TEOREMA TITIK TETAP FUNGSI YANG KONTRAKSI TEGAS
Michael Inuhan 1 , Ch. Rini Indrati 2
1,2 Department of Mathematics, Gajah Mada University, Yogyakarta, Indonesia Email : 1 michael.inuhan@mail.ugm.ac.id, 2rinii@ugm.ac.id
Abstract. In  this  paper,  it  will  be  discussed  some  fixed  point  theorems  in  ultrametric spaces.  By  using  spherically  complete  properties,  it  can  be  shown  that  there  exists  a unique  fixed  point  of  strictly  contractive  function.  At  the  end,  it  will  be  shown  there exists fixed point of strictly contracting on orbits function.
Keywords: ultrametric  space,  fixed  point,  strictly  contractive,  strictly  contracting  on orbits.
Abstrak. Pada  tulisan  ini,  akan  dibahas  beberapa  teorema  titik  tetap  pada  ruang ultrametrik.  Dengan  menggunakan  sifat  bola  terbuka,  dapat  ditunjukkan  terdapat dengan  tunggal  titik  tetap  fungsi  yang  kontraksi  tegas.  Pada  akhir  tulisan  ini,  akan ditunjukkan terdapat titik tetap fungsi yang kontraksi tegas pada orbit.
Keywords: ruang ultrametrik, titik tetap, kontraksi tegas, kontraksi tegas pada orbit.

## I. PENDAHULUAN
Pada teori titik tetap, terdapat prinsip yang dikenal dengan Prinsip Kontraksi Banach ( Banach’s Contraction Principle ). Dalam [4], prinsip kontraksi Banach menggunakan konsep ruang  metrik.  Seiring  dengan  perkembangan  penelitian  tentang  ruang  metrik,  ditemukan suatu sifat yang dikenal sebagai sifat ketaksamaan segitiga kuat ( strong triangle inequality ). Ruang metrik yang memenuhi sifat ketaksamaan segitiga kuat disebut ruang ultrametrik [1]. Pada  ruang  ultrametrik,  setiap  bola  terbuka  ( open  ball )  merupakan  himpunan  tertutup  dan bola tertutup ( closed ball ) merupakan himpunan terbuka. Selain itu, terdapat prinsip segitiga sama-kaki  ( isosceles  triangles )  dan  sifat  bola  lengkap  ( spherically  complete )  yang  tidak dijumpai pada ruang metrik yang bukan ultrametrik [8].
Untuk  sebarang  ruang  ultrametrik  dengan  sifat  bola  lengkap (𝑋, 𝑑) dan  fungsi  non- ekspansif 𝑓: 𝑋 → 𝑋 berlaku  setiap  bola 𝐵[𝑥, 𝑑(𝑥, 𝑓(𝑥))] memuat  titik  tetap 𝑓 atau  memuat bola  yang  invarian  minimal  terhadap 𝑓 ( minimal  invariant  of  f )  [2].  Akibatnya,  terdapat dengan tunggal titik tetap fungsi yang kontraksi tegas ( strictly contractive ) [5]. Setiap fungsi yang kontraksi  tegas  merupakan fungsi yang kontraksi  tegas pada orbit  ( strictly contracting on  orbits ),  namun  belum  tentu  berlaku  sebaliknya  [3].  Dalam  mempelajari  teori  titik  tetap fungsi  yang  kontraksi  tegas  pada  orbit,  dibutuhkan  teorema  yang  dikenal  dengan  Teorema Titik Tetap Kuat ( Strong Fixed Point Theorem ) [6].
Selanjutnya, pada tulisan ini akan ditunjukkan bahwa pad ruang ultrametrik berlaku, setiap fungsi yang kontraksi tegas merupakan fungsi yang non-ekspansif. Kemudian, dengan menggunakan  teorema  titik  tetap  kuat,  dapat  ditunjukkan  setiap  fungsi  non-ekspansif  pada ruang ultrametrik dengan sifat bola lengkap memiliki titik tetap. Pada akhir tulisan ini, akan diberikan suatu syarat, agar setiap fungsi yang  kontraksi tegas pada orbit merupakan fungsi kontraksi tegas.

## JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS
AND APPLICATIONS (JFMA) VOL. 2 NO. 2 (NOV 2019) Available online at www.jfma.math.fsm.undip.ac.id
http://dx.doi.org/10.14710/jfma.v2i2.33

## II. RUANG ULTRAMETRIK
Berikut  ini  akan  diulas  kembali  beberapa  konsep  pada  ruang  ultrametrik  yang  akan digunakan  untuk  menunjukkan  hasil  utama.  Konsep  ruang  metrik  merupakan  salah  satu konsep  dasar  dalam  matematika,  khususnya  dalam  bidang  analisis.  Ruang  metrik (𝑋, 𝑑) disebut  ruang  ultrametrik  jika  metrik 𝑑 memenuhi  sifat  ketaksamaan  segitiga  kuat  ( strong triangle inequality ).
Definisi  2.1. [1] Ruang  metrik (𝑋, 𝑑) dikatakan  memenuhi  sifat  ketaksamaan  segitiga  kuat ( strong fixed point theorem ) jika untuk setiap 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝑋 berlaku, 𝑑(𝑥, 𝑦) ≤ max {𝑑(𝑥, 𝑧), 𝑑(𝑧, 𝑦) }.
Ruang  metrik  yang  memenuhi  sifat  ketaksamaan  segitiga  kuat  disebut  ruang ultrametrik.  Diperhatikan  ruang  metrik ℝ dilengkapi  dengan  metrik  biasa  ( usually  metric ), tidak memenuhi sifat ketaksamaan segitiga kuat. Dengan demikian, setiap ruang ultrametrik merupakan  ruang  metrik  namun  belum  tentu  berlaku  sebaliknya.  Beberapa  sifat  yang membedakan  ruang  ultrametrik  dengan  ruang  metrik  yang  bukan  ultrametrik  dapat  dilihat pada karakteristik bola terbuka dan tertutup pada ruang ultrametrik.
Definisi 2.2. [9] Diberikan ruang metrik (𝑋, 𝑑) dan 𝑥 ∈ 𝑋 .
1. Himpunan 𝐵(𝑥, 𝑟) = {𝑦 ∈ 𝑋|𝑑(𝑥, 𝑦) < 𝑟, 𝑟 > 0} disebut bola terbuka (open ball).
2. Himpunan 𝐵[𝑥, 𝑟] = {𝑦 ∈ 𝑋|𝑑(𝑥, 𝑦) ≤ 𝑟, 𝑟 ≥ 0} disebut bola tertutup (closed ball).
Dalam hal 𝑟 = 0 , 𝐵[𝑥, 𝑟] = {𝑥} .
Karena  ruang  ultrametrik  merupakan  ruang  metrik,  maka  definisi  bola  terbuka  dan bola  tertutupnya  sama  dengan  pada  ruang  metrik.  Pada  Teorema  1.3  berikut,  akan ditunjukkan  beberapa  karakteristik  bola  terbuka  dan  tertutup  yang  hanya  ada  pada  ruang ultrametrik.
Teorema 2.3. [8] Diberikan ruang ultrametrik (𝑋, 𝑑) dan 𝑥 ∈ 𝑋 .
1. Setiap titik pada bola terbuka merupakan pusat bola.
2. Jika  untuk  setiap 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋 dan 𝑟, 𝑠 > 0 berlaku 𝐵(𝑥, 𝑟) ∩ 𝐵(𝑦, 𝑠) ≠ ∅ ,  maka 𝐵(𝑥, 𝑟) ⊆ 𝐵(𝑦, 𝑠) atau 𝐵(𝑦, 𝑠) ⊆ 𝐵(𝑥, 𝑟) .
