eISSN 2722-9886   pISSN 1411-6669 https://jurnal.unej.ac.id/index.php/MIMS/index
Penerapan algoritma Dinkelbach dan transformasi Charnes Cooper pada pemrograman fraksional linear di UD Bintang Furniture
(Application of Dinkelbach's algorithm and Charnes Cooper's transformation in linear fractional programming problems in UD Bintang Furniture)
Evira Dian Safitri, M. Wakhid Musthofa*
Program Studi Matematika UIN Sunan Kalijaga Yogyakarta *korespondensi: muhammad.musthofa@uin-suka.ac.id
Received: 13-06-2022, accepted: 22-09-2022

## Abstract
Linear  fractional  programming  is  a  special  case  of  non-linear  programming  with  an  objective function  consisting  of  the  ratio  of  two  linear  functions.  The  problem  can  be  solved  using  the Dinkelbach algorithm and the Charnes Cooper transformation. The essence of these two methods is to convert the problem of linear fractional programming into a linear programming problem which then provides an optimal value of each variable in its objective function. In this study, we will  solve  the  problem  of  linear  fractional  programming  at  UD  Bintang  Furniture,  that  is  to determine  the  optimal  value  of  the  comparison  between  profits  and  production  costs  of  the company. The results show that the Dinkelbach algorithm method requires more iterations than Charnes Cooper's transformation. Despite this, both methods produce the same optimal value.
Keywords: Linear  fractional  programming,  Dinkelbach  algorithm,  Charnes  Cooper transformation.
MSC2020: 90C32

## 1. Pendahuluan
Manusia sering berpikir untuk mendapatkan hasil yang optimal dengan sumber daya yang terbatas.  Merespon  hal  tersebut,  optimisasi  muncul  sebagai  sebuah  disiplin  ilmu  yang bertujuan  untuk  memberikan  solusi  terbaik/optimal  atas  beberapa  pilihan  solusi  yang memungkinkan berdasarkan tujuan yang akan dicapai serta dengan mempertimbangkan kendala/keterbatasan  yang  ada.  Banyak  permasalahan  yang  memanfaatkan  teori optimisasi  dalam  penyelesaiannya,  diantaranya  adalah  permasalahan  pada  bidang pertanian, transportasi, perbankan, investasi, dan lain-lain  ([ 1 ], [ 2 ], [ 3 ]).
Berdasarkan  fungsinya  optimisasi  dibedakan  menjadi  dua  yaitu  linear  dan  non-linear. Optimisasi  berbentuk  linear  adalah  suatu  permasalahan  memaksimumkan  atau meminimumkan suatu fungsi tujuan yang berbentuk linear dengan kendala-kendala yang dinyatakan dalam permasalahan linear atau pertidaksaman linear [ 4 ]. Metode titik interior
merupakan metode dengan waktu polinomial dalam menyelesaikan masalah optimisasi berbentuk  linear  [ 4 ].  Metode  lainnya  yang  menggunakan  permasalahan  optimisasi berbentuk linear yaitu dengan menggunakan linear programming [ 5 ].
Permasalahan  optimisasi  yang  berbentuk  non-linear  adalah  pemrograman  fraksional linear (PFL). Pemrograman fraksional  linear merupakan masalah optimisasi  non-linear dengan fungsi objektif berbentuk rasio dari dua fungsi linear (dalam bentuk pecahan) dan dengan  kendala  yang  juga  dalam  bentuk  fungsi  linear  [ 6 ].  Masalah  PFL  dapat diselesaikan  dengan  menggunakan  berbagai  metode,  diantaranya  adalah  algoritma Dinkelbach  dan  transformasi  Charnes  Cooper.  Kedua  metode  ini  memiliki  kemiripan konsep  dalam  menyelesaikan  masalah  PFL,  yaitu  keduanya  mengubah  PFL  ke  dalam bentuk linear  programming (LP)  terlebih  dahulu  yang  kemudian  dilanjutkan  dengan mencari solusi optimalnya.
Perbedaan algoritma Dinkelbach dan transformasi Charnes Cooper terletak pada proses mengubah masalah PFL ke bentuk LP. Algoritma Dinkelbach mengubah masalah PFL ke bentuk LP dengan mendefinisikan suatu fungsi baru pada fungsi objektifnya yang akan menghasilkan fungsi objektif yang linear namun tetap dengan kendala yang serupa. Disisi lain,  transformasi  Charnes  Cooper  mengubah  PFL  menjadi  LP  dengan  mendefinisikan variabel baru yang akan mengubah variabel pada fungsi objektif maupun fungsi kendala menjadi linear [ 7 ].
Selain  kedua  metode  tersebut,  terdapat  pula  metode  lain  yang  dapat  digunakan  untuk menyelesaikan masalah PFL. Diantaranya adalah metode Criss Cross yang diperkenalkan oleh  Zionts  ([ 8 ],  [ 9 ]). Metode  ini  mendasarkan  prinsip  kerjanya  dari  metode  simpleks dalam LP, yaitu mencari salah satu penyelesaian fisibel yang ada kemudian melakukan serangkaian iterasi untuk mendapatkan penyelesaian optimalnya. Metode lainnya adalah metode  koefisien  interval  ([ 10 ],  [ 11 ])  yang  langkah  awalnya  memanfaatkan  hasil transformasi  yang  diperoleh  melalui  metode  Charnes  Cooper.  Metode  lainnya  yang mendasarkan  pada  transformasi  adalah  metode  transformasi  aljabar  [ 12 ],  dan  metode Hasan  &  Acharjee  ([ 13 ],  [ 14 ]) . Sebagaimana  algoritma  Dinkelbach  dan  transformasi Charnes  Cooper, persamaan  prinsip  kerja  dari  semua  metode  di  atas  adalah  semuanya mengubah masalah PFL menjadi masalah LP sehingga memudahkan untuk dicari solusi optimalnya.
Artikel ini bertujuan untuk menerapkan algoritma Dinkelbach dan transformasi Charnes Cooper pada masalah PFL pada UD Bintang Furniture. Perusahaan ini bergerak di bidang furniture  atau  mebel  yang  memproduksi  lemari  berbahan  dasar  kayu  yang  terletak  di kawasan Cibubur, Jakarta Timur. Masalah PFL yang dimiliki oleh UD Bintang Furniture adalah  perusahaan  ini  ingin  memaksimalkan  produksinya  dalam  bentuk  mencari  rasio keuntungan dan biaya total produksi berdasarkan keterbatasan sumber daya bahan baku dan waktu produksi yang tersedia [ 15 ].
Selain untuk mendapatkan solusi optimal dari masalah PFL pada UD Bintang Furniture, dalam artikel ini juga akan dianalisis perbedaan iterasi yang dihasilkan metode algoritma Dinkelbach  dan  transportasi  Charnes  Cooper  dalam  menyelesaikan  masalah  PFL menggunakan  cara  numerik.  Melalui  analisis  ini  akan  diketahui  metode  mana  yang memberikan  iterasi  lebih  pendek  dalam  menyelesaikan  masalah  PFL  sehingga  dapat disimpulkan memiliki efisiensi yang lebih baik.

