## Pematematikaan Horizontal Siswa SMP pada Masalah Perbandingan
Herna *1 , Ana Muliana 2 1,2 Universitas Sulawesi Barat e-mail: *1 hernausb@rocketmail.com, 2 anamuliana@yahoo.com

## Abstrak
Penelitian  kualitatif  ini  dilakukan  pada  siswa  kelas  VII  di  SMPN  4  Tinambung, Sulawesi  Barat.  Tujuannya  adalah  mengkaji  proses  proses  berpikir  siswa  dalam pematematikaan horizontal. Penelitian ini menemukan bahwa karateristik berpikir siswa dalam  pematematikaan  horizontal  pada  masalah  perbandingan  meliputi  aktivitas modeling dan intertwining. Aktivitas modeling dilakukan dengan menggunakan kata-kata yakni,  menyederhanakan  soal  dengan  memperhatikan  gambar,  kemudian  mengaitkan gambar  dan  keterangan  gambar  pada  soal  sehingga  diperoleh  model  soal  realistik. Aktivitas  intertwining  dilakukan  dengan  mengaitkan  soal  realistik  dengan  model  yang diperoleh dari soal untuk mengetahui strategi yang akan digunakan dalam menyelesaikan soal.  Selanjutnya,  siswa  mengaitkan  situasi  dunia  nyata  dengan  konsep  matematika, mengaitkan  situasi  dunia  nyata  yang  satu  dengan  situasi  dunia  nyata  yang  lain,  dan mengaitkan  konsep  matematika  yang  satu  dengan  konsep  matematika  yang  lain  dalam menjalankan strategi penyelesaian soal.
Kata kunci : pematematikaan horizontal, modeling, intertwining, scaffolding

## 1. PENDAHULUAN
Salah  satu  masalah  mendasar  dalam  pendidikan  di  indonesia  adalah  masih rendahnya  prestasi  siswa  dalam  belajar  matematika.  Beberapa  laporan  menyebutkan faktor  penyebabnya,  antara  lain  kurangnya  kualitas  materi  pembelajaran,  metode pengajaran yang mekanistik serta buruknya sistem penilaian. Salah satu pendekatan yang menjanjikan  dapat  mengurangi  masalah  tersebut  adalah realistic  mathematics  education (RME).  Di  indonesia  dikenal  dengan  istilah  Pendidikan  Matematika  Realistik  Indonesia (PMRI) dalam Lambas, dkk (2004).
Lebih lanjut dalam Lambas, dkk. (2004) menyatakan bahwa RME dikembangkan oleh Freudenthal  Institute ,  Belanda  dan  koleganya  IOWA  oleh  Freudenthal  pada  tahun 1977.  Menurutnya,  matematika  harus  dihubungkan  dengan  kenyataan,  berada  dekat dengan  peserta  didik,  dan  relevan  dengan  kehidupan  masyarakat  agar  memiliki  nilai manusiawi.  Pandangannya  menekankan  bahwa  materi-materi  matematika  harus  dapat ditransmisikan  sebagai  aktifitas  manusia (human  activity). Pendidikan  seharusnya memberikan  kesempatan  peserta  didik  untuk  “ re-invent ”  (menemukan/menciptakan kembali) matematika melalui praktek ( doing it ). Terkait dengan itu, menurut Gravemeijer (1994) pendekatan 98ealistic penekanannya adalah pada pematematikaan.
