## PEMBUKTIAN SIFAT RUANG BANACH PADA 𝑫(𝑲)

## Malahayati
Program Studi Matematika Fakultas Sains dan Teknologi UIN Sunan Kalijaga malahayati_01@yahoo.co.id
ABSTRACT. In  this  paper  we  study  class  of  all  functions  which  are  differences  of bounded  semicontinuous  functions  on  a  separable  metric  space  K  denoted  by 𝐷 𝐾 . Haydon , Odell and Rosenthal (1991) proved that 𝐷 𝐾 is a Banach space by using the series criterion for completeness. In this paper we prove the statement in a different way.
Keywords : Banach Space, Semicontinuous function, The Class 𝐷 𝐾 .
ABSTRAK. Di dalam paper ini dipelajari kelas semua fungsi yang merupakan selisih fungsi-fungsi  semikontinu  terbatas  pada  ruang  metrik  separabel  K  yang  dinotasikan dengan 𝐷 𝐾 .  Haydon,  Odell  dan  Rosenthal  (1991)    membuktikan  bahwa 𝐷 𝐾 merupakan  ruang  Banach  dengan  menggunakan  kriteria  deret  untuk  kelengkapan.  Di dalam paper ini hal tersebut dibuktikan dengan cara yang berbeda .
Kata Kunci : Ruang Banach, Fungsi Semikontinu, Kelas 𝐷 𝐾 .

## 1. PENDAHULUAN
Himpunan  semua  fungsi  Baire  kelas  satu  yang terbatas  pada K ditulis 𝐵 1 𝐾 , dengan K sembarang  ruang  metrik  separabel. Salah  satu  kelas  bagian terpenting dari 𝐵 1 𝐾 adalah 𝐷 𝐾 , yang menotasikan kelas semua fungsi pada 𝐾 yang  merupakan  selisih  fungsi-fungsi  semikontinu  terbatas  pada K. Kelas 𝐷 𝐾 pertama kali dikenalkan oleh A.S Kechris dan Louveau pada tahun 1990.
Sejalan  dengan  kemajuan  sains  dan  teknologi,  kajian  tentang 𝐷 𝐾 juga mengalami  perkembangan  sehingga  muncul  beberapa  pengertian  tentang 𝐷 𝐾 dan norma pada 𝐷 𝐾 , seperti yang ditulis oleh Haydon, Odell, Rosenthal (1991) dan Rosenthal (1994) serta Farmaki (1996).
Kelas  fungsi 𝐷 𝐾 memiliki  peranan  penting  dalam  cabang  matematika diantaranya  analisis  fungsional,  khususnya    dalam  pengaplikasian  teori  ruang Banach.
Hasil temuan Haydon, Odell, Rosenthal dan Farmaki tersebut memberikan inisiatif untuk  mempelajari lebih dalam tentang  kelas fungsi 𝐷 𝐾 .  Lebih  lanjut, karena belum ada pembuktian secara detail tentang sifat ruang Banach pada 𝐷 𝐾 maka dalam paper ini akan diberikan pembuktian sifat tersebut.
Sebelumnya  diberikan  terlebih  dahulu  definisi  fungsi  semikontinu  yang akan  digunakan  dalam  pendefinisian  kelas  fungsi 𝐷 𝐾 .  Fungsi  –  fungsi  yang dibicarakan  bernilai  real  dan  didefinisikan  pada 𝐸 ,  dengan E himpunan  bagian dari sebarang ruang metrik .
Definisi 1.1 Diberikan fungsi f yang didefinisikan pada 𝐸 dan 𝑥 0 ∈ 𝐸 .
1) Limit  atas  (upper  limit)  fungsi    f    untuk  x  mendekati 𝑥 0 ditulis  dengan lim 𝑥→𝑥 0 𝑓 𝑥 dan didefinisikan :
lim 𝑥→𝑥 0 𝑓 𝑥  = inf  𝑀 𝜀 𝑓, 𝑥 0 : 𝜀 > 0 ,
dengan 𝑀 𝜀 𝑓, 𝑥 0 = sup 𝑓 𝑥 : 𝑥 ∈ 𝑁 𝜀 𝑥 0 ∩ 𝐸 .
2) Limit  bawah  (lower  limit)  fungsi    f    ketika  x  mendekati 𝑥 0 ditulis  dengan lim 𝑥→𝑥 0 𝑓 𝑥 dan didefinisikan :
lim 𝑥→𝑥 0 𝑓 𝑥  = sup  𝑚 𝜀 𝑓, 𝑥 0 : 𝜀 > 0 ,
dengan 𝑚 𝜀 𝑓, 𝑥 0 = inf  𝑓 𝑥 : 𝑥 ∈ 𝑁 𝜀 𝑥 0 ∩ 𝐸 .
Definisi 1.2 Diberikan fungsi  f  yang didefinisikan pada 𝐸 dan 𝑥 0 ∈ 𝐸.
