Simulasi Numerik Reaksi Fusi Nuklir dengan menggunakan Metode Wong

## Muhammad Zamrun Firihu, Viska Inda Variani, Justina
Jurusan Fisika, FMIPA, Universitas Halu Oleo, Kampus Hijau Bumi Tridharma Anduonohu, Kendari, Sulawesi Tenggara, 93232 viskadhani@yahoo.co.id
Received 20-01-2016, Revised 10-02-2016, Accepted 17-03-2016, Published 20-04-2016

## ABSTRAK
Simulasi  numerik  untuk  menghitung  tampang  lintang  reaksi  fusi  nuklir  yang  melibatkan  inti- inti ringan telah dilakukan dengan menggunakan formula Wong. Reaksi-reaksi fusi nuklir yang dikaji  dalam  penelitian  adalah 12 C+ 12 C, 16 O+ 12 C  dan 16 O+ 16 O.  Hasil  simulasi  perhitungan tampang lintang yang diperoleh dengan menggunakan formula Wong kemudian dibandingkan dengan hasil eksperimen. Untuk memeriksa keakuratan hasil perhitungan dibandingkan dengan hasil  ekperimen  maka  dilakukan  perhitungan  nilai  Chi–kuadrat.  Hasil  perhitungan  tampang lintang  dan  nilai  Chi–kuadrat  menunjukkan  bahwa  hasil  simulasi  dapat  menjelaskan  data eksperimen tampang lintang reaksi  fusi bagi reaksi-reaksi  yang dikaji. Hasil ini  menunjukkan bahwa formula Wong dapat digunakan untuk mengkaji reaksi fusi nuklir yang melibatkan inti– inti ringan.
Kata kunci: Formula Wong, Reaksi Fusi Nuklir, Tampang Lintang, Chi-kuadrat

## ABSTRACT
The  numerical  simulation  for  calculating  the  cross  section  of  fusion  reaction  is  done  by  using  Wong formula. We especially calculated the cross section for the fusion reaction of light systems, i.e. 12 C+ 12 C,
16 O+ 12 C and 16 O+ 16 O reactions. We compared the obtained cross section with experimental data . In order to check the accuracy of the calculations, the chi-square analisys is then permormed. We  found that the simulation results of the fusion cross section obtained using Wong Formula well explain the experimetal data  of  the  fusion  cross  section  for  the 12 C+ 12 C, 16 O+ 12 C  and 16 O+ 16 O  reactions.  This  finding  indicates that the Wong formula can be used for studing the fusion reaction of light systems.
Keywords: Wong Formula, fusion reaction, cross section, Chi Square

## PENDAHULUAN
Reaksi  inti  adalah  proses  perubahan  yang  terjadi  dalam  inti  atom.  Reaksi  inti  atau  biasa disebut  dengan  reaksi  nuklir  merupakan  interaksi  antara  dua  buah  inti  atom  atau  partikel inti  atom  yang  saling  bertumbukan  sehingga  menghasilkan  inti  atom  baru  disertai pelepasan energi. Prosesnya terjadinya reaksi nuklir antara sebuah inti proyektil a dan inti target X dan  menghasilkan  sebuah  inti Y dan  sebuah  partikel b dapat  dijabarkan  sebagai berikut
𝑎 + 𝑋 → 𝑌 + 𝑏 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑋(𝑎, 𝑏)𝑌
(1)
a = inti atom proyektil, b = partikel  hasil, X = inti atom target, Y = inti hasil reaksi. Jika proses reaksi inti menghasilkan inti hasil reaksi memiliki nomor massa dan jumlah proton yang  lebih  besar  maka  reaksinya  lebih  dikenal  sebagai  reaksi  fusi  nuklir.  Inti–inti  berat yang  terbentuk  dapat  stabil  karena  pengaruh  gaya  ikat  nuklir  atau  yang  dikenal  sebagai gaya  inti  agar  supaya  memberikan  gaya  ikat  nuklir  lebih  kuat  dari  gaya  tolak  menolak Coulomb [1] . Contoh reaksi fusi nuklir adalah:
𝐻 1 1 + 𝐻 1 3 → 𝐻𝑒 2 4 + 𝑛 0 1 + 17,59 𝑀𝑒𝑉
(2)
Dimana, 𝐻 1 2 = deuterium (inti proyektil) 𝐻 1 3 = tritium (inti target)
𝐻𝑒 2 4 = Helium (inti atom baru) dan 1 0 n = neutron [2] .
