Penentuan Premi Tahunan Dan Cadangan Premi Dengan Metode New Jersey Asuransi Endowment Status Joint Life Menggunakan Suku Bunga Stokastik
Seftina Diyah Miasary 1* , Riza Lathifatul Umami 2 , Emy Siswanah 3
1 Universitas Islam Negeri Walisongo, seftina.diyah.m@walisongo.ac.id
2 Universitas Islam Negeri Walisongo, rizalathif27@gmail.com
3 Universitas Islam Negeri Walisongo, emy_siswanah@walisongo.ac.id
Abstract. Joint  life  endowment  status  insurance  is  insurance  that  pays  out  if  the participant  dies  during  the  policy  participant's  first  death  or  survives  until  the conclusion  of  the  insurance  period.  The  purpose  of  this  study  is  to  calculate  the amount of joint life endowment status life insurance premium reserves using the New Jersey  technique  in  the  CIR  model  with  stochastic  interest  rates.  The  CIR  model's stochastic interest rate value based on Bank Indonesia interest rates from 2018 to 2022 is 0,075. According to the calculations, the resulting annual premium is lower since the number of individuals who survive is greater than the number of persons who die over the insurance period. Furthermore, the size of the New Jersey premium reserve is zero in the first year and becomes closer to the compensation value as the insurance period proceeds.
Keywords: Joint Life Endowment Insurance, New Jersey, Stochastic Interest Rate.
Abstrak. Asuransi  jiwa endowment  status joint  life merupakan asuransi  yang akan memberikan santunan apabila peserta meninggal pada kematian pertama pada peserta polis  atau  bertahan  hidup  sampai  akhir  masa  asuransi.  Tujuan  dari  penelitian  ini adalah menentukan besar cadangan premi asuransi jiwa endowment status joint life dengan  metode  New  Jersey  menggunakan  suku  bunga  stokastik  model  CIR. Didapatkan nilai suku bunga stokastik model CIR berdasarkan suku Bunga Bank Indonesia  sejak  2018-2022  sebesar  0,075. Berdasarkan  perhitungan  dihasilkan besar premi tahunan menurun dikarenakan jumlah orang bertahan hidup lebih banyak di  bandingkan  dengan  jumlah  orang  yang  meninggal  pada  masa  asuransi.  Dan besarnya cadangan premi New Jersey adalah nol pada tahun pertama dan pada tahun- tahun  selanjutnya  semakin  meningkat  mendekati  nilai  santunan  seiring  dengan berjalannya periode asuransi.
Kata Kunci: Asuransi Endowment Joint Life, New Jersey, Suku Bunga Stokastik.

## 1. Pendahuluan
Risiko  merupakan  suatu  hal  yang  terjadi  di  luar  rencana  manusia.  Resiko mengalami  bencana  dan  musibah  dapat  terjadi  kepada  manusia  kapanpun  dan dimanapun  tanpa  terencana  seperti  sakit,  bencana  alam,  kerugian  dalam  usaha hingga  kematian  ( Djojosoedarso,  1999) .  Manusia  perlu  mempersiapkan perlindungan untuk menghadapi resiko yang mungkin terjadi pada dirinya nanti.

