Volume 3  No. 2 November 2020

## Model Penyebaran Penyakit SIR Tipe Rantai Binomial dengan Kontak Random dan Waktu Penyembuhan Bernilai Tak Hingga
Ilham Asyifa Maulana Rosyid 1 , Respatiwulan 2 , dan Sri Sulistijowati Handajani 3 1,2,3 Program Studi Statistika, Universitas Sebelas Maret
1 ilham1234@student.uns.ac.id, 2 respatiwulan@staff.uns.ac.id, 3 rr_ssh@staff.uns.ac.id
Abstract. Susceptible-Infected-Recovered  (SIR)  epidemic  model  is  an  epidemic model  that  illustrates  the  pattern  of  disease  spread  with  the  characteristics  of individuals who have recovered cannot be re-infected and have a permanent immune system. The binomial chain type epidemic model assumes that infection spreads in discrete  time  units  and  the  number  of  the  infected  individuals  follows  a  binomial distribution. This research aims to discuss  binomial chain type SIR epidemic model by simulating the model. The transition probability depends on 𝑌(𝑡) the number of infected individuals in the period 𝑡, 𝑁 𝑖 (𝑡) the number of individuals encountered, and 𝑝 the transmission probability. This model also assumes an infinite recovery time ( ℜ = ∞). This situation illustrates that infected individuals remain contagious during the period of spread of the disease. This situation can arise when the causative agent of the  disease  has  a  long  life.  Then  simulations  are  performed  by  giving  different transmission probability 𝑝. The results show that the greater transmission probability will cause the probability of a new individual being infected in the next period to be greater.
Keywords : SIR epidemic model, binomial chain, infinite recovery time

## 1. Pendahuluan
Penyebaran  penyakit  merupakan  fenomena  alam  yang  menjadi  salah  satu permasalahan bagi manusia. Penyebaran penyakit, utamanya penyakit menular yang tidak dapat  dikendalikan  dalam  waktu  yang  cukup  lama  dapat  menyebabkan  epidemi. Perkembangan  ilmu  pengetahuan  di  bidang  matematika  turut  memberikan  andil  dalam penanganan  masalah  penyebaran  penyakit.  Salah  satu  dari  peranan  matematika  adalah dalam  menggambarkan  fenomena  penyebaran  penyakit,  dimana  peranan  tersebut dituangkan dalam bentuk model matematika.
Model penyebaran penyakit SIR  membagi populasi menjadi  tiga kelompok yaitu rentan  atau susceptible (S),  terinfeksi  atau infected (I)  dan  sembuh  atau recovered (R). Kelompok  S adalah  kelompok  individu  yang  rentan  dan  dapat  terinfeksi  apabila  terjadi kontak yang cukup dengan individu terinfeksi. Kelompok terinfeksi I merupakan kelompok individu terinfeksi dan dapat menularkan penyakit pada individu lain. Kelompok sembuh R merupakan kelompok individu yang sudah sembuh dan tidak dapat terinfeksi kembali. Model matematika penyebaran penyakit SIR ini dapat dipandang sebagai model stokastik
Volume 3  No. 2 November 2020
[1]. Jumlah individu di setiap kelompok pada waktu 𝑡 merupakan variabel random yakni 𝑆(𝑡), 𝐼(𝑡), 𝑅(𝑡) menyatakan jumlah individu rentan, terinfeksi dan sembuh pada waktu 𝑡.
Model  penyebaran  penyakit  stokastik  antara  lain  model  Greenwood  dan  model Reed-Frost.  Keduanya  merupakan  model  penyebaran  penyakit  SIR  Stokastik  tipe  rantai binomial.  Model  tersebut  disebut  tipe  rantai  binomial  karena  model  dikembangkan  dari percobaan  binomial  sederhana  dengan  mengasumsikan  bahwa  infeksi  menyebar  dari individu  ke  individu  pada  populasi  dalam  satuan  waktu  diskrit,  membentuk  rantai penularan yang ditentukan oleh distribusi  binomial [2].