## 2. Metodologi

## 2.1. Pemrograman Fraksional Linear
Diberikan  suatu  daerah  fisibel  yang  berupa  himpunan  kompak  dan  konveks,  serta himpunan  tak  kosong  dengan  kendala  berbentuk  persamaan  maupun  pertidaksamaan. Masalah pemrograman  fraksional  linear (PFL)  yang didefinisikan dalam  daerah  fisibel tersebut mempunyai bentuk umum sebagai berikut [ 16 ].
Fungsi objektif: memaksimumkan
𝑄(𝑥) = 𝑃(𝑥) 𝐷(𝑥) = ∑ 𝑝 𝑗 𝑥 𝑗 +𝑝 0 𝑛 𝑗=1 ∑ 𝑑 𝑗 𝑥 𝑗 +𝑑 0 𝑛 𝑗=1 , 𝐷(𝑥) ≠ 0 (1)
terhadap kendala
∑ 𝑎 𝑖𝑗 𝑥 𝑗 ≤ 𝑏 𝑖 𝑛 𝑗=1 , 𝑖 = 1,2,3, … , 𝑚 1 , ∑ 𝑎 𝑖𝑗 𝑥 𝑗 ≥ 𝑏 𝑖 𝑛 𝑗=1 , 𝑖 = 𝑚 1 + 1, 𝑚 1 + 2, … , 𝑚 2 , ∑ 𝑎 𝑖𝑗 𝑥 𝑗 = 𝑏 𝑖 𝑛 𝑗=1 , 𝑖 = 𝑚 2 + 1, 𝑚 2 + 2, … , 𝑚,
𝑥 𝑗 ≥ 0, 𝑗 = 1,2, … , 𝑛, 𝑚 1 ≤ 𝑚 2 ≤ 𝑚, 𝑛 1 ≤ 𝑛, untuk setiap 𝑥 = (𝑥 1 , 𝑥 2 , … , 𝑥 𝑛 ) ∈ 𝑆, (2)
dengan Q(x) :  kriteria  pengambilan  keputusan  pada    fungsi  objektif  yang  berupa  nilai scalar; P(x) : fungsi objektif yang mewakili pembilang ( numerator ); D(x) : fungsi objektif yang mewakili penyebut ( denominator ); 𝑝 𝑗 :  koefisien pada pembilang fungsi objektif; 𝑝 0 : konstanta pada pembilang fungsi objektif; 𝑑 𝑗 : koefisien pada penyebut fungsi objektif; 𝑑 0 : konstanta pada penyebut  fungsi  objektif; 𝑥 𝑗 : variabel  pengambilan keputusan  yang akan  ditentukan; 𝑎 𝑖𝑗 : konstanta  pada  kendala  ke- i dan  variabel  ke- j ;  dan 𝑏 𝑖 : masukan (input) yang membatasi aktivitas terkait usaha mengoptimalkan fungsi objektif.

## 2.2  Metode Algoritma Dinkelbach
Algoritma  Dinkelbach  bekerja  dengan  cara  mendefinisikan  fungsi  baru  pada  fungsi objektif yang akan menghasilkan fungsi objektif yang linear dengan kendala yang serupa. Didefinisikan suatu fungsi sebagai berikut [ 7 ]
𝑍 = 𝐹(𝜆) = max 𝑥∈𝑆 {𝑃(𝑥) − 𝜆𝐷(𝑥)}, 𝜆 ∈ 𝑅 (3)
dengan S menyatakan  himpunan  fisibel  dari  masalah  PFL  (1,2)  dan 𝜆 menyatakan parameter untuk menentukan solusi optimal pada algoritma Dinkelbach.
Kendala untuk fungsi objektif (3) di atas adalah
∑ 𝑎 𝑖𝑗 𝑥 𝑗 ≤ 𝑏 𝑖 𝑛 𝑗=1 , 𝑖 = 1,2,3, … , 𝑚 1 , ∑ 𝑎 𝑖𝑗 𝑥 𝑗 ≥ 𝑏 𝑖 𝑛 𝑗=1 , 𝑖 = 𝑚 1 + 1, 𝑚 1 + 2, … , 𝑚 2 , ∑ 𝑎 𝑖𝑗 𝑥 𝑗 = 𝑏 𝑖 𝑛 𝑗=1 , 𝑖 = 𝑚 2 + 1, 𝑚 2 + 2, … , 𝑚,
𝑥 𝑗 ≥ 0, 𝑗 = 1,2, … , 𝑛,
𝑚 1 ≤ 𝑚 2 ≤ 𝑚, 𝑛 1 ≤ 𝑛. (4)
Asumsikan 𝑝 0 atau 𝑑 0 ada. Langkah kerja algoritma Dinkelbach dapat dijelaskan sebagai berikut.
1. Langkah awal
Ambil 𝑥 (0) ∈ 𝑆 , kemudian hitung 𝜆 (0) = 𝑃(𝑥 (0) ) 𝐷(𝑥 (0) ) .
2. Tentukan 𝐹(𝜆 𝑖 ) = max 𝑥∈𝑆 {𝑃(𝑥) − 𝜆 𝑖 𝐷(𝑥)} dengan  kendala  (4)  dan  tentukan  solusi optimal PFL (3,4) menggunakan software WinQSB.
3. Cek kriteria pemberhentian
Jika 𝐹(𝜆 𝑖 ) = max 𝑥∈𝑆 {𝑃(𝑥 (𝑖) ) − 𝜆 𝑖 𝐷(𝑥 (𝑖) )} = 0 atau −1 < 𝐹(𝜆 𝑖 ) < 1 maka 𝑥 ∗ = 𝑥 (𝑖) adalah solusi optimal.
4. Iterasi
Jika langkah 3 tidak dipenuhi maka ambil 𝑥 ∈ 𝑅 yang lain sehingga 𝜆 (𝑖) = 𝑃(𝑥 (𝑖) ) 𝐷(𝑥 (𝑖) ) dan lanjut ke langkah 2.

