## Perbandingan Estimasi Metode Kuadrat Terkecil Terboboti dan Metode Transformasi Box-Cox Pada Data Heteroskedastisitas
Risma 1* , Sitti Sahriman 2 , Sri Astuti Thamrin 3 1,2,3 Departemen Statistika, Fakultas MIPA, Universitas Hasanuddin, Makassar, 90245, Indonesia * Corresponding author, email: rismahwan@gmail.com

## Abstract
In  estimating  regression  parameters  generally  used  the  least  squares  method.  This  method  has  several assumptions that need to be fulfilled, one of which is homoscedasticity. Violation of the homoscedasticity assumption  can  lead  to  inefficient  estimation  models.  Therefore,  if  there  is  a  violation  of homoscedasticity, the  least  squares  method can no longer  be  used,  so  an  alternative  method  is needed. Two  methods  to  overcome  homoscedaticity  violations  are  weighted  least  squares  method  and  Box-Cox transformation method. In this study, the weighted least squares method and the Box-Cox transformation method will be compared. From the application of the two methods, it is obtained that the least squared method  has  a  smaller  RMSE  (root  mean  square  error)  and  R2  which  is  greater  than  the  Box-Cox transformation method. It can be concluded that the weighted least squares method is best used in dealing with homoscedasticity violations .
Keywords : Box-Cox Transformation, Heteroscedasticity, Weighted Least Square.

## Abstrak
Dalam  mengestimasikan  parameter  regresi  umumnya  digunakan  metode  kuadrat  terkecil.  Metode  ini memiliki  beberapa  asumsi  yang  perlu  dipenuhi  salah  satunya  yakni  homoskedastisitas.  Pelanggaran asumsi  homoskedastisitas  dapat  menyebabkan  model  estimasi  tidak  efisien.  Oleh  karena  itu  jika  terjadi pelanggaran  homoskedastisitas  maka  metode  kuadrat  terkecil  tidak  dapat  lagi  digunakan,sehingga diperukan  metode  alternative.  Metode  untuk  mengatasi  pelanggaran  homoskedatisitas  dua  diantaranya yakni    metode  kuadrat  terkecil  terboboti  dan  metode  transformasi  Box-Cox.  Dalam  penelitian  ini  akan dibandingkan metode kuadrat terkecil terboboti dan metode transformasi Box-Cox. Dari penerapan kedua metode tersebut didapatkan metode kuadrat terkecil terboboti memiliki RMSE ( root mean square error) yang  lebih  kecil  dan  R 2 yang  lebih  besar  dibandingkan  metode  transformasi  Box-Cox.  Maka  dapat disimpulkan  metode  kuadrat  terkecil  terboboti  lebih  bagus  digunakan  dalam  menangani  pelanggaran homoskedastisitas.
Kata Kunci : Heteroskedastisitas, Kuadrat Terkecil Terboboti, Transformasi Box-Cox.

## 1. Pendahuluan
Regresi  merupakan  teknik  statistik  untuk  menentukan  hubungan  linear  antara  dua atau  lebih  variabel  [1].  Model  regresi  linear  dapat  diperoleh  dengan  menaksir parameternya  menggunakan metode kuadrat terkecil. Agar memenuhi sifat  BLUE ( best linear unbiased estimator ) terdapat beberapa asumsi yang perlu dipenuhi dalam metode kuadrat  terkecil  diantaranya  yakni  berdistribusi  normal,    homoskedastisitas,  tidak  ada autokorelasi, dan tidak ada multikolinearitas. Jika terdapat asumsi yang dilanggar maka