1) Fungsi 𝑓 dikatakan  semikontinu  atas    ( upper  semicontinuous )    di 𝑥 0 apabila 𝑓 𝑥 0 = lim 𝑥→𝑥 0 𝑓 𝑥 . Selanjutnya, fungsi 𝑓 dikatakan semikontinu atas  pada  E  apabila  fungsi  f  semikontinu atas  disetiap 𝑥 ∈ 𝐸.
2) Fungsi 𝑓 dikatakan  semikontinu    bawah    ( lower  semicontinuous )    di 𝑥 0 apabila 𝑓 𝑥 0 = lim 𝑥→𝑥 0 𝑓 𝑥 . Selanjutnya,  fungsi 𝑓 dikatakan  semikontinu
bawah  pada  E  apabila  fungsi  f  semikontinu bawah  disetiap 𝑥 ∈ 𝐸.
3) Fungsi  yang  semikontinu  atas  atau  semikontinu  bawah    dinamakan  fungsi semikontinu.
42                                                                                                                                       Malayahati

## 2. HASIL DAN PEMBAHASAN
Pada  bagian  ini  akan  dibahas  pengertian  dan  beberapa  sifat  pada 𝐷 𝐾 dilanjutkan dengan membuktikan sifat ruang Banach pada 𝐷 𝐾 . Fungsi – fungsi yang  dibicarakan  bernilai  real  dan  didefinisikan  pada 𝐾 ,  dengan K sebarang ruang  metrik  separabel  kecuali  disebutkan  lain.  Selain  itu,    himpunan  semua fungsi – fungsi kontinu pada K dinotasikan dengan 𝐶 𝐾 .
Fungsi f dikatakan  anggota 𝐷 𝐾 jika  terdapat fungsi  –  fungsi semikontinu terbatas u dan v pada K sehingga 𝑓 = 𝑢 − 𝑣 .
Di  dalam  membahas  sifat-sifat 𝐷(𝐾) ,  pemakaian  definisi 𝐷(𝐾) secara langsung  cukup  menyulitkan.  Oleh  karena  itu,  diperlukan  suatu  hasil  yang  lebih memudahkan  dalam  pembahasan  yang  dimaksud.  Hal  ini  telah  ditulis  oleh Farmaki (1996) yang tertuang dalam lemma-lemma berikut ini.
Lemma  2.1 Fungsi 𝑓 ∈ 𝐷 𝐾 jika  dan  hanya  jika  terdapat  fungsi-fungsi semikontinu bawah  terbatas u dan v  pada K, sehingga 𝑓 = 𝑢 − 𝑣 .
Lemma  2.2 Fungsi 𝑓 ∈ 𝐷 𝐾 jika  dan  hanya  jika  terdapat  fungsi  –  fungsi semikontinu bawah terbatas 𝑢, 𝑣 ≥ 0 pada K,  sehingga 𝑓 = 𝑢 − 𝑣 .
Untuk sembarang ruang metrik separabel K, jelas bahwa 𝐷(𝐾) merupakan ruang  linear.  Selanjutnya,  diberikan  definisi  fungsi . 𝐷 ,  yang  akan  sangat bermanfaat dalam pembuktian berikutnya.
Definisi  2.3 Diberikan  ruang  metrik  separabel  K,  didefinisikan  fungsi . 𝐷 : 𝐷 𝐾  → 𝑹, dengan
𝑓 𝐷 = 𝑖𝑛𝑓  𝑢 + 𝑣 ∞ ∶ 𝑓 = 𝑢 − 𝑣, 𝑑𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑢, 𝑣 ≥ 0 𝑓𝑢𝑛𝑔𝑠𝑖 − 𝑓𝑢𝑛𝑔𝑠𝑖 𝑠𝑒𝑚𝑖𝑘𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢 𝑏𝑎𝑤𝑎𝑕 𝑡𝑒𝑟𝑏𝑎𝑡𝑎𝑠   𝑝𝑎𝑑𝑎 𝐾 , untuk setiap 𝑓 ∈ 𝐷 𝐾 .
Selanjutnya  akan  dibuktikan  bahwa 𝐷 𝐾 merupakan  ruang  bernorma terhadap  fungsi . 𝐷 . Terlebih  dahulu  diberikan  beberapa  lemma  yang  akan digunakan dalam pembuktian.
Pembuktian Sifat Ruang Banach pada D(K)                                                                             43
Lemma 2.4 Jika 𝑓 ∈ 𝐷 𝐾 maka 𝑓 ∞ ≤  𝑓 𝐷 .
Lemma 2.5 Jika 𝑓 ∈ 𝐷 𝐾 dan 𝛼 ∈ 𝑹 maka berlaku
𝛼 𝑢 + 𝑣 ∞ : 𝛼𝑓 = 𝛼𝑢 − 𝛼𝑣, dengan 𝑢, 𝑣 ≥ 0  fungsi − fungsi semikontinu bawah terbatas  pada 𝐾  =   𝑕 + 𝑔 ∞ ∶ 𝛼𝑓 = 𝑕 − 𝑔, dengan   𝑕, 𝑔 ≥ 0 fungsi − fungsi semikontinu bawah terbatas pada 𝐾 .
