RELASI GREEN PADA  GAMMA-SEMIGRUP SEMIGRUP YANG DIBANGKITKAN DARI SUATU SEMIGRUP
Y.D Sumanto 1* , Abdul Aziz 2 , Solikhin 3 , Robertus Heri SU 4 1,2,3,4 Departemen Matematika, Universitas Diponegoro Email : 1 ydsumanto, 2 abdulaziz, 3 solikhin, 4 robertusherisoelisty[@lecturer.undip.ac.id] * Penulis Korespondensi
Abstract. In the Γ − semigroup generated from a semigroup, we can define some equivalence relations called the Green relation. Furthermore, we can examine the relationship between the Green relation on the Γ − semigroup and the Green relation on its generating semigroup.
Keywords: Γ − semigroup, the Green relation, generating semigroup.
Abstrak. Pada Γ − semigroup yang dibangkitkan dari suatu semigrup, kita dapat mendefinisikan beberapa relasi ekuivalensi yang disebut relasi Green pada Γ − semigrup. Selanjutnya kita dapat mengkaji keterkatitan antara relasi Green pada semigrup pembangkitnya. Kata kunci: Γ − semigrup, relasi Green, semigrup pembangkit.

## 1. PENDAHULUAN
Di dalam [1] telah didefinisikan gagasan tentang A – semigrup yang merupakan generalisasi dari semigrup . Di dalam [2] telah dibahas relasi Green pada suatu semigrup dan beberapa aspek yang terkait. Dalam [3] telah ditunjukkan bahwa setiap semigrup dapat membangkitkan suatu Γ − semigrup. Sedangkan pembahasan tentang Γ − semigrup telah diawali dalam [4]. Di dalam [5] dibahas relasi Green pada Γ − semigrup untuk membangun adjoint semigrup dari suatu Γ − semigrup.  Dalam jurnal ini, didefinisikan relasi Green pada semigrup yang dibangkitkan dari suatu semigrup dan dikaji keterkaitannya dengan relasi Green pada semigrup pembangkitnya.