## Perbandingan Metode Kuadrat Terkecil Terboboti  …
Risma, Sitti Sahriman, Sri Astuti Thamrin
sifat  BLUE  ( best  linear  unbiased  estimator )  tidak  terpenuhi  sehingga  model  yang diperoleh menjadi tidak efisien  dan tidak dapat dipercaya [2].
Pelanggaran  terhadap  asumsi  homoskedatisitas  disebut  heteroskedastisitas  yakni keadaan  dimana  bahwa  varian  dari  eror  bersifat  konstan  [3].  Asumsi  ini  menyatakan variabel  respon  memiliki  varian  yang  sama  sepanjang  nilai  variabel  prediktor.  Jika terjadi  heteroskedastisitas  pada  model  regresi  maka  estimator  yang  diperoleh  menjadi tidak  efisien  dikarenakan  variansi  tidak  konstan  dan  cenderung  membesar mengakibatkan uji hipotesis menjadi tidak valid,[4] sehingga jika tetap digunakan pada model  regresi  dapat  mengakibatkan  penaksir  terlalu  besar  atau  terlalu  rendah.  Jika dalam  menaksir  parameter  dengan  menggunakan  metode  kuadrat  terkecil  dan  terjadi pelanggaran  asumsi  homokedastisitas  yang  berarti  sifat  BLUE  ( best  linear  unbiased estimator )  tidak  terpenuhi,  maka  diperlukan  suatu  metode  alternatif  untuk  mengatasi adanya heteroskedastisitas [3].
Salah  satu  metode  yang  dapat  digunakan  dalam  mengatasi  pelanggaran  asumsi homoskedastisitas  diantaranya  yakni  metode  kuadarat  terkecil  terboboti  dan  metode transformasi  Box-Cox.  Metode  kuadrat  terkecil  terboboti  sebelumnya  telah  dikerjakan [4].  Metode  kuadrat  terkecil  terboboti  adalah  metode  yang  menggunakan weight atau pembobot  yang  proporsional  terhadap inverse (kebalikan)  dari  varians  variabel  respon [3]  yang  memiliki  kemampuan  untuk  menetralisir  akibat  dari  pelanggaran  asumsi heteroskedastisitas  dan  dapat  menghilangkan  sifat  ketidakbiasan  dan  konsistensi  dari model taksiran metode kuadrat tekecil [4]. Metode kuadrat terkecil adalah metode yang bertujuan  untuk  meminimumkan  jumlah  kuadrat  eror  [5].  Adapun  transformasi  Box- Cox  merupakan  transformasi  pangkat  pada  variabel  respon  yang  dikembangkan  oleh Box dan Cox, yang  bertujuan untuk menormalkan data, melinearkan model regresi dan menghomogenkan variansi [5].
Berdasarkan  dari  kedua  penelitian  dengan  metode  yang  berbeda  penulis  ingin mengetahui  cara  pengaplikasian  metode  kuadrat  terkecil  terboboti  dan  metode transformasi Box-Cox serta mengetahui metode manakah yang terbaik digunakan dalam mengatasi  heteroskedastisitas  pada  data  banyaknya  usaha/perusahaan,  pendapatan,  dan pengeluaran usaha mikro kecil menurut wilayah di Indonesia tahun 2016.

## 2. Material dan Metode
Data  yang  digunakan  pada  penelitian  ini  adalah  data  sekunder,  yakni  data banyaknya  usaha/perusahaan,  pendapatan,  dan  pengeluaran  usaha  mikro  kecil  menurut wilayah dengan total 34 Provinsi di Indonesia tahun 2016. Variabel dalam penelitian ini terdiri  dari  1  variabel  respon,  2  variabel  prediktor  dan  1  variabel dummy .  Variabel pendapatan sebagai  variabel respon (Y), Banyak usaha sebagai  variabel prediktor  ( X 1 ), Variabel  pengeluaran  sebagai  ( X 2 ),  dan  variabel  pendapatan  diklusterkan  kemudian dijadikan sebagai dummy (D 1 ).

## Perbandingan Metode Kuadrat Terkecil Terboboti  …
Risma, Sitti Sahriman, Sri Astuti Thamrin
Heteroskedastisitas  yakni  kasus  dengan  asumsi  homokedastisitas  dilanggar,  yang artinya  eror  bersifat  tidak  konstan.  Konsekuensi  dari  terjadi  heteroskedastisitas  dapat mengakibatkan  penduga  metode  kuadrat  terkecil  yang  diperoleh  tetap  memenuhi persyaratan  tak  bias,  tetapi  varian  yang  diperoleh  menjadi  tidak  efisien,  artinya  varian cenderung  membesar  sehingga  tidak  lagi  merupakan  varian  yang  kecil.  Dengan demikian model perlu diperbaiki terlebih dahulu, agar pengaruh dari heteroskedastisitas hilang  [6]  salah  satu  metode  yang  dapat  digunakan  untuk  mengatai  hal  ini  adalah metode kuadrat terkecil terboboti dan metode transformasi Box-Cox.

