Abstrak —Distribusi  Binomial  dan  Poisson  digunakan untuk  menganalisis  data  diskrit.  Karena  distribusi  Poisson berlaku equidispersi , sehingga dilakukan generalisasi terhadap distribusi  Poisson  menjadi  distribusi  COM-Poisson  untuk menganalisis  data  diskrit  yang equidispersi,  overdispersi  dan underdispersi . Generalisasi dari distribusi Binomial yang dapat menganalisis data dengan kejadian overdispersi dan underdispersi adalah  distribusi  COM-Poisson-Binomial.  Pdf nya  diperoleh  dari    distribusi  COM-Poisson  bersyarat  dari penjumlahan  dua  distribusi  COM-Poisson.  Selain  itu,  dalam Tugas  Akhir  ini  juga  dilakukan  estimasi  terhadap  parameter- parameter  dari  COM-Poisson-Binomial  dengan  menggunakan Maximum  Likelihood  Estimation  (MLE).  Selanjutnya  hasil estimasi ini dicoba pada data asosiasi sekunder dari kromosom di Brassika. Karena Maximum Likelihood Estimation menghasilkan  persamaan  non-linier  yang  hasilnya  digunakan untuk  mencari  nilai  estimasi  parameter dan  parameter persamaan non-linier tersebut
diselesaikan dengan menggunakan  metode  Newton-Raphson.  Hasil  dari  proses tersebut  didapatkan  nilai  estimasi  parameter
dan
nilai estimasi parameter
Kata Kunci —Distribusi Binomial, Distribusi COM-Poisson, Overdispersi, Underdispersi , Maximum Likelihood Estimation.

## I. PENDAHULUAN
istribusi  Binomial  dan  Poisson  digunakan  untuk menganalisis  data  diskrit.  Namun,  pada  distribusi Poisson  berlaku equidispersi (variansi  dan  mean bernilai  sama).  Sehingga  distribusi  Poisson  tidak  tepat digunakan  untuk  menganalisis  data  diskrit  dengan  kejadian overdispersi (nilai  variansi  lebih  besar  dari  mean)  atau kejadian underdispersi (nilai variansi lebih kecil dari mean). Untuk  data  diskrit  dengan  kejadian overdispersi dapat dimodelkan  dengan  distribusi  Binomial  Negatif  yang merupakan  gabungan  distribusi  Poisson  dan  Gamma, disamping  itu  untuk  kasus overdispersi atau underdispersi yang  disebabkan  frekuensi  nol  terlalu  banyak  pada  data dapat  dimodelkan  dengan Zero  Inflated  Poisson  (ZIP) [1]. Distribusi  untuk  menganalisis  data  diskrit  dengan  kejadian overdispersi atau underdispersi adalah  distribusi  COM- Poisson  (Conway-Maxwell-Poisson)  [1].  Distribusi  COM- Poisson merupakan generalisasi dari distribusi Poisson yang dikembangkan oleh Conway dan Maxwell pada tahun 1962.
Distribusi  Binomial  digeneralisasikan  dengan  berbagai cara.  Dari  segala  generalisasinya  ada  beberapa  generalisasi berbentuk  perkalian  dan  pertambahan  dari  distribusi Binomial. Probability  density  function (pdf)  dari  distribusi perkalian Binomial adalah perkalian dari pdf dan faktornya. Itu  membuat  perbedaan  variasinya  lebih  besar  atau  kurang dari variansi Binomial yang sesuai, hal itu bergantung pada nilai-nilai  faktornya.  Disisi  lain  distribusi  Binomial  yang bersifat  pertambahan  itu  adalah  campuran  dari  tiga  model Binomial  yang  umum  dan  model  korelasi  Binomial  yang mencakup variabel Bernoulli yang dependent [2].
Banyak  literatur  yang  memperkenalkan  generalisasi distribusi  Binomial  antara  lain,  literatur  yang  membahas tentang  distribusi  Binomial  yang  mempunyai  3  parameter yang  merupakan  generalisasi  dari  Binomial  yaitu  Beta- Binomial,  dan  korelasi  distribusi  Binomial[3].  Adapun literatur  yang  menjelaskan  generalisasi  lainnya  dari distribusi Binomial yaitu distribusi COM-Poisson- Binomial[1], tetapi dalam literatur tersebut tidak membahas sifat-sifat dari distribusi COM-Poisson-Binomial.
Tugas  Akhir  ini  membahas  tentang  generalisasi  dari distribusi  Binomial  yang  dapat  menganalisis  data  diskrit dengan  kejadian overdispersi dan underdispersi yaitu distribusi  COM-Poisson-Binomial  [4].  Dalam  Tugas  Akhir ini  dibahas  juga  mengenai  sifat-sifat  dari  distribusi  COM- Poisson-Binomial.

