## KALAMATIKA Jurnal Pendidikan Matematika
Volume 4, No. 1, April 2019, hal. 89-108

## PENGEMBANGAN BAHAN AJAR MATERI INDUKSI MATEMATIKA DAN TEORI BINOMIAL BERBASIS PEMBUKTIAN
Nurafni 1 , Asih Miatun 2 , Hikmatul Khusna 3 , dan Hella Jusra 4
1 Universitas Muhammadiyah Prof. DR. HAMKA nurafni@uhamka.ac.id
2 Universitas Muhammadiyah Prof. DR. HAMKA asihmiatun@uhamka.ac.id
3 Universitas Muhammadiyah Prof. DR. HAMKA hikmatulhusna@uhamka.ac.id
4 Universitas Muhammadiyah Prof. DR. HAMKA hella.jusra@uhamka.ac.id

## ABSTRAK
Kemampuan  mahasiswa  dalam  menyelesaikan  pembuktian  pada  materi  induksi  matematika dan  teori  binomial  masih  kurang  berdasarkan  hasil  ujian,  sehingga  disusunlah  bahan  ajar  berbasis pembuktian. Penelitian  ini menggunakan metode research and development dengan  subjeknya adalah mahasiswa  semester  II  Program  Studi  Pendidikan  Matematika.  Penelitian  ini  merupakan  penelitian pengembangan  yang  terdiri  dari  6  tahap.  yaitu:  Identifikasi  Kebutuhan,  Perencanaan,  Pengembangan Produk Awal, Uji Coba Produk Awal, Revisi Produk, dan Uji Coba Lapangan sehingga menghasilkan bahan  ajar.  Dari  hasil  validasi  dosen  dan  mahasiswa  menunjukkan  bahwa  bahan  ajar  yang  disusun valid dan layak digunakan dengan skor rata-rata sebesar 45 dan 45,93, sedangkan uji keefektifan bahan ajar yang dihitung menggunakan uji-t mendapatkan hasil bahwa t hitung > t tabel , 5,83 > 2,11, yang artinya terdapat peningkatan rata-rata nilai mahasiswa sebelum dan sesudah menggunakan bahan ajar. Dengan adanya peningkatan nilai tersebut menunjukkan bahwa bahan ajar yang disusun efektif digunakan.
Kata Kunci: pembuktian matematis , pengembangan bahan ajar, induksi matematika, teori binomial.

## ABSTRACT
Students'  ability  in  solving  argumentation  in  mathematical  induction  and  binomial  theory  is still lacking based on the results of the exam, so that evidence-based teaching materials are prepared. This  study  uses  design  research  methods  with  the  subject  from  2nd  semester  students  of  the Mathematics Education Study Program. This research is a development research consisting of 6 stages: Identification of needs, Planning, Initial product development, Initial product testing, Product revision, Field trials so as to produce teaching materials. The results of the lecturer and student validation show that the teaching materials are valid and feasible to use with an average score of 45 and 45,9333. While the  test  of  the  effectiveness  of  teaching  materials  used  using  the  t-test  obtained  results  that  t test >  t table , 5.83  > 2.11  which  means  there  is  an  increase  in  the  average  value  of  students  before  and  after  using teaching materials. With the increase in value, it indicates that the instructional materials prepared are effectively used.
Keywords: mathematical proofing, development of teaching materials, mathematical induction, binomial theory.
Format Sitasi: Nurafni, Miatun, A., Khusna , H. & Jusra, H. (2019). Pengembangan Bahan Ajar Materi Induksi  Matematika  dan  Teori  Binomial  Berbasis  Pembuktian. KALAMATIKA  Jurnal  Pendidikan Matematika , 4 (1), 89-108.
Penyerahan Naskah: 28 Februari 2019 || Revisi: 2 Mei 2019 || Diterima: 2 Mei 2019

