1 Staf pengajar, Departemen Teknik Elektro dan Teknologi Informasi Fakultas Teknik Universitas Gadjah Mada, Jl. Grafika No 2 Kampus UGM Yogyakarta, 55281 (tlp: 0274-552 305; fax: 0274- 4321982; e-mail: mfaris@ugm.ac.id)
2 Staf pengajar, Jurusan Teknik Sipil Institut Teknologi Nasional Yogyakarta,  Jl. Babarsari, Caturtunggal, Yogyakarta  55281  (tlp: 0274-485 390; fax: 0274-487249; e-mail: irc276@yahoo.co.id)

## Penjadwalan Pemeliharaan Trek Kereta dengan Metode Distributed Model Predictive Control
Muhammad Faris 1 , Ircham 2
Abstract—This work addresses the development of Distributed Model  Predictive Control  (DMPC)  approaches for the planning of maintenance operations of large-scale railway infrastructure formulated as a Mixed-Integer Linear Programming (MILP) problem. The proposed optimization problem is solved using two different decomposition  schemes: Alternating Direction Method of Multipliers (ADMM) and Distributed Robust Safe But Knowledgeable (DRSBK). The original distributed algorithms are modified to handle the non-convex nature of the optimization problem, hence improving the solution quality. The results of large-scale test instances show that DRSBK can outperform the conventional centralized approach and ADMM, by providing the closest-to-optimum solution while requiring the least computation time.
Intisari—Makalah  ini mengembangkan metode Distributed Model  Predictive Control  (DMPC)  untuk perencanaan operasi pemeliharaan infrastruktur kereta api skala besar yang diformulasikan sebagai masalah Mixed-Integer Linear Programming  (MILP). Masalah optimasi yang diusulkan kemudian  diselesaikan dengan menggunakan dua skema optimasi  DMPC  yang berbeda: Alternating Direction Method of Multipliers (ADMM) dan Distributed Robust Safe But Knowledgeable  (DRSBK).  Selain itu, algoritme  standarnya dimodifikasi untuk menangani sifat non-convex  dari masalah optimasi, sehingga  dapat  meningkatkan kualitas solusi. Hasil pengujian  dalam masalah  skala besar menunjukkan bahwa DRSBK dapat mengungguli metode centralized yang konvensional dan ADMM, dengan menghasilkan  solusi mendekati  ke  global  optimum  tetapi  membutuhkan waktu komputasi minimum.
Kata Kunci— Penjadwalan, rekayasa perkeretaapian, optimisasi, MIP, kendali prediktif.

## I. P ENDAHULUAN
Infrastruktur  trek  kereta api  umumnya  tersusun atas berbagai jenis komponen, seperti sleeper , rail , ballast , fastening , weld , ballast , dan sebagainya,  seperti yang ditunjukkan  dalam Gbr. 1.  Semua komponen  tersebut  saling terkoneksi  dan  saling  mendukung satu sama lain. Di antara semua komponen tersebut, ballast , yang merupakan bebatuan kerikil,  adalah komponen yang paling vital karena berperan sebagai penopang utama rel dan untuk mengatur perataan di posisi yang ditunjuk  [1]. Karena  penggunaan  jalur kereta api
yang reguler, kualitas ballast menurun seiring waktu (degradasi).  Untuk mengendalikan  level  degradasi, ballast harus dijaga  dan dipelihara  agar dapat  selalu  memenuhi standar teknis dan keselamatan. Dalam hal ini, manajer infrastruktur kereta api bertanggung jawab untuk menentukan tipe  pemeliharaan untuk ballast , yang meliputi tamping, cleaning, atau renewal ;  termasuk  juga  waktu  dan  lokasi operasi pemeliharaan.
Proses penjadwalan operasi  pemeliharaan adalah hal yang kompleks.  Hal ini dikarenakan baik biaya  operasi  maupun unjuk kerja trek  harus  dapat  dioptimalkan  secara seimbang. Salah satu cara untuk mendapatkan jadwal yang optimal secara sistematis adalah dengan  menggunakan metode optimisasi  yang umumnya ditanamkan dalam  perangkat sistem pendukung keputusan ( Decision Support System /DSS).
Gbr. 1 Komponen penyusun trek kereta api (Sumber: IDNTimes).
Dalam literatur,  berbagai  metode  telah diusulkan untuk memproses data kondisi jalur kereta api  yang nantinya digunakan untuk menentukan jadwal  pemeliharan yang optimal.  Referensi  [2]  mengembangkan metode  perencanaan operasi tamping di seluruh jalur kereta api. Tujuannya adalah untuk  meminimalkan  total biaya  operasi tamping .  Kemudian, ditambahkan opsi operasi renewal yang kemudian diaplikasikan dalam framework Model  Predictive  Control (MPC)  [3].  Selain itu, pemodelan operasi  pemeliharaan  yang variatif  juga  digunakan untuk  mengoptimisasi  perencanaan pekerjaan  pemeliharaan multikomponen  pada suatu  sistem infrastruktur kereta api yang berskala luas [4].
Pada praktiknya,  sistem pendukung keputusan  berbasis metode optimisasi  harus mempertimbangkan bahwa jalur kereta api sangat panjang dan tersusun atas banyak segmen rel, sehingga cakupannya akan sangat luas. Selain itu, dalam rangka mendapatkan jadwal yang lebih akurat, manajer infrastruktur kereta api membutuhkan keputusan yang berupa peta  lokasi  segmen  trek  tertentu  dengan ketelitian  jarak  yang tinggi.
Jika setiap segmen rel  memiliki  model  dinamik yang berbeda dan  independen,  maka  pengambilan keputusan pemeliharaan lintasan kereta api yang optimal akan menghasilkan masalah optimisasi yang berskala besar dengan jumlah variabel proses yang sangat besar. Dalam literatur, metode yang telah ada sebelumnya  hampir semua berbasis skema optimasi terpusat,  dengan  pemrosesan informasi dan perhitungan semua variabel keputusan dilakukan dalam sebuah sistem yang tersentralisasi ( centralized node )  [2]–[6]. Dari perspektif komputasi, skema centralized memiliki kelemahan  ketika jumlah variabel proses  meningkat  secara masif.  Hal ini dikarenakan  peningkatan jumlah variabel keputusan secara linear dalam masalah optimasi pemeliharaan seperti itu mengakibatkan  peningkatan  beban komputasi eksponensial yang diperlukan oleh DSS [7].
Beberapa penelitian sebelumnya di bidang ini juga sudah menggunakan skema non-centralized .  Telah diusulkan  skema optimisasi  berbasis multi-level MPC untuk pemeliharaan kereta api  [8],  [9]. Pendekatan yang diusulkan dibagi atas pengoptimal tingkat tinggi, tingkat menengah, dan tingkat rendah, yang memungkinkan pemisahan  proses perhitungan pada tingkat yang berbeda. Optimalisasi berbasis hierarki untuk pemeliharaan  infrastruktur  kereta api juga telah diusulkan  [10]. Namun, skema hierarki  ini  sangat tergantung pada struktur utama dari masalah masing-masing dan dengan demikian menjadi kurang fleksibel untuk menyelesaikan masalah berskala besar.
