ANALISIS KESTABILAN PADA MODEL DINAMIKA PENULARAN

## TUBERKULOSIS SATU STRAIN DAN DUA STRAIN
Melisa 1 dan Widodo 2
1 Universitas Islam Darul ’Ulum Lamongan, melisa.mathugm@yahoo.com
2 Universitas Gadjah Mada, widodo mathugm@yahoo.com
Abstract. In this paper, two mathematical models are given, those are basic model of tuberculosis transmission and transmission model of tuberculosis with the problem of drug resistance. The problem of drug resistance due to the deficient compliance with treatment schedules so causes treatment failure .
The basic model of tuberculosis transmission incorporates slow and fast progression, effective chemoprophylaxis and therapeutic treatments. If the basic reproduction ratio R 0 ≤ 1, then the disease-free equilibrium is globally asymptotically stable and if R 0 > 1, an endemic equilibrium exists and is locally asymptotically stable.
Next, transmission model of tuberculosis with the problem of drug resistance as a competition between two types of strains of Mycobacterium tuberculosis: those are drug-sensitive strain called the regular TB (strain 1) and drug-resistant strain called the resistant TB (strain 2). If R 0 s ≤ 1 and R 0 r ≤ 1, then the disease-free equilibrium is globally asymptotically stable. If R 0 r > 1, an endemic equilibrium where only resis- tant strain exists. If R 0 s > 1 and R 0 s > R 0 r , endemic equilibrium where both types of strains are present and can spread in a population. Numerical simulation with the certain parameters is given to illustrate stability of equilibrium.
Keywords : epidemiological models , tuberculosis, drug resistance, equilibrium, sta- bility.
Abstrak. Pada tulisan ini diberikan dua model matematika, yaitu model dasar penu- laran tuberkulosis dan model penularan tuberkulosis dengan adanya kasus resistensi obat. Terjadinya kasus resistensi obat akibat kurangnya kepatuhan dalam melakukan pengobatan sehingga terjadi treatment failure .
Model dasar penularan tuberkulosis dibentuk berdasarkan cepat atau lambatnya perkembangan infeksi, efektivitas chemoprophylaxis dan terapi pengobatan. Jika bi- langan reproduksi dasar R 0 ≤ 1, maka titik ekuilibrium bebas penyakit stabil asim- totik global, sedangkan jika R 0 > 1, maka titik ekuilibrium endemik ada dan stabil asimtotik lokal.
Selanjutnya, model penularan tuberkulosis dengan adanya kasus resistensi obat se- bagai persaingan antara dua jenis strain Mycobacterium tuberculosis : drug-sensitive strain yang disebut TB biasa (strain 1) dan drug-resistant strain yang disebut se- bagai TB resisten (strain 2). Jika R 0 s ≤ 1 dan R 0 r ≤ 1, maka titik ekuilibrium bebas penyakit stabil asimtotik global. Jika R 0 r > 1, maka titik ekuilibrium endemik yang hanya terdiri dari strain 2 (TB resisten) ada, sedangkan jika R 0 s > 1 dan R 0 s > R 0 r , maka titik ekuilibrium endemik ada dengan kedua jenis strain tuberku- losis dapat menyebar di dalam populasi. Simulasi numerik dengan nilai parameter tertentu diberikan untuk mengilustrasikan kestabilan titik ekuilibrium.
Kata Kunci : model epidemi, tuberkulosis, resistensi obat, titik ekuilibrium, kesta- bilan.

## 1 Pendahuluan
Tuberkulosis (TB) hingga kini masih menjadi masalah kesehatan utama di dunia [1]. Tuberkulosis merupakan penyakit infeksi terbesar nomor dua penyum- bang angka mortalitas dewasa di seluruh dunia yang menyebabkan sekitar 1,7 juta kematian [7]. Di Indonesia, tuberkulosis merupakan penyebab kematian ke-3 terbanyak yang diperkirakan pada tahun 2008, ada 535000 kasus baru dan dari kasus tersebut 88113 orang meninggal karena TB [9].