## PENDAHULUAN
Pembuktian  matematis  merupakan  suatu  proses  yang  membutuhkan  kemampuan matematika  tingkat  tinggi.  Dalam  proses  pembuktian  matematis,  dibutuhkan  penyusunan konjektur, model  matematika,  serta  generalisasi  untuk  menghasilkan  suatu  pembuktian  yang valid.  NCTM  (2000)  menyatakan  bahwa  proses  pembelajaran  matematika  membutuhkan kemampuan  kognitif  tingkat  tinggi,  menghasilkan  argumentasi  logis  dan  mempresentasikan pembuktian  formal  yang  secara  efektif  menjelaskan  penalaran  mereka.  Untuk  itu  diperlukan suatu  metode  dalam  proses  pembelajaran  untuk  mengembangkan  proses  bernalar  mahasiswa pada suatu materi matematika.
Salah  satu  metode  pengajaran  di  jurusan  Pendidikan  Matematika  adalah  metode pembuktian.  Banyak  mata  kuliah  di  Jurusan  Pendidikan  Matematika  yang  pembelajarannya harus  menggunakan  metode  pembuktian.  Mahasiswa  perlu  melakukan  langkah-langkah penyelesaian  dari  permasalahan  yang  diberikan  dengan  menerapkan  pembuktian. Mahasiswa mengetahui bahwa notasi yang digunakan tidak dikenal atau tidak dapat dipahami atau mereka tidak  memahami  dari  mana  memulainya  atau  tidak  mengetahui  bagaimana  memulai mengkonstruksi  bukti.    Bukti  dan  argumen  merupakan  dua  hal  penting  dalam  matematika dimana  keduanya  saling  berhubungan. Vincent,  Chick &  McCrae (2005)  menyatakan  bahwa argumen  didefinisikan  sebagai  urutan  pernyataan  matematika  yang  bertujuan  untuk meyakinkan,  sedangkan  argumentasi  dapat  dianggap  sebagai  sebuah  proses  di  mana  sebuah wacana  matematika  disampaikan  dengan  logis.  Argumentasi  membawa  peran  penting  dalam membentuk suatu asumsi matematika yang mengarahkan pada suatu pembuktian.
Arnawa  (2007)  menyebutkan  beberapa  faktor  yang  mendukung  kemampuan mengkonstruksi bukti dalam matematika.
“Pertama, yaitu mampu mengidentifikasi apa yang menjadi fakta dalam pembuktian. Maksudnya  adalah  siswa  mengetahuia  apa  saja  yang  menjadi  modal  awal  untuk membuktikan  dengan  kaidah  pembuktian  yang  logis  matematis. Kedua ,  mampu mengidentifikasi  apa  yang  menjadi  kesimpulan  dalam  pembuktian  matematika tersebut.  Kesimpulan/ conclusion ini  sebagai  langah  terakhir  dalam  pembuktian  yang merupakan hasil dari proses argumentasi. Ketiga, mampu menunjukkan aturan/ warrant sebagai hal yang menjembatani fakta, argumen dan kesimpulan. Aturan dalam hal ini yaitu aksioma dan teorema matematika yang sah. Keempat, mampu membuat konjektur sebagai  hipotesis  dalam  pembuktian.  Konjektur  juga  diartikan  sebagai  membuat dugaan  mengenai  gagasan  utama  dalam  pembuktian. Kelima, mampu  mengevaluasi aturan-aturan penarikan kesimpulan dari proses argumentasi yang logis.”
Bukti  memang  tidak  selalu  digunakan  dalam  matematika.  Pembuktian  dalam matematika  berbeda  pada  pembuktian  dalam  bidang  lainnya.  Hoyles  mengatakan  bahwa pembuktian  dalam  matematika  digunakan  sebagai  metode  uji  untuk  pengetahuan  yang terpercaya,  yang  berbeda  dengan  metode  induktif  yang  digunakan  pada  bidang  ilmu pengetahuan  alam  (Arnawa,  2007).  Beberapa  ilmuwan  matematika  mendefinisikan  bukti matematika,  Griffiths  menyatakan  bahwa  bukti  matematika  merupakan  suatu  cara  berpikir formal  dan  logis  yang  dimulai  dengan  aksioma  dan  bergerak  maju  melalui  langkah-langkah logis sampai pada suatu kesimpulan (Juandi, 2008). Pembuktian suatu pernyataan matematika dalam  sutu  proses  penalaran  deduktif,  yaitu  proses  yang  berpangkal  dari  suatu  himpunan pernyataan  dan  berakhir  dengan  suatu  pernyataan  yang  disebut  dengan  kesimpulan.  Ada beberapa materi matematika yang memerlukan metode pembuktian dalam mencari solusinya.
Induksi  matematika  merupakan  salah  satu  materi  yang  memerlukan  metode pembuktian  dalam  penyelesaiannya.  Penggunaan  induksi  matematika  dapat  dilakukan  untuk membuktikan  suatu  penyataan  kebenaran  untuk  setiap  bilangan  bulat.  Hine  (2017)  pun menyatakan  bahwa  induksi  matematika  adalah  metode  argumen  bukti  yang  didasarkan  pada rekursi  dan  digunakan  untuk  membuktikan  dugaan  yang  mengklaim  bahwa  pernyataan tertentu  benar  untuk  bilangan  bulat  dari  beberapa  variabel.  Para  siswa  belajar  bagaimana membuktikan  macam-macam  identitas  dan  ketidaksetaraan  tertentu,  serta  sifat  pembagian dengan  bilangan  asli  (Ashkenazi,  2014).  Hal  ini  sulit  dilakukan  menggunakan  pembuktian secara  langsung  dengan  cara  melakukan  pengecekan  satu  per  satu  kebenaran  pada  setiap bilangan  bulat,  sehingga  dengan  menggunakan  penalaran  dapat  dibuktikan  pernyataan kebenaran untuk setiap bilangan bulat dengan menggunakan induksi matematika.
Prinsip pertama induksi matematika adalah if a set of positive integers has the property that, if it contains the integer k, then it also contains k + 1, and if this set contains 1 then it must be the set of all positive integers (Raji, 2013) .
Pembuktian  matematis  lain  seperti  pembuktian  langsung,  pembuktian  deduktif, induktif,  abduktif,  dan  lainnya  juga  sangat  membantu  dalam  membuktikan  kebenaran  suatu pernyataan. Begitu pula pada teorema binomial yang berbicara seputar penerapan kombinasi. Membuktikan teorema binomial dapat menggunakan kombinasi maupun induksi matematika. Adapun bentuk umum dari teorema binomial, yaitu
(1 + 𝑎) 𝑛 = ( 𝑛 0 ) + ( 𝑛 1 )𝑎 + ( 𝑛 2 )𝑎 2 + ( 𝑛 3 )𝑎 3 + ⋯ + ( 𝑛 𝑘 )𝑎 𝑘 + ⋯ + ( 𝑛 𝑛 )𝑎 𝑛 , untuk setiap bilangan asli n .
Berdasarkan  hasil  penelitian  yang  dilakukan  oleh  Minggi,  dkk  (2016)  tentang kemampuan  mahasiswa  dalam  melakukan  pembuktian,  mahasiswa  banyak  mengalami kesulitan  dalam  melakukan  pembuktian  matematis,  umumnya  kesulitan  yang  dilakukan mahasiswa  adalah  sulit  mengembangkan  gagasan  pembuktian.  Kemudian  hasil  wawancara dari  penelitian  tersebut  juga  menunjukkan  bahwa  mahasiswa  mengalami  kesulitan  dalam melakukan  pembuktian.  Hal  ini  menunjukkan  kurangnya  kemampuan  mahasiswa  dalam mengkontruksi  bukti-bukti  untuk  mengembangkan  strategi  pembuktian  menjadi  suatu pembuktian  matematika  yang  valid,  sehingga  diperlukan  suatu  bahan  ajar  yang  dapat memfasilitasi  mahasiswa  membentuk  keterampilan  dalam  menyusun  dan  mengembangkan strategi  pembuktian  matematika  terutama  dalam  materi  induksi  matematika  dan  teorema binomial.
Bahan ajar merupakan faktor penting dalam kegiatan pembelajaran di kelas, Bahan ajar dirancang dan disusun secara sistematis yang memungkinkan mahasiswa dapat belajar secara mandiri, efektif, dan efisien. Sejalan dengan pendapat Koparan (2017) menggunakan material memiliki  efek  langsung  pada  realisasi  tujuan  pendidikan  dalam  proses  pengajaran  dan pembelajaran  dan  efek  ini  adalah  salah  satu  alasan  utama  bagi  guru  untuk  menggunakan material.  Penggunaan  bahan  ajar  dalam  pembelajaran  yang  selama  ini  berlangsung  adalah membelajarkan  mahasiswa  sesuai  dengan  buku  teks  yang  digunakan  oleh  dosen.  Menurut Suryadi  (2013)  sajian  materi  matematika  dalam  buku  acuan,  baik  berupa  uraian  konsep, pembuktian,  atau  penyelesaian  contoh  masalah,  sebenarnya  merupakan  sintesis  dari  suatu proses  panjang  yang  berakhir  pada  proses  dekontekstualisasi  dan  depersonalisasi,  sehingga
dalam  proses  pembelajaran  yang  dilakukan  kurang  melibatkan  mahasiswa  dalam mengkontruksi  suatu  konteks  permasalahan.  Upaya  yang  dilakukan  untuk  mengantisipasi permasalahan  tersebut  adalah  dengan  menyiapkan  rancangan  pembelajaran  yang  dapat mengkontruksi  pikiran  mahasiswa  dalam  melakukan  pembuktian  matematis  melalui  suatu refleksi  proses  pembelajaran  yang  telah  dilakukan  oleh  dosen.    Pemilihan  dan  penggunaan sumber  belajar  yang  tepat  dalam  suatu  aktivitas  dan  proses  pembelajaran  berperan  penting dalam mengarahkan pengalaman belajar mahasiswa ( Yudi, Ariani & Ramadianti, 2017).
Pada  dasarnya  pengembangan  bahan  ajar  harus  selalu  disesuaikan  dengan  kebutuhan mahasiswa dan kebutuhan kurikulum yang dipakai saat ini. Sejalan dengan pendapat Amri dan Ahmadi  (2010)  yang  mengemukakan  bahwa  bahan  ajar  disusun  dengan  tujuan:  (a) menyediakan  bahan  ajar  yang  sesuaidengan  tuntutan  kurikulum  dengan  mempertimbangkan kebutuhan  siswa,  yakni  bahan  ajar  yang  sesuai  dengan  karakteristik  dan setting atau lingkungan  sosial  siswa;  (b)  membantu  siswa  dalam  memperoleh  alternatif bahan  ajar disamping  buku-buku  teks  yang  terkadang  sulit  diperoleh;  dan  (c)  memudahkan  guru  dalam melaksanakan  pembelajaran.  Materi  yang  disusun  dalam  bahan  ajar  ini  adalah  induksi matematika dan teorema binomial Secara garis besar materi induksi matematika dan teorema binomial  berisi  tentang  pembuktian  teorema-teorema.  Induksi  matematika  merupakan  salah satu  argumentasi  pembuktian  suatu  teorema  atau  pernyataan  matematika  yang  semesta pembicaraannya  himpunan  bilangan  bulat  atau  lebih  khusus  himpunan  bilangan  asli  dan membuktikan  teorema  binomial  menggunakan  kombinasi  maupun  menggunakan  induksi matematika.
Dengan  melihat  karakteristik  materi  induksi  matematika  dan  teorema  binomial  dan kaitannya dengan pembuktian, maka pengembangan bahan ajar dengan menggunakan metode pembuktian  diharapkan  efektif  dalam  pembelajaran  matematika.  Berdasarkan  penjelasan tersebut,  perlunya  menyusun  bahan  ajar  pada  materi  induksi  matematika  dan  teori  binomial berbasis  pembuktian  agar  mahasiswa  dapat  berpikir  secara  logis  dan  menggunakan penalarannya  dalam  menyelesaikan  permasalahan  matematika,  serta  mengetahuikevalidan, kepraktisan,  dan  keefektifan  bahan  ajar.  Hal  ini  menunjukkan  pembuktian  sangat  penting dalam  matematika  sebagai  salah  satu  kemampuan  yang  perlu  dimiliki  oleh  mahasiswa  untuk mengembangkan  kemampuan  bernalarnya.  Kurangnya  kemampuan  mahasiswa  dalam mengkonstruksi  bukti-bukti  untuk  mengembangkan  strategi  pembuktian  menjadi  suatu
pembuktian  matematika  yang  valid,  sehingga  diperlukan  suatu  bahan  ajar  yang  dapat memfasilitasi  mahasiswa  dalam  membentuk  keterampilan  untuk  menyusun  dan mengembangkan strategi pembuktian matematika.

