ISSN: 1978-4422 Vol.10 No.2 (2016) Hal. 38-47

## ANALISIS BIAYA FUZZY DALAM SISTEM TRANSPORTASI FUZZY FUZZY COST ANALYSIS IN FUZZY TRANSPORTATION SYSTEM

## Gita Sari Adriani, Pardi Affandi, M. Ahsar Karim
Program Studi Matematika FMIPA Universitas Lambung Mangkurat e-mail : gitamipamtk@gmail.com

## ABSTRAK
Dalam kehidupan sehari-hari, baik disadari maupun tidak, orang selalu melakukan optimasi untuk memenuhi kebutuhan. Dari masalah optimasi tersebut, banyak metode maupun teknik yang digunakan. Salah satu metode yang telah berkembang dalam teori optimasi adalah model transportasi fuzzy . Model transportasi fuzzy merupakan salah satu model optimasi yang digunakan untuk mengatur distribusi dari sumber-sumber yang menyediakan produk ke tempat tujuan secara optimal. Dimana parameter-parameternya seperti nilai permintaan dan penawarannya berupa bilangan fuzzy , sedangkan untuk biaya yang digunakan biasanya bilangan tegas. Penelitian kali ini mengangkat tentang model transportasi fuzzy yang  mana semua parameter-parameternya akan dibawa ke dalam bentuk bilangan fuzzy .  Tujuan penelitian ini adalah untuk memperoleh solusi penyelesaian analisis biaya fuzzy dalam menggunakan sistem transportasi fuzzy . Adapun metode penelitian, yaitu membawa nilai permintaan, penawaran dan biaya fuzzy kedalam bentuk 𝛼𝛼 − 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 dan 𝛾𝛾 − 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 , kemudian mencari solusi awal dan solusi optimal masalah transportasi fuzzy menggunakan metode biaya terkecil dan metode stepping stone . Dari hasil penelitian menunjukkan bahwa analisis biaya fuzzy dapat dijadikan salah satu alternatife tambahan untuk menyelesaikan masalah transportasi fuzzy . Dengan menggunakan penyelesaian analisis biaya fuzzy hasil penyelesaian yang diperoleh lebih optimal dibandingkan dengan tanpa analisis biaya fuzzy .
Kata kunci: Model Transportasi, Sistem Transportasi Fuzzy , Analisis Biaya Fuzzy

## 1. PENDAHULUAN
Permasalahan transportasi merupakan permasalahan yang sering terjadi dalam kehidupan sehari-hari. Masalah transportasi merupakan bentuk khusus dari program linear yang digunakan untuk memecahkan masalah yang berhubungan dengan transportasi untuk meminimalkan biaya, jarak tempuh dan sebagainya sehingga dapat memaksimalkan keuntungan yang diperoleh.  Hal ini dikarenakan tujuan dari adanya  masalah  transportasi adalah untuk menentukan jumlah yang optimal dari barang yang akan diangkut dari berbagai sumber ke berbagai tujuan sehingga dapat meminimalkan total biaya transportasi.  Adapun parameter- parameter  masalah  transportasi, yaitu biaya, nilai permintaan dan penawaran. Apabila nilai parameter-parameter ini tidak dapat diketahui dengan pasti, maka salah satu solusinya dapat dicari dengan menggunakan operasi himpunan fuzzy (Dimyati, 1992).

## 2. TINJUAN PUSTAKA

## Model Transportasi Fuzzy
Menurut Kusumadewi  (2010), masalah transportasi fuzzy adalah masalah transportasi  yang terjadi apabila jumlah pasokan dan permintaan adalah bilangan fuzzy , sedangkan untuk biaya yang digunakan adalah bilangan tegas. Pada sistem
transportasi fuzzy , akan dicari suatu nilai 𝑍𝑍 yang merupakan fungsi tujuan yang akan dioptimasikan pada batasan tertentu dan dimodelkan dalam himpunan fuzzy . Formulasi untuk transportasi fuzzy dapat ditulis dalam bentuk sebagai berikut : Minimumkan :
𝑍𝑍 = � � 𝐶𝐶 𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑋𝑋 𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑚𝑚 𝑖𝑖=1 𝑛𝑛 𝑖𝑖=1 Kendala:
� 𝑋𝑋 𝑖𝑖𝑖𝑖 ≅ 𝐴𝐴̃ 𝑖𝑖 𝑛𝑛 𝑖𝑖=1 � 𝑋𝑋 𝑖𝑖𝑖𝑖 ≅ 𝐵𝐵� 𝑖𝑖 𝑚𝑚 𝑖𝑖=1 Dengan 𝑋𝑋 𝑖𝑖𝑖𝑖 ≥ 0 dan integer. dimana : 𝐴𝐴̃ 𝑖𝑖 =  menyatakan penawaran fuzzy dari sumber ke- i 𝐵𝐵� 𝑖𝑖 =  menyatakan permintaan fuzzy dari tujuan ke- j 𝐶𝐶 𝑖𝑖𝑖𝑖 =  menyatakan biaya pengiriman per unit dari sumber i ketujuan j 𝑋𝑋 𝑖𝑖𝑖𝑖 =  menyatakan jumlah satuan yang dikirim (alokasi angkutan) dari sumber i ketujuan j
Variabel keputusan berbentuk matriks berukuran 𝑚𝑚 × 𝑛𝑛 , 𝑖𝑖 =  1, 2, … , 𝑚𝑚 dan 𝑗𝑗 =  1, 2, … , 𝑛𝑛 , 𝐴𝐴̃ 𝑖𝑖 dan 𝐵𝐵� 𝑖𝑖 adalah bilangan fuzzy yang berbentuk 𝐴𝐴̃ 𝑖𝑖 = ( 𝑎𝑎 𝑖𝑖 1 , 𝑎𝑎 𝑖𝑖 2 , 𝑎𝑎 𝑖𝑖 3 , 𝑎𝑎 𝑖𝑖 4 ) dan 𝐵𝐵� 𝑖𝑖 = ( 𝑏𝑏 𝑖𝑖 1 , 𝑏𝑏 𝑖𝑖 2 , 𝑏𝑏 𝑖𝑖 3 , 𝑏𝑏 𝑖𝑖 4 ) .  Operasi penjumlahan dan perkalian merupakan operasi aritmatika fuzzy dan bilangan fuzzy dilambangkan “ = � ”. Tiap- tiap kendala akan direpresentasikan dengan fungsi keanggotaan pada himpunan ke- 𝑖𝑖 adalah 𝜇𝜇 𝐴𝐴� 𝑖𝑖 dan himpunan ke- 𝑗𝑗 adalah 𝜇𝜇 𝐵𝐵� 𝑖𝑖 , sedangkan untuk fungsi goal (tujuan)  adalah 𝜇𝜇 𝐺𝐺 (Mehmet, 2002).

