## OPTIMASI KEUNTUNGAN MENGGUNAKAN METODE KARUSH- KUHN-TUCKER (STUDI KASUS: MI ACEH PATTIMURA DI JAMBI)
Ellys Agustina 1 , Sufri 2 , Syamsyida Rozi 3 1,2,3 Universitas Jambi , Jambi, Indonesia E-mail: ellysagustina@gmail.com 1)
sufriary@yahoo.com 2) syamsyida.rozi@gmail.com 3) Kata Kunci ABSTRAK pemrograman linier, optimasi, metode Karush-
Kuhn-Tucker, pengali lagrange .
Masalah pengeluaran yang tidak stabil dan produksi yang tidak optimal  mendorong  pelaku  usaha  untuk  merumuskan  strategi yang  tepat  agar  usaha  dapat  terus  berjalan  dengan  lancar.  Hal tersebut  juga  terkait  dengan  adanya  keinginan  untuk memaksimalkan  keuntungan.  Masalah  yang  demikian  dialami pula oleh pelaku usaha Mi Aceh Pattimura, Jambi. Adapun tujuan dari penelitian ini adalah untuk menentukan dan mengidentifikasi jumlah produksi yang optimal per hari supaya pelaku usaha Mi Aceh  Pattimura  memperoleh  keuntungan  harian  yang  optimal berdasarkan modal dan bahan yang tersedia. Pada penelitian ini, metode  yang  digunakan  untuk  menemukan  keadaan  optimal tersebut adalah metode Kuhn Tucker. Penyelesaian menggunakan
Karush-Kuhn-Tucker memiliki konsep yang sama dengan metode Lagrange,  yaitu  menghitung  nilai (𝑥, λ, S) dan  menghitung  nilai 𝑓(𝑥). proses  pencarian  nilai (𝑥, λ, S) menggunakan  perkalian matriks. Berdasarkan perhitungan menggunakan metode Karush- Kuhn-Tucker,  diperoleh  jumlah  produksi  optimal  per  hari  pada usaha Mi Aceh Pattimura adalah mi aceh kuah sebanyak 15 porsi, mi  aceh  goreng  sebanyak  6  porsi,  mi  aceh  tumis  sebanyak  19 porsi, mi aceh daging sebanyak 20 porsi, mi aceh ayam sebanyak 20  porsi,  dan  mi  aceh  udang  sebanyak  20  porsi  dengan keuntungan  optimal  yang  dapat  diperoleh  sebesar  Rp. 745.169,9279 per hari. Linear Programming, Optimization, Karush-Kuhn- Tucker Method, Lagrange Multiplier Problem  of  expenditure  which  is  not  stable,  and  production which is not optimal, motivate the entrepreneur to identify and find out the right strategy so that the business runs smoothly. It is also related to desire to maximize the profits. Such concerns are  also  experienced  by  entrepreneur  of  Mi  Aceh  Pattimura, Jambi. The purpose of this research is to determine and identify the numbers of optimal production in a day in order to obtain the optimal profit based on capital and available stock. In this
research, Karush-Kuhn-Tucker method is used to identify such optimal  condition.  The  completion  of  the  Karus-Kuhn-Tucker method  is  the  same  as  the  Lagrange  methodwhich  is calculatethe  value (𝑥, λ, S) and  calculate  the  value 𝑓(𝑥) .  The process  finding  value  inthis  method  can  use  matrix multiplication. Based on calculation using Karush-Kuhn-Tucker method, it’s obtained that the numbers of optimal production in a day in Mi Aceh Pattimura is 15 servings of aceh noodle soup, 6 servings  of aceh fried noodles, 19 servings of aceh noodles stir-fry, 20 servings of aceh meat noodles, 20 servings of aceh chicken noodles, and 20 servings of aceh shrimp noodles with optimal profit is Rp. 745,169.9279
This is an open access article under the CC – BY-SA license.

## Pendahuluan
Dalam  kehidupan  sehari-hari, terdapat  banyak  sekali  permasalahan yang melibatkan matematika, baik dalam bidang  ekonomi,  sosial,  politik  maupun masalah  yang  berkaitan  langsung dengan  Pendidikan  (Arifin,  2020). Pendidikan tidak hanya dipengaruhi oleh Pendidikan  yang  ada  di  sekolah,  yang berhubungan  dengan  pembelajaran, siswa, guru, media dan sebagainya. Akan
tetapi juga dapat
dipengaruhi keberadaan  disekitarnya  (Surur  et  al., 2020).  Masyarakat  juga  berpengaruh dalam Pendidikan. Secara tidak langsung, usaha  yang  ditekuni  masyarakat  juga memberikan dampak pada Pendidikan.
Tingkat persaingan yang tinggi antar  pelaku  Usaha  Mikro,  Kecil  dan Menengah  (UMKM)  dalam  menjalankan usaha  menuntut  pelaku  usaha  untuk merumuskan  strategi  yang  tepat  agar usaha  dapat  terus  beroperasi  dengan lancar. Hal itu juga terkait dengan adanya keinginan untuk memaksimalkan keuntungan  berdasarkan  stok  yang tersedia. Salah satu UMKM di Jambi yang memiliki perhatian terhadap masalah ini adalah Usaha Mi Aceh Pattimura.
