Vol. 5, No.2, 66-75,  Januari  2009
Regresi Semiparametrik dengan Pendekatan

## Generalized Estimating Equation (GEE)
Muhammad Abdy †

## Abstrak
In generalized linear model, semiparametric model can be denoted as l (  )= X  +  ( T ), where X and T are  covariates,  is  an  unknown  parameter  vector  and  (.)  is  an  unknown  smooth function. For longitudinal data, estimation of parameter by using Least Squared and Maximum Likelihood  is  inappropriate  because  there  is  tendency  correlation  within  subject.  One  of  the methods to estimate parameter for such data is generalized estimating equation (GEE). In this paper,  we  will  discuss  estimation  of  parametric  and  nonparametric  component  in semiparametric  regression  model  for  longitudinal  data  by  using  GEE  and  asymptotic distribution  of  estimator  of  parametric  component.  In  simulation  study,  it  is  obtained  that value of the estimator of 1  ˆ and 2  ˆ are tend to same as parameter  1 and  2 .
Kata Kunci : Asymptotic,  Generalized  Estimating  Equation,  kernel,  semiparametric regression.

## 1. Pendahuluan
Analisis  regresi  telah  memainkan  peranan  penting  dalam  studi  tentang  hubungan  antara variabel respons dan variabel prediktor. Misalkan y adalah variabel respons dan t adalah variabel prediktor untuk n pengamatan, maka secara umum hubungannya dapat dituliskan sebagai berikut:
y i = m ( t i ) +  i ; i = 1, 2, …, n .                                                  (1)
dimana  m( t i )  merupakan    fungsi  regresi  yang  tidak  diketahui  dan  i adalah  sesatan  acak  yang diasumsikan berdistribusi normal independen dengan mean nol dan varians  2 .
Tujuan  analisis  regresi  adalah  menentukan  pendekatan  model  yang  beralasan  untuk fungsi m ( t i ). Untuk tujuan tersebut dapat digunakan metode regresi parametrik dan metode regresi nonparametrik.  Pendekatan  metode  parametrik  digunakan  apabila  ada  informasi  sebelumnya tentang bentuk m ( t i ) atau memenuhi asumsi bentuk kurva tertentu. Sedangkan pendekatan metode nonparametrik digunakan jika tidak ada informasi tentang bentuk m ( t i ) dan tidak tergantung pada asumsi bentuk kurva tertentu, sehingga memberikan fleksibilitas yang lebih besar.
Dalam  perkembangan  analisis  regresi  selanjutnya,  dikenal  regresi  semiparametrik  yang merupakan  penggabungan  dari  model  regresi  parametrik  dan  nonparametrik.  Model  regresi  ini diperkenalkan oleh Engle dkk (1986) dan Wahba (1984). Adapun model regresi semiparametrik dapat dirumuskan sebagai berikut (dalam notasi matriks):
Y = X  +  ( T ) +  (2)
dimana  adalah  suatu  vektor  parameter  yang  tak  diketahui  dan  (.)  adalah  suatu  fungsi  mulus (smooth). Hubungan antara Y dan X merupakan model parametrik sedangkan hubungan antara Y dan T merupakan model nonparametrik.
† Jurusan Matematika FMIPA Universitas Negeri Makassar Email: muh.abdy@ unm .ac.id

