Limits: Journal of Mathematics and Its Applications E-ISSN: 2579-8936 P-ISSN: 1829-605X Vol. 19, No. 1, Mei 2022, 123-133 DOI: http://dx.doi.org/10.12962/limits.v19i1.8114

## Ruang Barisan Orlicz dan Ruang Dualnya
Haryadi 1 , Burhanudin Arif Nurnugroho 2 1 Departemen Ilmu Komputer; Universitas Muhammadiyah Palangkaraya Indonesia
2 Departemen Pendidikan Matematika; Universitas Ahmad Dahlan Yogyakarta Indonesia
e-mail: 1 haryadi_ump@yahoo.co.id, 2 burhanudin@pmat.uad.ac.id
Diajukan: 3 Desember 2020, Diperbaiki: 27 September 2021, Diterima: 12 Januari 2022

## Abstrak
Di dalam makalah ini akan dikaji sifat-sifat ruang barisan Orlicz ℓ 𝜙𝜙 . Selanjutnya, akan diselidiki karakteristik ruang dual ruang barisan Orlicz dan keterkaitannya dengan ruang barisan yang dibangun oleh pasangan fungsi Orlicz komplementernya. Untuk mencapai tujuan tersebut pada ruang barisan Orlicz ℓ 𝜙𝜙 akan digunakan norma Luxemburg dan norma- 𝜙𝜙 . Dengan menggunakan kedua norma, karakterisasi ruang barisan Orlicz  berhasil ditelaah. Hasil-hasil yang lebih khusus ditelaah untuk fungsi Orlicz yang memenuhi kondisi- Δ 2 . Secara umum, ruang dual ruang barisan Orlicz merupakan himpuan bagian ruang barisan yang dibangun oleh pasangan  fungsi Orlicz komplementernya. Lebih lanjut, untuk fungsi Orlicz yang memenuhui kondisi- Δ 2 , ruang dual ruang barisan Orlicz merupakan perumuman di ruang barisan 𝑙𝑙 𝑝𝑝 dengan 1 < 𝑝𝑝 < ∞ . Kata Kunci : fungsi Orlicz, ruang barisan, ruang dual.

## Abstract
In this paper first, we examine some properties of the sequence Orlicz space ℓ 𝜙𝜙 . Then, we examined the characteristics of the dual space of the sequence space. The relation of the dual space and the sequence generated by its complementary Orlicz function are examined. We use the Luxemburg norm and the 𝜙𝜙 - norm to investigate the space. Some properties of the space are found, and the results for the Orlicz function that satisfies 𝛥𝛥 2 -condition are given. Generally, the dual space is the subspace of the sequence generated by its complementary Orlicz function. For the Orlicz function that satisfies 𝛥𝛥 2 -condition, the dual space is generalization of the dual in the space 𝑙𝑙 𝑝𝑝 for 1 < 𝑝𝑝 < ∞ .
Keywords : dual space, Orlicz function, sequence space,.

## 1 Pendahuluan
Generalisasi ruang barisan ℓ 𝑝𝑝 , 1 < 𝑝𝑝 < ∞ ke ruang barisan Orlicz selain telah  mendorong dilakukan berbagai cara pengkonstruksian juga telah mendorong berbagai topik penelitian lainnta pada ruang barisan Orlicz.  Beberapa cara pengkonstruksian ruang barisan dengan menggunakan fungsi Orlicz dikaji di dalam [1], [2], [3] dan [4].  Di dalam [5],  Khusnussa'adah dan Supama meneliti sifat kelengkapan modular dan kelengkapan norma pada ruang barisan Orlicz .
Untuk 1 < p < ∞ telah diketahui bahwa  ruang dual ℓ 𝑝𝑝 , 1 < 𝑝𝑝 < ∞ adalah ℓ 𝑞𝑞 dengan 1 𝑝𝑝 + 1 𝑞𝑞 = 1. Pengkarakterisasian dual Kothe-Toeplitz pada ruang barisan yang dibangkitkan oleh fungsi

## 124
Orlicz dikaji di dalam [1], [6], [7] dan [8].   Bentuk umum fungsional linear pada ruang barisan Orlicz ditelaah beberapa peneliti. Di dalam [9], Nowak mengkarakterisasi dual Kothe-Toeplitz pada ruang barisan yang dibangun oleh fungsi Orlicz dengan menghilangkan kondisi kekonveksan dan menggunakan pendekatan fungsional Minkowski untuk mengkontruksi norma.
Di dalam makalah ini akan dikaji sifat-sifat ruang barisan Orlicz dan karakterisasi ruang dualnya. Lebih lanjut, akan dikaji hubungan antara dual ruang barisan Orlcz dengan ruang barisan yang dikonstruksi oleh fungsi Orlicz komplementernya.

## 2.     Metode Penelitian
Di dalam makalah  ini  fungsi Orlicz yang digunakan untuk membentuk barisan Orlicz merupakan fungsi konveks.  Untuk menelaah sifat-sifat ruang barisan Orlicz, terlebih dahulu akan dikaji  materi-materi dasar mengenai fungsi Orlicz. Pada ruang barisan Orlicz terlebih dahulu dikonstruksi  modular  untuk mengkonstruksi norma  Luxemburg.  Agar  pembahasan  dapat dilakukan lebih leluasa,  pada ruang barisan Orlicz juga dikonstruksi  norma- 𝜙𝜙 .  Dengan menggunakan kedua norma tersebut, selanjutnya dikaji sifat-sifat ruang barisan Orlicz.  Sifat-sifat pada ruang barisan Orlicz yang telah diperoleh pada tahapan sebelumnya, selanjutnya  digunakan untuk mengkaji ruang dual  ruang barisan Orlicz dan keterkaitan  dengan ruang barisan Orlicz yang dibangun oleh pasangan fungsi Orlicz kompelementernya.  Secara lebih khusus dikaji sifat ruang barisan Orlicz dan karakterisasi ruang dualnya untuk fungsi Orlicz yang memenuhi kondisi- Δ 2 .

## 3.   Hasil dan Pembahasan
Uraian mengenai fungsi Orlicz berikut dapat diacu di dalam [10]. Fungsi Orlicz dituliskan dengan 𝜙𝜙 , yaitu 𝜙𝜙 : ℝ → [0, ∞ ) , dengan 𝜙𝜙 fungsi genap, kontinu, konveks, 𝜙𝜙 ( 𝑡𝑡 ) = 0 jika dan hanya jika 𝑡𝑡 = 0 dan 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑚𝑚 𝑡𝑡→∞ 𝜙𝜙 ( 𝑡𝑡 ) = ∞ . Setiap fungsi Orlicz 𝜙𝜙 dapat dinyatakan dengan
𝜙𝜙 ( 𝑡𝑡 ) = ∫ 𝑝𝑝 ( 𝑠𝑠 ) 𝑑𝑑𝑠𝑠 𝑡𝑡 0 ( 1 )
dengan 𝑝𝑝 fungsi tidak turun dan kontinu kanan. Untuk sebarang fungsi Orlicz 𝜙𝜙 , fungsi 𝜓𝜓 dengan definisi 𝜓𝜓 ( 𝑠𝑠 ) = 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑝𝑝 {| 𝑠𝑠 | 𝑡𝑡 − 𝜙𝜙 ( 𝑡𝑡 ): 𝑡𝑡 ≥ 0} merupakan fungsi Orlicz. Selanjutnya 𝜙𝜙 dan 𝜓𝜓 dinamakan pasangan fungsi Orlicz komplementer. Jika 𝜙𝜙 dan 𝜓𝜓 pasangan fungsi Orlicz komplementer maka berlaku ketaksamaan Young, yakni | 𝑡𝑡𝑠𝑠 | ≤ 𝜙𝜙 ( 𝑡𝑡 ) + 𝜓𝜓 ( 𝑠𝑠 ) untuk setiap 𝑡𝑡 , 𝑠𝑠 ∈ ℝ . Ketaksamaan Young menjadi kesamaan jika 𝑠𝑠 = 𝑝𝑝 (| 𝑡𝑡 |) atau 𝑡𝑡 = 𝑞𝑞 (| 𝑠𝑠 |) dengan 𝑝𝑝 (atau 𝑞𝑞 ) fungsi tidak turun dan kontinu kanan yang memenuhi persamaan (1) ϕ (t) = ∫ p(s)ds t 0
( 1 .

