Vol. 12, No. 2,  164-172,  Januari  2016
Pendugaan Amatan Yang Hilang Pada Rancangan Acak Kelompok (RAK)
Kismiantini 

## Abstrak
Pengumpulan  data  dengan  metode  percobaan  seringkali  ditemui  adanya  data  hilang.  Hal  ini disebabkan  diantaranya  oleh  kecerobohan  peneliti  atau  kerusakan  unit  percobaan  yang  tidak dapat dihindari. Masalah data hilang pada rancangan acak lengkap dengan ulangan sama dapat diatasi  dengan  ulangan  tidak  sama.  Namun  data  hilang  pada  rancangan  acak  kelompok  tidak dapat  diatasi  dengan  cara  tersebut,  karena  ulangan  pada  rancangan  ini  berperan  sebagai kelompok. Salah satu metode untuk menduga data hilang pada rancangan acak kelompok adalah dengan metode Least Mean Square (LMS). Masalah data hilang pada rancangan acak kelompok akan berakibat pada hasil analisis ragamnya, yaitu derajat bebas galat akan berkurang sebanyak total data hilang, dan besarnya jumlah kuadrat galat akan semakin kecil seiring dengan semakin banyaknya data hilang.
Kata Kunci : Rancangan  acak  kelompok,  data  hilang,  Least  Mean  Square  (LMS), analisis ragam.

## 1.   Pendahuluan
Metode  percobaan  merupakan  salah  satu  metode  pengumpulan  data  yang  berguna untuk  menciptakan  jenis  perlakuan  yang  diinginkan,  dengan  mengamati  perubahan-perubahan yang  terjadi  pada  responsnya  (Aunuddin,  2005).  Berdasarkan  metode  percobaan  ini  muncullah berbagai jenis rancangan. Secara garis besar rancangan percobaan diklasifikasikan menjadi dua, yaitu rancangan perlakuan, misalnya rancangan satu faktor, dua faktor, tiga faktor atau lebih, dan rancangan  lingkungan  seperti  Rancangan  Acak  Lengkap  (RAL),  Rancangan  Acak  Kelompok Lengkap  (RAKL)  atau  yang  lebih  dikenal  dengan  Rancangan  Acak  Kelompok  (RAK), Rancangan Bujur Sangkar Latin (RBSL), dan sebagainya.
Seringkali  pada  pengumpulan  data  percobaan,  terdapat  pengamatan  yang  hilang  yang disebabkan  oleh  kecerobohan  atau  kerusakan  unit  percobaan  yang  tidak  dapat  dihindari (Montgomery, 1995), dimana hal tersebut akan berpengaruh pada teknik analisis ragamnya. Data hilang ini akan memberikan hasil analisis yang tidak valid, analisis ragam akan menyimpang, dan koefisien  keragaman  (KK)  menjadi  lebih  besar  atau  di  atas  50%  (Sutarno,  2004).  Bila  masalah data  hilang  ini  dijumpai  pada  RAL  yang  semula  dirancang  dengan  ulangan  sama,  maka  hal tersebut  dapat  diatasi  dengan  ulangan  tidak  sama.  Namun  bila  data  hilang  terjadi  pada  RAK, maka cara mengatasi sebagaimana yang dilakukan pada RAL tidak lagi dapat digunakan, karena ulangan pada rancangan ini digunakan sebagai kelompok. Ada berbagai metode untuk mengatasi hal  tersebut,  di  antaranya  dengan  cara  transformasi  data,  dan Least  Mean  Square (LMS).  Pada makalah ini akan dibahas masalah pendugaan data hilang pada RAK dengan menggunakan Least Mean Square (LMS).
