PEMODELAN REGRESI ROBUST M-ESTIMATOR DALAM MENANGANI PENCILAN (STUDI KASUS PEMODELAN JUMLAH KEMATIAN IBU NIFAS DI JAWA TENGAH
Alan Prahutama 1 , Agus Rusgiyono 2 , Dwi Ispriyanti 3 , Tiani Wahyu Utami 4 1,2,3 Departemen Statistika, Fakultas Sains dan Matematika, Universitas Diponegoro, Semarang
4 Prodi Statistika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Muhammadiyah Semarang Email: alan.prahutama@gmail.com

## ABSTRACT
Regression analysis  is  statistical  method that used to  model between  predictor variables and response variables. In the regression model, the residual assumed normal distribution, non-autocorrelation, and homoscedasticity. When the assumptions doesn’t fulfilled, then the measurement of goodness not well enough. One of the causes may be outlier of data. Handling  the  outlier  can  be  used  robust  regression,  which  one  of  method  is  robust  M- estimator.   In this article, we purposed modelling the number of maternal postpartum in Central  Java  province  with  predictor  variables  are  the  percentage  of  pregnant  who consumed  Fe  tablet  (X 1 ),  the  percentage  of  household  whom  applied  clean  and  health lifestyle(X 2 ), and the percentage of pregnant who First visited to midwife of doctor (K1) (X 3 ).  In the multiple regression only X 3 was significantly with R-square was 14.25209%, and Mean Square Error (MSE) was 20.4177. Moreover, in outlier detection, there were two outlier in the data, then modelled with Robust M-estimator. The measurement of goodness used  R-square  of  regression  robust  M-estimator  was  21.74%  with  MSE  was  15.02766. Robust M-estimator regression resulted better model than multiple regression to model the number of maternal postpartum in Central Java Province.
Keywords :  Multiple  linier  regression,  Robust  M-estimator,  the  number  maternal postpartum.

