JURNAL GAUSSIAN, Volume 12, Nomor 2, Tahun 2023, Halaman 209 - 220 Online di: https://ejournal3.undip.ac.id/index.php/gaussian/

## PENENTUAN PORTOFOLIO OPTIMAL DENGAN METODE MULTI INDEX
MODEL DAN PENGUKURAN RISIKO DENGAN EXPECTED SHORTFALL (Studi Kasus: Kelompok Saham LQ45 Periode Januari 2017 – Desember 2021)
Wanda Zulfa Fauziah 1* , Tatik Widiharih 2 , Di Asih I Maruddani 3 1,2,3 Departemen Statistika, Fakultas Sains dan Matematika, Universitas Diponegoro *e-mail : wandazulf@gmail.com
DOI: 10.14710/j.gauss.12.2.209-220

## Article Info:
Received: 2023-02-15 Accepted: 2023-04-20 Available Online: 2023-07-28

## Keywords:
Optimal  Portfolio;  Multi  Index Model; Expected Shortfall; Value at Risk.
Abstract: Various  methods  have  been  applied  to  determine  the optimal  portfolio,  one  of  which  is  Multi  Index  Model.  MIM  is  a method  that  uses  more  than  one  factors  that  affects  stock  price movements,  this  study  uses  ICI  and  exchange  rate  factors.  Risk measurement is very important in financial analysis because almost all of  them  contain  elements  of  risk.  One  form  of  risk  measure  that’s relatively popular in financial risk analysis is Value at Risk. VaR has a  disadvantage  because  it  only  measures  the  percentile  of  the  loss distribution without considering losses that exceed VaR and VaR isn’t coherent  (it  doesn’t  fulfill  the  property  of  subadditivity).  The  risk measure used to overcome the weakness of VaR is Expected Shortfall. The  results  of  the  study  using  MIM  method  obtained  the  optimal portfolio consisting of BBRI (45.777%), PTPP (2.952%), and UNTR (51.271%)  which  provide  a  profit  rate  of  0.383%.  The  calculation results  show  that  with  a  95%  confidence  level,  ES  and  VaR  values obtained  are  26.639%  and  11.210%,  respectively.  ES  value  will  be more precise  in  the  context  of  a  portfolio  so  that  the  maximum  loss that  will  be  received  by  the optimal  portfolio  investor  that has  been formed one month ahead is 26.639%.

## 1. PENDAHULUAN
Kemajuan  serta  prestasi  sebuah  negara  seringkali  dinilai  berdasarkan  perkembangan perekonomiannya.  Menurut  Mulyati  dan  Murni  (2018),  perkembangan  ekonomi  secara keseluruhan bisa ditinjau dari perkembangan pasar modal serta industri sekuritas/efek pada sebuah negara. Pasar modal mempunyai kontribusi yang penting sebagai salah satu wadah investasi keuangan di dunia perekonomian. Investasi di pasar modal adalah investasi yang banyak menarik investor terutama di bidang keuangan. Saham merupakan salah satu efek yang  paling  banyak  diperdagangkan  di  pasar  modal. Indonesia  Stock  Exchange (IDX) menyiapkan 40 macam indeks saham satu diantara yang ada yaitu LQ45 yang merupakan kumpulan  saham  terbaik  yang  tersedia  di  pasar  modal,  terdiri  dari  45  emiten  dengan likuiditas tinggi, kapitalisasi pasar besar serta didukung oleh fundamental perusahaan yang baik.
Investor  diharapkan  membentuk  portofolio  optimal  untuk  mendapatkan  keuntungan yang  optimal  dari  suatu  investasi.  Beragam  metode  sudah  diterapkan  untuk  membentuk portofolio yang optimal satu diantara yang ada yaitu penerapan metode Multi Index Model . Multi  Index  Model merupakan metode  yang  menganggap  bahwa  pergerakan  saham  dan adanya  korelasi  antar  saham  tidak  hanya  sensitif/dipengaruhi  oleh  pergerakan  pasar  yaitu Indeks Harga Saham Gabungan (IHSG) namun juga dipengaruhi oleh pergerakan faktor lain seperti faktor non pasar (Halim, 2005). Faktor lain yang dimaksud dalam penelitian ini yaitu kurs.  Penentuan  portofolio  optimal  pada Multi  Index  Model dimulai  dari  pembentukan persamaan Multi  Index  Model, penyeleksian  saham  di  konstruksi  dan  asumsi Multi  Index Model hingga  penentuan  rasio  yang  membandingkan  antara  tingkat  keuntungan  dengan
risiko  yang  ada  saat  pembobotan  saham Multi  Index  Model sehingga  portofolio  yang terbentuk dapat dikatakan optimal.
Penghitungan  risiko  adalah  hal  yang  amat  berarti  di  analisis  finansial  sebab  hampir semuanya  memuat  unsur  ketidakpastian  dan  risiko.  Salah  satu  bentuk  ukuran  risiko  yang relatif  populer  dan  paling  sering  digunakan  serta  dianggap  sebagai  metode  standar  dalam pendugaan risiko keuangan adalah Value at Risk (VaR). VaR mempunyai kekurangan sebab hanya  mengukur  persentil  dari  distribusi  kerugian  atau  keuntungan  tanpa  mengamati kerugian  yang  melebihi  VaR  (Saepudin  dkk,  2017).  VaR  juga  tidak  koheren  (tidak memenuhi sifat subadditivity , salah satu sifat koherensi ukuran risiko) sehingga tidak bisa mencerminkan efek diversifikasi dengan tepat yang berfungsi untuk meminimalkan risiko (Klugman dkk, 2019). Subadditivity dapat diartikan juga sebagai diversifikasi kerugian dapat mengurangi risiko. Ukuran risiko yang digunakan untuk mengatasi kelemahan VaR adalah Expected Shortfall (ES). Metode simulasi Monte Carlo merupakan salah satu metode dalam menduga  VaR.  Metode  tersebut  digunakan  sebab  bisa  menduga  nilai  ES  dan  VaR  dari bermacam-macam kumpulan return simulasi yang sama sifatnya seperti return historisnya. Penelitian  ini  bertujuan  untuk  mengetahui  komposisi  portofolio  optimal  saham  dan besarnya proporsi dana dengan metode Multi Index Model pada kelompok saham LQ45 serta mengetahui besarnya risiko portofolio optimal saham yang terbentuk menggunakan ES dan VaR dengan simulasi Monte Carlo.

## 2. TINJAUAN PUSTAKA
Saham  merupakan  surat  berharga  yang  menjadi  tanda  kepemilikan  dana/modal seseorang/individu  ataupun  badan  usaha  yang  diterbitkan  oleh  suatu  perusahaan  (PT) (Maruddani, 2019). Return saham bisa disebut juga sebagai tingkat pengembalian dari suatu saham. Return dari suatu aset merupakan tingkat pengembalian/hasil (keuntungan maupun kerugian) yang didapatkan dari suatu kegiatan investasi. Analisis sekuritas pada umumnya menggunakan c ontinuously compounding return yang dirumuskan seperti pada persamaan (1) (Trimono dkk, 2017).
𝑅 𝑖(𝑣) = 𝑙𝑛 ( 𝑃 𝑖(𝑣) 𝑃 𝑖(𝑣−1) ) (1)
Pada  persamaan  (1), 𝑅 𝑖(𝑣) merupakan  c ontinuously  compounding  return saham  ke-i  pada periode ke-v, 𝑃 𝑖(𝑣) merupakan harga saham ke-i pada periode ke-v, dan 𝑃 𝑖(𝑣−1) merupakan harga saham ke-i pada periode ke-v-1.