Mi  Aceh  saat  ini  yang merupakan salah satu masakan
nusantara,  yang  tidak  hanya  bisa dinikmati  di  Aceh,  tapi  juga  bisa ditemukan  di  provinsi  lain  selain  Aceh,
atau  bahkan  di  luar  negeri.    Mi  Aceh menjadi  salah  satu  menu  favorit  di daerah Simpang Rimbo, Kota Jambi. Hal ini dikarenakan cita rasa mi aceh sangat sesuai  dengan  karakter  lidah  penduduk Sumatera.
Beberapa kendala yang dihadapi pelaku usaha Mi Aceh Pattimura adalah  ketidakstabilan  pengeluaran  dan kurang  optimalnya  produksi  sehingga stock bahan mentah yang tersedia tidak digunakan dengan maksimal. Kekurangan semacam ini dapat membuat system menjadi tidak
seimbang  yang  berakibat  pada  luaran yang  dihasilkan  (Syamsudin,  2020).  Hal itu  bisa  membuat  pendapatan  dan keuntungan  yang  diperoleh  dari  pelaku usaha menjadi tidak jelas. Dalam hal ini, yang  dimaksud  dengan  optimal  adalah semua kegiatan yang dapat memberikan manfaat  yang  sebesar-besarnya  dalam permasalahan  produksi  yang  sedang
dijalani. Optimasi merupakan pendekatan normatif dengan mengidentifikasi  penyelesaian  terbaik dari suatu permasalahan yang diarahkan
pada  titik  maksimum  atau  minimum
suatu  fungsi  tujuan.  Dalam  rangka mengoptimalkan  sumber  daya  atau bahan  mentah  yang  digunakan  dalam proses produksi, agar kegiatan produksi dapat  menghasilkan  produk  dengan kuantitas  dan  kualitas  yang  diharapkan, maka  perusahaan  perlu  melakukan pengamatan dan analisis terkait optimasi produksi (Liu et al., 2020). Dalam hal ini, salah  satu  teknik  yang  bisa  digunakan adalah  melalui  pemodelan  program linier, yang merupakan model matematika untuk mengalokasikan
sumber  daya  atau  bahan  baku  yang terbatas  agar  mencapai  sebuah  tujuan seperti  memaksimumkan  keuntungan dan  meminimumkan  biaya.  Masalah optimasi  terbagi  menjadi  dua  kategori yaitu  optimasi  berkendala  dan  optimasi tanpa kendala (Moengin, 2011).
Pada  penelitian  ini,  masalah yang dialami oleh pelaku usaha Mi Aceh Pattimura  akan  ditemukan  solusinya melalui  pemodelan  program  linier. Secara  umum  bentuk  model  program linier dituliskan sebagai berikut:
Fungsi tujuan ( objective function):
Maksimumkan/minimumkan:
𝑓 = (𝑐 1 𝑥 1 + 𝑐 2 𝑥 2 + ⋯ + 𝑐 𝑛 𝑥 𝑛 )
Fungsi pembatas ( constraint function):
𝑎 11 𝑥 1 + 𝑎 12 𝑥 2 + ⋯ + 𝑎 1𝑛 𝑥 𝑛 ≤ 𝑎𝑡𝑎𝑢 ≥ 𝑏 1 𝑎 21 𝑥 1 + 𝑎 22 𝑥 2 + ⋯ + 𝑎 2𝑛 𝑥 𝑛 ≤ 𝑎𝑡𝑎𝑢
≥ 𝑏 2
⋮             ⋮                          ⋮
𝑎 𝑚1 𝑥 1 + 𝑎 𝑚2 𝑥 2 + ⋯ + 𝑎 𝑚𝑛 𝑥 𝑛 ≤ 𝑎𝑡𝑎𝑢 ≥ 𝑏 𝑚 𝑥 1 , 𝑥 2 , 𝑥 3 , … , 𝑥 𝑛 ≥ 0 (Rafflesia & Widodo, 2014)  Selanjutnya masalah  program  linier  tersebut  akan ditemukan  solusinya  menggunakan metode  Karush-Kuhn-Tucker.  Metode Karush-Kuhn-Tucker  (KKT)  merupakan metode  yang  digunakan  pada  masalah optimasi  untuk  menentukan  nilai optimum  suatu  fungsi  tujuan  dengan kendala yang berbentuk pertidaksamaan. Metode  Karush-Kuhn-Tucker  diperoleh dari modifikasi metode pengali Lagrange dimana metode pengali lagrange hanya
bisa menyelesaikan permasalahan optimasi dengan kendala yang berbentuk  persamaan.  Metode  Karush- Kuhn-Tucker  ini  dapat  digunakan  untuk mencari solusi optimum dari suatu fungsi tujuan  tanpa  memandang  sifat  dari fungsi  tersebut  apakah  linier  atau  non linier (Sinha et al., 2019).
