## Uji Asumsi Proportional Hazard pada Faktor yang Mempengaruhi

## Waktu Tahan Hidup Pasien Kanker Paru
Elnatan Dimas A. 1 , Sri Sulistijowati Handajani 2 , dan Ririn Setiyowati 3 1,3 Program Studi Matematika FMIPA Universitas Sebelas Maret
2 Program Studi Statistika FMIPA Universitas Sebelas Maret rr_ssh@staff.uns.ac.id, elnatandim@gmail.com
Abstract. Lung cancer is the disease that its death risk always increase, because of that the survival time of its patient is interesting to be researched. One of the method that can be used to research survival time of lung cancer patient is Cox regression. It has  an  assumption  that  called  proportional  hazard  assumption.  Proportional  hazard assumption can be tested by graph method that is log-log graph, but the result is only used as temporary suspicion . In this study, the goodness of fit test is used to test the assumption  by  calculate  the  correlation  between  rank  of  survival  time  and Schoenfeld residual. As the result, age variable does not satisfy proportional hazard assumption.
Keyword: cox regression, proportional hazard assumption, log-log graph, goodness of fit test.

## 1. Pendahuluan
Regresi Cox merupakan salah satu  bentuk regresi non parametrik dimana hubungan antara variabel respon dan variabel prediktornya tidak berbentuk garis lurus. Regresi Cox digunakan  sebagai  metode  untuk  menganalisis  keterkaitan  variabel  respon  yang merupakan  waktu  tahan  hidup  dan  variabel  prediktornya  adalah  faktor-faktor  yang mempengaruhinya. Regresi Cox mempunyai asumsi yang harus dipenuhi yaitu rasio dari dua nilai hazard harus konstan terhadap waktu (Dewiyanti [1]).
Salah  satu  penelitian  pernah  dilakukan  terkait  pengujian  asumsi PH, yaitu  Hadiyah [2]  dalam  penelitiannya  menggunakan  plot
dengan  waktu  tahan  hidup
pada setiap kovariat untuk menguji asumsi PH . Asumsi PH dipenuhi apabila kedua plot tidak  saling  berimpit  atau berpotongan. Jika  kedua  berpotongan,  maka  asumsi PH tidak dipenuhi. Kelemahan metode ini adalah tidak mempertimbangkan kestabilan hazard ratio sehingga diperlukan metode lain untuk menguji asumsi PH .
Afifah [3] dalam penelitiannya menyebutkan bahwa asumsi PH dapat diuji dengan uji goodness  of fit dan  pendekatan  variabel  yang  bergantung  waktu menggunakan extended Cox model. Metode goodness of fit dilakukan dengan cara mencari korelasi antara residu Schoenfeld dan rank waktu  tahan  hidup.  Dalam  penelitiannya  digunakan  koefisien korelasi rank Pearson . Extended Cox model mengalikan semua kovariat dengan variabel
Volume 1  No. 2 November 2018
waktu  sehingga hazard  ratio yang  tidak  memuat  variabel  waktu t menjadi  memuat variabel waktu.
Dalam  penelitian  ini,  digunakan  grafik log-log sebagai  dugaan  sementara. Selanjutnya,  untuk  menguji  dugaan  tersebut  digunakan  uji goodness  of  fit. Korelasi Pearson  dan  korelasi  rank  Kendall  digunakan  dalam  uji goodness  of  fit sehingga  dapat menjadi pertimbangan  suatu kovariat memenuhi asumsi PH. Contoh kasus kanker paru digunakan  karena  merupakan  penyakit  yang  beresiko  besar  menyebabkan  kematian  dan dipengaruhi  banyak  hal  sehingga  waktu  tahan  hidup  pasien  kanker  paru  menarik  untuk diteliti.  Penelitian  ini  bertujuan  menguji  asumsi PH faktor-faktor  yang  mempengaruhi waktu tahan hidup pasien kanker paru.