## II. TINJAUAN PUSTAKA

## A. Peubah Acak Diskrit
Jika  himpunan  semua  hasil  yang  mungkin  dari  peubah acak  X  adalah  himpunan  terhitung atau maka X disebut peubah acak diskrit. Fungsi [5] ( )    [     ]
yang  merupakan  peluang  untuk  masing-masing  nilai  x disebut pdf
Teorema 1 [5]
Suatu fungsi ( ) adalah pdf diskrit jika dan hanya jika untuk paling banyak himpunan tak berhingga terhitung
memenuhi kedua sifat berikut:
a. Untuk semua , fungsi ( ) i=1,2,… b. Untuk semua ∑  ( )

## B. Mean dan Variansi
Mean  atau  nilai  harapan  dari  peubah  acak  diskrit  X dengan pdf ( ) dapat didefinisikan sebagai [5]
( )   ∑   ( ) ( )
Mean dinotasikan dengan atau ( ) .
Variansi  dari  peubah  acak  X  yang  dinotasikan  dengan atau ( ) dapat didefinisikan sebagai [5] ( )     [(     ) ]                         ( ) dan standar deviasi dari X adalah √ .

## C. Distribusi COM-Poisson
Distribusi  COM-Poisson  merupakan  pengembangan dari  distribusi  Poisson  yang  ditemukan  oleh  Conway  dan Maxwell.  Distribusi  COM-Poisson  mampu  memodelkan

## Kajian Generalisasi Distribusi Binomial yang Bertipe COM-Poisson dan Sifat-Sifatnya
Marselly Dian Saputri, Farida Agustini Widjajati, dan Nur Asiyah Jurusan Matematika, Fakultas MIPA, Institut Teknologi Sepuluh Nopember (ITS) Jl. Arief Rahman Hakim, Surabaya 60111
Email :farida@matematika.its.ac.id
Diana Alfi Sulkhiyah, Alvida Mustika Rukmi, dan Subchan
Jurusan Matematika, Fakultas MIPA, Institut Teknologi Sepuluh Nopember (ITS)
Jl. Arief Rahman Hakim, Surabaya 60111
Email : alvida@matematika.its.ac.id
D
data  yang  mengalami equidispersi,  underdispersi dan overdispersi .
Peubah acak yang berdistribusi COM-Poisson dengan
parameter
dan mempunyai pdf
(       ) (  ) (    ) ( )
dimana,
(    )   ∑ (  ) (  ) √ [ ]
dengan,
: 2.71828
: parameter lokasi
: parameter dispersi
(    ) : konstanta normalisasi
Subtitusi (    ) Sehingga persamaan (3) menjadi
(       ) (  ) (  ) √ (  ) (  ) √
(  ) √ (  ) ( )
Beberapa  sifat  distribusi  COM-Poisson  adalah  sebagai berikut
Mean     : ( )
Variansi :
( )

## D. Maximum Likelihood Estimation
Salah  Salah  satu  metode  yang  dapat  digunakan  dalam mengestimasi  parameter  pada  distribusi  adalah Maximum Likelihood  Estimation . Maksimum  likelihood merupakan suatu  cara  yang  mengarah  pada  sifat-sifat  estimator  yang diinginkan,  terutama  untuk  sampel  besar,  yaitu  dengan menggunakan  nilai  dalam  parameter  yang  berhubungan dengan  kemungkinan  terbesar  untuk  data  pengamatan sebagai perkiraan dari parameter yang tidak diketahui.
Untuk  distribusi  bersama  dari  n  variabel yang
dinilai dengan dan (
) adalah fungsi likelihood . Untuk yang  tetap,  fungsi likelihood nya  adalah  sebuah fungsi  dari dan  sering  ditulis  dengan  L( ) Jika adalah sampel acak dari (    ) , maka [6] ( )    ( )    ( )                        ( )
Dalam
penerapan fungsi likelihood , ( ) mempresentasikan  distribusi  bersama  dari  sampel  acak, walaupun maximum  likelihood juga  dapat  dipakai  dalam kasus  lain  seperti  dalam  order  statistik.  Nilai yang memaksimalkan ( ) juga  akan  memaksimalkan  ln likelihood atau  bisa  ditulis  ln ( ) untuk  mendapatkan persamaan maximum likelihood yaitu [6]
( )                                         ( )
E. Metode Newton-Raphson
Metode  Newthon-Raphson  adalah  metode  pendekatan untuk  menyelesaikan  persamaan  non  linear  atau  digunakan untuk  menentukan  titik  saat  fungsi  maksimum.  Titik pendekatan ke dituliskan sebagai [7]
[ ] ( )
dengan
: vektor estimasi parameter pada iterasi ke
: vektor estimasi parameter pada iterasi ke
[ ] : invers dari matriks Hessian yang isi dari matriks merupakan turunan kedua dari ( ) .
: vektor yang berisi turunan pertama dari ( ) .
Langkah-langkah metode Newton-Raphson :
1. Tentukan nilai awal 2. Lakukan iterasi [ ] dimana
3. Iterasi berhenti jika salah satu kriteria dibawah ini terpenuhi:
a. | |
b. Banyaknya iterasi terlampaui

