## Contemporary Mathematics and Applications
Vol. 4, No. 1, 2022, pp. 15-27.

## Pewarnaan Titik Ketakteraturan Lokal Inklusif pada Keluarga Graf Unicyclic
A. I. Kristiana 1,* , M. G. Halim 1 & R. Adawiyah 1
1 Pendidikan Matematika, Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan, Universitas Jember
*Corresponding author : arika.fkip@unej.ac.id
Abstract. The  graph  in  this  paper  is  a  simple  and  connected  graph  with ( ) V G is  vertex  set  and ( ) E G is  edge  set.  An  inklusif  local  irregularity  vertex  coloring  is  defined  should  be  maping
( )   : 1, 2,..., l V G k → as  vertex  labeling  and ( ) : i w V G N → is  function  of  inclusive  local
irregularity vertex coloring, with ( ) ( ) ( ) ( )
i w v l v l u u N v = +   . in other words, an inclusive local irregularity vertex coloring is to assign a color to the graph with the resulting weight value by adding up the labels of the vertices that are should be neighboring to its own label. The minimum number of colors produced from inclusive local irregularity vertex coloring of graph G is called inclusive chromatic number local irregularity, denoted by ( ) i lis G  . Should be in this paper, we learn about the  inclusive  local  irregularity  vertex  coloring  and  determine  the  chromatic  number  on  unicyclic graphs.
Keywords: graph, an inclusive local irregularity vertex coloring, unicyclic graphs.

## 1 Pendahuluan
Sebuah  graf  didefinisikan  sebagai  himpunan  terurut  dari ( ) , V E dimana V adalah himpunan  tak  kosong  dari  elemen  yang  disebut  titik  dan E adalah  himpunan  sisi  yang berhingga dan boleh kosong serta setiap sisi menghubungkan dua titik berbeda di V [6]. Salah  satu  teori  graf  yang  saat  ini  terus  dikembangkan  yaitu  pewarnaan  pada  graf. Pewarnaan  pada  graf  adalah  pemberian  warna  pada  elemen  yang  terdapat  pada  graf dimana  pada  penelitian  ini  yaitu  titik,  sedemikian  sehingga  titik-titik  yang  bertetangga memiliki warna yang berbeda. jumlah warna minimum yang dihasilkan dalam pewarnaan graf disebut dengan bilangan kromatik [1]. ada beberapa kasus khusus dalam pewarnaan graf salah satunya adalah pewarnaan titik ketakteraturan lokal inklusif.
Pewarnaan  titik  ketakteraturan  lokal  inklusif  merupakan  perkembangan  dari  konsep pewarnaan  titik  ketakteraturan  lokal.  Pada  pewarnaan  titik  ketakteraturan  lokal,  bobot titik dihasilkan melalui penjumlahan label titik-titik yang bertetangga dengan titik yang akan  dicari  bobotnya.  Pada  pewarnaan  titik  ketakteraturan  lokal  inklusif,  bobot  titik
dihasilkan melalui penjumlahan titik-titik yang bertetangga dengan titik dirinya sendiri. Pewarnaan  dilakukan  seminimal  mungkin  sedemikian  sehingga  titik  yang  bertetangga memiliki warna yang berbeda [3]. Pewarnaan titik ketakteraturan lokal inklusif pertama kali  dikemukakan  oleh  A.I  Kristiana  dkk  (2020)  dan  telah  didapatkan  definisi  tentang pewarnaan titik ketakteraturan lokal inklusif sebagai berikut:
Definisi  1 [4] Diberikan ( )   : 1, 2,..., l V G k → adalah  fungsi  label  dan ( ) : i w V G N → adalah  fungsi  bobot  pewarnaan  titik  ketakteraturan  lokal  inklusif  dengan ( ) ( ) ( ) ( ) i u N v w v l v l u  = +  . Pelabelan dikatakan sebagai pewarnaan titik ketakteraturan lokal inklusif jika :
(i) ( )     min max ; a a Opt l l l = ; adalah pelabelan titik ketakteraturan lokal inklusif (ii) Untuk setiap titik ( ) ( ) ( ) , i i uv E G w u w v   .
