JURNAL GAUSSIAN, Volume 7, Nomor 3,  Tahun 2018, Halaman 248-259 Online di: https://ejournal3.undip.ac.id/index.php/gaussian /

## PENERAPAN METODE EXPONENTIALLY WEIGHTED MOVING AVERAGE (EWMA) DALAM PENGUKURAN RISIKO INEVSTASI SAHAM PORTOFOLIO UNTUK VOLATILITAS HETEROGEN
Heni Dwi Wulandari 1 , Mustafid 2 , Hasbi Yasin. 3
1,2,3 Departemen Statistika, Fakultas Sains dan Matematika, Universitas Diponegoro e-mail : mustafid55@gmail.com

## ABSTRACT
Risk  measurement  is  important  in  making  an  investment.  One  tool  used  in  the  measurement  of investment risk is Value at Risk (VaR). VaR represents the greatest possible loss of investment with a given period and level of confidence. In the calculation of Value at Risk requires the assumption of  normality  and  homogeneity.  However,  financial  data  rarely  satisfies  that  assumption. Exponentially Weighted Moving Average is one method that can be used to overcome the existence of a heterogeneous variant. Daily volatility is calculated using the EWMA method by taking a decay factor  of  0.94.  VaR  portfolio  of  ASII,  BBNI  and  PTBA  stocks  is  calculated  using  historical simulation  method  from  the  revised  portfolio  return  with  Hull  and  White  volatility  updating procedure.  VaR  values  obtained  are  valid  at  a  99%  confidence  level  based  on  the  validity  test  of Kupiec PF and Basel rules.
Keywords: Value at Risk (VaR), Portfolio, EWMA, Historical Simulation , Volatility Updating

## 1. PENDAHULUAN
Kegiatan yang dilakukan investor dalam pasar modal biasanya mempertimbangkan tingkat pengembalian ( return ) dan risiko ( risk ). Salah satu kegiatan yang dilakukan dalam pasar  modal  adalah  jual  beli  saham.  Investor  perlu  menetapkan  strategi  tertentu  untuk meminimalisir risiko yang mungkin terjadi. Salah satu risiko tersebut bisa disebabkan karena pergerakan  harga  saham.  Dalam  penerapan  teori  finansial,  risiko  didefinisikan  sebagai volatilitas dari harga saham. Volatilitas merupakan ukuran ketidakpastian dari pergerakan suatu asset finansial pada waktu yang akan datang. Semakin besar tingkat volatilitas return saham,  maka  semakin  besar  pula  kecenderungan  harga  saham  tersebut  naik  atau  turun. Dengan  kata lain  harga  saham tersebut  cenderung  sangat  mudah  berubah,  sehingga  dapat disimpulkan bahwa tingkat risiko saham tersebut semakin besar.
Volatilitas dapat diukur dari simpangan baku (standar deviasi) rata-rata return saham per  satuan  waktu.  Salah  satu  alat  yang  cukup  baik  untuk  mengukur  risiko  investasi  yaitu Value at Risk (VaR). VaR merupakan estimasi kerugian maksimum yang mungkin dialami dalam rentang waktu tententu dengan tingkat kepercayaan tertentu. Dalam perhitungan VaR, indikator yang digunakan adalah volatilitas ( σ) . Variabel standar deviasi dalam perhitungan VaR diasumsikan berdistribusi normal. Namun pada kenyataannya, asumsi distribusi normal sulit  dipenuhi  untuk  data  keuangan.  Maka  digunakan  metode historical  simulation (HS) sebagai  salah  satu  metode  perhitungan  VaR  yg  tidak  mengharuskan  asumsi  normalitas. Selain  itu,  kebanyakan  data  finansial  yang  cenderung  mempunyai  volatilitas  yang  tidak konstan  atau  bersifat  heteroskedastik.  Salah  satu  pendekatan  yang  digunakan  untuk mengatasi  volatilitas  yang  tidak  konstan  adalah  metode Exponentially  Weighted  Moving Average (EWMA)  (Hull  dan  White,  1998).  Penelitian  ini  akan  menghitung  VaR  dengan menggunakan metode EWMA yang akan digunakan sebagai gambaran umum risiko pasar mengenai portofolio di Indonesia dan penerapannya menggunakan  GUI Matlab. Software yang digunakan dalam penelitian ini adalah Matlab 9.

## 2. TINJAUAN PUSTAKA

## 2.1. Pasar Modal
Pasar  modal  adalah  tempat  pasar  terorganisasi  yang  memperdagangkan  saham- saham  dan  obligasi-obligasi  dengan  memakai  jasa  dari  makelar,  komisioner  dan  para underwriter (Ahmad,  2004).  Pasar  modal  adalah  tempat  atau  sarana  bertemunya  antara permintaan dan penawaran atau instrumen keuangan jangka panjang, umumnya lebih dari satu tahun (Samsul, 2006).