Menurut  Kurniawan  dan  Yuniarto  (2016),  analisis  korelasi  merupakan  analisis  yang digunakan untuk melihat ada atau tidaknya hubungan/asosiasi antar variabel dan kekuatan hubungannya.  Korelasi  merupakan  angka  yang  menyatakan  kuat/besarnya  serta  arah hubungan  antar  variabel  yang  sedang  diamati.  Uji  korelasi  pada  penulisan  ini  diperlukan untuk memenuhi konstruksi dan asumsi Multi Index Model yang terdapat pada persamaan (16), (17), dan (18). Uji korelasi pada penelitian ini dilakukan antar variabel prediktor yaitu faktor (IHSG dan kurs), antara residual return saham dengan faktor, dan antar residual return saham.
Menurut Iswardono (2001), langkah-langkah pengujian yang dilakukan yaitu: Hipotesis:
𝐻 0 ∶  𝜌 = 0 (korelasi antar variabel sama dengan nol)
𝐻 1 ∶  𝜌 ≠ 0 (korelasi antar variabel tidak sama dengan nol) Taraf Signifikansi: 𝛼 Statistik Uji:
𝑡 = 𝑟√𝑛−2 √1−𝑟 2 (2)
dengan 𝑟 = 𝑛(∑ 𝑋𝑌)−(∑ 𝑋)(∑ 𝑌) √[𝑛 ∑ 𝑋 2 −(∑ 𝑋) 2 ]√[𝑛 ∑ 𝑌 2 −(∑ 𝑌) 2 ] dan r adalah korelasi sampel Kriteria Uji:
H 0 ditolak jika nilai |𝑡 ℎ𝑖𝑡𝑢𝑛𝑔 | > 𝑡 𝛼/2,(𝑛−2) pada taraf signifikansi 𝛼 .
Analisis  portofolio  optimal  bisa  dilakukan  dengan  berbagai  metode,  salah  satu metodenya adalah Multi Index Model . Penentuan portofolio optimal pada Multi Index Model dimulai dari pembentukan persamaan Multi Index Model, penyeleksian saham di konstruksi dan asumsi Multi Index Model hingga penentuan rasio yang membandingkan antara tingkat keuntungan  dengan  risiko  yang  ada  saat  pembobotan  saham Multi  Index  Model sehingga portofolio yang terbentuk dapat dikatakan optimal. Multi Index Model merupakan metode yang menganggap bahwa pergerakan saham dan adanya korelasi antar saham tidak hanya sensitif/dipengaruhi  oleh  pergerakan  pasar  yaitu  Indeks  Harga  Saham  Gabungan  (IHSG) namun juga dipengaruhi oleh pergerakan faktor lain seperti faktor non pasar (Halim, 2005). Faktor  lain  yang  dimaksud  dalam  penelitian  ini  yaitu  kurs.  Apabila 𝑟 𝑖 merupakan return saham  ke-i  (i  =  1,  2,  3,  ...,  N),  lalu return saham  ke-i  bisa  dikaitkan  dengan  faktor  yang mempengaruhinya yaitu:
𝑟 𝑖 = 𝑎 𝑖 ∗ + 𝑏 𝑖1 ∗ 𝐼 1 ∗ + 𝑏 𝑖2 ∗ 𝐼 2 ∗ + ⋯ + 𝑏 𝑖𝐿 ∗ 𝐼 𝐿 ∗ + 𝑐 𝑖 (3)
i = 1, 2, 3, ..., N dan j = 1, 2, ..., L Pada persamaan (3), 𝐼 1 ∗ merupakan return dari faktor ke-1, 𝑏 𝑖1 ∗ merupakan koefisien saham ke-i dengan faktor ke-1, 𝑎 𝑖 ∗ merupakan nilai harapan dari unique return i dan 𝑐 𝑖 merupakan nilai residual dari return saham ke-i.
Pada  penulisan  ini  digunakan  2  faktor  (IHSG  dan  kurs),  maka  bentuk  persamaannya sebagai berikut:
𝑟 𝑖 = 𝑎 𝑖 ∗ + 𝑏 𝑖1 ∗ 𝐼 1 ∗ + 𝑏 𝑖2 ∗ 𝐼 2 ∗ + 𝑐 𝑖 (4)
Faktor-faktor ekonomi yang terdapat di Multi Index Model harus tidak berkorelasi. Uji korelasi  perlu  dilakukan  terlebih  dahulu  untuk  mengetahui  apakah  faktor-faktor  tersebut saling  berkorelasi  atau  tidak.  Jika  tidak  terdapat  korelasi  antar  faktornya  dapat  langsung menuju persamaan (9) namun sebaliknya jika terdapat korelasi menurut Elton dkk (2014), untuk  membuat  faktor-faktor  tersebut  tidak  saling  berkorelasi  bisa  dilakukan  dengan melakukan regresi antara masing-masing faktornya. Langkah-langkah yang dapat dilakukan sebagai berikut:
𝐼 1 ∗ = 𝐼 1 (5)
𝐼 2 ∗ = 𝛾 0 + 𝛾 1 𝐼 1 + 𝑑 (6)
𝑑 = 𝐼 2 ∗ − (𝛾 0 + 𝛾 1 𝐼 1 ) (7)
𝐼 2 = 𝑑 = 𝐼 2 ∗ − (𝛾 0 + 𝛾 1 𝐼 1 ) (8)
Nilai  a i ,  b i1 ,  dan  b i2 perlu  dicari  untuk  memperoleh  nilai  residual return saham  yang nantinya akan digunakan untuk menguji konstruksi dan asumsi Multi Index Model . Nilai a i , b i1 ,  dan  b i2 dapat  diperoleh  dengan  mensubstitusikan  nilai  koefisien  regresi  dari  masing- masing saham pembentuk portofolio dengan return IHSG dan return kurs (𝑎 𝑖 ∗ , 𝑏 𝑖1 ∗ , 𝑑𝑎𝑛 𝑏 𝑖2 ∗ ) dan  koefisien  regresi  faktor (𝛾 0 𝑑𝑎𝑛 𝛾 1 ) .  Nilai 𝑎 𝑖 ∗ , 𝑏 𝑖1 ∗ , 𝑑𝑎𝑛 𝑏 𝑖2 ∗ dapat  diperoleh  dengan persamaan sebagai berikut:
𝑰 ∗′ 𝑰 ∗ 𝒃 = 𝑰 ∗′ 𝒓 𝒊 (9)
𝒃 = (𝑰 ∗′ 𝑰 ∗ ) −𝟏 𝑰 ∗′ 𝒓 𝒊 (10)
dengan 𝒓 𝒊 = ( 𝑟 1𝑁 𝑟 2𝑁 𝑟 3𝑁 ⋮ 𝑟 𝑛𝑁 ) , 𝑰 ∗ = ( 1 𝐼 11 ∗ 𝐼 12 ∗ 1 𝐼 21 ∗ 𝐼 22 ∗ 1 ⋮ 1 𝐼 31 ∗ ⋮ 𝐼 𝑛1 ∗ 𝐼 32 ∗ ⋮ 𝐼 𝑛2 ∗ ) , dan 𝒃 = ( 𝑎 𝑖 ∗ 𝑏 𝑖1 ∗ 𝑏 𝑖2 ∗ )
Nilai a i , b i1 , dan b i2 dapat diperoleh dengan persamaan sebagai berikut:
𝑎 𝑖 = (𝑎 𝑖 ∗ +𝑏 𝑖2 ∗ 𝛾 0 ) (11)
𝑏 𝑖1 = (𝑏 𝑖1 ∗ + 𝑏 𝑖2 ∗ 𝛾 1 ) (12)
𝑏 𝑖2 = 𝑏 𝑖2 ∗ (13)
Sehingga persamaan return menggunakan Multi Index Model dapat dituliskan seperti pada persamaan (14) (dengan 2 faktor):
𝑟 𝑖 = 𝑎 𝑖 + 𝑏 𝑖1 𝐼 1 + 𝑏 𝑖2 𝐼 2 + 𝑐 𝑖 (14)
Pada persamaan (14), 𝐼 1 yaitu nilai baru dari faktor ke-1 yang tidak berkorelasi dengan faktor lainnya dan 𝐼 2 yaitu nilai baru dari faktor ke-2 yang tidak berkorelasi dengan faktor lainnya. Menurut Elton dkk (2014), terdapat konstruksi (1,2, dan 3) dan asumsi (4) Multi Index Model yaitu:
