## TRANSFORMASI GEOMETRI ROTASI BERBANTUAN SOFTWARE GEOGEBRA
Muhamad Hanafi 1)* , Kathrin Nur Wulandari 2) , Rizki Wulansari 3)
Matematika, FKIP, Universitas Muhammadiyah Tangerang, Jl Perintis Kemerdekaan I No.33, 15118
* muhamadhanafi121013@gmail.com

## Abstrak
Penelitian    ini  bertujuan  untuk  membantu  visualisasi  dan  menemukan  konsep  pada Transformasi  geometri  Rotasi  di  titik  Pusat
dengan  menggunakan  software GeoGebra. Penelitian ini mengulas tentang Koordinat Kartesius dan Polar, dan selanjutntya Transformasi geometri Rotasi di titik Pusat .
Kata  Kunci: Visualisasi,  Transformasi  geometri,  Rotasi,  Koordinat  Kartesius  dan  Polar, GeoGebra

## PENDAHULUAN
Edward  dalam  (Albab,  Hartono,  & Darmawijoyo,
2014, pp. 338-340)
mengungkapkan bahwa pengetahuan mengenai  transformasi  geometri  sangat berguna  bagi  siswa  untuk  membangun kemampuan  spasial,  kemampuan  penalaran geometri,  dan  memperkuat  pembuktian matematika. Transformasi geometri memiliki banyak peranan dalam perkembangan  matematika  siswa.  Edward juga mengungkapkan bahwa belajar transformasi geometri menyediakan kesempatan luas bagi pelajar untuk mengembangkan  kemampuan  visualisasi spasialnya  dan  penalaran  geometri  untuk memperoleh kemampuan pembuktian matematis. Bahkan menurut (NCTM, 2000),  “Program  pengajaran  mulai  TK
hingga  SMA  harus  bisa  membuat  siswa mampu  menggunakan  transformasi  dan simetri untuk menganalisis situasi matematis”.
Penelitian ini berfokus pada transformasi geometri yang tidak mengubah ukuran  atau  disebut  transformasi  isometri. Suatu  transformasi  dapat  disebut  sebagai suatu  isometri  jika  transformasi  tersebut mengirim sembarang dua titik dan ke titik dan dengan  jarak  antar titik bayangan sama dengan jarak antar titik asalnya. Dengan kata lain adalah :
|
|   | | Stillwell  dalam Albab (2014)
Selama  ini,  telah  ketahui  ada beberapa  tipe  transformasi  geometri  yaitu translasi (perpindahan), refleksi (pencerminan),  rotasi  (perputaran)  serta
dilatasi (perbesaran). Fokus penelitian pada transformasi  rotasi  (perputaran).  Untuk rotasi  pengetahuan  awal  siswa  adalah mengenal  sudut dan termasuk arah putar rotasi.
Rotasi (perputaran) merupakan suatu    transformasi    yang    memasangkan titik ke himpunan titik lainnya dengan cara memutar atau dengan kata lain rotasi adalah peristiwa    memindahkan    suatu    objek (gambar)    melalui    garis    lengkung  dengan pusat  pada  titik  tertentu  dan  dengan  sudut putar yang tertentu dengan arah searah atau berlawanan arah jarum jam yang menyebabkan  kedudukan  gambar  berubah. Suatu rotasi dikatakan memiliki arah positif jika rotasi itu berlawanan arah dengan arah putaran  jarum  jam  dan  rotasi  dikatakan negatif  jika  rotasi  itu  searah  dengan  arah putaran jarum jam.
Bantuan visualisasi berperan penting  dalam  pembelajaran  Transformasi geometri. Dengan menggunakan visualisasi data yang ditampilkan dapat mempermudah peneliti    untuk  melihat  data  yang  sulit dilihat  dengan  pemikiran  sehingga  peneliti bisa  mengamati  simulasi  dan  komputasi. Oleh  karena  itu,  perlu  adanya  inovasi  pada pembelajaran matematika dengan menggunakan  software  yang  membantu visualisasi  transformasi  geometri  rotasi. Salah  satu  software  yang  dapat  membantu visualisasi  transformasi  geometri  rotasi adalah GeoGebra.
GeoGebra  adalah software gratis berbasis  pembelajaran  matematika  yang dikembangkan  oleh  Markus  Hohenwarter yang berasal dari Austria. Menurut (Yuliardi, 2013), sejumlah penelitian
menunjukkan  bahwa  GeoGebra  dapat mendorong proses penemuan
dan
eksperimentasi  siswa  di  kelas.  GeoGebra khususnya cocok dengan materi transformasi geometri karena
(a)
Menawarkan fitur-fitur yang dapat mentransformasikan  obyek-obyek  di  dalam layar.  (b)  Membolehkan  pengguna  untuk menggambar bangun geometri secara mudah  dan  dapat  mengukur  secara  tepat jarak,  sudut,  dan  luas.  (c)  Menyediakan fitur click-drag yang  memberi  kesempatan kepada  siswa  untuk  menguraikan  atau menyusun  bentuk  bangun  geometri  dalam topik  yang  membutuhkan  visualiasi  seperti transformasi  geometri  pada  subbab  rotasi. Diharapkan  pengguna software GeoGebra dapat  membantu  proses  visualiasi  yang seharusnya  berdampak  positif  terhadap peningkatan minat belajar.

