SISTEM ANTRIAN MODEL GEO/G/1 DENGAN VACATION
Novita Eka Chandra 1 , Supriyanto 2 , dan Renny 3
1 Universitas Islam Darul ’Ulum Lamongan, novitaekachandra@gmail.com
2 Universitas Jenderal Soedirman, supriyanto unsoed@yahoo.com
3 Universitas Jenderal Soedirman, renny.unsoed@gmail.com
Abstract. Queue processes are stochastic processes which involve the arrival pro- cess and the service process. In a queue, there is a condition of servers that become unavailable for a period of time called vacation. The purpose of this research is to analyze the derivation Geo/G/1 queue systems model with vacation and its applica- tion. Furthermore, based on simulation on vacation model, with different values of traffic intensity and vacation parameter, we concluded that the bigger traffic inten- sity and vacation parameter values, then the mean of total number of costumers in a system and the mean of waiting time in the queue that is caused by vacation will be decreased.
Keywords : queue system, vacation, traffic intensity, vacation parameter.
Abstrak. Proses antrian adalah proses stokastik yang melibatkan proses kedatangan dan proses pelayanan. Dalam suatu antrian, terdapat suatu keadaan tidak tersedi- anya pelayanan untuk beberapa waktu tertentu yang disebut vacation . Penelitian ini bertujuan untuk mengkaji penurunan sistem antrian model Geo/G/1 dengan vaca- tion dan aplikasinya. Selanjutnya, berdasarkan simulasi pada model dengan vacation , yaitu dengan nilai traffic intensity dan parameter vacation yang berbeda, didap- atkan kesimpulan yaitu semakin besar nilai traffic intensity dan parameter vacation , mengakibatkan semakin berkurang ekspektasi jumlah pelanggan dalam sistem dan ekspektasi waktu tunggu pelanggan dalam antrian akibat adanya vacation .
Kata Kunci : sistem antrian, vacation, traffic intensity, parameter vacation.

## 1 Pendahuluan
Sistem antrian merupakan keseluruhan dari proses para pelanggan atau barang yang berdatangan dan memasuki barisan antrian yang seterusnya mendap- atkan pelayanan [5]. Dalam sistem antrian ada beberapa komponen dasar yang harus diperhatikan, salah satunya yaitu bentuk kedatangan pelanggan dan bentuk pelayanan. Pada model antrian, bentuk kedatangan dan ben- tuk pelayanan dapat dinyatakan dalam distribusi peluang tertentu [5]. Dis- tribusi yang umumnya digunakan dalam antrian adalah distribusi kontinu yaitu distribusi Poisson dan distribusi Eksponensial untuk pola kedatangan dan pelayanan. Selain distribusi kontinu, ada distribusi diskrit yang dapat di- gunakan dalam antrian, salah satunya yaitu distribusi Geometrik.
Dalam suatu sistem antrian, terdapat suatu keadaan tidak terjadi pelayanan untuk beberapa waktu tertentu. Keadaan ini disebut vacation . Beberapa con- toh yang dapat menggambarkan keadaan tersebut seperti, pelayan yang sedang sibuk, sejumlah mesin yang memerlukan perawatan atau perbaikan pada pe- riode tertentu, atau pelayan sedang istirahat.
Dalam [11], Takagi menjelaskan mengenai sistem antrian model Geo/G/1 dengan vacation . Sistem antrian model Geo/G/1 adalah sistem antrian yang memiliki pola kedatangannya berdistribusi Geometrik, pola pelayanannya berdis- tribusi umum, dan pelayanan tunggal. Dengan adanya vacation dalam sistem antrian model Geo/G/1, menjadikan sistem antrian lebih realistis dan fleksi- bel dalam kehidupan nyata. Oleh karena itu, penulis tertarik untuk mengkaji mengenai sistem antrian model Geo/G/1 dengan vacation .

## 2 Sistem Antrian Model Geo/G/1
Pada sistem antrian model Geo/G/1, kedatangan pelanggan diasumsikan ter- jadi pada waktu diskret yaitu pada saat t = 0 , 1 , 2 , ... dikarenakan kedatangan pelanggan terjadi sebelum adanya pelayanan. Waktu antar kedatangan ( T ) merupakan variabel random yang bersifat independen dan terdistribusi secara identik mengikuti distribusi Geometrik dengan parameter p memiliki fungsi peluang (pmf) a j . Selanjutnya, banyaknya kedatangan terjadi pada interval [0 , n ], dinotasikan dengan C n , mengikuti distribusi Binomial dengan parame- ter ( n, p ) dengan pmf d j . Serta, waktu pelayanan ( S ) merupakan variabel ran- dom yang bersifat independen dan identik mengikuti distribusi umum, dengan pmf g j . Dengan demikian, espektasi dan fungsi pembangkit (pgf) dari waktu pelayanan adalah
E ( S ) = ∞ X j =1 jg j , j ≥ 1 G ( z ) = ∞ X j =1 z j g j,j ≥ 1 .