## 125 Haryadi, Burhanudin Arif Nurnugroho
Fungsi Orlicz 𝜙𝜙 dikatakan memenuhi kondisi- Δ 2 jika terdapat konstanta 𝐾𝐾 dan bilangan 𝑐𝑐 ≥ 0 sehingga 𝜙𝜙 (2 𝑡𝑡 ) ≤ 𝐾𝐾𝜙𝜙 ( 𝑡𝑡 ) untuk setiap 𝑡𝑡 ≥ 𝑐𝑐 . Kondisi- Δ 2 juga ekuivalen dengan terdapat bilangan 𝐾𝐾 ( 𝜆𝜆 ) > 0 sehingga 𝜙𝜙 ( 𝜆𝜆𝜆𝜆 ) ≤ 𝐾𝐾 ( 𝜆𝜆 ) 𝜙𝜙 ( 𝜆𝜆 ) dengan 𝜆𝜆 > 1 . Perlu diketahui bahwa jika fungsi Orlicz 𝜙𝜙 memenuhi kondisi- Δ 2 maka fungsi Orlicz komplementernya belum tentu memenuhi kondisi- Δ 2 .
Contoh 1. (i) Fungsi 𝜙𝜙 1 dengan 𝜙𝜙 1 ( 𝑡𝑡 ) = | 𝑡𝑡 | 𝛼𝛼 (|ln  | 𝑡𝑡 || + 1) dengan 𝛼𝛼 > 1 merupakan  fungsi Orlicz yang memenuhi kondisi - Δ 2 (ii) Fungsi 𝜙𝜙 2 dengan 𝜙𝜙 2 ( 𝑡𝑡 ) = 𝑒𝑒 | 𝑡𝑡 | − 1 merupakan fungsi Orlicz yang tidak memenuhi kondisi- Δ 2 , sebab
𝜙𝜙 2 (2 𝑡𝑡 ) = 𝑒𝑒 | 2𝑡𝑡 | − 1 = �𝑒𝑒 | 𝑡𝑡 | + 1 ��𝑒𝑒 | 𝑡𝑡 | − 1 � = �𝑒𝑒 | 𝑡𝑡 | + 1 �𝜙𝜙 2 ( 𝑡𝑡 ),
yang berakibat untuk sebarang 𝐾𝐾 > 0 dapat diambil 𝑡𝑡 ≥ 0 dengan 𝐾𝐾 < 𝑒𝑒 | 𝑡𝑡 | + 1 , sehingga
𝐾𝐾𝜙𝜙 2 ( 𝑡𝑡 ) < �𝑒𝑒 | 𝑡𝑡 | + 1 �𝜙𝜙 2 ( 𝑡𝑡 ) = 𝜙𝜙 2 (2 𝑡𝑡 ).

