarnya ketergantungan antar  mean yang  dihasilkan  pada setiap  iterasi. Autokorelasi  mengukur  korelasi  antara  kumpulan  nilai  simulasi { ( ) } dan { (   ) } , dimana adalah lag yang memisahkan kumpulan dua nilai dan adalah ukuran sampel yang digunakan. Fungsi autokorelasi  untuk variabel tertentu dapat dihitung sebagai fungsi  dari  nilai-nilai  lag yang  berbeda.  Untuk  variabel ,  autokorelasi  lag dapat dihitung dengan:
∑ ( ̅)( ̅) ∑ ( ̅) (8)
dengan ̅ adalah rata-rata variabel setelah disubstitusi dengan nilai imputasi [3] . Fungsi autokorelasi dapat ditampilkan dalam  bentuk grafis  yaitu plot autokorelasi. Plot autokorelasi merupakan grafis yang menampilkan nilai-nilai autokorelasi pada  sumbu vertikal  dan nilai-nilai lag pada  sumbu  horizontal. Grafik   dari   hasil   pemetaan  tersebut dinamakan korelogram,   yang  dapat   digunakan  untuk  memeriksa  berautokorelasi atau tidaknya data  deret  waktu. Jika korelogram berpola acak, maka dapat disimpulkan bahwa data  deret  waktu    tidak  berautokorelasi [6] .    Jika  data  deret  waktu  hasil  iterasi  dari  proses DA  tidak  berautokorelasi,  maka  rata-rata  dari  setiap  hasil  iterasi  akan  bergerak  stabil mengarah kepada distribusi yang dituju.

## 2.4 Inferensi pada Data Augmentation
Inferensi  pada  DA  difokuskan  pada  pendugaan  data  yang  hilang  dengan menggunakan Multiple Imputation (MI). MI merupakan salah satu metode imputasi yang menghasilkan inferensi yang valid untuk nilai hilang (   ) . Setiap nilai (   ) akan diisi oleh  beberapa  nilai  (dua  atau  lebih)  yang  dibangkitkan  melalui  sejumlah  imputasi. Banyaknya imputasi yang  dilakukan pada proses  MI  disimbolkan  dengan . Sejumlah nilai yang mengisi nilai hilang (   ) akan membentuk buah kelompok data yang telah lengkap.
Nilai dugaan akhir untuk (   ) diperoleh dari rata-rata nilai simulasi (   ) yang dipilih  pada  setiap imputasi.  Misalkan  dalam  satu  imputasi  dibangkitkan  5  imputasi
yang  masing-masing  terdiri  atas  100  iterasi.  Nilai (   ) yang  dipilih  adalah  nilai  yang berada  pada  urutan  terakhir  dari  tiap  satu  imputasi.  Jika  dijalankan  5  imputasi  yang masing-masing  terdiri  atas  100  iterasi,    maka  akan  diperoleh  5  nilai  dugaan (   ) . Sehingga nilai  dugaan (   ) yang  digunakan untuk  mengisi kasus data hilang (   ) adalah nilai rata-rata dari lima nilai (   ) tersebut.
2.5 Penerapan Data Augmentation pada Data Berdistribusi Normal Multivariat
Pada    data  yang  berasal  dari  distribusi  normal  multivariat,  DA  diterapkan  dengan pendekatan Bayesian dengan melakukan langkah-langkah sebagai berikut:

## 1. Langkah Imputasi (Step-I)
Pada  step-I,  nilai  hilang  akan  disimulasikan  untuk  setiap  pengamatan  secara independen  dengan  memberikan  sebuah  estimasi  vektor  mean  dan  matrik  kovarian.  Jika variabel  nilai hilang  pada  pengamatan ke- adalah (   ) dan  variabel nilai  yang  teramati adalah (   ) ,  maka  pada  langkah-I  akan  ditarik  nilai-nilai  untuk (   ) dari  distribusi bersyarat untuk (   ) jika (   ) diketahui.