## 2.1 Metode Kuadrat Terkecil Terboboti
Menurut  Montogometry    untuk  mengatasi  model  regresi  dengan  varian  eror  tidak konstan dapat dilakukan dengan metode kuadrat terkecil terboboti.  Metode ini memiliki kemampuan untuk mempertahankan sifat efisiensi estimatornya tanpa harus kehilangan sifat tak bias dan konsistensinya [4]. Metode kuadrat terkecil terboboti pada prinsipnya sama  dengan  metode  kuadrat terkecil,  bedanya  pada  metode  kuadrat terkecil  terboboti terdapat  penambahan  variabel  baru  yaitu  W  yang  menunjukkan  bobot  [3].  Estimasi parameter 𝛽 0 𝛽 1 𝛽 2 , … , 𝛽 𝑘 untuk regresi  linear  berganda dengan  metode kuadrat terkecil terboboti dapat dilihat sebagai berikut.
𝜷 ̂   =   (𝑾𝑿′𝑿) −1 𝑾𝑿 ′ 𝒀 , (1)
dengan matriks 𝑾 merupakan matriks diagonal yang berisi pembobot 𝑊 𝑛 .
𝑾 =   [ 𝑊 1 0 0 𝑊 2 ⋯ … 0 0 ⋮    ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 ⋯ 𝑊 𝑛 ]
Pembobot 𝑊 𝑛 dapat ditenntukan dengan melihat pola yang ditunjukkan sisaan (residual) terhadap variabel prediktor. Pola tersebut antara lain;
1. Varians eror  proporsional terhadap 𝑋 𝑖𝑗 2 untuk suatu 𝑗 dengan 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑘 𝐸(𝜀 𝑖 2 ) =   𝜎 2 𝑋 𝑖𝑗 2 (2)
Jika  dalam  pendeteksian  heteroskedastisitas  menggunakan  metode  grafik  diyakini bahwa  varians  eror  proporsional  terhadap  nilai  kuadrat  dari  variabel 𝑋 𝑖𝑗 seperti  pada Gambar 1 berikut:
Gambar 1. Varians eror proporsional terhadap 𝑿 𝒊𝒋 𝟐