## 3.1.  Beberapa sifat ruang barisan Orlicz
Diberikan himpunan semua barisan bilangan real 𝜔𝜔 . Anggota 𝜔𝜔 dituliskan dengan 𝜆𝜆 = ( 𝜆𝜆 𝑘𝑘 ) = ( 𝜆𝜆 1 , 𝜆𝜆 2 , ⋯ ) . Untuk sebarang fungsi Orlicz 𝜙𝜙 dapat ditunjukkan bahwa
ℓ 𝜙𝜙 = � ( 𝜆𝜆 𝑘𝑘 ): � 𝜙𝜙 � 𝜆𝜆 𝑘𝑘 𝜆𝜆 � < ∞ , 𝑠𝑠𝑢𝑢𝑡𝑡𝑠𝑠𝑢𝑢 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑡𝑡𝑠𝑠 𝜆𝜆 > 0 ∞ 𝑘𝑘=1 �
merupakan ruang barisan dan selanjutnya dinamakan ruang barisan Orlicz. Salah satu himpunan bagian ℓ 𝜙𝜙 adalah himpunan barisan
ℓ 𝜙𝜙 0 = � ( 𝜆𝜆 𝑘𝑘 ): � 𝜙𝜙 ( 𝑥𝑥 𝑘𝑘 ) < ∞ ∞ 𝑘𝑘=1 � .
Untuk fungsi Orlicz 𝜙𝜙 ( 𝑡𝑡 ) = | 𝑡𝑡 | 𝑝𝑝 , 1 < 𝑝𝑝 < ∞ , maka ruang barisan Orlicznya adalah ℓ 𝑝𝑝 = {( 𝜆𝜆 𝑘𝑘 ): ∑ | 𝜆𝜆 𝑘𝑘 | 𝑝𝑝 < ∞ 𝑘𝑘 } .
Lemma 1 Jika fungsi Orlicz 𝜙𝜙 tidak memenuhi kondisi- Δ 2 maka ℓ 𝜙𝜙 0 bukan ruang linear.  Lebih lanjut, ℓ 𝜙𝜙 0 himpunan bagian sejati ℓ 𝜙𝜙 .
Bukti .  Karena 𝜙𝜙 tidak memenuhi kondisi- Δ 2 , maka untuk setiap bilangan asli 𝑢𝑢 terdapat bilangan 𝑡𝑡 𝑘𝑘 sehingga 𝜙𝜙 (2 𝑡𝑡 𝑘𝑘 ) > 2 𝑘𝑘 𝜙𝜙 ( 𝑡𝑡 𝑘𝑘 ) . Dibentuk barisan ( 𝑠𝑠 𝑘𝑘 ) dengan
𝑠𝑠 𝑘𝑘 = �𝑡𝑡 𝑘𝑘 , 𝑗𝑗𝑙𝑙𝑢𝑢𝑠𝑠 1 2 𝑘𝑘 < 𝜙𝜙 ( 𝑡𝑡 𝑘𝑘 ) ≤ 1 2 𝑘𝑘−1 0, 𝑠𝑠𝑢𝑢𝑡𝑡𝑠𝑠𝑢𝑢 𝑦𝑦𝑠𝑠𝑢𝑢𝑦𝑦 𝑙𝑙𝑠𝑠𝑙𝑙𝑢𝑢𝑢𝑢𝑦𝑦𝑠𝑠
Barisan ( 𝑠𝑠 𝑘𝑘 ) ∈ ℓ 𝜙𝜙 0 , sebab
� 𝜙𝜙 ( 𝑠𝑠 𝑘𝑘 ) ≤ ∞ 𝑘𝑘=1 � 1 2 𝑘𝑘−1 ∞ 𝑘𝑘=1 < ∞ .
Sementara itu barisan (2 𝑠𝑠 𝑘𝑘 ) bukan anggota ℓ 𝜙𝜙 0 , sebab
� 𝜙𝜙 (2 𝑠𝑠 𝑘𝑘 ) > ∞ 𝑘𝑘=1 � 2 𝑘𝑘 𝜙𝜙 ( 𝑠𝑠 𝑘𝑘 ) ∞ 𝑘𝑘=1 = ∞ .
Jelas bahwa (2 𝑠𝑠 𝑘𝑘 ) ∈ ℓ 𝜙𝜙 , sebab ℓ 𝜙𝜙 ruang linear. Dengan demikian lemma terbukti.
Fungsi Orlicz bersifat konveks, oleh karena itu fungsi 𝜌𝜌 𝜙𝜙 : ℓ 𝜙𝜙 → [0, ∞ ] dengan definisi
𝜌𝜌 𝜙𝜙 ( 𝜆𝜆 ) = � 𝜙𝜙 ( 𝜆𝜆 𝑘𝑘 ) ∞ 𝑘𝑘=1 , 𝜆𝜆 = ( 𝜆𝜆 𝑘𝑘 ) ∈ ℓ 𝜙𝜙
merupakan modular konveks, yakni
(1) 𝜌𝜌 𝜙𝜙 ( 𝜆𝜆 ) = 0 , jika dan hanya jika 𝜆𝜆 = 𝜃𝜃 , dengan 𝜃𝜃 = (0,0, … . ) ,
(2) 𝜌𝜌 𝜙𝜙 ( −𝜆𝜆 ) = 𝜌𝜌 𝜙𝜙 ( 𝜆𝜆 ) untuk setiap 𝜆𝜆 ∈ ℓ 𝜙𝜙 , dan
(3) 𝜌𝜌 𝜙𝜙 ( 𝛼𝛼𝜆𝜆 + 𝛽𝛽𝑦𝑦 ) ≤ 𝛼𝛼𝜌𝜌 𝜙𝜙 ( 𝜆𝜆 ) + 𝛽𝛽𝜌𝜌 𝜙𝜙 ( 𝑦𝑦 ) untuk setiap 𝜆𝜆 , 𝑦𝑦 ∈ ℓ 𝜙𝜙 dan α , β ≥ 0 dengan α + β = 1 .
Sifat konveks dan 𝜙𝜙 (0) = 0 mengakibatkan 𝜙𝜙 naik monoton pada interval [0, ∞ ) . Oleh karena itu 𝜌𝜌 𝜙𝜙 bersifat naik monoton pada interval [0, ∞ ) .
Selanjutnya, karena 𝜌𝜌 𝜙𝜙 merupakan modular konveks, maka dapat didefinisikan norma Luxemburg pada ℓ 𝜙𝜙 , yaitu
‖ ( 𝜆𝜆 𝑘𝑘 ) ‖ ( 𝜙𝜙 ) = 𝑙𝑙𝑢𝑢𝑖𝑖 �𝑠𝑠 : > 0: 𝜌𝜌 𝜙𝜙 � ( 𝜆𝜆 𝑘𝑘 ) 𝑠𝑠 � ≤ 1 � .
Berdasarkan definisi norma Luxemburg dan sifat monoton naik 𝜌𝜌 𝜙𝜙 , untuk sebarang 𝜖𝜖 > 0 berlaku 𝜌𝜌 𝜙𝜙 � ( 𝑥𝑥 𝑘𝑘 ) ‖ ( 𝑥𝑥 𝑘𝑘 ) ‖ ( 𝜙𝜙 ) +𝜖𝜖 � ≤ 1 . Oleh karena itu diperoleh hasil
𝜌𝜌 𝜙𝜙 � ( 𝑥𝑥 𝑘𝑘 ) ‖ ( 𝑥𝑥 𝑘𝑘 ) ‖ ( 𝜙𝜙 ) � ≤ 1 (2)
Diberikan pasangan fungsi Orlicz komplementer 𝜙𝜙 dan 𝜓𝜓 . Selain norma Luxemburg, pada ruang ℓ 𝜙𝜙 juga bisa didefinisikan norma- 𝜙𝜙
‖ ( 𝜆𝜆 𝑘𝑘 ) ‖ 𝜙𝜙 = sup ∑ 𝜓𝜓 ( 𝑦𝑦 𝑘𝑘 ) ≤1 ∞ 𝑘𝑘=1 �� 𝜆𝜆 𝑘𝑘 𝑦𝑦 𝑘𝑘 ∞ 𝑘𝑘=1 � ,     ( 𝜆𝜆 𝑘𝑘 ) ∈ ℓ 𝜙𝜙
Di dalam ruang ℓ 𝑝𝑝 , 1 < 𝑝𝑝 < ∞ hubungan antara norma- 𝜙𝜙 dengan norma- 𝑝𝑝 ,

