Vol. 14, No. 1,  69-76,  Juli  2017
Analisis Kestabilan Aliran Fluida Viskos Tipis pada Model Slip di Bawah Pengaruh Gaya Gravitasi
Sri Sulasteri 

## Abstrak
Hal  yang  selalu  menjadi  perhatian  dalam  lapisan  ﬂuida  tipis  adalah  masalah  ketidakstabilan aliran ﬂuida, berupa terbentuknya ﬁnger pada garis kontak, daerah dimana fase padat, cair, dan gas bertemu. Tulisan ini membahas tentang analisis kestabilan aliran ﬂuida viskos tipis pada suatu  bidang  inklinasi,  dibawah  pengaruh  gaya  gravitasi  dengan  mengunakan  model  slip. Adapun  parameter  yang  digunakan  adalah  pengaruh  gravitasi,  sudut  kontak,  dan  parameter slip.  Simulasi  numerik  menunjukkan  bahwa  gaya  gravitasi  memberi  pengaruh  terhadap kondisi kestabilan aliran ﬂuida.
Kata Kunci : Bidang inklinasi, garis kontak, gravitasi, model slip, sudut kontak.

## 1. Pendahuluan
Aliran ﬂuida berbentuk suatu lapisan tipis adalah hal yang dapat ditemukan dalam banyak bidang,  antara  lain  lapisan  jantung  dan  kornea  mata  (bidang  medis/biologi),  lapisan  (cat)  pada dinding  (bidang  teknik),  serta  pembuatan  mikrochip  (bidang  industri).  Hal  yang  selalu  menjadi perhatian  dalam  lapisan  ﬂuida  tipis  adalah  masalah  ketidakstabilan  aliran  ﬂuida;  dalam  banyak kasus, bagian depan dari ﬂuida ( front ) membentuk proﬁl berbentuk ﬁnger atau rivulets. Kondisi seperti ini seringkali tidak diinginkan.
Salah satu contoh lapisan ﬂuida tipis sederhana adalah aliran ﬂuida yang mengalir di atas suatu bidang inklinasi yang dipengaruhi oleh gaya gravitasi. Salah satu aspek penting dari model ini adalah kelakuan dari ﬂuida pada bagian depan dari bidang inklinasi, yaitu daerah di mana fase padat,  cair,  dan  gas  bertemu,  yang  dikenal  sebagai  garis  kontak  ( contact  line ).  Hasil-hasil percobaan  menunjukkan  bahwa  beberapa  saat  setelah  ﬂuida  dilepaskan,  garis  kontak  menjadi tidak stabil jika diberikan gangguan pada arah melintang (Kondic, 2003).
Salah  satu  teori  tentang  ﬂuida  menyatakan  bahwa  ketika  suatu  ﬂuida  viskos  bertemu dengan  suatu  permukaan  padat,  maka  model  yang  tepat  untuk  kondisi  batasnya  adalah  kondisi tidak-slip pada batas padat-cair (Bertozzi, 1998). Akan tetapi, penggunaan kondisi tidak-slip pada masalah  lapisan  ﬂuida  tipis  yang  sedang  dikaji,  tidaklah  dapat  diterapkan  karena  akan menyebabkan masalah singularitas pada garis kontak. Ada dua metode yang mungkin diterapkan untuk mengatasi masalah singular ini, yaitu dengan menggunakan prekursor berupa suatu ﬂuida, atau dengan memberikan kondisi slip pada permukaan padat (Spaid dan Homsy, 1996).
Tulisan ini akan membahas kondisi kestabilan dari aliran ﬂuida yang berupa lapisan tipis yang mengalir pada bidang inklinasi dibawah pengaruh gaya gravitasi, pada model slip.
 Jurusan Pendidikan Matematika, Fakultas Tarbiyah dan Keguruan UIN Alauddin, Makassar, email:  chelli_math@yahoo.co.id.

