Majalah Ilmiah Matematika dan Statistika Volume 16 Nomor 1  2016, 1 – 12 https://jurnal.unej.ac.id/index.php/MIMS/index ISSN 1411-6669

## LIMIT CYCLE PERSAMAAN VAN DER POL DAN PERSAMAAN DUFFING

## (Limit Cycle Equation Van Der Pol and Duffing Equation)

## Yuan Ursulasari dan  Moh. Hasan
Jurusan Matematika FMIPA Universitas Jember Jl. Kalimantan 37, Jember 68121, Indonesia Email: hasan.fmipa@unej.ac.id
Abstract. Van der Pol Equation and Duffing Equation are the second order differential equation which are read as 0 ' ) 1 ( '' 2     x x x x  and ) cos( ' '' 3 t F x x kx x      .
The aim of this paper is to study about the limit cycle of both equations. The discussion will  be  focused  on  the  existence  and    the  stability  of  the  limit  cycle  and  also  the difference between the limit cycle of van der Pol equation and the Duffing equation. The results are limit cycle exist in van der Pol equation and Duffing equation. The form of limit cycle of the van der Pol equatuon is depended to the  values and the the form of  limit  cycle  of  the  Duffing  equation  is  depended  to  the k , F ,  and  values.  The difference of both equations is that van der Pol equation is globally stable while the Duffing equation is locally stable. Duffing equation may be having more than one limit cycle while van der Pol equation can only has single limit cycle.
Keywords: limit cycle, Van der Pol Equation, Duffing Equation MSC 2020: 35B05

## 1. Pendahuluan
Persamaan  van  der  Pol  dirumuskan  oleh  Balthazar  van  der  Pol,  fisikawan  Belanda,  yang merupakan sebuah model dari tipe rangkaian elektronik yang berupa rangkaian RLC, tetapi dengan  resistor  pasif  diganti  dengan  sebuah  elemen  aktif [3].  Persamaan  van  der  Pol berbentuk
0 ' ) 1 ( '' 2     x x x x  , dengan  adalah koefisien konstan. Sedangkan persamaan Duffing dirumuskan oleh G. Duffing untuk memodelkan sistem mekanik magnet-elastis [4]. Persamaan  Duffing  mempunyai  bentuk
) cos( ' '' 3 t F x x kx x      ,  dengan k,  F dan  masing-masing adalah koefisien konstan.
Kedua  persamaan  diatas  merupakan  persamaan  diferensial  tak  linier.  Hal  menarik  dari persamaan  diferensial  tak  linier  adalah  dimungkinkan  adanya  suatu penyelesaian  yang berbentuk orbit dan membentuk suatu cycle yang disebut dengan limit cycle . Tujuan dari artikel ini adalah ingin mengkaji persamaan dan perbedaan limit cycle dari persamaan van der Pol dan persamaan Duffing.

