## EKSISTENSI RUANG VEKTOR ATAS LAPANGAN TERHADAP MODUL BEBAS
Chrisanty Y. Tambayong 1) , Jullia Titaley 1) , Rinancy Tumilaar 1)
Program Studi Matematika, Fakultas MIPA, Universitas Sam Ratulangi
email : chrisantytambayong28@gmail.com; july_titaley@yahoo.com; rinancytumilaar@gmail.com;

## ABSTRAK
Modul  merupakan  perluasan  dari  ruang  vektor.    Suatu  Ruang  vektor 𝑉 atas  lapangan 𝐹 merupakan suatu himpunan vektor  – vektor dengan dua operasi yaitu penjumlahan dan perkalian dengan skalar. Sebarang ruang vektor 𝑉 atas lapangan 𝐹 dapat dipandang sebagai  modul atas ring 𝐹. Tetapi  tidak  semua  modul  dapat  dinyatakan  sebagai  ruang  vektor  atas  lapangan.  Tujuan penelitian  ini  adalah  untuk  memberikan counter example bahwa  tidak  semua  modul  merupakan ruang  vektor  atas  lapangan.    Dari  hasil  penelitian  dapat  disimpulkan  bahwa  setiap  modul  yang memiliki basis merupakan ruag vektor atas lapangan adalah modul bebas.
Kata kunci : Ruang vektor, modul, dan modul bebas

## THE EXISTENCE OF VECTOR SPACE OVER A FIELD OF FREE MODULE

## ABSTRACT
Module is an extension of a vector space. A vector space over a field  is a set of vectors with two binary operation. The binary operation  is addition and scalar multiplication.  A vector space is a module over a field, many of basic concepts that we defined for vector space can also be defined module.  But  it’s  not  all  module  vector  space  over  a  field.  The  purpose  of  this  tesis  is  for  give counter example that it’s not all module vector space over a field.  From the result of this research show that a module have bases is vector space over a field is free module.
Keywords : vector space, module, free module

## PENDAHULUAN
Ruang  vektor  merupakan  struktur matematika  yang  terbentuk  oleh  sekumpulan vektor dengan dua operasi yaitu
penjumlahan  dan  perkalian  skalar  serta memenuhi beberapa aksioma.
Sedangkan, Ruang vektor atas lapangan  adalah  suatu  himpunan  tak  kosong dari  elemen-elemen  yang  merupakan  vektor bersama dengan dua operasi yaitu penjumlahan  dan  perkalian  skalar,  yang dimana skalar merupakan unsur dari lapangan.
Modul  merupakan  struktur  aljabar yang  dikembangkan  dalam  dua  himpunan yang  tidak  kosong  dan  memenuhi  syarat tertentu  yaitu  distributif  kanan,  distributif kiri,  dan  mempunyai  elemen  identitas.  Suatu modul  yang  memiliki  basis  disebut    modul bebas.  Basis  merupakan  bagian  dari  ruang vektor  atas  lapangan  yang  memenuhi  syarat
yaitu bebas linier dan merentang. Berdasarkan  hal-hal  yang  telah  diketahui bahwa  semua  Ruang  vektor  atas  lapangan merupakan  suatu  modul  bebas  tetapi  belum tentu  semua  modul    merupakan  suatu  ruang vektor  atas  lapangan.  Oleh  karena  itu, penelitian  ini  bertujuan  untuk  mengkaji tentang  modul  bebas  yang  merupakan  suatu ruang  vektor  atas  lapangan,  Hal  ini  akan  di lihat  dari  sifat  ruang  vektor  atas  lapangan, sifat modul bebas.

## Grup
Menurut    Setiawan.(  2011),  suatu  grup 〈 𝐺 ,∗ 〉 terdiri  dari  himpunan  anggota G bersama  dengan  operasi  biner  *  yang didefinisikan  pada G dan  memenuhi  sifat- sifat berikut :
1. Sifat tertutup : 𝑎 ∗ 𝑏 ∈ 𝐺, ∀ 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐺,
2. Sifat assosiatif : (𝑎 ∗ 𝑏) ∗ 𝑐 = 𝑎 ∗ (𝑏 ∗ 𝑐)∀ 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝐺,
3. Sifat  identitas  :  terdapat 𝑒 ∈  𝐺 sehingga e * x = x * e = x , ∀ x ∈ G , 4. Sifat  invers  : ∀  𝑎 ∈  𝐺 ,  terdapat 𝑎′  ∈  𝐺
sehingga a * a ′ = a ′ * a = e .