Diberikan
permasalahan optimasi  dengan  kendala  sebagai
berikut: Maksimumkan : 𝑓(𝐱)
Dengan kendala : 𝐠(𝐱) ≤ 𝟎 Kendala pertidaksamaan dapat ditransformasikan dengan menambahkan variabel slack tak negatif
𝐒 2 , sehingga menjadi
𝐠(𝐱) + 𝐒 2 = 𝟎 dengan 𝐒 = (𝑆 1 , 𝑆 2 , … , 𝑆 𝑚 )
Dengan  demikian  masalah  optimasi menjadi
Maksimumkan : 𝑓(𝐱) Kendala : 𝐠(𝐱) + 𝐒 2 = 𝟎
Masalah  tersebut  dapat  diselesaikan dengan metode Lagrange dengan  fungsi Lagrange nya adalah :
𝐿(𝐱, 𝛌, 𝐒) = 𝑓(𝐱) − 𝛌(𝐠(𝐱) + 𝐒 𝟐 )
Pengali Lagrange (𝛌) mengukur  laju perubahan  nilai  optimum 𝑓 jika  terjadi perubahan  kecil  pada  fungsi  kendala 𝐠 yang secara matematis ditulis
𝛌 = 𝜕𝑓 𝜕𝐠 .
Sehingga pada permasalahan
memaksimumkan  (pada  fungsi  tujuan), jika kendala 𝐠(𝐱) ≤ 𝟎 , maka syarat perlu untuk optimasi adalah 𝛌 yang bernilai tak
negatif (𝛌 ≥ 0) .  Sebaliknya,  jika  fungsi
tujuannya adalah untuk meminimumkan, maka syarat perlu untuk optimasi adalah
𝛌 ≤ 0 .  Kondisi 𝛌 ini  menjadi  salah  satu syarat  perlu  dalam  metode  KKT.  Syarat perlu  lainnya  dalam  metode  KKT diperoleh dari
𝜕𝐿 𝜕𝐱 = 𝜕𝑓(𝐱) −  𝛌 𝜕𝐠(𝐱) = 𝟎             (1)
𝜕𝐿 𝜕𝑆 𝒊 = − 2𝜆 𝑖 𝑆 𝒊 = 𝟎, 𝑖 = 1,2, … , 𝑚  (2)
𝜕𝐿 𝜕𝛌 = −(𝐠(𝐱) + 𝐒 𝟐 ) = 𝟎                 (3)
Berdasarkan  persamaan  (2),  maka bisa bisa diambil kesimpulan berikut:
Jika 𝜆 𝑖 ≠ 0 , maka 𝑆 𝑖 = 0 sehingga 𝑆 𝒊 𝟐 = 0 .
Interpretasi 𝑆 𝑖 2 = 0 adalah bahwa bahan baku  dikonsumsi  keseluruhan  dan  bisa dikatakan bahwa sumber daya 𝑖 langka.
Jika 𝑆 𝑖 2 > 0 ,  maka 𝜆 𝑖 = 0 .  Nilai 𝑆 𝑖 2 > 0 menunjukkan  bahwa  bahan  baku  tidak sepenuhnya digunakan atau
menunjukkan bahwa sumber daya 𝑖 tidak langka. Dan karena 𝜆 = 0 maka tidak ada pengaruh  terhadap  nilai 𝑓 (karena 𝜆 𝑖 = 𝜕𝑓 𝜕𝑔 𝒊 = 0 ).
Berdasarkan  persamaan  (2),  jika 𝜆 𝑖 > 0 maka 𝑆 𝑖 = 0 sehingga 𝑆 𝒊 𝟐 = 0 .  Dan mempertimbangkan  kondisi  persamaan (3), 𝑆 𝑖 2 = 0 menyebabkan 𝑔 𝑖 (𝐱) = 0 .
Sehingga diperoleh
𝜆 𝑖 𝑔 𝑖 (𝐱) = 0, untuk 𝑖 = 1,2, … , 𝑚.
Begitu pula, berdasarkan persamaan (3), jika 𝐠(𝐱) < 0 , maka 𝐒 𝟐 > 𝟎 sehingga 𝑆 𝑖 ≠ 0 .  Dan  mempertimbangkan  persamaan (2), 𝑆 𝑖 ≠ 0 menyebabkan haruslah 𝜆 𝑖 = 0 .
Sehingga diperoleh
𝜆 𝑖 𝑔 𝑖 (𝐱) = 0, untuk 𝑖 = 1,2, … , 𝑚.
Dengan  demikian,  syarat  perlu
metode KKT untuk masalah memaksimumkan adalah sebagai berikut:
1.      𝛌 ≥ 0
2. 𝜕𝐿 𝜕𝐱 = 𝜕𝑓(𝐱) −  𝛌 𝜕𝐠(𝐱) = 0
3.       𝜆 𝑖 𝑔 𝑖 (𝐱) = 0
4.       𝐠(𝐱) ≤ 0 untuk 𝑖 = 1,2, … , 𝑚 . Jika permasalahannya
adalah meminimumkan  nilai  fungsi  objektif, maka kondisi 2, 3 dan 4 juga merupakan syarat  perlu  untuk  metode  KKT,  namun kondisi  1,  yaitu  pengali  Lagrange (𝜆) haruslah bernilai negatif (Taha, 2017).
Analisis sensitivitas merupakan alat  analisis  berupa  pendekatan  yang diperlukan  apabila  terjadi  perubahan pada  pembatas  kendala,  koefisien kendala, koefisien fungsi tujuan, penambahan variabel baru, dan penambahan kendala baru.