Treffers  (1991)  mengklasifikasikan  pematematikaan  ke  dalam  dua  tipe  yaitu, pematematikaan horizontal dan pematematikaan vertikal. Berdasarkan beberapa pendapat dari  De  Lange  (1987),  Treffers  (1991),  Gravemeijer  (1994),  dan  Yuwono  (2001) disimpulkan  bahwa  pematematikaan  horizontal  adalah  proses  membangun  konsep matematika  informal  dari  masalah  98ealistic.  Aktivitas  pematematikaan  horizontal meliputi  pendeskripsian  masalah  98ealistic  dalam  cara-cara  yang  berbeda  untuk memudahkan  menemukan  solusi  masalah  sehingga  prosedur  penyelesaian  masalah  atau
solusi  tersebut  dapat  digunakan  kembali  untuk  menyelesaikan  masalah  yang  sejenis. Singkatnya,  menurut  Freudenthal  dalam    Gravemeijer  (1994)  bahwa  pematematikaan horizontal  berkaitan  dengan  perubahan  dunia  nyata  menjadi  99ealis-simbol  dalam matematika.  Aktivitas  pematematikaan  horizontal  ini  dapat  berupa modeling (gambar, skema,  tabel,  kata-kata, self-invented  symbols ),  dan  menemukan  hubungan-hubungan ( intertwining ).  Sedangkan  pematematikaan  vertikal  berkaitan  dengan  proses  organisasi kembali  pengetahuan  yang  telah  diperoleh  dalam  99ealis-simbol  matematika  yang  lebih abstrak.  Singkatnya,  menurut  Freudenthal  dalam  Gravemeijer  (1994)  pematematikaan vertikal  adalah  pengubahan  dari  99ealis-simbol  ke  99ealis  matematika  lainnya  ( moving within  the  world  of  symbols ).  Contoh  pematematikaan  vertikal  adalah  memperbaiki model, menggunakan model yang berbeda, memadukan dan mengkombinasikan beberapa model, merumuskan konsep matematika yang baru dan penggeneralisasian.
Peneliti  bermaksud  melakukan  penelitian  pada  kelas  VII.  Peneliti  menfokuskan penelitiannya  pada  pematematikaan  horizontal.  Hal  ini  disebabkan  siswa  pada  kelas tersebut pada umumnya berumur 11-12 tahun, dimana menurut Piaget  dalam Budiningsih (2005)  usia  seseorang  7-12  tahun  berada  pada  tahap  operasi  konkret  sehingga  dalam belajar siswa tersebut masih membutuhkan pengaitan antara pengetahuan yang dipelajari dengan kehidupan  nyata  agar siswa dapat memahami pengetahuan tersebut dengan baik. Selain  itu,  pematematikaan  horizontal  merupakan  langkah  awal  dari  proses re-invent (menemukan/menciptakan  kembali)  sebuah  konsep  matematika  sehingga  siswa diharuskan  dapat  melakukan  pematematikaan  horizontal  dengan  baik  agar  proses re- invent nya berjalan dengan 99ealis.
Dalam  penelitian  ini,  pematematikaan  horizontal  dimaksudkan  sebagai  alur membangun  konsep  matematika  informal.  Konsep  matematika  yang  akan  dikonstruksi dan  ditemukan  kembali  dalam  penelitian  ini  adalah  konsep  perbandingan  informal. Alasan  dipilihnya  konsep  tersebut  karena  masalah  perbandingan  banyak  ditemui  dalam kehidupan  sehari-hari  sehingga  tepat  digunakan  untuk  penerapan  pematematikaan horizontal.
Pematematikaan  horizontal  dalam  penelitian  ini  ditunjukkan  oleh  jawaban  siswa dalam  menyelesaikan  masalah  kontekstual  sehingga  pematematikaan  horizontal mempunyai  kemungkinan  salah  atau  benar.  Terkait  dengan  itu,  pematematikaan horizontal  yang  benar  yang  dilakukan  oleh  siswa  perlu  dicari  tahu  karena  dapat memperkuat  agar  pematematikaan  horizontal  selanjutnya  senantiasa  benar.  Sedangkan, pematematikaan  horizontal  yang  salah  yang  dilakukan  oleh  siswa  perlu  juga  dicari  tahu untuk mencari letak kesahalannya agar dapat dibenahi.
Dalam  melakukan  pematematikaan  horizontal,  ada  beberapa  kemungkinan jawaban  dari  siswa  yaitu,  ada  siswa  yang  dapat  melakukan  aktivitas  pematematikaan horizontal  dengan  benar  tanpa  bantuan  dari  peneliti,  ada  siswa  yang  dapat  melakukan aktivitas  pematematikaan  horizontal  dengan  benar  jika  diberikan  bantuan  oleh  peneliti, dan  ada  siswa  yang  tidak  dapat  melakukan  aktivitas  pematematikaan  horizontal  dengan benar meskipun diberikan bantuan oleh peneliti.
