## Konstruksi Model Matematika pada Terjun Payung dengan Akrobat Perubahan Posisi Sebelum Parasut Dibuka
Asmianto, Hariyanto dan Iis Herisman Jurusan Matematika, Fakultas MIPA, Institut Teknologi Sepuluh Nopember (ITS) Jl. Arief Rahman Hakim, Surabaya 60111 Indonesia
e-mail : hariyanto@matematika.its.ac.id
Abstrak—Konstruksi model matematika dari pergerakan  penerjun  payung  selama  di  udara  sebelum parasut  dibuka  menggunakan  hukum  II  Newton  yaitu ∑ 𝐅 = 𝐦𝐚 .  Posisi  penerjun  payung  setelah  keluar  dari pesawat  langsung  membentangkan  badannya  sehingga tercipta hambatan udara yang besar. Adanya gaya hambat udara mengakibatkan pergerakan penerjun tidak langsung bergerak  turun  secara  vertikal  kebawah  namun  juga bergeser  kearah  horisontal  dan  membentuk  lintasan parabola.  Kecepatan  penerjun  semakin  ke  bawah  semakin meningkat  sampai  pada  akhirnya  penerjun  mencapai kecepatan terminal, yaitu posisi dimana gaya hambat udara besarnya  sama  dengan  gaya  gravitasi  (gaya  berat) penerjun.  Pada  tugas  akhir  ini  diasumsikan  penerjun payung  dengan  massa  91.6  kg  (termasuk  peralatan) melompat  dari  pesawat  pada  ketinggian  5000  meter  dan penerjun  mencapai  ketinggian ± 𝟒𝟎𝟎 meter  pada  detik  ke 32. Pada detik ini merupakan batas terakhir bagi penerjun payung  untuk  membuka  parasut,  karena  jika  terlambat  1 detik saja bisa membahayakan keselamatan penerjun.
Kata  Kunci—Hukum  newton,  Gaya  hambat  udara, kecepatan terminal.

## I. PENDAHULUAN
erjun  payung  merupakan  salah  satu  olahraga  yang paling  ekstrim.  Selain  itu,  terjun  payung  juga  biasa digunakan  untuk  menyelamatkan  kehidupan  seorang pilot  dan  mendistribusikan  tentara  di  tempat  terpencil. Sekarang  ini  terjun  payung  yang  khas  dipakai  adalah pada  ketinggian  4000  meter  dengan  membuka  parasut pada  ketinggian  800  meter  dari  tanah.  Terjun  payung berlangsung kurang dari satu menit.[1]
Dalam  melakukan  terjun  payung,  sebelum  melakukan lompatan  penerjun  selalu  memperhatikan  tekanan  udara, ketinggian minimum awal melakukan lompatan dan jarak minimum  dari  titik  yang  akan  dituju.  Karena,  itu  sangat berpengaruh  pada  keselamatan  penerjun  dan  kecepatan parasut.  untuk  memperhitungkan  hal  tersebut,  banyak ilmuan  yang  mengembangkan  model  numerik  masalah terjun  payung.  Kekuatan  yang  diberikan  oleh  hambatan udara  sangatlah  berpengaruh  dengan  kecepatan  parasut. Ketinggian pesawat untuk  memulai lompatan juga harus diperhatikan, supaya penerjun bisa mendarat sesuai pada titik yang ditentukan.[2]
Model  matematika  untuk  gerak  parasut  dibentuk berdasarkan  Hukum  II  Newton ∑ 𝐹 = 𝑚𝑎 .  Dengan 𝑚 adalah  massa  penerjun, 𝑎 adalah  percepatan,  dan 𝐹 adalah  jumlah  dari  gaya  grafitasi 𝐹 𝑔 dan  gaya  hambat udara 𝐹 𝑑 . Oleh karena  itu, F = 𝐹 𝑔 + 𝐹 𝑑 . Pada gaya hambat udara  terdapat  koefisien  hambat  yang  mana  dipengaruhi
oleh  besarnya  bilangan  Reynolds.  Bilangan  Reynold tergantung juga pada bentuk canopy yang digunakan oleh penerjun.  Pada  tugas  akhir  ini  yang  digunakan  adalah canopy  yang  berbentuk  setengah  bola  dengan  bilangan Reynolds 𝑅𝑒 > 10 3 dan  dengan  koefisien  hambat 𝐶 𝐷 = 1,33 .[4]
Berdasarkan  permasalahan  diatas  maka  diusulkan tugas  akhir  tentang,  bagaimana  pergerakan  dan  posisi duduk  penerjun  ketika  di  udara  mulai  awal  melompat dari  pesawat  sampai  pada  posisi  penerjun  siap  untuk membuka  parasutnya.  Dengan  membawa  kedalam bentuk  matematika  maka  akan  lebih  mudah  untuk mengetahui  berbagai  pengaruh  sebelum  melakukan lompatan.  Sehingga  penerjun  bisa  melakukan  lompatan dengan  selamat  dan  bisa  mendarat  pada  posisi  yang sudah ditentukan.

