JE-UNISLA
Electronic Control, Telecomunication, Computer Information and Power Systems
Volume. 8 No. 2 Bulan September Tahun 2023
ISSN : 25020989 | E-ISSN : 26860635

## STUDI METODE CRAMER DAN METODE INVERS MATRIK PADA PERSOALAN RANGKAIAN LISTRIK
Ulul Ilmi 1 , Rifky Aisyatul Faroh 2 , Ayu Ismi Hanifah 3 , Nur Indah Mukhoyyaroh 4 , Masruroh 5 1,2 Program Studi Teknik Elektro, Fakultas Teknik, Universitas Islam Lamongan
3,5 Prodi Teknik Informatika, Fakultas Teknik, Universitas Islam Lamongan, Indonesia,
4 Prodi Teknik Sipil, Fakultas Teknik, Universitas Islam Lamongan Jl. Veteran No.53A, Jetis, Kec. Lamongan, Kabupaten Lamongan, Jawa Timur 62211 e-mail: ilmi78@unisla.ac.id , 2 rifkyaisyatulfaroh@unisla.ac.id , 3 ayuismi@unisla.ac.id,4nurindah@unisla.ac.id , 5 masruroh@unisla.ac.id

## A R T I C L E  I N F O
A B S T R A C T Article History : Article entry : 05-20-2023 Article revised : 06-07-2023 Article received  : 28-08-2023 In the world of engineering, one example of using a matrix is to find a solution  to  a  system  of  linear  equations  (SLE).  In  the  scientific  field that  studies  electrical  circuits,  it  is  not  uncommon  to  use  matrices  to calculate the quantities or values in an electric circuit. To make it easier to  find  these  values,  an  operation  process  based  on  the  Cramer  and inverse  methods  based  on  Matlab  is  used  so  that  finally  the  values contained in the electrical circuit are obtained. These values are electric current and electric voltage. In this study, it can be concluded that the use of the Matlab-based matrix inverse method is better in terms of the accuracy of the research results, when compared to the manual use of the Cramer method, which has an accuracy difference of 0.0006%. For the calculation of the current variable i 3 . and 0.81% for the calculation of the electric voltage variable at node AB.
Keywords  : Matlab,  Matric,  System  of
Linear Equations .

## 1. PENDAHULUAN
Dalam  bidang  keilmuan  elektro  teknik, diperlukan pengetahuan tentang rangkaian sederhana  seperti  rangkaian  listrik.  Rangkaian listrik  yang  dijumpai  selama  ini  menggunakan prinsip-prinsip  yang  ada  pada  hukum  Kirchoff. Terdapat  dua  hukum  Kirchoff  yaitu  hukum pertama  Kirchoff  atau  KCL  (arus)  lalu  hukum kedua  Kirchoff  atau  KVL  (tegangan).  Dengan menerapkan kedua hukum tersebut akan didapatkan sebuah persamaan linear. Jika terdapat sebuah loop, maka hanya terdapat satu persamaan linear  saja,  namun  jika  ternyata  terdapat  banyak loop,  maka  persamaan  linear yang  dibentuk  juga banyak  sama  seperti  loop  yang  ada.  Dengan banyaknya persamaan linear tersebut, mengakibatkan  terbentuknya  sistem  persamaan linear  (SPL).  Dalam  menyelesaikan  sistem persamaan linear (SPL) terdapat banyak cara, cara yang  paling  umum  yaitu subtitusi  dan  eliminasi. Untuk  kasus  SPL  dua,  tiga,  dan  empat  variabel cara  subtitusi  dan  eliminasi  ini  mungkin  masih sangat efektif dan mudah. Namun bagaimana jika
terdapat sistem persamaan linear dengan lebih dari dua variabel?