## Perbandingan Metode Kuadrat Terkecil Terboboti  …
Risma, Sitti Sahriman, Sri Astuti Thamrin
Jika  pola  menunjukkan  hubungan  kuadrat  seperti  pada  Gambar  1  maka  dapat diasumsikan  variansi  eror  proporsional  terhadap 𝑋 𝑖𝑗 2 ,  sehingga  pembobot  yang digunakan  dalam  metode  kuadrat  terkecil  terboboti  adalah 1 𝑋 𝑖𝑗 sehingga  persamaan regresinya menjadi.
𝑌 𝑖 𝑋 𝑖𝑗 = (𝛽 0 +𝛽 1 𝑥 𝑖1 +𝛽 2 𝑥 𝑖2 +⋯+𝛽 𝑗 𝑥 𝑖𝑗 +⋯+𝛽 𝑘 𝑥 𝑖𝑘 +𝜀 𝑖 ) 𝑋 𝑖𝑗
(3)
𝑌 𝑖 𝑋 𝑖𝑗 = 𝛽 0 𝑋 𝑖𝑗 + 𝛽 1 𝑋 𝑖1 𝑋 𝑖𝑗 + 𝛽 2 𝑋 𝑖2 𝑋 𝑖𝑗 + ⋯ + 𝛽 𝑘 𝑋 𝑖𝑘 𝑋 𝑖𝑗 + 𝑢 𝑖 ,
dengan 𝜀 𝑖 𝑋 𝑖𝑗 = 𝑢 𝑖 merupakan faktor eror yang telah ditransformasikan.
2. Varians eror proporsional terhadap 𝑋 𝑖𝑗
𝐸(𝜀 𝑖 2 ) =   𝜎 2 𝑋 𝑖𝑗 (4)
Jika  dalam  pendeteksian  menggunakan  metode  grafik  diyakini  bahwa  varians  eror proporsional terhadap 𝑋 𝑖𝑗 , seperti pada Gambar 2 berikut.
Gambar 2 . Varians eror proporsional terhadap 𝑿 𝒊𝒋
Jika  pola  menunjukkan  hubungan  linier  seperti  pada  Gambar  2  maka  dapat diasumsikan varians eror proporsional terhadap 𝑋 𝑖𝑗 sehingga pembobot yang digunakan adalah 1 √𝑋𝑖𝑗 sehingga persamaan regresinya menjadi.
𝑌 𝑖 √𝑋 𝑖𝑗 = (𝛽 0 +𝛽 1 𝑥 𝑖1 +𝛽 2 𝑥 𝑖2 +⋯+𝛽 𝑗 𝑥 𝑖𝑗 +⋯+𝛽 𝑘 𝑥 𝑖𝑘 +𝜀 𝑖 √𝑋 𝑖𝑗 (5)
𝑌 𝑖 √𝑋 𝑖𝑗 = 𝛽 0 √𝑋 𝑖𝑗 + 𝛽 1 𝑋 𝑖1 √𝑋 𝑖𝑗 + 𝛽 2 𝑋 𝑖2 √𝑋 𝑖𝑗 + ⋯ + 𝛽 𝑘 𝑋 𝑖𝑘 √𝑋 𝑖𝑗 + 𝑢 𝑖 ,
dengan 𝜀 𝑖 √𝑋 𝑖𝑗 = 𝑢 𝑖 , merupakan faktor eror yang telah ditransformasikan.
3. Varians eror proporsional terhadap [𝐸(𝑌 𝑖 )] 2
𝐸(𝜀 2 𝑖 ) = 𝜎 2 [𝐸(𝑌 𝑖 )] 2 (6)
Varians  eror  proporsional  terhadap [𝐸(𝑌 𝑖 )] 2 ,  seperti  diilustrasikan  pada  Gambar  3 berikut :
Gambar 2. Error kuadrat proporsional terhadap 𝒀 𝒊 ̂
Jika  varians  eror  proporsional  terhadap [𝐸(𝑌 𝑖 )] 2 ,maka  metode  kuadrat  terkecil terboboti dilakukan dengan meregresikan metode kuadrat terkecil dengan mengabaikan heteroskedastisitas untuk mendapatkan nilai 𝑌 𝑖 ̂ yang  akan digunakan sebagai pembobot sehingga persamaan regresinya menjadi seperti berikut.
𝑌 𝑖 𝐸(𝑌 𝑖 ) = (𝛽 0 +𝛽 1 𝑥 𝑖1 +𝛽 2 𝑥 𝑖2 +⋯+𝛽 𝑗 𝑥 𝑖𝑗 +⋯+𝛽 𝑘 𝑥 𝑖𝑘 +𝜀 𝑖 𝐸(𝑌 𝑖 ) (7)
𝑌 𝑖 𝐸(𝑌 𝑖 ) = 𝛽 0 𝐸(𝑌 𝑖 ) + 𝛽 1 𝑋 𝑖1 𝐸(𝑌 𝑖 ) + 𝛽 2 𝑋 𝑖2 𝐸(𝑌 𝑖 ) + ⋯ + 𝛽 𝑘 𝑋 𝑖𝑘 𝐸(𝑌 𝑖 ) + 𝑢 𝑖
dengan 𝜀 𝑖 𝐸(𝑌 𝑖 ) = 𝑢 𝑖 ,  merupakan  faktor  eror  yang  telah  ditransformasikan.  Nilai E(Y i ) bergantung  pada  besarnya β 0 dan β 1 ,  sehingga  transformasi  persamaan  (7) tidak  dapat dioperasikan.  Oleh  karena  itu  digunakan  estimator  dari Y i yakni Y ̂ i ,  sehingga  perlu dilakukan regresi dengan  metode kuadrat terkecil  terlebih dahulu dengan  mengabaikan heteroskedastisitasnya  untuk  mendapatkan  nilai Y ̂ i .  Kemudian  dari Y ̂ i yang  telah didapatkan  digunakan  untuk  mentransformasi  Persamaan  (7)  menjadi  sebagai  berikut [3].
Y i Y ̂ i = (β 0 +β 1 x i1 +β 2 x i2 +⋯+β j x ij +⋯+β k x ik +ε i Y ̂ i (8)
𝑌 𝑖 Y ̂ i = 𝛽 0 Y ̂ i + 𝛽 1 𝑋 𝑖1 Y ̂ i + 𝛽 2 𝑋 𝑖2 Y ̂ i + ⋯ + 𝛽 𝑘 𝑋 𝑖𝑘 Y ̂ i + 𝑢 𝑖