## Grup komutatif
Suatu  grup  G  disebut  grup  komutatif atau  abelian  jika  terdapat  operasi  biner komutatif. (Fraleigh, 2003)

## Ring
Menurut  Dummit, et al .,  (1991) 𝑅 adalah himpunan  tak  kosong  dengan  dua  operasi biner (+) dan (∙) ,    dan  memenuhi  syarat  – syarat sebagai berikut :
1. 〈𝑅, +〉 adalah grup abelian
2. Operasi  ( ∙ )  bersifat  assosiatif  : (𝑎 ∙ 𝑏) ∙ 𝑐 = 𝑎 ∙ (𝑏 ∙ 𝑐), ∀𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝑅
3. Operasi  ( ∙ )  bersifat  distributif  terhadap (+) di 𝑅 ∶ ∀ 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝑅 𝑎 ∙ (𝑏 + 𝑐) = (𝑎 ∙ 𝑏) + (𝑎 ∙ 𝑐) (distributif kiri)
(𝑎 + 𝑏) ∙ 𝑐 = (𝑎 ∙ 𝑐) + (𝑏 ∙ 𝑐) . (distributif kanan)
Ring Komutatif Misalkan 𝑅 suatu  sistem  matematika  dengan operasi  tambah  dan  kali.  Sistem 𝑅 disebut ring  komutatif  jika  ring 𝑅 dan  untuk  setiap 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑅 berlaku 𝑎 ∙ 𝑏 = 𝑏 ∙ 𝑎 .  (Mardiani, 2016).

## Lapangan
Misalkan 𝑅 sutau  sistem  matematika  dengan operasi  tambah  dan  kali.  Sistem 𝑅 disebut lapangan  jika 𝑅 membentuk  ring  komutatif dan  setiap  unsur  tak  nolnya  merupakan  unit, yaitu  untuk  setiap 𝑎 ∈ 𝑅 dengan 𝑎 ≠ 0 terdapat 𝑏 ∈ 𝑅 sehingga 𝑎𝑏 = 𝑏𝑎 = 1 . (Mardiani, 2016).

## Modul
Menurut  Wijayanti  dan  Wahyuni  (2013), Sifat  –  sifat  yang  membentuk  modul  sebagai berikut :
1. Grup abelian (𝑀, +)
2. Operasi
° ∶  𝑅 × 𝑀 → 𝑀
,dimana
𝑟𝑚, untuk  setiap 𝑟 ∈ 𝑅 dan 𝑚 ∈ 𝑀 yang memenuhi :
a. Distributif kanan (𝑟 + 𝑠)𝑚 = 𝑟𝑚 + 𝑠𝑚 ∀𝑟, 𝑠 ∈ 𝑅, 𝑚 ∈ 𝑀 b. Distributif kiri
𝑟(𝑚 + 𝑛) = 𝑟𝑚 + 𝑟𝑛, ∀𝑟 ∈ 𝑅, 𝑚. 𝑛 ∈ 𝑀
c. Asosiatif (𝑟𝑠)𝑚 = 𝑟(𝑠𝑚)∀𝑟, 𝑠 ∈ 𝑅, 𝑚 ∈ 𝑀
Jika 𝑅 mempunya unsur identias 1 maka d. 1𝑚 = 𝑚, ∀ 𝑚 ∈ 𝑀

## Modul bebas
Misalkan 𝑀 adalah 𝑅 -modul.  Jika  terdapat 𝑋 ⊆ 𝑀 dengan 𝑋 merupakan  basis  untuk 𝑀 , maka 𝑀 disebut  modul  bebas.(Khusnul, 2015)

## METODE PENELITIAN

## Waktu dan Tempat
Penelitian  ini  dilakukan  di  Fakultas Matematika  dan  Ilmu  Pengetahuan  Alam
Universitas Sam Ratulangi. Waktu
pelaksanaan  penelitian  ini  di  mulai  pada bulan Mei sampai pada  bulan Juni 2018.