Penelitian  sebelumnya  yang telah  menggunakan  metode  Karush-
Kuhn-Tucker diantaranya penelitian oleh Safitri,  dkk  (2019)  dengan  judul “Optimalisasi Hasil Produksi Menggunakan  Metode  Kuhn-Tucker (Studi Kasus: Toko Baju Mitra Pekanbaru)” Penelitian  ini  memiliki empat variabel, perbedaan pada penelitian  ini  adalah  objek  yang  diteliti. Berdasarkan metode kuhn-Tucker memperoleh keuntungan optimal
sebesar  Rp.  5.600.000,- .  Sa’ban (2020) melakukan  penelitian  dengan  judul
“P enerapan Metode Karush-Kuhn-Tucker
Untuk  Optimalisasi  Produksi”.  Penelitian yang  di  lakukan  di  pabrik  kerupuk  Al-
Barakah Manokwari, Papua ini memperoleh hasil keuntungan berdasarkan metode Kuhn-Tucker
sebesar  Rp.  1.437.000,-.  Penelitian  ini menggunakan 4 variabel keputusan. (Setiawan  &  Pramesti,  2018)  melakukan penelitian berjudul “ Penggunaan Kriteria Karush-Kuhn-Tucker (KKT) dalam Analisis Economic  Order  Quantity  (EOQ)  Model Inventory  dalam  Permasalahan  Rantai Pasok.  Dari  penelitian  tersebut  dilihat bahwa KKT dapat memberikan informasi mengenai  nilai  optimum  dari  variabel
keputusan sehingga dapat meminimumkan  total  biaya  yang dibutuhkan  sistem.  (Resti,  2019)  telah melakukan  penelitian  dengan  topik serupa namun berbeda metode penyelesaian  dengan  judul  “ Penerapan Metode  Fuzzy  Tsukamoto  Untuk Menentukan Jumlah Produksi Obat Ikan Di  UD.  Indo  Multi  Fish  Tulungagung”. Penelitian  ini  membahas  tentang bagaimana  memperkirakan  jumlah  obat yang harus diproduksi oleh toko IMF agar sesuai antara persediaan dan permintaan, serta mendapatkan
keuntungan secara maksimal.

## Metode Penelitian

## I. Sumber Data
Data  yang  digunakan  dalam penelitian  ini  berupa  data  primer.  Data primer  merupakan  data  yang  secara langsung  diperoleh  oleh peneliti terhadap subjek penelitian (Untari, 2020). data  primer  yang  diambil  melalui wawancara  dengan  pemilik  usaha  Mi Aceh  Pattimura  yang  berada  di  Jl. Pattimura, Kota Jambi. Data yang diambil merupakan data waktu penyajian mi aceh per  hari,  bahan  baku  yang  digunakan, modal serta harga jual.

## II. Langkah-langkah Penelitian
1. Identifikasi Masalah
Pada  penelitian  ini  akan dilakukan analisis terhadap optimasi jumlah produksi pada usaha Mi Aceh Pattimura dengan data bahan baku, modal,  harga  jual  dan  waktu penyajian sebagai pertimbangan.
2. Pengumpulan Data Data-data  dalam  penelitian dikumpulkan dengan cara :
a. Melakukan  penelitian  langsung  di tempat usaha.
b. Melakukan wawancara kepada pelaku  usaha  Mi  Aceh  Pattimura yang  berkaitan  dengan  informasi yang dibutuhkan.
c. Data  yang  diperlukan  yaitu  data bahan  baku,  modal,  harga  jual  dan waktu penyajian.
3. Menentukan variabel keputusan.
4. Merumuskan fungsi tujuan.
5. Merumuskan fungsi kendala.
6. Penyelesaian  masalah  optimasi menggunakan  metode  Karush- Kuhn-Tucker dengan langkah-
langkah sebagai berikut :
a. Membentuk  model  pemograman linier  yang  mengandung  fungsi tujuan dan fungsi kendala
b. Mengubah  kendala  menjadi  bentuk persamaan  dengan  menambahkan variabel slack 𝑆 𝑖 2 .
c. Membentuk fungsi lagrange sebagai berikut:
𝐿(𝐱, 𝛌, 𝐒) = 𝑓(𝐱) − 𝛌(𝐠(𝐱) + 𝐒 𝟐 ) d. Mencari solusi (𝐱, 𝛌, 𝐒) yang memenuhi kondisi KKT:
𝛌 ≥ 0
𝜕𝐿 𝜕𝐱 = 0 𝜕𝐿 𝜕𝛌 = 0 𝜕𝐿 𝜕𝑆 𝑖 = 0
e. Menghitung  nilai  maksimum  terkait fungsi tujuan Lagrange.

