## ANALISIS IPM DI PULAU JAWA MENGGUNAKAN ANALISIS REGRESI KUANTIL
1 Vendy Eka Wahyudi, 2 Ismaini Zain
1,2, Jurusan Statistika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Institut Teknologi Sepuluh November, Surabaya
Alamat e-mail : 1 ve.wahyudi@yahoo.com

## ABSTRAK
Analisis  regresi  merupakan  metode  statistika  untuk  mengetahui  hubungan  antara  variabel respon dengan variabel prediktor. Dalam analisis regresi, salah satu metode estimasi yang sering  digunakan  adalah  OLS  (Ordinary  Least  Square).  Namun  metode  ini  sangat  rentan dipengaruhi  oleh  adanya  pencilan.  Pencilan  dapat  menyebabkan  hasil  estimasi  parameter menjadi tidak stabil. Metode OLS dianggap kurang tepat untuk menganalisis sejumlah data yang  tidak  simetris  karena  nilai  mean  sebagai  penduga  bagi  nilai  tengah  data  menjadi sangat  peka  dengan  adanya  data  pencilan.  Selanjutnya  dikembangkan  metode  regresi kuantil  (Quantile  Regression).  Penduga  parameter  regresi  kuantil  diperoleh  dengan meminimumkan jumlah nilai mutlak dari error. Secara umum ada beberapa kelebihan dari regresi  kuantil,  salah  satunya  adalah  dapat  meminimumkan  pengaruh  dari  pencilan. Penelitian dan pengaplikasian tentang regresi kuantil banyak dilakukan diberbagai bidang oleh negara-negara di dunia. Dari ide itulah maka penelitian ini membahas tentang model regresi kuantil pada kasus IPM (Indek Pembangunan Manusia).
Kata Kunci : IPM, OLS, Regresi, Regresi kuantil

## PENDAHULUAN
Analisis regresi merupakan suatu metode  statistik  yang  mempelajari  tentang pola  hubungan  secara  matematis  antara variabel respon (Y) dengan salah satu atau lebih  prediktor  (X).  Dalam  regresi  linear terdapat beberapa metode estimasi parameter,  salah  satunya  adalah  metode OLS (Ordinary Least Square). Prinsip dari metode  ini  adalah  meminimumkan  jumlah kuadrat  residu  (error).  Namun  demikian, metode  ini  sangat  rentan  dipengaruhi adanya  pencilan  (outlier).  Pencilan  dapat menyebabkan  hasil  estimasi  parameter menjadi  tidak  stabil.  Selain  itu,  analisis regresi  dengan  metode  OLS  didasarkan pada  fungsi  distribusi  mean.  Nilai  mean menunjukkan ukuran pemusatan dari suatu distribusi sehingga hanya sedikit informasi yang diketahui dari keseluruhan distribusi.
Oleh  sebab  itu  pendekatan  dengan  metode ini  hanya  mampu  menduga  model  dari fungsi  bersyarat  mean  dan  tidak  mewakili keseluruhan data dari distribusi. Pendekatan  mean  menjadi  kurang  tepat digunakan  sebagai  penduga  bagi  nilai tengah  data [17] .  Akhirnya  dikembangkan metode regresi kuantil (Quantile
Regression).
Regresi  kuantil  ini  merupakan  metode yang berguna dalam mengestimasi parameter,  metode  ini  tidak  mudah terpengaruh oleh kehadiran pencilan sehingga  pencilan  menjauh  dan  tidak mengganggu kestabilan data yang diperoleh.  Selain  itu,  metode  ini  dapat memberikan  hasil  yang  tepat  dan  stabil pada  kehadiran  pencilan  serta  dapat membatasi  pengaruh  dari  pencilan [12] . Kelebihan  dari  regresi  kuantil,  salah satunya  adalah  dapat  meminimumkan
pengaruh dari pencilan [19] . Penaksir parameter  yang  digunakan  dalam  regresi kuantil  sama  dengan  metode  OLS  yaitu meminimumkan jumlah kuadrat sisaan [17] . Penelitian  sebelumnya  yang  berkaitan dengan  regresi  kuantil  pernah  dilakukan oleh [7],  [10],  [11],  [18],  [21],  [22] .  Analisi  regresi kuantil  juga  pernah  diaplikasikan  ke bidang  lain,  seperti  sosiologi [14];  [15];  [16] , ekologi dan ilmu lingkungan [9]; [25] , bidang kesehatan [2];  [26] ,  serta  bidang  sosial  dan kependudukan [1] .
