INFERENSI, Vol. 5(1), March 2022. ISSN: 0216-308X (Print) 2721-3862 (Online)

## Penerapan Keluarga Model Spline Truncated Polinomial pada Regresi Nonparametrik
Andrea Tri Rian Dani 1* , Ludia Ni’matuzzahroh 2 1 Program Studi Statistika, Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Mulawarman, Samarinda, Kalimantan Timur, Indonesia 2 Departemen Statistika, Fakultas Sains dan Analitika Data, Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya, Jawa Timur, Indonesia
*Corresponding author: andreatririandani98@gmail.com
ABSTRAK – Salah satu pendekatan yang sering digunakan oleh para peneliti untuk mengetahui bentuk pola hubungan antara variabel respon dan variabel prediktor dalam analisis regresi, yaitu pendekatan nonparametrik, dimana pendekatan tersebut digunakan ketika kurva regresi  diduga polanya  tidak diketahui.  Spline truncated merupakan model polinomial dalam regresi nonparametrik yang memiliki sifat tersegmen, dimana sifat tersebut memberikan fleksibilitas yang lebih bagus dibandingkan model polinomial biasa, serta mampu menangani data yang perilakunya berubah pada sub-sub interval tertentu karena adanya titik-titik knot di dalamnya. Pada penelitian ini bertujuan untuk menerapkan keluarga model spline truncated polinomial pada regresi  nonparametrik  dalam kasus data otomotif. Metode estimasi yang digunakan  yaitu Ordinary Least Square (OLS). Banyaknya titik knot yang dicobakan yaitu sebanyak 1 hingga 4 titik knot dengan derajat 𝒑𝒑 = 𝟏𝟏 , 𝟐𝟐 , 𝟑𝟑 . Berdasarkan hasil analisis, diperoleh model terbaik  yang menghasilkan nilai GCV terkecil  yaitu model regresi nonparametrik  spline truncated kuadratik dengan 4 titik knot, dimana menghasilkan nilai GCV sebesar 522,27 serta nilai koefisien determinasi sebesar 79,77%.

## Kata Kunci – GCV, Regresi Nonparametrik, Spline Truncated Polinomial

## I. PENDAHULUAN
Analisis regresi merupakan metode analisis dalam statistika yang berperan dalam melihat pola atau dengan kata lain pattern antara variabel respon dan prediktor. Bentuk pola hubungan antara variabel respon dan variabel prediktor dalam analisis regresi tidak selalu dapat didekati dengan pendekatan  parametrik, yang mana bentuk kurva regresi diasumsikan  dapat  diketahui  yaitu  seperti kuadratik,  linier,  kubik, dan lain sebagainya.  Akan tetapi juga terdapat banyak kasus, dimana bentuk pola hubungan antar variabel respon dan variabel prediktor perlu didekati menggunakan pendekatan semiparametrik dan pendekatan nonparametrik. Pendekatan regresi semiparametrik digunakan apabila  bentuk kurva regresi sebagian  dapat  diketahui dan sebagian tidak  dapat  diketahui. Sedangkan pendekatan regresi nonparametrik dapat digunakan ketika bentuk kurva regresi diasumsikan tidak diketahui.
Model regresi nonparametrik yang sering digunakan oleh para peneliti, salah satunya yaitu spline. Model regresi nonparametrik spline merupakan model yang memiliki interpretasi visual khusus dan interpretasi statistik yang sangat baik [1]. Spline sendiri adalah model polinomial yang mempunyai sifat tersegmen, dimana sifat tersebut memberikan fleksibilitas yang lebih bagus  dibandingkan  model polinomial biasa. Budiantara (2005)  telah mengembangkan estimator  spline dalam pendekatan  regresi  nonparametrik  menggunakan basis fungsi keluarga spline truncated. Kelebihan dari spline truncated yaitu memiliki kemampuan sangat baik dalam menangani data yang perilakunya berubah pada sub-sub interval tertentu [3], serta dengan adanya titik-titik knot dapat menghasilkan kurva regresi yang relatif mulus  karena mampu   mengatasi pola data yang menunjukkan  pola  naik dan  pola  turun yang tajam [4]. Menurut Montoya, dkk (2014), dalam membangun model regresi spline truncated, terdapat beberapa hal yang perlu diperhatikan, diantaranya menentukan jumlah derajat dari model regresi, jumlah titik knot, dan lokasi titik knot berada.
Menurut  Budiantara (2019),  regresi nonparametrik dengan fungsi spline truncated ini dikembangkan karena adanya kelemahan-kelemahan yang dimiliki oleh fungsi polinomial, salah satunya yaitu bersifat global. Fungsi spline truncated merupakan suatu fungsi yang masih mempertahankan sifat dari fungsi polinomial, yang dirancang dengan cara memodifikasi fungsi polinomial.  Berdasarkan kejadian-kejadian khusus dari fungsi spline truncated dengan derajat p , dimana p = 1, 2, 3; maka akan diperoleh tiga bentuk fungsi spline truncated. Apabila p = 1 maka akan diperoleh fungsi spline truncated linier, apabila p = 2 maka akan diperoleh fungsi spline truncated kuadratik, dan apabila p = 3 maka akan diperoleh fungsi spline truncated kubik. Pendekatan regresi nonparametrik spline truncated telah digunakan dan dikembangkan dalam penelitian sebelumnya, beberapa diantaranya yaitu oleh [7]–[17].
Pendekatan regresi nonparametrik spline truncated tidak hanya dapat diterapkan pada bidang kesehatan, sosial, ekonomi, dan lain sebagainya. Akan tetapi juga dapat diterapkan pada bidang ilmu yang membahas tentang sistem kendaraan bermotor, yaitu otomotif. Beberapa variabel yang menyangkut kasus otomotif yaitu diantaranya variabel akselerasi sepeda motor dan variabel waktu.
Berdasarkan uraian di atas, maka pada penelitian ini akan menggunakan bentuk pola hubungan antara variabel akselerasi sepeda motor ( y ) dan variabel waktu ( x )  untuk  menerapkan keluarga model spline truncated polinomial
Received: 16 Maret 2022
Accepted: 30 Maret 2022
Published: 6 April 2022