## Kestabilan
Misal diberikan sistem persamaan diferensial dalam bentuk
' ( ), f  x x dengan ( )
( ) ( ) x t t y t        x . (1)
Solusi persamaan (1) adalah sebuah fungsi ( ) t   x yang dapat dipandang sebagai tampilan parametrik sebuah kurva dalam bidang xy . . Bidang xy disebut sebagai bidang phase. Kurva yang  mempresentasikan  solusi  dari  sistem  persamaan  (1)  dipandang  sebagai  jejak  yang dibentuk oleh partikel bergerak dengan kecepatan ' x dan disebut sebagai trayektori.
Titik-titik yang memenuhi 0 ) (  x f disebut titik-titik kritis atau titik-titik kesetimbangan dari sistem (1). Sebuah titik kritis  x dari sistem (1) dikatakan stabil jika diberikan sebarang 0   ,  maka  terdapat 0   sehingga  untuk  setiap  solusi ) ( t   x ,  untuk t =  0  terdapat (0) , 
    x memenuhi ( ) , t      x 0  t .
Jika ) ( t   x tidak  mendekati  x saat   t maka  titik  kesetimbangan  dikatakan  tidak stabil. Titik kesetimbangan  x dikatakan stabil asimtotik jika terdapat sebuah 0  , dengan
    0 0 sehingga solusi ) ( t   x memenuhi * 0 (0) x     dan * lim ( ) x t t    [1].
Dalam  prakteknya,  analisis  kestabilan  suatu  sistem  didasarkan  pada  kelakuan  titik kesetimbangan  setelah  titik  tersebut  mengalami  sedikit  gangguan.  Jika  terjadi  perubahan kecil pada kesetimbangan, maka perubahan kecil tersebut dapat dituliskan
1 1 * * y y y x x x     .
Dengan  menggunakan  teorema  Taylor  untuk  melinierkan  persamaan  di  dekat kesetimbangan, didapatkan pendekatan berikut;
1 1 1 1 * * * * 2 2 1 1 * * * * x y x y x y x y dx f f x y dt x y dy f f x y dt x y             .                                           (2)
Persamaan (2) dapat dituliskan dalam bentuk
) ( ) ( ' t t Ax x  , (3)
Majalah Ilmiah Matematika dan Statistika Volume 16 Nomor 1  2016, 1 – 12 https://jurnal.unej.ac.id/index.php/MIMS/index ISSN 1411-6669
dengan 1 1 * * * * 11 12 21 22 2 2 * * * * x y x y x y x y f f A A x y
A A f f x y    
                        A adalah matriks Jacobian [3].
Nilai eigen dari matriks A diberikan oleh  , yakni
2 11 22 11 22 12 21 11 22 1,2 ( ) 4( ) 2 2 A A A A A A A A        (3)
Untuk mengetahui suatu persamaan bersifat stabil lokal atau tidak, dapat digunakan kriteria Routh-Hurwitz. Menurut kriteria ini, untuk memenuhi kestabilan lokal maka bagian real dari semua nilai  eigen (4) harus negatif; ( A 11 + A 22 ) < 0 dan A 11 A 22 > A 12 A 21 . Kriteria Routh- Hurwitz  ini  merupakan  cara  cepat  untuk  menentukan  apakah  suatu  titik  kesetimbangan merupakan stabil lokal atau tidak [2].
Setelah  diketahui  kesetimbangan  stabil  lokal  atau  tidak,  dapat  diketahui  apakah kesetimbangan  tersebut  stabil  global  atau  tidak  dengan  ketentuan  jika  sebuah  persamaan diferensial  tak  linier  mempunyai  kestabilan  global  maka  dapat  ditunjukkan  bahwa  untuk sebarang  wilayah,  persamaan  tersebut  mempunyai  titik-titik  kesetimbangan  yang  bersifat stabil lokal [7].
Jika  untuk  semua  kondisi  awal,  solusi  persamaan  diferensial  tersebut  konvergen  ke kesetimbangan saat t bertambah tanpa batas, maka kesetimbangan dikatakan stabil global ( globally  stable ),  sedangkan  untuk  semua  kondisi  awal  yang  cukup  dekat  pada kesetimbangan  saja  yang  solusinya  konvergen  ke  kesetimbangan  saat t bertambah  tanpa batas, maka kesetimbangan dikatakan stabil lokal ( locally stable ). Jika kesetimbangan tidak stabil global ataupun stabil lokal maka kesetimbangan dikatakan tidak stabil [3].

## Limit cycle

## Misal diberikan sistem persamaan diferensial order satu
). ( ' x f x  (5)
Sistem persamaan (5) memenuhi solusi ) ( ) ( t T t x x   untuk semua t dan untuk konstanta tak negatif T yang disebut sebagai periode.
Menurut Boyce dan Diprima [1], limit cycle adalah trayektori tertutup pada bidang phase dengan trayektori-trayektori lain yang tak tertutup akan berputar ke arah trayektori tertutup ini saat   t , baik dari luar maupun dari dalam. Sebelum menganalisa kestabilan limit cycle ,  perlu  diketahui  keberadaan limit  cycle tersebut.  Karena  hanya  persamaan  yang mempunyai  solusi  periodik  yang  mempunyai limit  cycle [6],  maka  digunakan  teorema Poincaré-Bendixson  untuk  mengetahui  apakah  persamaan  tersebut  mempunyai  solusi periodik atau tidak.
Dalam membahas teorema Poincaré-Bendixson perlu ditulis kembali persamaan (5) dalam bentuk
) , ( / y x F dt dx  , ) , ( / y x G dt dy  . (6)

