## OPTIMALISASI PROSES KOMPUTASI PELEBARAN PITA FREKUENSI DATA SEISMIK REFLEKSI BERBASIS INVERSI BERESOLUSI TINGGI UNTUK PENAFSIRAN STRATIGRAFI SEISMIK
Ruhul Firdaus 1 , Gestin Mey Ekawati 1
1 Institut Teknologi Sumatera (ITERA)

## Abstract:
Resolution capability of seismic reflection data is becoming more interesting topic to discuss even for today. Several methods and approximations to attempt bandwidth extension of seismic reflection data have  been proposed  in  wide  variety.  Among  them  is  a  non-stationary reflectivity  inversion  based  on basis pursuit decomposition technique. The need of the method is increasing as it can provide realistic resolution  of  seismic  data.  The main  advantages  of  the  method  are  consistancy  with  log  data,  good lateral continuity, preserve amplitude and capable in denying artificial reflection feature. Nevertheless, its computational process is very expensive thus most pratitioners tend to avoid the method and look for another method that could serve quicker instead of  better results.This paper attempt to propose a set  of  computational  scheme  which  can  be  used  flexibly  for  any  prospective  user  to  reduce  the computational cost of the method.
Keyword:  computation,  optimization,  reflectivity  inversion,  basis  pursuit  inversion,  sparse  layer inversion

## 1. Pendahuluan
Eksplorasi migas pada reservoir konvensional maupun non-konvensional sangat bergantung dengan struktur  dan  karakter  batuan  yang  tercermin pada  data  seismik  refleksi.  Pada  tahap  pengembangan lapangan  pun,  data  seismik  masih  merupakan  data  pamungkas  bersama-sama  data  log  untuk menemukan  cebakan  stratigrafi  dari  suatu  reservoir  yang  sangat  tipis.  Suatu  lapisan  yang  menarik secara  ekonomi  dapat  diidentifikasi  dari  data  log  yang  memiliki  resolusi  yang  sangat  tinggi  (15  cm) namun seringkali sulit dipetakan karena resolusi seismik yang sangat terbatas (maksimum hanya 10 m).
Kegiatan eksplorasi migas membutuhkan dana dengan jumlah yang besar. Data yang diperoleh dari aktivitas eksplorasi sudah selayaknya digunakan secara optimal untuk mendapatkan informasi bawah permukaan  bumi  secara  maksimal.  Proses  rekayasa  data  saat  ini  sudah  tersedia  untuk  membantu dalam  interpretasi  stratigrafi reservoir  migas  konvensional  maupun  non-konvensional  terutama  yang berkaitan  dengan  lapisan  yang  memiliki  ketebalan  di  bawah  kemampuan  resolusi  seismik.  Namun, proses tersebut cenderung mahal secara komputasional sehingga seringkali diabaikan karena dirasa kurang efisien dari sudut pandang manajemen meskipun akan membantu dalam perhitungan cadangan dengan  lebih  akurat  sehingga  mengurangi  ketidakpastian  dalam  bisnis  migas.  Hasil  penelitian  ini diharapkan  dapat  menjadikan  proses  tersebut  menjadi  lebih  efisien  sehingga  kandungan  informasi pada data dapat diekstrak pada kapasitas yang lebih tinggi.
Basis  Pursuit  Inversion  (BPI)  pertama  kali  diperkenalkan  oleh  Zhang  &  Castagna  pada  tahun  2011. Semenjak itu, Zhang telah mengeluarkan beberapa studi BPI lanjutan. Pada tahun 2012, Zhang et al. melakukan studi kalibrasi BPI dengan Very Fast Simulated Annealing (FVSA). Hasilnya menunjukkan bahwa BPI dapat dianggap setara dengan metoda statistik VFSA sehingga teknik inversi deterministik BPI  dapat  meningkatkan  keyakinan  dalam  interpretasi.  Pengembangan  berikutnya  dikeluarkan  oleh Zhang et al. pada tahun 2013 tentang implementasi BPI pada data prestack . Pengembangan metoda juga  dilakukan  kearah  inversi  non-stasioner  untuk  mengakomodasi  inversi  dengan  menggunakan beberapa wavelet secara simultan namun masih terkendala dengan biaya komputasi yang masih tinggi (Firdaus, 2014). Paper ini mencoba untuk menawarkan skema komputasi yang lebih efisien.
Batas  lapisan  batuan  bawah  permukaan  direpresentasikan  oleh  koefisien  reflektivitas.  Namun, koefisien  reflektivitas  (RC)  tersamarkan  akibat  sempitnya bandwidth gelombang  sumber  ( wavelet ) dibandingkan bandwidth RC, sehingga batas antar lapisan sulit dibedakan (resolusi rendah). Metoda “dekonvolusi” biasa digunakan untuk mengkompres wavelet atau bahkan menghilangkan efek wavelet sama sekali sehingga dapat meningkatkan resolusi temporal data seismik. Peningkatan resolusi vertikal ini  tercermin  pula  dalam  domain  spektrum  berupa  perluasan  rentang  spektrum  ( bandwidth ) data seismik.  Resolusi  menyatakan  seberapa  dekat  dua  batas  lapisan  sehingga  masih  dapat  dibedakan. Peningkatan resolusi temporal berarti meningkatkan daya pisah antar lapisan secara vertikal.

