Vol. 18, No. 1,  12-21,  September, 2021 DOI: 10.20956/j.v18i1.13881
____________________________ * Program Studi Magister Matematika FMIPA-UNHAS Email : nursuciramadhani97@gmail.com 1 , syamsuddint@yahoo.com 2 , kasbawati@gmail.com 3
This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial 4.0 International License

## Dynamics Analysis of Modified Leslie-Gower Model with Simplified Holling Type IV Functional Response

## Analisis Dinamik Modifikasi Model Leslie-Gower dengan Fungsi Respon Holling Tipe IV yang Disederhanakan
Nur Suci Ramadhani 1* , Syamsuddin Toaha 2* , Kasbawati 3*

## Abstract
In  this  paper,  modified  Leslie-Gower  predator-prey  model  with  simplified  Holling  type  IV functional response is discussed. It is assumed that the prey population is a dangerous population. The  equilibrium  point  of  the  model  and  the  stability  of  the  coexistence  equilibrium  point  are analyzed.  The  simulation  results  show  that  both  prey  and  predator  populations  will  not  become extinct  as  time  increases.  When  the  prey  population  density  increases,  there  is  a  decrease  in  the predatory population density because the dangerous prey population has a better ability to defend itself from predators when the number is large enough .
Keywords: Predator-Prey,  Modified  Leslie-Gower  Model,  Functional  Response, Simplified Holling Type IV .

## Abstrak
Dalam  tulisan  ini  dibahas  modifikasi  model  mangsa  pemangsa  Leslie-Gower  dan  fungsi  respon Holling tipe IV yang disederhanakan. Diasumsikan bahwa populasi mangsa adalah populasi yang berbahaya.  Titik-titik  kesetimbangan  model  dan  kestabilan  dari  titik  kesetimbangan  koeksistensi dianalisis.  Selanjutnya,  dilakukan  simulasi  numerik  di  sekitar  titik  kesetimbangan  koeksistensi. Hasil simulasi menunjukkan bahwa kedua populasi mangsa dan pemangsa tidak akan punah pada saat waktu semakin membesar. Pada saat kepadatan populasi mangsa meningkat terjadi penurunan terhadap  kepadatan  populasi  pemangsa  karena  populasi  mangsa  yang  berbahaya  memiliki kemampuan  yang  lebih  baik  untuk  mempertahankan  diri  dari  pemangsa  ketika  jumlahnya  cukup besar.
Kata  kunci: Mangsa  Pemangsa,  Modifikasi  model  Leslie-Gower,  Fungsi  Respon, Holling Tipe IV yang disederhanakan .