Secara  eksperimen  untuk  melihat  seberapa  besar  peluang  terjadinya  reaksi  fusi  nuklir dilakukan  melalui  pengukuran  tampang  lintang  reaksi  fusi  dimana  semakin  besar  nilai tampang lintang yang terukur maka pekuang terjadinya reaksi juga semakin besar. Dalam makalah ini simulasi numerik untuk melakukan proses perhitungan tampang lintang reaksi fusi  dilakukan  dengan  menggguakan  formula  Wong  yang  diturunkan  secara  analitik dengan  menggunakan  asumsi  model  serapan  kuat  gelombang  berjalan  ( ingoing–wave strong–absorption ) [3] .  Beberapa studi telah dilakukan untuk menjelaskan  data eksperimen tersebut [4-9] .  Reaksi-reaksi  fusi  yang  ditinjau  adalah  reaksi  fusi  yang  melibatkan  inti-inti ringan yaitu 12 C+ 12 C, 16 O+ 12 C dan 16 O + 16 O dimana data eksperimen tampang lintangnya telah  diperoleh  [10,11,12,13,14].  Dalam  makalah  ini  dilakukan  proses  simulasi  secara simultan  sehingga  diperoleh  visualisasi  hasil  perbandingan  antara  teori  dan  eksperimen untuk reaksi-reaksi fusi nuklir di atas.

## METODE
Pada  tahun  1973,  Wong  meninjau  tanggul  potensial  untuk  reaksi  nuklir  antara  partikel bermuatan  dengan  pendekatan  tanggul  Coulomb  melalui  inversi  potensial  osilator harmonik  berketinggian B V dan  frekuensi l  .  Untuk  energi E ,  probabilitas P ( l , E )  untuk absorpsi dari gelombang parsial ke– l diberikan oleh persamaan Hill–Wheeler [15] :
𝑃(𝑙, 𝐸) = 1 1+𝑒𝑥𝑝 [𝑉 𝐵 −𝐸]/ℏ𝜔 𝑙 (3)
dengan, 𝑃(𝑙, 𝐸) = probabilitas, 𝑉 𝐵 = tanggul  potensial atau biasa disebut sebagai  tanggul Colomb (MeV), 𝐸 0 = energi (MeV), ℏ𝜔 𝑖 = 𝑘𝑒𝑙𝑒𝑛𝑔𝑘𝑢𝑛𝑔𝑎𝑛 ( MeV ) .
Dengan  berpijak  pada  Persamaan  1,  maka  Wong  dapat  merumuskan  secara  analitik formula untuk menghitung tampang lintang reaksi fusi sebagai [3,7,16,17,18] .