## Sri Sulaster

## 2. Model Matematika
Model  matematika  dari  lapisan  ﬂuida  tipis  dibangun  dari  Persamaan  Kontinuitas ( continuity  equation )  dan  Persamaan  Navier-Stokes,  serta  melibatkan  faktor  gravitasi  sebagai gaya eksternal. Kondisi batas yang terlibat dalam masalah lapisan ﬂuida tipis adalah kondisi batas pada  dua  lapis  batas  ( interface ),  yaitu  lapis  batas  ﬂuida  dengan  permukaan  padat  ( solid )  dan ﬂuida dengan udara (permukaan bebas). Pada lapis batas ﬂuida-permukaan padat, akan digunakan parameter slip.
Dalam penurunan model, digunakan asumsi bahwa ketebalan lapisan ﬂuida sangat kecil dibandingkan  panjang  bidang,  serta  ﬂuida  yang  mengalir  adalah  ﬂuida  viskos  dan  bersifat  tak mampat.
Gambar 1 . Model Lapisan Fluida Tipis yang Mengalir pada Bidang Inklinasi, di Bawah Pengaruh Gravitasi.
Selanjutnya,  dengan  merata-ratakan  kecepatan  ﬂuida  atas  ketebalannya  (hampiran lubrikasi),  serta  menggunakan  kondisi  batas  tidak  slip  pada  lapis  batas  permukaan  padat-ﬂuida, maka diperoleh persamaan lapisan ﬂuida tipis:
        i sin cos 3 1 3 3 2 3          h h g h h h g h h h t h              (1)
dimana g adalah gravitasi, ρ densitas ﬂuida, µ adalah viskositas ﬂuida, α adalah sudut inklinasi,  adalah  konstanta  slip,  serta i adalah  vektor  satuan  dalam  arah x .  Persamaan  (1)  selanjutnya dibawa ke bentuk tak berdimensi dengan melakukan penskalaan
    
     c c c c t t x y x x t y x h h h , ,
, , , (2)

## Sri Sulaster
Gambar 2. Model Lapisan Fluida Tipis yang Diskalakan.
Dideﬁnisikan  panjang  kapiler g a   /  ,  dan  bilangan  kapiler Ca = µU/γ .  Panjang kapiler a menyatakan  seberapa  besar  pengaruh  tegangan  permukaan  terhadap  gravitasi, sedangkan  bilangan  kapiler Ca menyatakan  perbandingan  antara  kekentalan  ﬂuida  dengan tegangan  permukaan.  Misalkan U adalah  skala  untuk  kecepatan  dan     cot 3 ) ( 3 / 1 Ca D  , maka dengan menggunakan skala:
          2 2 2 2 3 / 1 2 serta , sin 3 1 , sin 3 , sin c c c c c c c c c h g h t x U h x a t h a x            (3)
diperoleh persamaan lapisan ﬂuida tipis tak berdimensi untuk model slip yaitu
        . 3 3 2 3 x h h h h h D h h h t h                     (4)
Persamaan (4) yang selanjutnya digunakan untuk menganalisis kestabilan aliran fluida.

## 3. Solusi Dasar dari Model Slip
Jika persamaan (4) hanya dipandang sebagai persamaan dalam variabel x , maka diperoleh persamaan differensial parsial satu variabel:
            . x 3 3 3 h h h h h D h h h t h x x x xxx              (5)
Kondisi  slip  yang  digunakan  pada  model,  menyebabkan  permukaan  bebas  dapat  bersentuhan dengan  permukaan  padat  ( b →0).  Hal  ini  mengharuskan  adanya  syarat  kemiringan  dari  garis kontak.
Gambar 3 . Model dengan Parameter Slip . Oleh karena itu, syarat batas yang mungkin untuk model slip adalah:
h (0 , t ) = 1, h ( L x , t ) = 0, h x ( L x , t ) = C ( θ ) (6)
dengan C ( θ )  menyatakan  nilai  kemiringan  garis  kontak,  yang  diekspresikan  sebagai  fungsi  dari bilangan kapiler Ca dan sudut kontak θ ,
  . tan 3 ) ( 3 / 1     Ca C Deﬁnisikan
h 0 (ξ)  = h ( x,t )  dengan  ξ  = x – Ust ,  adalah  solusi  gelombang  berjalan  dari persamaan (5), dengan syarat batas (6). Selanjutnya, diperoleh persamaan differensial biasa:
0 1 1 ) ( 2 0 0 0            h h D h (7)
yang menyatakan solusi dari h 0 ( x – Ust ) dengan Us = 1 + β . Solusi dasar untuk persamaan lapisan ﬂuida  tipis  untuk  model  slip  adalah  solusi  dari  Persamaan  (7).  Solusi  ini  diperoleh  dengan pendekatan numerik yaitu dengan metode beda hingga (diskritisasi dengan menggunakan empat titik),  dengan  melibatkan  parameter  slip β ,  kemiringan  kontak C ( θ ),  serta  komponen  normal gravitasi D ( α ).
Gambar 4. Solusi h ( x ) dengan Parameter C ( θ ) yang Bervariasi, β = 0,1, dan   . 0   D