Tuberkulosis adalah salah satu penyakit menular langsung yang disebabkan oleh bakteri Mycobacterium tuberculosis (M.Tb). Penularan terjadi karena adanya kontak yang terlalu lama dengan pasien TB yang menyebarkan bakteri melalui udara. Infeksi TB dibedakan menjadi dua macam, yaitu TB laten dan TB aktif. Pencegahan tuberkulosis yakni dengan melakukan perilaku hidup bersih dan sehat. Selain itu, yang paling penting dilakukan adalah menelan Obat Anti Tuberkulosis (OAT) sesuai dosis yang tepat secara lengkap dan ter- atur. Jika tidak teratur, maka bakteri akan menjadi kebal terhadap OAT dan memungkinkan untuk bermutasi ke bentuk resistan terhadap obat atau dike- nal dengan kasus Multi Drug Resistance Tuberculosis (TB-MDR) dan Extreme Drug Resistance Tuberculosis (TB-XDR)[8],[9].
Masalah resistensi obat pada pengobatan TB khususnya TB-MDR dan TB-XDR menjadi masalah kesehatan masyarakat yang penting di sejumlah negara dan merupakan hambatan terhadap efektivitas program penanggula- ngan. Kegagalan penanggulangan TB-MDR/XDR dapat menimbulkan feno- mena baru yaitu Total Drug Resistance [7]. Di bidang matematika, suatu per- masalahan dalam kehidupan yang real dapat dinyatakan dalam bentuk per- samaan matematis dengan menggunakan asumsi-asumsi yang disebut model matematika. Dalam penelitian ini akan dibahas mengenai model matematika penularan penyakit tuberkulosis dengan model dasar yang menggabungkan cepat atau lambatnya perkembangan infeksi, pengaruh chemoprophylaxis dan terapi pengobatan. Selanjutnya, model dasar ini dikembangkan karena muncul- nya kasus resistensi obat akibat kurangnya kepatuhan dalam melakukan peng- obatan.
Tujuan penelitian ini adalah mempelajari model matematika penularan penyakit tuberkulosis, menentukan titik ekuilibrium, menganalisis kestabilan dari titik ekuilibrium, dan memberikan interpretasi biologis berdasarkan hasil analisis kestabilan dan simulasi numerik yang diperoleh. Sebelumnya telah banyak dilakukan penelitian mengenai model matematika penularan penyakit tuberkulosis. Pada penelitian [5] dibahas mengenai analisis kestabilan global titik ekuilibrium untuk masing-masing model yang diberikan. Selanjutnya, dibuat simulasi untuk mengilustrasikan perilaku populasi secara geometris dari model penularan penyakit tuberkulosis.
Penelitian ini dimulai dengan melakukan studi literatur. Selanjutnya, dibuat asumsi-asumsi dan mendefinisikan paramater-parameter berdasarkan fakta yang ada serta digambarkan dalam suatu diagram transfer, kemudian dibentuk model matematika penularan penyakit tuberkulosis [5]. Selanjutnya, akan di- tentukan titik ekuilibrium menggunakan definisi titik ekuilibrium pada sistem persamaan diferensial [20]. Untuk menentukan eksistensi dari titik ekuilibrium,
akan didefinisikan suatu ambang batas parameter, yang dikenal sebagai bilan- gan reproduksi dasar [10,11]. Kestabilan global dari titik ekuilibrium suatu sistem akan digunakan konsep Lyapunov-Lasalle [2,6,13,15,17,21], sedangkan untuk menentukan kestabilan lokal dari titik ekuilibrium suatu sistem digu- nakan cara metode linearisasi dan kriteria Routh-Hurwitz untuk menentukan tanda bagian real dari nilai eigen matriks Jacobian [3,4,12,16-18,19]. Langkah terakhir adalah mengilustrasikan perilaku populasi secara geometris dari model penularan penyakit tuberkulosis dengan menampilkan simulasi numerik.