## II. METODOLOGI PENELITIAN

## Study Literatur
Pada tahap ini akan dilakukan pencarian referensi yang menunjang  penelitian  ini  serta  mempelajari  lebih  dalam tentang  hal  -  hal  yang  berpengaruh  dalam  pembuatan model terjun payung.

## Pembentukan Model
Dalam  pembentukan  model  ada  beberapa tahapan diantaranya  asumsi  posisi  penerjun  setelah  melompat dari pesawat, analisa gerak penerjun selama di udara dan penurunan  rumus  kecepatan  dan  posisi  terhadap  waktu serta  menganalisa  pergerakan  penerjun  mulai  dari  gerak jatuh  bebas  dari  pesawat  sampai  pada  posisi  siap membuka parasut.

## Penyelesaian Numerik
Dalam  tahap  ini  akan  dibuat  model  persamaan penerjun  payung  dengan  pendekatan  Hukum  Newton, mulai  dari  penerjun  melakukan  terjun  bebas  dari pesawat,  sampai  penerjun  pada  posisi  siap  membuka parasut.

## Simulai Numerik
Dalam  simulasi  numerik  akan  digunakan  MATLAB sebagai simulator. Setelah didapat model persamaan dari terjun  payung,  selanjutnya  akan  dibuat  algoritma  dari persamaan tersebut untuk disimulasikan.

## Kesimpulan
Dalam  tahap  ini  akan  diambil  kesimpulan  dari  hasil simulasi numerik yang telah dilakukan.
T

## Pembuatan Laporan Tugas Akhir
Dalam  tahap  ini  akan  dilakukan  penulisan  dari  semua hasil penelitian yang sudah dilakukan.

## III. ANALISIS DAN PEMBAHASAN

## Kinematika Penerjun payung
Konstruksi  model  matematika  pada  penerjun  payung yang  akan  dibangun  adalah  mulai  keluar  dari  pesawat sampai  pada  posisi  siap  membuka  parasut.  Pada  tugas akhir ini diasumsikan penerjun payung melakukan gerak jatuh  bebas  dari  pesawat  dan  langsung  membuat  posisi membentangkan badannya kebawah (gambar 1) sehingga tercipta hambatan udara yang besar.
Gambar 1. posisi penerjun payung di udara
Gambar 2. Gaya –gaya yang bekerja pada penerjun payung selama di udara
Pada saat penerjun mulai meloncat dari pesawat maka hukum  II  Newton  dapat  diterapkan  dan  dalam  hal  ini penerjun  diasumsikan  melakukan  gerak  jatuh  bebas. Selama di udara penerjun melakukan gerak translasi dan rotasi  sampai  pada  posisi  siap  membuka  parasut.  Secara matematis dapat ditulis sebagai berikut:
∑ 𝐹 = 𝑚𝑎
Dimana,
∑ 𝐹 = 𝐹 𝑔 + 𝐹 𝑑
Sehingga diperoleh 𝐹 𝑔 + 𝐹 𝑑 = 𝑚𝑎,
𝐹 𝑔 merupakan  gaya  gravitasi  dari  penerjun  payung  yang arahnya  selalu  menuju  pusat  bumi  sedangkan 𝐹 𝑑 adalah gaya  hambat  udara  ( Force  drag )  yang  arahnya  selalu berlawanan dengan pergerakan penerjun payung. 𝑚 adalah  massa  keseluruhan  yaitu  massa  penerjun ditambah  dengan  massa  peralatan  yang  dibawah  oleh penerjun (termasuk parasut).
Percepatan  merupakan  hasil  turunan  pertama  kecepatan terhadap waktu, sehingga dapat ditulis sebagai berikut:
𝐹 𝑔 + 𝐹 𝑑 = 𝑚 𝑑𝑣 𝑑𝑡
Sehingga didapat persamaan kecepatan terhadap waktu sebagai berikut:
𝑣(𝑡) = 𝑚𝑔 − 𝑐𝑒 − 𝑘 𝑚 𝑡