## METODE PENELITIAN
Metode  yang  akan  digunakan  dalam  penelitian  ini  adalah  metode  penelitian research and  design .  Dalam  hal  ini,  penelitian  desain  bertujuan  untuk  merumuskan,  mengetahui,  dan mengembangkan bahan ajar. Peneliti menggunakan desain penelitian pengembangan Borg dan Gall (Imamah,  Lestari & Gofur, 2016) yang telah dimodifikasi. Adapun prosedurnya sebagai berikut:

## 1. Identifikasi kebutuhan
Suatu  proses  yang  sistematis  untuk  menentukan  tujuan,  mengidentifikasi ketidaksesuaian  antara  kenyataan  dan  kondisi  yang  diinginkan.  Meliputi  kajian  pustaka, pengamatan  atau  observasi  kelas  dan  persiapan  laporan  awal.  Penelitian  awal  atau  analisis kebutuhan  sangat  penting  dilakukan  guna  memperoleh  informasi  awal  untuk  melakukan pengembangan.
2. Perencanaan
Perencanaan,  yang  mencakup  merumuskan  kemampuan,  merumuskan  tujuan  khusus untuk  menentukan  urutan  bahan,  dan  uji  coba  skala  kecil  (uji  ahli  atau  uji  coba  pada  skala kecil, atau expert judgement ).
3. Pengembangan produk awal
Pengembangan  format  produk  awal  yang  mencakup  penyiapan  bahan-bahan pembelajaran, handbook dan  alat-alat  evaluasi.  Format  pengembangan  program  yang dimaksud  apakah  berupa  bahan  cetak,  urutan  proses,  atau  prosedur  yang  dilengkapi  dengan video.