## Unisda Journal of Mathematics and Computer Science
Perlindungan tersebut dapat berupa fisik maupun finansial. (Siswanto dkk, 2014). Salah satu solusi untuk mendapatkan perlindungan yaitu dengan menjadi peserta asuransi (Syifamillah dkk, 2022).
Menurut  Futami  (1993),  asuransi  jiwa  merupakan  asuransi  yang  menjamin perlindungan resiko finansial akibat kematian. Salah satu jenis asuransi jiwa adalah asuransi  endowment.  Asuransi  endowment  adalah  asuransi  yang  memberikan memberikan  nilai  manfaat  sekaligus  investasi  kepada  tertanggung,  karena  uang santunan  sejumlah  sesuai  polis  akan  diberikan  jika  peserta  asuransi  meninggal dunia  dalam  masa  asuransi  atau  tetap  hidup  sampai  akhir  asuransi.  Dengan demikian  tertanggung  akan  berusaha  tetap  sehat  sampai  akhir  dan  tetap mendapatkan  uang  santunan  yang  didapat  (Alwi  dkk,  2019).  Oleh  karena  itu, perusahaan asuransi perlu mempertimbangkan besar santunan yang akan diberikan ke peserta asuransi yang membeli produknya.
Selain  santunan,  salah  satu  komponen  yang  perlu  diperhitungkan  oleh perusahaan  asuransi  adalah  premi.  Premi  yang  dikumpulkan  perusahaan  akan digunakan untuk cadangan uang santunan yang akan dibayarkan ke peserta asuransi dan biaya administrasi. Selisih antara pendapatan dengan pengeluaran perusahaan di sebut dengan cadangan premi (Futami, 1992). Menurut Mara (2014), seringkali perusahaan  mengalami  kerugian  karena  tidak  mempersiapkan  cadangan  premi dengan baik. Akibatnya, perusahaan tidak bisa membayar uang santunan. Keadaan ini  dapat  dihindari  apabila  perusahaan  telah  memperhitungkan  cadangan  premi secara tepat.
Salah satu metode yang dapat digunakan untuk menghitung cadangan premi adalah metode New Jersey. Metode New Jersey memberikan nilai akhir cadangan tahun  pertama  nol.  Sehingga  penerapan  metode  New  Jersey  dalam  perhitungan cadangan manfaat asuransi, dapat menutupi kerugian perusahaan pada tahun awal polis akibat biaya pengurusan administrasi, kemudian akan dibayarkan pada tahun- tahun selanjutnya (Dwipaya dkk, 2019).
Nilai  premi  bersih  dipengaruhi  oleh  tingkat  mortalitas  dan  tingkat  suku bunga. Suku bunga dibedakan menjadi dua yaitu, suku bunga berubah stokastik dan suku bunga tetap (Ekawati dkk, 2021). Suku bunga tidak selalu konstan, akan tetapi dapat  berubah-ubah  akibat  pengaruh  penawaran,  permintaan  dan  inflasi.  Suku bunga  yang  berubah-ubah  ini  memiliki  nilai  yang  tidan  tentu  karena  mengikuti proses  stokastik.  Dalam  hal  ini  salah  satu  model  yang  sering  digunakan  dalam perhitungan  keuangan  adalah  suku  bunga  CIR  (Cox  Ingersoll  Ross).  Model  CIR mempunyai  kelebihan  yaitu  kecenderungan  kembali  menuju  rata-rata  dan menjamin tingkat suku bunga selalu bernilai positif (Sukanasih dkk, 2018).
Dalam penelitian ini, akan dibahas terkait asuransi jiwa gabungan ( joint life insurance ) dimana asuransi joint life adalah polis yang dapat menanggung asuransi yang dua jiwa atau lebih (Putra, 2014). Penelitian sebelumnya yang dilakukan oleh Dwipayana,  dkk  (2019)  yaitu  menghitung  cadangan  premi last  survivor dengan metode New Jersey dengan peserta asuransi sebanyak dua orang. Dalam penelitian tersebut  penulis  menyarankan  untuk  penelitian  selanjutnya  untuk  pesrta  asuransi lebih dari dua orang atau menggunakan metode lainnya dengan menggunakan suku bunga tidak konstan agar memberikan hasil yang lebih baik. Maka dari itu untuk mengembangkan penelitian tersebut, penulis melanjutkan penelitian dengan judul “Perhitungan  Premi  Tahunan  dan  Cadangan  Premi  dengan  Metode  New  Jersey Asuransi Endowment Status Joint Life Menggunakan Suku Bunga Stokastik”.

## Unisda Journal of Mathematics and Computer Science

## Bahan Kajian

## Peluang Hidup dan Peluang Meninggal
Peluang hidup dua peserta dengan usia 𝑥 tahun dan 𝑦 tahun mencapai usia ( 𝑥 + 𝑛 ) tahun dan ( 𝑦 + 𝑛 ) tahun jika di asumsikan saling bebas dinotasikan dengan (Futami 1993):
𝑝 𝑥𝑦 = Pr[min[𝑇(𝑥), 𝑇(𝑦)]] 𝑛 = Pr[𝑇(𝑥) > 𝑛, 𝑇(𝑦) > 𝑛]
= Pr[𝑇(𝑥) > 𝑛] , Pr[𝑇(𝑦) > 𝑛] = 𝑝 𝑥 𝑛 . 𝑝 𝑦 𝑛 (1)
Sedangkan  rumus  untuk  lebih  dari  tiga  peserta  sampai  dengan m dengan m menunjukkan peserta paling akhir, dinotasikan sebagai:
𝑝 𝑥𝑦𝑧…(𝑚) = 𝑛 𝑝 𝑥 𝑛 . 𝑝 𝑦 𝑛 . 𝑝 𝑧 𝑛 … 𝑝 𝑚 𝑛 (2)
dengan 𝑝 𝑥𝑦𝑧…(𝑚) 𝑛 adalah peluang meninggal gabungan anggota berusia 𝑥 tahun, 𝑦 tahun, 𝑧 tahun sampai dengan 𝑚 tahun yaitu peserta terakhir polis.
Peluang  meninggal  peserta  dengan  usia 𝑥 dan 𝑦 diasumsikan  saling  bebas dinotasikan sebagai:
𝑞 𝑥𝑦 = Pr[max[𝑇(𝑥), 𝑇(𝑦)]]
𝑛
= Pr[𝑇(𝑥) ≤ 𝑛, 𝑇(𝑦) ≤ 𝑛, ]
= 𝑞 𝑥 𝑛 . 𝑞 𝑦 𝑛 = (1 − 𝑝 𝑥 ) 𝑛 . (1 − 𝑝 𝑦 ) 𝑛 (3)
Sehingga untuk peserta lebih dari tiga dinotasikan sebagai:
𝑞 𝑥𝑦𝑧…(𝑚) = 𝑛 𝑞 𝑥 𝑛 . 𝑞 𝑛 . 𝑞 𝑧 𝑛 … 𝑞 𝑚 𝑛 = (1 − 𝑝 𝑥 ) 𝑛 . (1 − 𝑝 𝑦 ). (1 − 𝑝 𝑧 ) 𝑛 … (1 − 𝑝 𝑚 ) 𝑛 𝑛 (4)
dengan 𝑞 𝑥𝑦𝑧…(𝑚) 𝑛 adalah peluang meninggal gabungan anggota berusia 𝑥 tahun, 𝑦 tahun, 𝑧 tahun sampai dengan 𝑚 tahun yaitu peserta terakhir polis.

