Vol. 11, No. 1,  56-62,  Juli  2014
SEPUTAR IDEAL DARI GELANGGANG POLINOM MIRING
Afriani  , Amir Kamal Amir dan Nur Erawaty
Abstrak
Gelanggang  polinom  miring  atas dengan  variabel  tak  diketahui adalah  gelanggang
,       - = * ( ) | + dengan  aturan  perkalian ( )     ( ) untuk  setiap dimana suatu  endomorfisma  di , dan adalah  suatu -derivatif.  Untuk atau adalah  endomorfisma  identitas,  gelanggang  polinom  miring ,       - ditulis ,    - . Selanjutnya  untuk gelanggang  polinom  miring  ditulis ,    - Operasi  perkalian  gelanggang polinom miring yang melibatkan dan tentu saja mempengaruhi bentuk ideal. Dalam tulisan ini akan di uraikan tentang bentuk-bentuk dan sifat ideal dari gelanggang tersebut.
Kata Kunci : Gelanggang polinom miring, ideal gelanggang polinom miring.

## 1. Pendahuluan
Aljabar abstrak merupakan suatu cabang ilmu alam bidang matematika yang ciri khasnya sarat  dengan  aksioma-aksioma,  di  mana  sering  dianggap  sebagai  subyek  yang  ideal  dalam mengerjakan atau menyelesaikan suatu pembuktian. Aljabar abstrak diawali dengan konsep dasar tentang  grup  yang  dikenal  dengan  teori  grup.  Struktur  grup  menjadi  dasar  struktur  aljabar  lain seperti  gelanggang.  Akibatnya,  semua  sifat  dan  semua  teorema  dalam  grup  berlaku dalamgelanggang.  Himpunan  polinomial  di , - dapat  membentuk  suatu  gelanggang  yang kemudian  disebut  gelanggang  polinomial , - .Gelanggang  polinom  miring  atas dengan variabel  tak  diketahui adalah  gelanggang ,       - yang  terdiri  dari  polinom  seperti ( ) ,  yang  memenuhi  aturan  perkalian ( ) ( ) , untuk setiap Adapun sifat perkalian gelanggang polinom miring yang melibatkan dan sangat  mempengaruhi ideal  darigelanggang  tersebut.Hal  ini juga  yang  menyebabkan  ideal dari  gelanggang belum  tentu  merupakan  ideal  dari  gelanggang  polinom  miring ,       - sehingga  struktur  dan  ideal  gelanggang  polinom  miring  berbeda  dengan  struktur  ideal dari gelanggang polinom biasa
Untuk  pembahasan  yang  lebih  lanjut,  dibutuhkan  beberapa  defenisi.  Oleh  karena    itu, sebelum  memasuki  pembahasan  mengenai  hal  tersebut  di  atas,  pada  bagian  ini  disajikan  lebih dahulu defenisi-defenisi pendukung yang akan dipakai dalam pembahasan selanjutnya. 1

## Definisi 1.1
Suatu gelanggang (R,+,.) adalah suatu himpunan tak kosong R dengan operasi binerpenjumlahan (+) dan perkalian (.) pada R yang memenuhi aksioma – aksioma berikut :
1. (R,+) merupakan grup komutatif.
2. (R,.) merupakan semigrup.
 thalabiu@gmail.com
1,2,3 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Hasanuddin Makassar , Jl. Perintis Kemerdekaan Km.10 Makassar
3. Distributif  kiri  dan  kanan  perkalian (.) terhadap  penjumlahan (+). Misalkan , maka (        )     (    )       (    ) dan (        )          (    )       (    ) [2]
Definisi 1.2 Misalkan suatu  gelanggang,  endomorfisma  gelanggang  adalah  homomorfisma  pada yang memetakan gelanggang ke dirinya sendiri.[5]
Definisi 1.3 Misalkan suatu gelanggang, automorfisma gelanggang adalah isomorfisma gelanggang pada yang memetakan gelanggang ke dirinya sendiri. Jadi automorfisma gelanggang juga dikatakan suatu endomorfisma gelanggang yang bersifat bijektif . [5]
Definisi 1.4 Misalkan adalah  suatu  gelanggang.  Gelanggang  tak  kosong
disebut  ideal  jika  berlaku untuk setiap , berlaku dan . [3]

## Definisi 1.5
Misalkan    gelanggang.  Suatu  polinom ( ) dengan  koefisien  di dan  indeterminate adalah jumlahan tak hingga
( )   ∑
Dengan , kecuali  sebanyak  berhingga  nilai i. dinamakan  koefisien  dari ( ) . Max * | + dinamakan  derajat  dari ( ) dan  disimbolkan  dengan ( ( )) jika untuk semua i , maka ( ( )) tidak terdefinisikan. [4]