Cara  tersebut  memang  bisa  digunakan, namun waktu yang diperlukan untuk menyelesaikan  realatif  sangat  lama,  dan  juga tingkat  kesalahan  yang  didapatkan  juga  semakin besar.  Untuk  mengatasi  persoalan  ini,  ternyata terdapat  cara  yang  membuat  waktu  pengerjaan relatif  lebih  singkat  dan  solusi  yang  dihasilkan lebih  akurat.  Contohnya  adalah  menggunakan metode  operasi  baris  elementer,  cara  invers, metode Cramer, dan lain-lain. Akan tetapi, dalam penelitian  ini  yang  akan  dibahas  di  sini  adalah mengenai  metode  cramer.  Selain  metode  cramer, juga digunakan metode invers berbasis matlab.

## 2. METODOLOGI PENELITIAN
Dengan  melalui  pertimbangan  bahwa  ranah penelitian  ini  masih  dalam  ranah  wilayah  eksakta, maka  metode  penelitian  yang  digunakan  dalam penelitian ini metode eksperimen. Metode Eksperimen bermakna bahwa hasil penelitian berasal dari  data  yang  dimasukkan  ke  dalam  pemrograman Matlab.  Matlab  akan  mengolah  data  yang  berasal
dari  masalah  yang  sedang  diteliti.  Dalam  penelitian ini data yang diinputkan berupa angka yang dibentuk dalam sebuah matrik.

## 3. PEMBAHASAN
Dalam  penelitian  ini  data  yang  diinputkan berupa  angka  yang  dibentuk  dalam  sebuah  matrik. Kasus  yang  akan  diteliti  dalam  penelitian  ini adalah  sebuah  rangkaian  listrik  yang  di  dalamnya terdapat  sebuah  sumber  tegangan  listrik  listrik    dan beberapa  hambatan  lsitrik  seperti  gambar  dibawah ini. Selanjutnya akan dicari tegangan dan arus listrik pada  tiap-tiap  titik  simpul  resistor  untuk  rangkaian berikut ini.

## Gambar 1. Rangkaian listrik berisi 10 hambatan dan 1 sumber tegangan listrik
Pada  rangkaian  di  atas,  dapat  diketahui terdapat  enam  hambatan  senilai  4  ohm,  lima hambatan senilai 2 ohm dan satu sumber tegangan senilai  10  volt.  Tentukan  nilai  arus  dari  rangkaian di atas.
Penyelesaian: Untuk menyelesaikan persoalan di atas digunakan Hukum  II  Kirchhoff  yang  menyatakan:  Jumlah aljabar  penurunan  tegangan  ( voltage  drop )  pada rangkaian  tertutup  ( loop )  menuruti  arah  yang ditentukan  =  jumlah  aljabar  kenaikan  tegangan ( voltage  rise )  nya.  Pada  rangkaian  di  atas  sesuai dengan hukum kedua Kirchoff  didapatkan gambar 4  buah  loop  sembarangan  seperti  pada  gambar berikut ini.

## Gambar 2. Buah loop sembarang berdasarkan Hukum Kirchoff 2
Berdasarkan  hukum  kirchoff  2  didapatkan  4 persamaan yaitu:
 Loop 1
4i 1 +2i 1 +4(i 1 -i 2 ) + 10 = 0 Ekuivalen dengan:
10i 1 - 4i 2 + 10 = 0.......................................... (1)  Loop 2 2i 2 +4i 2 +2(i 2 -i 3 ) + 4(i 2 -i 1 ) = 0 Ekuivalen dengan: 12i 2 - 2i 3 - 4i 1 = 0............................................(2)  Loop 3
4i 3 +2i 3 +4(i 3 -i 4 ) + 2(i 3 -i 2 ) = 0 Ekuivalen dengan 12i 3 - 4i 4 - 2i 2 = 0…........................................(3)  Loop 4
2i 4 +4i 4 - 10 + 4(i 4 -i 3 ) = 0 Ekuivalen dengan 10i 4 - 4i 3 = 10….............................................(4)
Dari  4  persamaan  yang  diperoleh  dari hukum  kirchoff  2,      dapat  dibuat  4  sistem persamaan  linear  seperti  dituliskan  di  bawah ini.