Dilatarbelakangi  oleh masalah tersebut,  makalah  ini bertujuan untuk mengembangkan DSS berbasis Distributed Model Predictive Control (DMPC)  untuk  mengatasi  masalah beban  komputasi dari perencanaan operasi pemeliharaan untuk jaringan infrastruktur  kereta api berskala besar.
Secara umum, optimisasi perencanaan pemeliharaan rel dapat dirumuskan sebagai masalah Mixed-Integer Programming (MIP). Dalam  studi  literatur, berbagai teknik dekomposisi  berbasis  Lagrangian  yang ditanamkan dalam framework DMPC  [11]  berhasil dikembangkan untuk menyelesaikan masalah optimisasi yang bersifat nonlinear dan MIP, seperti teknik dekomposisi Parallel/Serial Augmented Lagrangian dan Alternating Direction  Method of Multipliers (ADMM)  [12], [13].  Lebih lanjut,  diaplikasikan  teknik relaksasi  kontinu  untuk variabel biner dan integer  yang terdapat pada masalah optimisasi [14]. Solusi yang dihasilkan menghasilkan  batas bawah ( bound ) untuk fungsi  objektif  asli serta memberikan nilai untuk warmstart untuk optimasi MIP. Selain  teknik dekomposisi  berbasis Lagrangian, Distributed Robust Safe But Knowledgeable (DRSBK)  [15]  juga diterapkan pada masalah  MIP  dengan  kendala  kopling yang non-convex . Algoritme ini menggunakan pendekatan pengurangan  kopling ketika memecahkan satu subproblem. Dengan cara ini, kopling dapat didekomposisi dan dikomunikasikan kepada semua subproblem yang nantinya akan diselesaikan secara terpisah. Pendekatan terdistribusi yang dibahas dapat dilihat sebagai metode heuristik untuk menyelesaikan masalah MIP karena tidak ada jaminan untuk konvergensi menuju global optimum [16].
Kontribusi utama  dari  makalah  ini  adalah  pengkajian metode DMPC untuk perencanaan operasi pemeliharaan jalur kereta api yang berskala luas. Fokusnya adalah mengurangi beban atau waktu komputasi dan meningkatkan skalabilitas metode optimisasi untuk menangani permasalahan berskala luas tetapi tetap mendapatkan solusi yang mendekati optimal. Untuk itu, teknik  dekomposisi  masalah  berbasis  ADMM  dan DRSBK diimplementasikan  pada  makalah  ini. Formulasi masalah optimisasi  terpusat  dikembangkan dari masalah optimisasi pada [3].
Makalah ini disusun sebagai berikut. Masalah optimisasi pemeliharaan pertama kali dijelaskan di Bagian II. Bagian III membahas pengembangan pendekatan optimisasi terdistribusi. Kemudian, dua studi kasus dibahas dalam Bagian IV. Akhirnya, Bagian V memberikan kesimpulan dan saran  dari penelitian ini.

## II. P ERMASALAHAN OPTIMISASI
Formulasi permasalahan dalam makalah  ini dikembangkan berdasarkan  model optimisasi  yang  diajukan  pada  [3]. Selain itu, beberapa kendala ditambahkan ke masalah optimisasi untuk memasukkan masalah-masalah praktis seperti waktu penutupan  trek untuk  pemeliharaan, batasan anggaran pemeliharaan,  dan pencegahan operasi renewal yang terlalu dini.
Ketika dipasang  pada rel  untuk pertama kali, batu-batu ballast memiliki  sudut-sudut yang  tajam  sehingga dapat membentuk fondasi yang kuat  untuk  menopang  rel. Karena trek  secara teratur dilewati oleh kereta,  batu-batu  tersebut akan bergeser  secara bertahap, dan kondisinya  permukaan batunya  menjadi tumpul seiring waktu. Dalam industri kereta api,  operasi pemeliharaan rutin dilakukan untuk menjaga unjuk  kerja lintasan. Operasi yang umum dilakukan  untuk ballast adalah tamping atau renewal . Tamping dilakukan untuk mengatur perataan lintasan sehingga unjuk kerja lintasan ditingkatkan ke tingkat tertentu. Ketika tamping tidak lagi efektif, operasi renewal dilakukan untuk sepenuhnya menggantikan ballast yang lama. Dinamika degradasi ballast dan opsi perawatan yang sesuai dapat dimodelkan secara matematis sebagai berikut.
𝑥𝑥 1 , 𝑖𝑖 ( 𝑘𝑘 + 1) = 𝑎𝑎 1 , 𝑖𝑖 𝑥𝑥 1 , 𝑖𝑖 ( 𝑘𝑘 ) + 𝑓𝑓 1 , 𝑖𝑖 �𝑥𝑥 𝑖𝑖 ( 𝑘𝑘 ), 𝑢𝑢 𝑖𝑖 ( 𝑘𝑘 ) � (1) 𝑥𝑥 2 , 𝑖𝑖 ( 𝑘𝑘 + 1) = 𝑎𝑎 2 , 𝑖𝑖 𝑥𝑥 2 , 𝑖𝑖 ( 𝑘𝑘 ) + 𝑓𝑓 2 , 𝑖𝑖 �𝑥𝑥 𝑖𝑖 ( 𝑘𝑘 ), 𝑢𝑢 𝑖𝑖 ( 𝑘𝑘 ) � 𝑥𝑥 𝑖𝑖 ( 𝑘𝑘 ) = [ 𝑥𝑥 1 , 𝑖𝑖 ( 𝑘𝑘 ) 𝑥𝑥 2 , 𝑖𝑖 ( 𝑘𝑘 )] 𝑇𝑇
dengan variabel status x 1,i (k) dan x 2,i (k) masing-masing adalah state tingkat degradasi trek/unjuk kerja trek secara keseluruhan  dan memori degradasi pada timestep k untuk segmen trek i . Memori adalah variabel yang digunakan untuk mempertimbangkan fakta bahwa hasil operasi tamping tidak dapat  membuat  unjuk kerja lintasan kembali seperti ketika ballast pertama kali  dipasang. Selain itu, a 1,i adalah  laju degradasi  unjuk kerja dan a 2,i adalah laju  degradasi pada memori. Proses degradasi sangat ditentukan oleh parameter ini dan nilainya dapat berbeda untuk setiap segmen trek.  Hal ini dikarenakan jalur kereta api adalah sistem parameter
terdistribusi yang berubah seiring waktu dan ruang. Fungsi f 1,I dan f 2,i adalah fungsi nonkontinu yang didefinisikan sebagai
dan
dengan α dan h min adalah offset tamping dan batas minimum degradasi  trek. Sistem ini memiliki tiga jenis masukan atau keputusan yang diambil  pada setiap timestep , yaitu  tidak ada operasi  pemeliharaan u i (k) = 1; tamping u i (k) = 2;  atau renewal u i (k) = 2. Perhatikan bahwa model yang diusulkan di sini memiliki sedikit perbedaan dari yang ada di [3]. Pertama, variabel memori didefinisikan  untuk memiliki laju degradasi 𝑎𝑎 2 , 𝑖𝑖 .  Dengan ini, variabel memori diasumsikan berevolusi secara eksponensial dari waktu ke waktu.
