JURNAL GAUSSIAN, Volume 11, Nomor 1, Tahun 2022, Halaman 140-152 Online di: https://ejournal3.undip.ac.id/index.php/gaussian/

## ESTIMASI PARAMETER DAN PENGUJIAN HIPOTESIS MODEL
GEOGRAPHICALLY WEIGHTED GENERALIZED GAMMA REGRESSION
Hasbi Yasin 1,2* , Purhadi 2 , Achmad Choiruddin 2
1 Departemen Statistika, Fakultas Sains dan Matematika, Universitas Diponegoro
2 Departemen Statistika, FSAD, Institut Teknologi Sepuluh Nopember *e-mail (hasbiyasin@live.undip.ac.id)

## ABSTRACT
Each  location has unique characteristics, which are different from other  locations which give  rise to spatial effects between locations. Therefore, the Generalized Gamma Regression (GGR) model is not suitable to be applied to this problem. The  solution  is to use a Geographically  Weighted Generalized Gamma Regression (GWGGR)  model  which  produces  different  parameters  for  each  observation  location.  This  study  aims  to estimate  GWGGR  parameters  using  the  Berndt-Hall-Hall-Hausman  (BHHH)  algorithm.  After  parameter estimation is performed, the hypothesis testing procedure is used to test the similarity of parameters between the generalized gamma regression and GWGGR and to test the significance of the independent variables in the model, either simultaneously using the Maximum Likelihood Ratio Test (MLRT) or partially using the Z-test.
Keywords : BHHH, Generalized Gamma, GGR, GWGGR, MLRT.

## 1. PENDAHULUAN
Distribusi Generalized Gamma (GG) pertama kali diperkenalkan oleh Stacy pada tahun 1962  merupakan  pengembangan  dari  distribusi  Gamma.  Perbedaannya  dengan  distribusi Gamma adalah pada banyaknya parameter yang digunakan. Distribusi GG mempunyai satu parameter yang lebih banyak dibandingkan dengan distribusi Gamma  (Stacy, 1962; Stacy and  Mihram,  1965).  Distribusi  ini  kemudian  dikembangkan  dalam  beberapa  bentuk parameter baru menyesuaikan dengan aplikasinya (Sanchez and Mackenzie, 2016; Shanker and Shukla, 2016). Salah satu aplikasi dari distribusi GG adalah model Generalized Gamma Regression (GGR) yang mengasumsikan bahwa variabel respon berdistribusi GG (Manning, Basu and Mullahy, 2002). Model GGR bersifat global, yang artinya parameter model berlaku umum untuk semua lokasi pengamatan. Terkadang setiap lokasi mempunyai  karakteristik yang berbeda-beda yang menghasilkan heterogenitas spasial sehingga model GGR tidak lagi sesuai untuk diterapkan pada kasus tersebut. Oleh karena itu, penelitian ini mengembangkan model GGR yang dapat diaplikasikan pada data yang mengandung keragaman spasial yang dikenal  dengan  model Geographically  Weighted  Generalized  Gamma  Regression (GWGGR).  Pada  model  GWGGR  dihasilkan  penaksir  model  regresi  yang  bersifat  lokal, yang berbeda untuk setiap lokasi pengamatan. Penelitian ini meliputi penaksiran parameter dan uji hipotesis terhadap parameter model GWGGR.

## 2. TINJAUAN PUSTAKA

## 2.1. Distribusi Generalized Gamma
Menurut  banyaknya  parameter  yang  digunakan,  distribusi  Generalized  Gamma dibedakan  menjadi  dua  macam,  yaitu  distrbusi  GG  dengan  tiga  parameter  atau  distribusi Generalized  Gamma dengan  empat  parameter  (dengan  penambahan  parameter  lokasi ( threshold )).  Variabel  random  kontinu Y berdistribusi  GG  dengan  parameter   , , ,     memiliki fungsi kepadatan peluang sebagai berikut (Sanchez and Mackenzie, 2016).
    1 exp ; ; 0; 0; 0; 0 , , , 0 ;  yang lain y y y f y y      
                                                