10i 1 - 4i 2 + 10 = 0 12i 2 - 2i 3 - 4i 1 = 0 12i 3 - 4i 4 - 2i 2 = 0 10i 4 - 4i 3 = 10 Dari  bentuk  sistem  persamaan  linear  di atas, dapat ditrasnformasikan ke dalam bentuk matriks AX = B, seperti dituliskan di bawah ini.
Untuk  menyelesaikan  bentuk  matrik  di  atas digunakan  metode  cramer  seperti  dituliskan berikut  ini.  Langkah  pertama  adalah  menghitung determinan. Dengan menggunakan rumus determinan dari bentuk matrik AX = B, yaitu
det (A) = [10 -4  0  0; -4 12 -2   0; 0   -2 12 -4; 0  0  -4   10] maka  nilai  determinan  dari  matrik  A  adalah 10416.  Selanjutnya dihitung nilai dari determinan A1, A2, A3 dan A4 seperti diuraikan berikut ini.
det (A1) = [-10  -4   0     0;
0   12  -2    0; 0   -2  12   -4; 10   0   -4   10] det (A1) = -11760 det (A2) = [10  -10   0    0; -4   0    -2      0; 0   0    12    -4; 0   10   -4   10] det (A2) = -3360 det (A3) = [10  -4     -10      0; -4   12     0        0; 0   -2      0       -4; 0    0     10      10]
det (A3) = 3360 det (A4) = [10 -4   0  -10; -4   12  -2     0; 0   -2  12    0; 0   0   -4    10] det (A4) =  11760 Untuk  menghitung  nilai  i 1 ,  i 2 ,  i 3 dan  i 4 digunakan rumus di bawah ini. i 1 = det (A1) / det (A) ...........................
.................................................................. (5)
i 2 = det (A2) / det (A)   ..........................
.................................................................. (6)
i 3 = det (A3) / det (A) ...........................
.................................................................. (7)
i 4 = det (A4) / det (A) ...........................
.................................................................. (8)
sehingga didapatkan   i 1 = det (A1) /  det (A)  =  - 11760  /10416    =  -1.129    dibulatkan  menjadi  -1.13. Tanda  minus  menyatakan  arah  arus  i 1 berlawanan arah dengan arah permisalahan sebelumnya. i 2 = det (A2)  /  det  (A)  =  -3360  /10416  =  -0.322  dibulatkan menjadi -0.32. Tanda minus menyatakan arah arus i 2 berlawanan arah dengan arah permisalahan sebelumnya. i 3 = det (A3) / det (A) = 3360 /10416 = 0.322 dibulatkan menjadi 0.32.
i 4 =  det  (A4)  /  det  (A)  =  11760  /10416  =  1.129 dibulatkan menjadi 1.13. Terlihat bahwa nilai i 1 = i 4 dan  nilai  i 2 =  i 3 .  Hal  ini  terjadi  karena  bentuk rangkaian  listriknya  berbentuk  simentris.  Sekarang menganalisa  arus  dalAm  rangkaian  listrik  dengan menggunakan hukum kirchoff 1. Perhatikan gambar dibawah ini.

## Gambar 3. Rangkaian listrik mengunakan Hukum Kirchoff 1
Dari titik H-G-F mengalir arus i 1 yaitu : 1,13 A. Dari titik D-E-F mengalir arus i 4 yaitu : 1,13 A. Dari titik B-A-H mengalir arus i 2 yaitu : 0,32 A. Dan Dari titik B-C-D mengalir arus i 3 yaitu : 0,32 A.