## Simbol Komutasi
Menurut Nova (2012) simbol komutasi digunakan untuk menyederhanakan persamaan  matematika  aktuaria  agar  mempermudah  dalam  menggunakan  tabel mortalitas. Simbol komutasi yang digunakan antara lain:
𝐷 𝑥 = 𝑣 𝑥 . 𝑙 𝑥 𝐶 𝑥 = 𝑣 𝑥+1 . 𝑑 𝑥 𝑁 𝑥 = ∑ 𝐷 𝑥+𝑘 𝑘=0 = 𝐷 𝑥 + 𝐷 𝑥+1 + ⋯ + 𝐷 𝑤 𝑀 𝑥 = ∑ 𝐶 𝑥+𝑘 𝑘=0 = 𝐶 𝑥 + 𝐶 𝑥+1 + ⋯ + 𝐶 𝑤 𝑀 𝑥+𝑛 = ∑ 𝐶 𝑥+𝑛+𝑘 𝑘=0 = 𝐶 𝑥+𝑛 + 𝐶 𝑥+𝑛+1 + ⋯ + 𝐶 𝑤
dimana 𝑣 adalah faktor diskon, 𝑣 = 1 1+𝑖 = (1 + 𝑖) −1 dengan 𝑖 merupakan tingkat bunga dalam setahun dan 𝑤 merupakan usia tertinggi yang dicapai.

## Suku Bunga Stokastik Model Cox Ingersoll Ross (CIR)
Model  suku  bunga  stokastik Cox-Ingersoll-Ross adalah  model  equilibrum yang pertama kali dikenalkan sekitar tahun 1985. Model suku bunga ini memiliki kelebihan  yaitu  memiliki  sifat mean  reversion .  Sifat mean  reversion adalah  sifat kecondongan mendekati rata-rata (Chen & Scot, 2003). Keunggulan lainnya adalah sifat suku bunga yang akan bernilai positif (Ekawati dkk, 2021). Persamaan Cox- Ingersoll-Ross dinotasikan dengan: 𝑑𝑟(𝑡) = 𝑐(𝜃 − 𝑟 𝑡 )𝑑𝑡 + 𝜎√𝑟 𝑡 𝑑𝑊(𝑡) (5)
Untuk menyelesaikan persamaan tersebut diperlukan estimasi parameter yang akan dicari adalah 𝑐 , 𝜃 , dan 𝜎 (Sypkens, 2010).
1. Estimasi parameter 𝑐
𝑐 = 𝑛 2 − 2𝑛 + 1 + ∑ 𝑟 𝑡+1 ∑ 1 𝑟 𝑡 − ∑ 𝑟 𝑡 ∑ 1 𝑟 𝑡 − (𝑛 − 1) 𝑛−1 𝑡=1 ∑ 𝑟 𝑡+1 𝑟 𝑡 𝑛−1 𝑡=1 𝑛−1 𝑡=1 𝑛−1 𝑡=1 𝑛−1 𝑡=1 (𝑛 2 − 2𝑛 + 1 − ∑ 𝑟 𝑡 𝑛−1 𝑡=1 ∑ 1 𝑟 𝑡 𝑛−1 𝑡=1 ) ∆𝑡
(6) 2. Estimasi parameter 𝜃
𝜃 = (𝑛 − 1) ∑ 𝑟 𝑡+1 𝑛−1 𝑡=1 − ∑ 𝑟 𝑡+1 𝑟 𝑡 ∑ 𝑟 𝑡 𝑛−1 𝑡=1 𝑛−1 𝑡=1 𝑛 2 − 2𝑛 + 1 + ∑ 𝑟 𝑡+1 ∑ 1 𝑟 𝑡 − ∑ 𝑟 𝑡 ∑ 1 𝑟 𝑡 − (𝑛 − 1) 𝑛−1 𝑡=1 ∑ 𝑟 𝑡+1 𝑟 𝑡 𝑛−1 𝑡=1 𝑛−1 𝑡=1 𝑛−1 𝑡=1 𝑛−1 𝑡=1 (7) 3. Estimasi parameter 𝜎
𝜎 = √ 1 𝑛−2 ∑ ( 𝑟 𝑡+1 −𝑟 𝑡 ∆𝑡√𝑟 𝑡 − 𝜎 √𝑟 𝑡 + 𝑐√𝑟 𝑡 ) 2 𝑛−1 𝑡=1 (8)