Pada iterasi pertama untuk setiap pengamatan yang nilai datanya hilang, akan diberikan  estimasi  vektor  mean  dan  matriks  kovarian  sebagai  nilai  parameter  awal. Parameter awal untuk vektor mean dan matriks kovarian masing-masing akan didefinisikan dengan ( ) dan ( ) Nilai parameter awal ini akan diperoleh dengan langkah berikut ini. Misalkan [ ] adalah vektor mean yang dipartisi untuk dua variabel yaitu dan ,  dimana adalah  vektor  mean  untuk  variabel dan adalah  vektor mean untuk variabel . Juga dimisalkan bahwa matriks kovarian dipartisi menjadi [ ] (9) dengan adalah  matriks  kovarian  untuk  variabel
, adalah  matriks  kovarians untuk  variabel
dan adalah  matriks  kovarian  diantara  variabel dan  variabel . Distribusi  bersyarat  dari jika  diberikan adalah  distribusi
normal  multivariat  normal  dengan  vektor  mean
( ) ( ) dan matriks  kovarian ( )
(kovarian  tidak  tergantung  pada  harga ) dapat dituliskan sebagai berikut:
( ( ) ( ) ) (10)
dapat juga dituliskan dengan:
( ( ) ) (11) Distribusi  bersyarat  dari jika  diberikan diatas  digunakan  untuk
membangkitkan nilai-nilai untuk data hilang pada step-I.
2. Langkah Posterior (Step-P)
Setelah  data  hilang pada  step-I  diduga,  sehingga  data  menjadi lengkap  maka  akan dilanjutkan  pada  step-P  .  Step-P  merupakan  proses  penarikan  nilai    posterior  dari  vektor mean dan matriks kovarian. Proses step-P dimulai dengan mengestimasi nilai vektor mean dan  matriks  kovarian  menggunakan  data  lengkap  yang  dihasilkan  pada  step-I  yang sebelumnya.  Tujuan  utama  dari  step-P  adalah  untuk  estimasi  sampel  yang  baru  dari masing-masing distribusi posterior vektor mean dan matriks kovarian, sehingga pada step-I berikutnya dapat digunakan untuk memperbaharui nilai parameter.
Distribusi  posterior  untuk  vektor  mean  dan  matrik  kovarian,  pada  kasus  ini diperoleh  dengan  menggunakan  prior  non-informatif.  Prior  non-informatif  untuk  data berdistribusi  normal  multivariat  dengan  menggunakan  metode  Jeffry’s  menghasilkan
(   ) . Distribusi posterior dapat ditentukan dengan rumus berikut:
(   ) ( )  ( ) ∫ ( )  ( ) (12)
Algoritma  data  augmentation  menggunakan  teknik  simulasi  Monte  Carlo  untuk  menarik sebuah nilai yang baru untuk  vektor mean dan matriks dari distribusi posterior . Nilai  posterior  parameter pada  iterasi  pertama  diperoleh  dengan  cara  menarik sebuah nilai  posterior ( ) dari  distribusi bersyarat ( ) jika nilai  data lengkap yaitu dan ( ) diketahui.  Distribusi  bersyaratnya  adalah  invers  wishart  dan  dapat  dituliskan sebagai berikut:

## ( ) , ( ) (       (     ) )
Simulasi monte carlo akan digunakan untuk menarik sebuah nilai matriks kovarian yang baru  dari distribusi posterior untuk ( ) . Nilai matriks kovarian yang dihasilkan dari distribusi  posterior ( ) ,  diperoleh  dengan  proses  komputasi  yaitu  membangkitkan bilangan  acak  untuk  distribusi Inverse  Wishart .  Distribusi Inverse  Wishart tersebut dibangkitkan dengan derajat bebas yaitu jumlah unit pengamatan dikurangi satu dan dengan (     ) adalah  matriks corrected  sum  of  squares  and  cross  products (CSSCP) yaitu ∑ ( ̅ )( ̅ ) .
