Volume 2, Nomor  2, Agustus 2016, Halaman 172 – 182 ISSN: 2442–4668

## STRUKTUR REPRESENTASI EKSTERNAL SISWA PADA TRANSISI PENGETAHUAN BAGUN RUANG KE BANGUN DATAR
Syarifudin 1 , Ummu Fikriyah 2
1 Program Studi Pendidikan matematika STKIP Taman Siswa Bima 2 Guru SMPN 4 Nguling Pasuruan. e-mail: syarifudin.abubakar@yahoo.co.id 1 , ummufikriyahsyarifudin@yahoo.co.id 2

## Abstrak
Tujuan  penelitian  ini  adalah  untuk  mendeskripsikan  struktur  representasi eksternal  siswa  tentang  transisi  pengetahuan  mereka  dari  bangun  ruang  ke bangun  datar.  Penelitian  ini  dilakukan  kepada  8  siswa  SMP  yang  sudah menempuh  materi  bangun  ruang.  Data  diperoleh  dari  hasil  pekerjaan  siswa tentang  membuktikan  soal  luas  permukaan  tabung  dan  hasil  wawancara mendalam.  Data-data  tersebut  direduksi,  diverifikasi  dan  dianalisa.  Hasil penelaitian menunjukkan bahwa representasi eksternal siswa tentang transisi pengetahuan mereka memiliki tiga karakteristik. Pertama siswa
membuktikan  soal  tersebut  dengan  jawaban  persegi  panjang  dan  dua lingkaran, kedua dengan jawaban jajar genjang dan dua lingkaran, dan ketiga ada jawaban dua persegi panjang didapat dari satu persegi panjang utuh dan 4 setengah lingkaran bagian dari tutup dan alas tabung.
Kata Kunci : Struktur Representasi, Transisi, dan Bangun Ruang