## INFERENSI, Vol. 5(1), March 2022. ISSN: 0216-308X (Print) 2721-3862 (Online)
pada regresi nonparametrik. Kemudian bentuk pola hubungan antara kedua variabel tersebut akan dimodelkan dengan pendekatan regresi nonparametrik spline truncated dengan menggunakan kombinasi banyaknya titik knot dan derajat p .  Penelitian ini bertujuan untuk membuktikan bahwa pendekatan regresi nonparametrik spline truncated mampu memberikan fleksibilitas yang baik dalam proses estimasi kurva regresi.

## II. METODOLOGI PENELITIAN

## A. Regresi Nonparametrik
Pada saat bentuk kurva regresi antara variabel respon dan variabel prediktor tidak mengacu pada  suatu pola tertentu atau tidak terdapat informasi di masa lalu yang lengkap tentang pola data, maka dapat digunakan pendekatan regresi nonparametrik. Pendekatan regresi nonparametrik  mempunyai  fleksibilitas yang tinggi, dikarenakan  data diharapkan  mampu  mencari sendiri bentuk estimasinya tanpa dipengaruhi  subyektifitas peneliti [3].  Secara umum, model dari pendekatan regresi nonparametrik seperti pada Persamaan (1).
𝑦𝑦 𝑖𝑖 = 𝑚𝑚 ( 𝑥𝑥 𝑖𝑖 ) + 𝜀𝜀 𝑖𝑖 ; 𝑖𝑖 = 1,2, … , 𝑛𝑛 (1)
dimana:
𝑦𝑦 𝑖𝑖 : variabel respon
𝑥𝑥 𝑖𝑖 : variabel prediktor 𝑚𝑚 ( 𝑥𝑥 𝑖𝑖 ) : fungsi dari kurva regresi yang akan dihampiri 𝜀𝜀 𝑖𝑖 : error random yang diasumsikan IIDN dengan mean bernilai nol dan variasi 𝜎𝜎 2 .

## B. Regresi Nonparametrik Spline Truncated
Pendekatan regresi nonparametrik spline truncated  atau estimator spline truncated cenderung  memiliki kemampuan yang baik dalam menangani/mengatasi pola data yang perilakunya menunjukkan perubahan pada sub- sub interval tertentu. Hal tersebut terjadi karena dalam fungsi spline truncated terdapat titik-titik knot. Ilustrasi dari titik knot ditampilkan pada Gambar 1.

## Gambar 1 Ilustrasi dari Titik Knot
Secara umum, model regresi nonparametrik spline truncated univariabel dapat dituliskan seperti pada Persamaan (2).
𝑦𝑦 𝑖𝑖 = 𝑚𝑚 ( 𝑥𝑥 𝑖𝑖 ) + 𝜀𝜀 𝑖𝑖 ; 𝑖𝑖 = 1,2, … , 𝑛𝑛 (2)
dengan,
𝑚𝑚 ( 𝑥𝑥 𝑖𝑖 ) = � 𝛽𝛽 𝑗𝑗 𝑥𝑥 𝑖𝑖 𝑗𝑗 𝑝𝑝 𝑗𝑗=0 + � 𝛽𝛽 𝑝𝑝+𝑘𝑘 ( 𝑥𝑥 𝑖𝑖 − 𝐾𝐾 𝑘𝑘 ) + 𝑝𝑝 𝑟𝑟 𝑘𝑘=1 dan komponen truncatednya: ( 𝑥𝑥 𝑖𝑖 − 𝐾𝐾 𝑘𝑘 ) + 𝑝𝑝 = � ( 𝑥𝑥 𝑖𝑖 − 𝐾𝐾 𝑘𝑘 ) 𝑝𝑝 ; 𝑥𝑥 ≥ 𝐾𝐾 𝑘𝑘
0 ; 𝑥𝑥 < 𝐾𝐾 𝑘𝑘 dimana:
𝑦𝑦 𝑖𝑖 : variabel respon 𝑥𝑥 𝑖𝑖
: variabel prediktor 𝑚𝑚 ( 𝑥𝑥 𝑖𝑖 ) : fungsi regresi nonparametrik spline truncated 𝜀𝜀 𝑖𝑖
: error random yang diasumsikan IIDN dengan mean bernilai nol dan variasi 𝜎𝜎 2
𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥 𝑖𝑖 ) = � 𝛽𝛽 𝑗𝑗 𝑥𝑥 𝑖𝑖 𝑗𝑗 𝑝𝑝
𝑗𝑗=0
: komponen polinomial
� 𝛽𝛽 𝑝𝑝+𝑘𝑘 ( 𝑥𝑥 𝑖𝑖 − 𝐾𝐾 𝑘𝑘 ) + 𝑝𝑝
𝑟𝑟
𝑘𝑘=1
: komponen truncated