Karena penggunaan masukan yang bersifat  integer, sistem ini  dapat dikategorikan sebagai sistem  nonlinear. Salah satu cara agar variabel integer dalam (1) dapat diimplementasikan dalam komputer  adalah dengan menggunakan model Mixed Logical Dynamical (MLD). Tiga opsi masukan  pemeliharaan dapat diwakili oleh dua variabel biner Ϭ 1,i (k) dan Ϭ 2,i (k) untuk masing-masing operasi renewal dan tamping di bagian trek i . Tabel konversi diberikan dalam Tabel I.
T ABEL I
K ONVERSI V ARIABEL M ASUKAN I NTEGER KE B INER
u i (k) 𝛅𝛅 𝟏𝟏 , 𝒊𝒊 ( 𝒌𝒌 ) 𝛅𝛅 𝟐𝟐 , 𝒊𝒊 ( 𝒌𝒌 )
1 0 0 2 0 1 3 1 0
Opsi untuk melakukan  operasi tamping dan renewal pada waktu k yang sama untuk suatu segmen i dihilangkan dengan menggunakan kendala berikut.
δ 1 , 𝑖𝑖 ( 𝑘𝑘 ) + δ 2 , 𝑖𝑖 ( 𝑘𝑘 ) ≤ 1 . (2)
Karena terdapat variabel-variabel biner, maka model dinamis menjadi nonlinear, yang dirumuskan sebagai berikut.
𝑥𝑥 1 , 𝑖𝑖 ( 𝑘𝑘 + 1) = 𝑎𝑎 1 , 𝑖𝑖 𝑥𝑥 1 , 𝑖𝑖 ( 𝑘𝑘 ) + δ 1 , 𝑖𝑖 ( 𝑘𝑘 ) �−𝑎𝑎 1 , 𝑖𝑖 𝑥𝑥 1 , 𝑖𝑖 ( 𝑘𝑘 ) + ℎ min � +
δ 2 , 𝑖𝑖 ( 𝑘𝑘 ) �−𝑎𝑎 1 , 𝑖𝑖 𝑥𝑥 1 , 𝑖𝑖 ( 𝑘𝑘 ) + 𝑎𝑎 2 , 𝑖𝑖 𝑥𝑥 2 , 𝑖𝑖 ( 𝑘𝑘 ) + α� 𝑥𝑥 2 , 𝑖𝑖 ( 𝑘𝑘 + 1) = 𝑎𝑎 2 , 𝑖𝑖 𝑥𝑥 2 , 𝑖𝑖 ( 𝑘𝑘 ) + δ 2 , 𝑖𝑖 ( 𝑘𝑘 ) α + δ 1 , 𝑖𝑖 ( 𝑘𝑘 )( −𝑎𝑎 2 , 𝑖𝑖 𝑥𝑥 2 , 𝑖𝑖 ( 𝑘𝑘 ) + ℎ 𝑚𝑚𝑖𝑖𝑚𝑚 )
Untuk memfasilitasi pemrosesan variabel biner, beberapa variabel  bantu  ditambahkan pada model dinamik, sehingga menghasilkan persamaan linear sebagai berikut.
� 𝑥𝑥 1 , 𝑖𝑖 ( 𝑘𝑘 + 1) 𝑥𝑥 2 , 𝑖𝑖 ( 𝑘𝑘 + 1) � = � 𝑎𝑎 1 , 𝑖𝑖 0 0 𝑎𝑎 2 , 𝑖𝑖 � � 𝑥𝑥 1 , 𝑖𝑖 ( 𝑘𝑘 ) 𝑥𝑥 2 , 𝑖𝑖 ( 𝑘𝑘 ) � + �ℎ min 𝛼𝛼 ℎ min 𝛼𝛼� + � −𝑎𝑎 1 , 𝑖𝑖 −𝑎𝑎 1 , 𝑖𝑖 0 0 𝑎𝑎 2 , 𝑖𝑖 0 0 𝑎𝑎 2 , 𝑖𝑖 � ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡𝑧𝑧 1 , 𝑖𝑖 ( 𝑘𝑘 ) 𝑧𝑧 2 , 𝑖𝑖 ( 𝑘𝑘 ) 𝑧𝑧 3 , 𝑖𝑖 ( 𝑘𝑘 ) 𝑧𝑧 4 , 𝑖𝑖 ( 𝑘𝑘 ) ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤ (3)
dengan variabel pendukung dideskripsikan sebagai berikut.
𝑧𝑧 1 , 𝑖𝑖 ( 𝑘𝑘 ) = δ 1 , 𝑖𝑖 ( 𝑘𝑘 ) 𝑥𝑥 1 , 𝑖𝑖 ( 𝑘𝑘 ) 𝑧𝑧 2 , 𝑖𝑖 ( 𝑘𝑘 ) = δ 2 , 𝑖𝑖 ( 𝑘𝑘 ) 𝑥𝑥 1 , 𝑖𝑖 ( 𝑘𝑘 ) 𝑧𝑧 3 , 𝑖𝑖 ( 𝑘𝑘 ) = δ 2 , 𝑖𝑖 ( 𝑘𝑘 ) 𝑥𝑥 2 , 𝑖𝑖 ( 𝑘𝑘 ) 𝑧𝑧 4 , 𝑖𝑖 ( 𝑘𝑘 ) = δ 1 , 𝑖𝑖 ( 𝑘𝑘 ) 𝑥𝑥 2 , 𝑖𝑖 ( 𝑘𝑘 ) (4)
dan vektor pendukung  dapat didefinisikan sebagai z i (k) = [ z 1 ,i (k) z 2 ,i (k) z 3 ,i (k) z 4 ,i (k) ] T .  Untuk dapat diimplementasikan dalam program, (4)  diformulasikan menggunakan empat kendala linear berikut.
𝑧𝑧 𝑝𝑝 , 𝑖𝑖 ( 𝑘𝑘 ) ≤ ℎ max δ 𝑙𝑙 , 𝑖𝑖 ( 𝑘𝑘 ) 𝑧𝑧 𝑝𝑝 , 𝑖𝑖 ( 𝑘𝑘 ) ≥ ℎ min δ 𝑙𝑙 , 𝑖𝑖 ( 𝑘𝑘 ) 𝑧𝑧 𝑝𝑝 , 𝑖𝑖 ( 𝑘𝑘 ) ≤ 𝑥𝑥 𝑗𝑗 , 𝑖𝑖 ( 𝑘𝑘 ) − ℎ min � 1 − δ 𝑙𝑙 , 𝑖𝑖 ( 𝑘𝑘 ) � 𝑧𝑧 𝑝𝑝 , 𝑖𝑖 ( 𝑘𝑘 ) ≥ 𝑥𝑥 𝑗𝑗 , 𝑖𝑖 ( 𝑘𝑘 ) − ℎ max � 1 − δ 𝑙𝑙 , 𝑖𝑖 ( 𝑘𝑘 ) � (5)
untuk p ϵ {1,2,3,4}  dan l ϵ {1,2}  dan h max adalah  batas tingkatan  degradasi  maksimum  pada trek. Dengan ini, akan terdapat enam belas persamaan untuk setiap segmen trek.
