Prima: Jurnal Pendidikan Matematika Vol. 3, No. 2, Juli 2019, hal. 152-157 P-ISSN: 2579-9827, E-ISSN: 2580-2216
ANALISIS KEMAMPUAN PEMBUKTIAN MATEMATIS PADA MATAKULIAH ANALISIS REAL BERDASARKAN ADVERSITY QUOTIENT
1 Era Dewi Kartika, 2 Nok Izatul Yazidah
1,2 Jurusan Pendidikan Matematika FPIEK IKIP Budi Utomo Malang, Jl. Citandui no 46, Telp (0341) 323214, Indonesia e-mail: erfolgera@gmail.com

## Abstrak
Tujuan  dari  penelitian  ini  adalah  untuk  mendeskripsikan  kemampuan  pembuktian  matematis  pada  matakuliah analisis real berdasarkan Adversity Quotient (AQ) . Jenis penelitian ini merupakan penelitian kualitatif deskriptif. Subjek  penelitian  terdiri  dari  6  orang  yang  terdiri  dari Quitter , Camper ,  dan Climber .  Analisis  data  kualitatif terdiri dari (a) mengolah dan  mempersiapkan data, (b)  membaca keseluruhan data, (c) mengkoding data, serta (d) menarasikan deskripsi data yang dianalisis. Hasil penelitian menunjukkan bahwa lebih dari 50% mahasiswa yang telah  mengikuti  matakuliah analisis real berada pada level Camper berdasarkan  AQ. Mahasiswa Camper lebih  mampu  menyusun pembuktian langsung dibandingkan  mahasiswa Quitter dan Climber . Mahasiswa pada ketiga  level  AQ  belum  mampu  menyebutkan  definisi  bilangan  rasional  dengan  benar  dan  lengkap.  Masih terdapat mahasiswa yang menggunakan pengambilan contoh untuk pembuktian langsung.
Kata kunci: kemampuan pembuktian matematis , analisis real , adversity quotient

## Abstract
The  purpose  of  this  research  is  to  describe  the  mathematical  proof  ability  in  real  analysis  subjects  based  on Adversity  Quotient  (AQ).  This  type  of  research  is  descriptive  qualitative  research.  The  research  subjects consisted  of  6  people  consisting  of  Quitter,  Camper,  and  Climber.  Qualitative  data  analysis  consists  of  (a) processing and preparing data, (b) reading the entire data, (c) coding the data, and (d) narrating the description of the data being analyzed. The results of the research show that more than 50% of students who have attended real  analysis  courses  are  at  the  Camper  level  based  on  AQ.  Camper  students  are  better  able  to  arrange  direct proof than Quitter and Climber students. Students at all three levels of AQ have not been able to properly and completely define the definition of rational numbers. There are still students who use example for direct proof.
Keywords : mathematical proof ability, real analysis, adversity quotient