## Jurnal Matematika, Statistika & Komputasi

## Nur Suci Ramadhani, Syamsuddin Toaha, Kasbawati

## 1.  Pendahuluan
Interaksi antar populasi dalam suatu lingkungan sangat kompleks. Banyak peneliti yang telah mempelajari  dinamika  antar  populasi  menggunakan  model  matematika.  Model  matematika dibangun berdasarkan pada data dan fenomena nyata [12]. Model tersebut dapat digunakan untuk menjelaskan  perilaku  fenomena  alam  yang  terjadi,  memprediksi  perilaku  sistem  untuk  suatu jangka  waktu  tertentu  dan  juga  digunakan  untuk  mengambil  suatu  kebijakan  [17].  Salah  satu interaksi  yang  sering  terjadi  adalah  interaksi  antara  populasi  mangsa  dan  pemangsa.  Model interaksi populasi mangsa pemangsa yang paling sering digunakan adalah model Lotka-Volterra. Model ini berasumsi bahwa tanpa adanya pemangsa maka populasi mangsa akan tumbuh secara eksponensial  dan  pertumbuhan  pemangsa  bergantung  pada  tangkapan  mangsa.  Selanjutnya, Leslie dan Gower memperkenalkan sebuah model sebagai modifikasi dari model Lotka-Volterra yang disebut sebagai model mangsa pemangsa Leslie-Gower dengan asumsi bahwa populasi yang berinteraksi tumbuh sesuai dengan pertumbuhan logistik yang menyatakan bahwa populasi tidak dapat tumbuh tanpa batas karena pertumbuhannya dipengaruhi oleh kepadatan populasi dan daya dukung  lingkungan  yang  sifatnya  terbatas  serta  daya  dukung  lingkungan  untuk  pemangsa  tidak konstan tetapi proporsional dengan ukuran populasi mangsa [18].
Model  mangsa  pemangsa  Leslie-Gower  telah  banyak  digunakan  untuk  menggambarkan interaksi antara populasi mangsa dan pemangsa. Beberapa modifikasi pada model tersebut telah banyak dilakukan oleh peneliti sebelumnya, seperti Alaoui dan Okiye [1] melakukan modifikasi pada  persamaan  kedua  dalam  model  umum  Leslie-Gower  atau  pada  persamaan  populasi pemangsa dan menggunakan fungsi respon Holling tipe II untuk menggambarkan jumlah individu mangsa  yang  dimakan  oleh  pemangsa.  Yu  [18]  menggunakan  modifikasi  model  mangsa pemangsa Leslie-Gower yang dikemukakan dalam penelitian [1] dan menggunakan fungsi respon Beddington-DeAngelis.  Beberapa  modifikasi lainnya dapat  dilihat  dalam  [2,  4, 5,  9,  13,  14,  16, 19].
Dalam  dinamika  populasi  mangsa  pemangsa,  pertahanan  kelompok  adalah  istilah  yang digunakan untuk menggambarkan fenomena ketika predasi berkurang atau bahkan dicegah sama sekali  karena  peningkatan  kemampuan  mangsa  yang  lebih  baik  dalam  mempertahankan  atau menyamarkan  diri  ketika  jumlah  mangsa  cukup  besar.  Untuk  menggambarkan  fenomena  ini, fungsi  respon  yang  digunakan  untuk  menggambarkan  interaksi  mangsa  dan  pemangsa  adalah fungsi  respon  Holling  tipe  IV  yang  disederhanakan  [11].  Andrews  [3]  memperkenalkan  fungsi respon  Holling  tipe  IV  dalam  bentuk 1
2 ( ) m x P x a b x x    dan  biasa  disebut  sebagai  fungsi respon  Monod-Haldane.  Selanjutnya,  pada  tahun  1981  Sokol  dan  Howell  [13]  mengusulkan bentuk  sederhana  dari  fungsi  respon  Monod-Haldane  dan  menemukan  bahwa  fungsi  tersebut lebih sederhana dan lebih sesuai dengan data eksperimen yang digunakan secara signifikan dalam penelitiannya  tentang  kinetika  oksidasi  phenol.  Fungsi  tersebut  dituliskan  dalam  bentuk
2 2 ( ) m x P x a x   . Dalam  dinamika  populasi  fungsi  respon  Holling  tipe  IV  digunakan  untuk menggambarkan  perilaku  dari  populasi  mangsa  yang  berbahaya  karena  mangsa  yang  berbahaya memiliki  kemampuan  yang  lebih  baik  dalam  mempertahankan  atau  menyamarkan  diri  dari pemangsa ketika jumlahnya cukup besar sehingga pada saat kepadatan mangsa meningkat maka daya predasi dari pemangsa berkurang.
Penelitian yang berkaitan dengan fungsi respon Holling tipe IV yang disederhanakan dalam model  mangsa  pemangsa  telah  banyak  dilakukan  oleh  peneliti,  seperti  Ruan  dan  Xiao  [10] melakukan  analisis  global  pada  sistem  mangsa  pemangsa  Lotka-Volterra  menggunakan  fungsi respon  Holling  tipe  IV  yang  disederhanakan.    Penelitian  selanjutnya,  Huang  [6]  melakukan