## 2 Model Dasar Penularan Tuberkulosis

## 2.1 Formulasi Model
Dalam pembentukan model dasar penularan tuberkulosis, populasi dibagi men- jadi tiga kelas, yaitu kelas individu yang rentan ( S ), terinfeksi secara laten ( E ), terinfeksi dan menularkan ( I ). Asumsi yang digunakan dalam pemben- tukan model ini adalah setiap rekrutmen ( Λ ) pada populasi masuk ke kelas S , terjadi kematian alami ( µ ) dan kematian yang disebabkan karena penyakit ( d ) yang hanya terjadi pada kelas I . Penularan tuberkulosis terjadi setelah adanya kontak yang terjadi antara individu yang rentan dengan individu yang terinfeksi dan menularkan dengan laju ( β ). Individu yang baru terinfeksi dan mengalami perkembangan yang cepat ( p ) langsung masuk ke kelas I , sedang- kan perkembangan yang lambat masuk ke kelas E .
Individu yang terinfeksi secara laten akan tetap demikian selama hidup ke- cuali terjadi reaktivasi dan tidak mampu menularkan bakteri penyakit. Pembe- rian chemoprophylaxis yang efektif ( r 1 ) terhadap individu pada kelas E dapat mengurangi reaktivasi M.Tb, sedangkan yang tidak menerima chemoprophy- laxis akan masuk ke I dengan laju ( k ). Pemberian terapi pengobatan yang efek- tif ( r 2 ) terhadap individu pada kelas I dapat mengakibatkan pertumbuhan dan aktivasi M.Tb. menjadi terhambat, selanjutnya diasumsikan masuk ke kelas E . Diasumsikan tidak terdapat individu yang sembuh dari penyakit tuberkulosis.
Berikut digambarkan dalam bentuk diagram transfer dan sistem persamaan diferensial:
Gambar 1: Diagram transfer untuk model dasar penularan tuberkulosis
dS dt = Λ − βSI − µS dE dt = β (1 − p ) SI + r 2 I − [ µ + k (1 − r 1 )] E dI dt = βpSI + k (1 − r 1 ) E − ( r 2 + µ + d ) I. (1)
Semua parameter tersebut bernilai positif dan Sistem (1) diasumsikan memenuhi kondisi awal yaitu S (0) ≥ 0 , E (0) ≥ 0 , I (0) ≥ 0 dengan batas dari solusi sistem untuk t → ∞ :
Ω = ( S, E, I ) ∈ R 3 + | 0 ≤ S + E + I ≤ Λ µ .

## 2.2 Eksistensi dan Analisis Kestabilan Titik Ekuilibrium
Berikut teorema yang menjelaskan eksistensi titik ekuilibrium Sistem (1).
Teorema 1. Diberikan R 0 = βS 0 [ µp + k (1 − r 1 )] µr 2 +( µ + d )[ µ + k (1 − r 1 )] .
1. Jika R 0 ≤ 1 , maka Sistem (1) mempunyai tepat satu titik ekuilibrium yaitu titik ekuilibrium bebas penyakit X 0 = ( S 0 , E 0 , I 0 ) = Λ µ , 0 , 0 . 2. Jika R 0 > 1 , maka Sistem (1) mempunyai dua titik ekuilibrium yaitu titik X 0 dan titik endemik X ∗ = ( S ∗ , E ∗ , I ∗ ) dengan
S ∗ = Λ µ R 0 , E ∗ = µ ( R 0 − 1) β ( µ + k (1 − r 1 )) Λβ (1 − p ) µ R 0 + r 2 , I ∗ = µ ( R 0 − 1) β .
Selanjutnya, diberikan teorema yang membahas tentang kestabilan global titik X 0 .
Teorema 2. Jika R 0 ≤ 1 , maka titik ekuilibrium bebas penyakit X 0 pada Sis- tem (1) stabil asimtotik global.
Bukti: Didefinisikan fungsi Lyapunov V : Ω → R dengan
V ( S, E, I ) = k (1 − r 1 ) E + [ µ + k (1 − r 1 )] I, ∀ ( S, E, I ) ∈ Ω.