## 2.2 Metode Transformasi Box-Cox
Transformasi  Box  Cox  adalah  transformasi  pangkat  pada  respon.  Box  Cox mempertimbangkan  kelas  transformasi berparameter  tunggal, yaitu  yang dipangkatkan  pada  variabel  respon  Y  sehingga  transformasinya  menjadi 𝑌 𝜆 dan  adalah  parameter  yang  perlu  diduga  [7].  Tabel  1  berikut  adalah  beberapa  nilai  dengan  model  transformasinya  [8].  Menurut  Box  dan  Cox  (1964)  transformasi  Box Cox untuk respon Y yang bertanda positif ( 𝑌 > 0 ), dapat dituliskan sebagai berikut.
𝑉 𝑖 =   { ( 𝑌 𝑖 𝜆 −1 𝜆 ) , 𝜆 ≠ 0 log(𝑌 𝑖 ) , 𝜆 = 0 (9)
Jika Y negatif (𝑌 < 0) , maka transformasi dinyatakan sebagai berikut.
𝑉 𝑖 =   { ( (𝑌 𝑖 + 𝑐) 𝜆 − 𝜆 𝜆 ) , 𝜆 ≠ 0 log(𝑌 𝑖 + 𝑐) , 𝜆 = 0 (10)
dengan  c  adalah  nilai  sembarang  sedemikian  sehingga 𝑌  ≥ 0 .  Persamaan  linearnya dapat dituliskan sebagai berikut [9].
𝑉 𝑖 =   𝛽 0 + 𝛽 1 𝑥 𝑖1 + 𝛽 2 𝑥 𝑖2 + ⋯ + 𝛽 𝑘 𝑥 𝑖𝑘 + 𝜀 𝑖 (11)
Tabel 1. Tabel nilai 𝝀 dan model transformasinya 𝜆 Transformasi 2 𝑌 2 = 𝑌 2 1 𝑌 1 = 𝑌 0.5 𝑌 0.5 = √𝑌 0 𝑌 0 = ln 𝑌 -0.5 𝑌 −0.5 = 1 √𝑌 -1 𝑌 −1 = 1 𝑌 -2 𝑌 −2 = 1
𝑌 2

## Sumber : Kutner, 2005
Parameter 𝜆 pada  persamaan  (11)  dengan  menggunakan  metode  kemungkinan maksimum. Berikut persamaanya.
𝐿(𝜆) = 1 2𝜋 𝑛 2 𝜎 𝑛 𝑒 − 1 2𝜎2 ∑ (𝑉 𝑖 −𝛽 0 −𝛽 1 𝑥 𝑖1 −𝛽 2 𝑥 𝑖2 −⋯−𝛽 𝑘 𝑥 𝑖𝑘 ) 2 𝑛 𝑖=1 . 𝐽(𝜆, 𝑌)
(12)
dengan
𝐽(𝜆, 𝑌) = ∏ 𝑑𝑉 𝑑𝑌 𝑛 1 = ∏ 𝑌 𝑖 𝜆−1 𝑛 1
Didapatkan  persamaan untuk nilai 𝜆 yang telah ditetapkan sebagai berikut.
𝐿 𝑚𝑎𝑥 (𝜆) = − 𝑛 2 𝑙𝑛 𝜎̂ 2 (𝜆) + (𝜆 − 1) ∑ ln 𝑌 𝑖 𝑛 𝑖=1
(13)
dengan :
𝑛             = Banyak amatan 𝜎̂ 2 (𝜆)      = 1 𝑛 ∑ (𝑉 − 𝑉̂) 2 𝑛 𝑖=1
Memaksimalkan  nilai 𝜆 yang  ditetapkan  adalah  sama  dengan  meminimalkan 𝜎̂ 2 dan meminimalkan Jumlah kuadrat eror [10]

## 3. Hasil dan Diskusi
Langkah  pertama  dalam  penelitian  ini  yakni  mengklusterkan  variabel  respon  Y yakni  pendapatan  yang  kemudian  dimasukkan  sebagai  variabel  prediktor  sehingga

## Perbandingan Metode Kuadrat Terkecil Terboboti  …
Risma, Sitti Sahriman, Sri Astuti Thamrin
didapatkan  bentuk  persamaan  regresi  dengan  tambahan  variabel dummy sebagai berikut.
𝑌 𝑖 = 𝛽 0 + 𝛽 1 𝑥 1 + 𝛽 2 𝑥 2 + 𝛽 3 𝐷 1 + 𝜀 𝑖 (13)
Berdasarkan    Persamaan  13  dilakukan  pengestimasian  dengan  metode  kuadrat terkecil terboboti dan metode transformasi Box-Cox.