(1)
Nilai rata-rata dan varians dari distribusi Generalized Gamma adalah:
    1 E Y                 dan       2
2 2 1
Var Y                                                      ,  dengan
  1 0 t t e dt         dan     1        ,     merupakan fungsi Gamma.
Beberapa distribusi khusus yang dapat dibentuk dari distribusi Generalized Gamma :  Jika 1   maka diperoleh fungsi densitas dari distribusi Gamma (λ,θ,δ)
 Jika 1   maka diperoleh fungsi densitas dari distribusi Weibull (τ,θ,δ)  Jika 1
    maka diperoleh fungsi densitas dari distribusi Exponential (θ,δ)
 Jika , 1, 2 2 v       maka  diperoleh  fungsi  densitas  dari  distribusi Chi-Kuadrat (v,δ) dengan v adalah derajat bebas.
 Jika 1
, 1, 2 2 v       maka  diperoleh  fungsi  densitas  dari  distribusi Half-Normal (δ,σ 2 ) dengan σ adalah parameter standar deviasi.

## 2.2. Model Generalized Gamma Regression (GGR)
Model  GGR  digunakan  ketika  variabel  respon  berdistribusi Generalized  Gamma . Terdapat beberapa model regresi Gamma yang dapat disusun berdasarkan pada parameter distribusinya. Penelitian ini menggunakan parameter scale sebagai model dasar, yang artinya parameter shape dan threshold dianggap tetap untuk setiap pengamatan. Model GGR dengan 4 parameter   , , ,
    menggunakan fungsi link “log” adalah sebagai berikut:
            log log exp T T T E Y E Y       x x β x β x β
        exp 1 T                 x x β (2)
Dengan  mensubtitusikan  Persamaan  (2)  ke  persamaan  densitas Generalized  Gamma (Persamaan (1))  maka diperoleh pdf model GGR adalah sebagai berikut:
               
1 1 exp exp 1 exp T i T y
y f y 
                                                                                      
x β
x β (3)

## a. Estimasi Parameter Model Generalized Gamma Regression
Salah satu metode yang dapat digunakan untuk menaksir parameter model GGR adalah metode Maximum  Likelihood  Estimation (MLE).  MLE  merupakan  metode  yang
memaksimumkan  fungsi  ln-likelihood  untuk  mendapatkan  penaksir  parameter.  Jika
1 2 , , , n y y y adalah sampel random berdistribusi GG dengan PDF seperti pada persamaan
(3) dan T T
GGR         Θ β adalah vektor parameter model GGR, maka diperoleh fungsi ln- likelihood untuk model GGR adalah sebagai berikut:
                    1 1 1 ln n ln 1 ln
ln exp 1 ln 1 1 ln exp n n T GGR i i i i n i T i i L y n y n                             
                                                  Θ x β x β (4) Nilai maksimum dari   ln GGR L Θ pada persamaan (4) akan diperoleh ketika
  ln GGR L    Θ 0 β ,   ln 0 GGR L     Θ ,   ln 0 GGR L     Θ , dan   ln 0 GGR L     Θ , dengan:
                  1 1 1 1 exp exp ln exp exp T T T T n n i i i i i GGR T T i i i i y L                                                        x x β x x β Θ β x β x β (5)
                        1 1 1 ln 1 1 ln
1 ln
ln ln exp 1 1 exp GGR n n T i i i i n i T i i L n n y y                 
   
                                                                                                     Θ x β x β (6)                   1 1 1 ln 1 1 1 ln ln
ln ln exp 1 1 1 ln exp GGR n n T i i i i n i T i i L n n n y y                                 
                      
                                                                                      
    Θ x β x β       1 1 ln exp exp n i i T T i i i y y    
  
                                             x β x β (7)
    
                 1 1 1 1 1 1 1 ln 1 exp 1 exp exp n n GGR T i i i i T n i i i T i i L y y y       

             
    

