PENGEMBANGAN MODEL EPIDEMIK SIRA UNTUK PENYEBARAN VIRUS PADA JARINGAN KOMPUTER
Panca Putra Pemungkas 1 , Sutrisno 2 , Sunarsih 3
1,2,3 Department of Mathematics, Diponegoro University, Semarang, Indonesia Email : 1 putrapanca11@gmail.com, 2 tresno.math@live.undip.ac.id, 3 narsih_pdil@yahoo.com
Abstract. This  paper  is  addressed  to  discuss  the  development  of  epidemic  model  of SIRA ( Susceptible-Infected-Removed-Antidotal ) for virus spread analysis purposes on a computer  network.  We  have  developed  the  existing  model  by  adding  a  possibility  of antidotal computer returned to susceptible computer. Based on the results, there are two virus-free  equilibrium  points  and  one  endemic  equilibrium  point.  These  equilibrium points  were  analyzed  for  stability  issues  using  basic  reproduction  number  and  Routh- Hurwitz Method.
Keywords: Basic  reproduction  number,  Routh-Hurwitz  method,  stability  analysis, SIRA model.
Abstrak. Paper  ini  ditujukan  untuk  mendiskusikan  pengembangan  model  epidemik SIRA ( Susceptible-Infected-Removed-Antidotal ) untuk tujuan analisis penyebaran virus pada  jaringan  komputer.  Model  dikembangkan  dari  model  sebelumnya  dengan menambahkan  kemungkinan  komputer  antidotal  dapat  kembali  menjadi  komputer rentan.  Berdasarkan  hasil-hasil  yang  diperoleh,  terdapat  dua  titik  ekuilibrium  bebas virus dan satu titik ekuilibrium endemik. Titik-titik ekulibrium tersebut telah dianalisis kesetimbangannya berdasarkan nilai reproduksi dasar dan metode Routh-Hurwitz. Kata  kunci: Bilangan  reproduksi  dasar,  metode  Routh-Hurwitz,  analisis  kestabilan, model SIRA.

## I. PENDAHULUAN
Virus  komputer  merupakan  suatu  program  komputer  yang  dapat  menyebar  pada komputer atau jaringan komputer dengan cara menginfeksi atau membuat salinan dari dirinya sendiri  tanpa  diketahui  oleh  pengguna  komputer  tersebut.  Dalam  melakukan  proses  infeksi atau  menyalin  dirinya  sendiri,  sebuah  virus  memodifikasi  program  lain  sehingga  virus tersebut  menjadi  bagian  dari  program  tersebut,  sehingga  setiap  kali  program  tersebut dieksekusi, virus akan dieksekusi pula dan menyerang program lain [1].
Masalah  yang  dihadapi  sekarang  adalah  semakin  berkembangnya  virus  yang  ada membuat  pengguna  komputer  yang  menginstal  antivirus  di  komputernya  tidak  menutup kemungkinan komputernya tetap dapat terinfeksi virus atau virus yang sebelumnya sudah ada dapat  menyebar  atau  menyerang  sistem  keamanan.  faktor  utama  hal  ini  masalah  ini  terjadi adalah  ketidaktahuan  pengguna  komputer  dalam  sistem  keamanan  komputer.  Perusahaan pengantar  konten  jaringan  internet,  Akamai  yang  terletak  di  Cambridge,  Amerika  Serikat merilis  berbagai  statistik  tentang  trafik  internet  secara  global.  Berdasarkan  laporan  yang berjudul “ State  of  the  Internet ” mengungkapkan bahwa trafik internet pada kuartal pertama tahun  2013  yang  berisi  virus  terbanyak  kedua  bersasal  dari  Indonesia  sebanyak  21%  trafik
JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS AND APPLICATIONS (JFMA) VOL. 2 NO. 1 (Jun 2019) Available online at www.jfma.math.fsm.undip.ac.id
internet dari Indonesia bermuatan virus atau malware setelah diperingkat pertama yaitu Cina dengan sebanyak 34% [2].  Peran penting pemodelan matematika yaitu dalam pengembangan model matematika dapat menjelaskan menjelaskan permasalahan dalam dunia nyata kedalam penyataan matematik [3].
Model  epidemik  SIR  telah  banyak  dikembangkan  oleh  matematikawan,  contohnya model  epidemik  SIR  pada  penyebaran  penyakit  [4,5],  model  epidemik  SEIR-SEI  pada penyebaran  virus  Zika  [6],  model  epidemik  SEIHR  pada  penyabran  virus  Ebola  [7]  dan model  epidemik  SLBQR  pada  penyebaran  virus  computer  [8].  Model  epidemik SIRA ( Susceptible-Infected-Removed-Antidotal )  adalah  model  yang  digunakan  untuk  mengetahui dinamika  penyebaran  virus  komputer  dalam  suatu  jaringan  internet  dengan  memperhatikan adanya  subpopulasi Infected atau  komputer  yang  terinfeksi  virus  [9].  Berdasarkan  model matamatika  tersebut,  penulis  memodifikasi  model  dengan  menambahkan  parameter  yang menyatakan  peluang  perubahan  komputer Antidotal kembali  menjadi  komputer  rentan  atau Susceptible .