3. Setiap bola terbuka merupakan himpunan tertutup dan terbuka.
Selanjutnya,  metrik  pada  ruang  ultrametrik  memenuhi  prinsip  segitiga  sama-kaki ( isosceles triangle principle) . Ruang ultrametrik (𝑋, 𝑑) dikatakan memenuhi prinsip segitiga sama-kaki jika untuk setiap 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝑋 yang memenuhi 𝑑(𝑥, 𝑧) ≤ 𝑑(𝑧, 𝑦) dan 𝑑(𝑥, 𝑦) < max {𝑑(𝑥, 𝑧), 𝑑(𝑧, 𝑦)} , berlaku
𝑑(𝑥, 𝑧) < 𝑑(𝑧, 𝑦) .
Salah  satu  sifat  yang  penting  pada  ruang  ultrametrik  adalah  sifat  bola  lengkap  (spherically complete).
Definisi  2.4. [8] Ruang  ultrametrik (𝑋, 𝑑) dikatakan  memiliki  sifat  bola  lengkap  jika  untuk setiap  koleksi {𝐵 𝑖 = 𝐵[𝑥 𝑖 , 𝑟 𝑖 ]| 𝑖 ∈ 𝐼} dengan 𝑟 1 ≥ 𝑟 2 ≥ ⋯ dan 𝐵 1 ⊇ 𝐵 2 ⊇ ⋯ berlaku ⋃ 𝐵 𝑖 ≠ ∅ 𝑖∈𝐼 .
JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS AND APPLICATIONS (JFMA) VOL. 2 NO. 2 (NOV 2019) Available online at www.jfma.math.fsm.undip.ac.id

## III. EKSISTENSI DAN KETUNGGALAN TITIK TETAP FUNGSI YANG KONTRAKSI TEGAS
Diberikan  ruang  ultrametrik (𝑋, 𝑑) .  Fungsi 𝑓: 𝑋 → 𝑋 dikatakan  non-ekspansif ( nonexpansive ) jika untuk setiap 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋 berlaku, 𝑑(𝑓(𝑥), 𝑓(𝑦)) ≤ 𝑑(𝑥, 𝑦) [4]. Selanjutnya, akan diberikan definisi fungsi yang kontraksi tegas ( strictly contractive ) sebagai berikut.
Definisi  3.1. [8] Diberikan  ruang  ultrametrik (𝑋, 𝑑) .  Fungsi 𝑓: 𝑋 → 𝑋 dikatakan  kontraksi tegas jika untuk setiap 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋 dengan 𝑥 ≠ 𝑦 berlaku, 𝑑(𝑓(𝑥), 𝑓(𝑦)) < 𝑑(𝑥, 𝑦) .
Berdasarkan  definisi  fungsi  yang  kontraksi  tegas  dan  fungsi  yang  non-ekspansif, dapat ditunjukkan semua fungsi yang kontraksi tegas merupakan fungsi non-ekspansif.
Teorema  3.2.  Diberikan  ruang  ultrametrik (𝑋, 𝑑) dan  fungsi 𝑓: 𝑋 → 𝑋 .  Jika  fungsi 𝑓 kontraksi tegas, maka 𝑓 non-ekspansif.

## Bukti.
Diambil  sebarang 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋 .  Diperhatikan  bahwa,  untuk 𝑥 = 𝑦 ,  diperoleh 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑦) . Akibatnya, 𝑑(𝑓(𝑥), 𝑓(𝑦)) = 0 = 𝑑(𝑥, 𝑦) . Selanjutnya, karena 𝑓 kontraksi, maka untuk 𝑥 ≠ 𝑦 , diperoleh 𝑑(𝑓(𝑥), 𝑓(𝑦)) < 𝑑(𝑥, 𝑦).
Selanjutnya,  untuk  menunjukkan  eksistensi  dan  ketunggalan  titik  tetap  fungsi  yang kontraksi tegas, diperlukan definisi bola yang invarian minimal ( minimal invariant ).
Definisi  3.3. [2] Diberikan  ruang  ultrametrik (𝑋, 𝑑) dan  fungsi 𝑓: 𝑋 → 𝑋 .  Bola 𝐵[𝑥, 𝑟] dengan 𝑥 ∈ 𝑋 dan 𝑟 > 0 dikatakan  invarian  minimal  terhadap 𝑓 jika 𝑓(𝐵[𝑥, 𝑟]) ⊆ 𝐵[𝑥, 𝑟] dan 𝑑(𝑢, 𝑓(𝑢)) = 𝑟 , untuk setiap 𝑢 ∈ 𝐵[𝑥, 𝑟] .