## Muhammad Abdy
Dalam generalized linear model (GLM), model dalam (2) di atas dapat ditulis sebagai: l (  ) = X  +  ( T ), (3)
dimana  mean dari variabel prediktor dan l (.)  suatu fungsi yang diketahui. Untuk data non-longitudinal ( cross-sectional ), telah banyak penulis yang mengembangkan  metode  estimasi  model  semiparametrik  (3).  Green  (1987)  mengusulkan  suatu estimasi  pada  model  semiparametrik  dengan  memaksimumkan  fungsi  likelihood  penalized. Hastie  dan  Tibshirani  (1990)  membahas  suatu  pendekatan  estimasi  yang  didasarkan  pada algoritma  backfitting.  Kemudian  Severini  dan  Staniswalis  (1994)  mengusulkan  suatu  estimasi pada model semiparametrik dengan pendekatan quasi-likelihood.
Untuk data longitudinal, model semiparametrik (3) diatas berbentuk:
l (  ij ) = X ij  +  ( T ij ) (4)
dimana  indeks i menyatakan  unit  pengamatan  dan  indeks j menyatakan  ulangan  pengamatan. Untuk  mengestimasi  model  parametrik,  yaitu  model  dalam  (4)  yang  tidak  memuat  ( T ij ),  telah dikembangkan  oleh  Liang  dan  Zeger  (1986).  Mereka  mengestimasi  parameter  dengan menggunakan persamaan :
g 1 1 ( ) ( ) T n i i i i i              0 β μ β X V Y (5)
dimana g adalah fungsi  invers  dari  fungsi  link  dan V i adalah  matriks  kovarians Y i .    Persamaan ini  lebih  popular  dikenal  sebagai Generalized  Estimating  Equation (GEE).  Liang  dan  Zeger (1986) memperlihatkan bahwa estimator GEE β ˆ berdistribusi normal asimptotik dan konsisten.
Untuk mengestimasi model nonparametrik, yaitu model dalam (4) yang tidak memuat X ij  , telah dikembangkan  oleh  Lin  dan  Carroll  (2000).  Mereka  menggunakan  pendekatan  estimator  kernel polinomial untuk mengestimasi fungsi mulus  ( T ij ). Bentuk persamaan estimasi yang digunakan adalah:
1 ( ) ( ){ } i t t  
   μ 0 n T i i 2i ih i i 1 G D V K Y ,
dimana D i adalah suatu matriks diagonal dengan elemen diagonal g  ( G i T  ) dan K ih adalah matriks diagonal dengan elemen diagonal K h ( t ).
Dalam  tulisan  ini  akan  dikaji  bentuk  estimator    parameter  dan  fungsi  mulus  ( T ij ) dalam model semiparametrik  (4) secara bersama-sama dengan menggunakan modifikasi metode estimasi yang diusulkan oleh Liang dan Zeger (1986) dan Lin dan Carroll (2000).
Perbedaan  kemakmuran  dan  standar  kehidupan suatu daerah  atau  negara  dengan  daerah atau  negara  lain  sering  menimbulkan  pertanyaan  yang  sulit  dijelaskan.  Mengapa  suatu  daerah atau negara yang satu lebih berkembang dari daerah lainnya. Faktor apa saja yang mempengaruhi perkembangan suatu daerah. Faktor apa saja yang mempengaruhi kemakmuran suatu daerah atau negara. Berapa lama waktu yang diperlukan untuk menuju kemakmuran.
Memang  tidak  dapat  dipungkiri  bahwa  dunia  sekarang  lebih  makmur  dari  dunia  masa lalu.    Fenomena  ini,  tentunya  sangat  menarik  untuk  dikaji.    Banyak  model  telah  dibuat  dalam upaya    menerangkan  fenomena  ini.    Ada  model  yang  dapat  bertahan,  demikian  pula  banyak model matematika yang hilang dengan sendirinya yang disebabkan dengan ketidaksuaian dengan fenomena  yang  ada.    Diantara  segelintir  model  yang  dapat  bertahan  adalah  model  Solow  yang bertumpu  pada  empat  pilar  pertumbuhan  yakni  hasil  produksi  ( Y ),  modal/kapital  ( K), tenaga kerja/labour  ( L )  dan  pengetahuan  atau  efektifitas  tenaga  kerja  ( A )  yang  semuanya  merupakan fungsi yang kontinu terhadap waktu.