Definisi  2 [3] Jumlah  warna  minimum  yang  dihasilkan  dari  pewarnaan  titik ketakteraturan lokal inklusif sebuah graf G diseut bilangan kromatik titik ketakteraturan lokal inklusif, dinotasikan dengan ( ) i lis G  .
Untuk  memudahkan  dalam  menemukan  pewarnaan  titik  ketakteraturan  lokal  inklusif pada  penelitian  ini,  maka  akan  digunakan  lemma,  proposisi,  dan  observasi  sebagai berikut:
Lemma  1 [3] Diberikan  graf  G  adalah  graf  sederhana  dan  terhubung,  maka
( ) ( ) i lis lis G G    Proposisi  1 [5] Graf  cricket ( ) , m n Cr didapatkan  melalui  penggabungan  graf  lingkaran berorder m dengan 3 m  dengan graf tunggal yang memiliki dua sisi pada satu titik yang terdapat pada graf lingkaran. Graf tunggal berorder n dengan 3 n  . Bilangan kromatik ketakteraturan lokal graf cricket ( ) , m n Cr adalah ( ) , 4 lis m n Cr  = .
Proposisi 2 [5] Graf tadpole ( ) , m n T merupakan hasil penggabungan dari graf lingkaran berorder  m  dengan 3 m  dan  graf  lintasan  berorder  n  dengan 3 n  di  titik 1 x pada lingkaran.  Bilangan  kromatik  ketakteraturan  lokal  graf  tadpole ( ) , m n T adalah ( ) , 4 lis m n T  = .
Observasi  1  Graf  peach ( ) m n C merupakan  gabungan  dari  graf  lingkaran  berorder  m dengan 3 m  dan  pendant  berorder  n  dengan 4 n  yang  terletak  di  titik 1 x pada
lingkaran. Bilangan kromatik ketakteraturan local graf peach ( ) m n C adalah ( ) 3 m lis n C  =
.
A.I. Kristiana  dkk telah melakukan penelitian terkait pewarnaan titik ketakteraturan lokal inklusif  pada  beberapa  graf  sederhana,  yang  meliputi  graf  lintasan,  graf  lingkaran  dan graf bintang [3]. Penelitian tersebut  menjadi  penelitian awal  mengenai  pewarnaan titik ketakteraturan lokal inklusif  yang kemudian dilanjutkan oleh penelitian lain  yaitu U.A Anwar dkk [7] yang meneliti mengenai pewarnaan titik ketakteraturan lokal inklusif pada keluarga  graf  pohon  dan  Maarif    A.  dkk  [4]  yang  meneliti  mengenai  pewarnaan  titik ketakteraturan lokal inklusif pada graf kipas, graf petasan, dan graf matahari.
Keluarga graf unicylic adalah gabungan dari graf-graf terhubung dan hanya memiliki satu siklus  saja.  Graf  siklus  merupakan  graf  lintasan  berorder n dengan  sisi  yang menghubungkan  titik  ke n dengan  titik  awal.  Graf  siklus  biasa  disebut  dengan  graf lingkaran. Graf unicylic memiliki keunikan tersendiri dimana jumlah titik dan sisi yang sama pada setiap grafnya [2].
Mengingat  bahwa  penelitian  mengenai  pewarnaan  titik  ketakteraturan  lokal  inklusif masih  tergolong  penelitian  baru  sehingga  masih  banyak  jenis  graf  yang  belum  diteliti. Maka  dari  itu,  peneliti  tertarik  untuk  melakukan  penelitian  mengenai  pewarnaan  titik ketakteraturan lokal inklusif pada keluarga graf unicyclic yang meliputi graf cricket, graf tadpole, dan graf peach.

