## Sifat-Sifat Matriks Eksponensial
1 Dearmauli saragih, 2 Fransiskus Fran, 3 Nilamsari Kusumastuti
1,2,3 Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Tanjungpura Email: dearmauli.saragih77@student.untan.ac.id

## Abstrak
Fungsi eksponensial natural merupakan fungsi yang memuat bentuk eksponen dengan pangkat berupa variabel dan disimbolkan dengan 𝑒 𝑥 . Sedangkan pada matriks,  matriks  yang  dianalogikan  ke  dalam  fungsi  eksponensial  disebut matriks eksponensial dan disimbolkan dengan 𝑒 𝐴 , dengan 𝐴 merupakan matriks berukuran 𝑛 × 𝑛 .  Fungsi  tersebut  didefinisikan  berdasarkan  bentuk  ekspansi deret Maclaurin dari 𝑒 𝑥 . Dari analogi tersebut, timbul pertanyaan operasi dan sifat-sifat fungsi eksponensial natural apa saja yang dapat digeneralisasi pada matriks  eksponensial.  Artikel  ini  membahas  tentang  analisis  dari  sifat-sifat fungsi  eksponensial  natural  yang  dapat  digeneralisasikan  pada  matriks eksponensial  dan  mengkaji  sifat-sifat  pada  matriks  eksponensial  seperti  sifat operasi, diagonal, transpos, determinan dan turunan pada matriks eksponensial. Langkah  awal  yang  dilakukan    adalah  mendefinisikan  matriks  eksponensial, setelah  itu  dikaji  rumusan  matriks  eksponensial  untuk  matriks  diagonal  dan matriks yang dapat didiagonalisasi. Selanjutnya dikaji sifat-sifat operasi yang berlaku  pada  matriks  eksponensial  dan  sifat  transpos,  determinan  dan turunannya.  Sifat-sifat  pada  fungsi  eksponensial  natural  yang  dapat digeneralisasikan  pada  matriks  eksponensial  yaitu  pangkat  nol,  operasi perkalian dan turunan fungsi eksponensial. Sifat operasi pembagian pada fungsi eksponensial  memiliki  bentuk  yang  berbeda  pada  matriks  eksponensial,  pada matriks  eksponensial 𝑒 −𝐴 ≠ 1 𝑒𝐴 karena  operasi  pembagian  tidak  berlaku  pada matriks. Matriks eksponensial 𝑒 𝐴 selalu punya invers dan memiliki invers 𝑒 −𝐴 .
Kata kunci: matriks diagonal; diagonalisasi; determinan Abstract
The natural exponential function is a function that contains an exponential form with  a  rank  in  the  form  of  a  variable  and  is  symbolized  by 𝑒 𝑥 .  Whereas  in matrices, the matrix which is analogous to the exponential function is called the exponential matrix and is symbolized by 𝑒 𝐴 , where 𝐴 is a matrix of size 𝑛 × 𝑛 . The function is defined based on the Maclaurin series expansion form of 𝑒 𝑥 . From this analogy,  the  question  arises  of  what  operations  and  properties  of  natural exponential  functions  can  be  generalized  to  exponential  matrices.  This  article discusses  the  analysis  of  the  properties  of  natural  exponential  functions  which can  be  generalized  to  exponential  matrices  and  examines  the  properties  of exponential matrices such as the properties of operations, diagonals, transposes, determinants and derivatives of exponential matrices. The first step is to define the exponential matrix, after which the exponential matrix formula is studied for diagonal  matrices  and  matrices  that  can  be  diagonalized.  Next,  we  study  the operational  properties  that apply  to  exponential  matrices  and  the  properties  of transpose, determinants and their derivatives. Properties of natural exponential functions  that  can  be  generalized  to  exponential  matrices  are  powers  of  zero, multiplication and derivatives of exponential functions. The nature of the division operation  on  an  exponential  function  has  a  different  form  on  an  exponential matrix, on an exponential matrix 𝑒 −𝐴 ≠ 1 𝑒𝐴 because the division operation does not apply to matrices. The exponential matrix 𝑒 𝐴 always has an inverse and has an inverse 𝑒 −𝐴 . Keywords : diagonal matrix; diagonalization; determinant
AKSIOMA: Jurnal Matematika dan Pendidikan Matematika Vol. 14, No. 1 April 2024 e-ISSN 2579-7646

## A. Pendahuluan
Fungsi  eksponensial  merupakan  salah  satu  pembahasan  yang  terdapat dalam  ilmu  matematika.  Fungsi  eksponensial  merupakan  suatu  fungsi  yang memuat bentuk eksponen dengan pangkat berupa variabel ditulis dengan notasi 𝑒 𝑥 (Thomas  dkk.,  2014).  Salah  satu  konstantanya  adalah  konstanta 𝑒 yang merupakan  basis  dari  logaritma  natural.  Nilai  dari 𝑒 merupakan  bilangan irasional yang nilainya tidak dapat dipastikan, yaitu 𝑒 = 2,71828 ⋯.