Misalkan A adalah jumlah pelanggan yang datang selama waktu pelayanan, maka probabilitas dari A yaitu
P ( A = j ) = f j = n X k = j g k d j , j ≥ 0 (1)
dengan A ( z ) merupakan bentuk pgf dari Persamaan 1 atau peluang dari jumlah pelanggan yang datang selama waktu pelayanan, yaitu
A ( z ) = ∞ X j =0 z j f j = G (1 − p (1 − z )) . (2)
Selanjutnya, ekspektasi jumlah kedatangan pelanggan selama waktu pelayanan yaitu
E ( A ) = n X j =0 jf j = n X k =0 g k ( kp ) = pE ( S ) = ρ (3)
dengan ρ disebut traffic intensity dari sistem. Misalkan L n adalah jumlah pelanggan dalam sistem pada saat pelanggan ke- n meninggalkan sistem. Dengan demikian,
L n =1 = ( L n − 1 + A, L n ≥ 1 A, L n = 0 (4)
Karena { L n , n ≥ 1 } adalah rantai Markov, maka dapat diperoleh ekspektasi untuk L n +1 , yaitu
E ( L n +1 ) = E ( L n − 1) + E ( A ) = E ( L n − 1) + ρ. (5)
Kemudian, dengan mengansumsikan bahwa L n stasioner, maka dari Persamaan 5 diperoleh
E ( L ) = E ( L ) − (1 − p 0 ) + ρ p 0 = 1 − ρ.
Berdasarkan Persamaan 4, diperoleh peluang dari jumlah pelanggan dalam sistem, yaitu
L ( z ) = (1 − ρ )(1 − z ) G (1 − p (1 − z )) G (1 − p (1 − z )) − z (6)
Peluang dari jumlah pelanggan dalam sistem sama dengan peluang dari jum- lah kedatangan selama waktu pelayanan dan waktu tunggu pelanggan dalam antrian yaitu
L ( z ) = W (1 − p (1 − z )) G (1 − p (1 − z )) .
Akibatnya, diperoleh
W ( z ) = (1 − ρ )(1 − z ) (1 − z ) − p (1 − G ( z )) . (7)
Selanjutnya, Persamaan 4 didefinisikan sebagai
L n +1 = ( L n − δ + A, L n ≥ 1 A, L n = 0 (8)
dengan
δ = ( 1 , L n ≥ 1 0 , L n = 0
Dari Persamaan 8, dapat diperoleh ekspektasi jumlah pelanggan dalam sistem, yaitu
E ( L ) = p 2 E ( S ( S − 1)) 2(1 − ρ ) + ρ. (9)
Selanjutnya, untuk menentukan ekspektasi jumlah pelanggan dalam antrian ( E ( Q )) sama dengan ekspektasi jumlah pelanggan dalam sistem dikurangi ekspektasi jumlah kedatangan pelanggan selama waktu pelayanan, yaitu
E ( Q ) = p 2 E ( S ( S − 1)) 2(1 − ρ ) . (10)
Ekspektasi waktu tunggu pelanggan dalam antrian ( E ( W )) dapat ditentukan dengan perbandingan antara ekspektasi jumlah pelanggan dalam antrian dan parameter waktu antar kedatangan, yaitu
E ( W ) = p ( E ( S ( S − 1))) 2(1 − ρ ) . (11)
3

## Sistem Antrian Moddel Geo/G/1 dengan Vacation
Vacation terjadi ketika pelayan selesai melayani semua pelanggan dalam sis- tem antrian. Pelayan akan mendapatkan jumlah maksimum vacation ( H ) se- lama pelanggan datang. Variabel random diskret H diasumsikan berdistribusi umum dengan pmf h j untuk j ≥ 1. Sementara itu, variabel random vacation (V) diasumsikan bersifat independen dan identik mengikuti distribusi umum dengan pmf v j untuk j ≥ 1.