Seperti  yang  telah  disebutkan  sebelumnya,  dengan  menggunakan  Lemma 2.4 dan Lemma 2.5,  dibuktikan bahwa fungsi . 𝐷 adalah norma pada 𝐷 𝐾 .
Teorema 2.6 Fungsi . 𝐷 adalah norma pada 𝐷 𝐾 .
Bukti :
𝑁1 . Diambil sembarang 𝑓 ∈ 𝐷 𝐾 . Karena
𝑓 𝐷 = inf  𝑢 + 𝑣 ∞ ∶ 𝑓 = 𝑢 − 𝑣, dengan 𝑢, 𝑣 ≥ 0 fungsi − fungsi semikontinu bawah terbatas   pada 𝐾 , maka  diperoleh 𝑓 𝐷 ≥ 0 .  Selanjutnya,  jika 𝑓 𝐷 = 0 maka  menurut Lemma 2.4 diperoleh 𝑓 ∞ = 0. Oleh karena itu, 𝑓 𝑥  = 0 untuk setiap 𝑥 ∈ 𝐾 ,  dengan  kata  lain 𝑓 = 𝟎 .  Sebaliknya,  jika 𝑓 = 𝟎 maka  terdapat fungsi-fungsi  semikontinu  bawah    terbatas 𝑢 = 𝟎 dan 𝑣 = 𝟎, sehingga 𝑓 = 𝑢 − 𝑣 = 𝟎 , akibatnya  diperoleh
𝑓 𝐷 = inf  𝑢 + 𝑣 ∞ ∶ 𝑓 = 𝑢 − 𝑣, dengan 𝑢, 𝑣 ≥ 0 fungsi − fungsi semikontinu bawah terbatas pada 𝐾  = 0.
𝑁2 . Diambil  sembarang 𝑓 ∈ 𝐷 𝐾 dan 𝛼 ∈ 𝑹. Berdasarkan  Lemma  2.5, diperoleh
𝛼 .  𝑓 𝐷 =  𝛼  inf  𝑢 + 𝑣 ∞ ∶ 𝑓 = 𝑢 − 𝑣, dengan 𝑢, 𝑣 ≥ 0 fungsi − fungsi semikontinu bawah  terbatas  pada 𝐾
= inf  𝛼  𝑢 + 𝑣 ∞ ∶ 𝑓 = 𝑢 − 𝑣, dengan   𝑢, 𝑣 ≥ 0 fungsi − fungsi semikontinu bawah  terbatas  pada 𝐾
= inf  𝛼 𝑢 + 𝑣 ∞ ∶ 𝛼𝑓 = 𝛼𝑢 − 𝛼𝑣, dengan  𝑢, 𝑣 ≥ 0 fungsi −
fungsi semikontinu bawah  terbatas  pada 𝐾 = inf  𝑕 + 𝑔 ∞ ∶ 𝛼𝑓 = 𝑕 − 𝑔  dengan   𝑕, 𝑔 ≥ 0 fungsi − fungsi semikontinu bawah terbatas  pada 𝐾
=  𝛼𝑓 𝐷 .
𝑁3 . Diambil  sembarang 𝑓, 𝑔 ∈ 𝐷 𝐾 dan 𝜀 > 0 sembarang,  maka  terdapat fungsi  –  fungsi    semikontinu    bawah    terbatas 𝑢, 𝑣, 𝑠, 𝑡 ≥ 0 dengan 𝑓 = 𝑢 − 𝑣 dan 𝑔 = 𝑠 − 𝑡 ,  sehingga berlaku
𝑢 + 𝑣 ∞ <  𝑓 𝐷 + 𝜀 2 dan 𝑠 + 𝑡 ∞ <  𝑔 𝐷 + 𝜀 2 .
Oleh karena itu,  diperoleh
𝑓 𝐷 +  𝑔 𝐷 + 𝜀 >  𝑢 + 𝑣 ∞ +  𝑠 + 𝑡 ∞ ≥   𝑢 + 𝑣  +  𝑠 + 𝑡 ∞
=   𝑢 + 𝑠  +  𝑣 + 𝑡 ∞
≥  𝑓 + 𝑔 𝐷 .
Karena berlaku untuk 𝜀 > 0 sembarang, maka diperoleh
𝑓 + 𝑔 𝐷 ≤    𝑓 𝐷 +  𝑔 𝐷 .
Berdasarkan  (N1),  (N2),  dan  (N3),  maka    terbukti    bahwa  fungsi . 𝐷 adalah norma pada 𝐷 𝐾 . ∎
P engertian  norma  pada 𝐷(𝐾) dapat  juga  disajikan  lain,  yang  tertuang dalam teorema-teorema berikut ini.