## Premi Asuransi Jiwa Endowment Joint Life
Premi asuransi adalah sejumlah dana atau uang yang wajib dibayarkan oleh tertanggung  terhadap  penanggung  atas  keikutsertaannya  dalam  asuransi.  Nilai premi tunggal pada asuransi jiwa Endowment dirumuskan dengan (Bowers 1997):
𝑃 𝑥𝑦:𝑛| ̅̅̅̅̅̅̅̅ = 𝐴 𝑥𝑦:𝑛| ̅̅̅̅̅̅̅̅ 𝑎̈ 𝑥𝑦:𝑛| ̅̅̅̅̅̅̅̅
(9)
Asuransi jiwa Joint life merupakan asuransi yang menanggung 2 (dua) orang tertanggung  atau  lebih  dalam  satu  polis  asuransi,  dimana  manfaatnya  (santunan) dibayarkan jika salah seorang tertanggung meninggal dunia. Oleh karena itu, premi pada asuransi jiwa joint life berlangsung selama semua tertanggung masih hidup dan  berhenti  apabila  salah  seorang  diantara  mereka  telah  meninggal  dunia (Sukanasih dkk, 2018).
Anuitas adalah suatu rangkaian pembayaran anuitas yang terdiri dari dua atau lebih  tertangggung,  dan  pembayaran  akan  berhenti  apabila  salah  seorang  dari tertanggung  meninggal  dunia.  Untuk  nilai  tunai  dari  anuitas  awal joint  life berjangka jika 𝑥 dan 𝑦 hidup adalah (Putra, 2014):
𝑎̈ 𝑥𝑦:𝑛| ̅̅̅̅̅̅̅̅ = 1 + 𝑣. 𝑝 𝑥𝑦 + ⋯ + 𝑣 𝑛−1 . 𝑝 𝑥𝑦 𝑛−1

## Unisda Journal of Mathematics and Computer Science
= ∑ 𝑣 𝑘 𝑛−1 𝑘=0 𝑝 𝑥𝑦 𝑘 (10)
Nilai  sekarang  akturia  dari  asuransi endowment dengan  status joint  life untuk  2 orang peserta berusia 𝑥 dan y tahun selama waktu 𝑛 tahun dapat dirumuskan dengan (Futami 1993):
𝐴 𝑥𝑦:𝑛| ̅̅̅̅̅̅̅̅ = ∑ 𝑣 𝑘+1 𝑛−1 𝑘=0 𝑞 𝑥𝑦 𝑘| + 𝑣 𝑛 𝑝 𝑥𝑦 𝑛 (11)

## Cadangan Premi New Jersey
Perhitungan  cadangan  premi  dengan  metode New  Jersey maka  akan dimisalkan  bahwa  premi  bersih  pada  tahun  pertama  dengan 𝛼 dan 𝛽 premi  pada tahun  kedua  dan  tahun  selanjutnya.  Metode New  Jersey mengasumsi-kan  nilai  0 pada  cadangan  premi  tahun  pertama,  sehingga  dapat  dinotasikan  sebagai  (Tewo dkk, 2018):
𝛼 𝐽 = 𝐶 𝑥 𝐷 𝑥 (12)
dan untuk cadangan tahun kedua dan tahun-tahun berikutnya dinotasikan sebagai:
𝛽 𝐽 = 𝑃 𝑥:𝑛| ̅̅̅̅̅̅ + 𝑃 𝑥:𝑛| ̅̅̅̅̅̅ − 𝐶𝑥 𝐷𝑥 𝑎̈ 𝑥:19| ̅̅̅̅̅̅̅
(13)
Dengan 𝑉 𝐽 𝑥:𝑛| ̅̅̅̅̅̅ 𝑡 adalah cadangan premi prospektif yang disesuaikan dengan metode New Jersey dinotasikan dengan:
𝑉 𝐽 𝑥:𝑛| ̅̅̅̅̅̅ = 𝑡 𝑅𝐴 𝑥+𝑡:𝑛−𝑡|
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ − 𝛽 𝐽 𝑎̈ 𝑥+𝑡:20−𝑡| ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ − 𝑃 𝑥:𝑛| ̅̅̅̅̅̅ (𝑎̈ 𝑥+𝑡:𝑛−𝑡| ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ − 𝑎̈ 𝑥+𝑡:20−𝑡| ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ ) = 𝑅𝐴 𝑥+𝑡:𝑛−𝑡| ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ − (𝛽 𝐽 − 𝑃 𝑥:𝑛| ̅̅̅̅̅̅ )𝑎̈ 𝑥+𝑡:20−𝑡| ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ − 𝑃. 𝑎̈ 𝑥+𝑡:𝑛−𝑡| ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ (14)

