## ANALISIS WAKTU PELAYANAN DI BANK DENGAN DISTRIBUSI EKSPONENSIAL
( Analysis of Service Time in The Bank with Exponential Distribution )

## Yusna Mutiarasari, IM Tirta, Agustina Pradjaningsih
Jurusan Matematika, Fakultas MIPA, Universitas Jember Jl. Kalimantan 37 Jember 68121, Indonesia
Abstract. Exponential  distribution  is  general  assumption  to  describe  the distribution  of  service  time  for  customer.  To  examine  such  assumption,  the Goodness of Fit Test-Kolmogorov Smirnov is used. To know the condition queue system  in  BCA  will  be  use  some  analyze  the  steady  state  characteristic measurement of work queue system on different day and hour.
Keywords: Exponential Distribution, Goodness of Fit Test-Kolmogorov Smirnov, Steady State Characteristics Measurement of Work
MSC 2020: 62E99

## 1. Pendahuluan
Peningkatan  pelayanan  pada  fasilitas  umum  semakin  berkembang  seiring  dengan meningkatnya  kebutuhan  masyarakat.  Hal  ini  dapat  dilihat  pada  fasilitas-fasilitas umum yang semakin baik mutu layanannya, salah satu contohnya adalah pelayanan nasabah di bank. Waktu pelayanan tiap nasabah dapat bervariasi dari satu nasabah ke nasabah berikutnya (bisa konstan atau acak) dan akan mengikuti distribusi tertentu. Asumsi/hipotesa yang umum untuk menggambarkan distribusi dari waktu pelayanan nasabah  adalah Distribusi  Eksponensial ,  karena  distribusi  Eksponensial  sering digunakan  untuk  mengukur  panjang  waktu  yang  dibutuhkan  dalam  pelaksanaan aktivitas-aktivitas jasa tertentu. Tetapi kurang cukup bukti yang menyatakan bahwa asumsinya absah dan dapat diterapkan pada kondisi sistem antrian di bank, sehingga perlu diuji dengan menggunakan uji Goodness of Fit-Kolmogorov Smirnov . Kemudian untuk mengetahui kondisi sistem antrian di bank BCA maka dilakukan analisis pada karakteristik-karakteristik ukuran kinerja sistem antrian steady state . Analisis tersebut juga  dapat  memberikan  informasi  dalam  memperbaiki  sistem  operasional  pada fasilitas pelayanan apabila kurang optimal.
Adapun  tujuan  dari  tulisan  ini  adalah  untuk  mengetahui  kesesuaian  distribusi Eksponensial pada analisis waktu pelayanan nasabah di bank dan untuk mengetahui kondisi sistem antrian di bank BCA cabang Jember.
Proses stokastik adalah  himpunan variabel  acak  yang merupakan fungsi  waktu  dan dinotasikan dengan     T t t X  , . Pada penelitian ini X ( t ) menyatakan lamanya waktu pelayanan yang diterima tiap pelanggan pada interval waktu (0, t ), sehingga X ( t ) = {0, 1, 2, …} dan ruang state nya adalah T = {0, 1, 2, …}, atau dikatakan merupakan proses stokastik dengan waktu kontinu dan mempunyai ruang state diskrit.
Studi  matematis  tentang  proses  antrian  yang  mempelajari  proses  kedatangan  dan pelayanan  secara  acak  disebut  Teori  Antrian.  Sistem  antrian  adalah  kumpulan  dari sejumlah pelanggan, fasilitas pelayanan dan suatu aturan yang mengatur kedatangan para pelanggan serta pemrosesan masalahnya. Untuk mengidentifikasi model antrian secara umum digunakan notasi Kendall-Lee yang dinotasikan ( a/b/c ) : ( d/e/f ) dengan simbol-simbol a , b , c , d , e dan f merupakan unsur-unsur dasar dari sistem antrian [5].