## 2. RELASI GREEN PADA Γ − SEMIGRUP
Misalkan ( ) S , α suatu semigrup dengan elemen identitas. Relasi Green pada ( ) S , α didefinisikan dengan ⇔
= ⇔ = ⇔ = xL y S x S y xR y x S y S xJ y S x S S y S α α α α α α α
α α α α
dan
JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS AND APPLICATIONS (JFMA) VOL. 3 NO. 1 (JUN 2020) Available online at www.jfma.math.fsm.undip.ac.id
65 p-ISSN: 2621-6019 e-ISSN: 2621-6035
= = D L R H L R α α α α α α  
Relasi L ,R ,J D α α α α dan H α merupakan relasi ekuivalensi. Dalam [2] ditunjukkan bahwa setiap elemen ∈ a S mendefinisikan operasi biner pada S dengan ( ) ( ) = = a x y x a y x a y α α α α α untuk setiap ∈ x, y S .
Jika { } = ∈ a a S Γ α maka ( ) S, Γ merupakan Γ − semigup, yaitu Γ − semigrup yang dibangkitkan dari semigrup ( ) S, α .  Berikut didefinisikan relasi L ,R Γ Γ dan J Γ pada Γ − semigrup ( ) S, Γ .
Definisi 2.1 Misalkan ( ) S, Γ semigrup yang dibangkitkan dari semigrup ( ) S, α . Pada Γ − semigrup ( ) S, Γ didefinisikan relasi  L ,R Γ Γ dan  J Γ sebagai berikut
Γ Γ Γ Γ Γ Γ Γ Γ Γ Γ Γ ⇔ = ⇔ = ⇔ = xL y S x S y xR y x S y S xJ y S x S S y S.
Pernyataan – pernyataan di bawah ini ekuivalen dengan Definisi 2.1:
( )( ) ( )( ) ( )( ) Γ Γ Γ γ δ Γ γ δ γ δ Γ γ δ γ δ µ ν Γ γ δ µ ν ⇔ ∃ ∈ ∧ ∃ ∈ = ⇔ ∃ ∈ ∧ ∃ ∈ = ⇔ ∃ ∈ ∧ ∃ ∈ = xL y p,q S , x p y q xR y p,q S , p x q y xJ y p,q,r,s S , , , p x q r y s .
Teorema berikut mudah ditunjukkan bahwa L ,R Γ Γ dan J Γ merupakan relasi ekuivalensi.
Teorema 2.2 Relasi  L ,R Γ Γ dan  J Γ pada Γ − semigrup ( ) S, Γ merupakan relasi ekuivalensi.
Proposisi 2.3 Relasi  L ,R Γ Γ dan  J Γ pada Γ − semigrup ( ) S, Γ memenuhi ( )( ) ( )( ) ( )( ) Γ Γ Γ γ δ Γ γ δ γ δ Γ γ δ γ δ µ ν Γ γ δ µ ν ⇔ ∃ ∈ ∧ ∃ ∈ = ∧ = ⇔ ∃ ∈ ∧ ∃ ∈
∧ =
⇔ ∃ ∈ ∧ ∃ ∈ = ∧ = xL y p,q S , x p y y q x xR y p,q S , y p y q x xJ y p,q,r,s S , , , x p y q y r x s .
Bukti: Akan dibuktikan untuk L Γ sedangkan yang lain dengan cara yang sama. Misalkan xL y Γ dari Definisi 2.1. maka =
S x S y Γ Γ . Karena S memuat elemen identitas misalkan e maka
JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS AND APPLICATIONS (JFMA) VOL. 3 NO. 1 (JUN 2020) Available online at www.jfma.math.fsm.undip.ac.id
66 p-ISSN: 2621-6019 e-ISSN: 2621-6035
( ) = = ∈ e y e e y e y S y α α Γ . Ini berarti bahwa
∈ y S x Γ . Jadi ada ∈ q S dan ∈ δ Γ sehingga = y q x δ . Dengan cara yang sama dapat ditunjukkan ada ∈ p S dan ∈ γ Γ sehingga = x p y γ . Sebaliknya misalkan ada ∈ p,q S dan ∈ , γ δ Γ sedemikian sehingga = x p y γ , = y q x δ , dan ( ) ( ) = = ⊆ S x S p y S p y S y Γ Γ γ Γ γ Γ ( ) ( ) Γ Γ δ Γ δ Γ = = ⊆ S y S q x S q x S x. Jadi = S x S y Γ Γ berarti L y Γ α .
Relasi L ,R Γ Γ dan J Γ merupakan himpunan pasangan berurutan dari elemen – elemen S sebagai berikut.
( ) { } ( ) { } ( ) { } = ∈ × = ∈ × = ∈ × L x, y S S L y R x, y S S R y J x, y S S J y Γ Γ Γ Γ Γ Γ α α α
Komposisi antara L Γ dan R Γ .bersifat komutatif dan merupakan relasi ekuivalensi.
Proposisi 2.4 Relasi  L Γ dan  R Γ memenuhi = L R R L Γ Γ Γ Γ   .
Bukti: Misalkan ( ) ∈ x, y L R Γ Γ  , maka ada ∈ z S sehingga ( ) ∈ x,z L Γ dan ( ) ∈ z, y R Γ . Menurut proposisi 2.3, maka terdapat ∈ p,q,r,s S dan ∈ , , , γ δ µ ν Γ yang memenuhi = p x z γ , = q z x δ , = r z y µ .dan =
y s z ν . Misalkan = z' q z r δ µ , diperoleh = =
x r q z r z' µ δ µ dan ν δ µ ν δ ν δ = = = = z' s q z r s q y s q z x.
Ini berarti ( ) ∈ x,z' R Γ . Selanjutnya, = = q y q z r z' δ δ µ . γ γ δ µ γ µ µ = = = = p z' p q z r p x r z r y.
Berarti ( ) ∈ x, y R L Γ Γ  . Jadi diperoleh ⊆ L R R L Γ Γ Γ Γ   . Dengan cara yang sama dapat ditunjukkan bahwa ⊆ R L L R Γ Γ Γ Γ   . Dengan demikian bisa disimpulkan bahwa

## JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS
AND APPLICATIONS (JFMA) VOL. 3 NO. 1 (JUN 2020) Available online at www.jfma.math.fsm.undip.ac.id
67 p-ISSN: 2621-6019 e-ISSN: 2621-6035
= L R R L
Γ Γ Γ Γ   .  Selanjutnya mudah ditunjukkan bahwa L R Γ Γ  merupakan relasi ekuivalensi, begitu juga irisan antara L Γ dan R Γ merupakan relasi ekuivalen dan misalkan
Γ Γ Γ Γ Γ Γ = =    D R L H R L .
Berikut ini diberikan teorema yang menggambarkan keterkaitan antara relasi pada ( ) S, α dengan relasi pada ( ) S, Γ .
Teorema 2.5 Jika  xL y,xR y, α α dan  xJ y α maka berturut – turut  xL y,xR y, Γ Γ dan  xJ y Γ .
Bukti: Dibuktikan jika xL y α maka xL y Γ sedangkan yang lain sejalan. Misalkan xL y α maka = S x S y α α . Diambil sebarang ∈ p x S x γ Γ maka ada ∈ c S sehingga = c γ α . Selanjutnya, ( ) = = = ∈ ⊆ = ⊆ c p x p x p c x q x S x S x S y S y γ α α α α α α α Γ
Jadi ∈
p x S y γ Γ yang berarti ⊆
S x S y Γ Γ . Selanjutnya dengan cara yang sama diperoleh ⊆
S y S x Γ Γ sehingga = S y S x Γ Γ . Dengan kata lain xL y Γ .
Contoh 2.1 Diberikan { } = S a,b,c,d ,e, f dan operasi biner assosiatif α sebagai berikut.
a b c d e f
a a a a a a a b a b c d e f
c a c c d a a
d a d c d c d e a e e f a a f a f e f e f
α
Dari sini diperoleh relasi L α .
{ }
{ } { } α α α α α α = = = = = = S a a,b S b S c a,c,e S e S d a,d , f
S f .
JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS AND APPLICATIONS (JFMA) VOL. 3 NO. 1 (JUN 2020) Available online at www.jfma.math.fsm.undip.ac.id
68 p-ISSN: 2621-6019 e-ISSN: 2621-6035
Sehingga ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) { } = L a,a , b,b , c,c , d ,d , e,e , f , f , c,e , e,c , d , f , f ,d α
Kelas – kelas dari L α adalah
L a { } { } x S xL a a α = ∈ = L b { } { } x S xL b b α = ∈ = L c { } { } x S xL c c,e α = ∈ = = L e L d { } { } x S xL d d , f α = ∈ = = L f
dan L = {L a , L b , L c , L d } sehingga ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) { } = R a,a , b,b , c,c , d ,d , e,e , f , f , c,d , d ,c , e, f , f ,e α
Kelas – kelas dari R α adalah R a = {a}, R b = {b}, R c = R d = {c,d}, R e = R f = {e,f}
dan R = {R a , R b , R c , R d }. Relasi J α diperoleh dari { } { } = = = = = = S a S a ,S b S S c S S d S S e S S f S a,b,c,d ,e, f α α α α α α α α α α α α Sehingga ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
 