## 2 Metode Penelitian
Penelitian  ini  menggunakan  beberapa  metode  pendukung  diantaranya  yaitu  metode pendeteksi pola dan metode deduksi aksiomatik. Perumusan pola untuk setiap graf yang diteliti, diolah menggunakan metode pendeteksi pola sedangkan untuk metode deduksi aksiomatik  digunakan  dengan  menerapkan  prinsip-prinsip  pembuktian  deduktif  yang berlaku dalam logika matematika. Dalam penelitian ini, menggunakan beberapa lemma, dan  proposisi  yang  sudah  ada  kemudian  diterapkan  dalam  penyelesaian  dari  suatu permasalahan yang berkaitan dengan pewarnaan titik ketakteraturan lokal inklusif.

## 3 Hasil dan Pembahasan
Dalam artikel ini, kami membahas bilangan kromatik titik ketakteraturan lokal inklusif pada keluarga graf unicyclic yang meliputi graf cricket , graf tadpole , graf peach , graf net , graf bull dan menghasilkan teorema yang terurai sebagai berikut
Theorem 1. Bilangan kromatik ketakteraturan lokal inklusif pada graf cricket ( ) , m n Cr
dengan 4 m  dan 4 n  adalah
( ) , 4, , 4
5, , 4 i lis m n m gasal n Cr m genap n    =   
Bukti. Diketahui  Graf ( ) , m n Cr adalah  graf cricket memiliki  himpunan  titik ( ) V G =     ;1 ;1 i j x i m y j n      dan himpunan sisi ( )     1 1 ;1 1 i i m E G x x i m x x + =   −     ( )   1 2 2 1 ;1 1 n j j x y x y y y i n +     − . Sehingga kardinalitas titik dan sisi berturut-turut
yaitu ( ) V G m n = + dan ( ) E G m n = + .  Terdapat  dua  kasus  penyelesaian  bilangan kromatik ketakteraturan lokal inklusif pada graf cricket ( ) , m n Cr dengan 4 m  dan 4 n  sebagai berikut.
Kasus 1. Untuk m gasal dan 4 n 
Misalkan graf cricket yaitu untuk m gasal dan 4 n  . Akan dibuktikan batas atas dan batas bawah melalui pelabelan. Diambil sampel pelabelan untuk titik-titik bertetangga memiliki bobot yang sama apabila dilabeli dengan 1 yaitu ( ) ( ) 1 i i i w x l x + = + ( ) ( ) 1 2 3 i i l x l x + + + = dan ( ) ( ) 2 1 i i i w x l x + + = ( ) ( ) 2 3 3 i i l x l x + + + + = .  Kondisi  ini  bertentangan  dengan  Definisi dimana ( ) ( ) 1 i i i i w x w x +  sehingga dalam pembuktian kasus ini ( ) 2 opt l  . Berdasarkan Lemma  1  dan  Proposisi  1  diketahui  bahwa  batas  bawah  dari  bilangan  kromatik ketakteraturan lokal inklusif dari graf cricket adalah 4 i lis lis    = sedangkan batas atas dari  bilangan  kromatik  ketakteraturan  lokal  inklusif  didefinisikan  dengan ( )   , : 1, 2 m n l V Cr → . Berikut adalah pelabelan yang dihasilkan pada graf cricket ( ) , m n Cr ( ) ( ) 1, 2, 1, 2, i i untuk i gasal l x untuk i genap untuk i gasal l y untuk i genap  =    =  
Sehingga  bobot  titik  yang  diperoleh  dari  penjumlahan  label  yang  bertetangga  dengan label dirinya sendiri adalah sebagai berikut.