## 2.3  Metode Transformasi Charnes Cooper
Berbeda dengan algoritma Dinkelbach, transformasi Charnes Cooper bekerja dengan cara mengganti variabel pada masalah PFL (1,2) menjadi variabel baru pada fungsi objektif maupun  fungsi  kendala  [ 17 ].  Didefinisikan  sebuah  variabel  baru  yaitu 𝑡 𝑗 dengan 𝑡 𝑗 =
𝑥 𝑗 𝐷(𝑥) , 𝑗 = 1,2, … , 𝑛 dan 𝑡 0 dengan 𝑡 0 = 1 𝐷(𝑥) dan 𝐷(𝑥) = ∑ 𝑑 𝑗 𝑥 𝑗 + 𝑑 0 𝑛 𝑗=1 .  Sehingga dengan  menggunakan 𝑡 𝑗 = 𝑥 𝑗 𝐷(𝑥) dengan 𝑗 = 1,2, … , 𝑛 maka 1 𝐷(𝑥) = 𝑡 𝑗 𝑥 𝑗 dan 𝑃(𝑥) = ∑ 𝑝 𝑗 𝑥 𝑗 + 𝑝 0 𝑛 𝑗=1 = ∑ 𝑝 𝑗 𝑥 𝑗 𝑛 𝑗=0 sehingga fungsi tujuan/fungsi objektifnya menjadi:
𝑃(𝑥) 𝐷(𝑥) = 𝑃(𝑥). 1 𝐷(𝑥) = ∑ 𝑝 𝑗 𝑥 𝑗 𝑛 𝑗=0 . ( 𝑡 𝑗 𝑥 𝑗 ) = ∑ 𝑝 𝑗 𝑡 𝑗 𝑛
𝑗=0 . Jika 𝐿(𝑡) = 𝑃(𝑥) 𝐷(𝑥) = ∑ 𝑝 𝑗 𝑥 𝑗 𝑛 𝑗=0 maka 𝐿(𝑡) = ∑ 𝑝 𝑗 𝑥 𝑗 𝑛 𝑗=0 . (5)
Selanjutnya  untuk  fungsi  kendala  akan  dikalikan  masing-masing  dengan 1 𝐷(𝑥) = 𝑡 𝑗 𝑥 𝑗 dan 𝑡 0 = 1 𝐷(𝑥) . ∑ 𝑎 𝑖𝑗 𝑥 𝑗 𝑛 𝑗=1 ≤ 𝑏 𝑖 , 𝑖 = 1,2,3, … , 𝑚 1 , −𝑏 𝑖 . 1 𝐷(𝑥) + ∑ 𝑎 𝑖𝑗 𝑥 𝑗 𝑛 𝑗=1 . 1 𝐷(𝑥) ≤ 0,
menjadi −𝑏 𝑖 . 𝑡 0 + ∑ 𝑎 𝑖𝑗 𝑡 𝑗 𝑛 𝑗=1 ≤ 0, 𝑖 = 1,2, … . , 𝑚 1 , (6) ∑ 𝑎 𝑖𝑗 𝑥 𝑗 𝑛 𝑗=1 ≥ 𝑏 𝑖 , 𝑖 = 1,2,3, … , 𝑚 1 , −𝑏 𝑖 . 1 𝐷(𝑥) + ∑ 𝑎 𝑖𝑗 𝑥 𝑗 𝑛 𝑗=1 . 1 𝐷(𝑥) ≥ 0,
menjadi −𝑏 𝑖 . 𝑡 0 + ∑ 𝑎 𝑖𝑗 𝑡 𝑗 𝑛 𝑗=1 ≥ 0, 𝑖 = 𝑚 1 + 1, 𝑚 1 + 2, … , 𝑚 2 , (7)
∑ 𝑎 𝑖𝑗 𝑥 𝑗 𝑛 𝑗=1 = 𝑏 𝑖 , 𝑖 = 1,2,3, … , 𝑚 1 , −𝑏 𝑖 . 1 𝐷(𝑥) + ∑ 𝑎 𝑖𝑗 𝑥 𝑗 𝑛 𝑗=1 . 1 𝐷(𝑥) = 0,
menjadi −𝑏 𝑖 . 𝑡 0 + ∑ 𝑎 𝑖𝑗 𝑡 𝑗 𝑛 𝑗=1 = 0, 𝑖 = 𝑚 2 + 1, 𝑚 2 + 2, … , 𝑚,
𝑡 𝑗 ≥ 0, 𝑗 = 0,1,2, … , 𝑛,
𝑚 1 ≤ 𝑚 2 ≤ 𝑚, 𝑛 1 ≤ 𝑛. (8)
Selain itu, terdapat kendala tambahan yang merupakan hubungan antara variabel 𝑥 𝑗 dan 𝑡 𝑗 yaitu dengan mengalikan 𝐷(𝑥) = ∑ 𝑑 𝑗 𝑥 𝑗 + 𝑑 0 𝑛 𝑗=1 dengan 1 𝐷(𝑥) = 𝑡 𝑗 𝑥 𝑗 , sehingga menjadi:
𝐷(𝑥) = ∑ 𝑑 𝑗 𝑥 𝑗 + 𝑑 0 𝑛 𝑗=1 = ∑ 𝑑 𝑗 𝑥 𝑗 𝑛 𝑗=0
𝐷(𝑥). 1 𝐷(𝑥) = ∑ 𝑑 𝑗 𝑥 𝑗 𝑛 𝑗=0 . 1 𝐷(𝑥) 1 = ∑ 𝑑 𝑗 𝑥 𝑗 𝑛 𝑗=0 . 𝑡 𝑗 𝑥 𝑗 ∑ 𝑑 𝑗 𝑡 𝑗 𝑛 𝑗=0 = 1. (9)
Langkah kerja hasil transformasi Charnes Cooper dijelaskan dalam Tabel 1.
Tabel 1.  Perubahan masalah PFL menjadi LP pada transformasi Carnes Cooper
Penyelesaian  masalah  LP  memberikan  nilai  optimal  untuk  variabel t .  Sehingga  untuk mendapatkan nilai optimal variabel x dari masalah PFL (1,2) digunakan rumus 𝑥 𝑗 = 𝑡 𝑗 𝑡 0 .
Masalah PFL awal dengan variabel x Masalah LP setelah ditransformasikan dengan variabel baru t
Fungsi Objektif Maks
𝑄(𝑥) = 𝑃(𝑥) 𝐷(𝑥) = ∑ 𝑝 𝑗 𝑥 𝑗 + 𝑝 0 𝑛 𝑗=1 ∑ 𝑑 𝑗 𝑥 𝑗 + 𝑑 0 𝑛 𝑗=1 , 𝐷(𝑥) ≠ 0
Kendala ∑ 𝑎 𝑖𝑗 𝑥 𝑗 ≤ 𝑏 𝑖 𝑛 𝑗=1 , 𝑖 = 1,2,3, … , 𝑚 1
∑ 𝑎 𝑖𝑗 𝑥 𝑗 ≥ 𝑏 𝑖 𝑛 𝑗=1 , 𝑖 = 𝑚 1 + 1, 𝑚 1 + 2, … , 𝑚 2 ∑ 𝑎 𝑖𝑗 𝑥 𝑗 = 𝑏 𝑖 𝑛 𝑗=1 , 𝑖 = 𝑚 2 + 1, 𝑚 2 + 2, … , 𝑚
𝑥 𝑗 ≥ 0, 𝑗 = 1,2, … , 𝑛 𝑚 1 ≤ 𝑚 2 ≤ 𝑚, 𝑛 1 ≤ 𝑛.