## Metode
Metode yang digunakan dalam penelitian  ini  adalah  dengan  melakukan sumber  literature  dengan  tahapan  sebagai berikut ;
1. Mempelajari  sifat  ruang  vektor  atas lapangan.
2. Mempelajari sifat modul bebas
3. Membuat  contoh  ruang  vektor  atas lapangan yang terdapat modul bebas
4. Membuat  contoh  modul  bebas  yang terdapat ruang vektor atas lapangan

## HASIL DAN PEMBAHASAN

## Sifat-sifat ruang vektor atas lapangan
Teorema 1 : Misalkan suatu ruang vektor atas lapangan 𝐹 , dan 𝑋 suatu  subhimpunan  dari 𝑉 yang merentang. Maka pernyataan berikut ekuivalen. 1) Penulisan vektor
𝑦 ∈ 𝑉 sebagai kombinasi linier dari 𝑋 bersifat tunggal.
2) Penulisan  vektor  nol  sebagai  kombinasi linier dari 𝑋 bersifat tunggal.
Sifat 1 : Misalkan 𝑉 suatu  ruang  vektor  atas  lapangan 𝐹 ,  dan 𝐾 suatu  subhimpunan  dari 𝑉 yang  tak kosong. Maka 𝐾 membentuk subruang dari 𝑉 jika dan hanya jika
1) Untuk setiap 𝑥 dan 𝑦 di 𝐾 , berlaku 𝑥 + 𝑦 ∈ 𝐾 ,
2) Untuk  setiap 𝑥 ∈ 𝐾 dan ∈ 𝐹 ,  berlaku 𝑎𝑥 ∈ 𝐾 .
Sifat 2 : Misalkan 𝑉 suatu  ruang  vektor  atas  lapangan 𝐹 ,  dan 𝐾 subhimpunan  dari 𝑉 yang  tak kosong.  Maka 𝐾 membentuk  subruang  jika dan  hanya jika setiap kombinasi  linier vektor di 𝐾 juga termuat di 𝐾 .
Sifat-sifat modul bebas
Teorema 2 : Misalkan 𝑀 suatu 𝑅 − modul,  dan 𝑋 suatu subhimpunan  tak  kosong  dari 𝑀 .  Maka pernyataan berikut ekuivalen.
1) 𝑋 suatu basis modul 𝑀 2) 𝑋 membangun modul 𝑀 dan bebas linier.
Teorema 3 : Misalkan 𝑀 dan 𝐹 adalah 𝑅 − modul.  Jika 𝑀 adalah  modul  bebas  dan 𝑀 isomorfik  dengan 𝐹 , maka 𝐹 adalah modul bebas.
Teorema 4 : Misalkan 𝑀 adalah 𝑅 − modul.  Jika 𝑀 adalah modul  bebas  maka 𝑀 isomorfik  dengan 𝑅 𝑛 , dimana 𝑛 adalah kardinalitas dari basis 𝑀 .
Ruang  vektor  atas  lapangan  adala  modul bebas
Teorema 5 : Misalkan 𝑆 subhimpunan  tak  kosong  dari 𝑅 − modul 𝑀 .  Himpunan 𝑆 dikatakan submodul  dari 𝑀 jika  dan  hanya  jika 𝑆 tertutup  terhadap  kombinasi  linier  sebagai berikut  jika 𝑟, 𝑠 ∈ 𝑅 dan 𝑢, 𝑣 ∈ 𝑆 maka 𝑟𝑢 + 𝑠𝑣 ∈ 𝑆 .
Teorema 6 : Misalkan 𝑀 suatu 𝑅 − modul, 𝐵 subhimpunan dari 𝑀 adalah basis bagi 𝑀 jika dan  hanya  jika  untuk  setiap 𝑣 ∈ 𝑀 , 𝑣 merupakan  kombinasi  linier  dari  vektor  – vektor di 𝐵 secara tunggal.
Teorema 7 : Misalkan 𝑀 suatu 𝑅 − modul.  Jika 𝐵 basis 𝑀 maka 𝐵 merentang  minimal  dan 𝐵 bebas linier maksimal.
Counter  Example  (tidak  semua  modul adalah ruang vektor atas lapangan)
Modul  yang  tidak  memiliki  basis  yaitu disebut  dengan  modul  yang  tidak  bebas. Berikut  diberikan  beberapa  contoh  tidak semua  modul  adalah  ruang  vektor  atas lapangan.
Contoh 1 : ℤ 2 = 𝑍 − modul  tidak  memiliki  basis  atau ℤ 2 = 𝑍 − modul bukan modul bebas .
Bukti :