Teorema  2.7 Fungsi 𝑓 ∈ 𝐷(𝐾) jika  dan  hanya  jika  terdapat  barisan 𝑓 𝑛 di 𝐶(𝐾) dan 𝑠𝑢𝑝 𝑥∈𝐾 𝑓 𝑛 𝑥   < ∞ 𝑛 sehingga 𝑓 𝑛 𝑛 = 𝑓 titik  demi  titik . Lebih lanjut,
𝑓 𝐷 = 𝑖𝑛𝑓 𝑓 𝑛 ∞ 𝑛=0 ∞ ∶  𝑓 𝑛 𝑛=0 ∞ ⊂ 𝐶 𝐾  𝑑𝑎𝑛   𝑠𝑢𝑝 𝑥∈𝐾 𝑓 𝑛 𝑥 ∞ 𝑛=0 < ∞ 𝑠𝑒𝑕𝑖𝑛𝑔𝑔𝑎 𝑓 𝑛 ∞ 𝑛=0 = 𝑓  𝑡𝑖𝑡𝑖𝑘 𝑑𝑒𝑚𝑖 𝑡𝑖𝑡𝑖𝑘 .
Bukti : (Syarat  perlu).  Diketahui 𝑓 ∈ 𝐷 𝐾 , maka  terdapat  fungsi-fungsi semikontinu  bawah  terbatas 𝑢, 𝑣 ≥ 0 pada 𝐾 ,  sehingga 𝑓 = 𝑢 − 𝑣 .  Karena 𝑢 fungsi  semikontinu  bawah  terbatas,    maka    terdapat  barisan 𝜑 𝑛 ⊆ 𝐶(𝐾) sehingga 𝜑 0 ≤ 𝜑 1 ≤ 𝜑 2 ≤ 𝜑 3 ≤ ⋯ dengan 𝜑 0 = 𝟎 dan 𝜑 𝑛 konvergen  titik demi titik ke 𝑢 . Oleh karena itu,  diperoleh
𝑢 𝑥  = lim 𝑛 → ∞ 𝜑 𝑛 𝑥  = lim 𝑛→ ∞ 𝜑 𝑗 − 𝜑 𝑗 −1 𝑛 𝑗 =1 𝑥 = 𝜑 𝑗 − 𝜑 𝑗 −1 𝑥 ∞ 𝑗 =1 ,
untuk  setiap 𝑥 ∈ 𝐾. Selanjutnya,  karena 𝑣 juga  fungsi  semikontinu  bawah terbatas,  maka  terdapat  barisan 𝜓 𝑛 ⊆ 𝐶(𝐾) sehingga 𝜓 0 ≤ 𝜓 1 ≤ 𝜓 2 ≤ ⋯
Pembuktian Sifat Ruang Banach pada D(K)                                                                             45
dengan 𝜓 0 = 𝟎 dan 𝜓 𝑛 konvergen  titik  demi  titik  ke 𝑣 .  Oleh  karena  itu, diperoleh
𝑣 𝑥  = lim 𝑛→ ∞ 𝜓 𝑛 𝑥  = lim 𝑛→ ∞ 𝜓 𝑗 − 𝜓 𝑗 −1 𝑥 𝑛 𝑗 =1 = 𝜓 𝑗 − 𝜓 𝑗 −1 𝑥 ∞ 𝑗 =1 ,
untuk setiap 𝑥 ∈ 𝐾. Sehingga untuk sebarang 𝑥 ∈ 𝐾 diperoleh
𝑓 𝑥     = 𝑢 𝑥  − 𝑣 𝑥
= 𝜑 𝑗 − 𝜑 𝑗 −1 𝑥 ∞ 𝑗 =1 − 𝜓 𝑗 − 𝜓 𝑗 −1 𝑥 ∞ 𝑗 =1 = 𝜑 𝑗 − 𝜑 𝑗 −1 − 𝜓 𝑗 + 𝜓 𝑗 −1 𝑥 ∞ 𝑗 =1 .
Selanjutnya,  namakan 𝑓 𝑗 = 𝜑 𝑗 − 𝜑 𝑗 −1 − 𝜓 𝑗 + 𝜓 𝑗 −1 ,  untuk  setiap 𝑗 ∈ 𝑵 dengan 𝑓 0 = 𝟎 ,  sehingga  diperoleh  barisan 𝑓 𝑛 ⊆ C 𝐾 .  Oleh  karena  itu, 𝑓 𝑥  = 𝑓 𝑛 𝑥 ∞ 𝑛=1 ,  untuk  setiap 𝑥 ∈ 𝐾 .  Dilain  pihak,  karena 𝑢 dan 𝑣 terbatas, maka  terdapat 𝑀 1 , 𝑀 2 > 0 sehingga 𝑢 𝑥   ≤ 𝑀 1 dan 𝑣 𝑥   ≤ 𝑀 2 ,  untuk  setiap 𝑥 ∈ 𝐾. Akibatnya,  untuk sembarang 𝑥 ∈ 𝐾 berlaku
𝑓 𝑛 𝑥 ∞ 𝑛=1 = 𝜑 𝑛 − 𝜑 𝑛−1 − 𝜓 𝑛 + 𝜓 𝑛 −1 𝑥 ∞ 𝑛=1 ≤ 𝑀 1 +𝑀 2 .