## III. METODE PENELITIAN

## A. Studi Literatur
Dalam  tahap  ini  dilakukan  identifikasi  permasalahan dan  mempelajari  lebih  dalam  mengenai  fungsi  distribusi, distribusi  bersama,  distribusi  khusus  diskrit  yaitu  distribusi Binomial,  distribusi  Poisson,  distribusi  COM-Poisson, distribusi  COM-Poisson-Binomial,  Maximum  Likelihood Estimation dll.

## B. Kajian Distribusi COM-Poisson
Pada  tahap  ini  dikaji  rumus  distribusi  COM-Poisson dengan  menunjukkan  distribusi  COM-Poisson  adalah generalisasi  distribusi Poisson.

## C. Kajian Distribusi COM-Poisson Binomial
Tahap  ini  rumus  distribusi  COM-Poisson-Binomial yang  merupakan  generalisasi  distribusi  Binomial  terhadap pendekatan distribusi COM-Poisson dan kemudian menentukan  nilai  mean  dan  variansi  dari  distribusi  COM- Poisson-Binomial.

## D. Kajian Maximum Likelihood Estimation
Pada  tahap  ini  setelah  memperoleh  distribusi  COM- Poisson-Binomial  selanjutnya  mengestimasi  parameter distribusi COM-Poisson-Binomial dengan metode Maximum  Likelihood  Estimation.  Dilakukan  dengan mencari  fungsi log likelihood dari distribusi COM-Poisson- Binomial  terlebih  dahulu,  selanjutnya  fungsi  log  likelihood ini akan dicari turunan pertamanya terhadap masing-masing parameter.

## E. Melakukan  Estimasi  pada  Data  dengan  Menggunakan Hasil Estimasi dari Langkah Sebelumnya
Hasil  estimasi  akan  dicoba  pada  sejumlah  data. Persamaan yang diperoleh dari tahap sebelumnya akandigunakan dalam proses simulasi. Kemudian
diselesaikan secara numerik dengan  menggunakan Newton- Raphson.

## F. Penarikan  Kesimpulan  dan  Penulisan  Laporan  Tugas Akhir
Pada  tahap  ini  dilakukan  penarikan  kesimpulan  hasil yang  diperoleh  dari  analisis  dan  pembahasan  serta  saran untuk  penelitian  selanjutnya  terkait  hasil  dari  Tugas  Akhir ini.

## IV. HASIL PENELITIAN DAN PEMBAHASAN

## A. Kajian Distribusi COM-Poisson
Distribusi Distribusi COM-Poisson merupakan generalisasi  dari  distribusi  Poisson.  Dalam  hal  ini  jika ,  maka  pdf  distribusi  COM-Poisson  merupakan  pdf  dari distribusi Poisson.
Untuk ,  subtitusi  ke  persamaan  (4)  diperoleh
distribusi Poisson sebagai berikut:
(       ) (  ) √ (  ) (       ) (  ) √ (  ) (  ) (  )
(  )
Sehingga diperoleh
pdf distribusi Poisson