## 2. Pembahasan
Masalah yang akan dibahas dalam bagian ini adalah  mengenai hal-hal yang berhubungan dengan gelanggang polinom miring khususnya ideal dari gelanggang tersebut.
Lebih jelasnya, permasalahan yang akan dibahas dalam tulisan ini adalah sebagai berikut:
1) Bagaimana  bentuk ideal suatu gelanggang polinom miring?.
2) Bagaimana sifat-sifat dari ideal gelanggang polinom miring?.
Pada  dasarnya  bentuk  polinomial  dari  suatu  gelanggang  polinom  miring  sama  dengan gelanggang polinomial biasa, akan tetapi dalam gelanggang polinomial biasa, operasi biner yang terdefinisi  di  dalamnya  adalah  operasi  perkalian  dan  penjumlahan  biasa,  sedangkan  dalam gelanggang  polinom  miring,  operasi  biner  yang  terdefinisi  di  dalamnya  mengandung dan yang  mengakibatkan  bentuk  perkalian  kedua  gelanggang  tersebut  berbeda.  Untuk  pembentukan suatu  gelanggang  polinom  miring  diperlukan  beberapa  hal,  yaitu  suatu  gelanggang  (yang biasanya  disebut  gelanggang  tumpuan  dari  gelanggang  polinom  miring),  endomorfisma gelanggang  (endomorfisma  biasanya  disimbolkan  dengan (sigma)),  dan  dervatif  gelanggang (derivatif biasanya disimbolkan dengan (delta)). Secara lengkap pengertian gelanggang polinom miring disajikan sebagai berikut:
Definisi  2.1
Afriani, Amir Kamal Amir, Nur Erawaty
Misalkan suatu gelanggang, suatu endomorfisma di , dan adalah suatu - derivatif, yaitu : 1. suatu endomorfisma grup di . 2. (  )    ( ) ( )    ( ) untuk setiap
.
Gelanggang polinom miring atas dengan variabel adalah gelanggang : ,       - = ( ) dengan ( )     ( ) untuksetiap . Suatu unsur   dalam gelanggang polinom miring ,       - mempunyai bentuk kanonik:
∑ *         + , -
Perkalian  polinom-polinom  dalam  gelanggang  polinom  miring  yang  melibatkan dan menyebabkan gelanggang polinom miring bersifat tidak komutatif.

## Contoh 2.1
Misalkan √ .  Automorfisma pada didefinisikan  sebagai (     √  ) √ ,  Untuk  setiap √ .  Selanjutnya  pemetaan didefinisikan  sebagai ( √  ) ,  untuk  setiap √ .  Pemetaan yang  didefinisikan  seperti  ini  memenuhi syarat - .  Dengan  demikian, ,       - merupakan  suatu  gelanggang  polinom  miring, gelanggang  ini  bersifat  tidak  komutatif.  Perhatikan  proses  perkalian    antara ( )   ( √  ) dan ( )   (      √  ) berikut ini.
( ) ( ) = [(      √  ) ][(      √  ) ]
(      √  )[ (      √  )]
(      √  )[ (      √  )     (     √  )]
(      √  )[(      √  )     ]
(      √  )[(      √  ) ] (      √  )(      √  ) (     √  ) (        √  ) (       √  )
( ) ( ) = [(      √  ) ][(      √  ) ]
(      √  )[ (      √  )]
(      √  )[ (      √  )     (     √  )]
(      √  )[(      √  )     ] (      √  )[(      √  ) ] (      √  )(      √  ) (     √  )(  )
(        √  ) (       √  )
Pekalian di atas menunjukkan bahwagelanggang polinom miring adalah gelanggang yang bersifat tidak komutatif karena dapat dilihat ( ) ( )    ( ) ( ) . Misalkan ,       - adalah suatu gelangang polinom miring, apabila atau adalah suatu  endomorfisma  identitas,  maka  gelanggang  polinom  miring  cukup  ditulis ,    - atau disebut  juga  gelanggang  operator  differensial,  sehingga  dalam  gelanggang  ini  berlaku  perkalian ( ) .  Untuk gelanggang  polinom  miring  cukup  ditulis ,    - operasi perkaliannya menjadi ( ) . Sedangkan untuk kasus dan gelanggang polinom miring cukup ditulis , - , yang merupakan gelanggang polinom biasa.
Akibat 1:
Misalkan ,    - adalah gelanggang operator differensial untuk suatu dan  untuk suatu bilangan bulat tak negatif, maka [1]
∑ . / ( )
Dalam gelanggang polinom , - ideal dari dapat langsung dibentuk menjadi ideal di dalam , - . Adapun dan dalam operasi perkalian gelanggang polinom miring, selain menyebabkan gelanggang  polinom  miring  bersifat  tidak  komutatif,  keduanya  juga  sangatmempengaruhi  ideal dari gelanggang tersebut. Hal ini  menyebabkan ideal dari gelanggang belum tentu merupakan ideal dari gelanggang polinom miring ,       - .