## 𝑘
Karena penerjun melakukan gerak jatuh bebas maka

## 𝑣(0) = 0
Sehingga  didapatkan  persamaan  kecepatan  penerjun terhadap waktu dengan posisi seperti (gambar 2)  adalah sebagai berikut:
𝑣(𝑡) = 𝑚𝑔 𝑘 (1 − 𝑒 − 𝑘 𝑚 𝑡 )
Untuk mendapatkan persamaan posisi terhadap waktu, dengan mengintegralkan persamaan kecepatan terhadap waktu  diatas.
Sehingga diperoleh
𝑥(𝑡) = 𝑚𝑔 𝑘 (𝑡 + 𝑚 𝑘 𝑒 − 𝑘 𝑚 𝑡 ) + 𝑐
Dengan membuat asumsi 𝑥(0) = 𝑥 0 diperoleh persamaan posisi penerjun payung terhadap waktu,
𝑥(𝑡) = 𝑥 0 + 𝑚𝑔 𝑘 𝑡 + 𝑚 2 𝑔 𝑘 2 (𝑒 − 𝑘 𝑚 𝑡 − 1)
Gambar 3. Gerak rotasi posisi penerjun payung di udara
Pada  gambar  3  penerjun  payung  diasumsikan  hanya melakukan gerak rotasi terhadap sumbu 𝑥 sebesar 𝛼 . Penurunan rumus dimulai dengan hukum kedua newton yaitu : ∑ 𝐹 = 𝑚𝑎 𝐹 𝑔 + 𝐹 𝑑 = 𝑚𝑎
𝑚𝑔 sin 𝛼 − 𝑘𝑣 = 𝑚 𝑑𝑣 𝑑𝑡
Sehingga diperoleh persamaan pergerakan penerjun dengan rotasi sebesar 𝛼 sebagai berikut :
𝑣(𝑡) = 𝑚𝑔 sin 𝛼 − 𝑐𝑒 − 𝑘 𝑚 𝑡 𝑘
Karena gerak penerjun merupakan gerak jatuh bebas maka 𝑣(0) = 0
Sehingga diperoleh persamaan kecepatan penerjun payung dengan rotasi sebesar 𝛼 terhadap waktu,
𝑣(𝑡) = 𝑚𝑔 sin 𝛼 𝑘 (1 − 𝑒 − 𝑘 𝑚 𝑡 )
Untuk mendapatkan persamaan posisi terhadap waktu, dengan mengintegralkan persamaan kecepatan terhadap waktu  diatas.
Sehingga diperoleh
𝑥(𝑡) = 𝑚𝑔 sin 𝛼 𝑘 (𝑡 + 𝑚 𝑘 𝑒 − 𝑘 𝑚 𝑡 ) + 𝑐
Dengan membuat asumsi 𝑥(0) = 𝑥 0 diperoleh persamaan posisi penerjun payung yang berotasi sebesar 𝛼 terhadap waktu,
𝑥(𝑡) = 𝑥 0 + 𝑚𝑔 sin 𝛼 𝑘 𝑡 + 𝑚 2 𝑔 sin 𝛼 𝑘 2 (𝑒 − 𝑘 𝑚 𝑡 − 1)