## (    )

## B. Pdf Distribusi COM-Poisson-Binomial
Distribusi  Distribusi  COM-Poisson  Binomial  dapat merepresentasikan overdispersion dan underdispersion relatif  kepada  distribusi  Binomial  pada  umumnya.  Ketika mengalami underdispersion dan  ketika menunjukkan  terjadinya overdispersion yang  berhubungan dengan  distribusi  Binomial.  Hal  ini  dikarenakan  distribusi COM-Poisson-Binomial di definisikan dari distribusi COM- Poisson  bersyarat  yang  merupakan  penjumlahan  dari  dua variabel COM-Poisson yang independen.
Menggunakan persamaan (2.13) dimisalkan merupakan jumlah pengamatan. Sehingga untuk memperoleh dan , maka perlu dan
, maka diperoleh distribusi bersama dari dan
(    )    [            ]
[                ]
(        )
Karena  variabel
dan
merupakan  variabel
independen distribusi bersama dapat ditulis (    )    ( ) (     )
(  ) ( ) ((     ) ) ( ) ( )
(  ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
dengan distribusi marginal
( )   ∑  (    )
∑ ( ) (  ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (  ) ( ) ( ) ∑ ( ) ( ) ( ) ( )
Sehingga didapatkandistribusi bersyarat dari diketahui dari distribusi bersama pada Persamaan (8)
dan distribusi marginal pada Persamaan (9)
( | ) ( ) ( * ( * ∑ ( ) ( * ( * (  )
dengan p= Persamaan (10) menjadi
( | ) ( ) ( ) (     ) ∑ ( ) ( ) (     ) (  )
dari  Persamaan  (11)  didapatkan  pdf  dari  distribusi  COM- Poisson-Binomial
(          ) ( ) (     ) ∑ ( ) (     ) (  )
dengan :jumlah pengamatan :peluang sukses Distribusi COM-Poisson-Binomial merupakan
generalisasi  dari  distribusi  binomial.  Hal  ini  diperoleh  jika v=1  untuk  m , (   ) dan ,  pdf  distribusi COM-Poisson-Binomial adalah pdf dari distribusi binomial.
(          ) ( ) (     ) ∑ ( ) (     ) ( ) (     ) (     ) ( ) (     ) ( ) (     ) (       )
Teorema 2 [1]
Misal  X  adalah  variabel  COM-Poisson-Binomial  dengan parameter .  Jika dengan konstan, untuk maka ( ) (   ) ∑ ( ) (   ) (  ) ∑ (  ) (  )
Bukti
[     |       ] ( ) (     ) ∑ ( ) (     )
(  ) ((     )   )
(    )
∑ (  ) ((     )   )
(    ) (  ) (    )
∑ (  ) (    ) (  ) ∑
(  )
Untuk  mendapatkan  struktur  tipe  COM-Poisson  untuk pdf  distribusi  COM-Poisson-Binomial,  Persamaan  (12) dibagi pembilang dan penyebutnya dengan (     ) (  )
[              ] ( ) (     ) ∑ ( ) (     ) (  (   ) ) (     ) ∑ (  (   ) ) (     ) (  )
Selanjutnya, Disubtitusikan  ke  Persamaan  (14) sehingga  diperoleh  pdf  dari  distribusi  COM-Poisson- Binomial,  yang  dinotasikan  sebagai  X~CMPB (       ) menjadi
[              ] (    ) (   (     ) ) (  )
dengan
(    )   ∑ (   (     ) )
: jumlah pengamatan
: parameter lokasi
: parameter dispersi
(    ) : konstanta normalisasi

## C. Mean dan Varians distribusi COM-Poisson-Binomial
Pada bagian  ini  akan  diuraikan  cara  memperoleh  mean dan  varians  dari  peubah  acak  X  yang  berdistribusi  COM- Poisson-Binomial.
Dengan  menggunakan  Persamaan  (1)  didapatkan  mean dari distribusi COM-Poisson-Binomial
[ ]   ∑ ( )
∑ (    ) (   (     ) )
(    ) ∑ (   (     ) )
(    ) ∑ (   (     ) ) ( (    ))
Selanjutnya,  dengan  menggunakan  Persamaan  (2) didapatkan varians dari distribusi COM-Poisson-Binomial ( ) [( ) ] ∑ (    ) (   (     ) )
(∑ (    ) (   (     ) ) + ( (∑ (  (   ) ) ) (∑ (  (   ) ) ) (∑ (  (   ) ) ) , ( (∑ (  (   ) ) ) (∑ (  (   ) ) ) (∑ (  (   ) ) ) , [ ]

