Near-Modul Kuat Faktor
Meryta Febrilian Fatimah 1,* , Darmawati Darmawati 1
1 Program Studi Matematika, Fakultas MIPA, Universitas Negeri Sulawesi Barat, Majene 91414, Indonesia
* Corresponding author. Email: merytaff@unsulbar.ac.id

## JAMBURA JOURNAL OF MATHEMATICS
Jambura J. Math. Vol. 5, No. 1, pp. 210–217, February 2023 Journal Homepage: http://ejurnal.ung.ac.id/index.php/jjom DOI: https://doi.org/10.34312/jjom.v5i1.17595

## ABSTRAK
Near-ring adalah generalisasi dari ring. Pada teori ring, jika R adalah ring dengan elemen satuan terhadap operasi penjumlahan dan perkalian dan G adalah grup komutatif terhadap operasi penjumlahan, maka G dengan operasi perkalian skalar atas R serta memenuhi beberapa aksioma disebut dengan modul atas ring. Diberikan near-ring N dan grup M , near-modul M atas N dapat dikonstruksikan dengan cara yang serupa seperti pada modul atas ring. Selanjutnya, pada paper ini, definisi near-modul terbagi menjadi tiga yaitu near-modul, near-modul modifikasi dan near-modul kuat. Lebih lanjut, paper ini menunjukkan bahwa near-modul kuat dapat dikonstruksi menjadi near-modul kuat faktor, sejalan dengan modul faktor G . Kemudian, paper ini juga menunjukkan bahwa teorema utama fundamental homomorfisma pada modul atas ring dapat digeneralisasi pada near-modul kuat atas near-ring kuat.

## Kata Kunci:
Near-Modul; Near-Modul Kuat; Near-Modul Kuat Faktor

## ABSTRACT
Near-ring is a generalization of ring. In ring theory, let R be a ring over addition and multiplication operation with unity element and G be a commutative group under addition operation. Then G together with scalar multiplication of R and holds several axioms called module over ring. Let N be a near-ring, here we can construct the module over near-ring called near-module. We have three definitions of module over near-ring, such that, near-module, modified near-module and strong near-module. Then we showed that strong near-module can be constructed into strong near-module factor as well as module factor in G. Furthermore, we generalized the fundamental theorem of homomorphism in module over ring to strong near-module over strong near-ring.

## Keywords:
Near-Module; Strong Near-Module; Strong Near-Module Factor

## Format Sitasi:
M. F. Fatimah and D. Darmawati, ”Near-Modul Kuat Faktor”, Jambura J. Math. , vol. 5, No. 1, pp. 210–217, 2023, doi: https://doi.org/10.34312/jjom.v5i1.17595