Selanjutnya, V_i(k) berisi variabel biner dan  pendukung sebagai berikut.
𝑉𝑉 𝑖𝑖 ( 𝑘𝑘 ) = [ δ 1 , 𝑖𝑖 ( 𝑘𝑘 ) δ 2 , 𝑖𝑖 ( 𝑘𝑘 ) 𝑧𝑧 𝑖𝑖 ( 𝑘𝑘 )] 𝑇𝑇 .
Kemudian model state space dapat dirumuskan dalam bentuk berikut.
𝑥𝑥 𝑖𝑖 ( 𝑘𝑘 + 1) = 𝐴𝐴 𝑖𝑖 𝑥𝑥 𝑖𝑖 ( 𝑘𝑘 ) + 𝐵𝐵 𝑖𝑖 𝑉𝑉 𝑖𝑖 ( 𝑘𝑘 ) (6)
dengan A i dan B i adalah matriks paramater yang dapat dilihat lebih lanjut pada [3].
Kondisi awal dan laju degradasi untuk setiap segmen trek ditentukan menurut data dari studi kasus. Hal ini bertujuan untuk menggambarkan distribusi dinamika yang tersebar sepanjang jalur trek kereta. Laju degradasi ini diasumsikan konstan  ( time-invariant ). Kendala terkait meliputi kondisi awal.
𝑥𝑥 1 , 𝑖𝑖 (0) = 𝑥𝑥 𝑖𝑖 , 0 1 , 𝑥𝑥 2 , 𝑖𝑖 (0) = 𝑥𝑥 𝑖𝑖 , 0 2 (7)
dengan 𝑥𝑥 𝑖𝑖 , 0 1 dan 𝑥𝑥 𝑖𝑖 , 0 2 adalah nilai awal untuk  variabel  tingkat degradasi dan memori offset, yang  umumnya  diambil dari hasil  pengukuran  di lapangan.  Nilai kedua variabel hanya sama saat ballast pertama kali dipasang atau ketika dilakukan pemeliharaan pada segmen trek tersebut. Selanjutnya, kendala berikut ini digunakan untuk memastikan bahwa unjuk  kerja trek selalu dalam kisaran yang dapat diterima.
ℎ min ≤ 𝑥𝑥 1 , 𝑖𝑖 ( 𝑘𝑘 ) ≤ ℎ max , ℎ min ≤ 𝑥𝑥 2 , 𝑖𝑖 ( 𝑘𝑘 ) ≤ ℎ max . (8)
Operasi pembaruan hanya dapat diizinkan setelah memori offset dianggap tinggi, yang dimodelkan dalam kendala berikut.
𝑥𝑥 2 , 𝑖𝑖 ( 𝑘𝑘 ) − ℎ r ≥ ( 𝑟𝑟 𝑖𝑖 − 1) ℎ max (9) 𝑟𝑟 𝑖𝑖 − δ 1 ( 𝑘𝑘 ) ≥ 0 (10)
dengan 𝑟𝑟 𝑖𝑖 dan ℎ r adalah indikator untuk switching di bagian track i dan ambang pencegahan untuk memungkinkan operasi pembaruan.
Menurut pengaruhnya terhadap segmen  trek,  kendala- kendala  yang didefinisikan sebelum  ini  dapat dikategorikan sebagai kendala individu. Kendala individu hanya memengaruhi masing-masing  individu  segmen trek. Selain kendala  yang efeknya bersifat  individual, terdapat juga kendala kopling, yang secara langsung memengaruhi sebagian atau  semua segmen  trek.  Kendala  kopling yang pertama adalah maksimum dana yang tersedia untuk melaksanakan operasi pemeliharaan dalam rentang waktu tertentu.  Kendala ini penting untuk dipertimbangkan  karena  biaya  operasi pemeliharaan infrastruktur sangat mahal dan dana yang dianggarkan sangat terbatas. Kendala ini dibuat terpisah untuk masing-masing operasi dan dapat ditulis sebagai berikut.
∑ ∑ 𝛿𝛿 2 , 𝑖𝑖 ( 𝑘𝑘 ) 𝑁𝑁 𝑖𝑖=1 𝑇𝑇 𝑘𝑘=1 ≤ 𝑔𝑔 t (11) ∑ ∑ δ 1 , 𝑖𝑖 ( 𝑘𝑘 ) 𝑁𝑁 𝑖𝑖=1 𝑇𝑇 𝑘𝑘=1 ≤ 𝑔𝑔 r (12)
dengan g t dan g r adalah jumlah maksimum operasi tamping dan renewal yang diizinkan untuk dilaksanakan dalam horizon prediksi T .
Selanjutnya, pelaksanaan operasi harus dialokasikan pada rentang waktu tertentu, agar tidak mengganggu lalu lintas kereta pada jam sibuk.  Pada praktiknya,  waktu  maksimal operasi  pemeliharaan ini  kurang dari tujuh  jam dan  hanya boleh dilaksanakan pada malam hari di  akhir pekan [1]. Waktu maksimum penutupan jalur kereta selama dilangsungkan operasi pemeliharaan rutin ini dilambangkan sebagai t max .  Batasan  waktu  ini berlaku untuk  masing-masing operasi tamping dan renewal .  Kendala  ini  dapat  ditulis sebagai berikut [5], [17].