Selanjutnya, ∀ κ 1 > 0 didefinisikan E κ 1 = { ( S, E, I ) ∈ Ω | V ( S, E, I ) ≤ κ 1 } dan S 1 = n ( S, E, I ) ∈ E κ 1 | ˙ V ( S, E, I ) = 0 o . Karena Ω terbatas, berarti E κ 1 juga terbatas. Dengan demikian, ˙ V ( S, E, I ) = 0 ↔ S = S 0 , E = 0 , I = 0. Sehingga himpunan invarian terbesar yang termuat di S 1 hanya X 0 . Selanjutnya berlaku E κ 1 = Ω untuk suatu κ 1 > 0. Berdasarkan konsep Lyapunov-Lasalle [13], titik ekuilibrium X 0 stabil asimtotik global pada Ω . Hal ini berarti lama kelamaan penyakit akan hilang dalam populasi.
Kestabilan lokal titik X ∗ dijelaskan berdasarkan teorema berikut.
Teorema 3. Jika R 0 > 1 , maka titik ekuilibrium endemik X ∗ pada Sistem (1) stabil asimtotik lokal.
Bukti:
Matriks Jacobian Sistem (1) di sekitar titik X ∗ adalah
D f ( X ∗ ) =    − µ R 0 0 − βS 0 R 0 µ (1 − p )( R 0 − 1) − ( µ + k (1 − r 1 )) βS 0 (1 − p ) R 0 + r 2 µp ( R 0 − 1) k (1 − r 1 ) βpS 0 R 0 − ( r 2 + µ + d )    .
Nilai eigennya yaitu akar-akar dari persamaan λ 3 + a 1 λ 2 + a 2 λ + a 3 = 0 dengan a 1 , a 2 , a 3 ∈ R . Dapat ditunjukkan bahwa a 1 > 0, a 3 > 0 dan a 1 a 2 > a 3 . Oleh karena itu, titik ekuilibrium X ∗ stabil asimtotik lokal jika R 0 > 1. Ini berarti bahwa penyakit tuberkulosis akan tetap ada di dalam populasi.

## 3 Model Penularan Tuberkulosis dengan Kasus Resistensi Obat

## 3.1 Formulasi Model
Model dasar sebelumnya akan dikembangkan dengan memperhitungkan ke- mungkinan munculnya strain yang resisten terhadap obat akibat kurangnya kepatuhan dalam menjalani program chemoprophylaxis dan terapi pengobatan, sehingga terjadi treatment failure . Pada kasus ini, strain dibagi menjadi dua jenis, yakni drug-sensitive strain disebut TB biasa (strain 1) dan drug-resistant strain disebut TB resisten (strain 2).
Populasi dibagi menjadi lima kelas, yaitu kelas individu yang rentan ( S ), terinfeksi secara laten dengan strain 1 ( E s ) dan strain 2 ( E r ), terinfeksi dan menularkan dengan strain 1 ( I s ) dan strain 2 ( I r ). Asumsi yang digunakan pada model ini adalah konstanta Λ menyatakan setiap rekrutmen pada populasi masuk ke kelas S , terjadi kematian alami ( µ ) dan kematian yang disebabkan karena penyakit ( d s , d r ) yang hanya terjadi pada kelas I s dan I r .
Penularan tuberkulosis terjadi setelah adanya kontak yang terjadi antara individu yang rentan dengan individu yang terinfeksi dan menularkan dengan strain 1 dan strain 2 masing-masing dengan laju β s dan β r . Individu yang terinfeksi hanya menularkan strain yang sama. Adapun individu pada kelas E tidak mampu menularkan bakteri penyakit dan akan tetap demikian selama hidup kecuali terjadi reaktivasi. Individu yang baru terinfeksi dan mengalami perkembangan yang cepat ( p s , p r ) langsung masuk ke kelas I s dan I r , sedang- kan perkembangan yang lambat masuk ke E s dan E r . Proporsi r 1 s dan r 1 r menyatakan proporsi efektivitas chemoprophylaxis yang diberikan terhadap kelas E s dan E r untuk mengurangi reaktivasi M.Tb., sedangkan k 1 s dan k 1 r menyatakan laju perpindahan individu yang terinfeksi secara laten menjadi terinfeksi dan menularkan.
Individu yang terinfeksi dengan strain 1 dapat menjadi strain 2 karena kegagalan pengobatan dan individu yang terinfeksi dengan strain 2 dengan laju pengobatan yang lebih rendah daripada laju pengobatan individu yang terinfeksi strain 1 akan masuk ke kelas I r . Proporsi γ s menyatakan proporsi perpindahan individu kelas E s yang tidak berkembang menjadi E r , δ s menya- takan proporsi perpindahan individu kelas E s menjadi E r , ε s menyatakan laju perpindahan individu kelas E s menjadi I r .