 
=      
a,a , b,b , b,c , b,d , b,e , b, f , c,b , c,c , c,d , c,e , c, f , d ,b , d ,c , J d ,d , d ,e , d ,e , e,b , e,c , e,d , e, f , f ,b , f ,c , f ,d , f ,e , f , f α
Kelas – kelas J α adalah J a = {a}, J b = J c = J d = J e = J f = {b,c,d,e,f} dan { } = a b J J ,J . Sedangkan relasi ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) { } = = = = D R L J H R L a,a , b,b , c,c , d ,d , e,e , f , f α α α α α α α  
Kelas – kelas H α adalah H = {H a , H b , H c , H d , H e , H f } dimana setiap kelasnya adalah himpunan singleton. Selanjutnya untuk setiap ∈ u S didefinisikan operasi biner u α pada S dengan ( ) ( ) = = u x y x u y x u y α α α α α Sehingga diperoleh { } = a b c d e f , , , , , Γ α α α α α α dimana = b α α dan untuk ( ) a S, α merupakan semigrup nol dengan = a
x y a α untuk setiap ∈ x, y S . Sedangkan untuk c d e , , , α α α dan f α diberikan pada tabel berikut.
JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS AND APPLICATIONS (JFMA) VOL. 3 NO. 1 (JUN 2020) Available online at www.jfma.math.fsm.undip.ac.id
69 p-ISSN: 2621-6019 e-ISSN: 2621-6035
c a b c d e f a a c c d a a b a c c d a a c a c c d a a d a c c d a a
e a e e f a a f a e e f a a
α d a b c d e f a a a a a a a b a d c d c d c a d c d c d d a d c d c d
e a f e f e f f a f e f e f
α
e a b c d e f a a a a a a a b a e e f a a
c a a a a a a d a c c d a a
e a a a a a a f a e e f a a
α f a b c d e f a a a a a a a b a f e f e f c a a a a a a
d d d c d c d
e a a a a a a f a f e f e f
α
Selanjutnya relasi L Γ diperoleh dari
{ }
{ } { } ∈ ∈ ∈ ∈ = = = = = = = = = = S a S a a S b S b S S c S c a,c,e S e S d S d a,d , f S f γ Γ γ Γ γ Γ γ Γ Γ γ Γ γ Γ γ Γ Γ γ Γ     Sehingga diperoleh ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) { } = L a,a , b,b , c,c , d ,d , e,e , f , f , c,e , e,c , d , f , f ,d Γ
Kelas – kelas dari L Γ adalah L a = {a}, L b = {b}, L c = L e = {c,e}, L d = L f = {d,f}, dan L = {L a ,  L b , L c , L d }. Sedangkan relasi R Γ diperoleh dari
{ } { } { } = = = = = = a S a ,b S S,c S d S a,c,d ,e S f S a,e, f Γ Γ Γ Γ Γ
Γ . Sehingga diperoleh ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) { }
= R a,a , b,b , c,c , d ,d , e,e , f , f , c,d , d ,c , e, f , f ,e Γ . Kelas – kelas dari R Γ adalah R a = {a}, R b = {b}, R c = R d = {c,d}, R e = R f = {e, f}, dan R = {R a , R b , R c , R d }.
Available online at www.jfma.math.fsm.undip.ac.id
70 p-ISSN: 2621-6019 e-ISSN: 2621-6035
Selanjutnya, relasi J Γ diperoleh dari { } = = = = = = S a S a ,S b S S c S S d S S e S S f S S
Γ Γ Γ Γ Γ Γ Γ Γ Γ Γ Γ Γ . Sehingga ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )    
=       a,a , b,b , c,c , d ,d , e,e , f , f , b,c , b,d , b,e , b, f , J c,b , c,d , c,e , c, f , d ,b , d ,c , d ,e , d , f , e,b , e,c , e,d , e, f , f ,b , f ,c , f ,d , f ,e
Γ .
Kelas – kelas dari J Γ adalah J a = {a}, J b = J c = J d = J e = J f = {b,c,d,e,f}, J = {J a , J b } Selanjutnya, = = D R L J Γ Γ Γ Γ  dan ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) { } = = H R L a,a , b,b , c,c , d ,d , e,e , f , f Γ Γ Γ  . Kelas – kelas dari H Γ adalah H a = {a}, H b = {b}, H c = {c}, H d = {d}, H e = {e}, H f = {f}, dan
H = {H a , H b , H c , H d , H e ,H f }.

## 3. KESIMPULAN
Berdasarkan pembahasan di atas, diperoleh kesimpulan  bahwa  pada Γ − semigroup  telah dapat didefinisikan relasi Green dan telah dapat ditunjukkan keterkaitan antara relasi Green pada Γ − semigrup dengan relasi Green pada semigrup pembangkitnya.

## REFERENSI
[1] Sen, M.K., Saha, N.K., “On Γ –Semigroup,” Bull. Calcuta Math. Soc . Vol. 78, pp. 180 – 186, 1986.
[2] Howie, J.M., Fundamental of Semigroup Theory , Clarendon Press, Oxford, 2003.
[3] Y.D Sumanto, “Grup– Γ Dual dari Suatu Grup– Γ ,” Jurnal Matematika , Vol. 15, No 1, pp. 23 – 27, 2012.
[4] Sen, MK., “On    – Semigroup ,” Proc. Of International Conference On Algebra and it’s Application , New Delhi, 1984.
[5] Pasko, E., “The adjoint Semigroup of a Γ − semigroup,” Novi Sad J. Math , Vol.17, no. 2 : pp. 31 – 39, 2017.

## JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS
AND APPLICATIONS (JFMA) VOL. 3 NO. 1 (JUN 2020) Available online at www.jfma.math.fsm.undip.ac.id
71 p-ISSN: 2621-6019 e-ISSN: 2621-6035