## PENDAHULUAN
Analisis  regresi  merupakan  analisis didalam  statistika  untuk  memodelkan hubungan  antara  variabel  respon  dengan variabel  prediktor.  Model  regresi  dapat digunakan  untuk  mengetahui  signifikansi variabel  prediktor  terhadap  variabel respon.  Model  regresi  berganda  dapat dinotasikan sebagai berikut [1]:
𝑦 𝑖 = 𝛽 0 + 𝛽 1 𝑥 𝑖1 + 𝛽 2 𝑥 𝑖2 + ⋯ +   𝛽 𝑘 𝑥 𝑖𝑘 + 𝜀 𝑖 (1)
Dengan 𝑖 = 1,2, … , 𝑛 , dengan 𝑛 menyatakan  banyaknya  pengamatan  dan 𝑗 = 1,2, … , 𝑘 dengan 𝑘 menyatakan banyaknya  variabel  prediktor.  Di  dalam analisis regresi, estimasi parameter menggunakan  metode Ordinary  Least Square (OLS)  atau  kudrat  terkecil
dilakukan dengan meminimumkan jumlah kudrat error.
𝐽 = ∑ 𝜀 𝑖 2 𝑛 𝑖=1 = ∑(𝑦 𝑖 − ∑ 𝛽 𝑗 𝑥 𝑖𝑗 𝑘 𝑗=0 ) 2 𝑛 𝑖=1 (2)
Hasil  estimsi  parameter  model  regresi dengan  menggunakan  OLS  dapat  ditulis sebagai berikut (dalam bentuk matriks):
𝜷 ̂ = (𝑿 ′ 𝑿) −𝟏 𝑿 ′ 𝒚 (3)
Pengujian  signifikansi  model  regresi linier  berganda  terdiri  dari  dua  yaitu pengujian  secara  serentak  (menggunakan uji  F)  dan  pengujian  secara  partial  (uji  t) [2].  Pada  model  regresi  terdapat  bebera dari  model  berdistribusi  normal,  tidak terjadi  autokorelasi  dan  tidak  terjadi heterokedastisitas, selain itu untuk penggunaan regresi linier berganda
diasumsikan juga tidak terjadi multikolinieritas  antar  variabel  prediktor. Pengujian normalitas residual bisa menggunakan  uji  Kolmogorov  Smirnof
(KS test), sedangkan pengujan autokorelasi menggunakan Durbin Watson test. Untuk pengujian heterokedastisitas menggunakan uji Gleitser
sedangkan pengujian
multikolinieritas  menggunakan  uji  VIF
( Variance Inflation Factors ) [3].
Asumsi  tersebut  harus  dipenuhi didalam  model  regresi  agar  estimasi model tidak bias. Selain itu untuk melihat performansi  dari  model  regresi  dapat dilihat dari koefesien determinasi (R 2 ) dan Mean Square Error (MSE).
Seringkali  data  yang  dianalisis  bisa mengandung  pencilan/outlier  yang  bisa menyebabkan  asumsi  dari  model  regresi tidak  terpenuhi atau  mempengaruhi performansi  dari  model  regresi.  Untuk menguji  outlier  pada  suatu  data  dapat menggunakan diagram box plot,
pengujian DFFITS  (Difference  in  Fit Standardized) [4].  Untuk  menangani pencilan  dapat  dilakukan  beberapa  cara, salah satunya adalah menghapus data yang mengandung pencilan. Akan tetapi hal ini tentunya  mengakibatkan  berkurangnya informasi dari data tersebut, apalagi untuk data dengan pengamatan yang sedikit bisa menimbulkan  bias  dari  model  karena berkurangnya informasi pengamatan.
Salah metode yang dapat digunakan untuk mengatasi data outlier tanpa menghilangkan data tersebut dapat digunakan regresi Robust. Regresi Robust terdiri  dari  5  jenis  yaitu  regresi M- estimator , S-estimator , dan MM-estimator Least  Median  Square (LMS)-estimator , Least  Trimmed  Square  (LTS)-estimator [5].
Setiap metode tersebut mempunyai kelebihan  dan  kekurangannya  masing- masing.  Regresi  Robust  M-estimator mudah  digunakan  baik  secara  teoritis ataupun perhitungan komputasinya. Konsep  dari  regresi  Robust  M-estimator
adalah  mengganti  estimasi  pada  jumlah kuadrat  error  (persamaan  2)  dengan menggunakan persamaan berikut:
𝑚𝑖𝑛 𝛽 ∑ 𝜌(𝑒 𝑖 ) = 𝑛 𝑖=1 𝑚𝑖𝑛 𝛽 ∑ 𝜌(𝑦 𝑖 − ∑ 𝑥 𝑖𝑗 𝛽 𝑗 𝑘 𝑗=0 ) 𝑛 𝑖=1 (4)
dengan 𝜌 merupakan  fungsi  simetrik dengan kondisi minimum (bernilai 0) [2]).
Menurut Stuart (2011) [6], persamaan (4)  tidak equivariant, sehingga  dapat diatasi  dengan  menyederhanakan  error- nya. Dengan estimasi s . Sehingga regresi Robust M-estimator meminimumkan fungsi objektif sebagai berikut:
𝑚𝑖𝑛 𝛽 ∑ 𝜌(𝑢 𝑖 ) = 𝑛 𝑖=1 𝑚𝑖𝑛 𝛽 ∑ 𝜌( 𝑒 𝑖 𝑠 ) 𝑛 𝑖=1 = 𝑚𝑖𝑛 𝛽 ∑ 𝜌 ( 𝑦 𝑖 − ∑ 𝑥 𝑖𝑗 𝛽 𝑗 𝑘 𝑗=0 𝑠 ) 𝑛 𝑖=1 (5)
dimana s adalah  skala  estimasi robust . Estimasi s yang digunakan adalah:
s = 𝑀𝐴𝐷 0,6745 = 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎𝑛|𝑒 𝑖 −𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎𝑛(𝑒 𝑖 )| 0,6745 dan 𝑢 𝑖 = 𝑒 𝑖 𝑠 Untuk mendapatkan estimator dari model regresi  robust  M-estimator,  dilakukan dengan mencari turunan partial persamaan 5  terhadap 𝛽 𝑗 sama  dengan  0,  diperoleh sebagai berikut:
∑ 𝑥 𝑖𝑗 𝜓 ( 𝑦 𝑖 − ∑ 𝑥 𝑖𝑗 𝛽 𝑗 𝑘 𝑗=0 𝑠 ) = 0 𝑛 𝑖=1 (6)
Dengan  pembobotan  Andrew  sebagai berikut:
𝑤 𝑖 = 𝑤(𝑢 𝑖 ) = 𝜓 ( 𝑦 𝑖 − ∑ 𝑥 𝑖𝑗 𝛽 𝑗 𝑘 𝑗=0 𝑠 ) ( 𝑦 𝑖 − ∑ 𝑥 𝑖𝑗 𝛽 𝑗 𝑘 𝑗=0 𝑠 ) (7)
Sehingga  estimasi  model  regresi  robust M-estimator adalah sebagai berikut:
∑ 𝑥 𝑖𝑗 𝑤 𝑖 (𝑦 𝑖 − ∑ 𝑥 𝑖𝑗 𝛽 𝑗 𝑘 𝑗=0 ) = 0 𝑛 𝑖=1 (8)
Dengan cara proses Iteratively Reweighted Least  Square (IRLS) didapatkan  estimasi model regresi robust M-estimator sebagai berikut [7]:
𝜷 ̂ = (𝑿 ′ 𝑾𝑿) −𝟏 𝑿 ′ 𝑾 y (9)
Pada  penelitian  ini  akan  dilakukan pemodelan  regresi  pada  jumlah  kematian ibu  nifas  berdasarkan  faktor-faktor  yang mempengaruhi.  Selain  itu  dimodelkan menggunakan regresi robust M-estimator.