## 2. Generalized Estimating Equation (GEE)
Generalized  Estimating  Equation (GEE)  merupakan  salah  satu  metode  untuk mengestimasi  parameter  regresi.  Metode  ini  diperkenalkan  pertama  kali  oleh  Liang  dan  Zeger (1986),  dan  banyak  dipakai  dalam  konteks  analisis  data  longitudinal.  Kerangka  dasar  dari methodologi GEE adalah sebagai berikut:
Misalkan Y i = ( Y i 1 , ..., i im Y ) T adalah vektor m i x 1 yang menyatakan variabel respons, X i = ( 1 ,..., i i im X X ) T adalah matriks m i x p yang merupakan nilai dari variabel prediktor untuk subjek ke- i ( i =  1,  …, n ; j =  1,  …, m i )  dan  ij menyatakan  ekspektasi  bersyarat  dari  respons Y ij , diberikan  matriks X i ,    yaitu:  ij =  E( Y ij | X i ),  serta  diasumsikan  hubungan l (  ij )  = X ij  ,  dengan l adalah fungsi link. Selanjutnya, misalkan var( Y ij ) =  V (  ij ), dimana V adalah fungsi dari  ij yang diketahui  dan  adalah  suatu  parameter  dispersi.  Jika  varians Y i pada  quasi-likelihood  diganti dengan  matriks  kovarians Y i ,  yaitu matriks  yang  berbentuk V i = A i 1/2 R i A i 1/2 , dimana A i = diag (  V (  ij (  ))  dan  elemen  ke-( j , k )  dari R i adalah  Corr[ Y ij , Y ik ],    maka  persamaan  estimasi  quasi- likelihood akan menjadi suatu persamaan yang biasa diistilahkan dengan Generalized Estimating Equation, yang berbentuk :
U (  )  = 1 1 ( ) t n i i i i             μ μ β i V Y = 0, (6)
dimana  i =  ( i in i   ..., , 1 ) t .  Estimator  untuk  ,  dinyatakan  dengan GEE β ˆ ,  diperoleh  dengan menyelesaikan persamaan estimasi: U (  )= 1 1 ( ) t n i i i i      
      μ μ β i V Y = 0.
Liang dan Zeger (1986) memperlihatkan bahwa estimator GEE β ˆ berdistribusi normal asimptotik, yaitu:  
ˆ GEE n  β β  N p (0, V GEE )  untuk n   ,
dimana V GEE = lim   N   A B C x x ,
dengan
A = 1 1 1 t N i i i i                               μ μ β β
V ,
B = 1 1 1 cov[ ] t N i i i i i i                               μ μ β β V Y V ,
C = 1 1 1 t N i i i i                               μ μ β β V .

## 3. Estimasi Model Semiparametrik
Diberikan model regresi semiparametrik:
Y ij = ij X β + ( ) ij θ T +  ij , i =1,..., n ; j =1,..., m (7)