## 3.1. Metode Kuadrat Terkecil Terboboti
Metode  kuadrat  terkecil  terboboti  merupakan  metode  estimasi  parameter  dengan menggunakan      pembobot.  Dalam  penentuan  pembobotnya  dapat  dilakukan  dengan melihat  pola  grafik  dari  sisaan  (residual)  terhadap  variabel  prediktor,  berikut  plot grafiknya.
Gambar 4. pola grafik dari sisaan (residual) terhadap variabel prediktor
Berdasarkan  dari  hasil  pola  grafik  diatas  terlihat  menunjukkan  pola  hubungan  kuadrat seperti  pada  Gambar  1  maka  dapat  diasumsikan  variansi  eror  proporsional  terhadap 𝑋 𝑖𝑗 2 ,maka pembobot yang digunakan dalam metode kuadrat terkecil terboboti adalah 1 𝑋 𝑖𝑗 sehingga persamaan regresinya menjadi.
𝑌 𝑖 𝑋 𝑖𝑗 = 𝛽 0 𝑋 𝑖𝑗 + 𝛽 1 𝑋 𝑖1 𝑋 𝑖𝑗 + 𝛽 2 𝑋 𝑖2 𝑋 𝑖𝑗 + ⋯ + 𝛽 𝑘 𝑋 𝑖𝑘 𝑋 𝑖𝑗 + 𝑣
Berikut hasil estimasi untuk parameter dengan metode kuadrat terkecil terboboti dengan pembobot 1 𝑋 1 .
𝑌 =1.12 × 10 13 − 2.3 × 10 7 𝑥 1 + 1.47𝑥 2 − 1.09 × 10 13 𝐷 1 Berikut hasil estimasi untuk parameter dengan metode kuadrat terkecil terboboti dengan pembobot 1 𝑋 2 .
𝑌 =91.5  × 10 13 − 1.68  × 10 7 𝑥 1 + 1.43𝑥 2 −87.2  × 10 13 𝐷 1 𝑋 2 2 𝜀 2 𝑋 1 2 𝜀 2

## Perbandingan Metode Kuadrat Terkecil Terboboti  … Risma, Sitti Sahriman, Sri Astuti Thamrin
Berdasarkan  hasil  estimasi  dengan  pembobot
1 𝑋 1 dan 1 𝑋 2 ,  didapatkan  hasil 𝑅 2 dan RMSE. Dari Tabel 2 didapatkan nilai 𝑅 2 untuk pembobot 1 𝑋 1 sedikit lebih besar dibandingkan  pembobot 1 𝑋 2 ,  dengan  nilai  98%  yang  berarti  variabel  prediktor  yakni banyak  usaha  dan  pengeluaran  dapat  menjelaskan  variabel  respon  yakni  pendapatan sebesar 98% . Nilai RMSE dari pembobot 1 𝑋 1 dant 1 𝑋 2 memiliki selisih yang cukup dekat sehingga dapat dikatakan kedua pembobot signifikan untuk digunakan dalam mengatasi heteroskedastisitas. Selain itu terjadi peningkatan nilai RMSE dan 𝑅 2 tanpa dummy dan dengan dummy , pada tabel 2 dapat  terlihat terjadi kenaikan nilai 𝑅 2 dan penurunan nilai RMSE  dari  kedua  pembobot.  Sehingga  dapat  dikatakan  dengan  adanya  tambahan variabel dummy ini dapat memperbaiki model regresi berganda.
Tabel 2. Perbandingan nilai RMSE dan 𝑅 2 dari pembobot 1 𝑋 1 𝑑𝑎𝑛 1 𝑋 2 ,
dengan dan tanpa dummy
Pembobot Tanpa dummy Dengan dummy 𝑅 2 RMSE 𝑅 2 RMSE 1 𝑋 1 95% 14.1 × 10 12 98 % 13.6 × 10 12 1 𝑋 2
95% 14.1 × 10 12 97 % 13.8 × 10 12
Sumber : Data diolah 2020
Hasil  uji  asumsi  homoskedastisitas  berdasarkan  metode  grafik  didapatkan  pola  grafik tersebar secara acak dan tidak  memiliki pola tertentu sehingga dapat  dikatakan asumsi homoskedastisitas telah terpenuhi.
Gambar 5. Uji asumsi homoskedastisitas dengan grafik untuk pembobot 1 𝑋 1 𝑑𝑎𝑛 1 𝑋 2