## 1. Pendahuluan
Hasil perumuman dari ruang vektor atas lapangan yaitu modul atas ring [1, 2]. Modul dibedakan menjadi dua, yakni modul kiri dan modul kanan, oleh karena ring yang tidak selalu komutatif. Misal diberikan grup komutatif ( G , +) dan ring ( R , + , · ) dengan
e-ISSN: 2656-1344 c 2023 M. F. Fatimah, D. Darmawati | Under the license CC BY-NC 4.0 Received: 19 December 2022 | Accepted: 17 February 2023 | Online: 24 February 2023
JJoM | Jambura J. Math. 210 Volume 5 | Issue 1 | February 2023
elemen satuan 1 R . Selanjutnya, dibentuk operasi pergandaan skalar ◦ : R × G → G dengan ◦ ( r , g ) = r ◦ g , untuk setiap r ∈ R dan g ∈ G [3]. Grup komutatif G yang memenuhi aksioma tertentu disebut modul atas ring R .
Near-ring merupakan hasil generalisasi dari ring. Himpunan tak kosong N yang dilengkapi dengan dua operasi biner penjumlahan (+) dan perkalian ( · ) disebut near-ring apabila ( N , +) merupakan grup, ( N , · ) semigrup serta ( N , + , · ) memenuhi salah satu hukum distributif [4]. Apabila aksioma hukum distributif N yang dipenuhi adalah aksioma hukum distributif kanan maka N disebut near-ring kanan, begitu pula sebaliknya. Pada paper ini, apabila tidak diberikan penjelasan lebih lanjut, near-ring N yang dimaksud adalah near-ring yang memenuhi aksioma hukum distributif kanan. Seperti halnya modul atas ring, apabila aksioma modul atas ring digeneralisasi ke struktur near-ring maka dapat diidentifikasi eksistensi modul atas near-ring. Definisi modul atas near-ring sebelumnya telah dibahas oleh Juglal [5]. Grup ( M , +) yang dilengkapi perkalian skalar n : N × M → M dengan n ( n , m ) = n n m disebut modul atas near-ring ( N , + , · ) apabila untuk setiap n 1 , n 2 ∈ N dan m ∈ M memenuhi ( n 1 + n 2 ) n m = n 1 n m + n 2 n m dan ( n 1 n 2 ) n m = n 1 n ( n 2 n m ) [6]. Selanjutnya, M disebut dengan near-modul [7]. Karena aksioma hukum distributif dari near-ring hanya berlaku salah satu dan berdasarkan aksioma modul atas ring pada [8], maka Ramakrishna, et al . [9] mendefinisikan near-modul atas near-ring dengan tiga cara yaitu near-modul, near-modul modifikasi dan near-modul kuat.
Lebih lanjut, diberikan G adalah modul atas ring R dan S submodul di G . Karena S submodul di G , maka ( S , +) merupakan subgrup komutatif di G . Dengan demikian S merupakan subgrup normal di G . Berdasarkan teori grup, dapat dibentuk himpunan koset G S , + yang juga merupakan grup komutatif dan selanjutnya disebut sebagai grup faktor [10]. Jika didefinisikan operasi pergandaan skalar ◦ : R × G S → G S yang well-defined dan memenuhi aksioma modul atas ring, maka himpunan koset G S selanjutnya disebut sebagai modul faktor dari submodul S di G [11]. Berdasarkan hasil yang diperoleh pada modul atas ring, paper ini mengonstruksi modul faktor pada near-modul kuat, sehingga diperoleh hasil generalisasi modul faktor pada near-modul kuat.
Pada paper-paper sebelumnya telah dikerjakan beberapa topik yang berkaitan seperti pembahasan hasil generalisasi radikal prima pada near-ring dan near-modul [12], generalisasi dari near-ring [13], sifat-sifat near-ring [14], serta generalisasi near-modul reguler [15]. Lebih lanjut, generalisasi near-modul modifikasi faktor juga dibahas pada [9]. Adapun pada paper ini, diperkenalkan hasil generalisasi near-modul kuat faktor serta generalisasi teorema utama homomorfisma modul dari konsep homomorfisma modul atas ring pada konsep near-modul kuat atas near-ring.

## 2. Metode
Penelitian ini dilakukan dalam bentuk studi literatur tentang konsep-konsep dasar yang berkaitan dengan Near-Model maupun Near-Modul Faktor Kuat Faktor dari berbagai sumber literatur seperti jurnal ilmiah, prosiding maupun dari sumber buku-buku teks. Berikut beberapa konsep dasar yang berkaitan dengan topik yang dibahas pada penelitian ini.
JJoM | Jambura J. Math. 211 Volume 5 | Issue 1 | February 2023

## 2.1. Near-ring
Definisi 1. [16] Diberikan himpunan tak kosong N . Himpunan N terhadap operasi biner penjumlahan (+) dan perkalian ( · ) disebut near-ring apabila memenuhi:
1. ( N , +) merupakan grup; 2. ( N , · ) semigrup; 3. Untuk setiap a , b , c ∈ N memenuhi ( a + b ) c = ac + bc .
Selanjutnya, near-ring dinotasikan dengan ( N , + , · ) .
Contoh 1. Diberikan himpunan M ( G ) = f | f : G → G dengan G grup terhadap operasi penjumlahan di M ( G ) yaitu untuk setiap f , g ∈ M ( G ) pemetaan f + g : G → G didefinisikan dengan, untuk setiap x ∈ G berlaku ( f + g )( x ) = f ( x )+ g ( x ) dan operasi komposisi fungsi di M ( G ) . Selanjutnya dinotasikan dengan ( M ( G ) , + , ◦ ) .
Pada ring telah diperkenalkan tentang modul atas ring. Grup komutatif ( M, +) dan ring ( R , + , · ) dengan elemen satuan serta operasi ◦ : R × M → M disebut modul kiri atas ring R apabila untuk setiap r 1 , r 2 ∈ R dan m 1 , m 2 ∈ M dipenuhi r 1 ◦ ( m 1 + m 2 ) = r 1 ◦ m 1 + r 1 ◦ m 2 , ( r 1 + r 2 ) ◦ m 1 = r 1 ◦ m 1 + r 2 ◦ m 1 , ( r 1 · r 2 ) ◦ m 1 = r 1 ◦ ( r 2 ◦ m 1 ) dan 1 R ◦ m 1 = m 1 [1].