                                      Θ x β x β x β (8) dan         1 0 ln 1 ln t t e t dt           
     adalah fungsi digamma .
Persamaan  (5)  sampai  dengan  (8)  berbentuk  tidak closed  form ,  sehingga  diperlukan metode  numerik  untuk  menyelesaikan  fungsi  tersebut.  Metode  numerik  yang  digunakan pada  penelitian  ini  adalah  metode  BHHH.  Hal  ini  dipilih  karena  algortima  ini  tidak memerlukan  turunan  kedua  untuk  membentuk  matriks  Hessian  (Hayati  and  Otok,  2018; Dewi,  Purhadi  and  Sutikno,  2019;  Rahayu et  al. ,  2020;  Wenur,  Purhadi  and  Suharsono, 2020;  Wasani,  Purhadi  and  Sutikno,  2021).  Penggunaan  algoritma  BHHH  membutuhkan vektor gradient dan matriks Hessian dari parameter model GGR. Vektor gradien   GGR g Θ berukuran   4 1 p   dan matriks Hessian   GGR H Θ berukuran     4 4 p p    adalah sebagai berikut:
          ln ln ln ln T GGR GGR GGR
GGR
GGR L L L L                  
Θ Θ Θ Θ g Θ β       1 n T GGR i GGR i GGR i     H Θ g Θ g Θ dengan   i GGR g Θ adalah vektor gradien model GGR untuk pengamatan individu ke- i .
Algoritma 1: Penaksiran Parameter Model GGR dengan Metode BHHH
1. Mengambil sampel random sebanyak n dari variabel random berdistribusi Generalized Gamma dengan fungsi densitas bersama seperti pada persamaan (3)
2. Menentukan fungsi ln-likelihood dari model GGR seperti pada persamaan (4)
3. Menentukan  nilai  taksiran  awal  parameter  model           0 0 0 0 0 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ T T         Θ β dalam
penelitian  ini  digunakan       0 0 0 ˆ ˆ ˆ , ,    diperoleh  dari  estimasi  parameter  distribusi variabel respon, dan       1 0 ˆ ln T T   β X X X y . Kemudian ditentukan juga batas toleransi untuk konvergensi sebesar 0   .
4. Lakukan iterasi mulai dari 0 m  dengan persamaan:
            1 1 ˆ ˆ ˆ ˆ m m m m GGR GGR GGR GGR     Θ Θ H Θ g Θ
Vektor   ˆ m GGR Θ merupakan  vektor  penaksir  parameter  model  GGR  pada  iterasi  ke- m dengan 1, 2, , m M  .
5. Proses  iterasi  berhenti  pada iterasi  ke- M jika     1 ˆ ˆ M M GGR GGR     Θ Θ ,  atau  iterasi  sudah mencapai  batas  maksimum  iterasi  yang  ditentukan.  Ketika  kondisi  konvergen  telah tercapai maka akan diperoleh nilai penaksir parameter GGR yaitu
  ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ T M T GGR
        Θ β .

## b. Uji Hipotesis Parameter Model Generalized Gamma Regression
Uji  hipotesis  pada  model  GGR  terdiri  dari  uji  serentak  dan  uji  parsial  parameter model GGR seperti pada model regresi Gamma (Nasution, Purhadi and Sutikno, 2017). Uji serentak  bertujuan  untuk  menguji  apakah  parameter  regresi  signifikan  atau  tidak  secara bersama-sama.  Pembentukan  statistik  uji  dilakukan  dengan  pendekatan Likelihood  Ratio Test (LRT).    Sedangkan  uji  secara  parsial  dilakukan  dengan  menggunakan Central  Limit Theorm (CLT). Uji ini dilakukan untuk mengetahui variabel prediktor yang mana saja yang memberikan pengaruh signifikan terhadap model.

## 2.3. Model Geeographically Weighted Regression (GWR)
Secara  umum  model  GWR  dinyatakan  dengan
  T i i i i y e   x β u ,  dengan   i β u adalah  vektor  parameter  koefisien  GWR  pada  lokasi  ke- i ,     , i i i u v  u merupakan koordinat  garis  bujur  dan  garis  lintang  letak  geografis  lokasi  pengamatan,  dan i e adalah error  model  GWR  pada  lokasi  ke- i yang  diasumsikan  berdistribusi  Normal.  Estimasi parameter model GWR sangat dipengaruhi oleh matriks pembobot yang digunakan. Matriks pembobot  ini  merupakan  representasi  dari  letak  satu  observasi  dengan  observasi  lainnya. Semakin dekat jarak antar dua lokasi, maka nilai pembobot akan semakin tinggi dan juga sebaliknya.  Beberapa fungsi pembobot yang digunakan dalam model GWR adalah fungsi invers  jarak,  fungsi  kernel  Gaussian,  kernel  bisquare,  dan  kernel  tricube.  Selain  itu,  nilai pembobot optimal juga sangat bergantung pada nilai bandwidth yang digunakan, pemilihan nilai bandwidth yang  optimal  dapat  dilakukan  dengan  meminimumkan  nilai Cross Validation (CV) atau Generalized Cross Validation (GCV) (Fotheringham, Brunsdon  and Charlton, 2002).