𝜎 𝑓 (𝐸) = 𝑅 𝐵 2 ℏ𝜔 𝐵 2𝐸 ln {1 + exp [ 2𝜋 ℏ𝜔 𝐵 (𝐸 − 𝑉 𝐵 ]} (4)
Dari  Persamaan(4)  tampak  bahwa  tampang  lintang  reaksi  fusi  bergantung  pada  tiga  buah parameter  terikat  yaitu 𝑉 𝐵 , 𝑅 𝐵 , dan ℏ𝜔 𝐵 dengan R B merupakan  posisi  dimana  tanggul Coulomb  dan  satu  buah  parameter  bebas  yaitu E .  Nilai  dari  parameter-parameter  terikat tersebut  dapat  diperoleh  jika  potensial  total  dari  dua  buah  inti  yang  bereaksi  diketahui. Potensial  total  ini  merupakan  gabungan  dari  potensial  Coulomb  yang  sifatnya  tolak menolak dan potensial inti yang sifatnya tarik menarik. Potensial total ini diberikan sebagai
𝑉 (𝑡𝑜𝑡) (𝑟) = 𝑉 𝑐 (𝑟) + 𝑉 𝑁 (𝑟) (5)
Suku pertama pada Persamaan 5 merupakan interaksi Coulomb dan diberikan sebagai
𝑉 𝑐 (𝑟) = 𝑍 𝑃 𝑍 𝑇 𝑒 2 𝑟 (6)
dengan 𝑍 𝑃 dan 𝑍 𝑇 berturut-turut merupakan nomor atom inti proyektil dan nomor atom inti target.  Sedangkan  suku  kedua  merupakan  potential  inti  yang  dalam  hal  ini  diasumsikan berbentuk potensial Akyuz-Winther [19] yaitu
𝑉 𝑁 (𝑟) = −𝑉 0 {1+ exp [𝑟−𝑅 0 ]/𝑎} (7)
Nilai  parameter  kedifusian  pada  Persamaan  7  diambil  sebagai 𝑎 = 0,63 fm  sedangkan parameter kedalaman, 𝑉 0 , dan radius inti-inti yang bereaksi dihitung dengan menggunakan persaman-persamaan berikut.
𝑉 0 = 16𝜋𝛾𝑅̅𝑎 ( MeV) (8)
𝑅 0 = 𝑅 𝑃 + 𝑅 𝑇 + 0,29  ( fm) (9)
𝑅 𝑇(𝑃) = 1,233𝐴 𝑇(𝑃) 1/3 − 0,98𝐴 𝑇(𝑃) −1/3
(10)
𝑅̅ = 𝑅 𝑇 𝑅 𝑃 𝑅 𝑇 +𝑅 𝑃 (11)
Pada Persamaan(8), nilai parameter tegangan permukaan, 𝛾 , dihitung menggunakan rumus 𝛾 = 𝛾 0 [1 − 𝑘 ( (𝑁 𝑇 −𝑍 𝑇 )(𝑁 𝑃 −𝑍 𝑃 ) 𝐴 𝑇 𝐴 𝑃 )] (12)
dengan 𝑁 𝑇(𝑃) berturut-turut adalah jumlah netron inti target (proyektil), parameter 𝑘 = 1,8 , dan  parameter 𝛾 0 = 0,95 MeV fm 2 .  Dengan  demikian  maka  nilai  potensial  total  pada Persamaan(5) dapat dihitung untuk setiap nilai r . Nilai 𝑉 𝐵 diperoleh sebagai nilai tertinggi dari potensial totalnya sedangkan 𝑅 𝐵 adalah posisi dimana nilai 𝑉 𝐵 berada. Nilai parameter kelengkungan dihitung dengan menggunakan persamaan [3] .
ℏ𝜔 𝐵 = ℏ [( 𝑑 2 𝑉(𝑟) 𝑑𝑟 2 | 𝑅 𝐵 ) 𝜇 ⁄ ] (13)
Dengan demikian maka  tampang lintang reaksi  fusi  sebagai fungsi  energy  dapat dihitung dengan menggunakan Persamaan 4.
Untuk  melihat  keakuratan  nilai  tampang  lintang  yang  diperoleh  dengan  formula  Wong pada Persamaan 4 maka dilakukan perhitungan nilai chi-kuadrat menggunakan Persamaan 14.
𝜒 2 = 1 𝑁 ∑ (𝜎 exp[𝑖] −𝜎 exp[𝑖] ) 2 Δ𝜎 exp[𝑖] 2 𝑁 𝑖=1 (14)
dengan N adalah  jumlah  data  dan Δ𝜎 exp adalah  ralat  dari  data  eksperimen.  Jika  nilai 𝜒 2 yang  diperoleh  semakin  kecil  maka  kesesuaian  antara  nilai  teori  dan  nilai  semakin  baik. Kesesuain sempurna anatar teori dan eksperimen terjadi jika diperoleh nilai 𝜒 2 = 0 [20].