Artikel ini membahas model penyebaran penyakit SIR tipe rantai binomial dengan asumsi modifikasi berupa adanya kontak antara individu S dengan “kelompok bertemu” yaitu  kelompok  individu  yang  saling  bertemu  dalam  populasi  tersebut  serta  waktu penyembuhan  tak  hingga. Jumlah  dan  komposisi  dari  “kelompok  bertemu”  untuk  setiap individu rentan adalah random, sehingga asumsi tersebut dapat dituliskan sebagai kontak random.  Waktu  penyembuhan  tak  hingga  menggambarkan situasi  ketika  agen  penyebab penyakit memiliki umur yang panjang seperti virus HIV pada manusia yang sangat sulit sembuh.  Kemudian  dilakukan  simulasi  terhadap  model  dengan  memberikan  peluang penularan  yang  berbeda,  simulasi  dilakukan  untuk  melihat  variabilitas  peluang  terdapat satu individu terinfeksi baru pada waktu berikutnya dan durasi penyebaran penyakit.
2. Landasan Teori
2.1. Model  SIR. Salah  satu  model  yang  dapat  mengambarkan  penyebaran  penyakit adalah  model  SIR  ( Susceptible-Infected-Recovered ).  Jika  diasumsikan  suatu  penyakit menyebar dalam suatu populasi, maka dalam populasi tersebut terdiri dari tiga kelompok yaitu S ( Susceptible ) yaitu  kelompok  individu  yang  rentan , I ( Infected )  yaitu  kelompok individu yang terinfeksi dan sembuh R (Recovered ) yaitu kelompok individu yang telah sembuh dari infeksi dan tidak dapat terinfeksi kembali [3]. Asumsi dari model SIR  sebagai berikut:
(1) Populasi tertutup dan jumlahnya konstan yaitu 𝑛.
(2) Populasi homogen sehingga tiap-tiap individu memiliki karakteristik yang sama.
(3) Tidak memperhatikan laju kelahiran dan kematian.
(4) Hanya terdapat satu penyakit yang menyebar dalam populasi.
Untuk selanjutnya penulisan kelompok rentan, terinfeksi dan sembuh pada waktu t menjadi 𝑋(𝑡), 𝑌(𝑡) dan 𝑍(𝑡) mengacu pada Tuckwell dan William [4].
2.2. Model  SIR  Tipe  Rantai  Binomial. Model  stokastik  penyebaran  penyakit  tipe rantai  binomial  merupakan  model  yang  dikembangkan  untuk  membantu  memahami penyebaran penyakit dalam populasi kecil. Terdapat dua model penyebaran penyakit tipe rantai binomial, yaitu model Greenwood dan model Reed-Frost . Model SIR rantai binomial mengasumsikan jumlah individu terinfeksi pada waktu 𝑡 + 1 merupakan variabel random berdistribusi binomial dengan parameter 𝑋(𝑡) yaitu jumlah individu rentan pada waktu 𝑡 dan 𝑝(𝑌(𝑡)) peluang  terinfeksi  dari  sejumlah  individu  terinfeksi 𝑌(𝑡) .  Reed-Frost mengasumsikan  bahwa  peluang  penularan  bergantung  pada  jumlah  individu  terinfeksi. Sehingga  peluang  tidak  terjadi  penularan  ketika  terdapat  sejumlah 𝑦 individu  terinfeksi diberikan di persamaan (1),
1 − 𝑝(𝑦) = (1 − 𝑝) 𝑦 , (1)
dengan 𝑝 = 𝑝(1) adalah peluang seorang individu rentan mendapatkan kontak dari seorang individu  terinfeksi [4] . Jumlah  kontak  antara  setiap  individu  terinfeksi dengan  individu rentan bergantung pada peluang penularan dan ukuran kelompok bertemu sehingga jumlah individu terinfeksi pada waktu 𝑡 + 1 dituliskan pada persamaan (2)
𝑌(𝑡 + 1) = 𝑋(𝑡)(1 − (1 − 𝑝) 𝑦 ) (2)
dengan 𝑌(𝑡 + 1) adalah jumlah individu terinfeksi pada waktu 𝑡 + 1 dan 𝑋(𝑡), 𝑌(𝑡) secara berurutan merupakan jumlah individu rentan serta terinfeksi pada waktu 𝑡 .