� 𝑡𝑡 t1 𝑖𝑖∈𝑃𝑃 ( 𝑘𝑘 ) δ 2 , 𝑖𝑖 ( 𝑘𝑘 ) + 𝑡𝑡 t2 � 1 − δ 2 , 𝑖𝑖 ( 𝑘𝑘 ) � + 𝑡𝑡 tb 𝐼𝐼 tb, 𝑖𝑖 + 𝑡𝑡 ta 𝐼𝐼 ta, 𝑖𝑖 ≤ 𝑡𝑡 max (13) � 𝑡𝑡 r1 𝑖𝑖∈𝑃𝑃 ( 𝑘𝑘 ) δ 1 , 𝑖𝑖 ( 𝑘𝑘 ) + 𝑡𝑡 r2 � 1 − δ 1 , 𝑖𝑖 ( 𝑘𝑘 ) � + 𝑡𝑡 rb 𝐼𝐼 rb, 𝑖𝑖 + 𝑡𝑡 ra 𝐼𝐼 ra, 𝑖𝑖 ≤ 𝑡𝑡 max (14)
dengan t t1 dan t t2 adalah waktu saat melangsungkan operasi pemeliharaan dan waktu tempuh bagi  mesin tamping untuk mencapai segmen trek i dari posisi tertentu. Set P(k) berisi segmen-segmen trek yang akan mendapat tindakan pemeliharaan dari  mesin tamping pada timestep k .  Kendala yang serupa juga berlaku untuk  variabel t r1 dan t r2 untuk operasi renewal .  Diasumsikan  juga  bahwa  dalam setiap operasi, mesin bergerak searah dari titik awal trek menuju titik akhir  di ujung  trek.  Pada praktiknya,  mesin pemeliharaan ini bekerja dalam mode operasi dan perjalanan. Untuk mengganti mode, dibutuhkan waktu transisi (sebelum dan sesudah) [17],
yang dilambangkan dengan 𝑡𝑡 𝑡𝑡𝑡𝑡 , 𝑡𝑡 𝑡𝑡𝑡𝑡 untuk tamping dan 𝑡𝑡 𝑟𝑟𝑡𝑡 , 𝑡𝑡 𝑟𝑟𝑡𝑡 untuk renewal . Namun,  hal ini hanya berlaku di  awal dan akhir operasi, serta jalur yang tidak berurutan. Untuk itu, ditambahkan dua variabel indikator untuk setiap segmen dan setiap operasi, yakni 𝐼𝐼 tb, 𝑖𝑖 , 𝐼𝐼 ta, 𝑖𝑖 , 𝐼𝐼 rb, 𝑖𝑖 , 𝐼𝐼 ra, 𝑖𝑖 .  Karena  kendala  (13) dan (14) memengaruhi  jadwal  pemeliharaan  di  semua atau beberapa  segmen  trek,  kedua  kendala  tersebut  termasuk sebagai kopling.
Variabel keadaan optimal 𝑋𝑋� dan variabel keputusan 𝑉𝑉� untuk semua bagian trek di cakrawala prediksi dapat diperoleh dengan meminimalkan fungsi tujuan berikut.
𝐽𝐽 ( 𝑋𝑋� , 𝑉𝑉� ) = ∑ ∑ 𝑄𝑄𝑥𝑥 𝑖𝑖 ( 𝑘𝑘 ) 𝑇𝑇 𝑘𝑘=1 𝑁𝑁 𝑖𝑖=1 + λ𝑅𝑅𝑉𝑉 𝑖𝑖 ( 𝑘𝑘 ) = � 𝐽𝐽 ind �𝑋𝑋 𝚤𝚤 � , 𝑉𝑉 𝚤𝚤 �� 𝑁𝑁 𝑖𝑖=1 (15)
dengan Q dan R adalah matriks dengan hanya entri nonnegatif, sementara 𝑋𝑋 ~ 𝑖𝑖 dan 𝑉𝑉 ~ 𝑖𝑖 adalah  variabel keadaan dan masukan atas prediksi cakrawala untuk bagian trek i . Variabel state x i (k) pada  (15) dapat diganti dengan menggunakan teknik yang sama seperti pada  [3],  sehingga  hanya V i (k) sebagai satu- satunya variabel keputusan. Selanjutnya,  masalah optimisasi dapat ditulis dalam bentuk berikut.
minimize 𝑉𝑉� 𝐽𝐽 ( 𝑉𝑉� ) = ∑ 𝐽𝐽 ind �𝑉𝑉 𝚤𝚤 �� 𝑁𝑁 𝑖𝑖=1 (16)
subject to 𝐸𝐸𝑉𝑉� ≤ 𝑔𝑔 ind
� 𝐹𝐹 𝑖𝑖 𝑉𝑉 𝚤𝚤 � 𝑁𝑁 𝑖𝑖=1 ≤ 𝑔𝑔 coup (17)
dengan E dan g ind adalah matriks parameter dan vektor yang terkait dengan semua kendala individu, sementara Fi dan g coup adalah matriks parameter dan vektor yang terkait dengan kendala kopling. Pemisahan secara eksplisit ini berguna untuk implementasi sistem kendali prediktif terdistribusi. Selain itu, tidak ada variabel kopling antara subproblem dalam fungsi objektif.  Perlu dicatat bahwa optimasi masalah optimisasi ini dapat dikategorikan sebagai NP-hard  problems dan Mixed- Integer Linear Programming (MILP) karena penggunaan dua jenis variabel, yakni kontinu dan diskret di dalam persamaan.

## III. METODE DISTRIBUTED MODEL PREDICTIVE CONTROL
(DMPC)
Pada makalah ini, dua metode dekomposisi
diimplementasikan  menggunakan framework DMPC, yaitu ADMM  dan DRSBK.  Selain itu, modifikasi pada kedua metode tersebut untuk menyelesaikan masalah optimisasi yang diajukan juga dibahas.  Berikut penjelasan lengkap mengenai cara kerja kedua metode tersebut.

## A. Alternating Direction Method of Multipliers (ADMM)
Tidak seperti metode dekomposisi  Lagrangian lainnya, ADMM menggunakan teknik  bolak-balik  ( alternating) . Teknik ini dapat memisahkan  bagian  kuadratik pada fungsi objektif untuk diselesaikan secara individual dengan membuat
konstan  variabel  keputusan dari subproblem lainnya  [18]. Dengan cara ini, semua subproblem diselesaikan secara berurutan  dan menggunakan nilai yang telah diperbarui dari subproblem  yang diselesaikan  sebelumnya.  Bentuk unscaled ADMM dipilih untuk kemudahan implementasi [19].
Untuk  dapat  mengimplementasikan  ADMM,  bentuk masalah  optimisasi  terpusat  pada  (16) dan (17) harus ditransformasikan menjadi bentuk augmented  Lagrangian [20]. Persyaratan lain adalah bahwa setiap kendala  kopling harus dikonversi ke dalam persamaan equality [21]. Dengan demikian, vektor 𝑆𝑆̅ didefinisikan sebagai variabel slack untuk kendala kopling, baik untuk operasi tamping maupun renewal , di atas cakrawala prediksi. Lagrangian yang diperbesar dapat ditulis sebagai berikut.
𝐿𝐿 ( 𝑉𝑉� , 𝑆𝑆̅ , γ ) = ∑ 𝐽𝐽 ind �𝑉𝑉 𝚤𝚤 �� 𝑁𝑁 𝑖𝑖=1 + ∑ 𝑠𝑠 ( 𝑘𝑘 ) 𝑇𝑇 𝑘𝑘=1 + γ �� 𝐹𝐹 i 𝑁𝑁 𝑖𝑖=1 𝑉𝑉 𝚤𝚤 � + � 𝐹𝐹 s 𝑇𝑇 𝑘𝑘=1 𝑠𝑠 ( 𝑘𝑘 ) − 𝑔𝑔 coup � + ρ 2 �� 𝐹𝐹 i 𝑁𝑁 𝑖𝑖=1 𝑉𝑉 𝚤𝚤 � + � 𝐹𝐹 s 𝑇𝑇 𝑘𝑘=1 𝑠𝑠 ( 𝑘𝑘 ) − 𝑔𝑔 coup � 2 2 (18)
subject to 𝐸𝐸𝑉𝑉� ≤ 𝑔𝑔 ind
(19)
dengan 𝐹𝐹 i dan 𝐹𝐹 s adalah matriks parameter dari  kendala kopling untuk masukan  dan variabel slack . Selain itu, 𝑠𝑠 ( 𝑘𝑘 ) adalah vektor slack untuk  setiap  langkah waktu 𝑘𝑘 ,  sehingga 𝑆𝑆̅ = [s T (1) …  s T ( 𝑇𝑇 )] T . Selanjutnya, persamaan Lagrangian untuk dual problem dapat ditulis sebagai berikut.