## Teorema Poincaré-Bendixson
Misal fungsi F dan G pada persamaan (6) mempunyai turunan parsial pertama yang kontinyu dalam domain D dari bidang xy . Misal D 1 adalah subdomain terbatas dalam D , dan misalkan R adalah wilayah yang terdiri dari D 1 ditambah batasnya (semua titik R di dalam D ). Anggap bahwa R tidak  mengandung  titik  kritis  sistem  (6).  Jika  terdapat  konstanta t 0 sehingga
( ) dan ( ) x t y t     adalah solusi dari sistem (6) berada di R untuk semua 0 t t  , maka ( ) dan ( ) x t y t     adalah (a) periodik, atau (b) spiral ke arah solusi periodik saat   t [5].
Beberapa terminologi kestabilan limit cycle dijelaskan oleh Boyce dan Diprima [1] sebagai berikut:
- jika semua trayektori yang berputar mendekati sebuah trayektori tertutup (baik dari luar ataupun  dari  dalam)  saat   t ,  maka limit  cycle dikatakan  stabil  asimtotik ( asymptotically stable );
- jika trayektori yang mendekati adalah sebuah orbit periodik itu sendiri dari sebuah titik kesetimbangan, maka tipe kestabilan ini disebut kestabilan orbit ( orbital stability ) ;
- jika trayektori-trayektorinya pada satu sisi berputar ke arah trayektori tertutup, sementara trayektori-trayektori tersebut pada sisi lain berputar menjauh saat   t , maka limit cycle dikatakan semi stabil ( semistable ) ;
- jika  trayektori-trayektori  pada  kedua  sisi  dari  trayektori  tertutup  spiral  menjauh  saat
  t , maka limit cycle dikatakan tidakk stabil;
- jika trayektori-trayektori lainnya tidak mendekat ataupun menjauh dari trayektori tertutup tersebut maka trayektori tertutup itu dikatakan stabil .
Majalah Ilmiah Matematika dan Statistika Volume 16 Nomor 1  2016, 1 – 12 https://jurnal.unej.ac.id/index.php/MIMS/index ISSN 1411-6669

## 2. Hasil dan Pembahasan

## Titik Kritis Persamaan van der Pol dan Persamaan Duffing
Pada pendahuluan telah disebutkan bahwa Persamaan van der Pol dan Persamaan Duffing merupakan persamaan diferensial orde dua. Kedua persamaan tersebut dapat ditulis dalam bentuk sistem persamaan diferensial order satu, yang masing-masing disajikan dalam bentuk
2 / / (1 ) x dx dt y y dy dt x x y           dan ) cos( ) ( 3 t F ky x x y y x         . (7)
Titik kritis-titik kritis persamaan (7) diperoleh dari penyelesaian persamaan
0        dt dy dt dx / / .                                                                     (8)
Dari persamaan (7) dan (8) didapatkan titik kritis persamaan van der Pol adalah titik (0,0). Sedangkan jika gaya pada persamaan Duffing dianggap tidak ada, maka titik kritisnya adalah titik-titik ) 0 , 0 ( , (-1,0) dan (1,0).

## Eksistensi Limit Cycle

## 1. Persamaan Van der Pol
Penerapan  teorema  Poincaré-Bendixson  untuk  menganalisis  keberadaan limit  cycle pada persamaan  Van  der  Pol  dapat  dilaksanakan  secara  lebih  mudah  dengan  menuliskan persamaan tersebut dalam bentuk koordinat polar, yakni
   2 2 2 sin ) cos 1 ( r r r    , (9)
dengan  menyatakan sudut antara sumbu x dan garis yang menghubungakan titik (0,0) dan titik ( x , y ), dan r menyatakan jarak antara kedua titik tersebut.
Misal  diberikan  sebuah  wilayah  berbentuk  cincin R yang  dibentuk  oleh 2 1 r r r   dan berpusat di titik kritisnya. Saat 1 r r  didapatkan 0 cos 1 2 2    r , sehingga 0   r , kecuali pada sumbu x dimana 0 sin   . Hal ini menyebabkan setiap trayektori yang dimulai dari titik di dalam lingkaran 1 r r  akan berputar ke luar memasuki wilayah R . Pada saat 2 r r 
didapatkan 0 cos 1 2 2    r , sehingga 0   r , kecuali pada sumbu x dan di dekat sumbu y dengan 0 cos 2 2   r . Hal  ini menyebabkan setiap trayektori-trayektori  yang berasal  dari luar  lingkaran 2 r r  berputar  ke  dalam  memasuki    wilayah R .  Karena  trayektori  yang
berasal dari dalam berputar ke arah luar dan trayektori yang berasal dari luar berputar ke dalam, maka terdapat sebuah trayektori tertutup yang didekati sistem persamaan van der Pol. Jadi sistem persamaan van der Pol mempunyai solusi periodik.
Sebagai contoh yaitu pesamaan Van der Pol dengan 1   . Persamaan dalam koordinat polar
(9)  menjadi 2 2 2 (1 cos ) sin r r r      .  Kelakuan  solusi  dari  persamaan  tersebut  disajikan dalam Gambar 1 berikut ini.
Gambar 1. Limit Cycle persamaan van der Pol
Dari Gambar 1 terlihat bahwa pada lingkaran dengan jari-jari 1 1  r trayektori berputar ke arah luar lingkaran, sedangkan trayektori lain yang dimulai dari titik di luar lingkaran dengan jari-jari 6 , 2 2  r berputar ke dalam lingkaran. Kedua trayektori ini bertemu dan membentuk limit cycle.