## INFERENSI, Vol. 5(1), March 2022. ISSN: 0216-308X (Print) 2721-3862 (Online)
Berdasarkan model pada Persamaan (2) dapat dijabarkan untuk setiap 𝑖𝑖 = 1,2, … , 𝑛𝑛 𝑖𝑖 = 1 , maka 𝑦𝑦 1 = � 𝛽𝛽 𝑗𝑗 𝑥𝑥 1 𝑗𝑗 𝑝𝑝 𝑗𝑗=0 + � 𝛽𝛽 𝑝𝑝+𝑘𝑘 ( 𝑥𝑥 1 − 𝐾𝐾 𝑘𝑘 ) + 𝑝𝑝 𝑟𝑟 𝑘𝑘=1 + 𝜀𝜀 1
(3)
𝑖𝑖 = 2 , maka 𝑦𝑦 2 = � 𝛽𝛽 𝑗𝑗 𝑥𝑥 2 𝑗𝑗 𝑝𝑝 𝑗𝑗=0 + � 𝛽𝛽 𝑝𝑝+𝑘𝑘 ( 𝑥𝑥 2 − 𝐾𝐾 𝑘𝑘 ) + 𝑝𝑝 𝑟𝑟 𝑘𝑘=1 + 𝜀𝜀 2 ⋮ 𝑖𝑖 = 𝑛𝑛 , maka 𝑦𝑦 𝑛𝑛 = � 𝛽𝛽 𝑗𝑗 𝑥𝑥 𝑛𝑛 𝑗𝑗 𝑝𝑝 𝑗𝑗=0 + � 𝛽𝛽 𝑝𝑝+𝑘𝑘 ( 𝑥𝑥 𝑛𝑛 − 𝐾𝐾 𝑘𝑘 ) + 𝑝𝑝 𝑟𝑟 𝑘𝑘=1 + 𝜀𝜀 𝑛𝑛
Penjabaran model regresi nonparametrik spline truncated pada Persamaan (3) dapat dibentuk matriks:
� 𝑦𝑦 1 𝑦𝑦 2 ⋮ 𝑦𝑦 𝑛𝑛 � = ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ 1 𝑥𝑥 1 1 𝑥𝑥 1 2 … 𝑥𝑥 1 𝑝𝑝 ⋮ ( 𝑥𝑥 1 − 𝐾𝐾 1 ) + 𝑝𝑝 … ( 𝑥𝑥 1 − 𝐾𝐾 𝑟𝑟 ) + 𝑝𝑝
1 𝑥𝑥 2 1 𝑥𝑥 2 2 … 𝑥𝑥 2 𝑝𝑝 ⋮ ( 𝑥𝑥 2 − 𝐾𝐾 1 ) + 𝑝𝑝 … ( 𝑥𝑥 2 − 𝐾𝐾 𝑟𝑟 ) + 𝑝𝑝 ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 1 𝑥𝑥 𝑛𝑛 1 𝑥𝑥 𝑛𝑛 2 … 𝑥𝑥 𝑛𝑛 𝑝𝑝 ⋮ ( 𝑥𝑥 𝑛𝑛 − 𝐾𝐾 1 ) + 𝑝𝑝 … ( 𝑥𝑥 𝑛𝑛 − 𝐾𝐾 𝑟𝑟 ) + 𝑝𝑝 ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤ � 𝛽𝛽 0 𝛽𝛽 1 ⋮ 𝛽𝛽 𝑝𝑝+𝑟𝑟 � + � 𝜀𝜀 1 𝜀𝜀 2 ⋮ 𝜀𝜀 𝑛𝑛 � (4)
Kemudian dapat dibentuk dalam notasi matriks sebagai berikut:
𝑦𝑦� = 𝑿𝑿𝛽𝛽� + 𝜀𝜀̃ (5)
dimana 𝑦𝑦� merupakan vektor dari variabel respon berukuran 𝑛𝑛 × 1 , 𝑿𝑿 merupakan matriks berukuran 𝑛𝑛 × ( 𝑚𝑚 + 𝑟𝑟 + 1) , 𝛽𝛽� merupakan vektor parameter koefisien regresi yang akan diestimasi dan berukuran ( 𝑚𝑚 + 𝑟𝑟 + 1) × 1 , serta 𝜀𝜀̃ merupakan vektor error random berukuran 𝑛𝑛 × 1 . Pada penelitian ini, parameter 𝛽𝛽� diestimasi menggunakan metode OLS ( Ordinary Least Square ), yaitu estimator didapatkan dengan cara meminimumkan jumlah kuadrat error . Berdasarkan Persamaan (5), maka estimator 𝛽𝛽� dapat diperoleh dengan cara menyelesaikan optimasi OLS sebagai berikut:
𝑚𝑚𝑖𝑖𝑛𝑛�𝑄𝑄�𝛽𝛽��� = 𝑚𝑚𝑖𝑖𝑛𝑛 ��𝑦𝑦� − 𝑿𝑿𝛽𝛽�� 𝑇𝑇 �𝑦𝑦� − 𝑿𝑿𝛽𝛽���
(6)
Optimasi pada Persamaan (6) dapat diselesaikan sebagai berikut:
𝑄𝑄�𝛽𝛽�� = �𝑦𝑦� − 𝑿𝑿𝛽𝛽�� 𝑇𝑇 �𝑦𝑦� − 𝑿𝑿𝛽𝛽�� = �𝑦𝑦� 𝑇𝑇 − 𝑿𝑿 𝑇𝑇 𝛽𝛽� 𝑇𝑇 ��𝑦𝑦� − 𝑿𝑿𝛽𝛽�� = 𝑦𝑦� 𝑇𝑇 𝑦𝑦� − 2 𝛽𝛽� 𝑇𝑇 𝑿𝑿 𝑇𝑇 𝑦𝑦� + 𝛽𝛽� 𝑇𝑇 𝑿𝑿 𝑇𝑇 𝑿𝑿𝛽𝛽�
(7)
Kemudian melakukan derivatif parsial 𝑄𝑄�𝛽𝛽�� terhadap 𝛽𝛽� untuk mendapatkan estimator 𝛽𝛽� .
𝜕𝜕𝑄𝑄�𝛽𝛽�� 𝜕𝜕𝛽𝛽� = 𝜕𝜕�𝑦𝑦� 𝑇𝑇 𝑦𝑦� − 2 𝛽𝛽� 𝑇𝑇 𝑿𝑿 𝑇𝑇 𝑦𝑦� + 𝛽𝛽� 𝑇𝑇 𝑿𝑿 𝑇𝑇 𝑿𝑿𝛽𝛽�� 𝜕𝜕𝛽𝛽� = − 2 𝑿𝑿 𝑇𝑇 𝑦𝑦� + 2 𝑿𝑿 𝑇𝑇 𝑿𝑿𝛽𝛽� (8)