## 2.2. Modul Atas Near-ring
Definisi 2. [9] Diberikan ( M, +) grup dan ( N, + , · ) near-ring serta didefinisikan pergandaan skalar n : N × M → M. Himpunan M disebut near-modul atas N apabila:
1. Untuk setiap n 1 , n 2 ∈ N dan m ∈ M berlaku ( n 1 + n 2 ) n m = n 1 n m + n 2 n m . 2. Untuk setiap n 1 , n 2 ∈ N dan m ∈ M berlaku ( n 1 n 2 ) n m = n 1 n ( n 2 n m ) .
Selanjutnya, near-modul dinotasikan dengan ( M, + , n ) dengan notasi n diartikan sebagai operasi pergandaan skalar n : N × M → M.
Contoh 2. Diberikan ( G , +) grup dan ( M ( G ) , + , ◦ ) near-ring. Didefinisikan operasi pergandaan skalar n : M ( G ) × G → G dengan definisi untuk setiap f ∈ M ( G ) dan x ∈ G berlaku n ( f , x ) = f n x = f ( x ) . Selanjutnya, ( G , +) merupakan near-modul atas near-ring M ( G ) sebab untuk setiap f , g ∈ M ( G ) dan x ∈ G berlaku ( f + g ) n x = ( f + g ) ( x ) = f ( x ) + g ( x ) dan ( f ◦ g ) n x = ( f ◦ g ) ( x ) = f ( g ( x )) = f n ( g n x ) .

## 2.3. Near-modul Modifikasi
Definisi 3. [9] Diberikan ( M , +) grup dan ( N , + , · ) near-ring serta didefinisikan pergandaan skalar m : N × M → M . Himpunan M disebut near-modul modifikasi atas N apabila:
1. Untuk setiap n ∈ N dan m 1 , m 2 ∈ M berlaku n m ( m 1 + m 2 ) = n m m 1 + n m m 2 . 2. Untuk setiap n 1 , n 2 ∈ N dan m ∈ M berlaku ( n 1 n 2 ) m m = n 1 m ( n 2 m m ) .
Selanjutnya, near-modul modifikasi dinotasikan dengan ( M , + , m ) . Near-modul M pada Contoh 2 bukan merupakan near-modul modifikasi. Sebab, f m ( x + y ) = f ( x + y ) . Oleh karena f adalah suatu fungsi dari G ke G , sehingga tidak ada jaminan bahwa f ( x + y ) = f ( x ) + f ( y ) . Berikut diberikan contoh near-modul modifikasi.
JJoM | Jambura J. Math. 212 Volume 5 | Issue 1 | February 2023
Contoh 3. Diberikan ( M , +) grup dan ( N , + , · L ) near-ring serta didefinisikan operasi pergandaan skalar m : N × M → M dengan definisi, untuk setiap n ∈ N dan m ∈ M
berlaku m ( n , m ) = n m m = m . Struktur ( M , + , m ) merupakan near-modul modifikasi
sebab untuk setiap n 1 , n 2 ∈ N dan m 1 , m 2 ∈ M berlaku
n 1 m ( m 1 + m 2 ) = n 1 m m 1 + n 1 m m 2 dan ( n 1 · L n 2 ) m m 1 = n 1 m ( n 2 m m 1 ) .
Berdasarkan Definisi 1, Contoh 3 bukan merupakan near-modul. Sebab untuk setiap n 1 , n 2 ∈ N dan m ∈ M berlaku ( n 1 + n 2 ) m m = m dan n 1 m m + n 2 m m = m + m = 2 m sehingga ( n 1 + n 2 ) m m 6 = n 1 m m + n 2 m m . Dengan demikian, tidak semua near-modul adalah near-modul modifikasi. Begitu pula sebaliknya.