## 2.2. Return
Return adalah pendapatan yang akan diterima jika investor menginvestasikan uang pada  suatu  aktiva  finansial  (saham,  obligasi)  atau  aktiva  riil  (Ghozali,  2006).  Investasi merupakan  penempatan  sejumlah  dana  pada  saat  ini  dengan  harapan  untuk  memperoleh keuntungan di masa mendatang (Fahmi dan Hadi, 2011). Salah satu bentuk investasi di pasar modal adalah saham. Saham adalah salah satu komoditas keuangan yang diperdagangkan di pasar  modal  yang  paling  populer    (Hadi,  2003).  Saham  merupakan  salah  satu  efek  atau sekuritas  yang  populer  diperdagangkan  di  pasar  modal.  Saham  adalah  bukti  kepemilikan terhadap suatu perusahaan (Sitompul, 1996).
Menurut  Jorion  (2002),  return  suatu  asset  dapat  dihitung  dengan  rumus  sebagai berikut:
𝑅 𝑡 = 𝑙𝑛 𝑃 𝑡 𝑃 𝑡−1 dengan, 𝑅 𝑡 : return pada periode ke t 𝑃 𝑡 : harga aset pada periode ke t
𝑃 𝑡−1 : harga aset pada periode ke t-1

## 2.3. Risiko
Dalam setiap investasi untuk mendapatkan keuntungan selalu muncul potensi adanya risiko kerugian yang akan timbul apabila target keuntungan investasi tersebut tidak sesuai dengan  yang  direncanakan  dan  yang  diinginkan.  Setiap  tindakan  investasi  mempunyai tingkat risiko dan keuntungan yang berbeda-beda. Risiko investasi yang timbul dari setiap investasi kadang bisa diprediksikan sebelumnya, kadang tidak bisa diprediksikan.
Alat ukur risiko yaitu volatilitas yang merupakan ukuran dispersi dari suatu aset, serta Value at Risk (VaR) yaitu besarnya risiko yang mungkin dialami dalam tingkat kepercayaan tertentu (Ghozali, 2007). Menurut Jorion (2002), jika terdapat n (jumlah observasi) return maka nilai expected return dapat diperoleh dengan rumus:
𝐸(𝑅 𝑖 ) = 𝜇 𝑖 = 1 𝑛 ∑ 𝑅 𝑖𝑡 𝑛 𝑡=1
Sedangkan varian tiap periode diukur dengan:
𝑉𝑎𝑟(𝑅 𝑖 ) = 𝑠 𝑖 2 = 1 𝑛 − 1 ∑(𝑅 𝑖𝑡 − 𝜇 𝑖 ) 2 𝑛 𝑡=1
dengan, 𝑅 𝑖𝑡 : Return aset ke-i pada waktu ke-t µ 𝑖 : Rata-rata return aset ke-i n         : Jumlah observasi s i 2 :  Varian aset ke-i Akar dari 𝑠 𝑖 2 disebut sebagai standar deviasi adalah volatilitas atau estimasi risiko dari suatu aset.

## 2.4. Portofolio
Portofolio merupakan salah satu langkah investasi  yang melibatkan beberapa aset, yaitu ketika investor berinvestasi pada lebih dari satu aset.Teori ini mengajarkan bagaimana mengkombinasikan saham-saham ke dalam suatu portofolio untuk memperoleh keuntungan maksimal dengan risiko tertentu, atau memperoleh keuntungan dengan risiko minimal.
Menurut Jorion (2002), return portofolio dihitung dengan persamaan berikut:
𝑅 𝑝,𝑡 = ∑ 𝑤 𝑖 𝑅 𝑡,𝑖 𝑁 𝑖=1
dengan, 𝑅 𝑝,𝑡 : return portofolio pada waktu ke- t 𝑅 𝑡,𝑖 : return pada waktu ke -t untuk aset ke- i 𝑤 𝑖 : bobot untuk aset ke- i
𝑁 : jumlah aset Return portofolio ditulis menggunakan notasi matriks sebagai berikut:
𝑅 𝑝 = 𝑤 1 𝑅 1 + 𝑤 2 𝑅 2 + ⋯ + 𝑤 𝑁 𝑅 𝑁 = [𝑤 1 𝑤 2 … 𝑤 𝑁 ] [ 𝑅 1 𝑅 2 ⋮ 𝑅 𝑁 ] = 𝒘 𝑇 𝑹
dengan, 𝒘 𝑇 : transpose vektor bobot 𝑹 : vektor return aset tunggal
Menurut  Ghozali  (2007),  dalam  pembentukan  portofolio  diperlukan  perhitungan kovarian. Secara matematis kovarian return saham A dan B dirumuskan sebagai berikut:
𝑠 𝐴,𝐵 = ∑ [(𝑅 𝑡,𝐴 − 𝐸(𝑅 𝐴 )) (𝑅 𝑡,𝐵 − 𝐸(𝑅 𝐵 ))] 𝑇 𝑡=1 𝑇 − 1
Matriks  varian  kovarian  juga  diperlukan  dalam  pembentukan  portofolio.  Matriks varian kovarian ( 𝑺 ) untuk dua saham adalah:
𝑺 = [ 𝑠 𝐴 2 𝑠 𝐵,𝐴 𝑠 𝐴,𝐵 𝑠 𝐵 2 ]
Risiko portofolio merupakan risiko investasi dari sekelompok aset dalam portofolio. Menurut Jorion (2002), varian portofolio dengan N aset saham dihitung dengan persamaan berikut:
𝑠 𝑝 2 = ∑ 𝑤 𝑖 2 𝑠 𝑖 2 𝑁 𝑖=1 + 2 ∑ ∑ 𝑤 𝑖 𝑤 𝑗 𝑠 𝑖𝑗 𝑁 𝑗<𝑖 𝑁 𝑖=1 2.5. Mean Variance Efficient Portfolio (MVEP)
Menurut  Maruddani  dan  Purbowati  (2009), Mean  Variance  Efficient  Portofolio (MVEP)  merupakan  salah  satu  metode  dalam  pembentukan  portofolio  optimal.  Menurut Fauziah dkk (2012), MVEP didefinisikan sebagai portofolio yang memiliki varian minimum diantara  keseluruhan  kemungkinan  portofolio  yang  dapat  dibentuk.  Hal  tersebut  sama dengan mengoptimalisasi bobot 𝒘 = [𝑤 1 … 𝑤 𝑁 ] 𝑇 berdasarkan maksimum mean risiko dari varian yang diberikan. Secara lebih formal, dicari vektor pembobotan 𝒘 agar portofolio yang dibentuk mempunyai varian yang minimum berdasarkan dua batasan yaitu:
1. Spesifikasi awal dari mean risiko 𝜇 𝑝 harus tercapai yaitu 𝒘 𝑇 𝝁 .
2. Jumlah  proporsi  dari  portofolio  yang  terbentuk  sama  dengan  1  yaitu 𝒘 𝑇 𝟏 𝑁 = 1 , dimana 𝟏 𝑁 adalah vektor satuan dengan dimensi N x 1.
Permasalahan optimalisasi dapat diselesaikan dengan fungsi Lagrange yaitu:
𝐿 = 𝒘 𝑇 𝑺𝒘 + 𝜆 1 (𝜇 𝑝 − 𝒘 𝑇 𝝁) + 𝜆 2 (1 − 𝒘 𝑇 𝟏 𝑁 ) dengan, 𝐿 : fungsi Lagrange 𝜆 : faktor pengali Lagrange Untuk mendapatkan nilai optimal 𝒘, persamaan diatas diturunkan parsial terhadap 𝒘 yaitu:
𝜕𝐿 𝜕𝒘 = 0 𝜕 𝜕𝒘 [𝒘 𝑇 𝑺𝒘 + 𝜆 1 (𝜇 𝑝 − 𝒘 𝑇 𝝁) + 𝜆 2 (1 − 𝒘 𝑇 𝟏 𝑁 )] = 0
Maka diperoleh persamaan pembobotan pada MVEP adalah:
𝒘 = 𝑺 −1 𝟏 𝑁 𝟏 𝑁 𝑇 𝑺 −1 𝟏 𝑁 dimana 𝑺 −1 : invers matriks varian-kovarian.
Turunan kedua fungsi Lagrange terhadap bobot merupakan syarat mencapai minimum:
𝜕 2 𝐿
𝜕𝒘 2 = 2𝑺
dimana elemen-elemen dalam matriks 2𝑺 > 0.