## Jurnal Matematika, Statistika & Komputasi

## Nur Suci Ramadhani, Syamsuddin Toaha, Kasbawati
analisis  bifurkasi  pada  model  Leslie-Gower  dengan  pertumbuhan  logistik  pada  mangsa  dan menggunakan fungsi respon Holling tipe IV yang disederhanakan. Huang, T., dkk [7] melakukan analisis pembentukan pola terhadap model Lotka-Volterra dengan fungsi respon Holling tipe IV yang  disederhanakan.  Khajanchi  [8]  melakukan  analisis  pada  sistem  mangsa  pemangsa  tahapan struktur dengan fungsi respon Holling tipe IV yang disederhanakan.
Berdasarkan  beberapa  penelitian  sebelumnya,  peneliti  akan  mengkaji  perilaku  dari  kedua populasi  mangsa  dan  pemangsa  ketika  mangsa  yang  tersedia  adalah  populasi  mangsa  yang berbahaya.  Adapun  model  yang  digunakan  dalam  penelitian  ini  merupakan  modifikasi  model Leslie-Gower  pada  persamaan  populasi  pemangsa  yang  dikemukakan  dalam  penelitian  Alaoui dan  Okiye  [1]  dan  menggunakan  bentuk  sederhana  dari  fungsi  respon  Holling  tipe  IV  untuk menggambarkan interaksi antara populasi mangsa dan pemangsa.

## 2. Pembentukan Model
Model  mangsa  pemangsa  yang  digunakan  dalam  penelitian  ini  dikembangkan  dari penelitian Alaoui dan Okiye [1] yang terdiri atas mangsa   u yang  merupakan  makanan untuk pemangsa   v yang hubungannya dapat dilihat pada Gambar 2.1.
Gambar 2.1. Diagram Model Mangsa Pemangsa
Dari Gambar 2.1., terlihat bahwa laju perubahan kepadatan populasi mangsa bergantung pada laju pertumbuhan intrinsik mangsa ( r ) dikurangi laju kompetisi diantara individu mangsa ( r ) dan laju interaksinya dengan pemangsa. Bentuk interaksi tersebut merupakan pengembangan dari model  yang  dikembangkan  dalam  penelitian  Alaoui  dan  Okiye  [1]  dimana  dalam  penelitian  ini interaksi  antara  populasi  mangsa  dan  pemangsa  digambarkan  menggunakan  bentuk  sederhana dari fungsi respon Holling tipe IV.
Selanjutnya,  laju  perubahan  kepadatan  populasi  pemangsa  bergantung  pada  laju pertumbuhan  intrinsik  pemangsa  ( s )  dikurangi  laju  kompetisi  diantara  individu  pemangsa  untuk memperoleh  mangsa.  Bentuk 2
2 m v
u  mengukur  pengurangan  pada  populasi  pemangsa  karena adanya  kompetisi  diantara  individu  pemangsa  untuk  memperoleh  mangsa  ketika  terjadi kelangkaan  pada  mangsa  favoritnya.  Adapun  tambahan  konstanta  positif e dalam  penyebut untuk menormalkan residual penurunan pada populasi pemangsa ketika mangsa  favoritnya yang tersedia  terbatas.    Konstanta e tersebut  merupakan  populasi  lain  yang  dapat  dikonsumsi  oleh pemangsa  ketika  mangsa  yang  tersedia  tidak  melimpah.    Hal  ini  berarti  bahwa  dalam  kasus

## Jurnal Matematika, Statistika & Komputasi

## Nur Suci Ramadhani, Syamsuddin Toaha, Kasbawati
kelangkaan yang parah, populasi pemangsa dapat beralih ke populasi lain tetapi pertumbuhannya akan terbatas karena kelangkaan mangsa favoritnya. Berdasarkan uraian di atas, diberikan model matematika yang ditulis dalam bentuk persamaan differensial sebagai berikut:
2 1 2 1 2 2 , . m u v d u r u b u d t h u m v d v s v d t e u        (2.1)
Diasumsikan bahwa kondisi awal memenuhi ( , 0 ) 0 ,   ( , 0 ) 0 u x v x   .
Keterangan variabel dan parameter pada Model (2.1) disajikan dalam Tabel 2.1.
Tabel 2.1. Deskripsi Variabel dan Parameter Model (2.1) Simbol Keterangan Dimensi u Kepadatan populasi mangsa Ekor v Kepadatan populasi pemangsa Ekor t Waktu Per hari r Laju pertumbuhan intrinsik mangsa Per hari s Laju pertumbuhan intrinsik pemangsa Per hari b Kekuatan kompetisi diantara individu mangsa Per hari 1 m Nilai  maksimum  dimana  laju  pengurangan  per kapita mangsa dapat dicapai Per hari 2 m Nilai  maksimum  pengurangan  populasi  pemangsa karena  kompetisi  antar  individu  untuk  memperoleh mangsa Per hari 1 h Titik kejenuhan pemangsa Ekor e Residual pengurangan pada populasi pemangsa Ekor

