OPERATOR ACCRETIVE KUAT PADA RUANG HILBERT
Razis Aji Saputro 1 , Susilo Hariyanto 2 , Y.D Sumanto 3
1,2,3 Departemen Matematik a, Fakultas Sains dan Matematik a, Universitas Diponegoro , Jalan Prof. Soedarto, SH, Tembalang Semarang
Email : 1 razisaji25@gmail.co m, 2 sus 2_hariyanto@yahoo.co.id, 3 ydsumanto@gmail.com
Abstract. Pre-Hilbert  space is a vector space equipped  with an inner-produc t. Furthermore, if each Cauchy sequence in a pre-Hilbert  space is convergent then it can be said complete and it called as Hilbert  space. The accretive operator is a linear  operator in a Hilbert space. Accretive  operator is occurred if the real part of the corresponding  inner product will  be equal to zero or positive.  Accretive  operators are also associated with non-negative  self-adjoint  operators. Thus, an accretive operator is said to be strict if there is a positive  number such that the real part of the inner product will be greater than or equal to that number  times to the squared norm value  of any vector in the corresponding Hilbert  Space. In this paper, we prove that a strict accretive  operator is an accretive operator.
Keywords: Hilbert  Space, Accretive  operator, Self-adjoint  operator, Strict accretive operator.
Abstrak. Ruang Pre-Hilbert merupakan ruang vektor yang dilengkapi  dengan perkalian dalam. Lebih lanjut, apabila setiap barisan Cauchy dalam suatu ruang Pre-Hilbert  bersifat konvergen maka ia dapat disebut komplit  dan ia disebut ruang Hilbert.  Operator accretive merupakan operator linier  dalam suatu ruang Hilbert. Operator accretive muncul jika bagian real dari perkalian dalam bernilai nol atau positif.  Operator Accretive  juga berasosiasi  dengan  operator non-negative  self-adjoint. Kemudian,  suatu operator accretive dikatakan kuat jika terdapat bilangan positif sedemikian sehingga  bagian real dari perkalian dalam bernilai lebih besar atau sama dengan bilangan tersebut dikalika n nilai norma dikuadratkan dari sebarang vektor dalam ruang Hilbert yang bersangkuta n. Dalam artikel ini,  dibuktikan  bahwa suatu operator accretive  kuat juga merupakan operator accretive.
Kata kunci: Ruang Hilbert,  Operator accretive, Operator self-adjoint , Operator accretive kuat.

## I. PENDAHULUAN
Analisa fungsional adalah cabang dari ilmu matematika  yang membahas berbagai macam teori dasar matematika.  Salah satu tinjauan  pokok dari analisa fungsional yaitu mengena i operator. Operator membahas  tentang pemetaan yang mengawankan  ruang vektor ke ruang vektor. Ruang vektor adalah himpunan tak kosong yang dilengkapi  dengan suatu operasi penjumlahan  dan perkalian pada skalar pada suatu lapangan.  Pada pembahasan ruang vektor yang berhubungan dengan ruang metrik dalam analisa fungsional akan lebih sering dibahas mengenai konsep kekontinuan dan kekonvergenan  pada barisan dalam ruang vektor sehingga terdapat suatu topologi atau sifat-sifat  yang mempengaruhi.
Didalam Analisa  fungsional terdapat beberapa kajian tentang berbagai operator. Beberapa kajian tersebut mengenai operator adjoint , operator self-adjoint , operator simetrik , operator uniter , dan lain lain.  Pada pembahasan ini dibahas mengenai  salah satu operator yaitu tentang operator accretive pada ruang Hilbert.  Selanjutnya  operator accretive merupakan  suatu operator linier  yang secara khusus merupakan operator self-adjoint non-negatif.  Sebagai pemahaman awal terdapat beberapa konsep dasar yang perlu diketahui terlebih  dahulu  untuk mengkaji  operator acretive yaitu mengenai ruang vektor, ruang metrik,  ruang bernorma, operator linier  pada ruang Hilbert.  Kemudian pada artikel ini akan dibahas mengenai ruang Hilbert,  operator-operator pada ruang Hilbert,  dan operator accretive .

## II. HASIL DAN PEMBAHASAN
Pada pembahasan akan dikaji mengenai  operator accretive pada ruang Hilbert.  Sebagai bahan telaah, pertama, dijelaskan terlebih dahulu mengenai ruang Hilbert yang merupakan ruang inner-produk  lengkap. Kedua, dijelaskan tentang operator self-adjoint untuk  mengkaji hubungan dengan operator accretive . Ketiga dijelaskan tentang definisi operator accretive dan teorema penunjangnya serta hasil utama dari kajian ini.
Definisi 1 [4] Diberikan ruang vektor,  lapangan atas bilangan komplek dengan skalar anggota dari lapangan komplek. Suatu operator x dengan rumus
yang memenuhi sifat-sifat:
1. , 2. , 3. , untuk setiap dan skalar  , dan 4. jika dan hanya jika ,
disebut dengan ruang pre-Hilbert atau ruang inner-produk.
Contoh 1 Ruang vektor ( adalah koleksi semua barisan bilangan) dan }, dengan didefinisikan  ruang inner  produk untuk  setiap , , sehingga  merupakan
ruang pre-Hilbert dengan memenuhi sifat- sifatnya.
Definisi-definisi berikut dituliskan untuk membangun pemahaman sebelum membahas operator accretive.
Definisi 2 [4] Ruang Hilbert adalah ruang pre-Hilbert  yang lengkap.
Definisi 3 [4] Operator dikatakan Self-adjoint atau Hermitian jika . Contoh 2 Diberikan operator linier metrik dengan dan sedemikian sehingga adalah operator adjoint . Kemudian  jika maka
sehingga operator self-adjoint.
Teorema 4 [4] Kondisi berikut dalam operator  adalah ekuivalen: 1. adalah Self-adjoint
2. untuk setiap

## JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS
AND APPLICATIONS (JFMA), Vol. 1, No. 1 (June 2018) Available online at www.jfma.matematika.undip.ac.id
3. untuk setiap
4. riil, untuk setiap
Bukti teorema tersebut dapat dilihat di referensi [4].
Teorema 5 [2] Pernyataan-pernyataan berikut berlaku:
1. Jika  dan  adalah operator self-adjoint, maka
operator self-adjoint
2. Jika  adalah operator self-adjoint, dan skalar  riil, adalah operator self-adjoint. 3. dan adalah operator self-adjoint
4. Jika  dan  adalah operator self-adjoint, maka operator self-adjoint jika dan hanya jika
Bukti teorema tersebut dapat dilihat  di referensi [2].
Definisi 6 [1] Diberikan operator dengan
adalah koleksi operator linier di ruang Hilbert.  Operator disebut accretive, jika bagian riil dari yang dinotasikan . Contoh 3 Diberikan  operator linier  metrik dengan . didefinis ika n inner produk untuk  setiap dan . bahwa operator tersebut accretive. Definisi 7 [1] Diberikan  operator
dengan
adalah koleksi operator linier  di
ruang Hilbert.  Operator  disebut non negatif , jika untuk  setiap u . Contoh 4 Operator linier  metrik dengan . Akibat 8 [1] Diberikan operator adalah operator accretive jika dan hanya jika adalah operator self-adjoint non negatif.
Bukti: Diketahui  bahwa operator self-adjoint dikatakan self-adjoint jika dan dan operator non-negatif dikatakan non-negatif jika . Sehingga  dapat dibuktikan: Diberikan operator accretive ditunjukkan adalah  operator self- adjoint non-negatif. Diambil  sebarang
maka
Maka . Terbukti bahwa operator self-adjoint. Kemudian setelah dibuktikan  bahwa self-adjoint selanjutnya  ditunjukkan
operator non-negat if.
Diambil sebarang , maka
(karena operator accretive ) Maka terbukti operator non-negatif.  Sehingga
operator self-adjoint non-negat if. ( ) Diketahui
merupakan  operator self-adjoint non-negatif ditunjukkan operator adalah accretive . Untuk setiap maka

## JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS
AND APPLICATIONS (JFMA), Vol. 1, No. 1 (June 2018) Available online at www.jfma.matematika.undip.ac.id
karena
non-negatif  maka  diperoleh
sehingga
terbukti accretive.
Definisi 9 [1] Sebuah operator
( ) dikatakan accretive kuat jika  terdapat positif sehingga  memenuhi untuk  setiap . Contoh 5 Diberikan operator identitas di  ( ) kemudian didefinisikan  dengan untuk  setiap . Ditunjukkan  bahwa operator
tersebut  accretive  kuat dengan memenuhi
Kemudian dengan beberapa pembahasan sebelumnya  diperoleh suatu teorema hubungan antara operator accretive dan operator accretive kuat.
Teorema 10 Jika operator  adalah accretive kuat maka operator juga merupakan operator accretive.
Bukti : Diketahui  bahwa operator  adalah operator accretive kuat. Dengan definisi  operator accretive kuat maka terdapat suatu positif sedemikian hingga berlaku untuk . Dibuktikan  bahwa  operator accretive kuat merupakan  operator accretive. Diambil  sembarang terdapat , sedemikian  hingga  memenuhi karena positif  dan dengan selalu bernilai positif maka
terbukti bahwa operator accretive kuat merupakan operator accretive.
Pernyataan pada Teorema 3.10 tidak berlaku sebaliknya,  namun jika terdapat syarat bahwa maka hal itu akan terjadi jika operator accretive merupakan operator accretive kuat.

## III. KESIMPULAN
Berdasarkan pembahasan yang telah diberikan,  maka dapat diperoleh beberapa kesimpula n. Pertama,  operator accretive merupakan operator yang nilai riil  dari suatu adalah  nol atau positif.  Operator accretive memiliki hubungan dengan operator self-adjoint non-negatif. Jika adalah accretive maka adalah self-adjoint non-negatif, berlaku juga sebaliknya. Kedua, operator accretive kuat merupakan  operator accretive yang terdapat suatu positif sedemikian  hingga untuk . Sehingga  kemudian  didapatkan suatu teorema, jika operator adalah accretive maka  operator juga accretive kuat, tidak berlaku sebaliknya.

## REFERENSI
[1] M C Intosh, Alan, Functional Calculi . Lashi Bandara, 2010.
[2] Darmawijaya,  Soeparna, Pengantar Analisis Abstrak , UGM, Yogyakarta,  2007.
[3] Kreyszig, Erwin, Introductory Functional Analysis with Application , Wiley  Classics Library, 1978.
[4] Berberian, Sterling. K, Introduction to Hilbert  Space , New York: Oxford  univers it y Press, 1961.

## JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS
AND APPLICATIONS (JFMA), Vol. 1, No. 1 (June 2018) Available online at www.jfma.matematika.undip.ac.id