## 2.6. Exponentially Weighted Moving Average (EWMA)
EWMA  merupakan  salah  satu  pendekatan  untuk  menghadapi  volatilitas  data  yang tidak  konstan  (Morgan,  1996).  Metode  ini  memberikan  bobot  terhadap  perubahan  harga setiap periode dengan menggunakan decay factor (λ). Parameter λ menunjukkan skala bobot atas pengamatan data terbaru dengan data sebelumnya dengan nilai 0 < λ < 1. Semakin tinggi nilai λ maka akan semakin besar pula bobot yang akan dikenakan pada data masa lampau sehingga  data  runtun  waktu  semakin smooth .  Persamaan  EWMA  yang  digunakan  adalah sebagai berikut :
𝑠 𝑡 2 = 𝜆𝑠 𝑡−1 2 + (1 − 𝜆)𝑅 𝑡−1 2
dengan, 𝑠 𝑡 2 : varian data return pada periode t 𝑠 𝑡−1 2 : varian data return pada periode t-1 𝑅 𝑡−1 : return pada periode t-1
𝜆 : parameter ( decay factor )
Nilai 𝜆 menunjukkan  skala  bobot  0-1  dari  pengamatan  data  terbaru  dengan  data sebelumnya. Semakin tinggi nilai 𝜆 pada sebuah data return berarti semakin besar pengaruh volatilitas  sebelumnya,  namun  semakin  tidak  reaktif  terhadap  informasi  pasar  terakhir. Sebaliknya semakin kecil nilai 𝜆 maka semakin reaktif volatilitas tersebut terhadap informasi pasar sebelumnya. Menurut Jorion (2002), Risk Metrics menggunakan nilai 𝜆 sebesar 0,94 untuk data harian, sedangkan nilai 𝜆 sebesar 0,97 digunakan untuk observasi data bulanan.

## 2.7. Volatility Updating Hull ang White
Menurut  Hull  dan  White  (1997),  jika  volatilitas  dari  variabel  pasar  stasioner  maka diperlukan  pembaharuan  volatilitas  yang  dilakukan  dengan  metode historical  simulation. Updating volatility dilakukan berdasarkan rumus:
𝑅 𝑗,𝑡 ∗ = 𝑠 𝑗,𝑇 𝑅 𝑗,𝑡 𝑠 𝑗,𝑡 dengan, 𝑅 𝑗,𝑡 ∗ : return asset j yang diperbaharui pada hari ke t 𝑅 𝑗,𝑡 : return asset j pada hari ke t 𝑠 𝑗,𝑇 : hasil estimasi volatilitas harian EWMA yang terbaru
𝑠 𝑗,𝑡 : volatilitas return harian diestimasi dengan EWMA untuk asset j pada hari t Diasumsikan distribusi probabilitas ( 𝑅 𝑗,𝑡 /𝑠 𝑗,𝑡 ) bersifat stasioner (Hull dan White, 1998).

## 2.8. Value at Risk (VAR)
VaR  merupakan  pengukuran  kemungkinan  kerugian  terburuk  dalam  kondisi  pasar yang normal pada kurun waktu T dengan tingkat kepercayaan α tertentu (Moorgan, 1996). Value  at  Risk  adalah  ukuran  perubahan  potensial  maksimum  dalam  nilai  portofolio instrumen  keuangan  dengan  probabilitas  tertentu  di  atas  cakrawala  yang  telah  ditentukan sebelumnya.  Menurut  Jorion  (2002),  secara  sederhana  Value  at  Risk  (VaR)  menjawab pertanyaan seberapa besar (dalam persen atau sejumlah uang tertentu) investor dapat merugi selama waktu investasi t dengan tingkat kepercayaan (1-α).