## HASIL DAN PEMBAHASAN
Pada bagian ini dilakukan perhitungan nilai tampang lintang reaksi fusi bagi reaksi nuklir 𝐶 12 + 𝐶 12 , 𝑂 16 ,  dan 𝑂 + 16 , 𝑂 16 .  Proses  perhitungan  dan  simulasi  numeriknya  dilakukan dengan  menggunakan  Program  Fusi16  [21]  yang  mengintegrasikan  seluruh  proses perhitungan menggunakan Persamaan 3-Persamaan 14.
Penentuan Nilai 𝑽 𝑩 , 𝑹 𝑩 , dan ℏ𝝎 𝑩
Pertama-tama dilakukan perhitungan nilai-nilai 𝑉 𝐵 , 𝑅 𝐵 , dan ℏ𝜔 𝐵 untuk ketiga reaksi  yang dikaji. Proses perhitungan nilai-nilai ini untuk reaksi inti 12 C+ 12 C serta potensial total yang dihasilkan ditunjukkan pada Gambar 1. Hasil simulasi untuk reaksi ini memberikan 𝑉 𝐵 = 6,180 MeV, 𝑅 𝐵 = 7,70 fm , dan ℏ𝜔 𝐵 = 2,765 MeV.  Dengan  cara  sama  dilakukan  untuk reaksi-reaksi 12 C+ 16 O dan 16 O+ 16 O. Untuk reaksi 12 C+ 16 O diperoleh 𝑉 𝐵 = 8,04 MeV, 𝑅 𝐵 = 7,90 fm , dan ℏ𝜔 𝐵 = 2,931 MeV.  Dan  untuk  reaksi 16 O+ 16 O  memberikan  hasil 𝑉 𝐵 = 10,46 MeV, 𝑅 𝐵 = 8,10 fm , dan ℏ𝜔 𝐵 = 3,08 MeV.
Gambar 1. (Colour online) Proses penentuan 𝑉 𝐵 , 𝑅 𝐵 , dan ℏ𝜔 𝐵 dan total potensial untuk sistem 12 C + 12 C

## Perhitungan Tampang Lintang Reaksi Fusi Nuklir
Gambar  2. (Colour  online) Perbandingan  tampang  lintang  reaksi  fusi  hasil  simulasi  dan  hasil  eksperimen untuk sistem 𝐶 12 +  𝐶 12 . Data Eksperimen diambil dari Ref. [10] .
Hasil  perhitungan  tampang  lintang  reaksi  fusi  untuk  sistem 12 C  + 12 C  ditunjukan  pada Gambar  2.  Hasil  perhitungan  ditunjukkan  oleh  garis  merah  sedangkan  nilai  eksperimen ditunjukkan  oleh  titik-titik  hitam.  Tampak  bahwa  hasil  perhitungan  sudah  mengikuti kecenderungan  data  hasil  ekperimen  walaupun  pada  energi  di  atas  26  MeV  hasil
perhitungan  jauh  melebihi  nilai  eksperimen.  Hal  ini  sudah  dapat  dijelaskan  oleh  Rowley dan  Hagino [5] dengan  menggunakan  formula  Wong  umum.  Namun  ini  diluar  dari pembahasan  yang  dilakukan  dalam  makalah.  Hasil  perhitungan  nilai  chi-kuadrat memberikan hasil 𝜒 2 = 11,07 . Hasil ini menunjukkan bahwa nilai  teori  sudah mendekati nilai eksperimen.
Gambar  3  menunjukkan  perbandingan  grafik  antara  nilai  tampang  lintang  hasil  simulasi dan  nilai  tampang  lintang  hasil  eskperimen  untuk  sistem 16 O+ 12 C.  Hal  ini  dapat  dilihat dengan  kasat  mata  dari  grafik  yang  diperoleh  menunjukkan  bahwa  kenaikan  grafik  dari perhitungan  tampang  lintang  secara  simulasi  dapat  mengukuti  kontur  grafik  dari perhitungan  tampang  lintang  hasil  eksperimen.  Nilai Chi-kquare untuk  sistem 16 O+ 12 C adalah  1,79.  Hasil  ini  menujukkan  bahwa  formula  Wong  dapat  menjelaskan  data eksperimen dengan sangat baik.