Hudojo  (1990)  berpendapat  bahwa  di  dalam  proses  belajar  matematika  terjadi juga  proses  berpikir,  sebab  seseorang  dikatakan  berpikir  bila  orang  itu  melakukan kegiatan  mental  dan  orang  yang  belajar  matematika  mesti  melakukan  kegiatan  mental. Terkait  dengan  pernyataan  itu  maka  dalam  mengonstruksi  sebuah  pengetahuan  siswa mesti  melakukan  kegiatan  mental  99ealistic99  mengkonstruksi  sebuah  pengetahuan merupakan hal yang penting dalam pembelajaran maka penting untuk mengetahui proses berpikir siswa dalam mengkonstruksi pengetahuan tersebut.
Karakteristik  berpikir  siswa  dalam  melakukan  aktivitas  pematematikaan horizontal perlu diketahui agar dapat mengkonstruksi lembar aktivitas yang sesuai dengan
cara  berpikir  siswa  sehingga  memudahkan  proses  konstruksi  konsep  matematika.  Selain itu,  karakteristik  berpikir  siswa  ketika  diberikan  bantuan  juga  perlu  diketahui  sebagai bahan  pertimbangan  untuk  alternatif  bantuan  yang  akan  diberikan  ketika  siswa mengalami  kesulitan  dalam  mengkonstruksi  konsep  matematika  sehingga  proses konstruksinya berjalan dengan baik.
Vincent  Ruggiero  dalam  Subanji  (2007)  mengartikan  berpikir  sebagai  aktivitas mental  yang  membantu  merumuskan  atau  memecahkan  masalah,  membuat  keputusan, atau memenuhi keinginan untuk memahami.  Berpikir dalam penelitian ini di maksudkan sebagai  aktivitas  mental  dalam  membangun  konsep  perbandingan  informal  dari  masalah 100ealistic.
Berdasarkan kegiatan prasurvey yang dilakukan peneliti pada tanggal 20 Januari 2010,  peneliti  menemukan  bahwa  karakteristik  berpikir  siswa  dalam  melakukan pematematikaan horizontal terkait konsep perbandingan informal meliputi modeling, dan intertwining. Hal  tersebut  diketahui  setelah  siswa  mendapatkan scaffolding dari  peneliti, karena siswa mengalami kesulitan dalam melakukan aktivitas tersebut secara individu.
Terkait  dengan  pernyataan  di  atas  maka  karakteristik  berpikir  siswa  yang  akan diamati  dalam  penelitian  ini  adalah  karakteristik  berpikir  siswa  ketika  melakukan aktivitas  pematematikaan  horizontal  yaitu, modeling dan intertwining. Pendeskripsian karakteristik  berpikir  siswa  pada  pematematikaan  horizontal  dimaksudkan  dengan mendeskripsikan  hasil  eksplorasi  berpikir  siswa  dalam  melakukan  aktivitas pematematikaan  horizontal  untuk  mengetahui  karakteristik  berpikir  dari  masing-masing subjek  penelitian,  demi  tujuan  lebih  jauh  yaitu,  menemukan  karakteristik  berpikir  siswa dalam  melakukan  aktivitas modeling dan intertwining untuk  masing-masing  kategori (kelompok tinggi, kelompok sedang, dan kelompok rendah).
Dalam  penelitian  ini,  peneliti  akan  mengkaji  proses  berpikir  siswa  dalam pematematikaan  horizontal  melalui scaffolding, dan  kemudian  mengidentifikasi karakteristik  berpikir  siswa  ketika  melakukan  aktivitas  pematematikaan  tersebut.  Hal  ini dilandasi  oleh  pemikiran  bahwa  dalam  melakukan  aktivitas  pematematikaan  horizontal siswa  mengalami  kesulitan  seperti  yang  ditemukan  peneliti  ketika  melakukan  kegiatan prasurvey.