## 2.9. Metode Historical Simulation
Menurut Jorion (2002), metode historical simulation merupakan metode yang paling mudah digunakan karena tidak ada asumsi return yang harus dipenuhi seperti return harus berdistribusi normal maupun sifat linier antara return portofolio dan return aset tunggalnya. Rumus  yang  digunakan  untuk  menghitung    nilai VaR dengan  menggunakan  metode Historical Simulation adalah sebagai berikut :
𝑉𝑎𝑅 =   𝑆 0 × 𝑃𝑒𝑟𝑐𝑒𝑛𝑡𝑖𝑙𝑒 𝛼  × √ℎ𝑝 dimana, 𝑉𝑎𝑅: Estimasi kerugian maksimal 𝑆 0 ∶ Dana awal ℎ𝑝   ∶ Holding period 𝑃𝑒𝑟𝑐𝑒𝑛𝑡𝑖𝑙𝑒 𝛼 merupakan data ke 𝑁 × 𝛼 dari return portofolio yang sudah diurutkan mulai nilai terkecil hingga terbesar.

## 2.10. Pengujian Asumsi

## 2.10.1. Asumsi Normalitas
Sebelum  dilakukan  perhitungan  VaR,  terlebih  dahulu  dilakukan  uji  asumsi kenormalan  data.  Pengujian  ini  berhubungan  dengan  ketepatan  persebaran  data  dalam mengikuti  distribusi  normal,  hal  ini  untuk  menentukan  apakah  diperlukan  penyesuaian terhadap tingkat keyakinan yang digunakan. Hipotesis yang digunakan adalah:
H 0 : data return saham berdistribusi normal H 1 : data return saham tidak berdistribusi normal
Menurut Mutaqin dan Hakim (2006), statistik uji yang digunakan untuk pengujian asumsi  normalitas  adalah  nilai  Jarque-Bera.  Mencari  nilai  Jarque-Bera  menggunakan persamaan sebagai berikut:
𝐽𝐵 = 𝑛 (( 𝑆 2 6 ) + ( (𝐾 − 3) 2 24 ))
dengan, JB : nilai Jarque-Berra n : jumlah Data
S : nilai skewness
K : nilai kurtosis
Apabila nilai Jarque- Berra lebih kecil dari nilai Chi-Square ( 𝒳 2 ) dengan derajat bebas 2 atau nilai p-value > taraf signifikansi, maka H 0 diterima artinya data berdistribusi normal.

## 2.10.2. Asumsi Stasioneritas
Uji asumsi stasioneritas dilakukan untuk mengetahui apakah data sudah terbebas dari autokorelasi dan data sudah bersifat acak. Data yang dikatakan stasioner adalah data yang
tidak mengandung trend, bersifat setara serta tidak terdapat fluktuasi periodik atau musiman. Menurut  Tsay  (2005),  uji  stasioneritas  menggunakan Augmented  Dickey-Fuller  Test (Uji ADF) dilakukan dengan menguji hipotesis berikut: H 0 : β=1 (terdapat akar unit atau data tidak stasioner) H 1 : β<1 (tidak terdapat akar unit atau data stasioner) Untuk menguji stasioneritas data digunakan persamaan regresi:
𝑥 𝑡 = 𝑐 𝑡 + 𝛽𝑥 𝑡−1 + ∑ ∅ 𝑖 ∆𝑥 𝑡−𝑖 + 𝑒 𝑡 𝑝−1 𝑖=1 Dengan 𝑐 𝑡 adalah fungsi deterministik dari indeks waktu t dan ∆𝑥 𝑗 = 𝑥 𝑗 − 𝑥 𝑗−1 dari series yang  didiferensi  dari 𝑥 𝑡 . Dalam  praktiknya 𝑐 𝑡 dapat  bernilai  0  atau  konstan.  Statistik uji yang digunakan adalah statistik t-rasio dari 𝛽̂ − 1 yaitu:

## 𝐴𝐷𝐹 = 𝛽̂ − 1
𝑠𝑡𝑑(𝛽̂)
Jika nilai ADF ≤ nilai pada tabel ADF atau probablility ≤ taraf signifikansi, maka H 0 ditolak.

## 2.10.3. Asumsi Heteroskedastisitas
Uji  asumsi  heteroskedastisitas  berhubungan  dengan error  variance dari  data  yang bersifat  konstan  atau  tidak,  hal  ini  akan  digunakan  dalam  perhitungan  VaR.  Menurut Gujarati  (2006),  jika  varian  residual  bervariasi  dari  observasi  ke  observasi,  maka  varian residual tersebut tidak sama atau bersifat heteroskedastik. Salah satu alat untuk pengujian heteroskedastisitas adalah uji Glejser. Misalkan uji ini diterapkan pada model berikut:
𝑌 𝑖 = 𝐵 0 + 𝐵 1 𝑋 1 + 𝐵 2 𝑋 2 + 𝜀 𝑖 Langkah-langkah uji Glejser adalah sebagai berikut:
1. Estimasi model regresi dengan Ordinary Least Square (OLS) sehingga memperoleh residual 𝜀 𝑖 .
2. Regresikan  nilai  absolut  dari 𝜀 𝑖 terhadap  variabel  X.  Dalam  percobaannya Glejser menggunakan bentuk fungsional berikut:
|𝜀 𝑖 | = 𝐵 1 𝑋 𝑖 + 𝑣 𝑖 |𝜀 𝑖 | = 𝐵 1 √𝑋 𝑖 + 𝑣 𝑖 |𝜀 𝑖 | = 𝐵 1 1 𝑋 𝑖 + 𝑣 𝑖 |𝜀 𝑖 | = 𝐵 1 1 √𝑋 𝑖 + 𝑣 𝑖 |𝜀 𝑖 | = 𝐵 0 + 𝐵 1 𝑋 𝑖 + 𝑣 𝑖 |𝜀 𝑖 | = √𝐵 0 + 𝐵 1 𝑋 𝑖 + 𝑣 𝑖 |𝜀 𝑖 | = √𝐵 0 + 𝐵 1 𝑋 𝑖 2 + 𝑣 𝑖
dimana 𝑣 𝑖 adalah tingkat kesalahan.
3. Pengujian heteroskedastisitas dilakukan menggunakan hipotesis berikut: H 0 : data return saham bersifat tidak heteroskedastis (varian konstan) H 1 : data return saham bersifat heteroskedastis(varian tidak konstan)
4. Jika koefisien 𝐵 1 bersifat tidak signifikan atau jika nilai p-value < taraf signifikansi, maka H 0 diterima artinya asumsi homoskedastisitas dapat diterima.
Apabila data diketahui bersifat homoskedastis, maka 𝜎 dihitung dengan rumus berikut:
𝜎 = √ ∑ (𝑅 − 𝑅̅) 2 𝑛 𝑖=1 𝑛 − 1
Apabila data bersifat heteroskedastis, maka 𝜎 dihitung dengan pendekatan EWMA.