IPM  (Indek  Pembangunan  Manusia) merupakan  salah  satu  contoh  kasus  pada bidang  sosial  dan  kependudukan.  IPM adalah suatu tolak ukur angka kesejahteraan  suatu  daerah  atau  negara yang  dilihat  berdasarkan  tiga  dimensi yaitu:  (1)  Angka  harapan  hidup  pada waktu  lahir  (life  expectancy  at  birth);  (2) Angka  melek  huruf  (literacy  rate)  dan rata-rata  lama  sekolah  (mean  years  of schooling);  (3)  Kemampuan  daya  beli (purchasing power parity). Ketiga indikator  tersebut  saling  mempengaruhi satu sama lain, selain itu dapat dipengaruhi oleh  faktor-faktor  lain  (United  Nation Development Programme, UNDP, 1990).
Metode-metode  yang  pernah  dilakukan dalam  penelitian  tentang  faktor-faktor yang  mempengaruhi  IPM  adalah  regresi probit spasial [24] . Kajian mengenai indikator IPM juga telah banyak dilakukan antara lain, variabel-variabel yang berpengaruh terhadap IPM Sulawesi
Selatan  adalah  pertumbuhan  ekonomi, persentase  penduduk  miskin,  pengeluaran pemerintah di bidang pendidikan, pengeluaran pemerintah di bidang kesehatan  dan  ketimpangan  distribusi pendapatan [23] . Menguji
bagaimana pengaruh  pengeluaran  pemerintah  daerah khususnya bidang pendidikan dan kesehatan,  investasi  swasta  dan  distribusi pendapatan  proksi  indeks  Gini  terhadap IPM  dalam  konteks  regional  (antar provinsi)  di  Indonesia [6] .  Semakin  tinggi angka  keluhan  kesehatan  maka  akan mengurangi angka harapan hidup sehingga
mengakibatkan penuruna IPM suatu daerah [4] . Selain itu, rata-rata umur kawin pertama wanita mempunyai pengaruh yang positif terhadap nilai IPM [3] .
Indikator-indikator yang mempengaruhi IPM  Kabupaten/Kota  di  Pulau  Jawa memiliki  data  yang  menyebar.  Selain  itu dari  diagram  pencar  antara  variabel  Y dengan masing-masing variabel X menunjukkan  data  yang  outlier [24] ,  maka regresi  kuantil  cocok  diterapkan  untuk menganalisis  data  ini  dan  sejauh  ini penelitian  tetang  indikator  IPM  dengan regresi kuantil belum pernah dilakukan.
Model regresi kuantil (Quantile Regression)  pertama  kali  diperkenalkan oleh [19] ,  dapat  dianggap  sebagai  perluasan dari  model  OLS.  Secara  khusus,  regresi OLS  hanya  memperkirakan  bagaimana variabel prediktor terkait dengan nilai rata- rata  variabel  respon,  sedangkan  regresi kuantil memungkinkan untuk model prediktor
terhadap berbagai lokasi/pengukuran variabel respon. Karena sifatnya  yang  robust  terhadap  pencilan maka regresi kuantil cocok untuk menganalisis sejumlah data yang bentuknya  tidak  simetris  serta  distribusi datanya tidak homogen.
Secara statistik, fungsi distribusi probabilitas  dari  variabel  random    dapat dinyatakan sebagai berikut [8]; [20] :
= ≤
dan  fungsi  distribusi  probabilitas  pada kuantil  ke-   dari  X  dapat  ditulis  sebagai berikut.
= : ≥
di mana 0 < < 1 . Seperti  halnya  dengan  metode  OLS yang  meminimumkan  jumlah  kuadrat sisaan  untuk  mencari  nilai  dugaan  bagi  , maka  dalam  regresi  kuantil,  kuantil    ke- dari F dapat diperoleh dengan meminimumkan fungsi (1) terhadap  .