## PENDAHULUAN
Pengembangan  kemampuan  matematis  siswa  merupakan  salah  satu  sasaran  utama dalam  pembelajaran  matematika.  Tujuan  dari  pengembangan  pengetahuan  ini  adalah  agar siswa  lebih  memahami  konsep  yang  dipelajarinya  dan  dapat  digunakan dalam memecahkan masalah.  Supaya  bisa  berkembang  seperti  yang  diharapkan,  siswa  dituntut  untuk  memiliki kemampuan representasi matematisnya. Hal ini seperti yang diungkapkan oleh NCTM (2000) bahwa  representasi  adalah  salah  satu  dari  lima  kemampuan  yang  hendaknya  siswa  ketahui dan  dapat  dilakukannya,  yaitu:  pemecahan  masalah , penalaran , komunikasi , koneksi,  dan representasi.  Fennel  (2011)    mendefinisikan  representasi  adalah  proses,  komponen  penting dari pengajaran dan pembelajaran, cara untuk menunjukkan model matematika, dan cara bagi siswa  untuk  menunjukkan  pemikiran  mereka  tentang  matematika.  Jadi  kemampuan  siswa dalam merepresentasikan ide atau gagasan adalah suatu keharusan  yang dimiliki oleh setiap siswa.
Merepresentasikan  ide  atau  gagasan  tersebut  bisa  dilakukan  dengan  berbagai  cara. Cara  yang  biasa  dilakukan  misalnya  dengan  diagram  (gambar)  atau  sajian  benda  konkrit,
tabel chart ,  pernyataan  matematika,  teks  tertulis,  ataupun  kombinasi  dari  semuanya.  Dalam berbagai  cara  tersebut,  menurut  Hiebert  dan  Carpenter  (1992)  representasi  dapat dikelompokkan  menjadi  dua  yaitu  representasi  ekternal  dan  internal.  Representasi  ekternal yang berkaitan tentang berpikir ide matematika dan wujudnya antara lain: verbal, gambar dan benda  konkrit.  Dan  berpikir  tentang  ide  matematika  yang  memungkinkan  pikiran  seseorang bekerja  atas  dasar  ide  tersebut  merupakan  representasi  internal.  Lebih  lanjut  Goldin  (2002) menyatakan  bahwa  representasi  eksternal  adalah  hasil  perwujudan  dalam  menggambarkan apa-apa yang dikerjakan siswa secara internal atau representasi internal. Hasil perwujudan ini dapat  diungkapkan  baik  secara  lisan,  tulisan  dalam  bentuk  kata-kata,  simbol,  ekspresi  atau notasi  matematik,  gambar,  grafik,  diagram,  tabel,  atau  objek  fisik  berupa  alat  peraga.  Jadi representasi adalah bentuk interpretasi pemikiran siswa terhadap sesuatu masalah baik berupa kata-kata atau verbal maupun tulisan, gambar, tabel, grafik, atau simbol matematika lainnya.
Dua  representasi  ini  telah  membantu  siswa  dalam  menyampaikan  ide  atau gagasannya.  Goldin  (2001)  menyatakan  bahwa  interaksi  antara  representasi  internal  dan eksternal  merupakan  dasar  untuk  mengajar  dan  belajar  yang  efektif.  Wetzels,  Kester,  & Merrienboer  (2010)  menyatakan  bahwa  representasi  eksternal  terdiri  dari  dua  bentuk  yaitu representasi descriptive dan depictive .  Representasi descriptive (verbal) terdiri  atas  simbol yang  mempunyai  struktur  sembarang  dan  dihubungkan  dengan  isi  yang  dinyatakan  secara sederhana  dengan  makna  dari  suatu  konvensi,  yakni  teks,  sedangkan  representasi depictive (gambar) termasuk  tanda-tanda  ikonik  yang  dihubungkan  dengan  isi  yang  dinyatakan melalui  fitur  struktural  yang  umum  secara  konkret  atau  pada  tingkatan  lebih  abstrak,  yaitu, display  visual .  Ketika  siswa  dihadapkan  pada  suatu  situasi  masalah  matematika  dalam pembelajaran  di  kelas,  mereka  akan  berusaha  memahami  masalah  tersebut  dan menyelesaikannya  dengan  cara-cara  yang  mereka  ketahui.  Salah  satu  cara  yang  dapat dilakukan  siswa  adalah  dengan  membuat  model  atau  representasi  dari  masalah  tersebut. Model  atau  representasi  yang  di  buat  bisa  bermacam-macam  tergantung  pada  kemampuan masing-masing individu dalam menginterpretasikan masalah yang ada.
Misalnya  pada  materi  bangun  ruang,  materi  ini  membutuhkan  kemampuan  siswa dalam  merepresentasikan  konsep  geometris  yang  berbentuk  abstrak  menjadi  bentuk  tulisan atau  sebaliknya.  Hal  ini  terjadi  karena  dalam  materi  ini  berisikan  simbol-simbol,  rumus- rumus  atau  gambar  yang  menunjukkan  adanya  transisi  dari  suatu  titik,  garis,  atau  bidang tertentu.  Pada  materi  ini,  peneliti  akan  menyusun  struktur  representasi  ekstrernal  siswa  dari hasil  pengerjakaan  soal-soal.  Sturktur  representasi  ekternal  yang  dimaksudkan  adalah  suatu yang  disusun  dengan  pola  tertentu  dan  saling  berhubungan  satu  sama  lain  yang  berkaitan tentang  berpikir  ide  matematika  dan  wujudnya  berupa  verbal  dan  gambar  yang  berkaitan dengan  persegi  panjang,  jajar  genjang,  dan  lingkaran  serta  keterangan-keterangannya.  Oleh karena  itu,  peneliti  inggin  mengali  banagaimana  struktur  representasi  eksternal  siswa  SMP pada  pengetahuan  mereka  tentang  transisi  bangun  datar  ke  bangun  ruang?  Tujuan  dari penelitian  ini  adalah  untuk  mendeskripsikan  struktur  representasi  ekternal  siswa  tentang trasisi bangun datar ke bangun ruang.