## Sri Sulaster
Gambar 4 adalah graﬁk fungsi solusi h ( x ) dengan parameter C ( θ ) yang bervariasi, dengan β dan D ( α ) yang tetap, yaitu β = 0,1 dan D ( α ) = 0. Gambar 4 menunjukkan bahwa untuk   1 , 0   C , parameter kemiringan kontak tidak memberikan perubahan yang signiﬁkan terhadap solusi dasar. Sedangkan untuk nilai C ( θ ) > 0,1 solusi h ( x ) tidaklah valid, karena terdapat nilai h ( x ) yang negatif di daerah dekat garis kontak. Hal ini disebabkan karena hampiran lubrikasi yang digunakan dalam penurunan  model  lapisan  ﬂuida  tipis  menggunakan  asumsi  bahwa  kemiringan  dari  permukaan bebas  haruslah  kecil,  yang  berarti  haruslah   1   C .  Jadi,  selanjutnya  hanya  akan  digunakan parameter C ( θ ) untuk C ( θ ) ≤ 0,1 dalam menguji kestabilan solusi.
(a) (b)
Gambar 5. Solusi h ( x ) dengan C ( θ ) = 0,05 untuk:
(a) D ( α ) = 0 dan β yang Bervariasi, (b) β = 0,1 dan D (α) yang Bervariasi.
Adapun Gambar 5 memperlihatkan proﬁl solusi h ( x ) dengan parameter β dan D ( α ). Gambar 5(a) menunjukkan  solusi  untuk  nilai  parameter  slip  yang  bervariasi,  dengan  kemiringan  kontak C ( θ ) dan D ( α )  yang  tetap.  Proﬁl  dari  graﬁk  menunjukkan  bahwa  semakin  kecil  nilai β ,  maka ketinggian  gundukan  makin  besar.  Hal  ini  menunjukkan  bahwa  ada  kebergantungan  antara parameter  slip β dengan  ketinggian  gundukan  dari  solusi.  Akan  tetapi,  karena  terbentuknya gundukan  ini  menggambarkan  adanya  ketidakstabilan  dari  solusi,  berarti  perubahan  parameter slip β tidaklah  menyebabkan  solusi  menjadi  stabil.  Sedangkan  gambar  5(b)  memperlihatkan peranan  dari  parameter D ( α )  terhadap  kestabilan  dari  solusi  dasar.  Gambar  ini  memperlihatkan terjadinya  gundukan  di  dekat  garis  kontak  dari  setiap  graﬁk,  yang  mengindikasikan  terjadinya ketidakstabilan aliran ﬂuida. Akan tetapi dibandingkan dengan parameter β dan C ( θ ), parameter D ( α ) memberikan pengaruh yang signiﬁkan terhadap ketidakstabilan solusi h ( x ).