## Muhammad Abdy
dimana Y ij adalah  variable  respons  kelompok  ke- i untuk  pengamatan  ke- j ,    ( X ij , T ij )  adalah kovariat  dan ( ) ij θ T adalah  komponen  nonparametrik  yang  merupakan  fungsi  mulus  yang  tidak diketahui. Dalam model GLM, bentuk (7) di atas dapat dinyatakan dalam bentuk:
l (μ ) ij = ij
X β + ( ) ij θ T (8)
dimana μ ij =  E[ Y ij | X ij ]  dan l (.)  adalah  suatu  fungsi  link.  Fungsi  mulus ( ) t  akan  diestimasi dengan  persamaan  estimasi  kernel  dan  akan  diestimasi  dengan  persamaan  estimasi  profil (suatu  persamaan  yang  diperoleh  dengan  cara  mencari  terlebih  dahulu  estimasi ( ) t  kemudian mengkonstruksi  suatu  persamaan  estimasi  dengan  mengetahui ( ) t  untuk  mencari  estimasi  ). Pendekatan  persamaan  estimasi  kernel  untuk  memperoleh  bentuk  estimasi ( ) t  akan  diuraikan sebagai berikut:
Misalkan bahwa (.)  adalah  fungsi polinom orde p , yaitu: (.)  = (.)  T p G ,  dimana ( ) z p G =(1, z ,  …, z p ) T dan T p 0 ) α ,..., α (   .  Misalkan Y i =( Y i1 ,…, Y im ) T dan G ip =[ G p ( T i 1 ),…, G p ( T im )] T . Koefisien  regresi  dapat  diestimasi  dengan  menggunakan  GEE,  yaitu  menyelesaikan persamaan estimasi:
1 1 ( ) n T ip i i i i i  
   G DV Y μ 0 (9) dimana ( ) i i E  μ Y yang mempunyai komponen ke- j [ ) ] T ij p ij g   G (T α ,
{ '( ( ) )} T p ij diag g  i D G T α , g (.)  merupakan  fungsi  invers  dari  fungsi link dari l (.),
V i = 1/ 2 1/ 2 i i i A R A dimana A i =  diag{  V ( ij μ )}  dan R i adalah  matriks  korelasi  yang  invertibel.
Selanjutnya, apabila  (.) suatu fungsi nonparametrik, maka estimator (.) θˆ dapat diperoleh dengan
memfitkan  polinom 0 1 (.- ) ... (.- ) p p t t       terhadap  ( t i , Y i )  dengan  menggunakan  GEE terboboti  dengan  pembobot  kernel K h ( T ij – t ).  Nilai  dari (.) θˆ adalah  nilai  dari 0 αˆ ,  dimana T p 0 ) αˆ ,..., αˆ ( ˆ   solusi dari persamaan estimasi:
1 1 ( ) ( ){ ( ( ) )} n T T ip i i ih i p i t t g t 
    α
G D V K Y G 0 (10)
dimana K ih ( t ) = diag{ K h ( T ij – t )}. Untuk mengestimasi ( ) t  pada model (8) akan digunakan orde p =1 (estimator kernel linier lokal), sehingga ( ) ip t G adalah suatu  matriks  yang  berukuran m i x 2      dengan      baris    ke- j {1,  ( T ij - t )/ h }.  Untuk  mendapatkan  nilai  estimasi ( ) t  pada  model  (8),
maka  terlebih  dahulu  diasumsikan  bahwa  ˆ diketahui  (nilai  initial),  kemudian ( ) t  diestimasi dengan menggunakan (10), yaitu menyelesaikan persamaan estimasi:
-1 2 0 1
1 ( ) ( ){ ( ( ))} 0 n T i i i ih i i i i t t g      
 β
G D V K Y X α α T t)/h (11)
dimana K ih ( t ), D i , V 2 i sama seperti pada (10) tetapi dievaluasi pada ( ) ( (
ij ij ij ij t g      β 0 1 X , X α α T t)/h) .  Setelah  mengestimasi  pada t ,  yaitu ) ( β αˆ ,  maka estimator ( ) t  adalah ) (t θ β ; ˆ = ) ( α 0 β ˆ .  Selanjutnya,  parameter  pada   model    (8)  diestimasi