Maka  dengan  menggunakan  besarnya  nilai  arus dan  hambatan  dari      tiap  resistor  yang  didasarkan pada  gambar  3,  dapat  dihitung  nilai  masing-masing titik  simpul  tegangan  seperti  akan  dituliskan  di bawah ini.
V AB = V BC = 0.32A x 4Ω = 1.28 V V AH = V CD = 0.32A x 2Ω = 0.64 V
V BI = 0.64A x 2Ω = 1.28 V V HI = V ID = 0.81A x 4Ω = 3.24 V
V HG = V DE = 1.13A x 2Ω = 2.26 V V GF = V FE = 1.13A x 4Ω = 4.52 V Setelah digunakan metode cramer untuk perhitungan  nilai  arus  dan  tegangan  listrik,  langkah berikutnya  adalah  dihitung  nilai  arus  listrik menggunakan metode invers matriks berbasis matlab yang akan dipaparkan berikut ini.
Dari data di atas diketahui vektor A adalah [10    -4    0    0; -4     12  -2    0; 0     -2    12   -4; 0      0     -4   10]
Adapun nilai vektor B adalah [-10; 0; 0; 10]. Sedangkan vektor X mewakili nilai arus listrik yang  dicari  yaitu  nilai  i 1 ,  i 2 ,  i 3 dan  i 4 ,  sementara vektor  B  sebagai  vektor  ruas  sisi  kanan  (right hand  side).  Untuk  menentukan  nilai  arus  listrik yang  berada  di  dalam  vektor  X  maka  digunakan rumus X= inv(A)*B, sehingga hasil dari pemrograman matlab dapat dituliskan berikut ini.
> >   A =   [ 1 0         - 4         0         0 ;
- 4           1 2     - 2         0 ;
0           - 2       1 2     - 4 ; 0             0       - 4     1 0 ]
A   = 1 0         - 4           0           0 - 4         1 2         - 2           0 0         - 2         1 2         - 4 0           0         - 4         1 0 > >   B = [ - 1 0 ;   0 ;   0 ;   1 0 ] B   = - 1 0 0 0 1 0 > > X = i n v ( A ) * B
X   = - 1 . 1 2 9 0 - 0 . 3 2 2 6 0 . 3 2 2 6 1 . 1 2 9 0 Berdasarkan  hasil  perhitungan  berbasis  invers matlab,  dapat  ditemukan  bahwa  nilai  dari  i 1 =  - 1.1290  A.  Sedangkan  jika  menggunakan  metode cramer  didapatkan  nilai  dari  arus  i 1 =  -1.129  A  dan jika  dibulatkan  menjadi  -1.13  A.  Adapun  nilai  i 2 yang  diperoleh  dari  perhitungan  invers  berbasis matlab adalah  -  0.3226 A.  Sedangkan  jika dihitung dengan  menggunakan    metode  cramer  diperoleh hasil  i 2 senilai  -0.322  A    yang  jika  dibulatkan menjadi  -0.32  A.  Adapun  nilai  i 3 yang  dihasilkan dari  perhitungan  invers  berbasis  matlab  sebesar 0.3226  A.  Sedangkan  nilai  i 3 yang  dihasilkan  dari perhitungan  metode  cramer  adalah        0.322  A  yang dibulatkan  menjadi  0.32  A.  Untuk  nilai  i 4 yang dihasilkan dari invers berbasis matlab, adalah 1.1290 A.  Sedangkan  nilai  i 4 yang  diperoleh  dari perhitungan berbasis metode cramer adalah  1.129 A dan  dibulatkan  menjadi    1.13  A.  Untuk  lebih jelasnya  nilai perbedaan arus  listrik  yang dihasilkan dari  metode  invers  matriks  berbasis  matlab  dan metode  cramer,  dapat  disajikan  dalam  tabel  berikut ini.