## 2. Landasan Teori
Landasan teori berisikan tentang teori yang mendasari yaitu regresi Cox, asumsi proportional hazard, grafik log-log, residu Schoenfeld , koefisien korelasi rank Kendall.
2.1. Regresi Cox. Menurut Ata dan Zoter [4], pendekatan paling sering digunakan dalam memodelkan pengaruh kovariat terhadap waktu tahan hidup adalah regresi Cox. Misalkan
adalah  nilai  dari p kovariat
.  Berdasarkan  model  regresi
Cox, fungsi hazard ditulis sebagai
) (2.1) dengan adalah  vektor dari  parameter  regresi  dan
adalah fungsi baseline hazard.
2.2. Asumsi Proportional  Hazard . Pada  regresi  Cox  dikenal hazard  ratio yang merupakan  perbandingan hazard dari  dua  individu  yang  mempunyai  nilai  kovariat berbeda.  Menurut  Ata  dan  Zoter  [4],  misalkan , dan ,
adalah  kovariat  dari  dua  kategori, hazard  ratio  (HR) dari  dua  kategori tersebut adalah sebagai berikut
.
Regresi Cox baik digunakan jika memenuhi asumsi PH yang menyatakan bahwa hazard ratio tidak berubah sepanjang waktu.
2.3. Grafik log-log. Menurut Afifah [3], asumsi PH dapat diuji dengan menggunakan grafik  plot
terhadap  waktu  tahan  hidup.  Asumsi PH dipenuhi  apabila
Volume 1  No. 2 November 2018
garis  antar  kategori  pada  kovariat  sejajar  (tidak  berpotongan).  Pendekatan  ini  mudah digunakan, namun tidak dapat dilihat kestabilan hazard ratio .
2.4. Residu Schoenfeld. Afifah [3] menyatakan bahwa residu Schoenfeld dari kovariat ke- k dari individu yang mengalami peristiwa pada waktu dituliskan sebagai berikut
(2.2)
dengan adalah  residu  Schoenfeld  kovariat  ke-k  dan  waktu  ke-j , adalah  nilai
dari  kovariat  dari  individu  yang  mengalami  peristiwa  pada  waktu
dan adalah  ekspektasi  bersyarat jika  diketahui ). )  adalah
himpunan individu yang mengalami peristiwa pada waktu
2.5. Koefisien Korelasi Rank Kendall. Salah satu koefisien korelasi rank yang dapat digunakan untuk menentukan hubungan antara residu Schoenfeld dan waktu tahan hidup adalah  koefisien  korelasi rank Kendall (Kendall’s Tau ).  Menurut  Connover  [5], perhitungan koefisien korelasi rank Kendall adalah sebagai berikut
dengan merupakan  banyaknya  pasangan  yang concordant dan banyaknya
pasangan yang discordant.
2.6. Koefisien Korelasi Pearson. Pengujian korelasi antara residu Schoenfeld dengan rank  waktu  tahan  hidup  untuk  setiap  variabel  dapat  digunakan  korelasi  Pearson  sebagai berikut
dengan adalah residu Schoenfeld dan adalah rank waktu tahan hidup. (Afifah [3]).