Dalam kehidupan sehari-hari, fungsi eksponensial dapat diterapkan salah satunya  dalam  bidang  biologi  dan  ekonomi  (Saputro,  2019).  Sebagai  contoh, dalam bidang biologi fungsi eksponensial dapat digunakan untuk menghitung jumlah  perkembangan  bakteri  dalam  waktu  tertentu.  Sedangkan  fungsi eksponensial  pada  bidang  ekonomi  biasanya  digunakan  dalam  menghitung bunga  majemuk  di  perbankan.  Secara  umum  nilai  fungsi  eksponensial  dapat diekspansikan menggunakan deret Maclaurin dari 𝑒 𝑥 dan menghasikan deret pangkat 𝑒 𝑥 = ∑ 𝑥 𝑛 𝑛! ∞ 𝑛=0 (Varberg  dkk.,  2007).  Pada  matriks,  fungsi  eksponensial dapat diperluas menjadi matriks eksponensial.
Matriks  merupakan  susunan  dari  bilangan-bilangan  yang  berbentuk persegi empat (Anton & Rorres, 2004). Gagasan mengenai matriks pertama kali diperkenalkan  pada  tahun  1895  oleh  Arthur  Cayley  di  Inggris  dalam  sebuah studi  sistem  persamaan  linear  dan  transformasi  linear.  Matriks  banyak dikembangkan untuk menyelesaikan masalah matematika lainnya.
Lebih  lanjut,  matriks  eksponensial  merupakan  deret  pangkat  dari  fungsi eksponensial  yang  konstantanya  diganti  menjadi  suatu  matriks  persegi (Edwards  &  Penney,  2008).  Deret  yang  terbentuk  pada  matriks  eksponensial sama  dengan  deret  yang  terbentuk  pada  fungsi  eksponensial.  Salah  satu penggunaan  matriks  eksponensial  yaitu  untuk  menyelesaikan  sistem persamaan diferensial.
Pada artikel ini, dikaji sifat-sifat matriks eksponensial yang didasari pada sifat-sifat  fungsi  eksponensial  dan  diselidiki  sifat-sifat  apa  saja  yang  berlaku pada matriks eksponensial dan berlaku pada fungsi eksponensial, yang dibatasi oleh  fungsi  pada  bilangan  real  sedangkan  pada  matriks  eksponensial  adalah matriks persegi dengan entri-entri bilangan real.

## B. Metode Penelitian
Metode yang digunakan pada skripsi ini adalah studi literatur, yaitu dengan membaca  kajian  teori  yang  berhubungan  dengan  matriks  eksponensial  dari beberapa buku, jurnal dan artikel, serta konsultasi pada pakar bidang terkait. Langkah awal yang dilakukan pada skripsi ini adalah mendefinisikan matriks eksponensial, setelah itu dikaji rumusan matriks eksponensial untuk matriks diagonal dan matriks yang dapat diagonalisasi. Langkah selanjutnya mengkaji operasi-operasi yang terdapat pada matriks eksponensial. Setelah itu mengkaji sifat-sifat  matriks  eksponensial  seperti  sifat  transpos  dan  determinan.
AKSIOMA: Jurnal Matematika dan Pendidikan Matematika Vol. 14, No. 1 April 2024 e-ISSN 2579-7646
Kemudian mengkaji turunan dari matriks eksponensial.

## C. Hasil dan Pembahasan

## 1. Matriks Eksponensial
Matriks eksponensial terbentuk dari ekspansi deret Maclaurin untuk 𝑒 𝑥 dimana 𝑥 merupakan  bilangan  real.  Matriks  eksponensial  dilambangkan dengan 𝑒 𝐴 dengan 𝐴 merupakan  suatu  matriks  berukuran 𝑛 × 𝑛 (Bladt  & Nielsen, 2017). Deret yang terbentuk pada matriks eksponensial sama dengan deret  yang  terbentuk  pada  fungsi  eksponensial  biasa.  Berikut  diberikan definisi dari matriks eksponensial.
Definisi 1 (Chorianopoulos & Guo, 2016) Misalkan 𝐴 matriks berukuran 𝑛 × 𝑛 dengan entri-entri bilangan real . Eksponensial dari 𝛢 dilambangkan dengan 𝑒 𝐴 atau 𝑒𝑥𝑝(𝐴) adalah matriks 𝑛 × 𝑛 yang diberikan oleh deret pangkat:
𝑒 𝐴 = ∑ 1 𝑘! 𝐴 𝑘 ∞ 𝑘=0 = 𝐼 + 𝐴 + 1 2! 𝐴 2 + 1 3! 𝐴 3 + ⋯ (1)
dengan 𝐼 merupakan suatu matriks identitas.