 Staf Pengajar pada Jurusan Pendidikan Matematika, FMIPA Universitas Negeri Yogyakarta

## 1. Rancangan Acak Kelompok (RAK)
Rancangan  Acak  Kelompok  (RAKL)  baik  digunakan  jika  kehetorogenan  unit percobaan  berasal  dari  satu  sumber  keragaman  (Mattjik  &  Sumertajaya,  2006).  Rancangan  ini digunakan  bila  unit  percobaan  tidak  lagi  relatif  homogen,  dimana  unit  percobaan  tersebut selanjutnya  dikelompokkan  dengan  maksud  untuk  mengurangi  galat  atau  error  dari  percobaan yang  mungkin  terjadi. Montgomery  (1995)  memberikan  model    linier   aditif  dari  RAK,  dimana rancangan  perlakuan  yang  digunakan  adalah  rancangan  satu  faktor,  dalam  bentuk  persamaan berikut :
         b j a i y ij j i ij , , 2 , 1 , , 2 , 1
      (1)
dimana  : rata-rata keseluruhan
i  : pengaruh perlakuan ke- i
j  : pengaruh kelompok ke- j
ij  : galat dengan   2 , 0 ~   N ij .
Pada  RAK,  jika  faktor  pada  model  linier  aditif    pada  (1)  diasumsikan  tetap,  maka model linier aditifnya disebut sebagai model tetap ( fix model ). Sehingga model pada persamaan (1) di atas di atas dianggap memenuhi asumsi model tetap, yaitu
0 1    a i i  , 0 1    b j j  , dan   2 , 0 ~   N bsi ij .
Sedangkan  jika  faktor  pada  model  linier  aditif  yang  digunakan  pada  persamaan  (1)  di  atas diasumsikan  acak,  maka  model  linier  aditifnya  disebut  sebagai  model  acak  (random  number), sehingga model pada (1) dianggap memenuhi
  2 , 0 ~    N bsi i ,   2 , 0 ~    N bsi j , dan   2 , 0 ~ 
 N bsi ij .
Sebagaimana  yang  dikemukakan  sebelumnya,  masalah  data  atau  amatan  yang  hilang akan  berpengaruh  besar  pada  hasil  analisis  ragam  dari  model  yang  digunakan.  Makalah  ini difokuskan  pada  simulasi  pendugaan  data/amatan  yang  hilang  pada  beberapa  kondisi  untuk menjelaskan  pengaruh  data/amatan  yang  hilang  itu,  dalam  bentuk  ilustrasi  kasus  pada  berbagai kondisi tersebut. Ilustrasi yang dimaksud adalah gugus data awal tanpa adanya data/amatan yang hilang,  gugus  data  awal  dimana  terdapat  satu  data/amatan  yang  hilang,  dan  gugus  data  awal dimana  terdapat  dua  data/amatan  yang  hilang.  Selanjutnya,  akan  dilihat  bagaimana  hasil  tabel analisis  ragam  pada  masing-masing  kondisi,  serta  melakukan  pendugaan  data/amatan  yang hilang  dengan  metode  LMS.  Untuk  itu,  bagaimana  uraian  mengenai  penggunaan  LMS  akan diberikan langsung pada ilustrasi yang berhubungan.
2. Ilustrasi Pendugaan Data Hilang pada Rancangan Acak Kelompok (RAK)
3.1  Ilustrasi Model RAK Tanpa Ada Data Hilang

## Kismiantini
Suatu  percobaan  dilakukan  untuk  mengetahui  keausan  suatu  ban.  Telah  dilakukan penelitian  dengan  menggunakan  Rancangan  Acak  Kelompok  (RAK).  Sebagai  perlakuan didasarkan  pada  jenis  ban  yang  digunakan,  dan  taraf  atau  level  dari  perlakuan  yang  digunakan dimisalkan  dengan    jenis  ban  A,  B,  C,  dan  D.  Sedangkan  jenis  mobil  dianggap  sebagai  faktor kelompok, dimana dalam penelitian ini dimisalkan dengan jenis mobil I, II, III dan IV. Sedangkan yang menjadi respon adalah masa pemakaian ban dalam 20000 mil. Pada tabel berikut diberikan data yang digunakan dalam makalah ini.