## Simulasi dan Analisis
Pada  sub  bab  ini  dilakukan  simulasi  dari persamaan-persamaan  gerak  terjun  payung  yang  sudah diperoleh  dari  perhitungan  sebelumnya.  Dari  hasil simulasi  akan  dilakukan  analisa  terhadap  Pergerakan penerjun  payung  sebelum  parasut  dibuka  selama  di udara.
1) Simulasi 1 Pergerakan    penerjun  payung  sebelum  parasut dibuka: Parameter : 𝑥 0 = 5000 𝑚 𝐶 𝑑 = 1.33 𝑚 = 91.6 𝑘𝑔 𝐴 = 0.9 𝑚 2 𝑔 = 9.8 𝑚/𝑠 2 𝜌 = 1.2 𝑘𝑔/𝑚 3 𝑡 = 35 𝑠𝑒𝑘𝑜𝑛
Gambar 1. Pergerakan  penerjun payung sebelum parasut dibuka
2) Simulasi 2
Pergerakan    penerjun  payung  sebelum  parasut dibuka: Parameter : 𝑥 0 = 5000 𝑚 𝐶 𝑑 = 1.33 𝑚 = 91.6 𝑘𝑔 𝐴 = 0.5 𝑚 2 𝑔 = 9.8 𝑚/𝑠 2 𝜌 = 1.2 𝑘𝑔/𝑚 3
𝑡 = 35 𝑠𝑒𝑘𝑜𝑛

## 3) Simulasi 3
Pergerakan    penerjun  payung  sebelum  parasut dibuka: Parameter : 𝑥 0 = 8000 𝑚 𝐶 𝑑 = 1.33 𝑚 = 91.6 𝑘𝑔 𝐴 = 0.1 𝑚 2 𝑔 = 9.8 𝑚/𝑠 2 𝜌 = 1.2 𝑘𝑔/𝑚 3
𝑡 = 40 𝑠𝑒𝑘𝑜𝑛
Gambar 3. Pergerakan  penerjun payung sebelum parasut dibuka
4) Simulasi 4 Pergerakan    penerjun  payung  sebelum  parasut dibuka: Parameter : 𝑥 0 = 8000 𝑚 𝐶 𝑑 = 1.33 𝑚 = 91.6 𝑘𝑔 𝐴 = 0.25 𝑚 2 𝑔 = 9.8 𝑚/𝑠 2 𝜌 = 1.2 𝑘𝑔/𝑚 3 𝑡 = 40 𝑠𝑒𝑘𝑜𝑛
Gambar 4. Pergerakan  penerjun payung sebelum parasut dibuka
Dari  hasil  simulasi  pergerakan    penerjun  payung sebelum  parasut  dibuka  dapat  dilihat  bahwa  pergerakan penerjun  payung  membentuk  lintasan  parabola.  Hal  ini disebabkan  oleh  adanya  gaya  hambat  udara  yang diciptakan  oleh  tubuh  penerjun  payung  ketika  di  udara sehingga  pergerakan  penerjun  tidak  cenderung  gerak jatuh bebas.