Pemberian terapi pengobatan yang efektif terhadap individu yang terin- feksi dan menularkan dapat mengakibatkan pertumbuhan dan aktivasi M.Tb. menjadi terhambat, selanjutnya diasumsikan masuk ke kelas E s dan E r , r 2 s dan r 2 r menyatakan proporsi terapi pengobatan yang diberikan pada individu kelas I s dan I r , φ s menyatakan proporsi perpindahan individu kelas I s menjadi E r , θ s menyatakan laju perpindahan individu I s menjadi I r . Tidak terdapat individu yang sembuh dari penyakit tuberkulosis.
Berikut digambarkan dalam bentuk diagram transfer dan sistem persamaan diferensial:
Gambar 2: Diagram transfer untuk model penularan tuberkulosis dengan kasus resistensi obat
dS dt = Λ − β s SI s − β r SI r − µS dE s dt = β s (1 − p s ) SI s + r 2 s I s − A s E s dE r dt = β r (1 − p r ) SI r + k 2 E s − A r E r + k 4 I s + r 2 r I r dI s dt = β s p s SI s + k 1 E s − B s I s dI r dt = β r p r SI r + k 6 E r + k 3 E s + k 5 I s − B r I r (2)
dengan
k 1 = k 1 s (1 − r 1 s ) , k 2 = δ s (1 − γ s ) r 1 s , k 3 = ε s (1 − δ s )(1 − γ s ) r 1 s , k 4 = φ s (1 − r 2 s ) , k 5 = θ s (1 − φ s )(1 − r 2 s ) , k 6 = k 1 r (1 − r 1 r ) , A r = k 6 + µ
A s = k 1 + k 2 + k 3 + µ, B s = r 2 s + k 4 + k 5 + µ + d s , B r = r 2 r + µ + d r .
Semua parameter tersebut bernilai positif dan Sistem (2) diasumsikan memenuhi kondisi awal yaitu S (0) ≥ 0 , E s (0) ≥ 0 , E r (0) ≥ 0 , I s (0) ≥ 0 , I r (0) ≥ 0 dengan batas solusi sistem untuk t → ∞ :
Γ = y = ( S, E s , E r , I s , I r ) ∈ R 5 + | 0 ≤ S + E s + E r + I s + I r ≤ Λ µ .

## 3.2 Eksistensi dan Analisis Kestabilan Titik Ekuilibrium
Berikut ini akan diberikan teorema yang membahas tentang eksistensi titik ekuilibrium untuk Sistem (2).
Teorema 4. Diberikan R 0 = max ( R 0 s , R 0 r ) dengan
R 0 s = Λβ s [(1 − p s ) k 1 + p s A s ] µ ( A s B s − k 1 r 2 s ) dan R 0 r = Λβ r [(1 − p r ) k 6 + p r A r ] µ ( A r B r − k 6 r 2 r ) . (3)
1. Jika R 0 ≤ 1 , yaitu jika R 0 s ≤ 1 dan R 0 r ≤ 1 maka Sistem (2) mempunyai tepat satu titik ekuilibrium bebas penyakit b X 0 = Λ µ , 0 , 0 , 0 , 0 .
2. Jika R 0 r > 1 , maka Sistem (2) mempunyai dua titik ekuilibrium yaitu titik ekuilibrium bebas penyakit b X 0 dan titik ekuilibrium endemik yang hanya terdiri dari strain 2, X r = ( S r , 0 , E r r , 0 , I r r ) dengan
S r = Λ µ R 0 r , E r r = µ ( R 0 r − 1) β r A r Λβ r (1 − p r ) µ R 0 r + r 2 r , I r r = µ ( R 0 r − 1) β r .