Fungsi Objektif Maks 𝐿(𝑡) = ∑ 𝑝 𝑗 𝑥 𝑗 𝑛 𝑗=0
Kendala
−𝑏 𝑖 𝑡 0 + ∑ 𝑎 𝑖𝑗 𝑡 𝑗 ≤ 𝑛 𝑗=1 0, 𝑖 = 1,2, … , 𝑚 1
−𝑏 𝑖 𝑡 0 + ∑ 𝑎 𝑖𝑗 𝑡 𝑗 ≥ 𝑛 𝑗=1 0, 𝑖 = 𝑚 1 + 1, 𝑚 1 + 2, … , 𝑚 2 −𝑏 𝑖 𝑡 0 + ∑ 𝑎 𝑖𝑗 𝑡 𝑗 = 𝑛 𝑗=1 0, 𝑖 = 𝑚 2 + 1, 𝑚 2 + 2, … , 𝑚
∑ 𝑑 𝑗 𝑡 𝑗 = 1 𝑛 𝑗=0 𝑡 𝑗 ≥ 0, 𝑗 = 0,1,2, … , 𝑛 𝑚 1 ≤ 𝑚 2 ≤ 𝑚, 𝑛 1 ≤ 𝑛.

## 3. Hasil dan Pembahasan
UD  Bintang  Furniture  merupakan  perusahaan furniture atau  mebel  yang  berlokasi  di Cibubur, Jakarta Timur. Perusahaan ini memproduksi lemari menggunakan bahan dasar kayu dengan spesifikasi produk yang dihasilkan berupa 5 jenis lemari, yaitu lemari 2 pintu lebar,  lemari  2  pintu  ramping,  lemari  3  tingkat  terbuka  lebar,  lemari  3  tingkat  terbuka ramping dan lemari 1 tingkat terbuka. Berikut data biaya dan harga penjualan pada UD Bintang Furniture.
Tabel 2. Data biaya dan harga penjualan UD Bintang Furniture
Jenis Lemari Lemari 2 pintu lebar Lemari 2 pintu ramping Lemari 3 tingkat terbuka lebar Lemari 3 tingkat terbuka ramping Lemari 1 tingkat terbuka
1 x 2 x 3 x 4 x 5 x Biaya produksi tiap unit (ribu) 450 375 285 250 220 Biaya penyelesaian produksi (ribu) 125 125 85 85 50 Biaya cetak material (ribu) 150 125 100 85 35 Biaya pengemasan tiap unit (ribu) 30 30 30 30 30 Biaya operasional tiap unit (ribu) 100 90 100 90 80 Biaya total (ribu) 855 745 600 540 415 Harga penjualan tiap unit (ribu) 2100 1800 1350 1150 950
Proses  produksi  pada  perusahaan  UD  Bintang  Furniture  mengalami  kendala  terkait dengan  penyimpanan  bahan  baku  dan  waktu  produksi.  Gudang  perusahaan  yang digunakan untuk menyimpan bahan baku hanya dapat menampung paling banyak 375m 2 kayu.  Sedangkan  terkait  dengan  waktu  produksi,  waktu  pengerjaan  tiap  produk  mebel tersebut untuk jangka waktu sebulan (4 minggu) dibatasi dengan waktu kerja 8 jam kerja perhari dan 6 hari kerja per minggu. Data keterbatasan bahan baku serta waktu produksi pada UD Bintang Furniture disajikan dalam Tabel 3 dan 4.
Tabel 3. Data bahan baku kayu Jenis Lemari Lemari 2 pintu lebar Lemari 2 pintu ramping Lemari 3 tingkat terbuka lebar Lemari 3 tingkat terbuka ramping Lemari 1 tingkat terbuka Bahan Baku (m 2 ) 1.15 0.98 0.56 0.40 0.16
Tabel 4. Data waktu produksi Jenis Lemari Lemari 2 pintu lebar Lemari 2 pintu ramping Lemari 3 tingkat terbuka lebar Lemari 3 tingkat terbuka ramping Lemari 1 tingkat terbuka Waktu untuk memproduksi 1 unit mebel (jam) 3.25 2.82 1.56 1.23 0.85
Selain  itu,  perusahaan  juga  harus  membayar  pajak  sebagai  kewajiban  terhadap pemerintah sebesar 0,5% per tahun. Setiap tahun perusahaan mencapai penghasilan kotor yang  relatif  tetap  yaitu  sebesar  Rp.  480.000.000  per  tahun.  Berdasarkan  data  tersebut, berikut  akan  dibentuk  masalah  PFL  pada  UD  Bintang  Furniture  dengan  tujuan memaksimalkan keuntungan sebagai berikut.
Didefinisikan variabel-variabel sebagai berikut:
Z=Q(x) : fungsi objektif untuk memaksimalkan keuntungan terhadap biaya dan pajak, P(x) : keuntungan perusahaan tiap produk mebel,
D(x) : biaya total produksi ditambah dengan pajak,
𝑥 1 : lemari 2 pintu lebar,
𝑥 2 : lemari 2 pintu ramping,
𝑥 3 : lemari 3 tingkat terbuka lebar,
𝑥 4 : lemari 3 tingkat terbuka ramping, dan
𝑥 5 : lemari 1 tingkat terbuka.
a. Menentukan fungsi objektif.
Fungsi  objektif  dibentuk  berdasarkan  rasio  antara  keuntungan  yang  diperoleh perusahaan  dengan  total  biaya  produksi  dan  pajak  yang  harus  dibayarkan.  Detail pembentukan fungsi objektif dijelaskan sebagai berikut.
Keuntungan = harga jual – biaya produksi
= 2100𝑥 1 + 1800𝑥 2 + 1350𝑥 3 + 1150𝑥 4 + 950𝑥 5 − (855𝑥 1 + 745𝑥 2 +600𝑥 3 + 540𝑥 4 + 415𝑥 5 ) = 1245𝑥 1 + 1055𝑥 2 + 750𝑥 3 + 610𝑥 4 + 535𝑥 5 .
Selanjutnya,  dengan  mengasumsikan  penghasilan  kotor  perusahaan  setiap  tahunnya sebesar  Rp  480.000.000,  maka  berdasarkan  PP  Nomor  23  Tahun  2018  pajak  yang dikeluarkan oleh UD Bintang Furniture adalah sebagai berikut.
Pajak (ribu) = (Penghasilan kotor per tahun: 12) × 0.5%
= (480.000:12) × 0.5%
= 40.000 × 0.5%
= 200.
Sehingga dapat dibentuk fungsi objektif sebagai berikut
Maksimumkan 𝑍  = keuntungan biaya + pajak
𝑍 = 𝑄(𝑥) = 𝑃(𝑥) 𝐷(𝑥) = 1245𝑥 1 + 1055𝑥 2 + 750𝑥 3 + 610𝑥 4 + 535𝑥 5 855𝑥 1 + 745𝑥 2 + 600𝑥 3 + 540𝑥 4 + 415𝑥 5 + 200 .