## 2. Metoda

## 2.1 Teori
Teknik seismik inversi pada prinspipnya adalah metoda dekonvolusi. Proses inversi data seismik adalah suatu proses balik untuk mendapatkan kembali nilai reflektivitas bumi dari trace seismik yang terekam sebagai  respon  dari  impuls  ( wavelet )  yang  dibangkitkan  sumber.  Tujuan  inversi  seismik  adalah menghilangkan  efek wavelet pada  rekaman  seismik  sehingga  otomatis  akan  meningkatkan  resolusi vertikal data seismik.
Inversi  data  seismik  merupakan  teori  dan praktik  yang  populer  di geofisika  seismik  reservoir.  Inversi non-stasioner menjadi relevan pula akibat fenomena perubahan wavelet sering ditemukan dalam data (Firdaus,  dkk.,  2014).  Cara  yang  paling  sederhana  untuk  melakukan  dekonvolusi  (inversi)  adalah dengan  menerapkan inversi linear  ( direct  inversion ).  Inversi linear  akan  memberikan  hasil  yang baik dengan resolusi tinggi hanya jika matriks kernel bersifat ortogonal. Kriteria ini dapat dipenuhi hanya jika kita memiliki hubungan linier yang eksak antara data dan model. Sayangnya, secara praktik, kriteria ini sulit dipenuhi. Tantangan utamanya adalah:
a)  rendahnya kualitas data seismik
b)  ekstraksi wavelet yang tidak akurat c)  adanya error karena perbedaan antara asumsi model konvolusional dengan realita sebenarnya Cara lain yang lebih baik untuk melakukan inversi adalah dengan metoda optimasi non-linear model RC  dengan  pendekatan  linear  atau  dengan  metoda  statistik  (optimasi  global).  Pengalaman membuktikan  bahwa  inversi  non-linear  jauh lebih bisa  mendekati  keadaan real  dibandingkan  inversi linear, namun hasil inversinya sangat bergantung pada pemilihan model awal. Kesalahan penentuan model awal dapat mengantarkan pada minimum lokal.
Metoda  statistik  dilahirkan  untuk  mencari  solusi  optimum  global  yang  sangat  sulit  ditemukan menggunakan  metoda  inversi  non-linear  dengan  pendekatan  linear.  Agar  tidak  terjebak  dengan minimum  lokal,  metoda  ini  tidak  menggunakan  gradien  fungsi  objektif  melainkan  langsung mengevaluasi fungsi objektif itu sendiri. Secara umum, metoda ini bermasalah dengan nonuniqueness . Keunggulan  inversi  stokastik  adalah  dapat  menyajikan  solusi  inversi  yang  terkondisi  secara  geologi lengkap dengan ukuran probabilitasnya.
Walaupun  telah  banyak  metoda  yang  disarankan,  kebutuhan  praktikal  masih  belum  dapat  dipenuhi seutuhnya.  Penggunaan  metoda  yang berbeda  akan  memberikan  hasil  yang  berbeda pula  dan  bisa mengantar  pada  nilai  RC  yang  salah.  Kekurangan  norm Euclidean dalam  hal  sparsity  dan  teknik stokastik  dalam  hal non-uniqueness diharapkan  dapat  diatasi  dengan  penggunaan  norm  yang berdasarkan  sparsity.  Pada  akhirnya,  perlu  dipertimbangkan  penggunaan  konsep  jarak sparsity atau  yang  ekuivalen  dengan sparsity seperti  konsep  jarak  nilai  absolut untuk merepresentasikan  karakteristik  RC  yang sparse .  Dengan  minimalisasi kita  pun  dapat mencapai minimum global sebagaimana pada teknik stokastik.
BPI mengadaptasi konsep representasi sinyal sparse dengan menyusun Dictionary berupa kombinasi pasangan reflektivitas ganjil dan genap sebagai representasi dasar bagi reflektor. Inversi basis pursuit (BPI) yang diusulkan oleh Zhang & Castagna (2011) memanfaatkan konsep dan algoritma BPDN untuk mendekomposisi data seismik dengan menggunakan Dictionary berupa waveform nonortogonal yang tersusun dari respon seismik terhada p lapisan tipis berkonfigurasi genap (“ even ”) dan ganjil (“ odd ”). RC dibentuk dengan menjumlahkan pasangan RC yang digeser dan dikali bilangan skalar dengan translasi dan koefisien yang dihasilkan metoda basis pursuit. Permasalahan inversinya dituliskan dalam bentuk formulasi kasus representasi sinyal sparse : , dimana adalah kumpulan semua kemungkinan