## METODE
Penelitian  ini  merupakan  penelitian  kualitatif  dengan  jenis  penelitian  deskriptif eksplorasi. Peneliti mengambil subjek dari sekelompok siswa yang telah mempelajari materi bangun  ruang  sisi  lengkung.  Tujuan  yang  diharapkan  dalam  penelitian  ini  adalah  untuk mendapatkan  struktur  representasi  eksternal  siswa  tentang  pengetahuan  mereka  dari  transisi bangun  datar  ke  bangun  ruang  yang  sudah  tersimpan  dalam  memorinya.  Pengambilan  data dialakukan dengan cara memberikan soal tentang bangun ruang sisi lengkung. Siswa diminta untuk  mengerjakan  soal-soal  tersebut  dengan  pengetahuan  yang  sudah  dimulikinya.  Dari jawaban  siswa  diperoleh  data  tertulis  yang  bersifat  deskripstif  tentang  kemampuan  siswa dalam mengerjakan soal. Data tersebut dianalis dengan pendektakan analisis konten (Cohen, 2007). Jawaban siswa dianalisis dan direduksi sesuai dengan data  yang diharapkan. Berikut ini adalah instrumen tes yang digunakan dalam penelitian ini.
Gambarlah suatu tabung dengan jari-jari dan tinggi sembarang. Dari hasil gambar tersebut,  buktikan  bahwa  luas  permukaan  tabung  adalah dan  hitunglah  luas permukaannya?
Dari  soal  tersebut,  ada  dua  tipe  soal  yaitu  soal  pembuktian  dan  soal  perhitungan. Dua  soal  ini  memiliki  tujuan  adalah  siswa  diharapkan  mampu  membuktikan  dengan  cara menggambar.  Dan  soal  ke  dua  diharapkan  siswa  mengerjakan  perhitungan,  karena  soal tersebut harus dipotong, maka harapanya adalah siswa akan mempertimbangkan panjangnya jari-jari atau tinggi tabung tersebut berkurang.

## HASIL
Hasil  penelitian  ini  akan  dipaparkan  dari  3  subyek  yang  disimbolkan  S1,  S2,  dan  S3. Tiga subyek ini dipilih karena memiliki jawaban berbeda dari teman-teman yang lainnya dan peneliti  menilai  jawaban  mereka  akan  tergambar  tentang  adanya  transisi  pengetahuan  siswa dari bangun datar ke bangun ruang. Hasil pengerjaan S1 dapat dilihat berikut ini.
Gambar 1. Jawaban soal pembuktian oleh S1.
Gambar 2. Jawaban soal hitungan oleh S1.
Dari hasil pekerjaan S1 tersebut bahwa untuk membuktikan luas permukaan tabung, dia mengambar  jaring-jaring  tabungnya.  Dari  gambar  jaring-jaring  tabung,  siswa  memisah- misahkan menjadi beberapa bangun datar. Bangun datar tersebut berupa satu persegi panjang dan dua lingkaran. Supaya peneliti mendapatkan alasan kenapa S1 menjawab sepeti itu, maka peneliti  melakukan  wawancara.  Berikut  ini  cuplikan  wawancara  peneliti  tentang  proses pengerjaan siswa tersebut.
P : kenapa harus digambar seperti ini?
S1  : tujuannya supaya saya bisa membuktikan soal ini pak guru.
P : masah sih... harus seperti itu
S1  :  iya  pak...  saya  pernah  belajar  tentang  ini,  pada  tabung  ini  saya  potong  menjadi persegi panjang, tutup dan alas bentuknya lingkaran.
P : apa yang kamu lakukan dari gambar ini (saya tunjuk gambarnya dia)
S1  : inikan persegi panjang, kalau rumus persegi panjang itu adalah panjang dikali lebar, P : berarti dong...
S1  : bukan... setahu saya rumusnya itu
P : tahu dari mana rumus seperti itu?
S1  :  kan...  sebelum  saya  gambar  menjadi  bentuknya  seperti  persegi  panjang,  ini  seperti keliling tabung yang berbentuk lingkaran (dia tunjuk gambar tabung), makanya saya sebut
P : masak.. rumus keliling lingkaran seperti itu?
S1  : mmm.... oh iya t nya itu sebagai tinggi tabung pak
P : loh... katanya rumus persegi panjang tadi
, berarti bukan t donk?
S1  : pak guru... sama aja tinggi dengan lebar itu
P   : oh begitu... trus bagaimana dengan gambar kedua lingkaran ini?
S1  : rumus luas atap tabung yang berbentuk lingkaran ini adalah
P : kamu ketahui dari mana? S1  : dulu saya pernah kegaiatan sama ibu guru, kami dapatkan seperti itu.
P : oke lah kalau begitu... terus kamu apakan dari rumus-rumus tersebut.
S1  :  ini  rumus  luas  permukaan  persegi  panjang  dan  dua  luas  tutp  dan  alas...  sehingga kalau ditambahkan menjadi (dia tunjuk tulisan)
P : Selain berbentuk persegi panjang, apakah ada bentuk lain?
S1  : iya ada pak guru
Selain  peneliti  tanya  proses  S1  mengerjakan  bukti  tersebut,  peneliti  menanyakan tentang gambar-gambar yang dia buat. Berikut ini cuplikan wawancaranya.
P : tabung itu apakah tergolong bangun ruang atau bangun datar?
S1  : mmm... bangun ruang pak guru