Gambar  3. (Colour  online) Perbandingan  tampang  lintang  reaksi  fusi  hasil  simulasi  dan  hasil  eksperimen untuk  sistem 𝑂 16 +   𝐶 12 .  Hasil  perhitungan  ditunjukkan  oleh  garis  merah  sedangkan  nilai eksperimen ditunjukkan oleh titik-titik hitam Data Eksperimen diambil dari Ref. [11] .
Gambar  4. (Colour  online) Perbandingan  tampang  lintang  reaksi  fusi  hasil  simulasi  dan  hasil  eksperimen untuk  sistem 𝑂 16 +  𝑂 16 .  Hasil  perhitungan  ditunjukkan  oleh  garis  merah  sedangkan  nilai eksperimen ditunjukkan oleh titik-titik hitam Data Eksperimen diambil dari Ref. [11] .
Hasil  simulasi  tampang  lintang  sistem 16 O+ 16 O  ditunjukkan  pada  Gambar  4.  Hasil  yang diperoleh  kurang  lebih  sama  dengan  dengan  hasil  untuk  sistem 12 C  + 12 C  dan 12 C  + 16 C dimana hasil teroi sudah mengikuti kecendurngan hasil ekperimen. Namun dari Gambar 4 ini  juga  tampak  bahwa  hasil  perhitungan  untuk  energy  dibawah  8  MeV  melebihi  nilai
ekperimen sedangkan untuk energy di atas 9 MeV nilai teori kurang dari nilai ekeprimen. Hal ini juga ditunjukkan dengan Chi-kuadrat yang cukup yaitu 73,44. Nilai ini jauh lebih besar dibandingkan dengan nilai Chi-kuadrat untuk sistem 12 C + 12 C dan 12 C + 16 C . Jadi studi lebih lanjut perlu dilakukan untuk memperoleh hasil lebih baik.

## KESIMPULAN
Telah  dilakukan  simulasi  numerik  perhitungan  tampang  lintang  reaksi  fusi  untuk  reaksi- reaksi  nuklir 12 C+ 12 C, 12 C+ 16 C, 16 O+ 16 O  dengan  menggunakan  formula  Wong.  Hasil simulasi menunjukkan bahwa hasil teori dapat menjelaskan hasil eksperimen dengan baik. Terutama untuk reaksi 12 C+ 12 C dan 12 C+ 16 C dimana nilai chi-kuadrat  yang diperoleh juga cukup  kecil.  Untuk  sistem 16 O+ 16 O,  walaupun  secara  umum  hasil  teori  sudah  mendekati hasil  ekeprimen  akan  tetapi  belum  terlalu  baik  karena  nilai  chi-kuadrat  yang  diperoleh masih  besar  yaitu  73,44.  Dengan  demikian  studi  lebih  lanjut  perlu  dilakukan  dengan menggunakan  Formula  Wong  Umum [5] maupun  dengan  cara  melakukan  optimasi parameter-parameter dari potensial inti nuklir.

## DAFTAR PUSTAKA
1. Wiyatmo,  Y.  2006. Fisika  Nuklir  dalam  Telaah  Semi–Klasik  dan  Kuantum . Yogyakarta: Pustaka Belajar.
2. Darmadi,  A.  2009. Fisika  Inti  dan  Radioaktivitas .  Universitas  Negeri  Yogyakarta, Yogyakarta.
3. Wong,  C.  Y.  1973.  Interaction  Barrier  in  Charged–Particle  Nuclear  Reactions. Phys. Rev., Vol. 31, No. 12.
4. Esbensen,  H.  2012.  Structures  in  High–Energy  fusion  data. Phys.  Rev.  C. ,  Vol.  85, 064611.
5. Rowley,  N.,  and  Hagino,  K.  2015.  Examination  of  fusion  cross  sections  and  fusion oscillations with a generalized Wong formula. Phys. Rev. C . Vol. 91, 044617.