bentuk waveform, adalah  koefisien  untuk  setiap  jenis waveform ,  dan adalah  data  seismik. Formulasi representasi sparse di atas mengantarkan kita pada masalah optimasi untuk menyelesaikan persamaan linear sistem under-determined . Dengan menyusun semua atom dalam Dictionary besar ,  kita  ingin  mencari  koefisien   yang  merupakan  solusi  paling  optimal  sekaligus  paling sparse untuk merepresentasikan  data  seismik  yang  terekam   melalui  pernyataan  optimasi  yang  diberikan  pada persamaan (1) dan (2):
(1)
atau
(2)
BPI tidak memerlukan model awal karena langsung mengaitkan data dengan informasi a priori . Selain itu,  BPI  menggunakan  optimasi  norm   sehingga  dapat  mencari  konfigurasi  pasangan  reflektivitas genap dan ganjil secara optimal, ini mengantarkan pada solusi yang sparse . Keunggulan BPI berkaitan erat dengan fakta bahwa BP  menemukan satu solusi global yang optimal. Dengan demikian, inversi yang  dihasilkan  menjadi sparse layer  dengan  resolusi  yang  sangat  baik.  Zhang  &  Castagna  (2011) memanfaatkan penyelesaian persamaan primal dan dual dari program linear yang diusulkan oleh Chen (2001). Namun, saat ini ada banyak pendekatan lain untuk menyelesaikan masalah optimasi norm  . Kita bisa mengklasifikasi algoritma yang ada saat ini dalam enam kelas yang representatif seperti yang dilakukan Yang et al. (2010): Linear Programing, Gradient Projection, Augmented Lagrange Multiplier, Iterative  Shrinkage-Thresholding,  Homotopy, dan Proximal  Gradient . Linear  Programing merupakan solusi klasik untuk problem minimasi  , memiliki ketelitian tinggi namun kurang robust dalam mencapai kekonvergenan. Kelima algoritma lainnya disusun untuk mengatasi masalah yang ada pada algoritma Linear  Programming . Gradient  Projection mencari  representasi sparse dari   dengan  mengikuti  arah gradient tertentu sehingga dapat mempercepat proses konvergensi. Algoritma Augmented Lagrange Multiplier sangat  popular  dalam  pemrograman  konveks.  Ide  dasarnya  adalah  untuk  mengeliminasi konstrain ekualitas dengan menambahkan terminologi penalty pada fungsi objektif. Iterative Shrinkage- Thresholding menggunakan  operasi  matriks  sederhana  seperti  aljabar  vektor  dan  pekalian  matriks- vektor,  berbeda  dengan  beberapa  metoda  sebelumnya  yang  melibatkan  operasi  matriks  yang  lebih rumit  seperti  faktorisasi  dan  penyelesaian least-square linear. Homotopy memanfaatkan  fakta matematis  bahwa  terdapat  aliran  constraint  dari   menjadi   seiring  peningkatan   (faktor  pengali Lagrange) dengan menentukan “ breakpoints ” yang mengantarkan pada perubahan support sehingga pencarian koefisien tak-nol yang baru menjadi lebih efisien. Proximal Gradient mewakili algoritma jenis lain. Prinsip dibalik algoritma ini adalah mengganti fungsi objektif dimana suku pertama dari persamaan regularisasi adalah fungsi konveks yang smooth dengan gradien kontinyu Lipschitz dan suku keduanya adalah fungsi konveks kontinyu. Untuk mewakili masing-masing kelas algoritma tersebut, satu solver dipilih  untuk  kemudian  dibandingkan  performanya  jika  dihadapkan  dengan  masalah-masalah  yang biasa  ditemukan  dalam  seismik  inversi  terkait  kualitas  data,  kesalahan  estimasi wavelet dan kemampuan resolusi.