Berdasarkan asumsi bahwa distribusi dari tingkat kedatangan dan tingkat pelayanan berdistribusi  Poisson  sedangkan  waktu  pelayanan  berdistribusi  Eksponensial,  maka untuk selanjutnya simbol a dan b dinotasikan dengan M , sehingga model antriannya menjadi ( M/M/c ) : ( d/e/f ). Parameter sistem antrian yang digunakan untuk mengetahui karakteristik  ukuran  kinerja  dan  kesesuaian  distribusi  Eksponensial  pada  analisis waktu pelayanan adalah sebagai berikut:
n =  banyaknya pelanggan dalam sistem antrian pada waktu t (orang)
l =   rata-rata tingkat kedatangan persatuan waktu (orang/menit)
m =   rata-rata tingkat pelayanan persatuan waktu (orang/menit)
Situasi  antrian  dengan  proses  pelayanan  yang  terjadi  selama  satu  interval  waktu dikendalikan  dalam  kondisi  yang  mewakili  sifat-sifat  proses  Poisson  [5].  Misalkan tingkat pelayanan tidak mempengaruhi jumlah pelanggan dalam antrian dan pelayanan dilakukan dengan disiplin antrian FCFS, maka probabilitas terdapat n pelanggan ( n > 0) pada waktu ( t + D t ) ditentukan oleh empat kemungkinan sebagai berikut:
Kemungkinan I:
a). Ada n pelanggan dalam antrian pada waktu t , probabilitasnya adalah P n ( t ).
b). Tidak ada kedatangan selama waktu D t , probabilitasnya adalah 1 - l D t .
c).  Tidak  ada  pelanggan  yang  dilayani  selama  waktu  D t ,  probabilitasnya  adalah 1 - m D t .
Kemungkinan II:
a).  Ada ( n + 1 ) pelanggan dalam antrian pada waktu t , probabilitasnya adalah P n+1 ( t ). b).  Tidak ada kedatangan selama waktu D t , probabilitasnya adalah 1 - l D t .
c).  Ada  seorang  pelanggan  yang  dilayani  selama  waktu  D t ,  probabilitasnya  adalah m D t .
Kemungkinan III:
a).  Ada ( n – 1 ) pelanggan dalam antrian pada waktu t , probabilitasnya adalah P n-1 ( t ). b).  Ada kedatangan seorang pelanggan selama waktu D t , probabilitasnya adalah l D t .
c).  Tidak  ada  pelanggan  yang  dilayani  selama   waktu D t ,   probabilitasnya   adalah 1 - m D t .
Kemungkinan IV:
a). Ada n pelanggan dalam antrian pada waktu t , probabilitasnya adalah P n ( t ).
b). Ada kedatangan seorang pelanggan selama waktu D t , probabilitasnya adalah l D t . c).  Ada  seorang  pelanggan  yang  dilayani  selama  waktu  D t ,  probabilitasnya  adalah m D t .
Berdasarkan  empat  kemungkinan  diatas,  maka  probabilitas  terdapat n pelanggan dalam antrian pada waktu ( t + D t ) yaitu P n ( t + D t ) dengan asumsi bahwa probabilitas kedatangan dan probabilitas pelayanan lebih dari seorang pelanggan dalam waktu D t dianggap sama dengan nol, adalah:
          t P t P t P dt t dP n n n n           1 1 ,   untuk n > 0. (1)
Misalkan antrian dalam keadaan n = 0 atau probabilitas bahwa tidak ada pelanggan pada  waktu  ( t  + D t )  yang  dinyatakan  dengan P 0 ( t  + D t ),  diperoleh  dari  dua kemungkinan sebagai berikut:

## Kemungkinan I:
Tidak ada pelanggan dalam antrian pada waktu t dan tidak ada pelanggan yang masuk antrian dalam waktu D t , probabilitasnya adalah (1 - l D t ) P 0 ( t ).

## Kemungkinan II:
Ada seorang pelanggan dalam antrian pada waktu t dan ada seorang pelanggan yang dilayani dalam waktu D t dan tidak ada pelanggan yang masuk antrian dalam waktu D t , probabilitasnya adalah ( m D t ) (1 - l D t ) P 1 ( t ).