## 2.11. Backtesting
Menurut  Jorion  (2002),  model  VaR  hanya  bermanfaat  bila  dapat  memprediksikan risiko  dengan  baik.  Langkah  yang  dilakukan  dalam backtesting adalah  membandingkan kerugian  sebenarnya  dengan  kerugian  yang  diprediksi  oleh  model  VaR.  Tabel  berikut memberikan batasan untuk tidak menolak model setelah dilakukan backtesting . Tabel 1. Besaran Kesalahan untuk tidak Menolak Model VaR Tingkat Kepercayaan Tidak Menolak Batasan untuk m Kesalahan T=255 hari T=510 hari T=1000 hari 99% <7 1<m<11 4<m<17 97,5% 2<m<12 8<m<21 15<m<36 95% 6<m<21 16<m<36 37<m<65 92,5% 11<m<28 27<m<51 59<m<92 90% 16<m<36 38<m<65 81<m<120
Menurut  Kupiec  (1995),  statistik  uji  terbaik  berdasarkan  tingkat  kegagalan  adalah dengan Likelihood ratio (LR). Hipotesis untuk pengujian backtesting adalah sebagai berikut: H 0 : nilai VaR akurat H 1 : nilai VaR tidak akurat
Statistik uji yang digunakan adalah LR dengan rumus berikut:
𝐿𝑅 = −2 ln[(1 − 𝑝) 𝑇−𝑚 𝑝 𝑚 ] + 2ln [(1 − [ 𝑚 𝑇 ]) 𝑇−𝑚 ( 𝑚 𝑇 ) 𝑚 ]
dengan, LR : Likelihood Ratio
p : probabilitas kegagalan
T : jumlah obervasi m : jumlah kegagalan
Jika  nilai  LR  lebih  besar  daripada  nilai  kritis  ditribusi  Chi-Square  dengan  derajat bebas 1, maka hipotesis nol ditolak.

## 2.12. GUIDE
Nama Matlab merupakan akronim dari kata Matrix Laboratory. Matlab merupakan sebuah program untuk menganalisis dan mengkomputasi data numerik. Matlab merupakan suatu  bahasa  pemrograman  lanjutan  yang  dibentuk  dengan  dasar  pemikiran  yang menggunakan  sifat  dan  bentuk  matriks.  GUI builder merupakan  sebuah graphical  user interface (GUI)  yang  dibangun  dengan  obyek  grafik  seperti  tombol  ( button ),  kotak  teks, slider, menu dan lain-lain. GUI pada Matlab dikenal dengan nama GUIDE. GUI pada Matlab merupakan sebuah aplikasi display dari Matlab yang mengandung komponen program yang mempermudah user atau pengguna dalam menjalankan sebuah program dalam Matlab.

## 3. METODE PENELITIAN

## 3.1. Sumber Data dan Variabel Penelitian
Data yang digunakan dalam penelitian ini adalah data sekunder, yaitu data penutupan harga saham ( closing price ) dengan periode waktu harian dari tiga perusahaan sejumlah 140 data yang dimulai tanggal 02 Januari 2017 sampai 25 Juli 2017. Data tersebut diperoleh dari situs http://finance.yahoo.com.