## 3. GEOGRAPHICALLY WEIGHTED GENERALIZED GAMMA REGRESSION
Model GWGGR merupakan bentuk lokal dari model GGR yang mempertimbangkan unsur  spasial  yang  berupa  letak  geografis  dari  setiap  lokasi  pengamatan.  Pada  model GWGGR  terdapat  matrik  pembobot  yang  dihitung  berdasarkan  koordinat  garis  bujur  dan lintang dari titik-titik pengamatan yang diamati. Suatu variabel respon Y yang berdistribusi Generalized  Gamma dengan  nilai  parameter  berbeda  di  setiap  lokasi  pengamatan didefinisikan  sebagai     GG , , , i i Y    β u ,  sehingga  pdf  untuk  model  GWGGR  pada lokasi ke -i adalah sebagai berikut:
                    1 1 exp exp 1 exp T i i i i i T i i y y f y 
                                                                                       x β u x β u

## 3.1. Estimasi Parameter Model GWGGR
Parameter model GWGGR diestimasi dengan metode MLE menggunakan pembobot spasial berbasis fungsi kernel, dilanjutkan iterasi numerik dengan metode BHHH.  Tahap pertama untuk mendapatkan penaksir model GWGGR adalah membentuk fungsi likelihood dan ln- likelihood  model  GWGGR  yang  didefinisikan  pada  persamaan  (9)  dan  (10).
      1 ; , , , n GWGGR i i i L f y       Θ β u (9)
      1 ln ln ; , , , n GWGGR i i i L f y             Θ β u (10)
dengan   T T GWGGR i         Θ β u adalah vektor parameter model GWGGR di lokasi ke- i . Proses penaksiran parameter model GWGGR pada lokasi ke- i* memerlukan fungsi ln-likelihood yang dikalikan dengan pembobot * ii w yang dapat ditunjukkan pada persamaan (11).
        * * * * * 1 1 ln ; , , , ln ; , , , ii n n w GWGGR i i ii i i i i Q f y w f y                           β u β u
         
            * * * 1 1 * * * 1 1 * 1 ln 1 ln ln
1 ln 1 ln exp exp n n GWGGR ii ii i i i n n T i ii i i ii T i i i i Q w w y y w w              
                                                                  
      x β u x β u (11)
Parameter   i β u ditaksir pada setiap lokasi sehingga diberi indeks koordinat lokasi. Sedangkan, parameter  ,   dan  diasumsikan sama pada setiap lokasi sehingga tidak diberi koordinat lokasi. Penaksir parameter model GWGGR diperoleh dari turunan pertama fungsi * GWGGR Q yang disamakan dengan nol.
Berikut adalah turunan parsial pertama dari * GWGGR Q terhadap setiap parameter:
 Turunan parsial pertama dari *
GWGGR Q terhadap   * i β u
                          * *
* * * 1
1 1
* * * 1 exp exp
exp exp T T T T n n i i i i i i i GWGGR ii ii T T i i i i i i i y Q w w                                                        x x β u x x β u β u x β u x β u (12)
 Turunan parsial pertama dari * GWGGR Q terhadap                          * * 1 * * * 1 1 * * 1 1 ln 1 ln
ln ln exp 1 1
exp n GWGGR ii i n n T ii i ii i i i i i ii T i i i Q w w y w y w                 
               
                                                      
                                      
  x β u
x β u 1 n  
(13)
 Turunan parsial pertama dari * GWGGR Q terhadap 
                * * 1 * * * 1 1 1 1 1 1 ln ln
ln ln exp 1 1 1 ln n GWGGR ii i n n T ii i ii i i i i i Q w w y w w                         
     
                                                                                                           
  x β u               * 1 * * 1 * * exp 1 ln exp exp n i i T i i i n i i ii T T i i i i i y y y w                                                                     x β u x β u x β u (14)  Turunan parsial pertama dari * GWGGR Q terhadap                            * * * 1 1 * 1 * * 1 1 * 1 exp 1 exp exp n n GWGGR ii ii T i i i i i T n i i i i ii T i i i Q w w y y y w        
                 