## PENDAHULUAN
Matematika  merupakan  ilmu  yang  bersifat  deduktif  aksiomatik  yang  artinya  struktur pada  matematika  diawali  dengan  istilah  yang  tidak  terdefinisi,  lalu  selanjutnya  istilah  yang didefiniskian,  dan  kemudian  disusun  sebuah  pernyataan  yang  disebut  aksioma  dan  postulat yang  nantinya  akan  digunakan  untuk  menyusun  teorema-teorema  yang  nantinya  akan dibuktikan  dengan  proses  deduktif  sehingga  memperoleh  kebenaran  yang  berlaku  secara umum  dalam  sistemnya.  Dalam  pembuktian  teorema-teorema  tersebut  biasanya menggunakan  pembuktian  tak  langsung  maupun  dengan  pembuktian  langsung.  Bentuk pembuktian  tidak  langsung  adalah  pembuktian  dengan  cara  kontradiksi  dari  apa  yang  akan kita  buktikan,  sedangkan  bentuk  pembuktian  langsung  diantaranya  adalah  pembuktian dengan eliminasi kasus, dan pembuktian denga ekuivalensi (Sadikin: 2009). Lebih lanjut Bell
153 (1976)  mendefinisikan  bukti  sebagai  skema  aksioma,  konsep  dasar  dan  teorema  yang diperoleh melalui metode deduktif.
Pembuktian  bagi  kalangan  matematikawan  memiliki  peranan  yang  sangat  penting, Mengapa?  Karena,  pembuktian  sebagai  suatu  metode  meyakinkan  yang  digunakan  untuk menguji pengetahuan. Bagi mahasiswa matematika bukti itu bisa diibaratkan seperti makanan sehari-hari,  dimana  hampir  setiap  mata  kuliah  mereka  bekerja  dengan  menggunakan  bukti matematika.  Namun  demikian  kadang  istilah  bukti  yang  dipahami  oleh  setiap  mahasiswa berbeda  dengan  tafsiran  yang  dimiliki  oleh  dosen,  demikian  pula  dengan  tafsiran  yang dimiliki  dosen  bisa  jadi  berbeda  dengan  dosen  yang  lain.  Pembuktian  matematika memungkinkan  penciptaan  argumen yang  nantinya  dapat diterima  pada  saat mempresentasikannya  di  depan  kelas  (Stylianides,  2007).  Lebih  lanjut  Tall  (1989) menjelaskan  bahwa  dalam  kasus  matematika  perguruan  tinggi  di  seluruh  dunia,  konstruksi dan  pemahaman  mahasiswa  terhadap  pembuktian  matematika  harus  lebih  ditekankan. Terutama  bagi  calon  guru  matematika  yang  diharapkan  untuk  mengajar  pembuktian matematika untuk generasi berikutnya.
NCTM (2000) menyatakan bahwa pembuktian matematika merupakan salah satu aspek yang  harus  mendapatkan  perhatian  lebih  utama  dalam  pembelajaran  matematika.  Menurut Educational Development Center (2003)  menyatakan  bahwa  pembuktian  matematis  antara lain:  (a)  menyusun  suatu  fakta  dengan  pasti;  (b)  mendapatkan  pemahaman;  (c) menyampaikan  gagasan  kepada  orang  lain;  (d)  tantangan;  (e)  membuat  sesuatu  mudah difahami;  (f)  mengkonstruksi  teori  matematika.  Metode  pembuktian  diperlukan  untuk meyakinkan  kebenaran  pernyataan  atau  teorema  pada  umumnya  berbentuk  implikasi  atau biimplikasi.
Salah  satu  matakuliah  yang  didominasi  pembuktian  matematis  adalah  analisis  real. Pada  matakuliah  ini  lebih  banyak  difokuskan  pada  kemampuan  untuk  membuktikan  suatu masalah  dengan  landasan  yang  kuat  seperti  berdasar  pada  aksioma,  postulat,  sifat,  lema, teorema dan lain sebagainya. Analisis real  dikenal  juga dengan “ the  body  of  mathematics ”.
Menurut  Guswanto  (2006)  menyatakan  bahwa  analisis  real  merupakan  alat  yang  esensial, baik didalam berbagai cabang dari matematika maupun bidang ilmu-ilmu lain seperti fisika, kimia, dan ekonomi.  Melalui matakuliah ini mahasiswa berlatih untuk menyimpulkan bahwa suatu  pernyataan  itu  benar,  menjelaskan  mengapa  suatu  pernyataan  itu  benar, mengkomunikasikan  pengetahuan  matematika,  dan  menuliskannya  dalam  bahasa  logis  dan sistematis. Kemampuan tersebut dapat ditingkatkan melalui kegiatan pembuktian.
154
Berdasarkan  hasil  observasi  yang  dilakukan  pada  mahasiswa  diperoleh  fakta  bahwa mahasiswa  masih  merasa  kesulitan  dalam  mebuktikan  teorema-teorema  yang  ada  di  dalam buku analisis real, mahasiswa masih bingung dalam menyusun rencana pembuktian teorema- teorema  tersebut,  ketika  mahasiswa  diberikan  contoh  pembuktian  mahasiswa  merasa  sudah mampu  menyelesaikannya  namun  setelah  diberikan  pembuktian  yang  berbeda  dan  tanpa bantuan  dosen  mahasiswa  merasa  kebingungan  kembali.  Dalam  membuktikan  teorema- teorema  tersebut  peneliti  melihat  beragam  cara  yang  dilakukan  mahasiswa  dalam penyelesaian pembuktian analisis real  tersebut.  Untuk  lebih menspesifikasikan hasil analisis peneliti  pada  kemampuan  pembutian  matematis  mahasiswa  berdasarkan Adversity Quotient (AQ).  Stoltz  (2007)  menyatakan  bahwa Adversity Quotient sebagai  kecerdasan  seseorang untuk  bertahan  dalam  menghadapi  dan  mengatasi  kesulitan.  Dalam  penelitian  ini  yang maksud kesulitan adalah kesulitan dalam pembutian matematis pada mata kuliah analisis real. Sehingga  tujuan  dari  penelitian  ini  adalah  untuk  mendeskripsikan  kemampuan  pembuktian matematis pada matakuliah analisis real berdasarkan Adversity Quotient (AQ).

