## PERBANDINGAN MODEL GENERALIZED AMMI (GAMMI) DENGAN ROW COLUMN INTERACTION MODEL PADA INTERAKSI GENOTIPE DAN LINGKUNGAN
Kurnia Ahadiyah 1* , Ardiana Fatma Dewi 2
1,2 Program Studi Tadris Matematika, IAIN Kediri
E-mail: kurniaahadiyah@iainkediri.ac.id 1*) ardianafatmad.@iainkediri.ac.id 2)

## Keywords ABSTRACT
AMMI, GLM, RCIM, SVD, residu, analisis devian
AMMI, GLM, RCIM, SVD, residue, devian analysis
Model Generalized AMMI  (GAMMI)  merupakan  perluasan  dari  model AMMI  ( Additive  Main  Effect  and  Multiplicative  Interaction ).  Model GAMMI  melibatkan  konsep Generalized  Linear  Model (GLM)  pada variabel  responnya.  Pada penelitian  ini,  model  GAMMI  digunakan  untuk data  interaksi  antara  genotipe  dan  lingkungan yang  mempunyai  distribusi poisson.  Sama  halnya  dengan  model  AMMI,  model  GAMMI  juga digunakan  untuk  menganalisis  kestabilan  genotipe  pada  lingkungan  yang beragam  dengan  pengaruh  utama  perlakuan  dimodelkan  dengan  model aditif sedangkan pengaruh interaksi dimodelkan dengan model multiplikatif (bilinier).  Metode  lain  yang  memiliki  kemiripan  dengan  model  GAMMI adalah Row  Column  Interaction  Model  (RCIM) .  Model  ini  juga  dapat digunakan  untuk  data  yang  berdistribusi  poisson.  Kedua  model  ini  akan dibandingkan nilai analisis devian dan biplotnya. Interpretasi kedua model ditunjukkan  melalui  biplot  dengan  penguraian Singular  Value Decompotition (SVD) pada matriks interaksi.  Data yang digunakan untuk membandingkan  kedua  metode  tersebut  adalah  data  hama  kedelai  yang berisi  empat  genotipe  dan  lima  jenis  hama  kedelai.  Penelitian  ini  lebih ditekankan pada perbandingan hasil pemodelan dengan cara yang berbeda. Kedua  metode  menunjukan  nilai  peluang  yang  hampir  sama  yaitu  untuk model  GAMMI  dengan  regresi  bolak-balik  sebesar  0,0541,  sedangkan model RCIM sebesar 0,0548. Keduanya sama-sama signifikan pada model GAMMI2 karena nilai peluang < 0,06 .
Generalized  AMMI  (GAMMI)  model  is  a  development  of  the  AMMI (Additive  Main  Effect  and  Multiplicative  Interaction)  model.  Model GAMMI involves the concept of  Generalized Linear Model (GLM) on the response variable. In this research, GAMMI model used for interaction of genotype and environment data  that have poisson distribution.  Similar to the AMMI model, GAMMI model also used to analyze the stability of the genotype in any different environment with the main effect of treatment is modeled by additive model, while the effect of the interaction is modeled by multiplicative model (bilinear). Another method which is similar to GAMMI model is Row Column Interaction Model (RCIM). This model also can used for  the  data  that  have  poisson  distribution.  These  two  models  will  be compared with the analysis value of the deviance and biplot. Interpretation of the model is shown through the biplot with Singular Value Decompotition (SVD) toward interaction matrix. The data used to compare the two methods is  soybean  pest  data  which  contains  four  genotypes  and  five  of  soybean pests.  This  research  emphasizes  on  comparing  the  results  of  modeling  in different ways. The results of the analysis of the two methods show that the probability value is almost the same, for the GAMMI model with alternating
Perbandingan Model Generalized Ammi (GAMMI) dengan Row Column Interaction Model pada Interaksi Genotipe dan Lingkungan Kurnia Ahadiyah, Ardiana Fatma Dewi
regression  is  0.0541,  while  the  RCIM  model  is  0.0548.  Both  are  equally significant in the GAMMI2 model because the probability value is <0.06.
This is an open access article under the CC – BY-SA license.

