Limits: Journal of Mathematics and Its Applications E-ISSN: 2579-8936 P-ISSN: 1829-605X Vol. 19, No. 2, Nopember 2022, 241-251 DOI: http://dx.doi.org/10.12962/limits.v19i2.8103
Pembangkitan Pola Simetri p2mm dari Simulasi Sistem Dinamik
Windi Oli Viera 1 , Mahdhivan Syafwan 2 *, Budi Rudianto 3
Departemen Matematika dan Sains Data FMIPA Universitas Andalas, Padang, Indonesia *e-mail: mahdhivan@sci.unand.ac.id
Diajukan: 1 Desember 2020, Diperbaiki: 2 Agustus 2022, Diterima: 12 September 2022

## Abstrak
Pola simetri p2mm adalah wallpaper group yang mempunyai simetri rotasi 180 0 , refleksi terhadap sumbu- x dan sumbu- y , dan translasi terhadap sumbu- x dan sumbu- y . Dalam artikel ini, pola simetri p2mm berwarna dibangkitkan melalui sebuah simulasi sistem dinamik diskrit dengan terlebih dahulu melakukan analisis terhadap syarat dan pemilihan pada fungsi dinamiknya. Dalam pembangkitan pola p2mm ini, setiap titik pada bidang dijadikan sebagai titik awal pada iterasi sistem dinamik diskrit, dan jumlah iterasi yang dihasilkan menentukan warna pada titik tersebut. Dengan menggunakan beberapa kombinasi nilai- nilai parameter pada fungsi dinamik, diperoleh variasi pola-pola p2mm yang menarik dan estetis. Kata kunci : p2mm , sistem dinamik diskrit, wallpaper group

## Abstract
A p2mm symmetrical pattern is a wallpaper group which has 180 0 rotational symmetries, reflections on the x and y axes, and translations to the x and y axes. In this paper, the coloured p2mm symmetrical pattern is generated through a discrete dynamical system simulation, by firstly analyzing the conditions and the choice of the dynamical function. In generating this p2mm pattern, each point on a plane is used as a starting point in the discrete dynamical system iteration, and the number of performed iterations determines a colour to that point. By using some combinations of parameter values in the dynamical function, a variety of interesting and aesthetic p2mm patterns is obtained.
Keywords : p2mm, discrete dynamical systems, wallpaper group

## 1  Pendahuluan
Pola-pola simetri yang bernilai estetis telah banyak dibangkitkan oleh para peneliti melalui berbagai metode dengan menggunakan persamaan matematika. Salah satu pendekatan yang dilakukan adalah metode sistem dinamik diskrit yang dapat menghasilkan pola simetri wallpaper [1], simetri bola  [2], simetri frieze [3], dan pengubinan Archimedean [4]. Selain itu juga dikembangkan metode iterasi berdasarkan teori titik tetap. Metode ini sukses dalam membangkitkan himpunan Mandelbrot and Julia yang diperumum [5,6]  dan polinomiografi [7,8]. Lebih lanjut, variasi iterasi titik tetap dalam simulasi sistem dinamik diskrit juga telah dikaji sehingga diperoleh pola-pola simetri yang lebih bervariasi [9].
Khusus untuk pola simetri wallpaper, terdapat 17 jenis atau lebih dikenal dengan istilah wallpaper group, yang diberi nama sebagai berikut: p1, p2, pm, pg, p2mm, p2mg, p2gg, cm,

## 242
c2mm, p3, p3m1, p31m, p4, p4mm, p4gm, p6 dan p6mm [10].  Dalam hal ini  huruf p dan c berturut-turut menyatakan sel primitif (kisi satuan) dan sel terpusat, m menunjukkan refleksi ( mirror ), g merepresentasikan  glide-refleksi, sedangkan bilangan bulat menandakan  orde dari rotasi. Jenis-jenis wallpaper group tersebut memiliki satu atau kombinasi dari keempat sifat isometri, yaitu translasi, refleksi, glide-refleksi dan rotasi. Sebagai contoh, pola simetri p2mm merupakan pola simetri dengan kisi satuan persegi yang memiliki rotasi 180 0 (orde 2), refleksi terhadap sumbu- x dan sumbu- y, dan translasi sepanjang sumbu- x dan sumbu- y dengan masing- masing periode 𝑇𝑇 dan 𝑇𝑇 ∗ . Dengan memanfaatkan keunikan sifat simetri yang ada pada wallpaper group ini, beberapa peneliti di Indonesia melakukan klasifikasi motif-motif batik tradisional yang berkembang di berbagai daerah, lihat misalnya dalam [11].
Dalam  artikel  ini, pola simetri p2mm secara khusus akan dibangkitkan melalui simulasi sistem dinamik diskrit berikut:
�𝑥𝑥 𝑛𝑛+1 = 𝑥𝑥 𝑛𝑛 + 𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥 𝑛𝑛 , 𝑦𝑦 𝑛𝑛 ), 𝑦𝑦 𝑛𝑛+1 = 𝑦𝑦 𝑛𝑛 + 𝑔𝑔 ( 𝑥𝑥 𝑛𝑛 , 𝑦𝑦 𝑛𝑛 ), (1)
yang merupakan diskritisasi dari sistem
𝑑𝑑𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥 , 𝑦𝑦 ), 𝑑𝑑𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑔𝑔 ( 𝑥𝑥 , 𝑦𝑦 ). (2)
Dalam hal ini, syarat-syarat pada fungsi 𝑓𝑓 dan 𝑔𝑔 akan ditentukan sedemikian sehingga potret fasa (1)  memenuhi sifat-sifat simetri yang berlaku pada pola p2mm .  Penelitian ini mengikuti ide dan langkah-langkah yang sama dengan referensi  [1], namun sistem dinamik diskrit yang digunakan pada referensi tersebut secara numerik tidak relevan dengan sistem (2). Penelitian serupa untuk pola p4 juga sudah dilakukan dan diperoleh pola-pola  yang lebih menarik dan variatif [12].
Artikel ini ditulis dengan sistematika sebagai berikut. Pada Bagian 2 dijelaskan  kembali syarat-syarat  pada  isometri yang dimiliki oleh pola p2mm .  Hasil-hasil pada Bagian 2 menjadi dasar dalam pembahasan Bagian 3 dalam melakukan pemilihan fungsi dinamik 𝑓𝑓 dan 𝑔𝑔 sedemikian sehingga  potret fasa (1)  memenuhi  pola p2mm .  Selanjutnya  pembangkitan pola simetri p2mm disajikan pada Bagian 4. Terakhir, pada Bagian 5 dikemukakan kesimpulan dari hasil kajian.