## P : apa alasannya?
S1  :  karena  ada  ruang  yang  kosong  di  dalam  ini  (dia  tunjuk  tengah-tengah  gambar tabung)
P : trus dari kegita gambar yang kamu buat ini, tergolong bangun ruang atau datar S1  :  bangun  datar  pak  guru,  karena  gambar  ini  (sambil  menunjuk  gambar)  memiliki panjang dan lebar
P : kok gambar melingkarnya tidak seperti lingkaran?
S1  : maaf pak... tapi ini lingkaran dari atas dan alasnya tabung
P : kamu pernah belajar tentang jaring-jaring bangun ruang S1  : iya pernah pak guru..
P : trus hubunganya yang kamu gambar ini dengn pelajaran tersebut apa
S1  : nah.. yang saya gambar ini adalah jaring-jaring tabung P : apa hanya bisa seperti ini aja gambarnya
S1  : Tidak pak guru..
P : coba kamu gambarkan model-model yang lainnya
Selanjutnya  peneliti  wawancara  subyek  S2.  Berikut  ini  hasil  wawancara  dan  jawaban pekerjaan yang berbeda dari subyek S2.
Jawaban Pembuktian oleh S2.

## Gambar 3. Jawaban soal pembuktian oleh S2.
Dari jawaban tersebut, saya mewawancari secara mendalam tentang jawaban S2.
P : kenapa hasil jawaban kamu ini beda dengan jawaban dari banyak teman
S2  : kan ... yang penting sama tujuannya pak guru
P : oh begitu... apa alasanya gambar berbentuk jajar genjang
S2  :  ini  pengalaman  dari  hasil  kegiatan  sama  ibu  guru  dulu,  makanya  sama  aja jawabannya pak guru
P : pintar...
Lebih  lanjut  berikut  ini  uraian  jawaban  S3  dan  cuplikan  hasil  wawancara  peneliti dengan S3.