## Hasil dan Pembahasan
1. Data Bahan Baku Mi Aceh Pattimura

## Tabel 1
Data Bahan Baku Mi Aceh Pattimura Bahan Baku Komposisi untuk satu porsi (gram) Bahan yang tersedia perhari (gram) Mi Aceh Kuah Mi Aceh Goreng Mi Aceh Tumis Mi Aceh Daging Mi Aceh Ayam Mi Aceh Udang Mi 110 110 100 95 95 95 10.000 Bahan Utama 162 160 196 43 43 30,5 9.450 Bahan Pelengkap 0 27 26,5 28 28 28 2.350 Bumbu Mi Aceh 15 15 15 15 15 15 1.500 Daging Sapi 0 0 0 50 0 0 1.000 Daging Ayam 0 0 0 0 75 0 1.500 Daging Udang 0 0 0 0 0 50 1.000
2. Data  Waktu  Penyajian  Mi  Aceh Pattimura Tabel 2 Data Waktu Penyajian Mi Aceh Pattimura Jenis Mi Waktu Penyajian (Menit) Mi Aceh Kuah 4 Mi Aceh Goreng 3 Mi Aceh Tumis 3 Mi Aceh Daging 6 Mi Aceh Ayam 6 Mi Aceh Udang 5 Batasan 480 3. Data  modal  dan  harga  jual  Mi Aceh Pattimura
Modal  merupakan  seluruh  biaya langsung  yang  dikeluarkan  untuk memperoleh  suatu  produk  yang  dijual. Harga jual untuk masing-masing produk memiliki  harga  yang  berbeda-beda karena  menggunakan  jenis  bahan  yang berbeda.  Data modal dan harga jual Mi Aceh Pattimura dapat dilihat pada tabel berikut ini:
Tabel 3 Data modal dan harga jual Mi Aceh Pattimura Mi Aceh Kuah Mi  Aceh Goreng Mi  Aceh Tumis Mi  Aceh Daging Mi Aceh Ayam Mi Aceh Udang Modal per porsi (Rupiah) 4.000 5.000 5.000 7.000 7.000 7.000 Harga  jual  per porsi (Rupiah) 10.000 12.000 12.000 15.000 15.000 15.000 Keuntungan (Rupiah) 6.000 7.000 7.000 8.000 8.000 8.000 4. Perumusan Variabel Keputusan Variabel keputusan pada
penelitian adalah :
x 1 = banyaknya porsi mi aceh kuah yang
diproduksi
x 2 =  banyaknya  porsi  mi  aceh  goreng yang diproduksi
x 3 = banyaknya porsi mi aceh tumis yang diproduksi
x 4 =  banyaknya  porsi  mi  aceh  daging yang diproduksi
x 5 = banyaknya porsi mi aceh ayam yang
diproduksi
x 6 =  banyaknya  porsi  mi  aceh  udang
yang diproduksi

## 5. Perumusan Model Program Linier
Berdasar informasi pada Tabel 1, Tabel  2  dan  Tabel  3,  maka  dibentuk model program linier sebagai berikut:
Maksimumkan :
z = 𝑓(𝐱) = 6.000x 1 + 7.000x 2 + 7.000x 3 + 8.000x 4
+ 8.000x 5 + 8.000x 6 Dengan kendala :
110𝑥 1 + 110𝑥 2 + 100𝑥 3 + 95𝑥 4 + 95𝑥 5 + 95𝑥 6 ≤ 10000
162𝑥 1 + 160𝑥 2 + 196𝑥 3 + 43𝑥 4 + 43𝑥 5 + 30,5𝑥 6 ≤ 9450
15𝑥 1 +   15𝑥 2 +    15𝑥 3 + 15𝑥 4 + 15𝑥 5 + 15𝑥 6 ≤ 1500
4𝑥 1 +     3𝑥 2 +     3𝑥 3 +    6𝑥 4 +   6𝑥 5
+    5𝑥 6 ≤ 480
27𝑥 2 + 26,5𝑥 3 + 28𝑥 4 + 28𝑥 5 + 28𝑥 6 ≤ 2350 50𝑥 4 ≤ 1000
75𝑥 5 ≤ 1500 50𝑥 6 ≤ 1000
𝑥 1 , 𝑥 2 , 𝑥 3 , 𝑥 4 , 𝑥 5 , 𝑥 6 ≥ 0