## 2.4. Near-modul Kuat
Definisi 4. [9] Diberikan ( M , +) grup dan ( N , + , · ) near-ring serta didefinisikan pergandaan skalar : N × M → M . Himpunan M disebut near-modul kuat atas N apabila:
1. Untuk setiap n 1 , n 2 ∈ N dan m ∈ M berlaku ( n 1 + n 2 ) m = n 1 m + n 2 m . 2. Untuk setiap n ∈ N dan m 1 , m 2 ∈ M berlaku n ( m 1 + m 2 ) = n m 1 + n m 2 . 3. Untuk setiap n 1 , n 2 ∈ N dan m ∈ M berlaku ( n 1 n 2 ) m = n 1 ( n 2 m ) .
Contoh 4. Diberikan ( M , +) grup dan ( N , + , · ) near-ring. Didefinisikan operasi pergandaan skalar : N × M → M dengan definisi untuk setiap n ∈ N dan m ∈ M berlaku ( n , m ) = n m = nm . Selanjutnya, ( M , +) merupakan near-modul kuat atas near-ring N sebab untuk setiap n 1 , n 2 ∈ N dan m 1 , m 2 ∈ M berlaku:
1. ( n 1 + n 2 ) m = n 1 m + n 2 m 2. n 1 ( m 1 + m 2 ) = n 1 m 1 + n 1 m 2 3. ( n 1 · n 2 ) m 1 = n 1 ( n 2 m 1 ) .
Diketahui bahwa setiap M near-modul kuat, maka M juga merupakan near-modul dan near-modul modifikasi. Namun, belum tentu berlaku sebaliknya, sebagaimana ditunjukkan pada Contoh 2 dan Contoh 3.