## METODOLOGI PENELITIAN
Pada penelitian ini dilakukan pemodelan regresi terhadap jumlah kematian  ibu  Nifas  di  provinsi  Jawa Tengah  tahun  2018.  Kematian  ibu  nifas merupakan  kematian  yang  terjadi  pasca/ setelah  melahirkan.  Sumber  data  dari website  BPS  (Badan  Pusat  Statistika) provinsi Jawa Tengah. Variabel prediktor yang digunakan antara lain prosentase ibu hamil yang mengkonsumsi tablet Fe (X 1 ), prosentase rumah tangga yang menerapkan  Perilaku  Hidup  Bersih  dan Sehat  (PKHBS)  (X 2 ),  dan  prosentase  ibu hamil yang melakukan kunjungan pertama (K1) (X 3 ) (Dinkes Jateng, 2018) [8]. Pada artikel  ini  dilakukan  pemodelan  regresi linier  berganda,  kemudian  pengujian signfikansi  model  baik  serentak  maupun partial.  Selanjutnya  adalah  pengujian asumsi model regresi linier berganda dan pengujian  outlier.  Kemudian  dimodelkan menggunakan regresi robust M-estimator.

## HASIL DAN PEMBAHASAN
Adapun hasil dan pembahasan pada paper ini  meliputi  pemodelan  regresi  linier berganda, pengujian asumsi model regresi dan pendeteksian pencilan dan pemodelan regresi robust M-estimator.
Model  regresi  linier  berganda  jumlah kematian ibu nifas di Jawa Tengah
Pada pemodelan regresi  berganda jumlah kematian  ibu  nifas  di  Jawa  Tengah, menggunakan  metode  stepwise.  Hasil
yang didapatkan bahwa, hanya variabel X 3 yaitu prosentase ibu hamil yang melakukan kunjungan pertama (K1) yang berpengaruh  signifikan  terhadap  jumlah kematian ibu Nifas. Adapun hasil estimasi model  regresi  linier  berganda  pada pemodelan  jumlah  kematian  ibu  nifas adalah sebagai berikut:
𝑦̂ = 146,093577 − 1,396391𝑥 3 Variabel X 3 mempunyai koefesien parameter  yang  bernilai  negatif.  Hal  ini menunjukan  semakin  tinggi  variabel  X 3 , akan  menyebabkan  berkurangnya  jumlah kematian Ibu Nifas. Pengujian signifikansi parameter adalah sebagai berikut:
Hipotesis H 0 : β 3 = 0 (model sesuai atau variabel X 3 berpengaruh terhadap Y) H 1 :  terdapat  β 3 ≠  0(model  sesuai  atau variabel X 3 berpengaruh terhadap Y) Dikarenakan  hanya  1  variabel  yang digunakan,  maka  pengujian  signifikansi parameter  menggunakan  uji  F  saja. Diperoleh nilai 𝐹 ℎ𝑖𝑡𝑢𝑛𝑔 sebesar 5.484904 dengan  kriteria  uji  H 0 ditolak  jika 𝐹 ℎ𝑖𝑡𝑢𝑛𝑔 > 𝐹 (𝛼,𝑘,𝑛−𝑝) dengan 𝑘 = 1 , 𝑛 − 𝑝 = 35 − 2 = 33 diperoleh  nilai  dari tabel 𝐹 (5%,3,31) = 4.13 .  Sehingga  dapat disimpulkan bahwa model  sesuai,  artinya variabel X 3 berpengaruh terhadap Y.  Pada model  tersebut  diperoleh  nilai  R-square sebesar  14.25209%,  dengan  nilai  MSE sebesar 20.4177.
Selanjutnya  dilakukan  pengujian  asumsi model.  Pengujian  asumsi  model  meliputi Normalitas, Autokorelasi
dan Heterokedastisitas.  Pengujian  normalitas menggunakan Kolmogorov smirnov (KS) Test, pengujian autokorelasi menggunakan  uji  Durbin  Watson  (DW) dan
pengujian heterokedastisitas menggunakan  uji  Gleitser.  Adapun  hasil pengujian disajikan di Tabel 1.