Untuk menemukan solusi dari program linier  tersebut  dengan  metode  KKT, kendala  dapat  ditulisakan  bentuk persamaan sebagai berikut:
𝑓(𝐱) = 6000𝑥 1 + 7000𝑥 2 + 7000𝑥 3
+ 8000𝑥 4 + 8000𝑥 5 + 8000𝑥 6
𝑔 1 (𝐱) = 110𝑥 1 + 110𝑥 2 + 100𝑥 3 + 95𝑥 4 + 95𝑥 5 + 95𝑥 6 − 10000 = 0
𝑔 2 (𝐱) = 162𝑥 1 + 160𝑥 2 + 196𝑥 3 + 43𝑥 4 + 43𝑥 5 + 30,5𝑥 6 − 9450 = 0 𝑔 3 (𝐱) = 15𝑥 1 + 15𝑥 2 + 15𝑥 3 + 15𝑥 4 + 15𝑥 5 + 15𝑥 6 − 1500 = 0 𝑔 4 (𝐱) = 4𝑥 1 + 3𝑥 2 + 3𝑥 3
+ 6𝑥 4 + 6𝑥 5 + 5𝑥 6 − 480 = 0 𝑔 5 (𝐱) = 27𝑥 2 + 26,5𝑥 3 + 28𝑥 4 + 28𝑥 5 + 28𝑥 6
− 2350 = 0
𝑔 6 (𝐱) = 50𝑥 4 − 1000  = 0
𝑔 7 (𝐱) = 75𝑥 5 − 1500  = 0 𝑔 8 (𝐱) = 50𝑥 6 − 1000  = 0 𝑥 1 , 𝑥 2 , 𝑥 3 , 𝑥 4 , 𝑥 5 , 𝑥 6 , 𝑆 1 , 𝑆 2 , 𝑆 3 , 𝑆 4 , 𝑆 5 , 𝑆 6 , 𝑆 7 , 𝑆 8 ≥ 0
Maka  fungsi  Lagrange  dari  model program linier ini adalah :
𝐿(𝐱, 𝛌, 𝐒) = 𝑓(𝐱) − 𝛌(𝐠(𝐱) + 𝐒 𝟐 )
𝐿 ( 𝑥 1 , 𝑥 2 , 𝑥 3 , 𝑥 4 , 𝑥 5 , 𝑥 6 , 𝜆 1 , 𝜆 2 , 𝜆 3 , 𝜆 4 , 𝜆 5 , 𝜆 6 , 𝜆 7 , 𝜆 8 , 𝑆 1 , 𝑆 2 , 𝑆 3 , 𝑆 4 , 𝑆 5 , 𝑆 6 , 𝑆 7 , 𝑆 8 ) = 6.000𝑥 1 + 7.000𝑥 2 + 7.000𝑥 3 + 8.000𝑥 4 + 8.000𝑥 5 + 8.000𝑥 6
− 𝜆 1 (110𝑥 1 +  110𝑥 2 + 100𝑥 3 + 95𝑥 4
+ 95𝑥 5 + 95𝑥 6 + 𝑆 1 2 − 10.000)
− 𝜆 2 (162𝑥 1 + 160𝑥 2 + 196𝑥 3 + 43𝑥 4
+ 43𝑥 5 + 30,5𝑥 6 + 𝑆 2 2 − 9.450)
− 𝜆 3 (15𝑥 1 + 15𝑥 2 + 15𝑥 3 + 15𝑥 4 + 15𝑥 5 + 15𝑥 6 + 𝑆 3 2 − 1.500)
− 𝜆 4 (4𝑥 1 + 3𝑥 2 + 3𝑥 3 + 6𝑥 4 + 6𝑥 5 + 5𝑥 6 + 𝑆 4 2 − 480) − 𝜆 5 (27𝑥 2 + 26,5𝑥 3 + 28𝑥 4 + 28𝑥 5
+ 28𝑥 6 +   𝑆 5 2 − 2.350) − 𝜆 6 (50𝑥 4 +   𝑆 6 2 − 1.000) − 𝜆 7 (75𝑥 5 +   𝑆 7 2 − 1.500) − 𝜆 8 (50𝑥 6 + 𝑆 8 2
− 1.000)                                                       (7)
Fungsi  lagrange  menjadi  fungsi tujuan baru untuk  mengetahui  jumlah produksi  harian  guna  memperoleh keuntungan optimum. Selanjutnya akan
ditemukan  nilai  maksimum  dari  fungsi tujuan  tersebut  dengan  menemukan
solusi dari persamaan-persamaan berikut  yang  merupakan  syarat  perlu untuk metode KKT:
𝜕𝐿 𝜕𝐱 (𝐱, 𝛌, 𝐒) = 0 𝜕𝐿 𝜕λ 𝑖 (𝐱, 𝛌, 𝐒) = 0 𝜕𝐿 𝜕𝑆 𝑖 (𝐱, 𝛌, 𝐒) = 0 𝜆 𝑖 ≥ 0 dengan 𝑖 = 1,2,3, … , 𝑛
Sehingga berdasarkan fungsi Lagrange
dalam penelitian ini, diperoleh persamaan-persamaan  berikut  terkait syarat perlu untuk metode KKT:
𝜕𝐿 𝜕𝑥 1 = 6.000 − 110𝜆 1 − 162𝜆 2 − 15𝜆 3 − 4𝜆 4 = 0 𝜕𝐿 𝜕𝑥 2 = 7.000 − 110𝜆 1 − 160𝜆 2 − 15𝜆 3 − 3𝜆 4 − 27𝜆 5 = 0 𝜕𝐿 𝜕𝑥 3 = 7.000 − 100𝜆 1 − 196𝜆 2 − 15𝜆 3 − 3𝜆 4 − 26,5𝜆 5 = 0 𝜕𝐿 𝜕𝑥 4 = 8.000 − 95𝜆 1 − 43𝜆 2 − 15𝜆 3 − 6𝜆 4 − 28𝜆 5 − 50𝜆 6
= 0 𝜕𝐿 𝜕𝑥 5 = 8.000 − 95𝜆 1 − 43𝜆 2 − 15𝜆 3 − 6𝜆 4 − 28𝜆 5 − 75𝜆 7 = 0 𝜕𝐿 𝜕𝑥 6 = 8.000 − 95𝜆 1 − 30,5𝜆 2 − 15𝜆 3 − 5𝜆 4 − 28𝜆 5 − 50𝜆 8 = 0 𝜕𝐿 𝜕𝜆 1 = −110𝑥 1 −  110𝑥 2 − 100𝑥 3 − 95𝑥 4 − 95𝑥 5 − 95𝑥 6 − 𝑆 1 2 + 10.000 = 0 𝜕𝐿 𝜕𝜆 2 = −162𝑥 1 − 160𝑥 2 + 196𝑥 3 − 43𝑥 4 − 43𝑥 5 − 30,5𝑥 6 − 𝑆 2 2 + 9.450 = 0 𝜕𝐿 𝜕𝜆 3 = −15𝑥 1 − 15𝑥 2 − 15𝑥 3 − 15𝑥 4