## 3. METODE PENELITIAN
Penelitian ini dilakukan dengan cara studi literatur  dari berbagai sumber baik buku  maupun jurnal yang menunjang dan relevan dengan penelitian yang dilakukan.  Adapun prosedur penelitian yaitu mempelajari masalah transportasi biasa,  logika fuzzy ,  himpunan fuzzy, model transportasi fuzzy. Selanjutnya diperoleh penyelesaian analisis biaya fuzzy dalam transportasi fuzzy. Solusi tersebut selanjutnya diaplikasikan pada contoh kasus analisis biaya fuzzy dengan sistem transportasi fuzzy sehingga diperoleh kesimpulan  solusi optimal dari masalah biaya fuzzy .

## 4. HASIL DAN PEMBAHASAN
Analisis biaya fuzzy dilakukan agar memperoleh solusi penyelesaian masalah biaya fuzzy dengan menggunakan transportasi fuzzy . Hal ini dikarenakan sistem transportasi fuzzy merupakan salah satu cara yang dapat digunakan apabila parameter-paremeter pada model transportasi biaya pengiriman, nilai permintaan dan penawaran tidak dapat diketahui dengan pasti. Masalah transportasi fuzzy adalah masalah dimana jumlah permintaan dan penawaran berupa bilangan fuzzy .
Masalah awal transportasi fuzzy dapat dilihat pada Tabel 1. yang menunjukkan permintaan ( demand ) dan penawaran ( supply ) adalah himpunan fuzzy.
Tabel 1. Tabel awal masalah transportasi
Ke
Dari TUJUAN 𝑆𝑆𝑐𝑐𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆
1 2 … 𝑛𝑛 S UM B E R 1 𝑋𝑋 11
𝑋𝑋 12 … 𝑋𝑋 1𝑛𝑛 𝐴𝐴 1 𝐶𝐶 11 𝐶𝐶 12 … 𝐶𝐶 1𝑛𝑛 2 𝑋𝑋 21 𝑋𝑋 22 … 𝑋𝑋 2𝑛𝑛 𝐴𝐴 2 𝐶𝐶 21 𝐶𝐶 22 … 𝐶𝐶 2𝑛𝑛 … … … …
… … …
𝑚𝑚 𝑋𝑋 𝑚𝑚1
𝑋𝑋 𝑚𝑚2 … 𝑋𝑋 𝑚𝑚𝑛𝑛
𝐴𝐴 𝑚𝑚 𝐶𝐶 𝑚𝑚1 𝐶𝐶 𝑚𝑚2 … 𝐶𝐶 𝑚𝑚𝑛𝑛 𝐷𝐷𝐷𝐷𝑚𝑚𝑎𝑎𝑛𝑛𝐷𝐷 𝐵𝐵 1 𝐵𝐵 2 … 𝐵𝐵 𝑛𝑛 � 𝐴𝐴 𝑖𝑖 𝑚𝑚 𝑖𝑖=1 = � 𝐵𝐵 𝑖𝑖 𝑛𝑛 𝑖𝑖=1
Berdasarkan Tabel 1. diperoleh formulasi  bentuk umum masalah transfotasi fuzzy sebagai berikut:
𝑍𝑍 = ∑ ∑ 𝐶𝐶 𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑋𝑋 𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑚𝑚 𝑖𝑖=1 𝑛𝑛 𝑖𝑖=1 ……. (1)
Kendala:
� 𝑋𝑋 𝑖𝑖𝑖𝑖 = � 𝐴𝐴̃ 𝑖𝑖 𝑖𝑖 = 1, 2, … , 𝑚𝑚 𝑛𝑛 𝑖𝑖=1 � 𝑋𝑋 𝑖𝑖𝑖𝑖 = � 𝐵𝐵� 𝑖𝑖 𝑗𝑗 𝑚𝑚 𝑖𝑖=1 = 1, 2, … , 𝑛𝑛 𝑋𝑋 𝑖𝑖𝑖𝑖 ≥ 0 untuk 𝑖𝑖 = (1,2, … ) & 𝑗𝑗 = (1,2, … ) dengan m untuk sumber dan n untuk tujuan.