1. Rata-rata dari residual return saham ke-i sama dengan nol.
𝐸(𝑐 𝑖 ) = 0 , dengan i = 1, 2, 3, ..., N (15)
2. Kovarian antara faktor j dan k nilainya nol.
𝐶𝑜𝑣 (𝐼 𝑗 , 𝐼 𝑘 ) = 𝐸 [(𝐼 𝑗 − 𝐸(𝐼 𝑗 )) (𝐼 𝑘 − 𝐸(𝐼 𝑘 ))] = 𝐸[(𝐼 𝑗 − 𝐼 𝑗 ̅)(𝐼 𝑘 − 𝐼 𝑘 ̅ )] = 0 (16)
3. Kovarian antara residual untuk saham i dan faktor j nilainya nol.
𝐶𝑜𝑣 (𝑐 𝑖 , 𝐼 𝑗 ) = 𝐸 [𝑐 𝑖 (𝐼 𝑗 − 𝐸(𝐼 𝑗 ))] = 𝐸[𝑐 𝑖 (𝐼 𝑗 − 𝐼 𝑗 ̅)] = 0 (17)
4. Kovarian antara residual return saham 𝑐 𝑖 dan 𝑐 𝑗 adalah nol.
𝐶𝑜𝑣 (𝑐 𝑖 , 𝑐 𝑗 ) = 𝐸(𝑐 𝑖 𝑐 𝑗 ) = 0 (18)
Expected return Multi Index Model digunakan dalam perhitungan proporsi atau bobot portofolio optimal yang persamaannya dapat dinyatakan sebagai berikut:
𝐸(𝑟 𝑖 ) = 𝑎 𝑖 + 𝑏 𝑖1 𝐸(𝐼 1 ) + 𝑏 𝑖2 𝐸(𝐼 2 ) + ⋯ + 𝑏 𝑖𝐿 𝐸(𝐼 𝐿 ) (19)
Varian-Kovarian Multi  Index Model juga digunakan  dalam perhitungan  proporsi atau bobot portofolio optimal yang persamaannya dapat dinyatakan sebagai berikut:
1. Varian Return Saham menggunakan Multi Index Model
𝜎 𝑖 2 = 𝑏 𝑖1 2 𝜎 𝐼1 2 + 𝑏 𝑖2 2 𝜎 𝐼2 2 + ⋯ + 𝑏 𝑖𝐿 2 𝜎 𝐼𝐿 2 + 𝜎 𝑐 𝑖 2 (20)
2. Kovarian Return Saham menggunakan Multi Index Model
𝜎 𝑖𝑗 = 𝑏 𝑖1 𝑏 𝑗1 𝜎 𝐼1 2 + 𝑏 𝑖2 𝑏 𝑗2 𝜎 𝐼2 2 + ⋯ + 𝑏 𝑖𝐿 𝑏 𝑗𝐿 𝜎 𝐼𝐿 2 (21)
Menurut Halim (2005), dalam menetapkan bobot dana pada tiap-tiap saham diperlukan persamaan (22) yaitu:
𝐸(𝑟 1 ) − 𝑅 𝑓 = 𝑍 1 𝜎 1 2 + 𝑍 2 𝜎 12 + 𝑍 3 𝜎 13 + ⋯ + 𝑍 𝑁 𝜎 1𝑁 𝐸(𝑟 2 ) − 𝑅 𝑓 = 𝑍 1 𝜎 21 + 𝑍 2 𝜎 2 2 + 𝑍 3 𝜎 23 + ⋯ + 𝑍 𝑁 𝜎 2𝑁 𝐸(𝑟 3 ) − 𝑅 𝑓 = 𝑍 1 𝜎 31 + 𝑍 2 𝜎 32 + 𝑍 3 𝜎 3 2 + ⋯ + 𝑍 𝑁 𝜎 3𝑁
⋮
𝐸(𝑟 𝑁 ) − 𝑅 𝑓 = 𝑍 1 𝜎 𝑁1 + 𝑍 2 𝜎 𝑁2 + 𝑍 3 𝜎 𝑁3 + ⋯ + 𝑍 𝑁 𝜎 𝑁 2 (22)
𝑅 𝑓 adalah tingkat bunga aset bebas risiko yang didapat dari rata-rata tingkat suku bunga SBI (Sertifikat  Bank  Indonesia). 𝑍 𝑖 adalah  skala  tertimbang  suatu  saham  yang  akan  dipakai dalam memperoleh bobot dana pada tiap-tiap saham dengan i = 1, 2, ..., N. Nilai bobot dana tiap-tiap saham (𝑤 𝑖 ) bisa dicari dengan persamaan (23).
𝑤 𝑖 = 𝑍 𝑖 ∑ 𝑍 𝑖 𝑁 𝑖=1 , 𝑖 = 1,2, … , 𝑁 (23)
Return realisasi  portofolio  yaitu  rata-rata  tertimbang  dari return-return realisasi  tiap- tiap saham di dalam suatu portofolio. Return portofolio dituliskan sebagai berikut:
𝑟 𝑝 = ∑ (𝑤 𝑖 𝑟 𝑖 ) 𝑁 𝑖=1 (24)
Pada  persamaan (24), 𝑤 𝑖 merupakan  bobot  dari saham  ke-i dan 𝑟 𝑖 merupakan return dari saham ke-i.