## Pendahuluan
Dalam  ilmu  statistika,  telah  banyak dikenal  metode  yang  dapat  digunakan untuk  menilai  kestabilan  genotipe  pada lingkungan  yang  berbeda.  Metode  yang sering  digunakan  adalah  metode  AMMI ( Additive  Main  Effect  and  Multiplicative Interaction)  dimana  hasil  interpretasinya ditunjukkan  secara  jelas  melalui  biplot. (Herawan,  et  al,  2013).  Metode  tersebut digunakan  untuk  menentukan  besar kecilnya  interaksi  antara  genotipe  dengan lingkungan  serta  pengaruhnya  terhadap stabilitas hasil (Widyastuti, et al., 2013).
Zali,  et  al  (2012:  3126)  melakukan penelitian  terhadap  17  genotipe  buncis dengan  empat  ulangan  di  5  stasiun penelitian yang berbeda dengan menggunakan  model  AMMI.  Agahi,  et  al (2020  :  1)  meneliti  interaksi  antara  22 genotipe biji lobak (terdiri atas 21 galur dan 1 varietas) pada saat musim semi di 5 lokasi percobaan    selama  dua  musim  dengan menggunakan analisis AMMI model. Sharifi
(2017:  174)  juga  melakukan  penelitian persilangan antara 5 kultivar padi di 3 lokasi yang  berbeda  dengan  menggunakan model AMMI.
AMMI  merupakan  suatu  teknik  analisis data  percobaan  dua  faktor  perlakuan dengan pengaruh utama perlakuan bersifat aditif sedangkan untuk pengaruh interaksi dimodelkan  dengan  model  multiplikatif (bilinier).    (Gauch  dan  Zobel  dalam Krisnawati,  2016).  Model  AMMI  dapat merepresentasikan  sebuah  penelitian  ke dalam  komponen  sistematik  yang  terdiri dari  pengaruh  utama  ( main  effect)  dan pengaruh  interaksi  melalui  suku-suku multiplikatif  ( multiplicative  interactions).
Komponen  acak pada model ini diasumsikan  menyebar  secara  normal dengan ragam yang konstan. Analisis AMMI menggabungkan analisis ragam aditif bagi pengaruh utama perlakuan dengan analisis komponen utama ganda melalui pemodelan bilinier bagi pengaruh interaksi
Volume 4, No. 2, Juni, 2022 Page 43 - 54
yang  memanfaatkan Singular  Value Decomposition  (SVD)  pada  matriks interaksinya (Dewi, et al, 2015).
Model  AMMI  digunakan  untuk  data yang mempunyai variabel respon menyebar  secara  normal  (Aini,  2015). Namun,  pada  jenis  data  yang  digunakan model GAMMI pada penelitian ini variabel responnya  tidak  memenuhi  asumsi kenormalan. Oleh karena itu, model AMMI tidak  mampu  lagi  menganalisis  data dengan  baik  disamping  dikarenakan asumsi  kenormalan  data  juga  apabila menggunakan  model  AMMI  dapat menyebabkan matriks interaksi tidak dapat tereduksi secara maksimal. Untuk mengatasi ketaknormalan data, Nelder dan Wedderburn (1972) telah mengembangkan model  linier  yang  dikenal  dengan Generalized Linear Model (GLM). Model ini berlaku  untuk  variabel  respon  yang mengikuti  keluarga  eksponensial.  Model multiplikatif (bilinier) menjembatani kesenjangan  antara  model  pengaruh utama  (pada  ANOVA  ataupun  GLM)  dan model  interaksi  lengkap  dengan  sebuah parameter interaksi dalam Tabel dua arah.
Model  ini  juga  memberikan  visualisasi interaksi  melalui  biplot.  Oleh  karena  itu, pengembangan  teori Generalized  Linear
Model (GLM) dengan melibatkan komponen  multiplikatif  untuk  interaksi sangat  diperlukan.  Pada  tahun  1995,  Van Eeuwijk memperkenalkan model
multiplikatif Generalized  AMMI  (GAMMI) sebagai perluasan dari model multiplikatif AMMI dengan melibatkan konsep Generalized  Linear  Model  (GLM)  dalam variabel responnya. Model ini menggunakan  konsep  regresi  bolak-balik pada  perubahan  GLM  ke  dalam  model bilinearnya.  Pada  model  ini,  visualisasi interaksi  juga  dapat  ditunjukkan  melalui biplot. (Acorsi, et al, 2016).
Yee  dan  Hadi  (2014)  memperkenalkan Row  Column  Interaction  Models  (RCIMs) pada program R. RCIM merupakan bagian dari RR-VGLM dimana RCIM terlihat identik dengan  model  GAMMI  pada  bentuk interaksinya.  Oleh  karena  itu,  untuk  lebih memperkuat  kesamaan  RCIM  dengan model  GAMMI  maka  pada  penelitian  ini akan dibandingkan hasil analisis pendekatan  RCIM  dengan  hasil  analisis model GAMMI yang menggunakan konsep Eeuwijk (1995).