## 2. Metode Penelitian
Penelitian  ini  menggunakan  data  tingkat  kematian  pada  Tabel  Mortalias Indonesia Tahun 2019 yang diperoleh dari https://aaj.or.id . Langkah-langkah yang digunakan  untuk  perhitungan  premi  tahunan  dan  cadangan  premi new  jersey asuransi jiwa endowment joint life dengan tingkat suku bunga stokastik antara lain:
1. Menentukan usia peserta, lama masa kontrak dan besar santunan.
2. Menentukan peluang hidup dan peluang meninggal peserta asuransi joint life menggunakan  persamaan  (0,2)  dan  (0,4)  berdasarkan  Tabel  Mortalitas Indonesia 2019.
3. Mengestimasi nilai parameter 𝑐 , 𝜃 , dan 𝜎 menggunakan persamaan (0,6), (0,7), dan  (0,8)  untuk  menghitung  nilai 𝑟(𝑡) dengan  persamaan  (0,5)  suku  bunga stokastik model CIR .
4. Menghitung  anuitas  asuransi  jiwa endowment dengan  persamaan  (1) menggunakan suku bunga stokastik model CIR .
5. Menghitung nilai manfaat sekarang asuransi jiwa endowment joint life dengan persamaan (2) suku bunga stokastik model CIR .
6. Menghitung  besaran  premi  tahunan  asuransi  jiwa endowment  joint  life menggunakan persamaan (0,9) suku bunga stokastik model CIR .
7. Menghitung besaran cadangan premi asuransi endowment joint life metode New Jersey menggunakan persamaan (5) suku bunga stokastik model CIR .
8. Melakukan simulasi perhitungan dengan formula yang telah diperoleh.

## Unisda Journal of Mathematics and Computer Science
3. Hasil Penelitian dan Pembahasan
3.1. Menentukan  Jangka  Waktu  Asuransi,  Usia  Peserta  dan  Besaran Santunan
Ditetapkan  jangka  waktu  Asuransi  adalah  20  tahun.  Usia  peserta  untuk keluarga pertama beranggotakan suami berusia (𝑥 = 45) tahun, istri berusia (𝑦 =
43) tahun  dan  anak  laki-laki  berusia (𝑧 = 20) tahun.  Keluarga  kedua beranggotakan  suami  berusia (𝑥 = 48) tahun,  istri  berusia (𝑦 = 40) tahun  dan anak  perempuan  berusia (𝑧 = 14) tahun.  Keluarga  ketiga  beranggotakan  suami berusia (𝑥 = 35) tahun, istri berusia (𝑦 = 30) tahun dan anak perempuan berusia
(𝑧 = 4) tahun. Besaran santunan yang diberikan adalah Rp 100.000.000.

## 3.2. Menentukan Tingkat Suku Bunga Stokatik CIR pada Saat 𝒓 𝒕+𝟏
Tingkat suku bunga yang menjadi acuan yaitu suku bank Indonesia (BI) pada tanggal 6 Juni 2023 sebesar 𝑟 0 = 0,0575, maka diperoleh hasil estimasi parameter suku bunga stokastik model CIR yaitu 𝑐 = 0,990052298, 𝜃 = 0,0450730442 dan 𝜎 =  0,1657756095.  Selanjutnya,  dilakukan  perhitungan  suku  bunga 𝑟 𝑡+1 menggunakan persamaan (0,5) didapatkan 𝑟 𝑡 = 0,0746 .

## 3.3. Menghitung Premi Asuransi Jiwa Endowment Joint Life
Untuk menghitung premi tahunan akan dihitung terlebih dahulu nilai anuitas dan nilai manfaat asuransinya.
Nilai anuitas untuk keluarga pertama:
𝑎̈ 45,43,20:20| ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = 𝑁 45,43,20 − 𝑁 65,63,40
𝐷 45,43,20 𝑎̈ 45,43,20:20| ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = 733527106904165,0 − 116106267121743 69714785676438,80
𝑎̈ 45,43,20:20| ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = 8,856383
Keluarga kedua:
𝑎̈ 48,40,14:20| ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = 𝑁 48,40,14 − 𝑁 68,60,34
𝐷 45,43,20 𝑎̈ 48,40,14:20| ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = 961386930477119 − 132622877190234
80412748618201
𝑎̈ 48,40,14:20| ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = 10,30637638
Keluarga ketiga:
𝑎̈ 35,30,4:20| ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = 𝑁 35,30,4 − 𝑁 55,50,24
𝐷 35,30,4
𝑎̈ 35,30,4:20| ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = 2377361157662780 − 396857848322400
184321421700781 𝑎̈ 35,30,4:20| ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = 10,74483525
Nilai manfaat sekarang untuk keluarga pertama:

## Unisda Journal of Mathematics and Computer Science
𝐴 45,43,20:20| ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = 𝑀 45,43,20 − 𝑀 65,63,40 + 𝐷 65,63,40 𝐷 45,43,20 𝐴 45,43,20:20| ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = 16716439,43 − 324161656,3 + 12913398359261,80 69714785676438,80 𝐴 45,43,20:20| ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = 0,185227435
Keluarga kedua:
𝐴 48,40,14:20| ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = 𝑀 48,40,14 − 𝑀 68,60,24 + 𝐷 68,60,24
𝐷 48,40,14
𝐴 48,40,14:20| ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = 136047861,2 − 128673159 + 14893806235445
80412748618201
𝐴 48,40,14:20| ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = 0,185217069
Keluarga ketiga:
𝐴 35,30,4:20| ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = 𝑀 35,30,4 − 𝑀 55,50,24 + 𝐷 55,50,24
𝐷 35,30,4 𝐴 35,30,4:20| ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = 23940331,28 − 22195751,98 + 39580569230629
184321421700781
𝐴 35,30,4:20| ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = 0,214736684
Perhitungan premi tahunan untuk keluarga pertama:
𝑃 45,43,20:20| ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = 𝐴 45,43,20:20| ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
𝑎̈ 45,43,20:20| ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
𝑃 45,43,20:20| ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = 0,185227435 8,856383 𝑃 45,43,20:20| ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = 0,020915
Untuk keluarga kedua:
𝑃 48,40,14:20| ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = 𝐴 48,40,14:20| ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ 𝑎̈ 48,40,14:20| ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
𝑃 48,40,14:20| ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = 0,185217069 10,30637638 𝑃 48,40,14:20| ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = 0,017971114
Untuk keluarga ketiga:
𝑃 35,30,4:20| ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = 𝐴 35,30,4:20| ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
𝑎̈ 35,30,4:20| ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
𝑃 35,30,4:20| ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = 0,214736684 10,74483525 𝑃 35,30,4:20| ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = 0,019985107
Hasil perhitungan premi tahunan untuk tiga keluarga dengan jangka waktu asuransi 20 tahun dapat dilihat pada Gambar 1 berikut:

## Unisda Journal of Mathematics and Computer Science
Gambar 1. Premi Tahunan Asuransi Jiwa Endowment Status Joint Life Untuk Tiga
Keluarga
Gambar  1  menunjukkan  bahwa  premi  tahunan  asuransi  jiwa endowment status joint life mengalami penurunan seiring dengam bertambahnya usia peserta asuransi  dan  seiring  berkurangnya  masa  asuransi.  Hal  ini  dikarenakan  asuransi endowment adalah gabungan antara asuransi berjangka dengan asuransi tabungan ( endowment murni). Besar premi asuransi berjangka dipengaruhi oleh jumlah orang meninggal  pada  masa  asuransi,  pada  umumnya  jumlah  orang  meninggal  akan meningkat  seiring  dengan  resiko  kematian  yang  meningkat  karena  pertambahan usia. Besar premi asuransi endowment murni dipengaruhi oleh jumlah orang yang hidup pada masa asuransi, Jumlah orang yang bertahan hidup akan terus berkurang seiring  dengan  resiko  kematian  yang  meningkat  akibat  pertambahan  usia. Berdasarkan  Tabel  Mortalitas  Indonesia  2019  di  masa  asuransi  tersebut  jumlah orang yang hidup lebih besar di banding dengan jumlah orang yang meninggal. Hal ini berarti asuransi endowment murni memiliki pengaruh yang lebih besar dari pada asuransi  berjangka.  Akibatnya  premi  asuransi  menurun  dikarenakan  semakin bertambahnya  usia  peserta,  jumlah  orang  yang  hidup  semakin  menurun.  Artinya semakin tinggi peluang ketiga peserta meninggal sebelum masa asuransi berakhir, maka semakin rendah perusahaan asuransi akan memberikan dana santunan.