## 3.2. Variabel Penelitian
P 1 : Data harga saham harian PT Astra Internasional Tbk. (ASII) P 2 : Data harga saham harian PT Bank Negara Indonesia Tbk (BBNI) P 3 : Data harga saham harian PT Tambang Batubara Bukit Asam Tbk. (PTBA)
3.3. Tahapan Analisis Data
1. Menghitung nilai return dari masing-masing saham.
2. Menghitung nilai return portofolio berdasarkan MVEP.
3. Menguji stasioneritas data return masing-masing saham. Apabila tidak stasioner, maka dilakukan differencing.
4. Menguji  normalitas  data return masing-masing  saham.  Jika  data  berdistribusi normal  maka  dapat  dilanjutkan  untuk  perhitungan return portofolio , sedangkan jika  data  tidak  berdistribusi  normal  perhitungan  nilai  VaR  dilakukan  dengan metode historical simulation untuk masing-masing saham , kemudian dilanjutkan dengan pengujian heteroskedastisitas.
5. Menguji  heteroskedastisitas  data return masing-masing  saham  dengan.  Apabila return bersifat  homoskedastis,  maka  volatilitas  dihitung  dengan  rumus
𝜎 = √ ∑ (𝑅−𝑅̅) 2 𝑛 𝑖=1 𝑛−1 .  Apabila return bersifat  heteroskedastis,  maka  perhitungan volatilitas menggunakan pendekatan EWMA.
6. Menghitung return baru dengan prosedur volatility updating Hull and White.
7. Menghitung portofolio dengan menggunakan data return baru.
8. Melakukan uji backtesting dari nilai VaR  yang diperoleh dengan menggunakan aturan Basel dan Uji PF Kupiec.
4. HASIL DAN PEMBAHASAN
4.1. Pengujian Asumsi
4.1.1. Asumsi Normalitas
H 0 : Data return berdistribusi normal H 1 : Data return tidak berdistribusi normal
Statistik uji yang digunakan adalah Jarque Bera: 𝐽𝐵 = 𝑛 (( 𝑆 2 6 ) + ( (𝐾−3) 2 24 ))
H 0 ditolak apabila nilai JB > nilai 𝒳 𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙 2 dengan db=2 atau nilai p-value < α. Pada penelitian ini, nilai 𝒳 0,05;2 2 = 5,99148. Hasil uji normalitas Jarque-Bera: Tabel 2. Uji Normalitas Jarque-Bera Return JB P-value Keputusan ASII 0,710435 0,5 H 0 diterima BBNI 0,420055 0,5 H 0 diterima PTBA 0,552168 0,5 H 0 diterima
Berdasarkan Tabel 2, dengan mengambil taraf signifikansi α=5%, dapat disimpulkan bahwa data return saham ASII, BBNI dan PTBA berdistribusi normal.

## 4.1.2. Asumsi Stasioneritas
H 0 : β=1 (terdapat akar unit atau data tidak stasioner) H 1 : β=0 (tidak terdapat akar unit atau data stasioner)
Statistik uji dalam pengujian asumsi stasioneritas adalah: 𝐴𝐷𝐹 = 𝛽 ̂−1 𝑠𝑡𝑑(𝛽 ̂) H 0 ditolak apabila nilai p-value < α.
Tabel 3. Uji Stasioneritas Augmented Dickey-Fuller Return P-Value α Keputusan ASII 0,001 0,05 H 0 ditolak BBNI 0,001 0,05 H 0 ditolak PTBA 0,001 0,05 H 0 ditolak
Berdasarkan Tabel 3, dengan mengambil taraf signifikansi α=5%, dapat disimpulkan bahwa data return saham ASII, BBNI dan PTBA bersifat stasioner.

## 4.1.3. Asumsi Heteroskedastisitas
H 0 : data return saham bersifat tidak heteroskedastis (varian konstan) H 1 : data return saham bersifat heteroskedastis(varian tidak konstan)
Statistik uji dalam pengujian asumsi heteroskedastisitas adalah: 𝑡 ℎ𝑖𝑡𝑢𝑛𝑔 = 𝛽 ̂ 𝑠𝑡𝑑(𝛽 ̂) H 0 ditolak apabila nilai |t hitung| > t α,n-1 Tabel 4. Uji Heteroskedastisitas Glejser Return t hitung t α,n-1 Keputusan ASII 24,9144 1,97730 H 0 ditolak BBNI 21,5487 1,97730 H 0 ditolak PTBA 18,0976 1,97730 H 0 ditolak
Berdasarkan Tabel 4, dengan mengambil taraf signifikansi α=5%, dapat disimpulkan bahwa varian data return saham ASII, BBNI dan PTBA tidak konstan.

## 4.2. Perhitungan VaR Historical Simulation
4.2.1. Pembentukan Portofolio Optimum
1. Menghitung nilai rata-rata return saham ASII, BBNI dan PTBA
𝐸(𝑅) = 𝜇 𝑖 = 1 𝑛 ∑ 𝑅(𝑃 𝑖𝑡 ) 𝑛 𝑖=1 𝜇 𝐴𝑆𝐼𝐼 = 0,002302   𝜇 𝐵𝐵𝑁𝐼 = 0,001235   𝜇 𝑃𝑇𝐵𝐴 = −0,001069
2. Menghitung varian return berdasarkan Persamaan:
𝑉𝑎𝑟(𝑅) = 𝑠 𝑖 2 = 1 𝑛 − 1 ∑(𝑅(𝑃 𝑖𝑡 ) − 𝜇 𝑖 ) 2 𝑛 𝑖=1 𝑠 𝐴𝑆𝐼𝐼 2 = 0,00004625    𝑠 𝐵𝐵𝑁𝐼 2 = 0,0004247    𝑠 𝑃𝑇𝐵𝐴 2 = 0,0005394
3. Menghitung kovarian berdasarkan persamaan:
𝑠 𝐴,𝐵 = ∑ [(𝑅 𝑡,𝐴 − 𝐸(𝑅 𝐴 )) (𝑅 𝑡,𝐵 − 𝐸(𝑅 𝐵 ))] 𝑇 𝑡=1 𝑇 − 1 𝑠 𝐴𝑆𝐼𝐼,𝐵𝐵𝑁𝐼 = −0,0000349 𝑠 𝐴𝑆𝐼𝐼,𝑃𝑇𝐵𝐴 = 0,0000009 𝑠 𝐵𝐵𝑁𝐼,𝑃𝑇𝐵𝐴 = −0,0000786
4. Perhitungan bobot dilakukan dengan metode MVEP, dengan rumus:
𝒘 = [ 𝑤 1 𝑤 2 𝑤 3 ] = ∑ −1 𝟏 3 𝟏 3 𝑇 ∑ −1 𝟏 3 𝒘 = [ 𝑤 1 𝑤 2 𝑤 3 ] = [ 2175,8 183 23,2
183 2435,6 354,7 23,2 354,7 1905,6 ] [ 1 1 1 ]
[1 1 1] [ 2175,8 183 23,2 183 2435,6 354,7
23,2 354,7 1905,6 ] [ 1 1
1 ] = [ 0,311829
0,389240 0,298931 ]
Dimana, w 1 merupakan  bobot  ASII  sebesar  0,311829, w 2 merupakan  bobot  BBNI sebesar  0,389240  dan w 2 merupakan  bobot  PTBA  sebesar  0,298931.  Perhitungan return Portofolio:
𝑅 𝑝,𝑡 = 𝒘 𝑇 𝑹 𝑅 𝑝,1 = 𝒘 𝑇 𝑹 = [ 0,311829 0,389240 0,298931 ] 𝑇 [ 0,0000 −0,0067 0,0308 ] = 0,00659
Perhitungan return portofolio dilanjutkan hingga periode ke 139.