2.3. Distribusi  Binomial. Distribusi  binomial  merupakan  barisan  dari  percobaan Bernouli  yang  saling  independen  yang  diulang 𝑛 kali  dengan  tiap-tiap  percobaan  hanya menghasilkan dua peristiwa yaitu peristiwa sukses dalam hal ini tidak terjadi penularan dan gagal berarti terjasi penularan. Peluang terjadinya peristiwa sukses dinyatakan dengan 𝑝 [5].  Suatu  variabel  random 𝑌 dikatakan  berdistribusi  binomial  jika  fungsi  peluangnya diberikan pada persamaan (3),
𝑃(𝑌 = 𝑦) = ( 𝑛 𝑦) 𝑝 𝑦 (1 − 𝑝) 𝑛−𝑦 (3)
harga harapan dari variabel random Y yang berdistribusi binomial dapat dinyatakan dengan 𝐸(𝑌) =  𝑛𝑝

## 3. Metodologi Penelitian
Penurunan  model  dilakukan  dengan  terlebih  dahulu  menentukan  asumsi penyebaran penyakit yaitu asumsi umum ditambahkan dengan asumsi adanya kelompok bertemu dan mengasumsikan waktu penyembuhan yang panjang, sehingga dimungkinkan hampir tidak ada individu sembuh selama waktu penyebaran penyakit. Kelompok bertemu merupakan kelompok individu yang ditemui oleh individu rentan ke- 𝑖 dengan jumlah dan
Volume 3  No. 2 November 2020
komposisi  random  dari  populasi.  Kemudian  menentukan  persamaan  peluang  transisinya yaitu peluang adanya individu rentan menjadi individu terinfeksi pada waktu selanjutnya. Pada model ini jumlah individu terinfeksi dipandang sebagai variabel random berdistribusi binomial. Peluang bahwa setiap individu rentan tidak terinfeksi ketika terdapat sejumlah 𝑦 individu  terinfeksi adalah (1 − 𝑝) 𝑦 .  Model  yang  dibangun    merupakan  peluang  transisi satu individu rentan  menjadi terinfeksi.

## 4. Hasil dan Pembahasan
Penurunan model ini mengacu pada penelitian Tuckwell and Williams [4]. Peluang tidak  terjadi  penularan 𝑝 sedangkan  peluang  terjadi  penularan  individu  kelompok penularan menjadi kelompok terinfeksi adalah (1 − 𝑝) dengan asumsi :
(1) Total populasi adalah konstan sebesar 𝑛 .
(2) Waktu penyebaran adalah waktu diskrit, dengan 𝑡 = 0,1,2, … dan diasumsikan untuk satu satuan waktu adalah satu hari.
(3) Banyaknya individu terinfeksi merupakan variabel random berdistribusi binomial dan 𝑌 𝑖 = {𝑌 𝑖 (𝑡), 𝑡  =  0,1,2, … , }, merupakan  proses  random  dengan 𝑖 menunjukan individu  ke- 𝑖 sedemikian  sehingga 𝑌 𝑖 (𝑡) = 1 jika  individu  tersebut  terinfeksi  pada waktu 𝑡 ,  sebaliknya 𝑌 𝑖 (𝑡) = 0 apabila  individu  ke- 𝑖 tidak  terinfeksi.  Jumlah  total individu terinfeksi pada waktu waktu 𝑡 adalah
𝑌(𝑡) = ∑ 𝑌 𝑖 (𝑡) 𝑛 𝑖=0 , 𝑡 ≥ 0 .
(4) Kelompok  bertemu 𝑁 𝑖 (𝑡) merupakan  jumlah  individu  yang  melakukan  kontak terhadap individu rentan 𝑖 pada waktu 𝑡 , terdiri dari kelompok yang jumlahnya konstan 𝑛 𝑖 ditambah dengan sejumlah random individu 𝑀 𝑖 (𝑡) pada interval waktu (𝑡, 𝑡 + 1] , sehingga 𝑁 𝑖 (𝑡) = 𝑛 𝑖 + 𝑀 𝑖 (𝑡) . Komposisi dari kelompok individu 𝑛 𝑖 dan 𝑀 𝑖 (𝑡) sulit ditentukan  sehingga  diasumsikan  keduanya  diambil  secara  random  dari  populasi, sehingga individu 𝑖 bertemu  dan melakukan  kontak  dengan  sejumlah random 𝑁 𝑖 (𝑡) , dengan komposisinya terdiri dari individu terinfeksi atau rentan.