## Perbandingan Metode Kuadrat Terkecil Terboboti  …
Risma, Sitti Sahriman, Sri Astuti Thamrin

## 3.2. Metode transformasi Box-Cox
Estimasi  parameter  dengan  metode  transformasi  Box-Cox  langkah  pertama dilakukan  pemilihan  lamda,  umumnya  digunakan  kisaran  lamda  (-2,2)  dan  dapat diperlebar sesuai kebutuhan. Berikut hasil perhitungan Lmaks dari lamda kisaran (-2,2).
Tabel 3. Hasil perhitungan Lmaks Lambda Lmaks -2 -2357,36 -1 -1556,42 -0,5 -1537,655 0 -1596,82 0,5 -1025,82 1 -1599,33 2 -1654,198 Sumber : Data diolah 2020
Berdasarkan  tabel 3 didapatkan lamda dengan Lmaks terbesar yakni lambda = 0,5, maka  transformasi  yang  digunakan  adalah 𝑌 0,5 ,  sehingga  didapatkan  Y  baru  yang kemudian diregresikan dengan variabel  prediktornya. Berikut hasil estimasi dari regresi transformasi Box-Cox.
𝑌 =− 1.59  × 10 7 + 6.15𝑥 1 +2.82  × 10 −8 𝑥 2 + 2.02  × 10 7 𝐷 1
Hasil  uji  asumsi  homoskedastisitas  berdasarkan    metode  grafik  didapatkan  pola  grafik tersebar secara acak dan tidak  memiliki pola tertentu sehingga dapat dikatakan asumsi homoskedastisitas telah terpenuhi.
Gambar 6. Uji asumsi homoskedastisitas dengan grafik

## Perbandingan Metode Kuadrat Terkecil Terboboti  …
Risma, Sitti Sahriman, Sri Astuti Thamrin

## 3.3. Uji Kelayakan model
Uji  kelayakan  model  dilakukan  untuk  mengetahui  metode  yang  terbaik  digunakan dalam mengatasi heteroskedastisitas. Dengan melihat perbandingan nilai RMSE dan 𝑅 2 dari  metode  kuadrat  terkecil  dan  metode  transformasi  Box-Cox.  Berikut  hasil perbandingannya.
Tabel 4. Perbandingan nilai RMSE dan 𝑹 𝟐 dari metode kuadrat terkecil terboboti dan transformasi Box-Cox tanpa variabel dummy dan dengan variabel dummy Metode Estimasi Tanpa dummy Dengan dummy RMSE 𝑅 2 RMSE 𝑅 2 Kuadrat Terkecil Terboboti 14.1 × 10 12 95 % 13.6 × 10 12 98 % Transformasi Box-Cox 47.4 × 10 12 84 % 21.6 × 10 12 96 %
Sumber : Data diolah 2020

## 4. Kesimpulan
Berdasarkan  hasil  analisis  data  dan  pembahasan  pada  penelitian  ini  dapat  ditarik kesimpulan  estimasi  parameter  dengan  metode  kuadrat  terkecil  terboboti  dilakukan dengan  memilih  pembobot  terlebih  dahulu.  Dalam  penelitian  ini  digunakan  pembobot 1 𝑋 𝑖𝑗 dengan persamaan sebagai berikut:
𝑌 𝑖 𝑋 𝑖𝑗 = 𝛽 0 𝑋 𝑖𝑗 + 𝛽 1 𝑋 𝑖1 𝑋 𝑖𝑗 + 𝛽 2 𝑋 𝑖2 𝑋 𝑖𝑗 + ⋯ + 𝛽 𝑘 𝑋 𝑖𝑘 𝑋 𝑖𝑗 + 𝜀 𝑖 𝑋 𝑖𝑗
Berdasarkan dari model yang diperoleh dapat diketahui banyak usaha ( 𝑋 1 ) , Pengeluaran ( 𝑋 2 ) dan variabel dummy secara bersama-sama berpengaruh secara signifikan terhadap Pendapatan (Y) dengan nilai RMSE yang didapatkan sebesar 13.6 × 10 14 dengan  nilai R 2 yakni 98%  yang  berarti  variabel  banyak usaha ( 𝑋 1 ) , Pengeluaran ( 𝑋 2 ) dan variabel dummy ( 𝐷 1 ) mempengaruhi  Pendapatan  (Y)  sebesar  98%  sisanya  dijelaskan  oleh variabel lain.
Estimasi  parameter  dengan  metode  transformasi  Box-Cox  dilakukan  dengan mencari nilai lamda berdasarkan perhitungan nilai Lmaks terbesar. Dalam penelitian ini digunakan 𝜆 = 0,5 maka Y ditransformasi menjadi 𝑌 0,5 berikut bentuk persamaannya;
𝑌 𝑖 0.5 =   𝛽 0 + 𝛽 1 𝑥 𝑖1 + 𝛽 2 𝑥 𝑖2 + ⋯ + 𝛽 𝑗 𝑥 𝑖𝑗 + ⋯ + 𝛽 𝑘 𝑥 𝑖𝑘 + 𝜀 𝑖 Berdasarkan dari model yang diperoleh dapat diketahui banyak usaha ( 𝑋 1 , Pengeluaran ( 𝑋 2 ) dan  variabel dummy ( 𝐷 1 ) secara  bersama-sama  berpengaruh  secara  signifikan terhadap  Pendapatan  (Y)  dengan  nilai  RMSE  yang  didapatkan  sebesar 21.6 × 10 12 dengan  nilai R 2 yakni  96%  yang  berarti  variabel  banyak  usaha  ( 𝑋 1 ) ,  Pengeluaran ( 𝑋 2 ) dan  variabel dummy mempengaruhi  Pendapatan  (Y)  sebesar  96%  sisanya dijelaskan oleh variabel lain.