Sehingga expected return portofolio secara matematis dapat dirumuskan sebagai berikut:
𝐸(𝑟 𝑝 ) = ∑ (𝑤 𝑖 𝐸(𝑟 𝑖 )) 𝑁 𝑖=1 (25)
dengan 𝐸(𝑟 𝑖 ) adalah expected return dari saham ke-i 𝐸(𝑟 𝑖 ) disubstitusikan  ke  dalam  persamaan  (25),  maka  rumus expected  return portofolio menjadi:
𝐸(𝑟 𝑝 ) = ∑ (𝑤 𝑖 (𝑎 𝑖 + 𝑏 𝑖1 𝐸(𝐼 1 ) + ⋯ + 𝑏 𝑖𝐿 𝐸(𝐼 𝐿 ))) 𝑁 𝑖=1 𝐸(𝑟 𝑝 ) = ∑ (𝑤 𝑖 (𝑎 𝑖 + ∑ 𝑏 𝑖𝑘 𝐸(𝐼 𝑘 ) 𝐿 𝑘=1 )) 𝑁 𝑖=1 (26)
Uji normalitas merupakan sebuah pengujian yang dikerjakan untuk mengetahui apakah sebaran data pada suatu kelompok data/variabel berdistribusi normal ataupun tidak. Uji ini diterapkan pada data return portofolio. Langkah-langkah pengujian distribusi normal dengan Kolmogorov-Smirnov (Mustafid, 2003) . Hipotesis:
H 0 : Data return portofolio berdistribusi normal H 1 : Data return portofolio tidak berdistribusi normal Taraf Signifikansi: 𝛼 Statistik Uji: 𝐷 = 𝑚𝑎𝑘𝑠|𝐹 0 (𝑋) − 𝐹(𝑋)|
(27)
dengan 𝐹 0 ( 𝑋 ) adalah distribusi frekuensi kumulatif data sampel dan 𝐹( 𝑋 ) adalah distribusi frekuensi kumulatif normal.
Kriteria Uji:
H 0 ditolak apabila pada taraf signifikansi 𝛼 nilai 𝐷 > 𝐷 ∗ (𝛼) , dimana 𝐷 ∗ (𝛼) merupakan nilai kritis yang didapatkan dari tabel KS.
Salah  satu  metode  yang  dipakai  untuk  mengukur  risiko  adalah  metode Value  at  Risk (VaR) yang diperkenalkan oleh Morgan pada tahun 1994. Menurut Jorion (2001), VaR yaitu sebuah  ukuran  risiko  guna  mengestimasi  besarnya  kerugian  maksimum  yang  dihadapi investor  di  kondisi  pasar  yang  normal  dengan confidence  level tertentu  dan time  period tertentu. Perhitungan VaR menggunakan aturan konversi periode waktu dengan confidence level (1 − 𝛼) , time period t, dan V 0 sebagai investasi awal yaitu:
𝑉𝑎𝑅 (1−𝛼) (𝑡) = 𝑉 0 𝑅 ∗ √𝑡 (28)
Ada  empat  sifat  yang  harus  dipenuhi  oleh  suatu  ukuran  risiko  supaya  dapat  disebut coherent diantaranya translational  invariance,  positive  homogenity,  monotonicity ,  dan subadditivity .  VaR  tidak  memenuhi  sifat subadditivity sehingga  VaR  tidak  bisa  disebut ukuran  risiko  yang  memenuhi  sifat  koheren  kemudian  diperkenalkan Expected  Shortfall (ES)  yang  dipakai  sebagai  alternatif  untuk  mengurangi  masalah  yang  terjadi  pada  VaR. Menurut  Rockafellar  dan  Uryasev  (2000),  ES  yaitu  sebuah  ukuran  risiko  yang mengestimasikan  kerugian  melampaui  tingkat  VaR. ES  dengan confidence  level (1 − 𝛼) , time period t, dan V 0 sebagai investasi awal yaitu:
𝐸𝑆 (1−𝛼) (𝑡) = 𝑉 0 (𝑟 𝑝 ̅ + 𝑠 ϕ(𝑉𝑎𝑅(1−𝛼)) 𝛼 ) √𝑡 (29)
Pengaplikasian metode simulasi Monte Carlo untuk menduga risiko telah dipopulerkan oleh Boyle 1977. Pendugaan VaR dengan metode simulasi Monte Carlo pada basisnya yaitu melakukan  suatu  simulasi  dengan  membangkitkan  bilangan  random  berdasarkan sifat/karakteristik dari data yang akan dibangkitkan yang kemudian dipakai untuk menduga nilai  VaR-nya  (Maruddani,  2019).  Pembangkitan return akan  menghasilkan  data  yang random oleh sebab itu nilai VaR yang didapatkan pada setiap simulasi akan berbeda. Jumlah minimal simulasi yang diperlukan agar memperoleh hasil yang stabil yaitu 500 kali (Driels, 2004). Simulasi sejumlah 1000 kali digunakan dalam tulisan ini.

## 3. METODE PENELITIAN
Data yang digunakan pada penelitian ini merupakan data sekunder yang bersumber dari situs  penyedia  data  historis  saham,  yaitu https://finance.yahoo.com/ .  Data  yang  diambil merupakan  data closing  price saham  bulanan  pada  5  saham  yang  konsisten  terdaftar  di indeks  LQ45  dari  Januari  2017  –  Desember  2021.  Data  lain  juga  digunakan  peneliti diantaranya  data  Indeks  Harga  Saham  Gabungan  (IHSG),  data  nilai  tukar  (kurs)  rupiah terhadap USD, dan tingkat suku bunga SBI (Serifikat Bank Indonesia) pada periode bulanan yang sama.
Variabel  penelitian  yang  digunakan  dalam  penelitian  ini  yaitu 𝐼 1 ∗ merupakan return Indeks  Harga  Saham  Gabungan  (IHSG), 𝐼 2 ∗ merupakan return nilai  tukar  (kurs)  rupiah terhadap  USD, 𝑟 1 merupakan return saham  PT  Bank  Rakyat  Indonesia  Tbk  (BBRI), 𝑟 2 merupakan return saham  PT  Kalbe  Farma  Tbk  (KLBF), 𝑟 3 merupakan return saham  PT Pembangunan Perumahan Tbk (PTPP), 𝑟 4 merupakan return saham PT United Tractors Tbk (UNTR), dan 𝑟 5 merupakan return saham PT Unilever Indonesia Tbk (UNVR). Tahapan analisis pada penelitian ini adalah (1) Mengumpulkan data closing price saham bulanan  pada  5  saham  yang  konsisten  terdaftar  ke  dalam  kelompok  saham  LQ45,  Indeks Harga Saham Gabungan (IHSG), dan nilai tukar (kurs) rupiah terhadap USD  dari Januari 2017  –  Desember  2021;  (2)  Melakukan  perhitungan  nilai return dari  tiap-tiap  saham  dan faktor menggunakan data closing price ; (3) Menguji korelasi antar faktor, yaitu IHSG dan kurs; (4) Melakukan estimasi parameter 𝛾 0 , 𝛾 1 untuk membentuk nilai baru dari faktor yang tidak  saling  berkorelasi  dengan  faktor  lainnya  apabila  terdapat  korelasi  antar  faktor  di langkah  ke  (3).  Jika  tidak  terdapat  korelasi  antar  faktor  di  langkah  ke  (3)  dapat  langsung menuju  langkah  (5).  Nilai  baru  dari  faktor  yang  tidak  saling  berkorelasi  dengan  faktor lainnya yang diperoleh kemudian diuji korelasinya kembali untuk memastikan bahwa antar faktornya  benar-benar  sudah  tidak  berkorelasi.  Langkah  selanjutnya  dapat  dilakukan  jika sudah  tidak  terdapat  korelasi  antar  faktornya;  (5)  Melakukan  perhitungan  nilai  residual return saham dengan melakukan regresi pada return tiap-tiap saham dan faktor (IHSG dan kurs); (6) Melakukan uji korelasi antara residual return saham dan factor; (7) Melakukan uji korelasi  antar  residual return saham;  (8)  Melakukan  perhitungan expected return saham Multi  Index  Model ;  (9)  Membuat  matriks  varian-kovarian Multi  Index  Model ;  (10) Melakukan  perhitungan  bobot  tiap-tiap  saham;  (11)  Melakukan  perhitungan return dan expected return portofolio; (12) Melakukan uji normalitas pada data return portofolio. Jika uji normalitas tidak terpenuhi, maka dapat menggunakan distribusi lain; (13) Menghitung nilai  parameter  rata-rata 𝜇 dan  standar  deviasi 𝜎 return portofolio  apabila  uji  normalitas terpenuhi; (14) Mensimulasikan nilai return portofolio dengan melakukan bangkitkan data secara  acak  memakai  rata-rata 𝜇 dan  standar  deviasi 𝜎 sebagai  parameternya;  (15) Melakukan  perhitungan  nilai  kuantil return portofolio  ke (1 − 𝛼) ;  (16)  Melakukan perhitungan Value at Risk dengan confidence level (1 − 𝛼) , time period t, dan V 0 sebagai investasi  awal;  (17)  Melakukan  perhitungan Expected  Shortfall dengan confidence  level (1 − 𝛼) , time  period t,  dan  V 0 sebagai  investasi  awal;  (18)  Poin  (14)  hingga  poin  (17) dilakukan  pengulangan  sejumlah  1000  kali  agar  didapatkan Value  at  Risk dan Expected Shortfall sejumlah  1000 kali  pada confidence  level (1 − 𝛼) ;  (19)  Melakukan  perhitungan rata-rata Value at Risk dengan confidence level (1 − 𝛼) agar didapatkan nilai Value at Risk yang  stabil  karena  nilai  yang  diperoleh  dari  setiap  simulasi  tidak  sama;  (20)  Melakukan perhitungan rata-rata Expected Shortfall dengan confidence level (1 − 𝛼) agar didapatkan nilai Expected  Shortfall yang  stabil  karena  nilai  yang  diperoleh  dari  setiap  simulasi  tidak sama.