## Muhammad Abdy
dengan  menggunakan  GEE  parametrik  (5).  Proses  pengestimasiannya  dilakukan  dengan menyelesaikan persamaan estimasi:
1 1 1 ˆ ( ( ; ˆ { ( ( ; ))} n i i i i i i i g g                β θ β β θ β 0 β T X T )) V Y X T (12)
dimana
ˆ( ; i θ β T ) = [ 1 ˆ( ; ) i T  β ,…, ˆ( ; ) i im T  β ] T , V 1 i = 1/ 2 1/ 2 1 i i i S R S , 1/ 2 i S = diag{  V ( ˆ ( ( ; ))} T ij ij g  β β X θ T .
Untuk  mendapatkan ˆ( ) t  dan  ˆ dilakukan  dengan  menyelesaikan  (11)  dan  (12)  secara iteratif dengan menggunakan algoritma scoring Fisher. Nilai ˆ( ) t  diperoleh dengan mencari nilai dari:
( ) ( 1) ˆ ˆ v v    α α 1 1 [ ( ) ( ) ( )] n T i i i i t t t       
  G W G     n 1 i i i ih 1 2i i T i } (t){ (t) μ Y K V D G (13)
dimana  ( v )  adalah  aproksimasi  ke- v .  Selanjutnya,  nilai  dapat  diperbaharui  dengan menyelesaikan:
( ) ˆ v β = ( 1) ˆ v  β - 1 1 1 1
[ ] n T T i i i i i i       
   X D V D X 1 * 1 ˆ { ( ( ; ))} T i i i i i i               n i 1 X DV Y μ X T (14)
Persamaan (13) dan (14) diiterasikan secara simultan sampai konvergen.

## 4. Distribusi Asimptotik Estimator Komponen Parametrik
Pada bagian ini akan dibahas distribusi asimptotik dari estimator  ˆ dengan membuktikan teorema berikut:
Teorema 1.
ˆ { } ( , ) n    β β N 0 V
dimana
-1 1 1 2 1 2 ( ) ( ) T T T T T n i i i i i n   
  V D Z Z Σ Z Z D , dengan cov( | , ) i i i i  Σ Y X T .
Sebelum  membuktikan  teorema  tersebut  di  atas,  akan  diberikan  beberapa  lemma  yang mendukung pembuktian tersebut.
Lemma 1.
-1 2 1 ˆ ( ){ ( ( ; ))} n i i ih i i i t g t      β θ β 0 DV K Y X (15)
dapat dinyatakan sebagai:
ˆ( ; ) t   - ( ) t  = ( N n ) -1 M n + o p (1) (16)
dimana:
N n = -1 2 1 ( ) n i ih i i t   i D V K D dan M n = 1 2 1 ˆ ( ){ ( ( ; )} n i i ih i i i t g t      β θ β
DV K Y X

## Bukti:
Dengan ekspansi deret Taylor  terhadap (15) diperoleh:
1 2 1 ˆ ( ){ ( ( ; )} DV K Y X β θ β n i i ih i j i t g t      = 1 ˆ 2 ( ; ) ( ) 1 ˆ ( ){ ( ( ; )} | θ β θ DV K Y X β θ β n i i ih i i t t i t g t       + 1 ˆ 2 ( ; ) ( ) 1 ˆ ( ){ ( ( ; )} ˆ( )
| θ β θ
DV K Y X β θ β θ n i i ih i i t t i t g t t                   ˆ( ; ) - ( ) θ β  θ t t + o p (1) = M n –   1 2 1 ˆ ( ) ( ; ) - ( ) DV K D θ β  θ n i i ih i i t t t          + o p (1) = 0
Jadi
ˆ( ; )- ( ) θ β  θ t t = ( N n ) -1 M n + o p (1) 
Lemma 2.
1 1 1 ˆ ( ( ; )) ˆ { ( ( ; ))} X β θ T β V Y X β θ T β β
T n i i i i i i i g g                0 (17)
dapat dinyatakan sebagai:
1 ˆ { } { } β β D C n n n n    + o p ( 1/ 2 n  ),
dimana
D n = 1 1 1 1 1 1 [ ] X DV D X XDV DX n i i i i i n i E      C n = 1 1 1 1 ˆ { ( ( ; ))} X DV Y X β θ T β n i i i i i i n i g      dan ˆ( ; ) θ T β X X β i i i       
    