## Gambar 4. Jawaban soal pembuktian oleh S3.
Dari jawaban tersebut, peneliti mewawancara secara mendalam ke S3.
P  :  kenapa  kamu  punya  pikiran  membagi  empat  dua  lingkaran  menjadi  setengah lingkaran.
S3 :  dulu  saya  waktu  lakukan  kegiatan  dengan  ibu  guru...  saya  kesulitan  memotong  alat peraga tabung. Akhirnya saya gunting membagi dua aja tabung tersebut.
P  : trus langkah kamu selanjutnya apa?
S3 :  bingung  ...  dan  dibantu  oleh  ibu  guru.  Akhiynya  saya  punya  gambar  seperti  ini  (dia menunjuk gambarnya)
P  : pintar..
Setelah  saya  mewawancar  tentang  proses  pengerjaan  soal  pertama,  saya  lanjutkan dengan wawancara soal perhitungan. Pada soal kedua ini ada harapan saya tentang pemikiran mereka  setelah  dipotong  tabungnya  akan  berubah  panjang  dan  tingginya  dari  permukaanya itu.  Hal  tersebut  belum  saya  temukan.  Berikut  ini  cuplikan  wawancaranya  dari  salah  satu subyek  penelitian.  Hal  ini  karena  jawaban  mereka  sama  semua.  Berikut  ini  cuplikan wawancaranya.
P  :  dari  panjang  jari-jari  dan  tinggi  tabung  ini,  setelah  dipotong  apakah  tidak  berkurang panjangnya?
S1 : mmm ... oh iya ya... (semau siswa tidak memirkan hal tersebut)
P  : jika berkurang, bagaimana?
S1 : Berarti luar permukaan tabung yang kami hitung ini salah pak guru ya?
P  : iya donk.... tap tidak apa-apalah...

## PEMBAHASAN
Hasil penelitian ini, dapat dijelaskan bahwa siswa membuktikan luas permukaan tabung dengan  cara  mengambar  beberapa  bagian  bangun  ruang  menjadi  bangun  datar.  Cara  seperti ini merupakan cara merepresentasikan suatu ide atau gagasan dalam bentuk gambar. Wetzels, Kester,  &  Merrienboer  (2010)  menyatakan  representasi  ekternal  salah  satunya  dengan gambar  ( depictive ).  Cara  siswa  membuktikan  dengan  gambar  dari  bangun  ruang  menjadi bangun  datar  merupakan  suatu  cara  untuk  mempermudahkan  mereka.  Ini  berarti  bahwa pengolahan  representasi  bergambar  mungkin  memerlukan  upaya  mental  kurang  dari  pada pengolahan representasi verbal (Cox, 1999; Mayer, 2001).
Hasil-hasil  pekerjaan  tersebut,  bisa  kita  ketahui  bahwa  cara-cara  siswa  mengerjakan soal-soal  dengan  menggunkan  pengetahuan  sebelumnya.  Proses  membangun  representasi eksternal  dan  berinteraksi  dapat  menumbuhkan  pemahaman  peserta  didik,  terutama  jika representasi memiliki tingkat kesulitan  yang tinggi (Wetzels, Kester, & Merrienboer, 2010). Dari  pengetahuan  atau  pemahaman  mereka,  maka  mereka  dapat  menggambarkan  jaring- jaring tabung. Mereka dapat menggambarkan dengan cara  yang bermacama-macam. Hal ini sesuai  dengan  pandangan  NCTM  (2000)  bahwa  siswa  menggunakan  representasi  untuk memodelkan dan menginterpretasikan fenomena fisik, sosial, dan fenomena matematika.
Siswa  menjawab  pembuktian  tentang  luas  permukaan  tabung  dengan  cara mengambarkan dua lingkaran dan satu persegi panjang. Dari gambar ini mereka menentukan rumus luas lingkaran yang ada dibagian atas tabung adalah dan luas lingkaran yang ada dibagian  alas serta  luas  persegi  panjang .  Dari  hasil  gambar-gambar  ini  dengan sudah  ditentukan  rumus  luas  masing-masinya,  selajutnya  siswa  menjumlahkan  sehingga menghasilkan
luas permukaan tabung adalah .  Dalam  wawancara,  peneliti  menanyakan
kenapa  luas  persegi  panjang  adalah
siswa  menjawab  bahwa  persegi  panjang  tersebur berawal dari keliling tabung yang berbentuk lingkaran. Jadi adalah keliling lingkaran dan jika gambar dalam bentuk bagun datar, maka akan terbentuk panjang persegi panjang dan t sebagai tingi tabung tersebut. Berikut ini jawaban siswanya.