## 2.2 Lingkungan eksperimen
Lingkungan komputasi yang digunakan adalah: Intel(R) Core(TM) i7-2600 CPU @ 3.40GHz 4.10 GHz. Pada tahap ini dilakukan uji coba metoda terhadap masalah yang sudah diketahui solusinya, dilakukan dengan  tiga  langkah:  pemodelan  kedepan  dengan wavelet dan  reflektivitas  yang  diketahui;  inversi dengan  berbagai  algoritma  BPI;  dan  perbandingan  hasil  inversi  dengan  model  reflektivitas menggunakan korelasi silang. Setiap langkah simulasi tersebut diterapkan pada dua kasus berbeda: kasus reflekt ivitas jarang (“ sparse ”) dan rapat (“ dense ”) seperti pada Gambar 1. Pengujian dilakukan dengan menggunakan model “ sparse ” dan “ dense ” bebas noise dan wavelet diketahui dengan pasti. Tujuan  eksperimen  ini  adalah  :  (1)  Melihat  konsistensi  parameter  yang  kami  tetapkan,  (2) Membandingkan  pengaruh  parameter  akurasi  terhadap  kasus  data sparse dan dense ,  (3)  Studi perbandingan antar metoda dikaitkan dengan parameter akurasi yang dipilih.
-1 -0.5 0 0.5 -1 0 1 -1 0 1 -1 0 1 -0.5 0 0.5 1 -1 0 1 -0.5 0 0.5 -0.5 0 0.5 R(t) w(t) n(t) S(t) R(t) w(t) n(t) S(t)
Gambar 1 Pemodelan eksperimen untuk kasus reflektivitas “sparse” (atas) dan “dense” (bawah) .

## 3. Hasil dan Pembahasan

## 3.1 Perbandingan performa berbagai algoritma BPI
Parameter  yang  digunakan  pada  setiap  metoda  berbeda-beda  namun  diatur  sedemikian  rupa  agar mencapai kriteria super-resolve . Pengkondisian dasar adalah toleransi error diatur agar dapat setara dengan  parameter  akurasi.  Selanjutnya,  parameterisasi  yang  disisakan  hanyalah  parameter  yang menyatakan tingkat akurasi optimasi yang terkait langsung dengan level noise . Hasil pada Gambar 2 memperlihatkan  konsistensi  parameter  yang  penulis  tentukan  sehingga  satu  sama  lain  dapat dibandingkan secara proporsional. Selanjutnya parameter yang merupakan hasil elaborasi parameter regularisasi dan akurasi ini kami beri simbol delta . Studi kami menunjukkan bahwa keseluruhan metoda tersebut saling kompetitif satu sama lain terkait kualitas hasil yang diberikan hanya saja metoda terbaru lebih  unggul  dari  aspek  kecepatan  komputasi  sehingga  menjadi  layak  digunakan  pada  data  yang panjang seperti pada implementasi pelebaran pita frekuensi. Pemilihan parameter akurasi (regularisasi) dilakukan  dengan  mempertimbangkan:  (1)  Kualitas  frekuensi  data,  (2)  Tingkat  gangguan noise ,  (3) Akurasi pemilihan wavelet , (4) Sparseness solusi yang diinginkan. Parameter Test : "sparse"
Parameter Test : "dense"
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 (10 -n )
(10 -n )
Gambar 2 Hasil simulasi pemilihan parameter.