## 2  Syarat-syarat pada Isometri
Isometri  yang memenuhi w allpaper group jenis p2mm adalah simetri translasi, simetri refleksi dan simetri rotasi. Berikut dijelaskan kembali  syarat-syarat dari fungsi 𝑓𝑓 dan 𝑔𝑔 agar potret fasa dari sistem (1) memiliki ketiga simetri ini [1].

## 243

## 1. Simetri Translasi
Misalkan potret fasa dari sistem (1) mempunyai simetri translasi dengan periode 𝑇𝑇 sepanjang sumbu- 𝑥𝑥 , artinya potret fasa tersebut tidak berubah setelah dilakukan transformasi 𝑥𝑥 ’  = 𝑥𝑥 − 𝑇𝑇 dan 𝑦𝑦 ’  = 𝑦𝑦 . Substitusikan 𝑥𝑥 ’ dan 𝑦𝑦 ’ tersebut ke Persamaan (1), diperoleh
� 𝑥𝑥 ′ 𝑛𝑛+1 = 𝑥𝑥 ′ 𝑛𝑛 + 𝑓𝑓�𝑥𝑥 ′ 𝑛𝑛 + 𝑇𝑇 , 𝑦𝑦 ′ 𝑛𝑛 � , 𝑦𝑦 ′ 𝑛𝑛+1 = 𝑦𝑦 ′ 𝑛𝑛 + 𝑔𝑔�𝑥𝑥 ′ 𝑛𝑛 + 𝑇𝑇 , 𝑦𝑦 ′ 𝑛𝑛 � . (3)
Agar Persamaan (1) dan (3) identik, maka haruslah
� 𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥 + 𝑇𝑇 , 𝑦𝑦 ) = 𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥 , 𝑦𝑦 ), 𝑔𝑔 ( 𝑥𝑥 + 𝑇𝑇 , 𝑦𝑦 ) = 𝑔𝑔 ( 𝑥𝑥 , 𝑦𝑦 ). (4)
Dengan cara yang sama, jika potret fasa dari sistem  (1)  mempunyai simetri translasi dengan periode 𝑇𝑇 ∗ sepanjang sumbu- 𝑦𝑦 , maka haruslah berlaku
� 𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥 , 𝑦𝑦 + 𝑇𝑇 ∗ ) = 𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥 , 𝑦𝑦 ), 𝑔𝑔 ( 𝑥𝑥 , 𝑦𝑦 + 𝑇𝑇 ∗ ) = 𝑔𝑔 ( 𝑥𝑥 , 𝑦𝑦 ). (5)
S elanjutnya jika potret fasa dari sistem (1) mempunyai simetri translasi sepanjang sumbu- x dan sumbu- y sekaligus dengan periode masing-masing T dan 𝑇𝑇 ∗ , maka berlaku Persamaan (4) dan (5), yaitu
� 𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥 , 𝑦𝑦 ) = 𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥 + 𝑇𝑇 , 𝑦𝑦 ) = 𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥 , 𝑦𝑦 + 𝑇𝑇 ∗ ), 𝑔𝑔 ( 𝑥𝑥 , 𝑦𝑦 ) = 𝑔𝑔 ( 𝑥𝑥 + 𝑇𝑇 , 𝑦𝑦 )   = 𝑔𝑔 ( 𝑥𝑥 , 𝑦𝑦 + 𝑇𝑇 ∗ ). (6)

## 2. Simetri Refleksi
Misalkan potret fasa  (1)  mempunyai simetri refleksi terhadap sumbu- x , yaitu berlaku transformasi 𝑥𝑥 ′ = 𝑥𝑥 dan 𝑦𝑦 ′ = −𝑦𝑦 . Substitusikan 𝑥𝑥 ′ dan 𝑦𝑦 ′ tersebut ke Persamaan (1), maka diperoleh
� 𝑥𝑥 ′ 𝑛𝑛+1 = 𝑥𝑥 ′ 𝑛𝑛 + 𝑓𝑓�𝑥𝑥 ′ 𝑛𝑛 , −𝑦𝑦 ′ 𝑛𝑛 � , 𝑦𝑦 ′ 𝑛𝑛+1 = 𝑦𝑦 ′ 𝑛𝑛 − 𝑔𝑔�𝑥𝑥 ′ 𝑛𝑛 , −𝑦𝑦 ′ 𝑛𝑛 � . (7)
Agar Persamaan (1) dan (7) identik, maka haruslah
� 𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥 , −𝑦𝑦 ) = 𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥 , 𝑦𝑦 ), 𝑔𝑔 ( 𝑥𝑥 , −𝑦𝑦 ) = −𝑔𝑔 ( 𝑥𝑥 , 𝑦𝑦 ). (8)
Dengan cara yang sama, jika potret fasa dari sistem (1)  mempunyai simetri refleksi terhadap sumbu- 𝑦𝑦 , maka berlaku
� 𝑓𝑓 ( −𝑥𝑥 , 𝑦𝑦 ) = −𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥 , 𝑦𝑦 ), 𝑔𝑔 ( −𝑥𝑥 , 𝑦𝑦 ) = 𝑔𝑔 ( 𝑥𝑥 , 𝑦𝑦 ). (9)
Selanjutnya jika potret fasa dari sistem  (1)  mempunyai simetri refleksi terhadap sumbu- 𝑥𝑥 dan sumbu- 𝑦𝑦 sekaligus, maka berlaku Persamaan (8) dan (9), yaitu
� 𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥 , 𝑦𝑦 ) = 𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥 , −𝑦𝑦 ) = −𝑓𝑓 ( −𝑥𝑥 , 𝑦𝑦 ), 𝑔𝑔 ( 𝑥𝑥 , 𝑦𝑦 ) = −𝑔𝑔 ( 𝑥𝑥 , −𝑦𝑦 ) = 𝑔𝑔 ( −𝑥𝑥 , 𝑦𝑦 ). (10) (11)