## 127
‖ ( 𝜆𝜆 𝑘𝑘 ) ‖ 𝑝𝑝 = �� | 𝜆𝜆 𝑘𝑘 | 𝑝𝑝 ∞ 𝑘𝑘=1 � 1 / 𝑝𝑝
diilustrasikan di dalam contoh berikut.
Contoh  2. Diberikan  pasangan  fungsi Orlicz komplementer 𝜙𝜙 ( 𝜆𝜆 ) = | 𝑥𝑥 | 2 2 dan 𝜓𝜓 ( 𝑦𝑦 ) = | 𝑦𝑦 | 2 2 .
Misalkan 𝜆𝜆 = ( 𝜆𝜆 𝑘𝑘 ) ∈ ℓ 𝜙𝜙 dengan ‖𝜆𝜆‖ 2 = ( ∑ | 𝜆𝜆 𝑘𝑘 | 2 ∞ 𝑘𝑘=1 ) 1 / 2 = 1. Untuk ∑ 𝜓𝜓 ( 𝑦𝑦 𝑘𝑘 ) ∞ 𝑘𝑘=1 = ∑ | 𝑦𝑦 𝑘𝑘 | 2 2 ∞ 𝑘𝑘=1 ≤
1 ketaksamaan Holder memberikan
�� 𝜆𝜆 𝑘𝑘 𝑦𝑦 𝑘𝑘 ∞ 𝑘𝑘=1 � ≤ �� | 𝜆𝜆 𝑘𝑘 | 2 ∞ 𝑘𝑘=1 � 1 2 �� | 𝑦𝑦 𝑘𝑘 | 2 ∞ 𝑘𝑘=1 � 1 2 = √ 2 �� | 𝑦𝑦 𝑘𝑘 | 2 2 ∞ 𝑘𝑘=1 � 1 2 ≤ √ 2
sehingga    berakibat  itu ‖𝜆𝜆‖ 𝜙𝜙 ≤ √ 2 .    Selanjutnya didefinisikan barisan ( 𝑠𝑠 𝑘𝑘 ) dengan 𝑠𝑠 𝑘𝑘 = √ 2| 𝜆𝜆 𝑘𝑘 | 𝑠𝑠𝑦𝑦𝑢𝑢 ( 𝜆𝜆 𝑘𝑘 ) . Karena
∑ 𝜓𝜓 ( 𝑠𝑠 𝑘𝑘 ) ∞ 𝑘𝑘=1 = ∑ | 𝑎𝑎 𝑘𝑘 | 2 2 ∞ 𝑘𝑘=1 = ∑ �√2 | 𝑥𝑥 𝑘𝑘 | 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 ( 𝑥𝑥 𝑘𝑘 ) � 2 2 ∞ 𝑘𝑘=1 = ∑ | 𝜆𝜆 𝑘𝑘 | 2 ∞ 𝑘𝑘=1 = 1,
maka
‖𝜆𝜆‖ 𝜙𝜙 ≥ �� 𝜆𝜆 𝑘𝑘 𝑠𝑠 𝑘𝑘 ∞ 𝑘𝑘=1 � = �� 𝜆𝜆 𝑘𝑘 √ 2| 𝜆𝜆 𝑘𝑘 | 𝑠𝑠𝑦𝑦𝑢𝑢 ( 𝜆𝜆 𝑘𝑘 ) ∞ 𝑘𝑘=1 � = √ 2 � | 𝜆𝜆 𝑘𝑘 | 2 = √ 2 ∞ 𝑘𝑘=1 .
Dengan demikian diperoleh ‖𝜆𝜆‖ 𝜙𝜙 = √ 2 .
Selanjutnya,  untuk sebarang 𝜆𝜆 = ( 𝜆𝜆 𝑘𝑘 ) ∈ ℓ 𝜙𝜙 dengan 𝜆𝜆 ≠ 0 ,  mengingat � 𝑥𝑥 ‖𝑥𝑥‖ 2 � 2 = 1 ,  dengan menggunakan hasil terakhir � 𝑥𝑥 ‖𝑥𝑥‖ 2 � 𝜙𝜙 = √ 2 .  Oleh karena itu ‖𝜆𝜆‖ 𝜙𝜙 = √ 2 ‖𝜆𝜆‖ 2 .
Lemma 2 Diberikan barisan ( 𝜆𝜆 𝑘𝑘 ) ∈ ℓ 𝜙𝜙 .
(i) Jika ‖ ( 𝜆𝜆 𝑘𝑘 ) ‖ 𝜙𝜙 ≤ 1 maka 𝜌𝜌 𝜙𝜙 � ( 𝜆𝜆 𝑘𝑘 ) � ≤ ‖ ( 𝜆𝜆 𝑘𝑘 ) ‖ 𝜙𝜙 ,
(ii) Jika ‖ ( 𝜆𝜆 𝑘𝑘 ) ‖ 𝜙𝜙 > 1 maka 𝜌𝜌 𝜙𝜙 � ( 𝜆𝜆 𝑘𝑘 ) � ≥ ‖ ( 𝜆𝜆 𝑘𝑘 ) ‖ 𝜙𝜙 .
Bukti .  (i) Karena ‖ ( 𝜆𝜆 𝑘𝑘 ) ‖ 𝜙𝜙 ≤ 1 , kekonveksan 𝜙𝜙 berakibat
1 ‖ ( 𝜆𝜆 𝑘𝑘 ) ‖ 𝜙𝜙 � 𝜙𝜙 ( 𝑥𝑥 𝑘𝑘 ) ∞ 𝑘𝑘=1 ≤ � 𝜙𝜙 � 𝜆𝜆 𝑘𝑘 ‖ ( 𝜆𝜆 𝑘𝑘 ) ‖ 𝜙𝜙 � ∞ 𝑘𝑘=1 ≤ 1.
Oleh karena itu 𝜌𝜌 𝜙𝜙 � ( 𝜆𝜆 𝑘𝑘 ) � ≤ ‖ ( 𝜆𝜆 𝑘𝑘 ) ‖ 𝜙𝜙 .
(ii) Untuk ‖ ( 𝜆𝜆 𝑘𝑘 ) ‖ 𝜙𝜙 > 1 diambil sebarang bilangan 𝜖𝜖 > 0 sehingga ‖ ( 𝜆𝜆 𝑘𝑘 ) ‖ − 𝜖𝜖 ≥ 1 . Karena ‖ ( 𝜆𝜆 𝑘𝑘 ) ‖ − 𝜖𝜖 < ‖ ( 𝜆𝜆 𝑘𝑘 ) ‖ , maka berdasarkan definisi norma Luxemburg
1 < 𝜌𝜌 𝜙𝜙 � ( 𝜆𝜆 𝑘𝑘 ) ‖ ( 𝜆𝜆 𝑘𝑘 ) ‖ − 𝜖𝜖� = � 𝜙𝜙 � 𝜆𝜆 𝑘𝑘 ‖ ( 𝜆𝜆 𝑘𝑘 ) ‖ − 𝜖𝜖� ∞ 𝑘𝑘=1 ≤ 1 ‖ ( 𝜆𝜆 𝑘𝑘 ) ‖ − 𝜖𝜖 � 𝜙𝜙 ( 𝜆𝜆 𝑘𝑘 ) ∞ 𝑘𝑘=1 ,
sehingga lemma terbukti.
Lemma 3 Untuk sebarang 𝜆𝜆 = ( 𝜆𝜆 𝑘𝑘 ) ∈ ℓ 𝜙𝜙 berlaku ‖ ( 𝜆𝜆 𝑘𝑘 ) ‖ 𝜙𝜙 ≤ 𝜌𝜌 𝜙𝜙 � ( 𝜆𝜆 𝑘𝑘 ) � + 1 .
Bukti. Karena | 𝜆𝜆 𝑘𝑘 𝑦𝑦 𝑘𝑘 | ≤ 𝜙𝜙 ( 𝜆𝜆 𝑘𝑘 ) + 𝜓𝜓 ( 𝑦𝑦 𝑘𝑘 ) untuk setiap bilangan asli 𝑢𝑢 , maka
‖ ( 𝜆𝜆 𝑘𝑘 ) ‖ 𝜙𝜙 = sup ∑ 𝜓𝜓 ( 𝑦𝑦 𝑘𝑘 ) ≤1 ∞ 𝑘𝑘=1 �� 𝜆𝜆 𝑘𝑘 𝑦𝑦 𝑘𝑘 ∞ 𝑘𝑘=1 � ≤ � 𝜙𝜙 ( 𝜆𝜆 𝑘𝑘 ) ∞ 𝑘𝑘=1 + sup ∑ 𝜓𝜓 ( 𝑦𝑦 𝑘𝑘 ) ≤1 ∞ 𝑘𝑘=1 � 𝜓𝜓 ( 𝑦𝑦 𝑘𝑘 ) ∞ 𝑘𝑘=1 ≤ 𝜌𝜌 𝜙𝜙 � ( 𝜆𝜆 𝑘𝑘 ) � + 1.
Di dalam teorema berikut dinyatakan bahwa norma Luxemburg dan norma- 𝜙𝜙 ekuivalen.
Teorema 4 Untuk setiap barisan ( 𝜆𝜆 𝑘𝑘 ) ∈ ℓ 𝜙𝜙 , berlaku
‖ ( 𝜆𝜆 𝑘𝑘 ) ‖ ( 𝜙𝜙 ) ≤ ‖ ( 𝜆𝜆 𝑘𝑘 ) ‖ 𝜙𝜙 ≤ 2 ‖ ( 𝜆𝜆 𝑘𝑘 ) ‖ ( 𝜙𝜙 ) .
Bukti . Diambil sebarang 𝜆𝜆 = ( 𝜆𝜆 𝑘𝑘 ) ∈ ℓ 𝜙𝜙 dengan 𝜆𝜆 ≠ 𝜃𝜃 . Karena � ( 𝑥𝑥 𝑘𝑘 ) ‖ ( 𝑥𝑥 𝑘𝑘 ) ‖ 𝜙𝜙 � 𝜙𝜙 ≤ 1 , maka berdasarkan Lemma 2(i), 𝜌𝜌 𝜙𝜙 � ( 𝑥𝑥 𝑘𝑘 ) ‖ ( 𝑥𝑥 𝑘𝑘 ) ‖ 𝜙𝜙 � ≤ 1 . Oleh karena itu
‖ ( 𝜆𝜆 𝑘𝑘 ) ‖ ( 𝜙𝜙 ) = 𝑙𝑙𝑢𝑢𝑖𝑖 �𝑠𝑠 > 0: 𝜌𝜌 𝜙𝜙 � ( 𝜆𝜆 𝑘𝑘 ) 𝑠𝑠 � ≤ 1 � ≤ ‖ ( 𝜆𝜆 𝑘𝑘 ) ‖ 𝜙𝜙 ,
Sehingga ketaksamaan pertama terbukti.  Selanjutnya dengan menerapkan berturut-turut Lemma 3 dan ketaksamaan ρ ϕ � ( x k ) ‖ ( x k ) ‖ ( ϕ ) � ≤ 1 (2),
� ( 𝜆𝜆 𝑘𝑘 ) ‖ ( 𝜆𝜆 𝑘𝑘 ) ‖ ( 𝜙𝜙 ) � 𝜙𝜙 ≤ 𝜌𝜌 𝜙𝜙 � ( 𝜆𝜆 𝑘𝑘 ) ‖ ( 𝜆𝜆 𝑘𝑘 ) ‖ ( 𝜙𝜙 ) � + 1 ≤ 2,
sehingga ketaksamaan kedua terbukti.
Teorema 5 [Ketaksamaan Holder] Jika 𝜙𝜙 dan 𝜓𝜓 pasangan fungsi Orlicz  komplementer, maka untuk setiap 𝜆𝜆 = ( 𝜆𝜆 𝑘𝑘 ) ∈ ℓ 𝜙𝜙 dan 𝑦𝑦 = ( 𝑦𝑦 𝑘𝑘 ) ∈ ℓ 𝜓𝜓 berlaku
�� 𝜆𝜆 𝑘𝑘 𝑦𝑦 𝑘𝑘 ∞ 𝑘𝑘=1 � ≤ ‖𝜆𝜆‖ 𝜙𝜙 ‖𝑦𝑦‖ 𝜓𝜓 .
Bukti .  Diasumsikan ( 𝜆𝜆 𝑘𝑘 ) ≠ 𝜃𝜃 dan ( 𝑦𝑦 𝑘𝑘 ) ≠ 𝜃𝜃 . Karena � ( 𝑦𝑦 𝑘𝑘 ) ‖𝑦𝑦‖ 𝜓𝜓 � 𝜓𝜓 ≤ 1 , maka berdasarkan Lemma 2 (i), 𝜌𝜌 𝜓𝜓 � ( 𝑦𝑦 𝑘𝑘 ) ‖𝑦𝑦‖ 𝜓𝜓 � ≤ 1. Oleh karena itu �� 𝜆𝜆 𝑘𝑘 ∞ 𝑘𝑘=1 𝑦𝑦 𝑘𝑘 ‖𝑦𝑦‖ 𝜓𝜓 � ≤ sup ∑ 𝜓𝜓 ( 𝑧𝑧 𝑘𝑘 ) ≤1 ∞ 𝑘𝑘=1 �� 𝜆𝜆 𝑘𝑘 𝑧𝑧 𝑘𝑘 ∞ 𝑘𝑘=1 � = ‖𝜆𝜆‖ 𝜙𝜙 sehingga ketaksamaan tersebut terbukti.
Lemma 6 Jika ℓ 𝜙𝜙 1 ⊆ ℓ 𝜙𝜙 2 maka ada konstanta 𝑐𝑐 dan 𝜆𝜆 0 ≥ 0 sehingga 𝜙𝜙 2 ( 𝜆𝜆 ) ≤ 𝑐𝑐𝜙𝜙 1 ( 𝜆𝜆 ) untuk setiap 𝜆𝜆 ≥ 𝜆𝜆 0 .
Bukti. Diandaikan pernyataan tersebut tidak benar. Jadi untuk setiap bilangan asli 𝑢𝑢 dan 𝜆𝜆 𝑘𝑘 > 0 dapat dipilih bilangan 𝑡𝑡 𝑘𝑘 ≥ 𝜆𝜆 𝑘𝑘 sehingga