## 4. HASIL DAN PEMBAHASAN
Jumlah data yang digunakan dalam penelitian ini sebanyak 59 data return yang berasal dari  data  harga  penutupan (closing  price) saham  bulanan  5  perusahaan  yang  konsisten terdaftar selama bulan Januari 2017  – Desember 2021 pada kelompok saham  LQ45 yang berfungsi  sebagai  variabel  respon  dalam  penelitian.  Perusahaan-perusahaan  tersebut  yaitu PT Bank Rakyat Indonesia Tbk, PT Kalbe Farma Tbk, PT Pembangunan Perumahan Tbk, PT United Tractors Tbk, dan PT Unilever Indonesia Tbk. Data lainnya yang dipakai peneliti adalah  data return IHSG  dan  data return nilai  tukar  (kurs)  rupiah  terhadap  USD  yang berfungsi sebagai variabel faktor dalam penelitian.
Hal  pertama  yang  harus  dilakukan  pada  perhitungan Multi  Index  Model adalah menguji  korelasi  antar  faktor  di  dalam  model.  Uji  korelasi  ini  akan  dilakukan  untuk membuktikan bahwa kovarian antar faktor bernilai nol sesuai dengan salah satu konstruksi Multi Index Model . Hipotesis: 𝐻 0 ∶  𝜌 = 0 (korelasi antar faktor sama dengan nol)
𝐻 1 ∶  𝜌 ≠ 0 (korelasi antar faktor tidak sama dengan nol) Taraf Signifikansi: 𝛼 = 5%
Statistik Uji:
𝑡 ℎ𝑖𝑡𝑢𝑛𝑔 = 𝑟√𝑛−2 √1−𝑟 2 = −4,2208 dengan 𝑟 = 𝑛(∑ 𝑋𝑌)−(∑ 𝑋)(∑ 𝑌) √[𝑛 ∑ 𝑋 2 −(∑ 𝑋) 2 ]√[𝑛 ∑ 𝑌 2 −(∑ 𝑌) 2 ] = −0,48798 𝑡 0,025;57 = 2,00247
Kriteria Uji:
H 0 ditolak jika nilai |𝑡 ℎ𝑖𝑡𝑢𝑛𝑔 | > 𝑡 𝛼/2,(𝑛−2) pada taraf signifikansi 𝛼 = 5% . Kesimpulan:
Kesimpulan yang diperoleh yaitu pada taraf signifikansi 𝛼 = 5% H 0 ditolak karena nilai |𝑡 ℎ𝑖𝑡𝑢𝑛𝑔 |(4,2208) > 𝑡 0,025;57 (2,00247) yang artinya terdapat korelasi antara return IHSG dengan return kurs.  Kemudian untuk  meniadakan korelasi  antar return faktor  dibutuhkan dengan mencari persamaan regresi antar faktornya supaya diperoleh bentuk faktor yang tidak berkorelasi.
Perhitungan untuk memperoleh nilai koefisien regresi 𝛾 0 dan 𝛾 1 sebagai berikut:
( 𝛾 0 𝛾 1 ) = ( 𝑛 ∑ 𝐼 𝑣1 𝑛 𝑣=1 ∑ 𝐼 𝑣1 𝑛 𝑣=1 ∑ 𝐼 𝑣1 2 𝑛 𝑣=1 ) −1 ( ∑ 𝐼 𝑣2 ∗ 𝑛 𝑣=1 ∑ 𝐼 𝑣2 ∗ 𝑛 𝑣=1 𝐼 𝑣1 ) ( 𝛾 0 𝛾 1 ) = ( 59 0,21767 0,21767 0,10637 ) −1 ( 0,07011 −0,02611 ) ( 𝛾 0 𝛾 1 ) = ( 0,00211 −0,24976 )
Persamaan  untuk  membentuk  faktor  yang  tidak  saling  berkorelasi  yaitu  antara  IHSG dan kurs dapat dituliskan sebagai berikut:
𝐼 1 ∗ = 𝐼 1 𝐼 1 = 𝐼 1 ∗ (30)
𝐼 2 = 𝐼 2 ∗ − 𝛾 0 − 𝛾 1 𝐼 1 𝐼 2 = 𝐼 2 ∗ − 0,00211 − (−0,24976)𝐼 1 𝐼 2 = 𝐼 2 ∗ − 0,00211 + 0,24976𝐼 1
(31)
Persamaan (30) dan persamaan (31) akan menghasilkan nilai baru dari faktor IHSG dan kurs.  Uji  korelasi  ini  akan  dilakukan  terhadap  nilai  baru  IHSG  dan  nilai  baru  kurs  untuk memastikan  bahwa  nilai  baru  IHSG  dan  nilai  baru  kurs  sudah  tidak  berkorelasi  sehingga memenuhi salah satu konstruksi Multi Index Model yaitu kovarian antar faktor bernilai nol sebagai berikut:

## Hipotesis:
𝐻 0 ∶  𝜌 = 0 (korelasi antar nilai baru faktor sama dengan nol)
𝐻 1 ∶  𝜌 ≠ 0 (korelasi antar nilai baru faktor tidak sama dengan nol) Taraf Signifikansi: 𝛼 = 5%
Statistik Uji:
𝑡 ℎ𝑖𝑡𝑢𝑛𝑔 = 𝑟√𝑛−2 √1−𝑟 2 = −0,00066 dengan 𝑟 = 𝑛(∑ 𝑋𝑌)−(∑ 𝑋)(∑ 𝑌) √[𝑛 ∑ 𝑋 2 −(∑ 𝑋) 2 ]√[𝑛 ∑ 𝑌 2 −(∑ 𝑌) 2 ] = −0,00009 𝑡 0,025;57 = 2,00247
Kriteria Uji:
H 0 ditolak jika nilai |𝑡 ℎ𝑖𝑡𝑢𝑛𝑔 | > 𝑡 𝛼/2,(𝑛−2) pada taraf signifikansi 𝛼 = 5% . Kesimpulan:
Kesimpulan  yang  diperoleh  yaitu  pada  taraf  signifikansi 𝛼 = 5% gagal  tolak  H 0 karena  nilai −𝑡 0,025;57 (−2,00247) <   |𝑡 ℎ𝑖𝑡𝑢𝑛𝑔 |(0,00066) < 𝑡 0,025;57 (2,00247) yang artinya bahwa tidak terdapat korelasi antara nilai baru IHSG dengan nilai baru kurs.