Dari dua kemungkinan diatas, maka probabilitas tidak ada pelanggan pada waktu ( t + D t ) adalah:
      t P t P dt t dP 1 0 0      ,   untuk n = 0.
(2)
Dalam  analisis  proses  pelayanan,  kita  beranggapan  bahwa  selama  pelayanan berlangsung tidak terjadi kedatangan pelanggan berikutnya pada fasilitas pelayanan. Ini berarti bahwa l = 0, sehingga probabilitas dari tingkat pelayanan akan ditentukan dari persamaan (1) dan persamaan (2).
Dari persamaan (1) diperoleh:       t P t P dt t dP n n n      1 ,   untuk n > 0. (3)
dan persamaan (2) menjadi:
    t P dt t dP 1
0   ,   untuk n = 0 (4)
Apabila jumlah pelanggan dalam antrian pada waktu t sebanyak n = N , maka: untuk n  N + 1, terdapat: P n ( t ) = 0, (5)
untuk n = N , terdapat:
    t P dt t dP n n 
  , (6)
untuk 1  n  N - 1 terdapat:       t P t P dt t dP n n n      1 . (7)
Dari persamaan (6) diperoleh:
P n ( t ) = e -m  t , untuk t  0, (8)
ini  merupakan  probabilitas  terdapat n pelanggan  berada  dalam  sistem  antrian  pada waktu t .
Dari persamaan (3), apabila n = N – 1 diperoleh:   ! 1 ) ( 1 t N e t t P      . (9)
Untuk n = N – 2 diperoleh:
    ! 2 2 2 t N e t t P      , (10)
Jadi probabilitas ada n pelanggan yang dilayani dalam antrian pada waktu t , diperoleh:     ! ) ( n N e t t P t n N n       ,   untuk t  0 dan n = 1, 2, ..., N - 2, N - 1. (11)
dan  persamaan  diatas  merupakan  probabilitas  dari  tingkat  pelayanan  yang  mirip dengan  distribusi  Poisson  atau  disebut  juga  berbentuk  distribusi  Poisson.  Jadi probabilitas  dari  tingkat  pelayanan  pelanggan  akan  mengikuti  distribusi  Poisson dengan parameter mt [2].
Pada proses Poisson dari suatu proses pelayanan, jika yang diperhatikan adalah tingkat pelayanan pada interval waktu tertentu maka akan mengikuti distribusi Poisson dan jika  yang  diperhatikan  adalah  waktu  yang  dibutuhkan  untuk  suatu  pelayanan  akan mengikuti distribusi Eksponensial [1].
Uji Goodness of Fit dengan Kolmogorov Smirnov
Uji K–S dilakukan dengan cara membandingkan fungsi distribusi empiris yaitu F n ( X ) dengan  fungsi  distribusi  yang  dihipotesiskan  yaitu F 0 ( X ).  Statistik  uji  dari  uji K–S merupakan nilai perbedaan terbesar antara F n ( X ) dan F 0 ( X ) untuk semua nilai X , yang dinyatakan sebagai berikut:
D = maksimum  F n (X) – F 0 ( X )  (12)
Hipotesa H 0 ditolak bila harga D melebihi harga tabel nilai-nilai kritis dalam Tabel Uji Satu Contoh Kolmogorov-Smirnov [3].

## Karakteristik Ukuran Kinerja dari Sistem Antrian Steady State
Beberapa karakteristik ukuran kinerja [4] adalah sebagai berikut:
1. Probabilitas ada n pelanggan dalam sistem antrian ( P n ) diperoleh:
untuk 0  n < k   0 ! P n P n n    (13)
untuk n  k   0 ! P k k P k n n n     (14)
2. Persyaratan steady state berlaku apabila rata-rata tingkat kedatangan lebih kecil dari rata-rata tingkat pelayanan maksimum ( l < km ), sehingga:
1      k (15)
dengan  adalah probabilitas semua fasilitas pelayanan sibuk/faktor utilitas.