𝑞𝑞 ( γ ) =    inf 𝑉𝑉� , 𝑆𝑆̅ �𝐿𝐿 ( 𝑉𝑉� , 𝑆𝑆̅ , γ ) � . (20)
Kemudian, variabel ganda dapat diperbarui dengan menyelesaikan masalah maksimalisasi fungsi di atas  [22]. Metode subgradien dalam praktiknya digunakan untuk melakukan pembaruan variabel dual .
Setelah semua subproblem diselesaikan, hasilnya akan dikumpulkan oleh  koordinator untuk memperbarui nilai dari variabel dual . Kehadiran koordinator juga berarti bahwa nilai dari satu dual digunakan untuk menentukan harga umum ( common price ) untuk semua subproblem .

## B. Modifikasi untuk Metode ADMM
Untuk menyelesaikan masalah optimisasi yang dirumuskan pada  makalah  ini, beberapa modifikasi diperlukan pada metode  standar  ADMM. Sifat kendala kopling yang tidak mulus  ( non-smooth )  (13) dan (14) disebabkan oleh  semua variabel keputusan  dalam persamaan  kendala  bersifat  diskret. Metode berbasis gradien rekursif  akan bergantian melompat antara titik-titik diskret ini.  Akibatnya, iterasi pembaruan ganda subgradien mungkin tidak dapat konvergen atau bahkan tidak dapat menuju wilayah yang layak. Salah satu cara untuk mengatasi masalah ini adalah dengan menerapkan teknik relaksasi  kontinu  untuk variabel keputusan biner, sedemikian rupa sehingga  model  MILP  yang kompleks  menjadi  model Linear Programming (LP) yang lebih sederhana dan mudah untuk diselesaikan  [10].  Selain itu, nilai fungsi objektif  yang
diperoleh relaksasi LP tersebut dapat digunakan sebagai batas untuk optimasi MILP pada langkah berikutnya:
𝐽𝐽 ind �𝑉𝑉 𝚤𝚤 LP � � ≤ 𝐽𝐽 ind �𝑉𝑉 𝚤𝚤 �� .
Karena konvergensi residu variabel primal tidak dapat dijamin,  maka  algoritme  mengambil  solusi  terbaik  yang ditemukan selama seluruh prosedur iterasi. Selanjutnya, untuk mengakhiri iterasi, dua persyaratan harus terpenuhi. Pertama, vektor residual dari kopling diperiksa dalam setiap iterasi j untuk menilai kondisi kelayakan telah tercapai atau belum [12]. Vektor residual pada iterasi j , r (j) , didefinisikan sebagai berikut.
𝑟𝑟 ( 𝑗𝑗 ) = 𝑔𝑔 coup − �� 𝐹𝐹 i 𝑁𝑁 𝑖𝑖=1 𝑉𝑉 𝚤𝚤 ( 𝚥𝚥 ) � + � 𝐹𝐹 s 𝑇𝑇 𝑘𝑘=1 𝑠𝑠 ( 𝑘𝑘 ) ( 𝑗𝑗 ) �
Kondisi kelayakan ditunjukkan oleh nilai-nilai nonpositif pada seluruh baris vektor atau r (j) < 0. Hal ini untuk menjamin kendala  kopling  dapat  selalu  visibel. Selanjutnya, jika perbedaan antara fungsi tujuan nilai iterasi saat ini dan fungsi objektif terbaik yang dihasilkan di bawah nilai ambang batas, maka iterasi dapat diakhiri.

## C. Distributed Robust Safe but Knowledgeable (DRSBK)
DRSBK diterapkan pada optimasi  terdistribusi koordinasi multikendaraan atau multiagen  [20].  Algoritme  ini awalnya ditujukan untuk masalah MILP. Konsepnya adalah sebagai berikut. Algoritme ini mengurangi alokasi sumber daya dalam kendala kopling untuk setiap subproblem,  sehingga  kendala kopling  sama sekali tidak dimasukkan  ke dalam fungsi objektif  berbentuk Lagrangian.  Hal  ini dapat diilustrasikan dengan persamaan berikut.

## minimize
𝑉𝑉 𝚤𝚤 � 𝐽𝐽 ind �𝑉𝑉 𝚤𝚤 �� subject to   (19) (21) 𝐹𝐹 𝑖𝑖 𝑉𝑉 𝚤𝚤 � ≤ 𝑔𝑔 coup − ∑ 𝐹𝐹 𝑗𝑗 𝑉𝑉 𝚥𝚥 � 𝑁𝑁−1 𝑗𝑗=1 , 𝑗𝑗≠𝑖𝑖 (22)
dengan V 𝚥𝚥 � berisi variabel keputusan untuk bagian trek i di atas cakrawala prediksi. Set kedua kendala di (22) adalah kopling dengan sumber daya yang berkurang, yaitu sisa waktu penutupan pemeliharaan yang tersedia selama cakrawala prediksi. Proses reduksi dapat dilakukan dengan memperbaiki keputusan dari subproblem lain. Dengan cara ini, kendala kopling dapat dipisahkan, sehingga masalah dapat diselesaikan secara individual dan  berurutan. Salah satu keuntungan dari menetapkan kopling ke dalam individu kendala adalah bahwa solusi yang layak jauh lebih mudah diperoleh.  Selain  itu, tugas koordinator di DRSBK hanya memeriksa kelayakan solusi yang dihasilkan.

## D. Modifikasi untuk metode DRSBK
Solusi dari algoritme  standar  DRSBK yang noniteratif memungkinkan solusinya  terjebak dalam titik optimal lokal atau bahkan solusinya tidak visibel. Oleh karena itu, algoritme ini dimodifikasi sedemikian rupa sehingga urutan subproblem
.
yang akan diproses di setiap iterasi dihasilkan secara acak. Jika keluaran dari solver menunjukkan hasil iterasi yang tidak layak, urutan di iterasi selanjutnya akan dihasilkan lagi secara acak. Metode pemeriksaan kelayakan solusi DRSBK berbeda dari ADMM, yakni dengan menjumlahkan semua nilai dari variabel indikator kelayakan dari masing-masing subproblem. Solusinya dianggap layak jika jumlah total nilai indikator sama dengan jumlah segmen trek. Selain itu, kriteria pemberhentian iterasinya serupa dengan algoritme ADMM di atas.