Nilai  residual return saham  digunakan  untuk  menguji  konstruksi  dan  asumsi Multi Index Model . Nilai a i , b i1 , dan b i2 digunakan untuk memperoleh nilai residual return saham. Nilai 𝑎 𝑖 ∗ , 𝑏 𝑖1 ∗ , 𝑑𝑎𝑛 𝑏 𝑖2 ∗ perlu dicari terlebih dahulu sebelum mencari nilai a i , b i1 , dan b i2 . Tabel 1 merupakan nilai 𝑎 𝑖 ∗ , 𝑏 𝑖1 ∗ , 𝑑𝑎𝑛 𝑏 𝑖2 ∗ serta Tabel 2 merupakan nilai a i , b i1 , dan b i2 . Tabel 1. Nilai 𝑎 𝑖 ∗ , 𝑏 𝑖1 ∗ , 𝑑𝑎𝑛 𝑏 𝑖2 ∗ BBRI KLBF PTPP UNTR UNVR 𝑎 𝑖 ∗ 0,00636 -0,00245  -0,03128  -0,00472  -0,01552 𝑏 𝑖1 ∗ 1,21121 0,85895 3,09294 0,95944 0,66611 𝑏 𝑖2 ∗ -1,11088 0,93460 -1,65528 1,18605 1,07067 Tabel 2. Nilai a i , b i1 , dan b i2 BBRI KLBF PTPP UNTR UNVR a i 0,00402 -0,00048 -0,03477 -0,00222 -0,01326 b i1 1,48867 0,62553 3,50637 0,66321 0,39870 b i2 -1,11088 0,93460 -1,65528 1,18605 1,07067 Persamaan untuk memperoleh nilai residual return saham adalah sebagai berikut: 𝑟 𝑣𝑖 ̂ = 𝑎 𝑖 + 𝑏 𝑖1 𝐼 𝑣1 + 𝑏 𝑖2 𝐼 𝑣2 (32)
𝑐 𝑣𝑖 = 𝑟 𝑣𝑖 − 𝑟 𝑣𝑖 ̂ (33)
Persamaan (32) dan persamaan (33) akan menghasilkan nilai residual return saham.
Nilai residual return saham yang sudah diperoleh kemudian digunakan untuk menguji korelasi  untuk  membuktikan  bahwa  kovarian  antara  residual return saham  dengan  faktor bernilai  nol.  Konstruksi Multi  Index  Model ini  yaitu  residual return saham  harus  tidak mempunyai korelasi dengan faktor, dilakukan pengujian sebagai berikut: Hipotesis:
𝐻 0 ∶  𝜌 = 0 (Tidak terdapat korelasi antara residual return saham dengan faktor) 𝐻 1 ∶  𝜌 ≠ 0 (Terdapat korelasi antara residual return saham dengan faktor) Taraf Signifikansi: 𝛼 = 5%
Statistik Uji:
𝑡 ℎ𝑖𝑡𝑢𝑛𝑔 = 𝑟√𝑛−2 √1−𝑟 2 dengan 𝑟 = 𝑛(∑ 𝑋𝑌)−(∑ 𝑋)(∑ 𝑌) √[𝑛 ∑ 𝑋 2 −(∑ 𝑋) 2 ]√[𝑛 ∑ 𝑌 2 −(∑ 𝑌) 2 ] dapat dibentuk Tabel 3 hasil nilai korelasi antara residual return saham dan faktor.
Tabel 3. Nilai Korelasi antara Residual Return Saham dan Faktor Korelasi t hitung t tabel Keputusan BBRI dan 𝐼 1 −4,02977 × 10 −5 -0,00030 -2,00247  Tidak Ada Korelasi BBRI dan 𝐼 2 1,77367 × 10 −5 0,00013 2,00247 Tidak Ada Korelasi KLBF dan 𝐼 1 2,85085 × 10 −5 0,00022 2,00247 Tidak Ada Korelasi KLBF dan 𝐼 2 −9,31143 × 10 −6 -0,00007 -2,00247  Tidak Ada Korelasi PTPP dan 𝐼 1 −2,81686 × 10 −5 -0,00021 -2,00247  Tidak Ada Korelasi PTPP dan 𝐼 2 0,00015 0,00114 2,00247 Tidak Ada Korelasi UNTR dan 𝐼 1 2,36061 × 10 −5 0,00018 2,00247 Tidak Ada Korelasi UNTR dan 𝐼 2 5,04341 × 10 −5 0,00038 2,00247 Tidak Ada Korelasi UNVR dan 𝐼 1 3,04281 × 10 −5 0,00023 2,00247 Tidak Ada Korelasi UNVR dan 𝐼 2 2,16790 × 10 −6 0,00002 2,00247 Tidak Ada Korelasi
Kriteria Uji:
H 0 ditolak jika nilai |𝑡 ℎ𝑖𝑡𝑢𝑛𝑔 | > 𝑡 𝛼/2,(𝑛−2) pada taraf signifikansi 𝛼 = 5% . Kesimpulan:
Kesimpulan yang diperoleh yaitu pada taraf signifikansi 𝛼 = 5% gagal tolak H 0 karena nilai −𝑡 0,025;57 (−2,00247) <   𝑡 ℎ𝑖𝑡𝑢𝑛𝑔 < 𝑡 0,025;57 (2,00247) yang  artinya  bahwa  korelasi antara tiap-tiap residual return saham dan tiap-tiap nilai baru faktor tidak ada, untuk itu tiap- tiap  saham  tersebut  memenuhi  konstruksi  dan  akan  dibentuk  menjadi  portofolio  optimal Multi Index Model .