3.  Probabilitas tidak ada pelanggan dalam sistem ( P 0 ) adalah:
    1 1 0 0 1 1 ! !                         k n P k n k n ,   dengan  < 1    (16)
4.  Panjang antrian ( L q ) diperoleh:
    2 0 1 !       k P L k q (17)
5.  Rata-rata waktu tunggu dalam antrian ( W q ) didapat:
 q q L W  (18)
6.  Panjang sistem antrian ( L s ) diperoleh:
    q s L L (19)
7.  Rata-rata waktu tunggu dalam sistem ( W s ) didapat:
 1   q s W W (20)

## 2. Hasil dan Pembahasan
Data yang digunakan dalam penelitian ini berasal dari data primer dari antrian nasabah di  bank  BCA  Cabang  Jember  yang  melakukan  transaksi  setoran  dan  tarikan,  yang dilaksanakan selama dua minggu pada jam awal buka (08.00–10.00) dan tutup bank (12.00–14.00).  Setelah  data  pengamatan  terkumpul  selanjutnya  menganalisa  data waktu pelayanan tersebut, yaitu dengan melakukan:
1. Uji kesesuaian data dengan uji Goodness of Fit–Kolmogorov Smirnov dan untuk kevalidasi analisa digunakan bantuan software SPSS 10.0.
2. Analisa karakteristik ukuran kinerja sistem antrian s teady state pada hari dan jam yang berbeda dengan menggunakan perhitungan rumus yang ada.
Berdasarkan pengamatan model antrian yang digunakan di bank BCA Cabang Jember adalah  ( M / M / k )  :  ( FCFS /  /  ).  Karena  obyek  penelitian  adalah  nasabah  yang melakukan transaksi setoran dan tarikan saja, maka fasilitas pelayanan yang diamati hanya  server  5  sampai  dengan  server  11  dan  struktur  antrian multi  channel-single phase yang digunakan di bank BCA Cabang Jember seperti terlihat pada gambar 1.
Gambar 1. Struktur antrian di bank BCA Cabang Jember

## 2.1 Uji Kesesuaian Distribusi Waktu Pelayanan
Untuk  membuktikan  keabsahan  ( validity )  dari  distribusi  yang  diasumsikan  dapat dibenarkan  atau  disangkal  secara  statistik  dengan  uji Goodness  of  Fit-Kolmogorov Smirnov , yang hasil perhitungannya dirangkum dalam tabel 2.
Tabel 1. Hasil uji goodness of fit-kolmogorov smirnov data waktu pelayanan
Hari Probabilitas Data Probabilitas data > 0,05 Hipotesa H 0 Kesimpulan Senin Pagi 0,004 Tidak Ditolak Tidak eksponensial Siang 0,032 Tidak Ditolak Tidak eksponensial Selasa Pagi 0,000 Tidak Ditolak Tidak eksponensial Siang 0,865 Ya Diterima Eksponensial Rabu Pagi 0,006 Tidak Ditolak Tidak eksponensial Siang 0,355 Ya Diterima Eksponensial Kamis Pagi 0,162 Ya Diterima Eksponensial Siang 0,326 Ya Diterima Eksponensial Jumat Pagi 0,000 Tidak Ditolak Tidak eksponensial Siang 0,176 Ya Diterima Eksponensial
X  X X X X  X X X X X X  X X X X  X X X X X 5 6 7 8
9 10 11 Nasabah pergi
Nasabah datang
Antrian Fasilitas pelayanan
Gambar 2 menunjukkan distribusi waktu pelayanan yang tidak mengikuti distribusi Eksponensial pada Senin pagi dan gambar 3 menunjukkan distribusi waktu pelayanan yang mengikuti distribusi Eksponensial pada Selasa siang.