Algoritma DA menggunakan teknik yang sama untuk menghasilkan vektor mean yang  baru.  Nilai  posterior  untuk  vektor  mean,  dapat  disimulasi  dengan  cara  menarik sebuah nilai posterior ( ) dari distribusi bersyarat ( ) jika nilai , ( ) dan nilai ( ) diketahui.  Distribusi  bersyaratnya  adalah  distribusi  normal  dan  dapat  dituliskan  sebagai berikut:
( ) ( ( ) ( ) )   ( ̅ ( ) )
Simulasi monte carlo akan digunakan untuk menarik sebuah nilai vektor mean yang baru    dari  distribusi  posterior  untuk ( ) .  Sehingga  dari  iterasi  pertama diperoleh ( ( ) ( ( ) ( ) )) .
Proses di atas merupakan proses DA yang pertama, setelah itu akan kembali kepada step-I berikutnya. Pada iterasi , parameter yang dihasilkan dari proses simulasi dari nilai  posterior  vektor  mean ( ) dan  kovarian ( ) akan  digunakan  pada  step-I  untuk
menghasilkan  satu  set  imputasi  data  lengkap  yang  baru  dan  dapat  dituliskan  sebagai berikut:
( ) ( ( ) ( ) )
Setelah nilai imputasi untuk data hilang yaitu ( ) diperoleh, nilai vektor mean dan matriks kovarian akan kembali diperbaharui. Seperti pada iterasi
, pada step-P akan disimulasi kembali nilai posterior untuk masing-masing parameter tersebut.
Nilai  posterior  parameter pada  iterasi  kedua  diperoleh  dengan  cara  menarik sebuah nilai posterior ( ) dari distribusi bersyarat ( ) yaitu jika nilai data dan ( ) diketahui.  Distribusi  bersyaratnya  adalah  distribusi  invers  wishart  dan  dapat  dituliskan sebagai berikut:
( ) ( )

## ( ) (       (     ) )
Sama seperti pada tahap posterior di iterasi sebelumnya, simulasi monte carlo akan digunakan untuk menarik sebuah nilai matriks kovarian yang baru  dari distribusi posterior untuk ( ) .    Dan  nilai  untuk (     ) yaitu  matriks  cssp  pada  setiap  iterasi  juga  akan berubah, karena nilai mean untuk setiap iterasi akan selalu diperbaharui
Nilai  posterior  vektor  mean,  dapat  disimulasi  dengan  cara  menarik  sebuah  nilai posterior ( ) dari  distribusi  bersyarat ( ) jika  nilai ( ) dan  nilai ( ) diketahui. Distribusi bersyaratnya adalah distribusi normal, dapat dituliskan sebagai berikut:
( ) ( ( ) ( ) )   ( ̅ ( ) ) dari iterasi
akan diperoleh nilai ( ( ) ( ( ) ( ) )) .
Step-I  dan  step-P  ini  akan  terus  berulang  hingga
dan  akan  diperoleh rangkaian:
( ( ) ( ( ) ( ) ))   ( ( ) ( ( ) ( ) ))
yang konvergen kepada distribusi ((    ) ) .
Step-I dan step-P pada DA akan dilakukan secara berulang sampai diperoleh nilai- nilai  data  hilang  yang  konvergen  kepada    distribusi  yang  dituju  yaitu  distribusi ( ) .

## 3. Data dan Metode
3.1.  Data
Contoh  penerapan  data hilang  yang akan diolah  dengan algoritma  DA adalah data kebugaran  fisik dari  pria yang mengikuti kursus kebugaran  fisik di N.C.  State  University. Data  ini  diproleh  dari  menu  Help  &  Documentation  SAS  9.1 [8] .  Data  kebugaran  tersebut terdiri  atas  variabel Oxygen (tingkat  asupan,  ml  per  kilogram  berat  tubuh  per  menit), RunTime (waktu  tempuh  1.5  mil  per  menit),  dan RunPulse (jumlah  denyut  jantung  per menit).  Pada  ketiga  variabel  data  kebugaran  tersebut  secara  acak  ditemukan  adanya  nilai data yang hilang. Data lengkapnya dapat dilihat di Lampiran.