## Teorema 2.1
Diberikan  suatu  gelanggang ,  atau {     √  |                √  } . Didefinisikan (     √  )        √     (     √  ) .  Dari  definisi dan diperoleh gelanggang polinom miring ,    - berikut adalah bentuk-bentuk ideal dari ,    - . 1) ( )  ,    -
2) (     )  ,    -     ,    -
3) (    √  )  ,    -     ,    -
4) ( )  ,    - [1]
Definisi  2.2 Misalkan adalah suatu -derivatif  pada gelanggan g . -ideal dari   adalah ideal dari sehingga ( ) .

## Teorema 2.2
Misalkan ,    - adalah gelanggang operator differensial, jika adalah -idealdari , maka adalah ideal dari . [1] Untuk ideal yang bukan -ideal dari ,    - maka belum tentu ideal. Berikut diberikan contoh.
Contoh 2.2:
Diberikan  suatu  gelanggang (√  ) atau {   (√  )|        } suatu gelanggang (√  ) adalah  gelanggang  bagian  dari dan bukan -ideal. Didefinisikan (     √  )        √ dan (     √  ) Maka bukan ideal dari .
Contoh 2.3:
Diberikan suatu gelanggang {(     √  )|        } Misalkan ,    - adalah gelanggang oprator  differensial  dan * (     √  )|         + untuk  setiap
dan ( √  ) ,  makadengan  menggunakan  teorema  di  atas,  akan  diperoleh merupakan -ideal dan adalah ideal dari .
Definisi 2.3: Misalkan adalah  suatu  automorfisma  dari  gelanggang ,       - , adalah -ideal  jika adalah ideal murni dari sedemikian rupa sehingga ( ) .
Teorema 2.3:

## Afriani, Amir Kamal Amir, Nur Erawaty
Misalkan ,    - adalah  gelanggang  polinom  miring  atas dengan , jika adalah - ideal dari , maka adalah ideal dari [1]
Pembuktian  teorema  2.3  dapat  dilakukan  dengan  cara  yang  sama  seperti  pada  pembuktian teorema 2.2.
Contoh 2.4:
Misalkan {(     √  )|        } dan * (     √  )|         + adalah  suatu gelanggang bagian dari , jika didefinisikan (     √  )        √ maka adalah - ideal.
Contoh 2.5:
Diberikan {(     √  )|        } misalkan suatu gelanggang polinom miring ,    - , dengan (     √  )        √ , misalkan juga
1. { ( a+b √( ))│a,b p+mZ, dengan p={0,1,…, (m-1) } }untuk
2. *(     √  )|               + untuk setiap
3. * (     √  )|         + untuk setiap
Maka dengan menggunakan teorema 2.3 akan dapat ditunjukkan bahwa dan adalah
ideal dari .
Definisi 2.4: Misalkan ,       - adalah  suatu  gelanggang  polinom  miring, I adalah (    ) -ideal, sedemikian sehingga ( ) dan ( ) .
Teorema 2.4: Misalkan ,       - adalah  gelanggang  polinom  miring  dengan dan , jika adalah (    ) - ideal dari , maka adalah ideal dari . [1]
Contoh 2.6:
Diberikan {(     √  )|        } misalkan  suatu  gelanggang  polinom  miring
,       - ,  dengan (     √  )        √ dan (     √  ) ,  misalkan  juga
* (     √  )|         +
untuk setiap
adalah (    ) - ideal, sedemikian sehingga ( ) dan ( ) maka  dari  teorema  3.5  akan  dapat  di  tunjukkan  bahwa adalah ideal dari .
Contoh 2.7: Misalkan suatu gelanggang polinom miring
,       -   * ( ) | + Diberikan gelanggang * ( ) | + Maka akan diperoleh (i). Untuk
, bukan ideal dari ,       - (ii). Untuk , ideal dari ,       -