## D. Estimasi  Parameter  dari  Distribusi  COM-Poisson- Binomial
Estimasi  dari  parameter  distribusi  COM-Poisson- Binomial  bertujuan  untuk  mendapatkan  estimator  dari COM-Poisson-Binomial.  Pada  bagian  ini  akan  dibahas mengenai  bagaimana  mencari  estimator  distribusi  COM- Poisson-Binomial dengan menggunakan Maximum Likelihood  Estimation. Dimisalkan adalah sampel  acak  berukuran  n  yang  berdistribusi  COM-Poisson- Binomial.  Sehingga,  fungsi likelihood dari distribusi COM- Poisson-Binomial didefinisikan oleh
(
)
( ( ( ) ) (    ) *     ( ( ( ) ) (    ) * ( (    ) * ∑ ∑ ( ( ) ) (  )
Oleh  karena  itu,  diperoleh  fungsi  log likelihood sebagai berikut :
( )
(( (    ) * ∑ ∑ ( ( ) ) ) ∑ ∑( ( ) ) (    )           (  )
Selanjutnya dicari turunan fungsi log likelihood terhadap masing-masing parameternya.
Untuk  mendapatkan  turunan  pertama  dari  fungsi log likelihood terhadap dilakukan proses sebagai berikut : (    )
(       ∑ ∑( ( ) ) (    )+
( ∑ ) ( (∑ ( (   ) ) * ∑ ( (   ) ) ,        (  )
Turunan  pertama  log  likelihood  terhadap ,  dilakukan proses sebagai berikut :
(    )
(       ∑ ∑   ( ( ) ) (    )+
( ∑   ( ( ) ) +
(∑ (  (   ) ) (  (   ) ) ) ∑ (  (   ) )
(  )
Persamaan  (18)  dan  (19)  selanjutnya  digunakan  untuk mencari  nilai  estimasi  dari  parameter
Karena persamaan  yang  diperoleh  adalah  persamaan  non  linier Sehingga,  untuk  menyelesaikannya  harus  menggunakan metode  numerik.Metode  numerik  yang  digunakan  adalah metode  Newton  Raphson.  Penggunaan  metode  Newton Raphson dapat dilakukan melalui persamaan(7).
Adapun  elemen-elemen  yang  terdapat  dalam  matriks hessian  merupakan  turunan  kedua  fungsi  log likelihood adalah
[ (    ) (    ) (    ) (    ) ]
Dan adalah  vektor  yang  elemennya  berisi  turunan pertama fungsi log likelihood
[ (    )
(    ) ]