Menurut  Lambas,  dkk.  (2004)  bantuan  dari  seseorang  yang  lebih  dewasa  atau lebih  kompeten  dengan  maksud  agar  si  anak  mampu  untuk  megerjakan  tugas-tugas  atau soal-soal yang lebih tinggi tingkat kerumitannya daripada tingkat perkembangan kognitif yang  aktual  dari  anak  yang  bersangkutan  disebut  dukungan  dinamis  atau scaffoding . Scaffolding berarti memberikan sejumlah besar bantuan kepada siswa selama tahap-tahap awal  pembelajaran  dan  kemudian  mengurangi  bantuan  tersebut  dan  memberikan kesempatan  kepada  siswa  untuk  mengambil  alih  tanggung  jawab  yang  semakin  besar segera  setelah  ia  dapat  melakukannya.  Bentuk  dari  bantuan  itu  berupa  petunjuk, peringatan,  dorongan,  penguraian  langkah-langkah  pemecahan,  pemberian  contoh,  atau segala  sesuatu  yang  dapat  mengakibatkan  siswa  mandiri.  Pernyataan  tersebut    sejalan dengan  pendapat  Wood,  Bruner  &  Ross  dalam  Julia  Anghileri  (2006)  yang  menyatakan bahwa:  “ The  notion  of  “scaffolding”  has  been  used  to  reflect  the  way  adult  support  is adjusted  as  the  child  learns  and  is  ultimately  removed  whe n  the  learner  can  “stand alone””. Dalam penelitian ini, scaffolding diberikan oleh peneliti. Terkait  dengan  pernyataan  sebelumnya  bahwa  dalam  melakukan  kegiatan prasurvey  peneliti  menemukan  bahwa  aktivitas  pematematikaan  horizontal  yang dilakukan oleh siswa dalam membangun konsep perbandingan informal adalah modeling, dan intertwining maka  untuk  mengetahui  bagaimana  karakteristik  berpikir  siswa  dalam melakukan  masing-masing  aktivitas  tersebut,  peneliti  bermaksud  melakukan  penelitian
lebih  lanjut  tentang  “Pr oses  Berpikir  Siswa  dalam  Pematematikaan  Horizontal  melalui Scaffolding ”.

## 2. METODE PENELITIAN
Penelitian  ini  menggunakan  pendekatan  kualitatif  dan  tergolong  penelitian deskriptif  eksploratif.  Hal  tersebut  disebabkan  penelitian  ini  mendeskripsikan  hasil eksplorasi  proses  atau  tingkah  laku  siswa  dalam  menyelesaikan  masalah  matematika. Penelitian  ini  dilakukan  di  SMP  Negeri  4  Tinambung,  kabupaten  POLMAN  provinsi SULBAR.  Peneliti  melakukan  kegiatan  prasurvey  dengan  tujuan  untuk  mengetahui  nilai matematika semester gasal siswa kelas VIIB dan untuk memperkenalkan diri pada calon siswa yang akan menjadi subjek penelitian. Kemudian dengan bantuan guru dan berdasar pada  nilai  raport  serta  pertimbangan  sifat  komunikatif  dari  siswa,  peneliti  kemudian menentukan subjek penelitian yang terdiri atas: 2 siswa dari kelompok tinggi, 2 siswa dari kelompok  sedang,  dan  2  siswa  dari  kelompok    rendah.  Selain  itu,  pada  tahap  ini  juga dilakukan  uji  pendahuluan  pada  kelas  VII  C  dengan  tujuan  untuk  memastikan  bahwa terjadi  aktivitas  mental  ketika  siswa  melakukan  pematematikaan  horizontal  masalah perbandingan.  Selain  itu,  uji  pendahuluan  ini  juga  bertujuan  untuk  melihat  apakah masalah yang tercantum dalam instrumen lembar tugas dapat dipahami oleh siswa untuk keperluan penyempurnaan instrumen lembar tugas.