## Metode Penelitian
Penelitian  ini  membandingkan  dua metode,  yaitu  model  GAMMI  dengan
Perbandingan Model Generalized Ammi (GAMMI) dengan Row Column Interaction Model pada Interaksi Genotipe dan Lingkungan Kurnia Ahadiyah, Ardiana Fatma Dewi
regresi  bolak  balik  dan  model  RCIM dengan menggunakan analisis devian dari nilai  log-likelihood.  Tujuan  penelitian  ini adalah membandingkan dua metode yang berbeda.  Oleh  karena  itu,  data  yang digunakan  penelitian  ini  adalah  data sekunder yang telah dianalisis menggunakan  model  GAMMI  dengan menggunakan  software  GENSTAT  pada penelitian  Hadi  (2010).  Data  tersebut diperoleh dari data percobaan pengendalian  terhadap  daun  pada  galur kedelai tahan hasil persilangan yang berisi 5 jenis hama daun pada 4 genotipe kedelai. Pada  penelitian  ini,  data  tersebut  akan dibandingkan dengan metode RCIM yang dianalisis  dengan  menggunakan  bantuan program R i386 4.1.1 melalui paket VGAM dengan  pendekatan  RCIM  untuk  model GAMMI.
Adapun langkah-langkah yang
dilakukan untuk menganalisis data tersebut adalah sebagai berikut:
1. Menginputkan data.  Setelah itu akan dimodelkan  ke  dalam  model  GAMMI melalui pendekatan RCIM pada paket VGAM  dengan  rank =  0, 1, 2, . . . , 𝑛.
Fungsi  yang  digunakan  adalah rcim(data,poissonff,Svd.arg=TRUE,Alp ha=0.5,Rank=0,trace=TRUE).
2. Kemudian,  dilakukan  analisis  devian yang  diperoleh  dari  perhitungan  nilai log- Likelihood.  Untuk  mendapatkan hasil  yang  dapat  menggambarkan keterkaitan genotipe dan hama daun, dilakukan interpretasi biplot pada saat rank =  0 .
3. Hasil analisis dan interpretasi tersebut akan dibandingkan dengan penelitian model GAMMI untuk ditarik kesimpulan  guna  memperlihatkan apakah  pendekatan Row  Column Interaction Model mampu memodelkan GAMMI atau tidak.
Secara umum, langkah-langkah diatas dijelaskan  dalam  bentuk  diagram  alur sebagai berikut :
Volume 4, No. 2, Juni, 2022 Page 43 - 54

## Hasil Penelitian

## Hasil Analisis GAMMI dengan Regresi Bolak-Balik
Data yang diteliti berasal dari percobaan pengendalian  terhadap  hama  daun  pada galur  kedelai  tahan  hasil  persilangan  oleh Balitkabi  di  Malang,  Jawa  Timur  adalah sebagai berikut :
Tabel 1 Populasi Hama Daun pada Genotipe Kedelai (Rata-Rata dari 4 Ulangan)
Data  pada  Tabel  1  merupakan  data rataan  populasi  jenis  hama  daun.  Berikut data count  dari  4  ulangan  populasi  lima jenis  hama  daun  pada  empat  genotipe kedelai :
Tabel 2 Total Populasi Hama Daun pada Genotipe Kedelai
Data pada Tabel 2 akan diolah dengan bantuan program R i386 4.1.1 melalui paket VGAM dengan menggunakan pendekatan rcim agar mendapatkan model GAMMI.
Berikut  ini  hasil  analisis  devian  yang diperoleh  dari  regresi  bolak-balik  pada model GAMMI berdasarkan penelitian Hadi (2010):

## Tabel 3
Analisis Devian Data Populasi Hama Daun
Berdasarkan tabel 3, diperoleh nilai devian GAMMI2 sebesar 0,9477 dengan rataan devian sebesar 0,2369. Pada penelitian Hadi (2010) menunjukkan bahwa model GAMMI2 signifikan, hal ini terbukti dengan p-value < 0,06 .