(5) Individu terinfeksi akan tetap menjadi terinfeksi selama ℜ waktu berurutan terhitung dari waktu individu pertama kali tertular, jadi apabila individu tertular untuk pertama kali  pada  waktu 𝑡 maka individu  akan tetap  dalam  keadaan  terinfeksi  selama  waktu waktu {𝑡, 𝑡 + 1, 𝑡 + 2, . . . , 𝑡 + ℜ − 1} dan setelahnya individu akan pulih serta tidak dapat tertular kembali.  Pada penelitian ini dipertimbangkan waktu penyembuhan yang tak  berhingga ℜ = ∞ .  Keadaan ini menggambarkan  bahwa  individu  yang terinfeksi
Volume 3  No. 2 November 2020
tetap  menular  selama  waktu  penyebaran  penyakit.  Situasi  seperti  itu  dapat  muncul ketika agen penyebab penyakit memiliki umur yang panjang seperti HIV pada manusia.
(6) Peluang terpilihnya individu terinfeksi secara random pada waktu 𝑡 adalah 𝑦(𝑡) 𝑛 .
Berdasarkan  asumsi  nomor  3,  proses 𝑌 𝑖 =   {𝑌 𝑖 (𝑡), 𝑡  =  0,1,2, … , } dengan 𝑖  = 1,2, … , 𝑛 , sedemikian sehingga 𝑌 𝑖 (𝑡)   =  1 individu 𝑖 terinfeksi atau 𝑌 𝑖 (𝑡)   =  0 apabila individu 𝑖 tidak terinfeksi. Kemudian proses 𝑋 𝑖 (𝑡) yang menunjukkan individu ke- i rentan atau  tidak  dan  proses 𝑍 𝑖 (𝑡) yang  menunjukkan  individu 𝑖 sebelumnya  terinfeksi    telah sembuh  dan  tidak  mampu  menginfeksi  orang  lain.  Setiap  individu  dalam  kelompok populasi saling asing artinya jika individu 𝑖 berada pada kelompok S maka dia tidak berada dalam  kelompok  I  maupun  R  sehingga  untuk  semua  individu 𝑖 pada  waktu 𝑡 dapat  di definisikan
𝑋 𝑖 (𝑡) + 𝑌 𝑖 (𝑡) + 𝑍 𝑖 (𝑡) = 1 . 4.1
Model  dengan  Waktu  Penyembuhan 𝕽. Penyakit  dapat  menyebar  dari  satu individu  ke  individu  yang  lain  melalui  kontak.  Misalkan  pada  waktu 𝑡, jumlah  individu pada kelompok rentan 𝑋(𝑡) yang bertemu dan melakukan kontak dengan sejumlah individu pada  kelompok  terinfeksi 𝑌(𝑡) kemudian  tertular,  pada  waktu 𝑡 + 1 jumlah  individu terinfeksi  adalah 𝑌(𝑡 + 1) .  Sedangkan  individu  yang  tidak  tertular  akan  tetap  dalam kelompok rentan yaitu 𝑋(𝑡 + 1).