## 3. Simetri Rotasi
Misalkan potret fasa dari sistem  (1)  tidak  berubah  setelah  dirotasikan  sebesar  θ (berlawanan arah jarum jam). Dalam hal ini berlaku transformasi
�𝑥𝑥 ′ 𝑦𝑦 ′ � = 𝑇𝑇 𝜃𝜃 � 𝑥𝑥 𝑦𝑦� , (12)
dimana
𝑇𝑇 𝜃𝜃 = � cos 𝜃𝜃 − sin 𝜃𝜃 sin 𝜃𝜃 cos 𝜃𝜃 � . (13)
Substitusikan Persamaan (12) ke Persamaan (1) diperoleh
� 𝑥𝑥 ′ 𝑛𝑛+1 𝑦𝑦 ′ 𝑛𝑛+1 � = � 𝑥𝑥 ′ 𝑛𝑛+1 𝑦𝑦 ′ 𝑛𝑛+1 � + 𝑇𝑇 𝜃𝜃 �𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥 𝑛𝑛 , 𝑦𝑦 𝑛𝑛 ) 𝑔𝑔 ( 𝑥𝑥 𝑛𝑛 , 𝑦𝑦 𝑛𝑛 ) � . (14)
Agar Persamaan (1) dan (14) identik, maka haruslah
� 𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥 ′ , 𝑦𝑦 ′ ) = cos 𝜃𝜃 𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥 , 𝑦𝑦 ) − sin 𝜃𝜃 𝑔𝑔 ( 𝑥𝑥 , 𝑦𝑦 ), 𝑔𝑔 ( 𝑥𝑥 ′ , 𝑦𝑦 ′ ) = sin 𝜃𝜃 𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥 , 𝑦𝑦 ) + cos 𝜃𝜃 𝑔𝑔 ( 𝑥𝑥 , 𝑦𝑦 ). (15) (16)

## 3 Pemilihan Fungsi Dinamik
Agar potret fasa sistem (1) memiliki pola simetri p2mm , maka pemilihan fungsi 𝑓𝑓 dan 𝑔𝑔 dilakukan berdasarkan analisis terhadap sifat-sifat simetri translasi, refleksi dan rotasi yang telah dibahas pada Bagian 2. Dari Persamaan (12) diperoleh hasil rotasi ( 𝑥𝑥 , 𝑦𝑦 ) sebesar θ = π sebagai berikut:
�𝑥𝑥 ′ 𝑦𝑦 ′ � = �− 1 0 0 − 1 � � 𝑥𝑥 𝑦𝑦� = � −𝑥𝑥 −𝑦𝑦� . (17)
Selanjutnya untuk θ = π, Persamaan (33) dan (34) menjadi
�𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥 , 𝑦𝑦 ) = −𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥 ′ , 𝑦𝑦 ′ ), 𝑔𝑔 ( 𝑥𝑥 , 𝑦𝑦 ) = −𝑔𝑔 ( 𝑥𝑥 ′ , 𝑦𝑦 ′ ). (18)
Untuk menentukan solusi umum dari (18), misalkan 𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥 , 𝑦𝑦 ) dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier dari fungsi ℎ ( 𝑥𝑥 , 𝑦𝑦 ) dan ℎ ( 𝑥𝑥 ′ , 𝑦𝑦 ′ ) , dan 𝑔𝑔 ( 𝑥𝑥 , 𝑦𝑦 ) dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier dari fungsi 𝑘𝑘 ( 𝑥𝑥 , 𝑦𝑦 ) dan 𝑘𝑘 ( 𝑥𝑥 ′ , 𝑦𝑦 ′ ) , dimana ℎ ( 𝑥𝑥 , 𝑦𝑦 ) dan 𝑘𝑘 ( 𝑥𝑥 , 𝑦𝑦 ) adalah fungsi sebarang dan titik ( 𝑥𝑥 ′ , 𝑦𝑦 ′ ) adalah hasil rotasi dari  titik ( 𝑥𝑥 , 𝑦𝑦 ) sebesar π (berlawanan arah jarum jam). Dalam hal ini dapat ditulis