## Tabel 1. Pengujian Asumsi Model regresi Linier Berganda
Pengujian Hasil Pengujian Keputusan Kesimpulan Normalitas Nilai  KS  test  sebesar  0.10784, dengan  nilai  KS  table  sebesar 0.202 H 0 diterima Residual berdistribusi Normal Autokorelasi Nilai  DW  test  sebesar  1.9291 dengan  nilai  nilai 𝑑 𝑈 sebesar 1.5191 dan  nilai 𝑑 𝐿 sebesar 1.4019 H 0 diterima Tidak ada Autokorelasi  antar residual Heterokedastisitas Diperoleh  nilai  t  hitung  sebesar −1.169155 , dengan nilai t tabel sebesar 𝑡 (5% ,33) = 1.6929. H 0 diterima Variansi residual bersifat homokedastisitas
Berdasarkan  tabel  1  tersebut  dapat disimpulkan bahwa model regresi jumlah kematian ibu nifas yang dipengaruhi oleh prosentase  kunjungan  ibu  hamil,  dapat digunakan.  Akan  tetapi  menghasilkan  R- square  yang  cukup  kecil.  Langkah selanjutnya  adalah  pendeteksian  adanya pencilan

## Pendeteksian Pencilan
Untuk  pendeteksian  pencilan  pada paper  ini  menggunakan  DFFITS  test. Terdapat  pencilan  jika  nilai |𝐷𝐹𝐹𝐼𝑇𝑆| > 1 (Cohen,  2003).  Berdasarkan  hasil output , didapatkan bahwa data ke-4, yaitu Kota Banjarnegara dengan nilai |𝐷𝐹𝐹𝐼𝑇𝑆| sebesar  1.290558  dan  data  ke-15,  yaitu Kota  Grobogan  dengan  nilai |𝐷𝐹𝐹𝐼𝑇𝑆| sebesar 2.776831 yang lebih besar dari 1. Hal  ini  mengindikasikan  bahwa  data tersebut merupakan pencilan.

## Regresi Robust M-Estimator
Selanjutnya  karena  adanya  pencilan, dilakuan  pemodelan  regresi  robust  M- estimator  untuk  memodelkan  Jumlah kematian  Ibu  Nifas.  Variabel  prediktor yang  digunakan  mengikuti  pemodelan regresi berganda yang signifikan.