Tabel 1. Data Lengkap untuk Masa Pemakaian Ban
Mobil Ban y .j A B C D I 17 14 12 13 56 II 14 14 12 11 51 III 13 13 10 11 47 IV 13 8 9 9 39 y i. 57 49 43 44 193
Teknik analisis ragam untuk data pada ilustrasi tersebut dapat diselesaikan dengan menggunakan bantuan software SAS 9.1. Program yang digunakan diberikan pada kotak berikut.
data ban; input mobil merk$ pemakaian@@;
datalines ;
1 A 17 1 B 14 1 C 12 1 D 13
2 A 14 2 B 14 2 C 12 2 D 11 3 A 13 3 B 13 3 C 10 3 D 11 4 A 13 4 B  8 4 C  9 4 D  9 ; proc print ; run ; proc anova ;
class mobil merk;
model pemakaian=mobil merk;
run ;
Selanjutnya,  diperoleh  ringkasan  tabel  analisis  ragam  dari  hasil  pengolahan  SAS  9.1,  yang diberikan pada Tabel 2 berikut.
Tabel 2. Analisis Ragam pada Data Lengkap untuk Masa Pemakaian Ban
Sumber Keragaman  db JK KT F hit Pr > F Kelompok 3 38.6875  12.89583333  10.04     0.0031 Perlakuan 3 30.6875  10.22916667 7.96     0.0067 Galat 9 11.5625 1.28472222 Total 15  80.9375 R 2 = 0.857143, KK = 9.396525, RMSEP = 1.133456.
Dari ilustrasi data di atas, diketahui bahwa model linier aditif untuk perlakuan penggunaan jenis ban  mobil  merupakan  model  tetap  ( fix  model ),  karena  perlakuan  hanya  didasarkan  pada  empat level  jenis  ban  yang  dicobakan,  sehingga  kesimpulan  akhir  juga  akan  berkisar  hanya  pada keempat jenis  ban  tersebut.  Dari  tabel  di atas  terlihat  bahwa  nilai  Kuadrat Tengah  Galat  (KTG)
yang diperoleh adalah 1.284, dengan nilai nilai statistik uji F yang diperoleh adalah 7.96, dengan signifikansi  0.0067.  Maka  dapat  dikatakan  bahwa  bahwa  ada  pengaruh  yang  signifikan penggunaan  keempat  jenis  ban  yang  berbeda,  yaitu  A,  B,  C  dan  D  terhadap  aus  tidaknya  ban dalam pemakaian.

## 3.2  Ilustrasi Model RAK dengan Satu Amatan yang Hilang
Untuk  menjelaskan  penggunaan  metode Least  Mean  Square pada  data  hilang  satu pengamatan  pada  rancangan  acak  kelompok,  digunakan  ilustrasi  yang  sama  dengan  ilustrasi  di atas,  namun  terdapat  satu  data  yang  hilang  seperti  yang  ditunjukkan  pada  tabel  berikut.  Pada Tabel 3, amatan yang hilang dinotasikan dengan  huruf x .
Tabel 3. Data untuk Masa Pemakaian Ban
Mobil Ban y .j A B C D I 17 14 12 13 56 II 14 14 12 11 51 III 13 13 x 11 37 + x IV 13 8 9 9 39 y i. 57 49 33 + x 44 183 + x
Secara umum, untuk mencari jumlah kuadrat galat (JKG) dari suatu model linier aditif sebagaimana yang diberikan pada persamaan (1), dan dengan menggunakan rancangan perlakuan RAK  yang  sering  disebut  juga  RAK  lengkap  atau  RAKL  ( Randomized  Completely  Block Design ), dengan a perlakuan dan b kelompok adalah
  2 1 1 .. . .        a i b j j i ij y y y y JKG (2) 2 1 1 2 1 1 2 1 1 1 1 2 1 1 1                                     a i b j ij b j a i ij a i b j ij a i b j ij y ab y a y b y JKG (3)       R x y ab x y a x y b x JKG j i         2 ' .. 2 ' . 2 ' . 2 1 1 1 (4)
dimana ' .. y : total pengamatan dengan satu data hilang
' . i y : total perlakuan dengan pengamatan satu data hilang ' . j y : total kelompok dengan satu pengamatan data hilang
R : konstanta yang tidak memuat data hilang x .