## 3.Kesimpulan
Berdasarkan hasil dan pembahasan yang telah dilakukan maka dapat disimpulan:
1. Dalam pembentukan suatu gelanggang polinom miring diperlukan beberapa hal, yaitu suatu gelanggang  (yang  biasanya  disebut  gelanggang  tumpuan  dari  gelanggang  polinom  miring), endomorfismagelanggang  (endomorfisma  biasanya  disimbolkan  dengan (sigma)),  dan dervatif  gelanggang  (derivatif  biasanya  disimbolkan  dengan (delta)).  Sehingga  secara lengkap  gelanggang  polinom  miring ,       - didefinisikan  sebagai  gelanggang  yang terbentuk dari gelanggang polinomial dengan variabel tak diketahui dan mempunyai bentuk
( )   ∑
Dimana  koefisien merupakan  unsur  dari  gelanggang yang  merupakan  gelanggang tumpuan  dari ,       - .  Aturan  perkalian  gelanggang  polinom  miring  yang  melibatkan dan menyebabkan sifat perkalian gelanggang polinom miring tidak komutatif dan berbeda dengan sifat perkalian gelanggang polinom yang umumnya bersifat komutatif.
2. Salah  satu  bentuk  ideal  dari  gelanggang  polinom  miring ,       - adalah , - dengan adalah ideal dari . Namun demikian, ideal dari gelanggang belum tentu dapat dibentuk menjadi ideal , - dalam gelanggang polinom miring ,       - .
3. Misalkan
,  atau {     √  |                √  } .Dengan  definisi (     √  )        √ dan (     √  ) ,diperoleh  gelanggang  polinom  miring
,    - berikut adalah bentuk-bentuk ideal dari ,    - .
1) ( ) ,    -
2) (     ) ,    -     ,    -
3) (    √  ) ,    -     ,    -
4) ( ) ,    -
4. Misalkan ,       - dan merupakan suatu ideal dari ,
(i). Misalkan adalah endomorfisma identitas maka ,    - yang merupakangelanggang operator differensial, dan jika adalah - ideal dari , maka adalah ideal dari untuk bukan -ideal belum tentu ideal dari ,    - . (ii). Misalkan didefinisikan =0 maka ,    - , dan jika adalah - ideal dari , maka adalah ideal dari . jika bukan -ideal, maka belum tentu ideal ,    - . (iii). Misalkan adalah (    ) - ideal dari . maka untuk ,       - , adalah ideal dari . Dan belum tentu ideal untuk yang bukan (    ) - ideal.
5. Misalkan {(     √  )|        } dan  Misalkan ,       - dengan (     √  ) √ dan (     √  ) , misalkan juga
{ ( a+b √( ))│a,b p+mZ, dengan p={0,1,…, (m-1) } }untuk
*(     √  )|               + untuk setiap
* (     √  )|         + untuk setiap
Maka (i). Misalkan adalah  endomorfisma  identitas  sehingga ,    - yang merupakangelanggang  operator  differensial  maka
merupakan  ideal  dari
,    - , karena merupakan - ideal.
(ii). Misalkan didefinisikan =0 sehingga ,    - , maka
dan merupakan ideal dari ,    - karena dan merupakan -ideal.
(iii). Misalkan ,       - gelanggang  polinom  miring  yang dan seperti yang  didefinisikan  di  atas,  maka merupakan  ideal  dari ,       - karena merupakan (    ) - ideal.  Sedangkan belum  tentu  ideal  karena merupakan -ideal bukan - ideal.

## DAFTAR PUSTAKA
[1].   Amir, K.A., 2010, Beberapa Sifat Ideal Gelanggang Polinom Miring,
Inferensi  Jurnal  Matematika,  Devisi  Jurnal  Jurusan  Matematika  FMIPA  Universitas Hasanuddin, Makassar, Vol.1 No.1 Hal:16-20.
[2].    Bhattacharya,P.B.,  Jain,  S.K.,  and  Nagpaul,  S.R..  1994. Basic  Abstract  Algebra ,  Second Edition,Cambridge University Press, New York.
[3].    Fraleigh,  John  B.,  2002, A  First  Course  In  Abstract  Algebra ,  Seventh  Edition,Addison Wesley Publing Company, New York.
[4].  Isnarto, 2008, Pengantar Struktur Aljabar 2, Universitas Negeri Semarang, Semarang.
[5].  Malik D. S., Mordeson John N., dan Sen M.K., 2007, Introduction to Abstract Algebra, Scientific Word, United States.