− = − 1 − ∞ ! + − ! ∞ (1)
Dengan  meminimumkan  persamaan  (1), maka diperoleh persamaan sebagai berikut.
0 = 1 − # ! − # ! ∞ ∞ = 1 − − $1 − % = −
Sehingga  kuantil  ke-   merupakan  solusi dari F.
Jika  X  merupakan  fungsi  dari  Y  yang telah  diketahui,  memiliki  peluang
, kuantil    ke-   dari  fungsi  tersebut  dapat ditulis  sebagai
= '
= . ' merupakan  fungsi  dari  Y  yang  dapat diselesaikan  dengan  persamaan  sebagai berikut.
( − 1 − ! + ∞ − ! ∞ (2)
' 0.5 adalah  median  X  (sebagai  fungsi dari  Y)  yang  menunjukkan  titik  simetri dari  F;  untuk    mendekati  0  atau  1, ' menunjukkan  ekor  kiri  atau  kanan  dari  F. Dalam  notasi  matrik,  jika ' adalah fungsi linear + ′ , yang dinotasikan dengan - ,  maka  persaman  (2)  dapat  ditulis menjadi.
( − 1 − ′ ! + . ′ / ∞ − ′ ! ∞ (3)
Solusi  dari  persamaan  (3)  ini  dinotasikan sebagai 0 dan  kuantil  X  (sebagai  fungsi dari Y) ke-  adalah ' = ′ 0 .
Misal  diberikan  data
1 2 , 2 untuk = 1, 2, … , , di mana 2 berukuran 6   1 , maka  model  linear  dari  persamaan  regresi kuantil dapat dituliskan sebagai berikut.
7 8 = + 8 ′ , + 9 8
Dengan ' 1 2 | 2 = 2 ′ merupakan kuantil  ke- 0 < < 1 dari 1 dengan suatu nilai 2 tertentu. Penduga bagi   dari regresi  kuantil  ke-   diperoleh  dengan meminimumkan  jumlah  nilai  mutlak  dari error  dengan  pembobot untuk  error positif  dan  pembobot 1 − untuk  error negatif yaitu sebagai berikut.
; = min / ? ∑ A1 2 − 2 ′ A 2;C D E D + 1 − ∑ A1 2 − 2 ′ A 2;C D F D G (4)
min HIJ ∑ 1 2 − - K 2L (5)
di mana
M = MN − O M < 0 P
Estimasi koefisien variabel penjelas kemudian dapat diperoleh dengan memecahkan fungsi sebagai berikut. ; = argmin HIJ T 1 2 − 2 ′ K 2L
Solusi  dari  persamaan  (3)  tidak  dapat diperoleh secara analitik, melainkan secara numerik  seperti  dengan  metode  simplex, metode interior point atau metode smoothing.
Interpretasi  pada  regresi  kuantil  sedikit berbeda  dengan  regresi  OLS.  Dalam regresi  OLS,  koefisien  prediktor  tertentu X,  merupakan  perubahan  yang  diharapkan dalam  variabel  dependen/respon  yang terkait dengan suatu unit perubahan dalam X,  sedangkan  pada  regresi  kuantil, koefisien  prediktor  X  pada  kuantil  ke- dapat  diinterpretasikan  secara  marginal,  di mana  relative  sesuai  dengan  nilai  kuantil ke-   dengan  suatu  unit  perubahan  dalam X.  Nilai berkisar  antara  0  dan  1, koefisien yang diestimasi dalam pemodelan  dapat  lebih  dari  satu  atau banyak,  dan  umumnya  nilai  kuartil  yang digunakan adalah 0,5.
Dalam  analisis  regresi  kuantil  terdapat tiga  metode  untuk  menghitung  selang kepercayaan bagi  , yaitu metode sparsity, metode rank, dan metode resampling [19] .