Deret  pada  Persamaan  1  selalu  konvergen  sehingga  eksponensial  dari 𝐴 terdefinisi dengan baik (Salman & Borkar, 2016).
Pada saat matriks 𝑛 × 𝑛 berbentuk diagonal
𝐷 = [ 𝜆 1 0 ⋯ 0 0 𝜆 2 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 ⋯ 𝜆 𝑛 ]
maka hasil dari perkalian pangkat matriks tersebut selalu menghasilkan pola berikut
𝐷 𝑛 = [ 𝜆 1 𝑛 0 ⋯ 0 0 𝜆 2 𝑛 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 ⋯ 𝜆 𝑛 𝑛 ] .
Oleh  karena  itu,  ketika  menghitung  nilai  matriks  eksponensial  yang digunakan  matriks  diagonal,  maka  dapat  dengan  mudah  dihitung menggunakan  Definisi  1,  sedangkan  untuk  matriks 𝑛 × 𝑛 yang  dapat didiagonalisasi,  perhitungannya  dapat  dilakukan  dengan  rumus  yang dibahas pada Lema 2 berikut.
Lema 2 (Leon, 2001) Diberikan 𝐷 suatu matriks diagonal 𝑛 × 𝑛 dengan
𝐷 = [ 𝜆 1 0 ⋯ 0 0 𝜆 2 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 ⋯ 𝜆 𝑛 ]
dan 𝐴 suatu  matriks 𝑛 × 𝑛 yang  dapat  didiagonalisasi  dengan 𝐴 = 𝑋𝐷𝑋 −1 , untuk suatu 𝑋 matriks nonsingular. Matriks eksponensial dari 𝐷 dan 𝐴 adalah
AKSIOMA: Jurnal Matematika dan Pendidikan Matematika Vol. 14, No. 1 April 2024 e-ISSN 2579-7646
1. 𝑒 𝐷 = [ 𝑒 𝜆 1 0 ⋯ 0 0 𝑒 𝜆 2 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 ⋯ 𝑒 𝜆 𝑛 ]
2. 𝑒 𝐴 = 𝑋𝑒 𝐷 𝑋 −1

## Bukti
1. Akan dibuktikan bahwa 𝑒 𝐷 = [ 𝑒 𝜆 1 0 ⋯ 0 0 𝑒 𝜆 2 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 ⋯ 𝑒 𝜆 𝑛 ] 𝑒 𝐷 = ∑ 1 𝑘! 𝐷 𝑘 ∞ 𝑘=0 = [ ∑ 1 𝑘! 𝜆 1 𝑘 ∞ 𝑘=0 0 ⋯ 0 0 ∑ 1 𝑘! 𝜆 2 𝑘 ∞ 𝑘=0 ⋯ 0
⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 ⋯ ∑ 1 𝑘! 𝜆 𝑛 𝑘 ∞ 𝑘=0 ] = [ 𝑒 𝜆 1 0 ⋯ 0 0 𝑒 𝜆 2 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 ⋯ 𝑒 𝜆 𝑛 ]
Jadi terbukti bahwa 𝑒 𝐷 = [ 𝑒 𝜆 1 0 ⋯ 0 0 𝑒 𝜆 2 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 ⋯ 𝑒 𝜆 𝑛 ] .
2. Jika 𝐴 dapat  didiagonalisasi  maka 𝐴 = 𝑋𝐷𝑋 −1 dan 𝐴 𝑘 = 𝑋𝐷 𝑘 𝑋 −1 (Leon, 2001).
Akan dibuktikan bahwa 𝑒 𝐴 = 𝑋𝑒 𝐷 𝑋 −1 , maka
𝑒 𝐴 = ∑ 1 𝑘! 𝐴 𝑘 ∞ 𝑘=0 = ∑ 1 𝑘! (𝑋𝐷𝑋 −1 ) 𝑘 ∞ 𝑘=0 = 𝑋 (∑ 1 𝑘! 𝐷 𝑘 ∞ 𝑘=0 ) 𝑋 −1 = 𝑋𝑒 𝐷 𝑋 −1
Jadi terbukti bahwa 𝑒 𝐴 = 𝑋𝑒 𝐷 𝑋 −1 ∎ .