## 4. Analisis Kestabilan Linier
Pandang Persamaan (4) dalam variabel ( ξ , y , t ) dan asumsikan solusinya dalam bentuk
      t y h h t y h , ,
, , 1 0       dengan ) 1 ( dan 1 1 O h   , maka Persamaan (4) menjadi:
        3 3 2 3      h U x h h h h h D h h h t h s                 
(8)
dengan ξ = x − Ust dan ∇ = (∂ξ, ∂y).
Persamaan (8) dapat dinyatakan dalam bentuk Fourier dalam y , yaitu dengan mengekspresikan     t iqy e t t y h       , , , 1 ,
dimana q adalah    bilangan    gelombang,    yang    berkaitan  dengan  periode  dari  perturbasi  ( q = 2π/λ), sedangkan σ adalah derajat ketidakstabilan solusi. Dengan demikian, jika diberikan suatu q maka diperoleh suatu masalah nilai eigen:
£φ = − σφ , (9)
dengan £ adalah operator linier yang memenuhi:
Analisis  kestabilan  solusi  diperoleh  dengan  menyelesaikan  Persamaan  (9)  secara numerik. Prosedur numeriknya adalah dengan mencari σ (nilai eigen) terbesar dari setiap q yang diberikan, sehingga diperoleh graﬁk fungsi σ ( q ).
Gambar 6. Derajat Ketidakstabilan σ ( q ) dengan Parameter 1 ) (   C , D ( α ) = 0, β = 0,1.
Gambar 6 menunjukkan bahwa untuk
1 ) (   C , parameter kemiringan kontak tidak memberikan perubahan  yang  signiﬁkan  terhadap  derajat  ketidakstabilan.  Hal  ini  dapat  dijelaskan  dengan
Sri Sulaster
memperhatikan  kebergantungan C ( θ )  terhadap  solusi  dasar.  Proﬁl  dari  solusi  dasar  tidaklah sensitif terhadap perubahan C ( θ ) untuk 1 ) (   C , bahkan pada daerah di sekitar garis kontak. Gambar 7 di bawah adalah graﬁk fungsi σ ( q ) dengan parameter β dan D ( α ). Gambar 7(a) menunjukkan bahwa terdapat daerah dari q dimana laju pertumbuhan σ ( q ) bernilai positif, yaitu daerah yang dibatasi oleh q = 0 dan qs = 2 π / λ . Kondisi paling tidak stabil terjadi pada qm ≈ 0,5 atau berkorespondensi dengan λm ≈ 12,6. Hasil lain yang tampak dari gambar 7(a) yaitu bahwa derajat  ketidakstabilan σ ( q )  bertambah  jika  parameter  slip β berkurang.  Hasil  ini  bersesuaian dengan solusi dasar dari model slip, yaitu nilai maksimum dari h ( x ) bertambah jika parameter slip β berkurang.  Adapun  gambar  7(b)  menunjukkan  bahwa  kenaikan  nilai D ( α )  menyebabkan penurunan  derajat  ketidakstabilan σ ( q ),  serta  pergeseran  posisi  dari σ ( qm )  dan σ ( qs ).  Hasil  ini sejalan dengan hasil pada solusi dasar, yaitu kenaikan nilai D(α) menyebabkan solusi dasar lebih stabil.
(a) (b)
Gambar 7. Solusi h ( x ) dengan C(θ) = 0,05 untuk: (a) D(α) = 0 dan β yang Bervariasi,  (b) β = 0,1 dan D (α) yang Bervariasi.

## 5. Kesimpulan
Tulisan ini membahas masalah ketidakstabilan dari lapisan ﬂuida tipis yang mengalir di atas suatu bidang inklinasi, dengan menggunakan model slip. Parameter yang digunakan adalah konstanta  slip β ,  sudut  kontak C ( θ ),  dan  komponen  normal  gravitasi D ( α ).  Analisis  yang dilakukan  mengacu  pada  solusi  dasar  dari  persamaan  lapisan  ﬂuida  tipis,  serta  derajat ketidakstabilan dari solusi dasar yang diperturbasi.
Simulasi  numerik  menunjukkan  bahwa  penurunan  nilai  parameter  slip  menyebabkan solusi dasar menjadi lebih tidak stabil, sedangkan kenaikan nilai D ( α ) menyebabkan proﬁl lebih stabil. Adapun perubahan parameter C ( θ ) tidak memberikan perbedaan yang signiﬁkan terhadap proﬁl solusi dasar. Ketiga parameter ini juga memberikan efek ketidakstabilan yang sama pada derajat  ketidakstabilan.  Simulasi  numerik  juga  menunjukkan  bahwap  parameter D ( α )  yang berkaitan  dengan  sudut  dari  bidang  inklinasi  (komponen  normal  gravitasi)  mempunyai  peran yang sangat besar dalam menentukan kondisi kestabilan dari solusi.

## Daftar Pustaka
Bertozzi,  A.L.  dan  Brenner,  M.P.  1997.  Linear  stability  and  transient  growth  in  driven  contact lines . Phys. Fuids, 9, pp. 530-539.
Bertozzi, A.L. 1998. The mathematics of moving contact lines in thin liquid films, Notices Amer. Math. Soc., 45, pp. 689-697.
Hoffman, J.D., 1992. Numerical Methods for Engineers and Scientists . McGraw-Hill, Inc., New- York.
Kondic, L., 2003. Instabilities in gravity driven flow of thin fluid films. SIAM Review, Vol. 45, pp. 95-115.
Spaid,  M.A.  dan  Homsy,  G.M.,  1996.  Stability  of  newtonian  and  viscoelastic  dynamic  contact lines. Phys. Fuids, 8, No. 2.