## Haryadi, Burhanudin Arif Nurnugroho
𝜙𝜙 2 ( 𝑡𝑡 𝑘𝑘 ) > 2 𝑘𝑘 𝜙𝜙 1 ( 𝑡𝑡 𝑘𝑘 ) .
Dibentuk barisan ( 𝑠𝑠 𝑘𝑘 ) dengan 𝑠𝑠 𝑘𝑘 = 𝑡𝑡 𝑘𝑘 jika 2 −𝑘𝑘 ≤ 𝜙𝜙 1 ( 𝑡𝑡 𝑘𝑘 ) < 2 −𝑘𝑘+1 dan 𝑠𝑠 𝑘𝑘 = 0 untuk nilai 𝑡𝑡 𝑘𝑘 lainnya. Barisan ( 𝑠𝑠 𝑘𝑘 ) ∈ ℓ 𝜙𝜙 1 sebab
� 𝜙𝜙 1 ( 𝑠𝑠 𝑘𝑘 ) ≤ � 2 −𝑘𝑘+1 ∞ 𝑘𝑘=1 < ∞ . ∞ 𝑘𝑘=1 Sementara itu � 𝜙𝜙 2 ( 𝑠𝑠 𝑘𝑘 ) ∞ 𝑘𝑘=1 ≥ � 2 𝑘𝑘 𝜙𝜙 1 ( 𝑠𝑠 𝑘𝑘 ) ∞ 𝑘𝑘=1 ≥ � 2 𝑘𝑘 2 −𝑘𝑘 = ∞ , ∞ 𝑘𝑘=1
yakni ( 𝑠𝑠 𝑘𝑘 ) ∉ ℓ 𝜙𝜙 2 .  Dengan demikian tidak benar bahwa ℓ 𝜙𝜙 1 ⊆ ℓ 𝜙𝜙 2 , kontradiksi dengan yang diketahui.
Teorema 7 Ruang barisan Orlicz ℓ 𝜙𝜙 = ℓ 𝜙𝜙 0 jika dan hanya jika 𝜙𝜙 memenuhi kondisi- Δ 2 .
Bukti. Diketahui 𝜙𝜙 memenuhi kondisi - Δ 2 .  Karena ℓ 𝜙𝜙 0 ⊆ ℓ 𝜙𝜙 maka cukup dibuktikan bahwa ℓ 𝜙𝜙 ⊆ ℓ 𝜙𝜙 0 . Diambil sebarang ( 𝜆𝜆 𝑘𝑘 ) ∈ ℓ 𝜙𝜙 , jadi terdapat 𝜆𝜆 > 0 sehingga ∑ 𝜙𝜙 � 𝑥𝑥 𝑘𝑘 𝜆𝜆 � < ∞ ∞ 𝑘𝑘=1 . Jika 𝜆𝜆 ≤ 1 , sifat monoton naik 𝜙𝜙 mengakibatkan ∑ 𝜙𝜙 ( 𝜆𝜆 𝑘𝑘 ) ∞ 𝑘𝑘=1 ≤ ∑ 𝜙𝜙 � 𝑥𝑥 𝑘𝑘 𝜆𝜆 � ∞ 𝑘𝑘=1 yang berarti ( 𝜆𝜆 𝑘𝑘 ) ∈ ℓ 𝜙𝜙 0 . Jika 𝜆𝜆 > 1 diambil bilangan 𝐾𝐾 > 0 sehingga 𝜙𝜙 ( 𝜆𝜆𝑡𝑡 ) ≤ 𝐾𝐾 ( 𝜆𝜆 ) 𝜙𝜙 ( 𝑡𝑡 ) . Diperoleh
� 𝜙𝜙 ( 𝜆𝜆 𝑘𝑘 ) = � 𝜙𝜙 � 𝜆𝜆𝜆𝜆 𝑘𝑘 𝜆𝜆 � ∞ 𝑘𝑘=1 ≤ ∞ 𝑘𝑘=1 𝐾𝐾 ( 𝜆𝜆 ) � 𝜙𝜙 � 𝜆𝜆 𝑘𝑘 𝜆𝜆 � ∞ 𝑘𝑘=1 < ∞ .
Dengan demikian ℓ 𝜙𝜙 ⊆ ℓ 𝜙𝜙 0 .
Sebaliknya, diketahui ℓ 𝜙𝜙 = ℓ 𝜙𝜙 0 . Diambil sebarang 𝜆𝜆 = ( 𝜆𝜆 𝑘𝑘 ) ∈ ℓ 𝜙𝜙 0 . Karena ℓ 𝜙𝜙 0 ruang linear, maka 2 𝜆𝜆 ∈ ℓ 𝜙𝜙 0 . Didefinisikan fungsi Orlicz 𝜙𝜙 1 dengan 𝜙𝜙 1 ( 𝑡𝑡 ) = 𝜙𝜙 (2 𝑡𝑡 ). Karena 𝜙𝜙 ( 𝑡𝑡 ) ≤ 𝜙𝜙 1 ( 𝑡𝑡 ) maka ℓ 𝜙𝜙 1 ⊆ ℓ 𝜙𝜙 , sehingga berdasarkan Lemma  6,  terdapat bilangan 𝑐𝑐 > 0 sehingga 𝜙𝜙 (2 𝑡𝑡 ) = 𝜙𝜙 1 ( 𝑡𝑡 ) ≤ 𝑐𝑐𝜙𝜙 ( 𝑡𝑡 ) , yang berarti 𝜙𝜙 memenuhi kondisi- Δ 2 .
Teorema 8 Ruang ℓ 𝜙𝜙 merupakan ruang normal.
Bukti. Diambil sebarang ( 𝜆𝜆 𝑘𝑘 ) ∈ ℓ 𝜙𝜙 , yakni ∑ 𝜙𝜙 � 𝑥𝑥 𝑘𝑘 𝜆𝜆 � < ∞ ∞ 𝑘𝑘=1 untuk suatu 𝜆𝜆 > 0. Diambil barisan ( 𝑦𝑦 𝑘𝑘 ) sehingga | 𝑦𝑦 𝑘𝑘 | < | 𝜆𝜆 𝑘𝑘 | , 𝑢𝑢 = 1,2,3, ⋯ . Sifat monoton tidak turun fungsi 𝜙𝜙 mengakibatkan ∑ 𝜙𝜙 � 𝑦𝑦 𝑘𝑘 𝜆𝜆 � ≤ ∑ 𝜙𝜙 � 𝑥𝑥 𝑘𝑘 𝜆𝜆 � < ∞ ∞ 𝑘𝑘=1 ∞ 𝑘𝑘=1 , yang berarti ( 𝑦𝑦 𝑘𝑘 ) ∈ ℓ 𝜙𝜙 . Oleh karena itu ℓ 𝜙𝜙 merupakan ruang normal.