AKSIOMA: Jurnal Matematika dan Pendidikan Matematika Vol. 14, No. 1 April 2024 e-ISSN 2579-7646

## 2.    Sifat-sifat Matriks Eksponensial
Pada  sifat-sifat  matriks  eksponensial  terdapat  sifat-sifat  yang  sama dengan fungsi eksponensial natural dan sifat dari operasi matriks. Sebelum dibahas  mengenai  sifat-sifat  pada  matriks  eksponensial,  diberikan  definisi mengenai deret pangkat matriks eksponensial.
Definisi  3 (Edwards  &  Penney,  2008) Jika 𝑡 merupakan  skalar  dan 𝐴 merupakan  matriks 𝑛 × 𝑛 ,  maka  deret  pangkat  dari  matriks  eksponensial adalah
𝑒 𝐴𝑡 = ∑ 1 𝑘! 𝐴 𝑘 𝑡 𝑘 ∞ 𝑘=0 = 𝐼 + 𝐴𝑡 + 1 2! 𝐴 2 𝑡 2 + ⋯ (2)
Contoh 4 Diberikan matriks 𝐴 = [ 0 3 4 0 0 6 0 0 0 ] , maka 𝐴 2 = [ 0 0 18 0 0 0 0 0 0 ] dan 𝐴 3 = [ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ]
Matriks 𝐴 merupakan matriks nilpoten karena 𝐴 3 menghasilkan matriks nol atau 𝐴 𝑛 = 0 untuk 𝑛 ≥ 3 . Selanjutnya substitusikan pada Persamaan (2)
𝑒 𝐴𝑡 = ∑ 1 𝑘! 𝐴 𝑘 𝑡 𝑘 2 𝑘=0 = [ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ] + [ 0 3 4 0 0 6 0 0 0 ] 𝑡 + [ 0 0 18 2 0 0 0 0 0 0 ] 𝑡 2 = [ 1 3𝑡 4𝑡 + 9𝑡 2 0 1 6𝑡 0 0 1 ] . ∎
Selanjutnya  diberikan  operasi-operasi  dan  sifat  transpos  pada  matriks eksponensial.
Teorema 5 (Salman & Borkar, 2016) Misalkan 𝛢 merupakan suatu matriks 𝑛 × 𝑛 dan 𝑠, 𝑡 merupakan skalar, maka sifat-sifat berikut berlaku:
a. Jika 𝟎 merupakan matriks nol, maka 𝑒 𝟎 = 𝐼 , matriks identitas.
b. 𝐴 𝑚 𝑒 𝐴 = 𝑒 𝐴 𝐴 𝑚 , dengan 𝑚 ∈ 𝑍 , ketika 𝑚 < 0 maka 𝐴 harus memiliki invers.
c. 𝑒 (𝐴 𝑇 ) = (𝑒 𝐴 ) 𝑇
d. 𝑒 𝐴(𝑠+𝑡) = 𝑒 𝐴𝑠 𝑒 𝐴𝑡

## Bukti
a. Akan dibuktikan bahwa: 𝑒 𝟎 = 𝐼
Jika 𝐴 = 𝟎 maka 𝐴 𝑘 = 𝟎, 𝑘 > 0 sehingga
AKSIOMA: Jurnal Matematika dan Pendidikan Matematika Vol. 14, No. 1 April 2024 e-ISSN 2579-7646
𝑒 𝟎 = 𝐼 + 𝟎 + 1 2! 𝟎 2 + ⋯ = 𝐼
Jadi terbukti bahwa 𝑒 𝟎 = 𝐼 , dengan 𝐼 merupakan matriks identitas.
b. Akan dibuktikan bahwa: 𝐴 𝑚 𝑒 𝐴 = 𝑒 𝐴 𝐴 𝑚 𝐴 𝑚 𝑒 𝐴 = 𝐴 𝑚 (∑ 1 𝑘! 𝐴 𝑘 ∞ 𝑘=0 ) = (∑ 1 𝑘! 𝐴 𝑘 𝐴 𝑚 ∞ 𝑘=0 ) = (∑ 1 𝑘! 𝐴 𝑘 ∞ 𝑘=0 ) 𝐴 𝑚 = 𝑒 𝐴 𝐴 𝑚
Jadi terbukti bahwa 𝐴 𝑚 𝑒 𝐴 = 𝑒 𝐴 𝐴 𝑚 .
c. Akan dibuktikan bahwa: 𝑒 (𝐴 𝑇 ) = (𝑒 𝐴 ) 𝑇 𝑒 𝐴𝑇 = ∑ 1 𝑘! (𝐴 𝑇 ) 𝑘 ∞ 𝑘=0 = 𝐼 + 𝐴 𝑇 + 1 2! (𝐴 𝑇 ) 2 + ⋯ = 𝐼 + 𝐴 𝑇 + 1 2! (𝐴 2 ) 𝑇 + ⋯ = (∑ 1 𝑘! 𝐴 𝑘 ∞ 𝑘=0 ) 𝑇 = (𝑒 𝐴 ) 𝑇
Jadi terbukti bahwa 𝑒 𝐴 𝑇 = (𝑒 𝐴 ) 𝑇 .