Selanjutnya derivatif parsial pada Persamaan (8) disama dengankan nol, sehingga:
− 2 𝑿𝑿 𝑇𝑇 𝑦𝑦� + 2 𝑿𝑿 𝑇𝑇 𝑿𝑿𝛽𝛽�̂ = 0 (9)
Persamaan (9) dapat ditulis:
𝑿𝑿 𝑇𝑇 𝑿𝑿𝛽𝛽�̂ = 𝑿𝑿 𝑇𝑇 𝑦𝑦� (10)
Berdasarkan Persamaan (10), maka diperoleh estimator 𝛽𝛽�̂ sebagai berikut: 𝛽𝛽�̂ = ( 𝑿𝑿 𝑇𝑇 𝑿𝑿 ) −1 𝑿𝑿 𝑇𝑇 𝑦𝑦� (11)
Berdasarkan model pada Persamaan (2) serta apabila menggunakan satu variabel respon dan satu variabel prediktor, maka dapat dibuat model regresi nonparametrik spline truncated derajat p dimana ( 𝑝𝑝 = 1,2,3 ) dengan titik-titik knot pada titik-titik 𝐾𝐾 1 , 𝐾𝐾 2 , 𝐾𝐾 3 , 𝐾𝐾 4 sebagai berikut:
1. Model regresi nonparametrik spline truncated linier ( 𝑝𝑝 = 1 ) dengan 1 titik knot ( K 1 ) 𝑦𝑦� = 𝛽𝛽̂ 0 + 𝛽𝛽̂ 1 𝑥𝑥 1 + 𝛽𝛽̂ 2 ( 𝑥𝑥 1 − 𝐾𝐾 1 ) + 2. Model regresi nonparametrik spline truncated kuadratik ( 𝑝𝑝 = 2 ) dengan 1 titik knot ( K 1 ) 𝑦𝑦� = 𝛽𝛽̂ 0 + 𝛽𝛽̂ 1 𝑥𝑥 1 + 𝛽𝛽̂ 2 𝑥𝑥 1 2 + 𝛽𝛽̂ 3 ( 𝑥𝑥 1 − 𝐾𝐾 1 ) + 2
3. Model regresi nonparametrik spline truncated kubik ( 𝑝𝑝 = 3 ) dengan 1 titik knot ( K 1 ) 𝑦𝑦� = 𝛽𝛽̂ 0 + 𝛽𝛽̂ 1 𝑥𝑥 1 + 𝛽𝛽̂ 2 𝑥𝑥 1 2 + 𝛽𝛽̂ 3 𝑥𝑥 1 3 + 𝛽𝛽̂ 4 ( 𝑥𝑥 1 − 𝐾𝐾 1 ) + 3
4. Model regresi nonparametrik spline truncated linier ( 𝑝𝑝 = 1 ) dengan 2 titik knot ( K 2 ) 𝑦𝑦� = 𝛽𝛽̂ 0 + 𝛽𝛽̂ 1 𝑥𝑥 1 + 𝛽𝛽̂ 2 ( 𝑥𝑥 1 − 𝐾𝐾 1 ) + + 𝛽𝛽̂ 3 ( 𝑥𝑥 1 − 𝐾𝐾 2 ) + 5. Model regresi nonparametrik spline truncated kuadratik ( 𝑝𝑝 = 2 ) dengan 2 titik knot ( K 2 ) 𝑦𝑦� = 𝛽𝛽̂ 0 + 𝛽𝛽̂ 1 𝑥𝑥 1 + 𝛽𝛽̂ 2 𝑥𝑥 1 2 + 𝛽𝛽̂ 3 ( 𝑥𝑥 1 − 𝐾𝐾 1 ) + 2 + 𝛽𝛽̂ 4 ( 𝑥𝑥 1 − 𝐾𝐾 2 ) + 2
6. Model regresi nonparametrik spline truncated kubik ( 𝑝𝑝 = 3 ) dengan 2 titik knot ( K 2 ) 𝑦𝑦� = 𝛽𝛽̂ 0 + 𝛽𝛽̂ 1 𝑥𝑥 1 + 𝛽𝛽̂ 2 𝑥𝑥 1 2 + 𝛽𝛽̂ 3 𝑥𝑥 1 3 + 𝛽𝛽̂ 4 ( 𝑥𝑥 1 − 𝐾𝐾 1 ) + 3 + 𝛽𝛽̂ 5 ( 𝑥𝑥 1 − 𝐾𝐾 2 ) + 3
7. Model regresi nonparametrik spline truncated linier ( 𝑝𝑝 = 1 ) dengan 3 titik knot ( K 3 ) 𝑦𝑦� = 𝛽𝛽̂ 0 + 𝛽𝛽̂ 1 𝑥𝑥 1 + 𝛽𝛽̂ 2 ( 𝑥𝑥 1 − 𝐾𝐾 1 ) + + 𝛽𝛽̂ 3 ( 𝑥𝑥 1 − 𝐾𝐾 2 ) + + 𝛽𝛽̂ 4 ( 𝑥𝑥 1 − 𝐾𝐾 3 ) + 8. Model regresi nonparametrik spline truncated kuadratik ( 𝑝𝑝 = 2 ) dengan 3 titik knot ( K 3 ) 𝑦𝑦� = 𝛽𝛽̂ 0 + 𝛽𝛽̂ 1 𝑥𝑥 1 + 𝛽𝛽̂ 2 𝑥𝑥 1 2 + 𝛽𝛽̂ 3 ( 𝑥𝑥 1 − 𝐾𝐾 1 ) + 2 + 𝛽𝛽̂ 4 ( 𝑥𝑥 1 − 𝐾𝐾 2 ) + 2 + 𝛽𝛽̂ 5 ( 𝑥𝑥 1 − 𝐾𝐾 3 ) + 2