## b. Menentukan kendala 1
Kendala  1  terkait  dengan  keterbatasan  bahan  baku.  Berdasarkan  Tabel  3,  fungsi kendala yang terkait dengan keterbatasan bahan baku dapat ditulis sebagai berikut:
1.15𝑥 1 + 0.98𝑥 2 + 0.56𝑥 3 + 0.40𝑥 4 + 0.16𝑥 5 ≤ 376.
c. Menentukan kendala 2
Kendala  2  terkait  dengan  waktu  produksi  tiap  produk  mebel.  Berdasarkan  Tabel  4, kendala yang terkait dengan waktu produksi dapat ditulis sebagai berikut:
3.25𝑥 1 + 2.82𝑥 2 + 1.56𝑥 3 + 1.23𝑥 4 + 0.85𝑥 5 ≤ 192.
d. Batasan variabel
Batasan variabel menyatakan tiap produk mebel yang dibuat oleh perusahaan mebel, sehingga batasan variabelnya adalah
𝑥 1 , 𝑥 2 , 𝑥 3 , 𝑥 4 , 𝑥 5 ≥ 0.
Berdasarkan fungsi  objektif dan fungsi  kendala  yang telah diperoleh bentuk  PFL pada perusahaan mebel UD Bintang Furniture dapat ditulis sebagai berikut.
Fungsi objektif
Maksimumkan
𝑧 = 1245𝑥 1 +1055𝑥 2 +750𝑥 3 +610𝑥 4 +535𝑥 5
855𝑥 1 +745𝑥 2 +600𝑥 3 +540𝑥 4 +415𝑥 5 +200 dengan kendala 1.15𝑥 1 + 0.98𝑥 2 + 0.56𝑥 3 + 0.40𝑥 4 + 0.16𝑥 5 ≤ 376.
3.25𝑥 1 + 2.82𝑥 2 + 1.56𝑥 3 + 1.23𝑥 4 + 0.85𝑥 5 ≤ 192.
𝑥 1 , 𝑥 2 , 𝑥 3 , 𝑥 4 , 𝑥 5 ≥ 0.
Selanjutnya masalah PFL pada UD Bintang Furniture tersebut akan diselesaikan dengan menggunakan metode algoritma Dinkelbach dan transformasi Charnes Cooper.

## 3.1 Penyelesaian Menggunakan Algoritma Dinkelbach
Langkah-langkah penerapan algoritma Dinkelbach dalam menyelesaikan permasalahan PFL pada perusahaan mebel UD Bintang Furniture dijelaskan sebagai berikut.
1) Iterasi pertama menggunakan nilai 𝑥 = 0 sehingga 𝑥 (0) = (0,0,0,0,0)
𝜆 (0) = 𝑃(𝑥 (0) ) 𝐷(𝑥 (0) ) = 1245(0) + 1055(0) + 750(0) + 610(0) + 535(0) 855(0) + 745(0) + 600(0) + 540(0) + 415(0) + 200 = 0.
𝐹(𝜆 (0) ) = max 𝑥∈𝑆 {1245𝑥 1 + 1055𝑥 2 + 750𝑥 3 + 610𝑥 4 + 535𝑥 5 − 0
(855𝑥 1 + 745𝑥 2 + 600𝑥 3 + 540𝑥 4 + 415𝑥 5 + 200)}
= max 𝑥∈𝑆 {1245𝑥 1 + 1055𝑥 2 + 750𝑥 3 + 610𝑥 4 + 535𝑥 5 }.
Sehingga bentuk LP nya menjadi:

## Fungsi objektif
max 𝑥∈𝑆 1245𝑥 1 + 1055𝑥 2 + 750𝑥 3 + 610𝑥 4 + 535𝑥 5 ,
dengan kendala
1.15𝑥 1 + 0.98𝑥 2 + 0.56𝑥 3 + 0.40𝑥 4 + 0.16𝑥 5 ≤ 376, 3.25𝑥 1 + 2.82𝑥 2 + 1.56𝑥 3 + 1.23𝑥 4 + 0.85𝑥 5 ≤ 192, 𝑥 1 , 𝑥 2 , 𝑥 3 , 𝑥 4 , 𝑥 5 ≥ 0.
Dengan menggunakan software WinQSB diperoleh hasil perhitungan untuk 𝑥 (0) = (0,0,0,0,0) yaitu (𝑥 1 , 𝑥 2 , 𝑥 3 , 𝑥 4 , 𝑥 5 ) = (0,0,0,0,225) dengan solusi optimalnya adalah
120847.0000.  Karena  solusi  optimal  tidak  sesuai  dengan  syarat  pemberhentian algoritma Dinkelbach yaitu nilai optimal harus terletak pada −1 < 𝐹(𝜆 𝑖 ) < 1 maka dilanjut pada iterasi selanjutnya.
2) Iterasi  selanjutnya  mencoba  menggunakan  bilangan  bulat  positif  yaitu x= 1,2,3,4,5, … ,1000. Maka diperoleh hasil perhitungan sebagai berikut.
x= 1 diperoleh nilai (𝑥 1 , 𝑥 2 , 𝑥 3 , 𝑥 4 , 𝑥 5 ) = (59,0,0,0,0) dengan solusi optimalnya 10393.4900. x=2 diperoleh nilai (𝑥 1 , 𝑥 2 , 𝑥 3 , 𝑥 4 , 𝑥 5 ) = (59,0,0,0,0) dengan solusi optimalnya 8453.1730. x= 3 diperoleh nilai (𝑥 1 , 𝑥 2 , 𝑥 3 , 𝑥 4 , 𝑥 5 ) = (59,0,0,0,0) dengan solusi optimalnya 7779.6330. x= 4 diperoleh nilai (𝑥 1 , 𝑥 2 , 𝑥 3 , 𝑥 4 , 𝑥 5 ) = (59,0,0,0,0) dengan solusi optimalnya 7437.6090. x= 5 diperoleh nilai (𝑥 1 , 𝑥 2 , 𝑥 3 , 𝑥 4 , 𝑥 5 ) = (59,0,0,0,0) dengan solusi optimalnya 7230.6830. seterusnya sampai pada x= 1000 diperoleh nilai (𝑥 1 , 𝑥 2 , 𝑥 3 , 𝑥 4 , 𝑥 5 ) = (59,0,0,0,0) dengan solusi optimalnya 6394.1140.
Dengan  menggunakan  bilangan  bulat  positif  1  sampai  1000  bahkan  lebih  nilainya tetap tidak memenuhi syarat pemberhentian algoritma Dinkelbach yaitu nilai optimal harus terletak pada −1 < 𝐹(𝜆 𝑖 ) < 1 maka dilanjut pada iterasi selanjutnya.