Karena berlaku untuk sebarang 𝑥 ∈ 𝐾 , maka diperoleh sup 𝑥∈𝐾 𝑓 𝑛 𝑥 ∞ 𝑛 =1 < ∞ . Dengan  kata  lain,  ada  barisan 𝑓 𝑛 ⊆ 𝐶(𝐾) dan sup 𝑥∈𝐾 𝑓 𝑛 𝑥   < ∞ 𝑛 sehingga 𝑓 𝑛 𝑛 = 𝑓 titik demi titik. Oleh karena itu, diperoleh
𝑓 𝐷 ≥ inf 𝑓 𝑛 ∞ 𝑛=0 ∞ ∶    𝑓 𝑛 𝑛=0 ∞ ⊂ 𝐶 𝐾  dan  sup 𝑥∈𝐾 𝑓 𝑛 𝑥 ∞ 𝑛=0 < ∞ , sehingga 𝑓 𝑛 ∞ 𝑛=0 = 𝑓  titik demi titik .
(Syarat  cukup).  Diketahui  barisan 𝑓 𝑛 ⊆ 𝐶 𝐾 dan sup 𝑥∈𝐾 𝑓 𝑛 𝑥 ∞ 𝑛=0 < ∞
sehingga 𝑓 𝑛 ∞ 𝑛 =0 = 𝑓  titik demi titik. Untuk sembarang 𝑥 ∈ 𝐾 , berlaku 𝑓 𝑥  = 𝑓 𝑛 𝑥 ∞ 𝑛=1 = lim 𝑘→ ∞ 𝑓 𝑛 𝑥 𝑘 𝑛=1 = lim 𝑘→ ∞ 𝑓 𝑛 + − 𝑓 𝑛 − 𝑥 𝑘 𝑛=1 = lim 𝑘→ ∞ 𝑓 𝑛 + 𝑥  − 𝑓 𝑛 − 𝑥 𝑘 𝑛=1 = lim 𝑘→ ∞ 𝑓 𝑛 + 𝑥  − lim 𝑘→ ∞ 𝑓 𝑛 − 𝑥 𝑘 𝑛=1 𝑘 𝑛=1 = 𝑓 𝑛 + 𝑥  − 𝑓 𝑛 − 𝑥 ∞ 𝑛=1 . ∞ 𝑛=1
46                                                                                                                                      Malayahati
Selanjutnya, namakan 𝑢 = 𝑓 𝑛 + ∞ 𝑛=1 dan 𝑣 = 𝑓 𝑛 − ∞ 𝑛=1 . Karena 𝑓 𝑛 + , 𝑓 𝑛 − ≥ 0 maka diperoleh 𝑢, 𝑣 ≥ 0 .
Diperhatikan bahwa 𝑓 𝑛 + 𝑥 𝑘 𝑛=1 ≤ 𝑓 𝑛 + 𝑥 𝑘+1 𝑛=1 untuk setiap 𝑥 ∈ 𝐾 , dan lim 𝑘→ ∞ 𝑓 𝑛 + 𝑥  = 𝑘 𝑛=1 𝑓 𝑛 + 𝑥 ∞ 𝑛=1 . Akibatnya, u merupakan fungsi semikontinu  bawah  terbatas  pada K .  Dengan  cara  yang  sama,  diperoleh v merupakan  fungsi  semikontinu  bawah  terbatas  pada K .  Oleh  karena  itu,  terdapat fungsi-fungsi  semikontinu  bawah  terbatas 𝑢, 𝑣 ≥ 0 pada 𝐾, sehingga 𝑓 = 𝑢 − 𝑣 . Dengan kata lain, 𝑓 ∈ 𝐷(𝐾) . Akibatnya, diperoleh
𝑓 𝐷 ≤ inf 𝑓 𝑛 ∞ 𝑛=0 ∞ ∶    𝑓 𝑛 𝑛=0 ∞ ⊂ 𝐶 𝐾  dan  sup x∈K 𝑓 𝑛 𝑥 ∞ 𝑛=0 <  ∞ ,
sehingga 𝑓 𝑛 ∞ 𝑛=0 = 𝑓  titik demi titik . ∎
Teorema 2.8 Fungsi 𝑓 ∈ 𝐷 𝐾 jika dan hanya jika  terdapat  barisan 𝑓 𝑛 di 𝐶(𝐾) dan C < ∞, sehingga 𝑓 𝑛 konvergen  titik  demi  titik  ke 𝑓 dengan 𝑓 0 = 𝟎 dan 𝑓 𝑛+1 𝑥  − 𝑓 𝑛 𝑥   ≤ C ∞ 𝑛=0 untuk setiap 𝑥 ∈ 𝐾. Lebih lanjut,
𝑓 𝐷 = 𝑖𝑛𝑓 C ∶    𝑓 𝑛 ⊆ 𝐶 𝐾 , 𝑓 0 = 𝟎 𝑑𝑎𝑛 𝑓 𝑛+1 𝑥  − 𝑓 𝑛 𝑥   ≤ 𝐶, ∞ 𝑛=0 ∀ 𝑥 ∈ 𝐾 𝑠𝑒𝑕𝑖𝑛𝑔𝑔𝑎  𝑓 𝑛 𝑘𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒𝑛 𝑡𝑖𝑡𝑖𝑘 𝑑𝑒𝑚𝑖 𝑡𝑖𝑡𝑖𝑘 𝑘𝑒 𝑓 .