                                      x β u x β u x β u (15)
Turunan parsial pertama dari * GWGGR Q terhadap setiap parameter (persamaan (12-15)) merupakan fungsi-fungsi yang tidak closed form , sehingga perlu dilakukan optimasi dengan metode  algoritma  BHHH  seperti  pada  Algoritma  2.  Vektor  gradien   ( *) GWUGGR i g Θ
berukuran     1 3 1 n p    dan  matriks  Hessian
  ( *) GWUGGR i H Θ berukuran         1 3 1 3 n p n p      .     * * * * ( *) *
T
GWUGGR GWUGGR GWUGGR GWUGGR GWUGGR i i Q Q Q Q
                 
 
g Θ β u (16)
      ( *) ( *) ( *) 1 n T GWUGGR i i GWUGGR i i GWUGGR i i     H Θ g Θ g Θ (17)
dengan   ( *) i GWUGGR i g Θ adalah  vektor  gradien  parameter  pada  lokasi  ke- i* untuk pengamatan individu ke- i , dan     * * T T i GWGGR i         Θ β u adalah vektor parameter dari model GWGGR pada lokasi ke- i* .
Algoritma 2: Penaksiran Parameter Model GWGGR dengan Metode BHHH
1. Mengambil  sampel  random  sebanyak  n  lokasi  yang  terdiri  atas  variabel  respon   1 2 , , , n y y y ,  variabel  prediktor   1 2 , , , i i ip x x x  ,  dan  vektor  koordinat   , i i i u v  u
untuk setiap lokasi pengamatan 1, 2, , i n  .
2. Menghitung  jarak Euclidean antara  lokasi  ke- i* dengan  lokasi  lainnya   * ii d dengan     2 2 * * * ii i i i i d u u v v     .
3. Menentukan bandwidth dan fungsi pembobot spasial.
Fungsi pembobot spasial yang digunakan pada penelitian ini adalah fungsi kernel fixed Gaussian, fixed Bisquare, atau fixed Tricube .
4. Menghitung matriks pembobot spasial pada lokasi ke- i* dan disajikan dalam bentuk matriks   * 1 * 2 * * diag , , , i i i ni w w w  W yang berukuran n n  .
5. Menentukan nilai taksiran awal vektor parameter model
            0 0 0 0 0 ( *) * ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ T T GWGGR i i        
Θ β u .  Dalam  penelitian  ini,     0 * ˆ i β u       0 0 0 ˆ ˆ ˆ , ,   
diperoleh dari hasil estimasi parameter model GGR.
6. Menentukan batas toleransi untuk konvergensi sebesar 8 10    dan iterasi maksimal sebesar M.
7. Lakukan iterasi mulai dari 0 m  dengan persamaan:
            1 1 ( *) ( *) ( *) ( *) ˆ ˆ ˆ ˆ m m m m GWGGR i GWGGR i GWGGR i
GWGGR i     Θ Θ H Θ g Θ
dengan   ( *) ˆ m GWGGR i Θ merupakan vektor penaksir parameter model GWGGR pada lokasi ke- i* iterasi ke- m ,     1 ( *) ˆ m GWGGR i  H Θ adalah matriks Hessian parameter model GWGGR pada lokasi ke- i* iterasi ke- m sesuai dengan persamaan (17), dan     ( *) ˆ m GWGGR i g Θ adalah vektor gradient parameter model GWGGR pada lokasi ke- i* iterasi ke- m sesuai dengan persamaan (16), 1, 2, , * m m  .
8. Proses iterasi berhenti pada iterasi ke- * m jika     * 1 * ( *) ( *) ˆ ˆ m m GWGGR i GWGGR i     Θ Θ atau telah mencapai iterasi ke-M, dan dilanjutkan langkah 9. Jika tidak memenuhi kriteria tersebut, maka proses iterasi diulang mulai langkah ke-5 sampai dengan langkah ke-8.
9. Menghitung  nilai  CV( h )  dengan h merupakan  nilai bandwidth .  Jika  belum  diperoleh nilai  CV( h )  minimum,  maka  mengulang  langkah  ke-3  sampai  dengan  langkah  ke-8 sehingga  diperoleh  CV( h )  minimum.  Setelah  memperoleh  CV( h )  minimum,  akan didapatkan  nilai  penaksir  untuk  masing-masing  parameter  model  GWGGR
  ( *) * ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ T T GWGGR i i         Θ β u .
10. Ulangi langkah ke-2 sampai dengan langkah ke-9 untuk sehingga diperoleh parameter model GWGGR untuk setiap lokasi ke- i*, * 1, 2, , i n  .