## 4. Uji coba produk awal
Dilakukannya uji lapangan dalam setting atau situasi senyata mungkin dimana produk tersebut nantinya digunakan.
5. Revisi produk
Dikerjakan  berdasarkan  hasil  uji  coba  lapangan.  Hasil  uji  coba  lapangan  dengan melibatkan  kelompok  subjek  lebih  besar.  Dimaksudkan  untuk  menentukan  keberhasilan produk dalam pencapaian tujuan dan mengumpulkan informasi.

## 6. Uji coba lapangan sehingga menghasilkan bahan ajar
Setelah  dilaksanakan  revisi  produk,  maka  produk  diujicoba  pada  subjek  yang sesungguhnya  guna  didapat  bahan  ajar  sesuai  dengan  permasalahan  dan  kebutuhan  subjek penelitian.
Adapun  pengambilan  sampel  dengan purposive  sampling .  Sedangkan,  prosedur  pada penelitian  ini,  yaitu  sampel  diberikan  tes  awal  untuk  mengetahuo  sejauh  mana  mereka menguasai  materi  induksi  matematika  dan  teori  binomial,  kemudian  mahasiswa  diberikan bahan  ajar  yang  terdiri  dari  tugas-tugas  yang  harus  diselesaikan  melalui  pembuktian matematika,  sehingga  mahasiswa  dapat  memahami  dan  menerapkan  konsep  dalam  materi induksi  matematika  dan  teori  binomial,  terakhir  dilakukan  wawancara  dengan  memberikan pertanyaan terurut yang diajukan kepada responden secara langsung.

## HASIL DAN PEMBAHASAN
Hasil pengembangan dalam penelitian ini adalah berupa bahan ajar teori bilangan pada materi  induksi  matematika  dan  teorema  binomial  berbasis  pendekatan.  Bahan  ajar  yang dihasilkan  berupa  buku  ajar.  Langkah-langkah  pengembangan  bahan  ajar  untuk  jenjang perguruan tinggi dengan prosedurnya sebagai berikut.
1. Identifikasi Kebutuhan
Analisis ini dilakukan untuk mengidentifikasi masalah dan fakta yang dijadikan dasar dalam  pengembangan  bahan  ajar  materi  induksi  matematis  dan  teorema  binomial  berbasis pembuktian.  Masalah  dan  fakta  diperoleh  dengan  melakukan  obeservasi  di  kelas  ketika mahasiswa semester dua mendapatkan mata kuliah teori bilangan. Peneliti sebelumnya pernah mengajar mata kuliah teori bilangan, berdasarkan hasil pengamatan peneliti, mahasiswa masih kesulitan  ketika  diminta  untuk  melakukan  pembuktian  pada  soal  induksi  matematika  dan teorema  binomial.  Padahal  sebagian  soal  atau  permasalahan  pada  materi  ini  berbasis pembuktian.  Maka  di  sini  peneliti  merasa  perlu  untuk  mengembangkan  bahan  ajar  induksi matematika  dan  teorema  binomial  berbasis  pembuktian  yang  sesuai  dengan  kebutuhan mahasiswa. Bahan ajar yang selama ini dipakai dirasa kurang memfasilitasi mahasiswa untuk meningkatkan  kemapuan  pembuktian  terhadap  masalah  masalah  induksi  matematika  dan teorema  binomial.  Bahan  ajar  harus  disusun  sesuai  dengan  kebutuhan  kurikulum  tanpa mengesampingkan  kebutuhan  mahasiswa  terhadap  bahan  ajar  yang  mampu  meningkatkan kemampuannya.  Selain  kondisi  yang  disebutkan  di  atas  peneliti  sebelumnya  juga  menjadi
pengampu  pada  mata  kuliah  teori  bilangan.  Dari  hasil  penilaian  terhadap  mahasiswa khususnya  pada  materi  induksi  matematika  dan  teorema  binomial  menunjukkan  bahwa  nilai mahasiswa  masih  belum  maksimal,  dimungkinkan  salah  satu  penyebabnya  adalah  bahanajar yang masih belum memfasilitasi kemampuan mahasiswa pada materi induksi matematika dan teorema binomial. Pada mata kuliah teori bilangan khususnya pada materi induksi matematika dan  teorema  binomial  dibutuhkan  kemampuan  untuk  bisa  menggunakan  metode  pembuktian dalam  penyelesaian  masalah.  Peneliti  merasa  bahwa  bahan  ajar  yang  selama  ini  digunakan belum  berbasis  pembuktian.  Hal  ini  menjadi  salah  satu  alasan  bagi  peneliti  untuk menyusun bahan ajar induksi matematika dan teorema binomial yang berbasis pembuktian.
Beberapa  kondisi  yang  telah  disebutkan  di  atas,  menjadikan  dasar  peneliti  untuk melakukan  penelitian  dan  pengembangan  terhadap  bahan  ajar  teori  bilangan  pada  materi induksi matematika dan teorema binomial berbasis pembuktian.
2. Perencanaan
Pada tahap ini peneliti membuat rencana-rencana apa saja yang akan dibutuhkan dalam penelitian  pengembangan  bahan  ajar  ini.  Selain  bahan  ajar  induksi  matematika  dan  teorema binomial  ada  beberapa  instrumen  yang  harus  ada  dalam  penelitian  pengembangan.  Di antaranya  terdapat  lembar  validasi  instrument  dan  pedoman  wawancara.  Berikut  diuraiakan tahapan perencanaan dalam penelitian pengembangan ini.
a. Pembuatan Bahan Ajar
Pembuatan  bahan  ajar  harus  disesuaikan dengan  tujuan awal  yaitu  bahan  ajar  induksi matematika  dan  teorema  binomial  berbasis  pembuktian.  Setiap  sub  materi  yang  disajikan dijelaskan  dengan  metode  pembuktian  sehingga  mahasiswa  nantinya  diharapkan  mampu menyelesaikan  permasalahan  yang  ada  dengan  metode  pembuktian.  Selain  itu  disesuaikan juga dengan kurikulum yang ada. Bahan ajar ini memuat capaian pembelajaran dan indikator capaian pembelajaranyang sudah disesuaikan dengan kurikulum yang ada.
b. Pembuatan lembar validasi instrumen
Lembar  validasi  instrumen  disusun  berdasarkan  analisis  kebutuhan  pada  bahan  ajar induksi  matematika  dan  teorema  binomial.  Lembar  instrument  validasi  disusun  dengan mempertimbangkan  aspek-aspek  yang  dapat  mempengaruhi  kualitas  bahan  ajar.  Aspek tersebut  diantaranya,  aspek  tampilan,  penyajian  materi,  kecukupan,  kedalaman,  keluasan
materi sesuai dengan kompetensi atau indikator pencapaian pembelajaran. Aspek-aspek  yang ditampilkan pada lembar validasi instrument bisa dilihat pada tabel berikut:

## c. Soal Pretest dan Posttest
Soal pretest dan posttest digunakan untuk mengukur seberapa efektif bahan ajar yang sudah  dibuat  ketika  di  uji  coba  lapangan. Pretest diberikan  sebelum  mahasiswa  diberi perlakuan  dengan  pembelajan  menggunakan  bahan  ajar  induksi  matematika  dan  teorema binomial  berbasis  pembuktian.  Sedangkan posttest diberikan  setelah  perlakuan.  Data  dari pretest dan posttest ini diolah secara kuantitatif untuk melihat seberapa signifikan keefektifan bahan ajar induksi matematika dan teorema binomial yang sudah dibuat.
d. Pedoman Wawancara
Pedoman  wawancara  disusun  berdasarkan  hal-hal  yang  dinilai  dari  suatu  bahan  ajar. Pedoman wawancara ini nantinya akan diolah secara kualitatif sebagai feedback dari penilaian atau  validasi  instrument.  Secara  lebih  lengkap  lembar  pedoman  wawancara  dapat  dilihatdi lampiran
e. Uji Coba Skala Terbatas
Uji  coba  skala  terbatas  dilakukan  untuk  mengetahui  kevalidan  bahan  ajar  sebelum bahan  ajar  diujicobakan  ke  lapangan.  Ujicoba  skala  terbatas  ini  melibatkan  pakar/ahli  dalam teori  bilangan  khususnya  materi  induksi  matematika  dan  teorema  binomial  dan  responden (mahasiswa)  semester  3  yang  sudah  pernah  mendapatkn  mata  kuliah  teori  bilangan.  Hasil ujicoba skala terbatas ini nantinya akan di analisis dalam bentuk kualitatif maupun kuantitatif. 3. Pengembangan Produk Awal
Pengembangan  produk  awal  pada  penelitian  ini  adalah  penyusunan  bahan  ajar  teori bilangan pada materi induksi matematika dan teorema binomial. Bahan ajar disusun berbasis pembuktian  dan  disusun  berdasarkan  analisis  kebutuhan  mahasiswa  dan  disesuaikan  dengan kurikulum  yang  ada  (kompetensi  dan  indikator  pencapaian  kompetensi).  Produk  awal  ini nantinya akan divalidasikan secara terbatas terlebih dahulu sebelum diujicobakan ke lapangan. Peneliti menganalisis berbagai sumber buku teori bilangan sebelumnya untuk membandingkan cakupan  materi  antara  bahan  ajar  yang  terdahulu  dengan  bahan  ajar  yang  dibuat.  Perbedaan bahan  ajar  terdahulu  dan  bahan  ajar  yang  peneliti  susun  terletak  pada  metode  pemecahan masalah. seperti yang sudah diketahui bahwa materi induksi matematika dan teorema binomial sebagian  besar  berbasis  pada  metode  pembuktian.  Peneliti  menyusun  bahan  ajar  ini  dengan
metode pembuktian dalam menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan induksi matematika dan  teorema  binomial.    Bahan  ajar  awal  sebelum  validasi  secara  lebih  lengkap  terdapat dilampiran.
4. Uji Coba Produk Awal
Uji coba awal merupakan validasi oleh ahli ( expert Judgment ) dan mahasiswa semester tiga  yang  sudah  pernah  mengikuti  perkuliahan  mata  kuliah  teori  bilangan.  Para  ahli  dan mahasiswa ini mengisi lembar validasi instrumen. Lembar validasi instrumen berisi indikator yang selanjutnya dibagimenjadi berbagai aspek penilian agar diketahui seberapa besar tingkat kevalidan  bahan  ajar  yang  sudah  dibuat.  Hasil  pengisian  lembar  validasi  instrumen  akan dianalisis secara kualitatif dan kuantitatif.
5. Revisi Produk
Setelah  melakukan  ujicoba  tahap  awal  (ujicoba  terbatas)  peneliti  melakukan  revisi terhadap  bahan  ajar  teori  bilangan  pada  materi  induksi  matematika  dan  teorema  binomial. Revisi  produk  disesuaikan  dengan  penilaian  atau  validasi  yang  sudah  dilakukan  oleh expert judgement dan mahasiswa.

## 6. Uji Coba Lapangan
Tahap  ini  adalah  tahap  terakhir  dalam  pengembangan  bahan  ajar  teori  bilangan  pada materi  induksi  matematika  dan  teorema  binomial.  Uji  coba  lapangan  ini  dilaksanakan  pada subyek  penelitian  sesungguhnya.  Subyek  penelitian  sesungguhnya  yang  dimaksud  adalah mahasiswa yang akan diberi perlakuan pembelajaran materi induksi matematika dan teorema binomial  menggunakan  bahan  ajar  berbasis  pembuktian  yang  sudah  direvisi  sebelumnya. Tahapan ujicoba lapangan, yaitu pretest , pembelajaran di kelas, dan posttest .

## Hasil Uji Coba Produk dan Pembahasan
Uji  coba  produk  dilakukan  sebagai  bagian  dari  usaha  untuk  mendapatkan  produk yang memenuhi  kriteria  kevalidaan,  keefektifan,  dan  kepraktisan.  Uji  coba  produk  merupakan penjelasan lebih lanjut dari tahap pengembangan ( develop ). Data yang dihasilkan dari uji coba berupa data tentang kevalidan, keefektifan, dan kepraktisan bahan ajar sebagaimana disajikan dalam Tabel 1.
Tabel 1.  Tahap Uji Coba Produk dan Data yang Dihasilkan Tahap Bentuk Uji Coba Data yang Dihasilkan Kevalidan Keefektifan 1. Validasi ahli (dosen)