## 3.2. Metode
Untuk  melakukan  pendugaan  nilai  data  hilang  dengan  menggunakan  DA, diperlukan langkah-langkah sebagai berikut:
1. Menguji  distribusi  dari  data,  dalam  hal  ini  diharapkan  data  berasal  dari  distribusi normal multivariate.
2. Memberikan nilai awal bagi parameter μ dan Σ .
3. Menentukan burn  in  period dengan  memperhatikan  nilai  autokorelasi  dan  grafik trace plot .
4. Menghitung dugaan terhadap nilai data yang hilang.
Langkah 2 sampai dengan 4 dilakukan dengan memanfaatkan software SAS 9.1.

## 4. Hasil dan Pembahasan
Sebelum  nilai  data  yang  hilang  diduga,  terlebih  dahulu  dilakukan  uji  terhadap distribusi  dari  data  dengan  tidak  melibatkan  seluruh  data  yang  hilang.  Dalam  hal  ini digunakan  uji  Kolmogorov-Smirnov  dengan  taraf  signifikansi  5%.  Berdasarkan  output Kolmogorov-Smirnov dapat  diketahui  bahwa  nilai  statistik  ujinya  sebesar  0,1192,  dengan nilai  p-value  sebesar  0,8927.  Karena  nilai  p-value  lebih  besar  dari  =  5%,  maka  dapat disimpulkan  bahwa data berasal dari berdistribusi  normal  multivariat. Gambar 1  dibawah ini  menampilkan  garfik  Q-Q  plot  dari  data.  Tampak  bahwa  titik-titik  data  cenderung membentuk  pola  garis  lurus.  Hal  ini  mengindikasikan  bahwa  tidak  ada  alasan  untuk menolak bahwa data berasal dari distribusi normal multivariate.
Untuk  menduga  nilai  hilang  pada  data  tersebut  digunakan  bantuan  software  SAS 9.1.  Sotware  ini  mengggunakan  metode  DA  untuk  mengimputasi  nilai-nilai  hilang  dari variabel  yang  diamati.  Secara  baku,  prosedur  pada  SAS  9.1  menggunakan  sebuah  rantai tunggal untuk menciptakan 5 imputasi. Pada awalnya akan dilakukan iterasi sebanyak 200 iterasi  sebelum  menetapkan  nilai  untuk  data  hilang  pada  imputasi  pertama.  Proses  iterasi awal  ini  merupakan  proses burn-in  period, yaitu  proses  untuk  menghilangkan  pengaruh nilai awal. Distribusi dari iterasi yang terbaru akan mendekati distribusi posterior.  Setelah proses burn-in period , dilanjutkan dengan proses imputasi berikutnya yang terdiri atas 100 iterasi untuk setiap imputasi. Nilai yang diambil untuk nilai data hilang pada tiap satu imputasi adalah nilai akhir dari iterasi pada setiap imputasi tersebut.
Gambar 1 . Plot Q-Q Normal Multivariat
Untuk  melakukan  pendugaan  terhadap  nilai  data  hilang,  pada  iterasi  pertama diberikan  nilai awal untuk  parameter vektor  mean  dan  matrik kovarian  yaitu ( ( ) ( ) ) . Nilai awal untuk mean dan kovarian pada program SAS 9.1 diperoleh dari nilai maksimal
ds c h i 0 2 4 6 8 0 2 4 6 8
posterior  berdasarkan  algoritma Expectation  Maximization (EM).  Nilai  awal  tersebut adalah
( ) ( )
Dari  output  SAS  9.1,  dihasilkan  plot time-series dan  plot  autokorelasi  yang menampilkan rata-rata setiap variabel pengamatan pada setiap iterasi. Plot time-series dan plot  autokorelasi  berguna  untuk  memantau  konvergensi  dari  proses  data  augmentation. Berikut  ini  akan  ditampilkan  plot time-series dan  plot  autokorelasi  untuk  masing-masing variabel pengamatan.