Bukti : (Syarat perlu) . Diketahui 𝑓 ∈ 𝐷(𝐾) maka menurut Teorema 2.7,   terdapat barisan 𝑔 𝑛 ⊆ 𝐶(𝐾) , sehingga 𝑔 𝑛 𝑛 = 𝑓 titik demi titik dan sup 𝑥∈𝐾 𝑔 𝑛 𝑥   < ∞ 𝑛 .  Namakan C = sup 𝑥∈𝐾 𝑔 𝑛 𝑥 𝑛 , dan  untuk  setiap 𝑛 ∈ 𝑵 dibentuk 𝑓 𝑛 = 𝑔 𝑖 𝑛 𝑖=1 dengan 𝑓 0 = 𝟎, maka  diperoleh  barisan 𝑓 𝑛 di 𝐶(𝐾) dan 𝑓 𝑛 konvergen  titik  demi  titik  ke 𝑓 .  Untuk  sembarang 𝑥 ∈ 𝐾 diperoleh
𝑓 𝑛+1 𝑥  − 𝑓 𝑛 𝑥     = 𝑔 𝑖 𝑛+1 𝑖=1 𝑥  − 𝑔 𝑖 𝑥 𝑛 𝑖=1 ∞ 𝑛=0 ∞ 𝑛=0
= 𝑔 𝑛+1 𝑥 ∞ 𝑛=0 ≤ C .
Dengan  kata  lain,  terdapat  barisan 𝑓 𝑛 ⊆ 𝐶(𝐾) dan C < ∞, sehingga 𝑓 𝑛 konvergen  titik  demi  titik  ke 𝑓 dengan 𝑓 0 = 𝟎 dan 𝑓 𝑛+1 𝑥  − 𝑓 𝑛 𝑥   ≤ C ∞ 𝑛=0 untuk setiap 𝑥 ∈ 𝐾 . Oleh karena itu, diperoleh
𝑓 𝐷 ≥ inf C ∶    𝑓 𝑛 ⊆ 𝐶 𝐾 , 𝑓 0 = 𝟎 dan 𝑓 𝑛+1 𝑥  − 𝑓 𝑛 𝑥   ≤ 𝐶, ∞ 𝑛=0 ∀ 𝑥 ∈ 𝐾 sehingga  𝑓 𝑛 konvergen titik demi titik ke 𝑓 .
(Syarat cukup ). Untuk setiap 𝑛 ∈ 𝑵 , dibentuk 𝑔 𝑛 = 𝑓 𝑛 +1 − 𝑓 𝑛 dengan 𝑔 0 = 𝟎 . Akibatnya,  diperoleh  barisan 𝑔 𝑛 ⊆ 𝐶(𝐾) ,  dan 𝑔 𝑛 ∞ 𝑛=0 = 𝑓 titik  demi  titik. Selanjutnya, untuk sebarang 𝑥 ∈ 𝐾 , diperoleh
𝑔 𝑛 𝑥 ∞ 𝑛=0 = 𝑓 𝑛+1 𝑥  − 𝑓 𝑛 𝑥 ∞ 𝑛=0 ≤ C < ∞.
Karena berlaku untuk sembarang 𝑥 ∈ 𝐾 , maka diperoleh sup 𝑥∈𝐾 𝑔 𝑛 𝑥   < ∞ 𝑛 . Dengan kata lain, terbukti 𝑓 ∈ 𝐷 𝐾 . Oleh karena itu, diperoleh
𝑓 𝐷 ≤ inf C ∶    𝑓 𝑛 ⊆ 𝐶 𝐾 , 𝑓 0 = 𝟎 dan 𝑓 𝑛+1 𝑥  − 𝑓 𝑛 𝑥   ≤ 𝐶, ∞ 𝑛=0 ∀ 𝑥 ∈ 𝐾 sehingga  𝑓 𝑛 konvergen titik demi titik ke 𝑓 . ∎
Telah  dibuktikan  bahwa 𝐷 𝐾 ,  . 𝐷 merupakan  ruang  bernorma, selanjutnya tinggal ditunjukkan bahwa 𝐷 𝐾 lengkap.
Teorema  2.9 Diberikan  ruang  metrik  separabel  K, 𝐷(𝐾) merupakan  ruang Banach.