− 15𝑥 5 − 15𝑥 6 − 𝑆 3 2 + 1.500 = 0 𝜕𝐿 𝜕𝜆 4 = −4𝑥 1 − 3𝑥 2 − 3𝑥 3 − 6𝑥 4 − 6𝑥 5 − 5𝑥 6 − 𝑆 4 2 + 480 = 0 𝜕𝐿 𝜕𝜆 5 = −27𝑥 2 − 26,5𝑥 3 − 28𝑥 4 − 28𝑥 5
− 28𝑥 6 −   𝑆 5 2 + 2.350 = 0 𝜕𝐿 𝜕𝜆 6 = −50𝑥 4 −   𝑆 6 2 + 1.000 = 0
𝜕𝐿 𝜕𝜆 7 = −75𝑥 5 −   𝑆 7 2 + 1.500 = 0 𝜕𝐿 𝜕𝜆 8 = −50𝑥 6 − 𝑆 8 2 + 1.000 = 0
𝜕𝐿 𝜕𝑆 1 = −2𝜆 1 𝑆 1 = 0
𝜕𝐿 𝜕𝑆 2 = −2𝜆 2 𝑆 2 = 0 𝜕𝐿 𝜕𝑆 3 = −2𝜆 3 𝑆 3 = 0 𝜕𝐿 𝜕𝑆 4 = −2𝜆 4 𝑆 4 = 0 𝜕𝐿 𝜕𝑆 5 = −2𝜆 5 𝑆 5 = 0 𝜕𝐿 𝜕𝑆 6 = −2𝜆 6 𝑆 6 = 0 𝜕𝐿 𝜕𝑆 7 = −2𝜆 7 𝑆 7 = 0 𝜕𝐿 𝜕𝑆 8 = −2𝜆 8 𝑆 8 = 0 (8)
Persamaan-persamaan  pada  (8) merupakan  sistem  persamaan  non linier.  Berdasarkan  penemuan  solusi secara  numerik  terhadap  sistem persamaan  (8),  diperoleh  solusi  yang memenuhi  kondisi  KKT  serta  keadaan
𝜆 𝑖 ≥ 0 dan 𝑆 𝑖 2 ≥ 0 adalah  sebagai berikut:
𝜆 1 = 0 𝜆 2 = 0,5149330587 𝜆 3 = 394,4387230 𝜆 4 = 0 𝜆 5 = 37,07518023 𝜆 6 = 20,46343975
𝜆 7 = 13,64229317
𝜆 8 = 20,59217302
𝑆 1 = 9,579199918
𝑆 2 = 0
𝑆 3 = 0
𝑆 4 = 2,273747547
𝑆 5 = 0
𝑆 6 = 0 𝑆 7 = 0 𝑆 8 = 0 𝑥 1 = 14,83007209 𝑥 2 = 5,993820803 𝑥 3 = 19,17610711
𝑥 4 = 20 𝑥 5 = 20 𝑥 6 = 20
Berdasarkan  nilai 𝜆 𝑖 , 𝑆 𝑖 dan 𝑥 𝑖 tersebut,  maka  diperoleh  nilai  optimal untuk fungsi Lagrange
𝐿 ( 𝑥 1 , 𝑥 2 , 𝑥 3 , 𝑥 4 , 𝑥 5 , 𝑥 6 , 𝜆 1 , 𝜆 2 , 𝜆 3 , 𝜆 4 , 𝜆 5 , 𝜆 6 , 𝜆 7 , 𝜆 8 , 𝑆 1 , 𝑆 2 , 𝑆 3 , 𝑆 4 , 𝑆 5 , 𝑆 6 , 𝑆 7 , 𝑆 8
) = 745.169,93
Jadi, untuk memperoleh
keuntungan  maksimum,  maka  jumlah produksi  harian  usaha  Mi  Aceh
Pattimura adalah 14,83 porsi untuk mi aceh  kuah, 5,99 porsi  untuk  mi  aceh goreng, 19,17 porsi  untuk  mi  aceh tumis,  20  porsi  untuk  mi  aceh  daging, 20  porsi  untuk  mi  aceh  ayam,  dan  20 porsi  untuk  mi  aceh  udang  dengan keuntungan  optimum  yang  diperoleh sebesar Rp. 745.169,93.
6. Analisis  Sensitivitas  Perubahan Pada Koefisien Fungsi Tujuan
Pada  penelitian  ini,  akan  diamati bagaimana sensitivitas dari koefisien dari variabel  keputusan  pada  fungsi  tujuan. Artinya  akan  diamati  keadaan  nilai-nilai keuntungan  untuk  masing-masing  jenis mi aceh sehingga bisa di prediksi kapan solusi optimum akan tetap atau berubah. Berdasarkan hasil analisis sensitivitas ini, maka seandainya harga jual atau modal
berubah, maka pelaku usaha masih dapat membayangkan apakah jumlah produksi optimal  untuk  masing-masing  jenis  mi aceh  akan  tetap  atau  berubah.  Namun setiap  perubahan  keuntungan  pada setiap mi aceh, tentunya akan berdampak pada perubahan nilai keuntungan secara total.