Pada  tahap  pengambilan  data,  peneliti  bekerjasama  dengan  guru  bidang  studi matematika kelas VIIB untuk melakukan pengambilan data. Pada saat pengambilan data, peneliti  menggunakan  dua  alat  perekam  yaitu,  falsh  disk  dan  kamera  digital.  Flash  disk digunakan  untuk  merekam  suara  dan  kamera  digital  digunakan  untuk  melihat  perilaku siswa.  Selain  itu,  peneliti  juga  membuat  catatan  kejadian  unik,  misalnya  ketika  siswa berpikir  keras  sambil  memegang  kepala,  siswa  merenungkan  masalah  dengan  diam,  dan sebagainya.  Pada  saat  pengambilan  data,  apabila  peneliti  merasa  perlu  untuk  mendalami berpikir  siswa  maka  dilakukan  dengan  mewawancarainya  pada  saat  itu.  Dari  hasil rekaman di flash disk ditransfer ke komputer dan kemudian ditranskrip.
Setelah  diperoleh  data  (hasil  TOL,  dan  hasil  wawancara),  maka  peneliti menganalisis  data  dengan  mereduksi  data,  pengkodean,  dan  menggambarkan  diagram struktur  berpikir  siswa.  Setelah  itu,  peneliti  mencari  tahu  karakteristik  berpikir  masing- masing  siswa  yang  menjadi  subjek  penelitian  dalam  melakukan  pematematikaan horizontal dan menggunakan metode perbandingan tetap untuk menemukan karakteristik berpikir siswa dalam pematematikaan horizontal pada setiap kelompok subjek (kelompok tinggi, sedang, dan rendah).

## 3. HASIL PENELITIAN DAN PEMBAHASAN
Dari  hasil  kajian  berpikir  siswa  dalam  melakukan  pematematikaan  horizontal masalah  perbandingan  dapat  disimpulkan  bahwa  karateristik  berpikir  siswa  dalam pematematikaan horizontal meliputi aktivitas modeling dan intertwining. Aktivitas modeling dilakukan dengan  menggunakan  kata-kata  yakni, menyederhanakan  soal  dengan  memperhatikan  gambar,  kemudian  mengaitkan  gambar dan  keterangan  gambar  pada  soal  sehingga  diperoleh  model  soal  realistik  yakni  berat  2 buah  nanas sama dengan berat  10 buah pisang, berat 1 buah nanas sama dengan berat 2 buah  pisang  dan  1  buah  apel,  dan  berat  semua  ayam  betina  yang  akan  dinaikkan  ke  sisi kiri  timbangan  agar  timbangan  dalam  kondisi  seimbang  adalah  1600  gram.  Aktivitas intertwining dilakukan  dengan  mengaitkan  soal  realistik  dengan  model  yang  diperoleh dari  soal  untuk  mengetahui  strategi  yang  akan  digunakan  dalam  menyelesaikan  soal.
Selanjutnya,  siswa  mengaitkan  situasi  dunia  nyata  dengan  konsep  matematika, mengaitkan  situasi  dunia  nyata  yang  satu  dengan  situasi  dunia  nyata  yang  lain,  dan mengaitkan konsep  matematika  yang  satu  dengan  konsep  matematika  yang  lain  dalam menjalankan strategi penyelesaian soal.
Karakteristik berpikir siswa dalam mengaitkan situasi dunia nyata dengan konsep matematika berupa, menemukan hubungan  antara situasi dunia nyata (berat 1 buah apel, gram  lebihnya  atau  kurangnya  berat  buah)  dan  konsep  pengurangan,  menemukan hubungan antara situasi dunia nyata (berat 1 buah nanas, berat buah yang satu berapa kali berat  buah  yang  lain)  dan  konsep  pembagian,  menemukan  hubungan  antara  buah  yang lebih berat atau lebih ringan dan konsep urutan bilangan  riil, dan menemukan hubungan antara  berat  ayam  dan  konsep  penjumlahan.  Semua  pengaitan  yang  telah  disebutkan adalah  tepat,  dan  dapat  dilakukan  siswa  dengan  baik.  Selain  pengaitan  yang  telah disebutkan di atas, siswa juga menemukan hubungan antara berat buah yang satu berapa kali berat buah yang lain dan konsep pembagian. Pengaitan ini pun tepat digunakan untuk menyelesaikan  soal,  namun  siswa  tidak  dapat  melakukan  aktivitas  tersebut  dengan  baik. Hal  tersebut  disebabkan  oleh  urutan  bilangan  ketika  melakukan  operasi  pembagian terbalik,  dan  itu  menunjukkan  bahwa  siswa  tidak  memahami  pernyataan  tentang  “berat buah yang satu sekian kali berat buah yang lain ” dengan baik.