Selanjutnya, jika JKG diturunkan terhadap x dan disamakan dengan nol, maka dapat ditulis   0  dx JKG d (5)
Sehingga diperoleh rumus umum untuk data hilang satu pengamatan sebagai berikut :
   1 1 ' .. ' . ' .      b a y by ay x j i (6)
Jika nilai amatan yang hilang sudah dapat diduga atau diketahui, maka tabel analisis ragam untuk data  sudah  dapat  ditentukan  menggunakan  cara  yang  biasa  digunakan  pada  permasalahan Perancangan Percobaan lainnya.
Diketahui bahwa jumlah kuadrat galat dari Rancangan Acak Kelompok (RAK) dengan model linier aditif pada persamaan (1), sebagaimana yang diuraikan pada persamaan (2) sampai (4), maka  diperoleh :
JKG = JKT – JKP – JKK
N y y a y b y b j j a i i a i b j ij 2 .. 1 2 . 1 2 . 1 1 2 1 1           
Berdasarkan  nilai  pada  Tabel  3  di  atas  dan  dengan  menggunakan  (4),  maka  diperoleh  jumlah kuadrat galat atau JKG menjadi :
      R x x x x JKG         16 183 37 4 1 33 4 1 2 2 2 2 ,
dengan R adalah konstanta yang tidak memuat x . Selanjutnya JKG tersebut diturunkan terhadap x dan disamakan dengan nol untuk mendapatkan nilai amatan yang hilang. Atau,
        x x x x dx JKG d        183 16 2 37 4 2 33 4 2 2 dan   0  dx JKG d
sehingga
x = 10.78
Sebagai  akibat  dari  proses  pendugaan  amatan  hilang  di  atas,  maka  derajat  bebas  bagi  galat berkurang satu.
Untuk  mendapatkan tabel analisis ragam pada data dimana terdapat satu amatan yang hilang, maka akan digunakan bantuan software SAS 9.1 dengan  perintah sebagai berikut.
data ban;
input mobil merk$ pemakaian@@;
datalines ;
1 A 17 1 B 14 1 C 12 1 D 13
2 A 14 2 B 14 2 C 12 2 D 11 3 A 13 3 B 13 3 C  . 3 D 11 4 A 13 4 B  8 4 C  9 4 D  9 ; proc print ; run ; proc anova ; class mobil merk;
Kismiantini
model pemakaian=mobil merk; run ;
Hasil ringkasan tabel analisis ragam dari output SAS 9.1, dimana amatan yang hilang belum diketahui/diduga nilainya, diperlihatkan pada Tabel 4 berikut.
Tabel 4. Analisis Ragam untuk Satu Amatan Hilang, Data Masa Pemakaian Ban.
Sumber Keragaman db JK KT F hit Pr > F Kelompok 3 38.23333333 12.74444444        9.05      0.0060 Perlakuan 3 26.90000000 8.96666667         6.37      0.0163 Galat 8 11.26666667 1.40833333 Total 14 76.40000000 R 2 = 0.852531, KK = 9.727313, RMSEP = 1.186732
Terlihat dari tabel di atas bahwa nilai derajat bebas total berkurang 1 dari nilai derajat bebas total pada  Tabel  2.  Terlihat  juga  bahwa  nilai  KTG  atau  RMSEP  untuk  data  dengan  1  amatan  hilang meningkat  dibandingkan  dengan  data  dimana  tidak  ada  amatan  yang  hilang  pada Tabel 2,  yaitu nilai 1.4083 dan 1.1867 dibandingkan nilai 1.2847 dan 1.3334 .