2. Uji coba terbatas (mahasiswa)  3. Uji coba lapangan 

## Data Hasil Uji Coba Awal (Validasi Dosen)
Uji  coba  awal  pada  penelitian  ini  dilaksanakan  denganmelakukan  validasi  bahan  ajar kepada  ahli  yaitu  3  orang  dosen  pendidikan  matematika.  Validasi  dilakukan  dengan memberikan  instrumen  validasi  yang  selanjutnya  diisi  oleh  validator.  Berikut  akan  disajikan secara  lebih  detail  hasil  dari  uji  coba  produk  yang  meliputi  kevalidan,  keefektifan,  dan kepraktisan bahan ajar teori bilangan pada materi induksi matematika dan teorema binomial, serta kategori konversi data.
Tabel 2. Kategori Konversi Data Kuantitatif ke Data Kualitatif
Interval Skor Kategori 𝑥 > 43,99 Sangat Baik 36,66 < 𝑥 ≤ 43,99 Baik 29,33 < 𝑥 ≤ 36,66 Cukup 22,005 < 𝑥 ≤ 29,33 Kurang 𝑥 ≤ 22,005 Sangat Kurang
Hasil  validasi  ahli  (dosen)  terhadap  bahan  ajar  induksi  matematika  dan  teorema binomial  diperoleh  rata-rata  sebesar  45,  berdasarkan  tabel  2  dapat  dilihat  masuk  ke  dalam kategori sangat baik. Terdapat beberapa masukan dan saran perbaikan dari hasil validasi baik secaratertulis maupun secara lisan. Namun secara keseluruhan, bahan ajar yang dikembangkan “Layak  Digunakan  dengan  Revisi”.  Bahan  ajar  yang  direvisi  selanjutnya  diperbaiki.  Bahan ajar sebelum dan revisi bisa dilihat pada lampiran.
Selain itu terdapat data hasil validasi dari setiap yang dinilai. Untuk lebih lengkapnya disajikan pada tabel berikut.
Tabel 3. Data Hasil Penilaian Setiap Aspek Ahli terhadap Bahan AjarInduksi Matematika dan Teorema
Binomial Aspek Indikator Rata-Rata Skor Tampilan Kejelasan Teks 4.666667 Kejelasan Gambar 3 Gambar dapat menarik perhatian 3.666667 Kesesuaian gambar dengan materi 3.666667 Penyajian Materi Penyajian materi 4.333333 Kemudahan memahami materi 4 Ketepatan sistematika penyajian materi 4.333333 Kejelasan kalimat 4 Kejelasan symbol dan lambang 4.333333 Kejelasan istilah yang digunakan 4.333333 Kecukupan, Kedalaman, keluasan  materi  dengan kompetensi/ indikator pencapaian pembelajarann Kesesuaian materi dengan kompetensi/indikator pembelajaran 4.666667
Berdasarkan  Tabel  3  terlihat  bahwa  rata-rata  pada  setiap  aspek  sudah  lebih  dari  4,  sehingga dapat  disimpulkan  bahwa  bahan  ajar  dalam  kategori  baik.  Hanya  beberapa  aspek  saja  yang memberikan hasil cukup baik. Pada aspek kejelasan gambar, gambar dapat menarik perhatian dan kesesuaian gambar dengan materi mesihmemperoleh rata-rata sebesar 3. Baik saran secara tertulis maupun lisan validator menyebutkan bahwa bahan ajar yang disusun masih “minim” gambar tampilan dari bahan ajar yang disusun menjadi kurang menarik.
Ada  3  validator  dosen  pada  tahap  ini.  Gambar  1  menampilkan  saran  dari  validator untuk perbaikan bahan ajar materi induksi matematika dan teorema binomial.

## Gambar 1. Saran Tertulis Validator
Salah  satu  validator  memberikan  saran  secara  tertulis  bahwa  buku  ajar  yang  dikembangkan masih  perlu  ditambahkan  gambar  agar  lebih  menarik,  sedangkan  dua  validator  yang  lainnya tidak memberikan saran secara tertulis, dua validator yang lain menyebutkan bahwa bahan ajar yang disusun sudah cukup baik.
Selain  penilaian,  saran  dan  komentar  yang  tertulis  pada  lembar  validasi  instrumen, validator  juga  menuliskan  saran  pada  bahan  ajar  secara  langsung.  Gambar  2  menampilkan perbaikan  yang  dituliskan  oleh  validator  pada  bahan  ajar  teori  bilangan  pada  materi  induksi matematika dan teorema binomial berbasis pembuktian.
Gambar 2. Saran tertulis pada bahan ajar induksi matematika dan teorema binomial
Gambar  2  menunjukkan  bahwa  saran  yang  ditulis  oleh  validator  pada  bahan  ajar sebagian  besar  mengenai  penulisan  simbol,  tanda,  lambang,  dan  penulisan equation yang kurang  tepat.  Saran  tertulis  yang  diberikan  oleh  validator  akan  menjadi  acuan  bagi  peneliti untuk memperbaiki bahan ajar baik dari segi isi maupun segi tampilan.