Pada  waktu 𝑡 + 1 banyak  kemungkinan  jumlah  individu  rentan 𝑋(𝑡) yang  akan menjadi 𝑋(𝑡 + 1) adalah sebesar ( 𝑋(𝑡) 𝑋(𝑡 + 1) ) . Jika peluang terjadi penularan antar individu rentan  dengan  individu  terinfeksi  adalah (1 − 𝑝) maka  peluang  bersama  tidak  terjadi penularan  antara  kelompok  rentan  dan  terinfeksi  adalah (1 − 𝑝) 𝑌(𝑡) .  Oleh  karena  itu peluang bersyarat terdapat sejumlah individu terinfeksi baru pada waktu berikutnya 𝑌(𝑡 + 1) dapat dituliskan di persamaan (4),
𝑃(𝑌(𝑡 + 1)|𝑋(𝑡), 𝑌(𝑡)) = ( 𝑋(𝑡) 𝑋(𝑡 + 1) ) ((1 − 𝑝) 𝑌(𝑡) ) 𝑋(𝑡+1) ((1 − (1 − 𝑝)) 𝑌(𝑡) ) 𝑌(𝑡+1) (4)
Menurut Fine [6], harga harapan jumlah rentan pada waktu 𝑡 + 1 diberikan pada persamaan (5)
𝑋(𝑡 + 1) = 𝑋(𝑡)(1 − 𝑝) 𝑌(𝑡) (5)
Harga  harapan  jumlah  individu  terinfeksi pada  waktu 𝑡 + 1 dari  variabel  random berdistribusi binomial dengan parameter 𝑋(𝑡) dan 𝑝(𝑌(𝑡)), dapat ditulis pada persamaan (6)
Volume 3  No. 2 November 2020
𝑌(𝑡 + 1) = 𝑋(𝑡)(1 − (1 − 𝑝) 𝑌(𝑡) ). (6)
Berdasarkan  asumsi  nomor  5,  misalkan 𝑌 𝑚 (𝑡) adalah  individu  terinfeksi  pada waktu 𝑡 , 𝑌 𝑚 (𝑡) akan  tetap  dalam  keadaan  terinfeksi  selama 𝑚 waktu,  dengan 𝑚 = 0,1,2, … , ℜ − 1 , maka jumlah total individu terinfeksi pada waktu 𝑡 + 1 adalah
𝑌(𝑡 + 1) = ∑ 𝑌 𝑚 (𝑡 + 1) ℜ−1 𝑚=0
(7)
dan jumlah total individu recovered pada waktu 𝑡 + 1 adalah sebesar
𝑍(𝑡 + 1) = 𝑍(𝑡) + 𝑌 ℜ−1 (𝑡) (8)
Berdasarkan persamaan (6), (7) dan (8) diperoleh model penyebaran penyakit SIR tipe rantai binomial sebagai berikut
𝑋(𝑡 + 1) = 𝑋(𝑡)(1 − 𝑝) 𝑌(𝑡)
𝑌(𝑡 + 1) = ∑ 𝑌 𝑚 (𝑡 + 1) ℜ−1 𝑚=0 𝑍(𝑡 + 1) = 𝑍(𝑡) + 𝑌 ℜ−1 (𝑡)
(9) 4.2
Model  Waktu  Penyembuhan  Bernilai  Tak  Hingga (𝕽 = ∞). Berdasarkan model yang telah terbentuk pada persamaan (9), bagian ini menjelaskan peluang individu rentan  pada  waktu 𝑡 menjadi  individu  terinfeksi  untuk  pertama  kali  pada  waktu 𝑡 + 1 . Peluang  ini  bergantung  pada  total  jumlah  individu  terinfeksi 𝑌(𝑡) = 𝑦 dan  sejumlah inidividu  yang  ditemui  oleh  tiap-tiap  individu 𝑖 atau  dapat  disebut  sebagai  kelompok bertemu 𝑁 𝑖 (𝑡) serta peluang penularan 𝑝 .
Pada  asumsi  kelompok  bertemu,  individu i dimungkinkan  bertemu  dengan sejumlah 𝑛 𝑖 individu  secara  tetap  setiap  harinya,  misalnya  keluarga.  Individu 𝑖 juga bertemu  dan  melakukan  kontak  dengan  sejumlah  random 𝑀 𝑖 (𝑡) individu  yang  lain, misalnya rekan kerja selama (𝑡, 𝑡 + 1] . Total jumlah individu yang bertemu dan melakukan kontak dengan individu 𝑖 selama (𝑡, 𝑡 + 1] adalah 𝑁 𝑖 (𝑡) = 𝑛 𝑖 + 𝑀 𝑖 (𝑡) . Namun akan sulit untuk menentukan komposisi dari kelompok individu 𝑛 𝑖 dan 𝑀 𝑖 (𝑡) sehingga diasumsikan keduanya  diambil  secara  random  dari  populasi,  sehingga  individu 𝑖 bertemu  dan melakukan kontak dengan sejumlah random 𝑁 𝑖 (𝑡) individu dalam populasi yang diambil secara independen dan terdistribusi identik untuk setiap 𝑖 dari sisa populasi.