## Hasil Analisis GAMMI dengan RCIM
Analisis Log- Likelihood dari RCIM
Data pada Tabel 2 akan diolah dengan menggunakan  pendekatan Row  Column Interaction  Model  (RCIM)  dan  diperoleh nilai log- Likelihood pada masing - masing model  dengan  fungsi  ”logLik”  sebagai berikut :
Tabel 4 Analisis Nilai Log- Likelihood dengan RCIM pada Model Multiplikatif
dari  Tabel  4  diatas  akan  dihitung  nilai devian  pada  masing-masing  model  mulai dari null  model  sampai  model  Rank  =  3. (Pawitan,  2001)  menyebutkan  bahwa devian untuk sebuah model 𝜇 didefinisikan
Perbandingan Model Generalized Ammi (GAMMI) dengan Row Column Interaction Model pada Interaksi Genotipe dan Lingkungan Kurnia Ahadiyah, Ardiana Fatma Dewi
seperti  rasio Likelihood  dari  Saturated model dengan full model sebagai berikut :
Devian = 2 (𝑙𝑜𝑔 ( 𝐿(𝑦; 𝑦) 𝐿(𝜇; 𝑦) ))     (1)
dimana 𝐿(𝑦;  𝑦) merupakan Likelihood dari full  model  dan 𝐿(𝜇;  𝑦) adalah Likelihood dari saturated  model.  Dari  persamaan  (1) diatas  artinya  dengan  menggunakan pengurangan  nilai  log- Likelihood  dapat diperoleh nilai devian dari model.

## Analisis devian dari Log- Likelihood
Pada  saat  Rank=3  merupakan  model yang  disebut  full  model  karena  model Rank=3  adalah  model  yang  paling kompleks  (lengkap).  Nilai  Log- Likelihood pada null model akan dikurangkan dengan masing-masing  model  sesuai  dengan persamaan  (1).  Sehingga  diperoleh  nilai devian  masing-masing  model  sebagai berikut :
Tabel 5 Nilai Devian Residu dari Nilai Log- Likelihood
dengan  menggunakan  pendekatan  RCIM pada program R juga dapat diperoleh nilai Devian Residu pada masing-masing model sebagai berikut :

## Tabel 6
Devian Residu dari Pendekatan RCIM
Tabel  5  dan  Tabel  6  menunjukkan kesamaan  nilai  devian  pada  masing- masing  model.  Hal  ini  berarti  nilai  devian diperoleh dari nilai log- Likelihood  dan ada hubungan  yang  berati  antara  nilai  devian dengan  nilai  Log- Likelihood.  Setelah  itu,
dari  nilai  residu  tersebut  akan  dilakukan analisis  devian  dengan  cara  pengurangan residu  devian  pada  tiap-tiap  Rank.  Untuk mencari  devian  model  tanpa  interaksi (hama daun dan gen) dapat diperoleh dari pengurangan  devian  residu Null  Model dengan  devian  Residu  masing-masing model.  Sedangkan  untuk  devian  model GAMMI1  diperoleh  dari  pengurangan devian residu pada Rank = 0 dan Rank = 1 yaitu  18.58113  -  3.89752  =  14,68361 dengan  derajat  bebas  12  -  6  =  6,  begitu juga dengan GAMMI2 dan seterusnya. Analisis devian yang disajikan pada Tabel 7 dan 8 menunjukkan bahwa model GAMMI2 dengan  2  komponen  utama  memenuhi kelayakan dikarenakan rasio rataan devian pada GAMMI2 signifikan pada nilai p-value dimana nilai p − value < 0,06. Hal ini berarti model GAMMI2 merupakan model terbaik,
Volume 4, No. 2, Juni, 2022 Page 43 - 54
sehingga model GAMMI2 dengan distribusi Poisson dapat mengepas model dengan baik.    Analisis  model  RCIM  diatas diperoleh analisis devian sebagai berikut :