## 3.2. Ruang dual ℓ 𝜙𝜙
Selanjunya akan dikaji ruang dual ruang barisan Orlicz. Notasi ℓ 𝜙𝜙 ′ menyatakan ruang linear yang anggotanya semua  fungsional linear  kontinu  pada ℓ 𝜙𝜙 .  Untuk pembahasan selanjutnya didefinisikan norma ‖⋅‖ pada ℓ 𝜙𝜙 ′ dengan
‖𝑖𝑖‖ = sup ��� 𝜆𝜆 𝑖𝑖 𝑦𝑦 𝑖𝑖 ∞ 𝑘𝑘=1 � : ‖𝜆𝜆‖ 𝜙𝜙 ≤ 1 � , untuk setiap 𝑖𝑖 ∈ ℓ 𝜙𝜙 ′
Teorema 9 Diberikan pasangan fungsi Orlicz komplementer 𝜙𝜙 dan 𝜓𝜓 .  Jika ( 𝑦𝑦 𝑘𝑘 ) ∈ ℓ 𝜓𝜓 maka fungsi 𝑖𝑖 𝑦𝑦 dengan
𝑖𝑖 𝑦𝑦 ( 𝜆𝜆 ) = � 𝜆𝜆 𝑖𝑖 𝑦𝑦 𝑖𝑖 , untuk setiap ( 𝜆𝜆 𝑘𝑘 ) ∈ ℓ 𝜙𝜙 ∞ 𝑘𝑘=1 merupakan fungsional linear pada ℓ 𝜙𝜙 . Lebih lanjut
�𝑖𝑖 𝑦𝑦 � ≤ ‖𝑦𝑦‖ 𝜓𝜓 ≤ 2 �𝑖𝑖 𝑦𝑦 � ( 3)
Bukti . Akan ditunjukkan terlebih dahulu bahwa 𝑖𝑖 𝑦𝑦 merupakan fungsional linear kontinu. Diambil sebarang 𝜆𝜆 = ( 𝜆𝜆 𝑘𝑘 ), 𝑧𝑧 = ( 𝑧𝑧 𝑘𝑘 ) ∈ ℓ 𝜙𝜙 dan sebarang bilangan real 𝛼𝛼 . Karena 𝜆𝜆 ∈ ℓ 𝜙𝜙 dan 𝑦𝑦 ∈ ℓ 𝜓𝜓 maka
�𝑖𝑖 𝑦𝑦 ( 𝜆𝜆 ) � = �� 𝜆𝜆 𝑖𝑖 𝑦𝑦 𝑖𝑖 ∞ 𝑘𝑘=1 � ≤ � 𝜙𝜙 ( 𝜆𝜆 𝑖𝑖 ) + � 𝜓𝜓 ( 𝑦𝑦 𝑖𝑖 ) < ∞ , ∞ 𝑘𝑘=1 ∞ 𝑘𝑘=1
yakni 𝑖𝑖 𝑦𝑦 terbatas. Linieritas 𝑖𝑖 𝑦𝑦 diperoleh dari 𝑖𝑖 𝑦𝑦 ( 𝛼𝛼𝜆𝜆 ) = ∑ ( 𝛼𝛼𝜆𝜆 𝑖𝑖 ) 𝑦𝑦 𝑖𝑖 = 𝛼𝛼𝑖𝑖 𝑦𝑦 ( 𝜆𝜆 ) ∞ 𝑘𝑘=1 dan
𝑖𝑖 𝑦𝑦 ( 𝜆𝜆 + 𝑧𝑧 ) = ∑ ( 𝜆𝜆 𝑖𝑖 + 𝑧𝑧 𝑖𝑖 ) 𝑦𝑦 𝑖𝑖 = 𝑖𝑖 𝑦𝑦 ( 𝜆𝜆 ) + 𝑖𝑖 𝑦𝑦 ( 𝑧𝑧 ) ∞ 𝑘𝑘=1 .
Ketaksamaan  pertama  didalam (3) diperoleh dengan menerapkan  ketaksamaan Holder. Selanjutnya, karena ‖𝜆𝜆‖ 𝜙𝜙 ≤ 𝜌𝜌 𝜙𝜙 ( 𝜆𝜆 ) + 1 , maka �𝜆𝜆 : 𝜌𝜌 𝜙𝜙 ( 𝜆𝜆 ) ≤ 1 � ⊆ �𝜆𝜆 : ‖𝜆𝜆‖ 𝜙𝜙 ≤ 2 � . Oleh karena itu
‖𝑦𝑦‖ 𝜓𝜓 = 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑝𝑝 ��� 𝜆𝜆 𝑖𝑖 𝑦𝑦 𝑖𝑖 ∞ 𝑘𝑘=1 � : 𝜌𝜌 𝜙𝜙 ( 𝜆𝜆 ) ≤ 1 � ≤ 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑝𝑝 ��� 𝜆𝜆 𝑖𝑖 𝑦𝑦 𝑖𝑖 ∞ 𝑘𝑘=1 � : ‖𝜆𝜆‖ 𝜙𝜙 ≤ 2 � ≤ ‖𝜆𝜆‖ 𝜙𝜙 �𝑖𝑖 𝑦𝑦 � ≤ 2 �𝑖𝑖 𝑦𝑦 � .
Oleh karena ketaksamaan kedua didalam (3) terbukti.
Contoh 3 . Diberikan fungsi Orlicz 𝜙𝜙 ( 𝜆𝜆 ) = | 𝑥𝑥 | 2 2 .  Fungsi 𝜓𝜓 dengan 𝜓𝜓 ( 𝑦𝑦 ) = | 𝑦𝑦 | 2 2 merupakan fungsi Orlicz komplementer 𝜙𝜙 .  Berdasarkan Contoh 2, ‖𝑦𝑦‖ 𝜓𝜓 = √ 2 ‖𝑦𝑦‖ 2 . Lebih lanjut,
�𝑖𝑖 𝑦𝑦 � = sup ��� 𝜆𝜆 𝑖𝑖 𝑦𝑦 𝑖𝑖 ∞ 𝑘𝑘=1 � : ‖𝜆𝜆‖ 𝜙𝜙 ≤ 1 � ≤ sup �‖𝜆𝜆‖ 𝜙𝜙 ‖𝑦𝑦‖ 𝜓𝜓 : ‖𝜆𝜆‖ 𝜙𝜙 ≤ 1 � ≤ ‖𝑦𝑦‖ 𝜓𝜓 = √ 2 ‖𝑦𝑦‖ 2 .
Oleh karena itu �𝑖𝑖 𝑦𝑦 � ≤ 2 ‖𝑦𝑦‖ 2 .
Dual- 𝛼𝛼 dan dual- 𝛽𝛽 ruang barisan ℓ 𝜙𝜙 dituliskan berturut-turut ℓ 𝜙𝜙 𝛼𝛼 dan ℓ 𝜙𝜙 𝛽𝛽 , yaitu
ℓ 𝜙𝜙 𝛼𝛼 = � ( 𝜆𝜆 𝑘𝑘 ) ∈ 𝜔𝜔 : � | 𝜆𝜆 𝑘𝑘 𝑦𝑦 𝑘𝑘 | < ∞ 𝑠𝑠𝑢𝑢𝑡𝑡𝑠𝑠𝑢𝑢 𝑠𝑠𝑒𝑒𝑡𝑡𝑙𝑙𝑠𝑠𝑝𝑝 ( 𝑦𝑦 𝑘𝑘 ) ∈ ℓ 𝜙𝜙 ∞ 𝑘𝑘=1 � ℓ 𝜙𝜙 𝛽𝛽 = � ( 𝜆𝜆 𝑘𝑘 ) ∈ 𝜔𝜔 : � 𝜆𝜆 𝑘𝑘 𝑦𝑦 𝑘𝑘 ∞
𝑘𝑘=1
𝑢𝑢𝑘𝑘𝑢𝑢𝑘𝑘𝑒𝑒𝑘𝑘𝑦𝑦𝑒𝑒𝑢𝑢 𝑠𝑠𝑢𝑢𝑡𝑡𝑠𝑠𝑢𝑢 𝑠𝑠𝑒𝑒𝑡𝑡𝑙𝑙𝑠𝑠𝑝𝑝 ( 𝑦𝑦 𝑘𝑘 ) ∈ ℓ 𝜙𝜙 �

## 131 Haryadi, Burhanudin Arif Nurnugroho
Teorema-teorema berikut merupakan hasil kajian mengenai dual- 𝛼𝛼 dan dual- 𝛽𝛽 ruang barisan ℓ 𝜙𝜙 , yang merupakan generalisasi dual- 𝛼𝛼 dan dual- 𝛽𝛽 ruang barisan ℓ 𝑝𝑝 , 1 < 𝑝𝑝 < ∞ .
Teorema 10 Diberikan pasangan fungsi Orlicz komplementer 𝜙𝜙 dan 𝜓𝜓 . Jika fungsi Orlicz 𝜙𝜙 tidak memenuhi kondisi- Δ 2 , maka ℓ 𝜓𝜓 ⊂ ℓ 𝜙𝜙 𝛽𝛽 .
Bukti. Diketahui 𝜙𝜙 tidak memenuhi kondisi - Δ 2 . Berdasarkan Lemma 1 ada barisan 𝑠𝑠 = ( 𝑠𝑠 𝑘𝑘 ) ∈ ℓ 𝜙𝜙 \ ℓ 𝜙𝜙 0 , yakni ∑ 𝜙𝜙 ( 𝑠𝑠 𝑘𝑘 ) = ∞ ∞ 𝑘𝑘=1 dan ∑ 𝜙𝜙 � 𝑎𝑎 𝑘𝑘 𝜆𝜆 � < ∞ ∞ 𝑘𝑘=1 untuk suatu 𝜆𝜆 > 1 .  Didefinisikan funsional linear 𝑖𝑖 dengan 𝑖𝑖 ( 𝑠𝑠 ) = 1 dan 𝑖𝑖 ( 𝜆𝜆 ) = 0 jika 𝜆𝜆 ∈ ℓ 𝜙𝜙 0 .  Berdasarkan  Teorema Hahn-Banach, fungsional 𝑖𝑖 dapat diperluas pada ℓ 𝜙𝜙 , yaitu
𝑖𝑖 ( 𝜆𝜆 ) = � 1, 𝑗𝑗𝑙𝑙𝑢𝑢𝑠𝑠 𝜆𝜆 ∈ ℓ 𝜙𝜙 \ ℓ 𝜙𝜙 0 0, 𝑗𝑗𝑙𝑙𝑢𝑢𝑠𝑠 𝜆𝜆 ∈ ℓ 𝜙𝜙 0 .
Dimisalkan 𝑖𝑖 dapat dinyatakan dalam bentuk
𝑖𝑖 ( 𝜆𝜆 ) = � 𝜆𝜆 𝑘𝑘 𝑦𝑦 𝑘𝑘 ∞ 𝑘𝑘=1
untuk suatu 𝑦𝑦 = ( 𝑦𝑦 𝑘𝑘 ) ∈ ℓ 𝜓𝜓 .   Didefinisikan barisan 𝑦𝑦 [ 𝑚𝑚 ] = ( 𝑦𝑦 1 , 𝑦𝑦 2 , ⋯ , 𝑦𝑦 𝑚𝑚 , 0,0, ⋯ ) .
Karena 𝑦𝑦 [ 𝑚𝑚 ] ∈ ℓ 𝜙𝜙 0 maka 𝑖𝑖�𝑦𝑦 [ 𝑚𝑚 ] � = 0 untuk setiap 𝑚𝑚 = 1,2, ⋯ , yakni
0 = � 𝑦𝑦 𝑘𝑘 [ 𝑚𝑚 ] 𝑦𝑦 𝑘𝑘 ∞ 𝑘𝑘=1 = � 𝑦𝑦 𝑘𝑘 2 , 𝑚𝑚 = 1,2, ⋯ . 𝑚𝑚 𝑘𝑘=1
Oleh karena itu 𝑦𝑦 𝑘𝑘 = 0 untuk setiap 𝑢𝑢 = 1,2, ⋯ . Akibatnya 𝑖𝑖 ( 𝜆𝜆 ) = ∑ 𝜆𝜆 𝑘𝑘 𝑦𝑦 𝑘𝑘 ∞ 𝑘𝑘=1 = 0 untuk setiap 𝜆𝜆 ∈ ℓ 𝜙𝜙 \ ℓ 𝜙𝜙 0 . Hal tersebut kontradiksi dengan kenyataan bahwa 𝑖𝑖 ( 𝑠𝑠 ) = 1 .
Teorema 11 Diberikan pasangan fungsi Orlicz komplementer 𝜙𝜙 dan 𝜓𝜓 . Jika 𝜙𝜙 memenuhi kondisi - Δ 2 maka ℓ 𝜙𝜙 𝛼𝛼 = ℓ 𝜓𝜓 .
Bukti. Diberikan ( 𝑦𝑦 𝑘𝑘 ) ∈ ℓ 𝜓𝜓 , yakni  sehingga ∑ 𝜓𝜓 ( 𝑦𝑦 𝑘𝑘 / 𝜆𝜆 ) < ∞ ∞ 𝑘𝑘=1 untuk suatu 𝜆𝜆 > 0 . Diambil sebarang ( 𝜆𝜆 𝑘𝑘 ) ∈ ℓ 𝜙𝜙 . Kondisi - Δ 2 mengakibatkan ∑ 𝜙𝜙 ( 𝜆𝜆 𝑘𝑘 ) < ∞ . ∞ 𝑘𝑘=1 Akibatnya 1 𝜆𝜆 � | 𝜆𝜆 𝑘𝑘 𝑦𝑦 𝑘𝑘 | ≤ � 𝜙𝜙 ( 𝜆𝜆 𝑘𝑘 ) + � 𝜓𝜓 ( 𝑦𝑦 𝑘𝑘 / 𝜆𝜆 ) < ∞ . ∞ 𝑘𝑘=1 ∞ 𝑘𝑘=1 ∞ 𝑘𝑘=1 Oleh karena itu ∑ | 𝜆𝜆 𝑘𝑘 𝑦𝑦 𝑘𝑘 | < ∞ ∞ 𝑘𝑘=1 , yang berarti ( 𝑦𝑦 𝑘𝑘 ) ∈ ℓ 𝜙𝜙 𝛼𝛼 .
Sebaliknya,  diambil sebarang ( 𝑦𝑦 𝑘𝑘 ) ∈ ℓ 𝜙𝜙 𝛼𝛼 dan  sebarang bilangan asli 𝑢𝑢 . Didefinisikan barisan ( 𝜆𝜆 𝑘𝑘 ) dengan 𝜆𝜆 𝑘𝑘 = 𝑞𝑞 (| 𝑦𝑦 𝑘𝑘 |) untuk setiap 1 ≤ 𝑢𝑢 ≤ 𝑢𝑢 dan 𝜆𝜆 𝑘𝑘 = 0 untuk 𝑢𝑢 > 𝑢𝑢 . Barisan ( 𝜆𝜆 𝑘𝑘 ) ∈ ℓ 𝜙𝜙 , sehingga berakibat ∑ | 𝜆𝜆 𝑘𝑘 𝑦𝑦 𝑘𝑘 | ∞ 𝑘𝑘=1 < ∞ . Dengan mengenakan kesamaan Young
� 𝜙𝜙 ( 𝜆𝜆 𝑘𝑘 ) + � 𝜓𝜓 ( 𝑦𝑦 𝑘𝑘 ) 𝑠𝑠 𝑘𝑘=1 𝑠𝑠 𝑘𝑘=1 = � | 𝜆𝜆 𝑘𝑘 𝑦𝑦 𝑘𝑘 | 𝑠𝑠 𝑘𝑘=1 , yang berakibat ∑ 𝜓𝜓 ( 𝑦𝑦 𝑘𝑘 ) 𝑠𝑠 𝑘𝑘=1 < ∞ , yakni ( 𝑦𝑦 𝑘𝑘 ) ∈ ℓ 𝜓𝜓 .
Teorema 12 Diberikan pasangan fungsi Orlicz komplementer 𝜙𝜙 dan 𝜓𝜓 . Jika 𝜙𝜙 memenuhi kondisi - Δ 2 maka ℓ 𝜙𝜙 𝛽𝛽 = ℓ 𝜓𝜓 .
Bukti. Karena ℓ 𝜙𝜙 ruang normal, maka ℓ 𝜙𝜙 𝛽𝛽 = ℓ 𝜙𝜙 𝛼𝛼 . Selanjutnya karena 𝜙𝜙 memenuhi kondisi- Δ 2 , maka berdasarkan Teorema 11, ℓ 𝜙𝜙 𝛼𝛼 = ℓ 𝜓𝜓 . Oleh karena itu diperoleh ℓ 𝜙𝜙 𝛽𝛽 = ℓ 𝜓𝜓 .