## Analisis Biaya Fuzzy dalam Sistem Transportasi Fuzzy
Analisis biaya fuzzy dalam sistem transportasi fuzzy dapat dipresentasikan dengan menggunakan himpunan fuzzy , 𝐶𝐶̃ 𝑖𝑖𝑖𝑖 , 𝐴𝐴̃ 𝑖𝑖 , dan 𝐵𝐵� 𝑖𝑖 . Dengan fungsi keanggotaan 𝜇𝜇 𝐴𝐴� 𝑖𝑖 , 𝜇𝜇 𝐵𝐵� 𝑗𝑗 𝐷𝐷𝑎𝑎𝑛𝑛 𝜇𝜇 𝐶𝐶̃ 𝑖𝑖𝑗𝑗 dimana:
𝐴𝐴̃ 𝑖𝑖 = ��𝑎𝑎 𝑖𝑖 , 𝜇𝜇 𝐴𝐴� 𝑖𝑖 ( 𝑎𝑎 𝑖𝑖 ) ��𝑎𝑎 𝑖𝑖 ∈ 𝑆𝑆𝑐𝑐𝑆𝑆𝑆𝑆 ( 𝐴𝐴̃ 𝑖𝑖 ) �
𝐵𝐵� 𝑖𝑖 = ��𝑏𝑏 𝑖𝑖 , 𝜇𝜇 𝐵𝐵� 𝑗𝑗 ( 𝑏𝑏 𝑖𝑖 ) � �𝑏𝑏 𝑖𝑖 ∈ 𝑆𝑆𝑐𝑐𝑆𝑆𝑆𝑆 ( 𝐵𝐵� 𝑖𝑖 ) �
𝐶𝐶̃ 𝑖𝑖𝑖𝑖 = ��𝑐𝑐 𝑖𝑖𝑖𝑖 , 𝜇𝜇 𝐶𝐶̃ 𝑖𝑖𝑗𝑗 ( 𝑐𝑐 𝑖𝑖𝑖𝑖 ) � �𝑐𝑐 𝑖𝑖𝑖𝑖 ∈ 𝑆𝑆𝑐𝑐𝑆𝑆𝑆𝑆 ( 𝐶𝐶̃ 𝑖𝑖𝑖𝑖 ) �
Sehingga Persamaan masalah (1). dapat ditulis kembali menjadi: Meminimumkan:
𝑍𝑍 = ∑ ∑ 𝐶𝐶̃ 𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑋𝑋 𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑛𝑛 𝑖𝑖=1 𝑚𝑚 𝑖𝑖=1
…. (2)
Kendala:
� 𝑋𝑋 𝑖𝑖𝑖𝑖 ≅ 𝐴𝐴̃ 𝑖𝑖 , 𝑛𝑛 𝑖𝑖=1 ( 𝑖𝑖 = 1,2, … , 𝑚𝑚 ) � 𝑋𝑋 𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑚𝑚 𝑖𝑖=1 ≅ 𝐵𝐵� 𝑖𝑖 ,     ( 𝑗𝑗 = 1,2, … , 𝑛𝑛 )
dengan 𝑋𝑋 𝑖𝑖𝑖𝑖 ≥ 0 dan integer.
Semua unit biaya pengiriman, jumlah penawaran dan jumlah permintaan diasumsikan kedalam bilangan fuzzy ,  dimana 𝐴𝐴̃ 𝑖𝑖 = ( 𝑎𝑎 1 , 𝑎𝑎 2 , 𝑎𝑎 3 ) dan 𝐵𝐵� 𝑖𝑖 = ( 𝑏𝑏 1 , 𝑏𝑏 2 , 𝑏𝑏 3 ) adalah bilangan fuzzy segitiga yang dibawa kedalam bentuk 𝛼𝛼 − 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 dan untuk unit biaya transportasi yang berupa bilangan fuzzy 𝐶𝐶̃ 𝑖𝑖𝑖𝑖 = ( − ∞ , 𝑎𝑎 2 , 𝑎𝑎 3 ) dibawa kedalam γ − 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 . 𝛼𝛼 − 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 dari 𝐴𝐴̃ 𝑖𝑖 , 𝐵𝐵� 𝑖𝑖 : �𝐴𝐴̃ 𝑖𝑖 � 𝛼𝛼 = ��𝐴𝐴̃ 𝑖𝑖 � 𝛼𝛼 𝐿𝐿 , �𝐴𝐴̃ 𝑖𝑖 � 𝛼𝛼 𝑈𝑈 � = [ 𝑎𝑎� 𝑖𝑖 2 − 𝛼𝛼 ( 𝑎𝑎� 𝑖𝑖 2 − 𝑎𝑎� 𝑖𝑖 1 ), 𝑎𝑎� 𝑖𝑖 3 − 𝛼𝛼 ( 𝑎𝑎� 𝑖𝑖 3 − 𝑎𝑎� 𝑖𝑖 2 )]; 𝑖𝑖 = 1, 2, … , 𝑚𝑚 �𝐵𝐵� 𝑖𝑖 � 𝛼𝛼 = ��𝐵𝐵� 𝑖𝑖 � 𝛼𝛼 𝐿𝐿 , �𝐵𝐵� 𝑖𝑖 � 𝛼𝛼 𝑈𝑈 � = �𝑏𝑏� 𝑖𝑖 1 + 𝛼𝛼�𝑏𝑏� 𝑖𝑖 2 − 𝑏𝑏� 𝑖𝑖 1 � , 𝑏𝑏� 𝑖𝑖 3 − 𝛼𝛼�𝑏𝑏� 𝑖𝑖 3 − 𝑏𝑏� 𝑖𝑖 2 �� ; 𝑗𝑗 = 1, 2, … , 𝑛𝑛 dan 𝛾𝛾 − 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 dari 𝐶𝐶̃ 𝑖𝑖𝑖𝑖 , sebagai:
�𝐶𝐶̃ 𝑖𝑖𝑖𝑖 � 𝛾𝛾 = ��𝐶𝐶̃ 𝑖𝑖𝑖𝑖 � 𝛼𝛼 𝐿𝐿 , �𝐶𝐶̃ 𝑖𝑖𝑖𝑖 � 𝛾𝛾 𝑈𝑈 � = ( − ∞ , 𝑐𝑐̃ 𝑖𝑖𝑖𝑖 3 − 𝛾𝛾�𝑐𝑐̃ 𝑖𝑖𝑖𝑖 3 − 𝑐𝑐̃ 𝑖𝑖𝑖𝑖 2 � ]
Interval di atas  menunjukkan dimana unit biaya pengiriman, penawaran, dan permintaan terletak pada rentang 𝛼𝛼 . Sehingga Persamaan masalah (2).  dapat ditulis kembali menjadi: Maks : 𝛼𝛼 Dengan batasan :
� 𝑋𝑋 𝑖𝑖𝑖𝑖 ∈ [ �𝐴𝐴̃ 𝑖𝑖 � 𝛼𝛼 ] ; 𝑖𝑖 = 1, 2, … , 𝑚𝑚 𝑛𝑛 𝑖𝑖=1 � 𝑋𝑋 𝑖𝑖𝑖𝑖 ∈ [ �𝐵𝐵� 𝑖𝑖 � 𝛼𝛼 ]; 𝑗𝑗 𝑚𝑚 𝑖𝑖=1 = 1, 2, … , 𝑛𝑛 𝑋𝑋 𝑖𝑖𝑖𝑖 ≥ 0 dan integer.