3. Jika R 0 s > 1 dan R 0 s > R 0 r , maka Sistem (2) mempunyai dua titik ekuilib- rium yaitu titik ekuilibrium bebas penyakit b X 0 dan titik ekuilibrium endemik yang kedua jenis strain ada, X c = ( S c , E c s , E c r , I c s , I c r ) dengan
S c = Λ µ R 0 s , I c s = µ ( R 0 s − 1) β s β s µA s V r ( R 0 s − R 0 r ) β s µA s V r ( R 0 s − R 0 r ) + β r M , I c r = µM ( R 0 s − 1) β s µA s V r ( R 0 s − R 0 r ) + β r M , E c s = Λβ s (1 − p s ) µ R 0 s A s + r 2 s A s I c s = G ( I c s , I c r ) I c s , E c r = Λβ r (1 − p r ) µ R 0 s A r + r 2 r A r I c r + k 2 G ( I c s , I c r ) + k 4 A r I c s .
Bilangan reproduksi dasar untuk Sistem (2) ditentukan berdasarkan metode [11]. Sistem (2) dapat dituliskan dalam bentuk
˙ x = F ( x ) − ( V − ( x ) − V + ( x )) , x = ( E s , E r , I s , I r , S )
dengan F =       β s (1 − p s ) SI s β r (1 − p r ) SI r β s p s SI s β r p r SI r 0       dan V =       − r 2 s I s + A s E s − k 2 E s − k 4 I s − r 2 r I r + A r E r − k 1 E s + B s I s − k 6 E r − k 3 E s − k 5 I s + B r I r − Λ + β s I s S + β r I r S + µS       .
Matriks Jacobian dari F dan V di sekitar titik b X 0 sebagai berikut:
D F b X 0 = F 0 0 0 ; D V b X 0 = V 0 J 1 J 2
dengan matriks F =      0 0 Λβ s (1 − p s ) µ 0 0 0 0 Λβ r (1 − p r ) µ 0 0 Λβ s p s µ 0 0 0 0 Λβ r p r µ      dan V =     A s 0 − r 2 s 0 − k 2 A r − k 4 − r 2 r − k 1 0 B s 0 − k 3 − k 6 − k 5 B r     .
Dengan demikian, nilai dari bilangan reproduksi dasar untuk Sistem (2) yaitu radius spektral dari next generation matrix , F V − 1 ,yaitu
R 0 = ρ ( F V − 1 ) = max ( R 0 s , R 0 r )
dengan R 0 s , R 0 r didefinisikan pada Persamaan 3. Berikut ini diberikan teorema yang membahas tentang kestabilan global titik ekuilibrium bebas penyakit b X 0 .
Teorema 5. Jika R 0 s ≤ 1 dan R 0 r ≤ 1 , maka titik ekuilibrium bebas penyakit b X 0 pada Sistem (2) stabil asimtotik global.

## Bukti:
Didefinisikan fungsi Lyapunov Z : Γ → R dengan
Z ( y ) = ( k 2 k 6 + k 1 + k 3 A r ) E s + k 6 A s E r + A s I s + A s A r I r , ∀ ( y ) ∈ Γ.
Didefinisikan E κ 2 = { ( y ) ∈ Γ | Z ( y ) ≤ κ 2 } dan S 2 = n ( y ) ∈ E κ 2 | ˙ Z ( y ) = 0 o , ∀ κ 2 > 0 . Karena Γ terbatas, berarti E κ 2 juga terbatas. Dengan demikian, ˙ Z ( y ) = 0 ↔ S = Λ µ , E s = 0 , I s = 0 , E r = 0, dan I r = 0. Sehingga himpunan invarian terbesar yang termuat di S 2 hanya b X 0 yang merupakan titik ekuilib- rium bebas penyakit dan berlaku E κ 2 = Γ untuk suatu κ 2 > 0. Berdasarkan konsep Lyapunov-Lasalle, titik ekuilibrium b X 0 stabil asimtotik global pada Γ . Ini berarti bahwa lama kelamaan penyakit akan hilang dalam populasi.
Kestabilan lokal titik X r dijelaskan pada teorema berikut.
Teorema 6. Jika R 0 r > 1 , R 0 s < R 0 r , b 1 > 0 , c 1 > 0 , dan c 1 c 2 > c 3 , maka titik ekuilibrium endemik X r = ( S r , 0 , E r r , 0 , I r r ) pada Sistem (2) stabil asimtotik lokal.