Karakteristik  berpikir  siswa  dalam  mengaitkan  situasi  dunia  nyata  yang  satu dengan  situasi  dunia  nyata  yang  lain  berupa,  menemukan  hubungan  antara  cara membandingkan berat buah pada soal yang satu dan soal lainnya yang sejenis. Pengaitan tersebut  tepat  digunakan  untuk  menyelesaikan  soal,  dan  siswa  dapat  melakukannya dengan baik.
Karakteristik berpikir siswa dalam mengaitkan konsep matematika yang satu dan konsep  matematika  yang  lain  berupa,  menemukan  hubungan  konsep  pecahan  sederhana dan  konsep  pembagian  dalam  menyederhanakan  pecahan,  dan  menemukan  hubungan antara konsep penjumlahan dan konsep satuan sejenis dalam menghitung berat ayam yang satuannya  berbeda.  Pengaitan  tersebut  tepat  digunakan  untuk  menyelesaikan  soal,  dan siswa dapat melakukannya dengan baik.
Berikut salah satu contoh kajian proses berpikir siswa dalam melakukan aktivitas modeling dan intertwining dalam menyelesaian masalah pada instrumen penelitian. Dalam  menyelesaikan  soal  nomor  1(a)  secara  individu,  siswa  hanya  melakukan aktivitas intertwining. Aktivitas intertwining tersebut  adalah intertwining antara  situasi dunia  nyata  dan  konsep  urutan  bilangan  riil.  Dalam  situasi  dunia  nyata,  siswa  R 2 menentukan  buah  apa  yang  lebih  berat  antara  buah  nanas  dengan  buah  pisang  yang  ada pada diagram (1) jika banyaknya buah pisang 10 buah dan banyaknya buah nanas 2 buah, sehingga ditemukan bahwa buah yang lebih berat adalah buah pisang karena buah nanas lebih  banyak  dari  buah  pisang.  Jawaban  yang  diperoleh  dari  aktivitas  tersebut  adalah salah  karena  siswa  membandingkan  berat  2  buah  nanas  dengan  10  buah  pisang, sedangkan yang diminta dalam soal adalah membandingkan berat 1 buah pisang dengan berat 1 buah nanas. Berikut adalah jawaban siswa yang mendukung pernyataan tersebut.
Pernyataan  tersebut  juga  didukung  oleh  hasil  transkrip  ungkapan  verbal  siswa berikut ini.
S: Buah pisang karena buah nanas lebih sedikit 50 gram
P: Apa maksudnya buah nanas lebih sedikit 50 gram?
S: Karena  buah  pisang  10,  dan  buah  nanas  2,  jadi  buah  pisang  lebih berat karena lebih banyak
Untuk  menjawab  pertanyaan  selanjutnya,  siswa  melakukan intertwining antara kata gram yang ada dalam kalimat pertanyaan dan apa yang diketahui dalam soal yakni, berat 1 buah pisang 50 gram, sehingga siswa menjawab bahwa gram lebihnya adalah 50 gram. Jawaban yang diperoleh dari aktivitas tersebut masih salah karena siswa menjawab pertanyaan  tersebut  dengan  mengambil  begitu  saja  nilai  yang  mengikuti  satuan  gram hanya  karena  dalam  kalimat  pertanyaan  ada  kata  gram,  sedangkan  yang  diminta  dalam soal adalah menentukan berat 1 buah nanas terlebih dahulu kemudian menentukan berapa gram  lebihnya  berat  buah  yang  satu  dengan  berat  buah  yang  lain  jika  diketahui  dalam soal  bahwa  berat  1  buah  pisang  50  gram.  Berikut  adalah  pernyataan  siswa  yang mendukung pernyataan tersebut.