## Uji Coba Terbatas (Mahasiswa)
Hasil  uji  coba  terbatas  pada  mahasiswa  terhadap  bahan  ajar  induksi  matematika  dan teorema  binomial  diperoleh  rata-rata  sebesar  45,9333,  masuk  ke  dalam  kategori  sangat  baik sesuai  dengan  kategori  pada  tabel  2.  Rata-rata  ini  tidak  berbeda  jauh  dengan  rata-rata  skor validasi  oleh  dosen  atau  ahli.  Terdapat  beberapa  masukan  dan  saran  perbaikan  dari  hasil validasi  secara  tertulis  maupun  secara  lisan.  Namun  secara  keseluruhan,  bahan  ajar  yang dikembangkan  “Layak  Digunakan  dengan  Revisi”.  Bahan  ajar  yang  direvisi  selanjutnya diperbaiki. Bahan ajar sebelum dan revisi bisa dilihat pada lampiran.
Selain  itu  terdapat  data  hasil  validasi  dari  setiap  aspek  yang  dinilai.  Untuk  lebih lengkapnya disajikan pada tabel berikut.
Tabel 4.  Data Hasil Penilaian Setiap Aspek Uji Coba Terbatas terhadap Bahan Ajar Induksi
Matematika dan Teorema Binomial Aspek Indikator Rata-Rata Skor Tampilan Kejelasan Teks 4.466667 Kejelasan Gambar 4 Gambar dapat menarik perhatian 3.2 Kesesuaian gambar dengan materi 4.2 Penyajian Materi Penyajian materi 4.666667 Kemudahan memahami materi 4.266667 Ketepatan sistematika penyajian materi 4.066667 Kejelasan kalimat 4.133333 Kejelasan symbol dan lambang 4.2 Kejelasan istilah yang digunakan 4.066667 Kecukupan, Kedalaman, keluasan  materi  dengan kompetensi/ indikator pencapaian pembelajarann Kesesuaian materi dengan kompetensi/indikator pembelajaran 4.666667
Berdasarkan  Tabel  4  terlihat  bahwa  rata-rata  pada  setiap  aspek  sudah  lebih  dari  4, sehingga  dapat  disimpulkan  bahwa  bahan  ajar  dalam  kategori  baik.  Hanya  satu  aspek  saja yaitu  aspek  “gambar  dapat  menarik  perhatian”  yang  memberikan  hasil  cukup  baik. Berdasarkan  hasil  uji  coba  terbatas  ini  peneliti  bisa  memperbaiki  bagian  bahan  ajar  yang dinilai masih kurang.
Ada  15  mahasiswa  yang  terlibat  dalam  uji  coba  terbatas  ini.  Selain  memberikan validasi  atau  penilaian  pada  setiap  aspek,  mahasiswa  juga  memberikan  saran  secara  tertulis untuk perbaikan bahan ajar. Berikut beberapa saran tertulis dari uji coba terbatas.

## Gambar 3. Saran Uji Coba Terbatas 1
Gambar  3  menunjukkan  salah  satu  saran  dari  responden  memberikan  komentar  bahwa  teks dan  materi  pada  bahan  ajar  sudah  jelas,  serta  penulisan  pada  bahan  ajar  juga  sudah  rapi. Responden  menambahkan  bahwa  perlu  ditambahkan  gambar  agar  lebih  menarik, agar  bahan ajar tidak terlihat polos.

## Gambar 4. Saran Uji Coba Terbatas 2
Gambar  4  menunjukkan  bahwa  bahan  ajar  yang  sudah  di  buat  sudah  sangat  baik.  Sudah berbasis pembuktian sesuai dengan tujuan awal pembuatan bahan ajar induksi matematika dan teorema binomial. Materi pada bahan ajar inisudah disajikan lengkap dengan teorema contoh dan pembuktiannya.

## Gambar 5. Saran Uji Coba Terbatas 3
Gambar  5  menunjukkan  bahwa  bahan  ajar  yangsudah  dibuat  cukup  jelas  mudah  dimengerti oleh  mahasiswa.  Sesuai  dengan  judul  penelitian  ini,  bahwa  bahan  ajar  yang  dibuat  berbasis pembuktian.  Tujuan  peneliti  membuat  bahan  ajar  berbasis  pembuktian  karena  pada  materi induksi  matematika  dan  teorema  binomial,  sebagian  materinya  dikerjakan  dengan  metode pembuktian.
Gambar 6. Saran Uji Coba Terbatas 4
Gambar 6 menunjukkan bahwa bahan ajar yang dibuat masih kurang gambar sehingga terlihat kurang  menarik.  Selain  itu  responden  memberikan  komentar  bahwa  gambar  yang  menarik dapat  menunjang  pemahaman  mahasiswa.  Penyajian  materi  sudah  sistematis  dan  sesuai dengan  kompetensi  dan  indikator  pencapaian  kompetensi.  Saran  ini  menjadi  salah  satu pertimbangan  bagi  peneliti  untuk  memperbaiki  bahan  ajar  supaya  secara  visual  bahan  ajar yang ditampilkan menjadi lebih menarik.
Gambar 7. Saran Uji Coba Terbatas 5
Gambar 7 menunjukkan bahwa bahan ajar yang dibuat sudah baik dan sesuai dengan indikator pencapaian  kompetensi.  Seperti  saran  sebelumnya,  bahan  ajar  ini  juga  masih  minim  gambar sehingga masih perlu diperbaiki lagi sehingga tampilannya menjadi lebih menarik.
Saran-saran  di  atas  merupakan  beberapa  saran  atau  komentar  yang  diberikan  secara tertulis  untuk  perbaikan  bahan  ajar  induksi  matematika  dan  teorema  binomial  berbasis pembuktian.  Sebagian  mahasiswa  memberikan  saran  untuk  memberikan  gambar  pada  bahan ajar,  sehingga  bahan  ajar  akan  menjadi  lebih  menarik.  Sebagian  lagi  memberikan  komentar bahwa bahan ajar yang disusun sudah cukup baik karena sudah memenuhi kriteria bahan ajar berbasis pembuktian.