Tabel 4 Hasil analisis sensitivitas terhadap koefisien variabel pada fungsi tujuan Variabel Keputusan Nilai optimum variabel keputusan Koefisien Fungsi Tujuan Peningkatan koefisien yang diizinkan Penurunan koefisien yang diizinkan 𝑥 1 14,83 6000 1000 5461,02 𝑥 2 5,99 7000 18,86 1058,82 𝑥 3 19,18 7000 1313,44 18,51 𝑥 4 20 8000 10 30 1023,17 𝑥 5 20 8000 10 30 1023,17 𝑥 6 20 8000 10 30 1029,60 Berdasarkan Tabel 4, titik optimum (jumlah produksi optimal untuk
setiap jenis Mi Aceh) sebagaimana yang diperoleh  pada section  4.5  tidak  akan berubah  jika  keuntungan  dari  mi  aceh kuah  berada  dalam  interval  Rp.538,97
hingga    Rp.7000,  atau  keuntungan  mi goreng berada dalam interval Rp.5.941,18  hingga  Rp.7.018,87,  atau keuntungan mi aceh tumis berada dalam interval Rp.6.981,48 hingga Rp. 8.313,44, atau  keuntungan  dari  mi  aceh  daging
dan  mi  aceh  ayam  masing-masingnya lebih dari Rp. 6.976,83 atau keuntungan dari  mi  aceh  udang  lebih  dari Rp.6.970,39.  Walau  jumlah  produksi optimal dari masing-masing jenis mi aceh tidak  berubah,  namun  nilai  keuntungan maksimum  secara  keseluruhan  akan berubah  sesuai  dengan  formula  nilai fungsi  objektif  pada  model  program linier.

## Kesimpulan
Berdasarkan hasil penelitian terhadap usaha Mi Aceh Pattimura,  dan berdasarkan  model  pemrograman  linier yang  dibentuk,  maka  dengan  metode Karush-Kuhn-Tucker diperoleh kesimpulan  bahwa  untuk  meraih keuntungan  maksimum,  maka  jumlah produksi yang harus dicapai oleh pelaku usaha adalah 14,83 porsi untuk mi aceh kuah, 5,99 porsi  untuk  mi  aceh  goreng,
19,17 porsi untuk mi aceh tumis, 20 porsi untuk mi aceh daging, 20 porsi untuk mi aceh ayam,  dan 20 porsi untuk mi aceh udang  dengan  keuntungan  optimum yang diperoleh sebesar Rp.745.169,9279. Berdasarkan  hasil  analisis  sensitivitas, jumlah  produksi  optimal  tersebut  tidak akan  berubah  seandainya  terjadi
perubahan  keuntungan  untuk  masing- masing  jenis  mi  aceh  dengan  nilai perubahan keuntungan adalah sebagaimana  yang  diilustrasikan  pada Tabel 4.

## Daftar Pustaka
Arifin, S. (2020). Matrix Laplace Transform Method And It Applications On Spring-Mass Systems. Factor M, 2(2), 85 – 101.
Liu, S., Sun, L., Zhu, S., Li, J., Chen, X., & Zhong, W. (2020). Operation strategy optimization of desulfurization system based on data mining. Applied Mathematical Modelling, 81, 144 – 158. https://doi.org/10.1016/j.apm.2019. 12.004
Moengin, P. (2011). Metode Optimasi. CV. Muara Indah.
Rafflesia, U., & Widodo, F. H. (2014). Pemrograman Linier (M. Simanihuruk (ed.)). Badan Penerbitan Fakultas Pertanian UNIB. Sa’ban, A. (2020). Penerapan Metode Kuhn Tucker untuk Optimalisasi Produksi. Etheses Universitas Islam Negeri Maulana Malik Ibrahim, 1, 1 – 9.
Safitri, E., Basriati, S., & Zahara, A. (2019). Optimalisasi Hasil Produksi Menggunakan Metode Kuhn- Tucker ( Studi Kasus : Toko Baju Mitra Pekanbaru ). Jurnal Sains Matematika Dan Statistika: Jurnal Hasil Penelitian Matematika, Statistika, Dan Aplikasinya, 5(1), 30 – 39. Sinha, A., Soun, T., & Deb, K. (2019). Using Karush-Kuhn-Tucker proximity measure for solving
bilevel optimization problems. Swarm and Evolutionary Computation, 44, 496 – 510. https://doi.org/10.1016/j.swevo.201 8.06.004 Surur, A. M., Oktafiani, T., Munawaroh, F., Sari, N. S. N., & Istiqomah, N. W. (2020). Peran Orang Tua Terhadap Peningkatan Prestasi Matematika Anak. Factor M, 3(1), 49 – 59. Syamsudin, A. (2020). Analisis Kesalahan Coding Bahasa Pemrograman Java Pada Matakuliah Algoritma Pemrograman Mahasiswa Tadris Matematika IAIN Kediri. Factor M, 2(2), 102 – 114.
Taha, H. A. (2017). Operations Research An Introduction (Tenth). Pearson Education. Untari, E. (2020). Efektivitas Model Pembelajaran Kooperatif Tipe Think Pair Share (TPS) Dan Tipe Time Token Arends Terhadap Prestasi Belajar Matematika Ditinjau dari Kemampuan Berinteraksi Siswa. Factor M, 3(1). Resti, N. C. (2019). Penerapan Metode Fuzzy Tsukamoto Untuk menentukan Jumlah Produksi Obat Ikan di UD. Indo Multi Fish. Factor- M, 106-113. Setiawan, R., & Pramesti, G. (2018). Penggunaan Kriteria Karush-Kuhn- Tucker (KKt) dalam Analisis Economic Order Quantity (EOQ) Model Inventory dalam Permasalahan Rantai Pasok. Jurnal Pendidikan Matematika dan Matematika SOLUSI, 327-332.