P: Kira-kira dari mana kamu dapat 50 gram?
S: Saya melihat di soal ada 50 gram Bu
P: Jadi kamu langsung mengambilnya begitu saja? (Sambil tersenyum siswa menjawab)
S: iya Bu
Selain itu, siswa juga melakukan aktivitas intertwining a ntara kata “lebih” dalam pertanyaan  (a),  bilangan-bilangan  yang  ada  dalam  soal  dan  konsep  penjumlahan  untuk menjawab  pertanyaan  “bagaimana  cara  menghitungnya?”.  Jawaban  yang  diperoleh  dari aktivitas  tersebut  masih  salah  karena  siswa  menjawab  pertanyaan  tersebut  dengan menjumlahkan  setiap  bilangan  yang  ada  dalam  soal  hanya  karena  dalam  kalimat pertanyaan  tersebut  terdapat  kata  “lebih”,  sedangkan  yang  diminta  oleh  soal  adalah menjelaskan  cara  menghitung  berapa  gram  lebihnya  berat  buah  yang  satu  dengan  buah yang  lain  jika  berat  dari  masing-masing  buah  telah  diketahui.  Berikut  adalah  jawaban siswa yang mendukung pernyataan tersebut.
Pernyataan  tersebut  juga  didukung  oleh  hasil  transkrip  ungkapan  verbal  siswa berikut ini.
P: Apa maksud dari 10 + 2=12, 1+2+1=4, 1+50=51?
(sambil tersenyum lagi siswa menjawab)
S: Karena  pertanyaannya  adalah  berapa  gram  lebihnya,  maka  saya menjumlahkan setiap bilangan dalam soal, 10 buah pisang + 2 buah nanas, 1 buah nanas ditambah 2 buah pisang tambah 1 buah apel, 1 buah pisang tambah 50 gram
Berdasarkan  jawaban  siswa  di  atas,  peneliti  menemukan  bahwa  siswa  tidak memahami  soal  dengan  baik,  dan  semua intertwining yang  dilakukan  belum  tepat  dan tidak bermakna.
Berdasarkan  pemaparan  di  atas,  dapat  disajikan  struktur  berpikir  siswa  dalam menyelesaikan  soal  nomor  1  bagian  (a)  dalam  diagram  berikut  ini.  Selain  itu,  struktur berpikir  siswa  juga  dibandingkan  dengan  struktur  masalah  agar  dapat  diketahui  apakah siswa membutuhkan scaffolding dari peneliti atau tidak.
Diagram 1 Struktur Berpikir Siswa R 2 dalam Menyelesaikan Soal Nomor 1(a) Secara Individu
Keterangan: Istilah Kode Banyaknya buah pisang yang dibandingkan adalah 10 buah Pi 10 Banyaknya buah nanas yang dibandingkan adalah 2 buah N 2 Banyaknya buah pisang = 10 buah > 2 buah = banyaknya buah nanas OU 1 Buah yang lebih berat adalah buah pisang JU 1 Penjumlahan setiap bilangan yang ada dalam soal yakni, 10+2, 1+2+1, 1+50 OL Gram lebihnya adalah 50 gram JL Aktivitas intertwining antara  situasi  dunia  nyata  dan  konsep  urutan bilangan riil. Dalam situasi dunia nyata, siswa menentukan buah apa yang lebih  berat  antara  buah  pisang  dengan  buah  nanas  yang  ada  pada  gambar (1)  jika  banyaknya  buah  pisang  10  buah,  dan  banyaknya  buah  nanas  2 buah Int P Aktivitas intertwining antara kata gram yang ada dalam kalimat pertanyaan dan apa yang diketahui dalam soal yakni, berat 1 buah pisang 50 gram
Int e1
Aktivitas intertwining antara  kata  “lebih”  dalam  soal,  bilangan -bilangan yang ada dalam soal dan konsep  penjumlahan untuk menjawab pertanyaan
“bagaimana cara menghitungnya?”