## 245
𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥 , 𝑦𝑦 ) = 𝑟𝑟 ℎ ( 𝑥𝑥 , 𝑦𝑦 ) + 𝑠𝑠ℎ ( 𝑥𝑥 ′ , 𝑦𝑦 ′ ), 𝑔𝑔 ( 𝑥𝑥 , 𝑦𝑦 ) = 𝑑𝑑 𝑘𝑘 ( 𝑥𝑥 , 𝑦𝑦 ) + 𝑢𝑢𝑘𝑘 ( 𝑥𝑥 ′ , 𝑦𝑦 ′ ), (19)
dimana 𝑟𝑟 , 𝑠𝑠 , 𝑑𝑑 , dan 𝑢𝑢 adalah bilangan riil. Dengan melakukan substitusi Persamaan (17) dan (18) ke  Persamaan (19),  maka  diperoleh 𝑟𝑟 = −𝑠𝑠 dan 𝑑𝑑 = −𝑢𝑢 . Dengan demikian  Persamaan (19) menjadi
𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥 , 𝑦𝑦 ) = −𝑠𝑠 ℎ ( 𝑥𝑥 , 𝑦𝑦 ) + 𝑠𝑠ℎ ( 𝑥𝑥 ′ , 𝑦𝑦 ′ ), 𝑔𝑔 ( 𝑥𝑥 , 𝑦𝑦 ) = −𝑢𝑢𝑘𝑘 ( 𝑥𝑥 , 𝑦𝑦 ) + 𝑢𝑢𝑘𝑘 ( 𝑥𝑥 ′ , 𝑦𝑦 ′ ). (20) (21)
Selanjutnya, karena pola p2mm memiliki  simetri  refleksi terhadap sumbu- 𝑥𝑥 dan sumbu- 𝑦𝑦 , maka berlaku hubungan (10) dan (11). Apabila  periode simetri translasi sepanjang sumbu- 𝑥𝑥 sama dengan periode simetri translasi sepanjang sumbu- 𝑦𝑦 (misalkan 𝑇𝑇 = 𝑇𝑇 ∗ ), maka hubungan (6) menjadi
𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥 , 𝑦𝑦 ) = 𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥 + 𝑇𝑇 , 𝑦𝑦 ) = 𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥 , 𝑦𝑦 + 𝑇𝑇 ), 𝑔𝑔 ( 𝑥𝑥 , 𝑦𝑦 ) = 𝑔𝑔 ( 𝑥𝑥 + 𝑇𝑇 , 𝑦𝑦 )  = 𝑔𝑔 ( 𝑥𝑥 , 𝑦𝑦 + 𝑇𝑇 ). (22)
Berikutnya akan ditinjau pilihan yang mungkin untuk fungsi ℎ ( 𝑥𝑥 , 𝑦𝑦 ) dan 𝑘𝑘 ( 𝑥𝑥 , 𝑦𝑦 ) . Dari hubungan (22), maka ℎ ( 𝑥𝑥 , 𝑦𝑦 ) dan 𝑘𝑘 ( 𝑥𝑥 , 𝑦𝑦 ) haruslah  fungsi periodik sepanjang sumbu- 𝑥𝑥 dan sumbu- 𝑦𝑦 (misalkan ditetapkan periode 𝑇𝑇 = 2 𝜋𝜋 ).  Selanjutnya asumsikan  bahwa ℎ ( 𝑥𝑥 , 𝑦𝑦 ) dan 𝑘𝑘 ( 𝑥𝑥 , 𝑦𝑦 ) dapat dinyatakan sebagai perkalian dua fungsi dengan variabel terpisah 𝑥𝑥 dan 𝑦𝑦 . Dengan demikian ℎ ( 𝑥𝑥 , 𝑦𝑦 ) dan 𝑘𝑘 ( 𝑥𝑥 , 𝑦𝑦 ) dapat  diekspresikan dalam deret Fourier sebagai berikut:
ℎ ( 𝑥𝑥 , 𝑦𝑦 ) = � � 𝐴𝐴 𝑚𝑚𝑛𝑛 cos 𝑚𝑚𝑥𝑥 cos 𝑛𝑛𝑦𝑦 + � � 𝐵𝐵 𝑚𝑚𝑛𝑛 sin 𝑚𝑚𝑥𝑥 cos 𝑛𝑛𝑦𝑦 ∞ 𝑛𝑛=1 ∞ 𝑚𝑚=1 ∞ 𝑛𝑛=1 ∞ 𝑚𝑚=1
+ � � 𝐶𝐶 𝑚𝑚𝑛𝑛 sin 𝑚𝑚𝑥𝑥 cos 𝑛𝑛𝑦𝑦 + � � 𝐷𝐷 𝑚𝑚𝑛𝑛 sin 𝑚𝑚𝑥𝑥 sin 𝑛𝑛𝑦𝑦 , ∞ 𝑛𝑛=1 ∞ 𝑚𝑚=1 ∞ 𝑛𝑛=1 ∞ 𝑚𝑚=1 (23) 𝑘𝑘 ( 𝑥𝑥 , 𝑦𝑦 ) = � � 𝐴𝐴̂ 𝑚𝑚𝑛𝑛 cos 𝑚𝑚𝑥𝑥 cos 𝑛𝑛𝑦𝑦 + � � 𝐵𝐵� 𝑚𝑚𝑛𝑛 cos 𝑚𝑚𝑥𝑥 sin 𝑛𝑛𝑦𝑦 ∞ 𝑛𝑛=1 ∞ 𝑚𝑚=1 ∞ 𝑛𝑛=1 ∞ 𝑚𝑚=1
+ � � 𝐶𝐶̂ 𝑚𝑚𝑛𝑛 sin 𝑚𝑚𝑥𝑥 cos 𝑛𝑛𝑦𝑦 + � � 𝐷𝐷� 𝑚𝑚𝑛𝑛 sin 𝑚𝑚𝑥𝑥 sin 𝑛𝑛𝑦𝑦 . ∞ 𝑛𝑛=1 ∞ 𝑚𝑚=1 ∞ 𝑛𝑛=1 ∞ 𝑚𝑚=1
(24)
Dengan menggunakan Persamaan (10) dan (11) dan beberapa manipulasi aljabar, fungsi ℎ ( 𝑥𝑥 , 𝑦𝑦 ) dan 𝑘𝑘 ( 𝑥𝑥 , 𝑦𝑦 ) dapat disederhanakan menjadi
ℎ ( 𝑥𝑥 , 𝑦𝑦 ) = � � 𝐶𝐶 𝑚𝑚𝑛𝑛 sin 𝑚𝑚𝑥𝑥 cos 𝑛𝑛𝑦𝑦 , ∞ 𝑛𝑛=1 ∞ 𝑚𝑚=1 𝑘𝑘 ( 𝑥𝑥 , 𝑦𝑦 ) = � � 𝐵𝐵� 𝑚𝑚𝑛𝑛 cos 𝑚𝑚𝑥𝑥 sin 𝑛𝑛𝑦𝑦 . ∞ 𝑛𝑛=1 ∞ 𝑚𝑚=1
Oleh karena itu, Persamaan (20) dan Persamaan (21) dapat dinyatakan sebagai berikut:
𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥 , 𝑦𝑦 ) = −𝑠𝑠 � � 𝐶𝐶 𝑚𝑚𝑛𝑛 sin 𝑚𝑚𝑥𝑥 cos 𝑛𝑛𝑦𝑦 + 𝑠𝑠 � � 𝐶𝐶 𝑚𝑚𝑛𝑛 sin 𝑚𝑚𝑥𝑥 ′ cos 𝑛𝑛𝑦𝑦 ′ , ∞ 𝑛𝑛=1 ∞ 𝑚𝑚=1 ∞ 𝑛𝑛=1 ∞ 𝑚𝑚=1 (25) 𝑔𝑔 ( 𝑥𝑥 , 𝑦𝑦 ) = −𝑢𝑢 � � 𝐵𝐵� 𝑚𝑚𝑛𝑛 cos 𝑚𝑚𝑥𝑥 sin 𝑛𝑛𝑦𝑦 + 𝑢𝑢 � � 𝐵𝐵� 𝑚𝑚𝑛𝑛 cos 𝑚𝑚𝑥𝑥 ′ sin 𝑛𝑛𝑥𝑥 ′ . ∞ 𝑛𝑛=1 ∞ 𝑚𝑚=1 ∞ 𝑛𝑛=1 ∞ 𝑚𝑚=1 (26)
Lebih lanjut, dari Persamaan (17), Persamaan (25) dan (26) menjadi
𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥 , 𝑦𝑦 ) = − 2 𝑠𝑠 � � 𝐶𝐶 𝑚𝑚𝑛𝑛 sin 𝑚𝑚𝑥𝑥 cos 𝑛𝑛𝑦𝑦 , ∞ 𝑛𝑛=1 ∞ 𝑚𝑚=1
(27)
𝑔𝑔 ( 𝑥𝑥 , 𝑦𝑦 ) = − 2 𝑢𝑢 � � 𝐵𝐵� 𝑚𝑚𝑛𝑛 cos 𝑚𝑚𝑥𝑥 sin 𝑛𝑛𝑦𝑦 . ∞ 𝑛𝑛=1 ∞ 𝑚𝑚=1
(28)
Persamaan (27) dan (28) memberikan kriteria bagi fungsi dinamik 𝑓𝑓 dan 𝑔𝑔 sedemikian sehingga potret fasa dari sistem (1) mempunyai pola simetri p2mm . Untuk penyederhanaan, 𝐶𝐶 𝑚𝑚𝑛𝑛 dan 𝐵𝐵� 𝑚𝑚𝑛𝑛 ditetapkan bernilai satu  atau nol untuk suatu m dan n . Dengan demikian 𝑠𝑠 dan 𝑢𝑢 dapat berperan sebagai parameter amplitudo bagi fungsi dinamik 𝑓𝑓 dan 𝑔𝑔 .