## 3.4. Menghitung Cadangan Premi New Jersey
Perhitungan besar cadangan premi metode New Jersey dimulai dari tahun ke- 2  karena  pada  tahun  pertama  nilai  cadangan  harus  nol.  Maka  diperoleh  nilai cadangan premi untuk tahun ke-2. Untuk keluarga pertama:
𝑉 𝐽 45,43,20:20| ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = 2 𝑅𝐴 45+2,43+2.20+2:20−2| ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ − (𝛽 𝐽 − 𝑃 45,43,20:20| ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ )𝑎̈ 45+2,43+2.20+2:20−2| ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
− 𝑃. 𝑎̈ 45+2,43+2.20+2:20−2| ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ 𝑉 𝐽 45,43,20:20| ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ =
2 100.000.000 × 0,216198982
− (0,023328057 − 0,020915) × 8,465588795
− (0,020915 × 8,465588795)
0,0000 500000,0000 1000000,0000 1500000,0000 2000000,0000 2500000,0000 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 Keluarga Pertama Keluarga Kedua Keluarga Ketiga

## Unisda Journal of Mathematics and Computer Science
𝑉 𝐽 45,43,20:20| ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = 2 1871324,415
Untuk keluarga kedua:
𝑉 𝐽 48,40,14:20| ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
2 = 𝑅𝐴 48+2,40+2.14+2:20−2| ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ − (𝛽 𝐽 − 𝑃 48,40,14:20| ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ )𝑎̈ 48+2,40+2.14+2:20−2| ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ − 𝑃. 𝑎̈ 48+2,40+2.14+2:20−2| ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ 𝑉 𝐽 48,40,14:20| ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = 2 100.000.000 × 0,216426403 − (0,017971114 − 0,0197498) × 9,79325385 − (0,017971114 × 9,79325385) 𝑉 𝐽 48,40,14:20| ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ =
2 2301169,569
Untuk keluarga ketiga:
𝑉 𝐽 35,30,4:20| ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = 2 𝑅𝐴 35+2,30+2.4+2:20−2| ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ − (𝛽 𝐽 − 𝑃 35,30,4:20| ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ )𝑎̈ 35+2,30+2.4+2:20−2| ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ − 𝑃. 𝑎̈ 35+2,30+2.4+2:20−2| ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
𝑉 𝐽 35,30,4:20| ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = 2 100.000.000 × 0,248938348 − (0,021886222 − 0,019985) × 10,22016032 − (0,019985 × 10,22016032) 𝑉 𝐽 35,30,4:20| ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = 2 2525764,998
Hasil perhitungan cadangan premi new jersey untuk tiga keluarga dengan jangka waktu asuransi 20 tahun dapat dilihat pada Gambar 2 berikut:
Gambar 2. Cadangan Premi New Jersey Asuransi Endowment Status Joint Life
Gambar  2  menunjukkan  bahwa  nilai  cadangan  premi  menggunakan perhitungan  metode New  Jersey untuk  asuransi  jiwa endowment status joint  life untuk tiga orang peserta 𝑥, 𝑦 dan 𝑧 dari tahun pertama sampai dengan tahun ke 20.
Pada  asuransi  jiwa endowment  joint  life santunan  akan  diberikan  jika  salah  satu peserta meninggal atau semua peserta hidup sampai akhir masa asuransi. Hal ini mengakibatkan nilai cadangan premi semakin lama akan mendekati nilai santunan yang akan diberikan karena semakin mendekati jatuh tempo masa asuransi maka
0 20000000 40000000 60000000 80000000 100000000 120000000 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 Keluarga Pertama Keluarga Kedua
Keluarga Ketiga

## Unisda Journal of Mathematics and Computer Science
Jurusan Matematika, UNISDA, Lamongan
kemungkinan perusahaan memberikan uang santunan semakin besar. Terlihat pada Gambar 2 bahwa cadangan premi meningkat seiring dengan mendekati jatuh tempo masa  kontrak  asuransi  yaitu  dimulai  dari  cadangan  premi  pada  tahun  pertama adalah nol sampai menuju Rp100.000.000 pada akhir masa asuransi.

## 4. Kesimpulan
Berdasarkan  hasil  pembahasan  dan  perhitungan  maka  dapat  disimpulkan. Berdasarkan besar premi yang didapatkan menunjukkan bahwa semakin bertambah usia  peserta  saat  mengikuti  asuransi,  maka  semakin  kecil  premi  yang  harus dibayarkan oleh peserta. Hal ini dikarenakan semakin bertambah usia peserta, maka semakin  berkurang  peluang  hidup  peserta.  Cadangan  premi  asuransi  jiwa endowmen t status joint life dengan metode New Jersey menggunakan suku bunga stokastik model CIR pada tahun pertama cadangan premi bernilai nol, kemudian pada  tahun  ke-2  cadangan  premi  keluarga  pertama  bernilai  Rp.  1.871.324,415, keluarga  kedua  bernilai  Rp.  2.301.169,569,  keluarga  ketiga  bernilai  Rp. 2.525.764,998  dan  ketiganya  semakin  meningkat  mendekati  nilai  besar  santunan yaitu pada tahun ke-20 bernilai Rp100.000.000. Hal ini dikarenakan pada asuransi jiwa endowment joint life santunan akan diberikan jika salah satu peserta meninggal atau  semua  peserta  hidup  sampai  akhir  masa  asuransi,  yang  artinya  semakin mendekati jatuh tempo masa asuransi maka kemungkinan perusahaan memberikan uang santunan semakin besar.