## Uji Coba Lapangan
Uji coba lapangan ini untuk mengetahui seberapa efektif bahan ajar teori bilangan pada materi  induksi  matematika  dan  teorema  binomial.  Bahan  ajar  yang  efektif  bisa  digunakan untuk pembelajaran materi induksi matematika dan teorema binomial. Oleh karena itu, bahan ajar harus di uji keefektifannya terlebih dahulu dengan tahap-tahap uji coba lapangan adalah menghitung hasil pretest, posttest, dan analisis kefektifan bahan ajar.
Setelah bahan ajar direvisi sesuai saran dan masukan validator dan mahasiswa, bahan ajar digunakan dalam kegiatan pembelajaran. Selama proses pembelajaran di kelas mahasiswa menggunakan  bahan  ajar  berbasis  pembuktian  yang  sudah  direvisi.  Pada  pembelajaran  ini mahasiswa  diwajibkan  menggunakan  bahan  ajar  yang  sudah  disusun  dan  mengerjakan  soal latihan yang terdapat pada bahan ajar. Ketika melaksanakan pembelajaran di kelas mahasiswa terlihat  lebih  antusias  menggunakan  bahan  ajar  yang  berbasis  pembuktian.  Bahan  ajar  yang sudah  disusun  peneliti  diharapkan  dapat  memfasilitasi  mahasiswa  untuk  meningkatkan
kemampuan  penyelesaian  masalah  menggunakan  metode  pembuktian  berdasarkan  jawaban mahasiswa. Berikut hasil dari perhitungan efektifitas dengan uji-t:
Tabel 5. Hasil Uji Efektifitas Bahan Ajar Tes n Rata-rata t hitung t tabel Pretest 18 53 5,83 2,11 Posttest 18 79,44
Berdasarkan  Tabel  5  terdapat  peningkatan  rata-rata  nilai  mahasiswa  sebelum  dan sesudah menggunakan bahan ajar induksi matematika dan teorema binomial dengan rata-rata dari  selisih pretest dan posttest sebesar  26,44  dan  hasil  pengujian  dengan  uji-t  sebesar  5,83. Hasil uji-t ini dibandingkan dengan t tabel , yaitu 2,11 nilai t hitung lebih besar dari t tabel , sehingga terjadi peningkatan rata-rata nilai mahasiswa sebelum dan sesudah menggunakan  bahan ajar. Dapat  disimpulkan  bahwa  bahan  ajar  yang  disusun  efektif  digunakan  untuk  proses  belajar mengajar.  Hasil  uji  keefektifan  ini  sejalan  dengan  uji  validasi  yang  dilakukan  sebelumnya, yang  memberikan  hasil  bahwa  bahan  ajar  teorema  binomial  dan  induksi  matematika  sudah valid  dan  layak  untuk  digunakan.  Hasil  pengembangan  bahan  ajar  ini  selanjutnya  akan digunakan untuk perkuliahan mata kuliah teori bilangan pada materi induksi matematika dan teorema binomial. Selain itu, hasil nilai pretest dan posttest mahasiswa terlihat bahwa semua nilai  mahasiswa  meningkat  secara  signifikan,  selain  dilihat  berdasarkan  selisih  nilai pretest dan posttet ,  peningkatan  secara  signifikan  juga  dibuktikan  dengan  menggunakan  uji-t. Peningkatan nilai mahasiswa menunjukkan bahwa bahan ajar yang sudah disusun memberikan pengaruh  terhadap  proses  belajar  mengajar  di  kelas.  Penggunaan  bahan  ajar  induksi matematika dan teorema binomial berbasis pembuktian dapat meningkatkan nilai mahasiswa.

## KESIMPULAN
Berdasarkan hasil analisis data dan pembahasan diperoleh simpulan bahwa bahan ajar yang  dihasilkan  dari  penelitian  dan  pengembangan  ini  berupa  bahan  ajar teori  bilangan  pada materi induksi matematika dan teorema binomial berbasis pembuktian, bahan ajar termasuk ke dalam kategori sangat baik, sehingga memenuhi kriteria kevalidan bahan ajar. Bahan ajar yang dihasilkan  dari  penelitian  ini,  penilaian  dari  validator  dosen  dan  mahasiswa  bahan  ajar termasuk  dalam  kategori  “sangat  baik”.  Selain  itu,  produk  yang  dihasilkan  dalam  penelitian dan  pengembangan  ini  telah  memenuhi  kriteria  efektif,  yaitu  nilai  mahasiswa  mengalami peningkatan secara signifikan.

## REKOMENDASI
Adapun  perlunya  dilakukan  penelitian  lanjutan  terhadap  bahan  ajar  yang dikembangkan  ini  untuk  mengetahui  keefektifan  produk  dalam  peningkatan  konteks  yang lebih luas, serta bahan ajar ini dapat dikembangkan pada lingkup yang lebih luas.

## REFERENSI
Amri,  S.  &  Ahmadi,  K.  I.  (2010).  Proses  Pembelajaran  Kreatif  dan  Inovatif  di  dalam  Kelas.
Jakarta: Prestasi Pustaka Karya.
Arnawa,  I.  M.  (2007).  Mengembangkan  Kemampuan  Mahasiswa  dalam  Memvalidasi  Bukti pada  Aljabar  Abstrak  melalui  Pembelajaran  Berdasarkan  Teori  APOS. Jurnal Matematika dan Sains , 14 (2), 64.
Ashkenazi,  Y.  &  Itzkovitch,  E.    (2014).  Proof  by  Mathematical  Induction. International Journal of Innovative and Reasearch in Educational Science , 1 (3), 186 – 190.
Hine,  G.  (2017).  Proof  by  Mathematical  Induction:  Professional  Practice  for  Secondary Teachers.  Paper  presented  at  the  Australian  Association  of  Mathematics  Teachers Biennial Conference, Australian Capital Territory, Canberra.
Imamah,  E.  Q.,  Lestari,  U.  &  Gofur,  A.  (2016).  Pengembangan  Booklet  dari  Penelitian Pengaruh  Tahu  Berformalin  terhadap  Histopatologi  Hati  Mencit  Jantan  Galur  Balb/C untuk Masyaraka Kota Kediri. Jurnal Pendidikan Biologi Indonesia , 2 (2), 102-108.
Juandi,  D.  (2008).  Pembuktian,  Penalaran,  dan  Komunikasi  Matematika.  Bandung:  FMIPA- UPI.
Koparan,  T.  (2017).  Analysis  of  Teaching  Materials  Developed  by  Prospective  Mathematics Teachers  and  Their  Views  on  Material  Development. Malaysian  Online  Journal  of Educational Technology , 5 (4).
NCTM.  (2000). Principles  and  Standar  for  School  Mathematics .  Reston,  VA:  The  National Council of Teachers of Mathematics, Inc.
Raji,  W.  (2013). An  Introductory  Course  in  Elementary  Number  Theory .  The  Saylor Foundation.
Suryadi,  D.  (2013).  Didactical  design  research  (DDR)  dalam  pengembangan  pembelajaran matematika.  In Prosiding  Seminar  Nasional  Matematika  dan  Pendidikan  Matematika (pp. 3-12).
Vincent,  J.,  Chick,  H.,  &  McCrae,  B.  (2005).  Argumentation  Profile  Charts  as  Tools  for Analysing  Students’argumentations. International  Group  for  the  Psychology  of Mathematics Education , 281.
Yudi, M., Ariani, N. M., & Ramadianti, W. (2017). Desain Bahan Ajar Mata Kuliah Aljabar
Linear untuk Mengembangkan Kemampuan Berfikir Kreatif
Matematis. KALAMATIKA Jurnal Pendidikan Matematika , 2 (1), 1-14.