## a. Uji Hipotesis Parameter Model GWGGR
Pengujian  hipotesis  parameter  bertujuan  untuk  mengetahui  ada  atau  tidaknya pengaruh variabel prediktor terhadap variabel respon baik secara serentak maupun parsial. Pengujian secara serentak menggunakan statistik Wilk’s likelihood ratio yang diturunkan berdasarkan MLRT dan pengujian secara parsial menggunakan uji Wald.
 Uji Kesamaan Model GGR dengan GWGGR
Hipotesis:
H 0 :   ; 1, 2,..., ; 0,1, 2, , j i j i n j p      u
H 1 : minimal ada satu   j i j    u Statistik Uji:
Statistik uji untuk pengujian kesamaan model GGR dengan GWGGR adalah:
2
2 GGR GGR GWGGR GWGGR GWGGR G df F G df  (18)
dengan 2 GGR G adalah  nilai  devians  model  GGR  dengan  derajat  bebas GGR df dan 2 GWGGR G adalah nilai devians model GWGGR seperti yang ditunjukkan pada persamaan (19) dengan derajat bebas GWGGR df .         2 2
ˆ ˆ ln 2ln 2ln 2ln GWGGR GWGGR GWGGR GWGGR GWGGR G L L           (19)
dengan:
       
                ˆ ˆ 1 1 1 1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ln ln 1 ln ln ˆ
1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 1 ln ln exp ˆ ˆ exp GWGGR n n n T i i i i T i i i i i L n y y                      
                                                                x β u x β u
(20)
dan            
            1 ˆ ˆ 0 1 1 0 ˆ ln 1 ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
ln 1 ln ln 1 ln ˆ 1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ln exp ˆ ˆ ˆ exp GWGGR n i i n n i i i i i L n y y                                     
                                                                                    u u
Selanjutnya nilai statistik uji untuk menguji kesamaan model GGR dengan GWGGR dapat dihitung  menggunakan  persamaan  (18)  dengan GGR df adalah  selisih  antara  banyaknya parameter di bawah populasi dengan banyaknya parameter di bawah H 0 untuk model GGR, sedangkan GWGGR df adalah  banyaknya  parameter  efektif  untuk  model  GWGGR  yang dihitung dengan persamaan berikut:   trace T GWGGR df  S S , dengan S merupakan matriks proyeksi dari model GWGGR
                  1 1 1 1 1 2 2 2 1 T T T T T T T T T n n n       
 
 
 

   
 
x X W u X X W u x X W u X
X W u
S
x X W u X X W u
dan     1 2 diag , , , ; 1, 2, , i i i ni w w w i n   W u .
Keputusan menolak H 0 diambil jika   , , GGR GWGGR GWGGR df df F F   .

##  Uji Serentak Parameter Model GWGGR
Pengujian serentak bertujuan untuk menguji apakah parameter yang dihasilkan telah signifikan atau tidak secara bersama-sama. Untuk menguji signifikansi dari parameter secara simultan dapat digunakan uji rasio Likelihood ( Likelihood Ratio Test (LRT)). LRT adalah uji  yang  membandingkan  model  yang  mengandung  variabel  bebas  dan  model  yang  tidak mengandung variabel bebas dengan hipotesis sebagai berikut:
Hipotesis:
H 0 :   0; 1, 2,..., ; 1, 2,..., j i i n j p     u
H 1 : minimal ada satu   0 j i   u
Statistik  uji  yang  berupa  devians  diperoleh  dengan  mendefinisikan  himpunan parameter dibawah populasi dan dibawah
H 0 . Misalkan   
 , , , ; 1, 2, , GWGGR i i n       β u adalah  himpunan  parameter  dibawah  populasi, maka  terdapat  sebanyak   1 3 n p   parameter.  Fungsi  ln-likelihood  model  GWGGR diberikan  pada  persamaan  (20).  Penaksir  parameter ˆ GWGGR  diperoleh  dengan  Algoritma BHHH seperti yang sudah dijelaskan sebelumnya. Misalkan
    0 , , , ; 1, 2, ,
GWGGR i i n     
      u adalah  himpunan  parameter  dibawah  H 0 , maka  terdapat  sebanyak 3 n  parameter.  Fungsi  ln-likelihood  diberikan  pada  persamaan berikut:
           
            1 0 1 1 0 1 ln ln 1 ln ln 1 ln 1 ln exp
exp n GGR i i n n i i i i i L y y             

  
       
           
                                     
                                          
   u u
Proses  penaksiran  parameter  model  di  lokasi  ke- i* diperlukan  fungsi * GWGGR q yaitu ln- likelihood   ln GWGGR L  yang  dikalikan  dengan  pembobot * ii w yang  dapat  ditunjukkan sebagai berikut:
          * * * * 0 * 0 1 1 ln ; , , , ln ; , , , ii n n w GWGGR i ii i i i i i q f y w f y                
                u u                 * 1 * * 0 * 1 1 1 ln 1 ln ln 1 ln ln exp n ii i n n ii i ii i i i w w y w        
                              