Gambar 2. Grafik distribusi kumulatif data waktu pelayanan pada senin pagi
Gambar 3 . Grafik distribusi kumulatif data waktu pelayanan pada selasa siang
Berdasarkan hasil uji Goodness  of  Fit  Kolmogorov Smirnov pada tabel  1 diperoleh distribusi waktu pelayanan yang tidak mengikuti distribusi Eksponensial, disebabkan waktu  pelayanan  yang  diberikan  petugas  fasilitas  pelayanan  dipengaruhi  oleh banyaknya  waktu  yang  telah  dihabiskan  untuk  melayani  nasabah  sebelumnya  dan banyaknya  nasabah  yang  sedang  menunggu  dalam  antrian.  Faktor  lain  disebabkan adanya ciri-ciri perilaku manusia dalam situasi antrian di bank sehingga asumsi dari distribusi Eksponensial tidak dapat terpenuhi.

## 2.2 Ukuran Steady-State Kinerja dari Waktu Pelayanan
Dari  Gambar  1  dapat  diketahui  bahwa  rancangan  sistem  operasional  pada  fasilitas pelayanan di bank BCA sudah cukup optimal. Dari tabel 1, tabel 2 dan tabel 3 dapat terlihat bahwa distribusi waktu pelayanan nasabah di bank BCA pada beberapa hari tertentu yang tidak mengikuti distribusi Eksponensial ternyata juga tidak dapat atau hampir tidak dapat mencapai kondisi steady state pada sistem antriannya. Karakteristik ukuran kinerja pada setiap hari dengan jam yang berbeda sebagai berikut:
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 0.5 2.5 4.5 6.5 8.5 10.5 12.5 14.5 16.5 18.5 w aktu pelayanan fr e k u e n s i k u m u la ti f dist. kumulatif data dist. kumulatif teoritis 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 0.5 2.5 4.5 6.5 8.5 10.5 12.5 14.5 16.5 18.5 w aktu pelayanan fr e k u e n s i k u m u la ti f dist. kumulatif data dist. kumulatif teoritis
Tabel 2. Karakteristik ukuran kinerja pada pagi hari
Karakteristik Senin Selasa Rabu Kamis Jum’at n (orang) 188 175 176 161 218 K 6 6 6 6 6 l (orang) 1,57 1,46 1,47 1,34 1,82 m (orang) 0,23 0,23 0,24 0,27 0,31 1/  (menit) 4,31 4,35 4,13 3,71 3,22  1,13 1,06 1,01 0,83 0,98 P 0 - - - 0,0047 0,0004 L q (orang) - - - 0,002 0 W q (menit) - - - 0 0 L s (orang) - - - 4,98 5,86 W s (menit) - - - 3,71 3,22 Tabel 3. Karakteristik ukuran kinerja pada siang hari
Karakteristik Senin Selasa Rabu Kamis Jum’at n (orang) 198 153 145 120 orang 190 orang K 7 7 7 7 7 l (orang) 1,65 1,28 1,21 1,00 1,58 m (orang) 0,20 0,24 0,25 0,24 0,27 1/  (menit) 5,11 4,17 4,04 4,19 3,65  1,20 0,76 0,70 0,60 0,83 P 0 - 0,0041  0,0068 0,0146 0,0022 L q (orang) - 0,0043   0,0057 0,0063 0,002 W q (menit) - 0 0 0,01 0 L s (orang) - 5,32 4,89 4,20 5,79 W s (menit) - 4,17 4,05 4,20 3,65 Tabel 4. Pengaruh Penambahan Jumlah Fasilitas Pelayanan
Karakteristik Senin pagi Selasa pagi Rabu pagi Senin siang n (orang) 188 175 176 198 K 7 7 7 9 l (orang) 1,57 1,46 1,47 1,65 m (orang) 0,23 0,23 0,24 0,20 1/  (menit) 4,31 4,35 4,13 5,11  0.97 0.91 0.87 0,94 P 0 0,0002 0,0008 0,0014 0,0001 L q (orang) 0 0,0005 0,0013 0,0002 W q (menit) 0 0 0 0 L s (orang) 6,76 6,35 6,06 8,43 W s (menit) 4,31 4,35 4,13 5,11
a. Pada pagi hari
Pada hari Kamis dan Jum’at sistem antrian dapat mencapai kondisi steady-state dan faktor pemanfaatan fasilitas pelayanan sudah optimal. Hal tersebut terlihat dari probabilitas waktu menganggur petugas bernilai sangat kecil dan rata-rata waktu tunggu dalam antrian sebesar 0 menit. Rata-rata waktu tunggu dalam sistem tiap nasabah setiap harinya selama 3 – 4 menit.