Plot time-series dan plot autokorelasi untuk rata-rata  variabel pengamatan Oxygen setelah nilai data yang hilang diduga pada setiap iterasi adalah:
(a) Plot Time Series Mean Oxygen (b) Plot Autokorelasi Mean Oxygen
Gambar 2 . Plot untuk Pengujian Konvergensi Oxygen
Plot time-series dan plot autokorelasi untuk rata-rata variabel pengamatan RunTime setelah nilai data yang hilang diduga pada setiap iterasi adalah:
(a) Plot Time Series Mean RunTime (b) Plot Autokorelasi Mean RunTime
Gambar 3 . Plot untuk Pengujian Konvergensi RunTime
Plot time-series dan  plot  autokorelasi  untuk  rata-rata  variabel  pengamatan RunPulse setelah nilai data yang hilang diduga pada setiap iterasi adalah:
4 2 4 4 4 6 4 8 5 0 5 2 I t e r a t i o n - 2 0 0 - 1 0 0 0 1 0 0 2 0 0 3 0 0 4 0 0 5 0 0 - 1 . 0 - 0 . 5 0 . 0 0 . 5 1 . 0 L a g 0 2 4 6 8 1 0 1 2 1 4 1 6 1 8 2 0 9 . 5 1 0 . 0 1 0 . 5 1 1 . 0 1 1 . 5 1 2 . 0 I t e r a t i o n - 2 0 0 - 1 0 0 0 1 0 0 2 0 0 3 0 0 4 0 0 5 0 0 - 1 . 0 - 0 . 5 0 . 0 0 . 5 1 . 0 L a g 0 2 4 6 8 1 0 1 2 1 4 1 6 1 8 2 0
(a) Plot Time Series Mean RunPulse (b) Plot Autokorelasi Mean RunPulse
Gambar 4 . Plot untuk Pengujian Konvergensi RunPulse
Secara  keseluruhan  plot time-series untuk  variabel  pengamatan Oxygen , RunTime dan RunPulse menunjukkan  tidak  adanya  trend  naik  atau  turun  untuk  masing-masing variabel  pengamatan  tersebut.  Sehingga  dapat  disimpulkan  bahwa  rata-rata  dari  variabel pengamatan Oxygen , RunTime , dan RunPulse setelah proses imputasi adalah konvergen.
Plot  autokorelasi  untuk  variabel  pengamatan Oxygen , RunTime dan RunPulse merupakan  plot  autokorelasi  yang  menampilkan  rata-rata  setiap  variabel  pengamatan setelah  proses  pendugaan  data  hilang  dilakukan.  Plot  menunjukkan  tidak  adanya autokorelasi positif atau negatif yang signifikan, yang berarti bahwa rata-rata hasil dugaan data  hilang  untuk  setiap  variabel  pengamatan  adalah  tidak  berautokorelasi.  Hal  ini menunjukkan  bahwa  rata-rata  setiap  variabel  pengamatan  bergerak  stabil  kepada  dan konvergen kepada distribusi posterior yang dituju.
Jumlah  imputasi  yang  dijalankan  untuk  proses  pendugaan  nilai  data  hilang  pada makalah  ini  sebanyak =  5  imputasi.  Untuk  setiap  variabel  pengamatan  akan  diambil masing-masing satu nilai (   ) yang terletak di urutan terakhir iterasi pada setiap imputasi. Sehingga akan diperoleh 5 nilai (   ) yang kemudian akan dirata-ratakan. Rata-rata dari 5 nilai (   ) tersebutlah yang kemudian akan menjadi nilai dugaan akhir pada setiap kasus data  hilang  yang  terjadi  di  setiap  variabel.  Berikut  ini  akan  diberikan  masing-masing dugaan nilai data hilang yang terjadi pada variabel Oxygen , RunTime , dan RunPulse . Untuk variabel Oxygen, kasus  nilai data hilang terjadi pada 3 observasi, yaitu pada observasi  ke  4,  20  dan  28.  Tabel  1  adalah  nilai  dugaan  data  hilang  hasil  dari  5  imputasi untuk setiap observasi tersebut.