Jika A merupakan matriks simetri, maka 𝐴 = 𝐴 𝑇 (Andari, 2017). Sehingga 𝑒 𝐴 𝑇 = (𝑒 𝐴 ) 𝑇 = 𝑒 𝐴 simetri.
d. Akan dibuktikan bahwa: 𝑒 𝐴(𝑠+𝑡) = 𝑒 𝐴𝑠 𝑒 𝐴𝑡 𝑒 𝐴𝑠 𝑒 𝐴𝑡 = (∑ 1 𝑗! 𝐴 𝑗 𝑠 𝑗 ∞ 𝑗=0 ) (∑ 1 𝑘! 𝐴 𝑘 𝑡 𝑘 ∞ 𝑘=0 ) = ∑ ∑ 1 𝑗! 𝑘! 𝐴 𝑗+𝑘 𝑠 𝑗 𝑡 𝑘 ∞ 𝑘=0 ∞ 𝑗=0
= ∑ 1 𝑙! 𝐴 𝑙 (𝑠 + 𝑡) 𝑙
∞ 𝑙=0 = 𝑒 𝐴(𝑠+𝑡)
AKSIOMA: Jurnal Matematika dan Pendidikan Matematika Vol. 14, No. 1 April 2024 e-ISSN 2579-7646
Jadi terbukti bahwa 𝑒 𝐴𝑠 𝑒 𝐴𝑡 = 𝑒 𝐴(𝑠+𝑡) . ∎
Misalkan 𝑠 = 1 dan 𝑡 = −1 , maka diperoleh
𝑒 𝐴 𝑒 −𝐴 = 𝑒 𝐴(1+(−1)) = 𝑒 0 = 𝐼 dengan kata lain terlepas dari matriks 𝐴 , matriks eksponensial 𝑒 𝐴 selalu punya invers dan memiliki invers 𝑒 −𝐴 .
Secara  umum  sifat-sifat  pada  fungsi  eksponensial  tidak  dapat digeneralisasi  pada  matriks  eksponensial  karena  sifat  perkalian  matriks yang tidak komutatif, akan tetapi untuk kasus khusus 𝐴𝐵 = 𝐵𝐴 sifat-sifatnya dapat digeneralisasi. Ketika perkalian matriks 𝐴𝐵 = 𝐵𝐴 maka atribut-atribut pada teorema berikut dapat digunakan untuk membantu menghitung suatu matriks eksponensial.
Teorema  6 (Salman & Borkar, 2016) Misalkan 𝛢 dan 𝐵 merupakan suatu matriks 𝑛 × 𝑛 dan 𝑡 merupakan skalar. Jika 𝐴𝐵 = 𝐵𝐴 maka sifat-sifat berikut berlaku:
a. 𝐴𝑒 𝐵 = 𝑒 𝐵 𝐴 b. 𝑒 𝐴 𝑒 𝐵 = 𝑒 (𝐴+𝐵)
c. 𝑒 𝐴 𝑒 𝐵 = 𝑒 𝐵 𝑒 𝐴
d. 𝑒 (𝐴+𝐵)𝑡 = 𝑒 𝐴𝑡 𝑒 𝐵𝑡

## Bukti
a. Akan dibuktikan bahwa: 𝐴𝑒 𝐵 = 𝑒 𝐵 𝐴 𝐴𝑒 𝐵 = 𝐴 (∑ 1 𝑘! 𝐵 𝑘 ∞ 𝑘=0 ) = ∑ 1 𝑘! 𝐴𝐵 𝑘 ∞ 𝑘=0 = ∑ 1 𝑘! 𝐵 𝑘 𝐴 ∞ 𝑘=0 = (∑ 1 𝑘! 𝐵 𝑘 ∞ 𝑘=0 ) 𝐴 = 𝑒 𝐵 𝐴
Jadi terbukti bahwa 𝐴𝑒 𝐵 = 𝑒 𝐵 𝐴.