Berikut teorema yang akan digunakan untuk membuktikan eksistensi dan ketunggalan titik tetap fungsi yang kontraksi tegas. Untuk buktinya merujuk pada [2].
Teorema  3.4. Diberikan  ruang  ultrametrik  dengan  sifat  bola  lengkap (𝑋, 𝑑) dan  fungsi 𝑓: 𝑋 → 𝑋 .  Jika 𝑓 non-ekspansif,  maka  untuk  setiap 𝑥 ∈ 𝑋 ,  berlaku  bola 𝐵[𝑥, 𝑑(𝑥, 𝑓(𝑥))] memuat titik tetap 𝑓 atau bola yang invarian minimal terhadap 𝑓 .
Berdasarkan Teorema 3.4 diperoleh Akibat 3.5.
Akibat  3.5.  Jika (𝑋, 𝑑) ruang  ultrametrik  dengan  sifat  bola  lengkap  dan  fungsi 𝑓: 𝑋 → 𝑋 kontraksi tegas, maka terdapat dengan tunggal titik tetap 𝑓 di 𝑋 .
Bukti.
Andaikan 𝑓 tidak  mempunyai  titik  tetap  di 𝑋 .  Berdasarkan  Teorema  2.4  diperoleh  untuk setiap  bola 𝐵[𝑥, 𝑑(𝑥, 𝑓(𝑥))] memuat  bola  yang  invarian  minimal  terhadap 𝑓 .  Akibatnya, terdapat 𝐵[𝑧, 𝑟] ⊆  𝐵[𝑥, 𝑑(𝑥, 𝑓(𝑥))] sehingga untuk setiap 𝑢 ∈ 𝐵[𝑧, 𝑟] berlaku 𝑓(𝑢) ∈ 𝐵[𝑧, 𝑟] dan 𝑑(𝑢, 𝑓(𝑢)) = 𝑟 .  Diperoleh 𝑑(𝑓(𝑢), 𝐹 2 (𝑢)) = 𝑟 dan 𝑑(𝑢, 𝑓(𝑢)) = 𝑟 .  Akibatnya,
JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS AND APPLICATIONS (JFMA) VOL. 2 NO. 2 (NOV 2019) Available online at www.jfma.math.fsm.undip.ac.id
𝑑(𝑓(𝑢), 𝑓 2 (𝑢)) = 𝑑(𝑢, 𝑓(𝑢)) .  Kontradiksi  dengan 𝑓 kontraksi  tegas.  Dengan  demikian pengandaian salah, dengan kata lain 𝑓 mempunyai titik tetap di 𝐵[𝑥, 𝑑(𝑥, 𝑓(𝑥))] . Selanjutnya,  akan  ditunjukkan  ketunggalan  titik  tetap.  Andaikan  terdapat 𝑥, 𝑦 ∈  𝑋 titik  tetap 𝑓 dengan 𝑥 ≠ 𝑦 .  Diperoleh 𝑑(𝑓(𝑥), 𝑓(𝑦)) = 𝑑(𝑥, 𝑦) kontradiksi  dengan 𝑑(𝑓(𝑥), 𝑓(𝑦)) < 𝑑(𝑥, 𝑦) . Dengan demikian pengandaian salah. Jadi, 𝑥 = 𝑦 .

## IV. EKSISTENSI DAN KETUNGGALAN TITIK TETAP FUNGSI YANG KONTRAKSI TEGAS
Diberikan  ruang  ultrametrik (𝑋, 𝑑) dan  fungsi 𝑓: 𝑋 → 𝑋 .  Orbit 𝑥 terhadap  fungsi 𝑓 adalah  barisan {𝑓 𝑛 (𝑥)|𝑛 = 0,1,2, ⋯ } dengan 𝑓 0 (𝑥) = 0 [7].  Selanjutnya,  akan  ditunjukkan eksistensi  titik  tetap  fungsi  yang  kontraksi  tegas  pada  orbit  ( strictly  contracting  on  orbits ). Sebelumnya, diberikan definisi fungsi yang kontraksi tegas pada orbit sebagai berikut.