## 2. Persamaan Duffing
Analog dengan perlakuan yang dikenakan pada Persamaan Van der Pol, Persamaan Duffing dalam bentuk koordinat polar diberikan oleh
  ) cos( sin cos cos 2 sin 3 3 t F kr r r r           . (10)
Misal untuk 20  F dan 2  k , diberikan sebuah cincin R yang dibentuk oleh 2 1 r r r   dan berpusat  di  titik  kritisnya.  Untuk 1 r r  didapatkan  dari  persamaan  (10)  bahwa    sin cos cos
2 3 3 kr r r   0 ) cos(   t F  , sehingga 0   r . Oleh karena, itu trayektori yang dimulai dari titik-titik di dalam lingkaran dengan 1 r r  akan berputar memasuki R. Pada saat 2 r r  didapatkan
0 ) cos( sin cos cos 2 3 3     t F kr r r     sehingga 0   r .  Hal ini  berarti  bahwa  trayektori  yang  dimulai  dari  titik-titik  di  luar  lingkaran 2 r r  berputar memasuki R . Dengan demikian terdapat sebuah limit cycle yang dibentuk oleh Persamaan Duffing.
Majalah Ilmiah Matematika dan Statistika Volume 16 Nomor 1  2016, 1 – 12 https://jurnal.unej.ac.id/index.php/MIMS/index ISSN 1411-6669

## Analisa Kestabilan

## 1. Persamaan van der Pol
Substitusi  persamaan  (7)  untuk  Persamaan  Van  der  Pol  pada  persamaan  (6)  didapatkan y y x P  ) , ( dan 2
( , ) ( 1) G x y x y x      . Turunan parsial dari P dan G terhadap x dan y adalah sebagai berikut:
0 ) , (  y x P x ,
1 ) , (  y x P y , ( , ) 2 1 x G x y xy     , 2 ( , ) ( 1) y G x y x     . (11)
Substitusi persamaan (11) pada persamaan (4) diperoleh matriks Jacobian dari Persamaan Van der Pol di titik (0,0), yakni
         1 1 0 A . (12)
Nilai eigen dari (12) adalah
2 4 2 12       . (13)
Dari persamaan (13) didapatkan berbagai kemungkinan nilai  berikut ini.
 Saat 0   maka nilai eigennya adalah imajiner murni yaitu i   12  . Persamaan menjadi osilator linier harmonik dengan solusi periodik  2  .  Saat 2 0    , maka nilai eigen yang didapat adalah 1 12 2 i      ,    sehingga hanya ada satu periodik yang membentuk limit cycle .
 Saat 2   persamaan hanya mempunyai satu nilai eigen. Trayektorinya berputar ke arah luar dari titik O(0,0).
 Saat 2   didapatkan dua nilai eigen yang berbeda dengan dua vektor eigen yang independen linier.
Dari berbagai kemungkinan nilai  di atas didapatkan bahwa persamaan  van der Pol stabil setiap  saat.  Gambar  2  menjelaskan  bahwa,  pada  bidang xy (bidang  fase),  persamaan  ini mengalami  kestabilan  orbit  saat 0   ;  trayektori  mendekati  sebuah  orbit  yang  tak  lain adalah  trayektori  itu  sendiri.  Pada  bidang xt ,  terlihat  bahwa  amplitudo  yang  dibentuk konstan.
Gambar 2. Kelakuan Persamaan van der Pol saat
0   pada bidang xy dan bidang xt Saat 0   , trayektori dari luar ataupun dari dalam mendekati sebuah trayektori tertutup.
Seperti  ditunjukkan  pada  Gambar  3,  Persamaan  Van  der  Pol  stabil.  Pada  bidang  fase persamaan  ini  membentuk limit  cycle .    Pada  bidang xt ,  solusi  yang  awalnya  memiliki amplitudo kecil membesar hingga amplitudonya konstan, begitu pula grafik yang semula amplitudonya besar.
Gambar 3. Bidang fase dan bidang- xt Persamaan van der Pol saat 5 ,
0  
Sedangkan untuk 0   , seperti yang tampak pada Gambar 4, trayektori yang terbentuk pada bidang fase berputar ke dalam dan terus mendekati titik O (0,0) saat   t . Besar amplitudo grafik yang terbentuk pada bidang xt menuju nol saat   t .
Gambar 4. Bidang fase dan bidang xt Persamaan van der Pol saat 5 , 0   
Majalah Ilmiah Matematika dan Statistika Volume 16 Nomor 1  2016, 1 – 12 https://jurnal.unej.ac.id/index.php/MIMS/index ISSN 1411-6669