( ) ( ) 5, 4, 3, 1, 4, 5, 6, 2 i i i i untuk i gasal w x untuk i genap
untuk i i n untuk i genap w y untuk i gasal untuk i  =   = =   =  =  =   = 
Berdasarkan  perhitungan  bobot  di  atas  didapatkan
( ) , 4 m n w Cr = .  Berdasarkan  batas bawah  melalui  Proposisi  1  dan  batas  atas  melalui  pelabelan  di  atas  didapatkan 4 4 i lis lis   =  = .  Sehingga  berdasarkan  Definisi  1  mengenai  pewarnaan  titik ketakteraturan  lokal  inlusif  didapatkan  bilangan  kromatik  ketakteraturan  lokal  inklusif pada graf cricket dengan m gasal dan 4 n  adalah 4.
Kasus 2. Untuk m genap dan 4 n 
Misalkan graf cricket yaitu untuk m genap dan 4 n  . Akan dibuktikan batas  atas dan batas  bawah  melalui  pelabelan.  Diambil  sampel  pelabelan  untuk  titik-titik  bertetangga memiliki  bobot  yang  sama  apabila  dilabeli  dengan  1  dan  2  yaitu ( ) ( ) 1 i i i w x l x + = +
( ) ( ) 1 2 3 i i l x l x + + + = dan ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 2 3 3 i i i i i w x l x l x l x + + + +
= + + = .  Dua  titik  tersebut memiliki bobot titik yang sama, sedangkan diketahui bahwa  titik 1 i x + dan 2 i x + adalah dua  titik  bertetangga.  Kondisi  ini  bertentangan  dengan  Definisi  1  dimana
( ) ( ) 1 2 i i i i w x w x + +  sehingga  dalam  pembuktian  kasus  ini ( ) 2 opt l  .  Berdasarkan Lemma  1  dan  Proposisi  1  diketahui  bahwa  batas  bawah  dari  bilangan  kromatik ketakteraturan  lokal  inklusif  dari  graf cricket adalah 4 i lis lis    = .  Batas  atas  dari
bilangan kromatik ketakteraturan lokal inklusif didefinisikan dengan
( )   , : 1, 2, 3 m n l V Cr → .  Berikut  adalah  pelabelan  yang  dihasilkan  pada  graf cricket ( ) , m n Cr ( ) ( ) 1, 2, 1, 2, 3, 2 i i untuk i gasal l x untuk i genap untuk i gasal l y untuk i genap untuk i  =     =   = 
Sehingga  bobot  titik  yang  diperoleh  dari  penjumlahan  label  yang  bertetangga  dengan label dirinya sendiri adalah sebagai berikut.
( ) 4, 5, 6, 1 i i untuk i genap w x untuk i gasal untuk i dan i n   =   = =  ( ) 3, 4, 1
5, 6, 3 8, 2 i i untuk i n
untuk i dan i genap w y untuk i gasal
untuk i untuk i =   = =  = =   =  = 
Berdasarkan  perhitungan  bobot  di  atas  didapattkan
( ) ,
5 m n w Cr = .  Berdasarkan  batas bawah  melalui  Proposisi  1  dan  batas  atas  melalui  pelabelan  di  atas  didapatkan 5 4 i lis lis   =  = .  Sehingga  berdasarkan  Definisi  1  mengenai  pewarnaan  titik ketakteraturan  lokal  inlusif  didapatkan  bilangan  kromatik  ketakteraturan  lokal  inklusif pada graf cricket dengan m genap dan 4 n  adalah 5.
Gambar 1 Graf Cricket ( ) 6,6 Cr
Gambar 1 adalah hasil dari pewarnaan titik ketakteraturan lokal inklusif pada graf cricket untuk m genap dan 4 n  . Terdapat 4 warna berbeda yang didapatkan melalui pelabelan dan disesuaikan dengan definisi pewarnaan titik ketakteraturan lokal inklusif. Pelabelan
dilakukan dimulai dengan melabeli titik 1 2 , x x dan seterusnya hingga n x lalu dilanjutkan dengan pelabelan titik 1 2 , y y dan seterusnya.