Uji  korelasi  selanjutnya  akan  dilakukan  untuk  membuktikan  bahwa  kovarian  antar residual return saham bernilai nol. Asumsi Multi Index Model ini yaitu residual return tiap- tiap saham harus tidak mempunyai korelasi, dilakukan pengujian sebagai berikut: Hipotesis:
𝐻 0 ∶  𝜌 = 0 (Tidak terdapat korelasi antar residual return saham)
𝐻 1 ∶  𝜌 ≠ 0 (Terdapat korelasi antar residual return saham) Taraf Signifikansi: 𝛼 = 5%
Statistik Uji:
𝑡 ℎ𝑖𝑡𝑢𝑛𝑔 = 𝑟√𝑛−2 √1−𝑟 2 dengan 𝑟 = 𝑛(∑ 𝑋𝑌)−(∑ 𝑋)(∑ 𝑌) √[𝑛 ∑ 𝑋 2 −(∑ 𝑋) 2 ]√[𝑛 ∑ 𝑌 2 −(∑ 𝑌) 2 ] dapat dibentuk Tabel 4 hasil nilai korelasi antar residual return saham. Tabel 4. Nilai Korelasi antar Residual Return Saham Korelasi |t hitung| t tabel Keputusan BBRI dan KLBF -0,02158 0,16294 2,00247 Tidak Ada Korelasi BBRI dan PTPP 0,04646 0,35118 2,00247 Tidak Ada Korelasi BBRI dan UNTR 0,04240 0,32043 2,00247 Tidak Ada Korelasi BBRI dan UNVR 0,04835 0,36543 2,00247 Tidak Ada Korelasi KLBF dan PTPP 0,13900 1,0597 2,00247 Tidak Ada Korelasi KLBF dan UNTR -0,02120 0,1601 2,00247 Tidak Ada Korelasi KLBF dan UNVR 0,49775 4,3328 2,00247 Ada Korelasi PTPP dan UNTR 0,14178 1,0813 2,00247 Tidak Ada Korelasi PTPP dan UNVR -0,05733 0,43355 2,00247 Tidak Ada Korelasi UNTR dan UNVR -0,06580 0,49786 2,00247 Tidak Ada Korelasi
Kriteria Uji:
H 0 ditolak jika nilai |𝑡 ℎ𝑖𝑡𝑢𝑛𝑔 | > 𝑡 𝛼/2,(𝑛−2) pada taraf signifikansi 𝛼 = 5% . Kesimpulan:
Kesimpulan yang diperoleh yaitu pada taraf signifikansi 𝛼 = 5% gagal tolak H 0 karena nilai −𝑡 0,025;57 (−2,00247) <   |𝑡 ℎ𝑖𝑡𝑢𝑛𝑔 | < 𝑡 0,025;57 (2,00247) untuk residual return saham
BBRI dan KLBF, KLBF dan UNTR, PTPP dan UNVR, UNTR dan UNVR, BBRI dan PTPP, BBRI dan UNTR, BBRI dan UNVR, KLBF dan PTPP, PTPP dan UNTR yang artinya bahwa tidak  ada  korelasi  antara  masing-masing  residual return saham  tersebut.  Kesimpulan selanjutnya  yaitu  pada  taraf  signifikansi 𝛼 = 5% H 0 ditolak  untuk  residual return saham KLBF dan UNVR karena nilai |𝑡 ℎ𝑖𝑡𝑢𝑛𝑔 | > 𝑡 0,025;57 (2,00247) yang artinya bahwa terdapat korelasi  antara  residual return saham  KLBF  dengan  residual return saham  UNVR. Multi Index  Model mengasumsikan  bahwa  residual return saham  ke-i  tidak  berkorelasi  dengan residual return saham ke-j maka saham KLBF dan UNVR tersebut tidak memenuhi asumsi untuk dibentuk menjadi portofolio optimal Multi Index Model .
Tiap-tiap  saham  yang  memenuhi  maupun  tidak  memenuhi  konstruksi  dan  asumsi Multi Index Model disajikan pada Tabel 5.
Tabel 5. Hasil Pengujian Tiap Saham pada Konstruksi dan Asumsi Multi Index Model No Saham Kovarian antara Residual Return Saham dengan Faktor Bernilai Nol (Konstruksi) Kovarian antar Residual Return Saham Bernilai Nol (Asumsi) 1 BBRI Memenuhi Memenuhi 2 KLBF Memenuhi Tidak Memenuhi 3 PTPP Memenuhi Memenuhi 4 UNTR Memenuhi Memenuhi 5 UNVR Memenuhi Tidak Memenuhi
Kesimpulan yang diperoleh berdasarkan Tabel 5 yaitu dapat diketahui bahwa saham- saham yang memenuhi konstruksi dan asumsi Multi Index Model adalah saham BBRI, PTPP, dan  UNTR.  Tiap-tiap  saham  tersebut  terpilih  untuk  dibentuk  menjadi  portofolio  optimal Multi Index Model.
Nilai expected return Multi Index Model digunakan dalam perhitungan proporsi atau bobot  portofolio  optimal .  Expected  return merupakan  imbalan  yang  diharapkan  akan diperoleh investor di waktu yang akan datang. Nilai expected return saham menggunakan Multi Index Model diperoleh hasil untuk saham BBRI sebesar 0,00951, saham PTPP sebesar -0,02184,  dan  saham  UNTR  sebesar  0,00023.  Hasil  perhitungan  yang  bernilai  positif menunjukkan investasi yang dilakukan untung, sebaliknya bila perhitungan bernilai negatif menyatakan investasi yang dilakukan rugi.
Matriks varian-kovarian Multi Index Model digunakan dalam perhitungan proporsi atau bobot portofolio optimal disajikan dalam Tabel 6.
Tabel 6. Matriks Varian Kovarian Saham Multi Index Model BBRI PTPP UNTR BBRI 0,00662 0,01017 0,00132 PTPP 0,01017 0,03309 0,00352 UNTR 0,00132 0,00352 0,00841
Saham  yang  memiliki  bobot  tertinggi  pada  portofolio  optimal  adalah  saham  UNTR dengan  nilai  bobot  sebesar  0,51271  (51,271%)  dan  saham  yang  memiliki  bobot  terendah adalah saham PTPP dengan nilai bobot sebesar 0,02952 (2,952%). Besar proporsi dana atau bobot untuk saham BBRI sebesar 45,777%, saham PTPP sebesar 2,952%, dan saham UNTR sebesar 51,271%.
Besarnya nilai expected return portofolio yang didapatkan dari saham BBRI, PTPP, dan UNTR  yaitu  sebesar  0,00383  yang  artinya  profit  yang  nantinya  diperoleh  apabila menanamkan dana di portofolio optimal tersebut yaitu saham BBRI, PTPP, dan UNTR yaitu sebesar 0,383% untuk periode bulanan.
Uji  normalitas Kolmogorov-Smirnov diterapkan  pada  data return portofolio  untuk menguji kenormalannya. Pengujian normalitas return portofolio yaitu: Hipotesis:
H 0 : Data return portofolio berdistribusi normal H 1 : Data return portofolio tidak berdistribusi normal Taraf Signifikansi: 𝛼 Statistik Uji:
𝐷 = 𝑚𝑎𝑘𝑠|𝐹 0 (𝑋) − 𝐹(𝑋)| = 0,04713 ; 𝐷 ∗ (5%) = 0,17706
Kriteria Uji:
H 0 ditolak jika pada taraf signifikansi 𝛼 nilai 𝐷 > 𝐷 ∗ (𝛼) , dimana 𝐷 ∗ (𝛼) adalah nilai kritis yang diperoleh dari tabel Kolmogorov-Smirnov . Kesimpulan:
Kesimpulan yang diperoleh yaitu pada taraf signifikansi 𝛼 = 5% gagal tolak H 0 karena nilai 𝐷 (0,04713) < 𝐷 ∗ (5%) (0,17706) yang  artinya return portofolio  berdistribusi normal.
Perhitungan  nilai Value  at  Risk dan  nilai Expected  Shortfall dengan  simulasi  Monte Carlo  pada  data return portofolio  saham  BBRI,  PTPP,  dan  UNTR  dikerjakan  dengan melakukan bangkitan data acak yang memiliki distribusi normal univariat dengan rata-rata = 0,00383  dan standar deviasi = 0,06890 sebagai parameternya.