Sistem antrian tidak dapat mencapai kondisi steady-state pada hari Senin-Rabu, karena pada hari tersebut rata-rata tingkat kedatangan nasabah lebih besar daripada rata-rata tingkat pelayanan maksimum dan bergantung pada keadaan sistem, yang berarti rata-rata tingkat pelayanan nasabah dipengaruhi oleh banyaknya nasabah yang  menunggu  dalam  antrian.  Karena  hal  tersebut  maka  mengakibatkan perhitungan P 0 , L q , W q , L s dan W s tidak dapat dilakukan.
Dalam  Tabel  4  dapat  terlihat  pengaruh  penambahan  jumlah  petugas  pada  hari Senin-Rabu pagi dari 6 server menjadi 7 server mengakibatkan tercapainya kondisi steady-state pada sistem antrian dan faktor pemanfaatan fasilitas pelayanan yang optimal.
b. Pada siang hari
Sistem antrian dapat mencapai kondisi steady-state pada setiap hari kecuali pada hari  Senin.  Hal  tersebut  berarti  pada  hari  Selasa-Jum’at  faktor  pemanfaatan fasilitas pelayanan sudah optimal karena probabilitas waktu menganggur petugas bernilai sangat kecil dan rata-rata waktu tunggu dalam antrian juga sangat kecil, yaitu sebesar 0 menit. Rata-rata waktu tunggu dalam sistem sebesar 4 menit tiap nasabah setiap harinya.
Tidak  tercapainya  kondisi steady-state pada  hari  Senin  mengakibatkan perhitungan P 0 , L q , W q , L s dan W s tidak dapat dilakukan. Kondisi steady-state pada hari Senin dapat tercapai apabila menggunakan 9 server, seperti yang terlihat pada tabel  4.  Penambahan  jumlah  petugas  pada  hari  tersebut  juga  mengakibatkan tercapainya faktor pemanfaatan fasilitas pelayanan yang optimal.

## 3. Kesimpulan
Dari hasil penelitian ini dapat ditarik kesimpulan bahwa distribusi waktu pelayanan nasabah di bank BCA Cabang Jember secara umum mengikuti distribusi Eksponensial. Tetapi  ada  beberapa  hari  tertentu  yang  tidak  mengikuti  distribusi  Eksponensial. Distribusi waktu pelayanan nasabah di bank BCA pada beberapa hari tertentu yang tidak mengikuti distribusi Eksponensial ternyata juga tidak dapat atau hampir tidak dapat mencapai kondisi steady state pada sistem antriannya.

## Daftar Pustaka
[1] Meyer,  P.L.,  (1970), Introductory  Probability  and  Statistical  Applications , Wesley Publishing Company, Inc., Washington.
[2] Siagian,  P.,  (1987), Penelitian  Operasional  Teori  dan  Praktek ,  Universitas Indonesia, Jakarta.
[3] Steel,  R.  dan  Torrie,  J.,  (1995), Prinsip  dan  Prosedur  Statistika ,  Edisi  Kedua, Gramedia Pustaka Utama, Jakarta.
[4] Supranto,  J.,  (1988), Rancangan  Operasi  untuk  Pengambilan  Keputusan , Universitas Terbuka, Jakarta.
[5] Taha, H.A., (1997), Riset Operasi Suatu Pengantar , Edisi Kelima Jilid 2, Binarupa Aksara, Jakarta.