## Gambar 5. Jawaban soal pembuktian oleh S1.
Bagi  siswa  menjawab  soal  dengan  membuktikan  luas  permukaan  tabung  dengan  cara mengambar  bagung  datar  dua  lingkaran  dan  satu  jajar  genjang.  Siswa  ini  mengambar  dua lingkaran dan jajar genjang memiliki alas. Alasan dia mengambar jajar genjang adalah ketika siswa  sudah  pernah  melakukan  pembuktian  luas  permukaan  tabung  dengan  menggunakan gunting yang besar, sehingga dia sulit menggunting secara lurus. Akhirnya dia menggunting miring.  Pada  awalanya  dia  tidak  percaya  diri  melanjutkan  pengerjaan  tersebut.  Setelah dibinbing  oleh  guru,  akhirnya  dia  bisa  juga.  Untuk  luas  lingkaran  sebagai  alas  dan  tutup
BANGUN RUANG BERUPA TABUNG BANGUN DATAR BERBENTUK PERSEGI PANJANG LINGKARAN
TUTUP TABUNG
LINGKARAN ALAS TABUNG
tabung  adalah  berturut-turut .  Sedangkan  luas  jajar  genjang  adalah .  Jadi
luas permukaan tabung adalah
Berikut ini hasil jawaban siswa tersebut.

## Gambar 6. Jawaban soal pembuktian oleh S2.
Ada  jawaban  siswa  yang  lebih  unik  lagi.  Dia  mengembangkan  jawabanya  bahwa tabung tersebut gambar dengan cara lingkaran pada alas dan tutup tabung dibagi 2 sehingga ada  4  lingkaran  yang  berbentuk  setengah.  Dan  selanjutnya  ada  2  persegi  panjang  yang terbentuk  dari  satu  persegi  panjang  yang  utuh.  Jika  masing-masing  bangun  datar  yang digambarkan oleh siswa ini dijumlahkan, maka didaptkan adalah
. Lebih lanjut berikut ini uraian jawaban S3.
Gambar 7. Jawaban soal pembuktian oleh S3.
Bangun Ruang
Berupa  Tabung
Bangun Datar Berbentuk Trapesium Lingkaran Tutup Tabung Lingkaran Alas Tabung
Bangun Ruang Berupa  Tabung Bangun Datar Berbentuk Persegi 1 Setengah Lingkaran Tutup Tabung Setengah Lingkaran Alas Tabung Bangun Datar Berbentuk Persegi 2
Selanjutnya  jawaban  siswa  dari  soal  perhitungan  luas  permukaan  tabung  didapatkan bahwa  mereka  hanya  menjawab  seperti  soal-soal  perhitungan  biasa.  Tidak  ada  siswa  yang memikirkan bahwa jika dari permukaan tabung tersebut dipotong permukaannya (tegak, atap, dan alasnya) ada pengurangan ukuran jari-jari atau tinggi tabung tersebut. Hal ini siswa masih memikirkan bahwa soal-soal yang dikerjakan oleh meraka masih tingkatanya sangat abstrak. Jawaban siswa adalah berikut ini.
Gambar 8. Jawaban soal perhitungan oleh S1.
Dari uraian-uraian tersebut  dapat  dibuatkan struktur representasi ekternal  siswa  dalam kegiatan  transisi  pengetahuan  dari  bangun  ruang  ke  bangun  datar  dalam  membuktikan  soal tersebut.  Berikut  ini  langkah-langkah  pemahaman  mereka  dalam  transisi  pengetahuan  dari bangun ruang ke bangun datar untuk membuktikan luas permukaan tabung.
1. Siswa memahami masalah dengan mempertimbangkan tujuan dari pertanyaan
2. Siswa fokus pada pembuktian bahwa luas permukaan tabung adalah
3. Siswa menyusun rencana
a. Luas persegi panjang yang ada pada permukaan tabung tersebut
b. Luas lingkaran yang ada pada permukaan tabung tersebut
c. Luas trapesium
d. Luas setengah lingkaran
e. luas 2 persegi panjang terpecah dari persegi panjang yang membentuk tabung
4. Siswa melaksanakan pembuktian
a. Luas  selimut  tabung  yang  berbentuk  persegi  panjang  atau  jajar  genjang  dengan panjang dan lebar t
b. Luas lingkaran yang ada pada alas dan tutup tabung berturut-turut adalah dan .
Dari langkah-langkah pengejaan tersebut dapat digambarkan strukturnya sebagai berikut.
Gambar  8.  Struktur  Representasi  Transisi  Bangun  Rung  dalam  pembuktian  Luas Permukaan Tabung
Memahami Masalah Fokus Bukti Menyusun Rencana Melaksanakan Pembuktian Persegi Panjang Lingkaran Luas Lingkaran (atas) Jajar Genjang Setengah Lingkaran Luas setengah lingkaran (atas) Luas Persegi panjang Persegi Panjang Luas lingkaran (alas) Luas setengah lingkaran (alas) Luas Jajar Genjang Luas Permukaan Tabung 2 kali Luas Persegi panjang