              
                u       * 1 0 * 1 exp n i ii i i y w               
                                    u (21)
Parameter   0 i   u ditaksir  pada  setiap  lokasi  sehingga  diberi  indeks  koordinat lokasi. Sedangkan, parameter ,     dan   diasumsikan sama pada setiap lokasi sehingga tidak  diberi  koordinat  lokasi.  Penaksir  parameter  model  diperoleh  dari  turunan  pertama fungsi * GWGGR q yang disamakan dengan nol.
Berikut adalah turunan parsial pertama dari * GWGGR q terhadap setiap parameter:
 Turunan parsial pertama dari * GWGGR q terhadap   0 * i   u                           * 0 * * 1 0 * 0 * 0 * * 1 1 0 * exp exp 1 exp exp n i GWGGR ii i i i n i i ii i i q w y w               
                          
                                    u u u u u (22)
 Turunan parsial pertama dari * GWGGR q terhadap                       * * 1 * * 0 * 1 1 1 1
ln 1 ln
ln ln exp 1 1 n GWGGR ii i n n ii i ii i i i q w w y w                  
      
                 
    
                                                                                                  
   u     * 1 0 * exp n i ii i i y w             
        u
 Turunan parsial pertama dari * GWGGR q terhadap                   * * 1 * * 0 * 1 1 1 1 1 1 ln ln ln ln exp 1 1 ln n GWGGR
ii i n n ii i ii i i i q w w y w                                      
      
     
                                                                                           
   u               * 1 0 *
* 1 0 * 0 * 1 exp 1
ln exp exp n i ii i i n i i ii i i i y w y y w                     
     
        
                                                                                  u u u
(23) (24)
 Turunan parsial pertama dari * GWGGR q terhadap                             * * * 1 1 0 * 1 0 * * 1 1 0 * 1 exp 1 exp exp n n GWGGR ii ii i i i i n i i i ii i i q w w y y y w           
          
       
               
   
                                      u u u
(25)
Fungsi-fungsi pada persamaan (22) sampai dengan (25) berbentuk tidak closed form , sehingga diperlukan metode numerik untuk menyelesaikan fungsi tersebut. Metode numerik yang  digunakan  pada  penelitian  ini  adalah  metode  BHHH  seperti  yang  dijelaskan sebelumnya pada Algoritma 2 .
Langkah selanjutnya adalah menghitung nilai odd-ratio GWUGGR  pada persamaan dan nilai statistik uji 2 GWGGR G pada persamaan (19). Dengan sampel besar, statistik 2 GWGGR G akan mendekati distribusi chi-square (   2 , df   ) dengan derajat bebas selisih jumlah parameter dibawah populasi dan jumlah parameter dibawah 0 H .
2 2 ~ GWGGR df n G   , df np 
Daerah Penolakan H 0 adalah jika   2 2 , GWGGR df G    .
Tolak  H 0 jika   2 2 _ ; GWGGR hit df G    atau p_value <  ,  dengan   2 2 GWGGR df P G     dan
  2 2 _ p_value GWGGR GWGGR hit P G G   .

##  Uji Parsial Parameter Model GWGGR
Untuk menguji signifikansi parameter secara parsial dengan menggunakan Central Limit  Theorm (CLT)  adalah  uji  Z.  Uji  ini  dilakukan  untuk  mengetahui  variabel  prediktor yang mana saja yang memberikan pengaruh signifikan terhadap model. Hipotesis:
H 0 :   0 j i   u
H 1 :   0 j i   u Statistik uji:       ˆ ˆ SE j i GWGGR j i Z    u u dengan     ˆ SE j i  u adalah standar error dari parameter   ˆ j i  u ,         ˆ ˆ SE Var j i j i    u u dan     ˆ Var j i  u adalah  elemen  diagonal  utama  matriks     1 ˆ ˆ Var GWGGR GWGGR        Θ H Θ . Daerah penolakan H 0 adalah
2 GWGGR Z Z   , sehingga tolak H 0 jika
_
2
GWGGR hit Z Z   .