Untuk memperoleh fungsi keanggotaan 𝜇𝜇 𝑍𝑍 , cukup dengan mencari bentuk fungsi kiri dan fungsi kanan yang tepat dari 𝜇𝜇 𝑍𝑍 , yang setara dengan batas bawah 𝑍𝑍 𝛼𝛼 𝐿𝐿 dan batas bawah 𝑍𝑍 𝛼𝛼 𝑈𝑈 dari 𝛼𝛼 − 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑍𝑍 . Dimana 𝑍𝑍 𝛼𝛼 𝐿𝐿 adalah minimum dari 𝑍𝑍 ( 𝑐𝑐 , 𝑎𝑎 , 𝑏𝑏 ) dan 𝑍𝑍 𝛼𝛼 𝑈𝑈 adalah maksimum dari 𝑍𝑍 ( 𝑐𝑐 , 𝑎𝑎 , 𝑏𝑏 ) dapat diformulasikan menjadi:
maka diperoleh:
Maks 𝛼𝛼
X ij ≥ untuk i = (1,2,…) dan j = (1,2,…) Fungsi keanggotaan untuk bilangan fuzzy 𝐴𝐴̃ 𝑖𝑖 , 𝐵𝐵� 𝑖𝑖 , dan 𝐶𝐶̃ 𝑖𝑖𝑖𝑖 dapat ditulis sebagai :
𝜇𝜇 𝐴𝐴� 𝑖𝑖 = ⎩ ⎪ ⎨ ⎪ ⎧ 0, 𝐴𝐴̃ 𝑖𝑖 ≤ 𝐴𝐴̃ 𝑖𝑖 1 , 𝐴𝐴̃ 𝑖𝑖 ≥ 𝐴𝐴̃ 𝑖𝑖 3 � 𝐴𝐴̃ 𝑖𝑖 − 𝐴𝐴̃ 𝑖𝑖 1 𝐴𝐴̃ 𝑖𝑖 2 − 𝐴𝐴̃ 𝑖𝑖 1 � ,
𝐴𝐴̃ 𝑖𝑖 1 < 𝐴𝐴̃ 𝑖𝑖 ≤ 𝐴𝐴̃ 𝑖𝑖 2 1 − � 𝐴𝐴̃ 𝑖𝑖 − 𝐴𝐴̃ 𝑖𝑖 2 𝐴𝐴̃ 𝑖𝑖 3 − 𝐴𝐴̃ 𝑖𝑖 2 � , 𝐴𝐴̃ 𝑖𝑖 2 < 𝐴𝐴̃ 𝑖𝑖 ≤ 𝐴𝐴̃ 𝑖𝑖 3 𝜇𝜇 𝐵𝐵� 𝑗𝑗 = ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎧ 0, 𝐵𝐵� 𝑖𝑖 ≤ 𝐵𝐵� 𝑖𝑖 1 , 𝐵𝐵� 𝑖𝑖 ≥ 𝐵𝐵� 𝑖𝑖 3 � 𝐵𝐵� 𝑖𝑖 − 𝐵𝐵� 𝑖𝑖 1 𝐵𝐵� 𝑖𝑖 2 − 𝐵𝐵� 𝑖𝑖 1 � , 𝐵𝐵� 𝑖𝑖 1 < 𝐵𝐵� 𝑖𝑖 ≤ 𝐵𝐵� 𝑖𝑖 2 1 − � 𝐵𝐵� 𝑖𝑖 − 𝐵𝐵� 𝑖𝑖 2 𝐵𝐵� 𝑖𝑖 3 − 𝐵𝐵� 𝑖𝑖 2 � , 𝐵𝐵� 𝑖𝑖 2 < 𝐵𝐵� 𝑖𝑖 ≤ 𝐵𝐵� 𝑖𝑖 3 𝜇𝜇 𝐶𝐶̃ 𝑖𝑖𝑗𝑗 = ⎩ ⎪ ⎨ ⎪ ⎧ 1 − 1 , 𝐶𝐶̃ 𝑖𝑖𝑖𝑖 ≤ 𝐶𝐶̃ 𝑖𝑖𝑖𝑖 2
� 𝐶𝐶̃ 𝑖𝑖𝑖𝑖 − 𝐶𝐶̃ 𝑖𝑖𝑖𝑖 2 𝐶𝐶̃ 𝑖𝑖𝑖𝑖 3 − 𝐶𝐶̃ 𝑖𝑖𝑖𝑖 2 � , 𝐶𝐶̃ 𝑖𝑖𝑖𝑖 2 ≤ 𝐶𝐶̃ 𝑖𝑖𝑖𝑖 ≤ 𝐶𝐶̃ 𝑖𝑖𝑖𝑖 3
0 , 𝐶𝐶̃ 𝑖𝑖𝑖𝑖 ≥ 𝐶𝐶̃ 𝑖𝑖𝑖𝑖 3

## Contoh Kasus
Departemen Logistik  mempunyai data sebuah PT.Kayson  yang mempunyai 3 pabrik yang berlokasi di 3 kota berbeda dan memproduksi minuman ringan yang dibotolkan. Produk dari ketiga pabrik tersebut didistribusikan ke 3 gudang yang terletak di tiga daerah distribusi. Biaya pengangkutan per krat minuman (dollar), jumlah suplai pada masing-masing pabrik (dalam ribu krat) dan daya tamping pada masing-masing gudang (dalam ribu krat) setiap hari.