## II. FORMULASI MODEL
Model SIRA dalam  penyebaran  virus  komputer  pada  jaringan  komputer  dibagi menjadi  empat  kelas  subpopulasi,  yaitu  subpopulasi Susceptible ( ) S yang  menyatakan kelompok komputer yang tidak terinfeksi virus tetapi memilki peluang untuk terinfeksi virus saat  melakukan  kontak  dengan  komputer  yang  terinfeksi  virus.  Subpopulasi Infected ( ) I yang  menyatakan  komputer  telah  terinfeksi  virus  dan  dapat  menyebarkan  kekomputer  lain saat  melakukan  kontak  denga  komputer  tersebut.  Subpopulasi Removed ( ) R yang menyatakan  kelompok  komputer  yang  dikeluarkan  dari  jaringan  karena  tidak  dapat  bekerja dengan  baik  yang  diakibatkan  oleh  virus.  Subpopulasi Antidotal ( ) A yang  menyatakan kelompok komputer yang dilengkapi dengan anti virus untuk menangkal penularan virus [4].
Parameter-parameter  yang  digunakan  dalam  model  antara  lain  adalah N yang menyatakan  proporsi    jumlah  komputer  baru  masuk  kedalam  jaringan.  Parameter  adalah proporsi  rusaknya  komputer  yang  bukan  dikarenakan  oleh  virus.  Parameter  adalah peluang  komputer  rentan  menjadi  komputer  terinfeksi  setalah  adanya  kontak.  Parameter  yang menyatakan proporsi transisi komputer Infected menjadi komputer Removed . Parameter  yang menyatakan proporsi komputer Removed kembali  menjadi  komputer rentan setelah diperbaiki.  Parameter  yang    menyatakan  peluang  transisi  komputer Antidotal kembali menjadi  komputer  rentan.  Parameter SA  yang  menyatakan  proporsi  kontrol  transisi komputer rentan menjadi komputer Antidotal setelah adanya kontak dan parameter IA  yang menyatakan proporsi kontrol  transisi  komputer Infected menjadi  komputer Antidotal setelah adanya kontak.

## JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS
AND APPLICATIONS (JFMA) VOL. 2 NO. 1 (Jun 2019) Available online at www.jfma.math.fsm.undip.ac.id
Gambar 1. Transfer dinamik subpopulasi penyebaran virus komputer
Sistem  persamaan  differensial  yang  menggambarkan  penyebaran  virus  komputer  dalam populasi yang digambarkan pada Gambar 1 diformulasikan sebagai:
( ) ( ) ( ) ( ) SA IA SA IA dS t N SA SI S R A dt dI t SI I I IA dt dR t I R R dt
dA t SA IA A A
dt                  = − − − + +    = − − −    = − −    = + − −  (1)
dimana T S I R A = + + + merupakan jumlah seluruh komputer pada suatau jaringan.  Sistem (1)  disederhanakan  dengan  mengasumsikan ( ) 0 N = dikarenakan  penyebaran  virus  akan lebih  cepat  dibandingkan  perluasan  jaringan.  Selain  itu  tingkat  kerusakan  komputer  tanpa pengaruh  virus  diasumsikan  nol ( 0)  = karena  tingkat  kerusakan  komputer  tanpa  pengaruh virus  akan  membutuhkan  waktu  yang  sangat  lama  dibandingkan  penyebaran  virus  dalam jaringan. Sehingga sistem (1) dapat menjadi:
( ) ( ) ( )
( ) SA IA SA IA dS t SA SI R A
dt dI t SI I IA dt dR t I R dt dA t SA IA A dt    
         = − − + +    = − −    = −    = + − 
(2)
p-ISSN: 2621-6019 e-ISSN: 2621-6035
JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS AND APPLICATIONS (JFMA) VOL. 2 NO. 1 (Jun 2019) Available online at www.jfma.math.fsm.undip.ac.id

## III. TITIK KESETIMBANGAN

## 3.1 Titik Kesetimbangan Bebas Virus
Titik  kesetimbangan  bebas  virus  berarti  tidak  ada  komputer  yang  terinfeksi  virus.
Keadaan ini terjadi saat jumlah komputer yang terinfeksi adalah nol ( ) 0 I = , selanjutnya nilai tersebut  disubstitusikan  kedalam  sistem  (2).  Maka  diperoleh  dua  titik  kesetimbangan  bebas virus yaitu: ( ) ( ) * * * * 0 0 0 0 0 , , , , 0, 0, 0
E S I R A T = = dan
( ) * * * * 1 1 1 1 1 , , , , 0, 0, SA SA E S I R A T       = = −     .

## 3.2 Bilangan Reproduksi Dasar
Bilangan  reproduksi  dasar  atau  yang  biasa  dinotasikan  dengan 0 ( )  merupakan parameter  yang  menunjukan  seberapa  besar  potensi  penyebaran  virus  pada  suatu  populasi. Pada  skripsi  ini,  untuk  mendapatkan  nilai 0  akan  dilakukan  dengan  cara  mengkontruksi matriks  yang  membangkitkan  jumlah  komputer  baru  yang  terinfeksi.  Matriks  ini  disebut Next-Generation  Matrix  (NGM) .  Nilai 0  diperoleh  dengan  menentukan  nilai  eigen  dari matriks  jacobian  yang    dihitung  dari  titik  kestimbangan  bebas  virus.  Subpopulasi  yang terlibat adalah
( )
IA dI t SI IA I dt    = − − ,
dengan titik kesetimbangan bebas virus
( ) 0 , 0, 0, 0 E T = dan 1 , 0, 0, SA SA E T       = −     .
Next-Generation Matrix (NGM) diperoleh darsubpopulasi yang terinfeksi yang dalam model ini adalah subpopulasi Infected , maka diperoleh:
  ( ) ( ) IA F x S A I   = − dan   ( ) V x I  = .
Kemudian ( ) F x dan ( ) V x dilinierisasi, sehingga diperoleh :
  IA F F S A I      = = −      dan   V V I     = =      .
Next-Generation  Matrix  (NGM)  diperoleh  persamaan 1 0 FV −  = dengan 1 1 V  −   =     maka
didapatkan 
 0 1 IA S A       = −     atau 0 IA S A    −  = . Karena pada model ini terdapat dua
titik  kesetimbangan  bebas  virua  yaitu 0 E dan 1 E maka  diperoleh  dua  bilangan  reproduksi dasar yaitu 01 T    = dan 02 IA SA IA SA T      − +  = .

## JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS
AND APPLICATIONS (JFMA) VOL. 2 NO. 1 (Jun 2019) Available online at www.jfma.math.fsm.undip.ac.id

## 3.3 Titik Kesetimbangan Endemik
Keadaan Titik kesetimbangan endemik adalah suatu keadaan dimana terdapat minimal satu  komputer  yang  terinfeksi  virus,  sehingga  dapat  menyebarkan  virus  kekomputer  lain. Titik  kesetimbangan  endemik  virus  artinya  di  dalam  populasi  tersebut  terdapat  individu terinfeksi  virus  sehingga 0 I  .  Oleh  karena  itu,  kelompok removed juga  akan  tetap  ada, 0 R  dan  kondisi  endemik  akan  tercapai  pada  saat  tidak  ada  komputer  pada  populasi antidotal komputer, 0 A = ,  dari  solusi  sistem  (2)  didapat  titik  kesetimbangan  endemiknya adalah
( ) * * * * 2 2 2 2 2 , , , , , , 0 . 1 1 T T E
S I R A             − −   
 = =   + +    

## IV. ANALISA KESTABILAN
Untuk  menganalisis  kestabilan  dari  masing-masing  titik  kesetimbangan  maka  dapat dilakukan  dengan  cara  menganalisis  kestabilan  dari  sitem  hasil  linierisasi  sistem  (2). Linierisasi  sistem  (2)  menggunakan  ekspansi  deret  taylor  orde  1  di  sekitar  titik kesetimbangan, sehingga diperoleh matriks Jacobiannya yaitu :
* * * * * * * * * * * * * * * * 0 ( , , , ) 0 0 0 SA SA IA IA SA IA SA IA I A S S I S A I J S I R A A
A S I                     − − − −   − − −   =   −
  + −  
  .
Dari persamaan karakteristik untuk matriks  diatas maka dapat diketahui kestabilan dari titik kesetimbangannya.

## 4.1 Kestabilan pada titik kesetimbangan bebas virus
Karena
0 ( ) 0 0 0 0 0
0 0
0 0 0 SA SA I J E T T T T    
           − = − − + − + = − + − +
maka diperoleh niali eigen  dari matriks jacobian sebagai berikut:
1 2 3 4 0 . SA T T      
  
= = − = − = −

## JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS
AND APPLICATIONS (JFMA) VOL. 2 NO. 1 (Jun 2019) Available online at www.jfma.math.fsm.undip.ac.id
Teorema  3.1  Misalkan  titik  kesetimbangan  bebas  virus 0 E ada  yakni  jika 01 1   . Titik kesetimbangan bebas virus 0 E akan stabil  jika SA T    dan 01 1   .
Bukti  : Diketahui SA T    dan 01 1   akan  ditunjukan  bahwa  semua  nilai  eigen  matriks jacobiannya  yaitu  bernilai  kurang  dari  nol.    Nilai  eigen  yang  pertama  didapatkan  sama dengan  nol ( ) 1 0  = .  Nilai  eigen  yang  kedua  didapatkan 2 T    = − ,  sebelumnya  telah diketahui  bahwa 01 T    = ,  maka  nilai  eigen  yang  kedua  dapat  ditulis  kembali  menajdi
2 01 ( 1)   =  − ,  karena 01 1   maka  nilai  eigen 2 0   .  Nilai  eigen  yang  ketiga  didapatkan 3   = − , karena nilai 0   maka sudah dipastikan bahwa 3 0   . Nilai eigen yang keempat didapatkan 4 SA T    = − ,  karena nilai , 0 SA    dan SA T    maka nilai eigen 4 0   . Oleh karena setiap nilai eigen titik kesetimbangan 0 E bernilai kurang dari sama dengan nol, maka menurut  Teorema  3.1  terbukti  titik  kesetimbangan  bebas  virus 0 E stabil  jika SA T    dan 01 1   .■
Karena
0 0 0 0 0 0 0 0 SA SA SA IA SA SA SA IA SA SA T T T T  
                        + −
− −       − + − +   =   − +
    − − − −        
maka diperoleh niali eigen  dari matriks jacobian sebagai berikut:
1 2 3 4 0 . IA SA IA SA SA SA T T        
     = − + − = = − = −
Teorema 3.2 Misalkan titik kesetimbangan bebas virus 1 E ada yakni jika 02 1   . Titik kesetimbangan bebas virus 1 E akan stabil jika SA T    dan 02 1   .