## 5. Ucapan Terima Kasih
Alhamdulillahirabbil’alamin puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT  atas  segala  rahmat  dan  karuia-Nya  sehingga  penulis  dapat  menyelesaikan artikel  yang  berjudul  “ Penentuan  Premi  Tahunan  dan  Cadangan  Premi  dengan Metode  New  Jersey  Asuransi  Endowment  Status  Joint  Life  Menggunakan  Suku Bunga  Stokastik ”  dengan  khitmat.  Semoga  Artikel  ini  bisa  bermanfaat  untuk peradaban manusia dan memberikan keberkahan ilmu bagi penulis.

## 6. Daftar Pustaka
[1] Djojosoedarso, S. (1999). Manajemen Risiko. Jakarta: Penerbit PT Rineka Cipta .
[2] Siswanto, A. D. (2014). Analysis of the ability to pay for disaster insurance program. Kajian Ekonomi dan Keuangan , 18 (1), 15-34.
[3] Syifamillah, F. R., Siswanah, E., & Miasary, S. D. (2022). Penentuan Premi Tahunan Dan Cadangan Manfaat Asuransi Jiwa Dwiguna Murni pada Status Last  Survivor  dengan  Tiga  Orang  Tertanggung. UJMC  (Unisda  Journal  of Mathematics and Computer Science), 8(2), 59-70.
[4] Futami,  T.,  &  Herliyanto,  G.  (1993). Matematika  Asuransi  Jiwa . Incorporated  Foundation,  Oriental  Life  Insurance  Cultural  Development Center, Tokyo.
[5] Alwi, W., Anriani, A., &  Abdal, A. M. (2019). Perhitungan premi tahunan untuk asuransi jiwa endowment joint life dengan suku bunga stokastik. Jurnal MSA (Matematika Dan Statistika Serta Aplikasinya) , 7 (1), 11-17.
[6] Mara,  M.  N.  Penentuan  Nilai  Cadangan  Prospektif  Pada  Asuransi  Jiwa

## Unisda Journal of Mathematics and Computer Science
Seumur Hidup Menggunakan Metode New Jersey. Bimaster: Buletin Ilmiah Matematika, Statistika dan Terapannya , 3 (01).
[7] Dwipayana,  I.  G.  A.  G.,  Widana,  I.  N.,  &  Sari,  K.  (2019).  Menentukan Formula Cadangan Premi Asuransi Jiwa Last Survivor Menggunakan Metode new Jersey. Jurnal Matematika , 8 (4), 264-268.
[8] Ekawati,  D.,  Ansar,  A.,  &  Hikmah,  H.  (2021).  Penentuan  Premi  Asuransi Jiwa  Dwiguna  Dengan  Polis  Partisipasi  Menggunakan  Suku  Bunga  Model CIR. Transformasi:  Jurnal  Pendidikan  Matematika  dan  Matematika , 5 (1), 511-522.
[9] Chen, R. R., & Scott, L. (2003). Multi-factor Cox-Ingersoll-Ross models of the  term  structure:  Estimates  and  tests  from  a  Kalman  filter  model. The Journal of Real Estate Finance and Economics , 27 , 143-172.
[10] Sukanasih, N. K., Widana, I. N., & Jayanegara, K. (2018). Cadangan Premi Asuransi  Joint-Life  Dengan  Suku  Bunga  Tetap  Dan  Berubah  Secara Stokastik. E-Jurnal Matematika , 7 (2), 79-87.
[11] Putra, L. E. (2014). Penentuan Premi Untuk Polis Asuransi Bersama. Jurnal Matematika UNAND , 3 (1), 115-122.
[12] Nofridawati, Nova. (2012). Premi Asuransi Jiwa pada Akhir Tahun Kematian dan pada Saat Kematian Terjadi. Jurnal Matematika UNAND , 1 (2), 79-84.
[13] Sypkens,  R.  (2010). Risk  properties  and  parameter  estimation  on  mean reversion and Garch models (Doctoral dissertation).
[14] Bowers, J. R. NL, Gerber, HU, Hickman, JC, Jones, DA and Nesbitt, C. J. (1997). Actuarial Mathematics.
[15] Tabel Mortalitas Indonesia IV (2019), https://aaj.or.id .
[16] Putra, L. E. (2014). Penentuan Premi Untuk Polis Asuransi Bersama. Jurnal Matematika UNAND , 3 (1), 115-122.
[17] Tewo, J. L., Widana, I. N., & Oka, T. B. (2018). Penentuan Cadangan Premi Dengan  Metode  New  Jersey  Pada  Asuransi  Joint  Life. E-Jurnal  Mat , 7 (3), 226.