Tabel 2. Kapasitas produksi di beberapa gudang
Gudang Penawaran Minimal Standart Maksimum 𝑆𝑆 1 2 9 11 𝑆𝑆 2 3 8 12 𝑆𝑆 3 4 9 14 Tabel 3. Kapasitas produksi yang dibutuhkan oleh perusahaan Daerah pemasaran Permintaan Minimal Rata-rata Maksimum 𝐷𝐷 1 2 5 6 𝐷𝐷 2 14 15 17 𝐷𝐷 3 5 10 13 Tabel 4. Biaya pengiriman per unit dari lokasi sumber ke lokasi tujuan Tujuan Sumber Biaya transportasi 𝐷𝐷 1 𝐷𝐷 2 𝐷𝐷 3
𝑆𝑆 1 𝐶𝐶̃ 11 ( − ∞ , 3,5) 𝐶𝐶̃ 12 ( − ∞ , 6,7) 𝐶𝐶̃ 13 ( − ∞ , 6,11)
𝑆𝑆 2 𝐶𝐶̃ 21 ( − ∞ , 7,9) 𝐶𝐶̃ 22 ( − ∞ , 9,15) 𝐶𝐶̃ 23 ( − ∞ , 10,18)
𝑆𝑆 3
𝐶𝐶̃ 31 ( − ∞ , 9,13) 𝐶𝐶̃ 32 ( − ∞ , 9,16) 𝐶𝐶̃ 33 ( − ∞ , 9,10)
Penyelesaian:
Langkah 1: Membuat masalah awal transportasi fuzzy Minimumkan :
𝑍𝑍 = � � 𝐶𝐶̃ 𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑋𝑋 𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑛𝑛 𝑖𝑖=1 𝑚𝑚 𝑖𝑖=1 = ( −∞ , 3,5) 𝑋𝑋 11 + ( −∞ , 6,7) 𝑋𝑋 12 + ( −∞ , 6,11) 𝑋𝑋 13 + ( −∞ , 7,9) 𝑋𝑋 21 + ( −∞ , 9,15) 𝑋𝑋 22 + ( − ∞ , 10,18) 𝑋𝑋 23 + ( − ∞ , 9,13) 𝑋𝑋 31 + ( − ∞ , 9,16) 𝑋𝑋 32 + ( − ∞ , 9,10) 𝑋𝑋 33 Dengan kendala:
� 𝑋𝑋 1𝑖𝑖 ≅ 𝐴𝐴̃ 1 → 𝑋𝑋 11 + 𝑋𝑋 12 + 𝑋𝑋 13 ≅ (2,9,11) 3 𝑖𝑖=1 � 𝑋𝑋 2𝑖𝑖 ≅ 𝐴𝐴̃ 2 → 𝑋𝑋 21 + 𝑋𝑋 22 + 𝑋𝑋 23 ≅ (3,8,12) 3 𝑖𝑖=1 � 𝑋𝑋 3𝑖𝑖 ≅ 𝐴𝐴̃ 3 → 𝑋𝑋 31 + 𝑋𝑋 32 + 𝑋𝑋 33 ≅ (4,9,14) 3 𝑖𝑖=1 � 𝑋𝑋 𝑖𝑖1 ≅ 𝐵𝐵� 1 → 𝑋𝑋 11 + 𝑋𝑋 21 + 𝑋𝑋 31 ≅ (2,5,6)
3 𝑖𝑖=1 � 𝑋𝑋 𝑖𝑖2 ≅ 𝐵𝐵� 2 → 𝑋𝑋 12 + 𝑋𝑋 22 + 𝑋𝑋 32 ≅ (14,15,17) 3 𝑖𝑖=1
� 𝑋𝑋 𝑖𝑖3 ≅ 𝐵𝐵� 3 → 𝑋𝑋 13 + 𝑋𝑋 23 + 𝑋𝑋 33 ≅ (5,10,13) 3 𝑖𝑖=1 𝑋𝑋 11 , 𝑋𝑋 12 , 𝑋𝑋 13 , 𝑋𝑋 21 , 𝑋𝑋 22 , 𝑋𝑋 23 , 𝑋𝑋 31 , 𝑋𝑋 32 , 𝑋𝑋 33 ≥ 0 dan integer
Langkah 2 : Membawa masalah awal kedalam bentuk 𝛼𝛼 − 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 dan 𝛾𝛾 − 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 untuk nilai permintaan, penawaran, dan biaya fuzzy , diperoleh: �𝐴𝐴̃ 1 � 𝛼𝛼 = �𝐴𝐴̃ 1 1 + 𝛼𝛼�𝐴𝐴̃ 1 2 − 𝐴𝐴̃ 1 1 � , 𝐴𝐴̃ 1 3 − 𝛼𝛼�𝐴𝐴̃ 1 3 − 𝐴𝐴̃ 1 2 �� = [2 + 7 𝛼𝛼 , 11 − 2 𝛼𝛼 ]