Definisi  4.1. [3] Diberikan  ruang  ultrametrik (𝑋, 𝑑) .  Fungsi 𝑓: 𝑋 → 𝑋 dikatakan  kontraksi tegas  pada  orbit  jika  untuk  setiap 𝑥 ∈ 𝑋 dengan 𝑥 ≠ 𝑓(𝑥) berlaku, 𝑑(𝑓 2 (𝑥), 𝑓(𝑥)) < 𝑑(𝑓(𝑥), 𝑥) .
Dengan  menggunakan  sifat  segitiga  sama  kaki  pada  ruang  ultrametrik,  diperoleh Teorema 4.2.
Teorema 4.2. Diberikan ruang ultrametrik (𝑋, 𝑑) . Jika fungsi 𝑓: 𝑋 → 𝑋 kontraksi tegas pada orbit, maka untuk setiap 𝑥 ∈ 𝑋 dengan 𝑥 ≠ 𝑓(𝑥) , berlaku 𝑑(𝑓 2 (𝑥), 𝑥) = 𝑑(𝑓(𝑥), 𝑥) .
Bukti.
Diambil  sebarang 𝑥 ∈ 𝑋 dengan 𝑥 ≠ 𝑓(𝑥) .  Karena 𝑓 kontraksi  tega  pada  orbit,  maka 𝑑(𝑓 2 (𝑥), 𝑓(𝑥)) < 𝑑(𝑓(𝑥), 𝑥) . Akibatnya, 𝑑(𝑓 2 (𝑥), 𝑓(𝑥)) < max {𝑑(𝑓 2 (𝑥), 𝑥), 𝑑(𝑥, 𝑓(𝑥))} . Berdasarkan sifat segitiga sama kaki pada ruang ultrametrik, maka diperoleh
𝑑(𝑓 2 (𝑥), 𝑓(𝑥)) = 𝑑(𝑓(𝑥), 𝑥).
Berdasarkan  Definisi  4.1  jelas  bahwa,  kontraksi  tegas  pada  orbit  merupakan perumuman kontraksi tegas.
Teorema  4.3. [3] Diberikan  ruang  ultrametrik (𝑋, 𝑑) .  Jika  fungsi 𝑓: 𝑋 → 𝑋 kontraksi  tegas, maka 𝑓 kontraksi tegas pada orbit.
Berdasarkan Teorema 4.3 dapat dilihat bahwa setiap fungsi yang kontraksi tegas merupakan fungsi  yang  kontraksi  tegas  pada  orbit,  namun  tidak  selalu  berlaku  sebaliknya.  Hal  tersebut dapat dilihat pada contoh berikut.
Contoh 4.4. Diberikan himpunan 𝑋 = {𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑} dan 𝑑: 𝑋 → 𝑋 dengan definisi 𝑑(𝑥, 𝑥) = 0 untuk  setiap 𝑥 ∈ 𝑋 , 𝑑(𝑎, 𝑏) = 𝑑(𝑐, 𝑑) = 1 2 , 𝑑(𝑎, 𝑐) = 𝑑(𝑏, 𝑑) = 𝑑(𝑏, 𝑐) = 𝑑(𝑎, 𝑑) = 1 , 𝑑(𝑥, 𝑦) = 𝑑(𝑦, 𝑥) untuk setiap 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋 . Diperhatikan himpunan 𝑋 dilengkapi dengan metrik 𝑑 merupakan  ruang  ultrametrik.  Lebih  lanjut,  fungsi 𝑓: 𝑋 → 𝑋 dengan 𝑓(𝑎) = 𝑎, 𝑓(𝑏) = 𝑏, 𝑓(𝑐) = 𝑎, 𝑓(𝑑) = 𝑏 ,  merupakan  fungsi  yang  kontarksi  tegas  pada  orbit  tetapi  tidak kontraksi tegas.

## JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS
AND APPLICATIONS (JFMA) VOL. 2 NO. 2 (NOV 2019) Available online at www.jfma.math.fsm.undip.ac.id
http://dx.doi.org/10.14710/jfma.v2i2.33
Untuk  membuktikan  eksistensi  teorema  titik  tetap  fungsi  yang  kontraksi  tegas  pada orbit, diperlukan suatu teorema yang disebut Teorema Titik Tetap Kuat ( Strong Fixed Point Theorem ). Untuk bukti teorema titik tetap kuat merujuk pada [6].
Teorema 4.5. (Teorema Titik Tetap Kuat) Diberikan ruang ultrametrik dengan sifat bola lengkap (𝑋, 𝑑) dan fungsi 𝑓: 𝑋 → 𝑋 . Jika 𝑓 memenuhi sifat berikut:
1. Jika 𝑧 ≠ 𝑓(𝑧) dan 𝑑(𝑥, 𝑓(𝑧)) ≤ 𝑑(𝑓 2 (𝑧), 𝑓(𝑧)) , maka 𝑑(𝑥, 𝑓(𝑥)) ≤ 𝑑(𝑧, 𝑓(𝑧)) , dan 2. Fungsi 𝑓 kontraksi tegas pada orbit,
maka 𝑓 memiliki titik tetap.
Berdasarkan Teorema 3.4 diperoleh Akibat 3.5.
Akibat  4.6.  Diberikan  ruang  ultrametrik  dengan  sifat  bola  lengkap (𝑋, 𝑑) dan  fungsi  non- ekspansif 𝑓: 𝑋 → 𝑋 . Jika 𝑓 kontraksi tegas pada orbit, maka terdapat titik tetap 𝑓 di 𝑋 .
Bukti.
Andaikan 𝑓 tidak  memiliki  titik  tetap,  artinya  untuk  setiap 𝑥 ∈ 𝑋 berlaku 𝑓(𝑥) ≠ 𝑥 .  Jika untuk  setiap 𝑥, 𝑧 ∈ 𝑋 berlaku 𝑑(𝑥, 𝑓(𝑧)) ≤ 𝑑(𝑓 2 (𝑧), 𝑓(𝑧)) ,  akan  ditunjukkan 𝑑(𝑥, 𝑓(𝑥)) ≤ 𝑑(𝑧, 𝑓(𝑧) . Diambil sebarang 𝑥, 𝑧 ∈ 𝑋 , diperoleh
𝑑(𝑥, 𝑓(𝑥)) ≤ max{𝑑(𝑥, 𝑓(𝑧)), 𝑑(𝑓(𝑧), 𝑓(𝑥))}
≤ max {𝑑(𝑥, 𝑓(𝑧)), 𝑑(𝑓(𝑧), 𝑧), 𝑑(𝑧, 𝑓(𝑥))}
≤ max {𝑑 (𝑓 2(𝑧) , 𝑓(𝑧)) , 𝑑(𝑧, 𝑓(𝑧))} ≤ 𝑑(𝑓(𝑧), 𝑧).
Dengan  demikian  fungsi 𝑓 memenuhi  kondisi  1  dan  2  pada  Teorema  3.5.  Akibatnya, 𝑓 memiliki titik tetap.
Berdasarkan  Teorema  3.3,  diperoleh  fungsi  yang  kontraksi  tegas  merupakan  fungsi yang kontraksi tegas pada orbit, namun belum tentu berlaku sebaliknya. Supaya dapat berlaku sebaliknya, maka diberikan kondisi sebagaimana pada Teorema 3.7 berikut.
Teorema 4.7. Diberikan ruang ultrametrik dengan sifat bola lengkap (𝑋, 𝑑) dan fungsi non- ekspansif 𝑓: 𝑋 → 𝑋 . Jika untuk setiap 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋 dengan 𝑥 ≠ 𝑦 berlaku 𝑑(𝑓(𝑥), 𝑥) ≤ 𝑑(𝑥, 𝑦) , maka kedua pernyataan berikut saling ekuivalen,
1. Fungsi 𝑓 kontraksi tegas.
2. Fungsi 𝑓 kontraksi tegas pada orbit dan memiliki titik tetap tunggal di 𝑋 .
Bukti.