## Tabel 7
Analisis Devian GAMMI2 dari model RCIM

## Tabel 8
Analisis Devian GAMMI1 dari model RCIM
Kesimpulan  dari  hasil  analisis  devian melalui  pendekatan  RCIM  tersebut  nilai residual  devian  yang  diperoleh  dari  nilai Log- Likelihood  menunjukkan  kesimpulan yang  sama  dengan  hasil  penelitian  Hadi (2010) dengan menggunakan GAMMI Van Eeuwijk  melalui  program  GENSTAT  yang menyebutkan  bahwa  model  GAMMI2 merupakan model yang mampu mengepas model dengan baik.

## Interpretasi Biplot GAMMI
Setelah analisis devians akan dilakukan interpretasi  biplot  dengan  menggunakan nilai residu pada saat Rank = 0 dimana nilai tersebut diperoleh dari pengurangan Fitted
Value  dan  Nilai  pada  data.  Nilai  residu tersebut  diuraikan  dengan  menggunakan
konsep  pengurangan  nilai  singular  pada aljabar  linier,  dimana  pada  program  R fungsi yang digunakan adalah fungsi ”svd”. Setelah matriks teruraikan, Nilai-nilai dalam matriks  tersebut  diplotkan  dengan menggunakan  dua  komponen  sehingga diperoleh  biplot  pada  Gambar  1.  Adapun perbandingan interpretasi biplot ditunjukkan pada Gambar 1 dan Gambar 2. kedua  biplot  tersebut  tidak  ada perbedaan yang menonjol antara keduanya. Interpretasi biplot yang dilakukan  pada  penelitian  model  GAMMI dengan  regresi  bolak  balik  sama  dengan interpretasi  biplot  dengan  pendekatan RCIM. Kedua biplot tersebut menunjukkan bahwa  Genotipe  W80  dan  IAC-80 cenderung  terserang  hama  Bemissia daripada Agromyza, dan begitu sebaliknya dengan Genotipe IAC-100.
Gambar 1. Interpretasi biplot GAMMI dengan pendekatan RCIM
Perbandingan Model Generalized Ammi (GAMMI) dengan Row Column Interaction Model pada Interaksi Genotipe dan Lingkungan Kurnia Ahadiyah, Ardiana Fatma Dewi
Gambar 2. Interpretasi biplot GAMMI dengan regresi bolak-balik
Berdasarkan  Gambar  1  dan  Gambar  2. Secara  garis  besar  yang  paling  terlihat kedekatan antar objek adalah hama daun Agromyza pada gen IAC10 dan hama daun Emproosca  pada  gen  W80.  Hal  ini  dapat diartikan  bahwa    hama  daun  Agromyza berinteraksi  positif  terhadap  gen  IAC10 serta  hama  daun  Emproosca  berinteraksi positif terhadap gen W80. Sehingga dapat dikatakan  bahwa  gen  IAC10  lebih cenderung terserang hama daun Agromyza  dan  gen  W80  lebih  cenderung terserang hama daun Emproosca.
Pembahasan Umum
Salah  satu  hal  yang  terpenting  pada Statistik uji rasio Likelihood adalah konsep devian pada GLM. Devian dari tiap model
didefinisikan sebagai Likelihood Ratio Test sebagai berikut :
𝐷  =  2 (𝑙𝑜𝑔 ( 𝐿(𝑦;  𝑦)
𝐿(𝜇;  𝑦) ))        (2)
dimana 𝐷 merupakan  devian,  dan  devian tersebut dapat digunakan untuk
perhitungan dalam analisis devian. Analisis devian  adalah  generalisasi  dari  analisis varian  (ANOVA).  Dalam  pengujian  model terbaik  ( goodness of fit) dapat digunakan perhitungan Likelihood  Ratio  Test  dan
analisis devian. Eeuwijk (1995), menyediakan perhitungan analisis devian yang digunakan  untuk  mencari goodness  of  fit
model  GAMMI.  Pada  pendekatan Row Column Interaction Model (RCIM)
menyediakan  analisis  devian  melalui  nilai log- Likelihood  tiap-tiap  model  dan  dari analisis  devian  tersebut  digunakan  untuk mencari goodness  of  fit  model  GAMMI.
Ketika  suatu  data  cacahan  dengan  rataan seperti data yang ada pada penelitian Hadi (2010)  dihitung  melalui  pendekatan  RCIM tidak akan mampu menghasilkan nilai log- Likelihood karena untuk mendapatkan nilai log- Likelihood  harus  menggunakan  data yang  berupa  data  cacahan.  Sehingga Likelihood  Ratio  Test  pada  pendekatan RCIM  kurang  begitu  bagus  untuk menghasilkan  kesimpulan  model  terbaik
Volume 4, No. 2, Juni, 2022 Page 43 - 54
jika  dibandingkan  analisis  devian  apabila data  yang  digunakan  adalah  data  rataan dari beberapa ulangan.