## 3. Hasil dan Pembahasan
Pada modul atas ring didefinisikan modul faktor dari suatu submodul atas ring. Demikian halnya pada near-modul kuat. Diberikan ( M , + , ) adalah near-modul kuat atas near-ring ( N , + , · ) dan S ⊆ M sub near-modul kuat, untuk membentuk suatu near-modul kuat faktor didefinisikan terlebih dahulu suatu ideal pada near-modul kuat.
Definisi 5. Diberikan ( M , + , ) near-modul kuat, ( N , + , · ) near-ring dan I ⊆ M . Subgrup normal I atas M disebut ideal di M apabila untuk setiap n ∈ N , i ∈ I , m ∈ M berlaku n ( m + i ) − nm ∈ I .
Pada teori ring, salah satu sifat ideal di ring R yaitu jika I ideal di R dan dibentuk koleksi ideal I = { I | I ideal di R } , maka I juga merupakan ideal di R [10]. Berdasarkan hal ini, sifat ideal pada ring R dapat digeneralisasi untuk sifat ideal pada near-modul kuat.
Teorema 1. Diberikan near-modul kuat ( M , + , ) atas near-ring ( N , + , · ) dan I ideal pada near-modul kuat M. Jika koleksi ideal pada near-modul kuat M dinotasikan dengan Π = { I α | I α ideal di M , α ∈ ∆ } dengan ∆ himpunan indeks, maka irisan dari semua koleksi ideal di M merupakan ideal.
JJoM | Jambura J. Math. 213 Volume 5 | Issue 1 | February 2023
Bukti . Berdasarkan Definisi 5, karena I α ideal di M , ∀ α ∈ ∆ , dengan ∆ himpunan indeks sehingga I α merupakan subgrup normal untuk setiap α ∈ ∆ , dengan ∆ himpunan indeks. Berdasarkan [10], diperoleh bahwa T α ∈ ∆ I α subgrup normal atas M . Ambil sebarang n ∈ N , m ∈ M , i ∈ T α ∈ ∆ I α artinya , i ∈ I α , ∀ α ∈ ∆ . Oleh karena I α , ∀ α ∈ ∆ ideal atas M , maka n ( m + i ) − nm ∈ I α , ∀ α ∈ ∆ . Akibatnya n ( m + i ) − nm ∈ T α ∈ ∆ I α . Dengan demikian T α ∈ ∆ I α ideal atas M .
Seperti halnya pada teori modul dapat mengonstruksi struktur modul faktor dari idealnya, pada near-modul kuat juga demikian. Diberikan ( M , + , ) adalah near-modul kuat atas near-ring ( N , + , · ) dan I ⊆ M ideal. Bentuk himpunan koset M I = { vm + I | m ∈ M } yang didefinisikan operasi ⊕ dan pada M I yaitu untuk setiap m 1 + I , m 2 + I ∈ M I dan n ∈ N berlaku m 1 + I ⊕ m 2 + I = ( m 1 + m 2 ) + I dan n m 1 + I = ( nm 1 ) + I . Selanjutnya, akan ditunjukkan bahwa himpunan M I dengan operasi ⊕ dan merupakan near-modul kuat.
Teorema 2. Diberikan near-modul kuat ( M 1 , + 1 , 1 ) dan I ideal dari M. Jika M I = { m + I | m ∈ M } dan didefinisikan operasi ⊕ dan pada M I yaitu untuk setiap m 1 + I , m 2 + I ∈ M I dan n ∈ N berlaku m 1 + I ⊕ m 2 + I = ( m 1 + m 2 ) + I dan n m 1 + I = ( nm 1 ) + I, maka M I , ⊕ , merupakan near-modul kuat.
Bukti . Akan ditunjukkan M I , ⊕ , near-modul kuat. Ditunjukkan terlebih dahulu bahwa pemetaan : N × M I → M I terdefinisi dengan baik, dengan definisi untuk setiap m 1 + I ∈ M I dan n ∈ N berlaku n m 1 + I = ( nm 1 ) + I . Ambil sebarang m 1 + I , m 2 + I ∈ M I dan n 1 , n 2 ∈ N dengan m 1 + I = m 2 + I menurut kesamaan dua buah koset artinya m 1 − m 2 ∈ I serta n 1 = n 2 .
Perhatikan bahwa n 1 m 1 + I = ( n 1 m 1 ) + I dan n 2 m 2 + I = ( n 2 m 2 ) + I diperoleh n 1 m 1 − n 2 m 2 = n 1 m 1 − n 1 m 2 = n 1 ( m 1 − m 2 ) ∈ I artinya ( n 1 m 1 ) + I = ( n 2 m 2 ) + I dengan kata lain n 1 m 1 + I = n 2 m 2 + I atau operasi pergandaan skalar terdefinisi dengan baik. Selanjutnya, ditunjukkan M I , ⊕ , merupakan near-modul kuat. Ambil sebarang m 1 + I , m 2 + I ∈ M I dan n 1 , n 2 ∈ N . Perhatikan bahwa,
1. ( n 1 + n 2 ) m 1 + I = (( n 1 + n 2 ) m 1 ) + I = ( n 1 m 1 + n 2 m 1 ) + I = n 1 m 1 + I + n 2 m 1 + I = n 1 m 1 + n 2 m 1 .
2. n 1 ( m 1 + m 2 ) = ( n 1 ( m 1 + m 2 )) + I = ( n 1 m 1 + n 1 m 2 ) + I = n 1 m 1 + I + n 1 m 2 + I = n 1 m 1 + n 1 m 2 .
3. ( n 1 · n 2 ) m 1 = (( n 1 n 2 ) m 1 ) + I = ( n 1 ( n 2 m 1 )) + I = n 1 ( n 2 m 1 ) .
Dengan M adalah suatu near-modul kuat. Akibatnya M I , ⊕ , merupakan near-modul kuat.
Seperti halnya konstruksi modul faktor, near-modul kuat M I , ⊕ , pada Teorema 2 disebut juga dengan near-modul kuat faktor. Lebih lanjut, konsep homomorfisma pada near-modul kuat juga diperkenalkan seperti konsep homomorfisma modul atas ring.