## Bukti:
Matriks Jacobian Sistem (2) disekitar titik X r adalah
D f ( X r ) =         − µ R 0 r 0 0 − Λβ s µ R 0 r − Λβ r µ R 0 r 0 − A s 0 Λβ s (1 − p s ) µ R 0 r + r 2 s 0 β r (1 − p r ) I r r k 2 − A r k 4 Λβ r (1 − p r ) µ R 0 r + r 2 r 0 k 1 0 Λβ s p s µ R 0 r − B s 0 β r p r I r r k 3 k 6 k 5 Λβ r p r µ R 0 r − B r         .
Nilai eigennya yaitu akar dari persamaan [ λ 2 + b 1 λ + b 2 ] [ λ 3 + c 1 λ 2 + c 2 λ + c 3 ] = 0 dengan b 1 , b 2 , c 1 , c 2 , c 3 ∈ R . Oleh karena itu, titik X r stabil asimtotik lokal jika R 0 r > 1, R 0 s < R 0 r , b 1 > 0, c 1 > 0, dan c 1 c 2 > c 3 . Ini berarti bahwa untuk waktu yang lama, semua induvidu yang terinfeksi menjadi resisten terhadap obat dan tentunya akan menjadi masalah utama kesehatan masyarakat.

## 4 Simulasi Numerik
Diasumsikan luas wilayah yang diteliti adalah 30 km 2 . Berikut diberikan nilai- nilai parameter untuk model dasar: Λ = 200 , β = 0 . 008 , µ = 0 . 014286 , d = 0 . 15 , p = 0 . 0015 , r 1 = 0 . 7 , r 2 = 0 . 65 , k = 0 . 00013, diperoleh titik X 0 = (13999 . 72001 , 0 , 0). Jika nilai diganti untuk parameter p = 0 . 0085, r 1 = 0 . 65 , r 2 = 0 . 6, maka diperoleh titik X ∗ = (8181 . 572633 , 5803 . 543821 , 1 . 269897260) seperti diagram berikut:
Gambar 3: Diagram trayektori Sistem (1) untuk kestabilan titik X 0 (kiri) dan titik X ∗ (kanan)
Selanjutnya, untuk kasus resistensi obat diberikan nilai-nilai parameter: Λ = 200 , β s = 0 . 008 , β r = 0 . 0075 , µ = 0 . 014286 , d s = 0 . 15 , d r = 0 . 35 , p s = 0 . 0015 , p r = 0 . 0035 , r 1 s = 0 . 7 , r 1 r = 0 . 7 , r 2 s = 0 . 65 , r 2 r = 0 . 75 , k 1 s = 0 . 00013 , k 1 r = 0 . 0002 , γ s = 0 . 02 , δ s = 0 . 015 , ε s = 0 . 00023 , φ s = 0 . 001 , θ s = 0 . 005, diperoleh titik b X 0 = (13999 . 72001 , 0 , 0 , 0 , 0). Jika nilai diganti untuk parameter p r = 0 . 0045, k 1 r = 0 . 00033, ε s = 0 . 00033, r 1 r = 0 . 65, r 2 r = 0 . 56, maka diperoleh titik b X 0 = (13999 . 72001 , 0 , 0 , 0 , 0) dan titik ekuilibrium, X r = (8755 . 749733 , 0 , 5222 . 865544 , 0 , 1 . 140817735) seperti diagram berikut:
Gambar 4: Diagram trayektori Sistem (2) untuk kestabilan titik b X 0 (kiri) dan titik X r (kanan)

## 5 Kesimpulan
Berdasarkan hasil pembahasan yang telah dipaparkan, diperoleh kesimpulan sebagai berikut:
Model dasar penularan tuberkulosis dibentuk berdasarkan cepat atau lam- batnya perkembangan infeksi, efektivitas chemoprophylaxis dan terapi pengo- batan. Jika bilangan reproduksi dasar R 0 ≤ 1, maka titik ekuilibrium bebas penyakit stabil asimtotik global. Ini berarti bahwa untuk waktu yang lama penyakit tuberkulosis akan menghilang dari populasi dengan sendirinya. Se- dangkan jika R 0 > 1, maka titik ekuilibrium endemik ada dan stabil asimtotik lokal. Ini berarti bahwa untuk waktu yang lama penyakit tuberkulosis akan tetap ada di dalam populasi.