## 3. Hasil dan Pembahasan
3.1. Data. Penelitian  ini  menggunakan  data  tahan  hidup  80  pasien  kanker  paru (Kalbfleisch  dan  Prentice  [6]) . Variabel  yang  diamati  pada  data  ini  adalah  waktu  tahan
hidup ( ), status perawatan ( ), tipe sel yaitu tipe 1 large ( ), tipe 2 adeno ( ), tipe 3
small ( ), status performa ( ) dan usia ( ).
Tabel 1. Data Waktu Tahan Hidup dan Variabel
1 1 2 0
0 1 20 65 2 1 2 0 1 0 50 35 3 2 2 0 0 1 40 44 … … … … …. … … … 80 100 1 0 1 0 60 67 3.2. Grafik Log-log . Untuk menguji asumsi PH secara visual digunakan grafik log-log dengan hasil sebagai berikut.
Volume 1  No. 2 November 2018
Gambar 1. Grafik Log-log dari variabel yang diamati
3.3 Residu  Schoenfeld. Untuk  mencari  residu  Schoenfeld  dihitung  terlebih  dahulu koefisien regresi Cox PH pada persamaan 2.1 untuk mendapatkan taksiran model. Berikut ini adalah hasil taksiran model.
Tabel 2. Hasil Taksiran Model Regresi Cox
Dari  taksiran  model,  didapatkan  residu  Schoenfeld  dengan  persamaan  2.2  yang  dapat dilihat pada Tabel 3.
Tabel 3. Hasil Residu Schoenfeld
1 0.4545 7.5721 -0.1055 -0.2241 -0.4676 -19.7731 1 0.4545 -22.4278 -0.1055 -0.2241 -0.4675 10.2268 … 100 0.7433 2.8888 0.0000 -0.2226 0.2226 2.9795
3.4 . Korelasi  Rank  Pearson. Setelah  diperoleh  hasil  residu  Schoenfeld  pada  Tabel  3, dihitung  korelasi  antara  waktu  tahan  hidup  dan  residu  Schoenfeld.  Salah  satu  korelasi
Parameter Koefisien -1.10975 -0.00823
-0.01848
-0.23596
-0.06485 -0.03029
Volume 1  No. 2 November 2018
yang  dapat  digunakan  yaitu  rank  Pearson.  Berikut  adalah  hasil  korelasi  rank  Pearson setiap variabel dengan menggunakan persamaan 2.4.
Tabel 4. Nilai Korelasi Rank Pearson
3.5 . Korelasi Rank Kendall. Korelasi rank lain yang digunakan untuk menguji korelasi rank  waktu  tahan  hidup  dan  residu  Schoenfeld  adalah  korelasi  rank  Kendall.  Berikut hasil korelasi rank Kendall dengan persamaan 2.3 dari setiap variabel.
Tabel 5. Nilai Korelasi Rank Kendall
Tabel  4  dan  Tabel  5  menunjukkan  baik  korelasi  rank  Pearson  maupun  Kendall memperlihatkan  hasil  yang  sama  yaitu  variabel  usia  yang  memiliki  korelasi  yang  besar. Melalui  hasil  tersebut  asumsi PH tidak  dipenuhi  oleh  variabel  usia,  sedangkan  untuk variabel lain yaitu status perawatan, tipe sel 1, tipe sel 2, tipe sel 3, dan status performa memenuhi asumsi PH.

## 4. Kesimpulan
Asumsi PH dapat  diuji  dengan  grafik log-log saja,  namun  untuk  mendapatkan  hasil yang  lebih  akurat  dapat  dibandingkan  dengan  uji goodness  of  fit. Pada  penerapan  kasus didapatkan hasil variabel yang memenuhi asumsi PH melalui grafik log-log adalah semua
Parameter Korelasi Pearson 0.15567 0.09562 0.12351 0.07425 -0.08514 0.7575 Parameter Korelasi rank Kendall 0.062658 0.08924 0.225 -0.18101 0.08418 0.7785
Volume 1  No. 2 November 2018
variabel, namun setelah diuji dengan goodness of fit ternyata terdapat variabel yang tidak memenuhi asumsi PH yaitu variabel usia.

## Daftar Pustaka
[1] Dewiyanti, L. Perluasan Regresi Cox dengan Penambahan Peubah Terikat Waktu. E-Jurnal Matematika Vol. 3, Universitas Udayana, 2014.
[2] Hadiyah. Analisis  Survival  Faktor-faktor  yang  Mempengaruhi  Ketahanan  Hidup Penderita Hipertensi dengan Terapi Tablet Captopril, Institut Sepuluh November, Surabaya, 2010.
[3] Afifah, N. Uji Proportional Hazard pada Data Penderita Kanker Serviks di   RSUD dr. Soetomo Surabaya. Jurnal Sains dan Seni ITS . 2016.
[4] Ata,  N.,  Zoter,  M.  T.  Cox  Regression  Models  with  Nonproportional  Hazards Applied  to  Lung  Cancer  Survival  Data .  Hacettepe  Journal  of  Mathematics  and Statistics . 2007.
[5] Connover,  W.  J. Practical  Nonparametric  Statistic . John  Wiley  and  Sons.  New York. 1999.
[6]     Kalbfleisch, J. D., Prentice, R., L., The Statistical Analysis Failure Time Data, John Wiley and Sons, New York, 2011.