Definisi 6. Diberikan near-modul kuat ( M 1 , + 1 , 1 ) dan ( M 2 , + 2 , 2 ) atas near-ring ( N , + , · ) . Pemetaan ψ : M 1 → M 2 disebut homomorfisma N − near-modul kuat apabila untuk setiap a , b ∈ M 1 dan x ∈ N berlaku:
1. ψ ( a + 1 b ) = ψ ( a ) + 2 ψ ( b ) 2. ψ ( x 1 a ) = x 2 ψ ( a ) .
JJoM | Jambura J. Math. 214 Volume 5 | Issue 1 | February 2023
Berdasarkan Definisi 6 dapat diinterpretasikan bahwa ψ merupakan homomorfisma N − near-modul kuat apabila hasil peta dari jumlahan dua elemen di M 1 sama dengan jumlah masing-masing petanya dan peta hasil kali skalar suatu elemen di N dengan elemen di M 1 sama dengan hasil kali skalar dengan peta dari elemen di M 1 tersebut. Seperti halnya sifat-sifat yang dimiliki transformasi linear, sifat terkait homomorfisma N − near modul kuat diberikan.
Sifat 1. Diberikan near-modul kuat ( M 1 , + 1 , 1 ) dan ( M 2 , + 2 , 2 ) atas near-ring ( N, + , · ) . Jika ψ : M 1 → M 2 adalah homomorfisma N − near-modul kuat, maka ψ ( 0 M 1 ) = 0 M 2 .
Bukti . Akan ditunjukkan ψ ( 0 M 1 ) = 0 M 2 .
Karena ψ adalah homomorfisma N − near-modul kuat, berlaku
ψ ( 0 M 1 ) = ψ ( 0 M 1 + 0 M 1 ) = ψ ( 0 M 1 ) + ψ ( 0 M 1 ) .
Dengan menambahkan − ψ ( 0 M 1 ) ke kedua ruas, diperoleh bahwa,
ψ ( 0 M 1 ) + ( − ψ ( 0 M 1 )) = ψ ( 0 M 1 ) + ψ ( 0 M 1 ) + ( − ψ ( 0 M 1 )) ψ ( 0 M 1 ) − ψ ( 0 M 1 ) = ψ ( 0 M 1 ) + ψ ( 0 M 1 ) − ψ ( 0 M 1 ) 0 M 2 = ψ ( 0 M 1
) .
Dengan demikian, terbukti bahwa ψ ( 0 M 1 ) = 0 M 2 .
Berdasarkan Sifat 1, apabila ψ : M 1 → M 2 adalah homomorfisma N − near-modul kuat, maka ψ ( 0 M 1 ) = 0 M 2 . Selanjutnya dapat didefinisikan himpunan semua elemen m ∈ M 1 yang dipetakan ke 0 M 2 dan disebut ker ( ψ ) = { m ∈ M 1 | ψ ( m ) = 0 M 2 } . Himpunan ker ( ψ ) tak kosong dari Sifat 1, sebab 0 M 1 ∈ ker ψ untuk ψ homomorfisma N − near- modul.
Teorema 3. Diberikan near-modul kuat ( M 1 , + 1 , 1 ) dan ( M 2 , + 2 , 2 ) atas near-ring ( N , + , · ) . Jika ψ : M 1 → M 2 adalah homomorfisma N − near-modul kuat, maka ker ψ adalah ideal dari M 1 dan M 1 ker ψ ' ψ ( M 1 ) .
Bukti . Diketahui bahwa ker ψ merupakan subgrup normal atas M 1 [ 10 ] . Selanjutnya ditunjukkan ker ψ ideal dari M 1 . Ambil sebarang n ∈ N , m ∈ M , i ∈ ker ψ artinya ψ ( i ) = 0 M 2 . Perhatikan bahwa,
ψ ( n ( m + i ) − nm ) = ψ ( nm + ni − nm ) = ψ ( nm ) + ψ ( ni ) − ψ ( nm ) = n ψ ( m ) + n ψ ( i ) − n ψ ( m ) = n ψ ( i ) = 0 M 2 .
Dengan demikian n ( m + i ) − nm ∈ ker ψ . Dengan kata lain ker ψ ideal atas M 1 . Selanjutnya ditunjukkan bahwa M 1 ker ψ ' ψ ( M 1 ) . Bentuk pemetaan f : M 1 ker ψ → ψ ( M 1 ) dengan definisi untuk setiap m + ker ψ = f ( m + ker ψ ) = ψ ( m ) .
Akan ditunjukkan bahwa f merupakan suatu isomorfisma near-modul kuat.
JJoM | Jambura J. Math. 215 Volume 5 | Issue 1 | February 2023
1. Ambil sebarang m + ker ψ , n + ker ψ ∈ M 1 ker ψ dengan m + ker ψ = n + ker ψ . Menurut kesamaan dua buah koset diperoleh bahwa m − n ∈ ker ψ artinya ψ ( m − n ) = 0 M 2 . Karena ψ adalah near-modul kuat homomorfisma maka ψ ( m ) − ψ ( n ) = 0 M 2 . Hal ini berakibat ψ ( m ) = ψ ( n ) atau f ( m + ker ψ ) = f ( n + ker ψ ) . Diperoleh bahwa f pemetaan. 2. Selanjutnya ditunjukkan bahwa f merupakan near-modul kuat homomorfisma.
Ambil sebarang m + ker ψ , n + ker ψ ∈ M 1 ker ψ dan α ∈ N maka,
f (( m + ker ψ ) + ( n + ker ψ )) = f (( m + n ) + ker ψ ) = ψ ( m + n ) = ψ ( m ) + ψ ( n ) = f ( m + ker ψ ) + f ( n + ker ψ ) ,
dan
f ( α ( m + ker ψ )) = f ( α m + ker ψ ) = ψ ( α m ) = αψ ( m ) = α f ( m + ker ψ ) ,
sehingga f merupakan homomorfisma N − near-modul kuat. 3. Ditunjukkan f berisfat injektif. Ambil sebarang m + ker ψ ∈ ker f , artinya f ( m + ker ψ ) = ψ ( m ) = 0 M 2 . Akibatnya m ∈ ker ψ , dengan demikian diperoleh bahwa ker f = 0 M 2 + ker ψ , sehingga f injektif. 4. Ditunjukkan f bersifat surjektif. Ambil sebarang x ∈ ψ ( M 1 ) , berarti terdapat m 1 ∈ M 1 sedemikian sehingga x = ψ ( m 1 ) . Artinya ada m 1 + ker ψ ∈ M 1 ker ψ sedemikian sehingga f ( m 1 + ker ψ ) = x . Dengan demikian terbukti bahwa f surjektif.
Dari langkah 1-4, diperoleh bahwa f merupakan suatu isomorfisma near-modul kuat. Dengan kata lain M 1 ker ψ ' ψ ( M 1 ) .