Peluang  penularan  ketika  individu 𝑖 bertemu  dengan  kelompok  bertemu 𝑁 𝑖 (𝑡) dipengaruhi  oleh  adanya  individu  terinfeksi  didalamnya.  Distribusi  binomial  dapat
Volume 3  No. 2 November 2020
digunakan untuk menentukan peluang individu 𝑖 bertemu tepat dengan 𝑗 individu terinfeksi dalam 𝑁 𝑖 (𝑡) , dengan peluang tersebut dapat dituliskan pada persamaan (10)
𝑃 𝑗 𝑖 (𝑦, 𝑁 𝑖 (𝑡); 𝑛) ≈ ( 𝑁 𝑖 (𝑡) 𝑗 ) ( 𝑦 𝑛−1 ) 𝑗 (1 − 𝑦 𝑛−1 ) 𝑁 𝑖 (𝑡)−j (10)
dan  peluang  penularan  ketika  individu  melakukan  kontak  dengan j individu  terinfeksi adalah
𝑝 𝑗 =   (1 –  𝑝) 𝑗 (11)
Kemudian  peluang  individu susceptible i pada  waktu t akan menjadi individu terinfeksi pada waktu 𝑡 + 1 dapat dihitung dengan persamaan (10) dan (11)
𝑃(𝑌 𝑖 (𝑡 + 1) = 1|𝑁 𝑖 (𝑡)𝑋 𝑖 (𝑡) = 1, 𝑌(𝑡) = 𝑦, … ) = ∑ 𝑝 𝑗 𝑃 𝑗 𝑖 (𝑦, 𝑁 𝑖 (𝑡); 𝑛) 𝑁 𝑖 (𝑡)
𝑗
(12)
persamaan (12) dapat disederhanakan menjadi
𝑃(𝑌 𝑖 (𝑡 + 1) = 1|𝑁 𝑖 (𝑡), 𝑋 𝑖 (𝑡) = 1, 𝑌(𝑡) = 𝑦, … ) = 1 − (1 − 𝑝𝑦 𝑛−1 ) 𝑁 𝑖 (𝑡)
dengan 𝑁 𝑖 (𝑡) trial  Benoulli  yang  berdistribusi  identik,  dengan  peluang  bahwa  individu tidak terinfeksi pada waktu selanjutnya adalah (1 − 𝑝𝑦 𝑛−1 ) 𝑁 𝑖 (𝑡) .
Model  tanpa  waktu  pemulihan  menggambarkan  bahwa  individu  terinfeksi  tetap dalam  keadaan  terinfeksi  selama  waktu  penyebaran  penyakit.  Diasumsikan  bahwa  pada waktu 𝑡 terdapat 𝑌(𝑡) = 𝑦 individu terinfeksi, dan tidak ada individu sembuh, danberarti terdapat 𝑛  −  𝑦 individu  rentan . Diasumsikan  pula  bahwa  jumlah  orang  yang  bertemu dengan  individu  ke i atau  kelompok  bertemu  ( 𝑁𝑖(𝑡) ) adalah  random.  Apabila 𝑁𝑖(𝑡) independen  dan  berdistribusi  identik,  maka  peluang  tidak  ada  infeksi  baru  pada 𝑡  +  1 merupakan peluang bersama yang dapat dinyatakan dengan
𝑃(𝑌(𝑡 + 1) = 𝑦|𝑁 𝑖 (𝑡), 𝑖 = 1, … , 𝑛 − 𝑦; 𝑌(𝑡) = 𝑦)
=  𝑃(𝑌 1 (𝑡 + 1) = 0|𝑁 1 (𝑡), 𝑋 1 (𝑡) = 1). 𝑃(𝑌 2 (𝑡 + 1) = 0|𝑁 2 (𝑡), 𝑋 2 (𝑡) = 1) … 𝑃(𝑌 𝑛−𝑦 (𝑡 + 1) = 0|𝑁 𝑛−𝑦 (𝑡), 𝑋 𝑛−𝑦 (𝑡) = 1)
atau dapat ditulis dengan
𝑃(𝑌(𝑡 + 1) = 𝑦|𝑁 𝑖 (𝑡), 𝑖 = 1, … , 𝑛 − 𝑦; 𝑌(𝑡) = 𝑦) = ∏ (1 − 𝑝𝑦 𝑛 − 1 ) 𝑁 𝑖 (𝑡) 𝑛−𝑦 𝑖=1
(13)
Volume 3  No. 2 November 2020