## E. Penerapan  Estimasi  Parameter  Distribusi  COM- Poisson- Binomial
Data  dalam  contoh  ini  merujuk  pada  337  pengamatan pada asosiasi sekunder dari kromosom di Brassika [8] yang disajikan  di  dalam  Tabel  1,  merupakan  kejadian underdispersi dengan mean lebih besar daripada variansnya. Karena data dalam Tabel 1 underdispersi dan jumlah pasang bivalennya  merupakan  data  cacah,  sehingga  dimodelkan dengan distribusi COM-Poisson-Binomial.
Tabel 1. Data asosiasi sekunder dari kromosom di Brassika
Jumlah pasang bivalen ( ) Jumlah data yang diamati Peluang( ) Peluang ( ) berdistribusi CMPB (3, , ) 0 32 0.0949 0.0473 1 103 0.3056 0.2562 2 122 0.3620 0.4464 3 80 0.2374 0.2501 Total 337 0.9999 1
Dengan  menggunakan  Persamaan  (18),  dengan  nilai awal
̅ , dan
hasilnya  ,  didapatkan
nilai  estimasi  parameterpada  iterasi  ke  11  yaitu dan
,  sehingga  data  jumlah  pasang  bivalen ( ) dalam  Tabel  1  berdistribusi  CMPB (       ) atau  dapat ditulis CMPB (3, ,
) dengan pdf
(          ) (   (     ) ) ∑
(  (   ) )
(                   )
(   (     ) ) ∑ (  (   ) )
menyatakan  jumlah  pasang  bivalen.  Dari  pdf tersebut  didapatkan  probabilitas  untuk  masing-masing  nilai seperti pada Tabel 1 kolom ke 4.
Dari  Tabel  1  didapatkan  2  pasang  bivalen  memiliki probabilitas  tertinggi,  sehingga  modus  data  jumlah  pasang bivalen  tersebut  sama  dengan  modus  data  berdistribusi CMPB  (3,
, ).  Sedangkan  mean  dari  data berdistribusi CMPB (3, , ) adalah ( ) ( (    ))
( ) ∑ (  (   ) ) ∑ (  (   ) ) (       ) ∑ (  (   ) ) ∑ (  (   ) ) (      )
Mean  tersebut  hampir  sama  dengan  mean  dari  data jumlah  pasang  bivalen  ( ) yaitu  1.7418.  karena  modus  dan mean  dari  data  jumlah  pasang  bivalen  ( ) hampir  sama dengan  modus  dan  mean  data  berdistribusi  CMPB  (3,
, )  maka  nilai  estimasi  parameter  yang diperoleh cocok dengan data.
V. KESIMPULAN Berdasarkan keseluruhan hasil penelitian dan pembahasan  yang  telah  dilakukan  dalam  penyusunan  tugas akhir ini, dapat diperoleh kesimpulan sebagai berikut :
1. Bentuk  generalisasi  distribusi  Binomial  yang  bertipe distribusi COM-Poisson menjadi COM-Poisson- Binomial  dengan  menjumlahkan  dua  distribusi  COM- Poisson  yang  independen  menghasilkan  pdf  distribusi COM-Poisson-Binomial
(          ) ( ) (   ) ∑ ( ) (   ) . Sehingga  pdf  COM-Poisson-Binomial  yang  bertipe COM-Poisson menjadi X~CMPB( ) (   ) (  (   ) )
Diperoleh  juga  sifat- sifatnya yaitu [ ] ( (   )) ( )
[ ] .
2. Dari  hasil  estimasi  parameter  dari  distribusi  COM- Poisson-Binomial  dengan  menggunakan Maximum Likelihood  Estimation didapatkan  parameter-parameter dari  distribusi  COM-Poisson-Binomial  yang  berupa persamaan-persamaan non linier sebagai berikut:
a. Untuk nilai parameter didapatkan persamaan non linier sebagai berikut:
( ∑ )   ( (∑ (  (   ) ) ) ∑ (  (   ) ) )
b. Untuk nilai parameter didapatkan persamaan non
linier sebagai berikut:
(  ∑   ( ( ) ) +
(∑ (  (   ) ) (  (   ) ) ) ∑ (  (   ) )
Untuk  menyelesaikan  persamaan  non  linier  tersebut digunakan  metode  Newton-Raphson.  Penerapan  data asosiasi  sekunder  dari  kromoson  di  Brassika  pada Maximum Likelihood Estimation COM-Poisson-
Binomial  didapatkan  nilai  estimasi  parameter
dan
.

## DAFTAR PUSTAKA
[1] Shmueli,  G.,  T.  P.  Minka,  J.  B.  Kadane,  Borle,  and  P. Boatwright. 2005. “A Usefu  Ditributio  for Fitting Discrete
Data: Revival of
The Conway-Maxwell-Poisson
Distributio ”.  App ied Statistics, Jour a  of Roya  Statistica
Society 54 no. 1, hal.127-142.
[2] A tham, P.M.E. 1978. ”Two ge era izatio s of the bi omia distributio ”.  J. Roy. Statist. Soc. Ser. C 27, ha . 162-167.
[3] Kupper,  L.L.,  Hasema ,  J.K. 1978.  “The  use of  a  corre ated binomial  model  for  the  analysis  of  certain  toxicological experime ts”. Biometrics 34, ha . 69-76.
[4] Borges,  P.,  Rodrigues,  J.,  Balakrishnan,  N.,  and  B.  Jorge. 2014.    “A  COM-Poisson  Type  Generalization  of  the Bi omia   Distributio   a d  its  Properties  a d  App icatio s”. Statistics and Probability Letters 87, hal.158-166.
[5] Wa po e, R.E. “Pe ga tar Statistika Edisi ke-3”. Jakarta: PT. Gramedia Pustaka Utama.
[6]   Bai ,  L.J.,  a d  E ge hardt,  Max.  1991.  “I troduction  to Probabi ity  a d  Mathematica   Statistics  2 d  editio ”. Belmont, California: Duxbury Press.
[7] Agresti,  A.  2002.  “Categorica   Data  A a ysis  2 d  editio ”. John Wiley and Sons, New York.
[8] Ske  am, J.G. 1948. “A probab i ity distributio  derived from the  binomial  distribution  by  regarding  the  probability  of success  as  variab e  betwee   the  sets  of  tria s”.  J.Roy.
Statist.Soc.Ser. B 10, hal.257-261.