## 3.3  Ilustrasi Model RAK dengan Amatan yang Hilang Lebih dari Satu
Untuk menjelaskan penggunaan metode Least Mean Square pada data dengan amatan hilang  lebih  dari  satu,  dalam  hal  ini  ada  2  amatan  yang  hilang  pada  rancangan  acak  kelompok, digunakan  ilustrasi  yang  sama  dengan  ilustrasi  di  atas,  seperti  yang  ditunjukkan  pada  tabel berikut. Pada Tabel 5, amatan yang hilang dilihat pada sel yang kosong, atau pada nilai respon Y 33 dan Y 14 .
Tabel 5. Data untuk Masa Pemakaian Ban
Mobil Ban y .j A B C D I 17 14 12 56 II 14 14 12 11 51 III 13 13 11 37 + x IV 13 8 9 9 39 y i. 57 49 33 + x 44 183 + x
Pendugaan  amatan  yang  hilang,  dimana  terdapat  lebih  dari  satu  amatan  yang  hilang,  maka prosedur  pendugaan  dengan Least  Mean  Square (LMS),  dilakukan  dengan  beberapa  langkah berikut.
Langkah 1. Menduga salah satu data hilang dengan rata-rata. Misalkan yang akan diduga pertama kali adalah Y 33 , maka rumus yang digunakan adalah
667 . 11 2 3 11 13 13 3 9 12 12 33              Y
Langkah  2.  Substitusikan  nilai  dugaan Y 33 ke  dalam  Tabel  5  di  atas,  sehingga  diperoleh  tabel berikut.
Mobil Ban y .j A B C D I 17  14 12 43 II 14  14 12 11 51 III 13  13 11.667 11 48.667 IV 13 8 9 9 39 y i. 57  49  44.667  31   181.667
Langkah 3. Menduga nilai amatan yang hilang untuk sel Y 14 . Rumus yang digunakan adalah
          704 . 12 1 4 1 4 667 . 181 43 4 31 4 1 1 ' .. ' . ' . 14              b a y by ay Y j i
Langkah 4. Substitusikan nilai Y 14 ke dalam Tabel 5, dan hilangkan nilai Y 33 yang dihasilkan pada Langkah 1,  kemudian lakukan  kembali pendugaan nilai Y 33 dengan rumus yang  digunakan pada Langkah 3, sehingga diperoleh
Mobil Ban y .j A B C D I 17  14  12 12.704 55.704 II 14  14  12 11 51 III 13  13 11 37 IV 13 8 9 9 39 y i. 57  49  33 31 182.704
          811 . 10 1 4 1 4 704 . 182 37 4 33 4 1 1 ' .. ' . ' . 33              b a y by ay Y j i
Langkah 5. Ulangi kembali Langkah 4 untuk menduga Y 14 , menggunakan penduga Y 33 yang baru
          799 . 12 1 4 1 4 811 . 180 43 4 31 4 1 1 ' .. ' . ' . 14              b a y by ay Y j i
Langkah 6. Ulangi kembali Langkah 5 untuk menduga Y 33 , menggunakan penduga Y 14 yang baru, sehingga diperoleh
          8 . 10 1 4 1 4
799 . 182 37 4 33 4 1 1 ' .. ' . ' . 33              b a y by ay Y j i
Langkah 7. Ulangi kembali Langkah 6 untuk menduga Y 14 , menggunakan penduga Y 33 , sehingga diperoleh
          8 . 12 1 4 1 4 8 . 180 43 4 31 4 1 1 ' .. ' . ' . 14              b a y by ay Y j i
Langkah 8. Ulangi kembali Langkah 7 untuk menduga Y 33 , menggunakan penduga Y 14 yang baru, sehingga diperoleh
          8 . 10 1 4 1 4
8 . 182 37 4 33 4 1 1 ' .. ' . ' . 33              b a y by ay Y j i
Langkah 9. Ulangi kembali Langkah 8 untuk menduga Y 14 , menggunakan penduga Y 33 , sehingga diperoleh
          8 . 12 1 4 1 4 8 . 180 43 4 31 4 1 1 ' .. ' . ' . 14              b a y by ay Y j i
Langkah  4-9  tersebut  diulangi  terus  sampai  diperoleh  nilai  dugaan  untuk  amatan  hilang  yang konvergen  (nilainya  tidak  mengalami  perubahan  lagi).  Dari  hasil  pendugaan  dengan  LMS diperoleh nilai dugaan kedua amatan yang hilang pada Tabel 5 adalah 8 . 10 33  Y dan 8 . 12 14  Y
. Sehingga Tabel 5 beserta nilai dugaannya dituliskan dalam tabel berikut.