dan peluang adanya satu individu terinfeksi baru dapat dituliskan dengan peluang marjinal bahwa  satu  diantara  individu  rentan 𝑖 menjadi  terinfeksi  pada  waktu 𝑡 + 1 ,  dimana 𝑖 = 1,2,3, … , 𝑛 − 𝑦 . Peluang tersebut dapat dituliskan sebagai berikut
𝑃(𝑌(𝑡 + 1) = 𝑦 + 1|𝑁 𝑖 (𝑡), 𝑖 = 1, … , 𝑛 − 𝑦; 𝑌(𝑡) = 𝑦)
= ∑ [1 − (1 − 𝑝𝑦 𝑛 − 1 ) 𝑁 𝑖 (𝑡) ] 𝑛−𝑦 𝑖=1 ∏ (1 − 𝑝𝑦 𝑛 − 1 ) 𝑁 𝑖 (𝑡) 𝑛−𝑦
𝑗=1  𝑗≠𝑖
(14)
untuk  kemungkinan  adanya  lebih  dari  satu  individu infected baru  akan  lebih  sulit diformulasikan  apabila  untuk  setiap  individu i mempunyai  asumsi  jumlah  kelompok bertemu yang random.
4.3      Simulasi  Model. Simulasi  model  diberikan  untuk  memperjelas  pola  penyebaran penyakit SIR dengan n rantai binomial. Pada simulasi ini akan diberikan ukuran populasi sebesar 𝑛 = 50 dan 100 dan  dengan  variasi  peluang  penularan tiap  kontak individu (𝑝) sebesar 𝑝 = 0,00625;  0,0125;  0,025; 0,05 dan 0,1 .  Kelompok  bertemu  jumlahnya sebesar 1 sampai 5 individu artinya untuk setiap individu 𝑖 akan melakukan kontak minimal dengan 𝑁 𝑖 (𝑡) = 1 dan  maksimal  dengan 𝑁 𝑖 (𝑡) = 5 .  Jumlah  Kelompok  bertemu  untuk individu 𝑖 diperoleh dengan membangkitkan sampel dari distribusi seragam diskrit dengan interval 1 sampai 5. Simulasi dilakukan dengan memberikan nilai awal banyaknya individu terinfeksi  sebanyak  satu  individu 𝑌(0) = 1 .  Kemudian  akan  ditentukan  peluang  adanya individu  terinfeksi  baru  berdasarkan  persamaan  (13),  untuk 𝑛 = 50 peluang  adanya individu infected baru dapat dihitung dengan
𝑃(𝑌(𝑡 + 1) = 2|𝑁 𝑖 (𝑡), 𝑖 = 1, … ,49; 𝑌(𝑡) = 1) =
∑ [1 − (1 − 𝑝(1) 49 ) 𝑁 𝑖 (𝑡) ] 49 𝑖=1 ∏ (1 − 𝑝(1) 49 ) 𝑁 𝑖 (𝑡) 49
𝑗=1  𝑗≠𝑖
sehingga diperoleh hasil sebagaimana tertulis pada Tabel 1.
Tabel 1. Peluang Adanya Individu Infected Baru dengan Populasi 𝑛 = 50
p 𝑃(𝑌(𝑡 + 1) = 𝑦 + 1) 0,00625 0,000188877 0,0125 0,000498146 0,025 0,001216707 0,05 0,001847982 0,1 0,003380969
Volume 3  No. 2 November 2020
Tabel 1 dan Gambar 1 menunjukkan bahwa, variasi peluang penularan tiap kontak menyebabkan  variasi  terhadap  peluang  adanya  individu  terinfeksi  baru  pada  waktu selanjutnya. Selanjutnya dengan cara yang sama, untuk total populasi 𝑛 = 100 diperoleh hasil pada Tabel 2.