Tabel 1 . Imputasi Nilai Data Hilang
pada Variabel Oxygen Oxygen i = 4 i = 20 i = 28 1 45,8453 42,6682 48,9234 2 44,4772 48,7259 53,3759 3 46,0266 49,8432 52,5534 4 38,9083 44,0570 54,2722 5 41,2781 45,2122 51,4256 ̅ 43,3071 46,1013 52,1101
1 6 0 1 6 5 1 7 0 1 7 5 1 8 0 1 8 5 I t e r a t i o n - 2 0 0 - 1 0 0 0 1 0 0 2 0 0 3 0 0 4 0 0 5 0 0 - 1 . 0 - 0 . 5 0 . 0 0 . 5 1 . 0 L a g 0 2 4 6 8 1 0 1 2 1 4 1 6 1 8 2 0
Nilai dugaan yang  digunakan untuk  mengisi nilai data  hilang  pada observasi ke 4, 20,  dan  28    untuk  variabel Oxygen adalah  rata-rata  nilai  dugaan  dari  seluruh  imputasi. Sehingga dapat diperoleh nilai dugaan untuk setiap nilai data hilang, yaitu untuk observasi ke  4  adalah  43,3071,  untuk  observasi  ke  20  adalah  46,1013,  dan  untuk  observasi  ke  28 adalah 52,1101.
Untuk variabel RunTime , kasus nilai data hilang terjadi pada 3 observasi, yaitu pada observasi ke 6, 18, dan 23. Berikut ini akan ditampilkan nilai dugaan data hilang hasil dari 5 imputasi untuk setiap observasi tersebut.
Tabel 2 . Imputasi Nilai Data Hilang
pada Variabel RunTime RunTime i = 6 i = 18 i = 23 1 9,6678 6,4514 11,7947 2 10,8393 9,4047 11,8769 3 10,3526 6,3690 12,0637 4 9,9595 7,8424 10,5306 5 9,8532 7,4920 9,7734 ̅ 10,1345 7,5119 11,2079
Nilai dugaan yang  digunakan untuk  mengisi nilai data  hilang  pada observasi ke 6, 18,  dan  23    untuk  variabel RunTime adalah  rata-rata  nilai  dugaan  dari  seluruh  imputasi. Sehingga nilai dugaan untuk observasi ke 6 adalah 10,1345, untuk observasi ke 18 adalah 7,5119, dan untuk observasi ke 23 adalah 11,2079.
Untuk  variabel  pengamatan RunPulse ,  kasus  data  hilang  terjadi  pada  9  observasi, yaitu pada observasi ke 3, 6, 10, 13, 18, 20, 23, 25 dan 28.  Nilai dugaan  yang  digunakan untuk mengisi nilai data hilang pada observasi ke 3, 6, 10, 13, 18, 20, 23, 25 dan 28 untuk variabel RunPulse adalah  adalah  rata-rata  nilai  dugaan  dari  seluruh  imputasi.  Sehingga nilai  dugaan  untuk  observasi  ke  3  =  172,844,  observasi  ke  6  =  166,919,  observasi ke  10  =  168,199,  observasi  ke  13  =  168,132,  observasi  ke  18  =  151,466,  observasi ke 20 = 171, 272, observasi 23 = 173, 692, observasi ke 25 = 169,456, dan untuk observasi ke 28 = 162,839. N ilai dugaan untuk sembilan observasi tersebut akan menyebabkan  data variabel RunPulse menjadi  data  yang  lengkap.  Berikut  ini  akan  ditampilkan  nilai  dugaan data hilang hasil dari 5 imputasi untuk setiap observasi tersebut.
Tabel 3 . Imputasi Nilai Data Hilang pada Variabel RunPulse RunPulse i = 3 i = 6 i = 10 i = 13
i = 18 i = 20 i = 23 i = 25 i = 28 1 173,152 153,736  167,663  168,475 157,713 173,367 166,679  172,442  164,467 2 177,625 173,247  156,654  167,497 153,450 166,869 171,238  161,765  161,878 3 182,673 158,908  174,895  166,419 143,389 156,708 169,385  164,113  159,272 4 170,866 180,711  172,110  149,841 145,778 177,875 190,122  175,069  169,409 5 159,904 167,94 169,675 188,430 156,999 181,542 171,036  173,889  159,168 ̅ 172,844  166,919  168,199  168,132  151,466  171,272  173,692  169,456  162,839
Dengan  diperolehnya  nilai  dugaan  untuk  masing-masing  data  hilang,  maka  data pengamatan kebugaran fisik dari pria yang mengikuti kursus kebugaran fisik di N.C. State University, akan menjadi data pengamatan yang lengkap.