## IV. STUDI KASUS
Pada bagian ini, metode konvensional centralized MPC dan dua  metode DMPC (ADMM dan DRSBK) disimulasikan dalam dua jenis  kasus. Parameter keluarannya kemudian dibandingkan dan dianalisis. Semua simulasi dilakukan pada komputer serba guna dengan prosesor Intel Core-i5 dan RAM 8GB. Semua masalah LP dan MILP diselesaikan oleh solver Gurobi 7.5, yang dipanggil menggunakan MATLAB R2017a. Selain itu, asumsi dan pengaturan umum berikut dipertimbangkan.
• Langkah waktu untuk intervensi pemeliharaan adalah satu bulan. Prediction dan control horizon ditetapkan menjadi 12  bulan.  Sedangkan implementation horizon ditetapkan menjadi enam bulan.
• Model bersifat deterministik, yakni tidak ada proses stokastik atau disturbance dari aktivitas operasi kereta api pada umumnya, seperti operasi pemeliharaan reaktif. Selain itu, bobot trade-off pada  (6) dipilih menjadi λ = 10 . • Peralatan  pemeliharaan dan personel diasumsikan selalu tersedia  sepanjang waktu. Studi kasus melibatkan jalur kereta api tunggal, yang terdiri atas sejumlah bagian jalur. Setiap panjang bagian trek adalah 200  m. Tata letak digambarkan pada Gbr. 2.
• Parameter (kondisi awal dan laju degradasi) untuk setiap bagian lintasan dapat berbeda, sesuai dengan skenario yang sesuai.  Kondisi awal  variabel  level degradasi dan memori diasumsikan berbeda.  Satu skenario biasanya menyajikan parameter yang berbeda untuk setiap segmen trek, yang dihasilkan secara acak sesuai  distribusi Gaussian. Dengan cara ini, korelasi spasial antar  segmen trek mempertimbangkan kondisi bahwa sebagian segmen trek memiliki tingkat lebih cepat daripada  segmen  yang lain  [23].  Selain itu, laju degradasi diasumsikan konstan dalam rentang waktu simulasi.

## A. Eksperimen I: Pengujian pada Kasus Jumlah Segmen Trek Berskala Besar
Dalam eksperimen ini, setiap pendekatan diuji pada kasus penjadwalan pemeliharaan  dengan  target sebuah jalur kereta
Gbr. 2 Ilustrasi pembagian segmen trek.
Gbr. 3 Perbandingan waktu komputasi dan nilai objektif dari semua metode. T ABEL II
P ERBANDINGAN NILAI RATA - RATA PARAMETER DARI SEMUA METODE
Parameter/algoritme Centralized ADMM DRSBK Waktu komputasi 965,22571 247,26976 71,32943 Nilai fungsi objektif 9.677,17 10.042,61 9.677,06 Total degradasi trek 7.744,2 8.219,61 7.744,09 Jumlah tamping 124,3 92,3 124,3 Jumlah renewal 2,3 3 2,3 Nilai objektif ternormalisasi - -6,490% -0,001%
0 500 1000 1500 2000 2500 Number of section 0 500 1000 1500 2000 Computation time (sec.) Computational performance Cent. ADMM DRSBK 0 500 1000 1500 2000 Number of section 0 1 2 3 4 Objective value 10 5 Objective function value Cent. ADMM DRSBK
yang dibagi menjadi  140 segmen.  Jumlah variabel tersebut dianggap besar dan memberatkan komputasi metode centralized. Perbandingan  hasil simulasi  untuk setiap metode disajikan pada Tabel II. Nilai pada tabel tersebut menyajikan nilai rata-rata dari sepuluh skenario yang berbeda.
Dari hasil eksperimen terlihat bahwa solusi DRSBK memiliki waktu yang paling cepat di  antara metode lainnya. Selisih waktunya pun sangat jauh dibanding  metode centralized .  ADMM juga mampu memperkecil kecepatan komputasi di bawah metode centralized . Hal ini sesuai dengan teori, yakni masalah optimisasi berskala besar yang dibagi- bagi menjadi lebih kecil akan lebih mudah diselesaikan.
Yang menarik di  sini adalah  walaupun DRSBK dapat menyelesaikan permasalahan optimisasi dengan lebih cepat, kualitas solusi yang dihasilkan hampir sama dengan metode centralized ,  dengan rata-rata nilai objektif ternormalisasinya kurang dari 0,01%. Selain itu, secara umum  solusi  DRSBK juga  lebih baik daripada  solusi ADMM. Dalam sistem MLD dengan masukan diskret yang jumlahnya sangat terbatas, DRSBK unggul karena tidak  perlu  mengubah fungsi objektif sama sekali, sehingga mampu memproses masalah dengan lebih cepat.

## B. Eksperimen II: Pengujian dengan  Jumlah Segmen Naik Secara Bertahap
Selanjutnya,  eksperimen kedua menyajikan perbandingan hasil simulasi dari ketiga metode  dengan  skema  jumlah segmen  trek  yang dinaikkan secara bertahap.  Bila waktu komputasi dari suatu metode sudah mendekati batas waktu metode centralized (dalam percobaan ini adalah sekitar 2.300 detik),  maka eksperimen metode tersebut akan dihentikan. Terlihat dalam Gbr. 3, pada masalah berskala kecil, metode centralized dapat menghasilkan solusi lebih cepat dibanding metode DMPC. Namun, pada N =  20, DRSBK mampu membalik kondisi, menjadi lebih cepat.  Hal ini disusul pula oleh ADMM pada N =  70.  Selain itu, semakin besar jumlah segmen treknya, maka jarak waktunya pun akan semakin lebar. Hal ini dikarenakan permasalahan ini bersifat NP-hard . Dalam  menyelesaikan permasalahan optimisasi penjadwal- an pemeliharaan trek kereta berskala rendah ke besar, DRSBK jauh lebih baik daripada  ADMM. ADMM hanya mampu menangani  sekitar  350 segmen, sedangkan   DRSBK mampu mencapai 2.400 segmen dalam rentang waktu yang sama.

## V. KESIMPULAN
Dalam  makalah  ini, dua teknik  dekomposisi dalam framework DMPC telah diujikan untuk optimisasi penjadwalan  operasi pemeliharaan trek  kereta api berskala besar.  Metode  pertama, yakni ADMM,  bekerja berdasarkan teori dualitas Lagrangian. Untuk mengarahkan iterasi  menuju daerah solusi yang  visibel,  metode ini dimodifikasi menggunakan pemrosesan  dua langkah (LP dan MILP). Di samping  itu,  metode  DRSBK diimplementasikan. Untuk menghindari solusi yang nonvisibel dan untuk mendapatkan solusi yang lebih optimal dengan tetap mempertahankan kesederhanaan,  algoritme  diperluas menjadi berulang  dan urutan subproblem yang diproses dihasilkan secara acak.