Gambar 1. Peluang Penularan Tiap Kontak Versus Peluang Ada Satu Infected Baru untuk 𝑛 = 50
Tabel 2. Peluang Adanya Individu Infected Baru dengan Populasi 𝑛 = 100 p 𝑃(𝑌(𝑡 + 1) = 𝑦 + 1) 0,00625 9,353537e-05 0,0125 0,000307668 0,025 0,000360677 0,05 0,000917783 0,1 0,001248617
Gambar 2 menunjukkan hasil yang sama pada simulasi dengan total populasi 𝑛 = 100. Apabila diberikan nilai peluang penularan yang berbeda maka akan diperoleh peluang adanya individu infected baru yang berbeda. Semakin tinggi peluang penularan tiap kontak maka peluang adanya satu individu infected baru pada waktu berikutnya semakin besar.
0 0,0005 0,001 0,0015 0,002 0,0025 0,003 0,0035 0,004 0,00625 0,0125 0,025 0,05 0,1 P elu an g ad a satu in fecte d b ar u Peluang penularan
Gambar 2. Peluang Penularan Tiap Kontak vs Peluang Ada Satu Terinfeksi Baru untuk 𝑛 = 100

## 5. Kesimpulan
Berdasarkan  hasil  dan  pembahasan  yang  telah  dipaparkan  diperoleh  kesimpulan bahwa, model epidemi SIR tipe rantai binomial dengan asumsi kontak random dan waktu penyembuhan yang lama bergantung pada peluang individu rentan pada waktu 𝑡 menjadi individu terinfeksi untuk pada waktu 𝑡 + 1 .  Peluang ini bergantung pada jumlah individu terinfeksi pada waktu 𝑡 atau 𝑌(𝑡) , banyaknya individu yang bertemu dan melakukan kontak dengan individu terinfeksi ke- 𝑖 atau 𝑁 𝑖 (𝑡) serta peluang penularan tiap kontak (𝑝). Peluang tidak ada infeksi baru pada 𝑡  + 1 dituliskan pada persamaan (13) dan peluang adanya satu individu terinfeksi baru pada 𝑡 + 1 pada persamaan (14) .
Berdasarkan  simulasi  yang  telah  dilakukan  dengan  jumlah  total  populasi    dan peluang penularan diberikan diperoleh semakin tinggi peluang penularan tiap kontak maka peluang adanya satu individu terinfeksi baru pada waktu berikutnya semakin besar.

## Daftar Pustaka
[1] Allen,  L.  J.  S. An  Introduction  to  Stochastic  Epidemic  Models .  Lecture  Notes  in Mathematics, 81–130. 2008.
[2] Halloran,  M.  E.,  Longini,  I.  M.  and  Struchiner,  C.  J. Binomial  and  Stochastic Transmission Models . Design and Analysis of Vaccine Studies. Statistics for Biology and Health. Springer, New York. 2010.
[3] Hethcote, H. W. The Mathematics of Infectious Diseases. SIAM Rev. Vol. 42, No. 4, 599–653. 2000.
0,0 E+00 2,0 E-04 4,0 E-04 6,0 E-04 8,0 E-04 1,0 E-03 1,2 E-03 1,4 E-03 0,00625 0,0125 0,025 0,05 0,1 P elu an g A d a Satu In fecte d B ar u Peluang Penularan
[4] Tuckwell,  H.  C.,  and  Williams,  R.  J.  Some  Properties  of  a  Simple  Stochastic Epidemic Model of SIR Type. Mathematical Biosciences , Vol. 208, No. 1, 76–97. 2007.
[5] Herrhyanto,  N.  dan  Gantini. Pengantar  Statistika  Matematis .  Yrama  Widya, Bandung. 2009.
[6] Fine, P. E. M. A Comentary on the Reed-Frost Epidemic Model. American Journal of Epidemiology. No.106, 87-100. 1997.