Bukti : Berdasarkan  Teorema  2.6, 𝐷 𝐾 ,  . 𝐷 merupakan  ruang  bernorma, selanjutnya  akan  dibuktikan 𝐷 𝐾 lengkap.  Diambil  sebarang  barisan  Cauchy 𝑓 𝑛 ⊆ 𝐷 𝐾 . Oleh  karena  itu,  dapat  diasumsikan 𝑓 𝑛+1 − 𝑓 𝑛 𝐷 < 1 2 𝑛 ,  untuk setiap 𝑛 ∈ 𝑵. Karena 𝑓 𝑛 +1 − 𝑓 𝑛 ∈ 𝐷 𝐾 ,  maka  untuk  setiap 𝑛 ∈ 𝑵 terdapat barisan 𝜑 𝑚 𝑛 𝑚 =1 ∞ di 𝐶(𝐾) , sehingga 𝜑 𝑚 𝑛 𝑚 =1 ∞ konvergen  titik  demi  titik  ke 𝑓 𝑛 +1 − 𝑓 𝑛 dan memenuhi
𝜑 𝑚 +1 𝑛 𝑥  − 𝜑 𝑚 𝑛 𝑥   ≤ ∞ 𝑚 =0 1
2 𝑛 , untuk setiap 𝑥 ∈ 𝐾.
Karena 𝑓 𝑛 barisan  Cauchy  di 𝐷 𝐾 , maka  diperoleh 𝑓 𝑚 − 𝑓 𝑛 ∞ → 0, untuk 𝑛, 𝑚 → ∞ . Oleh karena itu, untuk setiap 𝑥 ∈ 𝐾 diperoleh 𝑓 𝑛 𝑥 barisan Cauchy di R. Karena R lengkap,  maka  untuk  setiap 𝑥 ∈ 𝐾, terdapat 𝑓 𝑥  ∈ 𝑹 sehingga 𝑓 𝑛 𝑥 konvergen ke 𝑓 𝑥 . Akibatnya diperoleh 𝑓 𝑛 − 𝑓 ∞ → 0.
Diambil  sembarang 𝑛 0 ∈ 𝑵. Dibentuk 𝑔 𝑛 = 𝑓 𝑛+1 − 𝑓 𝑛 ,  untuk  setiap 𝑛 ∈ 𝑵 dan 𝜓 𝑛 =  𝜑 𝑛 𝑛 0 + ⋯ + 𝜑 𝑛 𝑙 +  𝜑 𝑛+1 𝑙+1 − 𝜑 𝑛 𝑙+1 + ⋯ +  𝜑 𝑛+1 𝑛 − 𝜑 𝑛 𝑛 ,  untuk  setiap 𝑙, 𝑛 ∈ 𝑵 dengan 𝑛 0 ≤ 𝑙 < 𝑛. Oleh  karena  itu  didapat  barisan 𝜓 𝑛 ⊆ 𝐶 𝐾 dan berlaku
48                                                                                                                                      Malayahati
𝑔 𝑛 ∞ 𝑛=𝑛 0 = lim 𝑘→∞ 𝑔 𝑛 𝑘 𝑛=𝑛 0 = lim 𝑘→∞ 𝑓 𝑛+1 − 𝑓 𝑛 𝑘 𝑛=𝑛 0 = lim 𝑘→∞ 𝑓 𝑘+1 − 𝑓 𝑛 0 = 𝑓 − 𝑓 𝑛 0 .
Selanjutnya,  akan  dibuktikan 𝑓 − 𝑓 𝑛 0 ∈ 𝐷 𝐾 .  Untuk  setiap 𝑙, 𝑛 ∈ 𝑵 dengan 𝑛 0 ≤ 𝑙 < 𝑛 ,  diperoleh
𝜓 𝑛 −  𝜑 𝑛 𝑛 0 + ⋯ + 𝜑 𝑛 𝑙 ∞ =   𝜑 𝑛+1 𝑙+1 − 𝜑 𝑛 𝑙+1 + ⋯ +  𝜑 𝑛+1 𝑛 − 𝜑 𝑛 𝑛 ∞ ≤ 1 2 𝑖 𝑛 𝑖=𝑙+1 ≤ 1 2 𝑙 .
Oleh karena itu, apabila 𝑛 → ∞ maka untuk setiap 𝑥 ∈ 𝐾 dan 𝑙 ≥ 𝑛 0 , diperoleh lim 𝑛→∞ 𝜓 𝑛 𝑥  −  𝜑 𝑛 𝑛 0 + ⋯ + 𝜑 𝑛 𝑙 𝑥   ≤ 1 2 𝑙 .
Akibatnya, diperoleh
𝑔 𝑛 0 𝑥  + ⋯ + 𝑔 𝑙 𝑥  − 1 2 𝑙 ≤ lim 𝑛→∞ 𝜓 𝑛 𝑥  ≤ 𝑔 𝑛 0 𝑥  + ⋯ + 𝑔 𝑙 𝑥  + 1 2 𝑙 .