## METODE PENELITIAN
Metode  yang    digunakan    dalam penelitian  ini  adalah  metode studi pustaka yaitu  metode  pengumpulan  data  dengan mencari  informasi  lewat  buku,  majalah, koran,  dan  literatur  lainnya  yang  bertujuan untuk membentuk suatu landasan teori.
Sistem  koordinat  Kartesius  digunakan untuk menentukan tiap titik  dalam  bidang dengan  menggunakan  dua  bilangan    yang biasa  disebut  koordinat (absis)  dan koordinat (ordinat)  dari  titik  tersebut. Sistem  koordinat  Kartesius  dapat  pula digunakan pada dimensi-dimensi yang lebih tinggi, seperti 3 dimensi, dengan menggunakan  tiga  sumbu  (sumbu dan ) (Bilda, 2015).
FIBONACCI : Jurnal Pendidikan Matematika dan Matematika. Vol. 3 (2), pp:93-102.
Gambar 1. Koordinat Kartesius
Berdasarkan  gambar  diatas,  terdapat  4 bidang  simetris  yang  dibatas  oleh  sumbu- sumbu  koordinat dan yang  masing- masing  bidang  dibatasi  oleh  bidang dinamakan  Kwadran.  Sehingga  terdapat  4 Kwadran yaitu :
 Kwadran I ,
 Kwadran II
,
 Kwadran III , dan
 Kwadran IV
.
Perhatikan gambar berikut ini :
Misal B dan terletak di Kwadran
I hal ini berarti
Gambar 2. Koordinat Kartesius
Berdasarkan  gambar  di  atas,  tampak suatu  segitiga  yaitu  Segitiga yang salah  satu  sudutnya  siku-siku  dititik .
Menurut teorema Phytagoras :

## √

## Atau ditulis dengan notasi
(1)
rumus  di  atas  adalah  rumus  jarak  dua  titik yang  menghubungkan  titik
dengan titik .
Gambar 3. Koordinat Polar
Dalam  sistem  koordinat  kartesius,  letak titik  pada  bidang  dinyatakan  dengan pasangan dengan dan masing- masing menyatakan jarak berarah ke sumbu - dan ke sumbu - . Pada sistem koordinat kutub,  ditentukan  dengan  memilih  sebuah titik dan  Sinar  garis yang  digambar dititik disebut sumbu kutub.
dan . Notasi berarti  bahwa  titik  A mempunyai koordinat dan .
Hubungan  Antara  Sistem  koordinat Kartesius dan Sistem Koordinat Kutub
Gambar  4. Hubungan  Sistem  koordinat Kartesius dan Polar
𝑥 𝑦 𝑥 𝑦
Pada  gambar  4  terdapat  perbandingan trigonometri  ,maka  diperoleh  rumus  umum untuk  dapat  mengetahui  nilai dan atau dalam koordinat kartesius.
 √ ,
Teorema Phytagoras  untuk  menemukan  jarak dua  titik  yang  menghubungkan  titik dengan titik .  ,  berdasarkan  sifat-sifat dalam  perbandingan  Trigonometri, maka diperoleh ( ) .
 ,  berdasarkan  sifat  sifat dalam  perbandingan  Trigonometri, maka diperoleh
 ,  berdasarkan  sifat  sifat
dalam  perbandingan  Trigonometri, maka diperoleh