Bukti: Persamaan (17) dapat ditulis sebagai:
1 1 1 ˆ { ( ( ; ))} X DV Y X β θ T β n T i i i i i i i g      = 0 (18)
Dengan ekspansi deret Taylor pada (18), maka didapat:
))} ( ( g { i i i 1 i 1 n 1 i i T i β ; T θˆ β
X Y V D X ~      = n T 1 1 i i 1i i i i n i 1 ˆ { g( ( ; ))} ˆ    
  X D V Y X β θ T β β β
+ 1 1 ˆ 1 1 ˆ { ( ( ; ))} β β X DV Y X β θ T β β n T i i i i i i n i g    
          ( ˆ β β  ) + o p (1/ n ) = 0
= C n - 1 1 1 1 X DV D X n T i i i i i n i          ( ˆ β β  ) + o p (1/ n ) = 0
sehingga
1 ˆ { } { } β β D C n n
n n    + o p ( 1/ 2 n  ) 
Lemma 3.
C n = 1 1 1
1 ˆ { ( ( ; ))} X DV Y X β θ T β n T i i i i i i n i g     
dapat dinyatakan sebagai: C n = C 1n – C 2n + o p (1), dimana:
C 1n = 1 1 1 1 { ) X DV Y μ n T i i i i i n i     dan C 2n = 1 1 1 1 ˆ { ( ; ) ( )} X DV D θ T β θ T n T i i i i i i n i    
Bukti:
Dengan ekspansi deret Taylor pada C n , didapatkan:
C n = 1 1 1 1 ˆ( ; ) ( ) { } | θ β θ X DV Y μ n T i i i i i n i t t      + 1 1 1
1 ˆ( ; ) ( ) ˆ { } ( ( ; ) ( )) ˆ( ) | θ β θ X DV Y μ θ T β θ T θ n T i i i i i i i n i t t t    
            + o p (1) = C 1 n - 1 1 1 1
ˆ ( ( ; ) ( ) X DV D θ T β θ T n T i i i i i i n i           ) + o p (1) = C 1 n – C 2 n + o p (1) 
Selanjutnya  akan  dibuktikan Teorema  1 yang  ekivalen  dengan  mencari  distribusi asimptotik 1 { } D C n n n  .
Diketahui: C 1 n = -1 1 1 1 { - ) X DV Y μ n T i i i i i n i   = 1 1 1 ( ) Z Y μ n T i i i n i   
Baris ke- r dari  persamaan (16)  dapat dinyatakan sebagai:
Q 2 1 1 1 ( ) ( ) n m m i i i jj h jj jk ik ik i k j d K T t v Y      
                     
  
(19)
dimana Q adalah  baris  ke- r dari  ( N n ) -1 .  Selanjutnya,  baris  ke- r dari C 2 n dapat  juga  dinyatakan sebagai :
2 1 1 1 1 1
ˆ ( [ ( ) ] ( ( ; ) ( )) n m m i i ij jj jk ik ik n i k j X d v T T          
      (20)
dimana i jj d adalah  elemen  ke- jj dari  matriks D i , ( ) i h jj K T t  adalah  elemen  ke- jj dari  matriks
( ) K ih t dan 2 i jk v adalah  elemen  ke- jk dari  matriks 1 2 V i  .  Dengan  menggunakan Lemma  1 ,
Lemma 2, dan Lemma 3, maka diperoleh:
C 2 n =   1 2 1 Z Y μ n i i i n i    ,  dimana Z 2 i = [ Z 2 i 1 , …, Z 2 im ] T
Kemudian dengan menggunakan Lemma 2 , diperoleh:
C n = 1 1 1 ( ) Z Y μ n T i i i n i    - 1 2 1 ( ) Z Y μ n T i i i n i    = 1 1 2 1 ( )( ) Z Z Y μ n T T i i i i n i    
Jadi 1 { } D C n n n  = 1 1 1 2 1 { ( )( )} D Z Z Y μ n T T n i i i i n i n      = 1 1 1 2 1 { ( )( )} D Z Z Y μ n T T n i i i i n i     
Selanjutnya akan dicari distribusi asimptotik dari C n n , sebagai berikut:
 