## 4  Pembangkitan Pola Simetri p2mm
Pada  bagian  ini akan dibahas pembangkitan pola simetri p2mm melalui simulasi numerik untuk sistem dinamik  diskrit  (1), dimana fungsi 𝑓𝑓 dan 𝑔𝑔 seperti yang diberikan masing-masing oleh Persamaan (27) dan (28). Simulasi numerik untuk pembangkitan pola simetri ini dapat menggunakan berbagai alternatif software komputasi.
Untuk pewarnaan titik ( pixel ) dilakukan  dengan cara berikut  [1]: setiap titik ( 𝑥𝑥 , 𝑦𝑦 ) pada suatu bidang 𝐴𝐴 ⊂ ℝ 2 dijadikan sebagai titik awal ( 𝑥𝑥 0 , 𝑦𝑦 0 ) pada iterasi (1) , sehingga diperoleh barisan titik {( 𝑥𝑥 𝑛𝑛 , 𝑦𝑦 𝑛𝑛 )}. Proses iterasi dijalankan sepanjang memenuhi kriteria konvergensi dalam bentuk norm Euclidian berikut:
� ( 𝑥𝑥 𝑛𝑛+1 − 𝑥𝑥 𝑛𝑛 ) 2 +( 𝑦𝑦 𝑛𝑛+1 − 𝑦𝑦 𝑛𝑛 ) 2 ≤ 𝜀𝜀 , 𝑛𝑛 ≥ 0,
untuk suatu toleransi galat ε , atau telah mencapai maksimum iterasi, misalkan 𝐾𝐾 . Selanjutnya  tetapkan warna pada titik ( 𝑥𝑥 , 𝑦𝑦 ) berdasarkan jumlah iterasi yang dihasilkan, dengan  jenis warna sesuai colormap tertentu.  Algoritma yang digunakan dalam proses iterasi ini mengikuti referensi [1] dan dapat dilihat di Lampiran.
Dalam simulasi pembangkitan pola simetri p2mm ini, ditetapkan A = [ − 10,10] 2 dengan  jumlah titik sebanyak 1000 × 700, 𝜀𝜀 =  0.1, dan 𝐾𝐾 =  50 . Selanjutnya dipilih colormap tipe  tertentu  dengan melakukan pengaturan  manual  pada gradasi warna. Selanjutnya dipilih lima  kombinasi nilai-nilai parameter pada fungsi 𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥 , 𝑦𝑦 ) dan 𝑔𝑔 ( 𝑥𝑥 , 𝑦𝑦 ) sebagai berikut:
1) 𝑠𝑠 =  0.2, 𝑢𝑢 = − 0.2, 𝐶𝐶 11 = 1, 𝐶𝐶 𝑚𝑚𝑛𝑛 = 0 untuk 𝑚𝑚 ≠ 1 dan 𝑛𝑛 ≠ 1, 𝐵𝐵� 11 = 1, 𝐵𝐵� 𝑚𝑚𝑛𝑛 = 0 untuk 𝑚𝑚 ≠ 1 dan 𝑛𝑛 ≠ 1 . Dalam hal ini,
𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥 , 𝑦𝑦 ) = − 0.4 sin 𝑥𝑥 cos 𝑦𝑦 , 𝑔𝑔 ( 𝑥𝑥 , 𝑦𝑦 ) = 0.4 cos 𝑥𝑥 sin 𝑦𝑦 . (29)
2) 𝑠𝑠 =  0.6, 𝑢𝑢 = − 0.6, 𝐶𝐶 11 = 1, 𝐶𝐶 𝑚𝑚𝑛𝑛 = 0 untuk 𝑚𝑚 ≠ 1 dan 𝑛𝑛 ≠ 1, 𝐵𝐵� 11 = 1, 𝐵𝐵� 𝑚𝑚𝑛𝑛 = 0 untuk 𝑚𝑚 ≠ 1 dan 𝑛𝑛 ≠ 1 . Dalam hal ini,
𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥 , 𝑦𝑦 ) = − 1.2 sin 𝑥𝑥 cos 𝑦𝑦 , 𝑔𝑔 ( 𝑥𝑥 , 𝑦𝑦 ) = 1.2 cos 𝑥𝑥 sin 𝑦𝑦 . (30)
3) 𝑠𝑠 =  0.3, 𝑢𝑢 = − 0.3, 𝐶𝐶 11 = 1, 𝐶𝐶 22 = 1, 𝐶𝐶 𝑚𝑚𝑛𝑛 = 0 untuk 𝑚𝑚 , 𝑛𝑛 ≠ 1 dan 𝑚𝑚 , 𝑛𝑛 ≠ 2,
𝐵𝐵� 11 = 1, 𝐵𝐵� 22 = 1, 𝐵𝐵� 𝑚𝑚𝑛𝑛 = 0 untuk 𝑚𝑚 , 𝑛𝑛 ≠ 1 dan 𝑚𝑚 , 𝑛𝑛 ≠ 2. Dalam hal ini,
𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥 , 𝑦𝑦 ) = − 0.6 sin 𝑥𝑥 cos 𝑦𝑦 − 0.6 sin 2 𝑥𝑥 cos 2 𝑦𝑦 , 𝑔𝑔 ( 𝑥𝑥 , 𝑦𝑦 ) = − 0.6 cos 𝑥𝑥 sin 𝑦𝑦 − 0.6 cos 2 𝑥𝑥 sin 2 𝑦𝑦 . (31)
4) 𝑠𝑠 =  0.2, 𝑢𝑢 = − 0.2, 𝐶𝐶 11 = 1, 𝐶𝐶 33 = 1, 𝐶𝐶 𝑚𝑚𝑛𝑛 = 0 untuk 𝑚𝑚 , 𝑛𝑛 ≠ 1 dan 𝑚𝑚 , 𝑛𝑛 ≠ 3,
𝐵𝐵� 11 = 1, 𝐵𝐵� 33 = 1, 𝐵𝐵� 𝑚𝑚𝑛𝑛 = 0 untuk 𝑚𝑚 , 𝑛𝑛 ≠ 1 dan 𝑚𝑚 , 𝑛𝑛 ≠ 3 . Dalam hal ini,
𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥 , 𝑦𝑦 ) = − 0.4 sin 𝑥𝑥 cos 𝑦𝑦 − 0.4 sin 3 𝑥𝑥 cos 3 𝑦𝑦 , 𝑔𝑔 ( 𝑥𝑥 , 𝑦𝑦 ) = − 0.4 cos 𝑥𝑥 sin 𝑦𝑦 − 0.4 cos 3 𝑥𝑥 sin 3 𝑦𝑦 . (32)
5) 𝑠𝑠 =  0.1, 𝑢𝑢 = − 0.1, 𝐶𝐶 21 = 1, 𝐶𝐶 22 = 1 , 𝐶𝐶 44 = 1 , 𝐶𝐶 𝑚𝑚𝑛𝑛 = 0 untuk 𝑚𝑚 ≠ 2 dan 𝑛𝑛 ≠ 1 ,
𝑚𝑚 , 𝑛𝑛 ≠ 2 serta 𝑚𝑚 , 𝑛𝑛 ≠ 4, 𝐵𝐵� 21 = 1, 𝐵𝐵� 22 = 1, 𝐵𝐵� 44 = 1, 𝐵𝐵� 𝑚𝑚𝑛𝑛 = 0 untuk 𝑚𝑚 ≠ 2 dan 𝑛𝑛 ≠ 1, 𝑚𝑚 , 𝑛𝑛 ≠ 2 serta 𝑚𝑚 , 𝑛𝑛 ≠ 4. Dalam hal ini,
𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥 , 𝑦𝑦 ) = − 0.2 sin 2 𝑥𝑥 cos 𝑦𝑦 − 0.2 sin 2 𝑥𝑥 cos 2 𝑦𝑦 − 0.2 sin 4 𝑥𝑥 cos 4 𝑦𝑦 , 𝑔𝑔 ( 𝑥𝑥 , 𝑦𝑦 ) = − 0.2 cos 2 𝑥𝑥 sin 𝑦𝑦 − 0.2 cos 2 𝑥𝑥 sin 2 𝑦𝑦 − 0.2 cos 4 𝑥𝑥 sin 4 𝑦𝑦 . (33)
Hasil  pembangkitan pola simetri untuk setiap fungsi 𝑓𝑓 dan 𝑔𝑔 di atas diberikan pada Gambar 1 yang memperlihatkan berbagai variasi pola yang menarik dan estesis. Dapat dilihat dari gambar bahwa pola-pola yang dihasilkan termasuk dalam  kategori wallpaper  group jenis