## 4.2.2. Perhitungan Volatilitas dengan EWMA
1. Varian harian pertama sama dengan varian return portofolio, nilai varian harian pertama, yaitu:
𝜎 1 2 = 𝑣𝑎𝑟(𝑅 𝑝,𝑡 ) = 0,0001309
𝜎 1 = √𝜎 1 2 = √0,0001309 = 0,0114
2. Varian harian kedua perhitungan dilakukan menggunakan rumus EWMA: 𝜎 𝑡+1 2 = 𝜆𝜎 𝑡 2 + (1 − 𝜆)𝑅 𝑡 2 𝜎 2 2 = 𝜎 1+1 2 = 𝜆𝜎 1 2 + (1 − 𝜆)𝑅 1 2 𝜎 2 2 = (0,94 × 0,0001309) + (1 − 0,94)(0,00659) 2 = 0,0001257 𝜎 2 = √𝜎 2 2 = √0,0001257 = 0,0112
Begitu seterusnya hingga periode waktu terakhir. Dari hasil perhitungan diperoleh hasil nilai volatilitas harian terbaru adalah 𝜎 𝑗,𝑇 = 𝜎 𝑗,140 = 0,0139. Nilai ini akan digunakan untuk perrhitungan volatility updating Hull and White.
4.2.3. Volatility Updating Hull and White
4.2.3.1. Uji Stasioneritas
H 0 : β=1 (terdapat akar unit atau data tidak stasioner) H 1 : β=0 (tidak terdapat akar unit atau data stasioner)
Statistik uji dalam pengujian asumsi stasioneritas adalah: 𝐴𝐷𝐹 = 𝛽 ̂−1 𝑠𝑡𝑑(𝛽 ̂) H 0 ditolak apabila nilai p-value < α.
Tabel 5. Uji Stasioneritas Augmented Dickey-Fuller Data P-Value α Keputusan 𝑅 𝑝,𝑡 𝑠 𝑝,𝑡 0,001 0,05 H 0 ditolak
Berdasarkan  Tabel  5,  nilai  p-value  kurang  dari  nilai  α=5%,  sehingga  dapat disimpulkan bahwa pada taraf signifikansi α=5% data 𝑅 𝑝,𝑡 𝑠 𝑝,𝑡 stasioner.

## 4.2.3.2. Perhitungan Return Baru
Setelah  dilakukan  uji  stasioneritas  data 𝑅 𝑗,𝑡 𝑠 𝑗,𝑡 ,  diperoleh  hasil  bahwa  data  tersebut bersifat stasioner sehingga perlu dilakukan perhitungan return baru.  Return dihitung dengan rumus:
𝑅 𝑝,𝑡 ∗ = 𝑠 𝑝,𝑇 𝑅 𝑝,𝑡 𝑠 𝑝,𝑡 𝑅 𝑝,1 ∗ = 𝑠 𝑝,139 𝑅 𝑝,1 𝑠 𝑝,1 = (0,0138) 0,0066

## 0,0114 = 0,0079
Dan seterusnya perhitungan dilakukan hingga periode terakhir.

## 4.2.4. Estimasi VaR
𝑉𝑎𝑅 =  𝑆 0 × 𝑃𝑒𝑟𝑐𝑒𝑛𝑡𝑖𝑙𝑒 𝑘𝑒 − 𝛼  × √ℎ𝑝
Untuk periode 5 hari, 𝑉𝑎𝑅 = 100000000 × (−0,01909) × √5 = −4270540
Untuk periode 20 hari, 𝑉𝑎𝑅 = 100000000 × (−0,01909) × √20 = −8541080
Tabel 10. Hasil Perhitungan VaR dengan Metode Historical Simulation
Tingkat Kesalahan ( α ) Decay Factor ( λ ) Nilai Persentil ke- α VaR 5 hari 20 hari 5% 0,94 -0,01909 -0,0427054 -0,0854108
Jika investor berinvestasi sebanyak Rp 100.000.000,00 maka diperkirakan ia tidak akan mengalami kerugian lebih dari  -0,0427054 × Rp 100.000.000,00 = Rp 4.270.540,00 dengan tingkat kepercayaan 95% dan jangka waktu investasi 5 hari.Jika investor berinvestasi sebanyak Rp 100.000.000,00 maka diperkirakan ia tidak akan mengalami kerugian lebih dari -0,0854108 × Rp 100.000.000,00 = Rp 8.541.080,00 dengan tingkat kepercayaan 95% dan jangka waktu investasi 20 hari setelah investasi.