## 3. Analisis Dinamik
Titik kesetimbangan dari Sistem (2.1) diperoleh dengan menyelesaikan sistem persamaan berikut:
2 1 2 1 0 m u v d u r u b u d t
h u      , (2.2)
2 2 0 m v d v s v d t e u     . (2.3)
Jika  Persamaan  (2.2)  dan  (2.3)  diselesaikan  maka  diperoleh  empat  titik  kesetimbangan  sebagai berikut:
1. Titik kesetimbangan populasi mangsa dan pemangsa punah yaitu  
1 0 , 0 T 
2. Titik kesetimbangan populasi mangsa punah yaitu
2
2 0 , s e T m       

## Jurnal Matematika, Statistika & Komputasi

## Nur Suci Ramadhani, Syamsuddin Toaha, Kasbawati
3. Titik kesetimbangan populasi pemangsa punah yaitu 3 , 0 T r b        4. Titik  kesetimbangan  populasi  mangsa  dan  pemangsa  bertahan  hidup  yaitu   4 , T v u  ,
dengan
2 ) ( s e v u
m   dan u adalah akar positif dari persamaan kubik
3 2 1 2 1 1 1 2 2 2 0 h b m m s m s e r h m r u u u
b b m b m             , (2.4)
dimana 2 0 , 0 b m   . Selanjutnya untuk menentukan akar-akar real positif dari persamaan (2.4) digunakan aturan tanda Descartes’. Berdasarkan aturan tanda Descartes’, diperoleh akar-akar real positif dari persamaan (2.4) sebagai berikut:
a. Jika 1 1 2 0 m s e r h m   maka terdapat dua atau tidak ada akar positif u .
b. Jika 1 1 2 0 m s e r h m   maka terdapat satu atau tiga akar positif u .
c. Jika 1 1 2 0 m s e r h m   maka terdapat dua atau tidak ada akar positif u .
Dari ketiga kondisi di atas, untuk memastikan bahwa Persamaan (2.4) memiliki akar real positif paling  sedikit  satu  maka  syarat  yang  harus  dipenuhi  yaitu 1 1 2 0 m s e r h m   .  Berdasarkan  hal tersebut, titik kesetimbangan positif   4 , T u v  ada jika memenuhi syarat 1 1 2 m s e r h m  dengan
2 ) ( s e v u
m   dan u adalah  akar  positif  dari  Persamaan  (2.4).  Selanjutnya  analisis  kestabilan lokal pada setiap titik kesetimbangan pada Sistem (2.1) disajikan dalam Teorema 2.1.
Teorema 2.1.
1. Titik kesetimbangan   1 0 , 0
T  bersifat node tidak stabil.
2. Titik kesetimbangan 2 2 0 , s e T m        bersifat stabil asimtotik lokal jika 1
1 2 m s e r h m  . 3. Titik kesetimbangan 3 , 0 T r b        bersifat tidak stabil pelana.
4. Titik kesetimbangan   4 , T v u  bersifat stabil asimtotik lokal jika   2 2 2 1 1 1
2 b u s m h v r m v u       (2.5) dan   2 2 2 1 2 1 2 m m u v s r b u m v            (2.6) dengan     2 2 1 1 ,
, ( ) . h u h u e u         
Bukti.