Theorem 2. Bilangan kromatik ketakteraturan lokal inklusif pada graf tadpole ( ) , m n T dengan 4 m  dan 3 n  adalah
( ) , 4, untuk
, 3
5, untuk , 3 i lis m n m genap n T m gasal n    =   
Bukti. Diketahui  Graf ( ) , m n T adalah  graf tadpole yang memiliki  himpunan  titik ( ) 
   ;1 ;1 i j V G x i m y j n =      dan himpunan sisi ( )  1 ;1 i i E G x x i + =          1 1 1 1 1 ;1 1 m j j m x x x y y y i n + −      − .  Sehingga  kardinalitas  titik  dan  sisi berturut-turut  yaitu ( ) V G m n = + dan ( ) E G m n = + .  Terdapat  dua  kasus  bilangan kromatik ketakteraturan lokal inklusif pada graf tadpole ( ) , m n T dengan 4 m  dan 3 n  sebagai berikut.
Kasus 1. Untuk m genap dan 3 n 
Misalkan graf tadpole yaitu untuk m genap dan 3 n  . Akan dibuktikan batas atas dan batas  bawah  melalui  pelabelan.  Diambil  sampel  pelabelan  untuk  titik-titik  bertetangga memiliki bobot yang sama apabila dilabeli dengan 1 yaitu ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 3 i i i i i w x l x l x l x + + + = + + = dan ( ) ( ) 2 1 i i i w x l x + + = ( ) ( ) 2 3 3 i i l x l x + + + + = .  Dua titik tersebut memiliki bobot titik yang sama, sedangkan diketahui bahwa  titik 1 i x + dan 2 i x + adalah  dua  titik  bertetangga.  Kondisi  ini  bertentangan  dengan  definisi  dimana
( ) ( ) 1 2 i i i i w x w x + +  sehingga  dalam  pembuktian  kasus  ini ( ) 2 opt l  .  Berdasarkan Lemma  1  dan  Proposisi  2  diketahui  bahwa  batas  bawah  dari  bilangan  kromatik ketakteraturan  lokal  inklusif  dari  graf tadpole adalah 4 i lis lis    = .  Batas  atas  dari
bilangan kromatik ketakteraturan lokal inklusif didefinisikan dengan
( )   , : 1, 2
m n l V T → .
Berikut adalah pelabelan yang dihasilkan pada graf tadpole ( ) , m n T .
( ) ( ) 1, 2, 2, 1, i i untuk i gasal l x untuk i genap untuk i gasal l y untuk i genap  =    =  
Sehingga bobot titik yang diperoleh dari penjumlahan label yang bertetangga dengan label dirinya sendiri adalah sebagai berikut.
( ) ( ) 4, 5, 7, 1 3, 4, 5, i i i i untuk i genap w x untuk i gasal
untuk i untuk i n
w y untuk i gasal untuk i genap   =   =  =     
Berdasarkan  perhitungan  bobot  di  atas  didapatkan
( ) , 4 m n w T = .  Berdasarkan  batas bawah  melalui  Proposisi  2  dan  batas  atas  melalui  pelabelan  di  atas,  diperoleh 4 4 i lis lis   =  = .  Sehingga,  berdasarkan  Definisi  1  mengenai  pewarnaan  titik ketakteraturan lokal inklusif didapatkan bilangan kromatik ketakteraturan lokal inklusif pada graf tadpole dengan m genap dan 3 n  adalah 4.