## 2. Persamaan Duffing
Substitusi  persamaan  (7)  untuk  Persamaan  Duffing  pada  persamaan  (6)  didapatkan y y x P  ) , ( dan 2 ( , ) (1 ) cos( ) G x y x x ky F t      . Turunan parsial dari P dan G terhadap x dan y adalah sebagai berikut:
0 ) , (  y x P x ,
1 ) , (  y x P y , 2 ( , ) 1 3 x G x y x   , ( , ) y G x y k   . (14)
Substitusi persamaan (14) pada persamaan (4) diperoleh matriks Jacobian dari Persamaan Duffing di titik (0,0) dan (  1,0) masing-masing diberikan oleh:
        k A 1 1 0 dan          k A 2 1 0 . (15)
Masing-masing nilai eigen dari (15) adalah
  4 2 1 2 12     k k
 ,  dan (16 a)   8 2 1 2 12     k k  . (16 b)
Dari persamaan (16 a) dapat diketahui bahwa nilai eigen yang terkait dengan titik kritis (0,0)
adalah real. Karena 4 2   k k maka salah satu akarnya positif, yang berimplikasi bahwa titik  (0,0)  tidak  stabil.  Sedangkan  kestabilan  titik-titik  (  1,0)  ditentukan  oleh  berbagai kemungkinan nilai k yang dapat dirinci sebagai berikut:
 jika 0  k maka 0 12   , sehingga titik (  1,0) bersifat stabil asimtotik;
 jika 0  k maka 2 12 i    , sehingga titik (  1,0) bersifat stabil linier;
 jika   0 , 2 2   k maka  radikalnya  memberikan  bagian  imajiner  sehingga  bagian realnya positif, karenanya titik (  1,0) bersifat tidak stabil;
 jika 2 2   k maka 8 2   k k , sehingga kedua akarnya positif dan titik (  1,0) bersifat tak stabil.
Dari berbagai kemungkinan nilai k tersebut didapatkan bahwa persamaan Duffing stabil saat 0  k . Persamaan Duffing mengalami kestabilan orbit saat 0  k . Persamaan Dufing juga
membentuk limit cycle saat 0  k walaupun terkadang bentuknya sedikit lebih kompleks bila dibandingkan dengan limit cycle persamaan van der Pol. Besar amplitudo yang terbentuk pada bidang xy mengalami perubahan, namun perubahan tersebut tetap berulang. Kelakuan persamaan Duffing disajikan pada Gambar 5.
Gambar 5. Bidang fase dan bidang xt Persamaan Duffing saat 40  F dan 2  k
Limit cycle persamaan Duffing ini hanya terbentuk jika
0  F . Jadi walaupun
0  k tetapi F tidak lebih besar dari nol  maka limit cycle tidak terbentuk.  Misalnya  untuk 0  F dan 0  k , persamaan Duffing bersifat stabil asimtotik. Setiap trayektori yang dibentuk berputar mendekati sebuah titik.
Pada  persamaan  Duffing,  dua  trayektori  yang  dimulai  dari  dua  nilai  awal  yang  berbeda belum tentu mendekati limit cycle yang sama. Besar amplitudo yang terbentuk pada bidang xt sama namun letaknya berbeda seperti diilustrasikan pada Gambar 6.
Gambar 6. Bidang fase dan bidang xt Persamaan Duffing  saat
6 / 1  F dan 2  k
Persamaan  Duffing  dengan 0  k bersifat  tidak  stabil  dan  trayektorinya  berputar  terus menjauh  saat   t .  Pengaruh  koefisien  lain  yang  dapat  diamati  adalah  pengaruh  terhadap  persamaan  Duffing.  Dari  analisa  grafik  persamaan  Duffing  yang  dibuat  dengan program Maple, besar  tidak mempengaruhi kestabilan sistem. Berapapun besar  , sistem tetap  stabil  dengan  syarat 0  F dan 0  k .    Saat 0  F dan 0  k ,  persamaan  Duffing bersifat stabil asimtotik saat
0   dan membentuk limit cycle saat 0   .
Majalah Ilmiah Matematika dan Statistika Volume 16 Nomor 1  2016, 1 – 12 https://jurnal.unej.ac.id/index.php/MIMS/index ISSN 1411-6669