## METODE PENELITIAN
Penelitian ini dilaksanakan di IKIP Budi Utomo Malang pada matakuliah Analisis Real yang  diajarkan  pada  semester  5.  Jenis  penelitian  ini  merupakan  penelitian  kualitatif deskriptif.  Subjek  penelitian  ini  merupakan  mahasiswa  Pendidikan  Matemtika  IKIP  Budi Utomo  Malang  yang  dipilih  secara  acak.  Subjek  penelitian  terdiri  dari  6  orang  yang  terdiri dari Quitter , Camper ,  dan Climber .  Pertimbangan  pemilihan  subjek  juga  didasarkan  pada hasil tes AQ dan juga kemampuan komunikasi yang baik yang dibutuhkan dalam melakukan tahap wawancara.
Instrumen yang dibutuhkan dalam penelitian ini adalah lembar soal tes AQ, dan lembar soal  Analisis  Real.  Lembar  soal  AQ  ditujukan  untuk  mengelompokan  mahasiswa  menjadi Quitter , Camper ,  dan Climber. Soal  tes  analisis  real  digunakan  untuk  mengetahui kemampuan pembuktian matematis mahasiswa.
Analisis  data  kualitatif  mengacu  pada  Creswell  (2009)  yang  terdiri  dari  (a)  mengolah dan  mempersiapkan  data  yang  akan  dianalisis,  (b)  Membaca  keseluruhan  data,  (c) mengkoding  data  dan  menerapkan  proses  koding  untuk  mendeskripsikan  data  yang  akan dianalisis, serta (d) menarasikan deskripsi data yang dianalisis.

## HASIL DAN PEMBAHASAN
Kemampuan  pembuktian  matematis  meliputi  kemampuan  menyusun  pembuktian  dan kemampuan  memvalidasi  bentuk  pembuktian  (Perbowo,  2017).  Pada  penelitian  ini  hanya akan  diamati  kemampuan  menyusun  pembuktian.  Sedangkan  kemampuan  mahasiswa  yang diamati pada penelitian ini hanya kemampuan dalam pembuktian matematis secara langsung. Mahasiswa yang telah mengikuti matakuliah Analisis Real mengisi lembar soal tes AQ yang selanjutnya dipilih masing-masing dua mahasiswa untuk Quitter , Camper , dan Climber .
Sebanyak  20  mahasiswa  yang  telah  mengisi  lembar  soal  tes  AQ,  diperoleh  11 mahasiswa Camper ,  4  mahasiswa Climber ,  dan  5  mahasiswa Quitter .  Hal  ini  menunjukkan bahwa lebih dari 50% mahasiswa berada di level Camper .
Pada  lembar  soal  analisis  real,  dua  subyek Quitter menunjukkan  hasil  bahwa  tidak mampu menyelesaikan pembuktian dengan benar. Subyek 1 Quitter tidak menuliskan definisi bilangan  rasional,  menggunakan  cara  mengambil  contoh  untuk  membuktikan  dan  tanpa  ada pernyataan kebenaran dari pembuktian  yang telah disusun. Subyek 2 Quitter sudah terdapat pernyataan  kebenaran  dari  pembuktian  yang  telah  disusun  namun  masih  menggunakan pengambilan  contoh  untuk  pembuktian  langsung  dan  tanpa  adanya  definisi  dari  bilangan rasional.
Subyek 1 dan subyek 2 Camper dapat  mendefinisikan bilangan rasional  dengan benar walaupun  kurang  lengkap.  Dua  subyek Camper dapat  menyusun  pembuktian  langsung dengan benar, meskipun  subyek 1 tidak dapat  menyatakan  kebenaran dari  pembuktian  yang telah disusun.
Berbeda dengan dua subyek Camper yang dapat menyelesaikan pembuktian matematis secara langsung dengan benar, dua subyek Climber yang terpilih tidak dapat menyelesaikan pembuktian  dengan  utuh  dan  benar.  Subyek  1 Climber dapat  mendefinisikan  bilangan rasional  namun  tidak  lengkap.  Pada  susunan  pembuktian  subyek  1  juga  terdapat  kesalahan perhitungan penjumlahan dua bilangan rasional. Sedangkan pada subyek 2 Climber susunan pembuktian mempunyai tipe yang sama dengan subyek 2 Quitter .
Wawancara  yang dilakukan pada setiap subyek menunjukkan bahwa 2 subyek Quitter belum  memahami  susunan  pembuktian  langsung  dan  tidak  dapat  menyebutkan  definisi bilangan  rasional.  Dua  subyek Camper dapat  menjelaskan  seluruh  susunan  pembuktian dengan lancar. Sedangkan dua subyek Climber , untuk subyek 1 dapat memberikan penjelasan kesalahannya pada saat perhitungan kemudian dapat menyatakan kebenaran dari pembuktian.
156
Subyek 2 Climber dapat menyebutkan definisi bilangan rasional dengan benar, namun masih kurang memahami susunan pembuktian secara langsung.