6. Wong,  C.  Y.  2012.  Reaction  Cross  Section  in  Heavy–Ion  Collisions. Phys.  Rev.  C ., Vol. 86, 064603.
7. Balantekin,  A.  B. and Takigawa, N. 1998. Quantum tunneling in  nuclear fusion. Rev. Mod. Phys., Vol. 70, No. 77.
8. Backerman, M. 1998. Sub–barrier fusion of two nuclei. Phys. Rep. , Vol. 51, 1047.
9. Aziz,  A.  A.,  Yusof,  N.,  Firihu,  M.  Z.,  and  Kassim,  H.  A.  2015.  Reliability  of  the double–folding  potential  for  fusioncross  sections  of  light  systems. Phys.  Rev.  C, Vol. 91, 015811.
10. Kolata,  J.  J.,    Freeman,  R.  M.,    Haas,    F.,  Heusch,  B.,  and  Gallmann,  A.  1980. Reaction cross sections for 12 C+ 12 C. Phys. Rev. C, Vol. 21, 579.
11. Eyal, Y., Beckerman, M., Chechik, R., Fraenkel, Z., and Stocker, H. 1976. Nuclear size and boundary  effects  on the fusion barrier of oxygen with  carbon. Phys. Rev. C , Vol. 13, 1527.
12. Thomas,  J.,  Chen,  Y.  T.,  Hinds,  S.,    Meredith,  D.,  and  Olson,  M.  1986.  Sub–barrier fusion of the oxygen isotopes: A more complete picture. Phys. Rev. C , Vol. 33, 1679.
13. Barron-Palos,  L.,  Aguilera,  E.  F.,  Aspiazu,  J.,  Huerta,  A.,  Martinez-Quiroz,  E., Monroy, R., Mareno,  E., Murillo, G.,  Ortiz, M.  E., Policroniades, R., Verela,  A., and Chavez,  E.  2006.  Absolute  cross  sections  measurement  for  the 12 C  + 12 C  system  at astrophysically relevant energies. Nucl. Phys. A, Vol. 779, 318.
14. Spinka, H. and Winkler, H. 1974. Experimental determination of the total rection cross section of the stellar nuclear reaction 16 O + 16 O. Nucl. Phys. A, Vol. 233 , 456.
15. Hill,  D.  L.  and  Wheeler,  J.  A.  1953.  Nuclear  Constitution  and  the  Interpretation  of fission Phenomena. Phys. Rev. , Vol. 89, 1102.
16. Santhosh,  K.  P.  and  Jose,  V.  B.  2014.  Heavy–Ion  Fusion  Reactions  of 16 O  on Spherical/Deformed 144-154 sm  Targets  Using Coulomb and Proximity Potentials. Nucl. Phys., Vol. 66, No. 4, pp. 939–951.
17. Godre,  S.  S.  2014.  Classical  simulations  of  heavy–ion  fusion  reactions  and  weakly– bound  projectile  breakup  reactions. Indian  Academy  of  Sciences, Vol.  82,  No.  5,  pp. 879-891.
18. Frobrich,  P.  and  Lipperheide,  R.  1996. Theory  of  Nuclear  Reactions .  Hahn-Meitner Institude, Oxford Science Publications, Berlin.
19. Akyuz,  R.  O.  and  Winther,  A.  1979. Parameterization  Of  The  Nucleus–Nucleus Potential ,  edited  by  Broglia,  R.  A.,  Dasso,  C.  H.,  dan  Ricci,  R.,  North  Holland, Amsterdam.
20. Wibirama,  S.  2015. Distribusi  Chi–Kuadrat  (Chi–Square) ,  Universitas  Gajah  Mada, Yogyakarta.
21. Justina.  2016.  Simulasi  Numerik  Tampang  Lintang  Reaksi  Fusi  Nuklir  yang Melibatkan Inti–Inti Ringan. Skripsi . Jurusan Fisika FMIPA, Universitas Halu Oleo.
22. Dasgupta, M., Hinde, D. J., Rowley, N., and Stefanini, A. M. 1948. Annu. Rev. Nucl. Part. Sci., Vol. 48, No. 401.