## 4. Kesimpulan
Setiap ( M, + , ) near-modul kuat, maka ( M, + , ) juga merupakan near-modul dan near- modul modifikasi. Namun, apabila M merupakan near-modul, maka M belum tentu near-modul modifikasi maupun near-modul kuat. Lebih lanjut, apabila M merupakan near-modul modifikasi, maka M belum tentu near-modul maupun near-modul kuat.
Selanjutnya, diberikan ( M, + , ) adalah near-modul kuat atas near-ring ( N, + , · ) dan I ⊆ M ideal. Himpunan koset M I = { m + I | m ∈ M } yang didefinisikan dengan operasi ⊕ dan pada M I yaitu untuk setiap m 1 + I , m 2 + I ∈ M I dan n ∈ N berlaku m 1 + I ⊕ m 2 + I = ( m 1 + m 2 ) + I dan n m 1 + I = ( nm 1 ) + I merupakan near-modul kuat faktor. Hasil generalisasi modul faktor ke near-modul kuat faktor yaitu M I , ⊕ , .
Lebih lanjut, diberikan near-modul kuat ( M 1 , + 1 , 1 ) dan ( M 2 , + 2 , 2 ) atas near-ring ( N, + , · ) . Didefinisikan pemetaan ψ : M 1 → M 2 . Karena ker ψ merupakan ideal atas near- ring M, maka himpunan M ker ψ , ⊕ , juga merupakan near-modul kuat faktor. Dengan demikian, hasil generalisasi dari teorema utama homomorfisma modul dapat diperoleh
JJoM | Jambura J. Math. 216 Volume 5 | Issue 1 | February 2023
pada near-modul kuat yaitu M 1 ker ψ ' ψ ( M 1 ) .