Kasus 2. Untuk m gasal dan 3 n 
Misalkan  graf tadpole yaitu  untuk m gasal dan 3 n  .  Akan  dibuktikan  batas  atas  dan batas  bawah  melalui  pelabelan.  Diambil  sampel  pelabelan  untuk  titik-titik  bertetangga memiliki bobot yang sama apabila dilabeli dengan 1 dan 2 yaitu ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 3 i i i i i w x l x l x l x + + + = + + = dan ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 2 3 3 i i i i i w x l x l x l x + + + + = + + = .  Dua titik tersebut memiliki bobot titik yang sama, sedangkan diketahui bahwa  titik 1 i x + dan 2 i x + adalah  dua  titik  bertetangga.  Kondisi  ini  bertentangan  dengan  Definisi  1  dimana
( ) ( ) 1 2 i i i i w x w x + +  sehingga  dalam  pembuktian  kasus  ini ( ) 2 opt l  .  Berdasarkan Lemma  1  dan  Proposisi  2  diketahui  bahwa  batas  bawah  dari  bilangan  kromatik ketakteraturan  lokal  inklusif  dari  graf tadpole adalah 4 i lis lis    = .  Batas  atas  dari bilangan kromatik ketakteraturan lokal inklusif didefinisikan dengan
( )   , : 1, 2, 3 m n l V T → . Berikut adalah pelabelan yang dihasilkan pada graf tadpole ( ) , m n T ( ) ( ) 1, 2, 3, 1 1, 2, i i untuk i gasal l x untuk i genap untuk i untuk i gasal l y untuk i genap   =   =   =  
Sehingga bobot titik yang diperoleh dari penjumlahan label yang bertetangga dengan label dirinya sendiri adalah sebagai berikut.
( ) ( ) 4, 5, 6, 2
7, 1 3,
4, 5, 6, 1 i i i i untuk i genap untuk i gasal w x untuk i dan i n
untuk i untuk i n untuk i genap w y untuk i gasal untuk i    =  = =   =  =    =    = 
Berdasarkan perhitungan bobot di atas didapatkan ( ) , 5 m n w T = . Berdasarkan batas bawah melalui Proposisi 2 dan batas atas melalui pelabelan di atas didapatkan 5 4 i lis lis   =  =
. Sehingga berdasarkan Definisi 1 mengenai pewarnaan titik ketakteraturan lokal inlusif didapatkan bilangan kromatik ketakteraturan lokal inklusif pada graf tadpole dengan m gasal dan 3 n  adalah 5.
Gambar 2 Graf Tadpole ( ) 7,4 T
Gambar 2 adalah hasil dari pewarnaan titik ketakteraturan lokal inklusif pada graf tadpole untuk m gasal dan 3 n  . Terdapat 4 warna berbeda yang didapatkan melalui pelabelan dan disesuaikan dengan definisi pewarnaan titik ketakteraturan lokal inklusif. Pelabelan dilakukan dimulai dengan melabeli titik 1 2 , x x dan seterusnya hingga n x lalu dilanjutkan dengan pelabelan titik 1 2 , y y dan seterusnya.
Teorema  3.  Bilangan  kromatik  ketakteraturan  lokal  inklusif  pada  graf  Peach ( ) m n C dengan 4 m  dan 4 n  adalah ( ) 3, 4, i n lis n
untuk m genap C untuk m gasal   =  
Bukti. Diketahui  Graf m n C adalah  graf peach memiliki  himpunan  titik
( )   ;1 i V G x i m =     1, ;1 j y j n    dan  himpunan  sisi ( )  1 ;1 i i E G x x i + =        1 1 1, 1 ;1 m j
m x x x y j n −     .  Sehingga  kardinalitas  titik  dan  sisi  berturut-turut yaitu ( ) V G m n = + dan ( ) E G m n = + .  Terdapat  dua  kasus  bilangan  kromatik ketakteraturan  lokal  inklusif  pada  graf peach ( ) m n C dengan 4 m  dan 4 n  sebagai berikut.