## Jurnal Matematika, Statistika & Komputasi

## Nur Suci Ramadhani, Syamsuddin Toaha, Kasbawati
1. Matriks Jacobian dari Sistem (2.1) pada titik kesetimbangan T 1 adalah
1 0 ( ) 0 r J T s     
  ,
dari matriks
1 ( ) J T diperoleh nilai eigen 1 0 r    dan 2 0 s    .  Karena kedua nilai
eigen dari
1 ( ) J T adalah positif, maka T 1 tidak stabil.
2. Matriks Jacobian dari Sistem (2.1) pada titik kesetimbangan T 2 adalah
1 1 2 2 2 2 0 ( ) m s e r h m J T s s m
               , dari matriks 2 ( ) J T diperoleh nilai eigen
1 1 1 2 m s e r h m    dan 2 0 s     sehingga titik
kesetimbangan T 2 stabil jika
1 1 2 m s e r h m  .
3. Matriks Jacobian dari Sistem (2.1) pada titik kesetimbangan T 3 adalah
1 2 2 1 3 ( ) 0 r b m r r h b J T s               , dari  matriks
3 ( ) J T diperoleh  nilai  eigen
1 0 r     dan 2 0 s    sehingga  titik kesetimbangan T 3 tidak stabil pelana.
4. Matriks Jacobian dari Sistem (2.1) pada titik kesetimbangan T 4 diberikan sebagai berikut.
1 2 4 3 4 ( ) j j
J T j j
       ,
dengan,
2 1 1 1 2 2 1 ( ) 2 ( ) m v h u j r b u h u      , 1 2 2 1 0 m u j h u     , 2 2 3 2 0 ( ) m v j e u    , 4 0 j s    .
Dari matriks tersebut diperoleh trace dan determinant dari
4 ( ) J T sebagai berikut
 
2 1 1 4 2 2
1 ( ) ( ) 2 ( ) m v h u t r a c e J T r b u s h u       , (2.7)       2 2 1 1 1 2 4 2 2 2 2 1 1 ( ) d e t ( ) 2 ( ) ( ) m v h u m m u v J T r b u s h u h u e u                        . (2.8)

## Jurnal Matematika, Statistika & Komputasi

## Nur Suci Ramadhani, Syamsuddin Toaha, Kasbawati
Titik kesetimbangan T 4 stabil asimtotik lokal jika   4 ( ) 0 tr a c e J T  dan   4 d e t ( ) 0 J T 
yang ekuivalen dengan kondisi (2.5) dan (2.6) .
Dari  keempat  titik  kesetimbangan  tersebut,  kondisi  yang  diharapkan  secara ekologi  adalah kedua populasi  dapat  bertahan hidup dan tidak  ada populasi  yang punah sehingga  titik  kesetimbangan  yang  menarik  untuk  dikaji  adalah  titik  kesetimbangan T 4 . Berdasarkan hal tersebut, p ada bagian selanjutnya akan ditunjukkan simulasi numerik dari model  (2.1)  menggunakan  parameter-parameter  model  yang  memenuhi  syarat  titik kesetimbangan T 4 stabil asimtotik secara lokal.

## 4. Solusi Numerik
Tujuan  dari  simulasi  ini  untuk  menunjukkan  kestabilan  dari  titik  kesetimbangan T 4 dan perilaku dari kedua populasi mangsa dan pemangsa ketika saling berinteraksi. Dalam simulasi ini diasumsikan  beberapa  nilai  parameter  yang  memenuhi  syarat  kestabilan  titik  kesetimbangan T 4 yang diberikan sebagai berikut
1 2 0 .5 , 0 .3 5 , 0 .0 9 , 0 .7 , 0 .5 , r s b m m      1 7 , h  dan 5 e  .
Dari  parameter-parameter  tersebut  ditemukan  bahwa
1 1 2 m s e r h m  sehingga  Persamaan  (2.4) memiliki  satu  akar  real  positif  yaitu   4 , ( 2 .4 , 5 .2 ) T v u   .  Selanjutnya  dari  proses perhitungan, diperoleh nilai   4 ( ) 0 .3 0 9 1 8 0 tr a c e J T    dan   4 d e t ( ) 0 .0 1 7 9 6 0 J T   atau nilai  eigen 1 0 .0 7 8    dan 2 0 .2 3 2
   yang  menunjukkan  bahwa  nilai  parameter  tersebut memenuhi  syarat  titik  kesetimbangan T 4 stabil  asimtotik  secara  lokal.  Dari  hasil  simulasi  yang dilakukan diperoleh grafik solusi numerik model yang dapat dilihat dalam Gambar 4.1.