## 248
p2mm , yaitu memiliki kisi satuan persegi yang memenuhi simetri rotasi 180 0 (orde 2), simetri refleksi terhadap sumbu- x dan sumbu- y, dan simetri translasi sepanjang sumbu- x dan sumbu- y dengan periode 2 𝜋𝜋 . Warna yang diberikan berdasarkan jumlah iterasi di setiap titik ditunjukkan pada colorbar dengan pengaturan gradasi warna dilakukan  secara manual.  Perhatikan juga bahwa nilai-nilai parameter s dan u menghasilkan beragam pola pada gambar yang dihasilkan.
(a) (b) (c) (d) (e)
Gambar 1. Hasil pembangkitan pola simetri p2mm dengan f dan g pada: (a) Persamaan (29), (b) Persamaan (30), (c) Persamaan (31), (d) Persamaan (32) dan (e) Persamaan (33).

## 249

## 5 Simpulan
Dalam artikel ini telah dibahas pembangkitan pola simetri p2mm berwarna melalui sebuah simulasi sistem dinamik diskrit. Untuk menentukan fungsi-fungsi dinamik yang memenuhi sifat- sifat pola p2mm , terlebih dahulu dilakukan analisis terhadap syarat-syarat isometri yang berlaku. Dari hasil analisis diperoleh takhingga banyaknya pilihan fungsi dinamik dalam bentuk fungsi trigonometri sedemikian sehingga potret fasa sistem memenuhi pola simetri p2mm .  Dengan memilih lima kombinasi nilai-nilai parameter pada fungsi dinamik dan melakukan pengaturan manual  terhadap  gradasi warna colormap ,  diperoleh pola-pola p2mm berwarna  yang  lebih variatif, menarik dan estetis. Penelitian ini dapat dilanjutkan untuk wallpaper group jenis lain agar didapatkan pola-pola simetri yang lebih beragam.

## 6  Daftar Pustaka
[1]  K. W. Chung and H. S. Y. Chan, “Symmetrical Patterns from Dynamics,” Computer Graphics Forum , vol. 12, no. 1, pp. 33–40, 1993, doi: https://doi.org/10.1111/1467- 8659.1210033.
[2]  K. W. Chung and H. S. Y. Chan, “Spherical symmetries from dynamics,” Computers & Mathematics with Applications , vol. 29, no. 7, pp. 67–81, 1995, doi: https://doi.org/10.1016/0898-1221(95)00019-U.
[3]  J. Lu, Z. Ye, and Y. Zou, “Automatic generation of colorful patterns with wallpaper symmetries from dynamics,” Vis Comput , vol. 23, no. 6, pp. 445–449, 2007, doi: 10.1007/s00371-007-0116-9.
[4]  P. Ouyang, W. Zhao, and X. Huang, “Beautiful Math, Part 5: Colorful Archimedean Tilings from Dynamical Systems,” IEEE Comput Graph Appl , vol. 35, no. 6, pp. 90–96, 2015, doi: 10.1109/MCG.2015.135.
[5]  Ashish, M. Rani, and R. Chugh, “Julia sets and Mandelbrot sets in Noor orbit,” Appl Math Comput , vol. 228, pp. 615–631, 2014, doi: https://doi.org/10.1016/j.amc.2013.11.077.
[6]  S. M. Kang, A. Rafiq, A. Latif, A. A. Shahid, and Y. C. Kwun, “Tricorns and Multicorns of S -Iteration Scheme,” Journal of Function Spaces , vol. 2015, pp. 1–7, 2015, doi: 10.1155/2015/417167.
[7]  S. M. Kang, H. H. Alsulami, A. Rafiq, and A. A. Shahid, “S-iteration scheme and polynomiography,” Journal of Nonlinear Sciences and Applications , vol. 8, no. 5, pp. 617--627, 2015, doi: 10.22436/jnsa.008.05.14.