3) Iterasi selanjutnya mencoba menggunakan bilangan bulat negatif yaitu x = -1, -2, -3,
-4, -5, … ,-1000. Maka diperoleh hasil perhitungan sebagai berikut.
x = -1 diperoleh nilai (𝑥 1 , 𝑥 2 , 𝑥 3 , 𝑥 4 , 𝑥 5 ) = (59,0,0,0,0) dengan solusi optimalnya 1844.2800. x = -2 diperoleh nilai (𝑥 1 , 𝑥 2 , 𝑥 3 , 𝑥 4 , 𝑥 5 ) = (59,0,0,0,0) dengan solusi optimalnya 4191.4640. x = -3 diperoleh nilai (𝑥 1 , 𝑥 2 , 𝑥 3 , 𝑥 4 , 𝑥 5 ) = (59,0,0,0,0) dengan solusi optimalnya 4940.0810. x = -4 diperoleh nilai (𝑥 1 , 𝑥 2 , 𝑥 3 , 𝑥 4 , 𝑥 5 ) = (59,0,0,0,0) dengan solusi optimalnya 5308.3610.
x = -5 diperoleh nilai (𝑥 1 , 𝑥 2 , 𝑥 3 , 𝑥 4 , 𝑥 5 ) = (59,0,0,0,0) dengan solusi optimalnya 5527.4380.
seterusnya sampai pada
x =-1000 diperoleh nilai (𝑥 1 , 𝑥 2 , 𝑥 3 , 𝑥 4 , 𝑥 5 ) = (59,0,0,0,0) dengan solusi optimalnya 6394.1140.
Dengan menggunakan bilangan bulat negatif -1 sampai -1000 bahkan lebih nilainya tetap tidak memenuhi syarat pemberhentian algoritma Dinkelbach yaitu nilai optimal harus terletak pada −1 < 𝐹(𝜆 𝑖 ) < 1 maka dilanjut pada iterasi selanjutnya.
4) Iterasi selanjutnya yaitu bilangan di antara 0 dan -1, karena pada solusi optimal 0 dan (-1) terdapat ketidakkonsistenan nilai. Untuk itu diambil nilai x = -0.3, -0.5, -0.7, - 0.8 dan berikut hasil perhitungan dengan WinQSB:
x = -0.3 diperoleh nilai (𝑥 1 , 𝑥 2 , 𝑥 3 , 𝑥 4 , 𝑥 5 ) = (0,0,0,0,0) dengan solusi optimalnya 0. x = -0.5 diperoleh nilai (𝑥 1 , 𝑥 2 , 𝑥 3 , 𝑥 4 , 𝑥 5 ) = (0,0,0,0,0) dengan solusi optimalnya 0. x = -0.7 diperoleh nilai (𝑥 1 , 𝑥 2 , 𝑥 3 , 𝑥 4 , 𝑥 5 ) = (0,0,0,0,0) dengan solusi optimalnya 0. x = -0.8 diperoleh nilai (𝑥 1 , 𝑥 2 , 𝑥 3 , 𝑥 4 , 𝑥 5 ) = (59,0,0,0,0) dengan solusi optimalnya 610.0888.
Dengan menggunakan nilai x di antara 0 dan -1 nilainya tetap tidak memenuhi syarat pemberhentian  algoritma Dinkelbach  yaitu nilai  optimal harus terletak pada −1 < 𝐹(𝜆 𝑖 ) < 1 maka dilanjut pada iterasi selanjutnya.
5) Iterasi selanjutnya yaitu bilangan di antara (-0.7) dan (-0.8), karena memiliki solusi optimal yang berbeda. Untuk itu diambil nilai x = -0.72, -0.73, -0.75 dan berikut hasil perhitungan dengan WinQSB:
x =-0.72 diperoleh nilai (𝑥 1 , 𝑥 2 , 𝑥 3 , 𝑥 4 , 𝑥 5 ) = (0,0,0,0,0) dengan solusi optimalnya 0. x = -0.73 diperoleh nilai (𝑥 1 , 𝑥 2 , 𝑥 3 , 𝑥 4 , 𝑥 5 ) = (0,0,0,0,0) dengan solusi optimalnya 189.1965. x = -0.75 diperoleh nilai (𝑥 1 , 𝑥 2 , 𝑥 3 , 𝑥 4 , 𝑥 5 ) = (59,0,0,0,0) dengan solusi optimalnya 482.6032.
Dengan  menggunakan  nilai x di  antara  (-0.7)  dan  (-0.8)  nilainya  tetap  tidak memenuhi  syarat  pemberhentian  algoritma  Dinkelbach  yaitu  nilai  optimal  harus terletak pada −1 < 𝐹(𝜆 𝑖 ) < 1 maka dilanjut pada iterasi selanjutnya.
6) Iterasi selanjutnya yaitu bilangan di antara (-0.72) dan (-0.73), karena memiliki solusi optimal  yang  berbeda.  Untuk  itu  diambil  nilai x =  -0.729,  -0.7295,  -0.7297  dan berikut hasil perhitungan dengan WinQSB:
x = -0.729 diperoleh  nilai (𝑥 1 , 𝑥 2 , 𝑥 3 , 𝑥 4 , 𝑥 5 ) = (0,0,0,0,0) dengan solusi optimalnya 0. x = -0.7295 diperoleh  nilai (𝑥 1 , 𝑥 2 , 𝑥 3 , 𝑥 4 , 𝑥 5 ) = (0,0,0,0,0) dengan
solusi optimalnya 0.
x = -0.7297 diperoleh  nilai (𝑥 1 , 𝑥 2 , 𝑥 3 , 𝑥 4 , 𝑥 5 ) = (59,0,0,0,0) dengan solusi optimalnya 0.2844.
Iterasi nomor 6 ini terdapat nilai x yang memenuhi syarat pemberhentian algoritma Dinkelbach yaitu nilai optimal harus terletak pada −1 < 𝐹(𝜆 𝑖 ) < 1 . Oleh karena itu, x =  -0.7297  dengan  solusi  optimal  0.2844  serta 𝑥 1 = 59, 𝑥 2 = 0, 𝑥 3 = 0, 𝑥 4 = 0, 𝑥 5 = 0 memenuhi  syarat  pemberhentian  algoritma  Dinkelbach.  Maka  solusi optimal untuk mencari ratio keuntungan dengan biaya produksi yaitu:
𝑄(𝑥) = 1245(59) + 1055(0) + 750(0) + 610(0) + 535(0)
855(59) + 745(0) + 600(0) + 540(0) + 415(0) + 200
= 73455
50645
= 1.45038997.