## 4.2 Kestabilan pada titik kesetimbangan endemik

## Karena

## JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS
AND APPLICATIONS (JFMA) VOL. 2 NO. 1 (Jun 2019) Available online at www.jfma.math.fsm.undip.ac.id
1 0 0 1 1
0 0 0 0 0 1 SA IA IA SA T T T T         
                
            −     + − − + +    
− −         − = + + − +   −     − − + +
maka, dari matriks jacobiannya diperoleh persamaan karakteristik sebagai berikut:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 ( ) 0. SA IA T T T T                  
            − + − − + + + + + + + + + − + − = (3)
Teorema  3.3  Misalkan  titik  kesetimbangan  endemik 2 E ada  yakni  jika 01 1   .  Titik kesetimbangan endemik 2 E tidak  stabil jika dan hanya jika SA     .
Bukti: Diketahui 01 1   dan SA     ,  akan  dibuktikan  bahwa 2 E tidak  stabil.  Akan ditunjukan  bahwa  minimal  satu  nilai  eigen  dari  matriks  jacobiannya  bernilai  positif.  Dari persamaan karakteristik (3) didapatkan nilai eigen sebagai berikut:
Nilai  eigen  yang  pertama  bernilai  sama  dengan  nol ( ) 1 0  = .  Nilai  eigen  yang  kedua diperoleh ( ) ( ) ( ) ( ) 2 SA IA T
               + + − − + = + dan ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 01 1 1 1 . SA IA IA SA IA SA IA SA T T T                        
  
       
 
         + + − − + = + − + + − = +   − = + −     + 
 
  − = + −     + 


## JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS
AND APPLICATIONS (JFMA) VOL. 2 NO. 1 (Jun 2019) Available online at www.jfma.math.fsm.undip.ac.id
Karena  nilai ( ) ( ) 01 1 IA       −
+
selalu  bernilai  positif  karena  untuk  mendapatkan  titik kesetimbangan  nilai 01  harus  lebih  dari  satu ( ) 01 1   dan  karena SA     maka  nilai eigen 2  bernilai positif ( ) 2 0   .
Untuk dua nilai eigen yang tersisa dapat diklasifikasikan dengan persamaan berikut:
( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 0 T T
T             + + + + − + − = ( ) ( ) ( )( ) ( ) 2 0 T T              + − + + + = + + ( ) ( ) ( )( ) 2 0 T T            + + + − + = + ( ) ( ) ( ) ( ) 2 01 1 0 T  
        + + +  − + = + (4)
Tanda  dari  nilai  eigen  yang  merupakan  akar  dari  persamaan  (4)  tidak  mudah  ditentukan, sehingga  digunakan  kriteria  Routh_Hurwitz.  Berdasarkan  [10]  yaitu  akar-akar  karakteristik persamaan  (4)  bernilai  negatif  jika  dan  hanya  jika 1 2 1 2 , , 0 a a a a   dengan ( ) ( ) 1 T a      + = +
dan ( ) ( ) 2 01 1 a     =  − + , sehingga diperoleh matriks Hurwitznya sebagai berikut:
Ditunjukan  bahwa ( ) ( ) 1 0 T a      + =  + ,  karena  nilai  setiap  parameter  bernilai  positif  maka
1 0 a  .  Ditunjukan  bahwa ( ) ( ) 2 01 1 0 a     =  − +  ,  karena  setiap  parameter  positif  dan
01 1   maka 2 0 a  .
Ditunjukan  bahwa 1 2 0 a a   ,  karena 1 0 a  dan 2 0 a  maka  sudah  jelas  terlihat  bahwa 1 2 0 a a   .  Oleh  karena  ada  nilai  eigen  yang  bernilai  positif  dengan  memenuhi 01 1   dan
SA     maka titik kesetimbangan endemik 2 E tidak stabil.■