Kasus 1. Untuk m genap
Misalkan graf peach yaitu untuk m genap. Akan dibuktikan batas atas dan batas bawah melalui pelabelan. Diambil sampel pelabelan untuk titik-titik bertetangga memiliki bobot yang  sama  apabila  dilabeli  dengan  1  yaitu ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 3 i i i i i w x l x l x l x + + + = + + = dan ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 2 3 3 i i i i i w x l x l x l x + + + + = + + = .    Dua  titik  tersebut  memiliki  bobot  titik  yang sama, sedangkan diketahui bahwa  titik 1 i x + dan 2 i x + adalah dua titik bertetangga. Kondisi ini bertentangan dengan definisi dimana ( ) ( ) 1 2 i i i i w x w x + +  sehingga dalam pembuktian
kasus  ini ( ) 2 opt l  .  Berdasarkan  Lemma  1  dan  Observasi  1  diketahui  bahwa  batas bawah  dari  bilangan  kromatik  ketakteraturan  lokal  inklusif  dari  graf peach adalah 3 i lis lis    = .  Batas  atas  dari  bilangan  kromatik  ketakteraturan  lokal  inklusif didefinisikan dengan ( )   : 1, 2 m n l V C → . Berikut adalah pelabelan yang dihasilkan pada graf peach ( ) m n C .
( ) ( ) 2, 1, 2 i i untuk i gasal l x untuk i genap l y untuk semua i  =   =
Sehingga  bobot  titik  yang  diperoleh  dari  penjumlahan  label  yang  bertetangga  dengan label dirinya sendiri adalah sebagai berikut.
( ) ( ) 4, 5, 4 , 1 4 i i i i untuk i gasal w x
untuk i genap
n untuk i w y untuk semua i   =   + =  =
Berdasarkan  perhitungan  bobot  di  atas  didapatkan
( ) 4 m n w C = dengan m  genap dan
3 n  Sedemikian  sehingga 3 3 i lis lis   =  = maka,  berdasarkan  Definisi  1  mengenai pewarnaan titik ketakteraturan lokal inklusif didapatkan bilangan kromatik ketakteraturan lokal inklusif pada graf peach dengan m genap adalah 3
Kasus 2. Untuk m gasal
Misalkan graf peach yaitu untuk m gasal. Akan dibuktikan batas atas dan batas bawah melalui pelabelan.Diambil sampel pelabelan untuk titik-titik bertetangga memiliki bobot yang sama apabila dilabeli dengan 1 dan 2 yaitu ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 3 i i i i i w x l x l x l x + + + = + + = dan ( ) ( ) 2 1 i i i w x l x + + = ( ) ( ) 2 3 3 i i l x l x + + + + = .  Dua  titik  tersebut  memiliki  bobot  titik  yang sama, sedangkan diketahui bahwa  titik 1 i x + dan 2 i x + adalah dua titik bertetangga. Kondisi ini  bertentangan  dengan  Definisi  1  dimana
( ) ( ) 1 2 i i i i w x w x + +  sehingga  dalam pembuktian kasus ini ( ) 2 opt l  . Berdasarkan Lemma 1 dan Observasi 1 diketahui bahwa batas bawah dari bilangan kromatik ketakteraturan lokal inklusif dari graf peach adalah 3 i lis lis    = .  Batas  atas  dari  bilangan  kromatik  ketakteraturan  lokal  inklusif didefinisikan  dengan ( )   , :
1, 2, 3 m n l V T → .  Berikut  adalah  pelabelan  yang  dihasilkan pada graf peach ( ) m n C .
( ) ( ) 1, 2, 3, 1 1 i i untuk i gasal l x untuk i genap untuk i l y untuk semua i   =   =  =
Sehingga  bobot  titik  yang  diperoleh  dari  penjumlahan  label  yang  bertetangga  dengan label dirinya sendiri adalah sebagai berikut.
( ) ( ) 4, 5, 6, 2 6 1 4 i i i i untuk i genap untuk i ganjil w x
untuk i dan i m
n untuk i
w y untuk semua i    =  = =   + =  =
Berdasarkan perhitungan bobot di atas didapatkan ( ) 4 m n w C = . Berdasarkan batas bawah melalui Observasi 1 dan batas atas melalui pelabelan di atas didapatkan 4 3 i lis lis   =  =
Sehingga  berdasarkan  Definisi 1 mengenai  pewarnaan titik ketakteraturan lokal inlusif didapatkan  bilangan  kromatik  ketakteraturan  lokal  inklusif  pada  graf peach dengan m gasal adalah 4.