## Kesimpulan
Dari  Hasil  dan  pembahasan  diatas, adapun kesimpulan yang bisa diambil dari perbandingan  kedua  metode  adalah sebagai berikut:
1. Pendekatan  RCIM  mampu  mengepas model  GAMMI  distribusi  poisson dengan  baik.  Hal  ini  terbukti  pada kesimpulan analisis devian hasil olahan RCIM  yang  sama  dengan  kesimpulan analisis  devian  hasil  penelitian  Hadi
(2010)  yang  menggunakan  konsep
GAMMI dengan alternating regression serta interpretasi biplot yang
menunjukkan kesamaan dengan
penelitian yang dilakukan Hadi (2010).
2. Pada  model  GAMMI  dengan  data Hama kedelai, model GAMMI2 dengan log- link  dan distribusi poisson terlihat mampu  mengepas  model  dengan baik.
3. Interpretasi biplot menunjukkan bahwa  Genotipe  W/80  dan  IAC-80 cenderung  terserang  hama  Bemissia daripada  Agromyza,  dan  begitu sebaliknya dengan Genotipe IAC-100.

## Daftar Pustaka
Acorsi, C, R, L., et al. 2016. Applying the generalized additive main effects and multiplicative interaction model to analysis of maize genotypes resistant to grey leaf spot. Journal of Agricultural Science DOI 10.1017/S0011859616001015.
Agahi, K, et al. 2020. Analysis of genotype x environment interaction for seed yield in spring oilseed rape using the AMMI model. Biotechnol , https://doi.org/10.1590/1984-70332020v20n1a2.
Aini, E, N. 2015. Metode Robust Singular Value Decomposition (RSVD) untuk model AMMI dengan data pencilan. SKRIPSI, repository.unej.ac.id.
Dewi, S. M., et al. 2015. Interaksi Genotipe x Lingkungan Hasil dan Komponen Hasil 154 Genotipe Tomat di Empat Lingkungan Dataran Rendah. J. Agron. Indonesia, 43(1): 59 – 65.
Herawan, S, Y., et al. 2013. Uji Multilokasi melalui Analisis AMMI Multirespon. Xplore, Vol. 1(1):e6(1-5).
Krisnawati, A., et al. 2016. Analisis Stabilitas Hasil Genotipe Kedelai menggunakan Metode Additive Main Effect and Multiplicative Interaction (AMMI). Informatika Pertanian, Vol 25 No. 1: 41-50.
Syarifi, P., et al. 2017. Evaluation of Genotype x Environtment Interaction in Rice Based on AMMI Model in Iran. Rice Science , 24(3): 173-180.
Perbandingan Model Generalized Ammi (GAMMI) dengan Row Column Interaction Model pada Interaksi Genotipe dan Lingkungan Kurnia Ahadiyah, Ardiana Fatma Dewi
Widyastuti, Yuni., et al. 2013. Pemanfaatan Analisis Regresi dan AMMI untuk Evaluasi Stabilitas Hasil Genotipe Padi dan Pengaruh Interaksi Genetik dan Lingkungan. Informatika Pertanian, Vol 22 No. 1: 21-27
Yee, T. W., dan Hadi, A. F., 2014. Row-Column Interaction Models, with an R Implementation. Comput Stat DOI 10.1007/s00180-014-0499-9.
Zali, H, et al., 2012. Evaluation og genotype x environtment interaction in chickpea using measures of stability from AMMI model. Annals of Biological Research , 3 (7):3126-3136.