## 4. KESIMPULAN
Berdasarkan penelitian ini, disimpulkan bahwa  model GGR dapat diaplikasikan pada model regresi dengan variabel respon berdistribusi Generalized Gamma . Model GWGGR merupakan  bentuk  lokal  dari  model  GGR  dengan  mempertimbangkan  efek  spasial,  yaitu koordinat  letak  geografis  lokasi  pengamatan.  Model  GWGGR  menghasilkan  estimasi parameter  yang  bersifat  lokal  pada  setiap  lokasi  pengamatan.  Estimasi  parameter  dalam model  GGR  dan  GWGGR  dapat  dilakukan  dengan  menggunakan  metode Maximum Likelihood  Estimation (MLE)  dengan  optimasi  numerik  menggunakan  algoritma  Berndt- Hall-Hall-Hausman  (BHHH).  Setelah  estimasi  parameter  dilakukan,  prosedur  pengujian hipotesis  digunakan  untuk  menguji  signifikansi  variabel  prediktor  dalam  model,  secara parsial menggunakan uji Z dan secara bersamaan menggunakan Maximum Likelihood Ratio Test (MLRT).

## DAFTAR PUSTAKA
Dewi,  D.K.,  Purhadi  and  Sutikno  (2019)  ‘Geographically  Weighted  Bivariate  Gamma Regression  in  the  Analysis  of  Maternal  Mortality  Rate  and  Infant  Mortality  Rate  in North  Sumatra  Province  2017’, IOP  Conference  Series:  Materials  Science  and Engineering , 546(5). doi:10.1088/1757-899X/546/5/052020. Fotheringham,  A.S.,  Brunsdon,  C.  and  Charlton,  M.  (2002) Geographically  Weighted Regression: The Analysis of Spatially Varying Relationships . Chichester: John Wiley & Sons Inc.
Hayati,  F.N.  and  Otok,  B.W.  (2018)  ‘Parameter  Estimation  and  Statistical  Test  of  Mixed Geographically  Weighted  Bivariate  Weibull  Regression  (  MGWBWR  )’,  in 2018 International Symposium on Advanced Intelligent Informatics (SAIN) . IEEE, pp. 78–83. Manning, W., Basu, A. and Mullahy, J. (2002) ‘Modeling Costs with Generalized Gamma Regression’, Department of Health Studies Biological Sciences Division , pp. 1–46. Nasution, A.S., Purhadi and Sutikno (2017) ‘Estimasi Parameter Dan Pengujian Hipotesis Pada  Model  Regresi  Gamma  (Studi  Kasus:  Pemodelan  Pencemaran  Sungai  Di Surabaya)’, Paidagogeo:  Jurnal  Pendidikan ,  2(2),  pp.  17–26.  Available  at: https://www.jurnal.ugn.ac.id/index.php/Paidagogeo/article/view/166.
Rahayu, A. et al. (2020) ‘Multivariate gamma regression: Parameter estimation, hypothesis testing, and its application’, Symmetry , 12(5). doi:10.3390/SYM12050813. Sanchez,  R.  and  Mackenzie,  S.A.  (2016)  ‘Information  thermodynamics  of  cytosine  DNA methylation’, PLoS ONE , 11(3), pp. 1–20. doi:10.1371/journal.pone.0150427. Shanker, R. and Shukla, K.K. (2016) ‘On modeling of lifetime data using three-parameter generalized  lindley  and  generalized  gamma  distributions’,  4(7),  pp.  283–288. doi:10.15406/bbij.2016.04.00117.
Stacy, E.. W.. and Mihram, G.A. (1965) ‘Parameter Estimation for a Generalized Gamma Distribution’, Technometrics , 7(3), pp. 349–358.
Stacy,  E.W.  (1962)  ‘A  Generalization  of  the  Gamma  Distribution’, The  Annals  of Mathematical Statistics , 33(3), pp. 1187–1192.
Wasani,  D.,  Purhadi  and  Sutikno  (2021)  ‘Parameter  estimation  and  hypothesis  testing  of geographically  and  temporally  weighted  bivariate  Gamma  regression  model’, IOP Conference  Series:  Earth  and  Environmental  Science ,  880(1).  doi:10.1088/1755- 1315/880/1/012044.
Wenur,  G.H.,  Purhadi  and  Suharsono,  A.  (2020)  ‘Three-parameter  bivariate  gamma regression model for analyzing under-five mortality rate and maternal mortality rate’, Journal of Physics: Conference Series , 1538(1). doi:10.1088/1742- 6596/1538/1/012054.