1 2 ( )( ) Z Z Y μ T T i i i i E   = 0
Var   1 2 ( )( ) Z Z Y μ T T i i i i   =   2 1 2 1 2 ( )( ) [( )( )] Z Z Y μ Z Z Y μ T T T T i i i i i i i i E E     
=   2 1 2 1 2 ( ) ( ) ( ) Z Z Y μ Z Z T T T T T i i i i i i E    = 1 2 1 2 ( ) ( ) Z Z Σ Z Z T T T T T i i i i i  
Dengan menggunakan Teorema Limit Pusat diperoleh:
  1 2 ( ) ( )( ) C 0 Z Z Y μ n T T i i i i n Var    =   1 2 ( , ) ( )( ) C Ν 0 I Z Z Y μ d n T T i i i i n Var    
jadi   1 2 , ( )( ) C Ν 0 Z Z Y μ d T T n i i i i n Var     .
Sehingga didapatkan distribusi asimptotik dari
1 { } D C n n n  , yaitu:   1 1 1 2 1 2
, ( ) ( ) Ν 0 D Z Z Σ Z Z D T T T T T n i i i i i n     . Akibatnya, untuk   n maka:   1 1 1 2 1 2 ˆ { } , ( ) ( ) β β Ν 0 D Z Z Σ Z Z D d T T T T T n i i i i i n n        . 

## 4. Studi Simulasi
Studi  simulasi  dilakukan  untuk  memperlihatkan  bahwa  estimator  yang  diturunkan  dari teori adalah valid. Model yang dipilih adalah: Y ij = 1 1 2 2 ( ) ij ij ij ij X X T        dimana ) θ(T ij dianggap bagian nonparametrik. X 1 ij , T ij dan ij  dibangkitkan masing-masing dengan X 1 ij  U (-2,
2)  dan T ij  U (-2,  2)  dan ij   N (0, 1).  Bagian  nonparametrik ( ) ij T  dipilih  tiga  bentuk  fungsi, yaitu:  trigonometri,  eksponensial  dan  polynomial.  1 dan  2 masing-masing  diberikan  nilai tertentu (  1 =1,  2 =3) dan tiap subjek dipilih 3 pengamatan ( m =3). Simulasi ini dilakukan dengan menggunakan software MATLAB. Hasil simulasi diberikan berikut.

## Muhammad Abdy
Tabel 1 . Hasil estimasi parameter model Y ij =  1 X 1 ij +  2 X 2 ij + sin(3 T ij 2 )/ T ij +  ij ,  1 = 1,  2 =3 N mean 1 ˆ  mean 2 ˆ  50 0.9926 3.0246 100 0.9832 2.9879 200 1.0048 2.9924 400 1.0014 3.0128 Tabel 2 . Hasil estimasi parameter model
Y ij =  1 X 1 ij +  2 X 2 i + exp( T ij )+  ij ,  1 = 1,  2 =3 N mean 1 ˆ  mean 2 ˆ  50 1.0042 3.0343 100 0.9959 3.0501 200 0.9957 3.0558 400 1.0069 3.0526 Tabel 3 . Hasil estimasi parameter model
Y ij =  1 X 1 ij +  2 X 2 i + T ij 2 +  ij ,  1 =1,  2 =3
N
mean 1 ˆ  mean 2 ˆ  50 1.0027 2.9238 100 1.0238 3.0168 200 0.9973 3.0611 400 1.0032 2.8915
Dari Tabel 1 sampai Tabel 3, terlihat bahwa nilai estimasi 1 ˆ  dan 2 ˆ  pada berbagai nilai n dan bentuk  fungsi  regresi  yang  berbeda  adalah  cenderung  hampir  sama  dengan  nilai  parameter sebenarnya (  1 dan  2 ). Ini memperlihatkan bahwa estimator βˆ yang diperoleh dari teori adalah valid.