b. Akan dibuktikan bahwa: 𝑒 𝐴 𝑒 𝐵 = 𝑒 (𝐴+𝐵)
𝑒 𝐴 𝑒 𝐵 = (∑ 1 𝑗! 𝐴 𝑗 ∞ 𝑗=0 ) (∑ 1 𝑘! 𝐵 𝑘 ∞ 𝑘=0 )
AKSIOMA: Jurnal Matematika dan Pendidikan Matematika Vol. 14, No. 1 April 2024 e-ISSN 2579-7646
= ∑ ∑ 1 𝑗! 𝑘! 𝐴 𝑗 𝐵 𝑘 ∞ 𝑘=0 ∞ 𝑗=0
= ∑ ∑ 1 𝑘! (𝑗 − 𝑘)! 𝐴 𝑘 𝐵 𝑗−𝑘 𝑗 𝑘=0 ∞ 𝑗=0 = ∑ 1 𝑙! (𝐴 + 𝐵) 𝑙 ∞ 𝑙=0 = 𝑒 𝐴+𝐵
Jadi terbukti bahwa 𝑒 𝐴 𝑒 𝐵 = 𝑒 (𝐴+𝐵) .
c. Akan dibuktikan bahwa: 𝑒 𝐴 𝑒 𝐵 = 𝑒 𝐵 𝑒 𝐴 𝑒 𝐴 𝑒 𝐵 = 𝑒 𝐴+𝐵 = 𝑒 𝐵+𝐴
= 𝑒 𝐵 𝑒 𝐴
Jadi terbukti bahwa 𝑒 𝐴 𝑒 𝐵 = 𝑒 𝐵 𝑒 𝐴 .
d. Akan dibuktikan bahwa: 𝑒 𝐴𝑡 𝑒 𝐵𝑡 = 𝑒 (𝐴+𝐵)𝑡
𝑒 𝐴𝑡 𝑒 𝐵𝑡 = (∑ 1 𝑗! 𝐴 𝑗 𝑡 𝑗 ∞ 𝑗=0 ) (∑ 1 𝑘! 𝐵 𝑘 𝑡 𝑗 ∞ 𝑘=0 ) = ∑ ∑ 1 𝑗! 𝑘! (𝐴𝑡) 𝑗 (𝐵𝑡) 𝑘 ∞ 𝑘=0 ∞ 𝑗=0 = ∑ ∑ 1 𝑘! (𝑗 − 𝑘)! (𝐴𝑡) 𝑘 (𝐵𝑡) 𝑗−𝑘 𝑗 𝑘=0 ∞ 𝑗=0
= ∑ 1 𝑙! (𝐴 + 𝐵) 𝑙 𝑡 𝑙 ∞ 𝑙=0 = 𝑒 (𝐴+𝐵)𝑡
Jadi terbukti bahwa 𝑒 𝐴𝑡 𝑒 𝐵𝑡 = 𝑒 (𝐴+𝐵)𝑡 . ∎
Selanjutnya  diberikan  sifat  determinan  dari  suatu  matriks  eksponensial pada teorema berikut.
Teorema 7 (Smalls, 2007) Jika 𝐷 merupakan matriks diagonal dan 𝛢 suatu matriks persegi yang dapat didiagonalisasi.
a. 𝑑𝑒𝑡(𝑒 𝐷 ) = 𝑒 𝑡𝑟(𝐷)
b. 𝑑𝑒𝑡(𝑒 𝐴 ) = 𝑒 𝑡𝑟(𝐴)

## Bukti.
a. Akan dibuktikan bahwa: 𝑑𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑡 ( 𝑒 𝐷 ) = 𝑒 𝑡𝑟(𝐷)
AKSIOMA: Jurnal Matematika dan Pendidikan Matematika Vol. 14, No. 1 April 2024 e-ISSN 2579-7646
Karena 𝐷 merupakan matriks diagonal maka
𝐷 = [ 𝜆 1 0 ⋯ 0 0 𝜆 2 … 0 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 ⋯ 𝜆 𝑛 ]
𝑑𝑒𝑡 (𝑒 𝐷 ) =𝑑𝑒𝑡
( 𝑒 [ 𝜆 1 0 ⋯ 0 0 𝜆 2 … 0 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 ⋯ 𝜆 𝑛 ] ) =𝑑𝑒𝑡 ([ 𝑒 𝜆 1 0 ⋯ 0 0 𝑒 𝜆 2 … 0 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 ⋯ 𝑒 𝜆 𝑛 ]) = 𝑒 𝜆 1 +𝜆 2 +⋯+𝜆 𝑛 = 𝑒 𝑡𝑟(𝐷)
Jadi terbukti bahwa 𝑑𝑒𝑡 ( 𝑒 𝐷 ) = 𝑒 𝑡𝑟(𝐷) .