## Perbedaan Antara Persamaan van der Pol dan Persamaan Duffing
Persamaan  van  der  Pol  dan  persamaan  Duffing  memiliki  kesamaan  yaitu  keduanya mempunyai kestabilan dan limit cycle. Sedangkan perbedaan antara persamaan van der Pol dan persamaan Duffing yaitu persamaan van der Pol mempunyai satu titik kritis dan satu limit cycle sedangkan persamaan Duffing mempunyai tiga titik kritis dan bisa mempunyai dua limit cycle , misal untuk kasus yang kelakuannya disajikan Gambar 6.
Pada  saat  persamaan  van  der  Pol  bersifat  stabil,  trayektori  pada  bidang  fase  berputar mendekati satu limit cycle untuk semua kondisi awal. Sedangkan pada persamaan Duffing, pada saat persamaan ini bersifat stabil asimtotik hanya solusi awal yang dekat dengan limit cycle saja  yang  trayektorinya  mendekati limit  cycle tersebut,  sedangkan  titik  awal  yang dekat dengan limit cycle lain tidak akan mendekati limit cycle tersebut seperti yang tampak pada Gambar 6. Karenanya persamaan van der Pol dikatakan stabil global dan persamaan Duffing dikatakan stabil lokal.

## 3. Kesimpulan
Berdasarkan uraian yang disajikan dalam Subbab hasil dan pembahasan dapat disimpulkan bahwa:
a. persamaan van der Pol dan persamaan Duffing merupakan persamaan diferensial tak linier yang mempunyai limit cycle;
b. perbedaan persamaan van der Pol dan persamaan Duffing adalah
 persamaan  van  der  Pol  bersifat  stabil  global  sedangkan  persamaan  Duffing bersifat stabil lokal;
 persamaan  van  der  Pol  mempunyai limit  cycle tunggal  sedangkan  persamaan Duffing bisa mempunyai lebih dari satu limit cycle .

## Daftar Pustaka
[1] Boyce, W. E. & Diprima, R. C. 1997. Elementary Differential Equations and Boundary Value Problem. New York: John Wiley & Sons.
[2] Cronin,  J.  1994.  Differential  Equations  Introduction  and  Qualitative  Theory  Second Edition. New Jersey: Marcel Dekker, Inc.
[3] Duke. 2000. The Van der Pol System. [on line]. http://www.math.duke.edu.  Copyright CCP and author(s).
[4] Fraser, B. 1997. The Double Well Oscillator. [on line]. http://www.apmaths.uwo.ca.
[5]  Rabenstein,  A.L.,  1972,  Introduction  to  Ordinary  Differential  Equations,  New  York, Academic Press.
[6]  Tuwankotta,  M.  J.  2000.  Integral  vol.  5,  [on  line]  http://home.unpar.ac.id.  Bandung: Mathematic Department ITB.
[7] Wang, Z. & Paganini, F. 2004. Global Stability of Nonlinear Congestion Control With Time-Delay. [on line]. http://www.ee.ucla.edu. Los Angeles: University of California.