## 5. Kesimpulan
Ada beberapa kesimpulan yang didapatkan dari kajian ini, yaitu:
1. Jika diberikan model: Y ij = ij X β + ( ) ij θ T +  ij , maka parameter komponen parametrik dan bentuk  nonparametriknya  dapat  diestimasi  dengan  metode  pendekatan  GEE  dengan menyelesaikan persamaan berikut:
( ) ( 1) ˆ ˆ v v    α α 1 1 [ ( ) ( ) ( )] n T i i i i t t t          G W G     n 1 i i i ih 1 2i i T i } (t){ (t) μ Y K V D G ( ) ˆ v β = ( 1) ˆ v  β - 1 1 1 1 [ ] n T T i i i i i i
        

##  X D V
D X
Kedua  persamaan    di  atas    diselesaikan  secara  simultan  dan  iteratif  sampai konvergen.
2. Estimator βˆ berdistribusi normal asymptotik, yaitu:
ˆ { } ( , ) n    β β N 0 V untuk n   ,
Muhammad Abdy
dimana V  = 1 1 1 2 1 2 ( ) ( ) D Z Z Σ Z Z D T T T T T n i i i i i n    
3. Dari studi simulasi terlihat bahwa model-model regresi yang diberikan, nilai 1 ˆ  dan 2 ˆ  yang diperoleh  dengan  menggunakan  estimasi  yang  didapatkan  dari  teori  adalah  cenderung mendekati  nilai  1 dan  2 yang  sebenarnya.  Ini  menunjukkan  bahwa  estimator  yang didapatkan adalah cukup layak digunakan untuk mengestimasi.

## Daftar Pustaka
1. Abdy, M., 2007, Suatu Tinjauan Tentang Generalized Estimating Equation, Jurnal Matematika Statistika dan Komputasi , Jurusan Matematika UNHAS, 4, 21 – 27.
2. Engle, R., Granger, C. W. J.,  Rice, J., and Weiss, A., 1986, Semiparametric Estimation of the  Relation  Between  Weather  and  Electricity  Sales , Journal  of  the  American  Statistical Association, 81 , 310 – 320.
3. Green,  P. J.,  1986, Penalized  Likelihood for  General Semiparametric  Regression  Models , International Statistical Review, 55 , 245 – 259.
4. Hastie, T. J., and Tibshirani, R. J., 1990, Generalized Additive Models , Chapman & Hall, London.
5. Liang, K. Y., and Zeger, S. L., 1986, Longitudinal Data Analysis Using Generalized Linear Model , Biometrika, 73 , 13 – 22.
6. Lin,  X.,  and  Carroll,  R.  J.,  2000, Nonparametric  Function  Estimation  for  Clustered  Data When  the  Predictor  is  Measured  Without/With  Error , Journal  of  the  American  Statistical Association, 95 , 520 – 534.
7. ______,  2001, Semiparametric  Regression  for  Clustered  Data , Biometrika ,  88,  1179- 1185.
8. McCullagh, P., 1983, Quasi-likelihood Functions , The Annals of Statistics , 11, 59-67.
9. McCullagh,  P.,  and  Nelder,  J.A.,  1989, Generalized  Linear  Model (2 nd ed.),  Chapman  & Hall. London.
10.   Severini,  T.  A.,  and  Staniswalis,  J.  G.,  1994, Quasi-likelihood  Estimation  in  Model Semiparametric , Journal of the American Statistical Association, 89 , 501- 511.
11.   Wahba,  G.,  198), Partial  Spline  Models  for  the  Semiparametric  Estimation  of  several Variable,  Statistics  Analysis  of  Time  Series , Proceeding  of  the  Japan  US,  Joint  Seminar, Tokyo, pp. 319 -329.
12.   Wedderburn, R.,W. M., 1974, Quasi-likelihood Functions , Generalized Linear Model , and the Gauss-Newton Method , Biometrika , 61, 439 – 447.