Selanjutnya, untuk model penularan tuberkulosis dengan adanya kasus re- sistensi obat, jika R 0 s ≤ 1 dan R 0 r ≤ 1, maka titik ekuilibrium bebas penyakit stabil asimtotik global. Jika R 0 r > 1, maka titik ekuilibrium endemik yang hanya terdiri dari strain 2 (TB resisten) ada, sedangkan jika R 0 s > 1 dan R 0 s > R 0 r , maka titik ekuilibrium endemik ada dengan kedua jenis strain tuberkulosis dapat menyebar di dalam populasi.

## Daftar Pustaka
[1] Aditama, Tj. A. 2006. Jurnal Tuberkulosis Indonesia . Vol.3. Nomor:2. Jakarta Selatan:PPTI.
[2] Agarwal, R. P., dan O’regan, D. 2008. An Introduction to Ordinary Differential Equation . Springer. New York.
[3] Anton, H. 1988. Calculus . Drexel University. John Wiley and Sons, Inc. New York, USA.
[4] Anton, H., dan Rorres C. 2005. Elementary Linear Algebra : Applications Version Ninth Edition . John Wiley and Sons. New Jersey.
[5] Bowong S., Jules J. T., dan Claude J. K. 2011. Stability Analysis of the Transmission Dynamics of Tuberculosis Models. World Journal of Modelling and Simulation . 7 : 83 − 100.
[6] Boyd. 2008. Basic Lyapunov Theory . http://www.coursehero.com/file/4461957/lyap/ diakses 19 April 2014.
[7] Burhan, E. 2010. Tuberkulosis Multi Drug Resistance(TB-MDR) . Vol.60. Nomor:12. Jakarta:Departemen Pulmonologi dan Ilmu Kedokteran Respirasi Fakultas Kedokteran Uni- versitas Indonesia.
[8] Depkes RI. 2008. Pedoman Nasional Penanggulangan Tuberkulosis Edisi 2 . Jakarta.
[9] Depkes RI. 2009. Buku Saku Kader Program Penanggulangan TB . Departemen Kesehatan.
[10] Diekmann, O., dan Heesterbeek, J. A. P. 2000. Mathematical Epidemiology og Infectious Dis- eases: Model Building, Analysis and Interpretation . John Wiley and Sons. Chichester.
[11] Driessche, P., dan Watmough, J. 2002. Reproduction numbers and sub-threshold endemic equilibria for compartmental models of disease transmission. Mathematichal Biosciences . 180 :29- 48.
[12] Hahn, W. 1967. Stability of Motion . Springer-Verlag New York Inc. USA.
[13] Khalil, H. K. 2002. Nonlinear System Third Edition . Prentice-Hall, Inc. New Jersey.
[14] Kreyszig. 1978. Introductory Functional Analysis with Applications . John Wiley and Sons. New York, USA.
[15] Luenberger, D. G. 1979. Introduction to Dynamical Systems : Theory, Models, and Application . John Wiley and Sons. New York, USA.
[16] Olsder, G. J. 1994. Mathematical System Theory . Delftse Uitgevers Maatschappij, CW Delft. Netherlands.
[17] Perko, S. 2001. Differential Equations and Dynamical Systems 3 rd Edition . Texts in Applied Mathematics Vol.7. Springer-Verlag. New York, USA.
[18] Qu, Z. 2009. Cooperative Control of Dynamical Systems: Applicationd to Autonomous Vehicles . Springer-Verlag, Inc. New York.
[19] Tu, P. N. V. 1994. Dynamical System: An Introduction with Application in Economics and Biology . Springer Verlag. New York, USA.
[20] Verhulst, F. 1990. Nonlinear Differential Equations and Dynamical Systems . Springer-Verlag. New York, USA.
[21] Wiggins, S. 2003. Introduction to Applied Nonlinear Dynamical Systems and Chaos Second Edition . Springer-Verlag New York Inc. New York.