## METODE PENELITIAN

## Sumber Data dan Variabel Penelitian
Penelitian  ini  akan  membahas  indikator yang  mempengaruhi  IPM  di  Pulau  Jawa dengan menggunakan regresi kuantil. Data yang  digunakan  dalam  penelitian  ini adalah  data  sekunder  hasil  Survei  Sosial Ekonomi  Nasional  (SUSENAS)  di  Pulau Jawa  oleh  BPS  (Badan  Pusat  Statistik) tahun  2010.  Unit  pengamatan  pada penelitian ini terdiri dari 118 kabupaten/kota di Pulau Jawa. Variabel yang digunakan pada penelitian ini sebanyak 7 variabel. Variabel tersebut terbagi atas satu variabel
respon  dan  enam  variabel  prediktor. Variabel  yang  berperan  sebagai  veriabel respon  (Y)  adalah  Indeks  Pembangunan Manusia  (IPM).  Variabel  respon  ini bersifat continue.
Sedangkan  variabel  prediktor  yang dipakai dalam penelitian ini meliputi
1. Persentase  penduduk  yang  tinggal  di perkotaan (X 1 ) adalah jumlah penduduk  yang  tinggal  di  daerah perkotaan dalam jangka waktu tertentu. 2. Persentase penduduk yang berpendidikan  di  atas  SLTP  (X 2 ) adalah penduduk yang telah menamatkan pendidikan setingkat SLTP  atau  jenjang  pendidikan  yang lebih tinggi.
3. Rasio  ketergantungan  penduduk  (X 3 ) menunjukkan beban tanggungan penduduk usia produktif (15-64 tahun)
terhadap penduduk usia muda (kurang dari  15  tahun)  dan  penduduk  usia  tua (65 tahun atau lebih) [3] .
4. Peranan  sektor  industri  dalam  PDRB (X 4 ).  PDRB  merupakan  jumlah  nilai tambah  atas  barang  dan  jasa yang dihasilkan oleh berbagai unit produksi di  suatu  wilayah  dalam  jangka  waktu tertentu.
5. Persentase  penduduk  yang  mengalami keluhan  kesehatan  (X 5 ).  Semakin tinggi  angka  keluhan  kesehatan  maka akan mengurangi angka harapan hidup sehingga  mengakibatkan  penurunan IPM suatu daerah [4] .
6. Rata-rata  umur  kawin  pertama  wanita (X 8 ).  Semakin  tinggi  rata-rata  umur kawin  pertama  wanita  di  suatu provinsi  menyebabkan  nilai  IPM  di provinsi tersebut semakin tinggi [3] .

## Metode Analisis
Berdasarkan  studi  awal  menunjukkan adanya  pencilan  pada  data,  langkah pertama  dalam  analisis  regresi  kuantil adalah  melakukan  estimasi  pada  nilai kuatil,  yaitu    =  0,50.  Parameter  regresi
kuantil  diduga  dengan  metode  simpleks, selang      kepercayaan  koefisien  regresi kuantil diperoleh dengan metode resampling.

## HASIL PENELITIAN
Scatterplot  antara  nilai  IPM  dan indikator yang mempengaruhi dapat dilihat pada Gambar 1.
100 50 0 60 40 20 15 10 5 80 75 70 65 60 60 50 40 80 75 70 65 60 30 15 0 21,0 18,5 16,0 X1 Y X2 X3 X4 X5 X6
Gambar 1 Scatterplot antara nilai IPM dan faktor-

## faktor yang mempengaruhinya
Scatterplot  antara  variabel  Y  dengan variabel X terlihat bahwa terdapat pencilan data  yaitu  pada  kabupaten  Sampang, Bondowoso, Probolinggo, Situbondo,
Pamekasan dan Jember. Langkah
selanjutnya adalah melakukan estimas nilai kuantil =  0,50  untuk  masing-masing koefisien  regresi.  Hasil  estimasi  dengan regresi kuantil ditunjukkan pada Tabel 1.
Tabel 1 Estimasi Parameter Regresi Kuantil
Variabel Estimasi p_value Konstanta X1 X2 X3 X4 X5 X6 43.745330 0.005925 0.129669 0.138378 0.115428 -0.168921 0.963710 0.000 0.540 0.001 0.048 0.005 0.000 0.000
Berdasarkan  hasil  yang  diperoleh  pada Tabel  1,  pemodelan  indikator  yang mempengaruhi  IPM  Kabupaten/Kota  di Pulau  Jawa  dengan  pendekatan  regresi kuantil adalah sebagai berikut.