## 3.2 Penyelesaian Menggunakan Transformasi Charnes Cooper
Langkah  pertama  penyelesaian  masalah  PFL  dengan  Transformasi  Charnes  Cooper adalah  mengubah  PFL  ke  dalam  bentuk  LP,  yaitu  mengubah  variabel 𝑥 𝑗 , 𝑗 = 1,2,3,4,5 menjadi  variabel 𝑡 𝑗 , 𝑗 = 1,2,3,4,5 .  Dengan  perubahan  variabel  ini  bentuk  PFL  akan menjadi LP sebagai berikut:
Fungsi objektif:
Maks 𝑧 = 1245𝑥 1 +1055𝑥 2 +750𝑥 3 +610𝑥 4 +535𝑥 5 855𝑥 1 +745𝑥 2 +600𝑥 3 +540𝑥 4 +415𝑥 5 +200 (5)
diubah bentuknya menjadi
Maks 1245𝑡 1 + 1055𝑡 2 + 750𝑡 3 + 610𝑡 4 + 535𝑡 5 Kendala 1:
1.15𝑥 1 + 0.98𝑥 2 + 0.56𝑥 3 + 0.40𝑥 4 + 0.16𝑥 5 ≤ 376 diubah bentuknya menjadi
−376𝑡 0 + 1.15𝑡 1 + 0.98𝑡 2 + 0.56𝑡 3 + 0.40𝑡 4 + 0.16𝑡 5 ≤ 0.
Kendala 2:
3.25𝑥 1 + 2.82𝑥 2 + 1.56𝑥 3 + 1.23𝑥 4 + 0.85𝑥 5 ≤ 192 diubah bentuknya menjadi
−192𝑡 0 + 3.25𝑡 1 + 2.82𝑡 2 + 1.56𝑡 3 + 1.23𝑡 4 + 0.85𝑡 5 ≤ 0.
Kendala baru:
∑ 𝑑 𝑗 𝑡 𝑗 = 1 𝑛
𝑗=0
menjadi
−200𝑡 0 + 855𝑡 1 + 745𝑡 2 + 600𝑡 3 + 540𝑡 4 + 415𝑡 5 = 1 Batasan kendala: 𝑥 1 , 𝑥 2 , 𝑥 3 , 𝑥 4 , 𝑥 5 ≥ 0.
menjadi
𝑡 0 , 𝑡 1 , 𝑡 2 , 𝑡 3 , 𝑡 4 , 𝑡 5 ≥ 0.
Sehingga diperoleh bentuk LP baru yaitu:
Fungsi objektif
Maks 1245𝑡 1 + 1055𝑡 2 + 750𝑡 3 + 610𝑡 4 + 535𝑡 5 dengan kendala
−376𝑡 0 + 1.15𝑡 1 + 0.98𝑡 2 + 0.56𝑡 3 + 0.40𝑡 4 + 0.16𝑡 5 ≤ 0.
−192𝑡 0 + 3.25𝑡 1 + 2.82𝑡 2 + 1.56𝑡 3 + 1.23𝑡 4 + 0.85𝑡 5 ≤ 0.
200𝑡 0 + 855𝑡 1 + 745𝑡 2 + 600𝑡 3 + 540𝑡 4 + 415𝑡 5 = 1 𝑡 0 , 𝑡 1 , 𝑡 2 , 𝑡 3 , 𝑡 4 , 𝑡 5 ≥ 0.
Bentuk  LP  dari  hasil  transformasi  Charnes  Cooper  tersebut  kemudian  dicari penyelesaiannya  dengan  menggunakan software WinQSB  yang  menggunakan  metode simpleks. Output yang dihasilkan adalah:
1. Iterasi 1 belum optimal dengan kolom kunci di 𝑡 1 dan baris kunci di 𝑠 1 .
2. Iterasi 2 belum optimal dengan kolom kunci di 𝑡 0 dan baris kunci di 𝑠 2 .
3. Iterasi 3 belum optimal dengan kolom kunci di 𝑡 4 dan baris kunci di 𝑡 1 .
4. Iterasi 4 sudah optimal sehingga perhitungan iterasi dihentikan. Nilai pada baris z sudah tidak ada yang negatif serta output yang dihasilkan yaitu variabel dengan 𝑡 0 = 0.0000197197, 𝑡 1 = 0.0011649780, 𝑡 2 = 0, 𝑡 3 = 0, 𝑡 4 = 0, 𝑑𝑎𝑛 𝑡 5 = 0 . Selanjutnya,  nilai 𝑥 𝑗 dicari  dengan  menggunakan  nilai  variabel 𝑡 𝑗 yang  telah diperolah
𝑥 1 = 𝑡 1 𝑡 0 = 0.0011649780 0.0000197197 = 59.0769, 𝑥 2 = 𝑡 2 𝑡 0 = 0 0.0000197197 = 0, 𝑥 3 = 𝑡 3 𝑡 0 = 0 0.0000197197 = 0, 𝑥 4 = 𝑡 4 𝑡 0 = 0 0.0000197197 = 0, 𝑥 5 = 𝑡 5 𝑡 0 = 0 0.0000197197 = 0.
Substitusikan nilai-nilai 𝑥 𝑗 di atas ke dalam fungsi objektif (5) diperoleh
𝑄(𝑥) = 1245(59) + 1055(0) + 750(0) + 610(0) + 535(0)
855(59) + 745(0) + 600(0) + 540(0) + 415(0) + 200
𝑄(𝑥) = 73455

## 50645 = 1.45038997
Dengan demikian penggunaan algoritma Dinkelbach dan transformasi Charnes Cooper dalam menyelesaikan masalah PFL pada UD Bintang Furniture sama-sama menghasilkan nilai optimal untuk setiap variabel 𝑥 𝑗 yaitu 𝑥 1 = 59, 𝑥 2 = 0, 𝑥 3 = 0, 𝑥 4 = 0, 𝑥 5 = 0 . Hal
ini  berarti  UD  Bintang  Furniture  harus  memproduksi  100%  produknya  pada  lemari  2 pintu lebar sebanyak 59 buah, dan tidak memproduksi lemari jenis lainnya.
Dengan  menerapkan  kebijakan  ini  maka  UD  Bintang  Furniture  akan  memperoleh keuntungan  maksimal  terhadap  total  biaya  dan  pajak  sebesar 𝑄(𝑥) = 1.45038997 . Artinya perusahaan memiliki perbandingan keuntungan dibandingkan dengan total biaya produksi  dan  pajak  sebesar  1,45038997:1  atau  1:0,68.  Sehingga  misalkan  perusahaan mengeluarkan  biaya  produksi  sebesar  Rp.  10.000.000,00  maka  keuntungan  yang  akan diperoleh perusahaan sebesar Rp. 10.000.000,00 × 1,45038997 = Rp. 14.503.889,00.
Selain  itu,  hasil  perhitungan  juga  menunjukkan  bahwa  dalam  menyelesaikan  masalah PFL pada UD Bintang Furniture meskipun kedua metode memberikan hasil yang sama, namun  metode  algoritma  Dinkelbach  membutuhkan  iterasi  lebih  banyak  daripada transformasi Charnes Cooper. Sehingga dapat disimpulkan bahwa dalam menyelesaikan masalah PFL pada UD Bintang Furniture transformasi Charnes Cooper memiliki efisiensi yang lebih baik daripada algoritma Dinkelbach.