## V. KESIMPULAN
Berdasarkan  hasil  pembahasan  dapat  disimpulkan  yaitu  modifikasi  model  dengan menambahkan  parameter  yang  menyatakan  nilai  peluang antidotal komputer  kembali menjadi  komputer  rentan.  Persamaan  model  dinyatakan  dalam  bentuk  sistem  persamaan diferensial  nonlinier.  Perilaku  sistem  dapat  diketahui  dengan  melakukan  analisis  kestabilan pada  sistem  persamaan  diferensial  terlinierisasi,  selanjutnya  diperoleh  solusi  kesetimbangan yaitu  titik  kesetimbangan  bebas  virus  pertama,  titik  kesetimbangan  bebas  virus  kedua  dan titik kesetimbangan endemic. Kestabilan titik kesetimbangan telah dianalisis dengan bantuan suatu  parameter  yaitu  bilangan  reproduksi  dasar.  Selain  itu,  telah  didapatkan  syarat-syarat untuk  mencapai  kondisi  titik  kesetimbangan  bebas  virus  pertama  stabil  dan  titik kesetimbangan bebas virus kedua stabil, serta syarat titik kesetimbangan endemik tidak stabil.
JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS AND APPLICATIONS (JFMA) VOL. 2 NO. 1 (Jun 2019) Available online at www.jfma.math.fsm.undip.ac.id

## REFERENSI
[1] Yusianto,  Rindra.  2008. Virus  Komputer:  Teori  dan  Praktik. Yogyakarta:  Graha Ilmu.
[2] Akamai. 2013. The State of The Internet 1 st Quarter. Akamai Technologies.
[3] Widowati and Sutimin, Pemodelan Matematika Analisis dan Aplikasinya , Semarang: Undip Press, 2103.
[4] Q.  Liu,  D.  Jiang,  N.  Shi,  T.  Hayat.  2018. Dynamiccs  of  a  Stochastics  delayed  SIR epidemic model with vaccination and double disaeses driven by Levy jumps . Physica A,492.
[5] Hamdan,  N.  I.,  &  Kilicman,  A.  2018. A  fractional  orde  SIR  epidemic  model  for dungue transmission . Chaos, Solitons and Fractals,144,55-62.
[6] Eber, D., Tosin, M., Americo C. J. 2018. Calibration of a SEIR-SEI epidemic model to describe the Zika virus outbreak in Brazil . Applied Mathematics and Computation, 338, 249-259.
[7] Kabli,  K.,  El  Moujaddid,  S.,  Niri,  K.,  &  Tridane,  A.  2018. Cooperative  system analysis  of  the  Ebola  virus  epidemic  model .  Infectious  Disease  Modelling,  3,  145– 159.
[8] Fatima,  U.,  Ali,  M.,  Ahmed,  N.,  &  Rafiq,  M.  (2018).  Numerical  modeling  of susceptible  latent  breaking-out  quarantine  computer  virus  epidemic  dynamics. Heliyon, 4(5), e00631.
[9] Piqueira,  J.  R.,  &  Araujo,  V.  O.  2009. A  modified  Epidemiological  model  for computer virus. Applied Mathematics and Computation , 213, 355-360.
[10] Merkin, D.R., 1997 . Introduction to the Theory of Stability . Springer. New YorK.
JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS AND APPLICATIONS (JFMA) VOL. 2 NO. 1 (Jun 2019) Available online at www.jfma.math.fsm.undip.ac.id