## SIMPULAN DAN SARAN
Berdasarkan hasil penelitian dan pembahasan diatas dapat dikemukakan beberapa kesimpulan yaitu:
1. Lebih dari 50% mahasiswa yang telah mengikuti matakuliah analisis real berada pada level Camper berdasarkan AQ
2. Mahasiswa Camper lebih mampu menyusun pembuktian langsung dibandingkan mahasiswa Quitter dan Climber
3. Mahasiswa belum mampu menyebutkan definisi bilangan rasional dengan benar dan lengkap
4. Mahasiswa masih menggunakan pengambilan contoh untuk pembuktian langsung
5. Mahasiswa belum memberikan pernyataan kebenaran pada akhir pembuktian
Sedangkan saran untuk penelitian berikutnya adalah:
1. Perlu adanya pemantapan pemahaman penyusunan pembuktian langsung pada mahasiswa
2. Pengenalan metode pembuktian yang lain pada mahasiswa seperti kontraposisi, kontradiksi, induksi matematika dan counterexample
3. Perlu adanya penelitian lebih lanjut tentang faktor-faktor pemnghambat mahasiswa dalam penyusunan pembuktian matematis
4. Pemilihan model pembelajaran yang sesuai untuk memahamkan mahasiswa dalam penyususnan pembuktian matematis

## DAFTAR PUSTAKA
Bell, A. (1976). A Study Of Pupils’ Proof-Explanations In Mathematical Situation .
Educational Studies in Mathematics, 7, 23-40.
Creswell, J. W. (2009). Research Design: Qualitative, Quantitative, and Mixed Methods Approaches Third Edition . USA: Sage Publication.
NCTM. (2000). Principles and Standards for School Matematics . Reston, Virginia.
Perbowo, Krisna S. (2017). Pemetaan Kemampuan Pembuktian Matematis Sebagai Prasyarat Mata Kuliah Analisis Riil Mahasiswa Pendidikan Matematika . Jurnal Pendidikan Matematika KALAMATIKA Vol. 2 No. 1 April 2017 hal 81-90
157 Stoltz , PG. (2007). Adversity Quotient: Mengubah Hambatan Menjadi Peluang (Terjemahan: T. Hermaya) . Jakarta: Grasindo.
Stylianides, A. J. (2007). Proof And Proving In School Mathematics. Journal for Research in Mathematics Education , 38(3), 289-321.
Tall, D. (1989). The Nature Of Mathematical Proof. Mathematics Teaching,127, 28-32.
Sadikin, A. (2009). Pengantar logika matematika dan himpunan. Pontianak: STAIN Pontianak Press.