Andaikan L n adalah jumlah pelanggan dalam sistem pada saat pelang- gan ke- n meninggalkan sistem. Proses { L n , n ≥ 1 } adalah rantai Markov dari waktu diskret, maka
L n +1 = ( L n − δ + A, L n ≥ 1 Q b − 1 + A, L n = 0 (12)
dengan Q b adalah jumlah pelanggan dalam sistem pada saat waktu sibuk dim- ulai.
Lemma 1. Bentuk pgf dan ekspektasi dari jumlah pelanggan dalam sistem pada saat waktu sibuk dimulai ( Q b , yaitu
Q b ( z ) = H ( V (¯ p )) z + 1 − H ( V (¯ p )) 1 − V (¯ p ) ( V (1 − p (1 − z )) − V (¯ p )) (13)
E ( Q b ) = H ( V (¯ p )) z + 1 − H ( V (¯ p )) 1 − V (¯ p ) pE ( V ) (14)
Teorema 1. Untuk ρ < 1 , pada sistem antrian model Geo/G/1 dengan vaca- tion, L v yaitu jumlah pelanggan dalam sistem akibat adanya vacation, dapat diperoleh dengan menjumlahkan dua variabel random yang independen, yaitu
L v = L + L d
dimana L adalah jumlah pelanggan dalam sistem pada model Geo/G/1 tanpa vacation, dengan bentuk pgf pada Persamaan 6. Variabel random L d adalah
pertambahan jumlah pelanggan dalam sistem akibat adanya vacation, dengan bentuk pgf adalah sebagai berikut
L d ( z ) = 1 − Q b ( z ) E ( Q b )(1 − z ) (15)
dimana Q b ( z ) diberikan pada Lemma 1.
Selanjutnya, ekspektasi pertambahan jumlah pelanggan dalam sistem aki- bat adanya vacation yaitu
E ( Ld ) = (1 − H ( V (¯ p ))) p 2 E ( V ( V − 1)) (1 − V (¯ p ))2 E ( Q b ) .
Dengan menggunakan Teorema 1, ekspektasi jumlah pelanggan dalam sistem akibat adanya vacation , yaitu
E ( L v ) = ρ + p 2 E ( S ( S − 1)) 2(1 − ρ ) + (1 − H ( V (¯ p ))) p 2 E ( V ( V − 1)) (1 − V (¯ p ))2 E ( Q b ) .
Lemma 2. Jika Ω adalah waktu tunggu dari kedatangan pertama pada saat sibuk, maka bentuk pgf dan ekspektasi dari Ω adalah
Ω ( z ) = H ( V (¯ p )) + (1 − H ( V (¯ p )))( p ( V ( z ) − V (¯ p ))) (1 − V (¯ p ))( z − ¯ p ) (16)
E ( Ω ) = (1 − H ( V (¯ p )))( p 2 E ( V ) − p (1 − V (¯ p ))) (1 − V (¯ p )) p 2 . (17)
Teorema 2. Untuk ρ < 1 , pada sistem antrian model Geo/G/1 dengan vaca- tion, W v adalah waktu tunggu pelanggan dalam antrian akibat adanya vacation, dapat diperoleh dengan menjumlahkan dua variabel random yang independen, yaitu
W v = W + W d
dimana W adalah waktu tunggu pelanggan dalam antrian pada model Geo/G/1 tanpa vacation, dengan bentuk pgf pada Persamaan 7. Variabel random W d adalah pertambahan waktu tunggu pelanggan dalam antrian akibat adanya va- cation, dengan bentuk pgf adalah sebagai berikut
W d ( z ) = p − ( z − ¯ p ) Ω ( z ) E ( Q b )(1 − z ) (18)
dimana Ω ( z ) diberikan pada Lemma 2.
Berdasarkan Teorema 1 dan 2, dapat diperoleh ekspektasi pertambahan waktu tunggu pelanggan dalam antrian akibat adanya vacation ( E ( W d )) dan ekspektasi waktu tunggu pelanggan dalam antrian akibat adanya vacation ( E ( W v )). Oleh karena itu,
E ( W d ) = (1 − H ( V (¯ p )))( pE ( V ( V − 1))) (1 − V (¯ p ))2 E ( Q b ) (19)
dan
E ( W v ) = pE ( S ( S − 1)) 2(1 − ρ ) + (1 − H ( V (¯ p )))( pE ( V ( V − 1))) (1 − V (¯ p )2 E ( Q b ) . (20)

## 4 Simulasi
Simulasi dilakukan dengan menggunakan beberapa nilai traffic intensity dari sistem ( ρ ) dan parameter vacation ( v ) yang berbeda. Tujuan dari simulasi ini adalah untuk mengetahui besarnya nilai ekspektasi jumlah pelanggan dalam sistem akibat adanya vacation dan ekspektasi waktu tunggu pelanggan dalam antrian akibat adanya vacation . Dengan menggunakan beberapa asumsi, diper- oleh Tabel 1 dan Tabel 2 berikut ini.