Tabel 1.Perbandingan hasil antara invers matrik berbasis  matlab  dan  metode  cramer  dalam  hal perhitungan arus listrik
Metode Hasil Ketelitian Invers matrik berbasis matlab i 1 = -1.1290 A, i 2 = - 0.3226 A,
i 3 = 0.3226 A, i 4 = 1.1290 A 100 % Cramer i 1 = -1.129 A,
i 2 = -0.322 A,
i 3 = 0.322 A, i 4 = 1.1290 A
99,81 %
Berdasarkan  hasil  dari  tabel  pertama  ini  dapat disimpulkan  bahwa  metode  invers  matrik  berbasis matlab  memberikan  hasil  yang  berbeda  jika
dibandingkan  dengan  metode  cramer.  Hal  ini  bisa dilihat  bahwa  bilangan  titik  mengambang  (floating point),  yang  dihasilkan  dari  metode  invers  matrik berbasis  matlab  memiliki  tingkat  ketelitian  yang lebih  tinggi,  jika  dibandingkan  dengan  metode cramer. Hal ini dapat dilihat bahwa tingkat ketelitian yang didapatkan dari metode matrik berbasis matlab sebesar 100%, jika dibandingkan dengan penggunaan  metode  cramer  yang  menghasilkan tingkat  ketelitian  sebesar  99,81%.  Hal  ini  dapat diperjelas lagi secara numeris, dengan menggunakan metode  invers  matrik  berbasis  matlab  dihasilkan nilai  i 2 = -  0.3226 A dan  i 3 = 0.3226  A. Sedangkan jika  menggunakan  metode  cramer  didapatkan  hasil nilai i 2 = - 0.322 A dan i 3 = 0.322 A, sehingga terjadi selisih  tingkat  ketelitian  antara  kedua  metode  ini sebesar  0.0006  %.  Dengan  hasil  ini  dapat disimpulkan  metode  manual  yang  menggunakan metode cramer, tidak disarankan dalam menyelesaikan  sebuah  permasalahan  listrik  berbasis sistem  persamaan  linear.  Dan  lebih  disarankan menggunakan  metode  invers  berbasis  matlab  untuk menyelesaikan  persoalan  rangkaian  listrik  berbasis matlab.  Akan  tetapi  jika  metode  cramer  hanya digunakan sebagai pembanding saja terharap metode yang lain, itu tidak dimasalahkan. Berikutnya adalah hasil  perbandingan  antara  metode  inves  matrik berbasis  matlab  dan  metode  cramer  dalam  hal perhitungan  tegangan  listrik,  yang  akan  disajikan dalam tabel berikut ini.
Tabel 2. Perbandingan hasil antara invers matrik berbasis  matlab  dan  metode  cramer  dalam  hal perhitungan tegangan listrik
Metode Hasil Ketelitian Invers matrik berbasis matlab
Cramer V AB =  i 3 x  4Ω  = 0.3226A  x  4Ω  = 1.2904 V V BC =  i 3 x  4Ω  = 0.3226A  x  4Ω  = 1.2904 V V AH =  i 3 x  2Ω  =
0.3226  A  x  2Ω  = 0.6452 V V CD =  i 3 x  2Ω  = 0.3226 A  x 2Ω  = 0.6452 V V AB =  V BC =  0.32A x 4Ω = 1.28 V
V AH =  V CD =  0.32A x 2Ω = 0.64 V 100 % 99,19 %
Sedangkan  dari  hasil  pada  tabel  2,  maka disimpulkan  bahwa  terdapat  perbedaan  tingkat ketelitian  hasil  perhitungan  antara  metode  invers matrik  berbasis  matlab  dan  metode  cramer  sebesar 0.81  %  untuk  perhitungan  variabel  tegangan  listrik pada simpul AB.