## 250
[8]  K. Gdawiec, W. Kotarski, and A. Lisowska, “Polynomiography Based on the Nonstandard Newton-Like Root Finding Methods,” Abstract and Applied Analysis , vol. 2015, pp. 1–19, 2015, doi: 10.1155/2015/797594.
[9]  K. Gdawiec, “Procedural generation of aesthetic patterns from dynamics and iteration processes,” International Journal of Applied Mathematics and Computer Science , vol. 27, no. 4, pp. 827–837, 2017, doi: doi:10.1515/amcs-2017-0058.
[10]  M. A. Armstrong, Groups and Symmetry . New York: Springer, 1988.
[11]  A. D. Garnadi, S. Guritman, A. Kusnanto, and F. Hanum, “Survei Pola Grup Kristalografi Bidang Ragam Batik Tradisional,” JMA , vol. 11, no. 2, pp. 1–19, 2012.
[12]  K.  F.  Cania,  M.  Syafwan,  and  S.  Bahri,  “Pembangkitan  Pola  Simetri  Rotasi  90◦  dari Simulasi Sistem Dinamik,” Jurnal Matematika UNAND , vol. 10, no. 1, pp. 20–28, 2021, doi: https://doi.org/10.25077/jmu.10.1.20-28.2021.

## Lampiran. Algoritma
Input : 𝑛𝑛𝑥𝑥 , 𝑛𝑛𝑦𝑦 ( 𝑑𝑑𝑡𝑡𝑛𝑛𝑔𝑔𝑘𝑘𝑡𝑡𝑑𝑑 𝑟𝑟𝑟𝑟𝑠𝑠𝑟𝑟𝑟𝑟𝑢𝑢𝑠𝑠𝑡𝑡 𝑔𝑔𝑡𝑡𝑚𝑚𝑔𝑔𝑡𝑡𝑟𝑟 𝑑𝑑𝑡𝑡𝑟𝑟𝑡𝑡𝑚𝑚 𝑡𝑡𝑟𝑟𝑡𝑡ℎ 𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑡𝑡𝑛𝑛 𝑡𝑡𝑟𝑟𝑡𝑡ℎ 𝑦𝑦 ) 𝑥𝑥𝑚𝑚𝑡𝑡𝑛𝑛 , 𝑥𝑥𝑚𝑚𝑡𝑡𝑥𝑥 ( 𝑛𝑛𝑡𝑡𝑟𝑟𝑡𝑡𝑡𝑡 𝑥𝑥 𝑚𝑚𝑡𝑡𝑛𝑛𝑡𝑡𝑚𝑚𝑢𝑢𝑚𝑚 𝑑𝑑𝑡𝑡𝑛𝑛 𝑚𝑚𝑡𝑡𝑘𝑘𝑠𝑠𝑡𝑡𝑚𝑚𝑢𝑢𝑚𝑚 𝑑𝑑𝑡𝑡𝑟𝑟𝑡𝑡𝑚𝑚 𝑔𝑔𝑡𝑡𝑑𝑑𝑡𝑡𝑛𝑛𝑔𝑔 𝑔𝑔𝑡𝑡𝑚𝑚𝑔𝑔𝑡𝑡𝑟𝑟 𝐷𝐷 ) 𝑦𝑦𝑚𝑚𝑡𝑡𝑛𝑛 , 𝑦𝑦𝑚𝑚𝑡𝑡𝑥𝑥 ( 𝑛𝑛𝑡𝑡𝑟𝑟𝑡𝑡𝑡𝑡 𝑦𝑦 𝑚𝑚𝑡𝑡𝑛𝑛𝑡𝑡𝑚𝑚𝑢𝑢𝑚𝑚 𝑑𝑑𝑡𝑡𝑛𝑛 𝑚𝑚𝑡𝑡𝑘𝑘𝑠𝑠𝑡𝑡𝑚𝑚𝑢𝑢𝑚𝑚 𝑑𝑑𝑡𝑡𝑟𝑟𝑡𝑡𝑚𝑚 𝑔𝑔𝑡𝑡𝑑𝑑𝑡𝑡𝑛𝑛𝑔𝑔 𝑔𝑔𝑡𝑡𝑚𝑚𝑔𝑔𝑡𝑡𝑟𝑟 𝐷𝐷 )