Satu  –  satunya  pembangun  yang  ada  di ℤ 2 , yaitu {1} yang    tak  bebas  linier,  karena terdapat 2 ∈ ℤ dimana 2 ≠ 0 ,  sehingga berlaku 2 ∙ 1 = 0 di ℤ 2 .  Oleh  karena  itu ℤ 2 tak memiliki basis.
Jadi,terbukti  bahwa ℤ 2 = Z-modul bukan modul bebas.
Contoh 2 : ℤ 10 = 𝑍 − modul  tidak  memiliki  basis  atau ℤ 10 = 𝑍 − modul bukan modul bebas .
Bukti : ℤ 10 mempunyai  satu  –  satunya  pembangun yaitu {1} yang  tak  bebas  linier,  dimana terdapat 10 ∈ ℤ dan 10 ≠ 0 ,  sehingga berlaku 10 ∙ 1 = 0 di ℤ 10 .  Oleh  sebab  itu, ℤ 10 tidak mempunyai basis.
Jadi,terbukti  bahwa ℤ 10 =Z-modul bukan modul bebas.
Contoh 3 : Buktikan ℚ = 𝑍 − 𝑀𝑜𝑑𝑢𝑙
dimana ℚ: bilangan  rasional, ℚ bukan  merupakan basis dari modul  !
Bukti : Misalkan ℚ = 𝑍 − 𝑀𝑜𝑑𝑢𝑙 .  Akan  dibuktikan ℚ tidak  memiliki  basis  atau  akan  ditunjukan bahwa,  untuk  setiap  himpunan  bagian  dari ℚ bukan merupakan basis dari 𝑀𝑜𝑑𝑢𝑙 .
Jadi ℚ = 𝑍 − 𝑀𝑜𝑑𝑢𝑙 tidak  mempunyai  basis ⇔ Untuk setiap 𝑥 ⊆ 𝑀 a) 𝑥 tidak bebas b) 𝑥 tidak merentang
Misalkan 𝑥 sebarang himpunan bagian dari ℚ
a) Akan ditunjukan 𝑥 bukan basis dari ℚ :
i) Misalkan 𝑥 = ℚ maka 〈𝑥〉 = 〈ℚ〉 sub modul terkecil yang memuat ℚ . Berdasarkan definisi submodul terkecil  merupakan  modul  yang dibangun oleh satu unsur.
Karena 〈𝑁〉 = {0} ≠ ℚ maka 𝑥 bukan basis dari ℚ . ii)  Misalkan 𝑥 = {0} .  Karena  terdapat 1 ∈ ℤ dan 1 ∙ 0 = 0 maka  jelas 𝑥 = {0} tidak  bebas  linier  dari ℚ .  Jadi, 𝑥 bukan basis dari ℚ .
i) Misalkan 𝑥 ≠ {0} ,  sebut 𝑥 = { 𝑝 𝑞 }
dengan 𝑝 ≠ 0 dibentuk persamaan 𝑛 ∙ 𝑝 𝑞 = 0 dengan 𝑛 ∈ ℤ . Jadi 𝑛 ∙ 𝑝 𝑞 = 𝑛∙𝑝 𝑞 = 0 yang  berakibat 𝑛 ∙ 𝑝 = 0 karena 𝑝 ≠ 0 dan ℤ daerah integral  maka 𝑛 = 0 .  Jadi 𝑥 bebas linier di ℚ .
b) Akan ditunjukan 𝑥 tidak membangun ℚ Yaitu  akan  ditunjukan  terdapat 𝑟 = 𝑠 𝑡 ∈ ℚ
sedemikian  sehingga 𝑟 ≠ 𝑛 ∙ 𝑝 𝑞 dengan 𝑛 ∈ ℤ .
Akan dilihat beberapa kasus 𝑝 dan 𝑞
i) Untuk 𝑝 = 𝑞 𝑥 = { 𝑝 𝑞 } ,  maka 𝑥 = {1}, ambil 𝑟 ∈ ℚ , yaitu 1 3 ∈ ℚ 1 3 ≠ 𝑛 ∙ 𝑝 𝑞 sehingga 1 3 ≠ 𝑛 ∙ 1, sedangkan 1 3 =
1
3 ∙ 1 ; 1
3 ∉ ℤ maka 𝑥 = {1} tidak membangun di ℚ Jadi, 𝑥 bukan basis . ii) Untuk 𝑝 ≠ 𝑞
1) Andaikan 𝑞 = −𝑝, maka 𝑥 = {−1}
Karena 1 3 ∈ ℚ ,  maka 1 3 ≠ 𝑛 ∙ (−1) ,  untuk setiap 𝑛 ∈ ℤ 1 3 = (− 1 3 ) ∙ (−1) ; (− 1 3 ) ∉ ℤ, maka 𝑥 =
{−1} tidak membangun Jadi, 𝑥 = {−1} bukan basis 2) Andaikan 𝑝 > 𝑞 Jika 𝑞 = 1 , maka 𝑥 = {𝑝}
Pilih 1 3 ∈ ℚ sehingga 1 3 ≠ 𝑛 ∙ 𝑝 𝑞 1 3 = 𝑛 ∙ 𝑝 ; 1 3 = 1 3𝑝 ∙ 𝑝 , 1
3𝑝 ∉ ℤ
maka 𝑥 = {𝑝} tidak membangun
3) Andaikan 𝑞 > 𝑝 ;
a. Jika 𝑞|𝑛 ,  pilih 1 5 ∈ ℚ ,  sehingga 1 3 ≠ 𝑛 ∙ 𝑥 = 𝑛 ∙ 𝑝 𝑞 ∈ ℤ
b. Jika 𝑞 ∤ 𝑛 ,  pilih  5,  sehingga 5 ≠ 𝑛 ∙ 𝑥 = 𝑛 ∙ 𝑝 𝑞 ∉ ℤ
Terbukti,  dapat  dilihat  dari  (a)  dan  (b)  maka ℚ = 𝑍 − 𝑚𝑜𝑑𝑢𝑙 tidak  bebas  linier  dan merentang.  Jadi, ℚ = 𝑍 − 𝑚𝑜𝑑𝑢𝑙 bukan modul bebas.