## HASIL DAN PEMBAHASAN
Dari gambar 4 maka dapat kita peroleh :
 , dengan
menggunakan rumus trigonometri
dapat dijabarkan sebagai berikut :
 , dengan
menggunakan rumus trigonometri dapat dijabarkan sebagai berikut :
 Rumus  umum  rotasi  terhadap  titik pusat (0,0), dalam bentuk matriks :
( )     ( ) ( )
Berikut ini cara penggunaan software GeoGebra  dalam  rotasi  bidang segitiga  datar  dengan  titik  pusat .
Buka aplikasi GeoGebra dalam PC/Komputer,  lalu  pilih  icon  slider  pada
toolbar dan pilih angle .
Gambar 5. Option box pada toolbar slider
Buat  slider  dengan  memilih option  box Angle ,  kemudian  isi tab  interval sesuai yang  dibutuhkan.  Lalu  kita  membuat  titik sebagai  berikut  :
.  Lalu  pilih toolbar  Polygon ,  dan pilih titik dan
Gambar 6. Option box pada toolbar slider
Maka, akan tampil segitiga dengan titik- titik koordinat yang telah kita tentukan.
Gambar 7. Segitiga
FIBONACCI : Jurnal Pendidikan Matematika dan Matematika. Vol. 3 (2), pp:93-102.
Kemudian  akan  muncul  segment  pada tampilan  algebra.  Hilangkan  label  pada segment  dengan  mengklik  kanan  pada mouse/kursor,  lalu  klik  tanda  show  label hingga label segment  hilang.
Gambar 8. Segment garis
Lalu  buatlah  titik  Pusat    di ).  Seperti gambar berikut.
Gambar 9. Segitiga tanpa label nama garis
Pada toolbar pilih Rotate around Point ,
lalu  pilih  titik kemudian  pilih  titik  pusat
(0,0), dan angle = .
Gambar  10. Segitiga  tanpa  label  nama garis
Lakukan untuk Titik dan , Sehingga membentuk  tiga  titik  baru,  lalu  hubungkan kembali dengan menggunakan menu toolbar polygon . Maka akan mucul segitiga bayangan sebagai berikut.
Gambar 10. Segitiga bayangan
Ulangi  langkah  yang  sama  untuk menghilangkan label pada segment . Kemudian  berikan  nama  pada  masing- masing  segitiga  dengan  mengklik  kanan pada  objek  segitiga  untuk  segitiga
pilih Caption lalu tulis .  Lakukan hal  yang sama pada segitiga dengan Caption seperti gambar berikut.
Gambar  11. Tab  basic dalam dialog  box object properties
Lalu pilih menu tool bar Text
Gambar 12. Toolbar Text
Lalu  isi  pada  kolom edit tulis  Koordinat Triangle , disertakan  dengan  menu
objects dalam Text pilih sesuai titik, lalu pilih Ok.
Gambar 13. Dialog box pada toolbar Text
Kemudian  klik  kanan  pada  pada  Text lalu pilih object properties untuk menyesuaikan ukuran dan warna.
Gambar 14. Dialog box pada toolbar Text
Ulangi  langkah  yang  sama  pada tulis  koordinat  Triangle dan  pada tulis sudut putar.
Gambar 15. Dialog box pada toolbar Text
Pada menu toolbar checkbox  to show/hide  object, klik  di  tempat  yang inginkan, input Caption Bayangan
kemudian pada baris kedua pilih
lalu apply .
Gambar  16. Check  Box  to  show/  hide object
Kemudian  pada  menu algebra di sebelah kiri klik kanan pada pilih object properties klik advance pada  kolom
Condition to Show Object  isikan dengan , Lakukan untuk , dan seperti gambar berikut. Gambar  17. Tab  Advanced dalam dialog
box pada object properties
Dengan  mengklik  tanda  ceklis  pada kolom Caption bayangan  maka  akan terlihat  segitiga  bayangan  muncul  beserta dengan koordinatnya seperti gambar berikut.
FIBONACCI : Jurnal Pendidikan Matematika dan Matematika. Vol. 3 (2), pp:93-102.
Gambar  18. Check  box dengan caption ceklis Bayangan
Begitu pula jika tanda ceklis dihilangkan maka akan hilang juga segitiga bayangan  beserta  koordinatnya  seperti gambar berikut.
Gambar  19. Dialog  Check  Box dengan
Caption Tanpa Ceklis Bayangan Kemudian isikan Caption dengan titik
dan  Linked  Object  pilih  titik seperti gambar berikut.
Gambar 20. Input Box Lakukan  untuk  titik dan  titik . Sesuaikan warna dan font serta panjang box agar  lebih  pada object  properties terlihat menarik. Maka akan muncul gambar seperti berikut.
Gambar  21. Input  bar berisikan  titik dan
Kemudian  Isikan Text dengan  judul Rotasi  pada  bidang  datar  segitiga  dengan titik  pusat .  Lalu  Pada icon tool bar angle  pertama  pilih  3  titik  yaitu , kedua  memilih ,  Ketiga  memilih C seperti berikut.
Gambar  22. Toolbar  angle dengan  sudut pusat
Kemudian  pilih  menu  toolbar  circular sector.  Pertama  pilih  titik
kedua ketiga .  Pada  menu  algebra untuk dan pada object properties di menu advanced pada  kolom Condition  to show  Object masukan serta  pada style pilih Line  Style garis  putus-putus.  Untuk dan pada  menu  algebra  dihilangkan dengan  mengklik show  object. Pilih  menu pada  tampilan  grafik  pilih  set color and transparancy dan pilih warna sesuai dengan yang kita inginkan
Gambar 23. Set  Color  and  Transparency pada worksheet GeoGebra
Maka  akan  diperoleh  gambar  seperti berikut.
Gambar  24. Tampilan  rotasi  segitiga  pada titik circular Sector
Maka  visualiasi  Transformasi  Geometri menggunakan  GeoGebra  pada  segitiga datar  di  titik  pusat  berhasil  dibuat.  Kita dapat  menaikkan  atau  menurunkan dengan  menggeser  slider  dan  menceklis bayangan  untuk  melihat  bayangan  beserta Circular sector yang akan didapat. Kemudian kita dapat menginput titik sesuai dengan  titik  yang  kita  inginkan,  maka  titik yang kita input akan berubah sesuai dengan yang  kita  masukan.  Berikut  ini  contoh Penggunaan Software GeoGebra  dalam
Rotasi  pada  bidang  datar  segitiga  dengan titik Pusat .
Gambar  25. Rotasi  Pada  Bidang  Datar Segitiga  Dengan  Titik  Pusat O (0,0)
Contoh melengkapi segitiga bayangan pada tabel berikut:
Dengan menggunakan
GeoGebra sebagai  alat  untuk  membantu  visualisasi dapat  mempermudah  kita  dalam  melihat perubahan  yang  terjadi  pada  suatu  titik ataupun  bidang  yang  dirotasikan  dengan sudut tertentu pada titik pusat.
Segitiga Segitiga bayangan A B C A’ B’ C’ (1,1) (3,5) (6,3) (1,1) (3,5) (6,3) (1,1) (3,5) (6,3) (-6,6)  (-8,-1)  (-2,4)
FIBONACCI : Jurnal Pendidikan Matematika dan Matematika. Vol. 3 (2), pp:93-102.