Gambar 3 Graf Peach ( ) 7 7 C
Gambar 3 adalah hasil dari pewarnaan titik ketakteraturan lokal inklusif pada graf peach untuk m gasal.  Terdapat  4  warna  berbeda  yang  didapatkan  melalui  pelabelan  dan disesuaikan  dengan  definisi  pewarnaan  titik  ketakteraturan  lokal  inklusif.  Pelabelan dilakukan dimulai dengan melabeli titik 1 2 , x x dan seterusnya hingga n x lalu dilanjutkan dengan pelabelan titik 1 2 , y y dan seterusnya.

## 4 Kesimpulan
Berdasarkan hasil dan pembahasan di atas, didapatkan tiga teorema sebagai berikut telah diperoleh tiga teorema baru mengenai topik pewarnaan titik ketakteraturan lokal inklusif pada keluarga graf unicyclic yaitu graf cricket ( ) , m n Cr , graf tadpole ( ) , m n T , graf peach
( ) m n C . Bilangan kromatik ketakteraturan lokal inklusif masing-masing graf yang diteliti tersaji dalam tabel dibawah ini.
i. Bilangan kromatik ketakteraturan lokal inklusif pada graf cricket ( ) , m n Cr adalah
( ) , 4 genap dan 3
5 ganjil dan 3 i lis m n m n Cr
m n    =    ii. Bilangan kromatik ketakteraturan lokal inkludif pada graf tadpole ( ) , m n T ( ) , 4, untuk   genap,
3
5, untuk   ganjil, 3 i lis m n m n T m n    =   
iii. Bilangan  kromatik  ketakteraturan  lokal  inklusif  pada  graf  peach ( ) m n C adalah ( ) 3, 4, i m lis n untuk m genap C untuk m gasal   =  

## 5 Ucapan Terimakasih
Kami  mengucapkan  terimakasih  yang  sebesar-besarnya  kepada  LP2M  dan  Fakultas Keguruan  dan  Ilmu  Pendidikan  Universitas  Jember  tahun  2022  atas  segala  ilmu  dan dukungan yang diberikan pada kami.

## 6 Daftar Pustaka
[1]   Chartrand, G., and Zhang, P. 2009. Chromatic Graph Theory. USA: CRC Press.
[2]   Harary. 1994. WolframMathWorld. http://mathworld.wolfram.com/[Diakses pada 3 September 2021].
[3] Kristiana, A. I., Dafik, Alfarisi, R., Anwar, U. A.,  Citra, S. M. 2020. An inclusive local irregularity coloring of graphs. Advances in Mathematics: Scientific Journal, 9(10), 8941–8946. https://doi.org/10.37418/amsj.9.10.116.
[4] Maarif,  A.,  Halim,  M.  G.,  Indriani,  S.,  Kristiana,  A.  I.,    Alfarisi,  R.  2021. Pewarnaan Titik Ketakteraturan Lokal Inklusif pada Graf Kipas , Graf Petasan ( n , 4 ) dan Graf Matahari. 15(10), 8946.
[5]   Munawaroh,  K.,  Kristiana,  A.  I.,    Albirri,  E.  R.  (n.d.).  Pewarnaan  Titik Ketakteraturan Lokal pada Keluarga Graf Unicyclic Pendahuluan Hasil Penelitian. 1–16.
[6]   Slamin. 2009. Desain Jaringan Pendekatan Teori Graf. Jember: Universitas Jember.
[7]   U.A.  Anwar.,  Kristiana,  A.  I.,  Fatahillah,  A.,    Alfarisi,  R.  2021.  Pewarnaan Ketakteraturan Lokal Inklusif pada Keluarga Graf Pohon Tree Pendahuluan. 2(1), 24–30. https://doi.org/10.25037/cgantjma.v2i1.49.