## Ucapan Terima Kasih
Terima kasih kepada LPPM Universitas Sulawesi Barat yang telah mendukung penelitian ini melalui pendanaan penelitian skim penelitian dosen pemula dengan nomor kontrak: 095/UN55.C/PT.01.03/2022.

## Referensi
[1] S. Wahyuni, I. E. Wijayanti, D. Y. Yuwaningsih, and A. D. Hartanto, Teori Ring dan Modul . Yogyakarta: UGM Press, 2016.
[2] A. Rorres, An Introduction to Linear Algebra , 4th ed. London: Pearson Education, Inc., 2017.
[3] W. A. Adkins and S. H. Weintraub, Algebra: An Approach via Module Theory , ser. Graduate Texts in Mathematics. New York, NY: Springer New York, 1992, vol. 136, doi: 10.1007/ 978-1-4612-0923-2.
[4] G. Pilz, Near-rings : the theory and its applications . Amsterdam: North-Holland Publishing Company, 1983.
[5] S. Juglal, Prime near-ring modules and their links with the generalised group near-ring . PhD Thesis: Nelson Mandela Metropolitan University, 2007.
[6] S. Patlertsin and S. Pianskool, “2-Absorbing R -ideals of modules over near rings,” in The 22nd Annual Meeting in Mathematics (AMM 2017) Department of Mathematics, Faculty of Science Chiang Mai University, Chiang Mai, Thailand , Chiang Mai, 2017, pp. 1–10.
[7] C. Krishnaveni, “Near-Module Homomorphism Defined Over Different Near-Rings,” International Journal of Mathematics and Computer Applications Research (IJMCAR) , vol. 6, no. 5, pp. 13–22, 2016.
[8] D. S. Dummit and R. M. Foote, Abstract Algebra , 3rd ed. New York: John Wiley & Sons, Inc., 2004.
[9] A. V. Ramakrishna, T. Prasanna, and D. Lakshmi, “Near Ring Multiplications on a Modified Near Module Over a Near Ring,” European Journal of Pure and Applied Mathematics , vol. 14, no. 1, pp. 126–134, jan 2021, doi: 10.29020/nybg.ejpam.v14i1.3781.
[10] D. Malik, J. S. Mordeson, and M. Sen, Fundamentals of Abstract Algebra . New York: The Mc Graw-Hill Companies, Inc., 1997.
[11] J. B. Fraleigh and N. Brand, A First Course in Abstract Algebra , 8th ed. New York: Pearson, 2020.
[12] N. Groenewald, “On the prime radicals of near-rings and near-ring modules,” in Nearrings,
Nearfields and Related Topics . World Scientific, jan 2017, pp. 42–57, doi: 10.1142/ 9789813207363 0005.
[13] U. Leerawat, M. Sirivoravit, and K. Daowsud, “On near generalized rings,” Journal of Discrete Mathematical Sciences and Cryptography , vol. 23, no. 5, pp. 1085–1099, jul 2020, doi: 10.1080/ 09720529.2020.1750104.
[14] K. H. Al-Shaalan, “On some properties of near-rings,” Arabian Journal of Mathematics , vol. 10, pp. 21–29, nov 2021, doi: 10.1007/s40065-020-00302-0.
[15] J. Ahsan, “On Regular Near-Ring Modules,” in Near-Rings and Near-Fields . Dordrecht: Springer Netherlands, 1995, pp. 45–51, doi: 10.1007/978-94-011-0359-6 4.
[16] J. C. Beidleman, On Near-Rings and Near-Ring Modules . PhD Thesis: The Pennsylvania State University, 1964.
This article is an open-access article distributed under the terms and conditions of the Creative Commons Attribution-NonCommercial 4.0 International License . Editorial of JJoM: Department of Mathematics, Universitas Negeri Gorontalo, Jln. Prof. Dr. Ing. B.J. Habibie, Moutong, Tilongkabila, Kabupaten Bone Bolango, Provinsi Gorontalo 96554, Indonesia.
JJoM | Jambura J. Math. 217 Volume 5 | Issue 1 | February 2023