## 4.3. Backtesting
H 0 : nilai VaR akurat H 1 : nilai VaR tidak akurat Statistik uji yang digunakan adalah LR:
𝐿𝑅 = −2 ln[(1 − 𝑝) 𝑇−𝑚 𝑝 𝑚 ] + 2ln [(1 − [ 𝑚 𝑇 ]) 𝑇−𝑚 ( 𝑚 𝑇 ) 𝑚 ]
Dimana  LR  adalah  statistik  uji Likelihood  Ratio, p  adalah  probabilitas  kegagalan  dalam penelitian  ini  sebesar  0,01, T  adalah  jumlah  obervasi  sebanyak  140  dan m  adalah jumlah kegagalan yaitu m=1.
𝐿𝑅 = −2 ln[(1 − 0,01) 140−1 (0,01) 1 ] + 2 ln [(1 − [ 1 140 ]) 140−1 ( 1 140 ) 1 ]
𝐿𝑅 = 2,11529
H 0 ditolak apabila LR < 𝒳 𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙 2 . Nilai 𝒳 𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙 2 = 𝒳 0,01;1 2 = 6,63489 . H 0 ditolak karena LR  > 𝒳 (0,01;1) 2 yaitu  2,11529  <  6,63489.  Jadi  dapat  disimpulkan  bahwa  pada  taraf signifikansi 5% estimasi nilai VaR akurat.

## 5.         KESIMPULAN
Perhitungan volatilitas dilakukan menggunakan metode EWMA karena ditemukan sifat  varian  yang  tidak  konstan  atau  heteroskedastik.  Metode  EWMA  ini  memberikan pembobotan  terhadap  perubahan  harga  saham  setiap  periode  dengan  menggunakan decay factor (λ). Besarnya decay factor (λ) yang digunakan ldalam penelitian ini adalah λ=0,94. Volatilitas yang diperoleh dari metode EWMA digunakan untuk perhitungan return baru  berdasarkan  prosedur volatility  updating  Hull  and  White .  Nilai  volatilitas  tersebut digunakan  untuk  menghitung  risiko  investasi  portofolio  (VaR).  Hasil  perhitungan  VaR portofolio  dari  saham  ASII,  BBNI  dan  PTBA  dengan  tingkat  kepercayaan  95%  untuk periode waktu investasi selama 5 hari sebesar -0,0427054 atau -4,27054% dari jumlah total investasi. Sedangkan, untuk periode waktu 20 hari sebesar -0,0854108 atau -8,54108%. Hal ini  menunjukkan  bahwa  semakin  lama  periode  investasi  maka  presentase  kemungkinan kerugiannya akan semakin besar, namun belum bisa dipastikan terjadinya kerugian tersebut. Uji backtesting dilakukan  untuk  mengetahui  valid  tidaknya  perhitungan  VaR  yang  telah dilakukan.  Semua  VaR  yang  diperoleh  dari  perhitungan  valid  untuk  memprediksi  tingkat kerugian investasi berdasarkan uji backtesting PF Kupiec dan aturan Basel.

## DAFTAR PUSTAKA
Ahmad, K. 2004. Dasar-Dasar Manajemen Investasi dan Portofolio. Jakarta : Rineka Cipta. Buchdadi, A.D. 2008. Perhitungan Value at Risk Portofolio Optimum Saham Perusahaan Berbasis  Syariah  dengan  Pendekatan  EWMA. Jurnal  Akuntansi  dan  Keuangan Indonesia Vol.5, No.2 : Hal. 182-201.
Ghozali,  I.  2007. Manajemen  Risiko  Perbankan. Semarang  :  Badan  Penerbit  Universitas Diponegoro.
Gujarati,  D.N.  2006. Dasar-Dasar  Ekonometrika  Jilid  2. Diterjemahkan  oleh  :  Julius  A. Mulyadi  dan  Yelvi  Andri.  Jakarta  :  Erlangga.  Terjemahan  dari  :  Essentials  of Econometrics.
Hadi, N. 2003. Acuan Teoritis dan Praktis Investasi di Instrumen Keuangan Pasar Modal. Yogyakarta : Graha Ilmu.
Hull,  J.  dan  White,  A.  1998. Incorporating  Volatility  Updating  Into  The  Historical Simulation Method for Value at Risk. Journal of Risk (Fall), 1, 5-19. Jorion, P. 2002. Value at Risk : The New Benchmark for Managing Financial Risk Second Edition. New York : The McGraw-Hill Companies, Inc. Kupiec, P. H. 1995. Techniques for Verifying The Accuracy of Risk Measurement Models. The Journal of Derivatives Vol. 3, No. 2 : Hal. 73-84.
Maruddani, D.A.I, dan Purbowati, A. 2009. Pengukuran Value at Risk pada Aset Tunggal dan Portofolio dengan Simulasi Monte Carlo. Media Statistika Vol. 2, No. 2 : Hal. 93- 104.
Morgan, J.P. 1996. RiskMetrics TM Technical Document. Fourth Edition. New York : Morgan Guaranty Trust Company.
Pratiwi,A.E.,  Dzulkirom, M., dan Azizah, D.F. 2014. Analisis Investasi Portofolio Saham Pasar  Modal  Syariah  Dengan  Model  Markowitz  Dan  Model  Indeks  Tunggal  (Studi Pada Saham Perusahaan yang Terdaftar dalam Jakarta Islamic Indeks di Bursa Efek Indonesia  Periode  Mei  2011  sampai  dengan  November  2013). Jurnal  Administrasi Bisnis Vol. 17, No.1.
Samsul, M. 2006. Pasar Modal dan Manajemen Portofolio. Jakarta : Erlangga.
Tsay, R.S. 2005. Analysis of Financial Time Series Second Edition. New Jersey : John Wiley & Sons.