Mobil Ban y .j A B C D I 17  14 12 12.8 55.8 II 14  14 12 11 51 III 13  13 10.8 11 47.8 IV 13 8 9 9 39 y i. 57  49  43.8   43.8  193.6
Sedangkan  tabel  analisis  ragam  untuk  data  di  atas  dengan  adanya  dua  amatan  yang  hilang diperoleh dengan bantuan software SAS 9.1, diperoleh dengan perintah berikut.
data ban;
input mobil merk$ pemakaian@@;
datalines ;
1 A 17 1 B 14 1 C 12 1 D  .
2 A 14 2 B 14 2 C 12 2 D 11 3 A 13 3 B 13 3 C  . 3 D 11 4 A 13 4 B  8 4 C  9 4 D  9 ; proc print ; run ; proc anova ;
class mobil merk; model pemakaian=mobil merk;
run ;

## Kismiantini
Hasil ringkasan tabel analisis ragam dari output SAS 9.1 diberikan pada tabel berikut.
Tabel 6. Analisis Ragam pada Data Masa Pemakaian Ban, Dua Amatan Hilang.
Sumber Keragaman db JK KT F hit Pr > F Kelompok 3 38.88095238       12.96031746        17.16      0.0013 Perlakuan 3 31.54761905       10.51587302        13.93      0.0025 Galat 7 5.28571429        0.75510204 Total 13 75.71428571 R 2 = 0.930189, KK = 7.156191, RMSEP = 0.868966.
Dari tabel di atas terlihat bahwa nilai derajat bebas total berkurang 2, sesuai dengan banyaknya amatan  yang  hilang  pada  data.  Sedangkan  nilai  KTG  dan  RMSEP  terlihat  lebih  kecil  dari  data lengkap atau data dengan satu amatan hilang, yaitu 0.7551 dan 0.8689.

## 4.  Kesimpulan
Pendugaan  data  hilang  satu,  dua  atau  lebih  pada  Rancangan  Acak  Kelompok  dapat dilakukan dengan metode Least Mean Square (LMS). Data hilang akan berpengaruh pada analisis ragam, yaitu bila data hilang ada sebanyak k maka derajat bebas akan berkurang sebanyak k pula. Amatan yang hilang juga dapat mempengaruhi jumlah kuadrat galat menjadi lebih kecil.

## Daftar Pustaka
[1] Aunuddin. 2005. Statistika: Rancangan dan Analisis Data . Bogor: IPB Press.
[2] A. Gelman. 2005. Analysis of variance - Why it is more important than ever. The Annals of Statistics , 33: 1-33.
[3] A. A. Mattjik dan I. M. Sumertajaya. 2006. Perancangan Percobaan . Bogor: IPB Press.
[4] D. C. Montgomery. 1995. Design and Analysis of Experiments . New York : John Wiley & Sons.
[5] Sutarno. 2004. Pemanfaatan MStat-C dalam analisa faktorial data hasil penelitian pertanian. Informatika Pertanian 13 : 721-734.