## INFERENSI, Vol. 5(1), March 2022. ISSN: 0216-308X (Print) 2721-3862 (Online)
9. Model regresi nonparametrik spline truncated kubik ( 𝑝𝑝 = 3 ) dengan 3 titik knot ( K 3 ) 𝑦𝑦� = 𝛽𝛽̂ 0 + 𝛽𝛽̂ 1 𝑥𝑥 1 + 𝛽𝛽̂ 2 𝑥𝑥 1 2 + 𝛽𝛽̂ 3 𝑥𝑥 1 3 + 𝛽𝛽̂ 4 ( 𝑥𝑥 1 − 𝐾𝐾 1 ) + 3 + 𝛽𝛽̂ 5 ( 𝑥𝑥 1 − 𝐾𝐾 2 ) + 3 + 𝛽𝛽̂ 6 ( 𝑥𝑥 1 − 𝐾𝐾 3 ) + 3 10. Model regresi nonparametrik spline truncated linier ( 𝑝𝑝 = 1 ) dengan 4 titik knot ( K 4 ) 𝑦𝑦� = 𝛽𝛽̂ 0 + 𝛽𝛽̂ 1 𝑥𝑥 1 + 𝛽𝛽̂ 2 ( 𝑥𝑥 1 − 𝐾𝐾 1 ) + + 𝛽𝛽̂ 3 ( 𝑥𝑥 1 − 𝐾𝐾 2 ) + + 𝛽𝛽̂ 4 ( 𝑥𝑥 1 − 𝐾𝐾 3 ) + + 𝛽𝛽̂ 5 ( 𝑥𝑥 1 − 𝐾𝐾 4 ) +
11. Model regresi nonparametrik spline truncated kuadratik ( 𝑝𝑝 = 2 ) dengan 4 titik knot ( K 4 ) 𝑦𝑦� = 𝛽𝛽̂ 0 + 𝛽𝛽̂ 1 𝑥𝑥 1 + 𝛽𝛽̂ 2 𝑥𝑥 1 2 + 𝛽𝛽̂ 3 ( 𝑥𝑥 1 − 𝐾𝐾 1 ) + 2 + 𝛽𝛽̂ 4 ( 𝑥𝑥 1 − 𝐾𝐾 2 ) + 2 + 𝛽𝛽̂ 5 ( 𝑥𝑥 1 − 𝐾𝐾 3 ) + 2 + 𝛽𝛽̂ 6 ( 𝑥𝑥 1 − 𝐾𝐾 4 ) + 2
12. Model regresi nonparametrik spline truncated kubik ( 𝑝𝑝 = 3 ) dengan 4 titik knot ( K 4 ) 𝑦𝑦� = 𝛽𝛽̂ 0 + 𝛽𝛽̂ 1 𝑥𝑥 1 + 𝛽𝛽̂ 2 𝑥𝑥 1 2 + 𝛽𝛽̂ 3 𝑥𝑥 1 3 + 𝛽𝛽̂ 4 ( 𝑥𝑥 1 − 𝐾𝐾 1 ) + 3 + 𝛽𝛽̂ 5 ( 𝑥𝑥 1 − 𝐾𝐾 2 ) + 3 + 𝛽𝛽̂ 6 ( 𝑥𝑥 1 − 𝐾𝐾 3 ) + 3 + 𝛽𝛽̂ 7 ( 𝑥𝑥 1 − 𝐾𝐾 4 ) + 3
C. Penentuan Titik Knot Optimal P enentuan  titik knot  yang  optimal merupakan hal yang sangat penting dalam regresi nonparametrik spline truncated. Titik knot merupakan titik perpaduan bersama dimana adanya perubahan perilaku pola data interval yang berbeda [18]. Terdapat beberapa metode dalam menentukan titik knot optimal yang telah dikembangkan oleh peneliti, salah satunya yaitu menggunakan Generalized Cross-Validation (GCV)  [19].  Model regresi nonparametrik  spline truncated yang terbaik adalah model dengan titik knot optimal yang diperoleh dari nilai GCV terkecil [2], [20]-[21]. Rumus GCV adalah sebagai berikut:
𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺�𝐾𝐾�� = 𝑛𝑛 −1 ∑ ( 𝑦𝑦 𝑖𝑖 − 𝑦𝑦� 𝑖𝑖 ) 2 𝑛𝑛 𝑖𝑖=1 �𝑛𝑛 −1 𝑡𝑡𝑟𝑟𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 �𝑰𝑰 − 𝑨𝑨�𝐾𝐾����
2 (12)
dimana:
𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺�𝐾𝐾�� : vektor yang memuat nilai GCV dari titik-titik knot
𝑛𝑛 −1 : banyaknya pengamatan sebanyak n
𝑨𝑨�𝐾𝐾�� : matriks yang memuat titik knot 𝐾𝐾� = ( 𝐾𝐾 1 , 𝐾𝐾 2 , … , 𝐾𝐾 𝑟𝑟 ) 𝑇𝑇 diperoleh 𝑿𝑿�𝐾𝐾�� �𝑿𝑿�𝐾𝐾�� 𝑇𝑇 𝑿𝑿�𝐾𝐾��� −1 𝑿𝑿�𝐾𝐾�� 𝑇𝑇