## Perbandingan Metode Kuadrat Terkecil Terboboti  …
Risma, Sitti Sahriman, Sri Astuti Thamrin
Dari  hasil  estimasi  kedua  metode  didapatkan    model  estimasi  dengan  metode kuadrat  terkecil  terboboti  merupakan  metode  terbaik  digunakan  dalam  mengatasi heteroskedastisitas  pada  data  banyaknya  usaha/perusahaan,  pendapatan,  dan pengeluaran  usaha  mikro  kecil  menurut  wilayah  di  Indonesia  tahun  2016  dengan  nilai root mean square error yakni 13.6 × 10 14 dan R 2 adalah 98%.

## Daftar Pustaka
[1]   Gujarati,  D.N. Basic  Econometric .  4 th ed.  New  York  :  The  McGraw-Hill Companies, 2004.
[2]    Asmoro,  Y.W.  Pendeteksian  dan  Perbaikan  Heteroskedastisitas  dalam  Regresi Linier  Menggunakan  Metode  Weighted  Least  Squares  (WLS)  dan  Transformasi Variabel. Skripsi . Universitas Sanata Dharma, 2013.
[3]     Setyaningsih, Y.D. Penggunaan Metode Weighted Least Square Untuk Mengatasi Masalah  Heteroskedastisitas  Dalam  Analisis  Regresi  (Studi  Kasus  Pada  Data Balita Gizi Buruk Tahun 2014 di Provinsi Jawa Tengah). Jurnal Statistika Industri dan Komputasi , Volume 2, No. 1, pp. 51-58, 2017.
[4]    Hanifah,  N.,  Herhyanto,  N.  &  Agustina,  F.  Penerapan  Metode  Weighted  Least Square  untuk  mengatasi  Heteroskedastisitas  pada  Analisis  Regresi  Linear. Eurekamatika , Vol 3, No.1, 2015.
[5]   Cahyani, N.W.Y., Srinadi, I.G.A.M. & Susilawati, M. Perbandingan Transformasi Box-Cox  dan  Regresi  Kuantil  Median  dalam  Mengatasai  Heteroskedastisitas. E- Jurnal Matematika , Vol. 4(1), januari 2015, pp. 8-13, 2015.
[6]    Maziyya, P.A, Sukarsa, I.K.G. & Asih, N.I. Perbandingan Transformasi Box-Cox dan  Regresi  Kuantil  Median  dalam  Mengatasi  Heteroskedastisitas. E-Jurnal Matematika , Vol. 4 (1), pp. 8-13, 2015.
[7]    Fransiska,  W.,  Nugroho,  S.  &  Faisal,F.    Transformasi  Box  Cox  dalam  Analisis Regresi Linier Sederhana. E-jurnal FMIPA Universitas Bengkulu , 2012.
[8]    Kutner,  M.H,  Nachtsheim,  C.J,  Neter,  J.  &  Li,  W. Applied  Linear  Statistical Models . Fifth ed. New York : The McGraw-Hill Companies, 2005.
[9]    Box, G. E. P. & Cox, D. R.An Analysis of Transformations. Journal of the Royal Statistical Society. Series B (Methodological) , Vol. 26, No. 2, pp.211-252, 1964.
[10]   Ispriyanti,  D.  Pemodelan  Statistika  dengan  Transformasi  Box  -  Cox. Jurnal Matematika dan Komputer , Volume 7, pp. 8-17, 2004.