## 4. Kesimpulan
Penerapan algoritma Dinkelbach dan transformasi Charnes Cooper dalam menyelesaikan masalah  PFL  pada  UD  Bintang  Furniture  menghasilkan  kebijakan  pemfokusan  UD Bintang Furniture untuk memproduksi lemari 2 pintu lebar sebanyak 59 buah sepanjang masa produksinya dengan keuntungan maksimal yang akan diperoleh terhadap total biaya dan pajak sebesar 1,45038997. Analisis algoritma terhadap kedua metode menghasilkan kesimpulan bahwa dalam  hal  ini  transformasi Charnes Cooper memiliki efisiensi  yang lebih  baik  daripada  algoritma  Dinkelbach  dikarenakan  transformasi  Charnes  Cooper memiliki iterasi yang lebih sedikit dibandingkan dengan algoritma Dinkelbach.
Meskipun  algoritma  Dinkelbach  dan  transformasi  Charnes  Cooper  telah  mampu menyelesaikan  masalah  PFL  pada  UD  Bintang  Furniture,  namun  ujicoba  penggunaan metode-metode lain yang memberikan efisiensi yang lebih baik masih merupakan suatu masalah terbuka yang memerlukan penelitian lebih lanjut.

## Daftar Pustaka
[1] S.  Khan,  A.  Bari,  and  M.F.  Khan, Linear  and  Integer  Programming .  Inggris: Cambridge Scholars Publishing, 2019.
[2] H.  Haris  and  N.S.  Hastuti,  “Analisis  efisiensi  bank  umum  syariah  devisa  di indonesia dengan metode data envelopment  analysis  studi pada Bank Muamalat Indonesia dan Bank Syariah Mandiri,” Muqtasid J. Ekon. dan Perbank. Syariah ,
vol. 4, no. 1, p. 1, 2013, doi: https://doi.org/10.18326/muqtasid.v4i1.1-25
[3] H. Paramu, H. Sukarno, and A. Hairul, “Analisis efisiensi Bank Syariah dan bank konvensional dengan menggunakan metode data envelpment analysis (DEA),” J. Manaj.  dan  Bisnis  Indones. ,  vol.  3,  no.  2,  p.  199,  2017,  doi: https://doi.org/10.32528/jmbi.v3i2.1206
[4] B.P.  Sialalahi,  “Kasus-kasus  buruk  penggunaan  metode  titik  interior  pada optimisasi  linear,” J.  Mat.  Integr. ,  vol.  10,  no.  1,  p.  9,  2020,  doi: https://doi.org/10.24198/jmi.v10i1.10180
[5] S. Aji, F. Kusmaningrum, and M. Herni, “Optimisasi keuntungan menggunakan linear programming di PT Pertamina Refinery Unit (RU) VI Balongan*,” J. Online Inst.  Teknol.  Nas.  Maret ,  vol.  01,  no.  04,  pp.  2338–5081,  2014,  [Online]. Available: https://garuda.kemdikbud.go.id/documents/detail/1182901
[6] A. Pal, S.B. Singh, and K. Deep, “Solution of fractional programming problems using PSO algorithm,” in Proceedings of the 2013 3rd IEEE International Advance Computing Conference, IACC 2013 , 2013, pp. 1060–1064. doi: https://doi.org/10.1109/IAdCC.2013.6514373
[7] F. Hanum, “Pemrograman fraksional linear,” J. Math. Its Appl. , vol. 7, no. 1, pp. 21–32, 2008, doi: https://doi.org/10.29244/jmap.7.1.21-32
[8] S. Zionts, “The Criss-Cross  method for solving linear programming problems,” Manage. Sci. , vol. 15, no. 7, pp. 426–445, 1969, doi: https://doi.org/10.1287/mnsc.15.7.426
[9] A.I.  Wijaya,  T.  Limansyah,  and  D.  Lesmono,  “Penyelesaian  linear  fractional programming  dengan  menggunakan  metode  Criss  Cross,”  in Proceeding  of Seminar  Nasional  Matematika  Universitas  Katolik  Parahyangan ,  2015, vol.  10, pp. 87–94. [Online]. Available: http://hdl.handle.net/123456789/1672
[10]  A.R.  Sari,  Sunarsih,  and  Suryoto,  “Program  fraksional  linier  dengan  koefisien interval,” J.  Mat. ,  vol.  17,  no.  7,  pp.  115–120,  2014,  [Online].  Available: https://ejournal.undip.ac.id/index.php/matematika/article/view/12280
[11]  M.K. Zuhanda and E.S.M. Nababan, “Optimasi program linier pecahan interval,” 2013.  [Online].  Available: https://docplayer.info/47186537-Optimasi-program- linier-pecahan-dengan-fungsi-tujuan-berkoefisien-interval.html
[12]  B. Reynaldo,  R. Widyati, and M.  Irzal,  “Pengembangan  program  pecahan linier dengan transformasi aljabar,” JMT  J. Mat. dan Terap. , vol. 1, no. 1, pp. 1–9, 2017, doi: https://doi.org/10.21009/jmt.1.1.1
[13]  M.B. Hasan and S. Acharjee, “Solving LFP by converting it into a single LP,” Int. J.  Oper.  Res. ,  vol.  8,  no.  3,  pp.  1–14,  2011,  [Online].  Available: http://www.orstw.org.tw/ijor/vol8no3/1-Vol_8, No. 3, pp.1-14.pdf
[14]  S. Basriati, E. Safitri, and R. Molina, “Optimalisasi keuntungan pengetaman kayu berkah  mandiri  dengan  program  pecahan  linier  menggunakan  metode  Hasan- Acharjee,” J.  Sains  Mat.  dan  Stat. ,  vol.  6,  no.  2,  p.  80,  2020,  doi: https://doi.org/10.24014/jsms.v6i2.10551
[15]  H.  Tannady,  “Optimasi  produksi  meubel  menggunakan  model  pemrograman linear,” Bus.  Manag.  J. ,  vol.  10,  no.  1,  pp.  1–9,  2017,  doi: https://doi.org/10.30813/bmj.v10i1.636
[16]  B.A.  Ozkok,  “An  iterative  algorithm  to  solve  a  linear  fractional  programming problem,” Comput. Ind. Eng. , vol. 140, Feb. 2020, doi: https://doi.org/10.1016/j.cie.2019.106234
[17]  E. Bajalinov, Linear-fractional programming: theory, methods, applications and software .  Hungaria:  Springer  Science  &  Business  Media.,  2003.  [Online].
Available:
http://books.google.com/books?hl=en&lr=&id=09XMdgKFV68C&pgis=1