## Jurnal Matematika, Statistika & Komputasi
Nur Suci Ramadhani, Syamsuddin Toaha, Kasbawati
(b)
Gambar 4.1. Grafik Solusi Populasi Mangsa ( u ) dan Pemangsa ( v ) dengan Kondisi Awal (a)
    ( 0 ) , ( 0 ) 1 0 , 2
u v  dan (b)     ( 0 ), ( 0 ) 3 5 , 5 0 u v  .
Gambar  4.1  menunjukkan  bahwa  dengan  kondisi  awal  yang  berbeda,  grafik  solusi menunjukkan perilaku yang sama yaitu bergerak dari kondisi awal kemudian solusi konvergen ke titik  kesetimbangan 4 ( , ) ( 2 .4 , 5 .2 ) T u v   .  Kekonvergenan  tersebut  berarti  bahwa  kepadatan kedua  populasi  mangsa  dan  pemangsa  tidak  akan  pernah  punah  pada  saat  waktu t semakin membesar.  Selanjutnya,  perilaku  dari  kedua  populasi  ketika  saling  berinteraksi  dapat  dilihat dalam Gambar 4.2.
Gambar 4.2. Grafik Solusi Perilaku dari Kedua Populasi Mangsa ( u ) dan Pemangsa ( v ) dengan nilai awal     ( 0 ), ( 0 ) 5 0 , 5 u v 
Dari  grafik  tersebut  dapat dilihat  bahwa  ketika jumlah  populasi  mangsa  kurang  padat  maka terjadi peningkatan pada jumlah populasi pemangsa. Hal yang  menarik terjadi pada saat jumlah populasi mangsa lebih besar dari 6, saat populasi mangsa semakin  meningkat terjadi penurunan terhadap  jumlah  populasi  pemangsa  dan  ketika  waktu  diperpanjang  maka  jumlah  populasi pemangsa  akan  konvergen  di  sekitar  nilai  awal.  Hal  ini  menunjukkan  perilaku  dari  populasi

## Jurnal Matematika, Statistika & Komputasi

## Nur Suci Ramadhani, Syamsuddin Toaha, Kasbawati
mangsa  berbahaya  yang  digambarkan  menggunakan  fungsi  respon  Holling  tipe  IV  yang  mana ketika populasi mangsa semakin padat maka laju predasi dari pemangsa berkurang karena adanya sifat bertahan dari populasi mangsa ketika jumlahnya cukup besar.

## 5. Kesimpulan
Dalam  penelitian  ini  digunakan  modifikasi  model  Leslie-Gower  dan  menggunakan  bentuk sederhana dari fungsi respon Holling tipe IV untuk menggambarkan total individu mangsa yang dikonsumsi  oleh  pemangsa.  Dari  hasil  analisis,  ditemukan  syarat  titik  kesetimbangan  kedua populasi  dapat  bertahan  hidup  (T 4 )  stabil  asimtotik  lokal.  Dari  hasil  simulasi  yang  dilakukan terlihat  bahwa  dengan  menggunakan  nilai  parameter  yang  memenuhi  salah  satu  syarat  titik kesetimbangan T 4 stabil asimtotik lokal, diperoleh hasil bahwa kepadatan kedua populasi mangsa dan  pemangsa  tidak  akan  punah  pada  saat  waktu t semakin  membesar.  Selanjutnya,  ketika populasi  mangsa  semakin  padat  dan  memiliki  kemampuan  yang  lebih  baik  dalam mempertahankan  diri  maka  populasi  pemangsa  dapat  beralih  ke  populasi  lain  untuk  bertahan hidup  tetapi  pertumbuhannya  akan  terbatas  karena  mangsa  favoritnya  terbatas.  Hasil  simulasi juga  menunjukkan  bahwa  pada  saat  kepadatan  populasi  mangsa  meningkat  terjadi  penurunan terhadap  kepadatan  populasi  pemangsa  karena  populasi  mangsa  yang  berbahaya  memiliki kemampuan yang lebih baik untuk mempertahankan diri dari pemangsa ketika jumlahnya cukup besar.