Dalam studi kasus, ditunjukkan bahwa  kedua  metode DMPC  dapat memecahkan masalah  optimisasi  lebih cepat daripada  pendekatan centralized dengan jumlah segmen trek di atas 130.  DRSBK adalah metode tercepat, yang  juga mampu menghasilkan solusi  yang hampir mendekati solusi centralized . Selain itu, ADMM juga  bekerja  lebih  cepat  dari centralized untuk menyelesaikan pemasalahan optimisasi di atas, tetapi solusinya masih cukup bagus.
Untuk  penelitian lebih lanjut, metode dapat diuji menggunakan  data  riil  hasil  pengukuran di lapangan. Memasukkan perilaku degradasi stokastik ke dalam model juga digunakan untuk mempertimbangkan ketidakpastian dalam operasi pemeliharaan rel kereta api. Selain itu, metode ini dapat dikembangkan  menjadi  DMPC  hierarki untuk memfasilitasi waktu yang berbeda skala dalam perencanaan pemeliharaan  atau  kondisi kesempatan terbatas ( chance constrained ).

## R EFERENSI
[1]  C. Esveld, Modern Railway Track .  Zaltbommel,  The  Netherlands: MRT-Productions, 2001.
[2]  M. Wen, R. Li, dan  K. B. Salling, “Optimization of Preventive Condition-Based Tamping for  Railway Tracks,” European Journal of Operational Research , Vol. 252, No. 2, hal455–465, 2016.
[3] Z. Su, A. N ́u ̃nez, A. Jamshidi, S. Baldi, Z. Li, R. Dollevoet, dan B. De
Schutter, “Model Predictive Control for Maintenance Operations Planning  of Railway Infrastructures,” Proceedings  of  6th International Conference Computational Logistics (ICCL), 2015, hal. 673–688.
[4]  R. Li dan  R. Roberti, “Optimal Scheduling  of Railway Track Possessions in Large-Scale Projects with Multiple Construction Works,” Journal of Construction Engineering and Management , Vol. 143, No. 6, hal. 1-11, 2017.
[5]  S.M. Famurewa, T. Xin, M. Rantatalo, dan U. Kumar, “Optimisation of Maintenance Track Possession Time: A Tamping Case Study,” Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers, Part F: Journal of Rail and Rapid Transit , Vol. 229, No. 1, hal. 12–22, 2015.
[6]  E. Gustavsson, “Scheduling Tamping Operations on Railway Tracks Using Mixed Integer Linear Programming,” EURO Journal on Transportation and Logistics , Vol. 4, No. 1, hal. 97–112, 2015.
[7]  F. Guo, C. Wen, J. Mao, G. Li, dan  Y. D. Song, “A Distributed Hierarchical  Algorithm  for Multi-Cluster Constrained Optimization,” Automatica , Vol. 77, hal. 230–238, 2017.
[8]  Z. Su, A. Núñez, S. Baldi, dan  B. De Schutter, “Model Predictive Control for Rail Condition-Based Maintenance: A Multilevel Approach,” Proceedings of the 19th IEEE Intelligent Transportation Systems Conference (ITSC 2016) , 2016, hal. 354–359.
[9]  Z. Su, A. Jamshidi, A. Núñez, S. Baldi, dan B. De Schutter, “Multi-level Condition-based Maintenance Planning for Railway Infrastructures – A Scenario-based Chance-constrained Approach,” Transportation Research Part C: Emerging Technologies , Vol. 84, hal. 92–123, 2017.
[10]  K. Verbert, B. De Schutter, dan  R. Babuška, “Timely Condition-based Maintenance Planning for  Multi-component  Systems,” Reliability Engineering & System Safety , Vol. 159, hal. 310–321, 2017.
[11]  J.M. Maestre dan R.R. Negenborn, Distributed Model Predictive Control Made Easy ,  Dordrecht,  The  Netherlands:  Springer Publishing Company, Inc., 2013.
[12]  M.J. Feizollahi, M. Costley, S. Ahmed, dan  S. Grijalva, “Large-scale Decentralized Unit Commitment,” International Journal of Electrical Power and Energy Systems , Vol. 73, hal. 97–106, 2015.
[13]  C. He, L. Wu, T. Liu, dan  M. Shahidehpour, “Robust Co-optimization Scheduling of Electricity and Natural Gas Systems via ADMM,” IEEE Transactions on Sustainable Energy , Vol. 8, No. 2, hal. 658–670, 2017.
[14]  S. Sebastio, G. Gnecco, dan  A. Bemporad, “Optimal Distributed Task Scheduling  in Volunteer Clouds,” Computers & Operation Research ,
Vol. 81, No. C, hal. 231–246, May 2017.
[15]  Y. Kuwata dan J.P. How, “Cooperative Distributed Robust Trajectory Optimization Using Receding Horizon MILP,” IEEE Transactions on Control Systems Technology , Vol. 19, No. 2, hal. 423–431, 2011.
[16]  S. Boyd, N. Parikh, E. Chu, B. Peleato,  dan  J. Eckstein, “Distributed Optimization and Statistical Learning via  the Alternating Direction Method of Multipliers,” Foundations and Trends in Machine Learning , Vol. 3, No. 1, hal. 1–122, 2011.
[17]  R. Li, K.B. Salling, A. Zoeteman, dan A.R.M. Wolfert, “Preventive Condition-based  Tamping for Railway  Tracks:  A Decision Support Model,” Proceedings of the Fifth International Symposium on Life- Cycle Civil Engineering (IALCCE 2016), 2016, hal. 355.
[18]  L. Li, R.R. Negenborn, dan  B. De Schutter, “Distributed  Model Predictive Control for Cooperative Synchromodal Freight Transport,” Transportation Research Part E: Logistics and Transportation Review , Vol. 105, hal. 240-260, 2017.
[19]  S. Boyd, N. Parikh, B.P.E Chu, dan  J. Eckstein, “Distributed Optimization  and Statistical Learning via the Alternating Direction
Method of Multipliers,” Foundations and Trends in Machine Learning , Vol. 3, No. 1, hal. 1–122, 2011.
[20]  B. Yang dan  M. Johansson, “Distributed Optimization and Games: A Tutorial Overview,” in Networked Control Systems , A. Bemporad, M. Heemels, and M. Johansson, Eds. London, UK: Springer London, 2010, hal. 109–148.
[21]  S. Sebastio, G. Gnecco, dan  A. Bemporad, “Optimal Distributed Task Scheduling in Volunteer Clouds,” Comput. Oper. Res. , Vol. 81, No. C, hal. 231–246, May 2017.
[22]  R.R. Negenborn, B. De Schutter, dan  J. Hellendoorn, “Multi-agent Model Predictive Control for Transportation Networks: Serial  Versus Parallel Schemes,” Engineering Applications of Artificial Intelligence ,
Vol. 21, No. 3, hal. 353–366, Apr. 2008.
[23]  I.A. khouy, P.-O. Larsson-Kråik, A. Nissen, dan  U. Kumar, “Cost- Effective Track Geometry Maintenance Limits,” Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers, Part F: Journal of Rail and Rapid Transit , Vol. 230, No. 2, hal. 611–622, 2016.