## SIMPULAN
Hasil  pekerjaan  siswa  dalam  membuktikan  luas  permukaan  tabung  dengan  cara merepresentasikan  beberapa  bentuk  bangun  datar.  Bangun  datar  yang  digambar  adalah lingkaran  penuh,  setengah  lingkaran,  persegi  panjang,  jajar  genjang,  dan  ada  dua  persegi panjang  didapatkan  pembagian  dari  satu  persegi  panjang  yang  membentuk  tabung.  Cara menjawab seperti ini merupakan representasi ekternal siswa yang berupa gambar dari bangun ruang  menjadi  bangun  datar.  Berbagai  variasi  cara  mengambar  untuk  membuktikan  luas permukaan tabung bisa dibentuk suatu struktur representasi ekternal siswa dari trasisi bangun ruang. Gambar strutur representasi eksternal siswa tersebut dapat dilihat pada gambar 8.

## DAFTAR RUJUKAN
Cox,  R.  1999.  Representation  construction,  externalised  cognition  and  individual differences. Learning andInstruction, 9, 343-363. Cuoco,  A.  A.,  &  Curcio,  F.  R.  (Eds.).  2001. The  roles  of  representation  in  school mathematics . National Council of Teachers of.
Irene T, Miura. 2001. The Roles of Representation in School Mathematics: The Influence of Language on Mathematical Representation. NCTM.
Hiebert, J., & Carpenter, T. P. 1992. Learning and teaching with understanding.
Goldin,  G.,  &  Shteingold,  N.  2001.  Systems  of  representations  and  the  development  of mathematical concepts. The roles of representation in school mathematics , 2001 , 1-23. Goldin, G. A. 2002. Representation in Mathematical Learning and Problem Solving. In L.D English  (Ed)  International  Research  in  Mathematical  Education  IRME, 197-218. New Jersey: Lawrence Erlbaum Associates.
Mayer,  RE  2001. Multimedia  learning. Cambridge,  UK:  Cambridge  University  Press. NCTM  2000. Principles  and  Standards  for  School  Mathematics, Reston,  Virginia. Patricia.  C.  Alcaro,  dkk.  2000. Fractions  Attack!  Children  Thinking  and  Talking Mathematically. Teaching Children Mathematics Vol 6 No 9 Mei 2000. Hal: 562-567
Wetzels,  S.,  Kester,  L.,  &  Van  Merriënboer,  J.  2010.  Use  of  external  representations  in science: Prompting and reinforcing prior knowledge activation.