Perhitungan VaR dapat  dilakukan dengan menggunakan rumus pada persamaan (28), dimana R * = 0,10310 merupakan nilai kuantil ke 95% dari return portofolio. Nilai VaR pada tingkat  kepercayaan  95%  dalam  periode  waktu  1  bulan  ke  depan  dengan  investasi  awal sebesar 1 adalah sebagai berikut:
𝑉𝑎𝑅 (1−𝛼) (𝑡) = 𝑉 0 𝑅 ∗ √𝑡 𝑉𝑎𝑅 (95%) (1) = 𝑉 0 𝑅 ∗ √𝑡 = 1(0,10310)(√1) = 0,10310
Value at Risk tidak memenuhi sifat koherensi (ukuran kebaikan risiko). Banyak faktor juga  yang  menyebabkan  risiko  investasi  yang  terjadi  melebihi  nilai Value  at  Risk seperti perubahan suku bunga, inflasi, peristiwa politik, pandemi, dan lain-lain.  Untuk mengukur besarnya  kerugian  yang  akan  ditanggung  apabila  terjadi  kerugian  yang  nilainya  melebihi VaR maka dapat digunakan nilai Expected Shortfall (ES) dan ES memenuhi sifat koherensi. Perhitungan ES dapat dilakukan dengan menggunakan rumus pada persamaan (29) sebagai berikut:
𝐸𝑆 (1−𝛼) (𝑡) = 𝑉 0 (𝑟 𝑝 ̅ + 𝑠 ϕ(𝑉𝑎𝑅(1−𝛼)) 𝛼 ) √𝑡
𝐸𝑆 (95%) (1) = 1 (0,01153 + 0,05938 ϕ(−1,26408)
5% ) √1 = 0,22464
Setiap pembangkitan return portofolio menghasilkan data random oleh karena itu nilai VaR  dan  ES  yang  diperoleh  pada  setiap  simulasi  berbeda.  Hasil  yang  tidak  berbeda  jauh namun akan didapatkan sebab return dibangkitkan dengan parameter yang sama. Hal yang perlu  dilakukan  untuk  mengatasi  masalah  tersebut  adalah  dengan  melakukan  banyak simulasi lalu diambil rata-rata nilainya. Perhitungan di atas untuk mencari nilai VaR dan ES diulang sebanyak 1000 kali, kemudian dihitung rata-rata nilai VaR dan ES. Nilai rata-rata Value  at  Risk dan  nilai  rata-rata Expected  Shortfall pada  tingkat  kepercayaan  95%  dan periode waktu satu bulan ke depan didapatkan nilai Value at Risk sebesar 0,11210 sedangkan nilai Expected  Shortfall sebesar  0,26639. Hal  tersebut  mengartikan  bahwa  kemungkinan kerugian terbesar yang nantinya terjadi dan didapatkan oleh investor 1 bulan  ke depan yang nilainya melampaui nilai VaR yaitu sebesar 26,639% dari investasi bulan ini. Nilai ES akan lebih tepat dibandingkan nilai VaR dalam konteks portofolio sehingga kerugian maksimal
yang akan didapatkan oleh investor portofolio optimal yang telah terbentuk menggunakan Multi Index Model satu bulan ke depan yaitu sebesar 26,639% dari investasi bulan ini.

## 5. KESIMPULAN
Hasil  penelitian  dengan  metode Multi  Index  Model didapatkan  portofolio  optimal  dengan bobot  atau  proporsi  dana  PT  Bank  Rakyat  Indonesia  Tbk  sebesar  45,777%,  PT Pembangunan  Perumahan  Tbk  sebesar  2,952%,  dan  PT  United  Tractors  Tbk  sebesar 51,271% yang memberikan tingkat keuntungan sebesar 0,383%. Hasil perhitungan dengan tingkat kepercayaan 95% menunjukkan bahwa nilai ES dari portofolio optimal yang telah terbentuk  yaitu  sebesar  26,639%  dalam  prediksi  satu  bulan  ke  depan.  Nilai  VaR  dengan tingkat kepercayaan yang sama diperoleh hasil sebesar 11,210% dalam prediksi satu bulan ke depan . Hal tersebut  mengartikan bahwa kemungkinan kerugian terbesar yang nantinya terjadi dan didapatkan oleh investor 1 bulan  ke depan yang nilainya melampaui nilai VaR yaitu sebesar 26,639% dari investasi bulan ini. Nilai ES akan lebih tepat dibandingkan nilai VaR  dalam  konteks  portofolio  sehingga  kerugian  maksimal  yang  akan  didapatkan  oleh investor portofolio optimal yang telah terbentuk menggunakan Multi Index Model 1 bulan ke depan yaitu sebesar 26,639% dari investasi bulan ini.

## DAFTAR PUSTAKA
Boyle, P., Broadie, M., dan Glasserman, P. 1997. Monte Carlo Methods for Security Pricing . Journal of Economic Dynamics and Control 21: 1267-1321. Driels, M.R. 2004. Determining The Number of  Iteration for Monte-Carlo Simulations of Weapon Effectiveness. California: NPS. Elton, E., Gruber, M.J., Brown, S.J., dan Goetzman, W.N. 2014. Modern Portfolio Theory and Investment Analysis. Ninth Edition. Canada: Wiley. Halim, A. 2005. Analisis Investasi. Jakarta: Salemba Empat. Iswardono. 2001. Sekelumit Analisa Regresi & Korelasi. Yogyakarta: BPFE. Jorion, P. 2001. Value at Risk: The New Benchmark for Managing Financial Risk. Second Edition . United States of America: Mc Graw-Hill. Klugman, S.A., Panjer, H.H., dan Willmot, G.E. 2019. Loss Models from Data to Decisions. Fifth Edition . Hoboken: John Wiley & Son, Inc. Kurniawan, R., dan Yuniarto, B. 2016. Analisis Regresi Dasar dan Penerapannya dengan R. Jakarta: Kencana. Maruddani, D.A.I. 2019. Value at Risk untuk Pengukuran Risiko Investasi Saham: Aplikasi dengan Program R . Ponorogo: PT Wade Group.
Mulyati,  S.,  dan  Murni,  A.  2018.  Analisis  Investasi  dan  Penentuan  Portofolio  Saham Optimal dengan Metode Indeks Tunggal (Studi Empiris pada IDX 30 yang Terdaftar di Bursa Efek Indonesia Periode Agustus 2017-Januari 2018) . Jurnal Akuntansi dan Keuangan 6(2): 129-138.
Mustafid. 2003. Buku Ajar Statistika Elementer. Semarang: Universits Diponegoro.
Rockafellar, R., dan Uryasev, S. 2000. Optimization of Conditional Value at Risk . Journal of Risk 2(3).
Saepudin,  Y., Yasin,  H.,  dan  Santoso, R. 2017.  Analisis Risiko Investasi Saham  Tunggal Syariah dengan Value at Risk (VaR) dan Expected Shortfall (ES) . Jurnal Gaussian 6(2): 271-280.
Trimono,  Maruddani,  D.A.I.,  dan  Ispriyanti,  D.  2017.  Pemodelan  Harga  Saham  dengan Geometric Brownian Motion dan Value at Risk PT Ciputra Development Tbk . Jurnal Gaussian 6(2): 261-270.