## D. Sumber Data dan Variabel Penelitian
Data yang digunakan dalam penelitian ini  merupakan data sekunder yang diperoleh dari https://vincentarelbundock.github.io/Rdatasets/datasets.html terkait Simulated Motorcycle Accident .  Variabel yang digunakan dalam penelitian ini terdiri dari satu variabel respon dan satu variabel prediktor. Variabel respon:
Variabel prediktor:
𝑦𝑦 : akselerasi sepeda motor
𝑥𝑥
: waktu

## E. Langkah-Langkah Penelitian
Langkah-langkah yang dilakukan dalam penelitian ini disusun untuk menyelesaikan tujuan penelitian, yaitu menerapkan keluarga spline truncated polinomial  pada  regresi  nonparametrik  dalam  kasus data otomotif  untuk membuktikan bahwa pendekatan regresi nonparametrik spline truncated mampu memberikan fleksibilitas yang baik dalam proses estimasi kurva regresi.
1. Membuat scatter plot antara variabel respon dan variabel prediktor.
2. Memodelkan data penelitian menggunakan model regresi nonparametrik  spline truncated, dengan  titik knot antara 1, 2, 3, hingga 4 titik knot dan derajat 𝑝𝑝 = 1 ,2, 3 (linier, kuadratik, kubik).
3. Menentukan titik knot optimal dengan menggunakan metode Generalized Cross-Validation (GCV), dimana titik knot yang optimal diperoleh dari hasil nilai GCV yang terkecil.
4. Menghitung nilai koefisien determinasi ( 𝑅𝑅 2 ) sebagai kriteria kebaikan model.
5. Melakukan interpretasi dari model nonparametrik spline truncated yang terbaik.

## III. ANALISIS DAN PEMBAHASAN
Analisis dimulai dengan menampilkan diagram pencar ( scatter plot ) untuk melihat pola dari variabel prediktor terhadap variabel respon. Diagram pencar ditampilkan pada Gambar 2.
INFERENSI, Vol. 5(1), March 2022. ISSN: 0216-308X (Print) 2721-3862 (Online)

## Gambar 2 Scatter Plot
Berdasarkan Gambar 2, terlihat jika pola hubungan antara variabel prediktor terhadap variabel respon menunjukkan karakteristik yaitu berubah-ubah  pada sub-sub interval tertentu. Sehingga pada penelitian ini, akan dilakukan pemodelan dengan menggunakan keluarga model spline truncated polinomial.