→ 𝑎𝑎� 1 1 = 2 + 7 𝛼𝛼 & 𝑎𝑎� 1 2 = 11 − 2 𝛼𝛼 �𝐴𝐴̃ 2 � 𝛼𝛼 = �𝐴𝐴̃ 2 1 + 𝛼𝛼�𝐴𝐴̃ 2 2 − 𝐴𝐴̃ 2 1 � , 𝐴𝐴̃ 2 3 − 𝛼𝛼�𝐴𝐴̃ 2 3 − 𝐴𝐴̃ 2 2 �� = [3 + 5 𝛼𝛼 , 12 − 4 𝛼𝛼 ] → 𝑎𝑎� 2 1 = 3 + 5 𝛼𝛼 & 𝑎𝑎� 2 2 = 12 − 4 𝛼𝛼 �𝐴𝐴̃ 3 � 𝛼𝛼 = �𝐴𝐴̃ 3 1 + 𝛼𝛼�𝐴𝐴̃ 3 2 − 𝐴𝐴̃ 3 1 � , 𝐴𝐴̃ 3 3 − 𝛼𝛼�𝐴𝐴̃ 3 3 − 𝐴𝐴̃ 3 2 �� = [4 + 5 𝛼𝛼 , 14 − 5 𝛼𝛼 ] → 𝑎𝑎� 3 1 = 4 + 5 𝛼𝛼 & 𝑎𝑎� 3 2 = 14 − 5 𝛼𝛼 �𝐵𝐵� 1 � 𝛼𝛼 = �𝐵𝐵� 1 1 + 𝛼𝛼�𝐵𝐵� 1 2 − 𝐵𝐵� 1 1 � , 𝐵𝐵� 1 3 − 𝛼𝛼�𝐵𝐵� 1 3 − 𝐵𝐵� 1 2 �� = [2 + 3 𝛼𝛼 , 6 − 𝛼𝛼 ]
→ 𝑏𝑏� 1 1 = 2 + 3 𝛼𝛼 & 𝑏𝑏� 1 2 = 6 − 𝛼𝛼 �𝐵𝐵� 2 � 𝛼𝛼 = �𝐵𝐵� 2 1 + 𝛼𝛼�𝐵𝐵� 2 2 − 𝐵𝐵� 2 1 � , 𝐵𝐵� 2 3 − 𝛼𝛼�𝐵𝐵� 2 3 − 𝐵𝐵� 2 2 �� = [14 + 𝛼𝛼 , 15 − 2 𝛼𝛼 ] → 𝑏𝑏� 2 1 = 14 + 𝛼𝛼 & 𝑏𝑏� 2 2 = 15 − 2 𝛼𝛼 �𝐵𝐵� 3 � 𝛼𝛼 = �𝐵𝐵� 3 1 + 𝛼𝛼�𝐵𝐵� 3 2 − 𝐵𝐵� 3 1 � , 𝐵𝐵� 3 3 − 𝛼𝛼�𝐵𝐵� 3 3 − 𝐵𝐵� 3 2 �� = [5 + 5 𝛼𝛼 , 13 − 3 𝛼𝛼 ] → 𝑏𝑏� 3 1 = 5 + 5 𝛼𝛼 & 𝑏𝑏� 3 2 = 13 − 3 𝛼𝛼 𝛾𝛾 − 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 untuk nilai biaya fuzzy , maka diperoleh: �𝐶𝐶̃ 11 � 𝛾𝛾 = �− ∞ , 𝐶𝐶̃ 11 3 − 𝛾𝛾�𝐶𝐶̃ 11 3 − 𝐶𝐶̃ 11 2 �� = [ − ∞ , 5 − 2 𝛾𝛾 ] �𝐶𝐶̃ 12 � 𝛾𝛾 = �− ∞ , 𝐶𝐶̃ 12 3 − 𝛾𝛾�𝐶𝐶̃ 12 3 − 𝐶𝐶̃ 12 2 �� = [ − ∞ , 7 − 𝛾𝛾 ]
�𝐶𝐶̃ 13 � 𝛾𝛾 = �− ∞ , 𝐶𝐶̃ 13 3 − 𝛾𝛾�𝐶𝐶̃ 13 3 − 𝐶𝐶̃ 13 2 �� = [ − ∞ , 11 − 6 𝛾𝛾 ]
�𝐶𝐶̃ 21 � 𝛾𝛾 = �− ∞ , 𝐶𝐶̃ 21 3 − 𝛾𝛾�𝐶𝐶̃ 21 3 − 𝐶𝐶̃ 21 2 �� = [ − ∞ , 9 − 2 𝛾𝛾 ]
�𝐶𝐶̃ 22 � 𝛾𝛾 = �− ∞ , 𝐶𝐶̃ 22 3 − 𝛾𝛾�𝐶𝐶̃ 22 3 − 𝐶𝐶̃ 22 2 �� = [ − ∞ , 15 − 6 𝛾𝛾 ] �𝐶𝐶̃ 23 � 𝛾𝛾 = �− ∞ , 𝐶𝐶̃ 23 3 − 𝛾𝛾�𝐶𝐶̃ 23 3 − 𝐶𝐶̃ 23 2 �� = [ − ∞ , 18 − 8 𝛾𝛾 ] �𝐶𝐶̃ 31 � 𝛾𝛾 = �− ∞ , 𝐶𝐶̃ 31 3 − 𝛾𝛾�𝐶𝐶̃ 31 3 − 𝐶𝐶̃ 31 2 �� = [ − ∞ , 13 − 4 𝛾𝛾 ]
�𝐶𝐶̃ 32 � 𝛾𝛾 = �− ∞ , 𝐶𝐶̃ 32 3 − 𝛾𝛾�𝐶𝐶̃ 32 3 − 𝐶𝐶̃ 32 2 �� = [ − ∞ , 16 − 7 𝛾𝛾 ]
�𝐶𝐶̃ 33 � 𝛾𝛾 = �− ∞ , 𝐶𝐶̃ 33 3 − 𝛾𝛾�𝐶𝐶̃ 33 3 − 𝐶𝐶̃ 33 2 �� = [ − ∞ , 10 − 𝛾𝛾 ]
Langkah 3 : Menentukan nilai 𝛼𝛼 dan 𝛾𝛾
Dari permasalahan di atas terlihat bahwa ∑ 𝑎𝑎� 𝑖𝑖 ≠ ∑ 𝑏𝑏� 𝑖𝑖 𝑚𝑚 𝑖𝑖=1 𝑛𝑛 𝑖𝑖=1 yang berarti tidak seimbang, maka pada kolom tujuan akan ditambahkan dummy , yaitu: 𝑏𝑏 𝑖𝑖 4 = � 𝑎𝑎� 𝑖𝑖 − � 𝑏𝑏� 𝑖𝑖 𝑖𝑖 𝑖𝑖 = (37 − 11 𝛼𝛼 ) − (21 + 9 𝛼𝛼 ) = 16 − 20 𝛼𝛼
Untuk 𝛾𝛾 adalah titik perpotongan garis 𝐶𝐶̃ 𝑖𝑖𝑖𝑖 = 𝐶𝐶̃ 𝑖𝑖𝑖𝑖 ( 𝛾𝛾 ) dan titik potong 𝛾𝛾 yang berada di dalam [0,1] adalah 0, 1 4 , 2 3 , dan 1. Interval  yang  berulang adalah � 0, 1 4 � � , � 1 4 � , 2 3 � � , � 2 3 � , 1 � sekarang  untuk interval 𝛾𝛾 ∈ � 0, 1 4 � � , maka penyelesaian masalah transportasi dengan jumlah fuzzy .