## 4  Simpulan
Berdasarkan hasil di atas, dapat disimpulkan hal-hal berikut:
(i) Secara umum untuk sebararang pasangan fungsi Orlicz komplementer 𝜙𝜙 dan 𝜓𝜓 , berlaku ℓ 𝜓𝜓 ⊂ ℓ 𝜙𝜙 ′ .
(ii) Untuk fungsi Orlicz yang memenuhi kondisi - Δ 2 , dual Kothe-Toeplitz ruang barisan Orlicz merupakan generalisasi dual  Kothe-Toeplitz ruang barisan ℓ 𝑝𝑝 , dengan 1 < 𝑝𝑝 < ∞ .
(iii) Setelah ruang dual diketahui, kemungkinan selanjutnya  yang dapat diteliti adalah karakterisasi matriks tak hingga yang memetakan ruang barisan Orlicz ke ruang barisan lainnya.

## 5  Ucapan Terima Kasih
Ucapan terima kasih   disampaikan kepada reviewer yang telah memeriksa artikel ini sehingga sangat bermanfaat untuk perbaikan.

## 6  Daftar Pustaka
[1]   K.P. Rahman dan R.A.B.M. Karim, "Weighted Cesaro sequence space and related matrix tranformation," Pure and Applied Mathematics Journal, pp. 237-241, 2015.
[2]   V.K. Bhardwaj dan S. Gupta, "Cesaro summable difference sequence space," Journal of Inequalities and Applications.
[3]   I. Bala, "On Cesaro Sequence Space defined by an Orlicz Function," Communications in Mathematics and Applications, vol. 3, no. 2, pp. 197-204, 2012.

## 133 Haryadi, Burhanudin Arif Nurnugroho
[4]   H. Dutta, I.H. Jebril, B.S. Reddy, dan S. Ravikumar, "A Generalization of Modular Sequence Spaces by Cesaro Mean of Order One," Revista Notas de Matematica, vol. 7, no. 1, pp. 1- 13, 2011.
[5]   N. Khusnussa'adah dan Supama, "Kelengkapan Ruang Barisan yang terdefinisi oleh Fungsi Orlicz," Eksakta: Jurnal Ilmu-ilmu MIPA, vol. 19, no. 1, pp. 1-14, 2019.
[6]   Haryadi, Supama dan A. Zulijanto, "The The beta-dual of the Cessaro sequence spaces defined on a generalized Orlicz space," in IOP Conf. Series: Journal of Physics: Conf. Series 893 , Denpasar, 2017.
[7]   K. Raj, R. Anand, R. dan S. Pandoh, "Cesaro Orlicz Sequence Space and Their Kothe- Toeplitz Duals," Math. J. Okayama Univ., vol. 61, pp. 141-158, 2019.
[8]   N. Subramanian, S. Krishnamoorthy dan S. Balasubramanian, "The Matrix Transformation on Orlicz Space of X," Acta Universitatis Apulensis, vol. 32, pp. 7-15, 2012.
[9]   M. Nowak, "Linear Functional on Orlicz Sequences Spaces without Local Convexity," Internat, J. Math. & Math. Sci, vol. 15, no. 2, pp. 241-254, 1992.
[10]  M.A. Krasnosel'skii dan Y.B. Rutickii, Covex Function and Orlicz Space, Netherlands: P. Noordhoff Ltd., 1961.