(1 ⇒ 2) Berdasarkan Teorema 3.3 dan Akibat 2.5, diperoleh 𝑓 kontraksi tegas pada orbit dan memiliki titik tetap tunggal.
(2 ⇒ 1) Diambil sebarang 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋 dengan 𝑥 ≠ 𝑦 , diperoleh 𝑑(𝑓(𝑥), 𝑓(𝑦)) ≤ max {𝑑(𝑓(𝑥), 𝑓 2 (𝑥)), 𝑑(𝑓 2 (𝑥), 𝑓 2 (𝑦)), 𝑑(𝑓 2 (𝑦), 𝑓(𝑦))} < max {𝑑(𝑥, 𝑓(𝑥)), 𝑑(𝑥, 𝑦), 𝑑(𝑓(𝑦), 𝑦)} = 𝑑(𝑥, 𝑦) . Dengan demikian, 𝑓 kontraksi tegas.
JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS AND APPLICATIONS (JFMA) VOL. 2 NO. 2 (NOV 2019) Available online at www.jfma.math.fsm.undip.ac.id
http://dx.doi.org/10.14710/jfma.v2i2.33

## V. KESIMPULAN
Fungsi 𝑓: 𝑋 → 𝑋 yang kontraksi tegas  dengan 𝑋 ruang ultrametrik dengan sifat bola lengkap,  memiliki  titik  tetap  tunggal  di 𝑋 .  Setiap  fungsi  yang  kontraksi  tegas  merupakan fungsi  yang  kontraksi  tegas  pada  orbit.  Fungsi 𝑓: 𝑋 → 𝑋 yang  kontraksi  tegas    dengan 𝑋 ruang ultrametrik dengan sifat bola lengkap, memiliki titik tetap di 𝑋 .

## REFERENSI
[1] A Lemin, "On Ultrametrization of General Metric Spaces," Proceedings American Mathematical Society , vol. 131, no. 3, pp. 979-989, October 2002.
[2] C Petalas and T Vidalis, "A Fixed Point Theorem in Non-archimedean Vector Spaces," Proceedings of the American Mathematical Society , vol. 118, no. 3, pp. 819-821, July 1993.
[3] E Matsikoudis and Edward A Lee, "The Fixed Point Theory of Strictly Contracting Functions on Generalized Ultrametric Semilattices," Fixed Point in Computes Science , vol. 126, no. 5, pp. 56-71, - 2013.
[4] Ravi P Agarwal, Maria Meehan, and Donal O'regan, Fixed Point Theory and Applications , 1st ed., B Bollobas, Ed. Cambridge, United Kingdom: Cambridge University Press, 2004.
[5] S Priess-Crampe, "Der Banachsche Fixpunktsatz fur Ultrametrische Raume," Results Math , vol. 18, no. 1-2, pp. 178-186, - 1990.
[6] S Priess-Crampe and P Ribenboim, "Fixed Point and Attactor Theorems for Ultrametric Spaces," Forum Math , vol. 12, no. -, pp. 53-64, - 2000.
[7] S Rolewicz, "On Orbits of Element," Studia Mathematica , vol. 32, no. -, pp. 17-22, - 1969.
[8] W. A Kirk and N Shahzad, "Some Fixed Point Results in Ultrametric Spaces," Elsevier , vol. 159, no. -, pp. 3327-3334, July 2012.
[9] W. H Schikhof, Ultrametric Calculus , 1st ed., D. J. H Garling and D Gorenstein, Eds. Cambridge, United Kingdom: Cambridge University Press, 1984.
JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS AND APPLICATIONS (JFMA) VOL. 2 NO. 2 (NOV 2019) Available online at www.jfma.math.fsm.undip.ac.id
http://dx.doi.org/10.14710/jfma.v2i2.33