## 3.2 Optimalisasi BPI
Deret reflektivitas diasumsikan memiliki karakteristik dasar yang sparse , namun dalam praktiknya, deret reflektivitas bersifat “ dense ”. Karena itu, Dictionary yang hanya mencakup tepi wedge saja dirasa sudah cukup. Dengan mengefisienkan ukuran Dictionary , maka kita dapat mengurangi beban komputasi dan memiliki  keleluasan  lebih  dalam  memodelkan  berbagai  asumsi wavelet pada  implementasi  di  kasus inversi non-stasioner.
Hasil  pada  Gambar  3  menunjukkan  bahwa  dengan  melakukan  efisiensi Dictionary ,  kita  memperoleh beberapa keuntungan: waktu yang dibutuhkan dan ukuran problem berkurang; kompleksitas masalah berkurang  sehingga  proses  menjadi  lebih  stabil;  dan  memberikan  hasil dengan  kualitas  yang  sedikit
lebih  baik.  Beberapa  keuntungan  ini  diperoleh  terutama  karena  berkurangnya  kompleksitas  sistem inversi.
Parameter Test : "dense" | Dict. [0 1 5] Parameter Test : "dense"
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 2
3 4 5 6 7 8 9 10   (10 -n ) (10 -n )
Gambar  3 Efisiensi Dictionary untuk  kasus  “ dense ”.  Performa  BPI  dengan  ketebalan  pasangan reflektivitas  maksimum  dalam Dictionary adalah  5dt  (kiri)  memiliki  kualitas  hasil  inversi  yang  setara dengan Dictionary yang utuh 1  (kanan).
Proses BPI dapat pula dipartisi secara hari-hati dengan mengatur kelengkapan Dictionary setiap partisi agar bersesuaian persis dengan Dictionary global yang diterapkan tanpa partisi. Ini berkaitan dengan sifat Dictionary yang time-adaptive . Untuk menghindari aliasing, perlu ditambahkan data sepanjang baik di bagian atas maupun bawah dari target yang sedang dievaluasi. Hasil eksperimen (Gambar 4) memperlihatkan  bahwa  dengan  melakukan  partisi  proses  BPI,  prosesnya  akan  berjalan  lebih  cepat tanpa mengakibatkan pengurangan korelasi.
Gambar  4 Ilustrasi  skema  partisi  dan  paralelisasi  proses  komputasi  inversi  basis  pursuit  untuk dikerjakan oleh 3 (tiga) Prosesor
Proses partisi independen satu sama lain sehingga pada tahap ini dapat diterapkan strategi paralelisasi komputasi. Setiap proses partisi dibebankan kepada satu prosesor sehingga untuk satu jejak seismik yang dipartisi menjadi empat misalnya, dapat dilakukan dengan waktu ¼ dari yang dibutuhkan sebelum paralelisasi  sebagaimana  diperlihatkan  pada  Tabel  1.  Nilai  peningkatan  kecepatan  komputasi  dapat bervariasi bergantung pada kestabilan mesin, namun adanya peningkatan kecepatan komputasi terlihat nyata pada eksperimen ini.
Algoritma Original Partisi Paralelisasi PDIPM 5,8 jam 6 menit 90 detik tNIPM 27 menit 53 detik 15 detik ADM 125 detik 49 detik 13 detik SpaRSA 22 menit 22 detik 6 detik Homotopy 7 detik 82 detik 10 detik NESTA 6,8 menit 18 detik 5 detik
Tabel 1 . Perbandingan waktu implementasi algoritma dengan berbagai skema