Selanjutnya,  apabila 𝑙 → ∞ ,  maka  diperoleh 𝜓 𝑛 konvergen  titik  demi  titik  ke 𝑓 − 𝑓 𝑛 0 . Disisi lain, diperoleh
𝜓 𝑛+1 𝑥  − 𝜓 𝑛 𝑥     ≤ ∞ 𝑛=0 𝜑 𝑛+1 𝑛 0 𝑥  − 𝜑 𝑛 𝑛 0 𝑥 ∞ 𝑛=0 + ⋯ + 𝜑 𝑛+1 𝑙 𝑥  − 𝜑 𝑛 𝑙 𝑥 ∞ 𝑛=0 + 𝜑 𝑛+1 𝑙+1 𝑥  − 𝜑 𝑛 𝑙+1 𝑥 ∞ 𝑛=0 + ⋯ + 𝜑 𝑛+1 𝑛 𝑥  − 𝜑 𝑛 𝑛 𝑥 ∞ 𝑛=0 + 𝜑 𝑛+2 𝑙+1 𝑥  − 𝜑 𝑛+1 𝑙+1 𝑥 ∞ 𝑛=0 + ⋯ + 𝜑 𝑛+2 𝑛+1 𝑥  − 𝜑 𝑛+1 𝑛+1 𝑥 ∞ 𝑛=0 ≤ 1 2 𝑖 𝑛+1 𝑖=𝑛 0 ≤ 1 2 ,
untuk  setiap 𝑥 ∈ 𝐾. Dengan  demikian  terdapat  barisan 𝜓 𝑛 ⊆ 𝐶 𝐾 yang konvergen  titik  demi  titik  ke 𝑓 − 𝑓 𝑛 0 , dan 𝜓 𝑛+1 𝑥  − 𝜓 𝑛 𝑥   ≤ ∞ 𝑛=0 1 2 . Dengan kata  lain  benar  bahwa 𝑓 − 𝑓 𝑛 0 ∈ 𝐷 𝐾 . Karena 𝐷 𝐾 ruang  linear,  maka diperoleh 𝑓 ∈ 𝐷 𝐾 . Selanjutnya, berdasarkan asumsi diawal pembuktian, maka diperoleh
Pembuktian Sifat Ruang Banach pada D(K)                                                                             49
𝑓 − 𝑓 𝑛 0 𝐷 = 𝑔 𝑛 ∞ 𝑛=𝑛 0 𝐷 = 𝑓 𝑛+1 − 𝑓 𝑛 ∞ 𝑛=𝑛 0 𝐷 ≤ 𝑓 𝑛 +1 − 𝑓 𝑛 𝐷 ∞ 𝑛=𝑛 0 ≤ 1 2 𝑛 ∞ 𝑛=𝑛 0 ≤ 1 2 𝑛 0−1 , untuk setiap 𝑛 0 ∈ 𝑵.
Karena berlaku untuk sembarang 𝑛 0 ∈ 𝑵, maka diperoleh barisan 𝑓 𝑛 konvergen ke 𝑓. Jadi, terbukti 𝐷(𝐾) ruang Banach . ∎

## 3. KESIMPULAN DAN SARAN
Berdasarkan hasil dan pembahasan pada bagian 2 (dua), dapat disimpulkan bahwa  dalam  membuktikan  sifat  ruang  Banach  pada 𝐷(𝐾) dibutuhkan  beberapa sifat  terkait  dengan  definisi  norma  pada 𝐷 𝐾 . Berdasarkan  hasil  ini,  penulis menyarankan agar dapat dibuktikan sifat aljabar pada 𝐷(𝐾) dan sifat-sifat 𝐷(𝐾) lebih lanjut.

## 4. UCAPAN TERIMA KASIH
Terima  kasih  penulis  ucapkan  kepada  bapak  Atok  Zulijanto  atas bimbingannya selama ini.

## DAFTAR PUSTAKA
A.S.  Kechris,  A.S.  dan  Louveau.A,  (1990)  A  classification  of    Baire  Class  1 Functions, Trans. Amer. Math. Soc . 318 209-236.
Farmaki, V., (1996) On Baire- 1 4 Functions, Trans. Amer. Math. Soc , 348, 10
Haydon, R., Odell, E. dan Rosenthal, H.P., (1991) On Certain Classes of  Baire-1 Functions  with  Applications  to  Banach  Space  Theory ,  Lecture  Notes  in Math ., 1470, Springer, New York.
McShane, E.J., (1944) Integration , Princeton University Press, Princeton.
Rosenthal,  H.P.,  (1994)  A  Characterization  of  Banach  Spaces  Containing  C0, J. Amer. Math. Soc , 7, 3, 707-748.
Rosenthal,  H.P.,  (1994)  Differences  of  Bounded  Semi-Continuous  Functions  I, http://www.arxiv.org/abs/math/9406217 ,  20  Juni  1994,  diakses  pada tanggal 27 Agustus 2009.