b. Akan dibuktikan bahwa: 𝑑𝑒𝑡(𝑒 𝐴 ) = 𝑒 𝑡𝑟(𝐴) (3)
Karena 𝐴 merupakan suatu matriks persegi yang dapat didiagonalisasikan 𝐴 = 𝑋𝐷𝑋 −1 maka 𝑒 𝐴 = 𝑋𝑒 𝐷 𝑋 −1
Determinannya dapat dijabarkan menjadi
𝑑𝑒𝑡(𝑒 𝐴 )  = 𝑑𝑒𝑡(𝑋) 𝑑𝑒𝑡(𝑒 𝐷 ) 𝑑𝑒𝑡(𝑋 −1 ) = 𝑑𝑒𝑡(𝑒 𝐷 ) = 𝑒 𝜆 1 +𝜆 2 +⋯+𝜆 𝑘 (4)
Ruas kanan Persamaan (3) dapat dijabarkan menjadi
𝑒 𝑡𝑟(𝐴) = 𝑒 𝑡𝑟(𝑋𝐷𝑋 −1 ) = 𝑒 𝑡𝑟(𝐷) = 𝑒 𝜆 1 +𝜆 2 +⋯+𝜆 𝑘 (5)
Karena  hasil  penjabaran  Persamaan  (4)  sama  dengan  Persamaan  (5) maka dapat disimpulkan bahwa 𝑑𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑡 ( 𝑒 𝐴 ) = 𝑒 𝑡𝑟(𝐴) . ∎
Berikut  diberikan  teorema  yang  membahas  mengenai  turunan  dari matriks eksponensial serta pembuktian dari teorema tersebut.
Teorema  8 (Edwards  &  Penney,  2008) Jika 𝐴 merupakan  matriks  persegi dan 𝑡 skalar, maka 𝑑 𝑑𝑡 (𝑒 𝐴𝑡 ) = 𝐴𝑒 𝑡𝐴 .
Bukti.
Akan dibuktikan bahwa: 𝑑 𝑑𝑡 (𝑒 𝐴𝑡 ) = 𝐴𝑒 𝐴𝑡
AKSIOMA: Jurnal Matematika dan Pendidikan Matematika Vol. 14, No. 1 April 2024 e-ISSN 2579-7646
𝑑 𝑑𝑡 (𝑒 𝐴𝑡 )  = 𝑑 𝑑𝑡 (∑ 1 𝑘! 𝐴 𝑘 𝑡 𝑘 ∞ 𝑘=0 ) = ∑ 1 (𝑘 − 1)! 𝐴 𝑘 𝑡 𝑘−1 ∞ 𝑘=1 = 𝐴 ∑ 1 (𝑘 − 1)! 𝐴 𝑘−1 𝑡 𝑘−1 ∞ 𝑘=1 (6)
Jika 𝑙 = 𝑘 − 1 , maka 𝑘 = 𝑙 + 1 . Dari Persamaan (6) diperoleh:
𝑑 𝑑𝑡 (𝑒 𝐴𝑡 )  = 𝐴 ∑ 1 𝑙! 𝐴 𝑙 𝑡 𝑙 ∞ 𝑙=0 = 𝐴𝑒 𝐴𝑡
Jadi terbukti bahwa 𝑑 𝑑𝑡 (𝑒 𝐴𝑡 ) = 𝐴𝑒 𝐴𝑡 . ∎

## D. Simpulan
Berdasarkan  pembahasan  yang  telah  dipaparkan  pada  bab  sebelumnya maka diperoleh kesimpulan yaitu sebagai berikut.
1. Sifat-sifat  pada  fungsi  eksponensial  yang  dapat  digeneralisasi  pada matriks eksponensial yaitu
Tabel 1 Sifat-sifat fungsi eksponensial yang dapat digeneralisasi pada matriks eksponensial
Sifat-sifat pada fungsi eksponensial Sifat-sifat pada matriks eksponensial a. 𝑒 0 = 1 𝑒 0 = 𝐼
dengan 0 merupakan matriks nol dan 𝐼 merupakan
matriks identitas.
b. 𝑒 −𝑥 = 1 𝑒 𝑥
Jika 𝐴 merupakan matriks 𝑛 × 𝑛 maka ,
𝑒 −𝐴 = ∑ 1 𝑘! (−𝐴) 𝑘 ∞ 𝑘=0 = 𝐼 − 𝐴 + 1 2! 𝐴 2 − 1 3! 𝐴 3 + ⋯ c. 𝑒 𝑥 𝑒 𝑦 = 𝑒 𝑥+𝑦 Jika 𝐴 dan 𝐵 merupakan matriks 𝑛 × 𝑛 dan 𝐴𝐵 = 𝐵𝐴 maka berlaku,
𝑒 𝐴 𝑒 𝐵 = 𝑒 𝐴+𝐵 d. 𝑒 𝑥 𝑒 𝑦 = 𝑒 𝑥−𝑦 Jika 𝐴 dan 𝐵 merupakan matriks 𝑛 × 𝑛 dan 𝐴𝐵 = 𝐵𝐴 maka berlaku,
𝑒 𝐴 𝑒 −𝐵 = 𝑒 𝐴−𝐵 e. 𝑑 𝑑𝑥 𝑒 𝑎𝑥 = 𝑎𝑒 𝑎𝑥 𝑑 𝑑𝑡 𝑒 𝐴𝑡 = 𝐴𝑒 𝐴𝑡 dengan 𝑡 merupakan skalar.