## Estimasi Parameter
Berdasarkan  output  yang  dihasilkan, dibutuhkan  sebanyak  10  iterasi  untuk mendapatkan  nilai 𝛽̂ 𝑗 yang  konvergen. Selain  itu,  nilai R 2 cenderung  meningkat dan nilai MSE cenderung menurun di tiap
iterasinya. Hal ini mengindikasikan bahwa regresi  robust  M-estimator  pembobot Andrew yang  digunakan  mendapatkan model  yang  lebih  baik  dibandingkan regresi  linier  berganda.  Model    regresi robust M-estimator yang  didapatkan adalah sebagai berikut:
𝑦̂ = 169.856932 – 1.636701 𝑥 3
Sama  halnya  pada  model  regresi  linier berganda,  model  regresi  robust  M- estimator menghasilkan koefesien parameter  untuk  X 3 bernilai  negatif.  Hal ini  menunjukan  bahwa  prosentase  ibu hamil yang melakukan kunjungan pertama mempunyai  hubungan  yang  berbanding terbalik  dengan  jumlah  kematian  ibu Nifas. Langkah selanjutnya adalah pengujian signifikansi parameter. Pengujian  signifikansi  parameter  hanya dilakukan  melalui  uji  F,  karena  hanya menggunakan 1 variabel prediktor. Berikut pengujian hipotesisnya Hipotesis H 0 :  β 3 =  0  (model  regresi  robust  M- estimator sesuai) H 1 : terdapat β 3 ≠ 0 (model regresi robust M-estimator tidak sesuai) Diperoleh nilai 𝐹 ℎ𝑖𝑡𝑢𝑛𝑔 sebesar 9.165186 dengan  kriteria  uji  H 0 ditolak  jika 𝐹 ℎ𝑖𝑡𝑢𝑛𝑔 > 𝐹 (𝛼,𝑘,𝑛−𝑝) dengan 𝑘 = 1 , 𝑛 − 𝑝 = 35 − 2 = 33 diperoleh  nilai  dari tabel 𝐹 (5%,3,31) = 4.13 .  Sehingga  dapat disimpulkan bahwa model  sesuai,  artinya variabel X 3 berpengaruh terhadap Y pada model regresi  Robust M-estimator.   Pada model  tersebut  diperoleh  nilai  R-square
sebesar 21.74% dengan nilai MSE sebesar 15.02766.  Hal  ini  menunjukan  bahwa model regresi robust M-estimator mampu menagani pencilan  pada  data  dan menghasilkan  nilai  akurasi  model  yang lebih  baik.  Hal  ini  ditunjukan  dengan meningkatnya nilai R-square dan menurunnya  nilai  MSE.  Antara  regresi klasik dengan  regresi  robust memberikan interpretasi  model  yang  sama  yaitu hubungan  antara  variabel  prosentase  ibu hamil  melakukan  kunjungan  pertama berbanding terbalik dengan jumlah kematian  ibu  Nifas.  Hal  ini  menunjukan bahwa  meningkatnya  kunjungan  pertama (K1) pada ibu hamil mampu menekan atau mengurangi jumlah kematian ibu nifas di provinsi Jawa Tengah.

## KESIMPULAN
Model regresi linier berganda pada jumlah kematian ibu  Nifas  dengan variabel  yang signifikan adalah sebagai berikut:
𝑦̂ = 146.093577 − 1.396391𝑥 3
Asumsi  dalam  model  regresi  tersebut terpenuhi.  Sedangkan  pada  pendeteksian pencilan,  data  mengandung  pencilan sehingga  performansi  model    kurang bagus.  Untuk    menangani      digunakan regresi  Robust  M-estimator.  Diperoleh model sebagai berikut:
𝑦̂ = 169.856932 – 1.636701 𝑥 3
Nilai  R-square  dalam  model  regresi Robust  M-estimator  sebesar  21.74% dengan nilai MSE sebesar  15.02766.

## Ucapan Terima Kasih
Paper  ini  merupakan  salah  satu  luaran penelitian  tahun  2020  dengan  sumber pendanaan  Selain    APBN  Undip  untuk riset madya .

## DAFTAR PUSTAKA
[1] Draper,  N.R.  dan  Smith,  H.  1992. Analisis  Regresi  Terapan.  Edisi Kedua. Diterjemahkan oleh : Bambang Sumantri. Jakarta : Gramedia Pustaka Utama. Terjemahan dari : Applied Regression Analysis.
[2] Montgomery,  D.C.  dan  Peck,  E.A. 2012. Introduction To Linier Regression  Analysis.  Fifth  Edition. New York : John Wiley and Sons, Inc.
[3] Gujarati,  D.N.  1997. Ekonometri Dasar . Diterjemahkan oleh : Sumarno Zain. Jakarta : Erlangga. Terjemahan dari : Basic Econometrics .
[4] Fox,  J.  2002.  Robust  Regression  : Appendix  to  An  R  and  S-Plus Companion to Applied Regression.
[5] Chen,  C.  2002. Robust  Regression and  Outlier  Detection  with  The ROBUSTREG Procedure, paper 265-
27. SAS Instutute Inc., Lary, NC.
[6] Stuart,  C.  2011. Robust  Regression. England : Durham University.
[7] Cohen, J., Cohen, P., West, S.G., dan Aiken,  L.S . 2003. Applied  Multiple Regression  Correlation  Analysis  for The  Behavioral  Sciences. Third
Edition.  New  Jersey  :  Lawrence Erlbaum Associates.
[8] [Dinkes  Jateng]  Dinas  Kesehatan
Provinsi  Jawa  Tengah.  2018. Profil Kesehatan  Provinsi  Jawa  Tengah Tahun 2017 .
http://dinkesjatengprov.go.id/
(diunduh 30 Desember 2018).