## 5. Kesimpulan
Masalah  nilai  data  hilang  pada  sekumpulan  data  pengamatan  tidak  harus  diatasi dengan  penghapusan  nilai  data  hilang  tersebut.  Nilai  data  hilang  dapat  diatasi  dengan melakukan  pendugaan.  Proses  pendugaan  nilai  data  hilang  dapat  dilakukan  dengan menggunakan  algoritma Data  Augmentation .  Algoritma Data  Augmentation terdiri  atas dua tahap,  yaitu tahap Imputasi  dan tahap  Posterior  yang  akan dilakukan secara berulang sampai  diperoleh  nilai-nilai  data  hilang  yang  konvergen  kepada    distribusi  yang dituju.Kekonvergenan Data  Augmentation dapat  dilihat  dari  tampilan  grafis  yang dihasilkan  pada  output,  yaitu  plot  time-series  dan  plot  autokorelasi.  Penilaian kekonvergenan  berguna  untuk  mengetahui  bahwa  distribusi  dari  setiap  iterasi  yang dihasilkan  adalah  mendekati  distribusi  posterior  yang  benar.  Nilai  dugaan  akhir  untuk setiap  data  hilang  adalah  nilai  rata-rata  dari  nilai  dugaan  pada  setiap  imputasi.  Dimana setiap  imputasi  terdiri  dari  banyak  iterasi  yang  dijalankan,  dan  diambil  satu  nilai  dugaan untuk data hilang pada iterasi terakhir di setiap imputasi.

## DAFTAR PUSTAKA
1. Casella G. and Berger R.L., Statistical Inference , Thomson Learning, Duxbury, 2002.
2. Howell, D.C., The analysis of missing data. In Outhwaite, W. & Turner, S. Handbook of Social Science Methodology , Sage, London, 2008.
3. Johnson, V.E. and Albert, J.M., Ordinal Data Modelling, Springer-Verlag, New York, 1998.
4. Little, R.J.A. and Rubin, D.B., Statistical Analysis with Missing Data . New York, John Wiley & Sons, 1987.
5. Rubin, D. B., Multiple Imputation for Nonresponse in Surveys , New York, John Wiley & Sons, 1987.
6. Schafer, J.L., Analysis of Incomplete Mutivariate Data , New York, Chapman and Hall, 1997.
7. Tanner,  M.A  and  Wong,  W.H.,  The  Calculation  of  Posterior  Distribution  by  Data Augmentation. Journal of the American Statistical Association , 1987, Vol.82, No. 398: 528-540.
8. SAS 9.1 Help & Documentation

## Lampiran
Data kebugaran fisik yang diperoleh dari menu Help & Documentation SAS 9.1.
Nomor Oxygen RunTime RunPulse 1 44.609 11.37 178 2 54.297 8.65 156 3 49.874 9.22 - 4 - 11.95 176 5 39.442 13.08 174 6 50.541 - - 7 44.754 11.12 176 8 51.855 10.33 166 9 40.836 10.95 168 10 46.774 10.25 - 11 39.407 12.63 174 12 45.441 9.63 164 13 45.118 11.08 - 14 45.790 10.47 186 15 48.673 9.40 186 16 47.467 10.50 170 17 45.313 10.07 185 18 59.571 - - 19 44.811 11.63 176 20 - 10.85 - 21 60.055 8.63 170 22 37.388 14.03 186 23 47.273 - - 24 49.156 8.95 180 25 46.672 10.00 - 26 50.388 10.08 168 27 46.080 11.17 156 28 - 8.92 - 29 39.203 12.88 168 30 50.545 9.93 148 31 47.920 11.50 170