Pada fungsi eksponensial terdapat sifat yang memiliki bentuk berbeda dari matriks  eksponensial  yaitu  operasi  pembagian.  Pada  matriks  eksponensial 𝑒 −𝐴 ≠ 1 𝑒 𝐴 karena  operasi  pembagian  tidak  berlaku  pada  matriks.  Akan  tetapi matriks eksponensial 𝑒 𝐴 selalu punya invers dan memiliki invers 𝑒 −𝐴 .
2. Sifat-sifat  yang  terdapat  pada  matriks  eksponensial  yaitu  sebagai berikut.
AKSIOMA: Jurnal Matematika dan Pendidikan Matematika Vol. 14, No. 1 April 2024 e-ISSN 2579-7646
Jika 𝐴 dan 𝐵 merupakan matriks 𝑛 × 𝑛 dan 𝑠 dan 𝑡 merupakan skalar maka berlaku
a. Sifat diagonal pada matriks eksponensial. Jika 𝐷 matriks diagonal dan 𝐴 matriks yang dapat didiagonalisasi maka,
i. 𝑒 𝐷 = [ 𝑒 𝜆 1 0 ⋯ 0 0 𝑒 𝜆 2 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 ⋯ 𝑒 𝜆 𝑛 ] ii. 𝑒 𝐴 = 𝑋𝑒 𝐷 𝑋 −1
dengan 𝑋 nonsingular .
b. 𝐴 𝑚 𝑒 𝐴 = 𝑒 𝐴 𝐴 𝑚 , untuk setiap 𝑚 ∈ 𝑍 dan 𝐴 mempunyai invers
c. Jika 𝐴𝐵 = 𝐵𝐴 , maka berlaku
i. 𝐴𝑒 𝐵 = 𝑒 𝐵 𝐴 ii. 𝑒 𝐴 𝑒 𝐵 = 𝑒 𝐵 𝑒 𝐴 iii. 𝑒 (𝐴+𝐵)𝑡 = 𝑒 𝐴𝑡 𝑒 𝐵𝑡 , untuk setiap 𝑡 merupakan skalar.
d. 𝑒 (𝐴 𝑇 ) = (𝑒 𝐴 ) 𝑇
e. Determinan pada matriks eksponensial yaitu,
i. 𝑑𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑡 ( 𝑒 𝐷 ) = 𝑒 𝑡𝑟(𝐷)
ii. 𝑑𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑡 ( 𝑒 𝐴 ) = 𝑒 𝑡𝑟(𝐴)

## E. Daftar Pustaka
Andari, A. (2017). Aljabar Linear Elementer.  Malang: Universitas Brawijaya Press.
Anton, H., & Rorres, C. (2004). Aljabar Linear Elementer. Jakarta: Erlangga. Bladt, M., & Nielsen, B. F. (2017). Matrix-Exponential Distributions in Applied Probability. New York: Springer.
Chorianopoulos,  C.,  &  Guo,  C.  (2016).  Numerical  Range  for  The  Matrix Exponential Function. Electronic Journal of Linear Algebra, 31, 633-645. Edwards,  C.  H.,  &  Penney,  D.  E.  (2008).  Elementary  Differential  Equations, Sixth Edition. New Jersey: Pearson Education, Inc.
Leon,  S.  J.  (2001).  Aljabar  Linier  dan  Aplikasinya,  Edisi  Kelima.  Jakarta: Erlangga.
Salman,  M.  A.,  &  Borkar,  V.  C.  (2016).  Exponential  Matrix  and  Their Properties. International Journal of Scientific and Innovative Mathematical Research (IJSIMR), 4, 53-63.
Saputro,  A.  P.  (2019).  Matematika  Untuk  Kehidupan:  Fungsi  Eksponensial. Yogyakarta: Deepublish.
Smalls, N. N. (2007). The Exponential Function of Matrices. Georgia: Georgia State University.
AKSIOMA: Jurnal Matematika dan Pendidikan Matematika Vol. 14, No. 1 April 2024 e-ISSN 2579-7646
Thomas, G. B., Weir. M. D., Hass, J., & Heil. C. (2014). Kalkulus Edisi Ketiga Belas. Jakarta: Erlangga.
Varberg, D., Purcell, E. J., & Rigdon, S. E. (2007). Kalkulus Edisi Kesembilan. Jakarta: Erlangga.