## A. Pemodelan Keluarga Model Spline Truncated Polinomial
Seperti yang telah dijelaskan sebelumnya, jika pendekatan regresi nonparametrik spline truncated cenderung memiliki kemampuan yang  bagus  dalam menangani data yang mempunyai perilaku  berubah-ubah pada sub-sub interval tertentu. Berdasarkan Gambar 2, kondisi tersebut terpenuhi. Hasil pemodelan regresi nonparametrik dengan menggunakan keluarga model spline truncated polinomial dengan derajat p=1 dan jumlah titik knot yang dicobakan sebanyak 𝐾𝐾 1 , 𝐾𝐾 2 , 𝐾𝐾 3 , 𝐾𝐾 4 ditampilkan pada Gambar 3. (a) 1 Titik Knot (b) 2 Titik Knot (c) 3 Titik Knot (d) 4 Titik Knot
Gambar 3 Hasil Estimasi Kurva Regresi Spline Truncated p=1 (Linear)
Hasil pemodelan regresi nonparametrik dengan menggunakan keluarga model spline truncated polinomial dengan derajat p=2 dan jumlah titik knot yang dicobakan adalah sama ditampilkan pada Gambar 4.
INFERENSI, Vol. 5(1), March 2022. ISSN: 0216-308X (Print) 2721-3862 (Online)
(a) 1 Titik Knot (b) 2 Titik Knot
(c) 3 Titik Knot
(d) 4 Titik Knot
Gambar 4 Hasil Estimasi Kurva Regresi Spline Truncated p=2 (Kuadratik)
Hasil pemodelan regresi nonparametrik dengan menggunakan keluarga model spline truncated polinomial dengan derajat p=3 dan jumlah titik knot yang dicobakan adalah sama ditampilkan pada Gambar 4.
(a) 1 Titik Knot (b) 2 Titik Knot (c) 3 Titik Knot (d) 4 Titik Knot
Gambar 5 Hasil Estimasi Kurva Regresi Spline Truncated p=3 (Kubik)
Berdasarkan  Gambar 3, 4, dan 5, hasil estimasi kurva regresi dengan menggunakan pendekatan regresi nonparametrik spline truncated keluarga polinomial cenderung mengikuti pola data aktualnya. Terlihat juga semakin banyak jumlah titik knot yang digunakan, maka akan mengikuti pola hubungannya.
INFERENSI, Vol. 5(1), March 2022. ISSN: 0216-308X (Print) 2721-3862 (Online)

## B. Penentuan Model Terbaik
Penentuan  model terbaik dari model regresi nonparametrik spline truncated polinomial dilakukan berdasarkan nilai GCV terkecil yang didukung dengan nilai Koefisien Determinasi (R 2 ) yang lebih besar. Pada Tabel 1, ditampilkan kembali hasil estimasi dari model-model spline truncated polinomial:

## Tabel 1
Tabulasi Hasil Estimasi Jumlah Knot Model Regresi GCV Minimum MSE Koefisien Determinasi 1 Spline Linear 1578,23 1507,83 34,93% Spline Kuadratik 1447,86 1362,08 41,22% Spline Kubik 1510,80 1421,29 39,03% 2 Spline Linear 783,75 737,32 68,18% Spline Kuadratik 917,51 849,82 63,32% Spline Kubik 891,32 825,56 65,11% 3 Spline Linear 548,83 508,34 78,06% Spline Kuadratik 561,93 512,37 77,88% Spline Kubik 593,08 540,78 76,59% 4 Spline Linear 536,50 489,18 78,89% Spline Kuadratik 522,27 468,75 79,77% Spline Kubik 534,10 479,36 79,27%
Berdasarkan Tabel 1, terlihat model regresi nonparametrik spline truncated polinomial yang terbaik adalah model regresi spline truncated kuadratik dengan 4 titik knot, dimana memiliki nilai GCV yang terkecil sebesar 522,27 dan nilai Koefisien Determinasi (R 2 ) yaitu sebesar 79,77%. Model akhir nya dapat dituliskan sebagai berikut: 𝑦𝑦� = 𝛽𝛽̂ 0 + 𝛽𝛽̂ 1 𝑥𝑥 1 + 𝛽𝛽̂ 2 𝑥𝑥 1 2 + 𝛽𝛽̂ 3 ( 𝑥𝑥 1 − 𝐾𝐾 1 ) + 2 + 𝛽𝛽̂ 4 ( 𝑥𝑥 1 − 𝐾𝐾 2 ) + 2 + 𝛽𝛽̂ 5 ( 𝑥𝑥 1 − 𝐾𝐾 3 ) + 2 + 𝛽𝛽̂ 6 ( 𝑥𝑥 1 − 𝐾𝐾 4 ) + 2
𝑦𝑦� = − 5,70 + 1,63 𝑥𝑥 1 − 0,13 𝑥𝑥 1 2 − 6,25( 𝑥𝑥 1 − 13,9) + 2 + 9,68( 𝑥𝑥 1 − 16,2) + 2 − 5,73( 𝑥𝑥 1 − 25,4) + 2 + 2,54( 𝑥𝑥 1 − 32,3) + 2

## IV. KESIMPULAN
Penerapan model regresi nonparametrik spline truncated polinomial pada penelitian ini telah berhasil dilakukan. Terlihat jika memang benar bahwa pendekatan regresi nonparametrik spline truncated memberikan fleksibilitas dalam proses estimasi kurva regresi. Model terbaik didapatkan berdasarkan nilai GCV yang terkecil dengan didukung nilai Koefisien Determinasi (R 2 ).