## 4. PENUTUP
Berdasarkan  hasil  dari  pembahasan  di  atas dapat  disimpulkan  dalam  bidang  keilmuan  yang mempelajari rangkaian  listrik,  digunakan  matriks untuk menghitung  besaran-besaran atau nilai-nilai yang  ada  di  dalam  rangkaian  listrik.  Untuk mempermudah  dalam  mencari  nilai-nilai  tersebut digunakan proses  operasi  berbasis metode cramer dan  metode  invers  berbasis  matlab,  sehingga akhirnya  diperoleh  nilai-nilai  yang  terdapat  di dalam  rangkaian  listrik  tersebut.  Nilai-nilai tersebut  adalah  arus  listrik  dan  tegangan  listrik. Untuk  kasus  dalam  penelitian  ini,  terdapat perbedaaan  hasil  antara  metode  invers  berbasi matlab  dengan  metode  cramer,  dimana  berdasarkan hasil  penelitian  disarankan  menggunakan  metode invers  berbasis  matlab,  jika  dibandingkan  dengan metode.  Hal  ini  disebabkan  karena  penggunaan metode  invers  berbasis  matlab  menghasilkan  nilai arus  listrik  dengan  tingkat  ketelitian  yang  lebih tingkat,  jika  dibandingkan  dengan  penggunaan metode  cramer,  dengan  selisih  tingkat  ketelitian antara  kedua  metode  ini  sebesar  0.0006  %.  Hal  ini berlaku  untuk  perhitungan  simpul  arus  listrik  i 3 . Sedangkan  untuk  perhitungan  vaiabel  tegangan listrik  simpul  AB,  terdapat  selisih  perbedaan ketelitian sebesar 0.81 %.
Dengan  hasil  ini  dapat  disimpulkan  metode manual  yang  menggunakan  metode  cramer,  tidak disarankan dalam menyelesaikan sebuah permasalahan  listrik  berbasis  sistem  persamaan linear.  Dan  lebih  disarankan  menggunakan  metode invers berbasis matlab  untuk menyelesaikan persoalan  rangkaian  listrik  berbasis  matlab.  Akan tetapi  jika  metode  cramer  hanya  digunakan  sebagai pembanding  saja  terhadap  metode  yang  lain,  itu tidak dimasalahkan.

## REFERENSI
Anton, H. 1994. Aljabar Linier Elementer . Edisi Ke- 5 . Jakarta: Erlangga.
Anton,  H.  2000. Dasar-Dasar Aljabar Linear Jilid
1. Edisi ke-7 . Terjemahan Hari Suminto.
Batam: Interaksara.
Brualdi, R. A. 2009. A Combinatorial Approach to Matrix Theory and Its .
Fraleigh,  J.  B.  2003. A  First  Course  in  Abstract Algebra.  Edisi  ke-7 .  United  States:  Addison- Wesley Publishing Company inc.,
Leon,  SJ.  2001. Aljabar  Linier  dan  Aplikasinya, Edisi ke-5. Jakarta: Erlangga.
Lerner,  David.  2007. Lecture  notes  on  linear algebra .
Kansas: Departement of Mathematics.
Harry  Octavianus  Purba.  2015/2016. Makalah IF2123 Aljabar Geometri – Informatika ITB – Semester I . Bandung: ITB.
Matlab online, Tersedia di https://www.mathworks.com/products/matlab.ht ml.
Munir, Rinaldi. 2010. Matematika Diskrit. Revisi ke- 4 . Bandung: Informartika.
Steve J.Leon. 2001. Aljabar Linear dan Aplikasinya. Edisi Ke-5 . Jakarta: Erlangga.
Supranto,  J.  1998. Pengantar  Matrix . Edisi  revisi . Jakarta: Rineka Cipta.
Rangga Ajie Prayoga, dkk. 2017. Penerapan Konsep SPL Dan Matriks Dalam Menentukan Tegangan Dan  Arus  Listrik  Pada  Tiap-Tiap  Resistor .
Karawang: Universitas Singaperbangsa.
R.H.  Sianipar.  2013. Pemrograman  Matlab  Dalam Contoh  dan  Terapan .  Bandung:  Informatika.