## Daftar Pustaka
[1] Alaoui,  M.  A.  &  Okiye  D.,  2003.  Boundedness  and  Global  Stability  for  a  Predator-Prey Model  with  Modified  Leslie-Gower  and  Holling-Type  II  Schemes. Applied  Mathematics Letter , 1069 – 1075.
[2] Alaoui, M. A., 2002. Study of a Leslie-Gower Type Tritrophic Population. Chaos Soliton Fract, Vol. 2002, No. 14 , 1275 – 1293.
[3] Andrews,  J.  A.,  1968.  The  Effect  of  Enrichment  of  Three  Species  Food  Chain  with Nonlinear Functional Response. Biotechnology and Bioengineering , Vol. 10, No. 6, 707 – 723.
[4] Chen  L.  &  Chen  F.,  2009.  Global  Stability  of  a  Leslie-Gower  Model  with  Feedback Controls. Applied Mathematics Letters, Vol. 22, No. 9, 1330 – 1334.
[5] Feng P.& Kang Y., 2015. Dynamics of a Modified Leslie-Gower Model with Double Allee Effects. Nonlinear Dynamics, 80: 1051 – 1062.
[6] Huang J., Xiaojing X. & Xinan Z., 2016. Bifurcation of Codimension 3 in a Predator-Prey System  of  Leslie  Type  with  Simplified  Holling  Type  IV  Functional  Response. International Jurnal of Bifurcation and Chaos , Vol. 26, No. 2, 1650034 – 11.
[7] Huang, To, Huayong Z., Zhengran H., Ge P., Shengnan M., Xiumin Z. & Zichun G., 2019. Predator-Prey  Pattern  Formation  Driven  by  Population  Diffusion  Based  on  Moore Neighborhood Structure. Advances in Difference Equation , 399.

## Jurnal Matematika, Statistika & Komputasi

## Nur Suci Ramadhani, Syamsuddin Toaha, Kasbawati
[8] Khajanchi S., 2017. Modeling the Dynamics of Stage-Structure Predator-Prey System with Monod-Haldane  Type  Response  Function. Applied  Mathematics  and  Computations ,  302: 122 – 143.
[9] Liu  M.  &  Wang  K.  2013.  Dynamics  of  a  Leslie-Gower  Holling  Type  II  Predator-Prey System  with  Levy  Jumps. Nonlinear  Analysis:  Theory,  Methods  &  Applications, Vol  85, 204 – 213.
[10] Ruan,  S.  dan  Dongmei  X.,  2001.  Global  Analysis  in  A  Predator-Prey  System  with Nonmonotonic Functional Response. SIAM J. APPL. MATH , Vol. 61, No. 4, 1445 –1472.
[11] Shen, C., 2007. Permanence and Global Attractivity of Food-Chain System with Holling IV Type Functional Response. Applied Mathematics and Computations , 194: 179 – 185.
[12] Siddik, A. M. A., dkk. 2021. Stability analysis of Prey-Predator Model with Holling Type IV  Functional  Response  and  Infectious  Predator. Jurnal  Matematika,  Statistika  & Komputasi , Vol. 17, No. 2, 155 – 165.
[13] Sokol,  W.  &  Howel,  J.  A.,  1987.  The  Kinetics  of  Phenol  Oxidation  by  Washed  Cells. Biotechnology and Bioengineering, 30: 921 – 927.
[14] Song,  J.,  dkk.  2019.  A  Non-Autonomous  Leslie-Gower  Model  with  Holling  Type  IV Functional Response and Harvesting Complexity. Advances in Difference Equation, 2019: 299.
[15] Xu D., Liu M. & Xu X., 2020. Analysis of Stochastic Predator-Prey System with Modified Leslie-Gower  Model  and  Holling  Type  IV  Schemes. Physica  A, Vol.  2020,  No.  537, 122761.
[16] Yu  S.,  2014.  Global  Stability  of  a  Modified  Leslie-Gower  Model  with  Beddington- DeAngelis Functional Response. Advances in Difference Equation, 2014: 84.
[17] Yusrianto,  dkk.  2019.  Analisis  Kestabilan  Model  Mangsa  Pemangsa  dengan  Pemanenan Ambang Batas pada Populasi Pemangsa. Jurnal Matematika, Statistika & Komputasi , Vol. 16, No. 1, 97 – 106.
[18] Yue  Q.,  2016.  Dynamics  of  Modified  Leslie-Gower  Model  Predator-Prey  Model  with Holling Type II Schemes and a Prey Refuge. Springer Plus , 5: 461.
[19] Zhang  Z.,  Upadhyay  R.  K.  &  Datta  J.,  2018.  Bifurcation  Analysis  of  a  Modified  Leslie- Gower Model with Holling Type IV Functional Response and Nonlinear Prey Harvesting. Advances in Difference Equation, 2018: 127.