Tabel 1: Hasil estimasi jumlah pelanggan
v ρ = 0 , 1 ρ = 0 , 5 ρ = 0 , 9 1/3 1,989 3,5 13,9 1/2 1,739 3,25 13,65 3/4 1,572 2,169 13,483
Berdasarkan Tabel 1, misalkan terdapat traffic intensity sebesar 0,1 dan parameter vacation sebesar 1/2, maka ekspektasi jumlah pelanggan dalam sis- tem akibat adanya vacation adalah 1,739 pelanggan per satuan waktu. Artinya jika ada seorang pelanggan yang datang dalam 10 satuan waktu dan parameter vacation sebesar 1/2, maka ekspektasi jumlah pelanggan dalam sistem akibat adanya vacation adalah 1,739 pelanggan per satuan waktu.
Tabel 2: Hasil estimasi waktu tunggu pelanggan
v ρ = 0 , 1 ρ = 0 , 5 ρ = 0 , 9 1/3 7,556 12 52 1/2 6,556 11 51 3/4 5,889 10,333 50,33
Berdasarkan Tabel 2, misalkan terdapat traffic intensity sebesar 0,1 dan parameter vacation sebesar 1/2, maka ekspektasi waktu tunggu pelanggan dalam antrian akibat adanya vacation adalah 6,556 satuan waktu. Artinya jika ada seorang pelanggan yang datang dalam 10 satuan waktu dan parameter vacation sebesar 1/2, maka ekspektasi waktu tunggu pelanggan dalam antrian akibat adanya vacation adalah 6,556 satuan waktu.

## 5 Kesimpulan
Berdasarkan pembahasan yang telah dilakukan, diperoleh bahwa saat nilai parameter vacation dianggap tetap, nilai traffic intensity yang semakin be- sar, mengakibatkan ekspektasi jumlah pelanggan dalam sistem dan ekspek- tasi waktu tunggu pelanggan dalam antrian akibat adanya vacation akan se- makin bertambah. Akan tetapi, saat nilai traffic intensity dianggap tetap, ni- lai parameter vacation yang semakin besar, mengakibatkan ekspektasi jumlah pelanggan dalam sistem dan ekspektasi waktu tunggu pelanggan dalam an- trian akibat adanya vacation akan semakin berkurang.

## Daftar Pustaka
[1] Algifari. 1996. Probabilitas dalam Pengambilan Keputusan Bisnis . BPFE. Yogyakarta.
[2] Bain, L. J., dan Engelhardt, M. 1992. Introduction to Probability and Mathematcal Statistics . Duxbury Press. California.
[3] Bronson, R., dan Wuspakrik, H. J. 1982. Teori dan Soal-Soal Operations Research . Mc. Graw- Hill. USA.
[4] Bryc. 1996. Applied Probablility and Stochastic Processes . Department of Mathematics Univer- sity of Cincinati.
[5] Kakiay, T. J. 2004. Dasar Teori Antrian untuk Kehidupan Nyata . Penerbit ANDI. Yogyakarta.
[6] Mulyono, S. 2007. Riset Operasi . FEUI. Jakarta.
[7] Prapton. 1986. Pengantar Proses Stokastik I . Penerbit Karunika. Jakarta.
[8] Ross, S. M. 2010. Introduction to Probability Models 10 th Ed . Academic Press. USA.
[9] Subagyo, P., Asri, M., dan Handoko, T. H. 1986. Dasar-Dasar Operations Research . BPFE. Yogyakarta.
[10] Supranto, J. 2004. Analisis Multivariat Arti dan Interpretasi . Rineka Cipta. Jakarta.
[11] Tian, N., dan Zhang, Z.G. 2006. Vacation Queueing Models Theory and Applications . Springer. USA.
[12] Viniotis, Y. 1998. Probability and Random Processes . Mc. Graw-Hill. Singapore.