ISSN: 1978-4422 Vol.10 No.2 (2016) Hal. 38-47

## Langkah 4 :
Menentukan solusi awal masalah transportasi fuzzy dengan menggunakan metode biaya terkecil. Solusi awal menggunakan metode biaya terkecil ditentukan dengan mengisi sel kosong yang masih dapat diisi dengan biaya paling kecil. Jumlah yang dialokasikan pada sel kosong  tersebut ( 𝑋𝑋 𝑖𝑖𝑖𝑖 ) tidak boleh melebihi jumlah penawaran pada sumber i dan jumlah permintaan pada tujuan j .  Diperoleh  hasil yang ditunjukkan pada Tabel 5.
Tabel 5. Nilai awal masalah transportasi fuzzy
Tabel 6. Solusi Akhir dengan menggunakan Metode Biaya Terkecil Jadi biaya yang dikeluarkan adalah: Z = 2(5)+9(7)+5(15)+7(0)+5(10)+9(0)=198

## Langkah 5 :
Menentukan  solusi optimal pada masalah transportasi diatas,  dengan menggunakan metode Stepping Stone dan  diperoleh hasil  yang ditunjukkan pada Tabel 7.
Tabel 7. Solusi Optimal dengan 𝛼𝛼 = 0 dan 𝛾𝛾 ∈ [0,1/4] Demand Supply 𝑏𝑏 1 1 = 2 + 3 𝛼𝛼 𝑏𝑏 2 1 = 14 + 𝛼𝛼 𝑏𝑏 3 1 = 5 + 5 𝛼𝛼 𝑏𝑏 4 1 = 16 − 20 𝛼𝛼 𝑎𝑎 1 2 = 11 − 2 𝛼𝛼
11 − 2 𝛼𝛼
𝐶𝐶̃ 11 = 5 − 2 𝛾𝛾 𝐶𝐶̃ 12 = 7 − 𝛾𝛾 𝐶𝐶̃ 13 = 11 − 5 𝛾𝛾 𝐶𝐶̃ 14 = 0 𝑎𝑎 2 2 = 12 − 4 𝛼𝛼 2 + 3 𝛼𝛼 3 + 3 𝛼𝛼
7 − 10 𝛼𝛼 𝐶𝐶̃ 21 = 9 − 2 𝛾𝛾 𝐶𝐶̃ 22 = 15 − 6 𝛾𝛾 𝐶𝐶̃ 23 = 18 − 8 𝛾𝛾 𝐶𝐶̃ 24 = 0 𝑎𝑎 3 2 = 14 − 5 𝛼𝛼 5 + 5 𝛼𝛼
9 − 10 𝛼𝛼
Demand
Supply 𝑏𝑏 𝑖𝑖 1 = 2 + 3 𝛼𝛼 𝑏𝑏 𝑖𝑖 2 = 14 + 𝛼𝛼 𝑏𝑏 𝑖𝑖 3 = 5 + 5 𝛼𝛼 𝑏𝑏 𝑖𝑖 4 = 16 − 20 𝛼𝛼 𝑎𝑎 𝑖𝑖 1 = 11 − 2 𝛼𝛼 𝐶𝐶̃ 11 = 5 − 2 𝛾𝛾 𝐶𝐶̃ 12 = 7 − 𝛾𝛾 𝐶𝐶̃ 13 = 11 − 5 𝛾𝛾 𝐶𝐶̃ 14 = 0 𝑎𝑎 𝑖𝑖 2 = 12 − 4 𝛼𝛼 𝐶𝐶̃ 21 = 9 − 2 𝛾𝛾 𝐶𝐶̃ 22 = 15 − 6 𝛾𝛾 𝐶𝐶̃ 23 = 18 − 8 𝛾𝛾 𝐶𝐶̃ 24 = 0 𝑎𝑎 𝑖𝑖 3 = 14 − 5 𝛼𝛼 𝐶𝐶̃ 31 = 13 − 4 𝛾𝛾 𝐶𝐶̃ 32 = 16 − 7 𝛾𝛾 𝐶𝐶̃ 33 = 10 − 𝛾𝛾 𝐶𝐶̃ 34 = 0 𝐷𝐷 1 𝐷𝐷 2 𝐷𝐷 3 𝐷𝐷 4 Penawaran 𝑆𝑆 1 2 9 11 𝑆𝑆 2 5 7 12 𝑆𝑆 3 5 9 14 Permintaan 2 14 5 16 5 7 11 9 15 18
13 16 10 0 0 0
𝐶𝐶̃ 31 = 13 − 4 𝛾𝛾 𝐶𝐶̃ 32 = 16 − 7 𝛾𝛾 𝐶𝐶̃ 33 = 10 − 𝛾𝛾 𝐶𝐶̃ 34 = 0
Dari  Tabel  7.  diperoleh 𝑋𝑋 24 = 7 − 10 𝛼𝛼 dan  hal tersebut  melanggar kondisi dimana nilai yang dihasilkan negatife. Dengan demikian, solusi optimal ini berlaku untuk selang 𝛼𝛼 ∈ [0, 7/10] . Jadi, solusi yang optimal dan layak untuk interval 𝛼𝛼 adalah � 0 , 7 10 � dan [ 7 10 , 8 10 ] .