## 3.3 Stratigrafi Seismik
Permasalahan  utama  dalam  analisis  stratigrafi  seismik  terletak  pada  masalah  terminasi  lapisan  dan jumlah lapisan yang teresolusi. Kemampuan BPI dalam meresolusi lapisan sangat baik bahkan dapat dikatakan hampir sempurna sebagaimana diperlihatkan pada Gambar 5 . Setiap nilai akustik impedansi dapat  diestimasikan  dengan  hampir  sempurna.  Sehingga  dapat  dikatakan  masalah  stratigrafi  dapat diselesaikan  secara  utuh  dari  segi  algoritma  inversi.  Hal  tersebut diperlihatkan  pada  uji  coba inversi akustik impedansi dengan BPI membuat seismik sintetik dari data akustik impedansi sumur.
Kendala utamanya muncul ketika metoda BPI diterapkan pada data real, performa yang diberikan tidak sebagaimana  pada  uji  sintetik.  Hal  itu  dikarenakan  faktor  kesalahan  dalam  estimasi  wavelet  dan kehadiran noise pada data. Sementara dari uji sintetik sebelumnya dapat dikatakan bahwa lebar pita frekuensi  data  seismik  bukan  merupakan  kendala  bagi  metoda  BPI.  Hasil  uji  data  real  diperlihatkan pada  Gambar  6.  Dapat  dilihat  adanya  peningkatan  jumlah  lapisan  terutama  pada  lapisan  yang mengalami tuning . Selain itu ketajaman reflector juga dapat membantu dalam  mengatasi ambiguitas antara terminasi lapisan atau conformity yang tipis.
Gambar 5 Akustik Impedansi hasil BPI pada skema ideal, wavelet diketahui. Paling kiri adalah data sintetik pada sumur. Tengah adalah parameter akustik impedansi pada sumur. Paling kanan adalah perbandingan akustik impedansi sebenarnya (biru) dengan estimasi BPI (orange) setelah
ditambahkan low-frequency model (kuning)
Gambar 6 Reflektivitas BPI (kanan) dibandingkan dengan data real (kiri) dengan wavelet yang diestimasikan secara statistik

## 4. Kesimpulan
Studi  kami  menunjukkan  bahwa  keseluruhan  metoda  optimasi   saling  kompetitif  satu  sama  lain mengenai kualitas hasil yang diberikan. Akan tetapi, metoda terbaru lebih unggul dari aspek kecepatan komputasi  sehingga  cocok  digunakan  pada  data  berukuran  besar.  Untuk  optimasi  BPI,  kami menyarankan efisiensi Dictionary , mempartisi proses serta melakukan paralelisasi komputasi. Dengan demikian, kecepatan komputasi secara nyata menurun dengan signifikan untuk semua algoritma yang dicoba. Dengan didukung teknologi komputasi paralel, skema ini dapat dikembangkan menjadi skema komputasi paralel dua lapis sehingga proses komputasi menjadi lebih cepat lagi. Dari aspek stratigrafi seismic,  inversi  BPI  dapat  mengatasi  masalah  keterbatasan bandwidth data  seismik  dalam menganalisis  lapisan  tipis.  Meskipun  pengaruh  kesalahan  estimasi  wavelet  dan  noise  masih berpengaruh  signifikan,  hasil  yang  diberikan  telah  memperlihatkan  perbaikan  dalam  hal  pemisahan lapisan tuning dan terminasi lapisan.

## 5. Penghargaan
Terima kasih banyak penulis sampaikan kepada LP3 Institut Teknologi Sumatera yang telah mendanai penelitian ini. Penghargaan sebesar-besarnya juga penulis sampaikan kepada Bapak Soni Winardhie, Ph.D. dan Bapak DR. Alfian Bahar atas masukan yang sangat berarti.

## 6. Daftar Pustaka
[1] R. Zhang, and J.P. Castagna, “Seismic sparse-layer reflectivity inversion using basis pursuit decomposition”, Geophysics vol. 76, pp. R147-R158, Nov-Dec 2011
[2] R.  Zhang,  M.K.  Sen,  S.  Phan,  and  S.  Srinivasan,  “Stochastic  and  deterministic  seismic inversion methods for thin- bed resolution,” Journal of Geophysics and Engineering, vol. 9, pp. 611-618,
September 2012
[3] R.  Zhang,  M.K.  Sen,  and  S.  Srinivasan,  “ A  prestack  basis  pursuit  seismic  inversion,” Geophysics, vol. 78 , pp. R1-R11, January 2013 [4] R. Firdaus, “Inversi reflektivitas nonstasioner dengan metoda dekomposisi basis pursuit,” M.S. thesis, Institut Teknologi Bandung, Indonesia, 2014
[5] S.  S.  Chen,  D.  L.  Donoho,  and  M.  A.  Saunders,  “Atomic  decomposition  by  basis  pursuit,” Society for Industrial and Applied Mathematics Review, vol. 43, pp. 129 –159, February 2001
[6] A. Yang, A. Ganesh, S. Sastry, and Y. Ma, “Fast l1-minimization algorithms and an application in  robust  face  recognition:  a  review,”  in  Proceedings  of  the  International  Conference  on  Image Processing, 2010