## KESIMPULAN DAN SARAN

## Kesimpulan
Ruang vektor atas lapangan mempunyai sifat bebas linier dan merentang . Ruang vektor atas lapangan yang mempunyai basis  disebut  modul  bebas.  Suatu  modul dikatakan  modul  bebas  jika  suatu  himpunan tak  kosong 𝑋 dari  modul 𝑀 memiliki  sifat- sifat basis yaitu bebas linier dan membangun. Semua  ruang  vektor  atas  lapangan  adalah modul bebas tetapi tidak semua modul adalah ruang vektor atas lapangan.
Beberapa counter  example yang membuktikan  bahwa  tidak  semua  modul adalah  ruang    vektor  atas  lapangan  yaitu ℤ 2 = 𝑍 − 𝑚𝑜𝑑𝑢𝑙 , ℤ 10 = 𝑍 − 𝑚𝑜𝑑𝑢𝑙 dan ℚ = 𝑍 − 𝑚𝑜𝑑𝑢𝑙 .

## Saran
Untuk  penelitian  selanjutnya  dapat mencari  lagi  counter  example  lainnya  yang dapat  membuktikan  tidak  semua  modul adalah ruang vektor atas lapangan.

## DAFTAR PUSTAKA
Dummit, et.  al .    1991. Abstract  Algebra. Prentice-Hall International. New
York.
Fraleigh,  J.  B.  200. A  First  Course  In Abstract  Algebra, 7 th edition.
Addison Welsey.  New York.
Khusnul,  A.  2015.  Keterkaitan  antara  modul bebas dengan modul dilihat dari sifat- sifat homomorfisma modul. Malang : Universitas  Islam  Negeri  Maulana Malik Ibrahim.
Mardiani, D. 2016. Modul dan keujudan basis pada modul bebas. Jurnal

## Pendidikan Matematika STKIP Garut
5(3): 195-203.
Setiawan,  A.    2011.  Aljabar  Absrtak  Teori Grup  Dan  Teori  Ring. Salatiga:
Universitas Kristen Satya Wacana.
Wijayanti, I. E dan S. Wahyuni.  2013. Teori Modul.  Universitas  Gadjah  Mada. Yogyakarta.