Tabel 8. Solusi Akhir Masalah Transpotasi untuk 𝛾𝛾 [ 1 4 , 2 3 ] dan [ 2 3 , 1]
γ 𝛼𝛼 [0, 1 4] [ 1 4 , 2 3] [ 2 3 , 1]
[0, 7 10] 𝑋𝑋 12 =  11 − 2 𝛼𝛼 𝑋𝑋 12 =  11 − 2 𝛼𝛼 𝑋𝑋 11 =  2  +  3 𝛼𝛼 𝑋𝑋 21 =  2  +  3 𝛼𝛼 𝑋𝑋 21 =  2  +  3 𝛼𝛼 𝑋𝑋 12 =  9 − 5 𝛼𝛼 𝑋𝑋 22 =  3  +  3 𝛼𝛼 𝑋𝑋 22 =  3  +  3 𝛼𝛼 𝑋𝑋 22 =  5  +  6 𝛼𝛼 𝑋𝑋 24 =  7 − 10 𝛼𝛼 𝑋𝑋 24 =  7 − 10 𝛼𝛼 𝑋𝑋 24 =  7 − 10 𝛼𝛼 𝑋𝑋 33 =  5  +  5 𝛼𝛼 𝑋𝑋 33 =  5  +  5 𝛼𝛼 𝑋𝑋 33 =  5  +  5 𝛼𝛼 𝑋𝑋 34 =  9 − 10 𝛼𝛼 𝑋𝑋 34 =  9 − 10 𝛼𝛼 𝑋𝑋 34 =  9 − 10 𝛼𝛼 [ 7 10 , 8 10] 𝑋𝑋 12 =  11 − 2 𝛼𝛼 𝑋𝑋 12 =  11 − 2 𝛼𝛼 𝑋𝑋 11 =  2  +  3 𝛼𝛼 𝑋𝑋 21 =  2  +  3 𝛼𝛼 𝑋𝑋 21 =  2  +  3 𝛼𝛼 𝑋𝑋 12 =  9 − 5 𝛼𝛼 𝑋𝑋 22 =  10 − 7 𝛼𝛼 𝑋𝑋 22 =  10 − 7 𝛼𝛼 𝑋𝑋 22 =  12 − 4 𝛼𝛼 𝑋𝑋 32 = − 7 + 10 𝛼𝛼 𝑋𝑋 32 = − 7 + 10 𝛼𝛼 𝑋𝑋 32 = − 7 +  10 𝛼𝛼 𝑋𝑋 33 =  5  +  5 𝛼𝛼 𝑋𝑋 33 =  5  +  5 𝛼𝛼 𝑋𝑋 33 =  5  +  5 𝛼𝛼 𝑋𝑋 34 =  16 − 20 𝛼𝛼 𝑋𝑋 34 =  16 − 20 𝛼𝛼 𝑋𝑋 34 =  16 − 20 𝛼𝛼
Langkah 6 : Menentukan nilai Z (fungsi tujuan)
Dari hasil perhitungan solusi akhir masalah transpotasi untuk 𝛾𝛾 [ 1 4 , 2 3 ] dan � 2 3 , 1 � pada Tabel 8. diperoleh hasil yang dapat dilihat pada Tabel 9. sebagai berikut :
Tabel 9. Hasil nilai 𝑍𝑍 (fungsi tujuan) untuk 𝛾𝛾 [ 1 4 , 2 3 ] dan [ 2 3 , 1]
𝛼𝛼
𝛾𝛾 0 1/4 2/3 1 0 190 179 164 149 7/10 265,6 250,5 227,2 208,7 8/10 277,4 261,3 236,5 217,4
Dari tabel di atas terlihat bahwa semakin besar nilai 𝛾𝛾 − 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 maka nilai 𝑍𝑍 (fungsi tujuan) semakin kecil begitu juga sebaliknya. Hal ini menunjukkan bahwa nilai 𝛾𝛾 mengoptimalkan solusi akhir menjadi lebih optimal, jika dibandingkan tanpa adanya nilai 𝛾𝛾 (biaya fuzzy ).

## 5. KESIMPULAN
Penyelesaian biaya fuzzy sama  dengan penyelesaian sistem transportasi fuzzy pada umumnya. Biaya fuzzy dapat ditentukan dengan mengubahnya kedalam bentuk 𝛾𝛾 − 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 sehingga menghasilkan persamaan analisis biaya fuzzy . Dari hasil perhitungang analisis biaya fuzzy menunjukkan bahwa semakin  besar nilai 𝛾𝛾 − 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 maka nilai 𝑍𝑍 (fungsi tujuan) semakin kecil begitu juga sebaliknya. Hal ini menunjukkan bahwa nilai 𝛾𝛾 mengoptimalkan solusi akhir menjadi lebih optimal, jika dibandingkan tanpa adanya nilai 𝛾𝛾 (biaya fuzzy ).

## 6. DAFTAR PUSTAKA
Dimyati, A. 1992. Operations Research : Model-model Pengambilan Keputusan .
Bandung : Sinar Baru Algensindo.
Kusumadewi, S & Hari. P. 2010. Aplikasi Logika Fuzzy untuk Pendukung Keputusan Edisi 2 . Graha Ilmu. Yogykarta Mehmet, dkk.  2002. Transportation of the fuzzy amounts using the fuzzy cost.
Journal of Marmara for Pure and Applied Sciences (2002) Vol. 18. Page.141-157.