1 = 43.75 + 0.0059 + 0.1297 Y + 0.1384 [ + 0.1154 \ − 0.1689 ^ + 0.9637 _ Pada  metode  regresi  kuantil,  variabel- variabel  yang berpengaruh signifikan pada taraf ` = 5% adalah  persentase  penduduk yang  berpendidikan  di  atas  SLTP  (X 2 ), rasio  ketergantungan  penduduk  (X 3 ), peranan sektor industry dalam PDRB (X 4 ), persentase  penduduk  yang  mengalami keluhan kesehatan (X 5 ), dan rata-rata umur kawin  pertama  wanita  (X 6 ).  Nilai  dari koefisien determinasi atau R square adalah 0.5726  hal  ini  menunjukkan  bahwa  57% indikator  IPM  mampu  dijelaskan  oleh variabel-variabel  X 1 ,  X 2 ,  X 3 ,  X 4 ,  X 5 ,  X 6 , sedangkan  43%  sisanya  dijelaskan  oleh variabel lainnya.
Dari  model 1 = 43.75 + 0.0059 + 0.1297 Y + 0.1384 [ + 0.1154 \ −
0.1689 ^ + 0.9637 _ dapat  dijelaskan bahwa  apabila  nilai  dari  semua  variabel  X sama  dengan  nol  maka  nilai  IPM  adalah 43.75.  Sebaliknya,  dengan  kenaikan  1 satuan  persentase  penduduk  yang  tinggal di  perkotaan  dan  nol  buat  variabel  yang lainnya  maka  akan  meningkatkan  IPM sekitar 0.0059. Kenaikan 1 satuan persentase  penduduk  yang  mengalami keluhan  kesehatan  dan  nol  buat  variabel yang  lainnya  maka  akan  mengurangi  IPM sekitar 0.1689.
Selang  kepercayaan  bagi  penduga parameter 0 , , Y , [ , \ , ^ , _ dengan nilai ` = 5% adalah sebagai berikut.

## Tabel 2 Selang Kepercayaan
Variabel Selang Kepercayaan batas bawah batas atas Konstanta X1 X2 X3 X4 X5 X6 36.445270 -0.013194 0.055973 0.000975 0.035489 -0.251409 0.494532 51.04540 0.02504 0.20336 0.27578 0.19537 -0.08643 1.43289

## KESIMPULAN
Berdasarkan  hasil  dan  pembahasan dapat disimpulkan bahwa dengan menggunakan  regresi  kuantil  indikator yang  mempengaruhi  IPM  Kabupaten/Kota di pulau Jawa adalah persentase penduduk yang  berpendidikan  di  atas  SLTP  (X 2 ), rasio  ketergantungan  penduduk  (X 3 ), peranan sektor industri dalam PDRB (X 4 ), persentase  penduduk  yang  mengalami keluhan kesehatan (X 5 ), dan rata-rata umur kawin  pertama  wanita  (X 6 ).  Nilai  dari koefisien determinasi atau R square adalah 0.5726  hal  ini  menunjukkan  bahwa  57% indikator  IPM  mampu  dijelaskan  oleh variabel-variabel  X 1 ,  X 2 ,  X 3 ,  X 4 ,  X 5 ,  X 6 , sedangkan  43%  sisanya  dijelaskan  oleh variabel lainnya.

## DAFTAR PUSTAKA
[1] Abreveya,  J.  (2001).  The  effects  of Demographics  and  Maternal  Behavior on the Destribution of Birth Outcomes. Empirical Economics, 26, 247-257.
[2] Austin, P., Tu, J., Daly, P., & Alter, D. (2005).  The  use  of  quantile  regression in  health  care  research:  A  case  study examining  gender  differences  in  the timeliness  of  thrombolytic  therapy. Statistics in Medicine, 24, 791–816.
[3] BPS.  (2008).  Indeks  Pembangunan Manusia 2009-2010. BPS, Jakarta.
[4] BPS.  (2009).  Indeks  Pembangunan Manusia 2009-2010. BPS, Jakarta.
[5] BPS.,  (2011).  Indeks  Pembangunan Manusia 2009-2010. BPS, Jakarta.