Int e2
Karena  struktur  berpikir  siswa  tidak  sesuai  dengan  struktur  masalah  seperti  yang ditunjukkan  oleh  tulisan  dan  bentuk  bintang  yang  diblok  pada  diagram  di  atas,  maka peneliti perlu memberikan scaffolding .

## 4. KESIMPULAN
Berdasarkan hasil penelitian dan pembahasan sebelumnya, peneliti menyimpulkan  bahwa  dalam  melakukan  pematematikaan  horizontal  masalah perbandingan dapat disimpulkan bahwa karateristik berpikir siswa dalam pematematikaan horizontal meliputi aktivitas modeling dan intertwining. Aktivitas modeling dilakukan dengan  menggunakan  kata-kata  yakni, menyederhanakan  soal  dengan  memperhatikan  gambar,  kemudian  mengaitkan  gambar
Pi 10 N 2 O U 1 JU 1 Int P OL JL Int e2 Int e1
dan  keterangan  gambar  pada  soal  sehingga  diperoleh  model  soal  realistik  yakni  berat  2 buah  nanas sama dengan berat 10 buah pisang, berat 1 buah nanas sama dengan berat 2 buah  pisang  dan  1  buah  apel,  dan  berat  semua  ayam  betina  yang  akan  dinaikkan  ke  sisi kiri  timbangan  agar  timbangan  dalam  kondisi  seimbang  adalah  1600  gram.  Aktivitas intertwining dilakukan  dengan  mengaitkan  soal  realistik  dengan  model  yang  diperoleh dari  soal  untuk  mengetahui  strategi  yang  akan  digunakan  dalam  menyelesaikan  soal. Selanjutnya,  siswa  mengaitkan  situasi  dunia  nyata  dengan  konsep  matematika, mengaitkan  situasi  dunia  nyata  yang  satu  dengan  situasi  dunia  nyata  yang  lain,  dan mengaitkan konsep  matematika  yang  satu  dengan  konsep  matematika  yang  lain  dalam menjalankan strategi penyelesaian soal.

## DAFTAR PUSTAKA
Budiningsih, C. A. 2005. Belajar dan Pembelajaran. Jakarta: Rineka Cipta. Creswell, John W. 2012. Research Desain Pendekatan Kualitatif, Kuantitatif, dan Mixed. Yogyakarta: Pustaka Belajar. De Lange, J. 1987. Mathematics, Insight and Meaning. CW & OC, Utrecht. Gravemeijer, K. 1994. Developing Realistic Mathematics Education . Utrecht: Freudental Institute.
Hudojo.  1990. Heboh  tentang  Pengajaran  Matematika  di  SD. Makalah  disajikan  pada seminar regional matematika kota Malang, 20 September.
Julia Anghileri, 2006. Scaffolding Practices that Enhance Mathematics Learning. Lambas,  dkk.  2004. Materi  Pelatihan  Terintegrasi  (Matematika). Jakarta:  Dirjen Dikdasmen.
Ruggiero, Vincent Ryan. 2012. Beyond feelings: A guide to Critical Thinking 9 th Edition. New York: McGraw-Hill Companies,Inc. Subanji.  2007. Proses  Berpikir  Penalaran  Kovriasional  Pseudo  dalam  Mengkonstruksi Grafik  Fungsi  Kejadian  Dinamika  Berkebalikan. Disertasi  tidak  dipublikasikan, Surabaya: Program Pascasarjana UNESA.
Treffers.  A.1991. didactical  Background  of  Mathematical  Program  for  Primary Education. Freudenthal Institute. Utrecht.
Yuwono,  I.  2001. ”RME  (Realistics  Mathematics  Education)  d an  Hasil  Studi  awal Implementasinya  di  SLTP”. Makalah  Seminar  disajikan  pada  Seminar  Nasional Realistics Mathematic Education (RME) di UNESA Surabaya, 24 Pebruari 2001.