## SIMPULAN
Penelitian ini menghasilkan beberapa kesimpulan  yang diuraikan dalam beberapa poin-poin sebagai berikut.
1. Menggunakan  Software  GeoGebra membantu visualisasi terhadap
titik, ataupun bidang yang dirotasikan  pada  sudut  tertentu  di titik  Pusat .  Hal  ini  dapat
kita  lihat  dengan  Transformasi Geometri  menggunakan  GeoGebra pada  segitiga  datar  di  titik  pusat dengan  mengatur  Slider  yang  kita buat, maka segitiga bayangan akan berputar  sesuai  derajat  yang  kita inginkan.
2. Dengan  menggunakan  software
GeoGebra  kita  dapat  memeriksa Transformasi  geometri  di  titik pusat  pada  sudut-sudut  istimewa untuk memperoleh suatu kesimpulan diantaranya : a. dan untuk  mencari  nilai dan di koordinat polar.
b. Diperoleh  persamaan  umum rotasi  dalam  bentuk  matriks untuk mengetahui titik bayangan ( )     ( ) ( )

## DAFTAR PUSTAKA
Albab,  U.I.,  Hartono,Y.,  Darmawijoyo  2014.  “ Kemajuan  Belajar  Siswa  Pada  Geometri
Transformasi  Menggunakan  aktivitas  Refleksi  Geometri”. Cakrawala  Pendidikan,
Oktober 2014, Th. XXXIII, No. 3 pp: 338-340.
Bilda, Westi. 2015. Modul Geometri Analitik Datar Universitas Muhammadiyah Tangerang.
NCTM. 2000. "Principles and Standards for School Mathematics": Electronic Examples.
Yuliardi, R. 2013. Pembelajaran Matematika Berbantuan Software GeoGebra Dengan Model
TAC, TGBI, Dan TMC . Skripsi. Bandung: UPI.
Volume 3 No. 2 Bulan Desember Tahun 2017