[6] Brata,  A.G.  (2005).  Investasi  Sektor Publik  Lokal,  Pembangunan  Manusia, dan Kemiskinan. Yogyakarta:
Lembaga  Penelitian  Universitas  Atma Jaya.
[7] Buchinsky,  M.  (1994).  Changes  in  the U.S. wage structure 1963–1987: Application  of  quantile  regression. Econometrica, 62, 405–458.
[8] Buhai,  S.  (2005).  Quantile  regression: overview  and  selected  applications. Ad-Astra The Young Romanian Scientists’ Journal, 5(1), 1e17
[9] Cade,  B.  S.,  Terrell,  J.  W.,  & Schroeder,  R.  L.  (1999).  Estimating effects of limiting factors with regression quantiles. Ecology, 80, 311– 323.
[10] Chamberlain,  G.  (1994).  Quantile regression, censoring and the structure of  wages.  In  C.  Skins  (Ed.),  Advances in Econometrics (pp. 171–209). Cambridge, UK: Cambridge University Press.
[11] Eide,  E.  R.,  &  Showalter,  M.  H. (1999). Factors affecting the transmission of earnings across generations:  A  quantile  regression approach.    The  Journal  of  Human Resources, 34, 253–267.
[12] Furno, M. (2007). Parameter Instability  in  Kuantil  Regressions. Statistical Modelling. 7(4) : 345-362.
[13] Ginanjar, K. (1996). Pembangunan
Untuk Rakyat, Memadukan Pertumbuhan dan Pemerataan.
Jakarta, Pusat Cidessindo.
[14] Hao,  L.  (2005).  Immigration  and wealth  inequality:  A  distributional approach.  Invited  seminar  at  The Center  for  the  Study  of  Wealth  and Inequality, Columbia University.
[15] Hao, L. (2006a).  Sources of wealth inequality: Analyzing conditional distribution.  Invited  seminar  at  The Center  for  Advanced  Social  Science Research, New York University.
[16] Hao, L. (2006b). Sources of wealth inequality: Analyzing conditional location  and  shape  shifts.    Paper presented  at  the  Research  Committee on  Social  Stratification  and  Mobility (RC28) of the International Sociological  Association  (ISA)  Spring meeting 2006 in Nijmegen, the Netherlands.
[17] Hao,  L.,  &  Naiman,  D.  Q.  (2007). Quantile Regression. Sage Publications, Inc. [18] Kim,  T.,  &  White,  H.  (2003). Estimation,  inference  and  specification testing for possibly misspecified quantile  regression.  In  Fomby  T  dan Hills  RC  eds,  Maximum  likelihood estimation  of  misspecified  models: twenty years later. NewYork: Elsevier, 107-132.
[19] Koenker,  R.,  &  Bassett,  G.  (1978). Regression  Quantiles.  Econometrica: Journal  of  the  Econometric  Society, 46(1), 33e50.
[20] Koenker,  R.,  &  Hallock,  K.  F.
(2001). Quantile regression: an introduction. The Journal of Economic Perspectives, 15(4), 143 e156.
[21] Machado,  J.,  &  Mata,  J.  (2005). Counterfactual decomposition of changes  in  wage  distributions  using quantile regression. Journal of Applied Econometrics, 20,445–465.
[22] Melly, B. (2005). Decomposition of differences in distribution using quantile regression. Labour Economics, 12, 577–590.
[23] Patta,  D.  (2012).  Analisis  Faktor- faktor  yang  Mempengaruhi  Indeks Pembangunan  Manusia  di  Sulawesi Selatan  Periode  2010-2011.  Tesis Master. Universitas Hasanudin.
[24] Puspit,  F.  I.  (2013).  Model  Probit Spasial pada Faktor-Faktor yang Mempengaruhi  Klasifikasi  IPM  di Pulau  Jawa.  Tesis  Master.  ITS. Surabaya.
[25] Scharf,  F.  S.,  Juanes,  F.,  & Sutherland, M. (1989). Inferring ecological relationships from the edges of  scatter  diagrams:  Comparison  of regression  techniques.  Ecology,  79, 448–460.
[26] Wei,  Y.,  Pere,  A.,  Koenker,  R.,  & He,  X.  (2006).  Quantile  regression methods  for  reference  growth  charts. Statistics in Medicine, 25, 1369–1382.