## Analisis kecepatan terminal penerjun payung
Kecepatan terminal terjun payung merupakan kecepatan  dimana  besar  nilai  gaya  berat  benda (𝑊) penerjun  sama  dengan  besar  nilai  gaya  drag (𝐹 𝑑 ) atau hambatan udara. Gaya berat yang menyebabkan penerjun bergerak vertikal kebawah  suatu saat akan sama nilainya
dengan  gaya  hambat  udara.  karena  gaya  berat  bernilai konstan  sedangkan  gaya  hambat  udara  semakin meningkat  nilainya.  Gaya  berat  memiliki  nilai  konstan karena  hanya  dipengaruhi  oleh  massa  dan  gravitasi. Sedangkan  gaya  hambat  udara  memiliki  nilai  yang bervariasi  sesuai  dengan  kecepatan  penerjun  payung. Pada saat penerjun payung melompat dari pesawat, gaya yang menyebabkan penerjun bergerak adalah gaya berat. Karena penerjun memiliki percepatan gravitasi dari gaya berat maka benda akan bergerak dengan kecepatan yang semakin  cepat  setiap  saat.  Namun  pada  saat  penerjun jatuh  bebas  juga  terdapat  gaya  hambat  udara  yang dipengaruhi  oleh  kecepatan  penerjun.  Jadi  disatu  sisi gaya berat menambah kecepatan benda namun disisi lain dengan  bertambahnya  kecepatan  juga  menambah  gaya hambat  udara.  Gaya  hambat  udara  merupakan  gaya penahan  yang  disebabkan  oleh  aliran  fluida  terhadap benda  yang  bergerak.  Dengan  bertambahnya  gaya hambat udara dan konstannya gaya berat maka suatu saat akan  terdapat  kesetimbangan,  yang  artinya  besar  gaya hambat  udara  sama  dengan  besar  gaya  berat.  Sesuai dengan  Hukum  II  Newton,  maka  resultan  gaya  yang bekerja  pada  benda  akan  sama  dengan  0.  Dan  sesuai dengan  Hukum  I  Newton,  ketika  resultan  gaya  yang bekerja  pada  benda  sama  dengan  0  maka  benda cenderung  tetap  diam  atau  bergerak  dengan  kecepatan konstan.[3]

## IV. KESIMPULAN
Berdasarkan  hasil  analisis  dan  pembahasan  pada bab sebelumnya, dapat disimpulkan beberapa hal sebagai berikut:
1. Model  matematika  dari  pergerakan  penerjun payung  dengan  perubahan  posisi  adalah  sebagai berikut :
 Gerak translasi
𝑣(𝑡) = 𝑚𝑔 𝑘 (1 − 𝑒 − 𝑘 𝑚 𝑡 ) 𝑥(𝑡) = 𝑥 0 + 𝑚𝑔 𝑘 𝑡 + 𝑚 2 𝑔 𝑘 2 (𝑒 − 𝑘 𝑚 𝑡 − 1)

##  Gerak Rotasi
𝑣(𝑡) = 𝑚𝑔 sin 𝛼 𝑘 (1 − 𝑒 − 𝑘 𝑚 𝑡 )
𝑥(𝑡) = 𝑥 0 + 𝑚𝑔 sin 𝛼 𝑘 𝑡 + 𝑚 2 𝑔 sin 𝛼 𝑘 2 (𝑒 − 𝑘 𝑚 𝑡 − 1)
2. Waktu  yang  aman  digunakan  penerjun  payung untuk  membuka  parasutnya  jika  ia  melompat  dari pesawat  pada  ketinggian  5000  meter  adalah sebelum  pada  detik  ke  33  yaitu  pada  ketinggian sekitar ± 400 meter tentunya dengan tetap memperhatikan lingkungan sekitar.
3. Besar kecepatan terminal penerjun tergantung berat dan posisi tubuh penerjun selama di udara.

## DAFTAR PUSTAKA
[1]  Moniuszko,  J. (2010). Modellling  dynamics  and aerodynamics  tests  of  a  sport  parachute jumper during  flight  in  sitfly  position. Polnad.  Vol.  12 No. 3
[2]  Ru-Yi,  T.  (2013). Characteristic  Analysis  of Flying  Process  of  Dispensed  Object  with Deceleration Parachute. Vol. 3. No. 1
[3]  Long,  Lyle  N.(1999). Velocity  dependence  of Aerodynamic drag. Univercity park. Washington.
[1] [4]  Meade,  Douglas  B.  &  Struthers,  Allan  A. (1999). Differential  Equations  in  the  New Millenium:  the  Parachute  Problem. Dept.of
Mathematic University of South Corolina,
Colombia.