𝐾𝐾 ( 𝑗𝑗𝑢𝑢𝑚𝑚𝑟𝑟𝑡𝑡ℎ 𝑡𝑡𝑑𝑑𝑟𝑟𝑟𝑟𝑡𝑡𝑠𝑠𝑡𝑡 𝑚𝑚𝑡𝑡𝑘𝑘𝑠𝑠𝑡𝑡𝑚𝑚𝑢𝑢𝑚𝑚 ) 𝑟𝑟𝑒𝑒𝑠𝑠𝑡𝑡𝑟𝑟𝑟𝑟𝑛𝑛 ( 𝑔𝑔𝑡𝑡𝑟𝑟𝑡𝑡𝑑𝑑 ) 𝑠𝑠 , 𝑢𝑢 , 𝑚𝑚 , 𝑛𝑛 ( 𝑛𝑛𝑡𝑡𝑟𝑟𝑡𝑡𝑡𝑡 − 𝑛𝑛𝑡𝑡𝑟𝑟𝑡𝑡𝑡𝑡 𝑒𝑒𝑡𝑡𝑟𝑟𝑡𝑡𝑚𝑚𝑟𝑟𝑑𝑑𝑟𝑟𝑟𝑟 𝑒𝑒𝑡𝑡𝑑𝑑𝑡𝑡 𝑓𝑓𝑢𝑢𝑛𝑛𝑔𝑔𝑠𝑠𝑡𝑡 𝑓𝑓 𝑑𝑑𝑡𝑡𝑛𝑛 𝑔𝑔 )
Output : 𝑃𝑃𝑟𝑟𝑟𝑟𝑡𝑡 𝑆𝑆𝑡𝑡𝑚𝑚𝑟𝑟𝑑𝑑𝑟𝑟𝑡𝑡 𝑒𝑒𝑡𝑡𝑑𝑑𝑡𝑡 𝑔𝑔𝑡𝑡𝑑𝑑𝑡𝑡𝑛𝑛𝑔𝑔 𝐷𝐷
Langkah-langkah :
1: 𝑈𝑈𝑛𝑛𝑑𝑑𝑢𝑢𝑘𝑘 𝑡𝑡𝑦𝑦 ← 0 ℎ𝑡𝑡𝑛𝑛𝑔𝑔𝑔𝑔𝑡𝑡 ( 𝑛𝑛𝑦𝑦 − 1)
2: 𝑐𝑐𝑦𝑦 ← 𝑦𝑦𝑚𝑚𝑡𝑡𝑛𝑛 + 𝑡𝑡𝑦𝑦 ∗ ( 𝑦𝑦𝑚𝑚𝑡𝑡𝑥𝑥 − 𝑦𝑦𝑚𝑚𝑡𝑡𝑛𝑛 )/( 𝑛𝑛𝑦𝑦 − 1); 3: 𝑓𝑓𝑟𝑟𝑟𝑟 𝑡𝑡𝑥𝑥 ← 0 𝑑𝑑𝑟𝑟 ( 𝑛𝑛𝑥𝑥 − 1) 4: 𝑐𝑐𝑥𝑥 = 𝑥𝑥𝑚𝑚𝑡𝑡𝑛𝑛 + 𝑡𝑡𝑥𝑥 ∗ ( 𝑥𝑥𝑚𝑚𝑡𝑡𝑥𝑥 − 𝑥𝑥𝑚𝑚𝑡𝑡𝑛𝑛 )/( 𝑛𝑛𝑥𝑥 − 1); 5: 𝑥𝑥 = 𝑐𝑐𝑥𝑥 ; 𝑦𝑦 = 𝑐𝑐𝑦𝑦 ; 6: 𝑓𝑓𝑟𝑟𝑟𝑟 𝑡𝑡𝑖𝑖 ← 1 𝑑𝑑𝑟𝑟 𝐾𝐾 7 : 𝑥𝑥 1 = ( −𝑥𝑥 ); 8 : 𝑦𝑦 1 = ( −𝑦𝑦 ); 9 : ℎ𝑥𝑥𝑦𝑦 = 𝑠𝑠𝑡𝑡𝑛𝑛 ( 𝑚𝑚 ∗ 𝑥𝑥 ) ∗ 𝑐𝑐𝑟𝑟𝑠𝑠 ( 𝑛𝑛 ∗ 𝑦𝑦 ); 10: ℎ 1 𝑥𝑥𝑦𝑦 = sin( 𝑚𝑚 ∗ 𝑥𝑥 1) ∗ cos( 𝑛𝑛 ∗ 𝑦𝑦 1) ; 11: 𝑓𝑓𝑥𝑥𝑦𝑦 = −𝑠𝑠 ∗ ℎ𝑥𝑥𝑦𝑦 + 𝑠𝑠 ∗ ℎ 1 𝑥𝑥𝑦𝑦 ;
12: 𝑘𝑘𝑥𝑥𝑦𝑦 = 𝑐𝑐𝑟𝑟𝑠𝑠 ( 𝑚𝑚 ∗ 𝑥𝑥 ) ∗ 𝑠𝑠𝑡𝑡𝑛𝑛 ( 𝑛𝑛 ∗ 𝑦𝑦 );
13: 𝑘𝑘 1 𝑥𝑥𝑦𝑦 = 𝑐𝑐𝑟𝑟𝑠𝑠 ( 𝑚𝑚 ∗ 𝑥𝑥 1) ∗ 𝑠𝑠𝑡𝑡𝑛𝑛 ( 𝑛𝑛 ∗ 𝑦𝑦 1); 14: 𝑔𝑔𝑥𝑥𝑦𝑦 = −𝑢𝑢 ∗ 𝑘𝑘𝑥𝑥𝑦𝑦 + 𝑢𝑢 ∗ 𝑘𝑘 1 𝑥𝑥𝑦𝑦 ; 15: 𝑑𝑑 = √ ( 𝑓𝑓𝑥𝑥𝑦𝑦 ∗ 𝑓𝑓𝑥𝑥𝑦𝑦 ) + ( 𝑔𝑔𝑥𝑥𝑦𝑦 ∗ 𝑔𝑔𝑥𝑥𝑦𝑦 ); )( 𝑇𝑇𝑟𝑟𝑠𝑠 𝐸𝐸𝑢𝑢𝑐𝑐𝑟𝑟𝑡𝑡𝑑𝑑𝑟𝑟𝑡𝑡𝑛𝑛 ) 16: 𝐽𝐽𝑡𝑡𝑘𝑘𝑡𝑡 𝑑𝑑 < 𝑟𝑟𝑒𝑒𝑠𝑠𝑡𝑡𝑟𝑟𝑟𝑟𝑛𝑛 𝑚𝑚𝑡𝑡𝑘𝑘𝑡𝑡 𝑟𝑟𝑡𝑡𝑛𝑛𝑗𝑗𝑢𝑢𝑑𝑑 𝑘𝑘𝑟𝑟 𝑟𝑟𝑡𝑡𝑛𝑛𝑔𝑔𝑘𝑘𝑡𝑡ℎ 19
17: 𝑥𝑥 ← 𝑥𝑥 + 𝑓𝑓𝑥𝑥𝑦𝑦 , 𝑦𝑦 ← 𝑦𝑦 + 𝑔𝑔𝑥𝑥𝑦𝑦 18: 𝑟𝑟𝑛𝑛𝑑𝑑 𝑡𝑡𝑖𝑖 19: 𝑃𝑃𝑟𝑟𝑟𝑟𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑡𝑡𝑑𝑑𝑡𝑡𝑘𝑘 ( 𝑐𝑐𝑥𝑥 , 𝑥𝑥𝑦𝑦 ) 𝑑𝑑𝑟𝑟𝑛𝑛𝑔𝑔𝑡𝑡𝑛𝑛 𝑖𝑖𝑡𝑡𝑟𝑟𝑛𝑛𝑡𝑡 𝑦𝑦𝑡𝑡𝑛𝑛𝑔𝑔 𝑑𝑑𝑡𝑡𝑑𝑑𝑟𝑟𝑛𝑛𝑑𝑑𝑢𝑢𝑘𝑘𝑡𝑡𝑛𝑛 𝑡𝑡 20: 𝑟𝑟𝑛𝑛𝑑𝑑 𝑡𝑡𝑥𝑥 21: 𝑟𝑟𝑛𝑛𝑑𝑑 𝑡𝑡𝑦𝑦