## REFERENSI
[1] I. N. Budiantara, “Penelitian Bidang Regresi Spline Menuju Terwujudnya Penelitian Statistika yang Mandiri dan Berkarakter,”Prosiding Seminar Nasional FMIPA Undhiksa,  pp. 09–28, 2011.
[2] I. N. Budiantara, “Model Keluarga Spline Polinomial Truncated dalam Regresi Semiparametrik,”Berkala MIPA, vol. 15(3), pp. 55–61, 2005.
[3] R. L. Eubank, Nonparametric Regression and Spline Smoothing. New York: Marcel Dekker, 1999.
[4] W. Hardle, Applied Nonparametric Regression. New York: Cambridge University Press, 1990.
[5] E. Montoya, N. Ulloa, dan V. Miller, “A Simulation Study Comparing Knot Slection Methods with Equally Spaced Knots in a Penalized Regression Spline,”International  Journal of Statistics and Probability, vol. 03(03), pp. 96–110, 2014.
[6] I. N. Budiantara, Regresi Nonparametrik Spline Truncated. Surabaya: ITS Press, 2019.
[7] A.  Tripena, “Analisis Regresi Spline Kuadratik,”  dipresentasikan dalam Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika, Jurusan Pendidikan Matematika, FMIPA UNY, 2011.
[8] I. N. Budiantara,  M. Ratna, I. Zain, dan W. Wibowo,  “Modeling the Percentage of Poor People in Indonesia Using Spline Nonparametric Regression Approach,”International  Journal of Basic & Applied Sciences IJBAS-IJENS, vol. 12, no. 06, pp. 119– 124, 2012.
[9] R. K. Dewi dan I. N. Budiantara  “Faktor-Faktor yang Mempengaruhi Angka Gizi Buruk di Jawa Timur dengan Pendekatan Regresi Nonparametrik Spline,”JURNAL SAINS DAN SENI ITS, vol. 1, no. 1, pp. D177–D182, 2012.
[10] M. F. Bintariningrum dan I. N. Budiantara “Pemodelan Regresi Nonparametrik Spline Truncated dan Aplikasinya pada Angka Kelahiran Kasar di Surabaya,”JURNAL SAINS DAN SENI POMITS, vol. 3, no. 1, pp. D-7–D-12, 2014.
[11] N. Arfan dan I. N. Budiantara, “Pendekatan Spline untuk Estimasi Kurva Regresi Nonparametrik (Studi Kasus pada Data Angka Kematian Maternal di Jawa Timur),”JURNAL SAINS DAN SENI POMITS, vol. 3, no. 1, pp. D-13–D-17, 2014.
[12] A. Islamiyati,“Spline Polynomial Truncated dalam Regresi Nonparametrik,”Jurnal Matematika, Statistika, & Komputasi, vol. 14, no. 1, pp. 54–60, 2017.
[13] D. R. S. Saputro,  K. R. Demu, dan P. Widyaningsih,  “Nonparametric Truncated Spline Regression Model on Data of Human Development Index (HDI) in Indonesia,”IOP Conf. Series: Journal of Physics, vol. 1188,  pp. 01–01, 2018.
[14] A. T. R. Dani, N. Y. Adrianingsih, dan A. Ainurrochmah, “Pengujian Hipotesis Simultan Model Regresi Nonparametrik Spline Truncated dalam Pemodelan Kasus Ekonomi,”JAMBURA Journal of Probability and Statistics, vol. 01,  pp. 98–106, 2020.
[15] A. T. R. Dani,  N. Y.  Adrianingsih, A. Ainurrochmah, dan  R. Sriningsih,  “Flexibility of Nonparametric Regression Spline Truncated on Data without a Specific Pattern,”Jurnal Litbang Edusaintech, vol. 2(1),  pp. 37–43, 2021.
INFERENSI, Vol. 5(1), March 2022. ISSN: 0216-308X (Print) 2721-3862 (Online)
[16] A. T. R. Dani, L. Ni’matuzzahroh, V. Ratnasari, dan I. N. Budiantara, “Pemodelan Regresi Nonparametrik Spline Truncated pada Data Longitudinal,”INFERENSI, vol. 4(1),  pp. 47–55, 2021.
[17] A. T. R. Dani dan L. Ni’matuzzahroh, “Pemodelan Persentase Penduduk Miskin Kabupaten/Kota di Provinsi Jawa Barat dengan Pendekatan Regresi Nonparametrik Spline Truncated,”J Statistika, vol. 14, no. 1,  pp. 24–29, 2021.
[18] W. Hardle, Applied Nonparametric Regression. Berlin: Humboldt-Universitat zu Berlin, 1994.
[19] G. Wahba, Spline Models for Observational Data. Pennsylvania: SIAM, 1990.
[20] A. T. R. Dani, V. Ratnasari, and I. N. Budiantara, “Optimal Knots Point and Bandwidth Selection in Modeling Mixed Estimator Nonparametric Regression,” IOP Conf. Ser. Mater. Sci. Eng. , vol. 1115, no. 1, p. 012020, 2021, doi: 10.1088/1757-899x/1115/1/012020.
[21] V. Ratnasari, I. N. Budiantara, and A. T. R. Dani, “Nonparametric Regression Mixed Estimators of Truncated Spline and Gaussian Kernel based on Cross-Validation ( CV ), Generalized Cross- Validation ( GCV ), and Unbiased Risk ( UBR ) Methods,” Int. J. Adv. Sci. Eng. Inf. Technol. , vol. 11, no. 6, pp. 2400–2406, 2021.